di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 一质量为m的带电小球以速度v_0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场中，场强为E，如图所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v_0，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609006222618626/img/compression/M_9c3319d6d6e23ad7055cf5a896edc026.jpg)
小球由A到B的位移；

Solution:
两个方向上的分运动互为逆运动，故小球运动的水平位移大小等于竖直位移大小

$在竖直方向有2gh=v^2_0，可得h=\frac{v^2_0}{2g}，$

$所以位移大小为\sqrt{2}h=\frac{\sqrt{2}v^2_0}{2g}，$

方向与水平方向的夹角为$45^\circ $斜向右上方。

Final answer: $\frac{\sqrt{2}v^2_0}{2g}，与水平方向的夹角为45^\circ 斜向右上方$
Subfield: Electromagnetism


Question: 一质量为m的带电小球以速度v_0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场中，场强为E，如图所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v_0，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

<img_719>
小球由A到B的位移大小；

Solution:
两个方向上的分运动互为逆运动，故小球运动的水平位移大小等于竖直位移大小

$在竖直方向有2gh=v^2_0，可得h=\frac{v^2_0}{2g}，$

$所以位移大小为\sqrt{2}h=\frac{\sqrt{2}v^2_0}{2g}，$

方向与水平方向的夹角为$45^\circ $斜向右上方。



Final answer: $\frac{\sqrt{2}v^2_0}{2g}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示。小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点。小球抛出时的动能为8.0 J，在M点的动能为6.0 J，不计空气的阻力。求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609007342497795/img/compression/M_246770651bde461a572a3115c9ae6594.jpg)
$小球水平位移x_{1}与x_{2}的比值；$

Solution:
$带电小球在水平方向上受电场力的作用做初速度为零的匀加速运动，竖直方向上只受重力作用做竖直上抛运动，故从A到M和从M到B的时间相等，则x_1:x_2=1:3。$

Final answer: $1/3$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示。小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点。小球抛出时的动能为8.0 J，在M点的动能为6.0 J，不计空气的阻力。求：

<img_782>
$小球水平位移x_{1}与x_{2}的比值；$

Solution:
$带电小球在水平方向上受电场力的作用做初速度为零的匀加速运动，竖直方向上只受重力作用做竖直上抛运动，故从A到M和从M到B的时间相等，则x_1:x_2=1:3。$

Final answer: $1/3$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在一个边长为L的正方形区域内存在沿AC方向的匀强电场,场强大小为E,将质量为m的带电粒子以初速度$v_0$从AB的中点P沿垂直于场强的方向射入场区后恰从CD的中点Q飞出。若不计粒子重力,求:

<img_680>
$粒子的带电荷量q$

Solution:
$粒子在电场中做类平抛运动，根据运动学公式，沿初速度方向有\frac{\sqrt{2}L}{2}=v_0t，沿电场线方向有\frac{\sqrt{2}L}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Eq}{m}t^2，解得q=\frac{2\sqrt{2}mv^2_0}{EL}。$

Final answer: $q=\frac{2\sqrt{2}mv^2_0}{EL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在一个边长为L的正方形区域内存在沿AC方向的匀强电场,场强大小为E,将质量为m的带电粒子以初速度$v_0$从AB的中点P沿垂直于场强的方向射入场区后恰从CD的中点Q飞出。若不计粒子重力,求:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487399636389890/img/compression/M_8901f7cd11e327e7e632d223c84b792c.jpg)
$粒子的带电荷量q$

Solution:
$粒子在电场中做类平抛运动，根据运动学公式，沿初速度方向有\frac{\sqrt{2}L}{2}=v_0t，沿电场线方向有\frac{\sqrt{2}L}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Eq}{m}t^2，解得q=\frac{2\sqrt{2}mv^2_0}{EL}。$

Final answer: $q=\frac{2\sqrt{2}mv^2_0}{EL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在一个边长为L的正方形区域内存在沿AC方向的匀强电场,场强大小为E,将质量为m的带电粒子以初速度$v_0$从AB的中点P沿垂直于场强的方向射入场区后恰从CD的中点Q飞出。若不计粒子重力,求:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487399636389890/img/compression/M_8901f7cd11e327e7e632d223c84b792c.jpg)
调整粒子的速度后恰从C点飞出,求此过程中电场对粒子的冲量的大小;

Solution:
粒子恰从C点飞出，根据运动学公式沿电场线方向有

$\frac{3\sqrt{2}L}{4}=\frac{1}{2} \cdot \frac{Eq}{m}t_1^2$

$解得t_1=\frac{\sqrt{3}L}{2v_0} $

$所以电场力的冲量为I=Eqt_1=\sqrt{6}mv_0,方向沿AC方向$

Final answer: $\sqrt{6} mv_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在一个边长为L的正方形区域内存在沿AC方向的匀强电场,场强大小为E,将质量为m的带电粒子以初速度$v_0$从AB的中点P沿垂直于场强的方向射入场区后恰从CD的中点Q飞出。若不计粒子重力,求:

<img_680>
调整粒子的速度后恰从C点飞出,求此过程中电场对粒子的冲量的大小;

Solution:
粒子恰从C点飞出，根据运动学公式沿电场线方向有

$\frac{3\sqrt{2}L}{4}=\frac{1}{2} \cdot \frac{Eq}{m}t_1^2$

$解得t_1=\frac{\sqrt{3}L}{2v_0} $

$所以电场力的冲量为I=Eqt_1=\sqrt{6}mv_0,方向沿AC方向$

Final answer: $\sqrt{6} mv_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609358992691202/img/compression/M_beade4bb1ed43d7a0d7e8ca9c782eb7f.jpg)
$求粒子运动速度的大小v；$

Solution:
$粒子的运动半径d=\frac{mv}{qB}$

$解得v=\frac{qBd}{m}$

Final answer: $\frac{qBd}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。

<img_1107>
$求粒子运动速度的大小v；$

Solution:
$粒子的运动半径d=\frac{mv}{qB}$

$解得v=\frac{qBd}{m}$

Final answer: $\frac{qBd}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609358992691202/img/compression/M_beade4bb1ed43d7a0d7e8ca9c782eb7f.jpg)
$欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离d_m；$

Solution:
如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切

![23AKB5WL870答案教师.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609359382761473/img/compression/M_f255fa4e47bde4be351e17d483eea78f.jpg)

$由几何关系得 d_m=d(1+\sin 60^\circ )$

$解得 d_m=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$

Final answer: $\frac{2+\sqrt{3}}{2} d$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。

<img_1107>
$欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离d_m；$

Solution:
如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切

<img_487>

$由几何关系得 d_m=d(1+\sin 60^\circ )$

$解得 d_m=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$

Final answer: $\frac{2+\sqrt{3}}{2} d$
Subfield: Electromagnetism


Question: $扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角\theta=30^\circ 。$

<img_620>
$当Ⅰ区宽度L_1=L、磁感应强度大小B_1=B_0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30^\circ ，求B_0及粒子在Ⅰ区运动的时间t_0；$

Solution:
由题意可得粒子在Ⅰ区的运动轨迹如甲图所示

<img_838>

$设粒子射入磁场的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R_1，由动能定理和牛顿第二定律可得$

$qU = \frac{1}{2} mv^2、B_0qv = m \frac{v^2}{R_1}$

$由几何知识得L = 2R_1 \sin \theta，$

$联立解得B_0 = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{2mU}{q}}；$

$粒子在Ⅰ区运动的时间为t_0 =  \frac{2\theta }{360 ^{\circ} } \cdot \frac{2\pi R_1}{v} = \frac{\pi L}{3} \sqrt{\frac{m}{2qU}}。$

Final answer: $\frac{1}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$, $\frac{\pi L}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角\theta=30^\circ 。$

![Physics Question](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609359718305794/img/compression/M_03fae09605827bc7875e23af2d21e439.jpg)
$当Ⅰ区宽度L_1=L、磁感应强度大小B_1=B_0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30^\circ ，求B_0及粒子在Ⅰ区运动的时间t_0；$

Solution:
由题意可得粒子在Ⅰ区的运动轨迹如甲图所示

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609360125153282/img/compression/M_73c21d3054918d12c5053f50dff4c261.jpg)

$设粒子射入磁场的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R_1，由动能定理和牛顿第二定律可得$

$qU = \frac{1}{2} mv^2、B_0qv = m \frac{v^2}{R_1}$

$由几何知识得L = 2R_1 \sin \theta，$

$联立解得B_0 = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{2mU}{q}}；$

$粒子在Ⅰ区运动的时间为t_0 =  \frac{2\theta }{360 ^{\circ} } \cdot \frac{2\pi R_1}{v} = \frac{\pi L}{3} \sqrt{\frac{m}{2qU}}。$

Final answer: $\frac{1}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$, $\frac{\pi L}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角\theta=30^\circ 。$

![Physics Question](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609359718305794/img/compression/M_03fae09605827bc7875e23af2d21e439.jpg)
$若L_2=L_1=L、B_1=B_0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B_2应满足的条件；$

Solution:
由题意可得粒子运动轨迹大致如乙图所示
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609360603303938/img/compression/M_483cdd8e15793b9a403626755303f9a5.jpg)
$设粒子在磁场Ⅱ区中做圆周运动的半径为R_2，由牛顿第二定律得qvB_2=m\frac{v^2}{R_2}$

$为使粒子能返回Ⅰ区，应满足R_2 + R_2 \sin\theta  \leq L$

$代入数据解得B_2 \geq \frac{3}{L}\sqrt{\frac{mU}{2q}}$

Final answer: $B_2\geq \frac{3}{L} \sqrt{\frac{mU}{2q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角\theta=30^\circ 。$

![Physics Question](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609359718305794/img/compression/M_03fae09605827bc7875e23af2d21e439.jpg)
$若B_1\neq B_2,L_1\neq L_2，且保证粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B_1、B_2、L_1、L_2之间应满足的关系式。$

Solution:
由题意可得粒子运动轨迹大致如丙、丁图所示两种情况

![丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609361022734337/img/compression/M_5b2bace0b92c22beefe001df3e880bcb.jpg)

![丁](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609361022734337/img/compression/M_2265f27a00258735864f63d63186f029.jpg)

设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为\alpha ，由几何知识可得
$L_1 = R_1 \sin \theta  + R_1 \sin \alpha$ 、
$L_2 = R_2 \sin \theta  + R_2 \sin \alpha $
(或
$L_1 = R_1 \sin \theta  - R_1 \sin \alpha $、
$L_2 = R_2 \sin \theta  - R_2 \sin \alpha )$。

又根据洛伦兹力提供向心力有=$qvB_1 = m\frac{v^2} {R_1}, qvB_2 = m\frac{v^2} {R_2}$

联立解得
$B_2L_2 = B_1L_1$

Final answer: $B_2L_2=B_1L_1$
Subfield: Electromagnetism


Question: $扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角\theta=30^\circ 。$

<img_620>
$若B_1\neq B_2,L_1\neq L_2，且保证粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B_1、B_2、L_1、L_2之间应满足的关系式。$

Solution:
由题意可得粒子运动轨迹大致如丙、丁图所示两种情况

<img_1259>

<img_1055>

设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为\alpha ，由几何知识可得
$L_1 = R_1 \sin \theta  + R_1 \sin \alpha$ 、
$L_2 = R_2 \sin \theta  + R_2 \sin \alpha $
(或
$L_1 = R_1 \sin \theta  - R_1 \sin \alpha $、
$L_2 = R_2 \sin \theta  - R_2 \sin \alpha )$。

又根据洛伦兹力提供向心力有=$qvB_1 = m\frac{v^2} {R_1}, qvB_2 = m\frac{v^2} {R_2}$

联立解得
$B_2L_2 = B_1L_1$

Final answer: $B_2L_2=B_1L_1$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两个定值电阻的阻值分别为R_1和R_2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为\sqrt{3}d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞,重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

<img_818>
$求直流电源的电动势E_{0}；$

Solution:
$小球在两极板间做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，mg=qE$

$设两板间的电压为U，由闭合电路欧姆定律可知$

$U=\frac{R_2}{R_1+R_2}E_0$

$又E=\frac{U}{d}$

$联立解得E_0=\frac{mgd(R_1+R_2)}{qR_2}$

Final answer: $\frac{mgd(R_1+R_2)}{qR_2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两个定值电阻的阻值分别为R_1和R_2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为\sqrt{3}d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞,重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487462492463107/img/compression/M_c67ec8bcc3a1ff37476ff1569da45883.jpg)
$求直流电源的电动势E_{0}；$

Solution:
$小球在两极板间做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，mg=qE$

$设两板间的电压为U，由闭合电路欧姆定律可知$

$U=\frac{R_2}{R_1+R_2}E_0$

$又E=\frac{U}{d}$

$联立解得E_0=\frac{mgd(R_1+R_2)}{qR_2}$

Final answer: $\frac{mgd(R_1+R_2)}{qR_2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两个定值电阻的阻值分别为R_1和R_2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为\sqrt{3}d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞,重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487462492463107/img/compression/M_c67ec8bcc3a1ff37476ff1569da45883.jpg)
求两极板间磁场的磁感应强度B;

Solution:
$小球做圆周运动的轨迹如图所示，设轨迹半径为r，由几何关系得：(r-d)^2+(\sqrt{3}d)^2=r^2$
$根据洛伦兹力提供向心力得：qvB=\frac{mv^2}{r}$
$联立解得B=\frac{mv}{2qd}$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487463088054274/img/compression/M_cff57203619c77f9bf6550ab7297b5de.jpg)

Final answer: $\frac{mv}{2qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两个定值电阻的阻值分别为R_1和R_2，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为\sqrt{3}d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞,重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

<img_818>
求两极板间磁场的磁感应强度B;

Solution:
$小球做圆周运动的轨迹如图所示，设轨迹半径为r，由几何关系得：(r-d)^2+(\sqrt{3}d)^2=r^2$
$根据洛伦兹力提供向心力得：qvB=\frac{mv^2}{r}$
$联立解得B=\frac{mv}{2qd}$

<img_686>

Final answer: $\frac{mv}{2qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609419487137795/img/compression/M_ee0b737d7a7be6984debaa88d7174c82.jpg)

图1　　　　　　　　　　图2
粒子加速到P点所需的时间t；

Solution:
$粒子在P点速度为v_P，则R=\frac{mv_P}{Bq}$

$根据动能定理有nqU=\frac{1}{2}mv_P^2$

$由t=(n-1)\frac{T}{2}, T=\frac{2\pi m}{qB}$

$解得t=(\frac{qB^2R^2}{2mU}-1)\frac{\pi m}{qB}$

Final answer: $(\frac{qB^2R^2}{2mU} - 1)\frac{\pi m}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

<img_1122>

图1　　　　　　　　　　图2
粒子加速到P点所需的时间t；

Solution:
$粒子在P点速度为v_P，则R=\frac{mv_P}{Bq}$

$根据动能定理有nqU=\frac{1}{2}mv_P^2$

$由t=(n-1)\frac{T}{2}, T=\frac{2\pi m}{qB}$

$解得t=(\frac{qB^2R^2}{2mU}-1)\frac{\pi m}{qB}$

Final answer: $(\frac{qB^2R^2}{2mU} - 1)\frac{\pi m}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609419487137795/img/compression/M_ee0b737d7a7be6984debaa88d7174c82.jpg)

图1　　　　　　　　　　图2
$极板N的最大厚度d_{m}；$

Solution:
$由粒子半径和动能表达式解得r=\frac{\sqrt{2mE_\mathrm{k}}}{qB}$
$加速到P前最后两个半周期的运动半径分别为$
$r_1=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{k}P}-qU)}}{qB}, r_2=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{k}P}-2qU)}}{qB}$
$d_m=2(r_1-r_2),而E_{kP}=\frac{(qBR)^2}{2m}$
$得d_m=2(\sqrt{R^2-\frac{2mU}{qB^2}} - \sqrt{R^2-\frac{4mU}{qB^2}})$

Final answer: $2(\sqrt{R^2-\frac{2mU}{qB^2}} - \sqrt{R^2-\frac{4mU}{qB^2}})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

<img_1122>

图1　　　　　　　　　　图2
$极板N的最大厚度d_{m}；$

Solution:
$由粒子半径和动能表达式解得r=\frac{\sqrt{2mE_\mathrm{k}}}{qB}$
$加速到P前最后两个半周期的运动半径分别为$
$r_1=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{k}P}-qU)}}{qB}, r_2=\frac{\sqrt{2m(E_{\mathrm{k}P}-2qU)}}{qB}$
$d_m=2(r_1-r_2),而E_{kP}=\frac{(qBR)^2}{2m}$
$得d_m=2(\sqrt{R^2-\frac{2mU}{qB^2}} - \sqrt{R^2-\frac{4mU}{qB^2}})$

Final answer: $2(\sqrt{R^2-\frac{2mU}{qB^2}} - \sqrt{R^2-\frac{4mU}{qB^2}})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

<img_1122>

图1　　　　　　　　　　图2
$磁场区域的最大半径R_m。$

Solution:
$设粒子在偏转器中的运动半径为r_Q，则qBv_P-qE=m\frac{v^2_P}{r_Q}，粒子在S处飞离偏转器。因M、N间的距离不计，取SO'=R，如图所示，\triangle OO'Q为等腰三角形，则有R_m=R+2(r_Q-R) \sin \frac{\alpha }{2}$

$解得R_m=R+\frac{2mER}{qB^2R-mE} \sin \frac{\alpha }{2}$

<img_452>

Final answer: $R + \frac{2mER}{qB^2R-mE} \sin \frac{\alpha}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场，经过多次加速后，粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为\alpha 。当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609419487137795/img/compression/M_ee0b737d7a7be6984debaa88d7174c82.jpg)

图1　　　　　　　　　　图2
$磁场区域的最大半径R_m。$

Solution:
$设粒子在偏转器中的运动半径为r_Q，则qBv_P-qE=m\frac{v^2_P}{r_Q}，粒子在S处飞离偏转器。因M、N间的距离不计，取SO'=R，如图所示，\triangle OO'Q为等腰三角形，则有R_m=R+2(r_Q-R) \sin \frac{\alpha }{2}$

$解得R_m=R+\frac{2mER}{qB^2R-mE} \sin \frac{\alpha }{2}$

![Alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609420166615042/img/compression/M_140796cc105c46eebcf2092bd4657f8b.jpg)

Final answer: $R + \frac{2mER}{qB^2R-mE} \sin \frac{\alpha}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在科学研究中，常用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示，真空中有一半径为r的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁场磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有两水平放置的正对的平行金属板M、N，板间距离也为r，板长为L，板间中心线O_2O_3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O_1，在O点处有一粒子源，能向磁场中各个方向(纸面内)源源不断地发射速率相同、质量为m、比荷为k且带正电的粒子，单位时间内发射的粒子数为n，沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线O_2O_3的方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用。$

<img_549>
$求粒子入射的速度v_0的大小。$

Solution:
由题意可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R=r

$根据牛顿第二定律得qv_0B= \frac{mv^2_0}{R}，解得v_0=kBr$

Final answer: $kBr$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在科学研究中，常用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示，真空中有一半径为r的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁场磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有两水平放置的正对的平行金属板M、N，板间距离也为r，板长为L，板间中心线O_2O_3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O_1，在O点处有一粒子源，能向磁场中各个方向(纸面内)源源不断地发射速率相同、质量为m、比荷为k且带正电的粒子，单位时间内发射的粒子数为n，沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线O_2O_3的方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609455131840515/img/compression/M_c18ea1e40fa5e2ab9b9fcf9dafb78db6.jpg)
$求粒子入射的速度v_0的大小。$

Solution:
由题意可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R=r

$根据牛顿第二定律得qv_0B= \frac{mv^2_0}{R}，解得v_0=kBr$

Final answer: $kBr$
Subfield: Electromagnetism


Question: $真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd 处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609634457800706/img/compression/M_76d5c8fa0a574ff14f0a31aae513c3b7.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609634457800706/img/compression/M_5c13408ba1f51c55c2f2f57d8167fa79.jpg)
$求刚接通电源时列车加速度a的大小。$

Solution:
$由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R_{总}，由电路的串并联知识得R_{总}=\frac{R}{2}$

$设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有I=\frac{E}{R_{总}}$

$根据串并联规律得，通过金属棒ab、cd的电流均为I_{并}=\frac{I}{2}$

$设两根金属棒所受安培力之和为F，有F=2B I_{并} l，根据牛顿第二定律有F=ma$

$联立解得a=\frac{2BEl}{mR}。$

Final answer: $\frac{2BEl}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd 处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。$

<img_716>

<img_490>
$求刚接通电源时列车加速度a的大小。$

Solution:
$由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R_{总}，由电路的串并联知识得R_{总}=\frac{R}{2}$

$设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有I=\frac{E}{R_{总}}$

$根据串并联规律得，通过金属棒ab、cd的电流均为I_{并}=\frac{I}{2}$

$设两根金属棒所受安培力之和为F，有F=2B I_{并} l，根据牛顿第二定律有F=ma$

$联立解得a=\frac{2BEl}{mR}。$

Final answer: $\frac{2BEl}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两个有水平边界的匀强磁场的磁感应强度大小均为 B，方向相反且均沿水平方向，两磁场高度均为 L。一个框面与磁场方向垂直、质量为 m、电阻为 R、边长为 L 的正方形金属框 abcd 从某一高度处由静止释放，当 ab 边刚进入第一个磁场时，金属框恰好做匀速直线运动；当 ab 边下落到 GH 和 JK 之间的某位置时，又恰好开始做匀速直线运动。整个过程空气阻力不计，重力加速度为 g。求：$

<img_1005>
金属框的ab边通过第二个磁场的时间t；

Solution:
$设ab边到达GH和JK之间的某位置时，金属框匀速运动的速度为v_2，ab边受到的安培力为F_2，cd边受到的安培力为F_3，有$

$F_2=F_3$

$即mg=2F_2=2BI_2L$

$其中I_2=\frac{E_2}{R}，E_2=2BLv_2$

$联立解得v_2=\frac{1}{4}v_1=\frac{mgR}{4B^2L^2}$

$金属框的ab边从第一个磁场下边界GH至第二个磁场下边界JK的过程，由动量定理得mg t-2B\overline{I}Lt=mv_2-mv_1$

$而\overline{I} t=q=\frac{\Delta \Phi}{R}=\frac{2BL^2}{R}$

$解得t=\frac{4B^2L^3}{mgR}-\frac{3mR}{4B^2L^2}$

Final answer: $\frac{4B^2L^3}{mgR}-\frac{3mR}{4B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两个有水平边界的匀强磁场的磁感应强度大小均为 B，方向相反且均沿水平方向，两磁场高度均为 L。一个框面与磁场方向垂直、质量为 m、电阻为 R、边长为 L 的正方形金属框 abcd 从某一高度处由静止释放，当 ab 边刚进入第一个磁场时，金属框恰好做匀速直线运动；当 ab 边下落到 GH 和 JK 之间的某位置时，又恰好开始做匀速直线运动。整个过程空气阻力不计，重力加速度为 g。求：$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609603034329091/img/compression/M_62568c9c4d890c8d813ea316b46e2606.jpg)
金属框的ab边通过第二个磁场的时间t；

Solution:
$设ab边到达GH和JK之间的某位置时，金属框匀速运动的速度为v_2，ab边受到的安培力为F_2，cd边受到的安培力为F_3，有$

$F_2=F_3$

$即mg=2F_2=2BI_2L$

$其中I_2=\frac{E_2}{R}，E_2=2BLv_2$

$联立解得v_2=\frac{1}{4}v_1=\frac{mgR}{4B^2L^2}$

$金属框的ab边从第一个磁场下边界GH至第二个磁场下边界JK的过程，由动量定理得mg t-2B\overline{I}Lt=mv_2-mv_1$

$而\overline{I} t=q=\frac{\Delta \Phi}{R}=\frac{2BL^2}{R}$

$解得t=\frac{4B^2L^3}{mgR}-\frac{3mR}{4B^2L^2}$

Final answer: $\frac{4B^2L^3}{mgR}-\frac{3mR}{4B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两个有水平边界的匀强磁场的磁感应强度大小均为 B，方向相反且均沿水平方向，两磁场高度均为 L。一个框面与磁场方向垂直、质量为 m、电阻为 R、边长为 L 的正方形金属框 abcd 从某一高度处由静止释放，当 ab 边刚进入第一个磁场时，金属框恰好做匀速直线运动；当 ab 边下落到 GH 和 JK 之间的某位置时，又恰好开始做匀速直线运动。整个过程空气阻力不计，重力加速度为 g。求：$

<img_1005>
金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK过程中，金属棒产生的热量Q。

Solution:
金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK的过程，由能量守恒定律得

$\frac{1}{2}mv_1^2 + 2mgL = Q + \frac{1}{2}mv_2^2$

联立解得$Q = \frac{15m^3g^2R^2}{32B^4L^4} + 2mgL$。

Final answer: $\frac{15m^3g^2R^2}{32B^4L^4}+2mgL$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两个有水平边界的匀强磁场的磁感应强度大小均为 B，方向相反且均沿水平方向，两磁场高度均为 L。一个框面与磁场方向垂直、质量为 m、电阻为 R、边长为 L 的正方形金属框 abcd 从某一高度处由静止释放，当 ab 边刚进入第一个磁场时，金属框恰好做匀速直线运动；当 ab 边下落到 GH 和 JK 之间的某位置时，又恰好开始做匀速直线运动。整个过程空气阻力不计，重力加速度为 g。求：$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609603034329091/img/compression/M_62568c9c4d890c8d813ea316b46e2606.jpg)
金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK过程中，金属棒产生的热量Q。

Solution:
金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK的过程，由能量守恒定律得

$\frac{1}{2}mv_1^2 + 2mgL = Q + \frac{1}{2}mv_2^2$

联立解得$Q = \frac{15m^3g^2R^2}{32B^4L^4} + 2mgL$。

Final answer: $\frac{15m^3g^2R^2}{32B^4L^4}+2mgL$
Subfield: Electromagnetism


Question: $贯彻新发展理念，我国风力发电发展迅猛，2020年我国风力发电量高达4 000亿千瓦时。某种风力发电机的原理如图所示，发电机的线圈固定,磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴转动。已知磁体间的磁场为匀强磁场,磁感应强度的大小为0.20 T,线圈的匝数为100、面积为0.50 m^2、电阻为0.60 \Omega 。若磁体转动的角速度为90 rad/s,线圈中产生的感应电流为50 A,求:$

![22GZTWLS103.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487591860068355/img/compression/M_e4331100c701d74a995e57c215535c35.jpg)
线圈中感应电动势的有效值E;

Solution:
根据题意可知线圈相对磁场的转动角速度
$\omega=90 rad/s$

感应电动势的最大值
$E_m=NBS\omega=100\times 0.20\times 0.50\times 90 V=900 V$
$则有效值E=\frac{E_m}{\sqrt{2}}=450\sqrt{2} V$

Final answer: $450\sqrt{2}$ V
Subfield: Electromagnetism


Question: $贯彻新发展理念，我国风力发电发展迅猛，2020年我国风力发电量高达4 000亿千瓦时。某种风力发电机的原理如图所示，发电机的线圈固定,磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴转动。已知磁体间的磁场为匀强磁场,磁感应强度的大小为0.20 T,线圈的匝数为100、面积为0.50 m^2、电阻为0.60 \Omega 。若磁体转动的角速度为90 rad/s,线圈中产生的感应电流为50 A,求:$

<img_1393>
线圈中感应电动势的有效值E;

Solution:
根据题意可知线圈相对磁场的转动角速度
$\omega=90 rad/s$

感应电动势的最大值
$E_m=NBS\omega=100\times 0.20\times 0.50\times 90 V=900 V$
$则有效值E=\frac{E_m}{\sqrt{2}}=450\sqrt{2} V$

Final answer: $450\sqrt{2}$ V
Subfield: Thermodynamics


Question: $某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁薄，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V,质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等，鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等,鱼的质量不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为\rho ，重力加速度为g，大气压强为p_0，求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610171971948545/img/compression/M_5bc400cef943be15ac2f9521c04877a2.jpg)
$鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度,需从A室充入B室的气体质量\Delta m;$

Solution:
$鱼静止在水面下H处时，重力与浮力平衡，此时B室气体压强不变，仍等于外界压强，气体密度不变，B室体积增加部分所对应浮力增加值即为鱼所受的合外力，故有\rho g\Delta V=Ma$

$由压强的微观含义知压强不变，B室内气体密度不变，则充入B室的气体质量\Delta m=\frac{m}{V}\Delta V=\frac{Mma}{\rho gV}$

Final answer: $\frac{Mma}{\rho gV}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁薄，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V,质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等，鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等,鱼的质量不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为\rho ，重力加速度为g，大气压强为p_0，求:$

<img_1444>
$鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度,需从A室充入B室的气体质量\Delta m;$

Solution:
$鱼静止在水面下H处时，重力与浮力平衡，此时B室气体压强不变，仍等于外界压强，气体密度不变，B室体积增加部分所对应浮力增加值即为鱼所受的合外力，故有\rho g\Delta V=Ma$

$由压强的微观含义知压强不变，B室内气体密度不变，则充入B室的气体质量\Delta m=\frac{m}{V}\Delta V=\frac{Mma}{\rho gV}$

Final answer: $\frac{Mma}{\rho gV}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁薄，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V,质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等，鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等,鱼的质量不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为\rho ，重力加速度为g，大气压强为p_0，求:$

<img_1444>
$鱼静止于水面下H_1处时，B室内气体质量m_1。$

Solution:
当鱼静止于水面下H处时，B室内气体压强$p=p_0+\rho gH$
当鱼静止于水面下H_1处时，B室内气体压强$p_1=p_0+\rho gH_1$
$静止时B室体积不变，仍为V，气体温度不变，压强改变，为变质量问题。设从静止于H处变为静止于H_1处时需要往B室充入p压强下\Delta V'体积的气体，由玻意耳定律，有p(V+\Delta V')=p_1V$
$则\Delta V'=\frac{p_1-p}{p} V，压强相同则密度相同，故有\frac{m_1-m}{m}=\frac{\Delta V'}{V}$
$可得\frac{m_1}{m}=\frac{p_1}{p}$
$解得：m_1=\frac{p_0+\rho gH_1}{p_0+\rho gH}m$

Final answer: $\frac{p_0+\rho gH_1}{p_0+\rho gH} m$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁薄，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V,质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等，鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等,鱼的质量不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为\rho ，重力加速度为g，大气压强为p_0，求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610171971948545/img/compression/M_5bc400cef943be15ac2f9521c04877a2.jpg)
$鱼静止于水面下H_1处时，B室内气体质量m_1。$

Solution:
当鱼静止于水面下H处时，B室内气体压强$p=p_0+\rho gH$
当鱼静止于水面下H_1处时，B室内气体压强$p_1=p_0+\rho gH_1$
$静止时B室体积不变，仍为V，气体温度不变，压强改变，为变质量问题。设从静止于H处变为静止于H_1处时需要往B室充入p压强下\Delta V'体积的气体，由玻意耳定律，有p(V+\Delta V')=p_1V$
$则\Delta V'=\frac{p_1-p}{p} V，压强相同则密度相同，故有\frac{m_1-m}{m}=\frac{\Delta V'}{V}$
$可得\frac{m_1}{m}=\frac{p_1}{p}$
$解得：m_1=\frac{p_0+\rho gH_1}{p_0+\rho gH}m$

Final answer: $\frac{p_0+\rho gH_1}{p_0+\rho gH} m$