di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272144997609475/img/compression/M_4510f2940f93d8e42cda73b8559c6729.jpg)
求正三角形面积最小时的边长。

Solution:
$当正三角形磁场区域面积最小时，圆弧轨迹应与三角形两边相切，如图所示。边长L=r\cdot \tan 30^\circ +\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{6} l。$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6} l$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

<img_1152>
求正三角形面积最小时的边长。

Solution:
$当正三角形磁场区域面积最小时，圆弧轨迹应与三角形两边相切，如图所示。边长L=r\cdot \tan 30^\circ +\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{6} l。$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6} l$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

<img_1013>
$若带电离子的质量为m，电荷量为q，求该离子在磁场Ⅰ区域运动轨迹的半径;$

Solution:
$离子在加速电场中仅受电场力，由动能定理有Uq=\frac{1}{2}mv^{2} ①$

$进入磁场后离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^{2}}{r} ②$

$解得r=\sqrt{\frac{2Um}{B^{2}q}} ③$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Um}{B^2q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272146264289282/img/compression/M_0c45ad3fd908aa5d02e85856157f8bb2.jpg)
$若带电离子的质量为m，电荷量为q，求该离子在磁场Ⅰ区域运动轨迹的半径;$

Solution:
$离子在加速电场中仅受电场力，由动能定理有Uq=\frac{1}{2}mv^{2} ①$

$进入磁场后离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^{2}}{r} ②$

$解得r=\sqrt{\frac{2Um}{B^{2}q}} ③$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Um}{B^2q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272146264289282/img/compression/M_0c45ad3fd908aa5d02e85856157f8bb2.jpg)
$若测得某一离子在漂移管中运动的时间为t，求该离子的比荷;$

Solution:
由于漂移管中没有电磁场，所以离子在漂移管中做匀速直线运动，有$L=v't$
洛伦兹力不做功，因此该速度等于从加速电场射出时的速度，代入①式得
$\frac{q}{m}=\frac{L^2}{2Ut^2}$
④

Final answer: $\frac{L^2}{2Ut^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

<img_1013>
$若测得某一离子在漂移管中运动的时间为t，求该离子的比荷;$

Solution:
由于漂移管中没有电磁场，所以离子在漂移管中做匀速直线运动，有$L=v't$
洛伦兹力不做功，因此该速度等于从加速电场射出时的速度，代入①式得
$\frac{q}{m}=\frac{L^2}{2Ut^2}$
④

Final answer: $\frac{L^2}{2Ut^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

<img_1013>
求该装置能检测离子的比荷的最大值。

Solution:
由③式可知，离子比荷越大，在磁场中运动的轨迹半径越小，则离子离开磁场时沿竖直方向偏移量越大，当离子沿漂移管上端离开磁场时，对应轨迹半径的最小值，且由于两磁场区域磁感应强度等大反向且宽度相等，离子运动轨迹在两磁场关于中心对称，如图所示。

<img_877>

$设轨迹半径最小值为r_m，由几何关系可知$

$d^2+(r_m-\frac{d}{4})^2=r_m^2$

$解得r_m=\frac{17}{8}d ⑤$

$代入③式，解得k_m=\frac{q}{m}=\frac{128U}{289d^2B^2}。⑥$

Final answer: $\frac{128U}{289d^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电离子,带电离子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域宽度均为d。离子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场漂移管，检测器能测出离子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为U，漂移管长度为L、直径为d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电离子重力和离子间的相互作用。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272146264289282/img/compression/M_0c45ad3fd908aa5d02e85856157f8bb2.jpg)
求该装置能检测离子的比荷的最大值。

Solution:
由③式可知，离子比荷越大，在磁场中运动的轨迹半径越小，则离子离开磁场时沿竖直方向偏移量越大，当离子沿漂移管上端离开磁场时，对应轨迹半径的最小值，且由于两磁场区域磁感应强度等大反向且宽度相等，离子运动轨迹在两磁场关于中心对称，如图所示。

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272146578862082/img/compression/M_cb4874aab00a10d24b2dc350cce686f4.jpg)

$设轨迹半径最小值为r_m，由几何关系可知$

$d^2+(r_m-\frac{d}{4})^2=r_m^2$

$解得r_m=\frac{17}{8}d ⑤$

$代入③式，解得k_m=\frac{q}{m}=\frac{128U}{289d^2B^2}。⑥$

Final answer: $\frac{128U}{289d^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场可以进行同位素的相关研究。已知发射源持续不断地发射大量的氢的同位素^1_1H(氕核)、^2_1H(氘核)、^3_1H(氚核)进入加速电场MN(电压U_1已知),经静电分析器(由内、外两块四分之一圆弧形金属极板组成),再垂直于AB界面进入有界匀强磁场ABCD,最后打在荧光屏上,通过荧光屏上的亮点位置就可以进行相关分析。若所有粒子从发射源射出时初速度为零,已知^1_1H(氕核)的质量为m,电荷量为e,图中静电分析器中央轨迹PQ是圆心在O点、半径为L的四分之一圆弧,磁场的宽度h=\sqrt{2}L,粒子所受重力忽略不计,且忽略所有场的边缘效应。$

<img_1434>
$若^1_1H(氕核)经电磁装置打在荧光屏上的S点(OS\perp CD),求匀强磁场磁感应强度B的大小;$

Solution:
$^1_1H进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设其轨迹半径为r_1，有Bve=\frac{mv^2}{r_1};^1_1H在Q垂直AB进入磁场，轨迹圆心在AB上，连接QS，作QS的中垂线并交AB于O_1点，O_1点为轨迹圆心；OQ=L，如图所示，由几何关系有(r_1-L)^2+h^2=r^2_1，解得B=\frac{2}{3L} \sqrt{\frac{2mU_1}{e}}。$

<img_1049>

Final answer: $\frac{2}{3L}\sqrt{\frac{2mU_1}{e}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场可以进行同位素的相关研究。已知发射源持续不断地发射大量的氢的同位素^1_1H(氕核)、^2_1H(氘核)、^3_1H(氚核)进入加速电场MN(电压U_1已知),经静电分析器(由内、外两块四分之一圆弧形金属极板组成),再垂直于AB界面进入有界匀强磁场ABCD,最后打在荧光屏上,通过荧光屏上的亮点位置就可以进行相关分析。若所有粒子从发射源射出时初速度为零,已知^1_1H(氕核)的质量为m,电荷量为e,图中静电分析器中央轨迹PQ是圆心在O点、半径为L的四分之一圆弧,磁场的宽度h=\sqrt{2}L,粒子所受重力忽略不计,且忽略所有场的边缘效应。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272149196107778/img/compression/M_aff9de51d94b1423f8f3ac21c115dfaf.jpg)
$若^1_1H(氕核)经电磁装置打在荧光屏上的S点(OS\perp CD),求匀强磁场磁感应强度B的大小;$

Solution:
$^1_1H进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设其轨迹半径为r_1，有Bve=\frac{mv^2}{r_1};^1_1H在Q垂直AB进入磁场，轨迹圆心在AB上，连接QS，作QS的中垂线并交AB于O_1点，O_1点为轨迹圆心；OQ=L，如图所示，由几何关系有(r_1-L)^2+h^2=r^2_1，解得B=\frac{2}{3L} \sqrt{\frac{2mU_1}{e}}。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272149695229954/img/compression/M_37676958c6469925b7028072f4678a13.jpg)

Final answer: $\frac{2}{3L}\sqrt{\frac{2mU_1}{e}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在芯片制造过程中,离子注入是其中一道重要的工序。如图甲所示是离子注入工作原理示意图,一质量为m、电荷量为q的正离子经电场由静止加速后沿水平虚线射入和射出速度选择器,然后通过磁场区域、电场区域偏转后注入处在水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器和磁场区域中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B,方向均垂直纸面向外;速度选择器和电场区域中的匀强电场场强大小均为E,方向分别为竖直向上和水平方向(沿x轴)。电场区域是一边长为L的正方形,其底边与晶圆所在水平面平行,间距也为L。当电场区域不加电场时,离子恰好通过电场区域上边界中点竖直注入晶圆上x轴的O点。整个系统置于真空中,不计离子重力。

$L<\frac{mE}{qB^2}$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272152157286402/img/compression/M_a8c261cb643547eca0d64e565c33f187.jpg)
甲
![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272152157286402/img/compression/M_5411d500c6924186453e35c4362e050a.jpg)
乙

$若电场区域加如图乙所示的电场 (\text{电场变化的周期为}\frac{2LB}{E},\text{沿}x\text{轴向右为正}),求离子从电场区域飞出后,注入晶圆所在水平面 x 轴上的总长度。$

Solution:
$当离子射入电场区域时速度方向竖直向下，又由于电场方向水平，因此离子在竖直方向所受合力为零，在竖直方向做匀速直线运动，可知无论何时进入电场的离子，穿过电场所需的时间均满足t=\frac{L}{v}=\frac{LB}{E}=\frac{T}{2}。因此，当离子进入电场时刻t满足t=n\cdot \frac{T}{2}(n=0，1，2，\ldots )时，离子在离开电场时，水平方向偏转的距离最大，且在穿过电场的过程中做类平抛运动；其余时刻进入的离子由于在穿过电场的过程中电场方向会发生变化，使其离开电场时水平方向偏转距离减小。$

$当离子从t=n\cdot \frac{T}{2}(n=0，1，2，\ldots )时刻进入电场时，由类平抛运动规律有Eq=ma，L=vt，x_1=\frac{1}{2} at^2，v_x=at$

$解得|x_1|=\frac{qL^2B^2}{2mE}，|v_x|=\frac{BqL}{m}；由于L＜\frac{mE}{qB^2}，可知|x_1|=\frac{L}{2}\cdot L\cdot \frac{qB^2}{mE}＜\frac{L}{2}，离子到达电场下边界时还未到达电场的竖直边界最左侧或最右侧。$

$离子离开电场后做匀速运动，在水平和竖直方向分别有|x_2|=|v_x|\cdot t，L=v\cdot t，代入各项表达式可得离子在O点左侧或右侧可到达的最大距离均为|x|=|x_1|+|x_2|=\frac{3qL^2B^2}{2mE}，可知总长度X=2|x|=\frac{3qL^2B^2}{mE}。$

Final answer: $\frac{3qL^2B^2}{mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 在芯片制造过程中,离子注入是其中一道重要的工序。如图甲所示是离子注入工作原理示意图,一质量为m、电荷量为q的正离子经电场由静止加速后沿水平虚线射入和射出速度选择器,然后通过磁场区域、电场区域偏转后注入处在水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器和磁场区域中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B,方向均垂直纸面向外;速度选择器和电场区域中的匀强电场场强大小均为E,方向分别为竖直向上和水平方向(沿x轴)。电场区域是一边长为L的正方形,其底边与晶圆所在水平面平行,间距也为L。当电场区域不加电场时,离子恰好通过电场区域上边界中点竖直注入晶圆上x轴的O点。整个系统置于真空中,不计离子重力。

$L<\frac{mE}{qB^2}$

<img_1192>
甲
<img_1134>
乙

$若电场区域加如图乙所示的电场 (\text{电场变化的周期为}\frac{2LB}{E},\text{沿}x\text{轴向右为正}),求离子从电场区域飞出后,注入晶圆所在水平面 x 轴上的总长度。$

Solution:
$当离子射入电场区域时速度方向竖直向下，又由于电场方向水平，因此离子在竖直方向所受合力为零，在竖直方向做匀速直线运动，可知无论何时进入电场的离子，穿过电场所需的时间均满足t=\frac{L}{v}=\frac{LB}{E}=\frac{T}{2}。因此，当离子进入电场时刻t满足t=n\cdot \frac{T}{2}(n=0，1，2，\ldots )时，离子在离开电场时，水平方向偏转的距离最大，且在穿过电场的过程中做类平抛运动；其余时刻进入的离子由于在穿过电场的过程中电场方向会发生变化，使其离开电场时水平方向偏转距离减小。$

$当离子从t=n\cdot \frac{T}{2}(n=0，1，2，\ldots )时刻进入电场时，由类平抛运动规律有Eq=ma，L=vt，x_1=\frac{1}{2} at^2，v_x=at$

$解得|x_1|=\frac{qL^2B^2}{2mE}，|v_x|=\frac{BqL}{m}；由于L＜\frac{mE}{qB^2}，可知|x_1|=\frac{L}{2}\cdot L\cdot \frac{qB^2}{mE}＜\frac{L}{2}，离子到达电场下边界时还未到达电场的竖直边界最左侧或最右侧。$

$离子离开电场后做匀速运动，在水平和竖直方向分别有|x_2|=|v_x|\cdot t，L=v\cdot t，代入各项表达式可得离子在O点左侧或右侧可到达的最大距离均为|x|=|x_1|+|x_2|=\frac{3qL^2B^2}{2mE}，可知总长度X=2|x|=\frac{3qL^2B^2}{mE}。$

Final answer: $\frac{3qL^2B^2}{mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备,可用图1所示的模型讨论其原理,图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中,平板与容器等宽,两板间距为l,容器中装有导电液体,平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙,导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源,电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升,可在两板间加垂直于Oxy面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为\rho_0、电阻率为\rho,重力加速度为g。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272169840472066/img/compression/M_6e36711274ad95c2a29202a62ed5d70c.jpg)
图1

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272169840472066/img/compression/M_0afeea2610ed49839cc3d205b033f582.jpg)
图2
$求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压U_{0};$

Solution:
$设液面初始高度为h_0，受安培力作用后上升的高度为h，极板沿z轴方向长度为d，上升的液体质量为m，板间电流为I。$

$由于液体受安培力而上升，因此当液面稳定时，安培力应与升高液体的重力平衡，由平衡条件有mg-BIl=0$

$其中I=\frac{U}{R}$

$R=\rho\frac{l}{(h_0+h)d}$

$m=\rho_0V=\rho_0hdl$

$整理可得当液体稳定于初始液面上方h高处时，满足$

$h=\frac{BU}{\rho _0\rho gl-BU}h_0$

$由此可知，当h=h_0时U_0=\frac{\rho _0\rho gl}{2B}。$

Final answer: $\frac{\rho _0\rho gl}{2B}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备,可用图1所示的模型讨论其原理,图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中,平板与容器等宽,两板间距为l,容器中装有导电液体,平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙,导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源,电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升,可在两板间加垂直于Oxy面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为\rho_0、电阻率为\rho,重力加速度为g。$

<img_1365>
图1

<img_1161>
图2
$求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压U_{0};$

Solution:
$设液面初始高度为h_0，受安培力作用后上升的高度为h，极板沿z轴方向长度为d，上升的液体质量为m，板间电流为I。$

$由于液体受安培力而上升，因此当液面稳定时，安培力应与升高液体的重力平衡，由平衡条件有mg-BIl=0$

$其中I=\frac{U}{R}$

$R=\rho\frac{l}{(h_0+h)d}$

$m=\rho_0V=\rho_0hdl$

$整理可得当液体稳定于初始液面上方h高处时，满足$

$h=\frac{BU}{\rho _0\rho gl-BU}h_0$

$由此可知，当h=h_0时U_0=\frac{\rho _0\rho gl}{2B}。$

Final answer: $\frac{\rho _0\rho gl}{2B}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170528337924/img/compression/M_1b64017fef660eabec7f94f4661b8772.jpg)
MN刚开始运动时加速度a的大小；

Solution:
$电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有I=\frac{E}{R} $

$设MN受到的安培力为F，有F=IlB $

$由牛顿第二定律，有F=ma $

$联立上述式子得a=\frac{BlE}{mR}$

Final answer: $\frac{BlE}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：$

<img_899>
MN刚开始运动时加速度a的大小；

Solution:
$电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有I=\frac{E}{R} $

$设MN受到的安培力为F，有F=IlB $

$由牛顿第二定律，有F=ma $

$联立上述式子得a=\frac{BlE}{mR}$

Final answer: $\frac{BlE}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170528337924/img/compression/M_1b64017fef660eabec7f94f4661b8772.jpg)
MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

Solution:
$当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q_0，有Q_0 = CE ⑤$

$开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值v_{max}时，设MN上的感应电动势为E'，有 E'=Blv_{max} ⑥$

$依题意有E' = \frac{Q}{C} ⑦$

$设在此过程中MN的平均电流为\overline{I}，MN上受到的平均安培力为\overline{F}，有\overline{F} = \overline{I}lB ⑧$

$由动量定理，有\overline{F}\Delta t = mv_{max} - 0 ⑨$

$又\overline{I}\Delta t = Q_0 - Q ⑩$

$联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q = \frac{B^2l^2C^2E}{m + B^2l^2C} ⑪$

Final answer: $\frac{B^2l^2C^2E}{m+B^2l^2C}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：$

<img_899>
MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

Solution:
$当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q_0，有Q_0 = CE ⑤$

$开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值v_{max}时，设MN上的感应电动势为E'，有 E'=Blv_{max} ⑥$

$依题意有E' = \frac{Q}{C} ⑦$

$设在此过程中MN的平均电流为\overline{I}，MN上受到的平均安培力为\overline{F}，有\overline{F} = \overline{I}lB ⑧$

$由动量定理，有\overline{F}\Delta t = mv_{max} - 0 ⑨$

$又\overline{I}\Delta t = Q_0 - Q ⑩$

$联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q = \frac{B^2l^2C^2E}{m + B^2l^2C} ⑪$

Final answer: $\frac{B^2l^2C^2E}{m+B^2l^2C}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为$\theta$ 。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为$\rho $。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

<img_517>
$求铝条中与磁铁正对部分的电流I；$

Solution:
$磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等均为F_{安}，有F_{安}=IdB。①$
$磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有F=2F_{安}。②$
$磁铁匀速运动时受力平衡，则有F-mg\sin \theta=0 ③$
$联立①②③式可得I=\frac{mg\sin\theta}{2Bd} ④$

Final answer: $\frac{mg \sin  \theta }{2Bd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为$\theta$ 。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为$\rho $。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170897436675/img/compression/M_f1727b5479d298b27f3d3ab3823b2186.jpg)
$求铝条中与磁铁正对部分的电流I；$

Solution:
$磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等均为F_{安}，有F_{安}=IdB。①$
$磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有F=2F_{安}。②$
$磁铁匀速运动时受力平衡，则有F-mg\sin \theta=0 ③$
$联立①②③式可得I=\frac{mg\sin\theta}{2Bd} ④$

Final answer: $\frac{mg \sin  \theta }{2Bd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为$\theta$ 。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为$\rho $。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170897436675/img/compression/M_f1727b5479d298b27f3d3ab3823b2186.jpg)
若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；

Solution:
磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为 E，有 $E=Bdv$

⑤

铝条与磁铁正对部分的电阻为 R，由电阻定律有

$R=\rho (\frac{d}{db})$

⑥

由欧姆定律有 $I=(\frac{E}{R})$

⑦

联立④⑤⑥⑦式可得 $v=(\frac{\rho mg \sin  \theta }{2B^2d^2b})$

⑧

Final answer: $v=(\frac{\rho mg \sin  \theta }{2B^2d^2b})$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为$\theta$ 。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为$\rho $。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

<img_517>
若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；

Solution:
磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为 E，有 $E=Bdv$

⑤

铝条与磁铁正对部分的电阻为 R，由电阻定律有

$R=\rho (\frac{d}{db})$

⑥

由欧姆定律有 $I=(\frac{E}{R})$

⑦

联立④⑤⑥⑦式可得 $v=(\frac{\rho mg \sin  \theta }{2B^2d^2b})$

⑧

Final answer: $v=(\frac{\rho mg \sin  \theta }{2B^2d^2b})$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动。在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g。求

<img_704>
磁场上下边界间的距离H。

Solution:
线框自释放到cd边进入磁场前，由机械能守恒定律，有
$2mgl=1/2mv^2_1 $⑧

线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律，有
$mg(2l+H)=1/2mv^2_2-1/2mv^2_1+Q $⑨

由⑦⑧⑨式得
$H=Q/mg+28l $⑩

Final answer: $\frac{Q}{mg}+28l$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动。在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g。求

![16GZTWL172.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272163473518594/img/compression/M_e77da9bc26a21cf2c89f230e0aed81d3.jpg)
磁场上下边界间的距离H。

Solution:
线框自释放到cd边进入磁场前，由机械能守恒定律，有
$2mgl=1/2mv^2_1 $⑧

线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律，有
$mg(2l+H)=1/2mv^2_2-1/2mv^2_1+Q $⑨

由⑦⑧⑨式得
$H=Q/mg+28l $⑩

Final answer: $\frac{Q}{mg}+28l$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间的距离为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为\theta，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上绝缘涂层后做匀速直线运动，滑到导轨底端之前再一次做匀速直线运动。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的定值电阻和导体棒电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：$

<img_959>
导体棒与涂层间的动摩擦因数$\mu$ ；

Solution:
$导体棒滑到绝缘涂层时，所受合力为零，有 mg \sin \theta =\mu mg \cos \theta ，解得 \mu =\tan \theta 。$

Final answer: $\tan \theta $
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间的距离为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为\theta，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上绝缘涂层后做匀速直线运动，滑到导轨底端之前再一次做匀速直线运动。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的定值电阻和导体棒电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：$

![24BTJ5WL507.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272175687331842/img/compression/M_a44dc4d25a3473f58f59d7f55cb1ef0a.jpg)
导体棒与涂层间的动摩擦因数$\mu$ ；

Solution:
$导体棒滑到绝缘涂层时，所受合力为零，有 mg \sin \theta =\mu mg \cos \theta ，解得 \mu =\tan \theta 。$

Final answer: $\tan \theta $
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间的距离为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为\theta，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上绝缘涂层后做匀速直线运动，滑到导轨底端之前再一次做匀速直线运动。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的定值电阻和导体棒电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：$

<img_959>
$导体棒从导轨的顶端滑到导轨底端的整个过程中，定值电阻上产生的焦耳热Q。$

Solution:
下滑的整个过程中，导体棒受到重力、摩擦力、安培力和支持力，由动能定理有
$$
\frac{1}{2}mv^2=mg\cdot 3d \sin \theta -\mu mgd \cos \theta +W_{F}
$$
$2Q=-W_{F}$

解得$Q=mgd \sin \theta -\frac{m^3g^2R^2 \sin ^2 \theta }{B^4L^4}$。

Final answer: $mgd \sin \theta -\frac{m^3g^2R^2 \sin ^2 \theta }{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间的距离为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为\theta，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上绝缘涂层后做匀速直线运动，滑到导轨底端之前再一次做匀速直线运动。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的定值电阻和导体棒电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：$

![24BTJ5WL507.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272175687331842/img/compression/M_a44dc4d25a3473f58f59d7f55cb1ef0a.jpg)
$导体棒从导轨的顶端滑到导轨底端的整个过程中，定值电阻上产生的焦耳热Q。$

Solution:
下滑的整个过程中，导体棒受到重力、摩擦力、安培力和支持力，由动能定理有
$$
\frac{1}{2}mv^2=mg\cdot 3d \sin \theta -\mu mgd \cos \theta +W_{F}
$$
$2Q=-W_{F}$

解得$Q=mgd \sin \theta -\frac{m^3g^2R^2 \sin ^2 \theta }{B^4L^4}$。

Final answer: $mgd \sin \theta -\frac{m^3g^2R^2 \sin ^2 \theta }{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

<img_1328>
求缓冲车厢减速过程中最大加速度的大小。

Solution:
缓冲滑块与障碍物碰撞后停止运动，此时缓冲车厢与磁场继续向右运动，由楞次定律知线圈中会产生沿abcda方向的感应电流。由左手定则可判断此电流受到来自磁场向右的安培力，由牛顿第三定律知磁场和缓冲车厢也受到等大反向的安培力。

由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有

$F_A=nBIL$

$I=\frac{E}{R}$

$E=nBLv$

由牛顿第二定律有

$F=F_A=ma$

$得a=\frac{n^2B^2L^2}{mR}v，可知当v最大时a也最大，因此当v=v_0时，a_m=\frac{n^2B^2L^2v_0}{mR}。$

Final answer: $\frac{n^2B^2L^2v_0}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

![电磁缓冲车](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272176152899587/img/compression/M_b7b9bb86b4962701ddc2ece6d5c8334c.jpg)
求缓冲车厢减速过程中最大加速度的大小。

Solution:
缓冲滑块与障碍物碰撞后停止运动，此时缓冲车厢与磁场继续向右运动，由楞次定律知线圈中会产生沿abcda方向的感应电流。由左手定则可判断此电流受到来自磁场向右的安培力，由牛顿第三定律知磁场和缓冲车厢也受到等大反向的安培力。

由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有

$F_A=nBIL$

$I=\frac{E}{R}$

$E=nBLv$

由牛顿第二定律有

$F=F_A=ma$

$得a=\frac{n^2B^2L^2}{mR}v，可知当v最大时a也最大，因此当v=v_0时，a_m=\frac{n^2B^2L^2v_0}{mR}。$

Final answer: $\frac{n^2B^2L^2v_0}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

![电磁缓冲车](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272176152899587/img/compression/M_b7b9bb86b4962701ddc2ece6d5c8334c.jpg)
碰撞后缓冲车厢向前移动一段距离后速度为零，则此过程线圈abcd中产生的焦耳热是多少？

Solution:
$由能量守恒可知，缓冲车厢速度减为零的过程中克服安培力做功，动能转化为回路中的焦耳热，得Q = \frac{1}{2}mv^2_0。$

Final answer: $\frac{1}{2} mv^{2}_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

<img_1328>
碰撞后缓冲车厢向前移动一段距离后速度为零，则此过程线圈abcd中产生的焦耳热是多少？

Solution:
$由能量守恒可知，缓冲车厢速度减为零的过程中克服安培力做功，动能转化为回路中的焦耳热，得Q = \frac{1}{2}mv^2_0。$

Final answer: $\frac{1}{2} mv^{2}_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

![电磁缓冲车](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272176152899587/img/compression/M_b7b9bb86b4962701ddc2ece6d5c8334c.jpg)
缓冲车与障碍物碰撞后，要使导轨右端不碰到障碍物，则缓冲车与障碍物碰撞前，导轨右端与滑块K的cd边的距离至少为多大？

Solution:
$要使导轨右端不碰到障碍物的临界条件：当Q点和N点恰好到达障碍物时，缓冲车厢的速度减为零，此过程车厢和磁场仅受安培力作用，由动量定理有-mv_0=I_F$

$其中I_F=-nB\overline{I}L\cdot t$

$\overline{I}=\frac{nBL\overline{v}}{R}$

$整理得mv_0=\frac{n^2B^2L^2}{R}\overline{v}t=n^2\frac{B^2L^2}{R}x$

$解得x=\frac{mRv_0}{n^2B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mRv_0}{n^2B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上安装着电磁铁，能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN，可以在导轨内自由滑动的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合的多匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L，假设缓冲车以速度v_0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，不计一切摩擦及空气阻力。$

<img_1328>
缓冲车与障碍物碰撞后，要使导轨右端不碰到障碍物，则缓冲车与障碍物碰撞前，导轨右端与滑块K的cd边的距离至少为多大？

Solution:
$要使导轨右端不碰到障碍物的临界条件：当Q点和N点恰好到达障碍物时，缓冲车厢的速度减为零，此过程车厢和磁场仅受安培力作用，由动量定理有-mv_0=I_F$

$其中I_F=-nB\overline{I}L\cdot t$

$\overline{I}=\frac{nBL\overline{v}}{R}$

$整理得mv_0=\frac{n^2B^2L^2}{R}\overline{v}t=n^2\frac{B^2L^2}{R}x$

$解得x=\frac{mRv_0}{n^2B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mRv_0}{n^2B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻 R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为 B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为 d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为 h 且无磁场。一长度为 L、质量为 m、电阻为 r 的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界 H 处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻 R 的电流及其变化情况相同，重力加速度为 g。求：$

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$导体棒进入区域Ⅰ的过程，电阻R上产生的热量Q；$

Solution:
$由于导体棒穿过两磁场过程中流过R的电流以及电流的变化情况相同，可知导体棒在两磁场中运动时，经过对应位置的速度和加速度均相同，因此可判断当导体棒进入区域Ⅱ时速度也为v_1，由能量守恒得Q_{总}=mg(h+d)。$

$电阻R与导体棒串联，电流相等，可知任意时刻二者的电功率与其阻值成正比，因此Q=\frac{R}{R+r}Q_{总}=\frac{R}{R+r}mg(h+d)。$

Final answer: $\frac{R}{R+r}mg(h+d)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻 R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为 B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为 d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为 h 且无磁场。一长度为 L、质量为 m、电阻为 r 的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界 H 处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻 R 的电流及其变化情况相同，重力加速度为 g。求：$

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$导体棒进入区域Ⅰ的过程，电阻R上产生的热量Q；$

Solution:
$由于导体棒穿过两磁场过程中流过R的电流以及电流的变化情况相同，可知导体棒在两磁场中运动时，经过对应位置的速度和加速度均相同，因此可判断当导体棒进入区域Ⅱ时速度也为v_1，由能量守恒得Q_{总}=mg(h+d)。$

$电阻R与导体棒串联，电流相等，可知任意时刻二者的电功率与其阻值成正比，因此Q=\frac{R}{R+r}Q_{总}=\frac{R}{R+r}mg(h+d)。$

Final answer: $\frac{R}{R+r}mg(h+d)$