di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如表：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100
参考数据：
$<img_2434>$参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\beta u+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}} \overline{v}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$①证明：对于非线性回归方程\hat{y}=\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x}，令\hat{z}=ln \hat{y}，可以得到繁殖个数y的对数z关于天数x具有线性关系(即\hat{z}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha },\hat{\beta },\hat{\alpha }为常数)；②根据①的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数保留两位小数).$

Solution:
$①证明：因为\hat{y}=\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x}，\hat{z}=ln \hat{y}，所以ln \hat{y}=ln(\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x})=ln \hat{c}_{1}+ln e^{\hat{c}_{2}x}=ln \hat{c}_{1}+\hat{c}_{2}x，令\hat{\alpha }=ln \hat{c}_{1},\hat{\beta }=\hat{c}_{2}，即\hat{z}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha },\hat{\beta },\hat{\alpha }为常数，所以繁殖个数y的对数z关于天数x具有线性关系.②由①及题表中的数据，得\hat{c}_{2}=\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iz_i-6\overline{x}　\overline{z}}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i-6\overline{x}^2}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(z_i-\overline{z})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{12.12}{17.5}\approx 0.69，ln \hat{c}_{1}=\hat{\alpha }=\overline{z}-\hat{\beta }　\overline{x}=2.85-0.69\times 3.50\approx 0.44，因此\hat{z}=0.69x+0.44，所以y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{0.69x+0.44}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在2022年成都第31届世界大学生夏季运动会期间，为了普及大运知识，某校开展了大运知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为四组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到的频率直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定为“优秀”，成绩低于80分定为“非优秀”.$<img_2870>$
参考公式及数据:\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{0}
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$
$求a的值，并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有1名优秀的概率；$

Solution:
$由题可得，10\times (0.016+0.024+a+0.032)=1，解得a=0.028，100名学生中成绩为“非优秀”的有100\times (0.016+0.024)\times 10=40(名)，所以抽取的5名学生中成绩为“非优秀”的有5\times \frac{40}{100}=2(名)，成绩为“优秀”的有5-2=3(名)，记成绩为“优秀”的3名学生分别为a，b，c，成绩为“非优秀”的2名学生分别为m，n，则从这5名学生中随机抽取2名，有ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，共10种情况，其中这2名学生的成绩中恰有1名优秀有6种情况，所以这2名学生的成绩中恰有1名优秀的概率为\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在2022年成都第31届世界大学生夏季运动会期间，为了普及大运知识，某校开展了大运知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为四组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到的频率直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定为“优秀”，成绩低于80分定为“非优秀”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856063494356993/img/compression/M_04bdfdb934db9947fff6c948c0b9631b.jpg)$
参考公式及数据:\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{0}
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$
$求a的值，并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有1名优秀的概率；$

Solution:
$由题可得，10\times (0.016+0.024+a+0.032)=1，解得a=0.028，100名学生中成绩为“非优秀”的有100\times (0.016+0.024)\times 10=40(名)，所以抽取的5名学生中成绩为“非优秀”的有5\times \frac{40}{100}=2(名)，成绩为“优秀”的有5-2=3(名)，记成绩为“优秀”的3名学生分别为a，b，c，成绩为“非优秀”的2名学生分别为m，n，则从这5名学生中随机抽取2名，有ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，共10种情况，其中这2名学生的成绩中恰有1名优秀有6种情况，所以这2名学生的成绩中恰有1名优秀的概率为\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$<img_3069>$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dln x哪一个更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图可知，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+dln x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856055990874113/img/compression/M_14dc5b80f71ffc980f26f1e762d9b3eb.jpg)$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dln x哪一个更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图可知，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+dln x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856055990874113/img/compression/M_14dc5b80f71ffc980f26f1e762d9b3eb.jpg)$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(结果保留两位小数)$

Solution:
$因为w=ln x，所以y=c+dln x=c+dw，由题中参考数据可知\overline{y}=\frac{\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i}{20}=\frac{102.4}{20}=5.12，\overline{w}=\frac{\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i}{20}=\frac{52}{20}=2.60，\hat{d}=\frac{272.1-20\times 5.12\times 2.60}{137-20\times 2.6^2}\approx 3.26，\hat{c}=5.12-3.26\times 2.6\approx -3.36，所以\hat{y}=3.26w-3.36，即\hat{y}=3.26ln x-3.36.$

Final answer: $\hat{y}=3.26ln x-3.36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$<img_3069>$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(结果保留两位小数)$

Solution:
$因为w=ln x，所以y=c+dln x=c+dw，由题中参考数据可知\overline{y}=\frac{\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i}{20}=\frac{102.4}{20}=5.12，\overline{w}=\frac{\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i}{20}=\frac{52}{20}=2.60，\hat{d}=\frac{272.1-20\times 5.12\times 2.60}{137-20\times 2.6^2}\approx 3.26，\hat{c}=5.12-3.26\times 2.6\approx -3.36，所以\hat{y}=3.26w-3.36，即\hat{y}=3.26ln x-3.36.$

Final answer: $\hat{y}=3.26ln x-3.36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856055990874113/img/compression/M_14dc5b80f71ffc980f26f1e762d9b3eb.jpg)$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内时拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e^{2}小时(自然对数的底e\approx 2.718 28)时，大棚蔬菜产量为多少.$

Solution:
$由(2)知当x=e^{2}时，\hat{y}=3.26ln e^{2}-3.36=3.16.所以估计当光照时长为e^{2}小时时，大棚蔬菜产量为3.16千斤.$

Final answer: $3.16$ 千斤
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，将得到的各间大棚产量数据绘制成散点图如图所示.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤/亩)，记w=ln x.$<img_3069>$
参考数据：
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x^2_i
290
102.4
52
4 870
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}y^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w^2_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}x_iy_i
\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_iy_i
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：\beta 关于\alpha 的线性回归方程\hat{\beta }=\hat{m}\alpha +\hat{n}中，\hat{m}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha _i\beta _i-n\overline{\alpha }\overline{\beta }}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}\alpha ^2_i-n\overline{\alpha }^2}，\hat{n}=\overline{\beta }-\hat{m}\overline{\alpha }.$
$根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内时拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e^{2}小时(自然对数的底e\approx 2.718 28)时，大棚蔬菜产量为多少.$

Solution:
$由(2)知当x=e^{2}时，\hat{y}=3.26ln e^{2}-3.36=3.16.所以估计当光照时长为e^{2}小时时，大棚蔬菜产量为3.16千斤.$

Final answer: $3.16$ 千斤
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节.笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定.公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下频率直方图和2\times 2列联表.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856075755298818/img/compression/M_12ed64acd5dba0f6e8e82cff8a038ca5.jpg)$
男
女
合计
优(得分不低于90分)
8
良(得分低于90分)
12
合计
40
参考公式： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.15
0.10
0.05
0.010
x_{0}
2.072
2.706
3.841
6.635
$
$公司决定：在笔试环节中得分低于85分的试用员工直接淘汰，得分不低于85分的试用员工都正式录用.笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为一级(不必参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有\frac{2}{5}的概率在面试环节将二级晋升为一级；笔试得分在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有\frac{3}{5}的概率在面试环节将三级晋升为二级.规定所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试.已知甲、乙为该公司的两名试用员工，将频率视为概率.①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节的岗位等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率.$

Solution:
$由题图可知，不低于85分的试用员工的人数为40\times (0.06+0.04+0.02)\times 5=24，岗位等级直接定为一级的概率为\frac{0.02\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{6}，岗位等级初定为二级的概率为\frac{0.04\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{3}，岗位等级初定为三级的概率为\frac{0.06\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{2}.①甲的最终岗位等级为一级的概率为\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{10}.②若乙的最终岗位等级为二级，则甲的最终岗位等级为一级或二级，其概率为\frac{3}{5}\times \left(1-\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\right)=\frac{12}{25};若乙的最终岗位等级为一级，则甲的最终岗位等级为一级，其概率为\frac{2}{5}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{25};故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节.笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定.公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下频率直方图和2\times 2列联表.$<img_2915>$
男
女
合计
优(得分不低于90分)
8
良(得分低于90分)
12
合计
40
参考公式： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.15
0.10
0.05
0.010
x_{0}
2.072
2.706
3.841
6.635
$
$公司决定：在笔试环节中得分低于85分的试用员工直接淘汰，得分不低于85分的试用员工都正式录用.笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为一级(不必参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有\frac{2}{5}的概率在面试环节将二级晋升为一级；笔试得分在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有\frac{3}{5}的概率在面试环节将三级晋升为二级.规定所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试.已知甲、乙为该公司的两名试用员工，将频率视为概率.①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节的岗位等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率.$

Solution:
$由题图可知，不低于85分的试用员工的人数为40\times (0.06+0.04+0.02)\times 5=24，岗位等级直接定为一级的概率为\frac{0.02\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{6}，岗位等级初定为二级的概率为\frac{0.04\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{3}，岗位等级初定为三级的概率为\frac{0.06\times 5\times 40}{24}=\frac{1}{2}.①甲的最终岗位等级为一级的概率为\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{10}.②若乙的最终岗位等级为二级，则甲的最终岗位等级为一级或二级，其概率为\frac{3}{5}\times \left(1-\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\right)=\frac{12}{25};若乙的最终岗位等级为一级，则甲的最终岗位等级为一级，其概率为\frac{2}{5}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{25};故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划(2021—2025年)》．某中学为掌握学生对《全民健身计划(2021—2025年)》的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为[50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，由此得到总体的频率直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生做进一步调研，已知频率直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846947563241473/img/compression/M_12e306b4091bd56056d75697efcd58c9.jpg)
$若从得分在80分以上的样本中随机选取3人，用X表示得分高于90分的人数，求X的概率分布及数学期望；$

Solution:
$由题意得b=2a，c=4a，因为10a+10b+10c+10b+10a=1，所以a=0.01，所以b=0.02,c=0.04．
(1分)
由分层抽样，可知抽出的20名学生中得分在区间(80,90]内的有20\times 0.2=4(名)，得分在区间(90,100]内的有20\times 0.1=2(名)，因此，得分在80分以上的共有6名，其中得分在(90,100]的有2名 ,　
(2分)
所以X的可能取值有0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{5}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{5}，
(4分)
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{1}{5}
(6分)
所以数学期望E(X)=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.
(8分)$

Final answer: $X的概率分布：P(X=0)=1/5, P(X=1)=3/5, P(X=2)=1/5
数学期望E(X)=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划(2021—2025年)》．某中学为掌握学生对《全民健身计划(2021—2025年)》的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为[50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，由此得到总体的频率直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生做进一步调研，已知频率直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．$<img_3028>
$若从得分在80分以上的样本中随机选取3人，用X表示得分高于90分的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$由题意得b=2a，c=4a，因为10a+10b+10c+10b+10a=1，所以a=0.01，所以b=0.02,c=0.04．

由分层抽样，可知抽出的20名学生中得分在区间(80,90]内的有20\times 0.2=4(名)，得分在区间(90,100]内的有20\times 0.1=2(名)，因此，得分在80分以上的共有6名，其中得分在(90,100]的有2名 ,　

所以X的可能取值有0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{5}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{5}，

所以X的概率分布为
X
0
1
2
P
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{1}{5}

所以数学期望E(X)=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.
$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划(2021—2025年)》．某中学为掌握学生对《全民健身计划(2021—2025年)》的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为[50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，由此得到总体的频率直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生做进一步调研，已知频率直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846947563241473/img/compression/M_12e306b4091bd56056d75697efcd58c9.jpg)
$若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生得分在区间(70,80]内的条件下，后两次抽出的2名学生得分在同一分组区间(80,90]内的概率．$

Solution:
$由分层抽样，可知抽出的20名学生中得分在区间(70,80]内的有20\times 0.4=8(名)，得分在区间(80,90]内的有20\times 0.2=4(名)，记事件A为第一次抽出1名学生得分在区间(70,80]内，事件B为后两次抽出的2名学生得分在同一分组区间(80,90]内，则P(A)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}，P(AB)=\frac{\mathrm{A}^1_8\mathrm{A}^2_4}{\mathrm{A}^3_{20}}=\frac{4}{15\times 19}=\frac{4}{285}，(10分)由条件概率公式可得P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{4}{285}\times \frac{5}{2}=\frac{2}{57}.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{57}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划(2021—2025年)》．某中学为掌握学生对《全民健身计划(2021—2025年)》的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为[50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，由此得到总体的频率直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生做进一步调研，已知频率直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．$<img_3028>
$若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生得分在区间(70,80]内的条件下，后两次抽出的2名学生得分在同一分组区间(80,90]内的概率．$

Solution:
$由分层抽样，可知抽出的20名学生中得分在区间(70,80]内的有20\times 0.4=8(名)，得分在区间(80,90]内的有20\times 0.2=4(名)，记事件A为第一次抽出1名学生得分在区间(70,80]内，事件B为后两次抽出的2名学生得分在同一分组区间(80,90]内，则P(A)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}，P(AB)=\frac{\mathrm{A}^1_8\mathrm{A}^2_4}{\mathrm{A}^3_{20}}=\frac{4}{15\times 19}=\frac{4}{285}，(10分)由条件概率公式可得P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{4}{285}\times \frac{5}{2}=\frac{2}{57}.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{57}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X(单位：元)，X～N(600,16)，如图所示，经计算得P(600\leq X<720)=0.3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846947995254786/img/compression/M_7d58ed61d0c278013d94472b803d8f52.jpg)
$求P(X<480)；$

Solution:
$因为X～N(600,16)，且P(600\leq X<720)=0.3，所以P(X<480)=\frac{1-0.3\times 2}{2}=0.2.(3分)$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X(单位：元)，X～N(600,16)，如图所示，经计算得P(600\leq X<720)=0.3.$<img_2103>
$求P(X<480)；$

Solution:
$因为X～N(600,16)，且P(600\leq X<720)=0.3，所以P(X<480)=\frac{1-0.3\times 2}{2}=0.2.(3分)$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X(单位：元)，X～N(600,16)，如图所示，经计算得P(600\leq X<720)=0.3.$<img_2103>
$根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组：(0,480)，[480,600)，[600,720)，[720,+\infty )，用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查.

①计算各组应抽的老用户人数；

②为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，进而确定两种优惠券的投放比例，从[480,600)，[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从[480,600)一组中抽取的人数为\xi ，求\xi 的数学期望.$

Solution:
$①根据正态密度曲线的对称性得P(480\leq X<600)=0.3，P(X\geq 720)=0.2，　

所以从(0,480)一组中抽10\times 0.2=2(人)，从[480,600)一组中抽10\times 0.3=3(人)，从[600,720)一组中抽10\times 0.3=3(人)，从[720,+\infty )一组中抽10\times 0.2=2(人).

②由①知，两组各有幸运用户3人，\xi 的可能取值为0，1，2，3，P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{20}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{9}{20}，P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{9}{20}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{20}，

所以\xi 的概率分布为
\xi 
0
1
2
3
P
\frac{1}{20}
\frac{9}{20}
\frac{9}{20}
\frac{1}{20}

所以\xi 的数学期望E(\xi )=0\times \frac{1}{20}+1\times \frac{9}{20}+2\times \frac{9}{20}+3\times \frac{1}{20}=\frac{3}{2}.
$



Final answer: $2, 3, 3, 2，3/2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X(单位：元)，X～N(600,16)，如图所示，经计算得P(600\leq X<720)=0.3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846947995254786/img/compression/M_7d58ed61d0c278013d94472b803d8f52.jpg)
$根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组：(0,480)，[480,600)，[600,720)，[720,+\infty )，用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查.①计算各组应抽的老用户人数；②为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，进而确定两种优惠券的投放比例，从[480,600)，[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从[480,600)一组中抽取的人数为\xi ，求\xi 的概率分布和数学期望.$

Solution:
$①根据正态密度曲线的对称性得P(480\leq X<600)=0.3，P(X\geq 720)=0.2，　
(5分)
所以从(0,480)一组中抽10\times 0.2=2(人)，从[480,600)一组中抽10\times 0.3=3(人)，从[600,720)一组中抽10\times 0.3=3(人)，从[720,+\infty )一组中抽10\times 0.2=2(人).
(7分)
②由①知，两组各有幸运用户3人，\xi 的可能取值为0，1，2，3，P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{20}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{9}{20}，P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{9}{20}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{1}{20}，
(9分)
所以\xi 的概率分布为
\xi 
0
1
2
3
P
\frac{1}{20}
\frac{9}{20}
\frac{9}{20}
\frac{1}{20}
(11分)
所以\xi 的数学期望E(\xi )=0\times \frac{1}{20}+1\times \frac{9}{20}+2\times \frac{9}{20}+3\times \frac{1}{20}=\frac{3}{2}.
(12分)$

Final answer: $①各组应抽的老用户人数：2, 3, 3, 2；
②\xi 的概率分布：P(0) = 1/20, P(1) = 9/20, P(2) = 9/20, P(3) = 1/20；
\xi 的数学期望：E(\xi )= 3/2.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某保险公司针对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只需交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种,从事三类工种的人数分布扇形统计图如图所示,根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).工种类别ABC赔付频率\frac{1}{{10}^{5}}\frac{2}{{10}^{5}}\frac{1}{{10}^{4}}已知A,B,C三类工种的职工每人每年的保费分别为a元,a元,b元,出险后的赔偿金额分别为100万元,100万元,50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846948523737090/img/compression/M_43e65b5357d3b6fc0f15336fee69d629.jpg)
$若保险公司要求收益的期望不低于保费的20%,试确定保费a,b所要满足的条件;$

Solution:
$设A,B,C三类工种的职工的每份保单给保险公司带来的收益分别为X元,Y元,Z元,则X,Y,Z的概率分布分别为
X
a
a-100\times 10^{4}
P
1-\frac{1}{{10}^{5}}
\frac{1}{{10}^{5}}
Y
a
a-100\times 10^{4}
P
1-\frac{2}{{10}^{5}}
\frac{2}{{10}^{5}}
Z
b
b-50\times 10^{4}
P
1-\frac{1}{{10}^{4}}
\frac{1}{{10}^{4}}
　　 (3分)
则各类工种的职工为保险公司带来的期望收益分别为E(X)=a\times \left(1-\frac{1}{{10}^{5}}\right)+(a-100\times 10^{4})\times \frac{1}{{10}^{5}}=a-10,E(Y)=a\times \left(1-\frac{2}{{10}^{5}}\right)+(a-100\times 10^{4})\times \frac{2}{{10}^{5}}=a-20,E(Z)=b\times \left(1-\frac{1}{{10}^{4}}\right)+(b-50\times 10^{4})\times \frac{1}{{10}^{4}}=b-50.
(6分)
根据题意，得(a-10)\times 20 000\times 0.6+(a-20)\times 20 000\times 0.3+(b-50)\times 20 000\times 0.1-10\times 10^{4}\geq (a\times 20 000\times 0.6+a\times 20 000\times 0.3+b\times 20 000\times 0.1)\times 0.2,解得9a+b\geq 275,所以保费a,b需要满足9a+b\geq 275.
(7分)$

Final answer: $9a+b \geq  275$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某保险公司针对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只需交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种,从事三类工种的人数分布扇形统计图如图所示,根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).工种类别ABC赔付频率\frac{1}{{10}^{5}}\frac{2}{{10}^{5}}\frac{1}{{10}^{4}}已知A,B,C三类工种的职工每人每年的保费分别为a元,a元,b元,出险后的赔偿金额分别为100万元,100万元,50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846948523737090/img/compression/M_43e65b5357d3b6fc0f15336fee69d629.jpg)
$现有如下两个方案供企业选择:方案Ⅰ:企业不与保险公司合作,企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工;方案Ⅱ:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的60%,职工个人负责保费的40%,出险后赔偿金由保险公司赔付.若企业选择方案Ⅱ的支出(不包括职工支出)期望低于选择方案Ⅰ的支出期望,求保费a,b所要满足的条件,并判断企业是否可能与保险公司合作.(若企业选择方案Ⅱ的支出期望低于选择方案Ⅰ的支出期望,且与(1)中保险公司所提条件不矛盾,则企业可能与保险公司合作)$

Solution:
$若该企业选择方案Ⅰ,即不与保险公司合作,则企业的支出期望为20 000\times \left(0.6\times \frac{1}{{10}^{5}}\times 100\times {10}^{4}+0.3\times \frac{2}{{10}^{5}}\times 100\times {10}^{4}+0.1\times \frac{1}{{10}^{4}}\times 50\times {10}^{4}\right)=17\times 20 000=3.4\times 10^{5}(元).若该企业选择方案Ⅱ,即与保险公司合作,则企业的支出期望为20 000\times (0.6\times a+0.3\times a+0.1\times b)\times 0.6=(0.9\times a+0.1\times b)\times 0.6\times 20 000=(10 800a+1 200b)元.(9分)由题意，得10 800a+1 200b<3.4\times 10^{5},整理，得9a+b<\frac{850}{3}\approx 283.33,此结果与(1)中保险公司所提条件不矛盾,所以企业可能与保险公司合作.(12分)$

Final answer: $9a + b < 283.33$, $企业可能与保险公司合作.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$<img_2026>
$在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；$

Solution:
$由题图可得，参与“自由式滑雪”的人数超过40的学校有4所，参与“自由式滑雪”的人数超过40，且“单板滑雪”的人数超过30的学校有2所.(2分)设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40”，事件B为“从10所学校中选出的3所学校中参与‘单板滑雪’的人数不超过30”,则P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6{+\mathrm{C}}^2_4\mathrm{C}^1_6+\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{100}{120}，P(AB)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}，所以P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{120}}{\frac{100}{120}}=\frac{1}{25}.(4分)$

Final answer: $\frac{1}{25}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846948980916226/img/compression/M_347607119f11db87f3cec7fce35a45c9.jpg)
$在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；$

Solution:
$由题图可得，参与“自由式滑雪”的人数超过40的学校有4所，参与“自由式滑雪”的人数超过40，且“单板滑雪”的人数超过30的学校有2所.(2分)设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40”，事件B为“从10所学校中选出的3所学校中参与‘单板滑雪’的人数不超过30”,则P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6{+\mathrm{C}}^2_4\mathrm{C}^1_6+\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{100}{120}，P(AB)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}，所以P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{120}}{\frac{100}{120}}=\frac{1}{25}.(4分)$

Final answer: $\frac{1}{25}$