di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中化肥施用量为x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤).令t_{i}=ln x_{i},z_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10).$<img_2024>$
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x^2_i
650
91.5
52.5
1 478.6
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t^2_i
30.5
15
15
46.5
附：①在回归直线方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}；②e\approx 2.7.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=cx^{d}哪一个更适宜作为y关于x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图，y=cx^{d}更适宜作为y关于x的回归方程类型.$

Final answer: $y=cx^{d}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中化肥施用量为x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤).令t_{i}=ln x_{i},z_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815397218263042/img/compression/M_5f29d28200a5b355358e6522b29ae5c4.jpg)$
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x^2_i
650
91.5
52.5
1 478.6
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t^2_i
30.5
15
15
46.5
附：①在回归直线方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}；②e\approx 2.7.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=cx^{d}哪一个更适宜作为y关于x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图，y=cx^{d}更适宜作为y关于x的回归方程类型.$

Final answer: $y=cx^{d}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中化肥施用量为x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤).令t_{i}=ln x_{i},z_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10).$<img_2024>$
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x^2_i
650
91.5
52.5
1 478.6
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t^2_i
30.5
15
15
46.5
附：①在回归直线方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}；②e\approx 2.7.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计化肥施用量为27公斤时，粮食的亩产量.$

Solution:
$对y=cx^{d}两边同时取自然对数，得ln y=ln c+dln x，即z=ln c+dt.由题表中数据得\overline{z}=\overline{t}=1.5，\therefore \hat{d}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}t_iz_i-10{\overline{t}}{\overline{z}}}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}t^2_i-10{\overline{t}}^2}=\frac{30.5-10\times 1.5\times 1.5}{46.5-10\times 1.5^2}=\frac{1}{3}，ln \hat{c}=\overline{z}-\hat{d}\overline{t}=1.5-\frac{1}{3}\times 1.5=1，则\hat{c}=e，\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=ex^{\frac{1}{3}}.当x=27时，\hat{y}=e\times 27^{\frac{1}{3}}\approx 2.7\times 3=8.1.估计化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量为810公斤.$

Final answer: $27, 810$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中化肥施用量为x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤).令t_{i}=ln x_{i},z_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815397218263042/img/compression/M_5f29d28200a5b355358e6522b29ae5c4.jpg)$
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}x^2_i
650
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52.5
1 478.6
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}z_{i}
\sum \limits^{{10}}_{i=1}t^2_i
30.5
15
15
46.5
附：①在回归直线方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}；②e\approx 2.7.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计化肥施用量为27公斤时，粮食的亩产量.$

Solution:
$对y=cx^{d}两边同时取自然对数，得ln y=ln c+dln x，即z=ln c+dt.由题表中数据得\overline{z}=\overline{t}=1.5，\therefore \hat{d}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}t_iz_i-10{\overline{t}}{\overline{z}}}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}t^2_i-10{\overline{t}}^2}=\frac{30.5-10\times 1.5\times 1.5}{46.5-10\times 1.5^2}=\frac{1}{3}，ln \hat{c}=\overline{z}-\hat{d}\overline{t}=1.5-\frac{1}{3}\times 1.5=1，则\hat{c}=e，\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=ex^{\frac{1}{3}}.当x=27时，\hat{y}=e\times 27^{\frac{1}{3}}\approx 2.7\times 3=8.1.估计化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量为810公斤.$

Final answer: $27, 810$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $已知某种商品的单价(单位：元)和需求量(单位：件)之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据(x=24对应的需求量因污损缺失)：$<img_2108>$经计算得\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1 630，\sum \limits^{5}_{{i=1}}y^2_i=10 086，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i=3 949，由前5组数据计算出y关于x的回归直线方程为\hat{y}=-\frac{47}{10}x+\hat{a}.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n\overline{x}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}y^2_i-n\overline{y}^2}}，\sqrt{\frac{108 160}{3}}\approx 189.877.$
$(1)估计x=24对应的需求量(结果保留整数)；$

Solution:
$记前5组数据单价、需求量的平均值分别为\overline{x}，\overline{y}，则\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i=18，\overline{y}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}y_i=\frac{222}{5}.因为回归直线经过样本点的中心，所以\frac{222}{5}=-\frac{47}{10}\times 18+\hat{a}，解得\hat{a}=129，所以\hat{y}=-\frac{47}{10}x+129.所以x=24对应的需求量为-\frac{47}{10}\times 24+129\approx 16(件).$

Final answer: $16$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $已知某种商品的单价(单位：元)和需求量(单位：件)之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据(x=24对应的需求量因污损缺失)：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815385324978178/img/compression/M_ea037759fd645e4711738dd23860564b.jpg)$经计算得\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1 630，\sum \limits^{5}_{{i=1}}y^2_i=10 086，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i=3 949，由前5组数据计算出y关于x的回归直线方程为\hat{y}=-\frac{47}{10}x+\hat{a}.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n\overline{x}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}y^2_i-n\overline{y}^2}}，\sqrt{\frac{108 160}{3}}\approx 189.877.$
$(1)估计x=24对应的需求量(结果保留整数)；$

Solution:
$记前5组数据单价、需求量的平均值分别为\overline{x}，\overline{y}，则\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i=18，\overline{y}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}y_i=\frac{222}{5}.因为回归直线经过样本点的中心，所以\frac{222}{5}=-\frac{47}{10}\times 18+\hat{a}，解得\hat{a}=129，所以\hat{y}=-\frac{47}{10}x+129.所以x=24对应的需求量为-\frac{47}{10}\times 24+129\approx 16(件).$

Final answer: $16$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $已知某种商品的单价(单位：元)和需求量(单位：件)之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据(x=24对应的需求量因污损缺失)：$<img_2108>$经计算得\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1 630，\sum \limits^{5}_{{i=1}}y^2_i=10 086，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i=3 949，由前5组数据计算出y关于x的回归直线方程为\hat{y}=-\frac{47}{10}x+\hat{a}.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n\overline{x}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}y^2_i-n\overline{y}^2}}，\sqrt{\frac{108 160}{3}}\approx 189.877.$
$(2)若x=24对应的需求量恰为(1)中的估计值，求这6组数据的相关系数r(结果保留三位小数).$

Solution:
$记6组数据单价、需求量的平均值分别为\overline{x}'，\overline{y}'，则\overline{x}'=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_i=19，\overline{y}'=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}y_i=\frac{119}{3}，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i=2 206，\sum \limits^{6}_{{i=1}}y^2_i=10 342，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iy_i=4 333，所以r=\frac{4 333-6\times 19\times \frac{119}{3}}{\sqrt{2 206-6\times {19}^2}\times \sqrt{10 342-6\times \left(\frac{119}{3}\right)^2}}=\frac{-189}{\sqrt{40\times \frac{2 704}{3}}}\approx -0.995.$

Final answer: $-0.995$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $已知某种商品的单价(单位：元)和需求量(单位：件)之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据(x=24对应的需求量因污损缺失)：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815385324978178/img/compression/M_ea037759fd645e4711738dd23860564b.jpg)$经计算得\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1 630，\sum \limits^{5}_{{i=1}}y^2_i=10 086，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i=3 949，由前5组数据计算出y关于x的回归直线方程为\hat{y}=-\frac{47}{10}x+\hat{a}.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n\overline{x}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{{i=1}}y^2_i-n\overline{y}^2}}，\sqrt{\frac{108 160}{3}}\approx 189.877.$
$(2)若x=24对应的需求量恰为(1)中的估计值，求这6组数据的相关系数r(结果保留三位小数).$

Solution:
$记6组数据单价、需求量的平均值分别为\overline{x}'，\overline{y}'，则\overline{x}'=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_i=19，\overline{y}'=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}y_i=\frac{119}{3}，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i=2 206，\sum \limits^{6}_{{i=1}}y^2_i=10 342，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iy_i=4 333，所以r=\frac{4 333-6\times 19\times \frac{119}{3}}{\sqrt{2 206-6\times {19}^2}\times \sqrt{10 342-6\times \left(\frac{119}{3}\right)^2}}=\frac{-189}{\sqrt{40\times \frac{2 704}{3}}}\approx -0.995.$

Final answer: $-0.995$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,\ldots ,8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386084147203/img/compression/M_bcb39d0b211d2f0f5221f40427d0c89c.jpg)$
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})
1 469
108.8
注：表中wi=\sqrt{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{8}\sum \limits^{8}_{{i=1}}wi.
附：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d\sqrt{x}哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)$

Solution:
$由散点图知各点呈非线性递增趋势，所以y=c+d\sqrt{x}适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+d\sqrt x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,\ldots ,8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.$<img_1914>$
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})
1 469
108.8
注：表中wi=\sqrt{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{8}\sum \limits^{8}_{{i=1}}wi.
附：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d\sqrt{x}哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)$

Solution:
$由散点图知各点呈非线性递增趋势，所以y=c+d\sqrt{x}适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+d\sqrt x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,\ldots ,8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386084147203/img/compression/M_bcb39d0b211d2f0f5221f40427d0c89c.jpg)$
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})
1 469
108.8
注：表中wi=\sqrt{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{8}\sum \limits^{8}_{{i=1}}wi.
附：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；$

Solution:
$由w_{i}=\sqrt{x_i}，得y=c+dw，则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2}=\frac{108.8}{1.6}=68，\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\overline{w}=563-68\times 6.8=100.6，所以\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}.$

Final answer: $y=100.6+68\sqrt x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,\ldots ,8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.$<img_1914>$
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})
1 469
108.8
注：表中wi=\sqrt{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{8}\sum \limits^{8}_{{i=1}}wi.
附：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；$

Solution:
$由w_{i}=\sqrt{x_i}，得y=c+dw，则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2}=\frac{108.8}{1.6}=68，\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\overline{w}=563-68\times 6.8=100.6，所以\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}.$

Final answer: $y=100.6+68\sqrt x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,\ldots ,8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386084147203/img/compression/M_bcb39d0b211d2f0f5221f40427d0c89c.jpg)$
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})
\sum \limits^{8}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})
1 469
108.8
注：表中wi=\sqrt{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{8}\sum \limits^{8}_{{i=1}}wi.
附：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(3)已知这种产品的年利润z与年宣传费x，年销售量y之间的关系为z=0.2y-x，根据(2)的结果回答下列问题：①当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预测值是多少？②当年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？$

Solution:
$①当x=49时，\hat{y}=100.6+68\times \sqrt{49}=576.6，\hat{z}=0.2\times 576.6-49=66.32.②由题意得，\hat{z}=0.2(100.6+68\sqrt{x})-x=20.12+13.6\sqrt{x}-(\sqrt{x})^{2}=-(\sqrt{x}-6.8)^{2}+66.36，当\sqrt{x}=6.8，即x=46.24时，年利润的预测值最大.$

Final answer: $①当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预测值是576.6，66.32.
②当年宣传费x为46.24时，年利润的预测值最大.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386457440259/img/compression/M_11e38bf4de7b8f651797014ce6aa8712.jpg)$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断,y=a+bln x与y=c\cdot d^{x}(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);$

Solution:
$根据题中的散点图可知,y=c\cdot d^{x}适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c\cdot d^x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$<img_1801>$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断,y=a+bln x与y=c\cdot d^{x}(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);$

Solution:
$根据题中的散点图可知,y=c\cdot d^{x}适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c\cdot d^x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386457440259/img/compression/M_11e38bf4de7b8f651797014ce6aa8712.jpg)$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y关于x的回归方程;$

Solution:
$对y=c\cdot d^{x}两边同时取常用对数，得lg y=lg(c\cdot d^{x})=lg c+xlg d.设lg y=v,则v=lg c+xlg d.\because \overline{x}=4,\overline{v}=1.54,\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i=140,\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i=50.12,\therefore lg \hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iv_i-7\overline{x}\overline{v}}{\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_{i}-7\overline{x}^2}=\frac{50.12-7\times 4\times 1.54}{140-7\times {4}^2}=0.25，lg \hat{c}=\overline{v}-\overline{x}lg \hat{d}=1.54-4\times 0.25=0.54,\therefore \hat{v}=0.54+0.25x,\therefore lg \hat{y}=0.54+0.25x,\therefore \hat{y}=10^{0.54+0.25x}=3.47\times 10^{0.25x}.$

Final answer: $\hat{y}=3.47\times 10^{0.25x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$<img_1801>$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y关于x的回归方程;$

Solution:
$对y=c\cdot d^{x}两边同时取常用对数，得lg y=lg(c\cdot d^{x})=lg c+xlg d.设lg y=v,则v=lg c+xlg d.\because \overline{x}=4,\overline{v}=1.54,\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i=140,\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i=50.12,\therefore lg \hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iv_i-7\overline{x}\overline{v}}{\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_{i}-7\overline{x}^2}=\frac{50.12-7\times 4\times 1.54}{140-7\times {4}^2}=0.25，lg \hat{c}=\overline{v}-\overline{x}lg \hat{d}=1.54-4\times 0.25=0.54,\therefore \hat{v}=0.54+0.25x,\therefore lg \hat{y}=0.54+0.25x,\therefore \hat{y}=10^{0.54+0.25x}=3.47\times 10^{0.25x}.$

Final answer: $\hat{y}=3.47\times 10^{0.25x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815386457440259/img/compression/M_11e38bf4de7b8f651797014ce6aa8712.jpg)$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(3)已知每件产品的原料成本为10元,若该产品的总成本不得高于123 470元,请估计最多能生产多少千件产品.$

Solution:
$设生产了x千件该产品,生产总成本为g(x)元，则g(x)=3.47\times 10^{0.25x}+x\times 10\times 1 000.易知g(x)=3.47\times 10^{0.25x}+10 000x在其定义域内单调递增,且g(12)=3.47\times 10^{3}+120 000=123 470,所以估计最多能生产12千件产品.$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x/千件
1
2
3
4
5
6
7
y/元
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.$<img_1801>$观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c\cdot d^{x}分别对两个变量的关系进行拟合.
参考数据:
\overline{x}
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i
10^{0.54}
4
62.14
1.54
140
2 535
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_i.参考公式:对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum\limits^{n}_{i=1} u_{i} v_{i}-n \bar{u} \bar{v}}{\sum\limits_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n \bar{u}^{2}},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(3)已知每件产品的原料成本为10元,若该产品的总成本不得高于123 470元,请估计最多能生产多少千件产品.$

Solution:
$设生产了x千件该产品,生产总成本为g(x)元，则g(x)=3.47\times 10^{0.25x}+x\times 10\times 1 000.易知g(x)=3.47\times 10^{0.25x}+10 000x在其定义域内单调递增,且g(12)=3.47\times 10^{3}+120 000=123 470,所以估计最多能生产12千件产品.$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，会员年龄等级分布图(年龄为整数)如图1，会员一个月内到健身房次数分布扇形图如图2.若将会员按年龄分为“年轻人”(20~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，已知在“健身达人”中有\frac{5}{6}是“年轻人”.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815393077493762/img/compression/M_45c64552ce67a7d4ac517547740493a3.jpg)$
图1　会员年龄等级分布图
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815393077493762/img/compression/M_0c91d08b524308e5c10c4c3a2e42eaa1.jpg)$
图2　会员一个月内到健身房次数分布扇形图
附：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图中的数据，补全下方2\times 2列联表，并判断是否有95%的把握认为是不是“健身达人”与年龄有关；年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计$

Solution:
$由题图1得“年轻人”占比为45.5％＋34.5％=80%，则样本中“年轻人”的人数为100\times 80%=80，“非年轻人”的人数为100-80=20.由题图2得“健身达人”占比为30.1％＋19.2％+10.7％=60%，则样本中“健身达人”的人数为100\times 60%=60，又“健身达人”中有\frac{5}{6}是“年轻人”，所以“健身达人”中“年轻人”的人数为60\times \frac{5}{6}=50，“非年轻人”的人数为60-50=10；“健身爱好者”的人数为100-60=40，其中“年轻人”的人数为80-50=30，“非年轻人”的人数为40-30=10.2\times 2列联表如下：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100可得\chi ^{2}=\frac{100\times (50\times 10-10\times 30)^2}{60\times 40\times 80\times 20}=\frac{25}{24}\approx 1.042<3.841，所以没有95%的把握认为是不是“健身达人”与年龄有关.$

Final answer: 95%