di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x，现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696423504315756547/img/compression/M_37154e2bbdd8c02d0069f394674ae1b4.jpg)
$若函数g(x)=f(x)-2ax+1(x\in [1，2])，求函数g(x)的最小值.$

Solution:
$因为g(x)=f(x)-2ax+1(x\in [1，2])，所以g(x)=x^{2}-2x-2ax+1=x^{2}-2(1+a)x+1(x\in [1，2])，易知y=x^{2}-2(1+a)x+1的图象开口向上，对称轴为直线x=a+1，当a+1\leq 1，即a\leq 0时，g(x)_{min}=g(1)=-2a，(7分)当1<a+1\leq 2，即0<a\leq 1时，g(x)_{min}=g(a+1)=-a^{2}-2a，(8分)当a+1>2，即a>1时，g(x)_{min}=g(2)=1-4a.(9分)\therefore g(x)_{min}=\left\{\begin{matrix}-2a,a\leq 0,\\ -a^2-2a,0<a\leq 1,\\ 1-4a,a>1.\end{matrix}\right.(10分)$

Final answer: $-2a,-a^2-2a,1-4a$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x，现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.$<img_1547>
$若函数g(x)=f(x)-2ax+1(x\in [1，2])，求函数g(x)的最小值.$

Solution:
$因为g(x)=f(x)-2ax+1(x\in [1，2])，所以g(x)=x^{2}-2x-2ax+1=x^{2}-2(1+a)x+1(x\in [1，2])，易知y=x^{2}-2(1+a)x+1的图象开口向上，对称轴为直线x=a+1，当a+1\leq 1，即a\leq 0时，g(x)_{min}=g(1)=-2a，(7分)当1<a+1\leq 2，即0<a\leq 1时，g(x)_{min}=g(a+1)=-a^{2}-2a，(8分)当a+1>2，即a>1时，g(x)_{min}=g(2)=1-4a.(9分)\therefore g(x)_{min}=\left\{\begin{matrix}-2a,a\leq 0,\\ -a^2-2a,0<a\leq 1,\\ 1-4a,a>1.\end{matrix}\right.(10分)$

Final answer: $-2a,-a^2-2a,1-4a$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(\mu g)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696448843691667459/img/compression/M_9c99ddbdc74cd4a64c3c532c0cba1177.jpg)
$写出服药后y与t之间的函数关系式；$

Solution:
$当0\leq t\leq 1时，易知y=6t,当1\leq t\leq 10时，设y=kt+b,分别将(1,6),(10,0)代入，得\left\{\begin{matrix}k+b=6,\\ 10k+b=0,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}k=-\frac{2}{3},\\ b=\frac{20}{3},\end{matrix}\right.\therefore y=-\frac{2}{3}t+\frac{20}{3}.综上，y=\left\{\begin{matrix}6t,0\leq t\leq 1,\\ -\frac{2}{3}t+\frac{20}{3},1<t\leq 10.\end{matrix}\right.$

Final answer: $y=\left\{\begin{matrix}6t,0\leq t\leq 1,\\ -\frac{2}{3}t+\frac{20}{3},1<t\leq 10.\end{matrix}\right.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(\mu g)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696448843691667459/img/compression/M_9c99ddbdc74cd4a64c3c532c0cba1177.jpg)
$据测定：每毫升血液中含药量不少于4 \mu g时治疗疾病有效，若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？$

Solution:
$设第二次服药在第一次服药后的t_{1}小时，则-\frac{2}{3}t_{1}+\frac{20}{3}=4，解得t_{1}=4，故第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后的t_{2}小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有-\frac{2}{3}t_{2}+\frac{20}{3}-\frac{2}{3}(t_{2}-4)+\frac{20}{3}=4，解得t_{2}=9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后的t_{3}小时(易知t_{3}>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即-\frac{2}{3}(t_{3}-4)+\frac{20}{3}-\frac{2}{3}(t_{3}-9)+\frac{20}{3}=4，解得t_{3}=13.5小时，故第四次服药应在20：30.$

Final answer: $第二次服药应在11:00。
第三次服药应在16:00。
第四次服药应在20:30。$
Subfield: Set Theory


Question: $用适当的方法表示下列集合：$
$所有能被3整除的数组成的集合；$

Solution:
$\{x|x=3n，n\in Z\}.$

Final answer: $\{3n | n \in  Z\}$
Subfield: Set Theory


Question: $用适当的方法表示下列集合：$
$图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合；
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480135332831233/img/compression/M_bb9281b76a182d1b9cea478b8eadfc48.jpg)

Solution:
$\left\{\right.(x，y)\left|\right.-1\leq x\leq 2，-\frac{1}{2}\leq y\leq 1，且xy\geq 0\left\}\right..$

Final answer: $(-1, -\frac12), (-1, 0), (-1, \frac12), (0, 0), (0, \frac12), (1, 0), (1, \frac12), (2, 0), (2, \frac12)$
Subfield: Set Theory


Question: $用适当的方法表示下列集合：$
$图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合；
$<img_1552>

Solution:
$\left\{\right.(x，y)\left|\right.-1\leq x\leq 2，-\frac{1}{2}\leq y\leq 1，且xy\geq 0\left\}\right..$

Final answer: $(-1, -\frac12), (-1, 0), (-1, \frac12), (0, 0), (0, \frac12), (1, 0), (1, \frac12), (2, 0), (2, \frac12)$
Subfield: Set Theory


Question: $用适当的方法表示下列集合：$
$满足方程x=|x|，x\in Z的所有x的值组成的集合B.$

Solution:
$因为x=|x|,所以x\geq 0.又因为x\in Z，所以B=\{x|x\in N\}.$

Final answer: $B=\{x|x\in N\}$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233397857431553/img/compression/M_56b8f618af6018e3dbab1be1935b4f3b.jpg)
$\overrightarrow{AO}对应的复数；$

Solution:
$由复数的几何意义，知\overrightarrow{OA}与\overrightarrow{OC}对应的复数分别为3+2i，-2+4i.因为\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}，所以\overrightarrow{AO}对应的复数为-3-2i.$

Final answer: $-3-2i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$<img_2614>
$\overrightarrow{AO}对应的复数；$

Solution:
$由复数的几何意义，知\overrightarrow{OA}与\overrightarrow{OC}对应的复数分别为3+2i，-2+4i.因为\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}，所以\overrightarrow{AO}对应的复数为-3-2i.$

Final answer: $-3-2i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$<img_2614>
$\overrightarrow{CA}对应的复数；$

Solution:
$因为\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{CA}对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.$

Final answer: $5-2i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233397857431553/img/compression/M_56b8f618af6018e3dbab1be1935b4f3b.jpg)
$\overrightarrow{CA}对应的复数；$

Solution:
$因为\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{CA}对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.$

Final answer: $5-2i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$<img_2614>
$\overrightarrow{OB}对应的复数.$

Solution:
$因为\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{OB}对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.$

Final answer: $1+6i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233397857431553/img/compression/M_56b8f618af6018e3dbab1be1935b4f3b.jpg)
$\overrightarrow{OB}对应的复数.$

Solution:
$因为\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{OB}对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.$

Final answer: $1+6i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图，在复平面内有一个平行四边形ABCD，点A对应的复数为-1，\overrightarrow{AB}对应的复数为2+2i,\overrightarrow{BC}对应的复数为z，且\overline{z}=4+4i.$<img_3117>
$求点D对应的复数；$

Solution:
$因为点A对应的复数为-1，所以A(-1,0).因为\overline{z}=4+4i，所以z=4-4i，所以\overrightarrow{BC}=(4,-4)．设D(x,y),则\overrightarrow{AD}=(x+1,y).因为四边形ABCD为平行四边形，所以\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}，即(x+1，y)=(4，-4),解得x=3,y=-4,即D(3,-4),故点D对应的复数为3-4i．$

Final answer: $3-4i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图，在复平面内有一个平行四边形ABCD，点A对应的复数为-1，\overrightarrow{AB}对应的复数为2+2i,\overrightarrow{BC}对应的复数为z，且\overline{z}=4+4i.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664288880685058/img/compression/M_958bf68f2e8f3cc4f381a17b25f24a47.jpg)
$求点D对应的复数；$

Solution:
$因为点A对应的复数为-1，所以A(-1,0).因为\overline{z}=4+4i，所以z=4-4i，所以\overrightarrow{BC}=(4,-4)．设D(x,y),则\overrightarrow{AD}=(x+1,y).因为四边形ABCD为平行四边形，所以\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}，即(x+1，y)=(4，-4),解得x=3,y=-4,即D(3,-4),故点D对应的复数为3-4i．$

Final answer: $3-4i$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图，在复平面内有一个平行四边形ABCD，点A对应的复数为-1，\overrightarrow{AB}对应的复数为2+2i,\overrightarrow{BC}对应的复数为z，且\overline{z}=4+4i.$<img_3117>
$求平行四边形ABCD的面积.$

Solution:
$由题意及(1)可知\overrightarrow{AB}=(2,2)，\overrightarrow{BC}=(4,-4)，所以\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0，故\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}，则平行四边形ABCD为矩形.易得|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{2}，|\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{2}，故平行四边形ABCD的面积为2\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}=16．$

Final answer: $16$
Subfield: Complex Numbers


Question: $如图，在复平面内有一个平行四边形ABCD，点A对应的复数为-1，\overrightarrow{AB}对应的复数为2+2i,\overrightarrow{BC}对应的复数为z，且\overline{z}=4+4i.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664288880685058/img/compression/M_958bf68f2e8f3cc4f381a17b25f24a47.jpg)
$求平行四边形ABCD的面积.$

Solution:
$由题意及(1)可知\overrightarrow{AB}=(2,2)，\overrightarrow{BC}=(4,-4)，所以\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0，故\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}，则平行四边形ABCD为矩形.易得|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{2}，|\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{2}，故平行四边形ABCD的面积为2\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}=16．$

Final answer: $16$
Subfield: Sequence


Question: $观察下列等式：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1662313166519615490/img/editor/compression/4d982daa-8ab9-46f4-9c8d-69035ef5fd47.jpg)$
按照以上式子的规律：$
$写出第5个等式，并猜想第n(n\in N^{*})个等式；$

Solution:
$第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=9^{2}.猜想第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+\ldots +(3n-2)=(2n-1)^{2}，n\in N^{*}.$

Final answer: $(2n-1)^2$
Subfield: Sequence


Question: $观察下列等式：
$<img_3092>$
按照以上式子的规律：$
$写出第5个等式，并猜想第n(n\in N^{*})个等式；$

Solution:
$第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=9^{2}.猜想第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+\ldots +(3n-2)=(2n-1)^{2}，n\in N^{*}.$

Final answer: $(2n-1)^2$
Subfield: Sequence


Question: $观察下列等式：
$<img_3092>$
按照以上式子的规律：$
$用数学归纳法证明(1)中所猜想的第n(n\in N^{*})个等式成立.$

Solution:
$证明：①当n=1时，左边=1，右边=(2-1)^{2}=1，所以等式成立.②假设当n=k(k\geq 1,k\in N^{*})时，等式成立，即k+(k+1)+(k+2)+\ldots +(3k-2)=(2k-1)^{2},则当n=k+1时，(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+\ldots +[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+\ldots +(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+\ldots +(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)^{2}+8k=4k^{2}-4k+1+8k=(2k+1)^{2}=[2(k+1)-1]^{2}，即n=k+1时等式也成立.根据①②，可知对任意n\in N^{*},等式都成立.$
Subfield: Sequence


Question: $观察下列等式：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1662313166519615490/img/editor/compression/4d982daa-8ab9-46f4-9c8d-69035ef5fd47.jpg)$
按照以上式子的规律：$
$用数学归纳法证明(1)中所猜想的第n(n\in N^{*})个等式成立.$

Solution:
$证明：①当n=1时，左边=1，右边=(2-1)^{2}=1，所以等式成立.②假设当n=k(k\geq 1,k\in N^{*})时，等式成立，即k+(k+1)+(k+2)+\ldots +(3k-2)=(2k-1)^{2},则当n=k+1时，(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+\ldots +[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+\ldots +(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+\ldots +(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)^{2}+8k=4k^{2}-4k+1+8k=(2k+1)^{2}=[2(k+1)-1]^{2}，即n=k+1时等式也成立.根据①②，可知对任意n\in N^{*},等式都成立.$

Final answer: 证明题
Subfield: Sequence


Question: $下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一.$<img_2994>$杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，\ldots \ldots ，第10行有11个数.$
$求杨辉三角中第10行的各数之和；$

Solution:
$杨辉三角中第10行的各数之和为C^0_{10}+C^1_{10}+C^2_{10}+\ldots +C^{10}_{10}=2^{10}=1 024.$

Final answer: $1 024$
Subfield: Sequence


Question: $下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661645691412482/img/compression/M_9b018d19996f576e98eac4f92c8a90b8.jpg)$杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，\ldots \ldots ，第10行有11个数.$
$求杨辉三角中第10行的各数之和；$

Solution:
$杨辉三角中第10行的各数之和为C^0_{10}+C^1_{10}+C^2_{10}+\ldots +C^{10}_{10}=2^{10}=1 024.$

Final answer: $1 024$
Subfield: Sequence


Question: $下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一.$<img_2994>$杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，\ldots \ldots ，第10行有11个数.$
$求杨辉三角中第2行到第15行各行的第3个数之和.$

Solution:
$杨辉三角中第2行到第15行各行的第3个数之和为C^2_2+C^2_3+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_3+C^2_3+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_4+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_5+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=\ldots \ldots =C^3_{15}+C^2_{15}=C^3_{16}=\frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}=560.$

Final answer: $560$
Subfield: Sequence


Question: $下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661645691412482/img/compression/M_9b018d19996f576e98eac4f92c8a90b8.jpg)$杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，\ldots \ldots ，第10行有11个数.$
$求杨辉三角中第2行到第15行各行的第3个数之和.$

Solution:
$杨辉三角中第2行到第15行各行的第3个数之和为C^2_2+C^2_3+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_3+C^2_3+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_4+C^2_4+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=C^3_5+C^2_5+\ldots +C^2_{15}=\ldots \ldots =C^3_{15}+C^2_{15}=C^3_{16}=\frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}=560.$

Final answer: $560$
Subfield: Sequence


Question: $侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且最外边第一个正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的面积为a_{1}=1，分别取正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}各边的三等分点A_{2}，B_{2}，C_{2}，D_{2}，作第二个正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}，且正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}的面积为a_{2}，\ldots \ldots ，依次类推，第n个正方形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}的面积为a_{n}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694952942869090306/img/compression/M_55fe41a46d992c881b64a21af5e92a83.jpg)
$求{a_{n}}的通项公式；$

Solution:
$由题图可得(\sqrt{a_{n+1}})^{2}=\left(\frac{1}{3}\sqrt{a_n}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\sqrt{a_n}\right)^2，即a_{n+1}=\frac{5}{9}a_{n}，(3分)\therefore 数列{a_{n}}是以1为首项，\frac{5}{9}为公比的等比数列，\therefore a_{n}=\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\in N^{*}).(5分)$

Final answer: $a_{n}=\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且最外边第一个正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的面积为a_{1}=1，分别取正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}各边的三等分点A_{2}，B_{2}，C_{2}，D_{2}，作第二个正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}，且正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}的面积为a_{2}，\ldots \ldots ，依次类推，第n个正方形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}的面积为a_{n}.$<img_2180>
$求{a_{n}}的通项公式；$

Solution:
$由题图可得(\sqrt{a_{n+1}})^{2}=\left(\frac{1}{3}\sqrt{a_n}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\sqrt{a_n}\right)^2，即a_{n+1}=\frac{5}{9}a_{n}，(3分)\therefore 数列{a_{n}}是以1为首项，\frac{5}{9}为公比的等比数列，\therefore a_{n}=\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\in N^{*}).(5分)$



Final answer: $a_{n}=\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且最外边第一个正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的面积为a_{1}=1，分别取正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}各边的三等分点A_{2}，B_{2}，C_{2}，D_{2}，作第二个正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}，且正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}的面积为a_{2}，\ldots \ldots ，依次类推，第n个正方形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}的面积为a_{n}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694952942869090306/img/compression/M_55fe41a46d992c881b64a21af5e92a83.jpg)
$已知{b_{n}}满足\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_n}{a_n}=2n^{2}-n(n\in N^{*})，问{b_{n}}是否存在最大项?若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$由\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_n}{a_n}=2n^{2}-n①，得当n=1时，\frac{b_1}{a_1}=1，\therefore b_{1}=1，(6分)当n\geq 2时，\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}=2(n-1)^{2}-(n-1)②，(7分)①-②得\frac{b_n}{a_n}=4n-3，\therefore b_{n}=(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\geq 2),(9分)经检验，当n=1时，b_{1}=1也满足上式，\therefore b_{n}=(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\in N^{*}),(10分)令\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(4n+1)\left(\frac{5}{9}\right)^n}{(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}}=\frac{5(4n+1)}{9(4n-3)}>1，解得n<2，\therefore 当n=1时，b_{2}>b_{1}；当n=2时，b_{3}=b_{2}；当n\geq 3时，b_{n+1}<b_{n},\therefore {b_{n}}的最大项为b_{2}或b_{3},且b_{2}=b_{3}=\frac{25}{9}.(12分)$

Final answer: $\frac{25}{9}$
Subfield: Sequence


Question: $侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且最外边第一个正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的面积为a_{1}=1，分别取正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}各边的三等分点A_{2}，B_{2}，C_{2}，D_{2}，作第二个正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}，且正方形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}的面积为a_{2}，\ldots \ldots ，依次类推，第n个正方形A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}的面积为a_{n}.$<img_2180>
$已知{b_{n}}满足\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_n}{a_n}=2n^{2}-n(n\in N^{*})，问{b_{n}}是否存在最大项?若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$由\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_n}{a_n}=2n^{2}-n①，得当n=1时，\frac{b_1}{a_1}=1，\therefore b_{1}=1，(6分)当n\geq 2时，\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots +\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}=2(n-1)^{2}-(n-1)②，(7分)①-②得\frac{b_n}{a_n}=4n-3，\therefore b_{n}=(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\geq 2),(9分)经检验，当n=1时，b_{1}=1也满足上式，\therefore b_{n}=(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}(n\in N^{*}),(10分)令\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(4n+1)\left(\frac{5}{9}\right)^n}{(4n-3)\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}}=\frac{5(4n+1)}{9(4n-3)}>1，解得n<2，\therefore 当n=1时，b_{2}>b_{1}；当n=2时，b_{3}=b_{2}；当n\geq 3时，b_{n+1}<b_{n},\therefore {b_{n}}的最大项为b_{2}或b_{3},且b_{2}=b_{3}=\frac{25}{9}.(12分)$

Final answer: $\frac{25}{9}$
Subfield: Sequence


Question: $如图，曲线y=\sqrt{x}下有一系列正三角形，设第n个正三角形Q_{n-1}P_{n}Q_{n}(Q_{0}为坐标原点)的边长为a_{n}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820250170597377/img/compression/M_f701f297ac3ac8997fa69e0fbaaaf724.jpg)
$求a_{1},a_{2}的值；$

Solution:
$因为\triangle Q_{0}P_{1}Q_{1}为正三角形，且|Q_{0}Q_{1}|=a_{1}>0，所以P_{1}\left(\frac{1}{2}a_1,\frac{\sqrt{3}}{2}a_1\right)，又因为点P_{1}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}a_1}，解得a_{1}=\frac{2}{3}.因为\triangle Q_{1}P_{2}Q_{2}为正三角形，且|Q_{1}Q_{2}|=a_{2}>0，所以P_{2}\left(a_1+\frac{1}{2}a_2,\frac{\sqrt{3}}{2}a_2\right)，又因为点P_{2}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{2}=\sqrt{a_1+\frac{1}{2}a_2}，所以3a^2_2-2a_{2}-\frac{8}{3}=0，解得a_{2}=\frac{4}{3}(负值舍去).所以a_{1}=\frac{2}{3}，a_{2}=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$
Subfield: Sequence


Question: $如图，曲线y=\sqrt{x}下有一系列正三角形，设第n个正三角形Q_{n-1}P_{n}Q_{n}(Q_{0}为坐标原点)的边长为a_{n}.$<img_2708>
$求a_{1},a_{2}的值；$

Solution:
$因为\triangle Q_{0}P_{1}Q_{1}为正三角形，且|Q_{0}Q_{1}|=a_{1}>0，所以P_{1}\left(\frac{1}{2}a_1,\frac{\sqrt{3}}{2}a_1\right)，又因为点P_{1}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}a_1}，解得a_{1}=\frac{2}{3}.因为\triangle Q_{1}P_{2}Q_{2}为正三角形，且|Q_{1}Q_{2}|=a_{2}>0，所以P_{2}\left(a_1+\frac{1}{2}a_2,\frac{\sqrt{3}}{2}a_2\right)，又因为点P_{2}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{2}=\sqrt{a_1+\frac{1}{2}a_2}，所以3a^2_2-2a_{2}-\frac{8}{3}=0，解得a_{2}=\frac{4}{3}(负值舍去).所以a_{1}=\frac{2}{3}，a_{2}=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$
Subfield: Sequence


Question: $如图，曲线y=\sqrt{x}下有一系列正三角形，设第n个正三角形Q_{n-1}P_{n}Q_{n}(Q_{0}为坐标原点)的边长为a_{n}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820250170597377/img/compression/M_f701f297ac3ac8997fa69e0fbaaaf724.jpg)
$记S_{n}为数列{a_{n}}的前n项和，探究a_{n+1}与S_{n}的关系，并求{a_{n}}的通项公式.$

Solution:
$由题可得\triangle Q_{n}P_{n+1}Q_{n+1}是正三角形，点Q_{n}(S_{n},0)，|Q_{n}Q_{n+1}|=a_{n+1}>0，故点P_{n+1}\left(S_n+\frac{1}{2}a_{n+1},\frac{\sqrt{3}}{2}a_{n+1}\right)，因为点P_{n+1}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{n+1}=\sqrt{S_n+\frac{1}{2}a_{n+1}}，即S_{n}=\frac{3}{4}a^2_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n+1}，当n\geq 2时，S_{n-1}=\frac{3}{4}a^2_n-\frac{1}{2}a_{n}，两式相减得a_{n}=\frac{3}{4}a^2_{n+1}- \frac{1}{2}a_{n+1}- \left(\frac{3}{4}a^2_n- \frac{1}{2}a_n\right)(n\geq 2)，整理得(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})=\frac{2}{3}(a_{n+1}+a_{n})(n\geq 2)，又a_{n+1}+a_{n}>0,所以a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{3}(n\geq 2)，又a_{2}-a_{1}=\frac{2}{3}满足上式，所以a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{3}，n\in N_{+}，故数列{a_{n}}是首项为\frac{2}{3}，公差为\frac{2}{3}的等差数列，所以a_{n}=\frac{2}{3}n.$

Final answer: $a_{n}=\frac{2}{3}n$
Subfield: Sequence


Question: $如图，曲线y=\sqrt{x}下有一系列正三角形，设第n个正三角形Q_{n-1}P_{n}Q_{n}(Q_{0}为坐标原点)的边长为a_{n}.$<img_2708>
$记S_{n}为数列{a_{n}}的前n项和，探究a_{n+1}与S_{n}的关系，并求{a_{n}}的通项公式.$

Solution:
$由题可得\triangle Q_{n}P_{n+1}Q_{n+1}是正三角形，点Q_{n}(S_{n},0)，|Q_{n}Q_{n+1}|=a_{n+1}>0，故点P_{n+1}\left(S_n+\frac{1}{2}a_{n+1},\frac{\sqrt{3}}{2}a_{n+1}\right)，因为点P_{n+1}在曲线y=\sqrt{x}上，所以\frac{\sqrt{3}}{2}a_{n+1}=\sqrt{S_n+\frac{1}{2}a_{n+1}}，即S_{n}=\frac{3}{4}a^2_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n+1}，当n\geq 2时，S_{n-1}=\frac{3}{4}a^2_n-\frac{1}{2}a_{n}，两式相减得a_{n}=\frac{3}{4}a^2_{n+1}- \frac{1}{2}a_{n+1}- \left(\frac{3}{4}a^2_n- \frac{1}{2}a_n\right)(n\geq 2)，整理得(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})=\frac{2}{3}(a_{n+1}+a_{n})(n\geq 2)，又a_{n+1}+a_{n}>0,所以a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{3}(n\geq 2)，又a_{2}-a_{1}=\frac{2}{3}满足上式，所以a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{3}，n\in N_{+}，故数列{a_{n}}是首项为\frac{2}{3}，公差为\frac{2}{3}的等差数列，所以a_{n}=\frac{2}{3}n.$

Final answer: $a_{n}=\frac{2}{3}n$
Subfield: Sequence


Question: $如图，过点P_{1}(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{1}(0,1)，曲线在点Q_{1}处的切线与x轴交于点P_{2}，再过点P_{2}作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P_{1}，Q_{1}；P_{2}，Q_{2}；\ldots ；P_{n}，Q_{n}.记点P_{k}的坐标为(x_{k},0)(k=1,2,\ldots ,n).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820315370061826/img/compression/M_f93e041241c489626eb410d63db65b87.jpg)
$试求x_{k}与x_{k-1}的关系(2\leq k\leq n，且k\in N)；$

Solution:
$因为点P_{k-1}的坐标是(x_{k-1},0)，所以点Q_{k-1}的坐标是(x_{k-1},e^{x_{k-1}}).因为y=e^{x}，所以y'=e^{x}，故曲线y=e^{x}在点Q_{k-1}(x_{k-1},e^{x_{k-1}})处的切线方程是y-e^{x_{k-1}}=e^{x_{k-1}}(x-x_{k-1})，令y=0，则x=x_{k}=x_{k-1}-1(2\leq k\leq n，且k\in N).$

Final answer: $x_{k}=x_{k-1}-1$
Subfield: Sequence


Question: $如图，过点P_{1}(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{1}(0,1)，曲线在点Q_{1}处的切线与x轴交于点P_{2}，再过点P_{2}作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P_{1}，Q_{1}；P_{2}，Q_{2}；\ldots ；P_{n}，Q_{n}.记点P_{k}的坐标为(x_{k},0)(k=1,2,\ldots ,n).$<img_2987>
$试求x_{k}与x_{k-1}的关系(2\leq k\leq n，且k\in N)；$

Solution:
$因为点P_{k-1}的坐标是(x_{k-1},0)，所以点Q_{k-1}的坐标是(x_{k-1},e^{x_{k-1}}).因为y=e^{x}，所以y'=e^{x}，故曲线y=e^{x}在点Q_{k-1}(x_{k-1},e^{x_{k-1}})处的切线方程是y-e^{x_{k-1}}=e^{x_{k-1}}(x-x_{k-1})，令y=0，则x=x_{k}=x_{k-1}-1(2\leq k\leq n，且k\in N).$

Final answer: $x_{k}=x_{k-1}-1$
Subfield: Sequence


Question: $如图，过点P_{1}(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{1}(0,1)，曲线在点Q_{1}处的切线与x轴交于点P_{2}，再过点P_{2}作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P_{1}，Q_{1}；P_{2}，Q_{2}；\ldots ；P_{n}，Q_{n}.记点P_{k}的坐标为(x_{k},0)(k=1,2,\ldots ,n).$<img_2987>
$求|P_{1}Q_{1}|+|P_{2}Q_{2}|+|P_{3}Q_{3}|+\ldots +|P_{n}Q_{n}|.$

Solution:
$因为x_{1}=0，x_{k}-x_{k-1}=-1，所以数列{x_{k}}是首项为0，公差为-1的等差数列，故x_{k}=-(k-1)(2\leq k\leq n,且k\in N)，所以|P_{k}Q_{k}|=e^{x_{k}}=e^{-(k-1)}，则\frac{|P_kQ_k|}{|P_{k-1}Q_{k-1}|}=\frac{\mathrm{e}^{-(k-1)}}{\mathrm{e}^{-(k-2)}}=e^{-1}(2\leq k\leq n,且k\in N)，所以|P_{1}Q_{1}|+|P_{2}Q_{2}|+|P_{3}Q_{3}|+\ldots +|P_{n}Q_{n}|=1+e^{-1}+e^{-2}+\ldots +e^{-(n-1)}=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{1-\mathrm{e}^{-1}}=\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{1-n}}{\mathrm{e}-1}.$

Final answer: $\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{1-n}}{\mathrm{e}-1}$
Subfield: Sequence


Question: $如图，过点P_{1}(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{1}(0,1)，曲线在点Q_{1}处的切线与x轴交于点P_{2}，再过点P_{2}作x轴的垂线交曲线y=e^{x}于点Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P_{1}，Q_{1}；P_{2}，Q_{2}；\ldots ；P_{n}，Q_{n}.记点P_{k}的坐标为(x_{k},0)(k=1,2,\ldots ,n).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820315370061826/img/compression/M_f93e041241c489626eb410d63db65b87.jpg)
$求|P_{1}Q_{1}|+|P_{2}Q_{2}|+|P_{3}Q_{3}|+\ldots +|P_{n}Q_{n}|.$

Solution:
$因为x_{1}=0，x_{k}-x_{k-1}=-1，所以数列{x_{k}}是首项为0，公差为-1的等差数列，故x_{k}=-(k-1)(2\leq k\leq n,且k\in N)，所以|P_{k}Q_{k}|=e^{x_{k}}=e^{-(k-1)}，则\frac{|P_kQ_k|}{|P_{k-1}Q_{k-1}|}=\frac{\mathrm{e}^{-(k-1)}}{\mathrm{e}^{-(k-2)}}=e^{-1}(2\leq k\leq n,且k\in N)，所以|P_{1}Q_{1}|+|P_{2}Q_{2}|+|P_{3}Q_{3}|+\ldots +|P_{n}Q_{n}|=1+e^{-1}+e^{-2}+\ldots +e^{-(n-1)}=\frac{1-\mathrm{e}^{-n}}{1-\mathrm{e}^{-1}}=\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{1-n}}{\mathrm{e}-1}.$

Final answer: $\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{1-n}}{\mathrm{e}-1}$
Subfield: Logic


Question: $某校高三年级267名学生参加期末考试，其中某班37名学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况分别如图①、图②所示，甲、乙、丙为该班三名学生.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930078598004737/img/editor/compression/6048a593-36f7-43c1-8f19-85dd844054ef.png)
$在语文和数学两个科目中，丙同学本次考试的成绩名次更靠前的科目是　　　　.$

Solution:
$因为同一个人的总成绩是不会变的，在题图②中丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩为班里倒数第5,所以在题图①中从右往左数第5个点表示的就是丙，可知这个点的位置比题图②中丙的位置高，所以语文名次更“靠后”，即丙同学本次考试的数学成绩更靠前.$

Final answer: $数学$
Subfield: Sequence


Question: $1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702935461425152002/img/editor/compression/f7507bd3-796a-43dc-933a-f07e66abc363.png)
$这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？$

Solution:
$观察可知，每行(列)的数字构成等差数列，且第N行和第N列的数是一样的，第X行第Y列的数等于第Y行第X列的数.$

Final answer: $每行的数字构成等差数列，且第N行和第N列的数是一样的，第X行第Y列的数等于第Y行第X列的数。$
Subfield: Sequence


Question: $1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：$<img_1609>
$“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？$

Solution:
$设第一列的数字构成的等差数列为{a_{n}}，易知其首项为4，公差为3，则a_{n}=a_{1}＋3(n-1)=4+3(n-1)=3n+1，故第100行的第一个数为a_{100}=301.易知第一行的等差数列的公差是3，第二行的等差数列的公差是5，第三行的等差数列的公差是7，\ldots \ldots ，则第100行的等差数列的公差是2\times 100+1=201，所以第100行的第100个数是301＋201\times (100-1)=20 200.$

Final answer: $20200$
Subfield: Sequence


Question: $1934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702935461425152002/img/editor/compression/f7507bd3-796a-43dc-933a-f07e66abc363.png)
$“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？$

Solution:
$设第一列的数字构成的等差数列为{a_{n}}，易知其首项为4，公差为3，则a_{n}=a_{1}＋3(n-1)=4+3(n-1)=3n+1，故第100行的第一个数为a_{100}=301.易知第一行的等差数列的公差是3，第二行的等差数列的公差是5，第三行的等差数列的公差是7，\ldots \ldots ，则第100行的等差数列的公差是2\times 100+1=201，所以第100行的第100个数是301＋201\times (100-1)=20 200.$

Final answer: $20200$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，一个正方形花圃被分成5份.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040103746605058/img/editor/compression/b36cd53d-86ad-4c0d-8a65-cb4dd53c6b19.png)
$若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法；$

Solution:
$当种5种颜色不同的花时，有A^5_5=120种不同的种植方法，当种4种颜色不同的花时，5种颜色选4种，共有C^4_5种不同的选法，从(A，E)，(C，E)，(B，C)中选一组种同颜色的花，余下3种颜色全排列，则有C^4_5C^1_4C^1_3A^3_3=360种不同的种植方法，当种3种颜色不同的花时，5种颜色选3种，共有C^3_5种不同的选法，D位置任选一种，余下2种颜色在(A，E)，(B，C)分别种相同颜色，则有C^3_5C^1_3A^2_2=60种不同的种植方法，所以共有120+360+60=540种不同的种植方法.$

Final answer: $540$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，一个正方形花圃被分成5份.$<img_2734>
$若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法；$

Solution:
$当种5种颜色不同的花时，有A^5_5=120种不同的种植方法，当种4种颜色不同的花时，5种颜色选4种，共有C^4_5种不同的选法，从(A，E)，(C，E)，(B，C)中选一组种同颜色的花，余下3种颜色全排列，则有C^4_5C^1_4C^1_3A^3_3=360种不同的种植方法，当种3种颜色不同的花时，5种颜色选3种，共有C^3_5种不同的选法，D位置任选一种，余下2种颜色在(A，E)，(B，C)分别种相同颜色，则有C^3_5C^1_3A^2_2=60种不同的种植方法，所以共有120+360+60=540种不同的种植方法.$

Final answer: $540$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，一个正方形花圃被分成5份.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040103746605058/img/editor/compression/b36cd53d-86ad-4c0d-8a65-cb4dd53c6b19.png)
$若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？$

Solution:
$易知7个不同的盆栽有{3，1，1，1，1}、{2，2，1，1，1}两种分组方式，以{3，1，1，1，1}分组，则有C^3_7A^5_5=4 200种不同的放法，以{2，2，1，1，1}分组，则有\frac{\mathrm{C}^2_7\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{A}^2_2}\cdot A^5_5=12 600种不同的放法，所以共有4 200+12 600=16 800种不同的放法.$

Final answer: $16800$