di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高级中学全体学生参加了《安全教育知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40,100]内，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800，1 000，1 200，现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了样本频率分布直方图(如图所示).$<img_2676>
$(2)已知所抽取的各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩(单位：分)的平均数和高二年级学生成绩的方差.



年级
样本平均数
样本方差


高一
60
75


高二
63



高三

55



$

Solution:
$记高一、高二、高三年级学生成绩(单位：分)的平均数分别为\overline{x}_{1},\overline{x}_{2},\overline{x}_{3}，方差分别为s^2_1,s^2_2,s^2_3，显然样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人，100人，120人，\overline{x}=\frac{80}{300}\overline{x}_{1}+\frac{100}{300}\overline{x}_{2}+\frac{120}{300}\overline{x}_{3}=\frac{80}{300}\times 60+\frac{100}{300}\times 63+\frac{120}{300}\overline{x}_{3}=69，解得\overline{x}_{3}=80，(8分)s^{2}=\frac{80}{300}[(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+s^2_1]+\frac{100}{300}[(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}+s^2_2]+\frac{120}{300}[(\overline{x}_{3}-\overline{x})^{2}+s^2_3]=\frac{80}{300}[(60-69)^{2}+75]+\frac{100}{300}[(63-69)^{2}+s^2_2]+\frac{120}{300}[(80-69)^{2}+55]=\frac{208}{5}+12+\frac{1}{3}s^2_2+\frac{352}{5}=124+\frac{1}{3}s^2_2=140，解得s^2_2=48，所以高三年级学生成绩(单位：分)的平均数为80，高二年级学生成绩的方差为48.(12分)$

Final answer: $80, 48$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958666292109315/img/compression/M_98f9526f8275372cf05edbae2de1f980.jpg)
$(1)试估计这100名学生成绩的众数、中位数；(中位数保留小数点后2位)$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，成绩在[70,80)内的频率最大，故估计众数为75分.(2分)因为成绩在[40,70)内的频率为10\times (0.010+0.015+0.020)=0.45，在[40,80)内的频率为0.45+0.030\times 10=0.75,所以中位数在[70,80)内，(3分)设中位数为m分，则(m-70)\times 0.03=0.5-0.45，解得m\approx 71.67.故估计这100名学生的成绩的中位数为71.67分.(5分)$

Final answer: $75, 71.67$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$<img_2630>
$(1)试估计这100名学生成绩的众数、中位数；(中位数保留小数点后2位)$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，成绩在[70,80)内的频率最大，故估计众数为75分.(2分)因为成绩在[40,70)内的频率为10\times (0.010+0.015+0.020)=0.45，在[40,80)内的频率为0.45+0.030\times 10=0.75,所以中位数在[70,80)内，(3分)设中位数为m分，则(m-70)\times 0.03=0.5-0.45，解得m\approx 71.67.故估计这100名学生的成绩的中位数为71.67分.(5分)$

Final answer: $75, 71.67$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958666292109315/img/compression/M_98f9526f8275372cf05edbae2de1f980.jpg)
$(2)试估计这100名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图，可得这100名学生成绩的平均数约为(45\times 0.01+55\times 0.015+65\times 0.02+75\times 0.03+85\times 0.015+95\times 0.01)\times 10=70.5(分).(8分)$

Final answer: $70.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$<img_2630>
$(2)试估计这100名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图，可得这100名学生成绩的平均数约为(45\times 0.01+55\times 0.015+65\times 0.02+75\times 0.03+85\times 0.015+95\times 0.01)\times 10=70.5(分).(8分)$

Final answer: $70.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$<img_2630>
$(3)现在按分层随机抽样的方法在[80,90)和[90,100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人的成绩在[90,100]内的概率.$

Solution:
$成绩在[80,90)内的有100\times (0.015\times 10)=15人，成绩在[90,100]内的有100\times (0.01\times 10)=10人，所以在[80,90)这组中抽取5\times \frac{15}{10+15}=3人，分别记为a，b，c，在[90,100]这组中抽取2人，分别记为1，2， (10分)所以从这5人中随机抽取2人的情况有(a，b),(a，c),(b，c),(a，1),(a，2),(b，1),(b，2),(c，1),(c，2),(1，2)，共10种，至少有一人的成绩在[90,100]内的情况有7种，所以所求概率为\frac{7}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将成绩(单位：分)分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，统计结果如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958666292109315/img/compression/M_98f9526f8275372cf05edbae2de1f980.jpg)
$(3)现在按分层随机抽样的方法在[80,90)和[90,100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人的成绩在[90,100]内的概率.$

Solution:
$成绩在[80,90)内的有100\times (0.015\times 10)=15人，成绩在[90,100]内的有100\times (0.01\times 10)=10人，所以在[80,90)这组中抽取5\times \frac{15}{10+15}=3人，分别记为a，b，c，在[90,100]这组中抽取2人，分别记为1，2， (10分)所以从这5人中随机抽取2人的情况有(a，b),(a，c),(b，c),(a，1),(a，2),(b，1),(b，2),(c，1),(c，2),(1，2)，共10种，至少有一人的成绩在[90,100]内的情况有7种，所以所求概率为\frac{7}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958653361070082/img/compression/M_590dea7958612e89081d6d120da7cdc6.jpg)
$(1)成绩在[80,90)内的频数、频率分别是多少？$

Solution:
$由题图可得，成绩在[50，60)内的频率为0.015\times 10=0.15，成绩在[60，70)内的频率为0.025\times 10=0.25，成绩在[70，80)内的频率为0.035\times 10=0.35，成绩在[90，100]内的频率为0.005\times 10=0.05，则成绩在[80，90)内的频率为[1-(0.15+0.25+0.35+0.05)]\div 2=0.1，(2分)其频数为40\times 0.1=4.(4分)$

Final answer: $0.1, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$<img_2826>
$(1)成绩在[80,90)内的频数、频率分别是多少？$

Solution:
$由题图可得，成绩在[50，60)内的频率为0.015\times 10=0.15，成绩在[60，70)内的频率为0.025\times 10=0.25，成绩在[70，80)内的频率为0.035\times 10=0.35，成绩在[90，100]内的频率为0.005\times 10=0.05，则成绩在[80，90)内的频率为[1-(0.15+0.25+0.35+0.05)]\div 2=0.1，(2分)其频数为40\times 0.1=4.(4分)$

Final answer: $0.1, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$<img_2826>
$(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；(同一组中数据用该组区间中点值作代表)$

Solution:
$估计这次竞赛成绩的平均数为45\times 0.1+55\times 0.15+65\times 0.25+75\times 0.35+85\times 0.1+95\times 0.05=68.5(分).(6分)因为0.1+0.15+0.25=0.5,所以估计这次竞赛成绩的中位数为70分.(8分)$

Final answer: $68.5, 70$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958653361070082/img/compression/M_590dea7958612e89081d6d120da7cdc6.jpg)
$(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；(同一组中数据用该组区间中点值作代表)$

Solution:
$估计这次竞赛成绩的平均数为45\times 0.1+55\times 0.15+65\times 0.25+75\times 0.35+85\times 0.1+95\times 0.05=68.5(分).(6分)因为0.1+0.15+0.25=0.5,所以估计这次竞赛成绩的中位数为70分.(8分)$

Final answer: $68.5, 70$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$<img_2826>
$(3)从成绩是80分及以上的学生中选两人，求他们的成绩在同一分数段的概率.$

Solution:
$记“取出的2人的成绩在同一分数段”为事件E，易得成绩在[80，90)内的人数为40\times 0.1=4，设这4个人分别为a，b，c，d，成绩在[90，100]内的人数为40\times 0.05=2，设这2个人分别为A，B，(10分)从这6人中选出2人，所有样本点有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15个，其中事件E包含的样本点有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(A,B)，共7个，则P(E)=\frac{7}{15}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958653361070082/img/compression/M_590dea7958612e89081d6d120da7cdc6.jpg)
$(3)从成绩是80分及以上的学生中选两人，求他们的成绩在同一分数段的概率.$

Solution:
$记“取出的2人的成绩在同一分数段”为事件E，易得成绩在[80，90)内的人数为40\times 0.1=4，设这4个人分别为a，b，c，d，成绩在[90，100]内的人数为40\times 0.05=2，设这2个人分别为A，B，(10分)从这6人中选出2人，所有样本点有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15个，其中事件E包含的样本点有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(A,B)，共7个，则P(E)=\frac{7}{15}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题)，从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]六组，得到如下频率分布直方图.$<img_2431>
$(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$估计这组数据的平均数为(1\times 0.025 0+3\times 0.025 0+5\times 0.037 5+7\times 0.125 0+9\times 0.187 5+11\times 0.100 0)\times 2=7.9.$

Final answer: $7.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题)，从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]六组，得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236722530963457/img/compression/M_e105f25d528e58df982d500f09db16d9.jpg)
$(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$估计这组数据的平均数为(1\times 0.025 0+3\times 0.025 0+5\times 0.037 5+7\times 0.125 0+9\times 0.187 5+11\times 0.100 0)\times 2=7.9.$

Final answer: $7.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题)，从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]六组，得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236722530963457/img/compression/M_e105f25d528e58df982d500f09db16d9.jpg)
$(2)若从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.$

Solution:
$由题图可知，答对题数在[2,4)内的学生有0.025 0\times 2\times 40=2(人)，分别记为A，B；答对题数在[4,6)内的学生有0.037 5\times 2\times 40=3(人)，分别记为c，d，e.从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人的情况有(A,B)，(A,c)，(A,d)，(A,e)，(B,c)，(B,d)，(B,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有(A,c)，(A,d)，(A,e)，(B,c)，(B,d)，(B,e)，共6种，故所求概率P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题)，从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]六组，得到如下频率分布直方图.$<img_2431>
$(2)若从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.$

Solution:
$由题图可知，答对题数在[2,4)内的学生有0.025 0\times 2\times 40=2(人)，分别记为A，B；答对题数在[4,6)内的学生有0.037 5\times 2\times 40=3(人)，分别记为c，d，e.从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人的情况有(A,B)，(A,c)，(A,d)，(A,e)，(B,c)，(B,d)，(B,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有(A,c)，(A,d)，(A,e)，(B,c)，(B,d)，(B,e)，共6种，故所求概率P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x(10\leq x\leq 20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示.该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供大于求，则剩余的降价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，则可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236730559115265/img/compression/M_8421b5185ca308e6674afbb73bd9c0ac.jpg)
$(1)求y关于x的函数表达式；$

Solution:
$由题意可得，y关于x的函数表达式为y=\left\{\begin{matrix}50\times 14+30\times (x-14),14\leq x\leq 20,\\ 50x-10\times (14-x),10\leq x<14,\end{matrix}\right.化简，得y=\left\{\begin{matrix}30x+280,14\leq x\leq 20,\\ 60x-140,10\leq x<14.\end{matrix}\right.$

Final answer: $y=30x+280, 14\leq x\leq 20
y=60x-140, 10\leq x<14$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x(10\leq x\leq 20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示.该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供大于求，则剩余的降价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，则可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236730559115265/img/compression/M_8421b5185ca308e6674afbb73bd9c0ac.jpg)
$(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜的平均日利润；②估计日利润在区间[580,760)内的概率.$

Solution:
$①由题中的频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10,12)内的频率是2\times 0.08=0.16，在区间[12,14)内的频率是2\times 0.12=0.24,在区间[14,16)内的频率是2\times 0.15=0.30,在区间[16,18)内的频率是2\times 0.10=0.20,在区间[18,20]内的频率是2\times 0.05=0.10,这50天商店销售该海鲜的平均日利润为(11\times 60-140)\times 0.16+(13\times 60-140)\times 0.24+(15\times 30+280)\times 0.30+(17\times 30+280)\times 0.20+(19\times 30+280)\times 0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).②由于x=14时，30\times 14+280=60\times 14-140=700,所以y=\left\{\begin{matrix}30x+280,14\leq x\leq 20,\\ 60x-140,10\leq x<14\end{matrix}\right.在区间[10,20]上单调递增,因为580<700<760,所以令60x-140=580,解得x=12;令30x+280=760,解得x=16.所以海鲜需求量在区间[12,16)内的频率即为日利润在区间[580,760)内的概率.所以所求概率为0.24+0.30=0.54.$

Final answer: $①求这50天商店销售该海鲜的平均日利润为698.8元。
②估计日利润在区间[580,760)内的概率为0.54。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x(10\leq x\leq 20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示.该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供大于求，则剩余的降价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，则可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.$<img_2387>
$(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜的平均日利润；$

Solution:
$①由题中的频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10,12)内的频率是2\times 0.08=0.16，在区间[12,14)内的频率是2\times 0.12=0.24,在区间[14,16)内的频率是2\times 0.15=0.30,在区间[16,18)内的频率是2\times 0.10=0.20,在区间[18,20]内的频率是2\times 0.05=0.10,这50天商店销售该海鲜的平均日利润为(11\times 60-140)\times 0.16+(13\times 60-140)\times 0.24+(15\times 30+280)\times 0.30+(17\times 30+280)\times 0.20+(19\times 30+280)\times 0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).②由于x=14时，30\times 14+280=60\times 14-140=700,所以y=\left\{\begin{matrix}30x+280,14\leq x\leq 20,\\ 60x-140,10\leq x<14\end{matrix}\right.在区间[10,20]上单调递增,因为580<700<760,所以令60x-140=580,解得x=12;令30x+280=760,解得x=16.所以海鲜需求量在区间[12,16)内的频率即为日利润在区间[580,760)内的概率.所以所求概率为0.24+0.30=0.54.$



Final answer: $698.8$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_b3a474b6154b9f5d8d9a5f6d19811418.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_8690fb9bbb4afd53ec8193213671f3f8.jpg)$图2$
$(1)求图1中a的值；$

Solution:
$依题意，4\times (a+0.075 0+0.075 0+0.025 0+0.012 5+0.012 5)=1，解得a=0.050 0.$

Final answer: $0.0500$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$<img_1607>$图1$<img_2014>$图2$
$(1)求图1中a的值；$

Solution:
$依题意，4\times (a+0.075 0+0.075 0+0.025 0+0.012 5+0.012 5)=1，解得a=0.050 0.$

Final answer: $0.0500$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$<img_1607>$图1$<img_2014>$图2$
$(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由题图2可知年龄区间为[16，20)，[20，24)，[24，28)，[28，32)，[32，36)，[36，40]的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1，所以估计参赛男运动员的平均年龄为18\times 0.1+22\times 0.3+26\times 0.2+30\times 0.2+34\times 0.1+38\times 0.1=26.8(周岁).故估计参赛男运动员的平均年龄为26.8周岁.$

Final answer: $26.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_b3a474b6154b9f5d8d9a5f6d19811418.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_8690fb9bbb4afd53ec8193213671f3f8.jpg)$图2$
$(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由题图2可知年龄区间为[16，20)，[20，24)，[24，28)，[28，32)，[32，36)，[36，40]的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1，所以估计参赛男运动员的平均年龄为18\times 0.1+22\times 0.3+26\times 0.2+30\times 0.2+34\times 0.1+38\times 0.1=26.8(周岁).故估计参赛男运动员的平均年龄为26.8周岁.$

Final answer: $26.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$<img_1607>$图1$<img_2014>$图2$
$(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24)周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人.记这9人中年龄区间在[20，24)周岁的运动员有m人，再从这m人中抽取2人，求这2人是异性的概率.$

Solution:
$由(1)及题图1可知年龄区间在[16，20)周岁的女运动员有0.050 0\times 4\times 100=20(人)，年龄区间在[20，24)周岁的女运动员有0.075 0\times 4\times 100=30(人)，由题图2可知年龄区间在[16，20)和[20，24)周岁的男运动员分别有10人和30人，故用分层抽样方法可得女运动员年龄在区间[16，20)和[20，24)应分别抽取2人和3人，男运动员年龄在区间[16，20)和[20，24)应分别抽取1人和3人.所以抽取的9人中年龄在[20，24)的有6人，故m=6.记这6人中年龄在[20，24)的3名女运动员分别为A，B，C，3名男运动员分别为a，b，c，从这6人中抽取2人的所有样本点有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15个.记抽取2人是异性为事件M，则事件M包含的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9个.所以P(M)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄(单位：周岁)进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内)，经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_b3a474b6154b9f5d8d9a5f6d19811418.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236688913870849/img/compression/M_8690fb9bbb4afd53ec8193213671f3f8.jpg)$图2$
$(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24)周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人.记这9人中年龄区间在[20，24)周岁的运动员有m人，再从这m人中抽取2人，求这2人是异性的概率.$

Solution:
$由(1)及题图1可知年龄区间在[16，20)周岁的女运动员有0.050 0\times 4\times 100=20(人)，年龄区间在[20，24)周岁的女运动员有0.075 0\times 4\times 100=30(人)，由题图2可知年龄区间在[16，20)和[20，24)周岁的男运动员分别有10人和30人，故用分层抽样方法可得女运动员年龄在区间[16，20)和[20，24)应分别抽取2人和3人，男运动员年龄在区间[16，20)和[20，24)应分别抽取1人和3人.所以抽取的9人中年龄在[20，24)的有6人，故m=6.记这6人中年龄在[20，24)的3名女运动员分别为A，B，C，3名男运动员分别为a，b，c，从这6人中抽取2人的所有样本点有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15个.记抽取2人是异性为事件M，则事件M包含的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9个.所以P(M)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了这三部国庆档大片中的一部，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下.$<img_1496>
$(1)计算图中a,b,c的值；$

Solution:
$由题意可得\left\{\begin{matrix}27+a+b+4=46,\\ 30+a+c+4=49,\\ 18+b+c+4=34,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=9,\\ b=6,\\ c=6.\end{matrix}\right.$

Final answer: $9,6,6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了这三部国庆档大片中的一部，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661692763607042/img/compression/M_35f5668995fe024a32ded65679648e0b.jpg)
$(1)计算图中a,b,c的值；$

Solution:
$由题意可得\left\{\begin{matrix}27+a+b+4=46,\\ 30+a+c+4=49,\\ 18+b+c+4=34,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=9,\\ b=6,\\ c=6.\end{matrix}\right.$

Final answer: $9,6,6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了这三部国庆档大片中的一部，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下.$<img_1496>
$(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层随机抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的数学期望.$

Solution:
$记“只观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；“只观看了《中国机长》和《攀登者》”的为B组，共6人；“只观看了《我和我的祖国》和《攀登者》”的为C组，共6人.所以按分层随机抽样，A,B,C组被抽取的人数分别为9\times \frac{7}{21}=3，6\times \frac{7}{21}=2，6\times \frac{7}{21}=2.在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，所以X的可能取值为0,1,2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^4_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{1}{7}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{4}{7}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{2}{7}，所以X的分布列为X012P\frac{1}{7}\frac{4}{7}\frac{2}{7}所以X的数学期望EX=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}.$



Final answer: $8/7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了这三部国庆档大片中的一部，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661692763607042/img/compression/M_35f5668995fe024a32ded65679648e0b.jpg)
$(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层随机抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望.$

Solution:
$记“只观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；“只观看了《中国机长》和《攀登者》”的为B组，共6人；“只观看了《我和我的祖国》和《攀登者》”的为C组，共6人.所以按分层随机抽样，A,B,C组被抽取的人数分别为9\times \frac{7}{21}=3，6\times \frac{7}{21}=2，6\times \frac{7}{21}=2.在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，所以X的可能取值为0,1,2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^4_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{1}{7}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{4}{7}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^4_7}=\frac{2}{7}，所以X的分布列为X012P\frac{1}{7}\frac{4}{7}\frac{2}{7}所以X的数学期望EX=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}.$

Final answer: $X的分布列为：X=0,P=1/7；X=1,P=4/7；X=2,P=2/7。
X的数学期望为：EX=8/7。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛并记录成绩(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图.$<img_3001>
$(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名学生，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；$

Solution:
$每名学生得分低于70分的概率为1-(0.04+0.02)\times 10=0.4，不低于80分的概率为0.02\times 10=0.2.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C^1_2\times 0.4\times 0.2=\frac{4}{25}.$

Final answer: $\frac{4}{25}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛并记录成绩(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661693384364036/img/compression/M_17da02895f2cdbd4cffc681e5f0f3414.jpg)
$(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名学生，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；$

Solution:
$每名学生得分低于70分的概率为1-(0.04+0.02)\times 10=0.4，不低于80分的概率为0.02\times 10=0.2.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C^1_2\times 0.4\times 0.2=\frac{4}{25}.$

Final answer: $\frac{4}{25}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛并记录成绩(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图.$<img_3001>
$(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X的数学期望.$

Solution:
$由频率分布直方图可得选出的8人中，分数在[60,70)中的有2人，分数在[70,90]中的有6人，所以X的可能取值为1，2，3,则P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{3}{28},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{14}.所以X的分布列为X123P\frac{3}{28}\frac{15}{28}\frac{5}{14}故EX=1\times \frac{3}{28}+2\times \frac{15}{28}+3\times \frac{5}{14}=\frac{9}{4}.$



Final answer: $9/4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛并记录成绩(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661693384364036/img/compression/M_17da02895f2cdbd4cffc681e5f0f3414.jpg)
$(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及数学期望.$

Solution:
$由频率分布直方图可得选出的8人中，分数在[60,70)中的有2人，分数在[70,90]中的有6人，所以X的可能取值为1，2，3,则P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{3}{28},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{14}.所以X的分布列为X123P\frac{3}{28}\frac{15}{28}\frac{5}{14}故EX=1\times \frac{3}{28}+2\times \frac{15}{28}+3\times \frac{5}{14}=\frac{9}{4}.$

Final answer: $P(X=1)=3/28,P(X=2)=15/28,P(X=3)=5/14,EX=9/4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如图所示的频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.$<img_2507>
$(1)估计这100人体重数据的平均值\mu 和方差\sigma ^{2}；(结果取整数，同一组数据用该组区间的中点值作代表)$

Solution:
$\mu =(47.5+72.5)\times 0.004\times 5+(52.5+67.5)\times 0.026\times 5+(57.5+62.5)\times 0.07\times 5=60.\sigma ^{2}=[(47.5-60)^{2}+(72.5-60)^{2}]\times 0.02+[(52.5-60)^{2}+(67.5-60)^{2}]\times 0.13+[(57.5-60)^{2}+(62.5-60)^{2}]\times 0.35\approx 25.$

Final answer: $60, 25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如图所示的频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661700858613762/img/compression/M_c1524418e459dbee019e7b487bb0351b.jpg)
$(1)估计这100人体重数据的平均值\mu 和方差\sigma ^{2}；(结果取整数，同一组数据用该组区间的中点值作代表)$

Solution:
$\mu =(47.5+72.5)\times 0.004\times 5+(52.5+67.5)\times 0.026\times 5+(57.5+62.5)\times 0.07\times 5=60.\sigma ^{2}=[(47.5-60)^{2}+(72.5-60)^{2}]\times 0.02+[(52.5-60)^{2}+(67.5-60)^{2}]\times 0.13+[(57.5-60)^{2}+(62.5-60)^{2}]\times 0.35\approx 25.$

Final answer: $60, 25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如图所示的频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661700858613762/img/compression/M_c1524418e459dbee019e7b487bb0351b.jpg)
$(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生，其体重在[55，65)的概率为0.7.随机抽取3人，相当于3重伯努利试验，随机变量X服从二项分布B(3，0.7)，P(X=0)=C^0_3\times 0.7^{0}\times 0.3^{3}=0.027，P(X=1)=C^1_3\times 0.7\times 0.3^{2}=0.189，P(X=2)=C^2_3\times 0.7^{2}\times 0.3=0.441，P(X=3)=C^3_3\times 0.7^{3}\times 0.3^{0}=0.343，所以X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343EX=3\times 0.7=2.1.$

Final answer: $X的分布列为X=0,1,2,3，P=0.027,0.189,0.441,0.343，数学期望为2.1。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如图所示的频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.$<img_2507>
$(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生，其体重在[55，65)的概率为0.7.随机抽取3人，相当于3重伯努利试验，随机变量X服从二项分布B(3，0.7)，P(X=0)=C^0_3\times 0.7^{0}\times 0.3^{3}=0.027，P(X=1)=C^1_3\times 0.7\times 0.3^{2}=0.189，P(X=2)=C^2_3\times 0.7^{2}\times 0.3=0.441，P(X=3)=C^3_3\times 0.7^{3}\times 0.3^{0}=0.343，所以X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343EX=3\times 0.7=2.1.$



Final answer: $2.1$