di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$<img_2453>$
$
$(1)求a,b的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1，\therefore a=0.2.由题知少年组人数为300，对应的频率为0.1+0.15=0.25，故参赛的总人数n=\frac{300}{0.25}=1 200，\therefore b=1 200-300-600=300.$

Final answer: $0.2, 300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563208408727553/img/compression/M_8d1b53f346909341fdc5615bbe1c5892.jpg)$
$
$(1)求a,b的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1，\therefore a=0.2.由题知少年组人数为300，对应的频率为0.1+0.15=0.25，故参赛的总人数n=\frac{300}{0.25}=1 200，\therefore b=1 200-300-600=300.$

Final answer: $0.2, 300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563208408727553/img/compression/M_8d1b53f346909341fdc5615bbe1c5892.jpg)$
$
$(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组的数据用该组区间的中点值作代表,最终计算结果精确到0.01)；$

Solution:
$平均速度为6.5\times 0.1+7.5\times 0.15+8.5\times 0.2+9.5\times 0.3+10.5\times 0.15+11.5\times 0.1=9.05(千米/时)，\therefore 估计本次大赛所有选手的平均速度为9.05千米/时.$

Final answer: $9.05$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$<img_2453>$
$
$(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组的数据用该组区间的中点值作代表,最终计算结果精确到0.01)；$

Solution:
$平均速度为6.5\times 0.1+7.5\times 0.15+8.5\times 0.2+9.5\times 0.3+10.5\times 0.15+11.5\times 0.1=9.05(千米/时)，\therefore 估计本次大赛所有选手的平均速度为9.05千米/时.$

Final answer: $9.05$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$<img_2453>$
$
$(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人接受采访,求接受采访的2人都来自成年组的概率.$

Solution:
$成年组和专业组的参赛人数分别为600、300.设在成年组和专业组抽取的人数分别为x，y，则\frac{6}{600+300}=\frac{x}{600}=\frac{y}{300},\therefore x=4，y=2.\therefore 通过分层抽样在成年组中抽取4人，在专业组中抽取2人.设成年组中的4人分别为A，B，C，D，专业组中的2人分别为a，b.从6人中抽取2人接受采访的所有结果为AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种.接受采访的2人均来自成年组的所有结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种.故接受采访的2人都来自成年组的概率为\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$

Final answer: $\frac{5}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为打造精品赛事,某市举办“南粤古驿道定向大赛”,该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组,现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度,得到如下统计表和频率分布直方图：
组别
参赛人数
速度(千米/时)
少年组
300
[6,8)
成年组
600
[8,10)
专业组
b
[10,12]
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563208408727553/img/compression/M_8d1b53f346909341fdc5615bbe1c5892.jpg)$
$
$(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人接受采访,求接受采访的2人都来自成年组的概率.$

Solution:
$成年组和专业组的参赛人数分别为600、300.设在成年组和专业组抽取的人数分别为x，y，则\frac{6}{600+300}=\frac{x}{600}=\frac{y}{300},\therefore x=4，y=2.\therefore 通过分层抽样在成年组中抽取4人，在专业组中抽取2人.设成年组中的4人分别为A，B，C，D，专业组中的2人分别为a，b.从6人中抽取2人接受采访的所有结果为AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种.接受采访的2人均来自成年组的所有结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种.故接受采访的2人都来自成年组的概率为\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$

Final answer: $\frac{5}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563209109176322/img/compression/M_34ecd7346ee5386007fa22b87f1c6b21.jpg)$ 
问卷得分
[40,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
专项心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.$
$(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数；$

Solution:
$由题图得(0.002+0.004+0.014+0.02+a+0.025)\times 10=1，解得a=0.035.设总共调查了x人，则10\times (0.014+0.02)x=680，解得x=2 000，所以专项心理等级为有隐患的人数为10\times (0.002+0.004)\times 2 000=120.$

Final answer: $0.035, 120$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级：$<img_1554>$ 
问卷得分
[40,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
专项心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.$
$(1)求频率分布直方图中a的值及专项心理等级为有隐患的人数；$

Solution:
$由题图得(0.002+0.004+0.014+0.02+a+0.025)\times 10=1，解得a=0.035.设总共调查了x人，则10\times (0.014+0.02)x=680，解得x=2 000，所以专项心理等级为有隐患的人数为10\times (0.002+0.004)\times 2 000=120.$

Final answer: $0.035, 120$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563209109176322/img/compression/M_34ecd7346ee5386007fa22b87f1c6b21.jpg)$ 
问卷得分
[40,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
专项心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.$
$(2)在专项心理等级为有隐患的市民中,老年人占\frac{2}{3},中青年人占\frac{1}{3},现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因,并从中选取2人列为长期关注对象,求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；$

Solution:
$由题意得，老年人抽取4人，分别记为a，b，c，d，中青年人抽取2人，分别记为A，B.从6人中随机抽取2人，可能的情况有(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共15种，其中至少有一位老年人被抽到的情况有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共14种，故至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率P=\frac{14}{15}.$

Final answer: $\frac{14}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级：$<img_1554>$ 
问卷得分
[40,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
专项心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.$
$(2)在专项心理等级为有隐患的市民中,老年人占\frac{2}{3},中青年人占\frac{1}{3},现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解心理有隐患的具体原因,并从中选取2人列为长期关注对象,求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；$

Solution:
$由题意得，老年人抽取4人，分别记为a，b，c，d，中青年人抽取2人，分别记为A，B.从6人中随机抽取2人，可能的情况有(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共15种，其中至少有一位老年人被抽到的情况有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共14种，故至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率P=\frac{14}{15}.$

Final answer: $\frac{14}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某心理咨询机构为了解市民心理健康状况,分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563209109176322/img/compression/M_34ecd7346ee5386007fa22b87f1c6b21.jpg)$ 
问卷得分
[40,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
专项心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
已知专项心理等级为一般的有680人.$
$(3)心理咨询机构与该市管理部门设定预案：以抽取样本为例,若市民心理健康指数的平均值不低于0.8,则只需发放心理指导资料,否则需要举办心理健康大讲堂.根据你所学的统计知识,判断该市是否需要举办心理健康大讲堂,并说明理由.\left(\right.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,心理健康指数=\frac{\text{问卷调查得分}}{100}\left)\right.$

Solution:
$由题图得，市民心理健康问卷调查的平均得分为45\times 0.02+55\times 0.04+65\times 0.14+75\times 0.2+85\times 0.35+95\times 0.25=80.7(分)，所以市民心理健康指数的平均值为\frac{80.7}{100}=0.807>0.8，所以只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂.$

Final answer: $只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位：克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563209868345347/img/compression/M_e8bcd3a1e2226f34267560241ffa4714.jpg)
$(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由题图得，这组数据的平均数\overline{x}=0.001\times 50\times 125+0.003 4\times 50\times 175+0.004\times 50\times 225+0.006\times 50\times 275+0.005\times 50\times 325+0.000 6\times 50\times 375=256(克).$

Final answer: $256$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位：克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示.$<img_2481>
$(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由题图得，这组数据的平均数\overline{x}=0.001\times 50\times 125+0.003 4\times 50\times 175+0.004\times 50\times 225+0.006\times 50\times 275+0.005\times 50\times 325+0.000 6\times 50\times 375=256(克).$

Final answer: $256$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位：克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563209868345347/img/compression/M_e8bcd3a1e2226f34267560241ffa4714.jpg)
$(2)现按分层抽样的方法从质量在[200,300)内的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果来自同一质量区间的概率；$

Solution:
$易知抽取的质量在[200,250)内的芒果有2个，分别记为a_{1},a_{2}，质量在[250,300)内的芒果有3个，分别记为b_{1},b_{2},b_{3}.从这5个芒果中随机抽取2个，有10种不同情况：(a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{1}),(a_{1},b_{2}),(a_{1},b_{3}),(a_{2},b_{1})，(a_{2},b_{2}),(a_{2},b_{3}),(b_{1},b_{2}),(b_{1},b_{3}),(b_{2},b_{3}).其中“2个芒果来自同一质量区间”的情况有(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}),(b_{1},b_{3}),(b_{2},b_{3})，共4种，故2个芒果来自同一质量区间的概率为\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位：克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到频率分布直方图如图所示.$<img_2481>
$(2)现按分层抽样的方法从质量在[200,300)内的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果来自同一质量区间的概率；$

Solution:
$易知抽取的质量在[200,250)内的芒果有2个，分别记为a_{1},a_{2}，质量在[250,300)内的芒果有3个，分别记为b_{1},b_{2},b_{3}.从这5个芒果中随机抽取2个，有10种不同情况：(a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{1}),(a_{1},b_{2}),(a_{1},b_{3}),(a_{2},b_{1})，(a_{2},b_{2}),(a_{2},b_{3}),(b_{1},b_{2}),(b_{1},b_{3}),(b_{2},b_{3}).其中“2个芒果来自同一质量区间”的情况有(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}),(b_{1},b_{3}),(b_{2},b_{3})，共4种，故2个芒果来自同一质量区间的概率为\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高二(2)班的一次化学测试成绩(单位：分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099000784470018/img/compression/M_cb2cf2f04a1eae714f1fbf445abe8a46.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099000784470018/img/compression/M_c3dafab1630986e1f9adec2f7223f507.jpg)
$(1)求全班人数及全班成绩的中位数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知成绩在[50,60)内的频率为0.006\times 10=0.06，由题中茎叶图知，成绩在[50,60)内的有3人，所以全班人数为3\div 0.06=50.(2分)又成绩在[60,70)内的有11人，在[70,80)内的有16人，在[90,100]内的有8人，所以成绩在[80,90)内的有50-3-11-16-8=12(人)，因为3+11<25<3+11+16，所以中位数落在[70,80)内，故中位数为\frac{76+77}{2}=76.5(分).(5分)$

Final answer: $50, 76.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高二(2)班的一次化学测试成绩(单位：分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
$<img_2718><img_2293>
$(1)求全班人数及全班成绩的中位数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知成绩在[50,60)内的频率为0.006\times 10=0.06，由题中茎叶图知，成绩在[50,60)内的有3人，所以全班人数为3\div 0.06=50.(2分)又成绩在[60,70)内的有11人，在[70,80)内的有16人，在[90,100]内的有8人，所以成绩在[80,90)内的有50-3-11-16-8=12(人)，因为3+11<25<3+11+16，所以中位数落在[70,80)内，故中位数为\frac{76+77}{2}=76.5(分).(5分)$

Final answer: $50, 76.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高二(2)班的一次化学测试成绩(单位：分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099000784470018/img/compression/M_cb2cf2f04a1eae714f1fbf445abe8a46.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099000784470018/img/compression/M_c3dafab1630986e1f9adec2f7223f507.jpg)
$(3)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$

Solution:
$估计该班本次测试的平均成绩为0.06\times 55+0.22\times 65+0.32\times 75+0.24\times 85+0.16\times 95=77.2(分).(10分)$

Final answer: $77.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高二(2)班的一次化学测试成绩(单位：分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
$<img_2718><img_2293>
$(3)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$

Solution:
$估计该班本次测试的平均成绩为0.06\times 55+0.22\times 65+0.32\times 75+0.24\times 85+0.16\times 95=77.2(分).(10分)$

Final answer: $77.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099002248282116/img/compression/M_f144926577a6b2ecdd4e692fab30b228.jpg)
$(1)求频率分布直方图中a的值；$

Solution:
$由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)\times 10＝1，(2分)解得a＝0.006.(4分)$

Final answer: $0.006$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$<img_2386>
$(1)求频率分布直方图中a的值；$

Solution:
$由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)\times 10＝1，(2分)解得a＝0.006.(4分)$

Final answer: $0.006$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099002248282116/img/compression/M_f144926577a6b2ecdd4e692fab30b228.jpg)
$(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]内的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]内的公司职员人数之比为[(0.004+0.006)\times 10]:[(0.022+0.028)\times 10]:[(0.022+0.018)\times 10]＝1:5:4，(6分)所以评分在[60，80)内的职员应抽取10\times \frac{5}{1+5+4}=5(人).(8分)$

Final answer: $5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$<img_2386>
$(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]内的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]内的公司职员人数之比为[(0.004+0.006)\times 10]:[(0.022+0.028)\times 10]:[(0.022+0.018)\times 10]＝1:5:4，(6分)所以评分在[60，80)内的职员应抽取10\times \frac{5}{1+5+4}=5(人).(8分)$

Final answer: $5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099002248282116/img/compression/M_f144926577a6b2ecdd4e692fab30b228.jpg)
$(3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的平均评分低于75分，那么将对公司餐厅进行内部整顿.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均数，并据此判断餐厅是否需要进行内部整顿.$

Solution:
$由题图可得职员对餐厅服务质量评分的平均数为45\times 0.004\times 10+55\times 0.006\times 10+65\times 0.022\times 10+75\times 0.028\times 10+85\times 0.022\times 10+95\times 0.018\times 10＝76.2(分).(11分)因为76.2＞75，所以餐厅不需要进行内部整顿.(12分)$

Final answer: $76.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员.根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，\ldots ，[90，100].$<img_2386>
$(3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的平均评分低于75分，那么将对公司餐厅进行内部整顿.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均数，并据此判断餐厅是否需要进行内部整顿.$

Solution:
$由题图可得职员对餐厅服务质量评分的平均数为45\times 0.004\times 10+55\times 0.006\times 10+65\times 0.022\times 10+75\times 0.028\times 10+85\times 0.022\times 10+95\times 0.018\times 10＝76.2(分).(11分)因为76.2＞75，所以餐厅不需要进行内部整顿.(12分)$

Final answer: $76.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业生产两种电路子模块R，Q，如图所示.要求在每个模块中，不同位置接入不同类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作；在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，且2号位与3号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099003733065729/img/compression/M_b1443a849d9af19479376ae02489a015.jpg)
$(1)若A，B型备选电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；$

Solution:
$设事件M，N分别表示A，B型备选电子元件正常工作，则P(M)=0.9，P(N)=0.8，且M，N相互独立.所以电路子模块R不能正常工作的概率为P(\overline{M} \overline{N})=P(\overline{M})P(\overline{N})=(1-0.9)\times (1-0.8)=0.02，(3分)因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.(5分)$

Final answer: $0.98$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业生产两种电路子模块R，Q，如图所示.要求在每个模块中，不同位置接入不同类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作；在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，且2号位与3号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作.$<img_2362>
$(1)若A，B型备选电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；$

Solution:
$设事件M，N分别表示A，B型备选电子元件正常工作，则P(M)=0.9，P(N)=0.8，且M，N相互独立.所以电路子模块R不能正常工作的概率为P(\overline{M} \overline{N})=P(\overline{M})P(\overline{N})=(1-0.9)\times (1-0.8)=0.02，(3分)因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.(5分)$

Final answer: $0.98$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业生产两种电路子模块R，Q，如图所示.要求在每个模块中，不同位置接入不同类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作；在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，且2号位与3号位元件中至少有一个正常工作时，电路子模块才能正常工作.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099003733065729/img/compression/M_b1443a849d9af19479376ae02489a015.jpg)
$(2)若A，B，C型备选电子元件正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大？并说明理由.$

Solution:
$当1号位接入C型备选电子元件时，电路子模块Q能正常工作的概率最大.理由如下：用事件D，E，F分别表示A，B，C型备选电子元件正常工作，则P(D)=0.7，P(E)=0.8，P(F)=0.9，且D，E，F相互独立.若1号位元件为A型备选电子元件，则电路子模块Q能正常工作的概率为P(D)[1-P(\overline{E} \overline{F})]=P(D)[P(E)+P(F)-P(EF)]=0.7\times (0.8+0.9-0.8\times 0.9)=0.686；(7分)若1号位元件为B型备选电子元件，则电路子模块Q能正常工作的概率为P(E)[1-P(\overline{D} \overline{F})]=P(E)[P(D)+P(F)-P(DF)]=0.8\times (0.7+0.9-0.7\times 0.9)=0.776；(9分)若1号位元件为C型备选电子元件，则电路子模块Q能正常工作的概率为P(F)[1-P(\overline{D} \overline{E})]=P(F)[P(D)+P(E)-P(DE)]=0.9\times (0.7+0.8-0.7\times 0.8)=0.846.(11分)由于0.846>0.776>0.686，因此当1号位接入C型备选电子元件时，电路子模块Q能正常工作的概率最大.(12分)$

Final answer: $当1号位接入C型备选电子元件时，电路子模块Q能正常工作的概率最大。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高三年级教师命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(试卷满分为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生，记录他们的成绩，将成绩(单位：分)按照区间[50,60),[60,70),\ldots ,[90,100]分成了5组，并制成了如下图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099024770760706/img/compression/M_c035c86ecc3f6a7ecce3ba1c798705d5.jpg)
$(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生的成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由已知可得(0.01\times 2+0.03\times 2+x)\times 10=1，解得x=0.02.(1分)所抽取的50名学生的成绩的平均数为55\times 0.1+65\times 0.3+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74(分)，(3分)因为前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3\times 2=0.7，所以成绩的中位数在区间[70,80)内，设中位数为a分,则0.4+(a-70)\times 0.03=0.5，解得a=\frac{220}{3}.(6分)$

Final answer: $0.02,74,\frac{220}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高三年级教师命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(试卷满分为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生，记录他们的成绩，将成绩(单位：分)按照区间[50,60),[60,70),\ldots ,[90,100]分成了5组，并制成了如下图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).$<img_2841>
$(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生的成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由已知可得(0.01\times 2+0.03\times 2+x)\times 10=1，解得x=0.02.(1分)所抽取的50名学生的成绩的平均数为55\times 0.1+65\times 0.3+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74(分)，(3分)因为前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3\times 2=0.7，所以成绩的中位数在区间[70,80)内，设中位数为a分,则0.4+(a-70)\times 0.03=0.5，解得a=\frac{220}{3}.(6分)$

Final answer: $0.02,74,\frac{220}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高三年级教师命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(试卷满分为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生，记录他们的成绩，将成绩(单位：分)按照区间[50,60),[60,70),\ldots ,[90,100]分成了5组，并制成了如下图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1668099024770760706/img/compression/M_c035c86ecc3f6a7ecce3ba1c798705d5.jpg)
$(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.$

Solution:
$易得后三组的学生人数分别为15，10，5，故利用分层抽样从这三组学生中所抽取的人数分别为3，2，1，记成绩在[70,80)内的3名学生分别为a,b,c，成绩在[80,90)内的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]内的1名学生为f，(8分)则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,b,f)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,c,f)，(a,d,e)，(a,d,f)，(a,e,f)，(b,c,d)，(b,c,e)，(b,c,f)，(b,d,e)，(b,d,f)，(b,e,f)，(c,d,e)，(c,d,f)，(c,e,f)，(d,e,f)，共20种，(10分)其中后两组中至少有1人被抽到包含19种结果，故所求概率为\frac{19}{20}.(12分)$

Final answer: $\frac{19}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高三年级教师命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(试卷满分为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生，记录他们的成绩，将成绩(单位：分)按照区间[50,60),[60,70),\ldots ,[90,100]分成了5组，并制成了如下图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).$<img_2841>
$(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.$

Solution:
$易得后三组的学生人数分别为15，10，5，故利用分层抽样从这三组学生中所抽取的人数分别为3，2，1，记成绩在[70,80)内的3名学生分别为a,b,c，成绩在[80,90)内的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]内的1名学生为f，(8分)则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,b,f)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,c,f)，(a,d,e)，(a,d,f)，(a,e,f)，(b,c,d)，(b,c,e)，(b,c,f)，(b,d,e)，(b,d,f)，(b,e,f)，(c,d,e)，(c,d,f)，(c,e,f)，(d,e,f)，共20种，(10分)其中后两组中至少有1人被抽到包含19种结果，故所求概率为\frac{19}{20}.(12分)$

Final answer: $\frac{19}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233697728942084/img/compression/M_c4d26afd38b2e7ec84f40722b8b79448.jpg)
$(1)求a的值，并补全频率直方图；$

Solution:
$由题表知0.08+0.12+0.24+0.32+0.64+a+0.12+0.06+0.02=2，解得a=0.4.\frac{0.4}{2}\div 0.2=1.0，补全频率直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233698941095938/img/compression/M_112a0f7aea2c642ff913a08a51702bb1.jpg)

Final answer: $0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$<img_1768>
$(1)求a的值，并补全频率直方图；$

Solution:
$由题表知0.08+0.12+0.24+0.32+0.64+a+0.12+0.06+0.02=2，解得a=0.4.\frac{0.4}{2}\div 0.2=1.0，补全频率直方图如图所示：$<img_2022>

Final answer: $0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233697728942084/img/compression/M_c4d26afd38b2e7ec84f40722b8b79448.jpg)
$(2)根据频率直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；$

Solution:
$由频率直方图知，马克隆值落在区间[3.8,4.0)内的频率最大，故众数为\frac{3.8+4.0}{2}=3.9.因为(0.2+0.3+0.6+0.8)\times 0.2=0.38<0.5，(0.2+0.3+0.6+0.8+1.6)\times 0.2=0.7>0.5，所以中位数为3.8+(0.5-0.38)\div 1.6=3.875.$

Final answer: $3.9, 3.875$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$<img_1768>
$(2)根据频率直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；$

Solution:
$由频率直方图知，马克隆值落在区间[3.8,4.0)内的频率最大，故众数为\frac{3.8+4.0}{2}=3.9.因为(0.2+0.3+0.6+0.8)\times 0.2=0.38<0.5，(0.2+0.3+0.6+0.8+1.6)\times 0.2=0.7>0.5，所以中位数为3.8+(0.5-0.38)\div 1.6=3.875.$

Final answer: $3.9, 3.875$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233697728942084/img/compression/M_c4d26afd38b2e7ec84f40722b8b79448.jpg)
$(3)根据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
马克隆值
[3.6,4.2)
[3.4,3.6)或[4.2,4.8)
3.4以下
级别
A
B
C
价格(万元/吨)
1.5
1.4
1.3
估计该棉花种植基地今年的总产值.$

Solution:
$2吨样本棉花的产值为1.5\times (0.32+0.64+0.4)+1.4\times (0.24+0.12+0.06+0.02)+1.3\times (0.08+0.12)=2.916(万元).故该棉花种植基地今年的总产值约为2 000\div 2\times 2.916=2 916(万元).$

Final answer: $2916$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值(棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切)，得到如下图、表：
马克隆值
[3,3.2)
[3.2,3.4)
[3.4,3.6)
[3.6,3.8)
[3.8,4.0)
质量(吨)
0.08
0.12
0.24
0.32
0.64
马克隆值
[4.0,4.2)
[4.2,4.4)
[4.4,4.6)
[4.6,4.8]
质量(吨)
a
0.12
0.06
0.02
$<img_1768>
$(3)根据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
马克隆值
[3.6,4.2)
[3.4,3.6)或[4.2,4.8)
3.4以下
级别
A
B
C
价格(万元/吨)
1.5
1.4
1.3
估计该棉花种植基地今年的总产值.$

Solution:
$2吨样本棉花的产值为1.5\times (0.32+0.64+0.4)+1.4\times (0.24+0.12+0.06+0.02)+1.3\times (0.08+0.12)=2.916(万元).故该棉花种植基地今年的总产值约为2 000\div 2\times 2.916=2 916(万元).$

Final answer: $2916$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次数学测验中，某班N名学生的数学成绩的频率直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人.$<img_2470>
$(1)求总人数N和分数在[120，125)内的人数n；$

Solution:
$分数在[110，120)内的学生的频率为(0.04+0.03)\times 5=0.35，所以该班总人数N=\frac{14}{0.35}=40.分数在[120，125)内的学生的频率为1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)\times 5=0.10,故分数在[120，125)内的人数n=40\times 0.10=4.$

Final answer: 40, 4
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次数学测验中，某班N名学生的数学成绩的频率直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233680012201988/img/compression/M_b18557a6c571087407a457b0f6c90424.jpg)
$(1)求总人数N和分数在[120，125)内的人数n；$

Solution:
$分数在[110，120)内的学生的频率为(0.04+0.03)\times 5=0.35，所以该班总人数N=\frac{14}{0.35}=40.分数在[120，125)内的学生的频率为1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)\times 5=0.10,故分数在[120，125)内的人数n=40\times 0.10=4.$

Final answer: 40, 4
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次数学测验中，某班N名学生的数学成绩的频率直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人.$<img_2470>
$(2)利用频率直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数.$

Solution:
$众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，为\frac{105+110}{2}=107.5.\because 0.01\times 5+0.04\times 5+0.05\times 5=0.50，\therefore 中位数为110.\therefore 众数和中位数分别是107.5，110.$

Final answer: $107.5, 110$