di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

<img_1124>

(a)

<img_850>

(b)
在2~3 s时间段内，棒G滑行的距离。

Solution:
$2 s末棒H突然停止时，棒G的速度v_{G}'=4 m/s，假设2 s末时绳子松弛，对A由牛顿第二定律有m_{A}g \sin \theta =m_{A}a'，解得a'=2.5 m/s^2，对棒G由牛顿第二定律得\frac{B^2L^2v_G'}{R_H+R_G}=m_{G}a''，解得a''=4 m/s^2，A做匀减速直线运动，3 s末时的速度为1.5 m/s，G做加速度减小的减速运动，3 s末时速度为\frac{4}{e}，由于开始时G的加速度大于A的，且二者2 s 末时速度相同，则在2~3 s内G的速度始终小于A的速度，则2~3 s内绳子始终松弛，棒G水平方向只受安培力。$

$在2~3 s内，对棒G由动量定理得：\frac{B^2L^2}{R_H+R_G}∑v_{G}\Delta t=m_{G}∑a\Delta t。式中∑v_{G}\Delta t为2~3 s时间段内棒G滑行的距离x，∑a\Delta t为2~3 s时间段内，棒G的速度改变量，即：∑a\Delta t=v_{G2}-v_{G3}。联立解得x=2.53 m。$

Final answer: 2.53 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，N=200匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r=2 \Omega ，其两端与一个R=48 \Omega 的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。$
<img_1294>
求线圈产生的感应电动势E；

Solution:
$根据法拉第电磁感应定律有E=N \frac{\Delta Φ}{\Delta t}$

$代入数据有E=200\times \frac{0.015-0.010}{0.10} V=10 V。$

Final answer: 10 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，N=200匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r=2 \Omega ，其两端与一个R=48 \Omega 的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。$
![问题图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522172096167938/img/compression/M_156fe905d5691511715a124944ce1be4.jpg)
求线圈产生的感应电动势E；

Solution:
$根据法拉第电磁感应定律有E=N \frac{\Delta Φ}{\Delta t}$

$代入数据有E=200\times \frac{0.015-0.010}{0.10} V=10 V。$

Final answer: 10 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，N=200匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r=2 \Omega ，其两端与一个R=48 \Omega 的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。$
<img_1294>
求电阻R两端的电压U。

Solution:
$：根据闭合电路欧姆定律有I = \frac{E}{R+r}。则电阻R两端的电压U = IR。代入数据解得U=9.6V。$

Final answer: 9.6 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，N=200匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r=2 \Omega ，其两端与一个R=48 \Omega 的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。$
![问题图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522172096167938/img/compression/M_156fe905d5691511715a124944ce1be4.jpg)
求电阻R两端的电压U。

Solution:
$：根据闭合电路欧姆定律有I = \frac{E}{R+r}。则电阻R两端的电压U = IR。代入数据解得U=9.6V。$

Final answer: 9.6 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，半径为L的半圆形光滑导体框架MN垂直放置于磁感应强度为B的匀强磁场中，长为L的导体杆OP绕圆心O以角速度\omega 匀速转动，N、O间接阻值为R的电阻，杆OP的电阻为r，框架电阻不计，求杆沿框架转动过程中：$

<img_1149>
电阻R消耗的电功率。

Solution:
$回路中电流I=\frac{E}{R+r}=\frac{BL^2\omega }{2(R+r)}$

$电阻消耗的电功率P=I^{2}R=\frac{B^2L^4\omega ^2R}{4(R+r)^2}$

Final answer: $\frac{B^2L^4\omega ^2R}{4(R+r)^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，半径为L的半圆形光滑导体框架MN垂直放置于磁感应强度为B的匀强磁场中，长为L的导体杆OP绕圆心O以角速度\omega 匀速转动，N、O间接阻值为R的电阻，杆OP的电阻为r，框架电阻不计，求杆沿框架转动过程中：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522166350958595/img/compression/M_e3b5b0af990d564e95cff5c6be187e9b.jpg)
电阻R消耗的电功率。

Solution:
$回路中电流I=\frac{E}{R+r}=\frac{BL^2\omega }{2(R+r)}$

$电阻消耗的电功率P=I^{2}R=\frac{B^2L^4\omega ^2R}{4(R+r)^2}$

Final answer: $\frac{B^2L^4\omega ^2R}{4(R+r)^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_e0bb23e92ac89eb90ae50a97e3c3fb4f.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_cc21f12531e8fc6d42316e66036a11d4.jpg)
金属杆的质量；

Solution:
$由图乙可知，金属杆在0~0.4 s内做自由落体运动，0.4~0.6 s内做匀速运动，则根据运动学公式有v=gt_1$

$根据法拉第电磁感应定律有E=B_0Lv$

$根据闭合电路欧姆定律有E=I(R+R_0)$

$金属杆匀速运动时有B_0IL=mg$

$联立解得m=0.2 kg$

Final answer: $0.2 kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

<img_1372>

<img_525>
金属杆的质量；

Solution:
$由图乙可知，金属杆在0~0.4 s内做自由落体运动，0.4~0.6 s内做匀速运动，则根据运动学公式有v=gt_1$

$根据法拉第电磁感应定律有E=B_0Lv$

$根据闭合电路欧姆定律有E=I(R+R_0)$

$金属杆匀速运动时有B_0IL=mg$

$联立解得m=0.2 kg$

Final answer: $0.2 kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_e0bb23e92ac89eb90ae50a97e3c3fb4f.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_cc21f12531e8fc6d42316e66036a11d4.jpg)
$金属杆从位置1运动到位置2过程中产生的焦耳热Q；$

Solution:
位置1与位置2间的高度差

$h = \frac{1}{2}gt^{2}_1 + vt_{2} = 1.6m$

根据能量守恒定律可知回路产生的焦耳热为

$Q_{总} = mgh - \frac{1}{2}mv^2 = 1.6J$

金属杆产生的热量为

$Q = \frac{R}{R+R_0}Q_{总}$

$联立解得 Q=0.8J$

Final answer: 0.8 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

<img_1372>

<img_525>
$金属杆从位置1运动到位置2过程中产生的焦耳热Q；$

Solution:
位置1与位置2间的高度差

$h = \frac{1}{2}gt^{2}_1 + vt_{2} = 1.6m$

根据能量守恒定律可知回路产生的焦耳热为

$Q_{总} = mgh - \frac{1}{2}mv^2 = 1.6J$

金属杆产生的热量为

$Q = \frac{R}{R+R_0}Q_{总}$

$联立解得 Q=0.8J$

Final answer: 0.8 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_e0bb23e92ac89eb90ae50a97e3c3fb4f.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522167043018753/img/compression/M_cc21f12531e8fc6d42316e66036a11d4.jpg)
如果先将S闭合，后让金属杆仍从位置1由静止开始下落，金属杆运动到位置2时恰好开始匀速运动，金属杆从位置1运动到位置2的时间。

Solution:
取竖直向下为正方向，对金属杆  

$由动量定理有 mgt - B_0 \overline{I} Lt = mv - 0$

$由法拉第电磁感应定律可得 \overline{E} = \frac{\Delta \Phi}{t} = \frac{B_0 L h}{t}$

$\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R + R_0}$

$代入数据解得 t = 0.8 s$

Final answer: $0.8 s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，其间距L=0.5 m，导轨上端接有R_0=1 \Omega 的定值电阻和开关S。空间存在垂直两金属导轨所在的平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B_0=2 T，一长度与导轨间距相等、电阻为R=1 \Omega 的金属杆与导轨垂直且接触良好。初始时开关S处于断开状态，金属杆由位置1静止开始自由下落，经过一段时间后，将开关S闭合，金属杆继续运动到位置2；若以金属杆开始运动时作为计时起点，金属杆从位置1运动到位置2的过程中，速度随时间变化的图像如图乙所示。假设金属导轨足够长，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s^2。求：$

<img_1372>

<img_525>
如果先将S闭合，后让金属杆仍从位置1由静止开始下落，金属杆运动到位置2时恰好开始匀速运动，金属杆从位置1运动到位置2的时间。

Solution:
取竖直向下为正方向，对金属杆  

$由动量定理有 mgt - B_0 \overline{I} Lt = mv - 0$

$由法拉第电磁感应定律可得 \overline{E} = \frac{\Delta \Phi}{t} = \frac{B_0 L h}{t}$

$\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R + R_0}$

$代入数据解得 t = 0.8 s$

Final answer: $0.8 s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $环形变压器广泛应用于计算机、医疗设备、家电设备和灯光照明等方面。环形变压器与传统方形变压器相比，漏磁和能量损耗都很小，可视为理想变压器。原线圈所接的交流发电机产生的电动势为 e=220\sqrt{2} \sin 100\pi t(V)，副线圈接了11只“12 V　22 W”的相同的照明电灯，原、副线圈匝数比n_{1} : n_{2}=33 : 2，示意图如图所示，图中电流表为理想交流电表，照明电灯均恰好正常发光。求:$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522205994532866/img/compression/M_aac7a1fb10810b16322b6a65ee836ba7.jpg)
电流表的示数；

Solution:
$副线圈中电流I_2=11\times \frac{22}{12} A=\frac{121}{6} A,\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1},I_1=\frac{2}{33}\times \frac{121}{6} A=\frac{11}{9} A$

Final answer: $\frac{11}{9}A$
Subfield: Electromagnetism


Question: $环形变压器广泛应用于计算机、医疗设备、家电设备和灯光照明等方面。环形变压器与传统方形变压器相比，漏磁和能量损耗都很小，可视为理想变压器。原线圈所接的交流发电机产生的电动势为 e=220\sqrt{2} \sin 100\pi t(V)，副线圈接了11只“12 V　22 W”的相同的照明电灯，原、副线圈匝数比n_{1} : n_{2}=33 : 2，示意图如图所示，图中电流表为理想交流电表，照明电灯均恰好正常发光。求:$

<img_644>
电流表的示数；

Solution:
$副线圈中电流I_2=11\times \frac{22}{12} A=\frac{121}{6} A,\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1},I_1=\frac{2}{33}\times \frac{121}{6} A=\frac{11}{9} A$



Final answer: $\frac{11}{9}$ A
Subfield: Electromagnetism


Question: $环形变压器广泛应用于计算机、医疗设备、家电设备和灯光照明等方面。环形变压器与传统方形变压器相比，漏磁和能量损耗都很小，可视为理想变压器。原线圈所接的交流发电机产生的电动势为 e=220\sqrt{2} \sin 100\pi t(V)，副线圈接了11只“12 V　22 W”的相同的照明电灯，原、副线圈匝数比n_{1} : n_{2}=33 : 2，示意图如图所示，图中电流表为理想交流电表，照明电灯均恰好正常发光。求:$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522205994532866/img/compression/M_aac7a1fb10810b16322b6a65ee836ba7.jpg)
发电机内阻。

Solution:
解析答案：
$由 \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2} 得 U_1 = \frac{33}{2} \times  12 V = 198 V, E = \frac{E_\mathrm{m}}{\sqrt{2}} = 220 V$
由闭合电路欧姆定律得$E = U_1 + I_1 r$
解得 $r = 18 \Omega $

Final answer: $18 \Omega$
Subfield: Electromagnetism


Question: $环形变压器广泛应用于计算机、医疗设备、家电设备和灯光照明等方面。环形变压器与传统方形变压器相比，漏磁和能量损耗都很小，可视为理想变压器。原线圈所接的交流发电机产生的电动势为 e=220\sqrt{2} \sin 100\pi t(V)，副线圈接了11只“12 V　22 W”的相同的照明电灯，原、副线圈匝数比n_{1} : n_{2}=33 : 2，示意图如图所示，图中电流表为理想交流电表，照明电灯均恰好正常发光。求:$

<img_644>
发电机内阻。

Solution:
解析答案：
$由 \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2} 得 U_1 = \frac{33}{2} \times  12 V = 198 V, E = \frac{E_\mathrm{m}}{\sqrt{2}} = 220 V$
由闭合电路欧姆定律得$E = U_1 + I_1 r$
解得 $r = 18 \Omega $



Final answer: $18$ \Omega
Subfield: Modern Physics


Question: 
$在"焊接"视网膜的眼科手术中，所用激光的波长\lambda = 6.4\times 10^-7 m，每个激光脉冲的能量E = 1.5\times 10^-2 J。求每个脉冲中的光子数目。(已知普朗克常量h = 6.63\times 10^-34 J\cdot s，光速c = 3\times 10^8 m/s。计算结果保留一位有效数字)$

Solution:
$光子能量\epsilon=\frac{hc}{\lambda }，光子数目n=\frac{E}{\varepsilon }，代入数据得n=5\times 10^16。$

Final answer: $5\times 10^{16}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一定质量理适气体经历A\rightarrow B的等压过程，B\rightarrow C的绝热过程(气体与外界无热量交换)，其中B\rightarrow C过程中内能减少900 J。求A\rightarrow B\rightarrow C过程中气体对外界做的总功。$
![20GZTWL117.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522242963378179/img/compression/M_665c11b1526e3e0be428248fe9a8b236.jpg)

Solution:
$- A\rightarrow B过程，W_{1}=-p(V_{B}-V_{A})；$
$- B\rightarrow C过程，根据热力学第一定律，W_{2}=\Delta U；$
$- 则气体对外界做的总功W=-(W_{1}+W_{2})，代入数据得W=1 500 J。$

Final answer: 1 500 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一定质量理适气体经历A\rightarrow B的等压过程，B\rightarrow C的绝热过程(气体与外界无热量交换)，其中B\rightarrow C过程中内能减少900 J。求A\rightarrow B\rightarrow C过程中气体对外界做的总功。$
<img_939>

Solution:
$- A\rightarrow B过程，W_{1}=-p(V_{B}-V_{A})；$
$- B\rightarrow C过程，根据热力学第一定律，W_{2}=\Delta U；$
$- 则气体对外界做的总功W=-(W_{1}+W_{2})，代入数据得W=1 500 J。$

Final answer: 1 500 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $一定质量的理想气体从状态A经状态B变化到状态C，其p-\frac{1}{V}图像如图所示，求该过程中气体吸收的热量Q。$
![21GZTWLS31.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522243294728194/img/compression/M_3c0afa9da6f2db7dfc2a3c5bb2d658f9.jpg)

Solution:
$A\rightarrow B过程，外界对气体做的功$
$Wₐ = p(Vₐ - Vᵦ)$
$B\rightarrow C过程 W_2 = 0$
根据热力学第一定律得
$\Delta U =(W_1 + W_2) + Q$
状态A和状态C的温度相等，则$\Delta U = 0$
代入数据解得$ Q = 2\times 10^5 J$

Final answer: $2\times 10^5J$
Subfield: Thermodynamics


Question: $一定质量的理想气体从状态A经状态B变化到状态C，其p-\frac{1}{V}图像如图所示，求该过程中气体吸收的热量Q。$
<img_1051>

Solution:
$A\rightarrow B过程，外界对气体做的功$
$Wₐ = p(Vₐ - Vᵦ)$
$B\rightarrow C过程 W_2 = 0$
根据热力学第一定律得
$\Delta U =(W_1 + W_2) + Q$
状态A和状态C的温度相等，则$\Delta U = 0$
代入数据解得$ Q = 2\times 10^5 J$



Final answer: $2\times 10^5$ J
Subfield: Thermodynamics


Question: $甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为\frac{1}{2}p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后$
两罐中气体的压强；

Solution:
$假设乙罐中的气体被压缩到压强为p，其体积变为V_{1}，由玻意耳定律有$

$\frac{1}{2}p \cdot 2V=pV_{1}   (①)$

$现两罐气体压强均为p，总体积为(V+V_{1})。设调配后两罐中气体的压强为p'，由玻意耳定律有$

$p(V+V_{1})=p'(V+2V)   (②)$

联立①②式可得

$p'=\frac{2}{3}p   (③)$

Final answer: $\frac{2}{3} p$
Subfield: Thermodynamics


Question: $甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为\frac{1}{2}p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后$
甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比的值。

Solution:
$若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V_2，由玻意耳定律 p'V=pV_2$

$设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，由密度的定义有 k=\frac{V_2}{V}$

$联立以上式子可得 k=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如下图所示的装置可以用来测量水的深度。该装置由左端开口的汽缸M和密闭的汽缸N组成，两汽缸由一细管(容积可忽略)连通，两汽缸均由导热材料制成，内径相同。汽缸M长为3L，汽缸N长为L，薄活塞A、B密闭性良好且可以无摩擦滑动。初始时两汽缸处于温度为T_1=300 K的空气中，汽缸M、N中分别封闭压强为p_0、2p_0的理想气体，活塞A、B均位于汽缸的最左端。将该装置放入水中，测得所在处的温度为T_2=360 K，且活塞B向右移动了\frac{1}{2}L。已知大气压强p_0相当于10 m水柱产生的压强。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522260476968962/img/compression/M_e349ea8b2308afee4ccad9e5f7150e82.jpg)
装置所在处水的深度；

Solution:
$汽缸N中气体初状态p_{N1}=2p_{0}，T_{1}=300 K，V_{N1}=LS$

$末状态T_{2}=360 K，V_{N2}=\frac{1}{2}LS$

$根据理想气体状态方程有 \frac{p_{N1}V_{N1}}{T_1}=\frac{p_{N2}V_{N2}}{T_2}$

$放入水中后汽缸M中的气体压强与汽缸N中的气体压强相等，即p_{M2}=p_{N2}$

$在此处水产生的压强为p_{水}=p_{M2}-p_{0}$

$解得p_{水}=3.8p_{0}$

$10 m高的水柱产生的压强为p_{0}，$

$所以此处水的深度h=38 m$

Final answer: 38 m
Subfield: Thermodynamics


Question: $如下图所示的装置可以用来测量水的深度。该装置由左端开口的汽缸M和密闭的汽缸N组成，两汽缸由一细管(容积可忽略)连通，两汽缸均由导热材料制成，内径相同。汽缸M长为3L，汽缸N长为L，薄活塞A、B密闭性良好且可以无摩擦滑动。初始时两汽缸处于温度为T_1=300 K的空气中，汽缸M、N中分别封闭压强为p_0、2p_0的理想气体，活塞A、B均位于汽缸的最左端。将该装置放入水中，测得所在处的温度为T_2=360 K，且活塞B向右移动了\frac{1}{2}L。已知大气压强p_0相当于10 m水柱产生的压强。求：$

<img_1266>
装置所在处水的深度；

Solution:
$汽缸N中气体初状态p_{N1}=2p_{0}，T_{1}=300 K，V_{N1}=LS$

$末状态T_{2}=360 K，V_{N2}=\frac{1}{2}LS$

$根据理想气体状态方程有 \frac{p_{N1}V_{N1}}{T_1}=\frac{p_{N2}V_{N2}}{T_2}$

$放入水中后汽缸M中的气体压强与汽缸N中的气体压强相等，即p_{M2}=p_{N2}$

$在此处水产生的压强为p_{水}=p_{M2}-p_{0}$

$解得p_{水}=3.8p_{0}$

$10 m高的水柱产生的压强为p_{0}，$

$所以此处水的深度h=38 m$

Final answer: 38 m
Subfield: Thermodynamics


Question: $如下图所示的装置可以用来测量水的深度。该装置由左端开口的汽缸M和密闭的汽缸N组成，两汽缸由一细管(容积可忽略)连通，两汽缸均由导热材料制成，内径相同。汽缸M长为3L，汽缸N长为L，薄活塞A、B密闭性良好且可以无摩擦滑动。初始时两汽缸处于温度为T_1=300 K的空气中，汽缸M、N中分别封闭压强为p_0、2p_0的理想气体，活塞A、B均位于汽缸的最左端。将该装置放入水中，测得所在处的温度为T_2=360 K，且活塞B向右移动了\frac{1}{2}L。已知大气压强p_0相当于10 m水柱产生的压强。求：$

<img_1266>
活塞A向右移动的距离。

Solution:
装置放在水中后，设活塞A向右侧移动的距离为x，汽缸M中气体初状态  
$p_{M1}=p_{0}，T_{1}=300 K，V_{M1}=3LS  $
$汽缸M中气体末状态 p_{M2}=p_{N2}，T_{2}=360 K，V_{M2}=(3L+\frac{1}{2}L-x)S  $
$根据理想气体状态方程有 \frac{p_{M1}V_{M1}}{T_1}=\frac{p_{M2}V_{M2}}{T_2}  $
$解得x=\frac{11}{4}L$

Final answer: $\frac{11}{4}L$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如下图所示的装置可以用来测量水的深度。该装置由左端开口的汽缸M和密闭的汽缸N组成，两汽缸由一细管(容积可忽略)连通，两汽缸均由导热材料制成，内径相同。汽缸M长为3L，汽缸N长为L，薄活塞A、B密闭性良好且可以无摩擦滑动。初始时两汽缸处于温度为T_1=300 K的空气中，汽缸M、N中分别封闭压强为p_0、2p_0的理想气体，活塞A、B均位于汽缸的最左端。将该装置放入水中，测得所在处的温度为T_2=360 K，且活塞B向右移动了\frac{1}{2}L。已知大气压强p_0相当于10 m水柱产生的压强。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522260476968962/img/compression/M_e349ea8b2308afee4ccad9e5f7150e82.jpg)
活塞A向右移动的距离。

Solution:
装置放在水中后，设活塞A向右侧移动的距离为x，汽缸M中气体初状态  
$p_{M1}=p_{0}，T_{1}=300 K，V_{M1}=3LS  $
$汽缸M中气体末状态 p_{M2}=p_{N2}，T_{2}=360 K，V_{M2}=(3L+\frac{1}{2}L-x)S  $
$根据理想气体状态方程有 \frac{p_{M1}V_{M1}}{T_1}=\frac{p_{M2}V_{M2}}{T_2}  $
$解得x=\frac{11}{4}L$

Final answer: $\frac{11}{4}L$
Subfield: Thermodynamics


Question: $装有氮气的气球半径为R，现向气球内缓慢充入氮气，当气球膨胀至半径为2R时破裂，已知大气压强为p_{0}，该气球内外压强差\Delta p=\frac{\beta }{r}(\beta 为常量、r为气球半径)，球的体积公式为V=\frac{4}{3}\pi r^3。求：$
$气球破裂前瞬间气球内气体压强p和充气过程中对气球外大气做的功W；$

Solution:
$破裂前瞬间气球半径为2R，内外压强差\Delta p= \frac{\beta }{2R}，大气压强为p_0$
$则球内气体压强为p= p_0+ \frac{\beta }{2R}$
气球膨胀时对外界大气做正功，气体体积变化
$\Delta V= \frac{4}{3} \pi [(2R)^3-R^3]$
$则W= p_0\Delta V$
$解得W= \frac{28}{3} p_0\pi R^3$

Final answer: $\frac{28}{3} p_0\pi R^3$
Subfield: Thermodynamics


Question: $A、B两个容器体积均为V，C是用活塞密封的气筒，它的工作体积为0.5V。C与A、B通过两只单向气阀a、b相连；当气筒C抽气时气阀a打开、b关闭；当气筒打气时气阀b打开、a关闭。最初A、B两容器内气体的压强均为大气压强p_0，活塞位于气筒C的最右侧。(气筒与容器连接部分的气体体积忽略不计，整个装置温度保持不变，气体可视为理想气体)$

![23AJS5WL132.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522260904787970/img/compression/M_ba72b66e2f962cd3ec67b0a81436c0df.jpg)
现在让气筒以工作体积完成抽气、打气各两次，求第1次打气后与第2次打气后容器B内气体压强之比的值。

Solution:
$设第1次打气结束时，B内气体的压强为p'_1，第1次打气过程由玻意耳定律有p_0V+p_1\cdot 0.5V=p'_1V$

$解得p'_1=\frac{4}{3}p_0$

$设第2次抽气结束时A内气体的压强p_2，第2次抽气过程由玻意耳定律有p_1V=p_2(0.5+1)V$

$解得p_2=\frac{4}{9}p_0$

$设第2次打气结束时B内气体的压强为p'_2，第2次打气过程由玻意耳定律有p_2\cdot 0.5V+p'_1V=p'_2V$

$解得p'_2=\frac{14}{9}p_0，可得p'_1:p'_2=6:7$

Final answer: $6:7$
Subfield: Thermodynamics


Question: $A、B两个容器体积均为V，C是用活塞密封的气筒，它的工作体积为0.5V。C与A、B通过两只单向气阀a、b相连；当气筒C抽气时气阀a打开、b关闭；当气筒打气时气阀b打开、a关闭。最初A、B两容器内气体的压强均为大气压强p_0，活塞位于气筒C的最右侧。(气筒与容器连接部分的气体体积忽略不计，整个装置温度保持不变，气体可视为理想气体)$

<img_1418>
现在让气筒以工作体积完成抽气、打气各两次，求第1次打气后与第2次打气后容器B内气体压强之比的值。

Solution:
$设第1次打气结束时，B内气体的压强为p'_1，第1次打气过程由玻意耳定律有p_0V+p_1\cdot 0.5V=p'_1V$

$解得p'_1=\frac{4}{3}p_0$

$设第2次抽气结束时A内气体的压强p_2，第2次抽气过程由玻意耳定律有p_1V=p_2(0.5+1)V$

$解得p_2=\frac{4}{9}p_0$

$设第2次打气结束时B内气体的压强为p'_2，第2次打气过程由玻意耳定律有p_2\cdot 0.5V+p'_1V=p'_2V$

$解得p'_2=\frac{14}{9}p_0，可得p'_1:p'_2=6:7$

Final answer: $6:7$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为l_1=13.5 cm，l_2=32 cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差h=5 cm。已知外界大气压为p_0=75 cmHg。求A、B两管内水银柱的高度差。$

<img_1405>

Solution:
物理科目的题目：

$设注入水银后A中水银高为h_1，截面积为S_1，B中水银高h_2，截面积为S_2，则$
$p_0l_1S_1= (p_0+\rho _{水银}gh+\rho _{水银}gh_2-\rho _{水银}gh_1)(l_1-h_1)S_1$
$p_0l_2S_2= (p_0+\rho _{水银}gh)(l_2-h_2)S_2$
$解得h_2=2 cm，h_1=1 cm，\therefore \Delta h=h_2-h_1=1 cm。$

解题导引
1. 提取关键信息：三管的下端在同一水平面相互连通，即开始时内部气体压强相等且等于外界大气压；水银从C管缓慢注入，A、B两管内气体等温变化。
2. 分析解读试题：因为A、B玻璃管粗细均匀，封闭气体柱的长度可以表示体积；给出水银柱高度即可写出压强关系。
3. 选用解题方法：A、B两管内气体等温变化，通过水银柱高度写出压强表达式，运用玻意耳定律即可求解。

Final answer: 1 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为l_1=13.5 cm，l_2=32 cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差h=5 cm。已知外界大气压为p_0=75 cmHg。求A、B两管内水银柱的高度差。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522271966740482/img/compression/M_1c6979473437cf17fe6fedc54e6867cc.jpg)

Solution:
物理科目的题目：

$设注入水银后A中水银高为h_1，截面积为S_1，B中水银高h_2，截面积为S_2，则$
$p_0l_1S_1= (p_0+\rho _{水银}gh+\rho _{水银}gh_2-\rho _{水银}gh_1)(l_1-h_1)S_1$
$p_0l_2S_2= (p_0+\rho _{水银}gh)(l_2-h_2)S_2$
$解得h_2=2 cm，h_1=1 cm，\therefore \Delta h=h_2-h_1=1 cm。$

解题导引
1. 提取关键信息：三管的下端在同一水平面相互连通，即开始时内部气体压强相等且等于外界大气压；水银从C管缓慢注入，A、B两管内气体等温变化。
2. 分析解读试题：因为A、B玻璃管粗细均匀，封闭气体柱的长度可以表示体积；给出水银柱高度即可写出压强关系。
3. 选用解题方法：A、B两管内气体等温变化，通过水银柱高度写出压强表达式，运用玻意耳定律即可求解。

Final answer: 1 cm
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

<img_1252>
金属棒甲通过磁场过程中，通过金属棒甲的电荷量Q；

Solution:
$通过金属棒甲的电荷量Q=-\overline{I}\cdot \Delta t = \frac{\overline{E}}{R_{总}}\cdot \Delta t，\overline{E}=\frac{\Delta Φ }{\Delta t}可得Q=\frac{\Delta Φ }{R_{总}}=\frac{B_0Ld}{R+\frac{R}{2}}=\frac{2B_0Ld}{3R}$



Final answer: $\frac{2B_0Ld}{3R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997080035331/img/compression/M_7ce42025ba44615f13470a3863e3dd7f.jpg)
金属棒甲通过磁场过程中，通过金属棒甲的电荷量Q；

Solution:
$通过金属棒甲的电荷量Q=-\overline{I}\cdot \Delta t = \frac{\overline{E}}{R_{总}}\cdot \Delta t，\overline{E}=\frac{\Delta Φ }{\Delta t}可得Q=\frac{\Delta Φ }{R_{总}}=\frac{B_0Ld}{R+\frac{R}{2}}=\frac{2B_0Ld}{3R}$

Final answer: $\frac{2B_0Ld}{3R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997742735362/img/compression/M_45274dc4a2d5d090b8f026b11c4fd508.jpg)
$匀强磁场区域Ⅰ的磁感应强度B_1；$

Solution:
$杆ab刚进入磁场区域Ⅰ时的速度为v_1，有v^2_1=2gx_1\sin \theta ，v_1=1 m/s，进入磁场区域Ⅰ后做匀速运动B_1Il=mg \sin \theta ，又I=\frac{E}{R+\frac{Rr}{R+r}}，E=B_1Lv_1，$

$解得B_1=\frac{\sqrt{6}}{10} T$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{10} T$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_493>
$匀强磁场区域Ⅰ的磁感应强度B_1；$

Solution:
$杆ab刚进入磁场区域Ⅰ时的速度为v_1，有v^2_1=2gx_1\sin \theta ，v_1=1 m/s，进入磁场区域Ⅰ后做匀速运动B_1Il=mg \sin \theta ，又I=\frac{E}{R+\frac{Rr}{R+r}}，E=B_1Lv_1，$

$解得B_1=\frac{\sqrt{6}}{10} T$



Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{10}$ T
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_493>
$杆ab在滑过斜面上磁场B_1的过程中，流过电阻R的电荷量q；$

Solution:
$流过电阻R的电荷量q=I_Rt= \frac{I_\text{总}}{2} t，ab杆匀速穿过磁场B_1，所以电流恒定I_R= \frac{5}{6} \sqrt{6} A，可得q=I_Rt=I_R\frac{x_2}{v_1}=\frac{5}{12} \sqrt{6} C$



Final answer: \frac{5}{12}\sqrt{6} C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997742735362/img/compression/M_45274dc4a2d5d090b8f026b11c4fd508.jpg)
$杆ab在滑过斜面上磁场B_1的过程中，流过电阻R的电荷量q；$

Solution:
$流过电阻R的电荷量q=I_Rt= \frac{I_\text{总}}{2} t，ab杆匀速穿过磁场B_1，所以电流恒定I_R= \frac{5}{6} \sqrt{6} A，可得q=I_Rt=I_R\frac{x_2}{v_1}=\frac{5}{12} \sqrt{6} C$

Final answer: $\frac{5}{12}$
$\sqrt{6} C$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_493>
杆ab和杆cd一共可以碰撞的次数n。

Solution:
$杆ab到达水平轨道时的速度为v_2，有v^2_2=2g \sin \theta \cdot (x_1+x_3)，解得v_2=3 m/s，杆ab和杆cd发生弹性碰撞，由于质量相等，碰撞后速度交换，杆cd以v_2=3 m/s进入磁场区域Ⅱ，在通过磁场区域Ⅱ的过程中，利用动量定理-B_2Ilt=m\Delta v，q=\frac{B_2lx_4}{R+\frac{Rr}{R+r}}，解得\Delta v=-0.5 m/s，每经过一次磁场区域Ⅱ,杆的速度就减少0.5 m/s，当杆cd再次与杆ab发生弹性碰撞后，杆ab获得的速度为v_4=2 m/s，因此杆ab沿斜面向上运动，利用机械能守恒定律mgx'\sin 30^\circ =\frac{1}{2}mv^2_4，解得x'=0.4 m<x_3，所以ab杆不能再次进入磁场区域Ⅰ，之后ab杆继续下滑以2 m/s的速度与杆cd发生弹性碰撞，最后杆cd在磁场区域Ⅱ总共穿越6次，最后一次穿出磁场区域Ⅱ时恰好停止，不再与ab发生弹性碰撞，因此总共发生弹性碰撞的次数为5次。$

Final answer: 5