di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(\right.A>0,\omega >0,-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}\left)\right.在一个周期内的图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702591227042074626/img/compression/M_62ab783c8d4230a0d20666fd2e60cb8c.jpg)
$将f(x)的图象向右平移\frac{\pi }{3}个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)=a-1在x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]上有两个不同的解，求实数a的取值范围.$

Solution:
$f(x)的图象向右平移\frac{\pi }{3}个单位得到y=\\sin  \left[2\left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)的图象，故g(x)=\\sin  \left(x-\frac{\pi }{3}\right).(10分)作y=g(x)在\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]上的图象，如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702591227360841729/img/compression/M_aa808dba8f9c33d669624c5c8857c53f.jpg)$因为g(x)=a-1在x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]上有两个不同的解，所以\frac{1}{2}\leq a-1<1，即\frac{3}{2}\leq a<2.故实数a的取值范围是\left[\frac{3}{2},2\right).(12分)$

Final answer: $\left[\frac{3}{2},2\right)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}.$<img_2213>
$求角C；$

Solution:
$因为\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}，所以\frac{1}{2}ab\\sin   C=\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2ab\\cos   C，故\\sin   C=\sqrt{3}\\cos   C，即\\tan   C=\sqrt{3}，因为0<C<\pi ,所以C=60^\circ .$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600355017539585/img/compression/M_e440cefcd45f59cedc03123fd1ed01f4.jpg)
$求角C；$

Solution:
$因为\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}，所以\frac{1}{2}ab\\sin   C=\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2ab\\cos   C，故\\sin   C=\sqrt{3}\\cos   C，即\\tan   C=\sqrt{3}，因为0<C<\pi ,所以C=60^\circ .$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}.$<img_2213>
$若\angle CAB=\frac{\pi }{2}，\angle ACB的平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求\\cos  \angle ADB.$

Solution:
$设AC=x，则BC=2x，AB=\sqrt{3}x，因为CE为\angle ACB的平分线，所以\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}，所以AE=\frac{\sqrt{3}x}{3}，BE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，CE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，易知\angle AEC=60^\circ ，所以在\triangle AED中，\angle AED=120^\circ ，DE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，由余弦定理得AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}-2 AE\cdot DE\cdot \\cos   120^\circ =\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x^{2}+2\times \frac{\sqrt{3}}{3}x\times \frac{2\sqrt{3}}{3}x\times \frac{1}{2}=\frac{7}{3}x^{2}，故AD=\frac{\sqrt{21}}{3}x，在\triangle BDE中，DE=BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}x，\angle BED=60^\circ ，所以BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}x，又AB=\sqrt{3}x，所以在\triangle ABD中，由余弦定理得\\cos  \angle ADB=\frac{AD^2+BD^2-AB^2}{2AD\cdot BD}=\frac{\frac{7}{3}x^2+\frac{4}{3}x^2-3x^2}{2\times \frac{\sqrt{21}}{3}x\times \frac{2\sqrt{3}}{3}x}=\frac{\sqrt{7}}{14}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且\triangle ABC的面积为\frac{\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)}{4}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600355017539585/img/compression/M_e440cefcd45f59cedc03123fd1ed01f4.jpg)
$若\angle CAB=\frac{\pi }{2}，\angle ACB的平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求\\cos  \angle ADB.$

Solution:
$设AC=x，则BC=2x，AB=\sqrt{3}x，因为CE为\angle ACB的平分线，所以\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}，所以AE=\frac{\sqrt{3}x}{3}，BE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，CE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，易知\angle AEC=60^\circ ，所以在\triangle AED中，\angle AED=120^\circ ，DE=\frac{2\sqrt{3}x}{3}，由余弦定理得AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}-2 AE\cdot DE\cdot \\cos   120^\circ =\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x^{2}+2\times \frac{\sqrt{3}}{3}x\times \frac{2\sqrt{3}}{3}x\times \frac{1}{2}=\frac{7}{3}x^{2}，故AD=\frac{\sqrt{21}}{3}x，在\triangle BDE中，DE=BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}x，\angle BED=60^\circ ，所以BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}x，又AB=\sqrt{3}x，所以在\triangle ABD中，由余弦定理得\\cos  \angle ADB=\frac{AD^2+BD^2-AB^2}{2AD\cdot BD}=\frac{\frac{7}{3}x^2+\frac{4}{3}x^2-3x^2}{2\times \frac{\sqrt{21}}{3}x\times \frac{2\sqrt{3}}{3}x}=\frac{\sqrt{7}}{14}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，以x轴非负半轴为始边，角\alpha 的终边与单位圆相交于点P\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)，将角\alpha 的终边绕着原点O顺时针旋转\frac{\pi }{4}得到角\beta 的终边.$<img_2234>
$求\frac{3\\\sin   (\pi -\alpha )+5\\\cos   (-\alpha )}{2\\\sin   \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\\\sin   (\pi +\alpha )}的值；$

Solution:
$由题意可得\\cos   \alpha =-\frac{4}{5}，\\sin   \alpha =\frac{3}{5}，所以\\tan   \alpha =-\frac{3}{4}，(2分)所以\frac{3\\\sin   (\pi -\alpha )+5\\\cos   (-\alpha )}{2\\\sin   \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\\\sin   (\pi +\alpha )}=\frac{3\\\sin    \alpha +5\\\cos    \alpha }{2\\\cos    \alpha -\\\sin    \alpha }=\frac{3\\\tan    \alpha +5}{2-\\\tan    \alpha }=1.(4分)$

Final answer: $1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，以x轴非负半轴为始边，角\alpha 的终边与单位圆相交于点P\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)，将角\alpha 的终边绕着原点O顺时针旋转\frac{\pi }{4}得到角\beta 的终边.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696417112608690178/img/compression/M_c82be9df87562766b4beada376e7e69a.jpg)
$求\frac{3\\\sin   (\pi -\alpha )+5\\\cos   (-\alpha )}{2\\\sin   \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\\\sin   (\pi +\alpha )}的值；$

Solution:
$由题意可得\\cos   \alpha =-\frac{4}{5}，\\sin   \alpha =\frac{3}{5}，所以\\tan   \alpha =-\frac{3}{4}，(2分)所以\frac{3\\\sin   (\pi -\alpha )+5\\\cos   (-\alpha )}{2\\\sin   \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\\\sin   (\pi +\alpha )}=\frac{3\\\sin    \alpha +5\\\cos    \alpha }{2\\\cos    \alpha -\\\sin    \alpha }=\frac{3\\\tan    \alpha +5}{2-\\\tan    \alpha }=1.(4分)$

Final answer: $1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，以x轴非负半轴为始边，角\alpha 的终边与单位圆相交于点P\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)，将角\alpha 的终边绕着原点O顺时针旋转\frac{\pi }{4}得到角\beta 的终边.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696417112608690178/img/compression/M_c82be9df87562766b4beada376e7e69a.jpg)
$求\\sin   2\beta +2\\cos   \beta 的值.$

Solution:
$由题意可得\alpha -\beta =\frac{\pi }{4}，即\beta =-\frac{\pi }{4}+\alpha ，(5分)所以\\sin   2\beta +2\\cos   \beta =\\sin  \left[2\left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\right]+2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\\sin  \left(2\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=-\\cos   2\alpha +2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=1-2\\cos  ^{2}\alpha +\sqrt{2}(\\cos   \alpha +\\sin   \alpha )=1-2\times \frac{16}{25}+\sqrt{2}\times \left(-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\right)=-\frac{7+5\sqrt{2}}{25}.(10分)$

Final answer: $-\frac{7+5\sqrt{2}}{25}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，以x轴非负半轴为始边，角\alpha 的终边与单位圆相交于点P\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)，将角\alpha 的终边绕着原点O顺时针旋转\frac{\pi }{4}得到角\beta 的终边.$<img_2234>
$求\\sin   2\beta +2\\cos   \beta 的值.$

Solution:
$由题意可得\alpha -\beta =\frac{\pi }{4}，即\beta =-\frac{\pi }{4}+\alpha ，(5分)所以\\sin   2\beta +2\\cos   \beta =\\sin  \left[2\left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\right]+2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\\sin  \left(2\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=-\\cos   2\alpha +2\\cos  \left(-\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=1-2\\cos  ^{2}\alpha +\sqrt{2}(\\cos   \alpha +\\sin   \alpha )=1-2\times \frac{16}{25}+\sqrt{2}\times \left(-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\right)=-\frac{7+5\sqrt{2}}{25}.(10分)$

Final answer: $-\frac{7+5\sqrt{2}}{25}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $一半径为4 m的水轮的示意图如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650309870735859714/img/compression/M_f82109c8c3aca9e3b04de608e18a9e32.jpg)
$将点P到水面的距离z(单位：m，在水下z为负数)表示为时间t(单位：秒)的函数；$

Solution:
$已知水轮每分钟逆时针转动三圈，即60秒转动6\pi 弧度，所以角速度\omega =\frac{\pi }{10}弧度/秒，因为水轮半径为4 m，所以振幅为4，故z=4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t+\varphi \right)+2，-\frac{\pi }{2}<\phi <0，(3分)当t=0时，z=4\\sin   \phi +2=0，所以\\sin   \phi =-\frac{1}{2}，又-\frac{\pi }{2}<\phi <0，所以\phi =-\frac{\pi }{6}，所以z=4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)+2，t\geq 0.(5分)$

Final answer: $z=4\sin (\frac{\pi}{10}t-\frac{\pi}6)+2$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $一半径为4 m的水轮的示意图如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.$<img_2151>
$将点P到水面的距离z(单位：m，在水下z为负数)表示为时间t(单位：秒)的函数；$

Solution:
$已知水轮每分钟逆时针转动三圈，即60秒转动6\pi 弧度，所以角速度\omega =\frac{\pi }{10}弧度/秒，因为水轮半径为4 m，所以振幅为4，故z=4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t+\varphi \right)+2，-\frac{\pi }{2}<\phi <0，(3分)当t=0时，z=4\\sin   \phi +2=0，所以\\sin   \phi =-\frac{1}{2}，又-\frac{\pi }{2}<\phi <0，所以\phi =-\frac{\pi }{6}，所以z=4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)+2，t\geq 0.(5分)$

Final answer: $z=4\sin (\frac{\pi}{10}t-\frac{\pi}6)+2$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $一半径为4 m的水轮的示意图如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650309870735859714/img/compression/M_f82109c8c3aca9e3b04de608e18a9e32.jpg)
$点P第一次到达最高点大约需要多长时间？$

Solution:
$令z=6，则4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)+2=6，所以\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)=1，(7分)所以\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{2}，k\in N，所以t=20k+\frac{20}{3}，k\in N，所以点P第一次到达最高点大约需要\frac{20}{3}秒.(10分)$

Final answer: $\frac{20}{3}$ 秒
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $一半径为4 m的水轮的示意图如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.$<img_2151>
$点P第一次到达最高点大约需要多长时间？$

Solution:
$令z=6，则4\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)+2=6，所以\\sin  \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}\right)=1，(7分)所以\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{2}，k\in N，所以t=20k+\frac{20}{3}，k\in N，所以点P第一次到达最高点大约需要\frac{20}{3}秒.(10分)$

Final answer: $\frac{20}{3}$ 秒
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0，\omega >0，|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图像如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650309962385031169/img/compression/M_70e88eefc43fc146b7d1c9de5ebcb229.jpg)
$求函数f(x)的解析式和单调递增区间；$

Solution:
$结合题图和T=\frac{2\pi }{|\omega |}，求得\omega 的值，再根据f \left(\frac{3\pi }{8}\right)=A，f(0)=-1，求得f(x)的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；$

Final answer: $f(x)=A*\sin (8x)
单调递增区间：(0, \pi /16+2n\pi )和(7\pi /16+2n\pi , \pi /2+2n\pi )，其中n为整数。$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0，\omega >0，|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图像如图所示.$<img_2670>
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$结合题图和T=\frac{2\pi }{|\omega |}，求得\omega 的值，再根据f \left(\frac{3\pi }{8}\right)=A，f(0)=-1，求得f(x)的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；$



Final answer: $f(x)=A*\sin (8x)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0，\omega >0，|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图像如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650309962385031169/img/compression/M_70e88eefc43fc146b7d1c9de5ebcb229.jpg)
$将函数f(x)的图像向左平移\frac{\pi }{4}个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，若关于x的方程g(x)-2m=0在区间[0，\pi ]上有两个不同的解x_{1}、x_{2}，求g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)的值及实数m的取值范围.$

Solution:
$根据函数图像的变换法则写出g(x)的解析式，再结合正弦函数的图像及其对称性，即可得解.$

Final answer: $\sin (x_1-\frac{\pi }{4})$，$ (\sin (\frac{\pi }{8}),\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{8}))$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0，\omega >0，|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图像如图所示.$<img_2670>
$将函数f(x)的图像向左平移\frac{\pi }{4}个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，若关于x的方程g(x)-2m=0在区间[0，\pi ]上有两个不同的解x_{1}、x_{2}，求g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)的值及实数m的取值范围.$

Solution:
$根据函数图像的变换法则写出g(x)的解析式，再结合正弦函数的图像及其对称性，即可得解.$

Final answer: $\sin (x_1-\frac{\pi }{4})$，$ (\sin (\frac{\pi }{8}),\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{8}))$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}，其左焦点为F_{1}(-2,0).
$<img_2175>
$求\Gamma 的方程；$

Solution:
$由题意设焦距为2c，则c=2，由离心率\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}，得a=2\sqrt{2}，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=4，所以\Gamma 的方程为\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}，其左焦点为F_{1}(-2,0).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629910598971393/img/compression/M_d9a7f937b1767aebd498e68610ef7eee.jpg)
$求\Gamma 的方程；$

Solution:
$由题意设焦距为2c，则c=2，由离心率\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}，得a=2\sqrt{2}，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=4，所以\Gamma 的方程为\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为\alpha ，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596095556149249/img/compression/M_54c525e190b6ed0720608838436d29e3.jpg)
$求\alpha 的大小；$

Solution:
$由圆O的半径r=10=AB，知\triangle AOB是等边三角形，\therefore \alpha =\angle AOB=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为\alpha ，如图所示.$<img_2225>
$求\alpha 的大小；$

Solution:
$由圆O的半径r=10=AB，知\triangle AOB是等边三角形，\therefore \alpha =\angle AOB=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为\alpha ，如图所示.$<img_2225>
$求\alpha 所在的扇形的弧长l及阴影部分的面积S.$

Solution:
$由(1)知\alpha =\frac{\pi }{3}，r=10，\therefore 弧长l=\alpha r=\frac{\pi }{3}\times 10=\frac{10\pi }{3}，\therefore S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}lr=\frac{50\pi }{3}，而S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times 10\times 5\sqrt{3}=25\sqrt{3}，\therefore S=S_{扇形AOB}-S_{\triangle AOB}=\frac{50\pi }{3}-25\sqrt{3}.$

Final answer: $\frac{10\pi}3$, $\frac{50\pi} 3-25\sqrt 3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为\alpha ，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596095556149249/img/compression/M_54c525e190b6ed0720608838436d29e3.jpg)
$求\alpha 所在的扇形的弧长l及阴影部分的面积S.$

Solution:
$由(1)知\alpha =\frac{\pi }{3}，r=10，\therefore 弧长l=\alpha r=\frac{\pi }{3}\times 10=\frac{10\pi }{3}，\therefore S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}lr=\frac{50\pi }{3}，而S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times 10\times 5\sqrt{3}=25\sqrt{3}，\therefore S=S_{扇形AOB}-S_{\triangle AOB}=\frac{50\pi }{3}-25\sqrt{3}.$

Final answer: $\frac{10\pi}3$, $\frac{50\pi} 3-25\sqrt 3$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661440832860161/img/compression/M_d1fffe6c9f988d187a8d648c0d255665.jpg)
$求C_{1}，C_{2}的方程；$

Solution:
$由题设知，椭圆C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{a^2-6}}{a}，b^{2}=6,\therefore a^{2}=18，c^{2}=12，\therefore F_{1}(-2\sqrt{3}，0)，F_{2}(2\sqrt{3}，0).\because 椭圆C_{1}的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，\therefore 可设双曲线C_{2}：\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{n^2}=1(n>0)，\therefore C_{2}的离心率为\frac{\sqrt{12+n^2}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{2}，\therefore n^{2}=12.\therefore C_{1}的方程为\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1，C_{2}的方程为\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$, $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$<img_2602>
$求C_{1}，C_{2}的方程；$

Solution:
$由题设知，椭圆C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{a^2-6}}{a}，b^{2}=6,\therefore a^{2}=18，c^{2}=12，\therefore F_{1}(-2\sqrt{3}，0)，F_{2}(2\sqrt{3}，0).\because 椭圆C_{1}的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，\therefore 可设双曲线C_{2}：\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{n^2}=1(n>0)，\therefore C_{2}的离心率为\frac{\sqrt{12+n^2}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{2}，\therefore n^{2}=12.\therefore C_{1}的方程为\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1，C_{2}的方程为\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$, $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661440832860161/img/compression/M_d1fffe6c9f988d187a8d648c0d255665.jpg)
$求证：直线EF_{1}和EF_{2}的斜率之积为定值；$

Solution:
$证明：设E(x_{0}，y_{0})，\because 点E在C_{2}上，\therefore y^2_0=x^2_0-12，\therefore k_{EF_{1}}\cdot k_{EF_{2}}=\frac{y^2_0}{x^2_0-12}=1.\therefore 直线EF_{1}和EF_{2}的斜率之积为定值1.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$<img_2602>
$求证：直线EF_{1}和EF_{2}的斜率之积为定值；$

Solution:
$证明：设E(x_{0}，y_{0})，\because 点E在C_{2}上，\therefore y^2_0=x^2_0-12，\therefore k_{EF_{1}}\cdot k_{EF_{2}}=\frac{y^2_0}{x^2_0-12}=1.\therefore 直线EF_{1}和EF_{2}的斜率之积为定值1.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$<img_2602>
$求证：\frac{1}{|FG|}+\frac{1}{|MN|}为定值.$

Solution:
$证明：设直线EF_{1}和EF_{2}的斜率分别为k_{1}，k_{2}，则k_{1}k_{2}=1，直线EF_{1}和EF_{2}的方程分别为y=k_{1}(x+2\sqrt{3}),y=k_{2}(x-2\sqrt{3}).设F(x_{1}，y_{1})，G(x_{2}，y_{2})，将直线EF_{1}与C_{1}的方程联立并消去y，得(3k^2_1+1)x^{2}+12\sqrt{3}k^2_1x+18(2k^2_1-1)=0，则x_{1}+x_{2}=-\frac{12\sqrt{3}k^2_1}{3k^2_1+1}，x_{1}x_{2}=\frac{18(2k^2_1-1)}{3k^2_1+1}，则|FG|=\sqrt{(1+k^2_1)[{(x_1+x_2)}^2-4x_1x_2]}=\sqrt{(1+k^2_1)\left[\left(-\frac{12\sqrt{3}k^2_1}{3k^2_1+1}\right)^2-4 \cdot \frac{18(2k^2_1-1)}{3k^2_1+1}\right]}=\frac{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}{3k^2_1+1}，同理|MN|=\frac{6\sqrt{2}(k^2_2+1)}{3k^2_2+1}=\frac{6\sqrt{2}\left(\frac{1}{k^2_1}+1\right)}{3 \cdot \frac{1}{k^2_1}+1}=\frac{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}{3+k^2_1}，\therefore \frac{1}{|FG|}+\frac{1}{|MN|}=\frac{3k^2_1+1+3+k^2_1}{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}=\frac{4}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}，为定值.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C_{1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6}=1(a>\sqrt{6})的左、右焦点F_{1}，F_{2}是双曲线C_{2}的左、右顶点，C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，C_{2}的离心率为\sqrt{2}，点E在C_{2}上，过点E和F_{1}，F_{2}分别作直线交椭圆C_{1}于点F，G和点M，N，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661440832860161/img/compression/M_d1fffe6c9f988d187a8d648c0d255665.jpg)
$求证：\frac{1}{|FG|}+\frac{1}{|MN|}为定值.$

Solution:
$证明：设直线EF_{1}和EF_{2}的斜率分别为k_{1}，k_{2}，则k_{1}k_{2}=1，直线EF_{1}和EF_{2}的方程分别为y=k_{1}(x+2\sqrt{3}),y=k_{2}(x-2\sqrt{3}).设F(x_{1}，y_{1})，G(x_{2}，y_{2})，将直线EF_{1}与C_{1}的方程联立并消去y，得(3k^2_1+1)x^{2}+12\sqrt{3}k^2_1x+18(2k^2_1-1)=0，则x_{1}+x_{2}=-\frac{12\sqrt{3}k^2_1}{3k^2_1+1}，x_{1}x_{2}=\frac{18(2k^2_1-1)}{3k^2_1+1}，则|FG|=\sqrt{(1+k^2_1)[{(x_1+x_2)}^2-4x_1x_2]}=\sqrt{(1+k^2_1)\left[\left(-\frac{12\sqrt{3}k^2_1}{3k^2_1+1}\right)^2-4 \cdot \frac{18(2k^2_1-1)}{3k^2_1+1}\right]}=\frac{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}{3k^2_1+1}，同理|MN|=\frac{6\sqrt{2}(k^2_2+1)}{3k^2_2+1}=\frac{6\sqrt{2}\left(\frac{1}{k^2_1}+1\right)}{3 \cdot \frac{1}{k^2_1}+1}=\frac{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}{3+k^2_1}，\therefore \frac{1}{|FG|}+\frac{1}{|MN|}=\frac{3k^2_1+1+3+k^2_1}{6\sqrt{2}(k^2_1+1)}=\frac{4}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}，为定值.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，设P是圆x^{2}+y^{2}=16上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M为PD的中点.$<img_2658>
$当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；$

Solution:
$设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x',y')，由题意得\left\{\begin{matrix}x=x',\\ y=\frac{1}{2}y',\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x'=x,\\ y'=2y,\end{matrix}\right.因为点P在圆x^{2}+y^{2}=16上，所以x'^{2}+y'^{2}=16，即x^{2}+(2y)^{2}=16，整理得\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1，故点M的轨迹C的方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，设P是圆x^{2}+y^{2}=16上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M为PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661472768647170/img/compression/M_32d1b291957cfd339b1ee5d7fde50af5.jpg)
$当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；$

Solution:
$设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x',y')，由题意得\left\{\begin{matrix}x=x',\\ y=\frac{1}{2}y',\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x'=x,\\ y'=2y,\end{matrix}\right.因为点P在圆x^{2}+y^{2}=16上，所以x'^{2}+y'^{2}=16，即x^{2}+(2y)^{2}=16，整理得\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1，故点M的轨迹C的方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，设P是圆x^{2}+y^{2}=16上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M为PD的中点.$<img_2658>
$求过点(3,0)且斜率为\frac{4}{5}的直线被C所截得的线段的长度.$

Solution:
$过点(3,0)且斜率为\frac{4}{5}的直线方程为y=\frac{4}{5}(x-3)，设该直线与C的交点为A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，由\left\{\begin{matrix}y=\frac{4}{5}(x-3),\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.消去y并整理，可得89x^{2}-384x+176=0，所以x_{1}+x_{2}=\frac{384}{89}，x_{1}x_{2}=\frac{176}{89}，故|AB|=\sqrt{\left[1+\left(\frac{4}{5}\right)^2\right](x_1-x_2)^2}=\sqrt{\frac{41}{25}[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\frac{8\sqrt{2 173}}{89}，所以所求直线被C所截得的线段的长度为\frac{8\sqrt{2 173}}{89}.$

Final answer: $\frac{8\sqrt{2 173}}{89}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，设P是圆x^{2}+y^{2}=16上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M为PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661472768647170/img/compression/M_32d1b291957cfd339b1ee5d7fde50af5.jpg)
$求过点(3,0)且斜率为\frac{4}{5}的直线被C所截得的线段的长度.$

Solution:
$过点(3,0)且斜率为\frac{4}{5}的直线方程为y=\frac{4}{5}(x-3)，设该直线与C的交点为A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，由\left\{\begin{matrix}y=\frac{4}{5}(x-3),\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.消去y并整理，可得89x^{2}-384x+176=0，所以x_{1}+x_{2}=\frac{384}{89}，x_{1}x_{2}=\frac{176}{89}，故|AB|=\sqrt{\left[1+\left(\frac{4}{5}\right)^2\right](x_1-x_2)^2}=\sqrt{\frac{41}{25}[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\frac{8\sqrt{2 173}}{89}，所以所求直线被C所截得的线段的长度为\frac{8\sqrt{2 173}}{89}.$

Final answer: $\frac{8\sqrt{2 173}}{89}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kx^{a}(x>0)，其图象如图所示.$<img_2454>
$试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y_{1},y_{2}(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;$

Solution:
$由题意可知生产A芯片的毛收入(千万元)y_{1}=\frac{x}{4}(x>0).将(1,1),(4,2)代入y=kx^{a},得\left\{\begin{matrix}k=1,\\ k \cdot 4^a=2,\end{matrix}\right.\therefore \left\{\begin{matrix}k=1,\\ a=\frac{1}{2},\end{matrix}\right.\therefore 生产B芯片的毛收入(千万元)y_{2}=\sqrt{x}(x>0).$

Final answer: $\frac{x}{4}$, $ \sqrt x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kx^{a}(x>0)，其图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455765554176001/img/compression/M_3dea5055081de7adeac59311d1e60114.jpg)
$试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y_{1},y_{2}(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;$

Solution:
$由题意可知生产A芯片的毛收入(千万元)y_{1}=\frac{x}{4}(x>0).将(1,1),(4,2)代入y=kx^{a},得\left\{\begin{matrix}k=1,\\ k \cdot 4^a=2,\end{matrix}\right.\therefore \left\{\begin{matrix}k=1,\\ a=\frac{1}{2},\end{matrix}\right.\therefore 生产B芯片的毛收入(千万元)y_{2}=\sqrt{x}(x>0).$

Final answer: $\frac{x}{4}$, $ \sqrt x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kx^{a}(x>0)，其图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455765554176001/img/compression/M_3dea5055081de7adeac59311d1e60114.jpg)
$如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？$

Solution:
$由\frac{x}{4}>\sqrt{x}，得x>16;由\frac{x}{4}<\sqrt{x},得0\therefore 当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大.$

Final answer: $投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；
投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kx^{a}(x>0)，其图象如图所示.$<img_2454>
$现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，求分别对A，B两种芯片投入多少资金时，可以获得最大净利润，并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)$

Solution:
$设投入x千万元资金生产B芯片，则投入(40-x)千万元资金生产A芯片.设净利润为f(x)千万元，则f(x)=\frac{40-x}{4}+\sqrt{x}-2=-\frac{1}{4}(\sqrt{x}-2)^{2}+9,故当\sqrt{x}=2,即x=4时， f(x)_{max}=9,此时40-x=36，所以分别对A，B两种芯片投入4千万元和36千万元资金时，所获净利润最大，最大净利润为9千万元.$

Final answer: $9$ 千万元
Subfield: Plane Geometry


Question: $某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kx^{a}(x>0)，其图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455765554176001/img/compression/M_3dea5055081de7adeac59311d1e60114.jpg)
$现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，求分别对A，B两种芯片投入多少资金时，可以获得最大净利润，并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)$

Solution:
$设投入x千万元资金生产B芯片，则投入(40-x)千万元资金生产A芯片.设净利润为f(x)千万元，则f(x)=\frac{40-x}{4}+\sqrt{x}-2=-\frac{1}{4}(\sqrt{x}-2)^{2}+9,故当\sqrt{x}=2,即x=4时， f(x)_{max}=9,此时40-x=36，所以分别对A，B两种芯片投入4千万元和36千万元资金时，所获净利润最大，最大净利润为9千万元.$

Final answer: $9$ 千万元