di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n。$
$求p_1，q_1和p_2,q_2；$

Solution:
$p_1 = \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_3} = \frac{1}{3}，$

$q_1 = \frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_3} = \frac{2}{3}，$

$p_2 = \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_3}p_1 + \frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3}q_1 + 0 \cdot (1 - p_1 - q_1) = \frac{1}{3}p_1 + \frac{2}{9}q_1 = \frac{7}{27},$

$q_2 = \frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_3}p_1 + \left(\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3} + \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3}\right)q_1 + \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_3} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_3}(1 - p_1 - q_1) = -\frac{1}{9}q_1 + \frac{2}{3} = \frac{16}{27}.$

Final answer: $p_1 = \frac{1}{3}，q_1 = \frac{2}{3}，p_2 = \frac{7}{27}，q_2 = \frac{16}{27}。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：

<img_1502>

<img_3042>

$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$以销售利润的期望作为决策的依据，判断n=19与n=18应选用哪一个.$

Solution:
$当n=19时,$
$若X=16，则T=600 \times 16-1 900=7 700(元).$
$若X=17，则T=600 \times 17-1 900=8 300(元).$
$若X=18，则T=600 \times 18-1 900=8 900(元).$
$若X \geq 19，则T=9 500(元).$
$所以T的所有可能取值为7 700，8 300，8 900，9 500.$
$P(T=7 700)=0.06，P(T=8 300)=0.23，P(T=8 900)=0.35，P(T=9 500)=0.27+0.09=0.36.$
$所以E_1(T)=7 700 \times 0.06+8 300 \times 0.23+8 900 \times 0.35+9 500 \times 0.36=8 906(元).$
$当n=18时，若X \geq 18，则T=500 \times 18=9 000(元).$
$若X=17，则T=500 \times 17-(18-17) \times 100=8 400 (元).$
$若X=16，则T=500 \times 16-(18-16) \times 100=7 800(元).$
$则T的所有可能取值为7 800，8 400，9 000.$
$P(T=7 800)=0.06，P(T=8 400)=0.23，P(T=9 000)=0.71.$
$所以E_2(T)=7 800 \times 0.06+8 400 \times 0.23+9 000 \times 0.71=8 790(元).$
$因为8 906>8 790，所以应选择n=19.$

Final answer: $n=19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_dc2824cac2f0774ed74b2a1a2e5d807f.jpg)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_b929f303c7dded0eb4835384ebb78fc5.jpg)

$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$以销售利润的期望作为决策的依据，判断n=19与n=18应选用哪一个.$

Solution:
$当n=19时,$
$若X=16，则T=600 \times 16-1 900=7 700(元).$
$若X=17，则T=600 \times 17-1 900=8 300(元).$
$若X=18，则T=600 \times 18-1 900=8 900(元).$
$若X \geq 19，则T=9 500(元).$
$所以T的所有可能取值为7 700，8 300，8 900，9 500.$
$P(T=7 700)=0.06，P(T=8 300)=0.23，P(T=8 900)=0.35，P(T=9 500)=0.27+0.09=0.36.$
$所以E_1(T)=7 700 \times 0.06+8 300 \times 0.23+8 900 \times 0.35+9 500 \times 0.36=8 906(元).$
$当n=18时，若X \geq 18，则T=500 \times 18=9 000(元).$
$若X=17，则T=500 \times 17-(18-17) \times 100=8 400 (元).$
$若X=16，则T=500 \times 16-(18-16) \times 100=7 800(元).$
$则T的所有可能取值为7 800，8 400，9 000.$
$P(T=7 800)=0.06，P(T=8 400)=0.23，P(T=9 000)=0.71.$
$所以E_2(T)=7 800 \times 0.06+8 400 \times 0.23+9 000 \times 0.71=8 790(元).$
$因为8 906>8 790，所以应选择n=19.$

Final answer: $n=19$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$
<img_2549>
$若PA=AB=\frac{\sqrt{2}}{2}PB，二面角A-BD-F的余弦值为\frac{3}{5}，求PD与平面BDF所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB=PA=a，则PB=\sqrt{2}a=PC，$

$因为PA^2+AB^2=PB^2，所以PA\perp AB，$

$同理可证PA\perp AC，又AB\cap AC=A，$

$所以PA\perp 平面ABCD.$

$如图，设AC\cap BD=O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$

<img_2381>

$易知\angle FOA为二面角A-BD-F的平面角，$

$所以\cos \angle FOA=\frac{3}{5}，从而\tan \angle FOA=\frac{4}{3}.$

$在Rt\triangle AFO中，\tan \angle FOA=\frac{AF}{AO}=\frac{AF}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{3}，得AF=\frac{2}{3}a.$

$故F(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3})，\overrightarrow{OF}=\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right).$

$又由B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，得\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，$

$设平面BDF的法向量为n=x,y,z，$

$由n\perp \overrightarrow{BF}，n\perp \overrightarrow{OF}，得\left\{\begin{matrix}-\frac{\sqrt{3}a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\\ -\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\end{matrix}\right.$

$不妨设z=3，则可得平面BDF的一个法向量为n=0,4,3.又P\left(0,-\frac{a}{2},a\right)，D\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，所以\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},-a\right).$

$设PD与平面BDF所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|\cos \langle n，\overrightarrow{PD}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{|2a-3a|}{5\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

$所以PD与平面BDF所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875061570232322/img/compression/M_2749d0d0b15b52b3165d9b92f0e855a6.jpg)
$若PA=AB=\frac{\sqrt{2}}{2}PB，二面角A-BD-F的余弦值为\frac{3}{5}，求PD与平面BDF所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB=PA=a，则PB=\sqrt{2}a=PC，$

$因为PA^2+AB^2=PB^2，所以PA\perp AB，$

$同理可证PA\perp AC，又AB\cap AC=A，$

$所以PA\perp 平面ABCD.$

$如图，设AC\cap BD=O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875062039994370/img/compression/M_003a1c520b6529201f20b274f3c2677f.jpg)

$易知\angle FOA为二面角A-BD-F的平面角，$

$所以\cos \angle FOA=\frac{3}{5}，从而\tan \angle FOA=\frac{4}{3}.$

$在Rt\triangle AFO中，\tan \angle FOA=\frac{AF}{AO}=\frac{AF}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{3}，得AF=\frac{2}{3}a.$

$故F(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3})，\overrightarrow{OF}=\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right).$

$又由B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，得\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，$

$设平面BDF的法向量为n=x,y,z，$

$由n\perp \overrightarrow{BF}，n\perp \overrightarrow{OF}，得\left\{\begin{matrix}-\frac{\sqrt{3}a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\\ -\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\end{matrix}\right.$

$不妨设z=3，则可得平面BDF的一个法向量为n=0,4,3.又P\left(0,-\frac{a}{2},a\right)，D\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，所以\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},-a\right).$

$设PD与平面BDF所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|\cos \langle n，\overrightarrow{PD}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{|2a-3a|}{5\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

$所以PD与平面BDF所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
$当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；$

Solution:
$建立空间直角坐标系O-xyz如图，$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875064049065985/img/compression/M_3c77124118ccea0351febe6016094104.jpg)
$则O(0，0，0)，A(0，0，2)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{OC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)，\because D为AB的中点，$
$\therefore D\left(0,\frac{1}{2},1\right)，$
$\overrightarrow{OD}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{BD}=\left(0,-\frac{1}{2},1\right)，$
$设\bold{n}_1(x1,y1,z1)为平面OCD的法向量，$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OC}=0,\\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ \frac{1}{2}y_1+z_1=0,\end{matrix}\right. $
$令z1=1，则y1=-2，$
$\therefore \bold{n}_1(0,-2，1)是平面OCD的一个法向量，$
$设\bold{n}_2(x2,y2,z2)为平面BCD的法向量，$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2-y_2=0,\\ -\frac{1}{2}y_2+z_2=0,\end{matrix}\right. $
令z2=1，则x2=2，y2=2，
$\therefore \bold{n}_2(2,2，1)是平面BCD的一个法向量，$
$\therefore \cos \langle \bold{n}_1,\bold{n}_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}$
$=\frac{0+(-2) \times 2+1 \times 1}{\sqrt{0^2+{(-2)}^2+1^2} \times \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}，$
由图可知，二面角B-CD-O为锐二面角，
$\therefore 二面角B-CD-O的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
<img_2997>
$当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；$

Solution:
$建立空间直角坐标系O-xyz如图，$
<img_1630>
$则O(0，0，0)，A(0，0，2)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{OC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)，\because D为AB的中点，$
$\therefore D\left(0,\frac{1}{2},1\right)，$
$\overrightarrow{OD}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{BD}=\left(0,-\frac{1}{2},1\right)，$
$设\bold{n}_1(x1,y1,z1)为平面OCD的法向量，$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OC}=0,\\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ \frac{1}{2}y_1+z_1=0,\end{matrix}\right. $
$令z1=1，则y1=-2，$
$\therefore \bold{n}_1(0,-2，1)是平面OCD的一个法向量，$
$设\bold{n}_2(x2,y2,z2)为平面BCD的法向量，$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2-y_2=0,\\ -\frac{1}{2}y_2+z_2=0,\end{matrix}\right. $
令z2=1，则x2=2，y2=2，
$\therefore \bold{n}_2(2,2，1)是平面BCD的一个法向量，$
$\therefore \cos \langle \bold{n}_1,\bold{n}_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}$
$=\frac{0+(-2) \times 2+1 \times 1}{\sqrt{0^2+{(-2)}^2+1^2} \times \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}，$
由图可知，二面角B-CD-O为锐二面角，
$\therefore 二面角B-CD-O的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值.

Solution:
$解法： \because OC\perp 平面AOB，$
$\therefore \angle CDO为CD与平面AOB所成的角，$
$\because OC＝1，\therefore 点O到直线AB的距离最小时，\angle CDO的正弦值最大，即当OD\perp AB时，\angle CDO的正弦值最大，$
$此时OD=\frac{2\sqrt{5}}{5}，\therefore CD=\frac{3\sqrt{5}}{5}，$
$\therefore \sin \angle CDO=\frac{\sqrt{5}}{3}，$
$\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}. $
$解法：设\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AB}(0\leq \lambda \leq 1)，$
$\therefore D(0,\lambda ,2-2\lambda )，\therefore \overrightarrow{CD}=(-1,\lambda ,2-2\lambda ).$
$易知平面AOB的一个法向量为n=(1,0,0)，$
$设CD与平面AOB所成角为\theta  (0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2})，则 sin \theta  = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}= \frac{1}{\sqrt{5\lambda ^2-8\lambda +5}} = \frac{1}{\sqrt{5\left(\lambda -\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}}}，$
$\therefore 当\lambda =\frac{4}{5}时，sin \theta 有最大值，最大值为\frac{\sqrt{5}}{3}. $
$此时CD与平面AOB所成的角最大，$
$\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
<img_2997>
求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值.

Solution:
$解法： \because OC\perp 平面AOB，$
$\therefore \angle CDO为CD与平面AOB所成的角，$
$\because OC＝1，\therefore 点O到直线AB的距离最小时，\angle CDO的正弦值最大，即当OD\perp AB时，\angle CDO的正弦值最大，$
$此时OD=\frac{2\sqrt{5}}{5}，\therefore CD=\frac{3\sqrt{5}}{5}，$
$\therefore \sin \angle CDO=\frac{\sqrt{5}}{3}，$
$\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}. $
$解法：设\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AB}(0\leq \lambda \leq 1)，$
$\therefore D(0,\lambda ,2-2\lambda )，\therefore \overrightarrow{CD}=(-1,\lambda ,2-2\lambda ).$
$易知平面AOB的一个法向量为n=(1,0,0)，$
$设CD与平面AOB所成角为\theta  (0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2})，则 sin \theta  = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}= \frac{1}{\sqrt{5\lambda ^2-8\lambda +5}} = \frac{1}{\sqrt{5\left(\lambda -\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}}}，$
$\therefore 当\lambda =\frac{4}{5}时，sin \theta 有最大值，最大值为\frac{\sqrt{5}}{3}. $
$此时CD与平面AOB所成的角最大，$
$\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 图1是由$矩形ADEB，Rt\triangle ABC和菱形BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60^\circ .将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG$，如图2.<img_1973>
$求图2中的四边形ACGD的面积.$

Solution:
取CG的中点M，连接EM，DM.

<img_1580>

$因为AB\parallel DE，AB\perp 平面BCGE，所以DE\perp 平面BCGE，故DE\perp CG.$

$因为四边形BCGE是菱形，\angle EBC=60^\circ ，所以EM\perp CG，而DE\cap EM=E，故CG\perp 平面DEM.因此DM\perp CG.在Rt\triangle DEM中，DE=1，EM= \sqrt{3} ，故DM=2.易知四边形ACGD是平行四边形,$

所以四边形ACGD的面积为4.

解后反思:

$根据菱形的特征找到菱形BCGE的边CG上的高求解.$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: 图1是由$矩形ADEB，Rt\triangle ABC和菱形BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60^\circ .将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG$，如图2.![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875096182132737/img/compression/M_cd832811b4eed070cb272ce6f2ae913c.jpg)
$求图2中的四边形ACGD的面积.$

Solution:
取CG的中点M，连接EM，DM.

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875096182132737/img/compression/M_3c1a6299900a6559bfa3eb9acadd485f.jpg)

$因为AB\parallel DE，AB\perp 平面BCGE，所以DE\perp 平面BCGE，故DE\perp CG.$

$因为四边形BCGE是菱形，\angle EBC=60^\circ ，所以EM\perp CG，而DE\cap EM=E，故CG\perp 平面DEM.因此DM\perp CG.在Rt\triangle DEM中，DE=1，EM= \sqrt{3} ，故DM=2.易知四边形ACGD是平行四边形,$

所以四边形ACGD的面积为4.

解后反思:

$根据菱形的特征找到菱形BCGE的边CG上的高求解.$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ , PA \perp 底面ABCD, PA=2, 点E是PC的中点.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875117010542594/img/compression/M_6b3de400e232ec00afb4edbe4e512548.jpg)
$求DC到平面ABE的距离.$

Solution:
$由(1)知平面ABE的法向量n=(1,\sqrt{3},-\sqrt{3})，$
$\overrightarrow{AD}=(0，2，0)。$
$因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: \frac{2\sqrt{21}}{7}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ , PA \perp 底面ABCD, PA=2, 点E是PC的中点.$

<img_256>
$求DC到平面ABE的距离.$

Solution:
$由(1)知平面ABE的法向量n=(1,\sqrt{3},-\sqrt{3})，$
$\overrightarrow{AD}=(0，2，0)。$
$因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: \frac{2\sqrt{21}}{7}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_1B_1C_1，A_1A，B_1B，C_1C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_1A=4，C_1C=1，AB=BC=B_1B=2.$
![19GZTLSX22.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875120491814915/img/compression/M_c50411d4f0d40e3d1ad5a15a16f4f9c3.jpg)
$求直线AC_1与平面ABB_1所成的角的正弦值.$

Solution:
$设直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角为\theta.$

$由(1)可知，\overrightarrow{AC_1}=(0，2\sqrt{3}，1)，\overrightarrow{AB}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BB_1}=(0，0，2)。设平面ABB_{1}的法向量\textbf{n}=(x，y，z).$

$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BB_1}=0,\end{matrix}\right.得到\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{3}y=0,\\ 2z=0,\end{matrix}\right.，可取\textbf{n}=(-\sqrt{3}，1，0).$

$所以sin \theta=|cos\langle \overrightarrow{AC_1}，\textbf{n}\rangle  |= \frac{|\overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{39}}{13}。 (注意线面角\theta与两向量夹角的关系)$

$因此，直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值是\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_1B_1C_1，A_1A，B_1B，C_1C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_1A=4，C_1C=1，AB=BC=B_1B=2.$
<img_3012>
$求直线AC_1与平面ABB_1所成的角的正弦值.$

Solution:
$设直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角为\theta.$

$由(1)可知，\overrightarrow{AC_1}=(0，2\sqrt{3}，1)，\overrightarrow{AB}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BB_1}=(0，0，2)。设平面ABB_{1}的法向量\textbf{n}=(x，y，z).$

$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BB_1}=0,\end{matrix}\right.得到\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{3}y=0,\\ 2z=0,\end{matrix}\right.，可取\textbf{n}=(-\sqrt{3}，1，0).$

$所以sin \theta=|cos\langle \overrightarrow{AC_1}，\textbf{n}\rangle  |= \frac{|\overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{39}}{13}。 (注意线面角\theta与两向量夹角的关系)$

$因此，直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值是\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，A_1B_1\perp B_1C_1，AA_1=AB=2，BC=1，E为A_1C_1中点.$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875143778590722/img/compression/M_271ef5bce13688ccb03d4f14b2198df2.jpg)
设平面EAB与直线B_1C_1交于点H，求线段B_1H的长；

Solution:
$由棱柱的性质知平面ABC\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，$

$\because AB\subset 平面ABC，\therefore AB\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，$

$\because 平面EAB\cap 平面A_{1}B_{1}C_{1}=EH，AB\subset 平面EAB，$

$\therefore AB\parallel EH，\therefore A_{1}B_{1}\parallel EH.又E为A_{1}C_{1}中点，$

$\therefore H为B_{1}C_{1}中点，\therefore B_{1}H= \frac{1}{2} B_{1}C_{1}= \frac{1}{2} BC= \frac{1}{2}.$

Final answer: $B_1H=\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，A_1B_1\perp B_1C_1，AA_1=AB=2，BC=1，E为A_1C_1中点.$

<img_2227>
设平面EAB与直线B_1C_1交于点H，求线段B_1H的长；

Solution:
$由棱柱的性质知平面ABC\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，$

$\because AB\subset 平面ABC，\therefore AB\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，$

$\because 平面EAB\cap 平面A_{1}B_{1}C_{1}=EH，AB\subset 平面EAB，$

$\therefore AB\parallel EH，\therefore A_{1}B_{1}\parallel EH.又E为A_{1}C_{1}中点，$

$\therefore H为B_{1}C_{1}中点，\therefore B_{1}H= \frac{1}{2} B_{1}C_{1}= \frac{1}{2} BC= \frac{1}{2}.$



Final answer: $B_1H=\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，A_1B_1\perp B_1C_1，AA_1=AB=2，BC=1，E为A_1C_1中点.$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875143778590722/img/compression/M_271ef5bce13688ccb03d4f14b2198df2.jpg)
$求直线AC_1与平面EAB所成角的正弦值.$

Solution:
$以B为坐标原点，分别以\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BB_1}的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875144441290754/img/compression/M_79f5478f60e4d4eb6a52b17c3b070487.jpg)

$则A(0,-2,0)，B(0,0,0)，C1(-1,0，2)，E\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，$

$\therefore \overrightarrow{AC_1}=(-1,2，2)，\overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，$

设平面EAB的法向量为n=(x,y,z)，

$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-y+2z=0,\end{matrix}\right.$

$令z=1，得x=4，\therefore n=(4,0，1)，$

$设直线AC1与平面EAB所成角为\theta ，$

$则sin \theta =|cos\langle n, \overrightarrow{AC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{3\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{51}，$

$\therefore 直线AC1与平面EAB所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{17}}{51}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{17}}{51}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，A_1B_1\perp B_1C_1，AA_1=AB=2，BC=1，E为A_1C_1中点.$

<img_2227>
$求直线AC_1与平面EAB所成角的正弦值.$

Solution:
$以B为坐标原点，分别以\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BB_1}的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$

<img_3017>

$则A(0,-2,0)，B(0,0,0)，C1(-1,0，2)，E\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，$

$\therefore \overrightarrow{AC_1}=(-1,2，2)，\overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，$

设平面EAB的法向量为n=(x,y,z)，

$\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-y+2z=0,\end{matrix}\right.$

$令z=1，得x=4，\therefore n=(4,0，1)，$

$设直线AC1与平面EAB所成角为\theta ，$

$则sin \theta =|cos\langle n, \overrightarrow{AC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{3\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{51}，$

$\therefore 直线AC1与平面EAB所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{17}}{51}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{17}}{51}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，等边\triangle PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2.$

![23ABJ5SX76.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875145909297155/img/compression/M_fd55494db379a2e2b5f3ed3edb9131a7.jpg)
$求二面角P-EB-A的余弦值.$

Solution:
$取BC的中点F，连接OF.$

$因为四边形ABCD是正方形，$

$所以OF垂直于AD，$

$所以PO,OF,AD两两垂直，则以O为原点，分别以OA,OF,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875146672660481/img/compression/M_d172052d4f2f773d15f4d37c8f2c2193.jpg)

$则O(0,0,0),P(0,0,\sqrt{3}),B(1,2,0),E(-1,1,0)，所以\overrightarrow{EP}=(1,-1,\sqrt{3}),\overrightarrow{EB}=(2,1,0),\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，$

$显然平面EBA的一个法向量为\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，$

$设平面PBE的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EB}=0,\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x-y+\sqrt{3}z=0,\\ 2x+y=0,\end{matrix}\right.$

$令x=1，得\boldsymbol{n}=(1,-2,-\sqrt{3})，$

$所以\cos \langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{OP}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{OP}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{OP}|}=-\frac{\sqrt{6}}{4}，$

$因为二面角P-EB-A为锐二面角，$

$所以二面角P-EB-A的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，等边\triangle PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2.$

<img_306>
$求二面角P-EB-A的余弦值.$

Solution:
$取BC的中点F，连接OF.$

$因为四边形ABCD是正方形，$

$所以OF垂直于AD，$

$所以PO,OF,AD两两垂直，则以O为原点，分别以OA,OF,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$

<img_139>

$则O(0,0,0),P(0,0,\sqrt{3}),B(1,2,0),E(-1,1,0)，所以\overrightarrow{EP}=(1,-1,\sqrt{3}),\overrightarrow{EB}=(2,1,0),\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，$

$显然平面EBA的一个法向量为\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，$

$设平面PBE的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EB}=0,\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x-y+\sqrt{3}z=0,\\ 2x+y=0,\end{matrix}\right.$

$令x=1，得\boldsymbol{n}=(1,-2,-\sqrt{3})，$

$所以\cos \langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{OP}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{OP}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{OP}|}=-\frac{\sqrt{6}}{4}，$

$因为二面角P-EB-A为锐二面角，$

$所以二面角P-EB-A的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA\perp 底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875148602040321/img/compression/M_06a6e9ebc10f87b990e5cfcfe04dda64.jpg)
求直线AE与平面PBD所成角的正弦值.

Solution:
$以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875148992110593/img/compression/M_a1353ff95c9d1d64260dd31983ac5b78.jpg)

$设AB=AP=2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2).$

$\overrightarrow{AE}=(0,1,1)，\overrightarrow{BP}=(-2,0,2)，\overrightarrow{DP}=(0,-2,2).$

$设平面PBD的法向量\boldsymbol{m}=(x,y,z)，由$
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\end{matrix}\right.$
得
$\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ -2y+2z=0,\end{matrix}\right.$
$设z=1，则\boldsymbol{m}=(1,1,1).$

$设直线AE与平面PBD所成角为\theta ，则$
$sin \theta  = |\cos \langle \overrightarrow{AE}，\boldsymbol{m}\rangle |= \frac{|\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA\perp 底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点.$
<img_16>
求直线AE与平面PBD所成角的正弦值.

Solution:
$以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$

<img_121>

$设AB=AP=2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2).$

$\overrightarrow{AE}=(0,1,1)，\overrightarrow{BP}=(-2,0,2)，\overrightarrow{DP}=(0,-2,2).$

$设平面PBD的法向量\boldsymbol{m}=(x,y,z)，由$
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\end{matrix}\right.$
得
$\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ -2y+2z=0,\end{matrix}\right.$
$设z=1，则\boldsymbol{m}=(1,1,1).$

$设直线AE与平面PBD所成角为\theta ，则$
$sin \theta  = |\cos \langle \overrightarrow{AE}，\boldsymbol{m}\rangle |= \frac{|\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$