di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图，筒车的半径r=4 m，轴心O距离水面2 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.
$<img_3022>
$将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，z为负数)表示为时间t(单位：min)的函数；默认t\geq 0$

Solution:
$以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，$<img_2449>$设P(x,y)，则点P到水面的距离z=y+2,\frac{y}{r}=\\sin   \alpha ,其中\alpha 是以Ox为始边，OP为终边的角，由点O到水面的距离为2 m，半径r=4 m，知\angle P_{0}Ox=\frac{\pi }{6}，(2分)由该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，得\angle P_{0}OP=\frac{2\pi }{2}\times t=\pi t，则\alpha =\pi t-\frac{\pi }{6}，则y=r\\sin   \alpha =4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)，则z=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2,t\geq 0.(4分)$



Final answer: $z=4\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图，筒车的半径r=4 m，轴心O距离水面2 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583596041224193/img/compression/M_6f41ac8c9ba3bb514fa4f0e50e8530be.jpg)
$将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，z为负数)表示为时间t(单位：min)的函数；$

Solution:
$以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583595634376706/img/compression/M_41d911224cf99230d9db0d9ac6bcf6b9.jpg)$设P(x,y)，则点P到水面的距离z=y+2,\frac{y}{r}=\\sin   \alpha ,其中\alpha 是以Ox为始边，OP为终边的角，由点O到水面的距离为2 m，半径r=4 m，知\angle P_{0}Ox=\frac{\pi }{6}，(2分)由该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，得\angle P_{0}OP=\frac{2\pi }{2}\times t=\pi t，则\alpha =\pi t-\frac{\pi }{6}，则y=r\\sin   \alpha =4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)，则z=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2,t\geq 0.(4分)$

Final answer: $z=4\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2,t\geq 0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图，筒车的半径r=4 m，轴心O距离水面2 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583596041224193/img/compression/M_6f41ac8c9ba3bb514fa4f0e50e8530be.jpg)
$已知盛水筒Q与盛水筒P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间t.$

Solution:
$由筒车上均匀分布了12个盛水筒，得\angle POQ=\frac{\pi }{6}，设Q(x_{Q},y_{Q})，则\frac{y_Q}{r}=\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)，由(1)知,\alpha =\pi t-\frac{\pi }{6}，(6分)所以y_{Q}=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=4\\sin   \pi t，又P点纵坐标y=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right),所以\\sin   \pi t=\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)，(8分)则\pi t=\pi t-\frac{\pi }{6}+2k\pi 或\pi t=\pi -\left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi ，k\in Z,解得t=k+\frac{7}{12},k\in N，由盛水筒P和Q均在水面上方，得4\\sin   \pi t>-2，即\\sin   \pi t>-\frac{1}{2}，(10分)则2k\pi -\frac{\pi }{6}<\pi t<2k\pi +\frac{7\pi }{6},k\in Z，则t=2k+\frac{7}{12},k\in Z，由t>0得t=2k+\frac{7}{12},k\in N.(12分)$

Final answer: $t=2k+\frac{7}{12}, k\in N$
Subfield: Plane Geometry


Question: $筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图，筒车的半径r=4 m，轴心O距离水面2 m，筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转，2 min转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P_{0})开始计算时间.
$<img_3022>
$已知盛水筒Q与盛水筒P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间t（用k表示，k为任意自然数）$

Solution:
$由筒车上均匀分布了12个盛水筒，得\angle POQ=\frac{\pi }{6}，设Q(x_{Q},y_{Q})，则\frac{y_Q}{r}=\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)，由(1)知,\alpha =\pi t-\frac{\pi }{6}，(6分)所以y_{Q}=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=4\\sin   \pi t，又P点纵坐标y=4\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right),所以\\sin   \pi t=\\sin  \left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)，(8分)则\pi t=\pi t-\frac{\pi }{6}+2k\pi 或\pi t=\pi -\left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi ，k\in Z,解得t=k+\frac{7}{12},k\in N，由盛水筒P和Q均在水面上方，得4\\sin   \pi t>-2，即\\sin   \pi t>-\frac{1}{2}，(10分)则2k\pi -\frac{\pi }{6}<\pi t<2k\pi +\frac{7\pi }{6},k\in Z，则t=2k+\frac{7}{12},k\in Z，由t>0得t=2k+\frac{7}{12},k\in N.(12分)$



Final answer: $t=2k+\frac{7}{12}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=\\cos  (\omega x+\phi )\left(\right.\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583596657786881/img/compression/M_c6c53023f0a927eb25461b18c20e73db.jpg)
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$设f(x)的最小正周期为T.由题图知\frac{3}{4}T=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}，即T=\pi .由T=\frac{2\pi }{\omega },解得\omega =2.(2分)由题图知函数f(x)=\\cos  (2x+\phi )的图象过点\left(\frac{\pi }{12},1\right)，\therefore \\cos  \left(2 \times \frac{\pi }{12}+\varphi \right)=1，即\\cos  \left(\frac{\pi }{6}+\varphi \right)=1，\therefore \frac{\pi }{6}+\phi =2k\pi ，k\in Z，解得\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi ，k\in Z.又|\phi |<\frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{6},\therefore f(x)=\\cos  \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).(4分)$

Final answer: $f(x)=\cos (2x - \frac{\pi} 6)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=\\cos  (\omega x+\phi )\left(\right.\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$<img_2612>
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$设f(x)的最小正周期为T.由题图知\frac{3}{4}T=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}，即T=\pi .由T=\frac{2\pi }{\omega },解得\omega =2.(2分)由题图知函数f(x)=\\cos  (2x+\phi )的图象过点\left(\frac{\pi }{12},1\right)，\therefore \\cos  \left(2 \times \frac{\pi }{12}+\varphi \right)=1，即\\cos  \left(\frac{\pi }{6}+\varphi \right)=1，\therefore \frac{\pi }{6}+\phi =2k\pi ，k\in Z，解得\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi ，k\in Z.又|\phi |<\frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{6},\therefore f(x)=\\cos  \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).(4分)$

Final answer: $f(x)=\cos (2x - \frac{\pi} 6)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=\\cos  (\omega x+\phi )\left(\right.\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583596657786881/img/compression/M_c6c53023f0a927eb25461b18c20e73db.jpg)
$若∀x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，[f(x)]^{2}-mf(x)-1\leq 0恒成立，求m的取值范围.$

Solution:
$\because x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，\therefore 2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]，\therefore \\cos  \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，即f(x)\in \left[-\frac{1}{2},1\right].令t=f(x)，t\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，则由题可知∀t\in \left[-\frac{1}{2},1\right],t^{2}-mt-1\leq 0恒成立.(6分)令g(t)=t^{2}-mt-1，t\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，其图象为开口向上，对称轴为直线t=\frac{m}{2}的抛物线y=t^{2}-mt-1的一部分.①当m\leq -1时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},1\right]上单调递增，则g(t)_{max}=g(1)=-m,令-m\leq 0，解得m\geq 0，此时无解；(8分)②当-1<m<2时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},\frac{m}{2}\right]上单调递减，在\left[\frac{m}{2},1\right]上单调递增，则g(t)_{max}=max\left\{g(1),g\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}=max\left\{-m,\frac{m}{2}-\frac{3}{4}\right\}，令g(t)_{max}\leq 0，解得0\leq m\leq \frac{3}{2}；(10分)③当m\geq 2时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},1\right]上单调递减，则g(t)_{max}=g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{m}{2}-\frac{3}{4},令\frac{m}{2}-\frac{3}{4}\leq 0，解得m\leq \frac{3}{2}，此时无解.综上可知，m的取值范围是0\leq m\leq \frac{3}{2}.(12分)$

Final answer: $[0. \frac32]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=\\cos  (\omega x+\phi )\left(\right.\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$<img_2612>
$若∀x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，[f(x)]^{2}-mf(x)-1\leq 0恒成立，求m的取值范围.$

Solution:
$\because x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，\therefore 2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]，\therefore \\cos  \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，即f(x)\in \left[-\frac{1}{2},1\right].令t=f(x)，t\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，则由题可知∀t\in \left[-\frac{1}{2},1\right],t^{2}-mt-1\leq 0恒成立.(6分)令g(t)=t^{2}-mt-1，t\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，其图象为开口向上，对称轴为直线t=\frac{m}{2}的抛物线y=t^{2}-mt-1的一部分.①当m\leq -1时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},1\right]上单调递增，则g(t)_{max}=g(1)=-m,令-m\leq 0，解得m\geq 0，此时无解；(8分)②当-1<m<2时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},\frac{m}{2}\right]上单调递减，在\left[\frac{m}{2},1\right]上单调递增，则g(t)_{max}=max\left\{g(1),g\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}=max\left\{-m,\frac{m}{2}-\frac{3}{4}\right\}，令g(t)_{max}\leq 0，解得0\leq m\leq \frac{3}{2}；(10分)③当m\geq 2时，函数g(t)在\left[-\frac{1}{2},1\right]上单调递减，则g(t)_{max}=g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{m}{2}-\frac{3}{4},令\frac{m}{2}-\frac{3}{4}\leq 0，解得m\leq \frac{3}{2}，此时无解.综上可知，m的取值范围是0\leq m\leq \frac{3}{2}.(12分)$

Final answer: $[0. \frac32]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=2\\sin  \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)(x\in R).$
$利用“五点法”画出该函数在一个周期上的简图.列表：
\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}
x
y
描点，连线：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596136421806082/img/compression/M_fa8a9ea75e977b5218a2022cfa06b623.jpg)$
$

Solution:
$列表：
\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}
0
\frac{\pi }{2}
\pi 
\frac{3\pi }{2}
2\pi 
x
-\frac{\pi }{2}
\frac{\pi }{2}
\frac{3\pi }{2}
\frac{5\pi }{2}
\frac{7\pi }{2}
y
0
2
0
-2
0
描点，连线：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596136421806082/img/compression/M_95f9ca2ee1569e3f20a3f6898f2eb03d.jpg)$
$

Final answer: $0, 2, 0, -2, 0$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=2\\sin  \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)(x\in R).$
$利用“五点法”画出该函数在一个周期上的简图.列表：
\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}
x
y
描点，连线：$<img_2091>$
$

Solution:
$列表：
\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}
0
\frac{\pi }{2}
\pi 
\frac{3\pi }{2}
2\pi 
x
-\frac{\pi }{2}
\frac{\pi }{2}
\frac{3\pi }{2}
\frac{5\pi }{2}
\frac{7\pi }{2}
y
0
2
0
-2
0
描点，连线：$<img_2327>$
$

Final answer: $0, 2, 0, -2, 0$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=2\\sin  \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)(x\in R).$
$说明该函数的图象可由y=\\sin   x(x\in R)的图象经过怎样的变换得到.$

Solution:
$先将y=\\sin   x的图象向左平移\frac{\pi }{4}个单位长度，可得y=\\sin  \left(x+\frac{\pi }{4}\right)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=\\sin  \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得y=2\\sin  \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)的图象.$

Final answer: $y=2\sin (\frac12x+\frac{\pi} 4)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0,\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图.$<img_1839>
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图知A=2,T=\frac{7\pi }{8}-\left(-\frac{\pi }{8}\right)=\pi ，所以\omega =\frac{2\pi }{T}=2，所以f(x)=2\\sin  (2x+\phi )，令-\frac{\pi }{8}\times 2+\phi =2k\pi (k\in Z),解得\phi =2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in Z)，由于|\phi |<\frac{\pi }{2}，所以\phi =\frac{\pi }{4},所以y=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{4}\right).$

Final answer: $y=2\sin (2x+\pi /4)$,$ y=2\sin (2x+9\pi /4)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0,\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596138317631489/img/compression/M_57e893f13d08edd9ad55afc2ec00ffd7.jpg)
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图知A=2,T=\frac{7\pi }{8}-\left(-\frac{\pi }{8}\right)=\pi ，所以\omega =\frac{2\pi }{T}=2，所以f(x)=2\\sin  (2x+\phi )，令-\frac{\pi }{8}\times 2+\phi =2k\pi (k\in Z),解得\phi =2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in Z)，由于|\phi |<\frac{\pi }{2}，所以\phi =\frac{\pi }{4},所以y=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{4}\right).$

Final answer: $y=2\sin (2x+\pi /4)$,$ y=2\sin (2x+9\pi /4)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0,\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图.$<img_1839>
$写出函数f(x)在\left[0,\frac{\pi }{2}\right]上的单调递减区间.$

Solution:
$令2k\pi +\frac{\pi }{2}\leq 2x+\frac{\pi }{4}\leq 2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in Z)，可得k\pi +\frac{\pi }{8}\leq x\leq k\pi +\frac{5\pi }{8}(k\in Z)，当k=0时，\frac{\pi }{8}\leq x\leq \frac{5\pi }{8}，故函数f(x)在\left[0,\frac{\pi }{2}\right]上的单调递减区间为\left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right].$

Final answer: $[\frac{\pi}8, \frac{\pi}2]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(A>0,\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596138317631489/img/compression/M_57e893f13d08edd9ad55afc2ec00ffd7.jpg)
$写出函数f(x)在\left[0,\frac{\pi }{2}\right]上的单调递减区间.$

Solution:
$令2k\pi +\frac{\pi }{2}\leq 2x+\frac{\pi }{4}\leq 2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in Z)，可得k\pi +\frac{\pi }{8}\leq x\leq k\pi +\frac{5\pi }{8}(k\in Z)，当k=0时，\frac{\pi }{8}\leq x\leq \frac{5\pi }{8}，故函数f(x)在\left[0,\frac{\pi }{2}\right]上的单调递减区间为\left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right].$

Final answer: $[\frac{\pi}8, \frac{\pi}2]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆O相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，|OB|=\frac{3}{5}.$<img_1676>
$求\\tan   \alpha 的值；$

Solution:
$由题意可知点A的横坐标为-\frac{3}{5}，则\\cos   \alpha =-\frac{3}{5}，(2分)因为\alpha 为第二象限角，所以\\sin   \alpha =\sqrt{1-{\\\cos    }^2\alpha }=\frac{4}{5}，(4分)所以\\tan   \alpha =\frac{\\\sin    \alpha }{\\\cos    \alpha }=-\frac{4}{3}.(5分)$

Final answer: $-\frac{4}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆O相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，|OB|=\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584118089465858/img/compression/M_34771767fc9c095e5df1f8abfa7cda10.jpg)
$求\\tan   \alpha 的值；$

Solution:
$由题意可知点A的横坐标为-\frac{3}{5}，则\\cos   \alpha =-\frac{3}{5}，(2分)因为\alpha 为第二象限角，所以\\sin   \alpha =\sqrt{1-{\\\cos    }^2\alpha }=\frac{4}{5}，(4分)所以\\tan   \alpha =\frac{\\\sin    \alpha }{\\\cos    \alpha }=-\frac{4}{3}.(5分)$

Final answer: $-\frac{4}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆O相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，|OB|=\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584118089465858/img/compression/M_34771767fc9c095e5df1f8abfa7cda10.jpg)
$求\frac{\\\sin   (\pi -\alpha )}{\\\cos   (\pi +\alpha )+\\\cos   \left(\alpha -\frac{5\pi }{2}\right)}的值.$

Solution:
$\frac{\\\sin   (\pi -\alpha )}{\\\cos   (\pi +\alpha )+\\\cos   \left(\alpha -\frac{5\pi }{2}\right)}=\frac{\\\sin    \alpha }{-\\\cos    \alpha +\\\sin    \alpha }=\frac{\\\tan    \alpha }{\\\tan    \alpha -1}=\frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-1}=\frac{4}{7}.(10分)$

Final answer: $\frac47$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆O相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，|OB|=\frac{3}{5}.$<img_1676>
$求\frac{\\\sin   (\pi -\alpha )}{\\\cos   (\pi +\alpha )+\\\cos   \left(\alpha -\frac{5\pi }{2}\right)}的值.$

Solution:
$\frac{\\\sin   (\pi -\alpha )}{\\\cos   (\pi +\alpha )+\\\cos   \left(\alpha -\frac{5\pi }{2}\right)}=\frac{\\\sin    \alpha }{-\\\cos    \alpha +\\\sin    \alpha }=\frac{\\\tan    \alpha }{\\\tan    \alpha -1}=\frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-1}=\frac{4}{7}.(10分)$

Final answer: $\frac47$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$求f(x)的最小正周期T；$

Solution:
$f(x)的最小正周期T=\frac{2\pi }{2}=\pi .(3分)$

Final answer: $\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$求f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{3}\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z,得-\frac{5\pi }{12}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in Z.(6分)所以f(x)的单调递增区间是\left[-\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+k\pi \right],k\in Z.(7分)$

Final answer: $f(x)的单调递增区间：[-5\pi /12 + k\pi , \pi /12 + k\pi ], k\in Z.$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$求f(x)的单调递增区间；可用k表示任意整数$

Solution:
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{3}\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z,得-\frac{5\pi }{12}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in Z.(6分)所以f(x)的单调递增区间是\left[-\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+k\pi \right],k\in Z.(7分)$



Final answer: $[-5\pi /12 + k\pi , \pi /12 + k\pi ]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$在给定的坐标系中作出函数f(x)\left(\right.x\in \left[-\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{6}+T\right]\left)\right.的简图，并直接写出函数f(x)在区间\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]上的值域.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584118689251329/img/compression/M_f26741930fbdff27e3a1d9916a5e0762.jpg)

Solution:
$函数f(x)\left(x\in \left[-\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{6}+T\right]\right)的简图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584118689251329/img/compression/M_1894336a456bb64486832d779ec8bab1.jpg)$(10分)函数f(x)在区间\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]上的值域为[-2,\sqrt{3}].(12分)$

Final answer: $[-2, \sqrt 3]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$在给定的坐标系中作出函数f(x)\left(\right.x\in \left[-\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{6}+T\right]\left)\right.的简图，并直接写出函数f(x)在区间\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]上的值域.$<img_2622>

Solution:
$函数f(x)\left(x\in \left[-\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{6}+T\right]\right)的简图如图所示.$<img_2564>$(10分)函数f(x)在区间\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]上的值域为[-2,\sqrt{3}].(12分)$

Final answer: $[-2, \sqrt 3]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)＝A\\sin  (\omega x+\phi )(A＞0，\omega ＞0，0＜\phi ＜\pi )的图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584119725244418/img/compression/M_19fd3071f9214a802c8131b9857a849d.jpg)
$求A，\omega ，\phi 的值；$

Solution:
$由题图可得\frac{3T}{4}=\frac{5\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\pi ，故T=\frac{4\pi }{3}，故\omega =\frac{2\pi }{\frac{4\pi }{3}}=\frac{3}{2}，(2分)所以f(x)=A\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\varphi \right)，所以f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=A\\sin  \left(-\frac{\pi }{4}+\varphi \right)=0，故-\frac{\pi }{4}+\phi =k\pi ,k\in Z.因为0＜\phi ＜\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{4}，所以f(x)=A\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\right).(4分)因为f(0)＝1，所以A\\sin  \frac{\pi }{4}=1，解得A=\sqrt{2}.所以A=\sqrt{2},\omega =\frac{3}{2},\phi =\frac{\pi }{4}.(6分)$

Final answer: $A = \sqrt 2$, $\omega  = \frac32,$ $\phi  =\frac{ \pi }4$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)＝A\\sin  (\omega x+\phi )(A＞0，\omega ＞0，0＜\phi ＜\pi )的图象如图所示.$<img_1817>
$求A，\omega ，\phi 的值；$

Solution:
$由题图可得\frac{3T}{4}=\frac{5\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\pi ，故T=\frac{4\pi }{3}，故\omega =\frac{2\pi }{\frac{4\pi }{3}}=\frac{3}{2}，(2分)所以f(x)=A\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\varphi \right)，所以f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=A\\sin  \left(-\frac{\pi }{4}+\varphi \right)=0，故-\frac{\pi }{4}+\phi =k\pi ,k\in Z.因为0＜\phi ＜\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{4}，所以f(x)=A\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\right).(4分)因为f(0)＝1，所以A\\sin  \frac{\pi }{4}=1，解得A=\sqrt{2}.所以A=\sqrt{2},\omega =\frac{3}{2},\phi =\frac{\pi }{4}.(6分)$



Final answer: $A = \sqrt{2}$, $\omega  = \frac{3}{2},$ $\phi  =\frac{ \pi }{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)＝A\\sin  (\omega x+\phi )(A＞0，\omega ＞0，0＜\phi ＜\pi )的图象如图所示.$<img_1817>
$当x\in \left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]时，求函数f(x)的最值.$

Solution:
$由(1)知f(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)，因为x\in \left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]，所以\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{5\pi }{4},-\frac{\pi }{4}\right]，(8分)故f(x)\in [-\sqrt{2},1]，且当\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}，即x=-\pi 时，函数取得最大值1，(10分)当\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}，即x=-\frac{\pi }{2}时，函数取得最小值-\sqrt{2}.(12分)$



Final answer: 1,-\sqrt{2}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)＝A\\sin  (\omega x+\phi )(A＞0，\omega ＞0，0＜\phi ＜\pi )的图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584119725244418/img/compression/M_19fd3071f9214a802c8131b9857a849d.jpg)
$当x\in \left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]时，求函数f(x)的最值以及取得最值时x的值.$

Solution:
$由(1)知f(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)，因为x\in \left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]，所以\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{5\pi }{4},-\frac{\pi }{4}\right]，(8分)故f(x)\in [-\sqrt{2},1]，且当\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}，即x=-\pi 时，函数取得最大值1，(10分)当\frac{3}{2}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}，即x=-\frac{\pi }{2}时，函数取得最小值-\sqrt{2}.(12分)$

Final answer: $最大值：1，取最大值时x的值：-\pi
最小值：-\sqrt{2}，取最小值时x的值：-\frac{\pi }{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha ,\beta 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角\alpha ,\beta 的终边与单位圆分别交于A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)两点.$<img_2019>
$求\\cos  (\alpha +\beta )的值；$

Solution:
$由A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)，得\\cos   \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}，\\sin   \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}，\\cos   \beta =-\frac{7\sqrt{2}}{10}，\\sin   \beta =\frac{\sqrt{2}}{10}，则\\cos  (\alpha +\beta )=\\cos   \alpha \\cos   \beta -\\sin   \alpha \\sin   \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}\times \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)-\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{10}=-\frac{9\sqrt{10}}{50}．$

Final answer: $-\frac{9\sqrt{10}}{50}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha ,\beta 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角\alpha ,\beta 的终边与单位圆分别交于A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)两点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233262619856897/img/compression/M_a47b9417300e7c69092ff7e2df1c519a.jpg)
$求\\cos  (\alpha +\beta )的值；$

Solution:
$由A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)，得\\cos   \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}，\\sin   \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}，\\cos   \beta =-\frac{7\sqrt{2}}{10}，\\sin   \beta =\frac{\sqrt{2}}{10}，则\\cos  (\alpha +\beta )=\\cos   \alpha \\cos   \beta -\\sin   \alpha \\sin   \beta =\frac{\sqrt{5}}{5}\times \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)-\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{10}=-\frac{9\sqrt{10}}{50}．$

Final answer: $-\frac{9\sqrt{10}}{50}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha ,\beta 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角\alpha ,\beta 的终边与单位圆分别交于A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)两点.$<img_2019>
$若\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)，\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)，求2\alpha -\beta 的值.$

Solution:
$\because \\cos   \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5},\\sin   \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5},\\sin   \beta =\frac{\sqrt{2}}{10},\\cos   \beta =-\frac{7\sqrt{2}}{10},\therefore \\cos   2\alpha =\\cos  (\alpha +\alpha )=\\cos   \alpha \\cos   \alpha -\\sin   \alpha \\sin   \alpha =-\frac{3}{5}，\\sin   2\alpha =\\sin  (\alpha +\alpha )=\\sin   \alpha \\cos   \alpha +\\cos   \alpha \\sin   \alpha =\frac{4}{5}，\therefore \\sin  (2\alpha -\beta )=\\sin   2\alpha \\cos   \beta -\\cos   2\alpha \\sin   \beta =\frac{4}{5}\times \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)-\left(-\frac{3}{5}\right)\times \frac{\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\because \\cos   2\alpha <0，\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)，\therefore 2\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right).\because \beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)，\therefore -\beta \in \left(-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right),\therefore 2\alpha -\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)，\therefore 2\alpha -\beta =-\frac{\pi }{4}．$

Final answer: $-\frac{\pi}4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面直角坐标系xOy中，角\alpha ,\beta 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角\alpha ,\beta 的终边与单位圆分别交于A\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)，B\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10}\right)两点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233262619856897/img/compression/M_a47b9417300e7c69092ff7e2df1c519a.jpg)
$若\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)，\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)，求2\alpha -\beta 的值.$

Solution:
$\because \\cos   \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5},\\sin   \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5},\\sin   \beta =\frac{\sqrt{2}}{10},\\cos   \beta =-\frac{7\sqrt{2}}{10},\therefore \\cos   2\alpha =\\cos  (\alpha +\alpha )=\\cos   \alpha \\cos   \alpha -\\sin   \alpha \\sin   \alpha =-\frac{3}{5}，\\sin   2\alpha =\\sin  (\alpha +\alpha )=\\sin   \alpha \\cos   \alpha +\\cos   \alpha \\sin   \alpha =\frac{4}{5}，\therefore \\sin  (2\alpha -\beta )=\\sin   2\alpha \\cos   \beta -\\cos   2\alpha \\sin   \beta =\frac{4}{5}\times \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)-\left(-\frac{3}{5}\right)\times \frac{\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\because \\cos   2\alpha <0，\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)，\therefore 2\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right).\because \beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)，\therefore -\beta \in \left(-\pi ,-\frac{\pi }{2}\right),\therefore 2\alpha -\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)，\therefore 2\alpha -\beta =-\frac{\pi }{4}．$

Final answer: $-\frac{\pi}4$