di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为践行“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略，某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
附：经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}} ^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；参考数据：\sum \limits^{6}_{{i=1}}z_{i}=23.57，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}z_{i}=77.88，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i=91，ln 10\approx 2.30.$
$在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A、B、C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
控球队员
A
B
C
接球队员
B
C
A
C
A
B
概率
m
1-m
\frac{2}{3}
\frac{1}{3}
\frac{2}{3}
\frac{1}{3}
若传球3次，B队员控球次数的期望值是C队员控球次数的期望值的两倍，求实数m的值.$

Solution:
$设随机变量X、Y分别表示B、C队员的控球次数，由题意得X的可能取值为0，1，2.P(X=0)=(1-m)\times \frac{2}{3}\times (1-m)=\frac{2}{3}(1-m)^{2}，P(X=2)=m\times \frac{2}{3}\times m+m\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}m^{2}+\frac{1}{9}m，P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{11}{9}m+\frac{1}{3}，所以X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{2}{3}(1-m)^{2}
-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{11}{9}m+\frac{1}{3}
\frac{2}{3}m^{2}+\frac{1}{9}m
所以E(X)=0\times \frac{2}{3}(1-m)^{2}+1\times \left(-\frac{4}{3}m^2+\frac{11}{9}m+\frac{1}{3}\right)+2\times \left(\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{9}m\right)=\frac{13m+3}{9}.
(8分)
同理可得Y的分布列为
Y
0
1
2
P
\frac{2}{3}m^{2}
-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{13}{9}m+\frac{2}{9}
\frac{2}{3}m^{2}-\frac{13}{9}m+\frac{7}{9}
所以E(Y)=0\times \frac{2}{3}m^{2}+1\times \left(-\frac{4}{3}m^2+\frac{13}{9}m+\frac{2}{9}\right)+2\times \left(\frac{2}{3}m^2-\frac{13}{9}m+\frac{7}{9}\right)=\frac{-13m+16}{9}.
(10分)
由E(X)=2E(Y)，得\frac{13m+3}{9}=2\times \frac{-13m+16}{9}，解得m=\frac{29}{39}.
(12分)$

Final answer: $\frac{29}{39}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图.注：年份代码1—7分别对应年份2014—2020.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040080199966722/img/compression/M_c01dbf0407a0d5c28338ed66d6af4aab.jpg)$
参考公式：r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，回归直线方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=9.32，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=40.17，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}=0.55，\sqrt{7}\approx 2.646.$
$由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；$

Solution:
$由题图中数据和参考数据得，\overline{t}=4，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})^{2}=28，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}-\overline{t}\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=40.17-4\times 9.32=2.89，r\approx \frac{2.89}{2\times 2.646\times 0.55}\approx 0.99，(3分)因为y与t的相关系数近似为0.99，所以y与t的线性相关程度相当高，所以可以用一元线性回归模型拟合y与t的关系.(5分)$

Final answer: $y与t的相关系数近似为0.99，所以可以用一元线性回归模型拟合y与t的关系。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图.注：年份代码1—7分别对应年份2014—2020.$<img_3034>$
参考公式：r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，回归直线方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=9.32，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=40.17，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}=0.55，\sqrt{7}\approx 2.646.$
$建立y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)，预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.$

Solution:
$由(1)得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}=\frac{2.89}{28}\approx 0.10，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}=\frac{9.32}{7}-\frac{2.89}{28}\times 4=\frac{6.43}{7}\approx 0.92.所以y关于t的回归直线方程为\hat{y}=0.10t+0.92.(8分)将2022年对应的t=9代入回归直线方程，得\hat{y}=0.10\times 9+0.92=1.82.(9分)所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量约为1.82万吨.(10分)$



Final answer: $1.82$ 万吨
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图.注：年份代码1—7分别对应年份2014—2020.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040080199966722/img/compression/M_c01dbf0407a0d5c28338ed66d6af4aab.jpg)$
参考公式：r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，回归直线方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=9.32，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=40.17，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}=0.55，\sqrt{7}\approx 2.646.$
$建立y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)，预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.$

Solution:
$由(1)得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(t_i-\overline{t})^2}=\frac{2.89}{28}\approx 0.10，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}=\frac{9.32}{7}-\frac{2.89}{28}\times 4=\frac{6.43}{7}\approx 0.92.所以y关于t的回归直线方程为\hat{y}=0.10t+0.92.(8分)将2022年对应的t=9代入回归直线方程，得\hat{y}=0.10\times 9+0.92=1.82.(9分)所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量约为1.82万吨.(10分)$

Final answer: $预测2022年该市生活垃圾无害化处理量约为1.82万吨.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040093516144642/img/compression/M_e708985dbbb5dcf5c2cb27ed77e0e830.jpg)$
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95；若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma )=0.954 5.$
$求所抽取的100包这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图可得各组的频率如下：[0，10]的频率为0.010\times 10=0.1，(10，20]的频率为0.020\times 10=0.2，(20，30]的频率为0.030\times 10=0.3，(30，40]的频率为0.025\times 10=0.25，(40，50]的频率为0.015\times 10=0.15，\therefore 所抽取的100包这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数\overline{x}=5\times 0.1+15\times 0.2+25\times 0.3+35\times 0.25+45\times 0.15=26.5.(4分)$

Final answer: $26.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值.$<img_3131>$
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95；若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma )=0.954 5.$
$求所抽取的100包这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图可得各组的频率如下：[0，10]的频率为0.010\times 10=0.1，(10，20]的频率为0.020\times 10=0.2，(20，30]的频率为0.030\times 10=0.3，(30，40]的频率为0.025\times 10=0.25，(40，50]的频率为0.015\times 10=0.15，\therefore 所抽取的100包这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数\overline{x}=5\times 0.1+15\times 0.2+25\times 0.3+35\times 0.25+45\times 0.15=26.5.(4分)$

Final answer: $26.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040093516144642/img/compression/M_e708985dbbb5dcf5c2cb27ed77e0e830.jpg)$
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95；若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma )=0.954 5.$
$①由频率分布直方图可以认为，这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望及方差.$

Solution:
$①Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，且\mu =26.5，\sigma \approx 11.95，(5分)\therefore P(38.45<Z<50.4)=[P(26.5-2\times 11.95<Z<26.5+2\times 11.95)-P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)]\div 2=(0.954 5-0.682 7)\div 2=0.135 9.\therefore Z落在(38.45，50.4)内的概率是0.135 9.(8分)②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10，30)内的概率为0.2+0.3=0.5，\therefore X～B\left(4，\frac{1}{2}\right)，X的可能取值分别为0，1，2，3，4，P(X=0)=C^{0}_{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，P(X=1)=C^1_4\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{4}，P(X=2)=C^2_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^2\times \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8}，P(X=3)=C^3_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^3\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}，P(X=4)=C^{4}_{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，\therefore X的分布列为X01234P\frac{1}{16}\frac{1}{4}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{1}{16}(10分)\because X～B\left(4，\frac{1}{2}\right)，\therefore E(X)=4\times \frac{1}{2}=2，D(X)=4\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1.(12分)$

Final answer: $ 0.1359
 X的分布列为X=0, P=1/16; X=1, P=1/4; X=2, P=8/3;X=3, P=1/4; X=4, P=1/16;数学期望为2，方差为1.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值.$<img_3131>$
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差\sigma =\sqrt{142.75}\approx 11.95；若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma )=0.954 5.$
$①由频率分布直方图可以认为，这种品牌的速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的数学期望及方差.$

Solution:
$①Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，且\mu =26.5，\sigma \approx 11.95，(5分)\therefore P(38.45<Z<50.4)=[P(26.5-2\times 11.95<Z<26.5+2\times 11.95)-P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)]\div 2=(0.954 5-0.682 7)\div 2=0.135 9.\therefore Z落在(38.45，50.4)内的概率是0.135 9.(8分)②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10，30)内的概率为0.2+0.3=0.5，\therefore X～B\left(4，\frac{1}{2}\right)，X的可能取值分别为0，1，2，3，4，P(X=0)=C^{0}_{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，P(X=1)=C^1_4\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{4}，P(X=2)=C^2_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^2\times \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8}，P(X=3)=C^3_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^3\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}，P(X=4)=C^{4}_{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，\therefore X的分布列为X01234P\frac{1}{16}\frac{1}{4}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{1}{16}(10分)\because X～B\left(4，\frac{1}{2}\right)，\therefore E(X)=4\times \frac{1}{2}=2，D(X)=4\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1.(12分)$



Final answer: 2,1
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，点A(4,\pi )，曲线M是以OA为直径，O_{1}为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形.$<img_3116>
$当\angle AOB=\frac{\pi }{6}时，求B，C两点的极坐标；$

Solution:
$连接AB,OC，因为OA是直径，所以AB\perp BO，$<img_2939>$在Rt\triangle AOB中，|OA|=4，\angle AOB=\frac{\pi }{6}，\therefore |OB|=4\times \\cos  \frac{\pi }{6}=2\sqrt{3}，\therefore 点B的极坐标为\left(2\sqrt{3},\frac{5\pi }{6}\right)，在正方形OBCD中，|OC|=\sqrt{2}|OB|=2\sqrt{6}，\angle AOC=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}，\therefore 点C的极坐标为\left(2\sqrt{6},\frac{7\pi }{12}\right).$

Final answer: $(2\sqrt 3, \frac{5\pi}{6}), (2\sqrt 6, \frac{7\pi}{12})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，点A(4,\pi )，曲线M是以OA为直径，O_{1}为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549655776194562/img/compression/M_2c06737f56466dac1c5b247d61df0744.jpg)
$当\angle AOB=\frac{\pi }{6}时，求B，C两点的极坐标；$

Solution:
$连接AB,OC，因为OA是直径，所以AB\perp BO，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549656132710402/img/compression/M_f6652172259ff9dcf3591cb4d961e17e.jpg)$在Rt\triangle AOB中，|OA|=4，\angle AOB=\frac{\pi }{6}，\therefore |OB|=4\times \\cos  \frac{\pi }{6}=2\sqrt{3}，\therefore 点B的极坐标为\left(2\sqrt{3},\frac{5\pi }{6}\right)，在正方形OBCD中，|OC|=\sqrt{2}|OB|=2\sqrt{6}，\angle AOC=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}，\therefore 点C的极坐标为\left(2\sqrt{6},\frac{7\pi }{12}\right).$

Final answer: $(2\sqrt 3, \frac{5\pi}{6}), (2\sqrt 6, \frac{7\pi}{12})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，点A(4,\pi )，曲线M是以OA为直径，O_{1}为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549655776194562/img/compression/M_2c06737f56466dac1c5b247d61df0744.jpg)
$当点B在曲线M上运动时，求点D轨迹的极坐标方程.$

Solution:
$设D(\rho ,\theta )，B(\rho _{0},\theta _{0})，且\left\{\begin{matrix}\rho _0=\rho ,\\ \theta _0=\theta +\frac{\pi }{2}\end{matrix}\right.①，由题意可得O_{1}的直角坐标为(-2,0)，所以曲线M的直角坐标方程为(x+2)^{2}+y^{2}=4(y\geq 0)，即x^{2}+4x+y^{2}=0(y\geq 0)，将x=\rho _{0}\\cos   \theta _{0},y=\rho _{0}\\sin   \theta _{0}代入曲线M的直角坐标方程得极坐标方程为\rho _{0}=-4\\cos   \theta _{0}\left(\frac{\pi }{2}\leq \theta _0\leq \pi \right)，当\theta _{0}=\frac{\pi }{2}时，O，B两点重合，不合题意，\therefore 点B的极坐标方程为\rho _{0}=-4\\cos   \theta _{0}\left(\frac{\pi }{2}<\theta _0\leq \pi \right)，将①式代入得点D的极坐标方程为\rho =-4\\cos  \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=4\\sin   \theta \left(0<\theta \leq \frac{\pi }{2}\right).$

Final answer: $\rho =4\sin   \theta ,(0<\theta \leq \frac{\pi }{2})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系Ox中，方程\rho =2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线C.$<img_2756>
$设直线l：\theta =\frac{\pi }{12}(\rho \in R)与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；$

Solution:
$设A、B两点的极坐标分别为\left(\rho _1,\frac{\pi }{12}\right)、\left(\rho _2,\frac{13\pi }{12}\right)，则\rho _{1}=2\left(1+\\\cos   \frac{\pi }{3}+\\\sin   ^2\frac{\pi }{3}\right)=2\times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{2}，\rho _{2}=2\left(1+\\\cos   \frac{13\pi }{3}+\\\sin   ^2\frac{13\pi }{3}\right)=2\times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{2}，因此，|AB|=\rho _{1}+\rho _{2}=\frac{9}{2}\times 2=9.$

Final answer: $9$
Subfield: Plane Geometry


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系Ox中，方程\rho =2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549656631832578/img/compression/M_44d76976d9d496831abe34e521cf6803.jpg)
$设直线l：\theta =\frac{\pi }{12}(\rho \in R)与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；$

Solution:
$设A、B两点的极坐标分别为\left(\rho _1,\frac{\pi }{12}\right)、\left(\rho _2,\frac{13\pi }{12}\right)，则\rho _{1}=2\left(1+\\\cos   \frac{\pi }{3}+\\\sin   ^2\frac{\pi }{3}\right)=2\times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{2}，\rho _{2}=2\left(1+\\\cos   \frac{13\pi }{3}+\\\sin   ^2\frac{13\pi }{3}\right)=2\times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{2}，因此，|AB|=\rho _{1}+\rho _{2}=\frac{9}{2}\times 2=9.$

Final answer: $9$
Subfield: Plane Geometry


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系Ox中，方程\rho =2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线C.$<img_2756>
$设P和Q是C上的两点，且\angle POQ=\frac{\pi }{8}，求|OP|+|OQ|的最大值.$

Solution:
$根据对称性，不妨设P(\rho _{3},\theta )\left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right)、Q\left(\rho _4,\theta +\frac{\pi }{8}\right)，|OP|+|OQ|=\rho _{3}+\rho _{4}=2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )+2\left\{1+\\\cos   \left[4\left(\theta +\frac{\pi }{8}\right)\right]+\\\sin   ^2\left[4\left(\theta +\frac{\pi }{8}\right)\right]\right\}=4+2(\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta -\\sin   4\theta +\\cos  ^{2}4\theta )=6+2(\\cos   4\theta -\\sin   4\theta )=6-2\sqrt{2}\\sin  \left(4\theta -\frac{\pi }{4}\right).\because 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}，\therefore -\frac{\pi }{4}\leq 4\theta -\frac{\pi }{4}\leq \frac{7\pi }{4}，\therefore 当\\sin  \left(4\theta -\frac{\pi }{4}\right)=-1，即4\theta -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}，\theta =\frac{7\pi }{16}时，|OP|+|OQ|有最大值，为6+2\sqrt{2}.$

Final answer: $6+2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系Ox中，方程\rho =2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549656631832578/img/compression/M_44d76976d9d496831abe34e521cf6803.jpg)
$设P和Q是C上的两点，且\angle POQ=\frac{\pi }{8}，求|OP|+|OQ|的最大值.$

Solution:
$根据对称性，不妨设P(\rho _{3},\theta )\left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right)、Q\left(\rho _4,\theta +\frac{\pi }{8}\right)，|OP|+|OQ|=\rho _{3}+\rho _{4}=2(1+\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta )+2\left\{1+\\\cos   \left[4\left(\theta +\frac{\pi }{8}\right)\right]+\\\sin   ^2\left[4\left(\theta +\frac{\pi }{8}\right)\right]\right\}=4+2(\\cos   4\theta +\\sin  ^{2}4\theta -\\sin   4\theta +\\cos  ^{2}4\theta )=6+2(\\cos   4\theta -\\sin   4\theta )=6-2\sqrt{2}\\sin  \left(4\theta -\frac{\pi }{4}\right).\because 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}，\therefore -\frac{\pi }{4}\leq 4\theta -\frac{\pi }{4}\leq \frac{7\pi }{4}，\therefore 当\\sin  \left(4\theta -\frac{\pi }{4}\right)=-1，即4\theta -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}，\theta =\frac{7\pi }{16}时，|OP|+|OQ|有最大值，为6+2\sqrt{2}.$

Final answer: $6+2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_{1}，C_{2}所在圆的圆心分别为O_{1}\left(1,\frac{\pi }{2}\right),O_{2}\left(1,\frac{3\pi }{2}\right),M是半圆弧C_{1}上的一个动点.$<img_2286>
$若点A是圆O与极轴的交点，求|MA|的最大值;$

Solution:
$由题知半圆弧C_{1}的极坐标方程为\rho =2\\sin   \theta \left(\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]\right)，化为直角坐标方程为x^{2}+(y-1)^{2}=1, 其圆心为O_{1}(0,1),半径为r=1，由题易得A(2,0)，所以|MA|_{max}=|O_{1}A|+1=\sqrt{5}+1.$

Final answer: $\sqrt{5}+1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_{1}，C_{2}所在圆的圆心分别为O_{1}\left(1,\frac{\pi }{2}\right),O_{2}\left(1,\frac{3\pi }{2}\right),M是半圆弧C_{1}上的一个动点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284076435591170/img/compression/M_b6959ed4239396fddcf56aeead7b4464.jpg)
$若点A是圆O与极轴的交点，求|MA|的最大值;$

Solution:
$由题知半圆弧C_{1}的极坐标方程为\rho =2\\sin   \theta \left(\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]\right)，化为直角坐标方程为x^{2}+(y-1)^{2}=1, 其圆心为O_{1}(0,1),半径为r=1，由题易得A(2,0)，所以|MA|_{max}=|O_{1}A|+1=\sqrt{5}+1.$

Final answer: $\sqrt{5}+1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_{1}，C_{2}所在圆的圆心分别为O_{1}\left(1,\frac{\pi }{2}\right),O_{2}\left(1,\frac{3\pi }{2}\right),M是半圆弧C_{1}上的一个动点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284076435591170/img/compression/M_b6959ed4239396fddcf56aeead7b4464.jpg)
$若点N是射线\theta =\frac{\pi }{4}(\rho \geq 0)与圆O的交点，求\triangle MON面积的取值范围.$

Solution:
$由题知|ON|=2,|OM|=2\\sin   \theta ,\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right)，\angle MON=\theta -\frac{\pi }{4},所以\triangle MON的面积为S_{\triangle MON}=\frac{1}{2}\times |ON|\times |OM|\times \\sin  \angle MON=\frac{1}{2}\times 2\times 2\\sin   \theta \times \\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=2\\sin   \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\\sin   \theta -\\cos   \theta )=\sqrt{2}(\\sin  ^{2}\theta -\\sin   \theta \\cos   \theta )=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1-\\\cos    2\theta }{2}-\frac{1}{2}\\\sin    2\theta \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[1-\sqrt{2}\\\sin   \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)\right],因为\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right),所以2\theta +\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{5\pi }{4},\frac{9\pi }{4}\right),\\sin  \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right),所以S_{\triangle MON}\in \left(0,1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284076775329794/img/compression/M_7abcdb40054e28f4edaa3015063954da.jpg)

Final answer: $(0,1+\frac{\sqrt 2}2]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_{1}，C_{2}所在圆的圆心分别为O_{1}\left(1,\frac{\pi }{2}\right),O_{2}\left(1,\frac{3\pi }{2}\right),M是半圆弧C_{1}上的一个动点.$<img_2286>
$若点N是射线\theta =\frac{\pi }{4}(\rho \geq 0)与圆O的交点，求\triangle MON面积的取值范围.$

Solution:
$由题知|ON|=2,|OM|=2\\sin   \theta ,\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right)，\angle MON=\theta -\frac{\pi }{4},所以\triangle MON的面积为S_{\triangle MON}=\frac{1}{2}\times |ON|\times |OM|\times \\sin  \angle MON=\frac{1}{2}\times 2\times 2\\sin   \theta \times \\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=2\\sin   \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\\sin   \theta -\\cos   \theta )=\sqrt{2}(\\sin  ^{2}\theta -\\sin   \theta \\cos   \theta )=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1-\\\cos    2\theta }{2}-\frac{1}{2}\\\sin    2\theta \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[1-\sqrt{2}\\\sin   \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)\right],因为\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right),所以2\theta +\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{5\pi }{4},\frac{9\pi }{4}\right),\\sin  \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right),所以S_{\triangle MON}\in \left(0,1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right].$<img_3050>

Final answer: $(0,1+\frac{\sqrt 2}2]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_{1}的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=r\\\cos    \alpha ,\\ y=r\\\sin    \alpha \end{matrix}\right.(0$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284077408669698/img/compression/M_e626d1e5198caacd19c3aee2a419ded9.jpg)
$若r=\sqrt{2},求曲线C_{1}的极坐标方程,并求曲线C_{1}与C_{2}交点的直角坐标;$

Solution:
$\because r=\sqrt{2}，\therefore x^{2}+y^{2}=2，又x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}，\therefore 曲线C_{1}的极坐标方程为\rho =\sqrt{2}.\left\{\begin{matrix}\rho ^2=4\\\cos    2\theta ,\\ \rho =\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \\cos   2\theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \\cos   \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}，当\\cos   \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}时，\\sin   \theta =\pm \frac{1}{2}，当\\cos   \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}时，\\sin   \theta =\pm \frac{1}{2}，分别代入\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\\cos    \theta ,\\ y=\sqrt{2}\\\sin    \theta ,\end{matrix}\right.可得四个交点的直角坐标分别为\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Final answer: $(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_{1}的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=r\\\cos    \alpha ,\\ y=r\\\sin    \alpha \end{matrix}\right.(0$<img_2896>
$若r=\sqrt{2},求曲线C_{1}的极坐标方程,并求曲线C_{1}与C_{2}交点的直角坐标;$

Solution:
$\because r=\sqrt{2}，\therefore x^{2}+y^{2}=2，又x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}，\therefore 曲线C_{1}的极坐标方程为\rho =\sqrt{2}.\left\{\begin{matrix}\rho ^2=4\\\cos    2\theta ,\\ \rho =\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \\cos   2\theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \\cos   \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}，当\\cos   \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}时，\\sin   \theta =\pm \frac{1}{2}，当\\cos   \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}时，\\sin   \theta =\pm \frac{1}{2}，分别代入\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\\cos    \theta ,\\ y=\sqrt{2}\\\sin    \theta ,\end{matrix}\right.可得四个交点的直角坐标分别为\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Final answer: $(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_{1}的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=r\\\cos    \alpha ,\\ y=r\\\sin    \alpha \end{matrix}\right.(0$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284077408669698/img/compression/M_e626d1e5198caacd19c3aee2a419ded9.jpg)
$已知曲线C_{2}既关于原点对称,又关于坐标轴对称,且曲线C_{1}与C_{2}交于不同的四点A,B,C,D,求矩形ABCD面积的最大值.$

Solution:
$由(1)知曲线C_{1}的极坐标方程为\rho =r.由\left\{\begin{matrix}\rho =r,\\ \rho ^2=4\\\cos    2\theta ,\end{matrix}\right.得\\cos   2\theta =\frac{r^2}{4}.\because 曲线C_{2}关于原点和坐标轴对称，\therefore S_{矩形ABCD}=4|r\\cos   \theta ||r\\sin   \theta |=4r^{2}|\\cos   \theta \\sin   \theta |=2r^{2}|\\sin   2\theta |=2r^{2}\sqrt{1-\\\cos   ^22\theta }=2r^{2}\sqrt{1-\frac{r^4}{16}}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot \sqrt{16-r^4}=\frac{1}{2}\sqrt{r^4(16-r^4)}\leq \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{r^4+16-r^4}{2}\right)^2}=4，当且仅当r^{4}=16-r^{4}，即r^{2}=2\sqrt{2}时等号成立.故矩形ABCD面积的最大值为4.$

Final answer: $4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_{1}的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=r\\\cos    \alpha ,\\ y=r\\\sin    \alpha \end{matrix}\right.(0$<img_2896>
$已知曲线C_{2}既关于原点对称,又关于坐标轴对称,且曲线C_{1}与C_{2}交于不同的四点A,B,C,D,求矩形ABCD面积的最大值.$

Solution:
$由(1)知曲线C_{1}的极坐标方程为\rho =r.由\left\{\begin{matrix}\rho =r,\\ \rho ^2=4\\\cos    2\theta ,\end{matrix}\right.得\\cos   2\theta =\frac{r^2}{4}.\because 曲线C_{2}关于原点和坐标轴对称，\therefore S_{矩形ABCD}=4|r\\cos   \theta ||r\\sin   \theta |=4r^{2}|\\cos   \theta \\sin   \theta |=2r^{2}|\\sin   2\theta |=2r^{2}\sqrt{1-\\\cos   ^22\theta }=2r^{2}\sqrt{1-\frac{r^4}{16}}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot \sqrt{16-r^4}=\frac{1}{2}\sqrt{r^4(16-r^4)}\leq \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{r^4+16-r^4}{2}\right)^2}=4，当且仅当r^{4}=16-r^{4}，即r^{2}=2\sqrt{2}时等号成立.故矩形ABCD面积的最大值为4.$

Final answer: $4$