di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某单位开展了“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，\frac{1}{2}，且各局比赛互不影响.$
$若p = \frac{2}{3}，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的数学期望；$

Solution:
由题意可知，X的可能取值为2，3，4，5. 

$因为p=\frac{2}{3}，所以P( X=2)= \frac{1}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{6}，$

$P( X=3)= \frac{1}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{6}，$

$P( X=4)= \frac{2}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{3}，$

$P( X=5)= \frac{2}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{3}，$

故X的分布列为：

|   | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
|$X$|$\frac16$|$\frac16$|$\frac13$|$\frac13$|

$则E(X)= 2 \times  \frac{1}{6}+ 3 \times  \frac{1}{6}+ 4 \times  \frac{1}{3}+ 5 \times  \frac{1}{3}= \frac{23}{6}.$



Final answer: $\frac{23}{6}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某单位开展了“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，\frac{1}{2}，且各局比赛互不影响.$
$若p = \frac{2}{3}，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
由题意可知，X的可能取值为2，3，4，5. 

$因为p=\frac{2}{3}，所以P( X=2)= \frac{1}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{6}，$

$P( X=3)= \frac{1}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{6}，$

$P( X=4)= \frac{2}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{3}，$

$P( X=5)= \frac{2}{3} \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{3}，$

故X的分布列为：

|   | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
|$X$|$\frac16$|$\frac16$|$\frac13$|$\frac13$|

$则E(X)= 2 \times  \frac{1}{6}+ 3 \times  \frac{1}{6}+ 4 \times  \frac{1}{3}+ 5 \times  \frac{1}{3}= \frac{23}{6}.$

Final answer: $X$的分布列为：

|      | 2         | 3         | 4         | 5         |
| ---- | --------- | --------- | --------- | --------- |
| $X$  | $\frac16$ | $\frac16$ | $\frac13$ | $\frac13$ |

$数学期望E(X) = \frac{23}{6}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某单位开展了“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，\frac{1}{2}，且各局比赛互不影响.$
$设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试问当p为何值时，f(p)取得最大值？$

Solution:
设一天得分不低于4分为事件A，

$则P(A)=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p，$

$则f(p)=C^3_5p^3(1-p)^2=10p^3(1-p)^2, 0<p<1，$

则f'(p)=30p^2(1-p)^2-20p^3(1-p)=10p^2(1-p)(3-5p).

$当0<p<\frac{3}{5}时，f'(p)>0；当\frac{3}{5}<p<1时，f'(p)<0，$

$所以f(p)在\left(0,\frac{3}{5}\right)上单调递增，在\left(\frac{3}{5},1\right)上单调递减，故当p=\frac{3}{5}时，f(p)取得最大值.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为树立“优先公交、绿色出行”理念，市政府倡议“少开一天车，优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯．甲、乙两位市民为响应政府倡议，在每个工作日的上午上班(记为上班)和下午下班(记为下班)选择坐公交车(记为A)、骑自行车(记为B)．统计这两人连续100个工作日的上班和下班出行方式的数据情况如下：$

|上班下班出行方式|(A, A)|(A, B)|(B, A)|(B, B)|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|甲|30天|20天|40天|10天|
|乙|20天|10天|30天|40天|

设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率．
$记M表示事件：一天中，甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车，求P(M)；$

Solution:
$记C表示事件“一天中甲上班和下班都选择坐公交车”，D表示事件“一天中乙上班和下班都选择骑自行车”，则M=CD.$
$由题意知P(C)=\frac{30}{100}=0.3，P(D)=\frac{40}{100}=0.4,于是P(M)=P(CD)=P(C)P(D)=0.12．$

Final answer: $0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为树立“优先公交、绿色出行”理念，市政府倡议“少开一天车，优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯．甲、乙两位市民为响应政府倡议，在每个工作日的上午上班(记为上班)和下午下班(记为下班)选择坐公交车(记为A)、骑自行车(记为B)．统计这两人连续100个工作日的上班和下班出行方式的数据情况如下：$

|上班下班出行方式|(A, A)|(A, B)|(B, A)|(B, B)|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|甲|30天|20天|40天|10天|
|乙|20天|10天|30天|40天|

设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率．
$记X为甲、乙两人在一天中上班和下班选择出行方式的个数，求E(X)。$

Solution:
X可取1，2．X=1就是甲、乙两人在一天中上班和下班都选择坐公交车或者都选择骑自行车，

$因此P(X=1)=\frac{30}{100}\times \frac{20}{100}+\frac{10}{100}\times \frac{40}{100}=0.1，P(X=2)=1-0.1=0.9，于是E(X)=1\times 0.1+2\times 0.9=1.9．$

Final answer: $E(X)=1.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: “斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．$现甲、乙两人进行比赛，比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球\ldots \ldots )，没有平局.已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 \frac{1}{3} ，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 \frac{1}{2} ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．$
求甲以3:1赢得比赛的概率；

Solution:
$设事件“甲在第i局比赛获胜”为A_i，i=1,2,3,4,5，由已知可得P(A_1)=\frac{1}{3}，P(A_2)=\frac{1}{2}，P(A_3)=\frac{1}{3}，P(A_4)=\frac{1}{2}，P(A_5)=\frac{1}{3}。$

甲以3:1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局且第4局甲获胜，

$所以甲以3:1赢得比赛可表示为\overline{A}_1 A_2 A_3 A_4 + A_1 \overline{A}_2 A_3 A_4 + A_1 A_2 \overline{A}_3 A_4，$

$其中 \overline{A}_1 A_2 A_3 A_4，A_1 \overline{A}_2 A_3 A_4，A_1 A_2 \overline{A}_3 A_4 互斥，A_1，A_2，A_3，A_4 相互独立，$

$所以 P(\overline{A}_1 A_2 A_3 A_4 + A_1 \overline{A}_2 A_3 A_4 + A_1 A_2 \overline{A}_3 A_4) = P(\overline{A}_1 A_2 A_3 A_4) + P(A_1 \overline{A}_2 A_3 A_4) + P(A_1 A_2 \overline{A}_3 A_4)$

$= P(\overline{A}_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4) + P(A_1)P(\overline{A}_2)P(A_3)P(A_4) + P(A_1)P(A_2)P(\overline{A}_3)P(A_4)$

$= \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{36}，$

$所以甲以3:1赢得比赛的概率为 \frac{5}{36}。$

Final answer: $\frac{5}{36}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: “斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．$现甲、乙两人进行比赛，比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球\ldots \ldots )，没有平局.已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 \frac{1}{3} ，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 \frac{1}{2} ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．$
$设比赛的总局数为\xi，求E(\xi)。$

Solution:
$\xi 的可能取值为3，4，5，设甲获胜的概率为P_1，乙获胜的概率为P_2，$

$P_1(\xi =3)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{18}；$

$P_2(\xi =3)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}；$

$P(\xi =3)=\frac{1}{18}+\frac{2}{9}=\frac{5}{18}；$

$P_1(\xi =4)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{36}；$

$P_2(\xi =4)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{9}；$

$P(\xi =4)=\frac{5}{36}+\frac{2}{9}=\frac{13}{36};$

$则P(\xi =5)=1-P(\xi =3)-P(\xi =4)=1-\frac{5}{18}-\frac{13}{36}=\frac{13}{36}，$

$则\xi 的分布列为:$


$| \xi  |  3  |  4  |  5  |$
|:-:|:---:|:---:|:---:|
$| P |\frac{5}{18}|\frac{13}{36}|\frac{13}{36}|$

$所以E(\xi )=3\times \frac{5}{18}+4\times \frac{13}{36}+5\times \frac{13}{36}=\frac{49}{12}.$

Final answer: $\frac{49}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

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$以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.$
$若要求P(X\leq n)\geq 0.5,确定n的最小值；$

Solution:
$由(1)知 P(X\leq 18)=0.44, P(X\leq 19)=0.68，故 n 的最小值为19. $

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

![柱状图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611583204249601/img/compression/M_87f7ce35bf6a5abfa94df06b47673e69.jpg)

$以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.$
$若要求P(X\leq n)\geq 0.5,确定n的最小值；$

Solution:
$由(1)知 P(X\leq 18)=0.44, P(X\leq 19)=0.68，故 n 的最小值为19. $

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%．现用此药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
当k为何值时，概率P(X=k)最大?并说明理由．

Solution:
$依题意，知X \sim B(10, 0.85)，则P(X=k)=C_{10}^{k} \times 0.85^k \times (1-0.85)^{10-k} (0 \leq k \leq 10，k \in N^).$
$当 0 \leq k \leq 9 时，\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{C_{10}^{k+1} \times 0.85^{k+1} \times 0.15^{9-k}}{C_{10}^{k} \times 0.85^k \times 0.15^{10-k}} =\frac{17}{3} \times \frac{10-k}{k+1}.$

$若k \leq 8, k \in N^，则\frac{17}{3} \times \frac{10-k}{k+1} > 1，故P(X=k+1) > P(X=k).$
$若k=9，\frac{17}{3} \times \frac{10-k}{k+1} < 1，故P(X=9) > P(X=10)。$

$所以当k=9时，概率P(X=k)最大。$

Final answer: $k=9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；

Solution:
因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为
$\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_4} \cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_4} = \frac{3}{8}$

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
$若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 X ，乙同学的两题得分为 Y ，求 X , Y 的期望并判断谁的方案更优.$

Solution:
$甲同学两题得分X的可能取值为0,2,4,P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_4}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{1}{8}，P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_4}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{3}{8}，$
$P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=4)=1-\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{2}，$

所以X的分布列为

| X | 0 | 2 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac18$|$\frac12$|$\frac38$|

$因此E(X)=0\times \frac{1}{8}+2\times \frac{1}{2}+4\times \frac{3}{8}=2.5(分)，$

$乙同学第11题可能得分为Y1，P(Y1=0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}+\frac{\mathrm{C}^1_2 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{5}{6}，P(Y1=5)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}，$

$乙同学第12题可能得分为Y2，P(Y2=0)=\frac{\mathrm{C}^1_3 \cdot \mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{2}，P(Y2=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{2}，$

乙同学两题得分Y的可能取值为0,2,5,7，
$P(Y=0)=P(Y1=0)\cdot P(Y2=0)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}，$
$P(Y=2)=P(Y1=0)\cdot P(Y2=2)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}，$
$P(Y=5)=P(Y1=5)\cdot P(Y2=0)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}，$
$P(Y=7)=P(Y1=5)\cdot P(Y2=2)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}，$

所以Y的分布列为

| Y | 0 | 2 | 5 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac5{12}$|$\frac5{12}$|$\frac1{12}$|$\frac1{12}$|

$因此E(Y)=0\times \frac{5}{12}+2\times \frac{5}{12}+5\times \frac{1}{12}+7\times \frac{1}{12}=\frac{11}{6}(分)，$
因为E(X)>E(Y)，所以甲同学的方案更优.

Final answer: $E(X)=2.5，E(Y)=\frac{11}{6}，所以甲同学的方案更优。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
$若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 X ，乙同学的两题得分为 Y ，求 X , Y 的期望。$

Solution:
$甲同学两题得分X的可能取值为0,2,4,P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_4}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{1}{8}，P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^1_4}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{3}{8}，$
$P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=4)=1-\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{2}，$

所以X的分布列为

| X | 0 | 2 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac18$|$\frac12$|$\frac38$|

$因此E(X)=0\times \frac{1}{8}+2\times \frac{1}{2}+4\times \frac{3}{8}=2.5(分)，$

$乙同学第11题可能得分为Y1，P(Y1=0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}+\frac{\mathrm{C}^1_2 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{5}{6}，P(Y1=5)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}，$

$乙同学第12题可能得分为Y2，P(Y2=0)=\frac{\mathrm{C}^1_3 \cdot \mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{2}，P(Y2=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{2}，$

乙同学两题得分Y的可能取值为0,2,5,7，
$P(Y=0)=P(Y1=0)\cdot P(Y2=0)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}，$
$P(Y=2)=P(Y1=0)\cdot P(Y2=2)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}，$
$P(Y=5)=P(Y1=5)\cdot P(Y2=0)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}，$
$P(Y=7)=P(Y1=5)\cdot P(Y2=2)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}，$

所以Y的分布列为

| Y | 0 | 2 | 5 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac5{12}$|$\frac5{12}$|$\frac1{12}$|$\frac1{12}$|

$因此E(Y)=0\times \frac{5}{12}+2\times \frac{5}{12}+5\times \frac{1}{12}+7\times \frac{1}{12}=\frac{11}{6}(分)，$



Final answer: $2.5，\frac{11}{6}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A_1，A_2，A_3，A_4，A_5，A_6和4名女志愿者B_1，B_2，B_3，B_4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.$
$求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A_1但不包含B_1的概率；$

Solution:
$记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A<sub>1</sub>但不包含B<sub>1</sub>的事件为M，则P(M)=\frac{\mathrm{C}^4_8}{\mathrm{C}^5_{10}}=\frac{5}{18}.$

Final answer: $\frac{5}{18}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $设函数f(x)=sin x+cos x(x \in  R).$
$求函数 y = [f \left(x + \frac{\pi}{2} \right)]^2 的最小正周期。$

Solution:
$由已知得 y=[f (x+\frac{\pi }{2})]^2=(cos x-sin x)^2=1-sin 2x，故所求的最小正周期 T=\pi.$



Final answer: $T=\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $设函数f(x)=sin x+cos x(x \in  R).$
$求函数 y=f(x)f \left(x-\frac{\pi }{4}\right) 在 \left[0,\frac{\pi }{2}\right] 上的最大值.$

Solution:
: 
$y=f(x)f \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}(\sin  x + \cos  x)\sin  x = \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}， 因为x\in  \left[0,\frac{\pi }{2}\right]，所以当x = \frac{3\pi }{8}时，函数y=f(x)f \left(x-\frac{\pi }{4}\right)取最大值 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = \sin^2x + \sqrt{3}\sin x\cos x。$
$求f(x)的最小正周期；$

Solution:
$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$

$=\sin\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$

$所以f(x)的最小正周期T=\frac{2\pi }{2}=\pi .$

Final answer: $\pi $
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = \sin^2x + \sqrt{3}\sin x\cos x。$
$若f(x)在区间[-\frac{\pi }{3},m]上的最大值为\frac{3}{2}，求m的最小值。$

Solution:
$由(1)知f(x) = sin\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}.$

$由题意知-\frac{\pi }{3}\leq x\leq m，所以-\frac{5\pi }{6}\leq 2x-\frac{\pi }{6}\leq 2m-\frac{\pi }{6}.$

$要使f(x)在[-\frac{\pi }{3},m]上的最大值为\frac{3}{2}，$

$则 sin\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)在[-\frac{\pi }{3},m]上的最大值为1.$

$所以2m-\frac{\pi }{6}\geq\frac{\pi }{2}，即m\geq\frac{\pi }{3}.$

$所以m的最小值为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = 1+2sin\frac{x}{3}\left(\cos \frac{x}{3}-\sin \frac{x}{3}\right)，在\triangle ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.$
$若f\left(C-\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{2}，且b^{2}=ac，求\cos  B的值.$

Solution:
$f(C-\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}\sin\left[\frac{2}{3}\left(C-\frac{\pi}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\right]=\sqrt{2}\sin\left(\frac{2C}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}，$

$\therefore \sin \left(\frac{2C}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=1.$

$\because 0<C<\pi ，\therefore \frac{\pi}{6}<\frac{2C}{3}+\frac{\pi}{6}<\frac{5\pi}{6}，故\frac{2C}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}，可得C=\frac{\pi}{2}.$

$因为b^{2}=ac，所以\sin ^2B=\sin  A \sin \frac{\pi}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)=\cos  B，即1-\cos  ^2 B=\cos  B，$

$所以\cos  ^2 B+\cos  B-1=0，解得\cos B=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (\cos  B=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}舍去).$



Final answer: $cosB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知b^2=ac，点D在边AC上，BD\sin \angle ABC=a\sin  C.$
$若AD=2DC，求cos\angle ABC.$

Solution:
$由AD=2DC得AD=\frac{2}{3}b, DC=\frac{b}{3}，$
$在\triangle ABD中，\cos  A=\frac{AD^2+AB^2-BD^2}{2AD \cdot AB}=\frac{\frac{4}{9}b^2+c^2-b^2}{2 \times \frac{2}{3}bc}=\frac{c^2-\frac{5}{9}b^2}{\frac{4}{3}bc}，$
$在\triangle ABC中，\cos  A=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC \cdot AB}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

$故\frac{c^2-\frac{5}{9}b^2}{\frac{4}{3}bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}，化简得3c^2-11b^2+6a^2=0，$
$又b^2=ac,$
$所以3c^2-11ac+6a^2=0，即(c-3a)(3c-2a)=0，$
$所以c=3a或c=\frac{2}{3}a.$

$当c=3a时，b^2=ac=3a^2，所以b=\sqrt{3}a,此时a+b<c，故a，b，c构不成三角形；$
$当c=\frac{2}{3}a时，b^2=ac=\frac{2}{3}a^2，所以b=\frac{\sqrt{6}}{3}a，此时a,b,c可以构成三角形，故c=\frac{2}{3}a, b=\frac{\sqrt{6}}{3}a，$

$所以在\triangle ABC中，\cos \angle ABC=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+\frac{4}{9}a^2-\frac{2}{3}a^2}{2a \cdot \frac{2}{3}a}=\frac{7}{12}.$

Final answer: $\frac{7}{12}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$求\sin  C的值；$

Solution:
$在\triangle ABC中，因为a=3，c=\sqrt{2}，B=45^\circ ，$
$所以由余弦定理可得b^2=a^2+c^2-2ac\cos  B=9+2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \cos  45^\circ =5，所以b=\sqrt{5}.$
$在\triangle ABC中，由正弦定理得\frac{b}{\sin  B}=\frac{c}{\sin  C}，$
$即\frac{\sqrt{5}}{\sin  45 ^{\circ} }=\frac{\sqrt{2}}{\sin  C}，所以 \sin  C=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: \frac{\sqrt{5}}{5}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$在边BC上取一点D，使得\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，求\tan \angle DAC的值.$
![21GZTWS9.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623893145106911233/img/compression/M_21a41954cde452d14b35b9d1d2ada624.jpg)

Solution:
$在\triangle ADC中，因为\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\angle ADC为钝角，而\angle ADC+\angle C+\angle DAC=180^\circ ，所以\angle C为锐角，$
$故\cos  C=\sqrt{1-\sin ^2C}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，则\tan  C=\frac{\sin  C}{\cos  C}=\frac{1}{2}.$
$因为\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\sin \angle ADC=\sqrt{1-\cos ^2\angle ADC}=\frac{3}{5}，则\tan \angle ADC=\frac{\sin \angle ADC}{\cos \angle ADC}=-\frac{3}{4}.$
$从而\tan \angle DAC=\tan (180^\circ -\angle ADC-\angle C)=-\tan (\angle ADC+\angle C)=-\frac{\tan \angle ADC+\tan  C}{1-\tan \angle ADC \cdot \tan  C}=-\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{11}.$

Final answer: $\frac{2}{11}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$在边BC上取一点D，使得\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，求\tan \angle DAC的值.$
<img_2290>

Solution:
$在\triangle ADC中，因为\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\angle ADC为钝角，而\angle ADC+\angle C+\angle DAC=180^\circ ，所以\angle C为锐角，$
$故\cos  C=\sqrt{1-\sin ^2C}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，则\tan  C=\frac{\sin  C}{\cos  C}=\frac{1}{2}.$
$因为\cos \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\sin \angle ADC=\sqrt{1-\cos ^2\angle ADC}=\frac{3}{5}，则\tan \angle ADC=\frac{\sin \angle ADC}{\cos \angle ADC}=-\frac{3}{4}.$
$从而\tan \angle DAC=\tan (180^\circ -\angle ADC-\angle C)=-\tan (\angle ADC+\angle C)=-\frac{\tan \angle ADC+\tan  C}{1-\tan \angle ADC \cdot \tan  C}=-\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{11}.$

Final answer: $\frac{2}{11}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知锐角\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，\sin A + a\sin B = 2\sqrt{3}。$
求角A；

Solution:
$因为\sin  A+a\sin  B=2\sqrt{3}，b=3，由正弦定理，得a\sin  B=b\sin  A，$

$所以\sin  A+3\sin  A=2\sqrt{3}，得\sin  A=\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$又0<A<\frac{\pi }{2}，所以A=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知锐角\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，\sin A + a\sin B = 2\sqrt{3}。$
$若a \sin A + c \sin C = 6 \sin B，求\triangle ABC的面积.$

Solution:
：
$因为 a \sin A + c \sin C = 6 \sin B ，所以 a^2 + c^2 = 6b = 18，$
$又 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A ，即 18 - c^2 = 9 + c^2 - 6c \times  \frac{1}{2} = 9 + c^2 - 3c ，所以 2c^2 - 3c - 9 = 0 ，解得 c = 3 或 c = - \frac{3}{2} (舍去)，$
$所以 S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \cdot \sin A = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} .$

Final answer: $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，\sqrt{3}a\sin B - b\cos A = b。$
求角A的大小；

Solution:
$由正弦定理得\sqrt{3}\sin  A\sin  B - \sin  B\cos  A = \sin  B, 又\sin  B \neq  0, 所以\sqrt{3}\sin  A - \cos  A = 1,$
$所以\frac{\sqrt{3}}{2}\sin  A - \frac{1}{2}\cos  A = \frac{1}{2}, 即\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right) = \frac{1}{2}.$
$因为A\in (0,\pi ), 所以 A - \frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)，$
$所以A - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6}, 即A = \frac{\pi }{3}.$



Final answer: A = \frac{\pi }{3}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，\sqrt{3}a\sin B - b\cos A = b。$
$若a=2，求\triangle ABC面积的最大值.$

Solution:
$由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc \cos A,$

$所以4=b^2+c^2-bc \geq 2bc-bc=bc,即bc \leq 4，$

$当且仅当b=c时，等号成立，$

$所以S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc \sin A \leq \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}，$

$所以\triangle ABC面积的最大值为\sqrt{3}.$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足b \sin B+c \sin C=a \sin A+\sqrt{3}b \sin C.$
求角A的值；

Solution:
$因为 b sin B + c sin C = a sin A + \sqrt{3} b sin C ，所以 b^2 + c^2 = a^2 + \sqrt{3} bc ，$

$所以 cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{\sqrt{3}}{2} ，因为 A \in (0,\pi )，所以 A = \frac{\pi }{6}.$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足b \sin B+c \sin C=a \sin A+\sqrt{3}b \sin C.$
$若B= \frac{\pi }{6}，且\triangle ABC的面积为2\sqrt{3}，求BC边上的中线AM的长.$

Solution:
$因为A=B=\frac{\pi }{6}，所以a=b,C=\frac{2\pi }{3}。$

$又S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} ab sin C=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2=2\sqrt{3}，所以a=b=2\sqrt{2}。$

$又因为M为BC的中点，所以CM=\sqrt{2}，$

$在\triangle ACM中，由余弦定理可得AM^2=CA^2+CM^2-2CA\cdot CM\cdot cos C=14，$

$所以AM=\sqrt{14}.$

Final answer: $\sqrt{14}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.$
求角A；

Solution:
$因为 (sin B - sin C) ^ 2 = sin ^ 2 A - sin B sin C$

$所以 sin ^ 2 B + sin ^ 2 C - sin ^ 2 A = sin B sin C$

$由正弦定理得 b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2 = bc$

$所以由余弦定理得 cos A = \frac{b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$

$因为 A \in (0, \pi)，所以 A = \frac{\pi }{3}$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.$
$若b=5，BC边上的高为 \frac{10\sqrt{7}}{7} ，求边c。$

Solution:
$设BC边上的高为h,  $
$则S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\times\frac{10\sqrt{7}}{7}a=\frac{5\sqrt{7}}{7}a,  $
$又S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times5c\times\sin\frac{\pi }{3}=\frac{5\sqrt{3}}{4}c,  $
$所以\frac{5\sqrt{7}}{7}a=\frac{5\sqrt{3}}{4}c，即a=\frac{\sqrt{21}}{4}c,  $
$由余弦定理得a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos A=25+c^{2}-5c,  $
$将a=\frac{\sqrt{21}}{4}c代入上式得c^{2}+16c-80=0,  $
$解得c=4或c=-20(舍)。$

Final answer: $4$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 b\sin\frac{B+C}{2} = a\sin B。$
求角A；

Solution:
$\because  b sin \frac{B+C}{2} = a sin B,  $

$\therefore  sin B cos \frac{A}{2} = sin A sin B,  $

$\because B \in  (0,\pi ), \therefore  sin B \neq  0， \therefore  cos \frac{A}{2} = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2},  $

$\because A \in  (0,\pi )， \therefore  cos \frac{A}{2} \neq  0, \therefore  sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2},  $

$\because  0<\frac{A}{2}<\frac{\pi}{2}, \therefore \frac{A}{2} = \frac{\pi}{6}, \therefore  A = \frac{\pi}{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A:sin B:sin C=2:1:\sqrt{2}，b=\sqrt{2}.$
求a的值；

Solution:
$\because sin A:sin B:sin C = 2:1:\sqrt{2}，$

$\therefore 由正弦定理可得a:b:c = 2:1:\sqrt{2}，又b = \sqrt{2}，$

$\therefore c = \sqrt{2}b = 2，a = 2b = 2\sqrt{2}.$

Final answer: 2\sqrt{2}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A:sin B:sin C=2:1:\sqrt{2}，b=\sqrt{2}.$
求cos C的值；

Solution:
$由余弦定理可得cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3}{4}.$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A:sin B:sin C=2:1:\sqrt{2}，b=\sqrt{2}.$
$求sin(2C-\frac{\pi }{6})的值.$

Solution:
$因为 \cos C=\frac{3}{4}，0 < C < \pi ，$
$所以 \sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}=\frac{\sqrt{7}}{4}，$
$所以 \sin 2C=2\sin C\cos C=2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}，$
$\cos 2C=2cos^2C - 1=2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1=\frac{1}{8}，$
$所以 \sin\left(2C-\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2C\cos\frac{\pi }{6}-\cos 2C\sin\frac{\pi }{6}=\frac{3\sqrt{7}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{21}-1}{16}.$

Final answer: $\frac{3\sqrt{21}-1}{16}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $经济订货批量模型是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货模型，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=\frac{Bx}{2}+\frac{AC}{x}，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元.$
若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

Solution:
因为A=6 000，B=120，C=2 500，

$所以T(x)=60x+{15 000 000}/{x}，$

$所以T(300)=60\times 300+{15 000 000}/{300}=68 000元.$

Final answer: 68000 元
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x \leq 0 时, f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x+1).$
$求f(3)+f(-1)的值；$

Solution:
$\because f(x)是定义在R上的偶函数，且x\leq 0时, f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(-x+1)，$

$\therefore f(3) + f(-1) = f(-3) + f(-1) = \log_{\frac{1}{2}}{4} + \log_{\frac{1}{2}}{2}=-2-1=-3.$

Final answer: $-3$