di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608455085760514/img/compression/M_9c5dba676744df0c8579f103ac8e88be.jpg)
$若小滑块的初始高度h=0.9 m,求小滑块到达B点时速度v_{B}的大小;$

Solution:
小滑块在AB轨道上运动

$mgh-\mu mg \cos \theta \cdot \frac{h}{\sin  \theta }=\frac{1}{2}mv^2_B$

$v_B=\frac{4}{3}\sqrt{gh}=4 m/s$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

<img_678>
$若小滑块的初始高度h=0.9 m,求小滑块到达B点时速度v_{B}的大小;$

Solution:
小滑块在AB轨道上运动

$mgh-\mu mg \cos \theta \cdot \frac{h}{\sin  \theta }=\frac{1}{2}mv^2_B$

$v_B=\frac{4}{3}\sqrt{gh}=4 m/s$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608455085760514/img/compression/M_9c5dba676744df0c8579f103ac8e88be.jpg)
$若小球能完成整个运动过程，求h的最小值h_{min}；$

Solution:
小滑块与小球质量相等，碰撞后速度互换

小球沿CDEF轨道运动

$mg = m \frac{v^2_{E\min }}{R} $

$\frac{1}{2} mv ^2_{E\min } + mg(R+r) = \frac{1}{2} mv ^2_{B\min }$

$v_{Bmin} = \frac{4}{3} \sqrt{gh_{\min }}$

$h_{min} = 0.45 m$

Final answer: 0.45 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

<img_678>
$若小球能完成整个运动过程，求h的最小值h_{min}；$

Solution:
小滑块与小球质量相等，碰撞后速度互换

小球沿CDEF轨道运动

$mg = m \frac{v^2_{E\min }}{R} $

$\frac{1}{2} mv ^2_{E\min } + mg(R+r) = \frac{1}{2} mv ^2_{B\min }$

$v_{Bmin} = \frac{4}{3} \sqrt{gh_{\min }}$

$h_{min} = 0.45 m$

Final answer: 0.45 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608455085760514/img/compression/M_9c5dba676744df0c8579f103ac8e88be.jpg)
$若小球恰好能过最高点E,且三棱柱G的位置上下可调,求落地点Q与F点的水平距离x的最大值x_{max}。$

Solution:
$小球从E点到G点的运动机械能守恒，故有$

$\frac{1}{2}mv^2_{G}=\frac{1}{2}mv^2_{E_{min}}+mg(R+y)$

$从G到Q点的平抛运动有$

$水平方向：x= v_{G}t$

$竖直方向：H+r-y=\frac{1}{2}gt^{2}$

$解得x=2\sqrt{(0.5-y)(0.3+y)}$

$当y=0.1时，x最大$

$x_{max}=0.8 m$

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角\theta=37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu=\frac{1}{12},\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,g取10 m/s^2。$

<img_678>
$若小球恰好能过最高点E,且三棱柱G的位置上下可调,求落地点Q与F点的水平距离x的最大值x_{max}。$

Solution:
$小球从E点到G点的运动机械能守恒，故有$

$\frac{1}{2}mv^2_{G}=\frac{1}{2}mv^2_{E_{min}}+mg(R+y)$

$从G到Q点的平抛运动有$

$水平方向：x= v_{G}t$

$竖直方向：H+r-y=\frac{1}{2}gt^{2}$

$解得x=2\sqrt{(0.5-y)(0.3+y)}$

$当y=0.1时，x最大$

$x_{max}=0.8 m$

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，内径很小的细管PMN竖直固定，PM段为内径粗糙的水平直线细管，P点处有一弹性挡板、MN段为内径光滑的半径为R的\frac{1}{4}圆弹，两段细管于M点处顺滑连接。一细绳左侧连接一质量为3m的滑块A，另一端穿过P板经细管连接一大小略小于内径的质量为m的滑块B。在外力影响下，两滑块初始均静止，除PM段外，其余各处阻力不计，PM段动摩擦因数取0.5，重力加速度为g。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608455538745347/img/compression/M_112653f908ad04545b26545a610e99e2.jpg)
系统释放后，滑块B经M点后水平撞击挡板P能够以原速率弹回，第一次弹回后刚好返回到M点，最终滑块B和系统静止。试判断整个过程中，滑块B在水平段运动路程是PM段长度的几倍。

Solution:
第一次返回M点开始至系统最终停止这一段时间内，B初位置在M点，末位置在P点，故A下降高度为L_{PM}，对A、B组成的系统由能量守恒列式有

$um_{B}gs_{0}=m_{A}gL_{PM}，解得s_{0}=6L_{PM}，水平总路程s_{总}=8L_{PM}。$

Final answer: $8$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，内径很小的细管PMN竖直固定，PM段为内径粗糙的水平直线细管，P点处有一弹性挡板、MN段为内径光滑的半径为R的\frac{1}{4}圆弹，两段细管于M点处顺滑连接。一细绳左侧连接一质量为3m的滑块A，另一端穿过P板经细管连接一大小略小于内径的质量为m的滑块B。在外力影响下，两滑块初始均静止，除PM段外，其余各处阻力不计，PM段动摩擦因数取0.5，重力加速度为g。$

<img_1436>
系统释放后，滑块B经M点后水平撞击挡板P能够以原速率弹回，第一次弹回后刚好返回到M点，最终滑块B和系统静止。试判断整个过程中，滑块B在水平段运动路程是PM段长度的几倍。

Solution:
第一次返回M点开始至系统最终停止这一段时间内，B初位置在M点，末位置在P点，故A下降高度为L_{PM}，对A、B组成的系统由能量守恒列式有

$um_{B}gs_{0}=m_{A}gL_{PM}，解得s_{0}=6L_{PM}，水平总路程s_{总}=8L_{PM}。$

Final answer: $8$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。

$(弹簧的弹性势能可表示为：E_p = \frac{1}{2}kx^2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608482458652674/img/compression/M_747ddbd88b2b234a4bb55e14484953c7.jpg)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608482458652674/img/compression/M_3155d167d1f55ca322b7d05ddcc4ae23.jpg)
$为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值F_{min}；$

Solution:
$当A刚要离开墙时，弹簧在B的带动下处于伸长状态，设弹簧的伸长量为x，以A为研究对象，由平衡条件得kx = f。$

$若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值F_min，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得
E_k = 0.5kx^2 + fx。$

$联立④⑤⑥式得F_min = (3\pm \frac{\sqrt{10}}{2})f。$

$根据题意舍去F_min = (3-\frac{\sqrt{10}}{2})f，得$
$F_min = (3+\frac{\sqrt{10}}{2})f.$

Final answer: $F_{min}=(3+\frac{\sqrt{10}}{2})f$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。

$(弹簧的弹性势能可表示为：E_p = \frac{1}{2}kx^2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)$

<img_443>

<img_1125>
$为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值F_{min}；$

Solution:
$当A刚要离开墙时，弹簧在B的带动下处于伸长状态，设弹簧的伸长量为x，以A为研究对象，由平衡条件得kx = f。$

$若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值F_min，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得
E_k = 0.5kx^2 + fx。$

$联立④⑤⑥式得F_min = (3\pm \frac{\sqrt{10}}{2})f。$

$根据题意舍去F_min = (3-\frac{\sqrt{10}}{2})f，得$
$F_min = (3+\frac{\sqrt{10}}{2})f.$

Final answer: $F_{min}=(3+\frac{\sqrt{10}}{2})f$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角为\theta ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止.

![24AXGK5WL344.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608525496406018/img/compression/M_e4a8cd54797e0291306f3a61d78bcb33.jpg)
$木板从x=L/2的位置静止释放，始终在滑动摩擦力的作用下，移动到x=L的位置时，木板的速度多大？$

Solution:
$利用(2)中图像与x轴所围面积表示f做的功，可知从x=\frac{L}{2}到x=L摩擦力做功：W_{f}=\frac{3}{2}mgL \sin \theta $

$由动能定理W_{f}-\frac{1}{2}mgL \sin \theta =\frac{1}{2}mv^{2} $

$得v=\sqrt{2gL \sin  \theta }$

Final answer: $\sqrt{2gL \sin  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角为\theta ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止.

<img_1004>
$木板从x=L/2的位置静止释放，始终在滑动摩擦力的作用下，移动到x=L的位置时，木板的速度多大？$

Solution:
$利用(2)中图像与x轴所围面积表示f做的功，可知从x=\frac{L}{2}到x=L摩擦力做功：W_{f}=\frac{3}{2}mgL \sin \theta $

$由动能定理W_{f}-\frac{1}{2}mgL \sin \theta =\frac{1}{2}mv^{2} $

$得v=\sqrt{2gL \sin  \theta }$

Final answer: $\sqrt{2gL \sin  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，动摩擦因数\mu =0.5的水平地面与半径为R的光滑圆弧轨道平滑相连，B、C、D为圆弧轨道上的三个点，B点为最低点，C点与圆心O等高，D点为圆弧轨道的最高点，而且D点的切线方向与倾斜传送带平行，已知长度为5R的传送带与水平面的夹角为\theta =37^\circ ，传送带表面的动摩擦因数也为\mu ，正以v_0顺时针转动。现位于水平面上A处一可视为质点的物体，其质量为m，在水平向右的恒力F作用下从静止开始向右运动，当物体运动到B点时轨道对物体的支持力为11mg，物体运动到C点时撤去外力F，其中A、B的距离为L=10R，重力加速度为g，F和v_0均未知。$

<img_1030>
求水平恒力F的大小。

Solution:
$对物体在B点进行受力分析得 11mg-mg=\frac{mv^2_B}{R}，又由A到B运动过程应用动能定理有 FL-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_B，联立可得 F=mg$

Final answer: $mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，动摩擦因数\mu =0.5的水平地面与半径为R的光滑圆弧轨道平滑相连，B、C、D为圆弧轨道上的三个点，B点为最低点，C点与圆心O等高，D点为圆弧轨道的最高点，而且D点的切线方向与倾斜传送带平行，已知长度为5R的传送带与水平面的夹角为\theta =37^\circ ，传送带表面的动摩擦因数也为\mu ，正以v_0顺时针转动。现位于水平面上A处一可视为质点的物体，其质量为m，在水平向右的恒力F作用下从静止开始向右运动，当物体运动到B点时轨道对物体的支持力为11mg，物体运动到C点时撤去外力F，其中A、B的距离为L=10R，重力加速度为g，F和v_0均未知。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608526616285187/img/compression/M_e0730c8c923a92638ddb3b9d019f484d.jpg)
求水平恒力F的大小。

Solution:
$对物体在B点进行受力分析得 11mg-mg=\frac{mv^2_B}{R}，又由A到B运动过程应用动能定理有 FL-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_B，联立可得 F=mg$

Final answer: $mg$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

<img_580>
$滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小N_1和N_2；$

Solution:
滑块静止时，由整体法得：
$N_1=(m+M)g=8 N$

滑块向上滑动时，以滑杆为研究对象，受力分析如图:

<img_1466>

$得：N_2=Mg-f'=Mg-f=5 N。$

Final answer: 8 N　5 N
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608612068347905/img/compression/M_8e8cc13d670852db50d7c3844d83205e.jpg)
$滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小N_1和N_2；$

Solution:
滑块静止时，由整体法得：
$N_1=(m+M)g=8 N$

滑块向上滑动时，以滑杆为研究对象，受力分析如图:

![23GZT5WL146答案.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608612491972609/img/compression/M_469152a1c09cd63c61de300fc5a6b70e.jpg)

$得：N_2=Mg-f'=Mg-f=5 N。$

Final answer: 8 N　5 N
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

<img_580>
$滑块碰撞前瞬间的速度大小v；$

Solution:
滑块从A到B，由动能定理：

$- mgl - fl = 1/2 mv^2 - 1/2 mv^2_0$

$得：v = 8 m/s。$

Final answer: 8 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608612068347905/img/compression/M_8e8cc13d670852db50d7c3844d83205e.jpg)
$滑块碰撞前瞬间的速度大小v；$

Solution:
滑块从A到B，由动能定理：

$- mgl - fl = 1/2 mv^2 - 1/2 mv^2_0$

$得：v = 8 m/s。$

Final answer: 8 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

<img_580>
$滑杆向上运动的最大高度h。$

Solution:
滑块与滑杆发生完全非弹性碰撞，由动量守恒：

$mv=(m+M)v'$

$得v'=2 m/s$

碰撞后，滑块与滑杆一起向上运动，由动能定理：

$-(m+M)gh=0-\frac{1}{2}(m+M)v'^2$

$得：h=0.2 m$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v_0为10 m/s向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg，滑杆的质量M=0.6 kg，A、B间的距离l=1.2 m，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力。$
求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608612068347905/img/compression/M_8e8cc13d670852db50d7c3844d83205e.jpg)
$滑杆向上运动的最大高度h。$

Solution:
滑块与滑杆发生完全非弹性碰撞，由动量守恒：

$mv=(m+M)v'$

$得v'=2 m/s$

碰撞后，滑块与滑杆一起向上运动，由动能定理：

$-(m+M)gh=0-\frac{1}{2}(m+M)v'^2$

$得：h=0.2 m$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零。如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔s_1=3.5\times 10^-2 m，乙与边框a相隔s_2=2.0\times 10^-2 m，算珠与导杆间的动摩擦因数\mu=0.1。现用手指将甲以0.4 m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_499>
求甲算珠从拨出到停下所需的时间。

Solution:
$设甲算珠从被拨出到与乙算珠碰撞所用时间为t_1，碰后至停下所用时间为t_2$

$根据v_t-v_0=a t，有t=\frac{v_t-v_0}{a}$

$t_1=\frac{v_1-v_0}{a}=\frac{0.3-0.4}{-1} s=0.1 s$

$t_2=\frac{0-v_1'}{a}=\frac{0-0.1}{-1} s=0.1 s$

$在t_2时间内，设甲算珠的位移为s_1'$

$由v_t^2-v_0^2=2 a s，得s_1'=\frac{0-{v_1'}^2}{2 a}=\frac{0-0.1^2}{2 \times -1} m=0.5\times 10^-2 m<s_2$

$故甲算珠从被拨出到停下来所需时间为t=t_1+t_2=0.1 s+0.1 s=0.2 s$

Final answer: 0.2 s
Subfield: Mechanics


Question: $算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零。如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔s_1=3.5\times 10^-2 m，乙与边框a相隔s_2=2.0\times 10^-2 m，算珠与导杆间的动摩擦因数\mu=0.1。现用手指将甲以0.4 m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608586427060227/img/compression/M_ca8edb36f85e039601f22c12c6953599.jpg)
求甲算珠从拨出到停下所需的时间。

Solution:
$设甲算珠从被拨出到与乙算珠碰撞所用时间为t_1，碰后至停下所用时间为t_2$

$根据v_t-v_0=a t，有t=\frac{v_t-v_0}{a}$

$t_1=\frac{v_1-v_0}{a}=\frac{0.3-0.4}{-1} s=0.1 s$

$t_2=\frac{0-v_1'}{a}=\frac{0-0.1}{-1} s=0.1 s$

$在t_2时间内，设甲算珠的位移为s_1'$

$由v_t^2-v_0^2=2 a s，得s_1'=\frac{0-{v_1'}^2}{2 a}=\frac{0-0.1^2}{2 \times -1} m=0.5\times 10^-2 m<s_2$

$故甲算珠从被拨出到停下来所需时间为t=t_1+t_2=0.1 s+0.1 s=0.2 s$

Final answer: 0.2 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图,光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C和D,物块质量均为1 kg。A和C以相同速度v_0=10 m/s向右运动,B和D以相同速度kv_0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板。物块与滑板之间的动摩擦因数均为\mu =0.1，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608643257192451/img/compression/M_1153226854811f292a5838ac99ddeb86.jpg)
$若0<k<0.5，求碰撞后瞬间新物块与新滑板各自速度的大小；$

Solution:
取向右为正方向

$C、D相碰后的共同速度为v_{CD}$

$C、D系统碰撞前后遵守动量守恒定律$

$m_{C}v_{0}-m_{D}kv_{0}=(m_{C}+m_{D})v_{CD}$

$代入数值后得v_{CD}=5(1-k) m/s$

$0<k<0.5时，v_{CD}>0，即C、D构成的新物块速度向右$

A、B相碰后的共同速度为v_{AB}

A、B系统碰撞前后遵守动量守恒定律

$m_{A}v_{0}-m_{B}kv_{0}=(m_{A}+m_{B})v_{AB}$

$代入数值后得v_{AB}=\frac{10}{3} (1-2k) m/s$

$0<k<0.5时，1-2k>0，v_{AB}>0，即A、B构成的新滑板速度向右$

Final answer: 见解析
Subfield: Mechanics


Question: $如图,光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C和D,物块质量均为1 kg。A和C以相同速度v_0=10 m/s向右运动,B和D以相同速度kv_0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板。物块与滑板之间的动摩擦因数均为\mu =0.1，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

<img_688>

$若0<k<0.5，求碰撞后瞬间新物块与新滑板各自速度的大小；$

Solution:
取向右为正方向

$C、D相碰后的共同速度为v_{CD}$

$C、D系统碰撞前后遵守动量守恒定律$

$m_{C}v_{0}-m_{D}kv_{0}=(m_{C}+m_{D})v_{CD}$

$代入数值后得v_{CD}=5(1-k) m/s$

$0<k<0.5时，v_{CD}>0，即C、D构成的新物块速度向右$

A、B相碰后的共同速度为v_{AB}

A、B系统碰撞前后遵守动量守恒定律

$m_{A}v_{0}-m_{B}kv_{0}=(m_{A}+m_{B})v_{AB}$

$代入数值后得v_{AB}=\frac{10}{3} (1-2k) m/s$

$0<k<0.5时，1-2k>0，v_{AB}>0，即A、B构成的新滑板速度向右$



Final answer: $5(1-k), \frac{10}{3} (1-2k)$ m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图,光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C和D,物块质量均为1 kg。A和C以相同速度v_0=10 m/s向右运动,B和D以相同速度kv_0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板。物块与滑板之间的动摩擦因数均为\mu =0.1，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

<img_688>
$若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。$

Solution:
$若k=0.5，根据(1)可知v=v_{CD}=2.5 m/s，v_{AB}=0。之后C、D一起向右做匀减速运动，A、B一起向右做初速度为0的匀加速运动，直到两者达到共同速度v_{共}。由A、B、C、D系统动量守恒得：  $

$(m_{C}+m_{D})v=(m_{A}+m_{B}+m_{C}+m_{D})v_{共}$

$v_{共}=1 m/s 设新物块在新滑板上滑动的相对位移的大小为\Delta x$

$对A、B、C、D系统，根据系统能量守恒可得：$

$\mu (m_{C}+m_{D})g\Delta x=\frac{1}{2}(m_{C}+m_{D})v^2-\frac{1}{2}(m_{A}+m_{B}+m_{C}+m_{D})v_{共}^2$

$代入数值可得\Delta x=1.875 m$

Final answer: 1.875 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图,光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C和D,物块质量均为1 kg。A和C以相同速度v_0=10 m/s向右运动,B和D以相同速度kv_0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板。物块与滑板之间的动摩擦因数均为\mu =0.1，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608643257192451/img/compression/M_1153226854811f292a5838ac99ddeb86.jpg)
$若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。$

Solution:
$若k=0.5，根据(1)可知v=v_{CD}=2.5 m/s，v_{AB}=0。之后C、D一起向右做匀减速运动，A、B一起向右做初速度为0的匀加速运动，直到两者达到共同速度v_{共}。由A、B、C、D系统动量守恒得：  $

$(m_{C}+m_{D})v=(m_{A}+m_{B}+m_{C}+m_{D})v_{共}$

$v_{共}=1 m/s 设新物块在新滑板上滑动的相对位移的大小为\Delta x$

$对A、B、C、D系统，根据系统能量守恒可得：$

$\mu (m_{C}+m_{D})g\Delta x=\frac{1}{2}(m_{C}+m_{D})v^2-\frac{1}{2}(m_{A}+m_{B}+m_{C}+m_{D})v_{共}^2$

$代入数值可得\Delta x=1.875 m$

Final answer: 1.875 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

<img_547>
$A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小v_{A}与v_{B};$

Solution:
$A 与 B 发生弹性碰撞， m_A < m_B，则 A 碰撞后反弹，以向右为正方向，满足 m_A v_0 = m_A (- v_A ) + m_B v_B$

$\frac{1}{2}m_A v_0^2= \frac{1}{2}m_A v_A^2+ \frac{1}{2}m_B v_B^2$

$解得 v_A = 2 m/s，v_B = 2 m/s$

Final answer: 2 m/s　2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608643731148803/img/compression/M_2dc47e90a3d69d1fd1be6bbeca7d6108.jpg)
$A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小v_{A}与v_{B};$

Solution:
$A 与 B 发生弹性碰撞， m_A < m_B，则 A 碰撞后反弹，以向右为正方向，满足 m_A v_0 = m_A (- v_A ) + m_B v_B$

$\frac{1}{2}m_A v_0^2= \frac{1}{2}m_A v_A^2+ \frac{1}{2}m_B v_B^2$

$解得 v_A = 2 m/s，v_B = 2 m/s$

Final answer: 2 m/s　2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

<img_547>
B 光滑部分的长度 d;

Solution:
与挡板碰前A向右匀速运动时，B静止不动，与挡板碰后，A先向左匀速运动，后向左做匀减速运动，A未减速时B的加速度大小满足

$\mu _2(m_A+m_B)g=m_Ba_B$

$解得a_B=3 m/s^2$

$A减速时加速度大小为a_A=\frac{\mu _1m_Ag}{m_A}=4 m/s^2$

$经过分析，A和B碰撞后运动的v-t图像如图所示，设碰后A匀速运动的时间为t_2，减速运动的时间为t_3，则有t_3=\frac{v_A}{a_A}=0.5 s$

<img_733>

$A减速运动的位移大小x_3=\frac{v_A}{2}t_3=0.5 m$

$根据题意，x_3为减速阶段的位移，即A开始减速时O'已向右移动了0.5 m，则有v_Bt_2-\frac{1}{2}a_Bt^2_2=0.5 m$

$解得t_2=\frac{1}{3} s(另一解舍去)$

$故B光滑部分长度d=v_At_2+x_3=\frac{7}{6} m$

Final answer: \(\frac{7}{6}\) m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608643731148803/img/compression/M_2dc47e90a3d69d1fd1be6bbeca7d6108.jpg)
B 光滑部分的长度 d;

Solution:
与挡板碰前A向右匀速运动时，B静止不动，与挡板碰后，A先向左匀速运动，后向左做匀减速运动，A未减速时B的加速度大小满足

$\mu _2(m_A+m_B)g=m_Ba_B$

$解得a_B=3 m/s^2$

$A减速时加速度大小为a_A=\frac{\mu _1m_Ag}{m_A}=4 m/s^2$

$经过分析，A和B碰撞后运动的v-t图像如图所示，设碰后A匀速运动的时间为t_2，减速运动的时间为t_3，则有t_3=\frac{v_A}{a_A}=0.5 s$

![23GZT5WL96答案.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608644335128578/img/compression/M_e624bcabb11ecdf0f6642c69b637e35b.jpg)

$A减速运动的位移大小x_3=\frac{v_A}{2}t_3=0.5 m$

$根据题意，x_3为减速阶段的位移，即A开始减速时O'已向右移动了0.5 m，则有v_Bt_2-\frac{1}{2}a_Bt^2_2=0.5 m$

$解得t_2=\frac{1}{3} s(另一解舍去)$

$故B光滑部分长度d=v_At_2+x_3=\frac{7}{6} m$

Final answer: \(\frac{7}{6}\) m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

<img_547>
$运动过程中A对B的摩擦力所做的功W_{f};$

Solution:
$A、B碰后经过时间t_2后A和B之间有摩擦力，刚有摩擦力时B的速度为v_B'=v_B-a_Bt_2=1 m/s$
$B的加速度满足\mu _1m_Ag+\mu _2(m_A+m_B)g=m_Ba_B'$
$解得a_B'=\frac{13}{3} m/s^2$
$B在此后减速运动的位移x_B满足2(-a_B')x_B=0-v_B'^2$
$解得x_B=\frac{3}{26} m$
$A对B的摩擦力所做的功为W_f=-\mu _1m_Agx_B=-\frac{3}{65} J$



Final answer: $- \frac{3}{65}$ J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度V_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量m_A=0.1 kg, B的质量m_B=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4,B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225, v_0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力,求:$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608643731148803/img/compression/M_2dc47e90a3d69d1fd1be6bbeca7d6108.jpg)
$运动过程中A对B的摩擦力所做的功W_{f};$

Solution:
$A、B碰后经过时间t_2后A和B之间有摩擦力，刚有摩擦力时B的速度为v_B'=v_B-a_Bt_2=1 m/s$
$B的加速度满足\mu _1m_Ag+\mu _2(m_A+m_B)g=m_Ba_B'$
$解得a_B'=\frac{13}{3} m/s^2$
$B在此后减速运动的位移x_B满足2(-a_B')x_B=0-v_B'^2$
$解得x_B=\frac{3}{26} m$
$A对B的摩擦力所做的功为W_f=-\mu _1m_Agx_B=-\frac{3}{65} J$

Final answer: $- \frac{3}{65} J$
Subfield: Mechanics


Question: $小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角\theta =37^\circ 的斜轨道BC平滑连接而成。质量m=0.1 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=1.0 m处静止释放。已知R=0.2 m，L_AB=L_BC=1.0 m，滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为\mu =0.25，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力，g取10 m/s^2。$
<img_1109>
$求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力的大小；$

Solution:
$机械能守恒定律 mgH = mgR + \frac{1}{2}mv^2_D$

$牛顿第二定律 F_N = \frac{mv^2_D}{R} = 8 N$

$牛顿第三定律 F'_N = F_N = 8 N,方向水平向左$



Final answer: 8 N
Subfield: Mechanics


Question: $小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角\theta =37^\circ 的斜轨道BC平滑连接而成。质量m=0.1 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=1.0 m处静止释放。已知R=0.2 m，L_AB=L_BC=1.0 m，滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为\mu =0.25，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力，g取10 m/s^2。$
![小明的滑动装置](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608676003946498/img/compression/M_5625e0123f798a6c9407ae5777cea24d.jpg)
$求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力的大小；$

Solution:
$机械能守恒定律 mgH = mgR + \frac{1}{2}mv^2_D$

$牛顿第二定律 F_N = \frac{mv^2_D}{R} = 8 N$

$牛顿第三定律 F'_N = F_N = 8 N,方向水平向左$

Final answer: 8 N 方向水平向左
Subfield: Mechanics


Question: $打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高(图中实线位置)时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m,系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60^\circ 。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为\sqrt{\frac{3gL}{5}}时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动 \frac{L}{10}距离后静止(不考虑C、D再次相碰)。A、B、C、D均可视为质点。$

![Image Description](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608676524040195/img/compression/M_a696078d900e25d7523a572a75e3c1c3.jpg)
若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；

Solution:
设碰撞后D的速度为v，由于碰撞时间极短，C、D构成的系统动量守恒m_{C} v_{C}=2mv
在D运动过程中由动能定理有
$-(F-2mg)\times \frac{L}{10}=0-\frac{1}{2}\times 2mv^{2}$
$将 v_{C}=\sqrt{\frac{3gL}{5}} 代入可得 F=\frac{13}{2}mg$

Final answer: $\frac{13}{2} mg$
Subfield: Mechanics


Question: $打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高(图中实线位置)时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m,系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60^\circ 。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为\sqrt{\frac{3gL}{5}}时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动 \frac{L}{10}距离后静止(不考虑C、D再次相碰)。A、B、C、D均可视为质点。$

<img_967>
若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；

Solution:
设碰撞后D的速度为v，由于碰撞时间极短，C、D构成的系统动量守恒m_{C} v_{C}=2mv
在D运动过程中由动能定理有
$-(F-2mg)\times \frac{L}{10}=0-\frac{1}{2}\times 2mv^{2}$
$将 v_{C}=\sqrt{\frac{3gL}{5}} 代入可得 F=\frac{13}{2}mg$

Final answer: $\frac{13}{2} mg$
Subfield: Mechanics


Question: $打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高(图中实线位置)时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m,系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60^\circ 。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为\sqrt{\frac{3gL}{5}}时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动 \frac{L}{10}距离后静止(不考虑C、D再次相碰)。A、B、C、D均可视为质点。$

<img_967>
撤掉桩D,将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。

Solution:
$系统动能最大时加速度为零，合力为零，即在图中虚线位置时系统的动能最大。设此时A、B与C的速度大小分别为v_1、v_1、v_2，由于C的速度沿绳的分速度等于A、B的速度，故v_1=v_2 \sin 60^\circ $

再由系统机械能守恒有

$m₍C₎gL \tan 60^\circ -2mg \left(\frac{L}{\cos  60 ^{\circ} }-L\right)= \frac{1}{2}m₍C₎v_2^2+\frac{1}{2}\times 2mv_1^2$

$解得C的最大动能Eₖₘ= \frac{1}{2}m₍C₎v_2^2=2(2-\sqrt{3})mgL$

Final answer: $2(2-\sqrt{3})mgL$