di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，第一象限中有沿x轴正方向的匀强电场，第二象限中有沿y轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度大小相等。一个质量为m，带电荷量为-q的带电质点以初速度v_0从x轴上P(-L,0)点射入第二象限，已知带电质点在第一和第二象限中都做直线运动，并且能够连续两次通过y轴上的同一个点Q(未画出)，重力加速度g为已知量。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003608232579075/img/compression/M_5e8e2721ce90af504025ec64ec80c4e8.jpg)
P、Q两点间的电势差$U_{PQ}$；

Solution:
P到Q的过程，由动能定理有

$qEL-mgL=0$

又$W_{PQ}=qEL$

$代入数据解得U_{PQ}=\frac{W_{PQ}}{-q}=-\frac{mgL}{q}.$

Final answer: $- \frac{mgL}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，第一象限中有沿x轴正方向的匀强电场，第二象限中有沿y轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度大小相等。一个质量为m，带电荷量为-q的带电质点以初速度v_0从x轴上P(-L,0)点射入第二象限，已知带电质点在第一和第二象限中都做直线运动，并且能够连续两次通过y轴上的同一个点Q(未画出)，重力加速度g为已知量。求：$

<img_956>
P、Q两点间的电势差$U_{PQ}$；

Solution:
P到Q的过程，由动能定理有

$qEL-mgL=0$

又$W_{PQ}=qEL$

$代入数据解得U_{PQ}=\frac{W_{PQ}}{-q}=-\frac{mgL}{q}.$

Final answer: $- \frac{mgL}{q}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某学校举行校庆，准备放飞气球渲染气氛。当天上午10点，学校地表附近的气温为27 ^\circ C，大气压强为p_0=1.0\times 10^5 Pa，此时气球体积为V_0。气球内充的氦气可视为理想气体，气球内外气压差很小，可以忽略。$
$正午时地表附近气温达到37 ^\circ C，大气压仍为p_0，此时气球的体积多大？$

Solution:
气球内外气压认为相等，由题意可知此过程为等压变化过程，由盖-吕萨克定律知
$\frac{V_0}{T_0} = \frac{V}{T}，且T_0=300 K, T=310 K，解得V= \frac{31}{30}V_0。$

Final answer: $\frac{31}{30} V_{0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一粗细均匀的长细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为h的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，静止时下方气体体积为V_{0}，之后长细管在外力作用下以大小为g的加速度竖直向上做匀加速直线运动，管内气体温度不变。已知大气压强为p_{0}，水银密度为\rho，重力加速度为g，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894332848279555/img/compression/M_05f7fa4b569e0592deebf8d39827ced5.jpg)
静止时下方气体压强；

Solution:
$设细管横截面积为S，水银柱质量m=\rho hS，静止时以水银柱作为受力对象，根据力的平衡可得p_{1}S=p_{0}S+\rho Shg，解得p_{1}=p_{0}+\rho gh；$

Final answer: $p_{0}+\rho gh$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一粗细均匀的长细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为h的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，静止时下方气体体积为V_{0}，之后长细管在外力作用下以大小为g的加速度竖直向上做匀加速直线运动，管内气体温度不变。已知大气压强为p_{0}，水银密度为\rho，重力加速度为g，求：$

<img_1462>
静止时下方气体压强；

Solution:
$设细管横截面积为S，水银柱质量m=\rho hS，静止时以水银柱作为受力对象，根据力的平衡可得p_{1}S=p_{0}S+\rho Shg，解得p_{1}=p_{0}+\rho gh；$

Final answer: $p_{0}+\rho gh$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一粗细均匀的长细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为h的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，静止时下方气体体积为V_{0}，之后长细管在外力作用下以大小为g的加速度竖直向上做匀加速直线运动，管内气体温度不变。已知大气压强为p_{0}，水银密度为\rho，重力加速度为g，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894332848279555/img/compression/M_05f7fa4b569e0592deebf8d39827ced5.jpg)
长细管竖直向上做匀加速直线运动时气体体积。

Solution:
长细管竖直向上做匀加速直线运动，以水银柱为研究对象，由牛顿第二定律得  
$p_2 - p_0S - mg = ma，a = g，解得 p_2 = p_0 + 2\rho gh，由玻意耳定律得 p_1V_0 = p_2V，解得 V = \frac{p_0+\rho gh}{p_0+2\rho gh}V_0。$

Final answer: $\frac{p_0+\rho gh}{p_0+2\rho gh} V_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一粗细均匀的长细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为h的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，静止时下方气体体积为V_{0}，之后长细管在外力作用下以大小为g的加速度竖直向上做匀加速直线运动，管内气体温度不变。已知大气压强为p_{0}，水银密度为\rho，重力加速度为g，求：$

<img_1462>
长细管竖直向上做匀加速直线运动时气体体积。

Solution:
长细管竖直向上做匀加速直线运动，以水银柱为研究对象，由牛顿第二定律得  
$p_2 - p_0S - mg = ma，a = g，解得 p_2 = p_0 + 2\rho gh，由玻意耳定律得 p_1V_0 = p_2V，解得 V = \frac{p_0+\rho gh}{p_0+2\rho gh}V_0。$

Final answer: $\frac{p_0+\rho gh}{p_0+2\rho gh} V_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $医生给病人输液时，若需要输送两瓶相同的药液，可采用如图所示的装置。细管a是通气管(可通气但不会有药液流出)，细管b是连通管(可通气也可通药液)，c是输液管(下端的针头与人体相连，图中未画出)，开关K可控制输液的快慢和停止输液。A、B是两个相同的药瓶，放置的高度相同。开始时，两药瓶内液面与管口的高度差均为h_0，液面与瓶底的高度差均为d。已知药液的密度为\rho ，大气压强为p_0，重力加速度为g，不考虑温度的变化。$

<img_1009>
$打开K，药液缓慢输入病人体内。当A瓶内液面与管口的高度差h= \frac{h_0}{2}时，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值k为多少？$

Solution:
$通气管a与大气相通，A瓶中a管管口处的压强为p_0，根据连通器的原理，同一液体同一水平高度在平衡状态时的压强相等，A瓶中a管管口处、b管管口处的压强相等，同理B瓶中c管管口处、b管管口处压强均相等，都等于大气压强p_0，所以药液逐渐流出时，B瓶中药液减少，A瓶中就会将药液压入B瓶，只要A瓶管口上方还有药液，B瓶内药液的体积就不变，其上方气体的体积就不变。开始时A瓶内气体的压强为p_1=p_0-\rho gh_0，通入气体后，气体只会流向A瓶上方，A瓶内气体的压强为p_2=p_0-\rho gh=p_0-\frac{1}{2}\rho gh_0，设药瓶内的横截面积为S，则开始时A内气体的体积V_1=dS，通入气体后，A内气体的体积V_2=[d+(h_0-h)]S=\left(d+\frac{h_0}{2}\right)S，由于气体等温变化，设通入压强为p_0的气体的体积为\Delta V，则有p_1V_1+p_0\Delta V=p_2V_2，设通入A内的气体在等温条件下压强为p_1时的体积为V'_2，则有p_0\Delta V=p_1V'_2，由公式m=\rho V可知，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值为k=\frac{V'_2}{V_1}，联立解得k=\frac{(2p_0+2\rho gd-\rho gh_0)h_0}{4(p_0-\rho gh_0)d}。$

Final answer: $\frac{(2p_0+2\rho gd-\rho gh_0)h_0}{4(p_0-\rho gh_0)d}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $医生给病人输液时，若需要输送两瓶相同的药液，可采用如图所示的装置。细管a是通气管(可通气但不会有药液流出)，细管b是连通管(可通气也可通药液)，c是输液管(下端的针头与人体相连，图中未画出)，开关K可控制输液的快慢和停止输液。A、B是两个相同的药瓶，放置的高度相同。开始时，两药瓶内液面与管口的高度差均为h_0，液面与瓶底的高度差均为d。已知药液的密度为\rho ，大气压强为p_0，重力加速度为g，不考虑温度的变化。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894333670363138/img/compression/M_3c7e0c74d91c6e62b7a589ae345a24b4.jpg)
$打开K，药液缓慢输入病人体内。当A瓶内液面与管口的高度差h= \frac{h_0}{2}时，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值k为多少？$

Solution:
$通气管a与大气相通，A瓶中a管管口处的压强为p_0，根据连通器的原理，同一液体同一水平高度在平衡状态时的压强相等，A瓶中a管管口处、b管管口处的压强相等，同理B瓶中c管管口处、b管管口处压强均相等，都等于大气压强p_0，所以药液逐渐流出时，B瓶中药液减少，A瓶中就会将药液压入B瓶，只要A瓶管口上方还有药液，B瓶内药液的体积就不变，其上方气体的体积就不变。开始时A瓶内气体的压强为p_1=p_0-\rho gh_0，通入气体后，气体只会流向A瓶上方，A瓶内气体的压强为p_2=p_0-\rho gh=p_0-\frac{1}{2}\rho gh_0，设药瓶内的横截面积为S，则开始时A内气体的体积V_1=dS，通入气体后，A内气体的体积V_2=[d+(h_0-h)]S=\left(d+\frac{h_0}{2}\right)S，由于气体等温变化，设通入压强为p_0的气体的体积为\Delta V，则有p_1V_1+p_0\Delta V=p_2V_2，设通入A内的气体在等温条件下压强为p_1时的体积为V'_2，则有p_0\Delta V=p_1V'_2，由公式m=\rho V可知，通过通气管进入瓶内气体的质量与开始时A瓶内气体质量的比值为k=\frac{V'_2}{V_1}，联立解得k=\frac{(2p_0+2\rho gd-\rho gh_0)h_0}{4(p_0-\rho gh_0)d}。$

Final answer: $\frac{(2p_0+2\rho gd-\rho gh_0)h_0}{4(p_0-\rho gh_0)d}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小钢球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向运动。已知小球经过平衡位置的速度大小为v，小球下降的最大距离为h，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度为g。$

![23BHUN5WL304.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894373572218883/img/compression/M_7e0712cb2f11ab929cf48508f36c0066.jpg)
$求小球在平衡位置时弹簧中的弹性势能E_p；$

Solution:
$因为小球做简谐运动，所以小球的振幅为 \frac{h}{2}，研究小球从释放到平衡位置的运动过程，由能量守恒定律得 mg\frac{h}{2}=\frac{1}{2}mv^2+E_p，解得 E_p=\frac{m(gh-v^2)}{2}。$

Final answer: $E_p=\frac{m(gh-v^2)}{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小钢球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向运动。已知小球经过平衡位置的速度大小为v，小球下降的最大距离为h，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度为g。$

<img_738>
$求小球在平衡位置时弹簧中的弹性势能E_p；$

Solution:
$因为小球做简谐运动，所以小球的振幅为 \frac{h}{2}，研究小球从释放到平衡位置的运动过程，由能量守恒定律得 mg\frac{h}{2}=\frac{1}{2}mv^2+E_p，解得 E_p=\frac{m(gh-v^2)}{2}。$

Final answer: $E_p=\frac{m(gh-v^2)}{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小钢球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向运动。已知小球经过平衡位置的速度大小为v，小球下降的最大距离为h，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度为g。$

![23BHUN5WL304.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894373572218883/img/compression/M_7e0712cb2f11ab929cf48508f36c0066.jpg)
若小球做简谐运动的周期为T，求小球连续两次经过平衡位置过程中，弹力冲量的大小。

Solution:
取向上为正方向，研究小球连续两次经过平衡位置的过程：

$①当小球以向下的速度先经过平衡位置时，根据动量定理有I-mg\cdot \frac{T}{2}=mv-m(-v)，解得I=mg\frac{T}{2}+2mv。$

$②当小球以向上的速度先经过平衡位置时，根据动量定理有I-mg\cdot \frac{T}{2}=m(-v)-mv，解得I=mg\frac{T}{2}-2mv，冲量大小为I'=2mv-mg\frac{T}{2}。$

Final answer: $I'=2mv-mg\frac{T}{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小钢球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向运动。已知小球经过平衡位置的速度大小为v，小球下降的最大距离为h，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度为g。$

<img_738>
若小球做简谐运动的周期为T，求小球连续两次经过平衡位置过程中，弹力冲量的大小。

Solution:
取向上为正方向，研究小球连续两次经过平衡位置的过程：

$①当小球以向下的速度先经过平衡位置时，根据动量定理有I-mg\cdot \frac{T}{2}=mv-m(-v)，解得I=mg\frac{T}{2}+2mv。$

$②当小球以向上的速度先经过平衡位置时，根据动量定理有I-mg\cdot \frac{T}{2}=m(-v)-mv，解得I=mg\frac{T}{2}-2mv，冲量大小为I'=2mv-mg\frac{T}{2}。$

Final answer: $I'=2mv-mg\frac{T}{2}$
Subfield: Optics


Question: $大部分高层建筑都会采用玻璃幕墙，玻璃幕墙美观大方，也提高了建筑内的采光率。玻璃幕墙一般都是用中空玻璃，如图甲所示。某一玻璃幕墙其剖面及尺寸示意图如图乙所示，双层中空玻璃由两层玻璃加密封框架，形成一个夹层空间，隔层充入干燥空气，每单层玻璃厚度d=12 mm，夹层宽度l=18 mm，一光束以入射角i=53^\circ 从室外经双层中空玻璃射入室内(光束与玻璃剖面在同一平面上)，光线通过玻璃后入射光线与出射光线会有一个偏移量(两光线间距离)，玻璃折射率n=\frac{4}{3}，光在空气中的速度近似为c=3.0\times 10^8 m/s， \sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6，求(结果保留两位有效数字)：$

<img_1154>

<img_1321>
$这束光通过中空玻璃从室外到室内的时间t。$

Solution:
$因为n=\frac{c}{v}，BC=\frac{l}{\cos  i}，t=\frac{2AB}{v}+\frac{BC}{c}，解得t\approx 2.3\times 10^-10 s。$

Final answer: $t=\frac{2AB}{v}+\frac{BC}{c}$
Subfield: Optics


Question: $大部分高层建筑都会采用玻璃幕墙，玻璃幕墙美观大方，也提高了建筑内的采光率。玻璃幕墙一般都是用中空玻璃，如图甲所示。某一玻璃幕墙其剖面及尺寸示意图如图乙所示，双层中空玻璃由两层玻璃加密封框架，形成一个夹层空间，隔层充入干燥空气，每单层玻璃厚度d=12 mm，夹层宽度l=18 mm，一光束以入射角i=53^\circ 从室外经双层中空玻璃射入室内(光束与玻璃剖面在同一平面上)，光线通过玻璃后入射光线与出射光线会有一个偏移量(两光线间距离)，玻璃折射率n=\frac{4}{3}，光在空气中的速度近似为c=3.0\times 10^8 m/s， \sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6，求(结果保留两位有效数字)：$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894416545615875/img/compression/M_2b20c52f4dd3973b12477ad128da2956.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894416545615875/img/compression/M_32dc3ad5ef039e7eb73d0e0ee342f88e.jpg)
$这束光通过中空玻璃从室外到室内的时间t。$

Solution:
$因为n=\frac{c}{v}，BC=\frac{l}{\cos  i}，t=\frac{2AB}{v}+\frac{BC}{c}，解得t\approx 2.3\times 10^-10 s。$

Final answer: $t=\frac{2AB}{v}+\frac{BC}{c}$
Subfield: Mechanics


Question: 无人机在距离水平地面高度h处，以速度$v_0$水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
$求包裹释放点到落地点的水平距离x；$

Solution:
包裹被释放后做平抛运动，在水平方向有：
$x=v_0t$
$在竖直方向有：h=\frac{1}{2}gt^2$
$解得：x=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Final answer: $v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: 无人机在距离水平地面高度h处，以速度$v_0$水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
$求包裹落地时的速度大小v；$

Solution:
包裹被释放后做平抛运动，在竖直方向有：
$v^2_y=2gh$

$则包裹落地的速度大小：v=\sqrt{v^2_y+v^2_0}$

$解得：v=\sqrt{2gh+v^2_0}$

Final answer: $\sqrt{2gh+v^2_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $在竖直平面内的轨道由三段轨道平滑连接而成，第一段为粗糙直轨道AB，第二段为内壁光滑、外壁粗糙的圆轨道BCD，半径R=0.2 m，与直轨道相切于B点，第三段为水平直轨道C'E，呈粗糙段、光滑段交替排列，每段都为L=0.25 m，粗糙段的动摩擦因数为\mu 2= \frac{1}{3} ，直轨道C'E与圆轨道相切于C'点，C'点与C略错开，如图所示。OG为圆轨道的水平半径，小球中间有孔，孔径略大于轨道的直径，现将小球穿在轨道上，在直轨道上距离B点x处由静止开始释放。当x=0.4 m时，小球只能滑到G点，已知直轨道AB与水平面成37^\circ 角，小球可视为质点，已知 \sin 37^\circ =0.6， \cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

![24BGD5WL100.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006134530051/img/compression/M_07ea44cb555b1b518031f8aa875c1a02.jpg)
$从第(2)问中的最小x处静止释放小球，求在水平直轨道上距离C'为d处小球速度v与d的关系。$

Solution:
$设从D点到停止的过程中小球在粗糙段运动的距离为kL，根据动能定理mg\cdot 2R-k\mu _2 mgL = 0-\frac{1}{2}mv^2ₐ解得k = 6$
故最终停在第6个粗糙段上，

当$(2k-2)L< d<(2k-1)L$时($k\leq 6$，且为正整数)，小球在粗糙段，由动能定理得
$mg\cdot 2R-\mu _2 mg\cdot [d-(k-1)L] = \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv^2ₐ$
$解得v = \sqrt{10-\frac{20}{3}[d-0.25(k-1)]} m/s$
当$(2k-1)L< d< 2kL$时($k\leq 5$，且为正整数)，小球在光滑段，由动能定理得

$mg\cdot 2R-\mu _2 mg\cdot kL = \frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv^2ₐ$
$解得v = \sqrt{10-\frac{5}{3}k} m/s$

Final answer: 当$(2k-2)L< d<(2k-1)L$时，$解得v = \sqrt{10-\frac{20}{3}[d-0.25(k-1)]} m/s$, , 当$(2k-1)L< d< 2kL$时，$解得v = \sqrt{10-\frac{5}{3}k} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $室内蹦床运动是近年来热门的娱乐项目。蹦床运动情境可抽象为如图所示的物理模型：竖直放置的两个完全相同的轻弹簧，一端固定于地面，另一端与质量为m_B的物体B固定在一起，质量为m_A的物体A置于B中央位置的正上方H处。现让A由静止开始自由下落，随后和B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后两物体粘在一起。已知A与B结合后经过时间t下降至最低点，A、B始终在同一竖直平面内运动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

![物理模型](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377043891908610/img/compression/M_3fa036cc11c1d823de7eab93007389fc.jpg)
A与B碰后瞬间的速度大小v；

Solution:
设碰前瞬间的A速度大小为v_0，碰后瞬间的A速度大小为v，根据动能定理有
$m_agH＝\frac{1}{2}m_av^2_0$
$v_0＝\sqrt{2gH}$
根据动量守恒定律有$m_av_0＝(m_a＋m_\beta)v$
$解得v＝\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$

Final answer: $\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$
Subfield: Mechanics


Question: $室内蹦床运动是近年来热门的娱乐项目。蹦床运动情境可抽象为如图所示的物理模型：竖直放置的两个完全相同的轻弹簧，一端固定于地面，另一端与质量为m_B的物体B固定在一起，质量为m_A的物体A置于B中央位置的正上方H处。现让A由静止开始自由下落，随后和B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后两物体粘在一起。已知A与B结合后经过时间t下降至最低点，A、B始终在同一竖直平面内运动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

<img_1370>
A与B碰后瞬间的速度大小v；

Solution:
设碰前瞬间的A速度大小为v_0，碰后瞬间的A速度大小为v，根据动能定理有
$m_agH＝\frac{1}{2}m_av^2_0$
$v_0＝\sqrt{2gH}$
根据动量守恒定律有$m_av_0＝(m_a＋m_\beta)v$
$解得v＝\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$

Final answer: $\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$
Subfield: Mechanics


Question: $室内蹦床运动是近年来热门的娱乐项目。蹦床运动情境可抽象为如图所示的物理模型：竖直放置的两个完全相同的轻弹簧，一端固定于地面，另一端与质量为m_B的物体B固定在一起，质量为m_A的物体A置于B中央位置的正上方H处。现让A由静止开始自由下落，随后和B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后两物体粘在一起。已知A与B结合后经过时间t下降至最低点，A、B始终在同一竖直平面内运动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

<img_1370>
A、B结合体从结合后至返回到碰撞点过程的运动时间以及该过程中弹簧对物体B冲量的大小。

Solution:
从碰后至返回到碰撞点的过程中，A、B结合体做简谐运动。根据简谐运动的对称性，可得运动时间
$t_{总} ＝2t$
$回到碰撞点时速度大小为 v_{t} ＝v ＝\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$
方向竖直向上。
取向上为正方向，由动量定理有
$I-(m_{A}＋m_{B})g\cdot 2t =(m_{A}＋m_{B})v_{t}-[-(m_{A}＋m_{B})v]$
$解得 I＝2(m_{A}＋m_{B})gt＋2m_{A} \sqrt{2gH}$

Final answer: $I＝2(m_{A}＋m_{B})gt＋2m_{A} \sqrt{2gH}$
Subfield: Mechanics


Question: $室内蹦床运动是近年来热门的娱乐项目。蹦床运动情境可抽象为如图所示的物理模型：竖直放置的两个完全相同的轻弹簧，一端固定于地面，另一端与质量为m_B的物体B固定在一起，质量为m_A的物体A置于B中央位置的正上方H处。现让A由静止开始自由下落，随后和B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后两物体粘在一起。已知A与B结合后经过时间t下降至最低点，A、B始终在同一竖直平面内运动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

![物理模型](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377043891908610/img/compression/M_3fa036cc11c1d823de7eab93007389fc.jpg)
A、B结合体从结合后至返回到碰撞点过程的运动时间以及该过程中弹簧对物体B冲量的大小。

Solution:
从碰后至返回到碰撞点的过程中，A、B结合体做简谐运动。根据简谐运动的对称性，可得运动时间
$t_{总} ＝2t$
$回到碰撞点时速度大小为 v_{t} ＝v ＝\frac{m_A\sqrt{2gH}}{m_A+m_B}$
方向竖直向上。
取向上为正方向，由动量定理有
$I-(m_{A}＋m_{B})g\cdot 2t =(m_{A}＋m_{B})v_{t}-[-(m_{A}＋m_{B})v]$
$解得 I＝2(m_{A}＋m_{B})gt＋2m_{A} \sqrt{2gH}$

Final answer: $I＝2(m_{A}＋m_{B})gt＋2m_{A} \sqrt{2gH}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，等边三角形\triangle ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求

<img_747>
C点处点电荷的电荷量。

Solution:
$设C点处点电荷的电荷量为q_C，AB=2d，AN= \sqrt{3} d，根据几何关系可知 \frac{E_{AN}}{E_{BC}} =\tan 30^\circ ，E_BC=E_BN-E_CN，则有 \frac{kq}{(\sqrt{3}d)^2} = \left(\frac{kq}{d^2}-\frac{kq_C}{d^2}\right) \tan 30^\circ ，解得 q_C= \frac{3-\sqrt{3}}{3} q。$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{3} q$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，等边三角形\triangle ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377061162676226/img/compression/M_80b9b6555f688da0d1e428112a2849ad.jpg)
C点处点电荷的电荷量。

Solution:
$设C点处点电荷的电荷量为q_C，AB=2d，AN= \sqrt{3} d，根据几何关系可知 \frac{E_{AN}}{E_{BC}} =\tan 30^\circ ，E_BC=E_BN-E_CN，则有 \frac{kq}{(\sqrt{3}d)^2} = \left(\frac{kq}{d^2}-\frac{kq_C}{d^2}\right) \tan 30^\circ ，解得 q_C= \frac{3-\sqrt{3}}{3} q。$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{3} q$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图是微波信号放大器的结构简图，其工作原理简化如下:均匀电子束以一定的初速度进入Ⅰ区(输入腔)被ab间交变电压(微波信号)加速或减速，当$U_{ab} = U_{0}$时，电子被减速到速度为$v_{1}，当U_{ab} = - U_{0}$时，电子被加速到速度为$ v_{2}$，接着电子进入Ⅱ区(漂移管)做匀速直线运动。某时刻速度为 $v_{1}$的电子进入Ⅱ区，t时间(小于交变电压的周期)后速度为 $v_{2}$的电子进入Ⅱ区，恰好在漂移管末端追上速度为$v_{1}$的电子，形成电子“群聚块”，接着“群聚块”进入Ⅲ区(输出腔)，达到信号放大的作用。忽略电子间的相互作用。求：
<img_1158>
$电子进入Ⅰ区的初速度大小v_0和电子的比荷\frac{e}{m}；$

Solution:
在Ⅰ区，由动能定理得

$- eU_0 = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$eU_0 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$联立解得 v_0 = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}}，$

$\frac{e}{m} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{4U_0}$

Final answer: $\sqrt{\frac{v^2_1+v^2_2}{2}}　\frac{v^2_2-v^2_1}{4U_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图是微波信号放大器的结构简图，其工作原理简化如下:均匀电子束以一定的初速度进入Ⅰ区(输入腔)被ab间交变电压(微波信号)加速或减速，当$U_{ab} = U_{0}$时，电子被减速到速度为$v_{1}，当U_{ab} = - U_{0}$时，电子被加速到速度为$ v_{2}$，接着电子进入Ⅱ区(漂移管)做匀速直线运动。某时刻速度为 $v_{1}$的电子进入Ⅱ区，t时间(小于交变电压的周期)后速度为 $v_{2}$的电子进入Ⅱ区，恰好在漂移管末端追上速度为$v_{1}$的电子，形成电子“群聚块”，接着“群聚块”进入Ⅲ区(输出腔)，达到信号放大的作用。忽略电子间的相互作用。求：
![替代文字](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377083362115590/img/compression/M_e27c2faaf42633be9fa650de953ea330.jpg)
$电子进入Ⅰ区的初速度大小v_0和电子的比荷\frac{e}{m}；$

Solution:
在Ⅰ区，由动能定理得

$- eU_0 = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$eU_0 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$

$联立解得 v_0 = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}}，$

$\frac{e}{m} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{4U_0}$

Final answer: $\sqrt{\frac{v^2_1+v^2_2}{2}}　\frac{v^2_2-v^2_1}{4U_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图是微波信号放大器的结构简图，其工作原理简化如下:均匀电子束以一定的初速度进入Ⅰ区(输入腔)被ab间交变电压(微波信号)加速或减速，当$U_{ab} = U_{0}$时，电子被减速到速度为$v_{1}，当U_{ab} = - U_{0}$时，电子被加速到速度为$ v_{2}$，接着电子进入Ⅱ区(漂移管)做匀速直线运动。某时刻速度为 $v_{1}$的电子进入Ⅱ区，t时间(小于交变电压的周期)后速度为 $v_{2}$的电子进入Ⅱ区，恰好在漂移管末端追上速度为$v_{1}$的电子，形成电子“群聚块”，接着“群聚块”进入Ⅲ区(输出腔)，达到信号放大的作用。忽略电子间的相互作用。求：
![替代文字](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377083362115590/img/compression/M_e27c2faaf42633be9fa650de953ea330.jpg)
漂移管的长度L。

Solution:
$速度为v_1的电子和速度为v_2的电子进入Ⅱ区(漂移管)时间相差t，两者在漂移管末端刚好相遇，设速度为v_2的电子在Ⅱ区(漂移管)中运动的时间为t'，则$

$v_1(t+t')=L$

$v_2t'=L$

$联立解得L=\frac{v_1v_2}{v_2-v_1} t$

Final answer: $\frac{v_1v_2}{v_2-v_1} t$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图是微波信号放大器的结构简图，其工作原理简化如下:均匀电子束以一定的初速度进入Ⅰ区(输入腔)被ab间交变电压(微波信号)加速或减速，当$U_{ab} = U_{0}$时，电子被减速到速度为$v_{1}，当U_{ab} = - U_{0}$时，电子被加速到速度为$ v_{2}$，接着电子进入Ⅱ区(漂移管)做匀速直线运动。某时刻速度为 $v_{1}$的电子进入Ⅱ区，t时间(小于交变电压的周期)后速度为 $v_{2}$的电子进入Ⅱ区，恰好在漂移管末端追上速度为$v_{1}$的电子，形成电子“群聚块”，接着“群聚块”进入Ⅲ区(输出腔)，达到信号放大的作用。忽略电子间的相互作用。求：
<img_1158>
漂移管的长度L。

Solution:
$速度为v_1的电子和速度为v_2的电子进入Ⅱ区(漂移管)时间相差t，两者在漂移管末端刚好相遇，设速度为v_2的电子在Ⅱ区(漂移管)中运动的时间为t'，则$

$v_1(t+t')=L$

$v_2t'=L$

$联立解得L=\frac{v_1v_2}{v_2-v_1} t$

Final answer: $\frac{v_1v_2}{v_2-v_1} t$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为$\phi$ $(\phi >0$)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度$v_0$平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。

<img_1458>
求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；

Solution:
由题意得，P、G间与Q、G间场强大小相等，均为E。粒子在P、G间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有

$E = \frac{2\varphi }{d}  $
①

$F = qE = ma  $
②

$设粒子第一次到达G时动能为E_k，由动能定理有$

$qEh = E_k - \frac{1}{2} mv^2_0  $
③

设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向上的位移大小为l，则有

$h = \frac{1}{2}at^2  $
④

$l = v_0 t  $
⑤

联立①②③④⑤式解得

$E_k = \frac{1}{2} mv^2_0 + \frac{2\varphi }{d} qh  $
⑥

$l = v_0 \sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}  $
⑦

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0 + \frac{2\varphi}{d}qh v_0 \sqrt{\frac{mdh}{q\varphi}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为$\phi$ $(\phi >0$)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度$v_0$平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377072945852418/img/compression/M_bf553ac63524973952aef642381b00ed.jpg)
求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；

Solution:
由题意得，P、G间与Q、G间场强大小相等，均为E。粒子在P、G间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有

$E = \frac{2\varphi }{d}  $
①

$F = qE = ma  $
②

$设粒子第一次到达G时动能为E_k，由动能定理有$

$qEh = E_k - \frac{1}{2} mv^2_0  $
③

设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向上的位移大小为l，则有

$h = \frac{1}{2}at^2  $
④

$l = v_0 t  $
⑤

联立①②③④⑤式解得

$E_k = \frac{1}{2} mv^2_0 + \frac{2\varphi }{d} qh  $
⑥

$l = v_0 \sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}  $
⑦

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0 + \frac{2\varphi}{d}qh v_0 \sqrt{\frac{mdh}{q\varphi}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为$\phi$ $(\phi >0$)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度$v_0$平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377072945852418/img/compression/M_bf553ac63524973952aef642381b00ed.jpg)
若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？

Solution:
若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L为
$L=2l=2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$

⑧

Final answer: $2v_{0}\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为$\phi$ $(\phi >0$)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度$v_0$平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。

<img_1458>
若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？

Solution:
若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L为
$L=2l=2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$

⑧

Final answer: $2v_{0}\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其模型图如图(a)所示。其原理图如图(b)所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直纸面的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的离子被加速后，进入辐射电场，恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场区域，垂直边界从P点进入1/4圆形磁场区域，PO_1=d，之后垂直磁场下边界射出并从K点进入检测器，检测器可在O_1M和O_2N之间左右移动且与磁场下边界距离恒等于0.5d。已知圆弧轨迹处的电场强度为E。$

<img_912>

图(a)

<img_513>

图(b)
求磁场区域磁感应强度B的大小；

Solution:
$设离子的速度为v_0，离子在电场和磁场中分别做匀速圆周运动，在电场中，电场力提供向心力$
$qE=\frac{mv^2_0}{R}$
$在磁场中，洛伦兹力提供向心力qv_0B=\frac{mv^2_0}{d}$
$解得磁场区域磁感应强度为B=\frac{1}{d}\sqrt{\frac{mER}{q}}$

Final answer: $\frac{1}{d}\sqrt{\frac{mER}{q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其模型图如图(a)所示。其原理图如图(b)所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直纸面的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的离子被加速后，进入辐射电场，恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场区域，垂直边界从P点进入1/4圆形磁场区域，PO_1=d，之后垂直磁场下边界射出并从K点进入检测器，检测器可在O_1M和O_2N之间左右移动且与磁场下边界距离恒等于0.5d。已知圆弧轨迹处的电场强度为E。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377147541549059/img/compression/M_e235f79d87ceba3500411e25a8e97e01.jpg)

图(a)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377147541549059/img/compression/M_fcc5cba792d32e11961f44868a774712.jpg)

图(b)
求磁场区域磁感应强度B的大小；

Solution:
$设离子的速度为v_0，离子在电场和磁场中分别做匀速圆周运动，在电场中，电场力提供向心力$
$qE=\frac{mv^2_0}{R}$
$在磁场中，洛伦兹力提供向心力qv_0B=\frac{mv^2_0}{d}$
$解得磁场区域磁感应强度为B=\frac{1}{d}\sqrt{\frac{mER}{q}}$

Final answer: $\frac{1}{d}\sqrt{\frac{mER}{q}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上,一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端,其上端自然状态下位于O点处,将一质量为m、直径略小于直圆筒内径的小球A缓慢地放在弹簧上端,其静止时弹簧的压缩量为x_0。现将一与小球A完全相同的小球B从距小球A某一高度的Ρ处由静止释放,小球B与小球A碰撞后立即粘在一起向下运动,它们到达最低点后又向上运动,并恰能回到O点。已知两小球均可视为质点,弹簧的弹性势能为0.5kx^2,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,已知重力加速度为g。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272052216786946/img/compression/M_67111fc90464f48cef7c86330799147d.jpg)
$弹簧的劲度系数k;$

Solution:
$小球A静止时，其所受重力与弹簧弹力平衡，由平衡条件知 mg = kx_0，得 k = \frac{mg}{x_0}。$

Final answer: $\frac{mg}{x_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上,一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端,其上端自然状态下位于O点处,将一质量为m、直径略小于直圆筒内径的小球A缓慢地放在弹簧上端,其静止时弹簧的压缩量为x_0。现将一与小球A完全相同的小球B从距小球A某一高度的Ρ处由静止释放,小球B与小球A碰撞后立即粘在一起向下运动,它们到达最低点后又向上运动,并恰能回到O点。已知两小球均可视为质点,弹簧的弹性势能为0.5kx^2,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,已知重力加速度为g。求:$

<img_1292>
$弹簧的劲度系数k;$

Solution:
$小球A静止时，其所受重力与弹簧弹力平衡，由平衡条件知 mg = kx_0，得 k = \frac{mg}{x_0}。$

Final answer: $\frac{mg}{x_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上,一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端,其上端自然状态下位于O点处,将一质量为m、直径略小于直圆筒内径的小球A缓慢地放在弹簧上端,其静止时弹簧的压缩量为x_0。现将一与小球A完全相同的小球B从距小球A某一高度的Ρ处由静止释放,小球B与小球A碰撞后立即粘在一起向下运动,它们到达最低点后又向上运动,并恰能回到O点。已知两小球均可视为质点,弹簧的弹性势能为0.5kx^2,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,已知重力加速度为g。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272052216786946/img/compression/M_67111fc90464f48cef7c86330799147d.jpg)
小球B释放时的高度h;

Solution:
设B与A碰撞前瞬间的速度为v_0，由动能定理有
$\frac{1}{2} mv^2_0 = mgh$
A、B发生碰撞，由于碰撞时间极短，满足动量守恒的条件，有 $mv_0=2mv$
碰后，对A、B小球和弹簧组成的系统仅有弹簧弹力和重力做功，满足机械能守恒的条件，从A、B粘在一起至两者运动到O点过程中有
$\frac{1}{2} \cdot 2mv^2 + \frac{1}{2} kx^2_0 = 2mgx_0$
解得 $h = 3x_0$ 。

Final answer: $3x_{0}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上,一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端,其上端自然状态下位于O点处,将一质量为m、直径略小于直圆筒内径的小球A缓慢地放在弹簧上端,其静止时弹簧的压缩量为x_0。现将一与小球A完全相同的小球B从距小球A某一高度的Ρ处由静止释放,小球B与小球A碰撞后立即粘在一起向下运动,它们到达最低点后又向上运动,并恰能回到O点。已知两小球均可视为质点,弹簧的弹性势能为0.5kx^2,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,已知重力加速度为g。求:$

<img_1292>
小球B释放时的高度h;

Solution:
设B与A碰撞前瞬间的速度为v_0，由动能定理有
$\frac{1}{2} mv^2_0 = mgh$
A、B发生碰撞，由于碰撞时间极短，满足动量守恒的条件，有 $mv_0=2mv$
碰后，对A、B小球和弹簧组成的系统仅有弹簧弹力和重力做功，满足机械能守恒的条件，从A、B粘在一起至两者运动到O点过程中有
$\frac{1}{2} \cdot 2mv^2 + \frac{1}{2} kx^2_0 = 2mgx_0$
解得 $h = 3x_0$ 。

Final answer: $3x_{0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑的轨道ABCD竖直放置,其圆形轨道部分半径为R,轨道左侧A处放有弹射装置,被弹出的滑块可平滑进入轨道,轨道右端出口D恰好水平,且与圆心O等高,出口D的右侧接水平直轨道,轨道上光滑段、粗糙段交替排列,每段长度均为L。在第一个光滑段与粗糙段的结合处E位置放一质量为m的滑块乙,质量也为m的滑块甲通过弹射装置获得初动能。两滑块与各粗糙段间的动摩擦因数均为\mu ,弹簧的弹性势能与压缩量的平方成正比,当弹射器中的弹簧压缩量为d 时,滑块甲恰好到达圆轨道内侧与圆心O等高处的C点,逐渐增大弹簧的压缩量，滑块甲与滑块乙会在E处发生碰撞(碰撞时间极短),碰后粘在一起运动,空气阻力忽略不计,重力加速度为g。

![物理题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272052602662915/img/compression/M_a34450058901643f69bfde9e62072cdf.jpg)
若弹射器中的弹簧压缩量为kd,求两滑块一起滑行的距离s与k的关系式。

Solution:
$当压缩量为kd时，弹簧的弹性势能$

$E_{pk}=\lambda(kd)^2=k^2mgR$

$若要两滑块发生碰撞，甲必须能够通过圆轨道最高点，恰能通过最高点时满足mg=m\frac{v^2}{R}$

$从A点被弹出到最高点由能量守恒有$

$E_{pk}=\frac{1}{2}mv^2+mg\cdot 2R$

$解得k=\frac{\sqrt{10}}{2}$

$因此当0＜k＜\frac{\sqrt{10}}{2}时，滑块甲无法通过最高点，两滑块不会发生碰撞，s=0；$

$当k\geq \frac{\sqrt{10}}{2}时，甲可以通过圆轨道到达右端D点，由能量守恒有E_{pk}=mgR+\frac{1}{2}mv^2_{Dk}$

$两滑块碰撞，由动量守恒得mv_{Dk}=2mv_{Dk}'$

$设两滑块在粗糙段滑行的总路程为x，由能量守恒有$

$\frac{1}{2}\cdot 2mv'^2_{Dk}=\mu\cdot 2mgx，解得x=\frac{k^2-1}{4\mu }R$

$设两滑块共滑过n个粗糙段，令n=\frac{x}{L}，讨论：$

$若n为整数，则两滑块碰撞后滑过的光滑段数量为(n-1)，那么距离s=2x-L=\frac{k^2-1}{2\mu }R-L$

$若n不为整数，则设其整数部分为N，两滑块碰后滑过的光滑段数量为NL，此时距离$

$s=x+NL=\frac{k^2-1}{4\mu }R+NL$

Final answer: $s=x+NL=\frac{k^2-1}{4\mu }R+NL$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑的轨道ABCD竖直放置,其圆形轨道部分半径为R,轨道左侧A处放有弹射装置,被弹出的滑块可平滑进入轨道,轨道右端出口D恰好水平,且与圆心O等高,出口D的右侧接水平直轨道,轨道上光滑段、粗糙段交替排列,每段长度均为L。在第一个光滑段与粗糙段的结合处E位置放一质量为m的滑块乙,质量也为m的滑块甲通过弹射装置获得初动能。两滑块与各粗糙段间的动摩擦因数均为\mu ,弹簧的弹性势能与压缩量的平方成正比,当弹射器中的弹簧压缩量为d 时,滑块甲恰好到达圆轨道内侧与圆心O等高处的C点,逐渐增大弹簧的压缩量，滑块甲与滑块乙会在E处发生碰撞(碰撞时间极短),碰后粘在一起运动,空气阻力忽略不计,重力加速度为g。

<img_1358>
若弹射器中的弹簧压缩量为kd,求两滑块一起滑行的距离s与k的关系式。

Solution:
$当压缩量为kd时，弹簧的弹性势能$

$E_{pk}=\lambda(kd)^2=k^2mgR$

$若要两滑块发生碰撞，甲必须能够通过圆轨道最高点，恰能通过最高点时满足mg=m\frac{v^2}{R}$

$从A点被弹出到最高点由能量守恒有$

$E_{pk}=\frac{1}{2}mv^2+mg\cdot 2R$

$解得k=\frac{\sqrt{10}}{2}$

$因此当0＜k＜\frac{\sqrt{10}}{2}时，滑块甲无法通过最高点，两滑块不会发生碰撞，s=0；$

$当k\geq \frac{\sqrt{10}}{2}时，甲可以通过圆轨道到达右端D点，由能量守恒有E_{pk}=mgR+\frac{1}{2}mv^2_{Dk}$

$两滑块碰撞，由动量守恒得mv_{Dk}=2mv_{Dk}'$

$设两滑块在粗糙段滑行的总路程为x，由能量守恒有$

$\frac{1}{2}\cdot 2mv'^2_{Dk}=\mu\cdot 2mgx，解得x=\frac{k^2-1}{4\mu }R$

$设两滑块共滑过n个粗糙段，令n=\frac{x}{L}，讨论：$

$若n为整数，则两滑块碰撞后滑过的光滑段数量为(n-1)，那么距离s=2x-L=\frac{k^2-1}{2\mu }R-L$

$若n不为整数，则设其整数部分为N，两滑块碰后滑过的光滑段数量为NL，此时距离$

$s=x+NL=\frac{k^2-1}{4\mu }R+NL$

Final answer: $s=x+NL=\frac{k^2-1}{4\mu }R+NL$