di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中,PA\perp 平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=\sqrt{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061034287105/img/compression/M_07de336452ec87a3337bf6049a4f43b0.jpg)
$(2)求二面角A-PC-B的大小.$

Solution:
$以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061290139649/img/compression/M_b05789b52e592d0c88a7c825812c136a.jpg)$则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以\overrightarrow{AP}=(0，0，1)，\overrightarrow{AC}=(1,-1,0),\overrightarrow{PC}=(1,-1,-1),\overrightarrow{BC}=(1，0，0)，设平面PAC的法向量为m=(x_{1},y_{1},z_{1}),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AP}=z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=x_1-y_1=0,\end{matrix}\right.令y_{1}=1,则m=(1,1,0),设平面PBC的法向量为n=(x_{2},y_{2},z_{2}),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=x_2-y_2-z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BC}=x_2=0,\end{matrix}\right.令z_{2}=-1,则n=(0,1,-1),所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2},又因为二面角A-PC-B为锐二面角，所以二面角A-PC-B的大小为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，AD\perp CD，AD\parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$<img_3107>
$(1)求证：CD\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，又因为AD\perp CD，且AD\cap PA=A，所以CD\perp 平面PAD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，AD\perp CD，AD\parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061596323843/img/compression/M_0522d0e632ccd528c7d3c89dc35fccff.jpg)
$(1)求证：CD\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，又因为AD\perp CD，且AD\cap PA=A，所以CD\perp 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，AD\perp CD，AD\parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$<img_3107>
$(2)求二面角F-AE-P的余弦值；$

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).$<img_2181>$因为E为PD的中点，所以E(0，1，1).所以\overrightarrow{AE}=(0，1，1).又\overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，所以\overrightarrow{PF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0.\end{matrix}\right.令z=1，则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0),所以\\cos  \langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.由题知，二面角F-AE-P为锐二面角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，AD\perp CD，AD\parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061596323843/img/compression/M_0522d0e632ccd528c7d3c89dc35fccff.jpg)
$(2)求二面角F-AE-P的余弦值；$

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268062003171329/img/compression/M_b8bc816d9fc90e37133f93e29c655fce.jpg)$因为E为PD的中点，所以E(0，1，1).所以\overrightarrow{AE}=(0，1，1).又\overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，所以\overrightarrow{PF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0.\end{matrix}\right.令z=1，则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0),所以\\cos  \langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.由题知，二面角F-AE-P为锐二面角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$<img_1527>
$(1)求证：M为PB的中点；$

Solution:
$证明：设AC，BD交点为E，连接ME.$<img_2869>$因为PD\parallel 平面MAC，平面MAC\cap 平面PDB=ME，所以PD\parallel ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
$(1)求证：M为PB的中点；$

Solution:
$证明：设AC，BD交点为E，连接ME.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268068550479874/img/compression/M_d135af96180e59728e49da155e1a9568.jpg)$因为PD\parallel 平面MAC，平面MAC\cap 平面PDB=ME，所以PD\parallel ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
$(2)求二面角B-PD-A的大小；$

Solution:
$取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA=PD，所以OP\perp AD.又因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD,OP\subset 平面PAD，所以OP\perp 平面ABCD.因为OE\subset 平面ABCD，所以OP\perp OE.因为四边形ABCD是正方形，所以OE\perp AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，\sqrt{2})，D(2，0，0)，B(-2，4，0)，则\overrightarrow{BD}=(4，-4，0)，\overrightarrow{PD}=(2，0，-\sqrt{2}).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070496636931/img/compression/M_30dd0476071e7c3165432afd7c1a4754.jpg)$设平面BDP的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{D}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot P\overrightarrow{D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4x-4y=0,\\ 2x-\sqrt{2}z=0.\end{matrix}\right.令x=1，则y=1,z=\sqrt{2}.于是n=(1,1,\sqrt{2}).平面PAD的一个法向量为p=(0,1,0).所以\\cos  \langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=\frac{1}{2}.由题意知二面角B-PD-A为锐二面角，所以它的大小为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$<img_1527>
$(2)求二面角B-PD-A的大小；$

Solution:
$取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA=PD，所以OP\perp AD.又因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD,OP\subset 平面PAD，所以OP\perp 平面ABCD.因为OE\subset 平面ABCD，所以OP\perp OE.因为四边形ABCD是正方形，所以OE\perp AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，\sqrt{2})，D(2，0，0)，B(-2，4，0)，则\overrightarrow{BD}=(4，-4，0)，\overrightarrow{PD}=(2，0，-\sqrt{2}).$<img_2674>$设平面BDP的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{D}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot P\overrightarrow{D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4x-4y=0,\\ 2x-\sqrt{2}z=0.\end{matrix}\right.令x=1，则y=1,z=\sqrt{2}.于是n=(1,1,\sqrt{2}).平面PAD的一个法向量为p=(0,1,0).所以\\cos  \langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=\frac{1}{2}.由题意知二面角B-PD-A为锐二面角，所以它的大小为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
$(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意知M\left(-1,2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，C(2，4，0)，\overrightarrow{MC}=\left(3,2,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设直线MC与平面BDP所成角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{MC}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot M\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||M\overrightarrow{C}|}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{6}}{9}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA=PD=\sqrt{6}，AB=4.$<img_1527>
$(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意知M\left(-1,2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，C(2，4，0)，\overrightarrow{MC}=\left(3,2,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设直线MC与平面BDP所成角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{MC}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot M\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||M\overrightarrow{C}|}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{6}}{9}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
$(1)求证：AC\perp 平面BEF；$

Solution:
$证明：\because AB=BC，且E是AC的中点，\therefore AC\perp BE.\because 在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E，F分别是AC，A_{1}C_{1}的中点，\therefore EF\parallel CC_{1}.\because CC_{1}\perp 平面ABC，\therefore EF\perp 平面ABC，\because AC\subset 平面ABC，\therefore EF\perp AC，\because EF，BE\subset 平面BEF，EF\cap BE=E，\therefore AC\perp 平面BEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2557>
$(1)求证：AC\perp 平面BEF；$

Solution:
$证明：\because AB=BC，且E是AC的中点，\therefore AC\perp BE.\because 在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E，F分别是AC，A_{1}C_{1}的中点，\therefore EF\parallel CC_{1}.\because CC_{1}\perp 平面ABC，\therefore EF\perp 平面ABC，\because AC\subset 平面ABC，\therefore EF\perp AC，\because EF，BE\subset 平面BEF，EF\cap BE=E，\therefore AC\perp 平面BEF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
$(2)求二面角B-CD-C_{1}的余弦值；$

Solution:
$由(1)知，EF\perp AC，AC\perp BE，EF\perp EB，\therefore 以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268071297748994/img/compression/M_79dd81cd017a2a149f5b016414e0facb.jpg)$则有B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(1，0，1)，C_{1}(-1，0，2)，\therefore \overrightarrow{BC}=(-1，-2，0)，\overrightarrow{CD}=(2，0，1).设平面BCD的法向量为n=(x，y，z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x-2y=0,\\ 2x+z=0,\end{matrix}\right.可取n=(2，-1，-4).易知平面CDC_{1}的一个法向量为m=(0，1，0)，\therefore \\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{\sqrt{1}\times \sqrt{21}}=-\frac{\sqrt{21}}{21}，由图可知，二面角B-CD-C_{1}的平面角为钝角，\therefore 二面角B-CD-C_{1}的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2557>
$(2)求二面角B-CD-C_{1}的余弦值；$

Solution:
$由(1)知，EF\perp AC，AC\perp BE，EF\perp EB，\therefore 以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
$<img_2954>$则有B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(1，0，1)，C_{1}(-1，0，2)，\therefore \overrightarrow{BC}=(-1，-2，0)，\overrightarrow{CD}=(2，0，1).设平面BCD的法向量为n=(x，y，z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x-2y=0,\\ 2x+z=0,\end{matrix}\right.可取n=(2，-1，-4).易知平面CDC_{1}的一个法向量为m=(0，1，0)，\therefore \\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{\sqrt{1}\times \sqrt{21}}=-\frac{\sqrt{21}}{21}，由图可知，二面角B-CD-C_{1}的平面角为钝角，\therefore 二面角B-CD-C_{1}的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
$(3)证明：直线FG与平面BCD相交.$

Solution:
$证法一：\because F(0，0，2)，G(0，2，1)，\therefore \overrightarrow{FG}=(0，2，-1).由(2)知平面BCD的一个法向量为n=(2，-1，-4)，设直线FG与平面BCD的夹角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{FG}，n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{FG}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{FG}|\cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{|-2+4|}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}}\neq 0，\therefore \theta \neq 0，\therefore 直线FG与平面BCD相交.证法二：假设直线FG与平面BCD平行，设CD与EF的交点为M，连接BM，B_{1}F.\because FG\subset 平面BB_{1}FE，且平面BB_{1}FE\cap 平面BCD=BM，\therefore FG\parallel BM，\because BG\parallel FM，\therefore 四边形BMFG为平行四边形，\therefore FM=BG，易知FM\neq BG，\therefore 假设不成立，\therefore 直线FG与平面BCD相交.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA_{1}，AC，A_{1}C_{1}，BB_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2557>
$(3)证明：直线FG与平面BCD相交.$

Solution:
$证法一：\because F(0，0，2)，G(0，2，1)，\therefore \overrightarrow{FG}=(0，2，-1).由(2)知平面BCD的一个法向量为n=(2，-1，-4)，设直线FG与平面BCD的夹角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{FG}，n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{FG}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{FG}|\cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{|-2+4|}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}}\neq 0，\therefore \theta \neq 0，\therefore 直线FG与平面BCD相交.证法二：假设直线FG与平面BCD平行，设CD与EF的交点为M，连接BM，B_{1}F.\because FG\subset 平面BB_{1}FE，且平面BB_{1}FE\cap 平面BCD=BM，\therefore FG\parallel BM，\because BG\parallel FM，\therefore 四边形BMFG为平行四边形，\therefore FM=BG，易知FM\neq BG，\therefore 假设不成立，\therefore 直线FG与平面BCD相交.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$<img_2106>
$(1)求证：A_{1}N\parallel 平面C_{1}MA；$

Solution:
$证明：连接MN，因为N为线段AB的中点，M为线段BC的中点，所以MN是\triangle ABC的中位线，所以MN\parallel AC，且MN=\frac{1}{2}AC.在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，A_{1}C_{1}\parallel AC，又AC=2，A_{1}C_{1}=1，所以A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}AC，所以MN\parallel A_{1}C_{1}，且MN=A_{1}C_{1}，所以四边形A_{1}C_{1}MN是平行四边形，所以A_{1}N\parallel C_{1}M.又A_{1}N\not\subset 平面C_{1}MA，C_{1}M\subset 平面C_{1}MA，所以A_{1}N\parallel 平面C_{1}MA.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268074628026369/img/compression/M_d0d3f0b9eac0c6da2d33d5135562b272.jpg)
$(1)求证：A_{1}N\parallel 平面C_{1}MA；$

Solution:
$证明：连接MN，因为N为线段AB的中点，M为线段BC的中点，所以MN是\triangle ABC的中位线，所以MN\parallel AC，且MN=\frac{1}{2}AC.在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，A_{1}C_{1}\parallel AC，又AC=2，A_{1}C_{1}=1，所以A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}AC，所以MN\parallel A_{1}C_{1}，且MN=A_{1}C_{1}，所以四边形A_{1}C_{1}MN是平行四边形，所以A_{1}N\parallel C_{1}M.又A_{1}N\not\subset 平面C_{1}MA，C_{1}M\subset 平面C_{1}MA，所以A_{1}N\parallel 平面C_{1}MA.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268074628026369/img/compression/M_d0d3f0b9eac0c6da2d33d5135562b272.jpg)
$(2)求平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成角的余弦值；$

Solution:
$因为A_{1}A\perp 平面ABC，且AB，AC\subset 平面ABC，所以A_{1}A\perp AB，A_{1}A\perp AC.又AB\perp AC，所以A_{1}A，AB，AC两两垂直.如图，分别以\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_1}的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268075001319426/img/compression/M_46222c41c76dce479f42f511832219bd.jpg)$则A(0，0，0)，C_{1}(0，1，2)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，所以\overrightarrow{AC_1}=(0，1，2)，\overrightarrow{AM}=(1，1，0).设平面C_{1}MA的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC_1}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AM}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+2z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.令y=2,则x=-2,z=-1，即m=(-2,2,-1),易知平面ACC_{1}A_{1}的一个法向量为n=(1,0,0).设平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成的角为\theta ，则|\\cos   \theta |=|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{3}.又\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right],所以\\cos   \theta =\frac{2}{3},故平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成角的余弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$<img_2106>
$(2)求平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成角的余弦值；$

Solution:
$因为A_{1}A\perp 平面ABC，且AB，AC\subset 平面ABC，所以A_{1}A\perp AB，A_{1}A\perp AC.又AB\perp AC，所以A_{1}A，AB，AC两两垂直.如图，分别以\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_1}的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz.$<img_2299>$则A(0，0，0)，C_{1}(0，1，2)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，所以\overrightarrow{AC_1}=(0，1，2)，\overrightarrow{AM}=(1，1，0).设平面C_{1}MA的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC_1}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AM}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+2z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.令y=2,则x=-2,z=-1，即m=(-2,2,-1),易知平面ACC_{1}A_{1}的一个法向量为n=(1,0,0).设平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成的角为\theta ，则|\\cos   \theta |=|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{3}.又\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right],所以\\cos   \theta =\frac{2}{3},故平面C_{1}MA与平面ACC_{1}A_{1}所成角的余弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268074628026369/img/compression/M_d0d3f0b9eac0c6da2d33d5135562b272.jpg)
$(3)求点C到平面C_{1}MA的距离.$

Solution:
$由(2)知，\overrightarrow{AC}=(0，2，0)，平面C_{1}MA的一个法向量为m=(-2,2,-1).设点C到平面C_{1}MA的距离为d,则d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{|(0,2,0)\cdot (-2,2,-1)|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}}=\frac{4}{3},所以点C到平面C_{1}MA的距离为\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，已知A_{1}A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_{1}=2，A_{1}C_{1}=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$<img_2106>
$(3)求点C到平面C_{1}MA的距离.$

Solution:
$由(2)知，\overrightarrow{AC}=(0，2，0)，平面C_{1}MA的一个法向量为m=(-2,2,-1).设点C到平面C_{1}MA的距离为d,则d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{|(0,2,0)\cdot (-2,2,-1)|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}}=\frac{4}{3},所以点C到平面C_{1}MA的距离为\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp AC，B_{1}C\perp 平面ABC，E，F分别是AC，B_{1}C的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760587695116289/img/compression/M_bac5f9027933b5a4210d0f29bfda8e8b.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面AB_{1}C_{1}；$

Solution:
$证明 因为E，F分别是AC，B_{1}C的中点，所以EF\parallel AB_{1}，又EF\not\subset 平面AB_{1}C_{1}，AB_{1}\subset 平面AB_{1}C_{1}，所以EF\parallel 平面AB_{1}C_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp AC，B_{1}C\perp 平面ABC，E，F分别是AC，B_{1}C的中点.$<img_2516>
$(1)求证：EF\parallel 平面AB_{1}C_{1}；$

Solution:
$证明 因为E，F分别是AC，B_{1}C的中点，所以EF\parallel AB_{1}，又EF\not\subset 平面AB_{1}C_{1}，AB_{1}\subset 平面AB_{1}C_{1}，所以EF\parallel 平面AB_{1}C_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp AC，B_{1}C\perp 平面ABC，E，F分别是AC，B_{1}C的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760587695116289/img/compression/M_bac5f9027933b5a4210d0f29bfda8e8b.jpg)
$(2)求证：平面AB_{1}C\perp 平面ABB_{1}.$

Solution:
$证明 因为B_{1}C\perp 平面ABC，AB\subset 平面ABC，所以B_{1}C\perp AB.又AB\perp AC,B_{1}C\subset 平面AB_{1}C，AC\subset 平面AB_{1}C，B_{1}C\cap AC=C，所以AB\perp 平面AB_{1}C，又因为AB\subset 平面ABB_{1}，所以平面AB_{1}C\perp 平面ABB_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp AC，B_{1}C\perp 平面ABC，E，F分别是AC，B_{1}C的中点.$<img_2516>
$(2)求证：平面AB_{1}C\perp 平面ABB_{1}.$

Solution:
$证明 因为B_{1}C\perp 平面ABC，AB\subset 平面ABC，所以B_{1}C\perp AB.又AB\perp AC,B_{1}C\subset 平面AB_{1}C，AC\subset 平面AB_{1}C，B_{1}C\cap AC=C，所以AB\perp 平面AB_{1}C，又因为AB\subset 平面ABB_{1}，所以平面AB_{1}C\perp 平面ABB_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC.求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760588114546689/img/compression/M_965eeee8494aa799898a02af1eefa915.jpg)
$(1)A_{1}B_{1}\parallel 平面DEC_{1}；$

Solution:
$证明 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED\parallel AB.在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\parallel A_{1}B_{1}，所以A_{1}B_{1}\parallel ED. 又因为ED\subset 平面DEC_{1}，A_{1}B_{1}\not\subset 平面DEC_{1}，所以A_{1}B_{1}\parallel 平面DEC_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC.求证：$<img_2206>
$(1)A_{1}B_{1}\parallel 平面DEC_{1}；$

Solution:
$证明 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED\parallel AB.在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\parallel A_{1}B_{1}，所以A_{1}B_{1}\parallel ED. 又因为ED\subset 平面DEC_{1}，A_{1}B_{1}\not\subset 平面DEC_{1}，所以A_{1}B_{1}\parallel 平面DEC_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC.求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760588114546689/img/compression/M_965eeee8494aa799898a02af1eefa915.jpg)
$(2)BE\perp C_{1}E.$

Solution:
$证明 因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE\perp AC.因为三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}是直棱柱，所以C_{1}C\perp 平面ABC.又因为BE\subset 平面ABC，所以C_{1}C\perp BE.因为C_{1}C\subset 平面A_{1}ACC_{1}，AC\subset 平面A_{1}ACC_{1}，C_{1}C\cap AC=C，所以BE\perp 平面A_{1}ACC_{1}.因为C_{1}E\subset 平面A_{1}ACC_{1}，所以BE\perp C_{1}E.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC.求证：$<img_2206>
$(2)BE\perp C_{1}E.$

Solution:
$证明 因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE\perp AC.因为三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}是直棱柱，所以C_{1}C\perp 平面ABC.又因为BE\subset 平面ABC，所以C_{1}C\perp BE.因为C_{1}C\subset 平面A_{1}ACC_{1}，AC\subset 平面A_{1}ACC_{1}，C_{1}C\cap AC=C，所以BE\perp 平面A_{1}ACC_{1}.因为C_{1}E\subset 平面A_{1}ACC_{1}，所以BE\perp C_{1}E.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是正三角形，侧面BB_{1}C_{1}C是矩形，M，N分别为BC，B_{1}C_{1}的中点，P为AM上一点.过B_{1}C_{1}和P的平面交AB于E，交AC于F.$<img_1895>
$(2)设O为\triangle A_{1}B_{1}C_{1}的中心.若AO=AB=6，AO\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，且\angle MPN=\frac{\pi }{3}，求四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的体积.$

Solution:
$因为AO\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，AO\subset 平面A_{1}AMN，平面A_{1}AMN\cap 平面EB_{1}C_{1}F=PN，故AO\parallel PN.又AP\parallel ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN=AO=6，AP=ON=\frac{1}{3}AM=\sqrt{3}，PM=\frac{2}{3}AM=2\sqrt{3}，EF=\frac{1}{3}BC=2.$<img_2942>$因为BC\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的顶点B到底面EB_{1}C_{1}F的距离等于点M到底面EB_{1}C_{1}F的距离.作MT\perp PN，垂足为T，则由(1)知，MT\perp 平面EB_{1}C_{1}F，故MT=PM\\sin  \angle MPN=3.底面EB_{1}C_{1}F的面积为\frac{1}{2}\times (B_{1}C_{1}+EF)\cdot PN=\frac{1}{2}\times (6+2)\times 6=24.所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的体积为\frac{1}{3}\times 24\times 3=24.$

Final answer: $24$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是正三角形，侧面BB_{1}C_{1}C是矩形，M，N分别为BC，B_{1}C_{1}的中点，P为AM上一点.过B_{1}C_{1}和P的平面交AB于E，交AC于F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760588454285314/img/compression/M_2aab8df5e7e23c151ee9814c46be3d76.jpg)
$(2)设O为\triangle A_{1}B_{1}C_{1}的中心.若AO=AB=6，AO\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，且\angle MPN=\frac{\pi }{3}，求四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的体积.$

Solution:
$因为AO\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，AO\subset 平面A_{1}AMN，平面A_{1}AMN\cap 平面EB_{1}C_{1}F=PN，故AO\parallel PN.又AP\parallel ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN=AO=6，AP=ON=\frac{1}{3}AM=\sqrt{3}，PM=\frac{2}{3}AM=2\sqrt{3}，EF=\frac{1}{3}BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760588999544833/img/compression/M_c482c2809455b18a0c5289ab8dccfdc0.jpg)$因为BC\parallel 平面EB_{1}C_{1}F，所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的顶点B到底面EB_{1}C_{1}F的距离等于点M到底面EB_{1}C_{1}F的距离.作MT\perp PN，垂足为T，则由(1)知，MT\perp 平面EB_{1}C_{1}F，故MT=PM\\sin  \angle MPN=3.底面EB_{1}C_{1}F的面积为\frac{1}{2}\times (B_{1}C_{1}+EF)\cdot PN=\frac{1}{2}\times (6+2)\times 6=24.所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的体积为\frac{1}{3}\times 24\times 3=24.$

Final answer: $24$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，P-ABCD是一个四棱锥，已知四边形ABCD是梯形，PD\perp 平面ABCD，AD\perp CD，AB\parallel CD，PD＝AD＝AB＝1，CD＝2，点E是棱PC的中点，点F在棱PB上，PF=\frac{1}{2}FB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760590998343681/img/compression/M_937e644cda087b8e38c5443fae39af17.jpg)
$(1)证明：直线BE\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：取PD的中点G，连接AG，GE，因为G，E分别是PD，PC的中点，所以GE\parallel DC，GE=\frac{1}{2}DC，因为AB\parallel DC,AB=\frac{1}{2}DC，所以GE\parallel AB,GE=AB，所以四边形AGEB为平行四边形，所以BE\parallel AG，因为BE\not\subset 平面PAD，AG\subset 平面PAD，所以直线BE\parallel 平面PAD.$

Final answer: 证明题