di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Elementary Functions


Question: $设函数f(x)=e^{x}+ae^{-x}(a为常数)。$
$若f(x)为奇函数，则a=\_\_\_\_\_.$

Solution:
$因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=1+a=0，得a=-1。$
$f(-x)=e^{-x}-e^{x}=-f(x),故f(x)为奇函数.$

Final answer: $-1$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时, f(x)=x^2-2ax+a+2，其中a\in R.$
$当a=1时, f(-1)=；$

Solution:
$当a=1时， f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.$

Final answer: $-2$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)=10x^2+100x；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x+\frac{10 000}{x}-4 500. 若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.$
年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

Solution:
$\because 当0<x<30时，y=-10(x-20)^2+1 500，$

$\therefore 当x=20时，y_{max}=1 500，$

$当x\geq 30时，y=2 000-(x+\frac{10 000}{x})\leq 2 000-2\times \sqrt{x \cdot \frac{10 000}{x}}=1 800，$

$当且仅当x=\frac{10 000}{x}，即x=100时取等号，$

$\because 1 800>1500，$

$\therefore 年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元.$

Final answer: $100$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=-x^{2}+(a-1)x+a，其中a \in R.$
$若函数f(x)为偶函数，求a的值；$

Solution:
$由f(x)=-x^{2}+(a-1)x+a为偶函数，$
$得f(-x)=-x^{2}-(a-1)x+a=f(x)，$
$所以-(a-1)=a-1，$
$解得a=1.$

Final answer: $a=1$
Subfield: Elementary Functions


Question: 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且图象过点(-1，1).已知x\geq 0时, f(x)＝a^x^-1(a>0且a\neq 1).
求f(1)和a的值；

Solution:
$由题意可知, f(-1)=1，$

$因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，$

$所以f(1)=f(-1)=1，$

$因为x\geq 0时, f(x)=a^{x}-1，$

$所以f(1)=a-1=1, 所以a=2.$

Final answer: f(1)=1, a=2
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=a^{2x}-a^{x}+2a(a>0且a\neq 1)的图象经过点(1，6)。$
$求f(x)的最小值；$

Solution:
$易知f(x)=(2^x-\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4}，当x=-1时取等号，$
$故f(x)的最小值为\frac{15}{4}.$

Final answer: $\frac{15}{4}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = \log_{a}(1-x) + \log_{a}(x+3)(0<a<1)。$
$若函数f(x)的最小值为-2，求a的值.$

Solution:
$f(x) = \log_a(1-x) + \log_a(x+3) = \log_a(1-x)(x+3) \\$
$= \log_a(-x^2 - 2x + 3), x \in (-3, 1), $

$令t = -x^2 - 2x + 3 = -(x+1)^2 + 4，则 0 < t \le 4，$

$当0<a<1时，y = \log_a t在0 < t \le 4上是减函数，$

$所以y_{min} = \log_a 4 = f(x)_{min}，$

$又f(x)_{min} = -2，所以\log_a 4 = -2，即a^{-2} = 4，解得a = \frac{1}{2}或a = - \frac{1}{2}(舍)，$

$故若函数f(x)的最小值为-2，则a = \frac{1}{2}。$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=$
$\begin{cases}
-x^2+ax+1,& x \leq 1,
ax,& \text{x > 1}.
\end{cases}$
$当a=1时，f(x)的极值点个数为 \_\_\_ ；$

Solution:
$当a=1时，f(x) = \begin{cases} -x^2+x+1, & x\leq 1,\\ x, & x>1, \end{cases}$
$f(x)在(-\infty ,\frac{1}{2}]上单调递增，在(\frac{1}{2},1]上单调递减，在(1,+\infty )上单调递增，所以f(x)的极值点个数为2；$

Final answer: $2$
Subfield: Elementary Functions


Question: 如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离为150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km，试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A运到C，再用快艇从C运到海岛码头.

<img_3128>
点C选在何处可使运输时间最短？

Solution:
$T'(x) = \frac{(150^2+x^2)^{-\frac{1}{2}} \times 2x}{2 \times 50} - \frac{1}{130} = \frac{x}{50\sqrt{150^2+x^2}} -\frac{1}{130}，$

$由T'(x) > 0，解得 x > \frac{125}{2}.$

$因此 T(x) 在[0,\frac{125}{2}] 上递减，在[\frac{125}{2},300] 上递增，$

$所以当x= \frac{125}{2}时 T(x)取得最小值.$

$所以点C 选在离点 B \frac{125}{2} km处可使运输时间最短.$

Final answer: $x= \frac{125}{2}$
Subfield: Elementary Functions


Question: 如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离为150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km，试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A运到C，再用快艇从C运到海岛码头.

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884644152471554/img/compression/M_8f20abfd4faac9e07443f5226759abf7.jpg)
点C选在何处可使运输时间最短？

Solution:
$T'(x) = \frac{(150^2+x^2)^{-\frac{1}{2}} \times 2x}{2 \times 50} - \frac{1}{130} = \frac{x}{50\sqrt{150^2+x^2}} -\frac{1}{130}，$

$由T'(x) > 0，解得 x > \frac{125}{2}.$

$因此 T(x) 在[0,\frac{125}{2}] 上递减，在[\frac{125}{2},300] 上递增，$

$所以当x= \frac{125}{2}时 T(x)取得最小值.$

$所以点C 选在离点 B \frac{125}{2} km处可使运输时间最短.$

Final answer: $x= \frac{125}{2}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=\frac{2}{x}+aln x，a\in R.$
$若曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；$

Solution:
\because 曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x+2，
\therefore 曲线y=f(x)在点P(1， f(1))处的切线斜率为-1.
$函数f(x)的导数为f'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{a}{x}，$
$\therefore f' (1)=-\frac{2}{1^2}+\frac{a}{1}=-1，\therefore a=1.$

Final answer: $a=1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = (x^2 - x - \frac{1}{a})e^{ax} (a > 0).$
$当a=\frac{1}{2}时，求f(x)的极大值；$

Solution:
$当a=\frac{1}{2}时， f(x)=(x^2-x-2)e^{\frac{x}{2}}，$
$f '(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-1)e^{\frac{x}{2}}，$
$令f '(x)=0，解得x=-4或x=1.$
$当x<-4时， f '(x)>0， f(x)单调递增；$
$当-4<x<1时， f '(x)<0， f(x)单调递减；$
$当x>1时， f '(x)>0， f(x)单调递增.$
$所以f(x)的极大值为f(-4)=18e^{-2}，极小值为f(1)=-2e^{\frac{1}{2}}.$



Final answer: 18e^{-2}
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = (x^2 - x - \frac{1}{a})e^{ax} (a > 0).$
$当a=\frac{1}{2}时，求f(x)的极值；$

Solution:
$当a=\frac{1}{2}时， f(x)=(x^2-x-2)e^{\frac{x}{2}}，$
$f '(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-1)e^{\frac{x}{2}}，$
$令f '(x)=0，解得x=-4或x=1.$
$当x<-4时， f '(x)>0， f(x)单调递增；$
$当-4<x<1时， f '(x)<0， f(x)单调递减；$
$当x>1时， f '(x)>0， f(x)单调递增.$
$所以f(x)的极大值为f(-4)=18e^{-2}，极小值为f(1)=-2e^{\frac{1}{2}}.$

Final answer: $极大值为f(-4)=18e^{-2}，极小值为f(1)=-2e^{\frac{1}{2}}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{1}{2}ax^2-(2a+1)x+2\ln x,a \in R.$
$若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为(0，+\infty ).且f'(x)=ax-(2a+1)+\frac{2}{x} (x>0).$

$因为曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，所以f'(1)=f'(3).$

$即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+\frac{2}{3}，解得a=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=$
$\begin{cases}
-\frac{1}{3}x^3+ax^2-3x+20, & 0<x \leq 6, \\
8-x, & x > 6,
\end{cases}$

$且f(x)在x=1处取得极值.$
$求实数a的值；$

Solution:
$当0<x\leq 6时, f'(x)=-x^2+2ax-3.$
因为f(x)在x=1处取得极值，
$所以f'(1)=-1+2a-3=0，解得a=2.$
$当a=2，0<x\leq 6时, f'(x)=-x^2+4x-3，$
$令f'(x)>0可得x\in (1，3)，令f'(x)<0可得x\in (0，1)\cup (3，6]，$
$所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，$
故满足f(x)在x=1处取得极值，故a=2.

Final answer: $a=2$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ax^3+x^2(a \in R)在x=-\frac{4}{3}处取得极值.$
确定a的值；

Solution:
$f'(x)=3ax^2+2x$

$所以f'\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{16a}{3}-\frac{8}{3}=0$

$解得a=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^2e^{x}-1，g(x)=e^{x}-ax，a \in R.$
$设函数F(x) = f(x) - g(x)，当a \geq 1时，求F(x)在区间[0，+\infty)上的最小值.$

Solution:
$因为F(x) = f(x) - g(x), 所以F(x) = (x^2 - 1)e^x + ax - 1, 所以F'(x) = (x^2 + 2x - 1)e^x + a.$
$令h(x) = F'(x), 所以h'(x) = (x^2 + 4x + 1)e^x.$
$当x \in [0, +\infty)时，h'(x) > 0 恒成立.$
$所以h(x)在区间[0，+\infty)上单调递增，即F'(x)在区间[0，+\infty)上单调递增.$
$所以F'(x) \geq F'(0) = -1 + a.$
$因为a \geq 1，所以F'(x) \geq 0.$
$所以F(x)在区间[0，+\infty)上单调递增.$
$所以F(x) \geq F(0) = -2.$
$所以当a \geq 1时，F(x)在区间[0，+\infty)上的最小值是-2.$

Final answer: $-2$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=ax^2+bx+4lnx 的极值点为1和2.$
$求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值.$

Solution:
$由(1)得， f(x) = x^2 - 6x + 4\ln x，$
$f'(x) = \frac{2(x-1)(x-2)}{x}，x \in (0,3]，$
$由f'(x) < 0，得到 1<x<2；由 f'(x) > 0，得到0<x<1 或 2<x<3，$
$所以f(x) 在 (0,1) 上递增， 在 (1,2)上递减，在 (2,3)上递增，$
$因为f(1) = -5， f(3) = 4\ln 3 - 9 > -5，所以 f_{max} = f(3) = 4\ln 3 -9.$

Final answer: $4\ln 3 -9$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{3x+4}{x^2+1}.$
$求f(x)的最大值与最小值.$

Solution:
$由(1)，令3-8x-3x^2=(3+x)(1-3x)=0，则x=-3或x=\frac{1}{3}，$

$当x<-3或x>\frac{1}{3}时， f'(x)<0，所以f(x)在(-\infty ,-3),(\frac{1}{3},+\infty )上递减；$

$当-3<x<\frac{1}{3}时， f'(x)>0，所以f(x)在(-3,\frac{1}{3})上递增.$

$所以极小值为f(-3)=-\frac{1}{2}，极大值为f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{2}，$

$因为在(-\infty ,-3)上f(x)<0，(\frac{1}{3},+\infty )上f(x)>0，$

$所以f(x)的最小值为-\frac{1}{2}，最大值为\frac{9}{2}.$

Final answer: $最小值=-\frac{1}{2}，最大值=\frac{9}{2}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{3x+4}{x^2+1}.$
$求f(x)的最大值.$

Solution:
$由(1)，令3-8x-3x^2=(3+x)(1-3x)=0，则x=-3或x=\frac{1}{3}，$

$当x<-3或x>\frac{1}{3}时， f'(x)<0，所以f(x)在(-\infty ,-3),(\frac{1}{3},+\infty )上递减；$

$当-3<x<\frac{1}{3}时， f'(x)>0，所以f(x)在(-3,\frac{1}{3})上递增.$

$所以极小值为f(-3)=-\frac{1}{2}，极大值为f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{2}，$

$因为在(-\infty ,-3)上f(x)<0，(\frac{1}{3},+\infty )上f(x)>0，$

$所以f(x)的最小值为-\frac{1}{2}，最大值为\frac{9}{2}.$



Final answer: \frac{9}{2}
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = \frac{x^3}{3} - (a+1)x^2+4ax+b，其中a,b\in R.$
$若函数f(x)在x=3处取得极小值\frac{1}{2}，求a，b的值；$

Solution:
$因为 f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a，$
$所以 f'(3)=9-6(a+1)+4a=0，得 a=\frac{3}{2}.$
$由 f(3)=\frac{1}{3}\times27-\frac{5}{2}\times9+4\times\frac{3}{2}\times3+b=\frac{1}{2}，解得 b=-4.$

Final answer: $a=\frac{3}{2}, b=-4$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列，前n项和为S_n(n\in N^)，b_n是首项为2的等比数列，且公比大于0，b_2+b_3=12，b_3=a_4-2a_1，S_{11}=11b_4.$
$求数列{a_{2n}b_{n}}的前n项和(n\in N^{}).$

Solution:
$设数列{a_{2n}b_{n}}的前n项和为T_{n}，易得a_{2n}=6n-2，$

$故T_{n}=4\times 2+10\times 2^2+16\times 2^3+\ldots +(6n-2)\times 2^n，$

$2T_{n}=4\times 2^2+10\times 2^3+16\times 2^4+\ldots +(6n-8)\times 2^n+(6n-2)\times 2^{n+1}，$

$两式相减，得-T_{n}=4\times 2+6\times 2^2+6\times 2^3+\ldots +6\times 2^n-(6n-2)\times 2^{n+1}=\frac{12 \times (1-2^n)}{1-2}-4-(6n-2)\times 2^{n+1}=-(3n-4)2^{n+2}-16，$

$得T_{n}=(3n-4)2^{n+2}+16。$

$所以数列{a_{2n}b_{n}}的前n项和为(3n-4)2^{n+2}+16。$

Final answer: $(3n-4)2^{n+2}+16$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列，前n项和为S_n(n\in N^)，b_n是首项为2的等比数列，且公比大于0，b_2+b_3=12，b_3=a_4-2a_1，S_{11}=11b_4.$
$求数列{a_{2n}b_{2n-1}}的前n项和(n\in N^).$

Solution:
$设数列a_{2n}b_{2n-1}的前n项和为T_n,由 a_{2n}=6n-2, b_{2n-1}=2  4^{n-1},得a_{2n}b_{2n-1} = (3n-1)4^n$

$故T_n = 2  4 + 5  4^2 + 8  4^3 +\ldots + (3n-1)  4^n$

$4T_n = 2  4^2 + 5  4^3 + 8  4^4 +\ldots + (3n-4)  4^n + (3n-1)  4^{n+1}$

上述两式相减得

$-3T_n = 2  4 + 3  4^2 + 3  4^3 +\ldots +3  4^n -(3n-1)  4^{n+1} = \frac{12  (1 - 4^n)}{1 - 4} - 4 - (3n-1)  4^{n+1} = - (3n-2)  4^{n+1} - 8$

$得T_n = \frac{3n-2}{3}  4^{n+1} + \frac{8}{3}$

$所以，数列a_{2n}b_{2n-1}的前n项和为\frac{3n-2}{3}  4^{n+1} + \frac{8}{3}$

Final answer: \frac{3n-2}{3}  4^{n+1} + \frac{8}{3}
Subfield: Sequence


Question: $已知公比大于1的等比数列{a_n}满足a_2+a_4=20, a_3=8.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，设公比为q(q>1)，依题意有$
$\left\{
\begin{matrix}
a_1q+a_1q^3=20,\\ 
a_1q^2=8,
\end{matrix}
\right.$
$解得a_1=2,q=2，或a_1=32,q=\frac{1}{2} (舍去)，$
$所以a_n=2^n，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n。$

Final answer: ${a_n}=2^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知公比大于1的等比数列{a_n}满足a_2+a_4=20, a_3=8.$
$求a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+\ldots +(-1)^{n-1}a_{n}a_{n+1}.$

Solution:
$由(1)知 (-1)^{n-1}a_na_{n+1}=(-1)^{n-1} \times 2^n \times 2^{n+1}=(-1)^{n-1}2^{2n+1},$

$所以 a_1a_2-a_2a_3+\ldots +(-1)^{n-1}a_na_{n+1}=2^3-2^5+2^7-2^9+\ldots +(-1)^{n-1}2^{2n+1}$

$=\frac{2^3[1-(-2^2)^n]}{1-(-2^2)}$

$=\frac{8}{5}-(-1)^n \cdot \frac{2^{2n+3}}{5}.$

Final answer: $\frac{8}{5}-(-1)^n \cdot \frac{2^{2n+3}}{5}$
Subfield: Sequence


Question: $已知公比大于1的等比数列{a_n}满足a_2+a_4=20,a_3=8.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$已知数列a_n是公比大于1的等比数列，设公比为q(q>1)，依题意有$
$$
\left\{\begin{matrix}a_1q+a_1q^3=20,\\ a_1q^2=8,\end{matrix}\right.
$$
$解得a_1=2,q=2，或a_1=32,q=\frac{1}{2}(舍去)。$

$所以a_n=2^n，所以数列a_n的通项公式为a_n=2^n.$

Final answer: $a_n=2^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知 S_n=2^{n+1} - \lambda(\lambda\in R) 是等比数列 {a_n} 的前 n 项和.$
$设b_n = \frac{1}{a_n} + \log_2 a_n，求{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$b_n = \frac{1}{a_n} + \log_2{a_n} = \frac{1}{2^n} + n$

$则 T_n = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right) + (1+2+\cdots+n)$

$即 T_n = 1-\frac{1}{2^n} + \frac{n(n+1)}{2}.$

Final answer: $T_n = 1-\frac{1}{2^n} + \frac{n(n+1)}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是公差为3的等差数列,数列b_n满足b_1=1,b_2=\frac{1}{3},a_nb_{n+1}+b_{n+1}=nb_n.$
$求a_n的通项公式;$

Solution:
$由已知,得a_1b_2+b_2=b_1,且b_1=1, b_2=\frac{1}{3}, 故\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{3}=1, 解得a_1=2.$

$所以数列{a_n}是首项为2,公差为3的等差数列,其通项公式为a_n=2+3(n-1)=3n-1.$

Final answer: $a_n=3n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是公差为3的等差数列,数列b_n满足b_1=1,b_2=\frac{1}{3},a_nb_{n+1}+b_{n+1}=nb_n.$
$求b_n的前n项和.$

Solution:
$由(1)和a_n b_{n+1}+b_{n+1}=nb_n 得 b_{n+1}=\frac{b_n}{3} ,因此 b_n 是首项为1,公比为 \frac{1}{3} 的等比数列.$

$记 b_n 的前 n 项和为 S_n ,则 S_n=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2 \times 3^{n-1}} .$

Final answer: $\frac{3}{2}-\frac{1}{2 \times 3^{n-1}}$
Subfield: Sequence


Question: $已知各项都为正数的数列{a_n}满足a_1=1, a^2_n-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0.$
$求a_n的通项公式.$

Solution:
$由a^{2}_{n}-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0得2a_{n+1}(a_n+1)=a_n(a_n+1).因为{a_n}的各项都为正数,所以\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}.$

$故{a_n}是首项为1,公比为\frac{1}{2}的等比数列,因此a_n=\frac{1}{{2}^{n-1}}.$

Final answer: $a_n=\frac{1}{{2}^{n-1}}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n满足a_1=1，a_n \cdot a_{n+1}=9^n，n \in N^.$
$求数列a_n的通项公式；$

Solution:
$由题意，当n=1时，a_1 a_2=9，又a_1=1，所以a_2=9。$

$因为a_n a_{n+1}=9^n，所以a_{n+1} a_{n+2}=9^{n+1}，所以 \frac{a_{n+2}}{a_n}=9。$

$所以数列{a_n}的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列。$

$当n为奇数时，设n=2k-1(k\in N^)，则a_n=a_{2k-1}=1\cdot 9^{k-1}=3^{2k-2}=3^{n-1}。$

$当n为偶数时，设n=2k(k\in N^)，则a_n=a_{2k}=9\cdot 9^{k-1}=9^k=3^{2k}=3^n。$

$因此，a_n=\begin{cases}3^{n-1},& \text{如果} n \text{是奇数} \\\\ 3^n,& \text{如果} n \text{是偶数}\end{cases}$

Final answer: $a_n=\begin{cases}3^{n-1},& \text{如果} n \text{是奇数} \\\\ 3^n,& \text{如果} n \text{是偶数}\end{cases}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n满足a_1=1，a_n \cdot a_{n+1}=9^n，n \in N^.$
$若b_n=\left\{
\begin{matrix}
\log_{\frac{1}{3}}a_n, & n\text{为奇数},\\ 
a_n-1, & n\text{为偶数},
\end{matrix}
\right.$
$求数列{b_n}的前2n项和S_{2n}.$

Solution:
$由(1)得b_n=\begin{cases} 1-n, & \text{if } n \text{为奇数},\\ 3^n-1, & \text{if } n \text{为偶数},\end{cases}$

$所以S_{2n}=(b_1+b_3+\ldots +b_{2n-1})+(b_2+b_4+\ldots +b_{2n})$

$=[0-2-4-\ldots -(2n-2)]+(3^2+3^4+3^6+\ldots +3^{2n})-n$

$=-\frac{n(2n-2)}{2}+\frac{9(1-9^n)}{1-9}-n=\frac{9^{n+1}-8n^2-9}{8}$

Final answer: $\frac{9^{n+1}-8n^2-9}{8}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，a_1=1，S_{n+1}=2S_n+1。$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$由S_{n+1}=2S_{n}+1得S_{n}=2S_{n-1}+1 (n\geq2, n \in N^)$

$\therefore S_{n+1}-S_{n}=2S_{n}-2S_{n-1}, \therefore a_{n+1}=2a_{n} (n\geq2, n \in N^).$

$又a_{1}=1, S_{n+1}=2S_{n}+1, \therefore a_{2}+a_{1}=2a_{1}+1，整理得a_{2}=2a_{1}.$

$\therefore 数列{a_{n}}是首项为1，公比为2的等比数列，$

$\therefore 数列{a_{n}}的通项公式为a_{n}=2^{n-1}.$

Final answer: a_{n}=2^{n-1}
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，a_1=1，S_{n+1}=2S_n+1。$
$记b_n=\frac{{\log }_2a_n}{a_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n。$

Solution:
$由(1)得a_{n}=2^{n-1}，\therefore b_{n}=\frac{{\log }_2a_n}{a_n}=\frac{{\log }_22^{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{n-1}{2^{n-1}}.$

$\therefore T_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots +b_{n}=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\ldots +\frac{n-1}{2^{n-1}}，$

$\frac{1}{2}T_{n}=0+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\ldots +\frac{n-2}{2^{n-1}}+\frac{n-1}{2^n}，$

$两式相减，得\frac{1}{2}T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n-1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n-1}{2^n}=1-\frac{n+1}{2^n}，\therefore T_{n}=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}.$

Final answer: $T_{n}=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}$
Subfield: Sequence


Question: $已知各项均为正数的等差数列{a_n}，a_2=5，2a_1，a_3，a_5+2成等比数列.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，则d > 0。$
$由已知得a^2_3=2a_1(a_5+2)，$
$又a_2=5,\therefore (5+d)^2=2(5-d)(7+3d)，$
$即7d^2-6d-45=0，解得d=3或d=-\frac{15}{7}(舍)，$
$\therefore a_1=a_2-d=2，\therefore a_n=2+3(n-1)=3n-1，$
$\therefore a_n的通项公式为a_n=3n-1。$

Final answer: $ a_n=3n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_5=9，S_7=49.$
$求数列a_n的通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，则$

$$
\begin{align*}
a_5 & =a_1+4d=9,\\
S_7 & =7a_1+\frac{7 \times 6d}{2}=49,\\
\end{align*}
$$

$解得a_1=1，d=2,$

$所以a_n=1+2(n-1)=2n-1.$

Final answer: $a_n=2n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的奇数项是公差为d_1的等差数列，偶数项是公差为d_2的等差数列，S_n是数列a_n的前n项和，a_1=1,a_2=2.$
$已知S_{15}=15a_{8}，且对任意n \in \mathbb{N}^ ,a_{n}<a_{n+1}恒成立，求数列{a_{n}}的前n项和S_{n}.$

Solution:
$当n为偶数时，由a_n < a_{n+1}恒成立，得2+\left(\frac{n}{2}-1\right)d_{2}<1+\frac{n}{2}d_{1}，即n(d_{2}-d_{1})+2-2d_{2}<0恒成立，所以d_{2}-d_{1}\leq 0且d_{2}>1.当n为奇数时，由a_n < a_{n+1}恒成立，得1+\frac{n-1}{2}d_{1}<2+\left(\frac{n+1}{2}-1\right)d_{2}，即n(d_{1}-d_{2})-2-d_{1}+d_{2}<0恒成立，所以d_{1}-d_{2}\leq 0，因此d_{1}=d_{2}.又由S_{15}=15a_{8}，得(a_{1}+a_{3}+\ldots +a_{15})+(a_{2}+a_{4}+\ldots +a_{14})=15(a_{2}+3d_{2})，即8+\frac{8 \times 7}{2}d_{1}+14+\frac{7 \times 6}{2}d_{2}=30+45d_{2}，解得d_{1}=d_{2}=2，所以a_n = n，即数列{a_n}是等差数列，所以S_n = \frac{n^2+n}{2}.$

Final answer: $S_n = \frac{n^2+n}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}是正项等比数列，满足a_3是2a_1，3a_2的等差中项，a_4=16.$
$求数列a_n的通项公式；$

Solution:
$设等比数列a_n的公比为q，因为a_3是2a_1，3a_2的等差中项，$
$所以2a_3=2a_1+3a_2，即2a_1q^2=2a_1+3a_1q，$
$易知a_1\neq 0，所以2q^2-3q-2=0，解得q=2或q=-\frac{1}{2}，$
$因为数列a_n是正项等比数列，所以q=2.$
$故a_4=a_1q^3=8a_1=16，解得a_1=2，所以a_n=2\times 2^{n-1}=2^n.$

Final answer: $2^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}是正项等比数列，满足a_3是2a_1，3a_2的等差中项，a_4=16.$
$若b_n=(-1)^n\log_2a_{2n+1}，求数列{b_n}的前n项和T_n。$

Solution:
解法一(分奇偶、并项求和)：
$由(1)可知，a_{2n+1}=2^{2n+1}，$
$所以b_{n}=(-1)^{n}\cdot \log_{2}{a_{2n+1}}=(-1)^{n} \cdot \log_{2}{2^{2n+1}}=(-1)^{n}(2n+1).$

$①若n为偶数，则T_{n}=-3+5-7+9-\dots-(2n-1)+(2n+1)=(-3+5)+(-7+9)+\dots+[-(2n-1)+(2n+1)]=2 \cdot \frac{n}{2}=n；$
$②若n为奇数，则当n\geq 3时，T_{n}=T_{n-1}+b_{n}=n-1-(2n+1)=-n-2，$
$当n=1时，T_{1}=-3适合上式.$

$综上，得T_{n}=\begin{cases} n,  &\text{如果 } n \text{ 为偶数} \\ -n-2, & \text{如果 } n \text{ 为奇数} \end{cases} (或T_{n}=(n+1)(-1)^n-1， n \in N^{})$

解法二(错位相减法)：
$由(1)可知，a_{2n+1}=2^{2n+1}，$
$所以b_{n}=(-1)^{n} \cdot \log_{2}{a_{2n+1}}=(-1)^{n} \cdot \log_{2}{2^{2n+1}}=(-1)^{n}(2n+1)，$
$T_{n}=(-1)^1 \cdot 3+(-1)^2 \cdot 5+(-1)^3 \cdot 7+\dots+(-1)^n(2n+1),$
$所以 -T_{n}=(-1)^2 \cdot 3+(-1)^3 \cdot 5+(-1)^4 \cdot 7+\dots+(-1)^n(2n-1)+(-1)^{n+1}(2n+1),$
$所以 2T_{n}=-3+2[(-1)^2+(-1)^3+\dots+(-1)^n]-(-1)^{n+1}(2n+1)=-3+2 \cdot \frac{1-{(-1)}^{n-1}}{2}+(-1)^n(2n+1)=-3+1-(-1)^{n-1}+(-1)^n(2n+1)=-2+(2n+2)(-1)^n，$
$所以 T_{n}=(n+1)(-1)^n-1，其中n \in N^{}.$

Final answer: $T_{n}=\begin{cases} n,  &\text{如果 } n \text{ 为偶数} \\ -n-2, & \text{如果 } n \text{ 为奇数} \end{cases} 或T_{n}=(n+1)(-1)^n-1，n \in N^{}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，a_1=1，a_n>0，且a_n a_{n+1}=4S_n - 1。$
$设b_n=(-1)^na_na_{n+1}，求数列{b_n}的前n项和T_n。$

Solution:
$由(1)可得b_n = (-1)^n (2 n - 1) (2 n + 1).$

$若 n 为偶数，$
$则 T_n = - a_1 a_2 + a_2 a_3 - a_3 a_4 + a_4 a_5 -\ldots  $
$+ a_n a_{n+1} $
$= a_2 (- a_1 + a_3) + a_4 (- a_3 + a_5) +\ldots  $
$+ a_n (- a_{n-1} + a_{n+1})$
$= 4 ( a_2 + a_4 +\ldots + a_n ) = 4 \times  \frac{\frac{n}{2}(3+2n-1)}{2} = 2 n (n + 1);$

$若 n 为奇数，则当 n = 1时，T_1= -3，$
$当 n \geq 3时，T_n= T_{n-1}- a_n a_{n+1} $
$= 2 (n -1) n - (2 n -1) (2 n +1) = -2 n^2 -2 n + 1, $
$经检验，T_1 = -3也满足上式，$
$所以当 n 为奇数时，T_n = -2 n^2 -2 n +1.$

$综上，数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n $
$= \left\{\begin{matrix}2n^2+2n,n=2k,k\in \boldsymbol{\mathrm{N}}^,\\ -2n^2-2n+1,n=2k-1,k\in \boldsymbol{\mathrm{N}}^.\end{matrix}\right.$

Final answer: $T_n=\left\{\begin{matrix}2n^2+2n,n=2k,k\in\boldsymbol{N},\\ -2n^2-2n+1,n=2k-1,k\in\boldsymbol{N}.\end{matrix}\right.$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是公比不为1的等比数列，a_1为a_2,a_3的等差中项.$
$若a_1=1，求数列{na_n}的前n项和。$

Solution:
$记 S_n 为 {na_n} 的前 n 项和.由(1)及题设可得，a_n = (-2)^(n-1).$

$所以 S_n =1+2\times (-2)+\ldots +n\times (-2)^(n-1)，$

$-2 S_n =-2+2\times (-2)^2+\ldots +(n-1)\times (-2)^(n-1)+n\times (-2)^n.$

$可得 3 S_n =1+(-2)+(-2)^2+\ldots +(-2)^(n-1)-n\times (-2)^n$

$= \frac{1-(-2)^n}{3} -n\times (-2)^n.$

$所以 S_n = \frac{1}{9} - \frac{(3n+1)(-2)^n}{9} .$

Final answer: $S_n = \frac{1}{9} - \frac{(3n+1)(-2)^n}{9}$
Subfield: Sequence


Question: $设数列a_n满足a_1+3a_2+\ldots +(2n-1)a_n=2n.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$因为a_{1}+3a_{2}+\ldots +(2n-1)a_{n}=2n，所以当n\geq 2时，a_{1}+3a_{2}+\ldots +(2n-3)a_{n-1}=2(n-1).$

$两式相减得(2n-1)a_{n}=2.$

$所以a_{n}=\frac{2}{2n-1}(n\geq 2).$

$又由题设可得a_{1}=2，也满足上式，$

$所以{a_{n}}的通项公式为a_{n}=\frac{2}{2n-1}(n\in N^{}).$

Final answer: $a_{n}=\frac{2}{2n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $设数列a_n满足a_1+3a_2+\ldots +(2n-1)a_n=2n.$
$求数列\left\{\frac{a_n}{2n+1}\right\}的前n项和.$

Solution:
$记\left\{\frac{a_n}{2n+1}\right\}的前n项和为S_{n}，$
$由(1)知\frac{a_n}{2n+1}=\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}.$
$则S_{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}.$

Final answer: $\frac{2n}{2n+1}$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是等差数列，其前n项和为S_n (n\in N^)；b_n是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n (n\in N^).已知b_1=1,b_3=b_2+2,b_4=a_3+a_5,b_5=a_4+2a_6.$
$求S_n和T_n;$

Solution:
$设等比数列{b_n}的公比为q.由b_1=1, b_3=b_2+2，可得q^2-q-2=0.因为q>0，所以q=2，故b_n=2^{n-1}. 所以T_n= \frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1.$
$设等差数列{a_n}的公差为d.由b_4=a_3+a_5,可得a_1+3d=4.$
$由b_5=a_4+2a_6，可得3a_1+13d=16,从而a_1=1,d=1,故a_n=n，$
$所以S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Final answer: $T_n=2^n-1，S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是等差数列，b_n是等比数列，公比大于0.已知a_1=b_1=3,b_2=a_3,b_3=4a_2+3.$
$求a_n和b_n的通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，等比数列b_n的公比为q.$
依题意，得

$$
\begin{align*}
3q&=3+2d, \\
3q^2&=15+4d, 
\end{align*}
$$

解得

$$
\begin{align*}
d&=3, \\
q&=3, 
\end{align*}
$$

$故a_n=3+3(n-1)=3n,b_n=3\times 3^{n-1}=3^{n}.$

$所以a_n的通项公式为a_n=3n，b_n的通项公式为b_n=3^{n}.$

Final answer: $a_n=3n，b_n=3^{n}$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是等差数列，b_n是等比数列，公比大于0.已知a_1=b_1=3,b_2=a_3,b_3=4a_2+3.$
$设数列c_n满足：$
$$
c_n = \begin{cases} 
1, & \text{if } n \text{ is odd} \\
b_{\frac{n}{2}}, & \text{if } n \text{ is even} 
\end{cases}
$$
$求a_1c_1 + a_2c_2 + \cdots + a_{2n}c_{2n} (n \in \mathbb{N}^).$

Solution:
$a_1c_1+a_2c_2+\ldots +a_{2n}c_{2n}$

$=(a_1+a_3+a_5+\ldots +a_{2n-1})+(a_2b_1+a_4b_2+a_6b_3+\ldots +a_{2n}b_n)$

$=\left[n \times 3+\frac{n(n-1)}{2} \times 6\right]+(6\times 3^1+12\times 3^2+18\times 3^3+\ldots +6n\times 3^n)$

$=3n^2+6(1\times 3^1+2\times 3^2+\ldots +n\times 3^n).$

$记T_n=1\times 3^1+2\times 3^2+\ldots +n\times 3^n, ①$

$则3T_n=1\times 3^2+2\times 3^3+\ldots +n\times 3^{n+1}, ②$

$②-①得，2T_n = -3-3^2-3^3-\ldots -3^n+n\times 3^{n+1} = -\frac{3(1-3^n)}{1-3}+n\times 3^{n+1} = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}.$

$所以a_1c_1+a_2c_2+\ldots +a_{2n}c_{2n}=3n^2+6T_n=3n^2+3\times \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}=\frac{(2n-1)3^{n+2}+6n^2+9}{2}(n\in N^).$

Final answer: $\frac{(2n-1)3^{n+2}+6n^2+9}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_4=9，S_3=15.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$设a_n的公差为d，$

由已知得
$$
\begin{align*}
a_4 &= a_1 + 3d = 9,\\
S_3 &= 3a_1 + 3d = 15,
\end{align*}
$$
解得
$$
\begin{align*}
a_1 &= 3,\\
d &= 2.
\end{align*}
$$
$所以a_n = 2n + 1.$

Final answer: a_n = 2n + 1
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等比数列，a_1，a_2，a_3分别是下表第一、二、三行中的数，且a_1，a_2，a_3里的任意两个数都不在下表的同一列中，b_n为等差数列，其前n项和为S_n，且a_1=b_3-2b_1，S_7=7a_3。$

|   | 第一列 | 第二列 | 第三列 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一行 | 1 | 5 | 2 |
| 第二行 | 4 | 3 | 10 |
| 第三行 | 9 | 8 | 20 |
$求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；$

Solution:
$由题意知a_1=2，a_2=4，a_3=8.$
$设等比数列{a_n}的公比为q，则q=2，故a_n=a_1q^{n-1}=2^n.$
$设等差数列{b_n}的公差为d，由题意得a_1=2=b_3-2b_1=2d-b_1，S_7=\frac{7(b_1+b_7)}{2}=7b_4=7a_3，$
$所以b_4=a_3=8=b_1+3d，所以b_1=2，d=2，故b_n=2n.$

Final answer: a_n=2^n, b_n=2n
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如表：(单位：人)$

|   | 首选志愿为师范专业 | 首选志愿为非师范专业 |
| --- | --- | --- |
| 女性 | 25 | 35 |
| 男性 | 5 | 25 |

$附： \chi ^2 = {\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}} ， n=a+b+c+d.$

| $\alpha$ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_\alpha$ | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
$用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X)。$

Solution:
$某个考生首选志愿为师范专业的概率P=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}，$

$X的所有可能取值为0，1，2，3，X~B\left(3,\frac{1}{3}\right).$

$P(X=0)=\left(\frac{2}{3}\right)^{3} =\frac{8}{27}，P(X=1)=C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{2} =\frac{4}{9}，$

$P(X=2)=C^2_3\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}，P(X=3)=\left(\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{1}{27}，$

$\therefore X的分布列为$

|  $X$  |  0  |  1  |  2  |  3  |
|------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ |$\frac{8}{27}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{2}{9}$|$\frac{1}{27}$|

$E(X)=3\times \frac{1}{3}=1,D(X)=3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.$

Final answer: $X的分布列为$

| $X$  | 0              | 1             | 2             | 3              |
| ---- | -------------- | ------------- | ------------- | -------------- |
| $P$  | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |

$E(X)=1,D(X)=\frac{2}{3}$