di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图(a),足够高的水平长桌面上，P点左边光滑，右边粗糙。物块A在砝码B的拉动下从桌面左端开始运动，其v-t图像如图(b)所示。已知砝码质量为0.10 kg,重力加速度大小g取10 m/s^2。求$

<img_1313>

<img_1366>
物块A与P点右边桌面间的动摩擦因数。

Solution:
$设当A在P点右边运动时A和B的加速度大小为a'，物块A与P点右边桌面间的动摩擦因数为\mu 。由牛顿第二定律得$
$m_2g-\mu m_1g=(m_1+m_2)a'$
    
    ④
    
由题图(b)可以求出
$a'=1.0 m/s^{2}$

    ⑤

联立③④⑤式并代入题给条件得
$$\mu =0.125$

    ⑥

Final answer: 0.125
Subfield: Electromagnetism


Question: $三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、\frac{3}{2}q，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O,平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为30^\circ ，如图所示。现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C(过程中A、B之间未接触)。A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为120^\circ 。求初始时小球C所带的电荷量。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625174084456452/img/compression/M_27f2461aa3ff8a15aa1ea4c99204fc48.jpg)

Solution:
$初始平衡时，A、B两球带电荷量为q、\frac{3}{2}q，两球间的库仑力大小为$
$F=k\frac{3q^2}{2(2l \sin  \theta _1)^2} $

①

$式中k是静电力常量，l为一根绝缘细线的长度，\theta_1=30^\circ 。$
设小球的质量为m，重力加速度大小为g。初始平衡时，由力的平衡条件得
$F=mg \tan \theta_1$

②

设初始时小球C所带的电荷量为Q,C与A接触后，二者所带电荷量均为
$q_1=\frac{1}{2}(Q+q)$

③

C与B接触后，二者所带电荷量均为
$q_2=\frac{1}{2}(q_1+\frac{3}{2}q)$

④

再次平衡后，连接小球的细线与竖直方向的夹角均为
$\theta_2=\frac{120^{\circ}}{2}=60^\circ $

⑤

类比①②式分析可得
$k\frac{q_1q_2}{(2l \sin  \theta _1 )^2}=mg \tan \theta_2$

⑥

联立①②③④⑤⑥式得
Q=-13q或Q=8q

⑦

Final answer: -13q, 8q
Subfield: Electromagnetism


Question: $三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、\frac{3}{2}q，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O,平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为30^\circ ，如图所示。现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C(过程中A、B之间未接触)。A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为120^\circ 。求初始时小球C所带的电荷量。$

<img_1248>

Solution:
$初始平衡时，A、B两球带电荷量为q、\frac{3}{2}q，两球间的库仑力大小为$
$F=k\frac{3q^2}{2(2l \sin  \theta _1)^2} $

①

$式中k是静电力常量，l为一根绝缘细线的长度，\theta_1=30^\circ 。$
设小球的质量为m，重力加速度大小为g。初始平衡时，由力的平衡条件得
$F=mg \tan \theta_1$

②

设初始时小球C所带的电荷量为Q,C与A接触后，二者所带电荷量均为
$q_1=\frac{1}{2}(Q+q)$

③

C与B接触后，二者所带电荷量均为
$q_2=\frac{1}{2}(q_1+\frac{3}{2}q)$

④

再次平衡后，连接小球的细线与竖直方向的夹角均为
$\theta_2=\frac{120^{\circ}}{2}=60^\circ $

⑤

类比①②式分析可得
$k\frac{q_1q_2}{(2l \sin  \theta _1 )^2}=mg \tan \theta_2$

⑥

联立①②③④⑤⑥式得
Q=-13q或Q=8q

⑦

Final answer: -13q, 8q
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角\theta =30^\circ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上,质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为E_{k0}=\frac{5}{4}mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右；Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度\frac{25}{36}h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625174424195074/img/compression/M_dfdde410d17ba1efbd2769fae0aa1ce5.jpg)
为保证第2次碰撞能在水平轨道AB上发生，求初始时P离斜面底端B的最小距离。

Solution:
$设初始时P离斜面底端B的距离为s，第1次碰撞后Q运动到斜面底端B所需时间为t，P第1次运动到斜面底端B所需时间为t_1，P沿斜面运动时加速度的大小为a,在斜面上运动所需总时间为t_2，由运动学公式、牛顿第二定律有$
$s=v_1't ⑩$
$s=v_1t_1 ⑪$
$mg \sin \theta =ma ⑫$
$t_2=2\frac{v_1}{a} ⑬$
由题意有
$t\geq t_1+t_2 ⑭$
联立上述各式并由题给条件得
$s\geq \frac{100}{27}h ⑮$
$即初始时P离斜面底端B的最小距离为\frac{100}{27}h。$

Final answer: $\frac{100}{27} h$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角\theta =30^\circ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上,质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为E_{k0}=\frac{5}{4}mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右；Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度\frac{25}{36}h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。$

<img_1036>
为保证第2次碰撞能在水平轨道AB上发生，求初始时P离斜面底端B的最小距离。

Solution:
$设初始时P离斜面底端B的距离为s，第1次碰撞后Q运动到斜面底端B所需时间为t，P第1次运动到斜面底端B所需时间为t_1，P沿斜面运动时加速度的大小为a,在斜面上运动所需总时间为t_2，由运动学公式、牛顿第二定律有$
$s=v_1't ⑩$
$s=v_1t_1 ⑪$
$mg \sin \theta =ma ⑫$
$t_2=2\frac{v_1}{a} ⑬$
由题意有
$t\geq t_1+t_2 ⑭$
联立上述各式并由题给条件得
$s\geq \frac{100}{27}h ⑮$
$即初始时P离斜面底端B的最小距离为\frac{100}{27}h。$

Final answer: $\frac{100}{27} h$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为M=5 kg的木板放在倾角\theta =37^\circ 的光滑斜面上，并在外力作用下保持静止状态。斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，木板左下端到挡板的距离为s_0=1.25 m。t=0时刻，撤去作用在木板上的外力，同时一质量m=10 kg的小物块从木板左下端以沿斜面向上的初速度v_0=4 m/s滑上木板，并对小物块施加沿斜面向上的外力F，在0~1 s时间内，F=F_1=80 N，该力在t=1 s时变为F=F_2=60 N，方向沿斜面向下，并在此后保持不变。已知木板与物块间的动摩擦因数\mu =0.5，小物块可以看作质点，斜面足够长，且整个过程中小物块不会从木板右端滑出，重力加速度g=10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6。(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625203128889346/img/compression/M_365df2ec8f01db059bb70e4651649c75.jpg)
0~1 s时间内，小物块和木板的加速度的大小；

Solution:
$选取沿斜面向上为正方向，对物块受力分析，如图甲所示，根据牛顿第二定律得 F_1-mg \sin \theta -\mu mg \cos\theta =ma_1，解得a_1=-2 m/s^2，即小物块的加速度大小为2 m/s^2。$

$对木板受力分析，如图乙所示，根据牛顿第二定律得\mu mg \cos\theta -Mg \sin \theta =Ma_2，解得a_2=2 m/s^2。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625202478772227/img/compression/M_3694580a1f8c67e8d1a5104537bfe391.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625202478772227/img/compression/M_80ef2de08a3758b2448d0154c80dee74.jpg)

Final answer: $2 m/s^2 2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为M=5 kg的木板放在倾角\theta =37^\circ 的光滑斜面上，并在外力作用下保持静止状态。斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，木板左下端到挡板的距离为s_0=1.25 m。t=0时刻，撤去作用在木板上的外力，同时一质量m=10 kg的小物块从木板左下端以沿斜面向上的初速度v_0=4 m/s滑上木板，并对小物块施加沿斜面向上的外力F，在0~1 s时间内，F=F_1=80 N，该力在t=1 s时变为F=F_2=60 N，方向沿斜面向下，并在此后保持不变。已知木板与物块间的动摩擦因数\mu =0.5，小物块可以看作质点，斜面足够长，且整个过程中小物块不会从木板右端滑出，重力加速度g=10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6。(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：$

<img_520>
0~1 s时间内，小物块和木板的加速度的大小；

Solution:
$选取沿斜面向上为正方向，对物块受力分析，如图甲所示，根据牛顿第二定律得 F_1-mg \sin \theta -\mu mg \cos\theta =ma_1，解得a_1=-2 m/s^2，即小物块的加速度大小为2 m/s^2。$

$对木板受力分析，如图乙所示，根据牛顿第二定律得\mu mg \cos\theta -Mg \sin \theta =Ma_2，解得a_2=2 m/s^2。$

<img_1175>

<img_1299>

Final answer: $2 m/s^2 2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为M=5 kg的木板放在倾角\theta =37^\circ 的光滑斜面上，并在外力作用下保持静止状态。斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，木板左下端到挡板的距离为s_0=1.25 m。t=0时刻，撤去作用在木板上的外力，同时一质量m=10 kg的小物块从木板左下端以沿斜面向上的初速度v_0=4 m/s滑上木板，并对小物块施加沿斜面向上的外力F，在0~1 s时间内，F=F_1=80 N，该力在t=1 s时变为F=F_2=60 N，方向沿斜面向下，并在此后保持不变。已知木板与物块间的动摩擦因数\mu =0.5，小物块可以看作质点，斜面足够长，且整个过程中小物块不会从木板右端滑出，重力加速度g=10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6。(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：$

<img_520>
木板第一次与挡板碰撞时的速度大小。

Solution:
$设物块、木板在1 s末的速度分别为v_1、v_2，则v_1 = v_0 + a_1 t_1，v_2 = a_2 t_1，解得v_1 = v_2 = 2 m/s$

$设1 s内木板运动的位移为x_1，则有v_2^2 = 2a_2 x_1，解得x_1 = \frac{v_2^2}{2a_2} = 1 m$

$1 s末时，以小物块和木板整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F_2 + (m + M) g \sin \theta = (m + M) a_3，解得a_3 = 10 m/s^2$

$物块和木板继续向上做匀减速运动，由速度位移关系式得x_2 = \frac{v_2^2}{2a_3} = 0.2 m，物块和木板滑到最高点后，反向向下做匀加速运动，加速度不变，对木板有v_3^2 = 2a_3 (x_1 + x_2 + s_0)，解得木板第一次与挡板碰撞时的速度大小v_3 = 7 m/s。$

Final answer: 7 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为M=5 kg的木板放在倾角\theta =37^\circ 的光滑斜面上，并在外力作用下保持静止状态。斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，木板左下端到挡板的距离为s_0=1.25 m。t=0时刻，撤去作用在木板上的外力，同时一质量m=10 kg的小物块从木板左下端以沿斜面向上的初速度v_0=4 m/s滑上木板，并对小物块施加沿斜面向上的外力F，在0~1 s时间内，F=F_1=80 N，该力在t=1 s时变为F=F_2=60 N，方向沿斜面向下，并在此后保持不变。已知木板与物块间的动摩擦因数\mu =0.5，小物块可以看作质点，斜面足够长，且整个过程中小物块不会从木板右端滑出，重力加速度g=10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6。(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625203128889346/img/compression/M_365df2ec8f01db059bb70e4651649c75.jpg)
木板第一次与挡板碰撞时的速度大小。

Solution:
$设物块、木板在1 s末的速度分别为v_1、v_2，则v_1 = v_0 + a_1 t_1，v_2 = a_2 t_1，解得v_1 = v_2 = 2 m/s$

$设1 s内木板运动的位移为x_1，则有v_2^2 = 2a_2 x_1，解得x_1 = \frac{v_2^2}{2a_2} = 1 m$

$1 s末时，以小物块和木板整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F_2 + (m + M) g \sin \theta = (m + M) a_3，解得a_3 = 10 m/s^2$

$物块和木板继续向上做匀减速运动，由速度位移关系式得x_2 = \frac{v_2^2}{2a_3} = 0.2 m，物块和木板滑到最高点后，反向向下做匀加速运动，加速度不变，对木板有v_3^2 = 2a_3 (x_1 + x_2 + s_0)，解得木板第一次与挡板碰撞时的速度大小v_3 = 7 m/s。$

Final answer: 7 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑块A和B质量分别为m和nm，静止在小车C上，与小车C之间的动摩擦因数均为\mu ，且\mu =0.4。小车C静止在光滑的水平面上，质量为nm。在下述情境中，通过点燃夹在滑块A和B之间的适量炸药，使滑块A获得向左的初速度v_0=1.2 m/s。滑块A和B始终没有脱离小车C。重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_1203>
$若n=2，且小车C固定不动，求滑块A和B分别相对小车C运动的路程的比值；$

Solution:
$设滑块A和B在小车C上滑动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律有a=\mu g 得a=4 m/s^2。$

$由运动学公式有 0-v^2_0=-2ax, 0-v^2_1=-2ax'，则 x/x' = v^2_0/v^2_1=4$

Final answer: 4
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑块A和B质量分别为m和nm，静止在小车C上，与小车C之间的动摩擦因数均为\mu ，且\mu =0.4。小车C静止在光滑的水平面上，质量为nm。在下述情境中，通过点燃夹在滑块A和B之间的适量炸药，使滑块A获得向左的初速度v_0=1.2 m/s。滑块A和B始终没有脱离小车C。重力加速度g取10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625203867086851/img/compression/M_5892fc4a312f2c986d97e82f6dee6070.jpg)
$若n=2，且小车C固定不动，求滑块A和B分别相对小车C运动的路程的比值；$

Solution:
$设滑块A和B在小车C上滑动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律有a=\mu g 得a=4 m/s^2。$

$由运动学公式有 0-v^2_0=-2ax, 0-v^2_1=-2ax'，则 x/x' = v^2_0/v^2_1=4$

Final answer: 4
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸壁内有卡口a和b，a、b间距为h，a距缸底的高度为H；活塞只能在a、b间移动，其下方密封有一定质量的理想气体。已知活塞质量为m，面积为S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦。开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p_0，温度均为T_0。现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达b处。求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功。(重力加速度大小为g)$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961229817679874/img/compression/M_9469629007f386495bf603a96a7891c9.jpg)

Solution:
开始时活塞位于a处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始运动，设此时汽缸中气体的温度为$T_1$，压强为$p1$，根据查理定律有
$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p_1}{T_1} $
①

根据力的平衡条件有$p_1S=p_0S+mg$
②

联立①②式可得$T_1=(1+\frac{mg}{p_0S})T_0$
③

此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达$b$处，设此时汽缸中气体的温度为$T_2$；活塞位于$a$处和$b$处时气体的体积分别为V1和$V_2$。

根据盖-吕萨克定律有
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
④

式中$V_1=SH$
⑤

$V_2=S(H+h)$
⑥

联立③④⑤⑥式解得$T_2=(1+\frac{h}{H})(1+\frac{mg}{p_0S})T_0$
⑦

从开始加热到活塞到达b处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为$W=p_1Sh=(p_0S+mg)h$
⑧

Final answer: $\left(1+\frac{h}{H}\right)$
$\left(1+\frac{mg}{p_0S}\right)$
$T_0 (p_0S+mg)h$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸壁内有卡口a和b，a、b间距为h，a距缸底的高度为H；活塞只能在a、b间移动，其下方密封有一定质量的理想气体。已知活塞质量为m，面积为S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦。开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p_0，温度均为T_0。现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达b处。求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功。(重力加速度大小为g)$

<img_1325>

Solution:
开始时活塞位于a处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始运动，设此时汽缸中气体的温度为$T_1$，压强为$p1$，根据查理定律有
$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p_1}{T_1} $
①

根据力的平衡条件有$p_1S=p_0S+mg$
②

联立①②式可得$T_1=(1+\frac{mg}{p_0S})T_0$
③

此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达$b$处，设此时汽缸中气体的温度为$T_2$；活塞位于$a$处和$b$处时气体的体积分别为V1和$V_2$。

根据盖-吕萨克定律有
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
④

式中$V_1=SH$
⑤

$V_2=S(H+h)$
⑥

联立③④⑤⑥式解得$T_2=(1+\frac{h}{H})(1+\frac{mg}{p_0S})T_0$
⑦

从开始加热到活塞到达b处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为$W=p_1Sh=(p_0S+mg)h$
⑧



Final answer: $(1+\frac{h}{H})(1+\frac{mg}{p_0S})T_0， (p_0S+mg)h$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，在一圆形竖直管道内封闭有理想气体，用一固定绝热活塞K和质量为m的可自由移动的绝热活塞A将管内气体分割成体积相等的两部分。温度都为T_0=300 K，上部分气体压强为p_0=1.0\times 10^5 Pa。活塞A有\frac{mg}{S}=2\times 10^4 Pa(S为活塞横截面积)现保持下部分气体温度不变，只对上部分气体缓慢加热，当活塞A移动到最低点B时(不计摩擦，g取10 m/s^2)。求：$

1. 下部分气体的压强；
2. 上部分气体的温度。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961330176978945/img/compression/M_c350274b7ffb59925ab48085a0d498d2.jpg)

Solution:
①以下部分气体为研究对象，气体做等温变化，初状态压强为
$p_1=p_0+\frac{mg}{S}=1.0\times 10^5 Pa+2\times 10^4 Pa=1.2\times 10^5 Pa$
$体积为V_1=V_0$
$末状态时，压强为p_2，体积为V_2=\frac{1}{2}V_0$
$根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，代入数据得p_2=2.4\times 10^5 Pa$
$②当活塞A移动到最低点时，对活塞A受力分析可得出两部分气体的压强p_2'=p_2$
$以上部分气体为研究对象，初状态时，压强为p_0，温度为T_0，体积为V_0$
$末状态时，压强为p_2'，温度为T_2'，体积为V_2'=\frac{3}{2}V_0$

$根据理想气体状态方程，有\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p_2'V_2'}{T_2'}$
$代入数据解得T_2'=3.6T_0=1 080 K$

Final answer: $①2.4\times 10^5 Pa　②1 080 K$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，在一圆形竖直管道内封闭有理想气体，用一固定绝热活塞K和质量为m的可自由移动的绝热活塞A将管内气体分割成体积相等的两部分。温度都为T_0=300 K，上部分气体压强为p_0=1.0\times 10^5 Pa。活塞A有\frac{mg}{S}=2\times 10^4 Pa(S为活塞横截面积)现保持下部分气体温度不变，只对上部分气体缓慢加热，当活塞A移动到最低点B时(不计摩擦，g取10 m/s^2)。求：$

1. 下部分气体的压强；
2. 上部分气体的温度。

<img_642>

Solution:
①以下部分气体为研究对象，气体做等温变化，初状态压强为
$p_1=p_0+\frac{mg}{S}=1.0\times 10^5 Pa+2\times 10^4 Pa=1.2\times 10^5 Pa$
$体积为V_1=V_0$
$末状态时，压强为p_2，体积为V_2=\frac{1}{2}V_0$
$根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，代入数据得p_2=2.4\times 10^5 Pa$
$②当活塞A移动到最低点时，对活塞A受力分析可得出两部分气体的压强p_2'=p_2$
$以上部分气体为研究对象，初状态时，压强为p_0，温度为T_0，体积为V_0$
$末状态时，压强为p_2'，温度为T_2'，体积为V_2'=\frac{3}{2}V_0$

$根据理想气体状态方程，有\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p_2'V_2'}{T_2'}$
$代入数据解得T_2'=3.6T_0=1 080 K$



Final answer: $2.4\times 10^5, 1 080$ Pa, K
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一个压缩式喷雾器，该喷雾器储液桶的总容积为V_0，当内部气体压强为p(未知)时恰好能工作。初始时刻,内部液面在 \frac{2}{3} 处，内部气体压强等于外界大气压p_0, 用一个容积为\Delta V= \frac{1}{10} V_0 的打气筒通过进气口给储液桶打气20次后,喷雾器可以一直工作到液面下降到 \frac{1}{2} 处。设定打气过程中，储液桶内空气温度保持不变，药液不会向外喷出，喷液管体积及喷液管与储液桶底间高度差不计,试求:$
<img_707>
$恰好能工作时内部气体压强p；$

Solution:
$以初始气体和打入的气体整体为研究对象，打气过程气体温度不变，由玻意耳定律有 20\times p_0 \times \frac{1}{10} V_0 + p_0 \times \frac{1}{3} V_0 = p \times \frac{1}{2} V_0，解得 p= \frac{14}{3} p_0。$

Final answer: $\frac{14}{3}p_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一个压缩式喷雾器，该喷雾器储液桶的总容积为V_0，当内部气体压强为p(未知)时恰好能工作。初始时刻,内部液面在 \frac{2}{3} 处，内部气体压强等于外界大气压p_0, 用一个容积为\Delta V= \frac{1}{10} V_0 的打气筒通过进气口给储液桶打气20次后,喷雾器可以一直工作到液面下降到 \frac{1}{2} 处。设定打气过程中，储液桶内空气温度保持不变，药液不会向外喷出，喷液管体积及喷液管与储液桶底间高度差不计,试求:$
![23AXGKXK5WL192.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961359497170945/img/compression/M_27f460210dc8e30863791ead9d78078b.jpg)
$恰好能工作时内部气体压强p；$

Solution:
$以初始气体和打入的气体整体为研究对象，打气过程气体温度不变，由玻意耳定律有 20\times p_0 \times \frac{1}{10} V_0 + p_0 \times \frac{1}{3} V_0 = p \times \frac{1}{2} V_0，解得 p= \frac{14}{3} p_0。$

Final answer: $\frac{14}{3}p_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $中国南海有着丰富的鱼类资源。某科研小组把某种生活在海面下500 m深处的鱼类从海里移到如图所示的两层水箱中。为使鱼存活，须创造一个类似深海的压强条件。如图所示，在一层水箱中有一条鱼，距离二层水箱水面的高度h=50 m，二层水箱水面上部空气的体积V=10 L，与外界大气相通。外界大气压p_0=1.0\times 10^5 Pa，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，g取10 m/s^2。(水箱内气体温度恒定，可看成理想气体)  $
①鱼在深海处的压强为多少？  
$②为使鱼正常存活，须给二层水箱再打进压强为p_0、体积为多少的空气？  $

![鱼箱图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961360294088707/img/compression/M_c1606bc8e4f98634689b1231260fa405.jpg)

Solution:
$①鱼在深海处的压强p=p_0+\rho gH=5.1\times 10^6 Pa$
$②为使一层水箱压强达到p，二层水箱中的气体压强应为p_1=p-\rho gh=4.6\times 10^6 Pa$
$将外界压强为p_0、体积为\Delta V的空气注入二层水箱，以水箱内原有空气和打入的空气整体为研究对象，根据玻意耳定律，有p_0(V+\Delta V)=p_1V$
$解得\Delta V=450 L$

模型特征
新注入的气体和原来的气体可以看成一个整体，通过这种方式就可以把变质量问题转化为定质量问题，再通过理想气体状态方程求解。

Final answer: $①5.1\times 10^6 Pa　②450 L$
Subfield: Thermodynamics


Question: $中国南海有着丰富的鱼类资源。某科研小组把某种生活在海面下500 m深处的鱼类从海里移到如图所示的两层水箱中。为使鱼存活，须创造一个类似深海的压强条件。如图所示，在一层水箱中有一条鱼，距离二层水箱水面的高度h=50 m，二层水箱水面上部空气的体积V=10 L，与外界大气相通。外界大气压p_0=1.0\times 10^5 Pa，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，g取10 m/s^2。(水箱内气体温度恒定，可看成理想气体)  $
①鱼在深海处的压强为多少？  
$②为使鱼正常存活，须给二层水箱再打进压强为p_0、体积为多少的空气？  $

<img_696>

Solution:
$①鱼在深海处的压强p=p_0+\rho gH=5.1\times 10^6 Pa$
$②为使一层水箱压强达到p，二层水箱中的气体压强应为p_1=p-\rho gh=4.6\times 10^6 Pa$
$将外界压强为p_0、体积为\Delta V的空气注入二层水箱，以水箱内原有空气和打入的空气整体为研究对象，根据玻意耳定律，有p_0(V+\Delta V)=p_1V$
$解得\Delta V=450 L$

模型特征
新注入的气体和原来的气体可以看成一个整体，通过这种方式就可以把变质量问题转化为定质量问题，再通过理想气体状态方程求解。



Final answer: $5.1\times 10^6, 450$ Pa, L
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面的左侧静止放置一长木板AB，右侧固定一足够长光滑斜面CD，木板的上表面与斜面底端C处于同一水平面，木板的质量M=2 kg，木板长l=7 m。一物块以水平速度v_0=9 m/s冲上木板的A端，木板向右运动，B端碰到C点时被粘连，且B、C之间平滑连接。物块的质量为m=1 kg，可视为质点，与木板之间的动摩擦因数\mu =0.45，g取10 m/s^2，求：$

<img_771>
设初始时木板B端距C点的距离为L，试讨论物块最终距C点的距离与L的关系，并求此最大距离。

Solution:
$对木板：\mu mgs = \frac{1}{2}Mv^2_\text{共} - 0$

$解得s = 2 m$

$当L \geq  2 m时，木板B端和C点相碰前，物块和木板已经达到共同速度，碰后物块以v_{共}=3 m/s的初速度做匀减速直线运动到C点$

$v^2_{共} - v^2_{C1} = 2a(l-\Delta l)$

$a=\mu g=4.5 m/s^2$

$解得v_{C1} = 0 m/s，则物块恰好停在C点，与L无关。$

$当L ＜ 2 m时，木板B端和C点相碰前，物块和木板未达到的共同速度，物块一直做匀减速运动$

$v^2_{0} - v^2_{C2}=2a(l+L)$

$解得v_{C2}=3\sqrt{2-L}$

$物块以此速度冲上斜面并会以原速率返回，最终停在木板上，s=\frac{v^2_{C2}}{2a} = 2-L$

$当L = 0m时，s有最大值s_{max} = 2 m。$

Final answer: $s_{max} = 2m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面的左侧静止放置一长木板AB，右侧固定一足够长光滑斜面CD，木板的上表面与斜面底端C处于同一水平面，木板的质量M=2 kg，木板长l=7 m。一物块以水平速度v_0=9 m/s冲上木板的A端，木板向右运动，B端碰到C点时被粘连，且B、C之间平滑连接。物块的质量为m=1 kg，可视为质点，与木板之间的动摩擦因数\mu =0.45，g取10 m/s^2，求：$

![24AHUN5WL67.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612473393688579/img/compression/M_96d13d46742dfaa06942664136c5a23f.jpg)
设初始时木板B端距C点的距离为L，试讨论物块最终距C点的距离与L的关系，并求此最大距离。

Solution:
$对木板：\mu mgs = \frac{1}{2}Mv^2_\text{共} - 0$

$解得s = 2 m$

$当L \geq  2 m时，木板B端和C点相碰前，物块和木板已经达到共同速度，碰后物块以v_{共}=3 m/s的初速度做匀减速直线运动到C点$

$v^2_{共} - v^2_{C1} = 2a(l-\Delta l)$

$a=\mu g=4.5 m/s^2$

$解得v_{C1} = 0 m/s，则物块恰好停在C点，与L无关。$

$当L ＜ 2 m时，木板B端和C点相碰前，物块和木板未达到的共同速度，物块一直做匀减速运动$

$v^2_{0} - v^2_{C2}=2a(l+L)$

$解得v_{C2}=3\sqrt{2-L}$

$物块以此速度冲上斜面并会以原速率返回，最终停在木板上，s=\frac{v^2_{C2}}{2a} = 2-L$

$当L = 0m时，s有最大值s_{max} = 2 m。$

Final answer: $s_{max} = 2m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗糙的水平面上静止放置三个质量均为m的小木箱，相邻两小木箱的距离均为L。工人用沿水平方向的力推最左边的小木箱使之向右滑动，逐一与其他小木箱碰撞。每次碰撞后小木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着三个木箱匀速运动。已知小木箱与水平面间的动摩擦因数都为\mu ，重力加速度为g。设每次碰撞时间极短，小木箱可视为质点。求第一次碰撞和第二次碰撞过程中损失的机械能之比的值。$

<img_623>

Solution:
最后恰好能推着三个木箱匀速运动，则有

$F=3\mu mg$

水平力推最左边的木箱时，根据动能定理有

$(F-\mu mg)L=\frac{1}{2}mv_1^2$

$木箱发生第一次碰撞，根据动量守恒定律有 mv_1=2mv_2$

$碰撞中损失的机械能为 \Delta E_1=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_2^2$

$第一次碰后，水平力推两木箱向右运动，根据动能定理有 (F-2\mu mg)L=\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_3^2-\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_2^2$

$木箱发生第二次碰撞，根据动量守恒定律有 2mv_3=3mv_4$

$碰撞中损失的机械能为 \Delta E_2=\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_3^2-\frac{1}{2}\times 3m\cdot v_4^2$

$联立解得两次碰撞过程中损失的机械能之比为 \frac{\Delta E_1}{\Delta E_2}=\frac{3}{2}$

Final answer: $3:2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗糙的水平面上静止放置三个质量均为m的小木箱，相邻两小木箱的距离均为L。工人用沿水平方向的力推最左边的小木箱使之向右滑动，逐一与其他小木箱碰撞。每次碰撞后小木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着三个木箱匀速运动。已知小木箱与水平面间的动摩擦因数都为\mu ，重力加速度为g。设每次碰撞时间极短，小木箱可视为质点。求第一次碰撞和第二次碰撞过程中损失的机械能之比的值。$

![24AHUN5WL159.jpg](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612528532008963/img/compression/M_cda5f4c9db9c9e68ca6977094ec9cd49.jpg)

Solution:
最后恰好能推着三个木箱匀速运动，则有

$F=3\mu mg$

水平力推最左边的木箱时，根据动能定理有

$(F-\mu mg)L=\frac{1}{2}mv_1^2$

$木箱发生第一次碰撞，根据动量守恒定律有 mv_1=2mv_2$

$碰撞中损失的机械能为 \Delta E_1=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_2^2$

$第一次碰后，水平力推两木箱向右运动，根据动能定理有 (F-2\mu mg)L=\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_3^2-\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_2^2$

$木箱发生第二次碰撞，根据动量守恒定律有 2mv_3=3mv_4$

$碰撞中损失的机械能为 \Delta E_2=\frac{1}{2}\times 2m\cdot v_3^2-\frac{1}{2}\times 3m\cdot v_4^2$

$联立解得两次碰撞过程中损失的机械能之比为 \frac{\Delta E_1}{\Delta E_2}=\frac{3}{2}$

Final answer: $3:2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，AB为半径R=0.8 m的\frac{1}{4}光滑圆弧轨道，BCD为距水平地面高h=1.25 m的水平轨道，BC部分粗糙、长度L=2 m，CD部分光滑，水平轨道与圆弧轨道相切于B点。甲、乙两物块(均视为质点)静置在水平轨道上，乙在水平轨道末端D点，两物块间夹有一水平轻质弹簧(弹簧与物块不粘连)，当弹簧处于自然伸长状态时，甲在C点的右侧。第一次，保持乙不动，用外力向右缓慢推甲，使弹簧处于压缩状态，然后将甲由静止释放，甲恰好能到达圆弧轨道的最高点A；第二次，使弹簧处于压缩量相同的状态，同时由静止释放两物块，弹簧在极短时间内恢复到自然伸长状态，此后乙落在地面上到D点水平距离为x=1 m的E点。甲的质量m_1=0.1 kg，甲与轨道BC部分间的动摩擦因数\mu =0.2，取重力加速度大小g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

<img_921>
第一次释放甲后，甲通过B点时对圆弧轨道的压力大小N；

Solution:
$设第一次释放甲后，甲通过B点时的速度大小为v，根据动能定理有-m1gR=0-\frac{1}{2}m1v2$
解得$v=4 m/s$
$设第一次释放甲后，甲通过B点时所受圆弧轨道的支持力大小为F，有F-m1g=m1\frac{v^2}{R}$
根据牛顿第三定律有$N=F$
解得$N=3 N$

Final answer: 3 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，AB为半径R=0.8 m的\frac{1}{4}光滑圆弧轨道，BCD为距水平地面高h=1.25 m的水平轨道，BC部分粗糙、长度L=2 m，CD部分光滑，水平轨道与圆弧轨道相切于B点。甲、乙两物块(均视为质点)静置在水平轨道上，乙在水平轨道末端D点，两物块间夹有一水平轻质弹簧(弹簧与物块不粘连)，当弹簧处于自然伸长状态时，甲在C点的右侧。第一次，保持乙不动，用外力向右缓慢推甲，使弹簧处于压缩状态，然后将甲由静止释放，甲恰好能到达圆弧轨道的最高点A；第二次，使弹簧处于压缩量相同的状态，同时由静止释放两物块，弹簧在极短时间内恢复到自然伸长状态，此后乙落在地面上到D点水平距离为x=1 m的E点。甲的质量m_1=0.1 kg，甲与轨道BC部分间的动摩擦因数\mu =0.2，取重力加速度大小g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

![physics question image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612553055850499/img/compression/M_924cb4591a2d162d84ae7548d6fe1c21.jpg)
第一次释放甲后，甲通过B点时对圆弧轨道的压力大小N；

Solution:
$设第一次释放甲后，甲通过B点时的速度大小为v，根据动能定理有-m1gR=0-\frac{1}{2}m1v2$
解得$v=4 m/s$
$设第一次释放甲后，甲通过B点时所受圆弧轨道的支持力大小为F，有F-m1g=m1\frac{v^2}{R}$
根据牛顿第三定律有$N=F$
解得$N=3 N$

Final answer: 3 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，AB为半径R=0.8 m的\frac{1}{4}光滑圆弧轨道，BCD为距水平地面高h=1.25 m的水平轨道，BC部分粗糙、长度L=2 m，CD部分光滑，水平轨道与圆弧轨道相切于B点。甲、乙两物块(均视为质点)静置在水平轨道上，乙在水平轨道末端D点，两物块间夹有一水平轻质弹簧(弹簧与物块不粘连)，当弹簧处于自然伸长状态时，甲在C点的右侧。第一次，保持乙不动，用外力向右缓慢推甲，使弹簧处于压缩状态，然后将甲由静止释放，甲恰好能到达圆弧轨道的最高点A；第二次，使弹簧处于压缩量相同的状态，同时由静止释放两物块，弹簧在极短时间内恢复到自然伸长状态，此后乙落在地面上到D点水平距离为x=1 m的E点。甲的质量m_1=0.1 kg，甲与轨道BC部分间的动摩擦因数\mu =0.2，取重力加速度大小g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

<img_921>
$乙的质量m_2。$

Solution:
$根据功能关系可知，弹簧处于压缩状态时的弹性势能E_p=\mu m_1gL+m_1gR$

$解得E_p=1.2 J$

$设第二次释放甲、乙后，甲、乙离开弹簧时的速度大小分别为v_1和v_2，根据动量守恒定律有m_1v_1=m_2v_2$

$根据机械能守恒定律有E_p=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$

$设第二次释放甲、乙后，乙在空中运动的时间为t，有h=\frac{1}{2}gt^2，x=v_2t$

$联立解得m_2=0.2 kg$

Final answer: $0.2 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，AB为半径R=0.8 m的\frac{1}{4}光滑圆弧轨道，BCD为距水平地面高h=1.25 m的水平轨道，BC部分粗糙、长度L=2 m，CD部分光滑，水平轨道与圆弧轨道相切于B点。甲、乙两物块(均视为质点)静置在水平轨道上，乙在水平轨道末端D点，两物块间夹有一水平轻质弹簧(弹簧与物块不粘连)，当弹簧处于自然伸长状态时，甲在C点的右侧。第一次，保持乙不动，用外力向右缓慢推甲，使弹簧处于压缩状态，然后将甲由静止释放，甲恰好能到达圆弧轨道的最高点A；第二次，使弹簧处于压缩量相同的状态，同时由静止释放两物块，弹簧在极短时间内恢复到自然伸长状态，此后乙落在地面上到D点水平距离为x=1 m的E点。甲的质量m_1=0.1 kg，甲与轨道BC部分间的动摩擦因数\mu =0.2，取重力加速度大小g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

![physics question image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612553055850499/img/compression/M_924cb4591a2d162d84ae7548d6fe1c21.jpg)
$乙的质量m_2。$

Solution:
$根据功能关系可知，弹簧处于压缩状态时的弹性势能E_p=\mu m_1gL+m_1gR$

$解得E_p=1.2 J$

$设第二次释放甲、乙后，甲、乙离开弹簧时的速度大小分别为v_1和v_2，根据动量守恒定律有m_1v_1=m_2v_2$

$根据机械能守恒定律有E_p=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$

$设第二次释放甲、乙后，乙在空中运动的时间为t，有h=\frac{1}{2}gt^2，x=v_2t$

$联立解得m_2=0.2 kg$

Final answer: $0.2 kg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一固定在地面上的四分之一光滑圆弧轨道ab，右侧放置着质量为$3M$的轨道cde，其中cd是长度为L的水平部分，de部分是半径为$R_0=L$的四分之一光滑圆弧，水平地面光滑，一质量为M的滑块P静置于轨道的c点，滑块与轨道cd部分的动摩擦因数为$\mu =3/8$，另一与滑块P完全相同的滑块Q从a点静止滑下，与滑块P发生弹性碰撞，滑块P、Q可视为质点，重力加速度为g，求：

<img_619>
滑块 Q 滑至 b 点时，对轨道的压力大小；

Solution:
$设圆弧ab的半径为R，由机械能守恒可得MgR = \frac{1}{2} Mv_b$
$在b点，由牛顿第二定律得 F_N -Mg = M \frac{v^2_b}{R}$
$解得 F_N = 3Mg$
由牛顿第三定律可得，滑块Q滑至b点时，对轨道压力大小为3Mg。

Final answer: $3Mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一固定在地面上的四分之一光滑圆弧轨道ab，右侧放置着质量为$3M$的轨道cde，其中cd是长度为L的水平部分，de部分是半径为$R_0=L$的四分之一光滑圆弧，水平地面光滑，一质量为M的滑块P静置于轨道的c点，滑块与轨道cd部分的动摩擦因数为$\mu =3/8$，另一与滑块P完全相同的滑块Q从a点静止滑下，与滑块P发生弹性碰撞，滑块P、Q可视为质点，重力加速度为g，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612581945352195/img/compression/M_86f581b5eacd08aa8f6a80192b0cd186.jpg)
滑块 Q 滑至 b 点时，对轨道的压力大小；

Solution:
$设圆弧ab的半径为R，由机械能守恒可得MgR = \frac{1}{2} Mv_b$
$在b点，由牛顿第二定律得 F_N -Mg = M \frac{v^2_b}{R}$
$解得 F_N = 3Mg$
由牛顿第三定律可得，滑块Q滑至b点时，对轨道压力大小为3Mg。

Final answer: $3Mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一固定在地面上的四分之一光滑圆弧轨道ab，右侧放置着质量为$3M$的轨道cde，其中cd是长度为L的水平部分，de部分是半径为$R_0=L$的四分之一光滑圆弧，水平地面光滑，一质量为M的滑块P静置于轨道的c点，滑块与轨道cd部分的动摩擦因数为$\mu =3/8$，另一与滑块P完全相同的滑块Q从a点静止滑下，与滑块P发生弹性碰撞，滑块P、Q可视为质点，重力加速度为g，求：

<img_619>
若滑块Q与P碰撞后，滑块P沿轨道cde冲上圆弧部分后最终又回到c点并相对于轨道cde静止，一起往右做匀速直线运动，求圆弧轨道ab的半径R。

Solution:
$滑块Q与滑块P发生弹性碰撞，由动量守恒有$

$Mv_b=Mv'_b+Mv_c$

由机械能守恒得

$\frac{1}{2}Mv^2_b=\frac{1}{2}Mv'^2_b+\frac{1}{2}Mv^2_c$

$可得v_c=\sqrt{2gR}$

$当P滑块回到c点时，由能量守恒得$

$\frac{1}{2}Mv^2_c=\frac{1}{2}\times 4Mv^2+2\mu MgL$

$由动量守恒有Mv_c=4Mv$

$解得R=L$

Final answer: L
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一固定在地面上的四分之一光滑圆弧轨道ab，右侧放置着质量为$3M$的轨道cde，其中cd是长度为L的水平部分，de部分是半径为$R_0=L$的四分之一光滑圆弧，水平地面光滑，一质量为M的滑块P静置于轨道的c点，滑块与轨道cd部分的动摩擦因数为$\mu =3/8$，另一与滑块P完全相同的滑块Q从a点静止滑下，与滑块P发生弹性碰撞，滑块P、Q可视为质点，重力加速度为g，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612581945352195/img/compression/M_86f581b5eacd08aa8f6a80192b0cd186.jpg)
若滑块Q与P碰撞后，滑块P沿轨道cde冲上圆弧部分后最终又回到c点并相对于轨道cde静止，一起往右做匀速直线运动，求圆弧轨道ab的半径R。

Solution:
$滑块Q与滑块P发生弹性碰撞，由动量守恒有$

$Mv_b=Mv'_b+Mv_c$

由机械能守恒得

$\frac{1}{2}Mv^2_b=\frac{1}{2}Mv'^2_b+\frac{1}{2}Mv^2_c$

$可得v_c=\sqrt{2gR}$

$当P滑块回到c点时，由能量守恒得$

$\frac{1}{2}Mv^2_c=\frac{1}{2}\times 4Mv^2+2\mu MgL$

$由动量守恒有Mv_c=4Mv$

$解得R=L$

Final answer: L
Subfield: Mechanics


Question: $如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上;物块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t_0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图(b)所示。已知从t=0到t=t_0时间内，物块A运动的距离为0.36 v_0 t_0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为\theta (\sin\theta =0.6)，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612582436085763/img/compression/M_2fcaad0aa7563333151493674f9c0abb.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612582436085763/img/compression/M_afe78417919dd86c1a36c45f27c5ad41.jpg)
第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值;

Solution:
$在t_0时弹簧压缩量最大，设为\Delta x$
$由题意，0～t_0内，$
$m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{B}\cdot 1.2v_0$
$即mv_{A}+5mv_{B}=6mv_0$
$化简得v_{A}=5(1.2v_0-v_{B})$
$根据图(b)分析上式，A图线在0~t_0上任意一点到横坐标轴的距离等于同一时刻B图线上对应点到v=1.2v_0线的距离的5倍。由v-t图线与时间轴所围面积表示位移，且0~t_0时间内x_{A}=0.36v_{0}t_{0}，可知0～t_0时间内图线B与v=1.2v_{0}线所围面积x_{1}=\frac{1}{5}x_{A}=0.072v_{0}t_{0}，图线B与A之间所围面积表示\Delta x，则\Delta x=1.2v_{0}t_{0}-x_{A}-\frac{1}{5}x_{A}=0.768v_{0}t_{0}$

Final answer: $0.768v_{0}t_{0}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上;物块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t_0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图(b)所示。已知从t=0到t=t_0时间内，物块A运动的距离为0.36 v_0 t_0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为\theta (\sin\theta =0.6)，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求$

<img_1473>

<img_1025>
第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值;

Solution:
$在t_0时弹簧压缩量最大，设为\Delta x$
$由题意，0～t_0内，$
$m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{B}\cdot 1.2v_0$
$即mv_{A}+5mv_{B}=6mv_0$
$化简得v_{A}=5(1.2v_0-v_{B})$
$根据图(b)分析上式，A图线在0~t_0上任意一点到横坐标轴的距离等于同一时刻B图线上对应点到v=1.2v_0线的距离的5倍。由v-t图线与时间轴所围面积表示位移，且0~t_0时间内x_{A}=0.36v_{0}t_{0}，可知0～t_0时间内图线B与v=1.2v_{0}线所围面积x_{1}=\frac{1}{5}x_{A}=0.072v_{0}t_{0}，图线B与A之间所围面积表示\Delta x，则\Delta x=1.2v_{0}t_{0}-x_{A}-\frac{1}{5}x_{A}=0.768v_{0}t_{0}$



Final answer: $0.768v_{0}t_{0}$