Subfield: Inequality


Question: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}$ 满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{100}=1$, 且 $\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<\frac{1}{50}, k=1,2, \cdots$, 99 .

证明: 存在整数 $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{50}, 1 \leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{50} \leq 100$, 使得 $\frac{49}{100} \leq x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{50}} \leq \frac{51}{100}$ .

Solution:
记 $a_{i}=\min \left\{x_{2 i-1}, x_{2 i}\right\}, b_{i}=\max \left\{x_{2 i-1}, x_{2 i}\right\}, i=1,2, \cdots, 50$ .

构造下列 51 个数:

$S_{0}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{50}$

$S_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots a_{k}+b_{k+1}+b_{k+2}+\cdots+b_{50}, k=1,2, \cdots, 49$;

$S_{50}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{50}$ .

下面证明 $S_{0}, S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 中至少有一个在区间 $\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ 内.

由上述符号的含义, 知 $S_{0}+S_{50}=\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{50}\right)+\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{50}\right)=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{100}=1$,且 $S_{0} \geq S_{1} \geq S_{2} \geq \cdots \geq S_{50}$ .

$\therefore \quad S_{0} \geq \frac{1}{2} \geq S_{50}$ .

(1) 若 $S_{0} \leq \frac{51}{100}$ .

则由 $S_{0} \geq \frac{1}{2}$, 得 $\frac{49}{100} \leq S_{0} \leq \frac{51}{100}$ .因此, $S_{0} \in\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ .

(2) 若 $S_{0}>\frac{51}{100}$ .

假设 $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 都不在区间 $\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ 内.

则由 $S_{0}-S_{1}=b_{1}-a_{1}=\left|x_{2}-x_{1}\right|<\frac{1}{50}$, 知 $S_{1}>S_{0}-\frac{1}{50}>\frac{51}{100}-\frac{1}{50}=\frac{49}{100}$, 结合假设, 得 $S_{1}>\frac{51}{100} .$

又由 $S_{0}>\frac{51}{100}$, 知 $S_{50}=1-S_{0}<\frac{49}{100}$ .

$\therefore S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 中存在比 $\frac{49}{100}$ 小的数, 也存在比 $\frac{51}{100}$ 大的数.

又 $S_{0} \geq S_{1} \geq S_{2} \geq \cdots \geq S_{50}$, 且 $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 都不在区间 $\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ 内.

因此, 存在 $j \in\{1,2, \ldots, 50\}$, 使得 $S_{j}<\frac{49}{100}, S_{j-1}>\frac{51}{100}$ .

此时, $S_{j-1}-S_{j}>\frac{51}{100}-\frac{49}{100}=\frac{1}{50}$ .

另一方面, $S_{j-1}-S_{j}=b_{j}-a_{j}=\left|x_{2 j}-x_{2 j-1}\right|<\frac{1}{50}$, 两者矛盾.

$\therefore S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 中有至少有一个在区间 $\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ 内.

由 (1)、(2) 知, $S_{0}, S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{50}$ 中至少有一个在区间 $\left[\frac{49}{100}, \frac{51}{100}\right]$ 内.

由 $S_{k}(k=0,1,2, \cdots, 50)$ 的定义知, 结论成立.
首先用数学归纳法证明:

对于任意正整数 $n$, 若实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2 n}$ 满足 $\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<\frac{1}{50}, k=1,2, \cdots, 2 n-1$,

则存在 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2 n}$ 的一个排列 $x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \cdots, x_{i_{n}}, x_{j_{1}}, x_{j_{2}}, \cdots, x_{j_{n}}$ 使得

$$
\left|\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{n}}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{n}}\right)\right|<\frac{1}{50} .
$$

证明如下: (1) 当 $n=1$ 时, 结论显然成立.

(2) 假设 $n=k$ 时, 结论成立, 则当 $n=k+1$ 时, 由归纳假设知, 存在 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2 k}$ 的一个排列 $x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \cdots, x_{i_{k}}, x_{j_{1}}, x_{j_{2}}, \cdots, x_{j_{k}}$ 使得

$$
\left|\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{k}}\right)\right|<\frac{1}{50} .
$$

记 $\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{k}}\right)=d_{1}, x_{2 k+2}-x_{2 k+1}=d_{2}$, 则

$\left|d_{1}\right|<\frac{1}{50},\left|d_{2}\right|<\frac{1}{50} .$

从而当 $d_{1} \cdot d_{2} \geq 0$ 时,

$$
\left|\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}+x_{2 k+1}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{k}}+x_{2 k+2}\right)\right|=\left|d_{1}-d_{2}\right|<\frac{1}{50} ;
$$

当 $d_{1} \cdot d_{2}<0$ 时,

$$
\left|\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}+x_{2 k+2}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{k}}+x_{2 k+1}\right)\right|=\left|d_{1}+d_{2}\right|<\frac{1}{50} .
$$

即 $n=k+1$ 时, 结论也成立.

由（1）（2）知, 对于任意正整数 $n$, 结论都成立.

回到本题, 利用上述结论容易知道存在 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}$ 的一个排列 $x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \cdots, x_{i_{50}}, x_{j_{1}}, x_{j_{2}}, \cdots, x_{j_{50}}$ 满足:

$$
\begin{aligned}
& 1 \leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{50} \leq 100, \quad 1 \leq j_{1}<j_{2}<\cdots<j_{50} \leq 100, \\
& \text { 且 }\left|\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{50}}\right)-\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{50}}\right)\right|<\frac{1}{50}, \\
& \text { 又 }\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{50}}\right)+\left(x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{50}}\right)=1,
\end{aligned}
$$

所以 $\frac{50}{100} \leq x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{50}}<\frac{51}{100}$ 或 $\frac{50}{100} \leq x_{j_{1}}+x_{j_{2}}+\cdots+x_{j_{50}}<\frac{51}{100}$ .

因此结论成立.