di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313677257089026/img/compression/M_9d3780811a08d03d5a5d4661a9bc0cc1.jpg)
$用\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}表示\overrightarrow{OC}；$

Solution:
$\because 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0，\therefore \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}，\therefore A为线段BC的中点，(2分)\therefore \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}，\therefore \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}.(6分)$

Final answer: $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0.
$<img_2252>
$若点D是线段OB的中点，用向量方法证明四边形OCAD是梯形.$

Solution:
$证明：若点D是线段OB的中点，则\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}.\therefore \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}，\therefore AD\parallel OC，且AD\neq OC，故四边形OCAD是梯形.(12分)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313677257089026/img/compression/M_9d3780811a08d03d5a5d4661a9bc0cc1.jpg)
$若点D是线段OB的中点，用向量方法证明四边形OCAD是梯形.$

Solution:
$证明：若点D是线段OB的中点，则\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}.\therefore \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}，\therefore AD\parallel OC，且AD\neq OC，故四边形OCAD是梯形.(12分)$

Final answer: 证明题
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Question: $已知t\in (0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10-t，0).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698423540666369/img/compression/M_0a45f4d8227dcc6c4fec70c17da970d5.jpg)
$写出直线PQ的方程(答案含t)；$

Solution:
$由题意知当直线PQ斜率存在，即t\neq 5时，k_{PQ}=\frac{t}{2t-10}，直线PQ的方程为y-t=\frac{t}{2t-10}(x-t)，当直线PQ的斜率不存在，即t=5时，直线PQ的方程为x=5.综上，直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10).(5分)$

Final answer: $(2t-10)y=t(x+t-10)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知t\in (0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10-t，0).
$<img_2197>
$写出直线PQ的方程(答案含t)；$

Solution:
$由题意知当直线PQ斜率存在，即t\neq 5时，k_{PQ}=\frac{t}{2t-10}，直线PQ的方程为y-t=\frac{t}{2t-10}(x-t)，当直线PQ的斜率不存在，即t=5时，直线PQ的方程为x=5.综上，直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10).(5分)$

Final answer: $(2t-10)y=t(x+t-10)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知t\in (0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10-t，0).
$<img_2197>
$在\triangle OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若OA=a，则当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值.$

Solution:
$由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB，\because OA=a，\therefore A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a).\because 点C(2a，a)在直线PQ上，\therefore (2t-10)a=t(2a+t-10)，\therefore a=\frac{1}{10}t(10-t)=-\frac{1}{10}(t-5)^{2}+\frac{5}{2}，要使正方形ABCD的面积最大，则需a取最大值，当t=5时，a取最大值\frac{5}{2}，此时正方形ABCD的面积最大.(10分)$

Final answer: $a=\frac52$, $t=5$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知t\in (0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10-t，0).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698423540666369/img/compression/M_0a45f4d8227dcc6c4fec70c17da970d5.jpg)
$在\triangle OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若OA=a，则当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值.$

Solution:
$由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB，\because OA=a，\therefore A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a).\because 点C(2a，a)在直线PQ上，\therefore (2t-10)a=t(2a+t-10)，\therefore a=\frac{1}{10}t(10-t)=-\frac{1}{10}(t-5)^{2}+\frac{5}{2}，要使正方形ABCD的面积最大，则需a取最大值，当t=5时，a取最大值\frac{5}{2}，此时正方形ABCD的面积最大.(10分)$

Final answer: $a=\frac52$, $t=5$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图，一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=ax^{2}-20ax-b在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698440762351617/img/compression/M_9d50e783fb3ff2b8fab1516d999216c6.jpg)
$求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度；$

Solution:
$f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)，令y=f(x)，则x^{2}+y^{2}=b^{2}(-b\leq x\leq 0，-b\leq y\leq 0)，(2分)所以曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)表示以(0，0)为圆心，半径r=b的\frac{1}{4}圆弧，建系如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698441135644674/img/compression/M_1b4e545c3d1826991beec57a2a375649.jpg)$g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)，由图象可知a<0，又函数图象的对称轴为直线x=-\frac{-20a}{2a}=10，且|30-10|>|10-0|，所以g(x)_{max}=g(10)=-100a-b=-30，g(30)=300a-b=-70，解得\left\{\begin{matrix}a=-\frac{1}{10},\\ b=40.\end{matrix}\right.所以\overset{\LARGE{\frown}}{AB}=\frac{1}{4}\times 2\pi \times 40=20\pi ，所以a=-\frac{1}{10}，b=40，助滑道曲线AB的长度为20\pi 米.(6分)$

Final answer: $a=-\frac{1}{10}$,$b=40$,$20\pi$ ,,米
Subfield: Plane Geometry


Question: $“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图，一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=ax^{2}-20ax-b在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70.$<img_2735>
$求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度；$

Solution:
$f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)，令y=f(x)，则x^{2}+y^{2}=b^{2}(-b\leq x\leq 0，-b\leq y\leq 0)，(2分)所以曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)表示以(0，0)为圆心，半径r=b的\frac{1}{4}圆弧，建系如图，$<img_2678>$g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)，由图象可知a<0，又函数图象的对称轴为直线x=-\frac{-20a}{2a}=10，且|30-10|>|10-0|，所以g(x)_{max}=g(10)=-100a-b=-30，g(30)=300a-b=-70，解得\left\{\begin{matrix}a=-\frac{1}{10},\\ b=40.\end{matrix}\right.所以\overset{\LARGE{\frown}}{AB}=\frac{1}{4}\times 2\pi \times 40=20\pi ，所以a=-\frac{1}{10}，b=40，助滑道曲线AB的长度为20\pi 米.(6分)$

Final answer: $a=-\frac{1}{10}$,$b=40$,$20\pi$ ,,米
Subfield: Plane Geometry


Question: $“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图，一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=ax^{2}-20ax-b在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698440762351617/img/compression/M_9d50e783fb3ff2b8fab1516d999216c6.jpg)
$若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米，\sqrt{5}\approx 2.236).$

Solution:
$依题意可得A(-40，0)，B(0，-40)，y_{C}=-120，连接BC，由(1)可得g(x)=-\frac{1}{10}x^{2}+2x-40(x>0)，(8分)令g(x)=-120，即-\frac{1}{10}x^{2}+2x-40=-120，解得x_{1}=40，x_{2}=-20(舍去).(10分)所以C(40，-120)，所以|BC|=\sqrt{{40}^2+{(-120+40)}^2}=40\sqrt{5}\approx 89，即该运动员的飞行距离约为89米.(12分)$

Final answer: $89$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强.如图，一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-\sqrt{b^2-x^2}(-b\leq x\leq 0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g(x)=ax^{2}-20ax-b(x>0)飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=ax^{2}-20ax-b在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70.$<img_2735>
$若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米，\sqrt{5}\approx 2.236).$

Solution:
$依题意可得A(-40，0)，B(0，-40)，y_{C}=-120，连接BC，由(1)可得g(x)=-\frac{1}{10}x^{2}+2x-40(x>0)，(8分)令g(x)=-120，即-\frac{1}{10}x^{2}+2x-40=-120，解得x_{1}=40，x_{2}=-20(舍去).(10分)所以C(40，-120)，所以|BC|=\sqrt{{40}^2+{(-120+40)}^2}=40\sqrt{5}\approx 89，即该运动员的飞行距离约为89米.(12分)$

Final answer: $89$
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Question: $如图，在空间四边形OABC中，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，点E为AD的中点，设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$<img_2446>
$试用向量a，b，c表示向量\overrightarrow{OE}；$

Solution:
$因为点E为AD的中点，所以\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}，因为2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，所以\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}，所以\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c.(6分)$

Final answer: $\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在空间四边形OABC中，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，点E为AD的中点，设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698452225384450/img/compression/M_bf1400fdca1561e451c5812f89ee0398.jpg)
$试用向量a，b，c表示向量\overrightarrow{OE}；$

Solution:
$因为点E为AD的中点，所以\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}，因为2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，所以\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}，所以\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}，所以\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c.(6分)$

Final answer: $\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在空间四边形OABC中，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，点E为AD的中点，设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$<img_2446>
$若OA=OC=4，OB=3，\angle AOC=\angle BOC=\angle AOB=60^\circ ，求\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{AC}的值.$

Solution:
$由(1)得\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c，因为OA=OC=4，OB=3，\angle AOC=\angle BOC=\angle AOB=60^\circ ，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=c-a，所以\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{6}\boldsymbol{c}\right)\cdot (c-a)=\frac{1}{2}a\cdot c-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}b\cdot c-\frac{1}{3}a\cdot b+\frac{1}{6}c^{2}-\frac{1}{6}a\cdot c=\frac{1}{3}a\cdot c-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}b\cdot c-\frac{1}{3}a\cdot b+\frac{1}{6}c^{2}=\frac{1}{3}\times 4\times 4\\cos   60^\circ -\frac{1}{2}\times 4^{2}+\frac{1}{3}\times 3\times 4\\cos   60^\circ -\frac{1}{3}\times 3\times 4\\cos   60^\circ +\frac{1}{6}\times 4^{2}=-\frac{8}{3}.(12分)$

Final answer: $-\frac{8}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在空间四边形OABC中，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，点E为AD的中点，设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698452225384450/img/compression/M_bf1400fdca1561e451c5812f89ee0398.jpg)
$若OA=OC=4，OB=3，\angle AOC=\angle BOC=\angle AOB=60^\circ ，求\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{AC}的值.$

Solution:
$由(1)得\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{6}c，因为OA=OC=4，OB=3，\angle AOC=\angle BOC=\angle AOB=60^\circ ，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=c-a，所以\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{6}\boldsymbol{c}\right)\cdot (c-a)=\frac{1}{2}a\cdot c-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}b\cdot c-\frac{1}{3}a\cdot b+\frac{1}{6}c^{2}-\frac{1}{6}a\cdot c=\frac{1}{3}a\cdot c-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}b\cdot c-\frac{1}{3}a\cdot b+\frac{1}{6}c^{2}=\frac{1}{3}\times 4\times 4\\cos   60^\circ -\frac{1}{2}\times 4^{2}+\frac{1}{3}\times 3\times 4\\cos   60^\circ -\frac{1}{3}\times 3\times 4\\cos   60^\circ +\frac{1}{6}\times 4^{2}=-\frac{8}{3}.(12分)$

Final answer: $-\frac{8}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图1)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕(如图2).
$<img_2818>
$已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆，若取半径为2\sqrt{3}的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求折痕所围成的椭圆C(即图1中N点的轨迹)的标准方程；$

Solution:
$根据题意，设N(x，y)为椭圆C上一点，由题意可知|NF|+|NE|=|AE|=2\sqrt{3}>|EF|=2，所以N点的轨迹是分别以F、E为左、右焦点，长轴长2a=2\sqrt{3}，焦距2c=2的椭圆，(2分)因为2c=2，2a=2\sqrt{3}，所以c=1，a=\sqrt{3}，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=2，所以折痕所围成的椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1.(5分)$

Final answer: $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图1)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕(如图2).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698467464048642/img/compression/M_6ecef1ebfc4b0ef1261e0c0d7096c7d9.jpg)
$已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆，若取半径为2\sqrt{3}的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求折痕所围成的椭圆C(即图1中N点的轨迹)的标准方程；$

Solution:
$根据题意，设N(x，y)为椭圆C上一点，由题意可知|NF|+|NE|=|AE|=2\sqrt{3}>|EF|=2，所以N点的轨迹是分别以F、E为左、右焦点，长轴长2a=2\sqrt{3}，焦距2c=2的椭圆，(2分)因为2c=2，2a=2\sqrt{3}，所以c=1，a=\sqrt{3}，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=2，所以折痕所围成的椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1.(5分)$

Final answer: $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图1)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕(如图2).
$<img_2818>
$经过椭圆C的左焦点F_{1}作直线l，且直线l交椭圆C于P，Q两点，问x轴上是否存在一点M，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数？若存在，求出M的坐标及该常数；若不存在，说明理由.$

Solution:
$由题知F_{1}(-1，0)，假设存在点M(t，0)，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，P(x_{1}，y_{1})，Q(x_{2}，y_{2})，联立\left\{\begin{matrix}y=k(x+1),\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1,\end{matrix}\right.得(2+3k^{2})x^{2}+6k^{2}x+3k^{2}-6=0，所以x_{1}+x_{2}=-\frac{6k^2}{2+3k^2}，x_{1}x_{2}=\frac{3k^2-6}{2+3k^2}，(8分)易知\overrightarrow{MP}=(x_{1}-t，y_{1})，\overrightarrow{MQ}=(x_{2}-t，y_{2})，所以\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+y_{1}y_{2}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+k^{2}(x_{1}+1)(x_{2}+1)=(k^{2}+1)x_{1}x_{2}+(k^{2}-t)(x_{1}+x_{2})+k^{2}+t^{2}=\frac{(k^2+1)(3k^2-6)}{2+3k^2}-\frac{(k^2-t)\cdot 6k^2}{2+3k^2}+k^{2}+t^{2}=\frac{(6t-1)k^2-6}{2+3k^2}+t^{2}=\frac{\left(2t-\frac{1}{3}\right)(2+3k^2)-\left(4t+\frac{16}{3}\right)}{2+3k^2}+t^{2}=t^{2}+2t-\frac{1}{3}-\frac{4t+\frac{16}{3}}{2+3k^2}，(10分)又因为\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，所以t^{2}+2t-\frac{1}{3}-\frac{4t+\frac{16}{3}}{2+3k^2}的值与k无关，所以4t+\frac{16}{3}=0，即t=-\frac{4}{3}，此时\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=-\frac{11}{9}.(11分)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆C的方程，得y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}，不妨令P\left(-1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，Q\left(-1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，所以\overrightarrow{MP}=\left(-1-t,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，\overrightarrow{MQ}=\left(-1-t,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，当t=-\frac{4}{3}时，\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=(1+t)^{2}-\frac{4}{3}=-\frac{11}{9}.(13分)综上，在x轴上存在一点M\left(-\frac{4}{3},0\right)，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，这个常数为-\frac{11}{9}.(14分)$

Final answer: $(-\frac43, 0), -\frac{11}{9}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图1)：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕(如图2).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698467464048642/img/compression/M_6ecef1ebfc4b0ef1261e0c0d7096c7d9.jpg)
$经过椭圆C的左焦点F_{1}作直线l，且直线l交椭圆C于P，Q两点，问x轴上是否存在一点M，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数？若存在，求出M的坐标及该常数；若不存在，说明理由.$

Solution:
$由题知F_{1}(-1，0)，假设存在点M(t，0)，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，P(x_{1}，y_{1})，Q(x_{2}，y_{2})，联立\left\{\begin{matrix}y=k(x+1),\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1,\end{matrix}\right.得(2+3k^{2})x^{2}+6k^{2}x+3k^{2}-6=0，所以x_{1}+x_{2}=-\frac{6k^2}{2+3k^2}，x_{1}x_{2}=\frac{3k^2-6}{2+3k^2}，(8分)易知\overrightarrow{MP}=(x_{1}-t，y_{1})，\overrightarrow{MQ}=(x_{2}-t，y_{2})，所以\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+y_{1}y_{2}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+k^{2}(x_{1}+1)(x_{2}+1)=(k^{2}+1)x_{1}x_{2}+(k^{2}-t)(x_{1}+x_{2})+k^{2}+t^{2}=\frac{(k^2+1)(3k^2-6)}{2+3k^2}-\frac{(k^2-t)\cdot 6k^2}{2+3k^2}+k^{2}+t^{2}=\frac{(6t-1)k^2-6}{2+3k^2}+t^{2}=\frac{\left(2t-\frac{1}{3}\right)(2+3k^2)-\left(4t+\frac{16}{3}\right)}{2+3k^2}+t^{2}=t^{2}+2t-\frac{1}{3}-\frac{4t+\frac{16}{3}}{2+3k^2}，(10分)又因为\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，所以t^{2}+2t-\frac{1}{3}-\frac{4t+\frac{16}{3}}{2+3k^2}的值与k无关，所以4t+\frac{16}{3}=0，即t=-\frac{4}{3}，此时\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=-\frac{11}{9}.(11分)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆C的方程，得y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}，不妨令P\left(-1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，Q\left(-1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，所以\overrightarrow{MP}=\left(-1-t,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，\overrightarrow{MQ}=\left(-1-t,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，当t=-\frac{4}{3}时，\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=(1+t)^{2}-\frac{4}{3}=-\frac{11}{9}.(13分)综上，在x轴上存在一点M\left(-\frac{4}{3},0\right)，使得\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}为常数，这个常数为-\frac{11}{9}.(14分)$

Final answer: $(-\frac43, 0), -\frac{11}{9}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$<img_1747>
$若x_{1}+x_{2}=2p，求|MF|+|NF|的值；$

Solution:
$由抛物线的定义得|MF|+|NF|=x_{1}+x_{2}+p=2p+p=3p.(2分)$

Final answer: $3p$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698481732440066/img/compression/M_53a2da82e952a3920b69e44e8e9cfea4.jpg)
$若x_{1}+x_{2}=2p，求|MF|+|NF|的值；$

Solution:
$由抛物线的定义得|MF|+|NF|=x_{1}+x_{2}+p=2p+p=3p.(2分)$

Final answer: $3p$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$<img_1747>
$若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；$

Solution:
$由题易得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my-\frac{p}{2}，联立\left\{\begin{matrix}y^2=2px,\\ x=my-\frac{p}{2},\end{matrix}\right.可得y^{2}-2mpy+p^{2}=0，所以\Delta =4m^{2}p^{2}-4p^{2}>0，y_{1}+y_{2}=2mp，y_{1}y_{2}=p^{2}，因为M是线段AN的中点，所以y_{1}=\frac{y_2}{2}，(4分)故y_{1}=\frac{\sqrt{2}p}{2}，y_{2}=\sqrt{2}p，所以\frac{\sqrt{2}p}{2}+\sqrt{2}p=2mp，解得m=\frac{3\sqrt{2}}{4}，根据对称性，可得直线MN的方程为x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{4}y-\frac{p}{2}，即4x\pm 3\sqrt{2}y+2p=0.(6分)$

Final answer: $4x\pm 3\sqrt{2}y+2p=0$
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Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698481732440066/img/compression/M_53a2da82e952a3920b69e44e8e9cfea4.jpg)
$若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；$

Solution:
$由题易得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my-\frac{p}{2}，联立\left\{\begin{matrix}y^2=2px,\\ x=my-\frac{p}{2},\end{matrix}\right.可得y^{2}-2mpy+p^{2}=0，所以\Delta =4m^{2}p^{2}-4p^{2}>0，y_{1}+y_{2}=2mp，y_{1}y_{2}=p^{2}，因为M是线段AN的中点，所以y_{1}=\frac{y_2}{2}，(4分)故y_{1}=\frac{\sqrt{2}p}{2}，y_{2}=\sqrt{2}p，所以\frac{\sqrt{2}p}{2}+\sqrt{2}p=2mp，解得m=\frac{3\sqrt{2}}{4}，根据对称性，可得直线MN的方程为x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{4}y-\frac{p}{2}，即4x\pm 3\sqrt{2}y+2p=0.(6分)$

Final answer: $4x\pm 3\sqrt{2}y+2p=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698481732440066/img/compression/M_53a2da82e952a3920b69e44e8e9cfea4.jpg)
$若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由.$

Solution:
$设P\left(-\frac{p}{2},y_0\right)，Q\left(-\frac{p}{2},-y_0\right)，y_{0}\neq 0，则直线PM:y=\frac{y_1-y_0}{x_1+\frac{p}{2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)+y_{0}=\frac{y_1-y_0}{my_1}\left(x+\frac{p}{2}\right)+y_{0}，直线QN:y=\frac{y_2+y_0}{x_2+\frac{p}{2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)-y_{0}=\frac{y_2+y_0}{my_2}\left(x+\frac{p}{2}\right)-y_{0}，联立可得\left(x+\frac{p}{2}\right)\left(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}\right)=2m，(8分)将y_{1}+y_{2}=2mp，y_{1}y_{2}=p^{2}代入得x=\frac{2my_1y_2}{y_1+y_2}-\frac{p}{2}=\frac{2m\cdot p^2}{2mp}-\frac{p}{2}=\frac{p}{2}，所以直线PM与QN的交点在定直线x=\frac{p}{2}上.(10分)$

Final answer: $直线PM与QN的交点在一条定直线上。$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x_{1}，y_{1})，N(x_{2}，y_{2})(x_{2}>x_{1})两点.
$<img_1747>
$若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由.$

Solution:
$设P\left(-\frac{p}{2},y_0\right)，Q\left(-\frac{p}{2},-y_0\right)，y_{0}\neq 0，则直线PM:y=\frac{y_1-y_0}{x_1+\frac{p}{2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)+y_{0}=\frac{y_1-y_0}{my_1}\left(x+\frac{p}{2}\right)+y_{0}，直线QN:y=\frac{y_2+y_0}{x_2+\frac{p}{2}}\left(x+\frac{p}{2}\right)-y_{0}=\frac{y_2+y_0}{my_2}\left(x+\frac{p}{2}\right)-y_{0}，联立可得\left(x+\frac{p}{2}\right)\left(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}\right)=2m，(8分)将y_{1}+y_{2}=2mp，y_{1}y_{2}=p^{2}代入得x=\frac{2my_1y_2}{y_1+y_2}-\frac{p}{2}=\frac{2m\cdot p^2}{2mp}-\frac{p}{2}=\frac{p}{2}，所以直线PM与QN的交点在定直线x=\frac{p}{2}上.(10分)$



Final answer: $直线PM与QN的交点在一条定直线上。$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知抛物线C_{1}:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，双曲线C_{2}:x^{2}-y^{2}=1的斜率大于0的渐近线为l，过点F作直线AB\parallel l，交抛物线C_{1}于A，B两点，且|AB|=16.$<img_2086>
$求抛物线C_{1}的方程；$

Solution:
$由抛物线C_{1}的方程可得焦点F\left(\frac{p}{2},0\right)，准线方程为x=-\frac{p}{2}，由题意及双曲线的方程可得直线l的斜率为1，则直线AB的方程为y=x-\frac{p}{2}，设A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，联立\left\{\begin{matrix}y=x-\frac{p}{2},\\  y^2=2px,\end{matrix}\right.消y整理可得x^{2}-3px+\frac{p^2}{4}=0，可得x_{1}+x_{2}=3p，x_{1}x_{2}=\frac{p^2}{4}，(2分)由抛物线的定义可得|AB|=x_{1}+x_{2}+p=16，即3p+p=16，解得p=4，所以抛物线C_{1}的方程为y^{2}=8x.(4分)$

Final answer: $y^{2}=8x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知抛物线C_{1}:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，双曲线C_{2}:x^{2}-y^{2}=1的斜率大于0的渐近线为l，过点F作直线AB\parallel l，交抛物线C_{1}于A，B两点，且|AB|=16.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698486689980418/img/compression/M_8cc76c2f53e2d4e14829030534b16148.jpg)
$求抛物线C_{1}的方程；$

Solution:
$由抛物线C_{1}的方程可得焦点F\left(\frac{p}{2},0\right)，准线方程为x=-\frac{p}{2}，由题意及双曲线的方程可得直线l的斜率为1，则直线AB的方程为y=x-\frac{p}{2}，设A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，联立\left\{\begin{matrix}y=x-\frac{p}{2},\\  y^2=2px,\end{matrix}\right.消y整理可得x^{2}-3px+\frac{p^2}{4}=0，可得x_{1}+x_{2}=3p，x_{1}x_{2}=\frac{p^2}{4}，(2分)由抛物线的定义可得|AB|=x_{1}+x_{2}+p=16，即3p+p=16，解得p=4，所以抛物线C_{1}的方程为y^{2}=8x.(4分)$

Final answer: $y^{2}=8x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知抛物线C_{1}:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，双曲线C_{2}:x^{2}-y^{2}=1的斜率大于0的渐近线为l，过点F作直线AB\parallel l，交抛物线C_{1}于A，B两点，且|AB|=16.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698486689980418/img/compression/M_8cc76c2f53e2d4e14829030534b16148.jpg)
$若直线m\parallel l，且与抛物线C_{1}相切于点P，求k_{PA}\cdot k_{PB}的值.$

Solution:
$设直线m的方程为y=x+t(t\neq 0)，联立\left\{\begin{matrix}y=x+t,\\ y^2=8x,\end{matrix}\right.消y整理可得x^{2}+(2t-8)x+t^{2}=0，由\Delta =(2t-8)^{2}-4t^{2}=0，解得t=2，(6分)即x^{2}-4x+4=0，可得x=2，y=x+t=2+2=4，即P(2，4)，易得直线AB的方程为y=x-2，x_{1}+x_{2}=3\times 4=12，x_{1}x_{2}=\frac{4^2}{4}=4，(8分)故k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y_1-4}{x_1-2}\cdot \frac{y_2-4}{x_2-2}=\frac{(x_1-2-4)(x_2-2-4)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{x_1x_2-6(x_1+x_2)+36}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}=\frac{4-6\times 12+36}{4-2\times 12+4}=2，所以k_{PA}\cdot k_{PB}的值为2.(10分)$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知抛物线C_{1}:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，双曲线C_{2}:x^{2}-y^{2}=1的斜率大于0的渐近线为l，过点F作直线AB\parallel l，交抛物线C_{1}于A，B两点，且|AB|=16.$<img_2086>
$若直线m\parallel l，且与抛物线C_{1}相切于点P，求k_{PA}\cdot k_{PB}的值.$

Solution:
$设直线m的方程为y=x+t(t\neq 0)，联立\left\{\begin{matrix}y=x+t,\\ y^2=8x,\end{matrix}\right.消y整理可得x^{2}+(2t-8)x+t^{2}=0，由\Delta =(2t-8)^{2}-4t^{2}=0，解得t=2，(6分)即x^{2}-4x+4=0，可得x=2，y=x+t=2+2=4，即P(2，4)，易得直线AB的方程为y=x-2，x_{1}+x_{2}=3\times 4=12，x_{1}x_{2}=\frac{4^2}{4}=4，(8分)故k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y_1-4}{x_1-2}\cdot \frac{y_2-4}{x_2-2}=\frac{(x_1-2-4)(x_2-2-4)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{x_1x_2-6(x_1+x_2)+36}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}=\frac{4-6\times 12+36}{4-2\times 12+4}=2，所以k_{PA}\cdot k_{PB}的值为2.(10分)$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知双曲线C:\frac{x^2}{3}-y^{2}=1，过P(1，1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，且x_{1}<0，x_{2}>0.$<img_2400>
$证明：直线PA的方程为\frac{x_1x}{3}-y_{1}y=1；$

Solution:
$证明：显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y-1=k(x-1)，联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{3}-y^2=1,\\ y-1=k(x-1),\end{matrix}\right.得(3k^{2}-1)x^{2}-6k(k-1)x+3(k-1)^{2}+3=0，则\Delta =36k^{2}(k-1)^{2}-4(3k^{2}-1)\times 3(k^{2}-2k+2)=0，化简得k^{2}+k-1=0，
(2分)
因为方程有两个相等实根，所以切点A的横坐标x_{1}=-\frac{-6k(k-1)}{2(3k^2-1)}=\frac{3k^2-3k}{3k^2-1}，纵坐标y_{1}=\frac{k-1}{3k^2-1}，故\frac{x_1}{y_1}=3k，故直线PA的方程为y=\frac{x_1}{3y_1}(x-x_{1})+y_{1}，即yy_{1}=\frac{xx_1}{3}-\frac{x^2_1}{3}+y^2_1，易知\frac{x^2_1}{3}-y^2_1=1，故直线PA的方程为\frac{x_1x}{3}-y_{1}y=1.
(4分)$