di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理想气体经历$A\rightarrow B$的等压过程，$B\rightarrow C$的绝热过程(气体与外界无热量交换)，其中$B\rightarrow C$过程中内能减少900 J。求$A\rightarrow B\rightarrow C$过程中气体对外界做的总功。
<img_1339>

Solution:
$A \rightarrow B过程，W_{1} = -p (V_{B} - V_{A})；B \rightarrow C过程，根据热力学第一定律，W_{2} = \Delta U；则气体对外界做的总功W = - (W_{1} + W_{2})，代入数据得W = 1,500 J。$

审题指导

$①等压做功，W_{1} = p \cdot \Delta V。$

$②绝热过程中Q = 0，故W_{2} = \Delta U。$

Final answer: 1 500 J
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理想气体经历$A\rightarrow B$的等压过程，$B\rightarrow C$的绝热过程(气体与外界无热量交换)，其中$B\rightarrow C$过程中内能减少900 J。求$A\rightarrow B\rightarrow C$过程中气体对外界做的总功。
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611393514479618/img/compression/M_665c11b1526e3e0be428248fe9a8b236.jpg)

Solution:
$A \rightarrow B过程，W_{1} = -p (V_{B} - V_{A})；B \rightarrow C过程，根据热力学第一定律，W_{2} = \Delta U；则气体对外界做的总功W = - (W_{1} + W_{2})，代入数据得W = 1,500 J。$

审题指导

$①等压做功，W_{1} = p \cdot \Delta V。$

$②绝热过程中Q = 0，故W_{2} = \Delta U。$

Final answer: 1 500 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $新冠疫情传播非常迅速，负压隔离病房在抗击疫情中起了关键作用。所谓负压病房是指在特殊的装置作用下，使病房内的气压低于病房外的气压。已知某负压隔离病房正常工作时，病房内温度为22 ^\circ C，负压值(病房外与病房内气压差)为100 Pa。空气可视为理想气体，病房外大气压强恒为1.03 \times 10^5 Pa。$
若该病房初始温度为7 ^\circ C，先密闭升温到22 ^\circ C，求此时病房内的气压(保留三位有效数字)；

Solution:
$若该病房初始温度为7 ^\circ C，先密闭升温到22 ^\circ C，设升温后病房内的气压是p_1，病房内气体发生的是等容变化，则有$

$T_0=(7+273) K=280 K$

$T_1=(22+273) K=295 K$

$由查理定律可得 \frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}$

$代入数据解得 p_1 \approx 1.09\times 10^5 Pa$



Final answer: $1.09\times 10^5$ Pa
Subfield: Thermodynamics


Question: $新冠疫情传播非常迅速，负压隔离病房在抗击疫情中起了关键作用。所谓负压病房是指在特殊的装置作用下，使病房内的气压低于病房外的气压。已知某负压隔离病房正常工作时，病房内温度为22 ^\circ C，负压值(病房外与病房内气压差)为100 Pa。空气可视为理想气体，病房外大气压强恒为1.03 \times 10^5 Pa。$
$再通过抽气使病房进入正常工作状态，则需抽取出的气体质量与原来气体质量的百分比\eta(保留两位有效数字)为多少？$

Solution:
$设病房体积是 V_1，气体从压强为 p_1 做等温膨胀后压强变为 p_2，体积为 V_2，由题意可得$

$p_2=p_0 - 100 Pa=1.03 \times 10^5 Pa - 100 Pa=1.029 \times 10^5 Pa$

$由玻意耳定律可得 p_1V_1 = p_2V_2$

联立解得需抽取出的气体质量与原来气体质量的百分比

$\eta = \frac{V_2 - V_1}{V_2} \times100% \approx  5.2%$

Final answer: 5.2%
Subfield: Thermodynamics


Question: $真空泵抽气腔与容器相连，活塞向左运动时即从容器中抽气，活塞向右运动时阀门自动关闭，将进入抽气腔内的气体全部排出，示意图如图甲。设抽气过程中抽气腔与容器中的气体压强始终相等，每次抽气活塞均从抽气腔最右端移动至最左端。已知容器的容积为V_0，抽气腔的容积为nV_0，初始时刻气体压强为p_0。$

<img_605>
$若在绝热的条件下，某次抽气过程中，气体压强p随体积V变化的规律如图乙所示，求该过程气体内能的变化量\Delta U。$

Solution:
$在绝热条件下Q＝0，气体对外界做的功在数值上等于p-V图线与横轴围成图形的面积的大小，则有W=-\frac{p_0+0.6p_0}{2}(nV_{0})＝-0.8p_{0}nV_{0}，根据热力学第一定律\Delta U＝W＋Q＝W＝-0.8p_{0}nV_{0}$

Final answer: $-0.8p_{0}nV_{0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $真空泵抽气腔与容器相连，活塞向左运动时即从容器中抽气，活塞向右运动时阀门自动关闭，将进入抽气腔内的气体全部排出，示意图如图甲。设抽气过程中抽气腔与容器中的气体压强始终相等，每次抽气活塞均从抽气腔最右端移动至最左端。已知容器的容积为V_0，抽气腔的容积为nV_0，初始时刻气体压强为p_0。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611503260815362/img/compression/M_f71505d8bbe41a691466a0c4245b392c.jpg)
$若在绝热的条件下，某次抽气过程中，气体压强p随体积V变化的规律如图乙所示，求该过程气体内能的变化量\Delta U。$

Solution:
$在绝热条件下Q＝0，气体对外界做的功在数值上等于p-V图线与横轴围成图形的面积的大小，则有W=-\frac{p_0+0.6p_0}{2}(nV_{0})＝-0.8p_{0}nV_{0}，根据热力学第一定律\Delta U＝W＋Q＝W＝-0.8p_{0}nV_{0}$

Final answer: $-0.8p_{0}nV_{0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: 工人浇筑混凝土墙壁时，内部形成了一块气密性良好充满空气的空腔，墙壁导热性能良好。![24BGD5WL258.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377299232493570/img/compression/M_de1c66010839bb362fec8f7d5e97dec4.jpg)
空腔内气体的温度变化范围为-33 ^\circ C～47 ^\circ C，问空腔内气体的最小压强与最大压强之比。

Solution:
$以空腔内的气体为研究对象，气体体积一定，温度最低时，T_1=240 K，压强最小为p_1，温度最高时，T_2=320 K，压强最大为p_2，根据查理定律可知$
$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_2}$
解得 
$\frac{p_1}{p_2}=\frac{3}{4}$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Thermodynamics


Question: 工人浇筑混凝土墙壁时，内部形成了一块气密性良好充满空气的空腔，墙壁导热性能良好。<img_1148>
空腔内气体的温度变化范围为-33 ^\circ C～47 ^\circ C，问空腔内气体的最小压强与最大压强之比。

Solution:
$以空腔内的气体为研究对象，气体体积一定，温度最低时，T_1=240 K，压强最小为p_1，温度最高时，T_2=320 K，压强最大为p_2，根据查理定律可知$
$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_2}$
解得 
$\frac{p_1}{p_2}=\frac{3}{4}$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Thermodynamics


Question: 工人浇筑混凝土墙壁时，内部形成了一块气密性良好充满空气的空腔，墙壁导热性能良好。![24BGD5WL258.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377299232493570/img/compression/M_de1c66010839bb362fec8f7d5e97dec4.jpg)
填充空腔前，需要测出空腔的容积。在墙上钻一个小孔，用细管将空腔和一个带有气压传感器的汽缸连通，形成密闭空间。当汽缸内气体体积为1 L时，传感器的示数为1.0 atm。将活塞缓慢下压，汽缸内气体体积为0.7 L时，传感器的示数为1.2 atm。求该空腔的容积。

Solution:
$设空腔的体积为V_0，汽缸的容积为V，以整个系统内的气体为研究对象，则$

$活塞未下压时气体的压强p_3=1.0 atm，$

$体积V_1=V_0+V，V=1 L$

$活塞下压后气体的压强p_4=1.2 atm，$

$体积V_2=V_0+V'，V'=0.7 L$

$根据玻意耳定律p_3V_1=p_4V_2$

$解得V_0=0.8 L$

Final answer: $0.8 L$
Subfield: Thermodynamics


Question: 工人浇筑混凝土墙壁时，内部形成了一块气密性良好充满空气的空腔，墙壁导热性能良好。<img_1148>
填充空腔前，需要测出空腔的容积。在墙上钻一个小孔，用细管将空腔和一个带有气压传感器的汽缸连通，形成密闭空间。当汽缸内气体体积为1 L时，传感器的示数为1.0 atm。将活塞缓慢下压，汽缸内气体体积为0.7 L时，传感器的示数为1.2 atm。求该空腔的容积。

Solution:
$设空腔的体积为V_0，汽缸的容积为V，以整个系统内的气体为研究对象，则$

$活塞未下压时气体的压强p_3=1.0 atm，$

$体积V_1=V_0+V，V=1 L$

$活塞下压后气体的压强p_4=1.2 atm，$

$体积V_2=V_0+V'，V'=0.7 L$

$根据玻意耳定律p_3V_1=p_4V_2$

$解得V_0=0.8 L$

Final answer: $0.8 L$
Subfield: Thermodynamics


Question: $高血压是最常见的心血管疾病之一，也是导致脑卒中、冠心病、心力衰竭等疾病的重要危险因素。某人某次用如图所示的水银血压计测量血压时，先向袖带内充入气体，充气后袖带内的气体体积为V_0、压强为1.5p_0，然后缓慢放气，当袖带内气体体积变为0.7V_0时，气体的压强刚好与大气压强相等。设大气压强为p_0，放气过程中温度保持不变。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377300213960707/img/compression/M_7ee43be5709f9c0a36217b6254d3e7fb.jpg)
求袖带内剩余气体的质量与放出气体的质量之比。

Solution:
$根据题意，设放出压强为p_0的气体体积为\Delta V_0，以原袖带内气体为研究对象，初态气体压强p_1=1.5p_0，末态气体压强p_2=p_0。由玻意耳定律有p_1V_0=p_2(0.7V_0+\Delta V_0)，解得\Delta V_0=0.8V_0。袖带内剩余气体的质量与放出气体的质量之比为\frac{m}{\Delta m}=\frac{0.7V_0}{\Delta V_0}=\frac{7}{8}。$

Final answer: $\frac{7}{8}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $高血压是最常见的心血管疾病之一，也是导致脑卒中、冠心病、心力衰竭等疾病的重要危险因素。某人某次用如图所示的水银血压计测量血压时，先向袖带内充入气体，充气后袖带内的气体体积为V_0、压强为1.5p_0，然后缓慢放气，当袖带内气体体积变为0.7V_0时，气体的压强刚好与大气压强相等。设大气压强为p_0，放气过程中温度保持不变。$

<img_1382>
求袖带内剩余气体的质量与放出气体的质量之比。

Solution:
$根据题意，设放出压强为p_0的气体体积为\Delta V_0，以原袖带内气体为研究对象，初态气体压强p_1=1.5p_0，末态气体压强p_2=p_0。由玻意耳定律有p_1V_0=p_2(0.7V_0+\Delta V_0)，解得\Delta V_0=0.8V_0。袖带内剩余气体的质量与放出气体的质量之比为\frac{m}{\Delta m}=\frac{0.7V_0}{\Delta V_0}=\frac{7}{8}。$

Final answer: $\frac{7}{8}$
Subfield: Optics


Question: $如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta的控制(可视角度\theta定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。$

<img_1035>
$若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度\theta控制为60^\circ ，求屏障的高度d;$

Solution:
$由可视角度为60^\circ ，可知最大折射角r=30^\circ ，由折射定律可知，最大入射角i的正弦值为\sin i=\frac{\sin r}{n}=\frac{1}{4}，由图中几何关系可得d=\frac{L/2}{\tan i}=\frac{\sqrt{15}}{2} L=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm\approx 1.55 mm$
<img_788>

Final answer: $d=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm$
Subfield: Optics


Question: $如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta的控制(可视角度\theta定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377371910270979/img/compression/M_fe23d3f45d5b6a8ee9e67679a9cfb3a8.jpg)
$若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度\theta控制为60^\circ ，求屏障的高度d;$

Solution:
$由可视角度为60^\circ ，可知最大折射角r=30^\circ ，由折射定律可知，最大入射角i的正弦值为\sin i=\frac{\sin r}{n}=\frac{1}{4}，由图中几何关系可得d=\frac{L/2}{\tan i}=\frac{\sqrt{15}}{2} L=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm\approx 1.55 mm$
![23GZT5WL40答案.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377371910270979/img/compression/M_d2cfb4c18f1c8667e1aa0920e30d4143.jpg)

Final answer: $d=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm$
Subfield: Optics


Question: $如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta的控制(可视角度\theta定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。$

<img_1035>
$若屏障高度d=1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度\theta刚好被扩为180^\circ (只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元)。$

Solution:
如图，若使可视角度刚好被扩为$180^\circ$ ，则临界光线恰好不发生全反射

$\sin C= \frac{1}{n} = \frac{1}{2}，可得 C=30^\circ $

$由图中几何关系有 \tan C = \frac{\frac{x}{2}+\frac{L}{2}}{d}$

$解得 x = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right) mm\approx 0.35 mm$

<img_660>



Final answer: $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right)$ mm
Subfield: Optics


Question: $如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta的控制(可视角度\theta定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377371910270979/img/compression/M_fe23d3f45d5b6a8ee9e67679a9cfb3a8.jpg)
$若屏障高度d=1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度\theta刚好被扩为180^\circ (只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元)。$

Solution:
如图，若使可视角度刚好被扩为$180^\circ$ ，则临界光线恰好不发生全反射

$\sin C= \frac{1}{n} = \frac{1}{2}，可得 C=30^\circ $

$由图中几何关系有 \tan C = \frac{\frac{x}{2}+\frac{L}{2}}{d}$

$解得 x = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right) mm\approx 0.35 mm$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377371910270979/img/compression/M_b5522ac81cf2ab3108e46483ed1e300c.jpg)

Final answer: $x = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right) mm\approx 0.35 mm$
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。汽车以某一速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线边界s=20 m处，驾驶员发现有人正在走斑马线过马路，立即刹车礼让行人，该车在到达斑马线边界前做匀减速直线运动，让过行人后恰好以v=5 m/s经过斑马线边界，刹车第1秒内的位移为x=12.5 m。忽略驾驶员反应时间。$
求：汽车刹车过程中加速度的大小和刹车到斑马线边界的时间。

Solution:
$汽车做匀减速直线运动，由匀变速直线运动规律可得 v^2-v_0^2=-2as$

第一秒内位移

$x=v_0t_1-\frac{1}{2}at_1^2$

经过边界时速度

$v=v_0-at$

$解得v_0=15 m/s、a=5 m/s^2、t=2 s$

Final answer: $5 m/s^2$　$2 s$
Subfield: Mechanics


Question: $国家法定节假日期间，全国高速公路7座以下(含7座)载客车辆免费通行，车辆可以不停车通过收费站，但要求车辆通过收费站窗口前x_0=9 m区间的速度不超过v_0=6 m/s。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以v_{甲}=20 m/s和v_{乙}=25 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，某时刻，甲车司机发现正前方收费站便开始刹车，刹车过程可看作匀减速运动。已知开始刹车时甲车距收费站窗口的距离为x_1=100 m。$

<img_610>
甲车司机开始刹车的加速度至少为多大才能不违章；

Solution:
甲车开始刹车时距离测速区的距离为

$x_{2} = x_{1} - x_{0} = 91 m$

$由公式 v^{2}_{0} - v^{2}_{\text{甲}} = -2 a_{甲} x_{2}$

$解得 a_{甲} = 2 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $国家法定节假日期间，全国高速公路7座以下(含7座)载客车辆免费通行，车辆可以不停车通过收费站，但要求车辆通过收费站窗口前x_0=9 m区间的速度不超过v_0=6 m/s。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以v_{甲}=20 m/s和v_{乙}=25 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，某时刻，甲车司机发现正前方收费站便开始刹车，刹车过程可看作匀减速运动。已知开始刹车时甲车距收费站窗口的距离为x_1=100 m。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003342730190849/img/compression/M_9c4c1a61a2589f17d2bf89ec7e8eebfb.jpg)
甲车司机开始刹车的加速度至少为多大才能不违章；

Solution:
甲车开始刹车时距离测速区的距离为

$x_{2} = x_{1} - x_{0} = 91 m$

$由公式 v^{2}_{0} - v^{2}_{\text{甲}} = -2 a_{甲} x_{2}$

$解得 a_{甲} = 2 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $国家法定节假日期间，全国高速公路7座以下(含7座)载客车辆免费通行，车辆可以不停车通过收费站，但要求车辆通过收费站窗口前x_0=9 m区间的速度不超过v_0=6 m/s。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以v_{甲}=20 m/s和v_{乙}=25 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，某时刻，甲车司机发现正前方收费站便开始刹车，刹车过程可看作匀减速运动。已知开始刹车时甲车距收费站窗口的距离为x_1=100 m。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003342730190849/img/compression/M_9c4c1a61a2589f17d2bf89ec7e8eebfb.jpg)
$若甲车按(1)中所得临界加速度减速行驶，乙车司机在发现甲车刹车后经t_0=0.8 s的反应时间后开始以大小为a_乙=3 m/s^2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？(计算结果保留一位小数)$

Solution:
$设甲刹车后经时间t，甲乙两车速度相等，由运动学公式v_{甲}-a_{甲}t=v_{乙}-a_{乙}(t-t_0)  $
$解得t=7.4 s  $
$v_{共}=v_{甲}-a_{甲}t=5.2 m/s＜6 m/s  $
$则乙车刚到达测速区时的速度恰好为v_{0}=6 m/s，两车开始时距离最短。  $
$乙车从发现甲刹车减速到v_{0}=6 m/s的过程中x_{3}=v_{乙}t_0+\frac{v^2_{乙}-v^2_0}{2a_{乙}}\approx 118.2 m  $
$\Delta x=x_{3}-x_{2}=27.2 m$

Final answer: $27.2 m$
Subfield: Mechanics


Question: $国家法定节假日期间，全国高速公路7座以下(含7座)载客车辆免费通行，车辆可以不停车通过收费站，但要求车辆通过收费站窗口前x_0=9 m区间的速度不超过v_0=6 m/s。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以v_{甲}=20 m/s和v_{乙}=25 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，某时刻，甲车司机发现正前方收费站便开始刹车，刹车过程可看作匀减速运动。已知开始刹车时甲车距收费站窗口的距离为x_1=100 m。$

<img_610>
$若甲车按(1)中所得临界加速度减速行驶，乙车司机在发现甲车刹车后经t_0=0.8 s的反应时间后开始以大小为a_乙=3 m/s^2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？(计算结果保留一位小数)$

Solution:
$设甲刹车后经时间t，甲乙两车速度相等，由运动学公式v_{甲}-a_{甲}t=v_{乙}-a_{乙}(t-t_0)  $
$解得t=7.4 s  $
$v_{共}=v_{甲}-a_{甲}t=5.2 m/s＜6 m/s  $
$则乙车刚到达测速区时的速度恰好为v_{0}=6 m/s，两车开始时距离最短。  $
$乙车从发现甲刹车减速到v_{0}=6 m/s的过程中x_{3}=v_{乙}t_0+\frac{v^2_{乙}-v^2_0}{2a_{乙}}\approx 118.2 m  $
$\Delta x=x_{3}-x_{2}=27.2 m$

Final answer: $27.2 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一水平传送带沿顺时针方向旋转，将一可视为质点的质量$m=2 kg$的小物块从传送带左端A处以某一初速度释放，t=3 s时恰好到达右端B处。小物块从A端到B端运动的速度-时间图像如图乙所示。重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003423213441026/img/compression/M_0036b2a95252cad47c1331c85f191b5b.jpg)
物块与传送带之间的动摩擦因数和A、B间的距离；

Solution:
$根据题意，由图乙可知，小物块在传送带上先做匀减速运动，再做匀速运动，做匀减速运动的加速度大小为a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4-2}{2} m/s^2=1 m/s^2。由牛顿第二定律有 \mu mg=ma，联立解得 \mu =0.1。根据题意可知，A、B间的距离等于小物块的位移，则由v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移可知，A、B间的距离为x_{AB}=\left[\frac{1}{2}\times (2+4)\times 2+2\times (3-2)\right]m=8 m。$

Final answer: $0.1$ $8 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一水平传送带沿顺时针方向旋转，将一可视为质点的质量$m=2 kg$的小物块从传送带左端A处以某一初速度释放，t=3 s时恰好到达右端B处。小物块从A端到B端运动的速度-时间图像如图乙所示。重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_1357>
物块与传送带之间的动摩擦因数和A、B间的距离；

Solution:
$根据题意，由图乙可知，小物块在传送带上先做匀减速运动，再做匀速运动，做匀减速运动的加速度大小为a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4-2}{2} m/s^2=1 m/s^2。由牛顿第二定律有 \mu mg=ma，联立解得 \mu =0.1。根据题意可知，A、B间的距离等于小物块的位移，则由v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移可知，A、B间的距离为x_{AB}=\left[\frac{1}{2}\times (2+4)\times 2+2\times (3-2)\right]m=8 m。$

Final answer: $0.1$ $8 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一水平传送带沿顺时针方向旋转，将一可视为质点的质量$m=2 kg$的小物块从传送带左端A处以某一初速度释放，t=3 s时恰好到达右端B处。小物块从A端到B端运动的速度-时间图像如图乙所示。重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_1357>
小物块从A端到B端的过程中，系统因摩擦所产生的热量。

Solution:
$根据题意，由图乙可知，当t=2 s，小物块与传送带速度相等，传送带的速度为v_{传}=2 m/s$

$由运动学公式x=v_0t+\frac{1}{2} at^2 可得，在0～2 s内小物块的位移 x_1 = \left(4\times 2-\frac{1}{2}\times 1\times 2^2\right) m=6 m$

$在0～2 s内传送带的位移为 x_2=v_{传}t=4 m$

$则小物块从 A 端到 B 端的过程中，系统因摩擦所产生的热量为 Q=\mu mg\Delta x=4 J$

Final answer: 4 J
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一水平传送带沿顺时针方向旋转，将一可视为质点的质量$m=2 kg$的小物块从传送带左端A处以某一初速度释放，t=3 s时恰好到达右端B处。小物块从A端到B端运动的速度-时间图像如图乙所示。重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003423213441026/img/compression/M_0036b2a95252cad47c1331c85f191b5b.jpg)
小物块从A端到B端的过程中，系统因摩擦所产生的热量。

Solution:
$根据题意，由图乙可知，当t=2 s，小物块与传送带速度相等，传送带的速度为v_{传}=2 m/s$

$由运动学公式x=v_0t+\frac{1}{2} at^2 可得，在0～2 s内小物块的位移 x_1 = \left(4\times 2-\frac{1}{2}\times 1\times 2^2\right) m=6 m$

$在0～2 s内传送带的位移为 x_2=v_{传}t=4 m$

$则小物块从 A 端到 B 端的过程中，系统因摩擦所产生的热量为 Q=\mu mg\Delta x=4 J$

Final answer: 4 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，传送带与水平方向成30^\circ 角，顺时针匀速转动的速度大小v=8 m/s，传送带长L_{AB}=11.4 m，水平面上有一块足够长的木板。质量为m=3 kg的物块(可视为质点)以初速度v_0=4 m/s，自A端沿AB方向滑下传送带，在底端B滑上紧靠传送带上表面的静止木板，木板质量为M=1 kg，不考虑物块冲上木板时碰撞带来的机械能损失。已知物块与传送带间的动摩擦因数为\mu _1=\frac{\sqrt{3}}{3}，物块与木板间的动摩擦因数为\mu _2=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _3=0.1。取重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003423624482819/img/compression/M_93a2c73dc768cee1422cfa0b3ad6ab58.jpg)
物块从A端运动到底端B经历的时间t；

Solution:
$根据题意，物块在传送带上先做匀加速运动，由牛顿第二定律得mg \sin 30^\circ +\mu _{1}mg \cos 30^\circ =ma_{1}$

$解得a_{1}=10 m/s^{2}$

$物块从刚开始加速到速度与传送带相同所需的时间为t_{1}，物块与传送带共速时的速度v_{1}=v=8 m/s，由公式v_{1}=v_{0}+at_{1}可得，t_{1}=0.4 s，设此过程物块的位移大小为x_{1}，由公式x_{1}=\frac{v_1+v_0}{2}t_{1}，解得x_{1}=2.4 m<11.4 m，又有mg \sin 30^\circ =\mu _{1}mg \cos 30^\circ ，此后物块随传送带匀速运动，则有L_{AB}-x_{1}=v_{1}t_{2}，解得t_{2}=1.125 s，则物块从A端运动到底端B经历的时间为t=t_{1}+t_{2}=1.525 s$

Final answer: $1.525 s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，传送带与水平方向成30^\circ 角，顺时针匀速转动的速度大小v=8 m/s，传送带长L_{AB}=11.4 m，水平面上有一块足够长的木板。质量为m=3 kg的物块(可视为质点)以初速度v_0=4 m/s，自A端沿AB方向滑下传送带，在底端B滑上紧靠传送带上表面的静止木板，木板质量为M=1 kg，不考虑物块冲上木板时碰撞带来的机械能损失。已知物块与传送带间的动摩擦因数为\mu _1=\frac{\sqrt{3}}{3}，物块与木板间的动摩擦因数为\mu _2=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _3=0.1。取重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_779>
物块从A端运动到底端B经历的时间t；

Solution:
$根据题意，物块在传送带上先做匀加速运动，由牛顿第二定律得mg \sin 30^\circ +\mu _{1}mg \cos 30^\circ =ma_{1}$

$解得a_{1}=10 m/s^{2}$

$物块从刚开始加速到速度与传送带相同所需的时间为t_{1}，物块与传送带共速时的速度v_{1}=v=8 m/s，由公式v_{1}=v_{0}+at_{1}可得，t_{1}=0.4 s，设此过程物块的位移大小为x_{1}，由公式x_{1}=\frac{v_1+v_0}{2}t_{1}，解得x_{1}=2.4 m<11.4 m，又有mg \sin 30^\circ =\mu _{1}mg \cos 30^\circ ，此后物块随传送带匀速运动，则有L_{AB}-x_{1}=v_{1}t_{2}，解得t_{2}=1.125 s，则物块从A端运动到底端B经历的时间为t=t_{1}+t_{2}=1.525 s$

Final answer: $1.525 s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，传送带与水平方向成30^\circ 角，顺时针匀速转动的速度大小v=8 m/s，传送带长L_{AB}=11.4 m，水平面上有一块足够长的木板。质量为m=3 kg的物块(可视为质点)以初速度v_0=4 m/s，自A端沿AB方向滑下传送带，在底端B滑上紧靠传送带上表面的静止木板，木板质量为M=1 kg，不考虑物块冲上木板时碰撞带来的机械能损失。已知物块与传送带间的动摩擦因数为\mu _1=\frac{\sqrt{3}}{3}，物块与木板间的动摩擦因数为\mu _2=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _3=0.1。取重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003423624482819/img/compression/M_93a2c73dc768cee1422cfa0b3ad6ab58.jpg)
物块停止运动时与底端B的距离x。

Solution:
$物块滑上木板后，物块的加速度为a_{2}，木板的加速度为a_{3}，木板与物块一块减速时的共同加速度为a_{4}，根据牛顿第二定律得\mu _{2}mg=ma_{2}$

$\mu _{2}mg-\mu _{3}(m+M)g=Ma_{3}$

$\mu _{3}(m+M)g=(m+M)a_{4}$

$解得a_{2}=3 m/s^{2}、a_{3}=5 m/s^{2}、a_{4}=1 m/s^{2}$

$物块与木板经时间t_{3}达到共同速度v_{2}，$

$则有v_{1}-a_{2}t_{3}=a_{3}t_{3}$

$v_{2}=a_{3}t_{3}$

$解得t_{3}=1 s、v_{2}=5 m/s$

$此过程物块位移为x_{2}=v_{1}t_{3}-\frac{1}{2}a_{2}t^{2}_{3}=6.5 m$

$二者共同减速的位移为x_{3}，则有v^{2}_{2}=2a_{4}x_{3}$

$解得x_{3}=12.5 m$

$则物块停止运动时与底端B的距离为x=x_{2}+x_{3}=19 m。$

Final answer: 19 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，传送带与水平方向成30^\circ 角，顺时针匀速转动的速度大小v=8 m/s，传送带长L_{AB}=11.4 m，水平面上有一块足够长的木板。质量为m=3 kg的物块(可视为质点)以初速度v_0=4 m/s，自A端沿AB方向滑下传送带，在底端B滑上紧靠传送带上表面的静止木板，木板质量为M=1 kg，不考虑物块冲上木板时碰撞带来的机械能损失。已知物块与传送带间的动摩擦因数为\mu _1=\frac{\sqrt{3}}{3}，物块与木板间的动摩擦因数为\mu _2=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _3=0.1。取重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_779>
物块停止运动时与底端B的距离x。

Solution:
$物块滑上木板后，物块的加速度为a_{2}，木板的加速度为a_{3}，木板与物块一块减速时的共同加速度为a_{4}，根据牛顿第二定律得\mu _{2}mg=ma_{2}$

$\mu _{2}mg-\mu _{3}(m+M)g=Ma_{3}$

$\mu _{3}(m+M)g=(m+M)a_{4}$

$解得a_{2}=3 m/s^{2}、a_{3}=5 m/s^{2}、a_{4}=1 m/s^{2}$

$物块与木板经时间t_{3}达到共同速度v_{2}，$

$则有v_{1}-a_{2}t_{3}=a_{3}t_{3}$

$v_{2}=a_{3}t_{3}$

$解得t_{3}=1 s、v_{2}=5 m/s$

$此过程物块位移为x_{2}=v_{1}t_{3}-\frac{1}{2}a_{2}t^{2}_{3}=6.5 m$

$二者共同减速的位移为x_{3}，则有v^{2}_{2}=2a_{4}x_{3}$

$解得x_{3}=12.5 m$

$则物块停止运动时与底端B的距离为x=x_{2}+x_{3}=19 m。$

Final answer: 19 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

<img_817>
物块开始上滑时细绳上的拉力大小；

Solution:
物块由静止释放后，假设细环与钢管向下运动过程中，细环相对钢管未发生相对滑动，设此过程中细绳中的拉力大小为F，物块、钢管和细环的加速度大小均为a，对物块由牛顿第二定律得
$F-2mg \sin \theta -2\mu mg \cos \theta =2ma$
对钢管和细环整体由牛顿第二定律得2mg- F=2ma
$解得F= \frac{7}{4}mg、a= \frac{g}{8}$

设此过程细环所受摩擦力大小为f，则$mg- f= ma$
$解得f= \frac{7}{8}mg < f_{m}$
$故假设成立，所以物块开始上滑时细绳上的拉力大小为F= \frac{7}{4}mg$

Final answer: $\frac{7}{4}mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003424354291714/img/compression/M_48b7c1ac43c64178efd6d0e9f9fb1d69.jpg)
物块开始上滑时细绳上的拉力大小；

Solution:
物块由静止释放后，假设细环与钢管向下运动过程中，细环相对钢管未发生相对滑动，设此过程中细绳中的拉力大小为F，物块、钢管和细环的加速度大小均为a，对物块由牛顿第二定律得
$F-2mg \sin \theta -2\mu mg \cos \theta =2ma$
对钢管和细环整体由牛顿第二定律得2mg- F=2ma
$解得F= \frac{7}{4}mg、a= \frac{g}{8}$

设此过程细环所受摩擦力大小为f，则$mg- f= ma$
$解得f= \frac{7}{8}mg < f_{m}$
$故假设成立，所以物块开始上滑时细绳上的拉力大小为F= \frac{7}{4}mg$

Final answer: $\frac{7}{4}mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

<img_817>
钢管与地面第一次碰撞后能上升的最大高度；

Solution:
$设钢管与地面第一次碰撞后，细环相对钢管向下滑动时的加速度大小为a_1，根据牛顿第二定律有f_m-mg=ma_1，解得a_1=\frac{3g}{4}$

$由于碰撞中无能量损失，所以钢管和物块都将以碰撞前原速率反弹，设反弹后绳中拉力大小为F_1，钢管和物块的加速度大小均为a_2，则对钢管和物块根据牛顿第二定律分别有mg+f_m-F_1=ma_2$

$F_1+2\mu mg \cos \theta -2mg \sin \theta =2ma_2$

$解得a_2=\frac{3g}{4}$

$设第一次碰撞前、后钢管的速度大小为v_1，碰撞后钢管能上升的最大高度为H_1，根据运动学规律有v_1^2=2aL、v_1^2=2a_2H_1$

$解得H_1=\frac{L}{6}$



Final answer: $\frac{L}{6}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003424354291714/img/compression/M_48b7c1ac43c64178efd6d0e9f9fb1d69.jpg)
钢管与地面第一次碰撞后能上升的最大高度；

Solution:
$设钢管与地面第一次碰撞后，细环相对钢管向下滑动时的加速度大小为a_1，根据牛顿第二定律有f_m-mg=ma_1，解得a_1=\frac{3g}{4}$

$由于碰撞中无能量损失，所以钢管和物块都将以碰撞前原速率反弹，设反弹后绳中拉力大小为F_1，钢管和物块的加速度大小均为a_2，则对钢管和物块根据牛顿第二定律分别有mg+f_m-F_1=ma_2$

$F_1+2\mu mg \cos \theta -2mg \sin \theta =2ma_2$

$解得a_2=\frac{3g}{4}$

$设第一次碰撞前、后钢管的速度大小为v_1，碰撞后钢管能上升的最大高度为H_1，根据运动学规律有v_1^2=2aL、v_1^2=2a_2H_1$

$解得H_1=\frac{L}{6}$

Final answer: $\frac{L}{6}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003424354291714/img/compression/M_48b7c1ac43c64178efd6d0e9f9fb1d69.jpg)
钢管的长度。

Solution:
$因为a_1=a_2，所以钢管与地面第一次碰撞后上升到最大高度时，细环恰好也下降至最低点，根据对称性可知其下降的高度为h_1=H_1=\frac{L}{6}。$

$钢管与地面第一次碰撞后细环相对钢管下降的高度为\Delta x_1=h_1+H_1=2H_1。$

$设钢管与地面发生第二次碰撞之前瞬间的速度大小为v_2，钢管与地面第二次碰撞后上升的高度为H_2，根据运动学规律有v^2_2=2aH_1、2a_2H_2=v^2_2。$

$解得H_2=\frac{1}{6}H_1=\left(\frac{1}{6}\right)^2L。$

$由此类推可得钢管的长度为l=2(H_1+H_2+H_3+\ldots )=2L\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+\cdots \right)=\frac{2}{5}L。$

Final answer: $\frac{2}{5}L$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，倾角为$30^\circ$ 的固定斜面顶端有一光滑的定滑轮，斜面上端有一与斜面垂直的固定小挡板，挡板的厚度不计。斜面上有一质量为2m的小物块，物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$
不可伸长的细绳一端连接小物块，另一端绕过滑轮悬吊一质量为m的粗细均匀钢管，物块与定滑轮间的细绳平行于斜面且不与挡板接触。在钢管的顶端套着一个质量也为m的细环，细环与钢管之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为$\frac{7mg}{4}$(g为重力加速度大小)。开始时用外力控制物块使系统静止，物块到挡板、钢管下端到地面的距离均为L。现将物块由静止释放，物块与挡板、钢管与地面发生多次碰撞，每次碰撞时间极短，最终细环刚好到达钢管底端。已知物块与挡板、钢管与地面碰撞均无能量损失，钢管始终未与滑轮相碰。求：

<img_817>
钢管的长度。

Solution:
$因为a_1=a_2，所以钢管与地面第一次碰撞后上升到最大高度时，细环恰好也下降至最低点，根据对称性可知其下降的高度为h_1=H_1=\frac{L}{6}。$

$钢管与地面第一次碰撞后细环相对钢管下降的高度为\Delta x_1=h_1+H_1=2H_1。$

$设钢管与地面发生第二次碰撞之前瞬间的速度大小为v_2，钢管与地面第二次碰撞后上升的高度为H_2，根据运动学规律有v^2_2=2aH_1、2a_2H_2=v^2_2。$

$解得H_2=\frac{1}{6}H_1=\left(\frac{1}{6}\right)^2L。$

$由此类推可得钢管的长度为l=2(H_1+H_2+H_3+\ldots )=2L\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+\cdots \right)=\frac{2}{5}L。$



Final answer: $\frac{2}{5}L$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =30^\circ 的斜面体静止放在水平地面上，斜面长L=3 m。质量m=1 kg的物体Q放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}，通过细绳跨过定滑轮与物体P相连接，连接Q的细绳与斜面平行。绳拉直时用手托住P使其在距地面h=1.8 m高处由静止释放，着地后P立即停止运动。若P、Q可视为质点，斜面体始终静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮轴摩擦，重力加速度大小取g=10 m/s^2。求：$

<img_1439>
若P的质量$M=0.5 kg$，地面对斜面体摩擦力的大小f；

Solution:
$设沿斜面向上为正方向，若P的质量M=0.5 kg，由于mg \sin \theta =Mg=5 N$
$可知P、Q均处于静止状态，绳上拉力为F=Mg。$
$以斜面体和Q为整体，根据受力平衡可得，地面对斜面体摩擦力的大小为f=F \cos 30^\circ $
$联立解得f=\frac{5\sqrt{3}}{2} N$



Final answer: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =30^\circ 的斜面体静止放在水平地面上，斜面长L=3 m。质量m=1 kg的物体Q放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}，通过细绳跨过定滑轮与物体P相连接，连接Q的细绳与斜面平行。绳拉直时用手托住P使其在距地面h=1.8 m高处由静止释放，着地后P立即停止运动。若P、Q可视为质点，斜面体始终静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮轴摩擦，重力加速度大小取g=10 m/s^2。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003428842958850/img/compression/M_a98ac229861ebda6c2e987c9312f8419.jpg)
若P的质量$M=0.5 kg$，地面对斜面体摩擦力的大小f；

Solution:
$设沿斜面向上为正方向，若P的质量M=0.5 kg，由于mg \sin \theta =Mg=5 N$
$可知P、Q均处于静止状态，绳上拉力为F=Mg。$
$以斜面体和Q为整体，根据受力平衡可得，地面对斜面体摩擦力的大小为f=F \cos 30^\circ $
$联立解得f=\frac{5\sqrt{3}}{2} N$

Final answer: $\frac{5\sqrt{3}}{2}N$
Subfield: Mechanics


Question: $春秋末年，齐国著作《考工记》中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远”。意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流得更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。车盖可简化为圆锥，底面半径恒定为r，底角为\theta，过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形。\theta取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滑(可视为质点)沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与车盖间的摩擦力和空气阻力。$

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<img_568>

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$当倾角\theta为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间t_{min}；$

Solution:
水滴沿车盖下滑过程中有

$mg \sin \theta =ma①$

$\frac{r}{\cos \theta  }=\frac{1}{2}at^2_1 ②$

$由①②得 t^2_1=\frac{4r}{g \sin 2\theta  }$

$又0<\theta <\frac{\pi }{2}，则当\theta =\frac{\pi }{4}时水滴滑落车盖时间最短，解得t_{min}=2\sqrt{\frac{r}{g}}$

Final answer: $2\sqrt{\frac{r}{g}}$