di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图甲是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点射出，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294911408467973/img/compression/M_658f81ac652b6259c2ffa197c2848aad.jpg)

图甲

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294911408467973/img/compression/M_6f6ed498af2643817f46c5665f5aea25.jpg)

图乙
金属圆筒长度和它的序号之间的关系；

Solution:
$设电子进入第n个圆筒时的速度为v，则根据动能定理有neu=\frac{1}{2}mv^2，解得v=\sqrt{\frac{2neu}{m}}。$
$第n个圆筒的长度为l_n=vt=\frac{vT}{2}，解得l_n=\frac{T}{2m}\sqrt{2neum}。$

Final answer: $\frac{T}{2m}\sqrt{2neum}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图甲是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点射出，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：$

<img_933>

图甲

<img_1221>

图乙
金属圆筒长度和它的序号之间的关系；

Solution:
$设电子进入第n个圆筒时的速度为v，则根据动能定理有neu=\frac{1}{2}mv^2，解得v=\sqrt{\frac{2neu}{m}}。$
$第n个圆筒的长度为l_n=vt=\frac{vT}{2}，解得l_n=\frac{T}{2m}\sqrt{2neum}。$

Final answer: $\frac{T}{2m}\sqrt{2neum}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $高能粒子实验装置，是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具，在物理学的研究历史上有着不可磨灭的贡献。为了简化计算，在中学物理范畴，一个复杂的高能粒子实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型，题中所给出的就是这样一个简化模型。如图甲所示，三维坐标系中yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v_0，方向与x轴正方向的夹角为45^\circ 。已知电场强度大小E=\frac{mg}{q}，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正。已知t_0=\frac{\pi v_0}{g}，重力加速度大小为g。$

图甲：

<img_1343>

图乙：

<img_1235>
$求粒子第n次经过x轴时的x坐标；$

Solution:
$由于t_1=\frac{T_1}{4}=\frac{\pi v_0}{2g}=\frac{t_0}{2}，可知0~t_0时间内，粒子刚好转过180^\circ ，随后磁场的大小及方向都发生变化，则粒子偏转的方向也随之改变。由洛伦兹力提供向心力得qv_0 B_2=m\frac{v^2_0}{R_2}，B_2=\frac{mg}{2qv_0}，T_2=\frac{2\pi R_2}{v_0}解得R_2=\frac{2v^2_0}{g}=2R_1，T_2=\frac{4\pi v_0}{g}=4t_0故在t_0~2t_0时间内，粒子转过90^\circ 同理，粒子在2t_0~3t_0时间内与0~t_0时间内的轨迹半径及速度偏转角相同，只是偏转方向不同，3t_0~4t_0时间内与t_0~2t_0时间内的轨迹半径及速度偏转角相同，只是偏转方向不同，综上所述，得到粒子一个周期的运动轨迹如图所示。$

<img_796>

$由几何关系得OA=AB=\sqrt{2}R_1，则粒子第n次经过x轴时的x坐标为，x_n=(n-1)\sqrt{2}R_1=\frac{\sqrt{2}(n-1)v^2_0}{g}，(n=1，2，3，\ldots )$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}(n-1)v^2_0}{g}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $高能粒子实验装置，是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具，在物理学的研究历史上有着不可磨灭的贡献。为了简化计算，在中学物理范畴，一个复杂的高能粒子实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型，题中所给出的就是这样一个简化模型。如图甲所示，三维坐标系中yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v_0，方向与x轴正方向的夹角为45^\circ 。已知电场强度大小E=\frac{mg}{q}，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正。已知t_0=\frac{\pi v_0}{g}，重力加速度大小为g。$

图甲：

![24BZJ5WL294.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294985486888964/img/compression/M_728cfac4f67e364d1854578eaa68ae74.jpg)

图乙：

![24BZJ5WL295.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294985486888964/img/compression/M_686919f080223d206a1444d2a1175d7d.jpg)
$求粒子第n次经过x轴时的x坐标；$

Solution:
$由于t_1=\frac{T_1}{4}=\frac{\pi v_0}{2g}=\frac{t_0}{2}，可知0~t_0时间内，粒子刚好转过180^\circ ，随后磁场的大小及方向都发生变化，则粒子偏转的方向也随之改变。由洛伦兹力提供向心力得qv_0 B_2=m\frac{v^2_0}{R_2}，B_2=\frac{mg}{2qv_0}，T_2=\frac{2\pi R_2}{v_0}解得R_2=\frac{2v^2_0}{g}=2R_1，T_2=\frac{4\pi v_0}{g}=4t_0故在t_0~2t_0时间内，粒子转过90^\circ 同理，粒子在2t_0~3t_0时间内与0~t_0时间内的轨迹半径及速度偏转角相同，只是偏转方向不同，3t_0~4t_0时间内与t_0~2t_0时间内的轨迹半径及速度偏转角相同，只是偏转方向不同，综上所述，得到粒子一个周期的运动轨迹如图所示。$

![运动轨迹](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294986787123202/img/compression/M_7f68bbf934beb3edcca0e2a1bb6c5be4.jpg)

$由几何关系得OA=AB=\sqrt{2}R_1，则粒子第n次经过x轴时的x坐标为，x_n=(n-1)\sqrt{2}R_1=\frac{\sqrt{2}(n-1)v^2_0}{g}，(n=1，2，3，\ldots )$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}(n-1)v^2_0}{g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t_{1}=0时刻的波形，虚线为t_{2}=0.6 s时刻的波形，质点振动的周期T满足2T<0.6 s<2.5T，求：$
<img_684>
$波传播的速度大小(计算结果保留一位小数)；$

Solution:
$由题图可知波长\lambda =8 m，若波沿x轴正方向传播，则有0.6 s=\frac{3}{8}T+nT$

$又2T<0.6 s<2.5T$

$解得n=2$

$则波的周期T=\frac{24}{95} s$

$波传播的速度大小v=\frac{\lambda }{T}\approx 31.7 m/s$

$若波沿x轴负方向传播，则0.6 s=\frac{5}{8}T+nT$

$又2T<0.6 s<2.5T$

$n无解，因此波一定沿x轴正方向传播，速度大小为31.7 m/s$

Final answer: $31.7$ m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t_{1}=0时刻的波形，虚线为t_{2}=0.6 s时刻的波形，质点振动的周期T满足2T<0.6 s<2.5T，求：$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961479324241922/img/compression/M_1eeb2af567fa5d6bdb8cdfa521cc6d59.jpg)
$波传播的速度大小(计算结果保留一位小数)；$

Solution:
$由题图可知波长\lambda =8 m，若波沿x轴正方向传播，则有0.6 s=\frac{3}{8}T+nT$

$又2T<0.6 s<2.5T$

$解得n=2$

$则波的周期T=\frac{24}{95} s$

$波传播的速度大小v=\frac{\lambda }{T}\approx 31.7 m/s$

$若波沿x轴负方向传播，则0.6 s=\frac{5}{8}T+nT$

$又2T<0.6 s<2.5T$

$n无解，因此波一定沿x轴正方向传播，速度大小为31.7 m/s$

Final answer: $31.7$ m/s
Subfield: Mechanics


Question: $运动员在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练，若在起动后的一小段时间内，运动员用两根轻绳拉着轮胎做匀速直线运动。如图所示，运动过程中保持两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角恒为\theta ，所在平面与水平面夹角为\alpha ，已知轮胎重为G，轮胎与地面间的动摩擦因数为\mu 。$

<img_1291>
求运动员用轻绳拉着轮胎做匀速直线运动时，每根绳的拉力大小；

Solution:
$运动员用轻绳拉着轮胎做匀速直线运动时，设每根轻绳的拉力为T_2，地面与轮胎间的滑动摩擦力为f_1，由平衡条件可得$
$2T_2 \cos \frac{\theta }{2} \cos \alpha =f_1$
$2T_2 \cos \frac{\theta }{2} \sin \alpha+N=G$
$又f_1 =\mu N$
$联立解得T_2=\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$

Final answer: $\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$
Subfield: Mechanics


Question: $运动员在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练，若在起动后的一小段时间内，运动员用两根轻绳拉着轮胎做匀速直线运动。如图所示，运动过程中保持两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角恒为\theta ，所在平面与水平面夹角为\alpha ，已知轮胎重为G，轮胎与地面间的动摩擦因数为\mu 。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609174153043971/img/compression/M_65577a10d1284db118d6826968f4bfef.jpg)
求运动员用轻绳拉着轮胎做匀速直线运动时，每根绳的拉力大小；

Solution:
$运动员用轻绳拉着轮胎做匀速直线运动时，设每根轻绳的拉力为T_2，地面与轮胎间的滑动摩擦力为f_1，由平衡条件可得$
$2T_2 \cos \frac{\theta }{2} \cos \alpha =f_1$
$2T_2 \cos \frac{\theta }{2} \sin \alpha+N=G$
$又f_1 =\mu N$
$联立解得T_2=\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$

Final answer: $\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$
Subfield: Mechanics


Question: $运动员在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练，若在起动后的一小段时间内，运动员用两根轻绳拉着轮胎做匀速直线运动。如图所示，运动过程中保持两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角恒为\theta ，所在平面与水平面夹角为\alpha ，已知轮胎重为G，轮胎与地面间的动摩擦因数为\mu 。$

<img_1291>
$调节A、B的高度从而改变\alpha 角，使运动员可用最小拉力拉着轮胎做匀速直线运动，求每根绳的最小拉力大小。$

Solution:
$由(2)中T_2=\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$

$当\cos \alpha +\mu  \sin \alpha 取最大值时，T_2有最小值，根据数学知识可得，拉力最小值为$

$T_{min}=\frac{\mu G}{2\sqrt{1+\mu ^2} \cos  \frac{\theta }{2}}$

Final answer: $\frac{\mu G}{2\sqrt{1+\mu ^2} \cos  \frac{\theta }{2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $运动员在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练，若在起动后的一小段时间内，运动员用两根轻绳拉着轮胎做匀速直线运动。如图所示，运动过程中保持两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角恒为\theta ，所在平面与水平面夹角为\alpha ，已知轮胎重为G，轮胎与地面间的动摩擦因数为\mu 。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609174153043971/img/compression/M_65577a10d1284db118d6826968f4bfef.jpg)
$调节A、B的高度从而改变\alpha 角，使运动员可用最小拉力拉着轮胎做匀速直线运动，求每根绳的最小拉力大小。$

Solution:
$由(2)中T_2=\frac{\mu G}{2 \cos  \frac{\theta }{2}(\cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha )}$

$当\cos \alpha +\mu  \sin \alpha 取最大值时，T_2有最小值，根据数学知识可得，拉力最小值为$

$T_{min}=\frac{\mu G}{2\sqrt{1+\mu ^2} \cos  \frac{\theta }{2}}$

Final answer: $\frac{\mu G}{2\sqrt{1+\mu ^2} \cos  \frac{\theta }{2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为\mu 。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。$

<img_917>

<img_467>
$当水平转盘以角速度\omega_1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求\omega_1的值；$

Solution:
$当水平转盘以角速度\omega_1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好由最大静摩擦力提供，则$
$\mu mg = mr \omega^2_1$
$解得\omega_1 = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{\mu g}{r}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为\mu 。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609385936900101/img/compression/M_656b726270ef4048709e38ba8142e134.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609385936900101/img/compression/M_09d5c9115c4b10959c667e17bf09081a.jpg)
$当水平转盘以角速度\omega_1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求\omega_1的值；$

Solution:
$当水平转盘以角速度\omega_1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好由最大静摩擦力提供，则$
$\mu mg = mr \omega^2_1$
$解得\omega_1 = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{\mu g}{r}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为\mu 。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609385936900101/img/compression/M_656b726270ef4048709e38ba8142e134.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609385936900101/img/compression/M_09d5c9115c4b10959c667e17bf09081a.jpg)
$将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度\omega <sub>3</sub>= \sqrt{\frac{5\mu g}{3r}} 时，求细绳的拉力F<sub>T3</sub>的大小。$

Solution:
$由于 \omega _3 > \omega _1，物块所需的向心力大于最大静摩擦力，此时绳对物块有拉力，则$

$\mu mg + F_{T3} = m\omega ^2_3r$

可得此时绳对物块拉力的大小为
$F_{T3} = \frac{2}{3}\mu mg$

Final answer: $\frac{2}{3} \mu mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为\mu 。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。$

<img_917>

<img_467>
$将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度\omega <sub>3</sub>= \sqrt{\frac{5\mu g}{3r}} 时，求细绳的拉力F<sub>T3</sub>的大小。$

Solution:
$由于 \omega _3 > \omega _1，物块所需的向心力大于最大静摩擦力，此时绳对物块有拉力，则$

$\mu mg + F_{T3} = m\omega ^2_3r$

可得此时绳对物块拉力的大小为
$F_{T3} = \frac{2}{3}\mu mg$

Final answer: $\frac{2}{3} \mu mg$
Subfield: Mechanics


Question: $"中国火星探测计划"于2016年正式立项，将实现"绕、落、巡"工程目标，对火星进行着陆、巡视、探测工作。假设火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，如图所示，探测器距火星表面的高度为h，运行周期为T。已知火星半径为R，引力常量为G。$
<img_855>
求火星的质量M；

Solution:
$设探测器的质量为 m，根据牛顿第二定律有$

$G\frac{Mm}{(R+h)^2} = m\frac{4\pi ^2}{T^2}(R+h)$

$解得 M = \frac{4\pi ^2(R+h)^3}{GT^2}$

Final answer: $\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{GT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $"中国火星探测计划"于2016年正式立项，将实现"绕、落、巡"工程目标，对火星进行着陆、巡视、探测工作。假设火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，如图所示，探测器距火星表面的高度为h，运行周期为T。已知火星半径为R，引力常量为G。$
![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609526110539778/img/compression/M_1853f0b13809afc47454cadb4641b2ac.jpg)
求火星的质量M；

Solution:
$设探测器的质量为 m，根据牛顿第二定律有$

$G\frac{Mm}{(R+h)^2} = m\frac{4\pi ^2}{T^2}(R+h)$

$解得 M = \frac{4\pi ^2(R+h)^3}{GT^2}$

Final answer: $\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{GT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $"中国火星探测计划"于2016年正式立项，将实现"绕、落、巡"工程目标，对火星进行着陆、巡视、探测工作。假设火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，如图所示，探测器距火星表面的高度为h，运行周期为T。已知火星半径为R，引力常量为G。$
<img_855>
求火星表面的重力加速度大小g；

Solution:
$设火星表面上一个物体的质量为m'，则$
$G\frac{Mm'}{R^2}=m'g$
$解得g=\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{T^2R^2}$

Final answer: $\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{T^2R^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $"中国火星探测计划"于2016年正式立项，将实现"绕、落、巡"工程目标，对火星进行着陆、巡视、探测工作。假设火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，如图所示，探测器距火星表面的高度为h，运行周期为T。已知火星半径为R，引力常量为G。$
![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609526110539778/img/compression/M_1853f0b13809afc47454cadb4641b2ac.jpg)
求火星表面的重力加速度大小g；

Solution:
$设火星表面上一个物体的质量为m'，则$
$G\frac{Mm'}{R^2}=m'g$
$解得g=\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{T^2R^2}$

Final answer: $\frac{4\pi ^2(R+h)^3}{T^2R^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $2021年2月10日，执行中国首次火星探测任务的天问一号探测器实施制动，进入环火轨道，已知天问一号的质量为m_0，环火轨道半径为r，火星的半径为R，火星表面的重力加速度为g_0，引力常量为G，设探测器沿环火轨道做匀速圆周运动，求：$
火星的第一宇宙速度大小；

Solution:
$设某质量为m的卫星贴近火星表面做匀速圆周运动，则有$
$\frac{GMm}{R^2}$
$=m\frac{v^2}{R}$

又
$\frac{GMm}{R^2}$
$=mg_0$

$联立解得v=\sqrt{g_0R}$

Final answer: $\sqrt{g_0R}$
Subfield: Mechanics


Question: $2021年2月10日，执行中国首次火星探测任务的天问一号探测器实施制动，进入环火轨道，已知天问一号的质量为m_0，环火轨道半径为r，火星的半径为R，火星表面的重力加速度为g_0，引力常量为G，设探测器沿环火轨道做匀速圆周运动，求：$
天问一号在环火轨道受到的火星引力大小。

Solution:
$火星对天问一号的引力为 F=\frac{GMm_0}{r^2} $

$设火星表面有一质量为 m' 物体，则有 \frac{GMm'}{R^2}=m'g_0 $

$联立解得 F=\frac{m_0g_0R^2}{r^2}$

Final answer: $\frac{m_0g_0R^2}{r^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：$
![24AJS5WL297.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609598822993921/img/compression/M_dba1e6f3d3925dc1491018eac105cb2e.jpg)
地球和月球的平均密度之比；

Solution:
$根据万有引力提供向心力，探测器在近地轨道运动有G\frac{Mm}{R^2_{地}}=m\frac{4\pi ^2}{T^2_{地}}R_{地}$

$地球的平均密度为\rho_{地}=\frac{M_{地}}{\frac{4\pi }{3}R^3_{地}}$

$联立可得\rho_{地}=\frac{3\pi }{GT^2_{地}}$

$根据万有引力提供向心力，探测器在近月轨道运动有G\frac{M_{月}m}{R^2_{月}}=m\frac{4\pi ^2}{T^2_{月}}R_{月}$

$月球的平均密度为\rho_{月}=\frac{M_{月}}{\frac{4\pi }{3}R^3_{月}}$

$联立可得\rho_{月}=\frac{3\pi }{GT^2_{月}}$

$地球和月球的平均密度之比\frac{\rho_{地}}{\rho_{月}}=\frac{T^2_{月}}{T^2_{地}}=\frac{1}{b^2}$

Final answer: $\frac{1}{b^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：$
<img_691>
地球和月球的平均密度之比；

Solution:
$根据万有引力提供向心力，探测器在近地轨道运动有G\frac{Mm}{R^2_{地}}=m\frac{4\pi ^2}{T^2_{地}}R_{地}$

$地球的平均密度为\rho_{地}=\frac{M_{地}}{\frac{4\pi }{3}R^3_{地}}$

$联立可得\rho_{地}=\frac{3\pi }{GT^2_{地}}$

$根据万有引力提供向心力，探测器在近月轨道运动有G\frac{M_{月}m}{R^2_{月}}=m\frac{4\pi ^2}{T^2_{月}}R_{月}$

$月球的平均密度为\rho_{月}=\frac{M_{月}}{\frac{4\pi }{3}R^3_{月}}$

$联立可得\rho_{月}=\frac{3\pi }{GT^2_{月}}$

$地球和月球的平均密度之比\frac{\rho_{地}}{\rho_{月}}=\frac{T^2_{月}}{T^2_{地}}=\frac{1}{b^2}$

Final answer: $\frac{1}{b^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：$
<img_691>
探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比。

Solution:
设地球的半径为R，则轨道Ⅱ的长轴为
$r=(1+a)R$
根据开普勒第三定律得
$\frac{R^3}{T^2_1}$
$=\frac{\left(\frac{r}{2}\right)^3}{T^2_2}$
解得探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比
$\frac{T_1}{T_2}$
$=\frac{2}{\left(1+a\right)^2}\sqrt{\frac{2}{(1+a)}}$

Final answer: $\frac{2}{(1+a)^2}$\sqrt{\frac{2}{(1+a)}}$
Subfield: Mechanics


Question: $“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球俘获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知轨道Ⅱ远地点和近地点到地心距离之比为a，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为b，求：$
![24AJS5WL297.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609598822993921/img/compression/M_dba1e6f3d3925dc1491018eac105cb2e.jpg)
探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比。

Solution:
设地球的半径为R，则轨道Ⅱ的长轴为
$r=(1+a)R$
根据开普勒第三定律得
$\frac{R^3}{T^2_1}$
$=\frac{\left(\frac{r}{2}\right)^3}{T^2_2}$
解得探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行的周期之比
$\frac{T_1}{T_2}$
$=\frac{2}{\left(1+a\right)^2}\sqrt{\frac{2}{(1+a)}}$

Final answer: $\frac{2}{(1+a)^2}$\sqrt{\frac{2}{(1+a)}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为\omega。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609790055403522/img/compression/M_ff0fec730a035a410fd35b822d3b61bd.jpg)
$重物落地后，小球线速度的大小v；$

Solution:
$由线速度v=\omega r，得v=2\omega R$

Final answer: $v=2\omega R$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为\omega。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

<img_1020>
$重物落地后，小球线速度的大小v；$

Solution:
$由线速度v=\omega r，得v=2\omega R$

Final answer: $v=2\omega R$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为\omega。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609790055403522/img/compression/M_ff0fec730a035a410fd35b822d3b61bd.jpg)
$重物下落的高度h。$

Solution:
$落地时，重物的速度v'=\omega R，$

$由机械能守恒得 \frac{1}{2}Mv'^{2}+4\times \frac{1}{2}mv^{2}=Mgh$

$解得h=\frac{M+16m}{2Mg}(\omega R)^{2}$

Final answer: $h=\frac{M+16m}{2Mg}(\omega R)^{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为\omega。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

<img_1020>
$重物下落的高度h。$

Solution:
$落地时，重物的速度v'=\omega R，$

$由机械能守恒得 \frac{1}{2}Mv'^{2}+4\times \frac{1}{2}mv^{2}=Mgh$

$解得h=\frac{M+16m}{2Mg}(\omega R)^{2}$

Final answer: $h=\frac{M+16m}{2Mg}(\omega R)^{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

<img_1053>
A固定不动时，A对B支持力的大小N；

Solution:
$B所受支持力的大小N=mg \cos \alpha $

Final answer: $mg \cos \alpha $
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609791208837122/img/compression/M_060e8aaa77a474733add9dc21f9cc49a.jpg)
A固定不动时，A对B支持力的大小N；

Solution:
$B所受支持力的大小N=mg \cos \alpha $

Final answer: $mg \cos \alpha $
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

<img_1053>
A滑动的位移为x时，B的位移大小s；

Solution:
$根据几何关系s_x=x\cdot (1-\cos\alpha ),s_y=x\cdot \sin\alpha  且 s=\sqrt{s^2_x+s^2_y}  $

$解得 s=\sqrt{2(1- \cos  \alpha )}\cdot x$

<img_929>

Final answer: $\sqrt{2(1- \cos  \alpha )}\cdot x$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609791208837122/img/compression/M_060e8aaa77a474733add9dc21f9cc49a.jpg)
A滑动的位移为x时，B的位移大小s；

Solution:
$根据几何关系s_x=x\cdot (1-\cos\alpha ),s_y=x\cdot \sin\alpha  且 s=\sqrt{s^2_x+s^2_y}  $

$解得 s=\sqrt{2(1- \cos  \alpha )}\cdot x$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609792014143491/img/compression/M_ce645070fc853f975fe5c1a6d287f0b3.jpg)

Final answer: $\sqrt{2(1- \cos  \alpha )}\cdot x$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

<img_1053>
$A滑动的位移为x时的速度大小v_{A}。$

Solution:
$B的下降高度s_y=x \cdot \sin \alpha $

$根据机械能守恒定律 mg \cdot s_y=\frac{1}{2} \cdot mv^2_A+\frac{1}{2} \cdot mv^2_B$

$根据速度的定义得 v_A=\frac{\Delta x}{\Delta t}， v_B=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

$则v_B=\sqrt{2(1-\cos\alpha)} \cdot v_A$

$解得v_A=\sqrt{\frac{2g \cdot x \cdot \sin\alpha}{3-2\cos\alpha}}$

Final answer: \sqrt{\frac{2g x \sin\alpha}{3-2\cos\alpha}}
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角为\alpha 的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行。A、B的质量均为m。撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动。不计一切摩擦，重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609791208837122/img/compression/M_060e8aaa77a474733add9dc21f9cc49a.jpg)
$A滑动的位移为x时的速度大小v_{A}。$

Solution:
$B的下降高度s_y=x \cdot \sin \alpha $

$根据机械能守恒定律 mg \cdot s_y=\frac{1}{2} \cdot mv^2_A+\frac{1}{2} \cdot mv^2_B$

$根据速度的定义得 v_A=\frac{\Delta x}{\Delta t}， v_B=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

$则v_B=\sqrt{2(1-\cos\alpha)} \cdot v_A$

$解得v_A=\sqrt{\frac{2g \cdot x \cdot \sin\alpha}{3-2\cos\alpha}}$

Final answer: \sqrt{\frac{2g x \sin\alpha}{3-2\cos\alpha}}
Subfield: Mechanics


Question: 雨滑落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滑下落过程中受到空气阻力有关。雨滑间无相互作用且雨滑质量不变，重力加速度为 g。

$由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滑的作用力为零。将雨滑简化为垂直于运动方向面积为 S 的圆盘，证明：圆盘以速度 v 下落时受到的空气阻力 f \propto  v^2 (提示：设单位体积内空气分子数为 n ，空气分子质量为 m_0 )。$

Solution:
根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。

$简化的圆盘模型如图。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在\Delta t时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为\Delta m=Sv\Delta tnm_0$

以F表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，

$有F\Delta t\propto \Delta m\times v$

$得F\propto nm_0Sv^2$

由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力

$f\propto v^2$

采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论。

![20GZTWL101.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610017360261121/img/compression/M_8d8e46ea609a722b947ad1c7e4c9eb24.jpg)

Final answer: 见解析
Subfield: Optics


Question: 将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示。用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为\theta 。当\theta =60^\circ 时，A右侧恰好无光线射出；当\theta =30^\circ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h。不考虑多次反射。求：

![22GZTWLS18.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487979200516/img/compression/M_908f718ce942a7492cc800ba5f278a4c.jpg)
$两个半圆柱体之间的距离d。$

Solution:
$如图，当\theta =30^\circ 时，由折射定律有$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610488402825217/img/compression/M_8b317c754413c43f67b5a58f55ba667c.jpg)

$n=\frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta }$

由几何关系有

$h=R \sin \theta +d \tan \alpha $

$解得d=\sqrt{2}h-\frac{\sqrt{2}}{2}R$

Final answer: $\sqrt{2}h - \frac{\sqrt{2}}{2}R$
Subfield: Optics


Question: 将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示。用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为\theta 。当\theta =60^\circ 时，A右侧恰好无光线射出；当\theta =30^\circ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h。不考虑多次反射。求：

<img_1451>
$两个半圆柱体之间的距离d。$

Solution:
$如图，当\theta =30^\circ 时，由折射定律有$

<img_1245>

$n=\frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta }$

由几何关系有

$h=R \sin \theta +d \tan \alpha $

$解得d=\sqrt{2}h-\frac{\sqrt{2}}{2}R$

Final answer: $\sqrt{2}h - \frac{\sqrt{2}}{2}R$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B_0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B_0的匀强磁场。在x轴上x<-2R的位置有荧光屏，粒子源P(2R，-R)可以在纸面内沿与x轴负方向成-37^\circ 到37^\circ 夹角的范围内发射速率v_0= \frac{B_0qR}{m}(m、q分别为粒子的质量和电荷量)的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003729519267842/img/compression/M_452272b8604ff41f76e1598a0a4dec8d.jpg)
粒子从射出到打到荧光屏上的过程中，粒子的最长运动时间。

Solution:
$根据图像可知，打到最远处的粒子运动的时间最长，其中做圆周运动时间t_1=(1+\frac{37^{\circ}+90^{\circ}}{360^{\circ}})T，带电粒子在磁场中运动的周期T=\frac{2\pi R}{v_0}，直线运动时间t_2=3\times \frac{R(1-\cos  37^{\circ})}{v_0}，最长时间为t=t_1+t_2，联立解得t=\frac{487\pi R}{180v_0}+\frac{3R}{5v_0}$

Final answer: $\frac{487\pi R}{180v_0} + \frac{3R}{5v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B_0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B_0的匀强磁场。在x轴上x<-2R的位置有荧光屏，粒子源P(2R，-R)可以在纸面内沿与x轴负方向成-37^\circ 到37^\circ 夹角的范围内发射速率v_0= \frac{B_0qR}{m}(m、q分别为粒子的质量和电荷量)的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：$

<img_1277>
粒子从射出到打到荧光屏上的过程中，粒子的最长运动时间。

Solution:
$根据图像可知，打到最远处的粒子运动的时间最长，其中做圆周运动时间t_1=(1+\frac{37^{\circ}+90^{\circ}}{360^{\circ}})T，带电粒子在磁场中运动的周期T=\frac{2\pi R}{v_0}，直线运动时间t_2=3\times \frac{R(1-\cos  37^{\circ})}{v_0}，最长时间为t=t_1+t_2，联立解得t=\frac{487\pi R}{180v_0}+\frac{3R}{5v_0}$

Final answer: $\frac{487\pi R}{180v_0} + \frac{3R}{5v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
![24BSD5WL508.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003731058577410/img/compression/M_cc093196a3180e847d6c8a1a69440031.jpg)
电场强度的大小；

Solution:
离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有
$4R = v_0t$

$\frac{3R}{2} = \frac{1}{2}at^2$

根据牛顿第二定律有$a = \frac{Eq}{m}$

解得，电场强度的大小为$E = \frac{3mv^2_0}{16Rq}$

Final answer: $\frac{3mv^2_0}{16Rq}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
<img_1032>
电场强度的大小；

Solution:
离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有
$4R = v_0t$

$\frac{3R}{2} = \frac{1}{2}at^2$

根据牛顿第二定律有$a = \frac{Eq}{m}$

解得，电场强度的大小为$E = \frac{3mv^2_0}{16Rq}$

Final answer: $\frac{3mv^2_0}{16Rq}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
<img_1032>
Ⅱ区中磁感应强度大小；

Solution:
离子在Ⅱ区中做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示

<img_1391>

设离子运动轨迹半径为r，根据几何知识有

$(R-r)^2=r^2+\frac{R^2}{4},$

$解得离子运动的轨迹半径r=\frac{3}{8}R$

离子沿y轴正方向的速度为

$v_y=\sqrt{v^2-v^2_0}=\frac{3}{4}v_0,$

$则根据洛伦兹力提供向心力有qv_{y}B=\frac{mv^2_y}{r}$

$解得Ⅱ区中磁感应强度大小B=\frac{2mv_0}{qR}$

Final answer: $\frac{2mv_0}{qR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
![24BSD5WL508.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003731058577410/img/compression/M_cc093196a3180e847d6c8a1a69440031.jpg)
Ⅱ区中磁感应强度大小；

Solution:
离子在Ⅱ区中做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示

![24BSD5WL509.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003731415093249/img/compression/M_aa9908923d18a0c260d75a570aa24fe5.jpg)

设离子运动轨迹半径为r，根据几何知识有

$(R-r)^2=r^2+\frac{R^2}{4},$

$解得离子运动的轨迹半径r=\frac{3}{8}R$

离子沿y轴正方向的速度为

$v_y=\sqrt{v^2-v^2_0}=\frac{3}{4}v_0,$

$则根据洛伦兹力提供向心力有qv_{y}B=\frac{mv^2_y}{r}$

$解得Ⅱ区中磁感应强度大小B=\frac{2mv_0}{qR}$

Final answer: $\frac{2mv_0}{qR}$