di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AD\parallel BC且AD=2BC，DA\perp DC，EG\parallel AD且EG=AD，CD\parallel FG且CD=2FG，DG\perp 平面ABCD，DA=DC=DG=2.$<img_1824>
$(2)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.$

Solution:
$易知\overrightarrow{DB}=(1,2,0)，\overrightarrow{DE}=(2,0,2)，\overrightarrow{DC}=(0，2，0)，设平面BED的法向量为n_{1}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{n}_1=0，\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}_1=0，\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+2y=0，\\ 2x+2z=0，\end{matrix}\right.令y=1，则n_{1}=(-2,1,2)，(8分)设平面EDC的法向量为n_{2}=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DC}\cdot \boldsymbol{n}_2=0，\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}_2=0，\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_1=0，\\ 2x_1+2z_1=0，\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则n_{2}=(1,0,-1)，(10分)设平面BED和平面EDC的夹角为\theta ，\\cos   \theta =|\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|(-2)+0+(-2)|}{\sqrt{4+1+4}\times \sqrt{1+0+1}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以平面BED与平面EDC夹角的余弦值为\frac{2\sqrt{2}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AD\parallel BC且AD=2BC，DA\perp DC，EG\parallel AD且EG=AD，CD\parallel FG且CD=2FG，DG\perp 平面ABCD，DA=DC=DG=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400133821841410/img/compression/M_ef10168583c28dc0981fc4578b3ab557.jpg)
$(2)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.$

Solution:
$易知\overrightarrow{DB}=(1,2,0)，\overrightarrow{DE}=(2,0,2)，\overrightarrow{DC}=(0，2，0)，设平面BED的法向量为n_{1}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{n}_1=0，\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}_1=0，\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+2y=0，\\ 2x+2z=0，\end{matrix}\right.令y=1，则n_{1}=(-2,1,2)，(8分)设平面EDC的法向量为n_{2}=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DC}\cdot \boldsymbol{n}_2=0，\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}_2=0，\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_1=0，\\ 2x_1+2z_1=0，\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则n_{2}=(1,0,-1)，(10分)设平面BED和平面EDC的夹角为\theta ，\\cos   \theta =|\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|(-2)+0+(-2)|}{\sqrt{4+1+4}\times \sqrt{1+0+1}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以平面BED与平面EDC夹角的余弦值为\frac{2\sqrt{2}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400134560038915/img/compression/M_31a80bbb4cc75d7824b89e2c387bd40c.jpg)
$(1)求证：SO\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是正方形，所以点O是AC，BD的中点.因为SA=SC，SB=SD，所以SO\perp AC，SO\perp BD，又AC\cap BD=O，AC，BD\subset 平面ABCD，所以SO\perp 平面ABCD.(3分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$<img_1719>
$(1)求证：SO\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是正方形，所以点O是AC，BD的中点.因为SA=SC，SB=SD，所以SO\perp AC，SO\perp BD，又AC\cap BD=O，AC，BD\subset 平面ABCD，所以SO\perp 平面ABCD.(3分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$<img_1719>
$(2)求二面角P-AC-D的大小；$

Solution:
$因为四边形ABCD是正方形，AC\cap BD=O，所以AC\perp BD，由(1)知SO\perp AC，SO\perp BD，如图，以点O为原点，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OS}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.$<img_2864>$A(-\sqrt{2}，0，0)，C(\sqrt{2}，0，0)，D(0，\sqrt{2}，0)，P\left(0，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，B(0，-\sqrt{2}，0)，S(0，0，\sqrt{6})，(5分)则\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2}，0，0)，\overrightarrow{AP}=\left(\sqrt{2}，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，\overrightarrow{CP}=\left(-\sqrt{2}，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，易知平面ACD的一个法向量为m=(0，0，1)，设平面PAC的法向量为n=(x，y，z)，\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}x=0，\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AP}=\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}y+\frac{\sqrt{6}}{4}z=0，\end{matrix}\right.得x=0，z=-\sqrt{3}y，令z=\sqrt{3}，则y=-1，所以n=(0，-1，\sqrt{3})，(7分)所以\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}.由图可知，二面角P-AC-D的平面角为锐角，所以二面角P-AC-D的大小为\frac{\pi }{6}.(8分)$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400134560038915/img/compression/M_31a80bbb4cc75d7824b89e2c387bd40c.jpg)
$(2)求二面角P-AC-D的大小；$

Solution:
$因为四边形ABCD是正方形，AC\cap BD=O，所以AC\perp BD，由(1)知SO\perp AC，SO\perp BD，如图，以点O为原点，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OS}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400134811697154/img/compression/M_0f94a3e465f840abf2e49515b813f984.jpg)$A(-\sqrt{2}，0，0)，C(\sqrt{2}，0，0)，D(0，\sqrt{2}，0)，P\left(0，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，B(0，-\sqrt{2}，0)，S(0，0，\sqrt{6})，(5分)则\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2}，0，0)，\overrightarrow{AP}=\left(\sqrt{2}，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，\overrightarrow{CP}=\left(-\sqrt{2}，\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}\right)，易知平面ACD的一个法向量为m=(0，0，1)，设平面PAC的法向量为n=(x，y，z)，\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}x=0，\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AP}=\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}y+\frac{\sqrt{6}}{4}z=0，\end{matrix}\right.得x=0，z=-\sqrt{3}y，令z=\sqrt{3}，则y=-1，所以n=(0，-1，\sqrt{3})，(7分)所以\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}.由图可知，二面角P-AC-D的平面角为锐角，所以二面角P-AC-D的大小为\frac{\pi }{6}.(8分)$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400134560038915/img/compression/M_31a80bbb4cc75d7824b89e2c387bd40c.jpg)
$(3)在侧棱SC上是否存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC？若存在，求出\frac{SM}{SC}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在侧棱SC上存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC.设\overrightarrow{SM}=\lambda \overrightarrow{SC}，易知\overrightarrow{SC}=(\sqrt{2}，0，-\sqrt{6})，则\overrightarrow{SM}=(\sqrt{2}\lambda ，0，-\sqrt{6}\lambda ).易知\overrightarrow{BS}=(0，\sqrt{2}，\sqrt{6})，所以\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SM}=(\sqrt{2}\lambda ，\sqrt{2}，\sqrt{6}-\sqrt{6}\lambda ).(10分)由(2)知，平面PAC的一个法向量为n=(0，-1，\sqrt{3})，则n\perp \overrightarrow{BM}，则n\cdot \overrightarrow{BM}=-\sqrt{2}+3\sqrt{2}(1-\lambda )=0，解得\lambda =\frac{2}{3}，所以在侧棱SC上存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC，\frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，AC\cap BD=O，AB=2，SA=SB=SC=SD=2\sqrt{2}，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.$<img_1719>
$(3)在侧棱SC上是否存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC？若存在，求出\frac{SM}{SC}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在侧棱SC上存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC.设\overrightarrow{SM}=\lambda \overrightarrow{SC}，易知\overrightarrow{SC}=(\sqrt{2}，0，-\sqrt{6})，则\overrightarrow{SM}=(\sqrt{2}\lambda ，0，-\sqrt{6}\lambda ).易知\overrightarrow{BS}=(0，\sqrt{2}，\sqrt{6})，所以\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SM}=(\sqrt{2}\lambda ，\sqrt{2}，\sqrt{6}-\sqrt{6}\lambda ).(10分)由(2)知，平面PAC的一个法向量为n=(0，-1，\sqrt{3})，则n\perp \overrightarrow{BM}，则n\cdot \overrightarrow{BM}=-\sqrt{2}+3\sqrt{2}(1-\lambda )=0，解得\lambda =\frac{2}{3}，所以在侧棱SC上存在一点M，使得BM\parallel 平面PAC，\frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA\perp 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}，AD=2，AB=BC=1.$<img_1773>
$(1)当四棱锥P-ABCD的体积为1时， 求异面直线AC与PD所成角的大小；$

Solution:
$由题意得V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times (1+2)\times PA=1，解得PA=2，(2分)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图，则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，A(0,0,0)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2).(4分)\because \\cos  \langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}，且\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]，\therefore \langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle =\frac{\pi }{3}，\therefore 异面直线AC与PD所成角为\frac{\pi }{3}.(6分)$<img_1880>

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA\perp 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}，AD=2，AB=BC=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400149118468098/img/compression/M_bd1d1f414d7029d1ec8ababd35d9962e.jpg)
$(1)当四棱锥P-ABCD的体积为1时， 求异面直线AC与PD所成角的大小；$

Solution:
$由题意得V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times (1+2)\times PA=1，解得PA=2，(2分)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图，则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，A(0,0,0)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2).(4分)\because \\cos  \langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}，且\langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]，\therefore \langle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{PD}\rangle =\frac{\pi }{3}，\therefore 异面直线AC与PD所成角为\frac{\pi }{3}.(6分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400149353349121/img/compression/M_23604989e03a77ae86b4f539338891ef.jpg)

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA\perp 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}，AD=2，AB=BC=1.$<img_1773>
$(2)求证：CD\perp 平面PAC.$

Solution:
$证明：由(1)知\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{CD}=(-1,1,0)，此时PA长度不定，可设P(0,0,t)，则\overrightarrow{AP}=(0,0,t).(8分)\because \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-1+1+0=0，\therefore \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CD}，即AC\perp CD.同理\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CD}=0+0+0=0，\therefore PA\perp CD，(10分)又PA\cap AC=A，PA,AC\subset 平面PAC，\therefore CD\perp 平面PAC.(12分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA\perp 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}，AD=2，AB=BC=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1646400149118468098/img/compression/M_bd1d1f414d7029d1ec8ababd35d9962e.jpg)
$(2)求证：CD\perp 平面PAC.$

Solution:
$证明：由(1)知\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{CD}=(-1,1,0)，此时PA长度不定，可设P(0,0,t)，则\overrightarrow{AP}=(0,0,t).(8分)\because \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-1+1+0=0，\therefore \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CD}，即AC\perp CD.同理\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{CD}=0+0+0=0，\therefore PA\perp CD，(10分)又PA\cap AC=A，PA,AC\subset 平面PAC，\therefore CD\perp 平面PAC.(12分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设\angle BOC=\theta ，木梁的体积为V(单位：m^{3})．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920432010428417/img/compression/M_cea81ae6dd51b08380c009d0fab53396.jpg)
$(1)求V关于\theta 的函数表达式；$

Solution:
$S_{梯形ABCD}=\frac{2\\\cos    \theta +2}{2}\\sin   \theta =\\sin   \theta \\cos   \theta +\\sin   \theta ,\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).(2分)体积V=10(\\sin   \theta \\cos   \theta +\\sin   \theta ),\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).(6分)$

Final answer: $V=10(\sin  𝜃 \cos  𝜃 + \sin  𝜃), 𝜃 \in  (0, 𝜋/2)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设\angle BOC=\theta ，木梁的体积为V(单位：m^{3})．$<img_2855>
$(1)求V关于\theta 的函数表达式；默认 \theta \in  (0, \pi/2) $

Solution:
$S_{梯形ABCD}=\frac{2\\\cos    \theta +2}{2}\\sin   \theta =\\sin   \theta \\cos   \theta +\\sin   \theta ,\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).(2分)体积V=10(\\sin   \theta \\cos   \theta +\\sin   \theta ),\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).(6分)$



Final answer: $V=10(\sin  \theta \cos  \theta + \sin  \theta)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设\angle BOC=\theta ，木梁的体积为V(单位：m^{3})．$<img_2855>
$(2)当体积V最大时，求\theta 的值.$

Solution:
$V'=10(2\\cos  ^{2}\theta +\\cos   \theta -1)=10(2\\cos   \theta -1)(\\cos   \theta +1).(7分)令V'=0,得\\cos   \theta =\frac{1}{2}或\\cos   \theta =-1.又\because \theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\therefore \theta =\frac{\pi }{3}，(9分)当\theta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)时，\frac{1}{2}<\\cos   \theta <1,V'>0,V为增函数；当\theta \in \left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)时，0<\\cos   \theta <\frac{1}{2},V'<0,V为减函数，(11分)\therefore 当体积V最大时，\theta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\pi }{3}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设\angle BOC=\theta ，木梁的体积为V(单位：m^{3})．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920432010428417/img/compression/M_cea81ae6dd51b08380c009d0fab53396.jpg)
$(2)当体积V最大时，求\theta 的值.$

Solution:
$V'=10(2\\cos  ^{2}\theta +\\cos   \theta -1)=10(2\\cos   \theta -1)(\\cos   \theta +1).(7分)令V'=0,得\\cos   \theta =\frac{1}{2}或\\cos   \theta =-1.又\because \theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\therefore \theta =\frac{\pi }{3}，(9分)当\theta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)时，\frac{1}{2}<\\cos   \theta <1,V'>0,V为增函数；当\theta \in \left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)时，0<\\cos   \theta <\frac{1}{2},V'<0,V为减函数，(11分)\therefore 当体积V最大时，\theta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\pi }{3}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310009412259841/img/compression/M_fc7765af10cde63282425b98be92ab76.jpg)
$(1)写出点A到平面BCC_{1}B_{1}的距离；$

Solution:
$点A到平面BCC_{1}B_{1}的距离为AB的长度，为3.(2分)$

Final answer: $3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$<img_2243>
$(1)写出点A到平面BCC_{1}B_{1}的距离；$

Solution:
$点A到平面BCC_{1}B_{1}的距离为AB的长度，为3.(2分)$

Final answer: $3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310009412259841/img/compression/M_fc7765af10cde63282425b98be92ab76.jpg)
$(2)写出直线AB到平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的距离；$

Solution:
$直线AB到平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的距离为AA_{1}的长度，为5.(4分)$

Final answer: $5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$<img_2243>
$(2)写出直线AB到平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的距离；$

Solution:
$直线AB到平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的距离为AA_{1}的长度，为5.(4分)$

Final answer: $5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310009412259841/img/compression/M_fc7765af10cde63282425b98be92ab76.jpg)
$(3)写出平面ADD_{1}A_{1}与平面BCC_{1}B_{1}之间的距离；$

Solution:
$平面ADD_{1}A_{1}与平面BCC_{1}B_{1}之间的距离为AB的长度，为3.(6分)$

Final answer: $3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$<img_2243>
$(3)写出平面ADD_{1}A_{1}与平面BCC_{1}B_{1}之间的距离；$

Solution:
$平面ADD_{1}A_{1}与平面BCC_{1}B_{1}之间的距离为AB的长度，为3.(6分)$

Final answer: $3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=3，AD=4，AA_{1}=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310009412259841/img/compression/M_fc7765af10cde63282425b98be92ab76.jpg)
$(4)和棱A_{1}B_{1}不相交的棱有哪几条？$

Solution:
$和棱A_{1}B_{1}不相交的棱有AB、CD、C_{1}D_{1}、CC_{1}、DD_{1}、AD、BC，共7条.(10分)$

Final answer: $AB, CD, C_{1}D_{1}, CC_{1}, DD_{1}, AD, BC$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310021018537985/img/compression/M_7f9a0c0a531968a1583358d038a35c00.jpg)
$(1)与直线B'C'平行的平面有哪几个？$

Solution:
$与直线B'C'平行的平面有平面ADD'A'、平面ABCD.(2分)$

Final answer: $平面ADD'A', 平面ABCD$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310021018537985/img/compression/M_7f9a0c0a531968a1583358d038a35c00.jpg)
$(2)与直线B'C'垂直的平面有哪几个？$

Solution:
$与直线B'C'垂直的平面有平面ABB'A'、平面CDD'C'.(4分)$

Final answer: $平面ABB'A', 平面CDD'C'$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310021018537985/img/compression/M_7f9a0c0a531968a1583358d038a35c00.jpg)
$(3)与平面BC'平行的平面有哪几个？$

Solution:
$与平面BC'平行的平面有平面ADD'A'.(6分)$

Final answer: $平面ADD'A'$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310021018537985/img/compression/M_7f9a0c0a531968a1583358d038a35c00.jpg)
$(4)与平面BC'垂直的平面有哪几个？$

Solution:
$与平面BC'垂直的平面有平面ABB'A'、平面CDD'C'、平面A'B'C'D'、平面ABCD.(8分)$

Final answer: $平面ABB'A'、平面CDD'C'、平面A'B'C'D'、平面ABCD$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310021018537985/img/compression/M_7f9a0c0a531968a1583358d038a35c00.jpg)
$(5)平面AC与平面A'C'间的距离可以用哪些线段的长来表示？$

Solution:
$平面AC与平面A'C'间的距离可用线段AA'，BB'，CC'，DD'的长来表示.(10分)$

Final answer: $平面AC与平面A'C'间的距离可用线段AA'，BB'，CC'，DD'的长来表示.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，A_{1}A=2.$<img_1581>
$(1)求该直三棱柱的表面积；$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，所以两个底面的面积之和为2\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=2，(2分)易得AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2，由题意知A_{1}A=2，则三个侧面的面积之和为2\times (\sqrt{2}+\sqrt{2}+2)=4\times (\sqrt{2}+1)，(4分)所以该直三棱柱的表面积S=6+4\sqrt{2}.(5分)$

Final answer: $6+4\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，A_{1}A=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310036708790274/img/compression/M_6f74a6136b2ad5845da2e7020c0cec81.jpg)
$(1)求该直三棱柱的表面积；$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，所以两个底面的面积之和为2\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=2，(2分)易得AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2，由题意知A_{1}A=2，则三个侧面的面积之和为2\times (\sqrt{2}+\sqrt{2}+2)=4\times (\sqrt{2}+1)，(4分)所以该直三棱柱的表面积S=6+4\sqrt{2}.(5分)$

Final answer: $6+4\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，A_{1}A=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310036708790274/img/compression/M_6f74a6136b2ad5845da2e7020c0cec81.jpg)
$(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值.$

Solution:
$设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S_{1}，则组合后的大棱柱的表面积为2S-2S_{1}，(6分)所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小，又侧面AA_{1}C_{1}C的面积最大，所以当重合的面为侧面AA_{1}C_{1}C时，拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，最小值为2S-2S_{四边形AA_{1}C_{1}C}=2\times (6+4\sqrt{2})-2\times 4=4+8\sqrt{2}.(10分)$

Final answer: $4+8\sqrt 2。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面是等腰直角三角形，且AB=BC=\sqrt{2}，A_{1}A=2.$<img_1581>
$(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值.$

Solution:
$设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S_{1}，则组合后的大棱柱的表面积为2S-2S_{1}，(6分)所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小，又侧面AA_{1}C_{1}C的面积最大，所以当重合的面为侧面AA_{1}C_{1}C时，拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，最小值为2S-2S_{四边形AA_{1}C_{1}C}=2\times (6+4\sqrt{2})-2\times 4=4+8\sqrt{2}.(10分)$

Final answer: $4+8\sqrt 2。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30^\circ ，若截面PAC的面积为4\sqrt{6}.$<img_2655>
$(1)求a的值；$

Solution:
$如图，设AC的中点为O，BC的中点为E，连接PO，PE，OE，$<img_3054>$则OP为该正四棱锥的高，由已知得PE\perp BC，OE=\frac{a}{2}，\angle OPE=30^\circ ，(2分)\therefore OP=\frac{OE}{\\\tan    30^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}a，PE=\frac{OE}{\\\sin    30^\circ }=a，(4分)又AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{2}a，\therefore S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}\cdot PO\cdot AC=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}a\times \sqrt{2}a=4\sqrt{6}，解得a=4或a=-4(舍去).(6分)$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30^\circ ，若截面PAC的面积为4\sqrt{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310048545116163/img/compression/M_e3b1846f8330ddc43142e89c05ee3ac8.jpg)
$(1)求a的值；$

Solution:
$如图，设AC的中点为O，BC的中点为E，连接PO，PE，OE，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310048981323778/img/compression/M_aab9a5ece4a686790f0038935d0f3080.jpg)$则OP为该正四棱锥的高，由已知得PE\perp BC，OE=\frac{a}{2}，\angle OPE=30^\circ ，(2分)\therefore OP=\frac{OE}{\\\tan    30^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}a，PE=\frac{OE}{\\\sin    30^\circ }=a，(4分)又AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{2}a，\therefore S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}\cdot PO\cdot AC=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}a\times \sqrt{2}a=4\sqrt{6}，解得a=4或a=-4(舍去).(6分)$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30^\circ ，若截面PAC的面积为4\sqrt{6}.$<img_2655>
$(2)求正四棱锥P-ABCD的表面积.$

Solution:
$由(1)得正四棱锥P-ABCD的底面边长DC=4，高OP=2\sqrt{3}，斜高PE=4，(7分)\therefore S_{侧面积}=4\times \frac{1}{2}\times BC\cdot PE=2\times 4\times 4=32，(8分)S_{底面}=4^{2}=16，\therefore S_{表面}=32+16=48.(10分)$

Final answer: $48$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-ABCD，高与斜高的夹角为30^\circ ，若截面PAC的面积为4\sqrt{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310048545116163/img/compression/M_e3b1846f8330ddc43142e89c05ee3ac8.jpg)
$(2)求正四棱锥P-ABCD的表面积.$

Solution:
$由(1)得正四棱锥P-ABCD的底面边长DC=4，高OP=2\sqrt{3}，斜高PE=4，(7分)\therefore S_{侧面积}=4\times \frac{1}{2}\times BC\cdot PE=2\times 4\times 4=32，(8分)S_{底面}=4^{2}=16，\therefore S_{表面}=32+16=48.(10分)$

Final answer: $48$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310049581109251/img/compression/M_b082e35f8603fd670eacda3f63ab6e36.jpg)
$(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；$

Solution:
$设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，则大棱锥的侧面积为6\times \frac{1}{2}\times 2a\times 2h=12ah，小棱锥的侧面积为6\times \frac{1}{2}ah=3ah，\therefore 棱台的侧面积为12ah-3ah=9ah，\therefore 大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4:1:3.(5分)$

Final answer: $4:1:3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.$<img_2781>
$(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.$

Solution:
$\because 小棱锥的底面边长为4 cm，\therefore 大棱锥的底面边长为8 cm，\because 大棱锥PO的侧棱长为12 cm，\therefore 大棱锥斜高为\sqrt{144-16}=8\sqrt{2} cm，\therefore 大棱锥的侧面积为\frac{1}{2}\times 8\times 8\sqrt{2}\times 6=192\sqrt{2} cm^{2}，\therefore 棱台的侧面积为144\sqrt{2} cm^{2}，(7分)棱台的上底面面积为6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^{2}=24\sqrt{3} cm^{2}，下底面面积为6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 8^{2}=96\sqrt{3} cm^{2}，\therefore 截得的棱台的表面积为(120\sqrt{3}+144\sqrt{2})cm^{2}.(10分)$

Final answer: $144\sqrt 2,120\sqrt 3+144\sqrt 2$ cm^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310049581109251/img/compression/M_b082e35f8603fd670eacda3f63ab6e36.jpg)
$(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.$

Solution:
$\because 小棱锥的底面边长为4 cm，\therefore 大棱锥的底面边长为8 cm，\because 大棱锥PO的侧棱长为12 cm，\therefore 大棱锥斜高为\sqrt{144-16}=8\sqrt{2} cm，\therefore 大棱锥的侧面积为\frac{1}{2}\times 8\times 8\sqrt{2}\times 6=192\sqrt{2} cm^{2}，\therefore 棱台的侧面积为144\sqrt{2} cm^{2}，(7分)棱台的上底面面积为6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^{2}=24\sqrt{3} cm^{2}，下底面面积为6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 8^{2}=96\sqrt{3} cm^{2}，\therefore 截得的棱台的表面积为(120\sqrt{3}+144\sqrt{2})cm^{2}.(10分)$

Final answer: $144\sqrt 2,120\sqrt 3+144\sqrt 2$ cm^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为\sqrt{3}的内接圆柱.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310068828078083/img/compression/M_62c0166d0aa0979cc4f37010788df8c2.jpg)
$(1)求圆柱的体积；$

Solution:
$由题知，圆锥的高为\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，又圆柱的高为\sqrt{3}，所以结合相似三角形的性质得圆柱底面半径r=\frac{2}{2}=1，(2分)故圆柱的体积为\pi \times 1^{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{3}\pi .(5分)$

Final answer: $\sqrt{3}\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为\sqrt{3}的内接圆柱.$<img_1789>
$(1)求圆柱的体积；$

Solution:
$由题知，圆锥的高为\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，又圆柱的高为\sqrt{3}，所以结合相似三角形的性质得圆柱底面半径r=\frac{2}{2}=1，(2分)故圆柱的体积为\pi \times 1^{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{3}\pi .(5分)$

Final answer: $\sqrt{3}\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为\sqrt{3}的内接圆柱.$<img_1789>
$(2)求挖去圆柱后剩余部分的表面积.$

Solution:
$圆锥表面积为\pi \times 2^{2}+\pi \times 2\times 4=12\pi ，圆柱侧面积为2\pi \times 1\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi ，(8分)由题意，挖去圆柱后剩余部分的表面积是圆锥表面积加圆柱的侧面积，所以剩余部分的表面积为(12+2\sqrt{3})\pi .(10分)$

Final answer: $(12+2\sqrt{3})\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为\sqrt{3}的内接圆柱.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310068828078083/img/compression/M_62c0166d0aa0979cc4f37010788df8c2.jpg)
$(2)求挖去圆柱后剩余部分的表面积.$

Solution:
$圆锥表面积为\pi \times 2^{2}+\pi \times 2\times 4=12\pi ，圆柱侧面积为2\pi \times 1\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi ，(8分)由题意，挖去圆柱后剩余部分的表面积是圆锥表面积加圆柱的侧面积，所以剩余部分的表面积为(12+2\sqrt{3})\pi .(10分)$

Final answer: $(12+2\sqrt{3})\pi$