di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示,空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成,其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点,垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场,其磁感应强度沿z方向的分量始终为零,沿x和y方向的分量B_x和B_y随时间周期性变化规律如图乙所示,图中B_0可调。氙离子(Xe^{2+})束从离子源小孔S射出,沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出。测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v_0。已知单个离子的质量为m、电荷量为2e,忽略离子间的相互作用,不计重力且射出的离子总质量远小于推进器的质量。$

![22GZTWLS71.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061871132667906/img/compression/M_b5d364af85d1d2f66f3fa243f7993191.jpg)

![22GZTWLS72.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061871132667906/img/compression/M_11d39ae2c0b8c6c1bd35c0b65d95aca1.jpg)
$设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T,单位时间从端面P射出的离子数为n,且B_0=\frac{\sqrt{2}mv_0}{5eL}，求图乙中t_0时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。$

Solution:
$R_3 = \frac{mv_0}{\sqrt{2}qB_0} = \frac{5}{4}L, \cos \theta = \frac{3}{5}$

$F\Delta t = n\Delta tmv_0 - 0$

$F' = -F = -nmv_0$

$F_{z}' = -\frac{3}{5}nmv_0$

Final answer: $- \frac{3}{5} nmv_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $为了探测带电粒子，研究人员设计了如图甲所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O'的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O'右边的O点为坐标原点建立一平面直角坐标系xOy，O和O'两点间距离为2R。y轴与OO'连线垂直，x轴(图甲中未画出)正方向垂直纸面向里，在xOy平面内存在一个足够大的探测屏，圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且与y轴垂直的粒子源MN，该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子发射时的速度大小均为v_0，方向均沿y轴正方向，从粒子源MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，已知粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用力。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061835019710465/img/compression/M_c9e4dd7293925e354613a2bb06c63adb.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061835019710465/img/compression/M_4cbe5a8020653a0e3021fd23816ff715.jpg)
求从粒子源右端点N发射的粒子从进入磁场到打到屏上所经历的时间t；

Solution:
$设从N点发射的粒子，在A点进入磁场，从C点离开磁场，打在屏上的D点，圆周运动的圆心为O_1，如图所示，$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061839809605633/img/compression/M_ef40e8b34651a1651ec5a8d32b8e12c7.jpg)

$由于粒子源MN长度为R，并与y轴垂直，且从MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，所以O'A=O'E=AE=R，故有\angle O'AE=60^\circ 。由题意可得O'A=O'C=O_1A=O_1C=R，由几何知识可得\angle AO_1C=\angle O'AE=60^\circ ，所以\angle CDO=\angle AO_1C=60^\circ ，粒子在磁场中的运动时间为t_1=\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}T=\frac{1}{6}\cdot\frac{2\pi R}{v_0}=\frac{\pi R}{3v_0}，粒子从C点到D点的运动时间为t_2=\frac{CD}{v_0}=\frac{R}{v_0 \sin  60 ^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}R}{3v_0}，所以粒子源右端点N发射的粒子从进入磁场到打到屏上所经历的时间t=t_1+t_2=\frac{R}{3v_0}(\pi +2\sqrt{3})。$

Final answer: $`\frac{R}{3v_0} (\pi +2\sqrt{3})`$
Subfield: Electromagnetism


Question: $为了探测带电粒子，研究人员设计了如图甲所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O'的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O'右边的O点为坐标原点建立一平面直角坐标系xOy，O和O'两点间距离为2R。y轴与OO'连线垂直，x轴(图甲中未画出)正方向垂直纸面向里，在xOy平面内存在一个足够大的探测屏，圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且与y轴垂直的粒子源MN，该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子发射时的速度大小均为v_0，方向均沿y轴正方向，从粒子源MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，已知粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用力。$

<img_1250>

<img_969>
求从粒子源右端点N发射的粒子从进入磁场到打到屏上所经历的时间t；

Solution:
$设从N点发射的粒子，在A点进入磁场，从C点离开磁场，打在屏上的D点，圆周运动的圆心为O_1，如图所示，$

<img_1274>

$由于粒子源MN长度为R，并与y轴垂直，且从MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，所以O'A=O'E=AE=R，故有\angle O'AE=60^\circ 。由题意可得O'A=O'C=O_1A=O_1C=R，由几何知识可得\angle AO_1C=\angle O'AE=60^\circ ，所以\angle CDO=\angle AO_1C=60^\circ ，粒子在磁场中的运动时间为t_1=\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}T=\frac{1}{6}\cdot\frac{2\pi R}{v_0}=\frac{\pi R}{3v_0}，粒子从C点到D点的运动时间为t_2=\frac{CD}{v_0}=\frac{R}{v_0 \sin  60 ^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}R}{3v_0}，所以粒子源右端点N发射的粒子从进入磁场到打到屏上所经历的时间t=t_1+t_2=\frac{R}{3v_0}(\pi +2\sqrt{3})。$

Final answer: $`\frac{R}{3v_0} (\pi +2\sqrt{3})`$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_5f98e850137f36b25e2075f572cddd5c.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_d17a8a60d0554f6855faa0f565f5d965.jpg)

图2
$求外力F的大小；$

Solution:
$t_0=0，B_0=0.25 T$

$回路电流I= \frac{B_0Lv}{R}$

$安培力F_A= \frac{B^2_0L^2}{R}v$

$外力F=F_A=0.062 5 N$

Final answer: 0.062 5 N
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

<img_1074>

图1

<img_866>

图2
$求外力F的大小；$

Solution:
$t_0=0，B_0=0.25 T$

$回路电流I= \frac{B_0Lv}{R}$

$安培力F_A= \frac{B^2_0L^2}{R}v$

$外力F=F_A=0.062 5 N$

Final answer: 0.062 5 N
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_5f98e850137f36b25e2075f572cddd5c.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_d17a8a60d0554f6855faa0f565f5d965.jpg)

图2
$求在0\leq t\leq 1.3 s内流过导线横截面的电荷量q。$

Solution:
$0\leq t\leq 0.5 s$

$电荷量q_{1} = \frac{B_0L^2}{R} = 0.25 C$

$0.5 s\leq t\leq 1.0 s$

$电荷量q_{2} = \frac{B_1L^2-B_0L^2}{R} = 0.25 C$

$总电荷量q=q_{1} + q_{2}=0.5 C$

Final answer: 0.5 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

<img_1074>

图1

<img_866>

图2
$求在0\leq t\leq 1.3 s内流过导线横截面的电荷量q。$

Solution:
$0\leq t\leq 0.5 s$

$电荷量q_{1} = \frac{B_0L^2}{R} = 0.25 C$

$0.5 s\leq t\leq 1.0 s$

$电荷量q_{2} = \frac{B_1L^2-B_0L^2}{R} = 0.25 C$

$总电荷量q=q_{1} + q_{2}=0.5 C$

Final answer: 0.5 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为\sqrt{3}r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。 运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_b28837bc7a0eec4394e545d68411ba6b.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_cf1abcc49d7b1c84c137c27f412ac83c.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_f0bc45737a4d5d0f0de184c21b10a878.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_b97c755702e23efb72b324edb365688f.jpg)
$如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面夹角\theta=37^\circ 时，运输车恰好能无动力地匀速下滑，求运输车与导轨间的动摩擦因数\mu。$

Solution:
分析运输车的受力情况，将运输车的重力分解，如图1所示，
![23AZJ5WL134.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061968994721793/img/compression/M_a0e89c92ee8d27a45e6e3277fd75c05f.jpg)
$设轨道对运输车的支持力为N_1、N_2，如图2所示，$
![23AZJ5WL135.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061968994721793/img/compression/M_31b1d94668af4eca04056557a971461a.jpg)
$由几何关系N_1=mg \cos \theta ，N_2=mg \cos \theta  ，又f_1=\mu N_1，f_2=\mu N_2，运输车匀速运动mg \sin \theta =f_1+f_2 ，解得：\mu =\frac{3}{8}$

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为\sqrt{3}r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。 运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。$

<img_592>
<img_585>
<img_904>
<img_1057>
$如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面夹角\theta=37^\circ 时，运输车恰好能无动力地匀速下滑，求运输车与导轨间的动摩擦因数\mu。$

Solution:
分析运输车的受力情况，将运输车的重力分解，如图1所示，
<img_1424>
$设轨道对运输车的支持力为N_1、N_2，如图2所示，$
<img_1342>
$由几何关系N_1=mg \cos \theta ，N_2=mg \cos \theta  ，又f_1=\mu N_1，f_2=\mu N_2，运输车匀速运动mg \sin \theta =f_1+f_2 ，解得：\mu =\frac{3}{8}$

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

![物理图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062024736468993/img/compression/M_8dd61879711f1cf8484bccacc84e42b1.jpg)
两棒在水平导轨运动过程中，通过ab棒的最大电流；

Solution:
$两棒在水平导轨运动的过程中，初始时刻有最大电流，此时ef棒产生的感应电动势E=B_1Lv_0，通过ab棒的感应电流I=\frac{E}{2R}，解得I=2 A。$

Final answer: 2 A
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

<img_1461>
两棒在水平导轨运动过程中，通过ab棒的最大电流；

Solution:
$两棒在水平导轨运动的过程中，初始时刻有最大电流，此时ef棒产生的感应电动势E=B_1Lv_0，通过ab棒的感应电流I=\frac{E}{2R}，解得I=2 A。$

Final answer: 2 A
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

![物理图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062024736468993/img/compression/M_8dd61879711f1cf8484bccacc84e42b1.jpg)
$若两棒之间的距离增加x=0.5 m时，ef棒恰好离开水平导轨，求此时ef棒、ab棒的速度大小；$

Solution:
$当ef棒恰好离开水平导轨时，两棒之间距离增大0.5 m，则ab棒在cd的左侧，两棒所受合外力为零，系统动量守恒。设ef棒离开水平导轨时ef棒和ab棒的速度分别为v_1和v_2，有m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2，设两棒之间距离增加x=0.5 m用时为\Delta t，对于ab棒，由动量定理得B_1\overline{I}L\Delta t=m_2v_2－0，两棒距离增加x=0.5 m的过程中通过回路的平均电流\overline{I}. $

$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}，平均感应电动势\overline{E}=\frac{\Delta \mathit{Φ} }{\Delta t}，又\Delta Φ=B_1Lx，联立解得ef棒、ab棒的速度大小分别为v_1=1.5 m/s、v_2=1 m/s。$

Final answer: 1.5 m/s　1 m/s
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

<img_1461>
$若两棒之间的距离增加x=0.5 m时，ef棒恰好离开水平导轨，求此时ef棒、ab棒的速度大小；$

Solution:
$当ef棒恰好离开水平导轨时，两棒之间距离增大0.5 m，则ab棒在cd的左侧，两棒所受合外力为零，系统动量守恒。设ef棒离开水平导轨时ef棒和ab棒的速度分别为v_1和v_2，有m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2，设两棒之间距离增加x=0.5 m用时为\Delta t，对于ab棒，由动量定理得B_1\overline{I}L\Delta t=m_2v_2－0，两棒距离增加x=0.5 m的过程中通过回路的平均电流\overline{I}. $

$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}，平均感应电动势\overline{E}=\frac{\Delta \mathit{Φ} }{\Delta t}，又\Delta Φ=B_1Lx，联立解得ef棒、ab棒的速度大小分别为v_1=1.5 m/s、v_2=1 m/s。$

Final answer: 1.5 m/s　1 m/s
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

![物理图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062024736468993/img/compression/M_8dd61879711f1cf8484bccacc84e42b1.jpg)
初始时刻至ef棒恰好达到稳定状态的过程中系统产生的焦耳热。

Solution:
$当ef棒离开水平导轨后，ab棒先在cd左侧做匀速直线运动，进入cd右侧区域后，做减速运动，假设ab棒最终停在水平导轨上，则由动能定理有-\mu m_{2}g\Delta s=0－\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^2，解得\Delta s=0.25 m＜s=0.3 m，假设成立。对于ef棒，设其恰好能沿圆弧轨道运动的速率为v，有m_{1}g=\frac{m_{1}v^2}{r}，解得v=\sqrt{\frac{15}{8}} m/s＜v_{1}=1.5 m/s，所以ef棒可以沿圆弧轨道运动。ef棒沿圆弧轨道运动的过程中，设ef棒到达圆弧轨道底端的速度为v_{E}，由动能定理有m_{1}gr(1+\cos \theta )=\frac{1}{2}m_{1}v_{E}^2－\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^2，解得v_{E}=3 m/s，ef棒进入倾斜轨道时，由牛顿运动定律有m_{1}g \sin \theta －B_{2}I_{2}L=m_{2}a，I_{2}=\frac{B_{2}Lv_{E}}{R+R_{0}}，解得a=0，即ef棒进入倾斜轨道后将做匀速直线运动，即达到稳定状态。所以系统产生的焦耳热为Q=\frac{1}{2}m_{1}v_{0}^2－\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^2－\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^2，解得Q=0.125 J。$

Final answer: 0.125 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.4 m的平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B_1=0.5 T 的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=\frac{3}{16} m的圆弧轨道与倾角为\theta =37^\circ 的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平导轨右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B_2=1.0 T。质量为m_1=0.2 kg 的金属棒ef光滑；质量为m_2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数\mu =0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 \Omega ；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R_0=0.3 \Omega ；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v_0=2 m/s的初速度向右运动。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平导轨与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6、\cos 37^\circ =0.8，求：$

<img_1461>
初始时刻至ef棒恰好达到稳定状态的过程中系统产生的焦耳热。

Solution:
$当ef棒离开水平导轨后，ab棒先在cd左侧做匀速直线运动，进入cd右侧区域后，做减速运动，假设ab棒最终停在水平导轨上，则由动能定理有-\mu m_{2}g\Delta s=0－\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^2，解得\Delta s=0.25 m＜s=0.3 m，假设成立。对于ef棒，设其恰好能沿圆弧轨道运动的速率为v，有m_{1}g=\frac{m_{1}v^2}{r}，解得v=\sqrt{\frac{15}{8}} m/s＜v_{1}=1.5 m/s，所以ef棒可以沿圆弧轨道运动。ef棒沿圆弧轨道运动的过程中，设ef棒到达圆弧轨道底端的速度为v_{E}，由动能定理有m_{1}gr(1+\cos \theta )=\frac{1}{2}m_{1}v_{E}^2－\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^2，解得v_{E}=3 m/s，ef棒进入倾斜轨道时，由牛顿运动定律有m_{1}g \sin \theta －B_{2}I_{2}L=m_{2}a，I_{2}=\frac{B_{2}Lv_{E}}{R+R_{0}}，解得a=0，即ef棒进入倾斜轨道后将做匀速直线运动，即达到稳定状态。所以系统产生的焦耳热为Q=\frac{1}{2}m_{1}v_{0}^2－\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^2－\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^2，解得Q=0.125 J。$

Final answer: 0.125 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，水平固定一半径r=0.2 m的金属圆环，长均为r、电阻均为R_0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO'上,并随轴以角速度\omega=600 rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触上下垂直的电刷分别与间距l_1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09 F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧有宽度也为l_1、长度为l_2、磁感应强度大小为B_2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l_1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l_1、质量均为m=0.01 kg,de与cf长度均为l_3=0.08 m,已知l_1=0.25 m, l_2=0.068 m，B_1=B_2=1 T、方向均为竖直向上;棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R=0.1 \Omega ，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2 m后返回进入磁场。g=10 m/s^2。$

<img_1286>
求电容器释放的电荷量\Delta Q;

Solution:
$根据动量定理，设ab棒弹出磁场时的速度为v_2,则有B_2l_1I\cdot \Delta t=mv_1-0，即B_2l_1\Delta Q=mv_1$

ab棒与“[”形框结合过程动量守恒，有

$mv_1=(m+m)v_2$

框abcd在倾斜轨道上上升h时，根据机械能守恒有

$0.5\times 2mv_2^2=2mgh$

$由上述各式联立解得\Delta Q= \frac{2m}{B_2l_1}\sqrt{2gh}=0.16 C$

Final answer: 0.16 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，水平固定一半径r=0.2 m的金属圆环，长均为r、电阻均为R_0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO'上,并随轴以角速度\omega=600 rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触上下垂直的电刷分别与间距l_1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09 F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧有宽度也为l_1、长度为l_2、磁感应强度大小为B_2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l_1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l_1、质量均为m=0.01 kg,de与cf长度均为l_3=0.08 m,已知l_1=0.25 m, l_2=0.068 m，B_1=B_2=1 T、方向均为竖直向上;棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R=0.1 \Omega ，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2 m后返回进入磁场。g=10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062025336254466/img/compression/M_38d6f5d4dcea307d2b6ba73462c95b03.jpg)
求电容器释放的电荷量\Delta Q;

Solution:
$根据动量定理，设ab棒弹出磁场时的速度为v_2,则有B_2l_1I\cdot \Delta t=mv_1-0，即B_2l_1\Delta Q=mv_1$

ab棒与“[”形框结合过程动量守恒，有

$mv_1=(m+m)v_2$

框abcd在倾斜轨道上上升h时，根据机械能守恒有

$0.5\times 2mv_2^2=2mgh$

$由上述各式联立解得\Delta Q= \frac{2m}{B_2l_1}\sqrt{2gh}=0.16 C$

Final answer: 0.16 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，水平固定一半径r=0.2 m的金属圆环，长均为r、电阻均为R_0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO'上,并随轴以角速度\omega=600 rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触上下垂直的电刷分别与间距l_1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09 F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧有宽度也为l_1、长度为l_2、磁感应强度大小为B_2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l_1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l_1、质量均为m=0.01 kg,de与cf长度均为l_3=0.08 m,已知l_1=0.25 m, l_2=0.068 m，B_1=B_2=1 T、方向均为竖直向上;棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R=0.1 \Omega ，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2 m后返回进入磁场。g=10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062025336254466/img/compression/M_38d6f5d4dcea307d2b6ba73462c95b03.jpg)
求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。

Solution:
$导体框在磁场中做减速运动过程中，根据动量定理可得 B_2I'l_1\Delta t=B_2\frac{B_2l_1\overline{v}}{2R}l_1\Delta t=2mv_2，且\Delta x=\overline{v}\Delta t$

$则 \frac{B^2_2l^2_1\Delta x}{2R}=2mv_2，解得\Delta x=0.128 m$

$匀速运动距离为 l_3-l_2=0.012 m$

$ab 边离磁场左边界最大，则最大距离$

$x=\Delta x+l_3-l_2=0.14 m$

Final answer: 0.14 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，水平固定一半径r=0.2 m的金属圆环，长均为r、电阻均为R_0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO'上,并随轴以角速度\omega=600 rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触上下垂直的电刷分别与间距l_1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09 F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧有宽度也为l_1、长度为l_2、磁感应强度大小为B_2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l_1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l_1、质量均为m=0.01 kg,de与cf长度均为l_3=0.08 m,已知l_1=0.25 m, l_2=0.068 m，B_1=B_2=1 T、方向均为竖直向上;棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R=0.1 \Omega ，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2 m后返回进入磁场。g=10 m/s^2。$

<img_1286>
求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。

Solution:
$导体框在磁场中做减速运动过程中，根据动量定理可得 B_2I'l_1\Delta t=B_2\frac{B_2l_1\overline{v}}{2R}l_1\Delta t=2mv_2，且\Delta x=\overline{v}\Delta t$

$则 \frac{B^2_2l^2_1\Delta x}{2R}=2mv_2，解得\Delta x=0.128 m$

$匀速运动距离为 l_3-l_2=0.012 m$

$ab 边离磁场左边界最大，则最大距离$

$x=\Delta x+l_3-l_2=0.14 m$

Final answer: 0.14 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

![23AZJ5WL145.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062026858786819/img/compression/M_a816aec619fd43dac39410a2996ed32b.jpg)
$从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热Q_{B}；$

Solution:
$规定水平向右方向为正方向，对B棒由动量定理有∑B \frac{BL\Delta v}{2R} L\cdot \Delta t=mv_{B}-0，得v_{B}=1 m/s$

$对A棒由动量定理有-∑B \frac{BL\Delta v}{2R} L\cdot \Delta t=mv_{A}-mv_0，$

$∑\Delta v\cdot \Delta t=x，得v_{A}=2 m/s，$

根据能量守恒可得

$Q_{焦}=E_{k损}=\frac{1}{2} mv^2_0-\left(\frac{1}{2}mv^2_A+\frac{1}{2}mv^2_B\right)=0.8 J$

$因导体棒A、B电阻相同，则Q_{B}=\frac{1}{2} Q_{焦}=0.4 J$

Final answer: 0.4 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

<img_1318>
$从释放导体棒B至发生弹性碰撞前，导体棒B上产生的焦耳热Q_{B}；$

Solution:
$规定水平向右方向为正方向，对B棒由动量定理有∑B \frac{BL\Delta v}{2R} L\cdot \Delta t=mv_{B}-0，得v_{B}=1 m/s$

$对A棒由动量定理有-∑B \frac{BL\Delta v}{2R} L\cdot \Delta t=mv_{A}-mv_0，$

$∑\Delta v\cdot \Delta t=x，得v_{A}=2 m/s，$

根据能量守恒可得

$Q_{焦}=E_{k损}=\frac{1}{2} mv^2_0-\left(\frac{1}{2}mv^2_A+\frac{1}{2}mv^2_B\right)=0.8 J$

$因导体棒A、B电阻相同，则Q_{B}=\frac{1}{2} Q_{焦}=0.4 J$

Final answer: 0.4 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

![23AZJ5WL145.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062026858786819/img/compression/M_a816aec619fd43dac39410a2996ed32b.jpg)
最终稳定时，电容器所带电荷量q。

Solution:
$发生弹性碰撞，而两棒质量相等，故两棒速度互换，即有v_B'=2 m/s$

最终稳定时，导体棒B向右匀速滑行，

$则有BLv_m=U_m，-∑BiL\cdot \Delta t=mv_m-mv_B'$

$q=∑i\cdot \Delta t=CU_m$

$得v_m=1.6 m/s，q=0.4 C$

Final answer: 0.4 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

<img_1318>
最终稳定时，电容器所带电荷量q。

Solution:
$发生弹性碰撞，而两棒质量相等，故两棒速度互换，即有v_B'=2 m/s$

最终稳定时，导体棒B向右匀速滑行，

$则有BLv_m=U_m，-∑BiL\cdot \Delta t=mv_m-mv_B'$

$q=∑i\cdot \Delta t=CU_m$

$得v_m=1.6 m/s，q=0.4 C$

Final answer: 0.4 C
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

![23AZJ5WL395.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062027307577346/img/compression/M_c6e4f4bcb38237f7fc5391f34d4a33f8.jpg)
若闭合开关S，b棒用插销固定，让a棒由静止释放，求a棒减速为零时，通过定值电阻的电荷量和其上产生的焦耳热分别为多大？

Solution:
当闭合开关S，b棒用插销固定时，设a棒进入磁场的速度为v_a，由动能定理有2mgh=0.52mv_a^2

$解得v_a=\sqrt{2gh}$

规定v_a方向为正方向，对a棒由动量定理有-∑Bil\Delta t=0-2mv_a，∑i\Delta t=q

$由以上两式解得q=\frac{2m\sqrt{2gh}}{Bl}$

$由于b棒与定值电阻并联，且阻值相同，因此通过定值电阻的电荷量为q'=0.5q=\frac{m\sqrt{2gh}}{Bl}$

a棒减速为零时由能量守恒知识，整个电路中产生的总焦耳热为Q_0=2mgh

根据焦耳定律可知定值电阻上产生的焦耳热为Q_1=0.25Q_0=0.5mgh

Final answer: $\frac{m\sqrt{2gh}}{Bl}$
$\frac{1}{2}mgh$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

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若闭合开关S，b棒用插销固定，让a棒由静止释放，求a棒减速为零时，通过定值电阻的电荷量和其上产生的焦耳热分别为多大？

Solution:
当闭合开关S，b棒用插销固定时，设a棒进入磁场的速度为v_a，由动能定理有2mgh=0.52mv_a^2

$解得v_a=\sqrt{2gh}$

规定v_a方向为正方向，对a棒由动量定理有-∑Bil\Delta t=0-2mv_a，∑i\Delta t=q

$由以上两式解得q=\frac{2m\sqrt{2gh}}{Bl}$

$由于b棒与定值电阻并联，且阻值相同，因此通过定值电阻的电荷量为q'=0.5q=\frac{m\sqrt{2gh}}{Bl}$

a棒减速为零时由能量守恒知识，整个电路中产生的总焦耳热为Q_0=2mgh

根据焦耳定律可知定值电阻上产生的焦耳热为Q_1=0.25Q_0=0.5mgh

Final answer: $\frac{m\sqrt{2gh}}{Bl}$
$\frac{1}{2}mgh$