di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，间距为l=0.5 m的两平行金属导轨由水平和倾斜两部分平滑连接，斜面倾角\theta =30^\circ ，倾斜导轨上端接R=0.02 \Omega 的电阻。区域Ⅰ的匀强磁场B_1方向垂直斜面向上，其宽度为x_2=0.5 m。斜面上的x_3长度为0.8 m。水平导轨的无磁场区放一金属杆cd，杆cd右侧存在大小B_2=0.2 T、方向竖直向上的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度x_4=0.15 m。长为l=0.5 m 的金属杆ab从斜面上端距区域Ⅰ上边界x_1=0.1 m处由静止释放，杆ab进入区域Ⅰ时恰好开始做匀速运动，已知金属杆ab进入水平轨道后与金属杆cd发生弹性碰撞，碰后金属杆cd沿水平导轨进入区域Ⅱ，滑出区域Ⅱ后被放置在导轨正中央的水平弹簧弹回，不考虑杆与弹簧碰撞的动能损失。整个运动过程中，杆ab和cd与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。已知杆ab和cd电阻均为r=0.02 \Omega ，质量均为m=0.1 kg，不计摩擦和导轨电阻，忽略磁场边界效应。重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997742735362/img/compression/M_45274dc4a2d5d090b8f026b11c4fd508.jpg)
杆ab和杆cd一共可以碰撞的次数n。

Solution:
$杆ab到达水平轨道时的速度为v_2，有v^2_2=2g \sin \theta \cdot (x_1+x_3)，解得v_2=3 m/s，杆ab和杆cd发生弹性碰撞，由于质量相等，碰撞后速度交换，杆cd以v_2=3 m/s进入磁场区域Ⅱ，在通过磁场区域Ⅱ的过程中，利用动量定理-B_2Ilt=m\Delta v，q=\frac{B_2lx_4}{R+\frac{Rr}{R+r}}，解得\Delta v=-0.5 m/s，每经过一次磁场区域Ⅱ,杆的速度就减少0.5 m/s，当杆cd再次与杆ab发生弹性碰撞后，杆ab获得的速度为v_4=2 m/s，因此杆ab沿斜面向上运动，利用机械能守恒定律mgx'\sin 30^\circ =\frac{1}{2}mv^2_4，解得x'=0.4 m<x_3，所以ab杆不能再次进入磁场区域Ⅰ，之后ab杆继续下滑以2 m/s的速度与杆cd发生弹性碰撞，最后杆cd在磁场区域Ⅱ总共穿越6次，最后一次穿出磁场区域Ⅱ时恰好停止，不再与ab发生弹性碰撞，因此总共发生弹性碰撞的次数为5次。$

Final answer: 5
Subfield: Thermodynamics


Question: $某探究小组设计了一个报警装置，其原理如图所示。在竖直放置的圆柱形容器内用面积S=100 cm^2、质量m=1 kg的活塞密封一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。开始时气体处于温度T\_A_=300 K、活塞与容器底的距离h\_0_=30 cm的状态A。环境温度升高时容器内气体被加热，活塞缓慢上升d=3 cm恰好到达容器内的卡口处，此时气体达到状态B。活塞保持不动，气体被继续加热至温度T\_C_=363 K的状态C时触动报警器。从状态A到状态C的过程中气体内能增加了\Delta U=158 J。取大气压p\_0_=0.99\times 10^5 Pa，求气体。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062396666376194/img/compression/M_cc09d9ebae4e61873f58d5941ebd9308.jpg)
在状态B的温度；

Solution:
$等压过程 \frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B}$

$T_B = 330 K$

Final answer: 330 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $某探究小组设计了一个报警装置，其原理如图所示。在竖直放置的圆柱形容器内用面积S=100 cm^2、质量m=1 kg的活塞密封一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。开始时气体处于温度T\_A_=300 K、活塞与容器底的距离h\_0_=30 cm的状态A。环境温度升高时容器内气体被加热，活塞缓慢上升d=3 cm恰好到达容器内的卡口处，此时气体达到状态B。活塞保持不动，气体被继续加热至温度T\_C_=363 K的状态C时触动报警器。从状态A到状态C的过程中气体内能增加了\Delta U=158 J。取大气压p\_0_=0.99\times 10^5 Pa，求气体。$

<img_848>
在状态B的温度；

Solution:
$等压过程 \frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B}$

$T_B = 330 K$

Final answer: 330 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $某探究小组设计了一个报警装置，其原理如图所示。在竖直放置的圆柱形容器内用面积S=100 cm^2、质量m=1 kg的活塞密封一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。开始时气体处于温度T\_A_=300 K、活塞与容器底的距离h\_0_=30 cm的状态A。环境温度升高时容器内气体被加热，活塞缓慢上升d=3 cm恰好到达容器内的卡口处，此时气体达到状态B。活塞保持不动，气体被继续加热至温度T\_C_=363 K的状态C时触动报警器。从状态A到状态C的过程中气体内能增加了\Delta U=158 J。取大气压p\_0_=0.99\times 10^5 Pa，求气体。$

<img_848>
由状态A到状态C过程中从外界吸收热量Q。

Solution:
$外界对气体做功W=-p_BSd$

$热力学第一定律\Delta U=Q+W$

$Q=188 J$

Final answer: 188 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $某探究小组设计了一个报警装置，其原理如图所示。在竖直放置的圆柱形容器内用面积S=100 cm^2、质量m=1 kg的活塞密封一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。开始时气体处于温度T\_A_=300 K、活塞与容器底的距离h\_0_=30 cm的状态A。环境温度升高时容器内气体被加热，活塞缓慢上升d=3 cm恰好到达容器内的卡口处，此时气体达到状态B。活塞保持不动，气体被继续加热至温度T\_C_=363 K的状态C时触动报警器。从状态A到状态C的过程中气体内能增加了\Delta U=158 J。取大气压p\_0_=0.99\times 10^5 Pa，求气体。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062396666376194/img/compression/M_cc09d9ebae4e61873f58d5941ebd9308.jpg)
由状态A到状态C过程中从外界吸收热量Q。

Solution:
$外界对气体做功W=-p_BSd$

$热力学第一定律\Delta U=Q+W$

$Q=188 J$

Final answer: 188 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，封有一定质量理想气体的圆柱形汽缸竖直放置，汽缸内的高度H=30 cm，缸体内底面积S=200 cm^2，缸体质量M=10 kg。弹簧下端固定在水平桌面上，上端连接活塞，当缸内气体温度T_{0}=280 K时，缸内气体高h=20 cm。现缓慢加热气体，使活塞最终恰好静止在缸口(未漏气)，此过程中缸内气体吸收热量为Q=450 J。已知大气压恒为p_{0}=1\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2，不计活塞质量、厚度及活塞与缸壁的摩擦，且汽缸底部及活塞表面始终保持水平。求：$
<img_494>
活塞最终静止在缸口时，缸内气体的温度；

Solution:
加热过程为等压变化，设缸内气体的末态温度为T，初态温度为T0=280 K，由盖-吕萨克定律有

$\frac{hS}{T_0} = \frac{HS}{T}$

$代入数据解得T=420 K$

Final answer: 420 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，封有一定质量理想气体的圆柱形汽缸竖直放置，汽缸内的高度H=30 cm，缸体内底面积S=200 cm^2，缸体质量M=10 kg。弹簧下端固定在水平桌面上，上端连接活塞，当缸内气体温度T_{0}=280 K时，缸内气体高h=20 cm。现缓慢加热气体，使活塞最终恰好静止在缸口(未漏气)，此过程中缸内气体吸收热量为Q=450 J。已知大气压恒为p_{0}=1\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2，不计活塞质量、厚度及活塞与缸壁的摩擦，且汽缸底部及活塞表面始终保持水平。求：$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062397098389507/img/compression/M_3f098fdf52b660f8b22b27f132c89c5f.jpg)
活塞最终静止在缸口时，缸内气体的温度；

Solution:
加热过程为等压变化，设缸内气体的末态温度为T，初态温度为T0=280 K，由盖-吕萨克定律有

$\frac{hS}{T_0} = \frac{HS}{T}$

$代入数据解得T=420 K$

Final answer: 420 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，封有一定质量理想气体的圆柱形汽缸竖直放置，汽缸内的高度H=30 cm，缸体内底面积S=200 cm^2，缸体质量M=10 kg。弹簧下端固定在水平桌面上，上端连接活塞，当缸内气体温度T_{0}=280 K时，缸内气体高h=20 cm。现缓慢加热气体，使活塞最终恰好静止在缸口(未漏气)，此过程中缸内气体吸收热量为Q=450 J。已知大气压恒为p_{0}=1\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2，不计活塞质量、厚度及活塞与缸壁的摩擦，且汽缸底部及活塞表面始终保持水平。求：$
<img_494>
加热过程中，缸内气体内能的增加量。

Solution:
$设缸内气体的压强为p，对汽缸由平衡条件有Mg+p_0S=pS,该过程气体对外做功W=pS(H-h)$

$由热力学第一定律有\Delta U=-W+Q=240 J$

Final answer: 240 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，封有一定质量理想气体的圆柱形汽缸竖直放置，汽缸内的高度H=30 cm，缸体内底面积S=200 cm^2，缸体质量M=10 kg。弹簧下端固定在水平桌面上，上端连接活塞，当缸内气体温度T_{0}=280 K时，缸内气体高h=20 cm。现缓慢加热气体，使活塞最终恰好静止在缸口(未漏气)，此过程中缸内气体吸收热量为Q=450 J。已知大气压恒为p_{0}=1\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2，不计活塞质量、厚度及活塞与缸壁的摩擦，且汽缸底部及活塞表面始终保持水平。求：$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062397098389507/img/compression/M_3f098fdf52b660f8b22b27f132c89c5f.jpg)
加热过程中，缸内气体内能的增加量。

Solution:
$设缸内气体的压强为p，对汽缸由平衡条件有Mg+p_0S=pS,该过程气体对外做功W=pS(H-h)$

$由热力学第一定律有\Delta U=-W+Q=240 J$

Final answer: 240 J
Subfield: Thermodynamics


Question: $中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开口;右侧为抽气拔罐，下端开口，上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为450 K,最终降到300 K,因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的\frac{20}{21}。若换用抽气拔罐，抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的\frac{20}{21},罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化。求应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062417776988161/img/compression/M_51b439a782f372c32ac3bc05b635d86a.jpg)

Solution:
$设火罐内气体初始参量为p_1、T_1、V_1，温度降低后参量为p_2、T_2、V_2，罐的容积为V_0， p_1=p_0、T_1=450 K、V_1=V_0、T_2=300 K、V_2=\frac{20}{21}V_0，$

$则 \frac{p_0V_0}{T_1}=\frac{p_2 \cdot \frac{20}{21}V_0}{T_2}，得p_2=0.7p_0$

$设抽气罐内气体初态参量为p_3、V_3， 末态参量为p_4、V_4，罐的容积为V_0'，p_3=p_0、V_3=V_0'、 p_4=p_2=0.7p_0$

$则p_0V_0'= p_2V_4，得V_4=\frac{10}{7}V_0'$

$抽出的气体体积为\Delta V=V_4-\frac{20}{21}V_0'$

故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为

$\frac{\Delta m}{m}=\frac{\Delta V}{V_4}=\frac{1}{3}$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开口;右侧为抽气拔罐，下端开口，上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为450 K,最终降到300 K,因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的\frac{20}{21}。若换用抽气拔罐，抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的\frac{20}{21},罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化。求应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值。$

<img_420>

Solution:
$设火罐内气体初始参量为p_1、T_1、V_1，温度降低后参量为p_2、T_2、V_2，罐的容积为V_0， p_1=p_0、T_1=450 K、V_1=V_0、T_2=300 K、V_2=\frac{20}{21}V_0，$

$则 \frac{p_0V_0}{T_1}=\frac{p_2 \cdot \frac{20}{21}V_0}{T_2}，得p_2=0.7p_0$

$设抽气罐内气体初态参量为p_3、V_3， 末态参量为p_4、V_4，罐的容积为V_0'，p_3=p_0、V_3=V_0'、 p_4=p_2=0.7p_0$

$则p_0V_0'= p_2V_4，得V_4=\frac{10}{7}V_0'$

$抽出的气体体积为\Delta V=V_4-\frac{20}{21}V_0'$

故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为

$\frac{\Delta m}{m}=\frac{\Delta V}{V_4}=\frac{1}{3}$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

<img_1098>
若环境温度不变，假若第一次按压后，水没有流出，求此时桶内空气的压强。

Solution:
$以桶内气体和完全按压一次气囊压入的气体为研究对象，按压过程温度不变，根据玻意耳定律有：p_0(V_0+V)=p_1 V_0，解得 p_1=\frac{p_0(V_0+V)}{V_0}=1.02\times 10^5 Pa。$



Final answer: $1.02\times 10^5$ Pa
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062418204807171/img/compression/M_1bee195f07a4904bfc8157ebfc28326c.jpg)
若环境温度不变，假若第一次按压后，水没有流出，求此时桶内空气的压强。

Solution:
$以桶内气体和完全按压一次气囊压入的气体为研究对象，按压过程温度不变，根据玻意耳定律有：p_0(V_0+V)=p_1 V_0，解得 p_1=\frac{p_0(V_0+V)}{V_0}=1.02\times 10^5 Pa。$

Final answer: $1.02\times 10^5 Pa$
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

<img_1098>
至少需要把气囊完全压下几次，才能有水从出水管流出？(不考虑温度的变化)

Solution:
$水恰好流出时，则桶内气体压强p_2=p_0+\rho gh=1.05\times 10^5 Pa，以桶内气体和完全按压n次气囊压入的气体为研究对象，根据玻意耳定律有：p_0(V_0+nV)=p_2V_0，解得n=2.5，所以至少需要完全按压3次才能有水从出水管流出。$

Final answer: 3
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062418204807171/img/compression/M_1bee195f07a4904bfc8157ebfc28326c.jpg)
至少需要把气囊完全压下几次，才能有水从出水管流出？(不考虑温度的变化)

Solution:
$水恰好流出时，则桶内气体压强p_2=p_0+\rho gh=1.05\times 10^5 Pa，以桶内气体和完全按压n次气囊压入的气体为研究对象，根据玻意耳定律有：p_0(V_0+nV)=p_2V_0，解得n=2.5，所以至少需要完全按压3次才能有水从出水管流出。$

Final answer: 3
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062418204807171/img/compression/M_1bee195f07a4904bfc8157ebfc28326c.jpg)
$若环境温度不变，按压出了2.5 L水，求压入的外界空气的体积。$

Solution:
$按压出了2.5 L水，液面下降高度为\Delta h= \frac{\Delta V}{S} = 0.1 m，则桶内气体压强为p_3 = p_0 + \rho g (h + \Delta h) = 1.06 \times 10^{5} Pa，根据玻意耳定律可得p_0 (V_0 + V_{外}) = p_3 (V_0 + \Delta V)，解得V_{外} = 3.25 L.$

Final answer: 3.25 L
Subfield: Thermodynamics


Question: $桶装纯净水压水器如图甲所示，当人用力向下压气囊时，气囊中的空气被压入桶内，桶内气体的压强增大，水通过细水管流出。图乙是简化的原理图，容积为20 L的桶内有10 L的水，出水管竖直部分内外液面相平，出水口与桶内水面的高度差h=0.50 m，压水器气囊的容积V=0.20 L，水桶的横截面积为S=0.025 m^2。空气可视为理想气体，忽略水桶颈部的体积变化。忽略出水管内水的体积，水的密度\rho=1.0\times 10^3 kg/m^3，外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，取g=10 m/s^2。$

<img_1098>
$若环境温度不变，按压出了2.5 L水，求压入的外界空气的体积。$

Solution:
$按压出了2.5 L水，液面下降高度为\Delta h= \frac{\Delta V}{S} = 0.1 m，则桶内气体压强为p_3 = p_0 + \rho g (h + \Delta h) = 1.06 \times 10^{5} Pa，根据玻意耳定律可得p_0 (V_0 + V_{外}) = p_3 (V_0 + \Delta V)，解得V_{外} = 3.25 L.$

Final answer: 3.25 L
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H=18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h_0=4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l=12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T_1=283 K，大气压强p_0=76 cmHg。$

<img_923>
现从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙),恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少?

Solution:
$设密封气体初始体积为V_1，压强为p_1，左、右管的横截面积均为S，密封气体先经等温压缩过程体积变为V_2，压强变为p_2。则p_1V_1=p_2V_2$

$设注入水银后水银柱高度为h，水银的密度为\rho，$

$p_1=p_0+\rho g h_0，$

$p_2=p_0+\rho g h，$

$V_1=(2H-l-h_0)S，$

$V_2=HS$

$解得h \approx  12.9 cm$

Final answer: 12.9 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H=18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h_0=4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l=12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T_1=283 K，大气压强p_0=76 cmHg。$

![21GZTWLS14.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062439267921923/img/compression/M_9770e58a13780f3ebe284220584b124f.jpg)
现从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙),恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少?

Solution:
$设密封气体初始体积为V_1，压强为p_1，左、右管的横截面积均为S，密封气体先经等温压缩过程体积变为V_2，压强变为p_2。则p_1V_1=p_2V_2$

$设注入水银后水银柱高度为h，水银的密度为\rho，$

$p_1=p_0+\rho g h_0，$

$p_2=p_0+\rho g h，$

$V_1=(2H-l-h_0)S，$

$V_2=HS$

$解得h \approx  12.9 cm$

Final answer: 12.9 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H=18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h_0=4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l=12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T_1=283 K，大气压强p_0=76 cmHg。$

![21GZTWLS14.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062439267921923/img/compression/M_9770e58a13780f3ebe284220584b124f.jpg)
再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少?

Solution:
$密封气体再经等压膨胀过程体积变为V_3，温度变为T_2，有\frac{V_2}{T_1}=\frac{V_3}{T_2}，V_3=(2H-h)S，解得T_2\approx 363 K$

Final answer: 363 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H=18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h_0=4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l=12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T_1=283 K，大气压强p_0=76 cmHg。$

<img_923>
再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少?

Solution:
$密封气体再经等压膨胀过程体积变为V_3，温度变为T_2，有\frac{V_2}{T_1}=\frac{V_3}{T_2}，V_3=(2H-h)S，解得T_2\approx 363 K$

Final answer: 363 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一端封闭一端开口粗细均匀的绝热玻璃管的横截面积为10 cm^2，管内有两个重力不计的活塞，导热活塞甲封闭了长30 cm的气柱A，绝热活塞乙用一根劲度系数k=10^2 N/m、原长为15 cm的轻质弹簧和管底相连，气柱B长15 cm，气体的初始温度为27 ^\circ C，现在甲活塞上放一个2 kg的砝码，待活塞稳定后再加热B，求当B的温度升高多少时，活塞甲可返回原处。(大气压强p_0=10^5 Pa，摩擦不计，g=10 m/s^2)$

![image info](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062440400384003/img/compression/M_d4f4e288aec44ff910bcf3a01d18d1aa.jpg)

Solution:
$对A分析，初状态p_1=p_0，V_1=SL_1=300 cm^3$

$末状态p_2=p_0+\frac{mg}{S}=1.2\times 10^5 Pa，体积为V_2=SL_2$

$A温度不变，由玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，解得V_2=\frac{p_1V_1}{p_2}=250 cm^3,L_2=\frac{V_2}{S}=25 cm$

$若使活塞甲返回原处，B末状态时体积$

$V_3=(L_0+L_1-L_2)S=200 cm^3$

$气柱长为20 cm，此时弹簧要伸长\Delta L=5 cm，对活塞乙有p_3S=p_2S+k\Delta L$

$故p_3=p_2+\frac{k\Delta L}{S}=1.25\times 10^5 Pa$

$对B分析，初状态：p_{B}=p_0，V_0=150 cm^3，T_{B}=300 K$

$末状态：p_3=1.25\times 10^5 Pa，V_3=200 cm^3$

$由理想气体状态方程得\frac{p_BV_0}{T_B}=\frac{p_3V_3}{T}$

$解得T=\frac{p_3V_3T_B}{p_BV_0}=500 K=227 ^\circ C$

$B的温度升高\Delta T=227 ^\circ C-27 ^\circ C=200 ^\circ C$

Final answer: 200 ^\circ C
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，一端封闭一端开口粗细均匀的绝热玻璃管的横截面积为10 cm^2，管内有两个重力不计的活塞，导热活塞甲封闭了长30 cm的气柱A，绝热活塞乙用一根劲度系数k=10^2 N/m、原长为15 cm的轻质弹簧和管底相连，气柱B长15 cm，气体的初始温度为27 ^\circ C，现在甲活塞上放一个2 kg的砝码，待活塞稳定后再加热B，求当B的温度升高多少时，活塞甲可返回原处。(大气压强p_0=10^5 Pa，摩擦不计，g=10 m/s^2)$

<img_497>

Solution:
$对A分析，初状态p_1=p_0，V_1=SL_1=300 cm^3$

$末状态p_2=p_0+\frac{mg}{S}=1.2\times 10^5 Pa，体积为V_2=SL_2$

$A温度不变，由玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，解得V_2=\frac{p_1V_1}{p_2}=250 cm^3,L_2=\frac{V_2}{S}=25 cm$

$若使活塞甲返回原处，B末状态时体积$

$V_3=(L_0+L_1-L_2)S=200 cm^3$

$气柱长为20 cm，此时弹簧要伸长\Delta L=5 cm，对活塞乙有p_3S=p_2S+k\Delta L$

$故p_3=p_2+\frac{k\Delta L}{S}=1.25\times 10^5 Pa$

$对B分析，初状态：p_{B}=p_0，V_0=150 cm^3，T_{B}=300 K$

$末状态：p_3=1.25\times 10^5 Pa，V_3=200 cm^3$

$由理想气体状态方程得\frac{p_BV_0}{T_B}=\frac{p_3V_3}{T}$

$解得T=\frac{p_3V_3T_B}{p_BV_0}=500 K=227 ^\circ C$

$B的温度升高\Delta T=227 ^\circ C-27 ^\circ C=200 ^\circ C$



Final answer: 200 ^\circ C
Subfield: Optics


Question: $一振动片以频率f做简谐运动时,固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上 a、b两点,两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点,a、b、c 间的距离均为 l，如图所示。已知除 c 点外,在 ac 连线上还有其他振幅极大的点,其中距 c 最近的点到 c 的距离为 \frac{3}{8} l。求:$

<img_540>
波的波长；

Solution:
设与c点最近的振幅极大的点为d,则
$ad = l - \frac{3}{8} l = \frac{5}{8} l， bd = \sqrt{cd^{2}+bc^{2}-2bc \times cd \cos  60 ^{\circ} } = \frac{7}{8} l$
$由干涉加强点距离差的关系\Delta x = x1 - x2 = \lambda 得：bd - ad = \frac{1}{4} l = \lambda ，波长为\lambda  = \frac{1}{4} l。$

Final answer: $\frac{1}{4}l$
Subfield: Optics


Question: $一振动片以频率f做简谐运动时,固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上 a、b两点,两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点,a、b、c 间的距离均为 l，如图所示。已知除 c 点外,在 ac 连线上还有其他振幅极大的点,其中距 c 最近的点到 c 的距离为 \frac{3}{8} l。求:$

![23ATY5WL112.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062495731642370/img/compression/M_1b60b3f0eddd37200180536e5e1879be.jpg)
波的波长；

Solution:
设与c点最近的振幅极大的点为d,则
$ad = l - \frac{3}{8} l = \frac{5}{8} l， bd = \sqrt{cd^{2}+bc^{2}-2bc \times cd \cos  60 ^{\circ} } = \frac{7}{8} l$
$由干涉加强点距离差的关系\Delta x = x1 - x2 = \lambda 得：bd - ad = \frac{1}{4} l = \lambda ，波长为\lambda  = \frac{1}{4} l。$

Final answer: $\frac{1}{4}l$
Subfield: Optics


Question: 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高1.6 m的人站在水平地面上，其正前方0.6 m处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为1.0 cm、深度为1.4 cm，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062676158017538/img/compression/M_52659e5a4960d9f5942bb42894bf6789.jpg)
若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？

Solution:
填充透明介质后，人通过小孔恰能成完整的像的光路图如图所示

$\sin \theta =\frac{0.8 \mathrm{m}}{1 \mathrm{m}}=0.8$

$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2.96}}$

由折射定律得

$n=\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }=\frac{4\sqrt{2.96}}{5}$

$因此最小折射率为 nmin=\frac{4\sqrt{2.96}}{5}\approx 1.4$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062676611002370/img/compression/M_d7913432d4f51b3e1990aead8bcaa089.jpg)

Final answer: 1.4
Subfield: Optics


Question: 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高1.6 m的人站在水平地面上，其正前方0.6 m处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为1.0 cm、深度为1.4 cm，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。

<img_735>
若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？

Solution:
填充透明介质后，人通过小孔恰能成完整的像的光路图如图所示

$\sin \theta =\frac{0.8 \mathrm{m}}{1 \mathrm{m}}=0.8$

$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2.96}}$

由折射定律得

$n=\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }=\frac{4\sqrt{2.96}}{5}$

$因此最小折射率为 nmin=\frac{4\sqrt{2.96}}{5}\approx 1.4$

<img_758>

Final answer: 1.4
Subfield: Optics


Question: 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高1.6 m的人站在水平地面上，其正前方0.6 m处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为1.0 cm、深度为1.4 cm，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062676158017538/img/compression/M_52659e5a4960d9f5942bb42894bf6789.jpg)
若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？

Solution:
$因掠射是光从光疏介质到光密介质，入射角接近90^\circ ，光路如图所示，故由折射定律得：$
$\sin C=\frac{1}{\sqrt{2.96}}$
$n_{min}=\frac{1}{\sin  C}=\sqrt{2.96} \approx 1.7$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062676938158081/img/compression/M_e20c4eed983bee0bd7b5861b276a0924.jpg)

Final answer: 1.7
Subfield: Optics


Question: 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高1.6 m的人站在水平地面上，其正前方0.6 m处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为1.0 cm、深度为1.4 cm，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。

<img_735>
若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？

Solution:
$因掠射是光从光疏介质到光密介质，入射角接近90^\circ ，光路如图所示，故由折射定律得：$
$\sin C=\frac{1}{\sqrt{2.96}}$
$n_{min}=\frac{1}{\sin  C}=\sqrt{2.96} \approx 1.7$

<img_860>

Final answer: 1.7
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

<img_681>
求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；

Solution:
$由t_1 = \frac{s}{\overline{v}}及\overline{v} = \frac{v_1}{2}有t_1 = 4 s，由a = \frac{v_1}{t_1}有a = 2.5 m/s^2,由牛顿运动定律有F_f = ma，得F_f = 2.5\times 10^3 N$



Final answer: $4, 2.5\times 10^3$ s, N
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

![22GZTWLS67.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060013123911682/img/compression/M_15e51584da2067cd14bec5ad5d0fa861.jpg)
求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；

Solution:
$由t_1 = \frac{s}{\overline{v}}及\overline{v} = \frac{v_1}{2}有t_1 = 4 s，由a = \frac{v_1}{t_1}有a = 2.5 m/s^2,由牛顿运动定律有F_f = ma，得F_f = 2.5\times 10^3 N$

Final answer: $4 s　2.5\times 10^3 N$
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

![22GZTWLS67.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060013123911682/img/compression/M_15e51584da2067cd14bec5ad5d0fa861.jpg)
$若路面宽L=6 m，小朋友行走的速度v_{0}=0.5 m/s，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间;$

Solution:
$t_2 = \frac{l+L}{v_0} ， t=t_2-t_1=20 s$

Final answer: 20 s
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

<img_681>
$若路面宽L=6 m，小朋友行走的速度v_{0}=0.5 m/s，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间;$

Solution:
$t_2 = \frac{l+L}{v_0} ， t=t_2-t_1=20 s$

Final answer: 20 s
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

<img_681>
$假设驾驶员以v_{2}=54 km/h超速行驶，在距离斑马线s=20 m处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度大小。$

Solution:
$由v_2^2 - v^2 = 2as有v = 5\sqrt{5} m/s$

Final answer: $5\sqrt{5} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $机动车礼让行人是一种文明行为。如下图所示，质量m=1.0\times 10^3 kg的汽车以v_1=36 km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s=20 m处，驾驶员发现小朋友排着长l=6 m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。$

![22GZTWLS67.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060013123911682/img/compression/M_15e51584da2067cd14bec5ad5d0fa861.jpg)
$假设驾驶员以v_{2}=54 km/h超速行驶，在距离斑马线s=20 m处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度大小。$

Solution:
$由v_2^2 - v^2 = 2as有v = 5\sqrt{5} m/s$

Final answer: $5\sqrt{5} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060123488378883/img/compression/M_3c532e44a24907f32cc241238f95b88d.jpg)
$求汽车从静止加速到v_1的时间及位移大小。$

Solution:
$汽车从静止加速到v_1 的时间t_1 = \frac{v_1}{a_1}，代入数据得t_1 = 5 s，汽车从静态加速到v_1 的位移x_1 = \frac{v^2_1}{2a_1} = 37.5 m。$

Final answer: 5 s　37.5 m
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

<img_1354>
$求汽车从静止加速到v_1的时间及位移大小。$

Solution:
$汽车从静止加速到v_1 的时间t_1 = \frac{v_1}{a_1}，代入数据得t_1 = 5 s，汽车从静态加速到v_1 的位移x_1 = \frac{v^2_1}{2a_1} = 37.5 m。$

Final answer: 5 s　37.5 m
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060123488378883/img/compression/M_3c532e44a24907f32cc241238f95b88d.jpg)
为了缓解早高峰期间堵车问题，该红绿灯处，在停止线前24 m加入待行区域。在绿灯亮起前4秒，汽车开始启动并驶入待行区域。求引入该举措后相比原本绿灯亮起时才能通行，绿灯结束时多通过停止线的汽车数量。

Solution:
$按原本规定，60 s内汽车运动的距离为x_2 = x_1 + v_1(60 s - t_1) = 862.5 m，60 s内通过停止线汽车的数量为n_1 = \frac{x_2}{L} = 107.8125 \approx 108。引入新举措后，4 s内汽车运动的距离x_3 = \frac{1}{2}a_1t_3^2 = 24 m，则驶入待行区域的车辆不必减速，可以直接通过，而64 s内汽车运动的距离为x_4 = x_1 + v_1(64 - t_1) = 922.5 m，则n_2 = \frac{922.5}{8} \approx 116，多通过停止线的汽车数量\Delta n = 116 - 108 = 8.$

Final answer: 8
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

<img_1354>
为了缓解早高峰期间堵车问题，该红绿灯处，在停止线前24 m加入待行区域。在绿灯亮起前4秒，汽车开始启动并驶入待行区域。求引入该举措后相比原本绿灯亮起时才能通行，绿灯结束时多通过停止线的汽车数量。

Solution:
$按原本规定，60 s内汽车运动的距离为x_2 = x_1 + v_1(60 s - t_1) = 862.5 m，60 s内通过停止线汽车的数量为n_1 = \frac{x_2}{L} = 107.8125 \approx 108。引入新举措后，4 s内汽车运动的距离x_3 = \frac{1}{2}a_1t_3^2 = 24 m，则驶入待行区域的车辆不必减速，可以直接通过，而64 s内汽车运动的距离为x_4 = x_1 + v_1(64 - t_1) = 922.5 m，则n_2 = \frac{922.5}{8} \approx 116，多通过停止线的汽车数量\Delta n = 116 - 108 = 8.$

Final answer: 8
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060123488378883/img/compression/M_3c532e44a24907f32cc241238f95b88d.jpg)
$通过路口一段时间后，同一条车道上，一辆卡车以v_1=54 km/h的速度做匀速直线运动，当卡车发现前方有障碍物时，立即以加速度a_2=5 m/s^2刹车。此时距离卡车后方17.5 m位置处，一辆轿车正以v_2=72 km/h的速度做匀速运动。发现卡车刹车后，经过t=0.4 s的反应时间后，开始刹车。求轿车刹车的加速度至少为多大才能避免两车相撞。$

Solution:
$卡车初速度为v_{卡0}=v_1=54 km/h=15 m/s$
$刹车时间t_{卡}=\frac{v_{卡0}}{a_2}=3 s$
$刹车位移x_{1}=\frac{v_{卡0}t_{卡}}{2}=22.5 m$
$轿车初速度为v_{轿0}=72 km/h=20 m/s$
$经过t=0.4 s反应时间后，设再经过t'_{1}时间两车速度相等，此时两车相距最近且不相撞。$
$则v_{轿0}-at'_{1}=v_{卡0}-a_2(t'_{1}+t)$
$v_{轿0}t+v_{轿0}t'_{1}-\frac{1}{2}at'^2_1\leq 17.5 m+v_{卡0}(t+t'_{1})-\frac{1}{2}a_2(t+t'_{1})^2$
$联立解得t'_{1}\leq\frac{151}{35} s,a\geq\frac{1 000}{151} m/s^2.$

Final answer: $\frac{1000}{151} m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行；绿灯结束时，车头已越过停止线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30 m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8 m，当绿灯显示“60”秒并开始倒计时时，每辆车同时启动并做a_1=3 m/s^2的匀加速直线运动，加速到v_1=54 km/h后匀速运动。$

<img_1354>
$通过路口一段时间后，同一条车道上，一辆卡车以v_1=54 km/h的速度做匀速直线运动，当卡车发现前方有障碍物时，立即以加速度a_2=5 m/s^2刹车。此时距离卡车后方17.5 m位置处，一辆轿车正以v_2=72 km/h的速度做匀速运动。发现卡车刹车后，经过t=0.4 s的反应时间后，开始刹车。求轿车刹车的加速度至少为多大才能避免两车相撞。$

Solution:
$卡车初速度为v_{卡0}=v_1=54 km/h=15 m/s$
$刹车时间t_{卡}=\frac{v_{卡0}}{a_2}=3 s$
$刹车位移x_{1}=\frac{v_{卡0}t_{卡}}{2}=22.5 m$
$轿车初速度为v_{轿0}=72 km/h=20 m/s$
$经过t=0.4 s反应时间后，设再经过t'_{1}时间两车速度相等，此时两车相距最近且不相撞。$
$则v_{轿0}-at'_{1}=v_{卡0}-a_2(t'_{1}+t)$
$v_{轿0}t+v_{轿0}t'_{1}-\frac{1}{2}at'^2_1\leq 17.5 m+v_{卡0}(t+t'_{1})-\frac{1}{2}a_2(t+t'_{1})^2$
$联立解得t'_{1}\leq\frac{151}{35} s,a\geq\frac{1 000}{151} m/s^2.$

Final answer: $\frac{1000}{151} m/s^2$