di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，AC\cap DB=O，PO\perp 平面ABCD，\angle BOC=90^\circ ，OA=1，OC=2，E在PB上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698409150009347/img/compression/M_34050fab8563592ce9617f91a3581cfc.jpg)
$(2)研究表明，当\\tan  \angle PAC=2时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值.$

Solution:
$\because PO\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp AC，又\because \\tan  \angle PAC=2，\therefore \frac{OP}{OA}=2，\therefore OP=2.(6分)\because OB\perp OC，PO\perp 平面ABCD，\therefore OB，OC，OP两两垂直，\therefore 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，-1，0)，C(0，2，0)，B(2，0，0)，\therefore \overrightarrow{PA}=(0，-1，-2)，\overrightarrow{PC}=(0，2，-2)，\overrightarrow{PB}=(2，0，-2)，(8分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698409703657473/img/compression/M_97b6573ebf7424df39e01be386f598fd.jpg)$设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=2y-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PB}=2x-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=1，z=1，\therefore n=(1，1，1)，(10分)设PA与平面PBC所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PA}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{5}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面五边形PABCD中，\triangle PAD是边长为2的等边三角形，AD\parallel BC，AB=2BC=2，AB\perp BC，将\triangle PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点(端点除外)，F、M分别是AB、CE的中点，且　　　　.请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：①\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0；②PC=\sqrt{7}；③点P在平面ABCD内的射影在直线AD上.$<img_1481>
$(1)求证：BA\perp FM；$

Solution:
$证明：取AD，CD的中点分别为O，G，连接PO，FG，MG，$<img_3126>$选择①：因为\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0，\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}，所以\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{PO}=0，即BA\perp PO，又BA\perp AD，AD\cap PO=O，AD、PO\subset 平面PAD，所以BA\perp 平面PAD.(2分)因为M，G分别为CE，CD的中点，所以MG\parallel PD，又MG\not\subset 平面PAD，PD\subset 平面PAD，所以MG\parallel 平面PAD，同理可得FG\parallel 平面PAD，又因为MG\cap FG=G，MG、FG\subset 平面FGM，所以平面FGM\parallel 平面PAD，(4分)所以BA\perp 平面FGM，又FM\subset 平面FGM，所以BA\perp FM.(5分)选择②：连接OC，则OC=AB=2，PO=\sqrt{3}，因为PC=\sqrt{7}，PC^{2}=PO^{2}+OC^{2}，所以OC\perp PO，易知OC\parallel BA，所以BA\perp PO，下同①.(5分)选择③：因为点P在平面ABCD内的射影在直线AD上，所以平面PAD\perp 平面ABCD，又因为平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，AD\perp PO，所以PO\perp 平面ABCD，所以BA\perp PO，下同①.(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面五边形PABCD中，\triangle PAD是边长为2的等边三角形，AD\parallel BC，AB=2BC=2，AB\perp BC，将\triangle PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点(端点除外)，F、M分别是AB、CE的中点，且　　　　.请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：①\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0；②PC=\sqrt{7}；③点P在平面ABCD内的射影在直线AD上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698410206973955/img/compression/M_41af6665408f8ab71b8d6b09dc2cabcb.jpg)
$(1)求证：BA\perp FM；$

Solution:
$证明：取AD，CD的中点分别为O，G，连接PO，FG，MG，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698410701901825/img/compression/M_10c1708cf3665ccd63644b0024c1d64b.jpg)$选择①：因为\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0，\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}，所以\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{PO}=0，即BA\perp PO，又BA\perp AD，AD\cap PO=O，AD、PO\subset 平面PAD，所以BA\perp 平面PAD.(2分)因为M，G分别为CE，CD的中点，所以MG\parallel PD，又MG\not\subset 平面PAD，PD\subset 平面PAD，所以MG\parallel 平面PAD，同理可得FG\parallel 平面PAD，又因为MG\cap FG=G，MG、FG\subset 平面FGM，所以平面FGM\parallel 平面PAD，(4分)所以BA\perp 平面FGM，又FM\subset 平面FGM，所以BA\perp FM.(5分)选择②：连接OC，则OC=AB=2，PO=\sqrt{3}，因为PC=\sqrt{7}，PC^{2}=PO^{2}+OC^{2}，所以OC\perp PO，易知OC\parallel BA，所以BA\perp PO，下同①.(5分)选择③：因为点P在平面ABCD内的射影在直线AD上，所以平面PAD\perp 平面ABCD，又因为平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，AD\perp PO，所以PO\perp 平面ABCD，所以BA\perp PO，下同①.(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面五边形PABCD中，\triangle PAD是边长为2的等边三角形，AD\parallel BC，AB=2BC=2，AB\perp BC，将\triangle PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点(端点除外)，F、M分别是AB、CE的中点，且　　　　.请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：①\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0；②PC=\sqrt{7}；③点P在平面ABCD内的射影在直线AD上.$<img_1481>
$(2)当EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD所成角的余弦值.$

Solution:
$连接AE，EF，由(1)可知AB\perp 平面PAD，所以\angle AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为\\tan  \angle AEF=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{AE}，所以当|AE|最小时，\angle AEF最大，易知当AE\perp PD，即E为PD的中点时，|AE|最小，(7分)以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2021>$则A(0，-1，0)，E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，C(2，0，0)，所以\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{AC}=(2，1，0)，(9分)设平面ACE的法向量为m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y_1+\frac{\sqrt{3}}{2}z_1=0,\\ 2x_1+y_1=0,\end{matrix}\right.令z_{1}=\sqrt{3}，得m=\left(\frac{1}{2},-1,\sqrt{3}\right)，由题意可知，平面PAD的一个法向量为n=(1，0，0)，(11分)所以\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{17}}{17}，所以平面ACE与平面PAD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{17}}{17}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面五边形PABCD中，\triangle PAD是边长为2的等边三角形，AD\parallel BC，AB=2BC=2，AB\perp BC，将\triangle PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点(端点除外)，F、M分别是AB、CE的中点，且　　　　.请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：①\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})=0；②PC=\sqrt{7}；③点P在平面ABCD内的射影在直线AD上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698410206973955/img/compression/M_41af6665408f8ab71b8d6b09dc2cabcb.jpg)
$(2)当EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD所成角的余弦值.$

Solution:
$连接AE，EF，由(1)可知AB\perp 平面PAD，所以\angle AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为\\tan  \angle AEF=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{AE}，所以当|AE|最小时，\angle AEF最大，易知当AE\perp PD，即E为PD的中点时，|AE|最小，(7分)以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698411108749313/img/compression/M_1933e485b48f710ddcd3572b137c5422.jpg)$则A(0，-1，0)，E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，C(2，0，0)，所以\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{AC}=(2，1，0)，(9分)设平面ACE的法向量为m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y_1+\frac{\sqrt{3}}{2}z_1=0,\\ 2x_1+y_1=0,\end{matrix}\right.令z_{1}=\sqrt{3}，得m=\left(\frac{1}{2},-1,\sqrt{3}\right)，由题意可知，平面PAD的一个法向量为n=(1，0，0)，(11分)所以\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{17}}{17}，所以平面ACE与平面PAD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{17}}{17}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp BC，AB=BC=CC_{1}=2，点D为线段AC的中点，直线BC_{1}与B_{1}C的交点为M，若点P在线段CC_{1}上运动，CP的长度为m.
$<img_1706>
$(1)求点M到平面A_{1}BD的距离；$

Solution:
$由题意可知，四边形BCC_{1}B_{1}为矩形，则M为B_{1}C的中点，以B为坐标原点，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BB_1}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_1884>$则M(1，0，1)，B(0，0，0)，A_{1}(0，2，2)，D(1，1，0)，\therefore \overrightarrow{BM}=(1，0，1)，\overrightarrow{BA_1}=(0，2，2)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，(2分)设平面A_{1}BD的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BA_1}=2y+2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BD}=x+y=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=-1，z=1，即n=(1，-1，1)，\therefore 点M到平面A_{1}BD的距离d=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.(5分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp BC，AB=BC=CC_{1}=2，点D为线段AC的中点，直线BC_{1}与B_{1}C的交点为M，若点P在线段CC_{1}上运动，CP的长度为m.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698534094131202/img/compression/M_f2468b1930992d353ac48f2d5eaf2463.jpg)
$(1)求点M到平面A_{1}BD的距离；$

Solution:
$由题意可知，四边形BCC_{1}B_{1}为矩形，则M为B_{1}C的中点，以B为坐标原点，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BB_1}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698533758586882/img/compression/M_34a64de4009dd124f769c77c206807a6.jpg)$则M(1，0，1)，B(0，0，0)，A_{1}(0，2，2)，D(1，1，0)，\therefore \overrightarrow{BM}=(1，0，1)，\overrightarrow{BA_1}=(0，2，2)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，(2分)设平面A_{1}BD的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BA_1}=2y+2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BD}=x+y=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=-1，z=1，即n=(1，-1，1)，\therefore 点M到平面A_{1}BD的距离d=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.(5分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp BC，AB=BC=CC_{1}=2，点D为线段AC的中点，直线BC_{1}与B_{1}C的交点为M，若点P在线段CC_{1}上运动，CP的长度为m.
$<img_1706>
$(2)是否存在点P，使得二面角P-BD-A_{1}的余弦值为-\frac{1}{3}？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.$

Solution:
$存在.易知点P(2，0，m)，设平面PBD的法向量为s=(a，b，c)，易知\overrightarrow{BP}=(2，0，m)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{s}\cdot \overrightarrow{BP}=2a+mc=0,\\ \boldsymbol{s}\cdot \overrightarrow{BD}=a+b=0,\end{matrix}\right.令c=2，则a=-m，b=m，即s=(-m，m，2)，(8分)\therefore |\\cos  \langle n，s\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{s}|}=\frac{|-2m+2|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2m^2+4}}=\frac{1}{3}，解得m=2或m=\frac{2}{5}，(9分)当m=2时，P与C_{1}重合，此时二面角P-BD-A_{1}为锐二面角，不合题意；当m=\frac{2}{5}时，二面角P-BD-A_{1}为钝二面角，符合题意.综上所述，存在点P，使得二面角P-BD-A_{1}的余弦值为-\frac{1}{3}，此时m=\frac{2}{5}.(10分)$

Final answer: $m=\frac{2}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB\perp BC，AB=BC=CC_{1}=2，点D为线段AC的中点，直线BC_{1}与B_{1}C的交点为M，若点P在线段CC_{1}上运动，CP的长度为m.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698534094131202/img/compression/M_f2468b1930992d353ac48f2d5eaf2463.jpg)
$(2)是否存在点P，使得二面角P-BD-A_{1}的余弦值为-\frac{1}{3}？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.$

Solution:
$存在.易知点P(2，0，m)，设平面PBD的法向量为s=(a，b，c)，易知\overrightarrow{BP}=(2，0，m)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{s}\cdot \overrightarrow{BP}=2a+mc=0,\\ \boldsymbol{s}\cdot \overrightarrow{BD}=a+b=0,\end{matrix}\right.令c=2，则a=-m，b=m，即s=(-m，m，2)，(8分)\therefore |\\cos  \langle n，s\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{s}|}=\frac{|-2m+2|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2m^2+4}}=\frac{1}{3}，解得m=2或m=\frac{2}{5}，(9分)当m=2时，P与C_{1}重合，此时二面角P-BD-A_{1}为锐二面角，不合题意；当m=\frac{2}{5}时，二面角P-BD-A_{1}为钝二面角，符合题意.综上所述，存在点P，使得二面角P-BD-A_{1}的余弦值为-\frac{1}{3}，此时m=\frac{2}{5}.(10分)$

Final answer: $m=\frac{2}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，D是AC的中点，E是AB上一点，且DE\perp AB.将\triangle ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.
$<img_2519>
$(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得CF\parallel 平面PDE？若存在，请求出\frac{PF}{PB}的值；若不存在，请说明理由；$

Solution:
$存在.当\frac{PF}{PB}=\frac{1}{3}时，CF\parallel 平面PDE.(1分)理由如下：过点C作CH\perp ED，垂足为H，在PE上取一点M，使得PM=\frac{1}{3}PE，连接HM，FM，因为PM=\frac{1}{3}PE，PF=\frac{1}{3}PB，所以FM\parallel EB，且FM=\frac{1}{3}EB.因为D是AC的中点，且DE\perp AB，所以CH\parallel EB，且CH=\frac{1}{3}EB.(2分)所以CH\parallel FM且CH=FM，所以四边形CFMH是平行四边形，所以CF\parallel HM，又因为CF\not\subset 平面PDE，HM\subset 平面PDE，所以CF\parallel 平面PDE.(4分)$



Final answer: \frac{1}{3}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，D是AC的中点，E是AB上一点，且DE\perp AB.将\triangle ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698534542921729/img/compression/M_e5b95ec754771cb96c6bae41fb21de40.jpg)
$(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得CF\parallel 平面PDE？若存在，请求出\frac{PF}{PB}的值；若不存在，请说明理由；$

Solution:
$存在.当\frac{PF}{PB}=\frac{1}{3}时，CF\parallel 平面PDE.(1分)理由如下：过点C作CH\perp ED，垂足为H，在PE上取一点M，使得PM=\frac{1}{3}PE，连接HM，FM，因为PM=\frac{1}{3}PE，PF=\frac{1}{3}PB，所以FM\parallel EB，且FM=\frac{1}{3}EB.因为D是AC的中点，且DE\perp AB，所以CH\parallel EB，且CH=\frac{1}{3}EB.(2分)所以CH\parallel FM且CH=FM，所以四边形CFMH是平行四边形，所以CF\parallel HM，又因为CF\not\subset 平面PDE，HM\subset 平面PDE，所以CF\parallel 平面PDE.(4分)$

Final answer: $存在.当\frac{PF}{PB}=\frac{1}{3}时，CF\parallel 平面PDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，D是AC的中点，E是AB上一点，且DE\perp AB.将\triangle ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.
$<img_2519>
$(2)在图2中，若平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为\frac{\pi }{3}，求四棱锥P-BCDE的体积.$

Solution:
$易知DE\perp PE，DE\perp BE，且PE=DE=\sqrt{2}，作EN\perp 平面EBCD，以E为坐标原点，DE，EB，EN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设\angle PEB=\theta ，(6分)$<img_2574>$则D(-\sqrt{2}，0，0)，C(-2\sqrt{2}，\sqrt{2}，0)，P(0，\sqrt{2}\\cos   \theta ，\sqrt{2}\\sin   \theta )，则\overrightarrow{DC}=(-\sqrt{2}，\sqrt{2}，0)，\overrightarrow{DP}=(\sqrt{2}，\sqrt{2}\\cos   \theta ，\sqrt{2}\\sin   \theta )，设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DP}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}\\\cos    \theta \cdot y+\sqrt{2}\\\sin    \theta \cdot z=0,\end{matrix}\right.取x=\\sin   \theta ，则y=\\sin   \theta ，z=-\\cos   \theta -1，所以m=(\\sin   \theta ，\\sin   \theta ，-\\cos   \theta -1)，(8分)易知平面PBE的一个法向量为n=(1，0，0)，设平面PBE与平面PCD所成锐二面角为\alpha ，由题意可知，\\cos   \alpha =\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\\\sin    \theta }{\sqrt{{\\\sin    }^2\theta +{\\\sin    }^2\theta +{(-\\\cos    \theta -1)}^2}}=\frac{1}{2}，整理得3\\cos  ^{2}\theta +2\\cos   \theta -1=0，解得\\cos   \theta =\frac{1}{3}或\\cos   \theta =-1(舍去).所以\\sin   \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以四棱锥P-BCDE的高h=\sqrt{2}\\sin   \theta =\frac{4}{3}，又四边形BCDE的面积S=\frac{1}{2}\times 4^{2}-\frac{1}{2}\times (\sqrt{2})^{2}=7，所以四棱锥P-BCDE的体积V=\frac{1}{3}\times 7\times \frac{4}{3}=\frac{28}{9}.(10分)$

Final answer: $\frac{28}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，D是AC的中点，E是AB上一点，且DE\perp AB.将\triangle ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698534542921729/img/compression/M_e5b95ec754771cb96c6bae41fb21de40.jpg)
$(2)在图2中，若平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为\frac{\pi }{3}，求四棱锥P-BCDE的体积.$

Solution:
$易知DE\perp PE，DE\perp BE，且PE=DE=\sqrt{2}，作EN\perp 平面EBCD，以E为坐标原点，DE，EB，EN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设\angle PEB=\theta ，(6分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698534542921729/img/compression/M_c62bd304b5ac7ddd16c71b980322ed24.jpg)$则D(-\sqrt{2}，0，0)，C(-2\sqrt{2}，\sqrt{2}，0)，P(0，\sqrt{2}\\cos   \theta ，\sqrt{2}\\sin   \theta )，则\overrightarrow{DC}=(-\sqrt{2}，\sqrt{2}，0)，\overrightarrow{DP}=(\sqrt{2}，\sqrt{2}\\cos   \theta ，\sqrt{2}\\sin   \theta )，设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DP}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}\\\cos    \theta \cdot y+\sqrt{2}\\\sin    \theta \cdot z=0,\end{matrix}\right.取x=\\sin   \theta ，则y=\\sin   \theta ，z=-\\cos   \theta -1，所以m=(\\sin   \theta ，\\sin   \theta ，-\\cos   \theta -1)，(8分)易知平面PBE的一个法向量为n=(1，0，0)，设平面PBE与平面PCD所成锐二面角为\alpha ，由题意可知，\\cos   \alpha =\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\\\sin    \theta }{\sqrt{{\\\sin    }^2\theta +{\\\sin    }^2\theta +{(-\\\cos    \theta -1)}^2}}=\frac{1}{2}，整理得3\\cos  ^{2}\theta +2\\cos   \theta -1=0，解得\\cos   \theta =\frac{1}{3}或\\cos   \theta =-1(舍去).所以\\sin   \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以四棱锥P-BCDE的高h=\sqrt{2}\\sin   \theta =\frac{4}{3}，又四边形BCDE的面积S=\frac{1}{2}\times 4^{2}-\frac{1}{2}\times (\sqrt{2})^{2}=7，所以四棱锥P-BCDE的体积V=\frac{1}{3}\times 7\times \frac{4}{3}=\frac{28}{9}.(10分)$

Final answer: $\frac{28}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\angle ABC=90^\circ ，BC=2，CC_{1}=4，点E在棱BB_{1}上，EB_{1}=1，D，F，G分别为CC_{1}，B_{1}C_{1}，A_{1}C_{1}的中点，EF与B_{1}D相交于点H.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698506734559233/img/compression/M_335595271b447dcdfa4d5cec5adfea66.jpg)
$(1)求证：B_{1}D\perp 平面ABD；$

Solution:
$易得\overrightarrow{B_1D}=\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{C_1D}=\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B_1C_1}-\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}.\because \overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \overrightarrow{B_1A_1}=0，\overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \left(\overrightarrow{B_1C_1}-{\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}}\right)=\overrightarrow{B_1C_1}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}^{2}=0,\therefore B_{1}D\perp BA，B_{1}D\perp BD，又BA\cap BD=B,\therefore B_{1}D\perp 平面ABD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\angle ABC=90^\circ ，BC=2，CC_{1}=4，点E在棱BB_{1}上，EB_{1}=1，D，F，G分别为CC_{1}，B_{1}C_{1}，A_{1}C_{1}的中点，EF与B_{1}D相交于点H.$<img_2316>
$(1)求证：B_{1}D\perp 平面ABD；$

Solution:
$易得\overrightarrow{B_1D}=\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{C_1D}=\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B_1C_1}-\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}.\because \overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \overrightarrow{B_1A_1}=0，\overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \left(\overrightarrow{B_1C_1}-{\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}}\right)=\overrightarrow{B_1C_1}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}^{2}=0,\therefore B_{1}D\perp BA，B_{1}D\perp BD，又BA\cap BD=B,\therefore B_{1}D\perp 平面ABD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\angle ABC=90^\circ ，BC=2，CC_{1}=4，点E在棱BB_{1}上，EB_{1}=1，D，F，G分别为CC_{1}，B_{1}C_{1}，A_{1}C_{1}的中点，EF与B_{1}D相交于点H.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698506734559233/img/compression/M_335595271b447dcdfa4d5cec5adfea66.jpg)
$(2)求证：平面EFG\parallel 平面ABD.$

Solution:
$连接B_{1}G.易得\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{B_1G}-\overrightarrow{B_1E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{B_1A_1})-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{B_1G}-\overrightarrow{B_1F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{B_1C_1})-\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}.\because \overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{EG}=\left(\right.\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\left)\right.\cdot \left(\right.\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}\left)\right.=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}^{2}-\frac{1}{8}\overrightarrow{B_1B}^{2}=0,\overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{FG}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}=0,\therefore B_{1}D\perp EG，B_{1}D\perp FG，又EG\cap FG=G,\therefore B_{1}D\perp 平面EFG.又B_{1}D\perp 平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合，\therefore 平面EFG\parallel 平面ABD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\angle ABC=90^\circ ，BC=2，CC_{1}=4，点E在棱BB_{1}上，EB_{1}=1，D，F，G分别为CC_{1}，B_{1}C_{1}，A_{1}C_{1}的中点，EF与B_{1}D相交于点H.$<img_2316>
$(2)求证：平面EFG\parallel 平面ABD.$

Solution:
$连接B_{1}G.易得\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{B_1G}-\overrightarrow{B_1E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{B_1A_1})-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{B_1G}-\overrightarrow{B_1F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{B_1C_1})-\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}.\because \overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{EG}=\left(\right.\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\left)\right.\cdot \left(\right.\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}-\frac{1}{4}\overrightarrow{B_1B}\left)\right.=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}^{2}-\frac{1}{8}\overrightarrow{B_1B}^{2}=0,\overrightarrow{B_1D}\cdot \overrightarrow{FG}=\left(\overrightarrow{B_1C_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B}\right)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{B_1A_1}=0,\therefore B_{1}D\perp EG，B_{1}D\perp FG，又EG\cap FG=G,\therefore B_{1}D\perp 平面EFG.又B_{1}D\perp 平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合，\therefore 平面EFG\parallel 平面ABD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$<img_1976>
$(1)求AC与A_{1}D所成角的大小；$

Solution:
$设正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为1，以B_{1}为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.$<img_1526>$则A(0，1，1)，B(0，0，1)，C(1，0，1)，D(1，1，1)，A_{1}(0，1，0)，B_{1}(0，0，0)，C_{1}(1，0，0)，D_{1}(1，1，0).\overrightarrow{AC}=(1，-1，0)，\overrightarrow{A_1D}=(1，0，1)，设AC与A_{1}D所成角的大小为\theta ，则\\cos   \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A_1D}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{A_1D}|}=\frac{1}{2}，故\theta =\frac{\pi }{3}，即AC与A_{1}D所成角的大小为\frac{\pi }{3}.
$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698509850927107/img/compression/M_047fd17d73a7d2587726169a23d8fe12.jpg)
$(1)求AC与A_{1}D所成角的大小；$

Solution:
$设正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为1，以B_{1}为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698509850927107/img/compression/M_034219cf90e7c8186e8d192cb3453585.jpg)$则A(0，1，1)，B(0，0，1)，C(1，0，1)，D(1，1，1)，A_{1}(0，1，0)，B_{1}(0，0，0)，C_{1}(1，0，0)，D_{1}(1，1，0).\overrightarrow{AC}=(1，-1，0)，\overrightarrow{A_1D}=(1，0，1)，设AC与A_{1}D所成角的大小为\theta ，则\\cos   \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A_1D}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{A_1D}|}=\frac{1}{2}，故\theta =\frac{\pi }{3}，即AC与A_{1}D所成角的大小为\frac{\pi }{3}.
$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698509850927107/img/compression/M_047fd17d73a7d2587726169a23d8fe12.jpg)
$(2)证明：平面AB_{1}D_{1}\parallel 平面BDC_{1}；$

Solution:
$
证明：易知\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DC_1}=(0，-1，-1)，又\overrightarrow{AB_1}与\overrightarrow{DC_1}无公共点，\therefore AB_{1}\parallel C_{1}D，又\because AB_{1}\subset 平面AB_{1}D_{1}，C_{1}D\not\subset 平面AB_{1}D_{1}，\therefore C_{1}D\parallel 平面AB_{1}D_{1}，同理可证得C_{1}B\parallel 平面AB_{1}D_{1}，又C_{1}B\cap C_{1}D=C_{1}，C_{1}D，C_{1}B\subset 平面BDC_{1}，\therefore 平面AB_{1}D_{1}\parallel 平面BDC_{1}.
$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$<img_1976>
$(2)证明：平面AB_{1}D_{1}\parallel 平面BDC_{1}；$

Solution:
$
证明：易知\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DC_1}=(0，-1，-1)，又\overrightarrow{AB_1}与\overrightarrow{DC_1}无公共点，\therefore AB_{1}\parallel C_{1}D，又\because AB_{1}\subset 平面AB_{1}D_{1}，C_{1}D\not\subset 平面AB_{1}D_{1}，\therefore C_{1}D\parallel 平面AB_{1}D_{1}，同理可证得C_{1}B\parallel 平面AB_{1}D_{1}，又C_{1}B\cap C_{1}D=C_{1}，C_{1}D，C_{1}B\subset 平面BDC_{1}，\therefore 平面AB_{1}D_{1}\parallel 平面BDC_{1}.
$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$<img_1976>
$(3)证明：A_{1}C\perp 平面BDC_{1}.$

Solution:
$
证明：\overrightarrow{A_1C}=(1，-1，1)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，\overrightarrow{BC_1}=(1，0，-1)，\therefore \overrightarrow{A_1C}\cdot \overrightarrow{BD}=0，即\overrightarrow{A_1C}\perp \overrightarrow{BD}，即A_{1}C\perp BD，且\overrightarrow{A_1C}\cdot \overrightarrow{BC_1}=0，即\overrightarrow{A_1C}\perp \overrightarrow{BC_1}，即A_{1}C\perp BC_{1}，又\because BD\cap BC_{1}=B，BD，BC_{1}\subset 平面BDC_{1}，\therefore A_{1}C\perp 平面BDC_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698509850927107/img/compression/M_047fd17d73a7d2587726169a23d8fe12.jpg)
$(3)证明：A_{1}C\perp 平面BDC_{1}.$

Solution:
$
证明：\overrightarrow{A_1C}=(1，-1，1)，\overrightarrow{BD}=(1，1，0)，\overrightarrow{BC_1}=(1，0，-1)，\therefore \overrightarrow{A_1C}\cdot \overrightarrow{BD}=0，即\overrightarrow{A_1C}\perp \overrightarrow{BD}，即A_{1}C\perp BD，且\overrightarrow{A_1C}\cdot \overrightarrow{BC_1}=0，即\overrightarrow{A_1C}\perp \overrightarrow{BC_1}，即A_{1}C\perp BC_{1}，又\because BD\cap BC_{1}=B，BD，BC_{1}\subset 平面BDC_{1}，\therefore A_{1}C\perp 平面BDC_{1}.$

Final answer: 证明题