di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B_2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60^\circ 的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。$

<img_528>
$若B_2=2B_1，求能到达y=\frac{L}{2}处的离子的最小速度v_2；$

Solution:
$如果 B_2 = 2 B_1 ，离子以最小速度 v_2 到达 y = \frac{L}{2} 处时对应的轨迹如图乙所示。$

<img_1262>

$根据方程 qvB = m \frac{v^2}{r}，得到 r = \frac{mv}{qB}$

$因为 B_2 = 2 B_1 ，所以如果离子在区域Ⅱ中的半径为 r_2，则离子在Ⅰ中的半径为 2 r_2 ，设离子到达 y = \frac{L}{2} 处时在区域Ⅱ中的速度偏转角为 \alpha ，由几何关系可知$

$r_2 \cos \alpha + \frac{L}{2} = r_2$

$2 r_2 \cos \alpha - 2 r_2 \sin 30^\circ  = L$

$解得 r_2 = 2 L$

$所以 v_2 = \frac{2qB_2L}{m} = \frac{4qB_1L}{m}$



Final answer: $\frac{4qB_1L}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B_2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60^\circ 的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。$

<img_528>
$如果B_2=\frac{B_1}{L}y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在\frac{B_1qL}{m} ~ \frac{6B_1qL}{m}范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比\eta。$

Solution:
$将离子的速度分解为沿x轴方向和沿y轴方向的分速度v_x、v_y，在x轴方向根据牛顿第二定律有qv_yB = ma_x$

$在一段极短的时间\Delta t内有qv_yB \cdot \Delta t = ma_x \cdot \Delta t，即qB\Delta y = m\Delta v_x$

$设离子出磁场区域Ⅰ时速度方向与x轴方向的夹角为\beta，在磁场区域Ⅰ中，可得qB_1L = m(v \cos\beta - v \cos 60^\circ )$

$当离子刚好与x轴相切时，在磁场区域Ⅱ中，可得qB_2\Delta y = m\Delta v_x，代入已知条件B_2=\frac{B_1}{L}y，得q\frac{B_1}{L}y\Delta y = m\Delta v_x$

$两边积分，可得\int_0^Lq\frac{B_1}{L}ydy = m(v - v \cos\beta)，即q\frac{B_1}{L}\frac{L^2}{2} = m(v - v \cos\beta)$

$联立解得v=\frac{3qB_1L}{m}$

$当离子射出速度v > \frac{3qB_1L}{m}时，离子可以进入第四象限$

$由于离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在\frac{qB_1L}{m}~\frac{6qB_1L}{m}范围，v > \frac{3qB_1L}{m}的离子与总离子数之比为\frac{3}{5}，即进入第四象限的离子数与总离子数之比\eta = \frac{3}{5}$

Final answer: 60
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B_2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60^\circ 的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。$

![24GZT5WL170.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294960091754499/img/compression/M_0607ee9a1bf551d162cf82b24c9a7865.jpg)
$如果B_2=\frac{B_1}{L}y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在\frac{B_1qL}{m} ~ \frac{6B_1qL}{m}范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比\eta。$

Solution:
$将离子的速度分解为沿x轴方向和沿y轴方向的分速度v_x、v_y，在x轴方向根据牛顿第二定律有qv_yB = ma_x$

$在一段极短的时间\Delta t内有qv_yB \cdot \Delta t = ma_x \cdot \Delta t，即qB\Delta y = m\Delta v_x$

$设离子出磁场区域Ⅰ时速度方向与x轴方向的夹角为\beta，在磁场区域Ⅰ中，可得qB_1L = m(v \cos\beta - v \cos 60^\circ )$

$当离子刚好与x轴相切时，在磁场区域Ⅱ中，可得qB_2\Delta y = m\Delta v_x，代入已知条件B_2=\frac{B_1}{L}y，得q\frac{B_1}{L}y\Delta y = m\Delta v_x$

$两边积分，可得\int_0^Lq\frac{B_1}{L}ydy = m(v - v \cos\beta)，即q\frac{B_1}{L}\frac{L^2}{2} = m(v - v \cos\beta)$

$联立解得v=\frac{3qB_1L}{m}$

$当离子射出速度v > \frac{3qB_1L}{m}时，离子可以进入第四象限$

$由于离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在\frac{qB_1L}{m}~\frac{6qB_1L}{m}范围，v > \frac{3qB_1L}{m}的离子与总离子数之比为\frac{3}{5}，即进入第四象限的离子数与总离子数之比\eta = \frac{3}{5}$

Final answer: 60
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场;在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子甲从点S(-a,0)由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P(a，a)、质量为\frac{m}{3}的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙。(不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应)$

<img_872>
$若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时,撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交,求这段时间内粒子甲运动的距离L。$

Solution:
$设这段时间为t，甲的位移大小为x_{甲}=v_{1}t$
$乙的位移大小为x_{乙}=v_{2}t$
轨迹恰好不相交，则两轨迹相切，轨迹圆心间的距离为2a
$设相切时，甲的轨迹圆心坐标为(x_{1},y_{1})；乙的轨迹圆心坐标为(x_{2},y_{2})$
$由几何关系得x_{1}=-x_{甲} \cos 60^\circ ,y_{1}=a+x_{甲} \sin 60^\circ $
$x_{2}=-x_{乙},y_{2}=a$
$则(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(2a)^{2}$
$解得t=\frac{4\sqrt{7}a}{7v}$
$甲运动的距离L=x_{甲}=v_{1}t=\frac{2\sqrt{7}a}{7}$
<img_1298>

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}a}{7}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场;在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子甲从点S(-a,0)由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P(a，a)、质量为\frac{m}{3}的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙。(不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应)$

![22GZTWLS146.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294961412960258/img/compression/M_c6cd14963b99f71b9643be184f362946.jpg)
$若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时,撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交,求这段时间内粒子甲运动的距离L。$

Solution:
$设这段时间为t，甲的位移大小为x_{甲}=v_{1}t$
$乙的位移大小为x_{乙}=v_{2}t$
轨迹恰好不相交，则两轨迹相切，轨迹圆心间的距离为2a
$设相切时，甲的轨迹圆心坐标为(x_{1},y_{1})；乙的轨迹圆心坐标为(x_{2},y_{2})$
$由几何关系得x_{1}=-x_{甲} \cos 60^\circ ,y_{1}=a+x_{甲} \sin 60^\circ $
$x_{2}=-x_{乙},y_{2}=a$
$则(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(2a)^{2}$
$解得t=\frac{4\sqrt{7}a}{7v}$
$甲运动的距离L=x_{甲}=v_{1}t=\frac{2\sqrt{7}a}{7}$
![22GZTWLS149教师.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294961769476097/img/compression/M_404030f684b37ce17402b70b1ec889cd.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}a}{7}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

<img_1008>
ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；

Solution:
ab边进入磁场前，线框受到重力和恒力F作用
水平方向根据牛顿第二定律有 $F \cos 45^\circ =ma_{x}$
解得水平方向的加速度 $a_{x}=20 m/s^2$
竖直方向根据牛顿第二定律有 $F \sin 45^\circ -mg=ma_{y}$
解得竖直方向的加速度 $a_{y}=10 m/s^2$

Final answer: $20 m/s^2$,　$10 m/s^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

![23GZT5WL189.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295023576739843/img/compression/M_97bb6f87d98232c1641f94c4005e3669.jpg)
ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；

Solution:
ab边进入磁场前，线框受到重力和恒力F作用
水平方向根据牛顿第二定律有 $F \cos 45^\circ =ma_{x}$
解得水平方向的加速度 $a_{x}=20 m/s^2$
竖直方向根据牛顿第二定律有 $F \sin 45^\circ -mg=ma_{y}$
解得竖直方向的加速度 $a_{y}=10 m/s^2$

Final answer: $20 m/s^2$,　$10 m/s^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

![23GZT5WL189.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295023576739843/img/compression/M_97bb6f87d98232c1641f94c4005e3669.jpg)
磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；

Solution:
$ab边进入磁场前线框在竖直方向做匀加速直线运动，设进入磁场前所用的时间为t_1，由位移公式有$
$L = \frac{1}{2}a_yt_1^2$

$ab边进入磁场时，其切割磁感线的速度为竖直分速度v_y，由速度公式得v_y = a_yt_1$

$线框中的总电动势即ab边切割磁感线产生的电动势，由法拉第电磁感应定律得E = BLv_y$

$设线框中的电流为I，根据欧姆定律有I = \frac{E}{R}$

$ab边所受的安培力为F_A = ILB$

$因为在竖直方向线框做匀速运动，由平衡条件得F \sin 45^\circ  = mg + F_A$

$联立解得磁场的磁感应强度B = 0.2 T$

$线框进入磁场的过程中所用的时间为t_2，则L = v_yt_2 $

$回路产生的焦耳热Q = I^2Rt_2$

$联立解得Q = 0.4 J$

Final answer: 0.2 T　0.4 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

<img_1008>
磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；

Solution:
$ab边进入磁场前线框在竖直方向做匀加速直线运动，设进入磁场前所用的时间为t_1，由位移公式有$
$L = \frac{1}{2}a_yt_1^2$

$ab边进入磁场时，其切割磁感线的速度为竖直分速度v_y，由速度公式得v_y = a_yt_1$

$线框中的总电动势即ab边切割磁感线产生的电动势，由法拉第电磁感应定律得E = BLv_y$

$设线框中的电流为I，根据欧姆定律有I = \frac{E}{R}$

$ab边所受的安培力为F_A = ILB$

$因为在竖直方向线框做匀速运动，由平衡条件得F \sin 45^\circ  = mg + F_A$

$联立解得磁场的磁感应强度B = 0.2 T$

$线框进入磁场的过程中所用的时间为t_2，则L = v_yt_2 $

$回路产生的焦耳热Q = I^2Rt_2$

$联立解得Q = 0.4 J$

Final answer: 0.2 T　0.4 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

![23GZT5WL189.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295023576739843/img/compression/M_97bb6f87d98232c1641f94c4005e3669.jpg)
磁场区域的水平宽度。

Solution:
$线框水平方向一直做匀加速直线运动，设磁场区域的水平宽度为x，则$

$x-L=\frac{1}{2}a_{x}(t_{1}+t_{2})^2$

$联立解得 x=1.1 m$

Final answer: 1.1 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L=0.2 m、回路电阻R=1.6\times 10^-3 \Omega 、质量m=0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成\theta =45^\circ 角、大小为4\sqrt{2} N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g=10 m/s^2，求：$

<img_1008>
磁场区域的水平宽度。

Solution:
$线框水平方向一直做匀加速直线运动，设磁场区域的水平宽度为x，则$

$x-L=\frac{1}{2}a_{x}(t_{1}+t_{2})^2$

$联立解得 x=1.1 m$

Final answer: 1.1 m
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根竖直放置的足够长金属导轨MN、PQ间距为l，底部是“$\land$ ”形刚性导电支架，导轨区域布满了垂直于平面MNQP的磁感应强度为B的匀强磁场。长为l的金属棒ab垂直于导轨放置，与导轨接触良好。半径为r的轻质圆盘与导轨在同一竖直平面内，可绕通过圆盘中心的固定转轴O匀速转动。圆盘与导轨间有一“T”形架，“T”形架下端与金属棒ab固定连接，在约束槽制约下只能上下运动。固定在圆盘边缘的小圆柱体嵌入在“T”形架的中空横梁中。当圆盘转动时，小圆柱体带动“T”形架进而驱动金属棒ab上下运动。已知ab质量为m，电阻为R,重力加速度为g。“\land ”形导电支架共六条边，每条边的电阻均为R。MN、PQ电阻不计且不考虑所有接触电阻，圆盘、“T”形架质量不计。圆盘以角速度$\omega$ 沿逆时针方向匀速转动，以中空横梁处于图中虚线位置处为初始时刻，求：

![题目图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295013623402499/img/compression/M_24c3e2a463c7b8bb9b7d9f1725f84e60.jpg)
圆盘从初始时刻开始转过$90^\circ$ 的过程中，“T”形架对ab的冲量I的大小；

Solution:
由动量定理可得
$I+mg\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{4}-Bl\overline{I}t=0-m\omega r$
$所以I=\frac{2rB^2l^2}{5R}-m\omega r-\frac{\pi mg}{2\omega}，方向竖直向下$

Final answer: $\frac{2rB^2l^2}{5R} - m\omega r - \frac{\pi mg}{2\omega }$
方向竖直向下
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根竖直放置的足够长金属导轨MN、PQ间距为l，底部是“$\land$ ”形刚性导电支架，导轨区域布满了垂直于平面MNQP的磁感应强度为B的匀强磁场。长为l的金属棒ab垂直于导轨放置，与导轨接触良好。半径为r的轻质圆盘与导轨在同一竖直平面内，可绕通过圆盘中心的固定转轴O匀速转动。圆盘与导轨间有一“T”形架，“T”形架下端与金属棒ab固定连接，在约束槽制约下只能上下运动。固定在圆盘边缘的小圆柱体嵌入在“T”形架的中空横梁中。当圆盘转动时，小圆柱体带动“T”形架进而驱动金属棒ab上下运动。已知ab质量为m，电阻为R,重力加速度为g。“\land ”形导电支架共六条边，每条边的电阻均为R。MN、PQ电阻不计且不考虑所有接触电阻，圆盘、“T”形架质量不计。圆盘以角速度$\omega$ 沿逆时针方向匀速转动，以中空横梁处于图中虚线位置处为初始时刻，求：

<img_1463>
圆盘从初始时刻开始转过$90^\circ$ 的过程中，“T”形架对ab的冲量I的大小；

Solution:
由动量定理可得
$I+mg\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{4}-Bl\overline{I}t=0-m\omega r$
$所以I=\frac{2rB^2l^2}{5R}-m\omega r-\frac{\pi mg}{2\omega}，方向竖直向下$



Final answer: $\frac{2rB^2l^2}{5R} - m\omega r - \frac{\pi mg}{2\omega }$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长度足够的两导轨与水平面成$\theta $角平行放置，间距为d，在导轨所在区间，存在方向垂直于导轨平面向上、大小为B的匀强磁场，接入两导轨间的两个电阻阻值均为R、电容器电容为C、线圈电感为L。一根质量为m的导体棒搁置在两导轨上。t=0时，将导体棒由静止释放，不计摩擦、空气阻力和其他电阻，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不考虑电磁辐射。重力加速度为g。当通过线圈的电流随时间发生变化时，线圈产生的电动势大小$E=\frac{L\Delta I}{\Delta t}$，当线圈中通有电流I时，其储存的磁能$W=0.5LI^2$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295014885888003/img/compression/M_442642cdbfdd5e712223b537c09d9f4a.jpg)
t=0时，接通S1，断开S2和S3，求棒所能达到的最大速度$v_{m1}$；

Solution:
$当棒速度最大时，有mg \sin \theta =BId，此时产生的感应电动势E=Bdv_{m1}，感应电流I=\frac{E}{R}，联立解得v_{m1}=\frac{mgR \sin  \theta  }{B^2d^2}，方向沿导轨向下。$

Final answer: $\frac{mgR \sin  \theta  }{B^2d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长度足够的两导轨与水平面成$\theta $角平行放置，间距为d，在导轨所在区间，存在方向垂直于导轨平面向上、大小为B的匀强磁场，接入两导轨间的两个电阻阻值均为R、电容器电容为C、线圈电感为L。一根质量为m的导体棒搁置在两导轨上。t=0时，将导体棒由静止释放，不计摩擦、空气阻力和其他电阻，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不考虑电磁辐射。重力加速度为g。当通过线圈的电流随时间发生变化时，线圈产生的电动势大小$E=\frac{L\Delta I}{\Delta t}$，当线圈中通有电流I时，其储存的磁能$W=0.5LI^2$

<img_1255>
t=0时，接通S1，断开S2和S3，求棒所能达到的最大速度$v_{m1}$；

Solution:
$当棒速度最大时，有mg \sin \theta =BId，此时产生的感应电动势E=Bdv_{m1}，感应电流I=\frac{E}{R}，联立解得v_{m1}=\frac{mgR \sin  \theta  }{B^2d^2}，方向沿导轨向下。$



Final answer: $\frac{mgR \sin  \theta  }{B^2d^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L=3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r=3 m的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角\theta=37^\circ 。将游客和座椅看成一个质点，质量m=50 kg。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385606219591681/img/compression/M_ee8635fd3352ba7ab7e7425fcdeb8eec.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385606219591681/img/compression/M_c3c75bd2b0ed08988c402fc2dc8d01a3.jpg)

图2
当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
$a.向心力的大小 F_n；$
$b.线速度的大小 v。$

Solution:
对游客和座椅整体受力分析如图所示:

![24BBJ5WL387.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385605993099267/img/compression/M_5767d37fa6dae11f69898e6536d45fe3.jpg)

a. 根据受力分析可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为

$F_n = mg \tan \theta  = 375 \, \text{N}$

$b. 根据几何关系可知游客和座椅做圆周运动的半径为 R = r + L \sin \theta  = 3 \, \text{m} + 3 \times 0.6 \, \text{m} = 4.8 \, \text{m}$

$由 F_n = m \frac{v^2}{R}$

$代入数据得 v = 6 \, \text{m/s}$

Final answer: 375 N, 6 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L=3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r=3 m的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角\theta=37^\circ 。将游客和座椅看成一个质点，质量m=50 kg。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)$

<img_951>

图1

<img_1102>

图2
当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
$a.向心力的大小 F_n；$
$b.线速度的大小 v。$

Solution:
对游客和座椅整体受力分析如图所示:

<img_810>

a. 根据受力分析可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为

$F_n = mg \tan \theta  = 375 \, \text{N}$

$b. 根据几何关系可知游客和座椅做圆周运动的半径为 R = r + L \sin \theta  = 3 \, \text{m} + 3 \times 0.6 \, \text{m} = 4.8 \, \text{m}$

$由 F_n = m \frac{v^2}{R}$

$代入数据得 v = 6 \, \text{m/s}$



Final answer: 375, 6 N, m/s
Subfield: Mechanics


Question: 无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
$我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心(即银河系的中心)为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据g=\frac{v^2}{r}，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出g-r图像，如图所示。已知太阳的质量m=2.0\times 10^30 kg，太阳距离银心r_0=2.5\times 10^20 m。$

将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能Eₚ。

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385627367018497/img/compression/M_8cf2a9a95421dde59b2ae1b3696261c8.jpg)

Solution:
$根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，则太阳在当前位置所具有的动能，就等于太阳在银河系中所具有的引力势能 E_p。由公式 g = \frac{v^2}{r} 可得太阳的速度二次方为 v^2 = gr_0 由图可知，在 r_0 = 2.5 \times  10^{20} m时， g \approx  2.5 \times  10^{-10} m/s^2 ，所以太阳的引力势能为 E_p = E_k = \frac{1}{2}mv^2 = 6.25 \times  10^{40} J。$

Final answer: $6.25\times 10^{40} J$
Subfield: Mechanics


Question: 无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
$我们可以在无法获知银河系总质量的情况下，研究太阳在银河系中所具有的引力势能。通过天文观测距银心(即银河系的中心)为r处的物质绕银心的旋转速度为v，根据g=\frac{v^2}{r}，可得到银河系在该处的引力场强度g的数值，并作出g-r图像，如图所示。已知太阳的质量m=2.0\times 10^30 kg，太阳距离银心r_0=2.5\times 10^20 m。$

将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，请利用题中信息估算太阳所具有的引力势能Eₚ。

<img_871>

Solution:
$根据引力势能与动能之和保持不变可知，如果将物质距银心无穷远处的引力势能规定为零，则太阳在当前位置所具有的动能，就等于太阳在银河系中所具有的引力势能 E_p。由公式 g = \frac{v^2}{r} 可得太阳的速度二次方为 v^2 = gr_0 由图可知，在 r_0 = 2.5 \times  10^{20} m时， g \approx  2.5 \times  10^{-10} m/s^2 ，所以太阳的引力势能为 E_p = E_k = \frac{1}{2}mv^2 = 6.25 \times  10^{40} J。$



Final answer: $6.25\times 10^{40}$ J
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_835>
物体通过D点时速度$v_{D}$的大小；

Solution:
物体恰好能通过D点，根据牛顿第二定律有
$mg=m\frac{v^2_D}{R}$
可得$v_{D}=\sqrt{gR}=2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721726641302757379/img/compression/M_dcfa1ceb0acce29a1b8410af813533f3.jpg)
物体通过D点时速度$v_{D}$的大小；

Solution:
物体恰好能通过D点，根据牛顿第二定律有
$mg=m\frac{v^2_D}{R}$
可得$v_{D}=\sqrt{gR}=2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_835>
$物体刚进入圆弧轨道B点时所受支持力F_N的大小；$

Solution:
物体经过B点时的受力分析如图
<img_1378>

$根据动能定理，物体由B点运动到D点的过程中，有 -2mgR=\frac{1}{2}mv^2_D-\frac{1}{2}mv^2_B$

$根据牛顿第二定律有 F_N-mg=\frac{v^2_B}{R}$

$得 F_N=60 N$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721726641302757379/img/compression/M_dcfa1ceb0acce29a1b8410af813533f3.jpg)
$物体刚进入圆弧轨道B点时所受支持力F_N的大小；$

Solution:
物体经过B点时的受力分析如图
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721726641667661826/img/compression/M_bb94ee66bbf8170ed38a42012b7f5073.jpg)

$根据动能定理，物体由B点运动到D点的过程中，有 -2mgR=\frac{1}{2}mv^2_D-\frac{1}{2}mv^2_B$

$根据牛顿第二定律有 F_N-mg=\frac{v^2_B}{R}$

$得 F_N=60 N$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721726641302757379/img/compression/M_dcfa1ceb0acce29a1b8410af813533f3.jpg)
A与B之间的距离x。

Solution:
$物体在水平面上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 F- \mu mg = ma$

$根据匀变速直线运动公式，有 2ax = v^2_B$

$得 x = 2.0 m$

Final answer: 2.0 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，粗糙的水平面AB与光滑的竖直圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道BCD的半径R=0.40 m，D是轨道的最高点，一质量m=1.0 kg可以看成质点的物体静止于水平面上的A点。现用F=7.0 N的水平恒力作用在物体上，使它在水平面上做匀加速直线运动，当物体到达B点时撤去力F，之后物体沿圆弧轨道BCD运动，物体恰好能通过D点。已知物体与水平面间的动摩擦因数$\mu =0.20$，取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_835>
A与B之间的距离x。

Solution:
$物体在水平面上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 F- \mu mg = ma$

$根据匀变速直线运动公式，有 2ax = v^2_B$

$得 x = 2.0 m$

Final answer: 2.0 m
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651509686276/img/compression/M_bb2d592a376b540243167340c818b7cb.jpg)
$若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O点转动时，其动能的表达式为E_k=\frac{1}{6}m^\alpha \omega ^\beta L^\gamma 。$
请你利用单位制的知识，判断$\alpha 、\beta 、\gamma$ 的数值。

Solution:
$杆的动能的表达式为 E_k=\frac{1}{6}m^\alpha \omega ^\beta L^\gamma ，由动能的计算公式 E_k=\frac{1}{2}mv^2 和线速度与角速度的关系公式 v=\omega r 可知，\alpha =1、\beta =2、\gamma =2。$

Final answer: $\alpha=1，\beta=2，\gamma=2  $
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
<img_1454>
$若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O点转动时，其动能的表达式为E_k=\frac{1}{6}m^\alpha \omega ^\beta L^\gamma 。$
请你利用单位制的知识，判断$\alpha 、\beta 、\gamma$ 的数值。

Solution:
$杆的动能的表达式为 E_k=\frac{1}{6}m^\alpha \omega ^\beta L^\gamma ，由动能的计算公式 E_k=\frac{1}{2}mv^2 和线速度与角速度的关系公式 v=\omega r 可知，\alpha =1、\beta =2、\gamma =2。$

Final answer: $\alpha=1，\beta=2，\gamma=2  $
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

![Graph-A](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_31ed97ea2d28dae3b7607e1bef427418.jpg)
图甲

![Graph-B](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_5fe104f1c36506860b1a1d51760c3666.jpg)
图乙
从离开O点到落在斜坡上，运动员在空中运动的时间t；

Solution:
运动员从O点落到斜坡上，根据平抛运动规律有
$x=vt，y= \frac{1}{2} g t^2$
$\tan \theta  = \frac{y}{x}$
$解得 t = \frac{2\sqrt{2gh} \tan \theta }{g}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{2gh} \tan  \theta }{g}$
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

<img_557>
图甲

<img_1471>
图乙
从离开O点到落在斜坡上，运动员在空中运动的时间t；

Solution:
运动员从O点落到斜坡上，根据平抛运动规律有
$x=vt，y= \frac{1}{2} g t^2$
$\tan \theta  = \frac{y}{x}$
$解得 t = \frac{2\sqrt{2gh} \tan \theta }{g}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{2gh} \tan  \theta }{g}$
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

<img_557>
图甲

<img_1471>
图乙
从离开O点到落在斜坡上，运动员在空中运动的过程中动量的变化量。

Solution:
$运动员从O点落到斜坡上，设动量变化量为\Delta p，根据动量定理\Delta p=mgt，代入t= \frac{2\sqrt{2gh} \tan  \theta }{g} ，则运动员的动量变化量大小为\Delta p=2m\sqrt{2gh} \tan \theta ，方向竖直向下。$

Final answer: $2m\sqrt{2gh} \tan \theta$
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

![Graph-A](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_31ed97ea2d28dae3b7607e1bef427418.jpg)
图甲

![Graph-B](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_5fe104f1c36506860b1a1d51760c3666.jpg)
图乙
从离开O点到落在斜坡上，运动员在空中运动的过程中动量的变化量。

Solution:
$运动员从O点落到斜坡上，设动量变化量为\Delta p，根据动量定理\Delta p=mgt，代入t= \frac{2\sqrt{2gh} \tan  \theta }{g} ，则运动员的动量变化量大小为\Delta p=2m\sqrt{2gh} \tan \theta ，方向竖直向下。$

Final answer: $2m\sqrt{2gh} \tan \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学将质量m=0.60 kg的篮球从距地面高度h_1=1.5 m处由静止释放，篮球与地面碰撞后反弹高度h_2=1.2 m。设篮球始终在竖直方向做一维运动，不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_958>
$假设篮球每次与地面碰撞损失的机械能相同，篮球通过在地面多次碰撞反弹，反弹高度会越来越低，最终停下来。求由静止释放到最终停下来，篮球与地面碰撞的次数n。$

Solution:
篮球一次碰撞损失的机械能为

$\Delta E=mgh1-mgh2=1.8 J$

$篮球与地面碰撞的次数n=\frac{mgh1}{\Delta E}=5$

Final answer: 5
Subfield: Mechanics


Question: $某同学将质量m=0.60 kg的篮球从距地面高度h_1=1.5 m处由静止释放，篮球与地面碰撞后反弹高度h_2=1.2 m。设篮球始终在竖直方向做一维运动，不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s^2。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385652679897090/img/compression/M_e0265bd480ceb3be8394ec30b4d513e7.jpg)
$假设篮球每次与地面碰撞损失的机械能相同，篮球通过在地面多次碰撞反弹，反弹高度会越来越低，最终停下来。求由静止释放到最终停下来，篮球与地面碰撞的次数n。$

Solution:
篮球一次碰撞损失的机械能为

$\Delta E=mgh1-mgh2=1.8 J$

$篮球与地面碰撞的次数n=\frac{mgh1}{\Delta E}=5$

Final answer: 5
Subfield: Mechanics


Question: $某同学将质量m=0.60 kg的篮球从距地面高度h_1=1.5 m处由静止释放，篮球与地面碰撞后反弹高度h_2=1.2 m。设篮球始终在竖直方向做一维运动，不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_958>
实际上篮球每次因碰撞损失的机械能会随着碰前动能的减小而减小，假设篮球每次与地面碰撞前后的动能之比不变。为了使篮球反弹得高一些，可以通过拍球来实现。

$当篮球第一次与地面碰撞后反弹至h_2=1.2 m时，该同学向下拍球，要使篮球落地后反弹的高度仍为1.2 m，求该同学在拍球过程中需要对篮球所做的功W。$

Solution:
篮球每次与地面碰撞后与碰撞前的动能的比值

$k = \frac{E_{\mathrm{k}2}}{E_{\mathrm{k}1}} = \frac{mgh_2}{mgh_1} = 0.8$

$根据动能定理，篮球下落过程 W + mgh_{2} = E_{k1} - 0$

$篮球反弹上升过程 -mgh_{2} = 0 - E_{k2}$

$联立可得 W = 1.8 J$

Final answer: 1.8 J
Subfield: Mechanics


Question: $某同学将质量m=0.60 kg的篮球从距地面高度h_1=1.5 m处由静止释放，篮球与地面碰撞后反弹高度h_2=1.2 m。设篮球始终在竖直方向做一维运动，不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s^2。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385652679897090/img/compression/M_e0265bd480ceb3be8394ec30b4d513e7.jpg)
实际上篮球每次因碰撞损失的机械能会随着碰前动能的减小而减小，假设篮球每次与地面碰撞前后的动能之比不变。为了使篮球反弹得高一些，可以通过拍球来实现。

$当篮球第一次与地面碰撞后反弹至h_2=1.2 m时，该同学向下拍球，要使篮球落地后反弹的高度仍为1.2 m，求该同学在拍球过程中需要对篮球所做的功W。$

Solution:
篮球每次与地面碰撞后与碰撞前的动能的比值

$k = \frac{E_{\mathrm{k}2}}{E_{\mathrm{k}1}} = \frac{mgh_2}{mgh_1} = 0.8$

$根据动能定理，篮球下落过程 W + mgh_{2} = E_{k1} - 0$

$篮球反弹上升过程 -mgh_{2} = 0 - E_{k2}$

$联立可得 W = 1.8 J$

Final answer: 1.8 J
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角约为18^\circ 。某次比赛中，质量m=50 kg的运动员自A点以v_{A}=6 m/s的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以v_{M}=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角\alpha =72^\circ ，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 72^\circ =0.95，\cos 72^\circ =0.31$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385653497786370/img/compression/M_e19591652bd89b48cb3ca4d86d22276f.jpg)
若A、M两点间的距离l=20 m，求运动员从A到M的过程中，除重力外其他力做的功W。

Solution:
对于运动员从A到M的过程，根据动能定理有$mgl \sin 18^\circ +W=1/2 mv^2_M -1/2 mv^2_A$  
解得W= -1 500 J

Final answer: -1500J
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角约为18^\circ 。某次比赛中，质量m=50 kg的运动员自A点以v_{A}=6 m/s的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以v_{M}=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角\alpha =72^\circ ，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 72^\circ =0.95，\cos 72^\circ =0.31$
<img_971>
若A、M两点间的距离l=20 m，求运动员从A到M的过程中，除重力外其他力做的功W。

Solution:
对于运动员从A到M的过程，根据动能定理有$mgl \sin 18^\circ +W=1/2 mv^2_M -1/2 mv^2_A$  
解得W= -1 500 J

Final answer: -1500J