di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

<img_1425>
小球入水的深度为多少。

Solution:
小球入水前做竖直上抛运动，加速度等于重力加速度g，设入水后的加速度大小为a，则有

$g = \frac{v-0}{t_2-t_1} = \frac{v}{3t_1}，$

$a = \frac{v}{t_3-t_2} = \frac{v}{1.5t_1}，$

$则有 a = 2g = 20 m/s^2。$

$根据速度位移关系，小球入水的深度为 h' = \frac{v^2}{2a} = \frac{27}{16} m。$

Final answer: $\frac{27}{16} m$
Subfield: Mechanics


Question: $自驾野游者在干涸的河床上逗留，会给自身带来一定的安全隐患。某次河道上游山洪爆发，洪水以30 m/s的恒定速率奔流而下，野游者发现后立即驾车加速离开，此时山洪距车只有300 m远，已知汽车的加速度为2.5 m/s^2，能够达到的最大速度为40 m/s，安全点在距车2 000 m的下游处。$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521793304629250/img/compression/M_8169897677338323f96e89d770408209.jpg)
求汽车从发动至到达安全地带至少需要多长时间；

Solution:
$设汽车加速到最大速度所用时间为t_1，对应的位移为x_1，则有 2ax_1 = v^2_m，t_1 = \frac{v_m}{a}$

$解得 x_1 = 320 m$

$t_1 = 16 s$

汽车以最大速度匀速行驶的时间

$t_2 = \frac{2000m - x_1}{v_m} = 42 s$

$汽车从发动至到达安全地带至少需要 t = t_1 + t_2 = 58 s$

Final answer: 58 s
Subfield: Mechanics


Question: $自驾野游者在干涸的河床上逗留，会给自身带来一定的安全隐患。某次河道上游山洪爆发，洪水以30 m/s的恒定速率奔流而下，野游者发现后立即驾车加速离开，此时山洪距车只有300 m远，已知汽车的加速度为2.5 m/s^2，能够达到的最大速度为40 m/s，安全点在距车2 000 m的下游处。$
<img_1257>
求汽车从发动至到达安全地带至少需要多长时间；

Solution:
$设汽车加速到最大速度所用时间为t_1，对应的位移为x_1，则有 2ax_1 = v^2_m，t_1 = \frac{v_m}{a}$

$解得 x_1 = 320 m$

$t_1 = 16 s$

汽车以最大速度匀速行驶的时间

$t_2 = \frac{2000m - x_1}{v_m} = 42 s$

$汽车从发动至到达安全地带至少需要 t = t_1 + t_2 = 58 s$

Final answer: 58 s
Subfield: Mechanics


Question: $自驾野游者在干涸的河床上逗留，会给自身带来一定的安全隐患。某次河道上游山洪爆发，洪水以30 m/s的恒定速率奔流而下，野游者发现后立即驾车加速离开，此时山洪距车只有300 m远，已知汽车的加速度为2.5 m/s^2，能够达到的最大速度为40 m/s，安全点在距车2 000 m的下游处。$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521793304629250/img/compression/M_8169897677338323f96e89d770408209.jpg)
求汽车撤离过程中洪水与汽车之间的最小距离；

Solution:
$当汽车与洪水速度相同时洪水与车之间的距离最小，设汽车从静止加速到与洪水速度相同的时间为t_3，对应的位移为x_3，则有$

$t_3 = \frac{30 \mathrm{m}/\mathrm{s}}{a} = 12 s$

$x_3 = \frac{1}{2}at^2_3 = 180 m$

洪水与汽车之间最小距离为

$\Delta x = x_3 + 300 m - 30 m/s \times t_3 = 120 m$

Final answer: 120 m
Subfield: Mechanics


Question: $自驾野游者在干涸的河床上逗留，会给自身带来一定的安全隐患。某次河道上游山洪爆发，洪水以30 m/s的恒定速率奔流而下，野游者发现后立即驾车加速离开，此时山洪距车只有300 m远，已知汽车的加速度为2.5 m/s^2，能够达到的最大速度为40 m/s，安全点在距车2 000 m的下游处。$
<img_1257>
求汽车撤离过程中洪水与汽车之间的最小距离；

Solution:
$当汽车与洪水速度相同时洪水与车之间的距离最小，设汽车从静止加速到与洪水速度相同的时间为t_3，对应的位移为x_3，则有$

$t_3 = \frac{30 \mathrm{m}/\mathrm{s}}{a} = 12 s$

$x_3 = \frac{1}{2}at^2_3 = 180 m$

洪水与汽车之间最小距离为

$\Delta x = x_3 + 300 m - 30 m/s \times t_3 = 120 m$

Final answer: 120 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长l=7.5 m、宽d=2.4 m的卡车在马路上以v_0=20 m/s的速度靠边匀速前进，在车头正前方x=50 m处有一斑马线，斑马线上有一行人(可视为质点)，在匀速行走横穿马路，此时行人到A点的距离s=9.6 m。已知卡车刹车时的加速度大小a=5 m/s^2，卡车和行人均做直线运动。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521793715671042/img/compression/M_9ceafbcf656f7e09feca36074aacecbe.jpg)
$若要卡车在斑马线前停下，求司机的最长反应时间t_{0}。$

Solution:
$卡车刹车位移x_1 = \frac{{v^2_0}}{{2a}} = \frac{{20^2}}{{2\times 5}} m = 40 m$

$司机最长反应时间t_0 = \frac{{x-x_1}}{{v_0}} = \frac{{50-40}}{{20}} s = 0.5 s$

Final answer: 0.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长l=7.5 m、宽d=2.4 m的卡车在马路上以v_0=20 m/s的速度靠边匀速前进，在车头正前方x=50 m处有一斑马线，斑马线上有一行人(可视为质点)，在匀速行走横穿马路，此时行人到A点的距离s=9.6 m。已知卡车刹车时的加速度大小a=5 m/s^2，卡车和行人均做直线运动。$

<img_744>
$若要卡车在斑马线前停下，求司机的最长反应时间t_{0}。$

Solution:
$卡车刹车位移x_1 = \frac{{v^2_0}}{{2a}} = \frac{{20^2}}{{2\times 5}} m = 40 m$

$司机最长反应时间t_0 = \frac{{x-x_1}}{{v_0}} = \frac{{50-40}}{{20}} s = 0.5 s$

Final answer: 0.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
<img_750>
$最大位移值x;$

Solution:
$滑块向上做匀减速直线运动，有x=\frac{v_0}{2}t  $
$得x=16 m$

Final answer: 16 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521843812188162/img/compression/M_1fd7c55b5fe5741cbae1cd4ef9afb543.jpg)
$最大位移值x;$

Solution:
$滑块向上做匀减速直线运动，有x=\frac{v_0}{2}t  $
$得x=16 m$

Final answer: 16 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
<img_750>
$与斜面间的动摩擦因数\mu ;$

Solution:
$上滑过程加速度大小a_1=\frac{v_0}{t}=8 m/s^2$

$a_1=\frac{mg \sin  \theta +\mu mg \cos  \theta }{m}=g \sin \theta +\mu g \cos \theta $

$得\mu =0.25$

Final answer: 0.25
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521843812188162/img/compression/M_1fd7c55b5fe5741cbae1cd4ef9afb543.jpg)
$与斜面间的动摩擦因数\mu ;$

Solution:
$上滑过程加速度大小a_1=\frac{v_0}{t}=8 m/s^2$

$a_1=\frac{mg \sin  \theta +\mu mg \cos  \theta }{m}=g \sin \theta +\mu g \cos \theta $

$得\mu =0.25$

Final answer: 0.25
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
<img_750>
$从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率\overline{P}.$

Solution:
下滑过程

$a_2 = \frac{mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta }{m} = g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta =4 m/s^2$

$由运动学公式得 v = \sqrt{2a_2x} =8\sqrt{2} m/s$

重力的平均功率

$\overline{P} = mg \overline{v}  \sin \theta = mg \cdot \frac{v}{2} \sin \theta = 48\sqrt{2} W \approx 67.9W$

Final answer: 67.9 W
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,质量m=2 kg的滑块以v_0=16 m/s的初速度沿倾角\theta =37^\circ 的斜面上滑，经t=2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。g取10 m/s^2。求滑块$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521843812188162/img/compression/M_1fd7c55b5fe5741cbae1cd4ef9afb543.jpg)
$从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率\overline{P}.$

Solution:
下滑过程

$a_2 = \frac{mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta }{m} = g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta =4 m/s^2$

$由运动学公式得 v = \sqrt{2a_2x} =8\sqrt{2} m/s$

重力的平均功率

$\overline{P} = mg \overline{v}  \sin \theta = mg \cdot \frac{v}{2} \sin \theta = 48\sqrt{2} W \approx 67.9W$

Final answer: 67.9 W
Subfield: Mechanics


Question: $已知鸡蛋撞击地面的速度不超过2 m/s时，鸡蛋能不被摔坏。某同学设计用A、B两块粗糙夹板粘合而成的保护装置夹住鸡蛋，如图所示。已知装置的质量为M，鸡蛋的质量为m=0.05 kg，且M=5m，鸡蛋和装置之间的滑动摩擦力大小为5mg。实验中将该装置从离地面H=1.8 m的高度处由静止释放。(g=10 m/s^2，不计空气阻力，装置始终保持竖直)$

![24BJS5WL354.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521857658572803/img/compression/M_001ddd5a61f7895932dc2fd241621ad1.jpg)
$如果碰地后装置速度立即变为零，为保证鸡蛋安全，求鸡蛋放的位置离装置下端的最小距离s_1；$

Solution:
$设装置落地时的速度为v_0，由匀变速直线运动的速度与位移关系式可得H = \frac{v^2_0}{2g}$

$解得v_0=6 m/s$

$装置落地后，鸡蛋做匀减速直线运动，设鸡蛋放的位置离装置下端的距离最小为s_1时，鸡蛋撞击地面的速度为临界速度v=2 m/s$

$对鸡蛋应用牛顿第二定律有5mg-mg=ma$

$解得a=40 m/s^2，方向竖直向上，$

$取竖直向下为正方向，有-2as_1 = v^2-v^2_0$

$解得s_1=0.4 m$

Final answer: 0.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $已知鸡蛋撞击地面的速度不超过2 m/s时，鸡蛋能不被摔坏。某同学设计用A、B两块粗糙夹板粘合而成的保护装置夹住鸡蛋，如图所示。已知装置的质量为M，鸡蛋的质量为m=0.05 kg，且M=5m，鸡蛋和装置之间的滑动摩擦力大小为5mg。实验中将该装置从离地面H=1.8 m的高度处由静止释放。(g=10 m/s^2，不计空气阻力，装置始终保持竖直)$

<img_1212>
$如果碰地后装置速度立即变为零，为保证鸡蛋安全，求鸡蛋放的位置离装置下端的最小距离s_1；$

Solution:
$设装置落地时的速度为v_0，由匀变速直线运动的速度与位移关系式可得H = \frac{v^2_0}{2g}$

$解得v_0=6 m/s$

$装置落地后，鸡蛋做匀减速直线运动，设鸡蛋放的位置离装置下端的距离最小为s_1时，鸡蛋撞击地面的速度为临界速度v=2 m/s$

$对鸡蛋应用牛顿第二定律有5mg-mg=ma$

$解得a=40 m/s^2，方向竖直向上，$

$取竖直向下为正方向，有-2as_1 = v^2-v^2_0$

$解得s_1=0.4 m$

Final answer: 0.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $已知鸡蛋撞击地面的速度不超过2 m/s时，鸡蛋能不被摔坏。某同学设计用A、B两块粗糙夹板粘合而成的保护装置夹住鸡蛋，如图所示。已知装置的质量为M，鸡蛋的质量为m=0.05 kg，且M=5m，鸡蛋和装置之间的滑动摩擦力大小为5mg。实验中将该装置从离地面H=1.8 m的高度处由静止释放。(g=10 m/s^2，不计空气阻力，装置始终保持竖直)$

![24BJS5WL354.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521857658572803/img/compression/M_001ddd5a61f7895932dc2fd241621ad1.jpg)
$如果装置与地面发生碰撞时，装置总是以碰前的速率反弹(碰撞时间极短)，鸡蛋放的位置距离装置下端s_{2}=1.6 m，其他条件不变，求装置第一次弹起到达最高点时，鸡蛋离地的高度h；$

Solution:
取竖直向下为正方向，保护装置与地面发生碰撞后，鸡蛋的速度和加速度分别为
$v_0=6 m/s，a=-40 m/s^2$
$保护装置以原速率反弹，其速度为v'_0=-6 m/s$
$根据牛顿第二定律，有5mg+Mg=Ma'$
$解得a'=20 m/s^2$
$鸡蛋先减速到零，所用时间为t_1=-v_0/a=0.15 s$
$下降高度为h_1=-v^2_0/2a=0.45 m$
$此时鸡蛋距地面高度为H_1=s_2-h_1=1.15 m$
$此时保护装置的速度为v_1=v'_0+a't_1=-3 m/s$
$设鸡蛋和保护装置此后达到共速所需时间为t_2，有at_2=v_1+a't_2$
$解得t_2=0.05 s$
$则有v_2=at_2=-2 m/s$
$鸡蛋上升高度为h_2=|\frac{1}{2}at^2_2|=0.05 m$
$依题意，鸡蛋和保护装置之间的摩擦力大于鸡蛋的重力，此后二者以共同的加速度g做匀减速运动，减速到零时，鸡蛋上升的高度为h_3=v^2_2/2g=0.2 m$
此时鸡蛋离地面的高度为
$h=H_1+h_2+h_3=1.4 m$

Final answer: 1.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $已知鸡蛋撞击地面的速度不超过2 m/s时，鸡蛋能不被摔坏。某同学设计用A、B两块粗糙夹板粘合而成的保护装置夹住鸡蛋，如图所示。已知装置的质量为M，鸡蛋的质量为m=0.05 kg，且M=5m，鸡蛋和装置之间的滑动摩擦力大小为5mg。实验中将该装置从离地面H=1.8 m的高度处由静止释放。(g=10 m/s^2，不计空气阻力，装置始终保持竖直)$

<img_1212>
$如果装置与地面发生碰撞时，装置总是以碰前的速率反弹(碰撞时间极短)，鸡蛋放的位置距离装置下端s_{2}=1.6 m，其他条件不变，求装置第一次弹起到达最高点时，鸡蛋离地的高度h；$

Solution:
取竖直向下为正方向，保护装置与地面发生碰撞后，鸡蛋的速度和加速度分别为
$v_0=6 m/s，a=-40 m/s^2$
$保护装置以原速率反弹，其速度为v'_0=-6 m/s$
$根据牛顿第二定律，有5mg+Mg=Ma'$
$解得a'=20 m/s^2$
$鸡蛋先减速到零，所用时间为t_1=-v_0/a=0.15 s$
$下降高度为h_1=-v^2_0/2a=0.45 m$
$此时鸡蛋距地面高度为H_1=s_2-h_1=1.15 m$
$此时保护装置的速度为v_1=v'_0+a't_1=-3 m/s$
$设鸡蛋和保护装置此后达到共速所需时间为t_2，有at_2=v_1+a't_2$
$解得t_2=0.05 s$
$则有v_2=at_2=-2 m/s$
$鸡蛋上升高度为h_2=|\frac{1}{2}at^2_2|=0.05 m$
$依题意，鸡蛋和保护装置之间的摩擦力大于鸡蛋的重力，此后二者以共同的加速度g做匀减速运动，减速到零时，鸡蛋上升的高度为h_3=v^2_2/2g=0.2 m$
此时鸡蛋离地面的高度为
$h=H_1+h_2+h_3=1.4 m$

Final answer: 1.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521833183821825/img/compression/M_19b792bb27b1916575d51be42834f030.jpg)
$滑行过程中的最大速度v_m的大小；$

Solution:
$小明先做匀加速直线运动，速度由0加速到v_m，再做匀减速直线运动，速度由v_m减到0，整个过程的平均速度 \overline{v} = \frac{v_m}{2} = \frac{x_1 + x_2}{t}，代入数据可知v_m = 18 m/s$

Final answer: 18 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
<img_1078>
$滑行过程中的最大速度v_m的大小；$

Solution:
$小明先做匀加速直线运动，速度由0加速到v_m，再做匀减速直线运动，速度由v_m减到0，整个过程的平均速度 \overline{v} = \frac{v_m}{2} = \frac{x_1 + x_2}{t}，代入数据可知v_m = 18 m/s$

Final answer: 18 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521833183821825/img/compression/M_19b792bb27b1916575d51be42834f030.jpg)
$在斜直雪道上滑行的时间t_1；$

Solution:
：
$在斜直雪道上，由x_{1} = \frac{v_{m}}{2}t_{1}可知，t_{1}=6 s$

Final answer: 6 s
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
<img_1078>
$在斜直雪道上滑行的时间t_1；$

Solution:
：
$在斜直雪道上，由x_{1} = \frac{v_{m}}{2}t_{1}可知，t_{1}=6 s$

Final answer: 6 s
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
<img_1078>
$在斜直雪道上受到的平均阻力F_f的大小。$

Solution:
$在斜直雪道上，小明和滑雪车整体的加速度 a = \frac{v_m}{t_1} = 3 m/s^2$

$根据牛顿第二定律可知 mg \sin 37^\circ  - F_f = ma$

$代入数据可知 F_f = 180 N$

Final answer: 180 N
Subfield: Mechanics


Question: $一个无风晴朗的冬日，小明乘坐游戏滑雪车从静止开始沿斜直雪道下滑，滑行54 m后进入水平雪道，继续滑行40.5 m后减速到零。已知小明和滑雪车的总质量为60 kg，整个滑行过程用时10.5 s，斜直雪道倾角为37^\circ ( \sin 37^\circ =0.6)。求小明和滑雪车(g=10 m/s^2)$
![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521833183821825/img/compression/M_19b792bb27b1916575d51be42834f030.jpg)
$在斜直雪道上受到的平均阻力F_f的大小。$

Solution:
$在斜直雪道上，小明和滑雪车整体的加速度 a = \frac{v_m}{t_1} = 3 m/s^2$

$根据牛顿第二定律可知 mg \sin 37^\circ  - F_f = ma$

$代入数据可知 F_f = 180 N$

Final answer: 180 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从跳台起跳，最后落在着落坡上。已知着落坡倾角为37^\circ (\sin 37^\circ ＝0.6，\cos 37^\circ ＝0.8)，运动员起跳时速度大小为v_0，方向与着落坡垂直。不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898011234306/img/compression/M_ce9f4312ee1ecb5a5ab9552341500d90.jpg)
$运动员在空中运动的时间t。$

Solution:
解法一 

$将运动员在空中的运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动，运动员在空中运动时间为t，则有x=v_0 \sin 37^\circ \cdot t、y=-v_0 \cos 37^\circ \cdot t+\frac{1}{2}gt^2、\frac{y}{x}=\tan 37^\circ ，解得t=\frac{5v_0}{2g}。$

解法二 

$将运动员在空中的运动分解为沿坡面方向的运动和垂直坡面方向的运动，其中垂直坡面方向的加速度为a_y=g \cos 37^\circ =\frac{4}{5}g，方向与v_0方向相反，由-v_0=v_0-a_yt得t=2\frac{v_0}{a_y}=\frac{5v_0}{2g}。$

Final answer: $\frac{5v_0}{2g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从跳台起跳，最后落在着落坡上。已知着落坡倾角为37^\circ (\sin 37^\circ ＝0.6，\cos 37^\circ ＝0.8)，运动员起跳时速度大小为v_0，方向与着落坡垂直。不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

<img_479>
$运动员在空中运动的时间t。$

Solution:
解法一 

$将运动员在空中的运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动，运动员在空中运动时间为t，则有x=v_0 \sin 37^\circ \cdot t、y=-v_0 \cos 37^\circ \cdot t+\frac{1}{2}gt^2、\frac{y}{x}=\tan 37^\circ ，解得t=\frac{5v_0}{2g}。$

解法二 

$将运动员在空中的运动分解为沿坡面方向的运动和垂直坡面方向的运动，其中垂直坡面方向的加速度为a_y=g \cos 37^\circ =\frac{4}{5}g，方向与v_0方向相反，由-v_0=v_0-a_yt得t=2\frac{v_0}{a_y}=\frac{5v_0}{2g}。$

Final answer: $\frac{5v_0}{2g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

<img_523>

<img_804>
求A、C两点的高度差h；

Solution:
$滑块恰好经过D，可知其运动到D点时重力提供向心力有mg=m\frac{v^2_D}{0.5r}，滑块从A到D，根据动能定理有mg(h-r-0.5r)=\frac{1}{2}mv{^2_D}，联立解得h=0.7 m。$

Final answer: 0.7 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_c828b90cadb457558a09b0d1e362a6bb.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_da7708d86d8f3e51eb1997262c7b1416.jpg)
求A、C两点的高度差h；

Solution:
$滑块恰好经过D，可知其运动到D点时重力提供向心力有mg=m\frac{v^2_D}{0.5r}，滑块从A到D，根据动能定理有mg(h-r-0.5r)=\frac{1}{2}mv{^2_D}，联立解得h=0.7 m。$

Final answer: 0.7 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

<img_523>

<img_804>
$若半圆轨道O_3DO_1中缺一块圆心角为2\theta的圆弧积木IDJ(I、J关于O_2D对称)，滑块从I飞出后恰能无碰撞从J进入轨道，求\theta的值。$

Solution:
$滑块从A点到I点过程中，根据动能定理得mg(h-r-0.5r \cos \theta )=0.5mv^2，设从I点到最高点所用时间为t，沿水平方向和竖直方向进行运动的分解，则竖直方向上由0=v \sin \theta -gt得v \sin \theta =gt，水平方向上有0.5r \sin \theta =(v \cos \theta )\cdot t，解得 \cos \theta =0.5，可得\theta =60^\circ ，另一解 \cos \theta =1可知\theta =0^\circ ，舍去。$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_c828b90cadb457558a09b0d1e362a6bb.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_da7708d86d8f3e51eb1997262c7b1416.jpg)
$若半圆轨道O_3DO_1中缺一块圆心角为2\theta的圆弧积木IDJ(I、J关于O_2D对称)，滑块从I飞出后恰能无碰撞从J进入轨道，求\theta的值。$

Solution:
$滑块从A点到I点过程中，根据动能定理得mg(h-r-0.5r \cos \theta )=0.5mv^2，设从I点到最高点所用时间为t，沿水平方向和竖直方向进行运动的分解，则竖直方向上由0=v \sin \theta -gt得v \sin \theta =gt，水平方向上有0.5r \sin \theta =(v \cos \theta )\cdot t，解得 \cos \theta =0.5，可得\theta =60^\circ ，另一解 \cos \theta =1可知\theta =0^\circ ，舍去。$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L=60 m，灭火弹出膛速度v_{0}=50 m/s，方向与水平面夹角\theta =53^\circ ，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g=10 m/s^2，\sin 53^\circ =0.8。$

<img_604>

<img_544>
$已知电容器储存的电能E=\frac{1}{2}CU^2，转化为灭火弹动能的效率\eta=15\%，灭火弹的质量为3 kg，电容C=2.5\times10^{4} \mu F，电容器工作电压U应设置为多少？$

Solution:
$：由题意可知电容器把电能转化为灭火弹的动能，有 0.15E=\frac{1}{2}mv{^2}，其中 E=\frac{1}{2}CU{^2}，联立解得 U=\sqrt{2}\times 10{^3} V。$



Final answer: $\sqrt{2}\times 10^3$ V
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L=60 m，灭火弹出膛速度v_{0}=50 m/s，方向与水平面夹角\theta =53^\circ ，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g=10 m/s^2，\sin 53^\circ =0.8。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521878880763905/img/compression/M_94d60f25af83bd138b50f772a45c2739.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521878880763905/img/compression/M_b016d48360c3a36f0b4a4607d4ed40e2.jpg)
$已知电容器储存的电能E=\frac{1}{2}CU^2，转化为灭火弹动能的效率\eta=15\%，灭火弹的质量为3 kg，电容C=2.5\times10^{4} \mu F，电容器工作电压U应设置为多少？$

Solution:
$：由题意可知电容器把电能转化为灭火弹的动能，有 0.15E=\frac{1}{2}mv{^2}，其中 E=\frac{1}{2}CU{^2}，联立解得 U=\sqrt{2}\times 10{^3} V。$

Final answer: $\sqrt{2}\times 10^3 V$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

<img_901>
若小球P恰好通过圆形轨道最高点C，求小球在B点对轨道的压力大小；

Solution:
$小球p恰好通过圆形轨道最高点C点，则有$
$mg = m \frac{v_C^2}{R}$

$解得v_{C} = \sqrt{10} m/s$

$从C到B，根据动能定理有 mg \cdot 2R = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_C^2$

$解得v_{B} = 5\sqrt{2} m/s$

$小球在B点有 F_N - mg = m \frac{v_B^2}{R}$

$解得 F_N = 60 N$

$根据牛顿第三定律，小球在B点对轨道的压力大小为60 N$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

![图解](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521911684415491/img/compression/M_aed55fc6d12d57a154e37b7b7dfc682a.jpg)
若小球P恰好通过圆形轨道最高点C，求小球在B点对轨道的压力大小；

Solution:
$小球p恰好通过圆形轨道最高点C点，则有$
$mg = m \frac{v_C^2}{R}$

$解得v_{C} = \sqrt{10} m/s$

$从C到B，根据动能定理有 mg \cdot 2R = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_C^2$

$解得v_{B} = 5\sqrt{2} m/s$

$小球在B点有 F_N - mg = m \frac{v_B^2}{R}$

$解得 F_N = 60 N$

$根据牛顿第三定律，小球在B点对轨道的压力大小为60 N$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

![图解](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521911684415491/img/compression/M_aed55fc6d12d57a154e37b7b7dfc682a.jpg)
$调整释放初动能E_{k0}，使小球P离开反“S”形轨道最高点E后第一次落到水平直轨道上离E点的水平位移大小s＝1 m，求初动能E_{k0}的大小；$

Solution:
$根据平抛运动规律有 4r=\frac{1}{2}gt^2 ， s=v_{E}t$

$联立解得 t=0.2 s， v_{E}=5 m/s$

小球在BD上受滑动摩擦力作用，有

$f=\mu _{1}mg=mg(0.2+0.2x)=2+2x$

$其 f-x 图像如图所示$

则摩擦力做功为

$W_{f}=\frac{2+10}{2}\times4 J=24 J$

从初始到E，则有

$mgh-\mu _{3}mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin37^{\circ}}-\mu _{2}mgL_{2}-W_{f}-mg4r=\frac{1}{2}mv_{E}^2-E_{k0}$

$解得 E_{k0}=46.5 J$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521912070291457/img/compression/M_d31b589b26dcffd052d99d2e559a9665.jpg)

Final answer: 46.5 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

<img_901>
$调整释放初动能E_{k0}，使小球P离开反“S”形轨道最高点E后第一次落到水平直轨道上离E点的水平位移大小s＝1 m，求初动能E_{k0}的大小；$

Solution:
$根据平抛运动规律有 4r=\frac{1}{2}gt^2 ， s=v_{E}t$

$联立解得 t=0.2 s， v_{E}=5 m/s$

小球在BD上受滑动摩擦力作用，有

$f=\mu _{1}mg=mg(0.2+0.2x)=2+2x$

$其 f-x 图像如图所示$

则摩擦力做功为

$W_{f}=\frac{2+10}{2}\times4 J=24 J$

从初始到E，则有

$mgh-\mu _{3}mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin37^{\circ}}-\mu _{2}mgL_{2}-W_{f}-mg4r=\frac{1}{2}mv_{E}^2-E_{k0}$

$解得 E_{k0}=46.5 J$

<img_1101>

Final answer: 46.5 J
Subfield: Mechanics


Question: $宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统(忽略其他星体对三星系统的影响)。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径的轨道上做同周期的匀速圆周运动，如图甲所示。另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。假设图甲、乙中每颗星的质量均为m，图甲中圆轨道半径为R，图乙中三角形边长为L，引力常量为G。$

<img_1401>
若要求两种形式周期相等，求图甲中半径R与图乙中三角形边长L之比。

Solution:
$若要求两种形式周期相等，即 T_1 = T_2$

$则 \frac{R}{L} = \sqrt[3]{\frac{5}{12}}$

Final answer: $\sqrt[3]{\frac{5}{12}}$
Subfield: Mechanics


Question: $宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统(忽略其他星体对三星系统的影响)。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径的轨道上做同周期的匀速圆周运动，如图甲所示。另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。假设图甲、乙中每颗星的质量均为m，图甲中圆轨道半径为R，图乙中三角形边长为L，引力常量为G。$

![星体动态图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521937798402051/img/compression/M_c50462522ea18f887ab7338c52b1ceee.jpg)
若要求两种形式周期相等，求图甲中半径R与图乙中三角形边长L之比。

Solution:
$若要求两种形式周期相等，即 T_1 = T_2$

$则 \frac{R}{L} = \sqrt[3]{\frac{5}{12}}$

Final answer: $\sqrt[3]{\frac{5}{12}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻杆上端可绕O在竖直平面内无阻力自由转动。小球A固定在轻杆末端，用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力作用于小球A，使杆保持水平，撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为L，OP长为2L，重力加速度为g，忽略一切摩擦及空气阻力。$

<img_1195>
运动过程中，求两小球速度大小相等时的速度值。

Solution:
$当OA垂直于AP时，两小球的速度大小相等，由几何关系得，小球A下降的高度h_A = L \sin 30^\circ =\frac{L}{2}，小球B下降的高度h_B = \sqrt{L^2+(2L)^2} - \sqrt{(2L)^2-L^2} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})L，由机械能守恒\Delta E_p = \Delta E_k，得mgh_A + mgh_B = \frac{1}{2} \times 2mv^2，解得v = \sqrt{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)gL}。$



Final answer: $\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻杆上端可绕O在竖直平面内无阻力自由转动。小球A固定在轻杆末端，用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力作用于小球A，使杆保持水平，撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为L，OP长为2L，重力加速度为g，忽略一切摩擦及空气阻力。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521971462623234/img/compression/M_7eec9b88c90f3074519898684df7af70.jpg)
运动过程中，求两小球速度大小相等时的速度值。

Solution:
$当OA垂直于AP时，两小球的速度大小相等，由几何关系得，小球A下降的高度h_A = L \sin 30^\circ =\frac{L}{2}，小球B下降的高度h_B = \sqrt{L^2+(2L)^2} - \sqrt{(2L)^2-L^2} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})L，由机械能守恒\Delta E_p = \Delta E_k，得mgh_A + mgh_B = \frac{1}{2} \times 2mv^2，解得v = \sqrt{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)gL}。$

Final answer: $\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻杆上端可绕O在竖直平面内无阻力自由转动。小球A固定在轻杆末端，用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力作用于小球A，使杆保持水平，撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为L，OP长为2L，重力加速度为g，忽略一切摩擦及空气阻力。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521971462623234/img/compression/M_7eec9b88c90f3074519898684df7af70.jpg)
运动过程中，求两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力。

Solution:
$对小球A受力分析可得F_T+mg \cos 30^\circ =ma，对小球B有mg-F_T=ma，解得F_T=\frac{2-\sqrt{3}}{4}mg。$

Final answer: $\frac{2-\sqrt{3}}{4}mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻杆上端可绕O在竖直平面内无阻力自由转动。小球A固定在轻杆末端，用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力作用于小球A，使杆保持水平，撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为L，OP长为2L，重力加速度为g，忽略一切摩擦及空气阻力。$

<img_1195>
运动过程中，求两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力。

Solution:
$对小球A受力分析可得F_T+mg \cos 30^\circ =ma，对小球B有mg-F_T=ma，解得F_T=\frac{2-\sqrt{3}}{4}mg。$

Final answer: $\frac{2-\sqrt{3}}{4}mg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B_1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B_2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60^\circ 的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。$

![24GZT5WL170.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294960091754499/img/compression/M_0607ee9a1bf551d162cf82b24c9a7865.jpg)
$若B_2=2B_1，求能到达y=\frac{L}{2}处的离子的最小速度v_2；$

Solution:
$如果 B_2 = 2 B_1 ，离子以最小速度 v_2 到达 y = \frac{L}{2} 处时对应的轨迹如图乙所示。$

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294961001918466/img/compression/M_d10de808bba097cc47af8dd89e5cd999.jpg)

$根据方程 qvB = m \frac{v^2}{r}，得到 r = \frac{mv}{qB}$

$因为 B_2 = 2 B_1 ，所以如果离子在区域Ⅱ中的半径为 r_2，则离子在Ⅰ中的半径为 2 r_2 ，设离子到达 y = \frac{L}{2} 处时在区域Ⅱ中的速度偏转角为 \alpha ，由几何关系可知$

$r_2 \cos \alpha + \frac{L}{2} = r_2$

$2 r_2 \cos \alpha - 2 r_2 \sin 30^\circ  = L$

$解得 r_2 = 2 L$

$所以 v_2 = \frac{2qB_2L}{m} = \frac{4qB_1L}{m}$

Final answer: $\frac{4qB_1L}{m}$