di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，\sin 2C=\sin C。$
$若b=1，且\triangle ABC的面积为\sqrt{3}，求\triangle ABC的周长.$

Solution:
：
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C ， \therefore \sqrt{3} = \frac{1}{2}a \times  1 \times  \frac{\sqrt{3}}{2} ，解得a = 4 在\triangle ABC中，由余弦定理得c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 1 + 16 - 2 \times  4 \times  1 \times  \frac{1}{2} = 13，\therefore c = \sqrt{13}，$
$\therefore \triangle ABC的周长为a + b + c = 1 + 4 + \sqrt{13} = 5 + \sqrt{13}.$

Final answer: $5 + \sqrt{13}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S<sub>1</sub>，S<sub>2</sub>，S<sub>3</sub>.已知S<sub>1</sub>-S<sub>2</sub>+S<sub>3</sub>=\frac{\sqrt{3}}{2}，\sin  B=\frac{1}{3}.$
$求\triangle ABC的面积；$

Solution:
$由题意得S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2,S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2,S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2,  因此 S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-b^2+c^2)=\frac{\sqrt{3}}{2}, 即a^2-b^2+c^2=2,$

$由\cos  B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} 得 a^2+c^2-b^2=2ac \cos  B, 故 2accosB=2, 因此 accosB=1,$

$又因为 \sin  B=\frac{1}{3}, 因此 \cos  B=\frac{2\sqrt{2}}{3} 或 \cos  B=-\frac{2\sqrt{2}}{3}(舍),$

$所以 ac=\frac{3\sqrt{2}}{4}, 因此 S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac \sin  B=\frac{1}{2}\frac{3\sqrt{2}}{4}\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{8}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{8}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S<sub>1</sub>，S<sub>2</sub>，S<sub>3</sub>.已知S<sub>1</sub>-S<sub>2</sub>+S<sub>3</sub>=\frac{\sqrt{3}}{2}，\sin  B=\frac{1}{3}.$
$若\sin  A\sin  C=\frac{\sqrt{2}}{3}，求b.$

Solution:
由正弦定理

$\frac{a}{\sin  A} = \frac{b}{\sin  B} = \frac{c}{\sin  C}$

得

$\frac{b^2}{\sin ^2B} = \frac{ac}{\sin  A\sin  C},$

$又知 ac = \frac{3\sqrt{2}}{4}, \sin A \sin C = \frac{\sqrt{2}}{3},$

$\therefore  \frac{b^2}{\sin ^2B} = \frac{9}{4},$

$\therefore  \frac{b}{\sin  B} = \frac{3}{2},$

$\therefore  b = \frac{3}{2} \sin B = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x-1.$
$求f\left(-\frac{\pi }{4}\right)的值；$

Solution:
$f(x)=\sin  2x+\cos  2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)，$
$f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}sin\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1.$

Final answer: $-1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x-1.$
$求f(x)的最小正周期；$

Solution:
$T = \frac{2\pi }{2} = \pi .$

Final answer: $\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n,S_n=2a_n-4, n \in N^.$
$求a_1,a_2；$

Solution:
$令n=1, 则S_1=a_1=2a_1-4, 所以a_1=4.$
$令n=2, 则a_1+a_2=2a_2-4, 所以a_2=8.$

Final answer: ${a_1}=4, {a_2}=8$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列a_n满足a_1=1，na_{n+1}=2(n+1)a_n.设b_n=\frac{a_n}{n}.$
$求b_1, b_2, b_3;$

Solution:
$由条件可得a_{n+1} = \frac{2(n+1)}{n}a_n.$

$将n=1代入得a_2=4a_1,而a_1=1,所以a_2=4.$

$将n=2代入得a_3=3a_2,所以a_3=12.$

$从而b_1=1, b_2=2, b_3=4.$

Final answer: $b_1=1, b_2=2, b_3=4$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知等差数列{a_n}满足a_1+a_3=8，a_4-a_2=4.$
$记数列 \left\{\frac{1}{S_n}\right\} 的前 n 项和为 T_n ，若 T_n > \frac{99}{100} ，求 n 的最小值.$

Solution:
$由(1)知$

$\frac{1}{S_n} = \frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}，$

$\therefore  T_{n} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} +\ldots + \frac{1}{S_n} = \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\ldots + \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}.$

$\because  T_{n} > \frac{99}{100}，$

$\therefore  1 - \frac{1}{n+1} > \frac{99}{100}，$

$\therefore  n > 99.$

$又 n \in  N^{}，$

$\therefore  n 的最小值为100.$

Final answer: $100$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知等比数列{a_n}满足: a^2_5 = a_{10}, 2(a_n + a_{n+2}) = 5a_{n+1}.$
$若递增数列{b_n}满足:b_n = \log_{2}a_n，求 b_1+b_3+b_5+\ldots +b_{2n-1}.$

Solution:
$\because  b_n = log _2 a_n, \therefore  b_n = n 或 b_n = -n, 又\because  {b_n} 为递增数列，$
$\therefore  b_n = log _2 2^n = n , \therefore  b_1 + b_3 + b_5 + \ldots  + b_{2n-1}= 1 + 3 + 5 + \ldots  + (2n-1) = \frac{1+(2n-1)}{2} \times  n = n^2 .$

Final answer: n^2
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874894905368580/img/compression/M_e414bbef565517dae2f476604bf401c3.jpg)
求PD与平面PCE所成角的正弦值.

Solution:
建立空间直角坐标系如图，则C(4,4,0)，E(4,0，2)，P(0,0，4)，D(0,4,0)，

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874895408685058/img/compression/M_ba6e6f5bcabe2d5dfd48e1e01a52d11a.jpg)

$所以\overrightarrow{PC}=(4,4,-4), \overrightarrow{PE} =(4,0,-2), \overrightarrow{PD} =(0,4,-4)，$
设平面PCE的法向量为 m =(x,y,z)，
则$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.$
所以
$\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ 2x-z=0,\end{matrix}\right.$
$令x=1，则y=1，z=2，所以 m =(1,1,2)。$

设PD与平面PCE所成角为\alpha ，
$则sin \alpha =|cos\langle  m ,\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PD}||\boldsymbol{m}|}=\left|\frac{-4}{4\sqrt{2} \times \sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}。$

$所以PD与平面PCE所成角的正弦值是\frac{\sqrt{3}}{6}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.

<img_1671>
求PD与平面PCE所成角的正弦值.

Solution:
建立空间直角坐标系如图，则C(4,4,0)，E(4,0，2)，P(0,0，4)，D(0,4,0)，

<img_1476>

$所以\overrightarrow{PC}=(4,4,-4), \overrightarrow{PE} =(4,0,-2), \overrightarrow{PD} =(0,4,-4)，$
设平面PCE的法向量为 m =(x,y,z)，
则$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.$
所以
$\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ 2x-z=0,\end{matrix}\right.$
$令x=1，则y=1，z=2，所以 m =(1,1,2)。$

设PD与平面PCE所成角为\alpha ，
$则sin \alpha =|cos\langle  m ,\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PD}||\boldsymbol{m}|}=\left|\frac{-4}{4\sqrt{2} \times \sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}。$

$所以PD与平面PCE所成角的正弦值是\frac{\sqrt{3}}{6}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，A_1A=4，AB=AD=2，E为A_1D_1的中点.平面EC_1C与棱AD交于点F.$

<img_2950>
$点M为棱AA1上一点，且 \frac{AM}{AA_1}=\frac{1}{4},求直线MF与平面FBC1所成角的大小.$

Solution:
$建立以D为原点，分别以\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}的方向为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则M(2,0，1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C_1(0,2，4)，$
$\because 平面EC_1C与棱AD交于点F，$
$\therefore EF\parallel CC_1，而E为A_1D_1的中点，$
$\therefore F为AD的中点，则F(1,0,0)，$
$\therefore  \overrightarrow{FM}=(1,0，1)，\overrightarrow{FB}=(1,2,0)，\overrightarrow{BC_1}=(-2,0，4)，$
设 $m=(x,y,z)$为平面FBC_1的法向量，
$则 \left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ -2x+4z=0,\end{matrix}\right. $
$令x=2，得 m=(2,-1，1)，$
$设直线MF与平面FBC_1所成角为\theta ，$
$则sin \theta =|cos\langle m,\overrightarrow{FM}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{FM}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{FM}|}= \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}= \frac{\sqrt{3}}{2}，$
$\therefore 直线MF与平面FBC_1所成角为 \frac{\pi }{3}.$
<img_2806>

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，A_1A=4，AB=AD=2，E为A_1D_1的中点.平面EC_1C与棱AD交于点F.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874896981549059/img/compression/M_d405190079cb1d502af0fba1f6b0344f.jpg)
$点M为棱AA1上一点，且 \frac{AM}{AA_1}=\frac{1}{4},求直线MF与平面FBC1所成角的大小.$

Solution:
$建立以D为原点，分别以\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}的方向为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则M(2,0，1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C_1(0,2，4)，$
$\because 平面EC_1C与棱AD交于点F，$
$\therefore EF\parallel CC_1，而E为A_1D_1的中点，$
$\therefore F为AD的中点，则F(1,0,0)，$
$\therefore  \overrightarrow{FM}=(1,0，1)，\overrightarrow{FB}=(1,2,0)，\overrightarrow{BC_1}=(-2,0，4)，$
设 $m=(x,y,z)$为平面FBC_1的法向量，
$则 \left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ -2x+4z=0,\end{matrix}\right. $
$令x=2，得 m=(2,-1，1)，$
$设直线MF与平面FBC_1所成角为\theta ，$
$则sin \theta =|cos\langle m,\overrightarrow{FM}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{FM}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{FM}|}= \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}= \frac{\sqrt{3}}{2}，$
$\therefore 直线MF与平面FBC_1所成角为 \frac{\pi }{3}.$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874897476476930/img/compression/M_bf61edcb94c807ef795a2bd920952ce6.jpg)

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB\perp AC，E为PB的中点.$
<img_166>
$若\angle ABO=\angle CBO=30^\circ ，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值.$

Solution:
$取AB的中点M，连接OM，OA，以M为坐标原点，MB，MO所在直线分别为x,y轴，过点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$
<img_335>
$\because PO=3, PA=5, \therefore  结合(1)可知OA=OB=4,$
$又 \angle ABO =\angle CBO =30^\circ , \therefore  OM=2, MB=2\sqrt{3},$
$\therefore  P(0,2,3), B(2\sqrt{3},0,0), A(-2\sqrt{3},0,0), E(\sqrt{3},1,\frac{3}{2}),$
$\because AB \perp  AC, \angle CBA =60^\circ , AB =4\sqrt{3},$
$\therefore  AC =12, C (-2\sqrt{3},12,0).$
$设平面AEB 的法向量为 \boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1),$
$\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3},0,0), \overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\frac{3}{2}),$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ \overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4\sqrt{3}x_1=0,\\ 3\sqrt{3}x_1+y_1+\frac{3}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.$
$令 y_1=3, 则 z_1=-2,$
$\therefore  \boldsymbol{n}_1=(0,3,-2).$
$设平面AEC 的法向量为 \boldsymbol{n}_2=(x_2, y_2, z_2),$
$\overrightarrow{AC}=(0,12,0),$
$\therefore  \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ \overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}12y_2=0,\\ 3\sqrt{3}x_2+y_2+\frac{3}{2}z_2=0,\end{matrix}\right.$
$令 x_2=\sqrt{3}, 则 z_2=-6, \therefore  \boldsymbol{n}_2=(\sqrt{3},0,-6),$
$\therefore  cos\langle \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{12}{\sqrt{13} \times \sqrt{39}}=\frac{4\sqrt{3}}{13}，$
$设二面角 C-AE-B 的平面角为 \theta , 则 sin \theta =\sqrt{1-\cos ^2\theta }=\frac{11}{13}, \therefore  二面角 C-AE-B 的正弦值为 \frac{11}{13}.$

Final answer: $\frac{11}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB\perp AC，E为PB的中点.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874898076262403/img/compression/M_1842486e32bbe316be9e3a01c5ea3ade.jpg)
$若\angle ABO=\angle CBO=30^\circ ，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值.$

Solution:
$取AB的中点M，连接OM，OA，以M为坐标原点，MB，MO所在直线分别为x,y轴，过点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874899468771329/img/compression/M_0732d9a3d5f3972bf6dafb23ca2e5c2d.jpg)
$\because PO=3, PA=5, \therefore  结合(1)可知OA=OB=4,$
$又 \angle ABO =\angle CBO =30^\circ , \therefore  OM=2, MB=2\sqrt{3},$
$\therefore  P(0,2,3), B(2\sqrt{3},0,0), A(-2\sqrt{3},0,0), E(\sqrt{3},1,\frac{3}{2}),$
$\because AB \perp  AC, \angle CBA =60^\circ , AB =4\sqrt{3},$
$\therefore  AC =12, C (-2\sqrt{3},12,0).$
$设平面AEB 的法向量为 \boldsymbol{n}_1=(x_1,y_1,z_1),$
$\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3},0,0), \overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\frac{3}{2}),$
$\therefore \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ \overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4\sqrt{3}x_1=0,\\ 3\sqrt{3}x_1+y_1+\frac{3}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.$
$令 y_1=3, 则 z_1=-2,$
$\therefore  \boldsymbol{n}_1=(0,3,-2).$
$设平面AEC 的法向量为 \boldsymbol{n}_2=(x_2, y_2, z_2),$
$\overrightarrow{AC}=(0,12,0),$
$\therefore  \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ \overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}12y_2=0,\\ 3\sqrt{3}x_2+y_2+\frac{3}{2}z_2=0,\end{matrix}\right.$
$令 x_2=\sqrt{3}, 则 z_2=-6, \therefore  \boldsymbol{n}_2=(\sqrt{3},0,-6),$
$\therefore  cos\langle \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{12}{\sqrt{13} \times \sqrt{39}}=\frac{4\sqrt{3}}{13}，$
$设二面角 C-AE-B 的平面角为 \theta , 则 sin \theta =\sqrt{1-\cos ^2\theta }=\frac{11}{13}, \therefore  二面角 C-AE-B 的正弦值为 \frac{11}{13}.$

Final answer: $\frac{11}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，AB\perp BC，AA_1=AC=2，BC=1，E、F分别是A_1C_1，BC的中点.$

<img_2395>
$求三棱锥E-ABC的体积.$

Solution:
$因为AA_1=AC=2, BC=1, AB \perp BC,$
$所以AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}.$
$所以三棱锥E-ABC的体积$
$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot AA_1=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \times 2=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧棱垂直于底面，AB\perp BC，AA_1=AC=2，BC=1，E、F分别是A_1C_1，BC的中点.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874941663973377/img/compression/M_70039c7ce8bbd3f654711654e357f0c2.jpg)
$求三棱锥E-ABC的体积.$

Solution:
$因为AA_1=AC=2, BC=1, AB \perp BC,$
$所以AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3}.$
$所以三棱锥E-ABC的体积$
$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot AA_1=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \times 2=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，E，F分别是棱AD，PC的中点.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874942888710145/img/compression/M_bf813c89cba613331af5cd9162b48cdc.jpg)
求二面角E-PC-D的大小.

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD， \therefore PA\perp AB，PA\perp AD，\therefore 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874942888710145/img/compression/M_10b26d58e052ceb99c0d165292b12d6e.jpg) ,
$则有A(0，0，0)，E(0，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(1，1，1)，\therefore \overrightarrow{EC}=(2，1，0)，\overrightarrow{EP}=(0，-1，2)，设H是PD的中点，\therefore H(0,1,1),连接AH，\because AG\perp 平面PBC，\therefore 同理可证AH\perp 平面PCD，\therefore \overrightarrow{AH}=(0，1，1)是平面PCD的一个法向量，设平面PEC的法向量为\boldsymbol{m}=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EC}=2x+y=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EP}=-y+2z=0,\end{matrix}\right. ，令y＝2，则x＝-1，z＝1，\therefore \boldsymbol{m}=(-1，2，1)，$
$\therefore cos\langle \boldsymbol{m}，\overrightarrow{AH}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AH}}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{AH}|}=\frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$由图知，二面角E-PC-D为锐二面角，$
$\therefore 二面角E-PC-D的大小为30^\circ .$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，E，F分别是棱AD，PC的中点.$
<img_53>
求二面角E-PC-D的大小.

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD， \therefore PA\perp AB，PA\perp AD，\therefore 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，$
<img_281> ,
$则有A(0，0，0)，E(0，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(1，1，1)，\therefore \overrightarrow{EC}=(2，1，0)，\overrightarrow{EP}=(0，-1，2)，设H是PD的中点，\therefore H(0,1,1),连接AH，\because AG\perp 平面PBC，\therefore 同理可证AH\perp 平面PCD，\therefore \overrightarrow{AH}=(0，1，1)是平面PCD的一个法向量，设平面PEC的法向量为\boldsymbol{m}=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EC}=2x+y=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EP}=-y+2z=0,\end{matrix}\right. ，令y＝2，则x＝-1，z＝1，\therefore \boldsymbol{m}=(-1，2，1)，$
$\therefore cos\langle \boldsymbol{m}，\overrightarrow{AH}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AH}}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{AH}|}=\frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$由图知，二面角E-PC-D为锐二面角，$
$\therefore 二面角E-PC-D的大小为30^\circ .$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874969115693057/img/compression/M_8366a284647b2e7f00e0034e742fd5f7.jpg)
$求钝二面角D-AE-F的余弦值.$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知DA、DC、DE两两垂直，$
$如图，分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$

![22ABJ5SX130教师单.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874969493180417/img/compression/M_babcc57418e6f3a1d23c0a3ec69d7223.jpg)

$则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)，所以\overrightarrow{AE}=(-2,0,2)，\overrightarrow{AF}=(0,2,1)，$
$设平面AEF的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.$
$令y=1，则z=-2，x=-2，得\boldsymbol{n}=(-2,1,-2).$

$易知平面ADE的一个法向量为\boldsymbol{m}=(0,1,0).$
$cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times 3}=\frac{1}{3}，$
$因此，钝二面角D-AE-F的余弦值为-\frac{1}{3}.$

Final answer: $-\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$
<img_1866>
$求钝二面角D-AE-F的余弦值.$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知DA、DC、DE两两垂直，$
$如图，分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$

<img_2535>

$则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)，所以\overrightarrow{AE}=(-2,0,2)，\overrightarrow{AF}=(0,2,1)，$
$设平面AEF的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.$
$令y=1，则z=-2，x=-2，得\boldsymbol{n}=(-2,1,-2).$

$易知平面ADE的一个法向量为\boldsymbol{m}=(0,1,0).$
$cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times 3}=\frac{1}{3}，$
$因此，钝二面角D-AE-F的余弦值为-\frac{1}{3}.$

Final answer: $-\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥 D-ABC 中，\triangle  ACD 为正三角形，平面 ACD \perp  平面 ABC ，AD \perp  BC ，AC = BC = 2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874991993614338/img/compression/M_31be3064fbd8ae3875910ce010147a12.jpg)
$若E是CD的中点，求直线CD与平面ABE所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB中点为F，连接OF.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874991993614338/img/compression/M_e151ba36e013faf89572e47b68227a8f.jpg)

$\therefore OF\parallel BC，又BC\perp AC，\therefore OF\perp AC，$

$\therefore OF、OC、OD两两垂直，$

$以O为原点，分别以OF、OC、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，$

$则A(0，-1，0)，D(0，0，\sqrt{3})，C(0，1，0)，F(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{AF}=(1，1，0)，\overrightarrow{CD}=(0，-1，\sqrt{3})，$

$\because E是CD的中点，\therefore E \left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则有\overrightarrow{AE} = \left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$

$设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.$

$不妨取y=-1，则n=(1，-1，\sqrt{3})，$

$设直线CD与平面ABE所成角为\theta ，$

$\therefore sin \theta =|cos\langle n，\overrightarrow{CD}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{4}{\sqrt{5} \times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥 D-ABC 中，\triangle  ACD 为正三角形，平面 ACD \perp  平面 ABC ，AD \perp  BC ，AC = BC = 2.$

<img_1810>
$若E是CD的中点，求直线CD与平面ABE所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB中点为F，连接OF.$

<img_2105>

$\therefore OF\parallel BC，又BC\perp AC，\therefore OF\perp AC，$

$\therefore OF、OC、OD两两垂直，$

$以O为原点，分别以OF、OC、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，$

$则A(0，-1，0)，D(0，0，\sqrt{3})，C(0，1，0)，F(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{AF}=(1，1，0)，\overrightarrow{CD}=(0，-1，\sqrt{3})，$

$\because E是CD的中点，\therefore E \left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则有\overrightarrow{AE} = \left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$

$设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.$

$不妨取y=-1，则n=(1，-1，\sqrt{3})，$

$设直线CD与平面ABE所成角为\theta ，$

$\therefore sin \theta =|cos\langle n，\overrightarrow{CD}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{4}{\sqrt{5} \times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥A-EFCB中，\triangle AEF为等边三角形，平面AEF\perp 平面EFCB，EF\parallel BC，BC=4，EF=2a，\angle EBC=\angle FCB=60^\circ ，O为EF的中点.$
<img_41>
$求二面角F-AE-B的余弦值；$

Solution:
先证明：$AO \perp BE$

证明：因为\triangle AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO\perp EF.$
$又因为平面AEF\perp平面EFCB，平面AEF\cap平面EFCB=EF，AO\subset平面AEF，所以AO\perp平面EFCB.$
$又BE\subset平面EFCB，所以AO\perp BE.$

取BC的中点G，连接OG.
$由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG\perp EF.$
$由(1)知AO\perp 平面EFCB，$
$又OG\subset 平面EFCB，所以OA\perp OG.$
$建立空间直角坐标系O-xyz如图,$
<img_122>
$则E(a,0,0)，A(0,0,\sqrt{3}a)，B(2，\sqrt{3}(2-a),0)，C(-2,\sqrt{3}(2-a),0),所以\overrightarrow{EA}=(-a,0,\sqrt{3}a)，\overrightarrow{BE}=(a-2,\sqrt{3}(a-2),0).$
设平面AEB的法向量为n=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EA}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}-ax+\sqrt{3}az=0,\\ (a-2)x+\sqrt{3}(a-2)y=0.\end{matrix}\right..$
$令z=1，则x=\sqrt{3}，y=-1，于是n=(\sqrt{3},-1,1).$
易知平面AEF的一个法向量为p=(0,1,0)，
$所以cos\langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$
由题设知二面角F-AE-B为钝二面角，
$所以它的余弦值为-\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥A-EFCB中，\triangle AEF为等边三角形，平面AEF\perp 平面EFCB，EF\parallel BC，BC=4，EF=2a，\angle EBC=\angle FCB=60^\circ ，O为EF的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875033848573954/img/compression/M_3420f2b6164b159f3e70c904e397dbe9.jpg)
$求二面角F-AE-B的余弦值；$

Solution:
先证明：$AO \perp BE$

证明：因为\triangle AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO\perp EF.$
$又因为平面AEF\perp平面EFCB，平面AEF\cap平面EFCB=EF，AO\subset平面AEF，所以AO\perp平面EFCB.$
$又BE\subset平面EFCB，所以AO\perp BE.$

取BC的中点G，连接OG.
$由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG\perp EF.$
$由(1)知AO\perp 平面EFCB，$
$又OG\subset 平面EFCB，所以OA\perp OG.$
$建立空间直角坐标系O-xyz如图,$
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875034448359425/img/compression/M_13aaa6bf5f9d875811a4c9c1c5807826.jpg)
$则E(a,0,0)，A(0,0,\sqrt{3}a)，B(2，\sqrt{3}(2-a),0)，C(-2,\sqrt{3}(2-a),0),所以\overrightarrow{EA}=(-a,0,\sqrt{3}a)，\overrightarrow{BE}=(a-2,\sqrt{3}(a-2),0).$
设平面AEB的法向量为n=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EA}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}-ax+\sqrt{3}az=0,\\ (a-2)x+\sqrt{3}(a-2)y=0.\end{matrix}\right..$
$令z=1，则x=\sqrt{3}，y=-1，于是n=(\sqrt{3},-1,1).$
易知平面AEF的一个法向量为p=(0,1,0)，
$所以cos\langle n,p\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$
由题设知二面角F-AE-B为钝二面角，
$所以它的余弦值为-\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥A-EFCB中，\triangle AEF为等边三角形，平面AEF\perp 平面EFCB，EF\parallel BC，BC=4，EF=2a，\angle EBC=\angle FCB=60^\circ ，O为EF的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875033848573954/img/compression/M_3420f2b6164b159f3e70c904e397dbe9.jpg)
$若BE\perp 平面AOC，求a的值.$

Solution:
因为BE\perp 平面AOC，
$所以BE\perp OC，即\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=0.$
$因为\overrightarrow{BE}=(a-2,\sqrt{3}(a-2),0),\overrightarrow{OC}=(-2，\sqrt{3}(2-a),0)，$
$所以\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=-2(a-2)-3(a-2)^2.$
$由\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=0及0<a<2，解得a=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥A-EFCB中，\triangle AEF为等边三角形，平面AEF\perp 平面EFCB，EF\parallel BC，BC=4，EF=2a，\angle EBC=\angle FCB=60^\circ ，O为EF的中点.$
<img_41>
$若BE\perp 平面AOC，求a的值.$

Solution:
因为BE\perp 平面AOC，
$所以BE\perp OC，即\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=0.$
$因为\overrightarrow{BE}=(a-2,\sqrt{3}(a-2),0),\overrightarrow{OC}=(-2，\sqrt{3}(2-a),0)，$
$所以\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=-2(a-2)-3(a-2)^2.$
$由\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=0及0<a<2，解得a=\frac{4}{3}.$



Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧面BCC_1B_1为矩形，AC\perp 平面BCC_1B_1，D，E分别是棱AA_1，BB_1的中点. $

![23ABJ5SX66.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875035056533505/img/compression/M_ebb54bdd14e4b6c0f0a0a8a1a464f440.jpg)
$若AC=BC=AA_{1}=2，求直线AB与平面B_{1}C_{1}D所成角的正弦值.$

Solution:
$分别以CA，CB，CC_1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875035056533505/img/compression/M_e1c625526e1984853e507d2ff1f9ffe5.jpg)$

$由题意得A(2,0,0)，B(0,2,0)，B_1(0,2，2)，C_1(0,0，2)，D(2,0，1).$

$所以\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)，\overrightarrow{C_1B_1}=(0,2,0)，\overrightarrow{C_1D}=(2,0,-1).$

$设平面B_1C_1D的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C_1B_1}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C_1D}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}2y=0,\\ 2x-z=0.\end{matrix}\right..$

$令x=1，则z=2.于是\boldsymbol{n}=(1,0，2).$

$所以cos\langle \boldsymbol{n}, \overrightarrow{AB} \rangle = \frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AB}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}.$

$所以直线AB与平面B_1C_1D所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

解后反思

$建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB与平面B_1C_1D所成角的正弦值.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$