di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $某校数学建模小组的同学想研究：假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究：根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为y=y_{0}e^{rt}①，其中t表示经过的时间，y_{0}表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y(单位：万)表示t年后的人口数.根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为t=0时的人口数，求得①式人口增长模型.经检验，1950～1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图.
参考数据：ln 67 207-ln 55 196\approx 9\times 0.021 88，ln 130 000-ln 55 196\approx 39.15\times 0.021 88，e^{0.021 88}\approx 1.022，55 196\times 1.022^{23}\approx 91 050.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455867158880258/img/compression/M_6a9c138617a203b6660cdc691afcbec1.jpg)
$若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并利用该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口总数达到13亿;$

Solution:
$由题意可知，y_{0}=55 196，当t=9时，y=67 207，所以67 207=55 196e^{9r}，即ln 67 207-ln 55 196=9r，解得r\approx 0.021 88，所以y=55 196e^{0.021 88t}，令y=130 000，可得55 196e^{0.021 88t}=130 000，即ln 130 000-ln 55 196=0.021 88t，解得t\approx 39.15，所以从1950年末开始，大约40年后我国人口总数达到13亿.$

Final answer: $从1950年末开始，大约40年后我国人口总数达到13亿。$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数y=x,y=a^{x},y=log_{a}x,a>1的图象如图所示．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581738590138369/img/compression/M_eb247753c27bee37195cb1b1ee559795.jpg)
$分别写出函数y=a^{x}及y=log_{a}x的图象对应的序号；$

Solution:
$函数y=a^{x},a>1为单调递增的指数函数，图象恒过点(0,1)，故图象的序号为①；(2分)函数y=log_{a}x,a>1为单调递增的对数函数，图象恒过点(1,0)，故图象的序号为③.(4分)$

Final answer: $①, ③$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数y=x,y=a^{x},y=log_{a}x,a>1的图象如图所示．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581738590138369/img/compression/M_eb247753c27bee37195cb1b1ee559795.jpg)
$在同一平面直角坐标系中，利用已有图象画出y=log_{a}\frac{1}{x}(a>1)的图象，并直接写出关于x的方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0在(1，+\infty )上解的个数；$

Solution:
$因为y=log_{a}\frac{1}{x}=-log_{a}x,a>1，所以函数y=log_{a}\frac{1}{x},a>1的图象与y=log_{a}x,a>1的图象关于x轴对称，如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581738854379521/img/compression/M_56375094684b78d0750607a2a5830cd6.jpg)$(6分)方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0，即a^{-x}=log_{a}\frac{1}{x}，所以求方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0(a>1)在(1，+\infty )上的解的个数，即求函数y=a^{-x}(a>1)和y=log_{a}\frac{1}{x}(a>1)的图象在(1，+\infty )上的交点个数.作出y=a^{-x}的图象，如图.(8分)由图可知，两函数图象在(1，+\infty )上没有交点，故a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0在(1，+\infty )上解的个数为0.(9分)$

Final answer: $0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数y=x,y=a^{x},y=log_{a}x,a>1的图象如图所示．$<img_3008>
$在同一平面直角坐标系中，利用已有图象画出y=log_{a}\frac{1}{x}(a>1)的图象，并直接写出关于x的方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0在(1，+\infty )上解的个数；$

Solution:
$因为y=log_{a}\frac{1}{x}=-log_{a}x,a>1，所以函数y=log_{a}\frac{1}{x},a>1的图象与y=log_{a}x,a>1的图象关于x轴对称，如图所示：$<img_2401>$(6分)方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0，即a^{-x}=log_{a}\frac{1}{x}，所以求方程a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0(a>1)在(1，+\infty )上的解的个数，即求函数y=a^{-x}(a>1)和y=log_{a}\frac{1}{x}(a>1)的图象在(1，+\infty )上的交点个数.作出y=a^{-x}的图象，如图.(8分)由图可知，两函数图象在(1，+\infty )上没有交点，故a^{-x}-log_{a}\frac{1}{x}=0在(1，+\infty )上解的个数为0.(9分)$

Final answer: $0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数y=x,y=a^{x},y=log_{a}x,a>1的图象如图所示．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581738590138369/img/compression/M_eb247753c27bee37195cb1b1ee559795.jpg)
$分别描述这三个函数增长的特点．$

Solution:
$函数y=a^{x},a>1的图象是下凸的，所以其增长特点为先慢后快；函数y=x的图象是直线，所以其增长特点为匀速增长；函数y=log_{a}x,a>1的图象是上凸的，所以其增长特点为先快后慢.(12分)$

Final answer: $先慢后快, 匀速增长, 先快后慢$
Subfield: Plane Geometry


Question: $根据《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》和《中华人民共和国道路交通安全法》，我们知道：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶人员会被暂扣驾驶证6个月，并处1 000元以上2 000元以下罚款.如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1 000元以上2 000元以下罚款，吊销机动车驾驶证.②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，醉酒驾驶人员会由公安机关约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得机动车驾驶证.由检验标准规定可知，驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路.经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图所示，函数关系式近似为f(x)=\left\{\begin{matrix}a\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42,0\leq x<2,\\ 54.27 \cdot \mathrm{e}^{-0.3x}+10.18,x\geq 2,\end{matrix}\right.已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581758173343745/img/compression/M_3a8fd972b79bd3e390210347bb0e602a.jpg)
$当0\leq x<2时，确定f(x)的表达式；$

Solution:
$因为酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，所以x=1时，y=44.42，所以44.42=a\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+47.42，解得a=-12，(3分)所以当0\leq x<2时， f(x)=-12\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42.(4分)$

Final answer: $f(x)=-12*(x-\frac32)^2+47.42$
Subfield: Plane Geometry


Question: $根据《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》和《中华人民共和国道路交通安全法》，我们知道：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶人员会被暂扣驾驶证6个月，并处1 000元以上2 000元以下罚款.如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1 000元以上2 000元以下罚款，吊销机动车驾驶证.②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，醉酒驾驶人员会由公安机关约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得机动车驾驶证.由检验标准规定可知，驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路.经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图所示，函数关系式近似为f(x)=\left\{\begin{matrix}a\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42,0\leq x<2,\\ 54.27 \cdot \mathrm{e}^{-0.3x}+10.18,x\geq 2,\end{matrix}\right.已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：$<img_2361>
$当0\leq x<2时，确定f(x)的表达式；$

Solution:
$因为酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，所以x=1时，y=44.42，所以44.42=a\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+47.42，解得a=-12，(3分)所以当0\leq x<2时， f(x)=-12\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42.(4分)$

Final answer: $f(x)=-12*(x-\frac32)^2+47.42$
Subfield: Plane Geometry


Question: $根据《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》和《中华人民共和国道路交通安全法》，我们知道：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶人员会被暂扣驾驶证6个月，并处1 000元以上2 000元以下罚款.如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1 000元以上2 000元以下罚款，吊销机动车驾驶证.②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，醉酒驾驶人员会由公安机关约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得机动车驾驶证.由检验标准规定可知，驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路.经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图所示，函数关系式近似为f(x)=\left\{\begin{matrix}a\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42,0\leq x<2,\\ 54.27 \cdot \mathrm{e}^{-0.3x}+10.18,x\geq 2,\end{matrix}\right.已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581758173343745/img/compression/M_3a8fd972b79bd3e390210347bb0e602a.jpg)
$喝1瓶啤酒后，经过多长时间才可以驾车?(时间以整分钟计算)(参考数据：ln 982=6.89，ln 5 427=8.60，ln 0.18=-1.71)$

Solution:
$由(1)知，当0\leq x<2时， f(x)=-12\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42，易得20.42\leq f(x)\leq 47.42，不可驾车.(6分)令54.27\cdot e^{-0.3x}+10.18<20，得e^{-0.3x}<\frac{982}{5 427}，(8分)所以0.3x>ln 5 427-ln 982，所以x>\frac{10 \times (8.60-6.89)}{3}=5.7.(10分)5.7小时等于342分钟，所以喝1瓶啤酒后，经过342分钟才可以驾车.(12分)$

Final answer: $342$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $根据《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》和《中华人民共和国道路交通安全法》，我们知道：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升且小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶人员会被暂扣驾驶证6个月，并处1 000元以上2 000元以下罚款.如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1 000元以上2 000元以下罚款，吊销机动车驾驶证.②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，醉酒驾驶人员会由公安机关约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得机动车驾驶证.由检验标准规定可知，驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路.经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图所示，函数关系式近似为f(x)=\left\{\begin{matrix}a\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42,0\leq x<2,\\ 54.27 \cdot \mathrm{e}^{-0.3x}+10.18,x\geq 2,\end{matrix}\right.已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：$<img_2361>
$喝1瓶啤酒后，经过多长时间才可以驾车?(时间以整分钟计算)(参考数据：ln 982=6.89，ln 5 427=8.60，ln 0.18=-1.71)$

Solution:
$由(1)知，当0\leq x<2时， f(x)=-12\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+47.42，易得20.42\leq f(x)\leq 47.42，不可驾车.(6分)令54.27\cdot e^{-0.3x}+10.18<20，得e^{-0.3x}<\frac{982}{5 427}，(8分)所以0.3x>ln 5 427-ln 982，所以x>\frac{10 \times (8.60-6.89)}{3}=5.7.(10分)5.7小时等于342分钟，所以喝1瓶啤酒后，经过342分钟才可以驾车.(12分)$

Final answer: $342$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费用y(元)的关系如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480471518879746/img/compression/M_2fa628841a680849263fe51340d5a715.jpg)
$分别求出通话费用y_{1}，y_{2}与通话时间x之间的函数解析式；$

Solution:
$由题中图象可设y_{1}=k_{1}x+30(k_{1}\neq 0)，y_{2}=k_{2}x(k_{2}\neq 0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y_{1}=k_{1}x+30，y_{2}=k_{2}x，得k_{1}=\frac{1}{6}，k_{2}=\frac{1}{2},\therefore y_{1}=\frac{1}{6}x+30(x\geq 0)，y_{2}=\frac{1}{2}x(x\geq 0).$

Final answer: $y_{1}=\frac{1}{6}x+30$，$y_{2}=\frac{1}{2}x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费用y(元)的关系如图所示.$<img_1819>
$分别求出通话费用y_{1}，y_{2}与通话时间x之间的函数解析式；$

Solution:
$由题中图象可设y_{1}=k_{1}x+30(k_{1}\neq 0)，y_{2}=k_{2}x(k_{2}\neq 0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y_{1}=k_{1}x+30，y_{2}=k_{2}x，得k_{1}=\frac{1}{6}，k_{2}=\frac{1}{2},\therefore y_{1}=\frac{1}{6}x+30(x\geq 0)，y_{2}=\frac{1}{2}x(x\geq 0).$

Final answer: $y_{1}=\frac{1}{6}x+30$，$y_{2}=\frac{1}{2}x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=\left\{\begin{matrix}x+6,x<-3,\\ x^2+2x,-3\leq x\leq 0,\\ \frac{1}{x},x>0.\end{matrix}\right.$
$直接写出函数f(x)的定义域、单调区间及值域.$

Solution:
$函数f(x)的定义域为R，单调递增区间为(-\infty ,-3)和(-1,0)，单调递减区间为(-3,-1)和(0,+\infty )，值域为R.$

Final answer: $(-\infin, +\infin)$, $(-\infty , -3)\cup (-1, 0)$, $(-\infin, +\infin)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所出现的周期性现象，我们把海面垂直方向的涨落称为潮汐，地球上不同地点的潮汐规律不同.下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中海水深度的部分统计数据：
时间t(时)
0
2
4
6
8
10
12
水深h(米)
13.4
14
13.4
12
10
8
6.6
时间t(时)
14
16
18
20
22
24
水深h(米)
6
6.6
8
10
12
13.4
$
$请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，画出该港口在一天(24小时)中海水深度h(米)与时间t(时)的函数图象，并根据所学知识，从h(t)=at^{2}+bt+c(a>0)，h(t)=2^{t}，h(t)=A\\sin  (\omega t+\phi )+B\left(\right.A>0，\omega >0，|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.，h(t)=A\\cos  (\omega t+\phi )+B\left(\right.A>0，\omega >0，|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口在一天(24小时)中水深h与时间t的函数关系，求出其解析式；$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979774766878723/img/compression/M_210d709d222beb17610b1fd68a310ec0.jpg)

Solution:
$根据题表中的数据，描点、连线，可得其图象如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979774766878723/img/compression/M_bcd1eeee000467fecacd59d04d638326.jpg)$由图可知，可以选取函数模型h(t)=A\\sin  (\omega t+\phi )+B\left(A>0,\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}\right)来描述，由题意得\frac{T}{2}=12，所以T=24，\omega =\frac{\pi }{12}，又因为\left\{\begin{matrix}h(t)_{\max }=h(2)=A+B=14,\\ h(t)_{\min }=h(14)=-A+B=6,\end{matrix}\right.解得A=4，B=10，所以h(t)=4\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\varphi \right)+10，由h(2)=4\\sin  \left(\frac{\pi }{6}+\varphi \right)+10=14，得\\sin  \left(\frac{\pi }{6}+\varphi \right)=1，所以\frac{\pi }{6}+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}，k\in Z，所以\phi =2k\pi +\frac{\pi }{3}，k\in Z，又|\phi |<\frac{\pi }{2}，所以当k=0时，\phi =\frac{\pi }{3}，所以h(t)=4\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+10，t\in [0,24].还可以选取函数模型h(t)=A\\cos  (\omega t+\phi )+B\left(\right.A>0，\omega >0，|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.来描述，求解过程同上，可得h(t)=4\\cos  \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}\right)+10，t\in [0,24].$

Final answer: $h(t)=4\sin (\pi /12t+\pi /3)+10, t\in [0,24]
h(t)=4\cos (\pi /12t-\pi /6)+10, t\in [0,24]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所出现的周期性现象，我们把海面垂直方向的涨落称为潮汐，地球上不同地点的潮汐规律不同.下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中海水深度的部分统计数据：
时间t(时)
0
2
4
6
8
10
12
水深h(米)
13.4
14
13.4
12
10
8
6.6
时间t(时)
14
16
18
20
22
24
水深h(米)
6
6.6
8
10
12
13.4
$
$现有一货轮需进港卸货，在白天进行物资补给并于当天晚上离港.已知该货轮进港时的吃水深度(水面到船底的距离)为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙(船底到海底的距离)，如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长.(参考数据：\sqrt{2}\approx 1.4，\sqrt{3}\approx 1.7)$

Solution:
$由题意可知货轮安全进港的水深至少应达到12.8米，按模型h(t)=4\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+10进行计算，由h(t)=4\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)+10\geq 12.8，得4\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)\geq 2.8，即\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\right)\geq \frac{1.4}{2}\approx \frac{\sqrt{2}}{2}，所以2k\pi +\frac{\pi }{4}\leq \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}\leq 2k\pi +\frac{3\pi }{4}，k\in Z，所以24k-1\leq t\leq 24k+5，k\in Z，又因为t\in [0,24]，所以0\leq t\leq 5或23\leq t\leq 24，结合题意，可安排货轮在0时到5时之间进港.易知货轮安全离港的水深至少应达到12米，根据题表中的数据可知，最早在晚上10时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港停留的时间最短为17个小时.综上，规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上10时离港，在港停留的时间最短为17个小时.$

Final answer: $货轮进港时间最晚为凌晨5时，离港时间最早为晚上10时，停留时间最短为17个小时。$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|-a.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533966341824514/img/compression/M_c00376cd54b905260161d7d84a2d3c1e.jpg)
$若a=0，画出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；$

Solution:
$当a=0时，f(x)=\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|，其图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533965859479555/img/compression/M_8f5608971ab328f1b315304bbc783264.jpg)$由图象可知, f(x)的单调递增区间为(0，+\infty ), f(x)的单调递减区间为(-\infty ，0).$

Final answer: $(0, +\infty )\cup(-\infty , 0)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|-a.$<img_2623>
$若a=0，画出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；$

Solution:
$当a=0时，f(x)=\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|，其图象如图所示.$<img_2185>$由图象可知, f(x)的单调递增区间为(0，+\infty ), f(x)的单调递减区间为(-\infty ，0).$

Final answer: $(0, +\infty )\cup(-\infty , 0)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|-a.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533966341824514/img/compression/M_c00376cd54b905260161d7d84a2d3c1e.jpg)
$讨论方程f(x)=0的实数解的个数.$

Solution:
$方程f(x)=0可化为\left|\left(\frac{1}{3}\right)^x-1\right|=a.由(1)中图象可知，当a<0时，方程f(x)=0无实数解；当a=0时，方程f(x)=0有唯一实数解；当0当a\geq 1时，方程f(x)=0有唯一实数解.综上，当a<0时，方程f(x)=0没有实数解，当a=0或a\geq 1时，方程f(x)=0有且仅有一个实数解，当0<a<1时，方程f(x)=0有两个不相等的实数解.$

Final answer: $方程f(x)=0没有实数解, 当a=0或a\geq 1时，方程f(x)=0有且仅有一个实数解, 当0<a<1时，方程f(x)=0有两个不相等的实数解.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数f(x)=2^{x}和g(x)=x^{3}的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),且x_{1}$<img_2098>
$请指出图中曲线C_{1},C_{2}分别对应的函数;$

Solution:
$曲线C_{1}对应的函数为g(x)=x^{3},曲线C_{2}对应的函数为f(x)=2^{x}.$

Final answer: $g(x)=x^3$, $ f(x)=2^x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数f(x)=2^{x}和g(x)=x^{3}的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),且x_{1}$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526877784449028/img/compression/M_63bb4947765dbd9bcd0fa0b454958014.jpg)
$请指出图中曲线C_{1},C_{2}分别对应的函数;$

Solution:
$曲线C_{1}对应的函数为g(x)=x^{3},曲线C_{2}对应的函数为f(x)=2^{x}.$

Final answer: $g(x)=x^3$, $ f(x)=2^x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数f(x)=2^{x}和g(x)=x^{3}的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),且x_{1}$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526877784449028/img/compression/M_63bb4947765dbd9bcd0fa0b454958014.jpg)
$结合函数图象,比较f(6),g(6),f(2 022),g(2 022)的大小.$

Solution:
$\because f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4g(10)=1 000,\therefore 1由题图可以看出,当x_{1}\therefore f(6)当x>x_{2}时, f(x)>g(x),\therefore f(2 022)>g(2 022).又g(2 022)>g(6),\therefore f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6).$

Final answer: $f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某创业团队拟投资生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).注：利润与投资额的单位均为万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526922617364483/img/compression/M_d8de6ce08c30e4f6761483eb9de52d89.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526922617364483/img/compression/M_525bd99f05aefd09c43e423cd48be0bb.jpg)$图2$
$分别求A，B两种产品的利润f(x)，g(x)关于投资额x的函数解析式；$

Solution:
$设f(x)=kx(x\geq 0)，将(1,0.25)代入，得0.25=k,即k=\frac{1}{4}，故f(x)=\frac{1}{4}x(x\geq 0).设g(x)=m\sqrt{x}(x\geq 0)，将(4,2.5)代入，得\sqrt{4}m=2.5，解得m=\frac{5}{4}，故g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x}(x\geq 0).$

Final answer: $f(x)=\frac{1}{4}x(x\geq 0)，g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x}(x\geq 0)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某创业团队拟投资生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).注：利润与投资额的单位均为万元.$<img_1551>$图1$<img_1943>$图2$
$分别求A，B两种产品的利润f(x)，g(x)关于投资额x的函数解析式；默认x\geq 0$

Solution:
$设f(x)=kx(x\geq 0)，将(1,0.25)代入，得0.25=k,即k=\frac{1}{4}，故f(x)=\frac{1}{4}x(x\geq 0).设g(x)=m\sqrt{x}(x\geq 0)，将(4,2.5)代入，得\sqrt{4}m=2.5，解得m=\frac{5}{4}，故g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x}(x\geq 0).$



Final answer: $f(x)=\frac{1}{4}x，g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某创业团队拟投资生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).注：利润与投资额的单位均为万元.$<img_1551>$图1$<img_1943>$图2$
$该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？$

Solution:
$设B产品的投资额为x(0\leq x\leq 10)万元，创业团队获得的利润为y万元，则A产品的投资额为(10-x)万元，故y=g(x)+f(10-x)=\frac{5}{4} \sqrt{x}+\frac{1}{4}(10-x)(0\leq x\leq 10).令\sqrt{x}=t(0\leq t\leq \sqrt{10})，可得y=-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{5}{2}(0\leq t\leq \sqrt{10})，即y=-\frac{1}{4}\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{65}{16}(0\leq t\leq \sqrt{10}).当t=\frac{5}{2}，即x=6.25时，y取得最大值，为4.062 5.故当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为4.062 5万元.$

Final answer: $6.25$, $4.0625$ 万元
Subfield: Plane Geometry


Question: $某创业团队拟投资生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).注：利润与投资额的单位均为万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526922617364483/img/compression/M_d8de6ce08c30e4f6761483eb9de52d89.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526922617364483/img/compression/M_525bd99f05aefd09c43e423cd48be0bb.jpg)$图2$
$该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？$

Solution:
$设B产品的投资额为x(0\leq x\leq 10)万元，创业团队获得的利润为y万元，则A产品的投资额为(10-x)万元，故y=g(x)+f(10-x)=\frac{5}{4} \sqrt{x}+\frac{1}{4}(10-x)(0\leq x\leq 10).令\sqrt{x}=t(0\leq t\leq \sqrt{10})，可得y=-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{5}{2}(0\leq t\leq \sqrt{10})，即y=-\frac{1}{4}\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{65}{16}(0\leq t\leq \sqrt{10}).当t=\frac{5}{2}，即x=6.25时，y取得最大值，为4.062 5.故当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为4.062 5万元.$

Final answer: $6.25$, $4.0625$ 万元
Subfield: Plane Geometry


Question: $某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0\leq t\leq 24，单位：时)而出现周期性变化.一天内某时的浪高数据如下表所示：



t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24


y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0



$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021102431514625/img/compression/M_3a239662201394d5b1c593506725d1f6.jpg)
$从y=at+b，y=A\\sin  (\omega t+\phi )+b，y=A\\cos  (\omega t+\phi )中选择一个合适的函数模型来拟合y与t的关系，并求出该拟合函数模型的解析式；$

Solution:
$结合(1)中的图形，选择合适的函数模型，从而求解相应的函数解析式.由(1)中所描点可知，应选择y=A\\sin  (\omega t+\phi )+b.不妨令A>0，\omega >0，|\phi |<\pi .由已知得，函数的最大值为1.4，最小值为0.6，周期T=12，则A=\frac{1.4-0.6}{2}=\frac{2}{5}，b=\frac{1.4+0.6}{2}=1，\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}，所以y=\frac{2}{5}\\sin  \left(\frac{\pi }{6}t+\varphi \right)+1，将(3,1.4)代入可得，\frac{2}{5}\\sin  \left(\frac{\pi }{6}\times 3+\varphi \right)+1=0.4\\cos   \phi +1=1.4，所以\\cos   \phi =1，则\phi =2k\pi ,k\in Z.又|\phi |<\pi ，所以\phi =0.所以该拟合函数模型的解析式为y=\frac{2}{5}\\sin   \frac{\pi }{6}t+1(0\leq t\leq 24).$

Final answer: $y=\frac{2}{5}\sin   \frac{\pi }{6}t+1(0\leq t\leq 24)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0\leq t\leq 24，单位：时)而出现周期性变化.一天内某时的浪高数据如下表所示：



t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24


y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0



$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021102431514625/img/compression/M_3a239662201394d5b1c593506725d1f6.jpg)
$如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才可进行训练，试安排恰当的训练时间.$

Solution:
$令y=\frac{2}{5}\\sin   \frac{\pi }{6}t+1\geq 0.8，则\\sin   \frac{\pi }{6}t\geq -\frac{1}{2}，由正弦函数的图象及其性质可得-\frac{\pi }{6}+2k\pi \leq \frac{\pi }{6}t\leq \frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in Z，所以-1+12k\leq t\leq 7+12k,k\in Z.当k=0时，-1\leq t\leq 7，又0\leq t\leq 24，所以0\leq t\leq 7；当k=1时，11\leq t\leq 19，又0\leq t\leq 24，所以11\leq t\leq 19；当k=2时，23\leq t\leq 31，又0\leq t\leq 24，所以23\leq t\leq 24.综上所述，0\leq t\leq 7或11\leq t\leq 19或23\leq t\leq 24.由题意可知，应在一天内的11时到19时之间训练.$

Final answer: $11时到19时$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB\perp BC，PA=AD=4，BC=1，AB=\sqrt{3}.$<img_1962>
$证明：平面PCD\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：证法一：因为AB\perp BC，BC=1，AB=\sqrt{3}，所以AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2，\angle ACB=\frac{\pi }{3}.在\triangle ACD中，由余弦定理，得CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cdot \\cos  \frac{\pi }{3}=4+16-2\times 2\times 4\times \frac{1}{2}=12，故AC^{2}+CD^{2}=4+12=16=AD^{2}，所以DC\perp AC，又因为PA\perp 底面ABCD，DC\subset 底面ABCD，所以PA\perp DC，又AC\cap PA=A，AC,PA\subset 平面PAC，所以DC\perp 平面PAC，又DC\subset 平面PCD，所以平面PCD\perp 平面PAC，证法二：因为PA\perp 底面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，$<img_2333>$过C作CE\perp AD，垂足为E，则CE\parallel AB，CE=AB=\sqrt{3}，AE=BC=1，ED=AD-AE=3，在Rt\triangle CED中，CD=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}，因为AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=4,所以AC^{2}+CD^{2}=4+12=16=AD^{2}，所以AC\perp CD，又PA\cap AC=A，PA，AC\subset 平面PAC，所以CD\perp 平面PAC，又CD\subset 平面PCD，所以平面PCD\perp 平面PAC，$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB\perp BC，PA=AD=4，BC=1，AB=\sqrt{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600706923839490/img/compression/M_5d38842d17756ce9ec23eff510f5e87e.jpg)
$证明：平面PCD\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：证法一：因为AB\perp BC，BC=1，AB=\sqrt{3}，所以AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2，\angle ACB=\frac{\pi }{3}.在\triangle ACD中，由余弦定理，得CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cdot \\cos  \frac{\pi }{3}=4+16-2\times 2\times 4\times \frac{1}{2}=12，故AC^{2}+CD^{2}=4+12=16=AD^{2}，所以DC\perp AC，又因为PA\perp 底面ABCD，DC\subset 底面ABCD，所以PA\perp DC，又AC\cap PA=A，AC,PA\subset 平面PAC，所以DC\perp 平面PAC，又DC\subset 平面PCD，所以平面PCD\perp 平面PAC，证法二：因为PA\perp 底面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600707146137601/img/compression/M_cde94ffc88bdb1750aa1c3b181fa6664.jpg)$过C作CE\perp AD，垂足为E，则CE\parallel AB，CE=AB=\sqrt{3}，AE=BC=1，ED=AD-AE=3，在Rt\triangle CED中，CD=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}，因为AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=4,所以AC^{2}+CD^{2}=4+12=16=AD^{2}，所以AC\perp CD，又PA\cap AC=A，PA，AC\subset 平面PAC，所以CD\perp 平面PAC，又CD\subset 平面PCD，所以平面PCD\perp 平面PAC，$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB\perp BC，PA=AD=4，BC=1，AB=\sqrt{3}.$<img_1962>
$求直线AD与平面PCD所成角的正弦值.$

Solution:
$解法一：作AH\perp PC，垂足为H，连接DH，$<img_1582>$因为平面PCD\perp 平面PAC，且平面PCD\cap 平面PAC=PC，AH\subset 平面PAC，所以AH\perp 平面PCD，故\angle ADH为AD与平面PCD所成的角，在\triangle PAC中，易知AC=2，PC=2\sqrt{5}，所以AH=\frac{PA\cdot AC}{PC}=\frac{4\times 2}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}，故\\sin  \angle ADH=\frac{AH}{DA}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.解法二：设直线AD与平面PCD所成的角为\theta ，点A到平面PCD的距离为d，所以\\sin   \theta =\frac{d}{AD}，根据等体积法可知V_{A-PCD}=V_{P-ACD}，即\frac{1}{3}S_{\triangle PCD}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ACD}\cdot PA，易知PC=2\sqrt{5}，PD=4\sqrt{2}，CD=2\sqrt{3}，所以PC^{2}+CD^{2}=PD^{2}，故PC\perp CD，所以S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{15}，由(1)知，AC\perp CD，所以S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}，故\frac{1}{3}\times 2\sqrt{15}d=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 4，解得d=\frac{4\sqrt{5}}{5}，所以\\sin   \theta =\frac{d}{AD}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{5}，故直线AD与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB\perp BC，PA=AD=4，BC=1，AB=\sqrt{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600706923839490/img/compression/M_5d38842d17756ce9ec23eff510f5e87e.jpg)
$求直线AD与平面PCD所成角的正弦值.$

Solution:
$解法一：作AH\perp PC，垂足为H，连接DH，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600707397795842/img/compression/M_9d7e92b05acab453d07fdbd188cf2474.jpg)$因为平面PCD\perp 平面PAC，且平面PCD\cap 平面PAC=PC，AH\subset 平面PAC，所以AH\perp 平面PCD，故\angle ADH为AD与平面PCD所成的角，在\triangle PAC中，易知AC=2，PC=2\sqrt{5}，所以AH=\frac{PA\cdot AC}{PC}=\frac{4\times 2}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}，故\\sin  \angle ADH=\frac{AH}{DA}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.解法二：设直线AD与平面PCD所成的角为\theta ，点A到平面PCD的距离为d，所以\\sin   \theta =\frac{d}{AD}，根据等体积法可知V_{A-PCD}=V_{P-ACD}，即\frac{1}{3}S_{\triangle PCD}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ACD}\cdot PA，易知PC=2\sqrt{5}，PD=4\sqrt{2}，CD=2\sqrt{3}，所以PC^{2}+CD^{2}=PD^{2}，故PC\perp CD，所以S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{15}，由(1)知，AC\perp CD，所以S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}，故\frac{1}{3}\times 2\sqrt{15}d=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 4，解得d=\frac{4\sqrt{5}}{5}，所以\\sin   \theta =\frac{d}{AD}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{5}，故直线AD与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x，现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696423504315756547/img/compression/M_37154e2bbdd8c02d0069f394674ae1b4.jpg)
$补充完整图象，写出函数f(x)(x\in R)的解析式和其单调区间；$

Solution:
$根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f(x)(x\in R)的图象，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696423504596774913/img/compression/M_cdf58693069d10bc4d6d720d1f7ecb6e.jpg)$(1分)令x>0，则-x<0，\therefore f(-x)=x^{2}-2x.又\because 函数f(x)是定义在R上的偶函数，\therefore f(x)=f(-x)=x^{2}-2x，\therefore f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+2x,x\leq 0,\\ x^2-2x,x>0,\end{matrix}\right.(3分)由图知f(x)的单调递减区间为(-\infty ，-1]，[0，1];单调递增区间为[-1，0]，[1，+\infty ).(5分)$

Final answer: $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+2x,x\leq 0,\\ x^2-2x,x>0,\end{matrix}\right.
单调递减区间：(-\infty , -1], [0, 1]
单调递增区间：[-1, 0], [1, +\infty ]$