di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一足够长的木板在水平地面上滑动，当速度v_{1}=9 m/s时，将一相对于地面静止的物块轻放到木板右端，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间的动摩擦因数\mu_{1}=0.4,g取10 m/s^{2}。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271977659453443/img/compression/M_65a88770baf3f50758fbfe55c906f029.jpg)
$若木板与地面间的动摩擦因数\mu_2=0.2，求木板在与物块相对静止后还能向前滑行的距离。$

Solution:
若木板与地面间有摩擦力，则物块在水平方向仅受来自木板的摩擦力，而木板同时还受到来自地面的摩擦力，由牛顿第二定律知

$对物块：ma_1=\mu _1mg$

$对木板：ma_2'=\mu _1mg + \mu _2・2mg$

$设相对运动时间为t'，有v_1 - a_2't'=a_1t'$

$此时二者速度v = a_1t'$

$二者相对静止后受地面摩擦力共同减速，有2ma = \mu _2・2mg$

$在速度减为零的过程中，由运动学公式知v^2 = 2ax$

$代入数据解得x=\frac{9}{4} m。$

Final answer: $\frac{9}{4}$m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,5块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上,每块木板的长度为l=0.5 m,质量为m=0.6 kg。在木板1的最左端放置一质量为M=1 kg的小物块,已知小物块与长木板间的动摩擦因数\mu_1=0.2,长木板与地面间的动摩擦因数\mu_2=0.1,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,现给物块一水平向右的初速度v_0=3 m/s,使其从木板最左端向右滑动,则：(重力加速度g取10 m/s^2)$

<img_1437>
当物块在木板1上滑动时,求地面对这5块木板总的摩擦力大小;

Solution:
$物块受到的摩擦力为 f_1=\mu_1Mg=2N，5块木板受到的最大静摩擦力为 f_2=\mu_2(Mg+5mg)=4N，由于 f_1<f_2，所以这5块木板保持静止状态，故地面对这5块木板总的摩擦力大小为2N。$

Final answer: 2 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,5块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上,每块木板的长度为l=0.5 m,质量为m=0.6 kg。在木板1的最左端放置一质量为M=1 kg的小物块,已知小物块与长木板间的动摩擦因数\mu_1=0.2,长木板与地面间的动摩擦因数\mu_2=0.1,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,现给物块一水平向右的初速度v_0=3 m/s,使其从木板最左端向右滑动,则：(重力加速度g取10 m/s^2)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271978439593986/img/compression/M_1d42b506d1e6154480a46da89ae7e24b.jpg)
当物块在木板1上滑动时,求地面对这5块木板总的摩擦力大小;

Solution:
$物块受到的摩擦力为 f_1=\mu_1Mg=2N，5块木板受到的最大静摩擦力为 f_2=\mu_2(Mg+5mg)=4N，由于 f_1<f_2，所以这5块木板保持静止状态，故地面对这5块木板总的摩擦力大小为2N。$

Final answer: 2 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,5块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上,每块木板的长度为l=0.5 m,质量为m=0.6 kg。在木板1的最左端放置一质量为M=1 kg的小物块,已知小物块与长木板间的动摩擦因数\mu_1=0.2,长木板与地面间的动摩擦因数\mu_2=0.1,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,现给物块一水平向右的初速度v_0=3 m/s,使其从木板最左端向右滑动,则：(重力加速度g取10 m/s^2)$

<img_1437>
$在上述滑行过程中,当物块滑到与某块木板共速时,立即给该木板施加一水平向右的推力F=5.1 N,为保证物块不从该木板滑出,求该力施加的最长时间(本问结果可保留根号)。$

Solution:
$施加推力F时，木板相对物块向右加速运动，对木板受力分析，由牛顿第二定律有$

$ma_{1}=F-\mu _{1}Mg-\mu _{2}(M+m)g$

$解得a_{1}=2.5 m/s^{2}$

$当撤去外力后,木板速度大于物块速度，对木板受力分析，由牛顿第二定律有ma_{2}=\mu _{1}Mg+\mu _{2}(M+m)g$

$解得a_{2}=6 m/s^{2}$

$力F作用最长时间的临界条件是当撤去F后二者共速时物块恰好运动到木板最左端。设木板加速过程的时间为t_{1}，木板减速过程的时间为t_{2}，物块的总位移为x_{1}，木板的总位移为x_{2}，则$

$x_{1}=v_{2}(t_{1}+t_{2})+\frac{1}{2}\mu _{1}g(t_{1}+t_{2})^2$

$x_{2}=v_{2}t_{1}+\frac{1}{2}a_{1}t^2_{1}+(v_{2}+a_{1}t_{1})t_{2}-\frac{1}{2}a_{2}t^2_{2}$

$位移关系为x_{2}-x_{1}=d$

$速度关系为v_{2}+\mu _{1}g(t_{1}+t_{2})=v_{2}+a_{1}t_{1}-a_{2}t_{2}$

$解得t_{1}=\sqrt{\frac{12}{17}} s$

Final answer: $\sqrt{\frac{12}{17}} s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,5块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上,每块木板的长度为l=0.5 m,质量为m=0.6 kg。在木板1的最左端放置一质量为M=1 kg的小物块,已知小物块与长木板间的动摩擦因数\mu_1=0.2,长木板与地面间的动摩擦因数\mu_2=0.1,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,现给物块一水平向右的初速度v_0=3 m/s,使其从木板最左端向右滑动,则：(重力加速度g取10 m/s^2)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271978439593986/img/compression/M_1d42b506d1e6154480a46da89ae7e24b.jpg)
$在上述滑行过程中,当物块滑到与某块木板共速时,立即给该木板施加一水平向右的推力F=5.1 N,为保证物块不从该木板滑出,求该力施加的最长时间(本问结果可保留根号)。$

Solution:
$施加推力F时，木板相对物块向右加速运动，对木板受力分析，由牛顿第二定律有$

$ma_{1}=F-\mu _{1}Mg-\mu _{2}(M+m)g$

$解得a_{1}=2.5 m/s^{2}$

$当撤去外力后,木板速度大于物块速度，对木板受力分析，由牛顿第二定律有ma_{2}=\mu _{1}Mg+\mu _{2}(M+m)g$

$解得a_{2}=6 m/s^{2}$

$力F作用最长时间的临界条件是当撤去F后二者共速时物块恰好运动到木板最左端。设木板加速过程的时间为t_{1}，木板减速过程的时间为t_{2}，物块的总位移为x_{1}，木板的总位移为x_{2}，则$

$x_{1}=v_{2}(t_{1}+t_{2})+\frac{1}{2}\mu _{1}g(t_{1}+t_{2})^2$

$x_{2}=v_{2}t_{1}+\frac{1}{2}a_{1}t^2_{1}+(v_{2}+a_{1}t_{1})t_{2}-\frac{1}{2}a_{2}t^2_{2}$

$位移关系为x_{2}-x_{1}=d$

$速度关系为v_{2}+\mu _{1}g(t_{1}+t_{2})=v_{2}+a_{1}t_{1}-a_{2}t_{2}$

$解得t_{1}=\sqrt{\frac{12}{17}} s$

Final answer: $\sqrt{\frac{12}{17}} s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

<img_1162>
A与挡板第二次碰撞前瞬间的速度大小;

Solution:
$第一次碰撞后，A、B相对滑动,设其加速度大小分别为a_1、a_2，由牛顿第二定律有：$
$对A：Mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =Ma_1；$
$对B：\mu mg \cos \theta -mg \sin \theta =ma_2。$
且M=3m。
$以沿斜面向下为正方向，第一次碰撞后，经时间t_1，A、B达到相同的速度v_共，A运动的位移为x_1，则对A、B由运动学公式有：$
$v_共=-v_1+a_1t_1(A速度变化)；$
$v_共=v_1-a_2t_1(B速度变化)；$
$x_1=-v_1t_1+\frac{1}{2}a_1t_1^2，解得t_1=\sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta }}，v_共=\frac{\sqrt{2gd \sin \theta }}{2}，x_1=-\frac{d}{2}。$
$A、B共速后一起向下加速，设第2次碰撞前A的速度为v_2，由机械能守恒有：$
$(M+m)g(-x_1) \sin \theta =\frac{1}{2}(M+m)v_2^2-\frac{1}{2}(M+m)v_{共}^2，解得v_2=\frac{\sqrt{6gd \sin \theta }}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6gd \sin  \theta }}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271978737389570/img/compression/M_b684a864dc4407ef9a9381a052ab2ad0.jpg)
A与挡板第二次碰撞前瞬间的速度大小;

Solution:
$第一次碰撞后，A、B相对滑动,设其加速度大小分别为a_1、a_2，由牛顿第二定律有：$
$对A：Mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =Ma_1；$
$对B：\mu mg \cos \theta -mg \sin \theta =ma_2。$
且M=3m。
$以沿斜面向下为正方向，第一次碰撞后，经时间t_1，A、B达到相同的速度v_共，A运动的位移为x_1，则对A、B由运动学公式有：$
$v_共=-v_1+a_1t_1(A速度变化)；$
$v_共=v_1-a_2t_1(B速度变化)；$
$x_1=-v_1t_1+\frac{1}{2}a_1t_1^2，解得t_1=\sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta }}，v_共=\frac{\sqrt{2gd \sin \theta }}{2}，x_1=-\frac{d}{2}。$
$A、B共速后一起向下加速，设第2次碰撞前A的速度为v_2，由机械能守恒有：$
$(M+m)g(-x_1) \sin \theta =\frac{1}{2}(M+m)v_2^2-\frac{1}{2}(M+m)v_{共}^2，解得v_2=\frac{\sqrt{6gd \sin \theta }}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6gd \sin  \theta }}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s^2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v_{B}=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差 h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=-1 530 J，取g=10 m/s^2。$

<img_1446>
$求运动员在AB段下滑时受到阻力F_f的大小；$

Solution:
运动员在AB段做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有
$v_{B}^2=2ax$ ①
由牛顿第二定律有
$mg\frac{H}{x}-F_{f}=ma$ ②
联立①②式，代入数据解得
$F_{f}=144 N$ ③

Final answer: 144 N
Subfield: Mechanics


Question: $我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s^2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v_{B}=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差 h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=-1 530 J，取g=10 m/s^2。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271998457016323/img/compression/M_11bbd14602fa05289a287d5158388cca.jpg)
$求运动员在AB段下滑时受到阻力F_f的大小；$

Solution:
运动员在AB段做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有
$v_{B}^2=2ax$ ①
由牛顿第二定律有
$mg\frac{H}{x}-F_{f}=ma$ ②
联立①②式，代入数据解得
$F_{f}=144 N$ ③

Final answer: 144 N
Subfield: Mechanics


Question: $我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s^2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v_{B}=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差 h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=-1 530 J，取g=10 m/s^2。$

<img_1446>
若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。

Solution:
$设运动员到达C点时的速度为v_C，在由B运动到C的过程中，由动能定理有  $
$mgh+W= \frac{1}{2}mv_C^2 - \frac{1}{2}mv_B^2  (④)$

$设运动员在C点所受的支持力为F_N，由牛顿第二定律有F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}  (⑤)$

由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得  
$R=12.5 m  (⑥)$

Final answer: 12.5 m
Subfield: Mechanics


Question: $我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s^2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v_{B}=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差 h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=-1 530 J，取g=10 m/s^2。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271998457016323/img/compression/M_11bbd14602fa05289a287d5158388cca.jpg)
若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。

Solution:
$设运动员到达C点时的速度为v_C，在由B运动到C的过程中，由动能定理有  $
$mgh+W= \frac{1}{2}mv_C^2 - \frac{1}{2}mv_B^2  (④)$

$设运动员在C点所受的支持力为F_N，由牛顿第二定律有F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}  (⑤)$

由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得  
$R=12.5 m  (⑥)$

Final answer: 12.5 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

<img_714>
小球到达A点时对圆弧轨道的压力大小;

Solution:
$由A到C的过程中，仅有重力和水平恒力(方向向右)对小球做功，由动能定理有$

$\frac{1}{2}mv^2_C - \frac{1}{2}mv^2_A = -mgR(1+\cos \alpha ) - F_0R \sin \alpha $

$在A点，向心力方向沿A指向O，由支持力和重力提供，由牛顿第二定律得$

$m\frac{v^2_A}{R} = F_N - mg$

$根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力F_N' = F_N = \frac{27}{4}mg.$

Final answer: $\frac{27}{4}mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272015277551618/img/compression/M_4828224b3d307ea01bb69e1215bfc197.jpg)
小球到达A点时对圆弧轨道的压力大小;

Solution:
$由A到C的过程中，仅有重力和水平恒力(方向向右)对小球做功，由动能定理有$

$\frac{1}{2}mv^2_C - \frac{1}{2}mv^2_A = -mgR(1+\cos \alpha ) - F_0R \sin \alpha $

$在A点，向心力方向沿A指向O，由支持力和重力提供，由牛顿第二定律得$

$m\frac{v^2_A}{R} = F_N - mg$

$根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力F_N' = F_N = \frac{27}{4}mg.$

Final answer: $\frac{27}{4}mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272015277551618/img/compression/M_4828224b3d307ea01bb69e1215bfc197.jpg)
小球从C点落至水平轨道所用的时间。

Solution:
$小球离开C点时，可将其速度分解为沿水平方向向左的分量v_{Cx} = v_{C} \cos \alpha 和竖直向下的分量v_{Cy} = v_{C} \sin \alpha 。小球在运动到水平轨道的过程中，在竖直方向做初速度为v_{Cy}、加速度为g的匀加速直线运动，竖直位移h = R(1 + \cos \alpha )，由运动学公式可知 h = v_{Cy} t + \frac{1}{2} gt^2，解得 t = \frac{3}{5} \sqrt[　]{\frac{5R}{g}}。$

Final answer: $\frac{3}{5}$, $\sqrt{\frac{5R}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

<img_714>
小球从C点落至水平轨道所用的时间。

Solution:
$小球离开C点时，可将其速度分解为沿水平方向向左的分量v_{Cx} = v_{C} \cos \alpha 和竖直向下的分量v_{Cy} = v_{C} \sin \alpha 。小球在运动到水平轨道的过程中，在竖直方向做初速度为v_{Cy}、加速度为g的匀加速直线运动，竖直位移h = R(1 + \cos \alpha )，由运动学公式可知 h = v_{Cy} t + \frac{1}{2} gt^2，解得 t = \frac{3}{5} \sqrt[　]{\frac{5R}{g}}。$

Final answer: $\frac{3}{5}$, $\sqrt{\frac{5R}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: $2020年7月23日12时41分,我国首次火星探测任务发射成功,迈出深空探测崭新一步。假设在火星上做了如图所示的实验,在光滑的圆锥顶用长L=1 m的细线悬挂一质量为m=1 kg的小球,圆锥顶角为74^\circ ,当圆锥和球一起绕圆锥轴线以周期T匀速转动时,球恰好对锥面无压力。已知火星质量为地球质量的\frac{1}{10};火星半径为地球半径的\frac{1}{2},地球表面的重力加速度取10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,忽略星球的自转。求:$

<img_709>
火星表面的重力加速度g;

Solution:
$忽略自转的情况下，置于星球表面的物体所受的万有引力等于重力。设地球质量和半径分别为M_{\text{地}}、R_{\text{地}}，火星质量和半径分别为M_{\text{火}}、R_{\text{火}}，可得G\frac{M_{\text{地}}m}{R^2_{\text{地}}}=mg_0，G\frac{M_{\text{火}}m}{R^2_{\text{火}}}=mg，代入质量和半径的比例关系解得g=4 m/s^2。$

Final answer: $4 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $2020年7月23日12时41分,我国首次火星探测任务发射成功,迈出深空探测崭新一步。假设在火星上做了如图所示的实验,在光滑的圆锥顶用长L=1 m的细线悬挂一质量为m=1 kg的小球,圆锥顶角为74^\circ ,当圆锥和球一起绕圆锥轴线以周期T匀速转动时,球恰好对锥面无压力。已知火星质量为地球质量的\frac{1}{10};火星半径为地球半径的\frac{1}{2},地球表面的重力加速度取10 m/s^2,\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8,忽略星球的自转。求:$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272006524039171/img/compression/M_cba7e29ad68ae2e29ba36a7340e76ba5.jpg)
火星表面的重力加速度g;

Solution:
$忽略自转的情况下，置于星球表面的物体所受的万有引力等于重力。设地球质量和半径分别为M_{\text{地}}、R_{\text{地}}，火星质量和半径分别为M_{\text{火}}、R_{\text{火}}，可得G\frac{M_{\text{地}}m}{R^2_{\text{地}}}=mg_0，G\frac{M_{\text{火}}m}{R^2_{\text{火}}}=mg，代入质量和半径的比例关系解得g=4 m/s^2。$

Final answer: $4 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

<img_461>
到达最高点A时的速度大小;

Solution:
小球运动到A点时，与轨道恰无作用力，表明仅由重力提供向心力，有
$mg=m\frac{v^2_A}{R}$
解得v_A=4 m/s。

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272006943469570/img/compression/M_a8372a7dd51a2af7cba39de0cdbd5171.jpg)
到达最高点A时的速度大小;

Solution:
小球运动到A点时，与轨道恰无作用力，表明仅由重力提供向心力，有
$mg=m\frac{v^2_A}{R}$
解得v_A=4 m/s。

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272006943469570/img/compression/M_a8372a7dd51a2af7cba39de0cdbd5171.jpg)
运动到最低点C时对轨道的压力大小;

Solution:
小球从 C 运动到 A 的过程中，仅有重力做功，由动能定理有

$\frac{1}{2} mv_A^2 - \frac{1}{2} mv_C^2 = -mg \cdot 2R$

在 C 点时，由重力和支持力提供向心力，有

$m \frac{v_C^2}{R} = F_N - mg$

由牛顿第三定律知，球对轨道的压力大小

$F_N' = F_N = 60 N。$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

<img_461>
运动到最低点C时对轨道的压力大小;

Solution:
小球从 C 运动到 A 的过程中，仅有重力做功，由动能定理有

$\frac{1}{2} mv_A^2 - \frac{1}{2} mv_C^2 = -mg \cdot 2R$

在 C 点时，由重力和支持力提供向心力，有

$m \frac{v_C^2}{R} = F_N - mg$

由牛顿第三定律知，球对轨道的压力大小

$F_N' = F_N = 60 N。$

Final answer: 60 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272006943469570/img/compression/M_a8372a7dd51a2af7cba39de0cdbd5171.jpg)
从P点水平抛出的初速度大小。

Solution:
小球从B点到C点的过程中，仅有重力做功，由动能定理有

$ \frac{1}{2} mv_C^2 - \frac{1}{2} mv_B^2 = mgR (1-\cos60^\circ ) $

小球从P点做平抛运动到B点，由速度的矢量关系有

$v_0 = v_B \cos60^\circ  $

$解得 v_0 = 4 m/s.$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在水平地面上竖直固定一光滑圆弧形轨道,轨道的半径R=1.6 m, AC为轨道的竖直直径，B与圆心O的连线与竖直方向成$60^\circ $角。现有一质量 m=1 kg的小球(可视为质点)从P点以初速度$v_0$水平抛出，小球恰好从B处沿切线方向飞入圆弧形轨道，小球到达最高点A时恰好与轨道无作用力，取$g=10 m/s^2$。求小球:

<img_461>
从P点水平抛出的初速度大小。

Solution:
小球从B点到C点的过程中，仅有重力做功，由动能定理有

$ \frac{1}{2} mv_C^2 - \frac{1}{2} mv_B^2 = mgR (1-\cos60^\circ ) $

小球从P点做平抛运动到B点，由速度的矢量关系有

$v_0 = v_B \cos60^\circ  $

$解得 v_0 = 4 m/s.$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为m=50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速转动,重锤转动半径为R=0.5 m。电动机连同打夯机底座的质量为M=25 kg,重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取$10 m/s^2$。

<img_579>{width=124px}
若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力为多大?

Solution:
$在上述角速度下，由于重锤做医速圆周运动，当其通过最低点时，合力大小不变，由杆对其向上的弹力和重力提供，由牛顿第二定律有 F_{T2}-mg=m\omega ^2R$

对电动机和打夯机底座，由受力平衡条件有

$F_{N}-F_{T2}'-Mg=0$

$根据牛顿第三定律可知 F_{T2}'=F_{T2}，解得 F_{N}=1 500 N，由牛顿第三定律知，打夯机对地面的压力 F_{N}'=F_{N}=1 500 N。$

Final answer: 1500 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为m=50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速转动,重锤转动半径为R=0.5 m。电动机连同打夯机底座的质量为M=25 kg,重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取$10 m/s^2$。

![24BTJ5WL73.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272007430008834/img/compression/M_ad1c80bb070cb18316cb0699c2337dfe.jpg){width=124px}
若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力为多大?

Solution:
$在上述角速度下，由于重锤做医速圆周运动，当其通过最低点时，合力大小不变，由杆对其向上的弹力和重力提供，由牛顿第二定律有 F_{T2}-mg=m\omega ^2R$

对电动机和打夯机底座，由受力平衡条件有

$F_{N}-F_{T2}'-Mg=0$

$根据牛顿第三定律可知 F_{T2}'=F_{T2}，解得 F_{N}=1 500 N，由牛顿第三定律知，打夯机对地面的压力 F_{N}'=F_{N}=1 500 N。$

Final answer: 1500 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的滑块(可视为质点)从坡道A点由静止自由下滑，经B点越过一条横沟到达平台C点时，其速度刚好在水平方向，接着平滑地滑上静止放在平台上的斜面体。已知A、B两点的高度差为0.2 m，坡道在B点的切线方向与水平面成30^\circ 角，坡道和平台不计摩擦且平台足够长，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

<img_635>
$求滑块离开B处的速率v_B;$

Solution:
滑块从A到B过程机械能守恒，设A、B两点的高度差为H  
$由 mgH = \frac{1}{2} mv ^2_B  $
得 $v_B = 2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的滑块(可视为质点)从坡道A点由静止自由下滑，经B点越过一条横沟到达平台C点时，其速度刚好在水平方向，接着平滑地滑上静止放在平台上的斜面体。已知A、B两点的高度差为0.2 m，坡道在B点的切线方向与水平面成30^\circ 角，坡道和平台不计摩擦且平台足够长，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272007736193027/img/compression/M_5e32538c1cf217e96f88959349fd2e5a.jpg)
$求滑块离开B处的速率v_B;$

Solution:
滑块从A到B过程机械能守恒，设A、B两点的高度差为H  
$由 mgH = \frac{1}{2} mv ^2_B  $
得 $v_B = 2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的滑块(可视为质点)从坡道A点由静止自由下滑，经B点越过一条横沟到达平台C点时，其速度刚好在水平方向，接着平滑地滑上静止放在平台上的斜面体。已知A、B两点的高度差为0.2 m，坡道在B点的切线方向与水平面成30^\circ 角，坡道和平台不计摩擦且平台足够长，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

<img_635>
求B、C的高度差h及沟宽d;

Solution:
$滑块从B到C做斜抛运动，把v_B沿水平方向和竖直方向分解$

$v_x=v_B \cos 30^\circ = \sqrt{3} m/s$

$v_y=v_B \sin 30^\circ =1 m/s$

$由题意知到达C点时 v_y=0$

$由0=v_y-gt得 t=0.1 s$

$由h = v_yt - \frac{1}{2} gt^2 得h=0.05 m$

$由d=v_xt得 d= \frac{\sqrt{3}}{10} m$

Final answer: $0.05 m,\frac{\sqrt{3}}{10} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的滑块(可视为质点)从坡道A点由静止自由下滑，经B点越过一条横沟到达平台C点时，其速度刚好在水平方向，接着平滑地滑上静止放在平台上的斜面体。已知A、B两点的高度差为0.2 m，坡道在B点的切线方向与水平面成30^\circ 角，坡道和平台不计摩擦且平台足够长，重力加速度大小取g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272007736193027/img/compression/M_5e32538c1cf217e96f88959349fd2e5a.jpg)
求B、C的高度差h及沟宽d;

Solution:
$滑块从B到C做斜抛运动，把v_B沿水平方向和竖直方向分解$

$v_x=v_B \cos 30^\circ = \sqrt{3} m/s$

$v_y=v_B \sin 30^\circ =1 m/s$

$由题意知到达C点时 v_y=0$

$由0=v_y-gt得 t=0.1 s$

$由h = v_yt - \frac{1}{2} gt^2 得h=0.05 m$

$由d=v_xt得 d= \frac{\sqrt{3}}{10} m$

Final answer: $0.05 m,\frac{\sqrt{3}}{10} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

<img_510>
细绳受到的最大拉力F的大小;

Solution:
小球在C位置由静止开始摆到最低点的过程中仅有重力做功，由动能定理有

$mgl = \frac{1}{2} mv ^2_D$

$在D点时绳子拉力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有 F - mg = \frac{mv^2_D}{L}$

解得F=3 N

Final answer: 3 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

![24BTJ5WL75.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272008189177859/img/compression/M_608da8ea10ac8cddd20c4f2b85cad980.jpg)
细绳受到的最大拉力F的大小;

Solution:
小球在C位置由静止开始摆到最低点的过程中仅有重力做功，由动能定理有

$mgl = \frac{1}{2} mv ^2_D$

$在D点时绳子拉力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有 F - mg = \frac{mv^2_D}{L}$

解得F=3 N

Final answer: 3 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

<img_510>
D点到水平线AB的高度h;

Solution:
$小球离开D点后做平抛运动，到达斜面时，速度方向恰好与斜面平行，由平抛运动的规律有v^2_y=2gh$
$由速度合成的矢量关系有\frac{v_y}{v_D}=\tan 45^\circ $
解得h=0.2 m

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

![24BTJ5WL75.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272008189177859/img/compression/M_608da8ea10ac8cddd20c4f2b85cad980.jpg)
D点到水平线AB的高度h;

Solution:
$小球离开D点后做平抛运动，到达斜面时，速度方向恰好与斜面平行，由平抛运动的规律有v^2_y=2gh$
$由速度合成的矢量关系有\frac{v_y}{v_D}=\tan 45^\circ $
解得h=0.2 m

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

![24BTJ5WL75.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272008189177859/img/compression/M_608da8ea10ac8cddd20c4f2b85cad980.jpg)
$小球速度最大时,弹簧的压缩量x(结果可用根号表示)。$

Solution:
$小球与弹簧接触后开始挤压弹簧，由牛顿第二定律有 ma=mg \sin 45^\circ -kx$

$可知此过程中弹力从零开始逐渐增大，在刚接触弹簧的一小段时间内小球做加速度减小的加速运动，当加速度为零时速度最大，此时有0=mg \sin 45^\circ -kx$

$解得 x=\frac{\sqrt[　]{2}}{40} m。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{40} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定,另一自由端恰好与水平线AB平齐,静止放置于倾角\theta =45^\circ 的光滑斜面上。一长为L=0.2 m的轻质细绳一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.1 kg的小球，将细绳拉至水平,使小球从位置C由静止释放,小球到达最低点D时,细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向压缩弹簧,已知弹簧的劲度系数k=20 N/m。弹簧一直处于弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s^{2}。求:$

<img_510>
$小球速度最大时,弹簧的压缩量x(结果可用根号表示)。$

Solution:
$小球与弹簧接触后开始挤压弹簧，由牛顿第二定律有 ma=mg \sin 45^\circ -kx$

$可知此过程中弹力从零开始逐渐增大，在刚接触弹簧的一小段时间内小球做加速度减小的加速运动，当加速度为零时速度最大，此时有0=mg \sin 45^\circ -kx$

$解得 x=\frac{\sqrt[　]{2}}{40} m。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{40} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为$m_{A}=2 kg、m_{B}=1 kg$。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。现将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取$g=10 m/s^{2}$，空气阻力不计。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719644072401649666/img/compression/M_fe084efba85a784cf6d6566e7416bb68.jpg)
B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；

Solution:
B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有
$h = 0.5gt^2$ ①
代入数据解得t = 0.6 s ②

Final answer: 0.6 s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为$m_{A}=2 kg、m_{B}=1 kg$。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。现将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取$g=10 m/s^{2}$，空气阻力不计。求：

<img_1007>
B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；

Solution:
B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有
$h = 0.5gt^2$ ①
代入数据解得t = 0.6 s ②

Final answer: 0.6 s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为$m_{A}=2 kg、m_{B}=1 kg$。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。现将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取$g=10 m/s^{2}$，空气阻力不计。求：

<img_1007>
A的最大速度v的大小；

Solution:
设细绳绷直前瞬间B速度大小为$v_{B}，有v_{B}=gt$ ③

细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，由动量守恒得$m_{B}v_{B}=(m_{A}+m_{B})v$ ④

之后A做匀减速运动，所以细绳绷直后瞬间的速度v即最大速度，联立②③④式，代入数据解得
v=2 m/s ⑤

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为$m_{A}=2 kg、m_{B}=1 kg$。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。现将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取$g=10 m/s^{2}$，空气阻力不计。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719644072401649666/img/compression/M_fe084efba85a784cf6d6566e7416bb68.jpg)
A的最大速度v的大小；

Solution:
设细绳绷直前瞬间B速度大小为$v_{B}，有v_{B}=gt$ ③

细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，由动量守恒得$m_{B}v_{B}=(m_{A}+m_{B})v$ ④

之后A做匀减速运动，所以细绳绷直后瞬间的速度v即最大速度，联立②③④式，代入数据解得
v=2 m/s ⑤

Final answer: 2 m/s
Subfield: Electromagnetism


Question: $双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其模型图如图(a)所示。其原理图如图(b)所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直纸面的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的离子被加速后，进入辐射电场，恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场区域，垂直边界从P点进入1/4圆形磁场区域，PO_1=d，之后垂直磁场下边界射出并从K点进入检测器，检测器可在O_1M和O_2N之间左右移动且与磁场下边界距离恒等于0.5d。已知圆弧轨迹处的电场强度为E。$

<img_912>

图(a)

<img_513>

图(b)
$由不同离子组成的粒子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场并从P点垂直进入磁场，粒子离开O1O2时与O1O2所夹锐角相同，若探测器能接收到的粒子中比荷\frac{q}{m}的最大值与最小值之比为\lambda ，求\lambda 的值。$

Solution:
$设在某处被检测到的离子在磁场中的轨道半径为r，则在磁场中qvB=\frac{mv^2}{r}$
$在电场中qE=\frac{mv^2}{R}$
$可得\frac{q}{m}=\frac{ER}{B^2r^2}$
由此可知当粒子运动半径最小时，比荷最大；当粒子运动半径最大时，比荷最小。
$设a(q_1，m_1)、b(q_2，m_2)离子分别在M、N处被检测到，在磁场中偏转半径分别为r_1、r_2，易知在所有被检测到的粒子半径中，r_1最小，r_2最大。两离子到达O_1O_2时，速度方向与O_1O_2夹角相等，均设为\theta 。$

<img_913>

如图所示，由几何关系可知
$O_3F=r_1$
$O_1O_3=d-r_1$
$O_3M=\frac{3d}{2}-r_1$

$得MF=\sqrt{O_3M^2-r^2_1}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}d-r_1\right)^2-r^2_1}$

$由几何关系可知\frac{O_1M}{MF}=\frac{MF}{O_3M}$
$解得r_1=\frac{3}{5}d$
在b的运动轨迹中
$\sin \angle O_1GO_4=\frac{PO_4-PO_1}{r_2}=\frac{r_2-d}{r_2}$
$又\sin \angle O_1GO_4=\sin \angle FMO_3=\frac{r_1}{\frac{d}{2}+\frac{2d}{5}}=\frac{2}{3}$
$解得r_2=3d$
$又\frac{q_1}{m_1}=\frac{ER}{B^2r^2_1}$
$\frac{q_2}{m_2}=\frac{ER}{B^2r^2_2}$
$可得\lambda =\frac{\frac{q_1}{m_1}}{\frac{q_2}{m_2}}=\frac{r^2_2}{r^2_1}=25$

Final answer: 25