di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为BB_{1}的中点.$<img_2473>
$(2)求直线AA_{1}与平面AD_{1}E所成角的正弦值.$

Solution:
$不妨设正方体的棱长为2，如图，以{\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AA_1}}为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,$<img_2023>$则A(0，0，0)，A_{1}(0，0，2)，D_{1}(2，0，2)，E(0，2，1)，\therefore \overrightarrow{AA_1}=(0，0，2)，\overrightarrow{AD_1}=(2，0，2)，\overrightarrow{AE}=(0，2，1)，设平面AD_{1}E的法向量为n=(x,y,z)，直线AA_{1}与平面AD_{1}E所成的角为\theta ，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD_1}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x+2z=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.令z=-2，则x=2,y=1,此时n=(2，1，-2)，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{AA_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AA_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AA_1}|}=\frac{|-4|}{\sqrt{4+1+4}\times 2}=\frac{2}{3}，\therefore 直线AA_{1}与平面AD_{1}E所成角的正弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$<img_3132>
$(1)求证：AB\parallel FG；$

Solution:
$证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB\parallel DE.又因为AB\not\subset 平面PDE，DE\subset 平面PDE,所以AB\parallel 平面PDE.因为AB\subset 平面ABF，且平面ABF\cap 平面PDE=FG，所以AB\parallel FG.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983310508034/img/compression/M_14917902953b69ccb30d6ef763b38e5a.jpg)
$(1)求证：AB\parallel FG；$

Solution:
$证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB\parallel DE.又因为AB\not\subset 平面PDE，DE\subset 平面PDE,所以AB\parallel 平面PDE.因为AB\subset 平面ABF，且平面ABF\cap 平面PDE=FG，所以AB\parallel FG.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983310508034/img/compression/M_14917902953b69ccb30d6ef763b38e5a.jpg)
$(2)若PA\perp 底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCDE，所以PA\perp AB，PA\perp AE.建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0,2,0),F(0，1，1)，则\overrightarrow{BC}=(1，1，0),\overrightarrow{AB}=(1，0，0)，\overrightarrow{AF}=(0，1，1).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983671218177/img/compression/M_bbbeb6ae283b87bb6e3d3442a8fcebd9.jpg)$设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{B}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x=0,\\ y+z=0.\end{matrix}\right.令z=1，则y=-1.所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成的角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{BC}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||B\overrightarrow{C}|}=\frac{1}{2}.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为\frac{\pi }{6}.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上，所以可设\overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),即(u,v,w-2)=\lambda (2,1,-2).所以u=2\lambda ,v=\lambda ,w=2-2\lambda .因为n是平面ABF的一个法向量，所以n\cdot \overrightarrow{AH}=0，即(0，-1，1)\cdot (2\lambda ,\lambda ,2-2\lambda )=0.解得\lambda =\frac{2}{3}，所以点H的坐标为\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).所以PH=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=2.$

Final answer: $\frac{\pi}{6}, 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$<img_3132>
$(2)若PA\perp 底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCDE，所以PA\perp AB，PA\perp AE.建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0,2,0),F(0，1，1)，则\overrightarrow{BC}=(1，1，0),\overrightarrow{AB}=(1，0，0)，\overrightarrow{AF}=(0，1，1).$<img_1840>$设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{B}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x=0,\\ y+z=0.\end{matrix}\right.令z=1，则y=-1.所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成的角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{BC}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||B\overrightarrow{C}|}=\frac{1}{2}.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为\frac{\pi }{6}.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上，所以可设\overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),即(u,v,w-2)=\lambda (2,1,-2).所以u=2\lambda ,v=\lambda ,w=2-2\lambda .因为n是平面ABF的一个法向量，所以n\cdot \overrightarrow{AH}=0，即(0，-1，1)\cdot (2\lambda ,\lambda ,2-2\lambda )=0.解得\lambda =\frac{2}{3}，所以点H的坐标为\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).所以PH=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=2.$

Final answer: $\frac{\pi}{6}, 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ ,PA\perp 底面ABCD,PA=2,点E是PC的中点.$<img_1512>
$(1)求证：DC\parallel 平面ABE；$

Solution:
$证明：在菱形ABCD中,AB\parallel CD,又CD\not\subset 平面ABE,AB\subset 平面ABE,所以CD\parallel 平面ABE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ ,PA\perp 底面ABCD,PA=2,点E是PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267989823647746/img/compression/M_6b3de400e232ec00afb4edbe4e512548.jpg)
$(1)求证：DC\parallel 平面ABE；$

Solution:
$证明：在菱形ABCD中,AB\parallel CD,又CD\not\subset 平面ABE,AB\subset 平面ABE,所以CD\parallel 平面ABE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ ,PA\perp 底面ABCD,PA=2,点E是PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267989823647746/img/compression/M_6b3de400e232ec00afb4edbe4e512548.jpg)
$(2)求DC到平面ABE的距离.$

Solution:
$连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC,又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.因为PA\perp 平面ABCD,AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A－xyz,
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990138220545/img/compression/M_faa8536f42d2dc71ac9e4612cc51cb4e.jpg)$则A(0,0,0),B(\sqrt{3},－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right).所以\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{AD}=(0,2,0),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是n=(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ ,PA\perp 底面ABCD,PA=2,点E是PC的中点.$<img_1512>
$(2)求DC到平面ABE的距离.$

Solution:
$连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC,又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.因为PA\perp 平面ABCD,AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A－xyz,
$<img_2789>$则A(0,0,0),B(\sqrt{3},－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right).所以\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{AD}=(0,2,0),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是n=(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为DD_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990553456643/img/compression/M_be5d0229f82a16a908f3e748a7be1bb1.jpg)
$(1)过点D_{1}作出一条与平面ACE平行的直线，并说明理由；$

Solution:
$解法一：如图1，BD_{1}为所求作的直线.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990851252226/img/compression/M_4cfa03fa3b2f48d496d0b28daf3c8cf3.jpg)$
图1
理由：连接BD，设BD与AC交于点O，连接OE.因为ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体，所以O为BD中点，又因为E为DD_{1}的中点，所以OE为\triangle DBD_{1}的中位线，所以OE\parallel BD_{1}，又因为OE\subset 平面ACE，BD_{1}\not\subset 平面ACE，所以BD_{1}\parallel 平面ACE.
解法二：如图2，取CC_{1}的中点E_{1}，连接D_{1}E_{1}，D_{1}E_{1}即为所求作的直线.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990851252226/img/compression/M_657202f463dafc31c38821db9e88464a.jpg)$
图2
理由：因为ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体，E为DD_{1}的中点，E_{1}为CC_{1}的中点，所以D_{1}E_{1}\parallel CE，又因为CE\subset 平面ACE，D_{1}E_{1}\not\subset 平面ACE，所以D_{1}E_{1}\parallel 平面ACE.$

Final answer: $BD_{1}、D_{1}E_{1}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为DD_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990553456643/img/compression/M_be5d0229f82a16a908f3e748a7be1bb1.jpg)
$(2)求直线AB_{1}与平面ACE所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方体棱长为1，以A为原点，\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B_{1}(1,0,1)，C(1,1,0)，E\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，所以\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{AE}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，设平面ACE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+\frac{z}{2}=0,\end{matrix}\right.令z=2，可得y=－1,x=1，所以m=(1,－1,2)，所以\\cos  \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle =\frac{1+2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，设直线AB_{1}与平面ACE所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以直线AB_{1}与平面ACE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为DD_{1}的中点.$<img_2127>
$(2)求直线AB_{1}与平面ACE所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方体棱长为1，以A为原点，\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B_{1}(1,0,1)，C(1,1,0)，E\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，所以\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{AE}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，设平面ACE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+\frac{z}{2}=0,\end{matrix}\right.令z=2，可得y=－1,x=1，所以m=(1,－1,2)，所以\\cos  \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle =\frac{1+2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，设直线AB_{1}与平面ACE所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以直线AB_{1}与平面ACE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M,N,P分别为AB,BC,A_{1}B_{1}的中点.$<img_2257>
$(1)求证：BP\parallel 平面C_{1}MN；$

Solution:
$证明:连接MA_{1}.因为M,N分别为AB,BC的中点，所以MN\parallel AC.在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC\parallel A_{1}C_{1},所以MN\parallel A_{1}C_{1}，M,N,C_{1},A_{1}四点共面.因为AB\parallel A_{1}B_{1}，AB=A_{1}B_{1}，M,P分别为AB,A_{1}B_{1}的中点，所以BM\parallel A_{1}P，BM=A_{1}P,所以四边形PBMA_{1}为平行四边形.所以BP\parallel MA_{1}.因为BP\not\subset 平面C_{1}MN，MA_{1}\subset 平面C_{1}MN，所以BP\parallel 平面C_{1}MN.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M,N,P分别为AB,BC,A_{1}B_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992495419394/img/compression/M_161862645764746fbf2a3a3bd0978adf.jpg)
$(1)求证：BP\parallel 平面C_{1}MN；$

Solution:
$证明:连接MA_{1}.因为M,N分别为AB,BC的中点，所以MN\parallel AC.在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC\parallel A_{1}C_{1},所以MN\parallel A_{1}C_{1}，M,N,C_{1},A_{1}四点共面.因为AB\parallel A_{1}B_{1}，AB=A_{1}B_{1}，M,P分别为AB,A_{1}B_{1}的中点，所以BM\parallel A_{1}P，BM=A_{1}P,所以四边形PBMA_{1}为平行四边形.所以BP\parallel MA_{1}.因为BP\not\subset 平面C_{1}MN，MA_{1}\subset 平面C_{1}MN，所以BP\parallel 平面C_{1}MN.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M,N,P分别为AB,BC,A_{1}B_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992495419394/img/compression/M_161862645764746fbf2a3a3bd0978adf.jpg)
$(2)若AB\perp AC,AA_{1}=AB=AC=2，求直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角的正弦值.$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中AA_{1}\perp 平面ABC，AB,AC\subset 平面ABC,所以AA_{1}\perp AB，AA_{1}\perp AC.又因为AB\perp AC，所以AB,AC,AA_{1}两两垂直.如图建立空间直角坐标系A-xyz.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992851935234/img/compression/M_3fae06f8b0c709295671fde812d08749.jpg)$所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0),N(1,1,0),B_{1}(2,0,2),C_{1}(0,2,2),则\overrightarrow{MN}=(0,1,0)，\overrightarrow{NC_1}=(-1,1,2)，\overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0).设平面MNC_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MN}=y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{NC_1}=-x+y+2z=0,\end{matrix}\right. 令x=2，得z=1，所以n=(2,0,1).设直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{B_1C_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{B_1C_1}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.所以直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M,N,P分别为AB,BC,A_{1}B_{1}的中点.$<img_2257>
$(2)若AB\perp AC,AA_{1}=AB=AC=2，求直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角的正弦值.$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中AA_{1}\perp 平面ABC，AB,AC\subset 平面ABC,所以AA_{1}\perp AB，AA_{1}\perp AC.又因为AB\perp AC，所以AB,AC,AA_{1}两两垂直.如图建立空间直角坐标系A-xyz.
$<img_3087>$所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0),N(1,1,0),B_{1}(2,0,2),C_{1}(0,2,2),则\overrightarrow{MN}=(0,1,0)，\overrightarrow{NC_1}=(-1,1,2)，\overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0).设平面MNC_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MN}=y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{NC_1}=-x+y+2z=0,\end{matrix}\right. 令x=2，得z=1，所以n=(2,0,1).设直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{B_1C_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{B_1C_1}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.所以直线B_{1}C_{1}与平面C_{1}MN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$<img_2121>
$(1)求证：BF\parallel 平面CDE；$

Solution:
$证明：在矩形ABCD中，AB\parallel CD.因为AB\not\subset 平面CDE，CD\subset 平面CDE，所以AB\parallel 平面CDE.因为PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，所以PA\parallel DE，因为PA\not\subset 平面CDE，DE\subset 平面CDE，所以PA\parallel 平面CDE.又因为PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，PA\cap AB=A，所以平面PAB\parallel 平面CDE.因为BF\subset 平面PAB，所以BF\parallel 平面CDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993179090946/img/compression/M_084eee98c64477b2a358f1023d30282f.jpg)
$(1)求证：BF\parallel 平面CDE；$

Solution:
$证明：在矩形ABCD中，AB\parallel CD.因为AB\not\subset 平面CDE，CD\subset 平面CDE，所以AB\parallel 平面CDE.因为PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，所以PA\parallel DE，因为PA\not\subset 平面CDE，DE\subset 平面CDE，所以PA\parallel 平面CDE.又因为PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，PA\cap AB=A，所以平面PAB\parallel 平面CDE.因为BF\subset 平面PAB，所以BF\parallel 平面CDE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993179090946/img/compression/M_084eee98c64477b2a358f1023d30282f.jpg)
$(2)求二面角C－PE－A的余弦值；$

Solution:
$因为PA\perp 平面ABCD，AD\subset 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以PA\perp AD，PA\perp AB，又因为四边形ABCD是矩形，所以AD\perp AB，所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993548189697/img/compression/M_4af1f38252b7b358160d0606f5998bf8.jpg)$则C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(0,2,1)，所以\overrightarrow{CE}=(－1,0,1)，\overrightarrow{PE}=(0,2,－1).设平面PEC的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ 2y-z=0,\end{matrix}\right.取z=2，可得n=(2,1,2)，易知平面PEA的一个法向量为m=(1,0,0)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{3}，由图可知二面角C－PE－A为锐二面角，所以二面角C－PE－A的余弦值是\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$<img_2121>
$(2)求二面角C－PE－A的余弦值；$

Solution:
$因为PA\perp 平面ABCD，AD\subset 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以PA\perp AD，PA\perp AB，又因为四边形ABCD是矩形，所以AD\perp AB，所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图.
$<img_1988>$则C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(0,2,1)，所以\overrightarrow{CE}=(－1,0,1)，\overrightarrow{PE}=(0,2,－1).设平面PEC的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ 2y-z=0,\end{matrix}\right.取z=2，可得n=(2,1,2)，易知平面PEA的一个法向量为m=(1,0,0)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{3}，由图可知二面角C－PE－A为锐二面角，所以二面角C－PE－A的余弦值是\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993179090946/img/compression/M_084eee98c64477b2a358f1023d30282f.jpg)
$(3)若点F到平面PCE的距离为\frac{1}{3}，求线段AF的长.$

Solution:
$设AF=t，t\in [0,2]，则F(0,0,t)，所以\overrightarrow{CF}=(－1,－2,t)，所以点F到平面PCE的距离为\frac{|\overrightarrow{CF}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-2-2+2t|}{3}=\frac{|2t-4|}{3}=\frac{1}{3}.因为t\in [0,2]，所以t=\frac{3}{2}，故AF=\frac{3}{2}.$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD是矩形，PA\perp 平面ABCD，DE\perp 平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上.$<img_2121>
$(3)若点F到平面PCE的距离为\frac{1}{3}，求线段AF的长.$

Solution:
$设AF=t，t\in [0,2]，则F(0,0,t)，所以\overrightarrow{CF}=(－1,－2,t)，所以点F到平面PCE的距离为\frac{|\overrightarrow{CF}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-2-2+2t|}{3}=\frac{|2t-4|}{3}=\frac{1}{3}.因为t\in [0,2]，所以t=\frac{3}{2}，故AF=\frac{3}{2}.$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$(1)求证：AF\parallel DE；$

Solution:
$证明：因为平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，且平面ABF\cap 平面ADEF=AF，平面CDE\cap 平面ADEF=DE，所以AF\parallel DE.(面面平行的性质定理)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$<img_2514>
$(1)求证：AF\parallel DE；$

Solution:
$证明：因为平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，且平面ABF\cap 平面ADEF=AF，平面CDE\cap 平面ADEF=DE，所以AF\parallel DE.(面面平行的性质定理)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$(2)求点F到平面BCE的距离；$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，可得DA,DC,DE两两垂直.以D为原点建立空间直角坐标系如图，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267994579988481/img/compression/M_f8f7ccea492d8377213175ec42fd9bbf.jpg)$则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(0，－2，2)，\overrightarrow{CF}=(2，－2，1)，设平面BCE的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}=2x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=-2y+2z=0,\end{matrix}\right.令y=1，得z=1，则m=(0，1，1)，所以点F到平面BCE的距离d=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$<img_2514>
$(2)求点F到平面BCE的距离；$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，可得DA,DC,DE两两垂直.以D为原点建立空间直角坐标系如图，
$<img_2843>$则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(0，－2，2)，\overrightarrow{CF}=(2，－2，1)，设平面BCE的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}=2x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=-2y+2z=0,\end{matrix}\right.令y=1，得z=1，则m=(0，1，1)，所以点F到平面BCE的距离d=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$(3)过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度.$

Solution:
$因为过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，所以FP\perp CE.设\overrightarrow{EP}=\lambda \overrightarrow{EB}(0<\lambda <1)，因为\overrightarrow{EB}=(2，2，－2)，所以\overrightarrow{EP}=\lambda (2，2，－2)=(2\lambda ，2\lambda ，－2\lambda )，又\overrightarrow{FE}=(－2，0，1)，所以\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EP}=(2\lambda －2，2\lambda ，1－2\lambda )，所以\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{FP}=－2\times 2\lambda +2\times (1－2\lambda )=0，解得\lambda =\frac{1}{4}，所以|\overrightarrow{EP}|=\frac{1}{4}|\overrightarrow{EB}|=\frac{1}{4}\times \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE\perp 平面ABCD，平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.$<img_2514>
$(3)过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度.$

Solution:
$因为过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，所以FP\perp CE.设\overrightarrow{EP}=\lambda \overrightarrow{EB}(0<\lambda <1)，因为\overrightarrow{EB}=(2，2，－2)，所以\overrightarrow{EP}=\lambda (2，2，－2)=(2\lambda ，2\lambda ，－2\lambda )，又\overrightarrow{FE}=(－2，0，1)，所以\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EP}=(2\lambda －2，2\lambda ，1－2\lambda )，所以\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{FP}=－2\times 2\lambda +2\times (1－2\lambda )=0，解得\lambda =\frac{1}{4}，所以|\overrightarrow{EP}|=\frac{1}{4}|\overrightarrow{EB}|=\frac{1}{4}\times \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AA_{1}=AD=2，BD_{1}和B_{1}D交于点E，F为AB的中点.$<img_1590>
$(1)求证：EF\parallel 平面ADD_{1}A_{1}.$

Solution:
$证明：连接AD_{1}，B_{1}D_{1}，BD，如图1.
$<img_1524>$
图1
因为长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，BB_{1}\parallel DD_{1}且BB_{1}=DD_{1}，所以四边形BB_{1}D_{1}D为平行四边形.又BD_{1}与B_{1}D交于点E,所以E为BD_{1}的中点，在\triangle ABD_{1}中，因为E，F分别为BD_{1}和AB的中点，所以EF\parallel AD_{1}.因为EF\not\subset 平面ADD_{1}A_{1}，AD_{1}\subset 平面ADD_{1}A_{1}，所以EF\parallel 平面ADD_{1}A_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AA_{1}=AD=2，BD_{1}和B_{1}D交于点E，F为AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267994991030274/img/compression/M_2e96e14696120933cbae81b58bee56ff.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面ADD_{1}A_{1}.$

Solution:
$证明：连接AD_{1}，B_{1}D_{1}，BD，如图1.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267997214011394/img/compression/M_ce37297077df0f763000b288defabe35.jpg)$
图1
因为长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，BB_{1}\parallel DD_{1}且BB_{1}=DD_{1}，所以四边形BB_{1}D_{1}D为平行四边形.又BD_{1}与B_{1}D交于点E,所以E为BD_{1}的中点，在\triangle ABD_{1}中，因为E，F分别为BD_{1}和AB的中点，所以EF\parallel AD_{1}.因为EF\not\subset 平面ADD_{1}A_{1}，AD_{1}\subset 平面ADD_{1}A_{1}，所以EF\parallel 平面ADD_{1}A_{1}.$

Final answer: 证明题