Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆M: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)经过点C(0，1)，离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2} ，M与x轴交于两点A(a，0)，B(-a，0)，过点C的直线l与M交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。$
$设O为原点，当点P异于点B时，求证：\overrightarrow{OP} \cdot  \overrightarrow{OQ}为定值.$

Solution:
$证法一： 由(1)得A(\sqrt{2},0),B(-\sqrt{2},0)。$

$若l的斜率不存在，则D(0，-1)，$

$此时k_{AC}=k_{BD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，AC \parallel  BD，不符合题意，$

$所以l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，易知k \neq  \frac{\sqrt{2}}{2}.$

$由\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{2}+y^2=1,\\ y=kx+1\end{matrix}\right.消去y得(1+2k^2)x^2+4kx=0，$

$解得x=0或x=\frac{-4k}{1+2k^2}，$

$将x=\frac{-4k}{1+2k^2}代入y=kx+1得y=\frac{-4k^2}{1+2k^2}+1=\frac{1-2k^2}{1+2k^2}，$

$所以D\left(\frac{-4k}{1+2k^2},\frac{1-2k^2}{1+2k^2}\right)，$

$则k_{BD}=\frac{\frac{1-2k^2}{1+2k^2}}{\frac{-4k}{1+2k^2}+\sqrt{2}}=\frac{1-2k^2}{2\sqrt{2}k^2-4k+\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2}k)(1+\sqrt{2}k)}{\sqrt{2}(1-\sqrt{2}k)^2}=\frac{1+\sqrt{2}k}{\sqrt{2}(1-\sqrt{2}k)}，$

$所以直线BD的方程为y=\frac{1+\sqrt{2}k}{\sqrt{2}(1-\sqrt{2}k)}(x+\sqrt{2})，$

$又k_{AC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，所以直线AC的方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1，$

$联立AC，BD的方程，解得x=-2k ，y=\sqrt{2}k+1，$

$所以Q点坐标为(-2k，\sqrt{2}k+1)$

$对于直线l:y=kx+1，令y=0，解得x=-\frac{1}{k}，$

$所以P\left(-\frac{1}{k},0\right)，$

$所以\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\left(-\frac{1}{k}\right)\cdot (-2k)+0\cdot (\sqrt{2}k+1)=2，为定值.$

$证法二： 若D在y轴上，则D(0，-1)，$

$此时k_{AC}=k_{BD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，AC \parallel  BD，不符合题意，$

$设D(x_1，y_1)，则\frac{x^2_1}{2}+y^2_1=1$

$且x_1\neq 0，x_1\neq -\sqrt{2}，$

$因为B(-\sqrt{2}，0)，所以k_{BD}=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}，$

$所以直线BD的方程为y=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})，$

$又k_{AC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，所以直线AC的方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1，$

$直线BD与AC方程联立，消去y得\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x+1，$

$解得x_{Q}=\frac{2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2}}{2y_1+\sqrt{2}x_1+2}，$

$因为k_{CD}=\frac{y_1-1}{x_1}，所以直线CD的方程为y=\frac{y_1-1}{x_1}x+1，$

$令y=0，解得x_{P}=\frac{x_1}{1-y_1}，$

$所以P\left(\frac{x_1}{1-y_1},0\right)，$

$所以\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\frac{x_1}{1-y_1}.\frac{2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2}}{2y_1+\sqrt{2}x_1+2}$

$=\frac{2x^2_1-2\sqrt{2}x_1y_1+2\sqrt{2}x_1}{2(y_1+1)(1-y_1)+\sqrt{2}x_1(1-y_1)}$

$=\frac{2x^2_1-2\sqrt{2}x_1y_1+2\sqrt{2}x_1}{2(1-y^2_1)+\sqrt{2}x_1-\sqrt{2}x_1y_1}$

$=\frac{2x^2_1-2\sqrt{2}x_1y_1+2\sqrt{2}x_1}{x^2_1+\sqrt{2}x_1-\sqrt{2}x_1y_1}=2，$

$所以\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}为定值.$

$证法三： 若D在y轴上，则D(0，-1)，$

$此时k_{AC}=k_{BD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，AC \parallel  BD，不符合题意，$

$设D(x_1，y_1)，则\frac{x^2_1}{2}+y^2_1=1，且x_1\neq 0，x_1\neq -\sqrt{2}，$

$因为B(-\sqrt{2}，0)，所以k_{BD}=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}，$

$所以直线BD的方程为y=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})，$

$又k_{AC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}，所以直线AC的方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1，$

$直线BD与AC方程联立，消去y得\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x+1，$

$解得x_{Q}=\frac{2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2}}{2y_1+\sqrt{2}x_1+2}，$

$因为k_{CD}=\frac{y_1-1}{x_1}，所以直线CD的方程为y=\frac{y_1-1}{x_1}x+1，$

$令y=0，解得x_{P}=\frac{x_1}{1-y_1}，$

$所以P\left(\frac{x_1}{1-y_1},0\right)，$

$所以\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\frac{x_1}{1-y_1}.\frac{2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2}}{2y_1+\sqrt{2}x_1+2}，$

$特别地，当l过点A时，P(\sqrt{2},0)，Q(\sqrt{2},0)，此时\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2，$

$要证\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=2恒成立，$

$即证\frac{x_1}{1-y_1}\frac{2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2}}{2y_1+\sqrt{2}x_1+2}=2恒成立，$

$只需证(2x_1-2\sqrt{2}y_1+2\sqrt{2})x_1=2(1-y_1)(2y_1+\sqrt{2}x_1+2)，$

$即证2x^2_1-2\sqrt{2}x_1y_1+2\sqrt{2}x_1=4y_1+2\sqrt{2}x_1+4-4y^2_1-2\sqrt{2}x_1y_1-4y_1，$

$即证2x^2_1+4y^2_1=4，$

$即\frac{x^2_1}{2}+y^2_1=1，显然成立，$

$所以\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=2,为定值.$

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