di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PC\perp 底面ABCD，AB\perp AD，AB\parallel CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB上一点.$<img_2153>
$(2)若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2906>$则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)，所以\overrightarrow{CA}=(1,1,0),设P(0,0,a),a>0，则 E\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{a}{2}\right)，故\overrightarrow{CE}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{a}{2}\right),\overrightarrow{PA}=(1,1,-a)，引入未知数a,将点P及与点P相关的向量用a表示.因为PC\perp 底面ABCD，BC\subset 平面ABCD，\therefore PC\perp BC,又因为BC\perp AC,AC\cap PC=C，AC，PC\subset 平面PAC，所以BC\perp 平面PAC，则\overrightarrow{CB}=(1,-1,0)为平面 PAC的一个法向量，记m=\overrightarrow{CB}.设平面EAC的法向量为 n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.则\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ x-y+az=0,\end{matrix}\right.令x=a，则y=-a,z=-2，则 n=(a,-a,-2)为平面EAC的一个法向量，根据二面角P-AC-E的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}得到关于未知数a的方程,并求解.所以|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{a}{\sqrt{a^2+2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，解得a=2，则 n=(2,-2,-2),\overrightarrow{PA}=(1,1,-2)，设直线PA与平面EAC所成的角为 \theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PA},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PC\perp 底面ABCD，AB\perp AD，AB\parallel CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861426686525443/img/compression/M_338ae18927035b4154b2048cf8fbc822.jpg)
$(2)若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861427043041282/img/compression/M_01405a7c918b1c7571a34b7a6e4cd6ea.jpg)$则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)，所以\overrightarrow{CA}=(1,1,0),设P(0,0,a),a>0，则 E\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{a}{2}\right)，故\overrightarrow{CE}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{a}{2}\right),\overrightarrow{PA}=(1,1,-a)，引入未知数a,将点P及与点P相关的向量用a表示.因为PC\perp 底面ABCD，BC\subset 平面ABCD，\therefore PC\perp BC,又因为BC\perp AC,AC\cap PC=C，AC，PC\subset 平面PAC，所以BC\perp 平面PAC，则\overrightarrow{CB}=(1,-1,0)为平面 PAC的一个法向量，记m=\overrightarrow{CB}.设平面EAC的法向量为 n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.则\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ x-y+az=0,\end{matrix}\right.令x=a，则y=-a,z=-2，则 n=(a,-a,-2)为平面EAC的一个法向量，根据二面角P-AC-E的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}得到关于未知数a的方程,并求解.所以|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{a}{\sqrt{a^2+2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，解得a=2，则 n=(2,-2,-2),\overrightarrow{PA}=(1,1,-2)，设直线PA与平面EAC所成的角为 \theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PA},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp AC，AB\perp AC，AB=AC=2，PA=4，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且PN=2NB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861428376829956/img/compression/M_5a52dffe8d1aaefefa7cb5b338200da9.jpg)
$(1)证明：BD\parallel 平面CMN；$

Solution:
$证明：由题意，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861428699791363/img/compression/M_8b37d63f5ea295aa0b1403ef0d583f0f.jpg)$则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(0,0,2)，P(0，0，4)，N\left(\frac{4}{3},0,\frac{4}{3}\right)，D(0,1,0)，则\overrightarrow{CM}=(0,-2,2)，\overrightarrow{CN}=\left(\frac{4}{3},-2,\frac{4}{3}\right)，\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)，设平面CMN的法向量为n=(x_{0},y_{0},z_{0})，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CM}=-2y_0+2z_0=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CN}=\frac{4}{3}x_0-2y_0+\frac{4}{3}z_0=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x_0=\frac{1}{2}z_0,\\  y_0=z_0,\end{matrix}\right.令z_{0}=-2，得\left\{\begin{matrix}x_0=-1,\\ y_0=-2,\end{matrix}\right.\therefore n=(-1,-2,-2)为平面CMN的一个法向量，\because \overrightarrow{BD}\cdot n=(-2,1,0)\cdot (-1,-2,-2)=0，\therefore \overrightarrow{BD}\perp n.将线面平行问题的证明转化为空间向量的数量积的运算.又\because BD\not\subset 平面CMN，\therefore BD\parallel 平面CMN.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp AC，AB\perp AC，AB=AC=2，PA=4，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且PN=2NB.$<img_2502>
$(1)证明：BD\parallel 平面CMN；$

Solution:
$证明：由题意，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2002>$则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(0,0,2)，P(0，0，4)，N\left(\frac{4}{3},0,\frac{4}{3}\right)，D(0,1,0)，则\overrightarrow{CM}=(0,-2,2)，\overrightarrow{CN}=\left(\frac{4}{3},-2,\frac{4}{3}\right)，\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)，设平面CMN的法向量为n=(x_{0},y_{0},z_{0})，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CM}=-2y_0+2z_0=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CN}=\frac{4}{3}x_0-2y_0+\frac{4}{3}z_0=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x_0=\frac{1}{2}z_0,\\  y_0=z_0,\end{matrix}\right.令z_{0}=-2，得\left\{\begin{matrix}x_0=-1,\\ y_0=-2,\end{matrix}\right.\therefore n=(-1,-2,-2)为平面CMN的一个法向量，\because \overrightarrow{BD}\cdot n=(-2,1,0)\cdot (-1,-2,-2)=0，\therefore \overrightarrow{BD}\perp n.将线面平行问题的证明转化为空间向量的数量积的运算.又\because BD\not\subset 平面CMN，\therefore BD\parallel 平面CMN.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp AC，AB\perp AC，AB=AC=2，PA=4，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且PN=2NB.$<img_2502>
$(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.$

Solution:
$\because PA\perp AB，PA\perp AC，AB\cap AC=A，\therefore PA\perp 平面ABC，\therefore 平面ABC的一个法向量为 \overrightarrow{AP}=(0,0,4)，易知\overrightarrow{AP}与n的夹角的补角就是平面ABC与平面MNC所成的角，记为\theta ，则\\cos   \theta =-\\cos  \langle \overrightarrow{AP},n\rangle =- \frac{\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AP}||\boldsymbol{n}|}=- \frac{-8}{4\times 3}=\frac{2}{3}.将求两个平面所成角的问题转化为空间向量的运算问题.\therefore 平面MNC与平面ABC所成角的余弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp AC，AB\perp AC，AB=AC=2，PA=4，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且PN=2NB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861428376829956/img/compression/M_5a52dffe8d1aaefefa7cb5b338200da9.jpg)
$(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.$

Solution:
$\because PA\perp AB，PA\perp AC，AB\cap AC=A，\therefore PA\perp 平面ABC，\therefore 平面ABC的一个法向量为 \overrightarrow{AP}=(0,0,4)，易知\overrightarrow{AP}与n的夹角的补角就是平面ABC与平面MNC所成的角，记为\theta ，则\\cos   \theta =-\\cos  \langle \overrightarrow{AP},n\rangle =- \frac{\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AP}||\boldsymbol{n}|}=- \frac{-8}{4\times 3}=\frac{2}{3}.将求两个平面所成角的问题转化为空间向量的运算问题.\therefore 平面MNC与平面ABC所成角的余弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，PO=AO=3，M为PO的中点，\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}.$<img_2172>
$(1)求证：DM\parallel 平面EAC；$

Solution:
$证明：连接BD，则O为BD的中点，且AC\perp BD，在正四棱锥P-ABCD中，PO\perp 平面ABCD，AC，BD\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC，PO\perp BD，所以PO，AC，BD两两垂直.以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2148>$则A(3,0,0)，C(-3,0,0)，D(0,-3,0)，M\left(0,0,\frac{3}{2}\right)，E(0,2,1)，所以\overrightarrow{DM}=\left(0,3,\frac{3}{2}\right)，\overrightarrow{CA}=(6,0,0)，\overrightarrow{AE}=(-3,2,1)，设平面EAC的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CA}=6x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=-3x+2y+z=0,\end{matrix}\right.取y=1，则x=0,z=-2,则m=(0,1,-2)为平面EAC的一个法向量，因为\overrightarrow{DM}\cdot m=3-3=0，所以\overrightarrow{DM}\perp m，又因为DM\not\subset 平面EAC，所以DM\parallel 平面EAC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，PO=AO=3，M为PO的中点，\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861410992881665/img/compression/M_983439dfc4ea8337eb29ff0d2fa06a18.jpg)
$(1)求证：DM\parallel 平面EAC；$

Solution:
$证明：连接BD，则O为BD的中点，且AC\perp BD，在正四棱锥P-ABCD中，PO\perp 平面ABCD，AC，BD\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC，PO\perp BD，所以PO，AC，BD两两垂直.以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861411500392449/img/compression/M_40c12693ab912490680b7e8c1cf9bfb4.jpg)$则A(3,0,0)，C(-3,0,0)，D(0,-3,0)，M\left(0,0,\frac{3}{2}\right)，E(0,2,1)，所以\overrightarrow{DM}=\left(0,3,\frac{3}{2}\right)，\overrightarrow{CA}=(6,0,0)，\overrightarrow{AE}=(-3,2,1)，设平面EAC的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CA}=6x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=-3x+2y+z=0,\end{matrix}\right.取y=1，则x=0,z=-2,则m=(0,1,-2)为平面EAC的一个法向量，因为\overrightarrow{DM}\cdot m=3-3=0，所以\overrightarrow{DM}\perp m，又因为DM\not\subset 平面EAC，所以DM\parallel 平面EAC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，PO=AO=3，M为PO的中点，\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}.$<img_2172>
$(2)求直线DM到平面EAC的距离.$

Solution:
$由(1)知DM\parallel 平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离.由(1)知\overrightarrow{DA}=(3,3,0)，平面EAC的一个法向量为m=(0，1，-2)，所以点D到平面EAC的距离d=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.故直线DM到平面EAC的距离为\frac{3\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{3\sqrt 5}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，PO=AO=3，M为PO的中点，\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861410992881665/img/compression/M_983439dfc4ea8337eb29ff0d2fa06a18.jpg)
$(2)求直线DM到平面EAC的距离.$

Solution:
$由(1)知DM\parallel 平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离.由(1)知\overrightarrow{DA}=(3,3,0)，平面EAC的一个法向量为m=(0，1，-2)，所以点D到平面EAC的距离d=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.故直线DM到平面EAC的距离为\frac{3\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{3\sqrt 5}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=45^\circ ，CF\perp BC，CF=BC=2，PA=PB，平面PAB\perp 平面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点.$<img_1559>
$(1)求证：EF\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：取PC的中点G，连接EG，BG，因为E是PD的中点，所以EG是三角形PCD的中位线，所以EG\parallel CD且EG=\frac{1}{2}CD，又因为F是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以BF\parallel CD且BF=\frac{1}{2}CD，故EG\parallel BF，EG=BF，所以四边形BFEG是平行四边形，所以EF\parallel BG，因为EF\not\subset 平面PBC，BG\subset 平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC.$<img_1689>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=45^\circ ，CF\perp BC，CF=BC=2，PA=PB，平面PAB\perp 平面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861415459815427/img/compression/M_ea6a68292acf7daa8f1b10143f9ea152.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：取PC的中点G，连接EG，BG，因为E是PD的中点，所以EG是三角形PCD的中位线，所以EG\parallel CD且EG=\frac{1}{2}CD，又因为F是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以BF\parallel CD且BF=\frac{1}{2}CD，故EG\parallel BF，EG=BF，所以四边形BFEG是平行四边形，所以EF\parallel BG，因为EF\not\subset 平面PBC，BG\subset 平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861415812136962/img/compression/M_b839bf9127e630672eaa954595bf976b.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=45^\circ ，CF\perp BC，CF=BC=2，PA=PB，平面PAB\perp 平面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点.$<img_1559>
$(2)若CE与平面PCF所成的角\theta 为30^\circ ，求点B到平面CEF的距离d.$

Solution:
$因为PA=PB，F是AB的中点，所以PF\perp AB，因为平面PAB\perp 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD=AB，所以PF\perp 平面ABCD，因为CF，BC\subset 平面ABCD，所以PF\perp CF，PF\perp BC，因为CF\perp BC，所以以F为坐标原点，FC所在直线为x轴，过点F且平行于BC的直线为y轴，FP所在直线为z轴，1为单位长度，建立空间直角坐标系，则F(0,0,0)，B(2,-2,0)，C(2,0,0)，设P(0,0,m)(m>0)，则E\left(-1,2,\frac{m}{2}\right)，\overrightarrow{CE}=\left(-3,2,\frac{m}{2}\right)，\overrightarrow{FC}=(2，0，0)，\overrightarrow{BC}=(0，2，0)，易知平面PCF的一个法向量为n=(0,1,0)，则|\\cos  \langle \overrightarrow{CE},n\rangle |=\\sin   30^\circ =\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{9+4+\frac{m^2}{4}}}=\frac{1}{2}，解得m=2\sqrt{3}(负值舍去)，则\overrightarrow{CE}=(-3,2,\sqrt{3})，设平面CEF的法向量为n_{1}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{CE}=-3x+2y+\sqrt{3}z=0,\\ {\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{FC}=2x=0,\end{matrix}\right.取z=1，则x=0，y=-\frac{\sqrt{3}}{2}，所以n_{1}=\left(0,- \frac{\sqrt{3}}{2},1\right)为平面CEF的一个法向量，则d=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot {\boldsymbol{n}_1}|}{|{\boldsymbol{n}_1}|}=\frac{\left|(0,2,0)\cdot \left(0,- \frac{\sqrt{3}}{2},1\right)\right|}{\sqrt{\frac{3}{4}+1}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$<img_1621>

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=45^\circ ，CF\perp BC，CF=BC=2，PA=PB，平面PAB\perp 平面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861415459815427/img/compression/M_ea6a68292acf7daa8f1b10143f9ea152.jpg)
$(2)若CE与平面PCF所成的角\theta 为30^\circ ，求点B到平面CEF的距离d.$

Solution:
$因为PA=PB，F是AB的中点，所以PF\perp AB，因为平面PAB\perp 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD=AB，所以PF\perp 平面ABCD，因为CF，BC\subset 平面ABCD，所以PF\perp CF，PF\perp BC，因为CF\perp BC，所以以F为坐标原点，FC所在直线为x轴，过点F且平行于BC的直线为y轴，FP所在直线为z轴，1为单位长度，建立空间直角坐标系，则F(0,0,0)，B(2,-2,0)，C(2,0,0)，设P(0,0,m)(m>0)，则E\left(-1,2,\frac{m}{2}\right)，\overrightarrow{CE}=\left(-3,2,\frac{m}{2}\right)，\overrightarrow{FC}=(2，0，0)，\overrightarrow{BC}=(0，2，0)，易知平面PCF的一个法向量为n=(0,1,0)，则|\\cos  \langle \overrightarrow{CE},n\rangle |=\\sin   30^\circ =\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{9+4+\frac{m^2}{4}}}=\frac{1}{2}，解得m=2\sqrt{3}(负值舍去)，则\overrightarrow{CE}=(-3,2,\sqrt{3})，设平面CEF的法向量为n_{1}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{CE}=-3x+2y+\sqrt{3}z=0,\\ {\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{FC}=2x=0,\end{matrix}\right.取z=1，则x=0，y=-\frac{\sqrt{3}}{2}，所以n_{1}=\left(0,- \frac{\sqrt{3}}{2},1\right)为平面CEF的一个法向量，则d=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot {\boldsymbol{n}_1}|}{|{\boldsymbol{n}_1}|}=\frac{\left|(0,2,0)\cdot \left(0,- \frac{\sqrt{3}}{2},1\right)\right|}{\sqrt{\frac{3}{4}+1}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861416130904066/img/compression/M_8f002fe40f0745a42a6dc0018c6e0b03.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\triangle ABC为等边三角形，侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,且侧面ACC_{1}A_{1}\perp 底面ABC，点D为CC_{1}的中点，点E为直线A_{1}D与平面ABC的交点.$<img_2917>
$(1)试确定点E的位置，并证明BE\parallel 平面AB_{1}D;$

Solution:
$延长线段A_{1}D，交AC的延长线于点P.\because P\in AC，AC\subset 平面ABC，\therefore P\in 平面ABC.又\because P\in A_{1}D，\therefore A_{1}D\cap 平面ABC=P，故点P即为所求的点E.连接A_{1}B，交AB_{1}于点F，连接BE，FD.\because A_{1}C_{1}\parallel AE,D为CC_{1}的中点，\therefore \triangle CDE\cong \triangle C_{1}DA_{1}，\therefore \frac{A_1C_1}{EC}=\frac{C_1D}{CD}=1且A_{1}D=DE，\therefore CE=A_{1}C_{1}=AC,\therefore 点C为线段AE的中点.在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，四边形ABB_{1}A_{1}为平行四边形，\therefore F为线段A_{1}B的中点，\therefore DF为\triangle A_{1}BE的中位线，\therefore BE\parallel DF.又\because DF\subset 平面AB_{1}D,BE\not\subset 平面AB_{1}D,\therefore BE\parallel 平面AB_{1}D.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\triangle ABC为等边三角形，侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,且侧面ACC_{1}A_{1}\perp 底面ABC，点D为CC_{1}的中点，点E为直线A_{1}D与平面ABC的交点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861440961183747/img/compression/M_a39c83bf3c41a0628dc8a5a21edef081.jpg)
$(1)试确定点E的位置，并证明BE\parallel 平面AB_{1}D;$

Solution:
$延长线段A_{1}D，交AC的延长线于点P.\because P\in AC，AC\subset 平面ABC，\therefore P\in 平面ABC.又\because P\in A_{1}D，\therefore A_{1}D\cap 平面ABC=P，故点P即为所求的点E.连接A_{1}B，交AB_{1}于点F，连接BE，FD.\because A_{1}C_{1}\parallel AE,D为CC_{1}的中点，\therefore \triangle CDE\cong \triangle C_{1}DA_{1}，\therefore \frac{A_1C_1}{EC}=\frac{C_1D}{CD}=1且A_{1}D=DE，\therefore CE=A_{1}C_{1}=AC,\therefore 点C为线段AE的中点.在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，四边形ABB_{1}A_{1}为平行四边形，\therefore F为线段A_{1}B的中点，\therefore DF为\triangle A_{1}BE的中位线，\therefore BE\parallel DF.又\because DF\subset 平面AB_{1}D,BE\not\subset 平面AB_{1}D,\therefore BE\parallel 平面AB_{1}D.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\triangle ABC为等边三角形，侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,且侧面ACC_{1}A_{1}\perp 底面ABC，点D为CC_{1}的中点，点E为直线A_{1}D与平面ABC的交点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861440961183747/img/compression/M_a39c83bf3c41a0628dc8a5a21edef081.jpg)
$(2)求直线AB与平面AB_{1}D所成角的正弦值.$

Solution:
$取AC的中点O，连接A_{1}O，OB，\because 侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,\therefore A_{1}O\perp AC.又\because 侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，侧面AA_{1}C_{1}C\cap 底面ABC=AC，\therefore A_{1}O\perp 平面ABC，又\because OB\subset 平面ABC，\therefore A_{1}O\perp OB.又\because \triangle ABC为等边三角形，\therefore OB\perp AC，\therefore A_{1}O,OC,OB两两垂直.以O为坐标原点，OB，OC，OA_{1}所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861441355448322/img/compression/M_625b7af2e9a84b241a749d35b4225c9b.jpg)$不妨设AB=2,由已知可得A(0,-1,0)，A_{1}(0,0,\sqrt{3})，B(\sqrt{3},0,0)，C(0,1,0)，C_{1}(0,2,\sqrt{3}),D\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},1,0)，\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}=(0,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=(\sqrt{3},2,\sqrt{3}),\overrightarrow{AD}=\left(0,\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).设平面AB_{1}D的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB_1}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x_1+2y_1+\sqrt{3}z_1=0,\\ \frac{5}{2}y_1+\frac{\sqrt{3}}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.取y_{1}=\sqrt{3}，则z_{1}=-5，x_{1}=3，即n=(3,\sqrt{3},-5)为平面AB_{1}D的一个法向量.设直线AB与平面AB_{1}D所成的角为\theta ,则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{AB}\rangle |=\frac{4\sqrt{3}}{2\times \sqrt{37}}=\frac{2\sqrt{111}}{37},即直线AB与平面AB_{1}D所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{111}}{37}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{111}}{37}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\triangle ABC为等边三角形，侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,且侧面ACC_{1}A_{1}\perp 底面ABC，点D为CC_{1}的中点，点E为直线A_{1}D与平面ABC的交点.$<img_2917>
$(2)求直线AB与平面AB_{1}D所成角的正弦值.$

Solution:
$取AC的中点O，连接A_{1}O，OB，\because 侧面ACC_{1}A_{1}为菱形，\angle A_{1}AC=60^\circ ,\therefore A_{1}O\perp AC.又\because 侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，侧面AA_{1}C_{1}C\cap 底面ABC=AC，\therefore A_{1}O\perp 平面ABC，又\because OB\subset 平面ABC，\therefore A_{1}O\perp OB.又\because \triangle ABC为等边三角形，\therefore OB\perp AC，\therefore A_{1}O,OC,OB两两垂直.以O为坐标原点，OB，OC，OA_{1}所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$<img_2071>$不妨设AB=2,由已知可得A(0,-1,0)，A_{1}(0,0,\sqrt{3})，B(\sqrt{3},0,0)，C(0,1,0)，C_{1}(0,2,\sqrt{3}),D\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},1,0)，\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}=(0,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=(\sqrt{3},2,\sqrt{3}),\overrightarrow{AD}=\left(0,\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).设平面AB_{1}D的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB_1}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x_1+2y_1+\sqrt{3}z_1=0,\\ \frac{5}{2}y_1+\frac{\sqrt{3}}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.取y_{1}=\sqrt{3}，则z_{1}=-5，x_{1}=3，即n=(3,\sqrt{3},-5)为平面AB_{1}D的一个法向量.设直线AB与平面AB_{1}D所成的角为\theta ,则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{AB}\rangle |=\frac{4\sqrt{3}}{2\times \sqrt{37}}=\frac{2\sqrt{111}}{37},即直线AB与平面AB_{1}D所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{111}}{37}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{111}}{37}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF\perp DE，F为垂足.$<img_2124>
$(1)求证：AF\perp DB；$

Solution:
$证明：由题意可知DA\perp 底面ABE,因为BE\subset 底面ABE,所以BE\perp DA.因为点E在底面圆周上，所以BE\perp AE，又因为AD\cap AE=A，AD,AE\subset 平面AED，所以BE\perp 平面AED.由AF\subset 平面AED,得AF\perp BE，又因为AF\perp DE，BE\cap DE=E，BE,DE\subset 平面BED，所以AF\perp 平面BED,由DB\subset 平面BED,可得AF\perp DB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF\perp DE，F为垂足.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861441821016066/img/compression/M_c4ec00341cf54ba5eb13bc3c7e433bae.jpg)
$(1)求证：AF\perp DB；$

Solution:
$证明：由题意可知DA\perp 底面ABE,因为BE\subset 底面ABE,所以BE\perp DA.因为点E在底面圆周上，所以BE\perp AE，又因为AD\cap AE=A，AD,AE\subset 平面AED，所以BE\perp 平面AED.由AF\subset 平面AED,得AF\perp BE，又因为AF\perp DE，BE\cap DE=E，BE,DE\subset 平面BED，所以AF\perp 平面BED,由DB\subset 平面BED,可得AF\perp DB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF\perp DE，F为垂足.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861441821016066/img/compression/M_c4ec00341cf54ba5eb13bc3c7e433bae.jpg)
$(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求：①二面角E-DC-B的余弦值；②点B到平面CDE的距离.$

Solution:
$①由题意，过点A在底面圆所在平面内作AB的垂线，以A为原点，AB在底面圆所在平面的垂线为x轴，AB，AD所在直线分别为y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861442253029377/img/compression/M_38c5a56a0f673de2371c8b65412379fe.jpg)$设AD的长度为2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2).因为DA\perp 平面ABE，所以\angle DEA就是直线DE与平面ABE所成的角，所以\\tan  \angle DEA=\frac{DA}{AE}=2，所以AE=1，所以E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right).所以\overrightarrow{DC}=(0,2,0)，\overrightarrow{DE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},-2\right).设平面DCE的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-2z=0,\end{matrix}\right.取x=4，得y=0,z=\sqrt{3},则n=(4,0,\sqrt{3})为平面DCE的一个法向量.又因为m=(1,0,0)是平面BCD的一个法向量，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1\times 4+0\times 0+0\times \sqrt{3}}{1\times \sqrt{4^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}，由题图可知二面角E-DC-B为锐二面角，所以它的余弦值为\frac{4\sqrt{19}}{19}.②由①知，\overrightarrow{BE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2},0\right)，平面CDE的一个法向量为n=(4,0,\sqrt{3})，所以点B到平面CDE的距离d=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4+\left(-\frac{3}{2}\right)\times 0+0\times \sqrt{3}\right|}{\sqrt{4^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{19}}{19},\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF\perp DE，F为垂足.$<img_2124>
$(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求：①二面角E-DC-B的余弦值；②点B到平面CDE的距离.$

Solution:
$①由题意，过点A在底面圆所在平面内作AB的垂线，以A为原点，AB在底面圆所在平面的垂线为x轴，AB，AD所在直线分别为y轴、z轴，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2751>$设AD的长度为2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2).因为DA\perp 平面ABE，所以\angle DEA就是直线DE与平面ABE所成的角，所以\\tan  \angle DEA=\frac{DA}{AE}=2，所以AE=1，所以E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right).所以\overrightarrow{DC}=(0,2,0)，\overrightarrow{DE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},-2\right).设平面DCE的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-2z=0,\end{matrix}\right.取x=4，得y=0,z=\sqrt{3},则n=(4,0,\sqrt{3})为平面DCE的一个法向量.又因为m=(1,0,0)是平面BCD的一个法向量，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1\times 4+0\times 0+0\times \sqrt{3}}{1\times \sqrt{4^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}，由题图可知二面角E-DC-B为锐二面角，所以它的余弦值为\frac{4\sqrt{19}}{19}.②由①知，\overrightarrow{BE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2},0\right)，平面CDE的一个法向量为n=(4,0,\sqrt{3})，所以点B到平面CDE的距离d=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4+\left(-\frac{3}{2}\right)\times 0+0\times \sqrt{3}\right|}{\sqrt{4^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{19}}{19},\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的底面是菱形，AA_{1}=4，AB=2，\angle BAD=60^\circ ，E，M，N分别是BC，BB_{1}，A_{1}D的中点.$<img_1510>
$(1)证明：MN\parallel 平面C_{1}DE；$

Solution:
$证明：\because 直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的底面是菱形，\angle BAD=60^\circ ,E是BC的中点,\therefore DD_{1}\perp 平面ABCD,DE\perp AD,以D为原点，DA,DE,DD_{1}所在直线分别为x轴、y轴、z轴，1为单位长度，建立空间直角坐标系，$<img_2318>$则M(1,\sqrt{3},2),N(1,0,2),D(0,0,0),E(0,\sqrt{3},0),C_{1}(-1,\sqrt{3},4),所以\overrightarrow{MN}=(0,-\sqrt{3},0),\overrightarrow{DC_1}=(-1,\sqrt{3},4),\overrightarrow{DE}=(0,\sqrt{3},0),设平面C_{1}DE的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC_1}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+\sqrt{3}y+4z=0,\\ \sqrt{3}y=0,\end{matrix}\right.取z=1,则y=0,x=4,则n=(4,0,1)为平面C_{1}DE的一个法向量.\because \overrightarrow{MN}\cdot n=0,MN\not\subset 平面C_{1}DE,\therefore MN\parallel 平面C_{1}DE.$