di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$<img_2831>
$(2)从竞赛成绩在(40,50]，(50,60]的两组学生中，采用分层随机抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(40,50]的学生人数为X，求X的数学期望E(X);$

Solution:
$由频率分布直方图可得竞赛成绩在(40,50]，(50,60]学生人数的频率之比为0.12:0.18=2:3，所以这10人中竞赛成绩在(40,50]的学生人数为10\times \frac{2}{5}=4，在(50,60]的学生人数为10\times \frac{3}{5}=6，则X的所有可能取值为0,1,2,3，
(3分)
P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}，\therefore X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{1}{6}
\frac{1}{2}
\frac{3}{10}
\frac{1}{30}
E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.
(8分)$



Final answer: $6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$<img_2831>
$(3)用样本的频率估计概率，从竞赛成绩在[30,50]的学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30,40]的概率，其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时，求k.$

Solution:
$用样本的频率估计概率，竞赛成绩在[30,40]的概率p=\frac{0.06}{0.06+0.12}=\frac{1}{3}，则P(k)=C^k_{20}p^{k}(1-p)^{20-k}=C^k_{20}\times \left(\frac{1}{3}\right)^k\times \left(\frac{2}{3}\right)^{20-k}=\frac{\mathrm{C}^k_{20}2^{20-k}}{3^{20}},(9分)\frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{\frac{\mathrm{C}^{k+1}_{20}2^{19-k}}{3^{20}}}{\frac{\mathrm{C}^k_{20}2^{20-k}}{3^{20}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{20！}{(k+1)！(19-k)!}}{\frac{20!}{k!(20-k)!}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{20-k}{k+1}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{21}{k+1}\right).令\frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{21}{k+1}\right)\geq 1，解得k\leq 6，(11分)当k=6时，\frac{P(7)}{P(6)}=1,所以当k=6或k=7时，P(k)最大.(12分)$

Final answer: $6,7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629957881106433/img/compression/M_a07e80eaf196feef50f25667887ade0f.jpg)
$(3)用样本的频率估计概率，从竞赛成绩在[30,50]的学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30,40]的概率，其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时，求k.$

Solution:
$用样本的频率估计概率，竞赛成绩在[30,40]的概率p=\frac{0.06}{0.06+0.12}=\frac{1}{3}，则P(k)=C^k_{20}p^{k}(1-p)^{20-k}=C^k_{20}\times \left(\frac{1}{3}\right)^k\times \left(\frac{2}{3}\right)^{20-k}=\frac{\mathrm{C}^k_{20}2^{20-k}}{3^{20}},(9分)\frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{\frac{\mathrm{C}^{k+1}_{20}2^{19-k}}{3^{20}}}{\frac{\mathrm{C}^k_{20}2^{20-k}}{3^{20}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{20！}{(k+1)！(19-k)!}}{\frac{20!}{k!(20-k)!}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{20-k}{k+1}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{21}{k+1}\right).令\frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{21}{k+1}\right)\geq 1，解得k\leq 6，(11分)当k=6时，\frac{P(7)}{P(6)}=1,所以当k=6或k=7时，P(k)最大.(12分)$

Final answer: $6,7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验.某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第t_{i}天的观测值y_{i}(单位：mm)，其中t_{i}=i，i=1,2,3，\ldots ,20.根据以往的统计资料，该组数据(t_{i},y_{i})可以用Logistic曲线拟合模型y=\frac{1}{\frac{1}{u}+ab^t}或Logistic非线性回归模型y=\frac{u}{1+\mathrm{e}^{a-bt}}进行统计分析，其中a，b，u为参数.基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629984371208194/img/compression/M_9388aa58199c8b8198663084010ce9aa.jpg)$ $![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629984371208194/img/compression/M_5c50d9563d37db90d2d317f69d5a4591.jpg)
$(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；$

Solution:
$Logistic非线性回归模型y=\frac{u}{1+\mathrm{e}^{a-bt}}拟合效果更好.从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近；从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内.$

Final answer: $Logistic非线性回归模型拟合效果更好.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验.某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第t_{i}天的观测值y_{i}(单位：mm)，其中t_{i}=i，i=1,2,3，\ldots ,20.根据以往的统计资料，该组数据(t_{i},y_{i})可以用Logistic曲线拟合模型y=\frac{1}{\frac{1}{u}+ab^t}或Logistic非线性回归模型y=\frac{u}{1+\mathrm{e}^{a-bt}}进行统计分析，其中a，b，u为参数.基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629984371208194/img/compression/M_9388aa58199c8b8198663084010ce9aa.jpg)$ $![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629984371208194/img/compression/M_5c50d9563d37db90d2d317f69d5a4591.jpg)
$(2)假定u=12.5，且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：\overline{t}=\frac{1}{20}\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}t_i=10.5，\overline{z}=\frac{1}{20}\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}z_{i}=-3.83，\overline{w}=\frac{1}{20}\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}w_{i}=-1.608，\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}(t_{i}-\overline{t})^{2}=665，\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}(z_{i}-\overline{z})(t_{i}-\overline{t})=-109.06，\sum \limits^{{20}}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})(t_{i}-\overline{t})=-138.32，其中z_{i}=ln\left(\frac{1}{y_i}-\frac{1}{u}\right)，w_{i}=ln\left(\frac{u}{y_i}-1\right)，根据(1)的判断结果及给定数据，求y关于t的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长(结果精确到小数点后2位).附：对于一组数据(x_{1},y_{1})，(x_{2},y_{2})，\ldots ，(x_{n},y_{n})，其回归直线\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；参考数据：e^{-4}\approx 0.018 3.$

Solution:
$y=\frac{u}{1+\mathrm{e}^{a-bt}}可化为\frac{u}{y}=1+e^{a-bt}，即\frac{u}{y}-1=e^{a-bt},两边取对数得ln\left(\frac{u}{y}-1\right)=a-bt，则-\hat{b}=\frac{\sum \limits^{20}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})(t_i-\overline{t})}{\sum \limits^{20}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}=\frac{-138.32}{665}=-0.208,\hat{b}=0.208,\hat{a}=\overline{w}-(-\hat{b})\cdot \overline{t}=-1.608+0.208\times 10.5=0.576.所以y关于t的经验回归方程为y=\frac{12.5}{1+\mathrm{e}^{0.576-0.208t}}.当t=22时，体长y=\frac{12.5}{1+\mathrm{e}^{0.576-0.208\times 22}}=\frac{12.5}{1+\mathrm{e}^{-4}}\approx 12.28 mm.$

Final answer: $经验回归方程为y=\frac{12.5}{1+\mathrm{e}^{0.576-0.208t}}，预测第22天时仔鱼的体长为12.28mm.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，一组：[20,25)，二组：[25,30)，三组：[30,35)，四组：[35,40)，五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知一组有6人．$<img_1749>
$(1)求x的值；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图得一组的频率为0.01\times 5=0.05，\therefore \frac{6}{x}=0.05，\therefore x=120．$

Final answer: $120$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，一组：[20,25)，二组：[25,30)，三组：[30,35)，四组：[35,40)，五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知一组有6人．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533990367985666/img/compression/M_6e974b931ada17232ddfc73ba8e8e3a9.jpg)
$(1)求x的值；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图得一组的频率为0.01\times 5=0.05，\therefore \frac{6}{x}=0.05，\therefore x=120．$

Final answer: $120$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，一组：[20,25)，二组：[25,30)，三组：[30,35)，四组：[35,40)，五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知一组有6人．$<img_1749>
$(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；$

Solution:
$设中位数为a岁，则0.01\times 5+0.07\times 5+(a-30)\times 0.06=0.5，\therefore a=\frac{95}{3}\approx 32，\therefore 抽取的x人的年龄的中位数约为32岁．$

Final answer: $32$ 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，一组：[20,25)，二组：[25,30)，三组：[30,35)，四组：[35,40)，五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知一组有6人．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533990367985666/img/compression/M_6e974b931ada17232ddfc73ba8e8e3a9.jpg)
$(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；$

Solution:
$设中位数为a岁，则0.01\times 5+0.07\times 5+(a-30)\times 0.06=0.5，\therefore a=\frac{95}{3}\approx 32，\therefore 抽取的x人的年龄的中位数约为32岁．$

Final answer: $32$ 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，一组：[20,25)，二组：[25,30)，三组：[30,35)，四组：[35,40)，五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知一组有6人．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533990367985666/img/compression/M_6e974b931ada17232ddfc73ba8e8e3a9.jpg)
$(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1至5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中一至五组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1至5组的成绩分别为93，98，94，95，90．①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度．$

Solution:
$①5个年龄组成绩的平均数为\frac{1}{5}\times (93+96+97+94+90)=94(分)，方差为\frac{1}{5}\times [(-1)^{2}+2^{2}+3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}]=6．5个职业组成绩的平均数为\frac{1}{5}\times (93+98+94+95+90)=94(分)，方差为\frac{1}{5}\times [(-1)^{2}+4^{2}+0^{2}+1^{2}+(-4)^{2}]=6.8．②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.$

Final answer: $①5个年龄组成绩的平均数为94(分)，方差为6；
5个职业组成绩的平均数为94(分)，方差为6.8。
②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司共有A，B两个部门，A，B两个部门的人员2022年度业绩考核分数表分别如下：A部门：
$<img_2606>$B部门：
$<img_3039>$
求：$
$(1)该公司2022年度业绩考核分数的平均数；$

Solution:
$用a_{i}(i=1,2,\ldots ,30)表示A部门人员的分数，用b_{i}(i=1,2,\ldots ,20)表示B部门人员的分数.由题意得,\overline{x}_{A}=\frac{{a}_1+{a}_2+\cdots +{a}_{30}}{30}=91.9，\overline{x}_{B}=\frac{{b}_1+{b}_2+\cdots +{b}_{20}}{20}=92.45，所以该公司2022年度业绩考核分数的平均数\overline{x}_{总}=\frac{30}{50}\times 91.9+\frac{20}{50}\times 92.45=92.12.$

Final answer: $92.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司共有A，B两个部门，A，B两个部门的人员2022年度业绩考核分数表分别如下：A部门：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526985242136577/img/editor/compression/989a67d2-c8d1-42c1-b4d5-cf2109fc5a18.png)$B部门：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526985242136577/img/editor/compression/1b20ff60-418e-48aa-89d6-d4f72bcacc93.png)$
求：$
$(1)该公司2022年度业绩考核分数的平均数；$

Solution:
$用a_{i}(i=1,2,\ldots ,30)表示A部门人员的分数，用b_{i}(i=1,2,\ldots ,20)表示B部门人员的分数.由题意得,\overline{x}_{A}=\frac{{a}_1+{a}_2+\cdots +{a}_{30}}{30}=91.9，\overline{x}_{B}=\frac{{b}_1+{b}_2+\cdots +{b}_{20}}{20}=92.45，所以该公司2022年度业绩考核分数的平均数\overline{x}_{总}=\frac{30}{50}\times 91.9+\frac{20}{50}\times 92.45=92.12.$

Final answer: $92.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司共有A，B两个部门，A，B两个部门的人员2022年度业绩考核分数表分别如下：A部门：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526985242136577/img/editor/compression/989a67d2-c8d1-42c1-b4d5-cf2109fc5a18.png)$B部门：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526985242136577/img/editor/compression/1b20ff60-418e-48aa-89d6-d4f72bcacc93.png)$
求：$
$(2)该公司2022年度业绩考核分数的方差(结果保留2位小数).$

Solution:
$因为s^2_A=\frac{{({a}_1-{\overline{x}}_A)}^2+{({a}_2-{\overline{x}}_A)}^2+\cdots +{({a}_{30}-{\overline{x}}_A)}^2}{30}\approx 16.36,s^2_B=\frac{{({b}_1-{\overline{x}}_B)}^2+{({b}_2-{\overline{x}}_B)}^2+\cdots +{({b}_{20}-{\overline{x}}_B)}^2}{20}\approx 22.35,所以该公司2022年度业绩考核分数的方差s^2_\text{总}=\frac{30}{50}\times [s^2_A+(\overline{x}_{A}-\overline{x}_{总})^{2}]+\frac{20}{50}\times [s^2_B+(\overline{x}_{B}-\overline{x}_{总})^{2}]=\frac{3}{5}\times [16.36+(91.9-92.12)^{2}]+\frac{2}{5}\times [22.35+(92.45-92.12)^{2}]\approx 18.83.$

Final answer: $18.83$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司共有A，B两个部门，A，B两个部门的人员2022年度业绩考核分数表分别如下：A部门：
$<img_2606>$B部门：
$<img_3039>$
求：$
$(2)该公司2022年度业绩考核分数的方差(结果保留2位小数).$

Solution:
$因为s^2_A=\frac{{({a}_1-{\overline{x}}_A)}^2+{({a}_2-{\overline{x}}_A)}^2+\cdots +{({a}_{30}-{\overline{x}}_A)}^2}{30}\approx 16.36,s^2_B=\frac{{({b}_1-{\overline{x}}_B)}^2+{({b}_2-{\overline{x}}_B)}^2+\cdots +{({b}_{20}-{\overline{x}}_B)}^2}{20}\approx 22.35,所以该公司2022年度业绩考核分数的方差s^2_\text{总}=\frac{30}{50}\times [s^2_A+(\overline{x}_{A}-\overline{x}_{总})^{2}]+\frac{20}{50}\times [s^2_B+(\overline{x}_{B}-\overline{x}_{总})^{2}]=\frac{3}{5}\times [16.36+(91.9-92.12)^{2}]+\frac{2}{5}\times [22.35+(92.45-92.12)^{2}]\approx 18.83.$

Final answer: $18.83$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $节约用水，人人有责.某市为了制订合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，\ldots ，[4,4.5]分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526986022277121/img/compression/M_dbb024819c3dd5c32dfb87390713c48f.jpg)
$(1)求图中a的值；$

Solution:
$由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08\times 0.5=0.04，同理，月均用水量在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a，解得a=0.30.$

Final answer: $0.30$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $节约用水，人人有责.某市为了制订合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，\ldots ，[4,4.5]分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.$<img_1687>
$(1)求图中a的值；$

Solution:
$由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08\times 0.5=0.04，同理，月均用水量在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a，解得a=0.30.$

Final answer: $0.30$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $节约用水，人人有责.某市为了制订合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，\ldots ，[4,4.5]分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.$<img_1687>
$(2)估计该市居民每人的月均用水量的众数和80%分位数(结果保留2位小数).$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得，该市居民每人的月均用水量的众数为2.25吨．易得前五组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73，前6组的频率之和为0.73+0.15=0.88，故80%分位数位于区间[2.5,3)内，则80%分位数为2.5+\frac{0.8-0.73}{0.30}\approx 2.5+0.23=2.73．$

Final answer: $2.25,2.73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $节约用水，人人有责.某市为了制订合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，\ldots ，[4,4.5]分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526986022277121/img/compression/M_dbb024819c3dd5c32dfb87390713c48f.jpg)
$(2)估计该市居民每人的月均用水量的众数和80%分位数(结果保留2位小数).$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得，该市居民每人的月均用水量的众数为2.25吨．易得前五组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73，前6组的频率之和为0.73+0.15=0.88，故80%分位数位于区间[2.5,3)内，则80%分位数为2.5+\frac{0.8-0.73}{0.30}\approx 2.5+0.23=2.73．$

Final answer: $2.25,2.73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527000581087235/img/compression/M_3df51322600f6fec88fc3ed5bac20817.jpg)
$(1)样本容量是多少?$

Solution:
$设样本容量为n.\because 最右边一组的频数是6,从左到右各小组的小矩形的高之比为1:3:6:4:2,\therefore \frac{2}{1+3+6+4+2}=\frac{6}{n},解得n=48.$

Final answer: $48$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$<img_2137>
$(1)样本容量是多少?$

Solution:
$设样本容量为n.\because 最右边一组的频数是6,从左到右各小组的小矩形的高之比为1:3:6:4:2,\therefore \frac{2}{1+3+6+4+2}=\frac{6}{n},解得n=48.$

Final answer: $48$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527000581087235/img/compression/M_3df51322600f6fec88fc3ed5bac20817.jpg)
$(2)列出频率分布表；$

Solution:
$频率分布表如下:分组频数频率[50,60)3\frac{1}{16}[60,70)9\frac{3}{16}[70,80)18\frac{3}{8}[80,90)12\frac{1}{4}[90,100]6\frac{1}{8}合计481从频率分布直方图中获取数据，从而列出频率分布表，应用了数形结合思想.$

Final answer: $[50,60)3\frac{1}{16}, [60,70)9\frac{3}{16}, [70,80)18\frac{3}{8}, [80,90)12\frac{1}{4}, [90,100]6\frac{1}{8}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527000581087235/img/compression/M_3df51322600f6fec88fc3ed5bac20817.jpg)
$(3)成绩落在哪个范围内的人数最多?并求出该小组的频数、频率；$

Solution:
$成绩落在[70，80)内的人数最多，该小组的频数为18,频率为\frac{3}{8}.$

Final answer: $成绩落在[70，80)内的人数最多，频数为18, 频率为3/8.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527000581087235/img/compression/M_3df51322600f6fec88fc3ed5bac20817.jpg)
$(4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比.$

Solution:
$样本中成绩不低于60分的学生占总人数的\left(1-\frac{1}{16}\right)\times 100%=93.75%.\therefore 估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的93.75%.$

Final answer: $93.75\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，分析竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小矩形的高之比为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题:$<img_2137>
$(4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比.$

Solution:
$样本中成绩不低于60分的学生占总人数的\left(1-\frac{1}{16}\right)\times 100%=93.75%.\therefore 估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的93.75%.$

Final answer: $93.75\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527001004711938/img/compression/M_ea83f3b649b189e3cfcefe028b808abc.jpg)$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(1)若n=19,求y与x的函数关系式；$

Solution:
$当x\leq 19时，y=19\times 200=3 800;当x>19时，y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y=\left\{\begin{matrix}3 800,x\leq 19,\\ 500x-5 700,x>19\end{matrix}\right.(x\in N).根据题目信息列出y与x的关系式，应用了函数思想.$

Final answer: $y=3 800,x\leq 19, 500x-5 700,x>19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$<img_2651>$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(1)若n=19,求y与x的函数关系式；假设x> 19$

Solution:
$当x\leq 19时，y=19\times 200=3 800;当x>19时，y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y=\left\{\begin{matrix}3 800,x\leq 19,\\ 500x-5 700,x>19\end{matrix}\right.(x\in N).根据题目信息列出y与x的关系式，应用了函数思想.$



Final answer: $y=500x-5 700$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527001004711938/img/compression/M_ea83f3b649b189e3cfcefe028b808abc.jpg)$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；$

Solution:
$由题中条形图知，需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$<img_2651>$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；$

Solution:
$由题中条形图知，需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527001004711938/img/compression/M_ea83f3b649b189e3cfcefe028b808abc.jpg)$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件.$

Solution:
$若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台在购买易损零件上的费用为4 300元，10台在购买易损零件上的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为\frac{1}{100}\times (3 800\times 70+4 300\times 20+4 800\times 10)=4 000(元).若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台在购买易损零件上的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为\frac{1}{100}\times (4 000\times 90+4 500\times 10)=4 050(元).比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形图如图所示：$<img_2651>$记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n\in N).$
$(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件.$

Solution:
$若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台在购买易损零件上的费用为4 300元，10台在购买易损零件上的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为\frac{1}{100}\times (3 800\times 70+4 300\times 20+4 800\times 10)=4 000(元).若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台在购买易损零件上的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为\frac{1}{100}\times (4 000\times 90+4 500\times 10)=4 050(元).比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学数学组积极研讨网上教学策略，决定先采用甲、乙两套方案教学，并对分别采用两套方案教学的班级进行了7次测试，各班学生每次的平均成绩统计结果如图所示.$<img_2879>
$(1)分别计算采用两套方案教学的班级7次测试成绩的平均数和方差，并填写下表(要求写出计算过程)：
平均数(单位：分)
方差
甲
乙
$

Solution:
$由题中折线图中的数据可得采用甲方案的班级7次测试成绩的平均数\overline{x}_{甲}=\frac{1}{7}\times (109+111+113+115+117+119+121)=115(分)，方差s^2_\text{甲}=\frac{1}{7}\times [(109-115)^{2}+(111-115)^{2}+\ldots +(121-115)^{2}]=16,采用乙方案的班级7次测试成绩的平均数\overline{x}_{乙}=\frac{1}{7}\times (121+115+109+115+113+117+115)=115(分)，方差s^2_\text{乙}=\frac{1}{7}\times [(121-115)^{2}+(115-115)^{2}+\ldots +(115-115)^{2}]=\frac{80}{7}.填表如下：
平均数(单位：分)
方差
甲
115
16
乙
115
\frac{80}{7}
$

Final answer: $115, 16, 115, \frac{80}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学数学组积极研讨网上教学策略，决定先采用甲、乙两套方案教学，并对分别采用两套方案教学的班级进行了7次测试，各班学生每次的平均成绩统计结果如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526974291189762/img/compression/M_1a2758c4a595046931ceb38ddde310b1.jpg)
$(1)分别计算采用两套方案教学的班级7次测试成绩的平均数和方差，并填写下表(要求写出计算过程)：
平均数(单位：分)
方差
甲
乙
$

Solution:
$由题中折线图中的数据可得采用甲方案的班级7次测试成绩的平均数\overline{x}_{甲}=\frac{1}{7}\times (109+111+113+115+117+119+121)=115(分)，方差s^2_\text{甲}=\frac{1}{7}\times [(109-115)^{2}+(111-115)^{2}+\ldots +(121-115)^{2}]=16,采用乙方案的班级7次测试成绩的平均数\overline{x}_{乙}=\frac{1}{7}\times (121+115+109+115+113+117+115)=115(分)，方差s^2_\text{乙}=\frac{1}{7}\times [(121-115)^{2}+(115-115)^{2}+\ldots +(115-115)^{2}]=\frac{80}{7}.填表如下：
平均数(单位：分)
方差
甲
115
16
乙
115
\frac{80}{7}
$

Final answer: $115, 16, 115, \frac{80}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学数学组积极研讨网上教学策略，决定先采用甲、乙两套方案教学，并对分别采用两套方案教学的班级进行了7次测试，各班学生每次的平均成绩统计结果如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526974291189762/img/compression/M_1a2758c4a595046931ceb38ddde310b1.jpg)
$(2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，分析采用哪种方案的班级成绩更好；②从折线图上采用两种方案班级成绩的走势看，分析哪种方案更有潜力.$

Solution:
$①因为\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}，且s^2_\text{甲}>s^2_\text{乙}，所以采用乙方案的班级成绩更稳定，故采用乙方案的班级成绩更好.②从折线图的走势上看甲方案更有潜力，因为采用甲方案的班级成绩稳步提高，而采用乙方案的班级成绩不稳定，忽高忽低.$

Final answer: $采用乙方案的班级成绩更好。采用甲方案的班级成绩更有潜力。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量(单位：箱)
频率
[0，10)
0.10
[10,20)
0.20
[20,30)
0.30
[30,40)
0.25
[40,50]
0.15
合计
1
$<img_1851>$
$
$(1)求出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；$

Solution:
$由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得10a=1-(0.020+0.010+0.030+0.025)\times 10，解得a=0.015.根据题表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示：$<img_2609>

Final answer: $0.015$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量(单位：箱)
频率
[0，10)
0.10
[10,20)
0.20
[20,30)
0.30
[30,40)
0.25
[40,50]
0.15
合计
1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526976489005059/img/compression/M_68202001de7e0a812c188506bd6bfb30.jpg)$
$
$(1)求出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；$

Solution:
$由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得10a=1-(0.020+0.010+0.030+0.025)\times 10，解得a=0.015.根据题表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526977059430402/img/compression/M_c85c387450d77b7f10e7b772a80bef28.jpg)

Final answer: $0.015$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量(单位：箱)
频率
[0，10)
0.10
[10,20)
0.20
[20,30)
0.30
[30,40)
0.25
[40,50]
0.15
合计
1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526976489005059/img/compression/M_68202001de7e0a812c188506bd6bfb30.jpg)$
$
$(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s^2_1,s^2_2,试比较s^2_1和s^2_2的大小；$

Solution:
$解法一：记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为\overline{x}_{1}箱，\overline{x}_{2}箱，则\overline{x}_{1}=5\times 0.1+15\times 0.2+25\times 0.3+35\times 0.25+45\times 0.15=26.5,\overline{x}_{2}=5\times 0.2+15\times 0.1+25\times 0.3+35\times 0.15+45\times 0.25=26.5,所以s^2_1=(5-26.5)^{2}\times 0.1+(15-26.5)^{2}\times 0.2+(25-26.5)^{2}\times 0.3+(35-26.5)^{2}\times 0.25+(45-26.5)^{2}\times 0.15=142.75，s^2_2=(5-26.5)^{2}\times 0.2+(15-26.5)^{2}\times 0.1+(25-26.5)^{2}\times 0.3+(35-26.5)^{2}\times 0.15+(45-26.5)^{2}\times 0.25=202.75，所以s^2_1解法二：比较两种酸奶的频率分布直方图，数据越集中，则方差越小，由频率分布直方图可得，甲种酸奶对应的数据更集中，故甲的方差小于乙的方差，即s^2_1<s^2_2.$

Final answer: $s^2_1<s^2_2$