di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点. $

<img_1882>
$若点F在BC上，满足BF=\frac{1}{4}BC，设二面角F-DE-C的大小为\theta ，求\sin  \theta 的值.$

Solution:
$因为点F在BC上，BF= \frac{1}{4} BC，\overrightarrow{BC} =(-1，2，0)，所以 \overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC} = \left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0\right) 又 \overrightarrow{DB} =(2，0，0)，故 \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BF} = \left(\frac{7}{4},\frac{1}{2},0\right) $

$设 n_1 =(x_1，y_1，z_1)为平面DEF的法向量，则 \left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ D\overrightarrow{F} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}x_1+y_1+z_1=0,\\ \frac{7}{4}x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right. 取 x_1 = 2，得 y_1 = -7，z_1 = 5，所以 n_1 =(2，-7，5).$

$易得 \overrightarrow{DC} =(1,2,0),设 n_2 =(x_2，y_2，z_2)为平面DEC的法向量，则 \left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ D\overrightarrow{C} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right. 所以 \left\{\begin{matrix}x_2+y_2+z_2=0,\\ x_2+2y_2=0,\end{matrix}\right. 取 x_2 = 2，得 y_2 = -1，z_2 = -1，所以 n_2 =(2，-1，-1).$

$故|\cos  \theta | = \frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|} = \frac{|4+7-5|}{\sqrt{78} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{13}}{13} 所以\sin  \theta  = \sqrt{1-\cos ^2\theta } = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点. $

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894148933881858/img/compression/M_882b68ffa3eae4e5a5084e81e3e436f3.jpg)
$若点F在BC上，满足BF=\frac{1}{4}BC，设二面角F-DE-C的大小为\theta ，求\sin  \theta 的值.$

Solution:
$因为点F在BC上，BF= \frac{1}{4} BC，\overrightarrow{BC} =(-1，2，0)，所以 \overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC} = \left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0\right) 又 \overrightarrow{DB} =(2，0，0)，故 \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BF} = \left(\frac{7}{4},\frac{1}{2},0\right) $

$设 n_1 =(x_1，y_1，z_1)为平面DEF的法向量，则 \left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ D\overrightarrow{F} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}x_1+y_1+z_1=0,\\ \frac{7}{4}x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right. 取 x_1 = 2，得 y_1 = -7，z_1 = 5，所以 n_1 =(2，-7，5).$

$易得 \overrightarrow{DC} =(1,2,0),设 n_2 =(x_2，y_2，z_2)为平面DEC的法向量，则 \left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ D\overrightarrow{C} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right. 所以 \left\{\begin{matrix}x_2+y_2+z_2=0,\\ x_2+2y_2=0,\end{matrix}\right. 取 x_2 = 2，得 y_2 = -1，z_2 = -1，所以 n_2 =(2，-1，-1).$

$故|\cos  \theta | = \frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|} = \frac{|4+7-5|}{\sqrt{78} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{13}}{13} 所以\sin  \theta  = \sqrt{1-\cos ^2\theta } = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE \perp 平面 ABCD，CF \parallel AE，AD \parallel BC，AD \perp AB，AB = AD = 1，AE = BC = 2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_742b90a2006eac054c0897c6fb7d6a8b.jpg)
$求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；$

Solution:
$依题意，得\overrightarrow{BD} =(-1，1，0)，\overrightarrow{BE} =(-1，0，2)，\overrightarrow{CE} =(-1，-2，2).$

$设 n =(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}-x+y=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right. 不妨令 z =1，$

$可得 n =(2，2，1)，因此有 \cos \langle \overrightarrow{CE}，n \rangle = \frac{\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|} =-\frac{4}{9}$

$所以直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 \frac{4}{9}$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE \perp 平面 ABCD，CF \parallel AE，AD \parallel BC，AD \perp AB，AB = AD = 1，AE = BC = 2.$

<img_1951>
$求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；$

Solution:
$依题意，得\overrightarrow{BD} =(-1，1，0)，\overrightarrow{BE} =(-1，0，2)，\overrightarrow{CE} =(-1，-2，2).$

$设 n =(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}-x+y=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right. 不妨令 z =1，$

$可得 n =(2，2，1)，因此有 \cos \langle \overrightarrow{CE}，n \rangle = \frac{\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|} =-\frac{4}{9}$

$所以直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 \frac{4}{9}$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE \perp 平面 ABCD，CF \parallel AE，AD \parallel BC，AD \perp AB，AB = AD = 1，AE = BC = 2.$

<img_1951>
$若二面角E-BD-F的余弦值为 \frac{1}{3} ，求线段CF的长.$

Solution:
$设 m = (x_1, y_1, z_1) 为平面 BDF 的法向量，则有$
$\left\{\begin{matrix}m \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ m \cdot \overrightarrow{BF}=0,\end{matrix}\right. 即$
$\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ 2y_1+hz_1=0,\end{matrix}\right. $

$不妨令 y_1=1，可得 m = \left(1,1,-\frac{2}{h}\right)$

$由题意，得 |\cos \langle m，n\rangle | = $
$\frac{|m \cdot n|}{|m||n|} = $
$\frac{\left|4-\frac{2}{h}\right|}{3\sqrt{2+\frac{4}{h^2}}}= $
$\frac{1}{3} ，$

$解得 h = \frac{8}{7}经检验，符合题意.所以线段 CF 的长为 \frac{8}{7}$

Final answer: $\frac{8}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE \perp 平面 ABCD，CF \parallel AE，AD \parallel BC，AD \perp AB，AB = AD = 1，AE = BC = 2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_742b90a2006eac054c0897c6fb7d6a8b.jpg)
$若二面角E-BD-F的余弦值为 \frac{1}{3} ，求线段CF的长.$

Solution:
$设 m = (x_1, y_1, z_1) 为平面 BDF 的法向量，则有$
$\left\{\begin{matrix}m \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ m \cdot \overrightarrow{BF}=0,\end{matrix}\right. 即$
$\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ 2y_1+hz_1=0,\end{matrix}\right. $

$不妨令 y_1=1，可得 m = \left(1,1,-\frac{2}{h}\right)$

$由题意，得 |\cos \langle m，n\rangle | = $
$\frac{|m \cdot n|}{|m||n|} = $
$\frac{\left|4-\frac{2}{h}\right|}{3\sqrt{2+\frac{4}{h^2}}}= $
$\frac{1}{3} ，$

$解得 h = \frac{8}{7}经检验，符合题意.所以线段 CF 的长为 \frac{8}{7}$

Final answer: $\frac{8}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD \perp平面ABCD，PA \perp PD，PA=PD，AB \perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894175752261634/img/compression/M_0efde678b65484c88cf5dac48f42de5f.jpg)
求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

Solution:
$取AD的中点O，连接CO，PO，\because CD=AC=\sqrt{5}，\therefore CO\perp AD，\because PA=PD，\therefore PO\perp AD.由题易知PO\perp OC，故PO，OC，AD两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，-1，0)，C(2，0，0)，$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894176867946497/img/compression/M_36902afc72609be091c129232645c128.jpg)
$则\overrightarrow{PB}=(1，1，-1)，\overrightarrow{PD}=(0，-1，-1)，\overrightarrow{PC}=(2，0，-1)， 设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD} \cdot \boldsymbol{n}=-y-z=0,\\ \overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=2x-z=0,\end{matrix}\right.
$$
$令z=1,则x=\frac{1}{2},y=-1，$
$故n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)，设直线PB与平面PCD的夹角为\theta ，则\sin  \theta =|\cos \langle n,\overrightarrow{PB}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PB}|}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD \perp平面ABCD，PA \perp PD，PA=PD，AB \perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}。$
<img_2038>
求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

Solution:
$取AD的中点O，连接CO，PO，\because CD=AC=\sqrt{5}，\therefore CO\perp AD，\because PA=PD，\therefore PO\perp AD.由题易知PO\perp OC，故PO，OC，AD两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，-1，0)，C(2，0，0)，$
<img_1477>
$则\overrightarrow{PB}=(1，1，-1)，\overrightarrow{PD}=(0，-1，-1)，\overrightarrow{PC}=(2，0，-1)， 设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD} \cdot \boldsymbol{n}=-y-z=0,\\ \overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=2x-z=0,\end{matrix}\right.
$$
$令z=1,则x=\frac{1}{2},y=-1，$
$故n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)，设直线PB与平面PCD的夹角为\theta ，则\sin  \theta =|\cos \langle n,\overrightarrow{PB}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PB}|}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD \perp平面ABCD，PA \perp PD，PA=PD，AB \perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894175752261634/img/compression/M_0efde678b65484c88cf5dac48f42de5f.jpg)
$在棱PA上是否存在点M，使得BM‖平面PCD？若存在，求\frac{AM}{AP}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，设\frac{AM}{AP}=\lambda ( \lambda  \in [0,1])，M(0,y',z')，$

$结合(2)中所建坐标系可知A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，则\overrightarrow{AP}=(0,-1,1)，\overrightarrow{AM}=(0,y'-1,z').$

$由\frac{AM}{AP}=\lambda 得\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}，则M(0,1-\lambda ,\lambda )，$

$\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-\lambda ,\lambda ).$

$\because BM\parallel 平面PCD，\boldsymbol{n}=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)为PCD的法向量，$

$\therefore \overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}=0，即-\frac{1}{2}+\lambda +\lambda =0，$

$\therefore \lambda =\frac{1}{4}$

$综上，在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，$

$此时\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$

Final answer: \frac{AM}{AP}}={\frac{1}{4}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD \perp平面ABCD，PA \perp PD，PA=PD，AB \perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}。$
<img_2038>
$在棱PA上是否存在点M，使得BM‖平面PCD？若存在，求\frac{AM}{AP}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，设\frac{AM}{AP}=\lambda ( \lambda  \in [0,1])，M(0,y',z')，$

$结合(2)中所建坐标系可知A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，则\overrightarrow{AP}=(0,-1,1)，\overrightarrow{AM}=(0,y'-1,z').$

$由\frac{AM}{AP}=\lambda 得\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}，则M(0,1-\lambda ,\lambda )，$

$\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-\lambda ,\lambda ).$

$\because BM\parallel 平面PCD，\boldsymbol{n}=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)为PCD的法向量，$

$\therefore \overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}=0，即-\frac{1}{2}+\lambda +\lambda =0，$

$\therefore \lambda =\frac{1}{4}$

$综上，在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，$

$此时\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$



Final answer: \frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  平面 ABCD，AD \perp  CD，AD \parallel  BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3. E为 PD 的中点，点 F在 PC 上，且 PF/PC = 1/3.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894177417400323/img/compression/M_a46db02f7f050b1dc8d19fbd35e40a41.jpg)
$求二面角F-AE-P的余弦值；$

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.$
$因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.$
$建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894178063323137/img/compression/M_2884d8a90df7c1517857bf136947a092.jpg)
$则A(0，0，0)，B(2，-1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，$
$所以\overrightarrow{AE}=(0，1，1)，\overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，$
$所以\overrightarrow{PF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right).$
设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，
$则\left\{\begin{matrix}n \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ n \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0,\end{matrix}\right.$
令z=1，则y=-1，x=-1.于是n=(-1，-1，1).
又因为平面PAD的一个法向量为p=(1，0，0)，
$所以cos\langle n，p\rangle =\frac{n \cdot p}{|n||p|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$
$由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  平面 ABCD，AD \perp  CD，AD \parallel  BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3. E为 PD 的中点，点 F在 PC 上，且 PF/PC = 1/3.$

<img_408>
$求二面角F-AE-P的余弦值；$

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.$
$因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.$
$建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，$
<img_372>
$则A(0，0，0)，B(2，-1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，$
$所以\overrightarrow{AE}=(0，1，1)，\overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，$
$所以\overrightarrow{PF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right).$
设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，
$则\left\{\begin{matrix}n \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ n \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0,\end{matrix}\right.$
令z=1，则y=-1，x=-1.于是n=(-1，-1，1).
又因为平面PAD的一个法向量为p=(1，0，0)，
$所以cos\langle n，p\rangle =\frac{n \cdot p}{|n||p|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$
$由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=2AB=2A_1A=2，A_1B\bigcap AB_1=M，A_1B\perp B_1C.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894230407249922/img/compression/M_7eccbc4a38fa3e8698d5e06cdcc1d97e.jpg)
$若点N在线段A_1C上，满足MN\parallel 平面ABC，求直线B_1N与平面A_1BC所成角的正弦值.$

Solution:
$连接A_1C，MN，B_1N.$

$\because MN\parallel 平面ABC，MN\subset 平面A_1BC， 平面A_1BC \cap 平面ABC = BC, \therefore MN\parallel BC$.

$又M为A_1B的中点，\therefore N为A_1C的中点.$

$如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AA_1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A_1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，B_1(1,0,1)，N\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894230965092353/img/compression/M_34159a003f38a4f3e30c66ac9b207a94.jpg)

$\therefore  \overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)， \overrightarrow{A_1C}=(0,2,-1)，\overrightarrow{B_1N}=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right).$

$设平面A_1BC的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

由 
$$
\begin{cases} 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1B}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1C}=0,
\end{cases}
$$
得 
$$
\begin{cases} 
x-z=0,\\
2y-z=0,
\end{cases}
$$
$不妨取z=2，则x=2, y=1，$

$\therefore 平面A_1BC的一个法向量为\boldsymbol{n}=(2,1,2)，$

$设直线B_1N与平面A_1BC所成的角为\theta ，$

$则 sin \ \theta  = |cos\langle \overrightarrow{B_1N},\boldsymbol{n}\rangle | = $
$$
\frac{|\overrightarrow{B_1N} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{B_1N}||\boldsymbol{n}|} = \frac{2}{\frac{3}{2} \times 3} = \frac{4}{9}
$$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=2AB=2A_1A=2，A_1B\bigcap AB_1=M，A_1B\perp B_1C.$
<img_314>
$若点N在线段A_1C上，满足MN\parallel 平面ABC，求直线B_1N与平面A_1BC所成角的正弦值.$

Solution:
$连接A_1C，MN，B_1N.$

$\because MN\parallel 平面ABC，MN\subset 平面A_1BC， 平面A_1BC \cap 平面ABC = BC, \therefore MN\parallel BC$.

$又M为A_1B的中点，\therefore N为A_1C的中点.$

$如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AA_1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A_1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，B_1(1,0,1)，N\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$

<img_103>

$\therefore  \overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)， \overrightarrow{A_1C}=(0,2,-1)，\overrightarrow{B_1N}=\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right).$

$设平面A_1BC的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

由 
$$
\begin{cases} 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1B}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1C}=0,
\end{cases}
$$
得 
$$
\begin{cases} 
x-z=0,\\
2y-z=0,
\end{cases}
$$
$不妨取z=2，则x=2, y=1，$

$\therefore 平面A_1BC的一个法向量为\boldsymbol{n}=(2,1,2)，$

$设直线B_1N与平面A_1BC所成的角为\theta ，$

$则 sin \ \theta  = |cos\langle \overrightarrow{B_1N},\boldsymbol{n}\rangle | = $
$$
\frac{|\overrightarrow{B_1N} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{B_1N}||\boldsymbol{n}|} = \frac{2}{\frac{3}{2} \times 3} = \frac{4}{9}
$$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，AP\perp PD，AD\perp PB，且AD=PB=2，线段AD的中点为O.$

<img_2912>
$求二面角D-PB-C的余弦值.$

Solution:
$因为AP \perp PD，O为AD的中点，$
$所以OP=\frac{1}{2}AD=1，$
$易得\triangle ABD为等边三角形，又BO \perp AD，$
$所以OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{3}，$
$所以OP^2+OB^2=PB^2，所以OP \perp OB.$
$以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$
<img_2346>
$则B(0,\sqrt{3},0)，C(-2,\sqrt{3}，0)，D(-1,0,0)，P(0,0,1)，$
$所以\overrightarrow{DB}=(1,\sqrt{3},0)，\overrightarrow{DP}=(1,0,1)，\overrightarrow{BC}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BP}=(0,-\sqrt{3},1)，$
$设平面PBD的法向量为\textbf{m}=(x_1,y_1,z_1)，$
$则\begin{cases} \textbf{m} \cdot \overrightarrow{DB}=x_1+\sqrt{3}y_1=0,\\ \textbf{m} \cdot \overrightarrow{DP}=x_1+z_1=0 \end{cases}$
$取x_1=\sqrt{3}，可得\textbf{m}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})，$
$设平面PBC的法向量为\textbf{n}=(x_2,y_2,z_2)，$
$则\begin{cases} \textbf{n} \cdot \overrightarrow{BC}=-2x_2=0,\\ \textbf{n} \cdot \overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}y_2+z_2=0 \end{cases}$
$取y_2=1，可得\textbf{n}=(0,1,\sqrt{3})，$
$所以cos\langle \textbf{m},\textbf{n}\rangle =\frac{\textbf{m} \cdot \textbf{n}}{|\textbf{m}||\textbf{n}|}=-\frac{4}{\sqrt{7} \times 2}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}，$
$由图可知，二面角D-PB-C为锐二面角，$
$因此，二面角D-PB-C的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，AP\perp PD，AD\perp PB，且AD=PB=2，线段AD的中点为O.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894231380328451/img/compression/M_5bcfeade6f23fd45834be1a61478b2a8.jpg)
$求二面角D-PB-C的余弦值.$

Solution:
$因为AP \perp PD，O为AD的中点，$
$所以OP=\frac{1}{2}AD=1，$
$易得\triangle ABD为等边三角形，又BO \perp AD，$
$所以OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{3}，$
$所以OP^2+OB^2=PB^2，所以OP \perp OB.$
$以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894231917199362/img/compression/M_b4e9e1b8f689afe03fbbe75755a38fd4.jpg)
$则B(0,\sqrt{3},0)，C(-2,\sqrt{3}，0)，D(-1,0,0)，P(0,0,1)，$
$所以\overrightarrow{DB}=(1,\sqrt{3},0)，\overrightarrow{DP}=(1,0,1)，\overrightarrow{BC}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BP}=(0,-\sqrt{3},1)，$
$设平面PBD的法向量为\textbf{m}=(x_1,y_1,z_1)，$
$则\begin{cases} \textbf{m} \cdot \overrightarrow{DB}=x_1+\sqrt{3}y_1=0,\\ \textbf{m} \cdot \overrightarrow{DP}=x_1+z_1=0 \end{cases}$
$取x_1=\sqrt{3}，可得\textbf{m}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})，$
$设平面PBC的法向量为\textbf{n}=(x_2,y_2,z_2)，$
$则\begin{cases} \textbf{n} \cdot \overrightarrow{BC}=-2x_2=0,\\ \textbf{n} \cdot \overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}y_2+z_2=0 \end{cases}$
$取y_2=1，可得\textbf{n}=(0,1,\sqrt{3})，$
$所以cos\langle \textbf{m},\textbf{n}\rangle =\frac{\textbf{m} \cdot \textbf{n}}{|\textbf{m}||\textbf{n}|}=-\frac{4}{\sqrt{7} \times 2}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}，$
$由图可知，二面角D-PB-C为锐二面角，$
$因此，二面角D-PB-C的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”，如图2.

![24ASD55X646.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894257608298498/img/compression/M_22357a8044d3e5f34258ae560ed9c458.jpg)

![24ASD55X647.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894257608298498/img/compression/M_053ebd582071647a1ab9468ba1e065af.jpg)
$若二面角A-EF-B的大小为\frac{2\pi }{3}，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值.$

Solution:
$易得\angle AEB为二面角A-EF-B的平面角，\therefore \angle AEB=\frac{2\pi }{3}，$
$以E为坐标原点，\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EF}的方向分别为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，如图，$
![24ASD55X647A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894258807869442/img/compression/M_e214749904939fa30cf912df3d4884f4.jpg)
$设CB=2EB=2EA=4，则B(2,0,0)，O(1,2,0)，A(-1,0,\sqrt{3})，$
$\therefore \overrightarrow{OB}=(1,-2,0)，\overrightarrow{BA}=(-3,0,\sqrt{3})，$
设平面OAB的法向量为n=(x,y,z)，
$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{OB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BA}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x-2y=0,\\ -3x+\sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.取x=2，则y=1，z=2\sqrt{3}，$
$\therefore 平面OAB的一个法向量为n=(2,1,2\sqrt{3})，$
易知平面ABE的一个法向量m=(0,1,0)，
$\therefore cos\langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}，$
$\therefore 平面OAB与平面ABE夹角的余弦值为\frac{\sqrt{17}}{17}$

Final answer: $\frac{\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”，如图2.

<img_2254>

<img_2042>
$若二面角A-EF-B的大小为\frac{2\pi }{3}，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值.$

Solution:
$易得\angle AEB为二面角A-EF-B的平面角，\therefore \angle AEB=\frac{2\pi }{3}，$
$以E为坐标原点，\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EF}的方向分别为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，如图，$
<img_1718>
$设CB=2EB=2EA=4，则B(2,0,0)，O(1,2,0)，A(-1,0,\sqrt{3})，$
$\therefore \overrightarrow{OB}=(1,-2,0)，\overrightarrow{BA}=(-3,0,\sqrt{3})，$
设平面OAB的法向量为n=(x,y,z)，
$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{OB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BA}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x-2y=0,\\ -3x+\sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.取x=2，则y=1，z=2\sqrt{3}，$
$\therefore 平面OAB的一个法向量为n=(2,1,2\sqrt{3})，$
易知平面ABE的一个法向量m=(0,1,0)，
$\therefore cos\langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}，$
$\therefore 平面OAB与平面ABE夹角的余弦值为\frac{\sqrt{17}}{17}$

Final answer: $\frac{\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正三棱柱ABC-A_1B_1C_1的所有棱长均为2，D为棱BB_1(不包括端点)上一动点，E是AB的中点,连接A_1E,CE.$

<img_2934>
$若AD \perp A_{1}C，求BD的长；$

Solution:
$易得CE \perp AB，$
$又平面ABC \perp平面ABB_1A_1，平面ABC\cap 平面ABB_1A_1=AB,所以CE \perp平面ABB_1A_1.$
$而AD \subset平面ABB_1A_1所以AD \perp CE，$
$又AD \perp A_1C，A_1C\cap CE=C,所以AD \perp平面A_1CE，$
$所以AD \perp A_1E.又四边形ABB_1A_1为正方形，$
$易知Rt\triangle A_1AE\; \cong Rt\triangle ABD,所以BD=AE=\frac{1}{2}AB=1.$

Final answer: $BD=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正三棱柱ABC-A_1B_1C_1的所有棱长均为2，D为棱BB_1(不包括端点)上一动点，E是AB的中点,连接A_1E,CE.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894259332157444/img/compression/M_613ab1f278bf9bb5a94f7ed8d0232107.jpg)
$若AD \perp A_{1}C，求BD的长；$

Solution:
$易得CE \perp AB，$
$又平面ABC \perp平面ABB_1A_1，平面ABC\cap 平面ABB_1A_1=AB,所以CE \perp平面ABB_1A_1.$
$而AD \subset平面ABB_1A_1所以AD \perp CE，$
$又AD \perp A_1C，A_1C\cap CE=C,所以AD \perp平面A_1CE，$
$所以AD \perp A_1E.又四边形ABB_1A_1为正方形，$
$易知Rt\triangle A_1AE\; \cong Rt\triangle ABD,所以BD=AE=\frac{1}{2}AB=1.$

Final answer: $BD=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4，E为CD的中点，且\triangle VBC为等边三角形.$
![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894260573671426/img/compression/M_90e37e2a530a58058a08b22acf9aef77.jpg)
$若二面角A-BC-V的大小为30^\circ ，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值.$

Solution:
$取BC的中点O，AD的中点G,连接OG，VO，则OG\perp BC.$
$又\triangle VBC为等边三角形，所以VO\perp BC，$
$所以\angle GOV为二面角A-BC-V的平面角，所以\angle GOV=30^\circ ,过点V作VF\perp GO于F，易知VF\perp 平面ABCD，$
$因为VO=\sqrt{3},所以VF=\frac{\sqrt{3}}{2}，OF=\frac{3}{2}$
$以O为坐标原点，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{GO}的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$

![24ASD5SX503](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894260959547394/img/compression/M_8e3a071ddee6cd69b41f2cedd30f968e.jpg)

$则A(1，-4，0)，C(-1，0，0)，D(-1，-4，0)，V\left(0,- \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$
$所以\overrightarrow{DC}=(0,4,0)，\overrightarrow{CV}=\left(1,-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{AV}=\left(-1,\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$设n=(x,y,z)为平面VCD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CV}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4y=0,\\ x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\end{matrix}\right.$
$令z=2，得n=(-\sqrt{3},0,2).$
$设直线AV与平面VCD所成的角为\alpha ，$
$则sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{AV},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AV} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AV}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8} \times \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{42}}{14}，$
$故直线AV与平面VCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{14}$

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4，E为CD的中点，且\triangle VBC为等边三角形.$
<img_2349>
$若二面角A-BC-V的大小为30^\circ ，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值.$

Solution:
$取BC的中点O，AD的中点G,连接OG，VO，则OG\perp BC.$
$又\triangle VBC为等边三角形，所以VO\perp BC，$
$所以\angle GOV为二面角A-BC-V的平面角，所以\angle GOV=30^\circ ,过点V作VF\perp GO于F，易知VF\perp 平面ABCD，$
$因为VO=\sqrt{3},所以VF=\frac{\sqrt{3}}{2}，OF=\frac{3}{2}$
$以O为坐标原点，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{GO}的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$

<img_2480>

$则A(1，-4，0)，C(-1，0，0)，D(-1，-4，0)，V\left(0,- \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$
$所以\overrightarrow{DC}=(0,4,0)，\overrightarrow{CV}=\left(1,-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{AV}=\left(-1,\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$设n=(x,y,z)为平面VCD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CV}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4y=0,\\ x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\end{matrix}\right.$
$令z=2，得n=(-\sqrt{3},0,2).$
$设直线AV与平面VCD所成的角为\alpha ，$
$则sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{AV},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AV} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AV}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8} \times \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{42}}{14}，$
$故直线AV与平面VCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{14}$

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{14}$