di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
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Question: $已知函数f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-2\sin^2x。$
$若x\in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]，求f(x)的最大值和最小值。$

Solution:
$f(x)=\sqrt{3}\sin{2x}+\cos{2x}-1=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1.$

$因为x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]，所以-\frac{\pi}{6}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq\frac{5\pi}{6}，$

$所以-\frac{1}{2}\leq\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leq1，$

$所以-2\leq2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1\leq1，$

$所以f(x)的最大值为1，最小值为-2.$



Final answer: 1，-2
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Question: $已知函数f(x)=2cos^2\omega x+2\sqrt{3}sin \omega x cos \omega x+a(\omega>0，a\in R)。再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知：$

$条件①：f(x)的最大值为1；$
$条件②：f(x)图象的一条对称轴是直线x=-\frac{\pi }{12\omega }；$
$条件③：f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为\frac{\pi}{2}.$
$若将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的\frac{1}{2}，再向右平移\frac{\pi }{12}个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0, m]上的最小值为g(0)，求m的最大值.$

Solution:
$根据题意得 g(x)=2sin\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)-1，$
$因为 x \in [0,m]，所以 4x-\frac{\pi}{6} \in  \left[-\frac{\pi}{6},4m-\frac{\pi}{6}\right]，$
$又 g(x) 在区间 [0,m] 上的最小值为 g(0)，$
$所以有 \left\{\begin{matrix}4m-\frac{\pi}{6}\leq \frac{7\pi}{6},\\ m>0,\end{matrix}\right. 解得 0<m\leq \frac{\pi}{3}.$
$故 m 的最大值为 \frac{\pi}{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
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Question: $函数 f(x)=A\sin (\omega x+\phi ) (A, \omega , \phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$
<img_1720>
$求f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)的值.$

Solution:
$由(1)知 f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)=2sin\left(-\frac{10\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2sin\frac{\pi }{6}=1.$

Final answer: $1$
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Question: $函数 f(x)=A\sin (\omega x+\phi ) (A, \omega , \phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$
![图一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873745639403522/img/compression/M_33a7be52836e700b7aed792df5d6c83a.jpg)
$求f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)的值.$

Solution:
$由(1)知 f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)=2sin\left(-\frac{10\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2sin\frac{\pi }{6}=1.$

Final answer: $1$
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Question: $已知函数 f(x)=\sqrt{3}\cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-2\sin x\cos x.$
$求f(x)的最小正周期；$

Solution:
$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos  2x+\frac{3}{2}\sin  2x-\sin  2x$
$=\frac{1}{2}\sin  2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos  2x$
$=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$
$所以f(x)的最小正周期T=\frac{2\pi }{2}=\pi .$



Final answer: T=\pi
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Question: $设函数f(x) = \sin  x + \cos  x (x\in \textbf{R}).$
$求函数y=\left[f \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]^2的最小正周期；$

Solution:
$解法一：由 f(x) = \sin{x} + \cos{x}(x\in R)，得 y=[f (x+\frac{\pi }{2})]^2 = [\sin  (x+\frac{\pi }{2})+ \cos  (x+\frac{\pi }{2})]^2 = (\cos{x} - \sin{x})^2 = 1 - \sin{2x}. 所以该函数的最小正周期 T = \frac{2\pi }{2} = \pi.$

$解法二：f(x) = \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2} \sin{(x+\frac{\pi }{4})}，则 y=[f(x+\frac{\pi }{2})]^2 = [\sqrt{2} \sin{(x+\frac{3\pi }{4})}]^2 = 2\sin^2{(x+\frac{3\pi }{4})} = 1 - \cos{(2x+\frac{3\pi }{2}} = 1 - \sin{2x}，所以该函数的最小正周期 T = \frac{2\pi }{2} = \pi.$

Final answer: $\pi$
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Question: $设函数f(x) = \sin  x + \cos  x (x\in \textbf{R}).$
$求函数y=f(x)f\left(x-\frac{\pi }{4}\right)在\left[0,\frac{\pi }{2}\right]上的最大值。$

Solution:
$由题意，y=f(x)f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\sqrt{2}\sin x=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin x=2\sin  x\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin  x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos  x\right)=\sqrt{2}\sin^2x+\sqrt{2}\sin x\cos x=\sqrt{2}\cdot\frac{1-\cos  2x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}，$
$由x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]可得2x-\frac{\pi}{4}\in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]，所以当2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}即x=\frac{3\pi}{8}时，函数取最大值1+\frac{\sqrt{2}}{2}。$

Final answer: $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
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Question: $已知函数 f(x) = \cos^{4}x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x - \sin^{4}x$
$求函数f(x)在区间 [0,\frac{\pi}{2}] 上的最大值和最小值.$

Solution:
$当x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]时，2x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]. $

$\therefore 当2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3},即x=0时， f(x)_{max}=2\cos \frac{\pi }{3}=1;$

$当2x+\frac{\pi }{3}=\pi ,即x=\frac{\pi }{3}时， f(x)_{min}=2\cos  \pi =-2.$

Final answer: $f(x)_{max}=1，f(x)_{min}=-2$
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Question: $设函数f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\cos^2x.$
$求函数f(x) 的最小正周期;$

Solution:
$f(x)=\cos 2x\cos \frac{\pi}{3} + \sin 2x\sin \frac{\pi}{3} +1+ \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{3}{2}\cos 2x +1 =\sqrt{3}\left(\sin  2x\cos \frac{\pi}{3} + \cos  2x\sin \frac{\pi}{3}\right) +1 =\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi }{3}\right) +1，所以 f(x) 的最小正周期 T=\frac{2\pi}{2}=\pi.$



Final answer: $T=\pi$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\cos^2x.$
$求函数f(x)在区间 \left[0,\frac{\pi}{2}\right] 上的最值；$

Solution:
$当x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]时，2x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]，所以当2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}时， f(x)取得最大值，为\sqrt{3}+1,当2x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}时，f(x)取得最小值，为-\frac{1}{2}.$



Final answer: \sqrt{3}+1，-\frac{1}{2}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC中，\sin^{2}A-\sin^{2}B-\sin^{2}C=\sin B \sin C。$
求A；

Solution:
$：由正弦定理和已知条件得 BC^2 - AC^2 - AB^2 = AC \cdot AB (①)，由余弦定理得 BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot cosA (②)，由①②得 cosA = -\frac{1}{2}，因为 0<A<\pi ，所以 A=\frac{2\pi}{3}。$



Final answer: $A=\frac{2\pi}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC中，\sin^{2}A-\sin^{2}B-\sin^{2}C=\sin B \sin C。$
$若BC=3，求\triangle ABC周长的最大值.$

Solution:
$由正弦定理及(1)得 $
$$
\frac{AC}{\sin  B}=\frac{AB}{\sin  C}=\frac{BC}{\sin  A}=2\sqrt{3}
$$
$从而 AC=2\sqrt{3}\sin  B， AB=2\sqrt{3}\sin (\pi -A-B)=3\cos  B-\sqrt{3}\sin  B.$
$故 BC+AC+AB=3+\sqrt{3}\sin  B+3\cos  B=3+2\sqrt{3}\sin \left(B+\frac{\pi }{3}\right)$
$又0<B<\frac{\pi }{3}，所以当 B=\frac{\pi }{6}时，\triangle ABC的周长取得最大值3+2\sqrt{3}.$

Final answer: $3+2\sqrt{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在锐角\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b\sin A- \sqrt{3}a=0.$
求角B的大小；

Solution:
$由正弦定理得2\sin  B\sin  A=\sqrt{3}\sin  A，$
$又\sin  A\neq 0,所以\sin  B=\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$又因为\triangle ABC为锐角三角形，所以B=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: \frac{\pi }{3}
Subfield: Sequence


Question: $等比数列{a_n}中，a_1=1，a_5=4a_3。$
$记S_n为{a_n}的前n项和.若S_m=63，求m.$

Solution:
$若a_n= (-2)^{n-1},则S_n= \frac{1-(-2)^n}{3}.$

$由S_m=63得(-2)^m=-188，此方程没有正整数解.$

$若a_n=2^{n-1}，则S_n=2^n-1.由S_m=63得2^m=64,解得m=6.$

$综上，m=6.$

Final answer: 6
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=2x^3-3x.$
$求 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值；$

Solution:
$由f(x)=2x^3-3x得f '(x)=6x^2-3.$

$令f '(x)=0,得x=-\sqrt{2}/2 或x=\sqrt{2}/2.$

$因为f(-2)=-10, f\left(-\sqrt{2}/2\right)=\sqrt{2}, f\left(\sqrt{2}/2\right)=-\sqrt{2}, f(1)=-1,$

$所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f\left(-\sqrt{2}/2\right)=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^{2}+\cos  x.$
$求函数f(x)在[－2\pi ,2\pi ]上的最大值和最小值；$

Solution:
$由(1)知 f'(x)=2x - \sin x，让 h(x)=2x - \sin x，x \in [-2\pi, 2\pi]，则 h'(x)=2 - \cos x > 0，$
$所以 h(x) 在 [-2\pi,2\pi] 上单调递增,$
$又 h(0)=0，$
$所以当 x \in [-2\pi,0) 时, f'(x) < 0, f(x) 单调递减，当 x \in (0,2\pi] 时, f'(x) > 0, f(x) 单调递增，$
$所以当 x = 0 时， f(x) 取得最小值，为1，当 x = 2\pi 或 x = -2\pi 时， f(x) 取得最大值，为 4\pi^2+1.$



Final answer: 4\pi^2+1，1
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=ax^{2}-x\ln x.$
$设直线l为曲线y=f(x)的切线，当a\geq\frac{e}{2}时，记直线l的斜率的最小值为g(a)，求g(a)的最小值；$

Solution:
$易得直线l的斜率为f' (x) = 2ax - ln \ x -1，$

$设h(x) = 2ax - ln \ x - 1， 则 h'(x) = 2a - \frac{1}{x} = \frac{2ax - 1}{x}，$

$当a \geq \frac{e}{2}时，令h'(x) = 0，得x = \frac{1}{2a}，$

$当0<x< \frac{1}{2a}时，h'(x)< 0，h(x)在 \left(0,\frac{1}{2a}\right)上单调递减，当x > \frac{1}{2a}时， h'(x) > 0，h(x)在\left(\frac{1}{2a},+\infty \right)上单调递增，$

$故 h_{min} = h\left(\frac{1}{2a}\right) = ln \ 2a，即 f'_{min} = ln \ 2a， 即g(a) = ln \ 2a， 因为 a\geq \frac{e}{2}， 所以 g(a)的最小值为 ln\left(2\times \frac{e}{2}\right) = 1.$

Final answer: $1$
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Question: $已知函数f(x)＝x^3-ax^2-a^2x＋1，其中a＞0.$
$若曲线y=f(x)在点(-a， f(-a))处的切线与y轴的交点为(0，m)，求m＋\frac{1}{a}的最小值.$

Solution:
$因为 f(x)=x^3-ax^2-a^2x+1,$
$所以 f(-a)=-a^3-a^3+a^3+1=1-a^3, f' (x)=3x^2-2ax-a^2.$
$所以 f'(-a)=3a^2+2a^2-a^2=4a^2,$
$曲线 y=f(x) 在点 (-a, f(-a)) 处的切线方程为 y-1+a^3=4a^2 (x+a)，即 y=4a^2x+1+3a^3.$
$令 x=0，得 m=1+3a^3，此时 m+\frac{1}{a}=1+3a^3+\frac{1}{a}，(统一变量)$
$令 g(a)=3a^3+\frac{1}{a}+1(a > 0),则 g'(a)=9a^2-\frac{1}{a^2}，$
$令 g'(a)=0，得 a=\frac{\sqrt{3}}{3},$
$当 0<a<\frac{\sqrt{3}}{3} 时， g'(a)<0；当 a>\frac{\sqrt{3}}{3} 时，g'(a)>0，$
$g(a) 在区间 \left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right) 上单调递减，在区间 \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right) 上单调递增，$
$故 g(a) 在 a=\frac{\sqrt{3}}{3} 处取得最小值，g\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=3\times \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}+1=1+\frac{4\sqrt{3}}{3}，故 m+\frac{1}{a} 的最小值为 1+\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $1+\frac{4\sqrt{3}}{3}$
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Question: $已知函数f(x)=2ln x - x - ln a，a>0.$
$求曲线y=f(x)在(1, f(1))处切线的斜率；$

Solution:
$由题意得f'(x)=\frac{2}{x}-1,则f'(1)=1，$
$所以曲线y=f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为1.$

Final answer: $1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=2ln x - x - ln a，a>0.$
$求函数f(x)的极大值；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为(0,+\infty )，求导得f'(x) = \frac{2}{x} - 1，令f'(x) = 0，得x = 2，$

$当x \in  (0,2)时，f'(x) > 0，函数单调递增；当x \in  (2,+\infty )时，f'(x) < 0，函数单调递减。$

$故当x = 2时，函数取得极大值，f(2) = 2ln2 - 2 - ln a = ln\frac{4}{ae^2}，$

$所以函数f(x)的极大值为ln\frac{4}{ae^2}。$

Final answer: $ln\frac{4}{ae^2}$
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Question: $已知函数f(x)=2ln x - x - ln a，a>0.$
$设g(x)=ae^x-x^2，当a\in (1,e)时，求函数g(x)的零点个数.$

Solution:
$g'(x)=ae^{x}-2x，a\in (1,e)，$

$当x\leq 0时，g'(x)>0，故函数在(-\infty ,0]上单调递增，$

$又g(0)=a>0，g(-1)=\frac{a}{e} -1<0，所以方程g(x)=0在x\in (－1,0)有且仅有一个根，即函数g(x)在x\in (－\infty ,0]上有一个零点.$

$当x>0时，讨论函数g(x)的零点个数，即讨论方程ae^{x}=x^{2}的根的个数，即讨论方程a=\frac{x^{2}}{e^{x}}的根的个数，即讨论函数h(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}的图象与直线y=a的交点个数，$

$求导得h'(x)=\frac{2x-x^{2}}{e^{x}}，令h'(x)=0，得x=0或x=2，$

$当x\in (0,2)时，h'(x)>0，函数单调递增；当x\in (2,+\infty )时，h'(x)<0，函数单调递减.$

$又h(0)=0，h(2)=\frac{4}{e^{2}}<1，又a\in (1,e)，所以函数h(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}的图象与直线y=a没有交点，$

$即函数g(x)在x\in (0,+\infty )上无零点.$

$综上可知，当a\in (1,e)时，函数g(x)的零点个数为1.$

Final answer: $1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = e^x \sin x - 2x.$
$求f(x)在区间[－1,1]上的最大值；$

Solution:
$令 g(x)=f '(x)=e^{x}(sin x+cos x)－2，$

$则 g'(x)=2e^{x} cos x，当 x\in [－1,1] 时，g'(x)>0，g(x) 单调递增.$

$因为 g(0)=－1<0，g(1)=e(sin 1+cos 1)－2>0，$

$所以存在 x_0\in (0,1)，使得 g(x_0)=0.$

$所以当 x\in (－1,x_0) 时, f '(x)<0 且 f(x) 单调递减；$

$当 x\in (x_0,1) 时, f '(x)>0 且 f(x) 单调递增，$

$又 f(1)=e sin 1－2<e－2<1，f(－1)=2－\frac{\sin 1}{e}>1，$

$所以当 x\in [-1,1] 时, f(x)_{max}=f(－1)=2－\frac{\sin 1}{e}.$

Final answer: $2－\frac{\sin 1}{e}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = e^x \sin x - 2x.$
$设实数a使得f(x)+x>ae^x对x\in R恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.$

Solution:
$满足条件的a的最大整数值为－2. $

理由如下： 

$不等式f(x)+x>a e^x恒成立等价于a<\sin x - \frac{x}{e^x}恒成立. $

$令\phi(x) = \sin x - \frac{x}{e^x}，$

$当x \leq 0时，- \frac{x}{e^x} \geq 0，所以\phi(x)>-1恒成立.$

$当x > 0时，令h(x) = -\frac{x}{e^x}，h(x)<0，h'(x)=\frac{x-1}{e^x}，$

$x,h'(x)与h(x)的变化情况如下：$

|$x$       |$(0,1)$|1  |$(1,+\infty )$|
|--------|-----|-- |----- |
|$h'(x)$   |－    |0  |+     |
|$h(x)$    |$\text{单调递减}$     |$-\frac1e$ |$\text{单调递增}$    |

$所以h_{min}=h(1)=-\frac{1}{e}，当x\rightarrow +\infty 时，h(x)<0，且h(x)\rightarrow 0，所以h(x)的值域为[-\frac{1}{e},0)，$

$因为\sin x的值域满足[－1,1]，所以\phi(x)的最小值小于－1且大于－2.$

$所以a的最大整数值为－2.$

Final answer: $-2$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\ln x+\frac{a}{x}，a\in R.$
$若函数f(x)的最小值是2，求a的值；$

Solution:
$函数f(x)=ln x + \frac{a}{x}的定义域为(0,+\infty ),$
$f' (x)= \frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}= \frac{x-a}{x^2}.$
$- ①当a \leq 0时， f' (x)\gt0。所以f(x)在(0，＋\infty )上单调递增，无最小值.$
$- ②当a >0时，令f'(x)<0，得0< x < a；令f'(x)>0，得x > a.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+\infty )上单调递增，所以f(x)的最小值为f(a)=1+ln a.$
$所以1+ln a=2，解得a=e.$

Final answer: $e$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=xsinx.$
$求函数g(x)=\frac{f(x)+1}{\ln x}在区间(1，\pi ]上的最小值.$

Solution:
$由(1)(2)可知， f(x)在(1,x_{0})内单调递增，在(x_{0},\pi )内单调递减。$
$又因为f(1)=\sin 1 > 0， f(\pi )=0，$
$所以当x \in  (1,\pi ]时， f(x)+1\geq 1。$
$又因为当x \in  (1,\pi ]时，0< \ln x \leq  \ln \pi ，$
$所以g(x)=\frac{f(x)+1}{\ln x} \geq  \frac{1}{\ln \pi }，当且仅当x=\pi 时等号成立。$
$所以g(x)在(1,\pi ]上的最小值为\frac{1}{\ln \pi }。$

Final answer: $\frac{1}{\ln \pi }$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = x^2 + \ln(x+1).$
$若(e^{x}+acosx)f(x) \geq 0恒成立，求实数a的值.$

Solution:
$f(x)的定义域为(－1,+\infty ).$
$由(1)知f(0)=0，且f(x)在(－1,+\infty )上单调递增，$
$所以当x>0时, f(x)>0；当－1<x<0时, f(x)<0.$
$设g(x)=e^x + acos x.$
$若g(x)f(x)\geq 0恒成立，则当x>0时，g(x)\geq 0；当－1<x<0时，g(x)\leq 0，且g(x)是连续函数，$
$所以g(0)=0，即e^0 + acos 0=0，解得a=－1.$
$下面证明：当a=-1时，g(x)f(x)\geq 0恒成立.$
$当a=-1时，g(x)=e^x - cos x，g'(x)=e^x +sin x.$
$当x>0时，g'(x)>1+sin x \geq 0，$
$所以g(x)在(0,+\infty )上单调递增，g(x)>g(0)=0.$
$当－1<x<0时，设h(x)=g'(x).$
$因为h'(x)=e^x +cos x >0，$
$所以g'(x)在(－1,0)上单调递增.$
$又g'(－1)=e^－1 +sin(－1)<e^{-1}+sin\left(-\frac{\pi }{4}\right) =\frac{1}{e} - \frac{1}{\sqrt{2}}<0，g'(0)=1>0，$
$所以存在唯一的x_0\in (－1,0)，使得g'(x_0)=0.$
$所以g(x)在(－1,x_0)上单调递减，在(x_0,0)上单调递增.$
$因为g(－1)=\frac{1}{e} -cos(－1)<\frac{1}{e} - \frac{1}{2} <0，且g(0)=0，$
$所以当－1<x<0时，g(x)<0恒成立.$
$综上，a=－1.$

Final answer: $a=－1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{\ln x+a}{x+1}.$
$若f '(1)=\frac{1}{4}，求a的值.$

Solution:
$由题意得f'(x)=\frac{1+\frac{1}{x}-\mathrm{ln} x-a}{(x+1)^2},  $
$由f'(1)=\frac{2-a}{4}=\frac{1}{4}，解得a=1.$

Final answer: $a=1$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = xe^{a-x} + bx，曲线y=f(x)在点 (2, f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x + 4.$
求a，b的值；

Solution:
$因为 f(x) = xe^{a-x} + bx，$
$所以 f'(x) = (1-x)e^{a-x} + b.$
依题设，知
$$
\begin{matrix}
f(2)=2e+2,\\ 
f'(2)=e-1,
\end{matrix}
$$
即
$$
\begin{matrix}
2e^{a-2}+2b=2e+2,\\ 
-e^{a-2}+b=e-1.
\end{matrix}
$$

$解得 a=2，b=e.$

Final answer: $a=2，b=e$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=x-x^3e^{ax+b}，曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y=-x+1.$
求a,b的值；

Solution:
$因为点(1， f(1))在切线y=-x+1上，所以f(1)=0, f'(1)=-1，$
$而f(1)=1-e^{a+b}=0，即e^{a+b}=1①，$
$又知f'(x)=1-3x^2e^{ax+b}-ax^3e^{ax+b}，$
$所以f'(1)=1-3e^{a+b}-ae^{a+b}=-1②，由①②得a=-1,b=1.$

Final answer: $a=-1, b=1$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=x-x^3e^{ax+b}，曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y=-x+1.$
$求f(x)的极值点个数.$

Solution:
$由(2)知 g(x)=e^{1-x}(x^{3}-3x^{2})+1,$

$\therefore g(0)=1>0, g(-1)=-4e^{2}+1<0, g(x) 在区间(-\infty ,0)上有一个变号零点，故 f(x) 在(-\infty ,0)上有一个极值点.$

$又\because g(1)=-1<0, 且 g(3-\sqrt{3})<g(1)<0, \therefore g(x) 在(0，3-\sqrt{3})上有一个变号零点，故 f(x) 在(0，3-\sqrt{3})上有一个极值点.$

$\because g(3)=1>0, 且 g(3+\sqrt{3})>g(3)>0,$

$\therefore g(x) 在(3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3})上有一个变号零点，故 f(x) 在(3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3})上有一个极值点.$

$当x>3时，g(x)=x^{2}e^{1-x}(x-3)+1>0, 故 g(x) 在(3+\sqrt{3}，+\infty )上无零点，即 f(x) 无极值点.$

$综上， f(x) 有3个极值点.$



Final answer: 3
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = [ax^2 -(4a+1)x + 4a + 3] \cdot e^{x}.$
$若曲线 y=f(x) 在点(1， f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为R，  $
$f'(x)=[2ax-(4a+1)]e^{x}+[ax^{2}-(4a+1)x+4a+3]e^{x}=e^{x}[ax^{2}-(2a+1)x+2]=e^{x}(ax-1)(x-2)，  $
$由曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线与x轴平行，得f'(1)=-e(a-1)=0，即a=1。  $
$此时，f(1)=3e\neq 0,\therefore a=1。$

Final answer: $a=1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x.$
$设 F(x)=|f(x)-(x+a)| (a \in R)，记 F(x) 在区间 [-2,4] 上的最大值为 M(a) .当 M(a) 最小时，求 a 的值.$

Solution:
$由(2)知，-6\leq g(x)\leq 0,且g(-2)=-6, g(0)=g(4)=0。$
$由题意知，无论参数a如何变化，F(x)在[-2,4]上的最大值M(a)总是|g(0)-a|与|g(-2)-a|中较大的一个，所以只需比较|a|与|a+6|，取较大的为M(a)，$
$当|a|>|a+6|,即a<-3时，M(a)\geq F(0)=|g(0)-a|=-a>3；$
$当|a|<|a+6|,即a>-3时，M(a)\geq F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3；$
$当|a|=|a+6|,即a=-3时，M(a)=3。$
$综上，当M(a)最小时，a=-3。$

Final answer: $a=-3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
求第2次投篮的人是乙的概率;

Solution:
设“第2次投篮的人是乙”为事件A，
$则P(A)=0.5\times 0.4+0.5\times 0.8=0.6.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“$\sqrt{}$”表示购买，“$\times$”表示未购买.

| 商品 | 顾客人数 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 100 | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  |
| 217 | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  |
| 200 | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  | $\times$  |
| 300 | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  |
| 85  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\times$  | $\times$  |
| 98  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\times$  |
估计顾客同时购买乙和丙的概率；

Solution:
$从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为\frac{200}{1 000}=0.2.$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“$\sqrt{}$”表示购买，“$\times$”表示未购买.

| 商品 | 顾客人数 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 100 | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  |
| 217 | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  |
| 200 | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  | $\sqrt{}$  | $\times$  |
| 300 | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  |
| 85  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\times$  | $\times$  |
| 98  | $\times$  | $\sqrt{}$  | $\times$  | $\times$  |
估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

Solution:
从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

$\frac{100+200}{1 000}=0.3.$

Final answer: $0.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示。在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同。

| 时段 | 价格变化 |
| :-----: | :-----: |
| 第1天到第20天 | - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + |
| 第21天到第40天 | 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + |

用频率估计概率。
试估计该农产品价格“上涨”的概率；

Solution:
$由题表得这40天内该农产品价格“上涨”的天数为16，估计该农产品价格“上涨”的概率为 \frac{16}{40} = \frac{2}{5}.$

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示。在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同。

| 时段 | 价格变化 |
| :-----: | :-----: |
| 第1天到第20天 | - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + |
| 第21天到第40天 | 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + |

用频率估计概率。
假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

Solution:
$由(1)估计该农产品价格“上涨”的概率为\frac{2}{5}，$
$由题表估计该农产品价格“下跌”的概率为\frac{14}{40}=\frac{7}{20}，价格“不变”的概率为\frac{10}{40}=\frac{1}{4}，$
$所以所求概率为C^2_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^2\times C^1_2\times \frac{7}{20}\times \frac{1}{4}=\frac{21}{125}.$

Final answer: $\frac{21}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示。在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同。

| 时段 | 价格变化 |
| :-----: | :-----: |
| 第1天到第20天 | - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + |
| 第21天到第40天 | 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + |

用频率估计概率。
假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

Solution:
第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大。

详解：因为该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，且第40天的价格“上涨”，所以只需统计前40天中价格“上涨”的次日的价格变化情况.由题表知价格“上涨”的次日价格“上涨”的天数为4，价格“下跌”的天数为2，价格“不变”的天数为9，所以第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.

Final answer: "第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大"
Subfield: Probability and Statistics


Question: 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

| 电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
| :---------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
| 好评率   | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

Solution:
$由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000，$

$第四类电影中获得好评的电影部数是200\times 0.25=50.$

故所求概率为

$ \frac{50}{2 000} = 0.025.$

Final answer: $0.025$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

| 电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
| :---------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
| 好评率   | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

Solution:
由题意知，样本中获得好评的电影部数是

$140\times 0.4+50\times 0.2+300\times 0.15+200\times 0.25+800\times 0.2+510\times 0.1=56+10+45+50+160+51=372.$

$故所求概率估计为1- \frac{372}{2 000} =0.814.$

Final answer: $0.814$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm)：

| 立定跳远单项等级 | 高三男生    | 高三女生    |
| -------------- | ------- | ------- |
| 优秀           | 260及以上 | 194及以上 |
| 良好           | 245~259    | 180~193    |
| 及格           | 205~244    | 150~179    |
| 不及格         | 204及以下 | 149及以下 |

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1 cm)：

| 性别 | 成绩   |
| ---- | ---- |
| 男生 | 180  |
| 男生 | 205  |
| 男生 | 213  |
| 男生 | 220  |
| 男生 | 235  |
| 男生 | 245  |
| 男生 | 250  |
| 男生 | 258  |
| 男生 | 261  |
| 男生 | 270  |
| 男生 | 275  |
| 男生 | 280  |
| 女生 | 148  |
| 女生 | 160  |
| 女生 | 162  |
| 女生 | 169  |
| 女生 | 172  |
| 女生 | 184  |
| 女生 | 195  |
| 女生 | 196  |
| 女生 | 196  |
| 女生 | 197  |
| 女生 | 208  |
| 女生 | 220  |

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

Solution:
$样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为\frac{4}{12}=\frac{1}{3}；估计该校高三女生立定跳远单项的优秀率为\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$



Final answer: $\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm)：

| 立定跳远单项等级 | 高三男生    | 高三女生    |
| -------------- | ------- | ------- |
| 优秀           | 260及以上 | 194及以上 |
| 良好           | 245~259    | 180~193    |
| 及格           | 205~244    | 150~179    |
| 不及格         | 204及以下 | 149及以下 |

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1 cm)：

| 性别 | 成绩   |
| ---- | ---- |
| 男生 | 180  |
| 男生 | 205  |
| 男生 | 213  |
| 男生 | 220  |
| 男生 | 235  |
| 男生 | 245  |
| 男生 | 250  |
| 男生 | 258  |
| 男生 | 261  |
| 男生 | 270  |
| 男生 | 275  |
| 男生 | 280  |
| 女生 | 148  |
| 女生 | 160  |
| 女生 | 162  |
| 女生 | 169  |
| 女生 | 172  |
| 女生 | 184  |
| 女生 | 195  |
| 女生 | 196  |
| 女生 | 196  |
| 女生 | 197  |
| 女生 | 208  |
| 女生 | 220  |

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
$从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望E(X)；$

Solution:
X的所有可能取值为0，1，2，3。
$P(X=0)估计为(\frac{2}{3})^2\times \frac{1}{2}=\frac{2}{9}；$
$P(X=1)估计为C^1_2\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^2\times \frac{1}{2}=\frac{4}{9}；$
$P(X=2)估计为C^1_2\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^2\times \frac{1}{2}=\frac{5}{18}；$
$P(X=3)估计为\left(\frac{1}{3}\right)^2\times \frac{1}{2}=\frac{1}{18}。$
$估计X的数学期望E(X)=0\times \frac{2}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{5}{18}+3\times \frac{1}{18}=\frac{7}{6}.$

Final answer: $\frac{7}{6}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：

| 编号/准确率 | 1号  | 2号  | 3号  | 4号  | 5号  | 6号  | 7号  | 8号  | 9号  | 10号 |
|-------------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| 讲座前      | 65%  | 60%  | 70%  | 100% | 65%  | 75%  | 90%  | 85%  | 80%  | 60%  |
| 讲座后      | 90%  | 85%  | 80%  | 95%  | 85%  | 85%  | 95%  | 100% | 85%  | 90%  |
从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于80%的概率；

Solution:
$公益讲座前共10份答卷，正确率低于80%的有6份，故所求概率为\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：

|次数/学生|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|第六次|第七次|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|甲|80|78|82|86|95|93|-|
|乙|76|81|80|85|89|96|94|
从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

Solution:
$从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分，则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为 \frac{4}{13}.$

Final answer: $\frac{4}{13}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：

|次数/学生|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|第六次|第七次|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|甲|80|78|82|86|95|93|-|
|乙|76|81|80|85|89|96|94|
$从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；$

Solution:
随机变量X的所有可能取值为1，2，3.
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^4_6}=\frac{1}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^4_6}=\frac{3}{5}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^4_6}=\frac{1}{5}. $
则随机变量X的分布列为：

| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |

$所以EX=1\times \frac{1}{5}+2\times \frac{3}{5}+3\times \frac{1}{5}=2.$

Final answer: X的分布列为：

| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |

$数学期望EX=2.$