di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Thermodynamics


Question: $小赞同学设计了一个用电子天平测量环境温度的实验装置，如图所示。导热汽缸开口向上并固定在桌面上，用质量m_1=600 g、截面积S=20 cm^2 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。一轻质直杆中心置于固定支点A上，左端用不可伸长的细绳竖直悬挂活塞，右端用相同细绳竖直悬挂一个质量m_2=1 200 g的铁块，并将铁块放置到电子天平上。当电子天平示数为600.0 g时，测得环境温度T_1=300 K。设外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2 。$

<img_1307>
该装置可测量的最高环境温度T_{max}为多少?

Solution:
当环境温度最高时，细绳上的拉力刚好为零，
$则p_3=p_0+\frac{m_1g}{S}=1.03\times 10^5 Pa$
$由查理定律可得\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_3}{T_{\max }}$
$解得T_{max}=309 K$

思路点拨

当拉力为0时，对应封闭气体压强最大，结合一定质量理想气体压强与温度关系可求出可测量的最高环境温度。

Final answer: 309 K
Subfield: Thermodynamics


Question: $小赞同学设计了一个用电子天平测量环境温度的实验装置，如图所示。导热汽缸开口向上并固定在桌面上，用质量m_1=600 g、截面积S=20 cm^2 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。一轻质直杆中心置于固定支点A上，左端用不可伸长的细绳竖直悬挂活塞，右端用相同细绳竖直悬挂一个质量m_2=1 200 g的铁块，并将铁块放置到电子天平上。当电子天平示数为600.0 g时，测得环境温度T_1=300 K。设外界大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，重力加速度g=10 m/s^2 。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894324182466563/img/compression/M_16bc0cfaebe6178fa3d892b11041cbe3.jpg)
该装置可测量的最高环境温度T_{max}为多少?

Solution:
当环境温度最高时，细绳上的拉力刚好为零，
$则p_3=p_0+\frac{m_1g}{S}=1.03\times 10^5 Pa$
$由查理定律可得\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_3}{T_{\max }}$
$解得T_{max}=309 K$

思路点拨

当拉力为0时，对应封闭气体压强最大，结合一定质量理想气体压强与温度关系可求出可测量的最高环境温度。

Final answer: 309 K
Subfield: Optics


Question: $甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，波速均为2.5 cm/s，两列波在t=0时的部分波形曲线如图所示。求：$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894373060513796/img/compression/M_d0994b60668ead97c8bd7bb120361b1e.jpg)
$从t=0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为-8 cm的质点的时间。$

Solution:
$偏离平衡位置位移为-8 cm是两列波的波谷相遇的点，t=0时，波谷之差\Delta x=(5+\frac{2n_1+1}{2} \times 6) cm-(5+\frac{2n_2+1}{2} \times 5) cm(n1，n2取0，\pm 1，\pm 2，\pm 3，\ldots )，整理可得\Delta x=(6n1-5n2)+0.5(cm)，波谷之间最小的距离为\Delta x'=0.5 cm，两列波相向传播，相对速度为2v=5 cm/s，所以出现偏离平衡位置位移为-8 cm的最短时间t=\frac{\Delta x'}{2v}=0.1 s。$

Final answer: $0.1 s$
Subfield: Optics


Question: $甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，波速均为2.5 cm/s，两列波在t=0时的部分波形曲线如图所示。求：$
<img_519>
$从t=0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为-8 cm的质点的时间。$

Solution:
$偏离平衡位置位移为-8 cm是两列波的波谷相遇的点，t=0时，波谷之差\Delta x=(5+\frac{2n_1+1}{2} \times 6) cm-(5+\frac{2n_2+1}{2} \times 5) cm(n1，n2取0，\pm 1，\pm 2，\pm 3，\ldots )，整理可得\Delta x=(6n1-5n2)+0.5(cm)，波谷之间最小的距离为\Delta x'=0.5 cm，两列波相向传播，相对速度为2v=5 cm/s，所以出现偏离平衡位置位移为-8 cm的最短时间t=\frac{\Delta x'}{2v}=0.1 s。$

Final answer: $0.1 s$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于桌面上，直角边AC长度为d，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发出一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出。已知SC=CD，光线通过棱镜的时间t= \frac{\sqrt{3}d}{2c}，c为真空中光速，不考虑反射光线。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894415891304450/img/compression/M_1916c2af983b8863a877f4cb3053395a.jpg)
$棱镜的折射率n$

Solution:
光路如图所示，E是光线在AB边的出射点，设光线通过棱镜的速度为v，则

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894415891304450/img/compression/M_77c965dafbe07d1cb4a5ece06fc5c56a.jpg)

$vt= \frac{1}{2}d$

$n= \frac{c}{v}$

$解得n= \sqrt{3}$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于桌面上，直角边AC长度为d，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发出一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出。已知SC=CD，光线通过棱镜的时间t= \frac{\sqrt{3}d}{2c}，c为真空中光速，不考虑反射光线。求：$

<img_1336>
$棱镜的折射率n$

Solution:
光路如图所示，E是光线在AB边的出射点，设光线通过棱镜的速度为v，则

<img_1426>

$vt= \frac{1}{2}d$

$n= \frac{c}{v}$

$解得n= \sqrt{3}$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于桌面上，直角边AC长度为d，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发出一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出。已知SC=CD，光线通过棱镜的时间t= \frac{\sqrt{3}d}{2c}，c为真空中光速，不考虑反射光线。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894415891304450/img/compression/M_1916c2af983b8863a877f4cb3053395a.jpg)
入射光线与界面BC间的夹角$\theta$ 。

Solution:
光线射到界面BC，设入射角为i，折射角为r，则

$i= \frac{\pi }{2} －\theta ，$

$r= \frac{\pi }{2} －2\theta ，$

$n= \frac{ \sin i}{ \sin r}$

解得：

$\theta =30^\circ $

Final answer: $30^\circ $
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于桌面上，直角边AC长度为d，D为斜边BC的中点，桌面上的S点发出一条光线经D点折射后，垂直于AB边射出。已知SC=CD，光线通过棱镜的时间t= \frac{\sqrt{3}d}{2c}，c为真空中光速，不考虑反射光线。求：$

<img_1336>
入射光线与界面BC间的夹角$\theta$ 。

Solution:
光线射到界面BC，设入射角为i，折射角为r，则

$i= \frac{\pi }{2} －\theta ，$

$r= \frac{\pi }{2} －2\theta ，$

$n= \frac{ \sin i}{ \sin r}$

解得：

$\theta =30^\circ $

Final answer: $30^\circ $
Subfield: Optics


Question: $大部分高层建筑都会采用玻璃幕墙，玻璃幕墙美观大方，也提高了建筑内的采光率。玻璃幕墙一般都是用中空玻璃，如图甲所示。某一玻璃幕墙其剖面及尺寸示意图如图乙所示，双层中空玻璃由两层玻璃加密封框架，形成一个夹层空间，隔层充入干燥空气，每单层玻璃厚度d=12 mm，夹层宽度l=18 mm，一光束以入射角i=53^\circ 从室外经双层中空玻璃射入室内(光束与玻璃剖面在同一平面上)，光线通过玻璃后入射光线与出射光线会有一个偏移量(两光线间距离)，玻璃折射率n=\frac{4}{3}，光在空气中的速度近似为c=3.0\times 10^8 m/s， \sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6，求(结果保留两位有效数字)：$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894416545615875/img/compression/M_2b20c52f4dd3973b12477ad128da2956.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894416545615875/img/compression/M_32dc3ad5ef039e7eb73d0e0ee342f88e.jpg)
$这束光通过中空玻璃从室外到室内的偏移量h；$

Solution:
画出这束光的光路图如图所示，

![23BHUN5WL333答案教师](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894416545615875/img/compression/M_1e71e57432d20c8a28b5c82cc67759c5.jpg)

$根据折射定律，n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，AB=CD=\frac{d}{\cos  r}，由几何关系可知，光束通过第一层玻璃的偏移量h_{1}=AB \sin (i-r)，这束光通过第二层玻璃的偏移量h_{2}与h_{1}相等，所以从室外到室内的偏移量h=h_{1}+h_{2}=2h_{1}，得h=\frac{2d}{\cos  r} ( \sin i \cos r-\cos i \sin r)=8.4 mm。$

Final answer: $h=8.4 mm$
Subfield: Optics


Question: $大部分高层建筑都会采用玻璃幕墙，玻璃幕墙美观大方，也提高了建筑内的采光率。玻璃幕墙一般都是用中空玻璃，如图甲所示。某一玻璃幕墙其剖面及尺寸示意图如图乙所示，双层中空玻璃由两层玻璃加密封框架，形成一个夹层空间，隔层充入干燥空气，每单层玻璃厚度d=12 mm，夹层宽度l=18 mm，一光束以入射角i=53^\circ 从室外经双层中空玻璃射入室内(光束与玻璃剖面在同一平面上)，光线通过玻璃后入射光线与出射光线会有一个偏移量(两光线间距离)，玻璃折射率n=\frac{4}{3}，光在空气中的速度近似为c=3.0\times 10^8 m/s， \sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6，求(结果保留两位有效数字)：$

<img_1154>

<img_1321>
$这束光通过中空玻璃从室外到室内的偏移量h；$

Solution:
画出这束光的光路图如图所示，

<img_1231>

$根据折射定律，n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，AB=CD=\frac{d}{\cos  r}，由几何关系可知，光束通过第一层玻璃的偏移量h_{1}=AB \sin (i-r)，这束光通过第二层玻璃的偏移量h_{2}与h_{1}相等，所以从室外到室内的偏移量h=h_{1}+h_{2}=2h_{1}，得h=\frac{2d}{\cos  r} ( \sin i \cos r-\cos i \sin r)=8.4 mm。$

Final answer: $h=8.4 mm$
Subfield: Optics


Question: $在河中用鱼叉捕鱼时，渔民们都知道不能直接朝看到鱼的方向掷出鱼叉。若图中渔民在(其眼睛)距河面1.8 m 处看到视线与水面成37^\circ 的方向有一条鱼，鱼在水深为1.6 m的河底，水的折射率为 \frac{4}{3}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。请帮该渔民估算：$

<img_759>
鱼距离他的实际水平距离多远；

Solution:
$光路如图所示，E点为人眼睛的位置，A点为鱼所在的位置，AC为实际的水平距离，$

<img_478>

$根据几何关系得i=90^\circ -\theta =53^\circ ，n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，解得r=37^\circ ，根据几何关系OD=DE \tan i=2.4 m，AB=OB \tan r=1.2 m，则鱼距离他的实际水平距离x_{AC}=AB+OD=3.6 m；$

Final answer: $3.6 m$
Subfield: Optics


Question: $在河中用鱼叉捕鱼时，渔民们都知道不能直接朝看到鱼的方向掷出鱼叉。若图中渔民在(其眼睛)距河面1.8 m 处看到视线与水面成37^\circ 的方向有一条鱼，鱼在水深为1.6 m的河底，水的折射率为 \frac{4}{3}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。请帮该渔民估算：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894417946513409/img/compression/M_253c7022f204276cb118824b3da17e0d.jpg)
鱼距离他的实际水平距离多远；

Solution:
$光路如图所示，E点为人眼睛的位置，A点为鱼所在的位置，AC为实际的水平距离，$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894417564831748/img/compression/M_c54a68355e042e3aa8dcc00f0e4c3e25.jpg)

$根据几何关系得i=90^\circ -\theta =53^\circ ，n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，解得r=37^\circ ，根据几何关系OD=DE \tan i=2.4 m，AB=OB \tan r=1.2 m，则鱼距离他的实际水平距离x_{AC}=AB+OD=3.6 m；$

Final answer: $3.6 m$
Subfield: Optics


Question: $在河中用鱼叉捕鱼时，渔民们都知道不能直接朝看到鱼的方向掷出鱼叉。若图中渔民在(其眼睛)距河面1.8 m 处看到视线与水面成37^\circ 的方向有一条鱼，鱼在水深为1.6 m的河底，水的折射率为 \frac{4}{3}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。请帮该渔民估算：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894417946513409/img/compression/M_253c7022f204276cb118824b3da17e0d.jpg)
$假设鱼叉掷出后做直线运动，为使鱼叉命中目标，他应该瞄准与水面成\alpha角的方向掷出鱼叉，求\tan \alpha。$

Solution:
$CE=CD+DE=3.4 m，\tan \alpha =\frac{CE}{AC}=\frac{17}{18}。$

Final answer: $\frac{17}{18}$
Subfield: Optics


Question: $在河中用鱼叉捕鱼时，渔民们都知道不能直接朝看到鱼的方向掷出鱼叉。若图中渔民在(其眼睛)距河面1.8 m 处看到视线与水面成37^\circ 的方向有一条鱼，鱼在水深为1.6 m的河底，水的折射率为 \frac{4}{3}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。请帮该渔民估算：$

<img_759>
$假设鱼叉掷出后做直线运动，为使鱼叉命中目标，他应该瞄准与水面成\alpha角的方向掷出鱼叉，求\tan \alpha。$

Solution:
$CE=CD+DE=3.4 m，\tan \alpha =\frac{CE}{AC}=\frac{17}{18}。$

Final answer: $\frac{17}{18}$
Subfield: Mechanics


Question: $水面救生无人船已经成为水面救援的重要科技装备。在某次测试中，一质量为20 kg的无人船在平静水面上沿直线直奔目标地点。无人船先从静止出发，匀加速运动10 s后达到最大速度4 m/s，接着立即做匀减速运动，匀减速运动了16 m后速度变为零。已知无人船运行过程中受到水的阻力恒定且大小为4 N，不计空气阻力，g取10 m/s^2。求：$
$在匀加速过程中，无人船发动机提供的动力的大小 F_1；$

Solution:
$匀加速阶段加速度大小为a_{1}=\frac{v_\mathrm{m}-0}{t_1}$

$代入数据解得a_{1}＝0.4 m/s^2$

$由牛顿第二定律得F_{1}-f=ma_{1}$

$解得F_{1}＝12 N$

Final answer: $12 N$
Subfield: Mechanics


Question: $水面救生无人船已经成为水面救援的重要科技装备。在某次测试中，一质量为20 kg的无人船在平静水面上沿直线直奔目标地点。无人船先从静止出发，匀加速运动10 s后达到最大速度4 m/s，接着立即做匀减速运动，匀减速运动了16 m后速度变为零。已知无人船运行过程中受到水的阻力恒定且大小为4 N，不计空气阻力，g取10 m/s^2。求：$
$在匀减速过程中，无人船发动机提供的阻力的大小F_2；$

Solution:
$匀减速阶段：0-v^2_m=-2a_2x_2$

$解得a_2=0.5 m/s^{2}$

$由牛顿第二定律得F_2+f=ma_2$

$解得F_2=6 N$

Final answer: $6 N$
Subfield: Mechanics


Question: $水面救生无人船已经成为水面救援的重要科技装备。在某次测试中，一质量为20 kg的无人船在平静水面上沿直线直奔目标地点。无人船先从静止出发，匀加速运动10 s后达到最大速度4 m/s，接着立即做匀减速运动，匀减速运动了16 m后速度变为零。已知无人船运行过程中受到水的阻力恒定且大小为4 N，不计空气阻力，g取10 m/s^2。求：$
$无人船在上述测试中，运动的总时间t及总位移大小x。$

Solution:
$匀减速阶段的运动时间为t_2 = \frac{0-v_m}{-a_2} ＝8 s$

$运动总时间t = t_1 + t_2 ＝18 s$

$匀加速阶段的位移大小为x_1 = \frac{v_m+0}{2}t_1 ＝20 m$

$运动总位移大小x = x_1 + x_2 ＝36 m$

Final answer: $18 s$　$36 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在车厢长度L=2.7 m的小货车上，质量m=70 kg、厚度d=0.2 m的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与小货车一起以v_0=36 km/h的速度沿坡度为5%(即斜面倾角\theta 满足\tan \theta =0.05，\sin \theta \approx 0.05，\cos \theta \approx 1)的斜坡向上运动。某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过t_0=0.5 s的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。已知冰块与车厢底板间动摩擦因数\mu =0.03，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度g=10 m/s^2^。$

![24BGD5WL332.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376912287232001/img/compression/M_497369ea27032d4323b49e061783ab1c.jpg)
求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；

Solution:
$从冰块滑脱，到司机开始刹车，小货车做匀速直线运动，冰块相对车厢下滑，设冰块下滑的加速度为a_1，以沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律有mg \sin \theta  - \mu mg \cos \theta  = ma_1。$
$以小货车为参考系，设冰块经时间t_1与车厢尾挡板碰撞，则有L-d=\frac{1}{2}a_1t^2_1。$
$从冰块滑脱，到司机开始刹车，小货车匀速行驶，通过的距离s= v_0(t_1+t_0)。$
$联立并代入数据，解得s=55 m。$

Final answer: $55 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在车厢长度L=2.7 m的小货车上，质量m=70 kg、厚度d=0.2 m的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与小货车一起以v_0=36 km/h的速度沿坡度为5%(即斜面倾角\theta 满足\tan \theta =0.05，\sin \theta \approx 0.05，\cos \theta \approx 1)的斜坡向上运动。某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过t_0=0.5 s的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。已知冰块与车厢底板间动摩擦因数\mu =0.03，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度g=10 m/s^2^。$

<img_1403>
求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；

Solution:
$从冰块滑脱，到司机开始刹车，小货车做匀速直线运动，冰块相对车厢下滑，设冰块下滑的加速度为a_1，以沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律有mg \sin \theta  - \mu mg \cos \theta  = ma_1。$
$以小货车为参考系，设冰块经时间t_1与车厢尾挡板碰撞，则有L-d=\frac{1}{2}a_1t^2_1。$
$从冰块滑脱，到司机开始刹车，小货车匀速行驶，通过的距离s= v_0(t_1+t_0)。$
$联立并代入数据，解得s=55 m。$

Final answer: $55 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在车厢长度L=2.7 m的小货车上，质量m=70 kg、厚度d=0.2 m的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与小货车一起以v_0=36 km/h的速度沿坡度为5%(即斜面倾角\theta 满足\tan \theta =0.05，\sin \theta \approx 0.05，\cos \theta \approx 1)的斜坡向上运动。某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过t_0=0.5 s的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。已知冰块与车厢底板间动摩擦因数\mu =0.03，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度g=10 m/s^2^。$

![24BGD5WL332.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376912287232001/img/compression/M_497369ea27032d4323b49e061783ab1c.jpg)
若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。

Solution:
冰块与车厢尾挡板碰撞前，相对车厢的速度
$\Delta v_1=a_1t_1$

冰块与车厢尾挡板碰撞后等速反向向上滑，设加速度为a<sub>2</sub>，以沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律有
$mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =ma_2$

设0.5 s时间内，冰块相对车厢上滑距离为l，则有
$l=\Delta v_1t_0-1/2  a_2 t0^2$

司机开始刹车时，设冰块相对车厢的速度为$\Delta v_2$，冰块相对地面的速度为$v_2$，则有$\Delta v_2=\Delta v_1-a_2t_0
v_2=v_0+\Delta v_2$

若冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，即冰块滑至初始位置时，与小货车达到相同的速度。

小货车加速度为a，以沿斜面向下为正方向，经过$t_2$，冰块到达车厢前端，冰块和小货车速度大小为$v_3$，冰块和小货车运动的距离分别为$x_2、x_3$，

对冰块有$(v_3-v_2)/ t_2 = -a_2
(v_3+v_2)/2  t_2=x_2$
对小货车有$(v_3-v_0)/ t_2 = -a
(v_3+v_0)/2  t_2=x_3$

依题意及分析可知$ x_2-x_3\leq L-l-d$

联立并代入数据，解得$ a\leq \frac57 m/s^2$

所以a的最大值为$\frac57 m/s^2$。

Final answer: $\frac{5}{7} m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在车厢长度L=2.7 m的小货车上，质量m=70 kg、厚度d=0.2 m的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与小货车一起以v_0=36 km/h的速度沿坡度为5%(即斜面倾角\theta 满足\tan \theta =0.05，\sin \theta \approx 0.05，\cos \theta \approx 1)的斜坡向上运动。某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过t_0=0.5 s的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。已知冰块与车厢底板间动摩擦因数\mu =0.03，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度g=10 m/s^2^。$

<img_1403>
若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。

Solution:
冰块与车厢尾挡板碰撞前，相对车厢的速度
$\Delta v_1=a_1t_1$

冰块与车厢尾挡板碰撞后等速反向向上滑，设加速度为a<sub>2</sub>，以沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律有
$mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =ma_2$

设0.5 s时间内，冰块相对车厢上滑距离为l，则有
$l=\Delta v_1t_0-1/2  a_2 t0^2$

司机开始刹车时，设冰块相对车厢的速度为$\Delta v_2$，冰块相对地面的速度为$v_2$，则有$\Delta v_2=\Delta v_1-a_2t_0
v_2=v_0+\Delta v_2$

若冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，即冰块滑至初始位置时，与小货车达到相同的速度。

小货车加速度为a，以沿斜面向下为正方向，经过$t_2$，冰块到达车厢前端，冰块和小货车速度大小为$v_3$，冰块和小货车运动的距离分别为$x_2、x_3$，

对冰块有$(v_3-v_2)/ t_2 = -a_2
(v_3+v_2)/2  t_2=x_2$
对小货车有$(v_3-v_0)/ t_2 = -a
(v_3+v_0)/2  t_2=x_3$

依题意及分析可知$ x_2-x_3\leq L-l-d$

联立并代入数据，解得$ a\leq \frac57 m/s^2$

所以a的最大值为$\frac57 m/s^2$。

Final answer: $\frac{5}{7} m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $工人使用一块长L=4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角\theta =37^\circ 的斜面。工人甲从木板底部推动质量M=3 kg的小车，使小车以v_0=12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v_1=1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k=0.5，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，小车和货物均可视为质点，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376952836386817/img/compression/M_ec31c21f5bf01b08fd30edb353e1e88f.jpg)
货物抛出点距平台的高度；

Solution:
货物落入小车时速度方向沿着斜面方向，有
$v_{y}=v_{1} \tan \theta=1.2 m/s$

$货物竖直方向做自由落体运动，有 v^{2}_{y}=2gh$

$解得 h=0.072 m$

Final answer: $0.072 m$
Subfield: Mechanics


Question: $工人使用一块长L=4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角\theta =37^\circ 的斜面。工人甲从木板底部推动质量M=3 kg的小车，使小车以v_0=12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v_1=1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k=0.5，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，小车和货物均可视为质点，求：$

<img_1467>
货物抛出点距平台的高度；

Solution:
货物落入小车时速度方向沿着斜面方向，有
$v_{y}=v_{1} \tan \theta=1.2 m/s$

$货物竖直方向做自由落体运动，有 v^{2}_{y}=2gh$

$解得 h=0.072 m$

Final answer: $0.072 m$
Subfield: Mechanics


Question: $工人使用一块长L=4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角\theta =37^\circ 的斜面。工人甲从木板底部推动质量M=3 kg的小车，使小车以v_0=12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v_1=1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k=0.5，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，小车和货物均可视为质点，求：$

<img_1467>
$货物的质量m。$

Solution:
小车沿斜面向上运动，根据牛顿第二定律有
$a_{1}=\frac{Mg \sin  \theta +kMg \cos  \theta }{M}=10 m/s^2$
$根据运动学公式可得v_t^2-v_0^2=-2a_{1}L，$
$解得v_t=8 m/s$
货物的速度沿斜面方向
$v=\frac{v_1}{\cos  \theta }=2 m/s$
货物和小车碰撞瞬间沿斜面方向动量守恒，有
$Mv_t-mv=0$
$解得m=12 kg$

Final answer: $12 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $工人使用一块长L=4 m的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上(与平台等高)，另一端固定在地面，形成倾角\theta =37^\circ 的斜面。工人甲从木板底部推动质量M=3 kg的小车，使小车以v_0=12 m/s的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以v_1=1.6 m/s的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为k=0.5，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，小车和货物均可视为质点，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376952836386817/img/compression/M_ec31c21f5bf01b08fd30edb353e1e88f.jpg)
$货物的质量m。$

Solution:
小车沿斜面向上运动，根据牛顿第二定律有
$a_{1}=\frac{Mg \sin  \theta +kMg \cos  \theta }{M}=10 m/s^2$
$根据运动学公式可得v_t^2-v_0^2=-2a_{1}L，$
$解得v_t=8 m/s$
货物的速度沿斜面方向
$v=\frac{v_1}{\cos  \theta }=2 m/s$
货物和小车碰撞瞬间沿斜面方向动量守恒，有
$Mv_t-mv=0$
$解得m=12 kg$

Final answer: $12 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

![22GZTWLS68.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376996034899970/img/compression/M_9c89bea4a828dd98a468f00072220d98.jpg)
$若小滑块的初始高度h=0.9 m，求小滑块到达B点时速度v_{B}的大小;$

Solution:
小滑块在AB轨道上运动

$mgh-\mu mg \cos \theta \cdot \frac{h}{\sin  \theta} = \frac{1}{2} mv^2_B$

$v_B = \frac{4}{3} \sqrt{gh} = 4 m/s$

Final answer: $4 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

<img_616>
$若小滑块的初始高度h=0.9 m，求小滑块到达B点时速度v_{B}的大小;$

Solution:
小滑块在AB轨道上运动

$mgh-\mu mg \cos \theta \cdot \frac{h}{\sin  \theta} = \frac{1}{2} mv^2_B$

$v_B = \frac{4}{3} \sqrt{gh} = 4 m/s$

Final answer: $4 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

![22GZTWLS68.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376996034899970/img/compression/M_9c89bea4a828dd98a468f00072220d98.jpg)
如果小球能完成整个运动过程，求h的最小值h_{min};

Solution:
小滑块与小球质量相等，碰撞后速度互换

小球沿CDEF轨道运动

$mg=m\frac{v^2_{E\min }}{R}$

$\frac{1}{2}mv^2_{E\min } + mg(R+r) = \frac{1}{2}mv^2_{B\min}$

$v_{B\min}=\frac{4}{3}\sqrt{gh_{\min }}$

$h_{\min}=0.45 m$

Final answer: $0.45 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

<img_616>
如果小球能完成整个运动过程，求h的最小值h_{min};

Solution:
小滑块与小球质量相等，碰撞后速度互换

小球沿CDEF轨道运动

$mg=m\frac{v^2_{E\min }}{R}$

$\frac{1}{2}mv^2_{E\min } + mg(R+r) = \frac{1}{2}mv^2_{B\min}$

$v_{B\min}=\frac{4}{3}\sqrt{gh_{\min }}$

$h_{\min}=0.45 m$

Final answer: $0.45 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

![22GZTWLS68.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716376996034899970/img/compression/M_9c89bea4a828dd98a468f00072220d98.jpg)
$若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值x_{max}。$

Solution:
小球从E点到G点的运动机械能守恒，故有
$\frac{1}{2}mv^2_G = \frac{1}{2}mv_{E\min} + mg(R+y)$
从G到Q点的平抛运动有
$水平方向：x = v_{G}t $
$竖直方向：H+r-y = \frac{1}{2}gt^2 $

$解得 x = 2\sqrt{(0.5-y)(0.3+y)}$

$当 y = 0.1 m时，x 最大 $

$x_{max} = 0.8 m$

Final answer: $0.8 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面，台面上竖直放置倾角\theta =37^\circ 的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O_1点，轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O_2点，O_1、D、O_2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数\mu =\frac{1}{12}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

<img_616>
$若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值x_{max}。$

Solution:
小球从E点到G点的运动机械能守恒，故有
$\frac{1}{2}mv^2_G = \frac{1}{2}mv_{E\min} + mg(R+y)$
从G到Q点的平抛运动有
$水平方向：x = v_{G}t $
$竖直方向：H+r-y = \frac{1}{2}gt^2 $

$解得 x = 2\sqrt{(0.5-y)(0.3+y)}$

$当 y = 0.1 m时，x 最大 $

$x_{max} = 0.8 m$

Final answer: $0.8 m$
Subfield: Mechanics


Question: $在竖直平面内的轨道由三段轨道平滑连接而成，第一段为粗糙直轨道AB，第二段为内壁光滑、外壁粗糙的圆轨道BCD，半径R=0.2 m，与直轨道相切于B点，第三段为水平直轨道C'E，呈粗糙段、光滑段交替排列，每段都为L=0.25 m，粗糙段的动摩擦因数为\mu 2= \frac{1}{3} ，直轨道C'E与圆轨道相切于C'点，C'点与C略错开，如图所示。OG为圆轨道的水平半径，小球中间有孔，孔径略大于轨道的直径，现将小球穿在轨道上，在直轨道上距离B点x处由静止开始释放。当x=0.4 m时，小球只能滑到G点，已知直轨道AB与水平面成37^\circ 角，小球可视为质点，已知 \sin 37^\circ =0.6， \cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

![24BGD5WL100.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006134530051/img/compression/M_07ea44cb555b1b518031f8aa875c1a02.jpg)
求小球与直轨道AB间的动摩擦因数$\mu _1$；

Solution:
小球从距离B点x处静止释放运动到G，根据动能定理得
$mg \sin \theta  - \mu _1 mg \cos \theta  \cdot  x - mgR \cos \theta  = 0 - 0
$代入数据解得$ \mu _1 = \frac{1}{4}$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Mechanics


Question: $在竖直平面内的轨道由三段轨道平滑连接而成，第一段为粗糙直轨道AB，第二段为内壁光滑、外壁粗糙的圆轨道BCD，半径R=0.2 m，与直轨道相切于B点，第三段为水平直轨道C'E，呈粗糙段、光滑段交替排列，每段都为L=0.25 m，粗糙段的动摩擦因数为\mu 2= \frac{1}{3} ，直轨道C'E与圆轨道相切于C'点，C'点与C略错开，如图所示。OG为圆轨道的水平半径，小球中间有孔，孔径略大于轨道的直径，现将小球穿在轨道上，在直轨道上距离B点x处由静止开始释放。当x=0.4 m时，小球只能滑到G点，已知直轨道AB与水平面成37^\circ 角，小球可视为质点，已知 \sin 37^\circ =0.6， \cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。$

<img_1316>
求小球与直轨道AB间的动摩擦因数$\mu _1$；

Solution:
小球从距离B点x处静止释放运动到G，根据动能定理得
$mg \sin \theta  - \mu _1 mg \cos \theta  \cdot  x - mgR \cos \theta  = 0 - 0
$代入数据解得$ \mu _1 = \frac{1}{4}$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Mechanics


Question: $图甲为某种简易轨道赛车的轨道图，图乙为部分轨道的简化示意图。其中OA、BC、CD段为直轨道，由多个小轨道拼接而成，AB为半圆形水平弯道，其半径R_0=1.0 m，它能承受的最大侧向压力F=20 N，圆轨道1和2为竖直平面内的圆轨道，圆轨道1的半径R_1=1.0 m，圆轨道2的半径R_2可以调节且与圆轨道1不相互重叠，BC长度L_{BC}=1.0 m，CD长度L_{CD}=5.0 m。若该赛车的质量m=0.2 kg，额定功率P_0=20 W，且赛车行驶时，可以通过遥控器控制赛车的实际功率，赛车在水平轨道所受的阻力大小恒为F_f=1.0 N，不计竖直圆轨道对赛车的阻力，重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_703>

图甲

<img_772>

图乙
求赛车匀速过弯道AB的实际功率P不得超过多少。

Solution:
赛车在水平弯道AB运动，轨道对赛车的弹力提供赛车做圆周运动的向心力，轨道对赛车的最大弹力$F'=F$，根据牛顿第二定律得

$F'=m\frac{v^2}{R_0}$

解得$v=10 m/s$

匀速运动的赛车的实际功率P=F″v，

其中$F^{″}=F_f$

解得$P=10 W$

Final answer: $10 W$
Subfield: Mechanics


Question: $图甲为某种简易轨道赛车的轨道图，图乙为部分轨道的简化示意图。其中OA、BC、CD段为直轨道，由多个小轨道拼接而成，AB为半圆形水平弯道，其半径R_0=1.0 m，它能承受的最大侧向压力F=20 N，圆轨道1和2为竖直平面内的圆轨道，圆轨道1的半径R_1=1.0 m，圆轨道2的半径R_2可以调节且与圆轨道1不相互重叠，BC长度L_{BC}=1.0 m，CD长度L_{CD}=5.0 m。若该赛车的质量m=0.2 kg，额定功率P_0=20 W，且赛车行驶时，可以通过遥控器控制赛车的实际功率，赛车在水平轨道所受的阻力大小恒为F_f=1.0 N，不计竖直圆轨道对赛车的阻力，重力加速度g=10 m/s^2。$

![24BGD5WL101.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006562349057/img/compression/M_8f1bf1be81d4bcba590aa80df1a304be.jpg)

图甲

![24BGD5WL102.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006562349057/img/compression/M_d58271be9a191d4b0f602506c10358dc.jpg)

图乙
求赛车匀速过弯道AB的实际功率P不得超过多少。

Solution:
赛车在水平弯道AB运动，轨道对赛车的弹力提供赛车做圆周运动的向心力，轨道对赛车的最大弹力$F'=F$，根据牛顿第二定律得

$F'=m\frac{v^2}{R_0}$

解得$v=10 m/s$

匀速运动的赛车的实际功率P=F″v，

其中$F^{″}=F_f$

解得$P=10 W$

Final answer: $10 W$
Subfield: Mechanics


Question: $图甲为某种简易轨道赛车的轨道图，图乙为部分轨道的简化示意图。其中OA、BC、CD段为直轨道，由多个小轨道拼接而成，AB为半圆形水平弯道，其半径R_0=1.0 m，它能承受的最大侧向压力F=20 N，圆轨道1和2为竖直平面内的圆轨道，圆轨道1的半径R_1=1.0 m，圆轨道2的半径R_2可以调节且与圆轨道1不相互重叠，BC长度L_{BC}=1.0 m，CD长度L_{CD}=5.0 m。若该赛车的质量m=0.2 kg，额定功率P_0=20 W，且赛车行驶时，可以通过遥控器控制赛车的实际功率，赛车在水平轨道所受的阻力大小恒为F_f=1.0 N，不计竖直圆轨道对赛车的阻力，重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_703>

图甲

<img_772>

图乙
$某次赛车以v_B=10 m/s的速度经过B点后，不施加动力，求经过圆轨道1最高点时对轨道的压力的大小。$

Solution:
$赛车从B点到圆轨道1的最高点，根据动能定理有- F_{f}L_{BC} -2 mgR_{1} = \frac{1}{2}mv^{2}_{1} - \frac{1}{2}mv^{2}_{B} $

在圆轨道1最高点，根据牛顿第二定律得 

$N+mg=m\frac{v^2_{1}}{R_{1}}$

$联立解得 N=8 N $

根据牛顿第三定律知，赛车对轨道的压力大小为8 N，方向竖直向上。



Final answer: 8 N
Subfield: Mechanics


Question: $图甲为某种简易轨道赛车的轨道图，图乙为部分轨道的简化示意图。其中OA、BC、CD段为直轨道，由多个小轨道拼接而成，AB为半圆形水平弯道，其半径R_0=1.0 m，它能承受的最大侧向压力F=20 N，圆轨道1和2为竖直平面内的圆轨道，圆轨道1的半径R_1=1.0 m，圆轨道2的半径R_2可以调节且与圆轨道1不相互重叠，BC长度L_{BC}=1.0 m，CD长度L_{CD}=5.0 m。若该赛车的质量m=0.2 kg，额定功率P_0=20 W，且赛车行驶时，可以通过遥控器控制赛车的实际功率，赛车在水平轨道所受的阻力大小恒为F_f=1.0 N，不计竖直圆轨道对赛车的阻力，重力加速度g=10 m/s^2。$

![24BGD5WL101.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006562349057/img/compression/M_8f1bf1be81d4bcba590aa80df1a304be.jpg)

图甲

![24BGD5WL102.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377006562349057/img/compression/M_d58271be9a191d4b0f602506c10358dc.jpg)

图乙
$某次赛车以v_B=10 m/s的速度经过B点后，不施加动力，求经过圆轨道1最高点时对轨道的压力的大小。$

Solution:
$赛车从B点到圆轨道1的最高点，根据动能定理有- F_{f}L_{BC} -2 mgR_{1} = \frac{1}{2}mv^{2}_{1} - \frac{1}{2}mv^{2}_{B} $

在圆轨道1最高点，根据牛顿第二定律得 

$N+mg=m\frac{v^2_{1}}{R_{1}}$

$联立解得 N=8 N $

根据牛顿第三定律知，赛车对轨道的压力大小为8 N，方向竖直向上。

Final answer: 8 N 方向竖直向上
Subfield: Mechanics


Question: 某快递点的传送装置(传送带与水平面的夹角$\theta =37^\circ$ )因停电而停运，工人找了块质量为$m=3 kg$的带钩木板置于传送带上，再在木板上放置货物，通过轻绳与木板钩子相连，工人可在高处工作台对木板施加平行于传送带方向、大小为165 N的拉力，使得货物能从静止开始向上运动。已知木板与传送带间的动摩擦因数$\mu _1=0.5$，货物质量$M=12 kg$，货物与木板间的动摩擦因数$\mu _2=0.9$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度$g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6$，求：

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货物的加速度大小；

Solution:
假设货物与木板相对静止，一起做匀加速直线运动，设加速度为a，对货物与木板整体分析，由牛顿第二定律得  
$F - (m + M)  g \sin 37^\circ  - \mu _1 (m+M)g \cos 37^\circ  = (m+M)a$  
解得 $a=1 m/s^2 $ 
对货物分析得$ f-Mg \sin 37^\circ =Ma  $
可得$ f=84 N  $
货物与木板间的最大静摩擦力$f_m=\mu _2Mg \cos 37^\circ =86.4 N  $
由于木板对货物的静摩擦力小于最大静摩擦力，货物与木板保持相对静止，故假设成立，货物的加速度大小为$1 m/s^2$。

Final answer: $1 m/s^2$