di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_551a8ea4bc24a89cd914a4c7b8fd29cb.jpg)$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_2d19c74ceda5d3b6d8e030abea5717fc.jpg)$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总个数，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$由题图2可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，X的可能取值为8，9，10，11，12，且P(X=8)=0.2\times 0.2=0.04，P(X=9)=2\times 0.2\times 0.4=0.16，P(X=10)=2\times 0.2\times 0.4+0.4\times 0.4=0.32，P(X=11)=2\times 0.4\times 0.4=0.32，P(X=12)=0.4\times 0.4=0.16，所以X的分布列为X89101112P0.040.160.320.320.16E(X)=8\times 0.04+9\times 0.16+10\times 0.32+11\times 0.32+12\times 0.16=10.4.$

Final answer: $X的分布列为：8, 0.04；9, 0.16；10, 0.32；11, 0.32；12, 0.16
E(X) = 10.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$<img_2657>$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$<img_1968>$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总个数，求X的数学期望；$

Solution:
$由题图2可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，X的可能取值为8，9，10，11，12，且P(X=8)=0.2\times 0.2=0.04，P(X=9)=2\times 0.2\times 0.4=0.16，P(X=10)=2\times 0.2\times 0.4+0.4\times 0.4=0.32，P(X=11)=2\times 0.4\times 0.4=0.32，P(X=12)=0.4\times 0.4=0.16，所以X的分布列为X89101112P0.040.160.320.320.16E(X)=8\times 0.04+9\times 0.16+10\times 0.32+11\times 0.32+12\times 0.16=10.4.$



Final answer: $10.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_551a8ea4bc24a89cd914a4c7b8fd29cb.jpg)$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_2d19c74ceda5d3b6d8e030abea5717fc.jpg)$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=19，且m\in {8，9}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.$

Solution:
$记该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用为Y元，由题意可分两类：①若m=8，则n=11，此时E(Y)=160\times 8+400\times 1\times \frac{40}{100}+80\times 11+200\times 1\times 0.16=2 352；②若m=9，则n=10，此时E(Y)=160\times 9+80\times 10+200\times 1\times 0.32+200\times 2\times 0.16=2 368.因为2 352<2 368，故该客户在安装净水系统的同时应购买一级滤芯8个，二级滤芯11个．$

Final answer: $m=8$, $n=11$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$<img_2657>$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$<img_1968>$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=19，且m\in {8，9}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.$

Solution:
$记该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用为Y元，由题意可分两类：①若m=8，则n=11，此时E(Y)=160\times 8+400\times 1\times \frac{40}{100}+80\times 11+200\times 1\times 0.16=2 352；②若m=9，则n=10，此时E(Y)=160\times 9+80\times 10+200\times 1\times 0.32+200\times 2\times 0.16=2 368.因为2 352<2 368，故该客户在安装净水系统的同时应购买一级滤芯8个，二级滤芯11个．$

Final answer: $m=8$, $n=11$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据，如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量x(万元)
2
4
6
8
10
12
收益y(万元)
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
用两种模型①y＝bx+a，②y＝ae^{bx}分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930104986890242/img/compression/M_ce1401772db83a9495603e8e2836f938.jpg)$ 
\overline{x}
\overline{y}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i
7
30
1 464.24
364
$
$将残差的绝对值大于2的数据认为是异常数据，需要剔除.(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(ii)若广告投入量为18万元，求该模型收益的预测值是多少.附：在经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n\overline{x}　\overline{y}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n\overline{x}^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$

Solution:
$(i)由题图知，3月份的数据为异常数据，剔除后，求得\overline{x}'=\frac{1}{5}\times (7\times 6-6)=7.2，\overline{y}'=\frac{1}{5}\times (30\times 6-31.8)=29.64，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i＝1 464.24-6\times 31.8＝1 273.44，\sum \limits^{5}_{{i=1}}{x}^2_i=364-6^{2}=328，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i-5\overline{x}'\overline{y}'}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i-5\overline{x}'^2}=\frac{1 273.44-5\times 7.2\times 29.64}{328-5\times 7.2^2}=\frac{206.4}{68.8}=3，\hat{a}=\overline{y}'-\hat{b}\overline{x}'=29.64-3\times 7.2=8.04.所以\hat{y}=3x+8.04.(ii)当x=18时，\hat{y}=3\times 18+8.04=62.04，所以该模型收益的预测值为62.04万元.$

Final answer: $\hat{y}=3x+8.04$, $62.04$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据，如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量x(万元)
2
4
6
8
10
12
收益y(万元)
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
用两种模型①y＝bx+a，②y＝ae^{bx}分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值.$<img_2949>$ 
\overline{x}
\overline{y}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i
7
30
1 464.24
364
$
$将残差的绝对值大于2的数据认为是异常数据，需要剔除.(i)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(ii)若广告投入量为18万元，求该模型收益的预测值是多少.附：在经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n\overline{x}　\overline{y}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n\overline{x}^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$

Solution:
$(i)由题图知，3月份的数据为异常数据，剔除后，求得\overline{x}'=\frac{1}{5}\times (7\times 6-6)=7.2，\overline{y}'=\frac{1}{5}\times (30\times 6-31.8)=29.64，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i＝1 464.24-6\times 31.8＝1 273.44，\sum \limits^{5}_{{i=1}}{x}^2_i=364-6^{2}=328，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i-5\overline{x}'\overline{y}'}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i-5\overline{x}'^2}=\frac{1 273.44-5\times 7.2\times 29.64}{328-5\times 7.2^2}=\frac{206.4}{68.8}=3，\hat{a}=\overline{y}'-\hat{b}\overline{x}'=29.64-3\times 7.2=8.04.所以\hat{y}=3x+8.04.(ii)当x=18时，\hat{y}=3\times 18+8.04=62.04，所以该模型收益的预测值为62.04万元.$

Final answer: $\hat{y}=3x+8.04$, $62.04$
Subfield: Plane Geometry


Question: $下图是某市2011年至2020年在售二手房均价y(单位：千元/平方米)关于年份代码x的散点图(图中年份代码1~10分别对应2011~2020年).现根据散点图选择用y=a+bx和y=e^{c+dx}两个模型来拟合y与x的关系，经过数据处理得到两个模型对应的回归方程的决定系数R^{2}和一些统计量的值，如表所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930105511178242/img/compression/M_257e180dcc72b2f5da737d823681f720.jpg)$ 
模型
y=a+bx
y=e^{c+dx}
决定系数R^{2}
0.882 1
0.904 6

\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (w_{i}-\overline{w})
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
表中w_{i}=ln y_{i}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}w_{i}.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1})，(u_{2},v_{2})，\ldots ，(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 10.5\approx 2.35.$
$请利用决定系数R^{2}判断哪个模型的拟合效果更好，并求出该模型对应的回归方程；$

Solution:
$由0.904 6>0.882 1，知模型y=e^{c+dx}的拟合效果更好.对y=e^{c+dx}的两边取自然对数，得ln y=c+dx，令w=ln y，可知w与x之间具有线性相关关系，设w关于x的经验回归方程为\hat{w}=\hat{c}+\hat{d}x，易得\overline{x}=\frac{1}{10}\times (1+2+\ldots +10)=5.5，则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(w_i-\overline{w})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.6}{82.5}=0.08，\hat{c}=\overline{w}-\hat{d}\overline{x}=1.89-0.08\times 5.5=1.45，所以w关于x的经验回归方程为\hat{w}=1.45+0.08x，故y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{1.45+0.08x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{1.45+0.08x}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $下图是某市2011年至2020年在售二手房均价y(单位：千元/平方米)关于年份代码x的散点图(图中年份代码1~10分别对应2011~2020年).现根据散点图选择用y=a+bx和y=e^{c+dx}两个模型来拟合y与x的关系，经过数据处理得到两个模型对应的回归方程的决定系数R^{2}和一些统计量的值，如表所示：$<img_2475>$ 
模型
y=a+bx
y=e^{c+dx}
决定系数R^{2}
0.882 1
0.904 6

\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (w_{i}-\overline{w})
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
表中w_{i}=ln y_{i}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}w_{i}.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1})，(u_{2},v_{2})，\ldots ，(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 10.5\approx 2.35.$
$请利用决定系数R^{2}判断哪个模型的拟合效果更好，并求出该模型对应的回归方程；$

Solution:
$由0.904 6>0.882 1，知模型y=e^{c+dx}的拟合效果更好.对y=e^{c+dx}的两边取自然对数，得ln y=c+dx，令w=ln y，可知w与x之间具有线性相关关系，设w关于x的经验回归方程为\hat{w}=\hat{c}+\hat{d}x，易得\overline{x}=\frac{1}{10}\times (1+2+\ldots +10)=5.5，则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(w_i-\overline{w})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.6}{82.5}=0.08，\hat{c}=\overline{w}-\hat{d}\overline{x}=1.89-0.08\times 5.5=1.45，所以w关于x的经验回归方程为\hat{w}=1.45+0.08x，故y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{1.45+0.08x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{1.45+0.08x}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $下图是某市2011年至2020年在售二手房均价y(单位：千元/平方米)关于年份代码x的散点图(图中年份代码1~10分别对应2011~2020年).现根据散点图选择用y=a+bx和y=e^{c+dx}两个模型来拟合y与x的关系，经过数据处理得到两个模型对应的回归方程的决定系数R^{2}和一些统计量的值，如表所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930105511178242/img/compression/M_257e180dcc72b2f5da737d823681f720.jpg)$ 
模型
y=a+bx
y=e^{c+dx}
决定系数R^{2}
0.882 1
0.904 6

\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (w_{i}-\overline{w})
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
表中w_{i}=ln y_{i}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}w_{i}.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1})，(u_{2},v_{2})，\ldots ，(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 10.5\approx 2.35.$
$根据(1)中得到的方程预测，该市的在售二手房均价到哪一年能超过10.5千元/平方米.$

Solution:
$令\hat{y}=e^{1.45+0.08x}>10.5，得1.45+0.08x>2.35，解得x>11.25，取x=12，对应2022年，所以该市的在售二手房均价到2022年能超过10.5千元/平方米.$

Final answer: $2022$ 年
Subfield: Plane Geometry


Question: $下图是某市2011年至2020年在售二手房均价y(单位：千元/平方米)关于年份代码x的散点图(图中年份代码1~10分别对应2011~2020年).现根据散点图选择用y=a+bx和y=e^{c+dx}两个模型来拟合y与x的关系，经过数据处理得到两个模型对应的回归方程的决定系数R^{2}和一些统计量的值，如表所示：$<img_2475>$ 
模型
y=a+bx
y=e^{c+dx}
决定系数R^{2}
0.882 1
0.904 6

\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (w_{i}-\overline{w})
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
表中w_{i}=ln y_{i}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}w_{i}.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1})，(u_{2},v_{2})，\ldots ，(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 10.5\approx 2.35.$
$根据(1)中得到的方程预测，该市的在售二手房均价到哪一年能超过10.5千元/平方米.$

Solution:
$令\hat{y}=e^{1.45+0.08x}>10.5，得1.45+0.08x>2.35，解得x>11.25，取x=12，对应2022年，所以该市的在售二手房均价到2022年能超过10.5千元/平方米.$

Final answer: $2022$ 年
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲、乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本，对甲车间100位职工的成绩进行统计后得到了如图所示的频率分布直方图.$<img_2747>$
参考公式： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.临界值表：
\alpha 
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；$

Solution:
$根据题图可得甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率为(0.02\times 10+0.03\times 10+0.02\times 10+0.01\times 10)\times 100%＝80%.$

Final answer: $0.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲、乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本，对甲车间100位职工的成绩进行统计后得到了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930109128343555/img/compression/M_a2d905dc213f9cd35693ceab8f034407.jpg)$
参考公式： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.临界值表：
\alpha 
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；$

Solution:
$根据题图可得甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率为(0.02\times 10+0.03\times 10+0.02\times 10+0.01\times 10)\times 100%＝80%.$

Final answer: $0.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲、乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本，对甲车间100位职工的成绩进行统计后得到了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930109128343555/img/compression/M_a2d905dc213f9cd35693ceab8f034407.jpg)$
参考公式： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.临界值表：
\alpha 
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中采用有放回简单随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人中成绩合格的人数为X，求随机变量X的分布列；$

Solution:
$由题意，得X～B(3，0.8)，P(X=0)=C^{0}_3\times 0.8^{0}\times 0.2^{3}=0.008，P(X=1)=C^1_3\times 0.8^{1}\times 0.2^{2}=0.096，P(X=2)=C^2_3\times 0.8^{2}\times 0.2^{1}=0.384，P(X=3)=C^3_3\times 0.8^{3}\times 0.2^{0}=0.512，故随机变量X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512$

Final answer: $X的分布列：0，0.008，1，0.096，2，0.384，3，0.512$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某调查机构为了解国庆节通过短视频APP、微信或微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个表达了祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计，这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人.将这160人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930095093776386/img/compression/M_4dc299a83e1d37d1a86060f9b7ddaa0c.jpg)
$求a的值并估计这160人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由10\times (0.01+0.015+a+0.03+0.01)＝1，解得a＝0.035，这160人的平均年龄为20\times 10\times 0.01+30\times 10\times 0.015+40\times 10\times 0.035+50\times 10\times 0.03+60\times 10\times 0.01＝41.5(岁)．$

Final answer: $0.035$,$41.5$ ,岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某调查机构为了解国庆节通过短视频APP、微信或微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个表达了祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计，这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人.将这160人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示：$<img_1837>
$求a的值并估计这160人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由10\times (0.01+0.015+a+0.03+0.01)＝1，解得a＝0.035，这160人的平均年龄为20\times 10\times 0.01+30\times 10\times 0.015+40\times 10\times 0.035+50\times 10\times 0.03+60\times 10\times 0.01＝41.5(岁)．$

Final answer: $0.035$,$41.5$ ,岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织学生观看“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女生比例为3:2.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.
\alpha 
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930095676784643/img/compression/M_512c531e1b9a5ba5f2b725b178991b81.jpg)$　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930095676784643/img/compression/M_761fba094ababd1a4362cfa8d48f5fa8.jpg)
$求m，n的值；$

Solution:
$由题意得，被调查的学生中，男生有600人，女生有400人，所以男生中有“飞天宇航梦”的人数为600\times 0.7=420，无“飞天宇航梦”的人数为600\times 0.3=180，女生中有“飞天宇航梦”的人数为400\times 0.6=240，无“飞天宇航梦”的人数为400\times 0.4=160，所以m=\frac{420}{420+240}=\frac{7}{11}，n=\frac{180}{180+160}=\frac{9}{17}.$

Final answer: $\frac7{11}$, $\frac9{17}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织学生观看“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女生比例为3:2.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.
\alpha 
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$<img_2130>$　$<img_2054>
$求m，n的值；$

Solution:
$由题意得，被调查的学生中，男生有600人，女生有400人，所以男生中有“飞天宇航梦”的人数为600\times 0.7=420，无“飞天宇航梦”的人数为600\times 0.3=180，女生中有“飞天宇航梦”的人数为400\times 0.6=240，无“飞天宇航梦”的人数为400\times 0.4=160，所以m=\frac{420}{420+240}=\frac{7}{11}，n=\frac{180}{180+160}=\frac{9}{17}.$

Final answer: $\frac7{11}$, $\frac9{17}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织学生观看“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女生比例为3:2.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.
\alpha 
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930095676784643/img/compression/M_512c531e1b9a5ba5f2b725b178991b81.jpg)$　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930095676784643/img/compression/M_761fba094ababd1a4362cfa8d48f5fa8.jpg)
$在抽取的样本女生中，按有无“飞天宇航梦”用分层随机抽样的方法抽取5人，若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有“飞天宇航梦”的女生人数X的分布列及数学期望.$

Solution:
$由题意得，在抽取的5名女生中，有3名有“飞天宇航梦”，有2名无“飞天宇航梦”.X的可能取值为1,2,3，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{5},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10},所以X的分布列为X123P\frac{3}{10}\frac{3}{5}\frac{1}{10}E(X)=1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{3}{5}+3\times \frac{1}{10}=\frac{9}{5}.$

Final answer: $X的分布列为X：1，2，3，P：3/10，3/5，1/10，E(X)：9/5.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校组织学生观看“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女生比例为3:2.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n＝a+b+c+d.
\alpha 
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x_{\alpha }
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$<img_2130>$　$<img_2054>
$在抽取的样本女生中，按有无“飞天宇航梦”用分层随机抽样的方法抽取5人，若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有“飞天宇航梦”的女生人数X的数学期望.$

Solution:
$由题意得，在抽取的5名女生中，有3名有“飞天宇航梦”，有2名无“飞天宇航梦”.X的可能取值为1,2,3，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{5},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_2}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10},所以X的分布列为X123P\frac{3}{10}\frac{3}{5}\frac{1}{10}E(X)=1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{3}{5}+3\times \frac{1}{10}=\frac{9}{5}.$



Final answer: $9/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y(单位：十)表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如下散点图.$<img_2156>$
参考数据：
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}v_{i}
10^{0.54}
62.14
1.54
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_{i}.参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\bar{u} \bar{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\bar{u}^2},{}{\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\bar{u}.}$
$根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c\cdot d^{x}(c，d均为大于零的常数)哪一个更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型(给出判断结果即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图可知，y=c\cdot d^{x}更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c*d^{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y(单位：十)表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如下散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930085331005441/img/compression/M_730ae16948c69951c9c46709e319cd16.jpg)$
参考数据：
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}v_{i}
10^{0.54}
62.14
1.54
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_{i}.参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\bar{u} \bar{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\bar{u}^2},{}{\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\bar{u}.}$
$根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c\cdot d^{x}(c，d均为大于零的常数)哪一个更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型(给出判断结果即可，不必说明理由)；$

Solution:
$根据题中散点图可知，y=c\cdot d^{x}更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c*d^{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y(单位：十)表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如下散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930085331005441/img/compression/M_730ae16948c69951c9c46709e319cd16.jpg)$
参考数据：
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}v_{i}
10^{0.54}
62.14
1.54
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_{i}.参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\bar{u} \bar{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\bar{u}^2},{}{\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\bar{u}.}$
$根据(1)中的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次.$

Solution:
$对y=c\cdot d^{x}两边同时取常用对数，得lg y=lg(c\cdot d^{x})=lg c+xlg d.设lg y=v,则v=lg c+xlg d,由题表知\overline{x}=4,\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i=140，\therefore lg \hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i-7\overline{x} \overline{v}}{\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i-7\overline{x} ^2}=\frac{50.12-7\times 4\times 1.54}{140-7\times 4^2}=0.25，lg \hat{c}=\overline{v}-\overline{x}lg \hat{d}=1.54-4\times 0.25=0.54，\therefore \hat{v}=0.54+0.25x，\therefore lg \hat{y}=0.54+0.25x，\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=10^{0.54+0.25x}=3.47\times 10^{0.25x}.把x=8代入上式，得\hat{y}=3.47\times 10^{2}=347,\therefore 预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次为3 470.$

Final answer: $3 470$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y(单位：十)表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如下散点图.$<img_2156>$
参考数据：
\overline{y}
\overline{v}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}v_{i}
10^{0.54}
62.14
1.54
50.12
3.47
其中v_{i}=lg y_{i},\overline{v}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}v_{i}.参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\bar{u} \bar{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\bar{u}^2},{}{\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\bar{u}.}$
$根据(1)中的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次.$

Solution:
$对y=c\cdot d^{x}两边同时取常用对数，得lg y=lg(c\cdot d^{x})=lg c+xlg d.设lg y=v,则v=lg c+xlg d,由题表知\overline{x}=4,\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i=140，\therefore lg \hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}x_iv_i-7\overline{x} \overline{v}}{\sum \limits^{7}_{i=1}x^2_i-7\overline{x} ^2}=\frac{50.12-7\times 4\times 1.54}{140-7\times 4^2}=0.25，lg \hat{c}=\overline{v}-\overline{x}lg \hat{d}=1.54-4\times 0.25=0.54，\therefore \hat{v}=0.54+0.25x，\therefore lg \hat{y}=0.54+0.25x，\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=10^{0.54+0.25x}=3.47\times 10^{0.25x}.把x=8代入上式，得\hat{y}=3.47\times 10^{2}=347,\therefore 预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次为3 470.$

Final answer: $3 470$