di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

<img_1392>

<img_1042>

<img_1271>

<img_942>

<img_789>
在紧贴着小球运动的水平面上加一光滑平板，使球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为$\theta$ ，如图(c)所示，当小球的角速度$\omega$ 大于某一值$\omega_1$时，小球将脱离平板，则$\omega_1$为多大？

Solution:
$当平板对小球支持力为零时，小球恰好脱离平板，此时重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg \tan \theta  = m\omega ^{2}_{1}L \sin \theta $

$解得 \omega _{1}=\sqrt{\frac{g}{L \cos\theta}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{g}{L \cos \theta }}$
Subfield: Mechanics


Question: 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

![LMCX-3双星系统](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612237363425282/img/compression/M_7c5996cf4739d0262a53378f8375c0e6.jpg)
可见星A所受暗星B的引力$F_{A}$可等效为位于O点处质量为$m'$的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为$m_1、m_2$，试求$m'$的表达式(用$m_1、m_2$表示)；

Solution:
$设A, B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r_1、r_2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为\omega 。由牛顿运动定律，有$
$F_A=m_1\omega ^2r_1，$
$F_B=m_2\omega ^2r_2，$
$F_A=F_B$
$设A、B之间的距离为r，有r=r_1+r_2$
$由上述各式得r= \frac{m_1+m_2}{m_2} r_1 (①)$
由万有引力定律，有
$F_A=G \frac{m_1m_2}{r^2}$
将①代入得
$F_A=G \frac{m_1m^3_2}{(m_1+m_2)^2r^2_1}$
$令F_A=G \frac{m_1m'}{r^2_1}$
$比较可得m'=\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2} (②)$

Final answer: $\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2}$
Subfield: Mechanics


Question: 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

<img_1332>
可见星A所受暗星B的引力$F_{A}$可等效为位于O点处质量为$m'$的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为$m_1、m_2$，试求$m'$的表达式(用$m_1、m_2$表示)；

Solution:
$设A, B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r_1、r_2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为\omega 。由牛顿运动定律，有$
$F_A=m_1\omega ^2r_1，$
$F_B=m_2\omega ^2r_2，$
$F_A=F_B$
$设A、B之间的距离为r，有r=r_1+r_2$
$由上述各式得r= \frac{m_1+m_2}{m_2} r_1 (①)$
由万有引力定律，有
$F_A=G \frac{m_1m_2}{r^2}$
将①代入得
$F_A=G \frac{m_1m^3_2}{(m_1+m_2)^2r^2_1}$
$令F_A=G \frac{m_1m'}{r^2_1}$
$比较可得m'=\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2} (②)$

Final answer: $\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2}$
Subfield: Mechanics


Question: 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

![LMCX-3双星系统](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612237363425282/img/compression/M_7c5996cf4739d0262a53378f8375c0e6.jpg)
$求暗星B的质量m_2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m_1之间的关系式；$

Solution:
由牛顿第二定律，有

$G\frac{m_1m'}{r^2_1}=m_1\frac{v^2}{r_1}$

③

$又可见星A的轨道半径r_1=\frac{vT}{2\pi}$

④

$由②③④式解得\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2}=\frac{v^3T}{2\pi G}$

⑤

Final answer: $\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2} = \frac{v^3T}{2\pi G}$
Subfield: Mechanics


Question: 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

<img_1332>
$求暗星B的质量m_2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m_1之间的关系式；$

Solution:
由牛顿第二定律，有

$G\frac{m_1m'}{r^2_1}=m_1\frac{v^2}{r_1}$

③

$又可见星A的轨道半径r_1=\frac{vT}{2\pi}$

④

$由②③④式解得\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2}=\frac{v^3T}{2\pi G}$

⑤

Final answer: $\frac{m^3_2}{(m_1+m_2)^2} = \frac{v^3T}{2\pi G}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角\alpha=37^\circ 的光滑直轨道AB、圆心为O_1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O_2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37^\circ 的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、O_1、D、O_2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15 m，轨道AB长度l_{AB}=3 m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数\mu=\frac{7}{8},滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。(g=10 m/s^2)$

<img_1075>
$设释放点距 B 点的长度为 l_x ，求滑块第1次经过 F 点时的速度 v 与 l_x 之间的关系式;$

Solution:
$根据动能定理，从释放点到 F 点过程：$

$mgl_x \sin 37^\circ -4mgR \cos 37^\circ =\frac{1}{2}mv^2$

$可得 v=\sqrt{12l_x-9.6}$

$由于滑块能经过 F 点，故经过 DEF 轨道最高点时的速度应大于或等于零，则 mgl_x \sin 37^\circ \geq mg(R+3R \cos 37^\circ )$

$解得 l_x\geq 0.85 m$

$故速度 v 与 l_x 之间的关系式为 v=\sqrt{12l_x-9.6}(l_x\geq 0.85 m)$

Final answer: $v=\sqrt{12l_x-9.6}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角\alpha=37^\circ 的光滑直轨道AB、圆心为O_1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O_2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37^\circ 的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、O_1、D、O_2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15 m，轨道AB长度l_{AB}=3 m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数\mu=\frac{7}{8},滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。(g=10 m/s^2)$

![23AZJ5WL472.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612365347299330/img/compression/M_bf9b8dace793566889304d6826b14ce0.jpg)
$设释放点距 B 点的长度为 l_x ，求滑块第1次经过 F 点时的速度 v 与 l_x 之间的关系式;$

Solution:
$根据动能定理，从释放点到 F 点过程：$

$mgl_x \sin 37^\circ -4mgR \cos 37^\circ =\frac{1}{2}mv^2$

$可得 v=\sqrt{12l_x-9.6}$

$由于滑块能经过 F 点，故经过 DEF 轨道最高点时的速度应大于或等于零，则 mgl_x \sin 37^\circ \geq mg(R+3R \cos 37^\circ )$

$解得 l_x\geq 0.85 m$

$故速度 v 与 l_x 之间的关系式为 v=\sqrt{12l_x-9.6}(l_x\geq 0.85 m)$

Final answer: $v=\sqrt{12l_x-9.6}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,钉子A、B相距$5l$,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为$3l$。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为$53^\circ$ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取$\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6$。求:

![19GZTWL114.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612411179323394/img/compression/M_0c5c40aa1c5c0f8c88baeb3f8f80d5f8.jpg)
$小球受到手的拉力大小F;$

Solution:
$设小球受AC、BC的拉力分别为F_1、F_2$
$F_1 \sin 53^\circ =F_2 \cos 53^\circ $
$F+mg=F_1 \cos 53^\circ +F_2 \sin 53^\circ $
$且 F_1=Mg$
$解得F=\frac{5}{3}Mg-mg$

Final answer: $\frac{5}{3} Mg-mg$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,钉子A、B相距$5l$,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为$3l$。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为$53^\circ$ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取$\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6$。求:

<img_920>
$小球受到手的拉力大小F;$

Solution:
$设小球受AC、BC的拉力分别为F_1、F_2$
$F_1 \sin 53^\circ =F_2 \cos 53^\circ $
$F+mg=F_1 \cos 53^\circ +F_2 \sin 53^\circ $
$且 F_1=Mg$
$解得F=\frac{5}{3}Mg-mg$

Final answer: $\frac{5}{3} Mg-mg$
Subfield: Optics


Question: $一玻璃工件的上半部是圆锥，\angle ACB=120^\circ ，下半部是半径为R的半球体，O为球心，其截面如图所示。一束单色光以45^\circ 的入射角射向截面的AC边后，垂直于AB射向球面，入射角也为45^\circ 。已知真空中光速为c。求：$

<img_1224>
$光在工件下半部半球体内传播的时间t。$

Solution:
$由题意，\sinC=\frac{1}{n} ，即C=45^\circ ，则光线在球面上恰好发生两次全反射，光在半球体内走过的距离$

$s=4R \cos 45^\circ $

$光在介质中传播的速度v=\frac{c}{n}$

$经历的时间t=\frac{s}{v}$

$解得t=\frac{4R}{c}$

Final answer: $\frac{4R}{c}$
Subfield: Optics


Question: $一玻璃工件的上半部是圆锥，\angle ACB=120^\circ ，下半部是半径为R的半球体，O为球心，其截面如图所示。一束单色光以45^\circ 的入射角射向截面的AC边后，垂直于AB射向球面，入射角也为45^\circ 。已知真空中光速为c。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522337989529603/img/compression/M_177af27c0ff9a816c2b15b1a35e908cd.jpg)
$光在工件下半部半球体内传播的时间t。$

Solution:
$由题意，\sinC=\frac{1}{n} ，即C=45^\circ ，则光线在球面上恰好发生两次全反射，光在半球体内走过的距离$

$s=4R \cos 45^\circ $

$光在介质中传播的速度v=\frac{c}{n}$

$经历的时间t=\frac{s}{v}$

$解得t=\frac{4R}{c}$

Final answer: $\frac{4R}{c}$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学利用如图甲所示的装置测量滑块与长金属板之间的动摩擦因数和当地重力加速度。金属板固定在水平实验台上，一轻绳跨过轻滑轮，左端与放在金属板上的滑块(滑块上固定有宽度为d＝2.000 cm的遮光条)相连，另一端可悬挂钩码。本实验中可用的钩码共有N＝6个，每个质量均为m＝0.010 kg。$

<img_672>

实验步骤如下。  
$①在金属板上适当的位置固定光电门A和B，两光电门通过数据采集器与计算机相连。  $
$②用电子秤称量出滑块和遮光条的总质量为M＝0.150 kg。  $
$③将n(依次取n＝1,2,3,4,5,6)个钩码挂在轻绳右端，其余N-n个钩码固定在滑块上。用手按住滑块，并使轻绳与金属板平行。接通光电门，释放滑块。计算机自动记录：  $
$ⅰ.遮光条通过光电门A的时间\Delta t_1；  $
$ⅱ.遮光条通过光电门B的时间\Delta t_2；  $
$ⅲ.遮光条的后端从离开光电门A到离开光电门B的时间\Delta t_{12}。  $
$④经数据处理后，可得到与n对应的加速度a并记录。  $
回答下列问题：
$利用记录的数据拟合得到a-n图像，如图乙所示，该直线在横轴上的截距为p、纵轴上的截距为q。用已知量和测得的物理量表示滑块与长金属板之间动摩擦因数的测量值\mu＝\_\_\_\_\_\_，重力加速度的测量值g＝\_\_\_\__\_(结果用字母表示)。$

|            |
|------------|
|<img_659>|

乙

Solution:
$由牛顿第二定律得nmg-\mu[Mg+(N-n)mg]=(M+Nm)a，化简得a=\frac{mg+\mu mg}{M+Nm}，n-\mu g=\frac{(1+\mu )g}{21}，n-\mu g，结合图乙可得\mu g=q，\frac{(1+\mu )g}{21}=\frac{q}{p}，解得\mu=\frac{p}{21-p}，g=\frac{21q-pq}{p}。$

Final answer: $\frac{p}{21-p}　\frac{21q-pq}{p}$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学利用如图甲所示的装置测量滑块与长金属板之间的动摩擦因数和当地重力加速度。金属板固定在水平实验台上，一轻绳跨过轻滑轮，左端与放在金属板上的滑块(滑块上固定有宽度为d＝2.000 cm的遮光条)相连，另一端可悬挂钩码。本实验中可用的钩码共有N＝6个，每个质量均为m＝0.010 kg。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522405534351364/img/compression/M_e214b2958a4c66a994ce416d72b66063.jpg)

实验步骤如下。  
$①在金属板上适当的位置固定光电门A和B，两光电门通过数据采集器与计算机相连。  $
$②用电子秤称量出滑块和遮光条的总质量为M＝0.150 kg。  $
$③将n(依次取n＝1,2,3,4,5,6)个钩码挂在轻绳右端，其余N-n个钩码固定在滑块上。用手按住滑块，并使轻绳与金属板平行。接通光电门，释放滑块。计算机自动记录：  $
$ⅰ.遮光条通过光电门A的时间\Delta t_1；  $
$ⅱ.遮光条通过光电门B的时间\Delta t_2；  $
$ⅲ.遮光条的后端从离开光电门A到离开光电门B的时间\Delta t_{12}。  $
$④经数据处理后，可得到与n对应的加速度a并记录。  $
回答下列问题：
$利用记录的数据拟合得到a-n图像，如图乙所示，该直线在横轴上的截距为p、纵轴上的截距为q。用已知量和测得的物理量表示滑块与长金属板之间动摩擦因数的测量值\mu＝\_\_\_\_\_\_，重力加速度的测量值g＝\_\_\_\__\_(结果用字母表示)。$

|            |
|------------|
|![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522405534351364/img/compression/M_49b5d269dab25d53b7342c729511c164.jpg)|

乙

Solution:
$由牛顿第二定律得nmg-\mu[Mg+(N-n)mg]=(M+Nm)a，化简得a=\frac{mg+\mu mg}{M+Nm}，n-\mu g=\frac{(1+\mu )g}{21}，n-\mu g，结合图乙可得\mu g=q，\frac{(1+\mu )g}{21}=\frac{q}{p}，解得\mu=\frac{p}{21-p}，g=\frac{21q-pq}{p}。$

Final answer: $\frac{p}{21-p}　\frac{21q-pq}{p}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图(a)，质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。

<img_438>

<img_589>
求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；

Solution:
$篮球自由下落，设碰地前瞬间的速率为v_1，由运动学公式有v_1^2=2gH$
$篮球反弹至h高度处，设离地时的速率为v_2，由运动学公式0-v_2^2=-2gh$
$则碰后速率与碰前速率之比\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{h}{H}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{h}{H}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图(a)，质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385537068101634/img/compression/M_de7f1bb93b300febc9b82b9a6362ab03.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385537068101634/img/compression/M_da4c664321bf6a82888efbe8c723fc2b.jpg)
求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；

Solution:
$篮球自由下落，设碰地前瞬间的速率为v_1，由运动学公式有v_1^2=2gH$
$篮球反弹至h高度处，设离地时的速率为v_2，由运动学公式0-v_2^2=-2gh$
$则碰后速率与碰前速率之比\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{h}{H}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{h}{H}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图(a)，质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。

<img_438>

<img_589>
$如图(a)，若篮球反弹至最高处h时，运动员向下拍球，对篮球施加一个向下的压力F，持续作用至h_0高度处撤去，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h高度处，力F的大小随高度y的变化如图(b)所示，其中h_0已知，求F_0的大小；$

Solution:
解法一 由题图(b)可知，拍球过程压力做功
$W_{F}=\frac{1}{2}(h-h_{0})F_{0}$

$设篮球落地前瞬间的速率为v_{3}，由动能定理mgh+W_{F}=\frac{1}{2}mv_{3}^{2}$

$篮球反弹至h高度处，设离地时的速率为v_{4}，由运动学公式有v_{4}^{2}=2gh$

$两次速率之比\frac{v_4}{v_3}=\sqrt{\frac{h}{H}}$

$联立解得F_{0}=\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$

$解法二 篮球能反弹至h高度，压力F做功等于第一次碰撞过程损失的能量，W_{F}=mg(H-h)$

$由题图(b)可知，拍球过程压力做功W_{F}=\frac{1}{2}(h-h_{0})F_{0}$

$解得F_{0}=\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$

Final answer: $\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图(a)，质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度为g，不计空气阻力。

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385537068101634/img/compression/M_de7f1bb93b300febc9b82b9a6362ab03.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385537068101634/img/compression/M_da4c664321bf6a82888efbe8c723fc2b.jpg)
$如图(a)，若篮球反弹至最高处h时，运动员向下拍球，对篮球施加一个向下的压力F，持续作用至h_0高度处撤去，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h高度处，力F的大小随高度y的变化如图(b)所示，其中h_0已知，求F_0的大小；$

Solution:
解法一 由题图(b)可知，拍球过程压力做功
$W_{F}=\frac{1}{2}(h-h_{0})F_{0}$

$设篮球落地前瞬间的速率为v_{3}，由动能定理mgh+W_{F}=\frac{1}{2}mv_{3}^{2}$

$篮球反弹至h高度处，设离地时的速率为v_{4}，由运动学公式有v_{4}^{2}=2gh$

$两次速率之比\frac{v_4}{v_3}=\sqrt{\frac{h}{H}}$

$联立解得F_{0}=\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$

$解法二 篮球能反弹至h高度，压力F做功等于第一次碰撞过程损失的能量，W_{F}=mg(H-h)$

$由题图(b)可知，拍球过程压力做功W_{F}=\frac{1}{2}(h-h_{0})F_{0}$

$解得F_{0}=\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$

Final answer: $\frac{2mg(H-h)}{h-h_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

<img_1293>

<img_1137>
在水平直道AB上的加速度大小；

Solution:
$在水平直道AB上，设雪车(包括运动员)的加速度大小为a_1，由运动学公式有v^2=2a_1x_1$

$解得a_1=\frac{v^2}{2x_1}$

Final answer: $\frac{v^2}{2x_1}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_23443d0389f85239448db815a4d339f8.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_907458d9acf8e7fd6f25f7455b0389ad.jpg)
在水平直道AB上的加速度大小；

Solution:
$在水平直道AB上，设雪车(包括运动员)的加速度大小为a_1，由运动学公式有v^2=2a_1x_1$

$解得a_1=\frac{v^2}{2x_1}$

Final answer: $\frac{v^2}{2x_1}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

<img_1293>

<img_1137>
在倾斜直道BC上的加速度大小；

Solution:
在倾斜直道BC上，设雪车(包括运动员)的加速度大小为a\_2，由牛顿第二定律可得

$mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =ma_2$

解得$a_2=g \sin \theta -\mu g \cos \theta $

Final answer: $g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_23443d0389f85239448db815a4d339f8.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_907458d9acf8e7fd6f25f7455b0389ad.jpg)
在倾斜直道BC上的加速度大小；

Solution:
在倾斜直道BC上，设雪车(包括运动员)的加速度大小为a\_2，由牛顿第二定律可得

$mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =ma_2$

解得$a_2=g \sin \theta -\mu g \cos \theta $

Final answer: $g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

<img_1293>

<img_1137>
经过C点时的动量大小。

Solution:
设雪车(包括运动员)到达 C 点时的速度为 v_C，由运动学公式有 $v^2_C - v^2 = 2a_2x_2$
$解得 v_C = \sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$

雪车(包括运动员)经过 C 点时的动量大小 p_C=mv_C
$解得 p_C= m \sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$

Final answer: $m\sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长为x_1的水平直道AB与长为x_2的倾斜直道BC在B点平滑连接，倾斜直道BC与水平面的夹角为\theta。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B点时速度大小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC匀加速下滑(如图2所示)。若雪车(包括运动员)可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。求雪车(包括运动员)$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_23443d0389f85239448db815a4d339f8.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578889252865/img/compression/M_907458d9acf8e7fd6f25f7455b0389ad.jpg)
经过C点时的动量大小。

Solution:
设雪车(包括运动员)到达 C 点时的速度为 v_C，由运动学公式有 $v^2_C - v^2 = 2a_2x_2$
$解得 v_C = \sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$

雪车(包括运动员)经过 C 点时的动量大小 p_C=mv_C
$解得 p_C= m \sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$

Final answer: $m\sqrt{v^2+2(g \sin  \theta -\mu g \cos  \theta )x_2}$
Subfield: Optics


Question: $如图，一半径为r，折射率为n=\frac{2\sqrt{3}}{3}的透明球体放在水平地面上，球心为O，球体与地面的接触点为B，在球体的顶点A内侧有一点光源，点光源发出的光通过球体后照亮地面上的部分区域。已知真空中的光速为c，求：$

<img_936>
在球体内，光从A点传播到B点的最短时间；

Solution:
$光从A点传播到B点的最短时间为t=\frac{2r}{v}，且n=\frac{c}{v}，联立可得t=\frac{4\sqrt{3}r}{3c}。$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}r}{3c}$
Subfield: Optics


Question: $如图，一半径为r，折射率为n=\frac{2\sqrt{3}}{3}的透明球体放在水平地面上，球心为O，球体与地面的接触点为B，在球体的顶点A内侧有一点光源，点光源发出的光通过球体后照亮地面上的部分区域。已知真空中的光速为c，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255690923372546/img/compression/M_bad3a01b2a090e73f16f9a0766eee661.jpg)
在球体内，光从A点传播到B点的最短时间；

Solution:
$光从A点传播到B点的最短时间为t=\frac{2r}{v}，且n=\frac{c}{v}，联立可得t=\frac{4\sqrt{3}r}{3c}。$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}r}{3c}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在磁感应强度为B的匀强磁场区域内，垂直于磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd,两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L,导体棒的质量均为m,电阻均为R,导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨间的动摩擦因数均为\mu 。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v_0,重力加速度为g,以上物理量除v_0未知外，其余的均已知。$

<img_1127>
$若v_0已知且满足第(1)问的条件,从ab棒开始运动到速度最大，cd棒产生的焦耳热为Q，用v_1表示ab棒的最大速度，用v_2表示此时cd棒的速度。ab棒达到最大速度时，cd棒的位移是多少?$

Solution:
由题意，整个回路产生的热量为2Q，由能量守恒有
$\frac{1}{2}mv^2_0-\frac{1}{2}mv^2_{1}-\frac{1}{2}mv^2_{2}=2Q+\mu mgx_{ab}+\mu mgx_{cd} $



$I_{安冲}-\mu mgt=mv_{1}-0$



$-I_{安冲}-\mu mgt=mv_{2}-mv_{0}$



$I_{安冲}=B\overline{I}L\Delta t=BLq$



$\overline{I}=\frac{BL(x_{cd}-x_{ab})}{\Delta t\cdot 2R}$



则$x_{cd}=\frac{mR}{2B^2L^2}(v_{0}+v_{1}-v_{2})+\frac{m(v^2_0-v^2_1-v^2_2)-4Q}{4\mu mg}$

Final answer: $\frac{mR}{2B^2L^2} (v_0+v_1-v_2)+\frac{m(v^2_0-v^2_1-v^2_2)-4Q}{4\mu mg}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在磁感应强度为B的匀强磁场区域内，垂直于磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd,两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L,导体棒的质量均为m,电阻均为R,导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨间的动摩擦因数均为\mu 。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v_0,重力加速度为g,以上物理量除v_0未知外，其余的均已知。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716624977736757250/img/compression/M_91c804be28a4373ae00fc0900595cac9.jpg)
$若v_0已知且满足第(1)问的条件,从ab棒开始运动到速度最大，cd棒产生的焦耳热为Q，用v_1表示ab棒的最大速度，用v_2表示此时cd棒的速度。ab棒达到最大速度时，cd棒的位移是多少?$

Solution:
由题意，整个回路产生的热量为2Q，由能量守恒有
$\frac{1}{2}mv^2_0-\frac{1}{2}mv^2_{1}-\frac{1}{2}mv^2_{2}=2Q+\mu mgx_{ab}+\mu mgx_{cd} $



$I_{安冲}-\mu mgt=mv_{1}-0$



$-I_{安冲}-\mu mgt=mv_{2}-mv_{0}$



$I_{安冲}=B\overline{I}L\Delta t=BLq$



$\overline{I}=\frac{BL(x_{cd}-x_{ab})}{\Delta t\cdot 2R}$



则$x_{cd}=\frac{mR}{2B^2L^2}(v_{0}+v_{1}-v_{2})+\frac{m(v^2_0-v^2_1-v^2_2)-4Q}{4\mu mg}$

Final answer: $\frac{mR}{2B^2L^2} (v_0+v_1-v_2)+\frac{m(v^2_0-v^2_1-v^2_2)-4Q}{4\mu mg}$
Subfield: Mechanics


Question: $利用气垫导轨验证机械能守恒定律,实验装置如图1所示,水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨，导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M,左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的小球相连;遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门,可以测量遮光片经过光电门的挡光时间t,用d表示A点到光电门B处的距离,b表示遮光片的宽度,将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度,实验时滑块在A处由静止开始运动。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625063248850945/img/compression/M_446f2ff61412026786c69bba0c6b8096.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625063248850945/img/compression/M_f034560cec0055021a56b1761ff49e1a.jpg)
$某次实验测得倾角\theta=30^\circ ,重力加速度用g表示,滑块从A处到达B处时小球和带遮光片的滑块组成的系统动能增加量可表示为\Delta E_k=\_\_\_\_\_,系统的重力势能减少量可表示为\Delta E_p=\_\_\_\_\_,在误差允许的范围内,若\Delta E_k=\Delta E_p,则可认为系统的机械能守恒。$

Solution:
$小球和带遮光片的滑块速率相同，带遮光片的滑块经过光电门时的速度v=\frac{b}{t}，故小球和带遮光片的滑块组成的系统获得的动能\Delta E_k=\frac{1}{2}(M+m)\left(\frac{b}{t}\right)^2。该过程中小球下降的高度为d，带遮光片的滑块上升的高度为d \sin 30^\circ ,故系统减少的重力势能\Delta E_p=mgd-Mgd \sin 30^\circ =\left(m-\frac{M}{2}\right)gd。$

Final answer: $\frac{(m+M)b^2}{2t^2}　\left(m-\frac{M}{2}\right) gd$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在光滑水平地面上一质量为2m、长度为L的木板右端紧靠竖直墙壁,质量为m的滑块(视为质点)从左端水平滑上木板。滑块与木板间的动摩擦因数为\mu ,重力加速度大小为g。$
<img_732>
$若滑块恰好能到达木板的右端,求滑块从左端滑上木板时的速度大小v_{1};$

Solution:
$根据动能定理有-\mu mgL=0-\frac{1}{2}mv^2_1 $



$解得v_1=\sqrt{2\mu gL} $

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在光滑水平地面上一质量为2m、长度为L的木板右端紧靠竖直墙壁,质量为m的滑块(视为质点)从左端水平滑上木板。滑块与木板间的动摩擦因数为\mu ,重力加速度大小为g。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625104000708612/img/compression/M_34cdda127544e7c3a30e8b2a1d4eb95b.jpg)
$若滑块恰好能到达木板的右端,求滑块从左端滑上木板时的速度大小v_{1};$

Solution:
$根据动能定理有-\mu mgL=0-\frac{1}{2}mv^2_1 $



$解得v_1=\sqrt{2\mu gL} $

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在光滑水平地面上一质量为2m、长度为L的木板右端紧靠竖直墙壁,质量为m的滑块(视为质点)从左端水平滑上木板。滑块与木板间的动摩擦因数为\mu ,重力加速度大小为g。$
<img_732>
$若滑块与墙壁发生碰撞(弹性碰撞，且碰撞时间极短)后恰好不脱离木板，求滑块从左端滑上木板时的速度大小v_2以及滑块从与墙壁碰撞至回到木板左端的时间t。$

Solution:
$设滑块与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为v_3,对滑块滑上木板至滑到木板的右端的过程,根据动能定理有-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_3-\frac{1}{2}mv^2_2 $

$设滑块回到木板最左端时的速度大小为v,滑块在与墙壁碰撞至滑到木板左端的过程中，根据动量守恒定律有$
$mv_3=(m+2m)v $

$根据功能关系有\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_3-\frac{1}{2}(m+2m)v^2 $

$解得v_2=\sqrt{5\mu gL} $

$v=\sqrt{\frac{1}{3}\mu gL} $

$对木板，根据动量定理有\mu mgt=2mv-0 $

$解得t=\sqrt{\frac{4L}{3\mu g}} $

Final answer: $\sqrt{5\mu gL}　\sqrt{\frac{4L}{3\mu g}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,在光滑水平地面上一质量为2m、长度为L的木板右端紧靠竖直墙壁,质量为m的滑块(视为质点)从左端水平滑上木板。滑块与木板间的动摩擦因数为\mu ,重力加速度大小为g。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625104000708612/img/compression/M_34cdda127544e7c3a30e8b2a1d4eb95b.jpg)
$若滑块与墙壁发生碰撞(弹性碰撞，且碰撞时间极短)后恰好不脱离木板，求滑块从左端滑上木板时的速度大小v_2以及滑块从与墙壁碰撞至回到木板左端的时间t。$

Solution:
$设滑块与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为v_3,对滑块滑上木板至滑到木板的右端的过程,根据动能定理有-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_3-\frac{1}{2}mv^2_2 $

$设滑块回到木板最左端时的速度大小为v,滑块在与墙壁碰撞至滑到木板左端的过程中，根据动量守恒定律有$
$mv_3=(m+2m)v $

$根据功能关系有\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_3-\frac{1}{2}(m+2m)v^2 $

$解得v_2=\sqrt{5\mu gL} $

$v=\sqrt{\frac{1}{3}\mu gL} $

$对木板，根据动量定理有\mu mgt=2mv-0 $

$解得t=\sqrt{\frac{4L}{3\mu g}} $

Final answer: $\sqrt{5\mu gL}　\sqrt{\frac{4L}{3\mu g}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在xOy平面内,y轴和边界MN (MN平行于y轴)之间存在沿y轴负方向的匀强电场,在MN右侧存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场,y轴正半轴上有一点P,P点与坐标原点的距离为\frac{3}{2}L，如图所示。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以大小为v_0的速度沿x轴正方向射入匀强电场,结果恰好从MN与x轴的交点Q进入匀强磁场,粒子进入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角\theta=37^\circ 。不计粒子所受的重力,取\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625104290115586/img/compression/M_0b9a57735dbe087a1155bdd85a7c3420.jpg)
$粒子在磁场中运动的过程中到y轴的最远距离x_{max}。$

Solution:
$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r，有$

$qv_B=\frac{mv^2}{r}$

$解得 r=\frac{5mv_0}{4qB}$

$设粒子在磁场中通过 K 点时距 y 轴最远,根据几何关系可知, Q、K 两点沿 x 轴方向的距离$

$d=r+r\sin\theta $

$解得 d=\frac{2mv_0}{qB} $

$在粒子从 P 点运动到 Q 点的过程中,粒子沿 x 轴方向运动的距离$

$L'=v_0t$

$又 x_{max}=L'+d$

$解得 x_{max}=4L+\frac{2mv_0}{qB}$

Final answer: $4L+\frac{2mv_0}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在xOy平面内,y轴和边界MN (MN平行于y轴)之间存在沿y轴负方向的匀强电场,在MN右侧存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场,y轴正半轴上有一点P,P点与坐标原点的距离为\frac{3}{2}L，如图所示。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以大小为v_0的速度沿x轴正方向射入匀强电场,结果恰好从MN与x轴的交点Q进入匀强磁场,粒子进入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角\theta=37^\circ 。不计粒子所受的重力,取\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8。求:$

<img_457>
$粒子在磁场中运动的过程中到y轴的最远距离x_{max}。$

Solution:
$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r，有$

$qv_B=\frac{mv^2}{r}$

$解得 r=\frac{5mv_0}{4qB}$

$设粒子在磁场中通过 K 点时距 y 轴最远,根据几何关系可知, Q、K 两点沿 x 轴方向的距离$

$d=r+r\sin\theta $

$解得 d=\frac{2mv_0}{qB} $

$在粒子从 P 点运动到 Q 点的过程中,粒子沿 x 轴方向运动的距离$

$L'=v_0t$

$又 x_{max}=L'+d$

$解得 x_{max}=4L+\frac{2mv_0}{qB}$

Final answer: $4L+\frac{2mv_0}{qB}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，刚经过高温消毒的茶杯和杯盖，从消毒碗柜里取出后，茶杯放置在水平桌面上并立刻盖上杯盖，茶杯内密封温度为87 ^\circ C、压强等于外界大气压强p_0的气体。已知杯盖的质量为m，杯口面积为S，重力加速度为g。求茶杯内气体降温至27^\circ C时，茶杯对杯盖的支持力大小。$

<img_882>

Solution:
$茶杯内气体初始温度为T_1=(87+273)K=360K  $
$降温后末状态温度为T_2=(27+273)K=300K  $
$杯内封闭气体发生等容变化，由查理定律有\frac{p_0}{T_1}=\frac{p'}{T_2}  $
$解得降温后杯内气体的压强p'=\frac{5}{6}p_0  $
$对杯盖受力分析有p'S+N=p_0S+mg  $
$解得N=\frac{1}{6}p_0S+mg$

Final answer: $\frac{1}{6}p_0S+mg$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，刚经过高温消毒的茶杯和杯盖，从消毒碗柜里取出后，茶杯放置在水平桌面上并立刻盖上杯盖，茶杯内密封温度为87 ^\circ C、压强等于外界大气压强p_0的气体。已知杯盖的质量为m，杯口面积为S，重力加速度为g。求茶杯内气体降温至27^\circ C时，茶杯对杯盖的支持力大小。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961229146591235/img/compression/M_e4ae5891084a1d6493d14cc083622c96.jpg)

Solution:
$茶杯内气体初始温度为T_1=(87+273)K=360K  $
$降温后末状态温度为T_2=(27+273)K=300K  $
$杯内封闭气体发生等容变化，由查理定律有\frac{p_0}{T_1}=\frac{p'}{T_2}  $
$解得降温后杯内气体的压强p'=\frac{5}{6}p_0  $
$对杯盖受力分析有p'S+N=p_0S+mg  $
$解得N=\frac{1}{6}p_0S+mg$

Final answer: $\frac{1}{6}p_0S+mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后b滑行的最大距离为s。已知b的质量是a的3倍。b与水平面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612527768645635/img/compression/M_e39e5df8b36d1a2700adcc465e10f01d.jpg)
碰撞后瞬间物块b速度的大小；

Solution:
设a的质量为m，则b的质量为3m
碰撞后b滑行过程，根据动能定理得
$-\mu \times 3mgs=0-\frac{1}{2}\times 3mv^2_b$
$解得，碰撞后瞬间物块b速度的大小v_b=\sqrt{2\mu gs}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gs}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后b滑行的最大距离为s。已知b的质量是a的3倍。b与水平面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。求：$

<img_837>
碰撞后瞬间物块b速度的大小；

Solution:
设a的质量为m，则b的质量为3m
碰撞后b滑行过程，根据动能定理得
$-\mu \times 3mgs=0-\frac{1}{2}\times 3mv^2_b$
$解得，碰撞后瞬间物块b速度的大小v_b=\sqrt{2\mu gs}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gs}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后b滑行的最大距离为s。已知b的质量是a的3倍。b与水平面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。求：$

<img_837>
轻绳的长度。

Solution:
$对于a、b碰撞过程，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律得mv_0=mv_a+3mv_b$

$根据机械能守恒得\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_a^2+\frac{1}{2}\times 3mv_b^2$

$设轻绳的长度为L，对于a下摆的过程，根据机械能守恒得mgL=\frac{1}{2}mv_0^2$

$联立解得L=4\mu s$

Final answer: $4\mu s$