di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_8d8ee55368302ed7486e36e2f37e5047.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_4cac0a1bb4bb4e7ba62c69388868a440.jpg)
将原电场更换为如图2所示的交变电场(正、负号分别表示与原电场强度方向相同或相反)，小球在A点由静止释放，欲使小球能在一个周期(T未知)内恰能运动到最低点C，且运动过程中不与圆轨道相碰，试求所加电场强度$E_2$应不大于多少。

Solution:
$在一个周期内，小球由静止释放，0～\frac{T}{4}时由沿重力和电场力的合力方向做直线运动，\frac{T}{4}～T内合力方向和速度方向不共线，小球做曲线运动，T时刻回到A点正下方的C点，轨迹如答图2所示，根据小球的受力，按重力和电场力的方向进行分解，$

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_d9a8d8fa60dde84822e1d101be11be7b.jpg)

$竖直方向上只受重力，做自由落体运动，2R=\frac{1}{2}gT^2，则T=\sqrt{\frac{4R}{g}}。在水平方向上小球只受电场力，0～\frac{T}{4}内，小球水平方向向右做匀加速直线运动，位移x_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{qE_2}{m}\cdot \left(\frac{T}{4}\right)^2，\frac{T}{4}～\frac{T}{2}内，电场力等大反向，由运动对称性知向右运动位移仍为x_1，同理，\frac{T}{2}~T 小球反向做先匀加速后匀减速的直线运动。要使小球由A点运动到最低处C点且不与轨道相碰，需\frac{T}{2}时刻到达最大水平位移处，此时竖直位移h=\frac{1}{2}g\left(\frac{T}{2}\right)^2=\frac{1}{2}R，由几何关系可得，向右运动的最大位移为\frac{\sqrt{3}}{2}R，由此可得\frac{1}{2}\cdot \frac{qE_2}{m}\cdot \left(\frac{T}{4}\right)^2\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}R，解得E_2=\frac{2\sqrt{3}mg}{q}，故所加电场强度的最大值不能超过\frac{2\sqrt{3}mg}{q}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

<img_1024>

<img_631>
将原电场更换为如图2所示的交变电场(正、负号分别表示与原电场强度方向相同或相反)，小球在A点由静止释放，欲使小球能在一个周期(T未知)内恰能运动到最低点C，且运动过程中不与圆轨道相碰，试求所加电场强度$E_2$应不大于多少。

Solution:
$在一个周期内，小球由静止释放，0～\frac{T}{4}时由沿重力和电场力的合力方向做直线运动，\frac{T}{4}～T内合力方向和速度方向不共线，小球做曲线运动，T时刻回到A点正下方的C点，轨迹如答图2所示，根据小球的受力，按重力和电场力的方向进行分解，$

<img_1128>

$竖直方向上只受重力，做自由落体运动，2R=\frac{1}{2}gT^2，则T=\sqrt{\frac{4R}{g}}。在水平方向上小球只受电场力，0～\frac{T}{4}内，小球水平方向向右做匀加速直线运动，位移x_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{qE_2}{m}\cdot \left(\frac{T}{4}\right)^2，\frac{T}{4}～\frac{T}{2}内，电场力等大反向，由运动对称性知向右运动位移仍为x_1，同理，\frac{T}{2}~T 小球反向做先匀加速后匀减速的直线运动。要使小球由A点运动到最低处C点且不与轨道相碰，需\frac{T}{2}时刻到达最大水平位移处，此时竖直位移h=\frac{1}{2}g\left(\frac{T}{2}\right)^2=\frac{1}{2}R，由几何关系可得，向右运动的最大位移为\frac{\sqrt{3}}{2}R，由此可得\frac{1}{2}\cdot \frac{qE_2}{m}\cdot \left(\frac{T}{4}\right)^2\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}R，解得E_2=\frac{2\sqrt{3}mg}{q}，故所加电场强度的最大值不能超过\frac{2\sqrt{3}mg}{q}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $科学家们用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如下图所示，有一中轴线沿x轴的平行板器件，上极板带正电，间距d=2\times 10^-3 m的两极板间电压U=2 V，极板间存在着匀强磁场，磁感应强度为B_1。一束带电荷量大小为2\sqrt{10}\times 10^-6 C，质量m=1.0\times 10^-6 kg，速率v_0=2.0\times 10^3 m/s的粒子从平行板器件左侧射入，恰好能沿中轴线从平行板器件右侧射出。不计带电粒子的重力及粒子间相互作用。$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185474461699/img/compression/M_6abdff68900a070fc54ee73ab7785bf9.jpg)
求极板间的匀强磁场$B_1$的大小；

Solution:
$能顺利通过的粒子做匀速直线运动，不计粒子重力，电场和磁场叠加存在，则有B_1qv=qE，平行板间是匀强电场，故有U=Ed，解得B_1=0.5T。$

Final answer: $0.5 T$
Subfield: Electromagnetism


Question: $科学家们用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如下图所示，有一中轴线沿x轴的平行板器件，上极板带正电，间距d=2\times 10^-3 m的两极板间电压U=2 V，极板间存在着匀强磁场，磁感应强度为B_1。一束带电荷量大小为2\sqrt{10}\times 10^-6 C，质量m=1.0\times 10^-6 kg，速率v_0=2.0\times 10^3 m/s的粒子从平行板器件左侧射入，恰好能沿中轴线从平行板器件右侧射出。不计带电粒子的重力及粒子间相互作用。$
<img_994>
求极板间的匀强磁场$B_1$的大小；

Solution:
$能顺利通过的粒子做匀速直线运动，不计粒子重力，电场和磁场叠加存在，则有B_1qv=qE，平行板间是匀强电场，故有U=Ed，解得B_1=0.5T。$

Final answer: $0.5 T$
Subfield: Electromagnetism


Question: $科学家们用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如下图所示，有一中轴线沿x轴的平行板器件，上极板带正电，间距d=2\times 10^-3 m的两极板间电压U=2 V，极板间存在着匀强磁场，磁感应强度为B_1。一束带电荷量大小为2\sqrt{10}\times 10^-6 C，质量m=1.0\times 10^-6 kg，速率v_0=2.0\times 10^3 m/s的粒子从平行板器件左侧射入，恰好能沿中轴线从平行板器件右侧射出。不计带电粒子的重力及粒子间相互作用。$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185474461699/img/compression/M_6abdff68900a070fc54ee73ab7785bf9.jpg)
$在xOy平面的第一象限存在着平行于纸面的匀强电场E_2和垂直纸面的匀强磁场B_2(图中未画出)，电场方向斜向左上方且与x轴负方向夹角的正切值\tan \theta=3。粒子从极板右侧射出后，沿虚线从O点进入第一象限，在点P(40 m,30 m)处可观测到速度大小为v=1.0\times 10^3 m/s的粒子。$

求：
$①粒子从O点运动到P点的过程中电场力对粒子做的功；$
$②电场强度E_2的大小。$

Solution:
$①粒子从O点到P点的过程中洛伦兹力不做功，只有电场力做功，根据动能定理可知，电场力对粒子做的功等于粒子动能的增量，W =\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv^2_0 = -1.5 J. $

$②将电场沿x轴和y轴方向分解，可以得到电场力做功W = -qE_{x}x_{OP} + qE_{y}y_{OP}，又 \tan \theta  =\frac{E_y}{E_x} = 3， E_{2} = \sqrt{E^2_x+E^2_y}，代入数据解得 E_{2}=1.5\times 10^4 N/C。$

Final answer: ①$-1.5 J$　②$1.5\times 10^4 N/C$
Subfield: Electromagnetism


Question: $科学家们用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如下图所示，有一中轴线沿x轴的平行板器件，上极板带正电，间距d=2\times 10^-3 m的两极板间电压U=2 V，极板间存在着匀强磁场，磁感应强度为B_1。一束带电荷量大小为2\sqrt{10}\times 10^-6 C，质量m=1.0\times 10^-6 kg，速率v_0=2.0\times 10^3 m/s的粒子从平行板器件左侧射入，恰好能沿中轴线从平行板器件右侧射出。不计带电粒子的重力及粒子间相互作用。$
<img_994>
$在xOy平面的第一象限存在着平行于纸面的匀强电场E_2和垂直纸面的匀强磁场B_2(图中未画出)，电场方向斜向左上方且与x轴负方向夹角的正切值\tan \theta=3。粒子从极板右侧射出后，沿虚线从O点进入第一象限，在点P(40 m,30 m)处可观测到速度大小为v=1.0\times 10^3 m/s的粒子。$

求：
$①粒子从O点运动到P点的过程中电场力对粒子做的功；$
$②电场强度E_2的大小。$

Solution:
$①粒子从O点到P点的过程中洛伦兹力不做功，只有电场力做功，根据动能定理可知，电场力对粒子做的功等于粒子动能的增量，W =\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv^2_0 = -1.5 J. $

$②将电场沿x轴和y轴方向分解，可以得到电场力做功W = -qE_{x}x_{OP} + qE_{y}y_{OP}，又 \tan \theta  =\frac{E_y}{E_x} = 3， E_{2} = \sqrt{E^2_x+E^2_y}，代入数据解得 E_{2}=1.5\times 10^4 N/C。$



Final answer: -1.5, 1.5\times 10^4 J, N/C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径R=0.05 m的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=4\times 10^-3 T；观察x轴正方向电磁场分布如图乙，宽度d=0.05 m的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度E=40 N/C的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为B=4\times 10^-3 T、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷\frac{q}{m}=5\times 10^7 C/kg 的带正电粒子，从坐标为(0,0,0.10 m)的A点以一定初速度沿z轴负方向进入区域Ⅱ。(不计粒子的重力和空气阻力)$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_828d04baf4e5384966d0384fcc31875f.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_f2520ad5b5ed5feb1a4c18de5d459f29.jpg)

![图丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_3ff0a6f25500386dc9689f93b668f473.jpg)
$该粒子若以速度v_0沿直线通过区域Ⅱ，求速度v_0大小以及它在区域Ⅰ中运动的半径；$

Solution:
$粒子在电、磁场中受到电场力、洛伦兹力，做匀速直线运动，沿直线通过区域Ⅱ，则有qE=qv_0B，得v_0=\frac{E}{B}=10^4 m/s，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，有qv_0B=m\frac{v^2_0}{R_1}，解得R_1=0.05 m；$

Final answer: $10^4 m/s　0.05 m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径R=0.05 m的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=4\times 10^-3 T；观察x轴正方向电磁场分布如图乙，宽度d=0.05 m的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度E=40 N/C的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为B=4\times 10^-3 T、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷\frac{q}{m}=5\times 10^7 C/kg 的带正电粒子，从坐标为(0,0,0.10 m)的A点以一定初速度沿z轴负方向进入区域Ⅱ。(不计粒子的重力和空气阻力)$

<img_559>

<img_1089>

<img_685>
$该粒子若以速度v_0沿直线通过区域Ⅱ，求速度v_0大小以及它在区域Ⅰ中运动的半径；$

Solution:
$粒子在电、磁场中受到电场力、洛伦兹力，做匀速直线运动，沿直线通过区域Ⅱ，则有qE=qv_0B，得v_0=\frac{E}{B}=10^4 m/s，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，有qv_0B=m\frac{v^2_0}{R_1}，解得R_1=0.05 m；$

Final answer: $10^4 m/s　0.05 m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径R=0.05 m的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=4\times 10^-3 T；观察x轴正方向电磁场分布如图乙，宽度d=0.05 m的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度E=40 N/C的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为B=4\times 10^-3 T、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷\frac{q}{m}=5\times 10^7 C/kg 的带正电粒子，从坐标为(0,0,0.10 m)的A点以一定初速度沿z轴负方向进入区域Ⅱ。(不计粒子的重力和空气阻力)$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_828d04baf4e5384966d0384fcc31875f.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_f2520ad5b5ed5feb1a4c18de5d459f29.jpg)

![图丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894185986166786/img/compression/M_3ff0a6f25500386dc9689f93b668f473.jpg)
$若撤去区域Ⅱ的电场，求该粒子以速度2v_{0}从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间。$

Solution:
$撤去区域Ⅱ中的电场后，只有匀强磁场，粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，有2qv_0B=m\frac{(2v_0)^2}{R_2}，解得R_2=0.10 m，$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894187127017474/img/compression/M_6bc2fb27a0301604b89bafc143f5bce6.jpg)

$如图1所示，根据几何关系可知，粒子在区域Ⅱ中运动轨迹转过的圆心角为30^\circ ，在区域Ⅱ中的运动周期为T_2=\frac{2\pi R_2}{2v_0}，所以在区域Ⅱ中的运动时间为t_1=\frac{T_2}{12}=\frac{\pi m}{6Bq}，粒子离开区域Ⅱ后，在区域Ⅰ中垂直于磁感应强度方向上做匀速圆周运动，将复杂的曲线运动分解为两个平面上的运动来分析，矢量分解后有q\cdot (2v_0\cdot \sin 60^\circ )\cdot B=m\frac{(2v_0 \sin  60^{\circ})^2}{R'_1}，解得R'_1=0.05\sqrt{3} m，$

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894187127017474/img/compression/M_09266090e65783e65cea0355f9ce09e1.jpg)

$如图2所示，根据几何关系可知，粒子在区域Ⅰ中xOz平面内做匀速圆周运动，转过的圆心角为60^\circ ，所以在区域Ⅰ中的运动时间为t_2=\frac{T_2}{6}=\frac{\pi m}{3Bq}，所以，粒子从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间为t=t_1+t_2=\frac{\pi m}{2Bq}=\frac{\pi }{4}\times 10^{-5} s。$

Final answer: $\frac{\pi }{4}\times 10^{-5} s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径R=0.05 m的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=4\times 10^-3 T；观察x轴正方向电磁场分布如图乙，宽度d=0.05 m的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度E=40 N/C的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为B=4\times 10^-3 T、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷\frac{q}{m}=5\times 10^7 C/kg 的带正电粒子，从坐标为(0,0,0.10 m)的A点以一定初速度沿z轴负方向进入区域Ⅱ。(不计粒子的重力和空气阻力)$

<img_559>

<img_1089>

<img_685>
$若撤去区域Ⅱ的电场，求该粒子以速度2v_{0}从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间。$

Solution:
$撤去区域Ⅱ中的电场后，只有匀强磁场，粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，有2qv_0B=m\frac{(2v_0)^2}{R_2}，解得R_2=0.10 m，$

<img_1110>

$如图1所示，根据几何关系可知，粒子在区域Ⅱ中运动轨迹转过的圆心角为30^\circ ，在区域Ⅱ中的运动周期为T_2=\frac{2\pi R_2}{2v_0}，所以在区域Ⅱ中的运动时间为t_1=\frac{T_2}{12}=\frac{\pi m}{6Bq}，粒子离开区域Ⅱ后，在区域Ⅰ中垂直于磁感应强度方向上做匀速圆周运动，将复杂的曲线运动分解为两个平面上的运动来分析，矢量分解后有q\cdot (2v_0\cdot \sin 60^\circ )\cdot B=m\frac{(2v_0 \sin  60^{\circ})^2}{R'_1}，解得R'_1=0.05\sqrt{3} m，$

<img_578>

$如图2所示，根据几何关系可知，粒子在区域Ⅰ中xOz平面内做匀速圆周运动，转过的圆心角为60^\circ ，所以在区域Ⅰ中的运动时间为t_2=\frac{T_2}{6}=\frac{\pi m}{3Bq}，所以，粒子从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间为t=t_1+t_2=\frac{\pi m}{2Bq}=\frac{\pi }{4}\times 10^{-5} s。$

Final answer: $\frac{\pi }{4}\times 10^{-5} s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧,C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场;M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直;入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置,可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N、沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r，r≫d,d远大于弹簧长度改变量的绝对值。

![示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894169433620482/img/compression/M_0537ca9896e73a036063c0522e514d15.jpg)
$某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后,PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s_1;保持其他条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在O点下方，与O点间的弧长为s_2。求待测电流的大小。$

Solution:
$电流反向前后光点移动的弧长为s'=s_1+s_2$

$可知反射光线在此过程中转过的角度为\theta'=\frac{s_1+s_2}{r}$

$则细杆转过的角度为\frac{\theta '}{2}=\frac{s_1+s_2}{2r}$

$故弹簧长度的变化量\Delta x'\approx \frac{\theta '}{2}d=\frac{s_1+s_2}{2r}d$

$由胡克定律得\Delta F_{弹}=k\Delta x'$

$而此过程中弹簧弹力的变化量等于安培力的变化量，设待测电流为I_{x}，则\Delta F_{弹}=2NBI_{xl}$

$解得I_{x}=\frac{k(s_1+s_2)d}{4NBlr}$

Final answer: $\frac{k(s_1+s_2)d}{4NBlr}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧,C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场;M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直;入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置,可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N、沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r，r≫d,d远大于弹簧长度改变量的绝对值。

<img_534>
$某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后,PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s_1;保持其他条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在O点下方，与O点间的弧长为s_2。求待测电流的大小。$

Solution:
$电流反向前后光点移动的弧长为s'=s_1+s_2$

$可知反射光线在此过程中转过的角度为\theta'=\frac{s_1+s_2}{r}$

$则细杆转过的角度为\frac{\theta '}{2}=\frac{s_1+s_2}{2r}$

$故弹簧长度的变化量\Delta x'\approx \frac{\theta '}{2}d=\frac{s_1+s_2}{2r}d$

$由胡克定律得\Delta F_{弹}=k\Delta x'$

$而此过程中弹簧弹力的变化量等于安培力的变化量，设待测电流为I_{x}，则\Delta F_{弹}=2NBI_{xl}$

$解得I_{x}=\frac{k(s_1+s_2)d}{4NBlr}$



Final answer: $\frac{k(s_1+s_2)d}{4NBlr}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

![24BHN5WL397.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894234552012802/img/compression/M_08288ddaf5be2ac190ae2d722927c868.jpg)
$在0～\frac{\pi }{4} s时间内，通过导体棒的电荷量；$

Solution:
$设简谐运动周期为T，根据x=-0.5 \cos 2t (m)和T= \frac{2\pi }{\omega}，得T=\pi  s，$
$根据x=-0.5 \cos 2t (m)，t_1=0时，x_1=-0.5 m，导体棒达到左侧位移最大位置，小圆柱运动至图中最左边，$
$t_2=\frac{\pi }{4}时，x_2=0，导体棒达到平衡位置，小圆柱运动至图中最下边，在0～\frac{\pi }{4} s时间内即在0~\frac{T}{4}内，导体棒运动的位移大小|x_m|=0.5 m,$
$感应电动势的平均值\overline{E}=\frac{BL|x_m|}{\frac{T}{4}},$
$感应电流的平均值\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R},$
$通过导体棒的电荷量q=\overline{I} \cdot \frac{T}{4},$
$联立解得q=0.25 C。$

Final answer: $0.25 C$
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

<img_791>
$在0～\frac{\pi }{4} s时间内，通过导体棒的电荷量；$

Solution:
$设简谐运动周期为T，根据x=-0.5 \cos 2t (m)和T= \frac{2\pi }{\omega}，得T=\pi  s，$
$根据x=-0.5 \cos 2t (m)，t_1=0时，x_1=-0.5 m，导体棒达到左侧位移最大位置，小圆柱运动至图中最左边，$
$t_2=\frac{\pi }{4}时，x_2=0，导体棒达到平衡位置，小圆柱运动至图中最下边，在0～\frac{\pi }{4} s时间内即在0~\frac{T}{4}内，导体棒运动的位移大小|x_m|=0.5 m,$
$感应电动势的平均值\overline{E}=\frac{BL|x_m|}{\frac{T}{4}},$
$感应电流的平均值\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R},$
$通过导体棒的电荷量q=\overline{I} \cdot \frac{T}{4},$
$联立解得q=0.25 C。$

Final answer: $0.25 C$
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

<img_791>
$在0～\frac{\pi }{4} s时间内，T形支架对导体棒做的功；$

Solution:
$根据x-t关系式，用数学方法，对表达式求导，可得t时刻导体棒的速度v=\sin 2t (m/s)①，通过导体棒的感应电流i=BLv/R，联立解得i=0.5 \sin 2t(A)②，联立①②解得v_m=1 m/s，i_m=0.5 A，在0~\frac{\pi}{4} s内，设T形支架对导体棒做功为W_T，电阻R上产生的热量为Q，电流i按正弦规律变化，有效值为I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}，根据功能关系，有W_T= \frac{1}{2} m v^2_m + Q，Q=\left(\frac{i_m}{\sqrt{2}}\right)^2 R \cdot  \frac{\pi}{4}，联立解得W_T=\left(\frac{1}{10} + \frac{\pi}{32}\right) J。$



Final answer: $\left(\frac{1}{10}+\frac{\pi }{32}\right)$ J
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

![24BHN5WL397.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894234552012802/img/compression/M_08288ddaf5be2ac190ae2d722927c868.jpg)
$在0～\frac{\pi }{4} s时间内，T形支架对导体棒做的功；$

Solution:
$根据x-t关系式，用数学方法，对表达式求导，可得t时刻导体棒的速度v=\sin 2t (m/s)①，通过导体棒的感应电流i=BLv/R，联立解得i=0.5 \sin 2t(A)②，联立①②解得v_m=1 m/s，i_m=0.5 A，在0~\frac{\pi}{4} s内，设T形支架对导体棒做功为W_T，电阻R上产生的热量为Q，电流i按正弦规律变化，有效值为I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}，根据功能关系，有W_T= \frac{1}{2} m v^2_m + Q，Q=\left(\frac{i_m}{\sqrt{2}}\right)^2 R \cdot  \frac{\pi}{4}，联立解得W_T=\left(\frac{1}{10} + \frac{\pi}{32}\right) J。$

Final answer: $\left(\frac{1}{10}+\frac{\pi }{32}\right) J$
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

<img_791>
当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度大小。

Solution:
$根据数学方法对①式求导，可得t时刻导体棒的加速度a=2 \cos 2t (m/s^2)，导体棒受到的安培力F_{安}=BiL=0.25 \sin 2t (N)，F_{杆}-F_{安}=ma，F_{杆}=F_{安}+ma=0.25 \sin 2t+0.4 \cos 2t (N)，分析可知，导体棒在平衡位置的右侧向右运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力可以为0，v=\sin 2t (m/s)，联立解得v=\frac{8}{\sqrt{89}} m/s，方向向右，根据简谐运动的对称性可知，导体棒在平衡位置的左侧向左运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力也可以为0，此时v=\frac{8}{\sqrt{89}} m/s，方向向左。$

Final answer: $\frac{8}{\sqrt{89}} m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 间距为$L=0.5 m$的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为$B=1 T$、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串联一阻值为$R=1 \Omega$ 的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为$x=-0.5 \cos 2t$(x和t的单位分别是m和s)。已知导体棒质量为$m=0.2 kg$，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求：

![24BHN5WL397.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894234552012802/img/compression/M_08288ddaf5be2ac190ae2d722927c868.jpg)
当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度大小。

Solution:
$根据数学方法对①式求导，可得t时刻导体棒的加速度a=2 \cos 2t (m/s^2)，导体棒受到的安培力F_{安}=BiL=0.25 \sin 2t (N)，F_{杆}-F_{安}=ma，F_{杆}=F_{安}+ma=0.25 \sin 2t+0.4 \cos 2t (N)，分析可知，导体棒在平衡位置的右侧向右运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力可以为0，v=\sin 2t (m/s)，联立解得v=\frac{8}{\sqrt{89}} m/s，方向向右，根据简谐运动的对称性可知，导体棒在平衡位置的左侧向左运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力也可以为0，此时v=\frac{8}{\sqrt{89}} m/s，方向向左。$

Final answer: $\frac{8}{\sqrt{89}} m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_9dc49946fc9a5eb073475b641fc9e925.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_091944d317571b6bf14e2d19b98e9e97.jpg)
$断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v_{2}；$

Solution:
$断开开关S，当金属棒下落的速率最大时，有mg=BI^2L,则此时电路中的电流I2=\frac{mg}{BL}，由于I0<I2，所以当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为Um=\frac{mgR}{2BL}，此时定值电阻两端的电压为UR=BLv2-Um，又由欧姆定律得I2=\frac{UR}{R}，解得v2=\frac{3mgR}{2B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{3mgR}{2B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

<img_593>

<img_1351>
$断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v_{2}；$

Solution:
$断开开关S，当金属棒下落的速率最大时，有mg=BI^2L,则此时电路中的电流I2=\frac{mg}{BL}，由于I0<I2，所以当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为Um=\frac{mgR}{2BL}，此时定值电阻两端的电压为UR=BLv2-Um，又由欧姆定律得I2=\frac{UR}{R}，解得v2=\frac{3mgR}{2B^2L^2}。$



Final answer: $\frac{3mgR}{2B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_9dc49946fc9a5eb073475b641fc9e925.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_091944d317571b6bf14e2d19b98e9e97.jpg)
$先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。$

Solution:
$开关S闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为E_1=\frac{mgR}{BL}，断开开关S的瞬间，元件Z两端的电压为U_m=\frac{mgR}{2BL}，则定值电阻两端的电压为U_R' = E_1 - U_m = \frac{mgR}{2BL}，电路中的电流为I' = \frac{U_R'}{R}，金属棒受到的安培力为F_A = BI'L，对金属棒由牛顿第二定律得mg - F_A=ma，解得a=\frac{g}{2}。$

Final answer: $\frac{g}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

<img_593>

<img_1351>
$先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。$

Solution:
$开关S闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为E_1=\frac{mgR}{BL}，断开开关S的瞬间，元件Z两端的电压为U_m=\frac{mgR}{2BL}，则定值电阻两端的电压为U_R' = E_1 - U_m = \frac{mgR}{2BL}，电路中的电流为I' = \frac{U_R'}{R}，金属棒受到的安培力为F_A = BI'L，对金属棒由牛顿第二定律得mg - F_A=ma，解得a=\frac{g}{2}。$

Final answer: $\frac{g}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示,运动员在水平冰面上将冰壶A推到M点放手,此时A的速度v_0=2 m/s,匀减速滑行x_1=16.8 m到达N点时,队友用毛刷开始擦A运动前方的冰面,使A与NP间冰面的动摩擦因数减小,A继续匀减速滑行x_2=3.5 m,与静止在P点的冰壶B发生正碰,碰后瞬间A、B的速度分别为v_A=0.05 m/s和v_B=0.55 m/s。已知A、B质量相同,A 与MN间冰面的动摩擦因数\mu_1=0.01,重力加速度g取10 m/s^2,运动过程中两冰壶均视为质点,A、B碰撞时间极短。求冰壶A$

<img_894>
<img_1183>
$在N点的速度v_1的大小;$

Solution:
$设冰壶质量为m,A受到冰面的支持力为F_N,由竖直方向受力平衡,有$
$F_N=mg$
①
$设A在MN间受到的滑动摩擦力为F_f,有$
$F_f=\mu _1F_N$
②
设A在MN间的加速度大小为a,由牛顿第二定律,有
$F_f=ma$
③
$由速度与位移的关系式,有v_1^2-v_0^2=-2ax_1$
④
联立上述各式并代入数据,得
$v_1=0.8 m/s$
⑤

Final answer: 0.8 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示,运动员在水平冰面上将冰壶A推到M点放手,此时A的速度v_0=2 m/s,匀减速滑行x_1=16.8 m到达N点时,队友用毛刷开始擦A运动前方的冰面,使A与NP间冰面的动摩擦因数减小,A继续匀减速滑行x_2=3.5 m,与静止在P点的冰壶B发生正碰,碰后瞬间A、B的速度分别为v_A=0.05 m/s和v_B=0.55 m/s。已知A、B质量相同,A 与MN间冰面的动摩擦因数\mu_1=0.01,重力加速度g取10 m/s^2,运动过程中两冰壶均视为质点,A、B碰撞时间极短。求冰壶A$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272068097036289/img/compression/M_fdaf3b467281bf2fa631b9ffe2ded0fd.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272068097036289/img/compression/M_1764fdc4b4d8f285566003603fc37b97.jpg)
$在N点的速度v_1的大小;$

Solution:
$设冰壶质量为m,A受到冰面的支持力为F_N,由竖直方向受力平衡,有$
$F_N=mg$
①
$设A在MN间受到的滑动摩擦力为F_f,有$
$F_f=\mu _1F_N$
②
设A在MN间的加速度大小为a,由牛顿第二定律,有
$F_f=ma$
③
$由速度与位移的关系式,有v_1^2-v_0^2=-2ax_1$
④
联立上述各式并代入数据,得
$v_1=0.8 m/s$
⑤

Final answer: 0.8 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示,运动员在水平冰面上将冰壶A推到M点放手,此时A的速度v_0=2 m/s,匀减速滑行x_1=16.8 m到达N点时,队友用毛刷开始擦A运动前方的冰面,使A与NP间冰面的动摩擦因数减小,A继续匀减速滑行x_2=3.5 m,与静止在P点的冰壶B发生正碰,碰后瞬间A、B的速度分别为v_A=0.05 m/s和v_B=0.55 m/s。已知A、B质量相同,A 与MN间冰面的动摩擦因数\mu_1=0.01,重力加速度g取10 m/s^2,运动过程中两冰壶均视为质点,A、B碰撞时间极短。求冰壶A$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272068097036289/img/compression/M_fdaf3b467281bf2fa631b9ffe2ded0fd.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272068097036289/img/compression/M_1764fdc4b4d8f285566003603fc37b97.jpg)
$与NP间冰面的动摩擦因数\mu _2。$

Solution:
$设碰撞前瞬间A的速度为v_2,由动量守恒定律,有$

$mv_2=mvₐ+mvₑ$

⑥

$设A在NP间受到的滑动摩擦力为Fₓ',有$

$Fₓ'=\mu _2FN$

由动能定理,有

$-Fₓ'\cdot x_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

⑦

$联立上述各式,并考虑NP间A受到的滑动摩擦力,代入数据得\mu _2=0.004$

⑧

Final answer: 0.004
Subfield: Mechanics


Question: $冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示,运动员在水平冰面上将冰壶A推到M点放手,此时A的速度v_0=2 m/s,匀减速滑行x_1=16.8 m到达N点时,队友用毛刷开始擦A运动前方的冰面,使A与NP间冰面的动摩擦因数减小,A继续匀减速滑行x_2=3.5 m,与静止在P点的冰壶B发生正碰,碰后瞬间A、B的速度分别为v_A=0.05 m/s和v_B=0.55 m/s。已知A、B质量相同,A 与MN间冰面的动摩擦因数\mu_1=0.01,重力加速度g取10 m/s^2,运动过程中两冰壶均视为质点,A、B碰撞时间极短。求冰壶A$

<img_894>
<img_1183>
$与NP间冰面的动摩擦因数\mu _2。$

Solution:
$设碰撞前瞬间A的速度为v_2,由动量守恒定律,有$

$mv_2=mvₐ+mvₑ$

⑥

$设A在NP间受到的滑动摩擦力为Fₓ',有$

$Fₓ'=\mu _2FN$

由动能定理,有

$-Fₓ'\cdot x_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

⑦

$联立上述各式,并考虑NP间A受到的滑动摩擦力,代入数据得\mu _2=0.004$

⑧

Final answer: 0.004
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长为L的轻质细绳一端固定，另一端悬挂一质量为m 的小球，将细线拉至水平并刚好伸直，小球由静止开始下摆，并在最低点与质量也为m 的滑块发生弹性碰撞。滑块右侧有一段长为0.2L的粗糙地面AB，与滑块间的动摩擦因数为0.5，在B点右侧放置一质量为2m的\frac{1}{4}圆弧形轨道(未固定)，已知重力加速度为g，除粗糙地面AB外其余部分摩擦均不计。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272071951601666/img/compression/M_fa95d9e3c3d394f6fadf7dbcf08df634.jpg)
$若滑块第一次冲上\frac{1}{4}圆弧形轨道时恰能到达其顶端，求圆弧半径。$

Solution:
在滑块冲上圆弧形轨道的过程中，与圆弧形轨道组成的系统在水平方向不受外力且圆弧形轨道光滑，因此系统水平方向动量守恒，机械能守恒，有

$m_{B}v=(2m+m)v$

$\frac{1}{2}m v_{B}^{2}=\frac{1}{2}(2m+m) v^{2}+mgR$

$解得 R=\frac{3}{5}L.$

Final answer: $\frac{3}{5} L$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长为L的轻质细绳一端固定，另一端悬挂一质量为m 的小球，将细线拉至水平并刚好伸直，小球由静止开始下摆，并在最低点与质量也为m 的滑块发生弹性碰撞。滑块右侧有一段长为0.2L的粗糙地面AB，与滑块间的动摩擦因数为0.5，在B点右侧放置一质量为2m的\frac{1}{4}圆弧形轨道(未固定)，已知重力加速度为g，除粗糙地面AB外其余部分摩擦均不计。$

<img_555>
$若滑块第一次冲上\frac{1}{4}圆弧形轨道时恰能到达其顶端，求圆弧半径。$

Solution:
在滑块冲上圆弧形轨道的过程中，与圆弧形轨道组成的系统在水平方向不受外力且圆弧形轨道光滑，因此系统水平方向动量守恒，机械能守恒，有

$m_{B}v=(2m+m)v$

$\frac{1}{2}m v_{B}^{2}=\frac{1}{2}(2m+m) v^{2}+mgR$

$解得 R=\frac{3}{5}L.$



Final answer: $\frac{3}{5} L$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角$\theta =30^\circ$ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上，质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为Ek0=5/4 mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右;Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度 25/36 h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。

<img_1215>
求Q的质量;

Solution:
$设Q的质量为M，初速度为v_0，由于P、Q发生弹性碰撞，以向右为正方向，可知$

$Mv_0=Mv_{Q1}+mv_{P1}$

$\frac{1}{2}Mv^2_0 =\frac{1}{2}Mv^2_{Q1} +\frac{1}{2}mv^2_{P1}$

$\frac{1}{2}Mv^2_0=E_{k0}=\frac{5}{4}mgh$

$碰后P沿斜面上滑，机械能守恒，有$

$\frac{1}{2}mv ^2_{P1}=mg \cdot\frac{25}{36}h$

$联立上述各式解得M=5m。$

Final answer: 5m