di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧面BCC_1B_1为矩形，AC\perp 平面BCC_1B_1，D，E分别是棱AA_1，BB_1的中点. $

<img_271>
$若AC=BC=AA_{1}=2，求直线AB与平面B_{1}C_{1}D所成角的正弦值.$

Solution:
$分别以CA，CB，CC_1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，<img_379>$

$由题意得A(2,0,0)，B(0,2,0)，B_1(0,2，2)，C_1(0,0，2)，D(2,0，1).$

$所以\overrightarrow{AB}=(-2,2,0)，\overrightarrow{C_1B_1}=(0,2,0)，\overrightarrow{C_1D}=(2,0,-1).$

$设平面B_1C_1D的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C_1B_1}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C_1D}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}2y=0,\\ 2x-z=0.\end{matrix}\right..$

$令x=1，则z=2.于是\boldsymbol{n}=(1,0，2).$

$所以cos\langle \boldsymbol{n}, \overrightarrow{AB} \rangle = \frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AB}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} \times 2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}.$

$所以直线AB与平面B_1C_1D所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

解后反思

$建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB与平面B_1C_1D所成角的正弦值.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$
<img_2956>
$若PB与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；$

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD，$

$\therefore \angle PBA是PB与平面ABCD所成的角，\therefore \angle PBA=45^\circ .$

$\therefore PA=AB=1.$

$\because 平面PFD\cap 平面CFD=DF，且DF\perp PF，DF\perp AF，$

$\therefore \angle PFA为平面PFD与平面CFD所成锐角，易知PF=\sqrt{3}，\therefore cos\angle PFA=\frac{AF}{PF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，$

$故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$
![23ABJ5SX61.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875036386127874/img/compression/M_c169c733138965f96f9f5a36defee542.jpg)
$若PB与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；$

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD，$

$\therefore \angle PBA是PB与平面ABCD所成的角，\therefore \angle PBA=45^\circ .$

$\therefore PA=AB=1.$

$\because 平面PFD\cap 平面CFD=DF，且DF\perp PF，DF\perp AF，$

$\therefore \angle PFA为平面PFD与平面CFD所成锐角，易知PF=\sqrt{3}，\therefore cos\angle PFA=\frac{AF}{PF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，$

$故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$
<img_2956>
$若PA＝1，求点E到平面PFD的距离.$

Solution:
连接EP,ED,EF.

$\because S_{\triangle EFD} = S_{矩形ABCD}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle CDF}=2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}，$

$\therefore V_{P-EFD}=\frac{1}{3}S_{\triangle EFD}\cdot PA = \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1 = \frac{1}{4}.$

$设点E到平面PFD的距离为h，易知S_{\triangle PFD}=\frac{\sqrt{6}}{2}，$

$则由V_{E-PFD}=V_{P-EFD}得\frac{1}{3}S_{\triangle PFD}\cdot h = \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot h=\frac{1}{4}，$

$解得h=\frac{\sqrt{6}}{4}，$

$\therefore 点E到平面PFD的距离为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$
![23ABJ5SX61.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875036386127874/img/compression/M_c169c733138965f96f9f5a36defee542.jpg)
$若PA＝1，求点E到平面PFD的距离.$

Solution:
连接EP,ED,EF.

$\because S_{\triangle EFD} = S_{矩形ABCD}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle CDF}=2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}，$

$\therefore V_{P-EFD}=\frac{1}{3}S_{\triangle EFD}\cdot PA = \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1 = \frac{1}{4}.$

$设点E到平面PFD的距离为h，易知S_{\triangle PFD}=\frac{\sqrt{6}}{2}，$

$则由V_{E-PFD}=V_{P-EFD}得\frac{1}{3}S_{\triangle PFD}\cdot h = \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot h=\frac{1}{4}，$

$解得h=\frac{\sqrt{6}}{4}，$

$\therefore 点E到平面PFD的距离为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为BB_1的中点.$

<img_2473>
$求直线AA_1与平面AD_1E所成角的正弦值.$

Solution:
$不妨设正方体的棱长为2，如图，以 (\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}) 为正交基底建立空间直角坐标系 A-xyz,$

<img_2023>

$则 A(0，0，0)，A_1(0，0，2)，D_1(2，0，2)，E(0，2，1)，$

$\overrightarrow{AA_1}=(0，0，2)， \overrightarrow{AD_1} =(2，0，2)，\overrightarrow{AE}=(0，2，1)，$
$设平面 AD_1E 的法向量为 n=(x,y,z)，直线 AA_1 与平面 AD_1E 所成的角为 \theta ，$

$$则 \left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,
\end{matrix}
\right.$$

即
$$\left\{
\begin{matrix}
2x+2z=0,\\ 
2y+z=0,
\end{matrix}
\right.$$

$令 z=-2，则 x=2,y=1,此时n=(2，1，-2)，$

$\sin  \theta =|\cos \langle n,\overrightarrow{AA_1}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AA_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AA_1}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{4+1+4}\times 2} =\frac{2}{3}，$

$\therefore 直线 AA_1 与平面 AD_1E 所成角的正弦值为 \frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为BB_1的中点.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267980298997762/img/compression/M_2a09cf9e5fedf1381160cc56c44fec02.jpg)
$求直线AA_1与平面AD_1E所成角的正弦值.$

Solution:
$不妨设正方体的棱长为2，如图，以 (\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}) 为正交基底建立空间直角坐标系 A-xyz,$

![Image of A-xyz](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267980936531969/img/compression/M_d0bf4a2e032fc2072dda35b533870ecd.jpg)

$则 A(0，0，0)，A_1(0，0，2)，D_1(2，0，2)，E(0，2，1)，$

$\overrightarrow{AA_1}=(0，0，2)， \overrightarrow{AD_1} =(2，0，2)，\overrightarrow{AE}=(0，2，1)，$
$设平面 AD_1E 的法向量为 n=(x,y,z)，直线 AA_1 与平面 AD_1E 所成的角为 \theta ，$

$$则 \left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,
\end{matrix}
\right.$$

即
$$\left\{
\begin{matrix}
2x+2z=0,\\ 
2y+z=0,
\end{matrix}
\right.$$

$令 z=-2，则 x=2,y=1,此时n=(2，1，-2)，$

$\sin  \theta =|\cos \langle n,\overrightarrow{AA_1}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AA_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AA_1}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{4+1+4}\times 2} =\frac{2}{3}，$

$\therefore 直线 AA_1 与平面 AD_1E 所成角的正弦值为 \frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$

<img_3132>
$若PA \perp底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCDE，所以PA\perp AB，PA\perp AE. $

$建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0,2,0),F(0，1，1)，则$

$\overrightarrow{BC}=(1，1，0), \overrightarrow{AB}=(1，0，0)，\overrightarrow{AF}=(0，1，1)。$

<img_1840>

设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),

则 
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{B}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.$
即 
$\left\{\begin{matrix}x=0,\\ y+z=0.\end{matrix}\right.$
令z=1，则y=-1.

所以n=(0,-1,1). 

$设直线BC与平面ABF所成的角为\alpha ，$

$则 \sin  \alpha =|\cos \langle n, \overrightarrow{BC} \rangle |=$
$\frac{|\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||B\overrightarrow{C}|}=$
$\frac{1}{2}. $

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为
$\frac{\pi }{6}.$
$设点H的坐标为(u,v,w).$

$因为点H在棱PC上，所以可设 \overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),$

$即(u,v,w-2)=\lambda (2,1,-2). 所以u=2\lambda ，v=\lambda ，w=2-2\lambda .$
$因为n是平面ABF的一个法向量，所以 n\cdot \overrightarrow{AH}=0，即(0，-1，1)\cdot (2\lambda ,\lambda ,2-2\lambda )=0.$

$解得\lambda =\frac{2}{3}，所以点H的坐标为 \left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$

$所以PH=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=2.$

Final answer: ${\frac{\pi }{6}}, 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983310508034/img/compression/M_14917902953b69ccb30d6ef763b38e5a.jpg)
$若PA \perp底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCDE，所以PA\perp AB，PA\perp AE. $

$建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0,2,0),F(0，1，1)，则$

$\overrightarrow{BC}=(1，1，0), \overrightarrow{AB}=(1，0，0)，\overrightarrow{AF}=(0，1，1)。$

![15GZTLSX123答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983671218177/img/compression/M_bbbeb6ae283b87bb6e3d3442a8fcebd9.jpg)

设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),

则 
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{B}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right.$
即 
$\left\{\begin{matrix}x=0,\\ y+z=0.\end{matrix}\right.$
令z=1，则y=-1.

所以n=(0,-1,1). 

$设直线BC与平面ABF所成的角为\alpha ，$

$则 \sin  \alpha =|\cos \langle n, \overrightarrow{BC} \rangle |=$
$\frac{|\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||B\overrightarrow{C}|}=$
$\frac{1}{2}. $

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为
$\frac{\pi }{6}.$
$设点H的坐标为(u,v,w).$

$因为点H在棱PC上，所以可设 \overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),$

$即(u,v,w-2)=\lambda (2,1,-2). 所以u=2\lambda ，v=\lambda ，w=2-2\lambda .$
$因为n是平面ABF的一个法向量，所以 n\cdot \overrightarrow{AH}=0，即(0，-1，1)\cdot (2\lambda ,\lambda ,2-2\lambda )=0.$

$解得\lambda =\frac{2}{3}，所以点H的坐标为 \left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$

$所以PH=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=2.$

Final answer: ${\frac{\pi }{6}}, 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle ABC=60^\circ ，PA \perp底面ABCD，PA=2，点E是PC的中点。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267989823647746/img/compression/M_6b3de400e232ec00afb4edbe4e512548.jpg)
求DC到平面ABE的距离.

Solution:
$：连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC，又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.因为PA\perp 平面ABCD，AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A－xyz,$

![23BBJ5SX232答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990138220545/img/compression/M_faa8536f42d2dc71ac9e4612cc51cb4e.jpg)

$则A(0,0,0),B(\sqrt{3},－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E(\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right)).所以\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{AD}=(0,2,0)，设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是n=(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle ABC=60^\circ ，PA \perp底面ABCD，PA=2，点E是PC的中点。$

<img_1512>
求DC到平面ABE的距离.

Solution:
$：连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC，又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.因为PA\perp 平面ABCD，AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A－xyz,$

<img_2789>

$则A(0,0,0),B(\sqrt{3},－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E(\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right)).所以\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{AD}=(0,2,0)，设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是n=(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).因为DC\parallel 平面ABE,所以DC到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD－A_1B_1C_1D_1中，E为DD_1的中点.$

![23BBJ5SX183.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267990553456643/img/compression/M_be5d0229f82a16a908f3e748a7be1bb1.jpg)
$求直线AB_1与平面ACE所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方体棱长为1，以A为原点，\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，E\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，所以\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{AE}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$

$设平面ACE的法向量为m=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+\frac{z}{2}=0,\end{matrix}\right.$

$令z=2，可得y=－1,x=1，所以m=(1,－1,2)，$

$所以\cos \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle =\frac{1+2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$设直线AB1与平面ACE所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|\cos \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$所以直线AB1与平面ACE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD－A_1B_1C_1D_1中，E为DD_1的中点.$

<img_2127>
$求直线AB_1与平面ACE所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方体棱长为1，以A为原点，\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，E\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，所以\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)，\overrightarrow{AC}=(1,1,0)，\overrightarrow{AE}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$

$设平面ACE的法向量为m=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+\frac{z}{2}=0,\end{matrix}\right.$

$令z=2，可得y=－1,x=1，所以m=(1,－1,2)，$

$所以\cos \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle =\frac{1+2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$设直线AB1与平面ACE所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|\cos \langle m,\overrightarrow{AB_1}\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$所以直线AB1与平面ACE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，M,N,P分别为AB,BC,A_1B_1的中点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992495419394/img/compression/M_161862645764746fbf2a3a3bd0978adf.jpg)
$若AB \perp AC, AA_1=AB=AC=2，求直线B_1C_1与平面C_1MN所成角的正弦值.$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中AA_1\perp 平面ABC，AB,AC\subset 平面ABC,所以AA_1\perp AB，AA_1\perp AC.$
$又因为AB\perp AC，所以AB,AC,AA_1两两垂直.$
$如图建立空间直角坐标系A-xyz.$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992851935234/img/compression/M_3fae06f8b0c709295671fde812d08749.jpg)
$所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0),N(1,1,0),B_1(2,0,2),C_1(0,2,2),$
$则\overrightarrow{MN}=(0,1,0), \overrightarrow{NC_1}=(-1,1,2), \overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0).$
$设平面MNC_1的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MN}=y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{NC_1}=-x+y+2z=0,\end{matrix}\right. $
$令x=2，得z=1，所以\boldsymbol{n}=(2,0,1).$
$设直线B_1C_1与平面C_1MN所成角为\theta ，$
$则\sin \theta =|\cos \langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{B_1C_1}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{B_1C_1}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
$所以直线B_1C_1与平面C_1MN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，M,N,P分别为AB,BC,A_1B_1的中点.$
<img_2257>
$若AB \perp AC, AA_1=AB=AC=2，求直线B_1C_1与平面C_1MN所成角的正弦值.$

Solution:
$因为在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中AA_1\perp 平面ABC，AB,AC\subset 平面ABC,所以AA_1\perp AB，AA_1\perp AC.$
$又因为AB\perp AC，所以AB,AC,AA_1两两垂直.$
$如图建立空间直角坐标系A-xyz.$

<img_3087>
$所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0),N(1,1,0),B_1(2,0,2),C_1(0,2,2),$
$则\overrightarrow{MN}=(0,1,0), \overrightarrow{NC_1}=(-1,1,2), \overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0).$
$设平面MNC_1的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MN}=y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{NC_1}=-x+y+2z=0,\end{matrix}\right. $
$令x=2，得z=1，所以\boldsymbol{n}=(2,0,1).$
$设直线B_1C_1与平面C_1MN所成角为\theta ，$
$则\sin \theta =|\cos \langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{B_1C_1}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{B_1C_1}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
$所以直线B_1C_1与平面C_1MN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

<img_2514>
$求点F到平面BCE的距离；$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，  $
$可得DA,DC,DE两两垂直.  $
$以D为原点建立空间直角坐标系如图，$

<img_2843>  
$则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1),  $
$所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(0，－2，2)，\overrightarrow{CF}=(2，－2，1)，  $
$设平面BCE的法向量为\mathbf{m}=(x，y，z)，  $
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}=2x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=-2y+2z=0,\end{matrix}\right.  $
$令y=1，得z=1，则\mathbf{m}=(0，1，1)，  $
$所以点F到平面BCE的距离d=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$求点F到平面BCE的距离；$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，  $
$可得DA,DC,DE两两垂直.  $
$以D为原点建立空间直角坐标系如图，$

![24BBJ5SX203.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267994579988481/img/compression/M_f8f7ccea492d8377213175ec42fd9bbf.jpg)  
$则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1),  $
$所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(0，－2，2)，\overrightarrow{CF}=(2，－2，1)，  $
$设平面BCE的法向量为\mathbf{m}=(x，y，z)，  $
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}=2x=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=-2y+2z=0,\end{matrix}\right.  $
$令y=1，得z=1，则\mathbf{m}=(0，1，1)，  $
$所以点F到平面BCE的距离d=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

<img_2514>
$过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度.$

Solution:
$因为过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，所以FP\perp CE.$

$设\overrightarrow{EP}=\lambda \overrightarrow{EB}(0<\lambda <1)，因为\overrightarrow{EB}=(2，2，－2)，所以\overrightarrow{EP}=\lambda (2，2，－2)=(2\lambda ，2\lambda ，－2\lambda )，又\overrightarrow{FE}=(－2，0，1)，$

$所以\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EP}=(2\lambda －2，2\lambda ，1－2\lambda )，$

$所以\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{FP}=－2\times 2\lambda +2\times (1－2\lambda )=0，解得\lambda =\frac{1}{4}，$

$所以|\overrightarrow{EP}|=\frac{1}{4}|\overrightarrow{EB}|=\frac{1}{4}\times \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度.$

Solution:
$因为过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，所以FP\perp CE.$

$设\overrightarrow{EP}=\lambda \overrightarrow{EB}(0<\lambda <1)，因为\overrightarrow{EB}=(2，2，－2)，所以\overrightarrow{EP}=\lambda (2，2，－2)=(2\lambda ，2\lambda ，－2\lambda )，又\overrightarrow{FE}=(－2，0，1)，$

$所以\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EP}=(2\lambda －2，2\lambda ，1－2\lambda )，$

$所以\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{FP}=－2\times 2\lambda +2\times (1－2\lambda )=0，解得\lambda =\frac{1}{4}，$

$所以|\overrightarrow{EP}|=\frac{1}{4}|\overrightarrow{EB}|=\frac{1}{4}\times \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
<img_123>
$求三棱锥V-ABC的体积.$

Solution:
$解法一： 在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=\sqrt{2}，  $
所以AB=2，则OC=1.  
$所以S_{\triangle VAB}=\frac{1}{2}AB\cdot BV\sin  60^\circ =\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.  $
$又因为OC\perp 平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于\frac{1}{3}S_{\triangle VAB}\cdot OC=\frac{\sqrt{3}}{3}.又因为V_V-ABC=V_C-VAB,  $
$所以三棱锥V-ABC的体积为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

$解法二： 连接VO，与(2)同理，可证VO\perp 平面ABC，在等边三角形VAB中，AB=2，所以VO=\sqrt{3}.  $
$所以三棱锥V-ABC的体积等于\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot VO=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
![16GZTWS48.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267923176771587/img/compression/M_65716bf14b67aa697d053b9607edff06.jpg)
$求三棱锥V-ABC的体积.$

Solution:
$解法一： 在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=\sqrt{2}，  $
所以AB=2，则OC=1.  
$所以S_{\triangle VAB}=\frac{1}{2}AB\cdot BV\sin  60^\circ =\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.  $
$又因为OC\perp 平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于\frac{1}{3}S_{\triangle VAB}\cdot OC=\frac{\sqrt{3}}{3}.又因为V_V-ABC=V_C-VAB,  $
$所以三棱锥V-ABC的体积为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

$解法二： 连接VO，与(2)同理，可证VO\perp 平面ABC，在等边三角形VAB中，AB=2，所以VO=\sqrt{3}.  $
$所以三棱锥V-ABC的体积等于\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot VO=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO.$

<img_336>
求二面角B-PC-E的余弦值.

Solution:
$解法一：以O为坐标原点，\overrightarrow{OE}的方向为y轴正方向，\overrightarrow{OE}为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$
<img_59>
$由题设可得E(0，1，0)，A(0，-1，0)，C\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，P\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).所以\overrightarrow{EC}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0\right)，\overrightarrow{EP}=\left(0,-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EP}=0,\\ 
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EC}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0,\\ 
-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0.
\end{matrix}
\right.
$$
$可取m=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{2}\right).$
$由(1)知\overrightarrow{AP}=\left(0,1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)是平面PCB的一个法向量，$
$记n=\overrightarrow{AP},则\cos \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
易知二面角B-PC-E的平面角为锐角，
$所以二面角B-PC-E的余弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

$解法二：设BC\cap AE=F，易知F是BC的中点，过F作FG\parallel AP交PE于G，取PC的中点H，$
$连接GH，HF，则HF\parallel PB.$
<img_191>
$由PA\perp 平面PBC，得FG\perp 平面PBC，所以FG\perp FH.$
$由(1)可得，BC^2=PB^2+PC^2，得PB\perp PC.$
$所以FH\perp PC，根据三垂线定理，得GH\perp PC.$
$所以\angle GHF是二面角B-PC-E的平面角.$
$设圆O的半径为r，则AF=\frac{3}{2}r，AE=2r，EF=\frac{1}{2}r，\frac{EF}{AF}=\frac{1}{3}，所以FG=\frac{1}{4}PA，又FH=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}PA，所以\frac{FG}{FH}=\frac{1}{2}.$
$在Rt\triangle GFH中，\tan \angle GHF=\frac{FG}{FH}=\frac{1}{2},则\cos \angle GHF=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
$所以二面角B-PC-E的余弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$