di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，设{a，b，c}为空间向量的一组基，\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AD}=c，试用基向量法求解以下各题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663329313918977/img/compression/M_80b124012f7f2378c9b99900c76a97f1.jpg)
$(2)求异面直线CF与BD夹角的余弦值.$

Solution:
$由题意可知\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}c-b，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=c-a,\therefore \overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\right)\cdot (c-a)=\frac{1}{2}c^{2}-b\cdot c-\frac{1}{2}a\cdot c+a\cdot b=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
(9分)
设异面直线CF与BD的夹角为\theta ，\because |\overrightarrow{CF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}，|\overrightarrow{BD}|=1，\therefore \\cos   \theta =\left|\frac{\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{BD}|}\right|=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.因此异面直线CF与BD夹角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}.
(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，设{a，b，c}为空间向量的一组基，\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AD}=c，试用基向量法求解以下各题.$<img_2967>
$(2)求异面直线CF与BD夹角的余弦值.$

Solution:
$由题意可知\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}c-b，\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=c-a,\therefore \overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\right)\cdot (c-a)=\frac{1}{2}c^{2}-b\cdot c-\frac{1}{2}a\cdot c+a\cdot b=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
(9分)
设异面直线CF与BD的夹角为\theta ，\because |\overrightarrow{CF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}，|\overrightarrow{BD}|=1，\therefore \\cos   \theta =\left|\frac{\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{BD}|}\right|=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.因此异面直线CF与BD夹角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}.
(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四边形PDCB中，PD\parallel BC，BA\perp PD，PA=AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}.沿BA将\triangle PAB翻折到\triangle SAB的位置，使得SD=\frac{\sqrt{5}}{2}.$<img_1847>
$(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l\perp 平面CSB；$

Solution:
$如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则直线SE为平面SCD与平面SBA的交线l.(2分)$<img_2686>$在\triangle SAD中，SA=1，AD=\frac{1}{2}，SD=\frac{\sqrt{5}}{2}，则SA^{2}+AD^{2}=SD^{2}，所以SA\perp AD.因为SA\perp AD，AD\perp AB，SA\cap AB=A，所以AD\perp 平面SAB.又BC\parallel AD，所以BC\perp 平面SAB，所以BC\perp SE.(4分)由PD\parallel BC，AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}，得AE=1.所以AE=AB=SA，所以SE\perp SB.又因为BC\cap SB=B，所以SE\perp 平面CSB，即l\perp 平面CSB.(6分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四边形PDCB中，PD\parallel BC，BA\perp PD，PA=AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}.沿BA将\triangle PAB翻折到\triangle SAB的位置，使得SD=\frac{\sqrt{5}}{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331159412739/img/compression/M_9173bad6668a887c313f01b603052f8c.jpg)
$(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l\perp 平面CSB；$

Solution:
$如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则直线SE为平面SCD与平面SBA的交线l.(2分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331381710850/img/compression/M_554ccd08f3d8baa3a804f5ea48b7bd86.jpg)$在\triangle SAD中，SA=1，AD=\frac{1}{2}，SD=\frac{\sqrt{5}}{2}，则SA^{2}+AD^{2}=SD^{2}，所以SA\perp AD.因为SA\perp AD，AD\perp AB，SA\cap AB=A，所以AD\perp 平面SAB.又BC\parallel AD，所以BC\perp 平面SAB，所以BC\perp SE.(4分)由PD\parallel BC，AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}，得AE=1.所以AE=AB=SA，所以SE\perp SB.又因为BC\cap SB=B，所以SE\perp 平面CSB，即l\perp 平面CSB.(6分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四边形PDCB中，PD\parallel BC，BA\perp PD，PA=AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}.沿BA将\triangle PAB翻折到\triangle SAB的位置，使得SD=\frac{\sqrt{5}}{2}.$<img_1847>
$(2)Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q-BD-C的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}时，求三棱锥Q-BDC的体积.$

Solution:
$由(1)知，SA\perp AB，AD\perp AB，AD\perp SA.以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.$<img_2311>$易得D\left(\frac{1}{2},0,0\right)，B(0,1,0)，S(0,0,1)，C(1,1,0)，则\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2},-1,0\right),\overrightarrow{SC}=(1,1,-1).(8分)设\overrightarrow{SQ}=\lambda \overrightarrow{SC}(0<\lambda <1)，则Q(\lambda ,\lambda ,1-\lambda )，则\overrightarrow{BQ}=(\lambda ,\lambda -1,1-\lambda ).设n=(x,y,z)是平面QBD的一个法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BQ}=\lambda x+(\lambda -1)y+(1-\lambda )z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}x-y=0,\end{matrix}\right.令x=2，得n=\left(2,1,\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right).(10分)易知m=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量，则|\\cos  \langle n,m\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{\left|\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right|}{\sqrt{5+\left(\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right)^2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =0(舍去).所以Q是SC的中点.所以V_{Q-BDC}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle BDC}\times \frac{1}{2}SA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四边形PDCB中，PD\parallel BC，BA\perp PD，PA=AB=BC=1，AD=\frac{1}{2}.沿BA将\triangle PAB翻折到\triangle SAB的位置，使得SD=\frac{\sqrt{5}}{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331159412739/img/compression/M_9173bad6668a887c313f01b603052f8c.jpg)
$(2)Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q-BD-C的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}时，求三棱锥Q-BDC的体积.$

Solution:
$由(1)知，SA\perp AB，AD\perp AB，AD\perp SA.以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331641757698/img/compression/M_bc87fce56572626e704f7f0a251b8412.jpg)$易得D\left(\frac{1}{2},0,0\right)，B(0,1,0)，S(0,0,1)，C(1,1,0)，则\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2},-1,0\right),\overrightarrow{SC}=(1,1,-1).(8分)设\overrightarrow{SQ}=\lambda \overrightarrow{SC}(0<\lambda <1)，则Q(\lambda ,\lambda ,1-\lambda )，则\overrightarrow{BQ}=(\lambda ,\lambda -1,1-\lambda ).设n=(x,y,z)是平面QBD的一个法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BQ}=\lambda x+(\lambda -1)y+(1-\lambda )z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}x-y=0,\end{matrix}\right.令x=2，得n=\left(2,1,\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right).(10分)易知m=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量，则|\\cos  \langle n,m\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{\left|\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right|}{\sqrt{5+\left(\frac{1-3\lambda }{1-\lambda }\right)^2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =0(舍去).所以Q是SC的中点.所以V_{Q-BDC}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle BDC}\times \frac{1}{2}SA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF\parallel DE，DE\perp AD，AD\perp BE，AF=AD=\frac{1}{2}DE=1，AB=\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331943747587/img/compression/M_7931b95df9a1929f1ccd4c65e574311a.jpg)
$(1)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值；$

Solution:
$因为平面ADEF\perp 平面ABCD，平面ADEF\cap 平面ABCD=AD，DE\perp AD，所以DE\perp 平面ABCD，又DB\subset 平面ABCD，所以DE\perp DB.
(1分)
因为DE\perp AD，AD\perp BE，DE\cap BE=E，所以AD\perp 平面BDE，又BD\subset 平面BDE，所以AD\perp BD，故DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331943747587/img/compression/M_924c881fc776dfa6781ee6ce2f786ffa.jpg)$则D(0,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，所以\overrightarrow{BE}=(0,-1,2)，\overrightarrow{EF}=(1,0,-1)，\overrightarrow{DC}=(-1,1,0).
(3分)
易知n=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量.
(4分)
设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-y+2z=0,\\ x-z=0,\end{matrix}\right.令z=1，得m=(1,2,1).所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
(6分)
易知二面角B-EF-D的平面角为锐角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.
(7分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF\parallel DE，DE\perp AD，AD\perp BE，AF=AD=\frac{1}{2}DE=1，AB=\sqrt{2}.$<img_3066>
$(1)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值；$

Solution:
$因为平面ADEF\perp 平面ABCD，平面ADEF\cap 平面ABCD=AD，DE\perp AD，所以DE\perp 平面ABCD，又DB\subset 平面ABCD，所以DE\perp DB.
(1分)
因为DE\perp AD，AD\perp BE，DE\cap BE=E，所以AD\perp 平面BDE，又BD\subset 平面BDE，所以AD\perp BD，故DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2646>$则D(0,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，所以\overrightarrow{BE}=(0,-1,2)，\overrightarrow{EF}=(1,0,-1)，\overrightarrow{DC}=(-1,1,0).
(3分)
易知n=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量.
(4分)
设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-y+2z=0,\\ x-z=0,\end{matrix}\right.令z=1，得m=(1,2,1).所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
(6分)
易知二面角B-EF-D的平面角为锐角，所以其余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.
(7分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF\parallel DE，DE\perp AD，AD\perp BE，AF=AD=\frac{1}{2}DE=1，AB=\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663331943747587/img/compression/M_7931b95df9a1929f1ccd4c65e574311a.jpg)
$(2)线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF？若存在，求出\frac{BQ}{BE}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$线段BE上存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF.
(8分)
设\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{BE}=(0,-\lambda ,2\lambda )(\lambda \in [0,1])，所以\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BQ}=(0,1-\lambda ,2\lambda ).设平面CDQ的法向量为u=(a,b,c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{u} \cdot \overrightarrow{DQ}=0,\\ \boldsymbol{u} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}(1-\lambda )b+2\lambda c=0,\\ -a+b=0,\end{matrix}\right.令b=1，得u=\left(1,1,\frac{\lambda -1}{2\lambda }\right).
(10分)
由(1)知平面BEF的一个法向量为m=(1,2,1),若平面CDQ\perp 平面BEF，则m\cdot u=0，即1+2+\frac{\lambda -1}{2\lambda }=0，解得\lambda =\frac{1}{7},
(11分)
所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF，此时\frac{BQ}{BE}=\frac{1}{7}.
(12分)$

Final answer: $线段BE上存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF，此时BQ/BE=1/7.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF\parallel DE，DE\perp AD，AD\perp BE，AF=AD=\frac{1}{2}DE=1，AB=\sqrt{2}.$<img_3066>
$(2)线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF？若存在，求出\frac{BQ}{BE}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$线段BE上存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF.
(8分)
设\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{BE}=(0,-\lambda ,2\lambda )(\lambda \in [0,1])，所以\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BQ}=(0,1-\lambda ,2\lambda ).设平面CDQ的法向量为u=(a,b,c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{u} \cdot \overrightarrow{DQ}=0,\\ \boldsymbol{u} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}(1-\lambda )b+2\lambda c=0,\\ -a+b=0,\end{matrix}\right.令b=1，得u=\left(1,1,\frac{\lambda -1}{2\lambda }\right).
(10分)
由(1)知平面BEF的一个法向量为m=(1,2,1),若平面CDQ\perp 平面BEF，则m\cdot u=0，即1+2+\frac{\lambda -1}{2\lambda }=0，解得\lambda =\frac{1}{7},
(11分)
所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ\perp 平面BEF，此时\frac{BQ}{BE}=\frac{1}{7}.
(12分)$



Final answer: \frac{1}{7}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是棱BC，CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663367977136129/img/compression/M_6025d9a5ad069a156709281d3d331497.jpg)
$(1)证明：B_{1}F\perp D_{1}E；$

Solution:
$如图，以\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663367977136129/img/compression/M_a115ba05c20d0d953966ddffe83e8e4d.jpg)$则C(0,1,0),D_{1}(0,0,1),B_{1}(1,1,1),C_{1}(0,1,1).
(2分)
设BE=CF=a(0<a<1)，则F(0,1-a,0),E(1-a,1,0).证明：\overrightarrow{B_1F}=(-1,-a,-1),\overrightarrow{D_1E}=(1-a,1,-1),所以\overrightarrow{B_1F}\cdot \overrightarrow{D_1E}=a-1-a+1=0，所以B_{1}F\perp D_{1}E.
(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是棱BC，CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF.$<img_1978>
$(1)证明：B_{1}F\perp D_{1}E；$

Solution:
$如图，以\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，$<img_2468>$则C(0,1,0),D_{1}(0,0,1),B_{1}(1,1,1),C_{1}(0,1,1).
(2分)
设BE=CF=a(0<a<1)，则F(0,1-a,0),E(1-a,1,0).证明：\overrightarrow{B_1F}=(-1,-a,-1),\overrightarrow{D_1E}=(1-a,1,-1),所以\overrightarrow{B_1F}\cdot \overrightarrow{D_1E}=a-1-a+1=0，所以B_{1}F\perp D_{1}E.
(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是棱BC，CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663367977136129/img/compression/M_6025d9a5ad069a156709281d3d331497.jpg)
$(2)当三棱锥C_{1}-CEF的体积取得最大值时，求平面C_{1}EF与平面ABCD夹角的正切值.$

Solution:
$因为CC_{1}\perp 平面ABCD，所以V_{C1-CEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle CEF}\times CC_{1}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times a\times (1-a)\times 1=-\frac{1}{6}\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{24}，所以当a=\frac{1}{2}时，三棱锥C_{1}-CEF的体积取得最大值，此时F\left(0,\frac{1}{2},0\right),E\left(\frac{1}{2},1,0\right)，则\overrightarrow{FC_1}=\left(0,\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{FE}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right).
(6分)
设平面C_{1}EF的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{FC_1} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{FE} \cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}y+z=0,\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.令x=2,则y=-2，z=1，所以m=(2,-2,1).
(8分)
易知\overrightarrow{CC_1}=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面C_{1}EF与平面ABCD的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{CC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CC_1}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{CC_1}|}=\frac{1}{3}，
(10分)
所以\\sin   \theta =\sqrt{1-{\\\cos    }^2\theta }=\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以\\tan   \theta =\frac{\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }=2\sqrt{2}.
(12分)$

Final answer: $2\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是棱BC，CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF.$<img_1978>
$(2)当三棱锥C_{1}-CEF的体积取得最大值时，求平面C_{1}EF与平面ABCD夹角的正切值.$

Solution:
$因为CC_{1}\perp 平面ABCD，所以V_{C1-CEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle CEF}\times CC_{1}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times a\times (1-a)\times 1=-\frac{1}{6}\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{24}，所以当a=\frac{1}{2}时，三棱锥C_{1}-CEF的体积取得最大值，此时F\left(0,\frac{1}{2},0\right),E\left(\frac{1}{2},1,0\right)，则\overrightarrow{FC_1}=\left(0,\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{FE}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right).
(6分)
设平面C_{1}EF的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{FC_1} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{FE} \cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}y+z=0,\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.令x=2,则y=-2，z=1，所以m=(2,-2,1).
(8分)
易知\overrightarrow{CC_1}=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面C_{1}EF与平面ABCD的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{CC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CC_1}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{CC_1}|}=\frac{1}{3}，
(10分)
所以\\sin   \theta =\sqrt{1-{\\\cos    }^2\theta }=\frac{2\sqrt{2}}{3}，所以\\tan   \theta =\frac{\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }=2\sqrt{2}.
(12分)$

Final answer: $2\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：m)，如图所示，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为\frac{80\pi }{3} m^{3}，且l\geq 2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为y万元.$<img_1500>
$(1)写出y关于r的函数表达式$

Solution:
$设该容器的容积为V m^{3}，则V=\pi r^{2}l+\frac{4}{3}\pi r^{3}.因为V=\frac{80\pi }{3}，所以l=\frac{V-\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=\frac{80}{3r^2}-\frac{4r}{3}=\frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right).因为l\geq 2r，所以\frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right)\geq 2r，解得0(2分)所以y=2\pi rl\times 3+4\pi r^{2}c=2\pi r\times \frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right)\times 3+4\pi r^{2}c=4\pi (c-2)r^{2}+\frac{160\pi }{r}，其定义域为(0,2].(5分)$



Final answer: $y=4\pi (c-2)r^{2}+\frac{160\pi }{r}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：m)，如图所示，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为\frac{80\pi }{3} m^{3}，且l\geq 2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为y万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694952952012165121/img/compression/M_8b96cf0f8ec505a22a3f9714671e2715.jpg)
$(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；$

Solution:
$设该容器的容积为V m^{3}，则V=\pi r^{2}l+\frac{4}{3}\pi r^{3}.因为V=\frac{80\pi }{3}，所以l=\frac{V-\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=\frac{80}{3r^2}-\frac{4r}{3}=\frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right).因为l\geq 2r，所以\frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right)\geq 2r，解得0(2分)所以y=2\pi rl\times 3+4\pi r^{2}c=2\pi r\times \frac{4}{3}\left(\frac{20}{r^2}-r\right)\times 3+4\pi r^{2}c=4\pi (c-2)r^{2}+\frac{160\pi }{r}，其定义域为(0,2].(5分)$

Final answer: $y=4\pi (c-2)r^{2}+\frac{160\pi }{r}, 定义域为(0,2]$
Subfield: Solid Geometry


Question: $某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：m)，如图所示，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为\frac{80\pi }{3} m^{3}，且l\geq 2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为y万元.$<img_1500>
$(2)当c>\frac{9}{2}时, 求该容器的总建造费用最少时r的值.$

Solution:
$由(1)得y'=8\pi (c-2)r-\frac{160\pi }{r^2}=\frac{8\pi (c-2)}{r^2}\left(r^3-\frac{20}{c-2}\right)，0因为c>3，所以c-2>0，故\frac{20}{c-2}>0.(7分)令y'=0，即r^{3}-\frac{20}{c-2}=0,则r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}，令\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}=m,m>0,则y'=\frac{8\pi (c-2)}{r^2}(r-m)(r^{2}+rm+m^{2}).①若0<m<2，即c>\frac{9}{2},则当r\in (0,m)时，y'<0，当r\in (m,2)时，y'>0，所以r=m是极小值点，也是最小值点；(9分)②若m\geq 2，即3<c\leq \frac{9}{2}，则当r\in (0,2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2是函数的最小值点.(11分)综上，若3<c\leq \frac{9}{2}，则当r=2时总建造费用最少；若c>\frac{9}{2}，则当r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}时总建造费用最少.(12分)$



Final answer: $r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：m)，如图所示，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为\frac{80\pi }{3} m^{3}，且l\geq 2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元，该容器的总建造费用为y万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694952952012165121/img/compression/M_8b96cf0f8ec505a22a3f9714671e2715.jpg)
$(2)求该容器的总建造费用最少时r的值.$

Solution:
$由(1)得y'=8\pi (c-2)r-\frac{160\pi }{r^2}=\frac{8\pi (c-2)}{r^2}\left(r^3-\frac{20}{c-2}\right)，0因为c>3，所以c-2>0，故\frac{20}{c-2}>0.(7分)令y'=0，即r^{3}-\frac{20}{c-2}=0,则r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}，令\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}=m,m>0,则y'=\frac{8\pi (c-2)}{r^2}(r-m)(r^{2}+rm+m^{2}).①若0<m<2，即c>\frac{9}{2},则当r\in (0,m)时，y'<0，当r\in (m,2)时，y'>0，所以r=m是极小值点，也是最小值点；(9分)②若m\geq 2，即3<c\leq \frac{9}{2}，则当r\in (0,2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2是函数的最小值点.(11分)综上，若3<c\leq \frac{9}{2}，则当r=2时总建造费用最少；若c>\frac{9}{2}，则当r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}时总建造费用最少.(12分)$

Final answer: $当3<c\leq \frac{9}{2}时，总建造费用最少时r=2；
当c>\frac{9}{2}时，总建造费用最少时r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$<img_2725>
$(1)用a，b，c表示\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FG}；$

Solution:
$由题意知，EF\parallel OB，且EF=\frac{1}{2}OB，FG\parallel AC，且FG=\frac{1}{2}AC，所以\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}b，\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}a.$



Final answer: $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}b，\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}a$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855862521077761/img/compression/M_d59db584e6f10c816b580f817fa17889.jpg)
$(1)用a，b，c表示\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FG}；$

Solution:
$由题意知，EF\parallel OB，且EF=\frac{1}{2}OB，FG\parallel AC，且FG=\frac{1}{2}AC，所以\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}b，\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}a.$

Final answer: $用a，b，c表示\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FG}的答案为\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}b，\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}a。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855862521077761/img/compression/M_d59db584e6f10c816b580f817fa17889.jpg)
$(2)求证：\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{FG}；$

Solution:
$证明：设正四面体OABC的棱长为a，易知向量a,b,c两两之间的夹角均为\frac{\pi }{3}，则a\cdot b=a\cdot c=b\cdot c=\frac{a^2}{2},所以\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{1}{2}(c-a)=\frac{1}{4}(b\cdot c-b\cdot a)=0，所以\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{FG}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$<img_2725>
$(2)求证：\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{FG}；$

Solution:
$证明：设正四面体OABC的棱长为a，易知向量a,b,c两两之间的夹角均为\frac{\pi }{3}，则a\cdot b=a\cdot c=b\cdot c=\frac{a^2}{2},所以\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{1}{2}(c-a)=\frac{1}{4}(b\cdot c-b\cdot a)=0，所以\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{FG}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855862521077761/img/compression/M_d59db584e6f10c816b580f817fa17889.jpg)
$(3)求证：E，F，G，H四点共面.$

Solution:
$证明：由题意得，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(b+c-a)，\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=\frac{1}{2}(c-a)，\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}b，所以\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}，所以E，F，G，H四点共面.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OC}=c.$<img_2725>
$(3)求证：E，F，G，H四点共面.$

Solution:
$证明：由题意得，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(b+c-a)，\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=\frac{1}{2}(c-a)，\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}b，所以\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}，所以E，F，G，H四点共面.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855834103803906/img/compression/M_7deee49da7f2ee1cfd7bb65cd9e773e0.jpg)
$(1)计算\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}-\overrightarrow{C'C}-\overrightarrow{AC'};$

Solution:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}-\overrightarrow{C'C}-\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC'}=0.$

Final answer: $0$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'.$<img_1483>
$(1)计算\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}-\overrightarrow{C'C}-\overrightarrow{AC'};$

Solution:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}-\overrightarrow{C'C}-\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC'}=0.$

Final answer: $0$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855834103803906/img/compression/M_7deee49da7f2ee1cfd7bb65cd9e773e0.jpg)
$(2)化简\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}，并在图中标出其结果；$

Solution:
$取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使D'F=2FC'，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693855834892333057/img/compression/M_2160528bb8a2faa4a1c13428b9265cff.jpg)$则\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EA'}+\overrightarrow{A'D'}+\frac{2}{3}\overrightarrow{D'C'}=\overrightarrow{ED'}+\overrightarrow{D'F}=\overrightarrow{EF},连接EF，向量\overrightarrow{EF}如图所示.$

Final answer: $EF$