di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C(孔径忽略不计)，N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60^\circ ；且各个方向均有速度大小连续分布在\frac{1}{2}v_0和\sqrt{2}v_0之间的离子射出。已知速度大小为v_0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽(图中没有画出)。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。$

<img_1362>
$若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压U_{x}与孔C位置坐标x之间关系式。$

Solution:
离子经偏转后能进入孔C的位置范围

$\frac{mv_0}{2qB} \leq  x \leq  \frac{2\sqrt{2}mv_0}{qB}$

$U_x = \frac{qB^2}{8m} x^2$

Final answer: $U_x=\frac{qB^2}{8m}x^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O_1点，右边界与x轴垂直交于O_2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O_2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经过Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为\theta 。忽略离子间的相互作用，不计重力。$

<img_504>
<img_1375>
$求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；$

Solution:
$设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得$
$qvB_0=m\frac{v^2}{r} ①$

根据几何关系得
$\sin \theta=\frac{d}{r} ②$

联立①②式得
$v=\frac{qB_0d}{m \sin  \theta } ③$

Final answer: $\frac{qB_0d}{m \sin  \theta }$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O_1点，右边界与x轴垂直交于O_2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O_2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经过Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为\theta 。忽略离子间的相互作用，不计重力。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061782758682626/img/compression/M_8bccd9ece32e0da4b83f028968099c29.jpg)
![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061782758682626/img/compression/M_ee5845f010f75cbba4f6f0b556ad03c5.jpg)
$求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；$

Solution:
$设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得$
$qvB_0=m\frac{v^2}{r} ①$

根据几何关系得
$\sin \theta=\frac{d}{r} ②$

联立①②式得
$v=\frac{qB_0d}{m \sin  \theta } ③$

Final answer: $\frac{qB_0d}{m \sin  \theta }$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O_1点，右边界与x轴垂直交于O_2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O_2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经过Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为\theta 。忽略离子间的相互作用，不计重力。$

<img_504>
<img_1375>
求Ⅱ区内电场强度的大小E；

Solution:
离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为y_0，加速度大小为a，由牛顿第二定律得

qE = ma      ④

由运动的合成与分解得

$L = vt \cos \theta     ⑤$

$y_0 = -r(1-\cos \theta )    ⑥$

$y_0 = vt \sin \theta  - 1/2 at^2   ⑦$

联立①②④⑤⑥⑦式得

$E = (2qB^2_0d^2) / (mL^2 \tan^2 \theta ) (L \tan \theta  + d/ \sin \theta  - d/ \tan \theta )   ⑧$



Final answer: $\frac{2qB^2_0d^2}{mL^2 \tan ^2\theta }\left(L \tan  \theta +\frac{d}{\sin  \theta }-\frac{d}{\tan  \theta }\right)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O_1点，右边界与x轴垂直交于O_2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O_2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经过Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为\theta 。忽略离子间的相互作用，不计重力。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061782758682626/img/compression/M_8bccd9ece32e0da4b83f028968099c29.jpg)
![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061782758682626/img/compression/M_ee5845f010f75cbba4f6f0b556ad03c5.jpg)
求Ⅱ区内电场强度的大小E；

Solution:
离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为y_0，加速度大小为a，由牛顿第二定律得

qE = ma      ④

由运动的合成与分解得

$L = vt \cos \theta     ⑤$

$y_0 = -r(1-\cos \theta )    ⑥$

$y_0 = vt \sin \theta  - 1/2 at^2   ⑦$

联立①②④⑤⑥⑦式得

$E = (2qB^0_2d^2) / (mL^2 \tan^2 \theta ) (L \tan \theta  + d/ \sin \theta  - d/ \tan \theta )   ⑧$

Final answer: $\frac{2qB^2_0d^2}{mL^2 \tan ^2\theta }$, $\left(L \tan  \theta +\frac{d}{\sin  \theta }-\frac{d}{\tan  \theta }\right)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $小明受回旋加速器的启发，设计了如图1所示的“回旋变速装置”。两相距为d的平行金属栅极板M、N，板M位于x轴上，板N在它的正下方。两板间加上如图2所示的幅值为U_0的交变电压，周期T_0=\frac{2\pi m}{qB}. 板M上方和板N下方有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场。粒子探测器位于y轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子。有一沿x轴可移动、粒子出射初动能可调节的粒子发射源，沿y轴正方向射出质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子。t=0时刻，发射源在(x，0)位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在电场中运动的时间不计。$

<img_1268>

图1

<img_1421>

图2
$若粒子只经磁场偏转并在y=y_0处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能；$

Solution:
$由题意可知，发射源的位置x_0=y_0$

$粒子的初动能：E_{k0}=\frac{(qBy_0)^2}{2m}$

Final answer: $\frac{(qBy_0)^2}{2m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $小明受回旋加速器的启发，设计了如图1所示的“回旋变速装置”。两相距为d的平行金属栅极板M、N，板M位于x轴上，板N在它的正下方。两板间加上如图2所示的幅值为U_0的交变电压，周期T_0=\frac{2\pi m}{qB}. 板M上方和板N下方有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场。粒子探测器位于y轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子。有一沿x轴可移动、粒子出射初动能可调节的粒子发射源，沿y轴正方向射出质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子。t=0时刻，发射源在(x，0)位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在电场中运动的时间不计。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061872504205316/img/compression/M_c540351bbce57c707bc0d433fa0f8253.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061872504205316/img/compression/M_8ff634484c393ddbcdcfd3d7c318a018.jpg)

图2
$若粒子只经磁场偏转并在y=y_0处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能；$

Solution:
$由题意可知，发射源的位置x_0=y_0$

$粒子的初动能：E_{k0}=\frac{(qBy_0)^2}{2m}$

Final answer: $\frac{(qBy_0)^2}{2m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $为了探测带电粒子，研究人员设计了如图甲所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O'的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O'右边的O点为坐标原点建立一平面直角坐标系xOy，O和O'两点间距离为2R。y轴与OO'连线垂直，x轴(图甲中未画出)正方向垂直纸面向里，在xOy平面内存在一个足够大的探测屏，圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且与y轴垂直的粒子源MN，该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子发射时的速度大小均为v_0，方向均沿y轴正方向，从粒子源MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，已知粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用力。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061835019710465/img/compression/M_c9e4dd7293925e354613a2bb06c63adb.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061835019710465/img/compression/M_4cbe5a8020653a0e3021fd23816ff715.jpg)
求圆形匀强磁场区域的磁感应强度大小 B；

Solution:
$粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，故有qv_0B = m\frac{v^2_0}{R}，解得B=\frac{mv_0}{qR}。$

Final answer: $\frac{mv_0}{qR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $为了探测带电粒子，研究人员设计了如图甲所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O'的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O'右边的O点为坐标原点建立一平面直角坐标系xOy，O和O'两点间距离为2R。y轴与OO'连线垂直，x轴(图甲中未画出)正方向垂直纸面向里，在xOy平面内存在一个足够大的探测屏，圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且与y轴垂直的粒子源MN，该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子发射时的速度大小均为v_0，方向均沿y轴正方向，从粒子源MN中点发射的粒子速度方向恰好指向O'，已知粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用力。$

<img_1250>

<img_969>
求圆形匀强磁场区域的磁感应强度大小 B；

Solution:
$粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，故有qv_0B = m\frac{v^2_0}{R}，解得B=\frac{mv_0}{qR}。$

Final answer: $\frac{mv_0}{qR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为+q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061841378275332/img/compression/M_5fb5e779fdc3000d4b2cd748f4da776f.jpg)
图(a)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061841378275332/img/compression/M_3a22bcc6c750f52ccd6f49270e45ed5e.jpg)
图(b)
$如图(a)，宽度为2r_1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0,r_1)、半径为r_1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B_1的大小；$

Solution:
$取任意入射点E，作出运动轨迹如图所示，四边形AEO'O中AE=AO=r_1，\angle AEO=\angle AOE，O'E\parallel OA ,所以\angle O'EO=\angle EOA ,由此得四边形AEO'O为菱形，入射粒子在磁场中运动的轨迹半径为r_1,得qvB_1=m\frac{v^2}{r_1} ,解得B_1=\frac{mv}{qr_1} 。$

![22GZTWL70教师.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061841378275332/img/compression/M_ae8250ba750c02d518193092e5fc068d.jpg)

Final answer: $\frac{mv}{qr_1}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为+q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。

<img_1443>
图(a)

<img_986>
图(b)
$如图(a)，宽度为2r_1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0,r_1)、半径为r_1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B_1的大小；$

Solution:
$取任意入射点E，作出运动轨迹如图所示，四边形AEO'O中AE=AO=r_1，\angle AEO=\angle AOE，O'E\parallel OA ,所以\angle O'EO=\angle EOA ,由此得四边形AEO'O为菱形，入射粒子在磁场中运动的轨迹半径为r_1,得qvB_1=m\frac{v^2}{r_1} ,解得B_1=\frac{mv}{qr_1} 。$

<img_1415>

Final answer: $\frac{mv}{qr_1}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061817731469315/img/compression/M_34ece28a9f3a77353a4623cd551362a9.jpg)
求粒子加速器M的加速电压U；

Solution:
$对粒子由动能定理有qU=\frac{1}{2}mv^2，$
$得U=\frac{mv^2}{2q}。$

Final answer: $\frac{mv^2}{2q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

<img_979>
求粒子加速器M的加速电压U；

Solution:
$对粒子由动能定理有qU=\frac{1}{2}mv^2，$
$得U=\frac{mv^2}{2q}。$

Final answer: $\frac{mv^2}{2q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061817731469315/img/compression/M_34ece28a9f3a77353a4623cd551362a9.jpg)
求速度选择器N两板间的电场强度E的大小；

Solution:
$对粒子，电场力与洛伦兹力平衡 Eq=qvB$

$得 E=vB$

方向垂直导体板向下

Final answer: vB
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

<img_979>
求速度选择器N两板间的电场强度E的大小；

Solution:
$对粒子，电场力与洛伦兹力平衡 Eq=qvB$

$得 E=vB$

方向垂直导体板向下

Final answer: vB
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061817731469315/img/compression/M_34ece28a9f3a77353a4623cd551362a9.jpg)
$仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能E_k。$

Solution:
$电场力做正功，由动能定理有 Eqd=E_k-\frac{1}{2}mv^2，$

$得 E_k=\frac{1}{2}mv^2+qBvd。$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2+qBvd$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。

<img_979>
$仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能E_k。$

Solution:
$电场力做正功，由动能定理有 Eqd=E_k-\frac{1}{2}mv^2，$

$得 E_k=\frac{1}{2}mv^2+qBvd。$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2+qBvd$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_5f98e850137f36b25e2075f572cddd5c.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061965572169732/img/compression/M_d17a8a60d0554f6855faa0f565f5d965.jpg)

图2
$在1.0 s\leq t\leq 1.3 s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系；$

Solution:
$匀速出磁场，F_A应为零，即电流为0，磁通量不变，\Phi_1=\Phi$

$t_1=1.0 s时，B_1=0.5 T，磁通量\Phi_1=B_1L^2$

$t时刻，磁通量\Phi=BL[L-v(t-t_1)]$

$得B=\frac{1}{6-4t}$

Final answer: $B = \frac{1}{6-4t}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在0\leq x\leq 1.0 m区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5 m、电阻R=0.25 \Omega 的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0 m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在0\leq t\leq 1.0 s内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在0\leq t\leq 1.3 s内线框始终做匀速运动。$

<img_1074>

图1

<img_866>

图2
$在1.0 s\leq t\leq 1.3 s内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系；$

Solution:
$匀速出磁场，F_A应为零，即电流为0，磁通量不变，\Phi_1=\Phi$

$t_1=1.0 s时，B_1=0.5 T，磁通量\Phi_1=B_1L^2$

$t时刻，磁通量\Phi=BL[L-v(t-t_1)]$

$得B=\frac{1}{6-4t}$

Final answer: $B = \frac{1}{6-4t}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为\sqrt{3}r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。 运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_b28837bc7a0eec4394e545d68411ba6b.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_cf1abcc49d7b1c84c137c27f412ac83c.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_f0bc45737a4d5d0f0de184c21b10a878.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061967145033731/img/compression/M_b97c755702e23efb72b324edb365688f.jpg)
$在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力。$
$①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平面向下的匀强磁场中，如图(d)，求刚接通电源时运输车的加速度的大小；(电源内阻不计，不考虑电磁感应现象)$
$②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车以速度v_0从如图(e)通过距离2D后的速度v。$

Solution:
①运输车离站时，电路图如图3所示：
![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061969892302849/img/compression/M_69f20c9c593c44dec84e37ae60a16588.jpg)

$则R_{总} =\frac{11R}{4},由闭合电路欧姆定律I =\frac{E}{R_{总}},又I_1 =\frac{I}{4}，I_2 =\frac{3I}{4},导体棒所受的安培力：F_1 = B I_1 \sqrt{3} r，F_2 = B I_2 \sqrt{3} r ，运输车的加速度a =\frac{F_1+F_2}{m}，解得：a =\frac{4\sqrt{3}BrE}{11mR}$

②运输车进站时，电路如图4所示：
![图4](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061969892302849/img/compression/M_f11b144fb4f4fe5e6ecf2d309a0874e7.jpg)

$当车速为v时，由法拉第电磁感应定律：E_1 = B \sqrt{3} rv、E_2 = B \sqrt{3} rv,由闭合电路欧姆定律I =\frac{E_1+E_2}{4R},导体棒所受的安培力：F_1 = B I \sqrt{3} r；F_2 = B I \sqrt{3} r,运输车所受的合力：F =\frac{B^2 \cdot 3r^2v}{R} ,选取一小段时间\Delta t，运输车速度的变化量为\Delta v，由动量定理有：-\frac{B^2 \cdot 3r^2v}{R}\Delta t = m\Delta v，即：-\frac{B^2 \cdot 3r^2}{R}\Delta x = m\Delta v，两边求和：-\frac{3B^2r^2 \cdot 2D}{R} = mv - m v_0，解得：v = v_0 -\frac{6B^2r^2D}{mR}$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}BrE}{11mR}, v_{0}-\frac{6B^2r^2D}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为\sqrt{3}r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。 运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。$

<img_592>
<img_585>
<img_904>
<img_1057>
$在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力。$
$①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平面向下的匀强磁场中，如图(d)，求刚接通电源时运输车的加速度的大小；(电源内阻不计，不考虑电磁感应现象)$
$②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车以速度v_0从如图(e)通过距离2D后的速度v。$

Solution:
①运输车离站时，电路图如图3所示：
<img_622>

$则R_{总} =\frac{11R}{4},由闭合电路欧姆定律I =\frac{E}{R_{总}},又I_1 =\frac{I}{4}，I_2 =\frac{3I}{4},导体棒所受的安培力：F_1 = B I_1 \sqrt{3} r，F_2 = B I_2 \sqrt{3} r ，运输车的加速度a =\frac{F_1+F_2}{m}，解得：a =\frac{4\sqrt{3}BrE}{11mR}$

②运输车进站时，电路如图4所示：
<img_1414>

$当车速为v时，由法拉第电磁感应定律：E_1 = B \sqrt{3} rv、E_2 = B \sqrt{3} rv,由闭合电路欧姆定律I =\frac{E_1+E_2}{4R},导体棒所受的安培力：F_1 = B I \sqrt{3} r；F_2 = B I \sqrt{3} r,运输车所受的合力：F =\frac{B^2 \cdot 3r^2v}{R} ,选取一小段时间\Delta t，运输车速度的变化量为\Delta v，由动量定理有：-\frac{B^2 \cdot 3r^2v}{R}\Delta t = m\Delta v，即：-\frac{B^2 \cdot 3r^2}{R}\Delta x = m\Delta v，两边求和：-\frac{3B^2r^2 \cdot 2D}{R} = mv - m v_0，解得：v = v_0 -\frac{6B^2r^2D}{mR}$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}BrE}{11mR}, v_{0}-\frac{6B^2r^2D}{mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

<img_1318>
外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式；

Solution:
$由加速度的定义可得 a=\frac{v_0-0}{t_0}=1.5 m/s^2，对导体棒 A，由受力分析可得：F+mg \sin \theta -BIL=ma，I=\frac{E}{R_\text{总}}，E=BLv \cos 37^\circ ，得出 F=0.768t-1.8(N) 故外力 F 的大小为 F=1.8-0.768 t(N)，其中0\leq  t \leq 2s$



Final answer: $F=1.8-0.768t$ N
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，间距为L=0.8 m、倾角为\theta=37^\circ 的两根平行倾斜光滑导轨与间距相同的两根平行水平光滑导轨在b、e处平滑连接，导轨全部固定，其中MN、PQ两段用绝缘材料制成，其余部分用电阻不计的金属材料制成。cf两点间有一个电容为C=\frac{5}{8} F的电容器，整个导轨区域存在竖直方向的磁感应强度为B=0.5 T的匀强磁场(图中未标注)将长度比导轨间距略大、质量均为m=0.4 kg、电阻均为R=0.1 \Omega 的导体棒A和B静止置于导轨上，锁定导体棒B，给导体棒A施加一个在倾斜导轨平面内且垂直于导体棒A的外力F，使其沿倾斜导轨向下做初速度为0的匀加速直线运动。外力作用t_0=2 s时，导体棒A恰好以v_0=3 m/s的速度运动至be处并进入水平导轨，此时撤去外力F，同时释放导体棒B。两根导体棒在到达MP前发生弹性相碰，碰撞刚结束，马上移去导体棒A。整个过程中两根导体棒始终与导轨垂直，水平导轨右侧部分足够长。导体棒B初始位置离倾斜导轨末端be的距离x=0.5 m，g=10 m/s\^2，试求：$

![23AZJ5WL145.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062026858786819/img/compression/M_a816aec619fd43dac39410a2996ed32b.jpg)
外力F作用期间，其大小随时间t的变化关系式；

Solution:
$由加速度的定义可得 a=\frac{v_0-0}{t_0}=1.5 m/s^2，对导体棒 A，由受力分析可得：F+mg \sin \theta -BIL=ma，I=\frac{E}{R_\text{总}}，E=BLv \cos 37^\circ ，得出 F=0.768t-1.8(N) 故外力 F 的大小为 F=1.8-0.768 t(N)，其中0\leq  t \leq 2s$

Final answer: `F=1.8-0.768t(N),0\leq t\leq 2s`
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

<img_1066>
在(2)的情形下，求a、b两棒在磁场区域运动中的最近间距为多大？

Solution:
$当b棒向左减速为零时，对其由动量定理可得-∑Bil\Delta t=0-mv_b，∑i\Delta t=q_1=\frac{Bl\Delta x_1}{3R}$

$由以上两式解得两棒的相对位移\Delta x_1=\frac{3mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

$当b棒反向加速至匀速时，对其应用动量定理可得∑Bil\Delta t=mv_1，∑i\Delta t=q_2=\frac{Bl\Delta x_2}{3R}$

$由以上两式解得两棒的相对位移\Delta x_2=\frac{mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

$故两棒最小的间距为d_{min}=L-\Delta x_1-\Delta x_2=L-\frac{4mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

Final answer: $L- \frac{4mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

![23AZJ5WL395.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062027307577346/img/compression/M_c6e4f4bcb38237f7fc5391f34d4a33f8.jpg)
在(2)的情形下，求a、b两棒在磁场区域运动中的最近间距为多大？

Solution:
$当b棒向左减速为零时，对其由动量定理可得-∑Bil\Delta t=0-mv_b，∑i\Delta t=q_1=\frac{Bl\Delta x_1}{3R}$

$由以上两式解得两棒的相对位移\Delta x_1=\frac{3mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

$当b棒反向加速至匀速时，对其应用动量定理可得∑Bil\Delta t=mv_1，∑i\Delta t=q_2=\frac{Bl\Delta x_2}{3R}$

$由以上两式解得两棒的相对位移\Delta x_2=\frac{mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

$故两棒最小的间距为d_{min}=L-\Delta x_1-\Delta x_2=L-\frac{4mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$

Final answer: $L- \frac{4mR\sqrt{2gh}}{B^2l^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆 M 以初速度 v_0 向右运动，磁场内的细金属杆 N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为 m，在导轨间的电阻均为 R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。$

<img_1227>
$若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为\frac{v_0}{3},①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q;②初始时刻N到ab的最小距离x;$

Solution:
$①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有B，I，L\cdot \Delta t=m\cdot ![\frac{v_0}{3}]()-0，且q=I\cdot \Delta t，联立解得通过回路的电荷量为q=![\frac{mv_0}{3BL}]()。$

$②设两杆在磁场中相对靠近的位移为\Delta x，有I=![\frac{E}{2R}]()，E=![\frac{BL \cdot \Delta x}{\Delta t}]()，整理可得q=![\frac{BL\Delta x}{2R}]()，联立可得\Delta x=![\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}]()，若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为x=\Delta x=![\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}]()。$

Final answer: $\frac{mv_0}{3BL}　$, $\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆 M 以初速度 v_0 向右运动，磁场内的细金属杆 N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为 m，在导轨间的电阻均为 R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062027693453315/img/compression/M_f3c57ccb395d9041e6471115bedc993e.jpg)
$若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为\frac{v_0}{3},①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q;②初始时刻N到ab的最小距离x;$

Solution:
$①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有B，I，L\cdot \Delta t=m\cdot ![\frac{v_0}{3}]()-0，且q=I\cdot \Delta t，联立解得通过回路的电荷量为q=![\frac{mv_0}{3BL}]()。$

$②设两杆在磁场中相对靠近的位移为\Delta x，有I=![\frac{E}{2R}]()，E=![\frac{BL \cdot \Delta x}{\Delta t}]()，整理可得q=![\frac{BL\Delta x}{2R}]()，联立可得\Delta x=![\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}]()，若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为x=\Delta x=![\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}]()。$

Final answer: $\frac{mv_0}{3BL}　$, $\frac{2mv_0R}{3B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

<img_600>
$若N内轮上未挂重物，初始时N不动。在M转过\theta 角的过程中，通过导线的电荷量为q，求此过程中N转过的角度；$

Solution:
$根据q = \overlin e{I}\Delta t，由闭合电路欧姆定律可得\overline{I} = \frac{\overline{E}}{2R}，两轮在此过程中产生的平均电动势为\overline{E} = \frac{\Delta \mathit{Φ}}{\Delta t}，\Delta \Phi = \frac{1}{2}Bl^2\theta - \frac{1}{2}Bl^2\theta'，联立得\theta' = \theta - \frac{4qR}{Bl^2}。$

Final answer: $\theta - \frac{4qR}{Bl^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061994244685826/img/compression/M_dfde32ed7bc0af4f3099679bbccd7bac.jpg)
$若N内轮上未挂重物，初始时N不动。在M转过\theta 角的过程中，通过导线的电荷量为q，求此过程中N转过的角度；$

Solution:
$根据q = \overlin e{I}\Delta t，由闭合电路欧姆定律可得\overline{I} = \frac{\overline{E}}{2R}，两轮在此过程中产生的平均电动势为\overline{E} = \frac{\Delta \mathit{Φ}}{\Delta t}，\Delta \Phi = \frac{1}{2}Bl^2\theta - \frac{1}{2}Bl^2\theta'，联立得\theta' = \theta - \frac{4qR}{Bl^2}。$

Final answer: $\theta - \frac{4qR}{Bl^2}$