di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为A, B, 且|AB|=4, 离心率为 \sqrt{3}/2.$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
由题意得

$$
\left\{\begin{matrix}2a=4,\\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.
$$

解得

$$
\left\{\begin{matrix}a=2,\\ b=1.\end{matrix}\right.
$$

所以椭圆C的方程是

$$
\frac{x^2}{4} + y^2 = 1
$$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的下顶点A和右顶点B都在直线l_1:y=\frac{1}{2}(x-2)上.$
$不经过点B的直线l_2:y=kx+m交椭圆C于P,Q两点，过点P作x轴的垂线交l_1于点D，点P关于点D的对称点为E.若E,B,Q三点共线，求证：直线l_2经过定点.$

Solution:
$证明：设P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)，则 x_1 \neq  2, x_2 \neq  2.$

$则 D(x_1,\frac{1}{2}(x_1-2))，故 E(x_1, x_1 - y_1 - 2)。$

$因为 E, B, Q 三点共线，故 \frac{y_2}{x_2-2} = \frac{x_1 - y_1 - 2}{x_1 - 2}，整理得$

$x_1y_2 + x_2y_1 = 2(y_1 + y_2) + x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) +4，即 (2k - 1)x_1x_2 + (m - 2k + 2)(x_1 + x_2) - 4m - 4 = 0.$

$由 \begin{cases}\frac{x^2}{4} + y^2 = 1,\\ y = kx + m\end{cases} 可得 (1 + 4k^2) x^2 +8kmx + 4m^2 - 4 = 0，故 \Delta = 16(4k^2 +1 - m^2) > 0，且 x_1 + x_2 = -\frac{8km}{1 + 4k^2}，x_1x_2 = \frac{4m^2 - 4}{1 + 4k^2}，$

$故 (2k - 1) \cdot \frac{4m^2 - 4}{1 + 4k^2} - (m - 2k +2) \cdot \frac{8km}{1 + 4k^2} - 4m - 4 = 0，$

$整理得 (m + 2k)(m + 2k + 1) = 0，$

$若 m = -2k，则 l_2: y=kx - 2k，故 l_2 过 B，与题设矛盾；$

$若 m = -2k - 1，则 l_2: y = kx - 2k - 1 = k(x-2) - 1，故 l_2 过定点 (2, -1)。$

$故直线 l_2 经过定点。$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，P到椭圆C的两个焦点的距离和为4\sqrt{2}.$
求椭圆C的方程；

Solution:
由题意得

$$
\left\{
\begin{matrix}
2a=4\sqrt{2},\\ 
\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1,
\end{matrix}
\right.
$$

$所以 a^2=8，b^2=2，所以椭圆 C 的方程为$

$$
\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1.
$$

Final answer: $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $椭圆M: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的左顶点为А(-2,0),离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}.$
求椭圆M的方程；

Solution:
由题意得

$$
\left\{
\begin{matrix}
a=2,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ 
b^2=a^2-c^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得b=1.

所以椭圆M的方程为

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为P(0,1),离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}．$
求椭圆C的方程；

Solution:
由题意知:
$$
\begin{cases}
b=1,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ 
a^2=b^2+c^2,
\end{cases}
$$
$解得a=\sqrt{2}.$

$所以椭圆C的方程为 \frac{x^2}{2}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).$

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^2\geq k)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |

$设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的数学期望;$

Solution:
$依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，$
$则P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_{20}\mathrm{C}^2_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{20}{39}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{20}\mathrm{C}^0_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，$
$\therefore X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{19}{78}$ | $\frac{20}{39}$ | $\frac{19}{78}$ |

$\therefore E(X)=\frac{19}{78}\times 0+\frac{20}{39}\times 1+\frac{19}{78}\times 2=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).$

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^2\geq k)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
$设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望;$

Solution:
$依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，$
$则P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_{20}\mathrm{C}^2_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{20}{39}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{20}\mathrm{C}^0_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，$
$\therefore X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{19}{78}$ | $\frac{20}{39}$ | $\frac{19}{78}$ |

$\therefore E(X)=\frac{19}{78}\times 0+\frac{20}{39}\times 1+\frac{19}{78}\times 2=1.$

Final answer: $X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{19}{78}$ | $\frac{20}{39}$ | $\frac{19}{78}$ |

$E(X)=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).$

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^2\geq k)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
试验结果如下：  
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为  
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8  
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6  
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2  
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为  
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8  
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5  
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：  

|      | $<m$ | $\geq m$ |
| ---- |---| --- |
| 对照组 |   |    |
| 试验组 |   |    |

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

Solution:
$(i)依题意可得m= \frac{23.2+23.6}{2} =23.4.  $
则对照组样本中小于m的数据的个数为6，  
试验组样本中小于m的数据的个数为14，  
则列联表为

|           | $<m$   | $\geq m$ |
| ---       | ---    | ---- |
| 对照组     | 6      | 14   |
| 试验组     | 14     | 6    |

(ii)由(i)中列联表可得  
$K^2= \frac{40\times (6\times 6-14\times 14)^2}{20\times 20\times 20\times 20}=6.4>3.841，  $
$\therefore 有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.$

Final answer: ${m=23.4}, 对照组样本中小于m的数据的个数为6，试验组样本中小于m的数据的个数为14，表为：$

|           | $<m$   | $\geq m$ |
| ---       | ---    | ---- |
| 对照组     | 6      | 14   |
| 试验组     | 14     | 6    |

$K^2=6.4>3.841，有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

<img_2755>
$为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的数学期望;$

Solution:
$800名学生中周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为800\times 0.05\times 2=80,800\times 0.04\times 2=64,800\times 0.01\times 2=16。$

$若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从周平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取\frac{64}{80+64+16}\times 10=4人,由题意得X的可能取值为0,1,2,3。$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}；$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}；$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}；$
$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}。$

X的分布列为

|   X   |  0  |  1  |  2  |  3  |
|:-----:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|$   P   $|$ \frac{1}{6} $|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{30}$|

$数学期望E(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $\frac{6}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![24BKB5LSX207.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;$

Solution:
$800名学生中周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为800\times 0.05\times 2=80,800\times 0.04\times 2=64,800\times 0.01\times 2=16。$

$若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从周平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取\frac{64}{80+64+16}\times 10=4人,由题意得X的可能取值为0,1,2,3。$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}；$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}；$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}；$
$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}。$

X的分布列为

|   X   |  0  |  1  |  2  |  3  |
|:-----:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|$   P   $|$ \frac{1}{6} $|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{30}$|

$数学期望E(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$

Final answer: X的分布列为

|     X     |        0        |       1       |       2        |       3        |
| :-------: | :-------------: | :-----------: | :------------: | :------------: |
| $   P   $ | $ \frac{1}{6} $ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{30}$ |

$数学期望E(X)=\frac{6}{5}.$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是无穷数列。给出两个性质：$
$① 对于a_n中任意两项a_i,a_j(i > j)，在a_n中都存在一项a_m，使得\frac{a^{2}_i}{a_j} = a_m；$
$② 对于a_n中任意一项a_n(n \geq  3)，在a_n中都存在两项a_k,a_l(k > l)，使得a_n = \frac{a^{2}_k}{a_l}。$
$若a_n=n (n=1,2, \ldots), 判断数列{a_n}是否满足性质①，说明理由。$

Solution:
$若a_n=n(n=1,2,\ldots )，则数列{a_n}不满足性质①，可以举反例验证.\frac{a^2_3}{a_2}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}∉N,在数列{a_n}中不能找到一项a_m(m\in N)，使得a_m=\frac{9}{2}.$



Final answer: $数列{a_n}不满足性质①$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是无穷数列。给出两个性质：$
$① 对于a_n中任意两项a_i,a_j(i > j)，在a_n中都存在一项a_m，使得\frac{a^{2}_i}{a_j} = a_m；$
$② 对于a_n中任意一项a_n(n \geq  3)，在a_n中都存在两项a_k,a_l(k > l)，使得a_n = \frac{a^{2}_k}{a_l}。$
$若a_n=2^n-1 (n=1,2,\ldots ),判断数列{a_n}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；$

Solution:
$若a_n=2^{n-1}(n=1,2,\ldots )，则数列{a_n}能同时满足性质①和性质②.$

$对于{a_n}中任意两项a_i,a_j(i>j)，$

$\frac{a^2_i}{a_j}=$

$\frac{(2^{i-1})^2}{2^{j-1}}=$

$\frac{2^{2i-2}}{2^{j-1}}=2^{2i-j-1}=a_{2i-j}.$

$令m=2i-j即可,所以对于{a_n}中任意两项a_i，a_j(i>j),在{a_n}中存在一项a_m(m=2i-j)，使得$

$\frac{a^2_i}{a_j}=a_m，故满足性质①.$

$对于{a_n}中任意一项a_n=2^{n-1}，下面寻求{a_n}中另外两项a_k,a_l(k>l)，使得a_n=$

$\frac{a^2_k}{a_l}，即2^{n-1}=$

$\frac{(2^{k-1})^2}{2^{l-1}}=2^{2k-l-1}，$

$即n=2k-l,可令l=n-2,k=n-1(n\geq 3)，$

$则此时a_n=2^{n-1}=$

$\frac{2^{2n-4}}{2^{n-2-1}}=$

$\frac{a^2_k}{a_l}，故满足性质②.$

$故数列{a_n}能同时满足性质①和性质②.$



Final answer: $数列{a_n}能同时满足性质①和性质②.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知O为坐标原点，点E(\frac{3}{4},0)，过动点W作直线x=-\frac{1}{4}的垂线，垂足为F，\overrightarrow{OW}\cdot \overrightarrow{EF}=0，记W的轨迹为曲线C。$
求曲线C的方程；

Solution:
$设W(x,y)，则F\left(-\frac{1}{4},y\right)，$

$所以\overrightarrow{OW}=(x,y)，\overrightarrow{EF}=(-1,y)。$

$因为\overrightarrow{OW} \cdot \overrightarrow{EF}=0，所以(x,y)\cdot(-1,y)=-x+y^2=0，$

$所以曲线C的方程为y^2=x.$

Final answer: $y^2=x$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)的实轴长为2，点(\sqrt{7},-1)是抛物线E:x^2=2py(p>0)的准线与C的一个交点.$
求双曲线C和抛物线E的方程；

Solution:
$由题意得a=1，又点(\sqrt{7},-1)在双曲线上，故7-\frac{1}{b^2}=1，解得b^2=\frac{1}{6}，$
$故双曲线C的方程为x^2-\frac{y^2}{\frac{1}{6}}=1.$
$由点(\sqrt{7},-1)过抛物线E:x^2=2py(p>0)的准线，得\frac{p}{2}=1，即p=2，故抛物线E的方程为x^2=4y.$



Final answer: $x^2-\frac{y^2}{\frac{1}{6}}=1, x^2=4y$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知圆M与圆F_1：(x+2)^2+y^2=1外切，同时与圆F_2：(x-2)^2+y^2=49内切.$
说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；

Solution:
$设圆M的半径为r，由圆M与圆F_1：(x+2)^2+y^2=1外切，得|MF_1|=r+1，$

$由圆M与圆F_2：(x-2)^2+y^2=49内切，得|MF_2|=7-r，$

$故|MF_1|+|MF_2|=8>|F_1F_2|，$

$则动点M的轨迹是以F_1，F_2为焦点，长轴长为8的椭圆，$

$故椭圆的短半轴长为\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，$

$故椭圆的方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知圆M与圆F_1：(x+2)^2+y^2=1外切，同时与圆F_2：(x-2)^2+y^2=49内切.$
求动点M的轨迹方程；

Solution:
$设圆M的半径为r，由圆M与圆F_1：(x+2)^2+y^2=1外切，得|MF_1|=r+1，$

$由圆M与圆F_2：(x-2)^2+y^2=49内切，得|MF_2|=7-r，$

$故|MF_1|+|MF_2|=8>|F_1F_2|，$

$则动点M的轨迹是以F_1，F_2为焦点，长轴长为8的椭圆，$

$故椭圆的短半轴长为\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，$

$故椭圆的方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.$



Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知F为抛物线T:x^2=2py (p＞0)的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，\triangle OPF的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆的周长为3\pi .$
求抛物线T的方程；

Solution:
$易得F\left(0,\frac{p}{2}\right)，所以\triangle OPF的外接圆圆心在直线y=\frac{p}{4}上，又外接圆与准线y=-\frac{p}{2}相切，所以外接圆的半径为\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=\frac{3}{4}p，所以周长为2\pi \cdot \frac{3}{4}p=3\pi ，所以p=2，故抛物线T的方程为x^2=4y.$



Final answer: $x^2-4y=0$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)的右焦点F(c,0)在直线\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0上，且离心率为\frac{1}{2}.$
求椭圆C的方程；

Solution:
$\because 右焦点 F((c, 0))在直线 \sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} = 0上，$
$\therefore \sqrt{3}c - 2\sqrt{3} = 0，\therefore c = 2。$

$由题知 e = \frac{c}{a}= \frac{2}{a} = \frac{1}{2}，\therefore a = 4，$
$\therefore  b^2 = a^2 - c^2 = 16-4=12。$

$所以椭圆 C的方程为 \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1.$



Final answer: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆𝐶：  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1  (𝑎>𝑏>0)过点  (1,\frac{\sqrt{6}}{3})  ，过其右焦点  F_2  且垂直于  x  轴的直线交椭圆  𝐶  于  A  ，  B  两点，且|𝐴𝐵|=  \frac{2\sqrt{3}}{3} .$
求椭圆C的方程；

Solution:
$由题知，椭圆C过点 (\left(1,\frac{\sqrt{6}}{3}\right) 和 \left(c,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，所以 $

$$
\left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{a^2}+\frac{2}{3b^2}=1,\\ 
\frac{c^2}{a^2}+\frac{1}{3b^2}=1,\\ 
a^2=b^2+c^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得 
$$
\left\{
\begin{matrix}
a^2=3,\\ 
b^2=1.
\end{matrix}
\right.
$$
$所以椭圆C的方程为 \frac{x^2}{3} + y^2 = 1.$



Final answer: $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_1，F_2，离心率e=\frac{\sqrt{2}}{2}，P为椭圆上一动点，\triangle PF_1F_2面积的最大值为2.$
求椭圆E的方程；

Solution:
当P为短轴端点时，\triangle PF_1F_2的面积最大，即bc=2，
又
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ 
a^2=b^2+c^2,\\
\end{cases}
\end{equation}
$$
$\therefore a=2,b=c= \sqrt{2}，$
$故椭圆E的方程为 \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} =1.$



Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C_1：y^2=4x与椭圆C_2：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)有公共的焦点，C_2的左、右焦点分别为F_1，F_2，该椭圆的离心率为\frac{1}{2}.$
$求椭圆C_2的方程；$

Solution:
$由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，$
$所以椭圆的半焦距c=1，又椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，$
$所以a=2，则b^2=a^2-c^2=4-1=3，即b=\sqrt{3}，$
$所以椭圆C_2的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$



Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目.某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为\frac{3}{4}；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为\frac{4}{5}和\frac{5}{8}；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和\frac{3}{2}-p，其中0<p<\frac{3}{4}.$
$在(2)的条件下，设进入决赛的人数为\xi，求\xi的分布列.$

Solution:
$由(2)得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率 P_{3}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$
$易知 \xi 的可能取值为0，1，2，3，$
$P(\xi=0)=\frac{7}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}=\frac{7}{72}，$
$P(\xi=1)=\frac{7}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{5}{9}+\frac{9}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}+\frac{7}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}=\frac{11}{32}，$
$P(\xi=2)=\frac{9}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}+\frac{9}{16}\times\frac{5}{9}\times\frac{1}{2}+\frac{7}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{5}{9}=\frac{29}{72}，$
$P(\xi=3)=\frac{9}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{5}{9}=\frac{5}{32}，$
$因此，\xi的分布列为$

| \xi    | 0     | 1     | 2  | 3  |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P    | $\frac{7}{72}$ | $\frac{11}{32}$ | $\frac{29}{72}$ | $\frac{5}{32}$ |

Final answer: $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
P & \frac{7}{72} & \frac{11}{32} & \frac{29}{72} & \frac{5}{32} \\
\hline
\end{array}
$$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球.
$甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的数学期望.$

Solution:
$依题意得X的取值为2，3，4，5，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{15}，$
$X=3，就是前两个球中1个是红球，1个是白球，第3个是红球，则P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{2}{15}，$
$X=4，就是前三个球中2个是白球，1个是红球，第4个是红球，或前四个全是白球，$
$则P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3}+\frac{\mathrm{C}^4_4}{\mathrm{C}^4_6}=\frac{4}{15}，$
$X=5，就是前四个球中3个是白球，1个是红球，第5个是红球，或前四个球中3个是白球，1个是红球，第5个是白球，$
$则P(X=5)=\frac{\mathrm{C}^3_4 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^4_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_2}+\frac{\mathrm{C}^3_4 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^4_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_2}=\frac{8}{15}. $
$所以X的分布列为$

| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-----|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{8}{15}$ |

$数学期望E(X)=2\times \frac{1}{15}+3\times \frac{2}{15}+4\times \frac{4}{15}+5\times \frac{8}{15}=\frac{64}{15}.$



Final answer: $\frac{64}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球.
$甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和数学期望.$

Solution:
$依题意得X的取值为2，3，4，5，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{15}，$
$X=3，就是前两个球中1个是红球，1个是白球，第3个是红球，则P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_4}=\frac{2}{15}，$
$X=4，就是前三个球中2个是白球，1个是红球，第4个是红球，或前四个全是白球，$
$则P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_3}+\frac{\mathrm{C}^4_4}{\mathrm{C}^4_6}=\frac{4}{15}，$
$X=5，就是前四个球中3个是白球，1个是红球，第5个是红球，或前四个球中3个是白球，1个是红球，第5个是白球，$
$则P(X=5)=\frac{\mathrm{C}^3_4 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^4_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_2}+\frac{\mathrm{C}^3_4 \cdot \mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^4_6}\cdot \frac{\mathrm{C}^1_1}{\mathrm{C}^1_2}=\frac{8}{15}. $
$所以X的分布列为$

| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-----|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{8}{15}$ |

$数学期望E(X)=2\times \frac{1}{15}+3\times \frac{2}{15}+4\times \frac{4}{15}+5\times \frac{8}{15}=\frac{64}{15}.$

Final answer: $X的分布列为$

| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-----|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{8}{15}$ |

$数学期望E(X)=\frac{64}{15}.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)。$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
$由题意得，b^2=1,c=1.所以a^2=b^2+c^2=2.所以椭圆C的方程为 \frac{x^2}{2}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 过点 A (0,1)，且离心率为 \frac{\sqrt{3}}{2}.$

<img_2961>
求椭圆C的方程；

Solution:
$\because 椭圆i:{x^2}{a^2}+{y^2}{b^2}=1(a>b>0)过点A(0,1)，即\frac{1}{b^2}=1，\therefore b=1。$
$\because e={c}{a}={\sqrt{3}}{2}，又a^2-b^2=c^2，\therefore a=2，$



$\therefore 椭圆i的方程为\frac{x^2}{4}+y^2=1$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 过点 A (0,1)，且离心率为 \frac{\sqrt{3}}{2}.$

![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611251148337153/img/compression/M_dcd55c3f33058c32374df8adbf87b76e.jpg)
求椭圆C的方程；

Solution:
$\because 椭圆i:{x^2}{a^2}+{y^2}{b^2}=1(a>b>0)过点A(0,1)，即\frac{1}{b^2}=1，\therefore b=1。$
$\because e={c}{a}={\sqrt{3}}{2}，又a^2-b^2=c^2，\therefore a=2，$



$\therefore 椭圆i的方程为\frac{x^2}{4}+y^2=1$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)过点\left(1,\frac{\sqrt{6}}{3}\right)，过其右焦点F_2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|=\frac{2\sqrt{3}}{3}．$
求椭圆C的方程；

Solution:
$由题意知，椭圆C过点(1,\frac{\sqrt{6}}{3})和(c,\frac{\sqrt{3}}{3})，$

$所以\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a^2}+\frac{2}{3b^2}=1,\\ \frac{c^2}{a^2}+\frac{1}{3b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a^2=3,\\ b^2=1,\end{matrix}\right.$

$所以椭圆C的方程为\frac{x^2}{3}+y^2=1．$

Final answer: $\frac{x^2}{3}+y^2=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

Solution:
$记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B_j(j=1,2,3).X的所有可能取值为0，10，20，30.$

$则P(X=0)=P(\overline{B}_1\overline{B}_2\overline{B}_3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}，$

$P(X=10)=P(B_1\overline{B}_2\overline{B}_3)+P(\overline{B}_1B_2\overline{B}_3)+P(\overline{B}_1\overline{B}_2B_3)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{11}{25}，$

$P(X=20)=P(B_1B_2\overline{B}_3)+P(B_1\overline{B}_2B_3)+P(\overline{B}_1B_2B_3)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{17}{50}，$

$P(X=30)=P(B_1B_2B_3)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{50}.$

$\therefore X的分布列为$

| $X$ | 0         | 10         | 20         | 30         |
|---------- |-------------| -------------|-------------|-------------|
| $P$      | $\frac{4}{25}$ | $\frac{11}{25}$ | $\frac{17}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |

$\therefore E(X)=0\times \frac{4}{25}+10\times \frac{11}{25}+20\times \frac{17}{50}+30\times \frac{3}{50}=13.$

Final answer: $X的分布列为$

| $X$  | 0              | 10              | 20              | 30             |
| ---- | -------------- | --------------- | --------------- | -------------- |
| $P$  | $\frac{4}{25}$ | $\frac{11}{25}$ | $\frac{17}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |

$E(X)=13.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
用X表示乙学校的总得分，求X的期望.

Solution:
$记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B_j(j=1,2,3).X的所有可能取值为0，10，20，30.$

$则P(X=0)=P(\overline{B}_1\overline{B}_2\overline{B}_3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}，$

$P(X=10)=P(B_1\overline{B}_2\overline{B}_3)+P(\overline{B}_1B_2\overline{B}_3)+P(\overline{B}_1\overline{B}_2B_3)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{11}{25}，$

$P(X=20)=P(B_1B_2\overline{B}_3)+P(B_1\overline{B}_2B_3)+P(\overline{B}_1B_2B_3)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{17}{50}，$

$P(X=30)=P(B_1B_2B_3)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{50}.$

$\therefore X的分布列为$

| $X$ | 0         | 10         | 20         | 30         |
|---------- |-------------| -------------|-------------|-------------|
| $P$      | $\frac{4}{25}$ | $\frac{11}{25}$ | $\frac{17}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |

$\therefore E(X)=0\times \frac{4}{25}+10\times \frac{11}{25}+20\times \frac{17}{50}+30\times \frac{3}{50}=13.$



Final answer: $13$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=xlnx+kx，k \in R.$
求y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；

Solution:
$函数y=f(x)的定义域为(0,+\infty )， f'(x)=ln x+1+k， f'(1)=1+k，$
$\because f(1)=k，\therefore 所求切线方程为y- k=(k+1)(x-1)，即y=(k+1)x-1.$

Final answer: $y=(k+1)x-1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x -ax (a \in R).$
$当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；$

Solution:
$当a=1时， f(x)=lnx-x， f'(x)=\frac{1-x}{x}，$
$故f(1)=-1， f'(1)=0，$
$故切线方程是y+1=0，即y=-1.$

Final answer: $y=-1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^2e^{x}-1，g(x)=e^{x}-ax，a \in R.$
$求曲线 y = f(x) 在点(0， f(0))处的切线方程；$

Solution:
$由题意得， f'(x) = (2x+x^2) e^x.$

$所以f(0) = -1， f'(0) = 0.$

$所以曲线y = f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为y = -1.$

Final answer: $y = -1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=ax^2+bx+4lnx 的极值点为1和2.$
$求实数a，b的值.$

Solution:
$f'(x) = 2ax + b + \frac{4}{x}, x \in (0, +\infty), $

$由 \begin{cases} f'(1) = 2a + b + 4 = 0, \\ f'(2) = 4a + b + 2 = 0, \end{cases} 解得 \begin{cases} a=1, \\ b=-6. \end{cases}$

Final answer: $a=1, b=-6$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{3x+4}{x^2+1}.$
$求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；$

Solution:
$因为 f'(x)=\frac{3-8x-3x^2}{(x^2+1)^2}，所以 f'(0)=3，$
$又 f(0)=4，所以点(0， f(0))处的切线方程为 y-4=3x，即 3x-y+4=0.$

Final answer: $3x-y+4=0$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^3+klnx(k\in R)， f'(x)为f(x)的导函数.$
$当k=6时，求曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程；$

Solution:
$当k=6时, f(x)=x^3+6lnx，故f'(x)=3x^2+\frac{6}{x}. 可得f(1)=1， f'(1)=9，所以曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1)，即y=9x-8.$

Final answer: $y=9x-8$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x-1)e^{x}-\frac{1}{2}ax^{2}(a \in \mathbb{R}).$
$当a=0时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；$

Solution:
$当a=0时， f(x)=(x-1)e^{x}， f'(x)=xe^{x}，切点为(0，-1)，f'(0)=0.$
$所求切线方程为y=-1.$

Final answer: $y=-1$