di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=\frac{1}{2}AD，\angle BAD=ABC=90^\circ ，E是PD的中点.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610440640778243/img/compression/M_ac5b554fd278dbf4d0fd9c6033b7481e.jpg)
$点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45^\circ ，求二面角M-AB-D的余弦值.$

Solution:
$由已知得BA\perp AD，以A为坐标原点，\overrightarrow{AB}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{AB}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，\sqrt{3})，则\overrightarrow{PC}=(1，0，-\sqrt{3})，\overrightarrow{AB}=(1，0，0).$

$设M(x,y,z)(0<x<1)，则\overrightarrow{BM}=(x-1,y,z)，\overrightarrow{PM}=(x,y-1,z-\sqrt{3}).因为BM与底面ABCD所成的角为45^\circ ，$

而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量，

$所以|\cos \langle \overrightarrow{BM}，n\rangle |=\sin  45^\circ ，即\frac{|z|}{\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$即(x-1)^2+y^2-z^2=0.$

①

$又M在棱PC上，设\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}，则$

$x=\lambda ,y=1,z=\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda .$

②

$由①,②解得\left\{\begin{matrix}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2},\\ y=1,\\ z=-\frac{\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.(舍去)，或\left\{\begin{matrix}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2},\\ y=1,\\ z=\frac{\sqrt{6}}{2},\end{matrix}\right.，$

$所以M\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)，从而\overrightarrow{AM}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$

设m=(x_0,y_0,z_0)是平面ABM的法向量，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AM}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}(2-\sqrt{2})x_0+2y_0+\sqrt{6}z_0=0,\\ x_0=0,\end{matrix}\right.$

$所以可取m=(0,-\sqrt{6},2).$

$于是\cos \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$

易知所求二面角为锐二面角.

$因此二面角M-AB-D的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

![图象](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610441282506753/img/compression/M_b3f6db36a82d0fd28304acd78f26b2b4.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=\frac{1}{2}AD，\angle BAD=ABC=90^\circ ，E是PD的中点.$

<img_392>
$点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45^\circ ，求二面角M-AB-D的余弦值.$

Solution:
$由已知得BA\perp AD，以A为坐标原点，\overrightarrow{AB}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{AB}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，\sqrt{3})，则\overrightarrow{PC}=(1，0，-\sqrt{3})，\overrightarrow{AB}=(1，0，0).$

$设M(x,y,z)(0<x<1)，则\overrightarrow{BM}=(x-1,y,z)，\overrightarrow{PM}=(x,y-1,z-\sqrt{3}).因为BM与底面ABCD所成的角为45^\circ ，$

而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量，

$所以|\cos \langle \overrightarrow{BM}，n\rangle |=\sin  45^\circ ，即\frac{|z|}{\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$即(x-1)^2+y^2-z^2=0.$

①

$又M在棱PC上，设\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}，则$

$x=\lambda ,y=1,z=\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda .$

②

$由①,②解得\left\{\begin{matrix}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2},\\ y=1,\\ z=-\frac{\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.(舍去)，或\left\{\begin{matrix}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2},\\ y=1,\\ z=\frac{\sqrt{6}}{2},\end{matrix}\right.，$

$所以M\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right)，从而\overrightarrow{AM}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$

设m=(x_0,y_0,z_0)是平面ABM的法向量，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AM}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.，即\left\{\begin{matrix}(2-\sqrt{2})x_0+2y_0+\sqrt{6}z_0=0,\\ x_0=0,\end{matrix}\right.$

$所以可取m=(0,-\sqrt{6},2).$

$于是\cos \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$

易知所求二面角为锐二面角.

$因此二面角M-AB-D的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.$

<img_80>

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD\parallel BC，AD\perp AB，侧面PAB\perp 底面ABCD，PA=PB=AD=\frac{1}{2}BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610442276556802/img/compression/M_7ab219725c44295ef41714e14b8f4507.jpg)
$若直线PF与平面PAB所成的角为60^\circ ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$\because 平面PAB\perp 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD＝AB，AD\subset 平面ABCD，AD\perp AB，\therefore AD\perp 平面PAB，取AB的中点G，连接FG，则FG\parallel AD，则FG\perp 平面PAB，$
$\therefore \angle GPF为直线PF与平面PAB所成的角，即\angle GPF＝60^\circ ，\because tan 60^\circ = \frac{FG}{PG} ，FG＝3，则PG＝ \sqrt{3} ，\therefore AG＝GB＝1，则AB＝2.如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0, \sqrt{3} )，C(1,4,0)，D(-1,2,0)，$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610442276556802/img/compression/M_e0f8123ebd606a097d2391a2ebe156ec.jpg)
$\therefore  \overrightarrow{PC} ＝(1,4,- \sqrt{3} )， \overrightarrow{CD} ＝(-2,-2,0)，$
$设平面PCD的法向量为 n_1＝(x,y,z)$，
$则 \left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ {\boldsymbol{n}_1} \cdot \overrightarrow{CD}=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}x+4y-\sqrt{3}z=0,\\ -2x-2y=0,\end{matrix}\right. $
$令y＝1，则 n_1＝(-1,1, \sqrt{3} )，$
易知平面PAB的一个法向量为 $n_2＝(0,1,0)，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为\theta $，
$\therefore cos \theta ＝ \left|\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\right| ＝ \frac{1}{\sqrt{5}} ＝ \frac{\sqrt{5}}{5} ，即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 \frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD\parallel BC，AD\perp AB，侧面PAB\perp 底面ABCD，PA=PB=AD=\frac{1}{2}BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点.$

<img_1889>
$若直线PF与平面PAB所成的角为60^\circ ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$\because 平面PAB\perp 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD＝AB，AD\subset 平面ABCD，AD\perp AB，\therefore AD\perp 平面PAB，取AB的中点G，连接FG，则FG\parallel AD，则FG\perp 平面PAB，$
$\therefore \angle GPF为直线PF与平面PAB所成的角，即\angle GPF＝60^\circ ，\because tan 60^\circ = \frac{FG}{PG} ，FG＝3，则PG＝ \sqrt{3} ，\therefore AG＝GB＝1，则AB＝2.如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0, \sqrt{3} )，C(1,4,0)，D(-1,2,0)，$
<img_1811>
$\therefore  \overrightarrow{PC} ＝(1,4,- \sqrt{3} )， \overrightarrow{CD} ＝(-2,-2,0)，$
$设平面PCD的法向量为 n_1＝(x,y,z)$，
$则 \left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ {\boldsymbol{n}_1} \cdot \overrightarrow{CD}=0,\end{matrix}\right. 即 \left\{\begin{matrix}x+4y-\sqrt{3}z=0,\\ -2x-2y=0,\end{matrix}\right. $
$令y＝1，则 n_1＝(-1,1, \sqrt{3} )，$
易知平面PAB的一个法向量为 $n_2＝(0,1,0)，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为\theta $，
$\therefore cos \theta ＝ \left|\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\right| ＝ \frac{1}{\sqrt{5}} ＝ \frac{\sqrt{5}}{5} ，即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 \frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，M为PD的中点，N为BC的中点.

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610443572596737/img/compression/M_d3dbbe623bb931acc1eccd378787e966.jpg)
$当AM \perp PC时，求平面MND与平面PCD夹角的余弦值.$

Solution:
$在正三角形PAD中，M为PD的中点，\therefore AM\perp PD，$
又$\because AM\perp PC，PC\cap PD=P,PC，PD\subset 平面PDC，$
$\therefore AM\perp 平面PDC，\because CD\subset 平面PCD，\therefore AM\perp DC.$
$在正方形ABCD中，AD\perp DC，又AM\cap AD=A,AM，AD\subset 平面PAD，\therefore DC\perp 平面PAD，$
$\because CD\subset 平面ABCD，\therefore 平面ABCD\perp 平面PAD，取AD的中点O，连接OP，ON，易证OP，ON，OD两两垂直.$

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610445023825922/img/compression/M_b42dc866bd560609f499f03606a3cfd3.jpg)

$设AD＝2，则D(0,1,0)，N(2,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,\sqrt{3})，M\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$
$则\overrightarrow{DM}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{DN}=(2,-1,0)，\overrightarrow{DP}=(0,-1,\sqrt{3})，\overrightarrow{DC}=(2,0,0)，$

设平面MND的法向量为n=(x,y,z)，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DM}=-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DN}=2x-y=0,\end{matrix}\right.， 令y=1，则n=\left(\frac{1}{2},1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，$

设平面PCD的法向量为m=(x',y',z')，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=-y'+\sqrt{3}z'=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DC}=2x'=0,\end{matrix}\right. 令y'=1，则m=\left(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，$

$\therefore |cos\langle m，n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{1+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{3}} \times \sqrt{1+\frac{1}{3}}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}，\therefore 平面MND与平面PCD夹角的余弦值为\frac{4\sqrt{19}}{19}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{19}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，M为PD的中点，N为BC的中点.

<img_340>
$当AM \perp PC时，求平面MND与平面PCD夹角的余弦值.$

Solution:
$在正三角形PAD中，M为PD的中点，\therefore AM\perp PD，$
又$\because AM\perp PC，PC\cap PD=P,PC，PD\subset 平面PDC，$
$\therefore AM\perp 平面PDC，\because CD\subset 平面PCD，\therefore AM\perp DC.$
$在正方形ABCD中，AD\perp DC，又AM\cap AD=A,AM，AD\subset 平面PAD，\therefore DC\perp 平面PAD，$
$\because CD\subset 平面ABCD，\therefore 平面ABCD\perp 平面PAD，取AD的中点O，连接OP，ON，易证OP，ON，OD两两垂直.$

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
<img_25>

$设AD＝2，则D(0,1,0)，N(2,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,\sqrt{3})，M\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，$
$则\overrightarrow{DM}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\overrightarrow{DN}=(2,-1,0)，\overrightarrow{DP}=(0,-1,\sqrt{3})，\overrightarrow{DC}=(2,0,0)，$

设平面MND的法向量为n=(x,y,z)，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DM}=-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DN}=2x-y=0,\end{matrix}\right.， 令y=1，则n=\left(\frac{1}{2},1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，$

设平面PCD的法向量为m=(x',y',z')，

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=-y'+\sqrt{3}z'=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DC}=2x'=0,\end{matrix}\right. 令y'=1，则m=\left(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)，$

$\therefore |cos\langle m，n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{1+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{3}} \times \sqrt{1+\frac{1}{3}}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}，\therefore 平面MND与平面PCD夹角的余弦值为\frac{4\sqrt{19}}{19}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{19}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 所在平面垂直，M是 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 上异于C，D的点.$
![19GZTLSX11.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610445841715203/img/compression/M_39256a3ec97e7c0575716accdc935b47.jpg)
$当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.$

Solution:
$以D为坐标原点，\overrightarrow{DA}的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0，0，0). 当三棱锥M-ABC体积最大时，M为\overset{\LARGE{\frown}}{CD}的中点.由题设得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，则\overrightarrow{AM}=(-2，1，1)，\overrightarrow{AB}=(0，2，0)，\overrightarrow{DA}=(2，0，0). 设\boldsymbol{n}=(x，y，z)是平面MAB的法向量，则$

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AM}=0, \\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
-2x+y+z=0,\\
2y=0,
\end{cases}
$$

$可取\boldsymbol{n}=(1，0，2). \overrightarrow{DA}是平面MCD的法向量，$

$因此cos\langle \boldsymbol{n}，\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DA}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{DA}|}=\frac{\sqrt{5}}{5}，sin\langle \boldsymbol{n}，\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{2\sqrt{5}}{5}. $

$所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610446508609538/img/compression/M_95c8831dd4e9fc73696539abcd47d177.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 所在平面垂直，M是 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 上异于C，D的点.$
<img_2074>
$当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.$

Solution:
$以D为坐标原点，\overrightarrow{DA}的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0，0，0). 当三棱锥M-ABC体积最大时，M为\overset{\LARGE{\frown}}{CD}的中点.由题设得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，则\overrightarrow{AM}=(-2，1，1)，\overrightarrow{AB}=(0，2，0)，\overrightarrow{DA}=(2，0，0). 设\boldsymbol{n}=(x，y，z)是平面MAB的法向量，则$

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AM}=0, \\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
-2x+y+z=0,\\
2y=0,
\end{cases}
$$

$可取\boldsymbol{n}=(1，0，2). \overrightarrow{DA}是平面MCD的法向量，$

$因此cos\langle \boldsymbol{n}，\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DA}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{DA}|}=\frac{\sqrt{5}}{5}，sin\langle \boldsymbol{n}，\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{2\sqrt{5}}{5}. $

$所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

<img_1822>

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.$
<img_1691>
在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.

Solution:
$在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.$

$理由如下：由已知可得PB\perp PA，PB\perp PC，$

$又EF\parallel PB，所以EF\perp PA，EF\perp PC，又PA\cap PC=P，因此EF\perp 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.$

$连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=\frac{2}{3} CG.$

$由题设可得PC\perp 平面PAB，DE\perp 平面PAB，所以DE\parallel PC，因此PE=\frac{2}{3} PG，DE=\frac{1}{3} PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=2\sqrt{2}.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2，$

$所以四面体PDEF的体积V=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}. $

<img_1714>

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.$
![17GZTWS12.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610524208091140/img/compression/M_05f79eda2361e9a6a41f0593e519b0be.jpg)
在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.

Solution:
$在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.$

$理由如下：由已知可得PB\perp PA，PB\perp PC，$

$又EF\parallel PB，所以EF\perp PA，EF\perp PC，又PA\cap PC=P，因此EF\perp 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.$

$连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=\frac{2}{3} CG.$

$由题设可得PC\perp 平面PAB，DE\perp 平面PAB，所以DE\parallel PC，因此PE=\frac{2}{3} PG，DE=\frac{1}{3} PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=2\sqrt{2}.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2，$

$所以四面体PDEF的体积V=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}. $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610524686241794/img/compression/M_9dd1fbf8611b06b351aaacb1b8ac27ec.jpg)

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AD\parallel BC且AD=2BC，AD\perp CD，EG\parallel AD且EG=AD，CD\parallel FG且CD=2FG，DG\perp 平面ABCD，DA=DC=DG=2。$
<img_241>
$求二面角E-BC-F的正弦值；$

Solution:
$依题意，可得 \overrightarrow{BC}=(-1，0，0)，\overrightarrow{BE}=(1，-2，2)，\overrightarrow{CF}=(0，-1，2).$

设 n=(x_1,y_1,z_1) 为平面 BCE 的法向量，则

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
-x_1=0,\\ 
x_1-2y_1+2z_1=0,
\end{matrix}
\right.
$$

不妨令 z_1=1，可得 n=(0,1,1).

设 $m=(x_2,y_2,z_2) 为平面 BCF 的法向量，则$

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ 
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CF}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即 

$$
\left\{
\begin{matrix}
-x_2=0,\\ 
-y_2+2z_2=0,
\end{matrix}
\right.
$$

$不妨令 z_2=1, 可得 m=(0,2,1).$

$因此有 cos\langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3\sqrt{10}}{10} ，$

$于是 sin\langle m,n\rangle =\frac{\sqrt{10}}{10} .$

$所以二面角 E-BC-F 的正弦值为 \frac{\sqrt{10}}{10} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AD\parallel BC且AD=2BC，AD\perp CD，EG\parallel AD且EG=AD，CD\parallel FG且CD=2FG，DG\perp 平面ABCD，DA=DC=DG=2。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610526569484290/img/compression/M_d62337ba9d2219b56f1c5c24d982b70a.jpg)
$求二面角E-BC-F的正弦值；$

Solution:
$依题意，可得 \overrightarrow{BC}=(-1，0，0)，\overrightarrow{BE}=(1，-2，2)，\overrightarrow{CF}=(0，-1，2).$

设 n=(x_1,y_1,z_1) 为平面 BCE 的法向量，则

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
-x_1=0,\\ 
x_1-2y_1+2z_1=0,
\end{matrix}
\right.
$$

不妨令 z_1=1，可得 n=(0,1,1).

设 $m=(x_2,y_2,z_2) 为平面 BCF 的法向量，则$

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ 
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CF}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即 

$$
\left\{
\begin{matrix}
-x_2=0,\\ 
-y_2+2z_2=0,
\end{matrix}
\right.
$$

$不妨令 z_2=1, 可得 m=(0,2,1).$

$因此有 cos\langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3\sqrt{10}}{10} ，$

$于是 sin\langle m,n\rangle =\frac{\sqrt{10}}{10} .$

$所以二面角 E-BC-F 的正弦值为 \frac{\sqrt{10}}{10} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD, PA=AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610527899078659/img/compression/M_3aa6de5a86d41cbb6e44a0b58230f0a2.jpg)
$已知二面角P-AB-D的大小为60^\circ ，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.$

Solution:
$在\triangle ABD中，AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，$
$则AD^2 + AB^2 = BD^2，则\angle BAD=90^\circ ，即BA\perp AD，$
$sin\angle BDA=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore \angle BDC=\angle BDA=60^\circ ,则CD=8，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,平面PAD\cap 平面ABCD=AD，BA\subset 平面ABCD，\therefore BA\perp 平面PAD，则BA\perp PA，$
$\therefore \angle PAD为二面角P-AB-D的平面角，$
$\therefore \angle PAD=60^\circ ，又PA=AD=2，\therefore \triangle PAD为等边三角形，取AD的中点为O，连接OP，则OP\perp AD,OP\perp 平面ABCD,如图，建立空间直角坐标系，$
$则A(1,0,0),B(1,2\sqrt{3},0),C(-5,4\sqrt{3},0),D(-1,0,0),P(0,0,\sqrt{3})，所以\overrightarrow{DP}=(1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{BD}=(-2,-2\sqrt{3},0),\overrightarrow{DC}=(-4,4\sqrt{3},0)，$
$设m=(x_1,y_1,z_1)为平面PBD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1+\sqrt{3}z_1=0,\\ -2x_1-2\sqrt{3}y_1=0,\end{matrix}\right.$
$取y_1=-1，则m=(\sqrt{3},-1,-1)，$
$设n=(x_2,y_2,z_2)为平面PCD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2+\sqrt{3}z_2=0,\\ -4x_2+4\sqrt{3}y_2=0,\end{matrix}\right.$
$取y_2=1，则n=(\sqrt{3},1,-1)，$
$设平面PBD和平面PCD的夹角为\theta ,则cos \theta =|cos\langle m,n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{3}{5}，故平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值为\frac{3}{5}.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610528935071745/img/compression/M_fe8df11d861da0cf3dc83c4ee7a0c63e.jpg)

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD, PA=AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC.$
<img_1791>
$已知二面角P-AB-D的大小为60^\circ ，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.$

Solution:
$在\triangle ABD中，AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，$
$则AD^2 + AB^2 = BD^2，则\angle BAD=90^\circ ，即BA\perp AD，$
$sin\angle BDA=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore \angle BDC=\angle BDA=60^\circ ,则CD=8，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,平面PAD\cap 平面ABCD=AD，BA\subset 平面ABCD，\therefore BA\perp 平面PAD，则BA\perp PA，$
$\therefore \angle PAD为二面角P-AB-D的平面角，$
$\therefore \angle PAD=60^\circ ，又PA=AD=2，\therefore \triangle PAD为等边三角形，取AD的中点为O，连接OP，则OP\perp AD,OP\perp 平面ABCD,如图，建立空间直角坐标系，$
$则A(1,0,0),B(1,2\sqrt{3},0),C(-5,4\sqrt{3},0),D(-1,0,0),P(0,0,\sqrt{3})，所以\overrightarrow{DP}=(1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{BD}=(-2,-2\sqrt{3},0),\overrightarrow{DC}=(-4,4\sqrt{3},0)，$
$设m=(x_1,y_1,z_1)为平面PBD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1+\sqrt{3}z_1=0,\\ -2x_1-2\sqrt{3}y_1=0,\end{matrix}\right.$
$取y_1=-1，则m=(\sqrt{3},-1,-1)，$
$设n=(x_2,y_2,z_2)为平面PCD的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2+\sqrt{3}z_2=0,\\ -4x_2+4\sqrt{3}y_2=0,\end{matrix}\right.$
$取y_2=1，则n=(\sqrt{3},1,-1)，$
$设平面PBD和平面PCD的夹角为\theta ,则cos \theta =|cos\langle m,n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{3}{5}，故平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值为\frac{3}{5}.$
<img_2459>

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E，F分别在棱DD_1，BB_1上，且2DE=ED_1，BF=2FB_1$
<img_227>
$若AB=2，AD=1，AA_1=3，求二面角A-EF-A_1的正弦值.$

Solution:
$由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0，1，1)，A_1(2,1,0)，\overrightarrow{AE}=(0，-1， -1)，\overrightarrow{AF}=(-2，0，-2)，\overrightarrow{A_1E}=(0，-1，2)，\overrightarrow{A_1F}=(-2，0，1).$

$设\boldsymbol{n_1}=(x,y,z)为平面AEF的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AE}=0, \\
\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AF}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-y-z=0, \\
-2x-2z=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$可取\boldsymbol{n_1}=(-1,-1,1).$

$设\boldsymbol{n_2}为平面A_1EF的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{A_1E}=0, \\
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{A_1F}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$同理可取\boldsymbol{n_2}=\left(\frac{1}{2},2,1\right).$

$因为cos\langle \boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=-\frac{\sqrt{7}}{7}，所以二面角A-EF-A1的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{7}.$

<img_100>

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E，F分别在棱DD_1，BB_1上，且2DE=ED_1，BF=2FB_1$
![21GZTLSX10.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610530721845251/img/compression/M_96ff668e6ba196b909bfa7be8108807e.jpg)
$若AB=2，AD=1，AA_1=3，求二面角A-EF-A_1的正弦值.$

Solution:
$由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0，1，1)，A_1(2,1,0)，\overrightarrow{AE}=(0，-1， -1)，\overrightarrow{AF}=(-2，0，-2)，\overrightarrow{A_1E}=(0，-1，2)，\overrightarrow{A_1F}=(-2，0，1).$

$设\boldsymbol{n_1}=(x,y,z)为平面AEF的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AE}=0, \\
\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AF}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-y-z=0, \\
-2x-2z=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$可取\boldsymbol{n_1}=(-1,-1,1).$

$设\boldsymbol{n_2}为平面A_1EF的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{A_1E}=0, \\
\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{A_1F}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$同理可取\boldsymbol{n_2}=\left(\frac{1}{2},2,1\right).$

$因为cos\langle \boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=-\frac{\sqrt{7}}{7}，所以二面角A-EF-A1的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{7}.$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610530721845251/img/compression/M_f647d8aa98bbdfbee354d25e3083f3bf.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{7}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $圆C：(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9，过点P(-1,3)向圆C引两切线，A，B为切点.$
$求\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}的值.$

Solution:
$|PC|= \sqrt{13}, |PA|= |PB|= \sqrt{PC^2-r^2} = \sqrt{13-9} = 2,$
$则sin\angle CPA= \frac{|CA|}{|PC|} = \frac{3}{\sqrt{13}}，$
$cos\angle APB=1-2sin^2\angle CPA=1-2\times  \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 =-\frac{5}{13} ，$
$\therefore \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos\angle APB=2\times 2\times  -\frac{5}{13} =-\frac{20}{13}．$

Final answer: $-\frac{20}{13}$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C的两个焦点为(-1,0),(1,0)，点A(1,\frac{3}{2})在C上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.$
$求直线l的斜率.$

Solution:
$设直线AP:y-\frac{3}{2}=k(x-1)，AQ:y-\frac{3}{2}=-k(x-1)，$

$联立\left\{\begin{matrix}y-\frac{3}{2}=k(x-1),\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\end{matrix}\right.消去y整理得(3+4k^2)x^2-(8k^2-12k)x+4k^2-12k-3=0，$

$设P(x_1,y_1),则x_1+1=\frac{8k^2-12k}{3+4k^2}\Rightarrow x_1=\frac{4k^2-12k-3}{3+4k^2}，$

$\because y_1-\frac{3}{2}=k(x_1-1)，\therefore y_1=\frac{-12k^2-12k+9}{6+8k^2}，$

$则P\left(\frac{4k^2-12k-3}{3+4k^2},\frac{-12k^2-12k+9}{6+8k^2}\right)，$

$以-k代替k，得Q\left(\frac{4k^2+12k-3}{3+4k^2},\frac{-12k^2+12k+9}{6+8k^2}\right)，$

$\therefore k_{PQ}=\frac{y_Q-y_1}{x_Q-x_1}=\frac{\frac{24k}{6+8k^2}}{\frac{24k}{3+4k^2}}=\frac{1}{2}，即直线l的斜率为\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知\sqrt{3}|OA|=2|OB|(O为原点)。$
求椭圆的离心率；

Solution:
$设椭圆的半焦距为c，\because  \sqrt{3}|OA|=2|OB|，$
$\therefore  \sqrt{3} a=2b. 又由 a^2=b^2+c^2，消去b得a^2= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + c^2，解得 \frac{c}{a}= \frac{1}{2}. \therefore 椭圆的离心率为 \frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)经过点\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)，其右焦点为F(\sqrt{3},0).$
求椭圆C的离心率；

Solution:
依题意可得
$$
\left\{\begin{matrix}c=\sqrt{3},\\ \frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.
$$
解得
$$
\left\{\begin{matrix}a=2,\\ b=1,\\ c=\sqrt{3},\end{matrix}\right.
$$
所以椭圆C的方程为
$$
\frac{x^2}{4}
$$
+ y^2 = 1，离心率e=
$$
\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$