di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m=2 000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图(a)中的图线。图(a)中，0～t_{1}时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶)，t_{1}=0.8 s；t_{1}～t_{2}时间段为刹车系统的启动时间，t_{2}=1.3 s；从t_{2}时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从t_{2}时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_ca13510979add4c30cb8e50af630a1a4.jpg)

$图(a)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_2434983d6286be95af4a14bce0937530.jpg)

$图(b)$
$求t_2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；$

Solution:
$设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v_1，则t_1时刻的速度也为v_1；t_2时刻的速度为v_2。在t_2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a。取\Delta t=1 s。设汽车在t_2+(n-1)\Delta t～t_2+n\Delta t内的位移为s_n，n=1,2,3,\ldots 。若汽车在t_2+3\Delta t～t_2+4\Delta t时间内未停止，设它在t_2+3\Delta t时刻的速度为v_3，在t_2+4\Delta t时刻的速度为v_4，由运动学公式有s_1-s_4=3a(\Delta t)^2①s_1=v_2\Delta t-\frac{1}{2}a(\Delta t)^2②v_4=v_2-4a\Delta t③联立①②③式，代入已知数据解得v_4=-\frac{17}{6} m/s④这说明在t_2+4\Delta t时刻前，汽车已经停止。因此，①式不成立。由于在t_2+3\Delta t～t_2+4\Delta t内汽车停止，由运动学公式v_3=v_2-3a\Delta t⑤2as_4=v_3^2⑥联立②⑤⑥式，代入已知数据解得$
$a=8 m/s^2,v_2=28 m/s⑦或a=\frac{288}{25} m/s^2,v_2=29.76 m/s⑧但⑧式情形下，v_3<0,不合题意，舍去。$

Final answer: $28 m/s 8 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m=2 000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图(a)中的图线。图(a)中，0～t_{1}时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶)，t_{1}=0.8 s；t_{1}～t_{2}时间段为刹车系统的启动时间，t_{2}=1.3 s；从t_{2}时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从t_{2}时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。$

<img_687>

$图(a)$

<img_1090>

$图(b)$
$求t_2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；$

Solution:
$设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v_1，则t_1时刻的速度也为v_1；t_2时刻的速度为v_2。在t_2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a。取\Delta t=1 s。设汽车在t_2+(n-1)\Delta t～t_2+n\Delta t内的位移为s_n，n=1,2,3,\ldots 。若汽车在t_2+3\Delta t～t_2+4\Delta t时间内未停止，设它在t_2+3\Delta t时刻的速度为v_3，在t_2+4\Delta t时刻的速度为v_4，由运动学公式有s_1-s_4=3a(\Delta t)^2①s_1=v_2\Delta t-\frac{1}{2}a(\Delta t)^2②v_4=v_2-4a\Delta t③联立①②③式，代入已知数据解得v_4=-\frac{17}{6} m/s④这说明在t_2+4\Delta t时刻前，汽车已经停止。因此，①式不成立。由于在t_2+3\Delta t～t_2+4\Delta t内汽车停止，由运动学公式v_3=v_2-3a\Delta t⑤2as_4=v_3^2⑥联立②⑤⑥式，代入已知数据解得$
$a=8 m/s^2,v_2=28 m/s⑦或a=\frac{288}{25} m/s^2,v_2=29.76 m/s⑧但⑧式情形下，v_3<0,不合题意，舍去。$

Final answer: $28 m/s 8 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m=2 000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图(a)中的图线。图(a)中，0～t_{1}时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶)，t_{1}=0.8 s；t_{1}～t_{2}时间段为刹车系统的启动时间，t_{2}=1.3 s；从t_{2}时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从t_{2}时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_ca13510979add4c30cb8e50af630a1a4.jpg)

$图(a)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_2434983d6286be95af4a14bce0937530.jpg)

$图(b)$
$求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t_1～t_2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少(以t_1～t_2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度)？$

Solution:
$设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f_1。由牛顿第二定律有f_1=ma$

⑨

$在t_1～t_2时间内，阻力对汽车冲量的大小为$
$I=\frac{1}{2}f_1(t_2-t_1)$

⑩

$由动量定理有I=mv_{1}-mv_{2}$

⑪

$由动能定理，在t_1～t_2时间内，汽车克服阻力做的功为$
$W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2$

⑫

联立⑦⑨⑩⑪⑫式，代入已知数据解得
$v_{1}=30 m/s$

⑬

$W=1.16\times 10^{5} J$

⑭

$从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为$
$s=v_1t_1+\frac{1}{2}(v_1+v_2)(t_2-t_1)+\frac{v_2^2}{2a}$

⑮

联立⑦⑬⑮式，代入已知数据解得
$s=87.5 m$

⑯

Final answer: $30 m/s　1.16\times 10^5 J　87.5 m$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m=2 000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图(a)中的图线。图(a)中，0～t_{1}时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶)，t_{1}=0.8 s；t_{1}～t_{2}时间段为刹车系统的启动时间，t_{2}=1.3 s；从t_{2}时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从t_{2}时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。$

<img_687>

$图(a)$

<img_1090>

$图(b)$
$求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t_1～t_2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少(以t_1～t_2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度)？$

Solution:
$设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f_1。由牛顿第二定律有f_1=ma$

⑨

$在t_1～t_2时间内，阻力对汽车冲量的大小为$
$I=\frac{1}{2}f_1(t_2-t_1)$

⑩

$由动量定理有I=mv_{1}-mv_{2}$

⑪

$由动能定理，在t_1～t_2时间内，汽车克服阻力做的功为$
$W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2$

⑫

联立⑦⑨⑩⑪⑫式，代入已知数据解得
$v_{1}=30 m/s$

⑬

$W=1.16\times 10^{5} J$

⑭

$从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为$
$s=v_1t_1+\frac{1}{2}(v_1+v_2)(t_2-t_1)+\frac{v_2^2}{2a}$

⑮

联立⑦⑬⑮式，代入已知数据解得
$s=87.5 m$

⑯



Final answer: 30,　1.16\times 10^5,　87.5 m/s, J, m
Subfield: Mechanics


Question: 一辆货车由质量为m的车头和质量为3m的车厢组成，车头和车厢受到的阻力均为各自车重的k倍。在货车沿平直公路以速度v匀速前进的过程中，某一时刻车厢突然脱落，而此时司机并没有发现故障，继续保持车头动力前进，直至脱落车厢停下时才恰好发现。于是立即刹车减速，再掉头返回，车头和车厢均可视为质点。重力加速度为g。求司机发现车厢脱落时，车头和车厢的距离。

Solution:
物理科目的题目：


$货车匀速运动过程，牵引力F=k(3m+m)g=4kmg$
$车厢脱落后，对车厢受力分析可得k\cdot 3mg=3ma_1$
$解得a_1=kg$
$车厢从脱落至停下的过程，所用时间t_1=\frac{v}{a_1}=\frac{v}{kg}$
$车厢的位移x_1=\frac{v^2}{2a_1}=\frac{v^2}{2kg}$
$在该过程中对车头受力分析可得F-kmg=ma_2$
$解得a_2=3kg$
$该过程中车头的位移x_2=vt_1+\frac{1}{2}a_2t_1^2$
$解得x_2=\frac{5v^2}{2kg}$
则司机发现车厢脱落时，车头和车厢的距离
$\Delta x=x_2-x_1=\frac{2v^2}{kg}$

Final answer: $\frac{2v^2}{kg}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图是某种机械打夯的原理示意图，OA为液压装置，能给质量为m的夯杆提供竖直方向的力，左右为两个半径均为R的摩擦传动轮，每个轮子给夯杆的压力大小均为N=2mg，运转方向如图所示。开始时液压装置对夯杆提供大小恒为F_1=3mg的向上拉力，摩擦传动轮匀速转动的角速度为\omega ，摩擦传动轮与夯杆之间的动摩擦因数\mu =0.5，在液压装置和摩擦传动轮的作用下，夯杆从静止开始向上运动。某时刻，夯杆的速度与摩擦传动轮边缘线速度相等,该时刻之后的运动过程中摩擦传动轮不再对夯杆提供压力和摩擦力，且液压装置开始提供大小恒为F_2=3mg的向下压力，直到夯杆落地。不计空气阻力，取重力加速度为g，求:$

<img_1400>
夯杆落地前瞬间的速度大小。

Solution:
$夯杆向下运动过程中，有a_3=a_2$

$v_2^3=2a_3h$

$联立解得v_3=\sqrt{2}\omega R$



Final answer: $\sqrt{2} \omega R$
Subfield: Mechanics


Question: $如图是某种机械打夯的原理示意图，OA为液压装置，能给质量为m的夯杆提供竖直方向的力，左右为两个半径均为R的摩擦传动轮，每个轮子给夯杆的压力大小均为N=2mg，运转方向如图所示。开始时液压装置对夯杆提供大小恒为F_1=3mg的向上拉力，摩擦传动轮匀速转动的角速度为\omega ，摩擦传动轮与夯杆之间的动摩擦因数\mu =0.5，在液压装置和摩擦传动轮的作用下，夯杆从静止开始向上运动。某时刻，夯杆的速度与摩擦传动轮边缘线速度相等,该时刻之后的运动过程中摩擦传动轮不再对夯杆提供压力和摩擦力，且液压装置开始提供大小恒为F_2=3mg的向下压力，直到夯杆落地。不计空气阻力，取重力加速度为g，求:$

![夯杆原理示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255256880017410/img/compression/M_2c89bd2955fe6c00c32c69c7ae36f826.jpg)
夯杆落地前瞬间的速度大小。

Solution:
$夯杆向下运动过程中，有a_3=a_2$

$v_2^3=2a_3h$

$联立解得v_3=\sqrt{2}\omega R$

Final answer: $\sqrt{2} \omega R$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

<img_1159>
最初4 s物块A的加速度大小；

Solution:
$设物块A与木板B恰好发生相对运动时，拉力为F_{0}，对A、B整体有F_{0}-\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a$

$对A有F_{0}-\mu _{1}Mg=Ma$

$联立解得F_{0}=12 N$

$故当F=9 N<F_{0}时，物块A相对于木板B静止，对A、B整体有F-\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a_{1}，可得a_{1}=0.5 m/s^{2}$

Final answer: $0.5 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255257525940226/img/compression/M_5223e1d032a06fc9a138c3bce4e58ed9.jpg)
最初4 s物块A的加速度大小；

Solution:
$设物块A与木板B恰好发生相对运动时，拉力为F_{0}，对A、B整体有F_{0}-\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a$

$对A有F_{0}-\mu _{1}Mg=Ma$

$联立解得F_{0}=12 N$

$故当F=9 N<F_{0}时，物块A相对于木板B静止，对A、B整体有F-\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a_{1}，可得a_{1}=0.5 m/s^{2}$

Final answer: $0.5 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255257525940226/img/compression/M_5223e1d032a06fc9a138c3bce4e58ed9.jpg)
时间t为多少；

Solution:
$第4 s末物块A和木板B的速度为v_0=a_1t_0=2 m/s$

$当F=16 N>F_0时，物块A相对于木板B运动$

$对A有F-\mu_1Mg=Ma_{Ai}$

$对B有\mu_1Mg-\mu_2(M+m)g=ma_{Bi}$

$可得a_{Ai}=2 m/s^2，a_{Bi}=1 m/s^2$

$经时间t后，v_{Ai}=v_0+a_{Ai}t=2+2t，v_{Bi}=v_0+a_{Bi}t=2+t$

$时间t内，A的位移x_{A1}=v_0t+\frac{1}{2}a_{Ai}t^2=2t+t^2$

$撤去拉力后，对A有\mu_1Mg=Ma_{A'}，a_{Ai}'=2 m/s^2$

$对B有\mu_1Mg-\mu_2(M+m)g=ma_{Bi}'，a_{Bi}'=a_{Bi}=1 m/s^2$

物块A最终恰好没从木板B上掉落，即物块A运动到木板B的右端时二者共速

$设再经t'后A与B共速，有v_{Ai}-a_{Ai}'t'=v_{Bi}+a_{Bi}'t'$

$可得t'=\frac{1}{3}t$

$时间t'内，A的位移x_{A2}=v_{Ai}\cdot t'-\frac{1}{2}a_{Ai}'t'^2=\frac{2}{3}t+\frac{5}{9}t^2$

$则经时间t+t'，A的位移x_A=x_{A1}+x_{A2}=\frac{8}{3}t+\frac{14}{9}t^2$

$B的位移x_B= v_0(t+t')+\frac{1}{2}a_{Bi}'(t+t')^2=\frac{8}{3}t+\frac{8}{9}t^2$

$又\Delta x=x_A-x_B=\frac{2}{3}t^2=L，解得t=3 s$

Final answer: 3 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

<img_1159>
时间t为多少；

Solution:
$第4 s末物块A和木板B的速度为v_0=a_1t_0=2 m/s$

$当F=16 N>F_0时，物块A相对于木板B运动$

$对A有F-\mu_1Mg=Ma_{Ai}$

$对B有\mu_1Mg-\mu_2(M+m)g=ma_{Bi}$

$可得a_{Ai}=2 m/s^2，a_{Bi}=1 m/s^2$

$经时间t后，v_{Ai}=v_0+a_{Ai}t=2+2t，v_{Bi}=v_0+a_{Bi}t=2+t$

$时间t内，A的位移x_{A1}=v_0t+\frac{1}{2}a_{Ai}t^2=2t+t^2$

$撤去拉力后，对A有\mu_1Mg=Ma_{A'}，a_{Ai}'=2 m/s^2$

$对B有\mu_1Mg-\mu_2(M+m)g=ma_{Bi}'，a_{Bi}'=a_{Bi}=1 m/s^2$

物块A最终恰好没从木板B上掉落，即物块A运动到木板B的右端时二者共速

$设再经t'后A与B共速，有v_{Ai}-a_{Ai}'t'=v_{Bi}+a_{Bi}'t'$

$可得t'=\frac{1}{3}t$

$时间t'内，A的位移x_{A2}=v_{Ai}\cdot t'-\frac{1}{2}a_{Ai}'t'^2=\frac{2}{3}t+\frac{5}{9}t^2$

$则经时间t+t'，A的位移x_A=x_{A1}+x_{A2}=\frac{8}{3}t+\frac{14}{9}t^2$

$B的位移x_B= v_0(t+t')+\frac{1}{2}a_{Bi}'(t+t')^2=\frac{8}{3}t+\frac{8}{9}t^2$

$又\Delta x=x_A-x_B=\frac{2}{3}t^2=L，解得t=3 s$

Final answer: 3 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255257525940226/img/compression/M_5223e1d032a06fc9a138c3bce4e58ed9.jpg)
物块A最终静止时的位置与初始位置之间的距离。

Solution:
$A、B共速时，v_{AB} = v_{0} + a_{B}(t+t') = 6 m/s $

$A、B由共速至停止，有\mu _{2}(M + m)g = (M + m)a_{AB} $

$解得a_{AB} = 1 m/s^2 $

$则此过程中，二者的位移x_{AB} = \frac{v^2_{AB}}{2a_{AB}} = 18 m $

$A从开始运动至静止通过的总位移x = x_{A_0} + x_{A} + x_{AB}, 其中x_{A_0}为A前4 s的位移x_{A_0} = \frac{1}{2} a_{1} t{_0^2} = 4 m $

$x_{A} = \frac{8}{3} t + \frac{14}{9} t^2 = 22 m $

$则x = 44 m$

Final answer: 44 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A(可视为质点)的质量M=4 kg，它与木板B间的动摩擦因数\mu _1=0.2，木板B的质量m=2 kg，长L=6 m，它与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1。开始时物块A在木板B的最左端，二者均处于静止状态。现用9 N的水平拉力向右拉物块A，经过4 s后将此拉力突增为16 N，再经过时间t后撤去此拉力，物块A最终恰好没从木板B上掉落，g取10 m/s^2，求：$

<img_1159>
物块A最终静止时的位置与初始位置之间的距离。

Solution:
$A、B共速时，v_{AB} = v_{0} + a_{B}(t+t') = 6 m/s $

$A、B由共速至停止，有\mu _{2}(M + m)g = (M + m)a_{AB} $

$解得a_{AB} = 1 m/s^2 $

$则此过程中，二者的位移x_{AB} = \frac{v^2_{AB}}{2a_{AB}} = 18 m $

$A从开始运动至静止通过的总位移x = x_{A_0} + x_{A} + x_{AB}, 其中x_{A_0}为A前4 s的位移x_{A_0} = \frac{1}{2} a_{1} t{_0^2} = 4 m $

$x_{A} = \frac{8}{3} t + \frac{14}{9} t^2 = 22 m $

$则x = 44 m$

Final answer: 44 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

<img_423>
求A的质量M；

Solution:
$B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度，此时A的加速度为零，将弹簧伸长量设为x_1，则kx_1=Mg \sin \theta $
对B分析可知，此时轻绳的拉力T=mg
$因轻绳、轻弹簧不计重力，则T=kx_1$
$则mg=kx_1$
联立得M=2m

Final answer: 2m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255266201751555/img/compression/M_fcac72eff53ff8622e79ed86448fe6b9.jpg)
求A的质量M；

Solution:
$B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度，此时A的加速度为零，将弹簧伸长量设为x_1，则kx_1=Mg \sin \theta $
对B分析可知，此时轻绳的拉力T=mg
$因轻绳、轻弹簧不计重力，则T=kx_1$
$则mg=kx_1$
联立得M=2m

Final answer: 2m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

<img_423>
$已知弹簧的弹性势能E_p与形变量x的关系为E_p=\frac{1}{2}kx^2，求弹簧的劲度系数k；$

Solution:
从松手到B刚要离地过程中，A和弹簧组成的系统机械能守恒，设B刚要离地时弹簧的弹性势能为E_p，则
$(Mg \sin \theta )x_1 = \frac{1}{2} Mv^2 + E_p$
$由题意 E_p = \frac{1}{2} kx^2_1$
$解得 k = \frac{mg^2}{2v^2}$

Final answer: $\frac{mg^2}{2v^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255266201751555/img/compression/M_fcac72eff53ff8622e79ed86448fe6b9.jpg)
$已知弹簧的弹性势能E_p与形变量x的关系为E_p=\frac{1}{2}kx^2，求弹簧的劲度系数k；$

Solution:
从松手到B刚要离地过程中，A和弹簧组成的系统机械能守恒，设B刚要离地时弹簧的弹性势能为E_p，则
$(Mg \sin \theta )x_1 = \frac{1}{2} Mv^2 + E_p$
$由题意 E_p = \frac{1}{2} kx^2_1$
$解得 k = \frac{mg^2}{2v^2}$

Final answer: $\frac{mg^2}{2v^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

<img_423>
$A下滑过程中，当弹簧最长时，求A的速度大小v_1。$

Solution:
$A下滑过程中，弹簧最长时，A、B速度大小相等，均为v_1，则从B离地至弹簧最长过程中，对A、B、轻绳及轻弹簧组成的系统由动量守恒定律得Mv=(M+m)v_1<br>结合M=2m得，弹簧最长时，A的速度v_1=\frac{2}{3}v$

Final answer: $\frac{2}{3} v$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta=30^\circ 足够长的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过轻绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，B的质量为m，开始时用手按住物体A，物体B静止在地面上，滑轮两侧的轻绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，当B刚要离开地面时，A恰好达到最大速度v，空气阻力不计，重力加速度为g。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255266201751555/img/compression/M_fcac72eff53ff8622e79ed86448fe6b9.jpg)
$A下滑过程中，当弹簧最长时，求A的速度大小v_1。$

Solution:
$A下滑过程中，弹簧最长时，A、B速度大小相等，均为v_1，则从B离地至弹簧最长过程中，对A、B、轻绳及轻弹簧组成的系统由动量守恒定律得Mv=(M+m)v_1<br>结合M=2m得，弹簧最长时，A的速度v_1=\frac{2}{3}v$

Final answer: $\frac{2}{3} v$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_1139>
B被敲击后获得的初速度大小v_{B}。

Solution:
设B被敲击后经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为x_{A}、x_{B}，A加速度的大小仍等于_a_{A}
$则v=a_{A}t，v=v_{B}-a_{B}t，x_{A}= \frac{1}{2} a_{A}t^{2}，x_{B}=v_{B}t- \frac{1}{2} a_{B}t^{2}$
$且x_{B}-x_{A}=L，联立解得v_{B}=2\sqrt{2\mu gL}.$



Final answer: $2 \sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![20GZTWL120.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255269894942724/img/compression/M_4a9cb9030020e1c66140f677467530b8.jpg)
B被敲击后获得的初速度大小v_{B}。

Solution:
设B被敲击后经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为x_{A}、x_{B}，A加速度的大小仍等于_a_{A}
$则v=a_{A}t，v=v_{B}-a_{B}t，x_{A}= \frac{1}{2} a_{A}t^{2}，x_{B}=v_{B}t- \frac{1}{2} a_{B}t^{2}$
$且x_{B}-x_{A}=L，联立解得v_{B}=2\sqrt{2\mu gL}.$

Final answer: $2 \sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一个质量为0.5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.5 m，\theta =53^\circ ，小球到达A点时的速度v_A=5 m/s。取g=10 m/s^2，\cos 53^\circ  =0.6。求:$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255291694731266/img/compression/M_9ba8c2c2c2b9277bf946be4e1338798f.jpg)
$小球做平抛运动的初速度大小v_{0};$

Solution:
$由几何关系得，小球到达A点时速度方向与水平方向之间的夹角为\theta ，由P点到A点，小球做平抛运动，水平方向的分速度v_{x}=v_{A} \cos \theta ,所以v_{0}=v_{x}=3 m/s。$

Final answer: 3 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一个质量为0.5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.5 m，\theta =53^\circ ，小球到达A点时的速度v_A=5 m/s。取g=10 m/s^2，\cos 53^\circ  =0.6。求:$

<img_1220>
$小球做平抛运动的初速度大小v_{0};$

Solution:
$由几何关系得，小球到达A点时速度方向与水平方向之间的夹角为\theta ，由P点到A点，小球做平抛运动，水平方向的分速度v_{x}=v_{A} \cos \theta ,所以v_{0}=v_{x}=3 m/s。$

Final answer: 3 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一个质量为0.5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.5 m，\theta =53^\circ ，小球到达A点时的速度v_A=5 m/s。取g=10 m/s^2，\cos 53^\circ  =0.6。求:$

<img_1220>
P点与A点的水平距离。

Solution:
$小球到达A点时，竖直方向的分速度v_{y} = gt,由于\tan \theta  = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0},可得t = 0.4 s。小球做平抛运动，水平方向的位移x = v_{0} t = 1.2 m，所以P点到A点的水平距离为1.2 m。$

Final answer: 1.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一个质量为0.5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.5 m，\theta =53^\circ ，小球到达A点时的速度v_A=5 m/s。取g=10 m/s^2，\cos 53^\circ  =0.6。求:$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255291694731266/img/compression/M_9ba8c2c2c2b9277bf946be4e1338798f.jpg)
P点与A点的水平距离。

Solution:
$小球到达A点时，竖直方向的分速度v_{y} = gt,由于\tan \theta  = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0},可得t = 0.4 s。小球做平抛运动，水平方向的位移x = v_{0} t = 1.2 m，所以P点到A点的水平距离为1.2 m。$

Final answer: 1.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $体育课上，甲同学在距离地面高h_1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v_0=8.0 m/s；乙同学在离地h_2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3 kg，取重力加速度g=10 m/s^2。不计空气阻力。求：$

![23GZT5WL266.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255300623536129/img/compression/M_1105a3aab36b9681ac2c4cdc3037e30c.jpg)
$排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；$

Solution:
$设排球在空中飞行的时间为t，则h_{1}-h_{2}=\frac{1}{2}gt^{2}，得t=0.6 s$
$则排球在空中飞行的水平距离x=v_{0}t=4.8 m$

Final answer: 4.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $体育课上，甲同学在距离地面高h_1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v_0=8.0 m/s；乙同学在离地h_2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3 kg，取重力加速度g=10 m/s^2。不计空气阻力。求：$

<img_885>
$排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；$

Solution:
$设排球在空中飞行的时间为t，则h_{1}-h_{2}=\frac{1}{2}gt^{2}，得t=0.6 s$
$则排球在空中飞行的水平距离x=v_{0}t=4.8 m$

Final answer: 4.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $体育课上，甲同学在距离地面高h_1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v_0=8.0 m/s；乙同学在离地h_2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3 kg，取重力加速度g=10 m/s^2。不计空气阻力。求：$

![23GZT5WL266.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255300623536129/img/compression/M_1105a3aab36b9681ac2c4cdc3037e30c.jpg)
$排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。$

Solution:
$根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I=2mv=6.0 N\cdot s$

Final answer: $6.0 N\cdot s$
Subfield: Mechanics


Question: $体育课上，甲同学在距离地面高h_1=2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v_0=8.0 m/s；乙同学在离地h_2=0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3 kg，取重力加速度g=10 m/s^2。不计空气阻力。求：$

<img_885>
$排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。$

Solution:
$根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I=2mv=6.0 N\cdot s$



Final answer: $6.0$ N\cdot s
Subfield: Mechanics


Question: $完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L\_1=150 m，BC水平投影L_2=63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角\theta =12^\circ (\sin 12^\circ \approx 0.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t=6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m=60 kg，g=10 m/s^2，求$

<img_1287>
$舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；$

Solution:
$舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有$
$\frac{v}{2} = \frac{L_1}{t}$
①

$根据动能定理，有W = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
②

$联立①②式，代入数据，得W = 7.5\times 10^4 J$
③



Final answer: $7.5\times 10^4$ J
Subfield: Mechanics


Question: $完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L\_1=150 m，BC水平投影L_2=63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角\theta =12^\circ (\sin 12^\circ \approx 0.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t=6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m=60 kg，g=10 m/s^2，求$

![pic](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255327933517826/img/compression/M_0733ca854b81ae3278625129c82659ab.jpg)
$舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；$

Solution:
$舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有$
$\frac{v}{2} = \frac{L_1}{t}$
①

$根据动能定理，有W = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
②

$联立①②式，代入数据，得W = 7.5\times 10^4 J$
③

Final answer: $7.5\times 10^4 J$
Subfield: Mechanics


Question: $完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L\_1=150 m，BC水平投影L_2=63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角\theta =12^\circ (\sin 12^\circ \approx 0.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t=6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m=60 kg，g=10 m/s^2，求$

![pic](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255327933517826/img/compression/M_0733ca854b81ae3278625129c82659ab.jpg)
$舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力F_N多大。$

Solution:
$设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有L_2=R \sin \theta   ④$
$由牛顿第二定律，有F_N-mg=m\frac{v^2}{R}  ⑤$
$联立①④⑤式，代入数据，得F_N=1.1\times 10^3 N  ⑥$

Final answer: $1.1\times 10^3 N$
Subfield: Mechanics


Question: $完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L\_1=150 m，BC水平投影L_2=63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角\theta =12^\circ (\sin 12^\circ \approx 0.21)。若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t=6 s到达B点进入BC。已知飞行员的质量m=60 kg，g=10 m/s^2，求$

<img_1287>
$舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力F_N多大。$

Solution:
$设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有L_2=R \sin \theta   ④$
$由牛顿第二定律，有F_N-mg=m\frac{v^2}{R}  ⑤$
$联立①④⑤式，代入数据，得F_N=1.1\times 10^3 N  ⑥$



Final answer: $1.1\times 10^3$ N
Subfield: Mechanics


Question: $某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v_1=80 m/s时离开水面，该过程滑行距离L=1600 m、汲水质量m=1.0\times 10^4 kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100 m时速度达到v_2=100 m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10 m/s^2。求：$
$飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；$

Solution:
$由v_1^2=2aL得a=\frac{v^2_1}{2L}=\frac{80^2}{2\times 1600} m/s^2=2 m/s^2$

$由t=\frac{v_1-v_0}{a}得t=\frac{80-0}{2} s=40 s$

Final answer: $2 m/s^2$ $40 s$
Subfield: Mechanics


Question: $某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v_1=80 m/s时离开水面，该过程滑行距离L=1600 m、汲水质量m=1.0\times 10^4 kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100 m时速度达到v_2=100 m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10 m/s^2。求：$
$整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量\Delta E。$

Solution:
飞机汲取的水的机械能增加量

$\Delta E=mgh+\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

$代入数据解得\Delta E=2.8\times 10^7 J$



Final answer: $2.8\times 10^7$ J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,一足够长的水平传送带以速率v=3 m/s逆时针匀速转动,质量均为2 kg的物块P、Q由绕过定滑轮的轻绳连接,轻绳足够长且不可伸长,某时刻P、Q速度大小为v_0=2 m/s,P从传送带左端冲上传送带,P与定滑轮间绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数\mu =0.2,重力加速度g=10 m/s^2,不计滑轮的质量与摩擦,整个运动过程中物块Q没有上升到定滑轮处。求:$
<img_612>
物块P在传送带上运动的加速度大小。

Solution:
$物块P滑上传送带时，受到的滑动摩擦力方向向左，设加速度大小为a_1，对P和Q组成的系统，有mg+\mu mg=2ma_1，解得a_1=6 m/s^2；物块P向右的速度减为零后，P和Q一起向左加速，加速度大小为a_2=a_1=6 m/s^2，因v_0=2 m/s<v=3 m/s，则当P运动到传送带左端时还未与传送带共速，由对称性可知，物块P回到传送带左端时的速度大小仍为v_0，即物块P在传送带上运动的加速度大小始终为6 m/s^2。$

Final answer: $6 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,一足够长的水平传送带以速率v=3 m/s逆时针匀速转动,质量均为2 kg的物块P、Q由绕过定滑轮的轻绳连接,轻绳足够长且不可伸长,某时刻P、Q速度大小为v_0=2 m/s,P从传送带左端冲上传送带,P与定滑轮间绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数\mu =0.2,重力加速度g=10 m/s^2,不计滑轮的质量与摩擦,整个运动过程中物块Q没有上升到定滑轮处。求:$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255346484310018/img/compression/M_df459a4b9fb0aaf2fe874a4f8e19f12e.jpg)
物块P在传送带上运动的加速度大小。

Solution:
$物块P滑上传送带时，受到的滑动摩擦力方向向左，设加速度大小为a_1，对P和Q组成的系统，有mg+\mu mg=2ma_1，解得a_1=6 m/s^2；物块P向右的速度减为零后，P和Q一起向左加速，加速度大小为a_2=a_1=6 m/s^2，因v_0=2 m/s<v=3 m/s，则当P运动到传送带左端时还未与传送带共速，由对称性可知，物块P回到传送带左端时的速度大小仍为v_0，即物块P在传送带上运动的加速度大小始终为6 m/s^2。$

Final answer: $6 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,一足够长的水平传送带以速率v=3 m/s逆时针匀速转动,质量均为2 kg的物块P、Q由绕过定滑轮的轻绳连接,轻绳足够长且不可伸长,某时刻P、Q速度大小为v_0=2 m/s,P从传送带左端冲上传送带,P与定滑轮间绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数\mu =0.2,重力加速度g=10 m/s^2,不计滑轮的质量与摩擦,整个运动过程中物块Q没有上升到定滑轮处。求:$
<img_612>
物块P从滑上传送带到离开传送带的过程中,传送带多消耗的电能。

Solution:
$设P向右减速到零所用的时间为t_1，有t_1=\frac{v_0}{a_1}=\frac{1}{3} s， 则P从滑上传送带到离开传送带运动的时间为2t_1, 这段时间内传送带向左运动的距离为x_1=2vt_1=2 m，故物块P从滑上传送带到离开传送带的过程中，为了维持传送带匀速转动，增加的牵引力等于物块P对传送带的摩擦力，而作用在传送带上的牵引力做正功来消耗电能，则传送带多消耗的电能为\Delta E_{电}=\mu mg\cdot x_1=8 J。$

Final answer: 8 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,一足够长的水平传送带以速率v=3 m/s逆时针匀速转动,质量均为2 kg的物块P、Q由绕过定滑轮的轻绳连接,轻绳足够长且不可伸长,某时刻P、Q速度大小为v_0=2 m/s,P从传送带左端冲上传送带,P与定滑轮间绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数\mu =0.2,重力加速度g=10 m/s^2,不计滑轮的质量与摩擦,整个运动过程中物块Q没有上升到定滑轮处。求:$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255346484310018/img/compression/M_df459a4b9fb0aaf2fe874a4f8e19f12e.jpg)
物块P从滑上传送带到离开传送带的过程中,传送带多消耗的电能。

Solution:
$设P向右减速到零所用的时间为t_1，有t_1=\frac{v_0}{a_1}=\frac{1}{3} s， 则P从滑上传送带到离开传送带运动的时间为2t_1, 这段时间内传送带向左运动的距离为x_1=2vt_1=2 m，故物块P从滑上传送带到离开传送带的过程中，为了维持传送带匀速转动，增加的牵引力等于物块P对传送带的摩擦力，而作用在传送带上的牵引力做正功来消耗电能，则传送带多消耗的电能为\Delta E_{电}=\mu mg\cdot x_1=8 J。$

Final answer: 8 J
Subfield: Mechanics


Question: $如下图甲所示，质量M=1.5 kg的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物块以v_0=10 m/s的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的v-t图像如图乙所示。取重力加速度大小g=10 m/s^2，求：$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255359613095939/img/compression/M_8b9fdcc331b20dafb795309f288cf3c1.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255359613095939/img/compression/M_4ced9618f2f2b10a0def380ebe66d49f.jpg)
$小物块与木板间因摩擦产生的热量Q；$

Solution:
$由题图可知0～2 s内小物块与长木板发生相对运动，t=2 s时，小物块与长木板具有相同的速度2 m/s，之后一起做匀减速运动，连接坐标原点与图像的拐点，即为长木板0～2 s内的v-t图线，如图所示。  $
$设小物块的质量为m，小物块与长木板间的动摩擦因数为\mu _{1}，长木板与地面间的动摩擦因数为\mu _{2}，前2 s内小物块的加速度大小为a_{1}，长木板的加速度大小为a_{2}，2 s后小物块和长木板一起做匀减速直线运动的加速度大小为a_{3}  $
$对物块: \mu _{1}mg=ma_{1}  $
$对木板：\mu _{1}mg-\mu _{2}(m+M)g=Ma_{2}  $
$对整体：\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a_{3}  $
由图像可得  
$a_{1}=\frac{10-2}{2} m/s^{2}=4 m/s^{2}  $
$a_{2}=\frac{2}{2}  m/s^{2}=1 m/s^{2}  $
$a_{3}=\frac{2}{4-2} m/s^{2}=1 m/s^{2}  $
$联立解得m=1 kg，\mu _{1}=0.4，\mu _{2}=0.1  $
由图像可得，0～2 s内小物块的位移为  
$x_{1}=\frac{1}{2}\times (10+2)\times 2 m=12 m  $
$长木板的位移为x_{2}=\frac{1}{2}\times 2\times 2 m=2 m  $
小物块与木板间因摩擦产生的热量  
$Q=\mu _{1}mg(x_{1}-x_{2})=40 J  $
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255360191909891/img/compression/M_daa840f337249742e9cc3ce81625d5d2.jpg)

Final answer: 40 J