di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

<img_2853>

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
已知该地区某农民有一块土地共10亩,若该土地现种植其他农作物,年纯收入最高可达到45 000元,根据以上数据,该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

Solution:
以第(2)问的期望作为决策依据,则种植10亩此品种中药材年纯收入为5 925\times 10=59 250>45 000,所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材．

Final answer: 59250
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.
求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；

Solution:
$由题可知购买农产品A的概率为\frac{1}{3}，购买农产品B的概率为\frac{2}{3}.$
设事件C为4人中恰有1人购买农产品A，
依题可知，4人购买哪种农产品相互独立，互不影响，
$所以P(C)=C^1_4 \left(\frac{1}{3}\right)^1\times \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{32}{81}.$
(注：没有判断是不是相互独立事件，扣1分，没有设事件，扣1分，最后结果不化简，结果正确，不扣分)

Final answer: $\frac{32}{81}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.
$用\xi,\eta分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X=\xi\eta，求随机变量X的分布列与数学期望E(X).$

Solution:
由题意知，\xi 可取0,1,2,3,4，\eta 可取0,1,2,3,4，



当\xi =0时，\eta =4，表示4个人全部购买农产品B，

$概率P_1=C^0_4(\left(\frac{1}{3}\right)^0)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^4)=\frac{16}{81}$

$当\xi =1时，\eta =3，表示4个人中恰有1人购买农产品A，由(1)知概率P_2=\frac{32}{81}$

$当\xi =2时，\eta =2，表示4个人中恰有2人购买农产品A，概率P_3=C^2_4(\left(\frac{1}{3}\right)^2)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{24}{81}$

$当\xi =3时，\eta =1，表示4个人中恰有3人购买农产品A，概率P_4=C^3_4(\left(\frac{1}{3}\right)^3)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^1)=\frac{8}{81}$

$当\xi =4时，\eta =0，表示4个人全部购买农产品A，概率P_5=C^4_4(\left(\frac{1}{3}\right)^4)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^0)=\frac{1}{81}$

所以由X=\xi \eta 可知，X的可能取值为0,3,4,



$当X=0时，对应的概率为P_1+P_5=\frac{17}{81}，$

$当X=3时，对应的概率为P_2+P_4=\frac{40}{81}，$

$当X=4时，对应的概率为P_3=\frac{24}{81},$

所以随机变量X的分布列为

| X   | 0 | 3 | 4 |
| --- | - | - | - |
| P   | $\frac{17}{81}$ | $\frac{40}{81}$ | $\frac{24}{81}$ |



$所以，数学期望E(X)=0\times \frac{17}{81}+3\times \frac{40}{81}+4\times \frac{24}{81}=\frac{8}{3}$



(注：期望公式表达正确，得1分，期望值结果正确，不化简不扣分)

Final answer: X=0, \frac{17}{81}; X=3, \frac{40}{81}; X=4, \frac{24}{81}; E(X)=\frac{8}{3}
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.
$用\xi,\eta分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X=\xi\eta，求随机变量X的数学期望E(X).$

Solution:
由题意知，\xi 可取0,1,2,3,4，\eta 可取0,1,2,3,4，



当\xi =0时，\eta =4，表示4个人全部购买农产品B，

$概率P_1=C^0_4(\left(\frac{1}{3}\right)^0)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^4)=\frac{16}{81}$

$当\xi =1时，\eta =3，表示4个人中恰有1人购买农产品A，由(1)知概率P_2=\frac{32}{81}$

$当\xi =2时，\eta =2，表示4个人中恰有2人购买农产品A，概率P_3=C^2_4(\left(\frac{1}{3}\right)^2)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{24}{81}$

$当\xi =3时，\eta =1，表示4个人中恰有3人购买农产品A，概率P_4=C^3_4(\left(\frac{1}{3}\right)^3)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^1)=\frac{8}{81}$

$当\xi =4时，\eta =0，表示4个人全部购买农产品A，概率P_5=C^4_4(\left(\frac{1}{3}\right)^4)\times (\left(\frac{2}{3}\right)^0)=\frac{1}{81}$

所以由X=\xi \eta 可知，X的可能取值为0,3,4,



$当X=0时，对应的概率为P_1+P_5=\frac{17}{81}，$

$当X=3时，对应的概率为P_2+P_4=\frac{40}{81}，$

$当X=4时，对应的概率为P_3=\frac{24}{81},$

所以随机变量X的分布列为

| X   | 0 | 3 | 4 |
| --- | - | - | - |
| P   | $\frac{17}{81}$ | $\frac{40}{81}$ | $\frac{24}{81}$ |



$所以，数学期望E(X)=0\times \frac{17}{81}+3\times \frac{40}{81}+4\times \frac{24}{81}=\frac{8}{3}$



(注：期望公式表达正确，得1分，期望值结果正确，不化简不扣分)



Final answer: \frac{8}{3}
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0~500元；500~1 000元；1 000~1 500元；1 500~2 000元四个档次，针对A，B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：

|档次人群|0～500元|500～1 000元|1 000～1 500元|1 500～2 000元|
|---|---|---|---|---|
|A类|20|50|20|10|
|B类|50|30|10|10|

月均服装消费额不超过1 000元的人群视为中低消费人群，超过1 000元的视为中高收入人群.
从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；

Solution:
$设事件M为“从A类样本中任选一人，此人属于中低消费人群”，P(M)= \frac{20+50}{100} =0.7.$

Final answer: $0.7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0~500元；500~1 000元；1 000~1 500元；1 500~2 000元四个档次，针对A，B两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示：

|档次人群|0～500元|500～1 000元|1 000～1 500元|1 500～2 000元|
|---|---|---|---|---|
|A类|20|50|20|10|
|B类|50|30|10|10|

月均服装消费额不超过1 000元的人群视为中低消费人群，超过1 000元的视为中高收入人群.
从A，B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；

Solution:
设事件N为“甲的消费档次不低于乙的消费档次”，

$P(N)=\frac{5}{10}\times 1+\frac{3}{10}\times \frac{8}{10}+\frac{1}{10}\times \frac{3}{10}+\frac{1}{10}\times \frac{1}{10}=0.78.$

Final answer: $0.78$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

| 康复时间 | 只服用药物A | 只服用药物B |
| -------- | -------------- | -------------- |
| 7天内康复 | 360人           | 160人           |
| 8至14天康复 | 228人          | 200人           |
| 14天内未康复 | 12人           | 40人             |

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

Solution:
只服用药物A的患者有360+228+12=600人，且能在14天内康复的患者有360+228=588人，故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为
$\frac{588}{600}$
$= \frac{49}{50}.$

Final answer: $\frac{49}{50}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

| 康复时间 | 只服用药物A | 只服用药物B |
| -------- | -------------- | -------------- |
| 7天内康复 | 360人           | 160人           |
| 8至14天康复 | 228人          | 200人           |
| 14天内未康复 | 12人           | 40人             |

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
$从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“P_{100}(k)”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中k=0，1，2，\ldots ，100.当P_{100}(k)最大时，写出k的值.(只需写出结论)$

Solution:
$k=2.$

$详解：只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为\frac{12}{600}=\frac{1}{50}，$

$P_{100}(k)=C^k_{100}\left(\frac{1}{50}\right)^k\left(\frac{49}{50}\right)^{100-k}，k=0，1，2，\ldots ，100.$

$令\left\{\begin{matrix}P_{100}(k)\geq P_{100}(k+1),\\ P_{100}(k)\geq P_{100}(k-1),\end{matrix}\right.$

$即\left\{\begin{matrix}\mathrm{C}^k_{100}\left(\frac{1}{50}\right)^k\left(\frac{49}{50}\right)^{100-k}\geq \mathrm{C}^{k+1}_{100}\left(\frac{1}{50}\right)^{k+1}\left(\frac{49}{50}\right)^{99-k},\\ \mathrm{C}^k_{100}\left(\frac{1}{50}\right)^k\left(\frac{49}{50}\right)^{100-k}\geq \mathrm{C}^{k-1}_{100}\left(\frac{1}{50}\right)^{k-1}\left(\frac{49}{50}\right)^{101-k},\end{matrix}\right.$

$解得\left\{\begin{matrix}k\geq \frac{51}{50},\\ k\leq \frac{101}{50},\end{matrix}\right.因为k\in N，所以k=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

| 班号 | 1   | 2   | 3   | 4   |
| ---- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 30  | 40  | 20  | 10  |

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3个的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
求各班参加竞赛的人数；

Solution:
由题意知，抽出的100名学生中，来自1班，2班，3班，4班的学生分别有30名，40名，20名，10名，根据分层抽样的方法，1班，2班，3班，4班参加竞赛的人数分别为3，4，2，1.

Final answer: 3，4，2，1
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

| 班号 | 1   | 2   | 3   | 4   |
| ---- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 30  | 40  | 20  | 10  |

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3个的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
$若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为\frac{1}{3}，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.$

Solution:
$1班每位同学获得奖品的概率为C^{3}_{4} \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times  \frac{2}{3} + C^{4}_{4} \times  \left(\frac{1}{3}\right)^{4} = \frac{1}{9},所以1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率为1-\left(\frac{8}{9}\right)^3=\frac{217}{729} .$

Final answer: $\frac{217}{729}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌(A型，B型，C型)分别对三组(每组10瓶)相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量.实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下(“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺)：

| 酵母菌类型 | 该酯类化合物的含量(\mu g/L) | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| ------ | ---- | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| A型  | X                    | 2747 | 2688 | X | X | 2817 | 2679 | X | 2692 | 2721 |
| B型  | 1151                   | X | 1308 | X | 994 | X | X | X | 1002 | X |
| C型  | 2240                   | X | X | 2340 | 2318 | X | 2519 | 2162 | X | X |

根据发酵液中该酯类化合物的含量t(\mu g/L)是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下：

| 酵母菌类型 | 品质高   | 品质普通  |
| ---       | ----     | ----      |
| A型     | t>2700 | $t\leq 2700 $ |
| B型     | t>1000 | $t\leq 1000 $ |
| C型     | t>2300 | $t\leq 2300 $ |

假设用频率估计概率.
从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；

Solution:
$设“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”为事件 F.$

$由题可知，样本中未废弃的发酵液共6+4+5=15瓶，其中品质高的有9瓶，所以 P(F)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌(A型，B型，C型)分别对三组(每组10瓶)相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量.实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下(“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺)：

| 酵母菌类型 | 该酯类化合物的含量(\mu g/L) | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| ------ | ---- | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| A型  | X                    | 2747 | 2688 | X | X | 2817 | 2679 | X | 2692 | 2721 |
| B型  | 1151                   | X | 1308 | X | 994 | X | X | X | 1002 | X |
| C型  | 2240                   | X | X | 2340 | 2318 | X | 2519 | 2162 | X | X |

根据发酵液中该酯类化合物的含量t(\mu g/L)是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下：

| 酵母菌类型 | 品质高   | 品质普通  |
| ---       | ----     | ----      |
| A型     | t>2700 | $t\leq 2700 $ |
| B型     | t>1000 | $t\leq 1000 $ |
| C型     | t>2300 | $t\leq 2300 $ |

假设用频率估计概率.
设事件D为“从样本含A型，B型，C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率P(D)；

Solution:
:

$设“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”为事件 A_1，$
$“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”为事件 B_1，$
$“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”为事件 C_1.$
$由题可知，P(A_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}，P(B_1)=\frac{3}{4}，P(C_1)=\frac{3}{5}.$
$则 P(D)=1-P(\overline{A_1}\overline{B_1}\overline{C_1})=1-P(\overline{A_1})P(\overline{B_1})P(\overline{C_1})=1-\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{19}{20}.$

Final answer: $\frac{19}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

![高一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)

![高二](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)
从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率；

Solution:
$记“从该校高一年级学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”为事件 A，样本中高一年级学生人数为40，其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则 P(A)=\frac{37}{40}.$

Final answer: $\frac{37}{40}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

<img_2323>

<img_1491>
从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率；

Solution:
$记“从该校高一年级学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”为事件 A，样本中高一年级学生人数为40，其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则 P(A)=\frac{37}{40}.$

Final answer: $\frac{37}{40}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例,检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.

| 产品等级 | 优等品 | 一等品 | 二等品 | 普通品 |
| -------- | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 样本数量(件) | 30     | 50     | 60    | 60     |
若从流水线上随机抽取一件产品,估计该产品为优等品的概率；

Solution:
$抽取的200件产品中优等品有30件,抽取优等品的频率是\frac{30}{200} = \frac{3}{20},用样本估计总体,从流水线上随机抽取一件产品,估计是优等品的概率为\frac{3}{20}.$

Final answer: \frac{3}{20}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

![24BBJ5SX247.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

Solution:
$2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以所求概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

<img_2364>
从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

Solution:
$2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以所求概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

![24BBJ5SX247.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
$把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a_1，a_2，\ldots ，a_7，将2022年同期TPI依次记为b_1，b_2，\ldots ，b_7，记c_i=a_i－b_i (i=1，2，\ldots ，7)，\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_i.请直接写出|c_i-\overline{c}|取得最大值时i的值.$

Solution:
$|c_i - \overline{c}|取最大值时，i = 6. 理由如下：$

$c_1 = a_1 - b_1 = 1.908 - 2.055 = -0.147，$

$c_2 = a_2 - b_2 = 2.081 - 2.393 = -0.312，$

$c_3 = a_3 - b_3 = 1.331 - 1.529 = -0.198，$

$c_4 = a_4 - b_4 = 1.202 - 1.302 = -0.1，$

$c_5 = a_5 - b_5 = 1.271 - 1.642 = -0.371，$

$c_6 = a_6 - b_6 = 2.256 - 1.837 = 0.419，$

$c_7 = a_7 - b_7 = 2.012 - 1.755 = 0.257，$

$所以 \overline{c} = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^7 c_i = \frac{1}{7} \times  (-0.147 - 0.312 - 0.198 - 0.1 - 0.371 + 0.419 + 0.257) \approx  -0.065，$

$所以|c_i - \overline{c}|取得最大值时，i = 6.$

Final answer: 6
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

<img_2364>
$把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a_1，a_2，\ldots ，a_7，将2022年同期TPI依次记为b_1，b_2，\ldots ，b_7，记c_i=a_i－b_i (i=1，2，\ldots ，7)，\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_i.请直接写出|c_i-\overline{c}|取得最大值时i的值.$

Solution:
$|c_i - \overline{c}|取最大值时，i = 6. 理由如下：$

$c_1 = a_1 - b_1 = 1.908 - 2.055 = -0.147，$

$c_2 = a_2 - b_2 = 2.081 - 2.393 = -0.312，$

$c_3 = a_3 - b_3 = 1.331 - 1.529 = -0.198，$

$c_4 = a_4 - b_4 = 1.202 - 1.302 = -0.1，$

$c_5 = a_5 - b_5 = 1.271 - 1.642 = -0.371，$

$c_6 = a_6 - b_6 = 2.256 - 1.837 = 0.419，$

$c_7 = a_7 - b_7 = 2.012 - 1.755 = 0.257，$

$所以 \overline{c} = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^7 c_i = \frac{1}{7} \times  (-0.147 - 0.312 - 0.198 - 0.1 - 0.371 + 0.419 + 0.257) \approx  -0.065，$

$所以|c_i - \overline{c}|取得最大值时，i = 6.$

Final answer: 6
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272477794306/img/compression/M_d785009a4897f86dfde2e3171fce32c0.jpg)

假设用频率估计概率.
该企业员工总数为1 500人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；

Solution:
$因为样本中身体处于肥胖状态的员工共6人，所以估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为1 500\times \frac{6}{30}=300.$

Final answer: $300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

<img_106>

假设用频率估计概率.
该企业员工总数为1 500人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；

Solution:
$因为样本中身体处于肥胖状态的员工共6人，所以估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为1 500\times \frac{6}{30}=300.$

Final answer: $300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”。为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图。

<img_2497>
$若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替)；$

Solution:
$由题图可得第二组的频率为1－0.06－0.18－0.32－0.20－0.10=0.14，由样本估计总体可知全校学生的平均成绩为45\times 0.06+55\times 0.14+65\times 0.18+75\times 0.32+85\times 0.20+95\times 0.10=72.6分.$

Final answer: 72.6
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”。为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图。

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272947556355/img/compression/M_ff6a75d9934eb519164f3c698e04c93a.jpg)
$若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替)；$

Solution:
$由题图可得第二组的频率为1－0.06－0.18－0.32－0.20－0.10=0.14，由样本估计总体可知全校学生的平均成绩为45\times 0.06+55\times 0.14+65\times 0.18+75\times 0.32+85\times 0.20+95\times 0.10=72.6分.$

Final answer: 72.6
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片".十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$

<img_3136>
根据频率分布直方图，用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；

Solution:
$志愿服务时间的平均数为2\times 0.05+3\times 0.15+4\times 0.4+5\times 0.2+6\times 0.2=4.35.$
$志愿服务时间在[1.5,4.5)内的频率为0.05+0.15+0.4=0.6，志愿服务时间在[1.5,5.5]内的频率为0.6+0.2=0.8，所以第75百分位数为4.5+\frac{0.75-0.6}{0.2}=5.25.$

Final answer: 4.35, 5.25
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片".十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![23BBJ5SX210.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
根据频率分布直方图，用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；

Solution:
$志愿服务时间的平均数为2\times 0.05+3\times 0.15+4\times 0.4+5\times 0.2+6\times 0.2=4.35.$
$志愿服务时间在[1.5,4.5)内的频率为0.05+0.15+0.4=0.6，志愿服务时间在[1.5,5.5]内的频率为0.6+0.2=0.8，所以第75百分位数为4.5+\frac{0.75-0.6}{0.2}=5.25.$

Final answer: 4.35, 5.25
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片".十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$

<img_3136>
$若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；$

Solution:
由题可知“预期合格”的概率为0.8，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，则X服从二项分布X~B(3,0.8)，

$P(X=0)=C_3^0\times 0.8^0\times 0.2^3=0.008，$

$P(X=1)=C_3^1\times 0.8^1\times 0.2^2=0.096，$

$P(X=2)=C_3^2\times 0.8^2\times 0.2^1=0.384，$

$P(X=3)=C_3^3\times 0.8^3\times 0.2^0=0.512，$

X的分布列为

| X | 0     | 1     | 2     | 3     |
| --- | ----  | ----  | ----  | ----  |
| P | 0.008 | 0.096 | 0.384 | 0.512 |

$E(X)=3\times 0.8=2.4.$

Final answer: $P(X=0)=0.008, P(X=1)=0.096, P(X=2)=0.384, P(X=3)=0.512, E(X)=2.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片".十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![23BBJ5SX210.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
$若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；$

Solution:
由题可知“预期合格”的概率为0.8，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，则X服从二项分布X~B(3,0.8)，

$P(X=0)=C_3^0\times 0.8^0\times 0.2^3=0.008，$

$P(X=1)=C_3^1\times 0.8^1\times 0.2^2=0.096，$

$P(X=2)=C_3^2\times 0.8^2\times 0.2^1=0.384，$

$P(X=3)=C_3^3\times 0.8^3\times 0.2^0=0.512，$

X的分布列为

| X | 0     | 1     | 2     | 3     |
| --- | ----  | ----  | ----  | ----  |
| P | 0.008 | 0.096 | 0.384 | 0.512 |

$E(X)=3\times 0.8=2.4.$

Final answer: $P(X=0)=0.008, P(X=1)=0.096, P(X=2)=0.384, P(X=3)=0.512, E(X)=2.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
![频率分布直方图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

Solution:
根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\(\frac{10}{100}\)=0.9.

故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
<img_2276>

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

Solution:
根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\(\frac{10}{100}\)=0.9.

故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
![频率分布直方图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
求频率分布直方图中的a,b的值；

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9. 故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $a=0.9，b=12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
<img_2276>

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
求频率分布直方图中的a,b的值；

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9. 故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $a=0.9，b=12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
![频率分布直方图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)

Solution:
样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.

Final answer: 4
Subfield: Probability and Statistics


Question: 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
<img_2276>

| 组号 | 分组 | 频数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | [0,2) | 6 |
| 2 | [2,4) | 8 |
| 3 | [4,6) | 17 |
| 4 | [6,8) | 22 |
| 5 | [8,10) | 25 |
| 6 | [10,12) | 12 |
| 7 | [12,14) | 6 |
| 8 | [14,16) | 2 |
| 9 | [16,18) | 2 |
| 合计 |  | 100 |
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)

Solution:
样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.

Final answer: 4
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=ae^{x}\ln x+\frac{be^{x-1}}{x}，曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.$
求a,b；

Solution:
$易得函数f(x)的定义域为(0,+\infty )，f'(x)=ae^{x}\ln x+\frac{a}{x}e^{x}-\frac{b}{x^2}e^{x-1}+\frac{b}{x}e^{x-1}。$

$由题意可得f(1)=b=2，f'(1)=ae=e，故a=1,b=2。$

Final answer: $a=1,b=2$
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.$

<img_217>
$当x \in [0, +\infty) 时， f(x) \leq ax + b，求a + b的最小值.$

Solution:
$由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a\geq 3且b\geq 2时， f(x)\leq ax+b在[0，+\infty )成立，因此a+b的最小值为5.$

Final answer: 5