Subfield: Elementary Functions


Question: 已知函数 $f(x)=x \ln x-a x^{2}, a \in \mathbf{R}$.
设函数 $F(x)=|f(x)|(x \in[1, \mathrm{e}])$ 有极小值, 求 $a$ 的取值范围.

Solution:
$F(x)=|f(x)|=x^{2}\left|\frac{\ln x}{x}-a\right|, \quad x \in[1, \mathrm{e}]$

令 $t(x)=\frac{\ln x}{x}-a, x \in[1, \mathrm{e}]$, 则 $t^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$,

当 $x \in[1, \mathrm{e}]$ 时, $t^{\prime}(x) \geq 0$,

故 $t(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上单调递增.

于是 $t(1) \leq t(x) \leq t(\mathrm{e}) ，$ 即 $-a \leq t(x) \leq \frac{1}{\mathrm{e}}-a$.

(i) 当 $-a \geq 0$, 即 $a \leq 0$ 时, $t(x) \geq 0$,

于是 $F(x)=x \ln x-a x^{2}, x \in[1, \mathrm{e}]$,

则 $F^{\prime}(x)=\ln x+1-2 a x>0$, 从而 $F(x)$ 在 $[1,3]$ 上单调递增,

所以, $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上无极值点.

(ii) 当 $\frac{1}{\mathrm{e}}-a<0$, 即 $a>\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, $t(x)<0$,

于是 $F(x)=a x^{2}-x \ln x, x \in[1, \mathrm{e}]$,

则 $F^{\prime}(x)=2 a x-\ln x-1, F^{\prime \prime}(x)=2 a-\frac{1}{x}$,

因为 $\frac{1}{x} \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right]$,

(1)当 $2 a \geq 1$, 即 $a \geq \frac{1}{2}$ 时, $F^{\prime \prime}(x) \geq 0$,

故 $F^{\prime}(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 单调递增,

又因为 $F^{\prime}(1)=2 a-1 \geq 0$,

故 $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上单调递增,

所以, $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上无极值点.

(2)当 $\frac{1}{\mathrm{e}}<a<\frac{1}{2}$ 时, 由 $F^{\prime \prime}(x)=2 a-\frac{1}{x} \geq 0$ 得 $\frac{1}{2 a} \leq x \leq \mathrm{e}$,

于是 $F^{\prime}(x)$ 在 $\left[1, \frac{1}{2 a}\right]$ 单调递减, 在 $\left[\frac{1}{2 a}, \mathrm{e}\right]$ 单调递增.

又因为 $F^{\prime}(1)=2 a-1<0, F^{\prime}(\mathrm{e})=2 a \mathrm{e}-2>0$,

故 $\exists x_{0} \in(1, \mathrm{e})$ 使得 $F^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$,

因此, $F(x)$ 在 $\left(1, x_{0}\right)$ 上单调递减, 在 $\left(x_{0}, \mathrm{e}\right]$ 上单调递增,

所以, $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上有一个极小值点.

(iii) 当 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, $F^{\prime}(x)=\frac{2}{\mathrm{e}} x-\ln x-1$, 由 $F^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{\mathrm{e}}-\frac{1}{x}>0$ 得 $x>\frac{\mathrm{e}}{2}$,

于是 $F^{\prime}(x)$ 在 $\left[1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right]$ 上单调递减, 在 $\left[\frac{\mathrm{e}}{2}, \mathrm{e}\right]$ 上单调递增,

又 $F^{\prime}(1)=\frac{2}{\mathrm{e}}-1<0, F^{\prime}(\mathrm{e})=0$, 从而 $F^{\prime}(x) \leq 0$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上恒成立,

所以, $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上无极值点.

（iv）当 $0<a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, 因为 $t(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 单调递增,

于是 $\exists x_{0} \in(1, \mathrm{e})$, 使得 $\frac{\ln x_{0}}{x_{0}}=a$,

因此, 当 $x \in\left[1, x_{0}\right]$ 时, $t(x) \leq 0$, 当 $x \in\left[x_{0}, \mathrm{e}\right]$ 时, $t(x) \geq 0$,

从而 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}a x^{2}-x \ln x, 1 \leq x \leq x_{0} \\ x \ln x-a x^{2}, x_{0} \leq x \leq \mathrm{e}\end{array}\right.$,

于是 $F^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 a x-1-\ln x, 1 \leq x<x_{0} \\ \ln x+1-2 a x, x_{0}<x \leq \mathrm{e}\end{array}\right.$,

令 $k(x)=a x^{2}-x \ln x, x \in[1, \mathrm{e}]$, 则 $k^{\prime}(x)=2 a x-\ln x-1$

下面证明 $k^{\prime}(x) \leq 0$, 即证 $2 a x \leq \ln x+1,2 a \leq \frac{\ln x+1}{x} ，$

又 $\left(\frac{\ln x+1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{\ln x}{x^{2}}<0$, 故 $\left(\frac{\ln x+1}{x}\right)_{\min }=\frac{2}{\mathrm{e}}$

即证 $a \leq \frac{1}{\mathrm{e}}$, 所以结论成立, 即 $k^{\prime}(x) \leq 0$,

注意到 $\left(1, x_{0}\right) \subset[1, \mathrm{e}]$, 故 $F(x)$ 在 $\left[1, x_{0}\right)$ 单调递减, 在 $\left(x_{0}, \mathrm{e}\right]$ 单调递增.

因此, $x_{0}$ 为 $F(x)$ 的极小值点.

综上所述, 当 $0<a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ 或 $\frac{1}{\mathrm{e}}<a<\frac{1}{2}$ 时, $F(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上有极小值点.

Final answer: $(0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \frac{1}{2})$