Subfield: Elementary Functions


Question: 已知在 $R$ 上可导的非常数函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足: 对任意的实数 $x, y$ 都有

$f(x+y)=f(x) f(y)-g(x) g(y), \quad g(x+y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)$

且 $f^{\prime}(0)=0$, 求证 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=1$ (这里上标表示平方)

Solution:
将所给两方程对 $y$ 求导, 得

$f^{\prime}(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)-g(x) g^{\prime}(y), \quad g^{\prime}(x+y)=f(x) g^{\prime}(y)+g(x) f^{\prime}(y)$

令 $y=0$, 得 $f^{\prime}(x)=f(x) f^{\prime}(0)-g(x) g^{\prime}(0), g^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(0)+g(x) f^{\prime}(0)$

由于 $f^{\prime}(0)=0$, 故 $f^{\prime}(x)=-g(x) g^{\prime}(0), f(x) g^{\prime}(0)=g^{\prime}(x)$, 相乘得

$f^{\prime}(x) f(x) g^{\prime}(0)=-g^{\prime}(x) g(x) g^{\prime}(0)$, 而若 $g^{\prime}(0)=0$, 则 $f^{\prime}(x)=0$ 与非常数函数矛盾, 故 $g^{\prime}(0) \neq 0$, 则 $2 f^{\prime}(x) f(x)+2 g^{\prime}(x) g(x)=0$

即 $\left[f^{2}(x)+g^{2}(x)\right]^{\prime}=0$, 则 $f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 是常数

而在原题所给方程中取 $x=y=0$, 可得

$f(0)=f^{2}(0)-g^{2}(0), \quad g(0)=2 f(0) g(0)$, 若 $g(0) \neq 0$

则 $f(0)=\frac{1}{2} ， g^{2}(0)=f^{2}(0)-f(0)=-\frac{1}{4}$, 矛盾, 故 $g(0)=0$

则 $f(0)=f^{2}(0)$, 若 $f(0)=0$, 则恒有 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=0, f(x)=g(x)=0$

与非常数函数柔盾, 则 $f(0)=1$, 恒有 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=1$
将所给两方程对 $y$ 求导, 得

$f^{\prime}(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)-g(x) g^{\prime}(y), \quad g^{\prime}(x+y)=f(x) g^{\prime}(y)+g(x) f^{\prime}(y)$

令 $y=0$, 得 $f^{\prime}(x)=f(x) f^{\prime}(0)-g(x) g^{\prime}(0), g^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(0)+g(x) f^{\prime}(0)$

由于 $f^{\prime}(0)=0$, 故 $f^{\prime}(x)=-g(x) g^{\prime}(0), g^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(0)$

若 $g^{\prime}(0)=0$, 则 $f^{\prime}(x)=0$, 与非常数函数矛盾, 故 $g^{\prime}(0) \neq 0$, 则
$f^{\prime \prime}(x)=-g^{\prime}(x) g^{\prime}(0),-\frac{f^{\prime \prime}(x)}{g^{\prime}(0)}=g^{\prime}(x),-\frac{f^{\prime \prime}(x)}{g^{\prime}(0)}=f(x) g^{\prime}(0)$

设 $g^{\prime}(0)=\omega$, 则 $f^{\prime \prime}(x)=-\omega^{2} f(x)$, 解此微分方程得 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)$

则由 $f^{\prime}(x)=-g(x) g^{\prime}(0), g(x)=-\omega^{-1} f^{\prime}(x)=A \sin (\omega x+\varphi)$

代入 $f(x+y)=f(x) f(y)-g(x) g(y)$, 得

$A \cos [\omega(x+y)+\varphi]=A^{2} \cos (\omega x+\varphi) \cos (\omega y+\varphi)-A^{2} \sin (\omega x+\varphi) \sin (\omega y+\varphi)$

$A \cos (\omega x+\omega y+\varphi)=A^{2} \cos (\omega x+\omega y+2 \varphi)$, 若 $A=0$, 则 $f(x)=0$，与非常数函数矛盾, 则 $\cos (\omega t+\varphi)=A \cos (\omega t+2 \varphi)$ 对任意实数 $t$ 成立

故 $|A|=1$, 则 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=A^{2}$
将所给两方程平方相加, 得

$f^{2}(x+y)+g^{2}(x+y)=[f(x) f(y)-g(x) g(y)]^{2}+[f(x) g(y)+g(x) f(y)]^{2}$

$=\left[f^{2}(x)+g^{2}(x)\right]\left[f^{2}(y)+g^{2}(y)\right]$ (拉格朗日恒等式)

若有某 $x_{0}$ 使 $f^{2}\left(x_{0}\right)+g^{2}\left(x_{0}\right)=0$, 则恒有 $f^{2}\left(x_{0}+y\right)+g^{2}\left(x_{0}+y\right)=0$

即 $f(x)=g(x)=0$ 恒成立, 与非常数函数矛盾, 故 $f^{2}(x)+g^{2}(x)>0$

则 $\ln \left[f^{2}(x+y)+g^{2}(x+y)\right]=\ln \left[f^{2}(x)+g^{2}(x)\right]+\ln \left[f^{2}(y)+g^{2}(y)\right]$

设 $\ln \left[f^{2}(x)+g^{2}(x)\right]=F(x)$, 则 $F(x+y)=F(x)+F(y)$ （柯西方程）

而 $F(x)$ 是可导函数, 故连续, 则 $F(x)=k x$

$f^{2}(x)+g^{2}(x)=e^{k x}$, 求导并取 $x=0$, 得

$2 f^{\prime}(0) f^{\prime}(0)+2 g^{\prime}(0) g(0)=k$, 而 $f^{\prime}(0)=0$, 在原题所给方程中取 $x=y=0$

可得 $f(0)=f^{2}(0)-g^{2}(0) ， g(0)=2 f(0) g(0)$ ，若 $g(0) \neq 0$，则 $f(0)=\frac{1}{2}, g^{2}(0)=f^{2}(0)-f(0)=-\frac{1}{4}$, 矛盾, 故 $g(0)=0$

则 $k=2 f^{\prime}(0) f(0)+2 g^{\prime}(0) g(0)=0$, 则 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=e^{k x}=1$