di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁场，是一种特殊的物质。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822610747393/img/editor/compression/b403af6a-5b99-4035-ba61-87f691fa51df.png)

| ![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822610747393/img/compression/M_96ec1251bff536ea58a768ba7009bcf9.jpg) |
|:---:|
| 图3 |
$电场具有能量。如图1所示，原子核始终静止不动，\alpha 粒子先、后通过A、B两点，设\alpha 粒子的质量为m、带电荷量为q，其通过A、B两点的速度大小分别为v_A和v_B，求\alpha 粒子从A点运动到B点的过程中电势能的变化量\Delta E_p。$

Solution:
$由能量守恒可得\Delta E_p=-\Delta E_k=\frac{1}{2}mv^2_A-\frac{1}{2}mv^2_B$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_A - \frac{1}{2}mv^2_B$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁场，是一种特殊的物质。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822610747393/img/editor/compression/b403af6a-5b99-4035-ba61-87f691fa51df.png)

| ![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822610747393/img/compression/M_96ec1251bff536ea58a768ba7009bcf9.jpg) |
|:---:|
| 图3 |
$电磁场不仅具有能量，还具有动量。如图3所示，两极板相距为L的平行板电容器，处在磁感应强度为B的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里。将一长度为L的导体棒ab垂直放在充好电的电容器两极板之间(其中上极板带正电)，并与导体板良好接触。上述导体棒ab、平行板电容器以及极板间的电磁场(即匀强磁场、电容器所激发的电场)组成一个孤立系统，不计一切摩擦。求当电容器通过导体棒ab释放电荷量为q的过程中，该系统中电磁场动量变化量的大小\Delta p。$

Solution:
以向右为正方向，对导体棒ab由动量定理可得

$BILt=\Delta p'$

即导体棒ab动量变化量大小为$\Delta p'=BLq$，方向水平向右。系统动量守恒，所以电磁场动量变化量

$\Delta p= -\Delta p'= -BLq$

电磁场动量变化量的大小为BLq，方向水平向左。

Final answer: BLq
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁场，是一种特殊的物质。

<img_767>

| <img_990> |
|:---:|
| 图3 |
$电磁场不仅具有能量，还具有动量。如图3所示，两极板相距为L的平行板电容器，处在磁感应强度为B的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里。将一长度为L的导体棒ab垂直放在充好电的电容器两极板之间(其中上极板带正电)，并与导体板良好接触。上述导体棒ab、平行板电容器以及极板间的电磁场(即匀强磁场、电容器所激发的电场)组成一个孤立系统，不计一切摩擦。求当电容器通过导体棒ab释放电荷量为q的过程中，该系统中电磁场动量变化量的大小\Delta p。$

Solution:
以向右为正方向，对导体棒ab由动量定理可得

$BILt=\Delta p'$

即导体棒ab动量变化量大小为$\Delta p'=BLq$，方向水平向右。系统动量守恒，所以电磁场动量变化量

$\Delta p= -\Delta p'= -BLq$

电磁场动量变化量的大小为BLq，方向水平向左。

Final answer: BLq
Subfield: Electromagnetism


Question: 电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。

<img_518>

图1

<img_1363>

图2

<img_1135>

图3
$直流电动机的工作原理可以简化为图1所示的模型。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。质量为m、电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端接有直流电源，电源电动势为E、内阻不计。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。在导体棒运动过程中，导体棒上的电流I与速度v的大小关系满足I = \frac{E-BLv}{R}，导体棒始终受到大小为f的阻力作用。求：$

导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小a。

Solution:
$导体棒速度为v时，反电动势为E'=BLv  $
$导体棒受到的安培力的大小F=BIL  $
由牛顿第二定律可得导体棒加速度的大小
$a=\frac{F-f}{m}=\frac{BL(E-BLv)}{mR}-\frac{f}{m}$

Final answer: $\frac{BL(E-BLv)}{mR} - \frac{f}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_7b7183b908e22a739b56efc459afe9b1.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_25a633c0b190db187f840a23a199e5d2.jpg)

图2

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_d46f77c1b0fe1b256dc15f0338a16a68.jpg)

图3
$直流电动机的工作原理可以简化为图1所示的模型。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。质量为m、电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端接有直流电源，电源电动势为E、内阻不计。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。在导体棒运动过程中，导体棒上的电流I与速度v的大小关系满足I = \frac{E-BLv}{R}，导体棒始终受到大小为f的阻力作用。求：$

导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小a。

Solution:
$导体棒速度为v时，反电动势为E'=BLv  $
$导体棒受到的安培力的大小F=BIL  $
由牛顿第二定律可得导体棒加速度的大小
$a=\frac{F-f}{m}=\frac{BL(E-BLv)}{mR}-\frac{f}{m}$

Final answer: $\frac{BL(E-BLv)}{mR} - \frac{f}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_7b7183b908e22a739b56efc459afe9b1.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_25a633c0b190db187f840a23a199e5d2.jpg)

图2

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385824057782273/img/compression/M_d46f77c1b0fe1b256dc15f0338a16a68.jpg)

图3
某兴趣小组根据直流电动机的工作原理设计了模型飞机的电磁弹射装置。如图2所示，用于弹射模型飞机的线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B，线圈可沿导轨滑动。开关接通，电动势为E、内阻不计的电源与线圈连接，线圈推动飞机从静止开始加速，运动过程中线圈和飞机受到的总阻力恒为f、线圈总电阻为R，匝数为n，每匝周长为l。
若导轨足够长，求飞机能够获得的最大速度$v_m$。

Solution:
$当飞机与线圈组成的系统受到的安培力与阻力大小相等时，飞机的速度达到最大，则有 I = \frac{E-nBlv_m}{R}$

$线圈受到的安培力为 F=nBI'l$

$由 F=f$

$可得 v_m=\frac{E}{nBl}-\frac{fR}{n^2B^2l^2}$

Final answer: $\frac{E}{nBl}-\frac{fR}{n^2B^2l^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。

<img_518>

图1

<img_1363>

图2

<img_1135>

图3
某兴趣小组根据直流电动机的工作原理设计了模型飞机的电磁弹射装置。如图2所示，用于弹射模型飞机的线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B，线圈可沿导轨滑动。开关接通，电动势为E、内阻不计的电源与线圈连接，线圈推动飞机从静止开始加速，运动过程中线圈和飞机受到的总阻力恒为f、线圈总电阻为R，匝数为n，每匝周长为l。
若导轨足够长，求飞机能够获得的最大速度$v_m$。

Solution:
$当飞机与线圈组成的系统受到的安培力与阻力大小相等时，飞机的速度达到最大，则有 I = \frac{E-nBlv_m}{R}$

$线圈受到的安培力为 F=nBI'l$

$由 F=f$

$可得 v_m=\frac{E}{nBl}-\frac{fR}{n^2B^2l^2}$

Final answer: $\frac{E}{nBl}-\frac{fR}{n^2B^2l^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图甲所示，水平固定、间距为L的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。与导轨垂直且接触良好的导体棒a、b，质量均为m，电阻均为R。现对a施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当a向右的位移为x时，a的速度达到最大且b刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为$\mu$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为g。

<img_1136>

甲

<img_964>

乙
$求导体棒b刚要滑动时，导体棒a的最大速度v_m；$

Solution:
设导体棒b刚要滑动时回路中电流为I，对导体棒b，有  
$BIL = \mu mg$ ①

对整个回路,有BLv_m = 2IR  
$解得v_m = \frac{2\mu mgR}{B^2L^2}$ ②

Final answer: $ \frac{2\mu mgR}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图甲所示，水平固定、间距为L的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。与导轨垂直且接触良好的导体棒a、b，质量均为m，电阻均为R。现对a施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当a向右的位移为x时，a的速度达到最大且b刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为$\mu$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为g。

![23BBJ5WL385.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385836310720514/img/compression/M_728620e55bfb6b2951f02d932216da7b.jpg)

甲

![23BBJ5WL386.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385836310720514/img/compression/M_9dd60edd655aba8afaa735898ce7f500.jpg)

乙
$求导体棒b刚要滑动时，导体棒a的最大速度v_m；$

Solution:
设导体棒b刚要滑动时回路中电流为I，对导体棒b，有  
$BIL = \mu mg$ ①

对整个回路,有BLv_m = 2IR  
$解得v_m = \frac{2\mu mgR}{B^2L^2}$ ②

Final answer: $ \frac{2\mu mgR}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图甲所示，水平固定、间距为L的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。与导轨垂直且接触良好的导体棒a、b，质量均为m，电阻均为R。现对a施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当a向右的位移为x时，a的速度达到最大且b刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为$\mu$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为g。

<img_1136>

甲

<img_964>

乙
$求导体棒a发生位移x的过程中，回路中产生的总焦耳热Q；$

Solution:
导体棒b刚要滑动时，对导体棒a:

$F=\mu mg+BIL$ ③

整个过程中对系统，由功能关系

$Fx=\mu mgx+\frac{1}{2}mv_\mathrm{m}^2+Q$

$解得Q=\mu mgx-\frac{2\mu ^2m^3g^2R^2}{B^4L^4}$

Final answer: $\mu mgx-\frac{2\mu ^2m^3g^2R^2}{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图甲所示，水平固定、间距为L的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。与导轨垂直且接触良好的导体棒a、b，质量均为m，电阻均为R。现对a施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当a向右的位移为x时，a的速度达到最大且b刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为$\mu$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为g。

![23BBJ5WL385.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385836310720514/img/compression/M_728620e55bfb6b2951f02d932216da7b.jpg)

甲

![23BBJ5WL386.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385836310720514/img/compression/M_9dd60edd655aba8afaa735898ce7f500.jpg)

乙
$求导体棒a发生位移x的过程中，回路中产生的总焦耳热Q；$

Solution:
导体棒b刚要滑动时，对导体棒a:

$F=\mu mg+BIL$ ③

整个过程中对系统，由功能关系

$Fx=\mu mgx+\frac{1}{2}mv_\mathrm{m}^2+Q$

$解得Q=\mu mgx-\frac{2\mu ^2m^3g^2R^2}{B^4L^4}$

Final answer: $\mu mgx-\frac{2\mu ^2m^3g^2R^2}{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 促进西部大开发的一个重要保障是解决能源问题，西部具有丰富的水资源。一个小型水电站的河水流量为$4 m^3/s$，水流下落的高度为5 m。若该水电站发电机组的总效率为50%，取$g=10 m/s^2$ 求：
设发电机组的输出电率为350 V，输电线的电阻为4 \Omega ，要使输电线上损耗的电功率为输出电功率的5%，在用户需要电压为220 V时，所用升压变压器和降压变压器线圈的匝数之比的值各是多少。

Solution:
$升压变压器原线圈中的电流I_1 = \frac{P_{\text{出}}}{U_1} = \frac{2 000}{7} A$

$输电线上损耗的电功率P_{损} = P_{出} \times 5\% = 5 000 W$

$输电线中的电流I_2 = \sqrt{\frac{P_{\text{损}}}{r_{\text{线}}} = 25\sqrt{2} A$

$降压变压器副线圈中的电流I_3 = \frac{P_{\text{用}}}{U_{\text{用}}}$

$P_{用} = P_{出} - P_{损} = 9.5 \times 10^4 W，故I_3 = \frac{4 750}{11} A$

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{I_2}{I_1} = \frac{7\sqrt{2}}{80}$

$\frac{n_3}{n_4} = \frac{I_3}{I_2} = \frac{95\sqrt{2}}{11}$

Final answer: $\frac{7\sqrt{2}}{80}$, $\frac{95\sqrt{2}}{11}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次\alpha 衰变。放射出的\alpha 粒子(^4_2He)在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示\alpha 粒子的质量和电荷量。$
设该衰变过程释放的核能都转化为$\alpha$ 粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损$\Delta m$。

Solution:
$由qvB=m\frac{v^2}{R}，得v=\frac{qBR}{m}。设衰变后新核Y的速度大小为v'，系统动量守恒。Mv'-mv=0，v'=\frac{mv}{M}=\frac{qBR}{M}。由\Delta mc^2=\frac{1}{2}Mv'^2+\frac{1}{2}mv^2，得\Delta m=\frac{(M+m)(qBR)^2}{2mMc^2}。说明：若利用M=\frac{A-4}{4}m解答，亦可。$

Final answer: $\Delta m=\frac{(M+m)(qBR)^2}{2mMc^2}$
Subfield: Modern Physics


Question: $19世纪末、20世纪初，人们通过对光电效应的研究，加深了对光的本质的认识。科学家利用如图所示的电路研究光电效应，图中K、A是密封在真空玻璃管中的两个电极，K极受到光照时可能发射电子。已知电子电荷量为e，普朗克常量为h。$

![光电效应图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385875351048194/img/compression/M_c7742814de2e7b7be9945c75a6b1f327.jpg)
$当有光照射K极时，电流表的示数为I，求经过时间t到达A极的电子数n。$

Solution:
$由电流定义I=\frac{q}{t}$

$t时间内的电荷量q=ne$

$解得n=\frac{It}{e}$

Final answer: $n=\frac{It}{e}$
Subfield: Modern Physics


Question: $19世纪末、20世纪初，人们通过对光电效应的研究，加深了对光的本质的认识。科学家利用如图所示的电路研究光电效应，图中K、A是密封在真空玻璃管中的两个电极，K极受到光照时可能发射电子。已知电子电荷量为e，普朗克常量为h。$

<img_902>
$当有光照射K极时，电流表的示数为I，求经过时间t到达A极的电子数n。$

Solution:
$由电流定义I=\frac{q}{t}$

$t时间内的电荷量q=ne$

$解得n=\frac{It}{e}$

Final answer: $n=\frac{It}{e}$
Subfield: Modern Physics


Question: $19世纪末、20世纪初，人们通过对光电效应的研究，加深了对光的本质的认识。科学家利用如图所示的电路研究光电效应，图中K、A是密封在真空玻璃管中的两个电极，K极受到光照时可能发射电子。已知电子电荷量为e，普朗克常量为h。$

![光电效应图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385875351048194/img/compression/M_c7742814de2e7b7be9945c75a6b1f327.jpg)
$使用普通光源进行实验时，电子在极短时间内只能吸收一个光子的能量。用频率为v_0的普通光源照射K极，可以发生光电效应。此时，调节滑动变阻器滑片，当电压表的示数为U时，电流表的示数减小为0。$
$随着科技的发展，强激光的出现丰富了人们对光电效应的认识，用强激光照射金属，一个电子在极短时间内吸收到多个光子成为可能。若用强激光照射K极时，一个电子在极短时间内能吸收n个光子，求能使K极发生光电效应的强激光的最低频率v。$

Solution:
$设K极金属的逸出功为W，在普通光源照射下发生光电效应，光电子的最大初动能为E_k$
$根据光电效应方程E_k=h\nu _0-W$
$根据动能定理-Ue=0-E_k$
$在强激光照射下，恰好能发生光电效应时有nh\nu =W$
$解得\nu = \frac{h\nu _0-Ue}{nh}$

Final answer: $\frac{h\nu _0-Ue}{nh}$
Subfield: Modern Physics


Question: $19世纪末、20世纪初，人们通过对光电效应的研究，加深了对光的本质的认识。科学家利用如图所示的电路研究光电效应，图中K、A是密封在真空玻璃管中的两个电极，K极受到光照时可能发射电子。已知电子电荷量为e，普朗克常量为h。$

<img_902>
$使用普通光源进行实验时，电子在极短时间内只能吸收一个光子的能量。用频率为v_0的普通光源照射K极，可以发生光电效应。此时，调节滑动变阻器滑片，当电压表的示数为U时，电流表的示数减小为0。$
$随着科技的发展，强激光的出现丰富了人们对光电效应的认识，用强激光照射金属，一个电子在极短时间内吸收到多个光子成为可能。若用强激光照射K极时，一个电子在极短时间内能吸收n个光子，求能使K极发生光电效应的强激光的最低频率v。$

Solution:
$设K极金属的逸出功为W，在普通光源照射下发生光电效应，光电子的最大初动能为E_k$
$根据光电效应方程E_k=h\nu _0-W$
$根据动能定理-Ue=0-E_k$
$在强激光照射下，恰好能发生光电效应时有nh\nu =W$
$解得\nu = \frac{h\nu _0-Ue}{nh}$

Final answer: $\frac{h\nu _0-Ue}{nh}$
Subfield: Optics


Question: 摆是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球(可看作质点)。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。

<img_748>
<center>图1</center>

<img_997>
<center>图2</center>
小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，例如摆钟。摆钟在工作过程中由于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场(可视为匀强电场)，导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强度：他用质量为m的金属小球和长为L(远大于小球半径)的轻质绝缘细线制成一个单摆。他设法使小球带电荷量为-q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。

推导大气电场强度的大小E的表达式。

Solution:
$重力场与电场叠加为等效重力场，则等效重力 mg' = mg - qE，g' 为等效重力加速度。$

$单摆的周期公式则为 T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g-\frac{qE}{m}}}。$

$解得大气电场强度的大小 E 的表达式为 E = \frac{mg}{q} - \frac{4\pi ^2mL}{qT^2}。$

Final answer: $E = \frac{mg}{q} - \frac{4\pi ^2mL}{qT^2}$
Subfield: Optics


Question: 摆是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球(可看作质点)。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385915440459777/img/compression/M_a1c01116582220af2cc0320f640b9003.jpg)
<center>图1</center>

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385915440459777/img/compression/M_b5a4af57bd954c254af16532fe496b2c.jpg)
<center>图2</center>
小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，例如摆钟。摆钟在工作过程中由于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场(可视为匀强电场)，导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强度：他用质量为m的金属小球和长为L(远大于小球半径)的轻质绝缘细线制成一个单摆。他设法使小球带电荷量为-q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。

推导大气电场强度的大小E的表达式。

Solution:
$重力场与电场叠加为等效重力场，则等效重力 mg' = mg - qE，g' 为等效重力加速度。$

$单摆的周期公式则为 T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g-\frac{qE}{m}}}。$

$解得大气电场强度的大小 E 的表达式为 E = \frac{mg}{q} - \frac{4\pi ^2mL}{qT^2}。$

Final answer: $E = \frac{mg}{q} - \frac{4\pi ^2mL}{qT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，绷紧的水平传送带长L=6 m，沿顺时针方向以恒定速率v_1=2 m/s运行。一小物块从与传送带等高的光滑水平台面滑上传送带，其质量m=0.1 kg，速度大小为v_2。已知小物块与传送带间的动摩擦因数\mu=0.2，重力加速度g取10 m/s^2。上、下台面高度差为h=0.8 m，左边轮轴在下台面的投影为O点，从小物块滑上传送带开始计时。不计轮轴和物块的大小，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294760821493762/img/compression/M_3f1cd500e4908e4a9f306aa559ed94fc.jpg)
$若v_2可变，直接写出落到下方平台的位置离O点的距离x与v_2的关系式。$

Solution:
$若滑到左边轮轴时物块速度为0，则0-v^2_2=-2\mu gL ，解得v_2=2\sqrt{6} m/s$

$v_2\leq 2\sqrt{6} m/s时，物块将沿传送带返回右侧平台，不会从左端滑出$

$v_2>2\sqrt{6} m/s时，物块会从传送带左端平抛出去，有$

$x=vt$

$h=\frac{1}{2}gt^2$

$解得x=0.4\sqrt{v^2_2-24} (v_2>2\sqrt{6} m/s)$

Final answer: $x=0.4\sqrt{v^2_2-24}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，绷紧的水平传送带长L=6 m，沿顺时针方向以恒定速率v_1=2 m/s运行。一小物块从与传送带等高的光滑水平台面滑上传送带，其质量m=0.1 kg，速度大小为v_2。已知小物块与传送带间的动摩擦因数\mu=0.2，重力加速度g取10 m/s^2。上、下台面高度差为h=0.8 m，左边轮轴在下台面的投影为O点，从小物块滑上传送带开始计时。不计轮轴和物块的大小，求：$

<img_1156>
$若v_2可变，直接写出落到下方平台的位置离O点的距离x与v_2的关系式。$

Solution:
$若滑到左边轮轴时物块速度为0，则0-v^2_2=-2\mu gL ，解得v_2=2\sqrt{6} m/s$

$v_2\leq 2\sqrt{6} m/s时，物块将沿传送带返回右侧平台，不会从左端滑出$

$v_2>2\sqrt{6} m/s时，物块会从传送带左端平抛出去，有$

$x=vt$

$h=\frac{1}{2}gt^2$

$解得x=0.4\sqrt{v^2_2-24} (v_2>2\sqrt{6} m/s)$

Final answer: $x=0.4\sqrt{v^2_2-24}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示为某传送装置的示意图，整个装置由三部分组成，中间是水平传送带，传送带顺时针匀速转动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定，其左侧为一倾斜直轨道，右侧为放置在光滑水平面上质量为M的滑板，倾斜直轨道末端及滑板上表面与传送带两端等高并平滑对接。一质量为m的物块从倾斜直轨道的顶端由静止释放，物块经过传送带后滑上滑板，滑板运动到D时与固定挡板碰撞粘连，此后物块滑离滑板。已知物块的质量m=1.0 kg，滑板的质量M=2.0 kg，倾斜直轨道顶端距离传送带平面的高度h=2.5 m，传送带两轴心间距L1=10.5 m，滑板的长度L2=2.8 m，滑板右端到固定挡板D的左端的距离为L3，物块与倾斜直轨道的动摩擦因数满足u1=\frac{1}{2} \tan \theta (\theta 为倾斜直轨道的倾角)，物块与传送带和滑板间的动摩擦因数分别为\mu 2=0.1、 \mu 3=0.5，重力加速度的大小g=10 m/s^2。$

<img_569>
$若v=6 m/s，讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力所做的功W_{f}与L_{3}的关系。$

Solution:
$由(2)问可知，当v=6 m/s时，物块在传送带上先做匀加速直线运动再做匀速直线运动，刚滑上滑板时的速度大小v_1=6 m/s，若滑板与挡板间距足够长，滑板碰挡板前物块与滑板能共速，\mu_3mg=ma_1，\mu_3mg=Ma_2，设经过t时间共速，则有v_1-a_1t=a_2t，解得t=0.8 s，共速的速度v_2=a_2t=2 m/s，对物块，由动能定理得-\mu_3mgs_1=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2，解得s_1=3.2 m，对滑板，由动能定理得\mu_3mgs_2=\frac{1}{2}Mv_2^2，解得s_2=0.8 m，物块相对滑板的位移\Delta s=s_1-s_2=2.4 m，物块从滑上滑板到共速这个过程中克服摩擦力做的功W_1=\mu_3mgs_1=16 J，滑板和挡板碰撞后到物块滑落，物块克服摩擦力做功W_2=\mu_3mg(L_2-\Delta s)=2 J，则若L_3\geq0.8 m, W_f=W_1+W_2=18 J；若0<L_3<0.8 m，则当滑板与挡板相碰时，物块与滑板尚未共速，这种情况下物块的对地位移为s_3=L_2+L_3，克服摩擦力做的功W_f=\mu_3mgs_3=14+5L_3。$

Final answer: $W_f=14+5L_3$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示为某传送装置的示意图，整个装置由三部分组成，中间是水平传送带，传送带顺时针匀速转动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定，其左侧为一倾斜直轨道，右侧为放置在光滑水平面上质量为M的滑板，倾斜直轨道末端及滑板上表面与传送带两端等高并平滑对接。一质量为m的物块从倾斜直轨道的顶端由静止释放，物块经过传送带后滑上滑板，滑板运动到D时与固定挡板碰撞粘连，此后物块滑离滑板。已知物块的质量m=1.0 kg，滑板的质量M=2.0 kg，倾斜直轨道顶端距离传送带平面的高度h=2.5 m，传送带两轴心间距L1=10.5 m，滑板的长度L2=2.8 m，滑板右端到固定挡板D的左端的距离为L3，物块与倾斜直轨道的动摩擦因数满足u1=\frac{1}{2} \tan \theta (\theta 为倾斜直轨道的倾角)，物块与传送带和滑板间的动摩擦因数分别为\mu 2=0.1、 \mu 3=0.5，重力加速度的大小g=10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294845206695939/img/compression/M_e2d32d260c7ddd5db8fcf26ee539df4c.jpg)
$若v=6 m/s，讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力所做的功W_{f}与L_{3}的关系。$

Solution:
$由(2)问可知，当v=6 m/s时，物块在传送带上先做匀加速直线运动再做匀速直线运动，刚滑上滑板时的速度大小v_1=6 m/s，若滑板与挡板间距足够长，滑板碰挡板前物块与滑板能共速，\mu_3mg=ma_1，\mu_3mg=Ma_2，设经过t时间共速，则有v_1-a_1t=a_2t，解得t=0.8 s，共速的速度v_2=a_2t=2 m/s，对物块，由动能定理得-\mu_3mgs_1=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2，解得s_1=3.2 m，对滑板，由动能定理得\mu_3mgs_2=\frac{1}{2}Mv_2^2，解得s_2=0.8 m，物块相对滑板的位移\Delta s=s_1-s_2=2.4 m，物块从滑上滑板到共速这个过程中克服摩擦力做的功W_1=\mu_3mgs_1=16 J，滑板和挡板碰撞后到物块滑落，物块克服摩擦力做功W_2=\mu_3mg(L_2-\Delta s)=2 J，则若L_3\geq0.8 m, W_f=W_1+W_2=18 J；若0<L_3<0.8 m，则当滑板与挡板相碰时，物块与滑板尚未共速，这种情况下物块的对地位移为s_3=L_2+L_3，克服摩擦力做的功W_f=\mu_3mgs_3=14+5L_3。$

Final answer: $W_f=14+5L_3$
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_483a48ea9f9776bf59dd5a6050f9d66d.jpg)  

图甲

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_dd63f94623fb6ca7b223800a386c2542.jpg)

图乙
离子到达C点速度v的大小；

Solution:
$离子在加速电场中，由动能定理得qU_0=\frac{1}{2}mv^2，从而求得v=\sqrt{\frac{2qU_0}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2qU_0}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

<img_783>  

图甲

<img_777>

图乙
离子到达C点速度v的大小；

Solution:
$离子在加速电场中，由动能定理得qU_0=\frac{1}{2}mv^2，从而求得v=\sqrt{\frac{2qU_0}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2qU_0}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

<img_783>  

图甲

<img_777>

图乙
圆弧虚线CD所在处电场强度E的大小；

Solution:
$离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得qE=\frac{mv^2}{R}，联立(1)中结果得到E=\frac{2U_0}{R}。$

Final answer: $\frac{2U_0}{R}$
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_483a48ea9f9776bf59dd5a6050f9d66d.jpg)  

图甲

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_dd63f94623fb6ca7b223800a386c2542.jpg)

图乙
圆弧虚线CD所在处电场强度E的大小；

Solution:
$离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得qE=\frac{mv^2}{R}，联立(1)中结果得到E=\frac{2U_0}{R}。$

Final answer: $\frac{2U_0}{R}$
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_483a48ea9f9776bf59dd5a6050f9d66d.jpg)  

图甲

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_dd63f94623fb6ca7b223800a386c2542.jpg)

图乙
若离子源S在T时间内均匀发射N个正离子，则T时间内在G板上收集到的离子数n；

Solution:
$离子在偏转电场中做类斜抛运动，设电压为U_c时，离子的轨迹刚好与G板相切，则加速度为a=\frac{qU_c}{md}，竖直分速度为v_y=v \sin 53^\circ ，到达G板时，竖直分速度减小为零，则有v_y^2=2ad，联立可得U_c=0.64U_0。在0～\frac{T}{2}时间内恰好与G板相切的离子的出发时刻为t=\frac{U_c}{U_0}\cdot \frac{T}{2}=0.32T，由图乙可知在\frac{T}{2}～T时间内恰好与G板相切的离子的出发时刻为0.68T，所以在0.32T~0.68T发射的离子不会被G板收集，那么在T时间内打到G板的离子的出发时刻范围为0~0.32T及0.68T~T，则T时间内在G板上收集到的离子数为n=\frac{(0.32T-0)+(T-0.68T)}{T}\cdot N个=0.64N个。$

Final answer: 0.64N
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

<img_783>  

图甲

<img_777>

图乙
若离子源S在T时间内均匀发射N个正离子，则T时间内在G板上收集到的离子数n；

Solution:
$离子在偏转电场中做类斜抛运动，设电压为U_c时，离子的轨迹刚好与G板相切，则加速度为a=\frac{qU_c}{md}，竖直分速度为v_y=v \sin 53^\circ ，到达G板时，竖直分速度减小为零，则有v_y^2=2ad，联立可得U_c=0.64U_0。在0～\frac{T}{2}时间内恰好与G板相切的离子的出发时刻为t=\frac{U_c}{U_0}\cdot \frac{T}{2}=0.32T，由图乙可知在\frac{T}{2}～T时间内恰好与G板相切的离子的出发时刻为0.68T，所以在0.32T~0.68T发射的离子不会被G板收集，那么在T时间内打到G板的离子的出发时刻范围为0~0.32T及0.68T~T，则T时间内在G板上收集到的离子数为n=\frac{(0.32T-0)+(T-0.68T)}{T}\cdot N个=0.64N个。$

Final answer: 0.64N
Subfield: Electromagnetism


Question: $在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v_0穿出电场，AC与AB的夹角\theta=60^\circ 。运动中粒子仅受电场力作用。$

<img_1216>
求电场强度的大小；

Solution:
粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知
AC=R ①
F=qE ②
$由动能定理有F\cdot AC=\frac{1}{2}mv^2_0$ ③
$联立①②③式得E=\frac{mv^2_0}{2qR}$  ④

Final answer: $\frac{mv^2_0}{2qR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v_0穿出电场，AC与AB的夹角\theta=60^\circ 。运动中粒子仅受电场力作用。$

![21GZTWL6.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294901438353410/img/compression/M_4553a71cf1928f7135e0f4e285f81790.jpg)
求电场强度的大小；

Solution:
粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知
AC=R ①
F=qE ②
$由动能定理有F\cdot AC=\frac{1}{2}mv^2_0$ ③
$联立①②③式得E=\frac{mv^2_0}{2qR}$  ④

Final answer: $\frac{mv^2_0}{2qR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，图甲是它的原理图。在偏转电极YY'上加上图乙所示的扫描电压，偏转电极XX'之间没有加电压，此时示波管的原理图简化成如图丙所示。电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U_1加速，从A板中心孔沿中心线KO(O为荧光屏的中心)射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的YY'偏转电场中。电子进入金属板M、N间时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点(图中未画出)。已知M、N两板间的最大电压为U_2，两板间的距离为d，板长为l_1，荧光屏到M、N极板右端距离为l_2。电子的质量为m，电荷量为e，不考虑电子受到的重力及电子间相互作用力的影响。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_145555e3ac0eda360d13a5aac4c5a446.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_dfda0dd5ede3d3a5368e1751e8ee4f2a.jpg)


![图丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_27b29ad0c47b325a047455dc0deac8e7.jpg)
求电子穿过A板时速度的大小；

Solution:
$由动能定理可知eU_1=\frac{1}{2}mv^{2}$

$解得v=\sqrt{\frac{2eU_1}{m}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2eU_1}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，图甲是它的原理图。在偏转电极YY'上加上图乙所示的扫描电压，偏转电极XX'之间没有加电压，此时示波管的原理图简化成如图丙所示。电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U_1加速，从A板中心孔沿中心线KO(O为荧光屏的中心)射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的YY'偏转电场中。电子进入金属板M、N间时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点(图中未画出)。已知M、N两板间的最大电压为U_2，两板间的距离为d，板长为l_1，荧光屏到M、N极板右端距离为l_2。电子的质量为m，电荷量为e，不考虑电子受到的重力及电子间相互作用力的影响。$

<img_1327>

<img_991>


<img_1072>
求电子穿过A板时速度的大小；

Solution:
$由动能定理可知eU_1=\frac{1}{2}mv^{2}$

$解得v=\sqrt{\frac{2eU_1}{m}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2eU_1}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，图甲是它的原理图。在偏转电极YY'上加上图乙所示的扫描电压，偏转电极XX'之间没有加电压，此时示波管的原理图简化成如图丙所示。电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U_1加速，从A板中心孔沿中心线KO(O为荧光屏的中心)射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的YY'偏转电场中。电子进入金属板M、N间时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点(图中未画出)。已知M、N两板间的最大电压为U_2，两板间的距离为d，板长为l_1，荧光屏到M、N极板右端距离为l_2。电子的质量为m，电荷量为e，不考虑电子受到的重力及电子间相互作用力的影响。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_145555e3ac0eda360d13a5aac4c5a446.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_dfda0dd5ede3d3a5368e1751e8ee4f2a.jpg)


![图丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294909617500163/img/compression/M_27b29ad0c47b325a047455dc0deac8e7.jpg)
$每个电子穿过偏转电场的时间极短，可以认为这个过程中两极板间的电压是不变的，偏转电场可看作匀强电场。在t=0.15 s时刻进入偏转电场的电子打在屏上P位置，求OP的长度。$

Solution:
$电子在偏转电场内做类平抛运动，在平行于极板的方向上做匀速直线运动，l_1=vt，在垂直于极板的方向上做初速度为0的匀加速直线运动，y=\frac{1}{2}at^2，又eE=ma，0.5U_2=Ed$

$联立解得y=\frac{U_2l^2_1}{8dU_1}$

$电子出偏转电场后做匀速直线运动，设OP长为Y，出偏转电场时速度方向与水平方向的夹角为\theta ，则 \tan \theta =\frac{at}{v}$

$由几何关系得Y=y+l_2 \tan \theta $

$联立解得Y=\frac{U_2l_1(l_1+2l_2)}{8dU_1}$

Final answer: $\frac{U_2l_1(l_1+2l_2)}{8dU_1}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，图甲是它的原理图。在偏转电极YY'上加上图乙所示的扫描电压，偏转电极XX'之间没有加电压，此时示波管的原理图简化成如图丙所示。电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U_1加速，从A板中心孔沿中心线KO(O为荧光屏的中心)射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的YY'偏转电场中。电子进入金属板M、N间时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点(图中未画出)。已知M、N两板间的最大电压为U_2，两板间的距离为d，板长为l_1，荧光屏到M、N极板右端距离为l_2。电子的质量为m，电荷量为e，不考虑电子受到的重力及电子间相互作用力的影响。$

<img_1327>

<img_991>


<img_1072>
$每个电子穿过偏转电场的时间极短，可以认为这个过程中两极板间的电压是不变的，偏转电场可看作匀强电场。在t=0.15 s时刻进入偏转电场的电子打在屏上P位置，求OP的长度。$

Solution:
$电子在偏转电场内做类平抛运动，在平行于极板的方向上做匀速直线运动，l_1=vt，在垂直于极板的方向上做初速度为0的匀加速直线运动，y=\frac{1}{2}at^2，又eE=ma，0.5U_2=Ed$

$联立解得y=\frac{U_2l^2_1}{8dU_1}$

$电子出偏转电场后做匀速直线运动，设OP长为Y，出偏转电场时速度方向与水平方向的夹角为\theta ，则 \tan \theta =\frac{at}{v}$

$由几何关系得Y=y+l_2 \tan \theta $

$联立解得Y=\frac{U_2l_1(l_1+2l_2)}{8dU_1}$

Final answer: $\frac{U_2l_1(l_1+2l_2)}{8dU_1}$