di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

![23AZJ5WL395.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062027307577346/img/compression/M_c6e4f4bcb38237f7fc5391f34d4a33f8.jpg)
若拔去金属棒b的插销，断开开关S，同时释放a、b棒，两棒进入磁场后，立即撤去弧形轨道，如先离开磁场的某金属棒在离开磁场前已做匀速运动，则此棒从进入磁场到匀速运动的过程中其上产生的焦耳热多少？

Solution:
$进入磁场后，a棒先向右做减速运动，后跟b棒一起向右做匀速运动；b棒先向左减速为零，然后反向向右加速至与a棒速度相等，最后一起匀速向右运动，b棒先离开磁场。设a、b棒进入磁场的速度大小分别为v_{a}、v_{b}。由于a、b两棒组成的系统水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒，设两棒一起匀速运动时的速度为v_{1}，取向右为正方向，则有2mv_{a}-mv_{b}=3mv_{1}，mgh= \frac{1}{2} mv^{2}_{b}，2mgh= \frac{1}{2}\cdot 2mv^{2}_{a}，由以上三式解得v_{1}= \frac{\sqrt{2gh}}{3} ，由能量守恒的知识得 \frac{1}{2}\cdot 2mv^{2}_{a}+ \frac{1}{2} mv^{2}_{b}= \frac{1}{2}\cdot 3mv^{2}_{1}+Q，整个电路中产生的总焦耳热为Q= \frac{8mgh}{3} $

$b棒上产生的焦耳热Q_{b}= \frac{2}{3} Q= \frac{16mgh}{9}$

Final answer: $\frac{16mgh}{9}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，QMH与DEK为两根固定的平行水平金属导轨，在QD和ME两侧分别接有相同的弧形金属导轨PQ、CD与MN、EF，导轨间距均为l。水平金属导轨QM和DE长度皆为L(足够长)，只在其间分布有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨MH和EK间接有阻值为2R的定值电阻，由开关S控制通断，其他电阻均不计。a、b为材料相同、长度都为l的导体棒，跨接在弧形导轨上。已知a棒的质量为2m、电阻为R，b棒的质量为m、电阻为2R，b棒可用插销固定(图中未画出)。两棒距水平导轨高度都为h，由静止释放a棒、b棒，两棒会分别通过DQ、EM进入匀强磁场区域，a棒、b棒在水平导轨上运动时不会相碰。两棒与导轨接触良好，不计棒与导轨间的摩擦(重力加速度为g)。

<img_1066>
若拔去金属棒b的插销，断开开关S，同时释放a、b棒，两棒进入磁场后，立即撤去弧形轨道，如先离开磁场的某金属棒在离开磁场前已做匀速运动，则此棒从进入磁场到匀速运动的过程中其上产生的焦耳热多少？

Solution:
$进入磁场后，a棒先向右做减速运动，后跟b棒一起向右做匀速运动；b棒先向左减速为零，然后反向向右加速至与a棒速度相等，最后一起匀速向右运动，b棒先离开磁场。设a、b棒进入磁场的速度大小分别为v_{a}、v_{b}。由于a、b两棒组成的系统水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒，设两棒一起匀速运动时的速度为v_{1}，取向右为正方向，则有2mv_{a}-mv_{b}=3mv_{1}，mgh= \frac{1}{2} mv^{2}_{b}，2mgh= \frac{1}{2}\cdot 2mv^{2}_{a}，由以上三式解得v_{1}= \frac{\sqrt{2gh}}{3} ，由能量守恒的知识得 \frac{1}{2}\cdot 2mv^{2}_{a}+ \frac{1}{2} mv^{2}_{b}= \frac{1}{2}\cdot 3mv^{2}_{1}+Q，整个电路中产生的总焦耳热为Q= \frac{8mgh}{3} $

$b棒上产生的焦耳热Q_{b}= \frac{2}{3} Q= \frac{16mgh}{9}$

Final answer: $\frac{16mgh}{9}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆 M 以初速度 v_0 向右运动，磁场内的细金属杆 N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为 m，在导轨间的电阻均为 R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062027693453315/img/compression/M_f3c57ccb395d9041e6471115bedc993e.jpg)
求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小;

Solution:
$细金属杆M以初速度v_0向右刚进入磁场时，产生的电动势为E=BLv_0，由右手定则可知电流方向为a\rightarrow b，电流的大小为I= \frac{E}{2R} ，则所受的安培力大小为F=BIL= \frac{B^2L^2v_0}{2R} ，由左手定则可知安培力的方向水平向左；$

Final answer: $`\frac{B^2L^2v_0}{2R}` 方向水平向左$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆 M 以初速度 v_0 向右运动，磁场内的细金属杆 N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为 m，在导轨间的电阻均为 R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。$

<img_1227>
求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小;

Solution:
$细金属杆M以初速度v_0向右刚进入磁场时，产生的电动势为E=BLv_0，由右手定则可知电流方向为a\rightarrow b，电流的大小为I= \frac{E}{2R} ，则所受的安培力大小为F=BIL= \frac{B^2L^2v_0}{2R} ，由左手定则可知安培力的方向水平向左；$



Final answer: $\frac{B^2L^2v_0}{2R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061994244685826/img/compression/M_dfde32ed7bc0af4f3099679bbccd7bac.jpg)
$若N内轮上未挂重物，初始时N不动。M以角速度\omega_{0}顺时针转动，求回路电流大小；$

Solution:
$初始时，转轮M产生的电动势为E= \frac{Bl^2\omega _0}{2}，则回路中产生的电流为I= \frac{E}{2R}，联立得I= \frac{Bl^2\omega _0}{4R}，根据左手定则可知，转轮N顺时针转动。$

Final answer: $\frac{Bl^2\omega _0}{4R} 顺时针转动$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

<img_600>
$若N内轮上未挂重物，初始时N不动。M以角速度\omega_{0}顺时针转动，求回路电流大小；$

Solution:
$初始时，转轮M产生的电动势为E= \frac{Bl^2\omega _0}{2}，则回路中产生的电流为I= \frac{E}{2R}，联立得I= \frac{Bl^2\omega _0}{4R}，根据左手定则可知，转轮N顺时针转动。$



Final answer: $\frac{Bl^2\omega _0}{4R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061994244685826/img/compression/M_dfde32ed7bc0af4f3099679bbccd7bac.jpg)
$若M保持恒定角速度\omega _1转动，N作为电动机提升重物J。N最终以\omega _2稳定转动，求稳定时为保持M以\omega _1转动所需的外力功率P_0及J向上运动的速度。$

Solution:
:

$使转轮M匀速转动所需的输入功率为P_0=E_1 I_0，转轮M在转动过程中产生的电动势为E_1=\frac{1}{2} Bl^2 \omega _1，转轮M和转轮N在转动过程中整个回路中产生的合电动势为E_0=\frac{1}{2} Bl^2 \omega _1 - \frac{1}{2} Bl^2 \omega _2，由闭合电路欧姆定律可得，电路中的总电流为I_0=\frac{E_0}{2R}，联立得P_0=\frac{B^2l^4(\omega ^2_1-\omega _1\omega _2)}{8R}，两转轮上的金属棒消耗的总功率为P_{r}=I_0^2∙2R，得P_{r}=\frac{B^2l^4{(\omega _1-\omega _2)}^2}{8R}，根据P_0=mgv+P_{r}，故v=\frac{B^2l^4\omega _2(\omega _1-\omega _2)}{8mgR}。$

Final answer: $\frac{B^2l^4(\omega ^2_1-\omega _1\omega _2)}{8R}$
$\frac{B^2l^4\omega _2(\omega _1-\omega _2)}{8mgR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，竖直面内两个相同转轮M和N，边缘镶嵌导体圆环且各镶有一条长为l的金属棒。两轮均可绕各自金属转轴无摩擦转动。两轮边缘通过导线AC连接，两转轴通过电刷用导线DF连接。N有一同轴绝缘内轮，其上绕有轻绳，可用于提升重物J。整个装置处在方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。两转轮的金属棒的电阻均为R，其余电阻不计；重物J质量为m，重力加速度为g,两金属棒的质量忽略不计。

<img_600>
$若M保持恒定角速度\omega _1转动，N作为电动机提升重物J。N最终以\omega _2稳定转动，求稳定时为保持M以\omega _1转动所需的外力功率P_0及J向上运动的速度。$

Solution:
:

$使转轮M匀速转动所需的输入功率为P_0=E_1 I_0，转轮M在转动过程中产生的电动势为E_1=\frac{1}{2} Bl^2 \omega _1，转轮M和转轮N在转动过程中整个回路中产生的合电动势为E_0=\frac{1}{2} Bl^2 \omega _1 - \frac{1}{2} Bl^2 \omega _2，由闭合电路欧姆定律可得，电路中的总电流为I_0=\frac{E_0}{2R}，联立得P_0=\frac{B^2l^4(\omega ^2_1-\omega _1\omega _2)}{8R}，两转轮上的金属棒消耗的总功率为P_{r}=I_0^2∙2R，得P_{r}=\frac{B^2l^4{(\omega _1-\omega _2)}^2}{8R}，根据P_0=mgv+P_{r}，故v=\frac{B^2l^4\omega _2(\omega _1-\omega _2)}{8mgR}。$

Final answer: $\frac{B^2l^4(\omega ^2_1-\omega _1\omega _2)}{8R}$
$\frac{B^2l^4\omega _2(\omega _1-\omega _2)}{8mgR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061996278923268/img/compression/M_8f6b110e25328088b5a23796361a4876.jpg)
导体棒中的电流大小；

Solution:
$当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，导体棒的电阻为R=rl,导体棒切割磁感线产生的电动势为E=Blv，由闭合电路欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为I=\frac{Blv}{rl}=\frac{Bv}{r}，感应电流恒定。$

Final answer: $\frac{Bv}{r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

<img_833>
导体棒中的电流大小；

Solution:
$当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，导体棒的电阻为R=rl,导体棒切割磁感线产生的电动势为E=Blv，由闭合电路欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为I=\frac{Blv}{rl}=\frac{Bv}{r}，感应电流恒定。$

Final answer: $\frac{Bv}{r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061996278923268/img/compression/M_8f6b110e25328088b5a23796361a4876.jpg)
从a点移到c点，通过导体棒的电荷量；

Solution:
$因为导体棒移动过程中电流恒为I=\frac{Bv}{r},导体棒移动时间为t=\frac{\sqrt{2}l_0}{v}，得q=It=\frac{\sqrt{2}Bl_0}{r}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}Bl_0}{r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

<img_833>
从a点移到c点，通过导体棒的电荷量；

Solution:
$因为导体棒移动过程中电流恒为I=\frac{Bv}{r},导体棒移动时间为t=\frac{\sqrt{2}l_0}{v}，得q=It=\frac{\sqrt{2}Bl_0}{r}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}Bl_0}{r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061996278923268/img/compression/M_8f6b110e25328088b5a23796361a4876.jpg)
从a点移到c点，导体棒上产生的热量。

Solution:
由于导体棒运动速度不变，所以安培力做功全部转化为热量，由F-x图像可知

$F与x关系为分段函数，故所做的功即图线与横轴围成的面积，W=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}B^2vl_0}{r}\times \sqrt{2}l_0=\frac{B^2vl^2_0}{r},W=Q,即Q=\frac{B^2l^2_0v}{r}$

![23AZJ5WL125.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061996807405569/img/compression/M_b72fad1d8c7948aae3f0ce40cb723e30.jpg)

Final answer: $\frac{B^2l^2_0v}{r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一边长为l_0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于\sqrt{2}l_0的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好,已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求：$

<img_833>
从a点移到c点，导体棒上产生的热量。

Solution:
由于导体棒运动速度不变，所以安培力做功全部转化为热量，由F-x图像可知

$F与x关系为分段函数，故所做的功即图线与横轴围成的面积，W=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}B^2vl_0}{r}\times \sqrt{2}l_0=\frac{B^2vl^2_0}{r},W=Q,即Q=\frac{B^2l^2_0v}{r}$

<img_916>

Final answer: $\frac{B^2l^2_0v}{r}$
Subfield: Mechanics


Question: $小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在xOy竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为\frac{5}{9}g(g为重力加速度)，方向均与x轴负方向成37^\circ 斜向上(x轴向右为正)。蛙位于y轴上M点处，OM=H，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}.$
$若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在y = \frac{3}{4}H的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为2\sqrt{2} : 3，求蛙的最大跳出速率。$

Solution:
$蛙做平抛运动,设其最大跳出速率为v_m，则在捉住虫的过程中，蛙与虫的运动轨迹大致如图甲所示$
<img_697>

$对于蛙有x=vmt、H-y=\frac{1}{2}gt^2 $

$对于虫有\tan 37^\circ =\frac{y}{\Delta x} $

$由题给条件\frac{x}{\Delta x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，y=\frac{3}{4}H, $

$解得v_m=\frac{4}{3}\sqrt{gH}$

Final answer: $\frac{4}{3}\sqrt{gH}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑的水平杆OM和光滑的竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m_1=m，Q的质量m_2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P拴接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，重力加速度为g=10 m/s^2。$
![24BHN5WL326.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719893973849030658/img/compression/M_d13c704bb0bb1dbc95e78f1d4cf31c47.jpg)
求弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；

Solution:
刚开始两环处于静止状态，水平杆和竖直轴都是光滑的，分别对P、Q受力分析，如图所示：

![24BHN5WL327.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719893974255878145/img/compression/M_0dab5d6dc2120fbf4e8c93de9072c634.jpg)

$对Q，根据平衡条件，竖直方向上有F_T \cos 37^\circ =2mg，$

$对P，根据平衡条件，竖直方向上有F_{N2}=mg+F_T \cos 37^\circ ，水平方向上有F=F_T \sin 37^\circ ，$

$联立解得弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是F=\frac{3}{2}mg，F_{N2}=3mg；$

Final answer: $\frac{3}{2}mg$,$3mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑的水平杆OM和光滑的竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m_1=m，Q的质量m_2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P拴接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，重力加速度为g=10 m/s^2。$
<img_1114>
求弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是多少；

Solution:
刚开始两环处于静止状态，水平杆和竖直轴都是光滑的，分别对P、Q受力分析，如图所示：

<img_895>

$对Q，根据平衡条件，竖直方向上有F_T \cos 37^\circ =2mg，$

$对P，根据平衡条件，竖直方向上有F_{N2}=mg+F_T \cos 37^\circ ，水平方向上有F=F_T \sin 37^\circ ，$

$联立解得弹簧的弹力和水平杆对P的支持力分别是F=\frac{3}{2}mg，F_{N2}=3mg；$

Final answer: $\frac{3}{2}mg$,$3mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑的水平杆OM和光滑的竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m_1=m，Q的质量m_2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P拴接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，重力加速度为g=10 m/s^2。$
<img_1114>
$绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要使\theta =53^\circ ，求系统绕轴ON转动的角速度\omega 的取值。$

Solution:
$当轴转动时，绳长仍为l，因为Q环可以上下滑动，弹簧的形变量无法确定，分两种情况讨论：①假设此时弹簧处于拉伸状态，则对环P，水平方向有F'_T \sin 53^\circ +kx_{2}=m\omega ^{2}l \sin 53^\circ ，对Q，在竖直方向上有F'_T \cos 53^\circ =2mg，设静止时弹簧的压缩量为x_{1}，则由(1)问可知 kx_{1}=\frac{3}{2}mg，设此时弹簧的伸长量为x_{2}，则环P绕轴ON转动的半径为l \sin 37^\circ +x_{1}+x_{2}=l \sin 53^\circ ，联立得\omega =\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}；<br>②假设此时弹簧处于收缩状态，此时弹簧的压缩量为x_{2}，对P水平方向有F'_T \sin 53^\circ -kx_{2}=m\omega ^{2}l \sin 53^\circ 且l \sin 37^\circ +x_{1}-x_{2}=l \sin 53^\circ ，其他和①中一致，联立解得\omega =\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑的水平杆OM和光滑的竖直轴ON上分别套着环P和Q，环P的质量m_1=m，Q的质量m_2=2m，用轻绳连接，一根弹簧左端固定于O点，右端与环P拴接，两环静止时，轻绳与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，重力加速度为g=10 m/s^2。$
![24BHN5WL326.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719893973849030658/img/compression/M_d13c704bb0bb1dbc95e78f1d4cf31c47.jpg)
$绳长仍为l，弹簧的劲度系数为k，要使\theta =53^\circ ，求系统绕轴ON转动的角速度\omega 的取值。$

Solution:
$当轴转动时，绳长仍为l，因为Q环可以上下滑动，弹簧的形变量无法确定，分两种情况讨论：①假设此时弹簧处于拉伸状态，则对环P，水平方向有F'_T \sin 53^\circ +kx_{2}=m\omega ^{2}l \sin 53^\circ ，对Q，在竖直方向上有F'_T \cos 53^\circ =2mg，设静止时弹簧的压缩量为x_{1}，则由(1)问可知 kx_{1}=\frac{3}{2}mg，设此时弹簧的伸长量为x_{2}，则环P绕轴ON转动的半径为l \sin 37^\circ +x_{1}+x_{2}=l \sin 53^\circ ，联立得\omega =\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}；<br>②假设此时弹簧处于收缩状态，此时弹簧的压缩量为x_{2}，对P水平方向有F'_T \sin 53^\circ -kx_{2}=m\omega ^{2}l \sin 53^\circ 且l \sin 37^\circ +x_{1}-x_{2}=l \sin 53^\circ ，其他和①中一致，联立解得\omega =\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{35g}{24l}+\frac{k}{4m}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为$\theta (0<\theta <\pi )$，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894035268046850/img/compression/M_80875faba379cbb77e9c5c5c292a5ab0.jpg)
$求小球初速度的大小v_{0}；$

Solution:
$小球恰能在竖直平面内做圆周运动，设最高点的速度为v，据mg=m\frac{v^2}{L}，解得v=\sqrt{gL}，小球释放至最高点，由动能定理得-mg \cdot 2L=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2，解得v_0=\sqrt{5gL}。$

Final answer: $\sqrt{5gL}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为$\theta (0<\theta <\pi )$，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

<img_1433>
$求小球初速度的大小v_{0}；$

Solution:
$小球恰能在竖直平面内做圆周运动，设最高点的速度为v，据mg=m\frac{v^2}{L}，解得v=\sqrt{gL}，小球释放至最高点，由动能定理得-mg \cdot 2L=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2，解得v_0=\sqrt{5gL}。$

Final answer: $\sqrt{5gL}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为$\theta (0<\theta <\pi )$，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

<img_1433>
$求小球绕钉子做圆周运动的半径r与\theta 的关系式；$

Solution:
$小球绕钉子做圆周运动，设碰到钉子时的速度为v_1，从释放到碰到钉子的过程中，根据动能定理得-mgL\cdot (1- \cos \theta)=\frac{1}{2}mv^2_1-\frac{1}{2}mv^2_0，从碰到钉子到细线被拉断的过程中，由动能定理得mg(1- \cos \theta)r=\frac{1}{2}mv^2_2-\frac{1}{2}mv^2_1，细线被拉断的瞬间，F_T=7mg，F_T- mg=m\frac{v^2_2}{r}，联立解得r=\frac{(3+2 \ \cos  \theta )}{2(2+ \ \cos  \theta )}L。$

Final answer: $r = \frac{(3+2 \cos  \theta )}{2(2+ \cos  \theta )}L$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为$\theta (0<\theta <\pi )$，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894035268046850/img/compression/M_80875faba379cbb77e9c5c5c292a5ab0.jpg)
$求小球绕钉子做圆周运动的半径r与\theta 的关系式；$

Solution:
$小球绕钉子做圆周运动，设碰到钉子时的速度为v_1，从释放到碰到钉子的过程中，根据动能定理得-mgL\cdot (1- \cos \theta)=\frac{1}{2}mv^2_1-\frac{1}{2}mv^2_0，从碰到钉子到细线被拉断的过程中，由动能定理得mg(1- \cos \theta)r=\frac{1}{2}mv^2_2-\frac{1}{2}mv^2_1，细线被拉断的瞬间，F_T=7mg，F_T- mg=m\frac{v^2_2}{r}，联立解得r=\frac{(3+2 \ \cos  \theta )}{2(2+ \ \cos  \theta )}L。$

Final answer: $r = \frac{(3+2 \cos  \theta )}{2(2+ \cos  \theta )}L$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一个半径为R的球固定在水平地面上的O点，在图1中，在球顶部(球的最高点)把相同的质量为m的小物体以不同的初速度v_0水平向右抛出，未与球相碰而直接落在地面上；图2中，在固定球的顶部正上方不同高度处以不同的初速度v_0水平抛出相同的质量为m的小物体，均恰好与固定球不相碰而落地，重力加速度为g。
<img_1210>
$在图2中，当距球顶高度h多高、初始速度v_0多大抛出的小物体落地时动能最小？落地最小动能多大？$

Solution:
$设切点速度为v，切点与圆心的连线与竖直方向的夹角为\theta ，竖直速度y=v \sin \theta =gt，切点水平位移为v \cos \theta t=R\sin\theta ，由两式可得v^2=\frac{Rg}{\cos \theta }，根据机械能守恒，设落地速度为v1，则有\frac{1}{2}mv^2+mgR(1+ \cos \theta )=\frac{1}{2}mv_1^2，可得v_1^2=2Rg(1+\cos \theta +\frac{1}{2\cos \theta})，当 \cos \theta =\frac{1}{2 \cos \theta} 时，即 \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}，\theta =45^\circ ，v_1^2=2(1+\sqrt{2})Rg最小，最小动能E_{kmin}=\frac{1}{2}mv_1^2=(1+\sqrt{2})mgR。切点的速度满足v^2=\sqrt{2}Rg，竖直速度v_y=v \sin  \theta =\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}，水平速度_x=v \cos \theta=\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}，即抛出的初始速度v_0=\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}。从抛出到相切的时间t=\frac{v_y}{g}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}，抛出点到切点的高度H=\frac{1}{2}gt^2=\frac{\sqrt{2}}{4}R，所以抛出点到球顶的距离h=\frac{\sqrt{2}}{4}R-(R-\frac{\sqrt{2}}{2}R)=\frac{3\sqrt{2}-4}{4}R。$

Final answer: $\frac{3\sqrt{2}-4}{4}R\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}(1+\sqrt{2})mgR$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一个半径为R的球固定在水平地面上的O点，在图1中，在球顶部(球的最高点)把相同的质量为m的小物体以不同的初速度v_0水平向右抛出，未与球相碰而直接落在地面上；图2中，在固定球的顶部正上方不同高度处以不同的初速度v_0水平抛出相同的质量为m的小物体，均恰好与固定球不相碰而落地，重力加速度为g。
![23BHUN5WL96.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894035800723457/img/compression/M_4130aa9d96c489e028fa54621d393b87.jpg)
$在图2中，当距球顶高度h多高、初始速度v_0多大抛出的小物体落地时动能最小？落地最小动能多大？$

Solution:
$设切点速度为v，切点与圆心的连线与竖直方向的夹角为\theta ，竖直速度y=v \sin \theta =gt，切点水平位移为v \cos \theta t=R\sin\theta ，由两式可得v^2=\frac{Rg}{\cos \theta }，根据机械能守恒，设落地速度为v1，则有\frac{1}{2}mv^2+mgR(1+ \cos \theta )=\frac{1}{2}mv_1^2，可得v_1^2=2Rg(1+\cos \theta +\frac{1}{2\cos \theta})，当 \cos \theta =\frac{1}{2 \cos \theta} 时，即 \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}，\theta =45^\circ ，v_1^2=2(1+\sqrt{2})Rg最小，最小动能E_{kmin}=\frac{1}{2}mv_1^2=(1+\sqrt{2})mgR。切点的速度满足v^2=\sqrt{2}Rg，竖直速度v_y=v \sin  \theta =\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}，水平速度_x=v \cos \theta=\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}，即抛出的初始速度v_0=\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}。从抛出到相切的时间t=\frac{v_y}{g}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}，抛出点到切点的高度H=\frac{1}{2}gt^2=\frac{\sqrt{2}}{4}R，所以抛出点到球顶的距离h=\frac{\sqrt{2}}{4}R-(R-\frac{\sqrt{2}}{2}R)=\frac{3\sqrt{2}-4}{4}R。$

Final answer: $\frac{3\sqrt{2}-4}{4}R\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}Rg}(1+\sqrt{2})mgR$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

<img_460>
(宽度：270px)
C在碰撞前瞬间的速度大小；

Solution:
$设C在碰撞前瞬间的速度大小为v_1, 对C碰撞前的滑行过程应用动能定理有$
$\frac{1}{2}mv^2_1-\frac{1}{2}mv^2_0=-\mu mgs_0$
$解得v_1=\sqrt{v^2_0-2\mu gs_0}$

Final answer: $\sqrt{v^2_0-2\mu gs_0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

![23GZT5WL347.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894047473471489/img/compression/M_7b7574115443a4d399fdead167b62917.jpg)
(宽度：270px)
C在碰撞前瞬间的速度大小；

Solution:
$设C在碰撞前瞬间的速度大小为v_1, 对C碰撞前的滑行过程应用动能定理有$
$\frac{1}{2}mv^2_1-\frac{1}{2}mv^2_0=-\mu mgs_0$
$解得v_1=\sqrt{v^2_0-2\mu gs_0}$

Final answer: $\sqrt{v^2_0-2\mu gs_0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

![23GZT5WL347.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894047473471489/img/compression/M_7b7574115443a4d399fdead167b62917.jpg)
(宽度：270px)
C与B碰撞过程中损失的机械能；

Solution:
$设C与B碰撞后的共同速度为v_2，碰撞过程中动量守恒，有mv_1=2mv_2$
设碰撞过程中损失的机械能为\Delta E，再由能量守恒有
$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2} \times 2m \times v_2^2+\Delta E$
联立解得损失的机械能为
$\Delta E=\frac{1}{4}m(v_0^2-2\mu gs_0)$

Final answer: $\frac{1}{4} m(v^2_0-2\mu g_s0)$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

<img_460>
(宽度：270px)
C与B碰撞过程中损失的机械能；

Solution:
$设C与B碰撞后的共同速度为v_2，碰撞过程中动量守恒，有mv_1=2mv_2$
设碰撞过程中损失的机械能为\Delta E，再由能量守恒有
$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2} \times 2m \times v_2^2+\Delta E$
联立解得损失的机械能为
$\Delta E=\frac{1}{4}m(v_0^2-2\mu gs_0)$

Final answer: $\frac{1}{4} m(v^2_0-2\mu g_s0)$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

<img_460>
(宽度：270px)
从C与B相碰后到A开始运动的过程中，C和B克服摩擦力所做的功。

Solution:
当A开始运动时，A与地面间摩擦力恰好达到最大静摩擦力

$f_m=3\mu mg$

设此时弹簧的压缩量为x，对A由平衡条件有

$f_m=kx+\mu \times (m+m)g$

$解得x=\frac{\mu mg}{k}$

则此过程中C和B克服摩擦力所做的功为

$W=2\mu mgx=\frac{2\mu ^2m^2g^2}{k}$

Final answer: $\frac{2\mu ^2m^2g^2}{k}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，L形滑板A静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块B相连，弹簧处于原长状态。一小物块C以初速度v_0从滑板最左端滑入，滑行s_0后与B发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短)，然后一起向右运动；一段时间后，滑板A也开始运动。已知A、B、C的质量均为m，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为\mu ，重力加速度大小为g；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。求：

![23GZT5WL347.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894047473471489/img/compression/M_7b7574115443a4d399fdead167b62917.jpg)
(宽度：270px)
从C与B相碰后到A开始运动的过程中，C和B克服摩擦力所做的功。

Solution:
当A开始运动时，A与地面间摩擦力恰好达到最大静摩擦力

$f_m=3\mu mg$

设此时弹簧的压缩量为x，对A由平衡条件有

$f_m=kx+\mu \times (m+m)g$

$解得x=\frac{\mu mg}{k}$

则此过程中C和B克服摩擦力所做的功为

$W=2\mu mgx=\frac{2\mu ^2m^2g^2}{k}$

Final answer: $\frac{2\mu ^2m^2g^2}{k}$
Subfield: Mechanics


Question: $简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在F=-kx的回复力作用下，位移x与时间t遵循x=A \sin \omega t变化规则的运动，其中圆频率\omega =\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}(k为常数，A为振幅，T为周期)。弹簧振子的运动就是其典型代表。如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O。另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹簧的弹性势能为E_{p}=\frac{1}{2} kx^{2}。已知H=\frac{3mg}{k}，重力加速度为g。求：$

<img_1044>
小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。

Solution:
$𝐴、𝐵一起压缩弹簧做简谐运动，由题意𝑇=2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}，平衡位置处满足2𝑚𝑔=𝑘𝑥，则𝑥=2𝑥_0，故该简谐运动的平衡位置在𝑂点正下方𝑥_0处，可知振幅𝐴=2𝑥_0=\frac{2mg}{k}，振动图像如图，$
<img_1468>
$由余弦函数可知\frac{𝐴}{2}=𝐴 \cos 𝜃_1，0=𝐴 \cos 𝜃_2，则𝜃_1=\frac{\pi }{3}，𝜃_2=\frac{\pi }{2}，由𝜃=\frac{2\pi }{𝑇}𝑡可知𝑡_1=\frac{𝑇}{6}，𝑡_2=\frac{𝑇}{4}，则\Delta 𝑡=𝑡_2-𝑡_1=\frac{𝑇}{12}，所求时间𝑡=2(\Delta 𝑡+\frac{1}{4}𝑇)=\frac{2}{3}𝑇，得𝑡=\frac{2}{3}\times 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}。$

Final answer: $\frac{4}{3} \pi  \sqrt{\frac{2m}{k}}$
Subfield: Mechanics


Question: $简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在F=-kx的回复力作用下，位移x与时间t遵循x=A \sin \omega t变化规则的运动，其中圆频率\omega =\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}(k为常数，A为振幅，T为周期)。弹簧振子的运动就是其典型代表。如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O。另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹簧的弹性势能为E_{p}=\frac{1}{2} kx^{2}。已知H=\frac{3mg}{k}，重力加速度为g。求：$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894078597578754/img/compression/M_866fa28a1ecef899b8849c53fd563489.jpg)
小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。

Solution:
$𝐴、𝐵一起压缩弹簧做简谐运动，由题意𝑇=2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}，平衡位置处满足2𝑚𝑔=𝑘𝑥，则𝑥=2𝑥_0，故该简谐运动的平衡位置在𝑂点正下方𝑥_0处，可知振幅𝐴=2𝑥_0=\frac{2mg}{k}，振动图像如图，$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719918045861462022/img/compression/M_615a1f82cc3ff0a4d0826aa573e6b095.jpg)
$由余弦函数可知\frac{𝐴}{2}=𝐴 \cos 𝜃_1，0=𝐴 \cos 𝜃_2，则𝜃_1=\frac{\pi }{3}，𝜃_2=\frac{\pi }{2}，由𝜃=\frac{2\pi }{𝑇}𝑡可知𝑡_1=\frac{𝑇}{6}，𝑡_2=\frac{𝑇}{4}，则\Delta 𝑡=𝑡_2-𝑡_1=\frac{𝑇}{12}，所求时间𝑡=2(\Delta 𝑡+\frac{1}{4}𝑇)=\frac{2}{3}𝑇，得𝑡=\frac{2}{3}\times 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}。$

Final answer: $\frac{4}{3} \pi  \sqrt{\frac{2m}{k}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，P为固定的竖直挡板，质量为2m的长木板A静置于光滑水平面上(A的上表面略低于挡板P的下端)，质量为m的小物块B(可视为质点)以水平初速度v_0从A的左端向右滑上A的上表面，经过一段时间A、B第一次达到共同速度，此时B恰好未从A上滑落，然后物块B与长木板A一起向右运动，在t=0时刻，物块B与挡板P发生了第一次碰撞，经过一段时间物块B与长木板A第二次达到共同速度，之后物块B与挡板P发生了很多次碰撞，最终在t=t_0(未知)时恰好相对地面静止。已知A、B间的动摩擦因数为\mu ，重力加速度为g，物块与挡板P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894079067340802/img/compression/M_44b27f5ca9120cfc72ff9ed05f75e01c.jpg)
$0~t_0时间内B经过的路程；$

Solution:
$由(1)(2)问分析可知，物块B与木板第n次共速时的速度大小为 \frac{v_0}{3^n}，对于B， \mu mg=ma_B，$
$从B第一次撞击挡板到第1次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3}\right)^2=2a_Bs_1，$
$从B第二次撞击挡板到第2次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3^2}\right)^2=2a_Bs_2，$
$从B第n次撞击挡板到第n次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3^n}\right)^2=2a_Bs_n，$
$B物体每次向左运动的位移大小与向右运动的位移大小相等，则B物体运动的总路程s=2(s_1+s_2+s_3+...+s_n)=\frac{v^2_0}{\mu g}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+\cdots +\frac{1}{3^{2n}}\right)，结合等比数列的前n项和的公式得s=\frac{v^2_0}{\mu g}\frac{\frac{1}{3^2}\left(1-\frac{1}{3^{2n}}\right)}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)}=\frac{v^2_0}{8\mu g}；$

Final answer: $\frac{v^2_0}{8\mu g}$