di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC \perp BC,AC=BC=2,CC_1=3，点D,E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1,CE=2.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610384625848323/img/compression/M_449333a156f952e539ea56f8637aad47.jpg)
$设F为B_1C_1的中点，求证：A_1F\parallel 平面BDE；$

Solution:
$证明：取BE的中点G，连接FG、DG，则FG\parallel CC1\parallel AA1，且FG=\frac{C_1E+BB_1}{2}=\frac{1+3}{2}=2，所以FG\parallel A1D且FG=A1D，所以四边形A1DGF为平行四边形，所以A1F\parallel DG．又A1F\not\subset 平面BDE，DG\subset 平面BDE，所以A1F\parallel 平面BDE．$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1 B_1 C_1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC， CC_1的中点.$

<img_2710>
$求证：平面AEF\perp 平面B_1BCC_1;$

Solution:
$证明：在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，BB_1垂直平面ABC，又因为 AE落在平面ABC，所以 AE垂直BB_1。$

$因为\triangle ABC为等边三角形，E是BC的中点，所以 AE垂直BC，又因为BB_1和BC交于点B，BB_1和BC在平面B_1BCC_1中，所以 AE垂直平面B_1BCC_1。$

$因为 AE在平面AEF，所以平面AEF垂直平面B_1BCC_1。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1 B_1 C_1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC， CC_1的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610358396178434/img/compression/M_13e094971d66e73d3c9057bcdb66d80a.jpg)
$求证：平面AEF\perp 平面B_1BCC_1;$

Solution:
$证明：在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，BB_1垂直平面ABC，又因为 AE落在平面ABC，所以 AE垂直BB_1。$

$因为\triangle ABC为等边三角形，E是BC的中点，所以 AE垂直BC，又因为BB_1和BC交于点B，BB_1和BC在平面B_1BCC_1中，所以 AE垂直平面B_1BCC_1。$

$因为 AE在平面AEF，所以平面AEF垂直平面B_1BCC_1。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2，B_2，C_2，D_2分别在棱AA_1，BB_1，CC_1，DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
![24GZT5SX1.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283940768563203/img/compression/M_b2fb22a9a4b6a7b1dd37c5e2deebef03.jpg)
$证明：B_2C_2\parallel A_2D_2;$

Solution:
$证明：以C为原点，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$
$由题意知，A_2(2,2,1),B_2(0,2,2),C_2(0,0,3),D_2(2,0,2),$
$则\overrightarrow{B_2C_2}=(0, -2, 1)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0, -2, 1),$
$\therefore \overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}，\therefore \overrightarrow{B_2C_2}\parallel \overrightarrow{A_2D_2},$
$又知B_2C_2与A_2D_2无公共点，$
$\therefore B_2C_2\parallel A_2D_2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283941108301826/img/compression/M_df204ba2bd9062cf121894dc131de51e.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2，B_2，C_2，D_2分别在棱AA_1，BB_1，CC_1，DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
<img_3044>
$证明：B_2C_2\parallel A_2D_2;$

Solution:
$证明：以C为原点，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$
$由题意知，A_2(2,2,1),B_2(0,2,2),C_2(0,0,3),D_2(2,0,2),$
$则\overrightarrow{B_2C_2}=(0, -2, 1)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0, -2, 1),$
$\therefore \overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}，\therefore \overrightarrow{B_2C_2}\parallel \overrightarrow{A_2D_2},$
$又知B_2C_2与A_2D_2无公共点，$
$\therefore B_2C_2\parallel A_2D_2.$

<img_1670>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
<img_1780>
$求证：D_1 F\parallel 平面A_1 EC_1；$

Solution:
$如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AA_1所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系，$
<img_1659>
$则 A(0,0,0), A_1(0,0,2), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), C_1(2,2,2), D_1(0,2,2)，则$

$\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0), $

$因为 E 为 BC 的中点， F 为 CD 的中点，所以 E(2,1,0)， F(1,2,0)$， 

所以 

$\overrightarrow{D_1F}=(1,0,-2), $

$\overrightarrow{A_1E}=(2,1,-2).  $

$设平面 A_1EC_1的法向量为 m =(x,y,z)，$

则 

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=2x+2y=0,\\
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1E}=2x+y-2z=0,
\end{matrix}
\right.
$$

令$ x =2，则 m =(2,-2,1)$， 

因为 

$\overrightarrow{D_1F} \cdot \boldsymbol{m}=2-2=0, $

所以 

$\overrightarrow{D_1F} \perp \boldsymbol{m}, $

$又因为 D_1F \not\subset  平面 A_1EC_1，所以 D_1F \parallel  平面 A_1EC_1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283942374981635/img/compression/M_07622067350e8856c0d52e7d8bfe96af.jpg)
$求证：D_1 F\parallel 平面A_1 EC_1；$

Solution:
$如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AA_1所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系，$
![22GZTLSX58.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283942781829121/img/compression/M_6c1a2ea84fda7eee4bbd368886bc914b.jpg)
$则 A(0,0,0), A_1(0,0,2), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), C_1(2,2,2), D_1(0,2,2)，则$

$\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0), $

$因为 E 为 BC 的中点， F 为 CD 的中点，所以 E(2,1,0)， F(1,2,0)$， 

所以 

$\overrightarrow{D_1F}=(1,0,-2), $

$\overrightarrow{A_1E}=(2,1,-2).  $

$设平面 A_1EC_1的法向量为 m =(x,y,z)，$

则 

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=2x+2y=0,\\
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1E}=2x+y-2z=0,
\end{matrix}
\right.
$$

令$ x =2，则 m =(2,-2,1)$， 

因为 

$\overrightarrow{D_1F} \cdot \boldsymbol{m}=2-2=0, $

所以 

$\overrightarrow{D_1F} \perp \boldsymbol{m}, $

$又因为 D_1F \not\subset  平面 A_1EC_1，所以 D_1F \parallel  平面 A_1EC_1.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

<img_3083>
$求证：C_1M \perp B_1D；$

Solution:
$依题意，以C为原点，分别以\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CC_1}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C_1(0，0，3)，A_1(2，0，3)，B_1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3).$

<img_3122>

$证明：依题意，\overrightarrow{C_1M}=(1，1，0)，\overrightarrow{B_1D}=(2，-2，-2)，从而\overrightarrow{C_1M}\cdot \overrightarrow{B_1D}=2-2+0=0，所以C_1M\perp B_1D.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944124006402/img/compression/M_cf86dfafa7705cfa0144781d38ed0e9c.jpg)
$求证：C_1M \perp B_1D；$

Solution:
$依题意，以C为原点，分别以\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CC_1}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C_1(0，0，3)，A_1(2，0，3)，B_1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3).$

![21GZTSXS47答案.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944124006402/img/compression/M_67d3d874bed05109cacf47cc6c5c2d1b.jpg)

$证明：依题意，\overrightarrow{C_1M}=(1，1，0)，\overrightarrow{B_1D}=(2，-2，-2)，从而\overrightarrow{C_1M}\cdot \overrightarrow{B_1D}=2-2+0=0，所以C_1M\perp B_1D.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,已知四边形ABCD和四边形CDEF都是直角梯形,AB\parallel DC,DC\parallel EF,AB=5,DC=3,EF=1,\angle BAD=\angle CDE=60^\circ ,二面角F-DC-B的平面角为60^\circ .设M,N分别为AE,BC的中点.$

<img_2274>
$证明: FN \perp AD;$

Solution:
$证明：由题意知CD\perp CB,CD\perp CF,CB\cap CF=C,\therefore CD\perp 平面CBF,又FN\subset 平面CBF，\therefore CD\perp FN.易知\angle FCB即为二面角F-DC-B的平面角，故\angle FCB=60^\circ ,$

$又CF=(CD-EF)\tan \angle CDE=2\sqrt{3},CB=(AB-CD)\cdot \tan \angle BAD=2\sqrt{3},\therefore \triangle BCF是等边三角形，$

$又N是BC的中点，\therefore CB\perp FN,$

$\because CB\cap CD=C，CB，CD\subset 平面ABCD，$

$\therefore FN\perp 平面ABCD，\because AD\subset 平面ABCD，\therefore FN\perp AD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,已知四边形ABCD和四边形CDEF都是直角梯形,AB\parallel DC,DC\parallel EF,AB=5,DC=3,EF=1,\angle BAD=\angle CDE=60^\circ ,二面角F-DC-B的平面角为60^\circ .设M,N分别为AE,BC的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944862203907/img/compression/M_7878b48b4bd971b18485325842d32d31.jpg)
$证明: FN \perp AD;$

Solution:
$证明：由题意知CD\perp CB,CD\perp CF,CB\cap CF=C,\therefore CD\perp 平面CBF,又FN\subset 平面CBF，\therefore CD\perp FN.易知\angle FCB即为二面角F-DC-B的平面角，故\angle FCB=60^\circ ,$

$又CF=(CD-EF)\tan \angle CDE=2\sqrt{3},CB=(AB-CD)\cdot \tan \angle BAD=2\sqrt{3},\therefore \triangle BCF是等边三角形，$

$又N是BC的中点，\therefore CB\perp FN,$

$\because CB\cap CD=C，CB，CD\subset 平面ABCD，$

$\therefore FN\perp 平面ABCD，\because AD\subset 平面ABCD，\therefore FN\perp AD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，已知三棱柱$ABC-A\_1B\_1C\_1$的底面是正三角形，侧面$BB\_1C\_1C$是矩形，$M，N$分别为$BC，B\_1C\_1$的中点，$P$为$AM$上一点.过$B\_1C\_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

<img_2871>
$证明：AA_1 \parallel MN，且平面A_1AMN \perp 平面EB_1C_1F；$

Solution:
证明：$因为M，N分别为BC，B_1C_1的中点，所以MN\parallel CC_1.又由已知得AA_1\parallel CC_1，故AA_1\parallel MN.$

$因为\triangle A_1B_1C_1是正三角形，所以B_1C_1\perp A1N.$

$又B_1C_1\perp MN，故B1C1\perp 平面A_1AMN.$

$又因为B_1C_1\subset 平面EB_1C_1F，所以平面A_1AMN\perp 平面EB_1C_1F.$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，已知三棱柱$ABC-A\_1B\_1C\_1$的底面是正三角形，侧面$BB\_1C\_1C$是矩形，$M，N$分别为$BC，B\_1C\_1$的中点，$P$为$AM$上一点.过$B\_1C\_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

![21GZTLSX30A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283949417218051/img/compression/M_aad79aa84346e3af8d174fd1de92cae9.jpg)
$证明：AA_1 \parallel MN，且平面A_1AMN \perp 平面EB_1C_1F；$

Solution:
证明：$因为M，N分别为BC，B_1C_1的中点，所以MN\parallel CC_1.又由已知得AA_1\parallel CC_1，故AA_1\parallel MN.$

$因为\triangle A_1B_1C_1是正三角形，所以B_1C_1\perp A1N.$

$又B_1C_1\perp MN，故B1C1\perp 平面A_1AMN.$

$又因为B_1C_1\subset 平面EB_1C_1F，所以平面A_1AMN\perp 平面EB_1C_1F.$

Final answer: 证明题
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} =1 (a>b>0) 的离心率为 \frac{\sqrt{5}}{3}，点 A (-2,0) 在 C 上.$
$过点(-2，3)的直线交C于P,Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.$

Solution:
证明：由题意知，过P、Q两点的直线的斜率存在且不为零，记直线为l，设l：y=k(x+2)+3=kx+2k+3，令t=2k+3，则l：y=kx+t①，

联立
$$
\left\{
\begin{matrix}
y=kx+t,\\ 
\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1,
\end{matrix}
\right.
$$
$消去y得(4k^2+9)x^2+8ktx+4t^2-36=0，$

$由\Delta =(8kt)^2-4(4k^2+9)(4t^2-36)=144\times (4k^2+9-t^2)>0得4k^2+9>t^2.$

$设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=\frac{-8kt}{4k^2+9}，$

$x1x2=\frac{4t^2-36}{4k^2+9}，易知直线AP的方程为y=\frac{y_1}{x_1+2}(x+2).$

$令x=0，得yM=\frac{2y_1}{x_1+2}，同理可得yN=\frac{2y_2}{x_2+2}，$

$则\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=\frac{kx_1+t}{x_1+2}+\frac{kx_2+t}{x_2+2}$

$=\frac{(kx_1+t)(x_2+2)+(kx_2+t)(x_1+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}$

$=\frac{2kx_1x_2+(2k+t)(x_1+x_2)+4t}{2(x_1+x_2)+x_1x_2+4}$

$=\frac{2k(4t^2-36)-8kt(2k+t)+4t(4k^2+9)}{-16kt+4t^2-36+4(4k^2+9)}$

$=\frac{36(t-2k)}{4(t-2k)^2}=\frac{9}{t-2k}=\frac{9}{3}=3.$

$\therefore 线段MN的中点为定点(0，3).$

解题技巧

解决直线l过坐标系内定点问题时，可采取换元法将点斜式方程变为斜截式方程，减少项数，从而有效降低后续的计算量.
Subfield: Probability and Statistics


Question: 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

|           | 不够良好 |  良好 |
|-----------|----------|------|
| 病例组    |     40   |  60  |
| 对照组    |     10   |  90  |

$附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^{2}\geq k)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|-------------|-------|-------|-------|
| $k$       | 3.841 | 6.635 |10.828 |
能否有99%的把握认为患该疗疾病师群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

Solution:
$由题中数据可知 K^2 = \frac{200\times (40\times 90-10\times 60)^2}{100\times 100\times 50\times 150} = 24 > 6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.$

Final answer: 有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
Subfield: Probability and Statistics


Question: 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

|           | 不够良好 |  良好 |
|-----------|----------|------|
| 病例组    |     40   |  60  |
| 对照组    |     10   |  90  |

$附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^{2}\geq k)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|-------------|-------|-------|-------|
| $k$       | 3.841 | 6.635 |10.828 |

求有多大的把握认为患该疗疾病师群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

Solution:
$由题中数据可知 K^2 = \frac{200\times (40\times 90-10\times 60)^2}{100\times 100\times 50\times 150} = 24 > 6.635，所以有99\%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.$



Final answer: 99%
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为数列{a_n}的前n项和.已知\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.$
$证明：{a_n}是等差数列；$

Solution:
$证明：由已知条件  \frac{2S_n}{n} + n = 2a_{n} + 1 可得，  $
$2S_{n}=2na_{n}+n-n^{2} (①)，当 n\geq 2 时，由①可得 2S_{n-1}=2(n-1)a_{n-1}+(n-1)-(n-1)^{2} (②)，  $
$由 a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 及①-②可得，(2n-2)a_{n}-(2n-2)a_{n-1}=2n-2, n\geq 2 ,且 n \in  N^{} ,  $
$即 a_{n}-a_{n-1}=1 ,因此 ｛a_{n}｝ 是等差数列，公差为1.$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的首项a_1=\frac{4}{5}，且满足a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+3}，设b_n=\frac{1}{a_n} - 1.$
$证明：数列{b_n}为等比数列；$

Solution:
$证明：由题意得a_n=1, 因为$

$\frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{\frac{1}{a_{n+1}}-1}{\frac{1}{a_n}-1} = \frac{\frac{a_n+3}{4a_n}-1}{\frac{1}{a_n}-1} = \frac{3(1-a_n)}{4(1-a_n)} = \frac{3}{4}$

$且b_1= \frac{1}{a_1} - 1= \frac{1}{4}，$

$所以数列{b_n}是首项为\frac{1}{4}，公比为\frac{3}{4}的等比数列.$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列， b_n = $
$$
\begin{cases}
a_n - 6, &\text{当} n \text{为奇数},\\
2a_n, &\text{当} n \text{为偶数}.
\end{cases}
$$
$记S_n,T_n分别为数列a_n，b_n的前n项和，S_4=32，T_3=16.$
$证明:当n > 5时，T_n > S_n。$

Solution:
证明：

$\because a_n为等差数列，$

$\therefore S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = 5n + n^2-n = n^2 + 4n,$

$①当n(n\geq 6)为偶数时，T_n = b_1 + b_2 +\ldots + b_n$

$= (b_1 + b_3 +\ldots + b_{n-1} )+( b_2 + b_4 +\ldots + b_{n})$

$= (a_1-6 + a_3-6 +\ldots + a_{n-1}-6)+(2a_2+2a_4+\ldots +2a_n)$

$= \frac{a_1 + a_{n-1}}{2} \cdot \frac{n}{2} -6 \cdot \frac{n}{2} + 2\cdot\frac{a_2 + a_n}{2} \cdot \frac{n}{2}$

$= \frac{5+2(n-1)+3}{2} \cdot \frac{n}{2} -3n + \frac{7+2n+3}{2} \cdot n = \frac{3n^2+7n}{2}.$

$\therefore T_n- S_n = \frac{3n^2+7n}{2} -n^2 -4n= \frac{3n^2 +7n-2n^2-8n}{2}=\frac{n^2-n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}>0(n\geq 6),$

$\therefore 当n(n\geq 6)为偶数时，T_n>S_n.$

$②当n(n\geq 7)为奇数时，T_n = b_1 + b_2 +\ldots + b_n$

$= (b_1 + b_3 +\ldots + b_n )+( b_2 + b_4 +\ldots + b_{n-1})$

$= (a_1-6 + a_3-6 +\ldots + a_n -6)+(2a_2+2a_4+\ldots +2a_{n-1})$

$= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot \frac{n+1}{2}-6 \cdot \frac{n+1}{2} +2\cdot\frac{a_2 + a_{n-1}}{2} \cdot \frac{n-1}{2}$

$= \frac{5+2n+3}{2} \cdot \frac{n+1}{2} -3(n+1) +(n-1)\cdot\frac{7+2(n-1)+3}{2} = \frac{3n^2+5n-10}{2},$

$\therefore T_n - S_n = \frac{3n^2+5n-10}{2} -(n^2+4n) = \frac{n^2-3n-10}{2}=\frac{(n-5)(n+2)}{2}>0(n\geq 7)，$

$\therefore n(n\geq 7)为奇数时，T_n > S_n.$

$综上可知，当n>5时， T_n > S_n.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把\triangle DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF\perp BF.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283917645365249/img/compression/M_578924382bdbbe29fbb4235eb45a65f8.jpg)
$证明：平面PEF\perp 平面ABFD；$

Solution:
$证明：由已知可得，BF \perp EF，又因为 PF \perp BF，且PF、EF\subset 平面 PEF，PF \cap  EF = F，所以 BF \perp 平面 PEF，又BF \subset  平面ABFD，所以平面 PEF \perp 平面ABFD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把\triangle DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF\perp BF.$
<img_1746>
$证明：平面PEF\perp 平面ABFD；$

Solution:
$证明：由已知可得，BF \perp EF，又因为 PF \perp BF，且PF、EF\subset 平面 PEF，PF \cap  EF = F，所以 BF \perp 平面 PEF，又BF \subset  平面ABFD，所以平面 PEF \perp 平面ABFD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，\triangle ABC是正三角形，\triangle ACD是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD，AB=BD.$
![四面体](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283919226617858/img/compression/M_7364c3ca3849058e1e74c94892910222.jpg)
证明：平面ACD垂直平面ABC；

Solution:
$证明：由题设可得，\triangle ABD\cong \triangle CBD，从而AD=DC.$

$又\triangle ACD是直角三角形，所以\angle ADC=90^\circ .$

$取AC的中点O，连接DO，BO，则DO\perp AC，DO=AO.$

$又\triangle ABC是正三角形，故BO\perp AC.$

$所以\angle DOB为二面角D-AC-B的平面角.$

$在Rt\triangle AOB中，BO^2+AO^2=AB^2.$

$又AB=BD，所以BO^2+DO^2=BO^2+AO^2=AB^2=BD^2，故\angle DOB=90^\circ .所以平面ACD\perp 平面ABC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，\triangle ABC是正三角形，\triangle ACD是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD，AB=BD.$
<img_1737>
证明：平面ACD垂直平面ABC；

Solution:
$证明：由题设可得，\triangle ABD\cong \triangle CBD，从而AD=DC.$

$又\triangle ACD是直角三角形，所以\angle ADC=90^\circ .$

$取AC的中点O，连接DO，BO，则DO\perp AC，DO=AO.$

$又\triangle ABC是正三角形，故BO\perp AC.$

$所以\angle DOB为二面角D-AC-B的平面角.$

$在Rt\triangle AOB中，BO^2+AO^2=AB^2.$

$又AB=BD，所以BO^2+DO^2=BO^2+AO^2=AB^2=BD^2，故\angle DOB=90^\circ .所以平面ACD\perp 平面ABC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $圆柱O_1O_2中,四边形DEFG为过轴O_1O_2的截面，DG= 4\sqrt{2}, DE=16,\triangle ABC为底面圆O的内接正三角形，AB\parallel DE.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283930092130306/img/compression/M_e9a3d3eb9352013fcd1c6d2d10d69488.jpg)
$证明:CO_2\perp 平面ABFG；$

Solution:
$证明: 连接CO_1并延长交AB于H , 连接O_2H，\because \triangle ABC为底面圆O_1的内接正三角形，  $
$\therefore CH \perp AB,\because AB \parallel DE，\therefore CH \perp DE，  $
$\because 四边形DEFG为圆柱O_1O_2的轴截面，  $
$\therefore O_1O_2 \perp 圆面O_1,DE包含在圆面O_1内，\therefore O_1O_2 \perp DE，  $
$\because O_1O_2与CH的交集为O_1, \therefore DE \perp平面CHO_2,  $
$\because DE \parallel FG, \therefore FG \perp平面CHO_2, \therefore FG \perp CO_2，  $
$\because DG = 4\sqrt{2}, DE = 16,  $
$\therefore O_1C = 8, O_1H = 4, CH = 12, O_1O_2 = 4\sqrt{2}，  $
$\therefore O_2C^2 = O_1C^2 +O_1O^2_2 = 96, O_2H^2 = O_1H^2 +O_1O^2_2 = 48，  $
$\therefore O_2C^2 + O_2H^2 = CH^2，\therefore CO_2 \perp O_2H，  $
$\because HO_2与FG的交集为O_2, \therefore CO_2 \perp平面ABFG. $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283929744003075/img/compression/M_89357bcbf8193761376c0280368bbe88.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $圆柱O_1O_2中,四边形DEFG为过轴O_1O_2的截面，DG= 4\sqrt{2}, DE=16,\triangle ABC为底面圆O的内接正三角形，AB\parallel DE.$
<img_1560>
$证明:CO_2\perp 平面ABFG；$

Solution:
$证明: 连接CO_1并延长交AB于H , 连接O_2H，\because \triangle ABC为底面圆O_1的内接正三角形，  $
$\therefore CH \perp AB,\because AB \parallel DE，\therefore CH \perp DE，  $
$\because 四边形DEFG为圆柱O_1O_2的轴截面，  $
$\therefore O_1O_2 \perp 圆面O_1,DE包含在圆面O_1内，\therefore O_1O_2 \perp DE，  $
$\because O_1O_2与CH的交集为O_1, \therefore DE \perp平面CHO_2,  $
$\because DE \parallel FG, \therefore FG \perp平面CHO_2, \therefore FG \perp CO_2，  $
$\because DG = 4\sqrt{2}, DE = 16,  $
$\therefore O_1C = 8, O_1H = 4, CH = 12, O_1O_2 = 4\sqrt{2}，  $
$\therefore O_2C^2 = O_1C^2 +O_1O^2_2 = 96, O_2H^2 = O_1H^2 +O_1O^2_2 = 48，  $
$\therefore O_2C^2 + O_2H^2 = CH^2，\therefore CO_2 \perp O_2H，  $
$\because HO_2与FG的交集为O_2, \therefore CO_2 \perp平面ABFG. $

<img_1669>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,\triangle PAD为直角三角形,PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,\triangle PBC的面积是\triangle PAD的面积的\sqrt{5}倍.$

<img_2745>
$证明:平面PAD \perp 平面ABCD;$

Solution:
$证明:如图,取AD的中点O，BC的中点F.连接OP,OF,PF.$
$\because PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,AB=CD,$
$\therefore \triangle PBA\cong \triangle PCD.\therefore PA=PD,$
$又\because \triangle PAD为直角三角形,$
$\therefore AP\perp PD,\triangle PAD为等腰直角三角形，$
$又\because OA=OD,\therefore OP\perp AD.$
$\because PB=PC,BF=CF，\therefore PF\perp BC.$
$又\because \triangle PBC的面积是\triangle PAD面积的\sqrt{5}倍,AD=BC，$
$\therefore PF=\sqrt{5} OP.$
$易知AD=2 OP,\therefore OP^{2}+OF^{2}=OP^{2}+AD^{2}=OP^{2}+4 OP^{2}=5 OP^{2}=PF^{2},\therefore OP\perp OF,$
$\because OP\perp AD，OF\perp AD，$
$\therefore \angle POF为平面PAD和平面ABCD所成二面角的平面角，$
$\therefore 平面PAD\perp 平面ABCD.$

<img_2337>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,\triangle PAD为直角三角形,PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,\triangle PBC的面积是\triangle PAD的面积的\sqrt{5}倍.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283930452840449/img/compression/M_cce8ec3f36990eeaa1903786b58f99d1.jpg)
$证明:平面PAD \perp 平面ABCD;$

Solution:
$证明:如图,取AD的中点O，BC的中点F.连接OP,OF,PF.$
$\because PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,AB=CD,$
$\therefore \triangle PBA\cong \triangle PCD.\therefore PA=PD,$
$又\because \triangle PAD为直角三角形,$
$\therefore AP\perp PD,\triangle PAD为等腰直角三角形，$
$又\because OA=OD,\therefore OP\perp AD.$
$\because PB=PC,BF=CF，\therefore PF\perp BC.$
$又\because \triangle PBC的面积是\triangle PAD面积的\sqrt{5}倍,AD=BC，$
$\therefore PF=\sqrt{5} OP.$
$易知AD=2 OP,\therefore OP^{2}+OF^{2}=OP^{2}+AD^{2}=OP^{2}+4 OP^{2}=5 OP^{2}=PF^{2},\therefore OP\perp OF,$
$\because OP\perp AD，OF\perp AD，$
$\therefore \angle POF为平面PAD和平面ABCD所成二面角的平面角，$
$\therefore 平面PAD\perp 平面ABCD.$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283931002294273/img/compression/M_2a659c6dd551ae7db408ca703922029c.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，BC||AD，\angle BAD=90^\circ ，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点.$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959890395139/img/compression/M_77310709ff52b6c505dd3dc7499d5609.jpg)
$求证：BM\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：取PD的中点N，连接CN，MN，因为M为PA的中点，所以MN\parallel AD，MN=\frac{1}{2}AD，又BC\parallel AD，BC=\frac{1}{2}AD，所以MN\parallel BC，MN=BC，所以四边形BMNC为平行四边形，所以BM\parallel CN，又CN\subset 平面PCD，BM\not\subset 平面PCD，所以BM\parallel 平面PCD.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959890395139/img/compression/M_37853db918c7e9f336ce3f6c646400a8.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，BC||AD，\angle BAD=90^\circ ，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点.$

<img_2104>
$求证：BM\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：取PD的中点N，连接CN，MN，因为M为PA的中点，所以MN\parallel AD，MN=\frac{1}{2}AD，又BC\parallel AD，BC=\frac{1}{2}AD，所以MN\parallel BC，MN=BC，所以四边形BMNC为平行四边形，所以BM\parallel CN，又CN\subset 平面PCD，BM\not\subset 平面PCD，所以BM\parallel 平面PCD.$

<img_1506>
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图,以矩形ABCD的CD边为直径作半圆O,点E为半圆上一点，满足\angle EDC=60^\circ ,BC=1.现将半圆沿CD折起,使得半圆面和平面ABCD垂直.
![ABCD图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283960645369858/img/compression/M_358755d4c6ec0cafc931dc6042af6e2f.jpg)
$求证:平面ADE \perp平面BCE；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为矩形,\therefore BC\perp CD，\because 平面CDE\perp 平面ABCD,且平面CDE\cap 平面ABCD=CD,\therefore BC\perp 平面CDE,$

$而DE\subset 平面CDE,\therefore DE\perp BC，$

$\because 点E在半圆O上,CD为直径，\therefore DE\perp EC,$

$又BC\cap EC=C，\therefore DE\perp 平面BCE，$

$而DE\subset 平面ADE,\therefore 平面ADE\perp 平面BCE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图,以矩形ABCD的CD边为直径作半圆O,点E为半圆上一点，满足\angle EDC=60^\circ ,BC=1.现将半圆沿CD折起,使得半圆面和平面ABCD垂直.
<img_1854>
$求证:平面ADE \perp平面BCE；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为矩形,\therefore BC\perp CD，\because 平面CDE\perp 平面ABCD,且平面CDE\cap 平面ABCD=CD,\therefore BC\perp 平面CDE,$

$而DE\subset 平面CDE,\therefore DE\perp BC，$

$\because 点E在半圆O上,CD为直径，\therefore DE\perp EC,$

$又BC\cap EC=C，\therefore DE\perp 平面BCE，$

$而DE\subset 平面ADE,\therefore 平面ADE\perp 平面BCE.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：$

| 锻炼人次\空气质量等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
|-----|---------|----------|----------|
| 1(优)                  | 2       | 16       | 25       |
| 2(良)                  | 5       | 10       | 12       |
| 3(轻度污染)            | 6       | 7        | 8        |
| 4(中度污染)            | 7       | 2        | 0        |

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$$
\begin{array}{c|ccc}
P\left(K^{2} \geqslant k\right) & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\
\hline k & 3.841 & 6.635 & 10.828
\end{array}
$$

$若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好".根据所给数据，完成下面的2\times 2列联表，并根据列联表，证明：有95\%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.$

Solution:
证明：
$根据所给数据，可得2\times 2列联表：$

|       | 人次 $\leq$ 400 | 人次>400 |
|-------|---------|---------|
| 空气质量好   | 33      | 37      |
| 空气质量不好 | 22      | 8       |

$根据列联表得K^2=\frac{100 \times (33 \times 8-37 \times 22)^2}{70 \times 30 \times 55 \times 45}\approx 5.820.$

由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：$

| 锻炼人次\空气质量等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
|-----|---------|----------|----------|
| 1(优)                  | 2       | 16       | 25       |
| 2(良)                  | 5       | 10       | 12       |
| 3(轻度污染)            | 6       | 7        | 8        |
| 4(中度污染)            | 7       | 2        | 0        |

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

\[
\begin{array}{c|ccc}
P\left(K^{2} \geqslant k\right) & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\
\hline k & 3.841 & 6.635 & 10.828
\end{array}
\]
$若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好".根据所给数据，完成下面的2\times 2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.$

|          | 人次$\leq$  400 | 人次>400  |
|----------|----------|----------|
| 空气质量好 |          |          |
| 空气质量不好 |          |          |

Solution:
$根据所给数据，可得2\times 2列联表：$

|       | 人次 $\leq$ 400 | 人次>400 |
|-------|---------|---------|
| 空气质量好   | 33      | 37      |
| 空气质量不好 | 22      | 8       |

$根据列联表得K^2=\frac{100 \times (33 \times 8-37 \times 22)^2}{70 \times 30 \times 55 \times 45}\approx 5.820.$

由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

Final answer: $K^2=\frac{100 \times (33 \times 8-37 \times 22)^2}{70 \times 30 \times 55 \times 45}\approx 5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.$