di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

![(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_bd4236755eebc46d88ef3256bf1bb035.jpg)

![(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_766f84148e9d0d027b2b7ca2b7251517.jpg)

![(c)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_295662e627d38409e9fc9e3b2aeef0c3.jpg)

![(d)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_ed2d3405ef9fac64f6cefb0a831ae417.jpg)

![(e)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_6c96898d48a766edca968f8d87e2a928.jpg)
撤去光滑平板，让小球在空中旋转，测试发现，当小球的角速度$\omega$ 小于某一值$\omega _2$时，细线会缠绕在竖直杆上，最后随细杆转动，如图(d)所示，则$\omega _2$为多大？

Solution:
撤去平板后，小球重力和细线拉力的合力提供向心力，当细线没有绕在竖直杆时，设细线与竖直杆的夹角为\alpha ，由牛顿第二定律可得$mg \tan \alpha =m\omega ^2L \sin \alpha $

$解得\omega =\sqrt{\frac{g}{L \ \cos \ \alpha }}$

$随着角速度的减小，\alpha 减小，当\alpha =0时，细线开始绕在竖直杆上，解得此时角速度为\omega _2=\sqrt{\frac{g}{L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{g}{L}}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

<img_1392>

<img_1042>

<img_1271>

<img_942>

<img_789>
撤去光滑平板，让小球在空中旋转，测试发现，当小球的角速度$\omega$ 小于某一值$\omega _2$时，细线会缠绕在竖直杆上，最后随细杆转动，如图(d)所示，则$\omega _2$为多大？

Solution:
撤去平板后，小球重力和细线拉力的合力提供向心力，当细线没有绕在竖直杆时，设细线与竖直杆的夹角为\alpha ，由牛顿第二定律可得$mg \tan \alpha =m\omega ^2L \sin \alpha $

$解得\omega =\sqrt{\frac{g}{L \ \cos \ \alpha }}$

$随着角速度的减小，\alpha 减小，当\alpha =0时，细线开始绕在竖直杆上，解得此时角速度为\omega _2=\sqrt{\frac{g}{L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{g}{L}}$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

<img_1392>

<img_1042>

<img_1271>

<img_942>

<img_789>
$在题(2)情况下，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的B点，且当两条细线均伸直时，如图(e)所示，各部分长度之比|AB|:|AC|:|BC|=5:4:3。则当小球以\omega '=\sqrt{\frac{2g}{\sqrt{3}L}}匀速转动时，两细线对小球的拉力分别为多大？$

Solution:
当细线BC恰好伸直时，由几何关系得，AC与竖直方向夹角为37^\circ ，此时小球的角速度为
$\omega =\sqrt{\frac{g}{L \cdot \mathrm{\cos}\  37 ^{\circ} }}=\sqrt{\frac{5g}{4L}}>\omega '$
$则\omega '=\sqrt{\frac{2g}{\sqrt{3}L}}时细线BC未伸直，即T_{BC}=0$
设此时细线AC与竖直方向的夹角为\beta ，由上得
$\omega '=\sqrt{\frac{g}{L \cdot \mathrm{\cos}\  \beta }}$
$解得\cos \beta =\frac{g}{L\omega '^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
根据平衡条件得
$T_{AC}=\frac{mg}{\cos  \beta }=\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3} mg　0$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

![(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_bd4236755eebc46d88ef3256bf1bb035.jpg)

![(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_766f84148e9d0d027b2b7ca2b7251517.jpg)

![(c)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_295662e627d38409e9fc9e3b2aeef0c3.jpg)

![(d)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_ed2d3405ef9fac64f6cefb0a831ae417.jpg)

![(e)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_6c96898d48a766edca968f8d87e2a928.jpg)
$在题(2)情况下，再用一根细线，同样一端系在该小球上，另一端固定在细杆上的B点，且当两条细线均伸直时，如图(e)所示，各部分长度之比|AB|:|AC|:|BC|=5:4:3。则当小球以\omega '=\sqrt{\frac{2g}{\sqrt{3}L}}匀速转动时，两细线对小球的拉力分别为多大？$

Solution:
当细线BC恰好伸直时，由几何关系得，AC与竖直方向夹角为37^\circ ，此时小球的角速度为
$\omega =\sqrt{\frac{g}{L \cdot \mathrm{\cos}\  37 ^{\circ} }}=\sqrt{\frac{5g}{4L}}>\omega '$
$则\omega '=\sqrt{\frac{2g}{\sqrt{3}L}}时细线BC未伸直，即T_{BC}=0$
设此时细线AC与竖直方向的夹角为\beta ，由上得
$\omega '=\sqrt{\frac{g}{L \cdot \mathrm{\cos}\  \beta }}$
$解得\cos \beta =\frac{g}{L\omega '^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
根据平衡条件得
$T_{AC}=\frac{mg}{\cos  \beta }=\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3} mg　0$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角\alpha=37^\circ 的光滑直轨道AB、圆心为O_1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O_2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37^\circ 的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、O_1、D、O_2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15 m，轨道AB长度l_{AB}=3 m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数\mu=\frac{7}{8},滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。(g=10 m/s^2)$

<img_1075>
$若释放点距B点的长度l=0.7 m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F_N的大小;$

Solution:
到C点过程，根据动能定理有：
$mgl \sin 37^\circ +mgR(1-\cos 37^\circ )=\frac{1}{2}mv_C^2$
在C点时，$F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}$
解得$F_N=7 N$

Final answer: $7 N$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角\alpha=37^\circ 的光滑直轨道AB、圆心为O_1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O_2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37^\circ 的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点(与B点等高)，B、O_1、D、O_2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1 kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15 m，轨道AB长度l_{AB}=3 m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数\mu=\frac{7}{8},滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。(g=10 m/s^2)$

![23AZJ5WL472.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612365347299330/img/compression/M_bf9b8dace793566889304d6826b14ce0.jpg)
$若释放点距B点的长度l=0.7 m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F_N的大小;$

Solution:
到C点过程，根据动能定理有：
$mgl \sin 37^\circ +mgR(1-\cos 37^\circ )=\frac{1}{2}mv_C^2$
在C点时，$F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}$
解得$F_N=7 N$

Final answer: $7 N$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,钉子A、B相距$5l$,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为$3l$。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为$53^\circ$ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取$\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6$。求:

![19GZTWL114.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612411179323394/img/compression/M_0c5c40aa1c5c0f8c88baeb3f8f80d5f8.jpg)
物块和小球的质量之比$M : m$;

Solution:
小球运动到与A、B相同高度过程中

$小球上升高度h_1=3l \sin 53^\circ ,物块下降高度h_2=2l$

$由机械能守恒定律得mgh_1=Mgh_2$

$解得 \frac{M}{m}= \frac{6}{5}$

Final answer: $\frac{6}{5}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,钉子A、B相距$5l$,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为$3l$。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为$53^\circ$ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取$\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6$。求:

<img_920>
物块和小球的质量之比$M : m$;

Solution:
小球运动到与A、B相同高度过程中

$小球上升高度h_1=3l \sin 53^\circ ,物块下降高度h_2=2l$

$由机械能守恒定律得mgh_1=Mgh_2$

$解得 \frac{M}{m}= \frac{6}{5}$

Final answer: $\frac{6}{5}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![22GZTWLS105.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612434434052099/img/compression/M_7f3e067bd372ecbf7a03f24dd2bdf85d.jpg)
装置静止时，弹簧弹力的大小F；

Solution:
对A、B受力分析

$对A：F=T_2 \sin 37^\circ $

$对B：T_1 \cos 37^\circ +T_2 \cos 37^\circ =mg$

$T_1 \sin 37^\circ =T_2 \sin 37^\circ $

$解得 F= \frac{3mg}{8}$

Final answer: $\frac{3mg}{8}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1282>
装置静止时，弹簧弹力的大小F；

Solution:
对A、B受力分析

$对A：F=T_2 \sin 37^\circ $

$对B：T_1 \cos 37^\circ +T_2 \cos 37^\circ =mg$

$T_1 \sin 37^\circ =T_2 \sin 37^\circ $

$解得 F= \frac{3mg}{8}$

Final answer: $\frac{3mg}{8}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1282>
环A的质量M；

Solution:
当细线与竖直方向夹角为53^\circ 时，设角速度为$\omega $

对A：$F=M\omega ^2\cdot 2L\cdot \sin 53^\circ $

对B：$mg \tan 53^\circ =m\omega ^2L\cdot \sin 53^\circ $

$M= \frac{9}{64} m$

Final answer: $\frac{9}{64} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![22GZTWLS105.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612434434052099/img/compression/M_7f3e067bd372ecbf7a03f24dd2bdf85d.jpg)
环A的质量M；

Solution:
当细线与竖直方向夹角为53^\circ 时，设角速度为$\omega $

对A：$F=M\omega ^2\cdot 2L\cdot \sin 53^\circ $

对B：$mg \tan 53^\circ =m\omega ^2L\cdot \sin 53^\circ $

$M= \frac{9}{64} m$

Final answer: $\frac{9}{64} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1282>
上述过程中，装置对A、B所做的总功。

Solution:
B上升的高度为$h=L(\cos 37^\circ -\cos 53^\circ )$

A、B的动能分别为

$E_{kA}= \frac{1}{2}M(\omega \cdot 2L\cdot \sin 53^\circ )^2 ， E_{kB}= \frac{1}{2} m(\omega L\cdot \sin 53^\circ )^2$

$则W=(E_{kA}-0)+(E_{kB}-0)+mgh= \frac{31}{30} mgL$

Final answer: $\frac{31}{30} mgL$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上。长为$2L$的细线和弹簧两端分别固定于O点和A上，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为$37^\circ$ ，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到$53^\circ$ 时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反。重力加速度为g，取$\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![22GZTWLS105.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612434434052099/img/compression/M_7f3e067bd372ecbf7a03f24dd2bdf85d.jpg)
上述过程中，装置对A、B所做的总功。

Solution:
B上升的高度为$h=L(\cos 37^\circ -\cos 53^\circ )$

A、B的动能分别为

$E_{kA}= \frac{1}{2}M(\omega \cdot 2L\cdot \sin 53^\circ )^2 ， E_{kB}= \frac{1}{2} m(\omega L\cdot \sin 53^\circ )^2$

$则W=(E_{kA}-0)+(E_{kB}-0)+mgh= \frac{31}{30} mgL$

Final answer: $\frac{31}{30} mgL$
Subfield: Optics


Question: 
$如图所示，某L形透明材料的折射率n=2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为\theta 。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求\theta 的最大值。$

<img_458>

Solution:
$为使光射到AB面时不射入空气，故光在AB面发生全反射，由\sin C=\frac{1}{n}，且C+\theta =90^\circ ，得\theta =60^\circ $

<img_992>

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Optics


Question: 
$如图所示，某L形透明材料的折射率n=2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为\theta 。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求\theta 的最大值。$

![20GZTWL118.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522317579796483/img/compression/M_bddc69cdf638a7b650898830bc610f04.jpg)

Solution:
$为使光射到AB面时不射入空气，故光在AB面发生全反射，由\sin C=\frac{1}{n}，且C+\theta =90^\circ ，得\theta =60^\circ $

![20GZTWL122.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522317579796483/img/compression/M_5c8bc269fe5f5acf74be07346975cfbd.jpg)

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Optics


Question: $国际宇航联合会将2020年度“世界航天奖”授予我国“嫦娥四号”任务团队。“嫦娥四号”任务创造了多项世界第一。在探月任务中，“玉兔二号”月球车朝正下方发射一束频率为f的电磁波，该电磁波分别在月壤层的上、下表面被反射回来，反射波回到“玉兔二号”的时间差为\Delta t。已知电磁波在月壤层中传播的波长为\lambda，求该月壤层的厚度d。$

Solution:
$电磁波的传播速度v=f\lambda $

$根据题意2d=v\Delta t，解得d=\frac{f\lambda \Delta t}{2}$



Final answer: $\frac{f\lambda \Delta t}{2}$
Subfield: Optics


Question: 
$国际宇航联合会将2020年度“世界航天奖”授予我国“嫦娥四号”任务团队。“嫦娥四号”任务创造了多项世界第一。在探月任务中，“玉兔二号”月球车朝正下方发射一束频率为f的电磁波，该电磁波分别在月壤层的上、下表面被反射回来，反射波回到“玉兔二号”的时间差为\Delta t。已知电磁波在月壤层中传播的波长为\lambda，求该月壤层的厚度d。$

Solution:
$电磁波的传播速度v=f\lambda $

$根据题意2d=v\Delta t，解得d=\frac{f\lambda \Delta t}{2}$

Final answer: $\frac{f\lambda \Delta t}{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为\frac{2}{3}d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为\theta 。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为\theta 。已知水的折射率n=\frac{4}{3}，求：$

<img_806>
$\tan \theta 的值；$

Solution:
$小球做平抛运动，设初速度为v_0、在空中飞行时间为t，则$
$水平方向上d=v_0t$
$竖直方向上\frac{2d}{3}=\frac{v_y}{2}t$
$再由速度合成与分解有\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}$
$解得\tan \theta =\frac{4}{3}$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为\frac{2}{3}d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为\theta 。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为\theta 。已知水的折射率n=\frac{4}{3}，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522318838087682/img/compression/M_2052ee074556fb6afc9c5e289ab413b0.jpg)
$\tan \theta 的值；$

Solution:
$小球做平抛运动，设初速度为v_0、在空中飞行时间为t，则$
$水平方向上d=v_0t$
$竖直方向上\frac{2d}{3}=\frac{v_y}{2}t$
$再由速度合成与分解有\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}$
$解得\tan \theta =\frac{4}{3}$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为\frac{2}{3}d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为\theta 。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为\theta 。已知水的折射率n=\frac{4}{3}，求：$

<img_806>
B位置到水面的距离H。

Solution:
$设光线在水面的入射角为\theta_1，由折射定律有$

$n=\frac{\sin  \theta _1}{\sin  (90^{\circ}-\theta )}$

再由题图中几何关系有

$d=\frac{H}{\tan  \theta } + \frac{2d}{3}\tan \theta_1$

联立解得

$H=\frac{4}{27}d$

Final answer: $\frac{4}{27} d$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为\frac{2}{3}d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为\theta 。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为\theta 。已知水的折射率n=\frac{4}{3}，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522318838087682/img/compression/M_2052ee074556fb6afc9c5e289ab413b0.jpg)
B位置到水面的距离H。

Solution:
$设光线在水面的入射角为\theta_1，由折射定律有$

$n=\frac{\sin  \theta _1}{\sin  (90^{\circ}-\theta )}$

再由题图中几何关系有

$d=\frac{H}{\tan  \theta } + \frac{2d}{3}\tan \theta_1$

联立解得

$H=\frac{4}{27}d$

Final answer: $\frac{4}{27} d$
Subfield: Optics


Question: $一玻璃工件的上半部是圆锥，\angle ACB=120^\circ ，下半部是半径为R的半球体，O为球心，其截面如图所示。一束单色光以45^\circ 的入射角射向截面的AC边后，垂直于AB射向球面，入射角也为45^\circ 。已知真空中光速为c。求：$

<img_1224>
$玻璃的折射率n；$

Solution:
由题意，作出光路图如图。

$设折射角为\theta ，由几何关系可知$

$\angle ACB=180^\circ -2\theta $

根据折射定律有 

$\frac{ \sin  45^{\circ}}{ \sin  \theta }=n$

$联立解得n=\sqrt{2}$

<img_502>

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Optics


Question: $一玻璃工件的上半部是圆锥，\angle ACB=120^\circ ，下半部是半径为R的半球体，O为球心，其截面如图所示。一束单色光以45^\circ 的入射角射向截面的AC边后，垂直于AB射向球面，入射角也为45^\circ 。已知真空中光速为c。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522337989529603/img/compression/M_177af27c0ff9a816c2b15b1a35e908cd.jpg)
$玻璃的折射率n；$

Solution:
由题意，作出光路图如图。

$设折射角为\theta ，由几何关系可知$

$\angle ACB=180^\circ -2\theta $

根据折射定律有 

$\frac{ \sin  45^{\circ}}{ \sin  \theta }=n$

$联立解得n=\sqrt{2}$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522338253770754/img/compression/M_3cdbacd3c00e2f3f213a584a53ce7c55.jpg)

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Optics


Question: $有一种高脚酒杯(脚高且细)，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径为R=1.50 cm，O点到杯口平面的距离为8.0 cm，在杯脚底中心处P点紧贴一张小画片，P点距O点6.3 cm。这种酒杯未斟酒水，若在杯口上方向杯底方向观看，看不出画片上的图案。已知玻璃的折射率n=1.56，角度很小时，可以认为\sin \alpha =\alpha 。求：$

<img_995>
光在玻璃中的传播速度；

Solution:
$根据n=\frac{c}{v}可知光在玻璃中的传播速度$

$v=\frac{c}{n}=\frac{3\times {10}^8}{1.56} m/s\approx 1.92\times 10^8 m/s$

Final answer: $\frac{3\times {10}^8}{1.56} m/s$
Subfield: Optics


Question: $有一种高脚酒杯(脚高且细)，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径为R=1.50 cm，O点到杯口平面的距离为8.0 cm，在杯脚底中心处P点紧贴一张小画片，P点距O点6.3 cm。这种酒杯未斟酒水，若在杯口上方向杯底方向观看，看不出画片上的图案。已知玻璃的折射率n=1.56，角度很小时，可以认为\sin \alpha =\alpha 。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522338622869507/img/compression/M_6ca6adf3d1afcafd83585b8f2d860af7.jpg)
光在玻璃中的传播速度；

Solution:
$根据n=\frac{c}{v}可知光在玻璃中的传播速度$

$v=\frac{c}{n}=\frac{3\times {10}^8}{1.56} m/s\approx 1.92\times 10^8 m/s$

Final answer: $\frac{3\times {10}^8}{1.56} m/s$
Subfield: Optics


Question: $有一种高脚酒杯(脚高且细)，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径为R=1.50 cm，O点到杯口平面的距离为8.0 cm，在杯脚底中心处P点紧贴一张小画片，P点距O点6.3 cm。这种酒杯未斟酒水，若在杯口上方向杯底方向观看，看不出画片上的图案。已知玻璃的折射率n=1.56，角度很小时，可以认为\sin \alpha =\alpha 。求：$

<img_995>
计算画片成像位置离杯口的距离。

Solution:
$如图把酒杯放平，未斟酒水时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n和n_0=1。$

<img_1039>

$由P点出发经过球心C的光线PO经过球面顶点沿原方向进入空气中；由P点出发的与PO成\alpha 角的另一光线PA在A处折射。设在A处入射角为i，折射角为r，半径CA与CO的夹角为\theta ，由折射定律和几何关系可得$

$n=\frac{\sin  r}{\sin  i}，\theta =i+\alpha $

$在\triangle PAC中由正弦定理有\frac{R}{\sin  \alpha }=\frac{PC}{\sin  i}$

$考虑近轴光线成像，\alpha 、i、r都是小角度，则有r=\frac{n}{n_0}i$

$\alpha =\frac{R}{PC}i$

$又PC=PO－CO=4.8 cm$

$解得\theta =1.312 5i，r=1.56i，可知r>\theta $

设折射光线将与PO延长线相交于P'，画片将成实像于P'处。

$在\triangle CAP'中,由正弦定理有\frac{R}{\sin  \beta }=\frac{CP'}{\sin (\pi -r)}，又有r=\theta +\beta ,\sin(\pi -r)=\sin r$

$考虑到是近轴光线，可得CP'=\frac{r}{r-\theta }R$

又有OP'=CP'-R

$由以上各式并代入数据可得OP'\approx 7.95 cm$

$所以成像位置离杯口的距离为L=8 cm-OP'=0.05 cm。$

Final answer: 0.05 cm
Subfield: Optics


Question: $有一种高脚酒杯(脚高且细)，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径为R=1.50 cm，O点到杯口平面的距离为8.0 cm，在杯脚底中心处P点紧贴一张小画片，P点距O点6.3 cm。这种酒杯未斟酒水，若在杯口上方向杯底方向观看，看不出画片上的图案。已知玻璃的折射率n=1.56，角度很小时，可以认为\sin \alpha =\alpha 。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522338622869507/img/compression/M_6ca6adf3d1afcafd83585b8f2d860af7.jpg)
计算画片成像位置离杯口的距离。

Solution:
$如图把酒杯放平，未斟酒水时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n和n_0=1。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522338622869507/img/compression/M_2f92df10bb76987bdcb85515ef395518.jpg)

$由P点出发经过球心C的光线PO经过球面顶点沿原方向进入空气中；由P点出发的与PO成\alpha 角的另一光线PA在A处折射。设在A处入射角为i，折射角为r，半径CA与CO的夹角为\theta ，由折射定律和几何关系可得$

$n=\frac{\sin  r}{\sin  i}，\theta =i+\alpha $

$在\triangle PAC中由正弦定理有\frac{R}{\sin  \alpha }=\frac{PC}{\sin  i}$

$考虑近轴光线成像，\alpha 、i、r都是小角度，则有r=\frac{n}{n_0}i$

$\alpha =\frac{R}{PC}i$

$又PC=PO－CO=4.8 cm$

$解得\theta =1.312 5i，r=1.56i，可知r>\theta $

设折射光线将与PO延长线相交于P'，画片将成实像于P'处。

$在\triangle CAP'中,由正弦定理有\frac{R}{\sin  \beta }=\frac{CP'}{\sin (\pi -r)}，又有r=\theta +\beta ,\sin(\pi -r)=\sin r$

$考虑到是近轴光线，可得CP'=\frac{r}{r-\theta }R$

又有OP'=CP'-R

$由以上各式并代入数据可得OP'\approx 7.95 cm$

$所以成像位置离杯口的距离为L=8 cm-OP'=0.05 cm。$

Final answer: 0.05 cm
Subfield: Mechanics


Question: $摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图1所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a-t图像如图2所示。电梯总质量m=2.0\times 10^3 kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s^2。类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a-t图像，求电梯在第1 s内的速度改变量\Delta v_1和第2 s末的速率v_2。$

![13GZTWL54.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385524778536962/img/compression/M_2f770d95340e57e719974125c7dca213.jpg)

Solution:
类比可得，所求速度变化量等于第1 s内a-t图线下的面积
$\Delta v_1=0.50 m/s$
$同理可得\Delta v_2=v_2-v_0=1.5 m/s$
$v_0=0，第2 s末的速率v_2=1.5 m/s$

Final answer: $0.50 m/s$　$1.5 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图1所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a-t图像如图2所示。电梯总质量m=2.0\times 10^3 kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s^2。类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a-t图像，求电梯在第1 s内的速度改变量\Delta v_1和第2 s末的速率v_2。$

<img_529>

Solution:
类比可得，所求速度变化量等于第1 s内a-t图线下的面积
$\Delta v_1=0.50 m/s$
$同理可得\Delta v_2=v_2-v_0=1.5 m/s$
$v_0=0，第2 s末的速率v_2=1.5 m/s$

Final answer: $0.50 m/s$　$1.5 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![物理题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578423685123/img/compression/M_a91674e3e2ccf6534c4fa9d52f4e78b0.jpg)
$小木块在斜面上运动时的加速度大小a；$

Solution:
$小木块在斜面上运动时，由牛顿第二定律可知 mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$

$解得加速度大小 a = 2 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1289>
$小木块在斜面上运动时的加速度大小a；$

Solution:
$小木块在斜面上运动时，由牛顿第二定律可知 mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$

$解得加速度大小 a = 2 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![物理题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578423685123/img/compression/M_a91674e3e2ccf6534c4fa9d52f4e78b0.jpg)
$小木块滑至斜面底端时的速度大小v；$

Solution:
$根据v^{2}=2a\frac{h}{\sin  \theta }$

$可得小木块滑至斜面底端时的速度大小v=2 m/s$

Final answer: $2 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1289>
$小木块滑至斜面底端时的速度大小v；$

Solution:
$根据v^{2}=2a\frac{h}{\sin  \theta }$

$可得小木块滑至斜面底端时的速度大小v=2 m/s$

Final answer: $2 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![物理题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385578423685123/img/compression/M_a91674e3e2ccf6534c4fa9d52f4e78b0.jpg)
$小木块在水平面上运动的距离x。$

Solution:
$小木块在水平面上运动时的加速度a'=\mu g=5 m/s^2$

$运动的距离x=\frac{v^2}{2a'}=0.4 m$

Final answer: 0.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =37^\circ 、高度h=0.6 m的斜面与水平面平滑连接。小木块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知小木块的质量m=1 kg，它与斜面、水平面间的动摩擦因数均为\mu =0.5，重力加速度g=10 m/s^2。\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1289>
$小木块在水平面上运动的距离x。$

Solution:
$小木块在水平面上运动时的加速度a'=\mu g=5 m/s^2$

$运动的距离x=\frac{v^2}{2a'}=0.4 m$

Final answer: 0.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，冰壶投出后，可以用毛刷在其前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以调节冰壶的运动。将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动。已知未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02。重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_955>
$运动员以3.6 m/s的水平速度将冰壶投出，求冰壶能在冰面上滑行的最大距离s；$

Solution:
根据牛顿第二定律有$-\mu mg=ma$

根据运动学公式有$0-v^2=2as$

联立解得$s=32.4 m$

Final answer: 32.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，冰壶投出后，可以用毛刷在其前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以调节冰壶的运动。将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动。已知未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02。重力加速度g取10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385579610673153/img/compression/M_4fde13839f40d8c11810de2251f9ad3e.jpg)
$运动员以3.6 m/s的水平速度将冰壶投出，求冰壶能在冰面上滑行的最大距离s；$

Solution:
根据牛顿第二定律有$-\mu mg=ma$

根据运动学公式有$0-v^2=2as$

联立解得$s=32.4 m$

Final answer: 32.4 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，冰壶投出后，可以用毛刷在其前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以调节冰壶的运动。将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动。已知未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02。重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_955>
$如果运动员继续以3.6 m/s的水平速度把冰壶投出，在滑行一段距离后，他的队友在冰壶滑行的路径前方摩擦冰面，使冰壶与冰面之间的动摩擦因数变为原来的90\%。已知在运动过程中，冰壶滑过被刷子摩擦过的冰面的长度为6 m，求与没有刷子摩擦冰面相比，冰壶多滑行的距离\Delta s。$

Solution:
设冰壶滑过的未被毛刷摩擦的冰面长度为s'，滑过的被毛刷摩擦过的冰面长度为s_0，根据动能定理有
$-\mu mgs'-0.9\mu mgsₒ=0-\frac{1}{2}mv^2$
解得$s'=27 m$
因此$\Delta s= s'+ sₒ-s=0.6 m$

Final answer: 0.6 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，冰壶投出后，可以用毛刷在其前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以调节冰壶的运动。将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动。已知未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02。重力加速度g取10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385579610673153/img/compression/M_4fde13839f40d8c11810de2251f9ad3e.jpg)
$如果运动员继续以3.6 m/s的水平速度把冰壶投出，在滑行一段距离后，他的队友在冰壶滑行的路径前方摩擦冰面，使冰壶与冰面之间的动摩擦因数变为原来的90\%。已知在运动过程中，冰壶滑过被刷子摩擦过的冰面的长度为6 m，求与没有刷子摩擦冰面相比，冰壶多滑行的距离\Delta s。$

Solution:
设冰壶滑过的未被毛刷摩擦的冰面长度为s'，滑过的被毛刷摩擦过的冰面长度为s_0，根据动能定理有
$-\mu mgs'-0.9\mu mgsₒ=0-\frac{1}{2}mv^2$
解得$s'=27 m$
因此$\Delta s= s'+ sₒ-s=0.6 m$

Final answer: 0.6 m
Subfield: Mechanics


Question: $某透明材料制成的半圆柱体的横截面如图所示，半径为R, O点为圆心，OO_1为直径MN的垂线，足够大的光屏PQ紧靠半圆柱体右下侧且垂直于MN。由a、b两种单色光组成的细光束沿半径方向射向O点，入射光线与OO_1间的夹角为\theta (0^\circ <\theta <90^\circ )。当0^\circ <\theta <45^\circ 时，光屏PQ上出现两个光斑；当45^\circ \leq \theta <\alpha 时，光屏PQ上仅有一个光斑，且与N端的最远距离为\frac{\sqrt{2}}{2}R；当\theta \geq \alpha 时，光屏PQ上无光斑。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255689136599041/img/compression/M_5b55c98363ec99c6ec3ba4fdfb4edcd3.jpg)
$\sin \alpha 的大小；$

Solution:
$设两种单色光的折射率分别为n_1和n_2，根据题意，当\theta=45^\circ 时，一种色光刚好发生全反射，另一种色光的光斑距离N端最远，由几何关系得 n_2 \sin 45^\circ =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)^2}}，且\frac{1}{n_2} = \sin \alpha，联立解得 \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}；$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $某透明材料制成的半圆柱体的横截面如图所示，半径为R, O点为圆心，OO_1为直径MN的垂线，足够大的光屏PQ紧靠半圆柱体右下侧且垂直于MN。由a、b两种单色光组成的细光束沿半径方向射向O点，入射光线与OO_1间的夹角为\theta (0^\circ <\theta <90^\circ )。当0^\circ <\theta <45^\circ 时，光屏PQ上出现两个光斑；当45^\circ \leq \theta <\alpha 时，光屏PQ上仅有一个光斑，且与N端的最远距离为\frac{\sqrt{2}}{2}R；当\theta \geq \alpha 时，光屏PQ上无光斑。求：$

<img_645>
$\sin \alpha 的大小；$

Solution:
$设两种单色光的折射率分别为n_1和n_2，根据题意，当\theta=45^\circ 时，一种色光刚好发生全反射，另一种色光的光斑距离N端最远，由几何关系得 n_2 \sin 45^\circ =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)^2}}，且\frac{1}{n_2} = \sin \alpha，联立解得 \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}；$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$