di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥 P-ABCD 中，PD \perp 底面 ABCD ，CD \parallel  AB ,AD = DC = CB = 1, AB = 2, DP = \sqrt{3} .$

<img_37>
$求PD与平面PAB所成的角的正弦值.$

Solution:
连接PH.

设点D到平面PAB的距离为h,

$由VD_{PAB}=VP_{ABD}得\frac{1}{3}S_{\vartriangle PAB} \cdot h = \frac{1}{3}S_{\vartriangle ABD} \cdot PD,$

$所以h = \frac{S_{\vartriangle ABD} \cdot PD}{S_{\vartriangle PAB}}.$

$由(1)易知S_{\vartriangle ABD} = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2},$

由PD\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，DH\subset 平面ABCD，得PD\perp AB, PD\perp DH, 又AB\perp DH, DH\cap PD=D,所以AB\perp 平面PDH,所以AB\perp PH.

$在Rt\triangle PDH中，PH=\sqrt{\frac{3}{4} + 3} = \frac{\sqrt{15}}{2},$

$\therefore S_{\vartriangle PAB}=\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2},$
$\therefore h = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}.$

设直线PD与平面PAB所成的角为\theta ,则

$sin \theta  = \frac{h}{PD} = \frac{\sqrt{15}}{5} \times  \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{5}.$

$故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Derivative


Question: $已知f(x) = (x-1)e^{x} + \frac{1}{2}ax^{2}.$
$当a=-e时，求f(x)的极小值；$

Solution:
$当a=-e时， f'(x)=x(e^{x}-e)，$
$令f'(x)=0，得x=0或1，x＜0时， f'(x)＞0， f(x)为增函数，0＜x＜1时， f'(x)＜0， f(x)为减函数，x＞1时， f'(x)＞0， f(x)为增函数，\therefore f(x)_{极大值}=f(0)=-1， f(x)_{极小值}=f(1)=-2e.$



Final answer: -2e
Subfield: Derivative


Question: $已知f(x) = (x-1)e^{x} + \frac{1}{2}ax^{2}.$
$当a=-e时，求f(x)的极值；$

Solution:
$当a=-e时， f'(x)=x(e^{x}-e)，$
$令f'(x)=0，得x=0或1，x＜0时， f'(x)＞0， f(x)为增函数，0＜x＜1时， f'(x)＜0， f(x)为减函数，x＞1时， f'(x)＞0， f(x)为增函数，\therefore f(x)_{极大值}=f(0)=-1， f(x)_{极小值}=f(1)=-2e.$

Final answer: f(x)_{极大值}=f(0)=-1，f(x)_{极小值}=f(1)=-2e
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(\frac{1}{x}+a)ln(1+x).$
$是否存在a,b，使得曲线y=f\left(\frac{1}{x}\right)关于直线x=b对称?若存在，求a,b;若不存在，说明理由；$

Solution:
$存在 f \left(\frac{1}{x}\right)=(x+a) \ln \frac{x+1}{x}，其定义域为(-\infty ,-1)\cup (0，+\infty )。$

$要使函数 f \left(\frac{1}{x}\right) 的图象关于直线 x=b 对称，则由 x \neq 0 且 x \neq -1 知 b=-\frac{1}{2}，此时 f \left(\frac{1}{x}\right)=(x+a) \ln \frac{x+1}{x} 的图象关于直线 x=-\frac{1}{2} 对称，则 f \left(-\frac{1}{2}+t\right)=f \left(-\frac{1}{2}-t\right)，$
$即 \left(-\frac{1}{2}+t+a\right) \ln \frac{t+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+t}=\left(a-\frac{1}{2}-t\right) \ln \frac{t-\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}，$
$即 \left(a+t-\frac{1}{2}\right) \ln \frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}=-\left(a-t-\frac{1}{2}\right) \ln \frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}，$
$\therefore  a+t-\frac{1}{2}=-a+t+\frac{1}{2}, 解得 a=\frac{1}{2}.$

Final answer: $a=\frac{1}{2}，b=-\frac{1}{2}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\alpha ,\beta 为锐角，tan \alpha =\frac{4}{3}, cos(\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$
$求cos 2 \alpha的值；$

Solution:
$因为tan \alpha =\frac{4}{3},tan \alpha =\frac{\sin  \alpha }{\cos  \alpha },所以sin \alpha =\frac{4}{3}cos \alpha .因为sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1,所以cos^{2}\alpha =\frac{9}{25}.所以cos 2\alpha =2cos^{2}\alpha -1=-\frac{7}{25}.$

Final answer: $-\frac{7}{25}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\alpha ,\beta 为锐角，tan \alpha =\frac{4}{3}, cos(\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$
$求tan(\alpha - \beta)的值。$

Solution:
$因为\alpha ,\beta 为锐角，所以\alpha +\beta \in (0,\pi ).又因为cos(\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5},所以sin(\alpha +\beta )=\sqrt{1-\cos ^2(\alpha +\beta )}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，$$因此tan(\alpha +\beta )=-2.因为tan \alpha =\frac{4}{3},所以tan 2\alpha =\frac{2\tan  \alpha }{1-\tan ^2\alpha }=-\frac{24}{7}.$$因此tan(\alpha -\beta )=tan[2\alpha -(\alpha +\beta )]=\frac{\tan  2\alpha -\tan (\alpha +\beta )}{1+\tan  2\alpha \tan (\alpha +\beta )}=-\frac{2}{11}.$

Final answer: $-\frac{2}{11}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB,AC为线段，\overset{\LARGE{\frown}}{BC}是以BC为直径的半圆，AB=2\sqrt{3} km,AC=4 km,\angle BAC=\frac{\pi }{6}.$
<img_1684>
$求\overset{\LARGE{\frown}}{BC}的长度;$

Solution:
$连接BC，在\triangle ABC中，由余弦定理可得，BC=\sqrt{AC^2+AB^2-2AC\cdot AB\cdot \cos \angle BAC}$

$=\sqrt{16+12-2\times 4\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(km)，$

$所以\overset{\LARGE{\frown}}{BC}的长度为\frac{1}{2}\times2\times\pi\times1=\pi (km).$

Final answer: $\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB,AC为线段，\overset{\LARGE{\frown}}{BC}是以BC为直径的半圆，AB=2\sqrt{3} km,AC=4 km,\angle BAC=\frac{\pi }{6}.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283813142585346/img/compression/M_55c03612fc1bc656f33c710e4dc78965.jpg)
$求\overset{\LARGE{\frown}}{BC}的长度;$

Solution:
$连接BC，在\triangle ABC中，由余弦定理可得，BC=\sqrt{AC^2+AB^2-2AC\cdot AB\cdot \cos \angle BAC}$

$=\sqrt{16+12-2\times 4\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(km)，$

$所以\overset{\LARGE{\frown}}{BC}的长度为\frac{1}{2}\times2\times\pi\times1=\pi (km).$

Final answer: $\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB,AC为线段，\overset{\LARGE{\frown}}{BC}是以BC为直径的半圆，AB=2\sqrt{3} km,AC=4 km,\angle BAC=\frac{\pi }{6}.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283813142585346/img/compression/M_55c03612fc1bc656f33c710e4dc78965.jpg)
$为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C(B、D在AC两侧)，其中AD, CD为线段.若\angle ADC=\frac{\pi }{3}，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少?$

Solution:
$记AD=a km,CD=b km，则在\triangle ACD中，由余弦定理可得a^2+b^2-2ab\cos \frac{\pi}{3}=16，即a^2+b^2-ab=16，从而(a+b)^2=16+3ab\le16+3\left(\frac{a+b}{2}\right)^2，$
$所以\frac{1}{4}(a+b)^2\le16，则a+b\le8，当且仅当a=b=4 km时，等号成立.$
$新建健康步道A-D-C的最长路程为8 km,$
$故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加8-\pi-2\sqrt{3} km.$

Final answer: $8-\pi-2\sqrt{3}$ km
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB,AC为线段，\overset{\LARGE{\frown}}{BC}是以BC为直径的半圆，AB=2\sqrt{3} km,AC=4 km,\angle BAC=\frac{\pi }{6}.$
<img_1684>
$为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C(B、D在AC两侧)，其中AD, CD为线段.若\angle ADC=\frac{\pi }{3}，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少?$

Solution:
$记AD=a km,CD=b km，则在\triangle ACD中，由余弦定理可得a^2+b^2-2ab\cos \frac{\pi}{3}=16，即a^2+b^2-ab=16，从而(a+b)^2=16+3ab\le16+3\left(\frac{a+b}{2}\right)^2，$
$所以\frac{1}{4}(a+b)^2\le16，则a+b\le8，当且仅当a=b=4 km时，等号成立.$
$新建健康步道A-D-C的最长路程为8 km,$
$故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加8-\pi-2\sqrt{3} km.$

Final answer: $8-\pi-2\sqrt{3}$ km
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地的水果店老板记录了过去100天内A类水果的日需求量x(单位：箱)，整理得到如下表所示的数据.

|x  |22 |23 |24 |25 |26 |
|-- |-- |-- |-- |-- |-- |
|频数|20 |20 |30 |18 |12 |

其中每箱A类水果的进货价为50元，出售价为100元，如果当天卖不完，就将剩下的A类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业.
利用表中数据，从日需求量是25箱或26箱的天数中，采用分层抽样的方法抽取5天，再从这5天中随机抽取2天进行调查，求其中恰有1天的日需求量为26箱的概率；

Solution:
$依题意，从日需求量是25箱的天数中抽取\frac{18}{18+12}\times 5=3(天)，分别记为1，2，3，从日需求量是26箱的天数中抽取2天，分别记为a，b.则从这5天中随机抽取2天，所有的情况为(1,2)，(1,3)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(a,b)，共10种，其中恰有1天的日需求量为26箱的情况有(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，共6种，故所求概率P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地的水果店老板记录了过去100天内A类水果的日需求量x(单位：箱)，整理得到如下表所示的数据.

|x  |22 |23 |24 |25 |26 |
|-- |-- |-- |-- |-- |-- |
|频数|20 |20 |30 |18 |12 |

其中每箱A类水果的进货价为50元，出售价为100元，如果当天卖不完，就将剩下的A类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业.
已知该水果店在这100天中每天A类水果的进货量均为24箱，求这100天卖出A类水果所获得的日平均利润.

Solution:
$若x=24，25或26，则日利润为24\times 50=1 200(元)；$
$若x=23，则日利润为23\times 50+1\times (-30)=1 120(元)；$
$若x=22，则日利润为22\times 50+2\times (-30)=1 040(元).$
$故这100天卖出A类水果所获得的日平均利润为$
$\frac{1 200\times (30+18+12)+1 120\times 20+1 040\times 20}{100}$
$=1 152(元).$

Final answer: 1152 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

Solution:
由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.



Final answer: 6，9，10
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
$在抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F。享受情况如下表，其中“○”表示享受，“\times ”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.$

$(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；$

$(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.$

|员工/项目|A|B|C|D|E|F|
|--- |--- |--- |--- |--- |--- |--- |
|$子女教育$|○|○|$\times$|○|$\times$|○|
|$继续教育$|$\times$|$\times$|○|$\times$|○|○|
|$大病医疗$|$\times$|$\times$|$\times$|○|$\times$|$\times$|
|$住房贷款利息$|○|○|$\times$|$\times$|○|○|
|$住房租金$|$\times$|$\times$|○||$\times$|$\times$|
|$赡养老人$|○|○|$\times$|$\times$|$\times$|○|

Solution:
$- (i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.$
$- (ii)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.$
$- 所以，事件M发生的概率P(M)=\frac{11}{15}.$

Final answer: \frac{11}{15}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x_{i},y_{i}(i=1,2,\ldots ,10),试验结果如下：$
| 试验序号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $伸缩率x_{i}$ | 545 | 533 | 551 | 522 | 575 | 544 | 541 | 568 | 596 | 548 |
| $伸缩率y_{i}$ | 536 | 527 | 543 | 530 | 560 | 533 | 522 | 550 | 576 | 536 |

$记z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2,\ldots ,10),记z_{1},z_{2},\ldots ,z_{10}的样本平均数为\overline{z},样本方差为s^2.$
$求\overline{z}, s^2;$

Solution:
$z_i=x_i-y_i (i=1,2,...,10) 依次为 9, 6, 8, -8, 15, 11, 19, 18, 20, 12, 则 \overline{z}=\frac{1}{10} \times (9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,$

$s^2= \frac{1}{10} \times [(9-11)^2+(6-11)^2+(8-11)^2+(-8-11)^2+(15-11)^2+(11-11)^2+(19-11)^2+(18-11)^2+(20-11)^2+(12-11)^2]=61.$

Final answer: $\overline{z}=11, s^2=61$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

| $y的分组$ | $[-0.20，0)$ | $[0，0.20)$ | $[0.20，0.40)$ | $[0.40，0.60)$ | $[0.60，0.80)$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

Solution:
$根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为\frac{14+7}{100}=0.21.产值负增长的企业频率为\frac{2}{100}=0.02.$

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.

Final answer: 21\%, 2\%
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

| $y的分组$ | $[-0.20，0)$ | $[0，0.20)$ | $[0.20，0.40)$ | $[0.40，0.60)$ | $[0.60，0.80)$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
$求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)$
$附：\sqrt{74}\approx 8.602.$

Solution:
$\overline{y} = \frac{1}{100} \times (-0.10\times 2+0.10\times 24+0.30\times 53+0.50\times 14+0.70\times 7)=0.30,$
$s^2 = \frac{1}{100} \sum \limits^{5}_{i=1} n_i(y_i-\overline{y})^2 = \frac{1}{100}[2\times (-0.40)^2 +24\times (-0.20)^2 +53\times 0^2 +14\times 0.20^2 +7\times 0.40^2] =0.029 6,$
$s = \sqrt{0.029 6} =0.02\times \sqrt{74} \approx 0.17.$
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.

Final answer: 30\%, 17\%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
$当a=1，b=1时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；$

Solution:
：
$根据茎叶图可知甲组数据的平均数为 \frac{10+10+14+18+22+25+27+34}{8} =20，$
$乙组数据的平均数为 \frac{10+20+22+23+31+32+31+31}{8} =25，$
甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m=4，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n=4，所以 m=n.

Final answer: m=n
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

<img_2099>
$当a=1，b=1时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；$

Solution:
：
$根据茎叶图可知甲组数据的平均数为 \frac{10+10+14+18+22+25+27+34}{8} =20，$
$乙组数据的平均数为 \frac{10+20+22+23+31+32+31+31}{8} =25，$
甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m=4，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n=4，所以 m=n.

Final answer: m=n
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

<img_2099>
在这8个卖场中，随机选取2个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；

Solution:
$由(1)知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为4，设选取的两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”为事件M，甲型号电视机的“星级卖场”分别为a，b，c，d，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A，B，C，D。从这8个卖场中，随机选取2个卖场，有AB，AC，AD，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，Ca，Cb，Cc，Cd，Da，Db，Dc，Dd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共28种等可能的情况。$

$其中满足条件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个，所以P(M) = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}.$

Final answer: $\frac{3}{14}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
在这8个卖场中，随机选取2个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；

Solution:
$由(1)知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为4，设选取的两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”为事件M，甲型号电视机的“星级卖场”分别为a，b，c，d，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A，B，C，D。从这8个卖场中，随机选取2个卖场，有AB，AC，AD，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，Ca，Cb，Cc，Cd，Da，Db，Dc，Dd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共28种等可能的情况。$

$其中满足条件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个，所以P(M) = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}.$

Final answer: $\frac{3}{14}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

<img_2099>
$记乙型号电视机销售量的方差为s^2，根据茎叶图推断a与b分别取何值时，s^2达到最小值.(只需写出结论)$

Solution:
$当a=b=0时，s^2达到最小值.$
$详解：设平均数为\overline{x}，$
$s^2=\frac{(10-\overline{x})^2+(20-\overline{x})^2+(22-\overline{x})^2+(23-\overline{x})^2+(31-\overline{x})^2+(32-\overline{x})^2+(30+a-\overline{x})^2+(30+b-\overline{x})^2}{8}，0\leq a\leq 9,0\leq b\leq 9,$
$所以当a=b=0时，s^2达到最小值.$

Final answer: a=b=0
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场".$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
$记乙型号电视机销售量的方差为s^2，根据茎叶图推断a与b分别取何值时，s^2达到最小值.(只需写出结论)$

Solution:
$当a=b=0时，s^2达到最小值.$
$详解：设平均数为\overline{x}，$
$s^2=\frac{(10-\overline{x})^2+(20-\overline{x})^2+(22-\overline{x})^2+(23-\overline{x})^2+(31-\overline{x})^2+(32-\overline{x})^2+(30+a-\overline{x})^2+(30+b-\overline{x})^2}{8}，0\leq a\leq 9,0\leq b\leq 9,$
$所以当a=b=0时，s^2达到最小值.$

Final answer: a=b=0
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了 n 名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$

<img_2815>

茎叶图

| 茎   | 叶   |      |      |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5    | 7    |      |      |
| 6    | 1    | 3    | 4    |
| 7    |      |      |      |
| 8    |      |      |      |
| 9    |      |      |      |
$求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；$

Solution:
$由茎叶图可知成绩在[60,70)中的频数为3.$

$结合频率分布直方图，得n = \frac{3}{0.007 5\times 10} = 40.$

$因此 x = \frac{1}{10n} = \frac{1}{400} = 0.002 5.$

$因此 y = 0.1 - x - 0.007 5 - 0.020 0 - 0.030 0 = 0.040 0.$

Final answer: $n = 40，x = 0.0025，y = 0.0400。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了 n 名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_de0c39e7928d3d13a11c6a1678aa0baf.jpg)

茎叶图

| 茎   | 叶   |      |      |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5    | 7    |      |      |
| 6    | 1    | 3    | 4    |
| 7    |      |      |      |
| 8    |      |      |      |
| 9    |      |      |      |
$求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；$

Solution:
$由茎叶图可知成绩在[60,70)中的频数为3.$

$结合频率分布直方图，得n = \frac{3}{0.007 5\times 10} = 40.$

$因此 x = \frac{1}{10n} = \frac{1}{400} = 0.002 5.$

$因此 y = 0.1 - x - 0.007 5 - 0.020 0 - 0.030 0 = 0.040 0.$

Final answer: $n = 40，x = 0.0025，y = 0.0400。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了 n 名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_de0c39e7928d3d13a11c6a1678aa0baf.jpg)

茎叶图

| 茎   | 叶   |      |      |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5    | 7    |      |      |
| 6    | 1    | 3    | 4    |
| 7    |      |      |      |
| 8    |      |      |      |
| 9    |      |      |      |
$在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的两组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生的分数都在[80,90)中的概率.$

Solution:
$由题意，本次竞赛成绩样本中分数在[80,90)中的学生有40\times 0.03\times 10=12名，$
$分数在[90,100]中的学生有40\times 0.02\times 10=8名，按分层抽样抽取5名学生，分数在[80,90)中的学生有5\times \frac{12}{12+8}=3名，记为a、b、c；分数在[90,100]中的学生有5\times \frac{8}{12+8}=2名，记为1、2.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12，共10种.其中2名学生的分数都在[80,90)中的结果为ab,ac,bc，共3种.\therefore 所选2名学生的分数都在[80,90)中的概率P= \frac{3}{10}.$

Final answer: $\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了 n 名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$

<img_2815>

茎叶图

| 茎   | 叶   |      |      |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5    | 7    |      |      |
| 6    | 1    | 3    | 4    |
| 7    |      |      |      |
| 8    |      |      |      |
| 9    |      |      |      |
$在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的两组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生的分数都在[80,90)中的概率.$

Solution:
$由题意，本次竞赛成绩样本中分数在[80,90)中的学生有40\times 0.03\times 10=12名，$
$分数在[90,100]中的学生有40\times 0.02\times 10=8名，按分层抽样抽取5名学生，分数在[80,90)中的学生有5\times \frac{12}{12+8}=3名，记为a、b、c；分数在[90,100]中的学生有5\times \frac{8}{12+8}=2名，记为1、2.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12，共10种.其中2名学生的分数都在[80,90)中的结果为ab,ac,bc，共3种.\therefore 所选2名学生的分数都在[80,90)中的概率P= \frac{3}{10}.$

Final answer: $\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.$
![19GZTLSX4.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549606320922625/img/compression/M_cf7b2f2c6de41c91be266e52a293c6fe.jpg)

$为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，17)建立模型①: \hat{y} =-30.4+13.5t； 根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，7)建立模型②： \hat{y}=99+17.5t .$
分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

Solution:
$利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 \hat{y} =-30.4+13.5\times 19=226.1(亿元).$
$利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 \hat{y} =99+17.5\times 9=256.5(亿元).$

Final answer: $模型①预测值：226.1(亿元)；模型②预测值：256.5(亿元)。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.$
<img_2308>

$为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，17)建立模型①: \hat{y} =-30.4+13.5t； 根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，7)建立模型②： \hat{y}=99+17.5t .$
分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

Solution:
$利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 \hat{y} =-30.4+13.5\times 19=226.1(亿元).$
$利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 \hat{y} =99+17.5\times 9=256.5(亿元).$



Final answer: $226.1，256.5$ 亿元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：$

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5
18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
计算试验组的样本平均数.

Solution:
$试验组的样本平均数  \overline{x} = \frac{1}{20} \times  (7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5) = 19.8.$

Final answer: $19.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM_{2.5}和SO_{2}浓度(单位：\mu g/m^{3})，得下表：$

| $SO_2 / PM_{2.5}$ | $[0,50]$ | $(50，150]$ | $(150，475]$ |
|-------------|---------|------------|-------------|
| $[0，35]$ | 32      | 18         | 4           |
| $(35，75]$ | 6       | 8          | 12          |
| $(75，115]$ | 3       | 7          | 10          |
$估计事件“该市一天空气中PM_{2.5}浓度不超过75，且SO_{2}浓度不超过150”的概率；$

Solution:
根据抽查数据，该市100天的空气中$PM_{2.5}$浓度不超过75，且$SO_{2}$浓度不超过150的天数为$32+18+6+8=64$，因此，该市一天空气中$PM_{2.5}$浓度不超过75，且$SO_{2}$浓度不超过150的概率的估计值为
$\frac{64}{100}=0.64$

Final answer: $0.64$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

|       | 满意 | 不满意 |
|-------|------|--------|
|男顾客  |  40  |   10   |
|女顾客  |  30  |   20   |
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

Solution:
$由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为\frac{40}{50}=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.$

$女顾客中对该商场服务满意的比率为\frac{30}{50}=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.$

Final answer: 男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8，女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

|       | 满意 | 不满意 |
|-------|------|--------|
|男顾客  |  40  |   10   |
|女顾客  |  30  |   20   |

分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

Solution:
$由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为\frac{40}{50}=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.$

$女顾客中对该商场服务满意的比率为\frac{30}{50}=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.$



Final answer: 0.8，0.6
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"城市公交"泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：$

|                     |  6 |  8 | 10 | 12 | 14 |
|---|----|----|----|----|----|
|$间隔时间x(分钟)$|15|18|20|24|23|
|$等候人数y(人) $|15|18|20|24|23|
根据以上数据作出散点图，易知可用线性回归模型拟合$y与x$的关系，请用相关系数加以说明；

Solution:
$由题意知，\overline{x}=10，\overline{y}=20，$
$\sum \limits^{5}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=(6-10)\times (15-20)+(8-10)\times (18-20)+(10-10)\times (20-20)+(12-10)\times (24-20)+(14-10)\times (23-20)=20+4+0+8+12=44，$
$\sum \limits^{5}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2=16+4+0+4+16=40，$
$\sum \limits^{5}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2=25+4+0+16+9=54，$
$所以 r=\frac{44}{\sqrt{40\times 54}}=\frac{11}{3\sqrt{15}}. 又3\sqrt{15}\approx 11.62， 则 r\approx 0.95. $
$因为 y与x的相关系数近似为0.95，说明 y与x的线性相关性非常高，所以可以用线性回归模型拟合 y与x的关系$.

Final answer: $r\approx 0.95$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $已知点P(2，1)，直线l：\begin{equation}
\begin{cases}
x=2+t\cos \alpha,\\
y=1+t\sin \alpha
\end{cases}
\end{equation}(t为参数)，\alpha为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且|PA|\cdot |PB|=4.$
$求\alpha ；$

Solution:
$设点A，B对应的参数值分别为t_1,t_2,$
$令y=0得t\sin  \alpha +1=0,\therefore t_1=\frac{-1}{\sin  \alpha }，即|PA|=|t_1|=\frac{1}{\sin  \alpha }，$
$令x=0得t\cos  \alpha +2=0,\therefore t_2=\frac{-2}{\cos  \alpha }，即|PB|=|t_2|=\frac{2}{|\cos  \alpha |}。$
$\therefore |PA|\cdot |PB|=\frac{2}{|\sin  \alpha \cos  \alpha |}=\frac{4}{|\sin  2\alpha |}=4,$
$\therefore \sin  2\alpha =\pm1,又\because \alpha \in [0,\pi ),\therefore 2\alpha =\frac{\pi }{2}或2\alpha =\frac{3\pi }{2}，$
$\therefore \alpha =\frac{\pi }{4}或\alpha =\frac{3\pi }{4}。$
$\because l与x轴正半轴，y轴正半轴分别相交，\therefore \alpha =\frac{3\pi }{4}.$

Final answer: $\frac{3\pi }{4}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$\begin{align*}
x&=2\cos  \theta ,\\
y&=4\sin  \theta
\end{align*}$
$(\theta为参数)，直线l的参数方程为$
$\begin{align*}
x&=1+t\cos  \alpha ,\\ 
y&=2+t\sin  \alpha
\end{align*}$
$(t为参数).$
$若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.$

Solution:
$将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 (1+3cos^2 \alpha)t^2 +4(2cos \alpha +sin \alpha)t -8=0. ①$

$因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t_1,t_2,则t_1+t_2=0.$

$又由①得t_1+t_2= -\frac{4(2\cos  \alpha +\sin  \alpha )}{1+3\cos ^2\alpha }, 故2\cos \alpha+\sin \alpha=0, 于是直线l的斜率k=\tan \alpha=-2.$

Final answer: $-2$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ 
y=\frac{4t}{1+t^2}
\end{matrix}
\right.
$$
$(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2\rho \cos  \theta +\sqrt{3}\rho \sin  \theta +11=0.$
求C上的点到l距离的最小值。

Solution:
$由(1)可设 C 的参数方程为 $

$$
\begin{cases}
x=\cos \alpha ,\\
y=2\sin \alpha
\end{cases}
$$

$其中 \alpha 为参数， -\pi < \alpha < \pi。 $

$C 上的点到 l 的距离为 $

$$
\frac{|2\cos \alpha +2\sqrt{3}\sin \alpha +11|}{\sqrt{7}}=\frac{4\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) +11}{\sqrt{7}}
$$

利用三角函数的有界性求最值。 

$当 \alpha = -\frac{2\pi}{3} 时，4\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) +11 取得最小值7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 \sqrt{7}。$

Final answer: $\sqrt{7}$