di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如下图甲所示，质量M=1.5 kg的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物块以v_0=10 m/s的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的v-t图像如图乙所示。取重力加速度大小g=10 m/s^2，求：$

<img_988>

<img_655>
$小物块与木板间因摩擦产生的热量Q；$

Solution:
$由题图可知0～2 s内小物块与长木板发生相对运动，t=2 s时，小物块与长木板具有相同的速度2 m/s，之后一起做匀减速运动，连接坐标原点与图像的拐点，即为长木板0～2 s内的v-t图线，如图所示。  $
$设小物块的质量为m，小物块与长木板间的动摩擦因数为\mu _{1}，长木板与地面间的动摩擦因数为\mu _{2}，前2 s内小物块的加速度大小为a_{1}，长木板的加速度大小为a_{2}，2 s后小物块和长木板一起做匀减速直线运动的加速度大小为a_{3}  $
$对物块: \mu _{1}mg=ma_{1}  $
$对木板：\mu _{1}mg-\mu _{2}(m+M)g=Ma_{2}  $
$对整体：\mu _{2}(M+m)g=(M+m)a_{3}  $
由图像可得  
$a_{1}=\frac{10-2}{2} m/s^{2}=4 m/s^{2}  $
$a_{2}=\frac{2}{2}  m/s^{2}=1 m/s^{2}  $
$a_{3}=\frac{2}{4-2} m/s^{2}=1 m/s^{2}  $
$联立解得m=1 kg，\mu _{1}=0.4，\mu _{2}=0.1  $
由图像可得，0～2 s内小物块的位移为  
$x_{1}=\frac{1}{2}\times (10+2)\times 2 m=12 m  $
$长木板的位移为x_{2}=\frac{1}{2}\times 2\times 2 m=2 m  $
小物块与木板间因摩擦产生的热量  
$Q=\mu _{1}mg(x_{1}-x_{2})=40 J  $
<img_862>

Final answer: 40 J
Subfield: Mechanics


Question: $如下图甲所示，质量M=1.5 kg的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物块以v_0=10 m/s的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的v-t图像如图乙所示。取重力加速度大小g=10 m/s^2，求：$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255359613095939/img/compression/M_8b9fdcc331b20dafb795309f288cf3c1.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255359613095939/img/compression/M_4ced9618f2f2b10a0def380ebe66d49f.jpg)
2～4 s内静摩擦力对长木板的冲量I的大小。

Solution:
$设2～4 s内长木板受到小物块的静摩擦力大小为f，该静摩擦力的方向水平向右，则有f=ma_3$

$I=f\Delta t$

$解得I=2 N\cdot s$

方向水平向右

Final answer: $I=2 N\cdot s$

方向水平向右
Subfield: Mechanics


Question: $如下图甲所示，质量M=1.5 kg的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物块以v_0=10 m/s的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的v-t图像如图乙所示。取重力加速度大小g=10 m/s^2，求：$

<img_988>

<img_655>
2～4 s内静摩擦力对长木板的冲量I的大小。

Solution:
$设2～4 s内长木板受到小物块的静摩擦力大小为f，该静摩擦力的方向水平向右，则有f=ma_3$

$I=f\Delta t$

$解得I=2 N\cdot s$

方向水平向右



Final answer: $2$ $N\cdot s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255360477122564/img/compression/M_5e78d433c625c79eba3577ffd345a189.jpg)
滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；

Solution:
滑块与木板取得相同的速度前

$对滑块：\mu_1mg=ma_1$

$对木板：\mu_1mg+\mu_2(m+M)g=Ma_2$

$解得a_1=2 m/s^2，a_2=7 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2 7 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

<img_475>
滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；

Solution:
滑块与木板取得相同的速度前

$对滑块：\mu_1mg=ma_1$

$对木板：\mu_1mg+\mu_2(m+M)g=Ma_2$

$解得a_1=2 m/s^2，a_2=7 m/s^2$

Final answer: $2 m/s^2 7 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255360477122564/img/compression/M_5e78d433c625c79eba3577ffd345a189.jpg)
从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；

Solution:
$假设经过t_1时间二者速度相等，则有a_1t_1=v-a_2t_1  $
$解得t_1=1 s  $
$此时二者的共同速度大小为v_1=a_1t_1=2 m/s  $
达到共同速度前，滑块和木板的位移大小分别为  
$x_1=\frac{v_1t_1}{2}=1 m  $
$x_2=\frac{(v_1+v)t_1}{2}=5.5 m  $
$二者相对位移大小为\Delta x_1=x_2-x_1=4.5 m$

$达到共同速度后，假设二者能以相同的加速度做匀减速运动，根据牛顿第二定律有\mu_2(m+M)g=(m+M)a $
$解得a=4 m/s^2  $
此时滑块所受摩擦力大小为  
$f=ma=4 N>\mu_1mg=2 N  $
即假设不成立，所以二者达到共同速度后做加速度不同的匀减速运动  
$对物块：\mu_1mg=ma_3  $
$对木板：\mu_2(m+M)g-\mu_1mg=Ma_4  $
$解得a_3=2 m/s^2，a_4=5 m/s^2  $
可知木板先停止运动  
从达到共同速度到各自停下的过程中，滑块和木板的位移大小分别为  
$x_3=\frac{v^2_1}{2a_3}=1 m  $
$x_4=\frac{v^2_1}{2a_4}=0.4 m  $
$二者相对位移大小为\Delta x_2=x_3-x_4=0.6 m  $
$根据功能关系可得Q=\mu_1mg(\Delta x_1+\Delta x_2)=10.2 J$

Final answer: 10.2 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

<img_475>
从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；

Solution:
$假设经过t_1时间二者速度相等，则有a_1t_1=v-a_2t_1  $
$解得t_1=1 s  $
$此时二者的共同速度大小为v_1=a_1t_1=2 m/s  $
达到共同速度前，滑块和木板的位移大小分别为  
$x_1=\frac{v_1t_1}{2}=1 m  $
$x_2=\frac{(v_1+v)t_1}{2}=5.5 m  $
$二者相对位移大小为\Delta x_1=x_2-x_1=4.5 m$

$达到共同速度后，假设二者能以相同的加速度做匀减速运动，根据牛顿第二定律有\mu_2(m+M)g=(m+M)a $
$解得a=4 m/s^2  $
此时滑块所受摩擦力大小为  
$f=ma=4 N>\mu_1mg=2 N  $
即假设不成立，所以二者达到共同速度后做加速度不同的匀减速运动  
$对物块：\mu_1mg=ma_3  $
$对木板：\mu_2(m+M)g-\mu_1mg=Ma_4  $
$解得a_3=2 m/s^2，a_4=5 m/s^2  $
可知木板先停止运动  
从达到共同速度到各自停下的过程中，滑块和木板的位移大小分别为  
$x_3=\frac{v^2_1}{2a_3}=1 m  $
$x_4=\frac{v^2_1}{2a_4}=0.4 m  $
$二者相对位移大小为\Delta x_2=x_3-x_4=0.6 m  $
$根据功能关系可得Q=\mu_1mg(\Delta x_1+\Delta x_2)=10.2 J$

Final answer: 10.2 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

<img_475>
$从开始至木板刚停止，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。$

Solution:
$二者共速后，设木板经t_2时间停止运动，则$

$t_2=\frac{v_1}{a_4}=0.4 s$

木板停下时，滑块的速度为

$v_2=v_1-a_3t_2=1.2 m/s$

从开始至木板刚停止，对系统应用能量守恒定律有

$U+\frac{1}{2}mv^2_2=\frac{1}{2}Mv^2$

$解得U=80.28 J$

Final answer: 80.28 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量M=2 kg、长度L=5 m的木板在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1 kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为\mu _1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为\mu _2=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g=10 m/s^2，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255360477122564/img/compression/M_5e78d433c625c79eba3577ffd345a189.jpg)
$从开始至木板刚停止，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。$

Solution:
$二者共速后，设木板经t_2时间停止运动，则$

$t_2=\frac{v_1}{a_4}=0.4 s$

木板停下时，滑块的速度为

$v_2=v_1-a_3t_2=1.2 m/s$

从开始至木板刚停止，对系统应用能量守恒定律有

$U+\frac{1}{2}mv^2_2=\frac{1}{2}Mv^2$

$解得U=80.28 J$

Final answer: 80.28 J
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255364189081603/img/compression/M_c3c554b0fcfcbb203b1d88c60dfe524d.jpg)
$两物块在空中运动的时间t；$

Solution:
两物块在空中，竖直方向做自由落体运动，

$由h = \frac{1}{2}gt^2，$

$得t = 0.30 s$

Final answer: 0.30 s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

<img_462>
$两物块在空中运动的时间t；$

Solution:
两物块在空中，竖直方向做自由落体运动，

$由h = \frac{1}{2}gt^2，$

$得t = 0.30 s$

Final answer: 0.30 s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255364189081603/img/compression/M_c3c554b0fcfcbb203b1d88c60dfe524d.jpg)
两物块碰前A的速度v_0的大小；

Solution:
设A、B碰后速度为v，
在空中，A、B整体在水平方向做匀速运动，
由s=vt
得v=1.0 m/s
根据动量守恒定律，
$由m{v_0}=2mv$
$得{v_0}=2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

<img_462>
两物块碰前A的速度v_0的大小；

Solution:
设A、B碰后速度为v，
在空中，A、B整体在水平方向做匀速运动，
由s=vt
得v=1.0 m/s
根据动量守恒定律，
$由m{v_0}=2mv$
$得{v_0}=2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

<img_462>
两物块碰撞过程中损失的机械能\Delta E。

Solution:
两物块碰撞过程中损失的机械能

$\Delta E=0.5mv^2_0 - 0.5 \times  2mv^2$

$得\Delta E=0.10 J$

Final answer: 0.10 J
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，小物块A、B的质量均为m=0.10 kg，B静止在轨道水平段的末端。A以水平速度v_0与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为h=0.45 m，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30 m，取重力加速度g=10 m/s^2。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255364189081603/img/compression/M_c3c554b0fcfcbb203b1d88c60dfe524d.jpg)
两物块碰撞过程中损失的机械能\Delta E。

Solution:
两物块碰撞过程中损失的机械能

$\Delta E=0.5mv^2_0 - 0.5 \times  2mv^2$

$得\Delta E=0.10 J$

Final answer: 0.10 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

<img_661>
求B从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到Q点的距离；

Solution:
$设B到半圆弧轨道最高点时速度为v_2'，由于B在轨道最高点时对轨道的压力恰好为零，则由牛顿第二定律得mg=m\frac{{v'^2_{2}}}{R}$

B离开最高点后做平抛运动，

$则在竖直方向上有2R=\frac{1}{2}gt^2$

$在水平方向上有x=v_2't$

$联立解得x=2R$

Final answer: 2R
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255370988048386/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
求B从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到Q点的距离；

Solution:
$设B到半圆弧轨道最高点时速度为v_2'，由于B在轨道最高点时对轨道的压力恰好为零，则由牛顿第二定律得mg=m\frac{{v'^2_{2}}}{R}$

B离开最高点后做平抛运动，

$则在竖直方向上有2R=\frac{1}{2}gt^2$

$在水平方向上有x=v_2't$

$联立解得x=2R$

Final answer: 2R
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=\frac{1}{3}M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求$
<img_673>
在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离;

Solution:
由题意可知圆盘所受摩擦力与其所受重力大小相等，则小球与圆盘碰撞后，圆盘做匀速直线运动，小球做竖直上抛运动。

当小球回到第一次碰撞的位置时，小球与圆盘的速度相同，此时小球与圆盘间的距离最远。

$对小球有t=\frac{2|v_1|}{g} =\sqrt{\frac{2l}{g}}$

$对圆盘有s_{\text{max}}=v_{2}t=l$

$所以在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离为l。$

Final answer: l
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=\frac{1}{3}M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255374586761221/img/compression/M_d4733edb886adf5ca246a75cf1bc1ce3.jpg)
在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离;

Solution:
由题意可知圆盘所受摩擦力与其所受重力大小相等，则小球与圆盘碰撞后，圆盘做匀速直线运动，小球做竖直上抛运动。

当小球回到第一次碰撞的位置时，小球与圆盘的速度相同，此时小球与圆盘间的距离最远。

$对小球有t=\frac{2|v_1|}{g} =\sqrt{\frac{2l}{g}}$

$对圆盘有s_{\text{max}}=v_{2}t=l$

$所以在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离为l。$

Final answer: l
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=\frac{1}{3}M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求$
<img_673>
圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

Solution:
$规定竖直向下为正方向，设小球与圆盘第一次碰撞后经过时间t_1发生第二次碰撞，根据运动学公式可知$
$v_1t_1+\frac{1}{2}gt^2_1=v_2t_1$
$联立解得t_1=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$
$圆盘在第一次碰撞到第二次碰撞之间下落的高度h_1=v_2t_1=2l$
$小球与圆盘第二次碰撞前瞬间的速度v_{2前}=v_1+gt_1=\frac{3}{2}\sqrt{2gl}$
小球与圆盘第二次碰撞时动量守恒、机械能守恒，有
$mv_{2前}+Mv_2=mv_{2后}+Mv_3$
$\frac{1}{2}mv^2_{2前}+\frac{1}{2}Mv^2_2=\frac{1}{2}mv^2_{2后}+\frac{1}{2}Mv^2_3$
$解得v_{2后}=0，v_{3}=\sqrt{2gl}$
$设小球与圆盘在第二次碰撞到第三次碰撞之间所经历的时间为t_2，则\frac{1}{2}gt^2_2=v_{3}t_2$
$解得t_2=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$
$小球在与圆盘第三次碰撞前瞬间的速度v_{3前}=gt_2=2\sqrt{2gl}$
圆盘在第二次碰撞到第三次碰撞之间下落的高度
$h_2=v_{3}t_2=4l$
$同理可知，圆盘在第三次碰撞到第四次碰撞之间下落的高度h_3=6l$
$若圆盘在管内运动过程中小球与圆盘能发生第五次碰撞，则圆盘在第四次碰撞到第五次碰撞之间下落的高度h_4=8l$
$h=l+h_1+h_2+h_3+h_4=21l>20l$
可见圆盘在管内运动过程中小球与圆盘未发生第五次碰撞，故小球与圆盘在管内运动过程中共碰撞4次。

Final answer: 4
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=\frac{1}{3}M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255374586761221/img/compression/M_d4733edb886adf5ca246a75cf1bc1ce3.jpg)
圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

Solution:
$规定竖直向下为正方向，设小球与圆盘第一次碰撞后经过时间t_1发生第二次碰撞，根据运动学公式可知$
$v_1t_1+\frac{1}{2}gt^2_1=v_2t_1$
$联立解得t_1=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$
$圆盘在第一次碰撞到第二次碰撞之间下落的高度h_1=v_2t_1=2l$
$小球与圆盘第二次碰撞前瞬间的速度v_{2前}=v_1+gt_1=\frac{3}{2}\sqrt{2gl}$
小球与圆盘第二次碰撞时动量守恒、机械能守恒，有
$mv_{2前}+Mv_2=mv_{2后}+Mv_3$
$\frac{1}{2}mv^2_{2前}+\frac{1}{2}Mv^2_2=\frac{1}{2}mv^2_{2后}+\frac{1}{2}Mv^2_3$
$解得v_{2后}=0，v_{3}=\sqrt{2gl}$
$设小球与圆盘在第二次碰撞到第三次碰撞之间所经历的时间为t_2，则\frac{1}{2}gt^2_2=v_{3}t_2$
$解得t_2=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$
$小球在与圆盘第三次碰撞前瞬间的速度v_{3前}=gt_2=2\sqrt{2gl}$
圆盘在第二次碰撞到第三次碰撞之间下落的高度
$h_2=v_{3}t_2=4l$
$同理可知，圆盘在第三次碰撞到第四次碰撞之间下落的高度h_3=6l$
$若圆盘在管内运动过程中小球与圆盘能发生第五次碰撞，则圆盘在第四次碰撞到第五次碰撞之间下落的高度h_4=8l$
$h=l+h_1+h_2+h_3+h_4=21l>20l$
可见圆盘在管内运动过程中小球与圆盘未发生第五次碰撞，故小球与圆盘在管内运动过程中共碰撞4次。

Final answer: 4
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255379848622082/img/compression/M_115967aaf0b6352d71f1ed27da4e1223.jpg)
$若v_0=\sqrt{gR},求小球第一次运动到半圆细管轨道B点时对轨道的压力大小;$

Solution:
小球由A到B做匀速运动，刚到B点时速度为v_0  
$设半圆细管轨道对小球的支持力为Fₙ，根据牛顿第二定律有Fₙ-mg=m\frac{v^2_0}{R}  $
解得Fₙ=2mg  
$根据牛顿第三定律有Fₙ'=Fₙ=2mg，即小球对半圆细管轨道的压力大小为2mg$

Final answer: $2mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

<img_550>
$若v_0=\sqrt{gR},求小球第一次运动到半圆细管轨道B点时对轨道的压力大小;$

Solution:
小球由A到B做匀速运动，刚到B点时速度为v_0  
$设半圆细管轨道对小球的支持力为Fₙ，根据牛顿第二定律有Fₙ-mg=m\frac{v^2_0}{R}  $
解得Fₙ=2mg  
$根据牛顿第三定律有Fₙ'=Fₙ=2mg，即小球对半圆细管轨道的压力大小为2mg$

Final answer: $2mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

<img_550>
$若v_{0}=3\sqrt{gR},求轻质弹簧获得的最大弹性势能。$

Solution:
$弹簧被压缩到最短时弹性势能最大，此时小球与整个装置共速，设共同速度为v  $
$水平方向动量守恒，有mv_0=3mv  $
由系统机械能守恒可得  
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}\cdot3mv^2+2mgR+E_p  $
$解得E_p=mgR$

Final answer: $mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255379848622082/img/compression/M_115967aaf0b6352d71f1ed27da4e1223.jpg)
$若v_{0}=3\sqrt{gR},求轻质弹簧获得的最大弹性势能。$

Solution:
$弹簧被压缩到最短时弹性势能最大，此时小球与整个装置共速，设共同速度为v  $
$水平方向动量守恒，有mv_0=3mv  $
由系统机械能守恒可得  
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}\cdot3mv^2+2mgR+E_p  $
$解得E_p=mgR$

Final answer: $mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起且碰撞时间极短。当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为{\frac{3}{2}}g，g为重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为E_p={\frac{1}{2}}kx^2，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A、B两球均可视为质点。$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255380557459459/img/compression/M_e6d28d29a246c95bbbb09d7277f80dfb.jpg)
求小球A开始释放的位置与B球之间的距离；

Solution:
$开始时，弹簧的压缩量x_1=\frac{mg}{k}，当A、B一起上升到最高点时，设弹簧的伸长量为x_2，根据牛顿第二定律有kx_2+2mg=2m \cdot \frac{3}{2}g，解得x_2=\frac{mg}{k}；设开始时A、B间的距离为h，从释放A到A与B碰撞前，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv_1^2；设A、B碰撞后瞬间，A、B共同速度为v_2，根据动量守恒定律有mv_1=2mv_2；从碰后瞬间到上升到最高点，根据机械能守恒定律有\frac{1}{2} \cdot 2mv_2^2 + \frac{1}{2}kx_1^2=2mg(x_1+x_2)+\frac{1}{2}kx_2^2，联立解得h=\frac{8mg}{k}。$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起且碰撞时间极短。当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为{\frac{3}{2}}g，g为重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为E_p={\frac{1}{2}}kx^2，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A、B两球均可视为质点。$

<img_1193>
求小球A开始释放的位置与B球之间的距离；

Solution:
$开始时，弹簧的压缩量x_1=\frac{mg}{k}，当A、B一起上升到最高点时，设弹簧的伸长量为x_2，根据牛顿第二定律有kx_2+2mg=2m \cdot \frac{3}{2}g，解得x_2=\frac{mg}{k}；设开始时A、B间的距离为h，从释放A到A与B碰撞前，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv_1^2；设A、B碰撞后瞬间，A、B共同速度为v_2，根据动量守恒定律有mv_1=2mv_2；从碰后瞬间到上升到最高点，根据机械能守恒定律有\frac{1}{2} \cdot 2mv_2^2 + \frac{1}{2}kx_1^2=2mg(x_1+x_2)+\frac{1}{2}kx_2^2，联立解得h=\frac{8mg}{k}。$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起且碰撞时间极短。当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为{\frac{3}{2}}g，g为重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为E_p={\frac{1}{2}}kx^2，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A、B两球均可视为质点。$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255380557459459/img/compression/M_e6d28d29a246c95bbbb09d7277f80dfb.jpg)
若将A球换成C球，将C球从A球开始释放的位置由静止释放，C、B发生弹性碰撞，碰撞后立即取走C球，此后B球上升的最大高度与A、B一起上升的最大高度相同，则C球的质量为多大？

Solution:
$设C球的质量为M，C球与B球碰撞前瞬间的速度为v_{C}= \sqrt{2gh}，C球与B球发生弹性碰撞，故根据动量守恒定律有Mv_{C}=Mv_{1}'+mv_{2}'，根据机械能守恒定律有 \frac{1}{2} Mv^2_{C} = \frac{1}{2} Mv_{1}'^2 + \frac{1}{2} mv_{2}'^2，解得v_{2}'= \frac{2M}{m+M} \sqrt{2gh}，根据题意有 \frac{1}{2} mv_{2}'^2 + \frac{1}{2} kx^2_{1} = mg(x_{1}+x_{2}) + \frac{1}{2}kx^2_{2}，解得M= \frac{1}{3} m。$

Final answer: $\frac{1}{3}m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起且碰撞时间极短。当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为{\frac{3}{2}}g，g为重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为E_p={\frac{1}{2}}kx^2，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A、B两球均可视为质点。$

<img_1193>
若将A球换成C球，将C球从A球开始释放的位置由静止释放，C、B发生弹性碰撞，碰撞后立即取走C球，此后B球上升的最大高度与A、B一起上升的最大高度相同，则C球的质量为多大？

Solution:
$设C球的质量为M，C球与B球碰撞前瞬间的速度为v_{C}= \sqrt{2gh}，C球与B球发生弹性碰撞，故根据动量守恒定律有Mv_{C}=Mv_{1}'+mv_{2}'，根据机械能守恒定律有 \frac{1}{2} Mv^2_{C} = \frac{1}{2} Mv_{1}'^2 + \frac{1}{2} mv_{2}'^2，解得v_{2}'= \frac{2M}{m+M} \sqrt{2gh}，根据题意有 \frac{1}{2} mv_{2}'^2 + \frac{1}{2} kx^2_{1} = mg(x_{1}+x_{2}) + \frac{1}{2}kx^2_{2}，解得M= \frac{1}{3} m。$

Final answer: $\frac{1}{3}m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![24BKB5WL369.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255380834283522/img/compression/M_a6884747cbdfd30c48e81a09f3862e8a.jpg)
$如果小球1通过B点时传感器示数为2m_1g,求小球1在四分之一圆弧AB段运动过程中克服摩擦力做的功W_f；$

Solution:
$对小球1在B点分析，根据牛顿第二定律得F_N-m_1g=\frac{m_1v^2_0}{R}$

$其中F_N=2m_1g$

$解得v_0=\sqrt{gR}$

从A到B,根据动能定理有

$m_1gR-W_f=\frac{1}{2}m_1v^2_0$

$解得W_f=\frac{1}{2}m_1gR$

Final answer: $\frac{1}{2}m_{1}gR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_664>
$如果小球1通过B点时传感器示数为2m_1g,求小球1在四分之一圆弧AB段运动过程中克服摩擦力做的功W_f；$

Solution:
$对小球1在B点分析，根据牛顿第二定律得F_N-m_1g=\frac{m_1v^2_0}{R}$

$其中F_N=2m_1g$

$解得v_0=\sqrt{gR}$

从A到B,根据动能定理有

$m_1gR-W_f=\frac{1}{2}m_1v^2_0$

$解得W_f=\frac{1}{2}m_1gR$

Final answer: $\frac{1}{2}m_{1}gR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![24BKB5WL369.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255380834283522/img/compression/M_a6884747cbdfd30c48e81a09f3862e8a.jpg)
$如果m_3=m_4=\ldots =m_n=\frac{m_1}{5}, 当小球2质量为何值时, 第n个小球获得的速度最大(n大于2)。$

Solution:
设小球3被小球2碰后速度为v，则小球3与小球4碰撞过程,根据动量守恒定律有
$\frac{1}{5}m_1v=\frac{1}{5}m_1v_3+\frac{1}{5}m_1v_4$
由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v_3^2+\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v_4^2$
$解得v_3=0, v_4=v$
$即质量相等的小球发生弹性碰撞速度互换，因此，若使第n个小球动能最大，只需要第3个小球动能最大，即y=\frac{16m_1m_2^2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}有最大值$
$其中m_3=\frac{m_1}{5}$
$整理得y=\frac{16}{5}m_1^2\frac{1}{\left(\frac{6}{5}m_1+\frac{m_1^2}{5m_2}+m_2\right)^2}$
$当\frac{m_1^2}{5m_2}=m_2时，即m_2=\frac{\sqrt{5}}{5}m_1时分母最小，y最大$
$所以当m_2=\frac{\sqrt{5}}{5}m_1时，第n个小球获得的动能最大，速度最大$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}m_1$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_664>
$如果m_3=m_4=\ldots =m_n=\frac{m_1}{5}, 当小球2质量为何值时, 第n个小球获得的速度最大(n大于2)。$

Solution:
设小球3被小球2碰后速度为v，则小球3与小球4碰撞过程,根据动量守恒定律有
$\frac{1}{5}m_1v=\frac{1}{5}m_1v_3+\frac{1}{5}m_1v_4$
由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v_3^2+\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}m_1v_4^2$
$解得v_3=0, v_4=v$
$即质量相等的小球发生弹性碰撞速度互换，因此，若使第n个小球动能最大，只需要第3个小球动能最大，即y=\frac{16m_1m_2^2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}有最大值$
$其中m_3=\frac{m_1}{5}$
$整理得y=\frac{16}{5}m_1^2\frac{1}{\left(\frac{6}{5}m_1+\frac{m_1^2}{5m_2}+m_2\right)^2}$
$当\frac{m_1^2}{5m_2}=m_2时，即m_2=\frac{\sqrt{5}}{5}m_1时分母最小，y最大$
$所以当m_2=\frac{\sqrt{5}}{5}m_1时，第n个小球获得的动能最大，速度最大$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}m_1$
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一本词典放置在水平桌面上，词典的总厚度H=6 cm，总质量M=1.8 kg，将一张白纸(质量和厚度均可忽略)夹在词典最深处，白纸距词典上表面的高度为h=4 cm，如图乙所示，白纸上下表面与书页间，词典与桌面间的动摩擦因数均为\mu =0.3，各接触面间的最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，白纸受到的压力大小等于压在白纸上方那部分词典的重力，且词典的质量随高度均匀分布。用大小合适的水平拉力向外拉白纸，可带动词典在桌面上运动，重力加速度g=10 m/s^2^，求：

<img_1063>
<center>图甲</center>

<img_1145>
<center>图乙</center>
词典在桌面上运动的最大加速度。

Solution:
$词典运动的最大加速度a满足f_{2m}-f_{1}=Ma$

$代入数据解得最大加速度a=1 m/s^2$

Final answer: $1 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: 如图甲所示，一本词典放置在水平桌面上，词典的总厚度H=6 cm，总质量M=1.8 kg，将一张白纸(质量和厚度均可忽略)夹在词典最深处，白纸距词典上表面的高度为h=4 cm，如图乙所示，白纸上下表面与书页间，词典与桌面间的动摩擦因数均为\mu =0.3，各接触面间的最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，白纸受到的压力大小等于压在白纸上方那部分词典的重力，且词典的质量随高度均匀分布。用大小合适的水平拉力向外拉白纸，可带动词典在桌面上运动，重力加速度g=10 m/s^2^，求：

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959301503193090/img/compression/M_84477d55d4081d6e7a012db7320bdb95.jpg)
<center>图甲</center>

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959301503193090/img/compression/M_996e80f4d9a01f67d490d09b7b5166cf.jpg)
<center>图乙</center>
词典在桌面上运动的最大加速度。

Solution:
$词典运动的最大加速度a满足f_{2m}-f_{1}=Ma$

$代入数据解得最大加速度a=1 m/s^2$

Final answer: $1 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量$M=6 kg$、右侧带有挡板的长木板放在水平面上，质量$m=2 kg$的小物块放在长木板上，此时长木板和小物块在作用于长木板上、水平向右的力F作用下做速度$v_0=4 m/s$的匀速运动，已知长木板与水平面间的动摩擦因数为$\mu _1=0.6$，物块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.4$，某时刻撤去力F，小物块恰好与右侧挡板不发生碰撞，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度$g=10 m/s^2$。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959458318843906/img/compression/M_3cbc63e8ea528d540fa0f9ad09491cea.jpg)
求力$F$的大小；

Solution:
长木板和物块一起做匀速运动，对整体受力分析

$由平衡条件得 F=\mu _{1}(M+m)g$

$解得 F=48 N$

Final answer: 48 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量$M=6 kg$、右侧带有挡板的长木板放在水平面上，质量$m=2 kg$的小物块放在长木板上，此时长木板和小物块在作用于长木板上、水平向右的力F作用下做速度$v_0=4 m/s$的匀速运动，已知长木板与水平面间的动摩擦因数为$\mu _1=0.6$，物块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.4$，某时刻撤去力F，小物块恰好与右侧挡板不发生碰撞，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度$g=10 m/s^2$。

<img_1429>
求力$F$的大小；

Solution:
长木板和物块一起做匀速运动，对整体受力分析

$由平衡条件得 F=\mu _{1}(M+m)g$

$解得 F=48 N$

Final answer: 48 N
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量$M=6 kg$、右侧带有挡板的长木板放在水平面上，质量$m=2 kg$的小物块放在长木板上，此时长木板和小物块在作用于长木板上、水平向右的力F作用下做速度$v_0=4 m/s$的匀速运动，已知长木板与水平面间的动摩擦因数为$\mu _1=0.6$，物块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.4$，某时刻撤去力F，小物块恰好与右侧挡板不发生碰撞，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度$g=10 m/s^2$。

<img_1429>
$求撤去力F前物块与右侧挡板的距离L_{0}；$

Solution:
$撤去力F后，对长木板有\mu _1(M+m)g－\mu _2mg=Ma_1$

$对物块有\mu _2mg=ma_2$

$解得a_1=\frac{20}{3} m/s^2, a_2=4 m/s^2$

$长木板和物块发生相对滑动，由于a_1>a_2，则长木板先停止运动$

$从撤去力F到长木板停止运动，长木板的位移为s_1=\frac{v^2_0}{2a_1}$

$物块停止运动时的位移为s_2=\frac{v^2_0}{2a_2}$

$由于s_1+L_0=s_2$

$解得L_0=0.8 m$

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量$M=6 kg$、右侧带有挡板的长木板放在水平面上，质量$m=2 kg$的小物块放在长木板上，此时长木板和小物块在作用于长木板上、水平向右的力F作用下做速度$v_0=4 m/s$的匀速运动，已知长木板与水平面间的动摩擦因数为$\mu _1=0.6$，物块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.4$，某时刻撤去力F，小物块恰好与右侧挡板不发生碰撞，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度$g=10 m/s^2$。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959458318843906/img/compression/M_3cbc63e8ea528d540fa0f9ad09491cea.jpg)
$求撤去力F前物块与右侧挡板的距离L_{0}；$

Solution:
$撤去力F后，对长木板有\mu _1(M+m)g－\mu _2mg=Ma_1$

$对物块有\mu _2mg=ma_2$

$解得a_1=\frac{20}{3} m/s^2, a_2=4 m/s^2$

$长木板和物块发生相对滑动，由于a_1>a_2，则长木板先停止运动$

$从撤去力F到长木板停止运动，长木板的位移为s_1=\frac{v^2_0}{2a_1}$

$物块停止运动时的位移为s_2=\frac{v^2_0}{2a_2}$

$由于s_1+L_0=s_2$

$解得L_0=0.8 m$

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，足够长的、质量M=1 kg的木板静止在水平面上，质量m=1 kg、大小可以忽略的铁块静止在木板的右端。已知木板与地面间的动摩擦因数\mu _1=0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s^2。现给铁块施加一个水平向左的力F，作出铁块受到的摩擦力f随力F大小变化的图像如图乙所示。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959459140927491/img/compression/M_63f81e8e8589b2a011dfddad47ab722e.jpg)
<center>甲</center>

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959459140927491/img/compression/M_2ed85751c724a6c47126d58838cc6c3a.jpg)
<center>乙</center>

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623959459140927491/img/compression/M_e0b45d4969a5d41d9e9e7a52e408108d.jpg)
<center>丙</center>
若F恒为8 N，求铁块在1 s内在木板上滑过的长度。

Solution:
$由图乙可知铁块与木板间的滑动摩擦力大小为f_2=4 N，设铁块和木板能够不发生相对滑动的最大加速度为a_m。$

$对整体分析，由牛顿第二定律得F_m-\mu _1(M+m)g=(M+m)a_m。$

$对木板分析有f_2-\mu _1(M+m)g=Ma_m。$

$解得F_m=6 N<8 N。$

$所以若F恒为8 N，铁块与木板将发生相对滑动，设木板与铁块的加速度大小分别为a_1、a_2。$

$对木板和铁块运用牛顿第二定律分别有f_2-\mu _1(M+m)g=Ma_1，F-f_2=ma_2，解得a_1=2 m/s^2，a_2=4 m/s^2，在t=1 s内，木板和铁块的位移大小分别为s_1=\frac{1}{2} a_1 t^2=1 m，s_2=\frac{1}{2} a_2 t^2=2 m，所以铁块在1 s内在木板上滑过的长度为L=s_2-s_1=1 m。$

Final answer: 1 m