di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑块A和B质量分别为m和nm，静止在小车C上，与小车C之间的动摩擦因数均为\mu ，且\mu =0.4。小车C静止在光滑的水平面上，质量为nm。在下述情境中，通过点燃夹在滑块A和B之间的适量炸药，使滑块A获得向左的初速度v_0=1.2 m/s。滑块A和B始终没有脱离小车C。重力加速度g取10 m/s^2。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625203867086851/img/compression/M_5892fc4a312f2c986d97e82f6dee6070.jpg)
$若1\leq n\leq 5，小车C不固定，求滑块A和B相对小车C静止时，它们之间的距离x的范围。$

Solution:
$B对小车的摩擦力大于A对小车的摩擦力，设小车的加速度为a_1，根据牛顿第二定律有\mu nmg-\mu mg=nma_1$

$解得a_1=\frac{n-1}{n}\mu g$

$设经t_1时间滑块B和小车C达到共同速度v_2$

$在t_1时间内对C有v_2=a_1t_1$

$对B有v_2=v_1-att_1$

$A由始至终做减速运动，加速度不变，始终为a=\mu g；B、C共速后可视为整体，共同减速，其速度由v_2减至0。$

$水平面光滑、C不固定，故滑块A、B和小车C三者组成的系统动量守恒，系统初速度为零，故最终三者静止，设滑块A运动时间为t_2，由运动学公式有0=v_0-at_2$

$滑块A和B相对小车C运动的距离分别为x_1和x_2，A、B、C三者的v-t图像以及x_1、x_2在图像中的体现如图所示，x_2=\frac{1}{2}v_1t_1，x_1=\frac{v_2}{2}t_2+\frac{v_0}{2}t_2，x=x_1+x_2$

$解得x=0.247 5-\frac{0.022 5}{2n-1}$

$当n=1时x=0.225 m，当n=5时，x=0.245 m。若1\leq n\leq 5，小车C不固定，则滑块A和B相对小车C静止时，它们之间的距离x的范围为0.225 m\leq x\leq 0.245 m。$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625204156493825/img/compression/M_49d5d7f378aef4de0ce010f7f6efd7c8.jpg)

Final answer: $[0.225 0.245]$ m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑块A和B质量分别为m和nm，静止在小车C上，与小车C之间的动摩擦因数均为\mu ，且\mu =0.4。小车C静止在光滑的水平面上，质量为nm。在下述情境中，通过点燃夹在滑块A和B之间的适量炸药，使滑块A获得向左的初速度v_0=1.2 m/s。滑块A和B始终没有脱离小车C。重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_1203>
$若1\leq n\leq 5，小车C不固定，求滑块A和B相对小车C静止时，它们之间的距离x的范围。$

Solution:
$B对小车的摩擦力大于A对小车的摩擦力，设小车的加速度为a_1，根据牛顿第二定律有\mu nmg-\mu mg=nma_1$

$解得a_1=\frac{n-1}{n}\mu g$

$设经t_1时间滑块B和小车C达到共同速度v_2$

$在t_1时间内对C有v_2=a_1t_1$

$对B有v_2=v_1-att_1$

$A由始至终做减速运动，加速度不变，始终为a=\mu g；B、C共速后可视为整体，共同减速，其速度由v_2减至0。$

$水平面光滑、C不固定，故滑块A、B和小车C三者组成的系统动量守恒，系统初速度为零，故最终三者静止，设滑块A运动时间为t_2，由运动学公式有0=v_0-at_2$

$滑块A和B相对小车C运动的距离分别为x_1和x_2，A、B、C三者的v-t图像以及x_1、x_2在图像中的体现如图所示，x_2=\frac{1}{2}v_1t_1，x_1=\frac{v_2}{2}t_2+\frac{v_0}{2}t_2，x=x_1+x_2$

$解得x=0.247 5-\frac{0.022 5}{2n-1}$

$当n=1时x=0.225 m，当n=5时，x=0.245 m。若1\leq n\leq 5，小车C不固定，则滑块A和B相对小车C静止时，它们之间的距离x的范围为0.225 m\leq x\leq 0.245 m。$

<img_1157>

Final answer: $[0.225 0.245]$ m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，倾角\alpha =30^\circ 的粗糙斜面上放置矩形金属框MM_1N_1N，质量m_0=5 kg。其中水平边MN=M_1N_1=1.0 m，阻值均为R=0.2 \Omega ；MM_1=NN_1且足够长，电阻不计。空间中存在方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=1 T。一质量m=1.0 kg、阻值r=0.1 \Omega 、长l=1.0 m的光滑导体棒ab放置在金属框上，并平行于MN边。t=0时刻，导体棒ab在平行斜面的外力F作用下从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置在坐标原点O处，导体棒ab的速度随时间变化的图线是如图乙所示的正弦曲线，正弦曲线的周期T=\frac{\pi }{5} s。导体棒ab始终垂直于MM_1，金属框始终保持静止。重力加速度g=10 m/s^2。求：$

<img_1410>

<img_1185>
$已知简谐运动的回复力系数k=100 N/m，求矩形金属框受到的摩擦力与外力F等大同向时导体棒的位置（不用写单位）。$

Solution:
金属框受到的摩擦力
$f=m_0 g \sin \alpha -Bil=25-10 \sin 10t (N)$

$由于导体棒 ab 做简谐运动，故可知$
$F-mg \sin a-Bil=-kx$

$且有 x=-0.2 \cos 10t (m)$

$解得 F=5+10 \sin 10t+20 \cos 10t$

$由 F=f$

$可得 x=0 或 x=-0.2 m$



Final answer: 0，-0.2
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，倾角\alpha =30^\circ 的粗糙斜面上放置矩形金属框MM_1N_1N，质量m_0=5 kg。其中水平边MN=M_1N_1=1.0 m，阻值均为R=0.2 \Omega ；MM_1=NN_1且足够长，电阻不计。空间中存在方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=1 T。一质量m=1.0 kg、阻值r=0.1 \Omega 、长l=1.0 m的光滑导体棒ab放置在金属框上，并平行于MN边。t=0时刻，导体棒ab在平行斜面的外力F作用下从x=-0.2 m位置由静止开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置在坐标原点O处，导体棒ab的速度随时间变化的图线是如图乙所示的正弦曲线，正弦曲线的周期T=\frac{\pi }{5} s。导体棒ab始终垂直于MM_1，金属框始终保持静止。重力加速度g=10 m/s^2。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295015280152578/img/compression/M_7db38d466b2c10055ba714bd61f1e72e.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295015280152578/img/compression/M_ea9d8a08f3cb0aaf9f36586c0c144698.jpg)
$已知简谐运动的回复力系数k=100 N/m，求矩形金属框受到的摩擦力与外力F等大同向时导体棒的位置。$

Solution:
金属框受到的摩擦力
$f=m_0 g \sin \alpha -Bil=25-10 \sin 10t (N)$

$由于导体棒 ab 做简谐运动，故可知$
$F-mg \sin a-Bil=-kx$

$且有 x=-0.2 \cos 10t (m)$

$解得 F=5+10 \sin 10t+20 \cos 10t$

$由 F=f$

$可得 x=0 或 x=-0.2 m$

Final answer: x = 0 或 x = -0.2m
Subfield: Optics


Question: $2022年2月4日举办的北京冬奥会开幕式令世界沸腾。在这场感觉、听觉、视觉交织融合的饕餮盛宴背后，最大的“功臣”非LED显示技术莫属。发光二极管(LED)可高效地将电能转化为光能，在照明、平板显示、医疗器件等领域具有广泛的用途。有一种发光二极管，它由半径为R的半球体介质ABC和发光管芯组成，管芯发光区域是半径为r的圆面PQ，其圆心与半球体的球心O重合，过球心的横截面如图所示。图中发光圆面发出的某条光线射向D点，入射角为30^\circ ，折射角为45^\circ 。$

![23BZJ5WL686.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295200998617091/img/compression/M_d09fe838bc89edebf3533edc1f817dee.jpg)
为使从发光圆面PQ射向半球面上的所有光都不发生全反射，管芯发光区域面积S应满足什么条件？

Solution:
$如图所示，由正弦定理可知，从P或Q点垂直于发光圆面发出的光射到球面时的入射角最大，设为\alpha ，由几何关系有\sin \alpha = \frac{r}{R}$

![23BZJ5WL687答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295201359327234/img/compression/M_a86fd15e4f1b5fe64e506239078dbf88.jpg)

$为使从发光圆面PQ射向半球面上的所有光都不发生全反射，应满足\sin \alpha <\sin C$

$解得r<\frac{\sqrt{2}R}{2}$

$则管芯发光区域面积应满足S=\pi r^2<\frac{\pi R^2}{2}$

Final answer: $S < \frac{\pi R^2}{2}$
Subfield: Optics


Question: $2022年2月4日举办的北京冬奥会开幕式令世界沸腾。在这场感觉、听觉、视觉交织融合的饕餮盛宴背后，最大的“功臣”非LED显示技术莫属。发光二极管(LED)可高效地将电能转化为光能，在照明、平板显示、医疗器件等领域具有广泛的用途。有一种发光二极管，它由半径为R的半球体介质ABC和发光管芯组成，管芯发光区域是半径为r的圆面PQ，其圆心与半球体的球心O重合，过球心的横截面如图所示。图中发光圆面发出的某条光线射向D点，入射角为30^\circ ，折射角为45^\circ 。$

<img_945>
为使从发光圆面PQ射向半球面上的所有光都不发生全反射，管芯发光区域面积S应满足什么条件？

Solution:
$如图所示，由正弦定理可知，从P或Q点垂直于发光圆面发出的光射到球面时的入射角最大，设为\alpha ，由几何关系有\sin \alpha = \frac{r}{R}$

<img_1003>

$为使从发光圆面PQ射向半球面上的所有光都不发生全反射，应满足\sin \alpha <\sin C$

$解得r<\frac{\sqrt{2}R}{2}$

$则管芯发光区域面积应满足S=\pi r^2<\frac{\pi R^2}{2}$



Final answer: $(0,\frac{\pi R^2}{2})$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

<img_1162>
A的长度满足的条件。

Solution:
$分析知A、B最终静止，在运动过程中，B始终没有从A上滑落。设B相对A滑动的位移为L_{min}，由能量守恒定律得Mgd \sin \theta +mg(d+L_{min}) \sin \theta =\mu mg \cos \theta \cdot L_{min}$

$解得L_{min}=8d$

$即A的长度满足的条件为L\geq 8d。$



Final answer: $[8d, +\infty)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271978737389570/img/compression/M_b684a864dc4407ef9a9381a052ab2ad0.jpg)
A的长度满足的条件。

Solution:
$分析知A、B最终静止，在运动过程中，B始终没有从A上滑落。设B相对A滑动的位移为L_{min}，由能量守恒定律得Mgd \sin \theta +mg(d+L_{min}) \sin \theta =\mu mg \cos \theta \cdot L_{min}$

$解得L_{min}=8d$

$即A的长度满足的条件为L\geq 8d。$

Final answer: $L \geq 8d$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是\frac{1}{4}圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E<sub>1</sub>、方向指向圆心O<sub>1</sub>；在空间坐标系中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E<sub>2</sub>(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45^\circ 角的匀强磁场、磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。$

<img_954>
$保持(1)问中E_2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷q/m需要满足的条件。$

Solution:
$设粒子带电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有$
$qE_1=m\frac{v^2}{R}$
$解得v=\sqrt{\frac{qE_1R}{m}}$
$粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x轴方向有L=vt$
$沿y轴方向有$
$a=\frac{qE_2}{m}，y=\frac{1}{2}at^2，v_y=at$
$联立解得y=\frac{L}{2}，v_y=\sqrt{\frac{qE_1R}{m}}$
$可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，设粒子进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为\theta ，$
$则有\tan \theta =\frac{v_y}{v}=1$
$解得\theta =45^\circ $
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为
$v'=\sqrt{v^2+v^2_y}=\sqrt{\frac{2qE_1R}{m}}$
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，
$则有qv'B=m\frac{v'^2}{r}$
$解得r=\frac{mv'}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE_1R}{q}}$
为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图，由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足
$\frac{1}{2}L＜r＜\frac{\sqrt{2}}{2}L$
联立解得粒子的比荷需要满足
$\frac{4E_1R}{B^2L^2}＜\frac{q}{m}＜\frac{8E_1R}{B^2L^2}$

<img_765>



Final answer: $(\frac{4E_1R}{B^2L^2}, \frac{8E_1R}{B^2L^2})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是\frac{1}{4}圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E<sub>1</sub>、方向指向圆心O<sub>1</sub>；在空间坐标系中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E<sub>2</sub>(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45^\circ 角的匀强磁场、磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377148866949123/img/compression/M_8f532588ebfa692913e1f590b8748a76.jpg)
$保持(1)问中E_2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷q/m需要满足的条件。$

Solution:
$设粒子带电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有$
$qE_1=m\frac{v^2}{R}$
$解得v=\sqrt{\frac{qE_1R}{m}}$
$粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x轴方向有L=vt$
$沿y轴方向有$
$a=\frac{qE_2}{m}，y=\frac{1}{2}at^2，v_y=at$
$联立解得y=\frac{L}{2}，v_y=\sqrt{\frac{qE_1R}{m}}$
$可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，设粒子进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为\theta ，$
$则有\tan \theta =\frac{v_y}{v}=1$
$解得\theta =45^\circ $
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为
$v'=\sqrt{v^2+v^2_y}=\sqrt{\frac{2qE_1R}{m}}$
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，
$则有qv'B=m\frac{v'^2}{r}$
$解得r=\frac{mv'}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE_1R}{q}}$
为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图，由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足
$\frac{1}{2}L＜r＜\frac{\sqrt{2}}{2}L$
联立解得粒子的比荷需要满足
$\frac{4E_1R}{B^2L^2}＜\frac{q}{m}＜\frac{8E_1R}{B^2L^2}$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377149227659265/img/compression/M_a1948d4ac201fe944cb7006f92c87ccf.jpg)

Final answer: $\frac{4E_1R}{B^2L^2} < \frac{q}{m} < \frac{8E_1R}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 小杜家里新装修时使用了一批照明卤钨灯泡,如图1所示,小杜利用多用电表测量该灯泡的电阻。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719995842172764161/img/compression/M_469e5e9868824a039a1e1c7d1680f011.jpg)

图1

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719995842172764161/img/compression/M_10556ef60541ce3d38aa09ca8ddb3ac6.jpg)

图2
小杜翻阅了该产品的说明书,说明书上写着“额定电压220 V,65 W”,小杜根据计算得知电阻约为$745 \Omega$ ,这与实际测量结果相差较大,其主要原因可能是_____.

Solution:
由灯泡标称值计算所得阻值应为灯泡在额定功率下工作时的电阻，在正常工作时灯丝温度很高，电阻率增大，导致电阻增大。在用多用电表欧姆挡测量时灯泡两端电压远小于额定电压，灯丝电阻率较小，因此测量值与正常工作时电阻差异较大。

Final answer: 由标称值计算所得阻值应为灯泡正常工作时的电阻，此时灯丝温度很高，电阻率增大，因此真实阻值会远大于多用电表欧姆挡的测量值
Subfield: Electromagnetism


Question: 导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

![15GZTWL105教师单.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385811882840069/img/compression/M_c0b2262c4ff03de2bb377a11707b3c43.jpg)
$通过公式推导验证：在\Delta t时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W_{电}，也等于导线MN中产生的焦耳热Q；$

Solution:
$电动势E=BLv$

$导线匀速运动，受力平衡F=F_{安}=BIL$

$在\Delta t时间内，$

$外力F对导线做功W=Fv\Delta t=F_{安}v\Delta t=BILv\Delta t，$

$电路获得的电能W_{电}=qE=IE\Delta t=BILv\Delta t。$

$可见，F对导线MN所做的功等于电路获得的电能W_{电}；$

$导线MN中产生的焦耳热Q=I^{2}R\Delta t=I\Delta t\times IR=qE=W_{电}。$

$可见，电路获得的电能W_{电}等于导线MN中产生的焦耳热Q。$

温馨提示

$推导出W_{电}与Q的表达式并比较。$

Final answer: 证明题
Subfield: Mechanics


Question: $自驾野游者在干涸的河床上逗留，会给自身带来一定的安全隐患。某次河道上游山洪爆发，洪水以30 m/s的恒定速率奔流而下，野游者发现后立即驾车加速离开，此时山洪距车只有300 m远，已知汽车的加速度为2.5 m/s^2，能够达到的最大速度为40 m/s，安全点在距车2 000 m的下游处。$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521793304629250/img/compression/M_8169897677338323f96e89d770408209.jpg)
若发动汽车过程因意外另需耗时5 s，请通过计算，判断人和车能否安全脱离险境。

Solution:
发动汽车过程因意外另需耗时5 s，当汽车加速到与洪水速度相同时洪水的位移为

$x_4 = 30 m/s \times  (t_3 + 5 s) = 510 m$

$因为 x_4 > x_3 + 300 m，可知汽车加速到与洪水速度相同之前洪水已经追上汽车，人和车不能安全脱离险境。$

Final answer: 不能
Subfield: Mechanics


Question: 反冲是常见的现象。

![24BBJ5WL290.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685603807234/img/compression/M_fc0a9109dc5d686c69762f13d9d1390c.jpg)
$如图所示，用轻绳连接的滑块A和B(均可视为质点)静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为E_p。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。$

Solution:
滑块A和B组成的系统动量守恒，设弹簧恢复原长时，滑块A和B的速度分别为v_{A}和v_{B}，选取滑块A运动方向为正方向，根据动量守恒定律可得$mv_{A}-Mv_{B}=0$
$又由能量守恒定律可知，弹簧弹性势能为E_{p}=\frac{1}{2}mv_{A}^2+\frac{1}{2}Mv_{B}^2$
$则滑块A获得的动能为E_{kA}=\frac{1}{2}mv_{A}^2=\frac{p_A^2}{2m}=\frac{E_\mathrm{p}}{1+\frac{m}{M}}$
m和$E_{p}$均为定值，因此M越大，滑块A获得的动能就越大。

Final answer: 证明题
Subfield: Electromagnetism


Question: $电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170528337924/img/compression/M_1b64017fef660eabec7f94f4661b8772.jpg)
磁场的方向；

Solution:
垂直于导轨平面向下。

Final answer: 垂直于导轨平面向下
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为$\theta$ 。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为$\rho $。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272170897436675/img/compression/M_f1727b5479d298b27f3d3ab3823b2186.jpg)
$在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b' > b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化。$

Solution:
$磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得$
$F=\frac{2B^2d^2bv}{\rho } ⑨$
$当铝条的宽度b'＞b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F'，有F'=\frac{2B^2d^2b'v}{\rho } ⑩$
$可见，F'＞F=mg \sin \theta ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大。之后，随着运动速度减小，F'也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小。综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动。直到F'=mg \sin \theta 时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑。$

Final answer: $磁铁做加速度逐渐减小的减速运动。直到F'=mg \sin \theta 时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑$。
Subfield: Electromagnetism


Question: $时速600公里高速磁浮实验样车的下线标志着中国在高速磁浮技术领域实现重大突破。磁浮列车主要由悬浮系统、推进系统和导向系统三大部分组成。某兴趣小组设计制作了一种磁浮列车模型，原理如图所示，PQ和MN是固定在水平地面上的两根足够长的平直导轨，导轨间分布着竖直(垂直纸面)方向等间距且方向相反的匀强磁场B_1和B_2，B_1垂直纸面向外，B_2垂直纸面向里，大小均为B=2.0 T。矩形金属框固定在实验车底部(车厢与金属框绝缘)，其中ad边宽度与磁场间隔相等。当磁场B_1和B_2同时以速度v_0=10 m/s沿导轨向右匀速运动时，金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动。已知金属框垂直导轨的ab边长L=0.1 m、总电阻R=0.8 \Omega ，列车与线框的总质量m=4.0 kg。悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力f=0.4 N。求：$

![24BTJ5WL210.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272177537019907/img/compression/M_5223da03dad01346c47c64e5f044d79d.jpg)
如图所示状态时，金属框中的电流方向；

Solution:
$如图所示状态时，可看出线框所围区域内B_1所占面积在减小，B_2所占面积在增大，因此磁通量表现为垂直于纸面向里增大，由楞次定律知，金属框中电流方向应为abcda(或逆时针)。$

Final answer: $abcda或逆时针$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示,MN、PQ两光滑平行金属导轨构成的平面与水平面成\theta 角,导轨间距为l、电阻不计。在区域Ⅰ内有垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度B_{1}=B；在区域Ⅱ内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场,其磁感应强度B_{2}的大小随时间t变化的规律如图乙所示。两区域的上、下边界均与导轨垂直。t=0时刻,在导轨上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑,同时另一金属细棒cd在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前,cd棒始终处于静止状态。两棒均与导轨垂直且接触良好。已知cd棒的质量为m,区域Ⅱ沿导轨的长度为2l,ab棒恰在t=t_{x}(未知)时刻进入区域Ⅱ,重力加速度为g。此外,ab棒的质量、电阻和cd棒的电阻均未知。求：$

![image1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272177906118658/img/compression/M_8c4cb23e33e41da2f5fac0e882ad4a89.jpg)
甲　

![image2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272177906118658/img/compression/M_851b4bfed80ae5d891b55888db1d7fec.jpg)
乙
通过ab棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向;

Solution:
$由楞次定律可知当区域Ⅱ中磁感应强度垂直于轨道向上减小时，感应电流的磁场方向应与B_2方向相同，因此ab棒电流方向由b到a，cd中电流方向由c到d。由左手定则可知Ⅰ区域中磁场方向应垂直于导轨平面向下。$

Final answer: 由b到a, 垂直于导轨平面向下
Subfield: Thermodynamics


Question: $高血压是最常见的心血管疾病之一，也是导致脑卒中、冠心病、心力衰竭等疾病的重要危险因素。某人某次用如图所示的水银血压计测量血压时，先向袖带内充入气体，充气后袖带内的气体体积为V_0、压强为1.5p_0，然后缓慢放气，当袖带内气体体积变为0.7V_0时，气体的压强刚好与大气压强相等。设大气压强为p_0，放气过程中温度保持不变。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377300213960707/img/compression/M_7ee43be5709f9c0a36217b6254d3e7fb.jpg)
简要说明缓慢放气过程中袖带内气体是吸热还是放热；

Solution:
$根据题意知，缓慢放气过程，气体内能不变，但气体体积变大对外做功，根据热力学第一定律\Delta U=Q+W知，气体应吸热。$

Final answer: 吸热
Subfield: Thermodynamics


Question: $分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t=0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x=10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255642962628610/img/compression/M_8e3d39d5ae8d329f074b7eb28782eb92.jpg)
在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t=2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；

Solution:
$由v =\frac{\lambda }{T}可得T = \frac{\lambda }{v} = \frac{8}{4} s=2 s，$
$x = vt =4\times 2.5 m=10 m，且t=1\frac{1}{4} T。$
$分别画出P、Q两列波在t=2.5 s时刻的波形图如图所示。$
![waveform](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255642962628610/img/compression/M_f29d64b755e778948c6ba23623de8e6f.jpg)

Final answer: 见解析图
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m=2 000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100 m处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图(a)中的图线。图(a)中，0～t_{1}时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶)，t_{1}=0.8 s；t_{1}～t_{2}时间段为刹车系统的启动时间，t_{2}=1.3 s；从t_{2}时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从t_{2}时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_ca13510979add4c30cb8e50af630a1a4.jpg)

$图(a)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255246356508674/img/compression/M_2434983d6286be95af4a14bce0937530.jpg)

$图(b)$
$在图(b)中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；$

Solution:
v-t图像如图所示。

![20GZTWL85D](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255247182786563/img/compression/M_27d303f83fcc97815b627c60adb8e805.jpg)

Final answer: 见解析
Subfield: Electromagnetism


Question: $2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。$
![20GZTWL81.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255401408466947/img/compression/M_03bbd92b23e827470896c0d28bb9b8df.jpg)
$为提高能量的转换效率，要使\frac{F}{P}尽量大，请提出增大\frac{F}{P}的三条建议。$

Solution:
$为使\frac{F}{P}尽量大，分析⑥式得到$
三条建议：用质量大的离子；用带电荷量少的离子；减小加速电压。

Final answer: 见解析
Subfield: Electromagnetism


Question: $近年来，我国高速铁路迅速发展，已成为国家新名片。高铁动车组在制动过程中采用“再生制动”方式，将列车的动能转化为可再生利用的能量，有效降低能耗。一种再生利用的方式是将列车甲制动产生的电能，提供给同一电网下处于启动状态的列车乙。此过程可简化为如图所示的模型：固定在水平地面上的足够长的平行金属导轨，处于竖直方向的匀强磁场中；甲、乙是两根相同的金属棒，放在导轨上，与导轨良好接触，且始终与导轨保持垂直。已知磁场的磁感应强度大小为 B，导体棒质量均为 m，电阻均为 R，长度与导轨间距相等，均为 l；导体棒甲、乙在导轨上运动时，受到的摩擦阻力大小均为 f； t=0时，导体棒甲的速度大小为 v_{0}，方向向左，导体棒乙的速度为0。不计导轨的电阻。$

![物理题目图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385823319584772/img/compression/M_b18b425750a278ea5096303a3172779d.jpg)
$已知当导体棒甲经过位移x_1，速度从v_0减到v_1时，乙不能再加速，此时再生制动结束。为了求得这一过程中导体棒乙的位移x_2，某同学的分析计算过程如下：$

$设当再生制动结束时导体棒乙的速度为v_2$
$此时导体棒乙受到的安培力F_{安}等于阻力f，可得\frac{B^2l^2(v_1-v_2)}{2R}=f①$
$由①式可解得v_2$
根据功能关系
$\frac{1}{2}mv^2_0 = \frac{1}{2}m(v^2_1+v^2_2)+f(x_1+x_2)②$
$由②式可求得导体棒乙的位移x_2$

请你判断这位同学的解法是否正确，并说明理由。

Solution:
这位同学的解法不正确。在导体棒甲减速的过程中，回路中会产生焦耳热。但②式中没有电路中产生的焦耳热，因此他的解法不正确。

思路点拨

由于回路中有电流产生，所以会产生焦耳热，运用功能关系解题时，不能漏掉这一部分能量。

Final answer: 不正确
Subfield: Electromagnetism


Question: $在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次\alpha 衰变。放射出的\alpha 粒子(^4_2He)在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示\alpha 粒子的质量和电荷量。$
$放射性原子核用 ^A_ZX 表示，新核的元素符号用Y表示，写出该\alpha 衰变的核反应方程。$

Solution:
$_{Z}^{A}X \rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y+ _2^4He$

Final answer: $_{Z}^{A}X \rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y+ _2^4He$
Subfield: Mechanics


Question: $一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5 m/s。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610257109753859/img/compression/M_ce7d78870845a42bc28dbd1002ef9601.jpg)

$图(a)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610257109753859/img/compression/M_17587efc684cd9cd27dd7720a2912069.jpg)

$图(b)$
$在图(b)中画出t=4 s时刻的波形图。$

Solution:
$由题图可知在t=0时波源的起振方向向上，则在4 s时x=vt=2 m，知t=4 s时该波刚好传到位置为2 m的质点，且波源刚好回到平衡位置，因为该波沿x轴正方向传播，则有如图所示的波形图。$

![22GZTWL1053B.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610258166718466/img/compression/M_8eda3c2434a95df6e276158eddc4004f.jpg)

Final answer: 见解析
Subfield: Optics


Question: $一折射率为 \sqrt{2} 的玻璃正柱体如图甲所示，柱体长为 l_1，其横截面如图乙所示，上侧 ABC 为等腰直角三角形，\angle  A=90^\circ ， BC =l_2 ，下侧为半圆圆弧。柱体表面 ABED 区域有平行于 BC 方向的单色光射入柱体，不考虑光线在柱体内的多次反射。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007395526275075/img/compression/M_5dbe0eb0f3f74ce980dca8f2e6b2e566.jpg)

甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007395526275075/img/compression/M_bcefd406ae0132c96ebf462b4feda617.jpg)

乙
请通过计算证明该单色光能否从ACFD面射出；

Solution:
$入射角i=45^\circ , 设折射角为r，则由n=\frac{\sin i}{\sin r}解得r=30^\circ ，则光线在ACFD面上的入射角\alpha =60^\circ ，由\sin C=\frac{1}{n}知临界角C=45^\circ ，所以光线不能从AC面射出。$

Final answer: 见解析
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图1所示，上端封闭、下端开口且粗细均匀的玻璃管长度L=570 mm，将其从水银面上方竖直向下缓慢插入水银中。发现管内水银面与管壁接触的位置向下弯曲，导致玻璃管内水银面形成凸液面，如图2所示。当玻璃管恰好全部插入水银时，管内、外水银面的高度差为h，此时作用于管的竖直向下的压力大小为F。已知大气压强p_0=760 mmHg=1.0\times 10^5 Pa，玻璃管横截面积大小S=1.0 cm^2，玻璃管质量m=0.4 kg，环境温度为常温且恒定,重力加速度取g=10 m/s^2。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295110653308930/img/compression/M_4e558c7d7035856e6f14c89aab40f5d3.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295110653308930/img/compression/M_7813d13941d7d80f2166ca1b61f6dc38.jpg)
图2所示水银面说明水银能否浸润玻璃？玻璃管插入水银的过程中，管内气体吸热还是放热？

Solution:
根据题意，由题图2可知，水银不浸润玻璃，玻璃管插入水银的过程中，温度不变，管内气体内能不变，体积减小，外界对气体做功，由热力学第一定律可知，气体放热。

Final answer: 不浸润，放热
Subfield: Optics


Question: $如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小钢球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向运动。已知小球经过平衡位置的速度大小为v，小球下降的最大距离为h，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度为g。$

![23BHUN5WL304.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894373572218883/img/compression/M_7e0712cb2f11ab929cf48508f36c0066.jpg)
证明小球的运动是简谐运动；

Solution:
$设弹簧的劲度系数为k，小球在平衡位置时弹簧伸长量为x_1，此时受力平衡，有mg=kx_1，取向下为正方向，设弹簧的形变量为x_1+\Delta x，此时球受到的回复力F_{回}=mg-k(x_1+\Delta x)=-k\Delta x，即小球受到的回复力与距离平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，所以该运动为简谐运动。$

Final answer: 见解析
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061539909160963/img/compression/M_b8f016332bb3dcd28b0a93249e449282.jpg)
$以U为纵坐标，I为横坐标，在图2中画出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意图，并说明U-I图像与两坐标轴交点的物理意义。$

Solution:
U-I图像如图所示。图线与纵轴交点的纵坐标值为电源电动势，与横轴交点的横坐标值为短路电流。

Final answer: 见解析
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
$设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律(r^3/T^2=k)及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。$

Solution:
$设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则F=m\frac{v^2}{r}。$

$运动周期T=\frac{2\pi r}{v}。$

$根据开普勒第三定律\frac{r^3}{T^2}=k,k为常量，得F=\frac{4\pi ^2km}{r^2}，即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。$

Final answer: 见解析
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角为\theta ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止.

![24AXGK5WL344.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608525496406018/img/compression/M_e4a8cd54797e0291306f3a61d78bcb33.jpg)
$在(3)的过程中，木板的机械能增加量设为\Delta E，传送带消耗的电能设为W，不计电路中产生的电热，比较\Delta E和W的大小关系，用文字说明理由。$

Solution:
\Delta E小于W，因为传送带与木板之间有滑动摩擦，电能有一部分转化为内能。

Final answer: 见解析
Subfield: Electromagnetism


Question: $在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v_1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上。不计带电粒子的重力。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613162070298627/img/compression/M_0be099002119c4f538fe349a9339d2eb.jpg)
指出带电粒子的电性，并说明理由;

Solution:
粒子与板一起向上运动，最后从平板左侧飞出，由左手定则可知，粒子带正电。

Final answer: 粒子与板一起向上运动，最后从平板左侧飞出，由左手定则可知，粒子带正电。
Subfield: Optics


Question: 如图所示，一装满水的水槽放在太阳光下，将平面镜M斜放入水中，调整其倾斜角度，使一束太阳光从O点经水面折射和平面镜反射，然后经水面折射回到空气中，最后射到槽左侧上方的屏幕N上，即可观察到彩色光带。如果逐渐增大平面镜的倾角\theta ，各色光将陆续消失。已知所有光线均在同一竖直平面内。

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614328862756867/img/compression/M_93160e2881c515da4c38d6346a75643b.jpg)
如果射向水槽的光线与水面成$30^\circ $角，当平面镜M与水平面夹角$\theta =45^\circ $时，屏幕上的彩色光带恰好全部消失，求对于最后消失的那种色光，水的折射率。

Solution:
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614329395433473/img/compression/M_d75874f9e5b3ac41b28505eb3b91d9e1.jpg)

画出如图所示的光路图

$由图可知，入射角\alpha=60^\circ ，OA是入射到平面镜上的光线，AD是法线，设\angle AOF=\beta，\angle OAD=\gamma$

$由几何关系得\beta+\gamma=45^\circ ，C=\beta+2\gamma$

$由折射定律得\frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }=n$

$由全反射条件得\sin C=\frac{1}{n}$

$联立解得n=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{2}$
Subfield: Optics


Question: 如图所示，一装满水的水槽放在太阳光下，将平面镜M斜放入水中，调整其倾斜角度，使一束太阳光从O点经水面折射和平面镜反射，然后经水面折射回到空气中，最后射到槽左侧上方的屏幕N上，即可观察到彩色光带。如果逐渐增大平面镜的倾角\theta ，各色光将陆续消失。已知所有光线均在同一竖直平面内。

<img_468>
如果射向水槽的光线与水面成$30^\circ $角，当平面镜M与水平面夹角$\theta =45^\circ $时，屏幕上的彩色光带恰好全部消失，求对于最后消失的那种色光，水的折射率。

Solution:
<img_516>

画出如图所示的光路图

$由图可知，入射角\alpha=60^\circ ，OA是入射到平面镜上的光线，AD是法线，设\angle AOF=\beta，\angle OAD=\gamma$

$由几何关系得\beta+\gamma=45^\circ ，C=\beta+2\gamma$

$由折射定律得\frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }=n$

$由全反射条件得\sin C=\frac{1}{n}$

$联立解得n=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{2}$
Subfield: Optics


Question: $1966年时任香港中文大学校长的高锟在一篇论文中提出利用石英基玻璃纤维，可进行长距离及高信息量的信息传递，引发了光导纤维的研发热潮，1970年康宁公司最先发明并制造出世界第一根可用于光通信的光纤，使光纤通信得以广泛应用，被视为光纤通信的里程碑之一，高锟也因此被国际公认为“光纤之父”。如图为某种新型光导纤维材料的一小段，材料呈圆柱状，半径为l，长度为3\sqrt{3}l，将一束光从底部中心P点以入射角\theta 射入，已知光在真空中的速度为c。$

$- 若已知这种材料的折射率为\sqrt{3}，入射角\theta  = 60^\circ ，求光线穿过这段材料所需的时间。$
- 这种材料的优势是无论入射角$\theta$ 为多大，材料侧面始终不会有光线射出，求材料的折射率的最小值。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614331626803203/img/compression/M_07910c9d8b2581b56c0a3338bca7bf0d.jpg)

Solution:
①如图1所示
$由折射定律可得n_1=\frac{\sin \theta}{\sin \alpha_1}=\sqrt{3}，解得\alpha_1=30^\circ$
$根据几何关系，光在圆柱体中的路程为s=\frac{3\sqrt{3}l}{\cos \alpha_1}=6l，又n_1=\frac{c}{v}$
$传播时间为t=\frac{s}{v}$
$解得光线穿过这段材料所需的时间为t=\frac{6\sqrt{3}l}{c}$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614331626803203/img/compression/M_17bca32f31beb622772587a7faeddd43.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614331626803203/img/compression/M_0db36129fc4252169035780a6c5a9425.jpg)

$②如图2所示，若将\theta逐渐增大，图中\alpha也将不断增大，而光线在侧面的入射角i将不断减小。当\theta趋近于90^\circ时，由折射定律及全反射可知，图中\alpha将趋于临界角C，角i将达到最小，若此时刚好发生全反射，则所有到达侧面的光线将全部发生全反射，不会从侧面射出。因此可得\sin i \geq \sin C，i+C=90^\circ，\sin C=\frac{1}{n}。$
$联立以上各式解得折射率的最小值为n=\sqrt{2}$

Final answer: $\frac{6\sqrt{3}l}{c}，\sqrt{2}$