di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知面积为\frac{\pi }{6}的扇形AOB的半径为1，C是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一动点，矩形CDEF内接于该扇形.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581748372447234/img/compression/M_7ca83963c4e4d121aafb40516e774a7f.jpg)
$点C在什么位置时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积.$

Solution:
$连接OC，设\angle AOC=\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{3}\right)，则DE=CF=\\sin   \alpha ，OF=\cos   \alpha .(5分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669581748670242818/img/compression/M_090f7b228ef4937b28fb13981e5c8ac9.jpg)$在Rt\triangle OED中，OE=\frac{DE}{\\\tan    \frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin   \alpha ，则EF=OF-OE=\\cos   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin   \alpha .(7分)故S_{矩形CDEF}=EF\cdot CF=\left(\\\cos    \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\\sin    \alpha \right)\\sin   \alpha =\\cos   \alpha \\sin   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin  ^{2}\alpha =\frac{\\\sin    2\alpha }{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1-\\\cos    2\alpha }{2}\right)=\frac{\\\sin    2\alpha }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2}\\cos   2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\right.\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   2\alpha +\frac{1}{2}\cdot \\cos   2\alpha \left)\right.-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin  \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{6}.(10分)由于0<\alpha <\frac{\pi }{3}，所以\frac{\pi }{6}<2\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}，所以当2\alpha +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}，即\alpha =\frac{\pi }{6}时，矩形CDEF的面积最大，为\frac{\sqrt{3}}{6}，此时点C是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}的中点.(12分)$

Final answer: 点C是弧AB的中点, $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知面积为\frac{\pi }{6}的扇形AOB的半径为1，C是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一动点，矩形CDEF内接于该扇形.$<img_1556>
$点C在弧AB上移动时，求矩形CDEF的最大面积.$

Solution:
$连接OC，设\angle AOC=\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{3}\right)，则DE=CF=\\sin   \alpha ，OF=\cos   \alpha .(5分)$<img_1640>$在Rt\triangle OED中，OE=\frac{DE}{\\\tan    \frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin   \alpha ，则EF=OF-OE=\\cos   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin   \alpha .(7分)故S_{矩形CDEF}=EF\cdot CF=\left(\\\cos    \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\\sin    \alpha \right)\\sin   \alpha =\\cos   \alpha \\sin   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin  ^{2}\alpha =\frac{\\\sin    2\alpha }{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1-\\\cos    2\alpha }{2}\right)=\frac{\\\sin    2\alpha }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2}\\cos   2\alpha -\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\right.\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   2\alpha +\frac{1}{2}\cdot \\cos   2\alpha \left)\right.-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin  \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{6}.(10分)由于0<\alpha <\frac{\pi }{3}，所以\frac{\pi }{6}<2\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}，所以当2\alpha +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}，即\alpha =\frac{\pi }{6}时，矩形CDEF的面积最大，为\frac{\sqrt{3}}{6}，此时点C是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}的中点.(12分)$



Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30 m，AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m^{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480326139174914/img/compression/M_8d0d4801e44849b7cb9cab0492786c59.jpg)
$当DQ的长度是多少时，S取最小值?并求出S的最小值；$

Solution:
$设DQ的长度为x，则AQ=(x+20)，因为DC\parallel AB，所以\triangle QDC∽\triangle QAP，所以\frac{DQ}{AQ}=\frac{DC}{AP}，即\frac{x}{x+20}=\frac{30}{AP}，即AP=\frac{30(x+20)}{x}，则S=\frac{1}{2}AP\cdot AQ=\frac{1}{2}\times \frac{30(x+20)}{x}\times (x+20)=15\left(x+\frac{400}{x}+40\right)\geq 15\left(2\sqrt{x \cdot \frac{400}{x}}+40\right)=1 200,当且仅当x=\frac{400}{x}，即x=20时，等号成立.所以当DQ的长度是20 m时，S取最小值，最小值为1 200.$

Final answer: $DQ=20$, $S=1200$ $m$, $m^2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30 m，AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m^{2}.$<img_1721>
$当DQ的长度是多少时，S取最小值?并求出S的最小值；$

Solution:
$设DQ的长度为x，则AQ=(x+20)，因为DC\parallel AB，所以\triangle QDC∽\triangle QAP，所以\frac{DQ}{AQ}=\frac{DC}{AP}，即\frac{x}{x+20}=\frac{30}{AP}，即AP=\frac{30(x+20)}{x}，则S=\frac{1}{2}AP\cdot AQ=\frac{1}{2}\times \frac{30(x+20)}{x}\times (x+20)=15\left(x+\frac{400}{x}+40\right)\geq 15\left(2\sqrt{x \cdot \frac{400}{x}}+40\right)=1 200,当且仅当x=\frac{400}{x}，即x=20时，等号成立.所以当DQ的长度是20 m时，S取最小值，最小值为1 200.$

Final answer: $DQ=20$, $S=1200$ $m$, $m^2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30 m，AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m^{2}.$<img_1721>
$要使S不小于1 600，则DQ的长度应在什么范围内?$

Solution:
$令S\geq 1 600，即15\left(x+\frac{400}{x}+40\right)\geq 1 600，则由x>0得3x^{2}－200x+1 200\geq 0,所以x\geq 60或0即DQ的长度的取值范围是\left(0,\frac{20}{3}\right]\cup [60,+\infty ).$



Final answer: $\left(0,\frac{20}{3}\right]\cup [60,+\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB=30 m，AD=20 m.记三角形花园APQ的面积为S m^{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480326139174914/img/compression/M_8d0d4801e44849b7cb9cab0492786c59.jpg)
$要使S不小于1 600，则DQ的长度应在什么范围内?$

Solution:
$令S\geq 1 600，即15\left(x+\frac{400}{x}+40\right)\geq 1 600，则由x>0得3x^{2}－200x+1 200\geq 0,所以x\geq 60或0即DQ的长度的取值范围是\left(0,\frac{20}{3}\right]\cup [60,+\infty ).$

Final answer: $\left(0,\frac{20}{3}\right]\cup [60,+\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米，为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米，PN=y米.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480472110276610/img/compression/M_a3e989c3f2df36d3a15a80639cb7cbb6.jpg)
$写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；$

Solution:
$如图所示，延长NP，交AF于点Q，则PQ=(8-y)米，EQ=(x-4)米，易得4\leq x\leq 8.当4所以y=-\frac{1}{2}x+10，当x=4时，y=8,也满足上式，所以y=-\frac{1}{2}x+10,x\in [4,8].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480472403877890/img/compression/M_de4355bdaedf7a56360da08fa55c79c2.jpg)

Final answer: $y=-\frac{1}{2}x+10$, $[4, 8]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米，为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米，PN=y米.$<img_2222>
$写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；$

Solution:
$如图所示，延长NP，交AF于点Q，则PQ=(8-y)米，EQ=(x-4)米，易得4\leq x\leq 8.当4所以y=-\frac{1}{2}x+10，当x=4时，y=8,也满足上式，所以y=-\frac{1}{2}x+10,x\in [4,8].$<img_2250>

Final answer: $y=-\frac{1}{2}x+10$, $[4, 8]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米，为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米，PN=y米.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480472110276610/img/compression/M_a3e989c3f2df36d3a15a80639cb7cbb6.jpg)
$求矩形BNPM面积的最大值.$

Solution:
$设矩形BNPM的面积为S平方米，则S=xy=x\left(-\frac{1}{2}x+10\right)=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50,x\in [4,8]，根据二次函数的性质可知当x\in [4,8]时，S=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50单调递增，所以当x=8时，S取得最大值，最大值为48.故矩形BNPM面积的最大值为48平方米.$

Final answer: $48$ 平方米
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米，为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米，PN=y米.$<img_2222>
$求矩形BNPM面积的最大值.$

Solution:
$设矩形BNPM的面积为S平方米，则S=xy=x\left(-\frac{1}{2}x+10\right)=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50,x\in [4,8]，根据二次函数的性质可知当x\in [4,8]时，S=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50单调递增，所以当x=8时，S取得最大值，最大值为48.故矩形BNPM面积的最大值为48平方米.$

Final answer: $48$ 平方米
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市区为了改善市民生活环境，拟在一闲置地中规划一个面积为200 m^{2}的矩形区域ABCD作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m^{2}，中间区域地面硬化，以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m^{2}，设矩形ABCD的长为x m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480479873933313/img/compression/M_015a446298ce0d6e20e57e7f932eca7c.jpg)
$将总造价y(元)表示为x的函数；$

Solution:
$由题意得矩形ABCD的宽为\frac{200}{x} m，则中间区域的长为(x-4)m，宽为\left(\frac{200}{x}-4\right)m,所以x\in (4,50),故y=(x-4)\left(\frac{200}{x}-4\right)\times 100+\left[\right.200-(x-4)\left(\right.\frac{200}{x}-4\left)\right.\left]\right.\times 200,整理可得y=18 400+400\left(x+\frac{200}{x}\right),x\in (4,50).$

Final answer: $18400+400(x+200/x)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市区为了改善市民生活环境，拟在一闲置地中规划一个面积为200 m^{2}的矩形区域ABCD作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m^{2}，中间区域地面硬化，以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m^{2}，设矩形ABCD的长为x m.$<img_2738>
$将总造价y(元)表示为x的函数；$

Solution:
$由题意得矩形ABCD的宽为\frac{200}{x} m，则中间区域的长为(x-4)m，宽为\left(\frac{200}{x}-4\right)m,所以x\in (4,50),故y=(x-4)\left(\frac{200}{x}-4\right)\times 100+\left[\right.200-(x-4)\left(\right.\frac{200}{x}-4\left)\right.\left]\right.\times 200,整理可得y=18 400+400\left(x+\frac{200}{x}\right),x\in (4,50).$

Final answer: $18400+400(x+200/x)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市区为了改善市民生活环境，拟在一闲置地中规划一个面积为200 m^{2}的矩形区域ABCD作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m^{2}，中间区域地面硬化，以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m^{2}，设矩形ABCD的长为x m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480479873933313/img/compression/M_015a446298ce0d6e20e57e7f932eca7c.jpg)
$如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地.(\sqrt{2}\approx 1.414)$

Solution:
$因为x+\frac{200}{x}\geq 2\sqrt{x \cdot \frac{200}{x}}=20\sqrt{2},当且仅当x=\frac{200}{x}，即x=10\sqrt{2}时取等号，所以当x=10\sqrt{2}时，总造价最低,为18 400+8 000\sqrt{2}\approx 29 712元,因为2.971 2<3，所以仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．$

Final answer: $能够修建起该市民休闲锻炼的场地。$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数y=f(x)的图象如图所示，则$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979577454235650/img/compression/M_0fa0d27d9df9b52f98a6dd334ac8e4a5.jpg)
$f(0)=　　　　；$

Solution:
$由题图得f(0)=4.$

Final answer: $4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数y=f(x)的图象如图所示，则$<img_2307>
$f(0)=　　　　；$

Solution:
$由题图得f(0)=4.$

Final answer: $4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数y=f(x)的图象如图所示，则$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979577454235650/img/compression/M_0fa0d27d9df9b52f98a6dd334ac8e4a5.jpg)
$f(f(2))=　　　　；$

Solution:
$由题图得f(2)=2，所以f(f(2))=f(2)=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数y=f(x)的图象如图所示，则$<img_2307>
$f(f(2))=　　　　；$

Solution:
$由题图得f(2)=2，所以f(f(2))=f(2)=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $函数y=f(x)的图象如图所示，则$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979577454235650/img/compression/M_0fa0d27d9df9b52f98a6dd334ac8e4a5.jpg)
$若-1<x_1\le x_2 < 2, f(x_1)\_\_\_f(x_2)　　　.$

Solution:
$由题图知，当-1<x<2时，y随x的增大而减小，所以当-1<x_{1}\leq x_{2}<2时， f(x_{1})\geq f(x_{2}).$

Final answer: $\geq $
Subfield: Plane Geometry


Question: $某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t\in (0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分；当t\in (14,40]时，曲线是函数y=log_{a}(t-5)+83(a>0且a\neq 1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于或等于80时，听课效果最佳.$<img_3014>
$试求p=f(t)的函数关系式；$

Solution:
$当t\in (0,14]时，设p＝f(t)＝c(t-12)^{2}＋82(c<0)，将(14,81)代入得c＝-\frac{1}{4}，\therefore 当t\in (0,14]时，p＝f(t)＝-\frac{1}{4}(t-12)^{2}＋82；当t\in (14,40]时，将(14,81)代入y＝log_{a}(t-5)＋83(a>0且a\neq 1)，得a＝\frac{1}{3}，\therefore 当t\in (14,40]时，p＝f(t)＝\log_{\frac{1}{3} }{\left (  t-5\right ) } +83.综上，p=f(t)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{4}(t-12)^2+82,t\in (0,14],\\ \log _\frac{1}{3}(t-5)+83,t\in (14,40].\end{matrix}\right.$

Final answer: $p=f(t)=-\frac{1}{4}(t-12)^2+82,t\in(0,14]$, $p=f(t)=\log_\frac{1}{3}(t-5)+83,t\in(14,40]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t\in (0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分；当t\in (14,40]时，曲线是函数y=log_{a}(t-5)+83(a>0且a\neq 1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于或等于80时，听课效果最佳.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665979896607768578/img/compression/M_9f74f02d379c92b3f14c432c1badfbf3.jpg)
$试求p=f(t)的函数关系式；$

Solution:
$当t\in (0,14]时，设p＝f(t)＝c(t-12)^{2}＋82(c<0)，将(14,81)代入得c＝-\frac{1}{4}，\therefore 当t\in (0,14]时，p＝f(t)＝-\frac{1}{4}(t-12)^{2}＋82；当t\in (14,40]时，将(14,81)代入y＝log_{a}(t-5)＋83(a>0且a\neq 1)，得a＝\frac{1}{3}，\therefore 当t\in (14,40]时，p＝f(t)＝\log_{\frac{1}{3} }{\left (  t-5\right ) } +83.综上，p=f(t)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{4}(t-12)^2+82,t\in (0,14],\\ \log _\frac{1}{3}(t-5)+83,t\in (14,40].\end{matrix}\right.$

Final answer: $p=f(t)=-\frac{1}{4}(t-12)^2+82,t\in(0,14]$, $p=f(t)=\log_\frac{1}{3}(t-5)+83,t\in(14,40]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x.$<img_1668>
$现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，请补全函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)(x\in R)的单调递增区间；$

Solution:
$根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象，如图.$<img_2328>$结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+\infty )．$

Final answer: $(-1,0),(1,\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526781863976961/img/compression/M_0067ef4d3b15daca2062cd3ccde4685d.jpg)
$现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，请补全函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)(x\in R)的单调递增区间；$

Solution:
$根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526781478100995/img/compression/M_e37f0bbbb3c19e62ffbcd1fb94d20b6e.jpg)$结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+\infty )．$

Final answer: $(-1,0),(1,\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x.$<img_1668>
$直接写出函数f(x)(x\in R)的值域；$

Solution:
$f(x)的值域为[-1，+\infty ).$

Final answer: $[-1, +\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526781863976961/img/compression/M_0067ef4d3b15daca2062cd3ccde4685d.jpg)
$直接写出函数f(x)(x\in R)的值域；$

Solution:
$f(x)的值域为[-1，+\infty ).$

Final answer: $[-1, +\infty )$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526781863976961/img/compression/M_0067ef4d3b15daca2062cd3ccde4685d.jpg)
$求出函数f(x)(x\in R)的解析式.$

Solution:
$当x>0时，-x<0，因为当x\leq 0时，f(x)=x^{2}+2x，所以f(-x)=(-x)^{2}+2(-x)=x^{2}-2x．因为f(x)为偶函数，所以f(x)=x^{2}-2x，所以f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+2x,x\leq 0,\\ x^2-2x,x>0.\end{matrix}\right.$

Final answer: $f(x)=x^2+2x,x\leq 0, x^2-2x,x>0.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2，渠深为1.8，斜坡的倾斜角为45^\circ ．(无水状态不考虑)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526757579890690/img/compression/M_a19371673d0cda613a131a17b99e8423.jpg)
$试将横断面中水的面积A(h)表示成水深h的函数；$

Solution:
$依题意灌溉渠中水的横断面是等腰梯形，其下底为2，上底为2+2h，高为h，所以A(h)=\frac{2+(2+2h)}{2}\cdot h=h^{2}+2h(0<h\leq 1.8)．$

Final answer: $A(h) = h^2 + 2h$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2，渠深为1.8，斜坡的倾斜角为45^\circ ．(无水状态不考虑)$<img_2159>
$试将横断面中水的面积A(h)表示成水深h的函数；$

Solution:
$依题意灌溉渠中水的横断面是等腰梯形，其下底为2，上底为2+2h，高为h，所以A(h)=\frac{2+(2+2h)}{2}\cdot h=h^{2}+2h(0<h\leq 1.8)．$

Final answer: $A(h) = h^2 + 2h$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2，渠深为1.8，斜坡的倾斜角为45^\circ ．(无水状态不考虑)$<img_2159>
$确定函数A(h)的定义域和值域.$

Solution:
$由(1)知，函数A(h)=h^{2}+2h的定义域是(0,1.8]，显然A(h)=(h+1)^{2}-1在(0,1.8]上随h的增大而增大，又当h=0时，h^{2}+2h=0,当h=1.8时，h^{2}+2h=6.84,所以函数A(h)的值域为(0,6.84]．$

Final answer: $(0, 1.8)$, $(0,6.84]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2，渠深为1.8，斜坡的倾斜角为45^\circ ．(无水状态不考虑)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526757579890690/img/compression/M_a19371673d0cda613a131a17b99e8423.jpg)
$确定函数A(h)的定义域和值域.$

Solution:
$由(1)知，函数A(h)=h^{2}+2h的定义域是(0,1.8]，显然A(h)=(h+1)^{2}-1在(0,1.8]上随h的增大而增大，又当h=0时，h^{2}+2h=0,当h=1.8时，h^{2}+2h=6.84,所以函数A(h)的值域为(0,6.84]．$

Final answer: $(0, 1.8)$, $(0,6.84]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,过函数f(x)=log_{c}x(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a，0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=log_{m}x(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.$<img_2777>
$当a=2,b=4,c=3时，求实数m的值;$

Solution:
$由题意得A(2,log_{3}2),B(4,log_{3}4),C(4,log_{m}4).\because AC与x轴平行，\therefore log_{m}4=log_{3}2，\therefore m=9.$

Final answer: $9$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,过函数f(x)=log_{c}x(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a，0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=log_{m}x(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526897081507841/img/compression/M_541b62580db13bec3356b45d105f49a7.jpg)
$当a=2,b=4,c=3时，求实数m的值;$

Solution:
$由题意得A(2,log_{3}2),B(4,log_{3}4),C(4,log_{m}4).\because AC与x轴平行，\therefore log_{m}4=log_{3}2，\therefore m=9.$

Final answer: $9$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,过函数f(x)=log_{c}x(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a，0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=log_{m}x(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.$<img_2777>
$当b=a^{2}时，求\frac{m}{b}-\frac{2c}{a}的最小值.$

Solution:
$由题意得A(a,log_{c}a),B(b,log_{c}b),C(b,log_{m}b),\because AC与x轴平行，\therefore log_{m}b=log_{c}a,\because b=a^{2},\therefore m=c^{2},\therefore \frac{m}{b}-\frac{2c}{a}=\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=\left(\frac{c}{a}-1\right)^2-1,\therefore 当\frac{c}{a}=1时，\frac{m}{b}-\frac{2c}{a}有最小值，且最小值为-1.$

Final answer: $-1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,过函数f(x)=log_{c}x(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a，0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=log_{m}x(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526897081507841/img/compression/M_541b62580db13bec3356b45d105f49a7.jpg)
$当b=a^{2}时，求\frac{m}{b}-\frac{2c}{a}的最小值.$

Solution:
$由题意得A(a,log_{c}a),B(b,log_{c}b),C(b,log_{m}b),\because AC与x轴平行，\therefore log_{m}b=log_{c}a,\because b=a^{2},\therefore m=c^{2},\therefore \frac{m}{b}-\frac{2c}{a}=\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=\left(\frac{c}{a}-1\right)^2-1,\therefore 当\frac{c}{a}=1时，\frac{m}{b}-\frac{2c}{a}有最小值，且最小值为-1.$

Final answer: $-1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示，矩形ABCD的周长为4 cm，其中长边AD为x cm，将\triangle BCD沿BD向\triangle ABD折叠，BC折过去后交AD于点E.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665595985245954050/img/compression/M_2f79dd9b855ca3f1c55b419035670004.jpg)
$用x表示图1中\triangle BAE的面积；$

Solution:
$因为AD=x cm，所以AB=(2-x)cm，设ED=a cm，则AE=(x-a)cm，因为\angle AEB=\angle C'ED，\angle EAB=\angle DC'E，AB=DC'，所以Rt\triangle BAE\cong Rt\triangle DC'E，所以BE=ED=a cm，在Rt\triangle BAE中，由勾股定理得BA^{2}+AE^{2}=BE^{2}，即(2-x)^{2}+(x-a)^{2}=a^{2}，解得a=\frac{x^2-2x+2}{x}，所以AE=x-a=\frac{2x-2}{x}，所以\triangle BAE的面积S=\frac{1}{2}AB\cdot AE=\frac{1}{2}(2-x)\cdot \frac{2x-2}{x}=\frac{-x^2+3x-2}{x}=\left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]cm^{2}(1所以\triangle BAE的面积S=\left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]cm^{2}(1<x<2).$

Final answer: $3-(x+2/x)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示，矩形ABCD的周长为4 cm，其中长边AD为x cm，将\triangle BCD沿BD向\triangle ABD折叠，BC折过去后交AD于点E.
$<img_2944>
$用x表示图1中\triangle BAE的面积；$

Solution:
$因为AD=x cm，所以AB=(2-x)cm，设ED=a cm，则AE=(x-a)cm，因为\angle AEB=\angle C'ED，\angle EAB=\angle DC'E，AB=DC'，所以Rt\triangle BAE\cong Rt\triangle DC'E，所以BE=ED=a cm，在Rt\triangle BAE中，由勾股定理得BA^{2}+AE^{2}=BE^{2}，即(2-x)^{2}+(x-a)^{2}=a^{2}，解得a=\frac{x^2-2x+2}{x}，所以AE=x-a=\frac{2x-2}{x}，所以\triangle BAE的面积S=\frac{1}{2}AB\cdot AE=\frac{1}{2}(2-x)\cdot \frac{2x-2}{x}=\frac{-x^2+3x-2}{x}=\left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]cm^{2}(1所以\triangle BAE的面积S=\left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]cm^{2}(1<x<2).$

Final answer: $3-(x+2/x)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示，矩形ABCD的周长为4 cm，其中长边AD为x cm，将\triangle BCD沿BD向\triangle ABD折叠，BC折过去后交AD于点E.
$<img_2944>
$已知镀金工艺是2元/cm^{2}，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用.$

Solution:
$设一个会徽的镀金费用为y元，则y=6\cdot S_{\triangle BAE}\cdot 2=12\times \left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]\leq 12\times (3-2\sqrt{2})=36-24\sqrt{2}，当且仅当x=\frac{2}{x}，1所以当AD为\sqrt{2} cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24\sqrt{2})元.$

Final answer: $36-24\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $高一(3)班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产.其中会徽的六个直角(如图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料如图1所示，矩形ABCD的周长为4 cm，其中长边AD为x cm，将\triangle BCD沿BD向\triangle ABD折叠，BC折过去后交AD于点E.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665595985245954050/img/compression/M_2f79dd9b855ca3f1c55b419035670004.jpg)
$已知镀金工艺是2元/cm^{2}，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用.$

Solution:
$设一个会徽的镀金费用为y元，则y=6\cdot S_{\triangle BAE}\cdot 2=12\times \left[3-\left(x+\frac{2}{x}\right)\right]\leq 12\times (3-2\sqrt{2})=36-24\sqrt{2}，当且仅当x=\frac{2}{x}，1所以当AD为\sqrt{2} cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24\sqrt{2})元.$

Final answer: $36-24\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $对于任意的实数a，b，min{a,b}表示a，b中较小的那个数，即min{a,b}=\left\{\begin{matrix}a,a\leq b,\\ b,a>b.\end{matrix}\right.已知函数f(x)=3-x^{2}，g(x)=1-x.
$<img_2199>
$设h(x)=min{f(x),g(x)}，x\in R，求h(x)的最大值.$

Solution:
$当g(x)\leq f(x)，即1-x\leq 3-x^{2}时，-1\leq x\leq 2，所以当-1\leq x\leq 2时，h(x)=1-x.当g(x)>f(x)，即1-x>3-x^{2}时，x<-1或x>2，所以当x<-1或x>2时，h(x)=3-x^{2}.综上，h(x)=\left\{\begin{matrix}3-x^2,x<-1,\\ 1-x,-1\leq x\leq 2,\\ 3-x^2,x>2.\end{matrix}\right.易知h(x)在(-\infty ,-1)上单调递增，在[-1,+\infty )上单调递减，所以当x=-1时，h(x)取得最大值，最大值为2.$



Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $对于任意的实数a，b，min{a,b}表示a，b中较小的那个数，即min{a,b}=\left\{\begin{matrix}a,a\leq b,\\ b,a>b.\end{matrix}\right.已知函数f(x)=3-x^{2}，g(x)=1-x.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596009363202050/img/compression/M_1a4be4943458f352cfe850c89b592773.jpg)
$设h(x)=min{f(x),g(x)}，x\in R，写出函数h(x)的解析式并求出h(x)的最大值.$

Solution:
$当g(x)\leq f(x)，即1-x\leq 3-x^{2}时，-1\leq x\leq 2，所以当-1\leq x\leq 2时，h(x)=1-x.当g(x)>f(x)，即1-x>3-x^{2}时，x<-1或x>2，所以当x<-1或x>2时，h(x)=3-x^{2}.综上，h(x)=\left\{\begin{matrix}3-x^2,x<-1,\\ 1-x,-1\leq x\leq 2,\\ 3-x^2,x>2.\end{matrix}\right.易知h(x)在(-\infty ,-1)上单调递增，在[-1,+\infty )上单调递减，所以当x=-1时，h(x)取得最大值，最大值为2.$

Final answer: $h(x)=3-x^2,x<-1; 1-x,-1\leq x\leq 2;  3-x^2,x>2$, $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AO}=b.$<img_2550>
$用a,b表示\overrightarrow{OC},\overrightarrow{CD}；$

Solution:
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=-b-a,\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=2a+\frac{1}{3}(-a+b)=\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}b.$

Final answer: $\overrightarrow{OC}=-b-a,\overrightarrow{CD}=\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}b.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AO}=b.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563259093884930/img/compression/M_1818633a9f2fce6c26381faf3ae08a15.jpg)
$用a,b表示\overrightarrow{OC},\overrightarrow{CD}；$

Solution:
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=-b-a,\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=2a+\frac{1}{3}(-a+b)=\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}b.$

Final answer: $\overrightarrow{OC}=-b-a,\overrightarrow{CD}=\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}b.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AO}=b.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563259093884930/img/compression/M_1818633a9f2fce6c26381faf3ae08a15.jpg)
$若\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA},求证：C,D,E三点共线．$

Solution:
$证明：\because \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=-\frac{4}{5}b+a+b=a+\frac{1}{5}b=\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}，\therefore \overrightarrow{CE}与\overrightarrow{CD}平行，又\because \overrightarrow{CE}与\overrightarrow{CD}有公共点C，\therefore C，D，E三点共线.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AO}=b.$<img_2550>
$若\overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA},求证：C,D,E三点共线．$

Solution:
$证明：\because \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=-\frac{4}{5}b+a+b=a+\frac{1}{5}b=\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}，\therefore \overrightarrow{CE}与\overrightarrow{CD}平行，又\because \overrightarrow{CE}与\overrightarrow{CD}有公共点C，\therefore C，D，E三点共线.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题：$<img_2521>
$用a,d,e表示\overrightarrow{DB}；$

Solution:
$由题图知\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{BC}=b,\overrightarrow{CD}=c,\overrightarrow{DE}=d,\overrightarrow{EA}=e.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=d+e+a.$

Final answer: $\overrightarrow{DB}=d+e+a$
Subfield: Plane Geometry


Question: $向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563249463762945/img/compression/M_9c6b1820930bf7166b7bd773053127d4.jpg)
$用a,d,e表示\overrightarrow{DB}；$

Solution:
$由题图知\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{BC}=b,\overrightarrow{CD}=c,\overrightarrow{DE}=d,\overrightarrow{EA}=e.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=d+e+a.$

Final answer: $\overrightarrow{DB}=d+e+a$
Subfield: Plane Geometry


Question: $向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563249463762945/img/compression/M_9c6b1820930bf7166b7bd773053127d4.jpg)
$用b,c表示\overrightarrow{DB}；$

Solution:
$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}=-b-c.$

Final answer: $\overrightarrow{DB}=-b-c$