di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地示意图如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN处将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒区，比赛以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定：冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分；其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为\frac{1}{3}，\frac{1}{4}；甲、乙得2分的概率分别为\frac{2}{5}，\frac{1}{2}；甲、乙得1分的概率分别为\frac{1}{5}，\frac{1}{6}$

<img_83>
$设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的期望.$

Solution:
$由题可知 X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，$
$P(X = 0) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{180}，$
$P(X = 1) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{36}，$
$P(X = 2) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{10}，$
$P(X = 3) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{19}{90}，$
$P(X = 4) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{11}{36}，$
$P(X = 5) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{15}，$
$P(X = 6) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}，$
$所以随机变量 X 的分布列为$

| X |   0| 1| 2| 3| 4 | 5 | 6  |
| --- | --- |---- | ---- | ---- | ---- |---- | ---- |
| P| $\frac{1}{180}$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{19}{90}$ | $\frac{11}{36}$| $\frac{4}{15}$| $\frac{1}{12}$|

$所以 E(X) = 0 \times \frac{1}{180} + 1 \times \frac{1}{36} + 2 \times \frac{1}{10} + 3 \times \frac{19}{90} + 4 \times \frac{11}{36} + 5 \times \frac{4}{15} + 6 \times \frac{1}{12} = \frac{47}{12}.$



Final answer: $\frac{47}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题".在一天内参加“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立.在一天内参加“双人对战”活动，每局比赛的获胜者得2分，失败者得1分，各局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为\frac{1}{3}，获得第四名的概率为\frac{1}{6}；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}.$
$"挑战答题"比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，出现第一次答错时则答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题才可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个"得积分进阶"活动，从1阶到n(n\geq 10)阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，并根据获得的阶级给予相应的奖品.若乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为\frac{5}{6}，记乙进到n阶的概率为p_n，求p_{12}.$

Solution:
$依题意，p_1=\frac{1}{6}，p_2=\frac{5}{6}，$

$“进到(n+1)阶”的情况包括两种：$
$①进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为\frac{1}{6}p_n；$
$②进到(n-1)(n\geq 2)阶后下一轮获得5个积分，其概率为\frac{5}{6}p_{n-1}，$
这两种情况彼此互斥，

$所以p_{n+1}=\frac{1}{6}p_n+\frac{5}{6}p_{n-1}(n\geq 2)，$

$则p_{n+1}-p_n=\frac{1}{6}p_n+\frac{5}{6}p_{n-1}-p_n=-\frac{5}{6}(p_n-p_{n-1})(n\geq 2)，$

$又p_2-p_1=\frac{2}{3}，$

$所以数列{p_{n+1}-p_n}是首项为\frac{2}{3}，公比为-\frac{5}{6}的等比数列，$
$所以p_{n+1}-p_n=\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{6}\right)^{n-1}，$

$故p_{12}=p_1+(p_2-p_1)+\ldots +(p_{11}-p_{10})+(p_{12}-p_{11})$
$=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{6}\right)^1+\ldots +\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{6}\right)^{10}$
$=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}\left(1-\left(-\frac{5}{6}\right)^{11}\right)/(1+\frac{5}{6})$
$=\frac{1}{6}+\frac{4}{11}\left[1-\left(-\frac{5}{6}\right)^{11}\right].$
$即p_{12}=\frac{1}{6}+\frac{4}{11}\left[1+\left(\frac{5}{6}\right)^{11}\right].$



Final answer: $\frac{1}{6}+\frac{4}{11}\left[1+\left(\frac{5}{6}\right)^{11}\right]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布.
$假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的数学期望.$

附：
$1. 随机变量\eta 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，则P(\mu -\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +\sigma ) =0.6827， P(\mu -2\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +2\sigma )=0.9545，P(\mu -3\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +3\sigma )=0.9973；$
2. 通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，并认为小概率事件基本不会发生.

Solution:
$设取出黑色面包的个数为随机变量\xi ，则\xi 的可能取值为0,1,2，  $
$则P(\xi =0)=\frac{1}{2}\times \frac{4}{6}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{53}{140}，  $
$P(\xi =1)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{6}\times \frac{4}{5}\times 2+\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}\times \frac{5}{7}\times 2=\frac{449}{840}，  $
$P(\xi =2)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}\times \frac{2}{7}=\frac{73}{840}，  $
$故\xi 的分布列为  $

| $\xi$  | 0   | 1   | 2   |
|---- |---- |---- |---- |
| P   | $\frac{53}{140}$ | $\frac{449}{840}$ | $\frac{73}{840}$ |

$数学期望E(\xi )=\frac{53}{140}\times 0+\frac{449}{840}\times 1+\frac{73}{840}\times 2=\frac{17}{24}.$



Final answer: $\frac{17}{24}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布.
$假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.$

附：
$1. 随机变量\eta 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，则P(\mu -\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +\sigma ) =0.6827， P(\mu -2\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +2\sigma )=0.9545，P(\mu -3\sigma  \leq  \eta  \leq  \mu +3\sigma )=0.9973；$
2. 通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，并认为小概率事件基本不会发生.

Solution:
$设取出黑色面包的个数为随机变量\xi ，则\xi 的可能取值为0,1,2，  $
$则P(\xi =0)=\frac{1}{2}\times \frac{4}{6}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{53}{140}，  $
$P(\xi =1)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{6}\times \frac{4}{5}\times 2+\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}\times \frac{5}{7}\times 2=\frac{449}{840}，  $
$P(\xi =2)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}\times \frac{2}{7}=\frac{73}{840}，  $
$故\xi 的分布列为  $

| $\xi$  | 0   | 1   | 2   |
|---- |---- |---- |---- |
| P   | $\frac{53}{140}$ | $\frac{449}{840}$ | $\frac{73}{840}$ |

$数学期望E(\xi )=\frac{53}{140}\times 0+\frac{449}{840}\times 1+\frac{73}{840}\times 2=\frac{17}{24}.$

Final answer: $\xi 的分布列为  $

| $\xi$    | 0   | 1   | 2   |
|---- |---- |---- |---- |
| P   | $\frac{53}{140}$ | $\frac{449}{840}$ | $\frac{73}{840}$ |

$数学期望E(\xi )=\frac{17}{24}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 乙、甲、乙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如表所示：

|      | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 | 第8天 | 第9天 | 第10天 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ------ |
| 甲   | 0     | 1     | 0     | 2     | 2     | 3     | 3     | 1     | 2     | 0      |
| 乙   | 2     | 4     | 1     | 1     | 0     | 2     | 1     | 1     | 0     | 1      |
$若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X，求X的分布列；$

Solution:
$依题意得X的可能取值为0,1,2,3,$

$P(X=0)=P(X=2)=\frac{3}{10}=0.3,$

$P(X=1)=P(X=3)=\frac{2}{10}=0.2,$

$故X的分布列为$

X|0|1|2|3
---|---|---|---|---
P|0.3|0.2|0.3|0.2

Final answer: X|0|1|2|3
---|---|---|---|---
P|0.3|0.2|0.3|0.2
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%．现用此药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
$若X＝6，从这10人中随机选3人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数Y的数学期望；$

Solution:
治愈人数Y的可能取值为0，1，2，3．

$P(Y=0) = \frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{30}$

$P(Y=1) = \frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{3}{10}$

$P(Y=2) = \frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{2}$

$P(Y=3) = \frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{6}$

所以Y的分布列为

| Y | 0  | 1   | 2  | 3  |
|-----|----|-----|----|----|
|P|$\frac{1}{30}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{2}$|$ \frac{1}{6}$|

$所以Y的数学期望E(Y) = 0\times \frac{1}{30} + 1\times \frac{3}{10} + 2\times \frac{1}{2} + 3\times \frac{1}{6} = \frac{9}{5}.$



Final answer: $\frac{9}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%．现用此药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
$若X＝6，从这10人中随机选3人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列和数学期望；$

Solution:
治愈人数Y的可能取值为0，1，2，3．

$P(Y=0) = \frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{30}$

$P(Y=1) = \frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{3}{10}$

$P(Y=2) = \frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{2}$

$P(Y=3) = \frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}} = \frac{1}{6}$

所以Y的分布列为

| Y | 0  | 1   | 2  | 3  |
|-----|----|-----|----|----|
|P|$\frac{1}{30}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{2}$|$ \frac{1}{6}$|

$所以Y的数学期望E(Y) = 0\times \frac{1}{30} + 1\times \frac{3}{10} + 2\times \frac{1}{2} + 3\times \frac{1}{6} = \frac{9}{5}.$

Final answer: $Y的分布列为$

| Y    | 0              | 1              | 2             | 3              |
| ---- | -------------- | -------------- | ------------- | -------------- |
| P    | $\frac{1}{30}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{2}$ | $ \frac{1}{6}$ |

$Y的数学期望E(Y) = 0\times \frac{1}{30} + 1\times \frac{3}{10} + 2\times \frac{1}{2} + 3\times \frac{1}{6} = \frac{9}{5}.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a、b为实数，a\neq 0，x\in R)，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点(-1,0).$
$求f(x)的表达式；$

Solution:
$由题意可知f(x)=a(x+1)^2=ax^2+2ax+a.又f(x)=ax^2+bx+1，$
$所以\left\{\begin{matrix}b=2a,\\ a=1,\end{matrix}\right.可得\left\{\begin{matrix}a=1,\\ b=2,\end{matrix}\right.$
$故f(x)=x^2+2x+1.$

思路分析
$分析可知f(x)=a(x+1)^2，对比 f(x)=ax^2+bx+1可求得a、b的值，即可得出函数f(x)的表达式；$

Final answer: $f(x)=x^2+2x+1$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x \leq 0 时, f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x+1).$
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$当x＞0时，-x＜0, f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1).$

$\therefore x＞0时, f(x)=f(-x)= \log_{\frac{1}{2} }{(x+1 )}，$

$则 f(x)= $
$$
\left\{
\begin{matrix}
\log _{\frac{1}{2}}(-x+1),x\leq 0,\\ 
\log _{\frac{1}{2}}(x+1),x>0.
\end{matrix}
\right.
$$

Final answer: $$
\left\{
\begin{matrix}
\log _{\frac{1}{2}}(-x+1),x\leq 0,\\ 
\log _{\frac{1}{2}}(x+1),x>0.
\end{matrix}
\right.
$$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x \leq 0 时, f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x+1).$
$求函数f(x)在x \in (0,+\infty)上的解析式；$

Solution:
$当x＞0时，-x＜0, f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1).$

$\therefore x＞0时, f(x)=f(-x)= \log_{\frac{1}{2} }{(x+1 )}，$

$则 f(x)= $
$$
\left\{
\begin{matrix}
\log _{\frac{1}{2}}(-x+1),x\leq 0,\\ 
\log _{\frac{1}{2}}(x+1),x>0.
\end{matrix}
\right.
$$



Final answer: $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+1)$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)=10x^2+100x；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x+\frac{10 000}{x}-4 500. 若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.$
$求年利润y(万元)关系于年产量x(百件)的函数关系式；$

Solution:
$当 0 < x < 30 时，y=500x-10x^2-100x-2500=-10x^2+400x-2500 ，$

$当 x \geq  30 时，y=500x-501x-\frac{10000}{x} + 4500 - 2500 = 2000 - \left(x+\frac{10000}{x}\right) ，$

$\therefore  y = \left\{ \begin{array}{ll} -10x^2+400x-2500, & {0 < x < 30,}\\ 2000-\left(x+\frac{10000}{x}\right), & {x \ge 30.} \end{array} \right.$

Final answer: $y = \left\{ \begin{array}{ll} -10x^2+400x-2500, & {0 < x < 30,}\\ 2000-\left(x+\frac{10000}{x}\right), & {x \ge 30.} \end{array} \right.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)=10x^2+100x；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x+\frac{10 000}{x}-4 500. 若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.$
$求年产量x大于30时，年利润y(万元)关系于年产量x(百件)的函数关系式；$

Solution:
$当 0 < x < 30 时，y=500x-10x^2-100x-2500=-10x^2+400x-2500 ，$

$当 x \geq  30 时，y=500x-501x-\frac{10000}{x} + 4500 - 2500 = 2000 - \left(x+\frac{10000}{x}\right) ，$

$\therefore  y = \left\{ \begin{array}{ll} -10x^2+400x-2500, & {0 < x < 30,}\\ 2000-\left(x+\frac{10000}{x}\right), & {x \ge 30.} \end{array} \right.$



Final answer: $y = 2000-(x+\frac{10000}{x})$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=a^{2x}-a^{x}+2a(a>0且a\neq 1)的图象经过点(1，6)。$
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$将(1，6)代入 f(x) 的解析式得 a^2+a-6=0，解得 a=2 或 a=-3 (舍)，故 f(x)=2^{2x}-2^x+4.$

Final answer: $f(x)=2^{2x}-2^x+4$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=\frac{2}{x}+aln x，a\in R.$
$求当a>e时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.$

Solution:
$f' (x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{a}{x} = \frac{ax - 2}{x^2}, x\in (0,e]，$

$①当a=0时，f' (x) = \frac{-2}{x^2} < 0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e) = \frac{2}{\mathrm{e}}.$

$②当a<0时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=\frac{2}{\mathrm{e}} + a.$

$③当0<\frac{2}{a}<e，即a>\frac{2}{\mathrm{e}}时，在区间\left(0,\frac{2}{a}\right)上f'(x)<0，在区间\left(\frac{2}{a},\mathrm{e}\right] 上f'(x)>0，所以函数f(x)在区间\left(0,\frac{2}{a}\right)上单调递减，在区间\left(\frac{2}{a},\mathrm{e}\right] 上单调递增，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f\left(\frac{2}{a}\right)=a+aln\frac{2}{a}.$

$④当\frac{2}{a}\geq e，即0<a\leq \frac{2}{\mathrm{e}}时，在区间(0,e]上f'(x)\leq 0，此时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=a+\frac{2}{\mathrm{e}}.$

$综上所述，当a\leq \frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+\frac{2}{\mathrm{e}}，当a>\frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+aln\frac{2}{a}.$



Final answer: $a+aln\frac{2}{a}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=\frac{2}{x}+aln x，a\in R.$
$求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.$

Solution:
$f' (x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{a}{x} = \frac{ax - 2}{x^2}, x\in (0,e]，$

$①当a=0时，f' (x) = \frac{-2}{x^2} < 0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e) = \frac{2}{\mathrm{e}}.$

$②当a<0时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=\frac{2}{\mathrm{e}} + a.$

$③当0<\frac{2}{a}<e，即a>\frac{2}{\mathrm{e}}时，在区间\left(0,\frac{2}{a}\right)上f'(x)<0，在区间\left(\frac{2}{a},\mathrm{e}\right] 上f'(x)>0，所以函数f(x)在区间\left(0,\frac{2}{a}\right)上单调递减，在区间\left(\frac{2}{a},\mathrm{e}\right] 上单调递增，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f\left(\frac{2}{a}\right)=a+aln\frac{2}{a}.$

$④当\frac{2}{a}\geq e，即0<a\leq \frac{2}{\mathrm{e}}时，在区间(0,e]上f'(x)\leq 0，此时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=a+\frac{2}{\mathrm{e}}.$

$综上所述，当a\leq \frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+\frac{2}{\mathrm{e}}，当a>\frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+aln\frac{2}{a}.$

Final answer: $当a\leq \frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+\frac{2}{\mathrm{e}}，当a>\frac{2}{\mathrm{e}}时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+aln\frac{2}{a}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}ln(1+x).$
$求曲线 y=f(x) 在点(0， f(0))处的切线方程；$

Solution:
$由题易知 f' (x) = e^{x}ln(1+ x)+ \frac{\mathrm{e}^x}{1+x},$
$\therefore  f' (0) = e^0 ln(1 + 0)+ \frac{\mathrm{e}^0}{1+0} = 1,$
$又 f (0) = e^0 ln(1 + 0)= 0,$
$\therefore 曲线 y =f (x) 在点(0， f (0))处的切线方程为 y=x.$

Final answer: $y=x$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = x^2 - 2x + aln(x) (a>0).$
$当a=2时，试求函数图象在点(1,f(1))处的切线方程；$

Solution:
$当a=2时，f(x)=x^2-2x+2lnx (x>0)，$

$所以f'(x)=2x-2+\frac{2}{x}.$

$所以f'(1)=2-2+\frac{2}{1}=2，又f(1)=1^2-2=-1，所以函数图象在点(1，f(1))处的切线方程为y-(-1)=2(x-1)，即2x-y-3=0.$

Final answer: $2x-y-3=0$
Subfield: Derivative


Question: $已知a>0，函数f(x)=ax-xe^{x}。$
$求曲线 y=f(x) 在点(0， f(0) )处的切线方程；$

Solution:
$: 由题意得 f'(x) = a-(x+1)e^x，\therefore  f'(0) = a-1，又 f(0) = 0，\therefore 切线方程为 y = (a-1)x.$

Final answer: $y = (a-1)x$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x -\frac{x+1}{x-1}.$
$讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；$

Solution:
$f(x)的定义域为(0，1)\cup (1，+\infty ).$

$因为f'(x) = \frac{1}{x}+\frac{2}{(x-1)^2}>0，$

$所以f(x)在(0，1)，(1，+\infty )单调递增.$

$证明：因为f(e)=1-\frac{e+1}{e-1}<0, f(e^2)=2-\frac{e^2+1}{e^2-1}=\frac{e^2-3}{e^2-1}>0，$

$所以f(x)在(1，+\infty )有唯一零点x_1，即f(x_1)=0.$

$又0<\frac{1}{x_1}<1，f\left(\frac{1}{x_1}\right)=-ln x_1 +\frac{x_1+1}{x_1-1}=-f(x_1)=0，$

$故f(x)在(0，1)有唯一零点\frac{1}{x_1}.$

$综上， f(x) 有且仅有两个零点.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=-2x^2+\frac{1+\ln x}{x}, g(x)=e^{2x}-2x^2-a.$
$求曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程；$

Solution:
$因为f '(x)=-4x+\frac{1-1-\ln{x}}{x^2}=-4x+\frac{-\ln{x}}{x^2}，$
$所以f'(1)=-4，$
$又f(1)=-1，所以所求切线方程为y=-4x+3.$

Final answer: $y=-4x+3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中，学生完成数学作业时间的范围是(0,100](单位：分钟)．其统计数据分组区间为(0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．$

<img_259>
$以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的数学期望．$

Solution:
X的可能取值为0，1，2，3，4．
$由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为\frac{1}{4}，$
$则P(X=0)=\left(\frac{3}{4}\right)^{4} =\frac{81}{256}，P(X=1)=C^1_4\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}，P(X=2)=C^2_4\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \left(\frac{3}{4}\right)^{2} =\frac{27}{128}，P(X=3)=C^3_4\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \frac{3}{4}=\frac{3}{64}，P(X=4)=\left(\frac{1}{4}\right)^{4} =\frac{1}{256}，$
所以X的分布列为

|   X   |   0   |   1   |   2   |   3  |  4  |
|-------|-------|-------|-------|------|-----|
|$P$|$\frac{81}{256}$|$\frac{27}{64}$|$\frac{27}{128}$|$\frac{3}{64}$|$\frac{1}{256}$|

$E(X)=4\times \frac{1}{4}=1．$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中，学生完成数学作业时间的范围是(0,100](单位：分钟)．其统计数据分组区间为(0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．$

![24AXGK5SX406.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611729417687042/img/compression/M_69ddf6cd8c1461e3e54a50118b927ad8.jpg)
$以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．$

Solution:
X的可能取值为0，1，2，3，4．
$由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为\frac{1}{4}，$
$则P(X=0)=\left(\frac{3}{4}\right)^{4} =\frac{81}{256}，P(X=1)=C^1_4\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}，P(X=2)=C^2_4\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \left(\frac{3}{4}\right)^{2} =\frac{27}{128}，P(X=3)=C^3_4\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \frac{3}{4}=\frac{3}{64}，P(X=4)=\left(\frac{1}{4}\right)^{4} =\frac{1}{256}，$
所以X的分布列为

|   X   |   0   |   1   |   2   |   3  |  4  |
|-------|-------|-------|-------|------|-----|
|$P$|$\frac{81}{256}$|$\frac{27}{64}$|$\frac{27}{128}$|$\frac{3}{64}$|$\frac{1}{256}$|

$E(X)=4\times \frac{1}{4}=1．$

Final answer: X的分布列为

| X    | 0                | 1               | 2                | 3              | 4               |
| ---- | ---------------- | --------------- | ---------------- | -------------- | --------------- |
| $P$  | $\frac{81}{256}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{128}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{1}{256}$ |

$E(X)=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C的两个焦点为(-1,0),(1,0)，点A(1,\frac{3}{2})在C上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.$
求椭圆C的方程；

Solution:
$由题意知c=1，且焦点在x轴上，故可设椭圆方程为 \frac{x^2}{1+b^2} + \frac{y^2}{b^2} =1(b>0)，由A\left(1,\frac{3}{2}\right)在C上可得 \frac{1}{1+b^2} + \frac{9}{4b^2} =1，解得b^2=3或b^2=-\frac{3}{4}(舍去)，故椭圆C的方程为 \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的一个顶点为 A (0，-3)，右焦点为 F，且 |OA| = |OF|，其中 O 为原点.$
求椭圆的方程；

Solution:
$由已知可得b=3.记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a^2=b^2+c^2，可得a^2=18.所以椭圆的方程为$

$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的一个顶点为 A (0，-3)，右焦点为 F，且 |OA| = |OF|，其中 O 为原点.$
$已知点C满足3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.$

Solution:
因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB\perp CP.依题意知，直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组

$\left\{\begin{matrix}y=kx-3,\\ \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1,\end{matrix}\right.$

$消去y，可得(2k^2+1)x^2-12kx=0，解得x=0或x=\frac{12k}{2k^2+1}.依题意，可得点B的坐标为$

$\left(\frac{12k}{2k^2+1},\frac{6k^2-3}{2k^2+1}\right).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，-3)，所以点P的坐标为$

$\left(\frac{6k}{2k^2+1},\frac{-3}{2k^2+1}\right).由3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率为$

$\frac{\frac{-3}{2k^2+1}-0}{\frac{6k}{2k^2+1}-1}，即\frac{3}{2k^2-6k+1}.又因为AB\perp CP，所以k\cdot \frac{3}{2k^2-6k+1}=-1，整理得2k^2-3k+1=0，解得k=\frac{1}{2}或k=1.所以直线AB的方程为y=\frac{1}{2}x-3或y=x-3.$

Final answer: $y=\frac{1}{2}x-3, y=x-3$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，且过点(3,1).$
$求椭圆G的方程；$

Solution:
由题意，知
$\left\{\begin{matrix}e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3},\\ \frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.$
解得
$\left\{\begin{matrix}a^2=12,\\ b^2=4,\end{matrix}\right.$
故椭圆G的方程为
$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0), O为坐标原点，离心率e=2，点M(\sqrt{5}, \sqrt{3})在双曲线上。$

<img_61>
求双曲线的方程；

Solution:
$由离心率e=2，点M(\sqrt{5},\sqrt{3})在双曲线上，$

$可得\frac{c}{a}=2，\frac{5}{a^2}-\frac{3}{b^2}=1，结合a^2+b^2=c^2，$

$解得a=2，b=2\sqrt{3}，c=4，$

$则双曲线的方程为\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0), O为坐标原点，离心率e=2，点M(\sqrt{5}, \sqrt{3})在双曲线上。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610930959110146/img/compression/M_3749307566e1a762374f4c2f5a50b66d.jpg)
求双曲线的方程；

Solution:
$由离心率e=2，点M(\sqrt{5},\sqrt{3})在双曲线上，$

$可得\frac{c}{a}=2，\frac{5}{a^2}-\frac{3}{b^2}=1，结合a^2+b^2=c^2，$

$解得a=2，b=2\sqrt{3}，c=4，$

$则双曲线的方程为\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线C与双曲线 x^2 / 12 - y^2/3 = 1 有相同的渐近线，且过点 A (2\sqrt 2, -1)。$
求双曲线C的标准方程；

Solution:
$因为双曲线C与双曲线 \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3} =1有相同的渐近线，所以设双曲线 C 的方程为 x^2 -4 y^2 = \lambda  ( \lambda  \neq 0).$

$因为双曲线C过点A (2 \sqrt{2}，-1)，所以(2 \sqrt{2})^2 - 4\times (-1) ^2 = \lambda ，解得 \lambda  =4，$

$所以双曲线 C 的标准方程为 \frac{x^2}{4} -y ^2 =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}-y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C：y^2=3x的焦点为F，斜率为\frac{3}{2}的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.$
$若|AF|+|BF|=4，求l的方程；$

Solution:
$设直线 l: y = \frac{3}{2}x + t, A(x_1, y_1), B(x_2, y_2).$

$由题设得 F\left(\frac{3}{4},0\right)，故 |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + \frac{3}{2},$

$由题设可得 x_1 + x_2 = \frac{5}{2}.$

$由 \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}x+t,\\ y^2=3x\end{matrix}\right. 可得 9x^2 + 12(t-1)x + 4t^2 =0,$

$则 x_1 + x_2 = -\frac{12(t-1)}{9}.$

$从而 -\frac{12(t-1)}{9} = \frac{5}{2}，得 t = -\frac{7}{8}.$

$所以 l 的方程为 y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{8}.$

Final answer: $y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{8}$
Subfield: Conic Sections


Question: $设O为坐标原点，动点M在椭圆C：\frac{x^2}{2}+y^2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足\overrightarrow{NP}=\sqrt{2} \overrightarrow{NM}.$
求点P的轨迹方程；

Solution:
$设P(x,y), M(x_0,y_0), 则 N(x_0,0), \overrightarrow{NP}=(x-x_0,y), \overrightarrow{NM}=(0,y_0). 由 \overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}得x_0=x,y_0=\frac{\sqrt{2}}{2}y.$

$因为 M(x_0,y_0) 在 C 上，所以 \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1.$

$因此点 P 的轨迹方程为 x^2+y^2=2.$

Final answer: $x^2+y^2=2$
Subfield: Conic Sections


Question: $平面直角坐标系内有一定点F(-1，0)，定直线l:x=-5,设动点P到定直线的距离为d，且满足\frac{|PF|}{d}=\frac{\sqrt{5}}{5}。$
$求动点P的轨迹方程；$

Solution:
$设动点P的坐标为(x,y)，因为 \frac{|PF|}{d} = \frac{\sqrt{5}}{5},$
$所以 \frac{\sqrt{(x+1)^2+y^2}}{|x+5|} = \frac{\sqrt{5}}{5}，即5[(x+1)^2+y^2]=|x+5|^2,整理得 \frac{x^2}{5}+ \frac{y^2}{4} =1.所以动点P的轨迹方程为 \frac{x^2}{5}+ \frac{y^2}{4} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知B(-1,0),C(1,0)为\triangle ABC的两个顶点，P为\triangle ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.$
$求点P的轨迹T的方程；$

Solution:
因为P为\triangle ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，
$所以|PB|+|PC|=\frac{2}{3}\times 6=4>|BC|，由椭圆的定义知，点P的轨迹T是以B(-1,0),C(1,0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a=2,c=1，所以b=\sqrt{3}，所以点P的轨迹T的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(x\neq \pm 2).$

Final answer: ${\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{3}}=1(x\neq \pm 2)$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知B(-1,0),C(1,0)为\triangle ABC的两个顶点，P为\triangle ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.$
$已知点N(-3,0),E(-2,0),F(2,0)，直线PN与T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.$

Solution:
设直线PQ的方程为x=my-3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立

$$
\left\{\begin{matrix}x=my-3,\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\end{matrix}\right.
$$

消x得(3m^2+4)y^2-18my+15=0，

$则y1+y2=\frac{18m}{3m^2+4}， y1y2=\frac{15}{3m^2+4}，$

$所以2my1y2=\frac{5}{3}(y1+y2)，$

$又直线PE的方程为y=\frac{y_1}{x_{1}+2}(x+2)=\frac{y_1}{my_{1}-1}(x+2)，$

$直线QF的方程为y=\frac{y_2}{x_{2}-2}(x-2)=\frac{y_2}{my_{2}-5}(x-2)，$

联立

$$
\left\{\begin{matrix}y=\frac{y_1}{my_{1}-1}(x+2),\\ y=\frac{y_2}{my_{2}-5}(x-2),\end{matrix}\right.
$$

$解得x=\frac{2(2my_1y_2-y_2-5y_1)}{-y_2+5y_1}，$

$把2my1y2=\frac{5}{3}(y1+y2)代入上式得x=\frac{2\left(\frac{2}{3}y_2-\frac{10}{3}y_1\right)}{-y_2+5y_1}=\frac{\frac{4}{3}(y_2-5y_1)}{-y_2+5y_1}=-\frac{4}{3}，$

$所以当点P运动时，点M恒在定直线x=-\frac{4}{3}上.$

Final answer: $x=-\frac{4}{3}$