di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596182341427202/img/compression/M_820ebb503e06d113eb1235ec143cba4f.jpg)
$(2)估计这100名学生参加实践活动时间的第三四分位数.$

Solution:
$由(1)知a=0.14，因为100\times 0.75=75，第1组有0.04\times 2\times 100=8(人)，同理，第2组有24人，第3组有30人，第4组有28人，第5组有10人，因为8+24+30=62(人)，8+24+30+28=90(人)，所以第三四分位数在第4组，为8+2\times \frac{75-62}{28}\approx 8.93(小时).$

Final answer: 0.93
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示.$<img_2195>
$(2)估计这100名学生参加实践活动时间的第三四分位数.$

Solution:
$由(1)知a=0.14，因为100\times 0.75=75，第1组有0.04\times 2\times 100=8(人)，同理，第2组有24人，第3组有30人，第4组有28人，第5组有10人，因为8+24+30=62(人)，8+24+30+28=90(人)，所以第三四分位数在第4组，为8+2\times \frac{75-62}{28}\approx 8.93(小时).$

Final answer: 0.93
Subfield: Probability and Statistics


Question: $共享单车入住某市以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱.某机构为了解共享单车使用者的年龄段、使用频率和满意度三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到下表：
表一
使用者年龄段
25岁及以下
26～35岁
36～45岁
46岁及以上
人数
20
40
10
10
表二
使用频率
0～6次/月
7～14次/月
15～22次/月
23～31次/月
人数
5
10
20
5
表三
满意度
非常满意[9，10]
满意[8,9)
一般[7,8)
不满意[6,7)
人数
15
10
10
5
$
$(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26～35岁之间每月使用共享单车在7～14次的人数.$

Solution:
$由表一可知，年龄在26～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，该城区30万人口中年龄在26～35岁之间的约有30\times \frac{1}{2}=15(万人).又年龄在26～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占此年龄段总抽取人数的\frac{1}{4}，用样本估计总体的思想可知，年龄在26～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的约有15\times \frac{1}{4}=\frac{15}{4}(万人).$

Final answer: $\frac{15}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.$
$(1)求某户居民一个月的电费y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；$

Solution:
$当0\leq x\leq 200时，y=0.5x；当200400时，y=0.5\times 200+0.8\times 200+1.0\times (x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为y=\left\{\begin{matrix}0.5x,0\leq x\leq 200,\\ 0.8x-60,200400.\end{matrix}\right.根据题目信息列出y与x的关系式，应用了函数思想.$

Final answer: $y=0.5x, 0\leq x\leq 200
y=0.8x-60, 200<x\leq 400$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.$
$(1)求某户居民一个月的电费y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；假设200<x\leq 400$

Solution:
$当0\leq x\leq 200时，y=0.5x；当200400时，y=0.5\times 200+0.8\times 200+1.0\times (x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为y=\left\{\begin{matrix}0.5x,0\leq x\leq 200,\\ 0.8x-60,200400.\end{matrix}\right.根据题目信息列出y与x的关系式，应用了函数思想.$



Final answer: $y=0.8x-60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.$
$(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份电费小于260元的占80%，求a，b的值；$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596198413619201/img/compression/M_9ec716e43e3f412bebdc4c48d9f018eb.jpg)

Solution:
$由(1)可知，当y=260时，x=400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知，\left\{\begin{matrix}0.001 0 \times 100+2 \times 100b+0.003 0 \times 100=0.8,\\ 100a+0.000 5 \times 100=0.2,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=0.001 5,\\ b=0.002 0.\end{matrix}\right.$

Final answer: $0.0015, 0.0020$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.$
$(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份电费小于260元的占80%，求a，b的值；$<img_2491>

Solution:
$由(1)可知，当y=260时，x=400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知，\left\{\begin{matrix}0.001 0 \times 100+2 \times 100b+0.003 0 \times 100=0.8,\\ 100a+0.000 5 \times 100=0.2,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=0.001 5,\\ b=0.002 0.\end{matrix}\right.$

Final answer: $0.0015, 0.0020$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.$
$(3)根据(2)中求得的数据计算1月份用电量的第75百分位数.$

Solution:
$设第75百分位数为m，由题图知用电量不超过300千瓦时的频率为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)\times 100=0.6，用电量不超过400千瓦时的频率为0.8，所以第75百分位数在(300,400]内，所以0.6+(m-300)\times 0.002 0=0.75，解得m=375，故1月份用电量的第75百分位数为375千瓦时.$

Final answer: $375$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596762547888129/img/compression/M_7ff90dcd5abf88180f5f57a36b94153c.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596762547888129/img/compression/M_0f3dc05d5dc72cd94339f26038d12345.jpg)$记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5，根据直方图得到C的频率的估计值为0.70.$
$(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；$

Solution:
$由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.$

Final answer: $0.35, 0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直方图：$<img_2325><img_2887>$记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5，根据直方图得到C的频率的估计值为0.70.$
$(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；$

Solution:
$由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.$

Final answer: $0.35, 0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596762547888129/img/compression/M_7ff90dcd5abf88180f5f57a36b94153c.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596762547888129/img/compression/M_0f3dc05d5dc72cd94339f26038d12345.jpg)$记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5，根据直方图得到C的频率的估计值为0.70.$
$(2)分别估计甲、乙两种离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).$

Solution:
$甲离子残留百分比的平均值的估计值为2\times 0.15+3\times 0.20+4\times 0.30+5\times 0.20+6\times 0.10+7\times 0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3\times 0.05+4\times 0.10+5\times 0.15+6\times 0.35+7\times 0.20+8\times 0.15=6.00.$

Final answer: 4.05, 6.00
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直方图：$<img_2325><img_2887>$记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5，根据直方图得到C的频率的估计值为0.70.$
$(2)分别估计甲、乙两种离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).$

Solution:
$甲离子残留百分比的平均值的估计值为2\times 0.15+3\times 0.20+4\times 0.30+5\times 0.20+6\times 0.10+7\times 0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3\times 0.05+4\times 0.10+5\times 0.15+6\times 0.35+7\times 0.20+8\times 0.15=6.00.$

Final answer: 4.05, 6.00
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m^{3})和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
$
$(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水.(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)$

Solution:
$该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数\overline{x}_{1}=\frac{1}{50}\times (0.05\times 1+0.15\times 3+0.25\times 2+0.35\times 4+0.45\times 9+0.55\times 26+0.65\times 5)=0.48.该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数\overline{x}_{2}=\frac{1}{50}\times (0.05\times 1+0.15\times 5+0.25\times 13+0.35\times 10+0.45\times 16+0.55\times 5)=0.35.估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水(0.48-0.35)\times 365=47.45(m^{3}).$

Final answer: $47.45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发市场对该市场100天的蔬菜销售量进行统计，制成的条形图如下：$<img_2851>
$(1)估计该市场这100天蔬菜销售量的平均值；$

Solution:
$估计该市场这100天蔬菜销售量的平均值为\frac{1}{100}\times (13\times 10+14\times 40+15\times 20+16\times 20+17\times 10)=14.8(吨).(6分)$

Final answer: 14.8 t
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发市场对该市场100天的蔬菜销售量进行统计，制成的条形图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584129023889409/img/compression/M_36c616e7e5203d5e6354446c7f530157.jpg)
$(1)估计该市场这100天蔬菜销售量的平均值；$

Solution:
$估计该市场这100天蔬菜销售量的平均值为\frac{1}{100}\times (13\times 10+14\times 40+15\times 20+16\times 20+17\times 10)=14.8(吨).(6分)$

Final answer: 14.8 t
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发市场对该市场100天的蔬菜销售量进行统计，制成的条形图如下：$<img_2851>
$(2)现需用分层抽样的方法抽取20天的销售量做进一步研究，请求出各销售量应分别抽取的天数.$

Solution:
$样本容量为100.“销售量为13吨”应抽取20\times \frac{10}{100}=2(天)， “销售量为14吨”应抽取20\times \frac{40}{100}=8(天)，“销售量为15吨”应抽取20\times \frac{20}{100}=4(天)，“销售量为16吨”应抽取20\times \frac{20}{100}=4(天)，“销售量为17吨”应抽取20\times \frac{10}{100}=2(天).(12分)$

Final answer: 2, 8, 4, 2
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发市场对该市场100天的蔬菜销售量进行统计，制成的条形图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584129023889409/img/compression/M_36c616e7e5203d5e6354446c7f530157.jpg)
$(2)现需用分层抽样的方法抽取20天的销售量做进一步研究，请求出各销售量应分别抽取的天数.$

Solution:
$样本容量为100.“销售量为13吨”应抽取20\times \frac{10}{100}=2(天)， “销售量为14吨”应抽取20\times \frac{40}{100}=8(天)，“销售量为15吨”应抽取20\times \frac{20}{100}=4(天)，“销售量为16吨”应抽取20\times \frac{20}{100}=4(天)，“销售量为17吨”应抽取20\times \frac{10}{100}=2(天).(12分)$

Final answer: 2, 8, 4, 2
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584129749504001/img/compression/M_a8ad5b303e1ff55c75feb7d353847318.jpg)$试利用频率分布直方图估计:$
$(1)这50名学生成绩的众数与中位数;$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，众数应为\frac{1}{2}\times (70+80)=75(分).(2分)\because 0.004\times 10+0.006\times 10+0.02\times 10=0.04+0.06+0.2=0.3，\therefore 前三个小矩形的面积的和为0.3,而第四个小矩形的面积为0.03\times 10=0.3，0.3+0.3>0.5，\therefore 中位数应位于[70,80)内.(4分)设中位数为x分,则0.03\times (x-70)=0.5-0.3,解得x\approx 77,故中位数约为77分.因此估计这50名学生成绩的众数与中位数分别为75分、77分.(6分)$

Final answer: $75, 77$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.$<img_1891>$试利用频率分布直方图估计:$
$(1)这50名学生成绩的众数与中位数;$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，众数应为\frac{1}{2}\times (70+80)=75(分).(2分)\because 0.004\times 10+0.006\times 10+0.02\times 10=0.04+0.06+0.2=0.3，\therefore 前三个小矩形的面积的和为0.3,而第四个小矩形的面积为0.03\times 10=0.3，0.3+0.3>0.5，\therefore 中位数应位于[70,80)内.(4分)设中位数为x分,则0.03\times (x-70)=0.5-0.3,解得x\approx 77,故中位数约为77分.因此估计这50名学生成绩的众数与中位数分别为75分、77分.(6分)$

Final answer: $75, 77$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.$<img_1891>$试利用频率分布直方图估计:$
$(2)这50名学生的平均成绩.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表，结果保留整数)$

Solution:
$平均成绩为45\times (0.004\times 10)+55\times (0.006\times 10)+65\times (0.02\times 10)+75\times (0.03\times 10)+85\times (0.024\times 10)+95\times (0.016\times 10)=76.2\approx 76(分).因此估计这50名学生的平均成绩为76分.(12分)$

Final answer: $76$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584129749504001/img/compression/M_a8ad5b303e1ff55c75feb7d353847318.jpg)$试利用频率分布直方图估计:$
$(2)这50名学生的平均成绩.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表，结果保留整数)$

Solution:
$平均成绩为45\times (0.004\times 10)+55\times (0.006\times 10)+65\times (0.02\times 10)+75\times (0.03\times 10)+85\times (0.024\times 10)+95\times (0.016\times 10)=76.2\approx 76(分).因此估计这50名学生的平均成绩为76分.(12分)$

Final answer: $76$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一个经销鲜花产品的微店为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，若当天销售的百合花有剩余，则免费分赠给第二天购花的顾客，若当天销售的百合花数量不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月的前10天，微店百合花的售价为2元每枝，云南鲜花基地空运来的百合花每枝进价为1.6元，本地鲜花供应商处的百合花每枝进价为1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位：枝)依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.$
$(1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的众数和平均数，并完成频率分布直方图；$<img_2085>

Solution:
$四月前10天订单中百合花日需求量的众数为255枝，(1分)平均数为\frac{1}{10}\times (251+255+231+243+263+241+265+255+244+252)=250(枝).(2分)频率分布直方图如图：$<img_2412>$(4分)$

Final answer: 255, 250
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一个经销鲜花产品的微店为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，若当天销售的百合花有剩余，则免费分赠给第二天购花的顾客，若当天销售的百合花数量不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月的前10天，微店百合花的售价为2元每枝，云南鲜花基地空运来的百合花每枝进价为1.6元，本地鲜花供应商处的百合花每枝进价为1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位：枝)依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.$
$(1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的众数和平均数，并完成频率分布直方图；$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584131519500292/img/compression/M_67e062213613f51ddd00e80d12a5c559.jpg)

Solution:
$四月前10天订单中百合花日需求量的众数为255枝，(1分)平均数为\frac{1}{10}\times (251+255+231+243+263+241+265+255+244+252)=250(枝).(2分)频率分布直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584131519500292/img/compression/M_5641407d080303622aff3d6a52d9762d.jpg)$(4分)$

Final answer: 255, 250
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一个经销鲜花产品的微店为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，若当天销售的百合花有剩余，则免费分赠给第二天购花的顾客，若当天销售的百合花数量不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月的前10天，微店百合花的售价为2元每枝，云南鲜花基地空运来的百合花每枝进价为1.6元，本地鲜花供应商处的百合花每枝进价为1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位：枝)依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.$
$(2)预计四月的后20天，订单中百合花日需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据(1)中频率分布直方图判断，微店每天从云南鲜花基地空运250枝还是255枝百合花，才能使四月后20天百合花的销售总利润更大.(同一组中的需求量数据用该组区间的组中值作代表)$

Solution:
$设订单中百合花日需求量为a枝，由(1)中频率分布直方图知，a的可能取值为235，245，255，265，相应的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，故后20天中a的值为235,245,255,265时相应的天数分别为2，6，8，4.(6分)①若空运250枝百合花，则当a=235时，当日利润为235\times 2-250\times 1.6=70(元)，当a=245时，当日利润为245\times 2-250\times 1.6=90(元)，当a=255时，当日利润为255\times 2-250\times 1.6-5\times 1.8=101(元)，当a=265时，当日利润为265\times 2-250\times 1.6-15\times 1.8=103(元)，则20天的总利润为70\times 2+90\times 6+101\times 8+103\times 4=1 900(元).(8分)②若空运255枝百合花，则当a=235时，当日利润为235\times 2-255\times 1.6=62(元)，当a=245时，当日利润为245\times 2-255\times 1.6=82(元)，当a=255时，当日利润为255\times 2-255\times 1.6=102(元)，当a=265时，当日利润为265\times 2-255\times 1.6-10\times 1.8=104(元)，则20天的总利润为62\times 2+82\times 6+102\times 8+104\times 4=1 848(元).(10分)因为1 900>1 848，所以每天从云南鲜花基地空运250枝百合花，才能使四月后20天百合花的销售总利润更大.(12分)$

Final answer: 250
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584139178426369/img/compression/M_f4f823146efdeeb680651173e121f54f.jpg)
$(1)求频率分布直方图中a的值；$

Solution:
$因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以10\times (0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，解得a=0.030.(3分)$

Final answer: $0.030$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2488>
$(1)求频率分布直方图中a的值；$

Solution:
$因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以10\times (0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，解得a=0.030.(3分)$

Final answer: $0.030$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584139178426369/img/compression/M_f4f823146efdeeb680651173e121f54f.jpg)
$(2)试估计该小学学生的平均身高；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图，计算样本数据的平均数为(105\times 0.005+115\times 0.035+125\times 0.030+135\times 0.020+145\times 0.010)\times 10=124.5(cm).所以估计该小学学生的平均身高为124.5 cm.(6分)$

Final answer: $124.5$ cm
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2488>
$(2)试估计该小学学生的平均身高；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图，计算样本数据的平均数为(105\times 0.005+115\times 0.035+125\times 0.030+135\times 0.020+145\times 0.010)\times 10=124.5(cm).所以估计该小学学生的平均身高为124.5 cm.(6分)$

Final answer: $124.5$ cm
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669584139178426369/img/compression/M_f4f823146efdeeb680651173e121f54f.jpg)
$(3)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，求从身高在[140,150]内的学生中选取的人数.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表)$

Solution:
$由题图知，此三个范围内的学生总人数为100\times 10\times (0.030+0.020+0.010)=60，(8分)其中身高在[140,150]内的学生人数为100\times 10\times 0.010=10，(10分)所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为\frac{10}{60}\times 24=4.(12分)$

Final answer: 4
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2488>
$(3)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，求从身高在[140,150]内的学生中选取的人数.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表)$

Solution:
$由题图知，此三个范围内的学生总人数为100\times 10\times (0.030+0.020+0.010)=60，(8分)其中身高在[140,150]内的学生人数为100\times 10\times 0.010=10，(10分)所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为\frac{10}{60}\times 24=4.(12分)$

Final answer: 4
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学(含初、高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563168106848259/img/compression/M_5057df68776ed30337af022d743dcea1.jpg)
$(1)求a的值及样本中男生身高(单位：cm)在[185，195]内的人数；$

Solution:
$根据题意得(0.005+a+0.020+0.025+0.040)\times 10=1，解得a=0.010，所以样本中男生身高(单位:cm)在[185,195]内的人数为40\times 0.010\times 10=4.$

Final answer: $0.010, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学(含初、高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2736>
$(1)求a的值及样本中男生身高(单位：cm)在[185，195]内的人数；$

Solution:
$根据题意得(0.005+a+0.020+0.025+0.040)\times 10=1，解得a=0.010，所以样本中男生身高(单位:cm)在[185,195]内的人数为40\times 0.010\times 10=4.$

Final answer: $0.010, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学(含初、高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563168106848259/img/compression/M_5057df68776ed30337af022d743dcea1.jpg)
$(2)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.$

Solution:
$因为(0.005+0.020+0.040)\times 10=0.65<0.85，0.65+0.025\times 10=0.9>0.85，所以样本数据的85%分位数落在[175,185)内，设其为x，则(x-175)\times 0.025=0.85-0.65，解得x=183，所以估计该校男生身高(单位：cm)的85%分位数为183.$

Final answer: $183$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学(含初、高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2736>
$(2)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.$

Solution:
$因为(0.005+0.020+0.040)\times 10=0.65<0.85，0.65+0.025\times 10=0.9>0.85，所以样本数据的85%分位数落在[175,185)内，设其为x，则(x-175)\times 0.025=0.85-0.65，解得x=183，所以估计该校男生身高(单位：cm)的85%分位数为183.$

Final answer: $183$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$<img_1567>
$(1)求a的值,并估计该市居民月均用水量的众数、平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由题图可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)\times 0.5＝1，解得a＝0.30.估计该市居民月均用水量的众数为\frac{2+2.5}{2}=2.25(吨)，平均数为0.25\times 0.08\times 0.5+0.75\times 0.16\times 0.5+1.25\times 0.3\times 0.5+1.75\times 0.4\times 0.5+2.25\times 0.52\times 0.5+2.75\times 0.3\times 0.5+3.25\times 0.12\times 0.5+3.75\times 0.08\times 0.5+4.25\times 0.04\times 0.5=2.035(吨).$



Final answer: $0.30, 2.25, 2.035$ 吨
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665644468983640065/img/compression/M_a0d8641672a66418875d5c1fb0ef4cc4.jpg)
$(1)求a的值,并估计该市居民月均用水量的众数、平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由题图可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)\times 0.5＝1，解得a＝0.30.估计该市居民月均用水量的众数为\frac{2+2.5}{2}=2.25(吨)，平均数为0.25\times 0.08\times 0.5+0.75\times 0.16\times 0.5+1.25\times 0.3\times 0.5+1.75\times 0.4\times 0.5+2.25\times 0.52\times 0.5+2.75\times 0.3\times 0.5+3.25\times 0.12\times 0.5+3.75\times 0.08\times 0.5+4.25\times 0.04\times 0.5=2.035(吨).$

Final answer: $0.30, 2.25吨, 2.035$ t
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$<img_1567>
$(2)已知该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；$

Solution:
$由题图知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)\times 0.5＝0.12.由此可以估计该市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000\times 0.12＝36 000.$

Final answer: $36000$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665644468983640065/img/compression/M_a0d8641672a66418875d5c1fb0ef4cc4.jpg)
$(2)已知该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；$

Solution:
$由题图知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)\times 0.5＝0.12.由此可以估计该市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000\times 0.12＝36 000.$

Final answer: $36000$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$<img_1567>
$(3)若该市政府希望使85%的居民月均用水量不超过标准x(吨),试估计x的值,并说明理由.$

Solution:
$由题图得前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)\times 0.5＝0.73＜0.85，前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)\times 0.5＝0.88＞0.85，所以2.5由0.3\times (x-2.5)＝0.85-0.73，解得x＝2.9.$

Final answer: $2.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),\ldots ,[3.5,4),[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665644468983640065/img/compression/M_a0d8641672a66418875d5c1fb0ef4cc4.jpg)
$(3)若该市政府希望使85%的居民月均用水量不超过标准x(吨),试估计x的值,并说明理由.$

Solution:
$由题图得前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)\times 0.5＝0.73＜0.85，前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)\times 0.5＝0.88＞0.85，所以2.5由0.3\times (x-2.5)＝0.85-0.73，解得x＝2.9.$

Final answer: $2.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩，其中乙组的记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示.$<img_1856>
$(1)当a=2时,分别求出甲、乙两组同学数学成绩的平均数以及乙组的方差;$

Solution:
$甲组的平均成绩是\frac{88+92+92}{3}=\frac{272}{3}，乙组的平均成绩是\frac{90+91+92}{3}=91，乙组的方差是\frac{(90-91)^2+(91-91)^2+(92-91)^2}{3}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{272}{3}, 91, \frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩，其中乙组的记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563156481355778/img/compression/M_8dff996dd3fce6d28ed49ec3371b5b4f.jpg)
$(1)当a=2时,分别求出甲、乙两组同学数学成绩的平均数以及乙组的方差;$

Solution:
$甲组的平均成绩是\frac{88+92+92}{3}=\frac{272}{3}，乙组的平均成绩是\frac{90+91+92}{3}=91，乙组的方差是\frac{(90-91)^2+(91-91)^2+(92-91)^2}{3}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{272}{3}, 91, \frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩，其中乙组的记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示.$<img_1856>
$(2)若甲组的数学平均成绩高于乙组的数学平均成绩,求a的值.$

Solution:
$乙组的平均成绩是\frac{90+91+90+a}{3}=\frac{271+a}{3},由(1)及题意知\frac{272}{3}>\frac{271+a}{3}，解得a<1,易知a是不超过9的自然数，所以a=0.$

Final answer: $0$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩，其中乙组的记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563156481355778/img/compression/M_8dff996dd3fce6d28ed49ec3371b5b4f.jpg)
$(2)若甲组的数学平均成绩高于乙组的数学平均成绩,求a的值.$

Solution:
$乙组的平均成绩是\frac{90+91+90+a}{3}=\frac{271+a}{3},由(1)及题意知\frac{272}{3}>\frac{271+a}{3}，解得a<1,易知a是不超过9的自然数，所以a=0.$

Final answer: $0$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$<img_2633>
$(1)求频率分布直方图中a的值;$

Solution:
$由题图可知(2a+3a+7a+6a+2a)\times 10=1,解得a=0.005.$

Final answer: $0.005$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563159153127427/img/compression/M_369d49a2a7009d75449edbc8d4c3c0d9.jpg)
$(1)求频率分布直方图中a的值;$

Solution:
$由题图可知(2a+3a+7a+6a+2a)\times 10=1,解得a=0.005.$

Final answer: $0.005$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$<img_2633>
$(2)求这20名同学成绩的平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);$

Solution:
$易得这20名同学成绩的平均数为(55\times 2a+65\times 3a+75\times 7a+85\times 6a+95\times 2a)\times 10=76.5.$

Final answer: $76.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563159153127427/img/compression/M_369d49a2a7009d75449edbc8d4c3c0d9.jpg)
$(2)求这20名同学成绩的平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);$

Solution:
$易得这20名同学成绩的平均数为(55\times 2a+65\times 3a+75\times 7a+85\times 6a+95\times 2a)\times 10=76.5.$

Final answer: $76.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$<img_2633>
$(3)估计样本数据的第一四分位数和80%分位数(保留三位有效数字).$

Solution:
$由题图可知，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,前两组频率之和恰为0.25，故样本数据的第一四分位数为70.0.前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以样本数据的80%分位数在第四组.设样本数据的80%分位数为x,则0.6+(x-80)\times 0.03=0.8,解得x\approx 86.7.$

Final answer: $70.0, 86.7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某次数学考试后,抽取了20名同学的成绩作为样本并绘制了频率分布直方图如下:$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664563159153127427/img/compression/M_369d49a2a7009d75449edbc8d4c3c0d9.jpg)
$(3)估计样本数据的第一四分位数和80%分位数(保留三位有效数字).$

Solution:
$由题图可知，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,前两组频率之和恰为0.25，故样本数据的第一四分位数为70.0.前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以样本数据的80%分位数在第四组.设样本数据的80%分位数为x,则0.6+(x-80)\times 0.03=0.8,解得x\approx 86.7.$

Final answer: $70.0, 86.7$