di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量(单位：箱)
频率
[0，10)
0.10
[10,20)
0.20
[20,30)
0.30
[30,40)
0.25
[40,50]
0.15
合计
1
$<img_1851>$
$
$(3)试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$

Solution:
$由(2)得乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱，故乙种酸奶未来一个月的销售总量为26.5\times 30=795(箱).$

Final answer: $795$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量(单位：箱)
频率
[0，10)
0.10
[10,20)
0.20
[20,30)
0.30
[30,40)
0.25
[40,50]
0.15
合计
1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526976489005059/img/compression/M_68202001de7e0a812c188506bd6bfb30.jpg)$
$
$(3)试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$

Solution:
$由(2)得乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱，故乙种酸奶未来一个月的销售总量为26.5\times 30=795(箱).$

Final answer: $795$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在前一年的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]内的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表：
采购数量x(单位：箱)
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200]
客户数
10
10
5
20
5
$
$(1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；$<img_1937>

Solution:
$由题表中数据，补充频率分布直方图如图，$<img_1608>$根据频率分布直方图，可知采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数约为50\times 20\times \left(\right.0.005+0.020\times \frac{180-168}{20}\left)\right.＝17.$

Final answer: $17$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在前一年的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]内的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表：
采购数量x(单位：箱)
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200]
客户数
10
10
5
20
5
$
$(1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527010181468161/img/compression/M_75a4a154e6b5b4a0e1d0a18137e48f59.jpg)

Solution:
$由题表中数据，补充频率分布直方图如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527010181468161/img/compression/M_00dde3bad255f3442c11e50f19225729.jpg)$根据频率分布直方图，可知采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数约为50\times 20\times \left(\right.0.005+0.020\times \frac{180-168}{20}\left)\right.＝17.$

Final answer: $17$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在前一年的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]内的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表：
采购数量x(单位：箱)
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200]
客户数
10
10
5
20
5
$
$(2)若去年年底“熟客”采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的\frac{5}{8}，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$由题中表格可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数量约为110\times 10+130\times 10+150\times 5+170\times 20+190\times 5＝7 500(箱)，故小张去年年底总的销售量为7 500\div \frac{5}{8}＝12 000(箱).$

Final answer: 12000
Subfield: Probability and Statistics


Question: $鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在前一年的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100，200]内的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表：
采购数量x(单位：箱)
[100，120)
[120，140)
[140，160)
[160，180)
[180，200]
客户数
10
10
5
20
5
$
$(3)由于鱼卷受到游客的青睐，小张做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元(网上、网下均下调)，且每下调m元(2\leq m\leq 5)销售量可增加1 000m箱，求小张在今年年底收入Y(单位：元)的最大值.$

Solution:
$若没有在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为12 000\times 20＝240 000(元)；若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为(12 000+1 000m)箱，每箱的利润为(20-m)元，则今年年底小张的收入Y＝(20-m)(12 000+1 000m)＝1 000(-m^{2}+8m+240)＝1 000[-(m-4)^{2}+256](2\leq m\leq 5)，当m=4时，Y有最大值，最大值为256 000.\because 256 000＞240 000，\therefore 小张在今年年底收入Y的最大值为256 000.$

Final answer: $256000$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下.
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
m
0.350
第3组
[170,175)
n
p
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
$<img_2902>$
$
$(1)求频率分布表中m,n,p的值，并将相应的频率分布直方图补充完整；$

Solution:
$由已知得0.050+0.350+p+0.200+0.100=1.000，解得p=0.300，m=0.35\times 100=35，n=0.3\times 100=30，补全频率分布直方图如图所示：$<img_2637>

Final answer: $35,30,0.300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下.
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
m
0.350
第3组
[170,175)
n
p
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526958943297539/img/compression/M_9901d1b950b9438ce93845cba17e1212.jpg)$
$
$(1)求频率分布表中m,n,p的值，并将相应的频率分布直方图补充完整；$

Solution:
$由已知得0.050+0.350+p+0.200+0.100=1.000，解得p=0.300，m=0.35\times 100=35，n=0.3\times 100=30，补全频率分布直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526959354339330/img/compression/M_80311736f9a122c48e6d68058b97434f.jpg)

Final answer: $35,30,0.300$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下.
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
m
0.350
第3组
[170,175)
n
p
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
$<img_2902>$
$
$(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3，4，5组各抽取多少名学生进入第二轮面试？$

Solution:
$第3，4，5组的人数之比为30:20:10，即3:2:1，现用分层随机抽样的方法选6名学生，故第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.$

Final answer: $3,2,1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下.
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
m
0.350
第3组
[170,175)
n
p
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526958943297539/img/compression/M_9901d1b950b9438ce93845cba17e1212.jpg)$
$
$(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3，4，5组各抽取多少名学生进入第二轮面试？$

Solution:
$第3，4，5组的人数之比为30:20:10，即3:2:1，现用分层随机抽样的方法选6名学生，故第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.$

Final answer: $3,2,1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解高一学生的睡眠情况，现从600名学生中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查,根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布直方图如图.按照中学生健康教育标准要求，高中生应保证日睡眠时间不少于8 h，已知被调查的学生中有18人达标.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526964999872514/img/compression/M_f305a3a6945cff650d57a0d53158d982.jpg)
$(1)求频率分布直方图中a，b的值；$

Solution:
$由题意得0.5\times (0.40+a)\times 50=18，解得a=0.32，由0.5\times (0.20+0.32+0.28+b+0.40+0.32)=1，解得b=0.48.$

Final answer: $0.32,0.48$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解高一学生的睡眠情况，现从600名学生中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查,根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布直方图如图.按照中学生健康教育标准要求，高中生应保证日睡眠时间不少于8 h，已知被调查的学生中有18人达标.$<img_2512>
$(1)求频率分布直方图中a，b的值；$

Solution:
$由题意得0.5\times (0.40+a)\times 50=18，解得a=0.32，由0.5\times (0.20+0.32+0.28+b+0.40+0.32)=1，解得b=0.48.$

Final answer: $0.32,0.48$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解高一学生的睡眠情况，现从600名学生中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查,根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布直方图如图.按照中学生健康教育标准要求，高中生应保证日睡眠时间不少于8 h，已知被调查的学生中有18人达标.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526964999872514/img/compression/M_f305a3a6945cff650d57a0d53158d982.jpg)
$(2)若日睡眠时间在[7,8)内的学生可通过自己的努力保证日睡眠时间达标，在[6.5,7)内的学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标，为使不低于80%的学生日睡眠时间达标，这600名学生中有多少名学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标？$

Solution:
$600\times 80%=480，日睡眠时间在[7,9]内的学生人数为0.5\times (0.28+0.48+0.40+0.32)\times 600=444，所以为使不低于80%的学生日睡眠时间达标，这600名学生中有480-444=36名学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标.$

Final answer: $36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解高一学生的睡眠情况，现从600名学生中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查,根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布直方图如图.按照中学生健康教育标准要求，高中生应保证日睡眠时间不少于8 h，已知被调查的学生中有18人达标.$<img_2512>
$(2)若日睡眠时间在[7,8)内的学生可通过自己的努力保证日睡眠时间达标，在[6.5,7)内的学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标，为使不低于80%的学生日睡眠时间达标，这600名学生中有多少名学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标？$

Solution:
$600\times 80%=480，日睡眠时间在[7,9]内的学生人数为0.5\times (0.28+0.48+0.40+0.32)\times 600=444，所以为使不低于80%的学生日睡眠时间达标，这600名学生中有480-444=36名学生需要通过老师谈话劝说成功才能使日睡眠时间达标.$

Final answer: $36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1673>
$(1)求样本中停车时长在区间(400,500]内的频率；$

Solution:
$设样本中停车时长在区间(400,500]内的频率为x，由题意得(0.000 2+0.001 3+0.001 6+0.003 2+0.003 4)\times 100+x=1,解得x=0.03.所以样本中停车时长在区间(400,500]内的频率为0.03.$

Final answer: $0.03$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526965570297859/img/compression/M_eab9fa09a582527b05c66815b3065ce8.jpg)
$(1)求样本中停车时长在区间(400,500]内的频率；$

Solution:
$设样本中停车时长在区间(400,500]内的频率为x，由题意得(0.000 2+0.001 3+0.001 6+0.003 2+0.003 4)\times 100+x=1,解得x=0.03.所以样本中停车时长在区间(400,500]内的频率为0.03.$

Final answer: $0.03$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1673>
$(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1 000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(100,400]内的车辆数；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图可知停车时长在区间(100,400]内的频率为(0.003 2+0.003 4+0.001 6)\times 100=0.82，所以估计该天停车时长在区间(100,400]内的车辆数为0.82\times 1 000=820.$

Final answer: $820$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526965570297859/img/compression/M_eab9fa09a582527b05c66815b3065ce8.jpg)
$(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1 000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(100,400]内的车辆数；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图可知停车时长在区间(100,400]内的频率为(0.003 2+0.003 4+0.001 6)\times 100=0.82，所以估计该天停车时长在区间(100,400]内的车辆数为0.82\times 1 000=820.$

Final answer: $820$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1673>
$(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若使该服务能够惠及25%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议.$

Solution:
$因为停车时长在(0,100]内的频率为0.13，停车时长在(0,200]内的频率为0.45，所以免费停车时长标准在(100,200]内，设免费停车时长标准为y分钟，则0.13+(y-100)\times 0.003 2=0.25,解得y=137.5.故免费停车时长标准定为137.5分钟.$

Final answer: $137.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了制订合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665526965570297859/img/compression/M_eab9fa09a582527b05c66815b3065ce8.jpg)
$(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若使该服务能够惠及25%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议.$

Solution:
$因为停车时长在(0,100]内的频率为0.13，停车时长在(0,200]内的频率为0.45，所以免费停车时长标准在(100,200]内，设免费停车时长标准为y分钟，则0.13+(y-100)\times 0.003 2=0.25,解得y=137.5.故免费停车时长标准定为137.5分钟.$

Final answer: $137.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018200424450/img/compression/M_41aba22399b0a70cda730b4e12db3c67.jpg)
$(1)写出这个试验的样本空间；$

Solution:
$这个试验的样本空间\Omega ＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}.$

Final answer: ${(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018200424450/img/compression/M_41aba22399b0a70cda730b4e12db3c67.jpg)
$(2)求这个试验的样本点总数；$

Solution:
$由(1)知，这个试验的样本点总数为16.$

Final answer: $16$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$<img_2201>
$(2)求这个试验的样本点总数；$

Solution:
$由(1)知，这个试验的样本点总数为16.$

Final answer: $16$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018200424450/img/compression/M_41aba22399b0a70cda730b4e12db3c67.jpg)
$(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？$

Solution:
$“x＋y＝5”包含4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4).$

Final answer: $“x＋y＝5”包含4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
“x<3且y>1”包含6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018200424450/img/compression/M_41aba22399b0a70cda730b4e12db3c67.jpg)
$(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？$

Solution:
$“xy＝4”包含3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).$

Final answer: $(1,4),(2,2),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果记为(x，y).$<img_2201>
$(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？$

Solution:
$“xy＝4”包含3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).$

Final answer: $(1,4),(2,2),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一边长为2的正三角形ABC如图所示，三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F这6个点中任取4个点，记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018867318786/img/compression/M_39f9d974318082c48fb3783cbcdfb6d4.jpg)
$(1)事件J表示随机事件“选取的4点能构成平行四边形”；$

Solution:
$样本空间\Omega ={ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ABEF，ACDE，ACDF，ACEF，ADEF，BCDE，BCDF，BCEF，BDEF，CDEF}，样本点的个数为15.事件J={ADEF，BDEF，CDEF}，样本点的个数为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一边长为2的正三角形ABC如图所示，三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F这6个点中任取4个点，记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.$<img_2229>
$(1)事件J表示随机事件“选取的4点能构成平行四边形”；$

Solution:
$样本空间\Omega ={ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ABEF，ACDE，ACDF，ACEF，ADEF，BCDE，BCDF，BCEF，BDEF，CDEF}，样本点的个数为15.事件J={ADEF，BDEF，CDEF}，样本点的个数为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一边长为2的正三角形ABC如图所示，三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F这6个点中任取4个点，记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018867318786/img/compression/M_39f9d974318082c48fb3783cbcdfb6d4.jpg)
$(2)事件K表示随机事件“选取的4点能构成梯形”；$

Solution:
$事件K={ABEF，ACDE，BCDF}，样本点的个数为3.$

Final answer: $事件K={ABEF，ACDE，BCDF}，样本点的个数为3.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一边长为2的正三角形ABC如图所示，三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F这6个点中任取4个点，记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.$<img_2229>
$(3)事件L表示随机事件“选取的4点不能构成四边形”.$

Solution:
$事件L={ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ACDF，ACEF，BCDE，BCEF}，样本点的个数为9.$

Final answer: $9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一边长为2的正三角形ABC如图所示，三边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F这6个点中任取4个点，记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件，并指出样本点的个数.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527018867318786/img/compression/M_39f9d974318082c48fb3783cbcdfb6d4.jpg)
$(3)事件L表示随机事件“选取的4点不能构成四边形”.$

Solution:
$事件L={ABCD，ABCE，ABCF，ABDE，ABDF，ACDF，ACEF，BCDE，BCEF}，样本点的个数为9.$

Final answer: $9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干名师生,进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，其分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].$<img_2946>$将满意度评分从低到高分为四个等级：
满意度评分(分)
[0,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．$
$(1)求表中a的值及不满意的人数﹔$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得a=\frac{1}{10}-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036，设不满意的人数为x,则\frac{0.002+0.004}{0.016+0.018}=\frac{x}{340},解得x=60,故不满意的人数为60．$

Final answer: $0.036, 60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干名师生,进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，其分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527034721787906/img/compression/M_d77599223d6e563de66cd8a398d353a4.jpg)$将满意度评分从低到高分为四个等级：
满意度评分(分)
[0,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．$
$(1)求表中a的值及不满意的人数﹔$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得a=\frac{1}{10}-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036，设不满意的人数为x,则\frac{0.002+0.004}{0.016+0.018}=\frac{x}{340},解得x=60,故不满意的人数为60．$

Final answer: $0.036, 60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干名师生,进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，其分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].$<img_2946>$将满意度评分从低到高分为四个等级：
满意度评分(分)
[0,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．$
$(2)设事件A表示“满意度评分不低于80分”，估计事件A发生的概率﹔$

Solution:
$“满意度评分不低于80分”的频率为(0.036+0.024)\times 10=0.6，因此事件A发生的概率估计值为0.6．$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干名师生,进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，其分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665527034721787906/img/compression/M_d77599223d6e563de66cd8a398d353a4.jpg)$将满意度评分从低到高分为四个等级：
满意度评分(分)
[0,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．$
$(2)设事件A表示“满意度评分不低于80分”，估计事件A发生的概率﹔$

Solution:
$“满意度评分不低于80分”的频率为(0.036+0.024)\times 10=0.6，因此事件A发生的概率估计值为0.6．$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，A地到火车站共有两条路径L_{1}和L_{2}，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
L_{1}
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L_{2}
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现位于A地的甲、乙两人分别有40分钟和50分钟用于赶往火车站.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533999356379138/img/compression/M_547271fd3dc9fa618732817783f4c3e6.jpg)$
$
$(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？$

Solution:
$设A_{i}表示事件“甲选择路径L_{i}时，40分钟内赶到火车站”，B_{i}表示事件“乙选择路径L_{i}时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2.用频率估计相应的概率，则P(A_{1})=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A_{2})=0.1+0.4=0.5，\because P(A_{1})>P(A_{2})，\therefore 甲应选择路径L_{1}.P(B_{1})=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B_{2})=0.1+0.4+0.4=0.9，\because P(B_{2})>P(B_{1})，\therefore 乙应选择路径L_{2}.$

Final answer: $甲应选择路径L1, 乙应选择路径L2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，A地到火车站共有两条路径L_{1}和L_{2}，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
L_{1}
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L_{2}
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现位于A地的甲、乙两人分别有40分钟和50分钟用于赶往火车站.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533999356379138/img/compression/M_547271fd3dc9fa618732817783f4c3e6.jpg)$
$
$(2)根据(1)中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率.$

Solution:
$用A，B分别表示(1)中所选方案，则P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A，B相互独立，\therefore 甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率P=P(\overline{A}B+A\overline{B})=P(\overline{A})P(B)+P(A)P(\overline{B})=0.4\times 0.9+0.6\times 0.1=0.42.$

Final answer: $0.42$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，A地到火车站共有两条路径L_{1}和L_{2}，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
L_{1}
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L_{2}
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现位于A地的甲、乙两人分别有40分钟和50分钟用于赶往火车站.$<img_2513>$
$
$(2)根据(1)中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率.$

Solution:
$用A，B分别表示(1)中所选方案，则P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A，B相互独立，\therefore 甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率P=P(\overline{A}B+A\overline{B})=P(\overline{A})P(B)+P(A)P(\overline{B})=0.4\times 0.9+0.6\times 0.1=0.42.$

Final answer: $0.42$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533999742255106/img/compression/M_7d38e1fde18e13f858f4ad11d7c354e8.jpg)
$(1)分别求第3，4，5组的频率；$

Solution:
$由题意知，第3组的频率为0.06\times 5=0.3，第4组的频率为0.04\times 5=0.2，第5组的频率为0.02\times 5=0.1.$

Final answer: $0.3, 0.2, 0.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_1983>
$(1)分别求第3，4，5组的频率；$

Solution:
$由题意知，第3组的频率为0.06\times 5=0.3，第4组的频率为0.04\times 5=0.2，第5组的频率为0.02\times 5=0.1.$

Final answer: $0.3, 0.2, 0.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533999742255106/img/compression/M_7d38e1fde18e13f858f4ad11d7c354e8.jpg)
$(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；$

Solution:
$第3组的人数为0.3\times 100=30，第4组的人数为0.2\times 100=20，第5组的人数为0.1\times 100=10，第3组应抽取学生\frac{30}{60}\times 6=3(名)，第4组应抽取学生\frac{20}{60}\times 6=2(名)，第5组应抽取学生\frac{10}{60}\times 6=1(名).$

Final answer: 3, 2, 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_1983>
$(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；$

Solution:
$第3组的人数为0.3\times 100=30，第4组的人数为0.2\times 100=20，第5组的人数为0.1\times 100=10，第3组应抽取学生\frac{30}{60}\times 6=3(名)，第4组应抽取学生\frac{20}{60}\times 6=2(名)，第5组应抽取学生\frac{10}{60}\times 6=1(名).$

Final answer: 3, 2, 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665533999742255106/img/compression/M_7d38e1fde18e13f858f4ad11d7c354e8.jpg)
$(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.$

Solution:
$设第3组抽取的3名学生分别为A_{1},A_{2},A_{3},第4组抽取的2名学生分别为B_{1},B_{2},第5组抽取的1名学生为C,则从6名学生中抽取2名学生有(A_{1},A_{2}),(A_{1},A_{3}),(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{1},C),(A_{2},A_{3}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{2},C),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(A_{3},C),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C),(B_{2},C)，共15种等可能的情况，其中第4组至少有一名学生被甲考官面试的情况有(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C),(B_{2},C)，共9种，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩进行分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_1983>
$(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.$

Solution:
$设第3组抽取的3名学生分别为A_{1},A_{2},A_{3},第4组抽取的2名学生分别为B_{1},B_{2},第5组抽取的1名学生为C,则从6名学生中抽取2名学生有(A_{1},A_{2}),(A_{1},A_{3}),(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{1},C),(A_{2},A_{3}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{2},C),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(A_{3},C),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C),(B_{2},C)，共15种等可能的情况，其中第4组至少有一名学生被甲考官面试的情况有(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C),(B_{2},C)，共9种，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，也是文明城市的主要创造者.某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，所有学生的竞赛成绩(单位：分)均位于区间[50,100]内，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665547788931256322/img/compression/M_a5883db399c9ca22bd7babc59b90d04d.jpg)
$(1)求图中a的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；$

Solution:
$由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10\times (0.015+0.020+a+0.025+0.010)=1，解得a=0.030.样本中40名学生的竞赛成绩的平均数\overline{x}=55\times 0.15+65\times 0.2+75\times 0.3+85\times 0.25+95\times 0.1=74.5(分).设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x分，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有(x-70)\times 0.03+0.35=0.5，解得x=75.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75分.$

Final answer: $0.030, 74.5, 75$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，也是文明城市的主要创造者.某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，所有学生的竞赛成绩(单位：分)均位于区间[50,100]内，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2733>
$(1)求图中a的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；$

Solution:
$由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10\times (0.015+0.020+a+0.025+0.010)=1，解得a=0.030.样本中40名学生的竞赛成绩的平均数\overline{x}=55\times 0.15+65\times 0.2+75\times 0.3+85\times 0.25+95\times 0.1=74.5(分).设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x分，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有(x-70)\times 0.03+0.35=0.5，解得x=75.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75分.$

Final answer: $0.030, 74.5, 75$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，也是文明城市的主要创造者.某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，所有学生的竞赛成绩(单位：分)均位于区间[50,100]内，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665547788931256322/img/compression/M_a5883db399c9ca22bd7babc59b90d04d.jpg)
$(2)利用分层随机抽样的方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]的概率.$

Solution:
$由分层随机抽样可知，从[80,90)内应抽取5人，分别记为a，b，c，d，e，从[90,100]内应抽取2人，分别记为A，B，从中任取2人的所有可能结果为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,e)，(c,A)，(c,B)，(d,e)，(d,A)，(d,B)，(e,A)，(e,B)，(A,B)，共21种.其中至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]内的结果有(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(e,A)，(e,B)，(A,B)，共11种.所以至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]内的概率为\frac{11}{21}.$

Final answer: $\frac{11}{21}$