di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: 长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m_1的小球A,处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m_2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g,求
$碰撞前瞬间B的动能E_k至少多大。$

Solution:
$设两球粘在一起时的速度大小为v'，碰撞前瞬间B的动能最小值，对应A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足$
$v'=v_{A}$

$要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为v_{B}，由动量守恒定律，有$
$m_{2}v_{B}-m_{1}v_{A}=(m_{1}+m_{2})v'$

$又E_{k}=\frac{1}{2}m_{2}v^2_{B}$

$联立式子，得碰撞前瞬间B的动能E_{k}至少为$
$E_{k}=\frac{5gl(2m_{1}+m_{2})^2}{2m_{2}}$

Final answer: $\frac{5gl(2m_1+m_2)^2}{2m_2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,在水平向左的匀强电场中有一光滑水平绝缘桌面,桌面的右端固定一光滑定滑轮。两个质量均为m、可视为质点的滑块a、b,通过不可伸长的细线绕过定滑轮连接,其中滑块a带正电,电荷量为q,滑块b不带电,滑块a与滑轮间的细线保持水平。开始时,滑块a锁定在桌面上的P点,整个系统处于静止状态。解除对滑块a的锁定后,滑块a向右运动一段时间后(滑块b未触地)剪断细线,又经过相同的时间滑块a恰好回到P点。已知重力加速度大小为g,滑块a向右运动过程中未与滑轮碰撞。求:

<img_1153>
电场强度的大小。

Solution:
$设细线的拉力大小为F,由牛顿第二定律知,从解除锁定到剪断细线的过程,对滑块a有F-qE=ma_1⑤$
$对滑块b有mg-F=ma_1⑥$
$剪断细线后,对滑块a有qE=ma_2⑦$
$由①③得\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}⑧$
$由⑤⑥⑦⑧得E=\frac{3mg}{5q}⑨$

Final answer: $\frac{3mg}{5q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,在水平向左的匀强电场中有一光滑水平绝缘桌面,桌面的右端固定一光滑定滑轮。两个质量均为m、可视为质点的滑块a、b,通过不可伸长的细线绕过定滑轮连接,其中滑块a带正电,电荷量为q,滑块b不带电,滑块a与滑轮间的细线保持水平。开始时,滑块a锁定在桌面上的P点,整个系统处于静止状态。解除对滑块a的锁定后,滑块a向右运动一段时间后(滑块b未触地)剪断细线,又经过相同的时间滑块a恰好回到P点。已知重力加速度大小为g,滑块a向右运动过程中未与滑轮碰撞。求:

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255420308000770/img/compression/M_beaa3af90c7d6ca05f5e9b3727a77a71.jpg)
电场强度的大小。

Solution:
$设细线的拉力大小为F,由牛顿第二定律知,从解除锁定到剪断细线的过程,对滑块a有F-qE=ma_1⑤$
$对滑块b有mg-F=ma_1⑥$
$剪断细线后,对滑块a有qE=ma_2⑦$
$由①③得\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}⑧$
$由⑤⑥⑦⑧得E=\frac{3mg}{5q}⑨$

Final answer: $\frac{3mg}{5q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $1890年，英国物理学家J.J.汤姆孙对阴极射线进行了研究，打开了探究原子结构的大门，他的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极K发出的电子，由静止经A、K间的电压加速后，以平行于极板C、D的速度进入平行板电容器。若两极板C、D间无电压，则电子恰好打在荧光屏上的O点;若在两极板间施加图示的电压，则电子打在荧光屏上的P点。已知极板C、D的长度均为l，间距为d，O、P间的距离为y，电子的比荷为\frac{e}{m}，加速电压和偏转电压均为U。求:$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255420769374210/img/compression/M_6463639d3e4983d792f30c2245c7d229.jpg)
电子进入极板C、D间时的速度大小v_0;

Solution:
$电子在加速电场中，由动能定理可得eU=\frac{1}{2}mv_0^2，解得v_0=\sqrt{\frac{2eU}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $1890年，英国物理学家J.J.汤姆孙对阴极射线进行了研究，打开了探究原子结构的大门，他的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极K发出的电子，由静止经A、K间的电压加速后，以平行于极板C、D的速度进入平行板电容器。若两极板C、D间无电压，则电子恰好打在荧光屏上的O点;若在两极板间施加图示的电压，则电子打在荧光屏上的P点。已知极板C、D的长度均为l，间距为d，O、P间的距离为y，电子的比荷为\frac{e}{m}，加速电压和偏转电压均为U。求:$

<img_486>
电子进入极板C、D间时的速度大小v_0;

Solution:
$电子在加速电场中，由动能定理可得eU=\frac{1}{2}mv_0^2，解得v_0=\sqrt{\frac{2eU}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为\phi (\phi >0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v_0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255409516056579/img/compression/M_bf553ac63524973952aef642381b00ed.jpg)
求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；

Solution:
$由题意得，P、G间与Q、G间场强大小相等，均为E。粒子在P、G间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有$
$E=\frac{2\varphi}{d}$
①

$F=qE=ma$
②

$设粒子第一次到达G时动能为E_k，由动能定理有$

$qEh=E_k-\frac{1}{2}mv_0^2$
③

$设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向上的位移大小为l，则有$

$h=\frac{1}{2}at^2$
④

$l=v_0t$
⑤

联立①②③④⑤式解得

$E_k=\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{2\varphi}{d}qh$
⑥

$l=v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi}}$
⑦

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{2\varphi }{d}qh, v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为\phi (\phi >0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v_0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。$

<img_770>
求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；

Solution:
$由题意得，P、G间与Q、G间场强大小相等，均为E。粒子在P、G间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有$
$E=\frac{2\varphi}{d}$
①

$F=qE=ma$
②

$设粒子第一次到达G时动能为E_k，由动能定理有$

$qEh=E_k-\frac{1}{2}mv_0^2$
③

$设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向上的位移大小为l，则有$

$h=\frac{1}{2}at^2$
④

$l=v_0t$
⑤

联立①②③④⑤式解得

$E_k=\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{2\varphi}{d}qh$
⑥

$l=v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi}}$
⑦

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{2\varphi }{d}qh, v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为\phi (\phi >0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v_0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。$

<img_770>
若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？

Solution:
若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L为
$L=2l=2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$

⑧

Final answer: $2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两金块板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为\phi (\phi >0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v_0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255409516056579/img/compression/M_bf553ac63524973952aef642381b00ed.jpg)
若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？

Solution:
若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L为
$L=2l=2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$

⑧

Final answer: $2v_0\sqrt{\frac{mdh}{q\varphi }}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点，从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v_0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为\frac{t}{2}. 重力加速度为g，求$
电场强度的大小；

Solution:
设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有

$mg+qE=ma　　　①$

$\frac{1}{2}a\left(\frac{t}{2}\right)^2=\frac{1}{2}gt^2　　　②$

$解得 E = \frac{3mg}{q}　　　③$

Final answer: $\frac{3mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点，从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v_0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为\frac{t}{2}. 重力加速度为g，求$
B 运动到 P 点时的动能。

Solution:
$设B从O点发射时的速度为v_1,到达P点时的动能为E_k，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有$
$E_k-\frac{1}{2}mv_1^2=mgh+qEh$
④
$且有v_1=\frac{t}{2}=v_0t$
⑤
$h=\frac{1}{2}gt^2$
⑥
联立③④⑤⑥式得
$E_k=2m(v_0^2+g^2t^2)$
⑦

Final answer: $2m(v_0^2 + g^2t^2)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子自电场中某处以大小为v_0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60^\circ ，不计重力。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255487228121090/img/compression/M_dc317af6fd1f3c5f610c940c8fe0fd6c.jpg)
求粒子发射位置到P点的距离；

Solution:
将粒子进磁场时的速度分解，可得

$v_{y}=\frac{v_0}{\tan 60^\circ }=\frac{v_0}{\sqrt{3}}$

$v=\frac{v_0}{\sin 60^\circ }=\frac{2v_0}{\sqrt{3}}$

粒子在电场中做类平抛运动

$在沿电场方向有：qE=ma，v^2_y=2ay，v_{y}=at$

$在垂直电场方向有：x =v_{0}t$

$合成分位移得d=\sqrt{x^2+y^2}$

$解得d=\frac{\sqrt{13}mv_0^2}{6qE}$

Final answer: $\frac{\sqrt{13}mv_0^2}{6qE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子自电场中某处以大小为v_0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60^\circ ，不计重力。$

<img_795>
求粒子发射位置到P点的距离；

Solution:
将粒子进磁场时的速度分解，可得

$v_{y}=\frac{v_0}{\tan 60^\circ }=\frac{v_0}{\sqrt{3}}$

$v=\frac{v_0}{\sin 60^\circ }=\frac{2v_0}{\sqrt{3}}$

粒子在电场中做类平抛运动

$在沿电场方向有：qE=ma，v^2_y=2ay，v_{y}=at$

$在垂直电场方向有：x =v_{0}t$

$合成分位移得d=\sqrt{x^2+y^2}$

$解得d=\frac{\sqrt{13}mv_0^2}{6qE}$

Final answer: $\frac{\sqrt{13}mv_0^2}{6qE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用云室可以知道带电粒子的性质。如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比lₐ:lₑ=3:1，半径之比rₐ:rₑ=6:1。不计重力及粒子间的相互作用力。求：

![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255458967769090/img/compression/M_ab19bfc2dbffb3f89326c4b6af1c0022.jpg)
$粒子a的动量大小p_{a}.$

Solution:
$电中性粒子分裂过程中动量守恒：mv=m_av_a+m_bv_b，结合v_a:v_b=3:1，m_a:m_b=2:1，m=m_a+m_b 可得，p_a=m_av_a=\frac{6}{7}mv。$

Final answer: $\frac{6}{7}mv$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用云室可以知道带电粒子的性质。如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比lₐ:lₑ=3:1，半径之比rₐ:rₑ=6:1。不计重力及粒子间的相互作用力。求：

<img_803>
$粒子a的动量大小p_{a}.$

Solution:
$电中性粒子分裂过程中动量守恒：mv=m_av_a+m_bv_b，结合v_a:v_b=3:1，m_a:m_b=2:1，m=m_a+m_b 可得，p_a=m_av_a=\frac{6}{7}mv。$

Final answer: $\frac{6}{7}mv$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30^\circ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求$

<img_968>
带电粒子的比荷；

Solution:
$设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=1/2mv^2$
①

$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB=mv^2/r$
②

$由几何关系知d= sqrt(2)r$
③

$联立①②③式得q/m=4U/B^2d^2$
④

<img_536>

Final answer: $\frac{4U}{B^2d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30^\circ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255467288399874/img/compression/M_e644f28bd86f4ee0f3d7c649a71b6115.jpg)
带电粒子的比荷；

Solution:
$设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU=1/2mv^2$
①

$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB=mv^2/r$
②

$由几何关系知d= sqrt(2)r$
③

$联立①②③式得q/m=4U/B^2d^2$
④

![23AKB5WL866.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255467644915714/img/compression/M_02940f1ecf4751a0cb649d5b21bb3fb4.jpg)

Final answer: $\frac{4U}{B^2d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30^\circ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255467288399874/img/compression/M_e644f28bd86f4ee0f3d7c649a71b6115.jpg)
$带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。$

Solution:
$由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=\frac{\pi r}{2}+r\tan 30^\circ $

$带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t=\frac{s}{v}$

$联立②④⑤⑥式得t=\frac{Bd^2}{4U}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Final answer: $\frac{Bd^2}{4U}$, $\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30^\circ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求$

<img_968>
$带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。$

Solution:
$由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=\frac{\pi r}{2}+r\tan 30^\circ $

$带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t=\frac{s}{v}$

$联立②④⑤⑥式得t=\frac{Bd^2}{4U}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$



Final answer: $\frac{Bd^2}{4U}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

<img_435>
甲

<img_1380>
乙
粒子在两板间运动过程中电场力对它所做的功；

Solution:
$设粒子刚进入磁场时的速度为v，则有$
$v = \frac{v_0}{\cos 45^{\circ}} = \sqrt{2}v_0$
$电场力对粒子做的功为W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_0^2$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

![24BKB5WL257.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_216c547b88a0d8b6e6daf59a82498b36.jpg)
甲

![24BKB5WL257A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_27248c6bc417052e8ddf8d964e6dbf28.jpg)
乙
粒子在两板间运动过程中电场力对它所做的功；

Solution:
$设粒子刚进入磁场时的速度为v，则有$
$v = \frac{v_0}{\cos 45^{\circ}} = \sqrt{2}v_0$
$电场力对粒子做的功为W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_0^2$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

<img_435>
甲

<img_1380>
乙
两板间的电压大小；

Solution:
$设粒子刚进入磁场时的竖直分速度为v'，则$
$v'=v_0 \tan 45^\circ =v_0$
$水平方向L=v_0t$
$竖直方向y=\frac{v'}{2}t$
$解得y=\frac{1}{2}L$
$电场力对粒子所做的功W=qEy$
$两板间的电压U=Ed$
$解得U=\frac{mv^2_0d}{qL}$

Final answer: $\frac{mv^2_0d}{qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

![24BKB5WL257.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_216c547b88a0d8b6e6daf59a82498b36.jpg)
甲

![24BKB5WL257A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_27248c6bc417052e8ddf8d964e6dbf28.jpg)
乙
两板间的电压大小；

Solution:
$设粒子刚进入磁场时的竖直分速度为v'，则$
$v'=v_0 \tan 45^\circ =v_0$
$水平方向L=v_0t$
$竖直方向y=\frac{v'}{2}t$
$解得y=\frac{1}{2}L$
$电场力对粒子所做的功W=qEy$
$两板间的电压U=Ed$
$解得U=\frac{mv^2_0d}{qL}$

Final answer: $\frac{mv^2_0d}{qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

![24BKB5WL257.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_216c547b88a0d8b6e6daf59a82498b36.jpg)
甲

![24BKB5WL257A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_27248c6bc417052e8ddf8d964e6dbf28.jpg)
乙
磁场区域内磁感应强度B_0大小的表达式；

Solution:
$由对称性可知，粒子从点(2L,0)飞出磁场时的速度大小不变，方向可能斜向右上，也可能斜向右下，故在磁场变化的半个周期内，粒子速度的偏转角为2\alpha =90^\circ ，粒子在x轴上的位移大小为x=2R \sin 45^\circ =\sqrt{2}R，则L=\sqrt{2}Rn(n=1，2，3，\ldots )，由牛顿第二定律有qvB_0=m\frac{v^2}{R}，解得B_0=\frac{mv}{Rq}=\frac{2nmv_0}{qL}(n=1，2，3，\ldots )$

Final answer: $B_0 = \frac{2nmv_0}{qL} (n=1，2，3，\ldots )$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

<img_435>
甲

<img_1380>
乙
磁场区域内磁感应强度B_0大小的表达式；

Solution:
$由对称性可知，粒子从点(2L,0)飞出磁场时的速度大小不变，方向可能斜向右上，也可能斜向右下，故在磁场变化的半个周期内，粒子速度的偏转角为2\alpha =90^\circ ，粒子在x轴上的位移大小为x=2R \sin 45^\circ =\sqrt{2}R，则L=\sqrt{2}Rn(n=1，2，3，\ldots )，由牛顿第二定律有qvB_0=m\frac{v^2}{R}，解得B_0=\frac{mv}{Rq}=\frac{2nmv_0}{qL}(n=1，2，3，\ldots )$

Final answer: $B_0 = \frac{2nmv_0}{qL} (n=1，2，3，\ldots )$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

![24BKB5WL257.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_216c547b88a0d8b6e6daf59a82498b36.jpg)
甲

![24BKB5WL257A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255495204564994/img/compression/M_27248c6bc417052e8ddf8d964e6dbf28.jpg)
乙
磁场变化周期T应满足的表达式。

Solution:
$若粒子在磁场变化的半个周期内恰好转过\frac{1}{4}个圆周，即运动了\frac{1}{4}个周期，且L=\sqrt{2}Rn(n=1，2，3，\ldots )，则可使粒子到达点(2L，0)且满足题设要求，即\frac{1}{4}T_0=\frac{T}{2}。$

$又T_0=\frac{2\pi R}{v}。$

$解得T=\frac{\pi L}{2nv_0}(n=1，2，3，\ldots ).$

Final answer: $T = \frac{\pi L}{2nv_0} (n=1, 2, 3, ...)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，两平行金属板板长为L，两板间距离为d，平行于x轴放置，带等量异种电荷，板右侧宽为L的区域内存在如图乙所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子，从y轴上的A点以速度v_0沿x轴正方向射入两板之间，t=0时刻从点(L，0)离开电场进入磁场，此时速度方向与x轴夹角为45^\circ ，最后从点(2L，0)与x轴正方向成45^\circ 角飞出磁场。磁场正方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，求：$

<img_435>
甲

<img_1380>
乙
磁场变化周期T应满足的表达式。

Solution:
$若粒子在磁场变化的半个周期内恰好转过\frac{1}{4}个圆周，即运动了\frac{1}{4}个周期，且L=\sqrt{2}Rn(n=1，2，3，\ldots )，则可使粒子到达点(2L，0)且满足题设要求，即\frac{1}{4}T_0=\frac{T}{2}。$

$又T_0=\frac{2\pi R}{v}。$

$解得T=\frac{\pi L}{2nv_0}(n=1，2，3，\ldots ).$

Final answer: $T = \frac{\pi L}{2nv_0} (n=1, 2, 3, ...)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为\rho 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255509263872003/img/compression/M_37d07492b00b9d69cfe3365e2e4ecc46.jpg)
戒指中的感应电动势和电流；

Solution:
$设戒指的半径为r，则有L=2\pi r$

$磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，产生的感应电动势为E=\frac{B_0}{\Delta t}\cdot \pi r^2$

$可得E=\frac{B_0L^2}{4\pi \Delta t}$

$戒指的电阻R=\frac{\rho L}{S}$

$则戒指中的感应电流I=\frac{E}{R}=\frac{B_0LS}{4\pi \rho \Delta t}$

Final answer: $\frac{B_0L^2}{4\pi \Delta t}  $, $\frac{B_0LS}{4\pi \rho \Delta t}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为\rho 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，求：$

<img_1253>
戒指中的感应电动势和电流；

Solution:
$设戒指的半径为r，则有L=2\pi r$

$磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，产生的感应电动势为E=\frac{B_0}{\Delta t}\cdot \pi r^2$

$可得E=\frac{B_0L^2}{4\pi \Delta t}$

$戒指的电阻R=\frac{\rho L}{S}$

$则戒指中的感应电流I=\frac{E}{R}=\frac{B_0LS}{4\pi \rho \Delta t}$

Final answer: $\frac{B_0L^2}{4\pi \Delta t}  $, $\frac{B_0LS}{4\pi \rho \Delta t}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为\rho 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，求：$

<img_1253>
戒指中电流的热功率。

Solution:
$戒指中电流的热功率 P = I^2R = \frac{B_0^2L^3S}{16\pi ^2\rho {\Delta t}^2}$

Final answer: $\frac{B^2_0L^3S}{16\pi ^2\rho {(\Delta t)}^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为\rho 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在\Delta t时间内从0均匀增加到B_0，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255509263872003/img/compression/M_37d07492b00b9d69cfe3365e2e4ecc46.jpg)
戒指中电流的热功率。

Solution:
$戒指中电流的热功率 P = I^2R = \frac{B_0^2L^3S}{16\pi ^2\rho {\Delta t}^2}$

Final answer: $\frac{B^2_0L^3S}{16\pi ^2\rho {(\Delta t)}^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成\theta 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。$

<img_1385>
$在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a_0；$

Solution:
棒b释放瞬间，由右手定则可知棒b受到的安培力方向沿导轨平面向下，根据牛顿第二定律有

$mg \sin \theta +BIL=ma_0$

$解得a_0=2g \sin \theta .$

Final answer: $2g \sin \theta$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成\theta 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。$

![24GZT5WL43.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255509679108099/img/compression/M_5a16244bedbabfed4699c5f745eabb9f.jpg)
$在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a_0；$

Solution:
棒b释放瞬间，由右手定则可知棒b受到的安培力方向沿导轨平面向下，根据牛顿第二定律有

$mg \sin \theta +BIL=ma_0$

$解得a_0=2g \sin \theta .$

Final answer: $2g \sin \theta$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成\theta 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。$

![24GZT5WL43.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255509679108099/img/compression/M_5a16244bedbabfed4699c5f745eabb9f.jpg)
$在(2)问中，从棒i释放瞬间开始计时，经过时间it_0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间it_0内棒a相对于棒b运动的距离\Delta x。$

Solution:
$从棒i释放瞬间到两棒共速，对棒i根据动量定理有mgt_{0} \sin i-I_{F}=mv-mv_{0}$
①
$对棒i根据动量定理有mgt_{0} \sin \theta +I_{F}=mv$
②
$解得i=gt_{0} \sin \theta +\frac{mgR \sin  \theta }{B^2L^2}$
$t_{0}时间内i、b棒与导轨构成的回路中产生的感应电动势的平均值\overline{E}=\frac{\Delta\mathit{Φ}  }{t_0}=\frac{BL\Delta x}{t_0}$
$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}$
$联立解得I_{F}=B\overline{I}Lt_{0}=\frac{B^2L^2\Delta x}{2R}$
$由①②得2I_{F}=mv_{0}，解得\Delta i=\frac{2m^2gR^2 \sin  \theta }{B^4L^4}。$

Final answer: $gt_0 \sin \theta +\frac{mgR \sin  \theta }{B^2L^2} \frac{2m^2gR^2 \sin  \theta }{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成\theta 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。$

<img_1385>
$在(2)问中，从棒i释放瞬间开始计时，经过时间it_0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间it_0内棒a相对于棒b运动的距离\Delta x。$

Solution:
$从棒i释放瞬间到两棒共速，对棒i根据动量定理有mgt_{0} \sin i-I_{F}=mv-mv_{0}$
①
$对棒i根据动量定理有mgt_{0} \sin \theta +I_{F}=mv$
②
$解得i=gt_{0} \sin \theta +\frac{mgR \sin  \theta }{B^2L^2}$
$t_{0}时间内i、b棒与导轨构成的回路中产生的感应电动势的平均值\overline{E}=\frac{\Delta\mathit{Φ}  }{t_0}=\frac{BL\Delta x}{t_0}$
$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}$
$联立解得I_{F}=B\overline{I}Lt_{0}=\frac{B^2L^2\Delta x}{2R}$
$由①②得2I_{F}=mv_{0}，解得\Delta i=\frac{2m^2gR^2 \sin  \theta }{B^4L^4}。$

Final answer: $gt_0 \sin \theta +\frac{mgR \sin  \theta }{B^2L^2} \frac{2m^2gR^2 \sin  \theta }{B^4L^4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“\land ”形刚性线框组成，“\land ”形线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m_1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v_0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r;“\land ”形线框的质量为m_2，其7条边的边长均为l，电阻均为r;月球表面的重力加速度为\frac{g}{6}。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。$

<img_483>
$求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E_0;$

Solution:
$电动势E_0 = Blv_0$

Final answer: $Blv_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“\land ”形刚性线框组成，“\land ”形线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m_1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v_0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r;“\land ”形线框的质量为m_2，其7条边的边长均为l，电阻均为r;月球表面的重力加速度为\frac{g}{6}。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255535315816451/img/compression/M_76b6ec7d2c33a82eb485d6f8088dd621.jpg)
$求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E_0;$

Solution:
$电动势E_0 = Blv_0$

Final answer: $Blv_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“\land ”形刚性线框组成，“\land ”形线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m_1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v_0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r;“\land ”形线框的质量为m_2，其7条边的边长均为l，电阻均为r;月球表面的重力加速度为\frac{g}{6}。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255535315816451/img/compression/M_76b6ec7d2c33a82eb485d6f8088dd621.jpg)
同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v'和此时电容器所带电荷量q。

Solution:
$匀速运动时电容器不充放电，v'=v=\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$

$U_C=\frac{1}{3}I\times 3r=Ir=\frac{Blv'}{2r}r=\frac{Blv'}{2}=\frac{m_1gr}{6Bl}$

$q=CU_C=\frac{m_1grC}{6Bl}$

Final answer: $\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$, , $\frac{m_1grC}{6Bl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“\land ”形刚性线框组成，“\land ”形线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m_1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v_0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r;“\land ”形线框的质量为m_2，其7条边的边长均为l，电阻均为r;月球表面的重力加速度为\frac{g}{6}。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。$

<img_483>
同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v'和此时电容器所带电荷量q。

Solution:
$匀速运动时电容器不充放电，v'=v=\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$

$U_C=\frac{1}{3}I\times 3r=Ir=\frac{Blv'}{2r}r=\frac{Blv'}{2}=\frac{m_1gr}{6Bl}$

$q=CU_C=\frac{m_1grC}{6Bl}$

Final answer: $\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$, , $\frac{m_1grC}{6Bl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感应强度为B。经调试，火车在轨道上运行时所受摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v_0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q_1是第2个线圈产生的焦耳热Q_2的3倍。求：$

![火车和电磁刹车模型](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255529497194499/img/compression/M_39746c83ff5e2f53956a9055f17e009a.jpg)
车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小；

Solution:
车头磁场刚进入第1个线圈时，对第1个线圈，由法拉第电

Final answer: $\frac{B^2l^2v_0}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感应强度为B。经调试，火车在轨道上运行时所受摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v_0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q_1是第2个线圈产生的焦耳热Q_2的3倍。求：$

<img_1061>
车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小；

Solution:
车头磁场刚进入第1个线圈时，对第1个线圈，由法拉第电

Final answer: $\frac{B^2l^2v_0}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v{_0}的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255519868194818/img/compression/M_4e077c262cd569348063bfb252de5eb7.jpg)
金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；

Solution:
$由能量守恒定律可知，金属棒 P 减少的动能转换为运动过程中 P 棒产生的焦耳热，有$

$Q_P=\frac{1}{2}mv_2'^2-\frac{1}{2}mv_1'^2=\frac{1}{2}m\times\frac{9}{4}v_0^2-\frac{1}{2}m\times\frac{v_0^2}{4}=mv_0^2$

③

Final answer: $mv^{2}_0$