di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =30^\circ 的斜面体静止放在水平地面上，斜面长L=3 m。质量m=1 kg的物体Q放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}，通过细绳跨过定滑轮与物体P相连接，连接Q的细绳与斜面平行。绳拉直时用手托住P使其在距地面h=1.8 m高处由静止释放，着地后P立即停止运动。若P、Q可视为质点，斜面体始终静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮轴摩擦，重力加速度大小取g=10 m/s^2。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003428842958850/img/compression/M_a98ac229861ebda6c2e987c9312f8419.jpg)
$为使Q能够向上运动且不从斜面顶端滑出，P的质量M需满足的条件。$

Solution:
$P着地后，设Q继续上滑的加速度大小为a_1，向上滑行距离为x，对Q受力分析，由牛顿第二定律得mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =ma_1，解得a_1=10 m/s^2$

P着地前瞬间，设Q速度大小为v，对Q分析，由运动学公式可得

$v^2=2ah, 0-v^2=-2a_1x$

Q恰好不从斜面顶端滑出需满足$x=L-h$

$联立代入数据解得a=\frac{20}{3} m/s^2$

对于P、Q组成的系统，根据牛顿第二定律可得$Mg- mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =(M+m)a$

联立可得$M=5 kg$

另一方面为了使P能下落，必须满足

$Mg>mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta $

解得$M>1 kg$

为使Q能够向上运动且不从斜面顶端滑出，P的质量需满足的条件为$1 kg<M\leq 5 kg$。

Final answer: $1 kg<M\leq 5 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，倾角\theta =30^\circ 的斜面体静止放在水平地面上，斜面长L=3 m。质量m=1 kg的物体Q放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}，通过细绳跨过定滑轮与物体P相连接，连接Q的细绳与斜面平行。绳拉直时用手托住P使其在距地面h=1.8 m高处由静止释放，着地后P立即停止运动。若P、Q可视为质点，斜面体始终静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮轴摩擦，重力加速度大小取g=10 m/s^2。求：$

<img_1439>
$为使Q能够向上运动且不从斜面顶端滑出，P的质量M的取值范围，不需要单位。$

Solution:
$P着地后，设Q继续上滑的加速度大小为a_1，向上滑行距离为x，对Q受力分析，由牛顿第二定律得mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta =ma_1，解得a_1=10 m/s^2$

P着地前瞬间，设Q速度大小为v，对Q分析，由运动学公式可得

$v^2=2ah, 0-v^2=-2a_1x$

Q恰好不从斜面顶端滑出需满足$x=L-h$

$联立代入数据解得a=\frac{20}{3} m/s^2$

对于P、Q组成的系统，根据牛顿第二定律可得$Mg- mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =(M+m)a$

联立可得$M=5 kg$

另一方面为了使P能下落，必须满足

$Mg>mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta $

解得$M>1 kg$

为使Q能够向上运动且不从斜面顶端滑出，P的质量需满足的条件为$1 kg<M\leq 5 kg$。



Final answer: $(1,5]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta =37^\circ 的斜面AB固定在水平桌面上,竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接,跨过轻质光滑的定滑轮,与乙相连的轻绳竖直,与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动,甲位于斜面顶端;释放乙,当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长l_{AB}=2 m,水平桌面BC段长l_{BC}=0.95 m,甲的质量m_1=5 kg、乙的质量m_2= 1 kg,物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为\mu =0.2,半圆轨道CD光滑,物块甲从斜面滑下水平桌面时速度大小不变,重力加速度g=10 m/s^2,不计空气阻力。求:$

![physics problem](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003518464327683/img/compression/M_990db6fe867cd6330a62581756b75d5f.jpg)
若物块甲在半圆轨道CD上运动时不脱离轨道,半圆轨道半径R的取值范围。

Solution:
$设甲到达C时的速度大小为v_3，物块甲从B到C过程，根据动能定理有$

$-\mu m_1g_{BC}=\frac{1}{2}m_1v^2_3-\frac{1}{2}m_1v^2_2     (⑤)$

$解得 v_3=3 m/s$

$当物块甲到最高点D恰脱离轨道时，轨道半径最小，设最小值为R_1$

甲由C到D过程，由动能定理得

$-m_1g \times  2R_1=\frac{1}{2}m_1v^2_4-\frac{1}{2}m_1v^2_3    (⑥)$

$甲到达D时，根据牛顿运动定律 m_1g=m_1\frac{v^2_4}{R_1}     (⑦)$

$解得 R_1=0.18 m$

$当物块甲恰好到达与轨道圆心等高的位置时，速度为0，轨道半径最大，设最大值为R_2，甲由C到与圆心等高位置，由动能定理得 -m_1g R_1=0-\frac{1}{2}m_1v^2_3   (⑧)$

$解得 R_2=0.45 m$

$综上，0.18 m\leq R\leq 0.45 m  (⑨)$

Final answer: $[0.18 ,0.45]$ m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta =37^\circ 的斜面AB固定在水平桌面上,竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接,跨过轻质光滑的定滑轮,与乙相连的轻绳竖直,与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动,甲位于斜面顶端;释放乙,当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长l_{AB}=2 m,水平桌面BC段长l_{BC}=0.95 m,甲的质量m_1=5 kg、乙的质量m_2= 1 kg,物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为\mu =0.2,半圆轨道CD光滑,物块甲从斜面滑下水平桌面时速度大小不变,重力加速度g=10 m/s^2,不计空气阻力。求:$

<img_531>
若物块甲在半圆轨道CD上运动时不脱离轨道,半圆轨道半径R的取值范围。

Solution:
$设甲到达C时的速度大小为v_3，物块甲从B到C过程，根据动能定理有$

$-\mu m_1g_{BC}=\frac{1}{2}m_1v^2_3-\frac{1}{2}m_1v^2_2     (⑤)$

$解得 v_3=3 m/s$

$当物块甲到最高点D恰脱离轨道时，轨道半径最小，设最小值为R_1$

甲由C到D过程，由动能定理得

$-m_1g \times  2R_1=\frac{1}{2}m_1v^2_4-\frac{1}{2}m_1v^2_3    (⑥)$

$甲到达D时，根据牛顿运动定律 m_1g=m_1\frac{v^2_4}{R_1}     (⑦)$

$解得 R_1=0.18 m$

$当物块甲恰好到达与轨道圆心等高的位置时，速度为0，轨道半径最大，设最大值为R_2，甲由C到与圆心等高位置，由动能定理得 -m_1g R_1=0-\frac{1}{2}m_1v^2_3   (⑧)$

$解得 R_2=0.45 m$

$综上，0.18 m\leq R\leq 0.45 m  (⑨)$

Final answer: $[0.18 ,0.45]$ m
Subfield: Thermodynamics


Question: $分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t=0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x=10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255642962628610/img/compression/M_8e3d39d5ae8d329f074b7eb28782eb92.jpg)
求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。

Solution:
$两列简谐横波传播方向相反，t=0时刻P波在x=0处的振动步调与Q波在x=10 m处的振动步调相反，设两列波因干涉而振幅最大的平衡位置为x(单位为m)，则(x-0)-(10-x)=\pm (2n+1)\frac{\lambda }{2}(n=0,1,2,\ldots )$

$整理得x=5\pm 2(2n+1)　(n=0,1,2,\ldots )，且0<x<10 m$

$解得x=3 m或x=7 m。$

$设两列波因干涉而振幅最小的平衡位置为x'(单位为m)，则(x'-0)-(10-x')=\pm n\lambda 　(n=0,1,2,\ldots )$

$整理得x'=5\pm 4n　(n=0,1,2,\ldots )，且0<x'<10 m$

$解得x'=1 m、x'=5 m或x'=9 m。$

Final answer: 见解析
Subfield: Thermodynamics


Question: $分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t=0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x=10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。$

<img_1191>
求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大的平衡位置。

Solution:
$两列简谐横波传播方向相反，t=0时刻P波在x=0处的振动步调与Q波在x=10 m处的振动步调相反，设两列波因干涉而振幅最大的平衡位置为x(单位为m)，则(x-0)-(10-x)=\pm (2n+1)\frac{\lambda }{2}(n=0,1,2,\ldots )$

$整理得x=5\pm 2(2n+1)　(n=0,1,2,\ldots )，且0<x<10 m$

$解得x=3 m或x=7 m。$



Final answer: 3，7 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，为一简谐横波的波动图像。质点P的平衡位置对应的横坐标为6 m，实线为t_1=0时刻的波形图，虚线为t_2=2 s时刻的波形图。已知波沿x轴正方向传播，求：$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255652093628418/img/compression/M_8d9f732f97ab6a425aac315bd5c3224f.jpg)
该波的传播速度；

Solution:
$从题中图像可知该波的波长\lambda=8 m，波在2 s时间内沿x轴正方向传播的距离\Delta x=\frac{1}{4}\lambda+n\lambda=(8n+2) m(n=0，1，2，\ldots )，则波的传播速度为v=\frac{\Delta x}{t}=\frac{(8n+2)}{2} m/s=(4n+1) m/s(n=0，1，2，\ldots )。$

Final answer: $(4n+1) m/s (n=0, 1, 2, ...)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在离地面高H处以v_0=10 m/s的速度竖直向上抛出一个小球，地面上有一长L=5 m的小车，其前端M与抛出点正下方的距离s=4 m，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做a_1=2 m/s^2的匀加速直线运动。已知小球落地前最后1 s内下落的高度为25 m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_1322>
$当小车末端N到达抛出点正下方时，便立即做加速度大小恒为a_2、方向与此时速度方向相反的匀变速直线运动，为了让小车接住小球，试确定加速度a_2的范围。$

Solution:
$设小车末端N第一次到达抛出点正下方所用的时间为t_2，则有L+s=\frac{1}{2}a_1t^2_2$
$解得t_2=3 s$
小车末端N第一次到达抛出点正下方时的速度为
$v=a_1t_2=6 m/s$
若小球落地时小车末端N刚好回到抛出点正下方，则
$v(t_0+t-t_2)-\frac{1}{2}a'_2(t_0+t-t_2)^2=0$
$解得a'_2=12 m/s^2$
若小球落地时小车前端M刚好回到抛出点正下方，则
$v(t_0+t-t_2)-\frac{1}{2}a″_2(t_0+t-t_2)^2=-L$
$解得a″_2=22 m/s^2$
$则加速度的范围是12 m/s^2\leq a_2\leq 22 m/s^2$

Final answer: $[12,22]$ m/s^2
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在离地面高H处以v_0=10 m/s的速度竖直向上抛出一个小球，地面上有一长L=5 m的小车，其前端M与抛出点正下方的距离s=4 m，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做a_1=2 m/s^2的匀加速直线运动。已知小球落地前最后1 s内下落的高度为25 m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取10 m/s^2。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255188224831489/img/compression/M_475dd79db8979c22f5b06a0f72eb1878.jpg)
$当小车末端N到达抛出点正下方时，便立即做加速度大小恒为a_2、方向与此时速度方向相反的匀变速直线运动，为了让小车接住小球，试确定加速度a_2的范围。$

Solution:
$设小车末端N第一次到达抛出点正下方所用的时间为t_2，则有L+s=\frac{1}{2}a_1t^2_2$
$解得t_2=3 s$
小车末端N第一次到达抛出点正下方时的速度为
$v=a_1t_2=6 m/s$
若小球落地时小车末端N刚好回到抛出点正下方，则
$v(t_0+t-t_2)-\frac{1}{2}a'_2(t_0+t-t_2)^2=0$
$解得a'_2=12 m/s^2$
若小球落地时小车前端M刚好回到抛出点正下方，则
$v(t_0+t-t_2)-\frac{1}{2}a″_2(t_0+t-t_2)^2=-L$
$解得a″_2=22 m/s^2$
$则加速度的范围是12 m/s^2\leq a_2\leq 22 m/s^2$

Final answer: $[12,22]$ m/s^2
Subfield: Mechanics


Question: $筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为\theta ，小球与筷子之间的动摩擦因数为\mu (\mu < \tan \theta )，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。$

<img_446>

Solution:
小球的相对运动趋势有两种，一种向上，一种向下，当筷子对小球的压力太小时，小球有下滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示  
$小球恰好静止时，有2N_{min}\sin \theta+2f \cos \theta=mg、f= \mu N_{min}，联立解得N_{min}= \frac{mg}{2(\sin \theta +\mu \cos \theta)}  $
当筷子对小球的压力太大时，小球有上滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示  
$小球恰好静止时，有2N_{max}\sin \theta=mg+2f' \cos \theta、 f'= \mu N_{max}，联立解得N_{max}= \frac{mg}{2(\sin \theta -\mu \cos \theta)}  $
综上，每根筷子对小球的压力的取值范围为  
$\frac{mg}{2(\sin \theta +\mu \cos \theta)}\leq N \leq \frac{mg}{2(\sin \theta -\mu \cos \theta)}$

<img_827>

图甲

<img_1297>

图乙



Final answer: $[\frac{mg}{2(\sin  \theta +\mu  \cos  \theta )}, \frac{mg}{2(\sin  \theta -\mu  \cos  \theta )}]$
Subfield: Mechanics


Question: $筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为\theta ，小球与筷子之间的动摩擦因数为\mu (\mu < \tan \theta )，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。$

![24BKB5WL18.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255227185721347/img/compression/M_a40a20e2bc0300d6497cd40159ddf014.jpg)

Solution:
小球的相对运动趋势有两种，一种向上，一种向下，当筷子对小球的压力太小时，小球有下滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示  
$小球恰好静止时，有2N_{min}\sin \theta+2f \cos \theta=mg、f= \mu N_{min}，联立解得N_{min}= \frac{mg}{2(\sin \theta +\mu \cos \theta)}  $
当筷子对小球的压力太大时，小球有上滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示  
$小球恰好静止时，有2N_{max}\sin \theta=mg+2f' \cos \theta、 f'= \mu N_{max}，联立解得N_{max}= \frac{mg}{2(\sin \theta -\mu \cos \theta)}  $
综上，每根筷子对小球的压力的取值范围为  
$\frac{mg}{2(\sin \theta +\mu \cos \theta)}\leq N \leq \frac{mg}{2(\sin \theta -\mu \cos \theta)}$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255227185721347/img/compression/M_f9d2530e74505ead02cff6ad647d9344.jpg)

图甲

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255227185721347/img/compression/M_c04e82e0526c442c028a522e864b5a24.jpg)

图乙

Final answer: $\frac{mg}{2(\sin  \theta +\mu  \cos  \theta )} \leq  N \leq  \frac{mg}{2(\sin  \theta -\mu  \cos  \theta )}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

<img_843>
若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L的取值范围是？

Solution:
$由题意可知\overline{E}>\Delta E  $
$则L>d+\frac{\mu s}{\sin  \theta }$



Final answer: $(d + \frac{\mu s}{\sin \theta }, +\infty)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255337525891074/img/compression/M_f1973a95d8f409d1d30cb4061025f7b0.jpg)
若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？

Solution:
$由题意可知\overline{E}>\Delta E  $
$则L>d+\frac{\mu s}{\sin  \theta }$

Final answer: $L > d + \frac{\mu s}{\sin \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg，g为重力加速度的大小，不计空气阻力。$

![Image Description](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255338016624642/img/compression/M_72d2039f5e7aef9797bb9f6019bf6e6d.jpg)
管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。

Solution:
$设第一次弹起过程中球相对管的位移为x_1。在管开始下落到上升H_1这一过程中，由动能定理有  $
$Mg(H-H_1)+mg(H-H_1+x_1)-4mgx_1=0$

联立⑪⑫式并代入题给数据得  
$x_1=\frac{4}{5}H$

$同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移x_2为  $
$x_2=\frac{4}{5}H_1$

$设圆管长度为L。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是x_1+x_2 \leq L$

$联立⑪⑬⑭⑮式，L应满足条件为L \geq \frac{152}{125}H$

Final answer: $L \geq \frac{152}{125} H$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg，g为重力加速度的大小，不计空气阻力。$

<img_828>
管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度的取值范围。

Solution:
$设第一次弹起过程中球相对管的位移为x_1。在管开始下落到上升H_1这一过程中，由动能定理有  $
$Mg(H-H_1)+mg(H-H_1+x_1)-4mgx_1=0$

联立⑪⑫式并代入题给数据得  
$x_1=\frac{4}{5}H$

$同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移x_2为  $
$x_2=\frac{4}{5}H_1$

$设圆管长度为L。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是x_1+x_2 \leq L$

$联立⑪⑬⑭⑮式，L应满足条件为L \geq \frac{152}{125}H$



Final answer: $[\frac{152}{125} H, +\infty)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L，\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。$
![22GZTWL38.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255371411673090/img/compression/M_d2ef13ad17a033e16483c4f7d82a5220.jpg)
$将质量为\lambda m(\lambda 为常数且\lambda \geq 5)的小物块B置于O点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距x轴高度的取值范围。$

Solution:
$设A由距x轴高h处滑下，到O点时速度为v_A，这个过程满足：mgh-\mu mgL = \frac{1}{2} mv_A^2$

A与B发生弹性碰撞：

$mv_A = mv_A'+ \lambda mv_B'$

$\frac{1}{2} mv_A^2 = \frac{1}{2} mv_A'^2 + \frac{1}{2} \lambda mv_B'^2$

$得v_A' = \frac{1-\lambda }{1+\lambda } v_A$

$v_B' = \frac{2}{\lambda +1} v_A$

$\lambda  \geq 5，则 v_A' = \frac{1-\lambda }{1+\lambda } v_A < 0$

若要满足A落在B落点的右侧，必须有

$物块A再次返回O点时的速度v_A″ > v_B'$

$\mu mg\cdot 2L = \frac{1}{2} mv_A'^2 - \frac{1}{2} mv_A″^2$

若要使A和B均能落在弧形轨道上，则

$\mu L = \frac{1}{2} gt_0^2, 2\mu L \geq  v_A″t_0$

$解得 \frac{(3\lambda -1)}{\lambda -3} \mu L < h \leq  \mu L + \frac{3(\lambda +1)^2}{(\lambda -1)^2} \mu L$

Final answer: $(\frac{(3\lambda -1)}{\lambda -3} \mu L, \mu L + \frac{3(\lambda +1)^2}{(\lambda -1)^2} \mu L]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L，\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。$
<img_846>
$将质量为\lambda m(\lambda 为常数且\lambda \geq 5)的小物块B置于O点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距x轴高度的取值范围。$

Solution:
$设A由距x轴高h处滑下，到O点时速度为v_A，这个过程满足：mgh-\mu mgL = \frac{1}{2} mv_A^2$

A与B发生弹性碰撞：

$mv_A = mv_A'+ \lambda mv_B'$

$\frac{1}{2} mv_A^2 = \frac{1}{2} mv_A'^2 + \frac{1}{2} \lambda mv_B'^2$

$得v_A' = \frac{1-\lambda }{1+\lambda } v_A$

$v_B' = \frac{2}{\lambda +1} v_A$

$\lambda  \geq 5，则 v_A' = \frac{1-\lambda }{1+\lambda } v_A < 0$

若要满足A落在B落点的右侧，必须有

$物块A再次返回O点时的速度v_A″ > v_B'$

$\mu mg\cdot 2L = \frac{1}{2} mv_A'^2 - \frac{1}{2} mv_A″^2$

若要使A和B均能落在弧形轨道上，则

$\mu L = \frac{1}{2} gt_0^2, 2\mu L \geq  v_A″t_0$

$解得 \frac{(3\lambda -1)}{\lambda -3} \mu L < h \leq  \mu L + \frac{3(\lambda +1)^2}{(\lambda -1)^2} \mu L$

Final answer: $(\frac{(3\lambda -1)}{\lambda -3} \mu L, \mu L + \frac{3(\lambda +1)^2}{(\lambda -1)^2} \mu L]$
Subfield: Mechanics


Question: 一轻质弹簧竖直放置,将一质量为12m的小物块轻放于弹簧顶端,弹簧最大压缩量为L。如图所示,水平地面上有一固定挡板,将此弹簧一端固定在挡板上且水平放置,一质量为m的小物块P紧靠弹簧的另一端但不拴接;在水平地面右侧固定有一半径R=L的竖直光滑半圆轨道,轨道最低点与地面相切。将另一质量也为m的小物块Q放置在距半圆轨道最低点$L_2=4L$处。现向左推P压缩弹簧,使弹簧发生形变量为L,此时P与小物块Q的距离为$L_1=2L_O$撤去外力,小物块P被弹簧弹开,然后与小物块Q正碰，碰后瞬间粘在一起。小物块P、Q均可看作质点,且与水平地面间的动摩擦因数相同,重力加速度大小为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960096596430851/img/compression/M_975bb532f1eb4fb3167e6afe83f72f6b.jpg)
若两物块P、Q与水平地面间的动摩擦因数$\mu$ 可以改变,要求两个小物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，求动摩擦因数$\mu$ 的取值范围。

Solution:
$如果不脱离轨道有两种可能，一是上滑的最大高度不超过半径R，再一个是通过圆弧轨道最高点。由(1)可知当弹簧压缩量为L时，弹簧弹性势能E_p=1/2mgL$

$物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前有$

$E_p-\mu mgL_1=\frac{1}{2}mv^2_4$

$物块P、Q碰撞过程中动量守恒，有mv_4=(m+m)v_5$

$碰撞结束后P、Q一起运动到刚滑上圆弧轨道时，有$

$-\mu\times 2mgL_2=\frac{1}{2}\times 2mv^2_6-\frac{1}{2}\times 2mv^2_5$

$能滑上圆弧轨道要求v_6>0$

$不超过圆心等高处有\frac{1}{2} \times 2mv^2_6\leq 2mgR$

$联立以上可得：\frac{4}{9}\leq \mu<\frac{2}{3}$

如果能够通过圆弧轨道最高点，滑到最高点有

$-2mg\times 2R=\frac{1}{2} \times 2mv^2_7-\frac{1}{2}\times 2mv^2_6$

$临界时，对P、Q在最高点受力分析有2mg=2m \frac{v^2_7}{R}$

$解得\mu=\frac{1}{9}，要通过最高点，需要0<\mu\leq \frac{1}{9}$

$综上所述，不脱离圆弧轨道，需要\frac{4}{9}\leq \mu<\frac{2}{3}或0<\mu\leq \frac{1}{9}。$

Final answer: $(0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{4}{9},\frac{2}{3})$
Subfield: Mechanics


Question: 一轻质弹簧竖直放置,将一质量为12m的小物块轻放于弹簧顶端,弹簧最大压缩量为L。如图所示,水平地面上有一固定挡板,将此弹簧一端固定在挡板上且水平放置,一质量为m的小物块P紧靠弹簧的另一端但不拴接;在水平地面右侧固定有一半径R=L的竖直光滑半圆轨道,轨道最低点与地面相切。将另一质量也为m的小物块Q放置在距半圆轨道最低点$L_2=4L$处。现向左推P压缩弹簧,使弹簧发生形变量为L,此时P与小物块Q的距离为$L_1=2L_O$撤去外力,小物块P被弹簧弹开,然后与小物块Q正碰，碰后瞬间粘在一起。小物块P、Q均可看作质点,且与水平地面间的动摩擦因数相同,重力加速度大小为g。

<img_745>
若两物块P、Q与水平地面间的动摩擦因数$\mu$ 可以改变,要求两个小物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，求动摩擦因数$\mu$ 的取值范围。

Solution:
$如果不脱离轨道有两种可能，一是上滑的最大高度不超过半径R，再一个是通过圆弧轨道最高点。由(1)可知当弹簧压缩量为L时，弹簧弹性势能E_p=1/2mgL$

$物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前有$

$E_p-\mu mgL_1=\frac{1}{2}mv^2_4$

$物块P、Q碰撞过程中动量守恒，有mv_4=(m+m)v_5$

$碰撞结束后P、Q一起运动到刚滑上圆弧轨道时，有$

$-\mu\times 2mgL_2=\frac{1}{2}\times 2mv^2_6-\frac{1}{2}\times 2mv^2_5$

$能滑上圆弧轨道要求v_6>0$

$不超过圆心等高处有\frac{1}{2} \times 2mv^2_6\leq 2mgR$

$联立以上可得：\frac{4}{9}\leq \mu<\frac{2}{3}$

如果能够通过圆弧轨道最高点，滑到最高点有

$-2mg\times 2R=\frac{1}{2} \times 2mv^2_7-\frac{1}{2}\times 2mv^2_6$

$临界时，对P、Q在最高点受力分析有2mg=2m \frac{v^2_7}{R}$

$解得\mu=\frac{1}{9}，要通过最高点，需要0<\mu\leq \frac{1}{9}$

$综上所述，不脱离圆弧轨道，需要\frac{4}{9}\leq \mu<\frac{2}{3}或0<\mu\leq \frac{1}{9}。$

Final answer: $(0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{4}{9},\frac{2}{3})$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一长为L=1 m、质量为M(具体质量未知)的长木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一个质量为m=3 kg的小木块A。若B固定不动,给A水平向左、大小为v_0=2 m/s的初速度,最后A恰好没有滑离B。若不固定B,以地面为参考系,同时给A和B大小相等、方向相反的初速度v_0，使A开始向左运动,B开始向右运动，A、B最终的运动状态与B的质量有关。g=10 m/s^2。$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960121711923202/img/compression/M_dcbe69400b4f87fd0f629dd532c3f25f.jpg)
若B不固定,试求M在不同取值范围时,整个过程中A与B之间因摩擦产生的内能。

Solution:
以向左为正方向，若A、B系统能达到共同速度v，则满足系统动量守恒：$mv_0-Mv_0=(m+M)v$

能量守恒：$\mu mgL=0.5(m+M)v^2_0-0.5(m+M)v^2$

解得$M=m/3=1 kg$

故当M<=1 kg时，A最终能与B达到共速，一起向左做匀速直线运动，A、B之间因摩擦产生的内能$Q=0.5(m+M)v^2_0-0.5(m+M)v^2$

解得$Q=24M/(3+M) J$

当$M>1 kg$时，A会从B上滑落，A、B之间因摩擦产生的内能$Q=\mu mgL=6 J$

Final answer: 当M<=1 kg，$Q=24M/(3+M) J$
当$M>1 kg$，$Q=\mu mgL=6 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一长为L=1 m、质量为M(具体质量未知)的长木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一个质量为m=3 kg的小木块A。若B固定不动,给A水平向左、大小为v_0=2 m/s的初速度,最后A恰好没有滑离B。若不固定B,以地面为参考系,同时给A和B大小相等、方向相反的初速度v_0，使A开始向左运动,B开始向右运动，A、B最终的运动状态与B的质量有关。g=10 m/s^2。$
<img_1064>
若B不固定,试求M>1kg时,整个过程中A与B之间因摩擦产生的内能。

Solution:
以向左为正方向，若A、B系统能达到共同速度v，则满足系统动量守恒：$mv_0-Mv_0=(m+M)v$

能量守恒：$\mu mgL=0.5(m+M)v^2_0-0.5(m+M)v^2$

解得$M=m/3=1 kg$

故当M<=1 kg时，A最终能与B达到共速，一起向左做匀速直线运动，A、B之间因摩擦产生的内能$Q=0.5(m+M)v^2_0-0.5(m+M)v^2$

解得$Q=24M/(3+M) J$

当$M>1 kg$时，A会从B上滑落，A、B之间因摩擦产生的内能$Q=\mu mgL=6 J$



Final answer: 6 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为10^{-5} T，虚线PA、DQ为其竖直边界，圆弧ACD为其半圆边界，圆心为O，半径为\frac{6}{5}\sqrt{2} m，P、Q、A、D与圆心O共线，PO=2\sqrt{2} m。在边界左侧平行于竖直边界放置一平行板电容器MN，极板N上有一粒子源，可产生比荷为1.8 \times 10^{11} C/kg、带负电、初速度为零的粒子。极板M上有一小孔，粒子源、小孔和P点正对，粒子可通过P点垂直边界PA射入磁场区域。现将电容器MN接入如图乙所示的正弦交变电流，粒子在平行极板间加速时间极短，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。$

求：![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960665824391170/img/compression/M_0d677b2fc7d58c6b199fa0854157cc22.jpg)
粒子在磁场中运动的最短时间及这些粒子从极板N发射的时刻(最短时间保留一位有效数字，$\pi$ 取3.14)。

Solution:
$过P点作圆弧ACD的切线PE(E为切点，如图甲)，由题意可知，粒子沿以PE为弦的圆弧在磁场中运动时所用时间最短，如图乙由几何关系可得，轨迹圆的半径为r=\frac{PE}{2 \cos  \alpha }=\sqrt{2} m  $
粒子在磁场中运动所对应的圆心角$\theta =180^\circ -2\angle APE=180^\circ -37^\circ \times 2=106^\circ $  

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960666818441217/img/compression/M_dfec066f682ecaa4653edee9da258b89.jpg)

设粒子在磁场中运动的最短时间为t_0，由圆周运动规律可得  
$t_0=\frac{\theta }{2\pi }T  $
$T=\frac{2\pi m}{qB}  $
解得$t_0\approx 1\times 10⁻^6 s$
$运动时间最短时，由圆周运动规律可得r=\frac{mv'}{qB}  $

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960666818441217/img/compression/M_ac5ea8ea9f182c10a231c6a83f08aef3.jpg)  

$qU'=\frac{1}{2}mv'^2  $
解得U'=18 V  
$再根据交变电流的表达式U'=Um \sin \frac{2\pi }{T}t  $
解得在磁场中运动最短时间的粒子的发射时刻为  
$(2 \times {10}^{-2}n+\frac{1}{600}) s或(2 \times {10}^{-2}n+\frac{1}{120}) s(n=0，1，2，3，\ldots )$

Final answer: 磁场中运动最短时间的粒子的发射时刻为  
$(2 \times {10}^{-2}n+\frac{1}{600}) s或(2 \times {10}^{-2}n+\frac{1}{120}) s(n=0，1，2，3，\ldots )$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点(0,-\frac{L}{2})处有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度\sqrt{\frac{3qEL}{m}}沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960670169690115/img/compression/M_360d51ef8e7be92e9e9b3688b2670771.jpg)
$现将一块长为 \sqrt{3}L 的上表面涂有荧光粉的薄板放置在 x 轴上(图中未画出)，板中心点的横坐标 x_0=4\sqrt{3}L ，仅将第四象限的磁感应强度变为原来的 k 倍(k >1)，当 k 满足什么条件时，板的上表面会出现荧光点。$

Solution:
①当粒子第一次打到薄板的右端时，由几何关系$\theta =30^\circ $
$2r1 \sin \theta +2\cdot 2R \sin \theta =x+x0+\frac{\sqrt{3}L}{2}$
$洛伦兹力充当向心力，有qv\cdot k1B=m\frac{v^2}{r_1}$
$联立解得k1=\frac{4}{3}$

![题目图片1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960671121797122/img/compression/M_fb067be4902cbacbf4ec479009eb461c.jpg)

②当粒子第一次打到薄板的左端时，由几何关系
$2r2 \sin \theta +2\cdot 2R \sin \theta =x+x0-\frac{\sqrt{3}L}{2}$
$洛伦兹力充当向心力，有qv\cdot k2B=m\frac{v^2}{r_2}$
联立解得k2=4

![题目图片2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960671121797122/img/compression/M_71094d266d316fbcb74b224187a3eaaa.jpg)

③当第四象限的磁感应强度极大时，其做匀速圆周运动的半径极小，可以认为从哪个位置进入第四象限磁场，再从那个位置出去进入第一象限磁场，从几何关系看，带电粒子没有机会再打到荧光板上。

![题目图片3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960671121797122/img/compression/M_6ff52fb5ce4aa743ecbdc11e8bb2bc88.jpg)

$因此，板上会出现荧光点的条件为\frac{4}{3}\leq k\leq 4$

Final answer: $\frac{4}{3} \leq k \leq 4$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点(0,-\frac{L}{2})处有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度\sqrt{\frac{3qEL}{m}}沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：$

<img_613>
$现将一块长为 \sqrt{3}L 的上表面涂有荧光粉的薄板放置在 x 轴上(图中未画出)，板中心点的横坐标 x_0=4\sqrt{3}L ，仅将第四象限的磁感应强度变为原来的 k 倍(k >1)，当 k 满足什么条件时，板的上表面会出现荧光点。$

Solution:
①当粒子第一次打到薄板的右端时，由几何关系$\theta =30^\circ $
$2r1 \sin \theta +2\cdot 2R \sin \theta =x+x0+\frac{\sqrt{3}L}{2}$
$洛伦兹力充当向心力，有qv\cdot k1B=m\frac{v^2}{r_1}$
$联立解得k1=\frac{4}{3}$

<img_577>

②当粒子第一次打到薄板的左端时，由几何关系
$2r2 \sin \theta +2\cdot 2R \sin \theta =x+x0-\frac{\sqrt{3}L}{2}$
$洛伦兹力充当向心力，有qv\cdot k2B=m\frac{v^2}{r_2}$
联立解得k2=4

<img_1455>

③当第四象限的磁感应强度极大时，其做匀速圆周运动的半径极小，可以认为从哪个位置进入第四象限磁场，再从那个位置出去进入第一象限磁场，从几何关系看，带电粒子没有机会再打到荧光板上。

<img_542>

$因此，板上会出现荧光点的条件为\frac{4}{3}\leq k\leq 4$



Final answer: $[\frac{4}{3}, 4]$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，不计电阻的金属导轨AOCD和A'O'C'D'放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。竖直平面AOC与A'O'C'的距离为L，\theta =45^\circ ，DCOO'C'D'在绝缘的水平地面上，D与D'靠近但不接触，OO'C'C为矩形，\overline{OC}=5L、\overline{OD}=6L，\angle D'C'C=45^\circ 。金属棒a和b完全相同，长度为L、质量为m、单位长度的电阻为r，a放在水平导轨上，b放在倾斜导轨上，b与导轨之间的动摩擦因数\mu =0.5，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g。$

<img_778>
$若a以某一速度开始向左匀速运动的同时释放b，在a到达CC'前，b保持静止，求a运动速度的取值范围。$

Solution:
$设a向左运动时的速度为v，由(1)的分析可知，a到达CC'前流过b的电流为I=\frac{Bv}{2r}。$

b受到的安培力大小为F=BIL，对b进行受力分析可知，b受到重力、支持力、安培力和摩擦力四个力的作用而平衡，静止在倾斜导轨上，其中摩擦力有沿倾斜导轨向下和向上两种可能，若摩擦力沿倾斜导轨向下。

<img_453>

则有$F \cos \theta =f+mg \sin \theta $。
    
若摩擦力沿倾斜导轨向上

<img_774>

则有$F \cos \theta +f=mg \sin \theta$ 。

由于$F \sin \theta +mg \cos \theta =N，f\leq \mu N$。联立以上式子可解得a运动速度的取值范围为

$\frac{2mgr}{3B^2L} \leq  v \leq  \frac{6mgr}{B^2L}.$

Final answer: [$\frac{2mgr}{3B^2L}， \frac{6mgr}{B^2L}]$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，不计电阻的金属导轨AOCD和A'O'C'D'放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。竖直平面AOC与A'O'C'的距离为L，\theta =45^\circ ，DCOO'C'D'在绝缘的水平地面上，D与D'靠近但不接触，OO'C'C为矩形，\overline{OC}=5L、\overline{OD}=6L，\angle D'C'C=45^\circ 。金属棒a和b完全相同，长度为L、质量为m、单位长度的电阻为r，a放在水平导轨上，b放在倾斜导轨上，b与导轨之间的动摩擦因数\mu =0.5，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960875012128771/img/compression/M_21d80701147fd0d160e4c3aed79f70a6.jpg)
$若a以某一速度开始向左匀速运动的同时释放b，在a到达CC'前，b保持静止，求a运动速度的取值范围。$

Solution:
$设a向左运动时的速度为v，由(1)的分析可知，a到达CC'前流过b的电流为I=\frac{Bv}{2r}。$

b受到的安培力大小为F=BIL，对b进行受力分析可知，b受到重力、支持力、安培力和摩擦力四个力的作用而平衡，静止在倾斜导轨上，其中摩擦力有沿倾斜导轨向下和向上两种可能，若摩擦力沿倾斜导轨向下。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960875012128771/img/compression/M_f6b97b9ebcaab2a13cc30becd55039ea.jpg)

则有$F \cos \theta =f+mg \sin \theta $。
    
若摩擦力沿倾斜导轨向上

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960875012128771/img/compression/M_45289e09e52dc63181ae8dc9b0db4e23.jpg)

则有$F \cos \theta +f=mg \sin \theta$ 。

由于$F \sin \theta +mg \cos \theta =N，f\leq \mu N$。联立以上式子可解得a运动速度的取值范围为

$\frac{2mgr}{3B^2L} \leq  v \leq  \frac{6mgr}{B^2L}.$

Final answer: [$\frac{2mgr}{3B^2L}， \frac{6mgr}{B^2L}]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点，O'点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度v_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量mₐ=0.1 kg，B的质量mₖ=0.3 kg，A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4，B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225，v_0=4 m/s，取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求:$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255392050974723/img/compression/M_2dc47e90a3d69d1fd1be6bbeca7d6108.jpg)
$实现上述运动过程，\frac{M}{m_A}的取值范围(结果用\cos 5^\circ 表示)。$

Solution:
$设A在光滑区向右滑动的时间为t_1，在粗糙区运动的时间为t_3，水平向右为正方向，单摆的摆长为L，周期为T，小球与A碰前速度为v，碰后速度为v'$
$由运动学公式得t_1=\frac{d}{v_0}$
$由题意知T=4(t_1+t_2+t_3)$
代入数据得T=4.5 s
$由机械能守恒定律得MgL=\frac{1}{2}Mv^2$
$由动量守恒定律得Mv=Mv' +m_Av_0$
由题意得v' >0
由单摆做简谐运动的条件得
$MgL(1-\cos 5^\circ )>\frac{1}{2}Mv'^2$
由碰撞过程的能量关系得
$\frac{1}{2}Mv^2 \geq \frac{1}{2}Mv'^2 + \frac{1}{2}m_Av^2_0$
$由T=2\pi  \sqrt{\frac{L}{g}} ，并联立以上各式得$
$\frac{4\sqrt{2}\pi }{45} < \frac{M}{m_A} < \frac{4\sqrt{2}\pi }{45(1-\sqrt{1-\cos  5^{\circ}})}$

Final answer: (\frac{4\sqrt{2}\pi }{45},\frac{4\sqrt{2}\pi }{45(1-\sqrt{1-\cos  5^{\circ}})})