di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧面ABB_{1}A_{1}为矩形，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面ACC_{1}A_{1}，AB=2，AA_{1}=4，D，E分别是BC，A_{1}B_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884777413898242/img/compression/M_9f4508f0a2185a75460dfce6843f9e18.jpg)
$(2)若侧面ACC_{1}A_{1}是正方形，(i)求证：A_{1}C_{1}\perp AE；(ii)求直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成角的正弦值.$

Solution:
$(i)证明：因为侧面ACC_{1}A_{1}为正方形，故A_{1}C_{1}\perp AA_{1}，又因为平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面ACC_{1}A_{1}，且平面ABB_{1}A_{1}\cap 平面ACC_{1}A_{1}=AA_{1}，又A_{1}C_{1}\subset 平面ACC_{1}A_{1}，所以A_{1}C_{1}\perp 平面ABB_{1}A_{1}，又AE\subset 平面ABB_{1}A_{1}，故A_{1}C_{1}\perp AE.(ii)由(i)知AC\perp 平面ABB_{1}A_{1}，以AC，AA_{1}，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884778282119170/img/compression/M_08b7476398e075521230abe5170b30fd.jpg)$则A_{1}(0，4，0)，C_{1}(4，4，0)，A(0，0，0)，D(2，0，1)，E(0，4，1)，\overrightarrow{A_1C_1}=(4，0，0)，\overrightarrow{AD}=(2，0，1)，\overrightarrow{AE}=(0，4，1)，设平面ADE的法向量m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AD}=2x+z=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AE}=4y+z=0,\end{matrix}\right.令z=-4，得x=2,y=1，m=(2,1,-4),设直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成的角为\theta ,则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{A_1C_1},m\rangle |=\frac{8}{4\sqrt{4+1+16}}=\frac{2\sqrt{21}}{21},故直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $证明题，\frac{2\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧面ABB_{1}A_{1}为矩形，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面ACC_{1}A_{1}，AB=2，AA_{1}=4，D，E分别是BC，A_{1}B_{1}的中点.$<img_2691>
$(2)若侧面ACC_{1}A_{1}是正方形，(i)求证：A_{1}C_{1}\perp AE；(ii)求直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成角的正弦值.$

Solution:
$(i)证明：因为侧面ACC_{1}A_{1}为正方形，故A_{1}C_{1}\perp AA_{1}，又因为平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面ACC_{1}A_{1}，且平面ABB_{1}A_{1}\cap 平面ACC_{1}A_{1}=AA_{1}，又A_{1}C_{1}\subset 平面ACC_{1}A_{1}，所以A_{1}C_{1}\perp 平面ABB_{1}A_{1}，又AE\subset 平面ABB_{1}A_{1}，故A_{1}C_{1}\perp AE.(ii)由(i)知AC\perp 平面ABB_{1}A_{1}，以AC，AA_{1}，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.$<img_2884>$则A_{1}(0，4，0)，C_{1}(4，4，0)，A(0，0，0)，D(2，0，1)，E(0，4，1)，\overrightarrow{A_1C_1}=(4，0，0)，\overrightarrow{AD}=(2，0，1)，\overrightarrow{AE}=(0，4，1)，设平面ADE的法向量m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AD}=2x+z=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AE}=4y+z=0,\end{matrix}\right.令z=-4，得x=2,y=1，m=(2,1,-4),设直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成的角为\theta ,则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{A_1C_1},m\rangle |=\frac{8}{4\sqrt{4+1+16}}=\frac{2\sqrt{21}}{21},故直线A_{1}C_{1}与平面ADE所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{21}}{21}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=2\sqrt{2}，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894098696695810/img/compression/M_0afbb8771fef55789a2c1a0492a53cd7.jpg)
$(1)设平面POH\cap 平面PBC=l，证明：l\parallel BC；$

Solution:
$证明：\because 四边形OBCH为正方形，\therefore BC\parallel OH，\because BC\not\subset 平面POH，OH\subset 平面POH，\therefore BC\parallel 平面POH.\because BC\subset 平面PBC，平面POH\cap 平面PBC=l，\therefore l\parallel BC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=2\sqrt{2}，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.$<img_1617>
$(1)设平面POH\cap 平面PBC=l，证明：l\parallel BC；$

Solution:
$证明：\because 四边形OBCH为正方形，\therefore BC\parallel OH，\because BC\not\subset 平面POH，OH\subset 平面POH，\therefore BC\parallel 平面POH.\because BC\subset 平面PBC，平面POH\cap 平面PBC=l，\therefore l\parallel BC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=2\sqrt{2}，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894098696695810/img/compression/M_0afbb8771fef55789a2c1a0492a53cd7.jpg)
$(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长.$

Solution:
$\because 圆锥的母线长为2\sqrt{2}，AB=4，\therefore OB=2，OP=2，以O为原点，OH,OB,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894099342618626/img/compression/M_f0267ab7f368395565f460b756f1cf5a.jpg)$则O(0,0,0),P(0,0,2)，B(0,2,0)，D(1,0,0),C(2,2,0)，M(0,1,1)，所以\overrightarrow{OD}=(1,0,0),\overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{OM}=(0,1,1),设\overrightarrow{DN}=\lambda \overrightarrow{DC}=(\lambda ,2\lambda ,0)(0\leq \lambda \leq 1)，则\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DN}=(1+\lambda ,2\lambda ,0)，\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(1+\lambda ,2\lambda -1,-1)，易知\overrightarrow{OD}=(1,0,0)为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =\left|\frac{(1+\lambda ,2\lambda -1,-1) \cdot (1,0,0)}{\sqrt{(1+\lambda )^2+(2\lambda -1)^2+1}}\right|=\frac{1+\lambda }{\sqrt{5\lambda ^2-2\lambda +3}}，令1+\lambda =t\in [1,2]，则\\sin   \theta =\frac{t}{\sqrt{5t^2-12t+10}}=\frac{1}{\sqrt{5-\frac{12}{t}+10\left(\frac{1}{t}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{7}{5}}},所以当\frac{1}{t}=\frac{3}{5}，即\lambda =\frac{2}{3}时，\\sin   \theta 最大，亦\theta 最大，此时\overrightarrow{MN}=\left(\frac{5}{3},\frac{1}{3},-1\right)，所以MN=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+(-1)^2}=\frac{\sqrt{35}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{35}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=2\sqrt{2}，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.$<img_1617>
$(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长.$

Solution:
$\because 圆锥的母线长为2\sqrt{2}，AB=4，\therefore OB=2，OP=2，以O为原点，OH,OB,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2422>$则O(0,0,0),P(0,0,2)，B(0,2,0)，D(1,0,0),C(2,2,0)，M(0,1,1)，所以\overrightarrow{OD}=(1,0,0),\overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{OM}=(0,1,1),设\overrightarrow{DN}=\lambda \overrightarrow{DC}=(\lambda ,2\lambda ,0)(0\leq \lambda \leq 1)，则\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DN}=(1+\lambda ,2\lambda ,0)，\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(1+\lambda ,2\lambda -1,-1)，易知\overrightarrow{OD}=(1,0,0)为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =\left|\frac{(1+\lambda ,2\lambda -1,-1) \cdot (1,0,0)}{\sqrt{(1+\lambda )^2+(2\lambda -1)^2+1}}\right|=\frac{1+\lambda }{\sqrt{5\lambda ^2-2\lambda +3}}，令1+\lambda =t\in [1,2]，则\\sin   \theta =\frac{t}{\sqrt{5t^2-12t+10}}=\frac{1}{\sqrt{5-\frac{12}{t}+10\left(\frac{1}{t}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{7}{5}}},所以当\frac{1}{t}=\frac{3}{5}，即\lambda =\frac{2}{3}时，\\sin   \theta 最大，亦\theta 最大，此时\overrightarrow{MN}=\left(\frac{5}{3},\frac{1}{3},-1\right)，所以MN=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+(-1)^2}=\frac{\sqrt{35}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{35}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=120^\circ ，AB=1，BC=4，PA=\sqrt{15}，M，N分别为BC，PC的中点，PD\perp DC，PM\perp MD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894120918118402/img/compression/M_d3bf08194198b4b8ec1fa37ec1881a40.jpg)
$(1)证明：AB\perp PM；$

Solution:
$证明：在\triangle CDM中，DC=1，MC=2，\angle DCM=60^\circ ，则DM=\sqrt{3}，所以CD\perp DM.又因为CD\perp PD，PD\cap DM=D，PD，DM\subset 平面PDM，所以CD\perp 平面PDM.因此CD\perp PM.又因为AB\parallel CD，所以AB\perp PM.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=120^\circ ，AB=1，BC=4，PA=\sqrt{15}，M，N分别为BC，PC的中点，PD\perp DC，PM\perp MD.$<img_1961>
$(1)证明：AB\perp PM；$

Solution:
$证明：在\triangle CDM中，DC=1，MC=2，\angle DCM=60^\circ ，则DM=\sqrt{3}，所以CD\perp DM.又因为CD\perp PD，PD\cap DM=D，PD，DM\subset 平面PDM，所以CD\perp 平面PDM.因此CD\perp PM.又因为AB\parallel CD，所以AB\perp PM.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=120^\circ ，AB=1，BC=4，PA=\sqrt{15}，M，N分别为BC，PC的中点，PD\perp DC，PM\perp MD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894120918118402/img/compression/M_d3bf08194198b4b8ec1fa37ec1881a40.jpg)
$(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.$

Solution:
$如图，以D为原点，直线DM，DC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系D-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894121480155138/img/compression/M_ecf0cb3f727a0f15ed427631af8eef89.jpg)$则A(2\sqrt{3}，-2，0)，C(0，1，0)，M(\sqrt{3}，0，0)，设P(\sqrt{3}，0，z_{0}),z_{0}>0，因为PA=\sqrt{15}，所以z_{0}=2\sqrt{2}，故P(\sqrt{3}，0，2\sqrt{2})，N\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\sqrt{2}\right)，所以\overrightarrow{AN}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2},\sqrt{2}\right)，\overrightarrow{DP}=(\sqrt{3}，0，2\sqrt{2})，\overrightarrow{DM}=(\sqrt{3}，0，0).设平面PDM的法向量为n=(x，y，z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DM}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x+2\sqrt{2}z=0,\\ \sqrt{3}x=0,\end{matrix}\right.取n=(0，1，0).设直线AN与平面PDM所成的角为\alpha ，所以\\sin   \alpha =|\\cos  \langle \overrightarrow{AN}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AN} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{15}}{6}.因此，直线AN与平面PDM所成角的正弦值为\frac{\sqrt{15}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle ABC=120^\circ ，AB=1，BC=4，PA=\sqrt{15}，M，N分别为BC，PC的中点，PD\perp DC，PM\perp MD.$<img_1961>
$(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.$

Solution:
$如图，以D为原点，直线DM，DC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系D-xyz.$<img_2344>$则A(2\sqrt{3}，-2，0)，C(0，1，0)，M(\sqrt{3}，0，0)，设P(\sqrt{3}，0，z_{0}),z_{0}>0，因为PA=\sqrt{15}，所以z_{0}=2\sqrt{2}，故P(\sqrt{3}，0，2\sqrt{2})，N\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\sqrt{2}\right)，所以\overrightarrow{AN}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2},\sqrt{2}\right)，\overrightarrow{DP}=(\sqrt{3}，0，2\sqrt{2})，\overrightarrow{DM}=(\sqrt{3}，0，0).设平面PDM的法向量为n=(x，y，z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DM}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x+2\sqrt{2}z=0,\\ \sqrt{3}x=0,\end{matrix}\right.取n=(0，1，0).设直线AN与平面PDM所成的角为\alpha ，所以\\sin   \alpha =|\\cos  \langle \overrightarrow{AN}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AN} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{15}}{6}.因此，直线AN与平面PDM所成角的正弦值为\frac{\sqrt{15}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894175752261634/img/compression/M_0efde678b65484c88cf5dac48f42de5f.jpg)
$(1)求证：PD\perp 平面PAB；$

Solution:
$证明：\because 平面PAD\cap 平面ABCD=AD，平面PAD\perp 平面ABCD，且AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD，\therefore AB\perp 平面PAD，\because PD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp PD，又PD\perp PA，PA\cap AB=A,PA，AB\subset 平面PAB，\therefore PD\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$<img_2038>
$(1)求证：PD\perp 平面PAB；$

Solution:
$证明：\because 平面PAD\cap 平面ABCD=AD，平面PAD\perp 平面ABCD，且AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD，\therefore AB\perp 平面PAD，\because PD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp PD，又PD\perp PA，PA\cap AB=A,PA，AB\subset 平面PAB，\therefore PD\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894175752261634/img/compression/M_0efde678b65484c88cf5dac48f42de5f.jpg)
$(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；$

Solution:
$取AD的中点O，连接CO，PO，\because CD=AC=\sqrt{5}，\therefore CO\perp AD，\because PA=PD，\therefore PO\perp AD.由题易知PO\perp OC，故PO，OC，AD两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，-1，0)，C(2，0，0)，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894176867946497/img/compression/M_36902afc72609be091c129232645c128.jpg)$则\overrightarrow{PB}=(1，1，-1)，\overrightarrow{PD}=(0，-1，-1)，\overrightarrow{PC}=(2，0，-1)，设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD} \cdot \boldsymbol{n}=-y-z=0,\\ \overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=2x-z=0,\end{matrix}\right.令z=1,则x=\frac{1}{2},y=-1，故n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)，设直线PB与平面PCD的夹角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{PB}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PB}|}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$<img_2038>
$(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；$

Solution:
$取AD的中点O，连接CO，PO，\because CD=AC=\sqrt{5}，\therefore CO\perp AD，\because PA=PD，\therefore PO\perp AD.由题易知PO\perp OC，故PO，OC，AD两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，-1，0)，C(2，0，0)，$<img_1477>$则\overrightarrow{PB}=(1，1，-1)，\overrightarrow{PD}=(0，-1，-1)，\overrightarrow{PC}=(2，0，-1)，设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD} \cdot \boldsymbol{n}=-y-z=0,\\ \overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=2x-z=0,\end{matrix}\right.令z=1,则x=\frac{1}{2},y=-1，故n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)，设直线PB与平面PCD的夹角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{PB}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PB}|}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$<img_2038>
$(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM\parallel 平面PCD？若存在，求\frac{AM}{AP}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，设\frac{AM}{AP}=\lambda (\lambda \in [0,1])，M(0,y',z')，结合(2)中所建坐标系可知A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，则\overrightarrow{AP}=(0,-1,1)，\overrightarrow{AM}=(0,y'-1,z').由\frac{AM}{AP}=\lambda 得\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}，则M(0,1-\lambda ,\lambda )，\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-\lambda ,\lambda ).\because BM\parallel 平面PCD，n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)为PCD的法向量，\therefore \overrightarrow{BM}\cdot n=0，即-\frac{1}{2}+\lambda +\lambda =0，\therefore \lambda =\frac{1}{4}.综上，在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，此时\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}.$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD，PA\perp PD，PA=PD，AB\perp AD，AB=1，AD=2，AC=CD=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894175752261634/img/compression/M_0efde678b65484c88cf5dac48f42de5f.jpg)
$(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM\parallel 平面PCD？若存在，求\frac{AM}{AP}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，设\frac{AM}{AP}=\lambda (\lambda \in [0,1])，M(0,y',z')，结合(2)中所建坐标系可知A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，则\overrightarrow{AP}=(0,-1,1)，\overrightarrow{AM}=(0,y'-1,z').由\frac{AM}{AP}=\lambda 得\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}，则M(0,1-\lambda ,\lambda )，\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-\lambda ,\lambda ).\because BM\parallel 平面PCD，n=\left(\frac{1}{2},-1,1\right)为PCD的法向量，\therefore \overrightarrow{BM}\cdot n=0，即-\frac{1}{2}+\lambda +\lambda =0，\therefore \lambda =\frac{1}{4}.综上，在棱PA上存在点M，使得BM\parallel 平面PCD，此时\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}.$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894148933881858/img/compression/M_882b68ffa3eae4e5a5084e81e3e436f3.jpg)
$(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；$

Solution:
$连接OC，因为CB=CD，O为BD的中点，所以CO\perp BD.因为AO\perp 平面BCD，所以AO\perp OB，AO\perp OC.以{\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OA}}为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2，CB=CD=\sqrt{5}，AO=2，所以B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).因为E为AC的中点，所以E(0，1，1).则\overrightarrow{AB}=(1，0，-2)，\overrightarrow{DE}=(1，1，1)，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}\rangle |=\frac{|A\overrightarrow{B} \cdot D\overrightarrow{E}|}{|A\overrightarrow{B}||D\overrightarrow{E}|}=\frac{|1+0-2|}{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{15}.因此，直线AB与DE所成角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894148497674244/img/compression/M_e007df27ebe176cccd497df5baec1ee7.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.$<img_1882>
$(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；$

Solution:
$连接OC，因为CB=CD，O为BD的中点，所以CO\perp BD.因为AO\perp 平面BCD，所以AO\perp OB，AO\perp OC.以{\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OA}}为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2，CB=CD=\sqrt{5}，AO=2，所以B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).因为E为AC的中点，所以E(0，1，1).则\overrightarrow{AB}=(1，0，-2)，\overrightarrow{DE}=(1，1，1)，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}\rangle |=\frac{|A\overrightarrow{B} \cdot D\overrightarrow{E}|}{|A\overrightarrow{B}||D\overrightarrow{E}|}=\frac{|1+0-2|}{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{15}.因此，直线AB与DE所成角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$<img_2302>

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.$<img_1882>
$(2)若点F在BC上，满足BF=\frac{1}{4}BC，设二面角F-DE-C的大小为\theta ，求\\sin   \theta 的值.$

Solution:
$因为点F在BC上，BF=\frac{1}{4}BC，\overrightarrow{BC}=(-1，2，0)，所以\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0\right).又\overrightarrow{DB}=(2，0，0)，故\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}=\left(\frac{7}{4},\frac{1}{2},0\right).设n_{1}=(x_{1}，y_{1}，z_{1})为平面DEF的法向量，则\left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ D\overrightarrow{F} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1+y_1+z_1=0,\\ \frac{7}{4}x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right.取x_{1}=2，得y_{1}=-7，z_{1}=5，所以n_{1}=(2，-7，5).易得\overrightarrow{DC}=(1,2,0),设n_{2}=(x_{2}，y_{2}，z_{2})为平面DEC的法向量，则\left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ D\overrightarrow{C} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x_2+y_2+z_2=0,\\ x_2+2y_2=0,\end{matrix}\right.取x_{2}=2，得y_{2}=-1，z_{2}=-1，所以n_{2}=(2，-1，-1).故|\\cos   \theta |=\frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|4+7-5|}{\sqrt{78} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.所以\\sin   \theta =\sqrt{1-\\\cos   ^2\theta }=\frac{2\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=\sqrt{5}，BD=2，O为BD的中点，AO\perp 平面BCD，AO=2，E为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894148933881858/img/compression/M_882b68ffa3eae4e5a5084e81e3e436f3.jpg)
$(2)若点F在BC上，满足BF=\frac{1}{4}BC，设二面角F-DE-C的大小为\theta ，求\\sin   \theta 的值.$

Solution:
$因为点F在BC上，BF=\frac{1}{4}BC，\overrightarrow{BC}=(-1，2，0)，所以\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0\right).又\overrightarrow{DB}=(2，0，0)，故\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}=\left(\frac{7}{4},\frac{1}{2},0\right).设n_{1}=(x_{1}，y_{1}，z_{1})为平面DEF的法向量，则\left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ D\overrightarrow{F} \cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1+y_1+z_1=0,\\ \frac{7}{4}x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right.取x_{1}=2，得y_{1}=-7，z_{1}=5，所以n_{1}=(2，-7，5).易得\overrightarrow{DC}=(1,2,0),设n_{2}=(x_{2}，y_{2}，z_{2})为平面DEC的法向量，则\left\{\begin{matrix}D\overrightarrow{E} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ D\overrightarrow{C} \cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x_2+y_2+z_2=0,\\ x_2+2y_2=0,\end{matrix}\right.取x_{2}=2，得y_{2}=-1，z_{2}=-1，所以n_{2}=(2，-1，-1).故|\\cos   \theta |=\frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|4+7-5|}{\sqrt{78} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.所以\\sin   \theta =\sqrt{1-\\\cos   ^2\theta }=\frac{2\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_742b90a2006eac054c0897c6fb7d6a8b.jpg)
$(1)求证：BF\parallel 平面ADE；$

Solution:
$依题意，可以建立以A为原点，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_8dd5ad08e6e26a353fdc089ecdc46b2f.jpg)$可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2).设CF=h(h>0)，则F(1，2，h).
证明：依题意，易知\overrightarrow{AB}=(1，0，0)是平面ADE的法向量，又\overrightarrow{BF}=(0，2，h)，所以\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AB}=0，又因为直线BF\not\subset 平面ADE，所以BF\parallel 平面ADE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$<img_1951>
$(1)求证：BF\parallel 平面ADE；$

Solution:
$依题意，可以建立以A为原点，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，$<img_1612>$可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2).设CF=h(h>0)，则F(1，2，h).
证明：依题意，易知\overrightarrow{AB}=(1，0，0)是平面ADE的法向量，又\overrightarrow{BF}=(0，2，h)，所以\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AB}=0，又因为直线BF\not\subset 平面ADE，所以BF\parallel 平面ADE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$<img_1951>
$(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；$

Solution:
$依题意，得\overrightarrow{BD}=(-1，1，0)，\overrightarrow{BE}=(-1，0，2)，\overrightarrow{CE}=(-1，-2，2).设n=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right.不妨令z=1，可得n=(2，2，1)，因此有\\cos  \langle \overrightarrow{CE}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=-\frac{4}{9}.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为\frac{4}{9}.$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_742b90a2006eac054c0897c6fb7d6a8b.jpg)
$(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；$

Solution:
$依题意，得\overrightarrow{BD}=(-1，1，0)，\overrightarrow{BE}=(-1，0，2)，\overrightarrow{CE}=(-1，-2，2).设n=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right.不妨令z=1，可得n=(2，2，1)，因此有\\cos  \langle \overrightarrow{CE}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=-\frac{4}{9}.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为\frac{4}{9}.$

Final answer: $\frac{4}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$<img_1951>
$(3)若二面角E-BD-F的余弦值为\frac{1}{3}，求线段CF的长.$

Solution:
$设m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})为平面BDF的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ 2y_1+hz_1=0,\end{matrix}\right.不妨令y_{1}=1，可得m=\left(1,1,-\frac{2}{h}\right).由题意，得|\\cos  \langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|4-\frac{2}{h}\right|}{3\sqrt{2+\frac{4}{h^2}}}=\frac{1}{3}，解得h=\frac{8}{7}.经检验，符合题意.所以线段CF的长为\frac{8}{7}.$

Final answer: $\frac{8}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AE\perp 平面ABCD，CF\parallel AE，AD\parallel BC，AD\perp AB，AB=AD=1，AE=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894149403643905/img/compression/M_742b90a2006eac054c0897c6fb7d6a8b.jpg)
$(3)若二面角E-BD-F的余弦值为\frac{1}{3}，求线段CF的长.$

Solution:
$设m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})为平面BDF的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ 2y_1+hz_1=0,\end{matrix}\right.不妨令y_{1}=1，可得m=\left(1,1,-\frac{2}{h}\right).由题意，得|\\cos  \langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|4-\frac{2}{h}\right|}{3\sqrt{2+\frac{4}{h^2}}}=\frac{1}{3}，解得h=\frac{8}{7}.经检验，符合题意.所以线段CF的长为\frac{8}{7}.$

Final answer: $\frac{8}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，AP\perp PD，AD\perp PB，且AD=PB=2，线段AD的中点为O.$<img_2912>
$(1)求证：PA=PD；$

Solution:
$证明：在菱形ABCD中，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，则\angle BAD=\frac{\pi }{3}，且AB=AD，所以\triangle ABD为等边三角形，因为O为AD的中点，所以BO\perp AD，又因为AD\perp PB，BO\cap PB=B，BO,PB\subset 平面PBO，所以AD\perp 平面PBO，因为PO\subset 平面PBO，所以PO\perp AD，所以PA=PD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，AP\perp PD，AD\perp PB，且AD=PB=2，线段AD的中点为O.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894231380328451/img/compression/M_5bcfeade6f23fd45834be1a61478b2a8.jpg)
$(1)求证：PA=PD；$

Solution:
$证明：在菱形ABCD中，\angle ABC=\frac{2\pi }{3}，则\angle BAD=\frac{\pi }{3}，且AB=AD，所以\triangle ABD为等边三角形，因为O为AD的中点，所以BO\perp AD，又因为AD\perp PB，BO\cap PB=B，BO,PB\subset 平面PBO，所以AD\perp 平面PBO，因为PO\subset 平面PBO，所以PO\perp AD，所以PA=PD.$

Final answer: 证明题