di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：

| 温度x/^\circ C | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
| ------ | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| 产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |

<img_1985>
$根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.$

$附：可能用到的公式 w_i=ln y_i, \overline{w} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} w_i, \overline{x} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} x_i, \overline{y} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} y_i，可能用到的数据如下表所示：$

| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2$ |
|---:|---:|---:|---:|
| 27.429 | 81.286 | 3.612 | 147.714 |

| $\sum \limits^{7}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}} x_iy_i-7 \overline{x} \overline{y}$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}} x_iw_i-7 \overline{x} \overline{w}$ |
| ---------------------------------------------: | -----------------------------------------------------------: | -----------------------------------------------------------: |
|                                         11.094 |                                                    2 934.844 |                                                       40.193 |

$对于一组数据(u_1,v_1),(u_2,v_2),\ldots ,(u_n,v_n)，其回归直线 \hat{v} = \hat{\alpha} + \hat{\beta} u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 \hat{\beta} = \frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n\overline{u}^2} , \hat{\alpha} = \overline{v} - \hat{\beta} \overline{u} .$

Solution:
$令w=ln y，则w=ln y=ln(a\cdot e^{bx})=ln a+bx . 先建立w关于x的线性回归方程,由数据得\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}\overline{w}=40.193,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^{2}=\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2=147.714,$

$\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}{\overline{w}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2}=\frac{40.193}{147.714} \approx 0.272,$

$ln \hat{a}=\overline{w}-\hat{b}\overline{x} \approx -3.849.$

$所以w关于x的线性回归方程为\hat{w}=-3.849+0.272x.$

$因此，y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：

| 温度x/^\circ C | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
| ------ | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| 产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549612365148161/img/compression/M_c9abce8740f4459eb8aea7d209e1f81c.jpg)
$根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.$

$附：可能用到的公式 w_i=ln y_i, \overline{w} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} w_i, \overline{x} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} x_i, \overline{y} = \frac{1}{7} \sum \limits^{7}_{{i=1}} y_i，可能用到的数据如下表所示：$

| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2$ |
|---:|---:|---:|---:|
| 27.429 | 81.286 | 3.612 | 147.714 |

| $\sum \limits^{7}_{{i=1}}(w_i-\overline{w})^2$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}} x_iy_i-7 \overline{x} \overline{y}$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}} x_iw_i-7 \overline{x} \overline{w}$ |
| ---------------------------------------------: | -----------------------------------------------------------: | -----------------------------------------------------------: |
|                                         11.094 |                                                    2 934.844 |                                                       40.193 |

$对于一组数据(u_1,v_1),(u_2,v_2),\ldots ,(u_n,v_n)，其回归直线 \hat{v} = \hat{\alpha} + \hat{\beta} u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 \hat{\beta} = \frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n\overline{u}^2} , \hat{\alpha} = \overline{v} - \hat{\beta} \overline{u} .$

Solution:
$令w=ln y，则w=ln y=ln(a\cdot e^{bx})=ln a+bx . 先建立w关于x的线性回归方程,由数据得\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}\overline{w}=40.193,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^{2}=\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2=147.714,$

$\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}{\overline{w}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2}=\frac{40.193}{147.714} \approx 0.272,$

$ln \hat{a}=\overline{w}-\hat{b}\overline{x} \approx -3.849.$

$所以w关于x的线性回归方程为\hat{w}=-3.849+0.272x.$

$因此，y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，\odot C的圆心为C(2，1)，半径为1.$
$写出\odot C的一个参数方程；$

Solution:
$由题意可得\odot C的一个参数方程为:$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=2+\cos  \alpha ,\\ 
y=1+\sin  \alpha 
\end{matrix}
\right.
$$
$(\alpha 为参数).$

Final answer: $$
\left\{
\begin{matrix}
x=2+\cos  \alpha ,\\ 
y=1+\sin  \alpha 
\end{matrix}
\right.
$$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $已知点P(2，1)，直线l：\begin{equation}
\begin{cases}
x=2+t\cos \alpha,\\
y=1+t\sin \alpha
\end{cases}
\end{equation}(t为参数)，\alpha为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且|PA|\cdot |PB|=4.$
以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.

Solution:
$将 l 的参数方程整理得 \frac{y-1}{x-2} = \tan  \alpha  = -1，即 x + y -3=0, \therefore  l 的极坐标方程为 \rho  \cos  \theta  + \rho  \sin  \theta  -3=0，即 \rho  \sin  ( \theta + \frac{\pi }{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: ${\rho } \sin  ( \theta + \frac{\pi }{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：

| 营业情况分行业 | 营业收入(单位：亿元) | 营业成本(单位：亿元) |
| :-----------: | :---: | :---: |
|    分行业1    |          41          |          38          |
|    分行业2    |          12          |           9          |
|    分行业3    |           8          |           2          |
|    分行业4    |           6          |           5          |
|    分行业5    |           3          |           2          |
|    分行业6    |           2          |           1          |
|    分行业7    |         0.8          |          0.4         |

$一般地，行业收益率= \frac{\text{营业收入}-\text{营业成本}}{\text{营业成本}} \times 100%.$
$设7个分行业营业收入的方差为s^2_1，营业成本的方差为s^2_2，写出s^2_1与s^2_2的大小关系.(结论不要求证明)$

Solution:
$s_1^2 > s_2^2.$
$详解：7个分行业营业收入的平均值为 \frac{41+12+8+6+3+2+0.8}{7}=10.4，$
$s_1^2 = \frac{1}{7} \times [(41-10.4)^2 + (12-10.4)^2 + (8-10.4)^2 + (6-10.4)^2 + (3-10.4)^2 + (2-10.4)^2 + (0.8-10.4)^2] = \frac{1181.52}{7}，$
$7个分行业营业成本的平均值为 \frac{38+9+2+5+2+1+0.4}{7}=8.2，$
$s_2^2 = \frac{1}{7} \times [(38-8.2)^2 + (9-8.2)^2 + (2-8.2)^2 + (5-8.2)^2 + (2-8.2)^2 + (1-8.2)^2 + (0.4-8.2)^2] = \frac{1088.48}{7}，$
$所以 s_1^2 > s_2^2.$

Final answer: s_1^2 > s_2^2
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：

| 营业情况分行业 | 营业收入(单位：亿元) | 营业成本(单位：亿元) |
| :-----------: | :---: | :---: |
|    分行业1    |          41          |          38          |
|    分行业2    |          12          |           9          |
|    分行业3    |           8          |           2          |
|    分行业4    |           6          |           5          |
|    分行业5    |           3          |           2          |
|    分行业6    |           2          |           1          |
|    分行业7    |         0.8          |          0.4         |

$一般地，行业收益率= \frac{\text{营业收入}-\text{营业成本}}{\text{营业成本}} \times 100%.$
$设7个分行业营业收入的方差为s^2_1，营业成本的方差为s^2_2，求s^2_1与s^2_2.$

Solution:
$7个分行业营业收入的平均值为 \frac{41+12+8+6+3+2+0.8}{7}=10.4，$
$s_1^2 = \frac{1}{7} \times [(41-10.4)^2 + (12-10.4)^2 + (8-10.4)^2 + (6-10.4)^2 + (3-10.4)^2 + (2-10.4)^2 + (0.8-10.4)^2] = \frac{1181.52}{7}，$
$7个分行业营业成本的平均值为 \frac{38+9+2+5+2+1+0.4}{7}=8.2，$
$s_2^2 = \frac{1}{7} \times [(38-8.2)^2 + (9-8.2)^2 + (2-8.2)^2 + (5-8.2)^2 + (2-8.2)^2 + (1-8.2)^2 + (0.4-8.2)^2] = \frac{1088.48}{7}，$
$所以 s_1^2 > s_2^2.$



Final answer: $\frac{1181.52}{7}，\frac{1088.48}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查，结果如下：

| 毕业去向 | 继续学习深造 | 单位就业 | 自主创业 | 自由职业 | 慢就业 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 人数    | 200     | 560     | 14     | 128     | 98     |

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
$从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
$由题意得，样本中1 000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为\frac{200}{1 000} = \frac{1}{5}。用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为\frac{1}{5}。$

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3。

$所以P(X=0)=C^0_3\left(\frac{1}{5}\right)^0\left(1-\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}，$

$P(X=1)=C^1_3\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(1-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{48}{125}，$

$P(X=2)=C^2_3\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(1-\frac{1}{5}\right)^1 = \frac{12}{125}，$

$P(X=3)=C^3_3\left(\frac{1}{5}\right)^3\left(1-\frac{1}{5}\right)^0 = \frac{1}{125}。$

所以X的分布列为

|   X    |   0   |   1   |   2   |   3   |
|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| P  | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |

$E(X)=0\times \frac{64}{125}+1\times \frac{48}{125}+2\times \frac{12}{125}+3\times \frac{1}{125}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $X的分布列为$
|   X    |   0   |   1   |   2   |   3   |
|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| P  | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |
$E(X)=\frac{3}{5}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查，结果如下：

| 毕业去向 | 继续学习深造 | 单位就业 | 自主创业 | 自由职业 | 慢就业 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 人数    | 200     | 560     | 14     | 128     | 98     |

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
$从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
$由题意得，样本中1 000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为\frac{200}{1 000} = \frac{1}{5}。用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为\frac{1}{5}。$

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3。

$所以P(X=0)=C^0_3\left(\frac{1}{5}\right)^0\left(1-\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}，$

$P(X=1)=C^1_3\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(1-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{48}{125}，$

$P(X=2)=C^2_3\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(1-\frac{1}{5}\right)^1 = \frac{12}{125}，$

$P(X=3)=C^3_3\left(\frac{1}{5}\right)^3\left(1-\frac{1}{5}\right)^0 = \frac{1}{125}。$

所以X的分布列为

|   X    |   0   |   1   |   2   |   3   |
|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| P  | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |

$E(X)=0\times \frac{64}{125}+1\times \frac{48}{125}+2\times \frac{12}{125}+3\times \frac{1}{125}=\frac{3}{5}.$



Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.

| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 | 合计 |
| --- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | --- | --- | --- | --- |
| 空气质量优良天数 | 24 | 18 | 11 | 27 | 23 | 21 | 26 | 29 | 27 | 29 | 23 | 30 | 288 |
| 空气质量污染天数 | 7 | 10 | 20 | 3 | 8 | 9 | 5 | 2 | 3 | 2 | 7 | 1 | 77 |
$在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为s^{2}_1，空气质量污染天数的方差为s^{2}_2.试判断s^{2}_1，s^{2}_2的大小关系.(结论不要求证明)$

Solution:
$s^{2}_{1} = s^{2}_{2}$

Final answer: s^{2}_{1} = s^{2}_{2}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$

![23BBJ5SX203.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
$假设每个班的学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名学生，用"\xi_k=1"表示k(k=1,2,\dots,8)班抽到的这名学生身体素质检测成绩达到优秀，"\xi_k=0"表示k班抽到的这名学生身体素质检测成绩没有达到优秀.写出方差D(\xi_1), D(\xi_2), D(\xi_3), D(\xi_4)的大小关系(不必写出证明过程).$

Solution:
$D(\xi_4)=D(\xi_2)>D(\xi_1)>D(\xi_3).$

Final answer: $D(\xi_4)=D(\xi_2)>D(\xi_1)>D(\xi_3).$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

![高一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)

![高二](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)
$从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为Y_1，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为Y_2，试比较方差D(Y_1)与D(Y_2)的大小.(只需写出结论)$

Solution:
$D(Y_1)=D(Y_2)$

Final answer: $D(Y_1)=D(Y_2)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

![24BBJ5SX247.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
$从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E(X)；$

Solution:
2023年元旦及前后共7天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，X的所有可能取值为0，1，2，
$所以P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{2}{7}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{7}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{7}，$
所以X的分布列为

| X   | 0    | 1   | 2  |
| ----- | ---- | --- | -- |
| P   | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$数学期望E(X)=0\times \frac{2}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$

Final answer: X的分布列为

| X   | 0    | 1   | 2  |
| ----- | ---- | --- | -- |
| P   | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$数学期望E(X)=\frac{6}{7}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：$

$|TPI|[1，1.5)|[1.5，2)|[2，4)|不低于4|$
|--|--|--|--|--|
|拥堵等级|畅通|缓行|拥堵|严重拥堵|

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

<img_2364>
$从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
2023年元旦及前后共7天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，X的所有可能取值为0，1，2，
$所以P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{2}{7}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{7}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{7}，$
所以X的分布列为

| X   | 0    | 1   | 2  |
| ----- | ---- | --- | -- |
| P   | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$数学期望E(X)=0\times \frac{2}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$



Final answer: $\frac{6}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”。为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图。

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272947556355/img/compression/M_ff6a75d9934eb519164f3c698e04c93a.jpg)
$在(2)抽取的3人中，用Y表示成绩在[80,90)中的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(直接写结果).$

Solution:
D(X)=D(Y).

Final answer: $D(X)=D(Y)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片".十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![23BBJ5SX210.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
$用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在[1.5,4.5)的数据组成新样本组A，其方差记为s{^2_1}，把时间段在[3.5,6.5]内的数据组成新样本组B，其方差记为s{^2_2}，原来600个样本数据的方差记为s{^2_3}，试比较s{^2_1}，s{^2_2}，s{^2_3}的大小(结论不要求证明)。$

Solution:
由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更离散一些，所以s_1^2 > s_2^2，而这两组数据相比整体数据都要离散一些，所以s_1^2 > s_2^2 > s_3^2.

Final answer: s_1^2 > s_2^2 > s_3^2
Subfield: Derivative


Question: $某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=\frac{1}{3}x^2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+\ln x+\frac{e^3}{x}-17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. 0<x<7$
$写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)$

Solution:
$因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元，$

$由题意可得，当0<x<7时，P(x)=6x-C(x)-2=6x-\frac{1}{3}x^2-2x-2=-\frac{1}{3}x^2+4x-2；$

$当x\geq7时，P(x)=6x-C(x)-2=6x-(6x+\mathrm{ln} x+\frac{\mathrm{e}^3}{x}-17)-2=15-\mathrm{ln} x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}.$

所以P(x)=-\frac{1}{3}x^2+4x-2




Final answer: P(x)=-\frac{1}{3}x^2+4x-2
Subfield: Derivative


Question: $某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=\frac{1}{3}x^2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+\ln x+\frac{e^3}{x}-17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.$
$写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)$

Solution:
$因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元，$

$由题意可得，当0<x<7时，P(x)=6x-C(x)-2=6x-\frac{1}{3}x^2-2x-2=-\frac{1}{3}x^2+4x-2；$

$当x\geq7时，P(x)=6x-C(x)-2=6x-(6x+\mathrm{ln} x+\frac{\mathrm{e}^3}{x}-17)-2=15-\mathrm{ln} x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}.$

$所以P(x)=\left\{
\begin{matrix}
-\frac{1}{3}x^2+4x-2, & 0<x<7,\\ 
15-\mathrm{ln} x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}, & x\geq 7.
\end{matrix}
\right.$

Final answer: $P(x)=\left\{
\begin{matrix}
-\frac{1}{3}x^2+4x-2, & 0<x<7,\\ 
15-\mathrm{ln} x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}, & x\geq 7.
\end{matrix}
\right.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4 000多项新产品、新技术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R(x)万元，且R(x)=\begin{cases}10x^2+ax,&0\leq x<40\\ \frac{901x^2-9 450x+10 000}{x},& x\geq 40\end{cases}.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4,000万元.每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.$
$求2022年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；$

Solution:
$由题意知，当x = 10时，R(10) = 10 \times 10^2 + 10a = 4000，所以a = 300。$

$当0 \leq x < 40时，W = 900x - (10x^2 + 300x) - 260 = -10x^2 + 600x - 260；$

$当x \geq 40时，W= 900x - \frac{901x^2 - 9450x +10 000}{x} - 260 = \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}.$

$所以W = \begin{cases} -10x^2 + 600x -260, & 0\leq x < 40, \\ \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}, & x\geq 40. \end{cases}$

Final answer: $W = \begin{cases} -10x^2 + 600x -260, & 0\leq x < 40, \\ \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}, & x\geq 40. \end{cases}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4 000多项新产品、新技术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R(x)万元，且R(x)=\begin{cases}10x^2+ax,&0\leq x<40\\ \frac{901x^2-9 450x+10 000}{x},& x\geq 40\end{cases}.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4,000万元.每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.$
$求年产量x大于40时，2022年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；$

Solution:
$由题意知，当x = 10时，R(10) = 10 \times 10^2 + 10a = 4000，所以a = 300。$

$当0 \leq x < 40时，W = 900x - (10x^2 + 300x) - 260 = -10x^2 + 600x - 260；$

$当x \geq 40时，W= 900x - \frac{901x^2 - 9450x +10 000}{x} - 260 = \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}.$

$所以W = \begin{cases} -10x^2 + 600x -260, & 0\leq x < 40, \\ \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}, & x\geq 40. \end{cases}$



Final answer: $W =  \frac{-x^2 + 9190x -10 000}{x}$
Subfield: Conic Sections


Question: $设抛物线C：y^2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.$
$求l的方程；$

Solution:
$由题意得 F(1，0)，l 的方程为 y = k(x-1)(k > 0)，设 A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2).$

$由以下公式集得 k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0.$

$$
\left\{\begin{matrix}y=k(x-1),\\ y^2=4x\end{matrix}\right.
$$

$\Delta = 16k^2 + 16 > 0，故 x_1+x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}.$

$所以 |AB| = |AF| + |BF| = (x_1+1) + (x_2+1) = \frac{4k^2 + 4}{k^2}.$

$由题设知 \frac{4k^2 + 4}{k^2} = 8，解得 k = -1 (舍去)或 k = 1，$

$因此 l 的方程为 y = x - 1.$

Final answer: $y = x - 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 过点 A (-2，-1)，且 a = 2b.$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
：由已知条件可列方程组 
$\left\{\begin{matrix}a=2b,\\ \frac{(-2)^2}{a^2}+\frac{(-1)^2}{b^2}=1,\end{matrix}\right. $
解得 
$\left\{\begin{matrix}a=2\sqrt{2},\\ b=\sqrt{2},\end{matrix}\right. $
$故椭圆C的标准方程为 $
$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1.$

Final answer: ${\frac{x^2}{8}} + {\frac{y^2}{2}} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知F_1, F_2分别为椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线\frac{x^2}{4} - y^2 = 1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|PF_2| = 1。$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
$由题意，双曲线 \frac{x^2}{4} - y^2=1 的焦点为 F_1 (-\sqrt{5},0),F_2(\sqrt{5},0),$

$\because 双曲线 \frac{x^2}{4} - y^2=1 与椭圆 C 有相同焦点且在第一象限交点为 P, |PF_2|=1, \therefore |PF_1|=5, |PF_1|+|PF_2|=6.$

$\therefore 2a=6, a=3. \therefore b^2=4.$

$\therefore 椭圆C的方程为 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆𝐶的方程为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3} = 1，斜率为k(k \neq 0)的直线与𝐶相交于M，N两点.$

![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284008124891138/img/compression/M_ada47ac1fe8c46c4f77e04992d76fc43.jpg)
$若G为MN的中点，且k_{OG}=-\frac{3}{4k}，求椭圆C的方程；$

Solution:
$设 M(x_1,y_1), N(x_2,y_2), G(x_0,y_0)，将 M，N 代入椭圆方程得$
$$
\begin{cases}
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ 
\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{3}=1
\end{cases}
$$
①-②得
$$
\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3} = 0
$$


$可得 k =$
$$
\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac{3}{a^2}\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=-\frac{3}{a^2}\frac{2x_0}{2y_0}=-\frac{3}{a^2}\frac{x_0}{y_0},
$$
$因为 k_{OG} =- \frac{3}{4k} = \frac{y_0}{x_0}，所以 -\frac{3}{a^2}\times \left(-\frac{4k}{3}\right)=k,$

$所以 a^2=4, 椭圆 C 的方程为 $
$$
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.
$$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆𝐶的方程为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3} = 1，斜率为k(k \neq 0)的直线与𝐶相交于M，N两点.$

<img_2371>
$若G为MN的中点，且k_{OG}=-\frac{3}{4k}，求椭圆C的方程；$

Solution:
$设 M(x_1,y_1), N(x_2,y_2), G(x_0,y_0)，将 M，N 代入椭圆方程得$
$$
\begin{cases}
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ 
\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{3}=1
\end{cases}
$$
①-②得
$$
\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3} = 0
$$


$可得 k =$
$$
\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac{3}{a^2}\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=-\frac{3}{a^2}\frac{2x_0}{2y_0}=-\frac{3}{a^2}\frac{x_0}{y_0},
$$
$因为 k_{OG} =- \frac{3}{4k} = \frac{y_0}{x_0}，所以 -\frac{3}{a^2}\times \left(-\frac{4k}{3}\right)=k,$

$所以 a^2=4, 椭圆 C 的方程为 $
$$
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.
$$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 针对我国老龄化问题，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．

|       | 支持  | 保留  | 不支持 |
|-------|-------|-------|--------|
|50岁以下  | 8 000 | 4 000 | 2 000  |
|50岁以上(含50岁)| 1 000 | 2 000 | 3 000  |

$在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数\xi的期望．$

Solution:
在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上(含50岁)人数之比为2:3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上(含50岁)的人数分别为4，6，故\xi 的可能取值为0,1,2,3，

$则P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2}，$

$P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30}．$

$\xi 的分布列为$

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|----|---|---|---|---|
|$ P $|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{30}$|

$期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=1.2.$



Final answer: $1.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 针对我国老龄化问题，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．

|       | 支持  | 保留  | 不支持 |
|-------|-------|-------|--------|
|50岁以下  | 8 000 | 4 000 | 2 000  |
|50岁以上(含50岁)| 1 000 | 2 000 | 3 000  |
$在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数\xi的分布列和期望．$

Solution:
在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上(含50岁)人数之比为2:3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上(含50岁)的人数分别为4，6，故\xi 的可能取值为0,1,2,3，

$则P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2}，$

$P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30}．$

$\xi 的分布列为$

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|----|---|---|---|---|
|$ P $|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{30}$|

$期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=1.2.$

Final answer: P(\xi =0)=\frac{1}{6}, P(\xi =1)=\frac{1}{2}, P(\xi =2)=\frac{3}{10}, P(\xi =3)=\frac{1}{30}, E(\xi )=1.2
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某班准备购买班服,确定从A, B两种款式中选出一种统一购买，现在全班50位同学赞成购买A, B款式的人数分别为20,30位，为了尽量统一意见，准备在全班进行三轮宣传,每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成款式的理由，假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的会有5位改变意见，赞成该同学所选款式.
计算第二轮选到的同学赞成A款式的概率；

Solution:
$记第i轮宣传选中的同学赞成A款式的事件为A_i，第i轮宣传选中的同学赞成B款式的事件为B_i,i=1,2,3,$

$记第二轮选到的同学赞成A款式的概率为P(A_2)，$

$因为P(A_1A_2)=\frac{2}{5}\times \frac{25}{50}=\frac{1}{5}, P(B_1A_2)=\frac{3}{5}\times \frac{15}{50}=\frac{9}{50},$

$则P(A_2)=P(A_1A_2)+P(B_1A_2)=\frac{1}{5}+\frac{9}{50}=\frac{19}{50}.$

Final answer: $\frac{19}{50}$