di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)经过点 \left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2}.$
$设直线l: y = kx + t (t \neq  0)与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积是定值.$

Solution:
$证明：把y=kx+t代入椭圆方程x^2/2 + y^2 = 1，  $
$消去y得(2k^2 + 1)x^2  + 4kt x + 2t^2 - 2 = 0，  $
$所以\Delta  = 16k^2 - 8t^2 + 8 > 0，即t^2 < 2k^2 + 1，     $
$设A(x_1, y_1)，B(x_2, y_2)，则x_1 + x_2 = - \frac{4kt}{2k^2 + 1}，x_1x_2 = \frac{2t^2 - 2}{2k^2 + 1}，  $
$所以y_1 + y_2 = k(x_1 + x_2) + 2t = \frac{2t}{2k^2 + 1}，  $
$因为四边形OAPB是平行四边形，  $
$所以\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) = \left(- \frac{4kt}{2k^2 + 1}, \frac{2t}{2k^2 + 1}\right)，  $
$所以P点坐标为\left(-\frac{4kt}{2k^2 + 1}, \frac{2t}{2k^2 + 1}\right)。  $
$因为点P在椭圆上，$
$所以\frac{8k^2t^2}{(2k^2 + 1)^2} + \frac{4t^2}{(2k^2 + 1)^2} = 1，即t^2 = \frac{2k^2 + 1}{4}。  $
$因为|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2 | = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{ (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{\frac{16k^2t^2}{(2k^2 + 1)^2} - \frac{4(2t^2 - 2)}{2k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 + k^2}}{\sqrt{2k^2 + 1}}.  $
$又点O到直线l的距离 d=\frac{|t|}{\sqrt{1 + k^2}}，  $
$所以平行四边形OAPB的面积S_{OAPB} = 2S_{OAB} = |AB| \cdot d = \frac{\sqrt{6}|t|}{\sqrt{2k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\frac{2k^2 + 1}{4}}}{\sqrt{2k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{2}，  $
$即平行四边形OAPB的面积是定值.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a > b >0)的短轴长为2 \sqrt{2}，一个焦点为 F_1 (-2,0).$
$设直线l：x - my -2 = 0与椭圆E交于两点A, B，点M在线段AB上，点F_1关于点M的对称点为C.当四边形AF_1BC的面积最大时，求m的值.$

Solution:
$设椭圆E的另一个焦点为F_2(2,0)，则直线l过点F_2.$

由

\[
\left\{
\begin{matrix}
x=my+2,\\
x^2+3y^2=6
\end{matrix}
\right.\]

$消去y得(m^2+3)y^2+4my-2=0.$

$设A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), 则y_1+y_2=-\frac{4m}{m^2+3}，y_1y_2=-\frac{2}{m^2+3}.$

$因为点M为线段F_1C的中点，所以点F_1和点C到直线AB的距离相等，$

$所以四边形AF_1BC的面积为\triangle F_1AB面积的2倍.$

$又y_1y_2=-\frac{2}{m^2+3}<0，$

$所以S_{四边形AF_1BC}=2\cdot S_{\triangle F_1AB} = 2\times \frac{1}{2} \cdot |F_1F_2|\cdot (|y_1|+|y_2|)$

$=4|y_1-y_2|=4\sqrt{{(y_1+y_2)}^2-4y_1y_2}.$

$所以S_{四边形AF_1BC}=4\sqrt{\frac{16m^2}{{(m^2+3)}^2}+\frac{8}{m^2+3}}=8\sqrt{6}\sqrt{\frac{m^2+1}{{(m^2+3)}^2}}，$

$设t=m^2+1，则t\geq 1.$

$所以S_{四边形AF_1BC}=8\sqrt{6}\sqrt{\frac{t}{{(t+2)}^2}}=8\sqrt{6}\sqrt{\frac{1}{t+\frac{4}{t}+4}}\leq 4\sqrt{3}，$

$当且仅当t=2，即m=\pm 1时，等号成立，此时S_{四边形AF_1BC}=4\sqrt{3}.$

$所以四边形AF_1BC的面积最大时，m=\pm 1.$

Final answer: $m=\pm 1$
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Question: $已知点(1,\frac{3}{2})在椭圆E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)上，且E的离心率为\frac{1}{2}.$
$设 F 为椭圆 E 的右焦点，点 P(m,n) 是 E 上的任意一点，直线 PF 与直线 3mx+4ny=0 相交于点 Q ，求 |PQ| 的值.$

Solution:
$由(1)得F(1,0).因为点P(m,n)是椭圆E上的任意一点，所以3m^2+4n^2=12，-2\leq m\leq 2.$

$①当m=1时，点P \left(1,-\frac{3}{2}\right) 或 P \left(1,\frac{3}{2}\right). $

$当点P为\left(1,-\frac{3}{2}\right)时，直线PF与直线x-2y=0相交于点Q\left(1,\frac{1}{2}\right).此时|PQ|=2.$

$当点P为\left(1,\frac{3}{2}\right)时，直线PF与直线x+2y=0相交于点Q\left(1,-\frac{1}{2}\right).此时|PQ|=2.$

$②当m \neq  1时，直线PF的方程为y\frac{n}{m-1}(x-1).$

$由\left\{\begin{matrix}y=\frac{n}{m-1}(x-1),\\ 3mx+4ny=0\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=\frac{4n^2}{12-3m},\\ y=\frac{-mn}{4-m}.\end{matrix}\right.$

$所以点Q\left(\frac{4n^2}{12-3m},\frac{-mn}{4-m}\right). $

$所以|PQ|^2=\left(m-\frac{4n^2}{12-3m}\right)^2 +\left(n-\frac{-mn}{4-m}\right)^2 = \left(\frac{12m-3m^2-4n^2}{12-3m}\right)^2 +\left(\frac{4n-mn+mn}{4-m}\right)^2 = \left(\frac{4m-4}{4-m}\right)^2 +\left(\frac{4n}{4-m}\right)^2 =\frac{{(4m-4)}^2+16n^2}{{(4-m)}^2}=\frac{{(4m-4)}^2+4(12-3m^2)}{{(4-m)}^2}=\frac{4(m^2-8m+16)}{{(4-m)}^2}=4.$

$所以|PQ|=2.$

$综上，|PQ|=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：{\frac{x^2}{a^2}} + {\frac{y^2}{b^2}} = 1 (a > b > 0) 的一个焦点为 F (1,0)，且过点 {\left(1,\frac{3}{2}\right)}.$
$过点P(4,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=1交于点Q，点M满足MP\perp x轴，MB\parallel x轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.$

Solution:
$由题意可得AB的斜率存在且不为零，$

$设直线AB:y=k(x-4)，A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则M(4,y_2)，$

由
$\left\{\begin{matrix}y=k(x-4),\\ x=1\end{matrix}\right.$

$可得Q(1, -3k)，$

故

$\frac{k_{MA}}{k_{MQ}}=\frac{\frac{y_2-y_1}{4-x_1}}{\frac{y_2+3k}{4-1}}=3\times \frac{y_2-y_1}{(y_2+3k)(4-x_1)}=3\times \frac{x_2-x_1}{(x_2-1)(4-x_1)}=-3\times \frac{x_2-x_1}{x_1x_2-x_1-4x_2+4}，$

由

$\left\{\begin{matrix}y=k(x-4),\\ 3x^2+4y^2=12\end{matrix}\right.$

$可得 (3+4k^2)x^2 -32k^2x +64k^2 -12=0$

$故\Delta= 4(36-144k^2)>0，解得-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}且 k\neq 0，$

$x_1 +x_2 =\frac{32k^2}{3+4k^2},x_1x_2=\frac{64k^2-12}{3+4k^2}，$

故

$\frac{k_{MA}}{k_{MQ}}=-3\times \frac{\frac{32k^2}{3+4k^2}-2x_1}{\frac{64k^2-12}{3+4k^2}-x_1-4\left(\frac{32k^2}{3+4k^2}-x_1\right)+4}=-3\times \frac{\frac{32k^2}{3+4k^2}-2x_1}{\frac{-48k^2}{3+4k^2}+3x_1}=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

| 性别 | 人数 | 获奖人数 | | |
| :-------- | --------:| :--------: | :--------: | :--------: | 
|  |  | 一等奖 | 二等奖 | 三等奖 | 
| 男生 | 200 | 10 | 15 | 15 |
| 女生 | 300 | 25 | 25 | 40 |

假设所有学生的获奖情况相互独立.
分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

Solution:
设“分别从200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”为事件A，
$则P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_{10}\mathrm{C}^1_{25}}{\mathrm{C}^1_{200}\mathrm{C}^1_{300}}=\frac{1}{240}.$

Final answer: $\frac{1}{240}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：

|观点类别|没有帮助|有一些帮助|很有帮助|合计|
|---|---|---|---|---|
|男|2|10|-|20|
|女|-|35|40|80|
$|40岁以下<br>(含40岁)|1|-|35|-|$
|40岁以上|6|26|-|45|

假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立。
估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；

Solution:
完善表格，

|       |  观点  |  人数  |  类别  |  没有帮助  |  有一些帮助  |  很有帮助  |  合计  |
|:-----:|:------:|:------:|:------:|:--------:|:----------:|:--------:|:-----:|
| 性别  |  男  |  2  |  10  |  8  |  20  |
|       |  女  |  5  |  35  |  40 |  80  |
$| 年龄  |  40岁以下(含40岁) |  1  |  19  |  35 |  55  |$
|       |  40岁以上  |  6  |  26  |  13 |  45  |

$可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为 \frac{7}{100} ，因为 2 000\times  \frac{7}{100}=140， 所以估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为140.$

Final answer: $140$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：

|观点类别|没有帮助|有一些帮助|很有帮助|合计|
|---|---|---|---|---|
|男|2|10|-|20|
|女|-|35|40|80|
$|40岁以下<br>(含40岁)|1|-|35|-|$
|40岁以上|6|26|-|45|

假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立。
现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；

Solution:
男女比例为20:80=1:4，故抽取的5名教师中，有1名男教师，4名女教师。

$用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为\frac{8}{20}=\frac{2}{5}。$

$女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为\frac{40}{80}=\frac{1}{2}，$

$则这5名教师中恰有1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为\frac{2}{5}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{40}(独立事件用概率乘法公式)。$

$恰有1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为\left(1-\frac{2}{5}\right)\times C^1_4\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{20}，$

$所以这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为\frac{1}{40}+\frac{3}{20}=\frac{7}{40}(互斥事件用概率加法公式).$

Final answer: $\frac{7}{40}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A，B两种支付方式的使用情况，随机抽取了600名男员工、400名女员工，统计了他们的消费习惯，获得数据如下表：

|       | 男员工         |         |         | 女员工         |         |         |
|-------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
|       | 经常使用   | 偶尔使用   | 从不使用   | 经常使用   | 偶尔使用   | 从不使用   |
| 方式A | 200名      | 300名      | 100名      | 300名      | 100名      | 0         |
| 方式B | 350名      | 150名      | 100名      | 150名      | 150名      | 100名      |
分别估算该企业男、女员工从不使用方式B的概率；

Solution:
$该企业男员工从不使用方式B的概率为\frac{100}{600}=\frac{1}{6}；该企业女员工从不使用方式B的概率为\frac{100}{400}=\frac{1}{4}.$

Final answer: $\frac{1}{6}，\frac{1}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A，B两种支付方式的使用情况，随机抽取了600名男员工、400名女员工，统计了他们的消费习惯，获得数据如下表：

|       | 男员工         |         |         | 女员工         |         |         |
|-------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
|       | 经常使用   | 偶尔使用   | 从不使用   | 经常使用   | 偶尔使用   | 从不使用   |
| 方式A | 200名      | 300名      | 100名      | 300名      | 100名      | 0         |
| 方式B | 350名      | 150名      | 100名      | 150名      | 150名      | 100名      |
从该企业全体男员工中随机抽取2人，全体女员工中随机抽取1人，估算这3人中恰有2人经常使用方式A的概率.

Solution:
$该企业男员工经常使用方式A的概率为\frac{200}{600}=\frac{1}{3}；$

$该企业女员工经常使用方式A的概率为\frac{300}{400}=\frac{3}{4}.$

$抽取的3人中，两名男员工经常使用方式A，且女员工不经常使用方式A的概率为\left(\frac{1}{3}\right)^2\times \left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{36}，$

$抽取的3人中，有一名男员工经常使用方式A，且女员工经常使用方式A的概率为C^1_2\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{3}{4}=\frac{1}{3},$

$所以3人中恰有2人经常使用方式A的概率为\frac{1}{36}+\frac{1}{3}=\frac{13}{36}.$

Final answer: $\frac{13}{36}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾".另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$
!
<img_1550>
$分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和(20，40]内的人数；$

Solution:
$由题意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数为0.005 0\times 20\times 20＝2，$

$得分落在(20，40]内的人数为0.007 5\times 20\times 20＝3.$

Final answer: 2, 3
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾".另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$
!
[Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268235425312770/img/compression/M_be969af0823e6dd76b5df62c26c9b116.jpg)
$分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和(20，40]内的人数；$

Solution:
$由题意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数为0.005 0\times 20\times 20＝2，$

$得分落在(20，40]内的人数为0.007 5\times 20\times 20＝3.$

Final answer: 2, 3
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^2)和材积量(单位：m^3)，得到如下数据：$

| 样本号i | 1     | 2    | 3     | 4     | 5     | 6     |
| ------- | ----- | ---- | ------ | ------ | ------ | ------ |
|$ 根部横截面积x_i$|0.04|0.06|0.04|0.08|0.08|0.05|
|$材积量y_i$|0.25|0.40|0.22|0.54|0.51|0.34|

| 样本号i            | 7    | 8    | 9    | 10   | 总和 |
| ------------------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ 根部横截面积x_i$ | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6  |
| $材积量y_i$        | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.42 | 3.9  |

$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x_i^2=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y_i^2=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i=0.247 4.$

$附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

Solution:
$估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为\overline{x}=\frac{0.6}{10}=0.06(m^2),$
$平均一棵的材积量为\overline{y}=\frac{3.9}{10}=0.39(m^3).$

Final answer: $\overline{x}=0.06, \overline{y}=0.39$ m^2, m^3
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^2)和材积量(单位：m^3)，得到如下数据：$

| 样本号i | 1     | 2    | 3     | 4     | 5     | 6     |
| ------- | ----- | ---- | ------ | ------ | ------ | ------ |
|$ 根部横截面积x_i$|0.04|0.06|0.04|0.08|0.08|0.05|
|$材积量y_i$|0.25|0.40|0.22|0.54|0.51|0.34|

| 样本号i            | 7    | 8    | 9    | 10   | 总和 |
| ------------------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ 根部横截面积x_i$ | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6  |
| $材积量y_i$        | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.42 | 3.9  |

$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x_i^2=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y_i^2=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i=0.247 4.$

$附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

Solution:
$样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{10}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}$

$=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i-10\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i-10\overline{x}^2)(\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i-10\overline{y}^2)}}$

$=\frac{0.247 4-10\times 0.06\times 0.39}{\sqrt{(0.038-10\times 0.06^2)(1.615 8-10\times 0.39^2)}}$

$=\frac{0.013 4}{\sqrt{0.002\times 0.094 8}}=\frac{0.013 4}{0.01\sqrt{1.896}}$

$\approx \frac{0.013 4}{0.013 77}\approx 0.97.$

即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.

Final answer: 0.97
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^2)和材积量(单位：m^3)，得到如下数据：$

| 样本号i | 1     | 2    | 3     | 4     | 5     | 6     |
| ------- | ----- | ---- | ------ | ------ | ------ | ------ |
|$ 根部横截面积x_i$|0.04|0.06|0.04|0.08|0.08|0.05|
|$材积量y_i$|0.25|0.40|0.22|0.54|0.51|0.34|

| 样本号i            | 7    | 8    | 9    | 10   | 总和 |
| ------------------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ 根部横截面积x_i$ | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6  |
| $材积量y_i$        | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.42 | 3.9  |

$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x_i^2=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y_i^2=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i=0.247 4.$

$附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m^2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

Solution:
设这种树木的根部横截总面积为$X m^2，总材积量为Y m^3$，则

$\frac{X}{Y} = \frac{\overline{x}}{\overline{y}}$

则Y=

$\frac{X \cdot \overline{y}}{\overline{x}} = \frac{186 \times 0.39}{0.06} = 1209$

所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1209 m^3。

Final answer: 1209 m^3
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在第75届联合国大会上，中国承诺将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为y=4.7x-9,459.2，且销量y的方差为s^{2}_{y}=\frac{254}{5}，年份x的方差为s^{2}_{x}=2。$

$参考数据：\sqrt{5\times 127}=\sqrt{635}\approx 25.$
求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；

Solution:
$相关系数为r = $
$\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}$
= 
$\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}$
$\cdot  $
$\frac{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}$
$= \hat{b}$
$\cdot  \frac{\sqrt{ns^2_x}}{\sqrt{ns^2_y}} = \hat{b}$
$\cdot  \frac{\sqrt{s^2_x}}{\sqrt{s^2_y}}$
$=4.7\times \sqrt{\frac{10}{254}}$
$=\frac{47}{\sqrt{10}\times \sqrt{254}}$
$=\frac{47}{2\sqrt{635}}$
$\approx \frac{47}{50}$
$=0.94>0.9，故y与x线性相关性较强.$

Final answer: $0.94$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

<img_2755>
$求a的值;$

Solution:
$由频率分布直方图得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.$

Final answer: $a=0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![24BKB5LSX207.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$求a的值;$

Solution:
$由频率分布直方图得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.$

Final answer: $a=0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

<img_2755>
$以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时,写出k的值.$

Solution:
$k=10,理由如下：$

$由频率分布直方图得学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率为\frac{1}{2},从该校所有学生中随机抽取20名学生,恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内服从二项分布k~B\left(20,\frac{1}{2}\right)，$

$P(k)=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{20-k}=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}，由组合数的性质可得k=10时P(k)最大.$

Final answer: $k=10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $"稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量"“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$

![24BKB5LSX207.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时,写出k的值.$

Solution:
$k=10,理由如下：$

$由频率分布直方图得学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率为\frac{1}{2},从该校所有学生中随机抽取20名学生,恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内服从二项分布k~B\left(20,\frac{1}{2}\right)，$

$P(k)=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{20-k}=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}，由组合数的性质可得k=10时P(k)最大.$

Final answer: $k=10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期数x(其中10场为一个周期)与产品销售额y(千元)的数据统计如下：$

| 直播周期数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 产品销售额y(千元) | 3 | 7 | 15 | 30 | 40 |

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y=2^(bx+a)的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：

| $\overline{z}$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iz_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}(y_i-\hat{y}_i)^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3.7 | 55 | 382 | 65 | 978 | 101 |

$其中z_i=log2y_i，\overline{z}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}z_i.$

$附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),\ldots ,(un,vn)，相关指数R^2=1-\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(v_i-\hat{v}_i)^2}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(v_i-\overline{v})^2}.$
$由(2)所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？(最终答案精确到1)$

Solution:
: 

由(2)知，乙建立的回归模型拟合效果更好．

$由9.7x-10.1>80，解得x>9.29，\therefore 直播周期数至少为10.$

Final answer: 10
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费".某种机械设备的使用年限x(单位：年)与失效费y(单位：万元)的统计数据如下表所示：$

| 使用年限x(单位：年) |   1  |   2  |  3   |  4   |  5   |   6   |  7   |
| ----- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | ---- |
| 失效费y(单位：万元)  | 2.90 | 3.30 | 3.60 | 4.40 | 4.80 | 5.20  | 5.90 |

参考公式：
$相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}.$
$线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中斜率和截距的最小二乘估计公式：\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=14.00，$
$\sum \limits^{7}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2=7.08，\sqrt{198.24}\approx 14.08.$
$由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(精确到0.01)$

Solution:
$由题意，知 \overline{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = 4,$
$\overline{y} = \frac{2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90}{7} = 4.30,$
$\sum ^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 = (1-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2+(7-4)^2 = 28，$
$ \Rightarrow r = \frac{14.00}{\sqrt{28\times 7.08}} = \frac{14.00}{\sqrt{198.24}} \approx \frac{14.00}{14.08} \approx 0.99.$
$ 由于 y 与 x 的相关系数约为0.99，$
$ 所以 y 与 x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.$

Final answer: $0.99$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC－A_1B_1C_1中，AA_1=AB，D为BC的中点，平面A_1C_1D\cap 平面ABC=DP.$
<img_2801>
$求平面 A_1 C_1 D 与平面 A A_1 D 夹角的余弦值.$

Solution:
$取B_1C_1的中点D_1，连接DD_1，则DD_1\parallel CC_1.$

$由题意得CC_1垂直平面ABC，且底面ABC为等边三角形，$

$所以DD_1垂直平面ABC，AD垂直BC，$

$所以DA、DB、DD_1两两垂直.$

$以点D为坐标原点，DA，DB，DD_1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.$

<img_2880>

$设AA_1=2，则D(0,0,0),A_1(\sqrt{3},0,2),C_1(0,－1,2),B(0,1,0)，所以\overrightarrow{DA_1}=(\sqrt{3},0,2),\overrightarrow{DC_1}=(0,－1,2).$

$设平面A_1C_1D的法向量为\mathbf{n}=(x,y,z)，$

$则\begin{align*}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DA_1}=0,\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC_1}=0,\end{align*}$

$所以\begin{align*}\sqrt{3}x+2z=0,\\-y+2z=0.\end{align*}$

$令z=-\sqrt{3}，则x=2，y=-2\sqrt{3}，$

$所以\mathbf{n}=(2，-2\sqrt{3}，-\sqrt{3}).$

$易知\overrightarrow{DB}=(0,1,0)是平面AA_1D的一个法向量.$

$设平面A_1C_1D与平面AA_1D的夹角为\theta,$

$则cos \theta =|\cos\langle \mathbf{n},\overrightarrow{DB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DB}|}=\frac{2\sqrt{57}}{19}，$

$所以平面A_1C_1D与平面AA_1D夹角的余弦值为\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC－A_1B_1C_1中，AA_1=AB，D为BC的中点，平面A_1C_1D\cap 平面ABC=DP.$
![23BBJ5SX181.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884771457986563/img/compression/M_2741233e2102342ee95e9317f2885333.jpg)
$求平面 A_1 C_1 D 与平面 A A_1 D 夹角的余弦值.$

Solution:
$取B_1C_1的中点D_1，连接DD_1，则DD_1\parallel CC_1.$

$由题意得CC_1垂直平面ABC，且底面ABC为等边三角形，$

$所以DD_1垂直平面ABC，AD垂直BC，$

$所以DA、DB、DD_1两两垂直.$

$以点D为坐标原点，DA，DB，DD_1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.$

![23BBJ5SX182答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884772032606209/img/compression/M_745b0e156b6a671d82b7f5d0f70bb5bc.jpg)

$设AA_1=2，则D(0,0,0),A_1(\sqrt{3},0,2),C_1(0,－1,2),B(0,1,0)，所以\overrightarrow{DA_1}=(\sqrt{3},0,2),\overrightarrow{DC_1}=(0,－1,2).$

$设平面A_1C_1D的法向量为\mathbf{n}=(x,y,z)，$

$则\begin{align*}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DA_1}=0,\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC_1}=0,\end{align*}$

$所以\begin{align*}\sqrt{3}x+2z=0,\\-y+2z=0.\end{align*}$

$令z=-\sqrt{3}，则x=2，y=-2\sqrt{3}，$

$所以\mathbf{n}=(2，-2\sqrt{3}，-\sqrt{3}).$

$易知\overrightarrow{DB}=(0,1,0)是平面AA_1D的一个法向量.$

$设平面A_1C_1D与平面AA_1D的夹角为\theta,$

$则cos \theta =|\cos\langle \mathbf{n},\overrightarrow{DB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DB}|}=\frac{2\sqrt{57}}{19}，$

$所以平面A_1C_1D与平面AA_1D夹角的余弦值为\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Conic Sections


Question: $如图，已知椭圆C_1：\frac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线C_2：y^2=2px (p>0)，点A是椭圆C_1与抛物线C_2的交点，过点A的直线l交椭圆C_1于点B，交抛物线C_2于点M(B，M不同于A).$

<img_8>
$若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.$

Solution:
$由题意可设直线l:x=my+t(m\neq 0,t\neq 0)，点A(x_0,y_0).$
$将直线l的方程代入椭圆C_1的方程\frac{x^2}{2}+y^2=1得(m^2+2)\cdot y^2+2mty+t^2-2=0,$
$所以点M的纵坐标yM=-\frac{mt}{m^2+2},$
$将直线l的方程代入抛物线C_2的方程y^2=2px得y^2-2pmy-2pt=0,所以y_0yM=-2pt,$
$解得y_0=\frac{2p(m^2+2)}{m},$
$因此x_0=\frac{2p(m^2+2)^2}{m^2}.$
$由\frac{x^2_0}{2}+y^2_0=1得\frac{1}{p^2}=4\left(m+\frac{2}{m}\right)^2+2\left(m+\frac{2}{m}\right)^4\geq 160,$
$当且仅当m=\sqrt{2},t=\frac{\sqrt{10}}{5}时，等号成立，此时p取到最大值\frac{\sqrt{10}}{40}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{40}$
Subfield: Conic Sections


Question: $如图，已知椭圆C_1：\frac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线C_2：y^2=2px (p>0)，点A是椭圆C_1与抛物线C_2的交点，过点A的直线l交椭圆C_1于点B，交抛物线C_2于点M(B，M不同于A).$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894833347321857/img/compression/M_eddc649a1c492ffe5ff4ca2fb7adbeed.jpg)
$若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.$

Solution:
$由题意可设直线l:x=my+t(m\neq 0,t\neq 0)，点A(x_0,y_0).$
$将直线l的方程代入椭圆C_1的方程\frac{x^2}{2}+y^2=1得(m^2+2)\cdot y^2+2mty+t^2-2=0,$
$所以点M的纵坐标yM=-\frac{mt}{m^2+2},$
$将直线l的方程代入抛物线C_2的方程y^2=2px得y^2-2pmy-2pt=0,所以y_0yM=-2pt,$
$解得y_0=\frac{2p(m^2+2)}{m},$
$因此x_0=\frac{2p(m^2+2)^2}{m^2}.$
$由\frac{x^2_0}{2}+y^2_0=1得\frac{1}{p^2}=4\left(m+\frac{2}{m}\right)^2+2\left(m+\frac{2}{m}\right)^4\geq 160,$
$当且仅当m=\sqrt{2},t=\frac{\sqrt{10}}{5}时，等号成立，此时p取到最大值\frac{\sqrt{10}}{40}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{40}$