di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面\triangle ABC为等腰直角三角形，侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，D为AC中点，AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}.$<img_1596>
$(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A－CC_{1}－B的余弦值.条件①：A_{1}C_{1}\perp B_{1}C；条件②：AA_{1}=B_{1}C.$

Solution:
$选择条件①.取A_{1}C_{1}的中点E，连接CE，B_{1}E，则可得A_{1}E\parallel DC且A_{1}E=DC，所以四边形A_{1}ECD为平行四边形，所以A_{1}D\parallel CE，因为A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}，E为A_{1}C_{1}的中点，所以B_{1}E\perp A_{1}C_{1}，又A_{1}C_{1}\perp B_{1}C，B_{1}E\cap B_{1}C=B_{1}，B_{1}C，B_{1}E\subset 平面CB_{1}E，所以A_{1}C_{1}\perp 平面CB_{1}E，又AC\parallel A_{1}C_{1}，所以AC\perp 平面CB_{1}E，又CE\subset 平面CB_{1}E，所以AC\perp CE，因为A_{1}D\parallel CE，所以AC\perp A_{1}D，所以DA,DB,DA_{1}两两垂直.如图1，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
$<img_2196>$
图1
由AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}，得AC=2，A_{1}D=2，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，0)，C_{1}(－2，0，2)，则\overrightarrow{CB}=(1，1，0)，\overrightarrow{CC_1}=(－1，0，2)，因为BD\perp 平面AA_{1}C_{1}C，所以\overrightarrow{DB}=(0，1，0)为平面AA_{1}C_{1}C的一个法向量，设平面BCC_{1}的法向量为n=(x，y，z)，则有\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CB}=x+y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CC_1}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得n=(2，－2，1)，则\\cos  \langle n，\overrightarrow{DB}\rangle =\frac{\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DB}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-2}{1\times 3}=－\frac{2}{3}，因为二面角A－CC_{1}－B为锐二面角，所以二面角A－CC_{1}－B的余弦值为\frac{2}{3}.选择条件②.取A_{1}C_{1}的中点E，连接CE，DE，B_{1}E，则可得A_{1}E\parallel DC且A_{1}E=DC，所以四边形A_{1}ECD为平行四边形，所以A_{1}D\parallel CE且A_{1}D=CE，因为D,E分别为AC,A_{1}C_{1}的中点，AC\parallel A_{1}C_{1},所以C_{1}E\parallel DC且C_{1}E=DC，所以四边形DCC_{1}E为平行四边形，所以DE\parallel CC_{1},DE=CC_{1},又BB_{1}\parallel CC_{1},BB_{1}=CC_{1},所以DE\parallel BB_{1},DE=BB_{1},所以四边形BDEB_{1}为平行四边形，所以BD\parallel B_{1}E且BD=B_{1}E，由(1)知BD\perp A_{1}D，所以CE\perp B_{1}E，易得BD=B_{1}E=1，又AA_{1}=B_{1}C=\sqrt{5}，所以CE=2，则A_{1}D=CE=2，在\triangle ADA_{1}中，因为AD=1,所以AD^{2}+A_{1}D^{2}=A_{1}A^{2}，所以AD\perp A_{1}D，所以DA,DB,DA_{1}两两垂直.如图2，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
$<img_1539>$
图2
以下同选择条件①.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面\triangle ABC为等腰直角三角形，侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，D为AC中点，AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268035201822722/img/compression/M_271918518a13a10a011ae5725efd9fa9.jpg)
$(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A－CC_{1}－B的余弦值.条件①：A_{1}C_{1}\perp B_{1}C；条件②：AA_{1}=B_{1}C.$

Solution:
$选择条件①.取A_{1}C_{1}的中点E，连接CE，B_{1}E，则可得A_{1}E\parallel DC且A_{1}E=DC，所以四边形A_{1}ECD为平行四边形，所以A_{1}D\parallel CE，因为A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}，E为A_{1}C_{1}的中点，所以B_{1}E\perp A_{1}C_{1}，又A_{1}C_{1}\perp B_{1}C，B_{1}E\cap B_{1}C=B_{1}，B_{1}C，B_{1}E\subset 平面CB_{1}E，所以A_{1}C_{1}\perp 平面CB_{1}E，又AC\parallel A_{1}C_{1}，所以AC\perp 平面CB_{1}E，又CE\subset 平面CB_{1}E，所以AC\perp CE，因为A_{1}D\parallel CE，所以AC\perp A_{1}D，所以DA,DB,DA_{1}两两垂直.如图1，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268035512201217/img/compression/M_42d8e00f361c57ab9f376c500c918036.jpg)$
图1
由AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}，得AC=2，A_{1}D=2，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，0)，C_{1}(－2，0，2)，则\overrightarrow{CB}=(1，1，0)，\overrightarrow{CC_1}=(－1，0，2)，因为BD\perp 平面AA_{1}C_{1}C，所以\overrightarrow{DB}=(0，1，0)为平面AA_{1}C_{1}C的一个法向量，设平面BCC_{1}的法向量为n=(x，y，z)，则有\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CB}=x+y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CC_1}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得n=(2，－2，1)，则\\cos  \langle n，\overrightarrow{DB}\rangle =\frac{\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DB}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-2}{1\times 3}=－\frac{2}{3}，因为二面角A－CC_{1}－B为锐二面角，所以二面角A－CC_{1}－B的余弦值为\frac{2}{3}.选择条件②.取A_{1}C_{1}的中点E，连接CE，DE，B_{1}E，则可得A_{1}E\parallel DC且A_{1}E=DC，所以四边形A_{1}ECD为平行四边形，所以A_{1}D\parallel CE且A_{1}D=CE，因为D,E分别为AC,A_{1}C_{1}的中点，AC\parallel A_{1}C_{1},所以C_{1}E\parallel DC且C_{1}E=DC，所以四边形DCC_{1}E为平行四边形，所以DE\parallel CC_{1},DE=CC_{1},又BB_{1}\parallel CC_{1},BB_{1}=CC_{1},所以DE\parallel BB_{1},DE=BB_{1},所以四边形BDEB_{1}为平行四边形，所以BD\parallel B_{1}E且BD=B_{1}E，由(1)知BD\perp A_{1}D，所以CE\perp B_{1}E，易得BD=B_{1}E=1，又AA_{1}=B_{1}C=\sqrt{5}，所以CE=2，则A_{1}D=CE=2，在\triangle ADA_{1}中，因为AD=1,所以AD^{2}+A_{1}D^{2}=A_{1}A^{2}，所以AD\perp A_{1}D，所以DA,DB,DA_{1}两两垂直.如图2，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268035512201217/img/compression/M_a3262036a8cdbae26ea66d76be3f5aaa.jpg)$
图2
以下同选择条件①.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，底面ABCD是正方形，平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，AD=2，AA_{1}=A_{1}D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037756153858/img/compression/M_0831044b2d0f1f3fece9777034042755.jpg)
$(1)求证：A_{1}D\perp AB；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为正方形，\therefore AB\perp AD，\because 平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，平面A_{1}ADD_{1}\cap 平面ABCD=AD，AB\subset 平面ABCD，\therefore AB\perp 平面AA_{1}D_{1}D，\because A_{1}D\subset 平面AA_{1}D_{1}D，\therefore AB\perp A_{1}D.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，底面ABCD是正方形，平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，AD=2，AA_{1}=A_{1}D.$<img_1648>
$(1)求证：A_{1}D\perp AB；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为正方形，\therefore AB\perp AD，\because 平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，平面A_{1}ADD_{1}\cap 平面ABCD=AD，AB\subset 平面ABCD，\therefore AB\perp 平面AA_{1}D_{1}D，\because A_{1}D\subset 平面AA_{1}D_{1}D，\therefore AB\perp A_{1}D.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，底面ABCD是正方形，平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，AD=2，AA_{1}=A_{1}D.$<img_1648>
$(2)若直线AB与平面A_{1}DC_{1}所成角的正弦值为\frac{\sqrt{21}}{7}，求AA_{1}的长度.$

Solution:
$取AD的中点O，连接A_{1}O，\because AA_{1}=A_{1}D，O为AD的中点，\therefore A_{1}O\perp AD，\because 平面AA_{1}D_{1}D\perp 平面ABCD，平面AA_{1}D_{1}D\cap 平面ABCD=AD，A_{1}O\subset 平面AA_{1}D_{1}D，\therefore A_{1}O\perp 平面ABCD，以点O为坐标原点，\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{OA_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
$<img_1769>$
设A_{1}O=a(a>0)，则A(0,－1,0)，B(2,－1,0)，A_{1}(0,0,a)，C_{1}(2,2,a)，D(0,1,0)，所以\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0)，\overrightarrow{A_1D}=(0,1,－a)，设平面A_{1}DC_{1}的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y-az=0,\end{matrix}\right.取x=a，得y=－a,z=－1，则m=(a,－a,－1)，由题意可得|\\cos  \langle \overrightarrow{AB},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2a}{2\sqrt{2a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，又a>0，\therefore a=\sqrt{3}，则|\overrightarrow{AA_1}|=\sqrt{1+a^2}=2.所以AA_{1}的长度为2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，底面ABCD是正方形，平面A_{1}ADD_{1}\perp 平面ABCD，AD=2，AA_{1}=A_{1}D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037756153858/img/compression/M_0831044b2d0f1f3fece9777034042755.jpg)
$(2)若直线AB与平面A_{1}DC_{1}所成角的正弦值为\frac{\sqrt{21}}{7}，求AA_{1}的长度.$

Solution:
$取AD的中点O，连接A_{1}O，\because AA_{1}=A_{1}D，O为AD的中点，\therefore A_{1}O\perp AD，\because 平面AA_{1}D_{1}D\perp 平面ABCD，平面AA_{1}D_{1}D\cap 平面ABCD=AD，A_{1}O\subset 平面AA_{1}D_{1}D，\therefore A_{1}O\perp 平面ABCD，以点O为坐标原点，\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{OA_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038133641217/img/compression/M_c5e25fd7412d4c1d488654f479868a9b.jpg)$
设A_{1}O=a(a>0)，则A(0,－1,0)，B(2,－1,0)，A_{1}(0,0,a)，C_{1}(2,2,a)，D(0,1,0)，所以\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0)，\overrightarrow{A_1D}=(0,1,－a)，设平面A_{1}DC_{1}的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y-az=0,\end{matrix}\right.取x=a，得y=－a,z=－1，则m=(a,－a,－1)，由题意可得|\\cos  \langle \overrightarrow{AB},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2a}{2\sqrt{2a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，又a>0，\therefore a=\sqrt{3}，则|\overrightarrow{AA_1}|=\sqrt{1+a^2}=2.所以AA_{1}的长度为2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$<img_2714>
$(1)求证：PE\perp AB；$

Solution:
$证明：因为\triangle PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE\perp AD.因为平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PE\subset 平面PAD,所以PE\perp 平面ABCD.因为AB\subset 平面ABCD,所以PE\perp AB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038527905795/img/compression/M_f7e3254b1f2bc08925f42f53ecb8b3ab.jpg)
$(1)求证：PE\perp AB；$

Solution:
$证明：因为\triangle PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE\perp AD.因为平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PE\subset 平面PAD,所以PE\perp 平面ABCD.因为AB\subset 平面ABCD,所以PE\perp AB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038527905795/img/compression/M_f7e3254b1f2bc08925f42f53ecb8b3ab.jpg)
$(2)求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值.$

Solution:
$取BC的中点F，连接EF.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268039635202049/img/compression/M_09d67c43736253a75cf66ae35b4826bc.jpg)$由(1)知，PE\perp 平面ABCD.所以PE\perp AD,PE\perp EF.因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，所以EF\perp AD.所以EA，EF，EP两两垂直.以E为原点，分别以EA，EF，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz.如图.则E(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,\sqrt{3}),C(-1,3,0).所以\overrightarrow{PA}=(1，0，-\sqrt{3}),\overrightarrow{AC}=(-2，3，0).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -2x+3y=0.\end{matrix}\right.令x=3，得y=2，z=\sqrt{3}.所以n=(3,2,\sqrt{3}).易知平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{EP}=(0，0，\sqrt{3}).设平面PAC与平面ABCD的夹角为\theta ,则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{EP}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EP}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{EP}|}\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}.所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$<img_2714>
$(2)求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值.$

Solution:
$取BC的中点F，连接EF.
$<img_1595>$由(1)知，PE\perp 平面ABCD.所以PE\perp AD,PE\perp EF.因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，所以EF\perp AD.所以EA，EF，EP两两垂直.以E为原点，分别以EA，EF，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz.如图.则E(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,\sqrt{3}),C(-1,3,0).所以\overrightarrow{PA}=(1，0，-\sqrt{3}),\overrightarrow{AC}=(-2，3，0).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -2x+3y=0.\end{matrix}\right.令x=3，得y=2，z=\sqrt{3}.所以n=(3,2,\sqrt{3}).易知平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{EP}=(0，0，\sqrt{3}).设平面PAC与平面ABCD的夹角为\theta ,则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{EP}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EP}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{EP}|}\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}.所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$<img_1667>
$(1)求证:AC\perp 平面PAB;$

Solution:
$证明:取BC中点E，连接AE，易知四边形ADCE为正方形，且AC=\sqrt{2}，AE=1，AB=\sqrt{2}，所以BC^{2}=AB^{2}+AC^{2},所以AB\perp AC,因为PA\perp 底面ABCD,AC\subset 底面ABCD，所以PA\perp AC,又PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040050438147/img/compression/M_035c74d0e7028d54de1899bf73f92205.jpg)
$(1)求证:AC\perp 平面PAB;$

Solution:
$证明:取BC中点E，连接AE，易知四边形ADCE为正方形，且AC=\sqrt{2}，AE=1，AB=\sqrt{2}，所以BC^{2}=AB^{2}+AC^{2},所以AB\perp AC,因为PA\perp 底面ABCD,AC\subset 底面ABCD，所以PA\perp AC,又PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$<img_1667>
$(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于\frac{\pi }{3}，求点B到平面PCD的距离.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AE\perp AD,所以AE,AD,PA两两垂直.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=a(a>0).
$<img_1715>$则C(1,1,0),D(0,1,0),B(1,-1,0),P(0,0,a),所以\overrightarrow{PD}=(0,1,-a)，\overrightarrow{DC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(0,2,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y-az=0,\\ x=0.\end{matrix}\right.令z=1,得y=a.所以n=(0,a,1).由(1)知，平面PAB的一个法向量为\overrightarrow{AC}=(1,1,0).因为平面PAB与平面PCD的夹角为\frac{\pi }{3}，所以\\cos  \frac{\pi }{3}=|\\cos  \langle \overrightarrow{AC}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{a}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{2},解得a=1(负值舍去).故n=(0,1,1).设点B到平面PCD的距离为d.则d=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040050438147/img/compression/M_035c74d0e7028d54de1899bf73f92205.jpg)
$(2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于\frac{\pi }{3}，求点B到平面PCD的距离.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AE\perp AD,所以AE,AD,PA两两垂直.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=a(a>0).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040612474882/img/compression/M_a91042b51966402f37500e9556c63d3c.jpg)$则C(1,1,0),D(0,1,0),B(1,-1,0),P(0,0,a),所以\overrightarrow{PD}=(0,1,-a)，\overrightarrow{DC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(0,2,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y-az=0,\\ x=0.\end{matrix}\right.令z=1,得y=a.所以n=(0,a,1).由(1)知，平面PAB的一个法向量为\overrightarrow{AC}=(1,1,0).因为平面PAB与平面PCD的夹角为\frac{\pi }{3}，所以\\cos  \frac{\pi }{3}=|\\cos  \langle \overrightarrow{AC}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{a}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{2},解得a=1(负值舍去).故n=(0,1,1).设点B到平面PCD的距离为d.则d=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_{1}EF的位置，得到五棱锥A_{1}－BCDFE，如图2.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_1c5157c5d4993a264a37144c65ef4598.jpg)$
图1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_d97357ee57f6ddf3c558aed8708d35c6.jpg)$
图2
$
$(1)求证：EF\perp 平面A_{1}HC.$

Solution:
$证明：\because 在题图1中，AC\perp BD，EF\parallel BD，\therefore AC\perp EF，\therefore 在题图2中，EF\perp A_{1}H,EF\perp HC，又A_{1}H\cap HC=H，A_{1}H,HC\subset 平面A_{1}HC,\therefore EF\perp 平面A_{1}HC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_{1}EF的位置，得到五棱锥A_{1}－BCDFE，如图2.
$<img_2832>$
图1
$<img_2080>$
图2
$
$(1)求证：EF\perp 平面A_{1}HC.$

Solution:
$证明：\because 在题图1中，AC\perp BD，EF\parallel BD，\therefore AC\perp EF，\therefore 在题图2中，EF\perp A_{1}H,EF\perp HC，又A_{1}H\cap HC=H，A_{1}H,HC\subset 平面A_{1}HC,\therefore EF\perp 平面A_{1}HC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_{1}EF的位置，得到五棱锥A_{1}－BCDFE，如图2.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_1c5157c5d4993a264a37144c65ef4598.jpg)$
图1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_d97357ee57f6ddf3c558aed8708d35c6.jpg)$
图2
$
$(2)若平面A_{1}EF\perp 平面BCDFE，(i)求二面角D－A_{1}C－H的余弦值；(ii)若N是线段A_{1}F上任意一点，求证：直线BN与平面A_{1}DC相交.$

Solution:
$(i)由EF\perp A_{1}H,EF\perp HC，可知\angle A_{1}HC为二面角A_{1}－EF－C的平面角，\because 平面A_{1}EF\perp 平面BCDFE，\therefore \angle A_{1}HC=90^\circ ，即A_{1}H\perp HC，又EF\perp A_{1}H,EF\cap HC=H，EF,HC\subset 平面BCDFE,\therefore A_{1}H\perp 平面BCDFE.如图,建立空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044932608001/img/compression/M_64bfec6318691b2c357f1de7eed5aab4.jpg)$则D(－1,1,0),A_{1}(0,0,2),C(0,3,0)，\therefore \overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{A_1C}=(0,3,－2).设平面DA_{1}C的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ 3y-2z=0,\end{matrix}\right.令y=2，则m=(－4,2,3)，易知平面A_{1}CH的一个法向量为n=(1,0,0)，\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-4}{\sqrt{16+4+9}}=－\frac{4\sqrt{29}}{29}，由图可知二面角D-A_{1}C-H是锐二面角，\therefore 二面角D－A_{1}C－H的余弦值为\frac{4\sqrt{29}}{29}.(ii)证明：设\overrightarrow{FN}=\lambda \overrightarrow{FA_1},0\leq \lambda \leq 1，\because A_{1}(0,0,2),F\left(-\frac{2}{3},0,0\right),\therefore \overrightarrow{FA_1}=\left(\frac{2}{3},0,2\right)，\therefore \overrightarrow{FN}=\left(\frac{2}{3}\lambda ,0,2\lambda \right)，\therefore N\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{2}{3},0,2\lambda \right)，又B(1,1,0)，\therefore \overrightarrow{BN}=\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{5}{3},-1,2\lambda \right)，由(i)知平面DA_{1}C的一个法向量为m=(－4,2,3)，若直线BN与平面A_{1}DC平行，则\overrightarrow{BN}\cdot m=\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{5}{3},-1,2\lambda \right)\cdot (－4,2,3)=0，解得\lambda =－\frac{7}{5}(舍去)，\therefore 直线BN与平面A_{1}DC不平行，即直线BN与平面A_{1}DC相交.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_{1}EF的位置，得到五棱锥A_{1}－BCDFE，如图2.
$<img_2832>$
图1
$<img_2080>$
图2
$
$(2)若平面A_{1}EF\perp 平面BCDFE，(i)求二面角D－A_{1}C－H的余弦值；(ii)若N是线段A_{1}F上任意一点，求证：直线BN与平面A_{1}DC相交.$

Solution:
$(i)由EF\perp A_{1}H,EF\perp HC，可知\angle A_{1}HC为二面角A_{1}－EF－C的平面角，\because 平面A_{1}EF\perp 平面BCDFE，\therefore \angle A_{1}HC=90^\circ ，即A_{1}H\perp HC，又EF\perp A_{1}H,EF\cap HC=H，EF,HC\subset 平面BCDFE,\therefore A_{1}H\perp 平面BCDFE.如图,建立空间直角坐标系，
$<img_1565>$则D(－1,1,0),A_{1}(0,0,2),C(0,3,0)，\therefore \overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{A_1C}=(0,3,－2).设平面DA_{1}C的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ 3y-2z=0,\end{matrix}\right.令y=2，则m=(－4,2,3)，易知平面A_{1}CH的一个法向量为n=(1,0,0)，\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-4}{\sqrt{16+4+9}}=－\frac{4\sqrt{29}}{29}，由图可知二面角D-A_{1}C-H是锐二面角，\therefore 二面角D－A_{1}C－H的余弦值为\frac{4\sqrt{29}}{29}.(ii)证明：设\overrightarrow{FN}=\lambda \overrightarrow{FA_1},0\leq \lambda \leq 1，\because A_{1}(0,0,2),F\left(-\frac{2}{3},0,0\right),\therefore \overrightarrow{FA_1}=\left(\frac{2}{3},0,2\right)，\therefore \overrightarrow{FN}=\left(\frac{2}{3}\lambda ,0,2\lambda \right)，\therefore N\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{2}{3},0,2\lambda \right)，又B(1,1,0)，\therefore \overrightarrow{BN}=\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{5}{3},-1,2\lambda \right)，由(i)知平面DA_{1}C的一个法向量为m=(－4,2,3)，若直线BN与平面A_{1}DC平行，则\overrightarrow{BN}\cdot m=\left(\frac{2}{3}\lambda -\frac{5}{3},-1,2\lambda \right)\cdot (－4,2,3)=0，解得\lambda =－\frac{7}{5}(舍去)，\therefore 直线BN与平面A_{1}DC不平行，即直线BN与平面A_{1}DC相交.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2267>
$(1)求证：AC\perp 平面BDE；$

Solution:
$证明:在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，\therefore DE\parallel AA_{1}，\because AA_{1}\perp 平面ABC，\therefore DE\perp 平面ABC，\because AC\subset 平面ABC，\therefore DE\perp AC，在\triangle ABC中，AB=BC，D为AC的中点，\therefore AC\perp BD，\because DE\cap BD=D，DE，BD\subset 平面BDE，\therefore AC\perp 平面BDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
$(1)求证：AC\perp 平面BDE；$

Solution:
$证明:在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，\therefore DE\parallel AA_{1}，\because AA_{1}\perp 平面ABC，\therefore DE\perp 平面ABC，\because AC\subset 平面ABC，\therefore DE\perp AC，在\triangle ABC中，AB=BC，D为AC的中点，\therefore AC\perp BD，\because DE\cap BD=D，DE，BD\subset 平面BDE，\therefore AC\perp 平面BDE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
$(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；$

Solution:
$\because DE\perp 平面ABC,BD\subset 平面ABC,\therefore DE\perp BD.故AD,DB,DE两两垂直.如图，以D为原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_5d84c982dd0aa2545e9890775c5ed78c.jpg)$在Rt\triangle ABD中，\because AB=\sqrt{5}，AD=\frac{1}{2}AC=1，\therefore BD=2，\therefore D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，则\overrightarrow{DE}=(0，0，2)，\overrightarrow{AB}=(－1，2，0)，\overrightarrow{AE}=(－1，0，2)，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2y=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得y=1，z=1，\therefore n=(2，1，1)，设直线DE与平面ABE所成的角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{DE}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{6}.\therefore 直线DE与平面ABE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2267>
$(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；$

Solution:
$\because DE\perp 平面ABC,BD\subset 平面ABC,\therefore DE\perp BD.故AD,DB,DE两两垂直.如图，以D为原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
$<img_2684>$在Rt\triangle ABD中，\because AB=\sqrt{5}，AD=\frac{1}{2}AC=1，\therefore BD=2，\therefore D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，则\overrightarrow{DE}=(0，0，2)，\overrightarrow{AB}=(－1，2，0)，\overrightarrow{AE}=(－1，0，2)，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2y=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得y=1，z=1，\therefore n=(2，1，1)，设直线DE与平面ABE所成的角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{DE}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{6}.\therefore 直线DE与平面ABE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
$(3)求点D到平面ABE的距离.$

Solution:
$由(2)可得点D到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A_{1}C_{1}的中点，AB=BC=\sqrt{5}，AC=AA_{1}=2.$<img_2267>
$(3)求点D到平面ABE的距离.$

Solution:
$由(2)可得点D到平面ABE的距离为\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AD\parallel BC，AD\perp 平面PAB，\triangle PAB是等腰三角形，PA=PB，AB=BC=2AD=2，E是AB的中点.$<img_2687>
$(1)求证：PE\perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA=PB，E是AB的中点，所以PE\perp AB，因为AD\perp 平面PAB，PE\subset 平面PAB，所以AD\perp PE.因为AB\cap AD=A，AB，AD\subset 平面ABCD，所以PE\perp 平面ABCD.因为CD\subset 平面ABCD，所以PE\perp CD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AD\parallel BC，AD\perp 平面PAB，\triangle PAB是等腰三角形，PA=PB，AB=BC=2AD=2，E是AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087906070530/img/compression/M_2ecfa69fcaa04b2c4bc957fe6af5cc0f.jpg)
$(1)求证：PE\perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA=PB，E是AB的中点，所以PE\perp AB，因为AD\perp 平面PAB，PE\subset 平面PAB，所以AD\perp PE.因为AB\cap AD=A，AB，AD\subset 平面ABCD，所以PE\perp 平面ABCD.因为CD\subset 平面ABCD，所以PE\perp CD.$

Final answer: 证明题