di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，BB_1 \perp  平面ABC，AB=BC=BB_1=1.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884770262609921/img/compression/M_afa62f1e1f6d8605ecceb3d27c8ab2a7.jpg)
$若AB \perp BC，求：$
$1. AA_1与平面BA_1C_1所成角的正弦值；$
$2. 直线AC与平面BA_1C_1的距离.$

Solution:
$因为 BB_1 \perp 平面ABC，AB,BC \subset  平面 ABC ，所以BB_1 \perp  AB, BB_1 \perp  BC. 又 AB \perp  BC，所以 AB, BB_1, BC 两两垂直.$

$如图,建立空间直角坐标系 B－xyz，$

![23BBJ5SX122答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884771067916289/img/compression/M_3d5d41b1fa188ea36f03fc7e3715990e.jpg)

$则 A(1,0,0),B_1(0,1,0),C_1(0,1,1),A_1(1，1，0)，B(0,0,0).$

$所以 \overrightarrow{BA_1} =(1,1,0)，\overrightarrow{BC_1} =(0,1,1)，\overrightarrow{AA_1} =(0,1,0).$

$设平面BA_1C_1的法向量为 n =(x,y,z )，则 $

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BA_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC_1}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
x+y=0,\\ 
y+z=0.
\end{matrix}
\right.
$$

$令 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1.于是 n =(1,－1,1).$

$①设直线 AA_1 与平面 BA_1C_1 所成角为 \theta  ，则$

$\sin  \theta  =|\cos \langle \overrightarrow{AA_1},n \rangle |= \left| \frac{\overrightarrow{AA_1} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AA_1}||\boldsymbol{n}|} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

$所以 AA_1 与平面 BA_1C_1 所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3} .$

$②因为 AC \parallel 平面 BA_1C_1 ，所以直线 AC  与平面 BA_1C_1 的距离等于点 A 到平面 BA_1C_1 的距离.$

$设点 A 到平面 BA_1C_1 的距离为 h，则$

$h = \frac{|\overrightarrow{AA_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}  = \frac{|(0,1,0) \cdot (1,-1,1)|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_1，C_2所在圆的圆心分别为O_1(1,\frac{\pi }{2}), O_2(1,\frac{3\pi }{2}), M是半圆弧C_1上的一个动点. $
<img_2286>
$若点A是圆O与极轴的交点，求|MA|的最大值;$

Solution:
$由题知半圆弧C_1的极坐标方程为\rho =2sin \theta (\left(\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]\right))，化为直角坐标方程为x^2+(y-1)^2=1, 其圆心为O\_1(0,1),半径为r=1，由题易得A(2,0)，所以|MA|\_max=|O\_1A|+1=\sqrt{5}+1.$

Final answer: $\sqrt{5}+1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧C_1，C_2所在圆的圆心分别为O_1(1,\frac{\pi }{2}), O_2(1,\frac{3\pi }{2}), M是半圆弧C_1上的一个动点. $
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284076435591170/img/compression/M_b6959ed4239396fddcf56aeead7b4464.jpg)
$若点A是圆O与极轴的交点，求|MA|的最大值;$

Solution:
$由题知半圆弧C_1的极坐标方程为\rho =2sin \theta (\left(\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]\right))，化为直角坐标方程为x^2+(y-1)^2=1, 其圆心为O\_1(0,1),半径为r=1，由题易得A(2,0)，所以|MA|\_max=|O\_1A|+1=\sqrt{5}+1.$

Final answer: $\sqrt{5}+1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在极坐标系Ox中，若点A为曲线l:\rho \cos  \theta +\rho \sin  \theta =-2 (\pi \leq \theta \leq \frac{3\pi }{2}) 上一动点，点B在射线AO上，且满足 |OA|\cdot|OB|=4，记动点B的轨迹为曲线C。$
$若过极点的直线l_1交曲线C和曲线l分别于P,Q两点，且P,Q的中点为M，求|OM|的最大值.$

Solution:
①$若曲线C为\rho =2，此时 \theta  = \pi  或 \theta  = 3\pi /2 ，此时 P，Q重合，不符合题意。 $

②$若曲线C为\rho =2sin \theta +2cos \theta  ，该情况下 0 \leq  \theta  \leq  \pi /2 ，$

$设 l_1：\theta =\alpha ，同时 0 \leq  \alpha  \leq  \pi /2 ，又 l_1与曲线C交于点P，联立以下公式 $

$
\begin{align*}
\\theta &= \alpha, 
\\ \rho &= 2\sin  \theta + 2\cos  \theta,
\end{align*}
$

$得到 \rho _P = 2sin \alpha  + 2cos \alpha $。 

$又 l_1 与曲线 l 交于点 Q，联立以下公式 $

$
\begin{align*}
\\theta &= \alpha, 
\\ \rho\sin  \theta + \rho\cos  \theta = -2,
\end{align*}
$

$得到 \rho _Q = -2/(\sin  \alpha  + \cos  \alpha ) $。 

$又因为 M 是 P，Q 的中点，有 \rho _M = (\rho _P + \rho _Q)/2 = sin  \alpha  + cos  \alpha  - 1/(sin \alpha  + cos \alpha )，此时 0 \leq  \alpha  \leq  \pi /2$。 

$令 sin \alpha  + cos \alpha = t，则 t = \sqrt 2 sin(\alpha  + \pi /4)。 且由于 0 \leq  \alpha  \leq  \pi /2，则 \pi /4 \leq  \alpha  + \pi /4 \leq  3\pi /4 ，且 1\leq  t \leq  \sqrt 2$。 

$因此，\rho _M = t - 1/t，其中 1\leq  t \leq  \sqrt 2$。 

且$ \rho _M = t - 1/t 在 [1, \sqrt 2] 上是增函数，因此，0 \leq  \rho _M \leq  \sqrt 2 - 1/\sqrt 2 = \sqrt 2/2$。 

$因此，|OM| 的最大值为 \sqrt 2/2$。

Final answer: $\sqrt{2}/2$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ y=\frac{2t}{1+t^2}\end{matrix}\right.(t为参数).$
$点P(x,y) (x\in [\frac{\sqrt{3}}{2},1)) 是曲线C上在第一象限内的一动点，求 \frac{y^3}{x} + \frac{x^3}{y} 的最小值.$

Solution:
:

$令x=cos \theta ,y=sin \theta ,\theta \in (0,\frac{\pi }{6}],$
$则\frac{y^3}{x}+\frac{x^3}{y}=\frac{\sin ^3\theta }{\cos  \theta }+\frac{\cos ^3\theta }{\sin  \theta }=\frac{\sin ^4\theta +\cos ^4\theta }{\sin  \theta \cos  \theta }$
$=\frac{(\sin ^2\theta +\cos ^2\theta )^2-2\sin ^2\theta \cos ^2\theta }{\sin  \theta \cos  \theta }=\frac{2}{\sin  2\theta }-sin 2\theta ,$
$因为y=\frac{2}{\sin  2\theta }-sin 2\theta 在(0,\frac{\pi }{6}]上单调递减，$
$故当\theta =\frac{\pi }{6}时，\frac{y^3}{x}+\frac{x^3}{y}取得最小值\frac{5\sqrt{3}}{6}.$

Final answer: $\frac{5\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_1的参数方程为:$
$$
\begin{align*}
x & = r\cos  \alpha ,\\ 
y & = r\sin  \alpha 
\end{align*}
$$
$(0<r<2, \alpha为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C_2：\rho^2=4cos 2\theta (如下图所示).$
<img_2896>
$已知曲线C_2既关于原点对称,又关于坐标轴对称,且曲线C_1与C_2交于不同的四点A,B,C,D,求矩形ABCD面积的最大值.$

Solution:
$由(1)知曲线C_1的极坐标方程为\rho =r$.

由
$$
\left\{
\begin{matrix}
\rho =r,\\ 
\rho ^2=4\cos  2\theta ,
\end{matrix}
\right.
$$
$得cos 2\theta =\frac{r^2}{4}.$

$\because 曲线C_2关于原点和坐标轴对称$，

$\therefore SₐᵣₑᵃABCD=4∣rcos \theta ∣∣rsin \theta ∣=4r^2∣cos \theta sin \theta |$

$=2r^2∣sin 2\theta ∣=2r^2\sqrt{1-\cos ^22\theta }=2r^2\sqrt{1-\frac{r^4}{16}}=\frac{1}{2}r^2\cdot \sqrt{16-r^4}=\frac{1}{2}\sqrt{r^4(16-r^4)}\leq \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{r^4+16-r^4}{2}\right)^2}=4，$

$当且仅当r^4=16-r^4，即r^2=2\sqrt{2}时等号成立.$

$故矩形ABCD面积的最大值为4.$

Final answer: $4$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系xOy 中,曲线C_1的参数方程为:$
$$
\begin{align*}
x & = r\cos  \alpha ,\\ 
y & = r\sin  \alpha 
\end{align*}
$$
$(0<r<2, \alpha为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C_2：\rho^2=4cos 2\theta (如下图所示).$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284077408669698/img/compression/M_e626d1e5198caacd19c3aee2a419ded9.jpg)
$已知曲线C_2既关于原点对称,又关于坐标轴对称,且曲线C_1与C_2交于不同的四点A,B,C,D,求矩形ABCD面积的最大值.$

Solution:
$由(1)知曲线C_1的极坐标方程为\rho =r$.

由
$$
\left\{
\begin{matrix}
\rho =r,\\ 
\rho ^2=4\cos  2\theta ,
\end{matrix}
\right.
$$
$得cos 2\theta =\frac{r^2}{4}.$

$\because 曲线C_2关于原点和坐标轴对称$，

$\therefore SₐᵣₑᵃABCD=4∣rcos \theta ∣∣rsin \theta ∣=4r^2∣cos \theta sin \theta |$

$=2r^2∣sin 2\theta ∣=2r^2\sqrt{1-\cos ^22\theta }=2r^2\sqrt{1-\frac{r^4}{16}}=\frac{1}{2}r^2\cdot \sqrt{16-r^4}=\frac{1}{2}\sqrt{r^4(16-r^4)}\leq \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{r^4+16-r^4}{2}\right)^2}=4，$

$当且仅当r^4=16-r^4，即r^2=2\sqrt{2}时等号成立.$

$故矩形ABCD面积的最大值为4.$

Final answer: $4$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=2-t-t^2,\\ 
y=2-3t+t^2
\end{matrix}
\right.
$$
$(t为参数且t\neq 1)，C与坐标轴交于A，B两点.$
求|AB|；

Solution:
$因为t\neq 1，由2-t-t^2=0得t=-2，所以C与y轴的交点为(0，12)；由2-3t+t^2=0得t=2，所以C与x轴的交点为(-4，0).故|AB|=4\sqrt{10}.$

Final answer: $4\sqrt{10}$
Subfield: Inequality


Question: $已知存在x_0\in R，使得|x_0+a|-|x_0-2b|\geq 4成立，a>0，b>0．$
$求a^{2}+b^{2}的最小值．$

Solution:
$由柯西不等式，得 (1^2+2^2)(a^2+b^2) \geq (a+2b)^2 \geq 16，(当且仅当 b=2a 时取等号)，$
$即当 a=\frac{4}{5}，b=\frac{8}{5} 时，a^2+b^2 取得最小值 \frac{16}{5}.$

Final answer: $\frac{16}{5}$
Subfield: Inequality


Question: $已知定义在R上的函数f(x)=|x-2|+|x+4|的最小值为p.$
求$p$的值;

Solution:
$f(x)=|x-2|+|x+4|\geq |(2-x)+(x+4)|=6。当 (2-x)(x+4)\geq 0, 即 -4\leq x\leq 2 时，有 f_{min}(x)=6，$
$所以 p=6。$

Final answer: p=6
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x+2|+3|x-a|(a＞0)。$
$求f(x)的最小值；$

Solution:
$f(x)=|x+2|+3|x-a|=$

$\begin{cases}
-4x+3a-2, x\leq -2, \\
-2x+3a+2, -2<x<a, \\
4x-3a+2, x\geq a,
\end{cases}$

$则f(x)在(-\infty ，a)上单调递减，在[a，+\infty )上单调递增，故f(x)_{min}=f(a)=a+2.$

Final answer: $a+2$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x+2|+3|x-a|(a＞0)。$
$当a=1时，求函数g(x)=f(x)-10的图象与x轴围成封闭图形的面积.$

Solution:
$因为a=1，所以g(x)= \begin{cases} -4x-9 & for \; x \leq -2 \\ -2x-5 & for \; -2 < x < 1 \\ 4x-11 & for \; x \geq 1 \end{cases} $

$画出g(x)的大致图象如图所示.$

$令 -4x-9=0，得x=-\frac{9}{4}；$

$令 -2x-5=0，得x=-\frac{5}{2}；$

$令 4x-11=0，得x=\frac{11}{4}.$

$因为 g(-2)=-1，g(1)=-7，$

$所以所求图形的面积为 \frac{1}{2} \times \left(\frac{11}{4}+\frac{5}{2}\right) \times 7 - \frac{1}{2} \times \left(-\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right) \times 1 = \frac{73}{4}.$

<img_312>

Final answer: $\frac{73}{4}$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.$
$记函数f(x)的最小值为m，若a, b, c均为正实数，且a+2b+3c=2m，求a^2+b^2+c^2的最小值.$

Solution:
$由(1)可知,当x=\frac{1}{2}时， f(x)取得最小值\frac{3}{2},所以m=\frac{3}{2}，所以a+2b+3c=3，$
$由柯西不等式得(a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2)\geq (a+2b+3c)^2=9，整理得a^2+b^2+c^2\geq \frac{9}{14}，当且仅当\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3},即a=\frac{3}{14},b=\frac{6}{14},c=\frac{9}{14}时等号成立.$
$所以a^2+b^2+c^2的最小值为 \frac{9}{14}.$

Final answer: $\frac{9}{14}$
Subfield: Sequence


Question: $等差数列{a_n}中，a_3+a_4=4，a_5+a_7=6.$
$设b_{n}=[a_{n}]，求数列{b_{n}}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.$

Solution:
$由(1)知， b_n=\left[\frac{2n+3}{5}\right] .$



$当n=1，2，3时，1\leq \frac{2n+3}{5}<2，b_n=1;$
$当n=4，5时，2\leq \frac{2n+3}{5}<3，b_n=2;$
$当n=6，7，8时，3\leq \frac{2n+3}{5}<4，b_n=3;$
$当n=9，10时，4\leq \frac{2n+3}{5}<5，b_n=4.$



$所以数列{b_n}的前10项和为1\times 3+2\times 2+3\times 3+4\times 2=24.$

Final answer: $24$
Subfield: Sequence


Question: $意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，\ldots ，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作 F _n. 已知 F _1 =1， F _2 =1， F _n = F _{n-1} + F _{n-2}，其中 n 属于 N _，且 n >2.$
$若斐波那契数F_n除以4所得的余数按原顺序构成数列\{a_n\}，则a_1+a_2+a_3\ldots +a_{2023}=\_\_\_\_\_\_.$

Solution:
$由题意，F_1 = 1，F_1除以4的余数为1，则a_1 = 1。$

$F_2 = 1，F_2除以4的余数为1，则a_2 = 1。$

$由F_3 = F_1 + F_2 = 2，得F_3除以4的余数为2，即a_3 = 2，$

$由F_4 = F_2 + F_3 = 3，得F_4除以4的余数为3，即a_4 = 3，$

$由F_5 = F_3 + F_4 = 5，得F_5除以4的余数为1，即a_5 = 1，$

$由F_6 = F_4 + F_5 = 8，得F_6除以4的余数为0，即a_6 = 0，$

$由F_7 = F_5 + F_6 = 13，得F_7除以4的余数为1，即a_7 = 1，$

$由F_8 = F_6 + F_7 = 21，得F_8除以4的余数为1，即a_8 = 1。$

$故{a_n}是以6为最小正周期的数列，因为2023\div 6=337\ldots \ldots 1，所以a_1+a_2+a_3+\ldots +a_{2023} = (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)\times 337 + 1 = 8\times 337 + 1 = 2697.$

Final answer: $2697$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的每一项都是正数，a_1=3，a_{n+1}^2-2a_n^2=a_na_{n+1}+3\times 2^n(a_n+a_{n+1})。记数列b_n的前n项和为B_n，B_n=-3n^2+180，数列\left\{\frac{a_n}{2^{n-2}}+b_n\right\}的前n项和为S_n，数列\left\{\frac{a_n}{n}\right\}的前n项和为T_n.$
$求S_n、T_n；$

Solution:
$\because  a^2_{n+1} - 2a^2_n = a_na_{n+1} + 3  2^{n}(a_n + a_{n+1})，$
$\therefore  (a^2_{n+1} - a_na_{n+1} - 2a^2_n - 3  2^{n}(a_n + a_{n+1}) = (a_{n+1} + a_n)(a_{n+1} - 2a_n) - 3  2^{n}(a_n + a_{n+1}) = (a_{n+1} + a_n)(a_{n+1} - 2a_n - 3  2^{n}) = 0，$
$\therefore  数列 {a_n} 的每一项都是正数，则 a_{n+1} + a_n > 0.$
$\therefore  a_{n+1} - 2a_n - 3  2^{n} = 0.即 a_{n+1} - 2a_n = 3  2^{n}，等号两边同除以2^{n-1} 可得 \frac{a_{n+1}}{2^{n-1}} - \frac{a_n}{2^{n-2}} = 6，$
$\therefore  数列 \left\{\frac{a_n}{2^{n-2}}\right\} 是首项为 \frac{a_1}{2^{-1}} = 6，公差为 6 的等差数列，$
$故 \frac{a_n}{2^{n-2}} = 6n，\therefore  数列 \left\{\frac{a_n}{2^{n-2}}\right\} 的前 n 项和为 6n + \frac{n(n-1)\times 6}{2} = 3n^{2} + 3n，所以 \left\{\frac{a_n}{2^{n-2}} + b_n\right\} 的前 n 项和 S_n = 3n^{2} + 3n - 3n^2 + 180 = 3n + 180.$
$由 \frac{a_n}{2^{n-2}} = 6n，得 a_n = 6n \cdot 2^{n-2}，\therefore  \frac{a_n}{n} = 6 \times 2^{n-2} = 3 \times 2^{n-1}.$
$故 \frac{a_{n+1}}{n+1} \div  \frac{a_n}{n} = \frac{3 \times 2^n}{3 \times 2^{n-1}} = 2，且 \frac{a_1}{1} = 3 \times 2^{0} = 3.$
$\therefore  数列 \left\{\frac{a_n}{n}\right\} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列.$
$\therefore  数列 \left\{\frac{a_n}{n}\right\} 的前 n 项和 T_n = \frac{3 \times (1 - 2^n)}{1 - 2} = 3 \times 2^{n} - 3.$

Final answer: $S_n = 3n + 180, T_n = 3 \times 2^{n} - 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$

![19GZTWS26.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549444928532483/img/compression/M_e73cd93c8a1eeb80eb81c3c40a327e6f.jpg)
求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

Solution:
$取棱AC的中点N，连接MN，ND.$
$又因为M为棱AB的中点，故MN\parallel BC.所以\angle DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.$
$在Rt\triangle DAM中，AM=1，故DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{13}.因为AD\perp 平面ABC，故AD\perp AC.$
$在Rt\triangle DAN中，AN=1，故DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{13}.在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos\angle DMN=\frac{\frac{1}{2}MN}{DM}=\frac{\sqrt{13}}{26}.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{13}}{26}.$

![19GZTWS26A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549445364740097/img/compression/M_19b6b35eb79eb44d3796e71731fe05b1.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{13}}{26}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$

<img_2221>
求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

Solution:
$取棱AC的中点N，连接MN，ND.$
$又因为M为棱AB的中点，故MN\parallel BC.所以\angle DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.$
$在Rt\triangle DAM中，AM=1，故DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{13}.因为AD\perp 平面ABC，故AD\perp AC.$
$在Rt\triangle DAN中，AN=1，故DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{13}.在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos\angle DMN=\frac{\frac{1}{2}MN}{DM}=\frac{\sqrt{13}}{26}.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{13}}{26}.$

<img_1904>

Final answer: $\frac{\sqrt{13}}{26}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$

![19GZTWS26.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549444928532483/img/compression/M_e73cd93c8a1eeb80eb81c3c40a327e6f.jpg)
求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

Solution:
$连接CM。因为\triangle ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM\perp AB，CM= \sqrt{3}。$

$又因为平面ABC\perp 平面ABD，而CM\subset 平面ABC，$
$故CM\perp 平面ABD。$

$所以，\angle CDM为直线CD与平面ABD所成的角。$

$在Rt\triangle CAD中，CD= \sqrt{AC^2+AD^2}=4。$

$在Rt\triangle CMD中，sin\angle CDM= \frac{CM}{CD}= \frac{\sqrt{3}}{4}。$

$所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{3}}{4}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$

<img_2221>
求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

Solution:
$连接CM。因为\triangle ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM\perp AB，CM= \sqrt{3}。$

$又因为平面ABC\perp 平面ABD，而CM\subset 平面ABC，$
$故CM\perp 平面ABD。$

$所以，\angle CDM为直线CD与平面ABD所成的角。$

$在Rt\triangle CAD中，CD= \sqrt{AC^2+AD^2}=4。$

$在Rt\triangle CMD中，sin\angle CDM= \frac{CM}{CD}= \frac{\sqrt{3}}{4}。$

$所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{3}}{4}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为2,E,F分别为AD,CC_1的中点.$
<img_1738>
$求点C_1到平面BEF的距离.$

Solution:
$设C_1 到平面BEF 的距离为h.$
$由题意得点E 到平面BB_1C_1C 的距离为2，$
$在\triangle BEF 中，BE=BF=\sqrt{5} ,EF=\sqrt{6}. $
$故S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\times\sqrt{6}\times\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.$
$易得S_{\triangle BC_1F}=1，由V_{C_1-BEF}=V_{E-BC_1F}，$
$得\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot h=\frac{1}{3}S_{\triangle BC_1F}\cdot 2，得h=\frac{4\sqrt{21}}{21} .故点C_1 到平面BEF 的距离为\frac{4\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为2,E,F分别为AD,CC_1的中点.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549455997300737/img/compression/M_da67893a27363eb5a1bd233e0d45a733.jpg)
$求点C_1到平面BEF的距离.$

Solution:
$设C_1 到平面BEF 的距离为h.$
$由题意得点E 到平面BB_1C_1C 的距离为2，$
$在\triangle BEF 中，BE=BF=\sqrt{5} ,EF=\sqrt{6}. $
$故S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\times\sqrt{6}\times\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.$
$易得S_{\triangle BC_1F}=1，由V_{C_1-BEF}=V_{E-BC_1F}，$
$得\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot h=\frac{1}{3}S_{\triangle BC_1F}\cdot 2，得h=\frac{4\sqrt{21}}{21} .故点C_1 到平面BEF 的距离为\frac{4\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF\perp AO.$

<img_2890>
$若\angle POF=120^\circ ，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$因为AB\perp BC, OF\parallel AB, 所以OF\perp BC,$
$又PB=PC=\sqrt{6}， 所以OP\perp BC,$
$又OF\cap OP=O， OF, OP\subset 平面OPF，$
$所以BC\perp 平面OPF， 又BC\subset 平面ABC,$
$所以平面ABC\perp 平面OPF,$
$过点P作PM\perp OF于点M，$
$又平面OPF\cap 平面ABC=OF, PM\subset 平面OPF,$
$所以PM\perp 平面ABC, 因为BC=2\sqrt{2}， PB=PC=\sqrt{6}，$
$所以OP=2， 又\angle POF=120^\circ ，$
$所以PM=OP\cdot sin(180^\circ -120^\circ )=\sqrt{3},$
$即三棱锥P-ABC的高为\sqrt{3}.所以三棱锥P-ABC的体积V=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$



Final answer: $V=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF\perp AO.$

![24GZT5SX46.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549460967677955/img/compression/M_f2a44ea932fda3f2c8eaf6030319e4ad.jpg)
$若\angle POF=120^\circ ，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$因为AB\perp BC, OF\parallel AB, 所以OF\perp BC,$
$又PB=PC=\sqrt{6}， 所以OP\perp BC,$
$又OF\cap OP=O， OF, OP\subset 平面OPF，$
$所以BC\perp 平面OPF， 又BC\subset 平面ABC,$
$所以平面ABC\perp 平面OPF,$
$过点P作PM\perp OF于点M，$
$又平面OPF\cap 平面ABC=OF, PM\subset 平面OPF,$
$所以PM\perp 平面ABC, 因为BC=2\sqrt{2}， PB=PC=\sqrt{6}，$
$所以OP=2， 又\angle POF=120^\circ ，$
$所以PM=OP\cdot sin(180^\circ -120^\circ )=\sqrt{3},$
$即三棱锥P-ABC的高为\sqrt{3}.所以三棱锥P-ABC的体积V=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $V=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1的底面是菱形，AA_1=4，AB=2，\angle BAD=60^\circ ，E，M，N分别是BC，BB_1，A_1D的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549462062391298/img/compression/M_3f877d3e46261f79a57255b283b47ce5.jpg)
$求点C到平面C_1DE的距离.$

Solution:
解决点到平面的距离的常用方法：定义法(构造线面垂直，求垂线段的长)或等体积转化法.
$过C作C_1E的垂线，垂足为H.$
$由已知可得DE \bot BC，DE \bot C_1C，所以DE \bot 平面C_1CE，$
$故DE \bot CH.$
$从而CH \bot 平面 C_1DE，$
$故CH的长即为C到平面C_1DE的距离.$
$由已知可得CE=1，C_1C=4，所以C_1E=\sqrt{17}，$
$故CH=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$
$从而点C到平面C_1DE的距离为\frac{4\sqrt{17}}{17}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1的底面是菱形，AA_1=4，AB=2，\angle BAD=60^\circ ，E，M，N分别是BC，BB_1，A_1D的中点.$

<img_360>
$求点C到平面C_1DE的距离.$

Solution:
解决点到平面的距离的常用方法：定义法(构造线面垂直，求垂线段的长)或等体积转化法.
$过C作C_1E的垂线，垂足为H.$
$由已知可得DE \bot BC，DE \bot C_1C，所以DE \bot 平面C_1CE，$
$故DE \bot CH.$
$从而CH \bot 平面 C_1DE，$
$故CH的长即为C到平面C_1DE的距离.$
$由已知可得CE=1，C_1C=4，所以C_1E=\sqrt{17}，$
$故CH=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$
$从而点C到平面C_1DE的距离为\frac{4\sqrt{17}}{17}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_1是圆柱OO_1的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$
<img_2273>
$若BC=AA_1=2，\angle ABC=30^\circ ，求点A到平面A_1BC的距离.$

Solution:
$在直角三角形BAC中，BC=2，\angle ABC=30^\circ ，则AC=1，AB=\sqrt{3}，可得S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC \cdot AB =\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$在直角三角形BAA_1中，AA_1=2，AB=\sqrt{3}，则A_1B=\sqrt{7}，$

$在直角三角形CAA_1中，AA_1=2，AC=1，则A_1C=\sqrt{5}，$

$在三角形A_1BC中，\\cos  \angle A_1BC = \frac{{A_1B^2+BC^2-A_1C^2}}{{2A_1B \cdot BC}}=\frac{6}{{4\sqrt{7}}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}，$

$则\\sin  \angle A_1BC=\frac{\sqrt{133}}{14}，S_{\triangle A_1BC}=\frac{1}{2}A_1B \cdot BC \cdot \\sin  \angle A_1BC = \frac{\sqrt{19}}{2}，$

$设点A到平面A_1BC的距离为d，$

$由等体积法得 V_{A_1-ABC}=V_{A-A_1BC}，即\frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BC} \cdot d，解得d=\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

$所以点A到平面A_1BC的距离为\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_1是圆柱OO_1的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479019962371/img/compression/M_90b3cf5f52739697c5be4aba769b586e.jpg)
$若BC=AA_1=2，\angle ABC=30^\circ ，求点A到平面A_1BC的距离.$

Solution:
$在直角三角形BAC中，BC=2，\angle ABC=30^\circ ，则AC=1，AB=\sqrt{3}，可得S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC \cdot AB =\frac{\sqrt{3}}{2}，$

$在直角三角形BAA_1中，AA_1=2，AB=\sqrt{3}，则A_1B=\sqrt{7}，$

$在直角三角形CAA_1中，AA_1=2，AC=1，则A_1C=\sqrt{5}，$

$在三角形A_1BC中，\\cos  \angle A_1BC = \frac{{A_1B^2+BC^2-A_1C^2}}{{2A_1B \cdot BC}}=\frac{6}{{4\sqrt{7}}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}，$

$则\\sin  \angle A_1BC=\frac{\sqrt{133}}{14}，S_{\triangle A_1BC}=\frac{1}{2}A_1B \cdot BC \cdot \\sin  \angle A_1BC = \frac{\sqrt{19}}{2}，$

$设点A到平面A_1BC的距离为d，$

$由等体积法得 V_{A_1-ABC}=V_{A-A_1BC}，即\frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BC} \cdot d，解得d=\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

$所以点A到平面A_1BC的距离为\frac{2\sqrt{57}}{19}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1中，侧面AA_1B_1B为正方形，AB=BC=2，E，F 分别为AC和CC_1的中点，BF\perp A_1B_1。$
<img_2863>
$求三棱锥F-EBC的体积；$

Solution:
数学科目的题目：

$\because 侧面四边形AA_1B_1B为正方形，\therefore A_1B_1\perp BB_1，$
$\because BF\perp A_1B_1且BB_1\cap BF=B，BB_1,BF\subset 平面BB_1C_1C，$
$\therefore A_1B_1\perp 平面BB_1C_1C,(线面垂直的判定定理)$
$又\because AB\parallel A_1B_1，\therefore AB\perp 平面BB_1C_1C，$
$又\because BC\subset 平面BB_1C_1C, \therefore AB\perp BC,(线面垂直的性质定理)$
$\because AB=BC=2，E为AC的中点，$
$\therefore S\triangle EBC= 1/2S\triangle ABC=1/2\times 1/2\times 2\times 2=1.$
$由直三棱柱知CF\perp 平面ABC.$
$\because F为CC_1的中点，$
$\therefore CF=1/2CC-1=1/2BB_1=1/2AB=1，$
$\therefore VF-EBC=1/3S\triangle EBC\cdot CF=1/3\times 1\times 1=1/3.$

Final answer: $1/3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1中，侧面AA_1B_1B为正方形，AB=BC=2，E，F 分别为AC和CC_1的中点，BF\perp A_1B_1。$
![22GZTWS3.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549487395860481/img/compression/M_3dc56b5f4ffc27d7a10428af0a27f077.jpg)
$求三棱锥F-EBC的体积；$

Solution:
数学科目的题目：

$\because 侧面四边形AA_1B_1B为正方形，\therefore A_1B_1\perp BB_1，$
$\because BF\perp A_1B_1且BB_1\cap BF=B，BB_1,BF\subset 平面BB_1C_1C，$
$\therefore A_1B_1\perp 平面BB_1C_1C,(线面垂直的判定定理)$
$又\because AB\parallel A_1B_1，\therefore AB\perp 平面BB_1C_1C，$
$又\because BC\subset 平面BB_1C_1C, \therefore AB\perp BC,(线面垂直的性质定理)$
$\because AB=BC=2，E为AC的中点，$
$\therefore S\triangle EBC= 1/2S\triangle ABC=1/2\times 1/2\times 2\times 2=1.$
$由直三棱柱知CF\perp 平面ABC.$
$\because F为CC_1的中点，$
$\therefore CF=1/2CC-1=1/2BB_1=1/2AB=1，$
$\therefore VF-EBC=1/3S\triangle EBC\cdot CF=1/3\times 1\times 1=1/3.$

Final answer: $1/3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA_1上，BE\perp EC_1.$

<img_57>
$若AE=A_1E,AB=3，求四棱锥E-BB_1C_1C的体积.$

Solution:
$由(1)知\angle BEB_1=90^\circ .由题设知Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle A_1B_1E,所以\angle AEB=\angle A_1EB_1=45^\circ ，故AE=AB=3，AA_1=2AE=6.$
$作EF\perp BB_1，垂足为F，则EF\perp 平面BB_1C_1C，且EF=AB=3.$
$所以，四棱锥E-BB_1C_1C的体积V=\frac{1}{3}\times 3\times 6\times 3=18.$



<img_95>

Final answer: $18$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA_1上，BE\perp EC_1.$

![20GZTLSX27.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549488037588994/img/compression/M_a232018de9a5bca5af95a7bc145bcb2c.jpg)
$若AE=A_1E,AB=3，求四棱锥E-BB_1C_1C的体积.$

Solution:
$由(1)知\angle BEB_1=90^\circ .由题设知Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle A_1B_1E,所以\angle AEB=\angle A_1EB_1=45^\circ ，故AE=AB=3，AA_1=2AE=6.$
$作EF\perp BB_1，垂足为F，则EF\perp 平面BB_1C_1C，且EF=AB=3.$
$所以，四棱锥E-BB_1C_1C的体积V=\frac{1}{3}\times 3\times 6\times 3=18.$



![20GZTLSX27B.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549488540905474/img/compression/M_bc32f2c7d3d55b08a44f6d527780d6d1.jpg)

Final answer: $18$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，\angle APC=90^\circ .$

<img_1990>
$设DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为\sqrt{3}\pi，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$设圆锥的底面半径为r，母线长为l.$
$由题设可得rl=\sqrt{3}，l^2-r^2=2.$
$解得r=1，l=\sqrt{3}.$
$从而AB=\sqrt{3}.由(1)可得PA^2+PB^2=AB^2，故PA=PB=PC=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
$所以三棱锥P-ABC的体积为\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times PA\times PB\times PC=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{6}}{8}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{8}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，\angle APC=90^\circ .$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549489019056130/img/compression/M_65ea453f50f947a562a670181b855bc0.jpg)
$设DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为\sqrt{3}\pi，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$设圆锥的底面半径为r，母线长为l.$
$由题设可得rl=\sqrt{3}，l^2-r^2=2.$
$解得r=1，l=\sqrt{3}.$
$从而AB=\sqrt{3}.由(1)可得PA^2+PB^2=AB^2，故PA=PB=PC=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
$所以三棱锥P-ABC的体积为\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times PA\times PB\times PC=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{6}}{8}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{8}$