di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875149541564419/img/compression/M_e5c7dcaf352f334d5e15bdb1790cab12.jpg)
$若棱AA_1上存在一点M，满足B_1M \perp C_1E，求AM的长；$

Solution:
以A为原点，建立空间直角坐标系如图2，
![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875150145544193/img/compression/M_64739edc0edd0b80b7d36125ae9b2858.jpg)

则$A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,1,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)$，  
$设M(0,0,n),0\leq n\leq 2，所以\overrightarrow{B_1M}=(-2,0,n-2)，\overrightarrow{C_1E}=(1,-1,-2)，  $
$因为B1M\perp C1E，所以\overrightarrow{B_1M}\cdot \overrightarrow{C_1E}=-2-2n+4=0，解得n=1，所以AM=1.$

Final answer: $AM=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
<img_198>
$若棱AA_1上存在一点M，满足B_1M \perp C_1E，求AM的长；$

Solution:
以A为原点，建立空间直角坐标系如图2，
<img_341>

则$A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,1,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)$，  
$设M(0,0,n),0\leq n\leq 2，所以\overrightarrow{B_1M}=(-2,0,n-2)，\overrightarrow{C_1E}=(1,-1,-2)，  $
$因为B1M\perp C1E，所以\overrightarrow{B_1M}\cdot \overrightarrow{C_1E}=-2-2n+4=0，解得n=1，所以AM=1.$

Final answer: $AM=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
<img_198>
$求平面AEC_{1}与平面ABB_{1}A_{1}所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$因为 \overrightarrow{AE} =(1,1,0)，\overrightarrow{AC_1} =(0,2,2)，设平面 AEC_1 的法向量为 m =(x,y,z)，$
$由 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right. 得 \left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+z=0,\end{matrix}\right. $
令 y=-1，则 x=1， z=1，所以 m =(1,-1,1)，
$因为 AC\perp 平面 ABB_1A_1 ，取平面 ABB_1A_1 的法向量为 \overrightarrow{AC} =(0,2,0)，$
$所以 \cos \langle \overrightarrow{AC} , m \rangle = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\boldsymbol{m}|} =-\frac{\sqrt{3}}{3}，$
$所以平面 AEC_1 与平面 ABB_1A_1 所成锐二面角的余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875149541564419/img/compression/M_e5c7dcaf352f334d5e15bdb1790cab12.jpg)
$求平面AEC_{1}与平面ABB_{1}A_{1}所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$因为 \overrightarrow{AE} =(1,1,0)，\overrightarrow{AC_1} =(0,2,2)，设平面 AEC_1 的法向量为 m =(x,y,z)，$
$由 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right. 得 \left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ y+z=0,\end{matrix}\right. $
令 y=-1，则 x=1， z=1，所以 m =(1,-1,1)，
$因为 AC\perp 平面 ABB_1A_1 ，取平面 ABB_1A_1 的法向量为 \overrightarrow{AC} =(0,2,0)，$
$所以 \cos \langle \overrightarrow{AC} , m \rangle = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\boldsymbol{m}|} =-\frac{\sqrt{3}}{3}，$
$所以平面 AEC_1 与平面 ABB_1A_1 所成锐二面角的余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧面BCC_1B_1为正方形，平面BCC_1B_1\perp平面ABBA_1A_1，AB=BC=2，M,N分别为A_1B_1,AC的中点.$
<img_300>
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
$条件①：AB\perp MN；条件②：BM=MN.$
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

Solution:
$因为侧面BCC_1B_1为正方形，所以BC\perp BB_1.$
$又因为平面BCC_1B_1\perp 平面ABB_1A_1，且平面BCC_1B_1\cap 平面ABB_1A_1=BB_1，$
$所以BC\perp 平面ABB_1A_1.所以BC\perp AB.$
$选条件①：AB\perp MN.$
$由(1)得MN\parallel PC,所以AB\perp PC.$
$所以AB\perp 平面BCC_1B_1.所以AB\perp BB_1.$
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
<img_363>
则$B(0,0,0)，A(0,2,0)，M (0,1,2)，N(1,1,0)$.
$所以\overrightarrow{BM}=(0,1,2)，\overrightarrow{BN}=(1,1,0)，\overrightarrow{AB}=(0,-2,0).$
设平面BMN的法向量为m=(x,y,z),
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BM}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BN}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+2z=0,\\ x+y=0.\end{matrix}\right.$
令y=-2,则x=2,z=1.于是m=(2,-2,1).
$设直线AB与平面BMN所成角为\alpha ,则$
$\sin  \alpha =|\cos \langle m,\overrightarrow{AB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{2}{3}.$
选条件②:$BM=MN$.
$又MN=PC=\sqrt{CC^2_1+C_1P^2}=\sqrt{5}，所以BM=\sqrt{5}.$
因为BB_1=2,B_1M=1,所以BM^2=BB_1^2+B_1M^2.
$所以A_1B_1\perp B_1B，即AB\perp BB_1.$
以下同选条件①.

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，侧面BCC_1B_1为正方形，平面BCC_1B_1\perp平面ABBA_1A_1，AB=BC=2，M,N分别为A_1B_1,AC的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875178259480578/img/compression/M_077eeed7792b59df6b9d208461ac139b.jpg)
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
$条件①：AB\perp MN；条件②：BM=MN.$
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

Solution:
$因为侧面BCC_1B_1为正方形，所以BC\perp BB_1.$
$又因为平面BCC_1B_1\perp 平面ABB_1A_1，且平面BCC_1B_1\cap 平面ABB_1A_1=BB_1，$
$所以BC\perp 平面ABB_1A_1.所以BC\perp AB.$
$选条件①：AB\perp MN.$
$由(1)得MN\parallel PC,所以AB\perp PC.$
$所以AB\perp 平面BCC_1B_1.所以AB\perp BB_1.$
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875179354193922/img/compression/M_907d48af0b397f530d00359e3b2bf977.jpg)
则$B(0,0,0)，A(0,2,0)，M (0,1,2)，N(1,1,0)$.
$所以\overrightarrow{BM}=(0,1,2)，\overrightarrow{BN}=(1,1,0)，\overrightarrow{AB}=(0,-2,0).$
设平面BMN的法向量为m=(x,y,z),
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BM}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BN}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y+2z=0,\\ x+y=0.\end{matrix}\right.$
令y=-2,则x=2,z=1.于是m=(2,-2,1).
$设直线AB与平面BMN所成角为\alpha ,则$
$\sin  \alpha =|\cos \langle m,\overrightarrow{AB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{2}{3}.$
选条件②:$BM=MN$.
$又MN=PC=\sqrt{CC^2_1+C_1P^2}=\sqrt{5}，所以BM=\sqrt{5}.$
因为BB_1=2,B_1M=1,所以BM^2=BB_1^2+B_1M^2.
$所以A_1B_1\perp B_1B，即AB\perp BB_1.$
以下同选条件①.

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求\frac{PM}{PD}的值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB\perp AC，所以AP, AB, AC两两垂直，故以AB, AC, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，$
    
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180557959169/img/compression/M_7b9a7294e6b5f9fb7a4708a7ea09f1bc.jpg)

$则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0，2),D(-2,2,0),E(1,1,0)，$

$所以\overrightarrow{PB}=(2,0,-2),\overrightarrow{PD}=(-2,2,-2),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，$

$设\frac{PM}{PD}=\lambda (\lambda \in [0,1])，则\overrightarrow{PM}=(-2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，$

$所以M(-2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda ),\overrightarrow{ME}=(1+2\lambda ,1-2\lambda ,2\lambda -2)，$

$易得平面ABCD的一个法向量为 m=(0,0，2).$

$设平面PBC的法向量为 n=(x,y,z)，$

$由\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=0,\\ \end{cases}$
$得\begin{cases} -2x+2y=0,\\ 2x-2z=0,\\ \end{cases}$

$令x=1，得 n=(1,1，1).$

$因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，$

$所以|\cos \langle \overrightarrow{ME},m\rangle |=|\cos \langle \overrightarrow{ME},n\rangle |，$

$即\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=$
$\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{n}|}，$

$所以|2\lambda -2|=\frac{|2\lambda |}{\sqrt{3}}，解得\lambda =\frac{3-\sqrt{3}}{2}或\lambda =\frac{3+\sqrt{3}}{2}(舍).$

$故\frac{PM}{PD}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

<img_2918>
$如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求\frac{PM}{PD}的值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB\perp AC，所以AP, AB, AC两两垂直，故以AB, AC, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，$
    
<img_2953>

$则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0，2),D(-2,2,0),E(1,1,0)，$

$所以\overrightarrow{PB}=(2,0,-2),\overrightarrow{PD}=(-2,2,-2),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，$

$设\frac{PM}{PD}=\lambda (\lambda \in [0,1])，则\overrightarrow{PM}=(-2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，$

$所以M(-2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda ),\overrightarrow{ME}=(1+2\lambda ,1-2\lambda ,2\lambda -2)，$

$易得平面ABCD的一个法向量为 m=(0,0，2).$

$设平面PBC的法向量为 n=(x,y,z)，$

$由\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=0,\\ \end{cases}$
$得\begin{cases} -2x+2y=0,\\ 2x-2z=0,\\ \end{cases}$

$令x=1，得 n=(1,1，1).$

$因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，$

$所以|\cos \langle \overrightarrow{ME},m\rangle |=|\cos \langle \overrightarrow{ME},n\rangle |，$

$即\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=$
$\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{n}|}，$

$所以|2\lambda -2|=\frac{|2\lambda |}{\sqrt{3}}，解得\lambda =\frac{3-\sqrt{3}}{2}或\lambda =\frac{3+\sqrt{3}}{2}(舍).$

$故\frac{PM}{PD}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO \perp底面ABCD, PO=1.在底面ABCD中，BC \parallel AD, CD \perp AD, BC=CD=1, AD=2.$

<img_2332>
$求二面角B-AP-D的余弦值.$

Solution:
$因为BC=OD, BC\parallel OD，所以四边形BCDO是平行四边形，所以OB\parallel DC，OB=CD，而CD\perp AD，所以OB\perp AD，以OB, OD, OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，$

<img_2772>

$则B(1,0,0), A(0,-1,0), P(0,0,1)，\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，\overrightarrow{AP}=(0,1,1)，设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}m \cdot \overrightarrow{AB}=x+y=0,\\ m \cdot \overrightarrow{AP}=y+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，则y=-1，z=1，所以m=(1,-1,1)，易知平面APD的一个法向量为n=(1,0,0)，所以\cos \langle m, n\rangle =\frac{m \cdot n}{|m||n|}=\frac{1}{\sqrt{3} \times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}，由图可知二面角B-AP-D为锐二面角，所以二面角B-AP-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO \perp底面ABCD, PO=1.在底面ABCD中，BC \parallel AD, CD \perp AD, BC=CD=1, AD=2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875203971047426/img/compression/M_ae92636871185ebb933c8e885cc3d521.jpg)
$求二面角B-AP-D的余弦值.$

Solution:
$因为BC=OD, BC\parallel OD，所以四边形BCDO是平行四边形，所以OB\parallel DC，OB=CD，而CD\perp AD，所以OB\perp AD，以OB, OD, OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，$

![24ABJ5SX134.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875204486946817/img/compression/M_595e2bc4627dd0b712fbc20a35f9a108.jpg)

$则B(1,0,0), A(0,-1,0), P(0,0,1)，\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，\overrightarrow{AP}=(0,1,1)，设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}m \cdot \overrightarrow{AB}=x+y=0,\\ m \cdot \overrightarrow{AP}=y+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，则y=-1，z=1，所以m=(1,-1,1)，易知平面APD的一个法向量为n=(1,0,0)，所以\cos \langle m, n\rangle =\frac{m \cdot n}{|m||n|}=\frac{1}{\sqrt{3} \times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}，由图可知二面角B-AP-D为锐二面角，所以二面角B-AP-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF\perp A1B1.
$当B_1D为何值时，面BB_1C_1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？$

![math_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875207607508994/img/compression/M_023cb2711cea2c814e60b6244e857f95.jpg)

Solution:
$\overrightarrow{EF}=(-1，1，1)，\overrightarrow{FD}=(a，-2，1)，设平面DFE的法向量为\mathbf{n}=(x,y,z)，则$
$\begin{cases}
\overrightarrow{EF} \cdot \mathbf{n}=-x+y+z=0,\\ 
\overrightarrow{FD} \cdot \mathbf{n}=ax-2y+z=0,
\end{cases}$
$不妨设x=1，则y=\frac{a+1}{3},z=\frac{2-a}{3},\therefore \mathbf{n}=\left(1,\frac{a+1}{3},\frac{2-a}{3}\right).$
$易知\mathbf{m}=(1,0,0)是平面BB_1C_1C的一个法向量.设平面BB_1C_1C与平面DEF所成的锐二面角的大小为\theta，则cos \theta=|cos\langle \mathbf{m},\mathbf{n}\rangle |=\frac{|\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{a+1}{3}\right)^2+\left(\frac{2-a}{3}\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt{2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{\frac{27}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}(当a=\frac{1}{2}时取等号),\therefore sin \theta=\sqrt{1-\cos ^2\theta }\geq \frac{\sqrt{3}}{3}，故当a=\frac{1}{2},即B_1D=\frac{1}{2}时，平面BB_1C_1C与平面DEF所成的二面角的正弦值最小，最小值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: B_1D=\frac{1}{2}，最小值=\frac{\sqrt{3}}{3}
Subfield: Solid Geometry


Question: 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF\perp A1B1.
$当B_1D为何值时，面BB_1C_1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？$

<img_291>

Solution:
$\overrightarrow{EF}=(-1，1，1)，\overrightarrow{FD}=(a，-2，1)，设平面DFE的法向量为\mathbf{n}=(x,y,z)，则$
$\begin{cases}
\overrightarrow{EF} \cdot \mathbf{n}=-x+y+z=0,\\ 
\overrightarrow{FD} \cdot \mathbf{n}=ax-2y+z=0,
\end{cases}$
$不妨设x=1，则y=\frac{a+1}{3},z=\frac{2-a}{3},\therefore \mathbf{n}=\left(1,\frac{a+1}{3},\frac{2-a}{3}\right).$
$易知\mathbf{m}=(1,0,0)是平面BB_1C_1C的一个法向量.设平面BB_1C_1C与平面DEF所成的锐二面角的大小为\theta，则cos \theta=|cos\langle \mathbf{m},\mathbf{n}\rangle |=\frac{|\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{a+1}{3}\right)^2+\left(\frac{2-a}{3}\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt{2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{\frac{27}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}(当a=\frac{1}{2}时取等号),\therefore sin \theta=\sqrt{1-\cos ^2\theta }\geq \frac{\sqrt{3}}{3}，故当a=\frac{1}{2},即B_1D=\frac{1}{2}时，平面BB_1C_1C与平面DEF所成的二面角的正弦值最小，最小值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$





Final answer: B_1D=\frac{1}{2}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

<img_337>
$若M是棱A_1B_1上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}，求\frac{A_1M}{A_1B_1}的值.$

Solution:
不妨设正方体的棱长为2. 建立空间直角坐标系D-xyz如图,

<img_407>

则$D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(1,2,2).$

$所以\overrightarrow{DC}=(0,2,0)，\overrightarrow{CF}=(1，0，2).$

设平面CDE的法向量为m=(x1，y1，z1)，则

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ 
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ 
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
2y_1=0,\\ 
x_1+2z_1=0.\\ 
\end{cases}
$$

令z1=1，则x1=-2，y1=0，于是m=(-2，0，1).

$由题设，存在\lambda \in [0，1)，使得\overrightarrow{A_1M}=\lambda \overrightarrow{A_1B_1}。$

$所以M(2，2\lambda ，2). 所以\overrightarrow{FM}=(1，2\lambda -2，0).$

设平面MFC的法向量为n=(x2，y2，z2)，则

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{FM}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ 
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
x_2+(2\lambda -2)y_2=0,\\ 
x_2+2z_2=0.\\ 
\end{cases}
$$

$令x2=2，则z2=-1，y2=\frac{1}{1-\lambda }.$

$于是n=\left(2,\frac{1}{1-\lambda },-1\right).$

$由题设，|cos\langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{5+\frac{1}{(1-\lambda )^2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}，所以\lambda =\frac{1}{2}.$

$所以\frac{A_1M}{A_1B_1}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

![22GZTLSX44.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875208123408386/img/compression/M_d49cc805ee103ec0a384799df2d7eb91.jpg)
$若M是棱A_1B_1上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}，求\frac{A_1M}{A_1B_1}的值.$

Solution:
不妨设正方体的棱长为2. 建立空间直角坐标系D-xyz如图,

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875208869994497/img/compression/M_d9bfc27193f3f7b2428365dab61864e2.jpg)

则$D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(1,2,2).$

$所以\overrightarrow{DC}=(0,2,0)，\overrightarrow{CF}=(1，0，2).$

设平面CDE的法向量为m=(x1，y1，z1)，则

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ 
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ 
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
2y_1=0,\\ 
x_1+2z_1=0.\\ 
\end{cases}
$$

令z1=1，则x1=-2，y1=0，于是m=(-2，0，1).

$由题设，存在\lambda \in [0，1)，使得\overrightarrow{A_1M}=\lambda \overrightarrow{A_1B_1}。$

$所以M(2，2\lambda ，2). 所以\overrightarrow{FM}=(1，2\lambda -2，0).$

设平面MFC的法向量为n=(x2，y2，z2)，则

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{FM}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ 
\end{cases}
$$

即

$$
\begin{cases}
x_2+(2\lambda -2)y_2=0,\\ 
x_2+2z_2=0.\\ 
\end{cases}
$$

$令x2=2，则z2=-1，y2=\frac{1}{1-\lambda }.$

$于是n=\left(2,\frac{1}{1-\lambda },-1\right).$

$由题设，|cos\langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{5+\frac{1}{(1-\lambda )^2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}，所以\lambda =\frac{1}{2}.$

$所以\frac{A_1M}{A_1B_1}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875233859174401/img/compression/M_8f334a8aeebef6fbe11335dcb5d3059b.jpg)
$求二面角B-PA-D的余弦值；$

Solution:
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875234488320002/img/compression/M_98808568a0fd2f7f0398d767da724929.jpg)

$则D(0,0,0)，A(2\sqrt{2},0,0)，B(0,2,0)，P(\sqrt{2},0,\sqrt{2})，$

$所以\overrightarrow{AP}=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})，\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{2},2,0)，$

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，

$则 \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0, \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0, $

$即 -\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0, -2\sqrt{2}x+2y=0, $

$取x=1，得z=1，y=\sqrt{2}，则n=(1,\sqrt{2}，1)，$

$因为BD\perp 平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为\overrightarrow{DB}=(0,2,0)，$

$所以\cos \langle n,\overrightarrow{DB}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DB}|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+2+1} \times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}，$

因为二面角B-PA-D为锐二面角，

$所以二面角B-PA-D的余弦值为\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
<img_2428>
$求二面角B-PA-D的余弦值；$

Solution:
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

<img_1894>

$则D(0,0,0)，A(2\sqrt{2},0,0)，B(0,2,0)，P(\sqrt{2},0,\sqrt{2})，$

$所以\overrightarrow{AP}=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})，\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{2},2,0)，$

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，

$则 \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0, \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0, $

$即 -\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0, -2\sqrt{2}x+2y=0, $

$取x=1，得z=1，y=\sqrt{2}，则n=(1,\sqrt{2}，1)，$

$因为BD\perp 平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为\overrightarrow{DB}=(0,2,0)，$

$所以\cos \langle n,\overrightarrow{DB}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DB}|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+2+1} \times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}，$

因为二面角B-PA-D为锐二面角，

$所以二面角B-PA-D的余弦值为\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
<img_2428>
$在线段PD上是否存在点E，使得直线AE与平面PAB所成角的正弦值等于\frac{2}{5}？若存在，求线段PE的长；若不存在，说明理由。$

Solution:
$假设存在符合题意的点E，设PE=t(0\leq t\leq 2)，则 \(\overrightarrow{PE} = \frac{t}{2}\overrightarrow{PD} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\). $

所以 $\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PE} = (-\sqrt{2},0,\sqrt{2}) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right) = \left(-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\).$

$由(2)知，平面PAB的一个法向量为\textbf{n}=(1,\(\sqrt{2}\),1). $

所以直线AE与平面PAB所成角的正弦值为

$\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AE}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{AE}|} = \frac{\left|-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right|}{\sqrt{1+2+1} \cdot \sqrt{{\left(-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2+0+{\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2}} = \frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{4+t^2}}.$

由已知可得 $\(\frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{4+t^2}} = \frac{2}{5}\)$，解得$t=\(\frac{4\sqrt{34}}{17}\)$.

所以$PE=\frac{4\sqrt{34}}{17}$.

所以在线段PD上存在点E，使得直线AE与平面PAB所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，此时$PE=\frac{4\sqrt{34}}{17}$.

Final answer: \frac{4\sqrt{34}}{17}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875233859174401/img/compression/M_8f334a8aeebef6fbe11335dcb5d3059b.jpg)
$在线段PD上是否存在点E，使得直线AE与平面PAB所成角的正弦值等于\frac{2}{5}？若存在，求线段PE的长；若不存在，说明理由。$

Solution:
$假设存在符合题意的点E，设PE=t(0\leq t\leq 2)，则 \(\overrightarrow{PE} = \frac{t}{2}\overrightarrow{PD} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\). $

所以 $\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PE} = (-\sqrt{2},0,\sqrt{2}) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right) = \left(-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t,0,\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\).$

$由(2)知，平面PAB的一个法向量为\textbf{n}=(1,\(\sqrt{2}\),1). $

所以直线AE与平面PAB所成角的正弦值为

$\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AE}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{AE}|} = \frac{\left|-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right|}{\sqrt{1+2+1} \cdot \sqrt{{\left(-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2+0+{\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2}} = \frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{4+t^2}}.$

由已知可得 $\(\frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{4+t^2}} = \frac{2}{5}\)$，解得$t=\(\frac{4\sqrt{34}}{17}\)$.

所以$PE=\frac{4\sqrt{34}}{17}$.

所以在线段PD上存在点E，使得直线AE与平面PAB所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，此时$PE=\frac{4\sqrt{34}}{17}$.

Final answer: \frac{4\sqrt{34}}{17}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD\perp DB，且DB=1.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875235415261186/img/compression/M_c1f42b9b1254ea0dacb12e3e3689d3e0.jpg)
$求二面角P-AB-C的余弦值；$

Solution:
$由点P在平面ABC上的射影为D可得PD\perp 平面ACBD，所以PD\perp DA，PD\perp DB.$
$分别以\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DP}的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0,\sqrt{3},0)，P(0,0，1)，C(2,\sqrt{3},0).所以\overrightarrow{BA}=(-1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BP}=(-1，0，1).$

$易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0，1)，设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BA} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BP} \cdot \boldsymbol{m}=0\end{matrix}\right.可得\left\{\begin{matrix}-x+\sqrt{3}y=0,\\ -x+z=0,\end{matrix}\right.，令y=1，则x=\sqrt{3},z=\sqrt{3}，所以平面PAB的一个法向量为m=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})，所以\cos \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} \times 1}=\frac{\sqrt{21}}{7}，$

$由题图可知二面角P-AB-C为钝二面角，所以二面角P-AB-C的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD\perp DB，且DB=1.$
<img_1809>
$求二面角P-AB-C的余弦值；$

Solution:
$由点P在平面ABC上的射影为D可得PD\perp 平面ACBD，所以PD\perp DA，PD\perp DB.$
$分别以\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DP}的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0,\sqrt{3},0)，P(0,0，1)，C(2,\sqrt{3},0).所以\overrightarrow{BA}=(-1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BP}=(-1，0，1).$

$易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0，1)，设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BA} \cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BP} \cdot \boldsymbol{m}=0\end{matrix}\right.可得\left\{\begin{matrix}-x+\sqrt{3}y=0,\\ -x+z=0,\end{matrix}\right.，令y=1，则x=\sqrt{3},z=\sqrt{3}，所以平面PAB的一个法向量为m=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})，所以\cos \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} \times 1}=\frac{\sqrt{21}}{7}，$

$由题图可知二面角P-AB-C为钝二面角，所以二面角P-AB-C的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，BB_1 \perp  平面ABC，AB=BC=BB_1=1.$

<img_3113>
$若AB \perp BC，求：$
$1. AA_1与平面BA_1C_1所成角的正弦值；$
$2. 直线AC与平面BA_1C_1的距离.$

Solution:
$因为 BB_1 \perp 平面ABC，AB,BC \subset  平面 ABC ，所以BB_1 \perp  AB, BB_1 \perp  BC. 又 AB \perp  BC，所以 AB, BB_1, BC 两两垂直.$

$如图,建立空间直角坐标系 B－xyz，$

<img_2582>

$则 A(1,0,0),B_1(0,1,0),C_1(0,1,1),A_1(1，1，0)，B(0,0,0).$

$所以 \overrightarrow{BA_1} =(1,1,0)，\overrightarrow{BC_1} =(0,1,1)，\overrightarrow{AA_1} =(0,1,0).$

$设平面BA_1C_1的法向量为 n =(x,y,z )，则 $

$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BA_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC_1}=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
x+y=0,\\ 
y+z=0.
\end{matrix}
\right.
$$

$令 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1.于是 n =(1,－1,1).$

$①设直线 AA_1 与平面 BA_1C_1 所成角为 \theta  ，则$

$\sin  \theta  =|\cos \langle \overrightarrow{AA_1},n \rangle |= \left| \frac{\overrightarrow{AA_1} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AA_1}||\boldsymbol{n}|} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

$所以 AA_1 与平面 BA_1C_1 所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3} .$

$②因为 AC \parallel 平面 BA_1C_1 ，所以直线 AC  与平面 BA_1C_1 的距离等于点 A 到平面 BA_1C_1 的距离.$

$设点 A 到平面 BA_1C_1 的距离为 h，则$

$h = \frac{|\overrightarrow{AA_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}  = \frac{|(0,1,0) \cdot (1,-1,1)|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$