di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹枪将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后，弹丸水平击中平台边缘B处质量为m_1=0.3 kg的滑块，打击过程为弹性碰撞，此滑块放在质量为m_2=0.2 kg的L形薄板上。已知弹丸从筒口弹出时的速度方向与水平方向的夹角\theta =53^\circ ，B与A的高度差h=\frac{20}{9} m，薄板长度L=0.9 m，最初滑块在薄板的最左端，薄板在平台的最左端，滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5，薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。薄板厚度不计，弹丸和滑块都可视为质点，不计碰撞过程的时间，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2， \sin 53^\circ =0.8。$

<img_1256>
求从滑块开始运动到撞击薄板的过程中系统因摩擦产生的热量；

Solution:
$由于m_0=m_1，打击过程为弹性碰撞，所以弹丸与滑块碰撞后交换速度，弹丸速度变为0，滑块获得水平向右、大小为v_0=5 m/s的速度，此后滑块做匀减速直线运动。$

$由牛顿第二定律可得\mu_1m_1g=m_1a_1$

$解得滑块加速度大小a_1=\mu_1g=5 m/s^2$

$对薄板由牛顿第二定律得\mu_1m_1g-\mu_2(m_1+m_2)g=m_2a_2$

$解得薄板的加速度大小a_2=0，即薄板静止不动。$

$故从滑块开始运动到撞击薄板的过程中系统因摩擦产生的热量Q=\mu_1m_1gL=1.35 J$

Final answer: 1.35 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹枪将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后，弹丸水平击中平台边缘B处质量为m_1=0.3 kg的滑块，打击过程为弹性碰撞，此滑块放在质量为m_2=0.2 kg的L形薄板上。已知弹丸从筒口弹出时的速度方向与水平方向的夹角\theta =53^\circ ，B与A的高度差h=\frac{20}{9} m，薄板长度L=0.9 m，最初滑块在薄板的最左端，薄板在平台的最左端，滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5，薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。薄板厚度不计，弹丸和滑块都可视为质点，不计碰撞过程的时间，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2， \sin 53^\circ =0.8。$

![题目图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294874033025027/img/compression/M_314091046306b02737203d1ce5b26b6e.jpg)
求从滑块开始运动到撞击薄板的过程中系统因摩擦产生的热量；

Solution:
$由于m_0=m_1，打击过程为弹性碰撞，所以弹丸与滑块碰撞后交换速度，弹丸速度变为0，滑块获得水平向右、大小为v_0=5 m/s的速度，此后滑块做匀减速直线运动。$

$由牛顿第二定律可得\mu_1m_1g=m_1a_1$

$解得滑块加速度大小a_1=\mu_1g=5 m/s^2$

$对薄板由牛顿第二定律得\mu_1m_1g-\mu_2(m_1+m_2)g=m_2a_2$

$解得薄板的加速度大小a_2=0，即薄板静止不动。$

$故从滑块开始运动到撞击薄板的过程中系统因摩擦产生的热量Q=\mu_1m_1gL=1.35 J$

Final answer: 1.35 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹枪将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后，弹丸水平击中平台边缘B处质量为m_1=0.3 kg的滑块，打击过程为弹性碰撞，此滑块放在质量为m_2=0.2 kg的L形薄板上。已知弹丸从筒口弹出时的速度方向与水平方向的夹角\theta =53^\circ ，B与A的高度差h=\frac{20}{9} m，薄板长度L=0.9 m，最初滑块在薄板的最左端，薄板在平台的最左端，滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5，薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。薄板厚度不计，弹丸和滑块都可视为质点，不计碰撞过程的时间，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2， \sin 53^\circ =0.8。$

![题目图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294874033025027/img/compression/M_314091046306b02737203d1ce5b26b6e.jpg)
$若滑块撞击薄板与薄板粘在一起后，薄板右端未滑出平台，求平台至少需要的长度s。$

Solution:
$滑块从开始运动至滑到薄板右端的过程中，由动能定理可得-\mu 1m1gL=\frac{1}{2}m1v^2_1-\frac{1}{2}m1v^2_0$
解得滑块与薄板碰前速度v1=4 m/s
由于滑块撞击薄板后与薄板粘在一起，由动量守恒定律可知m1v1=(m1+m2)v2
解得撞击后的共同速度v2=2.4 m/s
$设薄板从开始运动到停止运动，运动的距离为s0，由动能定理得-\mu 2(m1+m2)gs0=0-\frac{1}{2} (m1+m2)v^2_2$
解得s0=0.96 m
平台的长度至少为s=L+s0=0.9 m+0.96 m=1.86 m

Final answer: 1.86 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹枪将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后，弹丸水平击中平台边缘B处质量为m_1=0.3 kg的滑块，打击过程为弹性碰撞，此滑块放在质量为m_2=0.2 kg的L形薄板上。已知弹丸从筒口弹出时的速度方向与水平方向的夹角\theta =53^\circ ，B与A的高度差h=\frac{20}{9} m，薄板长度L=0.9 m，最初滑块在薄板的最左端，薄板在平台的最左端，滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5，薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。薄板厚度不计，弹丸和滑块都可视为质点，不计碰撞过程的时间，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2， \sin 53^\circ =0.8。$

<img_1256>
$若滑块撞击薄板与薄板粘在一起后，薄板右端未滑出平台，求平台至少需要的长度s。$

Solution:
$滑块从开始运动至滑到薄板右端的过程中，由动能定理可得-\mu 1m1gL=\frac{1}{2}m1v^2_1-\frac{1}{2}m1v^2_0$
解得滑块与薄板碰前速度v1=4 m/s
由于滑块撞击薄板后与薄板粘在一起，由动量守恒定律可知m1v1=(m1+m2)v2
解得撞击后的共同速度v2=2.4 m/s
$设薄板从开始运动到停止运动，运动的距离为s0，由动能定理得-\mu 2(m1+m2)gs0=0-\frac{1}{2} (m1+m2)v^2_2$
解得s0=0.96 m
平台的长度至少为s=L+s0=0.9 m+0.96 m=1.86 m

Final answer: 1.86 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294874477621250/img/compression/M_1c9198ac2f75b89b2e224d978bdcaeff.jpg)
小球1与小球2碰撞前瞬间小球1对轨道CD的压力的大小；

Solution:
小球1从A到B，根据能量守恒定律有
$E\_p-\mu \_1m\_1gx= \frac{1}{2}m\_1v^2_B,解得v\_B=1 m/s$
$小球1从B到C做平抛运动，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道，则有v\_C= \frac{v_B}{ \cos  60^{\circ}}=2 m/s$
小球1从C到D，根据机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}m\_1v^2_C+m\_1gR(1- \cos 60^\circ )= \frac{1}{2}m\_1v^2_D，解得v\_D=4 m/s$
$小球1在D点，根据牛顿第二定律有F\_Nm\_1g=m\_1\frac{v^2_D}{R}$
$解得F\_N= \frac{140}{3} N$
$根据牛顿第三定律可知，小球1对轨道CD的压力大小为\frac{140}{3} N，方向竖直向下$

Final answer: $\frac{140}{3} N,方向竖直向下$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

<img_698>
小球1与小球2碰撞前瞬间小球1对轨道CD的压力的大小；

Solution:
小球1从A到B，根据能量守恒定律有
$E\_p-\mu \_1m\_1gx= \frac{1}{2}m\_1v^2_B,解得v\_B=1 m/s$
$小球1从B到C做平抛运动，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道，则有v\_C= \frac{v_B}{ \cos  60^{\circ}}=2 m/s$
小球1从C到D，根据机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}m\_1v^2_C+m\_1gR(1- \cos 60^\circ )= \frac{1}{2}m\_1v^2_D，解得v\_D=4 m/s$
$小球1在D点，根据牛顿第二定律有F\_Nm\_1g=m\_1\frac{v^2_D}{R}$
$解得F\_N= \frac{140}{3} N$
$根据牛顿第三定律可知，小球1对轨道CD的压力大小为\frac{140}{3} N，方向竖直向下$



Final answer: $\frac{140}{3}$ N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294874477621250/img/compression/M_1c9198ac2f75b89b2e224d978bdcaeff.jpg)
炸药爆炸过程中有多少能量转化成小球1、2的机械能；

Solution:
小球1与小球2碰撞，动量守恒，则有
$m_1v_D=(m_1+m_2)v$
$解得v=\frac{4}{3} m/s$
炸药爆炸过程中，根据动量守恒有
$(m_1+m_2)v=-m_1v_1+m_2v_2$
小球1从D到C，根据机械能守恒有
$\frac{1}{2}m_1v^2_1=m_1gR(1- \cos 60^\circ )+\frac{1}{2}m_1v^2_C$
联立解得$v_1=4 m/s，v_2=4 m/s$
炸药爆炸过程中转化成小球1、2的机械能的能量为
$\Delta E=\frac{1}{2}m_1v^2_1+\frac{1}{2}m_2v^2_2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=\frac{128}{3} J$

Final answer: $\frac{128}{3} J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

<img_698>
炸药爆炸过程中有多少能量转化成小球1、2的机械能；

Solution:
小球1与小球2碰撞，动量守恒，则有
$m_1v_D=(m_1+m_2)v$
$解得v=\frac{4}{3} m/s$
炸药爆炸过程中，根据动量守恒有
$(m_1+m_2)v=-m_1v_1+m_2v_2$
小球1从D到C，根据机械能守恒有
$\frac{1}{2}m_1v^2_1=m_1gR(1- \cos 60^\circ )+\frac{1}{2}m_1v^2_C$
联立解得$v_1=4 m/s，v_2=4 m/s$
炸药爆炸过程中转化成小球1、2的机械能的能量为
$\Delta E=\frac{1}{2}m_1v^2_1+\frac{1}{2}m_2v^2_2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=\frac{128}{3} J$



Final answer: $\frac{128}{3}$ J
Subfield: Mechanics


Question: $为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R=0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m=0.12 kg的滑块a以初速度v0=2\sqrt{21} m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L=0.8 m，以v=2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数\mu =0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s^2,弹簧的弹性势能Ep=\frac{1}{2}kx^2(x为形变量)。$

<img_1155>
$若滑块a碰后返回到B点时速度v_B=1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能\Delta E；$

Solution:
$若滑块a碰后返回到B点时速度v_B=1 m/s，设碰后滑块a的速度大小为v_a，则由动能定理有$
$-mg\cdot 2R-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_B-\frac{1}{2} mv^2_a$
$解得v_a=5 m/s$
$滑块a、b碰撞过程中由动量守恒得mv_F=-mv_a+3mv_b$
$解得v_b=5 m/s$
$滑块a、b碰撞过程中损失的机械能$
$\Delta E=\frac{1}{2}mv^2_F-\left(\frac{1}{2}mv^2_a+\frac{1}{2}\cdot 3mv^2_b\right)$
$解得\Delta E=0$

Final answer: 0 J
Subfield: Mechanics


Question: $为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R=0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m=0.12 kg的滑块a以初速度v0=2\sqrt{21} m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L=0.8 m，以v=2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数\mu =0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s^2,弹簧的弹性势能Ep=\frac{1}{2}kx^2(x为形变量)。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294865056960515/img/compression/M_8d84f70cac4531abd46ca46d819710dc.jpg)
$若滑块a碰后返回到B点时速度v_B=1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能\Delta E；$

Solution:
$若滑块a碰后返回到B点时速度v_B=1 m/s，设碰后滑块a的速度大小为v_a，则由动能定理有$
$-mg\cdot 2R-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_B-\frac{1}{2} mv^2_a$
$解得v_a=5 m/s$
$滑块a、b碰撞过程中由动量守恒得mv_F=-mv_a+3mv_b$
$解得v_b=5 m/s$
$滑块a、b碰撞过程中损失的机械能$
$\Delta E=\frac{1}{2}mv^2_F-\left(\frac{1}{2}mv^2_a+\frac{1}{2}\cdot 3mv^2_b\right)$
$解得\Delta E=0$

Final answer: 0 J
Subfield: Mechanics


Question: $为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R=0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m=0.12 kg的滑块a以初速度v0=2\sqrt{21} m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L=0.8 m，以v=2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数\mu =0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s^2,弹簧的弹性势能Ep=\frac{1}{2}kx^2(x为形变量)。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294865056960515/img/compression/M_8d84f70cac4531abd46ca46d819710dc.jpg)
若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差$\Delta x$。

Solution:
若滑块a碰到滑块b立即被粘住，设碰撞后a、b的共同速度为v，由动量守恒得 $mv_F = (m+3m)v$

当弹簧最长或最短时，a、b与c达到共速，设为v'，由动量守恒得 (m+3m)v = (m+3m+2m)v'

弹簧的最大弹性势能  
$E_p = \frac{1}{2} (m+3m)v^2 - \frac{1}{2} (m+3m+2m)v'^2$

$又E_p = \frac{1}{2}kx^2$

弹簧最大长度与最小长度之差\Delta x = 2x

联立解得$\Delta x = 0.2 m$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R=0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m=0.12 kg的滑块a以初速度v0=2\sqrt{21} m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L=0.8 m，以v=2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数\mu =0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s^2,弹簧的弹性势能Ep=\frac{1}{2}kx^2(x为形变量)。$

<img_1155>
若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差$\Delta x$。

Solution:
若滑块a碰到滑块b立即被粘住，设碰撞后a、b的共同速度为v，由动量守恒得 $mv_F = (m+3m)v$

当弹簧最长或最短时，a、b与c达到共速，设为v'，由动量守恒得 (m+3m)v = (m+3m+2m)v'

弹簧的最大弹性势能  
$E_p = \frac{1}{2} (m+3m)v^2 - \frac{1}{2} (m+3m+2m)v'^2$

$又E_p = \frac{1}{2}kx^2$

弹簧最大长度与最小长度之差\Delta x = 2x

联立解得$\Delta x = 0.2 m$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_483a48ea9f9776bf59dd5a6050f9d66d.jpg)  

图甲

![Image of Yaktocat](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294915896119298/img/compression/M_dd63f94623fb6ca7b223800a386c2542.jpg)

图乙
离子打到H板上的长度。

Solution:
为使离子打到H板上，偏转电压U应取0.64U_0~U_0，$由于是类斜抛运动(可看作由两个类平抛运动组成)，离子的运动时间为t=2\times \frac{v_y}{a}，离子的水平位移为x=v_{x}t，加速度为a=\frac{qU}{md}，离子的水平速度为v_{x}=v \cos 53^\circ ，从而得到x_{max}=3d、x_{min}=1.92d，则离子打到H板上的长度是x=x_{max}-x_{min}=3d-1.92d=1.08d。$

Final answer: 1.08d
Subfield: Mechanics


Question: 在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。如图甲所示的装置由加速区、静电分析器和偏转电场三部分组成。在发射源S处静止释放质量为m，电荷量为q的正离子，经过竖直放置的A、B板间电压为$U_0$的加速电场后进入电场均匀辐射分布的静电分析器，从C点射入后沿半径为R、圆心角为$53^\circ$ 的圆弧做匀速圆周运动，且从D点射出，经DP从偏转电场的P点射入，水平放置的G、H板间距为d，两板间加上如图乙的变化电压，G为正极板，该变化电压的最大值也为U_0，且周期T远远大于离子在偏转电场中的运动时间，G、H板足够长，离子重力不计。已知 $\sin 53^\circ =0.8， \cos 53^\circ =0.6$ 求：

<img_783>  

图甲

<img_777>

图乙
离子打到H板上的长度。

Solution:
为使离子打到H板上，偏转电压U应取0.64U_0~U_0，$由于是类斜抛运动(可看作由两个类平抛运动组成)，离子的运动时间为t=2\times \frac{v_y}{a}，离子的水平位移为x=v_{x}t，加速度为a=\frac{qU}{md}，离子的水平速度为v_{x}=v \cos 53^\circ ，从而得到x_{max}=3d、x_{min}=1.92d，则离子打到H板上的长度是x=x_{max}-x_{min}=3d-1.92d=1.08d。$

Final answer: 1.08d
Subfield: Electromagnetism


Question: $在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v_0穿出电场，AC与AB的夹角\theta=60^\circ 。运动中粒子仅受电场力作用。$

![21GZTWL6.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294901438353410/img/compression/M_4553a71cf1928f7135e0f4e285f81790.jpg)
为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大?

Solution:
$如图，由几何关系知AC\perp BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294901799063553/img/compression/M_b7f27f1c73e2920e53d7c96cbe1ec9aa.jpg)

$\angle PAD=30^\circ ，AP=\frac{3}{2}R，DP=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$设粒子以速度v_1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t_1。粒子在AC方向分运动是加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于AP；在垂直于AC方向上的分运动是匀速运动，运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有$

$F=ma$

$AP=\frac{1}{2}at_1^2$

$DP=v_1t_1$

$联立②④⑤⑥⑦⑧式得v_1=\frac{\sqrt{2}}{4}v_0$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{4} $
Subfield: Electromagnetism


Question: $在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v_0穿出电场，AC与AB的夹角\theta=60^\circ 。运动中粒子仅受电场力作用。$

<img_1216>
为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大?

Solution:
$如图，由几何关系知AC\perp BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知$

<img_868>

$\angle PAD=30^\circ ，AP=\frac{3}{2}R，DP=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$设粒子以速度v_1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t_1。粒子在AC方向分运动是加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于AP；在垂直于AC方向上的分运动是匀速运动，运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有$

$F=ma$

$AP=\frac{1}{2}at_1^2$

$DP=v_1t_1$

$联立②④⑤⑥⑦⑧式得v_1=\frac{\sqrt{2}}{4}v_0$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{4} $
Subfield: Electromagnetism


Question: $电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图甲是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点射出，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294911408467973/img/compression/M_658f81ac652b6259c2ffa197c2848aad.jpg)

图甲

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294911408467973/img/compression/M_6f6ed498af2643817f46c5665f5aea25.jpg)

图乙
电子从8号圆筒出来时的速度大小和磁感应强度B大小；

Solution:
$根据动能定理有8eu = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}，解得v_{0} = 4\sqrt{\frac{eu}{m}}。电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有ev_{0}B = \frac{mv_{0}^{2}}{\frac{1}{2}L}，解得B = \frac{8}{L}\sqrt{\frac{mu}{e}}。$

Final answer: $4 \sqrt{\frac{eu}{m}}, \frac{8}{L} \sqrt{\frac{mu}{e}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图甲是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点射出，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：$

<img_933>

图甲

<img_1221>

图乙
电子从8号圆筒出来时的速度大小和磁感应强度B大小；

Solution:
$根据动能定理有8eu = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}，解得v_{0} = 4\sqrt{\frac{eu}{m}}。电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有ev_{0}B = \frac{mv_{0}^{2}}{\frac{1}{2}L}，解得B = \frac{8}{L}\sqrt{\frac{mu}{e}}。$

Final answer: $4 \sqrt{\frac{eu}{m}}, \frac{8}{L} \sqrt{\frac{mu}{e}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，直角坐标系第一象限内，在0\leq x\leq 25 cm间存在沿y轴正方向的匀强电场E=3.0\times 10^4 N/m，在x轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场B=1.0 T。粒子枪的位置沿虚线在第一象限内上下可调，从枪口P处水平连续发射速度为v_0=5.0\times 10^4 m/s的带负电的粒子。在x轴上放置一成像底片，其左端M位于枪口P的正下方，粒子打到底片下表面被吸收后不反弹。从水平高度y=3 cm处发射的粒子恰好从O点进入磁场，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。求：$

![题目图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294972972462083/img/compression/M_f56370013017d484cbdbd3c320f6914f.jpg)
该粒子的比荷；

Solution:
如图所示

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294973312200706/img/compression/M_8f2d91d7179bf6d407207341e7603c9a.jpg)

$由类平抛运动规律得t=\frac{x_m}{v_0}，y=\frac{1}{2}at^2=\frac{Eqx^2_m}{2mv^2_0}$

代入得

$\frac{q}{m}=8 \times 10^4 C/kg$

Final answer: $8\times 10^4 C/kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，直角坐标系第一象限内，在0\leq x\leq 25 cm间存在沿y轴正方向的匀强电场E=3.0\times 10^4 N/m，在x轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场B=1.0 T。粒子枪的位置沿虚线在第一象限内上下可调，从枪口P处水平连续发射速度为v_0=5.0\times 10^4 m/s的带负电的粒子。在x轴上放置一成像底片，其左端M位于枪口P的正下方，粒子打到底片下表面被吸收后不反弹。从水平高度y=3 cm处发射的粒子恰好从O点进入磁场，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。求：$

<img_1172>
该粒子的比荷；

Solution:
如图所示

<img_484>

$由类平抛运动规律得t=\frac{x_m}{v_0}，y=\frac{1}{2}at^2=\frac{Eqx^2_m}{2mv^2_0}$

代入得

$\frac{q}{m}=8 \times 10^4 C/kg$



Final answer: $8\times 10^4$ C/kg
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294973698076675/img/compression/M_4aa83185b84057f8ed499c4cb230b3d2.jpg)
$求粒子在第1层磁场中运动时速度v_1的大小与轨迹半径r_1；$

Solution:
$粒子进入第1层磁场前经过一次加速，由动能定理得Eqd=\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得v_1=\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}=2\sqrt{2}\times 10^4 m/s$

粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有

$qv_1B=\frac{mv^2_1}{r_1}$

$解得r_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Edm}{q}}=2\sqrt{2} m$

Final answer: $2\sqrt{2}\times 10^4 m/s, 2\sqrt{2} m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

<img_1308>
$求粒子在第1层磁场中运动时速度v_1的大小与轨迹半径r_1；$

Solution:
$粒子进入第1层磁场前经过一次加速，由动能定理得Eqd=\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得v_1=\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}=2\sqrt{2}\times 10^4 m/s$

粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有

$qv_1B=\frac{mv^2_1}{r_1}$

$解得r_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Edm}{q}}=2\sqrt{2} m$

Final answer: $2\sqrt{2}\times 10^4 m/s, 2\sqrt{2} m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294973698076675/img/compression/M_4aa83185b84057f8ed499c4cb230b3d2.jpg)
求该粒子向右运动的最大水平距离；(说明：忽略虚线位置场对带电粒子的影响)

Solution:
$粒子运动到第n层磁场时，有nEqd=\frac{1}{2}mv^2_n(1)$

$而qvnB=\frac{mv^2_n}{r_n}(2)$

$设粒子进入第n层磁场时，速度方向与水平方向的夹角为\alpha _n,从第n层磁场射出时，速度方向与水平方向的夹角为\theta _n$
$由于粒子在电场中运动时只受电场力，故其垂直于电场方向的分速度不变，因此有v_{n-1}\sin\theta _{n-1}=v_n\sin\alpha _n$
$由(2)式可知\frac{v_n}{v_{n-1}}=\frac{r_n}{r_{n-1}},所以有r_{n-1}\cdot \sin\theta _{n-1}=r_n\cdot \sin\alpha _n$
$同时由几何关系得r_n \sin \theta _n - r_n \sin \alpha _n=d，如图，$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974067175425/img/compression/M_99bab4cc21325c389004a5c6f15377ea.jpg)

$联立上式可得r_n \sin \theta _n - r_{n-1} \sin \theta _{n-1}=d$
$可以得出等差数列关系式r_n \sin \theta _n = r_1 \sin \theta _1+(n-1)d$
$由几何关系得出r_1 \sin \theta _1=d$
$得r_n \sin \theta _n = nd(3)$

$联立(1)(2)(3)解得 \sin \theta _n= B\sqrt{\frac{qnd}{2Em}}$
$当粒子偏转角度为90^\circ 时，粒子向右运动的水平距离达到最大，此时 \sin \theta _n=1$
$B\sqrt{\frac{qnd}{2Em}}=1 得n=\frac{2Em}{B^2qd}$
$代入数据可得n=2$
$即最大水平距离为x=2dn=8 m$

Final answer: 8 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

<img_1308>
求该粒子向右运动的最大水平距离；(说明：忽略虚线位置场对带电粒子的影响)

Solution:
$粒子运动到第n层磁场时，有nEqd=\frac{1}{2}mv^2_n(1)$

$而qvnB=\frac{mv^2_n}{r_n}(2)$

$设粒子进入第n层磁场时，速度方向与水平方向的夹角为\alpha _n,从第n层磁场射出时，速度方向与水平方向的夹角为\theta _n$
$由于粒子在电场中运动时只受电场力，故其垂直于电场方向的分速度不变，因此有v_{n-1}\sin\theta _{n-1}=v_n\sin\alpha _n$
$由(2)式可知\frac{v_n}{v_{n-1}}=\frac{r_n}{r_{n-1}},所以有r_{n-1}\cdot \sin\theta _{n-1}=r_n\cdot \sin\alpha _n$
$同时由几何关系得r_n \sin \theta _n - r_n \sin \alpha _n=d，如图，$

<img_864>

$联立上式可得r_n \sin \theta _n - r_{n-1} \sin \theta _{n-1}=d$
$可以得出等差数列关系式r_n \sin \theta _n = r_1 \sin \theta _1+(n-1)d$
$由几何关系得出r_1 \sin \theta _1=d$
$得r_n \sin \theta _n = nd(3)$

$联立(1)(2)(3)解得 \sin \theta _n= B\sqrt{\frac{qnd}{2Em}}$
$当粒子偏转角度为90^\circ 时，粒子向右运动的水平距离达到最大，此时 \sin \theta _n=1$
$B\sqrt{\frac{qnd}{2Em}}=1 得n=\frac{2Em}{B^2qd}$
$代入数据可得n=2$
$即最大水平距离为x=2dn=8 m$

Final answer: 8 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

<img_1308>
$若将另一个电荷量q仍为1.6\times 10^{-19} C，质量为m' =1.6\times 10^{-23} kg的带正电粒子从同一点静止释放，该粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，求n的值。$

Solution:
$结合(2)问有n=\frac{2Em'}{B^2qd}$

$解得n=20$

Final answer: 20
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的无限长多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度d均为2 m，电场强度E均为2\times 10^3 N/C，方向水平向右；磁感应强度B均为0.1 T，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量m=1.6\times 10^-24 kg、电荷量q=1.6\times 10^-19 C的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294973698076675/img/compression/M_4aa83185b84057f8ed499c4cb230b3d2.jpg)
$若将另一个电荷量q仍为1.6\times 10^{-19} C，质量为m' =1.6\times 10^{-23} kg的带正电粒子从同一点静止释放，该粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，求n的值。$

Solution:
$结合(2)问有n=\frac{2Em'}{B^2qd}$

$解得n=20$

Final answer: 20
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_7d0372e48ea74eb12f8ee625a7fe54f9.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_b60ebf564caf87ae63ba995c3b4e6026.jpg)
$金属圆筝1与金属圆筒4的长度之比l_1：l_4的值$

Solution:
$设质子进入第n个圆筒的速度为v_n$

$根据动能定理得 nqU_0=\frac{1}{2}mv^2_n$

$解得 v_n=\sqrt{\frac{2nqU_0}{m}}$

$由于质子在圆筒中运动的时间相同，则金属圆筒1与金属圆筒4的长度之比 \frac{l_1}{l_4}=\frac{v_1t}{v_4t}=\frac{1}{2}$

Final answer: 1:2
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

<img_658>

<img_1113>
$金属圆筝1与金属圆筒4的长度之比l_1：l_4的值$

Solution:
$设质子进入第n个圆筒的速度为v_n$

$根据动能定理得 nqU_0=\frac{1}{2}mv^2_n$

$解得 v_n=\sqrt{\frac{2nqU_0}{m}}$

$由于质子在圆筒中运动的时间相同，则金属圆筒1与金属圆筒4的长度之比 \frac{l_1}{l_4}=\frac{v_1t}{v_4t}=\frac{1}{2}$

Final answer: 1:2
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

<img_658>

<img_1113>
$加速氚核时，若交变电压周期仍为T，则需要将图乙中交变电压U_0调至原来的几倍；加速后，氚核在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r等于多少；$

Solution:
要让氚核也能“踏准节奏”在间隙处被加速，则需要氚核在每个金属圆筒中的速度都与质子的相同。

氚核电荷量与质子相同，但质量是质子的3倍；

$由v_n=\sqrt{\frac{2nqU_0}{m}}可知，U_0要调至原来的3倍$

$质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有Bqv_4=mv^2_4/r_1，$

$解得v_4=qBr_1/m，且v_4=\sqrt{\frac{8qU_0}{m}}，B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}$

$故联立解得质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r_1=a$

$氚核质量为质子的3倍，进入区域Ⅰ时的速度与质子的相同，即\frac{Bqr_3}{3m}=\frac{Bqr_1}{m},可得氚核在磁场中做匀速圆周运动的半径为r_3=3a$

Final answer: 3, 3a