Subfield: Combinatorics


Question: 设 $V$ 是空间中 2019 个点构成的集合, 其中任意四点不共面. 某些点之间连有线段, 记 $E$ 为这些线段构成的集合. 试求最小的正整数 $n$, 满足条件: 若 $E$ 至少有 $n$ 个元素, 则 $E$ 一定含有 908 个二元子集, 其中每个二元子集中的两条线段有公共端点, 且任意两个二元子集的交为空集.

Solution:
为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个 “角”.

先证明一个引理: 设 $G=(V, E)$ 是一个简单图, 且 $G$ 是连通的, 则 $G$ 含有 $\left[\frac{|E|}{2}\right]$ 个两两无公共边的角 (这里 $[\alpha]$ 表示实数 $\alpha$ 的整数部分).

引理的证明: 对 $E$ 的元素个数 $|E|$ 归纳证明. 当 $|E|=0,1,2,3$ 时, 结论显然成立. 下面假设 $|E| \geqslant 4$, 并且结论在 $|E|$ 较小时均成立.

只需证明, 在 $G$ 中可以选取两条边 $a, b$ 构成一个角, 在 $G$ 中删去 $a, b$ 这两条边后, 剩下的图含有一个连通分支包含 $|E|-2$ 条边. 对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.

考虑 $G$ 中的最长路 $P: v_{1} v_{2} \ldots v_{k}$, 其中 $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}$ 是互不相同的顶点. 因为 $G$ 连通, 故 $k \geqslant 3$.

情形 1: $\operatorname{deg}\left(v_{1}\right) \geqslant 2$. 由于 $P$ 是最长路, $v_{1}$ 的邻点均在 $v_{2}, \ldots, v_{k}$ 中, 设 $v_{1} v_{i} \in E$, 其中 $3 \leqslant i \leqslant k$. 则 $\left\{v_{1} v_{2}, v_{1} v_{i}\right\}$ 是一个角, 在 $E$ 中删去这两条边. 若 $v_{1}$ 处还有第三条边,则剩下的图是连通的: 若 $v_{1}$ 处仅有被删去的两条边, 则 $v_{1}$ 成为孤立点, 其余顶点仍互相连通. 总之在剩下的图中有一个连通分支含有 $|E|-2$ 条边.

情形 $2: \operatorname{deg}\left(v_{1}\right)=1, \operatorname{deg}\left(v_{2}\right)=2$. 则 $\left\{v_{1} v_{2}, v_{2} v_{3}\right\}$ 是一个角, 在 $G$ 中删去这两条边后, $v_{1}, v_{2}$ 都成为孤立点, 其余的点互相连通, 因此有一个连通分支含有 $|E|-2$ 条边.

情形 3: $\operatorname{deg}\left(v_{1}\right)=1, \operatorname{deg}\left(v_{2}\right) \geqslant 3$, 且 $v_{2}$ 与 $v_{4}, \ldots, v_{k}$ 中某个点相邻. 则 $\left\{v_{1} v_{2}, v_{2} v_{3}\right\}$是一个角, 在 $G$ 中删去这两条边后, $v_{1}$ 成为孤立点, 其余点互相连通, 因此有一个连通分支含有 $|E|-2$ 条边.

情形 4: $\operatorname{deg}\left(v_{1}\right)=1, \operatorname{deg}\left(v_{2}\right) \geqslant 3$, 且 $v_{2}$ 与某个 $u \notin\left\{v_{1}, v_{3}, \ldots, v_{k}\right\}$ 相邻. 由于 $P$ 是最长路, 故 $u$ 的邻点均在 $v_{2}, \ldots, v_{k}$ 之中. 因 $\left\{v_{1} v_{2}, v_{2} u\right\}$ 是一个角, 在 $G$ 中删去这两条边, 则 $v_{1}$ 是孤立点, 若 $u$ 处仅有边 $u v_{2}$, 则删去所述边后 $u$ 也是孤立点, 而其余点互相连通. 若 $u$ 处还有其他边 $u v_{i}, 3 \leqslant i \leqslant k$, 则删去所述边后, 除 $v_{1}$ 外其余点互相连通, 总之, 剩下的图中有一个连通分支含有 $|E|-2$ 条边. 引理获证.

回到原题, 题中的 $V$ 和 $E$ 可看作一个图 $G=(V, E)$.

首先证明 $n \geqslant 2795$.

设 $V=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2019}\right\}$. 在 $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{61}$ 中, 首先两两连边, 再删去其中 15 条边 (例如 $v_{1} v_{2}, v_{1} v_{3}, \ldots, v_{1} v_{16}$ ), 共连了 $C_{61}^{2}-15=1815$ 条边, 则这 61 个点构成的图是连通图. 再将剩余的 $2019-61=1958$ 个点配成 979 对, 每对两点之间连一条边, 则图 $G$ 中一共连了 $1815+979=2794$ 条线段.

由上述构造可见, $G$ 中的任何一个角必须使用 $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{61}$ 相连的边, 因此至多有 $\left[\frac{1815}{2}\right]=907$ 个两两无公共边的角. 故满足要求的 $n$ 不小于 2795 . 另一方面, 若 $|E| \geqslant$ 2795 , 可任意删去若干条边, 只考虑 $|E|=2795$ 的情形. 设 $G$ 有 $k$ 个连通分支, 分别有 $m_{1}, \ldots, m_{k}$ 个点, 及 $e_{1}, \ldots, e_{k}$ 条边. 下面证明 $e_{1}, \ldots, e_{k}$ 中至多有 979 个奇数.

反证法, 假设 $e_{1}, \ldots, e_{k}$ 中有至少 980 个奇数, 由于 $e_{1}+\ldots+e_{k}=2795$ 是奇数, 故 $e_{1}, \ldots, e_{k}$ 中至少有 981 个奇数, 故 $k \geqslant 981$. 不妨设 $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{981}$ 都是奇数, 显然 $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{981} \geqslant 2$. 令 $m=m_{981}+\ldots+m_{k} \geqslant 2$. 则有 $C_{m_{i}}^{2} \geqslant e_{i}(1 \leqslant i \leqslant 980)$, $C_{m}^{2} \geqslant e_{981}+\ldots+e_{k}$, 故

$$
2795=\sum_{i=1}^{k} e_{i} \leqslant C_{m}^{2}+\sum_{i=1}^{980} C_{m_{i}}^{2}
$$

利用组合数的凸性, 即对 $x \geqslant y \geqslant 3$, 有 $C_{x}^{2}+C_{y}^{2} \leqslant C_{x+1}^{2}+C_{y-1}^{2}$, 可知当 $m_{1}, \ldots, m_{980}, m$由 980 个 2 以及一个 59 构成时, $C_{m}^{2}+\sum_{i=1}^{980} C_{m_{i}}^{2}$ 取得最大值. 于是

$$
C_{m_{i}}^{2}+\sum_{i=1}^{980} C_{m_{i}}^{2} \leqslant C_{59}^{2}+980 C_{2}^{2}=2691<2795
$$

这与前式矛盾.

从而 $e_{1}, \ldots, e_{k}$ 中至多有 979 个奇数. 对每个连通分支应用引理, 可知 $G$ 中含有 $N$ 个两两无公共边的角, 其中

$$
N=\sum_{i=1}^{k}\left[\frac{e_{i}}{2}\right] \geqslant \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{k} e_{i}-979\right)=\frac{1}{2}(2795-979)=908
$$

综上, 所求最小的 $n$ 是 2795 .

Final answer: $2795$