di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三角形ABC中，AB=2，AC=1，\angle ACB=\frac{\pi }{2}，D是线段BC上一点，且\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，F为线段AB上一点．$<img_2978>
$(2)求\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围；$

Solution:
$解法一：由题意得\angle CAB=\frac{\pi }{3}，BC=\sqrt[　]{3}，设|\overrightarrow{AF}|=t，t\in [0,2]，则\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})\cdot \overrightarrow{FA}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{FA}=1\cdot t\cdot \\cos  \frac{\pi }{3}+t^{2}\cdot \\cos   \pi =-t^{2}+\frac{1}{2}t=-\left(t-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{16}，t\in [0,2]，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围是\left[-3,\frac{1}{16}\right]．解法二：由题意可设F\left(m,-\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m+1\right)，m\in [0,\sqrt{3}]，所以\overrightarrow{FA}=\left(-m,\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m\right)，\overrightarrow{CF}=\left(m,-\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m+1\right)，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m=-\frac{4}{3}\left(m-\frac{\sqrt{3}}{8}\right)^2+\frac{1}{16}，m\in [0,\sqrt[　]{3}]，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围是\left[-3,\frac{1}{16}\right]．$



Final answer: $\left[-3,\frac{1}{16}\right]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三角形ABC中，AB=2，AC=1，\angle ACB=\frac{\pi }{2}，D是线段BC上一点，且\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，F为线段AB上一点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223416172019714/img/compression/M_2e6053602823f0f6b4175de4f3e60a41.jpg)
$(2)求\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围；$

Solution:
$解法一：由题意得\angle CAB=\frac{\pi }{3}，BC=\sqrt[　]{3}，设|\overrightarrow{AF}|=t，t\in [0,2]，则\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})\cdot \overrightarrow{FA}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{FA}=1\cdot t\cdot \\cos  \frac{\pi }{3}+t^{2}\cdot \\cos   \pi =-t^{2}+\frac{1}{2}t=-\left(t-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{16}，t\in [0,2]，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围是\left[-3,\frac{1}{16}\right]．解法二：由题意可设F\left(m,-\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m+1\right)，m\in [0,\sqrt{3}]，所以\overrightarrow{FA}=\left(-m,\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m\right)，\overrightarrow{CF}=\left(m,-\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m+1\right)，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}=-\frac{4}{3}m^{2}+\frac{\sqrt[　]{3}}{3}m=-\frac{4}{3}\left(m-\frac{\sqrt{3}}{8}\right)^2+\frac{1}{16}，m\in [0,\sqrt[　]{3}]，所以\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{FA}的取值范围是\left[-3,\frac{1}{16}\right]．$

Final answer: $\left[-3,\frac{1}{16}\right]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三角形ABC中，AB=2，AC=1，\angle ACB=\frac{\pi }{2}，D是线段BC上一点，且\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，F为线段AB上一点．$<img_2978>
$(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}．$

Solution:
$解法一：因为F为线段AB的中点，所以\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}，设\overrightarrow{CM}=\lambda \overrightarrow{CF}，则\overrightarrow{CM}=\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}，所以\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\left(\frac{\lambda }{2}-1\right)\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}，又\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}，且A,M,D三点共线，所以存在\mu \in R，使得\overrightarrow{AM}=\mu \overrightarrow{AD}，即\left(\frac{\lambda }{2}-1\right)\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}=\mu \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)，\therefore \left\{\begin{matrix}\frac{\lambda }{2}-1=-\mu ,\\ \frac{\lambda }{2}=\frac{2}{3}\mu ,\end{matrix}\right.\therefore \lambda =\frac{4}{5}，\therefore \overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}，\therefore \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}\right)\cdot (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}^{2}-\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}^{2}=\frac{4}{5}．解法二：因为F为线段AB的中点，所以F\left(\frac{\sqrt[　]{3}}{2},\frac{1}{2}\right)，过点F作FG\perp CD，交CD于点G，过点M作MH\perp CD，交CD于点H，设M(p,q),p>0,q>0,易得\triangle CMH∽\triangle CFG,\triangle MHD∽\triangle ACD,CH=p,MH=q,CG=\frac{\sqrt{3}}{2},FG=\frac{1}{2},CD=\frac{2\sqrt{3}}{3},AC=1,则\frac{CH}{CG}=\frac{MH}{FG}，\frac{MH}{AC}=\frac{HD}{CD}，即\frac{p}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{q}{\frac{1}{2}},\frac{q}{1}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-p}{\frac{2\sqrt{3}}{3}},即p=\sqrt{3}q,2q=2-\sqrt{3}p,解得p=\frac{2\sqrt{3}}{5},q=\frac{2}{5},即M\left(\frac{2\sqrt{3}}{5},\frac{2}{5}\right)，则\overrightarrow{CM}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{5},\frac{2}{5}\right)，又\overrightarrow{AB}=(\sqrt[　]{3},-1)，所以\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}．$

Final answer: $\frac{4}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三角形ABC中，AB=2，AC=1，\angle ACB=\frac{\pi }{2}，D是线段BC上一点，且\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，F为线段AB上一点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223416172019714/img/compression/M_2e6053602823f0f6b4175de4f3e60a41.jpg)
$(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}．$

Solution:
$解法一：因为F为线段AB的中点，所以\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}，设\overrightarrow{CM}=\lambda \overrightarrow{CF}，则\overrightarrow{CM}=\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}，所以\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\left(\frac{\lambda }{2}-1\right)\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}，又\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}，且A,M,D三点共线，所以存在\mu \in R，使得\overrightarrow{AM}=\mu \overrightarrow{AD}，即\left(\frac{\lambda }{2}-1\right)\overrightarrow{CA}+\frac{\lambda }{2}\overrightarrow{CB}=\mu \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)，\therefore \left\{\begin{matrix}\frac{\lambda }{2}-1=-\mu ,\\ \frac{\lambda }{2}=\frac{2}{3}\mu ,\end{matrix}\right.\therefore \lambda =\frac{4}{5}，\therefore \overrightarrow{CM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}，\therefore \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}\right)\cdot (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}^{2}-\frac{2}{5}\overrightarrow{CA}^{2}=\frac{4}{5}．解法二：因为F为线段AB的中点，所以F\left(\frac{\sqrt[　]{3}}{2},\frac{1}{2}\right)，过点F作FG\perp CD，交CD于点G，过点M作MH\perp CD，交CD于点H，设M(p,q),p>0,q>0,易得\triangle CMH∽\triangle CFG,\triangle MHD∽\triangle ACD,CH=p,MH=q,CG=\frac{\sqrt{3}}{2},FG=\frac{1}{2},CD=\frac{2\sqrt{3}}{3},AC=1,则\frac{CH}{CG}=\frac{MH}{FG}，\frac{MH}{AC}=\frac{HD}{CD}，即\frac{p}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{q}{\frac{1}{2}},\frac{q}{1}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-p}{\frac{2\sqrt{3}}{3}},即p=\sqrt{3}q,2q=2-\sqrt{3}p,解得p=\frac{2\sqrt{3}}{5},q=\frac{2}{5},即M\left(\frac{2\sqrt{3}}{5},\frac{2}{5}\right)，则\overrightarrow{CM}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{5},\frac{2}{5}\right)，又\overrightarrow{AB}=(\sqrt[　]{3},-1)，所以\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}．$

Final answer: $\frac{4}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，游客到达某旅游景区内的A处后，有两条路径到B处：一条是从A处沿直线步行到B处；另一条是先从A处沿直线坐小火车到达C处，再从C处沿直线步行到B处.甲、乙两名游客到达A处后，甲沿AB匀速步行，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从A处坐小火车前去C处，准备在C处停留2分钟后，再从C处步行到B处.已知小火车的速度为170米/分钟，A，B之间的距离为2 100米，B，C之间的距离为1 000米，\\cos   B=\frac{3}{5}.$<img_2698>
$(1)乙出发多长时间后，乙在小火车上与甲之间的直线距离最短？$

Solution:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\\\cos   B}=1 700(米)，\\cos   A=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdot AB}=\frac{15}{17}，则乙从A处到C处所需的时间为\frac{1 700}{170}=10(分钟).设乙出发t(0＜t\leq 10)分钟后，甲、乙之间的距离为d米，则d^{2}=(170t)^{2}+(100+50t)^{2}-2\times 170t\times (100+50t)\times \frac{15}{17}=400(41t^{2}-50t+25)，所以当t=\frac{25}{41}时，即乙出发\frac{25}{41}分钟后，乙在小火车上与甲之间的直线距离最短.$

Final answer: $\frac{25}{41}$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，游客到达某旅游景区内的A处后，有两条路径到B处：一条是从A处沿直线步行到B处；另一条是先从A处沿直线坐小火车到达C处，再从C处沿直线步行到B处.甲、乙两名游客到达A处后，甲沿AB匀速步行，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从A处坐小火车前去C处，准备在C处停留2分钟后，再从C处步行到B处.已知小火车的速度为170米/分钟，A，B之间的距离为2 100米，B，C之间的距离为1 000米，\\cos   B=\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223416822136833/img/compression/M_3e0abf501f9206fddb8628d2f16fb1ee.jpg)
$(1)乙出发多长时间后，乙在小火车上与甲之间的直线距离最短？$

Solution:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\\\cos   B}=1 700(米)，\\cos   A=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdot AB}=\frac{15}{17}，则乙从A处到C处所需的时间为\frac{1 700}{170}=10(分钟).设乙出发t(0＜t\leq 10)分钟后，甲、乙之间的距离为d米，则d^{2}=(170t)^{2}+(100+50t)^{2}-2\times 170t\times (100+50t)\times \frac{15}{17}=400(41t^{2}-50t+25)，所以当t=\frac{25}{41}时，即乙出发\frac{25}{41}分钟后，乙在小火车上与甲之间的直线距离最短.$

Final answer: $\frac{25}{41}$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，游客到达某旅游景区内的A处后，有两条路径到B处：一条是从A处沿直线步行到B处；另一条是先从A处沿直线坐小火车到达C处，再从C处沿直线步行到B处.甲、乙两名游客到达A处后，甲沿AB匀速步行，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从A处坐小火车前去C处，准备在C处停留2分钟后，再从C处步行到B处.已知小火车的速度为170米/分钟，A，B之间的距离为2 100米，B，C之间的距离为1 000米，\\cos   B=\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223416822136833/img/compression/M_3e0abf501f9206fddb8628d2f16fb1ee.jpg)
$(2)为使甲、乙在B处相互等待的时间不超过2分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？$

Solution:
$甲从A处步行到B处所需的时间为\frac{2 100}{50}=42(分钟).设乙步行的速度为x米/分钟，则乙的步行时间应满足42-(2+10+2)-2\leq \frac{1 000}{x}\leq 42-(2+10+2)+2，即26\leq \frac{1 000}{x}\leq 30，解得\frac{100}{3}\leq x\leq \frac{500}{13}，所以为使甲、乙在B处相互等待的时间不超过2分钟，乙步行的速度(单位：米/分钟)应控制在\left[\frac{100}{3},\frac{500}{13}\right]范围内.$

Final answer: $[100/3, 500/13]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，游客到达某旅游景区内的A处后，有两条路径到B处：一条是从A处沿直线步行到B处；另一条是先从A处沿直线坐小火车到达C处，再从C处沿直线步行到B处.甲、乙两名游客到达A处后，甲沿AB匀速步行，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从A处坐小火车前去C处，准备在C处停留2分钟后，再从C处步行到B处.已知小火车的速度为170米/分钟，A，B之间的距离为2 100米，B，C之间的距离为1 000米，\\cos   B=\frac{3}{5}.$<img_2698>
$(2)为使甲、乙在B处相互等待的时间不超过2分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？$

Solution:
$甲从A处步行到B处所需的时间为\frac{2 100}{50}=42(分钟).设乙步行的速度为x米/分钟，则乙的步行时间应满足42-(2+10+2)-2\leq \frac{1 000}{x}\leq 42-(2+10+2)+2，即26\leq \frac{1 000}{x}\leq 30，解得\frac{100}{3}\leq x\leq \frac{500}{13}，所以为使甲、乙在B处相互等待的时间不超过2分钟，乙步行的速度(单位：米/分钟)应控制在\left[\frac{100}{3},\frac{500}{13}\right]范围内.$

Final answer: $[100/3, 500/13]$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}，BC=2，E为BC的中点，把\triangle ABE和\triangle CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021461855125509/img/compression/M_6b72afbff28b15fcefeb151e0ffbfc5e.jpg)
$(1)求证：平面PDE\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：由AB\perp BE，得AP\perp PE，同理，DP\perp PE.又\because AP\cap DP=P，\therefore PE\perp 平面PAD.又PE\subset 平面PDE，\therefore 平面PDE\perp 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}，BC=2，E为BC的中点，把\triangle ABE和\triangle CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.$<img_1971>
$(1)求证：平面PDE\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：由AB\perp BE，得AP\perp PE，同理，DP\perp PE.又\because AP\cap DP=P，\therefore PE\perp 平面PAD.又PE\subset 平面PDE，\therefore 平面PDE\perp 平面PAD.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}，BC=2，E为BC的中点，把\triangle ABE和\triangle CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.$<img_1971>
$(2)求二面角P-AD-E的大小.$

Solution:
$取AD的中点F，连接PF，EF，易知PD=PA,AE=DE,则PF\perp AD，EF\perp AD，\therefore \angle PFE是二面角P-AD-E的平面角.\because PE\perp 平面PAD，PF\subset 平面PAD，\therefore PE\perp PF.\because EF=AB=\sqrt{2}，PE=1，\therefore PF=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1}=1，\therefore \\cos  \angle PFE=\frac{PF}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\therefore \angle PFE=45^\circ ，\therefore 二面角P-AD-E的大小为45^\circ .$

Final answer: $45$ ^\circ
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}，BC=2，E为BC的中点，把\triangle ABE和\triangle CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021461855125509/img/compression/M_6b72afbff28b15fcefeb151e0ffbfc5e.jpg)
$(2)求二面角P-AD-E的大小.$

Solution:
$取AD的中点F，连接PF，EF，易知PD=PA,AE=DE,则PF\perp AD，EF\perp AD，\therefore \angle PFE是二面角P-AD-E的平面角.\because PE\perp 平面PAD，PF\subset 平面PAD，\therefore PE\perp PF.\because EF=AB=\sqrt{2}，PE=1，\therefore PF=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1}=1，\therefore \\cos  \angle PFE=\frac{PF}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\therefore \angle PFE=45^\circ ，\therefore 二面角P-AD-E的大小为45^\circ .$

Final answer: $45$ ^\circ
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$<img_2442>$.$
$设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望;$

Solution:
$依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_{20}\mathrm{C}^2_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{20}{39}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{20}\mathrm{C}^0_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，\therefore X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{19}{78}
\frac{20}{39}
\frac{19}{78}
\therefore E(X)=\frac{19}{78}\times 0+\frac{20}{39}\times 1+\frac{19}{78}\times 2=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815409150066690/img/editor/compression/d65f06d3-6a2f-4aaf-ac61-d493024e8099.png)$.$
$设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望;$

Solution:
$依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_{20}\mathrm{C}^2_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{20}{39}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{20}\mathrm{C}^0_{20}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{19}{78}，\therefore X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{19}{78}
\frac{20}{39}
\frac{19}{78}
\therefore E(X)=\frac{19}{78}\times 0+\frac{20}{39}\times 1+\frac{19}{78}\times 2=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$<img_2442>$.$
$试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
<m
\geq m
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？$

Solution:
$(i)依题意可得m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4.则对照组样本中小于m的数据的个数为6，试验组样本中小于m的数据的个数为14，则列联表为
<m
\geq m
对照组
6
14
试验组
14
6
(ii)由(i)中列联表可得K^{2}=\frac{40\times (6\times 6-14\times 14)^2}{20\times 20\times 20\times 20}=6.4>3.841，\therefore 有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.$

Final answer: $6, 14, 6.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815409150066690/img/editor/compression/d65f06d3-6a2f-4aaf-ac61-d493024e8099.png)$.$
$试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
<m
\geq m
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？$

Solution:
$(i)依题意可得m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4.则对照组样本中小于m的数据的个数为6，试验组样本中小于m的数据的个数为14，则列联表为
<m
\geq m
对照组
6
14
试验组
14
6
(ii)由(i)中列联表可得K^{2}=\frac{40\times (6\times 6-14\times 14)^2}{20\times 20\times 20\times 20}=6.4>3.841，\therefore 有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.$

Final answer: $6, 14, 6.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$<img_2416>$.$
$从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}与\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}；(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|\overline{B})的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.$

Solution:
$(i)证明：因为R=\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}\cdot \frac{P(\overline{B}|\overline{A})}{P(B|\overline{A})}=\frac{P(AB)}{P(A)}\cdot \frac{P(A)}{P(\overline{B}A)}\cdot \frac{P(\overline{B}　\overline{A})}{P(\overline{A})}\cdot \frac{P(\overline{A})}{P(B\overline{A})}=\frac{P(AB)\cdot P(\overline{B}　\overline{A})}{P(\overline{B}A)\cdot P(B\overline{A})},且\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}\cdot \frac{P(B)}{P(\overline{A}B)}\cdot \frac{P(\overline{A}　\overline{B})}{P(\overline{B})}\cdot \frac{P(\overline{B})}{P(A\overline{B})}=\frac{P(AB)\cdot P(\overline{A}　\overline{B})}{P(\overline{A}B)\cdot P({A}\overline{B})},所以R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}.(ii)由题表中数据可知P(A|B)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}，P(A|\overline{B})=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}，P(\overline{A}|B)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}，P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{90}{100}=\frac{9}{10},所以R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}\times \frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}=6.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815409330421762/img/editor/compression/8801095d-675c-4037-b0a5-31ff2d058fee.png)$.$
$从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}与\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}；(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|\overline{B})的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.$

Solution:
$(i)证明：因为R=\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}\cdot \frac{P(\overline{B}|\overline{A})}{P(B|\overline{A})}=\frac{P(AB)}{P(A)}\cdot \frac{P(A)}{P(\overline{B}A)}\cdot \frac{P(\overline{B}　\overline{A})}{P(\overline{A})}\cdot \frac{P(\overline{A})}{P(B\overline{A})}=\frac{P(AB)\cdot P(\overline{B}　\overline{A})}{P(\overline{B}A)\cdot P(B\overline{A})},且\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}\cdot \frac{P(B)}{P(\overline{A}B)}\cdot \frac{P(\overline{A}　\overline{B})}{P(\overline{B})}\cdot \frac{P(\overline{B})}{P(A\overline{B})}=\frac{P(AB)\cdot P(\overline{A}　\overline{B})}{P(\overline{A}B)\cdot P({A}\overline{B})},所以R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}.(ii)由题表中数据可知P(A|B)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}，P(A|\overline{B})=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}，P(\overline{A}|B)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}，P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{90}{100}=\frac{9}{10},所以R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}\times \frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}=6.$

Final answer: 证明题
Subfield: Probability and Statistics


Question: $当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，这是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表所示：$<img_1826>$
1分钟跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+\infty )
得分
17
18
19
20
$
$现从这100名学生中任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；$

Solution:
$由题图可知，各组对应人数依次为6，12，34，30，10，8.两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中一人得17分，另一人得18分，其概率P=\frac{\mathrm{C}^2_6+\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_{12}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{29}{1 650}.(2分)$

Final answer: $\frac{29}{1650}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，这是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694947223637282817/img/compression/M_066f430100d3900da0798d69af50c1e8.jpg)$
1分钟跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+\infty )
得分
17
18
19
20
$
$现从这100名学生中任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；$

Solution:
$由题图可知，各组对应人数依次为6，12，34，30，10，8.两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中一人得17分，另一人得18分，其概率P=\frac{\mathrm{C}^2_6+\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_{12}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{29}{1 650}.(2分)$

Final answer: $\frac{29}{1650}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，这是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表所示：$<img_1826>$
1分钟跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+\infty )
得分
17
18
19
20
$
$若该校初三年级所有学生1分钟跳绳个数X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s^{2}\approx 169(各组数据用区间中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人1分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型求解下列问题：
①全年级恰有2 000名学生，估计正式测试时1分钟跳182个及以上的人数；

②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时1分钟跳195个以上的人数为\xi ，求随机变量\xi 的期望.附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954，P(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997.$

Solution:
$这100名学生1分钟跳绳个数的平均值为160\times 0.06+170\times 0.12+180\times 0.34+190\times 0.30+200\times 0.10+210\times 0.08=185，又s^{2}\approx 169,\therefore s=13,\therefore 正式测试时，\mu =195,\sigma =13.

①\because \mu -\sigma =182，\therefore P(X\geq 182)\approx 1-\frac{1-0.683}{2}=0.841 5.\because 0.841 5\times 2 000=1 683.\therefore 估计正式测试时1分钟跳182个及以上的人数为1683.

②由正态曲线知，从全年级所有学生中任取1人，1分钟跳195个以上的概率为0.5，即\xi ~B(3,0.5),P(\xi =0)=C^0_3\times (1-0.5)^{3}=0.125,P(\xi =1)=C^1_3\times 0.5\times (1-0.5)^{2}=0.375,P(\xi =2)=C^2_3\times 0.5^{2}\times (1-0.5)=0.375,P(\xi =3)=C^3_3\times 0.5^{3}=0.125.\therefore \xi 的分布列为\xi 0123P0.1250.3750.3750.125(10分)E(\xi )=3\times 0.5=1.5.$



Final answer: $1683，1.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，这是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1694947223637282817/img/compression/M_066f430100d3900da0798d69af50c1e8.jpg)$
1分钟跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+\infty )
得分
17
18
19
20
$
$若该校初三年级所有学生1分钟跳绳个数X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s^{2}\approx 169(各组数据用区间中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人1分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型求解下列问题：①全年级恰有2 000名学生，估计正式测试时1分钟跳182个及以上的人数；②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时1分钟跳195个以上的人数为\xi ，求随机变量\xi 的分布列和期望.附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954，P(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997.$

Solution:
$这100名学生1分钟跳绳个数的平均值为160\times 0.06+170\times 0.12+180\times 0.34+190\times 0.30+200\times 0.10+210\times 0.08=185，又s^{2}\approx 169,\therefore s=13,\therefore 正式测试时，\mu =195,\sigma =13.(4分)①\because \mu -\sigma =182，\therefore P(X\geq 182)\approx 1-\frac{1-0.683}{2}=0.841 5.\because 0.841 5\times 2 000=1 683.\therefore 估计正式测试时1分钟跳182个及以上的人数为1 683.(6分)②由正态曲线知，从全年级所有学生中任取1人，1分钟跳195个以上的概率为0.5，即\xi ~B(3,0.5),P(\xi =0)=C^0_3\times (1-0.5)^{3}=0.125,P(\xi =1)=C^1_3\times 0.5\times (1-0.5)^{2}=0.375,P(\xi =2)=C^2_3\times 0.5^{2}\times (1-0.5)=0.375,P(\xi =3)=C^3_3\times 0.5^{3}=0.125.(8分)\therefore \xi 的分布列为\xi 0123P0.1250.3750.3750.125(10分)E(\xi )=3\times 0.5=1.5.(12分)$

Final answer: $ 全年级恰有2 000名学生，估计正式测试时1分钟跳182个及以上的人数为1 683.
 随机变量\xi 的分布列为：\xi 0 1 2 3, P 0.125 0.375 0.375 0.125.
 \xi 的期望为1.5.$