di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角约为18^\circ 。某次比赛中，质量m=50 kg的运动员自A点以v_{A}=6 m/s的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以v_{M}=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角\alpha =72^\circ ，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 72^\circ =0.95，\cos 72^\circ =0.31$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385653497786370/img/compression/M_e19591652bd89b48cb3ca4d86d22276f.jpg)
运动员自M点跃起后，在M到N的过程中做匀变速曲线运动。对于这种较为复杂的曲线运动，同学们可以类比平抛运动的处理方法，将之分解为两个方向的直线运动来处理。求：

a. 在运动员从M点到N点的过程中，运动员从M点运动到距离AD最远处所用的时间t；

b. 运动员落回到N点时，速度方向与AD夹角的正切值 \tan \beta (结果保留三位有效数字)。

Solution:
a.将运动员的运动沿平行于AD和垂直于AD两个方向进行分解，两个方向的运动均为匀变速直线运动。
在垂直于AD方向上：
初速度$v_{y0} = v_{M} \sin 72^\circ  = 9.5 m/s$
加速度$a_{y} = g \cos 18^\circ  = 9.5 m/s^{2}$
当运动员该方向的速度为0时，距离AD最远，则有
$t = \frac{v_{y0}}{a_y} = 1 s$
$b.在垂直于AD方向上，离开AD和返回AD的过程具有对称性，即运动员到达N点时，垂直于AD的分速度v_{y} = v_{y0} = v_{M} \sin 72^\circ  = 9.5 m/s，且运动的总时间t_{MN} = 2t = 2 s
在平行于AD方向上：
初速度v_{x0} = v_{M} \cos 72^\circ  = 3.1 m/s
加速度a_{x} = g \sin 18^\circ  = 3.1 m/s^{2}
运动员到达N点时，平行于AD的分速度
v_{x} = v_{x0} + a_{x}t_{MN} = 3.1 m/s + 3.1\times 2 m/s = 9.3 m/s
所以速度方向与AD夹角\beta 的正切值 \tan \beta  = \frac{v_y}{v_x} \approx  1.02$

Final answer: 1s, 1.02
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会，我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成，轨道倾角约为18^\circ 。某次比赛中，质量m=50 kg的运动员自A点以v_{A}=6 m/s的速度进入U型池，经过多次腾空跳跃，以v_{M}=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角\alpha =72^\circ ，腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点，不计空气阻力。取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 72^\circ =0.95，\cos 72^\circ =0.31$
<img_971>
运动员自M点跃起后，在M到N的过程中做匀变速曲线运动。对于这种较为复杂的曲线运动，同学们可以类比平抛运动的处理方法，将之分解为两个方向的直线运动来处理。求：

a. 在运动员从M点到N点的过程中，运动员从M点运动到距离AD最远处所用的时间t；

b. 运动员落回到N点时，速度方向与AD夹角的正切值 \tan \beta (结果保留三位有效数字)。

Solution:
a.将运动员的运动沿平行于AD和垂直于AD两个方向进行分解，两个方向的运动均为匀变速直线运动。
在垂直于AD方向上：
初速度$v_{y0} = v_{M} \sin 72^\circ  = 9.5 m/s$
加速度$a_{y} = g \cos 18^\circ  = 9.5 m/s^{2}$
当运动员该方向的速度为0时，距离AD最远，则有
$t = \frac{v_{y0}}{a_y} = 1 s$
$b.在垂直于AD方向上，离开AD和返回AD的过程具有对称性，即运动员到达N点时，垂直于AD的分速度v_{y} = v_{y0} = v_{M} \sin 72^\circ  = 9.5 m/s，且运动的总时间t_{MN} = 2t = 2 s
在平行于AD方向上：
初速度v_{x0} = v_{M} \cos 72^\circ  = 3.1 m/s
加速度a_{x} = g \sin 18^\circ  = 3.1 m/s^{2}
运动员到达N点时，平行于AD的分速度
v_{x} = v_{x0} + a_{x}t_{MN} = 3.1 m/s + 3.1\times 2 m/s = 9.3 m/s
所以速度方向与AD夹角\beta 的正切值 \tan \beta  = \frac{v_y}{v_x} \approx  1.02$

Final answer: 1s, 1.02
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385676388921346/img/compression/M_df4677ae43dbff144e9a5a3247bf6ff6.jpg)
碰撞前瞬间A的速率v；

Solution:
$设滑块的质量为m。$

$根据机械能守恒定律mgR=\frac{1}{2}mv^2$

$得碰撞前瞬间A的速率v=\sqrt{2gR}=2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_576>
碰撞前瞬间A的速率v；

Solution:
$设滑块的质量为m。$

$根据机械能守恒定律mgR=\frac{1}{2}mv^2$

$得碰撞前瞬间A的速率v=\sqrt{2gR}=2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385676388921346/img/compression/M_df4677ae43dbff144e9a5a3247bf6ff6.jpg)
碰撞后瞬间A和B整体的速率v'；

Solution:
$根据动量守恒定律 mv =2 mv'$

$得碰撞后瞬间 A 和 B 整体的速率v' = \frac{1}{2}v = 1 m/s.$

Final answer: 1 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_576>
碰撞后瞬间A和B整体的速率v'；

Solution:
$根据动量守恒定律 mv =2 mv'$

$得碰撞后瞬间 A 和 B 整体的速率v' = \frac{1}{2}v = 1 m/s.$

Final answer: 1 m/s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385676388921346/img/compression/M_df4677ae43dbff144e9a5a3247bf6ff6.jpg)
A和B整体在桌面上滑动的距离l。

Solution:
$根据动能定理\frac{1}{2}(2m)v'^{2}=\mu(2m)gl，$
得A和B整体沿水平桌面滑动的距离
$l=\frac{v'^2}{2\mu g}=0.25 m$

Final answer: 0.25 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数$\mu =0.2$。取重力加速度$g=10 m/s^2$。求：

<img_576>
A和B整体在桌面上滑动的距离l。

Solution:
$根据动能定理\frac{1}{2}(2m)v'^{2}=\mu(2m)gl，$
得A和B整体沿水平桌面滑动的距离
$l=\frac{v'^2}{2\mu g}=0.25 m$

Final answer: 0.25 m
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Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_1143>
求长直助滑道AB的长度L；

Solution:
$根据匀变速直线运动公式，有L=\frac{v^2_B-v^2_A}{2a}=100 m$

Final answer: 100 m
Subfield: Mechanics


Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

![滑道示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385667165646850/img/compression/M_bb084fc6f183ed9e7c7b7c01fe9c3f56.jpg)
求长直助滑道AB的长度L；

Solution:
$根据匀变速直线运动公式，有L=\frac{v^2_B-v^2_A}{2a}=100 m$

Final answer: 100 m
Subfield: Mechanics


Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

![滑道示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385667165646850/img/compression/M_bb084fc6f183ed9e7c7b7c01fe9c3f56.jpg)
求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；

Solution:
$根据动量定理，有I = mv_B - mv_A = 1800 N\cdot s$

Final answer: $1 800 N\cdot s$
Subfield: Mechanics


Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_1143>
求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；

Solution:
$根据动量定理，有I = mv_B - mv_A = 1800 N\cdot s$



Final answer: $1 800$ N\cdot s
Subfield: Mechanics


Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

<img_1143>
若不计BC段的阻力，并求运动员经过C点时所受支持力F的大小。

Solution:
根据动能定理，运动员在BC段运动的过程中，有
$mgh=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
$根据牛顿第二定律，有F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}$
$得F_N=3 900 N$

Final answer: 3 900 N
Subfield: Mechanics


Question: $2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m,C是半径R=20 m圆弧的最低点。质量m=60 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s^2，到达B点时速度v_B=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s^2。$

![滑道示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385667165646850/img/compression/M_bb084fc6f183ed9e7c7b7c01fe9c3f56.jpg)
若不计BC段的阻力，并求运动员经过C点时所受支持力F的大小。

Solution:
根据动能定理，运动员在BC段运动的过程中，有
$mgh=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
$根据牛顿第二定律，有F_N-mg=m\frac{v^2_C}{R}$
$得F_N=3 900 N$

Final answer: 3 900 N
Subfield: Mechanics


Question: 成语“水滴石穿”说明高处落下的水滴对物体具有冲击力，可以做功。已知水的密度$\rho =1.0\times 10^3 kg/m^3，重力加速度g取10 m/s^2$。

![23BTY5WL106.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385692462870529/img/compression/M_4acf9d7eaeb4f8270726907c178ad579.jpg)
$水滴从高h=5 m的屋檐滴下，撞击水平地面的石板(不考虑水的反弹)。设水滴的质量m=3\times 10^-5 kg，撞击时间\Delta t=1\times 10^-2 s，若不计空气阻力，求水滴对石板的平均作用力大小。$

Solution:
$撞击前，设水滴的速度大小为v，则v^2=2gh，$
$解得v=10 m/s，$
$撞击过程，对水滴由动量定理：-F\Delta t=0-mv，$
$解得F=0.03 N，$
根据牛顿第三定律，水滴对石板的作用力大小也为0.03 N。

Final answer: 0.03 N
Subfield: Mechanics


Question: 成语“水滴石穿”说明高处落下的水滴对物体具有冲击力，可以做功。已知水的密度$\rho =1.0\times 10^3 kg/m^3，重力加速度g取10 m/s^2$。

<img_1360>
$水滴从高h=5 m的屋檐滴下，撞击水平地面的石板(不考虑水的反弹)。设水滴的质量m=3\times 10^-5 kg，撞击时间\Delta t=1\times 10^-2 s，若不计空气阻力，求水滴对石板的平均作用力大小。$

Solution:
$撞击前，设水滴的速度大小为v，则v^2=2gh，$
$解得v=10 m/s，$
$撞击过程，对水滴由动量定理：-F\Delta t=0-mv，$
$解得F=0.03 N，$
根据牛顿第三定律，水滴对石板的作用力大小也为0.03 N。

Final answer: 0.03 N
Subfield: Mechanics


Question: 成语“水滴石穿”说明高处落下的水滴对物体具有冲击力，可以做功。已知水的密度$\rho =1.0\times 10^3 kg/m^3，重力加速度g取10 m/s^2$。

<img_1360>
$水刀是一种高压水射流切割技术，通过加高水压，再经过线度小于毫米的宝石喷嘴，形成可达1 000 m/s的超声速射流。水刀切割精度高，没有热损伤，不产生有害物质。医用水刀的“刀片”是高速流动的生理盐水，厚度仅1.3\times10^{-6} m。不考虑水流的反射，请估算水刀工作时单位面积上的作用力大小。$

Solution:
设水流的横截面积为S，单位面积上的作用力大小为F，水的密度为$\rho ，v=1000 m/s$，
在时间\Delta t内，由动量定理有$-FS\Delta t=0-\rho Sv\Delta tv$，
解得$F=\rho v^2$，
代入数据得单位面积上的作用力大小为$1\times 10^9 N$。



Final answer: $1\times 10^9$ N
Subfield: Mechanics


Question: 成语“水滴石穿”说明高处落下的水滴对物体具有冲击力，可以做功。已知水的密度$\rho =1.0\times 10^3 kg/m^3，重力加速度g取10 m/s^2$。

![23BTY5WL106.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385692462870529/img/compression/M_4acf9d7eaeb4f8270726907c178ad579.jpg)
$水刀是一种高压水射流切割技术，通过加高水压，再经过线度小于毫米的宝石喷嘴，形成可达1 000 m/s的超声速射流。水刀切割精度高，没有热损伤，不产生有害物质。医用水刀的“刀片”是高速流动的生理盐水，厚度仅1.3\times10^{-6} m。不考虑水流的反射，请估算水刀工作时单位面积上的作用力大小。$

Solution:
设水流的横截面积为S，单位面积上的作用力大小为F，水的密度为$\rho ，v=1000 m/s$，
在时间\Delta t内，由动量定理有$-FS\Delta t=0-\rho Sv\Delta tv$，
解得$F=\rho v^2$，
代入数据得单位面积上的作用力大小为$1\times 10^9 N$。

Final answer: $1\times 10^9 N$
Subfield: Mechanics


Question: $一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v_1，经过一段时间\Delta t，速度变为v_2。$
$若物体继续向左运动与竖直墙壁发生碰撞。碰前瞬间物体的速度大小为7 m/s，碰后物体以6 m/s的速度反向运动。碰撞时间为0.05 s，已知m=0.5 kg，求碰撞过程中墙壁对物体的平均作用力的大小。$

Solution:
$由(2)分析可知 F\Delta t=\Delta p=mv'-mv$

$解得 F=130\, N$

Final answer: 130 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

<img_1353>
两木块碰撞前瞬间木块A的速度大小$v_{A}$；

Solution:
$对木块A，从左端开始滑动到与B碰撞前，由动量定理得-\mu Mgt=Mv_{A}-Mv_{0}$
$解得v_{A}=2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685087907842/img/compression/M_324462ef14e316ee09e34e808e53ca5d.jpg)
两木块碰撞前瞬间木块A的速度大小$v_{A}$；

Solution:
$对木块A，从左端开始滑动到与B碰撞前，由动量定理得-\mu Mgt=Mv_{A}-Mv_{0}$
$解得v_{A}=2 m/s$

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

<img_1353>
$木块B离开桌面时的速度大小v_{B}；$

Solution:
对木块B，离开桌面后做平抛运动

水平方向$x=v_{B}t_{1}$

$竖直方向h= \frac{1}{2} gt_{1}^2$

解得$v_{B} = 1.5 m/s$

Final answer: 1.5 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685087907842/img/compression/M_324462ef14e316ee09e34e808e53ca5d.jpg)
$木块B离开桌面时的速度大小v_{B}；$

Solution:
对木块B，离开桌面后做平抛运动

水平方向$x=v_{B}t_{1}$

$竖直方向h= \frac{1}{2} gt_{1}^2$

解得$v_{B} = 1.5 m/s$

Final answer: 1.5 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

<img_1353>
碰撞过程中损失的机械能$\Delta E$。

Solution:
$木块A、B碰撞过程动量守恒，设木块A碰后的速度为v_1，则 Mv_A = Mv_1 + mv_B$

$解得v_1 = 0.8 m/s$

碰撞过程中损失的机械能

$\Delta E = \frac{1}{2} Mv^2_A - (\frac{1}{2} Mv^2_1 + \frac{1}{2} mv^2_B) = 1.56 J$

Final answer: 1.56 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在距水平地面高h=0.80 m的水平桌面右端的边缘放置一个质量m=1.60 kg的木块B，桌面的左端有一质量M=2.0 kg的木块A，以v_0=4.0 m/s的初速度向木块B滑动，经过时间t=0.80 s与B发生碰撞，碰后两木块都落到水平地面上，木块B离开桌面后落到水平地面上的D点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且D点到桌面边缘的水平距离x=0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数\mu=0.25，重力加速度g取10 m/s^2，不计空气阻力，求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685087907842/img/compression/M_324462ef14e316ee09e34e808e53ca5d.jpg)
碰撞过程中损失的机械能$\Delta E$。

Solution:
$木块A、B碰撞过程动量守恒，设木块A碰后的速度为v_1，则 Mv_A = Mv_1 + mv_B$

$解得v_1 = 0.8 m/s$

碰撞过程中损失的机械能

$\Delta E = \frac{1}{2} Mv^2_A - (\frac{1}{2} Mv^2_1 + \frac{1}{2} mv^2_B) = 1.56 J$

Final answer: 1.56 J
Subfield: Mechanics


Question: 在研究物理学问题时，为了更好地揭示和理解物理现象背后的规律，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，抓住主要矛盾、忽略次要矛盾，建构物理模型。谐振子模型是物理学中在研究振动问题时所涉及的一个重要模型。
$如图1所示，在光滑水平面上两个物块A与B由弹簧连接(弹簧与A、B不分开)构成一个谐振子。初始时弹簧被压缩，同时释放A、B，此后A的v-t图像如图2所示(规定向右为正方向)。已知m_A=0.1 kg，m_B=0.2 kg，弹簧质量不计。$

<img_1295>

图1

![图2]<img_4581>


$求初始时弹簧的弹性势能E_p。$

Solution:
$由图像可知，当v_A=-2 m/s时弹簧恢复到原长$

$根据动量守恒定律0=m_Av_A+m_Bv_B$

$可得，此时v_B=1 m/s$

根据机械能守恒定律

$E_p=\frac{1}{2}m_Av^2_A+\frac{1}{2}m_Bv^2_B=0.3 J$

<img_763>

Final answer: 0.3 J
Subfield: Mechanics


Question: 在研究物理学问题时，为了更好地揭示和理解物理现象背后的规律，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，抓住主要矛盾、忽略次要矛盾，建构物理模型。谐振子模型是物理学中在研究振动问题时所涉及的一个重要模型。
$如图1所示，在光滑水平面上两个物块A与B由弹簧连接(弹簧与A、B不分开)构成一个谐振子。初始时弹簧被压缩，同时释放A、B，此后A的v-t图像如图2所示(规定向右为正方向)。已知m_A=0.1 kg，m_B=0.2 kg，弹簧质量不计。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385686555914243/img/compression/M_74f78be92124f05520ae802f54b7956b.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385686555914243/img/compression/M_f8fb69c86765ca2b68e13043739a9adb.jpg


$求初始时弹簧的弹性势能E_p。$

Solution:
$由图像可知，当v_A=-2 m/s时弹簧恢复到原长$

$根据动量守恒定律0=m_Av_A+m_Bv_B$

$可得，此时v_B=1 m/s$

根据机械能守恒定律

$E_p=\frac{1}{2}m_Av^2_A+\frac{1}{2}m_Bv^2_B=0.3 J$

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685939351553/img/compression/M_72ebe54d1f18be9ab2473fe8190b14de.jpg)

Final answer: 0.3 J
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1095>
$小球所受电场力F的大小。$

Solution:
$F=qE=3.0 \times 10^{-3} N$



Final answer: $3.0\times 10^{-3}$ N
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385700809281539/img/compression/M_4ac19fe97246cf232620cfb098c2f2cd.jpg)
$小球所受电场力F的大小。$

Solution:
$F=qE=3.0 \times 10^{-3} N$

Final answer: $3.0\times 10^{-3} N$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1095>
$小球的质量m。$

Solution:
$由  \frac{qE}{mg}  =\tan 37^\circ ，得 m=4.0\times 10^{-4} kg$

Final answer: $4.0\times 10^{-4} kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385700809281539/img/compression/M_4ac19fe97246cf232620cfb098c2f2cd.jpg)
$小球的质量m。$

Solution:
$由  \frac{qE}{mg}  =\tan 37^\circ ，得 m=4.0\times 10^{-4} kg$

Final answer: $4.0\times 10^{-4} kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

<img_1095>
$将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。$

Solution:
$由mgl(1-\cos 37^\circ )= \frac{1}{2}mv^2，得$

$v= \sqrt{2gl(1-\cos  37^{\circ})} =2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角$\theta =37^\circ$ 。已知小球所带电荷量$q=1.0\times 10^-6 C，匀强电场的场强E=3.0\times 10^3 N/C，取重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8$。求：

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385700809281539/img/compression/M_4ac19fe97246cf232620cfb098c2f2cd.jpg)
$将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。$

Solution:
$由mgl(1-\cos 37^\circ )= \frac{1}{2}mv^2，得$

$v= \sqrt{2gl(1-\cos  37^{\circ})} =2.0 m/s$

Final answer: 2.0 m/s
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

![24BBJ5WL176.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723337142273/img/compression/M_a5c94d755e34bfdb74d03ae8b4a57775.jpg)
$求匀强电场的场强大小E；$

Solution:
$对小球受力分析如图所示，根据平衡条件能得到qE=mg。$
$解得E=\frac{mg}{q}。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385722997403651/img/compression/M_966dffc4cfae1b3625efbb0c78f581ed.jpg)

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

<img_548>
$求匀强电场的场强大小E；$

Solution:
$对小球受力分析如图所示，根据平衡条件能得到qE=mg。$
$解得E=\frac{mg}{q}。$

<img_1204>

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118613061634/img/compression/M_9b8a19067d533a59527e29d821432d3c.jpg)
滑块从滑上长木板到两者都静止时的整个运动过程长木板因与地面摩擦产生的热量。

Solution:
$设二者达到共同速度后一起做减速运动的时间为t_2，则有v=a_3t_2，x_3=\frac{1}{2}a_3t^2_2，故长木板与地面摩擦产生的热量为Q=\mu_2(mg+Mg+Eq)(x_2+x_3)，代入数据解得Q=1.28 J。$

Final answer: 1.28 J
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

<img_628>
滑块从滑上长木板到两者都静止时的整个运动过程长木板因与地面摩擦产生的热量。

Solution:
$设二者达到共同速度后一起做减速运动的时间为t_2，则有v=a_3t_2，x_3=\frac{1}{2}a_3t^2_2，故长木板与地面摩擦产生的热量为Q=\mu_2(mg+Mg+Eq)(x_2+x_3)，代入数据解得Q=1.28 J。$

Final answer: 1.28 J
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为$M=2 kg$。车上在沙箱左侧距离s=1 m的位置上放有一质量为m=1 kg的小物块A，物块A与小车之间的动摩擦因数$\mu =0.1$。仅在沙箱上表面的上方空间存在水平向右的匀强电场，场强$E=2.0\times 10^3 V/m$。当物块A随小车以速度$v_0=10 m/s$向右做匀速直线运动时，距沙箱上表面H=5 m高处有一质量为$m_0=2 kg$的带正电$q=1\times 10^{-2} C$的小球C，以$v_0=10 m/s$的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取$g=10 m/s^2$。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118969577474/img/compression/M_599f28bd5c075912e023bebebbdd9b6a.jpg)
$小球落入沙箱前的速度v的大小和开始下落时与小车右端的水平距离x；$

Solution:
小球C在电场和重力场叠加区域中运动的过程，受到重力和电场力作用，小球C做匀变速曲线运动，竖直方向上，有$H=1/2gt^2$，代入数据解得t=1 s，小球在水平方向左做匀减速运动，有$qE=m_0a_x，v_x=v_0-a_xt$，代入数据解得：$a_x=10 m/s^2，v_x=0$，所以小球落入沙箱瞬间的速度$v=v_y=gt=10 m/s$，方向竖直向下，小球开始下落时与小车右端的水平距离$x=x_1+x_2=v_0t+1/2v_0t=15 m$；

Final answer: 10 m/s，方向竖直向下　15 m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为$M=2 kg$。车上在沙箱左侧距离s=1 m的位置上放有一质量为m=1 kg的小物块A，物块A与小车之间的动摩擦因数$\mu =0.1$。仅在沙箱上表面的上方空间存在水平向右的匀强电场，场强$E=2.0\times 10^3 V/m$。当物块A随小车以速度$v_0=10 m/s$向右做匀速直线运动时，距沙箱上表面H=5 m高处有一质量为$m_0=2 kg$的带正电$q=1\times 10^{-2} C$的小球C，以$v_0=10 m/s$的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取$g=10 m/s^2$。求：

<img_1144>
$小球落入沙箱前的速度v的大小和开始下落时与小车右端的水平距离x；$

Solution:
小球C在电场和重力场叠加区域中运动的过程，受到重力和电场力作用，小球C做匀变速曲线运动，竖直方向上，有$H=1/2gt^2$，代入数据解得t=1 s，小球在水平方向左做匀减速运动，有$qE=m_0a_x，v_x=v_0-a_xt$，代入数据解得：$a_x=10 m/s^2，v_x=0$，所以小球落入沙箱瞬间的速度$v=v_y=gt=10 m/s$，方向竖直向下，小球开始下落时与小车右端的水平距离$x=x_1+x_2=v_0t+1/2v_0t=15 m$；



Final answer: 10,15 m/s,m
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为$M=2 kg$。车上在沙箱左侧距离s=1 m的位置上放有一质量为m=1 kg的小物块A，物块A与小车之间的动摩擦因数$\mu =0.1$。仅在沙箱上表面的上方空间存在水平向右的匀强电场，场强$E=2.0\times 10^3 V/m$。当物块A随小车以速度$v_0=10 m/s$向右做匀速直线运动时，距沙箱上表面H=5 m高处有一质量为$m_0=2 kg$的带正电$q=1\times 10^{-2} C$的小球C，以$v_0=10 m/s$的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取$g=10 m/s^2$。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118969577474/img/compression/M_599f28bd5c075912e023bebebbdd9b6a.jpg)
$小车在前进过程中，弹簧具有的最大弹性势能E_p；$

Solution:
$在小球落入沙箱的过程中，小球与沙箱碰撞，竖直方向的速度变为0，设向右为正，小车(不含物块A)和小球组成的系统在水平方向动量守恒，设小球落入沙箱瞬间，车与球的共同速度为v<sub>1</sub>，水平方向则有Mv<sub>0</sub>=(M+m)v<sub>1</sub>，可得v<sub>1</sub>=5 m/s，由于小车速度减小，随后物块A相对小车向右运动并压缩弹簧，在此过程中，A与小车(含小球)系统动量守恒，当弹簧压缩至最短时，此时弹性势能最大，整个系统有一共同速度v<sub>2</sub>，则有mv<sub>0</sub>+(M+m<sub>0</sub>)v<sub>1</sub>=(M+m+m<sub>0</sub>)v<sub>2</sub>，解得v<sub>2</sub>=6 m/s，根据题中的条件：忽略弹簧最短时的长度，根据\Delta E<sub>增</sub>=\Delta E<sub>减</sub>得\mu mgs+E<sub>p</sub>=\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{1}{2}(M+m<sub>0</sub>)v^2_1-\frac{1}{2}(M+m+m<sub>0</sub>)v^2_2，弹簧的最大弹性势能E<sub>p</sub>=\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{1}{2}(M+m<sub>0</sub>)v^2_1-\frac{1}{2}(M+m+m<sub>0</sub>)v^2_2-\mu mgs，代入数据解得E<sub>p</sub>=9 J；$

Final answer: $9 J$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为$M=2 kg$。车上在沙箱左侧距离s=1 m的位置上放有一质量为m=1 kg的小物块A，物块A与小车之间的动摩擦因数$\mu =0.1$。仅在沙箱上表面的上方空间存在水平向右的匀强电场，场强$E=2.0\times 10^3 V/m$。当物块A随小车以速度$v_0=10 m/s$向右做匀速直线运动时，距沙箱上表面H=5 m高处有一质量为$m_0=2 kg$的带正电$q=1\times 10^{-2} C$的小球C，以$v_0=10 m/s$的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取$g=10 m/s^2$。求：

<img_1144>
$小车在前进过程中，弹簧具有的最大弹性势能E_p；$

Solution:
$在小球落入沙箱的过程中，小球与沙箱碰撞，竖直方向的速度变为0，设向右为正，小车(不含物块A)和小球组成的系统在水平方向动量守恒，设小球落入沙箱瞬间，车与球的共同速度为v<sub>1</sub>，水平方向则有Mv<sub>0</sub>=(M+m)v<sub>1</sub>，可得v<sub>1</sub>=5 m/s，由于小车速度减小，随后物块A相对小车向右运动并压缩弹簧，在此过程中，A与小车(含小球)系统动量守恒，当弹簧压缩至最短时，此时弹性势能最大，整个系统有一共同速度v<sub>2</sub>，则有mv<sub>0</sub>+(M+m<sub>0</sub>)v<sub>1</sub>=(M+m+m<sub>0</sub>)v<sub>2</sub>，解得v<sub>2</sub>=6 m/s，根据题中的条件：忽略弹簧最短时的长度，根据\Delta E<sub>增</sub>=\Delta E<sub>减</sub>得\mu mgs+E<sub>p</sub>=\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{1}{2}(M+m<sub>0</sub>)v^2_1-\frac{1}{2}(M+m+m<sub>0</sub>)v^2_2，弹簧的最大弹性势能E<sub>p</sub>=\frac{1}{2}mv^2_0+\frac{1}{2}(M+m<sub>0</sub>)v^2_1-\frac{1}{2}(M+m+m<sub>0</sub>)v^2_2-\mu mgs，代入数据解得E<sub>p</sub>=9 J；$

Final answer: $9 J$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

<img_1024>

<img_631>
$求匀强电场的电场强度E_{1}大小；$

Solution:
$小球由静止沿直线打到B点，直线运动的条件为合力方向与速度方向共线，可得合力的方向沿AB方向，则mg = qE_1，可得E_1 = \frac{mg}{q}.$

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_8d8ee55368302ed7486e36e2f37e5047.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_4cac0a1bb4bb4e7ba62c69388868a440.jpg)
$求匀强电场的电场强度E_{1}大小；$

Solution:
$小球由静止沿直线打到B点，直线运动的条件为合力方向与速度方向共线，可得合力的方向沿AB方向，则mg = qE_1，可得E_1 = \frac{mg}{q}.$

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

<img_1024>

<img_631>
求小球做圆周运动时，通过A点的动能$E_{k}$；

Solution:
$将电场和重力场等效为一个场，则D点为等效场中轨道的最高点，如答图1。若小球能通过D点，则能做完整的圆周运动，小球所受的合力大小F= \sqrt{(mg)^2+(qE)^2} = \sqrt{2} mg，小球恰好经过D点，所受弹力为0，则有 \sqrt{2} mg = m \frac{v^2_D}{R}，小球从A到D过程，由动能定理有 mgR(1- \sin 45^\circ )-qE_1R \sin 45^\circ = \frac{1}{2} mv ^2_D -E_k，解得 E_k= \frac{3\sqrt{2}-2}{2} mgR。$

<img_451> 

图1



Final answer: $\frac{3\sqrt{2}-2}{2}mgR$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某游戏公司的设计人员，构想通过电场来控制带电小球的运动轨迹。如图1所示，绝缘光滑圆轨道竖直放在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球位于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点；当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动。小球可视为质点，已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_8d8ee55368302ed7486e36e2f37e5047.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_4cac0a1bb4bb4e7ba62c69388868a440.jpg)
求小球做圆周运动时，通过A点的动能$E_{k}$；

Solution:
$将电场和重力场等效为一个场，则D点为等效场中轨道的最高点，如答图1。若小球能通过D点，则能做完整的圆周运动，小球所受的合力大小F= \sqrt{(mg)^2+(qE)^2} = \sqrt{2} mg，小球恰好经过D点，所受弹力为0，则有 \sqrt{2} mg = m \frac{v^2_D}{R}，小球从A到D过程，由动能定理有 mgR(1- \sin 45^\circ )-qE_1R \sin 45^\circ = \frac{1}{2} mv ^2_D -E_k，解得 E_k= \frac{3\sqrt{2}-2}{2} mgR。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894129953017858/img/compression/M_4979be288680d1374cd81d28c864339d.jpg) 

图1

Final answer: $\frac{3\sqrt{2}-2}{2}mgR$