di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“\land ”形刚性线框组成，“\land ”形线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m_1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v_0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r;“\land ”形线框的质量为m_2，其7条边的边长均为l，电阻均为r;月球表面的重力加速度为\frac{g}{6}。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。$

<img_483>
$求船舱匀速运动时的速度大小v;$

Solution:
$匀速运动时线框受到安培力F_A=\frac{B^2l^2v}{2r}，根据牛顿第三定律，质量为m_1的部分受力F=F_A，方向竖直向上，匀速条件F=\frac{m_1g}{6}，得v=\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$

Final answer: $\frac{m_1gr}{3B^2l^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感应强度为B。经调试，火车在轨道上运行时所受摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v_0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q_1是第2个线圈产生的焦耳热Q_2的3倍。求：$

![火车和电磁刹车模型](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255529497194499/img/compression/M_39746c83ff5e2f53956a9055f17e009a.jpg)
车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。

Solution:
$设车头磁场刚穿过线圈Ⅰ时火车速度为v，由能量守恒有$
$Q_1=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}mv^2$

车头磁场刚穿过线圈Ⅱ时火车停止，同理有
$Q_2=\frac{1}{2}mv^2-0$
$又Q_1=3Q_2$

$匀速运行过程t=\frac{s-0.5l}{v}$

$解得t=\frac{2s-l}{v_0}$

Final answer: $\frac{2s-l}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感应强度为B。经调试，火车在轨道上运行时所受摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v_0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q_1是第2个线圈产生的焦耳热Q_2的3倍。求：$

<img_1061>
车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。

Solution:
$设车头磁场刚穿过线圈Ⅰ时火车速度为v，由能量守恒有$
$Q_1=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}mv^2$

车头磁场刚穿过线圈Ⅱ时火车停止，同理有
$Q_2=\frac{1}{2}mv^2-0$
$又Q_1=3Q_2$

$匀速运行过程t=\frac{s-0.5l}{v}$

$解得t=\frac{2s-l}{v_0}$

Final answer: $\frac{2s-l}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v{_0}的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求$

<img_1449>
金属棒_P_滑出导轨时的速度大小；

Solution:
$由于绝缘棒Q与金属棒P的碰撞为弹性碰撞，金属导轨光滑，可知Q棒与P棒组成的系统动量守恒，机械能守恒，有$

$3mv_0=3mv'_1+mv'_2   ①$

$\frac{1}{2} \times 3mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 3mv_1'^2 +\frac{1}{2} mv_2'^2   ②$

$联立①②得v'_1=\frac{v_0}{2}，v'_2=\frac{3}{2}v_0$

$绝缘棒Q在水平方向所受合力为0，碰后做匀速直线运动，而P、Q落在地面同一点，可知P棒滑出导轨时的速度等于Q棒滑出导轨时的速度，即金属棒P滑出导轨时的速度大小为\frac{v_0}{2}.$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v{_0}的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255519868194818/img/compression/M_4e077c262cd569348063bfb252de5eb7.jpg)
金属棒_P_滑出导轨时的速度大小；

Solution:
$由于绝缘棒Q与金属棒P的碰撞为弹性碰撞，金属导轨光滑，可知Q棒与P棒组成的系统动量守恒，机械能守恒，有$

$3mv_0=3mv'_1+mv'_2   ①$

$\frac{1}{2} \times 3mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 3mv_1'^2 +\frac{1}{2} mv_2'^2   ②$

$联立①②得v'_1=\frac{v_0}{2}，v'_2=\frac{3}{2}v_0$

$绝缘棒Q在水平方向所受合力为0，碰后做匀速直线运动，而P、Q落在地面同一点，可知P棒滑出导轨时的速度等于Q棒滑出导轨时的速度，即金属棒P滑出导轨时的速度大小为\frac{v_0}{2}.$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

![甲图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_cdbece030b86e7c7e9fcbd58211e4f70.jpg)

![乙图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_327c9008cd11ec90554c53dfce4645d4.jpg)
$实际比赛中，投壶手将冰壶以初动能E_{k1}=46 J从A点掷出，刷冰手在AO间一段长度L_{2}=10 m的BC区域内刷冰(冰被刷后动摩擦因数变为k\mu )，冰壶恰好停在O点，且冰刷始终不接触冰壶，求k的大小；$

Solution:
$刷冰手在AO间的BC区域内刷冰，冰壶恰好停在O点，由动能定理有-\mu mg (L_1 - L_2) -k\mu mgL_{2}=0-E_{k1}，解得k=0.5。$

Final answer: 0.5
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

<img_718>

<img_1364>
$实际比赛中，投壶手将冰壶以初动能E_{k1}=46 J从A点掷出，刷冰手在AO间一段长度L_{2}=10 m的BC区域内刷冰(冰被刷后动摩擦因数变为k\mu )，冰壶恰好停在O点，且冰刷始终不接触冰壶，求k的大小；$

Solution:
$刷冰手在AO间的BC区域内刷冰，冰壶恰好停在O点，由动能定理有-\mu mg (L_1 - L_2) -k\mu mgL_{2}=0-E_{k1}，解得k=0.5。$

Final answer: 0.5
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

![甲图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_cdbece030b86e7c7e9fcbd58211e4f70.jpg)

![乙图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_327c9008cd11ec90554c53dfce4645d4.jpg)
$刷冰手在AO区域内全程刷冰，冰壶在A点以多大初动能E_{k2}掷出，恰好能停在O点(k同上一小问)。$

Solution:
$刷冰手在AO区域内全程刷冰，冰壶恰好能停在O点，由动能定理有-k\mu mgL_{1}=0-E_{k2}，解得E_{k2}=28 J$

Final answer: 28 J
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

<img_718>

<img_1364>
$刷冰手在AO区域内全程刷冰，冰壶在A点以多大初动能E_{k2}掷出，恰好能停在O点(k同上一小问)。$

Solution:
$刷冰手在AO区域内全程刷冰，冰壶恰好能停在O点，由动能定理有-k\mu mgL_{1}=0-E_{k2}，解得E_{k2}=28 J$

Final answer: 28 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，其滑道可简化为如图乙所示。AB和EF均为倾角\theta =37^\circ 的倾斜滑道，长度分别为L_{1}=45 m、L_{2}=30 m；BC和DE均为半径R=10 m、圆心角\theta =37^\circ 的圆弧滑道，圆心分别为O_{1}、O_{2}，C点为圆弧滑道BC的最低点，D点为圆弧滑道DE的最高点，CD和FG均为水平滑道，其中FG的长度L_{3}=10 m。一质量m=50 kg的运动员由A点静止出发，沿滑道下滑，恰好从D点飞出落至倾斜滑道EF上的P点(未标出)后，由于倾斜滑道EF的作用，仅保留沿倾斜滑道方向的速度，垂直倾斜滑道方向的速度立即减为0。随后由倾斜滑道底部F进入水平滑道FG。整个运动过程中运动员可视为质点，滑道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^{2}。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060893922750466/img/compression/M_48b5d26cfeff546cf227ee187f4c356c.jpg)
甲

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060893922750466/img/compression/M_033f65dd7f84284891045eef8c737fb4.jpg)
乙
$求运动员在滑道ABCD上运动过程中阻力对其做的功W_{f}；$

Solution:
$运动员从A到D的过程，根据动能定理可得 mgL_1 \sin 37^\circ +mgR (1-\cos  37 ^{\circ} ) +W_f=\frac{1}{2} mv^2_0-0，解得W_f=-1.2\times 10^4 J。$

Final answer: $-1.2\times 10^4 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，其滑道可简化为如图乙所示。AB和EF均为倾角\theta =37^\circ 的倾斜滑道，长度分别为L_{1}=45 m、L_{2}=30 m；BC和DE均为半径R=10 m、圆心角\theta =37^\circ 的圆弧滑道，圆心分别为O_{1}、O_{2}，C点为圆弧滑道BC的最低点，D点为圆弧滑道DE的最高点，CD和FG均为水平滑道，其中FG的长度L_{3}=10 m。一质量m=50 kg的运动员由A点静止出发，沿滑道下滑，恰好从D点飞出落至倾斜滑道EF上的P点(未标出)后，由于倾斜滑道EF的作用，仅保留沿倾斜滑道方向的速度，垂直倾斜滑道方向的速度立即减为0。随后由倾斜滑道底部F进入水平滑道FG。整个运动过程中运动员可视为质点，滑道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^{2}。$

<img_1386>
甲

<img_1011>
乙
$求运动员在滑道ABCD上运动过程中阻力对其做的功W_{f}；$

Solution:
$运动员从A到D的过程，根据动能定理可得 mgL_1 \sin 37^\circ +mgR (1-\cos  37 ^{\circ} ) +W_f=\frac{1}{2} mv^2_0-0，解得W_f=-1.2\times 10^4 J。$



Final answer: $-1.2\times 10^4$ J
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，其滑道可简化为如图乙所示。AB和EF均为倾角\theta =37^\circ 的倾斜滑道，长度分别为L_{1}=45 m、L_{2}=30 m；BC和DE均为半径R=10 m、圆心角\theta =37^\circ 的圆弧滑道，圆心分别为O_{1}、O_{2}，C点为圆弧滑道BC的最低点，D点为圆弧滑道DE的最高点，CD和FG均为水平滑道，其中FG的长度L_{3}=10 m。一质量m=50 kg的运动员由A点静止出发，沿滑道下滑，恰好从D点飞出落至倾斜滑道EF上的P点(未标出)后，由于倾斜滑道EF的作用，仅保留沿倾斜滑道方向的速度，垂直倾斜滑道方向的速度立即减为0。随后由倾斜滑道底部F进入水平滑道FG。整个运动过程中运动员可视为质点，滑道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^{2}。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060893922750466/img/compression/M_48b5d26cfeff546cf227ee187f4c356c.jpg)
甲

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060893922750466/img/compression/M_033f65dd7f84284891045eef8c737fb4.jpg)
乙
$运动员受到倾斜滑道EF的平均阻力为F_{f1} =200N，运动员进入水平轨道后通过调整姿态以改变阻力。要保证安全停在水平滑道FG上，试计算运动员在水平滑道FG所受的最小平均阻力F_{f2}的大小。$

Solution:
$从D点飞出落至倾斜滑道上P点的过程中运动员做平抛运动，则有x=v_0t，y=\frac{1}{2}gt^2，\tan 37^\circ =\frac{y-R\left(1-\cos   37 ^{\circ} \right)}{x-R \sin  37 ^{\circ} }，解得t=1 s(另一解t=0.5 s，经验证，t=0.5 s 时运动员未落在滑道EF上，故舍去)，可得L_{PF}=L_2-\frac{v_0t-R \sin  37 ^{\circ} }{\cos  37 ^{\circ} }=25 m，落到P点后的速度为v_P=v_0 \cos \theta +gt\cdot \sin \theta =14 m/s，运动员所受的平均阻力最小时，恰好停在G点，从P到G过程中，根据动能定理可得mgL_{PF}\cdot \sin 37^\circ -F_{f1}\cdot L_{PF}-F_{f2}\cdot L_3=0-\frac{1}{2}mv_P^2，解得F_{f2}=740 N$

Final answer: 740 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，其滑道可简化为如图乙所示。AB和EF均为倾角\theta =37^\circ 的倾斜滑道，长度分别为L_{1}=45 m、L_{2}=30 m；BC和DE均为半径R=10 m、圆心角\theta =37^\circ 的圆弧滑道，圆心分别为O_{1}、O_{2}，C点为圆弧滑道BC的最低点，D点为圆弧滑道DE的最高点，CD和FG均为水平滑道，其中FG的长度L_{3}=10 m。一质量m=50 kg的运动员由A点静止出发，沿滑道下滑，恰好从D点飞出落至倾斜滑道EF上的P点(未标出)后，由于倾斜滑道EF的作用，仅保留沿倾斜滑道方向的速度，垂直倾斜滑道方向的速度立即减为0。随后由倾斜滑道底部F进入水平滑道FG。整个运动过程中运动员可视为质点，滑道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^{2}。$

<img_1386>
甲

<img_1011>
乙
$运动员受到倾斜滑道EF的平均阻力为F_{f1} =200N，运动员进入水平轨道后通过调整姿态以改变阻力。要保证安全停在水平滑道FG上，试计算运动员在水平滑道FG所受的最小平均阻力F_{f2}的大小。$

Solution:
$从D点飞出落至倾斜滑道上P点的过程中运动员做平抛运动，则有x=v_0t，y=\frac{1}{2}gt^2，\tan 37^\circ =\frac{y-R\left(1-\cos   37 ^{\circ} \right)}{x-R \sin  37 ^{\circ} }，解得t=1 s(另一解t=0.5 s，经验证，t=0.5 s 时运动员未落在滑道EF上，故舍去)，可得L_{PF}=L_2-\frac{v_0t-R \sin  37 ^{\circ} }{\cos  37 ^{\circ} }=25 m，落到P点后的速度为v_P=v_0 \cos \theta +gt\cdot \sin \theta =14 m/s，运动员所受的平均阻力最小时，恰好停在G点，从P到G过程中，根据动能定理可得mgL_{PF}\cdot \sin 37^\circ -F_{f1}\cdot L_{PF}-F_{f2}\cdot L_3=0-\frac{1}{2}mv_P^2，解得F_{f2}=740 N$

Final answer: 740 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径r=0.1 m，OE长L_1=0.2 m，AC长L_2=0.4 m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数\mu =0.5。滑块质量m=2 g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能。忽略空气阻力，各部分平滑连接。求(g=10 m/s^2)$

![21BZJ5WL211.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060895537557507/img/compression/M_948fc7f175d7b93582375899647d3e0e.jpg)
$滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v_{F}大小；$

Solution:
$滑块恰好过最高点F，则其所受支持力为零，即mg=m\frac{v^2_F}{r}$

$v_F=\sqrt{gr}=1 m/s$

Final answer: 1 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径r=0.1 m，OE长L_1=0.2 m，AC长L_2=0.4 m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数\mu =0.5。滑块质量m=2 g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能。忽略空气阻力，各部分平滑连接。求(g=10 m/s^2)$

<img_1226>
$滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v_{F}大小；$

Solution:
$滑块恰好过最高点F，则其所受支持力为零，即mg=m\frac{v^2_F}{r}$

$v_F=\sqrt{gr}=1 m/s$

Final answer: 1 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径r=0.1 m，OE长L_1=0.2 m，AC长L_2=0.4 m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数\mu =0.5。滑块质量m=2 g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能。忽略空气阻力，各部分平滑连接。求(g=10 m/s^2)$

![21BZJ5WL211.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060895537557507/img/compression/M_948fc7f175d7b93582375899647d3e0e.jpg)
$当h=0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F_N大小及弹簧的弹性势能E_{p0}；$

Solution:
滑块在AB斜面上，摩擦力做功

$W_{f2} = -\mu mg \cos \alpha  = -\mu mgL_2$

$在OE阶段，摩擦力做功W_{f1} = -\mu mgL_1$

根据动能定理可知

$W_{弹} + W_{f1} + W_{f2} + W_{G} = 0$

$则W_{弹} = \mu mg(L_1 + L_2) + mgh$

$即W_{弹} = 8\times 10^{-3} J$

$则弹簧的弹性势能E_{p0} = W_{弹} = 8\times 10^{-3} J$

$设到达E点的速度为v_{E}，根据动能定理可知$

$W_{弹} + W_{f1} = \frac{1}{2}mv^{2}_{E}$

$设轨道对滑块支持力大小为F_{N}'，根据向心力公式得$

$F_{N}' - mg = m\frac{v^{2}_{E}}{r}$

$则F_{N}' = 0.14 N$

$由牛顿第三定律可得F_{N} = F_{N}' = 0.14 N$

Final answer: $0.14 N　8\times 10^-3 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成。游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B端则视为游戏成功。已知圆轨道半径r=0.1 m，OE长L_1=0.2 m，AC长L_2=0.4 m，圆轨道和AE光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数\mu =0.5。滑块质量m=2 g且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能。忽略空气阻力，各部分平滑连接。求(g=10 m/s^2)$

<img_1226>
$当h=0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F_N大小及弹簧的弹性势能E_{p0}；$

Solution:
滑块在AB斜面上，摩擦力做功

$W_{f2} = -\mu mg \cos \alpha  = -\mu mgL_2$

$在OE阶段，摩擦力做功W_{f1} = -\mu mgL_1$

根据动能定理可知

$W_{弹} + W_{f1} + W_{f2} + W_{G} = 0$

$则W_{弹} = \mu mg(L_1 + L_2) + mgh$

$即W_{弹} = 8\times 10^{-3} J$

$则弹簧的弹性势能E_{p0} = W_{弹} = 8\times 10^{-3} J$

$设到达E点的速度为v_{E}，根据动能定理可知$

$W_{弹} + W_{f1} = \frac{1}{2}mv^{2}_{E}$

$设轨道对滑块支持力大小为F_{N}'，根据向心力公式得$

$F_{N}' - mg = m\frac{v^{2}_{E}}{r}$

$则F_{N}' = 0.14 N$

$由牛顿第三定律可得F_{N} = F_{N}' = 0.14 N$



Final answer: $0.14, 8\times 10^-3$ N, J
Subfield: Mechanics


Question: $如下所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如下图的示意图，倾角\theta =37^\circ 的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD平滑连接，倾斜轨道BC的B端高度h=24 m，倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点，圆弧EF的圆心O_1、水平半圆轨道CD的圆心O_2与A点在同一水平面上，D、O_1的距离L=20 m。质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客)从B点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F时乘客对座椅的压力为自身重力的0.25。已知过山车在BCDE段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数\mu =\frac{1}{32}，EF段摩擦力不计，整个运动过程空气阻力不计。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2)$

<img_422>

图1

<img_449>

图2
求过山车过F点时的速度大小；

Solution:
$在F点有m_{人}g-0.25m_{人}g=m_{人}\frac{v^2_F}{r} (1)$

$r=L \sin \theta =12 m (2)$

$得v_{F}=\sqrt{\frac{3}{4}gr}=3\sqrt{10} m/s (3)$

Final answer: $3 \sqrt{10} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如下所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如下图的示意图，倾角\theta =37^\circ 的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD平滑连接，倾斜轨道BC的B端高度h=24 m，倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点，圆弧EF的圆心O_1、水平半圆轨道CD的圆心O_2与A点在同一水平面上，D、O_1的距离L=20 m。质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客)从B点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F时乘客对座椅的压力为自身重力的0.25。已知过山车在BCDE段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数\mu =\frac{1}{32}，EF段摩擦力不计，整个运动过程空气阻力不计。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2)$

![图片1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060896082817027/img/compression/M_015b295cc2b6004c418878b8388d2c45.jpg)

图1

![图片2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060896082817027/img/compression/M_07108f9178388a00082b29cbedb0180b.jpg)

图2
求过山车过F点时的速度大小；

Solution:
$在F点有m_{人}g-0.25m_{人}g=m_{人}\frac{v^2_F}{r} (1)$

$r=L \sin \theta =12 m (2)$

$得v_{F}=\sqrt{\frac{3}{4}gr}=3\sqrt{10} m/s (3)$

Final answer: $3 \sqrt{10} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如下所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如下图的示意图，倾角\theta =37^\circ 的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD平滑连接，倾斜轨道BC的B端高度h=24 m，倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点，圆弧EF的圆心O_1、水平半圆轨道CD的圆心O_2与A点在同一水平面上，D、O_1的距离L=20 m。质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客)从B点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F时乘客对座椅的压力为自身重力的0.25。已知过山车在BCDE段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数\mu =\frac{1}{32}，EF段摩擦力不计，整个运动过程空气阻力不计。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2)$

<img_422>

图1

<img_449>

图2
如果过D点时发现圆弧轨道EF段有故障，为保证乘客的安全，立即触发制动装置，使过山车不能到达EF段并保证不再下滑，则过山车受到的摩擦力至少应多大？

Solution:
$设触发制动装置后，恰好到达E点对应的摩擦力大小为F_{f1}$

$- F_{f1}L \cos \theta -mgr \cos \theta =0-\frac{1}{2}mv^2_D$

未触发制动装置时，从D点到F点的过程，有

$- \mu mg \cos \theta \cdot  L \cos \theta  - mgr= \frac{1}{2} mv^2_F - \frac{1}{2} mv^2_D$

$由⑥⑦两式得F_{f1}= \frac{73}{16}\times 10^{3} N\approx 4.6\times 10^{3} N$

$设使过山车停在倾斜轨道上的摩擦力为F_{f2}$

$F_{f2}=mg \sin \theta =6\times 10^{3} N$

$综合考虑⑧⑨两式，得f_{min}=6\times 10^{3} N$



Final answer: $6\times 10^3$ N
Subfield: Mechanics


Question: $如下所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如下图的示意图，倾角\theta =37^\circ 的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD平滑连接，倾斜轨道BC的B端高度h=24 m，倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点，圆弧EF的圆心O_1、水平半圆轨道CD的圆心O_2与A点在同一水平面上，D、O_1的距离L=20 m。质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客)从B点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F时乘客对座椅的压力为自身重力的0.25。已知过山车在BCDE段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数\mu =\frac{1}{32}，EF段摩擦力不计，整个运动过程空气阻力不计。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2)$

![图片1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060896082817027/img/compression/M_015b295cc2b6004c418878b8388d2c45.jpg)

图1

![图片2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060896082817027/img/compression/M_07108f9178388a00082b29cbedb0180b.jpg)

图2
如果过D点时发现圆弧轨道EF段有故障，为保证乘客的安全，立即触发制动装置，使过山车不能到达EF段并保证不再下滑，则过山车受到的摩擦力至少应多大？

Solution:
$设触发制动装置后，恰好到达E点对应的摩擦力大小为F_{f1}$

$- F_{f1}L \cos \theta -mgr \cos \theta =0-\frac{1}{2}mv^2_D$

未触发制动装置时，从D点到F点的过程，有

$- \mu mg \cos \theta \cdot  L \cos \theta  - mgr= \frac{1}{2} mv^2_F - \frac{1}{2} mv^2_D$

$由⑥⑦两式得F_{f1}= \frac{73}{16}\times 10^{3} N\approx 4.6\times 10^{3} N$

$设使过山车停在倾斜轨道上的摩擦力为F_{f2}$

$F_{f2}=mg \sin \theta =6\times 10^{3} N$

$综合考虑⑧⑨两式，得f_{min}=6\times 10^{3} N$

Final answer: $`6\times 10^3 N`$
Subfield: Mechanics


Question: $一篮球质量为m=0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h_1=1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h_2=1.2 m。若使篮球从距地面h_3=1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t=0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g=10 m/s^2，不计空气阻力。求$
运动员拍球过程中对篮球所做的功；

Solution:
篮球下落及上升过程中，机械能均守恒，由此可得篮球与地面碰撞前后的动能的比值
$$
\alpha= \frac{mgh_1}{mgh_2}
$$
①

设运动员拍球过程中对篮球所做的功为W，由动能定理及题给条件得
$$
\frac{mgh_3+W}{mgh_3}= \alpha
$$
②

联立①②式并代入题给数据得
$$
W=4.5 \, \text{J}
$$
③

Final answer: 4.5 J
Subfield: Mechanics


Question: $一篮球质量为m=0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h_1=1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h_2=1.2 m。若使篮球从距地面h_3=1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t=0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g=10 m/s^2，不计空气阻力。求$
运动员拍球时对篮球的作用力的大小。

Solution:
$设运动员拍球时对篮球的作用力的大小为F，球的加速度大小为a，由牛顿第二定律有$

$F+mg=ma (④)$

$设时间t内篮球运动的距离为s，则$

$s=\frac{1}{2}at^2 (⑤)$

$W=Fs (⑥)$

联立③④⑤⑥式并代入题给数据得

$F=9.0 N$

Final answer: 9.0 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

<img_949>
弹簧的劲度系数；

Solution:
$篮球静止在弹簧上，根据共点力平衡条件可得mg-kx_{2}=0，k=500 N/m；$



Final answer: 500 N/m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060941558267906/img/compression/M_47e5769678d1879ce2c2580fc466999a.jpg)
弹簧的劲度系数；

Solution:
$篮球静止在弹簧上，根据共点力平衡条件可得mg-kx_{2}=0，k=500 N/m；$

Final answer: 500 N/m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060941558267906/img/compression/M_47e5769678d1879ce2c2580fc466999a.jpg)
篮球在运动过程中受到的空气阻力的大小；

Solution:
$篮球从开始运动到第一次上升到最高点，由动能定理得 mg(h_1-h_2)-f(h_1+h_2+2x_1)=0，解得 f\approx 0.5 \ N，方向与运动方向相反。$

Final answer: 0.5 N　方向与运动方向相反
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

<img_949>
篮球在运动过程中受到的空气阻力的大小；

Solution:
$篮球从开始运动到第一次上升到最高点，由动能定理得 mg(h_1-h_2)-f(h_1+h_2+2x_1)=0，解得 f\approx 0.5 \ N，方向与运动方向相反。$



Final answer: 0.5 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060941558267906/img/compression/M_47e5769678d1879ce2c2580fc466999a.jpg)
篮球在整个运动过程中通过的路程；

Solution:
$设篮球在整个运动过程中总路程为s，则mg(h_1+x_2)=fs+E_p，解得s=11.05 m；$

Final answer: 11.05 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h_1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x_1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h_2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x_2=0.01 m，弹性势能为E_p=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10 m/s^2)$

<img_949>
篮球在整个运动过程中通过的路程；

Solution:
$设篮球在整个运动过程中总路程为s，则mg(h_1+x_2)=fs+E_p，解得s=11.05 m；$

Final answer: 11.05 m
Subfield: Mechanics


Question: $某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型。竖直平面内有一倾角\theta =37^\circ 的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过。转轮半径R=0.4 m、转轴间距L=2 m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2 m。现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为\mu =0.5。( \sin 37^\circ =0.6, g=10 m/s^2)$

<img_1082>
$若h=2.4 m，求小物块到达B端时速度的大小；$

Solution:
小物块由静止释放到B的过程中

$mg \sin \theta  - \mu mg\cdot \cos \theta  = ma$

$v_B^2 = 2a\frac{h}{{\sin  \theta }}$

$解得v_{B} = 4 m/s$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型。竖直平面内有一倾角\theta =37^\circ 的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过。转轮半径R=0.4 m、转轴间距L=2 m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2 m。现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为\mu =0.5。( \sin 37^\circ =0.6, g=10 m/s^2)$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060980644859906/img/compression/M_ac29b6a8ca20a4754027080f53527504.jpg)
$若h=2.4 m，求小物块到达B端时速度的大小；$

Solution:
小物块由静止释放到B的过程中

$mg \sin \theta  - \mu mg\cdot \cos \theta  = ma$

$v_B^2 = 2a\frac{h}{{\sin  \theta }}$

$解得v_{B} = 4 m/s$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1290>
$若传送带速度大于v_0，工件刚滑上传送带时的加速度大小为多少；$

Solution:
$若传送带速度大于v_0，工件刚滑上传送带时受到的滑动摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律得mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =ma，解得加速度大小a=2 m/s^2。$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060981185925123/img/compression/M_c332a1cd7a22e683983ae9b58a287361.jpg)
$若传送带速度大于v_0，工件刚滑上传送带时的加速度大小为多少；$

Solution:
$若传送带速度大于v_0，工件刚滑上传送带时受到的滑动摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律得mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta =ma，解得加速度大小a=2 m/s^2。$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1290>
若工件以最短的时间从平台AB运动到平台CD，工件在传送带上运动的最短时间；

Solution:
$根据题意，当传送带的速度v\geq 5 m/s时，工件所受摩擦力一直沿传送带向上，则所用时间最短，设所求时间为t，根据运动学公式有x_{BC}=v_0t-\frac{1}{2}at^2，解得t=1 s或t=4 s，因工件速度从5 m/s减至0的时间为t'=\frac{v_0}{a}=2.5 s，故t=4 s舍去，工件在传送带上运动的最短时间为1 s。$

Final answer: 1 s
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060981185925123/img/compression/M_c332a1cd7a22e683983ae9b58a287361.jpg)
若工件以最短的时间从平台AB运动到平台CD，工件在传送带上运动的最短时间；

Solution:
$根据题意，当传送带的速度v\geq 5 m/s时，工件所受摩擦力一直沿传送带向上，则所用时间最短，设所求时间为t，根据运动学公式有x_{BC}=v_0t-\frac{1}{2}at^2，解得t=1 s或t=4 s，因工件速度从5 m/s减至0的时间为t'=\frac{v_0}{a}=2.5 s，故t=4 s舍去，工件在传送带上运动的最短时间为1 s。$

Final answer: 1 s
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1290>
输送一个这样的工件，传送带的电机需额外消耗的最少电能。

Solution:
$因工件机械能变化量恒定，当工件和传送带的相对位移最小时，摩擦产生热量最少，电机额外消耗的电能最小，故传送带以v=5 m/s的速度运动额外消耗电能最少。工件在传送带上的整个运动过程中，传送带的位移为x_1=vt=5\times 1 m=5 m，因摩擦产生的热量Q=\mu mg \cos \theta (x_1-x_{BC})=8 J，工件的末速度v'=v_0-at=(5-2\times 1) m/s=3 m/s，电机额外消耗的电能为E=mgx_{BC} \sin \theta +(\frac{1}{2}mv'^2-\frac{1}{2}mv^2_0)+Q，代入数据解得E=40 J。$

Final answer: 40 J
Subfield: Mechanics


Question: $倾斜传送带连接两平台AB和CD，传送带与水平面的夹角\theta =37^\circ ，工件与传送带之间的动摩擦因数\mu =0.5，工件质量为2 kg，B、C两端相距4 m，如图所示。忽略工件在水平台面和传送带间转移时的动能变化，工件以v_0=5 m/s的速度滑上传送带，传送带以恒定的速度顺时针运行(速度大小可调)。重力加速度g=10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

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输送一个这样的工件，传送带的电机需额外消耗的最少电能。

Solution:
$因工件机械能变化量恒定，当工件和传送带的相对位移最小时，摩擦产生热量最少，电机额外消耗的电能最小，故传送带以v=5 m/s的速度运动额外消耗电能最少。工件在传送带上的整个运动过程中，传送带的位移为x_1=vt=5\times 1 m=5 m，因摩擦产生的热量Q=\mu mg \cos \theta (x_1-x_{BC})=8 J，工件的末速度v'=v_0-at=(5-2\times 1) m/s=3 m/s，电机额外消耗的电能为E=mgx_{BC} \sin \theta +(\frac{1}{2}mv'^2-\frac{1}{2}mv^2_0)+Q，代入数据解得E=40 J。$

Final answer: 40 J