di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284031749349377/img/compression/M_0097f93c4329d8806a9f3d68dca436e8.jpg)
$(2)央视媒体平台从年龄在[45，55)和[65，75)的作者中，按照分层抽样的方法抽出了7人参加“改革开放40周年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45，55)的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望.$

Solution:
$根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45，55)内的有3人，在[65，75)内的有4人，Y的所有可能值为0，1，2，3，P(Y=0)=\frac{\mathrm{C}^0_3\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，P(Y=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{18}{35}，P(Y=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{12}{35}，P(Y=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{35}，所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
\frac{4}{35}
\frac{18}{35}
\frac{12}{35}
\frac{1}{35}
所以E(Y)=0\times \frac{4}{35}+1\times \frac{18}{35}+2\times \frac{12}{35}+3\times \frac{1}{35}=\frac{9}{7}.$

Final answer: $0, 1, 2, 3, E(Y)=9/7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：$<img_2984>
$(2)央视媒体平台从年龄在[45，55)和[65，75)的作者中，按照分层抽样的方法抽出了7人参加“改革开放40周年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45，55)的人数是Y，求变量Y的数学期望.$

Solution:
$根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45，55)内的有3人，在[65，75)内的有4人，Y的所有可能值为0，1，2，3，P(Y=0)=\frac{\mathrm{C}^0_3\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，P(Y=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{18}{35}，P(Y=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{12}{35}，P(Y=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{35}，所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
\frac{4}{35}
\frac{18}{35}
\frac{12}{35}
\frac{1}{35}
所以E(Y)=0\times \frac{4}{35}+1\times \frac{18}{35}+2\times \frac{12}{35}+3\times \frac{1}{35}=\frac{9}{7}.$



Final answer: $E(Y)=9/7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$<img_2411>
$(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$平均年龄为(5\times 0.001+15\times 0.002+25\times 0.012+35\times 0.017+45\times 0.023+55\times 0.020+65\times 0.017+75\times 0.006+85\times 0.002)\times 10=47.9(岁).$

Final answer: $47.9$ 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284035474018305/img/compression/M_284581b65598e7ff6de276ed25328a0a.jpg)
$(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$平均年龄为(5\times 0.001+15\times 0.002+25\times 0.012+35\times 0.017+45\times 0.023+55\times 0.020+65\times 0.017+75\times 0.006+85\times 0.002)\times 10=47.9(岁).$

Final answer: $47.9$ 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$<img_2411>
$(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；$

Solution:
$设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)\times 10=0.89，\therefore 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.$

Final answer: $0.89$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284035474018305/img/compression/M_284581b65598e7ff6de276ed25328a0a.jpg)
$(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；$

Solution:
$设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)\times 10=0.89，\therefore 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.$

Final answer: $0.89$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$<img_2411>
$(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1).$

Solution:
$设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{0.1\% \times 0.023\times 10}{16\% }=\frac{0.001\times 0.23}{0.16}=0.001 437 5\approx 0.001 4.$

Final answer: $0.0014$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284035474018305/img/compression/M_284581b65598e7ff6de276ed25328a0a.jpg)
$(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1).$

Solution:
$设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{0.1\% \times 0.023\times 10}{16\% }=\frac{0.001\times 0.23}{0.16}=0.001 437 5\approx 0.001 4.$

Final answer: $0.0014$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$(1)求a的值;$

Solution:
$由频率分布直方图得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.$

Final answer: $0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_2755>
$(1)求a的值;$

Solution:
$由频率分布直方图得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.$

Final answer: $0.10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_2755>
$(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的数学期望;$

Solution:
$800名学生中周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为800\times 0.05\times 2=80,800\times 0.04\times 2=64,800\times 0.01\times 2=16，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从周平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取\frac{64}{80+64+16}\times 10=4人,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6};P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2};P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10};P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}.X的分布列为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}数学期望E(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $E(X)=6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;$

Solution:
$800名学生中周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为800\times 0.05\times 2=80,800\times 0.04\times 2=64,800\times 0.01\times 2=16，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从周平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取\frac{64}{80+64+16}\times 10=4人,由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6};P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2};P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10};P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}.X的分布列为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}数学期望E(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$

Final answer: $X的分布列为：0, 1, 2, 3；
数学期望E(X)=6/5。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284053735890945/img/compression/M_0c1516343b5d6a719dd0aad7aefe8b55.jpg)
$(3)以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时,写出k的值.$

Solution:
$k=10,理由如下：由频率分布直方图得学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率为\frac{1}{2},从该校所有学生中随机抽取20名学生,恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内服从二项分布k~B\left(20,\frac{1}{2}\right)，P(k)=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{20-k}=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}，由组合数的性质可得k=10时P(k)最大.$

Final answer: $10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”\ldots \ldots 当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_2755>
$(3)以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,\ldots ,20.当P(k)最大时,写出k的值.$

Solution:
$k=10,理由如下：由频率分布直方图得学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率为\frac{1}{2},从该校所有学生中随机抽取20名学生,恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内服从二项分布k~B\left(20,\frac{1}{2}\right)，P(k)=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{20-k}=C^k_{20}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}，由组合数的性质可得k=10时P(k)最大.$

Final answer: $10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$<img_1550>
$(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和(20，40]内的人数；$

Solution:
$由题意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数为0.005 0\times 20\times 20＝2，得分落在(20，40]内的人数为0.007 5\times 20\times 20＝3.$

Final answer: $2, 3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268235425312770/img/compression/M_be969af0823e6dd76b5df62c26c9b116.jpg)
$(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和(20，40]内的人数；$

Solution:
$由题意知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数为0.005 0\times 20\times 20＝2，得分落在(20，40]内的人数为0.007 5\times 20\times 20＝3.$

Final answer: $2, 3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$<img_1550>
$(2)从所抽取的20人中得分落在[0，40]内的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{6}{10}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}.\therefore X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{10}
\frac{6}{10}
\frac{3}{10}
\therefore E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268235425312770/img/compression/M_be969af0823e6dd76b5df62c26c9b116.jpg)
$(2)从所抽取的20人中得分落在[0，40]内的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{6}{10}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}.\therefore X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{10}
\frac{6}{10}
\frac{3}{10}
\therefore E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5}.$

Final answer: $X的分布列：(1/10, 6/10, 3/10)，数学期望：6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268235425312770/img/compression/M_be969af0823e6dd76b5df62c26c9b116.jpg)
$(3)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由.$

Solution:
$答案不唯一.答案示例1：可以认为该选手不会得到100分.理由：该选手获得100分的概率是\left(\frac{1}{4}\right)^{20}，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分.答案示例2：不能认为该选手不可能得到100分.理由：该选手获得100分的概率是\left(\frac{1}{4}\right)^{20}，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分.$

Final answer: $可以认为该选手不会得到100分, 不能认为该选手不可能得到100分$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，4)
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
$(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；$

Solution:
$2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以所求概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，4)
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
$<img_2364>
$(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；$

Solution:
$2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以所求概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，4)
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
$(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E(X)；$

Solution:
$2023年元旦及前后共7天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，X的所有可能取值为0，1，2，所以P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{2}{7}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{7}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{7}，所以X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{2}{7}
\frac{4}{7}
\frac{1}{7}
数学期望E(X)=0\times \frac{2}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$

Final answer: $X的分布列：0, 1, 2
E(X)=6/7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，4)
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
$<img_2364>
$(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a_{1}，a_{2}，\ldots ，a_{7}，将2022年同期TPI依次记为b_{1}，b_{2}，\ldots ，b_{7}，记c_{i}=a_{i}－b_{i}(i=1，2，\ldots ，7)，\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_{i}.请直接写出|c_{i}－\overline{c}|取得最大值时i的值.$

Solution:
$|c_{i}-\overline{c}|取最大值时，i=6.理由如下：c_{1}=a_{1}－b_{1}=1.908－2.055=－0.147，c_{2}=a_{2}－b_{2}=2.081－2.393=－0.312，c_{3}=a_{3}－b_{3}=1.331－1.529=－0.198，c_{4}=a_{4}－b_{4}=1.202－1.302=－0.1，c_{5}=a_{5}－b_{5}=1.271－1.642=－0.371，c_{6}=a_{6}－b_{6}=2.256－1.837=0.419，c_{7}=a_{7}－b_{7}=2.012－1.755=0.257，所以\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_{i}=\frac{1}{7}\times (－0.147－0.312－0.198－0.1－0.371+0.419+0.257)\approx －0.065，所以|c_{i}－\overline{c}|取得最大值时，i=6.$

Final answer: $6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=\frac{\text{实际行程时间}}{\text{畅通行程时间}}，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，4)
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268271995449345/img/compression/M_3e83be1a79661bf61c06299075b96125.jpg)
$(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a_{1}，a_{2}，\ldots ，a_{7}，将2022年同期TPI依次记为b_{1}，b_{2}，\ldots ，b_{7}，记c_{i}=a_{i}－b_{i}(i=1，2，\ldots ，7)，\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_{i}.请直接写出|c_{i}－\overline{c}|取得最大值时i的值.$

Solution:
$|c_{i}-\overline{c}|取最大值时，i=6.理由如下：c_{1}=a_{1}－b_{1}=1.908－2.055=－0.147，c_{2}=a_{2}－b_{2}=2.081－2.393=－0.312，c_{3}=a_{3}－b_{3}=1.331－1.529=－0.198，c_{4}=a_{4}－b_{4}=1.202－1.302=－0.1，c_{5}=a_{5}－b_{5}=1.271－1.642=－0.371，c_{6}=a_{6}－b_{6}=2.256－1.837=0.419，c_{7}=a_{7}－b_{7}=2.012－1.755=0.257，所以\overline{c}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}c_{i}=\frac{1}{7}\times (－0.147－0.312－0.198－0.1－0.371+0.419+0.257)\approx －0.065，所以|c_{i}－\overline{c}|取得最大值时，i=6.$

Final answer: $6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272947556355/img/compression/M_ff6a75d9934eb519164f3c698e04c93a.jpg)
$(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替)；$

Solution:
$由题图可得第二组的频率为1－0.06－0.18－0.32－0.20－0.10=0.14，由样本估计总体可知全校学生的平均成绩为45\times 0.06+55\times 0.14+65\times 0.18+75\times 0.32+85\times 0.20+95\times 0.10=72.6分.$

Final answer: $72.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$<img_2497>
$(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替)；$

Solution:
$由题图可得第二组的频率为1－0.06－0.18－0.32－0.20－0.10=0.14，由样本估计总体可知全校学生的平均成绩为45\times 0.06+55\times 0.14+65\times 0.18+75\times 0.32+85\times 0.20+95\times 0.10=72.6分.$

Final answer: $72.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$<img_2497>
$(2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在[90,100]中的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$样本中成绩在80分及以上的学生共有50\times (0.20+0.10)=15人，其中成绩在[90,100]中的人数为5，所以X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_{10}}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{24}{91}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_{10}\mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{45}{91}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_{10}\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{20}{91}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{2}{91}，故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{24}{91}
\frac{45}{91}
\frac{20}{91}
\frac{2}{91}
E(X)=0\times \frac{24}{91}+1\times \frac{45}{91}+2\times \frac{20}{91}+3\times \frac{2}{91}=1.$



Final answer: 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272947556355/img/compression/M_ff6a75d9934eb519164f3c698e04c93a.jpg)
$(2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$样本中成绩在80分及以上的学生共有50\times (0.20+0.10)=15人，其中成绩在[90,100]中的人数为5，所以X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_{10}}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{24}{91}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_{10}\mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{45}{91}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_{10}\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{20}{91}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_{15}}=\frac{2}{91}，故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{24}{91}
\frac{45}{91}
\frac{20}{91}
\frac{2}{91}
E(X)=0\times \frac{24}{91}+1\times \frac{45}{91}+2\times \frac{20}{91}+3\times \frac{2}{91}=1.$

Final answer: $0, 1, 2, 3, E(X)=1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272947556355/img/compression/M_ff6a75d9934eb519164f3c698e04c93a.jpg)
$(3)在(2)抽取的3人中，用Y表示成绩在[80,90)中的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(直接写结果).$

Solution:
$D(X)=D(Y).$

Final answer: $D(X)=D(Y)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图.$<img_2497>
$(3)在(2)抽取的3人中，用Y表示成绩在[80,90)中的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(直接写结果).$

Solution:
$D(X)=D(Y).$

Final answer: $D(X)=D(Y)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
$(1)根据频率分布直方图，用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；$

Solution:
$志愿服务时间的平均数为2\times 0.05+3\times 0.15+4\times 0.4+5\times 0.2+6\times 0.2=4.35.志愿服务时间在[1.5,4.5)内的频率为0.05+0.15+0.4=0.6，志愿服务时间在[1.5,5.5]内的频率为0.6+0.2=0.8，所以第75百分位数为4.5+\frac{0.75-0.6}{0.2}=5.25.$

Final answer: $4.35, 5.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_3136>
$(1)根据频率分布直方图，用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；$

Solution:
$志愿服务时间的平均数为2\times 0.05+3\times 0.15+4\times 0.4+5\times 0.2+6\times 0.2=4.35.志愿服务时间在[1.5,4.5)内的频率为0.05+0.15+0.4=0.6，志愿服务时间在[1.5,5.5]内的频率为0.6+0.2=0.8，所以第75百分位数为4.5+\frac{0.75-0.6}{0.2}=5.25.$

Final answer: $4.35, 5.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
$(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；$

Solution:
$由题可知“预期合格”的概率为0.8，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，则X服从二项分布X~B(3,0.8)，P(X=0)=C^0_3\times 0.8^{0}\times 0.2^{3}=0.008，P(X=1)=C^1_3\times 0.8^{1}\times 0.2^{2}=0.096，P(X=2)=C^2_3\times 0.8^{2}\times 0.2^{1}=0.384，P(X=3)=C^3_3\times 0.8^{3}\times 0.2^{0}=0.512，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
E(X)=3\times 0.8=2.4.$

Final answer: $分布列：P(X=0)=0.008，P(X=1)=0.096，P(X=2)=0.384，P(X=3)=0.512
数学期望：E(X)=2.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_3136>
$(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
$由题可知“预期合格”的概率为0.8，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为X，则X服从二项分布X~B(3,0.8)，P(X=0)=C^0_3\times 0.8^{0}\times 0.2^{3}=0.008，P(X=1)=C^1_3\times 0.8^{1}\times 0.2^{2}=0.096，P(X=2)=C^2_3\times 0.8^{2}\times 0.2^{1}=0.384，P(X=3)=C^3_3\times 0.8^{3}\times 0.2^{0}=0.512，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
E(X)=3\times 0.8=2.4.$



Final answer: $2.4$