di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在平行四边形ABCD中，AE\perp DC，AD=4，AB=3，\angle ADE=60^\circ ，将\triangle ADE沿AE折起，使平面ADE\perp 平面ABCE，得到图②所示的几何体.$<img_3010>
$(1)若M为BD的中点，求四棱锥M-ABCE的体积V_{M-ABCE}；$

Solution:
$在\triangle ADE中，因为DE\perp AE，AD=4，\angle ADE=60^\circ ，所以AE=2\sqrt{3}，DE=2，所以EC=3-2=1.在题图②中，平面ADE\perp 平面ABCE，DE\subset 平面ADE，平面ADE\cap 平面ABCE=AE，DE\perp AE，所以DE\perp 平面ABCE，(2分)因为M为BD的中点，所以V_{M-ABCE}=\frac{1}{2}V_{D-ABCE}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times S_{四边形ABCE}\times DE=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}\times (1+3)\times 2\sqrt{3}\times 2=\frac{4\sqrt{3}}{3}.(4分)$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在平行四边形ABCD中，AE\perp DC，AD=4，AB=3，\angle ADE=60^\circ ，将\triangle ADE沿AE折起，使平面ADE\perp 平面ABCE，得到图②所示的几何体.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698544400166914/img/compression/M_175da7615ab188b7e871d1654fbfef19.jpg)
$(1)若M为BD的中点，求四棱锥M-ABCE的体积V_{M-ABCE}；$

Solution:
$在\triangle ADE中，因为DE\perp AE，AD=4，\angle ADE=60^\circ ，所以AE=2\sqrt{3}，DE=2，所以EC=3-2=1.在题图②中，平面ADE\perp 平面ABCE，DE\subset 平面ADE，平面ADE\cap 平面ABCE=AE，DE\perp AE，所以DE\perp 平面ABCE，(2分)因为M为BD的中点，所以V_{M-ABCE}=\frac{1}{2}V_{D-ABCE}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times S_{四边形ABCE}\times DE=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}\times (1+3)\times 2\sqrt{3}\times 2=\frac{4\sqrt{3}}{3}.(4分)$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在平行四边形ABCD中，AE\perp DC，AD=4，AB=3，\angle ADE=60^\circ ，将\triangle ADE沿AE折起，使平面ADE\perp 平面ABCE，得到图②所示的几何体.$<img_3010>
$(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为\frac{2\sqrt{3}}{5}？如果存在，求直线EM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，说明理由.$

Solution:
$由(1)知EA，EC，ED两两垂直，以点E为坐标原点，\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.$<img_1777>$则E(0，0，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，A(2\sqrt{3}，0，0)，B(2\sqrt{3}，3，0)，\overrightarrow{DB}=(2\sqrt{3}，3，-2)，\overrightarrow{AC}=(-2\sqrt{3}，1，0)，设\overrightarrow{DM}=\lambda \overrightarrow{DB}，则\overrightarrow{DM}=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，-2\lambda )，易知0<\lambda <1，则\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DM}=(0，0，2)+(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，-2\lambda )=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，2-2\lambda )，即M(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，2-2\lambda )，所以\overrightarrow{CM}=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda -1，2-2\lambda )，(5分)设平面MAC的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CM}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{3}x+y=0,\\ 2\sqrt{3}\lambda x+(3\lambda -1)y+(2-2\lambda )z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得m=\left(1,2\sqrt{3},\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}\right)，(7分)易知平面ABCE的一个法向量为n=(0，0，1)，由题知|\\cos  \langle m，n\rangle |=\left|\frac{\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}}{1\times \sqrt{1+12+{\left(\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}\right)}^2}}\right|=\frac{2\sqrt{3}}{5}，解得\lambda =\frac{1}{2}，故存在满足题意的点M.(8分)所以m=(1，2\sqrt{3}，-2\sqrt{3})，\overrightarrow{EM}=\left(\sqrt{3},\frac{3}{2},1\right)，设直线EM与平面MAC所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m，\overrightarrow{EM}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EM}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\overrightarrow{EM}|}\right|=\frac{4\sqrt{3}}{25}，所以直线EM与平面MAC所成角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{25}.(10分)$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在平行四边形ABCD中，AE\perp DC，AD=4，AB=3，\angle ADE=60^\circ ，将\triangle ADE沿AE折起，使平面ADE\perp 平面ABCE，得到图②所示的几何体.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698544400166914/img/compression/M_175da7615ab188b7e871d1654fbfef19.jpg)
$(2)在线段DB上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦值为\frac{2\sqrt{3}}{5}？如果存在，求直线EM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，说明理由.$

Solution:
$由(1)知EA，EC，ED两两垂直，以点E为坐标原点，\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698544794431490/img/compression/M_f94b054966935eac71b6105262aa59d7.jpg)$则E(0，0，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，A(2\sqrt{3}，0，0)，B(2\sqrt{3}，3，0)，\overrightarrow{DB}=(2\sqrt{3}，3，-2)，\overrightarrow{AC}=(-2\sqrt{3}，1，0)，设\overrightarrow{DM}=\lambda \overrightarrow{DB}，则\overrightarrow{DM}=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，-2\lambda )，易知0<\lambda <1，则\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DM}=(0，0，2)+(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，-2\lambda )=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，2-2\lambda )，即M(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda ，2-2\lambda )，所以\overrightarrow{CM}=(2\sqrt{3}\lambda ，3\lambda -1，2-2\lambda )，(5分)设平面MAC的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CM}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{3}x+y=0,\\ 2\sqrt{3}\lambda x+(3\lambda -1)y+(2-2\lambda )z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得m=\left(1,2\sqrt{3},\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}\right)，(7分)易知平面ABCE的一个法向量为n=(0，0，1)，由题知|\\cos  \langle m，n\rangle |=\left|\frac{\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}}{1\times \sqrt{1+12+{\left(\frac{4\sqrt{3}\lambda -\sqrt{3}}{\lambda -1}\right)}^2}}\right|=\frac{2\sqrt{3}}{5}，解得\lambda =\frac{1}{2}，故存在满足题意的点M.(8分)所以m=(1，2\sqrt{3}，-2\sqrt{3})，\overrightarrow{EM}=\left(\sqrt{3},\frac{3}{2},1\right)，设直线EM与平面MAC所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m，\overrightarrow{EM}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EM}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\overrightarrow{EM}|}\right|=\frac{4\sqrt{3}}{25}，所以直线EM与平面MAC所成角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{25}.(10分)$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点.$<img_2732>
$(1)求证：DM\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AD，PA\perp AB，又AB\perp AD，所以PA，AB，AD两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，4，0)，$<img_2143>$因为点M为PC的中点，所以M(1，2，1)，故\overrightarrow{DM}=(1，0，1)，(3分)又\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{AB}=(2，0，0)，所以\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，所以\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}为共面向量，又DM\not\subset 平面PAB，所以DM\parallel 平面PAB.(6分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698586942361603/img/compression/M_1896298aa883f77754c58c08827a1a38.jpg)
$(1)求证：DM\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AD，PA\perp AB，又AB\perp AD，所以PA，AB，AD两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，4，0)，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698587256934401/img/compression/M_6836dbf60d360c45422b0f6acbbbcd12.jpg)$因为点M为PC的中点，所以M(1，2，1)，故\overrightarrow{DM}=(1，0，1)，(3分)又\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{AB}=(2，0，0)，所以\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，所以\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}为共面向量，又DM\not\subset 平面PAB，所以DM\parallel 平面PAB.(6分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点.$<img_2732>
$(2)是否存在点E，使得二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由.$

Solution:
$设E(2，a，0)，0\leq a\leq 4，由题意及(1)易知平面BDE的一个法向量为\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{DP}=(0，-2，2)，\overrightarrow{DE}=(2，a-2，0)，设平面PDE的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2y+2z=0,\\ 2x+(a-2)y=0,\end{matrix}\right.令z=1，则n=\left(\frac{2-a}{2},1,1\right).(9分)因为二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{AP}，n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{2}{3}，即\frac{2}{2\times \sqrt{{\left(\frac{2-a}{2}\right)}^2+1+1}}=\frac{2}{3}，解得a=1或a=3.所以存在符合题意的点E，当BE=1或BE=3时，二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}.(12分)$

Final answer: $1, 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698586942361603/img/compression/M_1896298aa883f77754c58c08827a1a38.jpg)
$(2)是否存在点E，使得二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由.$

Solution:
$设E(2，a，0)，0\leq a\leq 4，由题意及(1)易知平面BDE的一个法向量为\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{DP}=(0，-2，2)，\overrightarrow{DE}=(2，a-2，0)，设平面PDE的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DP}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2y+2z=0,\\ 2x+(a-2)y=0,\end{matrix}\right.令z=1，则n=\left(\frac{2-a}{2},1,1\right).(9分)因为二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{AP}，n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{2}{3}，即\frac{2}{2\times \sqrt{{\left(\frac{2-a}{2}\right)}^2+1+1}}=\frac{2}{3}，解得a=1或a=3.所以存在符合题意的点E，当BE=1或BE=3时，二面角P-DE-B的余弦值为\frac{2}{3}.(12分)$

Final answer: $1, 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$<img_2409>
$(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；$

Solution:
$证明：因为\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，m\neq 0，所以\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}共面，即A，B，C，D四点共面.
(1分)
因为\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，m\neq 0，所以\overrightarrow{EG}，\overrightarrow{EH}，\overrightarrow{EF}共面，即E，F，G，H四点共面.
(2分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694178879852545/img/compression/M_203f68cdf0477f73516d7ce528993804.jpg)
$(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；$

Solution:
$证明：因为\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，m\neq 0，所以\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}共面，即A，B，C，D四点共面.
(1分)
因为\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，m\neq 0，所以\overrightarrow{EG}，\overrightarrow{EH}，\overrightarrow{EF}共面，即E，F，G，H四点共面.
(2分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$<img_2409>
$(2)求证：平面ABCD\parallel 平面EFGH；$

Solution:
$证明：连接HF，BD，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OE}+m(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE})=k(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})+km(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=k\overrightarrow{AD}+km\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB})=k\overrightarrow{AC}，所以\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{EG}，
(4分)
又因为EG\not\subset 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，所以EG\parallel 平面ABCD.
(5分)
因为\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OF}=k(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB})=k\overrightarrow{BD}，所以\overrightarrow{FH}\parallel \overrightarrow{BD}，
(6分)
又FH\not\subset 平面ABCD，BD\subset 平面ABCD，所以FH\parallel 平面ABCD，
(7分)
又因为EG与FH相交，EG、FH\subset 平面EFGH，所以平面ABCD\parallel 平面EFGH.
(8分)$<img_1736>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694178879852545/img/compression/M_203f68cdf0477f73516d7ce528993804.jpg)
$(2)求证：平面ABCD\parallel 平面EFGH；$

Solution:
$证明：连接HF，BD，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OE}+m(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE})=k(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})+km(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=k\overrightarrow{AD}+km\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB})=k\overrightarrow{AC}，所以\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{EG}，
(4分)
又因为EG\not\subset 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，所以EG\parallel 平面ABCD.
(5分)
因为\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OF}=k(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB})=k\overrightarrow{BD}，所以\overrightarrow{FH}\parallel \overrightarrow{BD}，
(6分)
又FH\not\subset 平面ABCD，BD\subset 平面ABCD，所以FH\parallel 平面ABCD，
(7分)
又因为EG与FH相交，EG、FH\subset 平面EFGH，所以平面ABCD\parallel 平面EFGH.
(8分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694178879852545/img/compression/M_21bd4b26dd0405d4963702aad820bdaa.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694178879852545/img/compression/M_203f68cdf0477f73516d7ce528993804.jpg)
$(3)求证：\overrightarrow{OG}=k\overrightarrow{OC}.$

Solution:
$证明：由(2)知\overrightarrow{EG}=k\overrightarrow{AC}，所以\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EG}=k\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AC}=k(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})=k\overrightarrow{OC}.
(10分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}，k\neq 0，m\neq 0.$<img_2409>
$(3)求证：\overrightarrow{OG}=k\overrightarrow{OC}.$

Solution:
$证明：由(2)知\overrightarrow{EG}=k\overrightarrow{AC}，所以\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EG}=k\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AC}=k(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})=k\overrightarrow{OC}.
(10分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段A_{1}B_{1}的中点，F为线段AB的中点.$<img_2173>
$(1)求点B到直线AC_{1}的距离；$

Solution:
$以D_{1}为原点，D_{1}A_{1}，D_{1}C_{1}，D_{1}D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2115>$则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C_{1}(0，1，0)，(2分)\therefore \overrightarrow{AB}=(0,1,0)，\overrightarrow{AC_1}=(-1,1,-1)，取a=\overrightarrow{AB}=(0,1,0)，u=\frac{\overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}(-1,1,-1)，则a^{2}=1，a\cdot u=\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore 点B到直线AC_{1}的距离为\sqrt{\boldsymbol{a}^2-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{u})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.(5分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段A_{1}B_{1}的中点，F为线段AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694198564352003/img/compression/M_9e79eb58acfb33887ae617798768b8af.jpg)
$(1)求点B到直线AC_{1}的距离；$

Solution:
$以D_{1}为原点，D_{1}A_{1}，D_{1}C_{1}，D_{1}D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694198983782401/img/compression/M_4d8f5bfc395b8d29b34cc83d63b75df0.jpg)$则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C_{1}(0，1，0)，(2分)\therefore \overrightarrow{AB}=(0,1,0)，\overrightarrow{AC_1}=(-1,1,-1)，取a=\overrightarrow{AB}=(0,1,0)，u=\frac{\overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}(-1,1,-1)，则a^{2}=1，a\cdot u=\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore 点B到直线AC_{1}的距离为\sqrt{\boldsymbol{a}^2-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{u})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.(5分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段A_{1}B_{1}的中点，F为线段AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694198564352003/img/compression/M_9e79eb58acfb33887ae617798768b8af.jpg)
$(2)求直线FC到平面AEC_{1}的距离.$

Solution:
$易知\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EC_1}=\left(-1,\frac{1}{2},0\right)，\therefore FC\parallel EC_{1}，又EC_{1}\subset 平面AEC_{1}，\therefore FC\parallel 平面AEC_{1}，\therefore 点F到平面AEC_{1}的距离即为直线FC到平面AEC_{1}的距离，设平面AEC_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EC_1}=0,\end{matrix}\right.易知\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{1}{2},-1\right)，\therefore \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}y-z=0,\\ -x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.\therefore \left\{\begin{matrix}y=2x,\\ y=2z,\end{matrix}\right.取z=1，则x=1，y=2，\therefore n=(1,2,1)，(8分)易知\overrightarrow{AF}=\left(0,\frac{1}{2},0\right)，\therefore 点F到平面AEC_{1}的距离为\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|\left(0,\frac{1}{2},0\right)\cdot (1,2,1)\right|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}，即直线FC到平面AEC_{1}的距离为\frac{\sqrt{6}}{6}.(10分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段A_{1}B_{1}的中点，F为线段AB的中点.$<img_2173>
$(2)求直线FC到平面AEC_{1}的距离.$

Solution:
$易知\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EC_1}=\left(-1,\frac{1}{2},0\right)，\therefore FC\parallel EC_{1}，又EC_{1}\subset 平面AEC_{1}，\therefore FC\parallel 平面AEC_{1}，\therefore 点F到平面AEC_{1}的距离即为直线FC到平面AEC_{1}的距离，设平面AEC_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EC_1}=0,\end{matrix}\right.易知\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{1}{2},-1\right)，\therefore \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}y-z=0,\\ -x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.\therefore \left\{\begin{matrix}y=2x,\\ y=2z,\end{matrix}\right.取z=1，则x=1，y=2，\therefore n=(1,2,1)，(8分)易知\overrightarrow{AF}=\left(0,\frac{1}{2},0\right)，\therefore 点F到平面AEC_{1}的距离为\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|\left(0,\frac{1}{2},0\right)\cdot (1,2,1)\right|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}，即直线FC到平面AEC_{1}的距离为\frac{\sqrt{6}}{6}.(10分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分别为PB,PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694199373852675/img/compression/M_84ab25f8a346855eb59b7105cec52764.jpg)
$(1)求证：平面ADE\perp 平面PCD；$

Solution:
$先证明PD\perp AD，AD\perp CD，再利用线面垂直的判定定理得AD\perp 平面PCD，然后由面面垂直的判定定理得平面ADE\perp 平面PCD；$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分别为PB,PC的中点.$<img_2461>
$(1)求证：平面ADE\perp 平面PCD；$

Solution:
$先证明PD\perp AD，AD\perp CD，再利用线面垂直的判定定理得AD\perp 平面PCD，然后由面面垂直的判定定理得平面ADE\perp 平面PCD；$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在Rt\triangle ABC中，\angle C=90^\circ ，BC=3,AC=6，D,E分别为AC，AB上的点且DE\parallel BC，DE=2，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}C\perp CD.$<img_1541>
$(1)求证：A_{1}C\perp BD；$

Solution:
$先证明出DE\perp 平面A_{1}DC，从而得到DE\perp A_{1}C，结合A_{1}C\perp CD，得到A_{1}C\perp 平面BCDE，从而证明出A_{1}C\perp BD；$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在Rt\triangle ABC中，\angle C=90^\circ ，BC=3,AC=6，D,E分别为AC，AB上的点且DE\parallel BC，DE=2，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}C\perp CD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694200095272963/img/compression/M_c5f7bf02ce5d38f03d730fbd953bd916.jpg)
$(1)求证：A_{1}C\perp BD；$

Solution:
$先证明出DE\perp 平面A_{1}DC，从而得到DE\perp A_{1}C，结合A_{1}C\perp CD，得到A_{1}C\perp 平面BCDE，从而证明出A_{1}C\perp BD；$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在Rt\triangle ABC中，\angle C=90^\circ ，BC=3,AC=6，D,E分别为AC，AB上的点且DE\parallel BC，DE=2，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}C\perp CD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694200095272963/img/compression/M_c5f7bf02ce5d38f03d730fbd953bd916.jpg)
$(2)是否在射线DA_{1}上存在点M，使平面BEM与平面BEA_{1}所成角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{4}？若存在，求出DM的长度；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$建立空间直角坐标系，设\overrightarrow{DM}=\lambda \overrightarrow{DA_1}(\lambda \geq 0)，分\lambda =0与\lambda \neq 0两种情况，求出两平面的法向量，从而列出方程，求出\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =3，得到DM的长度.$

Final answer: $若存在，DM的长度为1/2或3，$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为2的菱形ABCD中，\angle BAD=60^\circ ,DE\perp AB于点E，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}D\perp BE，如图2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694209758949379/img/compression/M_2484e4fd5f2c51acc0fa4a2b0073b336.jpg)
$(1)求证：A_{1}E\perp 平面BCDE；$

Solution:
$证明：\because BE\perp DE，A_{1}D\perp BE,DE\cap A_{1}D=D,DE,A_{1}D\subset 平面A_{1}DE，\therefore BE\perp 平面A_{1}DE，(1分)又A_{1}E\subset 平面A_{1}DE，\therefore A_{1}E\perp BE.(2分)又\because A_{1}E\perp DE,BE\cap DE=E,BE,DE\subset 平面BCDE，\therefore A_{1}E\perp 平面BCDE.(3分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为2的菱形ABCD中，\angle BAD=60^\circ ,DE\perp AB于点E，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}D\perp BE，如图2.$<img_1850>
$(1)求证：A_{1}E\perp 平面BCDE；$

Solution:
$证明：\because BE\perp DE，A_{1}D\perp BE,DE\cap A_{1}D=D,DE,A_{1}D\subset 平面A_{1}DE，\therefore BE\perp 平面A_{1}DE，(1分)又A_{1}E\subset 平面A_{1}DE，\therefore A_{1}E\perp BE.(2分)又\because A_{1}E\perp DE,BE\cap DE=E,BE,DE\subset 平面BCDE，\therefore A_{1}E\perp 平面BCDE.(3分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为2的菱形ABCD中，\angle BAD=60^\circ ,DE\perp AB于点E，将\triangle ADE沿DE折起到\triangle A_{1}DE的位置，使A_{1}D\perp BE，如图2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694209758949379/img/compression/M_2484e4fd5f2c51acc0fa4a2b0073b336.jpg)
$(2)在线段BD上是否存在点P，使平面A_{1}EP\perp 平面A_{1}BD？若存在，求\frac{BP}{BD}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$\because A_{1}E\perp 平面BCDE,BE\perp DE，\therefore 以E为原点，EB,ED,EA_{1}所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696694210174185474/img/compression/M_b14a6f9226576dd0282c1b4c50519750.jpg)$则B(1,0,0),D(0,\sqrt{3},0),A_{1}(0,0,1)，(5分)假设在线段BD上存在一点P，使平面A_{1}EP\perp 平面A_{1}BD，设P(x,y,z),\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BD}(0\leq \lambda \leq 1)，则(x-1,y,z)=\lambda (-1,\sqrt{3},0)，\therefore P(1-\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,0)，\therefore \overrightarrow{EP}=(1-\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,0)，(6分)易知\overrightarrow{EA_1}=(0,0,1),设平面A_{1}EP的法向量为m=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EA_1}=z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EP}=(1-\lambda )x_1+\sqrt{3}\lambda y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=\sqrt{3}\lambda ，得m=(\sqrt{3}\lambda ,\lambda -1,0).设平面A_{1}BD的法向量为n=(x_{2},y_{2},z_{2})，\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1),\overrightarrow{A_1D}=(0,\sqrt{3},-1)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{A_1B}=x_2-z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{A_1D}=\sqrt{3}y_2-z_2=0,\end{matrix}\right.取x_{2}=\sqrt{3}，得n=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}).(9分)\because 平面A_{1}EP\perp 平面A_{1}BD，\therefore m\cdot n=3\lambda +\lambda -1=0，解得\lambda =\frac{1}{4}，\therefore 在线段BD上存在点P，使平面A_{1}EP\perp 平面A_{1}BD，且\frac{BP}{BD}=\frac{1}{4}.(10分)$

Final answer: $在线段BD上存在点P，使平面A_{1}EP\perp 平面A_{1}BD，且\frac{BP}{BD}=\frac{1}{4}.$