di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610319115268098/img/compression/M_396c87fdfbd9da28708a0f7793e6769d.jpg)
$(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为\frac{\sqrt{7}}{21}，求线段AH的长.$

Solution:
$\overrightarrow{BE}=(-2，2，2).依题意，设AH=h(0\leq h\leq 4),则H(0,0,h),进而可得\overrightarrow{NH}=(-1，-2，h),由已知，得|\\cos  \langle \overrightarrow{NH}，\overrightarrow{BE}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{NH} \cdot \overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{NH}||\overrightarrow{BE}|}=\frac{|2h-2|}{\sqrt{h^2+5} \times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}}{21},整理得10h^{2}-21h+8=0,解得h=\frac{8}{5}或h=\frac{1}{2}.所以线段AH的长为\frac{8}{5}或\frac{1}{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610319115268098/img/compression/M_2d89014829a97445134742518cc97b7b.jpg)

Final answer: $\frac{8}{5}, \frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，AA_{1}=AB=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610484139040771/img/compression/M_22b0c7a4bd20187f20a796e1fab5f16d.jpg)
$(1)求证：BC_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C；$

Solution:
$证明：在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\because BB_{1}\perp 平面ABC，BC\subset 平面ABC，\therefore BB_{1}\perp BC，同理，BB_{1}\perp A_{1}B_{1}.\because AA_{1}=BB_{1}=BC=2，\therefore 四边形B_{1}BCC_{1}为正方形，故BC_{1}\perp B_{1}C.\because AB\perp BC，AB\parallel A_{1}B_{1}，BC\parallel B_{1}C_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，\because BB_{1}\cap B_{1}C_{1}=B_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp 平面BCC_{1}B_{1}，\because BC_{1}\subset 平面BCC_{1}B_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp BC_{1}，\because A_{1}B_{1}\cap B_{1}C=B_{1}，\therefore BC_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，AA_{1}=AB=BC=2.$<img_2903>
$(1)求证：BC_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C；$

Solution:
$证明：在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\because BB_{1}\perp 平面ABC，BC\subset 平面ABC，\therefore BB_{1}\perp BC，同理，BB_{1}\perp A_{1}B_{1}.\because AA_{1}=BB_{1}=BC=2，\therefore 四边形B_{1}BCC_{1}为正方形，故BC_{1}\perp B_{1}C.\because AB\perp BC，AB\parallel A_{1}B_{1}，BC\parallel B_{1}C_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，\because BB_{1}\cap B_{1}C_{1}=B_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp 平面BCC_{1}B_{1}，\because BC_{1}\subset 平面BCC_{1}B_{1}，\therefore A_{1}B_{1}\perp BC_{1}，\because A_{1}B_{1}\cap B_{1}C=B_{1}，\therefore BC_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，AA_{1}=AB=BC=2.$<img_2903>
$(2)点M在线段B_{1}C上，且\frac{B_1M}{B_1C}=\frac{1}{3}，点N在线段A_{1}B上，若MN\parallel 平面A_{1}ACC_{1}，求\frac{A_1N}{A_1B}的值.$

Solution:
$以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB_{1}所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,2,0)，C(2,0,0)，C_{1}(2,0,2)，B(0,0,0)，B_{1}(0,0,2)，A_{1}(0,2,2)，则\overrightarrow{CA}=(-2,2,0)，\overrightarrow{CC_1}=(0,0,2)，设平面ACC_{1}A_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CA}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CC_1}=2z=0,\end{matrix}\right.取x=1，得n=(1,1,0)，设M(a,b,c)，N(x,y,z)，\frac{A_1N}{A_1B}=\lambda ，则\overrightarrow{B_1C}=3\overrightarrow{B_1M}，\overrightarrow{A_1N}=\lambda \overrightarrow{A_1B}，0\leq \lambda \leq 1，即(2,0,-2)=3(a,b,c-2)，(x,y-2,z-2)=\lambda (0,-2,-2)，解得M\left(\frac{2}{3},0,\frac{4}{3}\right)，N(0,2-2\lambda ,2-2\lambda )，则\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{2}{3},2-2\lambda ,\frac{2}{3}-2\lambda \right)，\because MN\parallel 平面A_{1}ACC_{1}，\therefore n\cdot \overrightarrow{MN}=-\frac{2}{3}+2-2\lambda =0，解得\lambda =\frac{2}{3}.\therefore \frac{A_1N}{A_1B}的值为\frac{2}{3}.$<img_1796>

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，AA_{1}=AB=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610484139040771/img/compression/M_22b0c7a4bd20187f20a796e1fab5f16d.jpg)
$(2)点M在线段B_{1}C上，且\frac{B_1M}{B_1C}=\frac{1}{3}，点N在线段A_{1}B上，若MN\parallel 平面A_{1}ACC_{1}，求\frac{A_1N}{A_1B}的值.$

Solution:
$以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB_{1}所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,2,0)，C(2,0,0)，C_{1}(2,0,2)，B(0,0,0)，B_{1}(0,0,2)，A_{1}(0,2,2)，则\overrightarrow{CA}=(-2,2,0)，\overrightarrow{CC_1}=(0,0,2)，设平面ACC_{1}A_{1}的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CA}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CC_1}=2z=0,\end{matrix}\right.取x=1，得n=(1,1,0)，设M(a,b,c)，N(x,y,z)，\frac{A_1N}{A_1B}=\lambda ，则\overrightarrow{B_1C}=3\overrightarrow{B_1M}，\overrightarrow{A_1N}=\lambda \overrightarrow{A_1B}，0\leq \lambda \leq 1，即(2,0,-2)=3(a,b,c-2)，(x,y-2,z-2)=\lambda (0,-2,-2)，解得M\left(\frac{2}{3},0,\frac{4}{3}\right)，N(0,2-2\lambda ,2-2\lambda )，则\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{2}{3},2-2\lambda ,\frac{2}{3}-2\lambda \right)，\because MN\parallel 平面A_{1}ACC_{1}，\therefore n\cdot \overrightarrow{MN}=-\frac{2}{3}+2-2\lambda =0，解得\lambda =\frac{2}{3}.\therefore \frac{A_1N}{A_1B}的值为\frac{2}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610484998873090/img/compression/M_5c583bc172a0d743a1a79c7a143fdbe0.jpg)

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在五面体ABCDPE中，PD\perp 平面ABCD，\angle ADC=\angle BAD=90^\circ ，F为棱PA的中点，PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486055837699/img/compression/M_114e1200559205806cf0477a1e365ee2.jpg)
$(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；$

Solution:
$AC\parallel 平面DEF.证明如下：设PC交DE于点N，连接FN，因为四边形PDCE为平行四边形，所以点N为PC的中点，又点F为PA的中点，所以FN\parallel AC，因为FN\subset 平面DEF，AC\not\subset 平面DEF，所以AC\parallel 平面DEF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486550765570/img/compression/M_f540423d7768ce0a55902ed7976caf44.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在五面体ABCDPE中，PD\perp 平面ABCD，\angle ADC=\angle BAD=90^\circ ，F为棱PA的中点，PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．$<img_2211>
$(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；$

Solution:
$AC\parallel 平面DEF.证明如下：设PC交DE于点N，连接FN，因为四边形PDCE为平行四边形，所以点N为PC的中点，又点F为PA的中点，所以FN\parallel AC，因为FN\subset 平面DEF，AC\not\subset 平面DEF，所以AC\parallel 平面DEF.$<img_2955>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在五面体ABCDPE中，PD\perp 平面ABCD，\angle ADC=\angle BAD=90^\circ ，F为棱PA的中点，PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．$<img_2211>
$(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．$

Solution:
$假设在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}.设\overrightarrow{FQ}=\lambda \overrightarrow{FE}(0\leq \lambda \leq 1)，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，所以CD=2，P(0,0，\sqrt{2})，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，所以\overrightarrow{PB}=(1,1，-\sqrt{2})，\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)．设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PB}=(x,y,z) \cdot (1,1,-\sqrt{2})=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BC}=(x,y,z) \cdot (-1,1,0)=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y-\sqrt{2}z=0,\\ -x+y=0,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=y,\\ z=\sqrt{2}x,\end{matrix}\right.令x=1，得平面PBC的一个法向量为m=(1,1，\sqrt{2}).由F\left(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，E(0,2，\sqrt{2}),可得\overrightarrow{FE}=\left(-\frac{1}{2},2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).由\overrightarrow{FQ}=\lambda \overrightarrow{FE}(0\leq \lambda \leq 1)，整理得Q\left(\frac{1-\lambda }{2},2\lambda ,\frac{\sqrt{2}(1+\lambda )}{2}\right)，则\overrightarrow{BQ}=\left(-\frac{1+\lambda }{2},2\lambda -1,\frac{\sqrt{2}(1+\lambda )}{2}\right)，因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6},所以|\\cos  \langle \overrightarrow{BQ}，m\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{BQ} \cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{BQ}| \cdot |\boldsymbol{m}|}\right|=\frac{|5\lambda -1|}{2\sqrt{19\lambda ^2-10\lambda +7}}=\frac{\sqrt{3}}{6}，得14\lambda ^{2}-5\lambda -1=0，又0\leq \lambda \leq 1,所以\lambda =\frac{1}{2}，故在线段EF上存在一点Q\left(\frac{1}{4},1,\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}，且QE=|\overrightarrow{QE}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{4}-0\right)}^2+{(1-2)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{19}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{19}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在五面体ABCDPE中，PD\perp 平面ABCD，\angle ADC=\angle BAD=90^\circ ，F为棱PA的中点，PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，且四边形CDPE为平行四边形．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486055837699/img/compression/M_114e1200559205806cf0477a1e365ee2.jpg)
$(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．$

Solution:
$假设在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}.设\overrightarrow{FQ}=\lambda \overrightarrow{FE}(0\leq \lambda \leq 1)，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为PD=BC=\sqrt{2}，AB=AD=1，所以CD=2，P(0,0，\sqrt{2})，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，所以\overrightarrow{PB}=(1,1，-\sqrt{2})，\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)．设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PB}=(x,y,z) \cdot (1,1,-\sqrt{2})=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BC}=(x,y,z) \cdot (-1,1,0)=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y-\sqrt{2}z=0,\\ -x+y=0,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=y,\\ z=\sqrt{2}x,\end{matrix}\right.令x=1，得平面PBC的一个法向量为m=(1,1，\sqrt{2}).由F\left(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，E(0,2，\sqrt{2}),可得\overrightarrow{FE}=\left(-\frac{1}{2},2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).由\overrightarrow{FQ}=\lambda \overrightarrow{FE}(0\leq \lambda \leq 1)，整理得Q\left(\frac{1-\lambda }{2},2\lambda ,\frac{\sqrt{2}(1+\lambda )}{2}\right)，则\overrightarrow{BQ}=\left(-\frac{1+\lambda }{2},2\lambda -1,\frac{\sqrt{2}(1+\lambda )}{2}\right)，因为直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6},所以|\\cos  \langle \overrightarrow{BQ}，m\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{BQ} \cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{BQ}| \cdot |\boldsymbol{m}|}\right|=\frac{|5\lambda -1|}{2\sqrt{19\lambda ^2-10\lambda +7}}=\frac{\sqrt{3}}{6}，得14\lambda ^{2}-5\lambda -1=0，又0\leq \lambda \leq 1,所以\lambda =\frac{1}{2}，故在线段EF上存在一点Q\left(\frac{1}{4},1,\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}，且QE=|\overrightarrow{QE}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{4}-0\right)}^2+{(1-2)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{19}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{19}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC_{1}的中点.$<img_2710>
$(1)求证：平面AEF\perp 平面B_{1}BCC_{1};$

Solution:
$证明：在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，又\because AE\subset 平面ABC，\therefore AE\perp BB_{1}.\because \triangle ABC为等边三角形，E为BC的中点，\therefore AE\perp BC，又\because BB_{1}\cap BC=B，BB_{1}，BC\subset 平面B_{1}BCC_{1}，\therefore AE\perp 平面B_{1}BCC_{1}，\because AE\subset 平面AEF,\therefore 平面AEF\perp 平面B_{1}BCC_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610358396178434/img/compression/M_13e094971d66e73d3c9057bcdb66d80a.jpg)
$(1)求证：平面AEF\perp 平面B_{1}BCC_{1};$

Solution:
$证明：在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，BB_{1}\perp 平面ABC，又\because AE\subset 平面ABC，\therefore AE\perp BB_{1}.\because \triangle ABC为等边三角形，E为BC的中点，\therefore AE\perp BC，又\because BB_{1}\cap BC=B，BB_{1}，BC\subset 平面B_{1}BCC_{1}，\therefore AE\perp 平面B_{1}BCC_{1}，\because AE\subset 平面AEF,\therefore 平面AEF\perp 平面B_{1}BCC_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC_{1}的中点.$<img_2710>
$(2)若\angle EFC=30^\circ ，求点C到平面AEF的距离．$

Solution:
$在Rt\triangle EFC中，\angle EFC=30^\circ ，EC=1，\therefore EF=2，FC=\sqrt{3}.设点C到平面AEF的距离为d，由(1)知AE\perp 面B_{1}BCC_{1}，则由V_{A-EFC}=V_{C-AEF} ，即\frac{1}{3}\cdot AE\cdot \frac{1}{2}\cdot EC\cdot FC=\frac{1}{3}\cdot d\cdot \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EF，解得d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610358396178434/img/compression/M_13e094971d66e73d3c9057bcdb66d80a.jpg)
$(2)若\angle EFC=30^\circ ，求点C到平面AEF的距离．$

Solution:
$在Rt\triangle EFC中，\angle EFC=30^\circ ，EC=1，\therefore EF=2，FC=\sqrt{3}.设点C到平面AEF的距离为d，由(1)知AE\perp 面B_{1}BCC_{1}，则由V_{A-EFC}=V_{C-AEF} ，即\frac{1}{3}\cdot AE\cdot \frac{1}{2}\cdot EC\cdot FC=\frac{1}{3}\cdot d\cdot \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EF，解得d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$<img_2498>$图1$<img_3031>$图2$
$(1)求证：BM\perp DP；$

Solution:
$证明：因为AD\perp EF，所以AD\perp AP,AD\perp AB，又AP\cap AB=A，AP,AB\subset 平面ABP，所以AD\perp 平面ABP.因为BM\subset 平面ABP，所以AD\perp BM.由已知得，AB=AP=BP=2，所以\triangle ABP是等边三角形，又因为点M是AP的中点，所以BM\perp AP.因为AD\cap AP=A，AD,AP\subset 平面ADP，所以BM\perp 平面ADP.因为DP\subset 平面ADP，所以BM\perp DP.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_731fe4cd4be6171353724f0492510203.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_291560bb7608b1fe77d0f364ccf862b0.jpg)$图2$
$(1)求证：BM\perp DP；$

Solution:
$证明：因为AD\perp EF，所以AD\perp AP,AD\perp AB，又AP\cap AB=A，AP,AB\subset 平面ABP，所以AD\perp 平面ABP.因为BM\subset 平面ABP，所以AD\perp BM.由已知得，AB=AP=BP=2，所以\triangle ABP是等边三角形，又因为点M是AP的中点，所以BM\perp AP.因为AD\cap AP=A，AD,AP\subset 平面ADP，所以BM\perp 平面ADP.因为DP\subset 平面ADP，所以BM\perp DP.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$<img_2498>$图1$<img_3031>$图2$
$(2)求点M到平面BDP的距离h.$

Solution:
$取BP的中点N，连接DN，因为AD\perp 平面ABP，AB=AP=AD=2，所以DP=BD=2\sqrt{2}，所以DN\perp BP.所以在Rt\triangle DPN中，DN=\sqrt{DP^2-PN^2}=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}， 所以S_{\triangle DBP}=\frac{1}{2}BP\cdot DN=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}=\sqrt{7}，因为AD\perp 平面ABP，所以V_{D-BMP}=\frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}.因为V_{M-BDP}=V_{D-BMP}，所以\frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle BDP}=\frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}，又S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times AB^{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}\times 2^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以h=\frac{AD \cdot S_{\vartriangle BMP}}{S_{\vartriangle BDP}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，即点M到平面BDP的距离为\frac{\sqrt{21}}{7}.$<img_1940>

Final answer: $\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_731fe4cd4be6171353724f0492510203.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_291560bb7608b1fe77d0f364ccf862b0.jpg)$图2$
$(2)求点M到平面BDP的距离h.$

Solution:
$取BP的中点N，连接DN，因为AD\perp 平面ABP，AB=AP=AD=2，所以DP=BD=2\sqrt{2}，所以DN\perp BP.所以在Rt\triangle DPN中，DN=\sqrt{DP^2-PN^2}=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}， 所以S_{\triangle DBP}=\frac{1}{2}BP\cdot DN=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}=\sqrt{7}，因为AD\perp 平面ABP，所以V_{D-BMP}=\frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}.因为V_{M-BDP}=V_{D-BMP}，所以\frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle BDP}=\frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}，又S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times AB^{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}\times 2^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以h=\frac{AD \cdot S_{\vartriangle BMP}}{S_{\vartriangle BDP}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，即点M到平面BDP的距离为\frac{\sqrt{21}}{7}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610360413638657/img/compression/M_f29346d79cbf9473ff8ed60cc3a84971.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD\perp 平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432352833537/img/compression/M_314b962e5e2e9234bdd92f4cb27925aa.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：取PD的中点G，连接GF、AG.由题意知GF为\triangle PDC的中位线，\therefore GF\parallel CD且GF=\frac{1}{2}CD，又AE\parallel CD且AE=\frac{1}{2}CD，\therefore GF\parallel AE且GF=AE，\therefore 四边形EFGA是平行四边形，则EF\parallel AG，又EF\not\subset 平面PAD，AG\subset 平面PAD，\therefore EF\parallel 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD\perp 平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点．$<img_2377>
$(1)求证：EF\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：取PD的中点G，连接GF、AG.由题意知GF为\triangle PDC的中位线，\therefore GF\parallel CD且GF=\frac{1}{2}CD，又AE\parallel CD且AE=\frac{1}{2}CD，\therefore GF\parallel AE且GF=AE，\therefore 四边形EFGA是平行四边形，则EF\parallel AG，又EF\not\subset 平面PAD，AG\subset 平面PAD，\therefore EF\parallel 平面PAD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD\perp 平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点．$<img_2377>
$(2)求二面角P-EC-D的正切值．$

Solution:
$取AD的中点O，连接PO，则PO\perp AD.\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，连接OB交CE于M，连接PM，可证得Rt\triangle EBC\cong Rt\triangle OAB，\therefore \angle MEB=\angle AOB，则\angle MEB+\angle MBE=90^\circ ，即OM\perp EC.$<img_2363>$又PO\perp EC，PO\cap OM=O，\therefore EC\perp 平面POM，则PM\perp EC，即\angle PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt\triangle EBC中，BM=\frac{BE \cdot BC}{CE}=\frac{2\sqrt{5}}{5},则OM=OB-BM=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \\tan  \angle PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{\sqrt{15}}{3}，即二面角P-EC-D的正切值为\frac{\sqrt{15}}{3}．$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD\perp 平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432352833537/img/compression/M_314b962e5e2e9234bdd92f4cb27925aa.jpg)
$(2)求二面角P-EC-D的正切值．$

Solution:
$取AD的中点O，连接PO，则PO\perp AD.\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，连接OB交CE于M，连接PM，可证得Rt\triangle EBC\cong Rt\triangle OAB，\therefore \angle MEB=\angle AOB，则\angle MEB+\angle MBE=90^\circ ，即OM\perp EC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432931647490/img/compression/M_5a9aa25dea0fd2bf599fe111eb8f662e.jpg)$又PO\perp EC，PO\cap OM=O，\therefore EC\perp 平面POM，则PM\perp EC，即\angle PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt\triangle EBC中，BM=\frac{BE \cdot BC}{CE}=\frac{2\sqrt{5}}{5},则OM=OB-BM=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \\tan  \angle PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{\sqrt{15}}{3}，即二面角P-EC-D的正切值为\frac{\sqrt{15}}{3}．$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610434089275394/img/compression/M_1ff01b93ef91913fc333df6cd8b28034.jpg)
$(1)证明：DE\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：由条件可得AE=DE=2\sqrt{2}，又AD=4，所以AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}，所以AE\perp DE，又因为PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，所以PA\perp DE，又PA\cap AE=A，所以DE\perp 平面PAE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$<img_2995>
$(1)证明：DE\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：由条件可得AE=DE=2\sqrt{2}，又AD=4，所以AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}，所以AE\perp DE，又因为PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，所以PA\perp DE，又PA\cap AE=A，所以DE\perp 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$<img_2995>
$(2)若PD与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求二面角A-PD-E的正切值.$

Solution:
$因为\angle PDA是PD与平面ABCD所成的角，所以\angle PDA=45^\circ ，则PA=AD=4，因为PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp AP，又AB\perp AD，AD\cap AP=A，所以AB\perp 平面PAD，取AD的中点F，作FM\perp PD，垂足为点M，连接ME，因为EF\parallel AB，所以EF\perp 平面PAD，所以EF\perp PD，又MF\cap EF=F，MF，EF\subset 平面MEF，所以PD\perp 平面MEF，因为ME\subset 平面MEF，所以PD\perp ME，即\angle FME是二面角A-PD-E的平面角，又EF=AB=2，MF=\frac{\sqrt{2}}{2}FD=\sqrt{2}，所以\\tan  \angle FME=\frac{EF}{MF}=\sqrt{2}，所以二面角A-PD-E的正切值为\sqrt{2}.$<img_2455>

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610434089275394/img/compression/M_1ff01b93ef91913fc333df6cd8b28034.jpg)
$(2)若PD与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求二面角A-PD-E的正切值.$

Solution:
$因为\angle PDA是PD与平面ABCD所成的角，所以\angle PDA=45^\circ ，则PA=AD=4，因为PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp AP，又AB\perp AD，AD\cap AP=A，所以AB\perp 平面PAD，取AD的中点F，作FM\perp PD，垂足为点M，连接ME，因为EF\parallel AB，所以EF\perp 平面PAD，所以EF\perp PD，又MF\cap EF=F，MF，EF\subset 平面MEF，所以PD\perp 平面MEF，因为ME\subset 平面MEF，所以PD\perp ME，即\angle FME是二面角A-PD-E的平面角，又EF=AB=2，MF=\frac{\sqrt{2}}{2}FD=\sqrt{2}，所以\\tan  \angle FME=\frac{EF}{MF}=\sqrt{2}，所以二面角A-PD-E的正切值为\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610433472712708/img/compression/M_a299206bc822aa125d0596cd729d0c00.jpg)

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$<img_1916>
$(1)证明：AB\parallel l；$

Solution:
$证明：因为AB\parallel CD，CD\subset 平面PCD，AB\not\subset 平面PCD，所以AB\parallel 平面PCD.又AB\subset 平面PAB，平面PAB\cap 平面PCD=l，所以AB\parallel l.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610437797040130/img/compression/M_0bd2b413dd3055d1a1d16e6ac2d321a2.jpg)
$(1)证明：AB\parallel l；$

Solution:
$证明：因为AB\parallel CD，CD\subset 平面PCD，AB\not\subset 平面PCD，所以AB\parallel 平面PCD.又AB\subset 平面PAB，平面PAB\cap 平面PCD=l，所以AB\parallel l.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$<img_1916>
$(2)求平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值.$

Solution:
$因为AP\perp BP，所以PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}=4，又PA=PB，所以PA=PB=\sqrt{2}，又PD=\sqrt{6}，所以PA^{2}+AD^{2}=PD^{2}，所以AD\perp PA，又AD\perp AB，PA\cap AB=A，PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.取AB，CD的中点分别为O，M，连接MO，OP，则MO\parallel AD，所以MO\perp 平面PAB，又OP\subset 平面PAB，所以MO\perp OP.又因为PA=PB，O为AB的中点，所以OP\perp AB.如图，以O为原点，分别以\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OM}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(1,0,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，所以\overrightarrow{PC}=(-1,1,2)，\overrightarrow{PD}=(-1,-1,2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ -x-y+2z=0,\end{matrix}\right.取z=1，得x=2，y=0，则n=(2,0,1).又m=(0,0,1)是平面PAB的一个法向量，所以\\cos  \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值为\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$<img_2517>

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610437797040130/img/compression/M_0bd2b413dd3055d1a1d16e6ac2d321a2.jpg)
$(2)求平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值.$

Solution:
$因为AP\perp BP，所以PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}=4，又PA=PB，所以PA=PB=\sqrt{2}，又PD=\sqrt{6}，所以PA^{2}+AD^{2}=PD^{2}，所以AD\perp PA，又AD\perp AB，PA\cap AB=A，PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.取AB，CD的中点分别为O，M，连接MO，OP，则MO\parallel AD，所以MO\perp 平面PAB，又OP\subset 平面PAB，所以MO\perp OP.又因为PA=PB，O为AB的中点，所以OP\perp AB.如图，以O为原点，分别以\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OM}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(1,0,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，所以\overrightarrow{PC}=(-1,1,2)，\overrightarrow{PD}=(-1,-1,2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ -x-y+2z=0,\end{matrix}\right.取z=1，得x=2，y=0，则n=(2,0,1).又m=(0,0,1)是平面PAB的一个法向量，所以\\cos  \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值为\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610438430380033/img/compression/M_f5381027733693e75438d98129b7947b.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD\parallel BC，AD\perp AB，侧面PAB\perp 底面ABCD，PA=PB=AD=\frac{1}{2}BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点.
$<img_1889>
$(1)证明：DE\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：取PB的中点M，连接AM，EM，\because E为PC的中点，\therefore ME\parallel BC,ME=\frac{1}{2}BC，又\because AD\parallel BC,AD=\frac{1}{2}BC，\therefore ME\parallel AD,ME=AD，\therefore 四边形ADEM为平行四边形，\therefore DE\parallel AM，\because DE\not\subset 平面PAB，AM\subset 平面PAB，\therefore DE\parallel 平面PAB.$