di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $春秋末年，齐国著作《考工记》中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远”。意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流得更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。车盖可简化为圆锥，底面半径恒定为r，底角为\theta，过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形。\theta取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滑(可视为质点)沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与车盖间的摩擦力和空气阻力。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_8c12d00ecf01a6e790dd1497cbb97ac3.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_35364f71e0d624b9fdf6baa11889c72a.jpg)

![丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_33088d690bce93e3675937aa2524d57c.jpg)
$当倾角\theta为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间t_{min}；$

Solution:
水滴沿车盖下滑过程中有

$mg \sin \theta =ma①$

$\frac{r}{\cos \theta  }=\frac{1}{2}at^2_1 ②$

$由①②得 t^2_1=\frac{4r}{g \sin 2\theta  }$

$又0<\theta <\frac{\pi }{2}，则当\theta =\frac{\pi }{4}时水滴滑落车盖时间最短，解得t_{min}=2\sqrt{\frac{r}{g}}$

Final answer: $2\sqrt{\frac{r}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: $春秋末年，齐国著作《考工记》中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远”。意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流得更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。车盖可简化为圆锥，底面半径恒定为r，底角为\theta，过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形。\theta取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滑(可视为质点)沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与车盖间的摩擦力和空气阻力。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_8c12d00ecf01a6e790dd1497cbb97ac3.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_35364f71e0d624b9fdf6baa11889c72a.jpg)

![丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003457621753859/img/compression/M_33088d690bce93e3675937aa2524d57c.jpg)
$满足(1)问条件，在车盖底面下方h = \frac{3r}{2}的水平面内有一长为L = r的水平横梁(可看成细杆)，横梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离d。$

Solution:
$水滴沿车盖下滑过程有 mgr = \frac{1}{2}mv^2 ③$

$水滴离开车盖后做斜下抛运动，且有水平和竖直两个分速度 v_x = v_y = v \cos \frac{\pi }{4} ④$

$竖直方向有 h = v_{yt_2} + \frac{1}{2}gt_2^2 ⑤$

$水平方向有 x = v_{xt_2} ⑥$

$由题意几何关系可知 (x+r)^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 ⑦$

$由③~⑦式得 d = \frac{\sqrt{15}}{2}r$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{2}r$
Subfield: Mechanics


Question: $春秋末年，齐国著作《考工记》中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远”。意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流得更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。车盖可简化为圆锥，底面半径恒定为r，底角为\theta，过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形。\theta取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滑(可视为质点)沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与车盖间的摩擦力和空气阻力。$

<img_1383>

<img_568>

<img_876>
$满足(1)问条件，在车盖底面下方h = \frac{3r}{2}的水平面内有一长为L = r的水平横梁(可看成细杆)，横梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离d。$

Solution:
$水滴沿车盖下滑过程有 mgr = \frac{1}{2}mv^2 ③$

$水滴离开车盖后做斜下抛运动，且有水平和竖直两个分速度 v_x = v_y = v \cos \frac{\pi }{4} ④$

$竖直方向有 h = v_{yt_2} + \frac{1}{2}gt_2^2 ⑤$

$水平方向有 x = v_{xt_2} ⑥$

$由题意几何关系可知 (x+r)^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 ⑦$

$由③~⑦式得 d = \frac{\sqrt{15}}{2}r$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{2}r$
Subfield: Mechanics


Question: 寒假期间，某同学利用家里的楼梯间设计了一个小实验来完成实践作业。在楼梯口，他用弹射器向第一级台阶弹射小球，弹射器出口固定于桌面边缘，楼梯平层的转弯点为A，如图所示。台阶高为a，宽为b，Q为第一级台阶的最右侧点，P是第一级台阶的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，小球被弹出时与A的水平距离也为b。某次弹射时，小球击中Q而恰好没有擦到A，当地的重力加速度为g，小球可看作质点。

<img_1189>
求小球弹出时距A的高度；

Solution:
设弹射器高度为h，小球发射的初速度为v_0，根据平抛运动规律  
$b=v_0t_1 $ 
$h= \frac{1}{2} gt^2_1  $
$2b=v_0t_2  $
$h+a= \frac{1}{2} gt^2_2  $
$解得h= \frac{1}{3}a$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: 寒假期间，某同学利用家里的楼梯间设计了一个小实验来完成实践作业。在楼梯口，他用弹射器向第一级台阶弹射小球，弹射器出口固定于桌面边缘，楼梯平层的转弯点为A，如图所示。台阶高为a，宽为b，Q为第一级台阶的最右侧点，P是第一级台阶的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，小球被弹出时与A的水平距离也为b。某次弹射时，小球击中Q而恰好没有擦到A，当地的重力加速度为g，小球可看作质点。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003467334086659/img/compression/M_eaa4c71ddfa5570cb53c4424e3fb02d3.jpg)
求小球弹出时距A的高度；

Solution:
设弹射器高度为h，小球发射的初速度为v_0，根据平抛运动规律  
$b=v_0t_1 $ 
$h= \frac{1}{2} gt^2_1  $
$2b=v_0t_2  $
$h+a= \frac{1}{2} gt^2_2  $
$解得h= \frac{1}{3}a$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

<img_1417>

甲

<img_911>

乙
运动员从A点飞出的初速度$v_0$；

Solution:
$由图像可知，t_1=1 s时，运动员沿斜坡方向发生的位移x_1=17.5 m，将运动员的初速度和重力分解到沿斜坡方向(x方向)和垂直斜坡方向(y方向)，则其在沿斜坡向下的方向上做匀加速直线运动，初速度为v_{0x}=v_0 \cos \theta，加速度为a_x=g \sin \theta，根据匀变速直线运动规律有x_1=v_{0x} \cdot t_1+\frac{1}{2} a_x \cdot t_1^2，解得v_{0}=10\sqrt{3} m/s$

Final answer: $10\sqrt{3} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_e8514ffb71bee7d5c8b9a6419876ec70.jpg)

甲

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_88e006ad7ac0a281fe55d850694e7d78.jpg)

乙
运动员从A点飞出的初速度$v_0$；

Solution:
$由图像可知，t_1=1 s时，运动员沿斜坡方向发生的位移x_1=17.5 m，将运动员的初速度和重力分解到沿斜坡方向(x方向)和垂直斜坡方向(y方向)，则其在沿斜坡向下的方向上做匀加速直线运动，初速度为v_{0x}=v_0 \cos \theta，加速度为a_x=g \sin \theta，根据匀变速直线运动规律有x_1=v_{0x} \cdot t_1+\frac{1}{2} a_x \cdot t_1^2，解得v_{0}=10\sqrt{3} m/s$

Final answer: $10\sqrt{3} m/s$
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Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_e8514ffb71bee7d5c8b9a6419876ec70.jpg)

甲

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_88e006ad7ac0a281fe55d850694e7d78.jpg)

乙
$运动员飞行过程中距离斜坡的最大距离d；$

Solution:
$运动员在垂直斜坡方向做竖直上抛运动(匀变速直线运动)，初速度为v_{0y}=v_{0} \sin \theta，加速度为a_{y}=-g \cos \theta，设经时间t_{2}运动员离斜坡最远，此时速度方向平行于斜面(y方向达到“最高点”)，则有0-v_{0y}=a_{y}t_{2}$
$距离斜坡的最大距离d=v_{0y}\cdot t_{2}+\frac{1}{2}a_{y}t_{2}^2$
$解得d=\frac{5\sqrt{3}}{2} m$

Final answer: $\frac{5\sqrt{3}}{2} m$
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Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

<img_1417>

甲

<img_911>

乙
$运动员飞行过程中距离斜坡的最大距离d；$

Solution:
$运动员在垂直斜坡方向做竖直上抛运动(匀变速直线运动)，初速度为v_{0y}=v_{0} \sin \theta，加速度为a_{y}=-g \cos \theta，设经时间t_{2}运动员离斜坡最远，此时速度方向平行于斜面(y方向达到“最高点”)，则有0-v_{0y}=a_{y}t_{2}$
$距离斜坡的最大距离d=v_{0y}\cdot t_{2}+\frac{1}{2}a_{y}t_{2}^2$
$解得d=\frac{5\sqrt{3}}{2} m$

Final answer: $\frac{5\sqrt{3}}{2} m$
Subfield: Mechanics


Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

<img_1417>

甲

<img_911>

乙
$运动员在空中飞行时间t。$

Solution:
$ 设经过时间t_3运动员落到斜坡上，则y=v_{0y} \cdot t_3 + \frac{1}{2}a_{y}t^2_3 = 0，解得t=2 s或t=0 s(舍去)。$

Final answer: $2 s$
Subfield: Mechanics


Question: 2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，其中极具观赏性的跳台滑雪在张家口赛区举行。如图甲，滑雪运动员从跳台上的A处水平飞出，在斜坡上的B处着陆。运动员飞行过程中在坡面上垂直于坡面方向的投影到A点的距离x随时间t变化的关系图像如图乙。已知斜坡的倾角$\theta =30^\circ$ ，重力加速度$g=10 m/s^2$，空气阻力不计，求：

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_e8514ffb71bee7d5c8b9a6419876ec70.jpg)

甲

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468143587330/img/compression/M_88e006ad7ac0a281fe55d850694e7d78.jpg)

乙
$运动员在空中飞行时间t。$

Solution:
$ 设经过时间t_3运动员落到斜坡上，则y=v_{0y} \cdot t_3 + \frac{1}{2}a_{y}t^2_3 = 0，解得t=2 s或t=0 s(舍去)。$

Final answer: $2 s$
Subfield: Mechanics


Question: $在北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台的比赛中，中国选手谷爱凌顶住压力，在关键的第三跳以超高难度动作锁定金牌，这也是中国女子雪上项目第一个冬奥会冠军。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、终点区域组成，如图所示。在某次训练中，运动员经助滑道加速后自起跳点C以大小为v_{C}=20 m/s、与水平方向成\alpha =37^\circ 的速度飞出，完成空中动作后，落在着陆坡上，后沿半径为R=40 m的圆弧轨道EF自由滑行通过最低点F，进入水平终点区域后调整姿势做匀减速滑行直到静止。已知运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha =37^\circ ，在F点运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，运动员在水平停止区受到的阻力为重力(含装备)的0.5倍，g取10 m/s^{2}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，忽略运动过程中的空气阻力。$

![图][1]

[1]: <img_4582>
水平终点区域FG的最小长度L；

Solution:
$将运动员与装备看成一个质点，设总质量为m，在F点时的速度为v，在F点时，运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，则地面对该整体的支持力$
$N=2mg$

$此时支持力与总重力的合力提供向心力，则有N-mg=m \frac{v^2}{R}，解得v=20 m/s$

$运动员到达F点后，做匀减速直线运动，设加速度大小为a，根据牛顿第二定律有$
$a=\frac{f}{m}=\frac{0.5mg}{m}=5 m/s^2$

$运动员从F点减速到停下通过的位移为$
$x=\frac{v^2}{2a}=\frac{{20}^2}{2\times 5} m=40 m$

$故水平终点区域FG的最小长度L为40 m。$

Final answer: 40 m
Subfield: Mechanics


Question: $在北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台的比赛中，中国选手谷爱凌顶住压力，在关键的第三跳以超高难度动作锁定金牌，这也是中国女子雪上项目第一个冬奥会冠军。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、终点区域组成，如图所示。在某次训练中，运动员经助滑道加速后自起跳点C以大小为v_{C}=20 m/s、与水平方向成\alpha =37^\circ 的速度飞出，完成空中动作后，落在着陆坡上，后沿半径为R=40 m的圆弧轨道EF自由滑行通过最低点F，进入水平终点区域后调整姿势做匀减速滑行直到静止。已知运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha =37^\circ ，在F点运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，运动员在水平停止区受到的阻力为重力(含装备)的0.5倍，g取10 m/s^{2}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，忽略运动过程中的空气阻力。$

![图][1]

[1]: https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468865007620/img/compression/M_555c0a155c60cea52995edb4d37a2e8d.jpg
水平终点区域FG的最小长度L；

Solution:
$将运动员与装备看成一个质点，设总质量为m，在F点时的速度为v，在F点时，运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，则地面对该整体的支持力$
$N=2mg$

$此时支持力与总重力的合力提供向心力，则有N-mg=m \frac{v^2}{R}，解得v=20 m/s$

$运动员到达F点后，做匀减速直线运动，设加速度大小为a，根据牛顿第二定律有$
$a=\frac{f}{m}=\frac{0.5mg}{m}=5 m/s^2$

$运动员从F点减速到停下通过的位移为$
$x=\frac{v^2}{2a}=\frac{{20}^2}{2\times 5} m=40 m$

$故水平终点区域FG的最小长度L为40 m。$

Final answer: 40 m
Subfield: Mechanics


Question: $在北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台的比赛中，中国选手谷爱凌顶住压力，在关键的第三跳以超高难度动作锁定金牌，这也是中国女子雪上项目第一个冬奥会冠军。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、终点区域组成，如图所示。在某次训练中，运动员经助滑道加速后自起跳点C以大小为v_{C}=20 m/s、与水平方向成\alpha =37^\circ 的速度飞出，完成空中动作后，落在着陆坡上，后沿半径为R=40 m的圆弧轨道EF自由滑行通过最低点F，进入水平终点区域后调整姿势做匀减速滑行直到静止。已知运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha =37^\circ ，在F点运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，运动员在水平停止区受到的阻力为重力(含装备)的0.5倍，g取10 m/s^{2}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，忽略运动过程中的空气阻力。$

![图][1]

[1]:<img_4582>
$运动员完成空中动作的时间t。$

Solution:
$对运动员由C点飞出到着陆过程的运动进行正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向分速度满足v_{x}=v_{C} \cos \alpha ，竖直方向分速度满足(以竖直向上为正方向)v_{y}=v_{C} \sin \alpha -gt$

$着陆时竖直方向分速度与自C点飞出时的竖直方向分速度方向相反，由于运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha ，则有\tan \alpha =\frac{v_{x}}{-v_{y}}=\frac{v_{C} \cos  \alpha }{gt-v_{C} \sin  \alpha }$

$代入数值解得t=\frac{10}{3} s$

$运动员完成空中动作的时间为\frac{10}{3} s。$

Final answer: $\frac{10}{3} s$
Subfield: Mechanics


Question: $在北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台的比赛中，中国选手谷爱凌顶住压力，在关键的第三跳以超高难度动作锁定金牌，这也是中国女子雪上项目第一个冬奥会冠军。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、终点区域组成，如图所示。在某次训练中，运动员经助滑道加速后自起跳点C以大小为v_{C}=20 m/s、与水平方向成\alpha =37^\circ 的速度飞出，完成空中动作后，落在着陆坡上，后沿半径为R=40 m的圆弧轨道EF自由滑行通过最低点F，进入水平终点区域后调整姿势做匀减速滑行直到静止。已知运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha =37^\circ ，在F点运动员对地面的压力为重力(含装备)的2倍，运动员在水平停止区受到的阻力为重力(含装备)的0.5倍，g取10 m/s^{2}，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，忽略运动过程中的空气阻力。$

![图][1]

[1]: https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003468865007620/img/compression/M_555c0a155c60cea52995edb4d37a2e8d.jpg
$运动员完成空中动作的时间t。$

Solution:
$对运动员由C点飞出到着陆过程的运动进行正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向分速度满足v_{x}=v_{C} \cos \alpha ，竖直方向分速度满足(以竖直向上为正方向)v_{y}=v_{C} \sin \alpha -gt$

$着陆时竖直方向分速度与自C点飞出时的竖直方向分速度方向相反，由于运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为\alpha ，则有\tan \alpha =\frac{v_{x}}{-v_{y}}=\frac{v_{C} \cos  \alpha }{gt-v_{C} \sin  \alpha }$

$代入数值解得t=\frac{10}{3} s$

$运动员完成空中动作的时间为\frac{10}{3} s。$

Final answer: $\frac{10}{3} s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003488111906818/img/compression/M_a6b42758be9a17a55ac5b161e811ee6c.jpg)
$在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T_1，但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T_2。已知地球和月球的质量分别为5.98\times 10^{24} kg和7.35\times 10^{22} kg。求T_2与T_1两者二次方之比(结果保留3位小数)。$

Solution:
$在地月系统中，由于地月系统运行所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可得出T_{1}=2\pi \sqrt{\frac{L'^3}{G(M'+m')}}，式中，M'和m'分别是地球与月球的质量。L'是地心与月心之间的距离。$

$若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则\frac{GM'm'}{L'^2}=m'\frac{4\pi ^2}{T^2_2}L'，解得T_{2}=2\pi \sqrt{\frac{L'^3}{GM'}}$

$联立代入题给数据得\frac{T^2_2}{T^2_1}\approx 1.012。$

Final answer: 1.012
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

<img_1062>
$在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T_1，但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T_2。已知地球和月球的质量分别为5.98\times 10^{24} kg和7.35\times 10^{22} kg。求T_2与T_1两者二次方之比(结果保留3位小数)。$

Solution:
$在地月系统中，由于地月系统运行所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可得出T_{1}=2\pi \sqrt{\frac{L'^3}{G(M'+m')}}，式中，M'和m'分别是地球与月球的质量。L'是地心与月心之间的距离。$

$若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则\frac{GM'm'}{L'^2}=m'\frac{4\pi ^2}{T^2_2}L'，解得T_{2}=2\pi \sqrt{\frac{L'^3}{GM'}}$

$联立代入题给数据得\frac{T^2_2}{T^2_1}\approx 1.012。$

Final answer: 1.012
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta =37^\circ 的斜面AB固定在水平桌面上,竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接,跨过轻质光滑的定滑轮,与乙相连的轻绳竖直,与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动,甲位于斜面顶端;释放乙,当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长l_{AB}=2 m,水平桌面BC段长l_{BC}=0.95 m,甲的质量m_1=5 kg、乙的质量m_2= 1 kg,物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为\mu =0.2,半圆轨道CD光滑,物块甲从斜面滑下水平桌面时速度大小不变,重力加速度g=10 m/s^2,不计空气阻力。求:$

![physics problem](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003518464327683/img/compression/M_990db6fe867cd6330a62581756b75d5f.jpg)
物块甲到斜面底端B时重力的瞬时功率P;

Solution:
$设轻绳剪断时甲速度的大小为v_1，对甲、乙系统，甲下滑到斜面中点过程，根据能量守恒有$
$m_1g\frac{l_{AB}}{2}\sin\theta -m_2g\frac{l_{AB}}{2}=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2_1+\mu m_1g\cos\theta \frac{l_{AB}}{2}，  (①)$

$解得v_1 = 2 m/s$
$设甲到达斜面底端时的速度大小为v_2，对甲下滑到斜面底端过程，根据动能定理有 $
$m_1g\frac{l_{AB}}{2}\sin\theta -\mu m_1g\cos\theta \frac{l_{AB}}{2} = \frac{1}{2}m_1v^2_2-\frac{1}{2}m_1v^2_1 (②)$

$解得v_2=\frac{8\sqrt{5}}{5} m/s$
$重力的瞬时功率P=m_1gv_2\sin\theta  (③)$

$解得P=48\sqrt{5} W (④)$

Final answer: $48\sqrt{5} W$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta =37^\circ 的斜面AB固定在水平桌面上,竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接,跨过轻质光滑的定滑轮,与乙相连的轻绳竖直,与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动,甲位于斜面顶端;释放乙,当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长l_{AB}=2 m,水平桌面BC段长l_{BC}=0.95 m,甲的质量m_1=5 kg、乙的质量m_2= 1 kg,物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为\mu =0.2,半圆轨道CD光滑,物块甲从斜面滑下水平桌面时速度大小不变,重力加速度g=10 m/s^2,不计空气阻力。求:$

<img_531>
物块甲到斜面底端B时重力的瞬时功率P;

Solution:
$设轻绳剪断时甲速度的大小为v_1，对甲、乙系统，甲下滑到斜面中点过程，根据能量守恒有$
$m_1g\frac{l_{AB}}{2}\sin\theta -m_2g\frac{l_{AB}}{2}=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2_1+\mu m_1g\cos\theta \frac{l_{AB}}{2}，  (①)$

$解得v_1 = 2 m/s$
$设甲到达斜面底端时的速度大小为v_2，对甲下滑到斜面底端过程，根据动能定理有 $
$m_1g\frac{l_{AB}}{2}\sin\theta -\mu m_1g\cos\theta \frac{l_{AB}}{2} = \frac{1}{2}m_1v^2_2-\frac{1}{2}m_1v^2_1 (②)$

$解得v_2=\frac{8\sqrt{5}}{5} m/s$
$重力的瞬时功率P=m_1gv_2\sin\theta  (③)$

$解得P=48\sqrt{5} W (④)$



Final answer: $48\sqrt{5}$ W
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

<img_1188>
物块从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中系统因摩擦产生的热量；

Solution:
$物块从A点由静止释放，物块相对传送带向下滑，物块沿传送带向下加速运动的加速度为a_1=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，与P碰前的速度大小为v_1=\sqrt{2a_1L}=\sqrt{2\times 2\times 9} m/s=6 m/s，物块从A到B所用的时间为t_1=\frac{v_1}{a_1}=\frac{6}{2} s=3 s,在此过程中物块相对传送带向下运动的位移为s_1=L+vt_1=21 m，物块与挡板碰撞后，以大小为v_1的速度反弹，因v_1>v,物块相对传送带向上滑，物块向上做减速运动的加速度大小为a_2=g \sin \theta +\mu g \cos \theta =10 m/s^2，物块速度减小到与传送带速度相等所用的时间t_2=\frac{v-v_1}{-a_2}=\frac{4-6}{-10} s=0.2 s，在t_2时间内物块向上运动的位移为L_1=\frac{v_1+v}{2}\cdot t_2=1 m，此过程中物块相对传送带向上运动的位移为s_2=L_1-vt_2=0.2 m,物块速度与传送带速度相等后相对传送带向下滑，物块向上做减速运动的加速度大小为a_3=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，物块速度减小到零的时间为t_3=\frac{v}{a_3}=\frac{4}{2} s=2 s，在t_3时间内物块向上的位移为L_2=\frac{v}{2}\cdot t_3=4 m,此过程中物块相对传送带向下运动的位移为s_3=vt_3-L_2=4 m，摩擦产生的热量为Q=\mu mg(s_1+s_2+s_3)\cos \theta =100.8 J。$

Final answer: $100.8 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003521720864771/img/compression/M_0239318af6ecf6001114b910ae3ab4b7.jpg)
物块从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中系统因摩擦产生的热量；

Solution:
$物块从A点由静止释放，物块相对传送带向下滑，物块沿传送带向下加速运动的加速度为a_1=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，与P碰前的速度大小为v_1=\sqrt{2a_1L}=\sqrt{2\times 2\times 9} m/s=6 m/s，物块从A到B所用的时间为t_1=\frac{v_1}{a_1}=\frac{6}{2} s=3 s,在此过程中物块相对传送带向下运动的位移为s_1=L+vt_1=21 m，物块与挡板碰撞后，以大小为v_1的速度反弹，因v_1>v,物块相对传送带向上滑，物块向上做减速运动的加速度大小为a_2=g \sin \theta +\mu g \cos \theta =10 m/s^2，物块速度减小到与传送带速度相等所用的时间t_2=\frac{v-v_1}{-a_2}=\frac{4-6}{-10} s=0.2 s，在t_2时间内物块向上运动的位移为L_1=\frac{v_1+v}{2}\cdot t_2=1 m，此过程中物块相对传送带向上运动的位移为s_2=L_1-vt_2=0.2 m,物块速度与传送带速度相等后相对传送带向下滑，物块向上做减速运动的加速度大小为a_3=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，物块速度减小到零的时间为t_3=\frac{v}{a_3}=\frac{4}{2} s=2 s，在t_3时间内物块向上的位移为L_2=\frac{v}{2}\cdot t_3=4 m,此过程中物块相对传送带向下运动的位移为s_3=vt_3-L_2=4 m，摩擦产生的热量为Q=\mu mg(s_1+s_2+s_3)\cos \theta =100.8 J。$

Final answer: $100.8 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003521720864771/img/compression/M_0239318af6ecf6001114b910ae3ab4b7.jpg)
物块从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中传送带多消耗的电能；

Solution:
$多消耗的电能等于传送带克服摩擦力做的总功为\Delta E_{电}=F_{f}(x_{传送带1}-x_{传送带2}+x_{传送带3})=\mu mg \cos \theta (vt_{1}-vt_{2}+vt_{3})=76.8J，即传送带多消耗的电能为76.8J。$

Final answer: $76.8 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

<img_1188>
物块从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中传送带多消耗的电能；

Solution:
$多消耗的电能等于传送带克服摩擦力做的总功为\Delta E_{电}=F_{f}(x_{传送带1}-x_{传送带2}+x_{传送带3})=\mu mg \cos \theta (vt_{1}-vt_{2}+vt_{3})=76.8J，即传送带多消耗的电能为76.8J。$

Final answer: $76.8 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

<img_1188>
物块的最终状态及电动机在该状态下比无物块时多输出的功率。

Solution:
$物块返回上升到最高点时速度为零，以后将重复上述过程，且每次碰后反弹速度、上升高度依次减小，最终达到一个稳态，稳态的反弹速度大小应等于传送带速度4 m/s，此后受到的摩擦力总是沿传送带向上，加速度为a_4=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，方向沿传送带向下，物块相对斜面做往返“类竖直上抛”运动，对斜面上升的最大位移为x_m=\frac{v^2}{2a_3}=\frac{4^2}{2\times 2} m=4 m,往返时间为T=2\cdot \frac{v}{a_2}=4 s，传送带受到的摩擦力大小始终为F_f=\mu mg \cos \theta , 故电动机多输出的功率稳定为P=F_f v=\mu mg \cos \theta  v=16 W.$

Final answer: $16 W$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长L=9 m的传送带与水平方向的夹角\theta=37^\circ ,在电动机的带动下以v=4 m/s的速率沿顺时针方向运行。在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的顶端A点无初速度地放一质量m=1 kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数\mu=0.5。物块与挡板碰撞的能量损失及碰撞时间不计(g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003521720864771/img/compression/M_0239318af6ecf6001114b910ae3ab4b7.jpg)
物块的最终状态及电动机在该状态下比无物块时多输出的功率。

Solution:
$物块返回上升到最高点时速度为零，以后将重复上述过程，且每次碰后反弹速度、上升高度依次减小，最终达到一个稳态，稳态的反弹速度大小应等于传送带速度4 m/s，此后受到的摩擦力总是沿传送带向上，加速度为a_4=g \sin \theta -\mu g \cos \theta =2 m/s^2，方向沿传送带向下，物块相对斜面做往返“类竖直上抛”运动，对斜面上升的最大位移为x_m=\frac{v^2}{2a_3}=\frac{4^2}{2\times 2} m=4 m,往返时间为T=2\cdot \frac{v}{a_2}=4 s，传送带受到的摩擦力大小始终为F_f=\mu mg \cos \theta , 故电动机多输出的功率稳定为P=F_f v=\mu mg \cos \theta  v=16 W.$

Final answer: $16 W$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的小物块放在长直水平地面上，用水平细线紧绕在半径为R=0.25 m、质量为M=2 kg的薄壁圆筒上。t=0时，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，角速度满足\omega=16t (rad/s)。物块和地面之间动摩擦因数为\mu=0.2，取g=10 m/s^2。$

<img_1420>
$从开始运动至t_{1}=2 s时刻，电动机做了多少功？$

Solution:
$对整体运用动能定理可得W_{电} + W_{f} = \frac{1}{2}(m + M)v^2 - 0, 摩擦力做功为W_{f} = -\mu mg \times \frac{1}{2}at^2_1, 解得电动机做的功W_{电} = 112 J.$

Final answer: $112 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的小物块放在长直水平地面上，用水平细线紧绕在半径为R=0.25 m、质量为M=2 kg的薄壁圆筒上。t=0时，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，角速度满足\omega=16t (rad/s)。物块和地面之间动摩擦因数为\mu=0.2，取g=10 m/s^2。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003515429408771/img/compression/M_165d4dd3e7a602b12963023a15062626.jpg)
$从开始运动至t_{1}=2 s时刻，电动机做了多少功？$

Solution:
$对整体运用动能定理可得W_{电} + W_{f} = \frac{1}{2}(m + M)v^2 - 0, 摩擦力做功为W_{f} = -\mu mg \times \frac{1}{2}at^2_1, 解得电动机做的功W_{电} = 112 J.$

Final answer: $112 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的小物块放在长直水平地面上，用水平细线紧绕在半径为R=0.25 m、质量为M=2 kg的薄壁圆筒上。t=0时，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，角速度满足\omega=16t (rad/s)。物块和地面之间动摩擦因数为\mu=0.2，取g=10 m/s^2。$

<img_1420>
$当圆筁角速度达到\omega_0=64 rad/s时，使其减速转动，并以此时刻为t'`=0，且角速度满足\omega'=64-36t' rad/s，则减速多长时间后小物块停止运动？$

Solution:
$圆筒刚开始减速时线速度的大小为v_0=\omega_0R，圆筒减速过程中线速度为v'=\omega'R=(16-9t')m/s，所以圆筒减速过程粗速度大小为a_1=9 m/s^2，若绳子无拉力，物块减速运动的粗速度大小为a_2=\mu g=2 m/s^2，a_2<a_1，则物块减速运动的时间为t_2=\frac{v_0}{a_2}，解得t_2=8 s。$

Final answer: $8 s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m=1 kg的小物块放在长直水平地面上，用水平细线紧绕在半径为R=0.25 m、质量为M=2 kg的薄壁圆筒上。t=0时，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，角速度满足\omega=16t (rad/s)。物块和地面之间动摩擦因数为\mu=0.2，取g=10 m/s^2。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003515429408771/img/compression/M_165d4dd3e7a602b12963023a15062626.jpg)
$当圆筁角速度达到\omega_0=64 rad/s时，使其减速转动，并以此时刻为t'`=0，且角速度满足\omega'=64-36t' rad/s，则减速多长时间后小物块停止运动？$

Solution:
$圆筒刚开始减速时线速度的大小为v_0=\omega_0R，圆筒减速过程中线速度为v'=\omega'R=(16-9t')m/s，所以圆筒减速过程粗速度大小为a_1=9 m/s^2，若绳子无拉力，物块减速运动的粗速度大小为a_2=\mu g=2 m/s^2，a_2<a_1，则物块减速运动的时间为t_2=\frac{v_0}{a_2}，解得t_2=8 s。$

Final answer: $8 s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

<img_820>
$P与Q第一次碰前P的速度大小v_0；$

Solution:
$设滑块P速度为0时，弹簧形变量为x，则根据动能定理，有Fx-\mu _1m_1gx= \frac{1}{2}kx^{2}；$

$当弹簧再次恢复原长时有Fx-2\mu _1m_1gx= \frac{1}{2}m_1v^{2}_{0}，解得x=1 m，v_0=6 m/s。$

Final answer: $6 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003526967939075/img/compression/M_800ca26981004a7a74d96794a9224e5c.jpg)
$P与Q第一次碰前P的速度大小v_0；$

Solution:
$设滑块P速度为0时，弹簧形变量为x，则根据动能定理，有Fx-\mu _1m_1gx= \frac{1}{2}kx^{2}；$

$当弹簧再次恢复原长时有Fx-2\mu _1m_1gx= \frac{1}{2}m_1v^{2}_{0}，解得x=1 m，v_0=6 m/s。$

Final answer: $6 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

<img_820>
传送带达到最大速度时P、Q间距离d；

Solution:
$设 P、Q 碰撞后的速度分别为 v_1、v_2，又因为是弹性碰撞，故有 m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2，\frac{1}{2}m_1v_0^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2，得 v_1=2 \,m/s，v_2=8 \,m/s。设 P、Q 两滑块的加速度分别为 a_P、a_Q，与传送带达到速度相等的时间分别为 t_1、t_2，\mu_1m_1g=m_1a_P，\mu_2m_2g=m_2a_Q；由 v_1-a_Pt_1=a_1t_1，v_2-a_Qt_2=a_1t_2，得 t_1=1 \,s，t_2=1 \,s，此时传动带的速度 v'=a_1t_1=1\, m/s；此后 P、Q 与传送带相对静止。设 P、Q 的位移分别为 x_1、x_2，x_1=v_1t_1-\frac{1}{2}a_Pt_1^2，x_2=v_2t_2-\frac{1}{2}a_Qt_2^2，d=x_2-x_1，联立解得 d=3 \,m。$

Final answer: $3 m$