di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: <img_4217>

如图, 正方形 $A D E F$ 与 $\square A B C D$ 所在的平面互相垂直, 且 $A B=2 A D=2 a$, $\angle B A D=60^{\circ}, G$ 为 $B D$ 的中点.
求平面 $C G E$ 与平面 $A D E F$ 所成锐二面角的余弦值.

Solution:
平面 $A D E F \perp$ 平面 $A B C D, E D \perp A D, \therefore E D \perp$ 平面 $A B C D, E D \perp D B$,

即 $D A 、 D B 、 D E$ 两两垂直，

以 $D A 、 D B 、 D E$ 分别为 $x, y, z$ 轴, 建立如图所示空间直角坐标系,

<img_4218>

则 $A(a, 0,0), G\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2} a, 0\right), C(-a, \sqrt{3} a, 0), E(0,0, a)$,

$\overrightarrow{E G}=\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2} a,-a\right), \quad \overrightarrow{G C}=\left(-a, \frac{\sqrt{3}}{2} a, 0\right)$,

取平面 $A D E F$ 的法向量为 $\boldsymbol{m}=(0,1,0)$, 设平面 $C G E$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(x, y, z)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{E G}=0 \\ n \cdot \overrightarrow{G C}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2} a y-a z=0 \\ -a x+\frac{\sqrt{3}}{2} a y=0\end{array}\right.$, 令 $y=1$, 则 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, z=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

故 $\boldsymbol{n}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,

设平面 $C G E$ 与平面 $A D E F$ 所成锐二面角为 $\theta$, 则 $\cos \theta=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

<img_4204>

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$, 样本方差 $s^{2}$ (在同一组数据中, 用该区间的中点值作代表);

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

Final answer: $200 , 224$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_5d139120b4fcefeebabbg-1.jpg?height=420&width=577&top_left_y=1663&top_left_x=1136)

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$, 样本方差 $s^{2}$ (在同一组数据中, 用该区间的中点值作代表);

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

Final answer: $200 , 224$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

<img_4204>

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
由频率分布直方图可以近似的认为, 这种螺帽的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$, $\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$.利用该正态分布, 求 $P(185.03<Z<229.94)$ .

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

所以$Z \sim N(200,224)$, 从而

$P(200-14.97<Z<200+14.97)=2 P(185.03<Z \leq 200)=0.6826$,

$P(185.03<Z \leq 200)=0.3413$,

$P(200-29.94<Z<200+29.94)=2 P(200 \leq Z<229.94)=0.9544$,

$P(200 \leq Z<229.94)=0.4772$,

$P(185.03<Z<229.94)=P(185.03<Z \leq 200)+P(200 \leq Z<229.94)=0.8185$.

Final answer: $0.8185$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_5d139120b4fcefeebabbg-1.jpg?height=420&width=577&top_left_y=1663&top_left_x=1136)

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
由频率分布直方图可以近似的认为, 这种螺帽的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$, $\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$.利用该正态分布, 求 $P(185.03<Z<229.94)$ .

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

所以$Z \sim N(200,224)$, 从而

$P(200-14.97<Z<200+14.97)=2 P(185.03<Z \leq 200)=0.6826$,

$P(185.03<Z \leq 200)=0.3413$,

$P(200-29.94<Z<200+29.94)=2 P(200 \leq Z<229.94)=0.9544$,

$P(200 \leq Z<229.94)=0.4772$,

$P(185.03<Z<229.94)=P(185.03<Z \leq 200)+P(200 \leq Z<229.94)=0.8185$.

Final answer: $0.8185$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_5d139120b4fcefeebabbg-1.jpg?height=420&width=577&top_left_y=1663&top_left_x=1136)

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
由频率分布直方图可以近似的认为, 这种螺帽的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$, $\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$. 现从该企业购买了 100 件这种螺㡌, 记 $X$ 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间 $(185.03,229.94)$ 的件数, 求 $E(X)$.

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

所以$Z \sim N(200,224)$, 从而

$P(200-14.97<Z<200+14.97)=2 P(185.03<Z \leq 200)=0.6826$,

$P(185.03<Z \leq 200)=0.3413$,

$P(200-29.94<Z<200+29.94)=2 P(200 \leq Z<229.94)=0.9544$,

$P(200 \leq Z<229.94)=0.4772$,

$P(185.03<Z<229.94)=P(185.03<Z \leq 200)+P(200 \leq Z<229.94)=0.8185$,

所以一件螺㡌的质量指标值位于区间 $(185.03,229.94)$ 的概率为 0.8185 ,

依题意知 $X-B(100,0.8185)$, 所以 $E(X)=100 \times 0.8185=81.85$.

Final answer: $81.85$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为加强对企业产品质量的管理, 市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量, 共抽取了 600 件螺帽, 将它们的直径和螺纹距之比 $Z$ 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图:

<img_4204>

附: $\sqrt{224} \approx 14.97$.

若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<Z<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<Z<\mu+2 \sigma)=0.9544$.
由频率分布直方图可以近似的认为, 这种螺帽的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$, $\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$. 现从该企业购买了 100 件这种螺㡌, 记 $X$ 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间 $(185.03,229.94)$ 的件数, 求 $E(X)$.

Solution:
抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ 分别为:

$\bar{x}=170 \times 0.05+180 \times 0.12+190 \times 0.18+200 \times 0.30+210 \times 0.19$

$+220 \times 0.10+230 \times 0.06=200$

$s^{2}=(-30)^{2} \times 0.05+(-20)^{2} \times 0.12+(-10)^{2} \times 0.18+0 \times 0.30$

$+10^{2} \times 0.19+20^{2} \times 0.10+30^{2} \times 0.06=224$.

所以$Z \sim N(200,224)$, 从而

$P(200-14.97<Z<200+14.97)=2 P(185.03<Z \leq 200)=0.6826$,

$P(185.03<Z \leq 200)=0.3413$,

$P(200-29.94<Z<200+29.94)=2 P(200 \leq Z<229.94)=0.9544$,

$P(200 \leq Z<229.94)=0.4772$,

$P(185.03<Z<229.94)=P(185.03<Z \leq 200)+P(200 \leq Z<229.94)=0.8185$,

所以一件螺㡌的质量指标值位于区间 $(185.03,229.94)$ 的概率为 0.8185 ,

依题意知 $X-B(100,0.8185)$, 所以 $E(X)=100 \times 0.8185=81.85$.

Final answer: $81.85$
Subfield: Plane Geometry


Question: 已知 $A, B$ 是 $x$ 轴正半轴上两点 ( $A$ 在 $B$ 的左侧), 且 $|A B| = a(a>0)$, 过 $A, B$ 作 $x$ 轴的垂线, 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 在第一象限分别交于 $D, C$ 两点.
若 $a=p$, 点 $A$ 与抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点重合, 求直线 $C D$ 的斜率;

Solution:
由 $A\left(\frac{p}{2}, 0\right)$, 则 $B\left(\frac{p}{2}+a, 0\right), D\left(\frac{p}{2}, p\right)$, 则 $C\left(\frac{p}{2}+a, \sqrt{p^{2}+2 p a}\right)$,

又 $a=p$, 所以 $k_{C D}=\frac{\sqrt{3} p-p}{\frac{3 p}{2}-\frac{p}{2}}=\sqrt{3}-1$.

Final answer: $\sqrt{3}-1$
Subfield: Plane Geometry


Question: 已知 $A, B$ 是 $x$ 轴正半轴上两点 ( $A$ 在 $B$ 的左侧), 且 $|A B| = a(a>0)$, 过 $A, B$ 作 $x$ 轴的垂线, 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 在第一象限分别交于 $D, C$ 两点.
若 $O$ 为坐标原点, 记 $\triangle O C D$ 的面积为 $S_{1}$, 梯形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$, 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

Solution:
设直线 $C D$ 的方程为: $y=k x+b(k \neq 0)$, 设 $C\left(x_{1}, y_{1}\right), D\left(x_{2}, y_{2}\right)$,

由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+b \\ y^{2}=2 p x\end{array}\right.$, 得 $k y^{2}-2 p y+2 p b=0$,

所以 $\Delta=4 p^{2}-8 p k b>0$, 得 $k b<\frac{p}{2}$,

又 $y_{1}+y_{2}=\frac{2 p}{k}, y_{1} y_{2}=\frac{2 p b}{k}$, 由 $y_{1}+y_{2}=\frac{2 p}{k}>0, y_{1} y_{2}=\frac{2 p b}{k}>0$, 可知 $k>0, b>0$,

由 $|C D|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=a \sqrt{1+k^{2}}$,

点 $O$ 到直线 $C D$ 的距离为 $d=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^{2}}}$, 所以 $S_{1}=\frac{1}{2} \cdot a \sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{|b|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\frac{1}{2} a b$.

又 $S_{2}=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right) \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 p}{k} \cdot a=\frac{a p}{k}$,

所以 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{k b}{2 p}$,

因为 $0<k b<\frac{p}{2}$, 所以 $0<\frac{S_{1}}{S_{2}}<\frac{1}{4}$.

Final answer: $(0,\frac{1}{4})$
Subfield: Elementary Functions


Question: 已知函数 $f(x)=(a x+1) \mathrm{e}^{x}, a \in \mathbf{R}$.
当 $a>0$ 时, 证明: $f(x)+\frac{a}{\mathrm{e}}>0$ .

Solution:
当 $a>0$ 时, $f^{\prime}(x)=a \cdot \mathrm{e}^{x}+(a x+1) \mathrm{e}^{x}=(a x+a+1) \mathrm{e}^{x}$,

由 $f^{\prime}(x)>0$, 得 $x>-\frac{a+1}{a}$,

$\therefore f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{a+1}{a}\right)$ 上单调递减, 在 $\left(-\frac{a+1}{a},+\infty\right)$ 上单调递增.

$\therefore x=-\frac{a+1}{a}$ 时, $f(x)$ 取得极小值, 即最小值 $-a \cdot \mathrm{e}^{-\frac{a+1}{a}}$.

当 $a>0$ 时, $\frac{a+1}{a}=1+\frac{1}{a}>1,-\frac{a+1}{a}<-1$,

$\because 0<\mathrm{e}^{-\frac{a+1}{a}}<\frac{1}{\mathrm{e}}, \therefore-a \cdot \mathrm{e}^{-\frac{a+1}{a}}>-\frac{a}{\mathrm{e}}$, 即 $f(x)+\frac{a}{\mathrm{e}}>0$.
Subfield: Elementary Functions


Question: 已知函数 $f(x)=(a x+1) \mathrm{e}^{x}, a \in \mathbf{R}$.
当 $a=-\frac{1}{2}$ 时, 如果 $x_{1} \neq x_{2}$, 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$, 证明: $x_{1}+x_{2}<2$.

Solution:
当 $a=-\frac{1}{2}$ 时, $f(x)=\left(-\frac{1}{2} x+1\right) \mathrm{e}^{x}$,

则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(1-x) \mathrm{e}^{x}, \therefore x \in(1,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减, $x \in(-\infty, 1)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, $f(x)$ 单调递增,

令 $F(x)=f(x)-f(2-x)$, 则 $F(x)=\left(-\frac{1}{2} x+1\right) \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{2-x}$,

$\therefore F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(1-x)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2-x}\right)$,

当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $1-x<0, x>2-x, \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2-x}>0, \therefore F^{\prime}(x)<0, F(x)$ 单调递减,

$\therefore F(x)<F(1)=f(1)-f(1)=0$, 即 $f(x)-f(2-x)<0$,

$\therefore$ 当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $f(x)<f(2-x)$.

又 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 内是增函数, 在 $(1,+\infty)$ 内是减函数. $x_{1} \neq x_{2}$, 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), \therefore x_{1}, x_{2}$ 不在同一单调区间内,

不妨设 $x_{1}<1<x_{2}$, 由上可知: $f\left(x_{2}\right)<f\left(2-x_{2}\right)$,

$\because f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), \therefore f\left(x_{1}\right)<f\left(2-x_{2}\right)$.

$\because x_{1}<1,2-x_{2}<1$, 又 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 内是增函数,

$\therefore x_{1}<2-x_{2}$, 即 $x_{1}+x_{2}<2$.
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: 已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 以平面直角坐标系的原点为极点, $x$ 的非负半轴为极轴建立极坐标系.
求曲线 $C$ 的极坐标方程.

Solution:
由 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$, 得到曲线 $C$ 的普通方程是: $\frac{2 x^{2}}{5}+y^{2}=1, $

又 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 代入得, $5 \rho^{2} \sin ^{2} \theta+2 \rho^{2} \cos ^{2} \theta=5$, 即 $\rho^{2}=\frac{5}{5 \sin ^{2} \theta+2 \cos^{2} \theta}$.

Final answer: $\rho^{2}=\frac{5}{5 \sin ^{2} \theta+2 \cos^{2} \theta}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: 已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 以平面直角坐标系的原点为极点, $x$ 的非负半轴为极轴建立极坐标系.
$P 、 Q$ 为曲线 $C$ 上两点, 若 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=0$, 求 $\frac{|\overrightarrow{O P}|^{2} \cdot |\overrightarrow{O Q}|^{2}}{|\overrightarrow{O P}|^{2}+|\overrightarrow{O Q}|^{2}}$ 的值.

Solution:
由 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$, 得到曲线 $C$ 的普通方程是: $\frac{2 x^{2}}{5}+y^{2}=1, $

又 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 代入得, $5 \rho^{2} \sin ^{2} \theta+2 \rho^{2} \cos ^{2} \theta=5$, 即 $\rho^{2}=\frac{5}{5 \sin ^{2} \theta+2 \cos^{2} \theta}$.

因为 $\rho^{2}=\frac{5}{5 \sin ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta}$, 所以 $\frac{1}{\rho^{2}}=\sin ^{2} \theta+\frac{2 \cos ^{2} \theta}{5}$,

由 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=0$, 故 $O P \perp O Q$,

设点 $P$ 的极坐标为 $\left(\rho_{1}, \theta\right)$, 则点 $Q$ 的极坐标可设为 $\left(\rho_{2}, \theta \pm \frac{\pi}{2}\right)$,

所以 $\frac{|\overrightarrow{O P}|^{2} \cdot|\overrightarrow{O Q}|^{2}}{|\overrightarrow{O P}|^{2}+|\overrightarrow{O Q}|^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{|O P|^{2}}+\frac{1}{|O Q|^{2}}}$

$=\frac{1}{\frac{1}{\rho_{1}^{2}}+\frac{1}{\rho_{2}^{2}}}=\frac{1}{\sin ^{2} \theta+\frac{2 \cos ^{2} \theta}{5}+\cos ^{2} \theta+\frac{2 \sin ^{2} \theta}{5}}=\frac{1}{1+\frac{2}{5}}=\frac{5}{7}$.

Final answer: $\frac{5}{7}$
Subfield: Inequality


Question: 已知函数 $f(x)=|x+2|-a|2 x-1|, a \in \mathbf{R}$.
当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geq 0$ 的解集.

Solution:
当 $a=1$ 时, 由 $f(x) \geq 0$, 即 $|x+2| \geq|2 x-1|$, 两边平方, 得:

$x^{2}+4 x+4 \geq 4 x^{2}-4 x+1$,

即 $3 x^{2}-8 x-3 \leq 0$,

解得: $-\frac{1}{3} \leq x \leq 3$,

所以不等式 $f(x) \geq 0$ 的解集为: $\left\{x \mid-\frac{1}{3} \leq x \leq 3\right\}$.

Final answer: $[-\frac{1}{3}, 3]$
Subfield: Inequality


Question: 已知函数 $f(x)=|x+2|-a|2 x-1|, a \in \mathbf{R}$.
若存在 $x \in \mathbf{R}$, 使得不等式 $f(x)>a$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

Solution:
若存在 $x \in \mathbf{R}$, 使得不等式 $f(x)>a$ 成立, 即 $|x+2|-a|2 x-1|>a$ 成立,

所以存在 $x \in \mathbf{R}$, 使得 $a<\frac{|x+2|}{|2 x-1|+1}$ 成立, 令 $g(x)=\frac{|x+2|}{|2 x-1|+1}$, 只需 $a<g_{\text {max }}(x)$ 即可.

又函数 $g(x)=\frac{|x+2|}{|2 x-1|+1}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}+\frac{3}{2(x-1)}, x<-2 \\ -\frac{1}{2}-\frac{3}{2(x-1)},-2 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{x}, x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$,

当 $x<-2$ 时, $g(x)$ 单调递减, $0<g(x)<\frac{1}{2}$;

当 $-2 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时, $g(x)$ 单调递增, $0 \leq g(x) \leq \frac{5}{2}$ ：

当 $x>\frac{1}{2}$ 时, $g(x)$ 单调递减, $\frac{1}{2}<g(x)<\frac{5}{2}$ ；

可知函数 $g_{\text {max }}(x)=g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}$,

所以 $a<\frac{5}{2}$.

Final answer: $(-\infty, \frac{5}{2})$
Subfield: Sequence


Question: 已知 $S_{2}=3, a_{n+1}=S_{n}+1$
求通项公式 $a_{n}$.

Solution:
$\because a_{n+1}=S_{n}+1$, 当 $n=1$ 时, $a_{2}=a_{1}+1$,

$$
\text { 又 } \because \mathrm{a}_{1}+a_{2}=3, \therefore a_{1}=1, a_{2}=2
$$

当$n>1$时，$a_{n}=S_{n-1} + 1, a_{n+1}-a_{n}=a_{n},\therefore a_{n+1}=2a_{n}, \therefore \left \{a_{n}\right \}$为等比数列.

且公比 $\mathrm{q}=2$,

$a_{n}=2^{n-1} ;$

Final answer: $2^{n-1}$
Subfield: Sequence


Question: 已知 $S_{2}=3, a_{n+1}=S_{n}+1$
若 $b_{n}=a_{n}\left(\log _{2} a_{n}+1\right)\left(n \in N_{+}\right)$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $T_{n}$

Solution:
$\because a_{n+1}=S_{n}+1$, 当 $n=1$ 时, $a_{2}=a_{1}+1$,

$$
\text { 又 } \because \mathrm{a}_{1}+a_{2}=3, \therefore a_{1}=1, a_{2}=2
$$

当$n>1$时，$a_{n}=S_{n-1} + 1, a_{n+1}-a_{n}=a_{n},\therefore a_{n+1}=2a_{n}, \therefore \left \{a_{n}\right \}$为等比数列.

且公比 $\mathrm{q}=2$,

$a_{n}=2^{n-1} ;$

$b_{n}=a_{n}\left(\log _{2} a_{n}+1\right)=n \cdot 2^{n-1}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore T_{n}=1 \cdot 2^{0}+2 \cdot 2^{1}+3 \cdot 2^{2}+\cdots+n \cdot 2^{n-1} \\
& \therefore 2 T_{n}=\quad 1 \cdot 2^{1}+2 \cdot 2^{2}+\cdots+(n-1) \cdot 2^{n-1}+n \cdot 2^{n} \\
& \therefore-T_{n}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n-1}-n \cdot 2^{n}=\frac{1 \cdot\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-n \cdot 2^{n}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore T_{n}=(n-1) \cdot 2^{n}+1 .
$$

Final answer: $(n-1) \cdot 2^{n}+1$
Subfield: Solid Geometry


Question: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_9e6efba960910b094c1eg-1.jpg?height=602&width=427&top_left_y=1255&top_left_x=873)

如图, 正三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 的所有棱长都为2 , 点 $M, N$ 分别是 $B A^{\prime}$ 与 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点.
求证: $M N / /$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$.

Solution:
连接 $A C^{\prime}$,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_e6237ac54824e6a5539bg-1.jpg?height=582&width=391&top_left_y=2076&top_left_x=1409)

$\because M, N$ 分别是 $B^{\prime} A$ 与 $B^{\prime} C$ 的中点

$\therefore M N / / A C^{\prime}$, 又 $\because M N \not \subset$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}, A C^{\prime} \subset$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$. 所以 $M N / /$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$;

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: <img_4231>

如图, 正三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 的所有棱长都为2 , 点 $M, N$ 分别是 $B A^{\prime}$ 与 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点.
求证: $M N / /$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$.

Solution:
连接 $A C^{\prime}$,

<img_4094>

$\because M, N$ 分别是 $B^{\prime} A$ 与 $B^{\prime} C$ 的中点

$\therefore M N / / A C^{\prime}$, 又 $\because M N \not \subset$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}, A C^{\prime} \subset$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$. 所以 $M N / /$ 平面 $A C C^{\prime} A^{\prime}$;
Subfield: Solid Geometry


Question: <img_4231>

如图, 正三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 的所有棱长都为2 , 点 $M, N$ 分别是 $B A^{\prime}$ 与 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点.
求三棱雉 $\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{MNC}$ 的体积.

Solution:
$\because A^{\prime} B^{\prime}=A^{\prime} C^{\prime}, N$ 为 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点, $\therefore A^{\prime} N \perp B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because B B^{\prime} \perp$ 平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \therefore B B^{\prime} \perp A^{\prime} N \therefore A^{\prime} N \perp$ 平面 $B C C^{\prime} B^{\prime}$,

$\therefore V_{A^{\prime}-M N C}=V_{B-M N C}=V_{M-B C N}=\frac{1}{3} \cdot S_{\square B C N} \cdot \frac{1}{2} A^{\prime} N=\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2023_12_20_9e6efba960910b094c1eg-1.jpg?height=602&width=427&top_left_y=1255&top_left_x=873)

如图, 正三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 的所有棱长都为2 , 点 $M, N$ 分别是 $B A^{\prime}$ 与 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点.
求三棱雉 $\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{MNC}$ 的体积.

Solution:
$\because A^{\prime} B^{\prime}=A^{\prime} C^{\prime}, N$ 为 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点, $\therefore A^{\prime} N \perp B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because B B^{\prime} \perp$ 平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \therefore B B^{\prime} \perp A^{\prime} N \therefore A^{\prime} N \perp$ 平面 $B C C^{\prime} B^{\prime}$,

$\therefore V_{A^{\prime}-M N C}=V_{B-M N C}=V_{M-B C N}=\frac{1}{3} \cdot S_{\square B C N} \cdot \frac{1}{2} A^{\prime} N=\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: “不怕同桌是学霸, 就怕学霸过暑假.”说的是暑假学习的重要性.现对某中学高中学生暑假学习时间进行调查, 随机调查男生、女生各 50 名, 其中每学习时间超过 6 小时的学生为 “甲组”, 否则为 “乙组”, 调查结果如下:

|      | 甲组 | 乙组 | 合计 |
| :--: | :--: | :--: | :--: |
| 男生 |  28  |  22  |  50  |
| 女生 |  30  |  20  |  50  |
| 合计 |  58  |  42  | 100 |

参考公式: $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$ 为样本容量.

参考数据:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| :--------------------------------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|             $k_{0}$             | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
现从调查的女生中按分层抽样的方法选出 5 人赠送学习软件各 1 份,求所抽取 5 人中 “甲组”有3人，“乙组” 有2人.接着从抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的学习资料, 求 “这 2 人中都在甲组或都在乙组” 的概率.

Solution:
设: 甲组的三人为 A, B, C, 乙组的二人为 $a, b$, 则从 5 人中选取 2 人的基本事件有: $(A, B)(A, C)(A, a)(A, b)(B, C)(B, a)(B, b)(C, a)(C, b)(a, b)$ 共 10 种.

其中都在甲组或都在乙组的有（A, B）(A, C ）(B, C) ( $a, b)$ ，共 4 种.

所以 “所选取 2 人中都在甲组或都在乙组” 的概率 $\mathrm{P}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: 已知中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C 过点 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A_{1}$, $A_{2}$ 是椭圆 $C$ 的长轴的两个端点 ( $A_{2}$ 位于 $A_{1}$ 右侧), $B$ 是椭圆在 $\mathrm{y}$ 轴正半轴的交点.
求椭圆 $C$ 的标准方程;

Solution:
设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{a^{2}}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{b^{2}}=1 \\
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \\
a^{2}=b^{2}+c^{2}
\end{array}\right.
$$

$\therefore a=2, b=1,$所以椭圆的方程为$\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+y^{2}=1$.

Final answer: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: 已知中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C 过点 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A_{1}$, $A_{2}$ 是椭圆 $C$ 的长轴的两个端点 ( $A_{2}$ 位于 $A_{1}$ 右侧), $B$ 是椭圆在 $\mathrm{y}$ 轴正半轴的交点.
证明：不存在经过点 $(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\mathrm{C}$ 交于不同两点 $\mathrm{P}$ 和 $Q$, 使得向量 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$ 与 $A_{2} B$ 共线.

Solution:
设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{a^{2}}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{b^{2}}=1 \\
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \\
a^{2}=b^{2}+c^{2}
\end{array}\right.
$$

$\therefore a=2, b=1,$所以椭圆的方程为$\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+y^{2}=1$.

设 $\mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$

由题得: $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+4 y^{2}-4=0 \\ y=k x+2\end{array}\right.$

消元得: $\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+16 k x+12=0$

$\therefore \Delta=256 k^{2}-48\left(1+4 k^{2}\right)=64 k^{2}-48>0$

$\therefore k^{2}>\frac{3}{4}$

且 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=-\frac{16 k}{1+4 k^{2}} \\ y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)+4=\frac{4}{1+4 k^{2}}\end{array}\right.$

$\therefore \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}=\left(-\frac{16 k}{1+4 k^{2}}, \frac{4}{1+4 k^{2}}\right)$

又 $\because A_{2}(2,0), B(0,1), \therefore \overrightarrow{A_{2} B}=(-2,1)$ 又 $\because$ 向量 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$ 与 $A_{2} B$ 共线,

$-\frac{16 k}{1+4 k^{2}} \times 1=-2 \times \frac{4}{1+4 k^{2}}, \therefore k=\frac{1}{2}$, 与 $k^{2}>\frac{3}{4}$ 矛盾

所以, 不存在符合条件的直线 $l$.
Subfield: Elementary Functions


Question: 已知函数 $f(x)=2 \ln x-a x^{2}+3 x, a \in R$.
若 $f(1)=2$, 求函数 $f(x)$ 的最大值.

Solution:
因为 $f(1)=2$, 所以 $-a+3=2$, 所以 $a=1$,

$$
\begin{aligned}
\therefore & f(x)=2 \ln x-x^{2}+3 x \\
\therefore & f^{\prime}(x)=\frac{2}{x}-2 x+3=-\frac{(2 x+1)(x-2)}{x}
\end{aligned}
$$

由 $f^{\prime}(x)>0$ 得, $0<x<2$, 有 $f^{\prime}(x)<0$ 得, $x>2$,

$\therefore f(x)$ 在 $(0,2)$ 为增函数, 在 $(2,+\infty)$ 为减函数

$\therefore f(x)_{\max }=f(2)=2 \ln 2+2$.

Final answer: $2 \ln 2+2$
Subfield: Elementary Functions


Question: 已知函数 $f(x)=2 \ln x-a x^{2}+3 x, a \in R$.
若 $a=-1$, 正实数 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 满足 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)=0$, 证明 $x_{1}+x_{2} \geqslant \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$.

Solution:
当 $a=-1$ 时, $f(x)=2 \ln x+x^{2}+3 x$,

$\because f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)=2 \ln x_{1}+x_{1}^{2}+3 x_{1}+2 \ln x_{2}+x_{2}^{2}+3 x_{2}=0$

$\therefore\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+3\left(x_{1}+x_{2}\right)=2\left(x_{1} x_{2}-\ln x_{1} x_{2}\right)$

令 $h(t)=t-\ln t, \quad \therefore h^{\prime}(t)=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$,

由 $h^{\prime}(x)>0$ 得, $t>1$, 由 $h^{\prime}(x)<0$ 得, $0<t<1$

$\therefore h(x)$ 在 $(0,1)$ 为减函数, 在 $(1,+\infty)$ 为增函数

$\therefore h(x)_{\min }=h(1)=1$

$\therefore\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+3\left(x_{1}+x_{2}\right) \geqslant 2 \therefore\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+3\left(x_{1}+x_{2}\right)-2 \geqslant 0$

$\therefore x_{1}+x_{2} \geqslant \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$