di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正四棱柱ABCD-A'B'C'D'.$<img_2216>
$(1)请在正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，画出经过D，Q，R三点的截面(不必给出证明)；$

Solution:
$作直线QR分别交D'A',D'C'的延长线于M,N，连接MD交AA'于S，连接DN交CC'于点T，连接SQ,TR，如图,五边形DSQRT即为所求.$<img_2921>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正四棱柱ABCD-A'B'C'D'.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600539585576962/img/compression/M_595e9aedcb5c4e848e0f36d34da76673.jpg)
$(2)若Q，R分别为A'B'，B'C'的中点，证明：AQ，CR，BB'三线共点(相交于一点).$

Solution:
$证明：如图，连接QR，AC，A'C'，则AC=A'C'，AC\parallel A'C'，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600540344745986/img/compression/M_14e424be36311fc0037df45acbc8934a.jpg)$\because Q，R分别为A'B'，B'C'的中点，\therefore QR为\triangle A'B'C'的中位线，\therefore QR\parallel A'C'，QR=\frac{1}{2}A'C',\therefore QR\parallel AC，QR=\frac{1}{2}AC，\therefore 四边形AQRC为梯形，设AQ\cap CR=O，则O\in AQ，\because AQ\subset 平面A'ABB'，\therefore O\in 平面A'ABB'，同理O\in 平面C'CBB'，又平面A'ABB'\cap 平面C'CBB'=BB'，\therefore O\in BB'，故AQ,CR,BB'三线共点(相交于一点).$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正四棱柱ABCD-A'B'C'D'.$<img_2216>
$(2)若Q，R分别为A'B'，B'C'的中点，证明：AQ，CR，BB'三线共点(相交于一点).$

Solution:
$证明：如图，连接QR，AC，A'C'，则AC=A'C'，AC\parallel A'C'，$<img_3101>$\because Q，R分别为A'B'，B'C'的中点，\therefore QR为\triangle A'B'C'的中位线，\therefore QR\parallel A'C'，QR=\frac{1}{2}A'C',\therefore QR\parallel AC，QR=\frac{1}{2}AC，\therefore 四边形AQRC为梯形，设AQ\cap CR=O，则O\in AQ，\because AQ\subset 平面A'ABB'，\therefore O\in 平面A'ABB'，同理O\in 平面C'CBB'，又平面A'ABB'\cap 平面C'CBB'=BB'，\therefore O\in BB'，故AQ,CR,BB'三线共点(相交于一点).$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设某球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠所在球的半径为R(R＞h)，球冠的底的周长为C.$<img_2492>
$(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；$

Solution:
$如图所示：$<img_2785>$设OB垂直于球冠的底面(O为球冠所在球的球心)，则O_{1}B=h，OO_{1}=R-h，O_{1}A=r，在Rt\triangle OO_{1}A中，OA^{2}=OO^2_1+O_{1}A^{2}，即R^{2}=(R-h)^{2}+r^{2}，解得R=\frac{h^2+r^2}{2h}.$

Final answer: $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设某球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠所在球的半径为R(R＞h)，球冠的底的周长为C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600508458012674/img/compression/M_71074ffbb5744b507a68cffe7cd69542.jpg)
$(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；$

Solution:
$如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600508760002561/img/compression/M_4ff0a918e5df99e5da1be616b2c8841a.jpg)$设OB垂直于球冠的底面(O为球冠所在球的球心)，则O_{1}B=h，OO_{1}=R-h，O_{1}A=r，在Rt\triangle OO_{1}A中，OA^{2}=OO^2_1+O_{1}A^{2}，即R^{2}=(R-h)^{2}+r^{2}，解得R=\frac{h^2+r^2}{2h}.$

Final answer: $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设某球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠所在球的半径为R(R＞h)，球冠的底的周长为C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600508458012674/img/compression/M_71074ffbb5744b507a68cffe7cd69542.jpg)
$(2)已知球冠表面积公式为S=2\pi Rh，当S=65 000\pi ，C=500\pi 时，求\frac{r}{R}的值及球冠所在球的表面积.$

Solution:
$由于球冠的底的周长为500\pi ，所以r=\frac{500\pi }{2\pi }=250.因为球冠的表面积为S=2\pi Rh=65 000\pi ，所以h=\frac{S}{2\pi R}=\frac{32 500}{R}，由(1)得R=\frac{h^2+r^2}{2h}，即R=\frac{\left(\frac{32 500}{R}\right)^2+{250}^2}{2\cdot \frac{32 500}{R}}，解得R=650(负值舍去).所以\frac{r}{R}=\frac{250}{650}=\frac{5}{13}，S_{球}=4\pi R^{2}=4\pi \times 650^{2}=1 690 000\pi .$

Final answer: $\frac{r}{R}=\frac{5}{13}, 1690000\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设某球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠所在球的半径为R(R＞h)，球冠的底的周长为C.$<img_2492>
$(2)已知球冠表面积公式为S=2\pi Rh，当S=65 000\pi ，C=500\pi 时，求\frac{r}{R}的值及球冠所在球的表面积.$

Solution:
$由于球冠的底的周长为500\pi ，所以r=\frac{500\pi }{2\pi }=250.因为球冠的表面积为S=2\pi Rh=65 000\pi ，所以h=\frac{S}{2\pi R}=\frac{32 500}{R}，由(1)得R=\frac{h^2+r^2}{2h}，即R=\frac{\left(\frac{32 500}{R}\right)^2+{250}^2}{2\cdot \frac{32 500}{R}}，解得R=650(负值舍去).所以\frac{r}{R}=\frac{250}{650}=\frac{5}{13}，S_{球}=4\pi R^{2}=4\pi \times 650^{2}=1 690 000\pi .$

Final answer: $\frac{r}{R}=\frac{5}{13}, 1690000\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，将铆钉多余的部分进行锤打，使其成为与钉帽完全相同的部分，铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件，其轴截面如图2.(加工中不计损失)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600526398177282/img/compression/M_6eb73955e3ebc847a6b6aa51cd5c9844.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600526398177282/img/compression/M_43d8eb83875f4ef7246f2a5a9a13d54c.jpg)$图2$
$(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；$

Solution:
$由已知可得，铆钉是以r_{1}=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体.由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高h=3r_{1}=45 mm，圆柱的底面半径r_{2}=8 mm.由题图1可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r_{1}=15 mm为半径的圆的面积.半球的表面积S_{1}=\frac{1}{2}\times 4\pi r^2_1=\frac{1}{2}\times 4\pi \times 15^{2}=450\pi (mm^{2})，圆柱的侧面积S_{2}=2\pi r_{2}h=2\pi \times 8\times 45=720\pi (mm^{2})，圆的面积S_{3}=\pi r^2_1=225\pi (mm^{2}).所以铆钉的表面积S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=1 395\pi (mm^{2}).$

Final answer: $1395\pi$ mm^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，将铆钉多余的部分进行锤打，使其成为与钉帽完全相同的部分，铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件，其轴截面如图2.(加工中不计损失)$<img_1933>$图1$<img_2046>$图2$
$(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；$

Solution:
$由已知可得，铆钉是以r_{1}=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体.由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高h=3r_{1}=45 mm，圆柱的底面半径r_{2}=8 mm.由题图1可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r_{1}=15 mm为半径的圆的面积.半球的表面积S_{1}=\frac{1}{2}\times 4\pi r^2_1=\frac{1}{2}\times 4\pi \times 15^{2}=450\pi (mm^{2})，圆柱的侧面积S_{2}=2\pi r_{2}h=2\pi \times 8\times 45=720\pi (mm^{2})，圆的面积S_{3}=\pi r^2_1=225\pi (mm^{2}).所以铆钉的表面积S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=1 395\pi (mm^{2}).$

Final answer: $1395\pi$ mm^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，将铆钉多余的部分进行锤打，使其成为与钉帽完全相同的部分，铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件，其轴截面如图2.(加工中不计损失)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600526398177282/img/compression/M_6eb73955e3ebc847a6b6aa51cd5c9844.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600526398177282/img/compression/M_43d8eb83875f4ef7246f2a5a9a13d54c.jpg)$图2$
$(2)若每块钢板的厚度为10 mm，求钉身的长度(结果精确到1 mm).$

Solution:
$设钉身的长度为x mm，其中x>20，则钉身的体积V=\pi r^2_2x=64\pi x(mm^{3}).已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20 mm，底面圆半径r_{2}=8 mm，钉帽是以r_{1}=15 mm为半径的半球,所以加工后铆钉的体积V=\pi r^2_2\times 20+\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi r^3_1=1 280\pi +2 250\pi =3 530\pi (mm^{3})，所以64\pi x=3 530\pi ，所以x\approx 55，满足条件.所以钉身的长度为55 mm.$

Final answer: $55$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，将铆钉多余的部分进行锤打，使其成为与钉帽完全相同的部分，铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件，其轴截面如图2.(加工中不计损失)$<img_1933>$图1$<img_2046>$图2$
$(2)若每块钢板的厚度为10 mm，求钉身的长度(结果精确到1 mm).$

Solution:
$设钉身的长度为x mm，其中x>20，则钉身的体积V=\pi r^2_2x=64\pi x(mm^{3}).已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20 mm，底面圆半径r_{2}=8 mm，钉帽是以r_{1}=15 mm为半径的半球,所以加工后铆钉的体积V=\pi r^2_2\times 20+\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi r^3_1=1 280\pi +2 250\pi =3 530\pi (mm^{3})，所以64\pi x=3 530\pi ，所以x\approx 55，满足条件.所以钉身的长度为55 mm.$

Final answer: $55$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA=AD=2.$<img_1862>
$(1)求证：AF\parallel 平面PEC；$

Solution:
$证明：取PC的中点G，连接EG，FG，$<img_2088>$因为F是PD的中点，所以GF是\triangle PCD的中位线，所以GF\parallel CD,且GF=\frac{1}{2}CD，因为E是AB的中点，所以AE\parallel CD,且AE=\frac{1}{2}CD，所以GF\parallel AE,GF=AE，所以四边形AFGE是平行四边形，所以AF\parallel EG，因为AF\not\subset 平面PEC，EG\subset 平面PEC，所以AF\parallel 平面PEC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA=AD=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600560003448835/img/compression/M_f45c4ff16a94e2b391426135ecdefb76.jpg)
$(1)求证：AF\parallel 平面PEC；$

Solution:
$证明：取PC的中点G，连接EG，FG，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600560292855810/img/compression/M_8429aa6a994011f2489b8ac8bc31a045.jpg)$因为F是PD的中点，所以GF是\triangle PCD的中位线，所以GF\parallel CD,且GF=\frac{1}{2}CD，因为E是AB的中点，所以AE\parallel CD,且AE=\frac{1}{2}CD，所以GF\parallel AE,GF=AE，所以四边形AFGE是平行四边形，所以AF\parallel EG，因为AF\not\subset 平面PEC，EG\subset 平面PEC，所以AF\parallel 平面PEC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA=AD=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600560003448835/img/compression/M_f45c4ff16a94e2b391426135ecdefb76.jpg)
$(2)求三棱锥C-PED的体积.$

Solution:
$易知V_{C-PED}=V_{P-CDE}.因为PA\perp 平面ABCD，所以PA为三棱锥P-CDE的高，所以V_{P-CDE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CDE}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA=AD=2.$<img_1862>
$(2)求三棱锥C-PED的体积.$

Solution:
$易知V_{C-PED}=V_{P-CDE}.因为PA\perp 平面ABCD，所以PA为三棱锥P-CDE的高，所以V_{P-CDE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CDE}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M在AD_{1}上移动，点N在BD上移动，D_{1}M=DN=a(0＜a＜\sqrt{2})，连接MN.$<img_1853>
$(1)证明：对任意a\in (0，\sqrt{2})，总有MN\parallel 平面DCC_{1}D_{1}；$

Solution:
$证明：如图，作MP\parallel AD，交DD_{1}于点P，作NQ\parallel BC，交DC于点Q，连接PQ.$<img_2084>$易得MP\parallel NQ，且MP=NQ，则四边形MNQP为平行四边形，\therefore MN\parallel PQ.又PQ\subset 平面DCC_{1}D_{1}，MN\not\subset 平面DCC_{1}D_{1}，\therefore MN\parallel 平面DCC_{1}D_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M在AD_{1}上移动，点N在BD上移动，D_{1}M=DN=a(0＜a＜\sqrt{2})，连接MN.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600566198435841/img/compression/M_ff109911b064d92dc6e915f220eeb9ae.jpg)
$(1)证明：对任意a\in (0，\sqrt{2})，总有MN\parallel 平面DCC_{1}D_{1}；$

Solution:
$证明：如图，作MP\parallel AD，交DD_{1}于点P，作NQ\parallel BC，交DC于点Q，连接PQ.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600566458482689/img/compression/M_9774fd21d2f3c7f4b6878baf1f56fd98.jpg)$易得MP\parallel NQ，且MP=NQ，则四边形MNQP为平行四边形，\therefore MN\parallel PQ.又PQ\subset 平面DCC_{1}D_{1}，MN\not\subset 平面DCC_{1}D_{1}，\therefore MN\parallel 平面DCC_{1}D_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M在AD_{1}上移动，点N在BD上移动，D_{1}M=DN=a(0＜a＜\sqrt{2})，连接MN.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600566198435841/img/compression/M_ff109911b064d92dc6e915f220eeb9ae.jpg)
$(2)当a为何值时，MN的长度最小？$

Solution:
$由(1)知四边形MNQP为平行四边形，\therefore MN=PQ.\because DD_{1}=AD=DC=BC=1，\therefore AD_{1}=BD=\sqrt{2}.\because D_{1}M=DN=a，\therefore \frac{D_1P}{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}，\frac{DQ}{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}，即D_{1}P=DQ=\frac{a}{\sqrt{2}}，\therefore MN=PQ=\sqrt{(1-D_1P)^2+DQ^2}=\sqrt{\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}(0＜a＜\sqrt{2})，故当a=\frac{\sqrt{2}}{2}时，MN的长度最小.$

Final answer: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M在AD_{1}上移动，点N在BD上移动，D_{1}M=DN=a(0＜a＜\sqrt{2})，连接MN.$<img_1853>
$(2)当a为何值时，MN的长度最小？$

Solution:
$由(1)知四边形MNQP为平行四边形，\therefore MN=PQ.\because DD_{1}=AD=DC=BC=1，\therefore AD_{1}=BD=\sqrt{2}.\because D_{1}M=DN=a，\therefore \frac{D_1P}{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}，\frac{DQ}{1}=\frac{a}{\sqrt{2}}，即D_{1}P=DQ=\frac{a}{\sqrt{2}}，\therefore MN=PQ=\sqrt{(1-D_1P)^2+DQ^2}=\sqrt{\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}(0＜a＜\sqrt{2})，故当a=\frac{\sqrt{2}}{2}时，MN的长度最小.$

Final answer: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，BC=2AD，E为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600639514361859/img/compression/M_b88f3aee466335496c9f6afdc7fabecb.jpg)
$(1)求证：平面PDE\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：\because AD\parallel BC，BC=2AD，E是BC的中点，\therefore AD\parallel BE，AD=BE,\therefore 四边形ABED是平行四边形，\because \angle BAD=90^\circ ，\therefore 四边形ABED为矩形，\therefore DE\perp AD.\because PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp DE，又AD\cap PA=A，AD，PA\subset 平面PAD，\therefore DE\perp 平面PAD，又DE\subset 平面PDE，\therefore 平面PDE\perp 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，BC=2AD，E为线段BC的中点.$<img_2495>
$(1)求证：平面PDE\perp 平面PAD；$

Solution:
$证明：\because AD\parallel BC，BC=2AD，E是BC的中点，\therefore AD\parallel BE，AD=BE,\therefore 四边形ABED是平行四边形，\because \angle BAD=90^\circ ，\therefore 四边形ABED为矩形，\therefore DE\perp AD.\because PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp DE，又AD\cap PA=A，AD，PA\subset 平面PAD，\therefore DE\perp 平面PAD，又DE\subset 平面PDE，\therefore 平面PDE\perp 平面PAD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，BC=2AD，E为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600639514361859/img/compression/M_b88f3aee466335496c9f6afdc7fabecb.jpg)
$(2)在线段PB上找一点F，使得EF\parallel 平面PCD，则满足题意的点F是否存在？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；$

Solution:
$存在.取PB的中点F，连接EF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600639854100482/img/compression/M_290251a5e6523872525e0ae26e20e806.jpg)$在\triangle BCP中，E，F分别为BC，BP的中点，\therefore EF是\triangle BCP的中位线，\therefore EF\parallel CP，又CP\subset 平面PCD，EF\not\subset 平面PCD，\therefore EF\parallel 平面PCD，\therefore 当F为PB的中点时，EF\parallel 平面PCD.$

Final answer: $存在，F为PB的中点时满足题意。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，BC=2AD，E为线段BC的中点.$<img_2495>
$(3)若Q是PC的中点，AB=1，PA=2，BC=2，求三棱锥P-ABQ的体积.$

Solution:
$连接QF，\because Q是PC的中点，\therefore FQ\parallel BC，FQ=\frac{1}{2}BC=1.\because PA\perp 平面ABCD，BC\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp BC，又AB\perp BC，PA\cap AB=A，PA，AB\subset 平面PAB，\therefore BC\perp 平面PAB，\therefore FQ\perp 平面PAB，故V_{P-ABQ}=V_{Q-PAB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times AB\times PA\times FQ=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 1=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，BC=2AD，E为线段BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600639514361859/img/compression/M_b88f3aee466335496c9f6afdc7fabecb.jpg)
$(3)若Q是PC的中点，AB=1，PA=2，BC=2，求三棱锥P-ABQ的体积.$

Solution:
$连接QF，\because Q是PC的中点，\therefore FQ\parallel BC，FQ=\frac{1}{2}BC=1.\because PA\perp 平面ABCD，BC\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp BC，又AB\perp BC，PA\cap AB=A，PA，AB\subset 平面PAB，\therefore BC\perp 平面PAB，\therefore FQ\perp 平面PAB，故V_{P-ABQ}=V_{Q-PAB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times AB\times PA\times FQ=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 1=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=\sqrt{3}，连接EB交AD于点F，如图①，将\triangle ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600640235782146/img/compression/M_055a94ebeed776092d02df829ca98a99.jpg)$图①$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600640235782146/img/compression/M_1e5bf49f3c54b57713bcabf6b26a0cb1.jpg)$图②$
$(1)求证：AD\perp 平面BFP；$

Solution:
$证明：折叠前，在Rt\triangle BAE中，AB=3，AE=\sqrt{3}，\therefore \angle AEB=60^\circ ，且BE=2\sqrt{3}，\because \triangle ADE是直角三角形，\therefore DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=1，CE=CD+DE=4.在\triangle BCE中，CE=4，BE=2\sqrt{3}，BC=2，\therefore CE^{2}=BE^{2}+BC^{2}，\therefore BE\perp BC，又BC\parallel AD，\therefore BE\perp AD，\therefore EF=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{2}.折叠后，PF\perp AD，BF\perp AD，\because BF\cap PF=F，BF，PF\subset 平面BFP，\therefore AD\perp 平面BFP.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=\sqrt{3}，连接EB交AD于点F，如图①，将\triangle ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.$<img_2204>$图①$<img_1592>$图②$
$(1)求证：AD\perp 平面BFP；$

Solution:
$证明：折叠前，在Rt\triangle BAE中，AB=3，AE=\sqrt{3}，\therefore \angle AEB=60^\circ ，且BE=2\sqrt{3}，\because \triangle ADE是直角三角形，\therefore DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=1，CE=CD+DE=4.在\triangle BCE中，CE=4，BE=2\sqrt{3}，BC=2，\therefore CE^{2}=BE^{2}+BC^{2}，\therefore BE\perp BC，又BC\parallel AD，\therefore BE\perp AD，\therefore EF=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{2}.折叠后，PF\perp AD，BF\perp AD，\because BF\cap PF=F，BF，PF\subset 平面BFP，\therefore AD\perp 平面BFP.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=\sqrt{3}，连接EB交AD于点F，如图①，将\triangle ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.$<img_2204>$图①$<img_1592>$图②$
$(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP\perp 平面ABCD，求三棱锥G-BCH的体积.$

Solution:
$\because 平面ADP\perp 平面ABCD，且平面ADP\cap 平面ABCD=AD，PF\subset 平面ADP，PF\perp AD，\therefore PF\perp 平面ABCD.由(1)得PF=\frac{\sqrt{3}}{2}，\because G是PB的中点，\therefore G到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，设G到平面ABCD的距离为h，则h=\frac{1}{2}PF=\frac{\sqrt{3}}{4},\because H为CD的中点，\therefore CH=\frac{1}{2}DC=\frac{3}{2},\therefore S_{\triangle BCH}=\frac{1}{2}CH\cdot AE=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4},\therefore V_{G-BCH}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle BCH}\cdot h=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{16}.$

Final answer: $\frac{3}{16}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=\sqrt{3}，连接EB交AD于点F，如图①，将\triangle ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600640235782146/img/compression/M_055a94ebeed776092d02df829ca98a99.jpg)$图①$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600640235782146/img/compression/M_1e5bf49f3c54b57713bcabf6b26a0cb1.jpg)$图②$
$(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP\perp 平面ABCD，求三棱锥G-BCH的体积.$

Solution:
$\because 平面ADP\perp 平面ABCD，且平面ADP\cap 平面ABCD=AD，PF\subset 平面ADP，PF\perp AD，\therefore PF\perp 平面ABCD.由(1)得PF=\frac{\sqrt{3}}{2}，\because G是PB的中点，\therefore G到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，设G到平面ABCD的距离为h，则h=\frac{1}{2}PF=\frac{\sqrt{3}}{4},\because H为CD的中点，\therefore CH=\frac{1}{2}DC=\frac{3}{2},\therefore S_{\triangle BCH}=\frac{1}{2}CH\cdot AE=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4},\therefore V_{G-BCH}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle BCH}\cdot h=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{16}.$

Final answer: $\frac{3}{16}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，\angle BAD=60^\circ ，E是边BC上的点，且BE=2EC.连接AE，并以AE为折痕将\triangle ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥P-AECD，如图2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600649223049218/img/compression/M_15c4c47a2880300fa395d5a2116c33a6.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600649223049218/img/compression/M_6125cfd2808707d0f965149b37888b1b.jpg)$图2$
$(1)设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD\parallel l；$

Solution:
$证明：根据题意，得EC\parallel AD，因为EC\not\subset 平面PAD，AD\subset 平面PAD，所以EC\parallel 平面PAD，又P\in 平面PAD，P\in 平面PEC，平面PEC与平面PAD的交线为l，EC\subset 平面PEC所以P\in l且EC\parallel l，所以AD\parallel l.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，\angle BAD=60^\circ ，E是边BC上的点，且BE=2EC.连接AE，并以AE为折痕将\triangle ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥P-AECD，如图2.$<img_2356>$图1$<img_2632>$图2$
$(1)设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD\parallel l；$

Solution:
$证明：根据题意，得EC\parallel AD，因为EC\not\subset 平面PAD，AD\subset 平面PAD，所以EC\parallel 平面PAD，又P\in 平面PAD，P\in 平面PEC，平面PEC与平面PAD的交线为l，EC\subset 平面PEC所以P\in l且EC\parallel l，所以AD\parallel l.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，\angle BAD=60^\circ ，E是边BC上的点，且BE=2EC.连接AE，并以AE为折痕将\triangle ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥P-AECD，如图2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600649223049218/img/compression/M_15c4c47a2880300fa395d5a2116c33a6.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600649223049218/img/compression/M_6125cfd2808707d0f965149b37888b1b.jpg)$图2$
$(2)在图2中，已知PD=2.①证明：平面PAE\perp 平面AECD；②求以P，A，D，E为顶点的四面体的外接球的表面积.$

Solution:
$①证明：若F为AE的中点，连接PF,DF,DE，由题意知PA=AB=2，AD=BC=3，BE=2EC，则PE=BE=2，EC=1，所以PA=PE，所以PF\perp AE，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600649768308737/img/compression/M_99ff3fac7e2ec0397849a8c9170e184d.jpg)$在▱ABCD中，\angle BAD=60^\circ ，所以\angle ABE=\angle APE=120^\circ ，所以PF=1，在\triangle DEC中，\angle DCE=60^\circ ，EC=1，DC=2，所以DE=\sqrt{3}，在\triangle ADE中，AD=3，AE=2\sqrt{3}，DE=\sqrt{3}，所以AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}，所以AD\perp DE，又F为AE的中点，所以DF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{3}，在\triangle PDF中，PF=1，DF=\sqrt{3}，PD=2，所以PF^{2}+DF^{2}=PD^{2}，所以PF\perp DF，又AE\cap DF=F，AE,DF\subset 平面AECD，所以PF\perp 平面AECD，又PF\subset 平面PAE，所以平面PAE\perp 平面AECD.②由①知，\triangle ADE为直角三角形，则外接圆圆心为F，故外接圆半径为\sqrt{3}，因为PF\perp 平面AECD，所以以P，A，D，E为顶点的四面体的外接球球心在直线PF上，设外接球半径为r，则r^{2}=3+(2-r)^{2}，解得r=\frac{7}{4}，所以四面体的外接球的表面积为4\pi r^{2}=\frac{49\pi }{4}.$

Final answer: $证明题，\frac{49\pi }{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，\angle BAD=60^\circ ，E是边BC上的点，且BE=2EC.连接AE，并以AE为折痕将\triangle ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥P-AECD，如图2.$<img_2356>$图1$<img_2632>$图2$
$(2)在图2中，已知PD=2.①证明：平面PAE\perp 平面AECD；②求以P，A，D，E为顶点的四面体的外接球的表面积.$

Solution:
$①证明：若F为AE的中点，连接PF,DF,DE，由题意知PA=AB=2，AD=BC=3，BE=2EC，则PE=BE=2，EC=1，所以PA=PE，所以PF\perp AE，$<img_2478>$在▱ABCD中，\angle BAD=60^\circ ，所以\angle ABE=\angle APE=120^\circ ，所以PF=1，在\triangle DEC中，\angle DCE=60^\circ ，EC=1，DC=2，所以DE=\sqrt{3}，在\triangle ADE中，AD=3，AE=2\sqrt{3}，DE=\sqrt{3}，所以AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}，所以AD\perp DE，又F为AE的中点，所以DF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{3}，在\triangle PDF中，PF=1，DF=\sqrt{3}，PD=2，所以PF^{2}+DF^{2}=PD^{2}，所以PF\perp DF，又AE\cap DF=F，AE,DF\subset 平面AECD，所以PF\perp 平面AECD，又PF\subset 平面PAE，所以平面PAE\perp 平面AECD.②由①知，\triangle ADE为直角三角形，则外接圆圆心为F，故外接圆半径为\sqrt{3}，因为PF\perp 平面AECD，所以以P，A，D，E为顶点的四面体的外接球球心在直线PF上，设外接球半径为r，则r^{2}=3+(2-r)^{2}，解得r=\frac{7}{4}，所以四面体的外接球的表面积为4\pi r^{2}=\frac{49\pi }{4}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一块三棱锥形木块如图所示，点G是\triangle SAC的重心，过点G将木块锯开，使截面平行于侧面SBC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600585945219075/img/compression/M_3a5848f337e14f74c64b7a1acff6f119.jpg)
$(1)画出截面与木块表面的交线，并说明理由；$

Solution:
$如图1，过点G作EF\parallel SC交SA,AC于E,F，过点F作EH\parallel BC交AB于H，则平面SBC\parallel 平面EFH，故EF，FH，EH所在直线即为截面与木块表面的交线.理由如下：因为EF\parallel SC，EF\not\subset 平面SBC，SC\subset 平面SBC，所以EF\parallel 平面SBC，因为EH\parallel BS，EH\not\subset 平面SBC，SB\subset 平面SBC，所以EH\parallel 平面SBC，因为EF\cap EH=E,EF,EH\subset 平面EFH，所以平面SBC\parallel 平面EFH，所以平面EFH即为所画截面，且EF，FH，EH为截面与木块表面的交线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600586154934273/img/compression/M_5f7120dc25ba86c7052ccb48fbf536fa.jpg)$图1$

Final answer: $截面与木块表面的交线为EF，FH，EH。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一块三棱锥形木块如图所示，点G是\triangle SAC的重心，过点G将木块锯开，使截面平行于侧面SBC.$<img_3057>
$(2)若\triangle ABC为等边三角形，SA=SB=SC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=3，求夹在截面与平面SBC之间的几何体的体积.$

Solution:
$因为\triangle ABC为等边三角形，所以三棱锥S-ABC为正三棱锥，设点S在平面ABC内的射影为\triangle ABC的中心O，连接SO，则SO\perp 平面ABC，如图2，连接AO，由\triangle ABC为等边三角形，AB=3\sqrt{2}，得AO=3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{3}=\sqrt{6}，所以三棱锥S-ABC的高SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{3}，所以V_{S-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times (3\sqrt{2})^{2}\times  \sqrt{3}=\frac{9}{2}，连接AG并延长，交SC于点M，因为点G是\triangle SAC的重心，所以\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}，所以\frac{S_{\vartriangle EFH}}{S_{\vartriangle SBC}}=\left(\frac{AG}{AM}\right)^2=\frac{4}{9}，所以\frac{V_{A-EFH}}{V_{A-SBC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}，所以V_{A-EFH}=\frac{8}{27}V_{A-SBC}=\frac{8}{27}V_{S-ABC}=\frac{8}{27}\times \frac{9}{2}=\frac{4}{3}，所以夹在截面与平面SBC之间的几何体的体积为V_{S-ABC}-V_{A-EFH}=\frac{9}{2}-\frac{4}{3}=\frac{19}{6}.$<img_2757>$图2$

Final answer: $\frac{19}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $一块三棱锥形木块如图所示，点G是\triangle SAC的重心，过点G将木块锯开，使截面平行于侧面SBC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600585945219075/img/compression/M_3a5848f337e14f74c64b7a1acff6f119.jpg)
$(2)若\triangle ABC为等边三角形，SA=SB=SC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=3，求夹在截面与平面SBC之间的几何体的体积.$

Solution:
$因为\triangle ABC为等边三角形，所以三棱锥S-ABC为正三棱锥，设点S在平面ABC内的射影为\triangle ABC的中心O，连接SO，则SO\perp 平面ABC，如图2，连接AO，由\triangle ABC为等边三角形，AB=3\sqrt{2}，得AO=3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{3}=\sqrt{6}，所以三棱锥S-ABC的高SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{3}，所以V_{S-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times (3\sqrt{2})^{2}\times  \sqrt{3}=\frac{9}{2}，连接AG并延长，交SC于点M，因为点G是\triangle SAC的重心，所以\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}，所以\frac{S_{\vartriangle EFH}}{S_{\vartriangle SBC}}=\left(\frac{AG}{AM}\right)^2=\frac{4}{9}，所以\frac{V_{A-EFH}}{V_{A-SBC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}，所以V_{A-EFH}=\frac{8}{27}V_{A-SBC}=\frac{8}{27}V_{S-ABC}=\frac{8}{27}\times \frac{9}{2}=\frac{4}{3}，所以夹在截面与平面SBC之间的几何体的体积为V_{S-ABC}-V_{A-EFH}=\frac{9}{2}-\frac{4}{3}=\frac{19}{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702600586360455169/img/compression/M_57901745de4acc10121b94ed33cb8c3f.jpg)$图2$

Final answer: $\frac{19}{6}$