di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385798163525634/img/compression/M_1a8391779d6cda8fb33d1b6a1f9618fc.jpg)
拉力做功的功率P；

Solution:
$线圈中的感应电流I=\frac{E}{R}$

$拉力大小等于安培力大小F=BIL$

$拉力的功率P=Fv=\frac{B^2L^2v^2}{R}$

Final answer: $\frac{B^2L^2v^2}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

<img_651>
拉力做功的功率P；

Solution:
$线圈中的感应电流I=\frac{E}{R}$

$拉力大小等于安培力大小F=BIL$

$拉力的功率P=Fv=\frac{B^2L^2v^2}{R}$

Final answer: $\frac{B^2L^2v^2}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385798163525634/img/compression/M_1a8391779d6cda8fb33d1b6a1f9618fc.jpg)
ab边产生的焦耳热Q。

Solution:
$线圈ab边电阻R_{ab}=\frac{R}{4}$

$时间t=\frac{L}{v}$

ab边产生的焦耳热

$Q=I^2R_{ab}t=\frac{B^2L^3v}{4R}$

Final answer: $\frac{B^2L^3v}{4R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

<img_651>
ab边产生的焦耳热Q。

Solution:
$线圈ab边电阻R_{ab}=\frac{R}{4}$

$时间t=\frac{L}{v}$

ab边产生的焦耳热

$Q=I^2R_{ab}t=\frac{B^2L^3v}{4R}$

Final answer: $\frac{B^2L^3v}{4R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图,绝缘水平桌面上带电荷量为Q(Q > 0)的小球甲固定于A点,另一个带电荷量为q的有孔小球乙套在固定的绝缘竖直细杆上,且恰能静止于B点，杆上O点与A等高，AO=d，\angle OAB=\alpha=30^\circ 。静电力常量为k,重力加速度大小为g，不计摩擦力和空气阻力,小球视为质点且电荷量不变。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625140668690433/img/compression/M_6cd4f2166d78ed5265b08a04cb84c94d.jpg)
$将小球乙向上拉到C点(\angle OAC = \beta  = 60^\circ ), 再由静止释放。$
求:
1. 小球乙在C点释放后瞬间的加速度大小 a ;
$2. 小球乙到达D点(C、D关于O点对称)时的动能 E_k。$

Solution:
①小球乙在C点,由牛顿第二定律有
$k\frac{Qq}{{(d/\cos\beta)}^2} \sin \beta +mg=ma$



$解得a=\left(\frac{\sin\beta\cos^2\beta}{\sin\alpha\cos^2\alpha}+1\right)g=\frac{3+\sqrt{3}}{3}g$



②C、D关于O点对称，故C、D两点电势相等
从C到D,电场力做功为零



$由动能定理有mg\times2d \tan \beta =E_{k}-0$



$解得E_{k}=2\sqrt{3}mgd=\frac{3\sqrt{3}kQq}{4d}$

Final answer: $\frac{3+\sqrt{3}}{3}g, \frac{3\sqrt{3}kQq}{4d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图,绝缘水平桌面上带电荷量为Q(Q > 0)的小球甲固定于A点,另一个带电荷量为q的有孔小球乙套在固定的绝缘竖直细杆上,且恰能静止于B点，杆上O点与A等高，AO=d，\angle OAB=\alpha=30^\circ 。静电力常量为k,重力加速度大小为g，不计摩擦力和空气阻力,小球视为质点且电荷量不变。$

<img_1091>
$将小球乙向上拉到C点(\angle OAC = \beta  = 60^\circ ), 再由静止释放。$
求:
1. 小球乙在C点释放后瞬间的加速度大小 a ;
$2. 小球乙到达D点(C、D关于O点对称)时的动能 E_k。$

Solution:
①小球乙在C点,由牛顿第二定律有
$k\frac{Qq}{{(d/\cos\beta)}^2} \sin \beta +mg=ma$



$解得a=\left(\frac{\sin\beta\cos^2\beta}{\sin\alpha\cos^2\alpha}+1\right)g=\frac{3+\sqrt{3}}{3}g$



②C、D关于O点对称，故C、D两点电势相等
从C到D,电场力做功为零



$由动能定理有mg\times2d \tan \beta =E_{k}-0$



$解得E_{k}=2\sqrt{3}mgd=\frac{3\sqrt{3}kQq}{4d}$

Final answer: $\frac{3+\sqrt{3}}{3}g, \frac{3\sqrt{3}kQq}{4d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy内，y轴左侧内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，y轴右侧第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场，第四象限内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等。一电子以速度v_{0}从x轴上的N(-L，0)点射入磁场，v_{0}与x轴负方向的夹角\theta=37^\circ ，经P点(图中未画出)垂直于y轴射入电场，最后从M(2L，0)点进入第四象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1440>
匀强磁场的磁感应强度的大小；

Solution:
$由题意得，电子在磁场Ⅰ中的运动轨迹如图甲所示，圆心在K点，在磁场Ⅰ中运动的轨迹半径为r_1，根据几何关系有r_1=\frac{L}{\sin  \theta }，ev_0B=m\frac{v^2_0}{r_1}，得B=\frac{3mv_0}{5Le}。$

<img_749>

图：甲

Final answer: $\frac{3mv_0}{5Le}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy内，y轴左侧内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，y轴右侧第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场，第四象限内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等。一电子以速度v_{0}从x轴上的N(-L，0)点射入磁场，v_{0}与x轴负方向的夹角\theta=37^\circ ，经P点(图中未画出)垂直于y轴射入电场，最后从M(2L，0)点进入第四象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625268065103875/img/compression/M_dd96f1fa77d442445bacc14d30854841.jpg)
匀强磁场的磁感应强度的大小；

Solution:
$由题意得，电子在磁场Ⅰ中的运动轨迹如图甲所示，圆心在K点，在磁场Ⅰ中运动的轨迹半径为r_1，根据几何关系有r_1=\frac{L}{\sin  \theta }，ev_0B=m\frac{v^2_0}{r_1}，得B=\frac{3mv_0}{5Le}。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625268329345025/img/compression/M_876de15fc33c6f8c5c4e2820b2413975.jpg)

图：甲

Final answer: $\frac{3mv_0}{5Le}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy内，y轴左侧内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，y轴右侧第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场，第四象限内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等。一电子以速度v_{0}从x轴上的N(-L，0)点射入磁场，v_{0}与x轴负方向的夹角\theta=37^\circ ，经P点(图中未画出)垂直于y轴射入电场，最后从M(2L，0)点进入第四象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625268065103875/img/compression/M_dd96f1fa77d442445bacc14d30854841.jpg)
匀强电场的电场强度的大小；

Solution:
$进入电场后，电子做类平抛运动。从P点到M点的过程中，设沿电场力方向的位移为y，垂直于电场力方向的位移为x，则x=v_0t=2L，y=r_1+r_1 \cos 37^\circ =\frac{1}{2}at^2，Ee=ma，解得E=\frac{3mv^2_0}{2eL}$

Final answer: $\frac{3mv^2_0}{2eL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy内，y轴左侧内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，y轴右侧第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场，第四象限内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小相等。一电子以速度v_{0}从x轴上的N(-L，0)点射入磁场，v_{0}与x轴负方向的夹角\theta=37^\circ ，经P点(图中未画出)垂直于y轴射入电场，最后从M(2L，0)点进入第四象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8。求：$

<img_1440>
匀强电场的电场强度的大小；

Solution:
$进入电场后，电子做类平抛运动。从P点到M点的过程中，设沿电场力方向的位移为y，垂直于电场力方向的位移为x，则x=v_0t=2L，y=r_1+r_1 \cos 37^\circ =\frac{1}{2}at^2，Ee=ma，解得E=\frac{3mv^2_0}{2eL}$

Final answer: $\frac{3mv^2_0}{2eL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269524721666/img/compression/M_91bc797d5752cec0c25cce583cfbc53d.jpg)
物块A的最大加速度；

Solution:
$当两物块共速时，弹簧压缩量最大，根据动量守恒定律有 m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B}) v$

$得 v=\frac{v_0}{4}$

$当 A 受到的力最大，即弹簧压缩量最大时，物块 A 有最大加速度，根据能量守恒$

$\frac{1}{2} m_{A}v_{0}^2=\frac{1}{2} m_{A}v^2 + \frac{1}{2} m_{B}v^2 + E_{pm}$

$解得 E_{pm}=\frac{3}{8} mv_{0}^2$

$又 E_{pm}=\frac{1}{2} kx_{m}^2$

$则弹簧形变量 x_{m}=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3m}{k}}$

$物块 A 的最大加速度 a=\frac{kx_{m}}{m}=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3k}{m}}$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$, $\sqrt{\frac{3k}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

<img_1314>
物块A的最大加速度；

Solution:
$当两物块共速时，弹簧压缩量最大，根据动量守恒定律有 m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B}) v$

$得 v=\frac{v_0}{4}$

$当 A 受到的力最大，即弹簧压缩量最大时，物块 A 有最大加速度，根据能量守恒$

$\frac{1}{2} m_{A}v_{0}^2=\frac{1}{2} m_{A}v^2 + \frac{1}{2} m_{B}v^2 + E_{pm}$

$解得 E_{pm}=\frac{3}{8} mv_{0}^2$

$又 E_{pm}=\frac{1}{2} kx_{m}^2$

$则弹簧形变量 x_{m}=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3m}{k}}$

$物块 A 的最大加速度 a=\frac{kx_{m}}{m}=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3k}{m}}$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$, $\sqrt{\frac{3k}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

<img_865>
图甲

<img_839>
图乙
$求球架一侧的横杆对篮球的弹力大小 F_1；$

Solution:
$由平衡条件可知 2F_1 \cos \theta =mg，由几何关系得 \cos \theta = \frac{\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2}}{\left(\frac{D}{2}\right)}= \frac{\sqrt{D^2-d^2}}{D}，解得 F_1= \frac{mgD}{2\sqrt{D^2-d^2}}$

Final answer: $\frac{mgD}{2\sqrt{D^2-d^2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_756916716043e2a6cd789abf5a59b3dc.jpg)
图甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_46e9afa8566f09100003891b0dcd5ff2.jpg)
图乙
$求球架一侧的横杆对篮球的弹力大小 F_1；$

Solution:
$由平衡条件可知 2F_1 \cos \theta =mg，由几何关系得 \cos \theta = \frac{\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2}}{\left(\frac{D}{2}\right)}= \frac{\sqrt{D^2-d^2}}{D}，解得 F_1= \frac{mgD}{2\sqrt{D^2-d^2}}$

Final answer: $\frac{mgD}{2\sqrt{D^2-d^2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_756916716043e2a6cd789abf5a59b3dc.jpg)
图甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_46e9afa8566f09100003891b0dcd5ff2.jpg)
图乙
$求篮球下降H和上升h所用时间的比值k；$

Solution:
：
$根据牛顿第二定律可知，篮球下降过程中有 mg-\lambda mg=ma_1  $
$H=\frac{1}{2}a_1t^2_1  $
篮球上升过程中有  
$mg+\lambda mg=ma_2  $
$h=\frac{1}{2}a_2t^2_2  $
$则 k=\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{H(1+\lambda )}{h(1-\lambda )}}  $
![24BJS5WL353.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521857323028481/img/compression/M_6a69a6d08a9fb6b6f25e7a07c0490598.jpg)

Final answer: $\sqrt{\frac{H(1+\lambda )}{h(1-\lambda )}}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

<img_865>
图甲

<img_839>
图乙
$求篮球下降H和上升h所用时间的比值k；$

Solution:
：
$根据牛顿第二定律可知，篮球下降过程中有 mg-\lambda mg=ma_1  $
$H=\frac{1}{2}a_1t^2_1  $
篮球上升过程中有  
$mg+\lambda mg=ma_2  $
$h=\frac{1}{2}a_2t^2_2  $
$则 k=\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{H(1+\lambda )}{h(1-\lambda )}}  $
<img_961>

Final answer: $\sqrt{\frac{H(1+\lambda )}{h(1-\lambda )}}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_756916716043e2a6cd789abf5a59b3dc.jpg)
图甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521856773574659/img/compression/M_46e9afa8566f09100003891b0dcd5ff2.jpg)
图乙
$若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图乙所示，其中h_0已知，求F_2的大小。$

Solution:
由匀变速直线运动的速度与位移关系式
$v^2 - v_0^2 = 2ax$

$可知篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值为  \frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{h(1+\lambda )}{H(1-\lambda )}} $

$篮球反弹至最高处 h 时，运动员对篮球施加一个向下的压力 F，则篮球下落过程中由动能定理得$
$ mgh + \frac{h-h_0}{2} F_2 - \lambda mgh = \frac{1}{2} mv^2 $

篮球反弹后上升过程中由动能定理得
$ -mgh - \lambda mgh = 0 - \frac{1}{2} mv'^2 $

$联立解得 F_2 = \frac{2mg(1-\lambda )(H-h)}{h-h_0} $

Final answer: $\frac{2mg(1-\lambda )(H-h)}{h-h_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $质量为m、直径为D的篮球摆放在宽度为d(D>d)的水平球架上，侧视图如图甲中所示，该篮球从离地高度为H处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地高度为h(h<H)的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的\lambda 倍(\lambda 为常数，且0<\lambda <\frac{H-h}{H+h})且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值相同，重力加速度为g。$

<img_865>
图甲

<img_839>
图乙
$若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图乙所示，其中h_0已知，求F_2的大小。$

Solution:
由匀变速直线运动的速度与位移关系式
$v^2 - v_0^2 = 2ax$

$可知篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率的比值为  \frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{h(1+\lambda )}{H(1-\lambda )}} $

$篮球反弹至最高处 h 时，运动员对篮球施加一个向下的压力 F，则篮球下落过程中由动能定理得$
$ mgh + \frac{h-h_0}{2} F_2 - \lambda mgh = \frac{1}{2} mv^2 $

篮球反弹后上升过程中由动能定理得
$ -mgh - \lambda mgh = 0 - \frac{1}{2} mv'^2 $

$联立解得 F_2 = \frac{2mg(1-\lambda )(H-h)}{h-h_0} $

Final answer: $\frac{2mg(1-\lambda )(H-h)}{h-h_0}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从跳台起跳，最后落在着落坡上。已知着落坡倾角为37^\circ (\sin 37^\circ ＝0.6，\cos 37^\circ ＝0.8)，运动员起跳时速度大小为v_0，方向与着落坡垂直。不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898011234306/img/compression/M_ce9f4312ee1ecb5a5ab9552341500d90.jpg)
$起跳后运动员在最高点速度v的大小；$

Solution:
$起跳后运动员水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，过最高点时，竖直方向的速度减为零，则在最高点速度v=v_{0} \sin 37^\circ ，解得v=\frac{3}{5} v_{0}。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898292252674/img/compression/M_894b964dfec8289f1f202c46f9096497.jpg)

Final answer: $\frac{3}{5} v_0$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从跳台起跳，最后落在着落坡上。已知着落坡倾角为37^\circ (\sin 37^\circ ＝0.6，\cos 37^\circ ＝0.8)，运动员起跳时速度大小为v_0，方向与着落坡垂直。不计空气阻力，重力加速度为g，求：$

<img_479>
$起跳后运动员在最高点速度v的大小；$

Solution:
$起跳后运动员水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，过最高点时，竖直方向的速度减为零，则在最高点速度v=v_{0} \sin 37^\circ ，解得v=\frac{3}{5} v_{0}。$

<img_1408>

Final answer: $\frac{3}{5} v_0$
Subfield: Mechanics


Question: $"转碟"是传统的杂技项目。如图所示,质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘,杂技演员用杆顶住碟子中心,使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为\omega_0时,碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v_0和受到的静摩擦力大小f。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521878511665156/img/compression/M_b994cfaa051329484b37a81105eec09b.jpg)

Solution:
$：当发光物体随碟子一起匀速转动时，其线速度大小即为v_0，由匀速圆周运动线速度和角速度的关系可知v_0 = \omega_0r。该过程中发光物体受到的来自碟子的静摩擦力提供其绕A点做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得其受到的静摩擦力大小f = m\omega_0^2r。$

Final answer: $\omega_0 rm\omega_0^2r$
Subfield: Mechanics


Question: $"转碟"是传统的杂技项目。如图所示,质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘,杂技演员用杆顶住碟子中心,使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为\omega_0时,碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v_0和受到的静摩擦力大小f。$

<img_469>

Solution:
$：当发光物体随碟子一起匀速转动时，其线速度大小即为v_0，由匀速圆周运动线速度和角速度的关系可知v_0 = \omega_0r。该过程中发光物体受到的来自碟子的静摩擦力提供其绕A点做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得其受到的静摩擦力大小f = m\omega_0^2r。$

Final answer: $\omega_0 rm\omega_0^2r$
Subfield: Mechanics


Question: $宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统(忽略其他星体对三星系统的影响)。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径的轨道上做同周期的匀速圆周运动，如图甲所示。另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。假设图甲、乙中每颗星的质量均为m，图甲中圆轨道半径为R，图乙中三角形边长为L，引力常量为G。$

![星体动态图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521937798402051/img/compression/M_c50462522ea18f887ab7338c52b1ceee.jpg)
$求图甲中两颗星运动的周期T_1及图乙中三颗星运动的周期T_2；$

Solution:
$题图甲所示形式下，一个环绕星体受到中间星体和另一个环绕星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则 G \frac{mm}{R^2} + G \frac{mm}{(2R)^2} = m \frac{4\pi ^2}{T^2_1} R$

$解得 T_1 = 4\pi  R \sqrt{\frac{R}{5Gm}}$

$题图乙所示形式下，三颗星体之间的距离均为 L，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为 R' = \frac{\sqrt{3}}{3}L$

$任一星体所受另外两个星体对它的万有引力的合力充当向心力，即有 F_{合} = 2\cdot G \frac{mm}{L^2} \cos 30^\circ  = m \frac{4\pi ^2}{T^2_2} \times \frac{\sqrt{3}}{3}L$

$解得 T_2 = 2\pi L \sqrt{\frac{L}{3Gm}}$

Final answer: $4\pi R \sqrt{\frac{R}{5Gm}} 2\pi L \sqrt{\frac{L}{3Gm}}$
Subfield: Mechanics


Question: $宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统(忽略其他星体对三星系统的影响)。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径的轨道上做同周期的匀速圆周运动，如图甲所示。另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。假设图甲、乙中每颗星的质量均为m，图甲中圆轨道半径为R，图乙中三角形边长为L，引力常量为G。$

<img_1401>
$求图甲中两颗星运动的周期T_1及图乙中三颗星运动的周期T_2；$

Solution:
$题图甲所示形式下，一个环绕星体受到中间星体和另一个环绕星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则 G \frac{mm}{R^2} + G \frac{mm}{(2R)^2} = m \frac{4\pi ^2}{T^2_1} R$

$解得 T_1 = 4\pi  R \sqrt{\frac{R}{5Gm}}$

$题图乙所示形式下，三颗星体之间的距离均为 L，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为 R' = \frac{\sqrt{3}}{3}L$

$任一星体所受另外两个星体对它的万有引力的合力充当向心力，即有 F_{合} = 2\cdot G \frac{mm}{L^2} \cos 30^\circ  = m \frac{4\pi ^2}{T^2_2} \times \frac{\sqrt{3}}{3}L$

$解得 T_2 = 2\pi L \sqrt{\frac{L}{3Gm}}$

Final answer: $4\pi R \sqrt{\frac{R}{5Gm}} 2\pi L \sqrt{\frac{L}{3Gm}}$
Subfield: Mechanics


Question: $我国成功发射神舟十三号载人飞船，神舟十三号与之前在轨运行的空间站组合体成功对接，航天员进入空间站。空间站绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度约为地球半径的p倍，地球同步卫星的轨道离地面的高度约为地球半径的q倍，空间站和地球同步卫星皆在地球赤道平面内(已知引力常量为G，地球自转周期为T)。$
估算地球的平均密度。

Solution:
$设地球的半径为R，同步卫星离地面的高度为h，根据万有引力提供向心力可得G \frac{Mm}{(R+h)^2}=m \frac{4\pi ^2}{T^2}(R+h)，根据题意可知h=qR，又因为M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3，解得\rho =\frac{3\pi (1+q)^3}{GT^2}.$

Final answer: $\frac{3\pi (1+q)^3}{GT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $我国成功发射神舟十三号载人飞船，神舟十三号与之前在轨运行的空间站组合体成功对接，航天员进入空间站。空间站绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度约为地球半径的p倍，地球同步卫星的轨道离地面的高度约为地球半径的q倍，空间站和地球同步卫星皆在地球赤道平面内(已知引力常量为G，地球自转周期为T)。$
求空间站的运行周期。

Solution:
$设空间站的运行周期为T_1，根据万有引力提供向心力有G\frac{Mm}{(R+pR)^2}=m\frac{4\pi ^2}{T_1^2}(R+pR)，解得T_1=T\sqrt{\left(\frac{1+p}{1+q}\right)^3}。$



Final answer: $T \sqrt{\left(\frac{1+p}{1+q}\right)^3}$
Subfield: Mechanics


Question: $我国成功发射神舟十三号载人飞船，神舟十三号与之前在轨运行的空间站组合体成功对接，航天员进入空间站。空间站绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度约为地球半径的p倍，地球同步卫星的轨道离地面的高度约为地球半径的q倍，空间站和地球同步卫星皆在地球赤道平面内(已知引力常量为G，地球自转周期为T)。$
求空间站每天绕地球的圈数n。

Solution:
$空间站每天绕地球的圈数n，则n=\frac{T}{T_1}，解得n=\sqrt{\left(\frac{1+q}{1+p}\right)^3}。$



Final answer: $\sqrt{\left(\frac{1+q}{1+p}\right)^3}$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

<img_1261>
线的拉力；

Solution:
$小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得F_{T} \sin \theta =m\frac{4\pi ^2}{T^2}L \sin \theta ，解得F_{T}=\frac{4\pi ^2}{T^2}mL；$

Final answer: $\frac{4\pi ^2}{T^2} mL$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521930588143618/img/compression/M_28cbdf9e8740533a2799135a55bc96f9.jpg)
线的拉力；

Solution:
$小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得F_{T} \sin \theta =m\frac{4\pi ^2}{T^2}L \sin \theta ，解得F_{T}=\frac{4\pi ^2}{T^2}mL；$

Final answer: $\frac{4\pi ^2}{T^2} mL$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

<img_1261>
该星球表面的重力加速度；

Solution:
$小球竖直方向受力平衡，有F_T \cos \theta =mg_{星}，解得g_{星}=\frac{4\pi ^2}{T^2}L \cos \theta ；$

Final answer: $\frac{4\pi ^2}{T^2} L \cos \theta $
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521930588143618/img/compression/M_28cbdf9e8740533a2799135a55bc96f9.jpg)
该星球表面的重力加速度；

Solution:
$小球竖直方向受力平衡，有F_T \cos \theta =mg_{星}，解得g_{星}=\frac{4\pi ^2}{T^2}L \cos \theta ；$

Final answer: $\frac{4\pi ^2}{T^2} L \cos \theta $
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521930588143618/img/compression/M_28cbdf9e8740533a2799135a55bc96f9.jpg)
在该星球近地轨道上运行的卫星的线速度大小；

Solution:
根据星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力结合牛顿第二定律可得

$\frac{GMm'}{R^2} = m'g_{星} = m' \frac{v^2}{R}，解得在该星球近地轨道上运行的卫星的线速度大小v= \sqrt{g_{\text{星}}R} = \frac{2\pi }{T} \sqrt{RL \cos  \theta }；$

Final answer: $\frac{2\pi }{T}$, $\sqrt{RL \cos  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

<img_1261>
在该星球近地轨道上运行的卫星的线速度大小；

Solution:
根据星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力结合牛顿第二定律可得

$\frac{GMm'}{R^2} = m'g_{星} = m' \frac{v^2}{R}，解得在该星球近地轨道上运行的卫星的线速度大小v= \sqrt{g_{\text{星}}R} = \frac{2\pi }{T} \sqrt{RL \cos  \theta }；$

Final answer: $\frac{2\pi }{T}$, $\sqrt{RL \cos  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

<img_1261>
该星球的密度。

Solution:
$星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力，有\frac{GMm^{\text{″}}}{R^2}=m″g_星，又星球质量M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3，解得星球密度\rho =\frac{3\pi L \cos  \theta }{GRT^2}.$

Final answer: $\frac{3\pi L \cos  \theta }{GRT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $航天员在某星球做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球(将小球视为质点)，圆锥顶角为2\theta。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R，引力常量为G。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521930588143618/img/compression/M_28cbdf9e8740533a2799135a55bc96f9.jpg)
该星球的密度。

Solution:
$星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力，有\frac{GMm^{\text{″}}}{R^2}=m″g_星，又星球质量M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3，解得星球密度\rho =\frac{3\pi L \cos  \theta }{GRT^2}.$

Final answer: $\frac{3\pi L \cos  \theta }{GRT^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为\omega 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。$

<img_1081>
$求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F_n；$

Solution:
$由向心力公式可得F_n=mr\omega ^2=2mL\omega ^2。$

Final answer: $2mL\omega ^2$
Subfield: Mechanics


Question: $在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为\omega 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521921552039939/img/compression/M_528073ca9b9e03fda4c7f8248a07bc94.jpg)
$求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F_n；$

Solution:
$由向心力公式可得F_n=mr\omega ^2=2mL\omega ^2。$

Final answer: $2mL\omega ^2$
Subfield: Mechanics


Question: $在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为\omega 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。$

<img_1081>
$在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上。货物与空间站同步做匀速圆周运动。已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F_1 : F_2。$

<img_908>

Solution:
设地球质量为M、空间站质量为m'，货物与空间站一起绕地球转动的角速度为\omega '，由牛顿第三定律可得空间站所受机械臂作用力大小F'_1=F_1,则由牛顿第二定律，

$对空间站有\frac{GMm'}{r^2}+F'_1=m'r\omega '^2$

$对货物有\frac{GMm}{{(r-d)}^2}-F_1=m(r-d)\omega '^2$

$联立F_2=\frac{GMm}{{(r-d)}^2}，解得\frac{F_1}{F_2}=\frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3+\frac{m}{m'}r^2(r-d)}，$

$考虑到货物的质量m远小于空间站质量m'，可得\frac{F_1}{F_2}\approx \frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3}。$

Final answer: $\frac{r^3-(r-d)^3}{r^3}$
Subfield: Mechanics


Question: $在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为\omega 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521921552039939/img/compression/M_528073ca9b9e03fda4c7f8248a07bc94.jpg)
$在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上。货物与空间站同步做匀速圆周运动。已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F_1 : F_2。$

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521921996636162/img/compression/M_e98ebfc3f456efb461b32a048d85c402.jpg)

Solution:
设地球质量为M、空间站质量为m'，货物与空间站一起绕地球转动的角速度为\omega '，由牛顿第三定律可得空间站所受机械臂作用力大小F'_1=F_1,则由牛顿第二定律，

$对空间站有\frac{GMm'}{r^2}+F'_1=m'r\omega '^2$

$对货物有\frac{GMm}{{(r-d)}^2}-F_1=m(r-d)\omega '^2$

$联立F_2=\frac{GMm}{{(r-d)}^2}，解得\frac{F_1}{F_2}=\frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3+\frac{m}{m'}r^2(r-d)}，$

$考虑到货物的质量m远小于空间站质量m'，可得\frac{F_1}{F_2}\approx \frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3}。$

Final answer: $\frac{r^3-(r-d)^3}{r^3}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,滑雪道AB由坡道和水平道组成,且平滑连接,坡道倾角均为45^\circ 。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑,恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑,从B点飞出。已知A、P间的距离为d,滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为\mu ,重力加速度为g,不计空气阻力。$

![滑雪道示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521950828281860/img/compression/M_70fff10fe2d16f1c18fcd374347a4343.jpg)
求滑雪者从B点飞出的速度大小v;

Solution:
$由④式可知，v_P = \sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd} ⑥$

对滑雪者在PB段的运动分析

$从P点静止开始下滑到B点有W_{GPB} + W_{fPB} = 0 ⑦$

$对从A点静止开始下滑的过程中的P\rightarrow B段分析有$

$W_{GPB} + W_{fPB} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2_P  ⑧$

联立⑥⑦⑧得

$v = v_P = \sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd}  ⑨$

Final answer: $\sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,滑雪道AB由坡道和水平道组成,且平滑连接,坡道倾角均为45^\circ 。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑,恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑,从B点飞出。已知A、P间的距离为d,滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为\mu ,重力加速度为g,不计空气阻力。$

<img_1470>
求滑雪者从B点飞出的速度大小v;

Solution:
$由④式可知，v_P = \sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd} ⑥$

对滑雪者在PB段的运动分析

$从P点静止开始下滑到B点有W_{GPB} + W_{fPB} = 0 ⑦$

$对从A点静止开始下滑的过程中的P\rightarrow B段分析有$

$W_{GPB} + W_{fPB} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2_P  ⑧$

联立⑥⑦⑧得

$v = v_P = \sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd}  ⑨$

Final answer: $\sqrt{\sqrt{2}(1-\mu )gd}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,滑雪道AB由坡道和水平道组成,且平滑连接,坡道倾角均为45^\circ 。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑,恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑,从B点飞出。已知A、P间的距离为d,滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为\mu ,重力加速度为g,不计空气阻力。$

![滑雪道示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521950828281860/img/compression/M_70fff10fe2d16f1c18fcd374347a4343.jpg)
若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上,求平台BC的最大长度L。

Solution:
$滑雪者从 B  点飞出刚好落在 C  点时， BC  长度  L  最大，从 B  到 C  为抛体运动，设空中运动时间为 t  '，竖直方向  v _ y =  v  \sin 45^\circ =  g \times \frac{t'}{2}$

⑩

$水平方向  L =  v  _ x  t  '=  v  \cos 45^\circ \cdot  t  '$

⑪

$联立⑨⑩⑪得  L = \sqrt{2} (1- \mu  ) d $
$可知，若滑雪者能着陆在缓冲坡  CD  上，平台  BC  的最大长度为 \sqrt{2} (1- \mu  ) d .$

Final answer: $\sqrt{2} (1-\mu )d$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,滑雪道AB由坡道和水平道组成,且平滑连接,坡道倾角均为45^\circ 。平台BC与缓冲坡CD相连。若滑雪者从P点由静止开始下滑,恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑,从B点飞出。已知A、P间的距离为d,滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为\mu ,重力加速度为g,不计空气阻力。$

<img_1470>
若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上,求平台BC的最大长度L。

Solution:
$滑雪者从 B  点飞出刚好落在 C  点时， BC  长度  L  最大，从 B  到 C  为抛体运动，设空中运动时间为 t  '，竖直方向  v _ y =  v  \sin 45^\circ =  g \times \frac{t'}{2}$

⑩

$水平方向  L =  v  _ x  t  '=  v  \cos 45^\circ \cdot  t  '$

⑪

$联立⑨⑩⑪得  L = \sqrt{2} (1- \mu  ) d $
$可知，若滑雪者能着陆在缓冲坡  CD  上，平台  BC  的最大长度为 \sqrt{2} (1- \mu  ) d .$

Final answer: $\sqrt{2} (1-\mu )d$