di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\overrightarrow{CA}=a，\overrightarrow{CB}=b，\overrightarrow{CC_1}=c，CA=CB=CC_{1}=1，\langle a，b\rangle =\langle a，c\rangle =\frac{2\pi }{3}，\langle b，c\rangle =\frac{\pi }{2}，N是AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698995530485761/img/compression/M_ec35f754cd5b197ed12bb7c446527775.jpg)
$(1)用a，b，c表示向量\overrightarrow{A_1N}；$

Solution:
$因为N是AB的中点，所以\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，所以\overrightarrow{A_1N}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{C_1C}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CC_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-c.(3分)$

Final answer: $-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-c$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\overrightarrow{CA}=a，\overrightarrow{CB}=b，\overrightarrow{CC_1}=c，CA=CB=CC_{1}=1，\langle a，b\rangle =\langle a，c\rangle =\frac{2\pi }{3}，\langle b，c\rangle =\frac{\pi }{2}，N是AB的中点.$<img_1761>
$(1)用a，b，c表示向量\overrightarrow{A_1N}；$

Solution:
$因为N是AB的中点，所以\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，所以\overrightarrow{A_1N}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{C_1C}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CC_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-c.(3分)$

Final answer: $-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-c$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，\overrightarrow{CA}=a，\overrightarrow{CB}=b，\overrightarrow{CC_1}=c，CA=CB=CC_{1}=1，\langle a，b\rangle =\langle a，c\rangle =\frac{2\pi }{3}，\langle b，c\rangle =\frac{\pi }{2}，N是AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698995530485761/img/compression/M_ec35f754cd5b197ed12bb7c446527775.jpg)
$(2)在线段C_{1}B_{1}上是否存在点M，使AM\perp A_{1}N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设存在点M，使AM\perp A_{1}N，设\overrightarrow{C_1M}=\lambda \overrightarrow{C_1B_1}(\lambda \in [0，1])，显然\lambda \overrightarrow{C_1B_1}=\lambda b，则\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{C_1M}=c-a+\lambda b，因为AM\perp A_{1}N，所以\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{A_1N}=0，即(c-a+\lambda b)\cdot \left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right)=0，所以-\frac{1}{2}c\cdot a+\frac{1}{2}c\cdot b-c^{2}+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a\cdot b+c\cdot a-\frac{1}{2}\lambda a\cdot b+\frac{1}{2}\lambda b^{2}-\lambda b\cdot c=0，即\frac{1}{2}c\cdot a+\left(\frac{1}{2}-\lambda \right)b\cdot c-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lambda \right)a\cdot b+\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}\lambda b^{2}-c^{2}=0，(6分)又因为CA=CB=CC_{1}=1，\langle a，b\rangle =\langle a，c\rangle =\frac{2\pi }{3}，\langle b，c\rangle =\frac{\pi }{2}，所以\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lambda \right)\times 1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\times 1^{2}+\frac{1}{2}\lambda \times 1^{2}-1^{2}=0，解得\lambda =\frac{2}{3}，所以当C_{1}M=\frac{2}{3}C_{1}B_{1}时，AM\perp A_{1}N.(10分)$

Final answer: $存在点M，使AM\perp A_1N。M的位置为C_1M=2/3C_1B_1。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AD\parallel BC，\angle ADC=\angle PAB=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698396126568450/img/compression/M_d7e4392baa33015bdacbbf89e289dbf3.jpg)
$(1)在直线PA上找一点M，使得直线CM\parallel 平面PBE，并求\frac{AM}{AP}的值；$

Solution:
$因为AD\parallel BC，\angle ADC=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，所以四边形BCDE是正方形，因为\angle PAB=90^\circ ，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ ，所以PA\perp AB，PA\perp CD，又因为AB与CD在平面ABCD内相交，所以PA\perp 平面ABCD，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698396529221633/img/compression/M_f6a11f693fcd2ec2999cb811ea659405.jpg)$设P(0，0，t)(t>0)，\frac{AM}{AP}=\lambda (\lambda >0)，则M(0，0，\lambda t)，由题意知A(0，0，0)，B(1，1，0)，E(1，0，0)，C(2，1，0)，\overrightarrow{EB}=(0，1，0)，\overrightarrow{EP}=(-1，0，t)，\overrightarrow{CM}=(-2，-1，\lambda t)，(2分)设平面PBE的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{EB}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{EP}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y=0,\\ -x+tz=0,\end{matrix}\right.取x=t，则m=(t，0，1)，要使直线CM\parallel 平面PBE，只需\overrightarrow{CM}\cdot m=-2t+\lambda t=0，解得\lambda =2，即\frac{AM}{AP}=2.(4分)所以当M点是PA的中点时，满足题意.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AD\parallel BC，\angle ADC=\angle PAB=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ .$<img_2236>
$(1)在直线PA上找一点M，使得直线CM\parallel 平面PBE，并求\frac{AM}{AP}的值；$

Solution:
$因为AD\parallel BC，\angle ADC=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，所以四边形BCDE是正方形，因为\angle PAB=90^\circ ，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ ，所以PA\perp AB，PA\perp CD，又因为AB与CD在平面ABCD内相交，所以PA\perp 平面ABCD，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2303>$设P(0，0，t)(t>0)，\frac{AM}{AP}=\lambda (\lambda >0)，则M(0，0，\lambda t)，由题意知A(0，0，0)，B(1，1，0)，E(1，0，0)，C(2，1，0)，\overrightarrow{EB}=(0，1，0)，\overrightarrow{EP}=(-1，0，t)，\overrightarrow{CM}=(-2，-1，\lambda t)，(2分)设平面PBE的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{EB}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{EP}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y=0,\\ -x+tz=0,\end{matrix}\right.取x=t，则m=(t，0，1)，要使直线CM\parallel 平面PBE，只需\overrightarrow{CM}\cdot m=-2t+\lambda t=0，解得\lambda =2，即\frac{AM}{AP}=2.(4分)所以当M点是PA的中点时，满足题意.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AD\parallel BC，\angle ADC=\angle PAB=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698396126568450/img/compression/M_d7e4392baa33015bdacbbf89e289dbf3.jpg)
$(2)若直线CD到平面PBE的距离为\frac{2\sqrt{5}}{5}，求平面PBE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$易知D(2，0，0)，则\overrightarrow{ED}=(1，0，0)，易知CD\parallel BE，又因为BE\subset 平面PBE，CD\not\subset 平面PBE，所以CD\parallel 平面PBE，所以直线CD到平面PBE的距离等于点D到平面PBE的距离，则\frac{|\overrightarrow{ED}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，解得t=2，则P(0，0，2)，(7分)易知\overrightarrow{BC}=(1，0，0)，\overrightarrow{BP}=(-1，-1，2)，设平面PBC的法向量为n=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BP}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ -x_1-y_1+2z_1=0,\end{matrix}\right.令y_{1}=2，则n=(0，2，1)，(9分)由(1)知平面PBE的一个法向量是m=(t，0，1)=(2，0，1)，则平面PBE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{1}{5}.(10分)$

Final answer: $1/5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AD\parallel BC，\angle ADC=\angle PAB=90^\circ ，BC=CD=\frac{1}{2}AD=1，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90^\circ .$<img_2236>
$(2)若直线CD到平面PBE的距离为\frac{2\sqrt{5}}{5}，求平面PBE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$易知D(2，0，0)，则\overrightarrow{ED}=(1，0，0)，易知CD\parallel BE，又因为BE\subset 平面PBE，CD\not\subset 平面PBE，所以CD\parallel 平面PBE，所以直线CD到平面PBE的距离等于点D到平面PBE的距离，则\frac{|\overrightarrow{ED}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，解得t=2，则P(0，0，2)，(7分)易知\overrightarrow{BC}=(1，0，0)，\overrightarrow{BP}=(-1，-1，2)，设平面PBC的法向量为n=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BP}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ -x_1-y_1+2z_1=0,\end{matrix}\right.令y_{1}=2，则n=(0，2，1)，(9分)由(1)知平面PBE的一个法向量是m=(t，0，1)=(2，0，1)，则平面PBE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{1}{5}.(10分)$

Final answer: $1/5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半圆柱组合而成，点G为\overset{\LARGE{\frown}}{DE}的中点，DE为半圆柱上底面的直径，且\angle BCF=90^\circ ，CD=CB=CF=2.H为BC的中点.$<img_2402>
$(1)证明：平面DEH\parallel 平面GCF；$

Solution:
$证明：以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2907>$则C(0，0，0)，D(0，0，2)，H(1，0，0)，F(0，2，0)，E(0，2，2)，G(-1，1，2)，(1分)所以\overrightarrow{CG}=(-1，1，2)，\overrightarrow{CF}=(0，2，0)，设平面GCF的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CG}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ 2y=0,\end{matrix}\right.令z=1，则x=2，y=0，所以m=(2，0，1)，同理可得平面DEH的一个法向量为n=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)，易知m\parallel n，所以平面DEH\parallel 平面GCF.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半圆柱组合而成，点G为\overset{\LARGE{\frown}}{DE}的中点，DE为半圆柱上底面的直径，且\angle BCF=90^\circ ，CD=CB=CF=2.H为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698397078675458/img/compression/M_37d90a696bc844c0aecb625a12c16805.jpg)
$(1)证明：平面DEH\parallel 平面GCF；$

Solution:
$证明：以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698397380665345/img/compression/M_c19a7d6fcef771b8a95dc1f0bdad8afd.jpg)$则C(0，0，0)，D(0，0，2)，H(1，0，0)，F(0，2，0)，E(0，2，2)，G(-1，1，2)，(1分)所以\overrightarrow{CG}=(-1，1，2)，\overrightarrow{CF}=(0，2，0)，设平面GCF的法向量为m=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CG}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ 2y=0,\end{matrix}\right.令z=1，则x=2，y=0，所以m=(2，0，1)，同理可得平面DEH的一个法向量为n=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)，易知m\parallel n，所以平面DEH\parallel 平面GCF.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半圆柱组合而成，点G为\overset{\LARGE{\frown}}{DE}的中点，DE为半圆柱上底面的直径，且\angle BCF=90^\circ ，CD=CB=CF=2.H为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698397078675458/img/compression/M_37d90a696bc844c0aecb625a12c16805.jpg)
$(2)若Q是线段HE上一动点，求直线AQ与平面GCF所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$设\overrightarrow{HQ}=\lambda \overrightarrow{HE}，\lambda \in [0，1]，则Q(1-\lambda ，2\lambda ，2\lambda )，而A(2，0，2)，所以\overrightarrow{AQ}=(-1-\lambda ，2\lambda ，2\lambda -2)，设直线AQ与平面GCF所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AQ}，m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AQ}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AQ}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{4}{\sqrt{9\lambda ^2-6\lambda +5}\times \sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{9{\left(\lambda -\frac{1}{3}\right)}^2+4}}\leq \frac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，(9分)当且仅当\lambda =\frac{1}{3}时，等号成立，所以\\sin   \theta 的最大值为\frac{2\sqrt{5}}{5}，故直线AQ与平面GCF所成角的正弦值的最大值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半圆柱组合而成，点G为\overset{\LARGE{\frown}}{DE}的中点，DE为半圆柱上底面的直径，且\angle BCF=90^\circ ，CD=CB=CF=2.H为BC的中点.$<img_2402>
$(2)若Q是线段HE上一动点，求直线AQ与平面GCF所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$设\overrightarrow{HQ}=\lambda \overrightarrow{HE}，\lambda \in [0，1]，则Q(1-\lambda ，2\lambda ，2\lambda )，而A(2，0，2)，所以\overrightarrow{AQ}=(-1-\lambda ，2\lambda ，2\lambda -2)，设直线AQ与平面GCF所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AQ}，m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AQ}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AQ}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{4}{\sqrt{9\lambda ^2-6\lambda +5}\times \sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{9{\left(\lambda -\frac{1}{3}\right)}^2+4}}\leq \frac{4}{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，(9分)当且仅当\lambda =\frac{1}{3}时，等号成立，所以\\sin   \theta 的最大值为\frac{2\sqrt{5}}{5}，故直线AQ与平面GCF所成角的正弦值的最大值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B两点)，已知AB=2，AE=\sqrt{7}，四边形BEDC为矩形，平面ABC\perp 平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698397699432450/img/compression/M_29a1cb56e5a0d0a8e22d92c329686169.jpg)
$(1)证明：l\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：因为四边形BEDC为矩形，所以CD\perp BC，因为\angle ACB是以AB为直径的圆的圆周角，所以BC\perp AC，又AC\cap CD=C，AC，CD\subset 平面ACD，所以BC\perp 平面ACD.因为DE\parallel BC，BC\not\subset 平面EAD，DE\subset 平面EAD，所以BC\parallel 平面EAD.又平面EAD与平面ABC的交线为l，所以l\parallel BC.所以l\perp 平面ACD.(3分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B两点)，已知AB=2，AE=\sqrt{7}，四边形BEDC为矩形，平面ABC\perp 平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为l.$<img_1584>
$(1)证明：l\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：因为四边形BEDC为矩形，所以CD\perp BC，因为\angle ACB是以AB为直径的圆的圆周角，所以BC\perp AC，又AC\cap CD=C，AC，CD\subset 平面ACD，所以BC\perp 平面ACD.因为DE\parallel BC，BC\not\subset 平面EAD，DE\subset 平面EAD，所以BC\parallel 平面EAD.又平面EAD与平面ABC的交线为l，所以l\parallel BC.所以l\perp 平面ACD.(3分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B两点)，已知AB=2，AE=\sqrt{7}，四边形BEDC为矩形，平面ABC\perp 平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698397699432450/img/compression/M_29a1cb56e5a0d0a8e22d92c329686169.jpg)
$(2)当三棱锥A-BCE的体积最大时，求平面EAD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.$

Solution:
$在\triangle ABC中，设AC=x，则BC=\sqrt{4-x^2}(0所以S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}x\cdot \sqrt{4-x^2}，因为平面ABC\perp 平面BCDE，平面ABC\cap 平面BCDE=BC，BE\perp BC，BE\subset 平面BCDE，所以BE\perp 平面ABC.(5分)又AB\subset 平面ABC，所以BE\perp AB，又因为AE=\sqrt{7}，AB=2，所以BE=\sqrt{3}，所以V_{A-BCE}=V_{E-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot BE=\frac{\sqrt{3}}{6}x\cdot \sqrt{4-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{6} \sqrt{x^2(4-x^2)}\leq \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{x^2+4-x^2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}，当且仅当x^{2}=4-x^{2}，即x=\sqrt{2}时，三棱锥A-BCE的体积最大.(7分)因为BE\parallel CD，所以CD\perp 平面ABC.以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698398160805889/img/compression/M_00aaae6f8486ba8a55ce882dfd79c17d.jpg)$则C(0，0，0)，A(\sqrt{2}，0，0)，D(0，0，\sqrt{3})，E(0，\sqrt{2}，\sqrt{3})，所以\overrightarrow{AD}=(-\sqrt{2}，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{DE}=(0，\sqrt{2}，0)，易知平面ABC的一个法向量为n_{1}=(0，0，\sqrt{3})，设平面EAD的法向量为n_{2}=(x_{0}，y_{0}，z_{0})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{AD}=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{2}x_0+\sqrt{3}z_0=0,\\ \sqrt{2}y_0=0,\end{matrix}\right.取x_{0}=\sqrt{3}，则n_{2}=(\sqrt{3}，0，\sqrt{2})，(9分)所以\\cos  \langle n_{1}，n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}，故平面EAD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B两点)，已知AB=2，AE=\sqrt{7}，四边形BEDC为矩形，平面ABC\perp 平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为l.$<img_1584>
$(2)当三棱锥A-BCE的体积最大时，求平面EAD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.$

Solution:
$在\triangle ABC中，设AC=x，则BC=\sqrt{4-x^2}(0所以S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}x\cdot \sqrt{4-x^2}，因为平面ABC\perp 平面BCDE，平面ABC\cap 平面BCDE=BC，BE\perp BC，BE\subset 平面BCDE，所以BE\perp 平面ABC.(5分)又AB\subset 平面ABC，所以BE\perp AB，又因为AE=\sqrt{7}，AB=2，所以BE=\sqrt{3}，所以V_{A-BCE}=V_{E-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot BE=\frac{\sqrt{3}}{6}x\cdot \sqrt{4-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{6} \sqrt{x^2(4-x^2)}\leq \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{x^2+4-x^2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}，当且仅当x^{2}=4-x^{2}，即x=\sqrt{2}时，三棱锥A-BCE的体积最大.(7分)因为BE\parallel CD，所以CD\perp 平面ABC.以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，$<img_2860>$则C(0，0，0)，A(\sqrt{2}，0，0)，D(0，0，\sqrt{3})，E(0，\sqrt{2}，\sqrt{3})，所以\overrightarrow{AD}=(-\sqrt{2}，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{DE}=(0，\sqrt{2}，0)，易知平面ABC的一个法向量为n_{1}=(0，0，\sqrt{3})，设平面EAD的法向量为n_{2}=(x_{0}，y_{0}，z_{0})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{AD}=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{DE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{2}x_0+\sqrt{3}z_0=0,\\ \sqrt{2}y_0=0,\end{matrix}\right.取x_{0}=\sqrt{3}，则n_{2}=(\sqrt{3}，0，\sqrt{2})，(9分)所以\\cos  \langle n_{1}，n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}，故平面EAD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段DD_{1}的中点，F为线段BB_{1}的中点.$<img_3067>
$(1)求直线FC_{1}与直线B_{1}E所成角的余弦值；$

Solution:
$建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2577>$则F\left(1,1,\frac{1}{2}\right)，A(1，0，0)，C_{1}(0，1，1)，B_{1}(1，1，1)，E\left(0,0,\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{FC_1}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{B_1E}=\left(-1,-1,-\frac{1}{2}\right)，设直线FC_{1}与直线B_{1}E所成的角为\theta ，所以\\cos   \theta =\left|\frac{\overrightarrow{FC_1}\cdot \overrightarrow{B_1E}}{|\overrightarrow{FC_1}|\cdot |\overrightarrow{B_1E}|}\right|=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times \frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.(4分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段DD_{1}的中点，F为线段BB_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698386630791170/img/compression/M_a44bf519bb8febd5edb6e0862f1a9e7f.jpg)
$(1)求直线FC_{1}与直线B_{1}E所成角的余弦值；$

Solution:
$建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698386886643714/img/compression/M_a4aea3ec70168cedb49dbbc7b7f56e57.jpg)$则F\left(1,1,\frac{1}{2}\right)，A(1，0，0)，C_{1}(0，1，1)，B_{1}(1，1，1)，E\left(0,0,\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{FC_1}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{B_1E}=\left(-1,-1,-\frac{1}{2}\right)，设直线FC_{1}与直线B_{1}E所成的角为\theta ，所以\\cos   \theta =\left|\frac{\overrightarrow{FC_1}\cdot \overrightarrow{B_1E}}{|\overrightarrow{FC_1}|\cdot |\overrightarrow{B_1E}|}\right|=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times \frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.(4分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段DD_{1}的中点，F为线段BB_{1}的中点.$<img_3067>
$(2)求点F到平面AB_{1}E的距离.$

Solution:
$由(1)可知\overrightarrow{FB_1}=\left(0,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{AE}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{AB_1}=(0，1，1)，(6分)设平面AB_{1}E的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=-x+\frac{1}{2}z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB_1}=y+z=0,\end{matrix}\right.取z=2，可得n=(1，-2，2).(8分)设F到平面AB_{1}E的距离为d，则d=\left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FB_1}}{|\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{1}{3}.(10分)$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为线段DD_{1}的中点，F为线段BB_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698386630791170/img/compression/M_a44bf519bb8febd5edb6e0862f1a9e7f.jpg)
$(2)求点F到平面AB_{1}E的距离.$

Solution:
$由(1)可知\overrightarrow{FB_1}=\left(0,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{AE}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\overrightarrow{AB_1}=(0，1，1)，(6分)设平面AB_{1}E的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=-x+\frac{1}{2}z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB_1}=y+z=0,\end{matrix}\right.取z=2，可得n=(1，-2，2).(8分)设F到平面AB_{1}E的距离为d，则d=\left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FB_1}}{|\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{1}{3}.(10分)$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥V-ABCD的底面是矩形，VD\perp 平面ABCD，AB=2AD=2VD=2，E，F，G分别是棱AB，VC，CD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698407652642817/img/compression/M_0ac63e1663a9d5034482f76974f90cd0.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面VAD；$

Solution:
$证明：\because VD\perp 平面ABCD，AD、CD\subset 平面ABCD，\therefore VD\perp AD，VD\perp CD.又四边形ABCD是矩形，\therefore AD\perp CD，\therefore AD，CD，VD两两垂直，\therefore 以点D为坐标原点，AD，CD，VD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，V(0，0，1)，E(1，1，0)，G(0，1，0)，F\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698407954632705/img/compression/M_004fd66e2209c1170b4950f549cff3a7.jpg)$易知平面VAD的一个法向量为\overrightarrow{AE}=(0，1，0)，(3分)又\overrightarrow{EF}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AE}=-1\times 0+0\times 1+\frac{1}{2}\times 0=0，又EF\not\subset 平面VAD，\therefore EF\parallel 平面VAD.(6分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥V-ABCD的底面是矩形，VD\perp 平面ABCD，AB=2AD=2VD=2，E，F，G分别是棱AB，VC，CD的中点.$<img_1762>
$(1)求证：EF\parallel 平面VAD；$

Solution:
$证明：\because VD\perp 平面ABCD，AD、CD\subset 平面ABCD，\therefore VD\perp AD，VD\perp CD.又四边形ABCD是矩形，\therefore AD\perp CD，\therefore AD，CD，VD两两垂直，\therefore 以点D为坐标原点，AD，CD，VD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，V(0，0，1)，E(1，1，0)，G(0，1，0)，F\left(0,1,\frac{1}{2}\right)，$<img_2483>$易知平面VAD的一个法向量为\overrightarrow{AE}=(0，1，0)，(3分)又\overrightarrow{EF}=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AE}=-1\times 0+0\times 1+\frac{1}{2}\times 0=0，又EF\not\subset 平面VAD，\therefore EF\parallel 平面VAD.(6分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥V-ABCD的底面是矩形，VD\perp 平面ABCD，AB=2AD=2VD=2，E，F，G分别是棱AB，VC，CD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698407652642817/img/compression/M_0ac63e1663a9d5034482f76974f90cd0.jpg)
$(2)求平面AVE与平面VEG夹角的大小.$

Solution:
$由(1)知\overrightarrow{AE}=(0，1，0)，\overrightarrow{AV}=(-1，0，1)，\overrightarrow{GE}=(1，0，0)，\overrightarrow{GV}=(0，-1，1)，设平面AVE的法向量为n_{1}=(x，y，z)，平面VEG的法向量n_{2}=(p，q，r)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}_1=y=0,\\ \overrightarrow{AV}\cdot \boldsymbol{n}_1=-x+z=0,\end{matrix}\right.不妨取n_{1}=(1，0，1).(9分)同理\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{GE}\cdot \boldsymbol{n}_2=p=0,\\ \overrightarrow{GV}\cdot \boldsymbol{n}_2=-q+r=0,\end{matrix}\right.不妨取n_{2}=(0，1，1).(10分)设平面AVE与平面VEG的夹角为\theta ，0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n_{1}，n_{2}\rangle |=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}\times \sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{2}，\therefore \theta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥V-ABCD的底面是矩形，VD\perp 平面ABCD，AB=2AD=2VD=2，E，F，G分别是棱AB，VC，CD的中点.$<img_1762>
$(2)求平面AVE与平面VEG夹角的大小.$

Solution:
$由(1)知\overrightarrow{AE}=(0，1，0)，\overrightarrow{AV}=(-1，0，1)，\overrightarrow{GE}=(1，0，0)，\overrightarrow{GV}=(0，-1，1)，设平面AVE的法向量为n_{1}=(x，y，z)，平面VEG的法向量n_{2}=(p，q，r)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}_1=y=0,\\ \overrightarrow{AV}\cdot \boldsymbol{n}_1=-x+z=0,\end{matrix}\right.不妨取n_{1}=(1，0，1).(9分)同理\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{GE}\cdot \boldsymbol{n}_2=p=0,\\ \overrightarrow{GV}\cdot \boldsymbol{n}_2=-q+r=0,\end{matrix}\right.不妨取n_{2}=(0，1，1).(10分)设平面AVE与平面VEG的夹角为\theta ，0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n_{1}，n_{2}\rangle |=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}\times \sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{2}，\therefore \theta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，AC\cap DB=O，PO\perp 平面ABCD，\angle BOC=90^\circ ，OA=1，OC=2，E在PB上.$<img_2509>
$(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一绳，使得PB=3PE，求证：直线PD\parallel 平面AEC；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，OA=1，OC=2，\therefore OD=1，OB=2，连接EO，\because \frac{PE}{PB}=\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}，\therefore EO\parallel PD，(2分)又\because EO\subset 平面AEC，PD\not\subset 平面AEC，\therefore 直线PD\parallel 平面AEC.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，AC\cap DB=O，PO\perp 平面ABCD，\angle BOC=90^\circ ，OA=1，OC=2，E在PB上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1696698409150009347/img/compression/M_34050fab8563592ce9617f91a3581cfc.jpg)
$(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一绳，使得PB=3PE，求证：直线PD\parallel 平面AEC；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，OA=1，OC=2，\therefore OD=1，OB=2，连接EO，\because \frac{PE}{PB}=\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}，\therefore EO\parallel PD，(2分)又\because EO\subset 平面AEC，PD\not\subset 平面AEC，\therefore 直线PD\parallel 平面AEC.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD\parallel BC，AC\cap DB=O，PO\perp 平面ABCD，\angle BOC=90^\circ ，OA=1，OC=2，E在PB上.$<img_2509>
$(2)研究表明，当\\tan  \angle PAC=2时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值.$

Solution:
$\because PO\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp AC，又\because \\tan  \angle PAC=2，\therefore \frac{OP}{OA}=2，\therefore OP=2.(6分)\because OB\perp OC，PO\perp 平面ABCD，\therefore OB，OC，OP两两垂直，\therefore 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，-1，0)，C(0，2，0)，B(2，0，0)，\therefore \overrightarrow{PA}=(0，-1，-2)，\overrightarrow{PC}=(0，2，-2)，\overrightarrow{PB}=(2，0，-2)，(8分)$<img_1520>$设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=2y-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PB}=2x-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=1，z=1，\therefore n=(1，1，1)，(10分)设PA与平面PBC所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PA}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{5}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{5}$