Subfield: Algebra


Question: 已知 $p, q(q \neq 0)$ 是实数, 方程 $x^{2}-p x+q=0$ 有两个实根 $\alpha, \beta$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=p, \quad a_{2}=p^{2}-q, \quad a_{n}=p a_{n-1}-q a_{n-2}(n=3,4, \cdots)$
求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 (用 $\alpha, \beta$ 表示);

Solution:
由韦达定理知 $\alpha \cdot \beta=q \neq 0$, 又 $\alpha+\beta=p$, 所以

$a_{n}-p x_{n-1}-q x_{n-2}=(\alpha+\beta) a_{n-1}-\alpha \beta a_{n-2}, \quad(n=3,4,5, \cdots)$

整理得 $a_{n}-\beta a_{n-1}=\alpha\left(a_{n-1}-\beta a_{n-2}\right)$

令 $b_{n}=a_{n+1}-\beta a_{n}$, 则 $b_{n+1}=\alpha b_{n}(n=1,2, \cdots)$. 所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $\alpha$ 的等比数列.

数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的首项为:

$b_{1}=a_{2}-\beta a_{1}=p^{2}-q-\beta p=(\alpha+\beta)^{2}-\alpha \beta-\beta(\alpha+\beta)=\alpha^{2}$.

所以 $b_{n}=\alpha^{2} \cdot \alpha^{n-1}=\alpha^{n+1}$, 即 $a_{n+1}-\beta a_{n}=\alpha^{n+1}(n=1,2, \cdots)$. 所以 $a_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha^{n+1}(n=1,2, \cdots)$.

(1) 当 $\Delta=p^{2}-4 q=0$ 时， $\alpha=\beta \neq 0, a_{1}=p=\alpha+\alpha=2 \alpha, a_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha^{n+1}(n=1,2, \ldots)$ 变为 $a_{n+1}=\alpha a_{n}+\alpha^{n+1}(n=1,2, \cdots)$. 整理得, $\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\frac{a_{n}}{\alpha^{n}}=1,(n=1,2, \cdots)$. 所以, 数列 $\left\{\frac{a_{n}}{\alpha^{n}}\right\}$ 成公差为 1 的等差数列, 其首项为 $\frac{a_{1}}{\alpha}=\frac{2 \alpha}{\alpha}=2$. 所以

$\frac{a_{n}}{\alpha^{n}}=2+1(n-1)=n+1$.

于是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为

$a_{n}=(n+1) \alpha^{n}$;

(2) 当 $\Delta=p^{2}-4 q>0$ 时, $\alpha \neq \beta$,

$$
\begin{aligned}
a_{n+1} & =\beta a_{n}+\alpha^{n+1} \\
& =\beta a_{n}+\frac{\beta-\alpha}{\beta-\alpha} \alpha^{n+1} \\
& =\beta a_{n}+\frac{\beta}{\beta-\alpha} \alpha^{n+1}-\frac{\alpha}{\beta-\alpha} \alpha^{n+1}(n=1,2, \cdots) .
\end{aligned}
$$

整理得

$a_{n+1}+\frac{\alpha^{n+2}}{\beta-\alpha}=\beta\left(a_{n}+\frac{\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}\right), \quad(n=1,2, \cdots)$.

所以, 数列 $\left\{a_{n}+\frac{\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}\right\}$ 成公比为 $\beta$ 的等比数列, 其首项为 $a_{1}+\frac{\alpha^{2}}{\beta-\alpha}=\alpha+\beta+\frac{\alpha^{2}}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{2}}{\beta-\alpha}$. 所以 $a_{n}+\frac{\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{2}}{\beta-\alpha} \beta^{n-1}$.

于是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}$.
由韦达定理知 $\alpha \cdot \beta=q \neq 0$ ，又 $\alpha+\beta=p$ ，所以

$a_{1}=\alpha+\beta, a_{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\alpha \beta$.

特征方程 $\lambda^{2}-p \lambda+q=0$ 的两个根为 $\alpha, \beta$.

(1) 当 $\alpha=\beta \neq 0$ 时, 通项 $a_{n}=\left(A_{1}+A_{2} n\right) \alpha^{n}(n=1,2, \ldots)$ 由 $a_{1}=2 \alpha, a_{2}=3 \alpha^{2}$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(A_{1}+A_{2}\right) \alpha=2 \alpha \\
\left(A_{1}+2 A_{2}\right) \alpha^{2}=3 \alpha^{2}
\end{array}\right.
$$

解得 $A_{1}=A_{2}=1$. 故 $a_{n}=(1+n) \alpha^{n}$.

(2) 当 $\alpha \neq \beta$ 时, 通项 $a_{n}=A_{1} \alpha^{n}+A_{2} \beta^{n}(n=1,2, \cdots)$. 由 $a_{1}=\alpha+\beta, a_{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\alpha \beta$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{1} \alpha+A_{2} \beta=\alpha+\beta \\
A_{1} \alpha^{2}+A_{2} \beta^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\alpha \beta
\end{array}\right.
$$

解得 $A_{1}=\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}, A_{2}=\frac{\beta}{\beta-\alpha}$. 故

$$
a_{n}=\frac{-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}+\frac{\beta^{n+1}}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha} .
$$

Final answer: $当\alpha = \beta \not =0, a_{n}=(n+1) \alpha^{n};当 \alpha \not = \beta, a_{n}=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}$