di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD，PB\perp BC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629809847595011/img/compression/M_e3bfc0cc224422bf4025bc71a9adaade.jpg)
$(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为\frac{\sqrt{30}}{10}，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.$

Solution:
$由(1)知OP，OA，OB两两垂直，故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,\sqrt{3})，C(-2,\sqrt{3},0)，A(1,0,0)，D(-1,0,0)，则\overrightarrow{PC}=(-2,\sqrt{3},-\sqrt{3})，\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{AD}=(-2,0,0).设\overrightarrow{PE}=\lambda \overrightarrow{PC}(0\leq \lambda \leq 1)，则\overrightarrow{PE}=(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,-\sqrt{3}\lambda )，\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}=(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )，则E(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )，则\overrightarrow{AE}=(-2\lambda -1,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda ).由于OP\perp 平面ABCD，则取平面ABCD的法向量为n_{1}=(0,0,1).设AE与平面ABCD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AE},n_{1}\rangle |=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda |}{\sqrt{{(-2\lambda -1)}^2+3\lambda ^2+{(\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{30}}{10}，解得\lambda =\frac{1}{3}.则E\left(-\frac{2}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，\overrightarrow{AE}=\left(-\frac{5}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right).设平面ADE的法向量为n_{2}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{AD}=-2x=0,\\ {\boldsymbol{n}_2}\cdot \overrightarrow{AE}=-\frac{5}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0.\end{matrix}\right.令y=2，则n_{2}=(0,2,-1)，又平面ABCD的法向量为n_{1}=(0,0,1).故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为|\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle |=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629810292191233/img/compression/M_42f0c9f8eade4c50cbed6642c8491307.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\triangle PAD为等边三角形，平面PAD\perp 平面ABCD，PB\perp BC.$<img_2389>
$(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为\frac{\sqrt{30}}{10}，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.$

Solution:
$由(1)知OP，OA，OB两两垂直，故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,\sqrt{3})，C(-2,\sqrt{3},0)，A(1,0,0)，D(-1,0,0)，则\overrightarrow{PC}=(-2,\sqrt{3},-\sqrt{3})，\overrightarrow{OP}=(0,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{AD}=(-2,0,0).设\overrightarrow{PE}=\lambda \overrightarrow{PC}(0\leq \lambda \leq 1)，则\overrightarrow{PE}=(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,-\sqrt{3}\lambda )，\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}=(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )，则E(-2\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )，则\overrightarrow{AE}=(-2\lambda -1,\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda ).由于OP\perp 平面ABCD，则取平面ABCD的法向量为n_{1}=(0,0,1).设AE与平面ABCD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AE},n_{1}\rangle |=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda |}{\sqrt{{(-2\lambda -1)}^2+3\lambda ^2+{(\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{30}}{10}，解得\lambda =\frac{1}{3}.则E\left(-\frac{2}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)，\overrightarrow{AE}=\left(-\frac{5}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right).设平面ADE的法向量为n_{2}=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{AD}=-2x=0,\\ {\boldsymbol{n}_2}\cdot \overrightarrow{AE}=-\frac{5}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0.\end{matrix}\right.令y=2，则n_{2}=(0,2,-1)，又平面ABCD的法向量为n_{1}=(0,0,1).故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为|\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle |=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$<img_2593>

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，PB\perp AC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629811240103938/img/compression/M_b8cff69d3446af0d48f9be78555fb124.jpg)
$(1)求证：平面PAB\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：在\triangle ABC中，因为BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，所以AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\\cos   60^\circ =3AB^{2}，AC=\sqrt{3}AB，所以AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}，则\angle BAC=90^\circ ，即AC\perp AB，又AC\perp PB，PB\cap AB=B，PB,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB，又AC\subset 平面ABCD，所以平面PAB\perp 平面ABCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，PB\perp AC.$<img_2138>
$(1)求证：平面PAB\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：在\triangle ABC中，因为BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，所以AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\\cos   60^\circ =3AB^{2}，AC=\sqrt{3}AB，所以AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}，则\angle BAC=90^\circ ，即AC\perp AB，又AC\perp PB，PB\cap AB=B，PB,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB，又AC\subset 平面ABCD，所以平面PAB\perp 平面ABCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，PB\perp AC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629811240103938/img/compression/M_b8cff69d3446af0d48f9be78555fb124.jpg)
$(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC\parallel 平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD.如图，以A为原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629811495956482/img/compression/M_dd431702b09d10c267485845bdabad4c.jpg)$设AB=2，则B(2,0,0)，D(-2,2\sqrt{3},0)，P(1,0,\sqrt{3})，则\overrightarrow{AD}=(-2,2\sqrt{3},0)，\overrightarrow{AP}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{BD}=(-4,2\sqrt{3},0)，\overrightarrow{DP}=(3,-2\sqrt{3},\sqrt{3})，设平面PAD的法向量是n_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{AD}=-2x_1+2\sqrt{3}y_1=0,\\ {\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{AP}=x_1+\sqrt{3}z_1=0,\end{matrix}\right.取n_{1}=(\sqrt{3},1,-1)，设\overrightarrow{DQ}=\lambda \overrightarrow{DP}，其中0<\lambda <1，则\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{BD}+\lambda \overrightarrow{DP}=(3\lambda -4,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ).连接EF，因为AC\parallel 平面BEQF，AC\subset 平面PAC，平面PAC\cap 平面BEQF=EF，所以AC\parallel EF，取与\overrightarrow{EF}同向的单位向量j=(0,1,0)，设平面BEQF的法向量是n_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \boldsymbol{j}=y_2=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BQ}=(3\lambda -4)x_2+2\sqrt{3}(1-\lambda )y_2+\sqrt{3}\lambda z_2=0,\end{matrix}\right.取n_{2}=(\sqrt{3}\lambda ,0,4-3\lambda ).由平面BEQF\perp 平面PAD，知n_{1}\perp n_{2}，(当两平面垂直时，它们的法向量也垂直)有n_{1}\cdot n_{2}=3\lambda +3\lambda -4=0，解得\lambda =\frac{2}{3}.故在侧棱PD上存在点Q且当DQ=\frac{2}{3}DP时，使得平面BEQF\perp 平面PAD.$

Final answer: $存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD时，点Q的位置是侧棱PD上，且满足DQ=(2/3)DP。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB，\angle ABC=60^\circ ，PB\perp AC.$<img_2138>
$(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC\parallel 平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD.如图，以A为原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0).$<img_2910>$设AB=2，则B(2,0,0)，D(-2,2\sqrt{3},0)，P(1,0,\sqrt{3})，则\overrightarrow{AD}=(-2,2\sqrt{3},0)，\overrightarrow{AP}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{BD}=(-4,2\sqrt{3},0)，\overrightarrow{DP}=(3,-2\sqrt{3},\sqrt{3})，设平面PAD的法向量是n_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}{\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{AD}=-2x_1+2\sqrt{3}y_1=0,\\ {\boldsymbol{n}_1}\cdot \overrightarrow{AP}=x_1+\sqrt{3}z_1=0,\end{matrix}\right.取n_{1}=(\sqrt{3},1,-1)，设\overrightarrow{DQ}=\lambda \overrightarrow{DP}，其中0<\lambda <1，则\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{BD}+\lambda \overrightarrow{DP}=(3\lambda -4,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ).连接EF，因为AC\parallel 平面BEQF，AC\subset 平面PAC，平面PAC\cap 平面BEQF=EF，所以AC\parallel EF，取与\overrightarrow{EF}同向的单位向量j=(0,1,0)，设平面BEQF的法向量是n_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \boldsymbol{j}=y_2=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BQ}=(3\lambda -4)x_2+2\sqrt{3}(1-\lambda )y_2+\sqrt{3}\lambda z_2=0,\end{matrix}\right.取n_{2}=(\sqrt{3}\lambda ,0,4-3\lambda ).由平面BEQF\perp 平面PAD，知n_{1}\perp n_{2}，(当两平面垂直时，它们的法向量也垂直)有n_{1}\cdot n_{2}=3\lambda +3\lambda -4=0，解得\lambda =\frac{2}{3}.故在侧棱PD上存在点Q且当DQ=\frac{2}{3}DP时，使得平面BEQF\perp 平面PAD.$



Final answer: $存在点Q，使得平面BEQF\perp 平面PAD时，点Q的位置是侧棱PD上，且满足DQ=(2/3)DP。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PA是三棱锥P-ABC的高，线段BC的中点为M，且AB\perp AC，AB=AC=PA=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233512428408834/img/compression/M_ab70430d4023114d2e0c08565d004005.jpg)
$(1)证明：BC\perp 平面PAM；$

Solution:
$证明：因为AB=AC，M为BC的中点，所以BC\perp AM. 因为PA是三棱锥P-ABC的高，所以PA\perp 平面ABC，因为BC\subset 平面ABC，所以PA\perp BC.因为PA，AM\subset 平面PAM，PA\cap AM=A，所以BC\perp 平面PAM.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PA是三棱锥P-ABC的高，线段BC的中点为M，且AB\perp AC，AB=AC=PA=2.$<img_3084>
$(1)证明：BC\perp 平面PAM；$

Solution:
$证明：因为AB=AC，M为BC的中点，所以BC\perp AM. 因为PA是三棱锥P-ABC的高，所以PA\perp 平面ABC，因为BC\subset 平面ABC，所以PA\perp BC.因为PA，AM\subset 平面PAM，PA\cap AM=A，所以BC\perp 平面PAM.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PA是三棱锥P-ABC的高，线段BC的中点为M，且AB\perp AC，AB=AC=PA=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233512428408834/img/compression/M_ab70430d4023114d2e0c08565d004005.jpg)
$(2)求点A到平面PBC的距离.$

Solution:
$在\triangle PAM中，过点A作AH\perp PM于点H，如图所示，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233512776536065/img/compression/M_16fb4233a3b209ea21ac5982e4ef7f2d.jpg)$因为BC\perp 平面PAM，AH\subset 平面PAM，所以BC\perp AH.因为BC，PM\subset 平面PBC，PM\cap BC=M，所以AH\perp 平面PBC.在Rt\triangle BAC中，AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{4+4}=\sqrt{2}.所以在Rt\triangle PAM中，PM=\sqrt{PA^2+AM^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}，所以AH=\frac{PA\times AM}{PM}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，所以点A到平面PBC的距离为\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，PA是三棱锥P-ABC的高，线段BC的中点为M，且AB\perp AC，AB=AC=PA=2.$<img_3084>
$(2)求点A到平面PBC的距离.$

Solution:
$在\triangle PAM中，过点A作AH\perp PM于点H，如图所示，$<img_2615>$因为BC\perp 平面PAM，AH\subset 平面PAM，所以BC\perp AH.因为BC，PM\subset 平面PBC，PM\cap BC=M，所以AH\perp 平面PBC.在Rt\triangle BAC中，AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{4+4}=\sqrt{2}.所以在Rt\triangle PAM中，PM=\sqrt{PA^2+AM^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}，所以AH=\frac{PA\times AM}{PM}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，所以点A到平面PBC的距离为\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，O，M分别是AD，PB的中点，AD\parallel BC，AB=BC=CD=OP=1，DA=2，OP\perp 平面ABD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233514479423490/img/compression/M_e0f61aacb8712744f8bd014983f9044a.jpg)
$(1)求证：PD\parallel 平面OCM；$

Solution:
$证明：如图，连接OB，设OC\cap BD=E，连接EM，\because AD\parallel BC且AD=2BC，O为AD的中点，\therefore BC\parallel OD且BC=OD，\therefore 四边形OBCD为平行四边形.\because OC\cap BD=E，\therefore E为BD的中点.又\because M为PB的中点，\therefore EM\parallel PD.\because PD\not\subset 平面OCM，EM\subset 平面OCM，\therefore PD\parallel 平面OCM.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233514940796929/img/compression/M_a451dfff36ac2a59b46465b1cf1cd3ba.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，O，M分别是AD，PB的中点，AD\parallel BC，AB=BC=CD=OP=1，DA=2，OP\perp 平面ABD.$<img_2856>
$(1)求证：PD\parallel 平面OCM；$

Solution:
$证明：如图，连接OB，设OC\cap BD=E，连接EM，\because AD\parallel BC且AD=2BC，O为AD的中点，\therefore BC\parallel OD且BC=OD，\therefore 四边形OBCD为平行四边形.\because OC\cap BD=E，\therefore E为BD的中点.又\because M为PB的中点，\therefore EM\parallel PD.\because PD\not\subset 平面OCM，EM\subset 平面OCM，\therefore PD\parallel 平面OCM.$<img_1505>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，O，M分别是AD，PB的中点，AD\parallel BC，AB=BC=CD=OP=1，DA=2，OP\perp 平面ABD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233514479423490/img/compression/M_e0f61aacb8712744f8bd014983f9044a.jpg)
$(2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.$

Solution:
$取OD的中点F，连接CF，由(1)可知，OB=CD=1，\because AD\parallel BC且AD=2BC，O为AD的中点，\therefore BC\parallel OA且BC=OA，\therefore 四边形OABC为平行四边形，\therefore OC=AB=1.\therefore OC=OD=CD=1，\therefore \triangle OCD为等边三角形.\because F为OD的中点，\therefore CF\perp OD.\because PO\perp 平面ABD，CF\subset 平面ABD，\therefore CF\perp PO.\because PO\cap OD=O，PO，OD\subset 平面PAD，\therefore CF\perp 平面PAD，\therefore CP与平面PAD所成的角为\angle CPF.\because PO\perp 平面ABD，OC\subset 平面ABD，\therefore PO\perp OC，\therefore PC=\sqrt{PO^2+OC^2}=\sqrt{2}，CF=CD\\sin   60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}，在Rt\triangle PFC中，PF=\sqrt{PC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}，故\\cos  \angle CPF=\frac{PF}{PC}=\frac{\sqrt{10}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，O，M分别是AD，PB的中点，AD\parallel BC，AB=BC=CD=OP=1，DA=2，OP\perp 平面ABD.$<img_2856>
$(2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.$

Solution:
$取OD的中点F，连接CF，由(1)可知，OB=CD=1，\because AD\parallel BC且AD=2BC，O为AD的中点，\therefore BC\parallel OA且BC=OA，\therefore 四边形OABC为平行四边形，\therefore OC=AB=1.\therefore OC=OD=CD=1，\therefore \triangle OCD为等边三角形.\because F为OD的中点，\therefore CF\perp OD.\because PO\perp 平面ABD，CF\subset 平面ABD，\therefore CF\perp PO.\because PO\cap OD=O，PO，OD\subset 平面PAD，\therefore CF\perp 平面PAD，\therefore CP与平面PAD所成的角为\angle CPF.\because PO\perp 平面ABD，OC\subset 平面ABD，\therefore PO\perp OC，\therefore PC=\sqrt{PO^2+OC^2}=\sqrt{2}，CF=CD\\sin   60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}，在Rt\triangle PFC中，PF=\sqrt{PC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}，故\\cos  \angle CPF=\frac{PF}{PC}=\frac{\sqrt{10}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233484977065987/img/compression/M_9989e00c1530988313f297ec92ff3191.jpg)
$(1)求证：PC\parallel 平面BFD；$

Solution:
$证明：如图1，连接AC，交BD于O，连接OF，在\triangle PAC中，F为PA的中点，O为AC的中点，所以FO是\triangle PAC的中位线，所以PC\parallel FO.又PC\not\subset 平面BFD，FO\subset 平面BFD，所以PC\parallel 平面BFD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233485283250177/img/compression/M_6404c1f865c3f93161550750ffb3491f.jpg)$图1$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点.$<img_2170>
$(1)求证：PC\parallel 平面BFD；$

Solution:
$证明：如图1，连接AC，交BD于O，连接OF，在\triangle PAC中，F为PA的中点，O为AC的中点，所以FO是\triangle PAC的中位线，所以PC\parallel FO.又PC\not\subset 平面BFD，FO\subset 平面BFD，所以PC\parallel 平面BFD.$<img_2881>$图1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点.$<img_2170>
$(2)已知M在PD上，满足EC\parallel 平面BFM，求\frac{PM}{MD}的值.$

Solution:
$如图2，延长FM，交AD的延长线于G，连接BG，交CD于N，连接EF，FN，PG，EN.因为E，F分别为棱PB，PA的中点，所以EF是\triangle PAB的中位线，所以EF\parallel AB，EF=\frac{1}{2}AB，因为底面ABCD为平行四边形，所以AB\parallel CD，所以EF\parallel CN，所以E,F,N,C四点共面.又EC\parallel 平面BFM，平面BFM\cap 平面EFNC=FN，所以EC\parallel FN，所以四边形EFNC为平行四边形，所以CN=EF=\frac{1}{2}AB，即N为CD的中点，易证\triangle BCN\cong \triangle GDN(ASA),所以N为BG的中点.则EN为\triangle PBG的中位线，所以EN\parallel PG，EN=\frac{1}{2}PG.又EF=DN,EF\parallel DN，所以四边形EFDN为平行四边形，所以EN\xlongequal{//} FD，所以FD\parallel PG，所以\triangle FMD∽\triangle GMP，所以\frac{PM}{MD}=\frac{PG}{FD}=\frac{PG}{EN}=2.
$<img_2611>$
图2
$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233484977065987/img/compression/M_9989e00c1530988313f297ec92ff3191.jpg)
$(2)已知M在PD上，满足EC\parallel 平面BFM，求\frac{PM}{MD}的值.$

Solution:
$如图2，延长FM，交AD的延长线于G，连接BG，交CD于N，连接EF，FN，PG，EN.因为E，F分别为棱PB，PA的中点，所以EF是\triangle PAB的中位线，所以EF\parallel AB，EF=\frac{1}{2}AB，因为底面ABCD为平行四边形，所以AB\parallel CD，所以EF\parallel CN，所以E,F,N,C四点共面.又EC\parallel 平面BFM，平面BFM\cap 平面EFNC=FN，所以EC\parallel FN，所以四边形EFNC为平行四边形，所以CN=EF=\frac{1}{2}AB，即N为CD的中点，易证\triangle BCN\cong \triangle GDN(ASA),所以N为BG的中点.则EN为\triangle PBG的中位线，所以EN\parallel PG，EN=\frac{1}{2}PG.又EF=DN,EF\parallel DN，所以四边形EFDN为平行四边形，所以EN\xlongequal{//} FD，所以FD\parallel PG，所以\triangle FMD∽\triangle GMP，所以\frac{PM}{MD}=\frac{PG}{FD}=\frac{PG}{EN}=2.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233485539102721/img/compression/M_61d0dc0eb294981eec44a20690c3a270.jpg)$
图2
$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$<img_2919>
$(1)求证：PA\parallel 平面BDE；$

Solution:
$证明：连接AC，交BD于G，连接GE，如图，$<img_2696>$由四边形ABCD为平行四边形，知G为AC的中点，又E为PC的中点，所以GE\parallel PA，又GE\subset 平面BDE，PA\not\subset 平面BDE，所以PA\parallel 平面BDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197276131520513/img/compression/M_aabac5d07a9f580ade080af4cbbb5393.jpg)
$(1)求证：PA\parallel 平面BDE；$

Solution:
$证明：连接AC，交BD于G，连接GE，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197276446093313/img/compression/M_12f37278921f8407f2a9ca9b3db5c6e5.jpg)$由四边形ABCD为平行四边形，知G为AC的中点，又E为PC的中点，所以GE\parallel PA，又GE\subset 平面BDE，PA\not\subset 平面BDE，所以PA\parallel 平面BDE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$<img_2919>
$(2)求证：F为PD的中点；$

Solution:
$证明：由题设知CD\parallel AB，AB\subset 平面ABEF，CD\not\subset 平面ABEF，所以CD\parallel 平面ABEF，又CD\subset 平面PDC，平面PDC\cap 平面ABEF=EF，所以CD\parallel EF，又E为棱PC的中点，所以F为PD的中点.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197276131520513/img/compression/M_aabac5d07a9f580ade080af4cbbb5393.jpg)
$(2)求证：F为PD的中点；$

Solution:
$证明：由题设知CD\parallel AB，AB\subset 平面ABEF，CD\not\subset 平面ABEF，所以CD\parallel 平面ABEF，又CD\subset 平面PDC，平面PDC\cap 平面ABEF=EF，所以CD\parallel EF，又E为棱PC的中点，所以F为PD的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$<img_2919>
$(3)在棱AB上是否存在点N，使得FN\parallel 平面BDE？若存在，求出\frac{AN}{NB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在点N使得FN\parallel 平面BDE，且\frac{AN}{NB}=1，理由如下：取AB的中点H，连接FH，由题设知BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD且BH\parallel CD，由(2)知EF\parallel CD且EF=\frac{1}{2}CD，所以BH\parallel EF且BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，所以FH\parallel BE，又BE\subset 平面BDE，FH\not\subset 平面BDE，所以FH\parallel 平面BDE，故H点即为所求N点，故AB上存在点N，使得FN\parallel 平面BDE，且\frac{AN}{NB}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197276131520513/img/compression/M_aabac5d07a9f580ade080af4cbbb5393.jpg)
$(3)在棱AB上是否存在点N，使得FN\parallel 平面BDE？若存在，求出\frac{AN}{NB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在点N使得FN\parallel 平面BDE，且\frac{AN}{NB}=1，理由如下：取AB的中点H，连接FH，由题设知BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD且BH\parallel CD，由(2)知EF\parallel CD且EF=\frac{1}{2}CD，所以BH\parallel EF且BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，所以FH\parallel BE，又BE\subset 平面BDE，FH\not\subset 平面BDE，所以FH\parallel 平面BDE，故H点即为所求N点，故AB上存在点N，使得FN\parallel 平面BDE，且\frac{AN}{NB}=1.$

Final answer: $存在点N使得FN\parallel 平面BDE，且\frac{AN}{NB}=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AB\perp AD，CD\perp AD，PA\perp 平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233500661706755/img/compression/M_2e899ff294620dafaf835b3d8a195199.jpg)
$(1)求证：BM\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有EM\parallel CD且EM=\frac{1}{2}CD，\because AB\parallel CD且AB=\frac{1}{2}CD，\therefore AB\parallel EM，AB=EM.\therefore 四边形ABME是平行四边形，即BM\parallel AE.\because AE\subset 平面PAD，BM\not\subset 平面PAD，\therefore BM\parallel 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AB\perp AD，CD\perp AD，PA\perp 平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.$<img_1593>
$(1)求证：BM\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有EM\parallel CD且EM=\frac{1}{2}CD，\because AB\parallel CD且AB=\frac{1}{2}CD，\therefore AB\parallel EM，AB=EM.\therefore 四边形ABME是平行四边形，即BM\parallel AE.\because AE\subset 平面PAD，BM\not\subset 平面PAD，\therefore BM\parallel 平面PAD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AB\perp AD，CD\perp AD，PA\perp 平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.$<img_1593>
$(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN\perp 平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.当N为AE的中点时，MN\perp 平面PBD.\because PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp AB，又AB\perp AD，PA\cap AD＝A，PA，AD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp 平面PAD.\because PD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp PD.\because PA＝AD，E是PD的中点，\therefore AE\perp PD.\because AB\cap AE＝A，AB，AE\subset 平面ABME，\therefore PD\perp 平面ABME.连接BE，作MN\perp BE，交AE于点N，\therefore MN\perp PD，又PD\cap BE＝E，\therefore MN\perp 平面PBD.易知\triangle BME∽\triangle MEN，而BM=\sqrt{2},EM=AB=1，\therefore \frac{BM}{ME}=\frac{EM}{EN}，即EN=\frac{EM^2}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}，又AE=\sqrt{2}，\therefore N为AE的中点.$<img_1558>



Final answer: $N为AE的中点$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，AB\perp AD，CD\perp AD，PA\perp 平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233500661706755/img/compression/M_2e899ff294620dafaf835b3d8a195199.jpg)
$(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN\perp 平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.当N为AE的中点时，MN\perp 平面PBD.\because PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，\therefore PA\perp AB，又AB\perp AD，PA\cap AD＝A，PA，AD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp 平面PAD.\because PD\subset 平面PAD，\therefore AB\perp PD.\because PA＝AD，E是PD的中点，\therefore AE\perp PD.\because AB\cap AE＝A，AB，AE\subset 平面ABME，\therefore PD\perp 平面ABME.连接BE，作MN\perp BE，交AE于点N，\therefore MN\perp PD，又PD\cap BE＝E，\therefore MN\perp 平面PBD.易知\triangle BME∽\triangle MEN，而BM=\sqrt{2},EM=AB=1，\therefore \frac{BM}{ME}=\frac{EM}{EN}，即EN=\frac{EM^2}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}，又AE=\sqrt{2}，\therefore N为AE的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233500909170690/img/compression/M_2727aec273de65500f5fd01007ee4cc3.jpg)

Final answer: $N为AE的中点$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC\parallel 平面DEFG，平面BEF\parallel 平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1.$<img_2892>
$(1)证明：四边形ABED是正方形；$

Solution:
$证明：因为平面ABC\parallel 平面DEFG，平面ABED\cap 平面ABC=AB，平面ABED\cap 平面DEFG=DE，所以由面面平行的性质定理得AB\parallel DE，同理AD\parallel BE.所以四边形ABED为平行四边形.又AB\perp AD，AB=AD，所以平行四边形ABED是正方形.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC\parallel 平面DEFG，平面BEF\parallel 平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233556737667075/img/compression/M_eeee5fb462209ce09fa86df8b02d65d7.jpg)
$(1)证明：四边形ABED是正方形；$

Solution:
$证明：因为平面ABC\parallel 平面DEFG，平面ABED\cap 平面ABC=AB，平面ABED\cap 平面DEFG=DE，所以由面面平行的性质定理得AB\parallel DE，同理AD\parallel BE.所以四边形ABED为平行四边形.又AB\perp AD，AB=AD，所以平行四边形ABED是正方形.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC\parallel 平面DEFG，平面BEF\parallel 平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1.$<img_2892>
$(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由.$

Solution:
$点B，C，F，G共面.理由如下：如图，取DG的中点P，连接PA，PF.$<img_2187>$因为平面BEF\parallel 平面ADGC，平面EFGD\cap 平面BEF=EF，平面EFGD\cap 平面ADGC=DG，所以由面面平行的性质定理得EF\parallel DG，同理AC\parallel DG.因为P为DG的中点，DG=2，EF=1，所以EF\parallel PD，EF=PD，则四边形EFPD为平行四边形，所以DE\parallel PF且DE=PF.又AB\parallel DE，AB=DE，所以AB\parallel PF且AB=PF，所以四边形ABFP为平行四边形，所以AP\parallel BF.因为P为DG的中点，所以PG=\frac{1}{2}DG=1=AC，又因为AC\parallel PG，所以四边形ACGP为平行四边形，所以AP\parallel CG，所以BF\parallel CG.故B，C，F，G四点共面.$



Final answer: $B，C，F，G四点共面$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC\parallel 平面DEFG，平面BEF\parallel 平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233556737667075/img/compression/M_eeee5fb462209ce09fa86df8b02d65d7.jpg)
$(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由.$

Solution:
$点B，C，F，G共面.理由如下：如图，取DG的中点P，连接PA，PF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233557027074050/img/compression/M_25ea0c975356212ae0697b1742b4c56b.jpg)$因为平面BEF\parallel 平面ADGC，平面EFGD\cap 平面BEF=EF，平面EFGD\cap 平面ADGC=DG，所以由面面平行的性质定理得EF\parallel DG，同理AC\parallel DG.因为P为DG的中点，DG=2，EF=1，所以EF\parallel PD，EF=PD，则四边形EFPD为平行四边形，所以DE\parallel PF且DE=PF.又AB\parallel DE，AB=DE，所以AB\parallel PF且AB=PF，所以四边形ABFP为平行四边形，所以AP\parallel BF.因为P为DG的中点，所以PG=\frac{1}{2}DG=1=AC，又因为AC\parallel PG，所以四边形ACGP为平行四边形，所以AP\parallel CG，所以BF\parallel CG.故B，C，F，G四点共面.$

Final answer: $B，C，F，G四点共面$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle DAB=60^\circ ，\angle ADP=90^\circ ，平面ADP\perp 平面ABCD，点F为棱PD的中点.$<img_1644>
$(1)证明：平面FAC\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：因为\angle ADP=90^\circ ，所以PD\perp AD，又平面ADP\perp 平面ABCD，PD\subset 平面ADP，平面ADP\cap 平面ABCD=AD，所以PD\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以PD\perp AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC\perp BD，又PD\cap BD=D，PD，BD\subset 平面PBD，所以AC\perp 平面PBD，因为AC\subset 平面FAC，所以平面FAC\perp 平面PBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle DAB=60^\circ ，\angle ADP=90^\circ ，平面ADP\perp 平面ABCD，点F为棱PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233566166462465/img/compression/M_7371af061860f58f2019ce4db996f5db.jpg)
$(1)证明：平面FAC\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：因为\angle ADP=90^\circ ，所以PD\perp AD，又平面ADP\perp 平面ABCD，PD\subset 平面ADP，平面ADP\cap 平面ABCD=AD，所以PD\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以PD\perp AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC\perp BD，又PD\cap BD=D，PD，BD\subset 平面PBD，所以AC\perp 平面PBD，因为AC\subset 平面FAC，所以平面FAC\perp 平面PBD.$

Final answer: 证明题