di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267983310508034/img/compression/M_14917902953b69ccb30d6ef763b38e5a.jpg)
$求证：AB\parallel FG；$

Solution:
$证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB\parallel DE.又因为AB不在平面PDE，DE在平面PDE,所以AB\parallel 平面PDE.因为AB在平面ABF，且平面ABF与平面PDE的交线为FG，所以AB\parallel FG.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，M,N,P分别为AB,BC,A_1B_1的中点.$
<img_2257>
$求证：BP\parallel 平面C_1MN；$

Solution:
$证明:连接MA_1.  $
$因为M,N分别为AB,BC的中点，所以MN‖AC.  $
$在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC‖A_1C_1,  $
$所以MN‖A_1C_1，M,N,C_1,A_1四点共面.  $
$因为AB‖A_1B_1，AB=A_1B_1，M,P分别为AB,A_1B_1的中点，所以BM‖A_1P，BM=A_1P,  $
$所以四边形PBMA_1为平行四边形.所以BP‖MA_1.  $
$因为BP\not\subset 平面C_1MN，MA_1\subset 平面C_1MN，  $
$所以BP‖平面C_1MN.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，M,N,P分别为AB,BC,A_1B_1的中点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267992495419394/img/compression/M_161862645764746fbf2a3a3bd0978adf.jpg)
$求证：BP\parallel 平面C_1MN；$

Solution:
$证明:连接MA_1.  $
$因为M,N分别为AB,BC的中点，所以MN‖AC.  $
$在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC‖A_1C_1,  $
$所以MN‖A_1C_1，M,N,C_1,A_1四点共面.  $
$因为AB‖A_1B_1，AB=A_1B_1，M,P分别为AB,A_1B_1的中点，所以BM‖A_1P，BM=A_1P,  $
$所以四边形PBMA_1为平行四边形.所以BP‖MA_1.  $
$因为BP\not\subset 平面C_1MN，MA_1\subset 平面C_1MN，  $
$所以BP‖平面C_1MN.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

<img_2514>
$求证：AF\parallel DE；$

Solution:
$证明：因为平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，且平面ABF\cap 平面ADEF=AF，平面CDE\cap 平面ADEF=DE，所以AF\parallel DE.(面面平行的性质定理)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE \perp 平面ABCD，平面ABF \parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，AB=DE=2，AF=1.  $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267993988591619/img/compression/M_b387bcf035e40acaf94c1267fb227f28.jpg)
$求证：AF\parallel DE；$

Solution:
$证明：因为平面ABF\parallel 平面CDE，A，D，E，F四点共面，且平面ABF\cap 平面ADEF=AF，平面CDE\cap 平面ADEF=DE，所以AF\parallel DE.(面面平行的性质定理)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AA_1=AD=2，BD_1和B_1D交于点E，F为AB的中点.$

<img_1590>
$求证：EF\parallel 平面ADD_1A_1.$

Solution:
$证明：连接AD_1，B_1D_1，BD，如图1.$

<img_1524>

$因为长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，BB_1\parallel DD_1且BB_1=DD_1，所以四边形BB_1D_1D为平行四边形.$

$又BD_1与B_1D交于点E,所以E为BD_1的中点，$
$在\triangle ABD_1中，因为E，F分别为BD_1和AB的中点，$
$所以EF\parallel AD_1.$

$因为EF\not\subset 平面ADD_1A_1，AD_1\subset 平面ADD_1A_1，$
$所以EF\parallel 平面ADD_1A_1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AA_1=AD=2，BD_1和B_1D交于点E，F为AB的中点.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267994991030274/img/compression/M_2e96e14696120933cbae81b58bee56ff.jpg)
$求证：EF\parallel 平面ADD_1A_1.$

Solution:
$证明：连接AD_1，B_1D_1，BD，如图1.$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267997214011394/img/compression/M_ce37297077df0f763000b288defabe35.jpg)

$因为长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，BB_1\parallel DD_1且BB_1=DD_1，所以四边形BB_1D_1D为平行四边形.$

$又BD_1与B_1D交于点E,所以E为BD_1的中点，$
$在\triangle ABD_1中，因为E，F分别为BD_1和AB的中点，$
$所以EF\parallel AD_1.$

$因为EF\not\subset 平面ADD_1A_1，AD_1\subset 平面ADD_1A_1，$
$所以EF\parallel 平面ADD_1A_1.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
![16GZTWS48.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267923176771587/img/compression/M_65716bf14b67aa697d053b9607edff06.jpg)
$求证：VB\parallel 平面MOC；$

Solution:
$证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，$
$所以OM\parallel VB.又因为VB\not\subset 平面MOC，OM\subset 平面MOC，所以VB\parallel 平面MOC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
<img_123>
$求证：VB\parallel 平面MOC；$

Solution:
$证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，$
$所以OM\parallel VB.又因为VB\not\subset 平面MOC，OM\subset 平面MOC，所以VB\parallel 平面MOC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
![16GZTWS48.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267923176771587/img/compression/M_65716bf14b67aa697d053b9607edff06.jpg)
求证：平面MOC垂直平面VAB；

Solution:
$证明：因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC \perp AB.$

$又因为平面VAB \perp平面ABC，平面VAB \cap平面ABC=AB，且OC \subset平面ABC，所以OC \perp平面VAB.$

$因为OC \subset平面MOC，所以平面MOC \perp平面VAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB\perp 平面ABC，\triangle VAB为等边三角形，AC\perp BC且AC=BC=\sqrt{2}，O，M分别为AB，VA的中点.$
<img_123>
求证：平面MOC垂直平面VAB；

Solution:
$证明：因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC \perp AB.$

$又因为平面VAB \perp平面ABC，平面VAB \cap平面ABC=AB，且OC \subset平面ABC，所以OC \perp平面VAB.$

$因为OC \subset平面MOC，所以平面MOC \perp平面VAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO.$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268008944103427/img/compression/M_fa2785ceeb7784ada317ae8f0710e744.jpg)
$证明：PA\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：设DO=a,由题设可得PO=\frac{\sqrt{6}}{6}a,由题知\bigtriangleup DAE是等边三角形，故AO=\frac{\sqrt{3}}{3}a,易知AB=a，PA=PB=PC=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$
$因此PA^2+PB^2=AB^2，从而PA\perp PB.$
$又PA^2+PC^2=AC^2，故PA\perp PC.$
$所以PA\perp平面PBC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO.$

<img_336>
$证明：PA\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：设DO=a,由题设可得PO=\frac{\sqrt{6}}{6}a,由题知\bigtriangleup DAE是等边三角形，故AO=\frac{\sqrt{3}}{3}a,易知AB=a，PA=PB=PC=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$
$因此PA^2+PB^2=AB^2，从而PA\perp PB.$
$又PA^2+PC^2=AC^2，故PA\perp PC.$
$所以PA\perp平面PBC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA \perp  AB，PA \perp  BC，AB \perp  BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$
<img_2960>
$求证：PA \perp BD；$

Solution:
$证明：因为PA \perp AB，PA \perp BC，$
$又AB \cap BC= B，所以PA \perp平面 ABC.$
$又BD \subset 平面 ABC，所以PA \perp BD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA \perp  AB，PA \perp  BC，AB \perp  BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010898649091/img/compression/M_fde24ce6c175984056260619bbe5a463.jpg)
$求证：PA \perp BD；$

Solution:
$证明：因为PA \perp AB，PA \perp BC，$
$又AB \cap BC= B，所以PA \perp平面 ABC.$
$又BD \subset 平面 ABC，所以PA \perp BD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，A_1C\perp 平面ABC，\angle ACB=90^\circ .$
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268012463124483/img/compression/M_a8025f4f82f5b0cead8d41759ec1f9a1.jpg)
$证明：平面 ACC_1A_1\perp 平面 BB_1C_1C；$

Solution:
$证明：\because A_1C\perp 平面ABC，BC\subset 平面ABC，$
$\therefore A_1C\perp BC.\because \angle ACB=90^\circ ,\therefore AC\perp BC,$
$又\because A_1C,AC\subset 平面ACC_1A_1,且A_1C\cap AC=C,$
$\therefore BC\perp 平面ACC_1A_1，又\because BC\subset 平面BB_1C_1C,$
$\therefore 平面ACC_1A_1\perp 平面BB_1C_1C.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，A_1C\perp 平面ABC，\angle ACB=90^\circ .$
<img_11>
$证明：平面 ACC_1A_1\perp 平面 BB_1C_1C；$

Solution:
$证明：\because A_1C\perp 平面ABC，BC\subset 平面ABC，$
$\therefore A_1C\perp BC.\because \angle ACB=90^\circ ,\therefore AC\perp BC,$
$又\because A_1C,AC\subset 平面ACC_1A_1,且A_1C\cap AC=C,$
$\therefore BC\perp 平面ACC_1A_1，又\because BC\subset 平面BB_1C_1C,$
$\therefore 平面ACC_1A_1\perp 平面BB_1C_1C.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=BC=1，AA_1=2，AC \perp BC，D是AA_1的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268028633542657/img/compression/M_27c9272c7d8c576df0713380b7d9c3fe.jpg)
$证明：C_1D \perp 平面 BCD；$

Solution:
$证明：由直三棱柱ABC-A_1B_1C_1可知BC\perp CC_1,又因为AC\perp BC,且AC\cap CC_1=C,  $
$所以BC\perp 平面CC_1A_1A.  $
$又因为C_1D\subset 平面CC_1A_1A,所以BC\perp C_1D.  $
$在矩形CC_1A_1A中，AD=DA_1=1,AC=A_1C_1=1,CC_1=2,所以DC_1=\sqrt{2},DC=\sqrt{2}.  $
$可得C_1C^2=C_1D^2+CD^2,所以C_1D\perp CD.  $
$又因为BC\cap CD=C,BC,CD\subset 平面BCD,  $
$所以C_1D\perp 平面BCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=BC=1，AA_1=2，AC \perp BC，D是AA_1的中点.$
<img_183>
$证明：C_1D \perp 平面 BCD；$

Solution:
$证明：由直三棱柱ABC-A_1B_1C_1可知BC\perp CC_1,又因为AC\perp BC,且AC\cap CC_1=C,  $
$所以BC\perp 平面CC_1A_1A.  $
$又因为C_1D\subset 平面CC_1A_1A,所以BC\perp C_1D.  $
$在矩形CC_1A_1A中，AD=DA_1=1,AC=A_1C_1=1,CC_1=2,所以DC_1=\sqrt{2},DC=\sqrt{2}.  $
$可得C_1C^2=C_1D^2+CD^2,所以C_1D\perp CD.  $
$又因为BC\cap CD=C,BC,CD\subset 平面BCD,  $
$所以C_1D\perp 平面BCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
$求证：AM \perp 平面 PBD；$

Solution:
$证明：因为AD=2\sqrt{2}，DC=2，M为BC的中点，所以\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}=\sqrt{2}，$

$因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，$

$所以\angle DAB=\angle MBA=\frac{\pi }{2}，$

$所以Rt\triangle DAB∽Rt\triangle ABM，所以\angle DBA=\angle AMB，$

$而\angle MBD+\angle DBA=\frac{\pi }{2}，所以\angle MBD+\angle AMB=\frac{\pi }{2}，所以AM\perp DB，$

$因为PD\perp 底面ABCD，AM\subset 底面ABCD，$

$所以PD\perp AM，而DB，PD\subset 平面PBD，DB\cap PD=D，$

$所以AM\perp 平面PBD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
<img_2508>
$求证：AM \perp 平面 PBD；$

Solution:
$证明：因为AD=2\sqrt{2}，DC=2，M为BC的中点，所以\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}=\sqrt{2}，$

$因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，$

$所以\angle DAB=\angle MBA=\frac{\pi }{2}，$

$所以Rt\triangle DAB∽Rt\triangle ABM，所以\angle DBA=\angle AMB，$

$而\angle MBD+\angle DBA=\frac{\pi }{2}，所以\angle MBD+\angle AMB=\frac{\pi }{2}，所以AM\perp DB，$

$因为PD\perp 底面ABCD，AM\subset 底面ABCD，$

$所以PD\perp AM，而DB，PD\subset 平面PBD，DB\cap PD=D，$

$所以AM\perp 平面PBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AD=AA_1=1, AB=2，点E在线段AB上.$
![23BBJ5SX22.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037139591170/img/compression/M_47f8965fa7093dcdfde6c127d5590fa1.jpg)
$证明： A_1D \perp D_1E；$

Solution:
$证明：连接AD_1，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB \perp 平面A_1ADD_1，A_1D包含在平面A_1ADD_1，所以AB \perp A_1D.$



$因为AD=AA_1=1，所以四边形A_1ADD_1是正方形，$
$所以AD_1 \perp A_1D，$
$又AB与AD_1交于点A，所以A_1D \perp平面AD_1E.$



$又D_1E包含在平面AD_1E，所以A_1D \perp D_1E.$



$(说明：将E取为中点或其他特殊点，如果证明过程正确，则最多给3分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AD=AA_1=1, AB=2，点E在线段AB上.$
<img_76>
$证明： A_1D \perp D_1E；$

Solution:
$证明：连接AD_1，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB \perp 平面A_1ADD_1，A_1D包含在平面A_1ADD_1，所以AB \perp A_1D.$



$因为AD=AA_1=1，所以四边形A_1ADD_1是正方形，$
$所以AD_1 \perp A_1D，$
$又AB与AD_1交于点A，所以A_1D \perp平面AD_1E.$



$又D_1E包含在平面AD_1E，所以A_1D \perp D_1E.$



$(说明：将E取为中点或其他特殊点，如果证明过程正确，则最多给3分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2。\triangle PAD为等边三角形，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$
![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038527905795/img/compression/M_f7e3254b1f2bc08925f42f53ecb8b3ab.jpg)
$求证：PE \perp AB；$

Solution:
$证明：因为\triangle PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE\perp AD.$
$因为平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PE\subset 平面PAD,所以PE\perp 平面ABCD.$
$因为AB\subset 平面ABCD，所以PE\perp AB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2。\triangle PAD为等边三角形，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$
<img_2714>
$求证：PE \perp AB；$

Solution:
$证明：因为\triangle PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE\perp AD.$
$因为平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PE\subset 平面PAD,所以PE\perp 平面ABCD.$
$因为AB\subset 平面ABCD，所以PE\perp AB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$
<img_1667>
$求证: AC \perp  平面 PAB;$

Solution:
$证明:取BC中点E，连接AE，易知四边形ADCE为正方形，且AC=\sqrt{2}，AE=1，AB=\sqrt{2}，所以BC^2=AB^2+AC^2,所以AB\perp AC,因为PA\perp 底面ABCD,AC\subset 底面ABCD，所以PA\perp AC,又PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$
![23BBJ5SX233.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040050438147/img/compression/M_035c74d0e7028d54de1899bf73f92205.jpg)
$求证: AC \perp  平面 PAB;$

Solution:
$证明:取BC中点E，连接AE，易知四边形ADCE为正方形，且AC=\sqrt{2}，AE=1，AB=\sqrt{2}，所以BC^2=AB^2+AC^2,所以AB\perp AC,因为PA\perp 底面ABCD,AC\subset 底面ABCD，所以PA\perp AC,又PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB，所以AC\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知定义域为R的函数f(x)=\frac{-2^x+a}{2^x+1}是奇函数.$
$用定义证明函数f(x)在R上为减函数；$

Solution:
$任取x_1,x_2\in R且x_1<x_2，所以f(x_1)-f(x_2)=\frac{1-2^{x_1}}{1+2^{x_1}}-\frac{1-2^{x_2}}{1+2^{x_2}}=\frac{(1-2^{x_1})(1+2^{x_2})-(1-2^{x_2})(1+2^{x_1})}{(1+2^{x_1})(1+2^{x_2})}=\frac{2(2^{x_2}-2^{x_1})}{(1+2^{x_1})(1+2^{x_2})}，因为x_1<x_2，所以2^{x_2}-2^{x_1}>0，$
$又(1+2^{x_1})(1+2^{x_2})>0，$
$所以f(x_1)-f(x_2)=\frac{2(2^{x_2}-2^{x_1})}{(1+2^{x_1})(1+2^{x_2})}>0，$
$所以f(x_1)>f(x_2)，所以函数f(x)在R上为减函数.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = ln x - \frac{a}{x}．$
$若a>0，证明：f(x)在定义域内是增函数；$

Solution:
$证明：由题意知f(x)的定义域为(0，+\infty )，f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}．\because a\gt 0，\therefore f'(x)\gt 0，$
$故f(x)在(0，+\infty )上是增函数．$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $已知函数f(x)=a\ln x-\sqrt{x}+1(x>0)，a \in R。$
$假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81，若其10次投篮全部命中的概率为p，证明：p < e^{-2}。$

Solution:
$由题意可得p=0.81^{10}，由(2)可知，当a=\frac{1}{2}时，\frac{\mathrm{ln} x}{2}-\sqrt{x}+1\leq 0，即ln x\leq 2(\sqrt{x}-1)，所以ln 0.81^{10}=10ln 0.81<20(\sqrt{0.81}-1)=-2，因此，p<e^{-2}。$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=e^{x}-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值。$
$证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.$

Solution:
证明：由(1)知, 
$f(x)=e^{x}-x, g(x)=x-ln x$
$当x<0时, f(x)单调递减，当x>0时， f(x)单调递增；$
$当0<x<1时，g(x)单调递减，当x>1时,g(x)单调递增.$

$不妨设直线y=b与y=f(x)的图象的两交点的横坐标分别为x_{1}，x_{2}，与y=g(x)的图象的两交点的横坐标分别为x_{2}，x_{3}，且x_{1}<x_{2}<x_{3}.则e^{x_{1}}-x_{1}=e^{x_{2}}-x_{2}=x_{2}-ln x_{2}=x_{3}-ln x_{3}，$

由此有
$e^{x_{1}}-x_{1}=x_{2}-ln x_{2}=e^{ln x_{2}}-ln x_{2}.$
$易知x_{1}\in(-\infty,0)，x_{2}\in(0,1)，则ln x_{2}\in(-\infty,0)，$

$又f(x)在(-\infty,0)上单调递减，$
故有
$x_{1}=ln x_{2}，同理x_{2}=ln x_{3}，x_{3}=e^{x_{2}}.$

$又e^{x_{2}}-x_{2}=x_{2}-ln x_{2}，由此得$
$ln x_{2}+e^{x_{2}}=2x_{2}.$
综合上述推理，我们有
$x_{1}+x_{3}=ln x_{2}+e^{x_{2}}=2x_{2}.$
$所以x_{1}，x_{2}，x_{3}成等差数列.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{e^x}{x}-lnx+x-a.$
$证明：若f(x)有两个零点x_1, x_2，则x_1x_2 < 1.$

Solution:
$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-ln x+x-a=e^{x-ln x}+x-ln x-a,$
$设t=x-ln x,则y=e^t+t-a, y'=e^t+1.$
$\because f(x)有两个零点x_1,x_2,\therefore 由(1)知a>e＋1.$
$\because y'=e^t+1>0,\therefore y=e^t+t-a为增函数，$
$\therefore x_1-ln x_1=x_2-ln x_2.$
$由t=x-ln x得t'_{ }=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}, 令t'=0，得x=1,$
$t,t'的变化情况如下：$

| x | (0,1) | 1 | $(1,+\infty )$ |
|---|-------|---|--------|
| t' | - | 0 | + |
| t | $\text{单调递减}$ | 1 | $\text{单调递增}$ |

$证法一：不妨设0<x_1<1< x_2,$
$\therefore x_2-x_1=ln x_2-ln x_1.$
$可以证明：\frac{x_2-x_1}{\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1}>\sqrt{x_1x_2}, 则有\sqrt{x_1x_2}<1, 所以x_1x_2<1.$
$证明如下：\because \frac{x_2-x_1}{\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1}>\sqrt{x_1x_2}  等价于\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_1x_2}}>ln \frac{x_2}{x_1},$
$\therefore 只需证\frac{\frac{x_2}{x_1}-1}{\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}}>ln \frac{x_2}{x_1}.$
$设m=\frac{x_2}{x_1}(m>1), 从而只要证\frac{m-1}{\sqrt{m}}>ln m(m>1).$
$设g(m)=\frac{m-1}{\sqrt{m}}-ln m(m>1),$
$则g'(m)=\frac{2m-m+1}{2m\sqrt{m}}-\frac{1}{m}=\frac{(\sqrt{m}-1)^2}{2m\sqrt{m}},$
$\because g'(m)>0,\therefore g(m)在(1,+\infty )上单调递增，$
$\therefore g(m)>g(1)=0,$
$\therefore \frac{x_2-x_1}{\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1}>\sqrt{x_1x_2}成立.$
$故x_1x_2<1.$
$证法二：不妨设0<x_1<1<x_2, F(x)=f(x)-f(\frac{1}{x}), 0<x<1,$
$则F'(x)=f' (x)+\frac{1}{x^2} f'(\frac{1}{x})=\frac{x-1}{x^2}(e^x+x)+\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x^2}}\cdot (\mathrm{e}^\frac{1}{x}+\frac{1}{x})=\frac{x-1}{x^2}(e^x+x-1-x \mathrm{e} ^{\frac{1}{x}}).$
$设\phi (x)=e^x+x-1-x \mathrm{e} ^{\frac{1}{x}}, x\in (0,1),$
$则\phi '(x)=e^x+1-(\mathrm{e}^\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\mathrm{e}^\frac{1}{x})=e^x+1- \mathrm{e} ^{\frac{1}{x}}(1-\frac{1}{x})=e^x+1+ \mathrm{e} ^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1-x}{x}.$
$\because 0<x<1, \therefore \phi '(x)>0, \therefore \phi (x)在(0,1)上单调递增,$
$\therefore \phi (x)<\phi (1)=0, 又\frac{x-1}{x^2}<0, \therefore F'(x)>0,$
$\therefore F(x)在(0,1)上单调递增.$
$\therefore F(x)<F(1)=0, \therefore f(x)<f(\frac{1}{x}).$
$\therefore f(x_2)=f(x_1)<f(\frac{1}{x_1}).$
$由(1)可知, f(x)在(1,+\infty )上单调递增,$
$\because x_2>1, \frac{1}{x_1}>1, \therefore x_2<\frac{1}{x_1},$
$\therefore x_1x_2<1.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=a\ln(x+2)+\frac{x^2}{2}-2x，其中a为非零实数. a<0$
$求f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为(-2,+\infty )，f'(x) = \frac{a}{x+2} + x - 2 = \frac{x^2+(a-4)}{x+2}$

$①当a - 4 > 0，即a > 4时，f'(x) > 0，函数f(x)在(-2,+\infty )上单调递增。$

$②当-4 < a - 4 < 0，即0 < a < 4时，令f '(x) = 0，得x_1 = -\sqrt{4-a} > -2，x_2 = \sqrt{4-a}，$
$则当x \in  (-2, -\sqrt{4-a}) \cup  (\sqrt{4-a} ,+\infty )时，f'(x)>0，当x \in  (-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})时，f'(x)<0，$
$故f(x)在(-2, -\sqrt{4-a})和(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增，在(-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})上单调递减。$

$③当a < 0时，x_1 = -\sqrt{4-a} < -2，舍去，x_2 = \sqrt{4-a}，$
$则当x \in  (\sqrt{4-a} ,+\infty )时，f'(x) > 0，当x \in  (-2, \sqrt{4-a})时，f'(x) < 0，$
$所以f(x)在(-2, \sqrt{4-a})上单调递减，在(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增.$

综上所述：

$当a > 4时，f(x)在(-2,+\infty )上单调递增；$
$当0 < a < 4时，f(x)在(-2, -\sqrt{4-a})和(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增，在(-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})上单调递减；$
$当a < 0时，f(x)在(-2, \sqrt{4-a})上单调递减，在(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增.$



Final answer: (\sqrt{4-a} ,+\infty )
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=a\ln(x+2)+\frac{x^2}{2}-2x，其中a为非零实数.$
$讨论f(x)的单调性；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为(-2,+\infty )，f'(x) = \frac{a}{x+2} + x - 2 = \frac{x^2+(a-4)}{x+2}$

$①当a - 4 > 0，即a > 4时，f'(x) > 0，函数f(x)在(-2,+\infty )上单调递增。$

$②当-4 < a - 4 < 0，即0 < a < 4时，令f '(x) = 0，得x_1 = -\sqrt{4-a} > -2，x_2 = \sqrt{4-a}，$
$则当x \in  (-2, -\sqrt{4-a}) \cup  (\sqrt{4-a} ,+\infty )时，f'(x)>0，当x \in  (-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})时，f'(x)<0，$
$故f(x)在(-2, -\sqrt{4-a})和(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增，在(-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})上单调递减。$

$③当a < 0时，x_1 = -\sqrt{4-a} < -2，舍去，x_2 = \sqrt{4-a}，$
$则当x \in  (\sqrt{4-a} ,+\infty )时，f'(x) > 0，当x \in  (-2, \sqrt{4-a})时，f'(x) < 0，$
$所以f(x)在(-2, \sqrt{4-a})上单调递减，在(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增.$

综上所述：

$- 当a > 4时，f(x)在(-2,+\infty )上单调递增；$
$- 当0 < a < 4时，f(x)在(-2, -\sqrt{4-a})和(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增，在(-\sqrt{4-a}, \sqrt{4-a})上单调递减；$
$- 当a < 0时，f(x)在(-2, \sqrt{4-a})上单调递减，在(\sqrt{4-a} ,+\infty )上单调递增.$

Final answer: 证明题。
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=a\ln(x+2)+\frac{x^2}{2}-2x，其中a为非零实数.$
$若f(x)有两个极值点x_1,x_2，且x_1 < x_2，证明：f(-x_1)+f(x_2) > 2x_1.$

Solution:
$证明：因为 f(x) 有两个极值点 x_1,x_2，由(1)知 0<a<4，x_1=-\sqrt{4-a}, x_2=\sqrt{4-a}，$
$所以 x_1+x_2=0,x_1x_2=a-4, 且 x_2 \in (0,2)，a=x_1x_2+4，$
$因为 x_1+x_2=0，所以 x_2=-x_1，所以 f(-x_1)=f(x_2)，a=x_1x_2+4=4-x_2^2，$
$要证 f(-x_1)+f(x_2)>2x_1 \Leftrightarrow  2f(x_2)-2x_1>0 \Leftrightarrow  f(x_2)+x_2>0$
$\Leftrightarrow  aln(x_2+2)+\frac{x_2^2}{2}-x_2>0 \Leftrightarrow  (4-x_2^2)ln(x_2+2)+\frac{x_2^2}{2}-x_2>0$
$\Leftrightarrow  (2+x_2)ln(x_2+2)-\frac{x_2}{2}>0，$
$令 g(x)=(2+x)ln(x+2)-\frac{x}{2} (0<x<2)，$
$则 g'(x)=ln(x+2)+\frac{1}{2}>ln 2+\frac{1}{2}>0，$
$所以 g(x) 在(0,2)上单调递增，且 g(0)=2ln 2>0，$
$故 g(x)>g(0)>0，即 f(-x_1)+f(x_2)>2x_1.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ae^{x}-\ln{x}-1.$
$证明：当a\geq \frac{1}{\mathrm{e}}时， f(x)\geq 0.$

Solution:
$证明：当a\geq \frac{1}{e}时，f(x)\geq \frac{e^x}{e}-ln x-1. $

$设g(x)=\frac{e^x}{e}-ln x-1，则g'x=\frac{e^x}{e}-\frac{1}{x}.$

$当0<x<1时，g'(x)<0；当x>1时,g'(x)>0.$

$所以x=1是g(x)的最小值点.$

$故当x>0时，g(x)\geq g(1)=0.$

$因此，当a\geq \frac{1}{e}时， f(x)\geq 0.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x) = e^{x} + ax^2 - x.$
$当a=1时，讨论f(x)的单调性；$

Solution:
$当a=1时， f(x)=e^{x}+x^{2}-x， f' (x)=e^{x}+2x-1。因为f' (x)=e^{x}+2x-1在R上单调递增，且f' (0)=0，所以当x\in (-\infty ,0)时， f' (x)<0；当x\in (0,+\infty )时，f' (x)>0。所以f(x)在(-\infty ,0)单调递减，在(0，+\infty )单调递增.$

Final answer: 证明题
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x) = e^{x} + ax^2 - x.$
$当a=1时，求f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$当a=1时， f(x)=e^{x}+x^{2}-x， f' (x)=e^{x}+2x-1。因为f' (x)=e^{x}+2x-1在R上单调递增，且f' (0)=0，所以当x\in (-\infty ,0)时， f' (x)<0；当x\in (0,+\infty )时，f' (x)>0。所以f(x)在(-\infty ,0)单调递减，在(0，+\infty )单调递增.$



Final answer: (0，+\infty )
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1)-\lambda x.$
$设n\in\mathbb{N}^，证明：1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}<\ln 2.$

Solution:
$证明：由(1)可知，当x>0时，有(x+1)ln(x+1)-x>0，即\frac{1}{1+\frac{1}{x}}<ln(x+1)，令x=\frac{1}{n}，n\in N^，$
$则\frac{1}{1+n}<ln\left(\frac{1}{n}+1\right)=ln \frac{n+1}{n}=ln(n+1)-ln n，$
$所以\frac{1}{n+1}<ln(n+1)-ln n，\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)，\ldots \ldots ，\frac{1}{2n}<ln(2n)-ln(2n-1)，$
$将以上不等式左、右两边分别相加，得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}<ln(2n)-ln n=ln 2，$
$所以1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
$=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$
$=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)$
$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}<ln 2.$
Subfield: Sequence


Question: $已知函数f(x)=xe^{ax}-e^{x}.$
$设n \in N^，证明：$

$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > \ln(n+1)$

Solution:
解析：

$证明：构造函数 h(x)=x-\frac{1}{x}-2lnx(x>1), 则 h'(x)=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{x^2-2x+1}{x^2}=\frac{(x-1)^2}{x^2},$

$易知 h'(x)>0, 故 h(x) 在 (1,+\infty ) 上单调递增，所以 h(x)>h(1)=0, 故 x-\frac{1}{x}>2lnx,$

$令 x=\sqrt{1+\frac{1}{n}}, 则有 \sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}>2ln\sqrt{1+\frac{1}{n}},$

$所以 \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > ln \frac{n+1}{n},$

$所以 \frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > ln \frac{2}{1}+ln \frac{3}{2}+\ldots +ln \frac{n+1}{n}=ln(n+1). 原式得证.$
Subfield: Inequality


Question: $函数f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2$
$证明： f(x)+|f(x)-2| \geq 2；$

Solution:
$证明：因为f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2 \geq 0，$
$所以f(x) + |f(x) - 2| = |f(x)| + |2 - f(x)| \geq  |f(x) + 2 - f(x)| =2.$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2x+3|-|2x-1|.$

<img_7>
画出y=f(x)和y=g(x)的图象；

Solution:
$依题意，可得 f(x)=\begin{cases} x-2, & (x\geq 2),\\ 2-x, & (x<2), \end{cases}$

$g(x)=\begin{cases}-4, & (x<-3/2),\\ 4x+2, & (-3/2\leq x<1/2),\\ 4, & (x\geq 1/2).\end{cases}$

$画出 f(x) 与 g(x) 的图象，如下：$

<img_117>
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2x+3|-|2x-1|.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284081498116097/img/compression/M_7b783248a580097de460efd3fa9b5458.jpg)
画出y=f(x)和y=g(x)的图象；

Solution:
$依题意，可得 f(x)=\begin{cases} x-2, & (x\geq 2),\\ 2-x, & (x<2), \end{cases}$

$g(x)=\begin{cases}-4, & (x<-3/2),\\ 4x+2, & (-3/2\leq x<1/2),\\ 4, & (x\geq 1/2).\end{cases}$

$画出 f(x) 与 g(x) 的图象，如下：$

![22GZTLSX16答案.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284081074491393/img/compression/M_da00270ec5cea7849f07af077f73f568.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_1EF的位置，得到五棱锥A_1－BCDFE，如图2.$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_1c5157c5d4993a264a37144c65ef4598.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_d97357ee57f6ddf3c558aed8708d35c6.jpg)
$求证：EF\perp平面A_1HC。$

Solution:
$证明：\because 在题图1中，AC \perp BD，EF \parallel BD，$
$\therefore AC \perp EF，\therefore 在题图2中，EF \perp A_1H,EF \perp HC，$
$又A_1H \cap HC = H，A_1H，HC \subset 平面 A_1HC，\therefore EF \perp 平面 A_1HC。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_1EF的位置，得到五棱锥A_1－BCDFE，如图2.$

<img_2832>

<img_2080>
$求证：EF\perp平面A_1HC。$

Solution:
$证明：\because 在题图1中，AC \perp BD，EF \parallel BD，$
$\therefore AC \perp EF，\therefore 在题图2中，EF \perp A_1H,EF \perp HC，$
$又A_1H \cap HC = H，A_1H，HC \subset 平面 A_1HC，\therefore EF \perp 平面 A_1HC。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
$求证：AC\perp 平面BDE；$

Solution:
$证明:在三棱柱ABC- A_1B_1C_1中，D，E分别为AC，A_1C_1的中点，\therefore DE\parallel AA_1，$

$\because AA_1\perp 平面ABC，\therefore DE\perp 平面ABC，$

$\because AC\subset 平面ABC，\therefore DE\perp AC，$

$在\triangle ABC中，AB=BC，D为AC的中点，\therefore AC\perp BD，$

$\because DE\cap BD = D，DE，BD\subset 平面BDE，\therefore AC\perp 平面BDE.$

Final answer: 证明题