di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $某市政府为优化公园环境，方便市民休闲活动，计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型(该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成)及尺寸(单位：米)如图所示.$<img_1954>$
注：\sqrt{0.1}\approx 0.32，结果精确到0.01.$
$(1)浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土(钢筋体积略去不计)？$

Solution:
$由题意，该预制件是由一个长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱EFGH-E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}后剩下的几何体，则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，(2分)易知S_{多边形ABCDEFGH}=0.6\times 1.1-\frac{1}{2}\times (0.5+0.3)\times 0.3=0.54(平方米)，所以V_{混凝土}=S_{多边形ABCDEFGH}\cdot AA_{1}=0.54\times 21=11.34(立方米)，故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米的混凝土.(5分)$

Final answer: $11.34$ m^3
Subfield: Solid Geometry


Question: $某市政府为优化公园环境，方便市民休闲活动，计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型(该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成)及尺寸(单位：米)如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310069637578755/img/compression/M_343370a7c49a055dff6a3e316d56b4e2.jpg)$
注：\sqrt{0.1}\approx 0.32，结果精确到0.01.$
$(1)浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土(钢筋体积略去不计)？$

Solution:
$由题意，该预制件是由一个长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱EFGH-E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}后剩下的几何体，则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，(2分)易知S_{多边形ABCDEFGH}=0.6\times 1.1-\frac{1}{2}\times (0.5+0.3)\times 0.3=0.54(平方米)，所以V_{混凝土}=S_{多边形ABCDEFGH}\cdot AA_{1}=0.54\times 21=11.34(立方米)，故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米的混凝土.(5分)$

Final answer: $11.34$ m^3
Subfield: Solid Geometry


Question: $某市政府为优化公园环境，方便市民休闲活动，计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型(该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成)及尺寸(单位：米)如图所示.$<img_1954>$
注：\sqrt{0.1}\approx 0.32，结果精确到0.01.$
$(2)为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液(假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定)，为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积.$

Solution:
$由(1)可知，该预制件底面面积为2S_{多边形ABCDEFGH}=2\times 0.54=1.08(平方米)，其余侧面均为长方形，且AB=CD=0.6米，BC=1.1米，EF=GH=\sqrt{{0.1}^2+{0.3}^2}=\sqrt{0.1}\approx 0.32(米)，AH=DE=FG=0.3米，(7分)所有侧面面积之和为(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)\times AA_{1}=(0.6+1.1+0.6+0.3\times 3+0.32\times 2)\times 21=80.64(平方米)，所以该预制件的表面积是1.08+80.64=81.72(平方米).(10分)$

Final answer: $81.72$ m^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $某市政府为优化公园环境，方便市民休闲活动，计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型(该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成)及尺寸(单位：米)如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310069637578755/img/compression/M_343370a7c49a055dff6a3e316d56b4e2.jpg)$
注：\sqrt{0.1}\approx 0.32，结果精确到0.01.$
$(2)为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液(假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定)，为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积.$

Solution:
$由(1)可知，该预制件底面面积为2S_{多边形ABCDEFGH}=2\times 0.54=1.08(平方米)，其余侧面均为长方形，且AB=CD=0.6米，BC=1.1米，EF=GH=\sqrt{{0.1}^2+{0.3}^2}=\sqrt{0.1}\approx 0.32(米)，AH=DE=FG=0.3米，(7分)所有侧面面积之和为(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)\times AA_{1}=(0.6+1.1+0.6+0.3\times 3+0.32\times 2)\times 21=80.64(平方米)，所以该预制件的表面积是1.08+80.64=81.72(平方米).(10分)$

Final answer: $81.72$ m^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点.$<img_1493>
$(1)证明：E，F，D，B四点共面；$

Solution:
$证明：连接EF，BD，B_{1}D_{1}.\because E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点，\therefore EF\parallel B_{1}D_{1}.
(2分)
易知BB_{1}与DD_{1}平行且相等，\therefore 四边形BDD_{1}B_{1}是平行四边形，\therefore BD\parallel B_{1}D_{1}，\therefore EF\parallel BD，\therefore E，F，D，B四点共面.
(5分)
$<img_1857>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310080609878019/img/compression/M_134fb01ed88665d9a83f131c42d77c9c.jpg)
$(1)证明：E，F，D，B四点共面；$

Solution:
$证明：连接EF，BD，B_{1}D_{1}.\because E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点，\therefore EF\parallel B_{1}D_{1}.
(2分)
易知BB_{1}与DD_{1}平行且相等，\therefore 四边形BDD_{1}B_{1}是平行四边形，\therefore BD\parallel B_{1}D_{1}，\therefore EF\parallel BD，\therefore E，F，D，B四点共面.
(5分)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310080609878019/img/compression/M_56cab9656fb87d779d9b7376b98965af.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310080609878019/img/compression/M_134fb01ed88665d9a83f131c42d77c9c.jpg)
$(2)证明：BE，DF，CC_{1}三线共点.$

Solution:
$证明：\because EF\parallel BD，且EF\neq BD，\therefore 直线BE和DF相交.延长BE，DF，设它们相交于点P，\because P\in 直线BE，直线BE\subset 平面BB_{1}C_{1}C，\therefore P\in 平面BB_{1}C_{1}C，
(8分)
\because P\in 直线DF，直线DF\subset 平面CDD_{1}C_{1}，\therefore P\in 平面CDD_{1}C_{1}，又\because 平面BB_{1}C_{1}C\cap 平面CDD_{1}C_{1}=CC_{1}，\therefore P\in CC_{1}，\therefore BE，DF，CC_{1}三线共点.
(10分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E，F分别是B_{1}C_{1}和C_{1}D_{1}的中点.$<img_1493>
$(2)证明：BE，DF，CC_{1}三线共点.$

Solution:
$证明：\because EF\parallel BD，且EF\neq BD，\therefore 直线BE和DF相交.延长BE，DF，设它们相交于点P，\because P\in 直线BE，直线BE\subset 平面BB_{1}C_{1}C，\therefore P\in 平面BB_{1}C_{1}C，
(8分)
\because P\in 直线DF，直线DF\subset 平面CDD_{1}C_{1}，\therefore P\in 平面CDD_{1}C_{1}，又\because 平面BB_{1}C_{1}C\cap 平面CDD_{1}C_{1}=CC_{1}，\therefore P\in CC_{1}，\therefore BE，DF，CC_{1}三线共点.
(10分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点.求证：$<img_1480>
$(1)A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D；$

Solution:
$证明：连接A_{1}C，与AC_{1}交于O，连接DO，易知O为A_{1}C的中点，又D是BC的中点，\therefore 在\triangle A_{1}BC中，A_{1}B\parallel DO，
(3分)
又DO\subset 平面AC_{1}D，A_{1}B\not\subset 平面AC_{1}D，\therefore A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D.
(5分)
$<img_3036>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点.求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310081935278083/img/compression/M_0ea628775101b5649669cf0b5916b2fd.jpg)
$(1)A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D；$

Solution:
$证明：连接A_{1}C，与AC_{1}交于O，连接DO，易知O为A_{1}C的中点，又D是BC的中点，\therefore 在\triangle A_{1}BC中，A_{1}B\parallel DO，
(3分)
又DO\subset 平面AC_{1}D，A_{1}B\not\subset 平面AC_{1}D，\therefore A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D.
(5分)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310081935278083/img/compression/M_7811b47f309bb485b79218619bd985b0.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点.求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310081935278083/img/compression/M_0ea628775101b5649669cf0b5916b2fd.jpg)
$(2)平面A_{1}BD_{1}\parallel 平面AC_{1}D.$

Solution:
$证明：由(1)可知A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D，\because D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点，B_{1}C_{1\xlongequal{//} }BC，\therefore D_{1}C_{1\xlongequal{//} }BD，\therefore 四边形D_{1}BDC_{1}为平行四边形，\therefore D_{1}B\parallel C_{1}D，
(7分)
又C_{1}D\subset 平面AC_{1}D，D_{1}B\not\subset 平面AC_{1}D，\therefore D_{1}B\parallel 平面AC_{1}D，
(9分)
又D_{1}B\cap A_{1}B=B，D_{1}B、A_{1}B\subset 平面A_{1}BD_{1}，\therefore 平面A_{1}BD_{1}\parallel 平面AC_{1}D.
(10分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点.求证：$<img_1480>
$(2)平面A_{1}BD_{1}\parallel 平面AC_{1}D.$

Solution:
$证明：由(1)可知A_{1}B\parallel 平面AC_{1}D，\because D是BC的中点，D_{1}是B_{1}C_{1}的中点，B_{1}C_{1\xlongequal{//} }BC，\therefore D_{1}C_{1\xlongequal{//} }BD，\therefore 四边形D_{1}BDC_{1}为平行四边形，\therefore D_{1}B\parallel C_{1}D，
(7分)
又C_{1}D\subset 平面AC_{1}D，D_{1}B\not\subset 平面AC_{1}D，\therefore D_{1}B\parallel 平面AC_{1}D，
(9分)
又D_{1}B\cap A_{1}B=B，D_{1}B、A_{1}B\subset 平面A_{1}BD_{1}，\therefore 平面A_{1}BD_{1}\parallel 平面AC_{1}D.
(10分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为DD_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310102164406274/img/compression/M_55ab5054ab24b8ee62b65c7556db97cd.jpg)
$(1)求证：BD_{1}\parallel 平面AEC；$

Solution:
$证明：连接BD，交AC于点O，连接EO.\because 底面ABCD为正方形，\therefore O为BD的中点，又\because E为DD_{1}的中点，\therefore OE\parallel BD_{1}，(3分)又OE\subset 平面AEC，BD_{1}\not\subset 平面AEC，\therefore BD_{1}\parallel 平面AEC.(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，E为DD_{1}的中点.$<img_2563>
$(1)求证：BD_{1}\parallel 平面AEC；$

Solution:
$证明：连接BD，交AC于点O，连接EO.\because 底面ABCD为正方形，\therefore O为BD的中点，又\because E为DD_{1}的中点，\therefore OE\parallel BD_{1}，(3分)又OE\subset 平面AEC，BD_{1}\not\subset 平面AEC，\therefore BD_{1}\parallel 平面AEC.(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E为侧棱PA的中点，过C，D，E三点的平面交侧棱PB于点F.$<img_3130>
$(1)求证：AB\parallel 平面CDEF；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD是矩形，\therefore AB\parallel CD.
(2分)
又\because CD\subset 平面CDEF，AB\not\subset 平面CDEF，\therefore AB\parallel 平面CDEF.
(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E为侧棱PA的中点，过C，D，E三点的平面交侧棱PB于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310132691881986/img/compression/M_4654f18f0c4bd25d56afe32eb4dfc1a7.jpg)
$(1)求证：AB\parallel 平面CDEF；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD是矩形，\therefore AB\parallel CD.
(2分)
又\because CD\subset 平面CDEF，AB\not\subset 平面CDEF，\therefore AB\parallel 平面CDEF.
(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E为侧棱PA的中点，过C，D，E三点的平面交侧棱PB于点F.$<img_3130>
$(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：PA\perp CF.条件①：PD=AD；条件②：DE\perp 平面PAB.
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$证明：选择条件①.\because PD=AD，点E为侧棱PA的中点，\therefore DE\perp PA.\because PD\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore PD\perp CD.又\because AD\perp CD，PD\cap AD=D，PD，AD\subset 平面PAD，\therefore CD\perp 平面PAD.
(7分)
又\because PA\subset 平面PAD，\therefore CD\perp PA.又\because DE\cap CD=D，DE，CD\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp 平面CDEF.
(9分)
又\because CF\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp CF.
(10分)
选择条件②.\because DE\perp 平面PAB，PA\subset 平面PAB，\therefore DE\perp PA.\because PD\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore PD\perp CD.又\because AD\perp CD，PD\cap AD=D，PD，AD\subset 平面PAD，\therefore CD\perp 平面PAD.
(7分)
又\because PA\subset 平面PAD，\therefore CD\perp PA.又\because DE\cap CD=D，DE，CD\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp 平面CDEF.
(9分)
又\because CF\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp CF.
(10分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E为侧棱PA的中点，过C，D，E三点的平面交侧棱PB于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310132691881986/img/compression/M_4654f18f0c4bd25d56afe32eb4dfc1a7.jpg)
$(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：PA\perp CF.条件①：PD=AD；条件②：DE\perp 平面PAB.
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$证明：选择条件①.\because PD=AD，点E为侧棱PA的中点，\therefore DE\perp PA.\because PD\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore PD\perp CD.又\because AD\perp CD，PD\cap AD=D，PD，AD\subset 平面PAD，\therefore CD\perp 平面PAD.
(7分)
又\because PA\subset 平面PAD，\therefore CD\perp PA.又\because DE\cap CD=D，DE，CD\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp 平面CDEF.
(9分)
又\because CF\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp CF.
(10分)
选择条件②.\because DE\perp 平面PAB，PA\subset 平面PAB，\therefore DE\perp PA.\because PD\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore PD\perp CD.又\because AD\perp CD，PD\cap AD=D，PD，AD\subset 平面PAD，\therefore CD\perp 平面PAD.
(7分)
又\because PA\subset 平面PAD，\therefore CD\perp PA.又\because DE\cap CD=D，DE，CD\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp 平面CDEF.
(9分)
又\because CF\subset 平面CDEF，\therefore PA\perp CF.
(10分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，且\angle BAD=60^\circ ，BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，且DF=2BE=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310133199392771/img/compression/M_1abb0cca2ad47643036703128e470fba.jpg)
$(1)证明：平面ACE\perp 平面BEFD；$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC\perp BD，(1分)因为BE\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，所以AC\perp BE，(3分)又BD\cap BE=B，BD，BE\subset 平面BEFD，所以AC\perp 平面BEFD，又因为AC\subset 平面ACE，所以平面ACE\perp 平面BEFD.(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，且\angle BAD=60^\circ ，BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，且DF=2BE=2.$<img_1849>
$(1)证明：平面ACE\perp 平面BEFD；$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC\perp BD，(1分)因为BE\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，所以AC\perp BE，(3分)又BD\cap BE=B，BD，BE\subset 平面BEFD，所以AC\perp 平面BEFD，又因为AC\subset 平面ACE，所以平面ACE\perp 平面BEFD.(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，且\angle BAD=60^\circ ，BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，且DF=2BE=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310133199392771/img/compression/M_1abb0cca2ad47643036703128e470fba.jpg)
$(2)若二面角E-AC-B的大小为45^\circ ，求几何体ABCDFE的体积.$

Solution:
$如图，设AC与BD的交点为O，则O是AC的中点，连接OE，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310133891452929/img/compression/M_a5c204227753d237a807886b558e610c.jpg)$因为BE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是菱形，所以BO\perp AC，\triangle EAB\cong \triangle ECB，所以EA=EC，又O是AC中点，所以EO\perp AC，因此\angle EOB即为二面角E-AC-B的平面角，故\angle EOB=45^\circ ，
(7分)
因为DF=2BE=2，\angle BAD=60^\circ ，四边形ABCD是菱形，所以BO=BE=1，BD=AD=AB=CD=CB=2，AO=OC=\sqrt{3}，又BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，所以梯形BEFD的面积S=\frac{1+2}{2}\times 2=3，
(8分)
又AC\perp 平面BEFD，所以几何体ABCDFE的体积V=V_{A-BEFD}+V_{C-BEFD}=\frac{1}{3}\times (AO+CO)\times S=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}.
(10分)$

Final answer: $2\sqrt 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，且\angle BAD=60^\circ ，BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，且DF=2BE=2.$<img_1849>
$(2)若二面角E-AC-B的大小为45^\circ ，求几何体ABCDFE的体积.$

Solution:
$如图，设AC与BD的交点为O，则O是AC的中点，连接OE，$<img_1722>$因为BE\perp 平面ABCD，四边形ABCD是菱形，所以BO\perp AC，\triangle EAB\cong \triangle ECB，所以EA=EC，又O是AC中点，所以EO\perp AC，因此\angle EOB即为二面角E-AC-B的平面角，故\angle EOB=45^\circ ，
(7分)
因为DF=2BE=2，\angle BAD=60^\circ ，四边形ABCD是菱形，所以BO=BE=1，BD=AD=AB=CD=CB=2，AO=OC=\sqrt{3}，又BE\perp 平面ABCD，DF\parallel BE，所以梯形BEFD的面积S=\frac{1+2}{2}\times 2=3，
(8分)
又AC\perp 平面BEFD，所以几何体ABCDFE的体积V=V_{A-BEFD}+V_{C-BEFD}=\frac{1}{3}\times (AO+CO)\times S=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}.
(10分)$

Final answer: $2\sqrt 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，点A在平面A_{1}BC上的射影为BC的中点D，\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BC=2\sqrt{2}，A_{1}B=A_{1}C，A_{1}A=2a.$<img_1704>
$(1)求证：A_{1}D\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：由题意得AD\perp 平面A_{1}BC，又AD\subset 平面ABC，所以平面ABC\perp 平面A_{1}BC.(2分)因为A_{1}C=A_{1}B，BD=CD，所以A_{1}D\perp BC.又平面ABC\cap 平面A_{1}BC=BC，A_{1}D\subset 平面A_{1}BC，所以A_{1}D\perp 平面ABC.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，点A在平面A_{1}BC上的射影为BC的中点D，\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BC=2\sqrt{2}，A_{1}B=A_{1}C，A_{1}A=2a.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310134591901699/img/compression/M_f49e344f778dbd89188ca95f5ef858d8.jpg)
$(1)求证：A_{1}D\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：由题意得AD\perp 平面A_{1}BC，又AD\subset 平面ABC，所以平面ABC\perp 平面A_{1}BC.(2分)因为A_{1}C=A_{1}B，BD=CD，所以A_{1}D\perp BC.又平面ABC\cap 平面A_{1}BC=BC，A_{1}D\subset 平面A_{1}BC，所以A_{1}D\perp 平面ABC.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，点A在平面A_{1}BC上的射影为BC的中点D，\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BC=2\sqrt{2}，A_{1}B=A_{1}C，A_{1}A=2a.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310134591901699/img/compression/M_f49e344f778dbd89188ca95f5ef858d8.jpg)
$(2)若1\leq a\leq 2，求直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成角的正弦值的取值范围.$

Solution:
$取B_{1}C_{1}的中点D_{1}，连接A_{1}D_{1}，DD_{1}，则DD_{1\xlongequal{//} }BB_{1\xlongequal{//} }AA_{1}，所以四边形A_{1}D_{1}DA是平行四边形.
(5分)
易知BC\perp AD，BC\perp A_{1}D，AD\cap A_{1}D=D，AD，A_{1}D\subset 平面AA_{1}D_{1}D，所以BC\perp 平面AA_{1}D_{1}D，又BC\subset 平面BB_{1}C_{1}C，所以平面BB_{1}C_{1}C\perp 平面AA_{1}D_{1}D.
(6分)
过点A_{1}作A_{1}E\perp D_{1}D于E，则A_{1}E\perp 平面BB_{1}C_{1}C，连接CE，则\angle A_{1}CE为直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成的角.
(7分)
由\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BD=CD，BC=2\sqrt{2}，知AD=BD=CD=\sqrt{2}，由(1)知A_{1}D\perp 平面ABC，所以A_{1}D=\sqrt{4a^2-2}，A_{1}E=\frac{A_1D\cdot A_1D_1}{DD_1}=\frac{\sqrt{4a^2-2}\times \sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2a^2-1}}{a}，A_{1}C=\sqrt{A_1D^2+CD^2}=2a，
(8分)
则\\sin  \angle A_{1}CE=\frac{A_1E}{A_1C}=\frac{\sqrt{2a^2-1}}{2a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{1}{a^4}+\frac{2}{a^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{-{\left(\frac{1}{a^2}-1\right)}^2+1}.因为1\leq a\leq 2，所以\frac{1}{4}\leq \frac{1}{a^2}\leq 1，所以\frac{\sqrt{7}}{8}\leq \\sin  \angle A_{1}CE\leq \frac{1}{2}.故直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成角的正弦值的取值范围为\left[\frac{\sqrt{7}}{8}，\frac{1}{2}\right].
(10分)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310135015526402/img/compression/M_7ebb8380c46b23096740742f68a9262b.jpg)

Final answer: $[\sqrt 7/8, 1/2]$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，点A在平面A_{1}BC上的射影为BC的中点D，\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BC=2\sqrt{2}，A_{1}B=A_{1}C，A_{1}A=2a.$<img_1704>
$(2)若1\leq a\leq 2，求直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成角的正弦值的取值范围.$

Solution:
$取B_{1}C_{1}的中点D_{1}，连接A_{1}D_{1}，DD_{1}，则DD_{1\xlongequal{//} }BB_{1\xlongequal{//} }AA_{1}，所以四边形A_{1}D_{1}DA是平行四边形.
(5分)
易知BC\perp AD，BC\perp A_{1}D，AD\cap A_{1}D=D，AD，A_{1}D\subset 平面AA_{1}D_{1}D，所以BC\perp 平面AA_{1}D_{1}D，又BC\subset 平面BB_{1}C_{1}C，所以平面BB_{1}C_{1}C\perp 平面AA_{1}D_{1}D.
(6分)
过点A_{1}作A_{1}E\perp D_{1}D于E，则A_{1}E\perp 平面BB_{1}C_{1}C，连接CE，则\angle A_{1}CE为直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成的角.
(7分)
由\angle BAC=\frac{\pi }{2}，BD=CD，BC=2\sqrt{2}，知AD=BD=CD=\sqrt{2}，由(1)知A_{1}D\perp 平面ABC，所以A_{1}D=\sqrt{4a^2-2}，A_{1}E=\frac{A_1D\cdot A_1D_1}{DD_1}=\frac{\sqrt{4a^2-2}\times \sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2a^2-1}}{a}，A_{1}C=\sqrt{A_1D^2+CD^2}=2a，
(8分)
则\\sin  \angle A_{1}CE=\frac{A_1E}{A_1C}=\frac{\sqrt{2a^2-1}}{2a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{1}{a^4}+\frac{2}{a^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{-{\left(\frac{1}{a^2}-1\right)}^2+1}.因为1\leq a\leq 2，所以\frac{1}{4}\leq \frac{1}{a^2}\leq 1，所以\frac{\sqrt{7}}{8}\leq \\sin  \angle A_{1}CE\leq \frac{1}{2}.故直线A_{1}C与平面BCC_{1}B_{1}所成角的正弦值的取值范围为\left[\frac{\sqrt{7}}{8}，\frac{1}{2}\right].
(10分)
$<img_2750>

Final answer: $[\sqrt 7/8, 1/2]$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E、F、G、H分别是AB，AC，A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310176362975234/img/compression/M_dbcf30c25d4ce98b68e5ad45bbaa9096.jpg)
$(1)GH\parallel 平面A_{1}EF；$

Solution:
$证明：因为G，H分别是A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，所以GH是\triangle A_{1}B_{1}C_{1}的中位线，则GH\parallel B_{1}C_{1}，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF是\triangle ABC的中位线，则EF\parallel BC，又因为B_{1}C_{1}\parallel BC，所以EF\parallel GH，又EF\subset 平面A_{1}EF，GH\not\subset 平面A_{1}EF,所以GH\parallel 平面A_{1}EF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E、F、G、H分别是AB，AC，A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，求证：$<img_1604>
$(1)GH\parallel 平面A_{1}EF；$

Solution:
$证明：因为G，H分别是A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，所以GH是\triangle A_{1}B_{1}C_{1}的中位线，则GH\parallel B_{1}C_{1}，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF是\triangle ABC的中位线，则EF\parallel BC，又因为B_{1}C_{1}\parallel BC，所以EF\parallel GH，又EF\subset 平面A_{1}EF，GH\not\subset 平面A_{1}EF,所以GH\parallel 平面A_{1}EF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E、F、G、H分别是AB，AC，A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，求证：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310176362975234/img/compression/M_dbcf30c25d4ce98b68e5ad45bbaa9096.jpg)
$(2)平面A_{1}EF\parallel 平面BCHG.$

Solution:
$证明：因为G，E分别为A_{1}B_{1}，AB的中点，A_{1}B_{1}\parallel AB，所以A_{1}G\parallel EB，A_{1}G=EB，所以四边形A_{1}EBG是平行四边形，所以A_{1}E\parallel GB，又A_{1}E\subset 平面A_{1}EF，BG\not\subset 平面A_{1}EF,所以BG\parallel 平面A_{1}EF，又BG\subset 平面BCHG，GH\parallel 平面A_{1}EF，GH\subset 平面BCHG，且BG\cap GH=G，所以平面A_{1}EF\parallel 平面BCHG.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，E、F、G、H分别是AB，AC，A_{1}B_{1}，A_{1}C_{1}的中点，求证：$<img_1604>
$(2)平面A_{1}EF\parallel 平面BCHG.$

Solution:
$证明：因为G，E分别为A_{1}B_{1}，AB的中点，A_{1}B_{1}\parallel AB，所以A_{1}G\parallel EB，A_{1}G=EB，所以四边形A_{1}EBG是平行四边形，所以A_{1}E\parallel GB，又A_{1}E\subset 平面A_{1}EF，BG\not\subset 平面A_{1}EF,所以BG\parallel 平面A_{1}EF，又BG\subset 平面BCHG，GH\parallel 平面A_{1}EF，GH\subset 平面BCHG，且BG\cap GH=G，所以平面A_{1}EF\parallel 平面BCHG.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，AD=2BC，且M为PA的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310177482854403/img/compression/M_5e0dc852231c0f50564dcda98fcf5eb1.jpg)
$(1)求证：BM\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：取PD的中点N，连接MN，CN.又因为M是PA的中点，所以MN为\triangle PAD的中位线，所以MN\xlongequal{//} \frac{1}{2}AD.又因为BC\xlongequal{//} \frac{1}{2}AD，所以MN\xlongequal{//} BC，所以四边形BMNC为平行四边形，所以BM\parallel CN.又BM\not\subset 平面PCD，CN\subset 平面PCD，所以BM\parallel 平面PCD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310177482854403/img/compression/M_b8746bfc5a79afe3dc7dfb0cfd5f957a.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，AD=2BC，且M为PA的中点.$<img_2391>
$(1)求证：BM\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：取PD的中点N，连接MN，CN.又因为M是PA的中点，所以MN为\triangle PAD的中位线，所以MN\xlongequal{//} \frac{1}{2}AD.又因为BC\xlongequal{//} \frac{1}{2}AD，所以MN\xlongequal{//} BC，所以四边形BMNC为平行四边形，所以BM\parallel CN.又BM\not\subset 平面PCD，CN\subset 平面PCD，所以BM\parallel 平面PCD.$<img_1531>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，AD=2BC，且M为PA的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310177482854403/img/compression/M_5e0dc852231c0f50564dcda98fcf5eb1.jpg)
$(2)若平面PAD\perp 平面ABCD，且DP=AD，求证：平面BDM\perp 平面PAB.$

Solution:
$证明：因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD，AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp 平面PAD.又DM\subset 平面PAD，所以AB\perp DM.又因为DP=AD，M为PA的中点，所以DM\perp PA，又PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，且PA\cap AB=A，所以DM\perp 平面PAB.又DM\subset 平面BDM，所以平面BDM\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB\perp AD，BC\parallel AD，AD=2BC，且M为PA的中点.$<img_2391>
$(2)若平面PAD\perp 平面ABCD，且DP=AD，求证：平面BDM\perp 平面PAB.$

Solution:
$证明：因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD，AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp 平面PAD.又DM\subset 平面PAD，所以AB\perp DM.又因为DP=AD，M为PA的中点，所以DM\perp PA，又PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，且PA\cap AB=A，所以DM\perp 平面PAB.又DM\subset 平面BDM，所以平面BDM\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}.$<img_2886>
$(1)求直线BC和直线A'C'所成角的大小；$

Solution:
$在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，则A'B'=B'C'=2\sqrt{3},因为BC\parallel B'C'，所以\angle A'C'B'或其补角为直线BC和直线A'C'所成的角，在Rt\triangle A'C'B'中，\\tan  \angle A'C'B'=\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1，又因为\angle A'C'B'为锐角，所以\angle A'C'B'=\frac{\pi }{4}，所以直线BC和直线A'C'所成角的大小为\frac{\pi }{4}.$

Final answer: $\frac{\pi }{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310187522686978/img/compression/M_f967a885eee2a0d4c2400a6d5ce03dc7.jpg)
$(1)求直线BC和直线A'C'所成角的大小；$

Solution:
$在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，则A'B'=B'C'=2\sqrt{3},因为BC\parallel B'C'，所以\angle A'C'B'或其补角为直线BC和直线A'C'所成的角，在Rt\triangle A'C'B'中，\\tan  \angle A'C'B'=\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1，又因为\angle A'C'B'为锐角，所以\angle A'C'B'=\frac{\pi }{4}，所以直线BC和直线A'C'所成角的大小为\frac{\pi }{4}.$

Final answer: $\frac{\pi }{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310187522686978/img/compression/M_f967a885eee2a0d4c2400a6d5ce03dc7.jpg)
$(2)求直线AC'与平面ABCD所成角的大小.$

Solution:
$连接AC，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}，则CC'=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{3}，因为CC'\perp 平面ABCD，所以\angle C'AC为直线AC'与平面ABCD所成的角，在Rt\triangle ACC'中，\\tan  \angle C'AC=\frac{CC'}{AC}=\frac{CC'}{\sqrt{AB^2+BC^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{12+12}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，又因为\angle C'AC为锐角，所以\angle C'AC=\frac{\pi }{6}.所以直线AC'与平面ABCD所成角的大小为\frac{\pi }{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310187967283201/img/compression/M_a1e7a099d3bff78de64147a937ba305b.jpg)

Final answer: $\frac{\pi}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}.$<img_2886>
$(2)求直线AC'与平面ABCD所成角的大小.$

Solution:
$连接AC，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2\sqrt{3}，AA'=2\sqrt{2}，则CC'=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{3}，因为CC'\perp 平面ABCD，所以\angle C'AC为直线AC'与平面ABCD所成的角，在Rt\triangle ACC'中，\\tan  \angle C'AC=\frac{CC'}{AC}=\frac{CC'}{\sqrt{AB^2+BC^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{12+12}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，又因为\angle C'AC为锐角，所以\angle C'AC=\frac{\pi }{6}.所以直线AC'与平面ABCD所成角的大小为\frac{\pi }{6}.$<img_1803>

Final answer: $\frac{\pi}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2\sqrt{2},\angle PAB=60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310188403490819/img/compression/M_9b670173eef297d194513e0dcf7a3a15.jpg)
$(1)证明：AD\perp 平面PAB；$

Solution:
$证明：在\triangle PAD中，AD=PA=2,PD=2\sqrt{2}，AD^{2}+PA^{2}=PD^{2}，则AD\perp PA.在矩形ABCD中，AD\perp AB.又PA\cap AB=A，PA，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2\sqrt{2},\angle PAB=60^\circ .$<img_2605>
$(1)证明：AD\perp 平面PAB；$

Solution:
$证明：在\triangle PAD中，AD=PA=2,PD=2\sqrt{2}，AD^{2}+PA^{2}=PD^{2}，则AD\perp PA.在矩形ABCD中，AD\perp AB.又PA\cap AB=A，PA，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2\sqrt{2},\angle PAB=60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1650310188403490819/img/compression/M_9b670173eef297d194513e0dcf7a3a15.jpg)
$(2)求异面直线PC与AD所成角的正切值；$

Solution:
$易知BC\parallel AD，所以\angle PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在\triangle PAB中，由余弦定理得PB=\sqrt{PA^2+AB^2-2PA\cdot AB\cdot \\\cos   \angle PAB}=\sqrt{7}，由(1)知AD\perp 平面PAB,又PB\subset 平面PAB，BC\parallel AD，所以BC\perp PB，所以\\tan  \angle PCB=\frac{PB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{2}，所以异面直线PC与AD所成角的正切值为\frac{\sqrt{7}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{2}$