di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: 根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染源中各年份的氨氮总量i(单位：千吨)与年份的散点图如图.
![24AXGK5SX410.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635167152002715651/img/compression/M_6280fdbefc9b88177b6261da3abe787b.jpg)
记年份代码为i(i=1，2，3，4，5)，t=1/x，对数据处理后得：

\|     |     | $\sum^{5}_{i=1}t^2_i$ | $\sum^{5}_{i=1}y^2_i $| $\sum^{5}_{i=1}x_iy_i $| $$\sum^{5}_{i=1}t_iy_i$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
|  $\bar{y}$ | $\bar{t}$ | | | | |
|  6  | 0.5 |  1.5                  |  210                  |  76                  |  17                  |

$参考公式：回归方程\hat{y}=\hat{v}i+\hat{u}中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为\hat{v}=\frac{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sum^{n}_{i=1}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum^{n}_{i=1}x^2_i-n\bar{x}^2}，\hat{u}=\bar{y}-\hat{v}\bar{x}．$
根据(1)的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染源中的氨氮总量(计算结果精确到整数)．

Solution:
因为 
$\hat{d} $
=
$\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}t_iy_i-5\overline{t} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}t^2_i-5\overline{t}^2} $
=8，
且 
$\hat{c} $
= 
$\overline{y} $

- $\hat{d}\overline{t} $
=2,
所以y关于t的回归方程为 
$\hat{y} =8t+2，即y关于x的回归方程为$ 
$\hat{y} =\frac{8}{x} +2$,
2022年对应的年份代码为x=6，所以 
$\hat{y} \approx 3$，
故预计2022年全国直排海污染源中的氨氮总量为3千吨．

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重“超标”和“不超标”制成2\times 2列联表如下：

|       | 超标 | 不超标 | 合计 |
|-------|------|--------|------|
| 男    | 16   |        | 20   |
| 女    |      | 15     |      |
| 合计  |      |        |      |

$附: \chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, n=a+b+c+d.$

| $\alpha$    | 0.1    | 0.05   | 0.01   | 0.005  | 0.001  |
|-------|--------|--------|--------|--------|--------|
|$x_\alpha$|2.706|3.841|6.635|7.879|10.828|
若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率.现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率.

Solution:
$由题意知，从男员工中随机抽取一人，体重超标的概率为\frac{4}{5}，不超标的概率为\frac{1}{5}；$
$从女员工中随机抽取一人，体重超标的概率为\frac{1}{4}，不超标的概率为\frac{3}{4}.$
$所以所求概率P=\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{13}{20}.$

Final answer: \frac{13}{20}
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为64 km\cdot h^-1．
<img_266>

$附：\chi ^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d．$

| $\alpha$  | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| x$_\alpha$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828|
$求a，b的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；$

Solution:
$根据频率和为1可得 10 \times (a+b+0.02+0.01)=1，化简得 a+b=0.07，①$

$又 45 \times 0.1+55 \times 0.2+65 \times 10a+75 \times 10b=64，$

$所以 65a+75b=4.85，②$

$联立①②解得，a=0.04，b=0.03。$

$因为 (0.01+0.02) \times 10=0.3<0.5，(0.01+0.02+0.04) \times 10=0.7>0.5，所以所求的中位数为 60+\frac{0.5-10 \times (0.01+0.02)}{0.4} \times 10=65。$



Final answer: $0.04，0.03，65$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为64 km\cdot h^-1．
![24AXGK5SX192.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612020594659330/img/compression/M_c4ad89d1fba28cb9b4ac361a14ce7104.jpg)

$附：\chi ^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d．$

| $\alpha$  | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| x$_\alpha$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828|
$求a，b的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；$

Solution:
$根据频率和为1可得 10 \times (a+b+0.02+0.01)=1，化简得 a+b=0.07，①$

$又 45 \times 0.1+55 \times 0.2+65 \times 10a+75 \times 10b=64，$

$所以 65a+75b=4.85，②$

$联立①②解得，a=0.04，b=0.03。$

$因为 (0.01+0.02) \times 10=0.3<0.5，(0.01+0.02+0.04) \times 10=0.7>0.5，所以所求的中位数为 60+\frac{0.5-10 \times (0.01+0.02)}{0.4} \times 10=65。$

Final answer: $a=0.04，b=0.03，中位数为65。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战在2022年11月21日打响，决赛于12月18日晚进行，全程为期28天.
为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2\times 2列联表如下：

|       | 喜爱足球运动 | 不喜爱足球运动 | 合计 |
|-------|------------|--------------|-----|
| 男性   | 60         | 40           | 100 |
| 女性   | 20         | 80           | 100 |
| 合计   | 80         | 120          | 200 |

$依据小概率值\alpha=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?$

Solution:
零假设 H<sub>0</sub>：喜爱足球运动与性别无关，

根据列联表数据计算得

$\chi ^2= \frac{200 \times {(60 \times 80-20 \times 40)}^2}{100 \times 100 \times 80 \times 120} = \frac{100}{3} >10.828= x<sub>0.001</sub>，$

根据小概率值 \alpha =0.001的独立性检验，我们推断 H<sub>0</sub>不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001。

Final answer: $\frac{100}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战在2022年11月21日打响，决赛于12月18日晚进行，全程为期28天.
$校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为P_n，即P_1=1．$

$求P_3(直接写出结果即可)；$

Solution:
$由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为\frac{1}{3}，故P_3=\frac{1}{3}．$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球，两人又打了i个球该局比赛结束.$
求P(X=2)；

Solution:
$X = 2 就是10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P(X = 2) = 0.5 \times 0.4 + (1 - 0.5) \times (1 - 0.4) = 0.5.$

Final answer: $0.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球，两人又打了i个球该局比赛结束.$
$求事件“X=4且甲获胜”的概率.$

Solution:
X=4且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分。

$因此所求概率为[0.5\times (1-0.4)+(1-0.5)\times 0.4]\times 0.5\times 0.4=0.1.$

Final answer: $0.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代\ldots \ldots 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p_{i}(i=0，1，2，3).$
$已知p_{0}=0.4，p_{1}=0.3，p_{2}=0.2，p_{3}=0.1，求E(X)；$

Solution:
$E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.1=1.$

Final answer: 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为\alpha和\beta，一轮试验中甲药的得分记为X。$
$若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p_i(i=0,1,\ldots ,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\ldots ,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0),c=P(X=1).假设\alpha =0.5，\beta =0.8.$

$求p_4,并根据p_4的值解释这种试验方案的合理性.$

Solution:
$由(i)可得p_{8}=p_{8}-p_{7}+p_{7}-p_{6}+\ldots +p_{1}-p_{0}+p_{0}=(p_{8}-p_{7})+(p_{7}-p_{6})+\ldots +(p_{1}-p_{0})=\frac{4^8-1}{3}p_{1}.$
$由于p_{8}=1，故p_{1}=\frac{3}{4^8-1}，$
$所以p_{4}=(p_{4}-p_{3})+(p_{3}-p_{2})+(p_{2}-p_{1})+(p_{1}-p_{0})=\frac{4^4-1}{3}p_{1}=\frac{1}{257}.$
$p_{4}表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p_{4}=\frac{1}{257}\approx 0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.$

Final answer: p_{4}=\frac{1}{257}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工x万千克该农产品，需另投入成本f(x)万元，且f(x)=$

$$
\begin{cases}
\frac{1}{2}x^2+x, & 0<x<6,\\
7x+\frac{49}{x}-27, & x\geq 6.
\end{cases}
$$

已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
求加工后的该农产品利润的最大值.

Solution:
$当0<x<6时，y=-\frac{1}{2}x^2+5x-2=-\frac{1}{2}(x-5)^2+ \frac{21}{2}，当x=5时，y取得最大值 \frac{21}{2}；  $
$当x\geq 6时，因为x+\frac{49}{x}\geq 2\sqrt{49}=14，当且仅当x=7时，等号成立，所以当x=7时，y取得最大值11.$
$因为\frac{21}{2}\leq 11，所以当x=7时，y取得最大值11.$
故加工后的该农产品利润的最大值为11万元.



Final answer: 11 万元
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角\angle AOB= \frac{2\pi }{3}. $
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170225881804801/img/compression/M_b5b13a136353398789916987cbf04d56.jpg)
如图1，将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草，改造为景观绿地，求内切圆的半径r；

Solution:
)

$连接OE并延长交\overset{\LARGE{\frown}}{AB}于点C，设OA与圆E相切于点D，连接ED.如图，由题设知EC=ED=r m，OE=(200-r) m，\angle EOD=\frac{\pi }{3}，所以在Rt\triangle ODE中，ED=OEs'ın\frac{\pi }{3}，即r=\frac{\sqrt{3}}{2}(200-r)，解得r=400\sqrt{3}-600.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170224925503491/img/compression/M_743285958487c33f8dbbda347b58799a.jpg)

Final answer: $r=400\sqrt{3}-600$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角\angle AOB= \frac{2\pi }{3}. $
<img_1955>
如图1，将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草，改造为景观绿地，求内切圆的半径r；

Solution:
)

$连接OE并延长交\overset{\LARGE{\frown}}{AB}于点C，设OA与圆E相切于点D，连接ED.如图，由题设知EC=ED=r m，OE=(200-r) m，\angle EOD=\frac{\pi }{3}，所以在Rt\triangle ODE中，ED=OEs'ın\frac{\pi }{3}，即r=\frac{\sqrt{3}}{2}(200-r)，解得r=400\sqrt{3}-600.$

<img_2140>

Final answer: $r=400\sqrt{3}-600$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角\angle AOB= \frac{2\pi }{3}. $
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170225881804801/img/compression/M_b5b13a136353398789916987cbf04d56.jpg)
$如图2，扇形内有一矩形 _MNOP_ (边 _OP_ 在半径 _OA_ 上，点 _M_ 在 \overset{\LARGE{\frown}}{AB} 上)区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草，改造为景观绿地，设\angle _MOA_=_\theta _，求市民健身活动场所(矩形 _MNOP_ 区域)面积的最大值.$

Solution:
$在Rt\triangle OPM中，OP=OMcos \theta =200cos \theta ，MP=OMsin \theta =200sin \theta ，所以S_{矩形MNOP} =OP\cdot MP=40 000sin \theta \cdot cos \theta =20 000sin 2\theta ，故当2\theta =\frac{\pi }{2}，即\theta =\frac{\pi }{4}时，市民健身活动场所(矩形MNOP区域)的面积最大，最大值为20 000 m^2.$

Final answer: $20000m^2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市为响应习近平总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心，如图，扇形OAB的半径为200 m，圆心角\angle AOB= \frac{2\pi }{3}. $
<img_1955>
$如图2，扇形内有一矩形 _MNOP_ (边 _OP_ 在半径 _OA_ 上，点 _M_ 在 \overset{\LARGE{\frown}}{AB} 上)区域为市民健身活动场所，其余区域种植各种花草，改造为景观绿地，设\angle _MOA_=_\theta _，求市民健身活动场所(矩形 _MNOP_ 区域)面积的最大值.$

Solution:
$在Rt\triangle OPM中，OP=OMcos \theta =200cos \theta ，MP=OMsin \theta =200sin \theta ，所以S_{矩形MNOP} =OP\cdot MP=40 000sin \theta \cdot cos \theta =20 000sin 2\theta ，故当2\theta =\frac{\pi }{2}，即\theta =\frac{\pi }{4}时，市民健身活动场所(矩形MNOP区域)的面积最大，最大值为20 000 m^2.$

Final answer: $20000m^2$
Subfield: Solid Geometry


Question: 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形，\triangle EAB，\triangle FBC,\triangle GCD, \triangle HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170230562648067/img/compression/M_bf168c2546f632152a29e42a5de26979.jpg)
求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

Solution:
如图，可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥。
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170230562648067/img/compression/M_1fb999f77fcf2cfab7b9eb928a6dec9f.jpg)

$易得MN=4\sqrt{2} cm，EM=4\sqrt{3} cm.$

$所以V_{长方体MNPQ-EFGH}=(4\sqrt{2})^2\times 4\sqrt{3}=128\sqrt{3} cm^3,$

$V_{四棱锥B-MNFE}=\frac{1}{3}\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=\frac{64\sqrt{3}}{3} cm^3,$

$所以该包装盒的容积为128\sqrt{3}+4\times \frac{64\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3} cm^3.$

Final answer: $\frac{640\sqrt{3}}{3}$ cm^3
Subfield: Solid Geometry


Question: 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形，\triangle EAB，\triangle FBC,\triangle GCD, \triangle HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
<img_282>
求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

Solution:
如图，可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥。
<img_6>

$易得MN=4\sqrt{2} cm，EM=4\sqrt{3} cm.$

$所以V_{长方体MNPQ-EFGH}=(4\sqrt{2})^2\times 4\sqrt{3}=128\sqrt{3} cm^3,$

$V_{四棱锥B-MNFE}=\frac{1}{3}\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=\frac{64\sqrt{3}}{3} cm^3,$

$所以该包装盒的容积为128\sqrt{3}+4\times \frac{64\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3} cm^3.$



Final answer: $\frac{640\sqrt{3}}{3}$ cm^3
Subfield: Solid Geometry


Question: 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>，下部的形状是正四棱柱ABCD-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>(如图所示)，并要求正四棱柱的高O<sub>1</sub>O是正四棱锥的高PO<sub>1</sub>的4倍.

<img_2589>
$若AB=6 m,PO_1=2 m，则仓库的容积是多少？$

Solution:
$由PO_1=2知O_1O=4PO_1=8.$

$因为A_1B_1=AB=6，$

$所以正四棱锥P-A_1B_1C_1D_1的体积$

$V_{锥}=\frac{1}{3}\cdot A_1B_1^2\cdot PO_1=\frac{1}{3}\times 6^2\times 2=24(m^3);$

$正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1的体积$

$V_{柱}=AB^2\cdot O_1O=6^2\times 8=288(m^3).$

$所以仓库的容积V=V_{锥}+V_{柱}=24+288=312(m^3).$

Final answer: $312(m^3)$
Subfield: Solid Geometry


Question: 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>，下部的形状是正四棱柱ABCD-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>(如图所示)，并要求正四棱柱的高O<sub>1</sub>O是正四棱锥的高PO<sub>1</sub>的4倍.

![17GZTWS10.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170231904825347/img/compression/M_ee5c0c5b74b895075bb7b6d1b5736b8f.jpg)
$若AB=6 m,PO_1=2 m，则仓库的容积是多少？$

Solution:
$由PO_1=2知O_1O=4PO_1=8.$

$因为A_1B_1=AB=6，$

$所以正四棱锥P-A_1B_1C_1D_1的体积$

$V_{锥}=\frac{1}{3}\cdot A_1B_1^2\cdot PO_1=\frac{1}{3}\times 6^2\times 2=24(m^3);$

$正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1的体积$

$V_{柱}=AB^2\cdot O_1O=6^2\times 8=288(m^3).$

$所以仓库的容积V=V_{锥}+V_{柱}=24+288=312(m^3).$

Final answer: $312(m^3)$
Subfield: Solid Geometry


Question: 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>，下部的形状是正四棱柱ABCD-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>(如图所示)，并要求正四棱柱的高O<sub>1</sub>O是正四棱锥的高PO<sub>1</sub>的4倍.

<img_2589>
$若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO_1为多少时，仓库的容积最大？$

Solution:
$设A_1B_1 = a(m), PO_1 = h(m), $
$则 0 < h < 6, O_1O = 4h(m). 连接O_1B_1. $

<img_2874>

$因为在Rt\triangle PO_1B_1中，O_1B^2_1 + PO^2_1 = PB^2_1， $
$所以 (\frac{\sqrt{2}a}{2})^2 + h^2 = 36,即 a^2 = 2(36-h^2). $

$于是仓库的容积V = V_{柱} + V_{锥} = a^2\cdot 4h + \frac{1}{3} a^2\cdot h = \frac{13}{3} a^2 h $
$= \frac{26}{3} (36h-h^3), 0<h<6, $
$从而 V'=\frac{26}{3} (36-3h^2)=26(12-h^2). $
$令V'=0,得 h = 2\sqrt{3} 或 h = -2\sqrt{3}(舍). $

$当 0<h<2\sqrt{3} 时，V'>0, V 是单调增函数；$
$当 2\sqrt{3}<h<6 时，V'<0, V 是单调减函数.$

$故当 h = 2\sqrt{3} 时，V 取得极大值，也是最大值. $
$因此， 当 PO_1 = 2\sqrt{3} m 时，仓库的容积最大.$



Final answer: $PO_1 = 2\sqrt{3}$ m
Subfield: Solid Geometry


Question: 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>，下部的形状是正四棱柱ABCD-A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>(如图所示)，并要求正四棱柱的高O<sub>1</sub>O是正四棱锥的高PO<sub>1</sub>的4倍.

![17GZTWS10.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170231904825347/img/compression/M_ee5c0c5b74b895075bb7b6d1b5736b8f.jpg)
$若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO_1为多少时，仓库的容积最大？$

Solution:
$设A_1B_1 = a(m), PO_1 = h(m), $
$则 0 < h < 6, O_1O = 4h(m). 连接O_1B_1. $

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635170232542359553/img/compression/M_33b4e4023452ac80d764891256fb9b16.jpg)

$因为在Rt\triangle PO_1B_1中，O_1B^2_1 + PO^2_1 = PB^2_1， $
$所以 (\frac{\sqrt{2}a}{2})^2 + h^2 = 36,即 a^2 = 2(36-h^2). $

$于是仓库的容积V = V_{柱} + V_{锥} = a^2\cdot 4h + \frac{1}{3} a^2\cdot h = \frac{13}{3} a^2 h $
$= \frac{26}{3} (36h-h^3), 0<h<6, $
$从而 V'=\frac{26}{3} (36-3h^2)=26(12-h^2). $
$令V'=0,得 h = 2\sqrt{3} 或 h = -2\sqrt{3}(舍). $

$当 0<h<2\sqrt{3} 时，V'>0, V 是单调增函数；$
$当 2\sqrt{3}<h<6 时，V'<0, V 是单调减函数.$

$故当 h = 2\sqrt{3} 时，V 取得极大值，也是最大值. $
$因此， 当 PO_1 = 2\sqrt{3} m 时，仓库的容积最大.$

Final answer: $PO_1 = 2\sqrt{3} m$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD垂直于平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点。$

<img_2377>{: style="width: 130px;"}
$求二面角P-EC-D的正切值．$

Solution:
$取AD的中点O，连接PO，则PO\perp AD.$

$\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，$

$\therefore PO\perp 平面ABCD，连接OB交CE于M，连接PM，可证得Rt\triangle EBC\cong Rt\triangle OAB，\therefore \angle MEB=\angle AOB，则\angle MEB+\angle MBE=90^\circ ，即OM\perp EC.$

<img_2363>

$又PO\perp EC，PO\cap OM=O，\therefore EC\perp 平面POM，则PM\perp EC，即\angle PMO是二面角P-EC-D的平面角，$

$在Rt\triangle EBC中，BM=\frac{BE \cdot BC}{CE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}, 则OM=OB-BM=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \tan \angle PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{\sqrt{15}}{3}，即二面角P-EC-D的正切值为\frac{\sqrt{15}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD垂直于平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点。$

![24AXGK5SX136A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432352833537/img/compression/M_314b962e5e2e9234bdd92f4cb27925aa.jpg){: style="width: 130px;"}
$求二面角P-EC-D的正切值．$

Solution:
$取AD的中点O，连接PO，则PO\perp AD.$

$\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，$

$\therefore PO\perp 平面ABCD，连接OB交CE于M，连接PM，可证得Rt\triangle EBC\cong Rt\triangle OAB，\therefore \angle MEB=\angle AOB，则\angle MEB+\angle MBE=90^\circ ，即OM\perp EC.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432931647490/img/compression/M_5a9aa25dea0fd2bf599fe111eb8f662e.jpg)

$又PO\perp EC，PO\cap OM=O，\therefore EC\perp 平面POM，则PM\perp EC，即\angle PMO是二面角P-EC-D的平面角，$

$在Rt\triangle EBC中，BM=\frac{BE \cdot BC}{CE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}, 则OM=OB-BM=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \tan \angle PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{\sqrt{15}}{3}，即二面角P-EC-D的正切值为\frac{\sqrt{15}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610434089275394/img/compression/M_1ff01b93ef91913fc333df6cd8b28034.jpg){: width=123px}
$若PD与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求二面角A-PD-E的正切值.$

Solution:
$因为\angle PDA是PD与平面ABCD所成的角，所以\angle PDA=45^\circ ，则PA=AD=4，因为PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp AP，又AB\perp AD，AD\cap AP=A，所以AB\perp 平面PAD，取AD的中点F，作FM\perp PD，垂足为点M，连接ME，因为EF\parallel AB，所以EF\perp 平面PAD，所以EF\perp PD，又MF\cap EF=F，MF，EF\subset 平面MEF，所以PD\perp 平面MEF，因为ME\subset 平面MEF，所以PD\perp ME，即\angle FME是二面角A-PD-E的平面角，又EF=AB=2，MF=\frac{\sqrt{2}}{2} FD=\sqrt{2}，所以\tan \angle FME=\frac{EF}{MF}=\sqrt{2}，所以二面角A-PD-E的正切值为\sqrt{2}.$
![24AXGK5SX138.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610433472712708/img/compression/M_a299206bc822aa125d0596cd729d0c00.jpg)

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$
<img_2995>{: width=123px}
$若PD与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求二面角A-PD-E的正切值.$

Solution:
$因为\angle PDA是PD与平面ABCD所成的角，所以\angle PDA=45^\circ ，则PA=AD=4，因为PA\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，所以AB\perp AP，又AB\perp AD，AD\cap AP=A，所以AB\perp 平面PAD，取AD的中点F，作FM\perp PD，垂足为点M，连接ME，因为EF\parallel AB，所以EF\perp 平面PAD，所以EF\perp PD，又MF\cap EF=F，MF，EF\subset 平面MEF，所以PD\perp 平面MEF，因为ME\subset 平面MEF，所以PD\perp ME，即\angle FME是二面角A-PD-E的平面角，又EF=AB=2，MF=\frac{\sqrt{2}}{2} FD=\sqrt{2}，所以\tan \angle FME=\frac{EF}{MF}=\sqrt{2}，所以二面角A-PD-E的正切值为\sqrt{2}.$
<img_2455>

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$

<img_203>
$设AB=BD=2，\angle ACB=60^\circ ，点F在BD上，当\triangle AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.$

Solution:
$由题意及(1)知AB=BC=2, 又\angle ACB=60^\circ , 所以AC=2, BE = \sqrt{3}.  因为AD \perp DC, E为AC的中点，所以DE=1.$
$所以DE^2 + BE^2 = BD^2, 则DE \perp BE.$
$连接EF, 因为AC \perp平面BED，EF \subset平面BED，$
$所以AC \perp EF, 所以S_{\Delta AFC} = \frac{1}{2} AC \cdot EF =EF.$
$当EF \perp BD时，EF的值最小，即\Delta AFC的面积最小，此时EF = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
$如图，以E为坐标原点， \overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系E-xyz, 则C(-1,0,0), A(1,0,0), B(0,\sqrt{3},0), D(0,0,1), F\left(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right)，$
$所以 \overrightarrow{AD}=(-1,0,1), \overrightarrow{BD}=(0,-\sqrt{3},1), \overrightarrow{CF}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right).$
$设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),$
$则 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=0, \\ \overrightarrow{BD} \cdot \boldsymbol{n}=0 \end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ -\sqrt{3}y+z=0 \end{matrix}\right.$
$令y=1，得 n=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}).$
$设CF与平面ABD所成的角为\theta，$
$则 sin \theta =|cos\langle  n, \overrightarrow{CF}\rangle | = \frac{|n \cdot \overrightarrow{CF}|}{|n||\overrightarrow{CF}|} = \frac{4\sqrt{3}}{7}，$
$所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{7}.$


<img_328>

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$

![23GZT5SX13.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610435431452673/img/compression/M_220dc0896b3b4b6d351177a13641eddf.jpg)
$设AB=BD=2，\angle ACB=60^\circ ，点F在BD上，当\triangle AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.$

Solution:
$由题意及(1)知AB=BC=2, 又\angle ACB=60^\circ , 所以AC=2, BE = \sqrt{3}.  因为AD \perp DC, E为AC的中点，所以DE=1.$
$所以DE^2 + BE^2 = BD^2, 则DE \perp BE.$
$连接EF, 因为AC \perp平面BED，EF \subset平面BED，$
$所以AC \perp EF, 所以S_{\Delta AFC} = \frac{1}{2} AC \cdot EF =EF.$
$当EF \perp BD时，EF的值最小，即\Delta AFC的面积最小，此时EF = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
$如图，以E为坐标原点， \overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系E-xyz, 则C(-1,0,0), A(1,0,0), B(0,\sqrt{3},0), D(0,0,1), F\left(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right)，$
$所以 \overrightarrow{AD}=(-1,0,1), \overrightarrow{BD}=(0,-\sqrt{3},1), \overrightarrow{CF}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right).$
$设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),$
$则 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=0, \\ \overrightarrow{BD} \cdot \boldsymbol{n}=0 \end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ -\sqrt{3}y+z=0 \end{matrix}\right.$
$令y=1，得 n=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}).$
$设CF与平面ABD所成的角为\theta，$
$则 sin \theta =|cos\langle  n, \overrightarrow{CF}\rangle | = \frac{|n \cdot \overrightarrow{CF}|}{|n||\overrightarrow{CF}|} = \frac{4\sqrt{3}}{7}，$
$所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{7}.$


![23GZT5SX69答案教师](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610435683110913/img/compression/M_93283eb5a0b0ff0e6a3cf4a606c7e6ce.jpg)

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$

<img_1916>
求平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值.

Solution:
$因为AP\perp BP，所以PA^2+PB^2=AB^2=4，$
$又PA=PB，所以PA=PB=\sqrt{2}，$
$又PD=\sqrt{6}，所以PA^2+AD^2=PD^2，所以AD\perp PA，$
$又AD\perp AB，PA\cap AB=A，PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.$
$取AB，CD的中点分别为O，M，连接MO，OP，则MO\parallel AD，所以MO\perp 平面PAB，又OP\subset 平面PAB，所以MO\perp OP.$
$又因为PA=PB，O为AB的中点，所以OP\perp AB.$
$如图，以O为原点，分别以\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OM}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(1,0,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，所以\overrightarrow{PC}=(-1,1,2)，\overrightarrow{PD}=(-1,-1,2).$
$设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ -x-y+2z=0,\end{matrix}\right.取z=1，得x=2，y=0，则n=(2,0,1).$
$又m=(0,0,1)是平面PAB的一个法向量，$
$所以\cos \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$
$所以平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值为\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

<img_2517>

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610437797040130/img/compression/M_0bd2b413dd3055d1a1d16e6ac2d321a2.jpg)
求平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值.

Solution:
$因为AP\perp BP，所以PA^2+PB^2=AB^2=4，$
$又PA=PB，所以PA=PB=\sqrt{2}，$
$又PD=\sqrt{6}，所以PA^2+AD^2=PD^2，所以AD\perp PA，$
$又AD\perp AB，PA\cap AB=A，PA\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，所以AD\perp 平面PAB.$
$取AB，CD的中点分别为O，M，连接MO，OP，则MO\parallel AD，所以MO\perp 平面PAB，又OP\subset 平面PAB，所以MO\perp OP.$
$又因为PA=PB，O为AB的中点，所以OP\perp AB.$
$如图，以O为原点，分别以\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OM}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(1,0,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，所以\overrightarrow{PC}=(-1,1,2)，\overrightarrow{PD}=(-1,-1,2).$
$设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+y+2z=0,\\ -x-y+2z=0,\end{matrix}\right.取z=1，得x=2，y=0，则n=(2,0,1).$
$又m=(0,0,1)是平面PAB的一个法向量，$
$所以\cos \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$
$所以平面PAB与平面PCD所成的角的正弦值为\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610438430380033/img/compression/M_f5381027733693e75438d98129b7947b.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$