di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Elementary Functions


Question: 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且图象过点(-1，1).已知x\geq 0时, f(x)＝a^x^-1(a>0且a\neq 1).
$若f(m)\in [0，3]，求m的取值范围.$

Solution:
$由(1)得，x\geq 0时， f(x)=2^{x}-1.$
$当x < 0时，-x > 0， f(-x)=2^{-x}-1，$
$又因为f(x) 是偶函数，$
$所以x < 0时， f(x)=2^{-x}-1.$
$当m \geq 0时, f(m)=2^{m}-1 \in  [0,3]，从而0 \leq  m \leq 2；$
$当m < 0时， f(m)=2^{-m}-1 \in  [0,3]，从而-2 \leq  m < 0.$
$综上所述，m 的取值范围为[-2,2].$

Final answer: [-2,2]
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=a^{2x}-a^{x}+2a(a>0且a\neq 1)的图象经过点(1，6)。$
$设 g(x) = \frac{f(x)}{2^x}，若 g(x) \geq m 恒成立，求实数 m 的取值范围。$

Solution:
$由题意得 g(x)=2^x+\frac{4}{2^x}-1，因为 2^x+\frac{4}{2^x}-1\geq 2\sqrt{2^x \cdot \frac{4}{2^x}}-1=3，当且仅当 2^x=\frac{4}{2^x}，即 x=1 时取等号，$
$所以要使 g(x)\geq m 恒成立，只需 m\leq 3，$
$故 m 的取值范围是 (-\infty ，3].$

Final answer: $(-\infty ，3]$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = \log_{a}(1-x) + \log_{a}(x+3)(0<a<1)。$
$求函数f(x)的定义域；$

Solution:
$由 \left\{\begin{matrix}1-x>0,\\ x+3>0,\end{matrix}\right. 得 -3<x<1，所以f(x)的定义域为(-3,1).$

Final answer: ${(-3,1)}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=$
$\begin{cases}
-x^2+ax+1,& x \leq 1,
ax,& \text{x > 1}.
\end{cases}$
$若f(x)恰有两个极值点，则a的取值范围是\_\_\_\_\_.$

Solution:
$因为二次函数y=-x^2+ax+1的图象是开口朝下对称轴为直线x=\frac{a}{2}的抛物线，若f(x)恰有两个极值点，则必有f(x)在\left(-\infty ,\frac{a}{2}\right]上单调递增，在\left(\frac{a}{2},1\right]上单调递减，在(1,+\infty )上单调递增，$
$所以\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2} < 1,\\ a > 0,\end{matrix}\right.解得0 < a < 2，$
所以a的取值范围是(0,2).

Final answer: $(0,2)$
Subfield: Elementary Functions


Question: 如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离为150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km，试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A运到C，再用快艇从C运到海岛码头.

<img_3128>
设点C与点B的距离为x，写出运输时间T(x)(单位：h)与x的关系式及x的范围；

Solution:
$因为OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{150^2+x^2}，AC=300-x，$
$所以T(x)=\frac{\sqrt{150^2+x^2}}{50}+\frac{300-x}{130}, 0\leq x\leq 300.$



Final answer: $T(x)=\frac{\sqrt{150^2+x^2}}{50}+\frac{300-x}{130}, x \in [0, 300]$
Subfield: Elementary Functions


Question: 如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离为150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km，试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A运到C，再用快艇从C运到海岛码头.

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884644152471554/img/compression/M_8f20abfd4faac9e07443f5226759abf7.jpg)
设点C与点B的距离为x，写出运输时间T(x)(单位：h)与x的关系式及x的范围；

Solution:
$因为OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{150^2+x^2}，AC=300-x，$
$所以T(x)=\frac{\sqrt{150^2+x^2}}{50}+\frac{300-x}{130}, 0\leq x\leq 300.$

Final answer: $T(x)=\frac{\sqrt{150^2+x^2}}{50}+\frac{300-x}{130}, 0\leq x\leq 300.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=xlnx+kx，k \in R.$
$若不等式f(x)\leq x^{2}+x恒成立，求k的取值范围.$

Solution:
$不等式xln x+kx\leq x^{2}+x恒成立，则ln x+k\leq x+1恒成立，设g(x)=ln x-x+k-1，有g(x)\leq 0恒成立，g'(x)=\frac{1}{x}-1，$

$x\in (0,1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，$

$x\in (1,+\infty )时，g'(x)<0，g(x)单调递减，$

$所以只需g_{max}=g(1)=k-2\leq 0即可，故k\leq 2.$

Final answer: (-\infty,2]
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)=\frac{\sin  x+\cos  x}{\mathrm{e}^x}.$
$求f(x)的单调区间；$

Solution:
$由题意得 f'(x)=-\frac{2\sin  x}{e^x}，$

$令f'(x)>0，则 2sin x<0，得 \pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,k \in Z，$

$令f'(x)<0，则 2sin x>0，得 2k\pi<x<\pi+2k\pi,k \in Z，$

$所以 f(x) 的单调增区间是 (\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi),k \in Z，单调减区间是 (2k\pi,\pi+2k\pi),k \in Z。$

Final answer: ${f(x)} 的单调增区间是 (\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi),k \in Z，单调减区间是 (2k\pi,\pi+2k\pi),k \in Z。$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)=\frac{\sin  x+\cos  x}{\mathrm{e}^x}.$
$求f(x)的单调递增区间，k\in Z；$

Solution:
$由题意得 f'(x)=-\frac{2\sin  x}{e^x}，$

$令f'(x)>0，则 2sin x<0，得 \pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,k \in Z，$

$令f'(x)<0，则 2sin x>0，得 2k\pi<x<\pi+2k\pi,k \in Z，$

$所以 f(x) 的单调增区间是 (\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi),k \in Z，单调减区间是 (2k\pi,\pi+2k\pi),k \in Z。$



Final answer: $(\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi)$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = (x^2 - x - \frac{1}{a})e^{ax} (a > 0).$
$若f(x)+\frac{2}{a}\geq 0对x\in R恒成立，求a的取值范围.$

Solution:
$f '(x)=a\left(x+\frac{2}{a}\right)(x-1)e^{ax}.$
$令f '(x)=0，即a\left(x+\frac{2}{a}\right)(x-1)=0，解得x=-\frac{2}{a}或x=1.$
$因为a>0，所以当x变化时， f '(x)， f(x)的变化情况如下表：$

|x|$\left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$|$-\frac{2}{a}$|$\left(-\frac{2}{a},1\right)$|1|$(1,+\infty )$|
|-:|-:|-:|-:|-:|-:|
|f'(x)|+|0|-|0|+|
|f(x)|单调递增|极大值|单调递减|极小值|单调递增|

$当x<-\frac{2}{a}时，有x^2>0，-x>\frac{2}{a}，a>0，$
$所以x^2-x-\frac{1}{a}>0，从而f(x)>0.$
$又函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-\frac{1}{a}e^{a}<0，$
$所以f(1)=-\frac{1}{a}e^{a}是函数f(x)在R上的最小值.$
$因为不等式f(x)+\frac{2}{a}\geq 0对x\in R恒成立，$
$所以-\frac{1}{a}e^{a}+\frac{2}{a}\geq 0，解得0<a\leq ln 2.$
$所以a的取值范围是(0,ln 2].$

Final answer: $(0,ln 2]$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{1}{2}ax^2-(2a+1)x+2\ln x,a\leq 0.$
$求函数f(x)的单调递增区间.$

Solution:
$f'(x) = \frac{(ax-1)(x-2)}{x} (x>0).$

$> ①当a\leq 0时，x>0，ax-1<0，$
$在区间(0,2)上f'(x)>0；在区间(2,+\infty )上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+\infty ).$

$> ②当0<a<\frac{1}{2}时，\frac{1}{a}>2，$
$在区间(0,2)和\left(\frac{1}{a},+\infty \right)上f'(x)>0；在区间\left(2,\frac{1}{a}\right)上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是(0,2)和\left(\frac{1}{a},+\infty \right)，单调递减区间是\left(2,\frac{1}{a}\right).$

$> ③当a=\frac{1}{2}时，$
$因为f'(x)=\frac{(x-2)^2}{2x}\geq 0，所以f(x)的单调递增区间是(0,+\infty ).$

$> ④当a>\frac{1}{2}时，0<\frac{1}{a}<2，$
$在区间\left(0,\frac{1}{a}\right)和(2,+\infty )上f'(x)>0；在区间\left(\frac{1}{a},2\right)上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是\left(0,\frac{1}{a}\right)和(2,+\infty )，单调递减区间是\left(\frac{1}{a},2\right).$



Final answer: (0,2)
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{1}{2}ax^2-(2a+1)x+2\ln x,a \in R.$
$求函数f(x)的单调区间.$

Solution:
$f'(x) = \frac{(ax-1)(x-2)}{x} (x>0).$

$> ①当a\leq 0时，x>0，ax-1<0，$
$在区间(0,2)上f'(x)>0；在区间(2,+\infty )上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+\infty ).$

$> ②当0<a<\frac{1}{2}时，\frac{1}{a}>2，$
$在区间(0,2)和\left(\frac{1}{a},+\infty \right)上f'(x)>0；在区间\left(2,\frac{1}{a}\right)上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是(0,2)和\left(\frac{1}{a},+\infty \right)，单调递减区间是\left(2,\frac{1}{a}\right).$

$> ③当a=\frac{1}{2}时，$
$因为f'(x)=\frac{(x-2)^2}{2x}\geq 0，所以f(x)的单调递增区间是(0,+\infty ).$

$> ④当a>\frac{1}{2}时，0<\frac{1}{a}<2，$
$在区间\left(0,\frac{1}{a}\right)和(2,+\infty )上f'(x)>0；在区间\left(\frac{1}{a},2\right)上f'(x)<0，$
$所以f(x)的单调递增区间是\left(0,\frac{1}{a}\right)和(2,+\infty )，单调递减区间是\left(\frac{1}{a},2\right).$

Final answer: $①f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+\infty ).$
$②f(x)的单调递增区间是(0,2)和\left(\frac{1}{a},+\infty \right)，单调递减区间是\left(2,\frac{1}{a}\right).$
$③f(x)的单调递增区间是(0,+\infty ).$
$④f(x)的单调递增区间是\left(0,\frac{1}{a}\right)和(2,+\infty )，单调递减区间是\left(\frac{1}{a},2\right).$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ax^3+x^2(a \in R)在x=-\frac{4}{3}处取得极值.$
$若g(x)=f(x)e^x，讨论g(x)的单调性.$

Solution:
$由(1)得，g(x) = (\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x，$
$因为 g'(x) = \frac{1}{2}x(x+1)(x+4)e^x，$
$令 g'(x) = 0，解得 x = 0，x = -1 或 x = -4，$
$当 x < -4 时，g'(x) < 0，g(x) 为减函数；$
$当 -4 < x < -1 时，g'(x) > 0，g(x) 为增函数；$
$当 -1 < x < 0 时，g'(x) < 0，故 g(x) 为减函数；$
$当 x > 0 时，g'(x) > 0，g(x) 为增函数.$
$综上，函数 g(x) 的单调减区间是 (-\infty ,-4) 和 (-1,0)，$
$单调增区间是 (-4,-1) 和 (0,+\infty )。$

Final answer: $函数 g(x) 的单调减区间是 (-\infty ,-4) 和 (-1,0)，单调增区间是 (-4,-1) 和 (0,+\infty )。$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ax^3+x^2(a \in R)在x=-\frac{4}{3}处取得极值.$
$若g(x)=f(x)e^x，给出g(x)的单调增区间.$

Solution:
$由(1)得，g(x) = (\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x，$
$因为 g'(x) = \frac{1}{2}x(x+1)(x+4)e^x，$
$令 g'(x) = 0，解得 x = 0，x = -1 或 x = -4，$
$当 x < -4 时，g'(x) < 0，g(x) 为减函数；$
$当 -4 < x < -1 时，g'(x) > 0，g(x) 为增函数；$
$当 -1 < x < 0 时，g'(x) < 0，故 g(x) 为减函数；$
$当 x > 0 时，g'(x) > 0，g(x) 为增函数.$
$综上，函数 g(x) 的单调减区间是 (-\infty ,-4) 和 (-1,0)，$
$单调增区间是 (-4,-1) 和 (0,+\infty )。$



Final answer: (-4,-1), (0,+\infty )
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}，点A(a,0)为一定点，直线x=t(t\neq a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记\triangle AMN的面积为S(t).$
$当a=0时，求函数S(t)的单调区间;$

Solution:
$当a=0时，$

$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2} \cdot |AN| \cdot |MN|=|t|e^{t}，t \neq 0。$

$①当t<0时，S(t)=-\frac{1}{2}te^t，则S'(t)=-\frac{1}{2}(t+1)e^t，$

$当t<-1时，S'(t)>0，当 -1<t<0时，S'(t)<0，$

$所以S(t)在(-\infty, -1)上单调递增，在(-1, 0)上单调递减。$

$②当t>0时，S(t)=\frac{1}{2}te^t，则S'(t)=\frac{1}{2}(t+1)e^t，$

$此时S'(t)>0，所以S(t)在(0,+\infty)上单调递增。$

Final answer: $S(t)在(-\infty, -1)上单调递增，在(-1, 0)上单调递减，在(0,+\infty)上单调递增。$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}，点A(a,0)为一定点，直线x=t(t\neq a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记\triangle AMN的面积为S(t).$
$当a=0时，求函数S(t)的单调增区间;$

Solution:
$当a=0时，$

$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2} \cdot |AN| \cdot |MN|=|t|e^{t}，t \neq 0。$

$①当t<0时，S(t)=-\frac{1}{2}te^t，则S'(t)=-\frac{1}{2}(t+1)e^t，$

$当t<-1时，S'(t)>0，当 -1<t<0时，S'(t)<0，$

$所以S(t)在(-\infty, -1)上单调递增，在(-1, 0)上单调递减。$

$②当t>0时，S(t)=\frac{1}{2}te^t，则S'(t)=\frac{1}{2}(t+1)e^t，$

$此时S'(t)>0，所以S(t)在(0,+\infty)上单调递增。$



Final answer: (-\infty, -1)
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}，点A(a,0)为一定点，直线x=t(t\neq a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记\triangle AMN的面积为S(t).$
$当a>2时，若存在t_0\in [0,2]，使得S(t_0)\geq e，求实数a的取值范围.$

Solution:
$当a>2，t\in [0,2]时，S(t)=\frac{1}{2}(a-t)\cdot e^{t}，$
$因为∃t_{0}\in [0,2]，使得S(t_{0})\geq e，所以当t\in [0,2]时，S_{max}(t)\geq e。$
$S'(t)=-\frac{1}{2}[t-(a-1)]e^{t},$
$由S'(t)＝0可得t=a-1。$
$①当a-1<2，即2<a<3时，$
$当t\in (0,a-1)时，S'(t)>0，当t\in (a-1,2)时，S'(t)<0，$
$所以S(t)在(0,a-1)上单调递增，在(a-1,2)上单调递减，$
$故S_{max}(t)=S(a-1)=\frac{1}{2}e^{a-1}，$
$由\frac{1}{2}e^{a-1}\geq e，解得a\geq ln 2+2，$
$所以ln 2+2\leq a<3满足题意；$
$②当a-1\geq 2，即a\geq 3时，S'(t)＞0对t\in [0,2]恒成立，$
$所以S(t)在[0,2]上单调递增，故S_{max}(t)=S(2)=\frac{1}{2}(a-2)e^{2},由\frac{1}{2}(a-2)e^{2}\geq e，解得a\geq \frac{2}{e}+2，$
$所以a\geq 3满足题意.$
$综上，实数a的取值范围为[ln 2+2,+\infty ).$

Final answer: $[ln 2+2,+\infty )$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x+2a，a\in R.$
$若f(x)在x=0处取得极值，求f(x)的单调递减区间；$

Solution:
$由题意知，f'(x) = (x^2 + (2 - a)x - 2a)e^{x}，由f'(0) = -2a = 0，解得a = 0，$
$此时f(x) = x^2 e^{x}，f'(x) = (x^2 + 2x)e^{x}，$
$令f'(x) > 0，得x < -2或x > 0，$
$令f'(x) < 0，得-2 < x < 0，$
$则函数f(x)的单调递增区间是(-\infty，-2)和(0，+\infty)，单调递减区间是(-2，0)。$



Final answer: $(-2，0)$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x+2a，a\in R.$
$若f(x)在x=0处取得极值，求f(x)的单调区间；$

Solution:
$由题意知，f'(x) = (x^2 + (2 - a)x - 2a)e^{x}，由f'(0) = -2a = 0，解得a = 0，$
$此时f(x) = x^2 e^{x}，f'(x) = (x^2 + 2x)e^{x}，$
$令f'(x) > 0，得x < -2或x > 0，$
$令f'(x) < 0，得-2 < x < 0，$
$则函数f(x)的单调递增区间是(-\infty，-2)和(0，+\infty)，单调递减区间是(-2，0)。$

Final answer: $(-\infty，-2)和(0，+\infty)，(-2，0)。$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x+2a，a\in R.$
$若关于x的不等式f(x) > 0在(0，+\infty)上恒成立，求a的取值范围.$

Solution:
$因为f'(x) = (x^2 + (2-a)x - 2a)e^x = e^x(x + 2)(x - a)，当a \leq  0时，f'(x) > 0在(0, +\infty )上恒成立，$
$则函数f(x)在区间(0, +\infty )上单调递增，$
$所以当x > 0时，f(x) > f(0) = a \geq  0，所以a = 0，$
$当a > 0时，令f'(x) > 0，解得x > a，令f'(x) < 0，解得0 < x < a，则函数f(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +\infty )上单调递增，$
$所以f_{min} = f(a) = -ae^a + 2a > 0，$
$即e^a < 2，解得0 < a < \ln 2，$
$综上所述，a的取值范围是[0, \ln 2).$

Final answer: $[0, \ln 2)$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x -ax (a \in R).$
$求函数f(x)的单调区间；$

Solution:
$f'(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}，x>0，$

$①当a\leq 0时，由于x>0，故1-ax>0，\therefore f'(x)>0，$

$\therefore f(x)的单调递增区间为(0，+\infty )，无单调递减区间；$

$②当a>0时，令f'(x)=0，得x=\frac{1}{a}，$

$在区间\left(0,\frac{1}{a}\right)上， f'(x)>0，在区间\left(\frac{1}{a},+\infty \right)上， f'(x)<0，$

$\therefore f(x)的单调递增区间为\left(0,\frac{1}{a}\right)，单调递减区间为\left(\frac{1}{a},+\infty \right).$

$综上，当a\leq 0时， f(x)的单调递增区间为(0，+\infty )，无单调递减区间；$

$当a>0时， f(x)的单调递增区间为\left(0,\frac{1}{a}\right)，单调递减区间为\left(\frac{1}{a},+\infty \right).$

Final answer: $当a\leq 0时， f(x)的单调递增区间为(0，+\infty )，无单调递减区间；$

$当a>0时， f(x)的单调递增区间为\left(0,\frac{1}{a}\right)，单调递减区间为\left(\frac{1}{a},+\infty \right).$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x -ax (a > 0).$
$求函数f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$f'(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}，x>0，$

$①当a\leq 0时，由于x>0，故1-ax>0，\therefore f'(x)>0，$

$\therefore f(x)的单调递增区间为(0，+\infty )，无单调递减区间；$

$②当a>0时，令f'(x)=0，得x=\frac{1}{a}，$

$在区间\left(0,\frac{1}{a}\right)上， f'(x)>0，在区间\left(\frac{1}{a},+\infty \right)上， f'(x)<0，$

$\therefore f(x)的单调递增区间为\left(0,\frac{1}{a}\right)，单调递减区间为\left(\frac{1}{a},+\infty \right).$

$综上，当a\leq 0时， f(x)的单调递增区间为(0，+\infty )，无单调递减区间；$

$当a>0时， f(x)的单调递增区间为\left(0,\frac{1}{a}\right)，单调递减区间为\left(\frac{1}{a},+\infty \right).$



Final answer: \left(0,\frac{1}{a}\right)
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x -ax (a \in R).$
$如果f(x)\geq 0在[2,3]上恒成立，求a的取值范围。$

Solution:
$f(x)\geq 0在[2，3]上恒成立，即a\leq \frac{\mathrm{ln} x}{x}在[2，3]上恒成立，$

$令g(x)=\frac{\mathrm{ln} x}{x}，x\in [2，3]，$

$则g'(x)=\frac{1-\mathrm{ln} x}{x^2}，$

$由g'(x)<0，解得x>e；由g'(x)>0，解得0<x<e.$

$所以g(x)在[2,e)上递增，在(e,3]上递减，$

$因为g(2)=\frac{\mathrm{ln} 2}{2}=ln 2^{\frac{1}{2}}<g(3)=\frac{\mathrm{ln} 3}{3}=ln 3^{\frac{1}{3}}，$

$所以在[2，3]上，g_{min}=g(2)=\frac{\mathrm{ln} 2}{2}，$

$故a\leq \frac{\mathrm{ln} 2}{2}.$

Final answer: (-\infty,\frac{\ln 2}{2}]
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{ax^2+x-1}{e^x}, a\geq 0.$
讨论函数f(x)的单调性；

Solution:
函数f(x)的定义域为R.

$\f\ '(x)=\frac{(2ax+1)\mathrm{e}^x-(ax^2+x-1)\mathrm{e}^x}{{(\mathrm{e}^x)}^2}=\frac{-ax^2+(2a-1)x+2}{\mathrm{e}^x}=\frac{-(ax+1)(x-2)}{\mathrm{e}^x}. $

$①当a=0时, f\ '(x)=\frac{-x+2}{\mathrm{e}^x}，$

$当x<2时, f\ '(x)>0, f(x)在区间(-\infty ，2)上单调递增；$

$当x>2时, f\ '(x)<0, f(x)在区间(2,+\infty )上单调递减.$

$②当a>0时，-\frac{1}{a}<2.$

$令f\ '(x)<0,解得x<-\frac{1}{a}或x>2，故f(x)在区间\left(-\infty ,-\frac{1}{a}\right)和(2，+\infty )上单调递减；$

$令f\ '(x)>0,解得-\frac{1}{a}<x<2，故f(x)在区间\left(-\frac{1}{a},2\right)上单调递增.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^2e^{x}-1，g(x)=e^{x}-ax，a \in R.$
求g(x)的单调区间；

Solution:
$g(x) = e^x - ax，定义域为R，g'(x) = e^x - a.$

$- 当a \leq  0时，g'(x) > 0。所以g(x)在R上单调递增.$
$- 当a > 0时，令g'(x) = 0，得x = \ln a.$
$g(x)与g'(x)随x变化的情况如下：$

| $x$  | $(-\infty ，\ln a)$ | $\ln a$ |$(\ln a，+\infty )$|
|--------|-------|-------|------|
| $g'(x)$ |  -    |   0   |  +   |
| $g(x)$ | $\text{单调递减}$  | 极小值 | $\text{单调递增}$ |

$所以g(x)在(-\infty ，\ln a)上单调递减，在(\ln a，+\infty )上单调递增. 综上，当a \leq  0时，g(x)在R上单调递增. 当a > 0时，g(x)在(-\infty ，\ln a)上单调递减，在(\ln a，+\infty )上单调递增.$

Final answer: $当a \leq  0时，g(x)在R上单调递增. 当a > 0时，g(x)在(-\infty ，\ln a)上单调递减，在(\ln a，+\infty )上单调递增.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x^2e^{x}-1，g(x)=e^{x}-ax，a > 0.$
求g(x)的单调递减区间；

Solution:
$g(x) = e^x - ax，定义域为R，g'(x) = e^x - a.$

$- 当a \leq  0时，g'(x) > 0。所以g(x)在R上单调递增.$
$- 当a > 0时，令g'(x) = 0，得x = \ln a.$
$g(x)与g'(x)随x变化的情况如下：$

| $x$  | $(-\infty ，\ln a)$ | $\ln a$ |$(\ln a，+\infty )$|
|--------|-------|-------|------|
| $g'(x)$ |  -    |   0   |  +   |
| $g(x)$ | $\text{单调递减}$  | 极小值 | $\text{单调递增}$ |

$所以g(x)在(-\infty ，\ln a)上单调递减，在(\ln a，+\infty )上单调递增. 综上，当a \leq  0时，g(x)在R上单调递增. 当a > 0时，g(x)在(-\infty ，\ln a)上单调递减，在(\ln a，+\infty )上单调递增.$



Final answer: (-\infty ，\ln a)
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = \frac{x^3}{3} - (a+1)x^2+4ax+b，其中b\in R. a > 1$
$求函数f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$因为 f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2)，$

$令 f'(x)=0，得 x=2a 或 x=2。$

$当 a<1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2a)，(2,+\infty)。$

$当 a=1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,+\infty)。$

$当 a>1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2)，(2a,+\infty).$



Final answer: (-\infty,2)，(2a,+\infty)
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = \frac{x^3}{3} - (a+1)x^2+4ax+b，其中a,b\in R.$
$求函数f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$因为 f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2)，$

$令 f'(x)=0，得 x=2a 或 x=2。$

$当 a<1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2a)，(2,+\infty)。$

$当 a=1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,+\infty)。$

$当 a>1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2)，(2a,+\infty).$

Final answer: $当 a<1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2a)，(2,+\infty)。$

$当 a=1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,+\infty)。$

$当 a>1 时， f(x) 的单调递增区间为 (-\infty,2)，(2a,+\infty)。$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = \frac{x^3}{3} - (a+1)x^2+4ax+b，其中a,b\in R.$
$若函数f(x)在(-1,1)上只有一个极值点，求实数a的取值范围.$

Solution:
$由题意得f'(x)在(-1,1)上只有一个零点，由(2)知f'(x)=0的一个零点为2，故-1<2a<1，$
$解得-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}，所以a的取值范围是\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$



Final answer: \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
Subfield: Plane Geometry


Question: $设F为椭圆C：x^2/2+y^2=1的右焦点，过点F且与x轴不重合的直线l交椭圆C于A，B两点。$
$在x轴上是否存在异于F的定点Q，使 \frac{k_{QA}}{k_{QB}}为定值(其中k_{QA},k_{QB}分别为直线QA,QB的斜率)？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$假设在x轴上存在异于点F的定点Q(t,0)(t\neq 1),使得\frac{k_{QA}}{k_{QB}}为定值.$
$因为y_1+y_2=\frac{-2m}{m^2+2}, y_1y_2=\frac{-1}{m^2+2}，所以y_1+y_2=2my_1y_2，$
$所以\frac{k_{QA}}{k_{QB}} = \frac{\frac{y_1}{x_1-t}}{\frac{y_2}{x_2-t}} = \frac{y_1(x_2-t)}{y_2(x_1-t)} = \frac{y_1(my_2+1-t)}{y_2(my_1+1-t)} = \frac{my_1y_2+(1-t)y_1}{my_1y_2+(1-t)y_2} = \frac{2my_1y_2+2(1-t)y_1}{2my_1y_2+2(1-t)y_2} = \frac{(3-2t)y_1+y_2}{y_1+(3-2t)y_2}.$
$要使\frac{k_{QA}}{k_{QB}}为定值，则有\frac{3-2t}{1} = \frac{1}{3-2t}，解得t=2或t=1(舍去)，此时\frac{k_{QA}}{k_{QB}}=-1.$
$故在x轴上存在异于F的定点Q(2,0),使得\frac{k_{QA}}{k_{QB}}为定值.$

Final answer: $(2,0)$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C :  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1  (a > b > 0) 的离心率为  \frac{\sqrt{2}}{2} ，且过点 A (2，1)。$
$点M, N在C上，且AM\perp AN，AD\perp MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.$

Solution:
$证明：设M(x_1，y_1)，N(x_2，y_2).$
$若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+m，代入\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1得(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-6=0.$
$于是x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}，x_1x_2=\frac{2m^2-6}{1+2k^2}.①$
$由AM\perp AN知\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=0，故(x_1-2)(x_2-2)+(y_1-1)\cdot (y_2-1)=0，可得(k^2+1)x_1x_2+(km-k-2)(x_1+x_2)+(m-1)^2+4=0.$
$将①代入上式可得(k^2+1)\frac{2m^2-6}{1+2k^2}-(km-k-2)\cdot \frac{4km}{1+2k^2}+(m-1)^2+4=0.$
$整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.$
$因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k+m-1\neq 0，故2k+3m+1=0，k\neq 1.$
$于是MN的方程为y=k(x-\frac{2}{3})-\frac{1}{3}(k\neq 1).$
$所以直线MN过点P(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}).$
$若直线MN与x轴垂直，可得N(x_1，-y_1).$
$由\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=0得(x_1-2)(x_1-2)+(y_1-1)(-y_1-1)=0.$
$又\frac{x_1^2}{6}+\frac{y_1^2}{3}=1，可得3x_1^2-8x_1+4=0.$
$解得x_1=2(舍去)或x_1=\frac{2}{3}.$
$此时直线MN过点P(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}).$
$令Q为AP的中点，即Q(\frac{4}{3},\frac{1}{3}).$
$若D与P不重合，则由题设知AP是Rt\triangle ADP的斜边，故|DQ|=\frac{1}{2}|AP|=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$
$若D与P重合，则|DQ|=\frac{1}{2}|AP|.$
$综上，存在点Q(\frac{4}{3},\frac{1}{3})，使得|DQ|为定值.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，\odot M过点A，B且与直线x+2=0相切.$
$是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？请求出这样的P点的坐标$

Solution:
$存在定点P(1，0)，使得|MA|-|MP|为定值.$

理由如下：

$设M(x,y)，由已知得\odot M的半径r=|x+2|,|AO|=2,$

$由于 \overrightarrow{MO} \perp  \overrightarrow{AO}，故可得x^2+y^2+4=(x+2)^2,化简得M的轨迹方程为y^2=4x.$

$因为曲线C：y^2=4x是以点P(1，0)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.$

$因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1，$

$所以存在满足条件的定点P.$

Final answer: $(1,0)$
Subfield: Conic Sections


Question: $在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1的左、右焦点分别为F_1,F_2,点A在椭圆E上且在第一象限内，AF_2\perp F_1F_2，直线AF_1与椭圆E相交于另一点B.$

<img_2938>
$设点M在椭圆E上，记\triangle OAB与\triangle MAB的面积分别为S_1，S_2，若S_2=3S_1，求点M的坐标.$

Solution:
$因为椭圆E：x^2/4 + y^2/3 = 1 的左、右焦点分别为F_1，F_2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF_2 \perp F_1F_2，所以F_1(-1，0)，F_2(1，0)，A (1,3/2) ，所以直线AB：3x-4y+3=0.$

$设M(x，y)，因为S_2 = 3S_1，所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍.$

$由此得 |3x-4y+3|/5 = 3 \times  |3 \times 0-4 \times 0+3|/5 ，则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0.$

$由 \begin{cases}3x-4y+12=0 \\ x^2/4 + y^2/3 = 1\end{cases} 得7x^2+24x+32=0，此方程无解；$

$由 \begin{cases}3x-4y-6=0 \\ x^2/4 + y^2/3 = 1\end{cases} 得7x^2-12x-4=0，所以x=2或x=-2/7.$

$代入直线l：3x-4y-6=0，对应分别得y=0或y=-12/7.$

$因此点M的坐标为(2，0)或 (-2/7, -12/7).$

Final answer: $(2，0)， (-2/7, -12/7)$
Subfield: Conic Sections


Question: $在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1的左、右焦点分别为F_1,F_2,点A在椭圆E上且在第一象限内，AF_2\perp F_1F_2，直线AF_1与椭圆E相交于另一点B.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894504747266050/img/compression/M_1991b03c9b4312e62eb5cacd1530b890.jpg)
$设点M在椭圆E上，记\triangle OAB与\triangle MAB的面积分别为S_1，S_2，若S_2=3S_1，求点M的坐标.$

Solution:
$因为椭圆E：x^2/4 + y^2/3 = 1 的左、右焦点分别为F_1，F_2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF_2 \perp F_1F_2，所以F_1(-1，0)，F_2(1，0)，A (1,3/2) ，所以直线AB：3x-4y+3=0.$

$设M(x，y)，因为S_2 = 3S_1，所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍.$

$由此得 |3x-4y+3|/5 = 3 \times  |3 \times 0-4 \times 0+3|/5 ，则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0.$

$由 \begin{cases}3x-4y+12=0 \\ x^2/4 + y^2/3 = 1\end{cases} 得7x^2+24x+32=0，此方程无解；$

$由 \begin{cases}3x-4y-6=0 \\ x^2/4 + y^2/3 = 1\end{cases} 得7x^2-12x-4=0，所以x=2或x=-2/7.$

$代入直线l：3x-4y-6=0，对应分别得y=0或y=-12/7.$

$因此点M的坐标为(2，0)或 (-2/7, -12/7).$

Final answer: $(2，0)， (-2/7, -12/7)$
Subfield: Conic Sections


Question: $在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}，点\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)在椭圆C上.$
$设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线AP的斜率为k_1，直线QB的斜率为k_2，k_1=7k_2.$
1. 求直线PQ恒过x轴上一定点的该定点的坐标；
$

Solution:
①证明：依题意，点A(-2,0),B(2,0)，
$设P(x1,y1),Q(x2,y2)，$
$若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有k_{AP}=-k_{BQ}，不合题意，$
所以直线PQ的斜率必不为0，
$设其方程为x=ty+n (n\neq \pm 2)，$
与椭圆C联立，得

$$
\left\{
\begin{matrix}
x^2+4y^2=4,\\ 
x=ty+n,
\end{matrix}
\right.
$$

$整理得(t^2+4)y^2+2tny+n^2-4=0，$
$所以\Delta =4t^2n^2-4(t^2+4)(n^2-4)>0，且$

$$
\left\{
\begin{matrix}
y_1+y_2=-\frac{2tn}{t^2+4},\\ 
y_1y_2=\frac{n^2-4}{t^2-4}.
\end{matrix}
\right.
$$

$因为点P(x1,y1)是椭圆上一点，$
所以

$\frac{x^2_1}{4}$

+ y_1^2=1，
$所以k_AP\cdot k_BP=$

$$
\frac{y_1}{x_1+2}\frac{y_1}{x_1-2}=\frac{y^2_1}{x^2_1-4}=\frac{1-\frac{x^2_1}{4}}{x^2_1-4}=-\frac{1}{4},
$$

$所以k_AP=-\frac{1}{4k_BP}=7k_BQ，即28k_BP\cdot k_BQ=-1.$
$因为28k_BP\cdot k_BQ=$

$$
\frac{28y_1y_2}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{28y_1y_2}{(ty_1+n-2)(ty_2+n-2)}=\frac{28y_1y_2}{t^2y_1y_2+t(n-2)(y_1+y_2)+(n-2)^2}=\frac{\frac{28(n^2-4)}{t^2+4}}{\frac{t^2(n^2-4)}{t^2+4}-\frac{2t^2n(n-2)}{t^2+4}+(n-2)^2}=\frac{28(n+2)}{t^2(n+2)-2t^2n+(n-2)(t^2+4)}=\frac{28(n+2)}{4(n-2)}=\frac{7n+14}{n-2}=-1,
$$

$所以n=-\frac{3}{2}，此时\Delta =16(t^2+4-n^2)=4(4t^2+7)>0，$
故直线PQ恒过x轴上一定点D 

$$
\left(-\frac{3}{2},0\right).
$$

$②由①得y_1+y_2=\frac{3t}{t^2+4},y_1y_2=\frac{n^2-4}{t^2+4}=-\frac{7}{4(t^2+4)}，$
$所以|S_1-S_2|=\frac{1}{2}|y_1-y_2|\left|2+\frac{3}{2}\right|-\frac{1}{2}|y_1-y_2|\left|-2+\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}|y_1-y_2|=\frac{3}{2}\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\frac{3\sqrt{4t^2+7}}{t^2+4}=3\sqrt{\frac{4(t^2+4)-9}{(t^2+4)^2}}=3\sqrt{\frac{4}{t^2+4}-\frac{9}{(t^2+4)^2}}=\sqrt{-9\left(\frac{3}{t^2+4}-\frac{2}{3}\right)^2+4}\leq 2$

$$
\left(\text{当且仅当}\frac{3}{t^2+4}=\frac{2}{3},\text{即}t^2=\frac{1}{2}\text{时},\text{等号成立}\right)\mathrm{,} 
$$

$所以|S_1-S_2|的最大值为2.$

Final answer: $(-\frac{3}{2},0)$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线C：\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) 经过点 A (2,0)，且点 A 到 C 的渐近线的距离为 \frac{2\sqrt{21}}{7}$
$过点(4,0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x=4分别交直线AM，AN于点E，F.以EF为直径的圆经过定点.请求出该定点坐标$

Solution:
$- ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-4)，$

由
$$
\left\{
\begin{matrix}
y=k(x-4),\\ 
\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1
\end{matrix}
\right.
$$
$可得  (3-4k^2)x^2+32k^2x-64k^2-12=0 ，易知 k \neq  \pm \frac{\sqrt{3}}{2}，\Delta >0 。$
$设M(x_1, y_1)，N(x_2, y_2)，则可以得到$
$x_1 + x_2 = \frac{-32k^2}{3-4k^2}，x_1x_2 = \frac{-64k^2-12}{3-4k^2}。$

$直线AM的方程为y=\frac{y_1}{x_1-2}(x-2)，令x=4，得点E(4,\frac{2y_1}{x_1-2})。$

$直线AN的方程为y=\frac{y_2}{x_2-2}(x-2)，令x=4，得点F(4,\frac{2y_2}{x_2-2})。$

$则以EF为直径的圆的方程为(x-4)(x-4) + \left(y-\frac{2y_1}{x_1-2}\right)\left(y-\frac{2y_2}{x_2-2}\right) = 0。$

$令y=0，得 (x-4)^2 = -\frac{4y_1y_2}{(x_1-2)(x_2-2)} ，$

$将y_1=k(x_1-4)，y_2=k(x_2-4)代入上式，$

$得 (x-4)^2 = -\frac{4k^2[x_1x_2-4(x_1+x_2)+16]}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4} $

即
$$
(x-4)^2 = -\frac{4k^2\left(\frac{-64k^2-12}{3-4k^2}-4 \cdot \frac{-32k^2}{3-4k^2}+16\right)}{\frac{-64k^2-12}{3-4k^2}-2 \cdot \frac{-32k^2}{3-4k^2}+4} = 9
$$

$解得x=1或x=7，即以EF为直径的圆经过点(1,0)和(7,0).$

$- ②当直线l的斜率不存在时，点E,F的坐标分别为(4,3)，(4,-3)，以EF为直径的圆的方程为(x-4)(x-4)+(y-3)(y+3)=0，该圆经过点(1,0)和(7,0).$

$综上可得，以EF为直径的圆经过定点(1,0)和(7,0).$

Final answer: $(1,0)，(7,0)$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = x^2 + x\sin (x) + \cos (x).$
若曲线y=f(x)在点(a， f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；

Solution:
$由f(x)=x^2+x\sin x+\cos x，得f'(x)=x\cdot (2+\cos x)。$
$因为曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切，所以f'(a)=a(2+\cos a)=0，$
$因为\cos a\neq -2，所以a=0，所以b=f(a)=f(0)=1。$

Final answer: $a=0, b=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C：x^{2}=-2py经过点(2，-1)。$
$设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.$
$求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.$

Solution:
证明：$抛物线C的焦点为F(0，-1).设直线l的方程为y=kx-1(k\neq 0).由$
$$
\left\{\begin{matrix}y=kx-1,\\ x^2=-4y\end{matrix}\right.
$$
$得x^2+4kx-4=0.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2=-4，直线OM的方程为y= \frac{y_1}{x_1} x.令y=-1，得点A的横坐标xA=- \frac{x_1}{y_1}.同理得点B的横坐标xB=- \frac{x_2}{y_2}.设点D(0,n)，则$
$\overrightarrow{DA}= \left(-\frac{x_1}{y_1},-1-n\right) ，$
$\overrightarrow{DB}= \left(-\frac{x_2}{y_2},-1-n\right) ，所以$
$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}=$
$\frac{x_1x_2}{y_1y_2}+(n+1)^2=$
$\frac{x_1x_2}{\left(-\frac{x^2_1}{4}\right)\left(-\frac{x^2_2}{4}\right)}+(n+1)^2=$
$\frac{16}{x_1x_2}+(n+1)^2=-4+(n+1)^2.令$
$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}=0，即-4+(n+1)^2=0，得n=1或n=-3.$

综上，$以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，1)和(0，-3).$