di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，柱形绝热汽缸固定在倾角为37^\circ 的斜面上，汽缸深度为H=4 cm，汽缸口有固定卡槽。汽缸内用质量为m=1 kg、横截面积为S=0.5 cm^2的绝热活塞封闭了一定质量的理想气体，此时活塞距汽缸底部的距离为\frac{H}{2}，汽缸内气体温度为T_0。现通过汽缸底部的电热丝(体积可忽略)缓慢对气体加热，一直到气体温度升高到3T_0。加热过程中通过电热丝的电流恒为I=0.2 A，电热丝电阻为R=1 \Omega ，加热时间为t=1 min，若电热丝产生的热量全部被气体吸收。大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa，不计活塞及固定卡槽的厚度，活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动且不漏气。已知\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8，取g=10 m/s^2。求：$
<img_957>
气体温度升高到$3T_{0}$时的压强；

Solution:
以活塞为研究对象，初始时受力平衡，有
$p_1S=p_0S+mg \sin 37^\circ $
$解得p_1=2.2\times 10^5 Pa$
$活塞到达卡槽前，汽缸内气体压强恒为p_1，由盖-吕萨克定律有$
$\frac{S \cdot \frac{H}{2}}{T_0}=\frac{SH}{T_1}$
$解得T_1=2T_0$
活塞达到卡槽后，汽缸内气体体积不变，由查理定律有
$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{3T_0}$
$解得p_2=3.3\times 10^5 Pa$



Final answer: $3.3\times 10^5$ Pa
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，柱形绝热汽缸固定在倾角为37^\circ 的斜面上，汽缸深度为H=4 cm，汽缸口有固定卡槽。汽缸内用质量为m=1 kg、横截面积为S=0.5 cm^2的绝热活塞封闭了一定质量的理想气体，此时活塞距汽缸底部的距离为\frac{H}{2}，汽缸内气体温度为T_0。现通过汽缸底部的电热丝(体积可忽略)缓慢对气体加热，一直到气体温度升高到3T_0。加热过程中通过电热丝的电流恒为I=0.2 A，电热丝电阻为R=1 \Omega ，加热时间为t=1 min，若电热丝产生的热量全部被气体吸收。大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa，不计活塞及固定卡槽的厚度，活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动且不漏气。已知\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8，取g=10 m/s^2。求：$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613952842149889/img/compression/M_db609ed8aa5d607924212eced73aad8f.jpg)
$气体温度从T_0升高到3T_0的过程中增加的内能。$

Solution:
$电热丝产生的热量Q=I^2Rt=2.4 J$

$气体对外做功W=p_1S\cdot \frac{H}{2}=0.22 J$

$由热力学第一定律知气体增加的内能\Delta U=Q-W$

$解得\Delta U=2.18 J$

Final answer: $2.18 J$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，柱形绝热汽缸固定在倾角为37^\circ 的斜面上，汽缸深度为H=4 cm，汽缸口有固定卡槽。汽缸内用质量为m=1 kg、横截面积为S=0.5 cm^2的绝热活塞封闭了一定质量的理想气体，此时活塞距汽缸底部的距离为\frac{H}{2}，汽缸内气体温度为T_0。现通过汽缸底部的电热丝(体积可忽略)缓慢对气体加热，一直到气体温度升高到3T_0。加热过程中通过电热丝的电流恒为I=0.2 A，电热丝电阻为R=1 \Omega ，加热时间为t=1 min，若电热丝产生的热量全部被气体吸收。大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa，不计活塞及固定卡槽的厚度，活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动且不漏气。已知\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8，取g=10 m/s^2。求：$
<img_957>
$气体温度从T_0升高到3T_0的过程中增加的内能。$

Solution:
$电热丝产生的热量Q=I^2Rt=2.4 J$

$气体对外做功W=p_1S\cdot \frac{H}{2}=0.22 J$

$由热力学第一定律知气体增加的内能\Delta U=Q-W$

$解得\Delta U=2.18 J$

Final answer: $2.18 J$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某兴趣小组设计了一温度报警装置，原理图如图。一定质量的理想气体被一上表面涂有导电物质的活塞封在导热汽缸内，活塞厚度不计，总质量m=100 g，横截面积S=10 cm^2，开始时活塞距汽缸底部的高度为h=6 cm，缸内温度为T_1=360 K。当环境温度上升，活塞缓慢上移\Delta h=4 cm时，活塞上表面与a、b两触点接触，报警器报警。不计一切摩擦，大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa,g=10 m/s^2，试求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614031476707330/img/compression/M_e1391588c5d743084e10794dc5f49608.jpg)
$该报警装置的报警温度T_2；$

Solution:
$汽缸内气体发生的是等压变化，由盖-吕萨克定律 \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}，得\frac{hS}{T_1} = \frac{(h+\Delta h)S}{T_2}$

$代入数据解得 T_2 = 600 K$

Final answer: $600 K$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某兴趣小组设计了一温度报警装置，原理图如图。一定质量的理想气体被一上表面涂有导电物质的活塞封在导热汽缸内，活塞厚度不计，总质量m=100 g，横截面积S=10 cm^2，开始时活塞距汽缸底部的高度为h=6 cm，缸内温度为T_1=360 K。当环境温度上升，活塞缓慢上移\Delta h=4 cm时，活塞上表面与a、b两触点接触，报警器报警。不计一切摩擦，大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa,g=10 m/s^2，试求：$

<img_652>
$该报警装置的报警温度T_2；$

Solution:
$汽缸内气体发生的是等压变化，由盖-吕萨克定律 \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}，得\frac{hS}{T_1} = \frac{(h+\Delta h)S}{T_2}$

$代入数据解得 T_2 = 600 K$

Final answer: $600 K$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某兴趣小组设计了一温度报警装置，原理图如图。一定质量的理想气体被一上表面涂有导电物质的活塞封在导热汽缸内，活塞厚度不计，总质量m=100 g，横截面积S=10 cm^2，开始时活塞距汽缸底部的高度为h=6 cm，缸内温度为T_1=360 K。当环境温度上升，活塞缓慢上移\Delta h=4 cm时，活塞上表面与a、b两触点接触，报警器报警。不计一切摩擦，大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa,g=10 m/s^2，试求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614031476707330/img/compression/M_e1391588c5d743084e10794dc5f49608.jpg)
若上述过程气体的内能增加15.96 J，则气体吸收的热量Q为多少。

Solution:
$初始状态汽缸内气体压强 p = p_0 + \frac{mg}{S} =1.01\times 10^5 Pa$

$气体等压膨胀对外做功 W = - pS \Delta  h = -4.04 J$

$由热力学第一定律得 \Delta  U = W + Q$

$得 Q = \Delta  U - W =15.96 J+4.04 J=20 J，则气体吸热20 J$

Final answer: $20 J$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某兴趣小组设计了一温度报警装置，原理图如图。一定质量的理想气体被一上表面涂有导电物质的活塞封在导热汽缸内，活塞厚度不计，总质量m=100 g，横截面积S=10 cm^2，开始时活塞距汽缸底部的高度为h=6 cm，缸内温度为T_1=360 K。当环境温度上升，活塞缓慢上移\Delta h=4 cm时，活塞上表面与a、b两触点接触，报警器报警。不计一切摩擦，大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa,g=10 m/s^2，试求：$

<img_652>
若上述过程气体的内能增加15.96 J，则气体吸收的热量Q为多少。

Solution:
$初始状态汽缸内气体压强 p = p_0 + \frac{mg}{S} =1.01\times 10^5 Pa$

$气体等压膨胀对外做功 W = - pS \Delta  h = -4.04 J$

$由热力学第一定律得 \Delta  U = W + Q$

$得 Q = \Delta  U - W =15.96 J+4.04 J=20 J，则气体吸热20 J$

Final answer: $20 J$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，A、B、C三段粗细相同且均匀、底部连通的玻璃管竖直放置，A管上端封闭，B管上端开口，C管中有活塞且与管内壁气密性良好，管内有水银，A管中水银液面比B管中水银液面低h=4 cm，C管中水银液面比A管中水银液面低h=4 cm，A管和C管中封闭气柱长均为9 cm，大气压强为76 cmHg，将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm(此时C管中仍有水银)，求：$

![23BHUN5WL643.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614031904526339/img/compression/M_493f9ac3dc60d7a0bdca48507b60837d.jpg)
C 管中水银液面下降的高度；

Solution:
$设玻璃管横截面积为S，初状态时，A中气体压强p_A<=p_0+\rho gh=80 cmHg，A中气体体积为V_A=9 cm\cdot S；将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm，则末状态A中气体压强为p_A'=p_0+\rho gh'=90 cmHg，根据玻意耳定律得p_AV_A=p_A'V_A'，解得V_A'=8 cm\cdot S，可知A中液面上升1 cm，B中液面上升11 cm，C中液面下降的距离等于A、B中液面上升距离之和，因此C管中水银液面下降的距离h_C=(9-8) cm+(15-4) cm=12 cm。$

Final answer: 12 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，A、B、C三段粗细相同且均匀、底部连通的玻璃管竖直放置，A管上端封闭，B管上端开口，C管中有活塞且与管内壁气密性良好，管内有水银，A管中水银液面比B管中水银液面低h=4 cm，C管中水银液面比A管中水银液面低h=4 cm，A管和C管中封闭气柱长均为9 cm，大气压强为76 cmHg，将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm(此时C管中仍有水银)，求：$

<img_526>
C 管中水银液面下降的高度；

Solution:
$设玻璃管横截面积为S，初状态时，A中气体压强p_A<=p_0+\rho gh=80 cmHg，A中气体体积为V_A=9 cm\cdot S；将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm，则末状态A中气体压强为p_A'=p_0+\rho gh'=90 cmHg，根据玻意耳定律得p_AV_A=p_A'V_A'，解得V_A'=8 cm\cdot S，可知A中液面上升1 cm，B中液面上升11 cm，C中液面下降的距离等于A、B中液面上升距离之和，因此C管中水银液面下降的距离h_C=(9-8) cm+(15-4) cm=12 cm。$

Final answer: 12 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，A、B、C三段粗细相同且均匀、底部连通的玻璃管竖直放置，A管上端封闭，B管上端开口，C管中有活塞且与管内壁气密性良好，管内有水银，A管中水银液面比B管中水银液面低h=4 cm，C管中水银液面比A管中水银液面低h=4 cm，A管和C管中封闭气柱长均为9 cm，大气压强为76 cmHg，将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm(此时C管中仍有水银)，求：$

<img_526>
$活塞向下移动的距离。(结果保留两位有效数字)$

Solution:
$以C中气体为研究对象，初状态，压强为p_{C}=p_{0}+2\rho gh=84 cmHg，体积为V_{C}=9 cm\cdot S，末状态，压强为p_{C}'=p_{0}+2\rho gh+\rho gh_{C}+\rho gh_{B}，其中h_{B}为B管中液面上升高度，h_{B}=11 cm，解得p_{C}'=107 cmHg，根据玻意耳定律得p_{C}V_{C}=p_{C}'V_{C}'，解得V_{C}'\approx 7.1 cm\cdot S，则活塞移动的距离为h_{活塞}=(9+12) cm-7.1 cm=13.9 cm\approx 14 cm。$

Final answer: $14 cm$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，A、B、C三段粗细相同且均匀、底部连通的玻璃管竖直放置，A管上端封闭，B管上端开口，C管中有活塞且与管内壁气密性良好，管内有水银，A管中水银液面比B管中水银液面低h=4 cm，C管中水银液面比A管中水银液面低h=4 cm，A管和C管中封闭气柱长均为9 cm，大气压强为76 cmHg，将活塞缓慢向下压，使A、B管中水银液面高度差变为14 cm(此时C管中仍有水银)，求：$

![23BHUN5WL643.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614031904526339/img/compression/M_493f9ac3dc60d7a0bdca48507b60837d.jpg)
$活塞向下移动的距离。(结果保留两位有效数字)$

Solution:
$以C中气体为研究对象，初状态，压强为p_{C}=p_{0}+2\rho gh=84 cmHg，体积为V_{C}=9 cm\cdot S，末状态，压强为p_{C}'=p_{0}+2\rho gh+\rho gh_{C}+\rho gh_{B}，其中h_{B}为B管中液面上升高度，h_{B}=11 cm，解得p_{C}'=107 cmHg，根据玻意耳定律得p_{C}V_{C}=p_{C}'V_{C}'，解得V_{C}'\approx 7.1 cm\cdot S，则活塞移动的距离为h_{活塞}=(9+12) cm-7.1 cm=13.9 cm\approx 14 cm。$

Final answer: $14 cm$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，均匀介质中两波源S_1、S_2分别位于x轴上x_1=0、x_2=14 m处，质点P位于x轴上x=4 m处，t=0时刻两波源同时开始由平衡位置向y轴正方向振动，振动周期均为T=0.1 s，波长均为4 m，波源S_1的振幅为A_1=4 cm，波源S_2的振幅为A_2=6 cm。则<br>$
![20BKB5WL323.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614255758979074/img/compression/M_74dae7b36e2761851fa9d0a8ae9a7d7b.jpg)
两列波的传播速度大小为多少？

Solution:
$同种介质中波速相同，v=\frac{\lambda }{T}=\frac{4}{0.1} m/s=40 m/s$

Final answer: $40 m/s$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，均匀介质中两波源S_1、S_2分别位于x轴上x_1=0、x_2=14 m处，质点P位于x轴上x=4 m处，t=0时刻两波源同时开始由平衡位置向y轴正方向振动，振动周期均为T=0.1 s，波长均为4 m，波源S_1的振幅为A_1=4 cm，波源S_2的振幅为A_2=6 cm。则<br>$
<img_861>
两列波的传播速度大小为多少？

Solution:
$同种介质中波速相同，v=\frac{\lambda }{T}=\frac{4}{0.1} m/s=40 m/s$

Final answer: $40 m/s$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，均匀介质中两波源S_1、S_2分别位于x轴上x_1=0、x_2=14 m处，质点P位于x轴上x=4 m处，t=0时刻两波源同时开始由平衡位置向y轴正方向振动，振动周期均为T=0.1 s，波长均为4 m，波源S_1的振幅为A_1=4 cm，波源S_2的振幅为A_2=6 cm。则<br>$
<img_861>
$从t=0至t=0.35 s内质点P通过的路程为多少？$

Solution:
$由波源S1发出的波到达P点的时间t1=\frac{x}{v}=0.1 s$

$由波源S2发出的波到达P点的时间t2=\frac{x_2-x}{v}=0.25 s$

$两波叠加前P点振动时间\Delta t1=t2-t1=0.15 s$

$两波叠加前P点振动的路程l1=\frac{\Delta t_1}{T}\cdot 4A1=24 cm$

$两列波振动步调一致，\Delta x=10 m=(2n+1)\frac{\lambda }{2}(n=2)，当波源S2发出的波到达P点时，两列波叠加振动减弱，P点振幅为A=A2-A1=2 cm$

$在0.25～0.35 s时间内P点振动的路程为l2=\frac{\Delta t_2}{T}\cdot 4A=8 cm$

所以从t=0至t=0.35 s内质点P通过的路程$l=l1+l2=32 cm$

Final answer: $32 cm$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，均匀介质中两波源S_1、S_2分别位于x轴上x_1=0、x_2=14 m处，质点P位于x轴上x=4 m处，t=0时刻两波源同时开始由平衡位置向y轴正方向振动，振动周期均为T=0.1 s，波长均为4 m，波源S_1的振幅为A_1=4 cm，波源S_2的振幅为A_2=6 cm。则<br>$
![20BKB5WL323.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614255758979074/img/compression/M_74dae7b36e2761851fa9d0a8ae9a7d7b.jpg)
$从t=0至t=0.35 s内质点P通过的路程为多少？$

Solution:
$由波源S1发出的波到达P点的时间t1=\frac{x}{v}=0.1 s$

$由波源S2发出的波到达P点的时间t2=\frac{x_2-x}{v}=0.25 s$

$两波叠加前P点振动时间\Delta t1=t2-t1=0.15 s$

$两波叠加前P点振动的路程l1=\frac{\Delta t_1}{T}\cdot 4A1=24 cm$

$两列波振动步调一致，\Delta x=10 m=(2n+1)\frac{\lambda }{2}(n=2)，当波源S2发出的波到达P点时，两列波叠加振动减弱，P点振幅为A=A2-A1=2 cm$

$在0.25～0.35 s时间内P点振动的路程为l2=\frac{\Delta t_2}{T}\cdot 4A=8 cm$

所以从t=0至t=0.35 s内质点P通过的路程$l=l1+l2=32 cm$

Final answer: $32 cm$
Subfield: Optics


Question: $在平整的水面下方h=\sqrt{7} m深处有一与水面平行的长L=1 m的单色直线光源AB，已知水对该单色光的折射率为n=\frac{4}{3}。$

![22BHUN5WL543.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614392825892866/img/compression/M_2af7f8711685cfacf77e3fb04e5c05ad.jpg)
若只有A点发光，则岸上观察到水面被照亮的面积多大？

Solution:
$如图甲所示，设水下A点发射的光在水面A'处恰好发生全反射，则岸上观察到水面被照亮部分为以O点为圆心、OA'为半径的圆形区域。$

$全反射临界角满足\sin C= \frac{1}{n}= \frac{3}{4}，\tan C= \frac{3}{\sqrt{7}}$

则$R=h \tan C=3 m$

$面积S=\pi R^2=9\pi  m^2$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614391781511170/img/compression/M_6980a0d1de2309bbcdeab6da0472cd6d.jpg)

Final answer: $9\pi  m^2$
Subfield: Optics


Question: $在平整的水面下方h=\sqrt{7} m深处有一与水面平行的长L=1 m的单色直线光源AB，已知水对该单色光的折射率为n=\frac{4}{3}。$

<img_705>
若只有A点发光，则岸上观察到水面被照亮的面积多大？

Solution:
$如图甲所示，设水下A点发射的光在水面A'处恰好发生全反射，则岸上观察到水面被照亮部分为以O点为圆心、OA'为半径的圆形区域。$

$全反射临界角满足\sin C= \frac{1}{n}= \frac{3}{4}，\tan C= \frac{3}{\sqrt{7}}$

则$R=h \tan C=3 m$

$面积S=\pi R^2=9\pi  m^2$

<img_545>

Final answer: $9\pi  m^2$
Subfield: Optics


Question: $在平整的水面下方h=\sqrt{7} m深处有一与水面平行的长L=1 m的单色直线光源AB，已知水对该单色光的折射率为n=\frac{4}{3}。$

<img_705>
若整个单色直线光源AB发光，则岸上观察到水面被照亮的面积多大？

Solution:
$若整个单色直线光源AB发光，第(ⅰ)问中被照亮的圆形区域沿直线连续移动光源长度L所扫过的面积(圆心自O点沿A' O方向移动长度L)即岸上观察到水面被照亮部分，形状如图乙。$
$面积为：S' = \pi R^2+2RL = (9\pi +6)m^2$

<img_766>

Final answer: $(9\pi+6)m^2$
Subfield: Optics


Question: $在平整的水面下方h=\sqrt{7} m深处有一与水面平行的长L=1 m的单色直线光源AB，已知水对该单色光的折射率为n=\frac{4}{3}。$

![22BHUN5WL543.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614392825892866/img/compression/M_2af7f8711685cfacf77e3fb04e5c05ad.jpg)
若整个单色直线光源AB发光，则岸上观察到水面被照亮的面积多大？

Solution:
$若整个单色直线光源AB发光，第(ⅰ)问中被照亮的圆形区域沿直线连续移动光源长度L所扫过的面积(圆心自O点沿A' O方向移动长度L)即岸上观察到水面被照亮部分，形状如图乙。$
$面积为：S' = \pi R^2+2RL = (9\pi +6)m^2$

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614391781511170/img/compression/M_a796596ee98c3547d18d54b633bd570a.jpg)

Final answer: $(9\pi+6)m^2$
Subfield: Optics


Question: 如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,$\theta =30^\circ $。光在真空中的传播速度为c。求：

<img_928>
玻璃的折射率；

Solution:
光路图如图所示
<img_432>

在A点发生折射时，$\theta =30^\circ $

由几何关系：$\alpha =2\theta =60^\circ $

$则折射率n=\frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta }=\sqrt{3}$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: 如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,$\theta =30^\circ $。光在真空中的传播速度为c。求：

![23GZT5WL219.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614322537746434/img/compression/M_dbdea916f9bc4ad27d8d96984fe2103b.jpg)
玻璃的折射率；

Solution:
光路图如图所示
![23GZT5WL224答案.jpg](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614322860707842/img/compression/M_3a9c7a6bc00b25c8f1f97f10ea13cfa9.jpg)

在A点发生折射时，$\theta =30^\circ $

由几何关系：$\alpha =2\theta =60^\circ $

$则折射率n=\frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta }=\sqrt{3}$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: 如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,$\theta =30^\circ $。光在真空中的传播速度为c。求：

![23GZT5WL219.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614322537746434/img/compression/M_dbdea916f9bc4ad27d8d96984fe2103b.jpg)
从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。

Solution:
从S发出的光线经3次全反射后回到S点所用时间最短，
$光通过的路程s=4\sqrt{2}R$
$光速v=\frac{c}{n}$
$最短时间t=\frac{s}{v}$
$联立解得t=\frac{4\sqrt{6}R}{c}$

Final answer: $\frac{4\sqrt{6}R}{c}$
Subfield: Optics


Question: 如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,$\theta =30^\circ $。光在真空中的传播速度为c。求：

<img_928>
从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。

Solution:
从S发出的光线经3次全反射后回到S点所用时间最短，
$光通过的路程s=4\sqrt{2}R$
$光速v=\frac{c}{n}$
$最短时间t=\frac{s}{v}$
$联立解得t=\frac{4\sqrt{6}R}{c}$



Final answer: $\frac{4\sqrt{6}R}{c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，玻璃砖的横截面是半径为R的四分之一圆，一光线从半径OA上到圆心O距离为 \frac{\sqrt{3}}{3} R 的D点沿截面射入玻璃砖，入射光线与OA的夹角\alpha =45^\circ ，折射光线射到AB弧上的E点，且光线在AB弧上的入射角\beta =30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$
- ①玻璃砖对该光线的折射率n
- ②光线从D点传播到E点的时间t

<img_1225>

Solution:
①光线从D点射入玻璃砖的入射角为
$i=90^\circ -\alpha =45^\circ $
对$\triangle ODE$，根据正弦定理有
$\frac{\sin \angle ODE}{R}=\frac{\sin  \beta }{\frac{\sqrt{3}}{3}R}，$
已知$\beta =30^\circ $，
解得$\angle ODE=120^\circ $
光线从D点射入玻璃砖的折射角$r=\angle ODE-90^\circ =30^\circ $
又$n=\frac{\sin  i}{\sin  r}$
解得$n=\sqrt{2}$
②根据几何关系可知，D、E两点间的距离为$x=\frac{\sqrt{3}}{3}R$
光线在玻璃砖内传播的速度大小为$v=\frac{c}{n}，又$t=$\frac{x}{v}$
解得$t=\frac{\sqrt{6}R}{3c}$

Final answer: $\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}R}{3c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，玻璃砖的横截面是半径为R的四分之一圆，一光线从半径OA上到圆心O距离为 \frac{\sqrt{3}}{3} R 的D点沿截面射入玻璃砖，入射光线与OA的夹角\alpha =45^\circ ，折射光线射到AB弧上的E点，且光线在AB弧上的入射角\beta =30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$
- ①玻璃砖对该光线的折射率n
- ②光线从D点传播到E点的时间t

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614326199373827/img/compression/M_4c94fe54fb347d5bb4f4f9b92f68584e.jpg)

Solution:
①光线从D点射入玻璃砖的入射角为
$i=90^\circ -\alpha =45^\circ $
对$\triangle ODE$，根据正弦定理有
$\frac{\sin \angle ODE}{R}=\frac{\sin  \beta }{\frac{\sqrt{3}}{3}R}，$
已知$\beta =30^\circ $，
解得$\angle ODE=120^\circ $
光线从D点射入玻璃砖的折射角$r=\angle ODE-90^\circ =30^\circ $
又$n=\frac{\sin  i}{\sin  r}$
解得$n=\sqrt{2}$
②根据几何关系可知，D、E两点间的距离为$x=\frac{\sqrt{3}}{3}R$
光线在玻璃砖内传播的速度大小为$v=\frac{c}{n}，又$t=$\frac{x}{v}$
解得$t=\frac{\sqrt{6}R}{3c}$

Final answer: $\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}R}{3c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，一球体光学器件是用折射率为\sqrt{2}的某种玻璃制成的，其半径为R，现用一细光束垂直球体的轴线以i=45^\circ 的入射角从真空中射入球体，不考虑光线在球体内的反射。$
 求该光线从球体中射出时，出射光线偏离原方向的角度；
 若入射角i可以改变，求球体上有光线射出的面积。
![24AHUN5WL351.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614326891433986/img/compression/M_cfab85d38ba9584c361a9f1b6c7d6d43.jpg)

Solution:
$① 作出光路图如图所示，由折射定律 n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，得 \sin r=\frac{\sin  i}{n}=\frac{1}{2}。则光线射入球体内的折射角为 r=30^\circ ，由几何知识得，光线从球体射出时，在球体内的入射角为30^\circ ，在球体外的折射角为45^\circ ，光路图如图所示。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623614326891433986/img/compression/M_0d4f15dd6d12a983436c0b67c25caa4b.jpg)

$由几何知识，出射光线偏离原方向的角度为 \alpha =30^\circ $

$② 由 n=\frac{1}{\sin C}=\sqrt{2} 可得全反射临界角 C=45^\circ 。当入射角等于90^\circ 时，折射角为45^\circ ，所以球体下半表面有光线射出。故有光线射出的面积为 S=\frac{1}{2}\times 4\pi R^2=2\pi R^2。$

Final answer: $30$, $2\pi R^2$ ^\circ,
Subfield: Optics


Question: $如图所示，一球体光学器件是用折射率为\sqrt{2}的某种玻璃制成的，其半径为R，现用一细光束垂直球体的轴线以i=45^\circ 的入射角从真空中射入球体，不考虑光线在球体内的反射。$
 求该光线从球体中射出时，出射光线偏离原方向的角度；
 若入射角i可以改变，求球体上有光线射出的面积。
<img_722>

Solution:
$① 作出光路图如图所示，由折射定律 n=\frac{\sin  i}{\sin  r}，得 \sin r=\frac{\sin  i}{n}=\frac{1}{2}。则光线射入球体内的折射角为 r=30^\circ ，由几何知识得，光线从球体射出时，在球体内的入射角为30^\circ ，在球体外的折射角为45^\circ ，光路图如图所示。$

<img_760>

$由几何知识，出射光线偏离原方向的角度为 \alpha =30^\circ $

$② 由 n=\frac{1}{\sin C}=\sqrt{2} 可得全反射临界角 C=45^\circ 。当入射角等于90^\circ 时，折射角为45^\circ ，所以球体下半表面有光线射出。故有光线射出的面积为 S=\frac{1}{2}\times 4\pi R^2=2\pi R^2。$

Final answer: $30$, $2\pi R^2$ ^\circ,
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521984883658755/img/compression/M_053fe525de3c374151b72f3027a8908c.jpg)
物块A刚滑上木板C时的速度大小；

Solution:
对物块A从静止释放到刚滑上木板C过程，运用动能定理有m_{A}gh=1/2m_{A}v^2

解得v=4 m/s

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

<img_573>
物块A刚滑上木板C时的速度大小；

Solution:
对物块A从静止释放到刚滑上木板C过程，运用动能定理有m_{A}gh=1/2m_{A}v^2

解得v=4 m/s

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

<img_573>
从A滑上C直至A、B发生碰撞所需的时间；

Solution:
$A滑上C后做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 \mu _Am_Ag = m_Aa_A$

$解得 a_A = 3 m/s^2$

假设B、C之间无相对滑动，对BC整体，根据牛顿第二定律有

$\mu _Am_Ag - \mu _C(m_A+m_B+m_C)g = (m_B+m_C)a$

$解得 a = 2 m/s^2 < \mu _Bg$

假设成立。

A与B发生碰撞，根据均变速直线运动规律有

$vt - 1/2 a_At^2 - 1/2 at^2 = d$

解得 t = 0.5 s

另一解舍去。

Final answer: 0.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521984883658755/img/compression/M_053fe525de3c374151b72f3027a8908c.jpg)
从A滑上C直至A、B发生碰撞所需的时间；

Solution:
$A滑上C后做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 \mu _Am_Ag = m_Aa_A$

$解得 a_A = 3 m/s^2$

假设B、C之间无相对滑动，对BC整体，根据牛顿第二定律有

$\mu _Am_Ag - \mu _C(m_A+m_B+m_C)g = (m_B+m_C)a$

$解得 a = 2 m/s^2 < \mu _Bg$

假设成立。

A与B发生碰撞，根据均变速直线运动规律有

$vt - 1/2 a_At^2 - 1/2 at^2 = d$

解得 t = 0.5 s

另一解舍去。

Final answer: 0.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521984883658755/img/compression/M_053fe525de3c374151b72f3027a8908c.jpg)
从释放A到A、B、C最终均停止运动，全过程系统产生的摩擦热。

Solution:
A、B发生碰撞前瞬间，A的速度为
$v_{A} = v - a_{A} t = 2.5 m/s $
$B的速度为 v_{B} = at = 1 m/s $

$发生碰撞时，根据动量守恒有 m_{A} v_{A} + m_{B} v_{B} = (m_{A} + m_{B}) v' $
$解得 v' = 2 m/s $

碰撞过程损失能量
$\Delta E = \frac{1}{2} m_{A} v_{A} ^2 + \frac{1}{2} m_{B} v_{B} ^2 - \frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v'^2 $

$根据能量守恒，从释放A到A、B、C最终均停止运动，全过程系统产生的摩擦热Q = m_{A} g h - \Delta E
解得Q = 15.25 J$

Final answer: 15.25 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑固定弧形轨道末端水平，与地面上足够长的水平木板C的上表面等高平滑对接，但不粘连。现将质量mA=2 kg的物块A从轨道上距末端高h=0.8 m处由静止释放，物块A滑上木板C后经过一定时间与C上另一物块B发生碰撞，碰撞时间极短，且碰后A、B粘在一起。已知开始时B、C均静止，B到C左端的距离d=\frac{11}{8} m，B、C的质量mB=mC=1 kg，A、B与C间的动摩擦因数相同，\mu A=\mu B=0.3，C与地面间动摩擦因数\mu C=0.05。重力加速度g=10 m/s^2，物块A、B均可视为质点，求：$

<img_573>
从释放A到A、B、C最终均停止运动，全过程系统产生的摩擦热。

Solution:
A、B发生碰撞前瞬间，A的速度为
$v_{A} = v - a_{A} t = 2.5 m/s $
$B的速度为 v_{B} = at = 1 m/s $

$发生碰撞时，根据动量守恒有 m_{A} v_{A} + m_{B} v_{B} = (m_{A} + m_{B}) v' $
$解得 v' = 2 m/s $

碰撞过程损失能量
$\Delta E = \frac{1}{2} m_{A} v_{A} ^2 + \frac{1}{2} m_{B} v_{B} ^2 - \frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v'^2 $

$根据能量守恒，从释放A到A、B、C最终均停止运动，全过程系统产生的摩擦热Q = m_{A} g h - \Delta E
解得Q = 15.25 J$

Final answer: 15.25 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量m_1=1 kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20 N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m_2=4 kg的小物块以水平向右的速度v_0=\frac{5}{4} m/s滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数\mu =0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能E_p与形变量x的关系为E_p=\frac{1}{2}kx^2。取重力加速度g=10 m/s^2，结果可用根式表示。$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522001786703875/img/compression/M_8b9814799088e26c5dcafbc3ae36ba19.jpg)
$求木板刚接触弹簧时速度v_1的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x_1。$

Solution:
对物块与木板整体分析\
由动量守恒定律得\
$m_2v_0=(m_1+m_2)v_1 (①)$
$可得v_1=\frac{m_2v_0}{m_1+m_2}=1 m/s (②)$
对木板分析，应用动能定理有\
$\mu m_2gx_1=\frac{1}{2}m_1v^2_1 (③)$
$解得x_1=0.125 m (④)$

Final answer: 1 m/s　0.125 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量m_1=1 kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20 N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m_2=4 kg的小物块以水平向右的速度v_0=\frac{5}{4} m/s滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数\mu =0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能E_p与形变量x的关系为E_p=\frac{1}{2}kx^2。取重力加速度g=10 m/s^2，结果可用根式表示。$

<img_1116>
$求木板刚接触弹簧时速度v_1的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x_1。$

Solution:
对物块与木板整体分析\
由动量守恒定律得\
$m_2v_0=(m_1+m_2)v_1 (①)$
$可得v_1=\frac{m_2v_0}{m_1+m_2}=1 m/s (②)$
对木板分析，应用动能定理有\
$\mu m_2gx_1=\frac{1}{2}m_1v^2_1 (③)$
$解得x_1=0.125 m (④)$

Final answer: 1 m/s　0.125 m
Subfield: Mechanics


Question: $一只质量为1.4 kg的乌贼吸入0.1 kg的水，静止在水中。遇到危险时，它在极短时间内把吸入的水向后全部喷出，以2 m/s的速度向前逃窜。求该乌贼喷出的水的速度大小v。$

Solution:
$由动量守恒定律得 mv-Mv'=0$

$解得 v=\frac{Mv'}{m}，代入数据得 v=28 m/s$

Final answer: 28 m/s
Subfield: Optics


Question: $2022年11月30日5时42分，历时6.5小时，神舟十五号对接在核心舱的前向口，中国两个航天员乘组在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影。我国正进行太阳帆推进器和离子推进器的研究，宇宙飞船上携带面积很大，反射率极高的太阳帆，太阳帆推进器利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。由量子理论可知每个光子的动量为p=\frac{h}{\lambda }，光子的能量为\epsilon =h\nu (\nu 为光子的频率)，调整太阳帆使太阳光垂直照射。已知真空中光速为c，光子的频率\nu ，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射。$

![24BJS5WL182.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522020506619905/img/compression/M_763056be545664cdd1dde5bcd0cbf08b.jpg)
$求时间t内作用在太阳帆的光子个数；$

Solution:
$太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，则时间t内作用在太阳帆的能量为ES=n\epsilon =nh\nu $
$解得时间t内作用在太阳帆的光子个数n= \frac{ES}{h\nu }$

Final answer: $\frac{ES}{h\nu }$
Subfield: Optics


Question: $2022年11月30日5时42分，历时6.5小时，神舟十五号对接在核心舱的前向口，中国两个航天员乘组在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影。我国正进行太阳帆推进器和离子推进器的研究，宇宙飞船上携带面积很大，反射率极高的太阳帆，太阳帆推进器利用太阳光作用在太阳帆的压力提供动力，离子推进器利用电场加速后的离子气体的反冲作用加速航天器。由量子理论可知每个光子的动量为p=\frac{h}{\lambda }，光子的能量为\epsilon =h\nu (\nu 为光子的频率)，调整太阳帆使太阳光垂直照射。已知真空中光速为c，光子的频率\nu ，普朗克常量h，太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，宇宙飞船的质量为M，所有光子照射到太阳帆上后全部被等速率反射。$

<img_962>
$求时间t内作用在太阳帆的光子个数；$

Solution:
$太阳帆面积为S，时间t内太阳光垂直照射到太阳帆每平方米面积上的太阳光能为E，则时间t内作用在太阳帆的能量为ES=n\epsilon =nh\nu $
$解得时间t内作用在太阳帆的光子个数n= \frac{ES}{h\nu }$

Final answer: $\frac{ES}{h\nu }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上有一质量为M=2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m=1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为\mu =0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块一个向右的水平初速度v_0=3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下，木块与墙壁不发生碰撞。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g=10 m/s^2，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522016569802754/img/compression/M_46e06abd6527f0066c79522323be425f.jpg)
$第一次碰撞墙壁对木板的冲量大小I；$

Solution:
$取水平向右为正方向，当木块与木板共速时，由动量守恒定律可得mv_0=(M+m)v_1，解得v_1=1 m/s，因为木板与墙壁碰撞无机械能损失，所以木板与墙壁碰撞前后速度大小相等、方向相反，所以由动量定理可知第一次碰撞墙壁对木板的冲量为I=-Mv_1-Mv_1，$

$解得I=-4 N\cdot s。$

Final answer: $4 N\cdot s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上有一质量为M=2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m=1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为\mu =0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块一个向右的水平初速度v_0=3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下，木块与墙壁不发生碰撞。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g=10 m/s^2，求：$

<img_983>
$第一次碰撞墙壁对木板的冲量大小I；$

Solution:
$取水平向右为正方向，当木块与木板共速时，由动量守恒定律可得mv_0=(M+m)v_1，解得v_1=1 m/s，因为木板与墙壁碰撞无机械能损失，所以木板与墙壁碰撞前后速度大小相等、方向相反，所以由动量定理可知第一次碰撞墙壁对木板的冲量为I=-Mv_1-Mv_1，$

$解得I=-4 N\cdot s。$



Final answer: $4$ N\cdot s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上有一质量为M=2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m=1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为\mu =0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块一个向右的水平初速度v_0=3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下，木块与墙壁不发生碰撞。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g=10 m/s^2，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522016569802754/img/compression/M_46e06abd6527f0066c79522323be425f.jpg)
木板的最短长度L；

Solution:
$木块第二次在木板上相对静止的位置到木板左端的距离为木板的最短长度。设木块第二次与木板相对静止时的速度大小为v_2，由动量守恒定律有Mv_1-mv_1=(M+m)v_2，解得v_2=\frac{1}{3} m/s，方向水平向左，由于第二次相对静止之前木块相对木板都只向同一方向运动，根据能量转化关系可得\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2_2=\mu mgL_{min}，解得L_{min}=\frac{13}{3} m。$

Final answer: $\frac{13}{3} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上有一质量为M=2 kg的木板，木板的左端放有一质量为m=1 kg的小木块，木块与木板间的动摩擦因数为\mu =0.1。在木板两侧地面上各有一竖直固定墙壁，起初木板靠左侧墙壁静止放置。现给木块一个向右的水平初速度v_0=3 m/s，在此后运动过程中木板与墙壁碰撞前木块和木板均已相对静止，木块始终没有从木板上掉下，木块与墙壁不发生碰撞。设木板与墙壁碰撞时间极短且无机械能损失，取g=10 m/s^2，求：$

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木板的最短长度L；

Solution:
$木块第二次在木板上相对静止的位置到木板左端的距离为木板的最短长度。设木块第二次与木板相对静止时的速度大小为v_2，由动量守恒定律有Mv_1-mv_1=(M+m)v_2，解得v_2=\frac{1}{3} m/s，方向水平向左，由于第二次相对静止之前木块相对木板都只向同一方向运动，根据能量转化关系可得\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2_2=\mu mgL_{min}，解得L_{min}=\frac{13}{3} m。$

Final answer: $\frac{13}{3} m$