di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径R=3 cm，高h=4 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．$<img_2933>
$(1)求圆锥的侧面积;$

Solution:
$圆锥的母线长l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5(cm)，所以圆锥的侧面积S_{侧}=\pi Rl=\pi \times 3\times 5=15\pi (cm^{2})．$

Final answer: $15\pi$ cm^2
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径R=3 cm，高h=4 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．$<img_2933>
$(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大面积．$

Solution:
$设圆柱的底面半径为r cm，圆柱的侧面积为S cm^{2},由题意得\frac{x}{h}=\frac{R-r}{R}，即\frac{x}{4}=\frac{3-r}{3}，所以r=3-\frac{3}{4}x(0所以S=2\pi r\cdot x=\frac{3\pi }{2}\cdot (-x^{2}+4x)=\frac{3\pi }{2}\cdot [-(x-2)^{2}+4](0即当x=2时，圆柱的侧面积最大，最大面积为6\pi  cm^{2}．$

Final answer: $6\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径R=3 cm，高h=4 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021485772066818/img/compression/M_49300a8c276e24ecb8424f69e736e8ce.jpg)
$(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大面积．$

Solution:
$设圆柱的底面半径为r cm，圆柱的侧面积为S cm^{2},由题意得\frac{x}{h}=\frac{R-r}{R}，即\frac{x}{4}=\frac{3-r}{3}，所以r=3-\frac{3}{4}x(0所以S=2\pi r\cdot x=\frac{3\pi }{2}\cdot (-x^{2}+4x)=\frac{3\pi }{2}\cdot [-(x-2)^{2}+4](0即当x=2时，圆柱的侧面积最大，最大面积为6\pi  cm^{2}．$

Final answer: $6\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6  cm，圆柱的高为2  cm.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021508320010243/img/compression/M_6ec6c18e57108eefb01b89ff95eb7b86.jpg)
$(1)这种“浮球”的体积是多少？$

Solution:
$因为半球的直径是6  cm，所以其半径R=3  cm，所以两个半球的体积之和为V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=36\pi (cm^{3}).又V_{圆柱}=\pi R^{2}\times 2=18\pi (cm^{3})，所以这种“浮球”的体积V=V_{球}+V_{圆柱}=36\pi +18\pi =54\pi (cm^{3}).$

Final answer: $54\pi$ cm^3
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6  cm，圆柱的高为2  cm.$<img_2802>
$(1)这种“浮球”的体积是多少？$

Solution:
$因为半球的直径是6  cm，所以其半径R=3  cm，所以两个半球的体积之和为V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=36\pi (cm^{3}).又V_{圆柱}=\pi R^{2}\times 2=18\pi (cm^{3})，所以这种“浮球”的体积V=V_{球}+V_{圆柱}=36\pi +18\pi =54\pi (cm^{3}).$

Final answer: $54\pi$ cm^3
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6  cm，圆柱的高为2  cm.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021508320010243/img/compression/M_6ec6c18e57108eefb01b89ff95eb7b86.jpg)
$(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶多少克？$

Solution:
$根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S_{球}=4\pi R^{2}=36\pi (cm^{2})，又S_{圆柱侧}=2\pi R\times 2=12\pi (cm^{2})，所以1个这种“浮球”的表面积S=S_{球}+S_{圆柱侧}=36\pi +12\pi =48\pi (cm^{2}).所以2 500个这种“浮球”的表面积之和为2 500S=2 500\times 48\pi =120 000\pi (cm^{2})=12\pi (m^{2}).所以共需涂胶100\times 12\pi =1 200\pi (克).$

Final answer: $1200\pi$ g
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，某种水箱用的“浮球”是由两个相同的半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6  cm，圆柱的高为2  cm.$<img_2802>
$(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶多少克？$

Solution:
$根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S_{球}=4\pi R^{2}=36\pi (cm^{2})，又S_{圆柱侧}=2\pi R\times 2=12\pi (cm^{2})，所以1个这种“浮球”的表面积S=S_{球}+S_{圆柱侧}=36\pi +12\pi =48\pi (cm^{2}).所以2 500个这种“浮球”的表面积之和为2 500S=2 500\times 48\pi =120 000\pi (cm^{2})=12\pi (m^{2}).所以共需涂胶100\times 12\pi =1 200\pi (克).$

Final answer: $1200\pi$ g
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB=4，BB_{1}=3\sqrt{6}，D是AC的中点，点E在BB_{1}上且BE=\frac{2}{3}BB_{1}．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021528188428290/img/compression/M_1e957c8869f39b14d4cc31b02d250e3a.jpg)
$(1)求证：DE\perp 平面A_{1}C_{1}E；$

Solution:
$证明：如图所示，连接BD，C_{1}D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021528528166914/img/compression/M_13ad8192ef2ff0b49274533118356feb.jpg)$由已知可得CD=2，BE=2\sqrt{6}，B_{1}E=\sqrt{6}，BD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，所以DE=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2}=6，C_{1}E=\sqrt{4^2+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{22}，C_{1}D=\sqrt{2^2+(3\sqrt{6})^2}=\sqrt{58}，所以DE^{2}+C_{1}E^{2}=C_{1}D^{2}，所以DE\perp C_{1}E，同理可得DE\perp A_{1}E，又A_{1}E\cap C_{1}E=E,A_{1}E,C_{1}E\subset 平面A_{1}C_{1}E，所以DE\perp 平面A_{1}C_{1}E．$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB=4，BB_{1}=3\sqrt{6}，D是AC的中点，点E在BB_{1}上且BE=\frac{2}{3}BB_{1}．$<img_2724>
$(1)求证：DE\perp 平面A_{1}C_{1}E；$

Solution:
$证明：如图所示，连接BD，C_{1}D.$<img_1772>$由已知可得CD=2，BE=2\sqrt{6}，B_{1}E=\sqrt{6}，BD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}，所以DE=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2}=6，C_{1}E=\sqrt{4^2+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{22}，C_{1}D=\sqrt{2^2+(3\sqrt{6})^2}=\sqrt{58}，所以DE^{2}+C_{1}E^{2}=C_{1}D^{2}，所以DE\perp C_{1}E，同理可得DE\perp A_{1}E，又A_{1}E\cap C_{1}E=E,A_{1}E,C_{1}E\subset 平面A_{1}C_{1}E，所以DE\perp 平面A_{1}C_{1}E．$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB=4，BB_{1}=3\sqrt{6}，D是AC的中点，点E在BB_{1}上且BE=\frac{2}{3}BB_{1}．$<img_2724>
$(2)求点C_{1}到平面A_{1}DE的距离．$

Solution:
$在\triangle A_{1}C_{1}E中，C_{1}E=A_{1}E=\sqrt{22}，A_{1}C_{1}=4，则S_{\triangle A_{1}C_{1}E}=\frac{1}{2}\times 4\times \sqrt{(\sqrt{22})^2-2^2}=6\sqrt{2}．由(1)知DE\perp A_{1}E，所以\triangle A_{1}DE为直角三角形.在Rt\triangle A_{1}DE中，A_{1}E=\sqrt{22}，DE=6，则S_{\triangle A_{1}DE}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{22}=3\sqrt{22}．设点C_{1}到平面A_{1}DE的距离为d，由V_{三棱锥D-A_{1}C_{1}E}=V_{三棱锥C_{1}-A_{1}DE}，得\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}C_{1}E}\cdot DE=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}DE}\cdot d，即\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}\times 6=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{22}\times d，解得d=\frac{12\sqrt{11}}{11}.$

Final answer: $\frac{12\sqrt{11}}{11}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AB=4，BB_{1}=3\sqrt{6}，D是AC的中点，点E在BB_{1}上且BE=\frac{2}{3}BB_{1}．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021528188428290/img/compression/M_1e957c8869f39b14d4cc31b02d250e3a.jpg)
$(2)求点C_{1}到平面A_{1}DE的距离．$

Solution:
$在\triangle A_{1}C_{1}E中，C_{1}E=A_{1}E=\sqrt{22}，A_{1}C_{1}=4，则S_{\triangle A_{1}C_{1}E}=\frac{1}{2}\times 4\times \sqrt{(\sqrt{22})^2-2^2}=6\sqrt{2}．由(1)知DE\perp A_{1}E，所以\triangle A_{1}DE为直角三角形.在Rt\triangle A_{1}DE中，A_{1}E=\sqrt{22}，DE=6，则S_{\triangle A_{1}DE}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{22}=3\sqrt{22}．设点C_{1}到平面A_{1}DE的距离为d，由V_{三棱锥D-A_{1}C_{1}E}=V_{三棱锥C_{1}-A_{1}DE}，得\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}C_{1}E}\cdot DE=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}DE}\cdot d，即\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}\times 6=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{22}\times d，解得d=\frac{12\sqrt{11}}{11}.$

Final answer: $\frac{12\sqrt{11}}{11}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO_{1}中有一内接长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD的体积为V，AB=x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021536737054724/img/compression/M_0912117a9f16e91e1a9e5785b9b0339e.jpg)
$(1)将S表示为x的函数；$

Solution:
$如图所示，连接AC，由题可知矩形ABCD内接于\odot O，所以AC为\odot O的直径．因为AC=2，AB=x，所以BC=\sqrt{4-x^2}，所以S=AB\cdot BC=x\sqrt{4-x^2}(0$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021536955158530/img/compression/M_4b352ef73ade51dad1cb2aad9bfcdb85.jpg)

Final answer: $S=x\sqrt{4-x^2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO_{1}中有一内接长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD的体积为V，AB=x.$<img_1741>
$(1)将S表示为x的函数；$

Solution:
$如图所示，连接AC，由题可知矩形ABCD内接于\odot O，所以AC为\odot O的直径．因为AC=2，AB=x，所以BC=\sqrt{4-x^2}，所以S=AB\cdot BC=x\sqrt{4-x^2}(0$<img_3037>

Final answer: $S=x\sqrt{4-x^2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO_{1}中有一内接长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD的体积为V，AB=x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021536737054724/img/compression/M_0912117a9f16e91e1a9e5785b9b0339e.jpg)
$(2)求V的最大值．$

Solution:
$因为长方体的高AA_{1}=1，所以体积V=S\cdot AA_{1}=x\sqrt{4-x^2}=\sqrt{x^2(4-x^2)}=\sqrt{-{(x^2-2)}^2+4}，因为0故当x^{2}=2，即x=\sqrt{2}时，V取得最大值，且V_{max}=2.将长方体的体积V表示成关于x的函数，利用求函数最值的方法求解.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO_{1}中有一内接长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD的体积为V，AB=x.$<img_1741>
$(2)求V的最大值．$

Solution:
$因为长方体的高AA_{1}=1，所以体积V=S\cdot AA_{1}=x\sqrt{4-x^2}=\sqrt{x^2(4-x^2)}=\sqrt{-{(x^2-2)}^2+4}，因为0故当x^{2}=2，即x=\sqrt{2}时，V取得最大值，且V_{max}=2.将长方体的体积V表示成关于x的函数，利用求函数最值的方法求解.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2\sqrt{2}，其中内接有一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)．$<img_2754>
$(1)当正四棱柱的高和底面边长相等时，求这个正四棱柱外接球的体积；$

Solution:
$过正四棱柱一组相对的侧棱作圆锥的轴截面，如图所示：$<img_1758>$由题意知AB=2，SF=2\sqrt{2}，EF=x,CD=\sqrt{2}x,SE=2\sqrt{2}-x.因为\triangle SCD∽\triangle SAB，所以\frac{CD}{AB}=\frac{SE}{SF}，即\frac{\sqrt{2}x}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}，解得x=\frac{2\sqrt{2}}{3}．利用相似三角形构造关于x的方程，体现了方程思想.所以正四棱柱外接球的半径R=\frac{1}{2}\times \sqrt{3\times \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}．所以正四棱柱外接球的体积V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3=\frac{8\sqrt{6}\pi }{27}．$

Final answer: $\frac{8\sqrt{6}\pi }{27}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2\sqrt{2}，其中内接有一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021537387171843/img/compression/M_e17f819d406b1ba5f8a69edde37a07a2.jpg)
$(1)当正四棱柱的高和底面边长相等时，求这个正四棱柱外接球的体积；$

Solution:
$过正四棱柱一组相对的侧棱作圆锥的轴截面，如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021537676578819/img/compression/M_76409d41ffbd033c10040ab6b6fba9e6.jpg)$由题意知AB=2，SF=2\sqrt{2}，EF=x,CD=\sqrt{2}x,SE=2\sqrt{2}-x.因为\triangle SCD∽\triangle SAB，所以\frac{CD}{AB}=\frac{SE}{SF}，即\frac{\sqrt{2}x}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}，解得x=\frac{2\sqrt{2}}{3}．利用相似三角形构造关于x的方程，体现了方程思想.所以正四棱柱外接球的半径R=\frac{1}{2}\times \sqrt{3\times \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}．所以正四棱柱外接球的体积V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi \times \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3=\frac{8\sqrt{6}\pi }{27}．$

Final answer: $\frac{8\sqrt{6}\pi }{27}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2\sqrt{2}，其中内接有一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021537387171843/img/compression/M_e17f819d406b1ba5f8a69edde37a07a2.jpg)
$(2)求这个正四棱柱表面积的最大值．$

Solution:
$设正四棱柱的底面边长为y，则\frac{\sqrt{2}y}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}，整理得y=\sqrt{2}-\frac{x}{2}，所以正四棱柱的表面积S=4xy+2y^{2}=4x\left(\sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)+2\left(\sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+2\sqrt{2}x+4=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{2}+\frac{16}{3},其中0故当x=\frac{2\sqrt{2}}{3}时，S取得最大值，且最大值为\frac{16}{3}．将正四棱柱的表面积S表示成关于x的二次函数，利用求二次函数最值的方法求解.$

Final answer: $\frac{16}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径为1，高为2\sqrt{2}，其中内接有一个高为x的正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)．$<img_2754>
$(2)求这个正四棱柱表面积的最大值．$

Solution:
$设正四棱柱的底面边长为y，则\frac{\sqrt{2}y}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}，整理得y=\sqrt{2}-\frac{x}{2}，所以正四棱柱的表面积S=4xy+2y^{2}=4x\left(\sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)+2\left(\sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+2\sqrt{2}x+4=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{2}+\frac{16}{3},其中0故当x=\frac{2\sqrt{2}}{3}时，S取得最大值，且最大值为\frac{16}{3}．将正四棱柱的表面积S表示成关于x的二次函数，利用求二次函数最值的方法求解.$

Final answer: $\frac{16}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为4的正方形ABCD中，P，Q分别是边AB，BC的中点，将\triangle APD，\triangle CDQ分别沿DP，DQ折叠，使A，C两点重合于点M，连接BM，PQ，得到如图2所示的几何体．$<img_2821>
$(1)求证：MP\perp DQ；$

Solution:
$证明：由题意得MP=MQ=2，PQ=2\sqrt{2}，\therefore MP^{2}+MQ^{2}=PQ^{2}，\therefore MP\perp MQ.\because MP\perp MD，MD\cap MQ=M，MD，MQ\subset 平面MDQ，\therefore MP\perp 平面MDQ.\because DQ\subset 平面MDQ，\therefore MP\perp DQ．$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为4的正方形ABCD中，P，Q分别是边AB，BC的中点，将\triangle APD，\triangle CDQ分别沿DP，DQ折叠，使A，C两点重合于点M，连接BM，PQ，得到如图2所示的几何体．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223468881838081/img/compression/M_28b963075fe5ca365099f68026484527.jpg)
$(1)求证：MP\perp DQ；$

Solution:
$证明：由题意得MP=MQ=2，PQ=2\sqrt{2}，\therefore MP^{2}+MQ^{2}=PQ^{2}，\therefore MP\perp MQ.\because MP\perp MD，MD\cap MQ=M，MD，MQ\subset 平面MDQ，\therefore MP\perp 平面MDQ.\because DQ\subset 平面MDQ，\therefore MP\perp DQ．$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为4的正方形ABCD中，P，Q分别是边AB，BC的中点，将\triangle APD，\triangle CDQ分别沿DP，DQ折叠，使A，C两点重合于点M，连接BM，PQ，得到如图2所示的几何体．$<img_2821>
$(2)在线段MD上是否存在一点F，使BM\parallel 平面PQF?如果存在，求出\frac{MF}{FD}的值;如果不存在，请说明理由．$

Solution:
$存在，当\frac{MF}{FD}=\frac{1}{3}时，BM\parallel 平面PQF.理由如下：如图，连接BD，交PQ于点O，连接OF，易得OB=\sqrt{2}，BD=4\sqrt{2}，所以BO=\frac{1}{3}OD，因为\frac{MF}{FD}=\frac{1}{3}，所以\frac{BO}{OD}=\frac{MF}{FD}，所以BM\parallel OF.因为BM\not\subset 平面PQF，OF\subset 平面PQF，所以BM\parallel 平面PQF．$<img_2102>



Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在边长为4的正方形ABCD中，P，Q分别是边AB，BC的中点，将\triangle APD，\triangle CDQ分别沿DP，DQ折叠，使A，C两点重合于点M，连接BM，PQ，得到如图2所示的几何体．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223468881838081/img/compression/M_28b963075fe5ca365099f68026484527.jpg)
$(2)在线段MD上是否存在一点F，使BM\parallel 平面PQF?如果存在，求出\frac{MF}{FD}的值;如果不存在，请说明理由．$

Solution:
$存在，当\frac{MF}{FD}=\frac{1}{3}时，BM\parallel 平面PQF.理由如下：如图，连接BD，交PQ于点O，连接OF，易得OB=\sqrt{2}，BD=4\sqrt{2}，所以BO=\frac{1}{3}OD，因为\frac{MF}{FD}=\frac{1}{3}，所以\frac{BO}{OD}=\frac{MF}{FD}，所以BM\parallel OF.因为BM\not\subset 平面PQF，OF\subset 平面PQF，所以BM\parallel 平面PQF．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223468881838081/img/compression/M_251353d759c34f0cc94afa16bdc04fd2.jpg)

Final answer: $存在，当\frac{MF}{FD}=\frac{1}{3}时，BM\parallel 平面PQF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在意大利，有一座满是灰白“斗笠”的小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年列入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m(如图2)，C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).$<img_2260>
$(1)现用鲜花铺设该屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花？(\pi 取3.14，结果精确到个位)$

Solution:
$因为圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m，所以此圆锥的侧面积S=\pi \cdot \frac{AB}{2}\cdot SA\approx 3.14\times 6\times 18=339.12(m^{2}).339.12\times 60\approx 20 347(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20 347朵鲜花.$

Final answer: $20347$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在意大利，有一座满是灰白“斗笠”的小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年列入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m(如图2)，C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223469850722306/img/compression/M_44c9229883f3191f554462a1f22fb5cb.jpg)
$(1)现用鲜花铺设该屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花？(\pi 取3.14，结果精确到个位)$

Solution:
$因为圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m，所以此圆锥的侧面积S=\pi \cdot \frac{AB}{2}\cdot SA\approx 3.14\times 6\times 18=339.12(m^{2}).339.12\times 60\approx 20 347(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20 347朵鲜花.$

Final answer: $20347$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在意大利，有一座满是灰白“斗笠”的小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年列入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m(如图2)，C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223469850722306/img/compression/M_44c9229883f3191f554462a1f22fb5cb.jpg)
$(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.$

Solution:
$如图所示，将圆锥SO的侧面沿母线SA剪开后展开，得到扇形SAA'，连接A'C，则A'C的长即为所求的最小长度.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706223469850722306/img/compression/M_f14a918998c9ee261625df79b13681b4.jpg)$弧\overset{\Huge{\frown}}{AA'}的长等于圆锥底面圆的周长，为\pi \cdot AB=12\pi  m，所以扇形的圆心角\angle ASA'=\frac{12\pi }{18}=\frac{2\pi }{3}.在\triangle A'SC中，SA'=18 m,SC=\frac{1}{3}SA=6 m，由余弦定理得A'C^{2}=SA'^{2}+SC^{2}－2SA'\cdot SC\\cos  \angle A'SC，即A'C^{2}=18^{2}+6^{2}-2\times 18\times 6\times \left(-\frac{1}{2}\right)=468，所以A'C=6\sqrt{13} m，所以灯光带的最小长度为6\sqrt{13} m.$

Final answer: $6\sqrt{13}$ m
Subfield: Solid Geometry


Question: $在意大利，有一座满是灰白“斗笠”的小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年列入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB的长为12 m，母线SA的长为18 m(如图2)，C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).$<img_2260>
$(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.$

Solution:
$如图所示，将圆锥SO的侧面沿母线SA剪开后展开，得到扇形SAA'，连接A'C，则A'C的长即为所求的最小长度.$<img_3056>$弧\overset{\Huge{\frown}}{AA'}的长等于圆锥底面圆的周长，为\pi \cdot AB=12\pi  m，所以扇形的圆心角\angle ASA'=\frac{12\pi }{18}=\frac{2\pi }{3}.在\triangle A'SC中，SA'=18 m,SC=\frac{1}{3}SA=6 m，由余弦定理得A'C^{2}=SA'^{2}+SC^{2}－2SA'\cdot SC\\cos  \angle A'SC，即A'C^{2}=18^{2}+6^{2}-2\times 18\times 6\times \left(-\frac{1}{2}\right)=468，所以A'C=6\sqrt{13} m，所以灯光带的最小长度为6\sqrt{13} m.$

Final answer: $6\sqrt{13}$ m
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB\parallel CD，AD=DC=1，AB=2，AC\perp PC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200500341264386/img/compression/M_5c1c8451b20dcb7007354cbf530dc00d.jpg)
$(1)证明：平面ABCD\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：过点C作CE\perp AB于点E，则BE=\frac{1}{2}，AE=\frac{3}{2}，CE=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3，又BC=AD=1，AB=2，所以AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，所以AC\perp BC.(2分)又AC\perp PC，BC\cap PC=C，BC，PC\subset 平面PBC，所以AC\perp 平面PBC，又AC\subset 平面ABCD，所以平面ABCD\perp 平面PBC.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB\parallel CD，AD=DC=1，AB=2，AC\perp PC.$<img_2645>
$(1)证明：平面ABCD\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：过点C作CE\perp AB于点E，则BE=\frac{1}{2}，AE=\frac{3}{2}，CE=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3，又BC=AD=1，AB=2，所以AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，所以AC\perp BC.(2分)又AC\perp PC，BC\cap PC=C，BC，PC\subset 平面PBC，所以AC\perp 平面PBC，又AC\subset 平面ABCD，所以平面ABCD\perp 平面PBC.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直角梯形ABCD中，AB\parallel DC，\angle ABC=90^\circ ，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将\triangle ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE\perp EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C均不重合).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200502044151812/img/compression/M_314e7dc285aae9b174208632fd88917e.jpg)
$(1)证明：平面EMN\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：\because PE\perp EB，PE\perp ED，EB\cap ED=E，EB,ED\subset 平面EBCD，\therefore PE\perp 平面EBCD，又BC\subset 平面EBCD，\therefore PE\perp BC，\because BC\perp EB，PE,BE\subset 平面PEB，PE\cap BE=E，\therefore BC\perp 平面PEB.\because EM\subset 平面PEB，\therefore EM\perp BC.(3分)由PE=EB，PM=MB知EM\perp PB，又BC,PB\subset 平面PBC，BC\cap PB=B，\therefore EM\perp 平面PBC.又EM\subset 平面EMN，\therefore 平面EMN\perp 平面PBC.(6分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直角梯形ABCD中，AB\parallel DC，\angle ABC=90^\circ ，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将\triangle ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE\perp EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C均不重合).$<img_2295>
$(1)证明：平面EMN\perp 平面PBC；$

Solution:
$证明：\because PE\perp EB，PE\perp ED，EB\cap ED=E，EB,ED\subset 平面EBCD，\therefore PE\perp 平面EBCD，又BC\subset 平面EBCD，\therefore PE\perp BC，\because BC\perp EB，PE,BE\subset 平面PEB，PE\cap BE=E，\therefore BC\perp 平面PEB.\because EM\subset 平面PEB，\therefore EM\perp BC.(3分)由PE=EB，PM=MB知EM\perp PB，又BC,PB\subset 平面PBC，BC\cap PB=B，\therefore EM\perp 平面PBC.又EM\subset 平面EMN，\therefore 平面EMN\perp 平面PBC.(6分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直角梯形ABCD中，AB\parallel DC，\angle ABC=90^\circ ，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将\triangle ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE\perp EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C均不重合).$<img_2295>
$(2)设三棱锥B-EMN和四棱锥P-EBCD的体积分别为V_{1}和V_{2}，当N为BC的中点时，求\frac{V_1}{V_2}的值.$

Solution:
$\because N为BC的中点，\therefore \frac{S_{\vartriangle EBN}}{S_{四边形EBCD}}=\frac{\frac{1}{2}EB\cdot BN}{EB\cdot BC}=\frac{1}{4}，(8分)易知点M，P到平面EBCD的距离的比值为\frac{1}{2}，(10分)\therefore \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}S_{\vartriangle EBN}}{\frac{1}{3}S_{四边形EBCD}}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{8}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直角梯形ABCD中，AB\parallel DC，\angle ABC=90^\circ ，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将\triangle ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE\perp EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C均不重合).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200502044151812/img/compression/M_314e7dc285aae9b174208632fd88917e.jpg)
$(2)设三棱锥B-EMN和四棱锥P-EBCD的体积分别为V_{1}和V_{2}，当N为BC的中点时，求\frac{V_1}{V_2}的值.$

Solution:
$\because N为BC的中点，\therefore \frac{S_{\vartriangle EBN}}{S_{四边形EBCD}}=\frac{\frac{1}{2}EB\cdot BN}{EB\cdot BC}=\frac{1}{4}，(8分)易知点M，P到平面EBCD的距离的比值为\frac{1}{2}，(10分)\therefore \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}S_{\vartriangle EBN}}{\frac{1}{3}S_{四边形EBCD}}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{8}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200502694268929/img/compression/M_dd96010ffe7441174b199d83ca586bdf.jpg)
$(1)求异面直线PC与AB的夹角的大小；$

Solution:
$因为DC\parallel AB,所以异面直线PC与AB的夹角为PC与CD的夹角,即\angle PCD(或其补角).(1分)因为\triangle PAD是正三角形,DA=DC,所以PD=CD.因为AB\perp 平面PAD,所以DC\perp 平面PAD.(2分)因为PD\subset 平面PAD,所以DC\perp PD,所以\triangle PDC是等腰直角三角形,所以\angle PCD=\frac{\pi }{4},即异面直线PC与AB的夹角为\frac{\pi }{4}.(4分)$

Final answer: $\frac{\pi}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$<img_2440>
$(1)求异面直线PC与AB的夹角的大小；$

Solution:
$因为DC\parallel AB,所以异面直线PC与AB的夹角为PC与CD的夹角,即\angle PCD(或其补角).(1分)因为\triangle PAD是正三角形,DA=DC,所以PD=CD.因为AB\perp 平面PAD,所以DC\perp 平面PAD.(2分)因为PD\subset 平面PAD,所以DC\perp PD,所以\triangle PDC是等腰直角三角形,所以\angle PCD=\frac{\pi }{4},即异面直线PC与AB的夹角为\frac{\pi }{4}.(4分)$

Final answer: $\frac{\pi}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$<img_2440>
$(2)若E为棱PA上一点，且OE\parallel 平面PBC，求\frac{AE}{PE}的值；$

Solution:
$因为OE\parallel 平面PBC,OE\subset 平面PAC,平面PAC\cap 平面PBC=PC,所以OE\parallel PC,所以\frac{AO}{OC}=\frac{AE}{PE}.(5分)因为DC\parallel AB,DC=2AB,所以\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{1}{2},(6分)所以\frac{AE}{PE}=\frac{1}{2}.(7分)$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200502694268929/img/compression/M_dd96010ffe7441174b199d83ca586bdf.jpg)
$(2)若E为棱PA上一点，且OE\parallel 平面PBC，求\frac{AE}{PE}的值；$

Solution:
$因为OE\parallel 平面PBC,OE\subset 平面PAC,平面PAC\cap 平面PBC=PC,所以OE\parallel PC,所以\frac{AO}{OC}=\frac{AE}{PE}.(5分)因为DC\parallel AB,DC=2AB,所以\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{1}{2},(6分)所以\frac{AE}{PE}=\frac{1}{2}.(7分)$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200502694268929/img/compression/M_dd96010ffe7441174b199d83ca586bdf.jpg)
$(3)求证：平面PBC\perp 平面PDC.$

Solution:
$证明:因为AB\perp 平面PAD,PA,AD\subset 平面PAD，所以AB\perp PA,AB\perp AD.设AB=a,取PC的中点F，连接FD,FB，则在等腰直角三角形PDC中,FD=PF=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}a,在Rt\triangle PAB中,PA=2a,AB=a,故PB=\sqrt{5}a,在直角梯形ABCD中,BD=BC=\sqrt{5}a,所以BC=PB,所以PC\perp FB,(9分)在Rt\triangle PFB中,FB=\sqrt{3}a,在\triangle FDB中,由FD=\sqrt{2}a,FB=\sqrt{3}a,BD=\sqrt{5}a,可知FD^{2}+FB^{2}=BD^{2},所以FB\perp FD,(10分)又FD\perp PC,PC\cap FB=F,PC,FB\subset 平面PBC,所以DF\perp 平面PBC,又DF\subset 平面PDC,所以平面PBC\perp 平面PDC.(12分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB\perp 平面PAD，\triangle PAD是正三角形，DC\parallel AB，DA=DC=2AB.$<img_2440>
$(3)求证：平面PBC\perp 平面PDC.$

Solution:
$证明:因为AB\perp 平面PAD,PA,AD\subset 平面PAD，所以AB\perp PA,AB\perp AD.设AB=a,取PC的中点F，连接FD,FB，则在等腰直角三角形PDC中,FD=PF=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}a,在Rt\triangle PAB中,PA=2a,AB=a,故PB=\sqrt{5}a,在直角梯形ABCD中,BD=BC=\sqrt{5}a,所以BC=PB,所以PC\perp FB,(9分)在Rt\triangle PFB中,FB=\sqrt{3}a,在\triangle FDB中,由FD=\sqrt{2}a,FB=\sqrt{3}a,BD=\sqrt{5}a,可知FD^{2}+FB^{2}=BD^{2},所以FB\perp FD,(10分)又FD\perp PC,PC\cap FB=F,PC,FB\subset 平面PBC,所以DF\perp 平面PBC,又DF\subset 平面PDC,所以平面PBC\perp 平面PDC.(12分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将\triangle ADP沿AP折起，使得平面ADP\perp 平面ABCP，得到四棱锥D-ABCP.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200518871322625/img/compression/M_9b5dced2356b895c309da82d845a8396.jpg)
$(1)在DC上是否存在点E，使得AD\parallel 平面PBE？若存在，求出点E的位置;若不存在，请说明理由；$

Solution:
$存在.如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200518531584003/img/compression/M_c45a1f1131284892540b1098f7f3dc58.jpg)$连接AC，BP，设AC交BP于点F，\because CP\parallel AB，且CP=\frac{1}{2}AB，\therefore \frac{CF}{CA}=\frac{PF}{PB}=\frac{1}{3}.取DC 的三等分点为E，则\frac{CE}{CD}=\frac{1}{3}，连接EF，PE，BE，则EF\parallel AD. (3分)又EF\subset 平面PBE，AD\not\subset 平面PBE，\therefore AD\parallel 平面PBE.故存在满足条件的点E，且E是线段CD上靠近点C的三等分点.(6分)$

Final answer: $存在，且E是线段CD上靠近点C的三等分点。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将\triangle ADP沿AP折起，使得平面ADP\perp 平面ABCP，得到四棱锥D-ABCP.$<img_2566>
$(2)求二面角P-AD-B的平面角的余弦值.$

Solution:
$易知AP=BP=\sqrt{2},AB=2，\therefore AP^{2}+BP^{2}=AB^{2}，\therefore AP\perp BP.又平面ADP\perp 平面ABCP，平面ADP\cap 平面ABCP=AP，BP\subset 平面ABCP，\therefore BP\perp 平面ADP，\because DP\subset 平面ADP，\therefore BP\perp DP， (8分)\therefore BD^{2}=DP^{2}+BP^{2}=1+2=3.在\triangle ADB中，\because AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}，\therefore AD\perp DB，又PD\perp AD,PD\subset 平面ADP，BD\subset 平面ADB，平面ADP\cap 平面ADB=AD，\therefore \angle PDB即为二面角P-AD-B的平面角，(10分)在Rt\triangle PDB中，\\cos  \angle PDB=\frac{DP}{BD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore 二面角P-AD-B的平面角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}. (12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$