di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

$附：线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；$

$参考数据：\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1.46，\overline{x}=0.46，\overline{x}^2=0.212 \left(\begin{matrix}\text{其中}x_i=\frac{1}{t_i},\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i\end{matrix}\right).$
$证明：\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right) + \frac{1}{4^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) + \ldots  + \frac{1}{(n+1)^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \times  \ldots  \times  \left(1-\frac{1}{n^2}\right) < \frac{1}{2}.$

Solution:
$证明：由题知，在前n轮就成功的概率P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\times\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\frac{1}{4^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\ldots +\frac{1}{(n+1)^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times\ldots \times\left(1-\frac{1}{n^2}\right).$
$在前n轮没有成功的概率为$
$1-P=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times\ldots \times\left[1-\frac{1}{(n+1)^2}\right]$
$=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\ldots \times\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)\times\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\times\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$
$=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\ldots \times\frac{n-1}{n}\times\frac{n+1}{n}\times\frac{n}{n+1}\times\frac{n+2}{n+1}$
$=\frac{n+2}{2n+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n+2}>\frac{1}{2}，所以P<\frac{1}{2}，$
$即\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\frac{1}{4^2}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\ldots +\frac{1}{(n+1)^2}\times\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times\ldots \times\left(1-\frac{1}{n^2}\right)<\frac{1}{2}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为促销商品举行抽奖活动，设置了A,B两种抽奖方案.方案A的中奖率为\frac{2}{3}，中奖可得2分；方案B的中奖率为\frac{2}{5}，中奖可得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.$
$顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖(即都选择方案A或都选择方案B进行抽奖).如果从累计得分的角度考虑，证明：选择方案A更好。$

Solution:
证明：
若顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖，则
当选方案A时，X的可能值有0，2，4，
$P(X=0)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{9}，$
$P(X=2)=2\times \frac{2}{3}\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}，$
$P(X=4)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$
$\therefore 期望E_1(X)=0\times \frac{1}{9}+2\times \frac{4}{9}+4\times \frac{4}{9}=\frac{8}{3}.$
当选方案B时，$X的可能值有0，3，6$，
$P(X=0)=\left(1-\frac{2}{5}\right)\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{9}{25}，$
$P(X=3)=2\times \frac{2}{5}\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{12}{25}，$
$P(X=6)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}，$
$\therefore 期望E_2(X)=0\times \frac{9}{25}+3\times \frac{12}{25}+6\times \frac{4}{25}=\frac{12}{5}.$
$\because E_1(X) > E_2(X)，$
$\therefore 他们选择方案A比较好.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为促销商品举行抽奖活动，设置了A,B两种抽奖方案.方案A的中奖率为\frac{2}{3}，中奖可得2分；方案B的中奖率为\frac{2}{5}，中奖可得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.$
$顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖(即都选择方案A或都选择方案B进行抽奖).如果从累计得分的角度考虑，你建议他们选择方案A还是方案B？说明理由.$

Solution:
若顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖，则
当选方案A时，X的可能值有0，2，4，
$P(X=0)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{9}，$
$P(X=2)=2\times \frac{2}{3}\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}，$
$P(X=4)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$
$\therefore 期望E_1(X)=0\times \frac{1}{9}+2\times \frac{4}{9}+4\times \frac{4}{9}=\frac{8}{3}.$
当选方案B时，$X的可能值有0，3，6$，
$P(X=0)=\left(1-\frac{2}{5}\right)\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{9}{25}，$
$P(X=3)=2\times \frac{2}{5}\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{12}{25}，$
$P(X=6)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}，$
$\therefore 期望E_2(X)=0\times \frac{9}{25}+3\times \frac{12}{25}+6\times \frac{4}{25}=\frac{12}{5}.$
$\because E_1(X) > E_2(X)，$
$\therefore 他们选择方案A比较好.$

Final answer: $他们选择方案A比较好.$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的首项为1，对任意的n \in N^，定义b_n = a_{n+1} - a_n.$
$若b_{n+1}b_{n-1}=b_{n} (n\geq 2)，且b_{1}=a,b_{2}=b (ab\neq 0).$
$当a=1时，求证：数列{a_{n}}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.$

Solution:
$证明：由①知：对任意的n\in N^{}有b_{n+6}=b_{n}，$

$又数列{b_{n}}的前6项分别为1,b,b,1,\frac{1}{b},\frac{1}{b}，且这6个数的和为2b+\frac{2}{b}+2.$

$设c_{n}=a_{6n+i}(n\in N)，其中i为常数且i\in {1,2,3,4,5,6}，$

$所以c_{n+1}-c_{n}=a_{6n+6+i}-a_{6n+i}=b_{6n+i}+b_{6n+i+1}+b_{6n+i+2}+b_{6n+i+3}+b_{6n+i+4}+b_{6n+i+5}=2b+\frac{2}{b}+2.$

$所以，数列{a_{6n+i}}均为以2b+\frac{2}{b}+2为公差的等差数列.$

$因为b>0时，2b+\frac{2}{b}+2>0，b<0时，2b+\frac{2}{b}+2\leq -2＜0，$

$所以{a_{6n+i}}均为公差不为零的等差数列，其中任意一项的值最多在该数列中出现一次.$

$所以数列{a_{n}}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，$

即任意一项的值均不会在此数列中重复出现无数次.
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 -1$
$证明: sin\frac{1}{2} + sin\frac{2}{4} + sin\frac{3}{8} + ... + sin\frac{2023}{2^{2023}} < 2.$

Solution:
$由(1)可知，当x >0时，f'(x)=-\sin x +x >0, 即x >\sin x.$
$所以 \sin\frac{1}{2}+\sin\frac{2}{4}+\sin\frac{3}{8}+\ldots+\sin\frac{2023}{2^{2023}}< \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\ldots+\frac{2023}{2^{2023}}.$
$令 S=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\ldots+\frac{2023}{2^{2023}}，$
$则 \frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\ldots+\frac{2023}{2^{2024}}，$
$两式相减得 \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{2023}}-\frac{2023}{2^{2024}}，$
$化简可得 S=2\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2023}-\frac{2023}{2^{2024}}\right] <2，$
$故 \sin\frac{1}{2}+\sin\frac{2}{4}+\sin\frac{3}{8}+\ldots+\sin\frac{2023}{2^{2023}}<2.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x-1}+ax.$
$当m\geq 1时,证明ln x+ \frac{m\mathrm{e}^x}{x} -\sin  x>1恒成立.$

Solution:
$令 g(m) = \frac{\mathrm{e}^x}{x} \cdot  m + lnx - \sin  x - 1， 易知 g(m) 单调递增.$

$当 m \geq  1 时， g(m) \geq  g(1)， 所以若证原不等式成立，即证 \frac{\mathrm{e}^x}{x} + ln x - \sin  x - 1 > 0，$

$因为 \frac{\mathrm{e}^x}{x} = e^{x-ln x}， \frac{\mathrm{e}^x}{x} + ln x - \sin  x - 1 = e^{x-ln x} - x + ln x - 1 + x - \sin  x，$

$由(1)知 e^{x-1} - x \geq  0，$

$把 x 换成 x - ln x + 1 易得 e^{x-ln x} - (x - ln x + 1) \geq  0，$

$不妨设 h(x) = x - \sin  x， h'(x) = 1 - \cos  x \geq  0， 所以 h(x) 单调递增，$

$又 x > 0， 故 h(x) > h(0) = 0， 所以 e^{x-ln x} - x + ln x - 1 + x - \sin  x > 0， 即 \frac{\mathrm{e}^x}{x} + ln x - \sin  x - 1 > 0， 故原不等式得证.$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知 \cos ^2(\frac{\pi }{2}+A) + \cos  A=\frac{5}{4}.$
$若b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a,证明：\triangle ABC是直角三角形.$

Solution:
$由已知得 \sin ^2 A + \cos  A = \frac{5}{4},$
$即 \cos ^2 A - \cos  A + \frac{1}{4} = 0.$
$所以 (\cos  A - \frac{1}{2})^2 = 0, \cos  A = \frac{1}{2}. 由于 0 < A < \pi, 故 A = \frac{\pi}{3}.$

$证明：由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=\frac{\sqrt{3}}{3} sin A.$
$由上知B+C=\frac{2\pi }{3}，所以sin B-sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)=\frac{\sqrt{3}}{3} sin \frac{\pi }{3}.$
$即 \frac{1}{2} sin B-\frac{\sqrt{3}}{2} cos B=\frac{1}{2}，sin \left(B-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}.$
$由于0<B<\frac{2\pi }{3}，故B=\frac{\pi }{2}.从而\triangle ABC是直角三角形.$
Subfield: Sequence


Question: $已知首项为3的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_{n+1} + a_n = S_n + 5 \cdot 4^n.$
$求证：数列{a_n-4^n}为等比数列；$

Solution:
$证明：由题意得，S_{n+1}-S_n+a_n=5 \cdot 4^n，即a_{n+1}+a_n=4^{n+1}+4^n，$
$故a_{n+1}-4^{n+1}=-(a_n-4^n)，即\frac{a_{n+1}-4^{n+1}}{a_n-4^n}=-1，$
$又a_1-4=-1，故数列{a_n-4^n}是以-1为首项，-1为公比的等比数列.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

|       | 男生     |        | 女生     |        |
| ----- | -------- | ------ | -------- | ------ |
|       | 支持     | 不支持 | 支持     | 不支持 |
| 方案一 | 200人    | 400人  | 300人    | 100人  |
| 方案二 | 350人    | 250人  | 150人    | 250人  |

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
$将该校学生支持方案二的概率估计值记为p_0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p_1.试比较p_0与p_1的大小.(结论不要求证明)$

Solution:
$p_0 > p_1.$

Final answer: ${p_0 > p_1}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在核酸检测中,"k合1"混采核酸检测是指:先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
$将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. 已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为\frac{1}{11}. 设X是检测的总次数，求X的数学期望E(X).$

Solution:
由(i)知，当感染新冠病毒的2人分在同一组时，检测的总次数是20.当感染新冠病毒的2人分在不同组时，可以求得检测的总次数是30.所以随机变量X的可能取值为20,30.

$因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为\frac{1}{11}，$

$所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}.$

所以随机变量X的分布列为

| X | 20 | 30 |
|---|---|---|
|$ P $|$\frac{1}{11}$|$\frac{10}{11}$|

$故随机变量X的数学期望E(X)=20\times \frac{1}{11}+30\times \frac{10}{11}=\frac{320}{11}.$



Final answer: $\frac{320}{11}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在核酸检测中,"k合1"混采核酸检测是指:先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
$将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. 已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为\frac{1}{11}. 设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望EX.$

Solution:
由(i)知，当感染新冠病毒的2人分在同一组时，检测的总次数是20.当感染新冠病毒的2人分在不同组时，可以求得检测的总次数是30.所以随机变量X的可能取值为20,30.

$因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为\frac{1}{11}，$

$所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}.$

所以随机变量X的分布列为

| X | 20 | 30 |
|---|---|---|
|$ P $|$\frac{1}{11}$|$\frac{10}{11}$|

$故随机变量X的数学期望E(X)=20\times \frac{1}{11}+30\times \frac{10}{11}=\frac{320}{11}.$

Final answer: 分布列：
|       |                |                 |
|---|---|---|
| X     | 20             | 30              |
| $ P $ | $\frac{1}{11}$ |$\frac{10}{11}$|

$E(X) = \frac{320}{11}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为\frac{2}{3}.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.$
$用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；$

Solution:
$因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为\frac{2}{3}，故X～B\left(3,\frac{2}{3}\right),$
$从而P(X=k)=C^k_3\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{3-k},k=0,1,2,3.$
所以，随机变量X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{1}{27}$|$\frac{2}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{8}{27}$|

$随机变量X的数学期望E(X)=3\times \frac{2}{3}=2.$

Final answer: $X的分布列为$
| X     | 0              | 1             | 2             | 3              |
| ----- | -------------- | ------------- | ------------- | -------------- |
| $ P $ | $\frac{1}{27}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{8}{27}$ |

$数学期望E(X)=2.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为\frac{2}{3}.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.$
$用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的数学期望；$

Solution:
$因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为\frac{2}{3}，故X～B\left(3,\frac{2}{3}\right),$
$从而P(X=k)=C^k_3\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{3-k},k=0,1,2,3.$
所以，随机变量X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{1}{27}$|$\frac{2}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{8}{27}$|

$随机变量X的数学期望E(X)=3\times \frac{2}{3}=2.$



Final answer: $2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

|  A班  | 6  | 6.5| 7  | 7.5| 8  |8.5|9.0|9.5|
|  B班  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10 | 11| 12|13|
|  C班  | 3  | 4.5| 6  | 7.5| 9  | 10.5| 12| 13.5|
$再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为\mu_{1}，表格中数据的平均数记为\mu_{0}，试判断\mu_{0}和\mu_{1}的大小.(结论不要求证明)$

Solution:
$\mu _1<\mu _0$.

思路分析

将从A，B，C三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较，进而作判断.

Final answer: $\mu_{1}<\mu_{0}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如表：

| 组别 | 睡眠指数  | 早睡人群占比 | 晚睡人群占比 |
| ---- | -------- | --------- | --------- |
|  1   |  [0,51) | 0.1%      | 9.2%      |
|  2   | [51,66) | 11.1%     | 47.4%     |
|  3   | [66,76) | 34.6%     | 31.6%     |
|  4   | [76,90) | 48.6%     | 11.8%     |
|  5   | [90,100]| 5.6%     | 0.0%      |

注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.
根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组;

Solution:
估计早睡人群睡眠指数25%分位数在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数在第2组.



Final answer: $3，2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875061570232322/img/compression/M_2749d0d0b15b52b3165d9b92f0e855a6.jpg)
证明：$平面PAE垂直于平面BCP；$

Solution:
$证明：连接AC，因为PB=PC，E为线段BC的中点，所以PE \perp BC。又AB=BC，\angle ABC=60^\circ ，所以\triangle ABC为等边三角形，所以BC \perp AE。因为AE \cap PE=E，所以BC \perp平面PAE，又BC \subset平面BCP，所以平面PAE \perp平面BCP。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$
<img_2549>
证明：$平面PAE垂直于平面BCP；$

Solution:
$证明：连接AC，因为PB=PC，E为线段BC的中点，所以PE \perp BC。又AB=BC，\angle ABC=60^\circ ，所以\triangle ABC为等边三角形，所以BC \perp AE。因为AE \cap PE=E，所以BC \perp平面PAE，又BC \subset平面BCP，所以平面PAE \perp平面BCP。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
$求证：平面COD\perp 平面AOB；$

Solution:
$证明：由旋转的性质得AO \perp OC，$
$又\because OB \perp OC，且AO \cap OB = O，\therefore OC \perp平面AOB，$
$又\because OC \subset平面COD，\therefore 平面COD \perp平面AOB。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$
<img_2997>
$求证：平面COD\perp 平面AOB；$

Solution:
$证明：由旋转的性质得AO \perp OC，$
$又\because OB \perp OC，且AO \cap OB = O，\therefore OC \perp平面AOB，$
$又\because OC \subset平面COD，\therefore 平面COD \perp平面AOB。$
Subfield: Solid Geometry


Question: 图1是由$矩形ADEB，Rt\triangle ABC和菱形BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60^\circ .将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG$，如图2.<img_1973>
证明：$图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC\perp 平面BCGE；$

Solution:
$证明：由已知得AD\parallel BE，CG\parallel BE，所以AD\parallel CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.$

$由已知得AB\perp BE，AB\perp BC，且BE\cap BC=B，故AB\perp 平面BCGE.又因为AB\subset 平面ABC，所以平面ABC\perp 平面BCGE。$

解后反思

翻折问题一定要注意翻折前后位置的变化，特别是平行、垂直的变化.由矩形、直角三角形中的垂直关系，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证两平面垂直；而由基本事实4和平面的基本性质不难证明四点共面.
Subfield: Solid Geometry


Question: 图1是由$矩形ADEB，Rt\triangle ABC和菱形BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60^\circ .将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG$，如图2.![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875096182132737/img/compression/M_cd832811b4eed070cb272ce6f2ae913c.jpg)
证明：$图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABC\perp 平面BCGE；$

Solution:
$证明：由已知得AD\parallel BE，CG\parallel BE，所以AD\parallel CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.$

$由已知得AB\perp BE，AB\perp BC，且BE\cap BC=B，故AB\perp 平面BCGE.又因为AB\subset 平面ABC，所以平面ABC\perp 平面BCGE。$

解后反思

翻折问题一定要注意翻折前后位置的变化，特别是平行、垂直的变化.由矩形、直角三角形中的垂直关系，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证两平面垂直；而由基本事实4和平面的基本性质不难证明四点共面.

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ , PA \perp 底面ABCD, PA=2, 点E是PC的中点.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875117010542594/img/compression/M_6b3de400e232ec00afb4edbe4e512548.jpg)
$求证：DC\parallel 平面ABE；$

Solution:
$证明：连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.$

$取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC,又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.$

$因为PA\perp 平面ABCD,AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.$

$建立空间直角坐标系A－xyz如图,$

![23BBJ5SX232答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875117593550849/img/compression/M_724a6717fc8d99c53dae1316ddae5625.jpg)

$则A(0,0,0),B(\sqrt{3}，－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right).$

$所以\overrightarrow{AB}(sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{DC}=(\sqrt{3}，-1，0),$

$设平面ABE的法向量为{n}(x,y,z),$

$则\left\{\begin{matrix}{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ {n} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.$

$令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是{n}(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).$

$因为\overrightarrow{DC}\cdot n=\sqrt{3}\times 1-1\times \sqrt{3}+0\times (-\sqrt{3})=0，所以\overrightarrow{DC}\perp n，因为DC\not\subset 平面ABE，所以DC\parallel 平面ABE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,\angle ABC=60^\circ , PA \perp 底面ABCD, PA=2, 点E是PC的中点.$

<img_256>
$求证：DC\parallel 平面ABE；$

Solution:
$证明：连接AC,因为AB=BC,\angle ABC=60^\circ ,所以\triangle ABC为等边三角形.$

$取BC的中点M,连接AM,则AM\perp BC,又因为AD\parallel BC,所以AM\perp AD.$

$因为PA\perp 平面ABCD,AD,AM\subset 平面ABCD,所以PA\perp AD,PA\perp AM.所以AM、AD、AP两两垂直.$

$建立空间直角坐标系A－xyz如图,$

<img_318>

$则A(0,0,0),B(\sqrt{3}，－1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(\sqrt{3},1,0),E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right).$

$所以\overrightarrow{AB}(sqrt{3},－1,0),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1\right),\overrightarrow{DC}=(\sqrt{3}，-1，0),$

$设平面ABE的法向量为{n}(x,y,z),$

$则\left\{\begin{matrix}{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ {n} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x-y=0,\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0.\end{matrix}\right.$

$令x=1,则y=\sqrt{3},z=－\sqrt{3},于是{n}(1,\sqrt{3},－\sqrt{3}).$

$因为\overrightarrow{DC}\cdot n=\sqrt{3}\times 1-1\times \sqrt{3}+0\times (-\sqrt{3})=0，所以\overrightarrow{DC}\perp n，因为DC\not\subset 平面ABE，所以DC\parallel 平面ABE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，等边\triangle PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2.$

![23ABJ5SX76.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875145909297155/img/compression/M_fd55494db379a2e2b5f3ed3edb9131a7.jpg)
$求证：PO \perp 平面 ABCD；$

Solution:
$证明：\because \triangle PAD是等边三角形，O为AD的中点，\therefore PO\perp AD，$
$\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PO\subset 平面PAD，$
$\therefore PO\perp 平面ABCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，等边\triangle PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2.$

<img_306>
$求证：PO \perp 平面 ABCD；$

Solution:
$证明：\because \triangle PAD是等边三角形，O为AD的中点，\therefore PO\perp AD，$
$\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD,PO\subset 平面PAD，$
$\therefore PO\perp 平面ABCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA\perp 底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点.$
<img_16>
$证明：AE \perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 底面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD.$
$又四边形ABCD为正方形，所以AD\perp CD.$
$又PA\cap AD=A，PA,AD\subset 平面PAD，所以CD\perp 平面PAD.$
$又AE\subset 平面PAD，所以AE\perp CD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA\perp 底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875148602040321/img/compression/M_06a6e9ebc10f87b990e5cfcfe04dda64.jpg)
$证明：AE \perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 底面ABCD，CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD.$
$又四边形ABCD为正方形，所以AD\perp CD.$
$又PA\cap AD=A，PA,AD\subset 平面PAD，所以CD\perp 平面PAD.$
$又AE\subset 平面PAD，所以AE\perp CD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
<img_198>
$求证：A_1B\parallel 平面AEC_1；$

Solution:
$证明：连接A_1C，交AC_1于点N，连接EN，如图1，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，E是BC的中点，又N是A_1C的中点，$

$所以EN \parallel A_1B，又EN \subset平面AEC_1，A_1B \nsubseteq平面AEC_1，$

$所以A_1B \parallel平面AEC_1。$

<img_147>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angle BAC=90^\circ ，AB=AC=AA_1=2，E是BC中点.$
![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875149541564419/img/compression/M_e5c7dcaf352f334d5e15bdb1790cab12.jpg)
$求证：A_1B\parallel 平面AEC_1；$

Solution:
$证明：连接A_1C，交AC_1于点N，连接EN，如图1，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，E是BC的中点，又N是A_1C的中点，$

$所以EN \parallel A_1B，又EN \subset平面AEC_1，A_1B \nsubseteq平面AEC_1，$

$所以A_1B \parallel平面AEC_1。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875150145544193/img/compression/M_4615d42d31a9e3e0eb17a81a2bee48bb.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

<img_2918>
$若M为PD的中点，求证：ME\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：连接MF。因为M为PD的中点，F为AD的中点，所以MF\parallel PA，$
$又因为MF不在平面PAB内，PA在平面PAB内，$
$所以MF\parallel 平面PAB。同理，得EF\parallel 平面PAB。$
$又因为MF和EF的交点为F，MF在平面MEF内，EF在平面MEF内，$
$所以平面MEF\parallel 平面PAB。又因为ME在平面MEF内，$
$所以ME\parallel 平面PAB。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$若M为PD的中点，求证：ME\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：连接MF。因为M为PD的中点，F为AD的中点，所以MF\parallel PA，$
$又因为MF不在平面PAB内，PA在平面PAB内，$
$所以MF\parallel 平面PAB。同理，得EF\parallel 平面PAB。$
$又因为MF和EF的交点为F，MF在平面MEF内，EF在平面MEF内，$
$所以平面MEF\parallel 平面PAB。又因为ME在平面MEF内，$
$所以ME\parallel 平面PAB。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1 中，所有棱长均为2，\angle BAC=\angle BAA1=\angle CAA1=60^\circ ，P，Q分别在AB，A1C1上(不包括两端)，AP=A1Q.$
<img_1614>
$求证：PQ\parallel 平面 BCC_1B_1；$

Solution:
$证明：作PD \parallel AC，交BC于点D，连接DC_1，设A_1Q=AP=t(t \in (0，2))，则BP=QC_1=2-t，$

$\because PD \parallel AC，\therefore \frac{PD}{AC}=\frac{BP}{AB}，即 \frac{PD}{2}=\frac{2-t}{2} \Rightarrow  PD=2-t，$

$\because PD // QC_1，$

$\therefore四边形C_1QPD为平行四边形，\therefore PQ \parallel C_1D，$

$\because PQ \notin 平面BCC_1B_1，C_1D \subset 平面BCC_1B_1，\therefore PQ \parallel 平面BCC_1B_1.$

<img_2352>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1 中，所有棱长均为2，\angle BAC=\angle BAA1=\angle CAA1=60^\circ ，P，Q分别在AB，A1C1上(不包括两端)，AP=A1Q.$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875181161938946/img/compression/M_20cb73da676f997bdcdee32b43a77e11.jpg)
$求证：PQ\parallel 平面 BCC_1B_1；$

Solution:
$证明：作PD \parallel AC，交BC于点D，连接DC_1，设A_1Q=AP=t(t \in (0，2))，则BP=QC_1=2-t，$

$\because PD \parallel AC，\therefore \frac{PD}{AC}=\frac{BP}{AB}，即 \frac{PD}{2}=\frac{2-t}{2} \Rightarrow  PD=2-t，$

$\because PD // QC_1，$

$\therefore四边形C_1QPD为平行四边形，\therefore PQ \parallel C_1D，$

$\because PQ \notin 平面BCC_1B_1，C_1D \subset 平面BCC_1B_1，\therefore PQ \parallel 平面BCC_1B_1.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875181656866818/img/compression/M_d18280f59844d92981ec7d19b0858dde.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO \perp底面ABCD, PO=1.在底面ABCD中，BC \parallel AD, CD \perp AD, BC=CD=1, AD=2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875203971047426/img/compression/M_ae92636871185ebb933c8e885cc3d521.jpg)
$求证：AB\parallel 平面POC；$

Solution:
$证明：由题意BC=OA，又BC \parallel OA，所以四边形BCOA是平行四边形，所以AB \parallel OC。又AB \nsubseteq 平面 POC ，OC \subseteq 平面 POC ，所以 AB \parallel 平面 POC。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO \perp底面ABCD, PO=1.在底面ABCD中，BC \parallel AD, CD \perp AD, BC=CD=1, AD=2.$

<img_2332>
$求证：AB\parallel 平面POC；$

Solution:
$证明：由题意BC=OA，又BC \parallel OA，所以四边形BCOA是平行四边形，所以AB \parallel OC。又AB \nsubseteq 平面 POC ，OC \subseteq 平面 POC ，所以 AB \parallel 平面 POC。$
Subfield: Solid Geometry


Question: 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF\perp A1B1.
$证明：BF \perp DE；$

Solution:
$\because BF \perp  A_1B_1，B_1B \perp  A_1B_1，BF \cap  B_1B = B，$

$\therefore A_1B_1 \perp  平面 B_1C_1CB，$

$\because AB \parallel  A_1B_1，\therefore AB \perp  平面 B_1C_1CB，$

$又\because  BC \subset  平面 B_1C_1CB，\therefore AB \perp  BC.$

$以 B 为坐标原点，BA，BC，BB_1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B (0，0，0)，F (0，2，1)，E (1，1，0)，\therefore \overrightarrow{BF} =(0,2,1)，设 B_1D =a (0 \leq  a \leq 2)，则 D (a ,0,2)，则\overrightarrow{DE} =(1-a ,1,-2).$

<img_286>

$证明：\because \overrightarrow{BF} \cdot  \overrightarrow{DE} =(0，2，1)\cdot (1-a ,1,-2)=0\times (1-a )+2\times 1+1\times (-2)=0,\therefore  BF \perp  DE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875233859174401/img/compression/M_8f334a8aeebef6fbe11335dcb5d3059b.jpg)
$求证：AP \perp BD；$

Solution:
$证明：因为AP=PD=2，PA\perp PD，$
$所以AD=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}，$
$又BD=2,AB=2\sqrt{3}，所以AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}，所以BD\perp AD，$
$又平面PAD\perp 平面ABD，平面PAD\cap 平面ABD=AD，所以BD\perp 平面PAD，又AP\subset 平面PAD，$
$所以AP\perp BD。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABD中，平面PAD\perp 平面ABD，且AP=PD=BD=2，AB=2\sqrt{3}，PA\perp PD.$
<img_2428>
$求证：AP \perp BD；$

Solution:
$证明：因为AP=PD=2，PA\perp PD，$
$所以AD=\sqrt{2}AP=2\sqrt{2}，$
$又BD=2,AB=2\sqrt{3}，所以AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}，所以BD\perp AD，$
$又平面PAD\perp 平面ABD，平面PAD\cap 平面ABD=AD，所以BD\perp 平面PAD，又AP\subset 平面PAD，$
$所以AP\perp BD。$