di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且AE=BF=x.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233627403046913/img/compression/M_3a51c1de3645b5559f1324a6eb4ce68e.jpg)
$(3)求异面直线A_{1}E与B_{1}F所成角的取值范围.$

Solution:
$在AD上取点H，使AH=BF=AE，连接A_{1}H,EH,FH，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233628069941250/img/compression/M_72ce1229764603f9bbfdcf473838307b.jpg)$显然HF=AB=A_{1}B_{1}，HF\parallel AB\parallel A_{1}B_{1}，即四边形A_{1}B_{1}FH是平行四边形，则A_{1}H\parallel B_{1}F，故\angle HA_{1}E(或其补角)即为异面直线A_{1}E与B_{1}F所成的角.在Rt\triangle A_{1}AH中，A_{1}H=\sqrt{4+x^2}，在Rt\triangle A_{1}AE中，A_{1}E=\sqrt{4+x^2}，在Rt\triangle HAE中，HE=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x，将异面直线所成角的余弦值表示成关于x的函数，通过变量x的范围求异面直线所成角的取值范围，体现了函数思想.在\triangle HA_{1}E中，由余弦定理的推论得\\cos  \angle HA_{1}E=\frac{A_1H^2+A_1E^2-EH^2}{2A_1H\cdot A_1E}=\frac{4}{4+x^2}，而0<x\leq 2，则4<x^{2}+4\leq 8，即\frac{1}{2}\leq \frac{4}{x^2+4}<1，即\frac{1}{2}\leq \\cos  \angle HA_{1}E<1，则0<\angle HA_{1}E\leq \frac{\pi }{3}，所以异面直线A_{1}E与B_{1}F所成角的取值范围为\left(0,\frac{\pi }{3}\right].$

Final answer: $(0,\frac{\pi }{3}]$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$<img_2647>
$(1)求证：BD_{1}\parallel 平面DEC_{1}；$

Solution:
$证明：如图1，连接CD_{1}，交DC_{1}于点H，连接HE，易得HE\parallel D_{1}B.\because HE\subset 平面C_{1}DE，D_{1}B\not\subset 平面C_{1}DE，\therefore BD_{1}\parallel 平面DEC_{1}.$<img_2329>$图1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233621036093443/img/compression/M_3b1e996b8ed2c704e302f8923804335b.jpg)
$(1)求证：BD_{1}\parallel 平面DEC_{1}；$

Solution:
$证明：如图1，连接CD_{1}，交DC_{1}于点H，连接HE，易得HE\parallel D_{1}B.\because HE\subset 平面C_{1}DE，D_{1}B\not\subset 平面C_{1}DE，\therefore BD_{1}\parallel 平面DEC_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233621396803586/img/compression/M_8e9154d05fbc4c740e127756ef8fde72.jpg)$图1$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$<img_2647>
$(2)求证：直线DE\perp 平面B_{1}BCC_{1}；$

Solution:
$证明：\because BC=DC，E是BC的中点，\therefore DE\perp BC,\because CC_{1}\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD,\therefore CC_{1}\perp DE,\because CC_{1}，BC\subset 平面B_{1}BCC_{1}，CC_{1}\cap BC=C，\therefore DE\perp 平面B_{1}BCC_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233621036093443/img/compression/M_3b1e996b8ed2c704e302f8923804335b.jpg)
$(2)求证：直线DE\perp 平面B_{1}BCC_{1}；$

Solution:
$证明：\because BC=DC，E是BC的中点，\therefore DE\perp BC,\because CC_{1}\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD,\therefore CC_{1}\perp DE,\because CC_{1}，BC\subset 平面B_{1}BCC_{1}，CC_{1}\cap BC=C，\therefore DE\perp 平面B_{1}BCC_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233621036093443/img/compression/M_3b1e996b8ed2c704e302f8923804335b.jpg)
$(3)求直线BD_{1}与平面D_{1}DCC_{1}所成角的正弦值.$

Solution:
$\because BC=DC=DB=2,\therefore \triangle BDC是等边三角形，取DC的中点O,连接BO，OD_{1}，如图2，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233621740736514/img/compression/M_49c079160b6c6acbcda43faab70d4242.jpg)$图2易知BO\perp CD,BO\perp DD_{1},\because CD\cap DD_{1}=D,CD,DD_{1}\subset 平面D_{1}DCC_{1}，\therefore BO\perp 平面D_{1}DCC_{1}，\therefore \angle BD_{1}O是直线BD_{1}与平面D_{1}DCC_{1}所成的角，\because BC=DC=DB=2,\therefore BO=\sqrt{3},\because DD_{1}=BD=2,\therefore BD_{1}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}，\therefore \\sin  \angle BD_{1}O=\frac{BO}{BD_1}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CC_{1}\perp 平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA_{1}=2，E是BC的中点.$<img_2647>
$(3)求直线BD_{1}与平面D_{1}DCC_{1}所成角的正弦值.$

Solution:
$\because BC=DC=DB=2,\therefore \triangle BDC是等边三角形，取DC的中点O,连接BO，OD_{1}，如图2，$<img_3102>$图2易知BO\perp CD,BO\perp DD_{1},\because CD\cap DD_{1}=D,CD,DD_{1}\subset 平面D_{1}DCC_{1}，\therefore BO\perp 平面D_{1}DCC_{1}，\therefore \angle BD_{1}O是直线BD_{1}与平面D_{1}DCC_{1}所成的角，\because BC=DC=DB=2,\therefore BO=\sqrt{3},\because DD_{1}=BD=2,\therefore BD_{1}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}，\therefore \\sin  \angle BD_{1}O=\frac{BO}{BD_1}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$<img_2576>
$(1)求证：AD\parallel 平面BCEF；$

Solution:
$证明：因为AD\parallel BC，BC\subset 平面BCEF，AD\not\subset 平面BCEF，所以AD\parallel 平面BCEF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233622084669443/img/compression/M_95cf38928a06aeae9d07053b37e833e8.jpg)
$(1)求证：AD\parallel 平面BCEF；$

Solution:
$证明：因为AD\parallel BC，BC\subset 平面BCEF，AD\not\subset 平面BCEF，所以AD\parallel 平面BCEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$<img_2576>
$(2)求证：BD\perp 平面CDE；$

Solution:
$证明：因为四边形ADEF为正方形，所以DE\perp AD.因为平面ADEF\perp 平面ABCD，平面ADEF\cap 平面ABCD=AD，DE\subset 平面ADEF,所以DE\perp 平面ABCD.因为BD\subset 平面ABCD,所以DE\perp BD.如图，取BC的中点N，连接DN.由BN\parallel AD，AB=AD=\frac{1}{2}BC,\angle BAD=90^\circ ，可得四边形ABND为正方形，所以DN=AB，所以DN=\frac{1}{2}BC，所以BD\perp CD.因为CD\cap DE=D，CD,DE\subset 平面CDE,所以BD\perp 平面CDE.$<img_2867>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233622084669443/img/compression/M_95cf38928a06aeae9d07053b37e833e8.jpg)
$(2)求证：BD\perp 平面CDE；$

Solution:
$证明：因为四边形ADEF为正方形，所以DE\perp AD.因为平面ADEF\perp 平面ABCD，平面ADEF\cap 平面ABCD=AD，DE\subset 平面ADEF,所以DE\perp 平面ABCD.因为BD\subset 平面ABCD,所以DE\perp BD.如图，取BC的中点N，连接DN.由BN\parallel AD，AB=AD=\frac{1}{2}BC,\angle BAD=90^\circ ，可得四边形ABND为正方形，所以DN=AB，所以DN=\frac{1}{2}BC，所以BD\perp CD.因为CD\cap DE=D，CD,DE\subset 平面CDE,所以BD\perp 平面CDE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233622495711233/img/compression/M_b04fba9915858d4940665bedd891bb19.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$<img_2576>
$(3)在线段BD上是否存在点M，使得CE\parallel 平面AMF？若存在，求出\frac{BM}{DM}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在，当M为BD的中点时，CE\parallel 平面AMF.理由如下：连接AN交BD于点P，连接NF,PF,因为四边形ABND为正方形，所以P是BD的中点，同时也是AN的中点.因为NC=AD,NC\parallel AD，四边形ADEF为正方形，所以NC=FE,NC\parallel FE，所以四边形NCEF为平行四边形，所以CE\parallel NF.又因为NF\subset 平面APF，CE\not\subset 平面APF，所以CE\parallel 平面APF，故点P即为所求的点M，此时M为BD的中点，且\frac{BM}{DM}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF\perp 平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD\parallel BC，\angle BAD=90^\circ ，AB=AD=\frac{1}{2}BC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233622084669443/img/compression/M_95cf38928a06aeae9d07053b37e833e8.jpg)
$(3)在线段BD上是否存在点M，使得CE\parallel 平面AMF？若存在，求出\frac{BM}{DM}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在，当M为BD的中点时，CE\parallel 平面AMF.理由如下：连接AN交BD于点P，连接NF,PF,因为四边形ABND为正方形，所以P是BD的中点，同时也是AN的中点.因为NC=AD,NC\parallel AD，四边形ADEF为正方形，所以NC=FE,NC\parallel FE，所以四边形NCEF为平行四边形，所以CE\parallel NF.又因为NF\subset 平面APF，CE\not\subset 平面APF，所以CE\parallel 平面APF，故点P即为所求的点M，此时M为BD的中点，且\frac{BM}{DM}=1.$

Final answer: $存在，当M为BD的中点时，CE\parallel 平面AMF，且\frac{BM}{DM}=1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将\triangle AMN沿着MN折起至\triangle A_{1}MN的位置，使得二面角A_{1}-MN-B是直二面角.$<img_2152>
$(1)若平面A_{1}MN\cap 平面A_{1}BC=l，求证：l\parallel BC；$

Solution:
$证明：\because BC\parallel MN，BC\not\subset 平面A_{1}MN，MN\subset 平面A_{1}MN，\therefore BC\parallel 平面A_{1}MN，又\because BC\subset 平面A_{1}BC，平面A_{1}BC\cap 平面A_{1}MN=l，\therefore l\parallel BC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将\triangle AMN沿着MN折起至\triangle A_{1}MN的位置，使得二面角A_{1}-MN-B是直二面角.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209356187795458/img/compression/M_73bd49f5e4bbfcaa212457294969d305.jpg)
$(1)若平面A_{1}MN\cap 平面A_{1}BC=l，求证：l\parallel BC；$

Solution:
$证明：\because BC\parallel MN，BC\not\subset 平面A_{1}MN，MN\subset 平面A_{1}MN，\therefore BC\parallel 平面A_{1}MN，又\because BC\subset 平面A_{1}BC，平面A_{1}BC\cap 平面A_{1}MN=l，\therefore l\parallel BC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将\triangle AMN沿着MN折起至\triangle A_{1}MN的位置，使得二面角A_{1}-MN-B是直二面角.$<img_2152>
$(2)若三棱锥A_{1}-AMN的体积为1，求二面角N-A_{1}M-B的正弦值.$

Solution:
$设AM=x，过A_{1}作A_{1}D\perp MN于点D，如图所示，$<img_2773>$\because 二面角A_{1}-MN-B为直二面角，\therefore A_{1}D\perp 平面ABC，\because AM=x,\triangle AMN为等边三角形，\therefore S_{\triangle AMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2},\therefore V_{A_{1}-AMN}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}x=1，解得x=2，\therefore M,N分别为AB,AC的中点，过B作BE\perp 直线MN于点E，\because A_{1}D\perp 平面ABC，BE\subset 平面ABC，\therefore A_{1}D\perp BE，又A_{1}D\cap MN=D，A_{1}D,MN\subset 平面A_{1}MN，\therefore BE\perp 平面A_{1}MN，过E作EF\perp A_{1}M，交A_{1}M的延长线于点F，连接BF，\because A_{1}F\subset 平面A_{1}MN，\therefore BE\perp A_{1}F，\because EF\cap BE=E，EF，BE\subset 平面BEF，\therefore A_{1}F\perp 平面BEF，又BF\subset 平面BEF，\therefore A_{1}F\perp BF，\therefore \angle BFE即为二面角N-A_{1}M-B的平面角的补角，记二面角N-A_{1}M-B的平面角为\alpha ，\because BE=2\\sin   60^\circ =\sqrt{3}，EM=1，EF=1\times \\sin   60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore BF=\sqrt{3+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}，\therefore \\sin   \alpha =\\sin  \angle BFE=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\therefore 二面角N-A_{1}M-B的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将\triangle AMN沿着MN折起至\triangle A_{1}MN的位置，使得二面角A_{1}-MN-B是直二面角.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209356187795458/img/compression/M_73bd49f5e4bbfcaa212457294969d305.jpg)
$(2)若三棱锥A_{1}-AMN的体积为1，求二面角N-A_{1}M-B的正弦值.$

Solution:
$设AM=x，过A_{1}作A_{1}D\perp MN于点D，如图所示，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209356527534082/img/compression/M_0634083d9b87a0ce3eec8c722904f45a.jpg)$\because 二面角A_{1}-MN-B为直二面角，\therefore A_{1}D\perp 平面ABC，\because AM=x,\triangle AMN为等边三角形，\therefore S_{\triangle AMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2},\therefore V_{A_{1}-AMN}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}x=1，解得x=2，\therefore M,N分别为AB,AC的中点，过B作BE\perp 直线MN于点E，\because A_{1}D\perp 平面ABC，BE\subset 平面ABC，\therefore A_{1}D\perp BE，又A_{1}D\cap MN=D，A_{1}D,MN\subset 平面A_{1}MN，\therefore BE\perp 平面A_{1}MN，过E作EF\perp A_{1}M，交A_{1}M的延长线于点F，连接BF，\because A_{1}F\subset 平面A_{1}MN，\therefore BE\perp A_{1}F，\because EF\cap BE=E，EF，BE\subset 平面BEF，\therefore A_{1}F\perp 平面BEF，又BF\subset 平面BEF，\therefore A_{1}F\perp BF，\therefore \angle BFE即为二面角N-A_{1}M-B的平面角的补角，记二面角N-A_{1}M-B的平面角为\alpha ，\because BE=2\\sin   60^\circ =\sqrt{3}，EM=1，EF=1\times \\sin   60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore BF=\sqrt{3+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}，\therefore \\sin   \alpha =\\sin  \angle BFE=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\therefore 二面角N-A_{1}M-B的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}AD=4，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将\triangle AEH，\triangle BEF，\triangle CFG，\triangle DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，连接ON，Q为MN的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209358041677828/img/compression/M_c873b1b9bd53a3b660d8906676b31be3.jpg)
$(1)求多面体MNEFGH的体积；$

Solution:
$连接EG,易得EG\perp FH，因为NG=NE，O为EG的中点，所以ON\perp EG，又ON\cap FH=O，ON，FH\subset 平面OFN，所以EG\perp 平面OFN，同理EG\perp 平面OHM，又平面OFN与平面OHM有公共点O，所以点M,N,F,H共面，又NG^{2}+NE^{2}=8=GE^{2}，所以NG\perp NE，ON=\frac{1}{2}EG=\sqrt{2}=NF=HM，因为NF\perp NG，NF\perp NE，NG\cap NE=N,NG,NE\subset 平面NEG，所以NF\perp 平面NEG，又ON\subset 平面NEG，所以NF\perp ON，则\angle NOF=\angle NFO=45^\circ ，同理\angle OHM=45^\circ ，则\angle NOF=\angle OHM，从而ON\parallel HM，即四边形ONMH为平行四边形，MN\parallel HF，MN=OH=2，连接OQ，在等腰梯形MNFH中，高OQ=NF\\sin   45^\circ =1，故S_{梯形MNFH}=\frac{(MN+FH)\cdot OQ}{2}=\frac{(2+4)\times 1}{2}=3，显然EG\perp 平面MNFH，所以多面体MNEFGH的体积V=2V_{E-MNFH}=2\times \frac{1}{3}S_{梯形MNFH}\times OE=2\times \frac{1}{3}\times 3\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209358809235460/img/compression/M_ec31b0684caefd08b8f93fca5f6aca82.jpg)

Final answer: $2\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}AD=4，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将\triangle AEH，\triangle BEF，\triangle CFG，\triangle DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，连接ON，Q为MN的中点.$<img_2369>
$(1)求多面体MNEFGH的体积；$

Solution:
$连接EG,易得EG\perp FH，因为NG=NE，O为EG的中点，所以ON\perp EG，又ON\cap FH=O，ON，FH\subset 平面OFN，所以EG\perp 平面OFN，同理EG\perp 平面OHM，又平面OFN与平面OHM有公共点O，所以点M,N,F,H共面，又NG^{2}+NE^{2}=8=GE^{2}，所以NG\perp NE，ON=\frac{1}{2}EG=\sqrt{2}=NF=HM，因为NF\perp NG，NF\perp NE，NG\cap NE=N,NG,NE\subset 平面NEG，所以NF\perp 平面NEG，又ON\subset 平面NEG，所以NF\perp ON，则\angle NOF=\angle NFO=45^\circ ，同理\angle OHM=45^\circ ，则\angle NOF=\angle OHM，从而ON\parallel HM，即四边形ONMH为平行四边形，MN\parallel HF，MN=OH=2，连接OQ，在等腰梯形MNFH中，高OQ=NF\\sin   45^\circ =1，故S_{梯形MNFH}=\frac{(MN+FH)\cdot OQ}{2}=\frac{(2+4)\times 1}{2}=3，显然EG\perp 平面MNFH，所以多面体MNEFGH的体积V=2V_{E-MNFH}=2\times \frac{1}{3}S_{梯形MNFH}\times OE=2\times \frac{1}{3}\times 3\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}.$<img_1522>

Final answer: $2\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}AD=4，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将\triangle AEH，\triangle BEF，\triangle CFG，\triangle DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，连接ON，Q为MN的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707209358041677828/img/compression/M_c873b1b9bd53a3b660d8906676b31be3.jpg)
$(2)若点P是该多面体表面上的动点，且满足PQ\perp ON，求点P的轨迹的长度.$

Solution:
$同(1)中证明NF\perp 平面NEG，可得HM\perp 平面MEG，又ON\parallel HM，所以ON\perp 平面MEG，依题意，动点P所在平面与ON垂直，则该平面与平面MEG平行，而此平面过点Q，令这个平面与NE，MN，NG，GF，EF的交点依次为P_{1},Q,T,S,R，依次连接P_{1}Q，QT，TS，SR，RP_{1}，则P_{1}Q\parallel EM,QT\parallel MG,RS\parallel EG,连接OM，同(1)中证明ON\parallel HM，同理OM\parallel NF，又OM\subset 平面MEG，NF\not\subset 平面MEG，所以NF\parallel 平面MEG，又NF\not\subset 平面QP_{1}RST，所以NF\parallel 平面QP_{1}RST，由此易知TS\parallel NF\parallel P_{1}R,又Q为MN的中点，所以点P_{1},T,S,R为所在棱的中点，即点P的轨迹为五边形QP_{1}RST(点Q除外)，故点P的轨迹的长度为QP_{1}+P_{1}R+RS+ST+TQ=\frac{1}{2}(ME+NF+EG+NF+MG)=\frac{1}{2}\times (2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}+2)=2+2\sqrt{2}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=\sqrt{2}AD=4，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将\triangle AEH，\triangle BEF，\triangle CFG，\triangle DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，连接ON，Q为MN的中点.$<img_2369>
$(2)若点P是该多面体表面上的动点，且满足PQ\perp ON，求点P的轨迹的长度.$

Solution:
$同(1)中证明NF\perp 平面NEG，可得HM\perp 平面MEG，又ON\parallel HM，所以ON\perp 平面MEG，依题意，动点P所在平面与ON垂直，则该平面与平面MEG平行，而此平面过点Q，令这个平面与NE，MN，NG，GF，EF的交点依次为P_{1},Q,T,S,R，依次连接P_{1}Q，QT，TS，SR，RP_{1}，则P_{1}Q\parallel EM,QT\parallel MG,RS\parallel EG,连接OM，同(1)中证明ON\parallel HM，同理OM\parallel NF，又OM\subset 平面MEG，NF\not\subset 平面MEG，所以NF\parallel 平面MEG，又NF\not\subset 平面QP_{1}RST，所以NF\parallel 平面QP_{1}RST，由此易知TS\parallel NF\parallel P_{1}R,又Q为MN的中点，所以点P_{1},T,S,R为所在棱的中点，即点P的轨迹为五边形QP_{1}RST(点Q除外)，故点P的轨迹的长度为QP_{1}+P_{1}R+RS+ST+TQ=\frac{1}{2}(ME+NF+EG+NF+MG)=\frac{1}{2}\times (2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}+2)=2+2\sqrt{2}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为6，M是A_{1}B_{1}的中点，点N在棱CC_{1}上，且CN=2NC_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968963338424322/img/compression/M_b81389b4731bba13f5d55406eba036be.jpg)
$(2)求(1)中所得截面的周长.$

Solution:
$因为\triangle NEC_{1}∽\triangle DED_{1}，所以\frac{EC_1}{ED_1}=\frac{NC_1}{DD_1}=\frac{1}{3}，即\frac{EC_1}{6+EC_1}=\frac{1}{3},所以EC_{1}=3.(6分)因为\triangle A_{1}HM∽\triangle D_{1}HE，所以\frac{HA_1}{HD_1}=\frac{A_1M}{D_1E}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}，所以HA_{1}=3，易知C_{1}F=3，A_{1}Q=2，所以DQ=DN=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}，QM=NF=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}，MF=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}，(9分)则截面DQMFN的周长为4\sqrt{13}+2\sqrt{13}+3\sqrt{2}=6\sqrt{13}+3\sqrt{2}.(10分)$

Final answer: $6\sqrt{13}+3\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为6，M是A_{1}B_{1}的中点，点N在棱CC_{1}上，且CN=2NC_{1}.$<img_2544>
$(2)求(1)中所得截面的周长.$

Solution:
$因为\triangle NEC_{1}∽\triangle DED_{1}，所以\frac{EC_1}{ED_1}=\frac{NC_1}{DD_1}=\frac{1}{3}，即\frac{EC_1}{6+EC_1}=\frac{1}{3},所以EC_{1}=3.(6分)因为\triangle A_{1}HM∽\triangle D_{1}HE，所以\frac{HA_1}{HD_1}=\frac{A_1M}{D_1E}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}，所以HA_{1}=3，易知C_{1}F=3，A_{1}Q=2，所以DQ=DN=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}，QM=NF=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}，MF=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}，(9分)则截面DQMFN的周长为4\sqrt{13}+2\sqrt{13}+3\sqrt{2}=6\sqrt{13}+3\sqrt{2}.(10分)$

Final answer: $6\sqrt{13}+3\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$<img_1555>
$(1)求证：AG\perp 平面PCD；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为正方形，\therefore CD\perp AD，\because PA\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore CD\perp PA,又AD\cap PA=A，\therefore CD\perp 平面PAD，(2分)又AG\subset 平面PAD，\therefore CD\perp AG，又PA=AD，G为PD的中点，\therefore PD\perp AG,又CD\cap PD=D,CD,PD\subset 平面PCD，\therefore AG\perp 平面PCD.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968972964352003/img/compression/M_b306ccbffe3d0a79a0c69a9761818b80.jpg)
$(1)求证：AG\perp 平面PCD；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为正方形，\therefore CD\perp AD，\because PA\perp 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore CD\perp PA,又AD\cap PA=A，\therefore CD\perp 平面PAD，(2分)又AG\subset 平面PAD，\therefore CD\perp AG，又PA=AD，G为PD的中点，\therefore PD\perp AG,又CD\cap PD=D,CD,PD\subset 平面PCD，\therefore AG\perp 平面PCD.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968972964352003/img/compression/M_b306ccbffe3d0a79a0c69a9761818b80.jpg)
$(2)求证：AG\parallel 平面PEC；$

Solution:
$证明：如图，作EF\perp PC于F，\because 平面PEC\perp 平面PCD，平面PEC\cap 平面PCD=PC，\therefore EF\perp 平面PCD，又由(1)知AG\perp 平面PCD，\therefore EF\parallel AG，(6分)又AG\not\subset 平面PEC，EF\subset 平面PEC，\therefore AG\parallel 平面PEC.(8分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968979243225090/img/compression/M_049ad0a330d87bed4917d5d2cd0cd095.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$<img_1555>
$(2)求证：AG\parallel 平面PEC；$

Solution:
$证明：如图，作EF\perp PC于F，\because 平面PEC\perp 平面PCD，平面PEC\cap 平面PCD=PC，\therefore EF\perp 平面PCD，又由(1)知AG\perp 平面PCD，\therefore EF\parallel AG，(6分)又AG\not\subset 平面PEC，EF\subset 平面PEC，\therefore AG\parallel 平面PEC.(8分)$<img_2770>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968972964352003/img/compression/M_b306ccbffe3d0a79a0c69a9761818b80.jpg)
$(3)求直线AC与平面PCD所成的角.$

Solution:
$连接CG，易得AG\perp CG，则\angle ACG为直线AC与平面PCD所成的角.(10分)在Rt\triangle ACG中，\angle AGC=90^\circ ，易求得AC=4\sqrt{2}，AG=2\sqrt{2}，故AG=\frac{1}{2}AC，所以\angle ACG=30^\circ .(12分)$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC\perp 平面PDC.$<img_1555>
$(3)求直线AC与平面PCD所成的角.$

Solution:
$连接CG，易得AG\perp CG，则\angle ACG为直线AC与平面PCD所成的角.(10分)在Rt\triangle ACG中，\angle AGC=90^\circ ，易求得AC=4\sqrt{2}，AG=2\sqrt{2}，故AG=\frac{1}{2}AC，所以\angle ACG=30^\circ .(12分)$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M是线段B_{1}D_{1}上的一个动点，连接CM，E，F分别是BC,CM的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968979654266883/img/compression/M_6e9252328999a7b0433e3ae8869790fd.jpg)
$(1)设G为棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF\parallel 平面BDD_{1}B_{1}？$

Solution:
$当G为CD的中点时，平面GEF\parallel 平面BDD_{1}B_{1}.理由如下：如图，连接BM，取CD的中点G，连接EG,FG，因为E，F分别是BC,CM的中点，所以EF\parallel BM，因为EF\not\subset 平面BDD_{1}B_{1}，BM\subset 平面BDD_{1}B_{1}，所以EF\parallel 平面BDD_{1}B_{1}.
(2分)
同理可得GE\parallel 平面BDD_{1}B_{1}，
(4分)
又GE\cap EF=E，GE,EF\subset 平面GEF，所以平面GEF\parallel 平面BDD_{1}B_{1}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968980870615041/img/compression/M_6dcf34102b5adfd4a40a810797e557d7.jpg)$
(6分)$

Final answer: $当G为CD的中点时，平面GEF\parallel 平面BDD_{1}B_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M是线段B_{1}D_{1}上的一个动点，连接CM，E，F分别是BC,CM的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968979654266883/img/compression/M_6e9252328999a7b0433e3ae8869790fd.jpg)
$(2)设三棱锥C-BDF的体积为V_{1}，四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的体积为V_{2}，求\frac{V_1}{V_2}.$

Solution:
$由F是CM的中点，得V_{C-BDF}=V_{F-BDC}=\frac{1}{2}V_{M-BDC}.易得B_{1}D_{1}\parallel BD，因为BD\subset 平面BCD，B_{1}D_{1}\not\subset 平面BCD，所以B_{1}D_{1}\parallel 平面BCD，(8分)又点M是线段B_{1}D_{1}上的一个动点，所以V_{M-BDC}=V_{B_{1}-BDC}=\frac{1}{2}V_{B_{1}-ABCD}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}V_{ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{6}V_{2}，(10分)所以V_{1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}V_{2}=\frac{1}{12}V_{2}，则\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{12}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，点M是线段B_{1}D_{1}上的一个动点，连接CM，E，F分别是BC,CM的中点.$<img_1945>
$(2)设三棱锥C-BDF的体积为V_{1}，四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的体积为V_{2}，求\frac{V_1}{V_2}.$

Solution:
$由F是CM的中点，得V_{C-BDF}=V_{F-BDC}=\frac{1}{2}V_{M-BDC}.易得B_{1}D_{1}\parallel BD，因为BD\subset 平面BCD，B_{1}D_{1}\not\subset 平面BCD，所以B_{1}D_{1}\parallel 平面BCD，(8分)又点M是线段B_{1}D_{1}上的一个动点，所以V_{M-BDC}=V_{B_{1}-BDC}=\frac{1}{2}V_{B_{1}-ABCD}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}V_{ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{6}V_{2}，(10分)所以V_{1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}V_{2}=\frac{1}{12}V_{2}，则\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{12}.(12分)$

Final answer: $\frac{1}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面ABCD为圆柱OO'的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968989850619906/img/compression/M_c6d754ac465b47412b8a0323e6256890.jpg)
$(1)证明：BE\perp 平面DEF；$

Solution:
$证明：如图，连接AE，由题意知AB为\odot O的直径，所以AE\perp BE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969004081893378/img/compression/M_55162c9d8baf97afec8b61a101afdefe.jpg)$因为AD，EF是圆柱的母线，所以AD\parallel EF且AD=EF,所以四边形AEFD是平行四边形，所以AE\parallel DF,所以BE\perp DF.(2分)因为EF是圆柱的母线，所以EF\perp 平面ABE,又因为BE\subset 平面ABE，所以EF\perp BE.(4分)又因为DF\cap EF=F，DF，EF\subset 平面DEF，所以BE\perp 平面DEF.(6分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面ABCD为圆柱OO'的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.$<img_2189>
$(1)证明：BE\perp 平面DEF；$

Solution:
$证明：如图，连接AE，由题意知AB为\odot O的直径，所以AE\perp BE.$<img_1597>$因为AD，EF是圆柱的母线，所以AD\parallel EF且AD=EF,所以四边形AEFD是平行四边形，所以AE\parallel DF,所以BE\perp DF.(2分)因为EF是圆柱的母线，所以EF\perp 平面ABE,又因为BE\subset 平面ABE，所以EF\perp BE.(4分)又因为DF\cap EF=F，DF，EF\subset 平面DEF，所以BE\perp 平面DEF.(6分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面ABCD为圆柱OO'的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.$<img_2189>
$(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.$

Solution:
$由(1)知BE是三棱锥B-DEF的底面DEF上的高，EF\perp AE，AE\parallel DF，所以EF\perp DF，所以三角形DEF是直角三角形.(7分)设DF=AE=x，BE=y，则x^{2}+y^{2}=4,所以V_{B-DEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle DEF}\cdot BE=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times x\times 2\times y=\frac{1}{3}xy\leq \frac{1}{3}\times \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{2}{3}，当且仅当x=y=\sqrt{2}时,等号成立，即当E，F分别是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}，\overset{\LARGE{\frown}}{CD}的中点时，三棱锥B-DEF的体积最大.(9分)由(1)得BE\perp 平面DEF，因为DF\subset 平面DEF，所以BE\perp DF.又因为EF\perp DF，EF\cap BE=E，所以DF\perp 平面BEF.因为BF\subset 平面BEF，所以BF\perp DF,所以\angle BFE是二面角B-DF-E的平面角.(11分)由(1)知\triangle BEF为直角三角形，所以BF=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2^2}=\sqrt{6}.故\\cos  \angle BFE=\frac{EF}{BF}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3},所以二面角B-DF-E的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$