di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$<img_2026>
$“单板滑雪”参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可选出作为“基地学校”的学校个数，求X的数学期望；$

Solution:
$由题图可得，“单板滑雪”参与人数超过45的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_4\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^0_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30},
所以X的概率分布为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}
所以E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846948980916226/img/compression/M_347607119f11db87f3cec7fce35a45c9.jpg)
$“单板滑雪”参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可选出作为“基地学校”的学校个数，求X的概率分布和数学期望；$

Solution:
$由题图可得，“单板滑雪”参与人数超过45的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_4\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^0_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30},(6分)所以X的概率分布为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}所以E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.(8分)$

Final answer: $X的概率分布为X：0，1，2，3 P：1/6，1/2，3/10，1/30
X的数学期望为6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846948980916226/img/compression/M_347607119f11db87f3cec7fce35a45c9.jpg)
$现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为\frac{1}{3}，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？$

Solution:
$由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为C^2_3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)+C^3_3\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{7}{27}，所以小明同学在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足Y～B\left(n,\frac{7}{27}\right)，(9分)由题意，得n\cdot \frac{7}{27}\geq 3，得n\geq \frac{81}{7}\approx 11.6，因为n\in N^{*}，所以n的最小值为12，所以理论上至少要进行12轮测试.(12分)$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：$<img_2026>
$现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为\frac{1}{3}，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？$

Solution:
$由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为C^2_3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)+C^3_3\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{7}{27}，所以小明同学在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足Y～B\left(n,\frac{7}{27}\right)，(9分)由题意，得n\cdot \frac{7}{27}\geq 3，得n\geq \frac{81}{7}\approx 11.6，因为n\in N^{*}，所以n的最小值为12，所以理论上至少要进行12轮测试.(12分)$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846957501980674/img/compression/M_4497c0030ee543bf6d9a660166fbbd00.jpg)$年龄在19～35岁的人群称为青年人群，已知在所调查的游客中随机抽取1人，抽到无预订的青年游客的概率为\frac{3}{16}.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.05
0.010
0.001
x_{0}
3.841
6.635
10.828
$
$按照分层抽样的方法，从有预订游客中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年游客的概率.$

Solution:
$按分层抽样，从有预订游客中选取5人，其中青年游客的人数为5\times \frac{120}{200}=3，非青年游客的人数为2，(9分)所以从这5人中任意选取3人，其中至少有2人是青年游客的概率P=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_2+\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{7}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：$<img_2430>$年龄在19～35岁的人群称为青年人群，已知在所调查的游客中随机抽取1人，抽到无预订的青年游客的概率为\frac{3}{16}.
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.05
0.010
0.001
x_{0}
3.841
6.635
10.828
$
$按照分层抽样的方法，从有预订游客中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年游客的概率.$

Solution:
$按分层抽样，从有预订游客中选取5人，其中青年游客的人数为5\times \frac{120}{200}=3，非青年游客的人数为2，(9分)所以从这5人中任意选取3人，其中至少有2人是青年游客的概率P=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_2+\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{7}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如下频率直方图.$<img_2923>$　$<img_2536>
$从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到1名25周岁以下组的工人的概率；$

Solution:
$由已知得，样本中25周岁以上(含25周岁)组的工人有60名，25周岁以下组的工人有40名，(2分)所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组的工人有60\times 0.05=3(人)，分别记为A_{1}，A_{2}，A_{3}；25周岁以下组的工人有40\times 0.05=2(人)，分别记为B_{1},B_{2}.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，分别是(A_{1}，A_{2})，(A_{1}，A_{3})，(A_{2}，A_{3})，(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{3}，B_{1})，(A_{3}，B_{2})，(B_{1}，B_{2}).其中，至少有1名25周岁以下组的工人的可能结果共有7种，分别是(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{3}，B_{1})，(A_{3}，B_{2})，(B_{1}，B_{2})，故所求概率P=\frac{7}{10}.(6分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如下频率直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846958084988930/img/compression/M_4dad08674c7194b803b83fc687dc6589.jpg)$　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846958084988930/img/compression/M_7490e0778e3353a268759807f6b9d7be.jpg)
$从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到1名25周岁以下组的工人的概率；$

Solution:
$由已知得，样本中25周岁以上(含25周岁)组的工人有60名，25周岁以下组的工人有40名，(2分)所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组的工人有60\times 0.05=3(人)，分别记为A_{1}，A_{2}，A_{3}；25周岁以下组的工人有40\times 0.05=2(人)，分别记为B_{1},B_{2}.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，分别是(A_{1}，A_{2})，(A_{1}，A_{3})，(A_{2}，A_{3})，(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{3}，B_{1})，(A_{3}，B_{2})，(B_{1}，B_{2}).其中，至少有1名25周岁以下组的工人的可能结果共有7种，分别是(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{3}，B_{1})，(A_{3}，B_{2})，(B_{1}，B_{2})，故所求概率P=\frac{7}{10}.(6分)$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住孩子的使用习惯，很快找到孩子想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人(以下简称产品)，统计其性能指数并绘制频率直方图(如图1)：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846959032901636/img/compression/M_b79fd9848f33a5ce6e5fc954cb3fa0a4.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846959032901636/img/compression/M_c7a1fdc0b3c46e05f3fb3cc4e097533f.jpg)$图2产品的性能指数在[50,70)内适合托班幼儿使用(简称A类产品)，在[70,90)内适合小班和中班幼儿使用(简称B类产品)，在[90,110]内适合大班幼儿使用(简称C类产品)，A，B，C三类产品的销售利润分别为每件1.5元，3.5元，5.5元.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.$
$求每件产品的平均销售利润；$

Solution:
$设每件产品的销售利润为\xi 元，则\xi 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由题图1可得，A，B，C三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以P(\xi =1.5)=0.15，P(\xi =3.5)=0.45，P(\xi =5.5)=0.4，所以随机变量\xi 的概率分布为\xi 1.53.55.5P0.150.450.4所以E(\xi )=1.5\times 0.15+3.5\times 0.45+5.5\times 0.4=4.所以每件产品的平均销售利润为4元.(3分)$

Final answer: $4$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住孩子的使用习惯，很快找到孩子想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人(以下简称产品)，统计其性能指数并绘制频率直方图(如图1)：$<img_1523>$图1$<img_3070>$图2产品的性能指数在[50,70)内适合托班幼儿使用(简称A类产品)，在[70,90)内适合小班和中班幼儿使用(简称B类产品)，在[90,110]内适合大班幼儿使用(简称C类产品)，A，B，C三类产品的销售利润分别为每件1.5元，3.5元，5.5元.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.$
$求每件产品的平均销售利润；$

Solution:
$设每件产品的销售利润为\xi 元，则\xi 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由题图1可得，A，B，C三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以P(\xi =1.5)=0.15，P(\xi =3.5)=0.45，P(\xi =5.5)=0.4，所以随机变量\xi 的概率分布为\xi 1.53.55.5P0.150.450.4所以E(\xi )=1.5\times 0.15+3.5\times 0.45+5.5\times 0.4=4.所以每件产品的平均销售利润为4元.(3分)$

Final answer: $4$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住孩子的使用习惯，很快找到孩子想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人(以下简称产品)，统计其性能指数并绘制频率直方图(如图1)：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846959032901636/img/compression/M_b79fd9848f33a5ce6e5fc954cb3fa0a4.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846959032901636/img/compression/M_c7a1fdc0b3c46e05f3fb3cc4e097533f.jpg)$图2产品的性能指数在[50,70)内适合托班幼儿使用(简称A类产品)，在[70,90)内适合小班和中班幼儿使用(简称B类产品)，在[90,110]内适合大班幼儿使用(简称C类产品)，A，B，C三类产品的销售利润分别为每件1.5元，3.5元，5.5元.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.$
$该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到散点图(如图2)及一些统计量的值(见下表).
\sum \limits^{5}_{{i=1}}u_{i}
\sum \limits^{5}_{{i=1}}v_{i}
\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_{i}-\overline{u})(v_{i}-\overline{v})
\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_{i}-\overline{u})^{2}
16.30
24.87
0.41
1.64
表中u_{i}=ln x_{i}，v_{i}=ln y_{i}，\overline{u}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}u_i,\overline{v}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}v_i.根据散点图可知，y=a\cdot x^{b}可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程.①建立y关于x的回归方程；②用①中的回归方程估计该公司应投入多少万元的营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大.(收益=销售利润-营销费用)参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘公式估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：取e^{4.159}=64.
$

Solution:
$①由y=a\cdot x^{b}得，ln y=ln(a\cdot x^{b})=ln a+bln x，令u=ln x，v=ln y，c=ln a，则v=c+bu，由题表中的数据可得，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{0.41}{1.64}=0.25,则\hat{c}=\overline{v}-\hat{b}\overline{u}=\frac{24.87}{5}-0.25\times \frac{16.30}{5}=4.159，(6分)因为e^{4.159}=64，所以\hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}，故所求的回归方程为\hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}.(8分)②设年收益为z万元，则\hat{z}=4\times 64x^{\frac{1}{4}}-x=256x^{\frac{1}{4}}-x，设t=x^{\frac{1}{4}}，则f(t)=256t-t^{4}，所以f'(t)=256-4t^{3}=4(64-t^{3})，(9分)当t\in (0,4)时，f'(t)>0，f(t)在(0,4)上单调递增，当t\in (4,+\infty )时，f'(t)<0，f(t)在(4,+\infty )上单调递减，所以当t=4，即x=256时，z有最大值，即估计该公司应投入256万元营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大.(12分)$

Final answer: $ 建立的回归方程为：\hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}
 公司应投入256万元的营销费用，才能使得产品一年的收益达到最大。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住孩子的使用习惯，很快找到孩子想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人(以下简称产品)，统计其性能指数并绘制频率直方图(如图1)：$<img_1523>$图1$<img_3070>$图2产品的性能指数在[50,70)内适合托班幼儿使用(简称A类产品)，在[70,90)内适合小班和中班幼儿使用(简称B类产品)，在[90,110]内适合大班幼儿使用(简称C类产品)，A，B，C三类产品的销售利润分别为每件1.5元，3.5元，5.5元.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.$
$该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x_{i}和年销售量y_{i}(i=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到散点图(如图2)及一些统计量的值(见下表).
\sum \limits^{5}_{{i=1}}u_{i}
\sum \limits^{5}_{{i=1}}v_{i}
\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_{i}-\overline{u})(v_{i}-\overline{v})
\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_{i}-\overline{u})^{2}
16.30
24.87
0.41
1.64
表中u_{i}=ln x_{i}，v_{i}=ln y_{i}，\overline{u}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}u_i,\overline{v}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}v_i.根据散点图可知，y=a\cdot x^{b}可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程.

①求建立y关于x的回归方程；

②用①中的回归方程估计该公司应投入多少万元的营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大.(收益=销售利润-营销费用)参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘公式估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：取e^{4.159}=64.
$

Solution:
$①由y=a\cdot x^{b}得，ln y=ln(a\cdot x^{b})=ln a+bln x，令u=ln x，v=ln y，c=ln a，则v=c+bu，由题表中的数据可得，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{0.41}{1.64}=0.25,则\hat{c}=\overline{v}-\hat{b}\overline{u}=\frac{24.87}{5}-0.25\times \frac{16.30}{5}=4.159，因为e^{4.159}=64，所以\hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}，故所求的回归方程为\hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}.
②设年收益为z万元，则\hat{z}=4\times 64x^{\frac{1}{4}}-x=256x^{\frac{1}{4}}-x，设t=x^{\frac{1}{4}}，则f(t)=256t-t^{4}，所以f'(t)=256-4t^{3}=4(64-t^{3})，当t\in (0,4)时，f'(t)>0，f(t)在(0,4)上单调递增，当t\in (4,+\infty )时，f'(t)<0，f(t)在(4,+\infty )上单调递减，所以当t=4，即x=256时，z有最大值，即估计该公司应投入256万元营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大.$



Final answer: $ \hat{y}=64x^{\frac{1}{4}}，256$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x(单位：分)和物理成绩y(单位：分)，绘制成如下散点图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846960010174467/img/compression/M_6b584d897a5b3b6c6d43cd57916d3a93.jpg)$根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}=4 641,\sum \limits^{42}_{{i=1}}y_{i}=3 108,\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=350 350,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=5 250,其中x_{i}，y_{i}分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=1，2，\ldots ，42.y与x的相关系数r\approx 0.81.
附：①线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954.③\sqrt{125}\approx 11.2.$
$若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r_{0}，试判断r_{0}与r的大小关系，并说明理由；$

Solution:
$r_{0}＜r.理由如下：由题图可知，y与x呈正相关，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度.②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小.③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大.④42个数据点更贴近其回归直线.⑤44个数据点与其回归直线更离散.(以上理由任选其一作答即可)(4分)$

Final answer: $r_{0}<r$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x(单位：分)和物理成绩y(单位：分)，绘制成如下散点图：$<img_2479>$根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}=4 641,\sum \limits^{42}_{{i=1}}y_{i}=3 108,\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=350 350,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=5 250,其中x_{i}，y_{i}分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=1，2，\ldots ，42.y与x的相关系数r\approx 0.81.
附：①线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954.③\sqrt{125}\approx 11.2.$
$求y关于x的线性回归方程(精确到0.01)，如果B考生参加了这次物理考试(已知B考生的数学成绩为125分)，估计B考生的物理成绩是多少(精确到个位)；$

Solution:
$设y关于x的线性回归方程为\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}.由题中数据可得\overline{x}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}x_{i}=110.5,\overline{y}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}y_{i}=74,所以\sum \limits^{42}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=\sum \limits^{42}_{i=1}x_{i}y_{i}-42\overline{x} \overline{y}=350 350-42\times 110.5\times 74=6 916.又因为\sum \limits^{42}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{42}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{42}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6 916}{13 814.5}\approx 0.50,\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=74-0.50\times 110.5=18.75,所以\hat{y}=0.50x+18.75.(6分)将x=125代入，得\hat{y}=0.50\times 125+18.75=62.5+18.75\approx 81，所以估计B考生的物理成绩为81分.(8分)$

Final answer: $81$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x(单位：分)和物理成绩y(单位：分)，绘制成如下散点图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846960010174467/img/compression/M_6b584d897a5b3b6c6d43cd57916d3a93.jpg)$根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}=4 641,\sum \limits^{42}_{{i=1}}y_{i}=3 108,\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=350 350,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=5 250,其中x_{i}，y_{i}分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=1，2，\ldots ，42.y与x的相关系数r\approx 0.81.
附：①线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954.③\sqrt{125}\approx 11.2.$
$求y关于x的线性回归方程(精确到0.01)，如果B考生参加了这次物理考试(已知B考生的数学成绩为125分)，估计B考生的物理成绩是多少(精确到个位)；$

Solution:
$设y关于x的线性回归方程为\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}.由题中数据可得\overline{x}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}x_{i}=110.5,\overline{y}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}y_{i}=74,所以\sum \limits^{42}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=\sum \limits^{42}_{i=1}x_{i}y_{i}-42\overline{x} \overline{y}=350 350-42\times 110.5\times 74=6 916.又因为\sum \limits^{42}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{42}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{42}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6 916}{13 814.5}\approx 0.50,\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=74-0.50\times 110.5=18.75,所以\hat{y}=0.50x+18.75.(6分)将x=125代入，得\hat{y}=0.50\times 125+18.75=62.5+18.75\approx 81，所以估计B考生的物理成绩为81分.(8分)$

Final answer: $81$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x(单位：分)和物理成绩y(单位：分)，绘制成如下散点图：$<img_2479>$根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}=4 641,\sum \limits^{42}_{{i=1}}y_{i}=3 108,\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=350 350,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=5 250,其中x_{i}，y_{i}分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=1，2，\ldots ，42.y与x的相关系数r\approx 0.81.
附：①线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954.③\sqrt{125}\approx 11.2.$
$从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩X~N(\mu ，\sigma ^{2}).以剔除异常数据后的物理成绩作为样本，用样本平均数\overline{y}作为\mu 的估计值，用样本方差s^{2}作为\sigma ^{2}的估计值.试求该地区5 000名考生中，物理成绩在区间(62.8，85.2)内的人数Z的数学期望.(精确到个位)$

Solution:
$\overline{y}=74,s^{2}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}=\frac{1}{42}\times 5 250=125，所以X～N(74，125)，又因为\sqrt{125}\approx 11.2，所以P(62.8(10分)所以Z～B(5 000，0.683)，所以E(Z)=5 000\times 0.683=3 415，故该地区5 000名考生中，物理成绩在区间(62.8，85.2)内的人数Z的数学期望为3 415.(12分)$

Final answer: $3 415$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x(单位：分)和物理成绩y(单位：分)，绘制成如下散点图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846960010174467/img/compression/M_6b584d897a5b3b6c6d43cd57916d3a93.jpg)$根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}=4 641,\sum \limits^{42}_{{i=1}}y_{i}=3 108,\sum \limits^{42}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=350 350,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=13 814.5,\sum \limits^{42}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=5 250,其中x_{i}，y_{i}分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i=1，2，\ldots ，42.y与x的相关系数r\approx 0.81.
附：①线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.683，P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954.③\sqrt{125}\approx 11.2.$
$从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩X~N(\mu ，\sigma ^{2}).以剔除异常数据后的物理成绩作为样本，用样本平均数\overline{y}作为\mu 的估计值，用样本方差s^{2}作为\sigma ^{2}的估计值.试求该地区5 000名考生中，物理成绩在区间(62.8，85.2)内的人数Z的数学期望.(精确到个位)$

Solution:
$\overline{y}=74,s^{2}=\frac{1}{42}\sum \limits^{42}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}=\frac{1}{42}\times 5 250=125，所以X～N(74，125)，又因为\sqrt{125}\approx 11.2，所以P(62.8(10分)所以Z～B(5 000，0.683)，所以E(Z)=5 000\times 0.683=3 415，故该地区5 000名考生中，物理成绩在区间(62.8，85.2)内的人数Z的数学期望为3 415.(12分)$

Final answer: $3 415$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级.某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的条形图如图所示：$<img_1653>
$若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个四等品的概率；$

Solution:
$随机抽取1个，取到四等品的概率P=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记四等品的数量为\xi ，则\xi ～B\left(3,\frac{1}{5}\right)，(2分)\therefore P(\xi =1)=C^1_3\times \left(\frac{1}{5}\right)^{1}\times  \left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{48}{125}.(4分)$

Final answer: $\frac{48}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级.某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的条形图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846967679123457/img/compression/M_e19c8e3d41471507418ff52b3b0d2fa3.jpg)
$若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个四等品的概率；$

Solution:
$随机抽取1个，取到四等品的概率P=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记四等品的数量为\xi ，则\xi ～B\left(3,\frac{1}{5}\right)，(2分)\therefore P(\xi =1)=C^1_3\times \left(\frac{1}{5}\right)^{1}\times  \left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{48}{125}.(4分)$

Final answer: $\frac{48}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级.某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的条形图如图所示：$<img_1653>
$按分层抽样从这100个产品中抽取10个.现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中一等品的个数为X，求X的数学期望；$

Solution:
$由分层抽样可知，10个产品中，一等品有4个，非一等品有6个，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_4\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^0_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30}.
\therefore X的概率分布为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}\therefore 数学期望E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级.某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的质量标准得到下面的条形图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846967679123457/img/compression/M_e19c8e3d41471507418ff52b3b0d2fa3.jpg)
$按分层抽样从这100个产品中抽取10个.现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中一等品的个数为X，求X的概率分布及数学期望；$

Solution:
$由分层抽样可知，10个产品中，一等品有4个，非一等品有6个，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_4\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^1_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^0_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30}.(8分)\therefore X的概率分布为X0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}\therefore 数学期望E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.(10分)$

Final answer: $X的概率分布为：0，1，2，3，概率分别为1/6，1/2，3/10，1/30。
数学期望E(X)=6/5。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图如图.$<img_2786>
$求得分的中位数(计算结果精确到小数点后一位)；$

Solution:
$由0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a=1，得a=0.020.设得分的中位数为x,易知80\leq x<90，则0.05+0.05+0.10+0.20+(x-80)\times 0.045=0.5，得x\approx 82.2.所以得分的中位数约为82.2.$

Final answer: $82.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861445072592897/img/compression/M_350d16978e4b92a000fd597117160e5b.jpg)
$求得分的中位数(计算结果精确到小数点后一位)；$

Solution:
$由0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a=1，得a=0.020.设得分的中位数为x,易知80\leq x<90，则0.05+0.05+0.10+0.20+(x-80)\times 0.045=0.5，得x\approx 82.2.所以得分的中位数约为82.2.$

Final answer: $82.2$