di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据2013~2022年年份数x_{i}(i=1,2，\ldots ,10)与该机场飞往A地航班放行准点率y_{i}(单位：百分比)的统计数据所作的散点图及经初步处理后得到的一些统计量的值.$<img_2671>$ 
\overline{x}
\overline{y}
\overline{t}
\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i
2 017.5
80.4
1.5
40 703 145.0
1 621 254.2
27.7
1 226.8
其中t_{i}=ln(x_{i}-2 012),\overline{t}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{i=1}t_i.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\overline{u}\overline{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 11\approx 2.40.$
$根据散点图判断y=bx+a与y=cln(x-2 012)+d中哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据表中数据建立回归方程，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率；$

Solution:
$由题图可以看出，y=cln(x-2 012)+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程类型.令t=ln(x-2 012),则y=ct+d,易得\hat{c}=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i-10\overline{t}\overline{y}}{\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i-10\overline{t}^2}=\frac{1 226.8-10\times 1.5\times 80.4}{27.7-10\times 1.5^2}=4,\hat{d}=\overline{y}-\hat{c}\overline{t}=80.4-4\times 1.5=74.4,所以\hat{y}=4t+74.4,因此该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程为\hat{y}=4ln(x-2 012)+74.4.当x=2 023时，\hat{y}=4ln(2 023-2 012)+74.4=4ln 11+74.4\approx 4\times 2.40+74.4=84.所以预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率为84%.$

Final answer: $84%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据2013~2022年年份数x_{i}(i=1,2，\ldots ,10)与该机场飞往A地航班放行准点率y_{i}(单位：百分比)的统计数据所作的散点图及经初步处理后得到的一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930085779795971/img/compression/M_bb3c186bcff599318b7a37dbddbde3f6.jpg)$ 
\overline{x}
\overline{y}
\overline{t}
\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i
2 017.5
80.4
1.5
40 703 145.0
1 621 254.2
27.7
1 226.8
其中t_{i}=ln(x_{i}-2 012),\overline{t}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{i=1}t_i.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\overline{u}\overline{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 11\approx 2.40.$
$根据散点图判断y=bx+a与y=cln(x-2 012)+d中哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据表中数据建立回归方程，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率；$

Solution:
$由题图可以看出，y=cln(x-2 012)+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程类型.令t=ln(x-2 012),则y=ct+d,易得\hat{c}=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i-10\overline{t}\overline{y}}{\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i-10\overline{t}^2}=\frac{1 226.8-10\times 1.5\times 80.4}{27.7-10\times 1.5^2}=4,\hat{d}=\overline{y}-\hat{c}\overline{t}=80.4-4\times 1.5=74.4,所以\hat{y}=4t+74.4,因此该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程为\hat{y}=4ln(x-2 012)+74.4.当x=2 023时，\hat{y}=4ln(2 023-2 012)+74.4=4ln 11+74.4\approx 4\times 2.40+74.4=84.所以预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率为84%.$

Final answer: $84%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据2013~2022年年份数x_{i}(i=1,2，\ldots ,10)与该机场飞往A地航班放行准点率y_{i}(单位：百分比)的统计数据所作的散点图及经初步处理后得到的一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930085779795971/img/compression/M_bb3c186bcff599318b7a37dbddbde3f6.jpg)$ 
\overline{x}
\overline{y}
\overline{t}
\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i
2 017.5
80.4
1.5
40 703 145.0
1 621 254.2
27.7
1 226.8
其中t_{i}=ln(x_{i}-2 012),\overline{t}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{i=1}t_i.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\overline{u}\overline{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 11\approx 2.40.$
$已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6，若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率.$

Solution:
$设A_{1}=“该航班飞往A地”，A_{2}=“该航班飞往B地”，A_{3}=“该航班飞往其他地区”，C=“该航班准点放行”，则P(A_{1})=0.2，P(A_{2})=0.2，P(A_{3})=0.6,P(C|A_{1})=0.84，P(C|A_{2})=0.8，P(C|A_{3})=0.75.所以P(C)=P(A_{1})P(C|A_{1})+P(A_{2})P(C|A_{2})+P(A_{3})\cdot P(C|A_{3})=0.2\times 0.84+0.2\times 0.8+0.6\times 0.75=0.778.$

Final answer: $0.778$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据2013~2022年年份数x_{i}(i=1,2，\ldots ,10)与该机场飞往A地航班放行准点率y_{i}(单位：百分比)的统计数据所作的散点图及经初步处理后得到的一些统计量的值.$<img_2671>$ 
\overline{x}
\overline{y}
\overline{t}
\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t^2_i
\sum \limits^{10}_{i=1}t_iy_i
2 017.5
80.4
1.5
40 703 145.0
1 621 254.2
27.7
1 226.8
其中t_{i}=ln(x_{i}-2 012),\overline{t}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{i=1}t_i.
参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n}),其经验回归方程\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}u_iv_i-n\overline{u}\overline{v}}{\sum \limits^{n}_{i=1}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：ln 11\approx 2.40.$
$已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6，若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率.$

Solution:
$设A_{1}=“该航班飞往A地”，A_{2}=“该航班飞往B地”，A_{3}=“该航班飞往其他地区”，C=“该航班准点放行”，则P(A_{1})=0.2，P(A_{2})=0.2，P(A_{3})=0.6,P(C|A_{1})=0.84，P(C|A_{2})=0.8，P(C|A_{3})=0.75.所以P(C)=P(A_{1})P(C|A_{1})+P(A_{2})P(C|A_{2})+P(A_{3})\cdot P(C|A_{3})=0.2\times 0.84+0.2\times 0.8+0.6\times 0.75=0.778.$

Final answer: $0.778$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某IT公司基于5G领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930115113615362/img/compression/M_fc68d291c5ce000b49d983d7e3596562.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(u_{i}-\overline{u})
e^{1.52}
e^{2.66}
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u＝ln y.参考公式：对于一组数据(x_{i}，v_{i})(i＝1，2，3，\ldots ，n)，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha }的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})({v}_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$根据散点图判断，y＝ax+b与y＝ce^{dx}(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型;(给出判断即可，不必说明理由)$

Solution:
$根据散点图判断，y＝ce^{dx}更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.$

Final answer: $根据散点图判断，y＝ce^{dx}更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某IT公司基于5G领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$<img_1702>$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(u_{i}-\overline{u})
e^{1.52}
e^{2.66}
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u＝ln y.参考公式：对于一组数据(x_{i}，v_{i})(i＝1，2，3，\ldots ，n)，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha }的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})({v}_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的经济收入；(结果保留小数点后两位)$

Solution:
$对y＝ce^{dx}两边同时取自然对数得ln y＝ln c+dx.设u＝ln y，则u＝ln c+dx，\hat{d}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.73}{17.50}\approx 0.38，ln c=\overline{u}-\hat{d}\overline{x}\approx 2.85-0.38\times 3.50=1.52，\therefore \hat{u}=1.52+0.38x，即ln \hat{y}=1.52+0.38x，\therefore \hat{y}=e^{1.52+0.38x}=4.57\times e^{0.38x}.令x＝7，得\hat{y}=4.57\times e^{2.66}=4.57\times 14.30\approx 65.35，故预测该公司7月份的经济收入为65.35百万元.$

Final answer: $65.35$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某IT公司基于5G领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930115113615362/img/compression/M_fc68d291c5ce000b49d983d7e3596562.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(u_{i}-\overline{u})
e^{1.52}
e^{2.66}
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u＝ln y.参考公式：对于一组数据(x_{i}，v_{i})(i＝1，2，3，\ldots ，n)，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha }的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})({v}_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的经济收入；(结果保留小数点后两位)$

Solution:
$对y＝ce^{dx}两边同时取自然对数得ln y＝ln c+dx.设u＝ln y，则u＝ln c+dx，\hat{d}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.73}{17.50}\approx 0.38，ln c=\overline{u}-\hat{d}\overline{x}\approx 2.85-0.38\times 3.50=1.52，\therefore \hat{u}=1.52+0.38x，即ln \hat{y}=1.52+0.38x，\therefore \hat{y}=e^{1.52+0.38x}=4.57\times e^{0.38x}.令x＝7，得\hat{y}=4.57\times e^{2.66}=4.57\times 14.30\approx 65.35，故预测该公司7月份的经济收入为65.35百万元.$

Final answer: $65.35$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某IT公司基于5G领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$<img_1702>$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(u_{i}-\overline{u})
e^{1.52}
e^{2.66}
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u＝ln y.参考公式：对于一组数据(x_{i}，v_{i})(i＝1，2，3，\ldots ，n)，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha }的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})({v}_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的数学期望.$

Solution:
$易知前6个月的收入中超过20百万元的有3个，\therefore 随机变量X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，故X的分布列为X012P\frac{1}{5}\frac{3}{5}\frac{1}{5}E(X)=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某IT公司基于5G领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930115113615362/img/compression/M_fc68d291c5ce000b49d983d7e3596562.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})(u_{i}-\overline{u})
e^{1.52}
e^{2.66}
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u＝ln y.参考公式：对于一组数据(x_{i}，v_{i})(i＝1，2，3，\ldots ，n)，其经验回归方程\hat{v}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha }的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})({v}_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{n}}_{{i=1}}({x}_i-\overline{x})^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.$

Solution:
$易知前6个月的收入中超过20百万元的有3个，\therefore 随机变量X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，故X的分布列为X012P\frac{1}{5}\frac{3}{5}\frac{1}{5}E(X)=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.$

Final answer: $分布列：X  P
       0  1/5
       1  3/5
       2  1/5
数学期望：1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校高二年级为调查本年度参加学业水平考试的学生是否需要年级提供帮助，从高二年级随机调查了50名学生，其中有20名男同学，下图是根据样本的调查结果绘制的等高堆积条形图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702927103277330434/img/compression/M_c0112c242c984a184b3093585d69c012.jpg)
$根据已知条件与等高堆积条形图完成下面的2\times 2列联表：
单位：名
男同学
女同学
总计
需要帮助
不需要帮助
总计
$

Solution:
$由题意知调查的50名学生中有20名男同学，30名女同学.由题中等高堆积条形图可知，男同学中需要帮助的有4人，不需要帮助的有16人，女同学中需要帮助的有3人，不需要帮助的有27人.
(2分)
则2\times 2列联表为
单位：名
男同学
女同学
总计
需要帮助
4
3
7
不需要帮助
16
27
43
总计
20
30
50
(5分)$

Final answer: $需要帮助的男同学有4人, 需要帮助的女同学有3人。$
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Question: $某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下.
等级
不合格
合格
分数
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频数
6
a
24
b
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702927113740677121/img/compression/M_ab183ea81646faf3a76337ec7e94e3b7.jpg)$
$
$求a,b,c的值；$

Solution:
$由题图可知，分数在[20,40)的频率为0.005\times 20=0.1，故抽取的学生答卷总数为\frac{6}{0.1}=60.又分数在[80,100]的频率为0.01\times 20=0.2，所以b=60\times 0.2=12.(1分)又6+a+24+b=60，所以a=18，(2分)故c=\frac{18}{60\times 20}=0.015.(3分)$

Final answer: $a=18$,$ b=12, $c=0.015$
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Question: $某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下.
等级
不合格
合格
分数
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频数
6
a
24
b
$<img_2809>$
$
$求a,b,c的值；$

Solution:
$由题图可知，分数在[20,40)的频率为0.005\times 20=0.1，故抽取的学生答卷总数为\frac{6}{0.1}=60.又分数在[80,100]的频率为0.01\times 20=0.2，所以b=60\times 0.2=12.(1分)又6+a+24+b=60，所以a=18，(2分)故c=\frac{18}{60\times 20}=0.015.(3分)$

Final answer: $a=18$,$ b=12, $c=0.015$
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Question: $某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下.
等级
不合格
合格
分数
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频数
6
a
24
b
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702927113740677121/img/compression/M_ab183ea81646faf3a76337ec7e94e3b7.jpg)$
$
$用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分数为\xi ，求\xi 的分布列及数学期望E(\xi )；$

Solution:
$由(1)及题意知，“不合格”与“合格”的学生人数比例为24:36=2:3，因此抽取的10人中“不合格”的有4人，“合格”的有6人.所以\xi 的可能取值为20,15,10,5,0，P(\xi =20)=\frac{{\mathrm{C}}^{4}_{6}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{1}{14}，P(\xi =15)=\frac{{\mathrm{C}}^{3}_{6}{\mathrm{C}}^{1}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{8}{21}，P(\xi =10)=\frac{{\mathrm{C}}^{2}_{6}{\mathrm{C}}^{2}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{3}{7}，P(\xi =5)=\frac{{\mathrm{C}}^{1}_{6}{\mathrm{C}}^{3}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{4}{35}，P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}^{4}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{1}{210}.
(6分)
故\xi 的分布列为
\xi 
20
15
10
5
0
P
\frac{1}{14}
\frac{8}{21}
\frac{3}{7}
\frac{4}{35}
\frac{1}{210}
(8分)
E(\xi )=20\times \frac{1}{14}+15\times \frac{8}{21}+10\times \frac{3}{7}+5\times \frac{4}{35}+0\times \frac{1}{210}=12.
(9分)$

Final answer: $分布列：P(20)=1/14,P(15)=8/21,P(10)=3/7,P(5)=4/35,P(0)=1/210
数学期望：E(\xi)=12$
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Question: $某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下.
等级
不合格
合格
分数
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频数
6
a
24
b
$<img_2809>$
$
$用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分数为\xi ，求\xi 的数学期望E(\xi )；$

Solution:
$由(1)及题意知，“不合格”与“合格”的学生人数比例为24:36=2:3，因此抽取的10人中“不合格”的有4人，“合格”的有6人.所以\xi 的可能取值为20,15,10,5,0，P(\xi =20)=\frac{{\mathrm{C}}^{4}_{6}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{1}{14}，P(\xi =15)=\frac{{\mathrm{C}}^{3}_{6}{\mathrm{C}}^{1}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{8}{21}，P(\xi =10)=\frac{{\mathrm{C}}^{2}_{6}{\mathrm{C}}^{2}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{3}{7}，P(\xi =5)=\frac{{\mathrm{C}}^{1}_{6}{\mathrm{C}}^{3}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{4}{35}，P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}^{4}_{4}}{{\mathrm{C}}^{4}_{10}}=\frac{1}{210}.

故\xi 的分布列为
\xi 
20
15
10
5
0
P
\frac{1}{14}
\frac{8}{21}
\frac{3}{7}
\frac{4}{35}
\frac{1}{210}

E(\xi )=20\times \frac{1}{14}+15\times \frac{8}{21}+10\times \frac{3}{7}+5\times \frac{4}{35}+0\times \frac{1}{210}=12.
$



Final answer: $12$
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Question: $某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313524300779523/img/compression/M_4b55a4b27b6f78b2e292f297fdb06aeb.jpg)
$请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)$

Solution:
$由题图易知日销售量在区间[80，90)内的频率最大，所以众数为85，(2分)平均数\overline{x}=(65\times 0.002 5+75\times 0.01+85\times 0.04+95\times 0.035+105\times 0.01+115\times 0.002 5)\times 10=89.75.(4分)$

Final answer: $85$, $89.75$
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Question: $某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：$<img_2929>
$请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)$

Solution:
$由题图易知日销售量在区间[80，90)内的频率最大，所以众数为85，(2分)平均数\overline{x}=(65\times 0.002 5+75\times 0.01+85\times 0.04+95\times 0.035+105\times 0.01+115\times 0.002 5)\times 10=89.75.(4分)$

Final answer: $85$, $89.75$
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Question: $某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：$<img_2929>
$一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80\%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)$

Solution:
$由题图知日销售量在区间[60，90)内的频率为(0.002 5+0.01+0.04)\times 10=0.525<0.8，日销量在区间[60，100)的频率为0.525+0.035\times 10=0.875>0.8，故所求的量位于区间[90，100)中.(6分)由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275，得90+\frac{0.275}{0.035}\approx 98，故每天应该进98千克苹果.(10分)$

Final answer: $98$
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Question: $某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313524300779523/img/compression/M_4b55a4b27b6f78b2e292f297fdb06aeb.jpg)
$一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80\%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)$

Solution:
$由题图知日销售量在区间[60，90)内的频率为(0.002 5+0.01+0.04)\times 10=0.525<0.8，日销量在区间[60，100)的频率为0.525+0.035\times 10=0.875>0.8，故所求的量位于区间[90，100)中.(6分)由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275，得90+\frac{0.275}{0.035}\approx 98，故每天应该进98千克苹果.(10分)$

Final answer: $98$
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Question: $某中学要从高一年级甲、乙两个班中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”.该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.$<img_2592>
$求x,y的值；$

Solution:
$因为甲班学生成绩的平均分是85，所以\overline{x}_{甲}=\frac{78+75+85+80+x+80+92+96}{7}=85，解得x=9.(2分)因为乙班学生成绩的中位数是85，所以y=5.(4分)$

Final answer: $9$, $5$
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Question: $某中学要从高一年级甲、乙两个班中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”.该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313514739523586/img/compression/M_08857b0e649e2538f50239fc55ff5fbd.jpg)
$求x,y的值；$

Solution:
$因为甲班学生成绩的平均分是85，所以\overline{x}_{甲}=\frac{78+75+85+80+x+80+92+96}{7}=85，解得x=9.(2分)因为乙班学生成绩的中位数是85，所以y=5.(4分)$

Final answer: $9$, $5$
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Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$<img_1603>
$抽查的50名学生中，每天平均学习时间为6~8小时的学生有多少名？$

Solution:
$由题可知(0.02+0.06+0.12+0.12+x)\times 2=1，解得x=0.18.\because 50\times 0.18\times 2=18，\therefore 抽查的50名学生中，每天平均学习时间为6~8小时的学生有18名.(3分)$

Final answer: $18$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313539624329217/img/compression/M_ae2b20f310ba84fec35721223be135ba.jpg)
$抽查的50名学生中，每天平均学习时间为6~8小时的学生有多少名？$

Solution:
$由题可知(0.02+0.06+0.12+0.12+x)\times 2=1，解得x=0.18.\because 50\times 0.18\times 2=18，\therefore 抽查的50名学生中，每天平均学习时间为6~8小时的学生有18名.(3分)$

Final answer: $18$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$<img_1603>
$经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中，现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；$

Solution:
$设高一抽取a名学生，高二抽取b名学生，高三抽取c名学生,则有\frac{6}{12+6+18}=\frac{a}{12}=\frac{b}{6}=\frac{c}{18},解得a=2,b=1,c=3.\therefore 高一、高二、高三分别抽取了2名学生、1名学生、3名学生.$



Final answer: $2,1,3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313539624329217/img/compression/M_ae2b20f310ba84fec35721223be135ba.jpg)
$经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中，现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；$

Solution:
$设高一抽取a名学生，高二抽取b名学生，高三抽取c名学生,则有\frac{6}{12+6+18}=\frac{a}{12}=\frac{b}{6}=\frac{c}{18},解得a=2,b=1,c=3.\therefore 高一、高二、高三分别抽取了2名学生、1名学生、3名学生.(6分)$

Final answer: $高一抽取了2名学生,高二抽取了1名学生,高三抽取了3名学生.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313539624329217/img/compression/M_ae2b20f310ba84fec35721223be135ba.jpg)
$在(2)抽取的6名学生中随机选取2名学生进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率.$

Solution:
$将这6名学生分别编号为1，2，3，4，5，6，其中1，2来自高一，3来自高二，4，5，6来自高三，则从中随机选取2名学生的所有可能情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种，其中符合题意的有11种，\therefore 2名学生来自不同年级的概率为\frac{11}{15}.(10分)$

Final answer: $\frac{11}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各年级人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50　$<img_1603>
$在(2)抽取的6名学生中随机选取2名学生进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率.$

Solution:
$将这6名学生分别编号为1，2，3，4，5，6，其中1，2来自高一，3来自高二，4，5，6来自高三，则从中随机选取2名学生的所有可能情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种，其中符合题意的有11种，\therefore 2名学生来自不同年级的概率为\frac{11}{15}.(10分)$

Final answer: $\frac{11}{15}$
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Question: $某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1 000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析.经统计，这50名学生的分数全部介于55和95之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[55，60)，\ldots ，第八组[90，95]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313548210937858/img/compression/M_24ab75e2c4f2695a93679e99aa6f5417.jpg)
$求分数在第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1 000名学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)；$

Solution:
$由题图得分数在第一组[55，60)内的频率为0.008\times 5=0.04，分数在第二组[60，65)的频率为0.016\times 5=0.08，分数在第三组[65，70)的频率为0.04\times 5=0.2，分数在第四组[70，75)的频率为0.04\times 5=0.2，分数在第五组[75，80)的频率为0.06\times 5=0.3，分数在第七组的频率为\frac{3}{50}=0.06，所以分数在第六组的频率为1-0.04\times 2-0.08-0.2\times 2-0.3-0.06=0.08.(3分)0.04+0.08+0.2+0.2+0.3=0.82<0.85，0.04+0.08+0.2+0.2+0.3+0.08=0.9>0.85，设优秀成绩的最低分数为m，则80\leq m\leq 85，则\frac{0.08}{5}(m-80)=0.03，解得m\approx 81.875，所以优秀等级的最低分数为81.8.(5分)$

Final answer: $81.8$
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Question: $某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1 000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析.经统计，这50名学生的分数全部介于55和95之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[55，60)，\ldots ，第八组[90，95]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3.$<img_3100>
$求分数在第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1 000名学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)；$

Solution:
$由题图得分数在第一组[55，60)内的频率为0.008\times 5=0.04，分数在第二组[60，65)的频率为0.016\times 5=0.08，分数在第三组[65，70)的频率为0.04\times 5=0.2，分数在第四组[70，75)的频率为0.04\times 5=0.2，分数在第五组[75，80)的频率为0.06\times 5=0.3，分数在第七组的频率为\frac{3}{50}=0.06，所以分数在第六组的频率为1-0.04\times 2-0.08-0.2\times 2-0.3-0.06=0.08.(3分)0.04+0.08+0.2+0.2+0.3=0.82<0.85，0.04+0.08+0.2+0.2+0.3+0.08=0.9>0.85，设优秀成绩的最低分数为m，则80\leq m\leq 85，则\frac{0.08}{5}(m-80)=0.03，解得m\approx 81.875，所以优秀等级的最低分数为81.8.(5分)$

Final answer: $81.8$