di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
$(2)当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；$

Solution:
$建立空间直角坐标系O-xyz如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875064049065985/img/compression/M_3c77124118ccea0351febe6016094104.jpg)$则O(0，0，0)，A(0，0，2)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{OC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)，\because D为AB的中点，\therefore D\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{OD}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{BD}=\left(0,-\frac{1}{2},1\right)，设n_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})为平面OCD的法向量，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OC}=0,\\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ \frac{1}{2}y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.令z_{1}=1，则y_{1}=-2，\therefore n_{1}=(0,-2，1)是平面OCD的一个法向量，设n_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})为平面BCD的法向量，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2-y_2=0,\\ -\frac{1}{2}y_2+z_2=0,\end{matrix}\right.令z_{2}=1，则x_{2}=2，y_{2}=2，\therefore n_{2}=(2,2，1)是平面BCD的一个法向量，\therefore \\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{0+(-2) \times 2+1 \times 1}{\sqrt{0^2+{(-2)}^2+1^2} \times \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}，由图可知，二面角B-CD-O为锐二面角，\therefore 二面角B-CD-O的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$<img_2997>
$(2)当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；$

Solution:
$建立空间直角坐标系O-xyz如图，$<img_1630>$则O(0，0，0)，A(0，0，2)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{OC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)，\because D为AB的中点，\therefore D\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{OD}=\left(0,\frac{1}{2},1\right)，\overrightarrow{BD}=\left(0,-\frac{1}{2},1\right)，设n_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})为平面OCD的法向量，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OC}=0,\\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\ \frac{1}{2}y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.令z_{1}=1，则y_{1}=-2，\therefore n_{1}=(0,-2，1)是平面OCD的一个法向量，设n_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})为平面BCD的法向量，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2-y_2=0,\\ -\frac{1}{2}y_2+z_2=0,\end{matrix}\right.令z_{2}=1，则x_{2}=2，y_{2}=2，\therefore n_{2}=(2,2，1)是平面BCD的一个法向量，\therefore \\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{0+(-2) \times 2+1 \times 1}{\sqrt{0^2+{(-2)}^2+1^2} \times \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}，由图可知，二面角B-CD-O为锐二面角，\therefore 二面角B-CD-O的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
$(3)求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值.$

Solution:
$解法一：\because OC\perp 平面AOB，\therefore \angle CDO为CD与平面AOB所成的角，\because OC＝1，\therefore 点O到直线AB的距离最小时，\angle CDO的正弦值最大，即当OD\perp AB时，\angle CDO的正弦值最大，此时OD=\frac{2\sqrt{5}}{5}，\therefore CD=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \\sin  \angle CDO=\frac{\sqrt{5}}{3}，\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.解法二：设\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AB}(0\leq \lambda \leq 1)，\therefore D(0,\lambda ,2-2\lambda )，\therefore \overrightarrow{CD}=(-1,\lambda ,2-2\lambda ).易知平面AOB的一个法向量为n=(1,0,0)，设CD与平面AOB所成角为\theta \left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right)，则\\sin   \theta =\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{5\lambda ^2-8\lambda +5}}=\frac{1}{\sqrt{5\left(\lambda -\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}}}，\therefore 当\lambda =\frac{4}{5}时，\\sin   \theta 有最大值，最大值为\frac{\sqrt{5}}{3}.此时CD与平面AOB所成的角最大，\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$<img_2997>
$(3)求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值.$

Solution:
$解法一：\because OC\perp 平面AOB，\therefore \angle CDO为CD与平面AOB所成的角，\because OC＝1，\therefore 点O到直线AB的距离最小时，\angle CDO的正弦值最大，即当OD\perp AB时，\angle CDO的正弦值最大，此时OD=\frac{2\sqrt{5}}{5}，\therefore CD=\frac{3\sqrt{5}}{5}，\therefore \\sin  \angle CDO=\frac{\sqrt{5}}{3}，\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.解法二：设\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AB}(0\leq \lambda \leq 1)，\therefore D(0,\lambda ,2-2\lambda )，\therefore \overrightarrow{CD}=(-1,\lambda ,2-2\lambda ).易知平面AOB的一个法向量为n=(1,0,0)，设CD与平面AOB所成角为\theta \left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right)，则\\sin   \theta =\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{5\lambda ^2-8\lambda +5}}=\frac{1}{\sqrt{5\left(\lambda -\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}}}，\therefore 当\lambda =\frac{4}{5}时，\\sin   \theta 有最大值，最大值为\frac{\sqrt{5}}{3}.此时CD与平面AOB所成的角最大，\therefore CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_{1}B_{1}C_{1}，A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_{1}A=4，C_{1}C=1，AB=BC=B_{1}B=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875120491814915/img/compression/M_c50411d4f0d40e3d1ad5a15a16f4f9c3.jpg)
$(1)证明：AB_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}；$

Solution:
$证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875121016102913/img/compression/M_61573c4717ce2e582f16796416504c4d.jpg)$由题意知各点坐标如下：A(0，-\sqrt{3}，0)，B(1，0，0)，A_{1}(0，-\sqrt{3}，4)，B_{1}(1，0，2)，C_{1}(0，\sqrt{3}，1).因此\overrightarrow{AB_1}=(1，\sqrt{3}，2)，\overrightarrow{A_1B_1}=(1，\sqrt{3}，-2)，\overrightarrow{A_1C_1}=(0，2\sqrt{3}，-3).由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1B_1}=0得AB_{1}\perp A_{1}B_{1}.由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0得AB_{1}\perp A_{1}C_{1}.(注意两向量垂直的充要条件的应用)所以AB_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_{1}B_{1}C_{1}，A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_{1}A=4，C_{1}C=1，AB=BC=B_{1}B=2.$<img_3012>
$(1)证明：AB_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}；$

Solution:
$证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.$<img_2421>$由题意知各点坐标如下：A(0，-\sqrt{3}，0)，B(1，0，0)，A_{1}(0，-\sqrt{3}，4)，B_{1}(1，0，2)，C_{1}(0，\sqrt{3}，1).因此\overrightarrow{AB_1}=(1，\sqrt{3}，2)，\overrightarrow{A_1B_1}=(1，\sqrt{3}，-2)，\overrightarrow{A_1C_1}=(0，2\sqrt{3}，-3).由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1B_1}=0得AB_{1}\perp A_{1}B_{1}.由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0得AB_{1}\perp A_{1}C_{1}.(注意两向量垂直的充要条件的应用)所以AB_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_{1}B_{1}C_{1}，A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_{1}A=4，C_{1}C=1，AB=BC=B_{1}B=2.$<img_3012>
$(2)求直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值.$

Solution:
$设直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角为\theta .由(1)可知\overrightarrow{AC_1}=(0，2\sqrt{3}，1)，\overrightarrow{AB}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BB_1}=(0，0，2).设平面ABB_{1}的法向量n=(x，y，z).由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BB_1}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{3}y=0,\\ 2z=0,\end{matrix}\right.可取n=(-\sqrt{3}，1，0).所以\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AC_1}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{39}}{13}.(注意线面角\theta 与两向量夹角的关系)因此，直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值是\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_{1}B_{1}C_{1}，A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_{1}A=4，C_{1}C=1，AB=BC=B_{1}B=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875120491814915/img/compression/M_c50411d4f0d40e3d1ad5a15a16f4f9c3.jpg)
$(2)求直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值.$

Solution:
$设直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角为\theta .由(1)可知\overrightarrow{AC_1}=(0，2\sqrt{3}，1)，\overrightarrow{AB}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{BB_1}=(0，0，2).设平面ABB_{1}的法向量n=(x，y，z).由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BB_1}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{3}y=0,\\ 2z=0,\end{matrix}\right.可取n=(-\sqrt{3}，1，0).所以\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AC_1}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AC_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{39}}{13}.(注意线面角\theta 与两向量夹角的关系)因此，直线AC_{1}与平面ABB_{1}所成的角的正弦值是\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{39}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧棱垂直于底面，A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，AA_{1}=AB=2，BC=1，E为A_{1}C_{1}中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875143778590722/img/compression/M_271ef5bce13688ccb03d4f14b2198df2.jpg)
$(1)设平面EAB与直线B_{1}C_{1}交于点H，求线段B_{1}H的长；$

Solution:
$由棱柱的性质知平面ABC\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，\because AB\subset 平面ABC，\therefore AB\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，\because 平面EAB\cap 平面A_{1}B_{1}C_{1}=EH，AB\subset 平面EAB，\therefore AB\parallel EH，\therefore A_{1}B_{1}\parallel EH.又E为A_{1}C_{1}中点，\therefore H为B_{1}C_{1}中点，\therefore B_{1}H=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧棱垂直于底面，A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，AA_{1}=AB=2，BC=1，E为A_{1}C_{1}中点.$<img_2227>
$(1)设平面EAB与直线B_{1}C_{1}交于点H，求线段B_{1}H的长；$

Solution:
$由棱柱的性质知平面ABC\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，\because AB\subset 平面ABC，\therefore AB\parallel 平面A_{1}B_{1}C_{1}，\because 平面EAB\cap 平面A_{1}B_{1}C_{1}=EH，AB\subset 平面EAB，\therefore AB\parallel EH，\therefore A_{1}B_{1}\parallel EH.又E为A_{1}C_{1}中点，\therefore H为B_{1}C_{1}中点，\therefore B_{1}H=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧棱垂直于底面，A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，AA_{1}=AB=2，BC=1，E为A_{1}C_{1}中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875143778590722/img/compression/M_271ef5bce13688ccb03d4f14b2198df2.jpg)
$(2)求直线AC_{1}与平面EAB所成角的正弦值.$

Solution:
$以B为坐标原点，分别以\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BB_1}的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875144441290754/img/compression/M_79f5478f60e4d4eb6a52b17c3b070487.jpg)$则A(0,-2,0)，B(0,0,0)，C_{1}(-1,0，2)，E\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，\therefore \overrightarrow{AC_1}=(-1,2，2)，\overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，设平面EAB的法向量为n=(x,y,z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-y+2z=0,\end{matrix}\right.令z=1，得x=4，\therefore n=(4,0，1)，设直线AC_{1}与平面EAB所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{AC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{3\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{51}，\therefore 直线AC_{1}与平面EAB所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{17}}{51}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{17}}{51}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，侧棱垂直于底面，A_{1}B_{1}\perp B_{1}C_{1}，AA_{1}=AB=2，BC=1，E为A_{1}C_{1}中点.$<img_2227>
$(2)求直线AC_{1}与平面EAB所成角的正弦值.$

Solution:
$以B为坐标原点，分别以\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BB_1}的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_3017>$则A(0,-2,0)，B(0,0,0)，C_{1}(-1,0，2)，E\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，\therefore \overrightarrow{AC_1}=(-1,2，2)，\overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{1}{2},-1,2\right)，设平面EAB的法向量为n=(x,y,z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AB}=2y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x-y+2z=0,\end{matrix}\right.令z=1，得x=4，\therefore n=(4,0，1)，设直线AC_{1}与平面EAB所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{AC_1}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC_1}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{3\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{51}，\therefore 直线AC_{1}与平面EAB所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{17}}{51}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{17}}{51}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$(1)求证：EF\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：在平行四边形ABCD中，因为\angle BCD=135^\circ ，所以\angle ABC=45^\circ ，又因为在\triangle ABC中，AB=AC，所以\angle BAC=90^\circ ，即AB\perp AC.由E，F分别为BC,AD的中点，得EF\parallel AB，所以EF\perp AC.因为侧面PAB\perp 底面ABCD，且\angle BAP=90^\circ ，所以PA\perp 底面ABCD.又因为EF\subset 底面ABCD，所以PA\perp EF.又因为PA\cap AC=A，PA\subset 平面PAC，AC\subset 平面PAC，所以EF\perp 平面PAC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$<img_2918>
$(1)求证：EF\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：在平行四边形ABCD中，因为\angle BCD=135^\circ ，所以\angle ABC=45^\circ ，又因为在\triangle ABC中，AB=AC，所以\angle BAC=90^\circ ，即AB\perp AC.由E，F分别为BC,AD的中点，得EF\parallel AB，所以EF\perp AC.因为侧面PAB\perp 底面ABCD，且\angle BAP=90^\circ ，所以PA\perp 底面ABCD.又因为EF\subset 底面ABCD，所以PA\perp EF.又因为PA\cap AC=A，PA\subset 平面PAC，AC\subset 平面PAC，所以EF\perp 平面PAC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$(2)若M为PD的中点，求证：ME\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：连接MF.因为M为PD的中点，F为AD的中点，所以MF\parallel PA，又因为MF\not\subset 平面PAB，PA\subset 平面PAB，所以MF\parallel 平面PAB.同理，得EF\parallel 平面PAB.又因为MF\cap EF=F，MF\subset 平面MEF，EF\subset 平面MEF，所以平面MEF\parallel 平面PAB.又因为ME\subset 平面MEF，所以ME\parallel 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$<img_2918>
$(2)若M为PD的中点，求证：ME\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：连接MF.因为M为PD的中点，F为AD的中点，所以MF\parallel PA，又因为MF\not\subset 平面PAB，PA\subset 平面PAB，所以MF\parallel 平面PAB.同理，得EF\parallel 平面PAB.又因为MF\cap EF=F，MF\subset 平面MEF，EF\subset 平面MEF，所以平面MEF\parallel 平面PAB.又因为ME\subset 平面MEF，所以ME\parallel 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$<img_2918>
$(3)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求\frac{PM}{PD}的值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB\perp AC，所以AP,AB,AC两两垂直，故以AB,AC,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，$<img_2953>$则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0，2),D(-2,2,0),E(1,1,0)，所以\overrightarrow{PB}=(2,0,-2),\overrightarrow{PD}=(-2,2,-2),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，设\frac{PM}{PD}=\lambda (\lambda \in [0,1])，则\overrightarrow{PM}=(-2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，所以M(-2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda ),\overrightarrow{ME}=(1+2\lambda ,1-2\lambda ,2\lambda -2)，易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0，2).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2y=0,\\ 2x-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得n=(1,1，1).因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{ME},m\rangle |=|\\cos  \langle \overrightarrow{ME},n\rangle |，即\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{n}|}，所以|2\lambda -2|=\frac{|2\lambda |}{\sqrt{3}}，解得\lambda =\frac{3-\sqrt{3}}{2}或\lambda =\frac{3+\sqrt{3}}{2}(舍).故\frac{PM}{PD}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB\perp 底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$(3)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求\frac{PM}{PD}的值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB\perp AC，所以AP,AB,AC两两垂直，故以AB,AC,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180557959169/img/compression/M_7b9a7294e6b5f9fb7a4708a7ea09f1bc.jpg)$则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0，2),D(-2,2,0),E(1,1,0)，所以\overrightarrow{PB}=(2,0,-2),\overrightarrow{PD}=(-2,2,-2),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，设\frac{PM}{PD}=\lambda (\lambda \in [0,1])，则\overrightarrow{PM}=(-2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，所以M(-2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda ),\overrightarrow{ME}=(1+2\lambda ,1-2\lambda ,2\lambda -2)，易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0，2).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2y=0,\\ 2x-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得n=(1,1，1).因为直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{ME},m\rangle |=|\\cos  \langle \overrightarrow{ME},n\rangle |，即\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{|\overrightarrow{ME} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{ME}| \cdot |\boldsymbol{n}|}，所以|2\lambda -2|=\frac{|2\lambda |}{\sqrt{3}}，解得\lambda =\frac{3-\sqrt{3}}{2}或\lambda =\frac{3+\sqrt{3}}{2}(舍).故\frac{PM}{PD}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO\perp 底面ABCD,PO=1.在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,BC=CD=1,AD=2.$<img_2332>
$(1)求证：AB\parallel 平面POC；$

Solution:
$证明：由题意BC=OA，又BC\parallel OA，所以四边形BCOA是平行四边形，所以AB\parallel OC，又AB\not\subset 平面POC，OC\subset 平面POC，所以AB\parallel 平面POC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO\perp 底面ABCD,PO=1.在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,BC=CD=1,AD=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875203971047426/img/compression/M_ae92636871185ebb933c8e885cc3d521.jpg)
$(1)求证：AB\parallel 平面POC；$

Solution:
$证明：由题意BC=OA，又BC\parallel OA，所以四边形BCOA是平行四边形，所以AB\parallel OC，又AB\not\subset 平面POC，OC\subset 平面POC，所以AB\parallel 平面POC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO\perp 底面ABCD,PO=1.在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,BC=CD=1,AD=2.$<img_2332>
$(2)求二面角B-AP-D的余弦值.$

Solution:
$因为BC=OD,BC\parallel OD，所以四边形BCDO是平行四边形，所以OB\parallel DC，OB=CD，而CD\perp AD，所以OB\perp AD，以OB,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，$<img_2772>$则B(1,0,0)，A(0,-1,0)，P(0,0,1)，\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，\overrightarrow{AP}=(0,1,1)，设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=x+y=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AP}=y+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，则y=-1,z=1，所以m=(1,-1,1)，易知平面APD的一个法向量为n=(1,0,0)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3} \times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}，由图可知二面角B-AP-D为锐二面角，所以二面角B-AP-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO\perp 底面ABCD,PO=1.在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,BC=CD=1,AD=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875203971047426/img/compression/M_ae92636871185ebb933c8e885cc3d521.jpg)
$(2)求二面角B-AP-D的余弦值.$

Solution:
$因为BC=OD,BC\parallel OD，所以四边形BCDO是平行四边形，所以OB\parallel DC，OB=CD，而CD\perp AD，所以OB\perp AD，以OB,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875204486946817/img/compression/M_595e2bc4627dd0b712fbc20a35f9a108.jpg)$则B(1,0,0)，A(0,-1,0)，P(0,0,1)，\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，\overrightarrow{AP}=(0,1,1)，设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=x+y=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AP}=y+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，则y=-1,z=1，所以m=(1,-1,1)，易知平面APD的一个法向量为n=(1,0,0)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3} \times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}，由图可知二面角B-AP-D为锐二面角，所以二面角B-AP-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$<img_2037>
$(1)求证：AQ\perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD,CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，在正方形ABCD中,AD\perp CD，又PA\cap AD=A，所以CD\perp 平面PAD，因为AQ\subset 平面PAD，所以AQ\perp CD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875206114336771/img/compression/M_92921fb35b55c9525d94b129480bf79f.jpg)
$(1)求证：AQ\perp CD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD,CD\subset 平面ABCD，所以PA\perp CD，在正方形ABCD中,AD\perp CD，又PA\cap AD=A，所以CD\perp 平面PAD，因为AQ\subset 平面PAD，所以AQ\perp CD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$<img_2037>
$(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；$

Solution:
$由题意知AP、AD、AB两两垂直.建立空间直角坐标系A-xyz如图，不妨设AB=2，$<img_2518>$则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0，2),Q(0,1，1)，所以\overrightarrow{CP}=(-2,-2，2),\overrightarrow{AC}=(2,2,0),\overrightarrow{AQ}=(0,1，1).设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AQ}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得y=-1，z=1，即n=(1,-1，1)，所以\\cos  \langle n,\overrightarrow{CP}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{CP}|}=\frac{1}{3}，所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875206114336771/img/compression/M_92921fb35b55c9525d94b129480bf79f.jpg)
$(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；$

Solution:
$由题意知AP、AD、AB两两垂直.建立空间直角坐标系A-xyz如图，不妨设AB=2，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875206613458946/img/compression/M_bf4c33f34e8e4a0936ef822837b4e576.jpg)$则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0，2),Q(0,1，1)，所以\overrightarrow{CP}=(-2,-2，2),\overrightarrow{AC}=(2,2,0),\overrightarrow{AQ}=(0,1，1).设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AQ}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得y=-1，z=1，即n=(1,-1，1)，所以\\cos  \langle n,\overrightarrow{CP}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{CP}|}=\frac{1}{3}，所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875206114336771/img/compression/M_92921fb35b55c9525d94b129480bf79f.jpg)
$(3)求二面角C-AQ-D的余弦值.$

Solution:
$由(1)知CD\perp 平面PAD，所以\overrightarrow{DC}=(2,0,0)为平面PAD的一个法向量，\\cos  \langle n,\overrightarrow{DC}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DC}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}，易知二面角C-AQ-D为锐二面角，所以二面角C-AQ-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA\perp 底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB.$<img_2037>
$(3)求二面角C-AQ-D的余弦值.$

Solution:
$由(1)知CD\perp 平面PAD，所以\overrightarrow{DC}=(2,0,0)为平面PAD的一个法向量，\\cos  \langle n,\overrightarrow{DC}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{DC}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}，易知二面角C-AQ-D为锐二面角，所以二面角C-AQ-D的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$