di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t(百元)的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861514198052867/img/compression/M_718c8e26dbd89d4e0f96402d0f06a2c5.jpg)$
附表：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.10
0.05
0.01
x_{0}
2.706
3.841
6.635
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$
$求网民消费金额t的平均值\overline{t}和中位数t_{0}(同一组中数据用各组区间的中点值作为代表)；$

Solution:
$由题图易得，网民消费金额t的平均值\overline{t}=2.5\times 0.2+7.5\times 0.3+12.5\times 0.2+17.5\times 0.15+22.5\times 0.1+27.5\times 0.05=11.50(百元).题图中第一组、第二组的频率之和为0.04\times 5+0.06\times 5=0.5，\therefore 网民消费金额t的中位数t_{0}=10.$

Final answer: $11.5$, $10$ 百元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t(百元)的频率分布直方图如图所示.$<img_3094>$
附表：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.10
0.05
0.01
x_{0}
2.706
3.841
6.635
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$
$求网民消费金额t的平均值\overline{t}和中位数t_{0}(同一组中数据用各组区间的中点值作为代表)；$

Solution:
$由题图易得，网民消费金额t的平均值\overline{t}=2.5\times 0.2+7.5\times 0.3+12.5\times 0.2+17.5\times 0.15+22.5\times 0.1+27.5\times 0.05=11.50(百元).题图中第一组、第二组的频率之和为0.04\times 5+0.06\times 5=0.5，\therefore 网民消费金额t的中位数t_{0}=10.$

Final answer: $11.5$, $10$ 百元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金，现该企业为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间共10年的年研发资金投入额x_{i}和年盈利额y_{i}的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①y=\alpha +\beta x^{2}；②y=e^{\lambda x+t}，其中\alpha ,\beta ,\lambda ,t均为常数，e为自然对数的底数.令u_{i}=x^2_i,v_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10)，经计算得如下数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861509512888321/img/editor/compression/bc2fabb2-006b-40f7-bbed-7212504aae0c.png)$
附：相关系数r_{xy}=.$
$根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数精确到0.01).$

Solution:
$由y=e^{\lambda x+t}得ln y=\lambda x+t，即v=\lambda x+t.\hat{\lambda }=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{12}{65}\approx 0.18，\hat{t}=\overline{v}-\hat{\lambda }\overline{x}=5.36-\frac{12}{65}\times 26=0.56，故v关于x的回归直线方程为\hat{v}=0.18x+0.56，故ln \hat{y}=0.18x+0.56，即\hat{y}=e^{0.18x+0.56}，故y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{0.18x+0.56}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{0.18x+0.56}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金，现该企业为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间共10年的年研发资金投入额x_{i}和年盈利额y_{i}的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①y=\alpha +\beta x^{2}；②y=e^{\lambda x+t}，其中\alpha ,\beta ,\lambda ,t均为常数，e为自然对数的底数.令u_{i}=x^2_i,v_{i}=ln y_{i}(i=1,2,\ldots ,10)，经计算得如下数据：
$<img_2444>$
附：相关系数r_{xy}=.$
$根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数精确到0.01).$

Solution:
$由y=e^{\lambda x+t}得ln y=\lambda x+t，即v=\lambda x+t.\hat{\lambda }=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{12}{65}\approx 0.18，\hat{t}=\overline{v}-\hat{\lambda }\overline{x}=5.36-\frac{12}{65}\times 26=0.56，故v关于x的回归直线方程为\hat{v}=0.18x+0.56，故ln \hat{y}=0.18x+0.56，即\hat{y}=e^{0.18x+0.56}，故y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{0.18x+0.56}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{0.18x+0.56}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
y
56.5
31
22.75
17.8
x
5
6
7
8
y
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图(如图)，考虑用反比例函数模型y=a+\frac{b}{x}和指数型函数模型y=ce^{dx}分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数型函数模型拟合的回归方程为\hat{y}=48.376\times e^{-0.195x}，ln y与x的相关系数r_{1}=-0.929.$<img_2469>$
参考数据\left(其中u_i=\frac{1}{x_i}\right)：
\overline{u}
\overline{u}^{2}
\sum \limits^{8}_{i=1}u^2_i
\sum \limits^{8}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{8}_{i=1}y^2_i
0.34
0.115
1.53
184
5 777.555
\sum \limits^{8}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sqrt{0.61\times 1 545.555}
\sqrt{193.194}
93.06
30.705
13.9
参考公式：在回归直线方程\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n{\overline{x}}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x},相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}.$
$求用反比例函数模型拟合的y关于x的回归方程(回归系数保留整数)；$

Solution:
$令u=\frac{1}{x}，则y=a+\frac{b}{x}可转化为y=a+bu.易得\overline{y}=\frac{184}{8}=23，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}u_iy_i-8{\overline{u}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{8}_{{i=1}}u^2_i-8{\overline{u}}^2}=\frac{93.06-8\times 0.34\times 23}{1.53-8\times {0.34}^2}\approx 50，所以\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{u}=23-50\times 0.34=6，所以\hat{y}=6+50u，所以y关于x的回归方程为\hat{y}=6+\frac{50}{x}.$

Final answer: $y=6+\frac{50}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
y
56.5
31
22.75
17.8
x
5
6
7
8
y
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图(如图)，考虑用反比例函数模型y=a+\frac{b}{x}和指数型函数模型y=ce^{dx}分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数型函数模型拟合的回归方程为\hat{y}=48.376\times e^{-0.195x}，ln y与x的相关系数r_{1}=-0.929.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861527573561345/img/compression/M_35c933cffff6da346374fe9b4660220b.jpg)$
参考数据\left(其中u_i=\frac{1}{x_i}\right)：
\overline{u}
\overline{u}^{2}
\sum \limits^{8}_{i=1}u^2_i
\sum \limits^{8}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{8}_{i=1}y^2_i
0.34
0.115
1.53
184
5 777.555
\sum \limits^{8}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sqrt{0.61\times 1 545.555}
\sqrt{193.194}
93.06
30.705
13.9
参考公式：在回归直线方程\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n{\overline{x}}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x},相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}.$
$求用反比例函数模型拟合的y关于x的回归方程(回归系数保留整数)；$

Solution:
$令u=\frac{1}{x}，则y=a+\frac{b}{x}可转化为y=a+bu.易得\overline{y}=\frac{184}{8}=23，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}u_iy_i-8{\overline{u}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{8}_{{i=1}}u^2_i-8{\overline{u}}^2}=\frac{93.06-8\times 0.34\times 23}{1.53-8\times {0.34}^2}\approx 50，所以\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{u}=23-50\times 0.34=6，所以\hat{y}=6+50u，所以y关于x的回归方程为\hat{y}=6+\frac{50}{x}.$

Final answer: $y=6+\frac{50}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
y
56.5
31
22.75
17.8
x
5
6
7
8
y
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图(如图)，考虑用反比例函数模型y=a+\frac{b}{x}和指数型函数模型y=ce^{dx}分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数型函数模型拟合的回归方程为\hat{y}=48.376\times e^{-0.195x}，ln y与x的相关系数r_{1}=-0.929.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861527573561345/img/compression/M_35c933cffff6da346374fe9b4660220b.jpg)$
参考数据\left(其中u_i=\frac{1}{x_i}\right)：
\overline{u}
\overline{u}^{2}
\sum \limits^{8}_{i=1}u^2_i
\sum \limits^{8}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{8}_{i=1}y^2_i
0.34
0.115
1.53
184
5 777.555
\sum \limits^{8}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sqrt{0.61\times 1 545.555}
\sqrt{193.194}
93.06
30.705
13.9
参考公式：在回归直线方程\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n{\overline{x}}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x},相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}.$
$用相关系数判断这两个模型中哪一个的拟合效果更好(精确到0.001)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；$

Solution:
$设y与\frac{1}{x}的相关系数为r_{2}，则r_{2}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}(u_i-{\overline{u}})(y_i-{\overline{y}})}{\sqrt{\sum \limits^{8}_{{i=1}}{(u_i-{\overline{u}})}^2}\sqrt{\sum \limits^{8}_{{i=1}}{(y_i-{\overline{y}})}^2}}=\frac{\sum \limits^{8}_{{i=1}}u_iy_i-8{\overline{u}} {\overline{y}}}{\sqrt{\left(\sum \limits^{8}_{{i=1}}u^2_i-8{\overline{u}}^2\right)\left(\sum \limits^{8}_{{i=1}}y^2_i-8{\overline{y}}^2\right)}}=\frac{93.06-8\times 0.34\times 23}{\sqrt{(1.53-8\times 0.115)(5 777.555-8\times {23}^2)}}=\frac{30.5}{\sqrt{0.61\times 1 545.555}}=\frac{30.5}{30.705}\approx 0.993.因为|r_{1}|<|r_{2}|，所以这两个模型中反比例函数模型的拟合效果更好.把x=10代入回归方程\hat{y}=6+\frac{50}{x}中得\hat{y}=6+\frac{50}{10}=11，所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元.$

Final answer: $反比例函数模型的拟合效果更好$, $11$ , 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
y
56.5
31
22.75
17.8
x
5
6
7
8
y
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图(如图)，考虑用反比例函数模型y=a+\frac{b}{x}和指数型函数模型y=ce^{dx}分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数型函数模型拟合的回归方程为\hat{y}=48.376\times e^{-0.195x}，ln y与x的相关系数r_{1}=-0.929.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861527573561345/img/compression/M_35c933cffff6da346374fe9b4660220b.jpg)$
参考数据\left(其中u_i=\frac{1}{x_i}\right)：
\overline{u}
\overline{u}^{2}
\sum \limits^{8}_{i=1}u^2_i
\sum \limits^{8}_{i=1}y_{i}
\sum \limits^{8}_{i=1}y^2_i
0.34
0.115
1.53
184
5 777.555
\sum \limits^{8}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sqrt{0.61\times 1 545.555}
\sqrt{193.194}
93.06
30.705
13.9
参考公式：在回归直线方程\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{i=1}x^2_i-n{\overline{x}}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x},相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}.$
$根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，用样本平均数\overline{y}作为\mu 的估计值，用样本标准差s作为\sigma 的估计值，若非原料成本y在(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )之外，说明该成本异常，并称落在(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )之外的成本为异样成本，此时需要寻找出现异样成本的原因.试判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因.$

Solution:
$因为\overline{y}=\frac{184}{8}=23，所以\mu =23，易得样本标准差s=\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sum \limits^{8}_{{i=1}}y^2_i-8{\overline{y}}^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{8}(5 777.555-8\times 23^2)}=\sqrt{\frac{1}{8}\times 1 545.555}\approx \sqrt{193.194}=13.9，所以\sigma =13.9，所以非原料成本y服从正态分布N(23,13.9^{2})，所以(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )=(23-13.9,23+13.9)=(9.1,36.9).因为56.5在(\mu -\sigma ,\mu +\sigma )之外，所以此非原料成本数据需要寻找出现异样成本的原因.$

Final answer: $此非原料成本数据需要寻找出现异样成本的原因。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2865>
$根据频率分布直方图估计该市小学生一周课后延时服务总时间的众数、平均数、中位数(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表，计算结果保留整数)；$

Solution:
$由题图可知，众数为150分钟.(1分)第1组到第5组的频率分别为0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，故平均数为110\times 0.05+130\times 0.15+150\times 0.55+170\times 0.2+190\times 0.05=151(分钟).(3分)设中位数为x分钟，则中位数在第3组，则0.05+0.15+(x-140)\times 0.027 5=0.5，解得x\approx 151.(5分)$

Final answer: $150$, $151$, $151$ 分钟, 分钟, 分钟
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850533476626434/img/compression/M_95dfdef397fabfd2f41f7e497afa5b68.jpg)
$根据频率分布直方图估计该市小学生一周课后延时服务总时间的众数、平均数、中位数(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表，计算结果保留整数)；$

Solution:
$由题图可知，众数为150分钟.(1分)第1组到第5组的频率分别为0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，故平均数为110\times 0.05+130\times 0.15+150\times 0.55+170\times 0.2+190\times 0.05=151(分钟).(3分)设中位数为x分钟，则中位数在第3组，则0.05+0.15+(x-140)\times 0.027 5=0.5，解得x\approx 151.(5分)$

Final answer: $150$, $151$, $151$ 分钟, 分钟, 分钟
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850533476626434/img/compression/M_95dfdef397fabfd2f41f7e497afa5b68.jpg)
$通过调查分析发现，若一周课后延时服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中随机抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X，求X的分布列及均值.$

Solution:
$用分层抽样的方法从样本问卷中抽取8份，其中有不满情绪的问卷有8\times (0.2＋0.05)=2(份)，\therefore X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6\mathrm{C}^0_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{14}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}， P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{3}{28}，(8分)\therefore X的分布列为X012P\frac{5}{14}\frac{15}{28}\frac{3}{28}(10分)\therefore E(X)=0\times \frac{5}{14}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{28}=\frac{3}{4}.(12分)$

Final answer: $分布列：X: 0, 1, 2; P: 5/14, 15/28, 3/28
均值：E(X) = 3/4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2865>
$通过调查分析发现，若一周课后延时服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中随机抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X，求X的均值.$

Solution:
$用分层抽样的方法从样本问卷中抽取8份，其中有不满情绪的问卷有8\times (0.2＋0.05)=2(份)，\therefore X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6\mathrm{C}^0_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{14}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}， P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{3}{28}，\therefore X的分布列为X012P\frac{5}{14}\frac{15}{28}\frac{3}{28}(10分)\therefore E(X)=0\times \frac{5}{14}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{28}=\frac{3}{4}.$



Final answer: $3/4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商业银行对存款利率与日均存款总额的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
日均存款总额y(亿元)
0.2
0.35
0.5
0.65
0.8
参考公式及数据：①在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}} ^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=0.9，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=0.55.$
$根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}；$

Solution:
$由题表中数据可得\overline{x}=\frac{1}{5}\times (0.1+0.2+0.3+0.4+0.5)=0.3，\overline{y}=\frac{1}{5}\times (0.2+0.35+0.5+0.65+0.8)=0.5，(4分)所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i-5{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i-5{\overline{x}} ^2}=\frac{0.9-5\times 0.3\times 0.5}{0.55-5\times 0.3\times 0.3}=1.5，(6分)\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=0.5-1.5\times 0.3=0.05，故\hat{y}=1.5x+0.05.(8分)$

Final answer: $\hat{y}=1.5x+0.05$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商业银行对存款利率与日均存款总额的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
日均存款总额y(亿元)
0.2
0.35
0.5
0.65
0.8
参考公式及数据：①在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n{\overline{x}}{\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}} ^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.②\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_{i}y_{i}=0.9，\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=0.55.$
$已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中求得的回归直线方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点.$

Solution:
$由(2)得\hat{y}=1.5x+0.05,令\hat{y}=0.625\times 2,即0.625\times 2=1.5x+0.05，(10分)解得x=0.8，所以利率需上升0.8个百分点.(12分)$

Final answer: $0.8$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某数学小组从气象局和医院分别获得了2021年1月至2021年6月每月20日的昼夜温差x(单位：^\circ C，x\geq 3)和患感冒人数y的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.$<img_2020>$在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$求y与x之间的相关系数r_{xy}$

Solution:
$由已知得\overline{y}=\frac{1}{6}\times (8+11+14+20+23+26)=17，(1分)\sum \limits^{6}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=(8-17)^{2}+(11-17)^{2}+(14-17)^{2}+(20-17)^{2}+(23-17)^{2}+(26-17)^{2}=252，(2分)\therefore r_{xy}=\frac{94}{6\times \sqrt{252}}\approx 0.99.(4分)\because |0.99|>0.8，\therefore y与x高度相关，即y与x的相关性很强.(6分)$



Final answer: $0.99$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某数学小组从气象局和医院分别获得了2021年1月至2021年6月每月20日的昼夜温差x(单位：^\circ C，x\geq 3)和患感冒人数y的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850550048194562/img/compression/M_ea3e393712a38a8d2d4bcccaf1edccf6.jpg)$在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$求y与x之间的相关系数r_{xy}，并判断y与x的相关性的强弱(|r_{xy}|>0.8时，认为y与x高度相关，即认为y与x的相关性很强)；$

Solution:
$由已知得\overline{y}=\frac{1}{6}\times (8+11+14+20+23+26)=17，(1分)\sum \limits^{6}_{{i=1}}(y_{i}-\overline{y})^{2}=(8-17)^{2}+(11-17)^{2}+(14-17)^{2}+(20-17)^{2}+(23-17)^{2}+(26-17)^{2}=252，(2分)\therefore r_{xy}=\frac{94}{6\times \sqrt{252}}\approx 0.99.(4分)\because |0.99|>0.8，\therefore y与x高度相关，即y与x的相关性很强.(6分)$

Final answer: $0.99$, $y与x高度相关, 即y与x的相关性很强$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某数学小组从气象局和医院分别获得了2021年1月至2021年6月每月20日的昼夜温差x(单位：^\circ C，x\geq 3)和患感冒人数y的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.$<img_2020>$在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$建立y关于x的回归直线方程(回归系数的结果精确到0.01)，并预测昼夜温差为4 ^\circ C时患感冒的人数.$

Solution:
$由已知得\overline{x}=\frac{1}{6}\times \sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}=9.15，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{94}{36}\approx 2.61，(8分)\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=17-2.61\times 9.15\approx -6.88，(9分)\therefore y关于x的回归直线方程为\hat{y}=2.61x-6.88.(10分)当x=4时，\hat{y}=2.61\times 4-6.88\approx 4.\therefore 昼夜温差为4 ^\circ C时患感冒的人数约为4.(12分)$

Final answer: $\hat{y}=2.61x-6.88$，$4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某数学小组从气象局和医院分别获得了2021年1月至2021年6月每月20日的昼夜温差x(单位：^\circ C，x\geq 3)和患感冒人数y的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850550048194562/img/compression/M_ea3e393712a38a8d2d4bcccaf1edccf6.jpg)$在回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$建立y关于x的回归直线方程(回归系数的结果精确到0.01)，并预测昼夜温差为4 ^\circ C时患感冒的人数.$

Solution:
$由已知得\overline{x}=\frac{1}{6}\times \sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}=9.15，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{94}{36}\approx 2.61，(8分)\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=17-2.61\times 9.15\approx -6.88，(9分)\therefore y关于x的回归直线方程为\hat{y}=2.61x-6.88.(10分)当x=4时，\hat{y}=2.61\times 4-6.88\approx 4.\therefore 昼夜温差为4 ^\circ C时患感冒的人数约为4.(12分)$

Final answer: $\hat{y}=2.61x-6.88$，$4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50,100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：$<img_2336>
$为了进一步检验产品质量，从样本中质量指标在[50,60)和[90,100]内的两组中抽取3件产品，记取自[50,60)内的产品件数为\xi ，求\xi 的数学期望；$

Solution:
$由题图知，样本中质量指标在[50,60)内的产品有40\times 10\times 0.015=6(件)，质量指标在[90,100]内的产品有40\times 10\times 0.01=4(件).\xi 的可能取值为0，1，2，3，则P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}，P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}，所以\xi 的分布列为\xi 0123P\frac{1}{30}\frac{3}{10}\frac{1}{2}\frac{1}{6}E(\xi )=0\times \frac{1}{30}+1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{6}=\frac{9}{5}.$



Final answer: $9/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50,100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930046522486785/img/compression/M_05727ca5d3387e174e8285766ab8e7d4.jpg)
$为了进一步检验产品质量，从样本中质量指标在[50,60)和[90,100]内的两组中抽取3件产品，记取自[50,60)内的产品件数为\xi ，求\xi 的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题图知，样本中质量指标在[50,60)内的产品有40\times 10\times 0.015=6(件)，质量指标在[90,100]内的产品有40\times 10\times 0.01=4(件).\xi 的可能取值为0，1，2，3，则P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}，P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}，所以\xi 的分布列为\xi 0123P\frac{1}{30}\frac{3}{10}\frac{1}{2}\frac{1}{6}E(\xi )=0\times \frac{1}{30}+1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{6}=\frac{9}{5}.$

Final answer: $\xi的分布列：0，1，2，3，数学期望：9/5。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50,100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：$<img_2336>
$已知该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在[60,90)内的产品的利润是5元，质量指标在[60,90)之外的产品的利润是3元，以样本频率作为总体概率，试估计每箱产品的利润.$

Solution:
$设质量指标在[60,90)内的产品有X件，每箱产品的利润为Y元，则质量指标在[60,90)外的产品有(200－X)件.由题意得Y=5X+3(200－X)=2X+600.因为X~B\left(200,\frac{3}{4}\right)，所以E(X)=200\times \frac{3}{4}=150，所以E(Y)=E(2X+600)=2E(X)+600=900.所以估计每箱产品的利润为900元.$

Final answer: $900$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50,100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930046522486785/img/compression/M_05727ca5d3387e174e8285766ab8e7d4.jpg)
$已知该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在[60,90)内的产品的利润是5元，质量指标在[60,90)之外的产品的利润是3元，以样本频率作为总体概率，试估计每箱产品的利润.$

Solution:
$设质量指标在[60,90)内的产品有X件，每箱产品的利润为Y元，则质量指标在[60,90)外的产品有(200－X)件.由题意得Y=5X+3(200－X)=2X+600.因为X~B\left(200,\frac{3}{4}\right)，所以E(X)=200\times \frac{3}{4}=150，所以E(Y)=E(2X+600)=2E(X)+600=900.所以估计每箱产品的利润为900元.$

Final answer: $900$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，将一个半径适当的小球放入容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、向右下落的概率分别是\frac{2}{3}，\frac{1}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930034457149441/img/compression/M_46693fc9c52ccadec586e2f95a87abd0.jpg)
$设小球向左的次数为X，求随机变量X的分布列；$

Solution:
$由题意得X～B\left(3,\frac{2}{3}\right)，所以P(X=k)=C^k_3\left(\frac{2}{3}\right)^k\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3-k}(k=0,1,2,3)，所以X的分布列为P0123X\frac{1}{27}\frac{2}{9}\frac{4}{9}\frac{8}{27}$

Final answer: $P(X=0)=1/27, P(X=1)=2/9, P(X=2)=4/9, P(X=3)=8/27$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，将一个半径适当的小球放入容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、向右下落的概率分别是\frac{2}{3}，\frac{1}{3}.$<img_1636>
$分别求出小球落入A袋和B袋的概率.$

Solution:
$由(1)得，小球落入A袋的概率为P(X=3)+P(X=0)=\frac{8}{27}+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}，小球落入B袋的概率为1－\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac13$, $\frac23$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，将一个半径适当的小球放入容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、向右下落的概率分别是\frac{2}{3}，\frac{1}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930034457149441/img/compression/M_46693fc9c52ccadec586e2f95a87abd0.jpg)
$分别求出小球落入A袋和B袋的概率.$

Solution:
$由(1)得，小球落入A袋的概率为P(X=3)+P(X=0)=\frac{8}{27}+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}，小球落入B袋的概率为1－\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac13$, $\frac23$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_551a8ea4bc24a89cd914a4c7b8fd29cb.jpg)$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702930065755045890/img/compression/M_2d19c74ceda5d3b6d8e030abea5717fc.jpg)$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；$

Solution:
$设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A，由题意知，若事件A发生，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，易得一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为\frac{60}{100}=0.6，一个二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为\frac{40}{200}=0.2，所以P(A)=0.6\times 0.2\times 0.2=0.024.$

Final answer: $0.024$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.$<img_2657>$其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中下表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
$<img_1968>$以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替一个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率.$
$求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；$

Solution:
$设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A，由题意知，若事件A发生，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，易得一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为\frac{60}{100}=0.6，一个二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为\frac{40}{200}=0.2，所以P(A)=0.6\times 0.2\times 0.2=0.024.$

Final answer: $0.024$