di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

![18GZTWS23.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876472266166273/img/compression/M_58fb70c426e86c186d88b39069d27ff9.jpg)
从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

Solution:
$根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)\times 10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.$

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

Final answer: $0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

![18GZTWS23.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876472266166273/img/compression/M_58fb70c426e86c186d88b39069d27ff9.jpg)
$已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；$

Solution:
$由题图，知样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=0.9,$

$分数在区间[40，50)内的人数为100-100\times 0.9-5=5.$

$所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400\times \frac{5}{100}=20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

<img_175>
$已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；$

Solution:
$由题图，知样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=0.9,$

$分数在区间[40，50)内的人数为100-100\times 0.9-5=5.$

$所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400\times \frac{5}{100}=20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876524118339588/img/compression/M_fc1fb39b86d6f0815aa80269a9c2ad21.jpg)
从该校高中生中随机抽取的学生测试得分不低于80分的有9人，求此次抽取的学生人数；

Solution:
$由题图知，测试得分不低于80分的学生频率为(0.030+0.015)\times 10＝0.45.$

设抽取的学生人数为n，所以0.45n＝9，解得n＝20.所以此次抽取的学生人数为20.

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$

<img_2188>
从该校高中生中随机抽取的学生测试得分不低于80分的有9人，求此次抽取的学生人数；

Solution:
$由题图知，测试得分不低于80分的学生频率为(0.030+0.015)\times 10＝0.45.$

设抽取的学生人数为n，所以0.45n＝9，解得n＝20.所以此次抽取的学生人数为20.

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876524118339588/img/compression/M_fc1fb39b86d6f0815aa80269a9c2ad21.jpg)
$观察频率分布直方图，判断该校高中生测试得分的均值a和中位数b的大小关系.(直接写出结论)$

Solution:
a ＜ b.

Final answer: $a ＜ b$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；

Solution:
$评分不低于60分的频率为(0.020+0.010)\times 20=0.6，由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
<img_1615>
<img_2922>
从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；

Solution:
$评分不低于60分的频率为(0.020+0.010)\times 20=0.6，由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
$根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _1,B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _2，以及A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _0，试比较\mu _0和\frac{\mu _1+\mu _2}{2}的大小，并说明理由.$

Solution:
$因为\mu_1=30\times 0.005\times 20+50\times 0.015\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.010\times 20=64，$
$\mu_2=30\times 0.015\times 20+50\times 0.010\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.005\times 20=56，所以\frac{\mu_1+\mu_2}{2}=60，$
$又A地区和B地区抽取用户人数之比为4:1，A地区抽取用户人数占总数的\frac{4}{5}，B地区抽取用户人数占总数的\frac{1}{5}，故A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu_0=\frac{4}{5}\mu_1+\frac{1}{5}\mu_2=62.4，即\mu_0>\frac{\mu_1+\mu_2}{2}.$

Final answer: $\mu_0=62.4，\frac{\mu_1+\mu_2}{2}=60，\mu_0>\frac{\mu_1+\mu_2}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
<img_1615>
<img_2922>
$根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _1,B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _2，以及A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _0，请求出\mu _0和\frac{\mu _1+\mu _2}{2}的大小.$

Solution:
$因为\mu_1=30\times 0.005\times 20+50\times 0.015\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.010\times 20=64，$
$\mu_2=30\times 0.015\times 20+50\times 0.010\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.005\times 20=56，所以\frac{\mu_1+\mu_2}{2}=60，$
$又A地区和B地区抽取用户人数之比为4:1，A地区抽取用户人数占总数的\frac{4}{5}，B地区抽取用户人数占总数的\frac{1}{5}，故A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu_0=\frac{4}{5}\mu_1+\frac{1}{5}\mu_2=62.4$



Final answer: $62.4，60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知表1和表2是某年部分日期天安门广场升旗时刻表. 

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- |
| 1月1日 | 7:36 | 7月9日 | 4:53 |
| 1月21日 | 7:31 | 7月27日 | 5:07 |
| 2月10日 | 7:14 | 8月14日 | 5:24 |
| 3月2日 | 6:47 | 9月2日 | 5:42 |
| 3月22日 | 6:16 | 9月20日 | 5:59 |
| 4月9日 | 5:46 | 10月8日 | 6:17 |
| 4月28日 | 5:19 | 10月26日 | 6:36 |
| 5月16日 | 4:59 | 11月13日 | 6:56 |
| 6月3日 | 4:47 | 12月1日 | 7:16 |
| 6月22日 | 4:46 | 12月20日 | 7:31 |

表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |
| 2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
| 2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
| 2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
| 2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
| 2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；

Solution:
$记事件A为“从表1的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:00”,在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以P(A)=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}.$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

| 旧设备 | 9.8  | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9  |
|-------|------|------|------|------|------|
| 新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 |

| 旧设备 | 9.8  | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7  |
|-------|------|------|------|------|------|
| 新设备 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |

$旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 \overline{x} 和 \overline{y},样本方差分别记为s^2_1和s^2_2.$
$求\overline{x},\overline{y}, s_1^2,s_2^2;$

Solution:
$\overline{x} = \frac{1}{10} \times  (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10$

$\overline{y} = \frac{1}{10} \times  (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$

$s^2_1 = \frac{1}{10} \times  (0.2^2+0.3^2+0^2+0.2^2+0.1^2+0.2^2+0^2+0.1^2+0.2^2+0.3^2)=0.036$

$s^2_2 = \frac{1}{10}\times (0.2^2+0.1^2+0.2^2+0.3^2+0.2^2+0^2+0.3^2+0.2^2+0.1^2+0.2^2)=0.04$

Final answer: $\overline{x}=10,\overline{y}=10.3,s_1^2=0.036,s_2^2=0.04$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

| 旧设备 | 9.8  | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9  |
|-------|------|------|------|------|------|
| 新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 |

| 旧设备 | 9.8  | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7  |
|-------|------|------|------|------|------|
| 新设备 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |

$旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 \overline{x} 和 \overline{y},样本方差分别记为s^2_1和s^2_2.$
$判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高()(如果\overline{y}-\overline{x}\geq 2\sqrt{\frac{s^2_1+s^2_2}{10}},则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)().$

Solution:
$\because  \overline{y} - \overline{x} = 10.3 - 10 = 0.3 = \frac{3}{10} = \frac{15}{50}, $

$2\sqrt{\frac{s^2_1+s^2_2}{10}} = 2\sqrt{\frac{0.036+0.04}{10}} = 2\times\sqrt{0.007 6} = \frac{\sqrt{76}}{50}，且$

$\frac{15}{50} = \frac{\sqrt{225}}{50} ＞ \frac{\sqrt{76}}{50}，$

$\therefore  \overline{y} - \overline{x} \geq  2\sqrt{\frac{s^2_1+s^2_2}{10}}成立，$

$\therefore 认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.$

Final answer: $\overline{y} - \overline{x} \geq  2\sqrt{\frac{s^2_1+s^2_2}{10}}成立，认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 防洪工程对防洪减灪起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日)水库的蓄水量数据如下：

| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 蓄水量<br>(亿立方米)| 11.25 | 13.25 | 13.58 | 17.4 | 12.4 |12.1 |18.3 |26.5 |34.3 | 34.1|
从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；

Solution:
设事件A表示“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，
从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能取法，
由题表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”3种.
$所以P(A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 防洪工程对防洪减灪起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日)水库的蓄水量数据如下：

| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 蓄水量<br>(亿立方米)| 11.25 | 13.25 | 13.58 | 17.4 | 12.4 |12.1 |18.3 |26.5 |34.3 | 34.1|
$从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望；$

Solution:
由题表可知，2014年到2019年的样本数据中蓄水量超过33亿立方米的有2年，蓄水量不超过33亿立方米的有4年。

随机变量X可能取值为0，1，2。

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2 \cdot \mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{2}{5}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2 \cdot \mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{8}{15}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2 \cdot \mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{15}。$

所以随机变量X的分布列为

| $X$ | 0   | 1   | 2   |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |

$所以E(X)=0\times \frac{2}{5}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{1}{15}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $E(X)=\frac{2}{3}和分布列为$

| $X$  | 0             | 1              | 2              |
| ---- | ------------- | -------------- | -------------- |
| $P$  | $\frac{2}{5}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
Subfield: Probability and Statistics


Question: 防洪工程对防洪减灪起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日)水库的蓄水量数据如下：

| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 蓄水量<br>(亿立方米)| 11.25 | 13.25 | 13.58 | 17.4 | 12.4 |12.1 |18.3 |26.5 |34.3 | 34.1|

$从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X的数学期望；$

Solution:
由题表可知，2014年到2019年的样本数据中蓄水量超过33亿立方米的有2年，蓄水量不超过33亿立方米的有4年。

随机变量X可能取值为0，1，2。

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2 \cdot \mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{2}{5}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2 \cdot \mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{8}{15}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2 \cdot \mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{15}。$

所以随机变量X的分布列为

| $X$ | 0   | 1   | 2   |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |

$所以E(X)=0\times \frac{2}{5}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{1}{15}=\frac{2}{3}.$



Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)

<img_2433>

| 成绩分组 | 频数 |
| --- | --- |
| [75,80) | 2 |
| [80,85) | 6 |
| [85,90) | 16 |
| [90,95) | 14 |
| [95,100] | 2 |

高二
估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率；

Solution:
$由频率分布直方图可得这40名高一年级学生的成绩的优秀率为(0.04+0.02) \times 5=0.3，$

所以估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率为30%.

Final answer: $30$ %
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)

![高一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876494403702785/img/compression/M_d0f05bb31719dbfcdb9a96916bed3049.jpg)

| 成绩分组 | 频数 |
| --- | --- |
| [75,80) | 2 |
| [80,85) | 6 |
| [85,90) | 16 |
| [90,95) | 14 |
| [95,100] | 2 |

高二
估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率；

Solution:
$由频率分布直方图可得这40名高一年级学生的成绩的优秀率为(0.04+0.02) \times 5=0.3，$

所以估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率为30%.

Final answer: $30$ %
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)

![高一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876494403702785/img/compression/M_d0f05bb31719dbfcdb9a96916bed3049.jpg)

| 成绩分组 | 频数 |
| --- | --- |
| [75,80) | 2 |
| [80,85) | 6 |
| [85,90) | 16 |
| [90,95) | 14 |
| [95,100] | 2 |

高二
$比较D(X_1)与D(X_2)的大小.(只需写出结论)$

Solution:
D(X_{1})<D(X_{2})

Final answer: $D(X_{1})<D(X_{2})$
Subfield: Probability and Statistics


Question: A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

|  A班  | 6  | 6.5| 7  | 7.5| 8  |8.5|9.0|9.5|
|  B班  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10 | 11| 12|13|
|  C班  | 3  | 4.5| 6  | 7.5| 9  | 10.5| 12| 13.5|
试估计C班的学生人数；

Solution:
$由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法知，C班的学生人数估计为100\times \frac{8}{20}=40.$

思路分析

利用分层抽样的特征求出C班的学生人数；

Final answer: $40$
Subfield: Probability and Statistics


Question: A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

|  A班  | 6  | 6.5| 7  | 7.5| 8  |8.5|9.0|9.5|
|  B班  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10 | 11| 12|13|
|  C班  | 3  | 4.5| 6  | 7.5| 9  | 10.5| 12| 13.5|
从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

Solution:
$设事件A_i为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i=1，2，\ldots ，5，$

$事件C_j为“乙是现有样本中C班的第j个人”， j=1，2，\ldots ，8。$

$由题意可知，P(A_i)=\frac{1}{5}，i=1，2，\ldots ，5；$

$P(C_j)=\frac{1}{8}， j=1，2，\ldots ，8。$

$P(A_iC_j)=P(A_i)P(C_j)=\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{40}，i=1，2，\ldots ，5， j=1，2，\ldots ，8。$

$设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”。由题意知，E=A_1C_1\cup A_1C_2\cup A_2C_1\cup A_2C_2\cup A_2C_3\cup A_3C_1\cup A_3C_2\cup A_3C_3\cup A_4C_1\cup A_4C_2\cup A_4C_3\cup A_5C_1\cup A_5C_2\cup A_5C_3\cup A_5C_4。$

$因此P(E)=P(A_1C_1)+P(A_1C_2)+P(A_2C_1)+P(A_2C_2)+P(A_2C_3)+P(A_3C_1)+P(A_3C_2)+P(A_3C_3)+P(A_4C_1)+P(A_4C_2)+P(A_4C_3)+P(A_5C_1)+P(A_5C_2)+P(A_5C_3)+P(A_5C_4)=15\times \frac{1}{40}=\frac{3}{8}.$

思路分析

先找出甲、乙所有可能的搭配方式，再找出符合条件的搭配方式，其实质是古典概型。

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876495326449665/img/compression/M_da2117f671632f5793c7a8371d0225d9.jpg)
如果𝑤为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，𝑤至少定为多少？

Solution:
由频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

$依题意，可得i至少定为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：
<img_92>
如果𝑤为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，𝑤至少定为多少？

Solution:
由频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

$依题意，可得i至少定为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：
<img_92>
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

Solution:
由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分组 | [2，4] | (4，6] | (6，8] | (8，10] | (10，12] | (12，17] | (17，22] | (22，27] |
| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |

该市居民该月的人均水费估计为

$4\times 0.1+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05=10.5(元).$

Final answer: 10.5 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876495326449665/img/compression/M_da2117f671632f5793c7a8371d0225d9.jpg)
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

Solution:
由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 分组 | [2，4] | (4，6] | (6，8] | (8，10] | (10，12] | (12，17] | (17，22] | (22，27] |
| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |

该市居民该月的人均水费估计为

$4\times 0.1+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05=10.5(元).$

Final answer: 10.5 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中，过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1 100名男生和1 000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；

Solution:
样本中男生选考乒乓球的人数为$1 100\times 10\%=110，$

样本中女生选考乒乓球的人数为$1 000\times 5\%=50，$

设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A，

$则P(A)= \frac{110+50}{1 100+1 000} = \frac{8}{105}.$

Final answer: $\frac{8}{105}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中，过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1 100名男生和1 000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；

Solution:
设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考1分钟跳绳为事件B，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考1分钟跳绳为事件C，
则$P(B)=0.4,P(C)=0.5$，
$则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为C_2^1\times 0.4\times (1－0.4)\times 0.5+C_2^2\times 0.4^2\times (1－0.5)=0.32.$

Final answer: $0.32$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中，过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1 100名男生和1 000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
$已知乒乓球考试满分为8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为\mu_1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为\mu_2，求\mu_1与\mu_2.$

Solution:
样本中选考乒乓球的男生有$1 100\times 10\%=110$人，选考乒乓球的女生有1 000\times 5%=50人，

$\mu _1 = \frac{100 \times 8+40 \times 7.5+20 \times 7}{160} = \frac{31}{4}，$

$\mu _2 = \frac{60 \times 8+40 \times 7.5+10 \times 7}{110} = \frac{85}{11}，$




Final answer: $\frac{31}{4}，\frac{85}{11}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中，过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1 100名男生和1 000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
$已知乒乓球考试满分为8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为\mu_1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为\mu_2，试比较\mu_1与\mu_2的大小.(结论不需要证明)$

Solution:
$\mu _1 > \mu _2.$

详解：样本中选考乒乓球的男生有$1 100\times 10\%=110$人，选考乒乓球的女生有1 000\times 5%=50人，

$\mu _1 = \frac{100 \times 8+40 \times 7.5+20 \times 7}{160} = \frac{31}{4}，$

$\mu _2 = \frac{60 \times 8+40 \times 7.5+10 \times 7}{110} = \frac{85}{11}，$

$因为\frac{31}{4} > \frac{85}{11},所以\mu _1 > \mu _2.$

Final answer: ${\frac{31}{4}} > {\frac{85}{11}}，所以\mu _1 > \mu _2。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；

Solution:
$记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有‘幸’字”为事件 A，则 P(A) = \frac{1}{{C}^4_8} = \frac{1}{70}.$

$所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为 \frac{1}{70}.$

Final answer: $\frac{1}{70}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校高中三个年级共有300名学生,为调查他们的课后学习时间情况,通过分层随机抽样获得了20名学生一周的课后学习时间,数据如下表(单位：小时):

|       |     |     |     |     |     |     |     |     |
|-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| 高一年级  | 7   | 7.5 | 8   | 8.5 | 9   |     |     |     |
| 高二年级  | 7   | 8   | 9   | 10  | 11  | 12  | 13  |     |
| 高三年级  | 6   | 6.5 | 7   | 8.5 | 11  | 13.5| 17  | 18.5|
试估计该校高三年级的学生人数;

Solution:
$抽出的20名学生中，来自高三年级的有8名，所以该校高三年级的学生共有300\times \frac{8}{20}=120(名).$

Final answer: $120$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校高中三个年级共有300名学生,为调查他们的课后学习时间情况,通过分层随机抽样获得了20名学生一周的课后学习时间,数据如下表(单位：小时):

|       |     |     |     |     |     |     |     |     |
|-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| 高一年级  | 7   | 7.5 | 8   | 8.5 | 9   |     |     |     |
| 高二年级  | 7   | 8   | 9   | 10  | 11  | 12  | 13  |     |
| 高三年级  | 6   | 6.5 | 7   | 8.5 | 11  | 13.5| 17  | 18.5|
从高一年级和高二年级抽出的学生中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；

Solution:
$设事件A_i为$“甲是现有样本中高一年级中的第i个学习”，$i=1，2，3，4，5，$
$事件C_j为$“乙是现有样本中高二年级中的第j个学习”，$j=1，2，3，4，5，6，7，$
$由题意知P(A_i)=\frac{1}{5}，P(C_j)=\frac{1}{7}，由于事件A_i与事件C_j相互独立，$
$所以P(A_iC_j)=\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} =\frac{1}{35}，$
$设事件B为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，$
$由题意知，\overline{B}=A_2C_1\cup A_3C_1\cup A_4C_1\cup A_5C_1\cup A_4C_2\cup A_5C_2，$
$由于A_2C_1、A_3C_1、A_4C_1、A_5C_1、A_4C_2、A_5C_2彼此互斥，$
$故P(\overline{B})=P(A_2C_1\cup A_3C_1\cup A_4C_1\cup A_5C_1\cup A_4C_2\cup A_5C_2)=P(A_2C_1)+P(A_3C_1)+P(A_4C_1)+P(A_5C_1)+P(A_4C_2)+P(A_5C_2)=6 \times \frac{1}{35}=\frac{6}{35}，$
$所以P(B)=1－P(\overline{B})=1－\frac{6}{35}=\frac{29}{35}，$
$故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为\frac{29}{35}。$

Final answer: $\frac{29}{35}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.

<img_376>
现从制造业的10个观测组中任取一组，求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；

Solution:
$设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0,则事件A包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3),共4个,则P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.  $

Final answer: $\frac{2}{5} $
Subfield: Probability and Statistics


Question: PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.

![23BBJ5SX241.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884842041741314/img/compression/M_e073f4ad35c276d64aa89e5db91cf2b2.jpg)
现从制造业的10个观测组中任取一组，求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；

Solution:
$设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0,则事件A包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3),共4个,则P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.  $

Final answer: $\frac{2}{5} $
Subfield: Complex Numbers


Question: $在复平面xOy内，已知平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量\overrightarrow{BA}对应的复数为1＋2i，向量\overrightarrow{BC}对应的复数为3-i.$
求点C, D对应的复数；

Solution:
$\because 向量\overrightarrow{BA}对应的复数为1＋2i，向量\overrightarrow{BC}对应的复数为3-i，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}，$

$\therefore 向量\overrightarrow{AC}对应的复数为(3-i)-(1＋2i)=2-3i.$

$又\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}＋\overrightarrow{AC}，$

$\therefore 点C对应的复数为(2＋i)＋(2-3i)=4-2i$.

$\because \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}，\therefore 向量\overrightarrow{AD}对应的复数为3-i，$

$即\overrightarrow{AD}(3，-1).$

$设D(x, y)，则\overrightarrow{AD}(x-2，y-1)=(3，-1)，$

$\therefore \left\{\begin{matrix}x-2=3,\\ y-1=-1,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=5,\\ y=0.\end{matrix}\right.$

$\therefore 点D对应的复数为5$.



Final answer: C=4-2i, D=5
Subfield: Plane Geometry


Question: $在复平面xOy内，已知平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量\overrightarrow{BA}对应的复数为1＋2i，向量\overrightarrow{BC}对应的复数为3-i.$
求平行四边形ABCD的面积.

Solution:
$因为，\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}| cos B，$

$所以，cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{3-2}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}.$

$所以，sin B = \frac{7\sqrt{2}}{10}.$

$因此，S_{▱ABCD} = |\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}| sin B = \sqrt{5} \times \sqrt{10} \times \frac{7\sqrt{2}}{10} = 7.$

Final answer: 7