di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次数学测验中，某班N名学生的数学成绩的频率直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233680012201988/img/compression/M_b18557a6c571087407a457b0f6c90424.jpg)
$(2)利用频率直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数.$

Solution:
$众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，为\frac{105+110}{2}=107.5.\because 0.01\times 5+0.04\times 5+0.05\times 5=0.50，\therefore 中位数为110.\therefore 众数和中位数分别是107.5，110.$

Final answer: $107.5, 110$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$<img_2969>$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(1)分别求出a,b,x,y的值；$

Solution:
$由题表得第4组的人数为\frac{9}{0.36}=25，由题中频率直方图得第4组的频率为0.025\times 10=0.25,\therefore n=\frac{25}{0.25}=100.\therefore 第1组的人数为100\times 0.010\times 10=10，第2组的人数为100\times 0.020\times 10=20，第3组的人数为100\times 0.030\times 10=30，第5组的人数为100\times 0.015\times 10=15，\therefore a=10\times 0.5=5，b=30\times 0.9=27,x=\frac{18}{20}=0.9,y=\frac{3}{15}=0.2.$

Final answer: $5, 27, 0.9, 0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233681178218497/img/compression/M_ea6b1ca96ed7b776b9ed1c83d7db11dc.jpg)$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(1)分别求出a,b,x,y的值；$

Solution:
$由题表得第4组的人数为\frac{9}{0.36}=25，由题中频率直方图得第4组的频率为0.025\times 10=0.25,\therefore n=\frac{25}{0.25}=100.\therefore 第1组的人数为100\times 0.010\times 10=10，第2组的人数为100\times 0.020\times 10=20，第3组的人数为100\times 0.030\times 10=30，第5组的人数为100\times 0.015\times 10=15，\therefore a=10\times 0.5=5，b=30\times 0.9=27,x=\frac{18}{20}=0.9,y=\frac{3}{15}=0.2.$

Final answer: $5, 27, 0.9, 0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$<img_2969>$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取的人数；$

Solution:
$第2，3，4组回答正确的人数分别为18,27,9，从中用分层抽样的方法抽取6人，则第2组抽取6\times \frac{18}{18+27+9}=2(人)，第3组抽取6\times \frac{27}{18+27+9}=3(人)，第4组抽取6\times \frac{9}{18+27+9}=1(人).$

Final answer: $2, 3, 1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233681178218497/img/compression/M_ea6b1ca96ed7b776b9ed1c83d7db11dc.jpg)$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取的人数；$

Solution:
$第2，3，4组回答正确的人数分别为18,27,9，从中用分层抽样的方法抽取6人，则第2组抽取6\times \frac{18}{18+27+9}=2(人)，第3组抽取6\times \frac{27}{18+27+9}=3(人)，第4组抽取6\times \frac{9}{18+27+9}=1(人).$

Final answer: $2, 3, 1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$<img_2969>$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(3)通过频率直方图求出年龄的众数、平均数.$

Solution:
$由题中频率直方图得，年龄的众数为\frac{35+45}{2}=40(岁)，年龄的平均数为20\times 0.010\times 10+30\times 0.020\times 10+40\times 0.030\times 10+50\times 0.025\times 10+60\times 0.015\times 10=41.5(岁).$

Final answer: $40, 41.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解江苏省各景点在大众中的熟知度，随机从15~65岁的人群中抽取了n人，回答问题“江苏省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如图、表所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233681178218497/img/compression/M_ea6b1ca96ed7b776b9ed1c83d7db11dc.jpg)$
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
$
$(3)通过频率直方图求出年龄的众数、平均数.$

Solution:
$由题中频率直方图得，年龄的众数为\frac{35+45}{2}=40(岁)，年龄的平均数为20\times 0.010\times 10+30\times 0.020\times 10+40\times 0.030\times 10+50\times 0.025\times 10+60\times 0.015\times 10=41.5(岁).$

Final answer: $40, 41.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人、高三180人报名参加.根据活动安排，采用分层抽样的方法从已报名的志愿者中抽取120名，对其某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率直方图如下：$<img_2418>
$(1)需从高一、高二、高三年级报名的学生中各抽取多少人?$

Solution:
$报名的学生共有540+360+180=1 080(人)，抽取的比例为\frac{120}{1 080}=\frac{1}{9}，所以从高一年级抽取540\times \frac{1}{9}=60(人)，从高二年级抽取360\times \frac{1}{9}=40(人)，从高三年级抽取180\times \frac{1}{9}=20(人).$

Final answer: 60, 40, 20
Subfield: Probability and Statistics


Question: $杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人、高三180人报名参加.根据活动安排，采用分层抽样的方法从已报名的志愿者中抽取120名，对其某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233704924311554/img/compression/M_584034fa229e880a354251869b2cae6c.jpg)
$(1)需从高一、高二、高三年级报名的学生中各抽取多少人?$

Solution:
$报名的学生共有540+360+180=1 080(人)，抽取的比例为\frac{120}{1 080}=\frac{1}{9}，所以从高一年级抽取540\times \frac{1}{9}=60(人)，从高二年级抽取360\times \frac{1}{9}=40(人)，从高三年级抽取180\times \frac{1}{9}=20(人).$

Final answer: 60, 40, 20
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位:mm)，并分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233667538595842/img/compression/M_f38212cd54e3020cf097eb2c88f75937.jpg)
$(1)求图中x的值；$

Solution:
$由题意得(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)\times 2=1，解得x=0.12.$

Final answer: $0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位:mm)，并分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率直方图如图所示.$<img_2373>
$(1)求图中x的值；$

Solution:
$由题意得(0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x)\times 2=1，解得x=0.12.$

Final answer: $0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位:mm)，并分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233667538595842/img/compression/M_f38212cd54e3020cf097eb2c88f75937.jpg)
$(2)根据频率直方图，估计200件该产品中尺寸在[98,100)内的件数；$

Solution:
$由题图可估计200件该产品中尺寸在[98,100)内的件数为200\times 0.09\times 2=36.$

Final answer: $36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位:mm)，并分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率直方图如图所示.$<img_2373>
$(2)根据频率直方图，估计200件该产品中尺寸在[98,100)内的件数；$

Solution:
$由题图可估计200件该产品中尺寸在[98,100)内的件数为200\times 0.09\times 2=36.$

Final answer: $36$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$<img_2846>
$(1)求频率直方图中a的值；$

Solution:
$由题图可得(0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)\times 4=1，解得a=0.037 5.$

Final answer: $0.0375$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672009723906/img/compression/M_c10975d9d79938b6d228cc21a8fffc48.jpg)
$(1)求频率直方图中a的值；$

Solution:
$由题图可得(0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)\times 4=1，解得a=0.037 5.$

Final answer: $0.0375$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672009723906/img/compression/M_c10975d9d79938b6d228cc21a8fffc48.jpg)
$(2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数；$

Solution:
$全市居民月均用水费用不超过60元即居民月均用水量不超过20 m^{3}，则100户居民中符合的有(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)\times 4\times 100=73(户)，由此可以估计全市20万户居民中月均用水费用不超过60元的有\frac{73}{100}\times 200 000=146 000(户).$

Final answer: $146000$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$<img_2846>
$(2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数；$

Solution:
$全市居民月均用水费用不超过60元即居民月均用水量不超过20 m^{3}，则100户居民中符合的有(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)\times 4\times 100=73(户)，由此可以估计全市20万户居民中月均用水费用不超过60元的有\frac{73}{100}\times 200 000=146 000(户).$

Final answer: $146000$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$<img_2846>
$(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求，若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？$

Solution:
$抽取的100户居民月均用水量不超过28 m^{3}的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015)\times 4=0.94，因为0.94<0.95，所以现行收费标准不符合要求.抽取的100户居民月均用水量不超过32 m^{3}的频率为1-0.005\times 4=0.98，\frac{0.95-0.94}{0.98-0.94}\times (32-28)=1，28+1=29，故需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29 m^{3}.$

Final answer: 29
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量情况，通过抽样，获得100户居民的月均用水量(单位：m^{3})，将数据按照[0,4)，[4,8)，\ldots ，[32,36]分成9组，制成如图所示的频率直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m^{3}的部分，按3元/m^{3}收费；第二阶梯为超过20 m^{3}但不超过28 m^{3}的部分，按5元/m^{3}收费；第三阶梯为超过28 m^{3}的部分，按8元/m^{3}收费.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672009723906/img/compression/M_c10975d9d79938b6d228cc21a8fffc48.jpg)
$(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求，若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？$

Solution:
$抽取的100户居民月均用水量不超过28 m^{3}的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015)\times 4=0.94，因为0.94<0.95，所以现行收费标准不符合要求.抽取的100户居民月均用水量不超过32 m^{3}的频率为1-0.005\times 4=0.98，\frac{0.95-0.94}{0.98-0.94}\times (32-28)=1，28+1=29，故需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29 m^{3}.$

Final answer: 29
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$<img_1734>
$(1)根据表中的数据，将频率直方图补充完整，并估计采购量在168箱以上(含168箱)的客户数；$

Solution:
$分组[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，则对应的\frac{频率}{组距}分别为0.005,0.010,0.015,0.015,0.005，频率直方图如图所示：$<img_1698>$由频率直方图可知，采购量在168箱以上(含168箱)的客户数为\left(0.005+0.015\times \frac{180-168}{20}\right)\times 20\times 50=14.$

Final answer: 14
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672852779009/img/compression/M_ce1be35bd14965a8530732a801343800.jpg)
$(1)根据表中的数据，将频率直方图补充完整，并估计采购量在168箱以上(含168箱)的客户数；$

Solution:
$分组[100,120),[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，则对应的\frac{频率}{组距}分别为0.005,0.010,0.015,0.015,0.005，频率直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672454320131/img/compression/M_aabd0a7697ec81e94c2df474049c9aa7.jpg)$由频率直方图可知，采购量在168箱以上(含168箱)的客户数为\left(0.005+0.015\times \frac{180-168}{20}\right)\times 20\times 50=14.$

Final answer: 14
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$<img_1734>
$(2)若去年年底客户采购量在[100,200]内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的\frac{4}{5}，估算小李去年年底酥梨的总销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$去年年底客户采购量在[100,200]内的酥梨数量为110\times 5+130\times 10+150\times 15+170\times 15+190\times 5=7 600(箱)，则小李去年年底酥梨的总销售量为7 600\times \frac{5}{4}=9 500(箱).$

Final answer: 9500
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672852779009/img/compression/M_ce1be35bd14965a8530732a801343800.jpg)
$(2)若去年年底客户采购量在[100,200]内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的\frac{4}{5}，估算小李去年年底酥梨的总销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$去年年底客户采购量在[100,200]内的酥梨数量为110\times 5+130\times 10+150\times 15+170\times 15+190\times 5=7 600(箱)，则小李去年年底酥梨的总销售量为7 600\times \frac{5}{4}=9 500(箱).$

Final answer: 9500
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233672852779009/img/compression/M_ce1be35bd14965a8530732a801343800.jpg)
$(3)在(2)的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若在网上出售酥梨，则需把每箱的售价下调1至5元(网上、网下均下调)，且每下调m元(1\leq m\leq 5,m\in Z)销售量可增加950m箱，试预计小李在今年年底销售酥梨的总利润Y(单位：元)的最大值.$

Solution:
$若没有在网上销售，则利润Y=9 500\times 14=133 000(元)；若在网上销售，则利润Y=(9 500+950m)(14-m)=950(-m^{2}+4m+140)元,当m=-\frac{4}{2\times (-1)}=2时，Y_{max}=950\times (-4+8+140)=136 800(元).因为136 800>133 000，所以小李在网上销售获得的总利润最大，最大利润为136 800元.$

Final answer: $136800$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量(单位：箱)绘制成下表：
采购量(单位：箱)
[100,120)
[120,140)
[140,160)
[160,180)
[180,200]
客户数
5
10
15
15
5
$<img_1734>
$(3)在(2)的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若在网上出售酥梨，则需把每箱的售价下调1至5元(网上、网下均下调)，且每下调m元(1\leq m\leq 5,m\in Z)销售量可增加950m箱，试预计小李在今年年底销售酥梨的总利润Y(单位：元)的最大值.$

Solution:
$若没有在网上销售，则利润Y=9 500\times 14=133 000(元)；若在网上销售，则利润Y=(9 500+950m)(14-m)=950(-m^{2}+4m+140)元,当m=-\frac{4}{2\times (-1)}=2时，Y_{max}=950\times (-4+8+140)=136 800(元).因为136 800>133 000，所以小李在网上销售获得的总利润最大，最大利润为136 800元.$

Final answer: $136800$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233712440504322/img/compression/M_1a3b3d650784d02f90083dc22f8b09b5.jpg)$根据以上信息，解答下列问题：$
$(1)这次抽样的样本容量是多少？$

Solution:
$样本容量是100.$

Final answer: $100$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$<img_2720>$根据以上信息，解答下列问题：$
$(1)这次抽样的样本容量是多少？$

Solution:
$样本容量是100.$

Final answer: $100$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233712440504322/img/compression/M_1a3b3d650784d02f90083dc22f8b09b5.jpg)$根据以上信息，解答下列问题：$
$(2)在表中填写出①②处的数据并补全频率直方图；$

Solution:
$①处填0.10，②处填50.由题中频率分布表的数据求得①②处的值，进而可求出频率直方图中缺失的小矩形的高度，从而补全图形.补全的频率直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233712734105602/img/compression/M_7ada57b4e5ea25b4b2b2ef22d8a73f99.jpg)

Final answer: $0.10, 50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$<img_2720>$根据以上信息，解答下列问题：$
$(2)在表中填写出①②处的数据并补全频率直方图；$

Solution:
$①处填0.10，②处填50.由题中频率分布表的数据求得①②处的值，进而可求出频率直方图中缺失的小矩形的高度，从而补全图形.补全的频率直方图如图：$<img_1599>

Final answer: $0.10, 50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$<img_2720>$根据以上信息，解答下列问题：$
$(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组内？$

Solution:
$设旅客平均购票用时为t min，则有\frac{0\times 0+5\times 10+10\times 10+15\times 50+20\times 30}{100}\leq t<\frac{5\times 0+10\times 10+15\times 10+20\times 50+25\times 30}{100}，即15\leq t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组内.$

Final answer: $15, 16, 17, 18, 19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率直方图(不完整)：
分组
频数
频率
一组
0\leq t<5
0
0
二组
5\leq t<10
10
0.10
三组
10\leq t<15
10
①　　
四组
15\leq t<20
②　　
0.50
五组
20\leq t\leq 25
30
0.30
合计
100
1.00
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233712440504322/img/compression/M_1a3b3d650784d02f90083dc22f8b09b5.jpg)$根据以上信息，解答下列问题：$
$(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组内？$

Solution:
$设旅客平均购票用时为t min，则有\frac{0\times 0+5\times 10+10\times 10+15\times 50+20\times 30}{100}\leq t<\frac{5\times 0+10\times 10+15\times 10+20\times 50+25\times 30}{100}，即15\leq t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组内.$

Final answer: $15, 16, 17, 18, 19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年5月19日是第12个“世界家庭医生日”.某地自2016年开始全面推行家庭医生签约服务，已知该地人口为1 000万，从1岁到101岁的居民年龄分布的频率直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_6a725bc0603c104774d120b64acc7a67.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_33e0b6e9243027c7121522730826e1cc.jpg)$图2$
$(1)该地根据当地情况制订了人口老龄化的标准，有以下四种：①老年(60岁以上)人口比例在7%以上，②少年(14岁以下)人口比例在30%以下，③老少人口的比值在30%以上，④年龄(单位：岁)的中位数大于30，请任选两种分析该地人口分布现状；$

Solution:
$①老年(60岁以上)人口比例是(0.01+0.003+0.002 5+0.000 5)\times 10＝0.16.②少年(14岁以下)人口比例小于(0.01+0.005)\times 10＝0.15.③老少人口的比值大于\frac{0.16}{0.15}=\frac{16}{15}\times 100%\approx 107%.④由于1~31岁的人口比例为(0.01+0.005+0.018)\times 10=0.33,1~41岁的人口比例为0.33+0.02\times 10=0.53,所以年龄(单位：岁)的中位数位于[31，41).以上四种中任意两种均可分析出该地人口已经老龄化.$

Final answer: $老年人口比例在7%以上，少年人口比例在30%以下。老少人口的比值在30%以上。年龄的中位数大于30。以上四种中任意两种均可分析出该地人口已经老龄化。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年5月19日是第12个“世界家庭医生日”.某地自2016年开始全面推行家庭医生签约服务，已知该地人口为1 000万，从1岁到101岁的居民年龄分布的频率直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$<img_2613>$图1$<img_1770>$图2$
$(2)估计该地年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；$

Solution:
$估计该地年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为0.03\times 1 000万\times 70%＝21(万).$

Final answer: $21$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年5月19日是第12个“世界家庭医生日”.某地自2016年开始全面推行家庭医生签约服务，已知该地人口为1 000万，从1岁到101岁的居民年龄分布的频率直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_6a725bc0603c104774d120b64acc7a67.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_33e0b6e9243027c7121522730826e1cc.jpg)$图2$
$(2)估计该地年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；$

Solution:
$估计该地年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为0.03\times 1 000万\times 70%＝21(万).$

Final answer: $21$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年5月19日是第12个“世界家庭医生日”.某地自2016年开始全面推行家庭医生签约服务，已知该地人口为1 000万，从1岁到101岁的居民年龄分布的频率直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_6a725bc0603c104774d120b64acc7a67.jpg)$图1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233726446964738/img/compression/M_33e0b6e9243027c7121522730826e1cc.jpg)$图2$
$(3)据统计，该地被访者的签约率约为44%，为把该地年满18周岁的居民的签约率提高到55%，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？结合数据对你的结论进行解释.$

Solution:
$由题图可得该地年龄在18～30岁的人口数在180万～230万范围内，签约率为30.3%；年龄在31～50岁的人口数为(0.20+0.16)\times 1 000＝360(万)，签约率为37.1%；年龄在51～60岁的人口数为0.15\times 1 000＝150(万)，签约率为55.7%；年龄在61～70岁的人口数为0.1\times 1 000＝100(万)，签约率为61.7%；年龄在71～80岁的人口数为0.03\times 1 000＝30(万)，签约率为70%；年龄在80岁以上的人口数为0.03\times 1 000＝30(万)，签约率为75.8%.由以上数据可知，该地年龄在31～50岁的人口数为360万，人口最多，但签约率仅为37.1%，比较低，故应着重提高31～50岁这个年龄段的签约率.$

Final answer: $31-50岁$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样质量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户的未存活的龙虾苗质量(单位：千克)绘制了如下所示的频率直方图，未存活质量超过30千克的养殖户列为“重点帮扶养殖户”.$<img_2404>
$(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗质量的平均数和中位数；$

Solution:
$根据频率直方图可得每组的频率依次为0.2,0.2,0.3,0.2,0.1，估计这20户的未存活龙虾苗质量的平均数为5\times 0.2+15\times 0.2+25\times 0.3+35\times 0.2+45\times 0.1=23(千克).因为0.2+0.2=0.4<0.5,0.2+0.2+0.3=0.7>0.5，所以这20户的未存活龙虾苗质量的中位数位于(20,30]内，设中位数为m千克，则0.4+0.03(m-20)=0.5，解得m=\frac{70}{3}，所以可估计这20户的未存活龙虾苗质量的中位数为\frac{70}{3}千克.$

Final answer: $23, \frac{70}{3}$ kg
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样质量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户的未存活的龙虾苗质量(单位：千克)绘制了如下所示的频率直方图，未存活质量超过30千克的养殖户列为“重点帮扶养殖户”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233752682713089/img/compression/M_0dfb4f36ceecb26f507e4cb1d9ffe43a.jpg)
$(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗质量的平均数和中位数；$

Solution:
$根据频率直方图可得每组的频率依次为0.2,0.2,0.3,0.2,0.1，估计这20户的未存活龙虾苗质量的平均数为5\times 0.2+15\times 0.2+25\times 0.3+35\times 0.2+45\times 0.1=23(千克).因为0.2+0.2=0.4<0.5,0.2+0.2+0.3=0.7>0.5，所以这20户的未存活龙虾苗质量的中位数位于(20,30]内，设中位数为m千克，则0.4+0.03(m-20)=0.5，解得m=\frac{70}{3}，所以可估计这20户的未存活龙虾苗质量的中位数为\frac{70}{3}千克.$

Final answer: $23, \frac{70}{3}$ kg
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样质量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户的未存活的龙虾苗质量(单位：千克)绘制了如下所示的频率直方图，未存活质量超过30千克的养殖户列为“重点帮扶养殖户”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233752682713089/img/compression/M_0dfb4f36ceecb26f507e4cb1d9ffe43a.jpg)
$(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户的未存活龙虾苗质量在(40,50]内的概率.$

Solution:
$由(1)可知未存活龙虾苗质量在(30,40]内的养殖户有20\times 0.2=4(户)，分别记为A,B,C,D；未存活龙虾苗质量在(40,50]内的养殖户有20\times 0.1=2(户)，分别记为a，b，从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况，其中恰有一户的未存活龙虾苗质量在(40,50]内的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况，所以所求概率P=\frac{8}{15}.$

Final answer: $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样质量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户的未存活的龙虾苗质量(单位：千克)绘制了如下所示的频率直方图，未存活质量超过30千克的养殖户列为“重点帮扶养殖户”.$<img_2404>
$(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户的未存活龙虾苗质量在(40,50]内的概率.$

Solution:
$由(1)可知未存活龙虾苗质量在(30,40]内的养殖户有20\times 0.2=4(户)，分别记为A,B,C,D；未存活龙虾苗质量在(40,50]内的养殖户有20\times 0.1=2(户)，分别记为a，b，从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况，其中恰有一户的未存活龙虾苗质量在(40,50]内的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况，所以所求概率P=\frac{8}{15}.$

Final answer: $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，根据测试成绩(单位：分)得到的频率直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233738338193409/img/compression/M_cea3d446de741dda00751dbe1ecd7b34.jpg)$田径队$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233738338193409/img/compression/M_d18e26b2b3d06d97778718e5cb9a6dc4.jpg)$足球队$
$(1)分别估计“田径队”和“足球队”测试的平均成绩；$

Solution:
$由“田径队”测试成绩的频率直方图得10\times (0.016+0.024+0.032+a+0.008)=1，解得a=0.020，由“足球队”测试成绩的频率直方图得10\times (0.002+0.058+0.024+b+0.006)=1,解得b=0.010.“田径队”测试的平均成绩为10\times (55\times 0.016+65\times 0.024+75\times 0.032+85\times 0.020+95\times 0.008)=73(分)，“足球队”测试的平均成绩为10\times (55\times 0.002+65\times 0.058+75\times 0.024+85\times 0.010+95\times 0.006)=71(分).$

Final answer: 73, 71
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，根据测试成绩(单位：分)得到的频率直方图如图：$<img_1553>$田径队$<img_1823>$足球队$
$(1)分别估计“田径队”和“足球队”测试的平均成绩；$

Solution:
$由“田径队”测试成绩的频率直方图得10\times (0.016+0.024+0.032+a+0.008)=1，解得a=0.020，由“足球队”测试成绩的频率直方图得10\times (0.002+0.058+0.024+b+0.006)=1,解得b=0.010.“田径队”测试的平均成绩为10\times (55\times 0.016+65\times 0.024+75\times 0.032+85\times 0.020+95\times 0.008)=73(分)，“足球队”测试的平均成绩为10\times (55\times 0.002+65\times 0.058+75\times 0.024+85\times 0.010+95\times 0.006)=71(分).$

Final answer: 73, 71