di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18 000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照[1.5,2.5)，[2.5,3.5)，[3.5,4.5)，[4.5,5.5)，[5.5,6.5]分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268273476038659/img/compression/M_e5fd39c5cfc8a2a0359e931ff6838331.jpg)
$(3)用每个区间的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在[1.5,4.5)的数据组成新样本组A，其方差记为s^2_1，把时间段在[3.5,6.5]内的数据组成新样本组B，其方差记为s^2_2，原来600个样本数据的方差记为s^2_3，试比较s^2_1，s^2_2，s^2_3的大小(结论不要求证明).$

Solution:
$由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更离散一些，所以s^2_1>s^2_2，而这两组数据相比整体数据都要离散一些，所以s^2_1>s^2_2>s^2_3.$

Final answer: $s^2_1>s^2_2>s^2_3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268274029686787/img/compression/M_e073f4ad35c276d64aa89e5db91cf2b2.jpg)
$(1)现从制造业的10个观测组中任取一组,(i)求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；(ii)若当月的PMI值大于上一个月的PMI值,则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数(由已有数据知1月份的PMI值低于上一年12月份的PMI值),求X的分布列与数学期望.$

Solution:
$(i)设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0,则事件A包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3),共4个,则P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.(ii)X的所有可能取值是0,1,2,X=0表示无经济向好月份,有(4月,5月,6月),(5月,6月,7月),(6月,7月,8月),(7月,8月,9月)，(8月，9月，10月)，共5组,所以P(X=0)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},X=1表示有1个经济向好月份,有(1月,2月,3月),(2月,3月,4月),(3月，4月，5月)，(9月,10月,11月)，共4组,所以P(X=1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},X=2表示有2个经济向好月份,仅有(10月,11月,12月)一组,所以P(X=2)=\frac{1}{10},X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{2}
\frac{2}{5}
\frac{1}{10}
所以X的数学期望E(X)=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{2}{5}+2\times \frac{1}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $X的分布列为：P(X=0)=1/2， P(X=1)=2/5， P(X=2)=1/10。 X的数学期望E(X)=3/5。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.$<img_2228>
$(1)现从制造业的10个观测组中任取一组,(i)求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；(ii)若当月的PMI值大于上一个月的PMI值,则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数(由已有数据知1月份的PMI值低于上一年12月份的PMI值),求X的数学期望.$

Solution:
$(i)设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0,则事件A包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3),共4个,则P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.(ii)X的所有可能取值是0,1,2,X=0表示无经济向好月份,有(4月,5月,6月),(5月,6月,7月),(6月,7月,8月),(7月,8月,9月)，(8月，9月，10月)，共5组,所以P(X=0)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},X=1表示有1个经济向好月份,有(1月,2月,3月),(2月,3月,4月),(3月，4月，5月)，(9月,10月,11月)，共4组,所以P(X=1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},X=2表示有2个经济向好月份,仅有(10月,11月,12月)一组,所以P(X=2)=\frac{1}{10},X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{2}
\frac{2}{5}
\frac{1}{10}
所以X的数学期望E(X)=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{2}{5}+2\times \frac{1}{10}=\frac{3}{5}.$



Final answer: \frac{3}{5}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268274029686787/img/compression/M_e073f4ad35c276d64aa89e5db91cf2b2.jpg)
$(2)用b_{j}(j=1,2,\ldots ,12)表示j月非制造业PMI值,\overline{b}表示12个月非制造业PMI值的平均数,请直接写出|b_{j}－\overline{b}|取得最大值所对应的月份.$

Solution:
$8月份.详解：\overline{b}=\frac{1}{12}\times (52.4+51.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7)=52.925，由题图可知|b_{j}－\overline{b}|_{max}=|47.5－52.925|=5.425.$

Final answer: $8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.$<img_2228>
$(2)用b_{j}(j=1,2,\ldots ,12)表示j月非制造业PMI值,\overline{b}表示12个月非制造业PMI值的平均数,请直接写出|b_{j}－\overline{b}|取得最大值所对应的月份.$

Solution:
$8月份.详解：\overline{b}=\frac{1}{12}\times (52.4+51.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7)=52.925，由题图可知|b_{j}－\overline{b}|_{max}=|47.5－52.925|=5.425.$

Final answer: $8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$<img_2405>
$(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质检测成绩达到优秀的概率；$

Solution:
$从高一年级(1)班~(8)班学生中共抽测了80人，其中身体素质检测成绩达到优秀的人数为8+6+9+4+7+5+9+8=56，所以样本中身体素质检测成绩达到优秀的概率是\frac{7}{10}.用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
$(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质检测成绩达到优秀的概率；$

Solution:
$从高一年级(1)班~(8)班学生中共抽测了80人，其中身体素质检测成绩达到优秀的人数为8+6+9+4+7+5+9+8=56，所以样本中身体素质检测成绩达到优秀的概率是\frac{7}{10}.用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
$(2)若从以上统计的高一(4)班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质检测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$因为高一(4)班抽出的10名学生中，身体素质检测成绩达到优秀的有4人，所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{1}{3}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{8}{15}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{2}{15},所以X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{3}
\frac{8}{15}
\frac{2}{15}
数学期望E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{2}{15}=\frac{4}{5}.$

Final answer: $X的分布列为(0, 1/3), (1, 8/15), (2, 2/15)。数学期望E(X)=4/5。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$<img_2405>
$(2)若从以上统计的高一(4)班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质检测成绩达到优秀的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$因为高一(4)班抽出的10名学生中，身体素质检测成绩达到优秀的有4人，所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{1}{3}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{8}{15}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{2}{15},所以X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{3}
\frac{8}{15}
\frac{2}{15}
数学期望E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{2}{15}=\frac{4}{5}.$



Final answer: $4/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$<img_2405>
$(3)假设每个班的学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名学生，用“\xi _{k}=1”表示k(k=1,2,\ldots ,8)班抽到的这名学生身体素质检测成绩达到优秀，“\xi _{k}=0”表示k班抽到的这名学生身体素质检测成绩没有达到优秀.写出方差D(\xi _{1}),D(\xi _{2}),D(\xi _{3}),D(\xi _{4})的大小关系(不必写出证明过程).$

Solution:
$D(\xi _{4})=D(\xi _{2})>D(\xi _{1})>D(\xi _{3}).$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
$(3)假设每个班的学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名学生，用“\xi _{k}=1”表示k(k=1,2,\ldots ,8)班抽到的这名学生身体素质检测成绩达到优秀，“\xi _{k}=0”表示k班抽到的这名学生身体素质检测成绩没有达到优秀.写出方差D(\xi _{1}),D(\xi _{2}),D(\xi _{3}),D(\xi _{4})的大小关系(不必写出证明过程).$

Solution:
$D(\xi _{4})=D(\xi _{2})>D(\xi _{1})>D(\xi _{3}).$

Final answer: 证明题
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400 kg
500 kg
频率
0.25
0.75
$<img_2853>$
此品种中药材的国内市场批发价格情况 
(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)$
$(1)以频率估计概率,试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；$

Solution:
$设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入.则P(A)=0.75\times 0.6=0.45.$

Final answer: $0.45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400 kg
500 kg
频率
0.25
0.75
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)$
此品种中药材的国内市场批发价格情况 
(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)$
$(1)以频率估计概率,试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；$

Solution:
$设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入.则P(A)=0.75\times 0.6=0.45.$

Final answer: $0.45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400 kg
500 kg
频率
0.25
0.75
$<img_2853>$
此品种中药材的国内市场批发价格情况 
(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)$
$(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元,以频率估计概率,求X的数学期望；$

Solution:
$由题意可知，X的所有可能取值为3 000，5 000，7 500.P(X=3 000)=0.25\times 0.4=0.1,P(X=5 000)=0.75\times 0.4+0.25\times 0.6=0.45,P(X=7 500)=0.75\times 0.6=0.45.所以X的分布列为
X
3 000
5 000
7 500
P
0.1
0.45
0.45
所以X的数学期望E(X)=3 000\times 0.1+5 000\times 0.45+7 500\times 0.45=5 925.$



Final answer: $5925$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400 kg
500 kg
频率
0.25
0.75
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)$
此品种中药材的国内市场批发价格情况 
(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)$
$(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元,以频率估计概率,求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题意可知，X的所有可能取值为3 000，5 000，7 500.P(X=3 000)=0.25\times 0.4=0.1,P(X=5 000)=0.75\times 0.4+0.25\times 0.6=0.45,P(X=7 500)=0.75\times 0.6=0.45.所以X的分布列为
X
3 000
5 000
7 500
P
0.1
0.45
0.45
所以X的数学期望E(X)=3 000\times 0.1+5 000\times 0.45+7 500\times 0.45=5 925.$

Final answer: $X的分布列为：3000(概率0.1)，5000(概率0.45)，7500(概率0.45)。
X的数学期望为：5925。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400 kg
500 kg
频率
0.25
0.75
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)$
此品种中药材的国内市场批发价格情况 
(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)$
$(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩,若该土地现种植其他农作物,年纯收入最高可达到45 000元,根据以上数据,该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．$

Solution:
$以第(2)问的期望作为决策依据,则种植10亩此品种中药材年纯收入为5 925\times 10=59 250>45 000,所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材．$

Final answer: $该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
$<img_2323>$
高一
$<img_1491>$
高二
$
$(1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率；$

Solution:
$记“从该校高一年级学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”为事件A，样本中高一年级学生人数为40，其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则P(A)=\frac{37}{40}.$

Final answer: $\frac{37}{40}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)$
高一
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)$
高二
$
$(1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率；$

Solution:
$记“从该校高一年级学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”为事件A，样本中高一年级学生人数为40，其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则P(A)=\frac{37}{40}.$

Final answer: $\frac{37}{40}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)$
高一
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)$
高二
$
$(2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
$从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为\frac{16+14}{40}=\frac{3}{4}.X～B\left(2,\frac{3}{4}\right)，X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=C^0_2\left(\frac{3}{4}\right)^0\times \left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}，P(X=1)=C^1_2\left(\frac{3}{4}\right)^1\times \left(\frac{1}{4}\right)^1=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}，P(X=2)=C^2_2\left(\frac{3}{4}\right)^2\times \left(\frac{1}{4}\right)^0=\frac{9}{16}.X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{16}
\frac{3}{8}
\frac{9}{16}
所以E(X)=0\times \frac{1}{16}+1\times \frac{3}{8}+2\times \frac{9}{16}=\frac{3}{2}.$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
$<img_2323>$
高一
$<img_1491>$
高二
$
$(2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
$从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为\frac{16+14}{40}=\frac{3}{4}.X～B\left(2,\frac{3}{4}\right)，X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=C^0_2\left(\frac{3}{4}\right)^0\times \left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}，P(X=1)=C^1_2\left(\frac{3}{4}\right)^1\times \left(\frac{1}{4}\right)^1=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}，P(X=2)=C^2_2\left(\frac{3}{4}\right)^2\times \left(\frac{1}{4}\right)^0=\frac{9}{16}.X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{16}
\frac{3}{8}
\frac{9}{16}
所以E(X)=0\times \frac{1}{16}+1\times \frac{3}{8}+2\times \frac{9}{16}=\frac{3}{2}.$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)$
高一
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)$
高二
$
$(3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为Y_{1}，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为Y_{2}，试比较方差D(Y_{1})与D(Y_{2})的大小.(只需写出结论)$

Solution:
$D(Y_{1})=D(Y_{2}).$

Final answer: $D(Y_{1})与D(Y_{2})相等。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268263190228993/img/compression/M_fd50fd9ae5cca10d3c00911be677f514.jpg)
$(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？$

Solution:
$由频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，可得w至少定为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：$<img_2717>
$(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？$

Solution:
$由频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，可得w至少定为3.$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：$<img_2717>
$(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.$

Solution:
$由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2，4]
(4，6]
(6，8]
(8，10]
(10，12]
(12，17]
(17，22]
(22，27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
该市居民该月的人均水费估计为4\times 0.1+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05=10.5(元).$

Final answer: $10.5$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268263190228993/img/compression/M_fd50fd9ae5cca10d3c00911be677f514.jpg)
$(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.$

Solution:
$由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2，4]
(4，6]
(6，8]
(8，10]
(10，12]
(12，17]
(17，22]
(22，27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
该市居民该月的人均水费估计为4\times 0.1+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05=10.5(元).$

Final answer: $10.5$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268263727099906/img/compression/M_bce331a37f4d704f96f0d08d2d4acec3.jpg)
$(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；$

Solution:
$根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)\times 10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.$

Final answer: $0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1587>
$(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；$

Solution:
$根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)\times 10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.$

Final answer: $0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268263727099906/img/compression/M_bce331a37f4d704f96f0d08d2d4acec3.jpg)
$(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；$

Solution:
$根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=0.9,分数在区间[40，50)内的人数为100-100\times 0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400\times \frac{5}{100}=20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1587>
$(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；$

Solution:
$根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)\times 10=0.9,分数在区间[40，50)内的人数为100-100\times 0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400\times \frac{5}{100}=20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268263727099906/img/compression/M_bce331a37f4d704f96f0d08d2d4acec3.jpg)
$(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.$

Solution:
$由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)\times 10\times 100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60\times \frac{1}{2}=30.所以样本中的男生人数为30\times 2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60:40=3:2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.$

Final answer: $样本中分数不小于70的男生和女生人数比例为3:2，估计总体中男生和女生人数的比例也为3:2。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$<img_1587>
$(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比的值.$

Solution:
$由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)\times 10\times 100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60\times \frac{1}{2}=30.所以样本中的男生人数为30\times 2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60:40=3:2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.$



Final answer: $3/2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$<img_2276>$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；$

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；$

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$<img_2276>$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(2)求频率分布直方图中的a,b的值；$

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(2)求频率分布直方图中的a,b的值；$

Solution:
$根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-\frac{10}{100}=0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.$

Final answer: $0.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268264339468291/img/compression/M_2fc9343a0f14764508c635ada7d21cdb.jpg)$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)$

Solution:
$样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.$

Final answer: $4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：$<img_2276>$
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
$
$(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)$

Solution:
$样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.$

Final answer: $4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629957881106433/img/compression/M_a07e80eaf196feef50f25667887ade0f.jpg)
$(1)求这100名学生竞赛成绩的第80百分位数;$

Solution:
$由题图可知竞赛成绩在[30,40]，(40,50]，(50,60]，(60,70]的学生频率之和为0.06+0.12+0.18+0.34=0.7，竞赛成绩在[30,40],(40,50],(50,60],(60,70],(70,80]的学生频率之和为0.06+0.12+0.18+0.34+0.16=0.86,所以抽取的100名学生竞赛成绩的第80百分位数在(70,80]内，设第80百分位数为x，则(x-70)\times 0.016=0.1，解得x=76.25，即第80百分位数为76.25.(2分)$

Final answer: $76.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$<img_2831>
$(1)求这100名学生竞赛成绩的第80百分位数;$

Solution:
$由题图可知竞赛成绩在[30,40]，(40,50]，(50,60]，(60,70]的学生频率之和为0.06+0.12+0.18+0.34=0.7，竞赛成绩在[30,40],(40,50],(50,60],(60,70],(70,80]的学生频率之和为0.06+0.12+0.18+0.34+0.16=0.86,所以抽取的100名学生竞赛成绩的第80百分位数在(70,80]内，设第80百分位数为x，则(x-70)\times 0.016=0.1，解得x=76.25，即第80百分位数为76.25.(2分)$

Final answer: $76.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位:分)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629957881106433/img/compression/M_a07e80eaf196feef50f25667887ade0f.jpg)
$(2)从竞赛成绩在(40,50]，(50,60]的两组学生中，采用分层随机抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(40,50]的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X);$

Solution:
$由频率分布直方图可得竞赛成绩在(40,50]，(50,60]学生人数的频率之比为0.12:0.18=2:3，所以这10人中竞赛成绩在(40,50]的学生人数为10\times \frac{2}{5}=4，在(50,60]的学生人数为10\times \frac{3}{5}=6，则X的所有可能取值为0,1,2,3，
(3分)
P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}，\therefore X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{1}{6}
\frac{1}{2}
\frac{3}{10}
\frac{1}{30}
E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.
(8分)$

Final answer: $X的分布列为：0, 1, 2, 3，对应的概率为：1/6, 1/2, 3/10, 1/30；数学期望E(X)=6/5。$