di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，P为固定的竖直挡板，质量为2m的长木板A静置于光滑水平面上(A的上表面略低于挡板P的下端)，质量为m的小物块B(可视为质点)以水平初速度v_0从A的左端向右滑上A的上表面，经过一段时间A、B第一次达到共同速度，此时B恰好未从A上滑落，然后物块B与长木板A一起向右运动，在t=0时刻，物块B与挡板P发生了第一次碰撞，经过一段时间物块B与长木板A第二次达到共同速度，之后物块B与挡板P发生了很多次碰撞，最终在t=t_0(未知)时恰好相对地面静止。已知A、B间的动摩擦因数为\mu ，重力加速度为g，物块与挡板P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，求：$

<img_753>
$t_0的值。$

Solution:
$B 从第 n 次与挡板发生碰撞到第 n+1次与挡板发生碰撞的过程中，设 B 做匀变速运动的时间为t1， B 做匀速直线运动的时间为t2， A、 B 保持相对静止共同运动的位移为\Delta  x ，匀变速运动过程有 v_{n+1} =(- v_n)+ a_Bt1 ， \frac{v0}{3^n} + \frac{v0}{3^{n+1}} = a_Bt1 ， B 在匀减速过程有 \left(\frac{v0}{3^{n}}\right) ^2 =2 a_B \Delta  x1 ，匀加速过程有 \left(\frac{v0}{3^{n+1}}\right) ^2 =2 a_B \Delta  x2 ，又有\Delta  x =\Delta  x1 -\Delta  x2 ，得 \left(\frac{v0}{3^n}\right) ^2 - \left(\frac{v0}{3^{n+1}}\right) ^2 =2 a_B \Delta  x ,匀速过程有\Delta  x = \frac{v0}{3^{n+1}} t2 ，匀变速直线运动过程和匀速过程的位移大小相等、方向相反，联立可得 t1 : t2 =1:1，即每相邻两次碰撞之间， A 、 B 匀变速运动过程与 A 、 B 匀速运动过程的时间之比为1:1。在 0~ t0 时间内， A 做匀减速运动的时间等于 B 做匀变速运动的时间，设 A 做匀减速运动的累计时间为t'，则t'= \frac{1}{2} t0 ，对 A 有 \mu mg =2 ma_A ，又 \frac{v0}{3} = a_At' ，解得 t0 =\frac{4v0}{3\mu g}。$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894067396415491/img/compression/M_0be6b10520af8b4b25c40cfb26c09463.jpg)
求C下滑的高度H；

Solution:
$下滑过程机械能守恒，有 m_C gH = \frac{1}{2} m_C v^2 ①$

$代入数据解得 H=0.8 m ②$

Final answer: $0.8 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

<img_522>
求C下滑的高度H；

Solution:
$下滑过程机械能守恒，有 m_C gH = \frac{1}{2} m_C v^2 ①$

$代入数据解得 H=0.8 m ②$

Final answer: $0.8 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

<img_522>
$若s=0.48 m，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；$

Solution:
$s=0.48 m<x_{B}=0.625 m，说明B与C未达到共速，设C滑上B后经时间t_{3}，B与P相撞，根据题意有$
$s=0.48 m=v_{0}t_{3}+\frac{1}{2}a_{B}t^2_{3}$

$联立⑦⑱并代入数据解得t_{3}=0.4 s$

$设B与P碰前瞬间C的速度为v_{C}'$
$v_{C}'=v-a_{C}t_{3}$

$联立④⑲⑳并代入数据解得v_{C}=2 m/s$

$对C应用动能定理有W=\frac{1}{2}m_{C}v_{C}'^2-\frac{1}{2}m_{C}v^2$

$联立㉑㉒并代入数据解得W=-6 J$

$因此B与P碰撞前摩擦力对C所做的功为-6 J$

Final answer: $-6 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894067396415491/img/compression/M_0be6b10520af8b4b25c40cfb26c09463.jpg)
$若s=0.48 m，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；$

Solution:
$s=0.48 m<x_{B}=0.625 m，说明B与C未达到共速，设C滑上B后经时间t_{3}，B与P相撞，根据题意有$
$s=0.48 m=v_{0}t_{3}+\frac{1}{2}a_{B}t^2_{3}$

$联立⑦⑱并代入数据解得t_{3}=0.4 s$

$设B与P碰前瞬间C的速度为v_{C}'$
$v_{C}'=v-a_{C}t_{3}$

$联立④⑲⑳并代入数据解得v_{C}=2 m/s$

$对C应用动能定理有W=\frac{1}{2}m_{C}v_{C}'^2-\frac{1}{2}m_{C}v^2$

$联立㉑㉒并代入数据解得W=-6 J$

$因此B与P碰撞前摩擦力对C所做的功为-6 J$

Final answer: $-6 J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

<img_522>
$若s=0.48 m，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量\Delta p的大小。$

Solution:
设B与P碰撞前B的速度大小为$v_{B}'$
则$v_{B}'=v_0+a_{B}t_3$

㉔

联立⑦⑲㉔并代入数据可得$v_{B}'=1.4 m/s$

㉕

_B_与_P_发生弹性碰撞，速度大小不变、方向反向，大小仍为$v_{B}'$，_C_仍以原来的加速度向右做匀减速直线运动
设再经时间$t_4$，B与A相撞
对返回的_B_进行分析
$m_Cg\mu _2+(m_C+m_B)g\mu _1=m_Ba_{B}'$

㉖

解得$a_B'=4 m/s^2$

㉗

_B_与_A_相撞时的位移关系有
$x_A'+x_B^″=0.48 m$

㉘

$t_4时间内B返回的位移x_B″=v_B't_4-\frac{1}{2}a_{B}'t^2_4$

㉙

而$x_A'=v_0(t_3+t_4)$

㉚

联立⑲㉕㉗㉘㉙㉚并代入数据解得
$t_4=(0.6-0.4\sqrt{2}) s$

㉛

$设B与A碰撞前B的速度大小为v_{B}″，B与A发生弹性碰撞，该过程A与B组成的系统动量守恒且机械能守恒
m_Av_0-m_Bv_{B}″=m_Av_{A}'+m_Bv_{B}'''$

㉜

$\frac{1}{2}m_Av^2_0+\frac{1}{2}m_Bv_{B}″^2=\frac{1}{2}m_Av_{A}'^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B}'''^2$

㉝

其中$v_{B}″=v_{B}'-a_{B}'t_4$

㉞

联立各式解得
$v_{A}'=\left(1-\frac{32}{15}\sqrt{2}\right) m/s$

㉟

$v_{B}'''=\left(1-\frac{8}{15}\sqrt{2}\right) m/s$

㊱

即_A_以$2 m/s$的速度向左返回，_B_不可能追上_A_再次碰撞，即_B_、_C_最终静止，_A_向左匀速运动，_A_、_B_、_C_都处于平衡状态，设自_C_滑上_B_开始，到最后各自平衡时_A_、_B_、_C_总动量的变化量为$\Delta p$。
$\Delta p=p_末-p_初=m_Av_{A}'-[(m_A+m_B)v_0+m_Cv]=m_Av_{A}'-(m_A+m_B)v_0-m_Cv$

㊲

$联立㉟㊲并代入数据解得\Delta p=-\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) kg\cdot m/s$

㊳

$动量变化量\Delta p_的大小为\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) kg\cdot m/s。$



Final answer: $\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) $ $kg\cdot m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894067396415491/img/compression/M_0be6b10520af8b4b25c40cfb26c09463.jpg)
$若s=0.48 m，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量\Delta p的大小。$

Solution:
设B与P碰撞前B的速度大小为$v_{B}'$
则$v_{B}'=v_0+a_{B}t_3$

㉔

联立⑦⑲㉔并代入数据可得$v_{B}'=1.4 m/s$

㉕

_B_与_P_发生弹性碰撞，速度大小不变、方向反向，大小仍为$v_{B}'$，_C_仍以原来的加速度向右做匀减速直线运动
设再经时间$t_4$，B与A相撞
对返回的_B_进行分析
$m_Cg\mu _2+(m_C+m_B)g\mu _1=m_Ba_{B}'$

㉖

解得$a_B'=4 m/s^2$

㉗

_B_与_A_相撞时的位移关系有
$x_A'+x_B^″=0.48 m$

㉘

$t_4时间内B返回的位移x_B″=v_B't_4-\frac{1}{2}a_{B}'t^2_4$

㉙

而$x_A'=v_0(t_3+t_4)$

㉚

联立⑲㉕㉗㉘㉙㉚并代入数据解得
$t_4=(0.6-0.4\sqrt{2}) s$

㉛

$设B与A碰撞前B的速度大小为v_{B}″，B与A发生弹性碰撞，该过程A与B组成的系统动量守恒且机械能守恒
m_Av_0-m_Bv_{B}″=m_Av_{A}'+m_Bv_{B}'''$

㉜

$\frac{1}{2}m_Av^2_0+\frac{1}{2}m_Bv_{B}″^2=\frac{1}{2}m_Av_{A}'^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B}'''^2$

㉝

其中$v_{B}″=v_{B}'-a_{B}'t_4$

㉞

联立各式解得
$v_{A}'=\left(1-\frac{32}{15}\sqrt{2}\right) m/s$

㉟

$v_{B}'''=\left(1-\frac{8}{15}\sqrt{2}\right) m/s$

㊱

即_A_以$2 m/s$的速度向左返回，_B_不可能追上_A_再次碰撞，即_B_、_C_最终静止，_A_向左匀速运动，_A_、_B_、_C_都处于平衡状态，设自_C_滑上_B_开始，到最后各自平衡时_A_、_B_、_C_总动量的变化量为$\Delta p$。
$\Delta p=p_末-p_初=m_Av_{A}'-[(m_A+m_B)v_0+m_Cv]=m_Av_{A}'-(m_A+m_B)v_0-m_Cv$

㊲

$联立㉟㊲并代入数据解得\Delta p=-\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) kg\cdot m/s$

㊳

$动量变化量\Delta p_的大小为\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) kg\cdot m/s。$

Final answer: $\left(\frac{32}{15}\sqrt{2}+6\right) kg\cdot m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，倾角$\theta =30^\circ $的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为$+q$的小滑块A放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m的不带电小滑块B从斜面上与A相距为L的位置由静止释放，下滑后与A多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：

<img_1265>
斜面对A的支持力大小和匀强电场的场强大小；

Solution:
$滑块A受力如图，A处于静止状态，则斜面对滑块A的支持力大小为N= \frac{mg}{\cos  \theta }，滑块A受到的电场力大小为qE=mg \tan \theta ，可得N= \frac{2\sqrt{3}mg}{3}，E= \frac{\sqrt{3}mg}{3q}。$

<img_1087>

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}mg}{3}$
$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，倾角$\theta =30^\circ $的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为$+q$的小滑块A放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m的不带电小滑块B从斜面上与A相距为L的位置由静止释放，下滑后与A多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894117891641347/img/compression/M_f1e2cfb0c06599449f48b1cff8b12865.jpg)
斜面对A的支持力大小和匀强电场的场强大小；

Solution:
$滑块A受力如图，A处于静止状态，则斜面对滑块A的支持力大小为N= \frac{mg}{\cos  \theta }，滑块A受到的电场力大小为qE=mg \tan \theta ，可得N= \frac{2\sqrt{3}mg}{3}，E= \frac{\sqrt{3}mg}{3q}。$

![23BTY5WL120答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118294294529/img/compression/M_4ea3b5a32f3782772564e5c546f57d09.jpg)

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}mg}{3}$
$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，倾角$\theta =30^\circ $的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为$+q$的小滑块A放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m的不带电小滑块B从斜面上与A相距为L的位置由静止释放，下滑后与A多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894117891641347/img/compression/M_f1e2cfb0c06599449f48b1cff8b12865.jpg)
两滑块发生第1次碰撞到发生第2次碰撞的时间间隔。

Solution:
$设B下滑过程中加速度大小为a，第1次与A碰撞时的速度为v，有mg \sin \theta =ma，v^2=2aL，第1次碰撞后A的速度为vA1，B的速度为vB1，由动量守恒和机械能守恒得mv=mvA1+mvB1，\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv^2A1+\frac{1}{2}mv^2B1，解得vA1=\sqrt{gL}，vB1=0，第1次碰撞后，A匀速下滑，B匀加速下滑，发生第1次碰撞到发生第2次碰撞的过程中两滑块下滑的位移相等，设所用时间为t1，有vA1t1=\frac{1}{2}at^2_1，解得t1=4\sqrt{\frac{L}{g}}。$

Final answer: $4\sqrt{\frac{L}{g}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，倾角$\theta =30^\circ $的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为$+q$的小滑块A放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m的不带电小滑块B从斜面上与A相距为L的位置由静止释放，下滑后与A多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：

<img_1265>
两滑块发生第1次碰撞到发生第2次碰撞的时间间隔。

Solution:
$设B下滑过程中加速度大小为a，第1次与A碰撞时的速度为v，有mg \sin \theta =ma，v^2=2aL，第1次碰撞后A的速度为vA1，B的速度为vB1，由动量守恒和机械能守恒得mv=mvA1+mvB1，\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv^2A1+\frac{1}{2}mv^2B1，解得vA1=\sqrt{gL}，vB1=0，第1次碰撞后，A匀速下滑，B匀加速下滑，发生第1次碰撞到发生第2次碰撞的过程中两滑块下滑的位移相等，设所用时间为t1，有vA1t1=\frac{1}{2}at^2_1，解得t1=4\sqrt{\frac{L}{g}}。$



Final answer: $4\sqrt{\frac{L}{g}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118613061634/img/compression/M_9b8a19067d533a59527e29d821432d3c.jpg)
小滑块刚冲上长木板左端时小滑块和长木板的加速度大小；

Solution:
$对滑块受力分析，由牛顿第二定律得\mu _{1}(mg+Eq)=ma_{1}，解得a_{1}=4 \, m/s^{2}，对长木板受力分析，由牛顿第二定律得\mu _{1}(mg+Eq)-\mu _{2}(mg+Mg+Eq)=Ma_{2}，解得a_{2}=1 \, m/s^{2}；$

Final answer: $4 m/s^2$ $1 m/s^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

<img_628>
小滑块刚冲上长木板左端时小滑块和长木板的加速度大小；

Solution:
$对滑块受力分析，由牛顿第二定律得\mu _{1}(mg+Eq)=ma_{1}，解得a_{1}=4 \, m/s^{2}，对长木板受力分析，由牛顿第二定律得\mu _{1}(mg+Eq)-\mu _{2}(mg+Mg+Eq)=Ma_{2}，解得a_{2}=1 \, m/s^{2}；$

Final answer: $4 m/s^2$ $1 m/s^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

<img_628>
滑块在长木板上滑动的相对位移；

Solution:
$板块模型注意分析滑块和木板的共速点，设二者达到共同速度的时间为t_1，则有v=v_0-a_1t_1=a_2t_1，假设二者达到共同速度后一起减速，判断是否能一起运动，对整体由牛顿第二定律得\mu _2(mg+Mg+Eq)=(M+m)a_3，对滑块有F=ma_3，代入数据解得F=1.2 N<\mu _1(mg+Eq)=3.2 N，故假设成立，二者一起减速。在t_1这段时间内滑块的位移为x_1=v_0t_1-\frac{1}{2}a_1t_1^2，长木板的位移为x_2=\frac{1}{2}a_2t_1^2，滑块在长木板上滑动的相对位移\Delta x=x_1-x_2=1.6 m；$

Final answer: 1.6 m
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，质量为M=0.8 kg足够长的绝缘木板静止于粗糙的水平面上，所在空间存在范围足够大的一个方向竖直向下的匀强电场，场强大小$E=500 N/C$，一质量为$m=0.8 kg$、带电荷量$q=+1.6\times 10^{-2} C$的滑块(可视为质点)以$v_0=4 m/s$的水平初速度冲上长木板的左端，已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为$\mu _1=0.2$，长木板与地面之间的动摩擦因数为$\mu _2=0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取$10 m/s^2$，不计滑块带电荷量损失，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118613061634/img/compression/M_9b8a19067d533a59527e29d821432d3c.jpg)
滑块在长木板上滑动的相对位移；

Solution:
$板块模型注意分析滑块和木板的共速点，设二者达到共同速度的时间为t_1，则有v=v_0-a_1t_1=a_2t_1，假设二者达到共同速度后一起减速，判断是否能一起运动，对整体由牛顿第二定律得\mu _2(mg+Mg+Eq)=(M+m)a_3，对滑块有F=ma_3，代入数据解得F=1.2 N<\mu _1(mg+Eq)=3.2 N，故假设成立，二者一起减速。在t_1这段时间内滑块的位移为x_1=v_0t_1-\frac{1}{2}a_1t_1^2，长木板的位移为x_2=\frac{1}{2}a_2t_1^2，滑块在长木板上滑动的相对位移\Delta x=x_1-x_2=1.6 m；$

Final answer: 1.6 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

![24BBJ5WL176.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723337142273/img/compression/M_a5c94d755e34bfdb74d03ae8b4a57775.jpg)
$若剪断轻绳，求小球此后在电场中运动时的加速度大小a；$

Solution:
由题意及上述分析可得，剪断轻绳后小球所受的合力大小
$F=\sqrt{2}mg$
$根据牛顿第二定律有F=ma，得a=\sqrt{2}g$

Final answer: $\sqrt{2} g$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

<img_548>
$若剪断轻绳，求小球此后在电场中运动时的加速度大小a；$

Solution:
由题意及上述分析可得，剪断轻绳后小球所受的合力大小
$F=\sqrt{2}mg$
$根据牛顿第二定律有F=ma，得a=\sqrt{2}g$

Final answer: $\sqrt{2} g$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

![24BBJ5WL176.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723337142273/img/compression/M_a5c94d755e34bfdb74d03ae8b4a57775.jpg)
若撤去电场，小球将在竖直平面内摆动，求小球摆到最低点时受到轻绳的拉力大小T。

Solution:
$设小球摆到最低点时的速度为v，根据机械能守恒定律有mg(l-l \cos 45^\circ )=\frac{1}{2}mv^2$

小球在最低点时，根据牛顿第二定律有

$T-mg= \frac{mv^2}{l}，得T=3mg-\sqrt{2}mg$

Final answer: $3mg-\sqrt{2}mg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在水平方向的匀强电场中，用绝缘轻绳悬挂一质量为m、电荷量为q的小球，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角为45^\circ 。重力加速度为g。不计空气阻力。$

<img_548>
若撤去电场，小球将在竖直平面内摆动，求小球摆到最低点时受到轻绳的拉力大小T。

Solution:
$设小球摆到最低点时的速度为v，根据机械能守恒定律有mg(l-l \cos 45^\circ )=\frac{1}{2}mv^2$

小球在最低点时，根据牛顿第二定律有

$T-mg= \frac{mv^2}{l}，得T=3mg-\sqrt{2}mg$

Final answer: $3mg-\sqrt{2}mg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电荷的定向移动形成电流。已知电子质量为m，元电荷为e。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385726872940546/img/compression/M_e93279de7323851c833297802f03ca46.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385726872940546/img/compression/M_dfe0d3378a158e36d1296066030bb469.jpg)

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385726872940546/img/compression/M_f98c51de70cbf90fe9aa49071142b8c5.jpg)
$如图1所示，两个截面不同的均匀铜棒接在电路中通以稳恒电流，已知电子定向移动通过导体横截面A形成的电流为I_1。求\Delta t时间内通过导体横截面B的电子数N。$

Solution:
$根据 I=\frac{\Delta Q}{\Delta t} ，得单位时间通过导体横截面 A 的电子数 n_1=\frac{I_1}{e} $

因为单位时间通过导体横截面 A 的电子数与通过导体横截面 B 的电子数相等

所以时间\Delta  t 内通过导体横截面 B 的电子数 

$N=n_1\Delta  t =\frac{I_1}{e} \Delta  t $

Final answer: $$
Subfield: Electromagnetism


Question: $电荷的定向移动形成电流。已知电子质量为m，元电荷为e。$

<img_805>

<img_898>

<img_826>
$如图1所示，两个截面不同的均匀铜棒接在电路中通以稳恒电流，已知电子定向移动通过导体横截面A形成的电流为I_1。求\Delta t时间内通过导体横截面B的电子数N。$

Solution:
$根据 I=\frac{\Delta Q}{\Delta t} ，得单位时间通过导体横截面 A 的电子数 n_1=\frac{I_1}{e} $

因为单位时间通过导体横截面 A 的电子数与通过导体横截面 B 的电子数相等

所以时间\Delta  t 内通过导体横截面 B 的电子数 

$N=n_1\Delta  t =\frac{I_1}{e} \Delta  t $

Final answer: $$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压U_H。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻R_H。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_cc72b648aed66b4e3e2b1471c7dbd639.jpg)

甲

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_124779ea5cd1baa91a02287d76699342.jpg)

乙

![丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_62d19dd5ca01ad81695825c92e6cc8e6.jpg)

丙
$在发现霍尔效应约100年后，科学家又发现某些半导体材料的霍尔电阻，在低温和强磁场下，与外加磁场的关系出现一个个的“平台”，在平台处霍尔电阻严格等于一个常数除以正整数，即R_H=\frac{h}{ie^2}，其中h为普朗克常数，e为电子电荷量，i为正整数，这个现象被称为整数量子霍尔效应。在环境温度小于4 K时，霍尔电阻R_H与外加磁场的磁感应强度B的关系图像如图乙所示。由于量子霍尔电阻只与基本物理常数有关，国际计量委员会推荐在世界范围内用量子电阻标准替代实物电阻标准，以避免实物电阻阻值因环境影响而变化。由于霍尔电阻与实物电阻的定义并不相同，因此需要利用一些方法才可以将量子霍尔电阻标准电阻值“传递”给实物电阻。“传递”的一种方法叫“电位差计比较法”，其原理可简化为图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。通过比较霍尔电势差与实物电阻两端的电势差，即可达到比较霍尔电阻与实物电阻阻值的目的。$

$某次实验时，霍尔元件所处环境温度为1.5 K，磁感应强度大小为8 T，此时a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等。若h=6.63\times 10^-34 J\cdot s，e=1.6\times 10^-19 C。通过分析，计算该实物电阻的阻值R_S(结果保留两位有效数字)。$

Solution:
$根据题意此时的霍尔电阻为 R_H = \frac{h}{ie^2}$
$环境温度为1.5 K，磁感应强度为8 T，结合题意，代入数据有 R_H = \frac{h}{2e^2} \approx  1.3\times 10^4 \Omega $
$因为通过霍尔元件的电流与通过实物电阻的电流相等，霍尔电势差与实物电阻两端的电势差相同，所以实物电阻的阻值等于此时霍尔元件的霍尔电阻，所以有 R_S=R_H=1.3\times 10^4 \Omega $

Final answer: $1.3\times 10^4 \Omega$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压U_H。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻R_H。$

<img_418>

甲

<img_919>

乙

<img_640>

丙
$在发现霍尔效应约100年后，科学家又发现某些半导体材料的霍尔电阻，在低温和强磁场下，与外加磁场的关系出现一个个的“平台”，在平台处霍尔电阻严格等于一个常数除以正整数，即R_H=\frac{h}{ie^2}，其中h为普朗克常数，e为电子电荷量，i为正整数，这个现象被称为整数量子霍尔效应。在环境温度小于4 K时，霍尔电阻R_H与外加磁场的磁感应强度B的关系图像如图乙所示。由于量子霍尔电阻只与基本物理常数有关，国际计量委员会推荐在世界范围内用量子电阻标准替代实物电阻标准，以避免实物电阻阻值因环境影响而变化。由于霍尔电阻与实物电阻的定义并不相同，因此需要利用一些方法才可以将量子霍尔电阻标准电阻值“传递”给实物电阻。“传递”的一种方法叫“电位差计比较法”，其原理可简化为图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。通过比较霍尔电势差与实物电阻两端的电势差，即可达到比较霍尔电阻与实物电阻阻值的目的。$

$某次实验时，霍尔元件所处环境温度为1.5 K，磁感应强度大小为8 T，此时a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等。若h=6.63\times 10^-34 J\cdot s，e=1.6\times 10^-19 C。通过分析，计算该实物电阻的阻值R_S(结果保留两位有效数字)。$

Solution:
$根据题意此时的霍尔电阻为 R_H = \frac{h}{ie^2}$
$环境温度为1.5 K，磁感应强度为8 T，结合题意，代入数据有 R_H = \frac{h}{2e^2} \approx  1.3\times 10^4 \Omega $
$因为通过霍尔元件的电流与通过实物电阻的电流相等，霍尔电势差与实物电阻两端的电势差相同，所以实物电阻的阻值等于此时霍尔元件的霍尔电阻，所以有 R_S=R_H=1.3\times 10^4 \Omega $



Final answer: $1.3\times 10^4$ \Omega
Subfield: Mechanics


Question: 人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
$情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿Ox方向以速度v做匀速直线运动，质点2在yOz平面内以角速度\omega 做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如图1乙所示。质点3在完成一个圆运动的时间内，沿Ox方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”d_1。$

<img_1356>

Solution:
$圆周运动的周期T = \frac{2\pi }{\omega }$

在一个圆周运动的周期里，沿Ox方向前进的距离

$d_{1} = vT = \frac{2\pi v}{\omega }$

Final answer: $\frac{2\pi v}{\omega }$
Subfield: Mechanics


Question: 人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
$情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿Ox方向以速度v做匀速直线运动，质点2在yOz平面内以角速度\omega 做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如图1乙所示。质点3在完成一个圆运动的时间内，沿Ox方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”d_1。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385783428935684/img/compression/M_933754a32b772c1bc5cfe0a681e7d2c7.jpg)

Solution:
$圆周运动的周期T = \frac{2\pi }{\omega }$

在一个圆周运动的周期里，沿Ox方向前进的距离

$d_{1} = vT = \frac{2\pi v}{\omega }$

Final answer: $\frac{2\pi v}{\omega }$
Subfield: Mechanics


Question: $某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a_{车}随速度v的变化曲线。$

(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385806925172741/img/compression/M_dc86bc0f5b71a72fe87c4df02f8a7ff0.jpg)

图1

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385807936000002/img/compression/M_5fc14909afb208a6a8487fd59ea1be0a.jpg)

图2
$求列车速度从20 m/s降至3 m/s经过的时间t及行进的距离x。$

Solution:
$列车速度从20 m/s降至3 m/s的过程中，做匀减速运动，假设运动时间为t，运动位移为x，根据v_t-v_0=at，得t=\frac{v_t-v_0}{a_{\text{车}}}=24.3 s$

$根据v^2_t-v_0^2=2ax，得x=\frac{v^2_t-v_0^2}{2a_{\text{车}}}=279.3 m。$

Final answer: 279.3 m
Subfield: Mechanics


Question: $某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小a_{车}随速度v的变化曲线。$

(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)

<img_583>

图1

<img_1100>

图2
$求列车速度从20 m/s降至3 m/s经过的时间t及行进的距离x。$

Solution:
$列车速度从20 m/s降至3 m/s的过程中，做匀减速运动，假设运动时间为t，运动位移为x，根据v_t-v_0=at，得t=\frac{v_t-v_0}{a_{\text{车}}}=24.3 s$

$根据v^2_t-v_0^2=2ax，得x=\frac{v^2_t-v_0^2}{2a_{\text{车}}}=279.3 m。$

Final answer: 279.3 m
Subfield: Electromagnetism


Question: 发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情境。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v(v平行于MN)向右做匀速运动。图1轨道端点M、P间接有阻值为r的电阻，导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点M、P间接有直流电源，导体棒ab通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为I。

![Image1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385810389667843/img/compression/M_ff3e4423c4d67f34546534a08077d80a.jpg)

![Image2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385810389667843/img/compression/M_4464a255e632a29c6307a9d0a00df01a.jpg)

![Image3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385810389667843/img/compression/M_81f99d2e3457d8572fa2f4efcd8b5693.jpg)
$求在\Delta t时间内，图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。$

Solution:
$图1中，电路中的电流I_1 = \frac{BLv}{R+r}$

$棒ab受到的安培力F_1 = BI_1L$

$在\Delta t时间内，“发电机”产生的电能等于棒ab克服安培力做的功$

$E_{电} = F_1 \cdot  v\Delta t = \frac{B^2L^2v^2\Delta t}{R+r}$

$图2中，棒ab受到的安培力F_2 = BIL$

$在\Delta t时间内，“电动机”输出的机械能等于安培力对棒ab做的功$

$E_{机} = F_2 \cdot  v\Delta t = BILv\Delta t$

Final answer: $BILv\Delta t$
Subfield: Electromagnetism


Question: 发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情境。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v(v平行于MN)向右做匀速运动。图1轨道端点M、P间接有阻值为r的电阻，导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点M、P间接有直流电源，导体棒ab通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为I。

<img_790>

<img_1050>

<img_459>
$求在\Delta t时间内，图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。$

Solution:
$图1中，电路中的电流I_1 = \frac{BLv}{R+r}$

$棒ab受到的安培力F_1 = BI_1L$

$在\Delta t时间内，“发电机”产生的电能等于棒ab克服安培力做的功$

$E_{电} = F_1 \cdot  v\Delta t = \frac{B^2L^2v^2\Delta t}{R+r}$

$图2中，棒ab受到的安培力F_2 = BIL$

$在\Delta t时间内，“电动机”输出的机械能等于安培力对棒ab做的功$

$E_{机} = F_2 \cdot  v\Delta t = BILv\Delta t$



Final answer: $BILv\Delta t$
Subfield: Electromagnetism


Question: 导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

![15GZTWL105教师单.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385811882840069/img/compression/M_c0b2262c4ff03de2bb377a11707b3c43.jpg)
$若导线MN的质量m=8.0 g、长度L=0.10 m，感应电流I=1.0 A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v_e(下表中列出一些你可能会用到的数据)；$

|      |          |
|:----:|----------|
| 阿伏加德罗常数$N_A$ | $6.0\times 10^{23} mol^{-1}$ |
| 元电荷e | $1.6\times 10^{-19} C$ |
| 导线MN的摩尔质量$\mu$  | $6.0\times 10^{-2} kg/mol$  |

Solution:
$导线MN中含有的原子数为N=\frac{m}{\mu }N_A$

因为一个金属原子贡献一个电子，所以导线MN中的自由电子数也是N。

$导线MN单位体积内的自由电子数n=\frac{N}{SL}$

其中，S为导线MN的横截面积。

$因为电流I=nv_eSe$

$所以v_e=\frac{I}{nSe}=\frac{IL}{Ne}=\frac{IL\mu }{mN_\mathrm{A}e}$

$解得v_e=7.8\times 10^-6 m/s$

Final answer: $7.8\times 10^-6 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

<img_1438>
$若导线MN的质量m=8.0 g、长度L=0.10 m，感应电流I=1.0 A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v_e(下表中列出一些你可能会用到的数据)；$

|      |          |
|:----:|----------|
| 阿伏加德罗常数$N_A$ | $6.0\times 10^{23} mol^{-1}$ |
| 元电荷e | $1.6\times 10^{-19} C$ |
| 导线MN的摩尔质量$\mu$  | $6.0\times 10^{-2} kg/mol$  |

Solution:
$导线MN中含有的原子数为N=\frac{m}{\mu }N_A$

因为一个金属原子贡献一个电子，所以导线MN中的自由电子数也是N。

$导线MN单位体积内的自由电子数n=\frac{N}{SL}$

其中，S为导线MN的横截面积。

$因为电流I=nv_eSe$

$所以v_e=\frac{I}{nSe}=\frac{IL}{Ne}=\frac{IL\mu }{mN_\mathrm{A}e}$

$解得v_e=7.8\times 10^-6 m/s$

Final answer: $7.8\times 10^-6 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385797123338243/img/compression/M_d24b8427fff954178e087806418bef8d.jpg)
$金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比\frac{a_1}{a_2}。$

Solution:
同理可得，金属棒在第二级区域时受到的安培力大小为F'=k(2I)^2L，由牛顿第二定律得

$a_1=\frac{F}{m}=\frac{kI^2L}{m} ，$

$a_2=\frac{F'}{m}=\frac{k(2I)^2L}{m}$

所以a_1:a_2=1:4

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

<img_1474>
$金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比\frac{a_1}{a_2}。$

Solution:
同理可得，金属棒在第二级区域时受到的安培力大小为F'=k(2I)^2L，由牛顿第二定律得

$a_1=\frac{F}{m}=\frac{kI^2L}{m} ，$

$a_2=\frac{F'}{m}=\frac{k(2I)^2L}{m}$

所以a_1:a_2=1:4

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图,绝缘水平桌面上带电荷量为Q(Q > 0)的小球甲固定于A点,另一个带电荷量为q的有孔小球乙套在固定的绝缘竖直细杆上,且恰能静止于B点，杆上O点与A等高，AO=d，\angle OAB=\alpha=30^\circ 。静电力常量为k,重力加速度大小为g，不计摩擦力和空气阻力,小球视为质点且电荷量不变。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625140668690433/img/compression/M_6cd4f2166d78ed5265b08a04cb84c94d.jpg)
$指出小球乙带哪种电荷，求出小球乙的质量m;$

Solution:
小球乙在B点受重力、弹力和电场力这三个力作用平衡,故小球甲、乙间的电场力为引力,所以小球乙带负电



$由平衡条件得k\frac{Qq}{\left(\frac{d}{\cos \alpha }\right)^2} \sin \alpha =mg$



$解得m=\frac{kQq \sin \alpha \cos^2\alpha }{gd^2}=\frac{3kQq}{8gd^2}$

Final answer: $\frac{3kQq}{8gd^2}$