di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面ABCD为圆柱OO'的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968989850619906/img/compression/M_c6d754ac465b47412b8a0323e6256890.jpg)
$(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.$

Solution:
$由(1)知BE是三棱锥B-DEF的底面DEF上的高，EF\perp AE，AE\parallel DF，所以EF\perp DF，所以三角形DEF是直角三角形.(7分)设DF=AE=x，BE=y，则x^{2}+y^{2}=4,所以V_{B-DEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle DEF}\cdot BE=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times x\times 2\times y=\frac{1}{3}xy\leq \frac{1}{3}\times \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{2}{3}，当且仅当x=y=\sqrt{2}时,等号成立，即当E，F分别是弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}，\overset{\LARGE{\frown}}{CD}的中点时，三棱锥B-DEF的体积最大.(9分)由(1)得BE\perp 平面DEF，因为DF\subset 平面DEF，所以BE\perp DF.又因为EF\perp DF，EF\cap BE=E，所以DF\perp 平面BEF.因为BF\subset 平面BEF，所以BF\perp DF,所以\angle BFE是二面角B-DF-E的平面角.(11分)由(1)知\triangle BEF为直角三角形，所以BF=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2^2}=\sqrt{6}.故\\cos  \angle BFE=\frac{EF}{BF}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3},所以二面角B-DF-E的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610140755566594/img/compression/M_bc68c6126fdab19fd13be1621f5221de.jpg)
$(1)求证：平面BMD\parallel 平面EFC；$

Solution:
$证明：连接AC，交BD于点N，\therefore N为AC的中点，连接MN，\because M为棱AE的中点，\therefore MN\parallel EC.\because MN\not\subset 平面EFC，EC\subset 平面EFC，\therefore MN\parallel 平面EFC.\because BF\parallel DE,BF=DE,\therefore 四边形BDEF为平行四边形,\therefore BD\parallel EF.又BD\not\subset 平面EFC,EF\subset 平面EFC,\therefore BD\parallel 平面EFC,又MN\cap BD=N，\therefore 平面BMD\parallel 平面EFC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$<img_2438>
$(1)求证：平面BMD\parallel 平面EFC；$

Solution:
$证明：连接AC，交BD于点N，\therefore N为AC的中点，连接MN，\because M为棱AE的中点，\therefore MN\parallel EC.\because MN\not\subset 平面EFC，EC\subset 平面EFC，\therefore MN\parallel 平面EFC.\because BF\parallel DE,BF=DE,\therefore 四边形BDEF为平行四边形,\therefore BD\parallel EF.又BD\not\subset 平面EFC,EF\subset 平面EFC,\therefore BD\parallel 平面EFC,又MN\cap BD=N，\therefore 平面BMD\parallel 平面EFC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$<img_2438>
$(2)若ED\perp 平面ABCD，BM\perp CF,求二面角E-AF-B的余弦值.$

Solution:
$\because ED\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，\therefore ED，AD，CD两两垂直.分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),设ED=2a,a>0,则M(1,0,a),F(2,2,2a),E(0,0,2a),\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-2,a),\overrightarrow{CF}=(2,0,2a).\because BM\perp CF,即\overrightarrow{BM}\perp \overrightarrow{CF}，\therefore -1\times 2+a\times 2a=0,\therefore a=1,\therefore \overrightarrow{EA}=(2,0,-2),\overrightarrow{AF}=(0,2,2).设平面EAF的法向量为m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EA}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x-2z=0,\\ 2y+2z=0.\end{matrix}\right.\therefore m=(1,-1,1).\because BF\parallel DE,DE\perp 平面ABCD,\therefore BF\perp 平面ABCD.又DA\subset 平面ABCD，\therefore BF\perp DA,又DA\perp AB,BF\cap AB=B,\therefore DA\perp 平面AFB,\therefore 平面AFB的一个法向量为\overrightarrow{DA}=(2，0，0).\because \\cos  \langle m,\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{2}{\sqrt{1+1+1} \times 2}=\frac{\sqrt{3}}{3},由图可知二面角E-AF-B为钝二面角，\therefore 二面角E-AF-B的余弦值为-\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610140755566594/img/compression/M_bc68c6126fdab19fd13be1621f5221de.jpg)
$(2)若ED\perp 平面ABCD，BM\perp CF,求二面角E-AF-B的余弦值.$

Solution:
$\because ED\perp 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，\therefore ED，AD，CD两两垂直.分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),设ED=2a,a>0,则M(1,0,a),F(2,2,2a),E(0,0,2a),\therefore \overrightarrow{BM}=(-1,-2,a),\overrightarrow{CF}=(2,0,2a).\because BM\perp CF,即\overrightarrow{BM}\perp \overrightarrow{CF}，\therefore -1\times 2+a\times 2a=0,\therefore a=1,\therefore \overrightarrow{EA}=(2,0,-2),\overrightarrow{AF}=(0,2,2).设平面EAF的法向量为m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EA}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x-2z=0,\\ 2y+2z=0.\end{matrix}\right.\therefore m=(1,-1,1).\because BF\parallel DE,DE\perp 平面ABCD,\therefore BF\perp 平面ABCD.又DA\subset 平面ABCD，\therefore BF\perp DA,又DA\perp AB,BF\cap AB=B,\therefore DA\perp 平面AFB,\therefore 平面AFB的一个法向量为\overrightarrow{DA}=(2，0，0).\because \\cos  \langle m,\overrightarrow{DA}\rangle =\frac{2}{\sqrt{1+1+1} \times 2}=\frac{\sqrt{3}}{3},由图可知二面角E-AF-B为钝二面角，\therefore 二面角E-AF-B的余弦值为-\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610167754301443/img/compression/M_c9f25fd1d7bf956fa63d3e301366afaa.jpg)
$(1)证明：PA\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：取AD的中点O，连接OP，OE，\because EA=ED，且O是AD的中点，\therefore EO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，EO\subset 平面ABCD，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610168396029953/img/compression/M_a06c078b98da6090bb38d391f68489c9.jpg)$\therefore EO\perp 平面PAD，\because PA\subset 平面PAD，\therefore EO\perp PA，又\because EO\parallel BD，\therefore PA\perp BD，又PA\perp PD，BD\cap PD=D，PD，BD\subset 平面PBD，\therefore PA\perp 平面PBD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.$<img_2943>
$(1)证明：PA\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：取AD的中点O，连接OP，OE，\because EA=ED，且O是AD的中点，\therefore EO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，EO\subset 平面ABCD，$<img_2542>$\therefore EO\perp 平面PAD，\because PA\subset 平面PAD，\therefore EO\perp PA，又\because EO\parallel BD，\therefore PA\perp BD，又PA\perp PD，BD\cap PD=D，PD，BD\subset 平面PBD，\therefore PA\perp 平面PBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610167754301443/img/compression/M_c9f25fd1d7bf956fa63d3e301366afaa.jpg)
$(2)若AB=4\sqrt{2}，求点C到平面PDE的距离.$

Solution:
$\because EO\perp AD，BD\parallel EO，\therefore BD\perp AD.在Rt\triangle ABD中，AB=4\sqrt{2}，AD=4，\therefore BD=4，DE=2\sqrt{2}.连接PE.\because PA=PD，O是AD的中点，\therefore PO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，\because OE\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp OE.在Rt\triangle POE中，PO=OE=2，\therefore PE=2\sqrt{2}.在\triangle PDE中，PD=PE=DE=2\sqrt{2}，\therefore S_{\triangle PDE}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.设点C到平面PDE的距离为h，\because DE\perp AB，AB\parallel CD，\therefore DE\perp CD，\therefore S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=8，\because PO\perp 底面ABCD，\therefore 三棱锥P-CDE的高为PO=2，由等体积法得\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}h=\frac{1}{3}\times 8\times 2，解得h=\frac{8\sqrt{3}}{3}.故点C到平面PDE的距离为\frac{8\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.$<img_2943>
$(2)若AB=4\sqrt{2}，求点C到平面PDE的距离.$

Solution:
$\because EO\perp AD，BD\parallel EO，\therefore BD\perp AD.在Rt\triangle ABD中，AB=4\sqrt{2}，AD=4，\therefore BD=4，DE=2\sqrt{2}.连接PE.\because PA=PD，O是AD的中点，\therefore PO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，\because OE\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp OE.在Rt\triangle POE中，PO=OE=2，\therefore PE=2\sqrt{2}.在\triangle PDE中，PD=PE=DE=2\sqrt{2}，\therefore S_{\triangle PDE}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.设点C到平面PDE的距离为h，\because DE\perp AB，AB\parallel CD，\therefore DE\perp CD，\therefore S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=8，\because PO\perp 底面ABCD，\therefore 三棱锥P-CDE的高为PO=2，由等体积法得\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}h=\frac{1}{3}\times 8\times 2，解得h=\frac{8\sqrt{3}}{3}.故点C到平面PDE的距离为\frac{8\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610238911787013/img/compression/M_07d87029d68c20fa3861e7cbb629f210.jpg)
$(1)求证：QB\perp 平面EAC；$

Solution:
$证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp BD.连接OQ，因为四棱锥Q-ABCD是正四棱锥，所以OQ\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以OQ\perp AC，因为OQ\cap BD=O，所以AC\perp 平面QBD，因为BQ\subset 平面QBD，所以AC\perp BQ.延长QO与PB交于点F，因为PD\perp 平面ABCD，DQ\perp 平面ABCD，所以PD\parallel QO，因为O为BD的中点，所以F为PB的中点，则OF=\frac{1}{2}PD=2，又OQ=4，OB=2\sqrt{2}，所以QF=6，BF^{2}=OF^{2}+OB^{2}=2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=12，QB^{2}=OQ^{2}+OB^{2}=4^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=24，所以BF^{2}+QB^{2}=QF^{2}，所以QB\perp BF.连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以OE\parallel BF，所以QB\perp OE，因为OE\cap AC=O，所以QB\perp 平面EAC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610239700316161/img/compression/M_5ab6c8e3d3412d7cac0ccb2eae228636.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$<img_2312>
$(1)求证：QB\perp 平面EAC；$

Solution:
$证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp BD.连接OQ，因为四棱锥Q-ABCD是正四棱锥，所以OQ\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以OQ\perp AC，因为OQ\cap BD=O，所以AC\perp 平面QBD，因为BQ\subset 平面QBD，所以AC\perp BQ.延长QO与PB交于点F，因为PD\perp 平面ABCD，DQ\perp 平面ABCD，所以PD\parallel QO，因为O为BD的中点，所以F为PB的中点，则OF=\frac{1}{2}PD=2，又OQ=4，OB=2\sqrt{2}，所以QF=6，BF^{2}=OF^{2}+OB^{2}=2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=12，QB^{2}=OQ^{2}+OB^{2}=4^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=24，所以BF^{2}+QB^{2}=QF^{2}，所以QB\perp BF.连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以OE\parallel BF，所以QB\perp OE，因为OE\cap AC=O，所以QB\perp 平面EAC.$<img_2068>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$<img_2312>
$(2)求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，B(4,4,0)，Q(2,2,-4)，所以\overrightarrow{AC}=(-4,4,0)，\overrightarrow{AP}=(-4,0,4)，\overrightarrow{AB}=(0,4,0)，\overrightarrow{AQ}=(-2,2,-4)．设平面PAC的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-4x_1+4y_1=0,\\ -4x_1+4z_1=0,\end{matrix}\right.取z_{1}=1，得n=(1,1,1)．设平面QAB的法向量为m=(x_{2},y_{2},z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AQ}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}4y_2=0,\\ -2x_2+2y_2-4z_2=0,\end{matrix}\right.取z_{2}=1，得m=(-2,0,1)．设平面PAC与平面QAB所成锐二面角的大小为\theta ，则\\cos   \theta =\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|1 \times (-2)+1 \times 0+1 \times 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \times \sqrt{{(-2)}^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{15}}{15}，所以平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}．$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610238911787013/img/compression/M_07d87029d68c20fa3861e7cbb629f210.jpg)
$(2)求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，B(4,4,0)，Q(2,2,-4)，所以\overrightarrow{AC}=(-4,4,0)，\overrightarrow{AP}=(-4,0,4)，\overrightarrow{AB}=(0,4,0)，\overrightarrow{AQ}=(-2,2,-4)．设平面PAC的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-4x_1+4y_1=0,\\ -4x_1+4z_1=0,\end{matrix}\right.取z_{1}=1，得n=(1,1,1)．设平面QAB的法向量为m=(x_{2},y_{2},z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AQ}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}4y_2=0,\\ -2x_2+2y_2-4z_2=0,\end{matrix}\right.取z_{2}=1，得m=(-2,0,1)．设平面PAC与平面QAB所成锐二面角的大小为\theta ，则\\cos   \theta =\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|1 \times (-2)+1 \times 0+1 \times 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \times \sqrt{{(-2)}^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{15}}{15}，所以平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}．$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610315843710977/img/compression/M_c8227c5be575c3e120e4a3c2de3234a9.jpg)
$(1)求证：AM\parallel 平面SCD；$

Solution:
$因为SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，以向量\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AS}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)，所以\overrightarrow{AM}=(0,1,1)，\overrightarrow{SD}=(1,0,-2)，\overrightarrow{CD}=(-1,-2,0).证明：设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{SD} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{CD} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x-2z=0,\\ -x-2y=0,\end{matrix}\right.令z＝1，则x＝2，y＝-1，则n=(2,-1,1).因此\overrightarrow{AM}\cdot n=-1+1=0，从而\overrightarrow{AM}\perp n,又AM\not\subset 平面SCD，所以AM\parallel 平面SCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．$<img_2178>
$(1)求证：AM\parallel 平面SCD；$

Solution:
$因为SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，以向量\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AS}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)，所以\overrightarrow{AM}=(0,1,1)，\overrightarrow{SD}=(1,0,-2)，\overrightarrow{CD}=(-1,-2,0).证明：设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{SD} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{CD} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x-2z=0,\\ -x-2y=0,\end{matrix}\right.令z＝1，则x＝2，y＝-1，则n=(2,-1,1).因此\overrightarrow{AM}\cdot n=-1+1=0，从而\overrightarrow{AM}\perp n,又AM\not\subset 平面SCD，所以AM\parallel 平面SCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610315843710977/img/compression/M_c8227c5be575c3e120e4a3c2de3234a9.jpg)
$(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$易知平面SAB的一个法向量为n_{1}=(1,0,0)，由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1)，则\\cos  \langle n,n_{1}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n}_1}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{n}_1|}=\frac{2}{\sqrt{6} \times 1}=\frac{\sqrt{6}}{3}，所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610315843710977/img/compression/M_699ac162ef97d92299da056ad6d51d75.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．$<img_2178>
$(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.$

Solution:
$易知平面SAB的一个法向量为n_{1}=(1,0,0)，由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1)，则\\cos  \langle n,n_{1}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n}_1}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{n}_1|}=\frac{2}{\sqrt{6} \times 1}=\frac{\sqrt{6}}{3}，所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$<img_3018>

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,PA=AB，点E在棱PD上，且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610317882142723/img/compression/M_3228dc63c80f6b1994d83090ade40bc4.jpg)
$(1)若F是棱PC的中点，求证：PB\parallel 平面AEF；$

Solution:
$因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.不妨设PA=AB=6，则B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).证明：\overrightarrow{AE}=(0,2,4),因为F是棱PC的中点，所以F(3,3,3)，所以\overrightarrow{AF}=(3,3,3).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，则由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2y+4z=0,\\ 3x+3y+3z=0,\end{matrix}\right.不妨令y=2，则x=-1,z=-1，所以m=(-1,2,-1)，又\overrightarrow{PB}=(6,0,-6)，所以m\cdot \overrightarrow{PB}=-6＋0+6=0，即m\perp \overrightarrow{PB}，又PB\not\subset 平面AEF,所以PB\parallel 平面AEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,PA=AB，点E在棱PD上，且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).$<img_2835>
$(1)若F是棱PC的中点，求证：PB\parallel 平面AEF；$

Solution:
$因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.不妨设PA=AB=6，则B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).证明：\overrightarrow{AE}=(0,2,4),因为F是棱PC的中点，所以F(3,3,3)，所以\overrightarrow{AF}=(3,3,3).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，则由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2y+4z=0,\\ 3x+3y+3z=0,\end{matrix}\right.不妨令y=2，则x=-1,z=-1，所以m=(-1,2,-1)，又\overrightarrow{PB}=(6,0,-6)，所以m\cdot \overrightarrow{PB}=-6＋0+6=0，即m\perp \overrightarrow{PB}，又PB\not\subset 平面AEF,所以PB\parallel 平面AEF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,PA=AB，点E在棱PD上，且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610317882142723/img/compression/M_3228dc63c80f6b1994d83090ade40bc4.jpg)
$(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$\overrightarrow{PC}=(6,6,-6)，设PA与平面AEF所成的角为\theta ，\overrightarrow{PF}=\lambda \overrightarrow{PC}=(6\lambda ,6\lambda ,-6\lambda )，0<\lambda <1,则\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{AP}+\lambda \overrightarrow{PC}=(6\lambda ,6\lambda ,6-6\lambda )，设平面AEF的法向量为n=(a,b,c)，则由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2b+4c=0,\\ 6\lambda a+6\lambda b+(6-6\lambda )c=0,\end{matrix}\right.不妨令b=2，则a=\frac{1}{\lambda }-3,c=-1，所以n=\left(\frac{1}{\lambda }-3,2,-1\right)，又\overrightarrow{AP}=(0,0,6)，所以\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AP},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AP}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{6}{6\sqrt{5+{\left(\frac{1}{\lambda }-3\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5+{\left(\frac{1}{\lambda }-3\right)}^2}}，所以当\frac{1}{\lambda }=3,即\lambda =\frac{1}{3}时，(\\sin   \theta )_{max}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，故PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610317882142723/img/compression/M_2ba173f96d12ed209def825a7fe543db.jpg)

Final answer: $当\lambda = \frac{1}{3}时，(\sin  \theta)_{max} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA\perp 底面ABCD,PA=AB，点E在棱PD上，且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).$<img_2835>
$(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$\overrightarrow{PC}=(6,6,-6)，设PA与平面AEF所成的角为\theta ，\overrightarrow{PF}=\lambda \overrightarrow{PC}=(6\lambda ,6\lambda ,-6\lambda )，0<\lambda <1,则\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{AP}+\lambda \overrightarrow{PC}=(6\lambda ,6\lambda ,6-6\lambda )，设平面AEF的法向量为n=(a,b,c)，则由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AF}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2b+4c=0,\\ 6\lambda a+6\lambda b+(6-6\lambda )c=0,\end{matrix}\right.不妨令b=2，则a=\frac{1}{\lambda }-3,c=-1，所以n=\left(\frac{1}{\lambda }-3,2,-1\right)，又\overrightarrow{AP}=(0,0,6)，所以\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{AP},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AP}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{6}{6\sqrt{5+{\left(\frac{1}{\lambda }-3\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5+{\left(\frac{1}{\lambda }-3\right)}^2}}，所以当\frac{1}{\lambda }=3,即\lambda =\frac{1}{3}时，(\\sin   \theta )_{max}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，故PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$<img_2296>



Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610319115268098/img/compression/M_396c87fdfbd9da28708a0f7793e6769d.jpg)
$(1)求证：MN\parallel 平面BDE；$

Solution:
$如图，以A为原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AP}的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).证明：\overrightarrow{DE}=(0，2，0)，\overrightarrow{DB}=(2，0，-2).设n=(x_{0},y_{0},z_{0})为平面BDE的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DE}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_0=0,\\ 2x_0-2z_0=0.\end{matrix}\right.不妨设z_{0}=1,可得n=(1,0,1).又\overrightarrow{MN}=(1，2，-1)，可得\overrightarrow{MN}\cdot n=0.因为MN\not\subset 平面BDE，所以MN\parallel 平面BDE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$<img_1564>
$(1)求证：MN\parallel 平面BDE；$

Solution:
$如图，以A为原点，分别以\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AP}的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).证明：\overrightarrow{DE}=(0，2，0)，\overrightarrow{DB}=(2，0，-2).设n=(x_{0},y_{0},z_{0})为平面BDE的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DE}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DB}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_0=0,\\ 2x_0-2z_0=0.\end{matrix}\right.不妨设z_{0}=1,可得n=(1,0,1).又\overrightarrow{MN}=(1，2，-1)，可得\overrightarrow{MN}\cdot n=0.因为MN\not\subset 平面BDE，所以MN\parallel 平面BDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610319115268098/img/compression/M_396c87fdfbd9da28708a0f7793e6769d.jpg)
$(2)求二面角C-EM-N的正弦值；$

Solution:
$易知n_{1}=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n_{2}=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{EM}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{MN}=0.\end{matrix}\right.因为\overrightarrow{EM}=(0，-2，-1)，\overrightarrow{MN}=(1,2,-1),所以\left\{\begin{matrix}-2y-z=0,\\ x+2y-z=0.\end{matrix}\right.不妨设y=1,可得n_{2}=(-4,1,-2).因此有\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=-\frac{4}{\sqrt{21}},于是\\sin  \langle n_{1}，n_{2}\rangle =\frac{\sqrt{105}}{21}.所以二面角C-EM-N的正弦值为\frac{\sqrt{105}}{21}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{105}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$<img_1564>
$(2)求二面角C-EM-N的正弦值；$

Solution:
$易知n_{1}=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n_{2}=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{EM}=0,\\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{MN}=0.\end{matrix}\right.因为\overrightarrow{EM}=(0，-2，-1)，\overrightarrow{MN}=(1,2,-1),所以\left\{\begin{matrix}-2y-z=0,\\ x+2y-z=0.\end{matrix}\right.不妨设y=1,可得n_{2}=(-4,1,-2).因此有\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=-\frac{4}{\sqrt{21}},于是\\sin  \langle n_{1}，n_{2}\rangle =\frac{\sqrt{105}}{21}.所以二面角C-EM-N的正弦值为\frac{\sqrt{105}}{21}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{105}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp 底面ABC，\angle BAC=90^\circ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.$<img_1564>
$(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为\frac{\sqrt{7}}{21}，求线段AH的长.$

Solution:
$\overrightarrow{BE}=(-2，2，2).依题意，设AH=h(0\leq h\leq 4),则H(0,0,h),进而可得\overrightarrow{NH}=(-1，-2，h),由已知，得|\\cos  \langle \overrightarrow{NH}，\overrightarrow{BE}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{NH} \cdot \overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{NH}||\overrightarrow{BE}|}=\frac{|2h-2|}{\sqrt{h^2+5} \times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}}{21},整理得10h^{2}-21h+8=0,解得h=\frac{8}{5}或h=\frac{1}{2}.所以线段AH的长为\frac{8}{5}或\frac{1}{2}.$<img_1538>

Final answer: $\frac{8}{5}, \frac{1}{2}$