di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图,绝缘水平桌面上带电荷量为Q(Q > 0)的小球甲固定于A点,另一个带电荷量为q的有孔小球乙套在固定的绝缘竖直细杆上,且恰能静止于B点，杆上O点与A等高，AO=d，\angle OAB=\alpha=30^\circ 。静电力常量为k,重力加速度大小为g，不计摩擦力和空气阻力,小球视为质点且电荷量不变。$

<img_1091>
$指出小球乙带哪种电荷，求出小球乙的质量m;$

Solution:
小球乙在B点受重力、弹力和电场力这三个力作用平衡,故小球甲、乙间的电场力为引力,所以小球乙带负电



$由平衡条件得k\frac{Qq}{\left(\frac{d}{\cos \alpha }\right)^2} \sin \alpha =mg$



$解得m=\frac{kQq \sin \alpha \cos^2\alpha }{gd^2}=\frac{3kQq}{8gd^2}$



Final answer: $\frac{3kQq}{8gd^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图为某个有奖挑战项目的示意图,挑战者压缩弹簧将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后,弹丸水平击中平台边缘B处质量m_1=0.3 kg的滑块或质量m_2=0.2 kg的“L”形薄板,只要薄板能撞上P处的玩具小熊就算挑战成功。已知弹丸抛射角\theta =53^\circ ,B与A的高度差h=\frac{20}{9} m,B与P处的小熊相距s=2.2 m,薄板长度L=0.9 m,最初滑块在薄板的最左端;滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5,薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3,最大静摩擦力等于滑动摩擦力;薄板厚度不计,弹丸和滑块都视为质点,所有碰撞过程的时间和外力影响均不计,重力加速度g=10 m/s^2,\sin 53^\circ =0.8。$

<img_1450>
求A、B间的水平距离x;

Solution:
$设弹丸到达B处的速率为v_0, 弹丸从A到B可视为平抛运动的逆过程。  $
$由运动学规律有h= \frac{1}{2}gt^2, x=v_0t  $


$又 \tan \theta = \frac{gt}{v_0}  $


$将h= \frac{20}{9} m、\theta =53^\circ  代入,解得  $
$t= \frac{2}{3} s，v_0=5 m/s, x= \frac{10}{3} m  $

Final answer: $\frac{10}{3} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图为某个有奖挑战项目的示意图,挑战者压缩弹簧将质量m_0=0.3 kg的弹丸从筒口A斜向上弹出后,弹丸水平击中平台边缘B处质量m_1=0.3 kg的滑块或质量m_2=0.2 kg的“L”形薄板,只要薄板能撞上P处的玩具小熊就算挑战成功。已知弹丸抛射角\theta =53^\circ ,B与A的高度差h=\frac{20}{9} m,B与P处的小熊相距s=2.2 m,薄板长度L=0.9 m,最初滑块在薄板的最左端;滑块与薄板间的动摩擦因数\mu _1=0.5,薄板与平台间的动摩擦因数\mu _2=0.3,最大静摩擦力等于滑动摩擦力;薄板厚度不计,弹丸和滑块都视为质点,所有碰撞过程的时间和外力影响均不计,重力加速度g=10 m/s^2,\sin 53^\circ =0.8。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625140974874626/img/compression/M_7cdb01f4d9f746b07265960eeaf5517e.jpg)
求A、B间的水平距离x;

Solution:
$设弹丸到达B处的速率为v_0, 弹丸从A到B可视为平抛运动的逆过程。  $
$由运动学规律有h= \frac{1}{2}gt^2, x=v_0t  $


$又 \tan \theta = \frac{gt}{v_0}  $


$将h= \frac{20}{9} m、\theta =53^\circ  代入,解得  $
$t= \frac{2}{3} s，v_0=5 m/s, x= \frac{10}{3} m  $

Final answer: $\frac{10}{3} m$
Subfield: Thermodynamics


Question: $竖直放置的导热薄壁汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定质量的理想气体，两活塞用一轻杆连接，活塞Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，面积分别为S、2S。初始时活塞Ⅰ上面放置质量为2m的物块M，系统处于平衡状态，活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为h、活塞Ⅱ到汽缸连接处的距离为2h，如图所示。已知活塞外大气压强为p_0，活塞外温度恒定，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计轻杆的体积。若p_0S=10mg，求：$

<img_1346>
汽缸内理想气体的压强与大气压强的比值；

Solution:
$设汽缸内理想气体的压强为p_1，对系统整体，由平衡条件可得$

$2mg+mg+mg+p_0S+p_1\cdot 2S=p_1\cdot S+p_0\cdot 2S$

$解得p_1S=6mg，$

$p_1=\frac{6mg}{S}$

$结合p_0S=10mg可得\frac{p_1}{p_0}=\frac{3}{5}$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $竖直放置的导热薄壁汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定质量的理想气体，两活塞用一轻杆连接，活塞Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，面积分别为S、2S。初始时活塞Ⅰ上面放置质量为2m的物块M，系统处于平衡状态，活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为h、活塞Ⅱ到汽缸连接处的距离为2h，如图所示。已知活塞外大气压强为p_0，活塞外温度恒定，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计轻杆的体积。若p_0S=10mg，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625236746235908/img/compression/M_5e61aa25e8b26bb57730c6ab33cd688c.jpg)
汽缸内理想气体的压强与大气压强的比值；

Solution:
$设汽缸内理想气体的压强为p_1，对系统整体，由平衡条件可得$

$2mg+mg+mg+p_0S+p_1\cdot 2S=p_1\cdot S+p_0\cdot 2S$

$解得p_1S=6mg，$

$p_1=\frac{6mg}{S}$

$结合p_0S=10mg可得\frac{p_1}{p_0}=\frac{3}{5}$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $竖直放置的导热薄壁汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定质量的理想气体，两活塞用一轻杆连接，活塞Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，面积分别为S、2S。初始时活塞Ⅰ上面放置质量为2m的物块M，系统处于平衡状态，活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为h、活塞Ⅱ到汽缸连接处的距离为2h，如图所示。已知活塞外大气压强为p_0，活塞外温度恒定，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计轻杆的体积。若p_0S=10mg，求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625236746235908/img/compression/M_5e61aa25e8b26bb57730c6ab33cd688c.jpg)
轻轻拿走活塞Ⅰ上面放置的物块，待系统稳定时活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离。

Solution:
$轻轻拿走活塞Ⅰ上面放置的物块，待系统稳定时，设汽缸内气体的压强为p_2，对系统整体根据平衡条件可得mg + mg + p_0S + p_2\cdot 2S=p_2\cdot S + p_0\cdot 2S。解得p_2= 8mg/S。$

$根据题意可知汽缸导热且活塞外温度恒定，根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，解得V_2= 3/4 V_1。根据题意可得V_1=Sh + 2S\times 2h=5Sh。则V_2= 15/4 Sh。设活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为L，根据几何关系有 2S(3h-L)+SL =15/4 Sh。解得L= 9/4 h。$

Final answer: $\frac{9}{4}h$
Subfield: Thermodynamics


Question: $竖直放置的导热薄壁汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定质量的理想气体，两活塞用一轻杆连接，活塞Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，面积分别为S、2S。初始时活塞Ⅰ上面放置质量为2m的物块M，系统处于平衡状态，活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为h、活塞Ⅱ到汽缸连接处的距离为2h，如图所示。已知活塞外大气压强为p_0，活塞外温度恒定，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计轻杆的体积。若p_0S=10mg，求：$

<img_1346>
轻轻拿走活塞Ⅰ上面放置的物块，待系统稳定时活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离。

Solution:
$轻轻拿走活塞Ⅰ上面放置的物块，待系统稳定时，设汽缸内气体的压强为p_2，对系统整体根据平衡条件可得mg + mg + p_0S + p_2\cdot 2S=p_2\cdot S + p_0\cdot 2S。解得p_2= 8mg/S。$

$根据题意可知汽缸导热且活塞外温度恒定，根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，解得V_2= 3/4 V_1。根据题意可得V_1=Sh + 2S\times 2h=5Sh。则V_2= 15/4 Sh。设活塞Ⅰ到汽缸连接处的距离为L，根据几何关系有 2S(3h-L)+SL =15/4 Sh。解得L= 9/4 h。$

Final answer: $\frac{9}{4}h$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，长度L=0.8 m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为Q_{A}=+4.0\times 10^{-6} C的点电荷A，一质量为m=0.04 kg、带电荷量为q=+2.0\times 10^{-7} C的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x\geq 0.40 m 范围可近似看作直线。求：$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237132111874/img/compression/M_da2be2d34d8f70c7bce2ed90d99f4a6f.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237132111874/img/compression/M_cb7d3c57a75860fcdcb3b62f741dcab3.jpg)
小球B在x=0.30 m处受到外电场对它沿杆方向的电场力F的大小和外电场在该点沿杆方向的电场强度E的大小；

Solution:
$根据题意，设小球B在x=0.30 m处受到点电荷A对它的作用力为F_1，外电场对它沿杆方向的作用力为F，合力为F合，则有F合=F_1+F$

结合图像信息可得F=-0.14 N

$即小球B在x=0.30 m处受到的外电场对它沿杆方向的电场力F的大小为0.14 N，方向水平向左，根据电场强度定义式可得E=\frac{|F|}{q}=7\times 10^5 N/C，方向水平向左。$

Final answer: $0.14 N，方向水平向左　7\times 10^5 N/C，方向水平向左$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，长度L=0.8 m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为Q_{A}=+4.0\times 10^{-6} C的点电荷A，一质量为m=0.04 kg、带电荷量为q=+2.0\times 10^{-7} C的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x\geq 0.40 m 范围可近似看作直线。求：$

<img_689>

<img_683>
小球B在x=0.30 m处受到外电场对它沿杆方向的电场力F的大小；

Solution:
$根据题意，设小球B在x=0.30 m处受到点电荷A对它的作用力为F_1，外电场对它沿杆方向的作用力为F，合力为F合，则有F合=F_1+F$

结合图像信息可得F=-0.14 N

$即小球B在x=0.30 m处受到的外电场对它沿杆方向的电场力F的大小为0.14 N，方向水平向左，根据电场强度定义式可得E=\frac{|F|}{q}=7\times 10^5 N/C，方向水平向左。$



Final answer: $0.14 $ N
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，长度L=0.8 m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为Q_{A}=+4.0\times 10^{-6} C的点电荷A，一质量为m=0.04 kg、带电荷量为q=+2.0\times 10^{-7} C的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x\geq 0.40 m 范围可近似看作直线。求：$

<img_689>

<img_683>
$已知小球在x=0.20 m处获得水平向右的初速度v=0.20 m/s时，最远可以运动到x=0.40 m。若小球在x=0.20 m处受到方向向右、大小为0.02 N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开杆，恒力作用的最小距离s是多少？$

Solution:
$由题意知小球从x=0.20m处到x=0.40m处，电场力做的总功为W_1=0-\frac{1}{2}mv^2=-8\times 10^{-4}J $

$根据题图(b)中曲线Ⅱ围成的“面积”表示合力对小球B做的功，小球从x=0.40m到x=0.80m处，电场力做的总功为W_2=-0.02\times 0.4J=-8\times 10^{-3}J $

$由动能定理有W_1+W_2+F_{恒}s=0 $

$解得s=0.44m$

Final answer: 0.44 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，长度L=0.8 m的光滑绝缘细杆左端固定一带电荷量为Q_{A}=+4.0\times 10^{-6} C的点电荷A，一质量为m=0.04 kg、带电荷量为q=+2.0\times 10^{-7} C的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图(b)中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x\geq 0.40 m 范围可近似看作直线。求：$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237132111874/img/compression/M_da2be2d34d8f70c7bce2ed90d99f4a6f.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237132111874/img/compression/M_cb7d3c57a75860fcdcb3b62f741dcab3.jpg)
$已知小球在x=0.20 m处获得水平向右的初速度v=0.20 m/s时，最远可以运动到x=0.40 m。若小球在x=0.20 m处受到方向向右、大小为0.02 N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开杆，恒力作用的最小距离s是多少？$

Solution:
$由题意知小球从x=0.20m处到x=0.40m处，电场力做的总功为W_1=0-\frac{1}{2}mv^2=-8\times 10^{-4}J $

$根据题图(b)中曲线Ⅱ围成的“面积”表示合力对小球B做的功，小球从x=0.40m到x=0.80m处，电场力做的总功为W_2=-0.02\times 0.4J=-8\times 10^{-3}J $

$由动能定理有W_1+W_2+F_{恒}s=0 $

$解得s=0.44m$

Final answer: 0.44 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237845143556/img/compression/M_6bae848f0eb365213d66e7176962f772.jpg)
求物块在A点时弹簧具有的弹性势能；

Solution:
$ 设弹簧的弹性势能为E_p，在物块从A点到B点的过程中，由动能定理得E_p-\mu mgx=\frac{1}{2}mv^2_0 代入数据解得E_p=1.1 \text{J}$

Final answer: 1.1 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

<img_793>
求物块在A点时弹簧具有的弹性势能；

Solution:
$ 设弹簧的弹性势能为E_p，在物块从A点到B点的过程中，由动能定理得E_p-\mu mgx=\frac{1}{2}mv^2_0 代入数据解得E_p=1.1 \text{J}$

Final answer: 1.1 J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237845143556/img/compression/M_6bae848f0eb365213d66e7176962f772.jpg)
求物块上升的最大高度；

Solution:
$因为B点右侧地面光滑，以物块和圆弧轨道组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，则mv_0=(M+m)v_{共}$
$\frac{1}{2}mv^2_0=\frac{1}{2}(M+m)v^2_{共}+mgh$
解得h=0.15 m

Final answer: 0.15 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

<img_793>
求物块上升的最大高度；

Solution:
$因为B点右侧地面光滑，以物块和圆弧轨道组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，则mv_0=(M+m)v_{共}$
$\frac{1}{2}mv^2_0=\frac{1}{2}(M+m)v^2_{共}+mgh$
解得h=0.15 m

Final answer: 0.15 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

<img_793>
$使该物块质量变为m_1=0.1 kg，仍由A点静止释放，物块离开圆弧轨道D点时受到一垂直纸面向里的瞬时冲量I=0.20 N\cdot s，并同时利用锁定装置让圆弧轨道瞬间停下，求物块离开轨道后运动轨迹的最高点到D点的距离。$

$使该物块质量变为m_1=0.1kg，仍由A点静止释放，物块离开圆弧轨道D点时受到一垂直纸面向里的瞬时冲量I=0.20N\cdot s，并同时利用锁定装置让圆弧轨道瞬间停下，求物块离开轨道后运动轨迹的最高点到D点的距离。$

Solution:
$设质量为m_1的物块到达B点时的速度为v_0'，在物块从A点到B点的过程中，由动能定理得$
$E_p -\mu m_1gx=\frac{1}{2}m_1v_0'^2$

$物块到达D点时在水平方向上与圆弧轨道共速$
$m_1v_0'= (M + m_1)v_{共}'$
$解得v_0'=2\sqrt{5} m/s$
$v_{共}'=\sqrt{5} m/s$

$设物块到达D点时在竖直方向上的速度为v_{y}，由机械能守恒定律得$
$\frac{1}{2}m_1v_0'^2=\frac{1}{2}(m_1 + M)v_{共}'^2 + \frac{1}{2}m_1v^2_y + m_1gR$
$解得v_{y}=\sqrt{6} m/s$

$物块飞出后在竖直方向上做匀减速运动，设从D点飞出到最高点所用时间为t，t = \frac{v_y}{g}=\frac{\sqrt{6}}{10} s$

$当物块上升到D点时受到一个垂直于纸面向里的冲量，设获得的速度为v_{z}，由动量定理可知I=m_1v_{z}$

$以物块飞出时D点所在的位置为坐标原点，以水平向右为x轴，竖直向上为y轴，垂直于纸面向里为z轴，则在时间t内各方向的位移分别为$
$x=v_{共}'t$
$y=\frac{{v^2_y}}{2g}$
$z=v_{z}t$
$则最高点到D点的距离s=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$代入数据解得s=\frac{3\sqrt{7}}{10} m$

Final answer: $\frac{3\sqrt{7}}{10} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一质量M=0.10 kg、半径R=0.20 m的四分之一光滑圆弧轨道CED(厚度不计)静置于水平地面上，圆弧轨道底端C与水平面上的B点平滑相接，O点为圆弧轨道圆心。用质量为m=0.20 kg的物块把弹簧的右端压缩到A点由静止释放(物块与弹簧不拴接)，物块到达B点时的速度为v_0=3 m/s。已知B点左侧地面粗糙，物块与地面间的动摩擦因数为\mu =0.1，A、B之间的距离为x=1 m，B点右侧地面光滑，g取10 m/s^2。$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625237845143556/img/compression/M_6bae848f0eb365213d66e7176962f772.jpg)
$使该物块质量变为m_1=0.1 kg，仍由A点静止释放，物块离开圆弧轨道D点时受到一垂直纸面向里的瞬时冲量I=0.20 N\cdot s，并同时利用锁定装置让圆弧轨道瞬间停下，求物块离开轨道后运动轨迹的最高点到D点的距离。$

$使该物块质量变为m_1=0.1kg，仍由A点静止释放，物块离开圆弧轨道D点时受到一垂直纸面向里的瞬时冲量I=0.20N\cdot s，并同时利用锁定装置让圆弧轨道瞬间停下，求物块离开轨道后运动轨迹的最高点到D点的距离。$

Solution:
$设质量为m_1的物块到达B点时的速度为v_0'，在物块从A点到B点的过程中，由动能定理得$
$E_p -\mu m_1gx=\frac{1}{2}m_1v_0'^2$

$物块到达D点时在水平方向上与圆弧轨道共速$
$m_1v_0'= (M + m_1)v_{共}'$
$解得v_0'=2\sqrt{5} m/s$
$v_{共}'=\sqrt{5} m/s$

$设物块到达D点时在竖直方向上的速度为v_{y}，由机械能守恒定律得$
$\frac{1}{2}m_1v_0'^2=\frac{1}{2}(m_1 + M)v_{共}'^2 + \frac{1}{2}m_1v^2_y + m_1gR$
$解得v_{y}=\sqrt{6} m/s$

$物块飞出后在竖直方向上做匀减速运动，设从D点飞出到最高点所用时间为t，t = \frac{v_y}{g}=\frac{\sqrt{6}}{10} s$

$当物块上升到D点时受到一个垂直于纸面向里的冲量，设获得的速度为v_{z}，由动量定理可知I=m_1v_{z}$

$以物块飞出时D点所在的位置为坐标原点，以水平向右为x轴，竖直向上为y轴，垂直于纸面向里为z轴，则在时间t内各方向的位移分别为$
$x=v_{共}'t$
$y=\frac{{v^2_y}}{2g}$
$z=v_{z}t$
$则最高点到D点的距离s=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$代入数据解得s=\frac{3\sqrt{7}}{10} m$

Final answer: $\frac{3\sqrt{7}}{10} m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

![24BXGK5WL606.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269155622914/img/compression/M_990f11b2fd78eb0ca772d80a88e9624f.jpg)
$求虚线AB上方匀强电场E_1的电场强度大小。$

Solution:
$小球释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从A点沿切线方向进入圆管，则此时速度方向与竖直方向的夹角为45^\circ ，即加速度方向与竖直方向的夹角为45^\circ ，则\tan 45^\circ =\frac{E_1q}{mg}$
$解得E_1=\frac{mg}{q}$

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

<img_1279>
$求虚线AB上方匀强电场E_1的电场强度大小。$

Solution:
$小球释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从A点沿切线方向进入圆管，则此时速度方向与竖直方向的夹角为45^\circ ，即加速度方向与竖直方向的夹角为45^\circ ，则\tan 45^\circ =\frac{E_1q}{mg}$
$解得E_1=\frac{mg}{q}$

Final answer: $\frac{mg}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

![24BXGK5WL606.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269155622914/img/compression/M_990f11b2fd78eb0ca772d80a88e9624f.jpg)
$求小球在ADB管中运动经过D点时对管的压力F_D的大小。$

Solution:
$从P到A的过程，根据动能定理有$

$mgL + E_1qL = \frac{1}{2}mv_A^2 $

$解得v_A = 2 \sqrt{gL} $

$小球在管中运动时有E_2q = mg $

$小球做匀速圆周运动，则v_D = v_A = 2 \sqrt{gL}$

$在D点时，圆管下壁对小球的支持力大小 $

$F = m\frac{v_D^2}{r} = 2\sqrt{2}mg $

$由牛顿第三定律得F_D = F = 2\sqrt{2}mg ，方向竖直向下。$

Final answer: $2\sqrt{2}mg，方向竖直向下$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

<img_1279>
$求小球在ADB管中运动经过D点时对管的压力F_D的大小。$

Solution:
$从P到A的过程，根据动能定理有$

$mgL + E_1qL = \frac{1}{2}mv_A^2 $

$解得v_A = 2 \sqrt{gL} $

$小球在管中运动时有E_2q = mg $

$小球做匀速圆周运动，则v_D = v_A = 2 \sqrt{gL}$

$在D点时，圆管下壁对小球的支持力大小 $

$F = m\frac{v_D^2}{r} = 2\sqrt{2}mg $

$由牛顿第三定律得F_D = F = 2\sqrt{2}mg ，方向竖直向下。$



Final answer: $2\sqrt{2}$ mg
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

![24BXGK5WL606.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269155622914/img/compression/M_990f11b2fd78eb0ca772d80a88e9624f.jpg)
$小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点(图中未标出)，求小球在圆管中运动的时间t_{AB}与运动的总时间t_{PN}之比。$

Solution:
$小球由P点运动到A点的过程做匀加速直线运动，设所用时间为t_1，则\sqrt{2}L=\frac{\sqrt{2}}{2}gt^2_1$

$解得t_1=\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$设小球在圆管内做匀速圆周运动的时间为t_2，则$

$t_2=\frac{\frac{3}{4}\cdot 2\pi r}{v_A}=\frac{3\pi }{4}\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$因为小球离开圆管时的速度方向垂直于合力方向，则小球离开圆管后做类平抛运动，设小球从B点到N点的过程中所用时间为t_3，则x=v_Bt_3$

$y=\frac{1}{2}at^2_3$

$其中v_B=v_A$

$a=\sqrt{2}g$

$由几何关系可知x=y，联立解得t_3=2\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$则\frac{t_{AB}}{t_{PN}}=\frac{t_2}{t_1+t_2+t_3}=\frac{\pi }{4+\pi }$

Final answer: $\frac{\pi }{4+\pi }$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，一内壁光滑的绝缩圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB的长度为2L，圆管的半径r= \sqrt{2} L(圆管的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场E_1；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大、电场强度大小E_2=\frac{mg}{q}的匀强电场。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A处无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知重力加速度大小为g。$

<img_1279>
$小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点(图中未标出)，求小球在圆管中运动的时间t_{AB}与运动的总时间t_{PN}之比。$

Solution:
$小球由P点运动到A点的过程做匀加速直线运动，设所用时间为t_1，则\sqrt{2}L=\frac{\sqrt{2}}{2}gt^2_1$

$解得t_1=\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$设小球在圆管内做匀速圆周运动的时间为t_2，则$

$t_2=\frac{\frac{3}{4}\cdot 2\pi r}{v_A}=\frac{3\pi }{4}\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$因为小球离开圆管时的速度方向垂直于合力方向，则小球离开圆管后做类平抛运动，设小球从B点到N点的过程中所用时间为t_3，则x=v_Bt_3$

$y=\frac{1}{2}at^2_3$

$其中v_B=v_A$

$a=\sqrt{2}g$

$由几何关系可知x=y，联立解得t_3=2\sqrt{\frac{2L}{g}}$

$则\frac{t_{AB}}{t_{PN}}=\frac{t_2}{t_1+t_2+t_3}=\frac{\pi }{4+\pi }$

Final answer: $\frac{\pi }{4+\pi }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269524721666/img/compression/M_91bc797d5752cec0c25cce583cfbc53d.jpg)
物块B的最大速度；

Solution:
$A撞向与B连接的弹簧，弹簧被压缩，压缩量由0变为最大，再由最大变为0；再变为0时，物块A与弹簧分离，只要弹簧处于压缩状态，B就加速，故A与弹簧分离时物块B速度最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 m_A v_0=m_A v_A1+m_B v_B1$
$\frac{1}{2}m\_A v^2_0=\frac{1}{2}m\_A v^2_{A1}+\frac{1}{2}m\_B v^2_{B1}$
$解得 v\_A1=-\frac{v_0}{2}， v\_B1=\frac{v_0}{2}$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

<img_1314>
物块B的最大速度；

Solution:
$A撞向与B连接的弹簧，弹簧被压缩，压缩量由0变为最大，再由最大变为0；再变为0时，物块A与弹簧分离，只要弹簧处于压缩状态，B就加速，故A与弹簧分离时物块B速度最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 m_A v_0=m_A v_A1+m_B v_B1$
$\frac{1}{2}m\_A v^2_0=\frac{1}{2}m\_A v^2_{A1}+\frac{1}{2}m\_B v^2_{B1}$
$解得 v\_A1=-\frac{v_0}{2}， v\_B1=\frac{v_0}{2}$

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

<img_1022>
卡车超过轿车时，卡车比轿车多运动了多少时间；

Solution:
$设轿车和卡车匀加速运动的加速度大小分别为a_1、a_2，当卡车超过轿车时，设轿车和卡车的速度大小分别为v_1、v_2，则轿车和卡车的运动时间分别为$

$t_1=\frac{v_1}{a_1}=2 s$

$t_2=\frac{v_2}{a_2}=8 s$

$卡车比轿车多运动的时间\Delta t=t_2-t_1=6 s$

Final answer: 6 s
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521783812919300/img/compression/M_2e0c4a8f55285f781a9884776afc2753.jpg)
卡车超过轿车时，卡车比轿车多运动了多少时间；

Solution:
$设轿车和卡车匀加速运动的加速度大小分别为a_1、a_2，当卡车超过轿车时，设轿车和卡车的速度大小分别为v_1、v_2，则轿车和卡车的运动时间分别为$

$t_1=\frac{v_1}{a_1}=2 s$

$t_2=\frac{v_2}{a_2}=8 s$

$卡车比轿车多运动的时间\Delta t=t_2-t_1=6 s$

Final answer: 6 s
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

<img_1022>
轿车超过卡车时，卡车的速度大小；

Solution:
$从A、D平齐开始，设经过时间t轿车超过卡车，轿车的位移为x_1，卡车的位移为x_2，则$

$x_1=v_1t+\frac{1}{2}a_1t^2$

$x_2=v_2t+\frac{1}{2}a_2t^2$

$根据位移关系有x_1=x_2+l_{AB}+l_{CD}$

解得t=4 s,t=-2 s(舍去)

此时卡车的速度大小为

$v'_2=v_2+a_2t=24 m/s$

Final answer: 24 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521783812919300/img/compression/M_2e0c4a8f55285f781a9884776afc2753.jpg)
轿车超过卡车时，卡车的速度大小；

Solution:
$从A、D平齐开始，设经过时间t轿车超过卡车，轿车的位移为x_1，卡车的位移为x_2，则$

$x_1=v_1t+\frac{1}{2}a_1t^2$

$x_2=v_2t+\frac{1}{2}a_2t^2$

$根据位移关系有x_1=x_2+l_{AB}+l_{CD}$

解得t=4 s,t=-2 s(舍去)

此时卡车的速度大小为

$v'_2=v_2+a_2t=24 m/s$

Final answer: 24 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521783812919300/img/compression/M_2e0c4a8f55285f781a9884776afc2753.jpg)
轿车超过卡车后，再过15 s，两车车头的距离为多少。

Solution:
轿车超过卡车时的速度为
$v'_1=v_1+a_1t=36 m/s$
$设两车刹车时的加速度大小为a_3，轿车减速到0的时间t_{停}=\frac{v'_1}{a_3}=18 s>15 s，故超过卡车后，t_3=15 s时间内轿车的位移为x'_1=v'_1t_3-\frac{1}{2}a_3t^2_3=315 m$
$卡车的刹车时间为t'_{停}=\frac{v'_2}{a_3}=12 s<15 s$
$则卡车在t_3时间内的位移为x'_2=\frac{v'^2_2}{2a_3}=144 m$
轿车超过卡车后，再过15 s，两车车头的距离为\
$\Delta x=x'_1-x'_2+l_{AB}=176 m$

Final answer: 176 m
Subfield: Mechanics


Question: $轿车(车长l_{AB}=5 m)和卡车(车长l_{CD}=11 m)先后在平直公路上从静止开始匀加速同向行驶，轿车的加速度为6 m/s^2，卡车的加速度为2 m/s^2，当卡车超过轿车时(A、D平齐，如图位置)，轿车的速度为12 m/s，卡车的速度为16 m/s。一段时间后(这段时间内两车一直做匀加速直线运动)轿车超过卡车(B、C平齐)，两车均立即以大小为2 m/s^2的加速度同时刹车，求：$

<img_1022>
轿车超过卡车后，再过15 s，两车车头的距离为多少。

Solution:
轿车超过卡车时的速度为
$v'_1=v_1+a_1t=36 m/s$
$设两车刹车时的加速度大小为a_3，轿车减速到0的时间t_{停}=\frac{v'_1}{a_3}=18 s>15 s，故超过卡车后，t_3=15 s时间内轿车的位移为x'_1=v'_1t_3-\frac{1}{2}a_3t^2_3=315 m$
$卡车的刹车时间为t'_{停}=\frac{v'_2}{a_3}=12 s<15 s$
$则卡车在t_3时间内的位移为x'_2=\frac{v'^2_2}{2a_3}=144 m$
轿车超过卡车后，再过15 s，两车车头的距离为\
$\Delta x=x'_1-x'_2+l_{AB}=176 m$

Final answer: 176 m
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

<img_1425>
小球离开跳板后，向上运动的最大距离是多少；

Solution:
$由题图可知，速度向下为正方向，小球在t_2时刻入水，根据速度-时间图线与时间轴所围的面积表示位移可知，小球入水前向上运动的位移大小为向下运动的位移大小的\frac{1}{9}，设小球上升的位移大小为x，则有$

$\frac{x}{x+3 \mathrm{m}}=\frac{1}{9}$

$解得x=\frac{3}{8} m$

Final answer: \(\frac{3}{8}\) m
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521790031249412/img/compression/M_926e76ff4f5cf690b5abf349dac9635c.jpg)
小球离开跳板后，向上运动的最大距离是多少；

Solution:
$由题图可知，速度向下为正方向，小球在t_2时刻入水，根据速度-时间图线与时间轴所围的面积表示位移可知，小球入水前向上运动的位移大小为向下运动的位移大小的\frac{1}{9}，设小球上升的位移大小为x，则有$

$\frac{x}{x+3 \mathrm{m}}=\frac{1}{9}$

$解得x=\frac{3}{8} m$

Final answer: \(\frac{3}{8}\) m
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

<img_1425>
小球入水时的速度大小为多少；

Solution:
$小球向下运动的位移为h=3 m+\frac{3}{8} m=\frac{27}{8} m$
$设小球入水速度大小为v，根据自由落体运动规律有v^2=2gh$
$解得v=\sqrt{2gh}=\frac{3}{2}\sqrt{30} m/s$

Final answer: $\frac{3}{2}$
$\sqrt{30}m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521790031249412/img/compression/M_926e76ff4f5cf690b5abf349dac9635c.jpg)
小球入水时的速度大小为多少；

Solution:
$小球向下运动的位移为h=3 m+\frac{3}{8} m=\frac{27}{8} m$
$设小球入水速度大小为v，根据自由落体运动规律有v^2=2gh$
$解得v=\sqrt{2gh}=\frac{3}{2}\sqrt{30} m/s$

Final answer: $\frac{3}{2}$
$\sqrt{30}m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $2021年东京奥运会中，中国跳水梦之队表现优异，在男子和女子的单人三米板跳水比赛中，均包揽冠、亚军。现将三米板跳水的情景模拟如下：一可视为质点的小球在跳板上某次“跳水”过程中的速度-时间(v-t)图像如图所示，t=0时刻给小球一个竖直向上的初速度，可视为小球向上“起跳”的瞬间(此时跳板处于平衡位置)，已知跳板到水面的高度为3 m，t_3=5.5t_1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521790031249412/img/compression/M_926e76ff4f5cf690b5abf349dac9635c.jpg)
小球入水的深度为多少。

Solution:
小球入水前做竖直上抛运动，加速度等于重力加速度g，设入水后的加速度大小为a，则有

$g = \frac{v-0}{t_2-t_1} = \frac{v}{3t_1}，$

$a = \frac{v}{t_3-t_2} = \frac{v}{1.5t_1}，$

$则有 a = 2g = 20 m/s^2。$

$根据速度位移关系，小球入水的深度为 h' = \frac{v^2}{2a} = \frac{27}{16} m。$

Final answer: $\frac{27}{16} m$