di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为数列{a_n}的前n项和.已知\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.$
$若a_4，a_7，a_9成等比数列，求S_n的最小值.$

Solution:
$因为 a_4, a_7, a_9 成等比数列，且 a_4 = a_1 + 3, a_7 = a_1 + 6, a_9 = a_1 + 8，$
$所以 a^{2}_{7} = a_4 \cdot a_9，即 (a_1 + 6)^2 = (a_1 + 3)(a_1 + 8)，$
$解得 a_1 = -12，所以等差数列 a_n 的通项公式为 a_n = -12 + (n - 1) \cdot 1 = n - 13，$
$所以 S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{1}{2}n^2 - \frac{25}{2}n = \frac{1}{2}(n - \frac{25}{2})^2 - \frac{625}{8}，$
$因为 n 是自然数，所以当 n = 12 或 n = 13 时， S_n 最小，$
最小值为 -78.

Final answer: $-78$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的首项a_1=\frac{4}{5}，且满足a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+3}，设b_n=\frac{1}{a_n} - 1.$
$若\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} +\ldots + \frac{1}{a_n} >140，求满足条件的最小正整数n.$

Solution:
由(1)得 
$\left(\frac{1}{a_1}-1\right)
+
\left(\frac{1}{a_2}-1\right)
+
\left(\frac{1}{a_3}-1\right)
+\ldots 
+
\left(\frac{1}{a_n}-1\right)$
$=
\frac{\frac{1}{4}\left[1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^n\right]}{1-\frac{3}{4}}$
$=1-
\left(\frac{3}{4}\right)^{n} ，
即
\frac{1}{a_1}
+
\frac{1}{a_2}
+
\frac{1}{a_3}
+\ldots 
+
\frac{1}{a_n}-n=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n} ，$
所以
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_n}= n+1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n} $
因为
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_n}>140，$

$所以 n
+1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n} > 140.
$

$又f(n)=n+1-
\left(\frac{3}{4}\right)^{n} $
$随着n的增大而增大， f(139)<140, f(140)>140,故满足条件的最小正整数n为140.$

Final answer: $140$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．$
<img_3059>
$若PC=PD=CD=2\sqrt{2}，AC=AD=AP=2，求PD与平面EFG所成角的大小．$

Solution:
$因为 PC=PD=CD=2\sqrt{2}，AC=AD=AP=2，所以 AP \perp AD，AP \perp AC, AD \perp AC.$

$又 AD \cap AC = A，AC \subset 平面 ABCD，AD \subset 平面ABCD，$

$所以 AP \perp 平面 ABCD，以 A 为原点，AC，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，$

$则 A(0,0,0)，E(1,-1,0)，F(0,0,1)，G(0,1,1)，P(0,0,2)，D(0,2,0),$

$所以 \overrightarrow{EF}=(-1,1,1)，\overrightarrow{FG}=(0,1,0)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)，$

$设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x_0,y_0,z_0)，$

所以
$$
\begin{align*}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EF}&=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FG}&=0,
\end{align*}
$$
即
$$
\begin{align*}
-x_0+y_0+z_0&=0,\\ 
y_0&=0,
\end{align*}
$$
$取x_0=1，则 \boldsymbol{n}=(-1,0,1)，$

$设 \overrightarrow{PD} 与平面 EFG 所成的角为 \alpha ，$

$则 sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{PD},\boldsymbol{n}\rangle |=\left|\frac{-2}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}}\right|=\frac{1}{2}，$

$则直线 PD 与平面 EFG 所成的角为 \frac{\pi }{6}．$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283913765634051/img/compression/M_2b9715567145d97814d18c86dbc7707f.jpg)
$若PC=PD=CD=2\sqrt{2}，AC=AD=AP=2，求PD与平面EFG所成角的大小．$

Solution:
$因为 PC=PD=CD=2\sqrt{2}，AC=AD=AP=2，所以 AP \perp AD，AP \perp AC, AD \perp AC.$

$又 AD \cap AC = A，AC \subset 平面 ABCD，AD \subset 平面ABCD，$

$所以 AP \perp 平面 ABCD，以 A 为原点，AC，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，$

$则 A(0,0,0)，E(1,-1,0)，F(0,0,1)，G(0,1,1)，P(0,0,2)，D(0,2,0),$

$所以 \overrightarrow{EF}=(-1,1,1)，\overrightarrow{FG}=(0,1,0)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)，$

$设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x_0,y_0,z_0)，$

所以
$$
\begin{align*}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EF}&=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FG}&=0,
\end{align*}
$$
即
$$
\begin{align*}
-x_0+y_0+z_0&=0,\\ 
y_0&=0,
\end{align*}
$$
$取x_0=1，则 \boldsymbol{n}=(-1,0,1)，$

$设 \overrightarrow{PD} 与平面 EFG 所成的角为 \alpha ，$

$则 sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{PD},\boldsymbol{n}\rangle |=\left|\frac{-2}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}}\right|=\frac{1}{2}，$

$则直线 PD 与平面 EFG 所成的角为 \frac{\pi }{6}．$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把\triangle DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF\perp BF.$
<img_1746>
$求DP与平面ABFD所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方形ABCD的边长为2.作PH\perp EF，垂足为H.由(1)得，PH\perp 平面ABFD.$

$以H为坐标原点，\overrightarrow{HF}的方向为y轴正方向，|\overrightarrow{BF}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.$

<img_3033>

$由(1)可得，DE\perp PE.又DP=2，DE=1，所以PE=\sqrt{3}，$

$又PF=1，EF=2，故PE^2+PF^2=EF^2，所以PE\perp PF，$

$又PH\perp EF，所以PH=\frac{PE\cdot PF}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}，EH=\frac{3}{2}，$

$则H(0，0，0)，P\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right),D\left(-1,-\frac{3}{2},0\right),$

$所以\overrightarrow{DP}=\left(1,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，易知\overrightarrow{HP}=\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)为平面ABFD的一个法向量.$

$设DP与平面ABFD所成角为\theta ，则\sin  \theta =\left|\frac{\overrightarrow{HP}\cdot \overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{HP}||\overrightarrow{DP}|}\right|=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

$所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把\triangle DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF\perp BF.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283917645365249/img/compression/M_578924382bdbbe29fbb4235eb45a65f8.jpg)
$求DP与平面ABFD所成角的正弦值.$

Solution:
$设正方形ABCD的边长为2.作PH\perp EF，垂足为H.由(1)得，PH\perp 平面ABFD.$

$以H为坐标原点，\overrightarrow{HF}的方向为y轴正方向，|\overrightarrow{BF}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283917993492481/img/compression/M_8e4ec4d571a195ee5c7d2ad62d828929.jpg)

$由(1)可得，DE\perp PE.又DP=2，DE=1，所以PE=\sqrt{3}，$

$又PF=1，EF=2，故PE^2+PF^2=EF^2，所以PE\perp PF，$

$又PH\perp EF，所以PH=\frac{PE\cdot PF}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}，EH=\frac{3}{2}，$

$则H(0，0，0)，P\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right),D\left(-1,-\frac{3}{2},0\right),$

$所以\overrightarrow{DP}=\left(1,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，易知\overrightarrow{HP}=\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)为平面ABFD的一个法向量.$

$设DP与平面ABFD所成角为\theta ，则\sin  \theta =\left|\frac{\overrightarrow{HP}\cdot \overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{HP}||\overrightarrow{DP}|}\right|=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

$所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，\triangle ABC是正三角形，\triangle ACD是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD，AB=BD.$
![四面体](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283919226617858/img/compression/M_7364c3ca3849058e1e74c94892910222.jpg)
$过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.$

Solution:
$由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直.以O为坐标原点，\overrightarrow{OA}的方向为x轴正方向，\overrightarrow{OA}的模为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。则A(1，0，0)， B(0，\sqrt{3}，0)， C(-1，0，0)， D(0，0，1)。由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的\frac{1}{2}，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的\frac{1}{2}，即E为DB的中点，得E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})。$

$故\overrightarrow{AD}=-1，0，1，\overrightarrow{AC}=-2，0，0，\overrightarrow{AE}=-1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}。$

$设n=x，y，z 是平面DAE的法向量，$

$则\begin{cases}
    n \cdot \overrightarrow{AD}=0 \\
    n \cdot \overrightarrow{AE}=0
\end{cases} $即，$\begin{cases}
    -x+z=0 \\
    -x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0
\end{cases}$ 。$可取n=1,\frac{\sqrt{3}}{3},1。$

$设m 是平面AEC的法向量，则\begin{cases}
    m \cdot \overrightarrow{AC}=0 \\
    m \cdot \overrightarrow{AE}=0
\end{cases}同理可取m=0，-1，\sqrt{3}。$

$则cos\langle n，m\rangle =\frac{n \cdot m}{|n||m|} = \frac{\sqrt{7}}{7}。$

$易知二面角D-AE-C为锐二面角，$

$所以二面角D-AE-C的余弦值为\frac{\sqrt{7}}{7}。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283919608299524/img/compression/M_056e4680f0f672d27b9b8bd4a0d60795.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，\triangle ABC是正三角形，\triangle ACD是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD，AB=BD.$
<img_1737>
$过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.$

Solution:
$由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直.以O为坐标原点，\overrightarrow{OA}的方向为x轴正方向，\overrightarrow{OA}的模为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。则A(1，0，0)， B(0，\sqrt{3}，0)， C(-1，0，0)， D(0，0，1)。由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的\frac{1}{2}，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的\frac{1}{2}，即E为DB的中点，得E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})。$

$故\overrightarrow{AD}=-1，0，1，\overrightarrow{AC}=-2，0，0，\overrightarrow{AE}=-1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}。$

$设n=x，y，z 是平面DAE的法向量，$

$则\begin{cases}
    n \cdot \overrightarrow{AD}=0 \\
    n \cdot \overrightarrow{AE}=0
\end{cases} $即，$\begin{cases}
    -x+z=0 \\
    -x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0
\end{cases}$ 。$可取n=1,\frac{\sqrt{3}}{3},1。$

$设m 是平面AEC的法向量，则\begin{cases}
    m \cdot \overrightarrow{AC}=0 \\
    m \cdot \overrightarrow{AE}=0
\end{cases}同理可取m=0，-1，\sqrt{3}。$

$则cos\langle n，m\rangle =\frac{n \cdot m}{|n||m|} = \frac{\sqrt{7}}{7}。$

$易知二面角D-AE-C为锐二面角，$

$所以二面角D-AE-C的余弦值为\frac{\sqrt{7}}{7}。$

<img_2367>

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，等腰梯形ABCD中，AB\parallel CD，AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点，以AE为折痕把\triangle ADE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).$
![24BKB5LSX167.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283928091447298/img/compression/M_7c3c33302f258e56b6079208c0dcbfff.jpg)
$当平面PAE \perp平面ABCE时，求二面角A-PE-C的余弦值.$

Solution:
$若平面PAE\perp 平面ABCE,即PO\perp 平面ABCE,$

$以O为原点，OE，OB，OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,则P (0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})，E (\frac{1}{2},0,0)，C (1,\frac{\sqrt{3}}{2},0)，\therefore  \overrightarrow{PE} = (\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2})，\overrightarrow{EC} = (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)，$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283928460546049/img/compression/M_af5087f738c9312cec89a50d54c71f51.jpg)

$设平面PCE的一个法向量为n_1=(x,y,z),$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{PE}=0,\\ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{EC}=0,\end{matrix}\right.,即 \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ \frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0,\end{matrix}\right.$

$令x= \sqrt{3},得 n_1=(\sqrt{3},-1,1),$

$又OB\perp 平面PAE，\therefore  \overrightarrow{OB}= n_2= (0,\frac{\sqrt{3}}{2},0) 为平面PAE的一个法向量，$

$设平面PAE与平面CPE夹角为\alpha ,则\cos  \alpha =|\cos \langle n_1,n_2\rangle |=\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$

由图观察知，二面角A-PE-C是钝二面角，

$故二面角A-PE-C的余弦值为- \frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，等腰梯形ABCD中，AB\parallel CD，AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点，以AE为折痕把\triangle ADE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).$
<img_1534>
$当平面PAE \perp平面ABCE时，求二面角A-PE-C的余弦值.$

Solution:
$若平面PAE\perp 平面ABCE,即PO\perp 平面ABCE,$

$以O为原点，OE，OB，OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,则P (0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})，E (\frac{1}{2},0,0)，C (1,\frac{\sqrt{3}}{2},0)，\therefore  \overrightarrow{PE} = (\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2})，\overrightarrow{EC} = (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)，$

<img_2476>

$设平面PCE的一个法向量为n_1=(x,y,z),$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{PE}=0,\\ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{EC}=0,\end{matrix}\right.,即 \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ \frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0,\end{matrix}\right.$

$令x= \sqrt{3},得 n_1=(\sqrt{3},-1,1),$

$又OB\perp 平面PAE，\therefore  \overrightarrow{OB}= n_2= (0,\frac{\sqrt{3}}{2},0) 为平面PAE的一个法向量，$

$设平面PAE与平面CPE夹角为\alpha ,则\cos  \alpha =|\cos \langle n_1,n_2\rangle |=\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$

由图观察知，二面角A-PE-C是钝二面角，

$故二面角A-PE-C的余弦值为- \frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $圆柱O_1O_2中,四边形DEFG为过轴O_1O_2的截面，DG= 4\sqrt{2}, DE=16,\triangle ABC为底面圆O的内接正三角形，AB\parallel DE.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283930092130306/img/compression/M_e9a3d3eb9352013fcd1c6d2d10d69488.jpg)
$求平面CFD与平面ABFG所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)知 O_1O_2, CH, DE两两垂直,如图建立空间直角坐标系 O_1-xyz,则 C(0,8,0), F(8,0,4\sqrt{2}), D(-8,0,0),\overrightarrow{CF}=(8,-8,4\sqrt{2}),\overrightarrow{CD}=(-8,-8,0),$

$设平面 CFD 的法向量为 \boldsymbol{n}=(x,y,z), 则$

$$
\left\{\begin{matrix} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CD}=0, \end{matrix}\right.
$$

$$
\left\{\begin{matrix}8x-8y+4\sqrt{2}z=0,\\ -8x-8y=0,\end{matrix}\right.
$$

$可取 \boldsymbol{n}=(-1，1，2\sqrt{2})。$

$由(1)知平面 ABFG 的法向量可取 \overrightarrow{O_2C}=\boldsymbol{n}_1=(0,8,-4\sqrt{2}), $

$\therefore \cos \langle \boldsymbol{n}，\boldsymbol{n}_1\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{n}_1}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{n}_1|}=-\frac{\sqrt{15}}{15}，$

$\therefore 平面 ABFG 与平面 CFD 所成二面角的正弦值为 \frac{\sqrt{210}}{15}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{210}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $圆柱O_1O_2中,四边形DEFG为过轴O_1O_2的截面，DG= 4\sqrt{2}, DE=16,\triangle ABC为底面圆O的内接正三角形，AB\parallel DE.$
<img_1560>
$求平面CFD与平面ABFG所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)知 O_1O_2, CH, DE两两垂直,如图建立空间直角坐标系 O_1-xyz,则 C(0,8,0), F(8,0,4\sqrt{2}), D(-8,0,0),\overrightarrow{CF}=(8,-8,4\sqrt{2}),\overrightarrow{CD}=(-8,-8,0),$

$设平面 CFD 的法向量为 \boldsymbol{n}=(x,y,z), 则$

$$
\left\{\begin{matrix} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CF}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CD}=0, \end{matrix}\right.
$$

$$
\left\{\begin{matrix}8x-8y+4\sqrt{2}z=0,\\ -8x-8y=0,\end{matrix}\right.
$$

$可取 \boldsymbol{n}=(-1，1，2\sqrt{2})。$

$由(1)知平面 ABFG 的法向量可取 \overrightarrow{O_2C}=\boldsymbol{n}_1=(0,8,-4\sqrt{2}), $

$\therefore \cos \langle \boldsymbol{n}，\boldsymbol{n}_1\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{n}_1}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{n}_1|}=-\frac{\sqrt{15}}{15}，$

$\therefore 平面 ABFG 与平面 CFD 所成二面角的正弦值为 \frac{\sqrt{210}}{15}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{210}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,\triangle PAD为直角三角形,PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,\triangle PBC的面积是\triangle PAD的面积的\sqrt{5}倍.$

<img_2745>
$E为PC上的点,四棱锥E- ABCD的体积是四棱锥P- ABCD的体积的一半,求平面PAE与平面DAE的夹角的余弦值.$

Solution:
$由四棱锥 E-ABCD 的体积是四棱锥 P-ABCD 体积的一半,可得 E 为 PC 的中点.$

$设 AB=2，可得 OA=OD=OP=1,AB=OF=2,$

$由(1)可知 OA, OF, OP 两两垂直,以 O 为坐标原点，以 \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OF}, \overrightarrow{OP} 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),E \left(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right).$

$设平面 PAE 的法向量为 m=(x,y,z),$

$由 \overrightarrow{AP}=(-1,0,1)，\overrightarrow{PC}=(-1,2,-1),$

$得 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{m}=-x+z=0,\\ \overrightarrow{PC}\cdot \boldsymbol{m}=-x+2y-z=0,\end{matrix}\right. 取 x=1,可得 m=(1,1,1).$

$设平面 DAE 的法向量为 n=(a,b,c),$

$由 \overrightarrow{DA}=(2，0，0)，\overrightarrow{DE}= \left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)，$

$得 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}=2a=0,\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}=\frac{1}{2}a+b+\frac{1}{2}c=0,\end{matrix}\right.$

取 b=-1,可得 n=(0,-1,2),

$则\cos \langle m, n\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{15}，故平面 PAE 与平面 DAE 夹角的余弦值为 \frac{\sqrt{15}}{15}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,\triangle PAD为直角三角形,PB=PC,\angle ABP=\angle DCP,\triangle PBC的面积是\triangle PAD的面积的\sqrt{5}倍.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283930452840449/img/compression/M_cce8ec3f36990eeaa1903786b58f99d1.jpg)
$E为PC上的点,四棱锥E- ABCD的体积是四棱锥P- ABCD的体积的一半,求平面PAE与平面DAE的夹角的余弦值.$

Solution:
$由四棱锥 E-ABCD 的体积是四棱锥 P-ABCD 体积的一半,可得 E 为 PC 的中点.$

$设 AB=2，可得 OA=OD=OP=1,AB=OF=2,$

$由(1)可知 OA, OF, OP 两两垂直,以 O 为坐标原点，以 \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OF}, \overrightarrow{OP} 的方向分别为 x, y, z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),E \left(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right).$

$设平面 PAE 的法向量为 m=(x,y,z),$

$由 \overrightarrow{AP}=(-1,0,1)，\overrightarrow{PC}=(-1,2,-1),$

$得 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{m}=-x+z=0,\\ \overrightarrow{PC}\cdot \boldsymbol{m}=-x+2y-z=0,\end{matrix}\right. 取 x=1,可得 m=(1,1,1).$

$设平面 DAE 的法向量为 n=(a,b,c),$

$由 \overrightarrow{DA}=(2，0，0)，\overrightarrow{DE}= \left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)，$

$得 \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}=2a=0,\\ \overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}=\frac{1}{2}a+b+\frac{1}{2}c=0,\end{matrix}\right.$

取 b=-1,可得 n=(0,-1,2),

$则\cos \langle m, n\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{15}，故平面 PAE 与平面 DAE 夹角的余弦值为 \frac{\sqrt{15}}{15}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{15}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2,E,F分别为PD,PB的中点.
<img_2171>
$求直线PB与平面AEF所成角的正弦值.$

Solution:
$\overrightarrow{PB}=(0,\sqrt{2},-2)，设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，$
$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0,\\ -\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0,\end{matrix}\right.，$
$取x=1,则n=(1,0,\sqrt{2})，$
$所以\cos \langle \overrightarrow{PB},n\rangle =\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}=-\frac{2}{3}，所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2,E,F分别为PD,PB的中点.
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283958279782402/img/compression/M_639cce88f56232fd6d592334e5882d02.jpg)
$求直线PB与平面AEF所成角的正弦值.$

Solution:
$\overrightarrow{PB}=(0,\sqrt{2},-2)，设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，$
$由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0,\\ -\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0,\end{matrix}\right.，$
$取x=1,则n=(1,0,\sqrt{2})，$
$所以\cos \langle \overrightarrow{PB},n\rangle =\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}=-\frac{2}{3}，所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=3DC=3，BC=6，点P在平面ADDA1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分.$

<img_2176>
$求截面与直棱柱的侧面BCC_1B_1所成角的正切值；$

Solution:
$不妨设点P在棱A_1D_1上，过P作PQ \parallel DD_1，交AD于点Q，连接BQ，B_1P，如图所示，则截面为BB_1PQ，\because ABCD-A_1B_1C_1D_1为直棱柱，$
<img_2532>
$\therefore BB_1 \perp平面A_1B_1C_1D_1，\therefore BB_1 \perp PB_1，BB_1 \perp B_1C_1，$
$\therefore \angle PB_1C_1为截面与直棱柱的侧面BCC_1B_1所成角的平面角.$
$过P作PH \perp A_1B_1，垂足为H，$
$\because A_1B_1 \perp B_1C_1，\therefore PH \parallel B_1C_1，$
$\therefore \angle PB_1C_1 = \angle B_1PH，$
$由已知可得S_{A_1B_1C_1D_1}=2S_{\triangle A_1B_1P}=12，$
$\therefore PH=4，则A_1H=\frac{4}{3}，\therefore HB_1=\frac{5}{3}，$
$\therefore \tan \angle PB_1C_1= \tan \angle B_1PH=\frac{HB_1}{PH}=\frac{5}{12}.$

Final answer: $\frac{5}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=3DC=3，BC=6，点P在平面ADDA1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283958682435587/img/compression/M_5dd78c490b1810849d47c89c9d9e96de.jpg)
$求截面与直棱柱的侧面BCC_1B_1所成角的正切值；$

Solution:
$不妨设点P在棱A_1D_1上，过P作PQ \parallel DD_1，交AD于点Q，连接BQ，B_1P，如图所示，则截面为BB_1PQ，\because ABCD-A_1B_1C_1D_1为直棱柱，$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283958967648258/img/compression/M_3d533c2079fef38832704cc881b65087.jpg)
$\therefore BB_1 \perp平面A_1B_1C_1D_1，\therefore BB_1 \perp PB_1，BB_1 \perp B_1C_1，$
$\therefore \angle PB_1C_1为截面与直棱柱的侧面BCC_1B_1所成角的平面角.$
$过P作PH \perp A_1B_1，垂足为H，$
$\because A_1B_1 \perp B_1C_1，\therefore PH \parallel B_1C_1，$
$\therefore \angle PB_1C_1 = \angle B_1PH，$
$由已知可得S_{A_1B_1C_1D_1}=2S_{\triangle A_1B_1P}=12，$
$\therefore PH=4，则A_1H=\frac{4}{3}，\therefore HB_1=\frac{5}{3}，$
$\therefore \tan \angle PB_1C_1= \tan \angle B_1PH=\frac{HB_1}{PH}=\frac{5}{12}.$

Final answer: $\frac{5}{12}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=3DC=3，BC=6，点P在平面ADDA1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283958682435587/img/compression/M_5dd78c490b1810849d47c89c9d9e96de.jpg)
$求棱DD_1到截面的距离.$

Solution:
$因为 BB_1 \perp 平面 A_1B_1C_1D_1，BB_1 被包含在平面 BB_1PQ 中，因此，平面 BB_1PQ \perp 平面 A_1B_1C_1D_1，交线为 B_1P. 过 D_1 作 D_1T \perp 直线 B_1P，垂足为 T，因此，D_1T \perp 平面 BB_1PQ，则 D_1T 的长度即为棱 DD_1 到截面的距离。连接 B_1D_1，S_{\triangle B_1D_1P} = S_{\text{四边形} PB_1C_1D_1} - S_{\triangle B_1C_1D_1} = 3。由(1)知 B_1P = \frac{13}{3}，因此，D_1T = \frac{18}{13}，$

$所以，棱 DD_1 到截面的距离为 \frac{18}{13}。$

Final answer: $\frac{18}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=3DC=3，BC=6，点P在平面ADDA1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分.$

<img_2176>
$求棱DD_1到截面的距离.$

Solution:
$因为 BB_1 \perp 平面 A_1B_1C_1D_1，BB_1 被包含在平面 BB_1PQ 中，因此，平面 BB_1PQ \perp 平面 A_1B_1C_1D_1，交线为 B_1P. 过 D_1 作 D_1T \perp 直线 B_1P，垂足为 T，因此，D_1T \perp 平面 BB_1PQ，则 D_1T 的长度即为棱 DD_1 到截面的距离。连接 B_1D_1，S_{\triangle B_1D_1P} = S_{\text{四边形} PB_1C_1D_1} - S_{\triangle B_1C_1D_1} = 3。由(1)知 B_1P = \frac{13}{3}，因此，D_1T = \frac{18}{13}，$

$所以，棱 DD_1 到截面的距离为 \frac{18}{13}。$

Final answer: $\frac{18}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  底面 ABCD ，AB \perp  AD ，BC \parallel  AD ，PA = AB = BC = 2，AD = 4，E 为棱 PD 的中点，\overrightarrow{PF} = \lambda \overrightarrow{PC} (\lambda  为常数，且0 < \lambda  < 1).$

<img_2149>
$若直线BF\parallel 平面ACE，求实数\lambda 的值；$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB，AD\subset 平面ABCD，所以PA\perp AB，PA\perp AD. $

$由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)，所以 \overrightarrow{AC} =(2，2，0)， \overrightarrow{AE} =(0，2，1)， \overrightarrow{BP} =(-2，0，2)， \overrightarrow{PC} =(2，2，-2)，则 \overrightarrow{PF} = \lambda  \overrightarrow{PC} =(2\lambda ，2\lambda ，-2\lambda )，所以 \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{PF} =(2\lambda -2，2\lambda ，2-2\lambda ). $

$设平面ACE的法向量为𝑚=(𝑥,𝑦,𝑧). $

$由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right. 得\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.令𝑥=1，得𝑚=(1,-1,2). $

$因为BF\parallel 平面ACE，所以\overrightarrow{BF}\cdot 𝑚=2\lambda -2-2\lambda +4-4\lambda =0，解得\lambda =\frac{1}{2}. $

<img_2101>

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  底面 ABCD ，AB \perp  AD ，BC \parallel  AD ，PA = AB = BC = 2，AD = 4，E 为棱 PD 的中点，\overrightarrow{PF} = \lambda \overrightarrow{PC} (\lambda  为常数，且0 < \lambda  < 1).$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959261249539/img/compression/M_2204568acb0be54936034d86506013b5.jpg)
$若直线BF\parallel 平面ACE，求实数\lambda 的值；$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AB，AD\subset 平面ABCD，所以PA\perp AB，PA\perp AD. $

$由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)，所以 \overrightarrow{AC} =(2，2，0)， \overrightarrow{AE} =(0，2，1)， \overrightarrow{BP} =(-2，0，2)， \overrightarrow{PC} =(2，2，-2)，则 \overrightarrow{PF} = \lambda  \overrightarrow{PC} =(2\lambda ，2\lambda ，-2\lambda )，所以 \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{PF} =(2\lambda -2，2\lambda ，2-2\lambda ). $

$设平面ACE的法向量为𝑚=(𝑥,𝑦,𝑧). $

$由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right. 得\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.令𝑥=1，得𝑚=(1,-1,2). $

$因为BF\parallel 平面ACE，所以\overrightarrow{BF}\cdot 𝑚=2\lambda -2-2\lambda +4-4\lambda =0，解得\lambda =\frac{1}{2}. $

![23BKB5LSX183.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959538073601/img/compression/M_7ef0944d6897207535df5d208c76e45b.jpg)

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  底面 ABCD ，AB \perp  AD ，BC \parallel  AD ，PA = AB = BC = 2，AD = 4，E 为棱 PD 的中点，\overrightarrow{PF} = \lambda \overrightarrow{PC} (\lambda  为常数，且0 < \lambda  < 1).$

<img_2149>
$当\lambda =\frac{1}{4}时，求二面角C-AE-F的大小.$

Solution:
$由(1)知，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{PF}=(2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，\overrightarrow{AE}=(0，2，1)，平面ACE的一个法向量为m=(1，-1，2).$

$当\lambda =\frac{1}{4}时，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=(2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda )=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).$

$设平面AEF的法向量为n=(x_0,y_0,z_0).$

$由\begin{cases}\overrightarrow{AE}\cdot n=0,\\ \overrightarrow{AF}\cdot n=0,\end{cases}，得\begin{cases}2y_0+z_0=0,\\ \frac{1}{2}x_0+\frac{1}{2}y_0+\frac{3}{2}z_0=0.\end{cases}$

$令y_0=1，得n=(5，1，-2)，$

$所以cos\langle m，n\rangle =\frac{m \cdot n}{|m||n|}=0，所以二面角C-AE-F的大小为\frac{\pi }{2}.$

Final answer: $\frac{\pi }{2}$