di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，让考生熟悉考试、志愿填报和了解高校录取的流程及基本方法.在适应性考试结束后，根据适应性考试成绩，学生可了解自己的学习情况，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的考试情况，随机抽取了100名学生的数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.$<img_2382>
$该校准备给有机会冲击强基计划(适应性考试数学成绩不低于130分)的学生进行培训，经调查，发现成绩(单位：分)在[130，140)内的学生愿意参加培训的概率均为\frac{1}{2}，成绩(单位：分)在[140，150]内的学生愿意参加培训的概率均为\frac{2}{3}.已知样本中成绩(单位：分)在[130，140)与[140，150]内的学生人数之比为2:1，若从样本中成绩不低于130分的学生中随机抽取2人，设愿意参加培训的人数为X，求X的期望.$

Solution:
$样本中成绩(单位：分)在[130，150]内的人数为100\times 0.003\times 20=6，则成绩(单位：分)在[130，140)内的人数为4，在[140，150]内的人数为2，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.$



Final answer: $1.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，让考生熟悉考试、志愿填报和了解高校录取的流程及基本方法.在适应性考试结束后，根据适应性考试成绩，学生可了解自己的学习情况，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的考试情况，随机抽取了100名学生的数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1648506787778736129/img/compression/M_66138622dff48090eebabd5d44847b0b.jpg)
$该校准备给有机会冲击强基计划(适应性考试数学成绩不低于130分)的学生进行培训，经调查，发现成绩(单位：分)在[130，140)内的学生愿意参加培训的概率均为\frac{1}{2}，成绩(单位：分)在[140，150]内的学生愿意参加培训的概率均为\frac{2}{3}.已知样本中成绩(单位：分)在[130，140)与[140，150]内的学生人数之比为2:1，若从样本中成绩不低于130分的学生中随机抽取2人，设愿意参加培训的人数为X，求X的分布列和期望.$

Solution:
$样本中成绩(单位：分)在[130，150]内的人数为100\times 0.003\times 20=6，则成绩(单位：分)在[130，140)内的人数为4，在[140，150]内的人数为2，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.$

Final answer: $X的分布列为：
P(X=0) = P(两人都不愿意参加培训) = P(成绩在[130,140)内的人数为0) = 4/6 * 3/5 = 2/5
P(X=1) = P(有且只有一个人愿意参加培训) = P(成绩在[130,140)内的人数为1，成绩在[140,150]内的人数为0) + P(成绩在[130,140)内的人数为0，成绩在[140,150]内的人数为1)
= 4/6 * 2/5 + 2/6 * 3/4 = 1/3+1/4 = 7/12
P(X=2) = P(两人都愿意参加培训) = P(成绩在[130,140)内的人数为2，成绩在[140,150]内的人数为0) = 2/6 * 2/5 = 1/15
所以X的分布列为：0:2/5, 1:7/12, 2:1/15
X的期望为：E(X) = 0*(2/5) + 1*(7/12) + 2*(1/15) = 8/5 = 1.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L_{1}，L_{2}两条路线(如图)，L_{1}路线上有A_{1}，A_{2}，A_{3}三个路口，各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；L_{2}路线上有B_{1}，B_{2}两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为\frac{3}{4}，\frac{3}{5}.$<img_2567>
$若走L_{1}路线，求他最多遇到1次红灯的概率；$

Solution:
$设走L_{1}路线，他最多遇到1次红灯为事件A，则P(A)=C^0_3\times \left(\frac{1}{2}\right)^3+C^1_3\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.
(3分)$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L_{1}，L_{2}两条路线(如图)，L_{1}路线上有A_{1}，A_{2}，A_{3}三个路口，各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；L_{2}路线上有B_{1}，B_{2}两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为\frac{3}{4}，\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920506077642755/img/compression/M_b6a53c93bc37244a930e9dd91831b938.jpg)
$若走L_{1}路线，求他最多遇到1次红灯的概率；$

Solution:
$设走L_{1}路线，他最多遇到1次红灯为事件A，则P(A)=C^0_3\times \left(\frac{1}{2}\right)^3+C^1_3\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.
(3分)$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L_{1}，L_{2}两条路线(如图)，L_{1}路线上有A_{1}，A_{2}，A_{3}三个路口，各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；L_{2}路线上有B_{1}，B_{2}两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为\frac{3}{4}，\frac{3}{5}.$<img_2567>
$若走L_{2}路线，求他遇到红灯的次数X的数学期望.$

Solution:
$依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{3}{4}\times \left(1-\frac{3}{5}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \frac{3}{5}=\frac{9}{20}，P(X=2)=\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{20}，所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{10}
\frac{9}{20}
\frac{9}{20}
(7分)
故E(X)=\frac{1}{10}\times 0+\frac{9}{20}\times 1+\frac{9}{20}\times 2=\frac{27}{20}.
(10分)$



Final answer: $\frac{27}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L_{1}，L_{2}两条路线(如图)，L_{1}路线上有A_{1}，A_{2}，A_{3}三个路口，各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；L_{2}路线上有B_{1}，B_{2}两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为\frac{3}{4}，\frac{3}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920506077642755/img/compression/M_b6a53c93bc37244a930e9dd91831b938.jpg)
$若走L_{2}路线，求他遇到红灯的次数X的分布列和数学期望.$

Solution:
$依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{3}{4}\times \left(1-\frac{3}{5}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \frac{3}{5}=\frac{9}{20}，P(X=2)=\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{20}，所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{10}
\frac{9}{20}
\frac{9}{20}
(7分)
故E(X)=\frac{1}{10}\times 0+\frac{9}{20}\times 1+\frac{9}{20}\times 2=\frac{27}{20}.
(10分)$

Final answer: $X的分布列为：P(X=0)=1/10, P(X=1)=9/20, P(X=2)=9/20。
数学期望E(X)=27/20。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率).设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本平均数，并已求得\sigma =11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余的为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920506799063041/img/compression/M_9fd008a97ba83f2b7537b157958632a7.jpg)$
附：若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma ＜X\leq \mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma ＜X\leq \mu +2\sigma )=0.954 5，P(\mu -3\sigma ＜X\leq \mu +3\sigma )=0.997 3.$
$该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；$

Solution:
$根据题中的频率分布直方图可得该工厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为(5\times 0.010+15\times 0.020+25\times 0.030+35\times 0.025+45\times 0.015)\times 10=26.5，(2分)结合题意得该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5，11.95^{2})，\therefore P(14.55＜Z\leq 62.35)=P(\mu -\sigma ＜Z\leq \mu +3\sigma )=\frac{1}{2}\times [P(\mu -3\sigma ＜Z\leq \mu +3\sigma )+P(\mu -\sigma ＜Z\leq \mu +\sigma )]=\frac{0.997 3+0.682 7}{2}=0.84，(4分)\therefore 0.84\times 100 000=84 000，\therefore 估计该厂近期生产的10万瓶消毒液中，B级消毒液的总瓶数为84 000.(5分)$

Final answer: $84 000.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率).设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本平均数，并已求得\sigma =11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余的为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：$<img_2962>$
附：若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma ＜X\leq \mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma ＜X\leq \mu +2\sigma )=0.954 5，P(\mu -3\sigma ＜X\leq \mu +3\sigma )=0.997 3.$
$该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；$

Solution:
$根据题中的频率分布直方图可得该工厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为(5\times 0.010+15\times 0.020+25\times 0.030+35\times 0.025+45\times 0.015)\times 10=26.5，(2分)结合题意得该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5，11.95^{2})，\therefore P(14.55＜Z\leq 62.35)=P(\mu -\sigma ＜Z\leq \mu +3\sigma )=\frac{1}{2}\times [P(\mu -3\sigma ＜Z\leq \mu +3\sigma )+P(\mu -\sigma ＜Z\leq \mu +\sigma )]=\frac{0.997 3+0.682 7}{2}=0.84，(4分)\therefore 0.84\times 100 000=84 000，\therefore 估计该厂近期生产的10万瓶消毒液中，B级消毒液的总瓶数为84 000.(5分)$

Final answer: $84 000.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率).设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本平均数，并已求得\sigma =11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余的为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920506799063041/img/compression/M_9fd008a97ba83f2b7537b157958632a7.jpg)$
附：若X～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma ＜X\leq \mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma ＜X\leq \mu +2\sigma )=0.954 5，P(\mu -3\sigma ＜X\leq \mu +3\sigma )=0.997 3.$
$已知每瓶消毒液的等级与售价X(单位：元/瓶)的关系如表所示：
等级
A
B
C
售价X
30
25
10
假定该厂一年消毒液的生产量为1 000万瓶，且消毒液全都能销售出去.若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用)，问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由.$

Solution:
$设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，-10，易得P(Y=10)=P(Z>62.35)=P(Z>\mu +3\sigma )=\frac{1}{2}\times [1-P(\mu -3\sigma ＜Z\leq \mu +3\sigma )]=\frac{1}{2}\times (1-0.997 3)=0.001 35，P(Y=5)=P(14.55＜Z\leq 62.35)=0.84，P(Y=-10)=1-0.001 35-0.84=0.158 65，\therefore Y的分布列为
Y
10
5
-10
P
0.001 35
0.84
0.158 65
(8分)
\therefore 每瓶消毒液的平均利润为E(Y)=10\times 0.001 35+5\times 0.84+(-10)\times 0.158 65=2.627(元)，\therefore 生产一年消毒液且全部销售出去所获利润为2.627\times 1=2.627(千万元)，又2.627＞2，\therefore 该厂能在一年之内收回投资.
(10分)$

Final answer: $该厂能在一年之内收回投资.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了了解商场一个月的商品销售额y(单位：万元)与广告费支出x(单位：万元)之间的相关关系，绘制了如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920543619543041/img/compression/M_17d5ef61c31e5575fcb9721470cf0469.jpg)$
附：经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n{\overline{x}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z\leq \mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z\leq \mu +2\sigma )=0.954 5，P(\mu -3\sigma <Z\leq \mu +3\sigma )=0.997 3.$
$统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额X(单位：万元)近似地服从正态分布N(5，1.69)，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过2.4万元，则没有奖励；若日销售额超过2.4万元但不超过6.3万元，则每人奖励200元；若日销售额超过6.3万元，则每人奖励500元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望.(结果取整数)$

Solution:
$利用3\sigma 原则计算出随机变量X在不同取值范围下的概率，设该商场每名员工单日获得的奖金为Y元，分析可知Y的可能取值为0、200、500，可得出随机变量Y的分布列，进一步可求得E(Y)的值.$

Final answer: $0,200,500$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为了了解商场一个月的商品销售额y(单位：万元)与广告费支出x(单位：万元)之间的相关关系，绘制了如图所示的散点图.$<img_2131>$
附：经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n{\overline{x}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.若Z～N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <Z\leq \mu +\sigma )=0.682 7，P(\mu -2\sigma <Z\leq \mu +2\sigma )=0.954 5，P(\mu -3\sigma <Z\leq \mu +3\sigma )=0.997 3.$
$统计表明，该商场的某款广告在平台发布后，其商品日销售额X(单位：万元)近似地服从正态分布N(5，1.69)，商场对员工的奖励方案如下：若日销售额不超过2.4万元，则没有奖励；若日销售额超过2.4万元但不超过6.3万元，则每人奖励200元；若日销售额超过6.3万元，则每人奖励500元，试求该商场每名员工单日获得奖金的数学期望.(结果取整数)$

Solution:
$利用3\sigma 原则计算出随机变量X在不同取值范围下的概率，设该商场每名员工单日获得的奖金为Y元，分析可知Y的可能取值为0、200、500，可得出随机变量Y的分布列，进一步可求得E(Y)的值.$



Final answer: $0,200,500$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表:
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920526701035521/img/editor/compression/1f8a919b-4118-4799-8b84-19767bd518be.png)$.$
$根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;$

Solution:
$根据题表中数据得A公司共有260个班次，B公司共有240个班次，设事件“A公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为M，则P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}，设事件“B公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为N，则P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}，所以A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为\frac{12}{13}，B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为\frac{7}{8}.
(5分)$

Final answer: $\frac{12}{13}$, $\frac78$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表:
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
附： \chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，$<img_2164>$.$
$根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;$

Solution:
$根据题表中数据得A公司共有260个班次，B公司共有240个班次，设事件“A公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为M，则P(M)=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}，设事件“B公司甲、乙两城之间的长途客车准点”为N，则P(N)=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}，所以A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为\frac{12}{13}，B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为\frac{7}{8}.
(5分)$

Final answer: $\frac{12}{13}$, $\frac78$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台了“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行问卷调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65]
支持“延迟退休年龄政策”的人数
15
5
15
28
17
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920526847836161/img/compression/M_3adc386dd24f985e2d759142cd51cc53.jpg)$
参考数据及公式：
\alpha 
0.100
0.050
0.010
0.001
x_{\alpha }
2.706
3.841
6.635
10.828
\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，n=a+b+c+d.$
$请将2\times 2列联表补充完整，依据小概率值\alpha =0.05的独立性检验，能否认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异？45岁以下45岁以上(含45岁)总计支持人数不支持人数总计$

Solution:
$由题意得2\times 2列联表如下：
45岁以下
45岁以上(含45岁)
总计
支持人数
35
45
80
不支持人数
15
5
20
总计
50
50
100
零假设为H_{0}：以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度无差异.
(2分)
\chi ^{2}=\frac{100\times (35\times 5-45\times 15)^2}{80\times 20\times 50\times 50}=6.25＞3.841=x_{0.05}，依据小概率值\alpha =0.05的独立性检验，推断H_{0}不成立，即可以认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
(4分)$

Final answer: $以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $国家为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台了“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行问卷调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65]
支持“延迟退休年龄政策”的人数
15
5
15
28
17
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920526847836161/img/compression/M_3adc386dd24f985e2d759142cd51cc53.jpg)$
参考数据及公式：
\alpha 
0.100
0.050
0.010
0.001
x_{\alpha }
2.706
3.841
6.635
10.828
\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，n=a+b+c+d.$
$若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人.①抽到的其中一人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上(含45岁)的概率；②记抽到45岁以上(含45岁)的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.$

Solution:
$若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上(含45岁)的应抽2人.(5分)①抽到的其中一人是45岁以下的概率为\frac{6}{8}=\frac{3}{4}，抽到的其中一人是45岁以下且另一人是45岁以上(含45岁)的概率为\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_8}=\frac{3}{7}.(6分)故所求概率为\frac{\frac{3}{7}}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{7}.(8分)②由题意得X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^2_8}=\frac{15}{28}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_8}=\frac{3}{7}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_8}=\frac{1}{28}.(10分)所以随机变量X的分布列为X012P\frac{15}{28}\frac{3}{7}\frac{1}{28}故E(X)=1\times \frac{3}{7}+2\times \frac{1}{28}=\frac{1}{2}.(12分)$

Final answer: $ \frac{4}{7}
 X的分布列：P(X=0)= \frac{15}{28}, P(X=1)= \frac{3}{7}, P(X=2)= \frac{1}{28}. 数学期望：E(X)= \frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y(单位：元)与当天揽收的快递件数即揽件量x(单位：千件)之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量x_{i}(单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本y_{i}(单位：元)(i=1，2，3，4，5，6，7)的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920527388901378/img/compression/M_f663b2174155b4c0663ef7fcabea9af4.jpg)$\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}- \overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}- \overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}-\overline{w})^{2}
4
4.6
0.37
-18
2.75
25.5
0.55表中w_{i}=\frac{1}{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}w_{i}.
附：对于一组具有线性相关关系的数据(\mu _{i}，v_{i})(i=1，2，\ldots ，n)，其经验回归直线\hat{v}=\hat{\beta } \mu +\hat{a}的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })^2}，\hat{a}=\overline{v}-\hat{\beta } \overline{\mu }.$
$根据散点图判断，y=ax+b与y=c+\frac{d}{x}哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程，并根据判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；$

Solution:
$由散点图可知，y=c+\frac{d}{x}更适宜作为y关于x的经验回归方程.则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(w_i-\overline{w})^2}=\frac{2.75}{0.55}=5，\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\cdot \overline{w}=4.6-5\times 0.37=2.75，\therefore y关于x的经验回归方程为\hat{y}=2.75+\frac{5}{x}.(6分)$

Final answer: $\hat{y}=2.75+\frac{5}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y(单位：元)与当天揽收的快递件数即揽件量x(单位：千件)之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量x_{i}(单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本y_{i}(单位：元)(i=1，2，3，4，5，6，7)的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值.$<img_2638>$\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}- \overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}- \overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}-\overline{w})^{2}
4
4.6
0.37
-18
2.75
25.5
0.55表中w_{i}=\frac{1}{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}w_{i}.
附：对于一组具有线性相关关系的数据(\mu _{i}，v_{i})(i=1，2，\ldots ，n)，其经验回归直线\hat{v}=\hat{\beta } \mu +\hat{a}的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })^2}，\hat{a}=\overline{v}-\hat{\beta } \overline{\mu }.$
$根据散点图判断，y=ax+b与y=c+\frac{d}{x}哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程，并根据判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；$

Solution:
$由散点图可知，y=c+\frac{d}{x}更适宜作为y关于x的经验回归方程.则\hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(w_i-\overline{w})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(w_i-\overline{w})^2}=\frac{2.75}{0.55}=5，\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\cdot \overline{w}=4.6-5\times 0.37=2.75，\therefore y关于x的经验回归方程为\hat{y}=2.75+\frac{5}{x}.(6分)$

Final answer: $\hat{y}=2.75+\frac{5}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y(单位：元)与当天揽收的快递件数即揽件量x(单位：千件)之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量x_{i}(单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本y_{i}(单位：元)(i=1，2，3，4，5，6，7)的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920527388901378/img/compression/M_f663b2174155b4c0663ef7fcabea9af4.jpg)$\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}- \overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}- \overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{7}_{i=1}(w_{i}-\overline{w})^{2}
4
4.6
0.37
-18
2.75
25.5
0.55表中w_{i}=\frac{1}{x_i}，\overline{w}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}w_{i}.
附：对于一组具有线性相关关系的数据(\mu _{i}，v_{i})(i=1，2，\ldots ，n)，其经验回归直线\hat{v}=\hat{\beta } \mu +\hat{a}的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(\mu _i-\overline{\mu })^2}，\hat{a}=\overline{v}-\hat{\beta } \overline{\mu }.$
$已知该网点每天的揽件量x(单位：千件)与单件快递的平均价格t(单位：元)之间的关系是x=\sqrt{59-4t}(5.75\leq t\leq 14.5)，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据(1)中建立的经验回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润；②单件快递的平均价格t(单位：元)为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预测值最大？$

Solution:
$设收发x千件快递获利z千元，则z=(t-y)x=\left(\frac{59-x^2}{4}-\frac{5}{x}-2.75\right)x=-\frac{x^3}{4}+12x-5(1\leq x\leq 6).(8分)①当x=2时，z=17，即该网点某天揽收2 000件快递可获得的总利润为17 000元.(9分)②z'=-\frac{3}{4}x^{2}+12，令z'=0，解得x=4，当x\in [1，4)时，z'>0，当x\in (4，6]时，z'<0，\therefore z=-\frac{x^3}{4}+12x-5(1\leq x\leq 6)在[1，4)上单调递增，在(4，6]上单调递减，\therefore 当x=4时，z_{max}=27，此时t=10.75，\therefore 单件快递的平均价格t=10.75元时，该网点一天内收发快递所获利润的预测值最大.(12分)$

Final answer: $17000$, $单件快递的平均价格t(单位：元)为10.75时，该网点一天内收发快递所获利润的预测值最大。$ 元，
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展了冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
分组
频数
频率
[75，80)
2
0.050
[80，85)
13
0.325
[85，90)
18
0.450
[90，95)
a
m
[95，100]
b
0.075
男志愿者考核成绩频率分布直方图
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920557032927234/img/compression/M_07189f8cdb9eb9eafa161a86d7514fd6.jpg)$若参加这次培训的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀.$
$分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；$

Solution:
$由题中图表可知，这次培训考核的女志愿者人数为\frac{2}{0.05}=40，(2分)这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为(80-40)\times (0.015+0.010)\times 5=5，(4分)这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为[1-(0.050+0.325+0.450)]\times 40=7.(6分)$

Final answer: $5$, $7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展了冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
分组
频数
频率
[75，80)
2
0.050
[80，85)
13
0.325
[85，90)
18
0.450
[90，95)
a
m
[95，100]
b
0.075
男志愿者考核成绩频率分布直方图
$<img_2043>$若参加这次培训的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀.$
$分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；$

Solution:
$由题中图表可知，这次培训考核的女志愿者人数为\frac{2}{0.05}=40，(2分)这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为(80-40)\times (0.015+0.010)\times 5=5，(4分)这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为[1-(0.050+0.325+0.450)]\times 40=7.(6分)$

Final answer: $5$, $7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展了冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
分组
频数
频率
[75，80)
2
0.050
[80，85)
13
0.325
[85，90)
18
0.450
[90，95)
a
m
[95，100]
b
0.075
男志愿者考核成绩频率分布直方图
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920557032927234/img/compression/M_07189f8cdb9eb9eafa161a86d7514fd6.jpg)$若参加这次培训的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀.$
$若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.$

Solution:
$记抽到女志愿者的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_{12}}=\frac{10}{220}=\frac{1}{22}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_7}{\mathrm{C}^3_{12}}=\frac{70}{220}=\frac{7}{22}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_7}{\mathrm{C}^3_{12}}=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_7}{\mathrm{C}^3_{12}}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}，
(10分)
\therefore X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{1}{22}
\frac{7}{22}
\frac{21}{44}
\frac{7}{44}
\therefore X的期望E(X)=0\times \frac{1}{22}+1\times \frac{7}{22}+2\times \frac{21}{44}+3\times \frac{7}{44}=\frac{7}{4}.
(12分)$

Final answer: $X的分布列为0: 1/22，1: 7/22，2: 21/44，3: 7/44。X的期望E(X)=7/4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为践行“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略，某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
附：经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}} ^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；参考数据：\sum \limits^{6}_{{i=1}}z_{i}=23.57，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}z_{i}=77.88，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i=91，ln 10\approx 2.30.$
$为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据这个散点图可以认为散点集中在曲线y=e^{bx+a}的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超标人数y与月份x之间的经验回归方程(系数a和b的最终结果精确到0.01)，并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10以下；$<img_2501>$
月份x
1
2
3
4
5
6
体重超标人数y
99
77
54
48
32
27
z=ln y
4.60
4.34
3.99
3.87
3.47
3.30
$

Solution:
$由y=e^{bx+a}得z=ln y=bx+a.由题意得\overline{x}=\frac{1}{6}\times (1+2+3+4+5+6)=3.5，\overline{z}=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}z_{i}=\frac{1}{6}\times 23.57\approx 3.93，(2分)所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iz_i-6\overline{x} \overline{z}}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i-6{\overline{x}} ^2}=\frac{77.88-6\times 3.5\times 3.93}{91-6\times {3.5}^2}\approx -0.27，\hat{a}=\overline{z}-\hat{b}\overline{x}=3.93-(-0.27)\times 3.5\approx 4.88.(4分)所以\hat{z}=ln \hat{y}=-0.27x+4.88，即y关于x的经验回归方程为\hat{y}=e^{-0.27x+4.88}.令e^{-0.27x+4.88}<10=e^{ln 10}\approx e^{2.3}，所以-0.27x+4.88<2.3，解得x>9.56，又x\in N^{*}，所以x\geq 10，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10以下.　(6分)$

Final answer: $\hat{y}=e^{-0.27x+4.88}$, $10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为践行“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略，某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
附：经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}} ^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；参考数据：\sum \limits^{6}_{{i=1}}z_{i}=23.57，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_{i}z_{i}=77.88，\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i=91，ln 10\approx 2.30.$
$为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据这个散点图可以认为散点集中在曲线y=e^{bx+a}的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超标人数y与月份x之间的经验回归方程(系数a和b的最终结果精确到0.01)，并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10以下；$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1640920566307549185/img/compression/M_fe4de14e4801aadd04b4d81f614fba70.jpg)$
月份x
1
2
3
4
5
6
体重超标人数y
99
77
54
48
32
27
z=ln y
4.60
4.34
3.99
3.87
3.47
3.30
$

Solution:
$由y=e^{bx+a}得z=ln y=bx+a.由题意得\overline{x}=\frac{1}{6}\times (1+2+3+4+5+6)=3.5，\overline{z}=\frac{1}{6}\sum \limits^{6}_{{i=1}}z_{i}=\frac{1}{6}\times 23.57\approx 3.93，(2分)所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iz_i-6\overline{x} \overline{z}}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i-6{\overline{x}} ^2}=\frac{77.88-6\times 3.5\times 3.93}{91-6\times {3.5}^2}\approx -0.27，\hat{a}=\overline{z}-\hat{b}\overline{x}=3.93-(-0.27)\times 3.5\approx 4.88.(4分)所以\hat{z}=ln \hat{y}=-0.27x+4.88，即y关于x的经验回归方程为\hat{y}=e^{-0.27x+4.88}.令e^{-0.27x+4.88}<10=e^{ln 10}\approx e^{2.3}，所以-0.27x+4.88<2.3，解得x>9.56，又x\in N^{*}，所以x\geq 10，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10以下.　(6分)$

Final answer: $\hat{y}=e^{-0.27x+4.88}$, $10$