di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_2=1, 2S_n=na_n。$
$求数列 \left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\} 的前 n 项和 T_n.$

Solution:
$由(1)知a_{n+1}=n,设b_n=\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{n}{2^n}=n\left(\frac{1}{2}\right)^n.  $
$\therefore T_n=b_1+b_2+b_3+\ldots +b_n=1\times \left(\frac{1}{2}\right)^1+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^2+3\times \left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots +n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n,①  $
$\frac{1}{2}T_n=1\times \left(\frac{1}{2}\right)^2+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^3+3\times \left(\frac{1}{2}\right)^4+\ldots +n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}.②  $
$①-②得\frac{1}{2}T_n=\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}{1-\frac{1}{2}}-n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$
$=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\left(1+\frac{1}{2}n\right),  $
$\therefore T_n=2-(n+2)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n.  $
$故数列\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}的前n项和T_n=2-(n+2)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n.$



Final answer: $T_n=2-(n+2)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$
Subfield: Sequence


Question: $记 S_n 为数列 {a_n} 的前 n 项和，已知 a_1 =1, \left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 \frac{1}{3} 的等差数列.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$依题意得，S_1=a_1=1，$

$\frac{S_n}{a_n}=\frac{1}{1}+(n-1)\times \frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}，$

$\therefore 3S_n=(n+2)a_n,$

$则3S_{n+1}=(n+1+2)a_{n+1}=(n+3)a_{n+1},$

$\therefore 3S_{n+1}-3S_n=(n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n,$

$即3a_{n+1}=(n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n,$

$\therefore na_{n+1}=(n+2)a_n，即\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{n},$

$由累乘法得\frac{a_{n+1}}{a_1}=\frac{(n+1)(n+2)}{1\times 2},$

$又a_1=1，\therefore a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2},$

$\therefore a_n=\frac{n(n+1)}{2} (n\geq 2)，又a_1=1满足上式，$

$\therefore a_n=\frac{n(n+1)}{2}(n\in N).$

Final answer: $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n满足a_1=1，a_{n+1}=$

$\begin{cases}
a_n+1, & \text{n为奇数},\\
a_n+2, & \text{n为偶数}.
\end{cases}$
$记b_n=a_{2n}，写出b_1，b_2，并求数列\{b_n\}的通项公式；$

Solution:
$由题设可得a_{2k+2}=a_{2k+1}+1，a_{2k+1}=a_{2k}+2，(k\in N^{})，故a_{2k+2}=a_{2k}+3，即b_{n+1}=b_{n}+3，$

$即b_{n+1}-b_{n}=3，b_{1}=a_{2}=a_{1}+1=2，b_{2}=b_{1}+3=5，$

$所以{b_{n}}是首项为2，公差为3的等差数列，$

$故b_{n}=2+(n-1)\times 3=3n-1.$

Final answer: $2，5，b_n=3n-1$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是首项为1的等比数列，数列b_n满足b_n=\frac{na_n}{3}。已知 a_1, 3a_2, 9a_3 成等差数列。$
$求a_n和b_n的通项公式；$

Solution:
$设等比数列a_n的公比为q.$

$\because a_1, 3a_2, 9a_3 成等差数列，$

$\therefore 6a_2 = a_1 + 9a_3, 即 6a_1q = a_1 + 9a_1q^2.$

$又\because a_1 = 1, \therefore  6q = 1 + 9q^2, 解得 q_1 = q_2 = \frac{1}{3},$

$\therefore a_n = a_1 \cdot  q^{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.$

$\because b_n = \frac{na_n}{3}, \therefore  b_n = n \cdot  \left(\frac{1}{3}\right)^n.$



Final answer: a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}, b_n = n \cdot  \left(\frac{1}{3}\right)^n
Subfield: Sequence


Question: $设a_n为等差数列，a_2+a_5=16, a_5-a_3=4.$
$已知b_n为等比数列，对于任意k \in N，若2^{k-1}\leq n\leq 2^k-1，则b_k < a_n < b_{k+1}.求b_n的通项公式及前n项和.$

Solution:
$设 \{ b_n \} 的公比为 q ，前 n 项和为 S_n，因为 \{ b_n \} 为等比数列，且 k \in  N，2^k -1 < b_k < 2^k +1，所以 2^{k+1} -1 < b_{k+1} < 2^{k+1} +1。$
$又 q = \frac{b_{k+1}}{b_k} ，所以 q < \frac{2^{k+1}+1}{2^k-1} = 2 + \frac{3}{2^k-1}，q > \frac{2^{k+1}-1}{2^k+1} = 2 - \frac{3}{2^k+1}.$
$因为 k \in  N，所以 q = 2，所以 2^k -1 < b_1 2^{k-1} < 2^k +1，所以 b_1 = 2，所以 b_n = 2^n，所以 S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{2(1-2^n)}{1-2} = 2^n +1 - 2。$

Final answer: ${b_n = 2^n}，{S_n = 2^n +1 - 2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}, {b_n}的项数均为m (m>2)，且a_n, b_n \in  {1,2,\ldots , m}, {a_n}, {b_n}的前n项和分别为A_n,B_n并规定A_0=B_0=0对于k \in  {0,1,2,\ldots ,m},定义r_k=max{i|B_i\leq A_k,i\in {0,1,2,\ldots ,m}}，其中, max M表示数集M中最大的数.$
$若a_1 \geq b_1,且2r_j \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2,\ldots ,m-1, 求 r_n;$

Solution:
$显然r_{m}\leq m,且r_{0}=0,r_{1}=1.$

$由于2r_{j}\leq r_{j-1}+r_{j+1},所以r_{j+1}-r_{j}\geq r_{j}-r_{j-1}\geq \ldots \geq r_{1}-r_{0}=1.$

$若存在正整数u使得r_{u+1}-r_{u}>1,则r_{m}\geq r_{m-1}+1\geq \ldots \geq r_{u+1}+(m-u-1)>r_{u}+(m-u)\geq \ldots \geq r_{0}+m=m,$

$这与r_{m}\leq m矛盾.$

$因此，对任意正整数j均有r_{j+1}-r_{j}=1,即{r_{n}}是以r_{1}=1为首项，1为公差的等差数列.$

$故r_{n}=n.$

Final answer: $r_{n}=n$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制订了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：

| |男|女|
|---|---|---|
|支持方案一|24|16|
|支持方案二|25|35|

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
$在(2)中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(直接写结果)$

Solution:
$因为Y=2-X，所以D(Y)=D(2-X)=(-1)^2D(X)=D(X)，$

$即D(Y)=D(X).$

Final answer: $D(Y)=D(X)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知向量 m=(2\cos  x + 2\sqrt{3} \sin  x,1), n=(\cos  x,-y),且满足 m\cdot n=0.$
将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；

Solution:
$由 m \cdot  n =0可得2\cos ^2 x +2\sqrt{3}\sin  x \cos  x - y=0，即 y =2\cos ^2 x +2\sqrt{3}\sin  x \cos  x =\cos  2x +\sqrt{3}\sin  2x +1=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})+1,所以 f(x) =2\sin (2x+\frac{\pi }{6})+1，其最小正周期为 T =\frac{2\pi }{2} =\pi .$

Final answer: $f(x) =2sin(2x+\frac{\pi }{6})+1，T =\pi$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n,S_n=2a_n-4, n \in N^.$
$若数列b_n是等差数列，且b_1=a_1,b_5=a_3，求数列b_n的通项公式；$

Solution:
$令n=3，则a_1+a_2+a_3=2a_3-4，解得a_3=16。$

$设等差数列{b_n}的公差为d。$

$b_1=a_1=4，b_5=b_1+4d=a_3=16。所以d=3。$

$所以b_n=b_1+(n-1)d=3n+1，n\in N^。$

Final answer: $b_n=3n+1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n,S_n=2a_n-4, n \in N^.$
$设c_n=a_{b_n}，求c_1+c_2+\ldots +c_n。$

Solution:
$由(1)知a_1=4.$

$当n\geq 2时，a_n = S_n - S_{n-1} = 2(a_n - a_{n-1})，所以a_n=2a_{n-1}.$

$所以数列{a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列.$

$所以a_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}，n\in N^.$

$由(2)可知，c_n=2^{3n+2}，n\in N^.所以c_1=32.$

$当n\geq 2时，\frac{c_n}{c_{n-1}}=\frac{2^{3n+2}}{2^{3n-1}}=8(n\geq 2)，$

$所以数列{c_n}是以32为首项，8为公比的等比数列.$

$所以c_1+c_2+\ldots +c_n=\frac{32(1-8^n)}{1-8}=\frac{2^{3n+5}-32}{7},n\in N^.$

Final answer: $\frac{2^{3n+5}-32}{7}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列a_n满足a_1=1，na_{n+1}=2(n+1)a_n.设b_n=\frac{a_n}{n}.$
$求a_n的通项公式.$

Solution:
$由条件可得 \frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{2a_n}{n} ，即 b_{n+1}=2b_n ，又 b_1=1 ，所以{b_n} 是首项为1，公比为2的等比数列.$


$由上可得 \frac{a_n}{n} = 2^{n-1}，$

$所以 a_{n} = n \cdot 2^{n-1}.$

Final answer: a_{n} = n \cdot 2^{n-1}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知等差数列{a_n}满足a_1+a_3=8，a_4-a_2=4.$
$求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，依题意有$

$$
\begin{align*}
a_1+a_3 &= 2a_1+2d = 8,\\ 
a_4 - a_2 &= 2d = 4,
\end{align*}
$$

解得

$$
\begin{align*}
a_1 &= 2,\\ 
d &= 2,
\end{align*}
$$

$\therefore  a_n = a_1 + (n-1)d = 2n，\therefore  S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = n^2 + n.$

Final answer: a_n = 2n， S_n = n^2 + n
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在等差数列{a_n}中，a_2=3，a_4=7.$
$求a_n的通项公式;$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d.$
由题意，得
$$
\begin{align*}
a_1+d &= 3, \\
a_1+3d &= 7,
\end{align*}
$$
$解得a_1=1, d=2.$
$所以a_n=a_1+(n-1)d=2n-1.$

Final answer: $a_n=2n-1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在等差数列{a_n}中，a_2=3，a_4=7.$
$若{b_n-a_n}是公比为2的等比数列，b_1=3，求数列{b_n}的前n项和S_n.$

Solution:
$因为{b_n}-{a_n}是公比为2的等比数列，且b_1=3，$

$所以{b_n}-{a_n}=(b_1-a_1)\times 2^{n-1}=2^n.$

$所以b_n=2^n+a_n=2^n+2n-1.$

$所以S_n=(2^1+2^2+\ldots +2^n)+2(1+2+\ldots +n)-n$

$=\frac{2(1-2^n)}{1-2}+2\times \frac{n(1+n)}{2}-n$

$=2^{n+1}+n^2-2.$

Final answer: $2^{n+1}+n^2-2$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知数列{a_n}，从中选取第i_1项、第i_2项、...、第i_m项(i_1<i_2<...<i_m)，若a_{i_1}<a_{i_2}<...<a_{i_m}，则称新数列a_{i_1}，a_{i_2}，...，a_{i_m}为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.$
$设无穷数列a_n的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若a_n的长度为s的递增子列末项的最小值为2^s-1，且长度为s末项为2^s-1的递增子列恰有2^{s-1}个(s=1，2，\ldots )，求数列a_n的通项公式.$

Solution:
$由题设知，所有正奇数都是a_{n}中的项.先证明：若2m是a_{n}中的项，则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设a_{p1},a_{p2},\ldots ,a_{p_{m-1}},2m-1是数列a_{n}的长度为m末项为2m-1的递增子列，则a_{p1},a_{p2},\ldots ,a_{p_{m-1}}，2m-1,2m是数列a_{n}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.$

$再证明：所有正偶数都是a_{n}中的项.假设存在正偶数不是a_{n}中的项，设不在a_{n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,\ldots ,m-1),所以2k和2k-1不可能在a_{n}中的同一个递增子列中.又a_{n}中不超过2m+1的数为1，2，\ldots ，2m-2,2m-1,2m+1,所以a_{n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为$
$\underset{(m-1)\text{个}}{\underbrace{2 \times 2 \times 2 \times \cdots  \times 2}}\times 1 \times 1 = 2^{m-1} < 2^m$
与已知矛盾.

$最后证明：2m排在2m-3之后(m\geq 2为整数).假设存在2m(m\geq 2),使得2m排在2m-3之前，则a_{n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2^m.与已知矛盾.综上，数列a_{n}只可能为2,1,4,3,\ldots ,2m-3,2m,2m-1,\ldots .经验证，数列2,1,4,3,\ldots ,2m-3,2m,2m-1,\ldots 符合条件.所以a_{n}=$

$\left\{\begin{matrix}n+1,n\text{为奇数},\\ n-1,n\text{为偶数}.\end{matrix}\right.$

Final answer: $a_{n}=\left\{\begin{matrix}n+1,n\text{为奇数},\\ n-1,n\text{为偶数}.\end{matrix}\right.$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时， f(x)＝-x^2+2x.$
$求函数f(x)在R上的解析式；$

Solution:
$当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)^2+2(-x)=-x^2-2x，由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(x)=-f(-x)=x^2+2x，且f(0)=0。$

$综上, f(x)=\begin{cases}-x^2+2x, & \text{if }x>0\\\\ 0, & \text{if }x=0\\\\ x^2+2x, & \text{if }x<0\end{cases}$

Final answer: $f(x)=\begin{cases}-x^2+2x, & \text{if }x>0\\\\ 0, & \text{if }x=0\\\\ x^2+2x, & \text{if }x<0\end{cases}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时， f(x)＝-x^2+2x.$
$求函数f(x)在x>0上的解析式；$

Solution:
$当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)^2+2(-x)=-x^2-2x，由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(x)=-f(-x)=x^2+2x，且f(0)=0。$

$综上, f(x)=\begin{cases}-x^2+2x, & \text{if }x>0\\\\ 0, & \text{if }x=0\\\\ x^2+2x, & \text{if }x<0\end{cases}$



Final answer: $f(x)=-x^2+2x$
Subfield: Elementary Functions


Question: $函数 f(x)=ax^2+bx-3 的图象与 x 轴交于点 (3,0) 且 f(1-x)=f(1+x)。$
求该函数的解析式；

Solution:
$因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)=ax^2+bx-3的图象关于直线x=1对称，所以\frac{b}{2a}=1，即b=-2a，又函数f(x)=ax^2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0)，所以9a+3b-3=0，解得a=1,b=-2，所以f(x)=x^2-2x-3。$

Final answer: f(x)=x^2-2x-3
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，且满足f(0) = 2， f(x+1) - f(x) = 2x + 1.$
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$因为f(x+1)-f(x)=2x+1，则有a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c = 2ax+a+b = 2x+1，则有$

$$
\begin{cases}
2a=2,\\
a+b=1,
\end{cases}
$$

$解得a=1,b=0，又因为f(0)=2，则c=2，所以f(x)=x^2+2.$

Final answer: $f(x)=x^2+2$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=2^{1-x}。$
$求f(x)、g(x)的解析式；$

Solution:
$因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，$
$所以由已知可得f(-x)-g(-x)=2^{1+x}，$
$即f(x)+g(x)=2^{1+x}，所以$
$$
\left\{
\begin{matrix}
f(x)-g(x)=2^{1-x},\\ 
f(x)+g(x)=2^{1+x},
\end{matrix}
\right.
$$
解得
$$
\left\{
\begin{matrix}
f(x)=2^x+2^{-x},\\ 
g(x)=2^x-2^{-x}.
\end{matrix}
\right.
$$



Final answer: $f(x)=2^x+2^{-x}, g(x)=2^x-2^{-x}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=ax+b+\\cos  x (a,b\in \mathbb{R})，若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=\frac{1}{2}x+2。$
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$因为f(x)=ax+b+\cos  x(a,b\in R)，$

$所以f'(x)=a-\sin  x，$

由题意得

$$
\left\{
\begin{matrix}
f(0)=b+\cos 0=2,\\ 
f '(0)=a-\sin 0=\frac{1}{2},
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
b+1=2,\\ 
a=\frac{1}{2},
\end{matrix}
\right.
$$

$所以a=\frac{1}{2}，b=1，则f(x)=\frac{1}{2}x+1+\cos  x.$

Final answer: f(x)=\frac{1}{2}x+1+\cos x
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}满足a_{n+1}-2a_n=0,a_3=8.$
$求数列a_n的通项公式；$

Solution:
$由a_{n+1}-2a_{n}=0得a_{n+1}=2a_{n}，则{a_{n}}是以2为公比的等比数列，$
$又a_{3}=8，即4a_{1}=8，解得a_{1}=2，所以a_{n}=2^{n}.$

Final answer: a_{n}=2^{n}
Subfield: Sequence


Question: $记关于x的不等式x^2-4nx+3n^2\leq 0(n\in N^)的整数解的个数为a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足4T_n=3^{n+1}-a_n-2.$
$求数列{b_n}的通项公式；$

Solution:
$由不等式x^{2}-4nx+3n^{2}\leq 0可得n\leq x\leq 3n，$
$\therefore a_{n}=2n+1，T_{n}=\frac{1}{4}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}，$
$当n=1时，b_{1}=T_{1}=1，$
$当n\geq 2时，b_{n}=T_{n}-T_{n-1}=\frac{1}{2}\times 3^{n}-\frac{1}{2}，$
$\because b_{1}=1适合上式，\therefore b_{n}=\frac{1}{2}\times 3^{n}-\frac{1}{2}，n\in N.$

Final answer: ${b_n}=\frac{1}{2}\times3^n-\frac{1}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n-1}是递增的等比数列，a_2=5且a_3+a_4=26.$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$设数列a_{n}-1的公比为q，b_n=a_n-1，则a_n=b_n+1.$

$由a_2=5得b_2=4，由a_3+a_4=26得b_3+b_4=24，$

$所以4(q+q^2)=24，解得q=2或q=-3(舍去)，所以b_{n}=b_2q^{n-2}=4\times 2^{n-2}=2^n.$

$所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^{n}+1.$

Final answer: a_n=2^{n}+1
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n-1}是递增的等比数列，a_2=5且a_3+a_4=26.$
求数列{na_n}的前n项和S_n.

Solution:
$由(1)知na_n=n \cdot 2^n +n，设A_n=1 \times 2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + \ldots  + n \times 2^n，  $
$则2A_n = 1 \times 2^2 + 2 \times 2^3 +3 \times 2^4 + \ldots  + (n-1) \times 2^n + n \times 2^{n+1}，  $
$将以上两式相减得-A_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots  + 2^n - n \times 2^{n+1} = 2 \cdot (2^n - 1) - n \times 2^{n+1} = (1-n) \cdot 2^{n+1} -2，$
$所以A_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2。  $
$设B_n = 1 + 2 + 3 + \ldots  + n = \frac{n(1+n)}{2}，  $
$则S_n = A_n + B_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2 +\frac{n(1+n)}{2} = (n-1) \cdot 2^{n+1} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} +2。$

Final answer: (n-1) \cdot 2^{n+1} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} +2
Subfield: Sequence


Question: $设数列a_n是等差数列，数列b_n是公比大于0的等比数列，已知a_1=1, b_1=3, b_2=3a_3, b_3=12a_2+3.$
$求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；$

Solution:
$设等差数列{a_n}的公差为d,等比数列{b_n}的公比为q(q>0)，根据题意得$

$$
\left\{
\begin{matrix}
3q=3(1+2d),\\ 
3q^2=12(1+d)+3,
\end{matrix}
\right.
$$
解得

$$
\left\{
\begin{matrix}
d=1,\\ 
q=3
\end{matrix}
\right.
$$
或

$$
\left\{
\begin{matrix}
d=-1,\\ 
q=-1
\end{matrix}
\right.
$$
$(舍)，所以a_n=1+(n-1)\times 1=n,b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n.$



Final answer: a_n=n,b_n=3^n
Subfield: Sequence


Question: $设数列a_n满足a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n。$
$计算a_2,a_3,猜想{a_n}的通项公式$

Solution:
$a_2=5,a_3=7.$

$猜想a_n=2n+1.由已知可得$

$a_{n+1}-(2n+3)=3[a_n-(2n+1)],$

$a_n-(2n+1)=3[a_{n-1}-(2n-1)],$

......

$a_2-5=3(a_1-3).$

$因为a_1=3，所以a_n=2n+1.$

Final answer: 5,7,a_n=2n+1
Subfield: Sequence


Question: $设数列a_n满足a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n。$
$求数列{2^na_n}的前n项和S_n.$

Solution:
$由(1)得 2^n a_n =(2n+1)2^n，$

$所以 S_n =3\times 2+5\times 2^2+7\times 2^3+\ldots +(2n+1)\times 2^n.$

①

$从而 2S_n =3\times 2^2+5\times 2^3+7\times 2^4+\ldots +(2n+1)\times 2^{n+1}.$

②

$①-②得 -S_n =3\times 2+2\times 2^2+2\times 2^3+\ldots +2\times 2^n-(2n+1)\times 2^{n+1}.$

$所以 S_n =(2n-1)2^{n+1}+2.$

Final answer: S_n =(2n-1)2^{n+1}+2
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n中，a_1=1,a_2=3，其前n项和S_n满足S_{n+1}+S_{n-1}=2S_n+2(n\geq 2,n\in N).$
求数列{a_n}的通项公式；

Solution:
$由题意得 S_{n+1}-S_n=S_n-S_{n-1}+2(n\geq 2), 即 a_{n+1}-a_n=2(n\geq 2), 又 a_2-a_1=3-1=2，所以 a_{n+1}-a_n=2(n\in N). 所以数列 {a_n} 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 a_n=2n-1(n\in N).$

Final answer: $a_n=2n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n中，a_1=1,a_2=3，其前n项和S_n满足S_{n+1}+S_{n-1}=2S_n+2(n\geq 2,n\in N).$
$若b_n=a_n+2^{a_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$b_n = a_n + 2^{a_n} = 2n - 1 + 2^{2n - 1} = 2n - 1 + \frac{1}{2} \cdot 4^n$

所以

$T_n = [1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)] + \frac{1}{2} \times (4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^n) = n^2 + \frac{2(4^n - 1)}{3}$

Final answer: T_n = n^2 + \frac{2(4^n - 1)}{3}
Subfield: Sequence


Question: $已知等比数列a_n的前n项和为S_n(n\in N^)，且\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}=\frac{2}{a_3}, S_6=63.$
$求a_{n}的通项公式；$

Solution:
$设数列a_n的公比为q，由已知，有\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_1q} = \frac{2}{a_1q^2}，解得q=2或q=-1。又由S_6=a_1\cdot \frac{1-q^6}{1-q}=63，知q\neq -1，所以a_1\cdot \frac{1-2^6}{1-2}=63，得a_1=1，所以a_n=2^{n-1}。$

Final answer: $a_n=2^{n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n={a_n}^2+a_n.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$当n=1时，2S_1=a^2_1+a_1，所以a^2_1=a_1，又a_1>0，故a_1=1;$

$当n\geq 2时，2S_{n-1}=a^2_{n-1}+a_{n-1}，而2S_n=a^2_n+a_n，两式相减得2a_n=a^2_n-a^2_{n-1}+a_n-a_{n-1}，整理得(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-1)=0，因为a_n+a_{n-1}>0，所以a_n-a_{n-1}=1，故{a_n}是以1为公差的等差数列，从而a_n=a_1+(n-1)\times 1=n.$

Final answer: a_n=n
Subfield: Sequence


Question: $设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n={a_n}^2+a_n.$
$记b_n=a^2_n\cos\frac{2a_n\pi }{3}，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_{3n}.$

Solution:
$设c_k=b_{(3k-2)}+b_{(3k-1)}+b_{(3k)}=({3k-2})^2\cos \left(2k\pi -\frac{4\pi }{3}\right)+((3k-1)^2)\cos \left(2k\pi -\frac{2\pi }{3}\right)+((3k)^2)\cos  2k\pi=-\frac{1}{2}(3k-2)^2-\frac{1}{2}(3k-1)^2+(9k)^2=9k-\frac{5}{2}，其中k\in N，所以T_{(3n)}=c_1+c_2+\ldots +c_n=\frac{n\left(9-\frac{5}{2}+9n-\frac{5}{2}\right)}{2}=\frac{9n^2+4n}{2}。$

Final answer: $\frac{9n^2+4n}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列a_n的首项为log_3{15}-log_3{10}+\frac{1}{2}log_3{4}的值，且a_3+a_7=18。$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$根据题意得，a_1=log_315-log_310+\frac{1}{2}log_34=log_3\frac{15}{10}+log_3\sqrt{4}=log_3\frac{3}{2}+log_32=log_3\left(\frac{3}{2} \times 2\right)=1，$
$设{a_n}的公差为d，则由a_3+a_7=18，得a_1+2d+a_1+6d=18，解得d=2，所以a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1.$

Final answer: $a_n=2n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列a_n的首项为log_3{15}-log_3{10}+\frac{1}{2}log_3{4}的值，且a_3+a_7=18。$
$设b_n = \frac{1}{a_na_{n+1}} ，求数列{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$由(1)可得 b_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right),$
$所以 T_n = \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \ldots + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}.$

Final answer: $\frac{n}{2n+1}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}满足 \frac{1}{3}a_1+\frac{1}{3^2}a_2+\frac{1}{3^3}a_3+\ldots +\frac{1}{3^n}a_n=n (n\in N^).$
$求数列{a_n}的通项公式;$

Solution:
$当n=1时，a_1=3，$

$当n\geq 2时，由\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{3^2}a_2+\frac{1}{3^3}a_3+\ldots +\frac{1}{3^n}a_n=n,得到 \frac{1}{3}a_1+\frac{1}{3^2}a_2+\frac{1}{3^3}a_3+\ldots +\frac{1}{3^{n-1}}a_{n-1}=n-1，$

$由① - ②得\frac{1}{3^n}a_n=n - (n - 1) = 1，即 a_n=3^n (n\geq 2)。$

$当n=1时也成立，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n(n\in N^).$

Final answer: $a_n=3^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}满足 \frac{1}{3}a_1+\frac{1}{3^2}a_2+\frac{1}{3^3}a_3+\ldots +\frac{1}{3^n}a_n=n (n\in N^).$
$设b_n=log_3a_n，求数列\left\{\frac{1}{b_nb_{n+1}b_{n+2}}\right\}的前n项和T_n。$

Solution:
$因为b_n=log_3a_n=log_33^n=n,$
$所以\frac{1}{b_{n}b_{n+1}b_{n+2}}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$
$=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right],$
$所以T_n=\frac{1}{2}\times \left[\right.\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \left]\right.=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right].$



Final answer: $T_n=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列{a_n}满足：a_3=7，a_5+a_7=26．{a_n}的前n项和为S_n．$
$求a_n及S_n；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，因为a_3=7，a_5 + a_7 = 26，所以有$
$$
\left\{\begin{matrix}a_1+2d=7,\\ 2a_1+10d=26,\end{matrix}\right.
$$
$解得a_1=3，d=2，所以a_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1，S_n = 3n + \frac{n(n-1)}{2} \times 2 = n^2 + 2n.$

Final answer: $a_n=2n+1，S_n=n^2+2n$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和S_n满足S_n=2(a_n-1),n\in N^．$
$求数列\{\frac{1}{a_n}\}的前n项和T_n；$

Solution:
$由(1)知，\frac{1}{a_n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n, 所以 T_n = \frac{\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}{1-\frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n, n\in N^.$



Final answer: $T_n = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知公差不为零的等差数列a_n的前n项和为S_n，S_3=6，a_2，a_4，a_8成等比数列，数列b_n满足b_1=1，b_{n+1}=2b_n+1.$
$求数列{a_n}和{b_n}通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d(d\neq 0)，由题意得$

$$
\begin{align*}
S_3&=3a_1+3d=6,\\
(a_1+3d)^2&=(a_1+d)(a_1+7d),
\end{align*}
$$

解得

$$
\begin{align*}
a_1&=1,\\
d&=1,
\end{align*}
$$

$故数列a_n的通项公式为a_n=n.$

$\because  b_{n+1}=2b_n+1，$

$\therefore  b_{n+1}+1=2(b_n+1)，即 \frac{b_{n+1}+1}{b_n+1}=2 (n\in N^)， $

$又 b_1=1，$

$\therefore  {b_{n}+1} 是以2为首项，2为公比的等比数列，b_n+1=2^n，\therefore b_n=2^n-1.$

Final answer: $a_n=n,b_n=2^n-1$
Subfield: Sequence


Question: $等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，满足a_1＝3，b_1＝1，b_2＋S_2＝10，a_5-2b_2＝a_3。$
$求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；$

Solution:
$设数列a_n的公差为d，数列b_n的公比为q，由$
$$
\begin{cases}
b_2+S_2=10,\\ 
a_5-2b_2=a_3,
\end{cases}
$$
得
$$
\begin{cases}
q+6+d=10,\\ 
3+4d-2q=3+2d,
\end{cases}
$$
解得
$$
\begin{cases}
d=2,\\ 
q=2.
\end{cases}
$$
$\therefore a_n＝3＋2(n-1)＝2n＋1，b_n＝2^{n-1}.$

Final answer: $a_n=2n+1,b_n=2^{n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，满足a_1＝3，b_1＝1，b_2＋S_2＝10，a_5-2b_2＝a_3。$
$让c_n = $

$$
\begin{cases}
\frac{2}{S_n}, & \text{如果 }n\text{ 是奇数} \\
b_n, & \text{如果 }n\text{ 是偶数}
\end{cases}
$$

$假设数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_{2n}。$

Solution:
$由a_1＝3，a_n＝2n＋1，得S_n＝\frac{n(a_1+a_n)}{2}＝n(n＋2)，$

$则c_n=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{n(n+2)},n\text{为奇数},\\ 2^{n-1},n\text{为偶数},\end{matrix}\right.，$

$即c_n=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2},n\text{为奇数},\\ 2^{n-1},n\text{为偶数},\end{matrix}\right.，$

$\therefore T_{2n}＝(c_1＋c_3＋\ldots ＋c_{2n-1})＋(c_2＋c_4＋\ldots ＋c_{2n})$

$=\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]＋(2＋2^3＋\ldots ＋2^{2n-1})=1-\frac{1}{2n+1}+\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{3}(4^n-1).$

Final answer: $T_{2n}=\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{3}(4^n-1)$
Subfield: Sequence


Question: $已知等比数列{a_n}为递增数列，a_1=1，a_1+2是a_2与a_3的等差中项.$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$设数列a_n的公比为q，由题意知a_2+a_3=2(a_1+2)，所以q+q^2=6，解得q=2或q=-3(舍)，所以a_n=a1q^{n-1}=2^{n-1}。$

Final answer: $a_n=2^{n-1}$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0) 的离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2}，短轴长为2.$
求椭圆$C$的标准方程.

Solution:
由题意得，$2b=2，则 b=1$，

$因为 e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，则 a^2=2，$

$因此，椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{2} + y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2} + y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0) 的离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2}，短轴长为2.$
在$圆O:x^2+y^2=3$上取一动点$P，$过$P作$椭圆$C$的两条切线，切点分别记为$M，N$，若直线$PM与PN$的斜率均存在，且分别为$k_{1}，k_{2}. 求证：k_{1}k_{2}=-1$；

Solution:
$设 P(x_0,y_0).$

$证明：设过 P 点且与椭圆 C 相切的直线方程为 y=k(x-x_0)+y_0.$
联立
$$
\left\{
\begin{matrix}
y=k(x-x_0)+y_0,\\ 
\frac{x^2}{2}+y^2=1,
\end{matrix}
\right.
$$

$消去 y，得 (1+2k^2)x^2+4k(y_0-kx_0)\cdot x+2(kx_0-y_0)^2-2=0，$
$令 \Delta=0，得 (x_0^2-2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2-1=0，故 k_1k_2=\frac{y^2_0-1}{x^2_0-2}，$
$又 x^2_0+y^2_0=3，\therefore k_1k_2=\frac{y^2_0-1}{x^2_0-2}=\frac{3-x^2_0-1}{x^2_0-2}=-1.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x_{i},y_{i}(i=1,2,\ldots ,10),试验结果如下：$
| 试验序号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $伸缩率x_{i}$ | 545 | 533 | 551 | 522 | 575 | 544 | 541 | 568 | 596 | 548 |
| $伸缩率y_{i}$ | 536 | 527 | 543 | 530 | 560 | 533 | 522 | 550 | 576 | 536 |

$记z_{i}=x_{i}-y_{i}(i=1,2,\ldots ,10),记z_{1},z_{2},\ldots ,z_{10}的样本平均数为\overline{z},样本方差为s^2.$
$判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 \overline{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)。$

Solution:
$由(1)知，\overline{z}=11，s^2=61，则\overline{z}-2\sqrt{\frac{s^2}{10}}=11-2\sqrt{\frac{61}{10}} > 0, \therefore \overline{z} \geq 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.$

Final answer: ${\overline{z} \geq2\sqrt{\frac{s^2}{10}}}，即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

<img_168>
<img_296>

$利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)。假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.$
$设函数f(c)=p(c)+q(c).当c\in [95,105]时，求f(c)在区间[95,105]的最小值.$

Solution:
$当c\in [95,100]时，$
$f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)\times 0.002+(100-c)\times 0.01+5\times 0.002=-0.008c+0.82\geq 0.02。$

$当c\in (100,105]时，$
$f(c)=p(c)+q(c)=5\times 0.002+(c-100)\times 0.012+(105-c)\times 0.002=0.01c-0.98>0.02。$

$\therefore f(c)=\begin{cases}-0.008c+0.82,& 95\leq c\leq 100,\\ 0.01c-0.98,& 100<c\leq 105,\end{cases}$

$\therefore f_{min}=0.02.$



Final answer: $0.02$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549586972958722/img/compression/M_9cb2b67c12c1b017c221601dcc6dad71.jpg)
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549586972958722/img/compression/M_92afcaeedc8090059a115e01f75f76cf.jpg)

$利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)。假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.$
$设函数f(c)=p(c)+q(c).当c\in [95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值.$

Solution:
$当c\in [95,100]时，$
$f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)\times 0.002+(100-c)\times 0.01+5\times 0.002=-0.008c+0.82\geq 0.02。$

$当c\in (100,105]时，$
$f(c)=p(c)+q(c)=5\times 0.002+(c-100)\times 0.012+(105-c)\times 0.002=0.01c-0.98>0.02。$

$\therefore f(c)=\begin{cases}-0.008c+0.82,& 95\leq c\leq 100,\\ 0.01c-0.98,& 100<c\leq 105,\end{cases}$

$\therefore f_{min}=0.02.$

Final answer: ${f(c)=\begin{cases}-0.008c+0.82,& 95\leq c\leq 100,\\ 0.01c-0.98,& 100<c\leq 105,\end{cases}, f_{min}=0.02}.$