di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，会员年龄等级分布图(年龄为整数)如图1，会员一个月内到健身房次数分布扇形图如图2.若将会员按年龄分为“年轻人”(20~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，已知在“健身达人”中有\frac{5}{6}是“年轻人”.
$<img_1509>$
图1　会员年龄等级分布图
$<img_2410>$
图2　会员一个月内到健身房次数分布扇形图
附：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图中的数据，补全下方2\times 2列联表，并判断是否有95%的把握认为是不是“健身达人”与年龄有关；年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计$

Solution:
$由题图1得“年轻人”占比为45.5％＋34.5％=80%，则样本中“年轻人”的人数为100\times 80%=80，“非年轻人”的人数为100-80=20.由题图2得“健身达人”占比为30.1％＋19.2％+10.7％=60%，则样本中“健身达人”的人数为100\times 60%=60，又“健身达人”中有\frac{5}{6}是“年轻人”，所以“健身达人”中“年轻人”的人数为60\times \frac{5}{6}=50，“非年轻人”的人数为60-50=10；“健身爱好者”的人数为100-60=40，其中“年轻人”的人数为80-50=30，“非年轻人”的人数为40-30=10.2\times 2列联表如下：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100可得\chi ^{2}=\frac{100\times (50\times 10-10\times 30)^2}{60\times 40\times 80\times 20}=\frac{25}{24}\approx 1.042<3.841，所以没有95%的把握认为是不是“健身达人”与年龄有关.$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，会员年龄等级分布图(年龄为整数)如图1，会员一个月内到健身房次数分布扇形图如图2.若将会员按年龄分为“年轻人”(20~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，已知在“健身达人”中有\frac{5}{6}是“年轻人”.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815393077493762/img/compression/M_45c64552ce67a7d4ac517547740493a3.jpg)$
图1　会员年龄等级分布图
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815393077493762/img/compression/M_0c91d08b524308e5c10c4c3a2e42eaa1.jpg)$
图2　会员一个月内到健身房次数分布扇形图
附：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(\chi ^{2}\geq k)
0.05
0.01
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
$
$(2)将(1)中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.$

Solution:
$由(1)可知，任意一名会员既是“年轻人”又是“健身达人”的概率为\frac{1}{2}，则X~B\left(3,\frac{1}{2}\right),P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}，P(X=1)=C^1_3\times \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}，P(X=2)=C^2_3\times \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}，P(X=3)=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}，故X的分布列为X0123P\frac{1}{8}\frac{3}{8}\frac{3}{8}\frac{1}{8}数学期望E(X)=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

Final answer: $X的分布列为：X=0, P=1/8；
                X=1, P=3/8；
                X=2, P=3/8；
                X=3, P=1/8。
数学期望E(X) = 3/2。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地鼓励做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制订奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在[80,90)内的市民获二等奖，成绩在[90,100]内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.$<img_1775>$
附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率；$

Solution:
$由题图得，样本中获一等奖的市民有0.006\times 10\times 50=3(名)，获二等奖的市民有0.010\times 10\times 50=5(名)，所以有8名市民获奖，42名市民没有获奖.设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_8\mathrm{C}^1_{42}}{\mathrm{C}^2_{50}}=\frac{48}{175}.$

Final answer: $\frac{48}{175}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地鼓励做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制订奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在[80,90)内的市民获二等奖，成绩在[90,100]内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815415047258114/img/compression/M_14af9dd88304b61253c67175cfc0381f.jpg)$
附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率；$

Solution:
$由题图得，样本中获一等奖的市民有0.006\times 10\times 50=3(名)，获二等奖的市民有0.010\times 10\times 50=5(名)，所以有8名市民获奖，42名市民没有获奖.设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_8\mathrm{C}^1_{42}}{\mathrm{C}^2_{50}}=\frac{48}{175}.$

Final answer: $\frac{48}{175}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地鼓励做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制订奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在[80,90)内的市民获二等奖，成绩在[90,100]内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.$<img_1775>$
附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(2)若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\sigma \approx 12，\mu 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3 000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数(结果四舍五入到整数)；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中(参加试卷竞答市民数大于300 000)随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为\xi ，求随机变量\xi 的数学期望.$

Solution:
$由题图得，\mu =45\times 0.006\times 10+55\times 0.012\times 10+65\times 0.040\times 10+75\times 0.026\times 10+85\times 0.010\times 10+95\times 0.006\times 10=69.所以X～N(69,12^{2}).①因为\mu +2\sigma =93，所以P(X\geq 93)\approx \frac{1-0.954 4}{2}=0.022 8，3 000\times 0.022 8\approx 68.故该小区试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68.②由\mu =69，得P(X\geq 69)=\frac{1}{2}，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为\frac{1}{2}，所以随机变量\xi ～B\left(4,\frac{1}{2}\right).P(\xi =0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，P(\xi =1)=C^1_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{4}，P(\xi =2)=C^2_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{8}，P(\xi =3)=C^3_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{4}，P(\xi =4)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，所以随机变量\xi 的分布列为\xi 01234P\frac{1}{16}\frac{1}{4}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{1}{16}E(\xi )=4\times \frac{1}{2}=2.$



Final answer: 2
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了更好地鼓励做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制订奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在[80,90)内的市民获二等奖，成绩在[90,100]内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815415047258114/img/compression/M_14af9dd88304b61253c67175cfc0381f.jpg)$
附：若随机变量X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(2)若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\sigma \approx 12，\mu 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3 000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数(结果四舍五入到整数)；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中(参加试卷竞答市民数大于300 000)随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为\xi ，求随机变量\xi 的分布列和数学期望.$

Solution:
$由题图得，\mu =45\times 0.006\times 10+55\times 0.012\times 10+65\times 0.040\times 10+75\times 0.026\times 10+85\times 0.010\times 10+95\times 0.006\times 10=69.所以X～N(69,12^{2}).①因为\mu +2\sigma =93，所以P(X\geq 93)\approx \frac{1-0.954 4}{2}=0.022 8，3 000\times 0.022 8\approx 68.故该小区试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68.②由\mu =69，得P(X\geq 69)=\frac{1}{2}，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为\frac{1}{2}，所以随机变量\xi ～B\left(4,\frac{1}{2}\right).P(\xi =0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，P(\xi =1)=C^1_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{4}，P(\xi =2)=C^2_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{8}，P(\xi =3)=C^3_4\times \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{4}，P(\xi =4)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}，所以随机变量\xi 的分布列为\xi 01234P\frac{1}{16}\frac{1}{4}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{1}{16}E(\xi )=4\times \frac{1}{2}=2.$

Final answer: $题目2：
①市民数不低于93分的市民数约为68；
②随机变量\xi 的分布列为\xi ：0 1 2 3 4，P：1/16 1/4 3/8 1/4 1/16，数学期望E(\xi )=2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB\parallel CD，棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量\overrightarrow{PC}与\overrightarrow{BD}的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390735405006852/img/compression/M_f59bb1636509043ab6bf9c49622d4ae4.jpg)
$(1)求CD的长度；$

Solution:
$依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390734159298562/img/compression/M_ec4ce3ca993d2365a50b378ed0828ad9.jpg)$则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0),\therefore \overrightarrow{AB}=(1,0,0),\overrightarrow{BD}=(-1,2,0).
(1分)
由AB\parallel CD，可设\overrightarrow{DC}=\lambda \overrightarrow{AB}(\lambda >0)，\therefore C(\lambda ,2,0),\therefore \overrightarrow{PC}=(\lambda ,2,-2)，
(2分)
\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{PC},\overrightarrow{BD}\rangle =\frac{\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{4-\lambda }{\sqrt{\lambda ^2+8} \cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{15}(\lambda <4)，\therefore \lambda ^{2}-12\lambda +20=0，解得\lambda =2或\lambda =10(舍去)，\therefore |CD|=2|AB|=2.
(5分)$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB\parallel CD，棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量\overrightarrow{PC}与\overrightarrow{BD}的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$<img_2726>
$(1)求CD的长度；$

Solution:
$依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2782>$则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0),\therefore \overrightarrow{AB}=(1,0,0),\overrightarrow{BD}=(-1,2,0).
(1分)
由AB\parallel CD，可设\overrightarrow{DC}=\lambda \overrightarrow{AB}(\lambda >0)，\therefore C(\lambda ,2,0),\therefore \overrightarrow{PC}=(\lambda ,2,-2)，
(2分)
\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{PC},\overrightarrow{BD}\rangle =\frac{\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{4-\lambda }{\sqrt{\lambda ^2+8} \cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{15}(\lambda <4)，\therefore \lambda ^{2}-12\lambda +20=0，解得\lambda =2或\lambda =10(舍去)，\therefore |CD|=2|AB|=2.
(5分)$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB\parallel CD，棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量\overrightarrow{PC}与\overrightarrow{BD}的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390735405006852/img/compression/M_f59bb1636509043ab6bf9c49622d4ae4.jpg)
$(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)易得\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)，\overrightarrow{PC}=(2,2,-2).(6分)设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=x-2z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=2y-2z=0,\end{matrix}\right.令z=1，则x=2，y=1，\therefore 平面PBD的一个法向量为n=(2,1,1).(8分)设直线PC与平面PBD所成的角为\theta ，\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]，(9分)则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PC},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PC}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{2\sqrt{3} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}，\therefore 直线PC与平面PBD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB\parallel CD，棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量\overrightarrow{PC}与\overrightarrow{BD}的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{15}.$<img_2726>
$(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.$

Solution:
$由(1)易得\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)，\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)，\overrightarrow{PC}=(2,2,-2).(6分)设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}=x-2z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=2y-2z=0,\end{matrix}\right.令z=1，则x=2，y=1，\therefore 平面PBD的一个法向量为n=(2,1,1).(8分)设直线PC与平面PBD所成的角为\theta ，\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]，(9分)则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PC},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PC}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{2\sqrt{3} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}，\therefore 直线PC与平面PBD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{3}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，AB\perp PB，E为棱CD的中点，且PE\perp AD.$<img_2587>
$(1)证明：PE\perp 底面ABCD；$

Solution:
$证明：如图，连接BE，BD.因为四边形ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，$<img_1642>$所以\triangle BCD为等边三角形，则BE\perp DC.
(1分)
因为AB\parallel CD，AB\perp PB，所以CD\perp PB.因为PB\cap BE=B，PB,BE\subset 平面PEB,所以DC\perp 平面PEB，
(3分)
又PE\subset 平面PEB，所以DC\perp PE，又PE\perp AD，DC\cap AD=D，DC,AD\subset 平面ABCD,所以PE\perp 底面ABCD.
(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，AB\perp PB，E为棱CD的中点，且PE\perp AD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390735765716995/img/compression/M_e2717fdb88c603de75c8e6b86ac7b479.jpg)
$(1)证明：PE\perp 底面ABCD；$

Solution:
$证明：如图，连接BE，BD.因为四边形ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390736038346754/img/compression/M_f610792a824810071da0e9f4bd3aef37.jpg)$所以\triangle BCD为等边三角形，则BE\perp DC.
(1分)
因为AB\parallel CD，AB\perp PB，所以CD\perp PB.因为PB\cap BE=B，PB,BE\subset 平面PEB,所以DC\perp 平面PEB，
(3分)
又PE\subset 平面PEB，所以DC\perp PE，又PE\perp AD，DC\cap AD=D，DC,AD\subset 平面ABCD,所以PE\perp 底面ABCD.
(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，AB\perp PB，E为棱CD的中点，且PE\perp AD.$<img_2587>
$(2)若AB=2，求二面角A－PB－C的余弦值的取值范围.$

Solution:
$设PE=t(t>0)，由(1)可知PE，EB,EC两两垂直.以点E为坐标原点，EB，EC，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，t)，A(\sqrt{3},－2,0)，B(\sqrt{3},0,0)，C(0，1，0)，\therefore \overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BP}=(－\sqrt{3},0,t)，\overrightarrow{BC}=(－\sqrt{3},1,0).
(6分)
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x+tz=0,\\ 2y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，则y=0,z=\frac{3}{t},故m=\left(\sqrt{3},0,\frac{3}{t}\right).设平面PBC的法向量为n=(x',y',z')，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x'+tz'=0,\\ -\sqrt{3}x'+y'=0,\end{matrix}\right.令x'=\sqrt{3}，则y'=3,z'=\frac{3}{t},故n=\left(\sqrt{3},3,\frac{3}{t}\right).
(10分)
\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3+\frac{9}{t^2}}{\sqrt{3+\frac{9}{t^2}} \cdot \sqrt{12+\frac{9}{t^2}}}=\frac{\sqrt{1+\frac{3}{t^2}}}{\sqrt{4+\frac{3}{t^2}}}，t>0,令a=\frac{3}{t^2}>0，则\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{4+a}}=\sqrt{1-\frac{3}{4+a}}.因为\frac{3}{4+a}\in \left(0,\frac{3}{4}\right)，所以\\cos  \langle m，n\rangle =\sqrt{1-\frac{3}{4+a}}\in \left(\frac{1}{2},1\right).由题图可知二面角A－PB－C的平面角为钝角，故二面角A－PB－C的余弦值的取值范围为\left(-1,-\frac{1}{2}\right).
(12分)$

Final answer: $(-1,-\frac{1}{2})$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle DCB=60^\circ ，AB\perp PB，E为棱CD的中点，且PE\perp AD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390735765716995/img/compression/M_e2717fdb88c603de75c8e6b86ac7b479.jpg)
$(2)若AB=2，求二面角A－PB－C的余弦值的取值范围.$

Solution:
$设PE=t(t>0)，由(1)可知PE，EB,EC两两垂直.以点E为坐标原点，EB，EC，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，t)，A(\sqrt{3},－2,0)，B(\sqrt{3},0,0)，C(0，1，0)，\therefore \overrightarrow{AB}=(0,2,0)，\overrightarrow{BP}=(－\sqrt{3},0,t)，\overrightarrow{BC}=(－\sqrt{3},1,0).
(6分)
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x+tz=0,\\ 2y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，则y=0,z=\frac{3}{t},故m=\left(\sqrt{3},0,\frac{3}{t}\right).设平面PBC的法向量为n=(x',y',z')，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x'+tz'=0,\\ -\sqrt{3}x'+y'=0,\end{matrix}\right.令x'=\sqrt{3}，则y'=3,z'=\frac{3}{t},故n=\left(\sqrt{3},3,\frac{3}{t}\right).
(10分)
\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3+\frac{9}{t^2}}{\sqrt{3+\frac{9}{t^2}} \cdot \sqrt{12+\frac{9}{t^2}}}=\frac{\sqrt{1+\frac{3}{t^2}}}{\sqrt{4+\frac{3}{t^2}}}，t>0,令a=\frac{3}{t^2}>0，则\\cos  \langle m，n\rangle =\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{4+a}}=\sqrt{1-\frac{3}{4+a}}.因为\frac{3}{4+a}\in \left(0,\frac{3}{4}\right)，所以\\cos  \langle m，n\rangle =\sqrt{1-\frac{3}{4+a}}\in \left(\frac{1}{2},1\right).由题图可知二面角A－PB－C的平面角为钝角，故二面角A－PB－C的余弦值的取值范围为\left(-1,-\frac{1}{2}\right).
(12分)$

Final answer: $(-1,-\frac{1}{2})$
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$<img_1852>
$(1)求证：OM\parallel 平面A_{1}CF_{1}；$

Solution:
$证明：以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，OO_{1}所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，$<img_1979>$则O(0，0，0)，M(0，4，6)，A_{1}(－4，－4，12)，C(4，4，0)，F_{1}(0，4，12)，\therefore \overrightarrow{A_1F_1}=(4，8，0)，\overrightarrow{CF_1}=(－4，0，12)，\overrightarrow{OM}=(0，4，6)，设平面A_{1}CF_{1}的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1F_1}=4x+8y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CF_1}=-4x+12z=0,\end{matrix}\right.取z=2，得x=6,y=-3,故n=(6，－3，2)，
(2分)
\because n\cdot \overrightarrow{OM}=6\times 0-3\times 4+2\times 6=0，\therefore n\perp \overrightarrow{OM}，\because OM不在平面A_{1}CF_{1}内，\therefore OM\parallel 平面A_{1}CF_{1}.
(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390736818487298/img/compression/M_bbe9f3af9402357adaa8be4eb0c86b0b.jpg)
$(1)求证：OM\parallel 平面A_{1}CF_{1}；$

Solution:
$证明：以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，OO_{1}所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390736038346754/img/compression/M_e8a5fe7af3623515dc4088a33364f779.jpg)$则O(0，0，0)，M(0，4，6)，A_{1}(－4，－4，12)，C(4，4，0)，F_{1}(0，4，12)，\therefore \overrightarrow{A_1F_1}=(4，8，0)，\overrightarrow{CF_1}=(－4，0，12)，\overrightarrow{OM}=(0，4，6)，设平面A_{1}CF_{1}的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1F_1}=4x+8y=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CF_1}=-4x+12z=0,\end{matrix}\right.取z=2，得x=6,y=-3,故n=(6，－3，2)，
(2分)
\because n\cdot \overrightarrow{OM}=6\times 0-3\times 4+2\times 6=0，\therefore n\perp \overrightarrow{OM}，\because OM不在平面A_{1}CF_{1}内，\therefore OM\parallel 平面A_{1}CF_{1}.
(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390736818487298/img/compression/M_bbe9f3af9402357adaa8be4eb0c86b0b.jpg)
$(2)求直线A_{1}O与平面A_{1}CF_{1}所成角的正弦值；$

Solution:
$由(1)得\overrightarrow{A_1O}=(4，4，－12)，(5分)\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{A_1O}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{A_1O} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A_1O}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-12}{4\sqrt{11} \times 7}=－\frac{3\sqrt{11}}{77}，\therefore 直线A_{1}O与平面A_{1}CF_{1}所成角的正弦值为\frac{3\sqrt{11}}{77}.(7分)$

Final answer: $\frac{3\sqrt{11}}{77}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$<img_1852>
$(2)求直线A_{1}O与平面A_{1}CF_{1}所成角的正弦值；$

Solution:
$由(1)得\overrightarrow{A_1O}=(4，4，－12)，(5分)\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{A_1O}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{A_1O} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A_1O}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-12}{4\sqrt{11} \times 7}=－\frac{3\sqrt{11}}{77}，\therefore 直线A_{1}O与平面A_{1}CF_{1}所成角的正弦值为\frac{3\sqrt{11}}{77}.(7分)$

Final answer: $\frac{3\sqrt{11}}{77}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$<img_1852>
$(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你.明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦.”卞之琳诗句中的情景其实也在我们的生活中反复上演.假如甲同学站在楼心花园的中心(O点)，她正目送着倚立在电梯厢一角的乙同学，假定甲同学的目光聚焦于棱OO_{2}的中点I，此时，电梯厢中同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，随着电梯厢向上启动，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景.现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：在电梯厢自底部(平面OECF与平面ABCD重合)运行至顶部(平面O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}与平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}重合)的过程中，求点O到平面INK距离的最大值.$

Solution:
$同(1)中所建坐标系，设I(0，0，\lambda )，\lambda \in [1，11].易知N(－4，－4，8)，K(－4，4，4)，\therefore \overrightarrow{NK}=(0，8，－4)，\overrightarrow{IK}=(－4，4，4－\lambda )，\overrightarrow{OI}=(0，0，\lambda ).设平面INK的一个法向量为m=(a，b，c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{NK}=8b-4c=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{IK}=-4a+4b+(4-\lambda )c=0,\end{matrix}\right.取b=1，得a=\frac{6-\lambda }{2},c=2,故m=\left(\frac{6-\lambda }{2},1,2\right)，(9分)\therefore 点O到平面INK的距离d=\frac{|\overrightarrow{OI} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{2\lambda }{\sqrt{\left(\frac{6-\lambda }{2}\right)^2+1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{14\left(\frac{1}{\lambda }\right)^2-3\left(\frac{1}{\lambda }\right)+\frac{1}{4}}}，\lambda \in [1,11],(11分)\therefore 当\frac{1}{\lambda }=\frac{3}{28}，即\lambda =\frac{28}{3}时，d取得最大值,为\frac{4\sqrt{70}}{5}，\therefore 点O到平面INK距离的最大值为\frac{4\sqrt{70}}{5}.(12分)$

Final answer: $4\sqrt{70}/5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $为方便师生行动，某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间，设|AB|=|BC|=8，|AA_{1}|=12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF－O_{1}E_{1}C_{1}F_{1}与正四棱柱OECF－O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}分别代表电梯井与电梯厢，设|OO_{2}|=2，M为棱FF_{1}的中点，N，K分别为棱AA_{1}，DD_{1}上的点，|AN|=8，|DK|=4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658390736818487298/img/compression/M_bbe9f3af9402357adaa8be4eb0c86b0b.jpg)
$(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你.明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦.”卞之琳诗句中的情景其实也在我们的生活中反复上演.假如甲同学站在楼心花园的中心(O点)，她正目送着倚立在电梯厢一角的乙同学，假定甲同学的目光聚焦于棱OO_{2}的中点I，此时，电梯厢中同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，随着电梯厢向上启动，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景.现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：在电梯厢自底部(平面OECF与平面ABCD重合)运行至顶部(平面O_{2}E_{2}C_{2}F_{2}与平面A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}重合)的过程中，求点O到平面INK距离的最大值.$

Solution:
$同(1)中所建坐标系，设I(0，0，\lambda )，\lambda \in [1，11].易知N(－4，－4，8)，K(－4，4，4)，\therefore \overrightarrow{NK}=(0，8，－4)，\overrightarrow{IK}=(－4，4，4－\lambda )，\overrightarrow{OI}=(0，0，\lambda ).设平面INK的一个法向量为m=(a，b，c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{NK}=8b-4c=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{IK}=-4a+4b+(4-\lambda )c=0,\end{matrix}\right.取b=1，得a=\frac{6-\lambda }{2},c=2,故m=\left(\frac{6-\lambda }{2},1,2\right)，(9分)\therefore 点O到平面INK的距离d=\frac{|\overrightarrow{OI} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{2\lambda }{\sqrt{\left(\frac{6-\lambda }{2}\right)^2+1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{14\left(\frac{1}{\lambda }\right)^2-3\left(\frac{1}{\lambda }\right)+\frac{1}{4}}}，\lambda \in [1,11],(11分)\therefore 当\frac{1}{\lambda }=\frac{3}{28}，即\lambda =\frac{28}{3}时，d取得最大值,为\frac{4\sqrt{70}}{5}，\therefore 点O到平面INK距离的最大值为\frac{4\sqrt{70}}{5}.(12分)$

Final answer: $4\sqrt{70}/5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA'，\angle ACB=90^\circ ，D，E分别为AB，BB'的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1659094367140720643/img/compression/M_e5f1a7c9e21b62784ba7ff4790daae33.jpg)
$(1)求证：\overrightarrow{CE}\perp \overrightarrow{A'D}；$

Solution:
$解法一：由题意得，CA,CB,CC'两两互相垂直.以\overrightarrow{CA}的方向为x轴正方向，\overrightarrow{CB}的方向为y轴正方向，\overrightarrow{CC'}的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系(图略).设CA=CB=CC'=2，则C(0,0,0),E(0,2,1),A'(2,0,2),D(1,1,0),A(2,0,0),C'(0,0,2).证明：易得\overrightarrow{CE}=(0,2,1)，\overrightarrow{A'D}=(-1,1，-2).\because \overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{A'D}=0，\therefore \overrightarrow{CE}\perp \overrightarrow{A'D}.
解法二：证明：设\overrightarrow{CA}=a，\overrightarrow{CB}=b，\overrightarrow{CC'}=c，根据题意知，|a|=|b|=|c|且a\cdot b=b\cdot c=c\cdot a=0.\because 向量a,b,c不共面，\therefore a，b，c可构成空间向量的一组基底，\therefore \overrightarrow{CE}=b＋\frac{1}{2}c，\overrightarrow{A'D}=-c＋\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}a，\therefore \overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{A'D}=-\frac{1}{2}c^{2}＋\frac{1}{2}b^{2}=0，\therefore \overrightarrow{CE}\perp \overrightarrow{A'D}.$

Final answer: 证明题