di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|，g(x)=-|x|+3.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549670305030146/img/compression/M_09b99161ec81141af142c65ccf0cfb77.jpg)
$证明：f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right).$

Solution:
$证明：要证f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right)，即证|2x-1|+|2x-3|+\left|x+\frac{1}{2}\right|\geq 3，只需证\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 3.\because \left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|\geq \left|x+\frac{1}{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)\right|=2，当且仅当\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)\leq 0，即-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}时，等号成立.同理，\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|\geq \left|x-\frac{1}{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)\right|=1，当且仅当\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)\leq 0，即\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}时，等号成立.又\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 0，当且仅当x=\frac{1}{2}时，等号成立，\therefore \left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 3，当且仅当x=\frac{1}{2}时，等号成立，\therefore f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right).$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|，g(x)=-|x|+3.
$<img_2258>
$证明：f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right).$

Solution:
$证明：要证f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right)，即证|2x-1|+|2x-3|+\left|x+\frac{1}{2}\right|\geq 3，只需证\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 3.\because \left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|\geq \left|x+\frac{1}{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)\right|=2，当且仅当\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)\leq 0，即-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}时，等号成立.同理，\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|\geq \left|x-\frac{1}{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)\right|=1，当且仅当\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)\leq 0，即\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}时，等号成立.又\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 0，当且仅当x=\frac{1}{2}时，等号成立，\therefore \left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{3}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|\geq 3，当且仅当x=\frac{1}{2}时，等号成立，\therefore f(x)\geq g\left(x+\frac{1}{2}\right).$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|2x+6|+|2x-4|-11，g(x)=-|x-1|.
$<img_1635>
$若g(x+t)\leq f(x)恒成立，求t的取值范围.$

Solution:
$若g(x+t)\leq f(x)恒成立，则y=g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，而y=g(x+t)的图象可由y=g(x)的图象平移得到，如图.$<img_3055>$当y=g(x+t)的图象的左侧射线过B或在B的下方或y=g(x+t)的图象的右侧射线过A或在A的下方时，g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，由(1)可得A(-3,-1),B(2,-1)，当x=-3时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|-3+t-1|=-1，解得t=5或t=3(舍去).当x=2时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|2+t-1|=-1，解得t=-2或t=0(舍去).结合图象可得t\leq -2或t\geq 5.$

Final answer: $(-\infin , -2 ] \cup [5, +\infin)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|2x+6|+|2x-4|-11，g(x)=-|x-1|.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549671479435266/img/compression/M_7d95b675b202c7f345fd347b7c742003.jpg)
$若g(x+t)\leq f(x)恒成立，求t的取值范围.$

Solution:
$若g(x+t)\leq f(x)恒成立，则y=g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，而y=g(x+t)的图象可由y=g(x)的图象平移得到，如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549671479435266/img/compression/M_0788a604dda7c19a333ee9b3cb73a512.jpg)$当y=g(x+t)的图象的左侧射线过B或在B的下方或y=g(x+t)的图象的右侧射线过A或在A的下方时，g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，由(1)可得A(-3,-1),B(2,-1)，当x=-3时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|-3+t-1|=-1，解得t=5或t=3(舍去).当x=2时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|2+t-1|=-1，解得t=-2或t=0(舍去).结合图象可得t\leq -2或t\geq 5.$

Final answer: $(-\infin , -2 ] \cup [5, +\infin)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
$<img_3081>
$求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.$

Solution:
$函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.$<img_1685>$y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为\left(-\frac{7}{6},-\frac{11}{6}\right).由图象可知当且仅当x<-\frac{7}{6}时，y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方.故不等式f(x)>f(x+1)的解集为\left(-\infty ,-\frac{7}{6}\right).$

Final answer: $(-\infty , -\frac76)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549662402961410/img/compression/M_ca8f0ea456a15171f7da7138d6d3b409.jpg)
$求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.$

Solution:
$函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549662402961410/img/compression/M_47d66386353d5310636abdb7e808ad99.jpg)$y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为\left(-\frac{7}{6},-\frac{11}{6}\right).由图象可知当且仅当x<-\frac{7}{6}时，y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方.故不等式f(x)>f(x+1)的解集为\left(-\infty ,-\frac{7}{6}\right).$

Final answer: $(-\infty , -\frac76)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480333161373697/img/compression/M_d3a9f4eb0bebdfec7d2678430b0dfde7.jpg)
$求直角三角形ABC面积的最大值；$

Solution:
$因为直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1，所以1=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geq 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=(2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{ab}，当且仅当a=b时取等号，解得0<\sqrt{ab}\leq \frac{2-\sqrt{2}}{2}，所以0所以S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\leq \frac{3-2\sqrt{2}}{4},故直角三角形ABC面积的最大值为\frac{3-2\sqrt{2}}{4}.$

Final answer: $\frac{3-2\sqrt 2}{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1.$<img_3049>
$求直角三角形ABC面积的最大值；$

Solution:
$因为直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1，所以1=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geq 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=(2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{ab}，当且仅当a=b时取等号，解得0<\sqrt{ab}\leq \frac{2-\sqrt{2}}{2}，所以0所以S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\leq \frac{3-2\sqrt{2}}{4},故直角三角形ABC面积的最大值为\frac{3-2\sqrt{2}}{4}.$

Final answer: $\frac{3-2\sqrt 2}{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1.$<img_3049>
$求正方形ABDE面积的最小值.$

Solution:
$易得正方形ABDE的面积为a^{2}+b^{2}，因为2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}，当且仅当a=b时取等号，所以a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)},所以1=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{a^2+b^2}=(\sqrt{2}+1)\sqrt{a^2+b^2}，所以a^{2}+b^{2}\geq (\sqrt{2}－1)^{2}=3－2\sqrt{2}，所以正方形ABDE面积的最小值为3-2\sqrt{2}.$

Final answer: $3-2\sqrt 2$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a，b，且直角三角形ABC的周长为1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480333161373697/img/compression/M_d3a9f4eb0bebdfec7d2678430b0dfde7.jpg)
$求正方形ABDE面积的最小值.$

Solution:
$易得正方形ABDE的面积为a^{2}+b^{2}，因为2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}，当且仅当a=b时取等号，所以a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)},所以1=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{a^2+b^2}=(\sqrt{2}+1)\sqrt{a^2+b^2}，所以a^{2}+b^{2}\geq (\sqrt{2}－1)^{2}=3－2\sqrt{2}，所以正方形ABDE面积的最小值为3-2\sqrt{2}.$

Final answer: $3-2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)＝1＋\frac{x-|x|}{4}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480376377171969/img/compression/M_6a012f88a219a16f33145fa0e9d6ce6d.jpg)
$用分段函数的形式表示函数f(x)；$

Solution:
$当x\geq 0时， f(x)＝1＋\frac{x-x}{4}＝1；当x<0时， f(x)＝1＋\frac{x+x}{4}＝\frac{1}{2}x＋1.所以f(x)＝\left\{\begin{matrix}1,x\geq 0,\\ \frac{1}{2}x+1,x<0.\end{matrix}\right.$

Final answer: $f(x)＝1， x\geq 0
f(x)＝\frac{1}{2}x+1， x<0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)＝1＋\frac{x-|x|}{4}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664480376377171969/img/compression/M_6a012f88a219a16f33145fa0e9d6ce6d.jpg)
$在给定平面直角坐标系中画出函数g(x)＝\frac{1}{x}(x>0)的图象，通过观察图象，直接写出当x>0时不等式f(x)>\frac{1}{x}的解集.$

Solution:
$函数g(x)＝\frac{1}{x}(x>0)的图象如(2)中所示.当x>0时，若f(x)>\frac{1}{x}，则f(x)的图象在g(x)的图象的上方，所以由(2)中图象可知f(x)>\frac{1}{x}的解集是{x|x>1}.$

Final answer: $(1, +\infin)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)＝1＋\frac{x-|x|}{4}.
$<img_1656>
$在给定平面直角坐标系中画出函数g(x)＝\frac{1}{x}(x>0)的图象，通过观察图象，直接写出当x>0时不等式f(x)>\frac{1}{x}的解集.$

Solution:
$函数g(x)＝\frac{1}{x}(x>0)的图象如(2)中所示.当x>0时，若f(x)>\frac{1}{x}，则f(x)的图象在g(x)的图象的上方，所以由(2)中图象可知f(x)>\frac{1}{x}的解集是{x|x>1}.$

Final answer: $(1, +\infin)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(\right.A>0,\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267780362924033/img/compression/M_8b325fc5c7ac5aeaf8f5180625df1c72.jpg)
$直接写出\omega 的值；$

Solution:
$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\times \frac{\pi }{2}}=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(\right.A>0,\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$<img_2009>
$直接写出\omega 的值；$

Solution:
$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\times \frac{\pi }{2}}=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(\right.A>0,\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267780362924033/img/compression/M_8b325fc5c7ac5aeaf8f5180625df1c72.jpg)
$再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]上的最小值.条件①：直线x=\frac{7\pi }{12}为函数y=f(x)的图象的一条对称轴；条件②：\left(\frac{\pi }{3},0\right)为函数y=f(x)的图象的一个对称中心.$

Solution:
$选条件①：\because 直线x=\frac{7\pi }{12}是y=f(x)图象的一条对称轴，结合图象可知\\sin  \left(2\times \frac{7\pi }{12}+\varphi \right)=-1，\therefore \frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z,\therefore \phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in Z,又|\phi |<\frac{\pi }{2}，\therefore \phi =\frac{\pi }{3},\therefore f \left(\frac{\pi }{2}\right)=A\\sin  \left(2\times \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3},\therefore A=2，\therefore f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).当x\in \left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]时，2x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right],\therefore 2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\in [1,2].\therefore f(x)在\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]上的最小值为1.选条件②：\because \left(\frac{\pi }{3},0\right)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，结合图象可知\\sin  \left(2\times \frac{\pi }{3}+\varphi \right)=0，即\frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi ,k\in Z，\therefore \phi =k\pi -\frac{2\pi }{3},k\in Z，又|\phi |<\frac{\pi }{2},\therefore \phi =\frac{\pi }{3}.下同选条件①.$

Final answer: $1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )\left(\right.A>0,\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\left)\right.的部分图象如图所示.$<img_2009>
$再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]上的最小值.条件①：直线x=\frac{7\pi }{12}为函数y=f(x)的图象的一条对称轴；条件②：\left(\frac{\pi }{3},0\right)为函数y=f(x)的图象的一个对称中心.$

Solution:
$选条件①：\because 直线x=\frac{7\pi }{12}是y=f(x)图象的一条对称轴，结合图象可知\\sin  \left(2\times \frac{7\pi }{12}+\varphi \right)=-1，\therefore \frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z,\therefore \phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in Z,又|\phi |<\frac{\pi }{2}，\therefore \phi =\frac{\pi }{3},\therefore f \left(\frac{\pi }{2}\right)=A\\sin  \left(2\times \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3},\therefore A=2，\therefore f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).当x\in \left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]时，2x+\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right],\therefore 2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\in [1,2].\therefore f(x)在\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}\right]上的最小值为1.选条件②：\because \left(\frac{\pi }{3},0\right)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，结合图象可知\\sin  \left(2\times \frac{\pi }{3}+\varphi \right)=0，即\frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi ,k\in Z，\therefore \phi =k\pi -\frac{2\pi }{3},k\in Z，又|\phi |<\frac{\pi }{2},\therefore \phi =\frac{\pi }{3}.下同选条件①.$

Final answer: $1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，且a=1.
$<img_2186>
$求角B；$

Solution:
$因为a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，所以由正弦定理得\\sin   A\\sin   \frac{A+C}{2}=\\sin   B\\sin   A，因为A\in (0,\pi ),A+C=\pi -B，所以\\sin  \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\\sin   B，即\\cos   \frac{B}{2}=\\sin   B，所以\\cos   \frac{B}{2}=2\\sin   \frac{B}{2}\\cos   \frac{B}{2}，因为B\in (0,\pi )，所以\frac{B}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\\cos   \frac{B}{2}\neq 0，所以\\sin   \frac{B}{2}=\frac{1}{2}，所以\frac{B}{2}=\frac{\pi }{6}，即B=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，且a=1.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629636101369857/img/compression/M_2c607d3c6571b892b2ae592108c4bd07.jpg)
$求角B；$

Solution:
$因为a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，所以由正弦定理得\\sin   A\\sin   \frac{A+C}{2}=\\sin   B\\sin   A，因为A\in (0,\pi ),A+C=\pi -B，所以\\sin  \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\\sin   B，即\\cos   \frac{B}{2}=\\sin   B，所以\\cos   \frac{B}{2}=2\\sin   \frac{B}{2}\\cos   \frac{B}{2}，因为B\in (0,\pi )，所以\frac{B}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\\cos   \frac{B}{2}\neq 0，所以\\sin   \frac{B}{2}=\frac{1}{2}，所以\frac{B}{2}=\frac{\pi }{6}，即B=\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，且a=1.
$<img_2186>
$若AC=BC，在\triangle ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，将\triangle ADE沿DE折叠，使顶点A正好落在边BC(设为点P)上，求AD的最小值.$

Solution:
$因为AC=BC,B=\frac{\pi }{3}，所以\triangle ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1，设AD=m(0在\triangle BPD中，由余弦定理的推论得\\cos   B=\frac{BP^2+BD^2-PD^2}{2BP\cdot BD}=\frac{BP^2+{(1-m)}^2-m^2}{2BP\cdot (1-m)}=\frac{1}{2}，整理得BP^{2}+1-2m=BP\cdot (1-m)，设BP=x,0\leq x\leq 1，所以m=\frac{x^2-x+1}{2-x}=\frac{{(2-x)}^2-3(2-x)+3}{2-x}=2-x+\frac{3}{2-x}-3，由0\leq x\leq 1，得1\leq 2-x\leq 2，所以m=2-x+\frac{3}{2-x}-3\geq 2\sqrt{3}-3，当且仅当2-x=\frac{3}{2-x}=\sqrt{3}时等号成立，此时x=2-\sqrt{3}，所以AD的最小值为2\sqrt{3}-3.$

Final answer: $2\sqrt 3 - 3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，a\\sin   \frac{A+C}{2}=b\\sin   A，且a=1.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629636101369857/img/compression/M_2c607d3c6571b892b2ae592108c4bd07.jpg)
$若AC=BC，在\triangle ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，将\triangle ADE沿DE折叠，使顶点A正好落在边BC(设为点P)上，求AD的最小值.$

Solution:
$因为AC=BC,B=\frac{\pi }{3}，所以\triangle ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1，设AD=m(0在\triangle BPD中，由余弦定理的推论得\\cos   B=\frac{BP^2+BD^2-PD^2}{2BP\cdot BD}=\frac{BP^2+{(1-m)}^2-m^2}{2BP\cdot (1-m)}=\frac{1}{2}，整理得BP^{2}+1-2m=BP\cdot (1-m)，设BP=x,0\leq x\leq 1，所以m=\frac{x^2-x+1}{2-x}=\frac{{(2-x)}^2-3(2-x)+3}{2-x}=2-x+\frac{3}{2-x}-3，由0\leq x\leq 1，得1\leq 2-x\leq 2，所以m=2-x+\frac{3}{2-x}-3\geq 2\sqrt{3}-3，当且仅当2-x=\frac{3}{2-x}=\sqrt{3}时等号成立，此时x=2-\sqrt{3}，所以AD的最小值为2\sqrt{3}-3.$

Final answer: $2\sqrt 3 - 3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，P为\triangle ABC内一点，\angle BAP记为\alpha ，\angle ABP记为\beta ，且\alpha ，\beta 在\triangle ABP中的对边分别记为m，n，(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，\alpha ，\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).$<img_1944>
$求\angle APB；$

Solution:
$因为(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，所以由正弦定理可得(2\\sin   \alpha +\\sin   \beta )\\sin   \beta =\sqrt{3}\\sin   \beta \cdot \\cos   \beta ，因为\\sin   \beta \neq 0，所以2\\sin   \alpha +\\sin   \beta =\sqrt{3}\\cos   \beta ，即\\sin   \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos   \beta -\frac{1}{2}\\sin   \beta ，所以\\sin   \alpha =\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-\beta \right).因为\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)，所以\frac{\pi }{3}-\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)，又\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right),所以\alpha =\frac{\pi }{3}-\beta ，则\alpha +\beta =\frac{\pi }{3}，所以\angle APB=\pi -(\alpha +\beta )=\frac{2\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{2\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，P为\triangle ABC内一点，\angle BAP记为\alpha ，\angle ABP记为\beta ，且\alpha ，\beta 在\triangle ABP中的对边分别记为m，n，(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，\alpha ，\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629636457885698/img/compression/M_f4c54801e4af1046bd3fa8e8dbc976ef.jpg)
$求\angle APB；$

Solution:
$因为(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，所以由正弦定理可得(2\\sin   \alpha +\\sin   \beta )\\sin   \beta =\sqrt{3}\\sin   \beta \cdot \\cos   \beta ，因为\\sin   \beta \neq 0，所以2\\sin   \alpha +\\sin   \beta =\sqrt{3}\\cos   \beta ，即\\sin   \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos   \beta -\frac{1}{2}\\sin   \beta ，所以\\sin   \alpha =\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-\beta \right).因为\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)，所以\frac{\pi }{3}-\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)，又\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right),所以\alpha =\frac{\pi }{3}-\beta ，则\alpha +\beta =\frac{\pi }{3}，所以\angle APB=\pi -(\alpha +\beta )=\frac{2\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{2\pi }{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，P为\triangle ABC内一点，\angle BAP记为\alpha ，\angle ABP记为\beta ，且\alpha ，\beta 在\triangle ABP中的对边分别记为m，n，(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，\alpha ，\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).$<img_1944>
$若AB=2\sqrt{3}，BP=2，PC=\sqrt{3}，记\angle APC=\theta ，求线段AP的长和\triangle ABC面积的最大值.$

Solution:
$在\triangle APB中，由余弦定理得知：AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}-2AP\cdot BP\cdot \\cos  \angle APB，即12=AP^{2}+4+2AP，因为AP>0，所以AP=2.因为\angle APB+\angle BPC+\angle APC=2\pi ，所以\angle BPC=2\pi -\frac{2\pi }{3}-\theta =\frac{4\pi }{3}-\theta .S_{\triangle ABC}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}AP\cdot BP\cdot \\sin  \angle APB+\frac{1}{2}\cdot AP\cdot CP\cdot \\sin  \angle APC+\frac{1}{2}BP\cdot CP\cdot \\sin  \angle BPC=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \\sin   \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \\sin   \theta +\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \\sin   \left(\frac{4\pi }{3}-\theta \right) =\sqrt{3}+\sqrt{3}\left[\\\sin    \theta +\\\sin   \left(\frac{4\pi }{3}-\theta \right)\right]=\sqrt{3}+\sqrt{3}\left(\\\sin    \theta +\\\sin    \frac{4\pi }{3}\\\cos    \theta -\\\cos    \frac{4\pi }{3}\\\sin    \theta \right)=\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \left(\\\sin    \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos    \theta +\frac{1}{2}\\\sin    \theta \right)=\sqrt{3}+\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}\\\sin    \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos    \theta \right)=\sqrt{3}+3\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)，0<\theta <\pi .因为-\frac{\pi }{6}<\theta -\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}，所以当\theta -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}，即\theta =\frac{2\pi }{3}时，\triangle ABC面积取最大值\sqrt{3}+3.$

Final answer: $2$, $ \sqrt 3+3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，P为\triangle ABC内一点，\angle BAP记为\alpha ，\angle ABP记为\beta ，且\alpha ，\beta 在\triangle ABP中的对边分别记为m，n，(2m+n)\\sin   \beta =\sqrt{3}n\\cos   \beta ，\alpha ，\beta \in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629636457885698/img/compression/M_f4c54801e4af1046bd3fa8e8dbc976ef.jpg)
$若AB=2\sqrt{3}，BP=2，PC=\sqrt{3}，记\angle APC=\theta ，求线段AP的长和\triangle ABC面积的最大值.$

Solution:
$在\triangle APB中，由余弦定理得知：AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}-2AP\cdot BP\cdot \\cos  \angle APB，即12=AP^{2}+4+2AP，因为AP>0，所以AP=2.因为\angle APB+\angle BPC+\angle APC=2\pi ，所以\angle BPC=2\pi -\frac{2\pi }{3}-\theta =\frac{4\pi }{3}-\theta .S_{\triangle ABC}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}AP\cdot BP\cdot \\sin  \angle APB+\frac{1}{2}\cdot AP\cdot CP\cdot \\sin  \angle APC+\frac{1}{2}BP\cdot CP\cdot \\sin  \angle BPC=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \\sin   \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \\sin   \theta +\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \\sin   \left(\frac{4\pi }{3}-\theta \right) =\sqrt{3}+\sqrt{3}\left[\\\sin    \theta +\\\sin   \left(\frac{4\pi }{3}-\theta \right)\right]=\sqrt{3}+\sqrt{3}\left(\\\sin    \theta +\\\sin    \frac{4\pi }{3}\\\cos    \theta -\\\cos    \frac{4\pi }{3}\\\sin    \theta \right)=\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \left(\\\sin    \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos    \theta +\frac{1}{2}\\\sin    \theta \right)=\sqrt{3}+\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}\\\sin    \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos    \theta \right)=\sqrt{3}+3\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)，0<\theta <\pi .因为-\frac{\pi }{6}<\theta -\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}，所以当\theta -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}，即\theta =\frac{2\pi }{3}时，\triangle ABC面积取最大值\sqrt{3}+3.$

Final answer: $2$, $ \sqrt 3+3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right).$
$用五点作图法在下面坐标系中作出上述函数在\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]上的图象；\left(\right.坐标系中每个小矩形的宽为\frac{\pi }{12}\left)\right.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455991987871745/img/compression/M_447ab295474034cd3bbcfe0c53ec6db4.jpg)

Solution:
$因为x\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]，所以2x-\frac{\pi }{3}\in [0,2\pi ]，列表如下：
x
\frac{\pi }{6}
\frac{5\pi }{12}
\frac{2\pi }{3}
\frac{11\pi }{12}
\frac{7\pi }{6}
2x-\frac{\pi }{3}
0
\frac{\pi }{2}
\pi 
\frac{3\pi }{2}
2\pi 
y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)
0
3
0
-3
0
描点、连线，得到图象如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664455990725386242/img/compression/M_6e4bb727d12e7b14b5e0683a7fb1b9c9.jpg)$
$

Final answer: $0, 3, 0, -3, 0$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right).$
$用五点作图法在下面坐标系中作出上述函数在\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]上的图象；\left(\right.坐标系中每个小矩形的宽为\frac{\pi }{12}\left)\right.$<img_2353>

Solution:
$因为x\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]，所以2x-\frac{\pi }{3}\in [0,2\pi ]，列表如下：
x
\frac{\pi }{6}
\frac{5\pi }{12}
\frac{2\pi }{3}
\frac{11\pi }{12}
\frac{7\pi }{6}
2x-\frac{\pi }{3}
0
\frac{\pi }{2}
\pi 
\frac{3\pi }{2}
2\pi 
y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)
0
3
0
-3
0
描点、连线，得到图象如下：$<img_2110>$
$

Final answer: $0, 3, 0, -3, 0$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right).$
$函数y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)的图象可以由函数y=\\sin   x的图象怎样变换而来？$

Solution:
$先把y=\\sin   x的图象向右平移\frac{\pi }{3}个单位长度，得到y=\\sin  \left(x-\frac{\pi }{3}\right)的图象；然后把y=\\sin  \left(x-\frac{\pi }{3}\right)的图象上所有点的横坐标变为原来的\frac{1}{2}(纵坐标不变)，得到y=\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)的图象；最后把y=\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)，得到y=3\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)的图象.$

Final answer: $y=3\sin (x-\pi /3)的图象可以由函数y=\sin  x的图象向右平移\pi /3个单位长度，然后将横坐标缩小为原来的1/2，最后将纵坐标放大为原来的3倍得到。$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=\sqrt{2}\\sin  (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664456002146476033/img/compression/M_d9c07a5caff94d1d532c7865dbd2c1bc.jpg)
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知\frac{3T}{4}=\frac{9\pi }{8}-\frac{3\pi }{8}，得T=\pi ，\therefore \omega =\frac{2\pi }{\pi }=2，则f(x)=\sqrt{2}\\sin  (2x+\phi )，又f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=\sqrt{2}，\therefore \\sin  \left(2 \times \frac{3\pi }{8}+\varphi \right)=1，即\\sin  \left(\frac{3\pi }{4}+\varphi \right)=1,因此\frac{3\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z，\therefore \phi =-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in Z，又|\phi |\leq \frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{4}，故f(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{4}\right).$

Final answer: $f(x)=\sqrt 2\sin (2x-\frac{\pi}4)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=\sqrt{2}\\sin  (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图所示.$<img_2144>
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知\frac{3T}{4}=\frac{9\pi }{8}-\frac{3\pi }{8}，得T=\pi ，\therefore \omega =\frac{2\pi }{\pi }=2，则f(x)=\sqrt{2}\\sin  (2x+\phi )，又f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=\sqrt{2}，\therefore \\sin  \left(2 \times \frac{3\pi }{8}+\varphi \right)=1，即\\sin  \left(\frac{3\pi }{4}+\varphi \right)=1,因此\frac{3\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z，\therefore \phi =-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in Z，又|\phi |\leq \frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{4}，故f(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(2x-\frac{\pi }{4}\right).$

Final answer: $f(x)=\sqrt 2\sin (2x-\frac{\pi}4)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=\sqrt{2}\\sin  (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\varphi |\leq \frac{\pi }{2}\right)的部分图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664456002146476033/img/compression/M_d9c07a5caff94d1d532c7865dbd2c1bc.jpg)
$将函数f(x)的图象向左平移\frac{\pi }{4}个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)-m=0在区间\left[0,\frac{3\pi }{4}\right]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.$

Solution:
$由题意得g(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(x+\frac{\pi }{4}\right)，g(x)-m=0在区间\left[0,\frac{3\pi }{4}\right]上有两个不同的实数解，即直线y=m与函数g(x)=\sqrt{2}\\sin  \left(x+\frac{\pi }{4}\right)的图象有两个不同的交点，画出y=g(x)在\left[0,\frac{3\pi }{4}\right]上的图象及直线y=m,如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1664456006579855362/img/compression/M_fdca65200d4778c663c947b1ab02f502.jpg)$由图可知，若g(x)-m=0在\left[0,\frac{3\pi }{4}\right]上有两个不同的实数解，则m\in [1,\sqrt{2}).$

Final answer: $[1,\sqrt 2)$