di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Conic Sections


Question: $设抛物线C：y^2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.$
$求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.$

Solution:
$由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.$
$设所求圆的圆心坐标为x_0, y_0，则$
$$
\begin{align*}
y_0 &= -x_0+5,\\
(x_0+1)^2 &= \frac{(y_0-x_0+1)^2}{2}+16.
\end{align*}
$$
解得
$$
\begin{align*}
x_0 = 3,\\ 
y_0 = 2
\end{align*}
$$
或
$$
\begin{align*}
x_0 = 11,\\ 
y_0 = -6
\end{align*}
$$
$因此所求圆的方程为(x-3)^2+(y-2)^2=16或(x-11)^2+(y+6)^2=144.$

Final answer: $(x-3)^2+(y-2)^2=16，(x-11)^2+(y+6)^2=144$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $设函数f(x)=\sin x, x \in R。$
$已知\theta\in [0，2\pi )，函数f(x+\theta)是偶函数，求\theta的值；$

Solution:
$因为f(x+\theta)=\sin(x+\theta)是偶函数,所以对任意实数x都有\sin(x+\theta)=\sin(-x+\theta),即\sin x\cos \theta+\cos x\sin \theta=-\sin x\cos \theta+\cos x\sin \theta, 故2\sin x\cos \theta=0,所以\cos \theta=0.又\theta\in[0，2\pi)，因此\theta=\frac{\pi }{2}或\frac{3\pi }{2}.$

Final answer: $\frac{\pi }{2}，\frac{3\pi }{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的首项为1，对任意的n \in N^，定义b_n = a_{n+1} - a_n.$
$若b_{n+1}b_{n-1}=b_{n} (n\geq 2)，且b_{1}=a,b_{2}=b (ab\neq 0).$
$当a=1,b=2时，求数列{b_{n}}的前3n项的和；$

Solution:
$因为b_{n+1}b_{n-1}=b_{n}(n\geq 2)$

$所以，对任意的n\in N^{}有b_{n+6}=\frac{b_{n+5}}{b_{n+4}}=\frac{1}{b_{n+3}}=\frac{b_{n+1}}{b_{n+2}}=b_{n}，$

$即数列{b_{n}}各项的值重复出现，周期为6.又数列{b_{n}}的前6项分别为1,2,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}，且这6个数的和为7.$
$设数列{b_{n}}的前n项和为S_{n}，$

$当n=2k(k\in N^{})时，$

$S_{3n}=S_{6k}=k(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6})=7k，$

$当n=2k+1(k\in N^{})时，$

$S_{3n}=S_{6k+3}=k(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6})+b_{6k+1}+b_{6k+2}+b_{6k+3}$

$=7k+b_{1}+b_{2}+b_{3}=7k+5，$

$所以，当n为偶数时，S_{3n}=\frac{7}{2}n；当n为奇数时，S_{3n}=\frac{7n+3}{2}.$

Final answer: $S_{3n}= \frac{7}{2}n，S_{3n}=\frac{7n+3}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某企业招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下：

|岗位|男性应聘人数|男性录用人数|男性录用比例|女性应聘人数|女性录用人数|女性录用比例|
|--- |--- |--- |--- |--- |--- |--- |
|A|269|167|62%|40|24|60%|
|B|40|12|30%|202|62|31%|
|C|177|57|32%|184|59|32%|
|D|44|26|59%|38|22|58%|
|E|3|2|67%|3|2|67%|
|总计|533|264|50%|467|169|36%|
表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于5%)，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.(只需写出结论)

Solution:
这四种岗位是B、C、D、E.

Final answer: B、C、D、E
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

<img_175>
已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数比的值.

Solution:
$由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)\times 10\times 100=60,$

$所以样本中分数不小于70的男生人数为60\times \frac{1}{2}=30.$

$所以样本中的男生人数为30\times 2=60,女生人数为100-60=40,故男生和女生人数的比例为60:40=3:2.$

所以总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.

Final answer: $3/2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

![18GZTWS23.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876472266166273/img/compression/M_58fb70c426e86c186d88b39069d27ff9.jpg)
已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数比的值.

Solution:
$由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)\times 10\times 100=60,$

$所以样本中分数不小于70的男生人数为60\times \frac{1}{2}=30.$

$所以样本中的男生人数为30\times 2=60,女生人数为100-60=40,故男生和女生人数的比例为60:40=3:2.$

所以总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.

Final answer: $3/2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.

Solution:
①我不愿意再次参加该项抽奖活动.

$理由1：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则E(Y)=E(X)-3=-\frac{3}{7}<0. 因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.$

$理由2：记“某位消费者在一次抽奖活动中能获得奖券”为事件B，则P(B)=\frac{1}{35}+\frac{16}{35}=\frac{17}{35}. 因为中奖概率不足\frac{1}{2}，所以我不愿意再次参加该项抽奖活动.$

②我愿意再次参加该项抽奖活动.

$理由：记“某位消费者在一次抽奖活动中能获得奖券”为事件B，则P(B)=\frac{1}{35}+\frac{16}{35}=\frac{17}{35}. 因为中奖概率接近\frac{1}{2}，所以我愿意再次参加该项抽奖活动.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动。各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务)。参与A, B, C三个社区的志愿者服务情况如下表：

| 社区 | 社区服务总人数 | 现场值班值守 | 社区消毒 | 远程教育宣传 | 心理咨询 |
| ---- | ------ | ----- | ---- | ---- | ---- |
| A | 100 | 30 | 30 | 20 | 20 |
| B | 120 | 40 | 35 | 20 | 25 |
| C | 150 | 50 | 40 | 30 | 30 |
$从三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；$

Solution:
$由题表可知，A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为 \frac{3}{10}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}. $

$X的所有可能取值为0，1，2，3.$

$P(X=0)=\frac{7}{10} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{45},$

$P(X=1)=\frac{3}{10} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{7}{10} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9},$

$P(X=2)=\frac{3}{10} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{10} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{19}{90},$

$P(X=3)=\frac{3}{10} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{30}.$

$X的分布列为 $

| $X$ | 0   | 1  | 2 | 3 |
| --- |---  |--- |---|---|
| $P$ | $\frac{14}{45}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{19}{90}$ | $\frac{1}{30}$ |

Final answer: $X的分布列为 $

| $X$ | 0   | 1  | 2 | 3 |
| --- |---  |--- |---|---|
| $P$ | $\frac{14}{45}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{19}{90}$ | $\frac{1}{30}$ |
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$\left\{\begin{matrix}x=3\cos  \theta ,\\ y=\sin  \theta \end{matrix}\right.$
$(\theta为参数)，直线l的参数方程为$
$\left\{\begin{matrix}x=a+4t,\\ y=1-t\end{matrix}\right.$
$(t为参数)。$
$若C上的点到l距离的最大值为\sqrt{17}，求a。$

Solution:
$直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点(3cos \theta ，sin \theta )到l的距离为d=\frac{|3\cos \theta +4\sin \theta -a-4|}{\sqrt{17}}。$

$当a\geq -4时，d的最大值为\frac{a+9}{\sqrt{17}}，由题设得\frac{a+9}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}，所以a=8；$

$当a＜-4时，d的最大值为\frac{-a+1}{\sqrt{17}}，由题设得\frac{-a+1}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}，所以a=-16。$

综上，$a=8或a=-16$.

Final answer: $a=8，a=-16$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的一个顶点为A(0，-3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点.$
$已知点C满足3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.$

Solution:
$因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，所以AB\perp CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在(由于A为椭圆的一个顶点，B为非顶点，$$直线AB与圆C相切，故直线AB，CP斜率均存在).设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组$
$$
\left\{
\begin{matrix}
y=kx-3,\\ 
\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1,
\end{matrix}
\right.
$$
$消去y，可得(2k^2+1)x^2-12kx=0，解得x=0，或x=\frac{12k}{2k^2+1}.依题意，可得点B的坐标为\left(\frac{12k}{2k^2+1},\frac{6k^2-3}{2k^2+1}\right).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，-3)，所以点P的坐标为\left(\frac{6k}{2k^2+1},\frac{-3}{2k^2+1}\right)(中点坐标公式).$



$由3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率为\frac{\frac{-3}{2k^2+1}-0}{\frac{6k}{2k^2+1}-1}，即\frac{3}{2k^2-6k+1}.又因为AB\perp CP，所以k\cdot \frac{3}{2k^2-6k+1}=-1(两直线垂直，斜率之积为-1)，整理得2k^2-3k+1=0，解得k=\frac{1}{2}，或k=1.$



$所以，直线AB的方程为y=\frac{1}{2}x-3，或y=x-3.$

Final answer: $y=\frac{1}{2}x-3，y=x-3$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的一个顶点为(0,-1)，一个焦点为(1,0).$
$已知点P(0,2)，过原点O的直线交椭圆C于M,N两点，直线PM与椭圆C的另一个交点为Q.若\triangle MNQ的面积等于\frac{4\sqrt{2}}{5}，求直线PM的斜率.$

Solution:
$设直线PM的方程为y=kx+2(k \neq  0)，  $
$由 \left\{\begin{matrix}y=kx+2,\\ \frac{x^2}{2}+y^2=1\end{matrix}\right. 消去y得(1+2k^2)x^2+8kx+6=0，  $
$由 \Delta=(8k)^2-4(1+2k^2)\times 6>0，解得k^2>\frac{3}{2} ，  $
$设M(x_1,y_1), Q(x_2, y_2)，则x_1+x_2=\frac{-8k}{1+2k^2}, x_1x_2=\frac{6}{1+2k^2},  $
$根据椭圆的对称性知S_{\triangle OMQ}=S_{\triangle ONQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle MNQ}=\frac{2\sqrt{2}}{5},  $
$所以S_{\triangle OMQ}=|S_{\triangle POQ}-S_{\triangle POM}|=|\frac{1}{2}\times 2|x_2|-\frac{1}{2}\times 2|x_1||  $
$=|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}  $
$=\sqrt{\frac{64k^2}{(1+2k^2)^2}-\frac{24}{1+2k^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{5} ，(或设O到直线PM的距离为d，则d=\frac{2}{\sqrt{1+k^2}},  $
$|MQ|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{(1+k^2)\left[\frac{64k^2}{(1+2k^2)^2}-\frac{24}{1+2k^2}\right]}.  $
$S_{\triangle OMQ}=\frac{1}{2}d\cdot |MQ|=\frac{1}{2}\times\frac{2}{\sqrt{1+k^2}}\times\sqrt{(1+k^2)\left[\frac{64k^2}{(1+2k^2)^2}-\frac{24}{1+2k^2}\right]}=\frac{2\sqrt{2}}{5} )。  $
$整理得2k^4-23k^2+38=0，  $
$解得k^2=2或k^2=\frac{19}{2}， \left({\text{满足}}k^2>\frac{3}{2}\right)    $
$所以k=\pm \sqrt{2}或k=\pm \frac{\sqrt{38}}{2}.$

Final answer: $-\sqrt{2}，\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{38}}{2}，\frac{\sqrt{38}}{2}$
Subfield: Conic Sections


Question: $椭圆M: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的左顶点为А(-2,0),离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$已知经过点 (0,\frac{\sqrt{3}}{2}) 的直线 l 交椭圆 M 于 B,C 两点, D 是直线 x =-4 上一点. 若四边形 ABCD 为平行四边形, 求直线 l 的方程.$

Solution:
当直线l的斜率不存在时,四边形ABCD不可能为平行四边形。

$当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+\frac{\sqrt{3}}{2},由\left\{\begin{matrix}y=kx+\frac{\sqrt{3}}{2},\\ x^2+4y^2=4\end{matrix}\right.消去y得(1+4k^2)x^2+4\sqrt{3}kx-1=0。$

$\Delta =(4\sqrt{3}k)^2+4(1+4k^2)=4(16k^2+1)>0。$

$设B(x_1,y_1),C(x2,y2),则x1,2=\frac{-4\sqrt{3}k\pm \sqrt{\Delta }}{2(1+4k^2)}.$

$所以|x1-x2|= \frac{\sqrt{\Delta }}{1+4k^2}.$

$由四边形ABCD为平行四边形可得\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC},所以|xA-xD|=|x1-x2|,即2=\frac{\sqrt{4(16k^2+1)}}{1+4k^2}解得k^2=0或k^2=\frac{1}{2},即k=0或k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$

$所以,直线l的方程为y=\frac{\sqrt{3}}{2}或y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}或y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $y=\frac{\sqrt{3}}{2}，y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}，y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x-1)e^{x}-\frac{1}{2}ax^{2}(a \in \mathbb{R}). a\geq e^2$ 
$求函数f(x)在[1,2]上的最小值.$

Solution:
$f'(x)=x(e^x-a).$
$①当a\leq 0，x\in [1,2]时， f'(x)>0.$
$所以f(x)在[1,2]上是增函数.故f(x)_{min}=f(1)=-\frac{1}{2}a.$
$②当a>0时，令f'(x)=0，解得x_1=ln a, x_2=0(舍)， $
$(i)当ln a\leq 1，即0<a\leq e，x\in [1,2]时， f'(x)>0. $
$所以f(x)在[1,2]上是增函数.故f(x)_{min}=f(1)=-\frac{1}{2}a. $
$(ii)当1<ln a<2，即e<a<e^2时，x，f'(x)，f(x)变化情况如下：$

| x | $(1,ln a)$ | $ln a$ | $(ln a,2)$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: |
| $f'(x)$ | - | 0 | + |
| $f(x)$ | 减函数 | 极小值 | 增函数 |

$所以f(x)_{min}=f(ln a)=-\frac{1}{2}aln^2a+a(ln a-1). $
$(iii)当ln a\geq 2，即a\geq e^2，x\in [1,2]时， f'(x)<0. $
$所以f(x)在[1,2]上是减函数.故f(x)_{min}=f(2)=e^2-2a. $
$综上，当a\leq e时， f(x)_{min}=-\frac{1}{2}a; $
$当e<a<e^2时， f(x)_{min}=-\frac{1}{2}aln^2a+a(ln a-1); $
$当a\geq e^2时， f(x)_{min}=e^2-2a.$



Final answer: e^2-2a
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x-1)e^{x}-\frac{1}{2}ax^{2}(a \in \mathbb{R}).$
$求函数f(x)在[1,2]上的最小值.$

Solution:
$f'(x)=x(e^x-a).$
$①当a\leq 0，x\in [1,2]时， f'(x)>0.$
$所以f(x)在[1,2]上是增函数.故f(x)_{min}=f(1)=-\frac{1}{2}a.$
$②当a>0时，令f'(x)=0，解得x_1=ln a, x_2=0(舍)， $
$(i)当ln a\leq 1，即0<a\leq e，x\in [1,2]时， f'(x)>0. $
$所以f(x)在[1,2]上是增函数.故f(x)_{min}=f(1)=-\frac{1}{2}a. $
$(ii)当1<ln a<2，即e<a<e^2时，x，f'(x)，f(x)变化情况如下：$

| x | $(1,ln a)$ | $ln a$ | $(ln a,2)$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: |
| $f'(x)$ | - | 0 | + |
| $f(x)$ | 减函数 | 极小值 | 增函数 |

$所以f(x)_{min}=f(ln a)=-\frac{1}{2}aln^2a+a(ln a-1). $
$(iii)当ln a\geq 2，即a\geq e^2，x\in [1,2]时， f'(x)<0. $
$所以f(x)在[1,2]上是减函数.故f(x)_{min}=f(2)=e^2-2a. $
$综上，当a\leq e时， f(x)_{min}=-\frac{1}{2}a; $
$当e<a<e^2时， f(x)_{min}=-\frac{1}{2}aln^2a+a(ln a-1); $
$当a\geq e^2时， f(x)_{min}=e^2-2a.$

Final answer: $\begin{cases} 
-\frac{1}{2}a & \text{当} a\leq e \\
-\frac{1}{2}aln^2a+a(ln a-1) & \text{当} e<a<e^2 \\
e^2-2a & \text{当} a\geq e^2 
\end{cases}$
Subfield: Sequence


Question: $已知公比大于1的等比数列{a_n}满足a_2+a_4=20,a_3=8.$
$记b_m为{a_n}在区间(0，m](m\in N^)中的项的个数，求数列{b_m}的前100项和S_{100}.$

Solution:
$由于2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128，$
$所以b_1对应的区间为(0,1]，则b_1=0；$
$b_2, b_3对应的区间分别为(0,2],(0,3]，则b_2=b_3=1，即有2个1；$
$b_4, b_5, b_6, b_7对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b_4=b_5=b_6=b_7=2，即有2^2个2；$
$b_8, b_9 \ldots , b_{15}对应的区间分别为(0,8]，(0,9] \ldots  (0,15]，则b_8=b_9=...=b_{15}=3，即有2^3个3；$
$b_{16}, b_{17} \ldots , b_{31}对应的区间分别为(0，16]，(0，17] \ldots  (0，31]，则b_{16}=b_{17}=...=b_{31}=4，即有2^4个4；(8分)$
$b_{32}, b_{33} \ldots , b_{63}对应的区间分别为(0,32],(0,33] \ldots  (0,63]，则b_{32}=b_{33}=...=b_{63}=5，即有2^5个5；$
$b_{64}, b_{65} \ldots , b_{100}对应的区间分别为(0,64],(0,65] \ldots  (0,100]，则b_{64}=b_{65}=...=b_{100}=6，即有37个6.(10分)$
$所以S_{100}=1\times 2+2\times 2^2+3\times 2^3+4\times 2^4+5\times 2^5+6\times 37=480.(12分)$

Final answer: $S_{100}=480$
Subfield: Sequence


Question: $已知各项都为正数的数列{a_n}满足a_1=1, a^2_n-(2a_{n+1}-1)a_n-2a_{n+1}=0.$
$求a_2,a_3;$

Solution:
$由已知得a^{2}_{1}-(2a_{2}-1)a_{1}-2a_{2}=0,又a_{1}=1,所以a_{2}=\frac{1}{2}.又a^{2}_{2}-(2a_{3}-1)a_{2}-2a_{3}=0,所以a_{3}=\frac{1}{4}.$

Final answer: $a_{2}=\frac{1}{2}, a_{3}=\frac{1}{4}$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_5=9，S_7=49.$
$设b_{n}=
\begin{cases} 
a_n, & n\leq 10,\\ 
2b_{n-10}, & n>10 
\end{cases}
求数列{b_{n}}的前100项和.$

Solution:
$因为 b_n=\begin{cases}a_n,& n \leq 10, \\ 2b_{n-10}, & n > 10,\end{cases} 所以数列{b_n}的前100项和为(b_1+b_2+\ldots +b_{10})+(b_{11}+b_{12}+\ldots +b_{20})+(b_{21}+b_{22}+\ldots +b_{30})+\ldots +(b_{91}+b_{92}+\ldots +b_{100})=(a_1+a_2+\ldots +a_{10})+2(a_1+a_2+\ldots +a_{10})+2^2(a_1+a_2+\ldots +a_{10})+\ldots +2^9(a_1+a_2+\ldots +a_{10})=(1+2+2^2+\ldots +2^9)(a_1+a_2+\ldots +a_{10})=\frac{1-2^{10}}{1-2}\frac{10 \times (1+19)}{2}=102 300.$

Final answer: 102300
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的奇数项是公差为d_1的等差数列，偶数项是公差为d_2的等差数列，S_n是数列a_n的前n项和，a_1=1,a_2=2.$
$若S_4=11,a_{10}=2a_{7}，求a_{12}；$

Solution:
$由题意得，当n为奇数时，a_n=1+\frac{n-1}{2} d_1，$

$当n为偶数时，a_n=2+\left(\frac{n}{2}-1\right) d_2。$

$(1)由S_4=11,a_{10}=2a_7，得1+2+1+d_1+2+d_2=11,2+\left(\frac{10}{2}-1\right) d_2=2\left(1+\frac{7-1}{2}d_1\right)，$

$解得d_1=2,d_2=3，所以a_{12}=17.$

Final answer: $17$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是公比不为1的等比数列，a_1为a_2,a_3的等差中项.$
$求a_n的公比；$

Solution:
$设a_n的公比为q，由题设得2a_1=a_2+a_3，即2a_1=a_1q+a_1q^2.$
$所以q^2+q-2=0，解得q_1=1(舍去)，q_2=-2.$
$故a_n的公比为-2.$

Final answer: $-2$
Subfield: Sequence


Question: $设a_n是等差数列，其前n项和为S_n (n\in N^)；b_n是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n (n\in N^).已知b_1=1,b_3=b_2+2,b_4=a_3+a_5,b_5=a_4+2a_6.$
$若S_n +(T_1 + T_2 +\ldots + T_n )= a_n + 4b_n, 求正整数n的值.$

Solution:
$由(1)，有 T_1 + T_2 + \ldots + T_n = (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n) - n = \frac{2 \times (1-2^n)}{1-2} - n = 2^n + 1 - n - 2.$

$由 S_n + (T_1 + T_2 + \ldots + T_n) = a_n + 4b_n， 可得 \frac{n(n+1)}{2} + 2^n + 1 -n -2 = n + 2^n +1,$

$整理得 n^2 - 3n - 4 = 0，解得 n = -1 (舍)或 n = 4.$

$所以 n 的值为4.$

Final answer: $n=4$
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_4=9，S_3=15.$
$保持数列a_n中各项的先后顺序不变，在a_k与a_{k+1} (k=1,2,\dots)之间插入2^k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列b_n，记b_n的前n项和为T_n，求T_{100}的值.$

Solution:
$因为在a_k与a_{k+1} (k=1,2,\ldots )之间插入2^k个1，所以a_k在{b_n}中对应的项数为k+2^1+2^2+2^3+\ldots +2^{k-1}=k+\frac{2-2^k}{1-2}=2^k+k-2$

$当k=6时，2^6+6-2=68，当k=7时，2^7+7-2=133，所以a_6=b_{68}，a_7=b_{133}，且b_{69}=b_{70}=...=b_{100}=1。$

$因此，T_{100}=S_6+(2\times 1+2^2\times 1+2^3\times 1+\ldots +2^5\times 1)+32\times 1=\frac{6}{2}\times (3+13)+\frac{2-2^6}{1-2}+32=142.$

Final answer: 142
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等比数列，a_1，a_2，a_3分别是下表第一、二、三行中的数，且a_1，a_2，a_3里的任意两个数都不在下表的同一列中，b_n为等差数列，其前n项和为S_n，且a_1=b_3-2b_1，S_7=7a_3。$

|   | 第一列 | 第二列 | 第三列 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一行 | 1 | 5 | 2 |
| 第二行 | 4 | 3 | 10 |
| 第三行 | 9 | 8 | 20 |
$若c_n=[lg b_n]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]=0，[lg 98]=1，求数列{c_n}的前100项和T_{100}。$

Solution:
$由(1)得b_n=2n，故c_n=[lg(2n)].$

$T_{100}=c_1+c_2+\ldots +c_{100}=[lg 2]+[lg 4]+[lg 6]+[lg 8]+[lg 10]+\ldots +[lg 98]+[lg 100]+\ldots +[lg 200]=4\times 0+45\times 1+51\times 2=147.$

Final answer: $T_{100}=147$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面是正三角形，侧面BB_1C_1C是矩形，M，N分别为BC，B_1C_1的中点，P为AM上一点.过B_1C_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

![Question Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894002690580482/img/compression/M_b8103ef48783c69ad7717a6cd1c840c2.jpg)
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO\parallel 平面EB_1C_1F，且AO=AB，求直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值.$

Solution:
$由已知得AM\perp BC.以M为坐标原点，\overrightarrow{MA}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{MB}为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM=\sqrt{3}.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894003399417857/img/compression/M_da5d05171061f148ed90ebfc40a2d687.jpg)
$连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM=\frac{2\sqrt{3}}{3}，E(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3},0).由(1)知平面A_1AMN\perp 平面ABC，作NQ\perp AM，垂足为Q，则NQ\perp 平面ABC.$
$设Q(a，0，0)，则NQ=\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2}，$
$B_1(a,1,\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2})，$
$故\overrightarrow{B1E}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a,-\frac{2}{3},{}{-\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2}}\right)，$
$|\overrightarrow{B1E}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}.$
$又n=(0，-1，0)是平面A_1AMN的法向量，故sin\left(\frac{\pi }{2}-\langle n,\overrightarrow{B1E}\rangle \right)=cos\langle n，\overrightarrow{B1E}\rangle =\frac{n\cdot\overrightarrow{B1E}}{|n|\cdot|\overrightarrow{B1E}|}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$
$所以直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面是正三角形，侧面BB_1C_1C是矩形，M，N分别为BC，B_1C_1的中点，P为AM上一点.过B_1C_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

<img_19>
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO\parallel 平面EB_1C_1F，且AO=AB，求直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值.$

Solution:
$由已知得AM\perp BC.以M为坐标原点，\overrightarrow{MA}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{MB}为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM=\sqrt{3}.$
<img_355>
$连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM=\frac{2\sqrt{3}}{3}，E(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3},0).由(1)知平面A_1AMN\perp 平面ABC，作NQ\perp AM，垂足为Q，则NQ\perp 平面ABC.$
$设Q(a，0，0)，则NQ=\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2}，$
$B_1(a,1,\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2})，$
$故\overrightarrow{B1E}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a,-\frac{2}{3},{}{-\sqrt{4-(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a)^2}}\right)，$
$|\overrightarrow{B1E}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}.$
$又n=(0，-1，0)是平面A_1AMN的法向量，故sin\left(\frac{\pi }{2}-\langle n,\overrightarrow{B1E}\rangle \right)=cos\langle n，\overrightarrow{B1E}\rangle =\frac{n\cdot\overrightarrow{B1E}}{|n|\cdot|\overrightarrow{B1E}|}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$
$所以直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面是正三角形，侧面BB_1C_1C是矩形，M，N分别为BC，B_1C_1的中点，P为AM上一点.过B_1C_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

![Question Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894002690580482/img/compression/M_b8103ef48783c69ad7717a6cd1c840c2.jpg)
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO=AB=6，AO\parallel 平面EB_1C_1F，且\angle MPN= \frac{\pi }{3}，求四棱锥B-EB_1C_1F的体积.$

Solution:
$AO \parallel  平面 EB_{1}C_{1}F，AO \subset  平面 A_{1}AMN，平面 A_{1}AMN \cap  平面 EB_{1}C_{1}F = PN，所以 AO \parallel  PN。又 AP \parallel  ON，所以四边形 APNO 是平行四边形，所以 PN = AO = 6，AP = ON = \frac{1}{3} AM = \sqrt{3}，PM =\frac{2}{3} AM = 2\sqrt{3}，EF = \frac{1}{3} BC = 2。$

$易证 BC \parallel  平面 EB_{1}C_{1}F，$
$所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的顶点B到底面EB_{1}C_{1}F的距离等于点M到底面EB_{1}C_{1}F的距离.$

$作 MT \perp  PN，垂足为 T，则由(1)知，MT \perp  平面 EB_{1}C_{1}F，$
$故 MT = PM sin \angle  MPN = 3.$

$底面 EB_{1}C_{1}F 的面积为 \frac{1}{2} (B_{1}C_{1} + EF) \cdot  PN = \frac{1}{2} (6 + 2) \times  6 = 24。所以四棱锥 B-EB_{1}C_{1}F 的体积为 \frac{1}{3} \times  24 \times  3 = 24.$

Final answer: $24$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面是正三角形，侧面BB_1C_1C是矩形，M，N分别为BC，B_1C_1的中点，P为AM上一点.过B_1C_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

<img_19>
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO=AB=6，AO\parallel 平面EB_1C_1F，且\angle MPN= \frac{\pi }{3}，求四棱锥B-EB_1C_1F的体积.$

Solution:
$AO \parallel  平面 EB_{1}C_{1}F，AO \subset  平面 A_{1}AMN，平面 A_{1}AMN \cap  平面 EB_{1}C_{1}F = PN，所以 AO \parallel  PN。又 AP \parallel  ON，所以四边形 APNO 是平行四边形，所以 PN = AO = 6，AP = ON = \frac{1}{3} AM = \sqrt{3}，PM =\frac{2}{3} AM = 2\sqrt{3}，EF = \frac{1}{3} BC = 2。$

$易证 BC \parallel  平面 EB_{1}C_{1}F，$
$所以四棱锥B-EB_{1}C_{1}F的顶点B到底面EB_{1}C_{1}F的距离等于点M到底面EB_{1}C_{1}F的距离.$

$作 MT \perp  PN，垂足为 T，则由(1)知，MT \perp  平面 EB_{1}C_{1}F，$
$故 MT = PM sin \angle  MPN = 3.$

$底面 EB_{1}C_{1}F 的面积为 \frac{1}{2} (B_{1}C_{1} + EF) \cdot  PN = \frac{1}{2} (6 + 2) \times  6 = 24。所以四棱锥 B-EB_{1}C_{1}F 的体积为 \frac{1}{3} \times  24 \times  3 = 24.$

Final answer: $24$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=\sqrt{5}，QC=3.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894033958633474/img/compression/M_1543f308200f8b3a09c5f69e37ce1e26.jpg)
求二面角B-QD-A的余弦值.

Solution:
建立空间直角坐标系，如图所示，
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894033958633474/img/compression/M_16ba54847d2e4061fabc17a96037079f.jpg)
则B(2，-1，0)，Q(0，0，2)，D(0，1，0)，
$所以\overrightarrow{BQ}=(-2，1，2)，\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)。显然，平面QAD的一个法向量为n_1=(1,0,0)，$
$设平面BQD的法向量为n_2=(x,y,z)，$
则
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_2 \cdot B\overrightarrow{Q}=0,\\ 
\boldsymbol{n}_2 \cdot B\overrightarrow{D}=0
\end{matrix}
\right.
$$
\Rightarrow 
$$
\left\{
\begin{matrix}
-2x+y+2z=0,\\ 
-2x+2y=0
\end{matrix}
\right.
$$
$\Rightarrow x=y=2z.$
$取n_2=(2,2,1).$
$设二面角B-QD-A的平面角为\theta ，易知\theta 为锐角，$
$则 cos \theta =|cos\langle n_1，n_2\rangle |=$
$\frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=$
$\frac{2}{1 \times 3}=$
$\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=\sqrt{5}，QC=3.$

<img_155>
求二面角B-QD-A的余弦值.

Solution:
建立空间直角坐标系，如图所示，
<img_342>
则B(2，-1，0)，Q(0，0，2)，D(0，1，0)，
$所以\overrightarrow{BQ}=(-2，1，2)，\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)。显然，平面QAD的一个法向量为n_1=(1,0,0)，$
$设平面BQD的法向量为n_2=(x,y,z)，$
则
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}_2 \cdot B\overrightarrow{Q}=0,\\ 
\boldsymbol{n}_2 \cdot B\overrightarrow{D}=0
\end{matrix}
\right.
$$
\Rightarrow 
$$
\left\{
\begin{matrix}
-2x+y+2z=0,\\ 
-2x+2y=0
\end{matrix}
\right.
$$
$\Rightarrow x=y=2z.$
$取n_2=(2,2,1).$
$设二面角B-QD-A的平面角为\theta ，易知\theta 为锐角，$
$则 cos \theta =|cos\langle n_1，n_2\rangle |=$
$\frac{|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=$
$\frac{2}{1 \times 3}=$
$\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle DAB=60^\circ ，PA = PD = \sqrt{5}, F为AB的中点，AC\perp PF.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894094770827266/img/compression/M_13cc289519ece0a09ca18d400290f130.jpg)
求点A到平面PDF的距离.

Solution:
$\because AB=AD，\angle DAB=60^\circ ，$
$\therefore \triangle ABD为正三角形，\therefore BO\perp AD,$
$由(1)可知AD、OB、PO两两垂直，建立如图②所示的空间直角坐标系，$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894095697768450/img/compression/M_6bbb0ce9d71ee700a5f1c140074cdcd0.jpg)

图②

$则P(0,0,2),D(-1,0,0),F\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),A(1,0,0)，$
$\therefore \overrightarrow{PD}=(-1,0,-2),\overrightarrow{PF}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-2\right),\overrightarrow{AD}=(-2,0,0)，$
$设向量n=(x,y,z)为平面PDF的一个法向量，$
则$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PF}=0,
\end{matrix}
\right. 
$
即$
\left\{
\begin{matrix}
-x-2z=0,\\
\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-2z=0,
\end{matrix}
\right. 
$
$取x=2，则y=-2\sqrt{3},z=-1，所以n=(2,-2\sqrt{3},-1)，$
$故点A到平面PDF的距离d=\frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，\angle DAB=60^\circ ，PA = PD = \sqrt{5}, F为AB的中点，AC\perp PF.$
<img_364>
求点A到平面PDF的距离.

Solution:
$\because AB=AD，\angle DAB=60^\circ ，$
$\therefore \triangle ABD为正三角形，\therefore BO\perp AD,$
$由(1)可知AD、OB、PO两两垂直，建立如图②所示的空间直角坐标系，$

<img_244>

图②

$则P(0,0,2),D(-1,0,0),F\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),A(1,0,0)，$
$\therefore \overrightarrow{PD}=(-1,0,-2),\overrightarrow{PF}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-2\right),\overrightarrow{AD}=(-2,0,0)，$
$设向量n=(x,y,z)为平面PDF的一个法向量，$
则$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PF}=0,
\end{matrix}
\right. 
$
即$
\left\{
\begin{matrix}
-x-2z=0,\\
\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-2z=0,
\end{matrix}
\right. 
$
$取x=2，则y=-2\sqrt{3},z=-1，所以n=(2,-2\sqrt{3},-1)，$
$故点A到平面PDF的距离d=\frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$