di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；

Solution:
$评分不低于80分的人数为0.005\times 20\times 100=10人，X的可能取值为0,1,2，$

$P(X=0)= \frac{\mathrm{C}^2_{90}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{89}{110},$

$P(X=1)= \frac{\mathrm{C}^1_{90}\mathrm{C}^1_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{2}{11},$

$P(X=2)= \frac{\mathrm{C}^2_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{1}{110}，$

所以分布列如下：

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{89}{110}$ | $\frac{2}{11}$ | $\frac{1}{110}$ |

$所以数学期望E(X) = 0\times  \frac{89}{110} + 1\times  \frac{2}{11} + 2\times  \frac{1}{110} = \frac{1}{5}.$

Final answer: 分布列：

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{89}{110}$ | $\frac{2}{11}$ | $\frac{1}{110}$ |

$数学期望：E(X) = \frac{1}{5}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.

![23BBJ5SX241.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623884842041741314/img/compression/M_e073f4ad35c276d64aa89e5db91cf2b2.jpg)
$现从制造业的10个观测组中任取一组，若当月的PMI值大于上一个月的PMI值,则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数(由已有数据知1月份的PMI值低于上一年12月份的PMI值),求X的分布列与数学期望；$

Solution:
X的所有可能取值是0,1,2,    
$X=0表示无经济向好月份,有(3月,4月,5月),(4月,5月,6月),(5月,6月,7月),(6月,7月,8月),(7月,8月,9月)，(8月，9月，10月)，共6组,所以P(X=0)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},    $
$X=1表示有1个经济向好月份,有(1月,2月,3月),(2月,3月,4月),(9月,10月,11月)，共3组,所以P(X=1)=\frac{3}{10},    $
$X=2表示有2个经济向好月份,仅有(10月,11月,12月)一组,所以P(X=2)=\frac{1}{10}.    $

X的分布列为    

| X | 0   | 1   | 2   |
|-----|-----|-----|-----|
|$ P $|$\frac{3}{5}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{10}$|

$所以X的数学期望E(X)=0\times \frac{3}{5}+1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{10}=\frac{1}{2}.$

Final answer: | X     | 0             | 1              | 2              |
| ----- | ------------- | -------------- | -------------- |
| $ P $ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{10}$ |

$E(X) = \frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一,能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值作为一个观测组,对国家经济活动进行监测和预测.

<img_376>
$现从制造业的10个观测组中任取一组，若当月的PMI值大于上一个月的PMI值,则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数(由已有数据知1月份的PMI值低于上一年12月份的PMI值),求X的数学期望；$

Solution:
X的所有可能取值是0,1,2,    
$X=0表示无经济向好月份,有(3月,4月,5月),(4月,5月,6月),(5月,6月,7月),(6月,7月,8月),(7月,8月,9月)，(8月，9月，10月)，共6组,所以P(X=0)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},    $
$X=1表示有1个经济向好月份,有(1月,2月,3月),(2月,3月,4月),(9月,10月,11月)，共3组,所以P(X=1)=\frac{3}{10},    $
$X=2表示有2个经济向好月份,仅有(10月,11月,12月)一组,所以P(X=2)=\frac{1}{10}.    $

X的分布列为    

| X | 0   | 1   | 2   |
|-----|-----|-----|-----|
|$ P $|$\frac{3}{5}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{10}$|

$所以X的数学期望E(X)=0\times \frac{3}{5}+1\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{10}=\frac{1}{2}.$



Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动。各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务)。参与A, B, C三个社区的志愿者服务情况如下表：

| 社区 | 社区服务总人数 | 现场值班值守 | 社区消毒 | 远程教育宣传 | 心理咨询 |
| ---- | ------ | ----- | ---- | ---- | ---- |
| A | 100 | 30 | 30 | 20 | 20 |
| B | 120 | 40 | 35 | 20 | 25 |
| C | 150 | 50 | 40 | 30 | 30 |

$已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“\xi_{A}=1，\xi_{B}=1，\xi_{C}=1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“\xi_{A}=0，\xi_{B}=0，\xi_{C}=0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，求方差D(\xi_{A})，D(\xi_{B})，D(\xi_{C})$

Solution:
$D(\xi_{A})=0.85\times 0.15=0.1275，$

$D(\xi_{B})=0.95\times 0.05=0.0475，$

$D(\xi_{C})=0.9\times 0.1=0.09.$



Final answer: $0.1275，0.0475，0.09$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动。各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务)。参与A, B, C三个社区的志愿者服务情况如下表：

| 社区 | 社区服务总人数 | 现场值班值守 | 社区消毒 | 远程教育宣传 | 心理咨询 |
| ---- | ------ | ----- | ---- | ---- | ---- |
| A | 100 | 30 | 30 | 20 | 20 |
| B | 120 | 40 | 35 | 20 | 25 |
| C | 150 | 50 | 40 | 30 | 30 |
$已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“\xi_{A}=1，\xi_{B}=1，\xi_{C}=1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“\xi_{A}=0，\xi_{B}=0，\xi_{C}=0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D(\xi_{A})，D(\xi_{B})，D(\xi_{C})的大小关系.(只需写出结论)$

Solution:
$D(\xi_{A})=0.85\times 0.15=0.127 5，$

$D(\xi_{B})=0.95\times 0.05=0.047 5，$

$D(\xi_{C})=0.9\times 0.1=0.09.$

Final answer: $D(\xi_{A})>D(\xi_{C})>D(\xi_{B})$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：

<img_1502>

<img_3042>

$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$当n=19时，估计销售利润不少于8 900元的概率是多少？$

Solution:
$由题意得，当x\geq 19时，T=500\times 19=9 500(元)，\$
$当x<19时，T=500x-(19-x)\times 100=600x-1 900.\$
$所以T=\left\{\begin{matrix}9 500,x\geq 19,\\ 600x-1 900,x<19.\end{matrix}\right.\$
$设A=“销售利润不少于8 900元”，\$
$当x\geq 19时，T=9 500>8 900，\$
$当x<19时,T=600x-1 900\geq 8 900，解得x\geq 18.\$
$由(1)中x的分布列可知，P(A)=P(x\geq 18)=0.71.$



Final answer: $0.71$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_dc2824cac2f0774ed74b2a1a2e5d807f.jpg)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_b929f303c7dded0eb4835384ebb78fc5.jpg)

$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8 900元的概率；$

Solution:
$由题意得，当x\geq 19时，T=500\times 19=9 500(元)，\$
$当x<19时，T=500x-(19-x)\times 100=600x-1 900.\$
$所以T=\left\{\begin{matrix}9 500,x\geq 19,\\ 600x-1 900,x<19.\end{matrix}\right.\$
$设A=“销售利润不少于8 900元”，\$
$当x\geq 19时，T=9 500>8 900，\$
$当x<19时,T=600x-1 900\geq 8 900，解得x\geq 18.\$
$由(1)中x的分布列可知，P(A)=P(x\geq 18)=0.71.$

Final answer: $T=\left\{\begin{matrix}9 500,x\geq 19,\\ 600x-1 900,x<19.\end{matrix}\right.，P(A)=P(x\geq 18)=0.71.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

![22GZTLSX44.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875208123408386/img/compression/M_d49cc805ee103ec0a384799df2d7eb91.jpg)
$求证：F为B_1C_1的中点；$

Solution:
$证明：在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，因为CD\parallel C_1D_1，且CD\not\subset 平面A_1B_1C_1D_1，C_1D_1\subset 平面A_1B_1C_1D_1，所以CD\parallel 平面A_1B_1C_1D_1.因为平面CDE\cap 平面A_1B_1C_1D_1=EF，所以CD\parallel EF.所以C_1D_1\parallel EF.因为E为A_1D_1的中点，所以F为B_1C_1的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

<img_337>
$求证：F为B_1C_1的中点；$

Solution:
$证明：在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，因为CD\parallel C_1D_1，且CD\not\subset 平面A_1B_1C_1D_1，C_1D_1\subset 平面A_1B_1C_1D_1，所以CD\parallel 平面A_1B_1C_1D_1.因为平面CDE\cap 平面A_1B_1C_1D_1=EF，所以CD\parallel EF.所以C_1D_1\parallel EF.因为E为A_1D_1的中点，所以F为B_1C_1的中点.$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在极坐标系Ox中，若点A为曲线l:\rho \cos  \theta +\rho \sin  \theta =-2 (\pi \leq \theta \leq \frac{3\pi }{2}) 上一动点，点B在射线AO上，且满足 |OA|\cdot|OB|=4，记动点B的轨迹为曲线C。$
求曲线C的极坐标方程；

Solution:
$①当B在线段AO上时，由|OA|\cdot |OB|=4，则B(2，\pi )或(2,\frac{3\pi }{2})；$

$②当B不在线段AO上时，设B(\rho ，\theta )，且满足|OA|\cdot |OB|=4，\therefore A\left(\frac{4}{\rho },\theta +\pi \right).$

$又\because A在曲线l上，则\frac{4}{\rho }cos(\theta +\pi )+\frac{4}{\rho }sin(\theta +\pi )=-2，$
    
$\therefore \rho =2sin \theta +2cos \theta ，$
    
$又\because \pi \leq \theta +\pi \leq \frac{3\pi }{2}，即0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}.$
    
$综上所述，曲线C的极坐标方程为$

$\rho $$=2sin $$\theta $$+2cos $$\theta \left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right)$或$\rho =2\left(\theta =\pi {\text{或}}\theta =\frac{3\pi }{2}\right)$．

Final answer: $\rho=2sin \theta +2cos \theta  \left(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right) 或 \rho=2 \left(\theta =\pi {\text{或}}\theta =\frac{3\pi }{2}\right)$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ y=\frac{2t}{1+t^2}\end{matrix}\right.(t为参数).$
求C的普通方程；

Solution:
$由题可知x^{2}=\frac{1-2t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}, y^{2}=\frac{4t^2}{1+2t^2+t^4}，$
$所以x^{2}+y^{2}=1.因为x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=-1+\frac{2}{1+t^2} 不等于 -1，$
$所以C的普通方程为x^{2}+y^{2}=1 (x 不等于 -1).$

Final answer: $x^{2}+y^{2}=1 (x 不等于 -1)$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=1。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为\theta=\alpha(\rho \in \textbf{R})，其中\alpha为常数且\alpha \in [0,\pi]。$
$求直线l的直角坐标方程与曲线C的极坐标方程；$

Solution:
$当\alpha =\frac{\pi }{2}时，直线l的直角坐标方程为x=0；$

$当\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)时，直线l的直角坐标方程为y=\frac{\sin  \alpha }{\cos  \alpha }\cdot x=tan \alpha \cdot x.$

$曲线C的直角坐标方程化为x^2+y^2-2x-2\sqrt{3}y+3=0，$

由极坐标与直角坐标的互化关系x=\rho cos \theta ,y=\rho sin \theta ，

$得曲线C的极坐标方程为\rho ^2-2\rho cos \theta -2\sqrt{3}\rho sin \theta +3=0，即\rho ^2-4\rho sin\left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)+3=0.$

Final answer: “$x=0, y=\frac{\sin  \alpha }{\cos  \alpha }\cdot x=tan \alpha \cdot x, \rho ^2-4\rho sin\left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)+3=0$”
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A,B的极坐标分别为A(2,\frac{5\pi}{4})，B(2,\frac{\pi}{4})，圆C_1以AB为直径，直线l的极坐标方程为\rho \cos(\theta +\frac{\pi}{4})=6.$
$求圆 C_1 及直线 l 的直角坐标方程；$

Solution:
$易知A，B在一条直线上，且极点O为线段AB的中点，|OA|=|OB|=2$,

$\therefore 圆C_1的极坐标方程为\rho =2.$

$由\rho = \sqrt{x^2+y^2} 得C_1的直角坐标方程为x^2+y^2=4.$

$由\rho cos\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=6得\rho cos \theta -\rho sin \theta -6\sqrt{2}=0,$

$\because \rho cos \theta =x,\rho sin \theta =y$,

$\therefore l的直角坐标方程为x-y-6\sqrt{2}=0.$

Final answer: $x^2+y^2=4，x-y-6\sqrt{2}=0$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=\sqrt{3}\cos  2t,\\ 
y=2\sin  t
\end{matrix}
\right.
$$
$(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为\rho sin\left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+m=0$
写出l的直角坐标方程；

Solution:
$由\rho\sin\left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+m=0可得，$

$\rho\left(\sin  \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos  \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)+m=0，$

$即\rho\left(\frac{1}{2}\\sin   \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos   \theta \right)+m=0,$

$\therefore 直线l的直角坐标方程为\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}x+m=0,即\sqrt{3}x+y+2m=0.$

Final answer: $\sqrt{3}x+y+2m=0$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $已知曲线C_1，C_2的参数方程分别为C_1：$
$$
\begin{align*}
x & = 4\cos^2\theta ,\\
y & = 4\sin^2\theta
\end{align*}
$$
$(\theta 为参数)，C_2：$
$$
\begin{align*}
x & = t+\frac{1}{t},\\
y & = t-\frac{1}{t}
\end{align*}
$$
(t为参数).
$以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C_1,C_2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.$

Solution:
解法一：由
$$
\left\{\begin{matrix}x+y=4,\\ x^2-y^2=4\end{matrix}\right.
$$
得
$$
\left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{2},\\ y=\frac{3}{2},\end{matrix}\right.
$$
所以 P 点的直角坐标为
$$
\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)
$$
因为 
$$
|OP|=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2} = \frac{\sqrt{34}}{2}
$$
$$

$$
$所以 P 点极坐标为$
$$
\left(\frac{\sqrt{34}}{2},\alpha \right)
$$
其中 
$$
cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{34}}
$$
$如图，设所求圆与极轴交于 E 点，则\angle OPE=90^\circ , 所以 OE= \frac{17}{5}$



所以所求圆的极坐标方程为 $\rho =\frac{17}5cos \theta$

<img_343>

解法二：由
$$
\left\{\begin{matrix}x+y=4,\\ x^2-y^2=4\end{matrix}\right.
$$
得
$$
\left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{2},\\ y=\frac{3}{2},\end{matrix}\right.
$$
所以 P 的直角坐标为
$$
\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)
$$
$设所求圆的圆心的直角坐标为(x_0，0)，则圆的极坐标方程为 \rho =2x_0cos \theta .$

由题意得 $x^2_0=\left(x_0-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}$

解得 $x_0=\frac{17}{10}$

因此，所求圆的极坐标方程为 $\rho =\frac{17}{5}\cos \theta$

Final answer: $\rho =\frac{17}{5} cos \theta$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_1是圆柱OO_1的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$
<img_2273>
$弦AB上是否存在点D，使得O_1D\parallel 平面A_1AC，请说明理由；$

Solution:
$当点D为AB的中点时，O_1D\parallel 平面A_1AC.理由：取AB的中点D，连接OD，$
$\because O，D分别为BC，AB的中点，则OD\parallel AC，$
$又OD\not\subset 平面A_1AC，AC\subset 平面A_1AC，\therefore OD\parallel 平面A_1AC，$
$又\because OO1\parallel AA_1，OO1\not\subset 平面A_1AC，AA_1\subset 平面A_1AC，$
$\therefore OO_1\parallel 平面A_1AC，$
$\because O_1O\cap OD=O，O_1O，OD\subset 平面OO_1D，$
$\therefore 平面OO_1D\parallel 平面A_1A_C，$
$由于O_1D\subset 平面OO_1D，故O_1D\parallel 平面A_1AC.$

<img_1995>

Final answer: $当点D为AB的中点时，O_1D\parallel 平面A_1AC。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_1是圆柱OO_1的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479019962371/img/compression/M_90b3cf5f52739697c5be4aba769b586e.jpg)
$弦AB上是否存在点D，使得O_1D\parallel 平面A_1AC，请说明理由；$

Solution:
$当点D为AB的中点时，O_1D\parallel 平面A_1AC.理由：取AB的中点D，连接OD，$
$\because O，D分别为BC，AB的中点，则OD\parallel AC，$
$又OD\not\subset 平面A_1AC，AC\subset 平面A_1AC，\therefore OD\parallel 平面A_1AC，$
$又\because OO1\parallel AA_1，OO1\not\subset 平面A_1AC，AA_1\subset 平面A_1AC，$
$\therefore OO_1\parallel 平面A_1AC，$
$\because O_1O\cap OD=O，O_1O，OD\subset 平面OO_1D，$
$\therefore 平面OO_1D\parallel 平面A_1A_C，$
$由于O_1D\subset 平面OO_1D，故O_1D\parallel 平面A_1AC.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479225483265/img/compression/M_2d16a056c09d8a95af1862e9733a26be.jpg)

Final answer: $当点D为AB的中点时，O_1D\parallel 平面A_1AC。$
Subfield: Conic Sections


Question: $椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A_1，A_2，右焦点为F，已知|A_1F|=3，|A_2F|=1.$
$已知点P是椭圆上一动点(不与顶点重合)，直线A_2P交y轴于点Q，若\triangle A_1PQ的面积是\triangle A_2FP面积的二倍，求直线A_2P的方程.$

Solution:
$由(1)可得，|A_2F|=\frac{1}{4}|A_1A_2|, 所以 S_{\triangle A_2FP}=\frac{1}{4}S_{\triangle PA_1A_2},$

$又，S_{\triangle A_1PQ}=2S_{\triangle A_2FP}， 所以 S_{\triangle A_1PQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle PA_1A_2}，$

$所以 |PQ|=\frac{1}{2}|PA_2|。$

$设 P(x_0,y_0), 当 x_0<0 时， \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PA_2}，此时点 P 与 A_1 重合， 不合题意，$

$当 x_0>0 时， 可得 \overrightarrow{QP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{QA_2}，$

$故 x_0=\frac{2}{3}, 代入椭圆方程， 得 P \left(\frac{2}{3},\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\right),$

$又 A_2(2，0)，所以 k_{A_2P} =\pm  \frac{\sqrt{6}}{2}，$

$所以直线 A_2P 的方程为 y =\pm  \frac{\sqrt{6}}{2}(x-2).$

Final answer: $y =\frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)，y =-\frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)$
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Question: $已知椭圆C_1：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C_2的焦点重合，C_1的中心与C_2的顶点重合。过F且与x轴垂直的直线交C_1于A，B两点，交C_2于C，D两点，且|CD|=\frac{4}{3}|AB|.$
$若C_1的四个顶点到C_2的准线距离之和为12，求C_1与C_2的标准方程.$

Solution:
$由(1)知a=2c, b=\sqrt{3}c, 故C_1：\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1. 所以C_1的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,\sqrt{3}c),(0,-\sqrt{3}c),C_2的准线为x=-c.$
$由已知得3c+c+c+c=12,即c=2. 所以C_1的标准方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1, C_2的标准方程为y^2=8x.$

Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1, y^2=8x$
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Question: $已知抛物线E：y^2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P为E上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M,且|MF|=|FP|，\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FP}=32.$
$已知\triangle BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点B(2,4)，\triangle BCD重心恰好是抛物线E的焦点F,求CD所在的直线方程.$

Solution:
$设C(x_1,y_1)，D(x_2,y_2),由(1)可得焦点F(2,0)，$

由重心坐标公式得
$$
\left\{
\begin{matrix}
2=\frac{x_1+x_2+2}{3},\\ 
0=\frac{y_1+y_2+4}{3},
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
x_1+x_2=4,\\ 
y_1+y_2=-4,
\end{matrix}
\right.
$$
$\therefore CD中点坐标为(2,-2)，$

$将C,D的坐标代入抛物线的方程可得$
$$
\left\{
\begin{matrix}
y^2_1=8x_1,\\ 
y^2_2=8x_2,
\end{matrix}
\right.
$$
作差整理可得
$$
\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
$$
$=\frac{8}{y_1+y_2}=\frac{8}{-4}=-2,即直线CD的斜率k=-2，$

$所以直线CD的方程为y+2=-2(x-2)，即2x+y-2=0.$

Final answer: $2x+y-2=0$
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Question: $设抛物线C: y^2=2x, 点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.$
$当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；$

Solution:
$当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为(2，2)或(2，-2).$

$所以直线BM的方程为y=\frac{1}{2}x+1或y=-\frac{1}{2}x-1.$

失分警示

$忽略点M，N位置的转换性，使直线BM方程缺失，从而导致失分；$

Final answer: $y=\frac{1}{2}x+1，y=-\frac{1}{2}x-1$
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Question: $已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2\sqrt{5},0),离心率为\sqrt{5}.$
$求C的方程;$

Solution:
$设双曲线的方程为\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0),$

$由题意可知c=2\sqrt{5},又离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},\therefore a=2,$

$\therefore b^2=c^2-a^2=20-4=16,$

$\therefore 双曲线C的方程为\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16}=1$
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Question: $已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2\sqrt{5},0),离心率为\sqrt{5}.$
$记C的左、右顶点分别为A_1，A_2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA_1与NA_2交于点P,证明:点P在定直线上.$

Solution:
$由题意知直线MN的斜率不为0，所以可设直线MN的方程为x=my-4，M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)，由(1)知，A_1(-2，0)，A_2(2，0).$

联立 
$$
\left\{\begin{matrix}x=my-4,\\ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1,\end{matrix}\right.
$$
$消去x，得(4m^2-1)y^2-32my+48=0，$

$\therefore y_1+y_2=\frac{32m}{4m^2-1},$

$y_1y_2=\frac{48}{4m^2-1},$

$\therefore my_1y_2=\frac{3}{2}(y_1+y_2).$

$易知直线MA_1的方程为y=\frac{y_1}{x_1+2}(x+2)=\frac{y_1}{my_1-2}(x+2),$

$直线NA_2的方程为y=\frac{y_2}{x_2-2}(x-2)=\frac{y_2}{my_2-6}(x-2),$

$联立可得，\frac{y_1}{my_1-2}(x+2)=\frac{y_2}{my_2-6}(x-2),$

$\therefore \frac{x+2}{x-2}=\frac{my_1y_2-2y_2}{my_1y_2-6y_1}=\frac{\frac{3}{2}(y_1+y_2)-2y_2}{\frac{3}{2}(y_1+y_2)-6y_1}=-\frac{1}{3},$

$\therefore x=-1，$

$\therefore 点P在定直线x=-1上.$
$由(1)知A_1(-2，0)，A_2(2，0).$

$由题意知直线MN的斜率不为0，所以可设直线MN的方程为x=my-4，M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)，$

由
$$
\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1,\\ x=my-4,\end{matrix}\right.
$$
$得(4m^2-1)y^2-32my+48=0，$

$由根与系数的关系知，y_1+y_2=\frac{32m}{4m^2-1}, y_1y_2=\frac{48}{4m^2-1}.$

$易知直线MA_1的方程为y=\frac{y_1}{x_1+2}(x+2),$

$直线NA_2的方程为y=\frac{y_2}{x_2-2}(x-2),$

$由得\frac{y_1}{x_1+2}(x+2)=\frac{y_2}{x_2-2}(x-2),$

$两边同时乘y_2得，\frac{y_1y_2}{x_1+2}(x+2)=\frac{y^2_2}{x_2-2}(x-2),$

$又点N(x_2,y_2)在双曲线\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1上，\therefore y^2_2=4(x^2_2-4).$

$\therefore \frac{y_1y_2}{x_1+2}(x+2)=\frac{4(x^2_2-4)}{x_2-2}(x-2),$

$即y_1y_2(x+2)=4(x_1+2)(x_2+2)(x-2)，$

$又\because x=my-4,\therefore (x_1+2)(x_2+2)=(my_1-2)(my_2-2)=m^2y_1y_2-2m(y_1+y_2)+4，$

$\therefore 式可化为\frac{48}{4m^2-1}(x+2)=4\left(\right.\frac{48m^2}{4m^2-1}-2m\cdot \frac{32m}{4m^2-1}+4\left)\right.(x-2),$

$即-3(x+2)=x-2,$

$解得x=-1.$

$\therefore 点P在定直线x=-1上.$
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Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为\frac{1}{2}.过点P(6,0)与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B,C，直线AB,AC分别交直线x=6于点M,N.$
$求椭圆E的方程；$

Solution:
由题意，知

$$
\left\{
\begin{matrix}
a=2,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{1}{2},\\ 
a^2=b^2+c^2,
\end{matrix}
\right.
$$

$解得b= \sqrt{3}. $

$故椭圆E的方程为 \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1$
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Question: $已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为 \frac{\sqrt{3}}{2} .$
求椭圆C的方程；

Solution:
$设椭圆C的方程为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)。$

$由题意得\begin{cases}a=2, \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \end{cases}解得c = \sqrt{3}。所以b^2 = a^2 - c^2 = 1。$

$所以椭圆C的方程为\frac{x^2}{4} + y^2 = 1。$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
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Question: $已知椭圆`C`：\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{m^2} = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 \frac{\sqrt{15}}{4} ，`A`，`B` 分别为 `C` 的左、右顶点.$
求C的方程；

Solution:
$由题设可得 \frac{\sqrt{25-m^2}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{4} ，得 m^{2} = \frac{25}{16} ，所以 C 的方程为 \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{\frac{25}{16}} =1.$

Final answer: ${\frac{x^2}{25}} + {\frac{y^2}{\frac{25}{16}}} =1$
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Question: $已知椭圆E： \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的离心率为  \frac{\sqrt{5}}{3} ,A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|=4.$
$求E的方程；$

Solution:
$由题意知|AC|=2b=4,即b=2，$

$又e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3},\therefore a^2=9.$

$\therefore E的方程为\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$

Final answer: ${\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$
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Question: $在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,\frac{1}{2})的距离，记动点P的轨迹为W。$
求W的方程；

Solution:
$设P(x,y)，由题意可得\sqrt{(x-0)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}=|y|，整理得x^2 - y + \frac{1}{4} = 0，因此W的方程为y = x^2+\frac{1}{4}.$

Final answer: $y = x^2+\frac{1}{4}$
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Question: $设抛物线C: y^2=2px (p>0)的焦点为F,点D(p,0)，过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3$.
求C的方程；

Solution:
$当直线MD垂直于x轴时，|MF|=p+\frac{p}{2}=3,\therefore p=2,\therefore C的方程为y^2=4x.$

Final answer: $y^2=4x$
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Question: $设抛物线C: y^2=2px (p>0)的焦点为F,点D(p,0)，过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3$.
$设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN，AB的倾斜角分别为\alpha ，\beta .当\alpha -\beta 取得最大值时，求直线AB的方程.$

Solution:
$解法一：设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),A(x_3,y_3),B(x_4,y_4),直线MN的方程为x=my+1$
由
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=my+1,\\ 
y^2=4x
\end{matrix}
\right.
$$
$得y^2-4my-4=0,$
$\Delta _1=16m^2+16>0恒成立，且y_1y_2=-4.$
$由斜率公式可得k_{MN}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_1-y_2}{\frac{y^2_1}{4}-\frac{y^2_2}{4}}=\frac{4}{y_1+y_2},$
$同理k_{AB}=\frac{4}{y_3+y_4}.$
$直线MD的方程为x=\frac{x_1-2}{y_1}y+2,$
$代入y^2=4x中可得y^2-\frac{4(x_1-2)}{y_1}y-8=0.$
$\Delta _2>0且y_1y_3=-8,所以y_3=2y_2,同理y_4=2y_1,$
$所以k_{AB}=\frac{4}{y_3+y_4}=\frac{2}{y_1+y_2}=\frac{k_{MN}}{2},$
$又因为直线MN，AB的倾斜角分别为\alpha ,\beta ,$
$所以k_{AB}=tan \beta =\frac{k_{MN}}{2}=\frac{\tan  \alpha  }{2},$
$若要使\alpha -\beta 最大，则\beta \in (0,\frac{\pi }{2}).$
$设k_{MN}=2k_{AB}=2k,k>0,则\tan(\alpha -\beta )=
\frac{\tan  \alpha  -\tan  \beta  }{1+\tan\alpha\tan\beta}
=\frac{k}{1+2k^2}=\frac{1}{\frac{1}{k}+2k}
\leq 
\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{k}\cdot 2k}}=\frac{\sqrt{2}}{4},$
$当且仅当\frac{1}{k}=2k,$
$即k=\frac{\sqrt{2}}{2}$
时，等号成立，\
$所以当\alpha -\beta 最大时，设直线AB的方程为x=\sqrt{2}y+n，$
由
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=\sqrt{2}y+n,\\ 
y^2=4x
\end{matrix}
\right.
$$
$得y^2-4\sqrt{2}y-4n=0,$
$则y_3y_4=-4n=4y_1y_2=-16.$
$所以n=4,所以直线AB的方程为x-\sqrt{2}y-4=0.$
$解法二：由题可知，当\alpha -\beta 取最大值时，直线MN的斜率存在.$
$设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),A(x_3,y_3),B(x_4,y_4),直线MN:y=k(x-1),$
由
$$
\left\{
\begin{matrix}
y=k(x-1),\\ 
y^2=4x
\end{matrix}
\right.
$$
$得k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0，$
$所以x_1x_2=1,x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2},则y_1y_2=k^2(x_1-1)(x_2-1)=-4.$
$直线MD: y=\frac{y_1}{x_1-2}(x-2),代入抛物线方程可得x_1x_3=4，同理，x_2x_4=4.$
$结合抛物线方程可得y_1y_3=-8,所以y_3=2y_2，同理可得y_4=2y_1，$
$所以k_{AB}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=\frac{2(y_1-y_2)}{4\left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\right)}=\frac{y_2-y_1}{2(x_2-x_1)}=\frac{1}{2}k_{MN}.$
下同解法一.

Final answer: $x-\sqrt{2}y-4=0$
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Question: $已知点A，B是椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为 \frac{\sqrt{3}}{2}.$
$求椭圆E的方程；$

Solution:
由题意得
$\left\{\begin{matrix}2b=2,\\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.$
解得
$\left\{\begin{matrix}a=2,\\ b=1,\\ c=\sqrt{3},\end{matrix}\right.$
所以椭圆 E 的方程为
$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
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Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1过点A(-2,0)，其右焦点为F(1,0).$
求椭圆C的方程；

Solution:
$由题意得a=2，c=1，所以b^2=a^2-c^2=3，所以椭圆C的方程为\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1。$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$
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Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)经过A(-2，0)，B \left(-1,\frac{3}{2}\right)两点，设过点P(-2，1)的直线交椭圆E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 \overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}.$
求椭圆E的方程：

Solution:
由题意得
$$
\begin{cases}
\frac{4}{a^2}=1,\\ 
\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1,
\end{cases}
$$
解得
$$
\begin{cases}
a^2=4,\\ 
b^2=3,
\end{cases}
$$
所以椭圆E的方程为
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1$
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Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0) 的一个顶点为A(0，1)，焦距为2.$
求椭圆E的方程；

Solution:
$由题意得b=1，2c=2，所以c=1，所以a^2=b^2+c^2=2，所以椭圆E的方程为\frac{x^2}{2}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
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Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)经过点 \left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2}.$
$求椭圆 C 的方程；$

Solution:
由题意得
$$
\left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=1,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ 
a^2=b^2+c^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得
$$
\left\{
\begin{matrix}
a^2=2,\\ 
b^2=1,\\ 
c^2=1,
\end{matrix}
\right.
$$

$所以椭圆C的方程为\frac{x^2}{2}+y^2=1$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
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Question: $已知椭圆E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)过点B(0，1)，且离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}。$
$求椭圆E的标准方程；$

Solution:
$因为椭圆E过点B(0，1)，所以b=1，$

$所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，解得a=\sqrt{2}，$

$所以椭圆E的标准方程为\frac{x^2}{2}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
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Question: $已知椭圆 C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)的离心率为 \frac{1}{2}，长轴的左端点为 A(-2，0).$
求C的方程；

Solution:
$由  \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ，a=2，可得 c=1，则 b = \sqrt{a^2-c^2} = \sqrt{3} ，所以椭圆 C 的方程为  \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1。$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$