di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在极坐标系中，O(0,0)，A\left(6,\frac{\pi }{2}\right)，B\left(6\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=-1+t\cos  \alpha ,\\ y=2+t\sin  \alpha \end{matrix}\right.(t为参数，\alpha \in R)，且点P的直角坐标为(-1,2).$
$求证直线l与(1)中的圆C有两个交点M，N，并求|PM|\cdot |PN|的值.$

Solution:
将直线l的参数方程

$\left\{\begin{matrix}x=-1+t\cos  \alpha ,\\ y=2+t\sin  \alpha \end{matrix}\right.$

$(t为参数，\alpha \in R)代入圆C的方程(x-3)^2+(y-3)^2=18，并整理得t^2-2(4\cos  \alpha +\sin  \alpha )t-1=0, 此方程的判别式\Delta =[-2(4\cdot \cos  \alpha +\sin  \alpha )]^2-4\times 1\times (-1)=[2(4\cos  \alpha +\sin  \alpha )]^2+4>0。$

$\therefore 此方程有两个不等实根，\therefore 直线l与(1)中的圆C有两个交点。$

设两个交点M,N所对应的参数值分别为t_{1},t_{2},则t_{1},t_{2}是该方程的两个实数根。

$\therefore t_{1}t_{2}=-1，由直线l的参数方程和点P的坐标可知，|PM|\cdot |PN|=|t_{1}||t_{2}|=|t_{1}t_{2}|=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系iOx中，方程i\rho =2(1+\cos  4i\theta +\sin ^{2}4i\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线iC.$

![四叶草图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549656631832578/img/compression/M_44d76976d9d496831abe34e521cf6803.jpg)
$设直线l：\theta = \frac{\pi }{12} (\rho \in R)与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；$

Solution:
$设A、B两点的极坐标分别为 (\rho _1,\frac{\pi }{12}) 、 (\rho _2,\frac{13\pi }{12}) ，$
$则\rho_1=2 \left(1+\cos \frac{\pi }{3}+\sin ^2\frac{\pi }{3}\right) =2\times  \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) =\frac{9}{2} ，$
$\rho_2=2 \left(1+\cos \frac{13\pi }{3}+\sin ^2\frac{13\pi }{3}\right) =2\times  \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) =\frac{9}{2} ，$
$因此，|AB|=\rho_1+\rho_2= \frac{9}{2} \times 2=9.$

Final answer: 9
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系iOx中，方程i\rho =2(1+\cos  4i\theta +\sin ^{2}4i\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线iC.$

<img_2756>
$设直线l：\theta = \frac{\pi }{12} (\rho \in R)与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；$

Solution:
$设A、B两点的极坐标分别为 (\rho _1,\frac{\pi }{12}) 、 (\rho _2,\frac{13\pi }{12}) ，$
$则\rho_1=2 \left(1+\cos \frac{\pi }{3}+\sin ^2\frac{\pi }{3}\right) =2\times  \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) =\frac{9}{2} ，$
$\rho_2=2 \left(1+\cos \frac{13\pi }{3}+\sin ^2\frac{13\pi }{3}\right) =2\times  \left(1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) =\frac{9}{2} ，$
$因此，|AB|=\rho_1+\rho_2= \frac{9}{2} \times 2=9.$

Final answer: 9
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系iOx中，方程i\rho =2(1+\cos  4i\theta +\sin ^{2}4i\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线iC.$

<img_2756>
$设P和Q是C上的两点，且\angle POQ = \frac{\pi }{8}，求|OP|+|OQ|的最大值.$

Solution:
$根据对称性，不妨设P(\rho _3, \theta ) (0 \leq \theta  \leq \frac{\pi}{2})、Q (\rho _4, \theta  +\frac{\pi}{8})，$

$|OP| + |OQ| = \rho _3 + \rho _4 = 2(1 + \cos 4\theta  + sin^24\theta ) + 2(1 +\cos [4(\theta  + \frac{\pi }{8})] + \sin^2[4(\theta  +\frac{\pi }{8})])$

$ = 4+2(\cos 4\theta  + \sin^24\theta  -\sin 4\theta  +\cos^24\theta ) = 6+2(\cos 4\theta  -\sin 4\theta ) = 6-2\sqrt{2}\sin(4\theta  -\frac{\pi }{4}).$

$\because 0 \leq  \theta  \leq \frac{\pi }{2}， \therefore -\frac{\pi }{4} \leq  4\theta  -\frac{\pi }{4} \leq \frac{7\pi }{4}，$

$\therefore  当\sin(4\theta  -\frac{\pi }{4}) = -1，即 4\theta  -\frac{\pi }{4} = \frac{3\pi }{2}， \theta  = \frac{7\pi }{16}时，$

$|OP| + |OQ|有最大值，为 6 +2\sqrt{2}.$

Final answer: $6 +2\sqrt{2}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $杭州2022年第19届亚运会简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办.2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变.某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福、幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会.如图，在极坐标系iOx中，方程i\rho =2(1+\cos  4i\theta +\sin ^{2}4i\theta )表示的图形为“四叶草”对应的曲线iC.$

![四叶草图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549656631832578/img/compression/M_44d76976d9d496831abe34e521cf6803.jpg)
$设P和Q是C上的两点，且\angle POQ = \frac{\pi }{8}，求|OP|+|OQ|的最大值.$

Solution:
$根据对称性，不妨设P(\rho _3, \theta ) (0 \leq \theta  \leq \frac{\pi}{2})、Q (\rho _4, \theta  +\frac{\pi}{8})，$

$|OP| + |OQ| = \rho _3 + \rho _4 = 2(1 + \cos 4\theta  + sin^24\theta ) + 2(1 +\cos [4(\theta  + \frac{\pi }{8})] + \sin^2[4(\theta  +\frac{\pi }{8})])$

$ = 4+2(\cos 4\theta  + \sin^24\theta  -\sin 4\theta  +\cos^24\theta ) = 6+2(\cos 4\theta  -\sin 4\theta ) = 6-2\sqrt{2}\sin(4\theta  -\frac{\pi }{4}).$

$\because 0 \leq  \theta  \leq \frac{\pi }{2}， \therefore -\frac{\pi }{4} \leq  4\theta  -\frac{\pi }{4} \leq \frac{7\pi }{4}，$

$\therefore  当\sin(4\theta  -\frac{\pi }{4}) = -1，即 4\theta  -\frac{\pi }{4} = \frac{3\pi }{2}， \theta  = \frac{7\pi }{16}时，$

$|OP| + |OQ|有最大值，为 6 +2\sqrt{2}.$

Final answer: $6 +2\sqrt{2}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系xOy中，设曲线C_1的参数方程为$
$$
\left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{3}\cos  \alpha ,\\ 
y=2+\frac{1}{3}\sin  \alpha 
\end{matrix}\right.
$$
$(\alpha为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C_2的极坐标方程为\rho=\frac{2}{\sqrt{\cos^2\theta +4\sin^2\theta }}。$
$设P，Q分别为曲线C_1与C_2上的动点，求|PQ|的最大值.$

Solution:
$曲线C_1：x^2+(y-2)^2=\frac{1}{9}是圆，其圆心为C_1(0,2)，半径为r=\frac{1}{3}.所以|PQ|\leq |QC_1|+r=|QC_1|+\frac{1}{3}.$

$将C_2的直角坐标方程\frac{x^2}{4}+y^2=1化为参数方程得\left\{\begin{matrix}x=2\cos  \theta ,\\ y=\sin  \theta \end{matrix}\right.(\theta为参数)，所以Q(2\cos  \theta,\sin \theta)，$
$所以|QC_1|=\sqrt{(2\cos  \theta )^2+(\sin  \theta -2)^2}=\sqrt{4(1-\sin^2\theta) +(\sin  \theta -2)^2}=\sqrt{-3\sin^2\theta -4\sin  \theta +8}=\sqrt{-3\left(\sin   \theta +\frac{2}{3}\right)^2+\frac{28}{3}}\leq \frac{2\sqrt{21}}{3}，$

$当且仅当\sin  \theta=-\frac{2}{3}时等号成立，所以|PQ|\leq |QC_1|+\frac{1}{3}\leq \frac{2\sqrt{21}+1}{3}，故|PQ|的最大值为\frac{2\sqrt{21}+1}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{21}+1}{3}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2+4\cos  \varphi ,y=4\sin  \varphi(\phi 为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为\rho \cos (\theta +\frac{\pi }{4})=-\sqrt{2}.$
$已知P(-1,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求\frac{|PQ|}{|PA|+|PB|}的值.$

Solution:
过点P(-1,1)的直线l的参数方程为

$\left\{\begin{matrix}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t',\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t'\end{matrix}\right. $

$(t'为参数)，代入(x-2)^2+y^2=16，得t'^2-2\sqrt{2}t'-6=0，易得\Delta >0，所以t'_1+t'_2=2\sqrt{2}，t'_1t'_2=-6<0，$

$故 \frac{|PQ|}{|PA|+|PB|} = \frac{\frac{|t'_1+t'_2|}{2}}{|t'_1|+|t'_2|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(t'_1+t'_2)^2-4t'_1t'_2}} = \frac{1}{4} .$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Inequality


Question: $已知 f(x)=2|x|+|x-2|.$
$在直角坐标系xOy中，求不等式组$
$$
\left\{
\begin{matrix}
f(x)\leq y,\\ 
x+y-6\leq 0
\end{matrix}
\right.
$$
所确定的平面区域的面积.

Solution:
不等式组
$$
\left\{\begin{matrix} f(x)\leq y,\\ x+y-6\leq 0\end{matrix}\right.
$$
$等价于f(x)\leq 6-x,分别作出y=f(x)的图象及直线y=6-x,$
$\therefore 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(\triangle ABC及其内部).$
<img_180>
由
$$
\left\{\begin{matrix}y=-3x+2,\\ x+y=6,\end{matrix}\right.
$$
解得$A(-2,8)$.
由
$$
\left\{\begin{matrix}y=x+2,\\ x+y=6,\end{matrix}\right.
$$
解得$C(2,4),又B(0,2),D(0,6)$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|BD|\cdot |x_{C}-x_{A}|=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8.$
一题多解
由(1)知不等式组
$$
\left\{\begin{matrix} f(x)\leq y,\\ x+y-6\leq 0\end{matrix}\right.
$$
可以等价转化为
$$
\left\{\begin{matrix}x\leq 0,\\ 3x+y-2\geq 0,\\ x+y-6\leq 0\end{matrix}\right.
$$
或
$$
\left\{\begin{matrix}0<x<2,\\ x-y+2\leq 0,\\ x+y-6\leq 0\end{matrix}\right.
$$
或
$$
\left\{\begin{matrix}x\geq 2,\\ 3x-y-2\leq 0,\\ x+y-6\leq 0,\end{matrix}\right.
$$
画出上述不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
<img_366>
其中A(-2，8),B(0，2),C(2，4),D(0,6),
$\therefore 所求平面区域的面积S=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8.$

Final answer: 8
Subfield: Inequality


Question: $设a>0，函数f(x)=2|x-a|-a。$
$若曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a。$

Solution:
曲线y=f(x)如图所示.
<img_119>

$曲线f(x)与x轴围成的图形的面积S= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}a-\frac{a}{2}\right)\cdot a=2,即a^2=4,又\because a>0,\therefore a=2.$

Final answer: $a=2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某大学A学院共有学生1 000人，其中男生640人，女生360人. 该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

| 跑步里程s(km) | 0\leq s<30 | 30\leq s<60 | 60\leq s<90 | s\geq 90 |
|---------------|---------|----------|----------|-------|
| 男生             | a     | 12      | 10      | 5     |
| 女生             | 6       | 6       | 4       | 2     |
$求a的值，并估计A学院学生5月份累计跑步里程s(km)在[0,30)中的男生人数；$

Solution:
$由 \frac{a+12+10+5}{6+6+4+2} = \frac{640}{360}，解得 a = 5.$
$A 学院样本总数为 5+12+10+5+6+6+4+2 = 50，估计 A 学院学生 5月份 累计跑步里程 s (km) 在 [0,30) 中的男生人数为 1 000 \times  \frac{5}{50} = 100.$

Final answer: $a = 5, 100$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某大学A学院共有学生1 000人，其中男生640人，女生360人. 该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

| 跑步里程s(km) | 0\leq s<30 | 30\leq s<60 | 60\leq s<90 | s\geq 90 |
|---------------|---------|----------|----------|-------|
| 男生             | a     | 12      | 10      | 5     |
| 女生             | 6       | 6       | 4       | 2     |
该大学B学院男生与女生人数之比为\lambda ，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样.已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.

5月份累计跑步里程平均值(单位：km)

| 学院 / 性别 | A | B |
|  :---------  | :---: | :---: |
| 男  | 50  | 59  |
| 女  | 40  | 45  |

$设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为\overline{x}_{A}，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为\overline{x}_{B}，是否存在\lambda ，使得\overline{x}_{A} \geq  \overline{x}_{B}?如果存在，求\lambda 的最大值；如果不存在，说明理由.$

Solution:
$存在满足条件的\lambda ,且\lambda 的最大值为\frac{1}{9}. 设B学院女生人数为x,则男生人数为\lambda x,则 \overline{x}_B=\frac{59\lambda x+45x}{\lambda x+x}=\frac{59\lambda  +45}{\lambda  +1}, \overline{x}_A=\frac{50\times 640+40\times 360}{1 000}=\frac{232}{5}，令\overline{x}_A\geq \overline{x}_B，得\frac{232}{5}\geq \frac{59\lambda  +45}{\lambda  +1}，解得\lambda \leq \frac{1}{9},所以\lambda 的最大值为\frac{1}{9}.$

Final answer: $\frac{1}{9}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试.两次考试的成绩如下表所示(满分100分)：

学生  | 第一次成绩 | 第二次成绩
----- | ------  | --------
学生1 | 82     | 83
学生2 | 89     | 90
学生3 | 78     | 75
学生4 | 92     | 95
学生5 | 92     | 93
学生6 | 65     | 61
学生7 | 81     | 76
从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

Solution:
根据题表中数据可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，
$则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 \frac{4}{7}.$

Final answer: $\frac{4}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查，结果如下：

| 毕业去向 | 继续学习深造 | 单位就业 | 自主创业 | 自由职业 | 慢就业 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 人数    | 200     | 560     | 14     | 128     | 98     |

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2 500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；

Solution:
$由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2 500\times \frac{560}{1 000}=1 400.$

Final answer: 1400
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查，结果如下：

| 毕业去向 | 继续学习深造 | 单位就业 | 自主创业 | 自由职业 | 慢就业 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 人数    | 200     | 560     | 14     | 128     | 98     |

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
$该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (0<a<98)人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s^2. 当a为何值时，s^2最小.(结论不要求证明)$

Solution:
$易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以a=42.$

Final answer: $a=42$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.

| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 | 合计 |
| --- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | --- | --- | --- | --- |
| 空气质量优良天数 | 24 | 18 | 11 | 27 | 23 | 21 | 26 | 29 | 27 | 29 | 23 | 30 | 288 |
| 空气质量污染天数 | 7 | 10 | 20 | 3 | 8 | 9 | 5 | 2 | 3 | 2 | 7 | 1 | 77 |
从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；

Solution:
$记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，则P(A)=\frac{288}{365}.$

Final answer: $\frac{288}{365}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.

| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 | 合计 |
| --- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | --- | --- | --- | --- |
| 空气质量优良天数 | 24 | 18 | 11 | 27 | 23 | 21 | 26 | 29 | 27 | 29 | 23 | 30 | 288 |
| 空气质量污染天数 | 7 | 10 | 20 | 3 | 8 | 9 | 5 | 2 | 3 | 2 | 7 | 1 | 77 |
$从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；$

Solution:
X的所有可能取值为0,1,2,3.

解法一： 记事件 B 为 “从4月任选1天，这一天空气质量优良”，
事件 C 为 “从6月任选1天，这一天空气质量优良”，
事件 D 为 “从9月任选1天，这一天空气质量优良”. 由题意知，事件 B ， C ， D 相互独立，
$且 P(B)=P(D)=\frac{27}{30}= \frac{9}{10} ，$
$P(C)=\frac{21}{30} = \frac{7}{10} ，$
$所以 P(X=0)= P (\overline{B} \overline{C} \overline{D}) = P(\overline{B}) P(\overline{C}) P(\overline{D}) = \frac{1}{10} \times  \frac{3}{10} \times  \frac{1}{10} = \frac{3}{1 000} $

$P(X=3)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=\frac{9}{10} \times  \frac{7}{10} \times  \frac{9}{10} = \frac{567}{1 000} ，$

所以 X 的分布列为

|  X | 0   | 1   | 2  | 3  |
| --- | --- | --- | --- |--- |
|  P | $\frac{3}{1000}$ | $\frac{61}{1 000}$ | $\frac{369}{1 000}$ | $\frac{567}{1000}$ |

\ldots \ldots 

解法二：

\ldots \ldots 

所以 X 的分布列为

|  X | 0   | 1   | 2  | 3  |
| --- | --- | --- | --- |--- |
|  P | $\frac{3}{1000}$ | $\frac{61}{1 000}$ | $\frac{369}{1 000}$ | $\frac{567}{1000}$ |

Final answer: |  X | 0   | 1   | 2  | 3  |
| --- | --- | --- | --- |--- |
|  P | $\frac{3}{1000}$ | $\frac{61}{1 000}$ | $\frac{369}{1 000}$ | $\frac{567}{1000}$ |
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$

<img_2405>
若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质检测成绩达到优秀的概率；

Solution:
从高一年级(1)班~(8)班学生中共抽测了80人，其中身体素质检测成绩达到优秀的人数为8+6+9+4+7+5+9+8=56，所以样本中身体素质检测成绩达到优秀的概率是

$\frac{7}{10}.$

用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是

$\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$

![23BBJ5SX203.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质检测成绩达到优秀的概率；

Solution:
从高一年级(1)班~(8)班学生中共抽测了80人，其中身体素质检测成绩达到优秀的人数为8+6+9+4+7+5+9+8=56，所以样本中身体素质检测成绩达到优秀的概率是

$\frac{7}{10}.$

用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是

$\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$

<img_2405>
$若从以上统计的高一(4)班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质检测成绩达到优秀的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$因为高一(4)班抽出的10名学生中，身体素质检测成绩达到优秀的有4人，所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2.$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{1}{3}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{8}{15}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{2}{15},$

$所以X的分布列为:$

$| X | 0 | 1 | 2 |$
| --- | --- | --- | --- |
$| P | \frac{1}{3} | \frac{8}{15} | \frac{2}{15} |$

$数学期望E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{2}{15}=\frac{4}{5}.$



Final answer: $\frac{4}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质检测.经统计，每班10名学生中身体素质检测成绩达到优秀的人数散点图如下(x表示对应的班号，y表示对应的成绩优秀人数).$

![23BBJ5SX203.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843075072001/img/compression/M_e8c05653dc3fc42a031b64406c24a7aa.jpg)
$若从以上统计的高一(4)班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质检测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$因为高一(4)班抽出的10名学生中，身体素质检测成绩达到优秀的有4人，所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2.$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{1}{3}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{8}{15}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{10}}=\frac{2}{15},$

$所以X的分布列为:$

$| X | 0 | 1 | 2 |$
| --- | --- | --- | --- |
$| P | \frac{1}{3} | \frac{8}{15} | \frac{2}{15} |$

$数学期望E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{8}{15}+2\times \frac{2}{15}=\frac{4}{5}.$

Final answer: $X的分布列为:$

$| X | 0 | 1 | 2 |$
| --- | --- | --- | --- |
$| P | \frac{1}{3} | \frac{8}{15} | \frac{2}{15} |$

$数学期望E(X)=\frac{4}{5}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 北京2022年冬奥会向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神,引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟)，得到下表:

|      |      | 时间 | 人数 | 类别 | [0,50) | [50，60) |  [60，70)  | [70，80) | [80，90) | [90，100) |
| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | --- |
| 性别 | 男     | 5   | 12  | 13  | 8  | 9  | 8  |
|      | 女     | 6   | 9   | 10  | 10 | 6  | 4  |
| 学段 | 初中   |     |     |     |    | 10 |    |
|      | 高中   | m | 13  | 12  | 7  | 5  | 4  |
从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率;

Solution:
$记事件M为“从样本中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育实践活动时间在[50,60)”,由题意知，P(M)=\frac{9}{45}=\frac{1}{5},$

$所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率为\frac{1}{5}.$

Final answer: $\frac{1}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 北京2022年冬奥会向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神,引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟)，得到下表:

|      |      | 时间 | 人数 | 类别 | [0,50) | [50，60) |  [60，70)  | [70，80) | [80，90) | [90，100) |
| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | --- |
| 性别 | 男     | 5   | 12  | 13  | 8  | 9  | 8  |
|      | 女     | 6   | 9   | 10  | 10 | 6  | 4  |
| 学段 | 初中   |     |     |     |    | 10 |    |
|      | 高中   | m | 13  | 12  | 7  | 5  | 4  |
$从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为 X ，求随机变量 X 的数学期望;$

Solution:
X的所有可能取值为0,1,2,  
记事件C为“从参加体育实践活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育实践活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”。  
$由题意知，事件C、D相互独立，且P(C)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}， P(D)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.  $
$所以P(X=0)=P(\overline{C})P(\overline{D})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}.  $
$P(X=1)=P(C)P(\overline{D})+P(\overline{C})P(D)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.  $
$P(X=2)=P(C)P(D)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.  $
所以X的分布列为  

X|0|1|2
--:|:--:|:--:|:--:  
P|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9} $ 

$E(X)=0\times \frac{1}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.  $
X的所有可能取值为0,1,2,  
$因为从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立的，且抽到初中学生的概率均为\frac{2}{3}，故X~B\left(2,\frac{2}{3}\right),  $
$所以P(X=0)=C^0_2P(\left(1-\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{1}{9},  $
$P(X=1)=C^1_2P(\left(\frac{2}{3}\right)^1)P(\left(1-\frac{2}{3}\right)^1)=\frac{4}{9},  $
$P(X=2)=C^2_2P(\left(\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{4}{9}.  $
所以X的分布列为  

|X|0|1|2|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|P|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9}$|

$X的数学期望E(X)=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 北京2022年冬奥会向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神,引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟)，得到下表:

|      |      | 时间 | 人数 | 类别 | [0,50) | [50，60) |  [60，70)  | [70，80) | [80，90) | [90，100) |
| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | --- |
| 性别 | 男     | 5   | 12  | 13  | 8  | 9  | 8  |
|      | 女     | 6   | 9   | 10  | 10 | 6  | 4  |
| 学段 | 初中   |     |     |     |    | 10 |    |
|      | 高中   | m | 13  | 12  | 7  | 5  | 4  |
$从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望;$

Solution:
解法一:  
X的所有可能取值为0,1,2,  
记事件C为“从参加体育实践活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育实践活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”。  
$由题意知，事件C、D相互独立，且P(C)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}， P(D)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.  $
$所以P(X=0)=P(\overline{C})P(\overline{D})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}.  $
$P(X=1)=P(C)P(\overline{D})+P(\overline{C})P(D)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.  $
$P(X=2)=P(C)P(D)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.  $
所以X的分布列为  

X|0|1|2
--:|:--:|:--:|:--:  
P|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9} $ 

$E(X)=0\times \frac{1}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.  $

解法二:  
X的所有可能取值为0,1,2,  
$因为从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立的，且抽到初中学生的概率均为\frac{2}{3}，故X~B\left(2,\frac{2}{3}\right),  $
$所以P(X=0)=C^0_2P(\left(1-\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{1}{9},  $
$P(X=1)=C^1_2P(\left(\frac{2}{3}\right)^1)P(\left(1-\frac{2}{3}\right)^1)=\frac{4}{9},  $
$P(X=2)=C^2_2P(\left(\frac{2}{3}\right)^2)=\frac{4}{9}.  $
所以X的分布列为  

|X|0|1|2|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|P|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9}$|

$X的数学期望E(X)=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$

Final answer: X的分布列为  

|X|0|1|2|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|P|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9}$|

$X的数学期望E(X)=\frac{4}{3}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

<img_2853>

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
以频率估计概率,试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；

Solution:
设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入.
$则P(A)=0.75\times 0.6=0.45.$

Final answer: $0.45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

![此品种中药材的国内市场批发价格情况](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
以频率估计概率,试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；

Solution:
设事件A：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入.
$则P(A)=0.75\times 0.6=0.45.$

Final answer: $0.45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

<img_2853>

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
$设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为 X 元,以频率估计概率,求 X 的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题意可知，X的所有可能取值为3 000，5 000，7 500.  $
$P(X=3 000)=0.25\times 0.4=0.1,  $
$P(X=5 000)=0.75\times 0.4+0.25\times 0.6=0.45,  $
$P(X=7 500)=0.75\times 0.6=0.45.  $
$所以X的分布列为$

X  | 3 000 | 5 000 | 7 500
-- | - | - | -
P | 0.1 | 0.45 | 0.45

$所以X的数学期望E(X)=3 000\times 0.1+5 000\times 0.45+7 500\times 0.45=5 925.$

Final answer: $E(X)=5 925$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

![此品种中药材的国内市场批发价格情况](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
$设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为 X 元,以频率估计概率,求 X 的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题意可知，X的所有可能取值为3 000，5 000，7 500.  $
$P(X=3 000)=0.25\times 0.4=0.1,  $
$P(X=5 000)=0.75\times 0.4+0.25\times 0.6=0.45,  $
$P(X=7 500)=0.75\times 0.6=0.45.  $
$所以X的分布列为$

X  | 3 000 | 5 000 | 7 500
-- | - | - | -
P | 0.1 | 0.45 | 0.45

$所以X的数学期望E(X)=3 000\times 0.1+5 000\times 0.45+7 500\times 0.45=5 925.$

Final answer: $E(X)=5 925$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售．根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下:

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

|   -   | 400 kg | 500 kg |
| :---: | :----: | :----: |
| 频率  |  0.25  |  0.75  |

![此品种中药材的国内市场批发价格情况](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721816843918127105/img/editor/compression/d0e6d05a-bb32-4919-a297-0ae691476430.png)

(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量\times 批发价格-各年的平均每亩种植成本)
已知该地区某农民有一块土地共10亩,若该土地现种植其他农作物,年纯收入最高可达到45 000元,根据以上数据,该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

Solution:
以第(2)问的期望作为决策依据,则种植10亩此品种中药材年纯收入为5 925\times 10=59 250>45 000,所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材．

Final answer: 59250