di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $1G和2G时代，我们的听觉得以随时随地延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺.到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻.4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手拍的视频随手发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点都能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、朋友圈、短视频平台等等这些在我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所.现在，5G时代的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革.基于领先技术的支持，某科技创新公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表所示，根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661750519173122/img/compression/M_82b2ec4815bee98cbfda4a3f11479536.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2
3.50
21.15
2.85
17.50
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}
e^{1.52}
e^{2.66}
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u=ln y，u_{i}=ln y_{i}(i=1，2，3，4，5，6).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x_{i}，v_{i})，i=1，2，3，\ldots ,n，其回归直线v=\beta x+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$(3)从前6个月的收入数据中随机抽取2个，记其中超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.$

Solution:
$前6个月中，收入超过20百万元的月份有3个，所以X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{1}{5}，所以X的分布列为
X
0
1
2
P
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{1}{5}
所以EX=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.$

Final answer: $X的分布列：0, 1, 2
X的数学期望：1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了10月3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100).例如：10点04分，记作时刻64.$<img_3058>
$(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费站点的时刻的平均值为(30\times 0.005+50\times 0.015+70\times 0.020+90\times 0.010)\times 20=64.(2分)$

Final answer: $64$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了10月3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100).例如：10点04分，记作时刻64.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663348555563010/img/compression/M_ff1174954994b6ed71c6463900c56d51.jpg)
$(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费站点的时刻的平均值为(30\times 0.005+50\times 0.015+70\times 0.020+90\times 0.010)\times 20=64.(2分)$

Final answer: $64$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了10月3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100).例如：10点04分，记作时刻64.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663348555563010/img/compression/M_ff1174954994b6ed71c6463900c56d51.jpg)
$(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；$

Solution:
$由频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是在[20，60)内的车辆数，即(0.005+0.015)\times 20\times 10=4，
(3分)
所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
(4分)
P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^4_6}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{1}{14}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^3_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{8}{21}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{3}{7}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{4}{35}，P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^4_4}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{1}{210}.
(6分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
\frac{1}{14}
\frac{8}{21}
\frac{3}{7}
\frac{4}{35}
\frac{1}{210}
(8分)$

Final answer: $X的分布列为0, 1/14, 8/21, 3/7, 4/35, 1/210.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了10月3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100).例如：10点04分，记作时刻64.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663348555563010/img/compression/M_ff1174954994b6ed71c6463900c56d51.jpg)
$(3)根据大数据分析，车辆每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 可用10月3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，\sigma ^{2}用相应的样本方差近似代替.假如10月4日全天共有1 000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留整数).附：若随机变量T服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <T\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 6，P(\mu -2\sigma <T\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <T\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 4.$

Solution:
$由(1)得\mu =64，\sigma ^{2}=(30-64)^{2}\times 0.1+(50-64)^{2}\times 0.3+(70-64)^{2}\times 0.4+(90-64)^{2}\times 0.2=324，所以\sigma =18，所以T~N(64，18^{2}).(10分)估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在[46，100)内的车辆数，由T~N(64,18^{2})，得P(64-18\leq T<64+2\times 18)=\frac{P(\mu -\sigma <T\leq \mu +\sigma )}{2}+\frac{P(\mu -2\sigma <T\leq \mu +2\sigma )}{2}\approx 0.818 5，所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为1 000\times 0.818 5\approx 819.(12分)$

Final answer: $819$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了10月3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100).例如：10点04分，记作时刻64.$<img_3058>
$(3)根据大数据分析，车辆每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 可用10月3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，\sigma ^{2}用相应的样本方差近似代替.假如10月4日全天共有1 000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留整数).附：若随机变量T服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <T\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 6，P(\mu -2\sigma <T\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 4，P(\mu -3\sigma <T\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 4.$

Solution:
$由(1)得\mu =64，\sigma ^{2}=(30-64)^{2}\times 0.1+(50-64)^{2}\times 0.3+(70-64)^{2}\times 0.4+(90-64)^{2}\times 0.2=324，所以\sigma =18，所以T~N(64，18^{2}).(10分)估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在[46，100)内的车辆数，由T~N(64,18^{2})，得P(64-18\leq T<64+2\times 18)=\frac{P(\mu -\sigma <T\leq \mu +\sigma )}{2}+\frac{P(\mu -2\sigma <T\leq \mu +2\sigma )}{2}\approx 0.818 5，所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为1 000\times 0.818 5\approx 819.(12分)$

Final answer: $819$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电机与变压器中绕组常用的绝缘材料耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别：
耐热等级
Y
A
E
B
F
H
C
绝缘耐温(^\circ C)
[90,105)
[105,120)
[120,130)
[130,155)
[155,180)
[180,200)
[200,230)
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温(单位：^\circ C)，其频率分布直方图如下：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663359886200834/img/compression/M_f36028519bdd3f98c529952b079e954e.jpg)$
甲
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663359886200834/img/compression/M_72de5b1af6c1cfca2f8271f2ab46877d.jpg)$
乙
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq k)
0.25
0.15
0.10
0.05
k
1.323
2.072
2.706
3.841
$
$(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；$

Solution:
$由频率分布直方图知，采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的频率为(0.06+0.02)\times 10=0.8，\therefore 估计10月份采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的产品数为65\times 0.8=52(万件).(4分)$

Final answer: 52 万件
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电机与变压器中绕组常用的绝缘材料耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别：
耐热等级
Y
A
E
B
F
H
C
绝缘耐温(^\circ C)
[90,105)
[105,120)
[120,130)
[130,155)
[155,180)
[180,200)
[200,230)
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温(单位：^\circ C)，其频率分布直方图如下：
$<img_1855>$
甲
$<img_3119>$
乙
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq k)
0.25
0.15
0.10
0.05
k
1.323
2.072
2.706
3.841
$
$(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；$

Solution:
$由频率分布直方图知，采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的频率为(0.06+0.02)\times 10=0.8，\therefore 估计10月份采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的产品数为65\times 0.8=52(万件).(4分)$

Final answer: 52 万件
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电机与变压器中绕组常用的绝缘材料耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别：
耐热等级
Y
A
E
B
F
H
C
绝缘耐温(^\circ C)
[90,105)
[105,120)
[120,130)
[130,155)
[155,180)
[180,200)
[200,230)
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温(单位：^\circ C)，其频率分布直方图如下：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663359886200834/img/compression/M_f36028519bdd3f98c529952b079e954e.jpg)$
甲
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663359886200834/img/compression/M_72de5b1af6c1cfca2f8271f2ab46877d.jpg)$
乙
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq k)
0.25
0.15
0.10
0.05
k
1.323
2.072
2.706
3.841
$
$(2)若规定产品耐热等级达到C级为合格，除此之外均为不合格.完成以下表格，并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.
合格
不合格
甲
乙
$

Solution:
$由频率分布直方图知，采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50\times 0.8=40(件)，则未达到C级的件数为10件；(6分)采用乙工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50\times (0.02+0.04)\times 10=30(件)，则未达到C级的件数为20件.(8分)由此可得表格如下：合格不合格甲4010乙3020\therefore \chi ^{2}=\frac{100 \times (40 \times 20-10 \times 30)^2}{50 \times 50 \times 70 \times 30}\approx 4.762>3.841，(10分)\therefore 有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.(12分)$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电机与变压器中绕组常用的绝缘材料耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别：
耐热等级
Y
A
E
B
F
H
C
绝缘耐温(^\circ C)
[90,105)
[105,120)
[120,130)
[130,155)
[155,180)
[180,200)
[200,230)
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温(单位：^\circ C)，其频率分布直方图如下：
$<img_1855>$
甲
$<img_3119>$
乙
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq k)
0.25
0.15
0.10
0.05
k
1.323
2.072
2.706
3.841
$
$(2)若规定产品耐热等级达到C级为合格，除此之外均为不合格.完成以下表格，并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.
合格
不合格
甲
乙
$

Solution:
$由频率分布直方图知，采用甲工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50\times 0.8=40(件)，则未达到C级的件数为10件；(6分)采用乙工艺生产的产品中，耐热等级达到C级的件数为50\times (0.02+0.04)\times 10=30(件)，则未达到C级的件数为20件.(8分)由此可得表格如下：合格不合格甲4010乙3020\therefore \chi ^{2}=\frac{100 \times (40 \times 20-10 \times 30)^2}{50 \times 50 \times 70 \times 30}\approx 4.762>3.841，(10分)\therefore 有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.(12分)$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间进行“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815352846721026/img/compression/M_93b6f5f3cbb69dcecd20458595e23133.jpg)
$(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；$

Solution:
$由题图得，200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为\frac{20\times 1+100\times 2+80\times 3}{200}＝2.3.$

Final answer: $2.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间进行“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.$<img_2191>
$(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；$

Solution:
$由题图得，200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为\frac{20\times 1+100\times 2+80\times 3}{200}＝2.3.$

Final answer: $2.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间进行“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815352846721026/img/compression/M_93b6f5f3cbb69dcecd20458595e23133.jpg)
$(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.$

Solution:
$从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝P(D)＝\frac{\mathrm{C}^2_{20}+\mathrm{C}^2_{100}+\mathrm{C}^2_{80}}{\mathrm{C}^2_{200}}＝\frac{83}{199}，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{100}}{\mathrm{C}^2_{200}}＋\frac{\mathrm{C}^1_{100}\mathrm{C}^1_{80}}{\mathrm{C}^2_{200}}＝\frac{100}{199}，P(X＝2)＝P(C)＝\frac{\mathrm{C}^1_{20}\mathrm{C}^1_{80}}{\mathrm{C}^2_{200}}＝\frac{16}{199}.所以X的分布列为X012P\frac{83}{199}\frac{100}{199}\frac{16}{199}$

Final answer: $X的分布列为X：0，1，2，P：83/199，100/199，16/199$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图.$<img_2456>
$(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u_{0}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,精确到个位);$

Solution:
$u_{0}=65\times 0.05+75\times 0.08+85\times 0.12+95\times 0.15+105\times 0.24+115\times 0.18+125\times 0.1+135\times 0.05+145\times 0.03=103.2\approx 103(分).$

Final answer: $103$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815378725576705/img/compression/M_22af6ae85c50f53cb759b67c85295865.jpg)
$(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u_{0}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,精确到个位);$

Solution:
$u_{0}=65\times 0.05+75\times 0.08+85\times 0.12+95\times 0.15+105\times 0.24+115\times 0.18+125\times 0.1+135\times 0.05+145\times 0.03=103.2\approx 103(分).$

Final answer: $103$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图.$<img_2456>
$(2)研究发现,本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})(\mu =u_{0},\sigma 约为19.3),按以往的统计数据,理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占40%.(i)估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩是多少分(精确到个位);附:P(X>x)=1-Φ\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)表示X>x的概率.Φ(0.725 7)=0.6,Φ(0.655 4)=0.4.$

Solution:
$(i)记本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩约为x_{1}分，根据题意得,P(X>x_{1})=1-Φ\left(\frac{x_1-\mu }{\sigma }\right)=1-Φ\left(\frac{x_1-103}{19.3}\right)\approx 0.4，即Φ\left(\frac{x_1-103}{19.3}\right)\approx 0.6.由Φ(0.725 7)=0.6,得\frac{x_1-103}{19.3}\approx 0.725 7,解得x_{1}\approx 117,所以本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.(ii)由题意得Y~B\left(4,\frac{2}{5}\right)，P(Y=0)=C^0_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^0\times \left(\frac{3}{5}\right)^4=\frac{81}{625}，P(Y=1)=C^1_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^1\times \left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{216}{625}，P(Y=2)=C^2_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^2\times \left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{216}{625}，P(Y=3)=C^3_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^3\times \left(\frac{3}{5}\right)^1=\frac{96}{625}，P(Y=4)=C^4_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^4\times \left(\frac{3}{5}\right)^0=\frac{16}{625}.所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
4
P
\frac{81}{625}
\frac{216}{625}
\frac{216}{625}
\frac{96}{625}
\frac{16}{625}
E(Y)=4\times \frac{2}{5}=\frac{8}{5}.$



Final answer: $117$ 分
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815378725576705/img/compression/M_22af6ae85c50f53cb759b67c85295865.jpg)
$(2)研究发现,本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})(\mu =u_{0},\sigma 约为19.3),按以往的统计数据,理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占40%.(i)估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩是多少分(精确到个位);(ii)从该市高三理科学生中随机抽取4人,记理科数学成绩能达到升一本的人数为Y,求Y的分布列及数学期望E(Y).附:P(X>x)=1-Φ\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)表示X>x的概率.Φ(0.725 7)=0.6,Φ(0.655 4)=0.4.$

Solution:
$(i)记本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩约为x_{1}分，根据题意得,P(X>x_{1})=1-Φ\left(\frac{x_1-\mu }{\sigma }\right)=1-Φ\left(\frac{x_1-103}{19.3}\right)\approx 0.4，即Φ\left(\frac{x_1-103}{19.3}\right)\approx 0.6.由Φ(0.725 7)=0.6,得\frac{x_1-103}{19.3}\approx 0.725 7,解得x_{1}\approx 117,所以本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.(ii)由题意得Y~B\left(4,\frac{2}{5}\right)，P(Y=0)=C^0_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^0\times \left(\frac{3}{5}\right)^4=\frac{81}{625}，P(Y=1)=C^1_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^1\times \left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{216}{625}，P(Y=2)=C^2_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^2\times \left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{216}{625}，P(Y=3)=C^3_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^3\times \left(\frac{3}{5}\right)^1=\frac{96}{625}，P(Y=4)=C^4_4\times \left(\frac{2}{5}\right)^4\times \left(\frac{3}{5}\right)^0=\frac{16}{625}.所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
4
P
\frac{81}{625}
\frac{216}{625}
\frac{216}{625}
\frac{96}{625}
\frac{16}{625}
E(Y)=4\times \frac{2}{5}=\frac{8}{5}.$

Final answer: $(i) 本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
(ii) Y的分布列为: P(Y=0)=81/625, P(Y=1)=216/625, P(Y=2)=216/625, P(Y=3)=96/625, P(Y=4)=16/625. 数学期望E(Y)=8/5.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2}).
附：①若随机变量Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -3\sigma \leq Z\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997.②0.997^{16}\approx 0.953，\sqrt{0.008}\approx 0.09.$
$(1)假设生产状态正常，记X为一天内抽取的16个零件中其尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的零件数，求P(X\geq 1)及X的数学期望；$

Solution:
$抽取的1个零件的尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]内的概率为0.997，从而零件的尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的概率为0.003，故X~B(16，0.003).因此P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0.997^{16}\approx 0.047，E(X)=16\times 0.003=0.048.$



Final answer: $0.047,0.048$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2}).
附：①若随机变量Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -3\sigma \leq Z\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997.②0.997^{16}\approx 0.953，\sqrt{0.008}\approx 0.09.$
$(2)一天内抽取的零件中，如果出现了尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸(单位：cm)：
$<img_2378>$经计算得\overline{x}=\frac{1}{16}\sum \limits^{16}_{i=1}x_{i}=9.97，s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum \limits^{16}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\sum \limits^{16}_{i=1}x^2_i-16\overline{x}^{ 2})}\approx 0.212，其中x_{i}为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，\ldots ，16.用样本平均数\overline{x}作为\mu 的估计值\hat{\mu }，用样本标准差s作为\sigma 的估计值\hat{\sigma }，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外的数据，用剩下的数据估计\mu 和\sigma (精确到0.01).$

Solution:
$(i)由(1)可知一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的零件的概率只有0.047，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由\overline{x}=9.97，s\approx 0.212，得\hat{\mu }=9.97，\hat{\sigma }=0.212，由样本数据可以看出有1个零件的尺寸在[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外的数据9.22后，剩下数据的平均数为\frac{1}{15}\times (16\times 9.97-9.22)=10.02，因此\mu 的估计值为10.02.\sum \limits^{16}_{i=1}x^2_i=16\times 0.212^{2}+16\times 9.97^{2}\approx 1 591.134.剩下数据的样本方差为\frac{1}{15}\times (1 591.134-9.22^{2}-15\times 10.02^{2})\approx 0.008，因此\sigma 的估计值为\sqrt{0.008}\approx 0.09.$



Final answer: $10.02, 0.09$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2}).
附：①若随机变量Z服从正态分布N(\mu ，\sigma ^{2})，则P(\mu -3\sigma \leq Z\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997.②0.997^{16}\approx 0.953，\sqrt{0.008}\approx 0.09.$
$(2)一天内抽取的零件中，如果出现了尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸(单位：cm)：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815379228893185/img/editor/compression/9a7ccb78-e904-4784-99bb-96d71a2b5e94.png)$经计算得\overline{x}=\frac{1}{16}\sum \limits^{16}_{i=1}x_{i}=9.97，s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum \limits^{16}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\sum \limits^{16}_{i=1}x^2_i-16\overline{x}^{ 2})}\approx 0.212，其中x_{i}为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，\ldots ，16.用样本平均数\overline{x}作为\mu 的估计值\hat{\mu }，用样本标准差s作为\sigma 的估计值\hat{\sigma }，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外的数据，用剩下的数据估计\mu 和\sigma (精确到0.01).$

Solution:
$(i)由(1)可知一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在[\mu -3\sigma ，\mu +3\sigma ]之外的零件的概率只有0.047，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由\overline{x}=9.97，s\approx 0.212，得\hat{\mu }=9.97，\hat{\sigma }=0.212，由样本数据可以看出有1个零件的尺寸在[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除[\hat{\mu }-3\hat{\sigma }，\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]之外的数据9.22后，剩下数据的平均数为\frac{1}{15}\times (16\times 9.97-9.22)=10.02，因此\mu 的估计值为10.02.\sum \limits^{16}_{i=1}x^2_i=16\times 0.212^{2}+16\times 9.97^{2}\approx 1 591.134.剩下数据的样本方差为\frac{1}{15}\times (1 591.134-9.22^{2}-15\times 10.02^{2})\approx 0.008，因此\sigma 的估计值为\sqrt{0.008}\approx 0.09.$

Final answer: $\mu 的估计值为10.02。\sigma 的估计值为0.09.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815396534591490/img/compression/M_7e72794b429ee4c102219a0193dabf6c.jpg)
$(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品件数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，40件产品中质量超过505克的产品有40\times (0.05+0.01)\times 5=12(件).$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$<img_3135>
$(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品件数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，40件产品中质量超过505克的产品有40\times (0.05+0.01)\times 5=12(件).$

Final answer: $12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$<img_3135>
$(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品件数，求X的数学期望；$

Solution:
$由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_{28}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{63}{130}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{12}\mathrm{C}^1_{28}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{28}{65}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{12}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{11}{130}.所以X的分布列为X012P\frac{63}{130}\frac{28}{65}\frac{11}{130}所以E(X)=0\times \frac{63}{130}+1\times \frac{28}{65}+2\times \frac{11}{130}=\frac{3}{5}.$



Final answer: $3/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815396534591490/img/compression/M_7e72794b429ee4c102219a0193dabf6c.jpg)
$(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品件数，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_{28}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{63}{130}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{12}\mathrm{C}^1_{28}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{28}{65}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{12}}{\mathrm{C}^2_{40}}=\frac{11}{130}.所以X的分布列为X012P\frac{63}{130}\frac{28}{65}\frac{11}{130}所以E(X)=0\times \frac{63}{130}+1\times \frac{28}{65}+2\times \frac{11}{130}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $X的分布列为X: 0, 1, 2; P: 63/130, 28/65, 11/130
E(X) = 3/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$<img_3135>
$(3)用频率估计概率，从流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品件数，求Y的数学期望与方差.$

Solution:
$设抽取的产品的质量超过505克的概率为p，易得p=\frac{3}{10}，则Y~B\left(5,\frac{3}{10}\right)，P(Y=0)=C^0_5\times \left(\frac{7}{10}\right)^5=\frac{16 807}{100 000}，P(Y=1)=C^1_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^1\times \left(\frac{7}{10}\right)^4=\frac{7 203}{20 000}，P(Y=2)=C^2_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^2\times \left(\frac{7}{10}\right)^3=\frac{3 087}{10 000}，P(Y=3)=C^3_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^3\times \left(\frac{7}{10}\right)^2=\frac{1 323}{10 000}，P(Y=4)=C^4_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^4\times \left(\frac{7}{10}\right)^1=\frac{567}{20 000}，P(Y=5)=C^5_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^5=\frac{243}{100 000}.所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
4
5
P
\frac{16 807}{100 000}
\frac{7 203}{20 000}
\frac{3 087}{10 000}
\frac{1 323}{10 000}
\frac{567}{20 000}
\frac{243}{100 000}
E(Y)=5\times \frac{3}{10}=1.5，D(Y)=5\times \frac{3}{10}\times \frac{7}{10}=1.05.$



Final answer: $E(Y)=1.5，方差D(Y)=1.05$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，(500,505],(505,510],(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693815396534591490/img/compression/M_7e72794b429ee4c102219a0193dabf6c.jpg)
$(3)用频率估计概率，从流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品件数，求Y的分布列、数学期望与方差.$

Solution:
$设抽取的产品的质量超过505克的概率为p，易得p=\frac{3}{10}，则Y~B\left(5,\frac{3}{10}\right)，P(Y=0)=C^0_5\times \left(\frac{7}{10}\right)^5=\frac{16 807}{100 000}，P(Y=1)=C^1_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^1\times \left(\frac{7}{10}\right)^4=\frac{7 203}{20 000}，P(Y=2)=C^2_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^2\times \left(\frac{7}{10}\right)^3=\frac{3 087}{10 000}，P(Y=3)=C^3_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^3\times \left(\frac{7}{10}\right)^2=\frac{1 323}{10 000}，P(Y=4)=C^4_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^4\times \left(\frac{7}{10}\right)^1=\frac{567}{20 000}，P(Y=5)=C^5_5\times \left(\frac{3}{10}\right)^5=\frac{243}{100 000}.所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
4
5
P
\frac{16 807}{100 000}
\frac{7 203}{20 000}
\frac{3 087}{10 000}
\frac{1 323}{10 000}
\frac{567}{20 000}
\frac{243}{100 000}
E(Y)=5\times \frac{3}{10}=1.5，D(Y)=5\times \frac{3}{10}\times \frac{7}{10}=1.05.$

Final answer: $Y的分布列为：P(Y=0)=16,807/100,000, P(Y=1)=7,203/20,000, P(Y=2)=3,087/10,000, P(Y=3)=1,323/10,000, P(Y=4)=567/20,000, P(Y=5)=243/100,000。数学期望E(Y)=1.5，方差D(Y)=1.05。$