di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $向卡车上装载重型货物时,工人常常先在车厢尾部斜搭一块木板，然后将货物沿木板推入车厢,该情境可简化为如图所示的模型。已知木板与水平面间的夹角为\theta ,货物质量为m,货物与木板间的动摩擦因数为\mu ，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255226141339651/img/compression/M_9cf58e711ae373553024d36c5ff11843.jpg)
若用平行于木板向上的力推动货物上行,则至少需要多大的力?

Solution:
$对货物受力分析如图1所示，由共点力平衡可知 F_{min}=mg \sin \theta +F_{f},F_{N}=mg \cos \theta ,F_{f}=\mu F_{N}，解得 F_{min}=mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta 。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255226455912450/img/compression/M_974dc5538dcf0b15d072635d16788133.jpg)

Final answer: $mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $向卡车上装载重型货物时,工人常常先在车厢尾部斜搭一块木板，然后将货物沿木板推入车厢,该情境可简化为如图所示的模型。已知木板与水平面间的夹角为\theta ,货物质量为m,货物与木板间的动摩擦因数为\mu ，重力加速度为g。$

<img_1070>
若用平行于木板向上的力推动货物上行,则至少需要多大的力?

Solution:
$对货物受力分析如图1所示，由共点力平衡可知 F_{min}=mg \sin \theta +F_{f},F_{N}=mg \cos \theta ,F_{f}=\mu F_{N}，解得 F_{min}=mg \sin \theta +\mu mg \cos \theta 。$

<img_869>

Final answer: $mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_1139>
$A被敲击后获得的初速度大小v_{A}；$

Solution:
$由牛顿第二定律知，A加速度的大小a_A=\mu g$
$由匀变速直线运动规律有2a_AL=v^2_A$
$解得v_A=\sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![20GZTWL120.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255269894942724/img/compression/M_4a9cb9030020e1c66140f677467530b8.jpg)
$A被敲击后获得的初速度大小v_{A}；$

Solution:
$由牛顿第二定律知，A加速度的大小a_A=\mu g$
$由匀变速直线运动规律有2a_AL=v^2_A$
$解得v_A=\sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_1139>
$在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小a_{B}、a_{B}'；$

Solution:
设A、B的质量均为m
$对齐前，B所受合外力大小F=3\mu mg$
$由牛顿第二定律F=ma_B，得a_B=3\mu g$
$对齐后，A、B所受合外力大小F'=2\mu mg$
$由牛顿第二定律F'=2ma_B'，得a_B'=\mu g$

Final answer: $3\mu g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为\mu 。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![20GZTWL120.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255269894942724/img/compression/M_4a9cb9030020e1c66140f677467530b8.jpg)
$在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小a_{B}、a_{B}'；$

Solution:
设A、B的质量均为m
$对齐前，B所受合外力大小F=3\mu mg$
$由牛顿第二定律F=ma_B，得a_B=3\mu g$
$对齐后，A、B所受合外力大小F'=2\mu mg$
$由牛顿第二定律F'=2ma_B'，得a_B'=\mu g$

Final answer: $3\mu g$
Subfield: Mechanics


Question: $将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于 \theta。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为 h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为 g)$

Solution:
$设石子抛出时的水平速度为v_0，接触水面时的速度方向与水面的夹角为\alpha ，由题意可知，石子在空中做平抛运动，则v^2_y=2gh,解得v_{y}=\sqrt{2gh}$

$由\tan \alpha =\frac{v_y}{v_0}，\alpha \leq \theta ，联立解得v_0\geq \frac{\sqrt{2gh}}{\tan  \theta }$

$所以石子抛出速度的最小值v_{min}=\frac{\sqrt{2gh}}{\tan  \theta }。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2gh}}{\tan  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

<img_843>
求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

Solution:
$设小车通过第30个减速带后，经过每个减速带损失的机械能为\Delta E$

$小车从刚通过第30个减速带到刚通过第31个减速带，由动能定理可知mgd \sin \theta -\Delta E=0$

$解得:\Delta E=mgd \sin \theta $

Final answer: $mgd \sin \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255337525891074/img/compression/M_f1973a95d8f409d1d30cb4061025f7b0.jpg)
求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

Solution:
$设小车通过第30个减速带后，经过每个减速带损失的机械能为\Delta E$

$小车从刚通过第30个减速带到刚通过第31个减速带，由动能定理可知mgd \sin \theta -\Delta E=0$

$解得:\Delta E=mgd \sin \theta $

Final answer: $mgd \sin \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

<img_843>
求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

Solution:
$小车运动全程能量守恒，设\overline{E}为通过前30个减速带时在每一个减速带上平均损失的机械能，则有$
$mgL \sin \theta +49mgd \sin \theta =\mu mgs+20\Delta E+30\overline{E}$
$解得\overline{E}=\frac{(L+29d)mg \sin  \theta -\mu mgs}{30}$

Final answer: $\frac{(L+29d)mg \sin  \theta -\mu mgs}{30}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一倾角为\theta的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255337525891074/img/compression/M_f1973a95d8f409d1d30cb4061025f7b0.jpg)
求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

Solution:
$小车运动全程能量守恒，设\overline{E}为通过前30个减速带时在每一个减速带上平均损失的机械能，则有$
$mgL \sin \theta +49mgd \sin \theta =\mu mgs+20\Delta E+30\overline{E}$
$解得\overline{E}=\frac{(L+29d)mg \sin  \theta -\mu mgs}{30}$

Final answer: $\frac{(L+29d)mg \sin  \theta -\mu mgs}{30}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg，g为重力加速度的大小，不计空气阻力。$

![Image Description](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255338016624642/img/compression/M_72d2039f5e7aef9797bb9f6019bf6e6d.jpg)
管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；

Solution:
$管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为 v_0=\sqrt{2gH} $

$方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。<br>设自弹起时经过时间 t_1，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式 v_0-a_1t_1=-v_0+a_2t_1 $

$联立③④⑤式得 t_1=\frac{2}{5}\sqrt{\frac{2H}{g}}$

$设此时管下端的高度为 h_1，速度为 v，由运动学公式可得 h_1=v_0t_1-\frac{1}{2}a_1t_1^2$

$v=v_0-a_1t_1$

$由③④⑥⑧式可判断此时 v>0。此后，管与小球将以加速度 g 减速上升 h_2，到达最高点。由运动学公式有$
$h_2=\frac{v^2}{2g}$

$设管第一次落地弹起后上升的最大高度为 H_1，则$
$H_1=h_1+h_2$

联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
$H_1=\frac{13}{25}H$

Final answer: $\frac{13}{25} H$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg，g为重力加速度的大小，不计空气阻力。$

<img_828>
管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；

Solution:
$管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为 v_0=\sqrt{2gH} $

$方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。<br>设自弹起时经过时间 t_1，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式 v_0-a_1t_1=-v_0+a_2t_1 $

$联立③④⑤式得 t_1=\frac{2}{5}\sqrt{\frac{2H}{g}}$

$设此时管下端的高度为 h_1，速度为 v，由运动学公式可得 h_1=v_0t_1-\frac{1}{2}a_1t_1^2$

$v=v_0-a_1t_1$

$由③④⑥⑧式可判断此时 v>0。此后，管与小球将以加速度 g 减速上升 h_2，到达最高点。由运动学公式有$
$h_2=\frac{v^2}{2g}$

$设管第一次落地弹起后上升的最大高度为 H_1，则$
$H_1=h_1+h_2$

联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
$H_1=\frac{13}{25}H$

Final answer: $\frac{13}{25} H$
Subfield: Mechanics


Question: $无人机在生产生活中得到广泛应用。质量为m的无人机进行了由静止开始在竖直方向上加速上升的两次实验：第一次实验的加速度a与速度倒数 \frac{1}{v} 的关系图像如图甲所示，无人机的速度v_甲对应的加速度为a_甲；第二次实验无人机的加速度a与时间t的关系图像如图乙所示，a_0为无人机刚开始上升时的加速度，时刻t_乙对应的加速度为a_乙，不计空气阻力，重力加速度为g。$
![无人机速度加速度关系图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255346870185986/img/compression/M_942e8e3c64cffdb7d69d0e11769527f2.jpg)
$求第一次实验无人机的最大速度和第二次实验无人机在t_{乙}时刻的速度大小；$

Solution:
$设第一次实验无人机的最大速度为v_m，当加速度为0时速度最大，则题图甲中的图线与横轴交点的横坐标表示\frac{1}{v_m}，有$
$k=\frac{[a_{甲}-(-g)]}{\frac{1}{v_{甲}}}=\frac{[0-(-g)]}{\frac{1}{v_m}}$
$解得v_m=\frac{(a_{甲}+g)v_{甲}}{g}$
$由加速度的定义a=\frac{\Delta v}{\Delta t}可得\Delta v=a\Delta t$
$则a-t图线与时间轴所围成的面积S表示速度的变化量\Delta v，结合题中图乙信息有$
$S=\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}=\Delta v=v_{乙}-0$
$解得v_{乙}=\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}$

Final answer: $\frac{(a_{甲}+g)v_{甲}}{g}$, $\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $无人机在生产生活中得到广泛应用。质量为m的无人机进行了由静止开始在竖直方向上加速上升的两次实验：第一次实验的加速度a与速度倒数 \frac{1}{v} 的关系图像如图甲所示，无人机的速度v_甲对应的加速度为a_甲；第二次实验无人机的加速度a与时间t的关系图像如图乙所示，a_0为无人机刚开始上升时的加速度，时刻t_乙对应的加速度为a_乙，不计空气阻力，重力加速度为g。$
<img_474>
$求第一次实验无人机的最大速度和第二次实验无人机在t_{乙}时刻的速度大小；$

Solution:
$设第一次实验无人机的最大速度为v_m，当加速度为0时速度最大，则题图甲中的图线与横轴交点的横坐标表示\frac{1}{v_m}，有$
$k=\frac{[a_{甲}-(-g)]}{\frac{1}{v_{甲}}}=\frac{[0-(-g)]}{\frac{1}{v_m}}$
$解得v_m=\frac{(a_{甲}+g)v_{甲}}{g}$
$由加速度的定义a=\frac{\Delta v}{\Delta t}可得\Delta v=a\Delta t$
$则a-t图线与时间轴所围成的面积S表示速度的变化量\Delta v，结合题中图乙信息有$
$S=\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}=\Delta v=v_{乙}-0$
$解得v_{乙}=\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}$



Final answer: $\frac{(a_{甲}+g)v_{甲}}{g}$, $\frac{(a_0+a_{乙})t_{乙}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $无人机在生产生活中得到广泛应用。质量为m的无人机进行了由静止开始在竖直方向上加速上升的两次实验：第一次实验的加速度a与速度倒数 \frac{1}{v} 的关系图像如图甲所示，无人机的速度v_甲对应的加速度为a_甲；第二次实验无人机的加速度a与时间t的关系图像如图乙所示，a_0为无人机刚开始上升时的加速度，时刻t_乙对应的加速度为a_乙，不计空气阻力，重力加速度为g。$
![无人机速度加速度关系图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255346870185986/img/compression/M_942e8e3c64cffdb7d69d0e11769527f2.jpg)
$若a_{甲}=a_{乙}，则第一次实验无人机升力的功率与第二次实验无人机在t_{乙}时刻升力的功率之比为多少?$

Solution:
第一次实验中若无人机以恒定的加速度启动，则a为定值，由题中图甲看出a在变化，故无人机不以恒定的加速度启动。

若无人机以恒定的功率启动，有P=Fv

F-mg=ma

$联立解得a= \frac{P}{m}\cdot \frac{1}{v}-g$

$可得a与\frac{1}{v}的关系正好满足题中图甲所示的规律$

$第一次实验无人机以最大速度vm= \frac{(a_{\text{甲}}+g)v_{\text{甲}}}{g}匀速运动时，由二力平衡可得F_{甲}=mg$

升力的功率P_{甲}=F_{甲}vm

第二次实验中设无人机在t_{乙}时刻的升力为F_{乙}，由牛顿第二定律有F_{乙}-mg=a_{乙}

升力的功率P_{乙}=F_{乙}v_{乙}

由题意有a_{甲}=a_{乙}

$联立解得 \frac{P_{\text{甲}}}{P_{\text{乙}}}= \frac{2v_{\text{甲}}}{(a_0+a_{\text{乙}})t_{\text{乙}}}$

Final answer: $\frac{2v_{\text{甲}}}{(a_0+a_{\text{乙}})t_{\text{乙}}}$
Subfield: Mechanics


Question: $无人机在生产生活中得到广泛应用。质量为m的无人机进行了由静止开始在竖直方向上加速上升的两次实验：第一次实验的加速度a与速度倒数 \frac{1}{v} 的关系图像如图甲所示，无人机的速度v_甲对应的加速度为a_甲；第二次实验无人机的加速度a与时间t的关系图像如图乙所示，a_0为无人机刚开始上升时的加速度，时刻t_乙对应的加速度为a_乙，不计空气阻力，重力加速度为g。$
<img_474>
$若a_{甲}=a_{乙}，则第一次实验无人机升力的功率与第二次实验无人机在t_{乙}时刻升力的功率之比为多少?$

Solution:
第一次实验中若无人机以恒定的加速度启动，则a为定值，由题中图甲看出a在变化，故无人机不以恒定的加速度启动。

若无人机以恒定的功率启动，有P=Fv

F-mg=ma

$联立解得a= \frac{P}{m}\cdot \frac{1}{v}-g$

$可得a与\frac{1}{v}的关系正好满足题中图甲所示的规律$

$第一次实验无人机以最大速度vm= \frac{(a_{\text{甲}}+g)v_{\text{甲}}}{g}匀速运动时，由二力平衡可得F_{甲}=mg$

升力的功率P_{甲}=F_{甲}vm

第二次实验中设无人机在t_{乙}时刻的升力为F_{乙}，由牛顿第二定律有F_{乙}-mg=a_{乙}

升力的功率P_{乙}=F_{乙}v_{乙}

由题意有a_{甲}=a_{乙}

$联立解得 \frac{P_{\text{甲}}}{P_{\text{乙}}}= \frac{2v_{\text{甲}}}{(a_0+a_{\text{乙}})t_{\text{乙}}}$



Final answer: $\frac{2v_{\text{甲}}}{(a_0+a_{\text{乙}})t_{\text{乙}}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Eₚ。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的\frac{4}{5}。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求$

<img_1310>
小球离开桌面时的速度大小；

Solution:
由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为小球的动能，即

$E_p = \frac{1}{2}mv_0^2$

①

$解得v_0 = \sqrt{\frac{2E_p}{m}}$

②

小球离开桌面时的速度大小为

$\sqrt{\frac{2E_p}{m}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2E_p}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Eₚ。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的\frac{4}{5}。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255370568617987/img/compression/M_f8c6ce37bfe1e19663e7824f59ece4b6.jpg)
小球离开桌面时的速度大小；

Solution:
由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为小球的动能，即

$E_p = \frac{1}{2}mv_0^2$

①

$解得v_0 = \sqrt{\frac{2E_p}{m}}$

②

小球离开桌面时的速度大小为

$\sqrt{\frac{2E_p}{m}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2E_p}{m}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Eₚ。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的\frac{4}{5}。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求$

<img_1310>
小球第一次落地点距离桌面上其飞出点的水平距离。

Solution:
$设桌面的高度为H，小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为x，小球飞出后做平抛运动，有$

$H = \frac{1}{2}gt^2$

$x = v_0t  $

$设小球与地面碰撞前后速度的竖直分量分别为v_{y1}与v_{y2}，由题意可知$

$v_{y1}^2 = 2gH$

$v_{y2}^2 = 2gh$

$\frac{v_{y2}}{v_{y1}} = \frac{4}{5}$

$联立以上所有式子得 x = \frac{5}{2}\sqrt{\frac{E_ph}{mg}}$

$即小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为 \frac{5}{2}\sqrt{\frac{E_ph}{mg}}$

Final answer: $\frac{5}{2}$, $\sqrt{\frac{E_\mathrm{p}h}{mg}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Eₚ。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的\frac{4}{5}。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255370568617987/img/compression/M_f8c6ce37bfe1e19663e7824f59ece4b6.jpg)
小球第一次落地点距离桌面上其飞出点的水平距离。

Solution:
$设桌面的高度为H，小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为x，小球飞出后做平抛运动，有$

$H = \frac{1}{2}gt^2$

$x = v_0t  $

$设小球与地面碰撞前后速度的竖直分量分别为v_{y1}与v_{y2}，由题意可知$

$v_{y1}^2 = 2gH$

$v_{y2}^2 = 2gh$

$\frac{v_{y2}}{v_{y1}} = \frac{4}{5}$

$联立以上所有式子得 x = \frac{5}{2}\sqrt{\frac{E_ph}{mg}}$

$即小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为 \frac{5}{2}\sqrt{\frac{E_ph}{mg}}$

Final answer: $\frac{5}{2}$, $\sqrt{\frac{E_\mathrm{p}h}{mg}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255370988048386/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
$当A由C点沿半圆弾轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为\theta ，求此时A所受重力对A做功的功率；$

Solution:
对A由C到D的过程，
$由机械能守恒定律得mgR \cos \theta =\frac{1}{2}mv_D^2$
$A所受重力对A做功的功率为 P=mgv_D \sin \theta $
$解得P=mg \sin \theta \sqrt{2gR \cos  \theta }$

Final answer: $mg \sin \theta  \sqrt{2gR \cos \theta  }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

<img_661>
$当A由C点沿半圆弾轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为\theta ，求此时A所受重力对A做功的功率；$

Solution:
对A由C到D的过程，
$由机械能守恒定律得mgR \cos \theta =\frac{1}{2}mv_D^2$
$A所受重力对A做功的功率为 P=mgv_D \sin \theta $
$解得P=mg \sin \theta \sqrt{2gR \cos  \theta }$

Final answer: $mg \sin \theta  \sqrt{2gR \cos \theta  }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255370988048386/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
求碰撞过程中A和B损失的总动能。

Solution:
设A、B碰后瞬间的速度分别为v1、v2，对B由Q到最高点的过程，由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv^2_{2}+mg\cdot 2R$
$解得v2= \sqrt{5gR}$
对A由Q到C的过程，由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}mv_1^2 = mgR$
$解得v1= \sqrt{2gR}$
设碰前瞬间A的速度为v0，对A、B碰撞的过程，由动量守恒定律得mv0 = mv1 +mv2
$解得v0= \sqrt{2gR} + \sqrt{5gR}$
碰撞过程中A和B损失的总动能为
$\Delta E= \frac{1}{2}mv_0^2 -\frac{1}{2}mv_1^2 -\frac{1}{2}mv_2^2$
$解得\Delta E= \sqrt{10}mgR$

Final answer: $\sqrt{10}mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。$

<img_661>
求碰撞过程中A和B损失的总动能。

Solution:
设A、B碰后瞬间的速度分别为v1、v2，对B由Q到最高点的过程，由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv^2_{2}+mg\cdot 2R$
$解得v2= \sqrt{5gR}$
对A由Q到C的过程，由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}mv_1^2 = mgR$
$解得v1= \sqrt{2gR}$
设碰前瞬间A的速度为v0，对A、B碰撞的过程，由动量守恒定律得mv0 = mv1 +mv2
$解得v0= \sqrt{2gR} + \sqrt{5gR}$
碰撞过程中A和B损失的总动能为
$\Delta E= \frac{1}{2}mv_0^2 -\frac{1}{2}mv_1^2 -\frac{1}{2}mv_2^2$
$解得\Delta E= \sqrt{10}mgR$

Final answer: $\sqrt{10}mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L，\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。$
<img_846>
$若A从倾斜轨道上距x轴高度为2\mu L的位置由静止开始下滑，求A经过O点时的速度大小；$

Solution:
$A由距x轴高度为2\mu L的位置滑到O点的过程满足：mg\cdot 2\mu L-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2$

$得v=\sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L，\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。$
![22GZTWL38.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255371411673090/img/compression/M_d2ef13ad17a033e16483c4f7d82a5220.jpg)
$若A从倾斜轨道上距x轴高度为2\mu L的位置由静止开始下滑，求A经过O点时的速度大小；$

Solution:
$A由距x轴高度为2\mu L的位置滑到O点的过程满足：mg\cdot 2\mu L-\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2$

$得v=\sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

<img_550>
$若v_0=\sqrt{gR},求整个装置获得的最大速度大小;$

Solution:
当小球再次回到B点时，整个装置的速度最大。由动量守恒定律和机械能守恒定律有：

$mv_0 = mv_1 + 2mv_2$

$1/2 mv_0^2 = 1/2 mv_1^2 + 1/2 \cdot 2mv_2^2$

$解得v_2 = 2/3 v_0 = 2/3 \sqrt gR$

Final answer: $\frac{2}{3} \sqrt{gR}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,光滑水平地面上有一光滑薄木板AB,薄木板右侧连接一光滑半圆细管轨道BCD,轨道半径为R,C点与轨道圆心O点等高,半圆轨道最高点D左侧连接一内壁光滑的细管DE,在细管的E端固定一轻质弹簧，整个装置质量为2m。一半径略小于细管半径、质量为m的小球,以初速度v_0从薄木板A端滑上木板。已知重力加速度为g,小球可视为质点。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255379848622082/img/compression/M_115967aaf0b6352d71f1ed27da4e1223.jpg)
$若v_0=\sqrt{gR},求整个装置获得的最大速度大小;$

Solution:
当小球再次回到B点时，整个装置的速度最大。由动量守恒定律和机械能守恒定律有：

$mv_0 = mv_1 + 2mv_2$

$1/2 mv_0^2 = 1/2 mv_1^2 + 1/2 \cdot 2mv_2^2$

$解得v_2 = 2/3 v_0 = 2/3 \sqrt gR$

Final answer: $\frac{2}{3} \sqrt{gR}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_664>
小球3被碰撞后瞬间动能与小球1碰撞前瞬间动能之比;

Solution:
小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,取水平向右为正方向,由动量守恒定律得

$m_1v_0=m_1v'_1+m_2v'_2$

由机械能守恒定律有

$\frac{1}{2}m_1v^2_0=\frac{1}{2}m_1v'^2_1+\frac{1}{2}m_2v'^2_2$

$解得v'_2=\frac{2m_1v_0}{m_1+m_2}$

$同理可得v'_3=\frac{2m_2v'_2}{m_2+m_3}$

$\frac{E_{\mathrm{k}3}}{E_{\mathrm{k}1}}=\frac{16m_1m^2_2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}$

Final answer: $\frac{16m_1m^2_2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,AB是半径为R的粗糙四分之一圆弧,圆弧与光滑水平面相切于B点,体积相等、材料不同的n个小球放置在轨道上,其中质量为m_1的小球1用手固定在A点,其余小球2、3、\ldots 、n等间距依次静止在水平面上。小球质量分别为m_2、m_3、\ldots 、m_n。在B点安装压力传感器,当小球通过B点,传感器能显示小球对传感器的压力。已知小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,碰撞后后方小球被迅速取走,以保证小球不发生二次碰撞,取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![24BKB5WL369.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255380834283522/img/compression/M_a6884747cbdfd30c48e81a09f3862e8a.jpg)
小球3被碰撞后瞬间动能与小球1碰撞前瞬间动能之比;

Solution:
小球之间的碰撞均为沿同一直线的弹性正碰,取水平向右为正方向,由动量守恒定律得

$m_1v_0=m_1v'_1+m_2v'_2$

由机械能守恒定律有

$\frac{1}{2}m_1v^2_0=\frac{1}{2}m_1v'^2_1+\frac{1}{2}m_2v'^2_2$

$解得v'_2=\frac{2m_1v_0}{m_1+m_2}$

$同理可得v'_3=\frac{2m_2v'_2}{m_2+m_3}$

$\frac{E_{\mathrm{k}3}}{E_{\mathrm{k}1}}=\frac{16m_1m^2_2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}$

Final answer: $\frac{16m_1m^2_2m_3}{(m_1+m_2)^2(m_2+m_3)^2}$
Subfield: Mechanics


Question: $在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子 P^{+}，经电压为 U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里、有一定宽度的平行双边界匀强磁场区域，如下图所示，已知离子 P^{+} 在磁场中转过 \theta =30^\circ  后从磁场右边界射出。已知磷离子 P^{+} 质量为 m，带电荷量为 e，忽略重力影响，求：$

<img_591>
磁场宽度L。

Solution:
$由洛伦兹力提供向心力可得 evB = mv^2/r$

$磷离子通过磁场转过的角度 \theta 等于其运动轨迹圆心角，所以有 \sin \theta = L/r$

$解得 L = 1/(2B) \sqrt{2mU/e}$

Final answer: $\frac{1}{2B} \sqrt{\frac{2mU}{e}}$
Subfield: Mechanics


Question: $在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子 P^{+}，经电压为 U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里、有一定宽度的平行双边界匀强磁场区域，如下图所示，已知离子 P^{+} 在磁场中转过 \theta =30^\circ  后从磁场右边界射出。已知磷离子 P^{+} 质量为 m，带电荷量为 e，忽略重力影响，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960619587403778/img/compression/M_a95d737a28d2fbad1b6589f720f7a751.jpg)
磁场宽度L。

Solution:
$由洛伦兹力提供向心力可得 evB = mv^2/r$

$磷离子通过磁场转过的角度 \theta 等于其运动轨迹圆心角，所以有 \sin \theta = L/r$

$解得 L = 1/(2B) \sqrt{2mU/e}$

Final answer: $\frac{1}{2B} \sqrt{\frac{2mU}{e}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，$\angle OCA＝30^\circ$ ，OA的长度为L。在$\triangle OCA$区域内有垂直于$xOy$平面向里的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 $t_0$。不计重力。  
<img_1464>
求磁场的磁感应强度的大小；

Solution:
$粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t_0内其速度方向改变了90^\circ ，故其周期T＝4t_0,设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB＝m\frac{v^2}{r}，匀速圆周运动的速度满足 v＝\frac{2\pi r}{T}，联立以上各式得B＝\frac{\pi m}{{2qt}_0}。$

Final answer: $\frac{\pi m}{{2qt}_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，$\angle OCA＝30^\circ$ ，OA的长度为L。在$\triangle OCA$区域内有垂直于$xOy$平面向里的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 $t_0$。不计重力。  
![TIF Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960620015222787/img/compression/M_a67ec9fb92a0ec6640e45ed66d6394f7.jpg)
求磁场的磁感应强度的大小；

Solution:
$粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t_0内其速度方向改变了90^\circ ，故其周期T＝4t_0,设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB＝m\frac{v^2}{r}，匀速圆周运动的速度满足 v＝\frac{2\pi r}{T}，联立以上各式得B＝\frac{\pi m}{{2qt}_0}。$

Final answer: $\frac{\pi m}{{2qt}_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，$\angle OCA＝30^\circ$ ，OA的长度为L。在$\triangle OCA$区域内有垂直于$xOy$平面向里的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 $t_0$。不计重力。  
<img_1464>
$若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为\frac{5}{3}t_0，求粒子此次入射速度的大小。$

Solution:
$如图，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为\frac{\frac{5}{3}t_0}{T}\times 360^\circ =150^\circ 。设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r_0，圆弧与AC相切于B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有\angle O O'D＝\angle BO'A＝30^\circ ， r_0 \cos\angle O O'D+\frac{r_0}{\cos \angle BO'A}＝L，设粒子此次入射速度的大小为v_0，由圆周运动规律可知，v_0＝\frac{2\pi r_0}{T}，解得v_0＝\frac{\sqrt{3}\pi L}{7t_0}。$

<img_575>

Final answer: $\frac{\sqrt{3}\pi L}{7t_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，$\angle OCA＝30^\circ$ ，OA的长度为L。在$\triangle OCA$区域内有垂直于$xOy$平面向里的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 $t_0$。不计重力。  
![TIF Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960620015222787/img/compression/M_a67ec9fb92a0ec6640e45ed66d6394f7.jpg)
$若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为\frac{5}{3}t_0，求粒子此次入射速度的大小。$

Solution:
$如图，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为\frac{\frac{5}{3}t_0}{T}\times 360^\circ =150^\circ 。设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r_0，圆弧与AC相切于B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有\angle O O'D＝\angle BO'A＝30^\circ ， r_0 \cos\angle O O'D+\frac{r_0}{\cos \angle BO'A}＝L，设粒子此次入射速度的大小为v_0，由圆周运动规律可知，v_0＝\frac{2\pi r_0}{T}，解得v_0＝\frac{\sqrt{3}\pi L}{7t_0}。$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960620568870913/img/compression/M_276c43bd9e9b6a6d3d10078e54a88d5e.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{3}\pi L}{7t_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)是一种防止宇宙射线危害航天员的装置，在航天器内建立半径分别为R和\sqrt{3}R的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图(b)所示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为v{_0}，质子的电荷量为e、质量为m。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960639769374723/img/compression/M_e895be2e24678e493db8a1acd6a2f35d.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960639769374723/img/compression/M_e512d548137e3b4cad05d48d93ad3658.jpg)
若设置磁感应强度大小为某值时，恰好所有方向入射的质子都无法进入防护区，求这种情况下磁感应强度的大小。

Solution:
设磁感应强度为B时，运动半径为r的质子渗透最深入时都无法进入防护区，其在磁场中运动轨迹如图甲所示

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960640822145025/img/compression/M_75186cf01f25150e71a4490f0e2b2ab2.jpg)

$由几何关系r = \frac{\sqrt{3}R-R}{2}$

$洛伦兹力提供向心力ev_0B = \frac{mv^2_0}{r}$

$联立解得B = \frac{2mv_0}{(\sqrt{3}-1)eR}$

Final answer: $\frac{2mv_0}{(\sqrt{3}-1)eR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)是一种防止宇宙射线危害航天员的装置，在航天器内建立半径分别为R和\sqrt{3}R的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图(b)所示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为v{_0}，质子的电荷量为e、质量为m。$

<img_1270>

<img_1012>
若设置磁感应强度大小为某值时，恰好所有方向入射的质子都无法进入防护区，求这种情况下磁感应强度的大小。

Solution:
设磁感应强度为B时，运动半径为r的质子渗透最深入时都无法进入防护区，其在磁场中运动轨迹如图甲所示

<img_615>

$由几何关系r = \frac{\sqrt{3}R-R}{2}$

$洛伦兹力提供向心力ev_0B = \frac{mv^2_0}{r}$

$联立解得B = \frac{2mv_0}{(\sqrt{3}-1)eR}$

Final answer: $\frac{2mv_0}{(\sqrt{3}-1)eR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在x轴上方以原点O为底边中点、底边长为2a的等腰直角三角形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度为B(边界无磁场)。在x轴下方-a\leq x\leq a的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场。y轴上A点与O点间距为d，一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子重力。$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960641849749507/img/compression/M_342148c1abfc8a59208a3b7b5bf3d606.jpg)
$要使粒子经过磁场之后不再经过x轴，求电场强度E应满足的条件；$

Solution:
$要使粒子经过磁场之后不再经过x轴，粒子从第二象限射出磁场时的速度不能指向第三象限，设粒子射出磁场时的速度方向刚好与x轴平行，如图$
![24AGD5WL307.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960642680221698/img/compression/M_665faecb8e38f2da1ed3413f9c39bab4.jpg)
$由图中几何关系可得r_2=\frac{a}{2}  $
$由洛伦兹力提供向心力可得qv_2B=m\frac{v^2_2}{r_2}  $
$粒子在电场中从A点运动到O点过程中，由动能定理可得qEd=\frac{1}{2}mv^2_2  $
$联立解得E=\frac{qB^2a^2}{8md}  $
$故电场强度需要满足的条件为E\geq \frac{qB^2a^2}{8md}$

Final answer: $E \geq \frac{qB^2a^2}{8md}$