di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021439147548674/img/compression/M_43f2ee0408e5b334215ccfb7eb11ccb3.jpg)
$(2)若SD＝8，求直线EF与平面ABCD夹角的正弦值.$

Solution:
$由(1)可知，FO\parallel SD，又因为SD\perp 平面ABCD，所以FO\perp 平面ABCD，所以\angle FEO即为直线EF与平面ABCD的夹角.在Rt\triangle FEO中，OF=\frac{1}{2}SD=4，OE=AD=4，\angle FOE＝90^\circ ，所以\angle FEO＝45^\circ ，所以直线EF与平面ABCD夹角的正弦值为\\sin   45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD\perp 平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.$<img_2184>
$(2)若SD＝8，求直线EF与平面ABCD夹角的正弦值.$

Solution:
$由(1)可知，FO\parallel SD，又因为SD\perp 平面ABCD，所以FO\perp 平面ABCD，所以\angle FEO即为直线EF与平面ABCD的夹角.在Rt\triangle FEO中，OF=\frac{1}{2}SD=4，OE=AD=4，\angle FOE＝90^\circ ，所以\angle FEO＝45^\circ ，所以直线EF与平面ABCD夹角的正弦值为\\sin   45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，D是A_{1}B_{1}的中点，点F在BB_{1}上.$<img_2538>
$(1)求证：C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B；$

Solution:
$证明：由题意得A_{1}C_{1}=B_{1}C_{1}=1，且\angle A_{1}C_{1}B_{1}=90^\circ ,\because D是A_{1}B_{1}的中点，\therefore C_{1}D\perp A_{1}B_{1},又AA_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}，C_{1}D\subset 平面A_{1}B_{1}C_{1},\therefore AA_{1}\perp C_{1}D，又A_{1}B_{1}\cap AA_{1}=A_{1}，A_{1}B_{1}，AA_{1}\subset 平面AA_{1}B_{1}B，\therefore C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，D是A_{1}B_{1}的中点，点F在BB_{1}上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021440145793026/img/compression/M_166eb8d9fc16b3b69b1617969f6482d2.jpg)
$(1)求证：C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B；$

Solution:
$证明：由题意得A_{1}C_{1}=B_{1}C_{1}=1，且\angle A_{1}C_{1}B_{1}=90^\circ ,\because D是A_{1}B_{1}的中点，\therefore C_{1}D\perp A_{1}B_{1},又AA_{1}\perp 平面A_{1}B_{1}C_{1}，C_{1}D\subset 平面A_{1}B_{1}C_{1},\therefore AA_{1}\perp C_{1}D，又A_{1}B_{1}\cap AA_{1}=A_{1}，A_{1}B_{1}，AA_{1}\subset 平面AA_{1}B_{1}B，\therefore C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B.$

Final answer: 证明题
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Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，D是A_{1}B_{1}的中点，点F在BB_{1}上.$<img_2538>
$(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB_{1}\perp 平面C_{1}DF？并证明你的结论.①F为BB_{1}的中点；②AB_{1}=\sqrt{3}；③AA_{1}=\sqrt{2}.$

Solution:
$选①③能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.连接DF,A_{1}B，如图所示.$<img_1562>$则DF\parallel A_{1}B，在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，又AA_{1}=\sqrt{2}，\therefore 四边形AA_{1}B_{1}B为正方形，\therefore A_{1}B\perp AB_{1}，\therefore DF\perp AB_{1}，\because C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B，AB_{1}\subset 平面AA_{1}B_{1}B，\therefore C_{1}D\perp AB_{1}，又DF\cap C_{1}D=D，C_{1}D，DF\subset 平面C_{1}DF，\therefore AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.选①②不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.连接DF，A_{1}B，则DF\parallel A_{1}B，在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{AB^2_1-AB^2}=1，\therefore 四边形AA_{1}B_{1}B是长方形，\therefore A_{1}B与AB_{1}不垂直，即DF与AB_{1}不垂直，\therefore AB_{1}不垂直于平面C_{1}DF.选②③不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，又AB_{1}=\sqrt{AB^2+AA^2_1}=2\neq \sqrt{3}，矛盾，\therefore 不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.综上，选①③能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.$



Final answer: $①③$
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Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，D是A_{1}B_{1}的中点，点F在BB_{1}上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021440145793026/img/compression/M_166eb8d9fc16b3b69b1617969f6482d2.jpg)
$(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB_{1}\perp 平面C_{1}DF？并证明你的结论.①F为BB_{1}的中点；②AB_{1}=\sqrt{3}；③AA_{1}=\sqrt{2}.$

Solution:
$选①③能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.连接DF,A_{1}B，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021440506503169/img/compression/M_90fc8055879c2b06c45e59162c8b1f49.jpg)$则DF\parallel A_{1}B，在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，又AA_{1}=\sqrt{2}，\therefore 四边形AA_{1}B_{1}B为正方形，\therefore A_{1}B\perp AB_{1}，\therefore DF\perp AB_{1}，\because C_{1}D\perp 平面AA_{1}B_{1}B，AB_{1}\subset 平面AA_{1}B_{1}B，\therefore C_{1}D\perp AB_{1}，又DF\cap C_{1}D=D，C_{1}D，DF\subset 平面C_{1}DF，\therefore AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.选①②不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.连接DF，A_{1}B，则DF\parallel A_{1}B，在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{AB^2_1-AB^2}=1，\therefore 四边形AA_{1}B_{1}B是长方形，\therefore A_{1}B与AB_{1}不垂直，即DF与AB_{1}不垂直，\therefore AB_{1}不垂直于平面C_{1}DF.选②③不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.在\triangle ABC中，AC=BC=1，\angle ACB=90^\circ ，则AB=\sqrt{2}，又AB_{1}=\sqrt{AB^2+AA^2_1}=2\neq \sqrt{3}，矛盾，\therefore 不能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.综上，选①③能证明AB_{1}\perp 平面C_{1}DF.$

Final answer: $①③$
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Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，平面PBC\perp 平面ABCD，点E在AD上，AD\perp 平面PEC.$<img_2220>
$(1)求证：PC\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：因为AD\perp 平面PEC，PC\subset 平面PEC，所以AD\perp PC.在平行四边形ABCD中，AD\parallel BC，所以PC\perp BC.因为平面PBC\perp 平面ABCD，平面PBC\cap 平面ABCD=BC，PC\subset 平面PBC，所以PC\perp 平面ABCD.$
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Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，平面PBC\perp 平面ABCD，点E在AD上，AD\perp 平面PEC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021451972227074/img/compression/M_4d78491e5c80ce19dada03236b10fc9b.jpg)
$(1)求证：PC\perp 平面ABCD；$

Solution:
$证明：因为AD\perp 平面PEC，PC\subset 平面PEC，所以AD\perp PC.在平行四边形ABCD中，AD\parallel BC，所以PC\perp BC.因为平面PBC\perp 平面ABCD，平面PBC\cap 平面ABCD=BC，PC\subset 平面PBC，所以PC\perp 平面ABCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，平面PBC\perp 平面ABCD，点E在AD上，AD\perp 平面PEC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021451972227074/img/compression/M_4d78491e5c80ce19dada03236b10fc9b.jpg)
$(2)若AE=2ED，试过点A作与平面PCE平行的平面\alpha ，确定它与四棱锥P-ABCD表面的交线，并说明理由．$

Solution:
$如图，在BC上取点N,使CN=2NB,连接AN,在PB上取点M，使PM=2MB，连接MN，AM，则平面AMN即为平面\alpha ,AN,MN,AM为它与四棱锥P-ABCD表面的交线.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021451972227074/img/compression/M_2c9db6358a92097599be973c362ea409.jpg)$理由如下：在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE=2ED，则CN=AE，又因为CN\parallel AE，所以四边形AECN为平行四边形，所以AN\parallel CE，又AN\not\subset 平面PCE，CE\subset 平面PCE，所以AN\parallel 平面PCE.在\triangle PBC中，CN=2NB，PM=2MB，所以MN\parallel PC，又MN\not\subset 平面PCE，PC\subset 平面PCE，所以MN\parallel 平面PCE.又MN\cap AN=N,MN\subset 平面AMN,AN\subset 平面AMN,所以平面AMN\parallel 平面PCE，平面AMN即为平面\alpha ,线段AN,MN,AM是平面\alpha 与四棱锥P-ABCD表面的交线.$

Final answer: $平面AMN与四棱锥P-ABCD的交线为线段AN,MN,AM。$
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Question: $在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC\perp 平面VAB，VA\perp VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021453880635394/img/compression/M_25904f5524fe6d1375674217e2840c74.jpg)
$(1)写出图中与l平行的直线，并证明；$

Solution:
$题图中与l平行的直线为AB和CD，证明如下：因为底面ABCD为平行四边形，所以CD\parallel AB，因为CD\not\subset 平面VAB，AB\subset 平面VAB，所以CD\parallel 平面VAB.因为平面VAB与平面VCD的交线为l，CD\subset 平面VCD，所以CD\parallel l，即l\parallel CD，由平行线的传递性得l\parallel AB.$

Final answer: 证明题
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Question: $在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC\perp 平面VAB，VA\perp VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.$<img_2656>
$(1)写出图中与l平行的直线，并证明；$

Solution:
$题图中与l平行的直线为AB和CD，证明如下：因为底面ABCD为平行四边形，所以CD\parallel AB，因为CD\not\subset 平面VAB，AB\subset 平面VAB，所以CD\parallel 平面VAB.因为平面VAB与平面VCD的交线为l，CD\subset 平面VCD，所以CD\parallel l，即l\parallel CD，由平行线的传递性得l\parallel AB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC\perp 平面VAB，VA\perp VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.$<img_2656>
$(2)求证：平面VAD\perp 平面VBC.$

Solution:
$证明：因为BC\perp 平面VAB，VA\subset 平面VAB，所以BC\perp VA，因为VA\perp VB，VB\cap BC=B，VB，VC\subset 平面VBC，所以VA\perp 平面VBC，因为VA\subset 平面VAD，所以平面VAD\perp 平面VBC.$
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Question: $在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC\perp 平面VAB，VA\perp VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021453880635394/img/compression/M_25904f5524fe6d1375674217e2840c74.jpg)
$(2)求证：平面VAD\perp 平面VBC.$

Solution:
$证明：因为BC\perp 平面VAB，VA\subset 平面VAB，所以BC\perp VA，因为VA\perp VB，VB\cap BC=B，VB，VC\subset 平面VBC，所以VA\perp 平面VBC，因为VA\subset 平面VAD，所以平面VAD\perp 平面VBC.$

Final answer: 证明题
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Question: $《九章算术》中，底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD\perp 底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，连接DE,BD,BE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021520684433410/img/compression/M_12fba9954d577bf3a6329f3fe2af4373.jpg)
$(1)证明DE\perp 平面PBC，并判断四面体E-BCD是不是鳖臑，若是，写出其每个面的直角,若不是，请说明理由；$

Solution:
$因为PD\perp 底面ABCD，BC\subset 平面ABCD，所以PD\perp BC，由底面ABCD为矩形，得BC\perp CD，而PD\cap CD=D，所以BC\perp 平面PCD,又DE\subset 平面PCD，所以BC\perp DE.因为PD=CD，E是PC的中点，所以DE\perp PC，而PC\cap BC=C，所以DE\perp 平面PBC.由BC\perp 平面PCD，DE\perp 平面PBC可知四面体E-BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E-BCD是鳖臑，其四个面的直角分别是\angle BCD,\angle BCE,\angle DEC,\angle DEB.$

Final answer: $证明题，四面体E-BCD是鳖臑，其四个面的直角分别是\angle BCD,\angle BCE,\angle DEC,\angle DEB$
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Question: $《九章算术》中，底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD\perp 底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，连接DE,BD,BE.$<img_1806>
$(1)证明DE\perp 平面PBC，并判断四面体E-BCD是不是鳖臑，若是，写出其每个面的直角,若不是，请说明理由；$

Solution:
$因为PD\perp 底面ABCD，BC\subset 平面ABCD，所以PD\perp BC，由底面ABCD为矩形，得BC\perp CD，而PD\cap CD=D，所以BC\perp 平面PCD,又DE\subset 平面PCD，所以BC\perp DE.因为PD=CD，E是PC的中点，所以DE\perp PC，而PC\cap BC=C，所以DE\perp 平面PBC.由BC\perp 平面PCD，DE\perp 平面PBC可知四面体E-BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E-BCD是鳖臑，其四个面的直角分别是\angle BCD,\angle BCE,\angle DEC,\angle DEB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $《九章算术》中，底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD\perp 底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，连接DE,BD,BE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021520684433410/img/compression/M_12fba9954d577bf3a6329f3fe2af4373.jpg)
$(2)记阳马P-ABCD的体积为V_{1}，四面体E-BCD的体积为V_{2}，求\frac{V_1}{V_2}.$

Solution:
$由已知得，PD是阳马P-ABCD的高，所以V_{1}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}\cdot PD=\frac{1}{3}BC\cdot CD\cdot PD.由(1)知，DE是鳖臑E-BCD的高，BC\perp CE，所以V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCE}\cdot DE=\frac{1}{6}BC\cdot CE\cdot DE.在Rt\triangle PDC中，因为PD=CD，E是PC的中点，所以DE=CE=\frac{\sqrt{2}}{2}CD，于是\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}BC\cdot CD\cdot PD}{\frac{1}{6}BC\cdot CE\cdot DE}=\frac{2CD\cdot PD}{CE\cdot DE}=4.$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $《九章算术》中，底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD\perp 底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，连接DE,BD,BE.$<img_1806>
$(2)记阳马P-ABCD的体积为V_{1}，四面体E-BCD的体积为V_{2}，求\frac{V_1}{V_2}.$

Solution:
$由已知得，PD是阳马P-ABCD的高，所以V_{1}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}\cdot PD=\frac{1}{3}BC\cdot CD\cdot PD.由(1)知，DE是鳖臑E-BCD的高，BC\perp CE，所以V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCE}\cdot DE=\frac{1}{6}BC\cdot CE\cdot DE.在Rt\triangle PDC中，因为PD=CD，E是PC的中点，所以DE=CE=\frac{\sqrt{2}}{2}CD，于是\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}BC\cdot CD\cdot PD}{\frac{1}{6}BC\cdot CE\cdot DE}=\frac{2CD\cdot PD}{CE\cdot DE}=4.$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，\angle SHO=60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021497175744514/img/compression/M_4978f292a2d4ef47939b86402126962d.jpg)
$(1)求正六棱锥的高、斜高、侧棱长；$

Solution:
$因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥S-ABCDEF中，SB=SC，H为BC的中点，所以SH\perp BC.因为O是正六边形ABCDEF的中心，所以SO为正六棱锥的高．易得OH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=2\sqrt{3}，在Rt\triangle SOH中，\angle SHO=60^\circ ，所以SO=OH\cdot \\tan   60^\circ =6．在Rt\triangle SOH中，SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=4\sqrt{3}．在Rt\triangle SHB中，SB=\sqrt{SH^2+BH^2}=2\sqrt{13}．故该正六棱锥的高为6，斜高为4\sqrt{3}，侧棱长为2\sqrt{13}．$

Final answer: $6, 4\sqrt{3}, 2\sqrt{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，\angle SHO=60^\circ .$<img_1939>
$(1)求正六棱锥的高、斜高、侧棱长；$

Solution:
$因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥S-ABCDEF中，SB=SC，H为BC的中点，所以SH\perp BC.因为O是正六边形ABCDEF的中心，所以SO为正六棱锥的高．易得OH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=2\sqrt{3}，在Rt\triangle SOH中，\angle SHO=60^\circ ，所以SO=OH\cdot \\tan   60^\circ =6．在Rt\triangle SOH中，SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=4\sqrt{3}．在Rt\triangle SHB中，SB=\sqrt{SH^2+BH^2}=2\sqrt{13}．故该正六棱锥的高为6，斜高为4\sqrt{3}，侧棱长为2\sqrt{13}．$

Final answer: $6, 4\sqrt{3}, 2\sqrt{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，\angle SHO=60^\circ .$<img_1939>
$(2)求正六棱锥的表面积和体积.$

Solution:
$连接OB，OC.结合(1)可知，\triangle SBC的面积为\frac{1}{2}BC\cdot SH=\frac{1}{2}\times 4\times 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}，\triangle OBC的面积为\frac{1}{2}BC\cdot OH=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}，所以正六棱锥的表面积为6\times 4\sqrt{3}+6\times 8\sqrt{3}=72\sqrt{3}，体积为\frac{1}{3}\times 6\times 4\sqrt{3}\times 6=48\sqrt{3}.$

Final answer: $72\sqrt{3}，48\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，\angle SHO=60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021497175744514/img/compression/M_4978f292a2d4ef47939b86402126962d.jpg)
$(2)求正六棱锥的表面积和体积.$

Solution:
$连接OB，OC.结合(1)可知，\triangle SBC的面积为\frac{1}{2}BC\cdot SH=\frac{1}{2}\times 4\times 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}，\triangle OBC的面积为\frac{1}{2}BC\cdot OH=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}，所以正六棱锥的表面积为6\times 4\sqrt{3}+6\times 8\sqrt{3}=72\sqrt{3}，体积为\frac{1}{3}\times 6\times 4\sqrt{3}\times 6=48\sqrt{3}.$

Final answer: $72\sqrt{3}，48\sqrt{3}$
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Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 底面ABC，\angle ACB＝90^\circ ，AC＝BC＝2，AA_{1}=4，D是棱AA_{1}的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021499805573121/img/compression/M_3ed9ddacc8528c03ca869959d0f18da0.jpg)
$(1)证明：平面BCD\perp 平面ACC_{1}A_{1}；$

Solution:
$证明：\because AA_{1}\perp 底面ABC，BC\subset 平面ABC，\therefore AA_{1}\perp BC.又\because \angle ACB=90^\circ ,\therefore BC\perp AC，\because AC\cap AA_{1}=A，AC，AA_{1}\subset 平面ACC_{1}A_{1}，\therefore BC\perp 平面ACC_{1}A_{1}.\because BC\subset 平面BCD，\therefore 平面BCD\perp 平面ACC_{1}A_{1}．$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 底面ABC，\angle ACB＝90^\circ ，AC＝BC＝2，AA_{1}=4，D是棱AA_{1}的中点．$<img_2368>
$(1)证明：平面BCD\perp 平面ACC_{1}A_{1}；$

Solution:
$证明：\because AA_{1}\perp 底面ABC，BC\subset 平面ABC，\therefore AA_{1}\perp BC.又\because \angle ACB=90^\circ ,\therefore BC\perp AC，\because AC\cap AA_{1}=A，AC，AA_{1}\subset 平面ACC_{1}A_{1}，\therefore BC\perp 平面ACC_{1}A_{1}.\because BC\subset 平面BCD，\therefore 平面BCD\perp 平面ACC_{1}A_{1}．$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 底面ABC，\angle ACB＝90^\circ ，AC＝BC＝2，AA_{1}=4，D是棱AA_{1}的中点．$<img_2368>
$(2)求三棱锥C－BDC_{1}的体积．$

Solution:
$\because 四边形ACC_{1}A_{1}为矩形，AC=2，AA_{1}=4,D是AA_{1}的中点，\therefore CD=C_{1}D=2\sqrt{2}，\therefore CD^{2}+C_{1}D^{2}=CC^2_1，即\triangle CDC_{1}为等腰直角三角形，\therefore S_{\triangle CC_{1}D}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=4.\therefore V_{三棱锥C-BDC_{1}}=V_{三棱锥B-CC_{1}D}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle CC_{1}D}\times BC=\frac{8}{3}.$

Final answer: $\frac{8}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 底面ABC，\angle ACB＝90^\circ ，AC＝BC＝2，AA_{1}=4，D是棱AA_{1}的中点．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021499805573121/img/compression/M_3ed9ddacc8528c03ca869959d0f18da0.jpg)
$(2)求三棱锥C－BDC_{1}的体积．$

Solution:
$\because 四边形ACC_{1}A_{1}为矩形，AC=2，AA_{1}=4,D是AA_{1}的中点，\therefore CD=C_{1}D=2\sqrt{2}，\therefore CD^{2}+C_{1}D^{2}=CC^2_1，即\triangle CDC_{1}为等腰直角三角形，\therefore S_{\triangle CC_{1}D}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=4.\therefore V_{三棱锥C-BDC_{1}}=V_{三棱锥B-CC_{1}D}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle CC_{1}D}\times BC=\frac{8}{3}.$

Final answer: $\frac{8}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}(该棱柱的各个顶点均在圆锥的侧面上)，且棱柱的侧面ABB_{1}A_{1}落在圆锥的底面上，已知该正三棱柱的底面边长为6，高为8.$<img_1935>
$(1)求挖掉的正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的体积；$

Solution:
$由题意可知，正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面积S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}，高AA_{1}=8,\therefore V_{正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}}=9\sqrt{3}\times 8=72\sqrt{3}.$

Final answer: $72\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}(该棱柱的各个顶点均在圆锥的侧面上)，且棱柱的侧面ABB_{1}A_{1}落在圆锥的底面上，已知该正三棱柱的底面边长为6，高为8.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021500866732034/img/compression/M_412f14396fa1fcf282ff09ef09e6de17.jpg)
$(1)求挖掉的正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的体积；$

Solution:
$由题意可知，正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}的底面积S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}，高AA_{1}=8,\therefore V_{正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}}=9\sqrt{3}\times 8=72\sqrt{3}.$

Final answer: $72\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}(该棱柱的各个顶点均在圆锥的侧面上)，且棱柱的侧面ABB_{1}A_{1}落在圆锥的底面上，已知该正三棱柱的底面边长为6，高为8.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021500866732034/img/compression/M_412f14396fa1fcf282ff09ef09e6de17.jpg)
$(2)求剩余几何体的体积和表面积.$

Solution:
$如图，过点V,C,C_{1}作圆锥的轴截面VEF，分别交AB,A_{1}B_{1}于点M，N，连接A_{1}B.由题可知\odot O是矩形ABB_{1}A_{1}的外接圆，\because BB_{1}=8，AB=6，\therefore A_{1}B=\sqrt{8^2+6^2}=10，即\odot O的半径为5.\because ON=\frac{1}{2}MN=4,OF=\frac{1}{2}EF=5,\therefore NF=1，\because C_{1}N=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}，且\triangle FC_{1}N与\triangle FVO相似，\therefore \frac{C_1N}{VO}=\frac{NF}{OF}，即\frac{3\sqrt{3}}{VO}=\frac{1}{5}，\therefore VO=15\sqrt{3}，\therefore VF=\sqrt{VO^2+OF^2}=10\sqrt{7}，\therefore V_{圆锥}=\frac{1}{3}\times 25\pi \times 15\sqrt{3}=125\sqrt{3}\pi ，则剩余几何体的体积为125\sqrt{3}\pi -72\sqrt{3}.易得圆锥的侧面积为10\sqrt{7}\times 5\pi =50\sqrt{7}\pi ，底面积为25\pi ，\therefore 剩余几何体的表面积为50\sqrt{7}\pi +25\pi -6\times 8+6\times 8\times 2+9\sqrt{3}\times 2=(50\sqrt{7}+25)\pi +48+18\sqrt{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021501168721921/img/compression/M_af842bb2d6abd5fb51acf2922e81f5f0.jpg)

Final answer: $125\sqrt 3\pi - 72\sqrt{3},为(50\sqrt 7 + 25)\pi  + 48 + 18\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的四边形O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．$<img_1927>
$(1)画出四边形OABC的平面图形且标出各边长，并求平面四边形OABC的面积；$

Solution:
$因为在直观图中，O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1，所以在平面四边形OABC中，OA=O'A'=3，OC=2O'C'=2，BC=B'C'=1，OC\perp OA，所以AB=\sqrt{2^2+(3-1)^2}=2\sqrt{2}，故平面四边形OABC如图所示：$<img_1950>$由图可知，平面四边形OABC为直角梯形，其面积为\frac{(1+3)\times 2}{2}=4．$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的四边形O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021501500071939/img/compression/M_ff6c25ca225175935005e4aa2376ca87.jpg)
$(1)画出四边形OABC的平面图形且标出各边长，并求平面四边形OABC的面积；$

Solution:
$因为在直观图中，O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1，所以在平面四边形OABC中，OA=O'A'=3，OC=2O'C'=2，BC=B'C'=1，OC\perp OA，所以AB=\sqrt{2^2+(3-1)^2}=2\sqrt{2}，故平面四边形OABC如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021501894336513/img/compression/M_f80c80c6cca4a2fb71abed6976e89b44.jpg)$由图可知，平面四边形OABC为直角梯形，其面积为\frac{(1+3)\times 2}{2}=4．$

Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的四边形O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．$<img_1927>
$(2)若将四边形OABC绕OA所在直线旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．$

Solution:
$旋转而成的几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成，由(1)可知几何体的底面半径r=2，圆柱的高h_{1}=1，圆锥的高h_{2}=2，母线长l=2\sqrt{2}，所以几何体的体积V=\pi r^{2}h_{1}+\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2}=4\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{20}{3}\pi ，表面积S=\pi r^{2}+2\pi rh_{1}+\pi rl=4\pi +4\pi +4\sqrt{2}\pi =(8+4\sqrt{2})\pi ．$

Final answer: $\frac{20}{3\pi},(8+4\sqrt 2)\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示的四边形O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021501500071939/img/compression/M_ff6c25ca225175935005e4aa2376ca87.jpg)
$(2)若将四边形OABC绕OA所在直线旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．$

Solution:
$旋转而成的几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成，由(1)可知几何体的底面半径r=2，圆柱的高h_{1}=1，圆锥的高h_{2}=2，母线长l=2\sqrt{2}，所以几何体的体积V=\pi r^{2}h_{1}+\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2}=4\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{20}{3}\pi ，表面积S=\pi r^{2}+2\pi rh_{1}+\pi rl=4\pi +4\pi +4\sqrt{2}\pi =(8+4\sqrt{2})\pi ．$

Final answer: $\frac{20}{3\pi},(8+4\sqrt 2)\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30^\circ .$<img_3089>
$(1)求该量杯的侧面积；$

Solution:
$由题意知，圆锥的底面半径r=12\times \\tan   30^\circ =4\sqrt{3}(厘米)，母线长l=\frac{12}{\\\cos    30^{\circ}}=8\sqrt{3}(厘米).则圆锥的侧面积S=\pi rl=96\pi (平方厘米).因此该量杯的侧面积为96\pi 平方厘米.$

Final answer: $96\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021503173599234/img/compression/M_f856f2a2abcba3a463e1a27dbd0a02ad.jpg)
$(1)求该量杯的侧面积；$

Solution:
$由题意知，圆锥的底面半径r=12\times \\tan   30^\circ =4\sqrt{3}(厘米)，母线长l=\frac{12}{\\\cos    30^{\circ}}=8\sqrt{3}(厘米).则圆锥的侧面积S=\pi rl=96\pi (平方厘米).因此该量杯的侧面积为96\pi 平方厘米.$

Final answer: $96\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30^\circ .$<img_3089>
$(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米？(精确到0.1厘米)$

Solution:
$设BP=x厘米，则过点B且平行于底面的截面圆的半径为\frac{x}{2}厘米，顶点P到该截面的距离为\frac{\sqrt{3}x}{2} 厘米，此时液体的体积V=\frac{1}{3}\times \pi \times \left(\frac{x}{2}\right)^{2}\times \frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{24}x^{3}(立方厘米)，当V=100立方厘米时，代入可得x\approx 7.6.故此时刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.$

Final answer: $7.6$ cm
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021503173599234/img/compression/M_f856f2a2abcba3a463e1a27dbd0a02ad.jpg)
$(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米？(精确到0.1厘米)$

Solution:
$设BP=x厘米，则过点B且平行于底面的截面圆的半径为\frac{x}{2}厘米，顶点P到该截面的距离为\frac{\sqrt{3}x}{2} 厘米，此时液体的体积V=\frac{1}{3}\times \pi \times \left(\frac{x}{2}\right)^{2}\times \frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{24}x^{3}(立方厘米)，当V=100立方厘米时，代入可得x\approx 7.6.故此时刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.$

Final answer: $7.6$ cm
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，AP的中点.$<img_2812>
$(1)求证：EF\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：因为E，F分别是AB，AP的中点，所以EF是\triangle ABP的中位线，所以EF\parallel PB，因为EF\not\subset 平面PBC，PB\subset 平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，AP的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021480202031105/img/compression/M_8121a5986b707d5cddffb7ab359df0b6.jpg)
$(1)求证：EF\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：因为E，F分别是AB，AP的中点，所以EF是\triangle ABP的中位线，所以EF\parallel PB，因为EF\not\subset 平面PBC，PB\subset 平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，AP的中点.$<img_2812>
$(2)若三棱锥P-ABC的各棱长均为2，求它的表面积.$

Solution:
$若三棱锥P-ABC的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为4\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^{2}=4\sqrt{3}.$

Final answer: $4\sqrt 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，AP的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021480202031105/img/compression/M_8121a5986b707d5cddffb7ab359df0b6.jpg)
$(2)若三棱锥P-ABC的各棱长均为2，求它的表面积.$

Solution:
$若三棱锥P-ABC的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为4\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^{2}=4\sqrt{3}.$

Final answer: $4\sqrt 3$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知直角梯形ABCD，BC\parallel AD，\angle ABC=90^\circ ，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021481653260291/img/compression/M_d881a063a7c829050fae80cef77f838e.jpg)
$(1)以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积；$

Solution:
$以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是4  cm，下底面半径是16  cm，母线DC的长为\sqrt{5^2+(16-4)^2}=13(cm).\therefore 该几何体的表面积为\pi \times (4+16)\times 13+\pi \times 4^{2}+\pi \times 16^{2}=532\pi (cm^{2}).$

Final answer: $532\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知直角梯形ABCD，BC\parallel AD，\angle ABC=90^\circ ，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求：$<img_2897>
$(1)以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积；$

Solution:
$以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是4  cm，下底面半径是16  cm，母线DC的长为\sqrt{5^2+(16-4)^2}=13(cm).\therefore 该几何体的表面积为\pi \times (4+16)\times 13+\pi \times 4^{2}+\pi \times 16^{2}=532\pi (cm^{2}).$

Final answer: $532\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知直角梯形ABCD，BC\parallel AD，\angle ABC=90^\circ ，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求：$<img_2897>
$(2)以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积.$

Solution:
$以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm)，由(1)可知圆锥的母线DC的长为13  cm，又圆柱的母线AD的长为4  cm，故该几何体的表面积为2\pi \times 5\times 4+\pi \times 5^{2}+\pi \times 5\times 13=130\pi (cm^{2}).$<img_2551>

Final answer: $130\pi$ $cm^2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知直角梯形ABCD，BC\parallel AD，\angle ABC=90^\circ ，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021481653260291/img/compression/M_d881a063a7c829050fae80cef77f838e.jpg)
$(2)以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积.$

Solution:
$以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm)，由(1)可知圆锥的母线DC的长为13  cm，又圆柱的母线AD的长为4  cm，故该几何体的表面积为2\pi \times 5\times 4+\pi \times 5^{2}+\pi \times 5\times 13=130\pi (cm^{2}).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021482047524865/img/compression/M_7343e68cc47f633f1a7e395c6081ea01.jpg)

Final answer: $130\pi$ $cm^2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，一个圆锥的底面半径R=3 cm，高h=4 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021485772066818/img/compression/M_49300a8c276e24ecb8424f69e736e8ce.jpg)
$(1)求圆锥的侧面积;$

Solution:
$圆锥的母线长l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5(cm)，所以圆锥的侧面积S_{侧}=\pi Rl=\pi \times 3\times 5=15\pi (cm^{2})．$

Final answer: $15\pi$ cm^2