di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.$<img_2895>
$(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；$

Solution:
$由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为\frac{15}{50}=0.3.$

Final answer: $0.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.$<img_2895>
$(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记\xi 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求\xi 的分布列和数学期望E(\xi )；$

Solution:
$由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以\xi 的所有可能取值为0，1，2.P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6},P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{2}{3},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}.所以\xi 的分布列为\xi 012P\frac{1}{6}\frac{2}{3}\frac{1}{6}故\xi 的期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876333405343746/img/compression/M_7afb8f1d12e618cb98d30e2a787282c3.jpg)
$(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记\xi 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求\xi 的分布列和数学期望E(\xi )；$

Solution:
$由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以\xi 的所有可能取值为0，1，2.P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6},P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{2}{3},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}.所以\xi 的分布列为\xi 012P\frac{1}{6}\frac{2}{3}\frac{1}{6}故\xi 的期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876333405343746/img/compression/M_7afb8f1d12e618cb98d30e2a787282c3.jpg)
$(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)$

Solution:
$在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.$

Final answer: $服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$<img_2188>
$(1)从该校高中生中随机抽取的学生测试得分不低于80分的有9人，求此次抽取的学生人数；$

Solution:
$由题图知，测试得分不低于80分的学生频率为(0.030+0.015)\times 10＝0.45.设抽取的学生人数为n，所以0.45n＝9，解得n＝20.所以此次抽取的学生人数为20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876524118339588/img/compression/M_fc1fb39b86d6f0815aa80269a9c2ad21.jpg)
$(1)从该校高中生中随机抽取的学生测试得分不低于80分的有9人，求此次抽取的学生人数；$

Solution:
$由题图知，测试得分不低于80分的学生频率为(0.030+0.015)\times 10＝0.45.设抽取的学生人数为n，所以0.45n＝9，解得n＝20.所以此次抽取的学生人数为20.$

Final answer: $20$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$<img_2188>
$(2)在测试得分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试得分不低于90分的人数为X，求X的数学期望；$

Solution:
$由题图知，测试得分在[80，90)的频率为0.030\times 10＝0.3，在[90，100]的频率为0.015\times 10＝0.15，所以20\times 0.3＝6，20\times 0.15＝3.所以测试得分不低于80分的9名学生中，得分在[80，90)的有6人，在[90，100]的有3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{5}{21}；P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{15}{28}；P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{3}{14}；P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}.所以X的分布列为X0123P\frac{5}{21}\frac{15}{28}\frac{3}{14}\frac{1}{84}E(X)=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$



Final answer: 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876524118339588/img/compression/M_fc1fb39b86d6f0815aa80269a9c2ad21.jpg)
$(2)在测试得分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试得分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题图知，测试得分在[80，90)的频率为0.030\times 10＝0.3，在[90，100]的频率为0.015\times 10＝0.15，所以20\times 0.3＝6，20\times 0.15＝3.所以测试得分不低于80分的9名学生中，得分在[80，90)的有6人，在[90，100]的有3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{5}{21}；P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{15}{28}；P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{3}{14}；P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}.所以X的分布列为X0123P\frac{5}{21}\frac{15}{28}\frac{3}{14}\frac{1}{84}E(X)=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$

Final answer: $P(X=0)=5/21, P(X=1)=15/28, P(X=2)=3/14, P(X=3)=1/84, E(X)=1.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的得分数据按照[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876524118339588/img/compression/M_fc1fb39b86d6f0815aa80269a9c2ad21.jpg)
$(3)观察频率分布直方图，判断该校高中生测试得分的均值a和中位数b的大小关系.(直接写出结论)$

Solution:
$a＜b.$

Final answer: $a＜b$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$<img_1615><img_2922>
$(1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；$

Solution:
$评分不低于60分的频率为(0.020+0.010)\times 20=0.6，由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
$(1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；$

Solution:
$评分不低于60分的频率为(0.020+0.010)\times 20=0.6，由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$<img_1615><img_2922>
$(2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的数学期望；$

Solution:
$评分不低于80分的人数为0.005\times 20\times 100=10人，X的可能取值为0,1,2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_{90}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{89}{110},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{90}\mathrm{C}^1_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{2}{11},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{1}{110}，所以分布列如下：X012P\frac{89}{110}\frac{2}{11}\frac{1}{110}所以数学期望E(X)=0\times \frac{89}{110}+1\times \frac{2}{11}+2\times \frac{1}{110}=\frac{1}{5}.$



Final answer: $1/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
$(2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$评分不低于80分的人数为0.005\times 20\times 100=10人，X的可能取值为0,1,2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_{90}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{89}{110},P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_{90}\mathrm{C}^1_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{2}{11},P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}}=\frac{1}{110}，所以分布列如下：X012P\frac{89}{110}\frac{2}{11}\frac{1}{110}所以数学期望E(X)=0\times \frac{89}{110}+1\times \frac{2}{11}+2\times \frac{1}{110}=\frac{1}{5}.$

Final answer: $X的分布列：P(X=0)=\frac{89}{110},P(X=1)=\frac{2}{11},P(X=2)=\frac{1}{110}
X的数学期望：1/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_886256729468506da0fe38e0cebc9a5a.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876525200470018/img/compression/M_bd621f01a65ef63f2ac02d06c06f5537.jpg)
$(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _{1},B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _{2}，以及A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _{0}，试比较\mu _{0}和\frac{\mu _1+\mu _2}{2}的大小，并说明理由.$

Solution:
$因为\mu _{1}=30\times 0.005\times 20+50\times 0.015\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.010\times 20=64，\mu _{2}=30\times 0.015\times 20+50\times 0.010\times 20+70\times 0.020\times 20+90\times 0.005\times 20=56，所以\frac{\mu _1+\mu _2}{2}=60，又A地区和B地区抽取用户人数之比为4:1，A地区抽取用户人数占总数的\frac{4}{5}，B地区抽取用户人数占总数的\frac{1}{5}，故A,B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为\mu _{0}=\frac{4}{5}\mu _{1}+\frac{1}{5}\mu _{2}=62.4，即\mu _{0}>\frac{\mu _1+\mu _2}{2}.$

Final answer: $\mu _{0}>\frac{\mu _1+\mu _2}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)
$<img_2433>$
高一




成绩分组
频数


[75,80)
2


[80,85)
6


[85,90)
16


[90,95)
14


[95,100]
2



高二$
$(1)估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率；$

Solution:
$由频率分布直方图可得这40名高一年级学生的成绩的优秀率为(0.04+0.02)\times 5=0.3，所以估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率为30\%.$

Final answer: $30\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876494403702785/img/compression/M_d0f05bb31719dbfcdb9a96916bed3049.jpg)$
高一




成绩分组
频数


[75,80)
2


[80,85)
6


[85,90)
16


[90,95)
14


[95,100]
2



高二$
$(1)估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率；$

Solution:
$由频率分布直方图可得这40名高一年级学生的成绩的优秀率为(0.04+0.02)\times 5=0.3，所以估计高一年级知识竞赛成绩的优秀率为30\%.$

Final answer: $30\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876494403702785/img/compression/M_d0f05bb31719dbfcdb9a96916bed3049.jpg)$
高一




成绩分组
频数


[75,80)
2


[80,85)
6


[85,90)
16


[90,95)
14


[95,100]
2



高二$
$(2)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为\xi ，求随机变量\xi 的分布列；$

Solution:
$由题意知，在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.3=0.7.在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为\frac{14+2}{40}=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.4=0.6.\xi 的所有可能取值为0，1，2，P(\xi =0)=0.7\times 0.6=0.42；P(\xi =1)=0.3\times 0.6+0.7\times 0.4=0.46；P(\xi =2)=0.3\times 0.4=0.12.所以随机变量\xi 的分布列为\xi 012P0.420.460.12$

Final answer: $X=0，概率为0.42；X=1，概率为0.46；X=2，概率为0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织高一、高二年级学生进行了“安全教育”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.(规定成绩不低于90分为“优秀”)
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876494403702785/img/compression/M_d0f05bb31719dbfcdb9a96916bed3049.jpg)$
高一




成绩分组
频数


[75,80)
2


[80,85)
6


[85,90)
16


[90,95)
14


[95,100]
2



高二$
$(3)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X,Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数.写出方差DX，DY的大小关系.(只需写出结论)$

Solution:
$DX详解：X，Y均服从两点分布，且P(X=0)=0.7，P(X=1)=0.3，P(Y=0)=0.6，P(Y=1)=0.4，\therefore DX=0.3\times 0.7=0.21，DY=0.6\times 0.4=0.24，\therefore DX<DY.$

Final answer: $DX<DY$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_dc2824cac2f0774ed74b2a1a2e5d807f.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_b929f303c7dded0eb4835384ebb78fc5.jpg)$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$(1)求X的分布列；$

Solution:
$设甲市场需求量为x吨的概率为P(x)，乙市场需求量为y吨的概率为P(y)，由题意得P(x=8)=0.3，P(x=9)=0.4，P(x=10)=0.3；P(y=8)=0.2，P(y=9)=0.5，P(y=10)=0.3.设两个市场总需求量为X吨的概率为P(X)，由题意得X的所有可能取值为16，17，18，19，20，P(X=16)=P(x=8,y=8)=0.3\times 0.2=0.06，P(X=17)=P(x=8,y=9)+P(x=9,y=8)=0.3\times 0.5+0.4\times 0.2=0.23，P(X=18)=P(x=8,y=10)+P(x=10,y=8)+P(x=9,y=9)=0.3\times 0.3+0.3\times 0.2+0.4\times 0.5=0.35，P(X=19)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)=0.4\times 0.3+0.3\times 0.5=0.27，P(X=20)=P(x=10,y=10)=0.3\times 0.3=0.09.所以X的分布列为X1617181920P0.060.230.350.270.09$

Final answer: $X的分布列为：X=16，概率为0.06；X=17，概率为0.23；X=18，概率为0.35；X=19，概率为0.27；X=20，概率为0.09。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：$<img_1502><img_3042>$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$(2)当n=19时，求销售利润不少于8 900元的概率；$

Solution:
$由题意得，当X\geq 19时，T=500\times 19=9 500(元)，当X<19时，T=500X-(19-X)\times 100=600X-1 900.所以T=\left\{\begin{matrix}9 500,X\geq 19,\\ 600X-1 900,X<19.\end{matrix}\right.设A=“销售利润不少于8 900元”，当X\geq 19时，T=9 500>8 900，当X<19时,T=600X-1 900\geq 8 900，解得X\geq 18.由(1)中X的分布列可知，P(A)=P(X\geq 18)=0.71.$



Final answer: $0.71$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_dc2824cac2f0774ed74b2a1a2e5d807f.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_b929f303c7dded0eb4835384ebb78fc5.jpg)$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$(2)当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8 900元的概率；$

Solution:
$由题意得，当X\geq 19时，T=500\times 19=9 500(元)，当X<19时，T=500X-(19-X)\times 100=600X-1 900.所以T=\left\{\begin{matrix}9 500,X\geq 19,\\ 600X-1 900,X<19.\end{matrix}\right.设A=“销售利润不少于8 900元”，当X\geq 19时，T=9 500>8 900，当X<19时,T=600X-1 900\geq 8 900，解得X\geq 18.由(1)中X的分布列可知，P(A)=P(X\geq 18)=0.71.$

Final answer: $T=\left\{\begin{matrix}9 500,X\geq 19,\\ 600X-1 900,X<19.\end{matrix}\right.
P(A)=P(X\geq 18)=0.71$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：$<img_1502><img_3042>$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断n=19与n=18应选用哪一个.$

Solution:
$当n=19时,若X=16，则T=600\times 16-1 900=7 700(元).若X=17，则T=600\times 17-1 900=8 300(元).若X=18，则T=600\times 18-1 900=8 900(元).若X\geq 19，则T=9 500(元).所以T的所有可能取值为7 700，8 300，8 900，9 500.P(T=7 700)=0.06，P(T=8 300)=0.23，P(T=8 900)=0.35，P(T=9 500)=0.27+0.09=0.36.所以E_{1}(T)=7 700\times 0.06+8 300\times 0.23+8 900\times 0.35+9 500\times 0.36=8 906(元).当n=18时，若X\geq 18，则T=500\times 18=9 000(元).若X=17，则T=500\times 17-(18-17)\times 100=8 400(元).若X=16，则T=500\times 16-(18-16)\times 100=7 800(元).则T的所有可能取值为7 800，8 400，9 000.P(T=7 800)=0.06，P(T=8 400)=0.23，P(T=9 000)=0.71.所以E_{2}(T)=7 800\times 0.06+8 400\times 0.23+9 000\times 0.71=8 790(元).因为8 906>8 790，所以应选择n=19.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成如下条形图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_dc2824cac2f0774ed74b2a1a2e5d807f.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876849856376836/img/compression/M_b929f303c7dded0eb4835384ebb78fc5.jpg)$以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.$
$(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断n=19与n=18应选用哪一个.$

Solution:
$当n=19时,若X=16，则T=600\times 16-1 900=7 700(元).若X=17，则T=600\times 17-1 900=8 300(元).若X=18，则T=600\times 18-1 900=8 900(元).若X\geq 19，则T=9 500(元).所以T的所有可能取值为7 700，8 300，8 900，9 500.P(T=7 700)=0.06，P(T=8 300)=0.23，P(T=8 900)=0.35，P(T=9 500)=0.27+0.09=0.36.所以E_{1}(T)=7 700\times 0.06+8 300\times 0.23+8 900\times 0.35+9 500\times 0.36=8 906(元).当n=18时，若X\geq 18，则T=500\times 18=9 000(元).若X=17，则T=500\times 17-(18-17)\times 100=8 400(元).若X=16，则T=500\times 16-(18-16)\times 100=7 800(元).则T的所有可能取值为7 800，8 400，9 000.P(T=7 800)=0.06，P(T=8 400)=0.23，P(T=9 000)=0.71.所以E_{2}(T)=7 800\times 0.06+8 400\times 0.23+9 000\times 0.71=8 790(元).因为8 906>8 790，所以应选择n=19.$

Final answer: $19$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某科研课题组通过一款手机软件调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下频率分布直方图.$<img_1878>
$(1)根据频率分布直方图中的数据，求样本的中位数(保留一位小数)；$

Solution:
$因为5\times 0.02+5\times 0.024+5\times 0.026=0.35<0.5，0.35+5\times 0.036=0.53>0.5，所以样本的中位数位于区间[25,30)，设中位数为x，则0.35+(x-25)\times 0.036=0.5，解得x\approx 29.2，即样本的中位数是29.2.$

Final answer: $29.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某科研课题组通过一款手机软件调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664567052263425/img/compression/M_64028cba9403fcdfe05d4e81e570ee54.jpg)
$(1)根据频率分布直方图中的数据，求样本的中位数(保留一位小数)；$

Solution:
$因为5\times 0.02+5\times 0.024+5\times 0.026=0.35<0.5，0.35+5\times 0.036=0.53>0.5，所以样本的中位数位于区间[25,30)，设中位数为x，则0.35+(x-25)\times 0.036=0.5，解得x\approx 29.2，即样本的中位数是29.2.$

Final answer: $29.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某科研课题组通过一款手机软件调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下频率分布直方图.$<img_1878>
$(2)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑步爱好者购买装备的价格不一样，如下表：



周跑量(km)
<20
[20,40)
\geq 40


类别
休闲跑步爱好者
核心跑步爱好者
精英跑步爱好者


装备价格(元)
2 500
4 000
4 500



根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费的金额.$

Solution:
$依题意可知，休闲跑步爱好者有(5\times 0.02+5\times 0.024)\times 1 000=220(人)，核心跑步爱好者有(5\times 0.026+5\times 0.036+5\times 0.044+5\times 0.03)\times 1 000=680(人)，精英跑步爱好者有1 000-220-680=100(人)，所以估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费\frac{220\times 2 500+680\times 4 000+100\times 4 500}{1 000}=3 720(元).$

Final answer: $3720$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某科研课题组通过一款手机软件调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664567052263425/img/compression/M_64028cba9403fcdfe05d4e81e570ee54.jpg)
$(2)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑步爱好者购买装备的价格不一样，如下表：



周跑量(km)
<20
[20,40)
\geq 40


类别
休闲跑步爱好者
核心跑步爱好者
精英跑步爱好者


装备价格(元)
2 500
4 000
4 500



根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费的金额.$

Solution:
$依题意可知，休闲跑步爱好者有(5\times 0.02+5\times 0.024)\times 1 000=220(人)，核心跑步爱好者有(5\times 0.026+5\times 0.036+5\times 0.044+5\times 0.03)\times 1 000=680(人)，精英跑步爱好者有1 000-220-680=100(人)，所以估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费\frac{220\times 2 500+680\times 4 000+100\times 4 500}{1 000}=3 720(元).$

Final answer: $3720$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某医疗科研所研发出A，B两种新配方中药，现从生产的这两种新配方中药产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在[85,115)内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方中药的废品有6件.
A配方中药的频数分布表




质量指标值
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]


频数
8
a
36
24
8



<img_2133>
$
$(1)求a，b的值；$

Solution:
$依题意，A,B两种新配方中药的样本容量相同，设为n，因为B配方中药的废品有6件，所以\frac{6}{n}=0.006\times 10，解得n=100，则a=100-(8+36+24+8)=24.由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)\times 10=1，解得b=0.026.$

Final answer: $24, 0.026$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某医疗科研所研发出A，B两种新配方中药，现从生产的这两种新配方中药产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在[85,115)内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方中药的废品有6件.
A配方中药的频数分布表




质量指标值
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]


频数
8
a
36
24
8



![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664570704359426/img/compression/M_1b1f93dd3bb7538db7d04394753cf045.jpg)
$
$(1)求a，b的值；$

Solution:
$依题意，A,B两种新配方中药的样本容量相同，设为n，因为B配方中药的废品有6件，所以\frac{6}{n}=0.006\times 10，解得n=100，则a=100-(8+36+24+8)=24.由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)\times 10=1，解得b=0.026.$

Final answer: $24, 0.026$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某医疗科研所研发出A，B两种新配方中药，现从生产的这两种新配方中药产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在[85,115)内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方中药的废品有6件.
A配方中药的频数分布表




质量指标值
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]


频数
8
a
36
24
8



![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664570704359426/img/compression/M_1b1f93dd3bb7538db7d04394753cf045.jpg)
$
$(2)若从A，B两种新配方中药中选择一种进行推广，试确定推广哪种比较好.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)$

Solution:
$A配方中药的质量指标值的平均数\overline{x}_{A}=\frac{1}{100}\times (80\times 8+90\times 24+100\times 36+110\times 24+120\times 8)=100，方差s^2_A=\frac{1}{100}\times [(-20)^{2}\times 8+(-10)^{2}\times 24+10^{2}\times 24+20^{2}\times 8]=112.B配方中药的质量指标值的平均数\overline{x}_{B}=80\times 0.06+90\times 0.26+100\times 0.38+110\times 0.22+120\times 0.08=100，方差s^2_B=(-20)^{2}\times 0.06+(-10)^{2}\times 0.26+10^{2}\times 0.22+20^{2}\times 0.08=104.综上，\overline{x}_{A}=\overline{x}_{B}，s^2_A>s^2_B，即两种配方中药的质量指标值的平均数相等，但B配方中药的质量指标值比A配方中药的稳定，所以选择B配方中药进行推广比较好.$

Final answer: $选择B配方中药进行推广比较好。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查.根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图如图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664551805968387/img/compression/M_3ba2f7d4019c00f3a9fea4a2bc1dcff3.jpg)
$(1)试估算该市“足球迷”和“铁杆足球迷”的人数；$

Solution:
$由题图得该市“足球迷”约有100\times (0.16+0.10+0.06)\times 0.5=16(万人)，“铁杆足球迷”约有100\times 0.06\times 0.5=3(万人).$

Final answer: $16, 3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查.根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图如图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”.$<img_2690>
$(1)试估算该市“足球迷”和“铁杆足球迷”的人数；$

Solution:
$由题图得该市“足球迷”约有100\times (0.16+0.10+0.06)\times 0.5=16(万人)，“铁杆足球迷”约有100\times 0.06\times 0.5=3(万人).$

Final answer: $16, 3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查.根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图如图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664551805968387/img/compression/M_3ba2f7d4019c00f3a9fea4a2bc1dcff3.jpg)
$(2)该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众.根据调查，如果票价定为100元/张，那么非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看.如果票价提高10x(x\in N)元/张，那么“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往现场观看的人数会减少10x\%，“铁杆足球迷”愿意前往现场观看的人数会减少\frac{100x}{x+11}\%，则票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的观众不超过10万人？$

Solution:
$设票价为(100+10x)元/张，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”约有13(1-10x\%)万人，“铁杆足球迷”约有3\left(1-\frac{100x}{x+11}\% \right)万人愿意去现场观看足球比赛.令13(1-10x\%)+3\left(1-\frac{100x}{x+11}\% \right)=16-\frac{13x}{10}-\frac{3x}{x+11}\leq 10,化简得13x^{2}+113x-660\geq 0,解得x\leq -\frac{165}{13}或x\geq 4，由x\in N，得x\geq 4且x\in N.故票价至少定为100+40=140元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的观众不超过10万人.$

Final answer: $140$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查.根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图如图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”.$<img_2690>
$(2)该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众.根据调查，如果票价定为100元/张，那么非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看.如果票价提高10x(x\in N)元/张，那么“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往现场观看的人数会减少10x\%，“铁杆足球迷”愿意前往现场观看的人数会减少\frac{100x}{x+11}\%，则票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的观众不超过10万人？$

Solution:
$设票价为(100+10x)元/张，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”约有13(1-10x\%)万人，“铁杆足球迷”约有3\left(1-\frac{100x}{x+11}\% \right)万人愿意去现场观看足球比赛.令13(1-10x\%)+3\left(1-\frac{100x}{x+11}\% \right)=16-\frac{13x}{10}-\frac{3x}{x+11}\leq 10,化简得13x^{2}+113x-660\geq 0,解得x\leq -\frac{165}{13}或x\geq 4，由x\in N，得x\geq 4且x\in N.故票价至少定为100+40=140元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的观众不超过10万人.$

Final answer: $140$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级中随机抽取100名学生测量其身高，把他们的身高(单位：cm)按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到如图所示的频率分布直方图．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664561087963137/img/compression/M_889ef658240d7a5c259831a08c6f2724.jpg)
$(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175 cm的学生人数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，(0.01+0.02+x+0.06+0.07)\times 5=1，所以x=0.04．易得样本中身高不低于175 cm的学生的频率为(0.04+0.02)\times 5=0.3，所以样本中身高不低于175 cm的学生人数为100\times 0.3=30．$

Final answer: $0.04, 30$