di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在半径为10 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在圆的直径上，点C、D在圆周上.$<img_2427>
$若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.$

Solution:
$设圆柱底面半径为r cm，体积为V cm^{3}.由2\sqrt{100-x^2}=2\pi r，其中0\therefore V=\pi r^{2}x=\frac{1}{\pi }(100x-x^{3})，其中0令V'=\frac{1}{\pi }(100-3x^{2})=0，得x=\frac{10\sqrt{3}}{3}，当x\in \left(0，\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)时，V'>0，当x\in \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}，10\right)时，V'<0，因此V=\frac{1}{\pi }(100x-x^{3})在\left(0，\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)上是增函数，在\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}，10\right)上是减函数.\therefore 当x=\frac{10\sqrt{3}}{3}时，V有最大值，且V的最大值为\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi }.故取BC为\frac{10\sqrt{3}}{3} cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi } cm^{3}.
(10分)$

Final answer: $BC=\frac{10\sqrt{3}}{3} $, $\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi } $ $cm$, $cm^{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在半径为10 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在圆的直径上，点C、D在圆周上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040201838239745/img/compression/M_a44198f22155df227a04666424ddf9a2.jpg)
$若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.$

Solution:
$设圆柱底面半径为r cm，体积为V cm^{3}.由2\sqrt{100-x^2}=2\pi r，其中0\therefore V=\pi r^{2}x=\frac{1}{\pi }(100x-x^{3})，其中0令V'=\frac{1}{\pi }(100-3x^{2})=0，得x=\frac{10\sqrt{3}}{3}，当x\in \left(0，\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)时，V'>0，当x\in \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}，10\right)时，V'<0，因此V=\frac{1}{\pi }(100x-x^{3})在\left(0，\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)上是增函数，在\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}，10\right)上是减函数.\therefore 当x=\frac{10\sqrt{3}}{3}时，V有最大值，且V的最大值为\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi }.故取BC为\frac{10\sqrt{3}}{3} cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi } cm^{3}.
(10分)$

Final answer: $BC=\frac{10\sqrt{3}}{3} $, $\frac{2 000\sqrt{3}}{9\pi } $ $cm$, $cm^{3}$
Subfield: Mechanics


Question: $小韩同学在自建住房施工工地观察到如图甲所示的简易升降机，升降机由固定架、运动箱、两段足够坚韧的轻绳i和b、轻质滑轮和配重等构成。工作过程中通过调整轻绳b的松弛与张紧，可以使运动箱呈现4种不同的运动状态：向下加速、向下减速、向上加速和向上减速。轻绳a左端固定在固定架的顶端，绕过轻质滑轮，右端与装有不同质量沙子的塑料袋所构成的配重连接，配重1和配重2之间通过一段轻绳b连接。为了研究运动箱的运动，在运动箱内放置重物、电子压力计、固定的手机等，内部结构如图乙所示。手机拍摄电子压力计的示数变化，同时可利用相关软件将拍摄到的示数同步投影到屏幕上。已知配重1和配重2的质量分别为m_1和m_2，不计轻绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度为g。$

<img_1206>

<img_918>
$运动箱从图甲所示位置由静止释放，若先后经历向下加速和向下减速两个过程，求运动箱及箱内物体的总质量m的取值范围(用m_1、m_2表示)；$

Solution:
$配重1和配重2之间轻绳i未绷直，运动箱向下加速时，有mg>2m_1g，运动箱加速度方向向下，轻绳i绷直后，有mg<2(m_1+m_2)g，运动箱向下减速，加速度向上。所以2m_1<m<2(m_1+m_2)。$

Final answer: $(2m_1,2(m_1+m_2))$
Subfield: Mechanics


Question: $小韩同学在自建住房施工工地观察到如图甲所示的简易升降机，升降机由固定架、运动箱、两段足够坚韧的轻绳i和b、轻质滑轮和配重等构成。工作过程中通过调整轻绳b的松弛与张紧，可以使运动箱呈现4种不同的运动状态：向下加速、向下减速、向上加速和向上减速。轻绳a左端固定在固定架的顶端，绕过轻质滑轮，右端与装有不同质量沙子的塑料袋所构成的配重连接，配重1和配重2之间通过一段轻绳b连接。为了研究运动箱的运动，在运动箱内放置重物、电子压力计、固定的手机等，内部结构如图乙所示。手机拍摄电子压力计的示数变化，同时可利用相关软件将拍摄到的示数同步投影到屏幕上。已知配重1和配重2的质量分别为m_1和m_2，不计轻绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度为g。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716372661555884035/img/compression/M_ad674df809c84543b394fd90dbcd185c.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716372661555884035/img/compression/M_9ef0d153e85bb4d3ef968e3b77e2ac02.jpg)
$运动箱从图甲所示位置由静止释放，若先后经历向下加速和向下减速两个过程，求运动箱及箱内物体的总质量m的取值范围(用m_1、m_2表示)；$

Solution:
$配重1和配重2之间轻绳i未绷直，运动箱向下加速时，有mg>2m_1g，运动箱加速度方向向下，轻绳i绷直后，有mg<2(m_1+m_2)g，运动箱向下减速，加速度向上。所以2m_1<m<2(m_1+m_2)。$

Final answer: $(2m_1,2(m_1+m_2))$
Subfield: Mechanics


Question: $小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在xOy竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为\frac{5}{9}g(g为重力加速度)，方向均与x轴负方向成37^\circ 斜向上(x轴向右为正)。蛙位于y轴上M点处，OM=H，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}.$
若蛙跳出的速率不大于(1)问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。

Solution:
$若虫能被捉住，则蛙与虫能在空中相遇，对应于虫出发位置的极值时，蛙应以最大速率跳出。先求最右侧极值：设相遇点的位置坐标为(x_1,y_1)、虫在x轴上飞出的位置坐标为(x_2,0)，蛙的运动时间为t_1，虫比蛙早开始运动时间为\Delta t。该过程蛙与虫的运动轨迹大致如图乙所示。$

<img_801>

$对蛙有x_1=v_mt_1、H-y_1=\frac{1}{2}g{t_1}^2$

$对虫有y_1=\frac{1}{2}\times \frac{5}{9}g(t_1+\Delta t)^2 \sin 37^\circ $

$x_2-x_1=\frac{1}{2}\times \frac{5}{9}g(t_1+\Delta t)^2 \cos 37^\circ $

联立整理可得

$2gt_1^2-4\sqrt{gH}t_1-4H+3x_2=0$

$则\Delta =(-4\sqrt{gH})^2-4\times 2g\times (-4H+3x_2)\geq 0$

$解得x_2\leq 2H$

$再求左侧极值：蛙以最大速率水平向左跳出且与虫同时开始运动时对应的位置最远，设相遇点的位置坐标为(x_3，y_2)，虫在x轴上飞出的位置坐标为(x_4，0)，蛙与虫的运动时间均为t_2。该过程蛙与虫的运动轨迹大致如图丙所示。$

<img_650>

$对蛙有|x_3|=v_mt_2、H-y_2=\frac{1}{2}gt^2_2$

$对虫有y_2=\frac{1}{2}\times \frac{5}{9}gt_2^2 \sin 37^\circ $

$|x_3|-|x_4|=\frac{1}{2}\times \frac{5}{9}gt_2^2 \cos 37^\circ $

$联立可解得|x_4|=\frac{2\sqrt{6}-1}{3}H,即x_4=\frac{1-2\sqrt{6}}{3}H$

$故\frac{1-2\sqrt{6}}{3}H\leq x\leq 2H$

Final answer: $[\frac{1-2\sqrt{6}}{3}H, 2H]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894067396415491/img/compression/M_0be6b10520af8b4b25c40cfb26c09463.jpg)
与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；

Solution:
$设C滑上B后经时间t_1，B与C共速，速度为=v_1$。
对C受力分析有$\mu _2m_Cg=m_Ca_C$
得$a_C=5 m/s^2$

C做匀减速直线运动，$v_1=v-a_Ct_1$
对B受力分析有$\mu _2mCg-\mu _1(m_C+m_B)g=m_Ba_B$
得$a_B=1 m/s^2$

B做匀加速直线运动有$v_1=v_0+a_Bt_1$
$B的对地位移xB=(\frac{v_0+v_1}{2})t_1$

联立解得$t_1=0.5 s$

$v_1=1.5 m/s$

$x_B=0.625 m$

设B与C共速以后再经时间$t_2$，A恰好追上B，
对B、C整体受力分析有
$(m_B+m_C)g\mu _1=(m_B+m_C)a_{BC}$

解得$a_{BC}=1 m/s^2$
B、C整体做匀减速直线运动，
$xB'=v_1t_2-\frac{1}{2}a_{BC}t_2^2$

A恰好追上B时有位移关系
$x_A=v_0(t_1+t_2)=x_B+x_B'$

$联立得xA=\frac{2+\sqrt{2}}{2} m$

$所以s的范围为0.625 m\leq s\leq \frac{2+\sqrt{2}}{2} m$

Final answer: $[0.625, \frac{2+\sqrt{2}}{2}]$ m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A和B以相同速度v_0向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知v_0=1 m/s，v=4 m/s，m_A=m_C=1 kg，m_B=2 kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数\mu _1=0.1，C与B间动摩擦因数\mu _2=0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小g=10 m/s^2。$

<img_522>
与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；

Solution:
$设C滑上B后经时间t_1，B与C共速，速度为=v_1$。
对C受力分析有$\mu _2m_Cg=m_Ca_C$
得$a_C=5 m/s^2$

C做匀减速直线运动，$v_1=v-a_Ct_1$
对B受力分析有$\mu _2mCg-\mu _1(m_C+m_B)g=m_Ba_B$
得$a_B=1 m/s^2$

B做匀加速直线运动有$v_1=v_0+a_Bt_1$
$B的对地位移xB=(\frac{v_0+v_1}{2})t_1$

联立解得$t_1=0.5 s$

$v_1=1.5 m/s$

$x_B=0.625 m$

设B与C共速以后再经时间$t_2$，A恰好追上B，
对B、C整体受力分析有
$(m_B+m_C)g\mu _1=(m_B+m_C)a_{BC}$

解得$a_{BC}=1 m/s^2$
B、C整体做匀减速直线运动，
$xB'=v_1t_2-\frac{1}{2}a_{BC}t_2^2$

A恰好追上B时有位移关系
$x_A=v_0(t_1+t_2)=x_B+x_B'$

$联立得xA=\frac{2+\sqrt{2}}{2} m$

$所以s的范围为0.625 m\leq s\leq \frac{2+\sqrt{2}}{2} m$

Final answer: $[0.625, \frac{2+\sqrt{2}}{2}]$ m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716625269524721666/img/compression/M_91bc797d5752cec0c25cce583cfbc53d.jpg)
去掉弹簧，使物块A、B带上同种电荷，放在光滑绝缘的水平面上。物块A从较远处(该处库仑力可忽略，A、B组成的系统电势能为零)以初速度v冲向物块B。在物块B的右侧有一固定挡板(位置未知，图中也未画)，物块B与挡板发生弹性碰撞后立即撤去挡板，求此后过程中系统电势能的取值范围(物块B与挡板碰撞时间极短，没有电荷转移，全程物块A和B没有接触)。

Solution:
$设物块B与挡板碰撞前瞬间的速度大小为v_B，此时A的速度为v_A，根据动量守恒定律有$
$m_Av_0=m_Av_A+m_Bv_B$

①
$B与挡板碰后，v_B向左，当A、B速度相同(设为v_共)时，系统电势能最大，设为E_m，则$
$m_Av_A-m_Bv_B=(m_A+m_B)v_共$

②
$\frac{1}{2}m_Av^2_0=\frac{1}{2}(m_A+m_B)v^2_{\text{共}}+E_m$

③
$由①②两式得v_共=\frac{v_0-6v_B}{4}$
$代入③式化简得E_m=\frac{9m}{2}\left[-{\left(v_B-\frac{1}{6}v_0\right)}^2+\frac{1}{9}v^2_0\right]$

④
$B与A相互作用下速度达到最大时恰好与挡板相碰，设最大速度为v_Bm，则m_Av_0=m_Av_A'+m_Bv_Bm$
$\frac{1}{2}m_Av^2_0=\frac{1}{2}m_Av_A'^2+\frac{1}{2}m_Bv^2_{B\mathrm{m}}$
$联立以上两式得v_Bm=\frac{v_0}{2}$
$即v_B的取值范围为0<v_B\leq \frac{v_0}{2}$
$结合④式可得，当v_B=\frac{1}{6}v_0时，E_m有最大值，E_m1=\frac{1}{2}mv^2_0$
$当v_B=\frac{v_0}{2}时，E_m有最小值，E_m2=0$
$所以系统电势能的取值范围为0\leq E_m\leq \frac{1}{2}mv^2_0.$

Final answer: $[0, \frac{1}{2}mv_0^2]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的物块A与质量为3m的物块B静置于光滑水平面上，物块B与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接。现使物块A以初速度v_0水平向右运动。物块A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。全过程无机械能损失且弹簧始终处于弹性限度内。弹簧弹性势能的表达式为E_p=\frac{1}{2}kx^2(x为弹簧形变量)。求：$

<img_1314>
去掉弹簧，使物块A、B带上同种电荷，放在光滑绝缘的水平面上。物块A从较远处(该处库仑力可忽略，A、B组成的系统电势能为零)以初速度v冲向物块B。在物块B的右侧有一固定挡板(位置未知，图中也未画)，物块B与挡板发生弹性碰撞后立即撤去挡板，求此后过程中系统电势能的取值范围(物块B与挡板碰撞时间极短，没有电荷转移，全程物块A和B没有接触)。

Solution:
$设物块B与挡板碰撞前瞬间的速度大小为v_B，此时A的速度为v_A，根据动量守恒定律有$
$m_Av_0=m_Av_A+m_Bv_B$

①
$B与挡板碰后，v_B向左，当A、B速度相同(设为v_共)时，系统电势能最大，设为E_m，则$
$m_Av_A-m_Bv_B=(m_A+m_B)v_共$

②
$\frac{1}{2}m_Av^2_0=\frac{1}{2}(m_A+m_B)v^2_{\text{共}}+E_m$

③
$由①②两式得v_共=\frac{v_0-6v_B}{4}$
$代入③式化简得E_m=\frac{9m}{2}\left[-{\left(v_B-\frac{1}{6}v_0\right)}^2+\frac{1}{9}v^2_0\right]$

④
$B与A相互作用下速度达到最大时恰好与挡板相碰，设最大速度为v_Bm，则m_Av_0=m_Av_A'+m_Bv_Bm$
$\frac{1}{2}m_Av^2_0=\frac{1}{2}m_Av_A'^2+\frac{1}{2}m_Bv^2_{B\mathrm{m}}$
$联立以上两式得v_Bm=\frac{v_0}{2}$
$即v_B的取值范围为0<v_B\leq \frac{v_0}{2}$
$结合④式可得，当v_B=\frac{1}{6}v_0时，E_m有最大值，E_m1=\frac{1}{2}mv^2_0$
$当v_B=\frac{v_0}{2}时，E_m有最小值，E_m2=0$
$所以系统电势能的取值范围为0\leq E_m\leq \frac{1}{2}mv^2_0.$

Final answer: $[0, \frac{1}{2}mv_0^2]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长l=7.5 m、宽d=2.4 m的卡车在马路上以v_0=20 m/s的速度靠边匀速前进，在车头正前方x=50 m处有一斑马线，斑马线上有一行人(可视为质点)，在匀速行走横穿马路，此时行人到A点的距离s=9.6 m。已知卡车刹车时的加速度大小a=5 m/s^2，卡车和行人均做直线运动。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521793715671042/img/compression/M_9ceafbcf656f7e09feca36074aacecbe.jpg)
$若司机的反应时间t=1 s，且仍以题干中的加速度做匀减速直线运动，求行人不会被卡车碰到的行走速度范围。$

Solution:
$司机反应时间内卡车位移x_{2}=v_{0}t=20 m$

$设卡车车尾恰好通过A点时，卡车刹车位移为x'_{2}，速度为v_{2}，有$

$x'_{2}=x+l-x_{2}=(50+7.5-20) m=37.5 m$

$v^2_{0}-v^2_{2}=2ax'_{2}$

$解得v_{2}=5 m/s$

$故卡车刹车时间t_{2}=\frac{v_0-v_2}{a}=3 s$

$卡车总共运动时间t'_{2}=t+t_{2}=4 s$

$若此时行人恰好走到A点，有v'_{2}=\frac{s}{t'_2}=2.4 m/s$

$故满足0<v<2.4 m/s行人不会被碰到；$

$设车头到达A点时，卡车刹车位移为x_{3}，速度为v_{3}，有$

$x_{3}=x-x_{2}=30 m$

$v^2_{0}-v^2_{3}=2ax_{3}$

$解得v_{3}=10 m/s$

$故卡车刹车时间t_{3}=\frac{v_0-v_3}{a}=2 s$

$卡车总共运动时间t'_{3}=t+t_{3}=3 s$

$若此时行人恰好已通过马路，有v'_{3}=\frac{s+d}{t'_3}=4 m/s$

$故满足v>4 m/s时行人不会被碰到 $

$综上所述，满足0<v<2.4 m/s或者v>4 m/s行人不会被碰到。$

Final answer: $(0,2.4)\cup(4,+\infty)$ m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，长l=7.5 m、宽d=2.4 m的卡车在马路上以v_0=20 m/s的速度靠边匀速前进，在车头正前方x=50 m处有一斑马线，斑马线上有一行人(可视为质点)，在匀速行走横穿马路，此时行人到A点的距离s=9.6 m。已知卡车刹车时的加速度大小a=5 m/s^2，卡车和行人均做直线运动。$

<img_744>
$若司机的反应时间t=1 s，且仍以题干中的加速度做匀减速直线运动，求行人不会被卡车碰到的行走速度范围。$

Solution:
$司机反应时间内卡车位移x_{2}=v_{0}t=20 m$

$设卡车车尾恰好通过A点时，卡车刹车位移为x'_{2}，速度为v_{2}，有$

$x'_{2}=x+l-x_{2}=(50+7.5-20) m=37.5 m$

$v^2_{0}-v^2_{2}=2ax'_{2}$

$解得v_{2}=5 m/s$

$故卡车刹车时间t_{2}=\frac{v_0-v_2}{a}=3 s$

$卡车总共运动时间t'_{2}=t+t_{2}=4 s$

$若此时行人恰好走到A点，有v'_{2}=\frac{s}{t'_2}=2.4 m/s$

$故满足0<v<2.4 m/s行人不会被碰到；$

$设车头到达A点时，卡车刹车位移为x_{3}，速度为v_{3}，有$

$x_{3}=x-x_{2}=30 m$

$v^2_{0}-v^2_{3}=2ax_{3}$

$解得v_{3}=10 m/s$

$故卡车刹车时间t_{3}=\frac{v_0-v_3}{a}=2 s$

$卡车总共运动时间t'_{3}=t+t_{3}=3 s$

$若此时行人恰好已通过马路，有v'_{3}=\frac{s+d}{t'_3}=4 m/s$

$故满足v>4 m/s时行人不会被碰到 $

$综上所述，满足0<v<2.4 m/s或者v>4 m/s行人不会被碰到。$

Final answer: $(0,2.4)\cup(4,+\infty)$ m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_c828b90cadb457558a09b0d1e362a6bb.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521898657157122/img/compression/M_da7708d86d8f3e51eb1997262c7b1416.jpg)
$要使滑块至少经过F点一次，且运动过程中始终不脱离轨道，求滑块与水平轨道EF间的动摩擦因数\mu 的范围；$

Solution:
$若滑块恰好滑到F点停下，根据动能定理有mgh-\mu _1mgL=0，解得\mu _1=0.7，即\mu 需满足\mu \leq 0.7；$

$当滑块运动到G点速度为零，滑块沿圆轨道返回，再次经过F点，根据动能定理得mg(h-1.5r)-\mu _2mgL=0，解得\mu _2=0.1，即\mu 需满足\mu \geq 0.1；$

$当返回时不超过O_1点，滑块不脱离轨道，根据动能定理mg(h-r)-\mu _3mg\cdot 2L=0，解得\mu _3=0.15，即\mu 需满足\mu \geq 0.15，$

$则滑块与水平轨道EF间的动摩擦因数\mu 的范围是0.15\leq \mu \leq 0.7。$

Final answer: $[0.15, 0.7]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图甲所示，某同学利用积木搭建一游戏轨道，其结构简图如图乙所示。该轨道由固定的竖直轨道AB，半径分别为r=0.4 m、0.5r、1.5r的三个半圆轨道BCO_3、O_3D O_1、FGH，半径为r的四分之一圆弧轨道O_1E，长度L=1 m的水平轨道EF组成，轨道BCO_3和轨道O_1E前后错开，除水平轨道EF段外其他轨道均光滑，且各处平滑连接。可视为质点的滑块从A点由静止释放，恰好可以通过轨道O_3D O_1的最高点D，不计空气阻力,g取10 m/s^2。$

<img_523>

<img_804>
$要使滑块至少经过F点一次，且运动过程中始终不脱离轨道，求滑块与水平轨道EF间的动摩擦因数\mu 的范围；$

Solution:
$若滑块恰好滑到F点停下，根据动能定理有mgh-\mu _1mgL=0，解得\mu _1=0.7，即\mu 需满足\mu \leq 0.7；$

$当滑块运动到G点速度为零，滑块沿圆轨道返回，再次经过F点，根据动能定理得mg(h-1.5r)-\mu _2mgL=0，解得\mu _2=0.1，即\mu 需满足\mu \geq 0.1；$

$当返回时不超过O_1点，滑块不脱离轨道，根据动能定理mg(h-r)-\mu _3mg\cdot 2L=0，解得\mu _3=0.15，即\mu 需满足\mu \geq 0.15，$

$则滑块与水平轨道EF间的动摩擦因数\mu 的范围是0.15\leq \mu \leq 0.7。$

Final answer: $[0.15, 0.7]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

![图解](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719521911684415491/img/compression/M_aed55fc6d12d57a154e37b7b7dfc682a.jpg)
$调整释放初动能E_{k0}，要使小球P整个运动过程中不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上，求E_{k0}的取值范围。$

Solution:
$①恰好到A，则有mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=2 J$

$所以0\leq E_{k0}\leq 2 J$

②恰好到O点等高处，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-mgR=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=18 J$

返回恰好到A，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-2\mu_2mgL_2=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=14 J$

$所以14 J\leq E_{k0}\leq 18 J$

$③恰好过C，v_C=\sqrt{10} m/s，则有$

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-2mgR=\frac{1}{2}m v_C^2-E_{k0}$

$解得E_{k0}=33 J$

恰好到E，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-W_f-mg4r=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=34 J$

$所以33 J\leq E_{k0}\leq 34 J$

$综上，0\leq E_{k0}\leq 2 J或者14 J\leq E_{k0}\leq 18 J或者33 J\leq E_{k0}\leq 34 J，小球P整个运动过程不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上。$

Final answer: $[0, 2]\cup[14 ,18]\cup[33,34]$ J
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L_1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数\mu _1=0.2+0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg可视为质点的小球P从倾角\theta =37^\circ 、动摩擦因数\mu _3=0.8的斜面上以初动能E_k0滑下，经A点无能量损失进入长度L_2=3 m、动摩擦因数为\mu _2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力,g=10 m/s^2。提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功。$

<img_901>
$调整释放初动能E_{k0}，要使小球P整个运动过程中不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上，求E_{k0}的取值范围。$

Solution:
$①恰好到A，则有mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=2 J$

$所以0\leq E_{k0}\leq 2 J$

②恰好到O点等高处，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-mgR=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=18 J$

返回恰好到A，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-2\mu_2mgL_2=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=14 J$

$所以14 J\leq E_{k0}\leq 18 J$

$③恰好过C，v_C=\sqrt{10} m/s，则有$

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-2mgR=\frac{1}{2}m v_C^2-E_{k0}$

$解得E_{k0}=33 J$

恰好到E，则有

$mgh-\mu_3mg \cos37^\circ \frac{h}{\sin  37^{\circ}}-\mu_2mgL_2-W_f-mg4r=0-E_{k0}$

$解得E_{k0}=34 J$

$所以33 J\leq E_{k0}\leq 34 J$

$综上，0\leq E_{k0}\leq 2 J或者14 J\leq E_{k0}\leq 18 J或者33 J\leq E_{k0}\leq 34 J，小球P整个运动过程不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上。$

Final answer: $[0, 2]\cup[14 ,18]\cup[33,34]$ J
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为$\mu$ 。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量，重力加速度为g。
![16GZTWL108.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385639035826180/img/compression/M_25830060022b7f39fe548abcc564476d.jpg)
$物块由x_1向右运动到x_3，然后由x_3返回到x_2，在这个过程中，$
求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；

Solution:
$物块由x_1向右运动到x_3的过程中，弹力做功$
$W_{T1}=-\frac{1}{2}\cdot(kx_1+kx_3)\cdot(x_3-x_1)=\frac{1}{2}kx^2_1-\frac{1}{2}kx^2_3$

$物块由x_3向左运动到x_2的过程中，弹力做功$
$W_{T2}=\frac{1}{2}\cdot(kx_2+kx_3)\cdot(x_3-x_2)=\frac{1}{2}kx^2_3-\frac{1}{2}kx^2_2$

整个过程中，弹力做功
$W_T=W_{T1}+W_{T2}=\frac{1}{2}kx^2_1-\frac{1}{2}kx^2_2$

弹性势能的变化量
$\Delta E_p=-W_T=\frac{1}{2}kx^2_2-\frac{1}{2}kx^2_1$

Final answer: $\frac{1}{2}kx^{2}_{1}-\frac{1}{2}kx^{2}_{2}, \frac{1}{2}kx^{2}_{2}-\frac{1}{2}kx^{2}_{1} 　$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为$\mu$ 。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量，重力加速度为g。
<img_1118>
$物块由x_1向右运动到x_3，然后由x_3返回到x_2，在这个过程中，$
求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；

Solution:
$物块由x_1向右运动到x_3的过程中，弹力做功$
$W_{T1}=-\frac{1}{2}\cdot(kx_1+kx_3)\cdot(x_3-x_1)=\frac{1}{2}kx^2_1-\frac{1}{2}kx^2_3$

$物块由x_3向左运动到x_2的过程中，弹力做功$
$W_{T2}=\frac{1}{2}\cdot(kx_2+kx_3)\cdot(x_3-x_2)=\frac{1}{2}kx^2_3-\frac{1}{2}kx^2_2$

整个过程中，弹力做功
$W_T=W_{T1}+W_{T2}=\frac{1}{2}kx^2_1-\frac{1}{2}kx^2_2$

弹性势能的变化量
$\Delta E_p=-W_T=\frac{1}{2}kx^2_2-\frac{1}{2}kx^2_1$

Final answer: $\frac{1}{2}kx^{2}_{1}-\frac{1}{2}kx^{2}_{2}, \frac{1}{2}kx^{2}_{2}-\frac{1}{2}kx^{2}_{1} 　$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为$M=2 kg$。车上在沙箱左侧距离s=1 m的位置上放有一质量为m=1 kg的小物块A，物块A与小车之间的动摩擦因数$\mu =0.1$。仅在沙箱上表面的上方空间存在水平向右的匀强电场，场强$E=2.0\times 10^3 V/m$。当物块A随小车以速度$v_0=10 m/s$向右做匀速直线运动时，距沙箱上表面H=5 m高处有一质量为$m_0=2 kg$的带正电$q=1\times 10^{-2} C$的小球C，以$v_0=10 m/s$的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取$g=10 m/s^2$。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894118969577474/img/compression/M_599f28bd5c075912e023bebebbdd9b6a.jpg)
设小车左端与沙箱左侧的距离为L。请讨论分析物块A相对小车向左运动的整个过程中，其与小车因摩擦产生的热量Q与L的关系式。

Solution:
$当物块A与小车达到共速，随后弹簧向左弹开物块A，假设A运动至小车的左端时恰好与小车相对静止。此过程中系统动量仍然守恒，所以系统的速度仍为v_2=6 m/s，系统的动能不变，弹性势能减小，根据能量守恒定律得E_p=\mu mgL_0，解得小车左端与沙箱左侧的距离为L_0=9 m，L\geq L_0时，物块A停在距离沙箱左侧L_0=9 m处与小车一起运动，因此摩擦产生的热量Q_1=\mu mgL_0；L<L_0时，两物体还未达共速，物块A已经从小车的左端滑下，因此摩擦产生热量Q_2=\mu mgL。$

Final answer: $L\geq 9 m时，Q_1=\mu mgL_0；L<9 m时，Q_2=\mu mgL$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

<img_710>

图甲
<img_723>

图乙

$“剩余离子偏转系统"还可以利用磁偏转进行带电离子的剥离。如图乙所示,粒子束宽度为d，吞噬板MN长度为2d。要使三种不同动能的离子都能打到吞噬板上,求磁感应强度大小的取值范围。$

Solution:
$带电离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^2}{R}，得R=\frac{mv}{Bq}。$

由于所有离子的质量和电荷量均相等，因此其轨迹半径正比于其进入磁场时的速度，反比于磁感应强度的大小。要让所有离子都打到吞噬板上，应满足：①粒子束上边缘进入磁场且速度最小的离子恰好到达M点；②粒子束下边缘进入磁场且速度最大的离子恰好到达N点。

$由①可知\frac{1}{3}E_k=\frac{1}{2}mv_1^2，d=2R_1，代入上面的轨迹半径表达式解得B_1=\frac{2}{qd} \sqrt[　]{\frac{2mE_k}{3}}$

$由②可知E_k=\frac{1}{2}mv_2^2，d=R_2，代入上面的轨迹半径表达式解得B_2=\frac{1}{qd} \sqrt[　]{2mE_k}$

综上所述，可知磁感应强度大小的取值范围应满足

$\frac{1}{qd} \sqrt[　]{2mE_k}<B<\frac{2}{qd} \sqrt[　]{\frac{2mE_k}{3}}。$

Final answer: $(\frac{1}{qd} \sqrt{2mE_k},\frac{2}{qd} \sqrt{\frac{2mE_k}{3}})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272111313154051/img/compression/M_a3dbcc1ad0daa6a207a75ade4bfafe73.jpg)

图甲
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272111313154051/img/compression/M_a8289fb0bd82c23e1d2b212390e6ebf7.jpg)

图乙

$“剩余离子偏转系统"还可以利用磁偏转进行带电离子的剥离。如图乙所示,粒子束宽度为d，吞噬板MN长度为2d。要使三种不同动能的离子都能打到吞噬板上,求磁感应强度大小的取值范围。$

Solution:
$带电离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^2}{R}，得R=\frac{mv}{Bq}。$

由于所有离子的质量和电荷量均相等，因此其轨迹半径正比于其进入磁场时的速度，反比于磁感应强度的大小。要让所有离子都打到吞噬板上，应满足：①粒子束上边缘进入磁场且速度最小的离子恰好到达M点；②粒子束下边缘进入磁场且速度最大的离子恰好到达N点。

$由①可知\frac{1}{3}E_k=\frac{1}{2}mv_1^2，d=2R_1，代入上面的轨迹半径表达式解得B_1=\frac{2}{qd} \sqrt[　]{\frac{2mE_k}{3}}$

$由②可知E_k=\frac{1}{2}mv_2^2，d=R_2，代入上面的轨迹半径表达式解得B_2=\frac{1}{qd} \sqrt[　]{2mE_k}$

综上所述，可知磁感应强度大小的取值范围应满足

$\frac{1}{qd} \sqrt[　]{2mE_k}<B<\frac{2}{qd} \sqrt[　]{\frac{2mE_k}{3}}。$

Final answer: $(\frac{1}{qd} \sqrt{2mE_k},\frac{2}{qd} \sqrt{\frac{2mE_k}{3}})$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某空气净化设备可用于气体中有害离子的收集和分离，其简化原理如图甲所示，Ⅰ区为电场加速区，Ⅱ区为电场收集区。Ⅰ区和Ⅱ区之间是无场区。已知Ⅰ区中AB与CD两电极的电势差为U，Ⅱ区中分布着方向竖直向下的匀强电场，且EG与FH间的距离为d，假设大量相同的正离子在AB极均匀分布，从初速度为零开始加速，不考虑离子间的相互作用和重力的影响。

![24BTJ5WL428.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_a31ba9ad2013f7b3fe4c289664c142e8.jpg)
甲

![24BTJ5WL429.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_52b4d9b7d1d0ae5a537ab3cef547d3a5.jpg)
乙
若从EF边射入的正离子经电场偏转后都射入与FH边重合的收集槽内，已知收集槽的宽度FH=L，求Ⅱ区中匀强电场电场强度E的大小应满足的条件;

Solution:
若要保证离子均能射入收集槽内，只需满足从E点进入电场的离子从H点进入收集槽内。离子进入偏转电场区域时速度方向均垂直于EF边，可知离子在偏转电场区域做类平抛运动，有

$Eq=ma$

$d=\frac{1}{2}at^2$

$L\geq vt$

$联立可得E\geq \frac{4Ud}{L^2}.$

Final answer: $E \geq \frac{4Ud}{L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备,可用图1所示的模型讨论其原理,图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中,平板与容器等宽,两板间距为l,容器中装有导电液体,平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙,导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源,电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升,可在两板间加垂直于Oxy面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为\rho_0、电阻率为\rho,重力加速度为g。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272169840472066/img/compression/M_6e36711274ad95c2a29202a62ed5d70c.jpg)
图1

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272169840472066/img/compression/M_0afeea2610ed49839cc3d205b033f582.jpg)
图2
$假定平板与容器足够高,求电压U满足什么条件时两板间液面能够持续上升。$

Solution:
$由第(2)问中h关于U的表达式h=\frac{BU}{\rho _0\rho gl-BU}，h_0可知，若板间液面能够持续上升，即h\rightarrow \infty ，此时需满足(\rho_0\rho gl-BU)\rightarrow 0，解得U=\frac{\rho _0\rho gl}{B}。$

$结合物理情境，若U越大，液体所受安培力越大，因此，电压应满足U\geq \frac{\rho _0\rho gl}{B}。$

Final answer: $U\geq \frac{\rho _0\rho gl}{B}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点,以速度v逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时,与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知m=2 g，l=1 m，R=0.4 m，H=0.2 m，v=2 m/s，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数\mu =0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD 与DE平滑连接，物块可视为质点。$

<img_755>
$若物块b释放高度0.9 m＜h＜1.65 m,求物块a最终静止的位置x值的范围(以A点为坐标原点,水平向右为正,建立x轴)，不需要写单位。$

Solution:
$当 1.2 m\leq h<1.65 m 时，物块 a 静止的位置在 E 点或 E 点右侧水平面 FG 上，根据动能定理得$

$mgh - 2\mu mgl - mgH = \frac{1}{2}mv_E^2$

$从 E 点飞出后，物块 a 做平抛运动，则 H = \frac{1}{2}gt^2$

$S_1 = v_{E}t$

$根据几何关系可得 xDF = \sqrt{R^2-(R-H)^2} = \frac{\sqrt{3}}{5} m$

$即物块 a 的位置为 x = 3l + x_{DF} + S_1$

$代入数据解得 (3+\frac{\sqrt{3}}{5}) m \leq x<(3.6+\frac{\sqrt{3}}{5}) m$

$设滑块 b 释放的高度为 h0 时，滑块 a 恰好到达 D 点，由动能定理得 mgh_0 - \mu mg2l = 0 ，解得 h_0 = 1 m$

$此时滑块 a 静止的位置为 x_1 = 3l = 3 m$

$则当 0.9 m<h<1.2 m 时，从 h_2 = 0.9 m 释放物块 b ，物块 a 不能到达 D 点，设此过程中物块 a 所受滑动摩擦力对应的位移为 S_2 ,由 mgh - \mu mgS_2 = 0$

$得 S_1 = 1.8 m$

$即物块 a 静止的位置为 x_2 = S_2 + l = 2.8 m$

$若滑块 a 由 E 点速度为零返回到水平面上，由 mgH - \mu mgS_3 = 0 可得 S_3 = 0.4 $

$即物块 a 静止的位置为 x_3 = 3l - S_3 = 2.6 m$

$综上可知当 0.9 m<h<1.65 m 时， 2.6 m<x\leq 3 m$



Final answer: $(2.6,3]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点,以速度v逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时,与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知m=2 g，l=1 m，R=0.4 m，H=0.2 m，v=2 m/s，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数\mu =0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD 与DE平滑连接，物块可视为质点。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609990778015747/img/compression/M_40a624ebe611ed071cd429605ee4513c.jpg)
$若物块b释放高度0.9 m＜h＜1.65 m,求物块a最终静止的位置x值的范围(以A点为坐标原点,水平向右为正,建立x轴)。$

Solution:
$当 1.2 m\leq h<1.65 m 时，物块 a 静止的位置在 E 点或 E 点右侧水平面 FG 上，根据动能定理得$

$mgh - 2\mu mgl - mgH = \frac{1}{2}mv_E^2$

$从 E 点飞出后，物块 a 做平抛运动，则 H = \frac{1}{2}gt^2$

$S_1 = v_{E}t$

$根据几何关系可得 xDF = \sqrt{R^2-(R-H)^2} = \frac{\sqrt{3}}{5} m$

$即物块 a 的位置为 x = 3l + x_{DF} + S_1$

$代入数据解得 (3+\frac{\sqrt{3}}{5}) m \leq x<(3.6+\frac{\sqrt{3}}{5}) m$

$设滑块 b 释放的高度为 h0 时，滑块 a 恰好到达 D 点，由动能定理得 mgh_0 - \mu mg2l = 0 ，解得 h_0 = 1 m$

$此时滑块 a 静止的位置为 x_1 = 3l = 3 m$

$则当 0.9 m<h<1.2 m 时，从 h_2 = 0.9 m 释放物块 b ，物块 a 不能到达 D 点，设此过程中物块 a 所受滑动摩擦力对应的位移为 S_2 ,由 mgh - \mu mgS_2 = 0$

$得 S_1 = 1.8 m$

$即物块 a 静止的位置为 x_2 = S_2 + l = 2.8 m$

$若滑块 a 由 E 点速度为零返回到水平面上，由 mgH - \mu mgS_3 = 0 可得 S_3 = 0.4 $

$即物块 a 静止的位置为 x_3 = 3l - S_3 = 2.6 m$

$综上可知当 0.9 m<h<1.65 m 时， 2.6 m<x\leq 3 m$

Final answer: $0.9 m<h<1.65 m 时， 2.6 m<x\leq 3 m$