di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在x轴上方以原点O为底边中点、底边长为2a的等腰直角三角形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度为B(边界无磁场)。在x轴下方-a\leq x\leq a的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场。y轴上A点与O点间距为d，一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子重力。$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960641849749507/img/compression/M_342148c1abfc8a59208a3b7b5bf3d606.jpg)
$若电场强度 E=\frac{qB^2a^2}{18md}，求粒子在电磁场区域的运动时间。$

Solution:
$当电场强度 E = \frac{qB^2a^2}{18md}时，粒子在电场中由动能定理可得 qEd = \frac{1}{2}mv_3^2解得 v_3 = \frac{qBa}{3m}。由洛伦兹力提供向心力可得 qv_3B = m\frac{v_3^2}{r_3}解得 r_3 = \frac{a}{3}。$

粒子在电磁场区域中的运动轨迹如图所示： 

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960643074486273/img/compression/M_cdcbd9b38035711224023ed0c2d2a36d.jpg)

$粒子在磁场中的周期为 T = \frac{2\pi m}{qB}。$

$粒子在磁场中的运动时间为 t_1 = \frac{180 ^{\circ} +45 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }T = \frac{5\pi m}{4qB}。$

$粒子在电场中从 A 点加速到 O 点的时间为 t_2 = \frac{d}{\frac{v_3}{2}}= \frac{6dm}{qBa}。$

$粒子在电磁场区域中运动的总时间为 t = t_1 +3t_2 = \frac{5\pi m}{4qB} + \frac{18dm}{qBa}.$

Final answer: $\frac{5\pi m}{4qB} + \frac{18dm}{qBa}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在x轴上方以原点O为底边中点、底边长为2a的等腰直角三角形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度为B(边界无磁场)。在x轴下方-a\leq x\leq a的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场。y轴上A点与O点间距为d，一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子重力。$

<img_692>
$若电场强度 E=\frac{qB^2a^2}{18md}，求粒子在电磁场区域的运动时间。$

Solution:
$当电场强度 E = \frac{qB^2a^2}{18md}时，粒子在电场中由动能定理可得 qEd = \frac{1}{2}mv_3^2解得 v_3 = \frac{qBa}{3m}。由洛伦兹力提供向心力可得 qv_3B = m\frac{v_3^2}{r_3}解得 r_3 = \frac{a}{3}。$

粒子在电磁场区域中的运动轨迹如图所示： 

<img_617>

$粒子在磁场中的周期为 T = \frac{2\pi m}{qB}。$

$粒子在磁场中的运动时间为 t_1 = \frac{180 ^{\circ} +45 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }T = \frac{5\pi m}{4qB}。$

$粒子在电场中从 A 点加速到 O 点的时间为 t_2 = \frac{d}{\frac{v_3}{2}}= \frac{6dm}{qBa}。$

$粒子在电磁场区域中运动的总时间为 t = t_1 +3t_2 = \frac{5\pi m}{4qB} + \frac{18dm}{qBa}.$

Final answer: $\frac{5\pi m}{4qB} + \frac{18dm}{qBa}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且$\angle B=30^\cir$c ，$\angle C=90^\circ$ ，$BC=L_0$BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为+q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：
![ABC](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960643753963523/img/compression/M_1d2b9955792e4909cbcef9b78baa303b.jpg)
离子的发射速率v；

Solution:
离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图所示

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960644139839490/img/compression/M_52293e9e52cf7337651904633b8d51be.jpg)

根据单边有界磁场的规律，可知，该离子必定垂直于BC边入射，根据几何关系有

$2R=\frac{L}{2}$

离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m

$\frac{v^2}{R}$

解得$v=\frac{qBL}{4m}$

Final answer: $\frac{qBL}{4m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且$\angle B=30^\cir$c ，$\angle C=90^\circ$ ，$BC=L_0$BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为+q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：
<img_891>
离子的发射速率v；

Solution:
离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图所示

<img_934>

根据单边有界磁场的规律，可知，该离子必定垂直于BC边入射，根据几何关系有

$2R=\frac{L}{2}$

离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m

$\frac{v^2}{R}$

解得$v=\frac{qBL}{4m}$

Final answer: $\frac{qBL}{4m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且$\angle B=30^\cir$c ，$\angle C=90^\circ$ ，$BC=L_0$BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为+q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：
<img_891>
从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间$t_{min}$。

Solution:
由分析可知，离子从 AB 边射出时，轨迹为一条劣弧，轨迹弧对应的弦长越短，离子在磁场中运动的时间越短，则当入射点与出射点连线垂直于 AB 边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图所示
<img_476>

$图中 O' 为轨迹的圆心，O'S 与 O'J 为半径，由几何关系有 x_{SJ}=\frac{L}{2}\cdot  \sin 30^\circ =\frac{L}{4}=R $

$则\triangle O'JS 为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为60^\circ ，最短时间为 t_{min}=\frac{60 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }\cdot T $

$圆周运动的周期 T=\frac{2\pi m}{qB} $

$解得 t_{min}=\frac{\pi m}{3qB}$

Final answer: $\frac{\pi m}{3qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且$\angle B=30^\cir$c ，$\angle C=90^\circ$ ，$BC=L_0$BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为+q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：
![ABC](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960643753963523/img/compression/M_1d2b9955792e4909cbcef9b78baa303b.jpg)
从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间$t_{min}$。

Solution:
由分析可知，离子从 AB 边射出时，轨迹为一条劣弧，轨迹弧对应的弦长越短，离子在磁场中运动的时间越短，则当入射点与出射点连线垂直于 AB 边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图所示
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960645012254722/img/compression/M_502133848291afceae3d9ee2184c8d1e.jpg)

$图中 O' 为轨迹的圆心，O'S 与 O'J 为半径，由几何关系有 x_{SJ}=\frac{L}{2}\cdot  \sin 30^\circ =\frac{L}{4}=R $

$则\triangle O'JS 为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为60^\circ ，最短时间为 t_{min}=\frac{60 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }\cdot T $

$圆周运动的周期 T=\frac{2\pi m}{qB} $

$解得 t_{min}=\frac{\pi m}{3qB}$

Final answer: $\frac{\pi m}{3qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

![24AGD5WL428.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960667913154562/img/compression/M_eafd4b6b12dd8f0626a22ec37571d5da.jpg)
如果已知粒子到达A点的速度为v，求P、A之间的距离；

Solution:
$粒子到达A点速度为v，设P、A之间的距离为x_1，根据动能定理有Eqx_1=\frac{1}{2}mv^2$

$得x_1=\frac{mv^2}{2Eq}$

Final answer: $\frac{mv^2}{2Eq}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

<img_1177>
如果已知粒子到达A点的速度为v，求P、A之间的距离；

Solution:
$粒子到达A点速度为v，设P、A之间的距离为x_1，根据动能定理有Eqx_1=\frac{1}{2}mv^2$

$得x_1=\frac{mv^2}{2Eq}$

Final answer: $\frac{mv^2}{2Eq}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

<img_1177>
要使粒子经过C点，求P、A之间的距离；

Solution:
$粒子经过C点，运动半径为L，设P、A之间的距离为x_2，根据动能定理Eqx_2= \frac{1}{2} mv^2_2  $
$又根据洛伦兹力提供向心力Bqv_2= mv^2_2/L  $
$联立得x_2= \frac{B^2L^2q}{2mE}$

Final answer: $\frac{B^2L^2q}{2mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

![24AGD5WL428.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960667913154562/img/compression/M_eafd4b6b12dd8f0626a22ec37571d5da.jpg)
要使粒子经过C点，求P、A之间的距离；

Solution:
$粒子经过C点，运动半径为L，设P、A之间的距离为x_2，根据动能定理Eqx_2= \frac{1}{2} mv^2_2  $
$又根据洛伦兹力提供向心力Bqv_2= mv^2_2/L  $
$联立得x_2= \frac{B^2L^2q}{2mE}$

Final answer: $\frac{B^2L^2q}{2mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

![24AGD5WL428.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960667913154562/img/compression/M_eafd4b6b12dd8f0626a22ec37571d5da.jpg)
若M到D点的距离为L的三分之一，要使粒子经过M点，求P、A之间的距离的可能值。

Solution:
粒子经过M点，运动半径为r，设P、A之间的距离为x_3

第一种可能情况如图所示

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960668525522945/img/compression/M_33983aeb3cd409dfe44ff853ba7ac858.jpg)

$有Eqx_3= \frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，\left(L-r\right)^2+\left(\frac{L}{3}\right)^{2} =r^2$

$联立可得x_3= \frac{25B^2L^2q}{162mE}$

第二种可能情况如图所示

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960668525522945/img/compression/M_f4ef3128572b666f363d0cec423d5f98.jpg)

$有Eqx_3= \frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，\left(3r-L\right)^2+\left(\frac{L}{3}\right)^{2} =r^2$

$联立可得x_3= \frac{25B^2L^2q}{288mE}$

第三种可能情况如图所示

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960668525522945/img/compression/M_1107dda94809bcbf5c40dea6e5229c47.jpg)

$有Eqx_3=\frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，r=\frac{L}{3}$

$联立可得x_3= \frac{B^2L^2q}{18mE}$

Final answer: $\frac{25B^2L^2q}{162mE}　\frac{25B^2L^2q}{288mE}　\frac{B^2L^2q}{18mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，已知边长为L的正方形区域ABCD内部存在磁感应强度为B的匀强磁场，其上方存在电场强度为E的匀强电场，电场宽度也为L。从电场的P点静止释放质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计，P、A、B在同一直线上)。粒子经电场加速后从AB边进入磁场，试计算：

<img_1177>
若M到D点的距离为L的三分之一，要使粒子经过M点，求P、A之间的距离的可能值。

Solution:
粒子经过M点，运动半径为r，设P、A之间的距离为x_3

第一种可能情况如图所示

<img_450>

$有Eqx_3= \frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，\left(L-r\right)^2+\left(\frac{L}{3}\right)^{2} =r^2$

$联立可得x_3= \frac{25B^2L^2q}{162mE}$

第二种可能情况如图所示

<img_781>

$有Eqx_3= \frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，\left(3r-L\right)^2+\left(\frac{L}{3}\right)^{2} =r^2$

$联立可得x_3= \frac{25B^2L^2q}{288mE}$

第三种可能情况如图所示

<img_572>

$有Eqx_3=\frac{1}{2} mv^2_3，Bqv_3=m\frac{v^2_3}{r}，r=\frac{L}{3}$

$联立可得x_3= \frac{B^2L^2q}{18mE}$

Final answer: $\frac{25B^2L^2q}{162mE}　\frac{25B^2L^2q}{288mE}　\frac{B^2L^2q}{18mE}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点(0,-\frac{L}{2})处有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度\sqrt{\frac{3qEL}{m}}沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：$

<img_613>
磁感应强度B的大小；

Solution:
带电粒子在运动过程中恰好不再返回电场，说明粒子进入第四象限轨迹恰好与y轴相切，如图。
<img_1056>

带电粒子在电场中运动的水平方向位移x=v<sub>0</sub>t

由几何关系，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=2x

$洛伦兹力充当向心力 qvB=m\frac{v^2}{R}$

$联立解得B=\sqrt{\frac{mE}{3qL}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{mE}{3qL}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面上，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点(0,-\frac{L}{2})处有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度\sqrt{\frac{3qEL}{m}}沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960670169690115/img/compression/M_360d51ef8e7be92e9e9b3688b2670771.jpg)
磁感应强度B的大小；

Solution:
带电粒子在运动过程中恰好不再返回电场，说明粒子进入第四象限轨迹恰好与y轴相切，如图。
![24AGD5WL314.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960670706561026/img/compression/M_be2e859bcb234f296c219c67c92b5fa4.jpg)

带电粒子在电场中运动的水平方向位移x=v<sub>0</sub>t

由几何关系，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=2x

$洛伦兹力充当向心力 qvB=m\frac{v^2}{R}$

$联立解得B=\sqrt{\frac{mE}{3qL}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{mE}{3qL}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda'b'c'd'内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v_0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：$
<img_769>
粒子进入磁场区域时的速率；

Solution:
$粒子在电场中加速，电场力做正功，由动能定理可知：qU=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2$

$解得：v=\sqrt{\frac{2qU}{m}+v_0^2}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2qU}{m}+v^2_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda'b'c'd'内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v_0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960699873751043/img/compression/M_a58258b2f5910914bc17813d88853cb4.jpg)
粒子进入磁场区域时的速率；

Solution:
$粒子在电场中加速，电场力做正功，由动能定理可知：qU=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2$

$解得：v=\sqrt{\frac{2qU}{m}+v_0^2}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2qU}{m}+v^2_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda'b'c'd'内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v_0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960699873751043/img/compression/M_a58258b2f5910914bc17813d88853cb4.jpg)
磁感应强度的大小。

Solution:
$根据题意，粒子从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域，分析可得粒子在磁场中运动的轨道半径R=L，在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，可得qBv=m\frac{v^2}{R}，即B=\frac{mv}{qR}，代入v=\sqrt{\frac{2qU}{m}+v^2_0}，解得：B=\frac{\sqrt{m(mv^2_0+2qU)}}{qL}$

Final answer: $\frac{\sqrt{m(mv^2_0+2qU)}}{qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda'b'c'd'内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v_0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：$
<img_769>
磁感应强度的大小。

Solution:
$根据题意，粒子从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域，分析可得粒子在磁场中运动的轨道半径R=L，在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，可得qBv=m\frac{v^2}{R}，即B=\frac{mv}{qR}，代入v=\sqrt{\frac{2qU}{m}+v^2_0}，解得：B=\frac{\sqrt{m(mv^2_0+2qU)}}{qL}$

Final answer: $\frac{\sqrt{m(mv^2_0+2qU)}}{qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，不计电阻的金属导轨AOCD和A'O'C'D'放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。竖直平面AOC与A'O'C'的距离为L，\theta =45^\circ ，DCOO'C'D'在绝缘的水平地面上，D与D'靠近但不接触，OO'C'C为矩形，\overline{OC}=5L、\overline{OD}=6L，\angle D'C'C=45^\circ 。金属棒a和b完全相同，长度为L、质量为m、单位长度的电阻为r，a放在水平导轨上，b放在倾斜导轨上，b与导轨之间的动摩擦因数\mu =0.5，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623960875012128771/img/compression/M_21d80701147fd0d160e4c3aed79f70a6.jpg)
若固定b，$t=0$时a从$OO'$以速度$v_0$沿导轨向左匀速运动，求通过b的电流I与时间t的关系式；

Solution:
$设a切割磁感线的有效长度为l，产生的电动势为E，则有E=Blv_0，电路中的电流为I=\frac{E}{R}，a在OC段运动，运动时间t\leq \frac{5L}{v_0}，有l=L，R=2Lr$

$解得I=\frac{Bv_0}{2r}$

$a在CD段运动，运动时间\frac{5L}{v_0}<t\leq \frac{6L}{v_0}，有l=6L-v_0t，R=(7L-v_0t)r$

$解得I=\frac{B(6L-v_0t)v_0}{(7L-v_0t)r}$

Final answer: $I=\frac{B(6L-v_0t)v_0}{(7L-v_0t)r}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，不计电阻的金属导轨AOCD和A'O'C'D'放置在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。竖直平面AOC与A'O'C'的距离为L，\theta =45^\circ ，DCOO'C'D'在绝缘的水平地面上，D与D'靠近但不接触，OO'C'C为矩形，\overline{OC}=5L、\overline{OD}=6L，\angle D'C'C=45^\circ 。金属棒a和b完全相同，长度为L、质量为m、单位长度的电阻为r，a放在水平导轨上，b放在倾斜导轨上，b与导轨之间的动摩擦因数\mu =0.5，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度为g。$

<img_778>
若固定b，$t=0$时a从$OO'$以速度$v_0$沿导轨向左匀速运动，求通过b的电流I与时间t的关系式；

Solution:
$设a切割磁感线的有效长度为l，产生的电动势为E，则有E=Blv_0，电路中的电流为I=\frac{E}{R}，a在OC段运动，运动时间t\leq \frac{5L}{v_0}，有l=L，R=2Lr$

$解得I=\frac{Bv_0}{2r}$

$a在CD段运动，运动时间\frac{5L}{v_0}<t\leq \frac{6L}{v_0}，有l=6L-v_0t，R=(7L-v_0t)r$

$解得I=\frac{B(6L-v_0t)v_0}{(7L-v_0t)r}$

Final answer: $I=\frac{B(6L-v_0t)v_0}{(7L-v_0t)r}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $肺活量是在标准大气压p_{0}=1 atm下人一次尽力呼出空气的体积。$<img_603>
$某实验小组在学习气体实验定律后，设计了“吹气球法”的小实验来粗测肺活量，如图。甲同学通过气球口用力一口气向气球内吹气(吹气前气球内部的空气可忽略不计)。气球没有被吹爆，此时气球可近似看成球体，半径为r，球内空气的压强为p=1.5 atm，空气可看作理想气体，设整个过程温度保持不变，球体体积计算公式为V=\frac{4}{3}\pi r^3。求甲同学的肺活量是多少。$

Solution:
$以甲同学呼出气体作为研究对象，气体等温变化，设肺活量为V_0，有p_0V_0=pV，将p=1.5p_0代入可得V_0=2\pi r^3。$

Final answer: $2\pi r^{3}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $肺活量是在标准大气压p_{0}=1 atm下人一次尽力呼出空气的体积。$![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961274070794241/img/compression/M_508695d6092e520ab1484a5f836aa0ff.jpg)
$某实验小组在学习气体实验定律后，设计了“吹气球法”的小实验来粗测肺活量，如图。甲同学通过气球口用力一口气向气球内吹气(吹气前气球内部的空气可忽略不计)。气球没有被吹爆，此时气球可近似看成球体，半径为r，球内空气的压强为p=1.5 atm，空气可看作理想气体，设整个过程温度保持不变，球体体积计算公式为V=\frac{4}{3}\pi r^3。求甲同学的肺活量是多少。$

Solution:
$以甲同学呼出气体作为研究对象，气体等温变化，设肺活量为V_0，有p_0V_0=pV，将p=1.5p_0代入可得V_0=2\pi r^3。$

Final answer: $2\pi r^{3}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。$
![20GZTWL81.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255401408466947/img/compression/M_03bbd92b23e827470896c0d28bb9b8df.jpg)
$若引擎获得的推力为F_1，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；$

Solution:
$设正离子经过电极B时的速度为v,根据动能定理，有ZeU=\frac{1}{2} mv^2 - 0$

①

$设正离子束所受的电场力为F_1',根据牛顿第三定律，有$
$F_1'=F_1$

②

$设引擎在\Delta t时间内飘入电极间的正离子个数为\Delta N，由牛顿第二定律，有$
$F_1'=\Delta Nm \frac{v-0}{\Delta t}$

③

$联立①②③式，且N=\frac{\Delta N}{\Delta t}得$
$N=\frac{F_1}{\sqrt{2ZemU}}$

④

Final answer: $\frac{F_1}{\sqrt{2ZemU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。$
<img_1280>
$若引擎获得的推力为F_1，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；$

Solution:
$设正离子经过电极B时的速度为v,根据动能定理，有ZeU=\frac{1}{2} mv^2 - 0$

①

$设正离子束所受的电场力为F_1',根据牛顿第三定律，有$
$F_1'=F_1$

②

$设引擎在\Delta t时间内飘入电极间的正离子个数为\Delta N，由牛顿第二定律，有$
$F_1'=\Delta Nm \frac{v-0}{\Delta t}$

③

$联立①②③式，且N=\frac{\Delta N}{\Delta t}得$
$N=\frac{F_1}{\sqrt{2ZemU}}$

④

Final answer: $\frac{F_1}{\sqrt{2ZemU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。$
![20GZTWL81.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255401408466947/img/compression/M_03bbd92b23e827470896c0d28bb9b8df.jpg)
$加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导表达式 \frac{F}{P} 。$

Solution:
$设正离子束所受的电场力为F',由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有$
$P=\frac{1}{2}F'v   (⑤)$

$考虑到牛顿第三定律得到F'=F，联立①⑤式得$
$\frac{F}{P}=\sqrt{\frac{2m}{ZeU}}  (⑥)$

Final answer: $\frac{F}{P} = \sqrt{\frac{2m}{ZeU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场(初速度忽略不计)，A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。$
<img_1280>
$加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导表达式 \frac{F}{P} 。$

Solution:
$设正离子束所受的电场力为F',由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有$
$P=\frac{1}{2}F'v   (⑤)$

$考虑到牛顿第三定律得到F'=F，联立①⑤式得$
$\frac{F}{P}=\sqrt{\frac{2m}{ZeU}}  (⑥)$

Final answer: $\frac{F}{P} = \sqrt{\frac{2m}{ZeU}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示。矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d。质量为m、电荷量为+q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为E_k，入射角为\theta，在纸面内运动。不计重力及粒子间的相互作用力。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255425496608772/img/compression/M_956ac4365102f400cdb01162f99caa88.jpg)
$当\theta =\theta _{0}时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；$

Solution:
$粒子垂直于场强方向的分运动为匀速直线运动，故通过电场的时间t=\frac{8d}{v_{0x}}，如图所示，v_{0x}=v_0 \cos \theta _0。$

![23GZT5WL248A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255425920233475/img/compression/M_f16c180df9bc7e9021a3d90f74e4383f.jpg)

$由E_k=\frac{1}{2}mv^2_0得v_{0x}=\sqrt{\frac{2E_\mathrm{k}}{m}}\cdot \cos \theta _0，则t=\frac{8d}{\cos  \theta _0}\sqrt{\frac{m}{2E_\mathrm{k}}}。$

Final answer: $\frac{8d}{\cos  \theta _0} \sqrt{\frac{m}{2E_\mathrm{k}}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示。矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d。质量为m、电荷量为+q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为E_k，入射角为\theta，在纸面内运动。不计重力及粒子间的相互作用力。$

<img_1015>
$当\theta =\theta _{0}时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；$

Solution:
$粒子垂直于场强方向的分运动为匀速直线运动，故通过电场的时间t=\frac{8d}{v_{0x}}，如图所示，v_{0x}=v_0 \cos \theta _0。$

<img_935>

$由E_k=\frac{1}{2}mv^2_0得v_{0x}=\sqrt{\frac{2E_\mathrm{k}}{m}}\cdot \cos \theta _0，则t=\frac{8d}{\cos  \theta _0}\sqrt{\frac{m}{2E_\mathrm{k}}}。$

Final answer: $\frac{8d}{\cos  \theta _0} \sqrt{\frac{m}{2E_\mathrm{k}}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，粗细均匀的导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的水平匀强磁场上方h处。线框由静止开始自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零。已知重力加速度为g。在线框进入磁场过程中，求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385821151129602/img/compression/M_90cda9de018a3fc02ca90f1f5f0088a0.jpg)
$线框中产生的感应电动势大小E，及c、d两点间的电势差U；$

Solution:
线框自由下落过程中，由动能定理得
$mgh=\frac{1}{2}mv^2$
$解得 v=\sqrt{2gh}$
由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势
$E=BLv=BL\sqrt{2gh}$
$c、d两点间的电势差$
$U=\frac{3}{4}E=\frac{3BL\sqrt{2gh}}{4}$

Final answer: $BL \sqrt{2gh}  \frac{3BL\sqrt{2gh}}{4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，粗细均匀的导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的水平匀强磁场上方h处。线框由静止开始自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零。已知重力加速度为g。在线框进入磁场过程中，求：

<img_1179>
$线框中产生的感应电动势大小E，及c、d两点间的电势差U；$

Solution:
线框自由下落过程中，由动能定理得
$mgh=\frac{1}{2}mv^2$
$解得 v=\sqrt{2gh}$
由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势
$E=BLv=BL\sqrt{2gh}$
$c、d两点间的电势差$
$U=\frac{3}{4}E=\frac{3BL\sqrt{2gh}}{4}$

Final answer: $BL \sqrt{2gh}  \frac{3BL\sqrt{2gh}}{4}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，粗细均匀的导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的水平匀强磁场上方h处。线框由静止开始自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零。已知重力加速度为g。在线框进入磁场过程中，求：

<img_1179>
通过线框的电荷量q。

Solution:
$在线框进入磁场过程中，通过线框的电荷量q = \overline{I}\Delta t$

$又\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R}，\overline{E} = \frac{\Delta \Phi }{\Delta t}， \Delta \Phi = B\Delta S = BL^2 $

$解得q = \frac{\Delta \Phi} {R} = \frac{BL^2}{R}$

Final answer: $\frac{BL^2}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，粗细均匀的导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，边长为L，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的水平匀强磁场上方h处。线框由静止开始自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，线框加速度恰好为零。已知重力加速度为g。在线框进入磁场过程中，求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385821151129602/img/compression/M_90cda9de018a3fc02ca90f1f5f0088a0.jpg)
通过线框的电荷量q。

Solution:
$在线框进入磁场过程中，通过线框的电荷量q = \overline{I}\Delta t$

$又\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R}，\overline{E} = \frac{\Delta \Phi }{\Delta t}， \Delta \Phi = B\Delta S = BL^2 $

$解得q = \frac{\Delta \Phi} {R} = \frac{BL^2}{R}$

Final answer: $\frac{BL^2}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度大小为 B ，电源电动势为 E 、内阻为 r 。导体棒的质量为 m 、电阻为 r ，长度恰好等于导轨间的宽度 L ，不计金属轨道的电阻。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385821650251778/img/compression/M_4012fa36693be1f1a6ad7277017a5704.jpg)
求导体棒的最终速度大小v；

Solution:
$当导体棒切割磁感线产生的电动势E'与电源电动势E相等时，回路电流为零，导体棒做匀速直线运动$

$E=E'=BLv$

$v=\frac{E}{BL}$

Final answer: $v=\frac{E}{BL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度大小为 B ，电源电动势为 E 、内阻为 r 。导体棒的质量为 m 、电阻为 r ，长度恰好等于导轨间的宽度 L ，不计金属轨道的电阻。$

<img_1388>
求导体棒的最终速度大小v；

Solution:
$当导体棒切割磁感线产生的电动势E'与电源电动势E相等时，回路电流为零，导体棒做匀速直线运动$

$E=E'=BLv$

$v=\frac{E}{BL}$

Final answer: $v=\frac{E}{BL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度大小为 B ，电源电动势为 E 、内阻为 r 。导体棒的质量为 m 、电阻为 r ，长度恰好等于导轨间的宽度 L ，不计金属轨道的电阻。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385821650251778/img/compression/M_4012fa36693be1f1a6ad7277017a5704.jpg)
$当导体棒的速度从0增加到v_{1}的过程中，通过导体棒的电荷量为q，求此过程中导体棒产生的焦耳热Q。$

Solution:
$根据能量守恒定律可知，整个过程中消耗的电源电能转化为导体棒的动能和运动过程中产生的焦耳热，消耗的电能等于非静电力做功W$

$W=Eq$

$W=2Q+\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得：Q=\frac{1}{2}Eq-\frac{1}{4}mv_1^2$

Final answer: $Q=\frac{1}{2}Eq-\frac{1}{4}mv_1^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度大小为 B ，电源电动势为 E 、内阻为 r 。导体棒的质量为 m 、电阻为 r ，长度恰好等于导轨间的宽度 L ，不计金属轨道的电阻。$

<img_1388>
$当导体棒的速度从0增加到v_{1}的过程中，通过导体棒的电荷量为q，求此过程中导体棒产生的焦耳热Q。$

Solution:
$根据能量守恒定律可知，整个过程中消耗的电源电能转化为导体棒的动能和运动过程中产生的焦耳热，消耗的电能等于非静电力做功W$

$W=Eq$

$W=2Q+\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得：Q=\frac{1}{2}Eq-\frac{1}{4}mv_1^2$

Final answer: $Q=\frac{1}{2}Eq-\frac{1}{4}mv_1^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。<img_1306>
$原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原子核外的电子以角速度\omega绕核做匀速圆周运动，电子的电荷量为e，求等效电流I的大小。$

Solution:
$等效电流的大小为I=\frac{e}{T}=\frac{e}{\frac{2\pi }{\omega }}=\frac{e\omega }{2\pi }$

Final answer: $\frac{e\omega }{2\pi }$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822195511297/img/compression/M_2f15bb99dd27c61ed944900b3f0dc560.jpg)
$原子中的电子绕原子核的运动可以等效为环形电流。设氢原子核外的电子以角速度\omega绕核做匀速圆周运动，电子的电荷量为e，求等效电流I的大小。$

Solution:
$等效电流的大小为I=\frac{e}{T}=\frac{e}{\frac{2\pi }{\omega }}=\frac{e\omega }{2\pi }$

Final answer: $\frac{e\omega }{2\pi }$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。<img_1306>
$如图所示，由绝缘材料制成的质量为m、半径为R的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为Q的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度\omega 随时间t均匀增加，即\omega =\lambda t(\lambda 为已知量)。不计圆环上的电荷做加速运动时所产生的电磁辐射。$

$求角速度为\omega 1时圆环上各点的线速度大小v$

Solution:
$角速度为\omega_1时圆环上各点的线速度大小为v=R\omega_1$

Final answer: $R\omega _1$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822195511297/img/compression/M_2f15bb99dd27c61ed944900b3f0dc560.jpg)
$如图所示，由绝缘材料制成的质量为m、半径为R的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为Q的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度\omega 随时间t均匀增加，即\omega =\lambda t(\lambda 为已知量)。不计圆环上的电荷做加速运动时所产生的电磁辐射。$

$求角速度为\omega 1时圆环上各点的线速度大小v$

Solution:
$角速度为\omega_1时圆环上各点的线速度大小为v=R\omega_1$

Final answer: $R\omega _1$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。<img_1306>
$如图所示，由绝缘材料制成的质量为m、半径为R的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为Q的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度\omega 随时间t均匀增加，即\omega =\lambda t(\lambda 为已知量)。不计圆环上的电荷做加速运动时所产生的电磁辐射。$

$求角速度为\omega 1时整个圆环的总动能Ek；$

Solution:
$整个圆环的总动能为E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mR^2\omega_1^2$

Final answer: $\frac{1}{2}mR^2\omega^2_1$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385822195511297/img/compression/M_2f15bb99dd27c61ed944900b3f0dc560.jpg)
$如图所示，由绝缘材料制成的质量为m、半径为R的均匀细圆环，均匀分布总电荷量为Q的正电荷。施加外力使圆环从静止开始绕通过环心且垂直于环面的轴线加速转动，角速度\omega 随时间t均匀增加，即\omega =\lambda t(\lambda 为已知量)。不计圆环上的电荷做加速运动时所产生的电磁辐射。$

$求角速度为\omega 1时整个圆环的总动能Ek；$

Solution:
$整个圆环的总动能为E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mR^2\omega_1^2$

Final answer: $\frac{1}{2}mR^2\omega^2_1$
Subfield: Electromagnetism


Question: 电磁场，是一种特殊的物质。

<img_767>

| <img_990> |
|:---:|
| 图3 |
$电场具有能量。如图1所示，原子核始终静止不动，\alpha 粒子先、后通过A、B两点，设\alpha 粒子的质量为m、带电荷量为q，其通过A、B两点的速度大小分别为v_A和v_B，求\alpha 粒子从A点运动到B点的过程中电势能的变化量\Delta E_p。$

Solution:
$由能量守恒可得\Delta E_p=-\Delta E_k=\frac{1}{2}mv^2_A-\frac{1}{2}mv^2_B$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_A - \frac{1}{2}mv^2_B$