di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知向量a=(1,-\sqrt{3})，b=(\sin  x,\cos  x)，f(x)=a\cdot b.$
$当x\in [0,\pi ]时，求函数f(x)的值域.$

Solution:
$$
f(x) = sin x - \sqrt{3} cos x = 2sin(x-\frac{\pi}{3})
$$

$因为 x \in  [0,\pi] ，所以$

$$
x-\frac{\pi}{3} \in  \left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right].
$$

$当 x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3} ，即 x=0 时，f(x) 取最小值 -\sqrt{3} ；$

$当 x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2} ，即 x=\frac{5\pi}{6} 时，f(x) 取最大值 2 ，所以当 x \in  [0,\pi] 时，函数 f(x) 的值域为 [-\sqrt{3},2] .$

Final answer: $[-\sqrt{3},2]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = sin^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}sin(\pi - x)cosx - cos2x.$
$求函数f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$f(x)=\frac{1+\cos  2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=\sin\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}，$
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi<2x-\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}+2k\pi，k\in Z，$
$解得-\frac{\pi }{6}+k\pi<x<\frac{\pi }{3}+k\pi，k\in Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi)(k\in Z)．$

Final answer: $(-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi)(k\in Z)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = sin^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}sin(\pi - x)cosx - cos2x.$
$求函数f(x)的单调递增区间；可用k表示任意整数$

Solution:
$f(x)=\frac{1+\cos  2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=\sin\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}，$
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi<2x-\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}+2k\pi，k\in Z，$
$解得-\frac{\pi }{6}+k\pi<x<\frac{\pi }{3}+k\pi，k\in Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi)(k\in Z)．$



Final answer: $(-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{3}+k\pi)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = sin^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}sin(\pi - x)cosx - cos2x.$
$先将f(x)的图象向左平移\frac{\pi }{6}个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移\frac{1}{2}个单位，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[0,\frac{\pi }{4}]上的值域．$

Solution:
$将f(x)的图象向左平移\frac{\pi }{6}个单位，再保持纵坐标不变，得y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]+\frac{1}{2}=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得y=\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}的图象，再将函数图象向上平移\frac{1}{2}个单位，得到函数g(x)=\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)+1的图象，由x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]得\left(4x+\frac{\pi }{6}\right)\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]，则\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)\in \left[-\frac{1}{2},1\right]，所以g(x)的值域是\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]．$



Final answer: $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=\cos^2{x}+\sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} (x \in \mathbb{R}).$
$讨论f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]上的单调递增区间.$

Solution:
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{6}\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，$
$解得-\frac{\pi }{3}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{6}+k\pi ，k\in Z,$
$所以f(x)的单调递增区间为\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right]，k\in Z.$
$设A=\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，B=\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right]，易知A\cap B=\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]，所以当x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]时，f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]上单调递增；在区间\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]上单调递减.$



Final answer: \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=\cos^2{x}+\sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} (x \in \mathbb{R}).$
$讨论f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]上的单调性.$

Solution:
$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{6}\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，$
$解得-\frac{\pi }{3}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{6}+k\pi ，k\in Z,$
$所以f(x)的单调递增区间为\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right]，k\in Z.$
$设A=\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]，B=\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right]，易知A\cap B=\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]，所以当x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]时，f(x)在区间\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]上单调递增；在区间\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]上单调递减.$

Final answer: ${f(x)}在区间\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right]上单调递增；在区间\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]上单调递减.$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知\triangle ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=c(\cos B -\cos A)。$
$若a\neq b，求\sin  A+\sin  B+\sin  C的取值范围．$

Solution:
$由(1)及a\neq b知\triangle ABC为直角三角形且不是等腰三角形，A+B=\frac{\pi }{2}，C=\frac{\pi }{2},故B=\frac{\pi }{2}-A，且A\neq \frac{\pi }{4}，  $
$所以\sin  A+\sin  B+\sin  C=\sin  A+\sin  B+1=\sin  A+\cos  A+1=\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)+1，  $
$因为A\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)，所以A+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)，得\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)，所以\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)+1\in (2,\sqrt{2}+1)，  $
$因此\sin  A+\sin  B+\sin  C的取值范围为(2,\sqrt{2}+1)．$

Final answer: $(2,\sqrt{2}+1)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x) = sin 2x - \sqrt{3} cos 2x.$
$将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.当x \in [\frac{\pi }{2},\pi]时，求g(x)的值域.$

Solution:
$由条件可知 g(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right).$

$当 x \in \left[\frac{\pi}{2},\pi \right] 时，有 x-\frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right]，$

$从而 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \in \left[\frac{1}{2},1\right]，$

$故 g(x) 在区间 \left[\frac{\pi}{2},\pi \right] 上的值域是[1,2].$

Final answer: $[1,2]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sqrt{3}sin xcos x+2\cos ^2x+m，其中m为实常数.$
$求f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$f(x)=2\sqrt{3}\\sin  x\\cos  x+2\\cos ^2x+m=\sqrt{3}\\sin  2x+\\cos  2x+1+m=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   2x+\frac{1}{2}\\cos   2x\right)+1+m=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1+m$

$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{6} \leq \frac{\pi }{2}+2k\pi, k \in  Z$

$解得 -\frac{\pi }{3}+k\pi \leq x \leq \frac{\pi }{6}+k\pi, k \in  Z$

$所以 f(x) 的单调递增区间为 \left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right], k \in  Z.$

Final answer: $\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right], k \in  Z$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sqrt{3}sin xcos x+2\cos ^2x+m，其中m为实常数.$
$求f(x)的单调递增区间；可用k表示任意整数$

Solution:
$f(x)=2\sqrt{3}\\sin  x\\cos  x+2\\cos ^2x+m=\sqrt{3}\\sin  2x+\\cos  2x+1+m=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   2x+\frac{1}{2}\\cos   2x\right)+1+m=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1+m$

$令-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 2x+\frac{\pi }{6} \leq \frac{\pi }{2}+2k\pi, k \in  Z$

$解得 -\frac{\pi }{3}+k\pi \leq x \leq \frac{\pi }{6}+k\pi, k \in  Z$

$所以 f(x) 的单调递增区间为 \left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right], k \in  Z.$



Final answer: $\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right]$
Subfield: Sequence


Question: $已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a_{n+1}=a_n+d(n\in N^，d为常数)，若S_3=12，a_3a_5+2a_3-5a_5-10=0.求：$
$S_n的最值.$

Solution:
$当a_n=n+2时，S_n=\frac{n^2+5n}{2}，因为S_n=\frac{n^2+5n}{2}是关于正整数n的增函数，所以S_1=3为S_n的最小值，S_n无最大值；$

$当a_n=-2n+8时，S_n=-n^2+7n=-\left(n-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4}，因为n为正整数，所以当n=3或n=4时，S_n取最大值S_3=S_4=12，S_n无最小值.$

Final answer: $S_1=3为S_n的最小值，S_n无最大值；S_3=S_4=12，S_n无最小值.$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sin x \cdot \left(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}\right) - \sqrt{3}\cos 2x．$
$若x\in (0,\pi )，且f(x)>－1，求x的取值范围．$

Solution:
$因为0<x<\pi ，所以-\frac{\pi }{3}<2x-\frac{\pi }{3}<\frac{5\pi }{3}.因为f(x)>-1，所以\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)>-\frac{1}{2}．所以-\frac{\pi }{6}<2x-\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{6}．$

$解得\frac{\pi }{12}<x<\frac{3\pi }{4}，所以x的取值范围是\left(\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{4}\right).$



Final answer: $\left(\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{4}\right)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $设函数 f(x) = \sin(\omega x+\frac{\pi }{3}) (\omega > 0)$
$若f(x)在区间(0,\pi )上有且仅有两个零点，则\omega的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_.$

Solution:
$由0<x<\pi，得\frac{\pi}{3}<\omega x + \frac{\pi}{3}<\omega\pi + \frac{\pi}{3} ，若f(x)在(0，\pi)上有且仅有两个零点，则2\pi<\omega\pi + \frac{\pi }{3}\leq3\pi，解得\frac{5}{3}<\omega\leq\frac{8}{3}，故\omega的取值范围是(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]。$

Final answer: $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=Asinxcosx-\sqrt{3}cos2x的一个零点为\frac{\pi}{6}.$
$当x\in [0,\frac{\pi}{2}]时，若f(x) \leq  m恒成立，求实数m的取值范围。$

Solution:
$\because x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]，\therefore 2x-\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]，$

$当2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}时, f(x)有最大值，且 f(x)_{max}=2sin \frac{\pi }{2}=2.$

$若f(x)\leq m恒成立，则f(x)_{max}\leq m，$

$\therefore m\geq 2，故m的取值范围为[2,+\infty ).$

Final answer: [2,+\infty)
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=asin xcos x+cos\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)，且f \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$
$求f(x)在[0,\pi ]上的单调递增区间.$

Solution:
$令2k\pi -\frac{\pi }{2}\leq 2x+\frac{\pi }{3}\leq 2k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z),  $
$得k\pi -\frac{5\pi }{12}\leq x\leq k\pi +\frac{\pi }{12}(k\in Z),  $
$所以f(x)=sin\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)的单调递增区间为\left[k\pi -\frac{5\pi }{12},k\pi +\frac{\pi }{12}\right](k\in Z).  $
$当k=0时, f(x)的单调递增区间为\left[-\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{12}\right],  $
$当k=1时, f(x)的单调递增区间为\left[\frac{7\pi }{12},\frac{13\pi }{12}\right],  $
$所以f(x)在[0,\pi ]上的单调递增区间为\left[0,\frac{\pi }{12}\right], \left[\frac{7\pi }{12},\pi \right].$



Final answer: \left[0,\frac{\pi }{12}\right], \left[\frac{7\pi }{12},\pi \right]
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，a=4\sqrt 2，b=m，sin A-cos A=0$.
$当m=\_\_\_\_(写出一个可能的值)时，满足条件的\triangle ABC有两个.$

Solution:
$\because A=\frac{\pi }{4}, a=4\sqrt{2},\therefore 当 bsin \frac{\pi }{4}<a<b时，\triangle ABC有两个，即 4\sqrt{2}<m<8，$

$取m=6即可满足条件(答案不唯一).$

Final answer: ${m=6}$
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为等差数列{a_n}的前n项和.已知S_9=-a_5.$
$若a_{1}>0，求使得S_{n} \geq a_{n}的n的取值范围.默认(n\in N)$

Solution:
$由(1)得a_1=-4d,故a_n=(n-5)d, S_n= \frac{n(n-9)d}{2}. $

$由a_1＞0知d＜0，故S_n\geq a_n等价于n^2-11n+10\leq 0，$

$解得1\leq n\leq 10.$

$所以n的取值范围是\{n|1\leq n\leq 10,\}.$



Final answer: [1,10]
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为等差数列{a_n}的前n项和.已知S_9=-a_5.$
$若a_{1}>0，求使得S_{n} \geq a_{n}的n的取值范围.$

Solution:
$由(1)得a_1=-4d,故a_n=(n-5)d, S_n= \frac{n(n-9)d}{2}. $

$由a_1＞0知d＜0，故S_n\geq a_n等价于n^2-11n+10\leq 0，$

$解得1\leq n\leq 10.$

$所以n的取值范围是\{n|1\leq n\leq 10,n\in N\}.$

Final answer: \{n|1\leq n\leq 10,n\in N\}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)cos\left(x+\frac{\pi }{4}\right).$
$设函数 g(x)=f(x)-\cos x，求 g(x) 的值域.$

Solution:
$g(x)=f(x)-cos x=cos 2x-cos x$
$=2cos^2x - cosx - 1 = 2\left(cosx -\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}，$
$因为 cosx \in [-1,1]，$
$所以 g(x) 的值域为 [-\frac{9}{8},2]。$

Final answer: $[-\frac{9}{8},2]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c=4，A=\frac{\pi }{3}.$
$求\sin  B - \sqrt{3} \cos  C的取值范围.$

Solution:
$由A = \frac{\pi }{3} 可知B + C = \frac{2\pi }{3}，即B = \frac{2\pi }{3} - C.$

$所以 sinB - \sqrt{3} cosC = sin\left(\frac{2\pi }{3}-C\right) - \sqrt{3} cosC$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} cosC + \frac{1}{2} sinC - \sqrt{3} cosC$

$= \frac{1}{2} sinC - \frac{\sqrt{3}}{2} cosC = sin\left(C-\frac{\pi }{3}\right).$

$因为A = \frac{\pi }{3}，所以C \in \left(0,\frac{2\pi }{3}\right)，所以C - \frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right).$

$所以 sin\left(C-\frac{\pi }{3}\right) \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

$即 sinB - \sqrt{3} cosC \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$



Final answer: \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知向量 m=(2\cos  x + 2\sqrt{3} \sin  x,1), n=(\cos  x,-y),且满足 m\cdot n=0.$
$已知a,b,c分别为\triangle ABC的三个内角A，B，C所对的边，f(x)(x\in R)的最大值是f\left(\frac{A}{2}\right),且a=2, 求b+c的取值范围.$

Solution:
$由题意得A+\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{2} (k\in Z) ，因为0<A<\pi $

$所以 A=\frac{\pi }{3},又a=2,所以 2R=\frac{a}{\sin  A}=\frac{4\sqrt{3}}{3},$

$所以 b=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin  B,c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin  C,$

$所以 b+c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin  B+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin  C=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin  B+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin (\frac{2\pi }{3}-B)=4\sin (B+\frac{\pi }{6}),$

$又A=\frac{\pi }{3},所以 B\in (0,\frac{2\pi }{3}),$

$所以 B+\frac{\pi }{6}\in (\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}) ，所以 \sin (B+\frac{\pi }{6})\in (\frac{1}{2},1] ,$

$所以 b+c的取值范围为(2,4].$

Final answer: $(2,4]$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知函数f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x-1.$
$求f(x)在区间 [0,\frac{\pi }{2}] 上的最大值和最小值.$

Solution:
$因为0\leq x\leq \frac{\pi }{2},$
$所以\frac{\pi }{4}\leq 2x+\frac{\pi }{4}\leq \frac{5\pi }{4},$
$当2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2},即x=\frac{\pi }{8} 时，f(x)取得最大值，最大值为f(\frac{\pi }{8})=\sqrt{2};$
$当2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4},即x=\frac{\pi }{2} 时， f(x)取得最小值，最小值为f(\frac{\pi }{2})=-1.$



Final answer: $\sqrt{2},-1$
Subfield: Set Theory


Question: $集合A={x|x^2-6x-7\leq 0}, B={x|m+1<x<2m-1}.$
$若m=5，求A\cup B；$

Solution:
$A=\{x|x^2-6x-7\leq0\}=\{x|-1\leq x \leq 7\}.$

$当m=5时，B=\{x|6<x<9\}，所以 A\cup B=\{x|-1\leq x <9\}.$

Final answer: [-1,9)
Subfield: Set Theory


Question: $集合A={x|x^2-6x-7\leq 0}, B={x|m+1<x<2m-1}.$
$若A\cap B=B，求实数m的取值范围.$

Solution:
$若 A \cap  B = B，则 B \subseteq  A.   $
$当 B = \emptyset 时，m +1 \geq  2 m -1，即 m \leq 2，B\subseteq  A ，符合题意;  $
$当 B \neq  \emptyset 时，则有  $
$$
\left\{
\begin{matrix}
m + 1 < 2m - 1,\\ 
m + 1\geq -1,\\ 
2m - 1 \leq 7,
\end{matrix}
\right.
$$
$解得 2 < m \leq  4.  $
$综上所述，m \leq  4.故m的取值范围是\{m|m \leq  4\}.$

Final answer: (-\infty,4]
Subfield: Set Theory


Question: $已知集合A=\{x|x^2-5x-6<0\}，B=\{x|m+1\leq x\leq 2m-1, m\in{R}\}.$
$若m=4，求集合\complement_{R} A，集合 A \cup  \complement_{R} B；$

Solution:
$A=\{x|-1<x<6\}，则 \complement _{R}A=\{x|x\leq -1或x\geq 6\}.又 \complement _{R}B=\{x|x<5或x>7\}，因此 A\cup  \complement _{R}B=\{x|x<6或x>7\}.$

Final answer: (-\infty,-1]\cup[6,+\infty), (-\infty,6)\cup(7,+\infty)
Subfield: Set Theory


Question: $已知集合A=\{x|x^2-5x-6<0\}，B=\{x|m+1\leq x\leq 2m-1, m\in{R}\}.$
$若A\cup B=A，求实数m的取值范围.$

Solution:
$因为 A \cup B = A，所以 B \subseteq A. $

$当 B = \emptyset时， m + 1 > 2m - 1，则 m < 2；$

$当 B \neq \emptyset 时，由题意得$
$$
\begin{cases}
2m-1 \geq m+1,\\
2m-1 < 6,\\
m+1 > -1,
\end{cases}
$$
$解得 2 \leq m < \frac{7}{2}.$

$综上，实数 m 的取值范围是 (-\infty ,\frac{7}{2}).$

Final answer: $(-\infty ,\frac{7}{2})$
Subfield: Set Theory


Question: $设函数f(x)=\sqrt{2+x}+ln(4-x)的定义域为A，集合B={x|m+1\leq x\leq 2m-1}(m\geq 2).$
求集合A；

Solution:
$要使函数f(x)有意义，则有$

$$
\begin{align*} 
2+x &\geq 0,\\  
4-x &>0,
\end{align*}
$$

$解得-2\leq x<4，所以集合A=\{x|-2\leq x<4\}.$

Final answer: [-2,4)
Subfield: Logic


Question: $设函数f(x)=\sqrt{2+x}+ln(4-x)的定义域为A，集合B={x|m+1\leq x\leq 2m-1}(m\geq 2).$
$若p：x\in A，q：x\in B，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.$

Solution:
$因为p是q的必要不充分条件，所以，当B=\emptyset 时，m+1>2m-1，解得m<2 (舍去).$
$当B\neq \emptyset 时，$
$$
\left\{\begin{matrix}m+1\leq 2m-1,\\ m+1\geq -2,\\ 2m-1<4,\end{matrix}\right.
$$
$解得2\leq m<\frac{5}{2}.$
$综上可知，实数m的取值范围是[2,\frac{5}{2}).$

Final answer: $[2,\frac{5}{2})$
Subfield: Logic


Question: $函数f(x) = \sin x + \cos x + \sin 2x, x\in  (0, \frac{\pi}{2})的值域为集合A，函数g(x) = \ln  \frac{x-a^2-\sqrt{2}}{a-x}的定义域为集合B，记p: x\in A,q: x\in B.$
$若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.$

Solution:
$若p是q的充分不必要条件，则A\subsetneq B，即$

$$
\left\{
\begin{matrix}
a\leq 1,\\ 
a^2+\sqrt{2} > \sqrt{2}+1,
\end{matrix}
\right.
$$
$解得a < -1.$

Final answer: (-\infty,-1)
Subfield: Set Theory


Question: $已知集合A={x|1\leq x\leq 5}，B={x|(x-a)(x-3)>0}(a\in R).$
$若a=-1，求A \cup B；$

Solution:
$当a=-1时，B=\{x|(x-a)(x-3)>0\}=\{x|x<-1或x>3\}，又A=\{x|1\leq x\leq 5\},所以A\cup B=\{x|x<-1或x\geq 1\}.$

Final answer: (-\infty,-1)\cup[1,+\infty)
Subfield: Set Theory


Question: $已知集合A={x|1\leq x\leq 5}，B={x|(x-a)(x-3)>0}(a\in R).$
$若A\cup B=\mathbf{R}，求a的取值范围.$

Solution:
$当a>3时，B={x|(x-a)(x-3)>0}={x|x<3或x>a}，因为A\cup B=R，所以3<a\leq 5。$

$当a<3时，B={x|(x-a)(x-3)>0}={x|x<a或x>3}，因为A\cup B=R，所以1\leq a<3。$

$当a=3时，B={x|(x-3)(x-3)>0}={x|x\neq 3}，此时A\cup B=R，满足题意。$

$综上所述，1\leq a\leq 5，故a的取值范围为[1,5]。$

Final answer: $[1,5]$
Subfield: Set Theory


Question: $已知命题p: \exists x \in R, x^2-2x+a^2=0，命题p为真命题时实数a的取值集合为A.$
求集合A；

Solution:
$命题p为真命题，则\Delta =4-4a^2\geq 0，得-1\leq a\leq 1，\therefore A=\{a|-1\leq a\leq 1\}.$

Final answer: [-1,1]
Subfield: Logic


Question: $已知命题p: \exists x \in R, x^2-2x+a^2=0，命题p为真命题时实数a的取值集合为A.$
$设集合B=\{a|2m-3<a<m+1\}，若x \in B是x \in A的必要不充分条件，求实数m的取值范围.$

Solution:
$因为 x \in  B 是 x \in  A 的必要不充分条件，所以 A \subset  B. $

所以
$$
\begin{matrix}
2m-3<-1,\\ 
1<m+1,\\ 
2m-3<m+1,
\end{matrix}
$$
$解得 0<m<1.$

$故实数 m 的取值范围是 \{m| 0<m<1\}.$

Final answer: (0,1)
Subfield: Set Theory


Question: $设全集为R，A={x|2x^2-5x-3\geq 0}，B={x|x^2-(4a+1)x+3a^2+3a<0}。$
$当a=-1时，求A\cap B,(R\complement  A)\cup B；$

Solution:
$A=\{x|2x^{2}-5x-3 \geq 0\} = \{x|x \geq 3 或 x \leq -\frac{1}{2}\}，则 R\complement A= \{x| -\frac{1}{2} < x < 3\}.$

$因为 a=-1，所以 B=\{x|x^{2}+3x < 0\} = \{x| -3 < x < 0\},$

$\therefore A \cap  B= \{x|x \geq 3 或 x \leq -\frac{1}{2}\} \cap  \{x| -3 < x < 0\} = \{x| -3 < x \leq -\frac{1}{2}\}, $

$(R\complement A) \cup  B= \{x| -\frac{1}{2} < x < 3\} \cup  \{x| -3 < x < 0\} = \{x| -3 < x < 3\}.$

Final answer: (-3,-\frac{1}{2}], (-3,3)
Subfield: Set Theory


Question: $设全集为R，A={x|2x^2-5x-3\geq 0}，B={x|x^2-(4a+1)x+3a^2+3a<0}。$
$若(\complement _R A)\cap B=B，求实数a的取值范围.$

Solution:
$B=\{x|x^2-(4a+1)x+3a^2+3a<0\}=\{x|(x-3a)(x-a-1)<0\}.$

由(1)知

$complement _RA=\{x|-1/2<x<3\}$

$\because (\complement _RA)\cap B=B，\therefore B\subseteq \complement _RA，即B\subseteq \{x|-1/2<x<3\}$

①$若3a=a+1，即a=1/2，则B=\{x|(x-3/2)^2<0\}=\emptyset ，满足B\subseteq \complement _RA$；

②$若3a>a+1，即a>1/2，则B=\{x|a+1<x<3a\}，
\because B\subseteq \{x|-1/2<x<3\}，\therefore \{a+1>= -1/2,3a<= 3,a>1/2\}解得1/2<a\leq 1；$

③$若3a<a+1，即a<1/2，则B=\{x|3a<x<a+1\}，
\because B\subseteq \{x|-1/2<x<3\}，\therefore \{3a>= -1/2,a+1<= 3,a<1/2\}解得-1/6\leq a<1/2.$

$综上所述，实数a的取值范围是\{a|-1/6\leq a\leq 1\}.$

Final answer: [-1/6,1]
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = ax^{2} + bx + 2，关于x的不等式f(x) > 0的解集为\{x | -2 < x < 1\}.$
$若关于x的不等式ax^2 + 2x - 3b > 0的解集为A，关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B，且A \subseteq B，求实数m的取值范围.$

Solution:
$不等式 -x^2+2x+3>0 的解集为 A={x|-1<x<3}, 不等式 -3x-m<0 的解集为 B=\left\{x\left|\right.x>-\frac{m}{3}\right\}, 因为 A\subseteq B, 所以 -\frac{m}{3}\leq -1, 解得 m\geq 3. 故 m 的取值范围为 \{m|m\geq 3\}.$

Final answer: [3,+\infty)
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知a,b\in R且a>0，函数f(x) = \frac{4^x+b}{4^x-a}是奇函数.$
$对于任意x \in(0,+\infty)，不等式m\cdot f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)>0 恒成立，求实数m 的取值范围.$

Solution:
$不等式mf(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)>0\Leftrightarrow m\left(1+\frac{2}{4^x-1}\right)-\left(1+\frac{2}{4^{\frac{x}{2}}-1}\right)>0对任意x\in (0,+\infty )恒成立，$

$令2^x=t(t>1)，则m>\frac{\frac{t+1}{t-1}}{\frac{t^2+1}{t^2-1}}=\frac{(t+1)^2}{t^2+1}=\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}=1+\frac{2t}{t^2+1}=1+\frac{2}{t+\frac{1}{t}}对t>1恒成立，$

$\because y=\frac{2}{t+\frac{1}{t}}在(1,+\infty )上单调递减，$

$\therefore y=1+\frac{2}{t+\frac{1}{t}}<2，$

$\therefore m\geq 2,$

$\therefore m的取值范围为[2,+\infty ).$

Final answer: [2,+\infty )
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时， f(x)＝-x^2+2x.$
$解关于x的不等式f(x)<3。$

Solution:
$当x＞0时，-x^2+2x＜3恒成立；$
$当x＝0时，0＜3显然成立；$
$当x＜0时，x^2+2x＜3，即x^2+2x-3＜0，解得-3＜x＜1，此时-3＜x＜0.$
$综上，x＞-3，即不等式的解集为(-3，+\infty )。$

Final answer: $(-3，+\infty )$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知定义域为R的函数f(x)=\frac{-2^x+a}{2^x+1}是奇函数.$
$若对任意的t\in [1,2]，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.$

Solution:
$因为f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0且f(x)为奇函数，$

$所以f(t^2-2t)<f(k-2t^2)，$

$又因为函数f(x)在R上为减函数，所以t^2-2t>k-2t^2对t\in [1,2]恒成立，所以k<3t^2-2t对t\in [1,2]恒成立，$

$令g(t)=3t^2-2t，t\in [1,2],则g(t)图象的对称轴为直线t=\frac{1}{3}，所以g(t)在[1,2]上单调递增，所以g(t)_{min}=g(1)=3-2=1，所以k<1，即k\in (-\infty ,1).$

Final answer: (-\infty ,1)
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=x^2+ax-2，a\in R.$
$当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；$

Solution:
$当a=1时，由f(x)<0得x^2+x-2<0，$

$即(x-1)(x+2)<0，解得-2<x<1，$

所以不等式的解集为(-2,1).

Final answer: $(-2,1)$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，且满足f(0) = 2， f(x+1) - f(x) = 2x + 1.$
$若关于x的方程f(x) - m = 0在x \in [-1, 2]上有解，求实数m的取值范围；$

Solution:
$由f(x)-m=0得，方程x^2+2=m在x \in [-1,2]上有解，如图，由图可知2 \leq m \leq 6，\therefore m的取值范围为[2, 6].$

<img_3>

Final answer: $[2, 6]$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = log_2(x + a)的定义域为[1，9]，且f(x)的图象经过点(3，2).$
$求函数h(x) = f(x^2) - f(x-1)的值域.$

Solution:
：
由

$\left\{\begin{matrix}1\leq x^2\leq 9,\\ 1\leq x-1\leq 9\end{matrix}\right.$

$得2\leq x\leq 3,则h(x)的定义域为[2，3].h(x)=f(x^2)-f(x-1)= \log_2(x^2+1)-\log_2x= \log_2\frac{x^2+1}{x}= \log_2\left(x+\frac{1}{x}\right), 易证h(x)= \log_2\left(x+\frac{1}{x}\right)在[2，3]上为增函数，且h(2)=\log_2\frac{5}{2}, h(3)=\log_2\frac{10}{3}，$
$所以h(x)的值域为[\log _2\frac{5}{2},\log _2\frac{10}{3}]。$

Final answer: $[\log _2\frac{5}{2},\log _2\frac{10}{3}]$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元，当年产量不足50千件时，C(x)=\frac{1}{2}x^2+10x，当年产量不小于50千件时，C(x)=52x+\frac{7 200}{x+1}-1 200，已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.$
$写出年利润L(x) (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；$

Solution:
$当0<x<50时，L(x)=50x-\left(\frac{1}{2}x^2+10x\right)-200=-\frac{1}{2}x^2+40x-200，$
$当x\geq 50时，L(x)=50x-52x-\frac{7 200}{x+1}+1 200-200=1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right)，$
$所以L(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}x^2+40x-200,0<x<50,\\ 1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right),x\geq 50.\end{matrix}\right.$

Final answer: ${L(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}x^2+40x-200,0<x<50,\\ 1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right),x\geq 50.\end{matrix}\right.}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元，当年产量不足50千件时，C(x)=\frac{1}{2}x^2+10x，当年产量不小于50千件时，C(x)=52x+\frac{7 200}{x+1}-1 200，已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.$
$当年产量不小于50千件时，写出年利润L(x) (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；$

Solution:
$当0<x<50时，L(x)=50x-\left(\frac{1}{2}x^2+10x\right)-200=-\frac{1}{2}x^2+40x-200，$
$当x\geq 50时，L(x)=50x-52x-\frac{7 200}{x+1}+1 200-200=1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right)，$
$所以L(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}x^2+40x-200,0<x<50,\\ 1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right),x\geq 50.\end{matrix}\right.$



Final answer: $L(x)= 1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right)$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=2^{1-x}。$
$若方程 mf(x)=[g(x)]^2+2m+9 有解，求实数 m 的取值范围。$

Solution:
$由 mf(x) = g^2(x) + 2m + 9 可得 m(2^x + 2^{-x}) = (4^x + 4^{-x}) + 2m + 7$

$令 t = 2^x + 2^{-x}，则 t \geq 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2，当且仅当x=0时，等号成立，则 t^2 = 4^x + 4^{-x} +2$

$故有 t^2 - mt + 2m + 5=0，其中 t \geq 2$

$令 F(t) = t^2 - mt + 2m + 5，其中t \geq 2 ，则函数F(t)在 [2,+\infty ) 上有零点$

$①当 \frac{m}{2} \leq 2，即m \leq 4时，F(t) 在 [2,+\infty ) 上单调递增，所以 F(t) \geq F(2) = 9 > 0，不合题意$

$②当 \frac{m}{2} > 2，即m > 4时，有 \Delta = m^2 - 8m - 20 \geq 0，解得 m \geq 10 或 m \leq -2，此时 m \geq 10$

$综上所述，实数m 的取值范围是 [10,+\infty )$

Final answer: $[10,+\infty )$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=2^{1-x}。$
$若h(x)=|\frac{1}{2}[f(x)+g(x)]-1|，且方程h^2(x) - (2k+\frac{1}{2})h(x) + k = 0有三个解，求实数k的取值范围.$

Solution:
$h(x)=|\frac{1}{2}[f(x)+g(x)]-1|=|2^x-1|=\{1-2^x,x\leq 0,\\ 2^x-1,x>0,$

$作出函数h(x)的图象如图所示$

<img_330>

$由h(x)^2-(2k+\frac{1}{2})h(x)+k=0可得[h(x)-\frac{1}{2}]\cdot [h(x)-2k]=0$

$由图可知，方程h(x)=\frac{1}{2}有两个不等的实根$

$由题意可知，方程h(x)=2k有且只有一个根，故2k=0或2k\geq 1，解得k=0或k\geq \frac{1}{2}.$

$因此，实数k的取值范围是{0}\cup [\frac{1}{2},+\infty )$

Final answer: ${0}\cup [\frac{1}{2},+\infty )$