di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_{1}，F_{2}，上顶点为A，O为坐标原点，且F_{1}F_{2}=2，\angle AF_{1}F_{2}=60^\circ .$
$若椭圆E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda (\lambda >0且\lambda \neq 1)，则称E为C的\lambda 倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：y=kx+m与两椭圆C，E交于四点(依次为M，N，P，Q)，且MN=NP，证明：点T(k，m)在定曲线上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658404997588606977/img/compression/M_e9a242edd6097cd48ed1f0c1ddaad47f.jpg)

Solution:
$证明：由题意得椭圆E的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=3，即\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1.联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\\ y=kx+m,\end{matrix}\right.消去y并整理，得(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}－12=0，则\Delta _{1}=64k^{2}m^{2}－4(3+4k^{2})(4m^{2}－12)>0，即4k^{2}+3>m^{2}，设N(x_{1},y_{1})，P(x_{2},y_{2})，则x_{1}+x_{2}=－\frac{8km}{3+4k^2}，x_{1}x_{2}=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}，所以|x_{1}－x_{2}|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\left(-\frac{8km}{3+4k^2}\right)^2-\frac{4(4m^2-12)}{3+4k^2}}=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4k^2+3-m^2}}{3+4k^2}.(6分)联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1,\\ y=kx+m,\end{matrix}\right.消去y并整理，得(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}－36=0，则\Delta _{2}=64k^{2}m^{2}－4(3+4k^{2})(4m^{2}－36)>0，即12k^{2}+9>m^{2}，设M(x_{3},y_{3})，Q(x_{4},y_{4})，则x_{3}+x_{4}=－\frac{8km}{3+4k^2}，x_{3}x_{4}=\frac{4m^2-36}{3+4k^2}，所以|x_{3}－x_{4}|=\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}=\sqrt{\left(-\frac{8km}{3+4k^2}\right)^2-\frac{4(4m^2-36)}{3+4k^2}}=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{12k^2+9-m^2}}{3+4k^2}.(9分)因为x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}，y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+2m=k(x_{3}+x_{4})+2m=y_{3}+y_{4}，所以线段NP，MQ的中点相同，所以MN=PQ.又MN=NP，所以MQ=3NP.又MQ=\sqrt{1+k^2}|x_{3}－x_{4}|，NP=\sqrt{1+k^2}|x_{1}－x_{2}|，所以|x_{3}－x_{4}|=3|x_{1}－x_{2}|，即\frac{4\sqrt{3}\sqrt{12k^2+9-m^2}}{3+4k^2}=3\times \frac{4\sqrt{3}\sqrt{4k^2+3-m^2}}{3+4k^2}，化简得4m^{2}－12k^{2}=9，满足4k^{2}+3>m^{2}，所以\frac{4m^2}{9}－\frac{4k^2}{3}=1，即点T(k，m)在双曲线\frac{4y^2}{9}－\frac{4x^2}{3}=1上.(12分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_{1}，F_{2}，上顶点为A，O为坐标原点，且F_{1}F_{2}=2，\angle AF_{1}F_{2}=60^\circ .$
$若椭圆E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda (\lambda >0且\lambda \neq 1)，则称E为C的\lambda 倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：y=kx+m与两椭圆C，E交于四点(依次为M，N，P，Q)，且MN=NP，证明：点T(k，m)在定曲线上.$<img_2788>

Solution:
$证明：由题意得椭圆E的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=3，即\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1.联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\\ y=kx+m,\end{matrix}\right.消去y并整理，得(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}－12=0，则\Delta _{1}=64k^{2}m^{2}－4(3+4k^{2})(4m^{2}－12)>0，即4k^{2}+3>m^{2}，设N(x_{1},y_{1})，P(x_{2},y_{2})，则x_{1}+x_{2}=－\frac{8km}{3+4k^2}，x_{1}x_{2}=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}，所以|x_{1}－x_{2}|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\left(-\frac{8km}{3+4k^2}\right)^2-\frac{4(4m^2-12)}{3+4k^2}}=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4k^2+3-m^2}}{3+4k^2}.(6分)联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1,\\ y=kx+m,\end{matrix}\right.消去y并整理，得(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}－36=0，则\Delta _{2}=64k^{2}m^{2}－4(3+4k^{2})(4m^{2}－36)>0，即12k^{2}+9>m^{2}，设M(x_{3},y_{3})，Q(x_{4},y_{4})，则x_{3}+x_{4}=－\frac{8km}{3+4k^2}，x_{3}x_{4}=\frac{4m^2-36}{3+4k^2}，所以|x_{3}－x_{4}|=\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}=\sqrt{\left(-\frac{8km}{3+4k^2}\right)^2-\frac{4(4m^2-36)}{3+4k^2}}=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{12k^2+9-m^2}}{3+4k^2}.(9分)因为x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}，y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+2m=k(x_{3}+x_{4})+2m=y_{3}+y_{4}，所以线段NP，MQ的中点相同，所以MN=PQ.又MN=NP，所以MQ=3NP.又MQ=\sqrt{1+k^2}|x_{3}－x_{4}|，NP=\sqrt{1+k^2}|x_{1}－x_{2}|，所以|x_{3}－x_{4}|=3|x_{1}－x_{2}|，即\frac{4\sqrt{3}\sqrt{12k^2+9-m^2}}{3+4k^2}=3\times \frac{4\sqrt{3}\sqrt{4k^2+3-m^2}}{3+4k^2}，化简得4m^{2}－12k^{2}=9，满足4k^{2}+3>m^{2}，所以\frac{4m^2}{9}－\frac{4k^2}{3}=1，即点T(k，m)在双曲线\frac{4y^2}{9}－\frac{4x^2}{3}=1上.(12分)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个半径为2千米，圆心角为\frac{\pi }{3}的扇形游览区的平面示意图如图所示，C是半径OB上一点，D是圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一点，且CD\parallel OA.要在线段OC，CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}处每千米均为a元.设\angle AOD=x rad，广告位出租的总收入为y元.$<img_2309>
$求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；$

Solution:
$因为CD\parallel OA，所以\angle ODC=\angle AOD=x rad，\angle OCD=\pi -\angle COA=\frac{2}{3}\pi .易知\angle COD=\frac{\pi }{3}-x，OD=2 km.在\triangle OCD中，由正弦定理得\frac{OC}{\\\sin    x}=\frac{CD}{\\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-x\right)}=\frac{2}{\\\sin   \frac{2\pi }{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}，故OC=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin   x km，CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin  \left(\frac{\pi }{3}-x\right) km.(2分)又圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}的长为2\left(\frac{\pi }{3}-x\right) km，所以y=2a\times \frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin   x+a\times \left[\frac{4\sqrt{3}}{3}\\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-x\right)+2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\right]=2a\left(\sqrt{3}\\\sin    x+\\\cos    x-x+\frac{\pi }{3}\right),x\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).(5分)$

Final answer: $y=2a(\sqrt 3\sin x+\cos x-x+\pi /3)$, $ (0,\pi /3)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个半径为2千米，圆心角为\frac{\pi }{3}的扇形游览区的平面示意图如图所示，C是半径OB上一点，D是圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一点，且CD\parallel OA.要在线段OC，CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}处每千米均为a元.设\angle AOD=x rad，广告位出租的总收入为y元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658405018939506689/img/compression/M_b3c7540b7d5f248b91c6ca5f88d83f84.jpg)
$求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；$

Solution:
$因为CD\parallel OA，所以\angle ODC=\angle AOD=x rad，\angle OCD=\pi -\angle COA=\frac{2}{3}\pi .易知\angle COD=\frac{\pi }{3}-x，OD=2 km.在\triangle OCD中，由正弦定理得\frac{OC}{\\\sin    x}=\frac{CD}{\\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-x\right)}=\frac{2}{\\\sin   \frac{2\pi }{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}，故OC=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin   x km，CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin  \left(\frac{\pi }{3}-x\right) km.(2分)又圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}的长为2\left(\frac{\pi }{3}-x\right) km，所以y=2a\times \frac{4\sqrt{3}}{3}\\sin   x+a\times \left[\frac{4\sqrt{3}}{3}\\\sin   \left(\frac{\pi }{3}-x\right)+2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\right]=2a\left(\sqrt{3}\\\sin    x+\\\cos    x-x+\frac{\pi }{3}\right),x\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right).(5分)$

Final answer: $y=2a(\sqrt 3\sin x+\cos x-x+\pi /3)$, $ (0,\pi /3)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个半径为2千米，圆心角为\frac{\pi }{3}的扇形游览区的平面示意图如图所示，C是半径OB上一点，D是圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一点，且CD\parallel OA.要在线段OC，CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}处每千米均为a元.设\angle AOD=x rad，广告位出租的总收入为y元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658405018939506689/img/compression/M_b3c7540b7d5f248b91c6ca5f88d83f84.jpg)
$试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值.$

Solution:
$记f(x)=2a\left(\sqrt{3}\\\sin    x+\\\cos    x-x+\frac{\pi }{3}\right)，x\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right),则f'(x)=2a(\sqrt{3}\\cos   x-\\sin   x-1)=2a\left[2\\\cos   \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-1\right]，令f'(x)=0，得x=\frac{\pi }{6}.(8分)当x变化时，f'(x)，f(x)的变化如下表：x\left(0,\frac{\pi }{6}\right)\frac{\pi }{6}\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)f'(x)+0-f(x)\text{单调递增}极大值\text{单调递减}所以f(x)在x=\frac{\pi }{6}处取得极大值，也是最大值，为f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2a\times \left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)a.(11分)故当x=\frac{\pi }{6}时，广告位出租的总收入最大，最大值为2\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)a元.(12分)$

Final answer: $ \frac{\pi }{6}$, $2(\sqrt 3+\pi /6)a$ rad, 元
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个半径为2千米，圆心角为\frac{\pi }{3}的扇形游览区的平面示意图如图所示，C是半径OB上一点，D是圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{AB}上一点，且CD\parallel OA.要在线段OC，CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{DB}处每千米均为a元.设\angle AOD=x rad，广告位出租的总收入为y元.$<img_2309>
$试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值.$

Solution:
$记f(x)=2a\left(\sqrt{3}\\\sin    x+\\\cos    x-x+\frac{\pi }{3}\right)，x\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right),则f'(x)=2a(\sqrt{3}\\cos   x-\\sin   x-1)=2a\left[2\\\cos   \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-1\right]，令f'(x)=0，得x=\frac{\pi }{6}.(8分)当x变化时，f'(x)，f(x)的变化如下表：x\left(0,\frac{\pi }{6}\right)\frac{\pi }{6}\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)f'(x)+0-f(x)\text{单调递增}极大值\text{单调递减}所以f(x)在x=\frac{\pi }{6}处取得极大值，也是最大值，为f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2a\times \left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)a.(11分)故当x=\frac{\pi }{6}时，广告位出租的总收入最大，最大值为2\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{6}\right)a元.(12分)$

Final answer: $ \frac{\pi }{6}$, $2(\sqrt 3+\pi /6)a$ rad, 元
Subfield: Plane Geometry


Question: $抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x^{2}=2py(p>0)，如图，一平行于y轴的光线从x轴上方射向抛物线上的点P，经抛物线2次反射后，沿平行于y轴的方向射出，已知两平行光线间的最小距离为8.$<img_1605>
$求抛物线C的方程；$

Solution:
$易得F\left(0,\frac{p}{2}\right).设P(x_{1},y_{1})，Q(x_{2},y_{2})，直线PQ的方程为y=kx+\frac{p}{2}，k\in R.联立\left\{\begin{matrix}x^2=2py,\\ y=kx+\frac{p}{2},\end{matrix}\right.得x^{2}－2pkx－p^{2}=0，\therefore x_{1}+x_{2}=2pk，x_{1}x_{2}=－p^{2}，(2分)\therefore 两平行光线间的距离d=|x_{1}－x_{2}|=\sqrt{4p^2k^2+4p^2}\geq 2p，(4分)\therefore 2p=8，\therefore 抛物线C的方程为x^{2}=8y.(5分)$

Final answer: $x^2=8y$
Subfield: Plane Geometry


Question: $抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x^{2}=2py(p>0)，如图，一平行于y轴的光线从x轴上方射向抛物线上的点P，经抛物线2次反射后，沿平行于y轴的方向射出，已知两平行光线间的最小距离为8.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658405026860175361/img/compression/M_0c4f75d22a7a14afe7775df1798ed004.jpg)
$求抛物线C的方程；$

Solution:
$易得F\left(0,\frac{p}{2}\right).设P(x_{1},y_{1})，Q(x_{2},y_{2})，直线PQ的方程为y=kx+\frac{p}{2}，k\in R.联立\left\{\begin{matrix}x^2=2py,\\ y=kx+\frac{p}{2},\end{matrix}\right.得x^{2}－2pkx－p^{2}=0，\therefore x_{1}+x_{2}=2pk，x_{1}x_{2}=－p^{2}，(2分)\therefore 两平行光线间的距离d=|x_{1}－x_{2}|=\sqrt{4p^2k^2+4p^2}\geq 2p，(4分)\therefore 2p=8，\therefore 抛物线C的方程为x^{2}=8y.(5分)$

Final answer: $x^2=8y$
Subfield: Plane Geometry


Question: $抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x^{2}=2py(p>0)，如图，一平行于y轴的光线从x轴上方射向抛物线上的点P，经抛物线2次反射后，沿平行于y轴的方向射出，已知两平行光线间的最小距离为8.$<img_1605>
$若直线l:y=x+m与抛物线C交于A，B两点，作\triangle ABN，使\triangle ABN的外接圆圆心T的坐标为\left(3,\frac{49}{8}\right)，求弦AB的长度.$

Solution:
$设A(x_{A},y_{A})，B(x_{B},y_{B})，线段AB的中点为M(x_{0},y_{0}).联立\left\{\begin{matrix}x^2=8y,\\ y=x+m,\end{matrix}\right.得x^{2}－8x－8m=0，则x_{A}+x_{B}=8，x_{A}x_{B}=-8m，y_{A}+y_{B}=x_{A}+x_{B}+2m=8+2m.令\Delta >0，得m>－2，\therefore x_{0}=\frac{x_A+x_B}{2}=4，y_{0}=\frac{y_A+y_B}{2}=4+m.(7分)易知MT\perp AB， \therefore k_{MT}\cdot k_{AB}=－1，即 \frac{4+m-\frac{49}{8}}{4-3}\times 1=－1，解得m=\frac{9}{8}，(9分)\therefore x_{A}x_{B}=-9,\therefore AB=\sqrt{1+1^2}|x_{A}－x_{B}|=\sqrt{2}\times \sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=10\sqrt{2}.(12分)$

Final answer: $10\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x^{2}=2py(p>0)，如图，一平行于y轴的光线从x轴上方射向抛物线上的点P，经抛物线2次反射后，沿平行于y轴的方向射出，已知两平行光线间的最小距离为8.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658405026860175361/img/compression/M_0c4f75d22a7a14afe7775df1798ed004.jpg)
$若直线l:y=x+m与抛物线C交于A，B两点，作\triangle ABN，使\triangle ABN的外接圆圆心T的坐标为\left(3,\frac{49}{8}\right)，求弦AB的长度.$

Solution:
$设A(x_{A},y_{A})，B(x_{B},y_{B})，线段AB的中点为M(x_{0},y_{0}).联立\left\{\begin{matrix}x^2=8y,\\ y=x+m,\end{matrix}\right.得x^{2}－8x－8m=0，则x_{A}+x_{B}=8，x_{A}x_{B}=-8m，y_{A}+y_{B}=x_{A}+x_{B}+2m=8+2m.令\Delta >0，得m>－2，\therefore x_{0}=\frac{x_A+x_B}{2}=4，y_{0}=\frac{y_A+y_B}{2}=4+m.(7分)易知MT\perp AB， \therefore k_{MT}\cdot k_{AB}=－1，即 \frac{4+m-\frac{49}{8}}{4-3}\times 1=－1，解得m=\frac{9}{8}，(9分)\therefore x_{A}x_{B}=-9,\therefore AB=\sqrt{1+1^2}|x_{A}－x_{B}|=\sqrt{2}\times \sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=10\sqrt{2}.(12分)$

Final answer: $10\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661332313509889/img/compression/M_4f1e91419a0becac9533917a5e0f6cc3.jpg)
$直线AB的方程；$

Solution:
$由已知得直线AB的斜率k_{AB}=\frac{4-(-2)}{2-0}=3，\therefore 直线AB的方程为y=3x-2，即3x-y-2=0.$

Final answer: $3x-y-2=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$<img_2968>
$直线AB的方程；$

Solution:
$由已知得直线AB的斜率k_{AB}=\frac{4-(-2)}{2-0}=3，\therefore 直线AB的方程为y=3x-2，即3x-y-2=0.$

Final answer: $3x-y-2=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661332313509889/img/compression/M_4f1e91419a0becac9533917a5e0f6cc3.jpg)
$AB边上的高所在直线的方程；$

Solution:
$设AB边上的高所在直线的方程为y=-\frac{1}{3}x+m，由该直线过点C(-2，3)，得3=\frac{2}{3}+m，解得m=\frac{7}{3}，故AB边上的高所在直线的方程为y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}，即x+3y-7=0.$

Final answer: $x+3y-7=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$<img_2968>
$AB边上的高所在直线的方程；$

Solution:
$设AB边上的高所在直线的方程为y=-\frac{1}{3}x+m，由该直线过点C(-2，3)，得3=\frac{2}{3}+m，解得m=\frac{7}{3}，故AB边上的高所在直线的方程为y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}，即x+3y-7=0.$

Final answer: $x+3y-7=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661332313509889/img/compression/M_4f1e91419a0becac9533917a5e0f6cc3.jpg)
$与AB平行的中位线所在直线的方程.$

Solution:
$与AB平行的中位线过AC的中点\left(0,\frac{7}{2}\right)，\therefore 与AB平行的中位线所在直线的方程为y=3x+\frac{7}{2}，即6x-2y+7=0.$

Final answer: $6x-2y+7=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知三角形ABC的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3)，求：$<img_2968>
$与AB平行的中位线所在直线的方程.$

Solution:
$与AB平行的中位线过AC的中点\left(0,\frac{7}{2}\right)，\therefore 与AB平行的中位线所在直线的方程为y=3x+\frac{7}{2}，即6x-2y+7=0.$

Final answer: $6x-2y+7=0$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，点P(6,4)，Q(-2,1)，P_{1}是点P关于x轴的对称点，连接P_{1}Q交x轴于点M.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661341549490178/img/compression/M_b8506015c77a59caaa64b6634bb0b737.jpg)
$求点M的坐标；$

Solution:
$根据题意可知P_{1}(6,-4)，又Q(-2,1)，所以k_{P_{1}Q}=\frac{1+4}{-2-6}=-\frac{5}{8}，所以直线P_{1}Q的方程为y-1=-\frac{5}{8}(x+2)，整理可得5x+8y+2=0.令y=0，解得x=-\frac{2}{5}，所以点M的坐标为\left(-\frac{2}{5},0\right).$

Final answer: $(-\frac{2}{5},0)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，点P(6,4)，Q(-2,1)，P_{1}是点P关于x轴的对称点，连接P_{1}Q交x轴于点M.$<img_2390>
$求点M的坐标；$

Solution:
$根据题意可知P_{1}(6,-4)，又Q(-2,1)，所以k_{P_{1}Q}=\frac{1+4}{-2-6}=-\frac{5}{8}，所以直线P_{1}Q的方程为y-1=-\frac{5}{8}(x+2)，整理可得5x+8y+2=0.令y=0，解得x=-\frac{2}{5}，所以点M的坐标为\left(-\frac{2}{5},0\right).$

Final answer: $(-\frac{2}{5},0)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，点P(6,4)，Q(-2,1)，P_{1}是点P关于x轴的对称点，连接P_{1}Q交x轴于点M.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661341549490178/img/compression/M_b8506015c77a59caaa64b6634bb0b737.jpg)
$求|MP|+|MQ|的值；$

Solution:
$根据题意得|MP|+|MQ|=|MP_{1}|+|MQ|=|QP_{1}|,由P_{1}(6,-4)，Q(-2,1)，得|QP_{1}|=\sqrt{(6+2)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{89}.所以|MP|+|MQ|=\sqrt{89}.$

Final answer: $\sqrt{89}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，点P(6,4)，Q(-2,1)，P_{1}是点P关于x轴的对称点，连接P_{1}Q交x轴于点M.$<img_2390>
$求|MP|+|MQ|的值；$

Solution:
$根据题意得|MP|+|MQ|=|MP_{1}|+|MQ|=|QP_{1}|,由P_{1}(6,-4)，Q(-2,1)，得|QP_{1}|=\sqrt{(6+2)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{89}.所以|MP|+|MQ|=\sqrt{89}.$

Final answer: $\sqrt{89}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，点P(6,4)，Q(-2,1)，P_{1}是点P关于x轴的对称点，连接P_{1}Q交x轴于点M.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661341549490178/img/compression/M_b8506015c77a59caaa64b6634bb0b737.jpg)
$N是x轴上不同于点M的任意一点，试比较|NP|+|NQ|与|MP|+|MQ|的大小.$

Solution:
$|NP|+|NQ|=|NP_{1}|+|NQ|，|MP|+|MQ|=|MP_{1}|+|MQ|=|QP_{1}|，在\triangle NQP_{1}中，由两边之和大于第三边，知|NP_{1}|+|NQ|>|QP_{1}|,所以|NP|+|NQ|>|MP|+|MQ|.$

Final answer: $|NP|+|NQ|>|MP|+|MQ|$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角\angle AOB=\frac{\pi }{3}，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661376609677314/img/compression/M_1f4ea881a17cf04efa548b5f1853cdc6.jpg)
$求海域ABCD的面积；$

Solution:
$因为\angle AOB=\frac{\pi }{3}，AB=10海里，AD=BC=2海里，所以OA=OB=AB=10海里，OD=OA+AD=12海里，所以S_{海域ABCD}=\frac{\frac{\pi }{3}}{2\pi }\cdot \pi (OD^{2}-OA^{2})=\frac{1}{6}\pi \cdot (12^{2}-10^{2})=\frac{22\pi }{3}(平方海里).$

Final answer: $\frac{22\pi }{3}$ 平方海里
Subfield: Plane Geometry


Question: $某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角\angle AOB=\frac{\pi }{3}，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.$<img_2055>
$求海域ABCD的面积；$

Solution:
$因为\angle AOB=\frac{\pi }{3}，AB=10海里，AD=BC=2海里，所以OA=OB=AB=10海里，OD=OA+AD=12海里，所以S_{海域ABCD}=\frac{\frac{\pi }{3}}{2\pi }\cdot \pi (OD^{2}-OA^{2})=\frac{1}{6}\pi \cdot (12^{2}-10^{2})=\frac{22\pi }{3}(平方海里).$

Final answer: $\frac{22\pi }{3}$ 平方海里
Subfield: Plane Geometry


Question: $某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角\angle AOB=\frac{\pi }{3}，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661376609677314/img/compression/M_1f4ea881a17cf04efa548b5f1853cdc6.jpg)
$现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点4海里，在B点测得其距B点2\sqrt{19}海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD，请说明理由.$

Solution:
$以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(令点A在第一象限).由题意知，点P在以B为圆心，2\sqrt{19}海里为半径的圆(x-10)^{2}+y^{2}=76上；点P也在以A为圆心，4海里为半径的圆(x-5)^{2}+(y-5\sqrt{3})^{2}=16上.由\left\{\begin{matrix}(x-10)^2+y^2=76,\\ (x-5)^2+(y-5\sqrt{3})^2=16,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=3,\\ y=3\sqrt{3}\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}x=9,\\ y=5\sqrt{3},\end{matrix}\right.又海域ABCD内的点(x,y)满足\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\geq 100,\\ x^2+y^2\leq 144,\end{matrix}\right.由3^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=36<100，9^{2}+(5\sqrt{3})^{2}=156>144，可知这艘不明船只没有进入海域ABCD.$

Final answer: $这艘不明船只没有进入海域ABCD$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角\angle AOB=\frac{\pi }{3}，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站，A与B之间的直线距离为10海里.$<img_2055>
$现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点4海里，在B点测得其距B点2\sqrt{19}海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD，请说明理由.$

Solution:
$以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(令点A在第一象限).由题意知，点P在以B为圆心，2\sqrt{19}海里为半径的圆(x-10)^{2}+y^{2}=76上；点P也在以A为圆心，4海里为半径的圆(x-5)^{2}+(y-5\sqrt{3})^{2}=16上.由\left\{\begin{matrix}(x-10)^2+y^2=76,\\ (x-5)^2+(y-5\sqrt{3})^2=16,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=3,\\ y=3\sqrt{3}\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}x=9,\\ y=5\sqrt{3},\end{matrix}\right.又海域ABCD内的点(x,y)满足\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\geq 100,\\ x^2+y^2\leq 144,\end{matrix}\right.由3^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=36<100，9^{2}+(5\sqrt{3})^{2}=156>144，可知这艘不明船只没有进入海域ABCD.$



Final answer: $这艘不明船只没有进入海域ABCD$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x^{2}+y^{2}=4交于点A,B，与圆M:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1交于点C,D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661395958001666/img/compression/M_d2b05c1f6f0e5b5d99a86f51b52bdb3b.jpg)
$若直线AB的斜率为2，求弦长|AB|；$

Solution:
$圆O的圆心为(0，0)，半径为2.由直线AB的斜率为2且过点(0，1)，得直线AB的方程为2x-y+1=0，所以点O到直线AB的距离为\frac{1}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以|AB|=2\sqrt{4-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{95}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 95}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x^{2}+y^{2}=4交于点A,B，与圆M:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1交于点C,D.$<img_2936>
$若直线AB的斜率为2，求弦长|AB|；$

Solution:
$圆O的圆心为(0，0)，半径为2.由直线AB的斜率为2且过点(0，1)，得直线AB的方程为2x-y+1=0，所以点O到直线AB的距离为\frac{1}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，所以|AB|=2\sqrt{4-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{95}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 95}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x^{2}+y^{2}=4交于点A,B，与圆M:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1交于点C,D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661395958001666/img/compression/M_d2b05c1f6f0e5b5d99a86f51b52bdb3b.jpg)
$若CD的中点为E，求\triangle ABE面积的取值范围.$

Solution:
$当直线AB的斜率不存在时，AB为圆O的直径，点E与圆M的圆心M重合，故\triangle ABE的面积S=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4.当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB:y=kx+1，当k=0时，直线CD的方程为x=0,不符合题意，舍去.当k\neq 0时，直线CD:y=-\frac{1}{k}x+1，由\frac{\left|-\frac{2}{k}-1+1\right|}{\sqrt{1+{\left(-\frac{1}{k}\right)}^2}}<1得k^{2}>3.因为\left(\frac{|AB|}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\right)^{2}=4，所以|AB|=2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}.连接ME，易知ME\perp CD，所以ME\parallel AB，所以E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离，即d=\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|2k|}{\sqrt{1+k^2}}，所以\triangle ABE的面积S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=2\sqrt{\frac{(4k^2+3)k^2}{{(1+k^2)}^2}}.令t=k^{2}+1，则t>4，所以S=2\sqrt{\frac{4t^2-5t+1}{t^2}}=2\sqrt{4-\frac{5}{t}+{\left(\frac{1}{t}\right)}^2}=2\sqrt{{\left(\frac{1}{t}-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}}，因为t>4，所以0<\frac{1}{t}<\frac{1}{4}，所以S\in \left(\frac{3\sqrt{5}}{2},4\right).综上可得，\triangle ABE面积的取值范围是\left(\frac{3\sqrt{5}}{2},4\right].$

Final answer: $(\frac{3\sqrt 5}{2}, 4)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x^{2}+y^{2}=4交于点A,B，与圆M:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1交于点C,D.$<img_2936>
$若CD的中点为E，求\triangle ABE面积的取值范围.$

Solution:
$当直线AB的斜率不存在时，AB为圆O的直径，点E与圆M的圆心M重合，故\triangle ABE的面积S=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4.当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB:y=kx+1，当k=0时，直线CD的方程为x=0,不符合题意，舍去.当k\neq 0时，直线CD:y=-\frac{1}{k}x+1，由\frac{\left|-\frac{2}{k}-1+1\right|}{\sqrt{1+{\left(-\frac{1}{k}\right)}^2}}<1得k^{2}>3.因为\left(\frac{|AB|}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\right)^{2}=4，所以|AB|=2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}.连接ME，易知ME\perp CD，所以ME\parallel AB，所以E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离，即d=\frac{|2k-1+1|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|2k|}{\sqrt{1+k^2}}，所以\triangle ABE的面积S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=2\sqrt{\frac{(4k^2+3)k^2}{{(1+k^2)}^2}}.令t=k^{2}+1，则t>4，所以S=2\sqrt{\frac{4t^2-5t+1}{t^2}}=2\sqrt{4-\frac{5}{t}+{\left(\frac{1}{t}\right)}^2}=2\sqrt{{\left(\frac{1}{t}-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}}，因为t>4，所以0<\frac{1}{t}<\frac{1}{4}，所以S\in \left(\frac{3\sqrt{5}}{2},4\right).综上可得，\triangle ABE面积的取值范围是\left(\frac{3\sqrt{5}}{2},4\right].$

Final answer: $(\frac{3\sqrt 5}{2}, 4)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $中国海军在某次演习中，派出3艘舰艇，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中A，B，C，且OA=OB=OC=3，假设可疑舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早\frac{4}{v_0}(注：信号传播速度为v_{0}),C处舰艇保持静止.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661423026094082/img/compression/M_b0951ab695df989c683179995e486bfe.jpg)
$建立适当的坐标系，并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；$

Solution:
$以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661423026094082/img/compression/M_9ff199c61a20c81f98bf05175e974f14.jpg)$设可疑舰艇的位置为P(x,y)，由题意可知|PB|-|PA|=v_{0}\times \frac{4}{v_0}=4，|AB|=6，又4<6，因此P点的轨迹是以A，B为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，故2a=4，c=3，\therefore a=2,b=\sqrt{5}，\therefore 所求的轨迹方程为\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x\leq -2).$

Final answer: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $中国海军在某次演习中，派出3艘舰艇，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中A，B，C，且OA=OB=OC=3，假设可疑舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早\frac{4}{v_0}(注：信号传播速度为v_{0}),C处舰艇保持静止.$<img_2393>
$建立适当的坐标系，并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；$

Solution:
$以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.$<img_2415>$设可疑舰艇的位置为P(x,y)，由题意可知|PB|-|PA|=v_{0}\times \frac{4}{v_0}=4，|AB|=6，又4<6，因此P点的轨迹是以A，B为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，故2a=4，c=3，\therefore a=2,b=\sqrt{5}，\therefore 所求的轨迹方程为\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x\leq -2).$

Final answer: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $中国海军在某次演习中，派出3艘舰艇，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中A，B，C，且OA=OB=OC=3，假设可疑舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早\frac{4}{v_0}(注：信号传播速度为v_{0}),C处舰艇保持静止.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661423026094082/img/compression/M_b0951ab695df989c683179995e486bfe.jpg)
$在A，B两处舰艇对可疑舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最短距离是多少？$

Solution:
$取曲线\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x\leq -2)上任意一点M(x_{0},y_{0})(x_{0}\leq -2)，于是\frac{x^2_0}{4}-\frac{y^2_0}{5}=1，即x^2_0=\frac{4y^2_0}{5}+4，由题意知，求出M、C间的最短距离即可，|MC|=\sqrt{(-x_0)^2+{(3-y_0)}^2}=\sqrt{\frac{4}{5}y^2_0+4+9-6y_0+y^2_0}=\sqrt{\frac{9}{5}\left(y_0-\frac{5}{3}\right)^2+8}，当y_{0}=\frac{5}{3}时，|MC|_{min}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.\therefore 无人机飞行的最短距离是2\sqrt{2}.$

Final answer: $2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $中国海军在某次演习中，派出3艘舰艇，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中A，B，C，且OA=OB=OC=3，假设可疑舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早\frac{4}{v_0}(注：信号传播速度为v_{0}),C处舰艇保持静止.$<img_2393>
$在A，B两处舰艇对可疑舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最短距离是多少？$

Solution:
$取曲线\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x\leq -2)上任意一点M(x_{0},y_{0})(x_{0}\leq -2)，于是\frac{x^2_0}{4}-\frac{y^2_0}{5}=1，即x^2_0=\frac{4y^2_0}{5}+4，由题意知，求出M、C间的最短距离即可，|MC|=\sqrt{(-x_0)^2+{(3-y_0)}^2}=\sqrt{\frac{4}{5}y^2_0+4+9-6y_0+y^2_0}=\sqrt{\frac{9}{5}\left(y_0-\frac{5}{3}\right)^2+8}，当y_{0}=\frac{5}{3}时，|MC|_{min}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.\therefore 无人机飞行的最短距离是2\sqrt{2}.$

Final answer: $2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $椭圆C_{1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)经过点E(1,1)，其右焦点为抛物线C_{2}:y^{2}=2\sqrt{6}x的焦点F，直线l与椭圆C_{1}交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661481586966530/img/compression/M_954f4b8842aa755a01f8abee59ff19cd.jpg)
$求椭圆C_{1}的方程；$

Solution:
$因为抛物线C_{2}:y^{2}=2\sqrt{6}x的焦点为F\left(\frac{\sqrt{6}}{2},0\right)，所以椭圆C_{1}的半焦距c=\frac{\sqrt{6}}{2}，因为点E(1,1)在椭圆C_{1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1上，所以\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1，又a^{2}=b^{2}+c^{2}，所以a^{2}=3,b^{2}=\frac{3}{2}，所以椭圆C_{1}的方程为\frac{x^2}{3}+\frac{2y^2}{3}=1.$

Final answer: $ \frac{x^2}{3}+\frac{2y^2}{3}=1。$