di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得\angle BCD=\alpha =35^\circ ，\angle BDC=\beta =100^\circ ，CD=400 m.在点C处测得塔顶A的仰角为50.5^\circ .
参考数据：取\sqrt{2}\\sin   35^\circ =0.811，\sqrt{2}\\sin   80^\circ =1.393，\\tan   50.5^\circ =1.2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233328659173377/img/compression/M_881cf674d0e38423e333f94a4c9e7274.jpg)
$求B与D两点间的距离；$

Solution:
$在\triangle BCD中，\angle CBD=180^\circ -\alpha -\beta =45^\circ ，由正弦定理得\frac{CD}{\\\sin   \angle CBD}=\frac{BD}{\\\sin    \alpha }，则BD=\frac{CD\\\sin    \alpha }{\\\sin   \angle CBD}=\frac{400\\\sin    35^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=400\sqrt{2}\\sin   35^\circ =400\times 0.811=324.4\approx 324(m).故B与D两点间的距离为324 m.$

Final answer: $324$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得\angle BCD=\alpha =35^\circ ，\angle BDC=\beta =100^\circ ，CD=400 m.在点C处测得塔顶A的仰角为50.5^\circ .
参考数据：取\sqrt{2}\\sin   35^\circ =0.811，\sqrt{2}\\sin   80^\circ =1.393，\\tan   50.5^\circ =1.2.$<img_1907>
$求B与D两点间的距离；$

Solution:
$在\triangle BCD中，\angle CBD=180^\circ -\alpha -\beta =45^\circ ，由正弦定理得\frac{CD}{\\\sin   \angle CBD}=\frac{BD}{\\\sin    \alpha }，则BD=\frac{CD\\\sin    \alpha }{\\\sin   \angle CBD}=\frac{400\\\sin    35^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=400\sqrt{2}\\sin   35^\circ =400\times 0.811=324.4\approx 324(m).故B与D两点间的距离为324 m.$

Final answer: $324$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得\angle BCD=\alpha =35^\circ ，\angle BDC=\beta =100^\circ ，CD=400 m.在点C处测得塔顶A的仰角为50.5^\circ .
参考数据：取\sqrt{2}\\sin   35^\circ =0.811，\sqrt{2}\\sin   80^\circ =1.393，\\tan   50.5^\circ =1.2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233328659173377/img/compression/M_881cf674d0e38423e333f94a4c9e7274.jpg)
$求塔高AB.(结果精确到1 m)$

Solution:
$由正弦定理得\frac{CD}{\\\sin   \angle CBD}=\frac{BC}{\\\sin    \beta }，则BC=\frac{CD\\\sin    \beta }{\\\sin   \angle CBD}=\frac{400\\\sin    100^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=\frac{400\\\sin    80^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=400\times \sqrt{2}\\sin   80^\circ =400\times 1.393=557.2(m).故塔高AB=BC\\tan   50.5^\circ =557.2\times 1.2=668.64\approx 669(m).故塔高AB为669 m.$

Final answer: $669$ m
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得\angle BCD=\alpha =35^\circ ，\angle BDC=\beta =100^\circ ，CD=400 m.在点C处测得塔顶A的仰角为50.5^\circ .
参考数据：取\sqrt{2}\\sin   35^\circ =0.811，\sqrt{2}\\sin   80^\circ =1.393，\\tan   50.5^\circ =1.2.$<img_1907>
$求塔高AB.(结果精确到1 m)$

Solution:
$由正弦定理得\frac{CD}{\\\sin   \angle CBD}=\frac{BC}{\\\sin    \beta }，则BC=\frac{CD\\\sin    \beta }{\\\sin   \angle CBD}=\frac{400\\\sin    100^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=\frac{400\\\sin    80^{\circ}}{\\\sin    45^{\circ}}=400\times \sqrt{2}\\sin   80^\circ =400\times 1.393=557.2(m).故塔高AB=BC\\tan   50.5^\circ =557.2\times 1.2=668.64\approx 669(m).故塔高AB为669 m.$

Final answer: $669$ m
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，锐角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x_{1},y_{1})，将射线OA按逆时针方向旋转\frac{\pi }{3}后与单位圆交于点B(x_{2},y_{2}), f(\alpha )=x_{1}+x_{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968908551790593/img/compression/M_5fc4c44fbad80aa4973c7f171827e36d.jpg)
$求f(\alpha )的取值范围；$

Solution:
$由题意得\angle AOB=\frac{\pi }{3}，x_{1}=\\cos   \alpha ，x_{2}=\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right),(2分)\therefore f(\alpha )=x_{1}+x_{2}=\\cos   \alpha +\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\\cos   \alpha +\\cos   \alpha \\cos  \frac{\pi }{3}-\\sin   \alpha \\sin  \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}\\cos   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   \alpha =\sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)．(4分)\because 0<\alpha <\frac{\pi }{2},\therefore \frac{\pi }{6}<\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}，\therefore -\frac{1}{2}<\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore -\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)<\frac{3}{2}，\therefore f(\alpha )的取值范围是\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)．(6分)$

Final answer: $(-\frac{\sqrt 3}2, \frac{3}2)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，锐角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x_{1},y_{1})，将射线OA按逆时针方向旋转\frac{\pi }{3}后与单位圆交于点B(x_{2},y_{2}), f(\alpha )=x_{1}+x_{2}.$<img_1575>
$求f(\alpha )的取值范围；$

Solution:
$由题意得\angle AOB=\frac{\pi }{3}，x_{1}=\\cos   \alpha ，x_{2}=\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right),(2分)\therefore f(\alpha )=x_{1}+x_{2}=\\cos   \alpha +\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\\cos   \alpha +\\cos   \alpha \\cos  \frac{\pi }{3}-\\sin   \alpha \\sin  \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}\\cos   \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin   \alpha =\sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)．(4分)\because 0<\alpha <\frac{\pi }{2},\therefore \frac{\pi }{6}<\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}，\therefore -\frac{1}{2}<\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore -\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)<\frac{3}{2}，\therefore f(\alpha )的取值范围是\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)．(6分)$

Final answer: $(-\frac{\sqrt 3}2, \frac{3}2)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，锐角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x_{1},y_{1})，将射线OA按逆时针方向旋转\frac{\pi }{3}后与单位圆交于点B(x_{2},y_{2}), f(\alpha )=x_{1}+x_{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703968908551790593/img/compression/M_5fc4c44fbad80aa4973c7f171827e36d.jpg)
$若f(\alpha )=\frac{3\sqrt{3}}{5}，求\\tan   \alpha 的值.$

Solution:
$\because f(\alpha )=\frac{3\sqrt{3}}{5}，\therefore \sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{5}，\therefore \\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}，又\frac{\pi }{6}<\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}，\therefore \\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{5},(8分)\therefore \\sin   \alpha =\\sin  \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]=\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\cos   \frac{\pi }{6}-\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\sin   \frac{\pi }{6}=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}，(10分)\\cos   \alpha =\\cos  \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]=\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\cos   \frac{\pi }{6}+\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\sin   \frac{\pi }{6}=\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}+4}{10},\therefore \\tan   \alpha =\frac{\\\sin    \alpha }{\\\cos    \alpha }=\frac{4\sqrt{3}-3}{3\sqrt{3}+4}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}.(12分)$

Final answer: $\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，锐角\alpha 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x_{1},y_{1})，将射线OA按逆时针方向旋转\frac{\pi }{3}后与单位圆交于点B(x_{2},y_{2}), f(\alpha )=x_{1}+x_{2}.$<img_1575>
$若f(\alpha )=\frac{3\sqrt{3}}{5}，求\\tan   \alpha 的值.$

Solution:
$\because f(\alpha )=\frac{3\sqrt{3}}{5}，\therefore \sqrt{3}\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{5}，\therefore \\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}，又\frac{\pi }{6}<\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}，\therefore \\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{5},(8分)\therefore \\sin   \alpha =\\sin  \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]=\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\cos   \frac{\pi }{6}-\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\sin   \frac{\pi }{6}=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}，(10分)\\cos   \alpha =\\cos  \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]=\\cos  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\cos   \frac{\pi }{6}+\\sin  \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)\\sin   \frac{\pi }{6}=\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}+4}{10},\therefore \\tan   \alpha =\frac{\\\sin    \alpha }{\\\cos    \alpha }=\frac{4\sqrt{3}-3}{3\sqrt{3}+4}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}.(12分)$

Final answer: $\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873798309285891/img/compression/M_6c78d2897e3f9c1e4a608ce90c066237.jpg)$
条件①：c－a=\frac{\pi }{2}；条件②：b=\frac{\pi }{3}；条件③：c=\frac{7\pi }{12}.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.$
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$选条件①②：因为c－a=\frac{\pi }{2}，所以\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为b=\frac{\pi }{3}，f(b)=2\\sin  \left(\frac{2\pi }{3}+\varphi \right)=0，所以\frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi ，k\in Z，即\phi =－\frac{2\pi }{3}+k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=1.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).选条件①③：因为c－a=\frac{\pi }{2}，所以\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为c=\frac{7\pi }{12}，f(c)=2\\sin  \left(\frac{7\pi }{6}+\varphi \right)=－2，所以\frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，即\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=0.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).选条件②③：因为b=\frac{\pi }{3}，c=\frac{7\pi }{12}，所以c－b=\frac{\pi }{4}=\frac{T}{4}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为c=\frac{7\pi }{12}，f(c)=2\\sin  \left(\frac{7\pi }{6}+\varphi \right)=－2，所以\frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，即\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=0.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$

Final answer: $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi}3)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.$<img_2540>$
条件①：c－a=\frac{\pi }{2}；条件②：b=\frac{\pi }{3}；条件③：c=\frac{7\pi }{12}.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.$
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$选条件①②：因为c－a=\frac{\pi }{2}，所以\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为b=\frac{\pi }{3}，f(b)=2\\sin  \left(\frac{2\pi }{3}+\varphi \right)=0，所以\frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi ，k\in Z，即\phi =－\frac{2\pi }{3}+k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=1.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).选条件①③：因为c－a=\frac{\pi }{2}，所以\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为c=\frac{7\pi }{12}，f(c)=2\\sin  \left(\frac{7\pi }{6}+\varphi \right)=－2，所以\frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，即\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=0.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).选条件②③：因为b=\frac{\pi }{3}，c=\frac{7\pi }{12}，所以c－b=\frac{\pi }{4}=\frac{T}{4}，即T=\pi ，则\omega =\frac{2\pi }{T}=2.由题意可知A=2，则f(x)=2\\sin  (2x+\phi ).因为c=\frac{7\pi }{12}，f(c)=2\\sin  \left(\frac{7\pi }{6}+\varphi \right)=－2，所以\frac{7\pi }{6}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，即\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ，k\in Z.因为0<\phi <\pi ，所以\phi =\frac{\pi }{3}，k=0.所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$

Final answer: $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi}3)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873798309285891/img/compression/M_6c78d2897e3f9c1e4a608ce90c066237.jpg)$
条件①：c－a=\frac{\pi }{2}；条件②：b=\frac{\pi }{3}；条件③：c=\frac{7\pi }{12}.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.$
$设函数g(x)=f(x)\\cos  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)，若g(x)在区间[0,m]上单调递减，求m的最大值.$

Solution:
$由题意得g(x)=\\sin  \left(4x+\frac{2\pi }{3}\right).函数y=\\sin   x的单调递减区间为\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right](k\in Z).由\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 4x+\frac{2\pi }{3}\leq \frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，得－\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\leq x\leq \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}，k\in Z.因为函数y=g(x)在区间[0,m]上单调递减，且0\in \left[-\frac{\pi }{24},\frac{5\pi }{24}\right]，此时k=0,所以m\leq \frac{5\pi }{24}，所以m的最大值是\frac{5\pi }{24}.$

Final answer: $\frac{5\pi}{24}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.$<img_2540>$
条件①：c－a=\frac{\pi }{2}；条件②：b=\frac{\pi }{3}；条件③：c=\frac{7\pi }{12}.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.$
$设函数g(x)=f(x)\\cos  \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)，若g(x)在区间[0,m]上单调递减，求m的最大值.$

Solution:
$由题意得g(x)=\\sin  \left(4x+\frac{2\pi }{3}\right).函数y=\\sin   x的单调递减区间为\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right](k\in Z).由\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq 4x+\frac{2\pi }{3}\leq \frac{3\pi }{2}+2k\pi ，k\in Z，得－\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\leq x\leq \frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}，k\in Z.因为函数y=g(x)在区间[0,m]上单调递减，且0\in \left[-\frac{\pi }{24},\frac{5\pi }{24}\right]，此时k=0,所以m\leq \frac{5\pi }{24}，所以m的最大值是\frac{5\pi }{24}.$

Final answer: $\frac{5\pi}{24}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A，\omega ，\phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$<img_1720>
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知，A=2，且\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=\frac{3}{4}T,即T=\pi ,所以\omega =2,又f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2,0<\phi <\pi ,得\phi =\frac{\pi }{6},所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$

Final answer: $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi}6)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A，\omega ，\phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873745639403522/img/compression/M_33a7be52836e700b7aed792df5d6c83a.jpg)
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知，A=2，且\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=\frac{3}{4}T,即T=\pi ,所以\omega =2,又f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2,0<\phi <\pi ,得\phi =\frac{\pi }{6},所以f(x)=2\\sin  \left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$

Final answer: $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi}6)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A，\omega ，\phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873745639403522/img/compression/M_33a7be52836e700b7aed792df5d6c83a.jpg)
$求f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)的值.$

Solution:
$由(1)知f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)=2\\sin  \left(-\frac{10\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\\sin  \frac{\pi }{6}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $函数f(x)=A\\sin  (\omega x+\phi )(A，\omega ，\phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$<img_1720>
$求f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)的值.$

Solution:
$由(1)知f\left(-\frac{5\pi }{3}\right)=2\\sin  \left(-\frac{10\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\\sin  \frac{\pi }{6}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$求\\sin   C的值；$

Solution:
$在\triangle ABC中，因为a=3，c=\sqrt{2}，B=45^\circ ，所以由余弦定理可得b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\\cos   B=9+2-2\times 3\times \sqrt{2}\times \\cos   45^\circ =5，所以b=\sqrt{5}.在\triangle ABC中，由正弦定理得\frac{b}{\\\sin    B}=\frac{c}{\\\sin    C}，即\frac{\sqrt{5}}{\\\sin    45 ^{\circ} }=\frac{\sqrt{2}}{\\\sin    C}，所以\\sin   C=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt 5}5$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$在边BC上取一点D，使得\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，求\\tan  \angle DAC的值.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623893145106911233/img/compression/M_21a41954cde452d14b35b9d1d2ada624.jpg)

Solution:
$在\triangle ADC中，因为\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\angle ADC为钝角，而\angle ADC+\angle C+\angle DAC=180^\circ ，所以\angle C为锐角，故\\cos   C=\sqrt{1-\\\sin   ^2C}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，则\\tan   C=\frac{\\\sin    C}{\\\cos    C}=\frac{1}{2}.因为\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\\sin  \angle ADC=\sqrt{1-\\\cos   ^2\angle ADC}=\frac{3}{5}，则\\tan  \angle ADC=\frac{\\\sin   \angle ADC}{\\\cos   \angle ADC}=-\frac{3}{4}.从而\\tan  \angle DAC=\\tan  (180^\circ -\angle ADC-\angle C)=-\\tan  (\angle ADC+\angle C)=-\frac{\\\tan   \angle ADC+\\\tan    C}{1-\\\tan   \angle ADC \cdot \\\tan    C}=-\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{11}.$

Final answer: $\frac{2}{11}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=\sqrt{2},B=45^\circ .$
$在边BC上取一点D，使得\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，求\\tan  \angle DAC的值.$<img_2290>

Solution:
$在\triangle ADC中，因为\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\angle ADC为钝角，而\angle ADC+\angle C+\angle DAC=180^\circ ，所以\angle C为锐角，故\\cos   C=\sqrt{1-\\\sin   ^2C}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，则\\tan   C=\frac{\\\sin    C}{\\\cos    C}=\frac{1}{2}.因为\\cos  \angle ADC=-\frac{4}{5}，所以\\sin  \angle ADC=\sqrt{1-\\\cos   ^2\angle ADC}=\frac{3}{5}，则\\tan  \angle ADC=\frac{\\\sin   \angle ADC}{\\\cos   \angle ADC}=-\frac{3}{4}.从而\\tan  \angle DAC=\\tan  (180^\circ -\angle ADC-\angle C)=-\\tan  (\angle ADC+\angle C)=-\frac{\\\tan   \angle ADC+\\\tan    C}{1-\\\tan   \angle ADC \cdot \\\tan    C}=-\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{11}.$

Final answer: $\frac{2}{11}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮(看作一个圆)放入如图所示的坐标系中，后轮以\omega  rad/s的角速度逆时针做圆周运动，P_{0}是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021090218819585/img/compression/M_2b62080e4466dc65ee2135a33d9c240a.jpg)
$求气针P的纵坐标y关于时间t(s)的函数解析式，并求出P的运动周期；$

Solution:
$y=r\\sin  (\omega t+\phi )，因此周期T=\frac{2\pi }{\omega }.$

Final answer: $y=r\sin  (\omega t+\phi )$,$\frac{2\pi }{\omega }$
Subfield: Plane Geometry


Question: $将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮(看作一个圆)放入如图所示的坐标系中，后轮以\omega  rad/s的角速度逆时针做圆周运动，P_{0}是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.$<img_1886>
$求气针P的纵坐标y关于时间t(s)的函数解析式，并求出P的运动周期；$

Solution:
$y=r\\sin  (\omega t+\phi )，因此周期T=\frac{2\pi }{\omega }.$

Final answer: $y=r\sin  (\omega t+\phi )$,$\frac{2\pi }{\omega }$
Subfield: Plane Geometry


Question: $将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮(看作一个圆)放入如图所示的坐标系中，后轮以\omega  rad/s的角速度逆时针做圆周运动，P_{0}是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.$<img_1886>
$当\phi =\frac{\pi }{6}，r=\omega =1时，作出其图象.$

Solution:
$当\phi =\frac{\pi }{6}，r=\omega =1时，y=\\sin  \left(t+\frac{\pi }{6}\right)，其图象可由y=\\sin   t的图象向左平移\frac{\pi }{6}个单位长度得到，如图所示.$<img_1867>

Final answer: $y = \sin (t + \frac{\pi} 6)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮(看作一个圆)放入如图所示的坐标系中，后轮以\omega  rad/s的角速度逆时针做圆周运动，P_{0}是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021090218819585/img/compression/M_2b62080e4466dc65ee2135a33d9c240a.jpg)
$当\phi =\frac{\pi }{6}，r=\omega =1时，作出其图象.$

Solution:
$当\phi =\frac{\pi }{6}，r=\omega =1时，y=\\sin  \left(t+\frac{\pi }{6}\right)，其图象可由y=\\sin   t的图象向左平移\frac{\pi }{6}个单位长度得到，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021090558558210/img/compression/M_ad4fb8e7cd3154d3aaca477917f6ffe2.jpg)

Final answer: $y = \sin (t + \frac{\pi} 6)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个转轮的示意图如图所示，该转轮的半径为4.8 m，转轮上最低点与地面间的距离为0.8 m，转轮每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动\theta 角到OB，设B点与地面间的距离为h m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021093737840642/img/compression/M_2c7cdd3932a5a2b18fc220bbaf1a4040.jpg)
$求h与\theta 之间的函数解析式；$

Solution:
$以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021093981110274/img/compression/M_2a1455a9925c0abf5cd9d09171b6a8ad.jpg)$则以Ox为始边，OB为终边的角为\theta -\frac{\pi }{2}，故点B的坐标为\left(\right.4.8\\cos  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)，4.8\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)\left)\right.，\therefore h=5.6+4.8\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)=5.6-4.8\\cos   \theta .$

Final answer: $h=5.6-4.8\cos \theta $
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个转轮的示意图如图所示，该转轮的半径为4.8 m，转轮上最低点与地面间的距离为0.8 m，转轮每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动\theta 角到OB，设B点与地面间的距离为h m.$<img_2675>
$求h与\theta 之间的函数解析式；$

Solution:
$以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，$<img_2423>$则以Ox为始边，OB为终边的角为\theta -\frac{\pi }{2}，故点B的坐标为\left(\right.4.8\\cos  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)，4.8\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)\left)\right.，\therefore h=5.6+4.8\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)=5.6-4.8\\cos   \theta .$

Final answer: $h=5.6-4.8\cos \theta $
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个转轮的示意图如图所示，该转轮的半径为4.8 m，转轮上最低点与地面间的距离为0.8 m，转轮每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动\theta 角到OB，设B点与地面间的距离为h m.$<img_2675>
$设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后点A的对应点距离地面的高度.$

Solution:
$易知点A转动的角速度是\frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{30} rad/s，故t s后转过的弧度数为\frac{\pi }{30}t，\therefore h=5.6-4.8\\cos   \frac{\pi }{30}t，t\in [0，+\infty ).当t=45时，h=5.6.故经过45 s后点A的对应点距离地面的高度为5.6 m.$

Final answer: $5.6 $ m
Subfield: Plane Geometry


Question: $一个转轮的示意图如图所示，该转轮的半径为4.8 m，转轮上最低点与地面间的距离为0.8 m，转轮每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动\theta 角到OB，设B点与地面间的距离为h m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1704021093737840642/img/compression/M_2c7cdd3932a5a2b18fc220bbaf1a4040.jpg)
$设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后点A的对应点距离地面的高度.$

Solution:
$易知点A转动的角速度是\frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{30} rad/s，故t s后转过的弧度数为\frac{\pi }{30}t，\therefore h=5.6-4.8\\cos   \frac{\pi }{30}t，t\in [0，+\infty ).当t=45时，h=5.6.故经过45 s后点A的对应点距离地面的高度为5.6 m.$

Final answer: $5.6 $ m
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某公园摩天轮的半径为40 m，其中心O距地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706218785409552386/img/compression/M_047d4fc9c48b60051ad747a8215424ce.jpg)
$已知在t分钟时点P距离地面的高度(单位：m)为f(t)=A\\sin  (\omega t+\phi )+h\left(\right.\omega >0,|\phi |\leq \frac{\pi }{2})，求转动2 020分钟时点P距离地面的高度；$

Solution:
$由题意得A=40，h=50，周期T=30，\therefore \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{15}.\because f(0)=40\\sin   \phi +50=10，\therefore \\sin   \phi =-1，又|\phi |\leq \frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{2}，\therefore f(t)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+50(t\geq 0)，\therefore f(2 020)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}\times 2 020-\frac{\pi }{2}\right)+50=40\\sin   \frac{\pi }{6}+50=70，故转动2 020分钟时点P距离地面的高度为70 m.$

Final answer: $70$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某公园摩天轮的半径为40 m，其中心O距地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.$<img_2500>
$已知在t分钟时点P距离地面的高度(单位：m)为f(t)=A\\sin  (\omega t+\phi )+h\left(\right.\omega >0,|\phi |\leq \frac{\pi }{2})，求转动2 020分钟时点P距离地面的高度；$

Solution:
$由题意得A=40，h=50，周期T=30，\therefore \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{15}.\because f(0)=40\\sin   \phi +50=10，\therefore \\sin   \phi =-1，又|\phi |\leq \frac{\pi }{2}，\therefore \phi =-\frac{\pi }{2}，\therefore f(t)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+50(t\geq 0)，\therefore f(2 020)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}\times 2 020-\frac{\pi }{2}\right)+50=40\\sin   \frac{\pi }{6}+50=70，故转动2 020分钟时点P距离地面的高度为70 m.$

Final answer: $70$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某公园摩天轮的半径为40 m，其中心O距地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706218785409552386/img/compression/M_047d4fc9c48b60051ad747a8215424ce.jpg)
$在摩天轮上，当距离地面(50+20\sqrt{3})m以上时，可以看到公园的全貌，则摩天轮转动一圈的过程中有多长时间可以看到公园全貌？$

Solution:
$由(1)知f(t)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+50=50-40\\cos  \frac{\pi }{15}t(t\geq 0).令f(t)>50+20\sqrt{3}，得\\cos  \frac{\pi }{15}t<-\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore 2k\pi +\frac{5\pi }{6}<\frac{\pi }{15}t<2k\pi +\frac{7\pi }{6}(k\in N)，\therefore 30k+\frac{25}{2}N).\because \left(30k+\frac{35}{2}\right)-\left(30k+\frac{25}{2}\right)=5，\therefore 摩天轮转动一圈的过程中有5分钟可以看到公园全貌.$

Final answer: $5$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某公园摩天轮的半径为40 m，其中心O距地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.$<img_2500>
$在摩天轮上，当距离地面(50+20\sqrt{3})m以上时，可以看到公园的全貌，则摩天轮转动一圈的过程中有多长时间可以看到公园全貌？$

Solution:
$由(1)知f(t)=40\\sin  \left(\frac{\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+50=50-40\\cos  \frac{\pi }{15}t(t\geq 0).令f(t)>50+20\sqrt{3}，得\\cos  \frac{\pi }{15}t<-\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore 2k\pi +\frac{5\pi }{6}<\frac{\pi }{15}t<2k\pi +\frac{7\pi }{6}(k\in N)，\therefore 30k+\frac{25}{2}N).\because \left(30k+\frac{35}{2}\right)-\left(30k+\frac{25}{2}\right)=5，\therefore 摩天轮转动一圈的过程中有5分钟可以看到公园全貌.$

Final answer: $5$ 分钟
Subfield: Plane Geometry


Question: $建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ^\circ C时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.下图是该市冬季某一天的气温y(单位：^\circ C)随时间t(0\leq t\leq 24，单位：时)的大致变化曲线，已知该曲线近似满足y=f(t)=A\\sin  \left(\omega t-\frac{3\pi }{4}\right)+b(A>0,\omega >0)的关系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200452651651073/img/compression/M_52db569a52ba523d6dfc8abebeb52c0f.jpg)
$求y=f(t)的表达式；$

Solution:
$由题图知，y=f(t)=A\\sin  \left(\omega t-\frac{3\pi }{4}\right)+b(A>0,\omega >0)的图象上最低点的坐标为(3,-4)，与之相邻的最高点的坐标为(15,12)，所以A=\frac{12-(-4)}{2}=8,b=\frac{12+(-4)}{2}=4,\frac{T}{2}=15-3=12,(3分)所以T=\frac{2\pi }{|\omega |}=24，又\omega >0，所以\omega =\frac{\pi }{12}，所以y=f(t)=8\\sin  \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)+4(0\leq t\leq 24).(5分)$

Final answer: $y=f(t)=8\sin (\frac{\pi} {12}t-\frac{3\pi} 4)+4 (0\leq t\leq 24)$