di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661718672302082/img/compression/M_a79f6cb3b81a86e961b5f8f1f9a14375.jpg)$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(1)求a的值；$

Solution:
$由题意得2\times (0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12.$

Final answer: $0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$<img_1802>$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(1)求a的值；$

Solution:
$由题意得2\times (0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12.$

Final answer: $0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661718672302082/img/compression/M_a79f6cb3b81a86e961b5f8f1f9a14375.jpg)$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间\xi 近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本的平均数，经计算知\sigma \approx 2.39，若该地区有5 000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；$

Solution:
$由题意知样本的平均数为4\times 0.02\times 2+6\times 0.03\times 2+8\times 0.12\times 2+10\times 0.18\times 2+12\times 0.10\times 2+14\times 0.05\times 2=9.84，所以\mu =9.84.又\sigma \approx 2.39，所以P(7.45<\xi \leq 14.62)=P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )=\frac{1}{2}P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )+\frac{1}{2}P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx \frac{1}{2}\times (0.682 7+0.954 5)=0.818 6.因为5 000\times 0.818 6=4 093，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数为4 093.$

Final answer: $4093$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$<img_1802>$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间\xi 近似服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本的平均数，经计算知\sigma \approx 2.39，若该地区有5 000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；$

Solution:
$由题意知样本的平均数为4\times 0.02\times 2+6\times 0.03\times 2+8\times 0.12\times 2+10\times 0.18\times 2+12\times 0.10\times 2+14\times 0.05\times 2=9.84，所以\mu =9.84.又\sigma \approx 2.39，所以P(7.45<\xi \leq 14.62)=P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )=\frac{1}{2}P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )+\frac{1}{2}P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx \frac{1}{2}\times (0.682 7+0.954 5)=0.818 6.因为5 000\times 0.818 6=4 093，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数为4 093.$

Final answer: $4093$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661718672302082/img/compression/M_a79f6cb3b81a86e961b5f8f1f9a14375.jpg)$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(3)现采用分层随机抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人做进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)与[9,11)内的教职工平均人数.(四舍五入取整数)$

Solution:
$[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}，所以EX=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5},则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1，学习时间在[9,11)内的教职工平均人数约为2.$

Final answer: $1,2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(单位：小时，满时长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).$<img_1802>$
参考数据：若随机变量\xi 服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <\xi \leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma <\xi \leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma <\xi \leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$(3)现采用分层随机抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人做进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)与[9,11)内的教职工平均人数.(四舍五入取整数)$

Solution:
$[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{5}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}，所以EX=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5},则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1，学习时间在[9,11)内的教职工平均人数约为2.$

Final answer: $1,2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661740025503746/img/compression/M_50bbae1055f149bef0dbea2ed55a686c.jpg)
$(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；$

Solution:
$这60人年龄的平均数为15\times 0.15+25\times 0.2+35\times 0.3+45\times 0.15+55\times 0.1+65\times 0.05+75\times 0.05=37.$

Final answer: $37$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2034>
$(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；$

Solution:
$这60人年龄的平均数为15\times 0.15+25\times 0.2+35\times 0.3+45\times 0.15+55\times 0.1+65\times 0.05+75\times 0.05=37.$

Final answer: $37$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661740025503746/img/compression/M_50bbae1055f149bef0dbea2ed55a686c.jpg)
$(2)若从样本中年龄在[50，70)内的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$由题意可知，年龄在[50，60)内的人数为6，在[60，70)内的人数为3，X的可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6\mathrm{C}^0_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{5}{21}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{15}{28}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{3}{14}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^0_6\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}，\therefore X的分布列为X0123P\frac{5}{21}\frac{15}{28}\frac{3}{14}\frac{1}{84}所以X的数学期望EX=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2034>
$(2)若从样本中年龄在[50，70)内的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望；$

Solution:
$由题意可知，年龄在[50，60)内的人数为6，在[60，70)内的人数为3，X的可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6\mathrm{C}^0_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{5}{21}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{15}{28}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{3}{14}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^0_6\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}，\therefore X的分布列为X0123P\frac{5}{21}\frac{15}{28}\frac{3}{14}\frac{1}{84}所以X的数学期望EX=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661740025503746/img/compression/M_50bbae1055f149bef0dbea2ed55a686c.jpg)
$(3)一支200人的队伍，男性占其中的\frac{3}{8}，40岁及以下的男性和女性人数分别为30和70，请补充完整2\times 2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁及以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.性别年龄40岁及以下40岁以上总计男性30女性70总计200$

Solution:
$由题意知该队伍中男性有75人，女性有125人，则2\times 2列联表如下：性别年龄40岁及以下40岁以上总计男性304575女性7055125总计100100200因此\chi ^{2}=\frac{200 \times (30 \times 55-45 \times 70)^2}{75 \times 125 \times 100 \times 100}=4.8.\because 4.8>3.841,\therefore 有95%的把握认为40岁及以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)后得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2034>
$(3)一支200人的队伍，男性占其中的\frac{3}{8}，40岁及以下的男性和女性人数分别为30和70，请补充完整2\times 2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁及以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.性别年龄40岁及以下40岁以上总计男性30女性70总计200$

Solution:
$由题意知该队伍中男性有75人，女性有125人，则2\times 2列联表如下：性别年龄40岁及以下40岁以上总计男性304575女性7055125总计100100200因此\chi ^{2}=\frac{200 \times (30 \times 55-45 \times 70)^2}{75 \times 125 \times 100 \times 100}=4.8.\because 4.8>3.841,\therefore 有95%的把握认为40岁及以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示.$<img_1996>$
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{0.3}\approx 0.55，\sqrt{0.9}\approx 0.95.回归直线y=bx＋a中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(1)依据散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；$

Solution:
$由已知数据可得\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5，\overline{y}=\frac{3+4+4+4+5}{5}=4.所以\sum \limits^{5}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=(-3)\times (-1)＋(-1)\times 0＋0\times 0＋1\times 0＋3\times 1=6，\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+0^2+1^2+3^2}=2\sqrt{5}，\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}，所以相关系数r=\frac{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{6}{2\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}\approx 0.95.因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.$

Final answer: $0.95$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661728954433538/img/compression/M_85df5886fbf351c89a1c289bf41938d7.jpg)$
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{0.3}\approx 0.55，\sqrt{0.9}\approx 0.95.回归直线y=bx＋a中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(1)依据散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；$

Solution:
$由已知数据可得\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5，\overline{y}=\frac{3+4+4+4+5}{5}=4.所以\sum \limits^{5}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=(-3)\times (-1)＋(-1)\times 0＋0\times 0＋1\times 0＋3\times 1=6，\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+0^2+1^2+3^2}=2\sqrt{5}，\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}，所以相关系数r=\frac{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{5}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{6}{2\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}\approx 0.95.因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.$

Final answer: $0.95$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示.$<img_1996>$
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{0.3}\approx 0.55，\sqrt{0.9}\approx 0.95.回归直线y=bx＋a中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y为多少.$

Solution:
$\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6}{20}=0.3，\hat{a}=4-5\times 0.3=2.5,所以y关于x的回归方程为\hat{y}=0.3x＋2.5.当x=12时，\hat{y}=0.3\times 12＋2.5=6.1.即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.$

Final answer: $6.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661728954433538/img/compression/M_85df5886fbf351c89a1c289bf41938d7.jpg)$
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{0.3}\approx 0.55，\sqrt{0.9}\approx 0.95.回归直线y=bx＋a中，斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y为多少.$

Solution:
$\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6}{20}=0.3，\hat{a}=4-5\times 0.3=2.5,所以y关于x的回归方程为\hat{y}=0.3x＋2.5.当x=12时，\hat{y}=0.3\times 12＋2.5=6.1.即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.$

Final answer: $6.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种新产品投放市场一段时间后，公司经过调研获得了时间x(天)与销售单价y(元)的一组数据，且进行了一定的数据处理(如表)，并作出了散点图(如图).
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
1.63
37.8
0.89
5.15
0.92
-20.6
18.40
表中w_{i}=\frac{1}{x_i},\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{{i=1}}w_{i}.$<img_1820>$
附：对于一组数据(u_{1}，v_{1})，(u_{2}，v_{2})，(u_{3}，v_{3})，\ldots ，(u_{n}，v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+\frac{d}{x}哪一个更适宜作为销售单价y关于时间x的回归方程类型;(不必说明理由)$

Solution:
$由题中散点图可以判断y=c+\frac{d}{x}更适宜作为销售单价y关于时间x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+\frac{d}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种新产品投放市场一段时间后，公司经过调研获得了时间x(天)与销售单价y(元)的一组数据，且进行了一定的数据处理(如表)，并作出了散点图(如图).
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
1.63
37.8
0.89
5.15
0.92
-20.6
18.40
表中w_{i}=\frac{1}{x_i},\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{{i=1}}w_{i}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661729390641155/img/compression/M_e936f9450ef6357c6568ca65dd155fa5.jpg)$
附：对于一组数据(u_{1}，v_{1})，(u_{2}，v_{2})，(u_{3}，v_{3})，\ldots ，(u_{n}，v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+\frac{d}{x}哪一个更适宜作为销售单价y关于时间x的回归方程类型;(不必说明理由)$

Solution:
$由题中散点图可以判断y=c+\frac{d}{x}更适宜作为销售单价y关于时间x的回归方程类型.$

Final answer: $y=c+\frac{d}{x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种新产品投放市场一段时间后，公司经过调研获得了时间x(天)与销售单价y(元)的一组数据，且进行了一定的数据处理(如表)，并作出了散点图(如图).
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
1.63
37.8
0.89
5.15
0.92
-20.6
18.40
表中w_{i}=\frac{1}{x_i},\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{{i=1}}w_{i}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661729390641155/img/compression/M_e936f9450ef6357c6568ca65dd155fa5.jpg)$
附：对于一组数据(u_{1}，v_{1})，(u_{2}，v_{2})，(u_{3}，v_{3})，\ldots ，(u_{n}，v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；$

Solution:
$令w=\frac{1}{x}，由(1)可设y关于w的线性回归方程为 \hat{y}=\hat{c}+\hat{d}w，\hat{d}=\frac{18.40}{0.92}=20,\hat{c}=37.8-20\times 0.89=20,\therefore y关于w的线性回归方程为\hat{y}=20+20w.\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=20+\frac{20}{x}.$

Final answer: $\hat{y}=20+\frac{20}{x}$
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Question: $某种新产品投放市场一段时间后，公司经过调研获得了时间x(天)与销售单价y(元)的一组数据，且进行了一定的数据处理(如表)，并作出了散点图(如图).
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
1.63
37.8
0.89
5.15
0.92
-20.6
18.40
表中w_{i}=\frac{1}{x_i},\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{{i=1}}w_{i}.$<img_1820>$
附：对于一组数据(u_{1}，v_{1})，(u_{2}，v_{2})，(u_{3}，v_{3})，\ldots ，(u_{n}，v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；$

Solution:
$令w=\frac{1}{x}，由(1)可设y关于w的线性回归方程为 \hat{y}=\hat{c}+\hat{d}w，\hat{d}=\frac{18.40}{0.92}=20,\hat{c}=37.8-20\times 0.89=20,\therefore y关于w的线性回归方程为\hat{y}=20+20w.\therefore y关于x的回归方程为\hat{y}=20+\frac{20}{x}.$

Final answer: $\hat{y}=20+\frac{20}{x}$
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Question: $某种新产品投放市场一段时间后，公司经过调研获得了时间x(天)与销售单价y(元)的一组数据，且进行了一定的数据处理(如表)，并作出了散点图(如图).
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})\cdot (y_{i}-\overline{y})
\sum \limits^{10}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})\cdot (y_{i}-\overline{y})
1.63
37.8
0.89
5.15
0.92
-20.6
18.40
表中w_{i}=\frac{1}{x_i},\overline{w}=\frac{1}{10}\sum \limits^{10}_{{i=1}}w_{i}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661729390641155/img/compression/M_e936f9450ef6357c6568ca65dd155fa5.jpg)$
附：对于一组数据(u_{1}，v_{1})，(u_{2}，v_{2})，(u_{3}，v_{3})，\ldots ，(u_{n}，v_{n})，其回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(u_i-\overline{u})^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$(3)若该产品的日销售量g(x)(件)与时间x的函数关系为g(x)=\frac{-100}{x}+120(x\in N_{+}),则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？$

Solution:
$设日销售额为h(x)元，则h(x)=g(x)\left(20+\frac{20}{x}\right)=-200\left(\frac{10}{x}-12\right)\left(\frac{1}{x}+1\right)=-2 000\left[\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{10}\right)^2-1.21\right]，当x=10时，h(x)有最大值，为2 420，即该产品投放市场第10天的销售额最高，最高为2 420元.$

Final answer: $该产品投放市场第10天的销售额最高，最高为2 420元。$
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Question: $某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份序号x
1
2
3
4
5
营业收入y(亿元)
0.52
9.36
33.6
132
352
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
6
7
8
9
10
营业收入y(亿元)
571
912
1 207
1 682
2 135
由表1，得到下面的散点图：$<img_2836>$根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx^{2}+a(b和a均为非零常数)来拟合y和x的关系.这时，可以令t=x^{2}，得y=bt+a，由表1可得t与y的相关数据如表2.
表2
t
1
4
9
16
25
y
0.52
9.36
33.6
132
352
t
36
49
64
81
100
y
571
912
1 207
1 682
2 135
参考公式：线性回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(u_i-\overline{u})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：\overline{t}=38.5,\overline{y}\approx 703.45,\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})^{2}\approx 1.051\times 10^{4},\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})\approx 2.327\times 10^{5}.$
$(1)根据表2中的数据，建立y关于t的线性回归方程(系数精确到个位数)；$

Solution:
$易得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}{(t_i-\overline{t})}^2}\approx \frac{2.327 \times {10}^5}{1.051 \times {10}^4}\approx 22，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}\approx 703.45-22\times 38.5\approx -144，故y关于t的线性回归方程为\hat{y}=22t-144.$

Final answer: $\hat{y}=22t-144$
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Question: $某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份序号x
1
2
3
4
5
营业收入y(亿元)
0.52
9.36
33.6
132
352
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
6
7
8
9
10
营业收入y(亿元)
571
912
1 207
1 682
2 135
由表1，得到下面的散点图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661729709408259/img/compression/M_172a49f1b0d51e869c630ca46ebb6c78.jpg)$根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx^{2}+a(b和a均为非零常数)来拟合y和x的关系.这时，可以令t=x^{2}，得y=bt+a，由表1可得t与y的相关数据如表2.
表2
t
1
4
9
16
25
y
0.52
9.36
33.6
132
352
t
36
49
64
81
100
y
571
912
1 207
1 682
2 135
参考公式：线性回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(u_i-\overline{u})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：\overline{t}=38.5,\overline{y}\approx 703.45,\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})^{2}\approx 1.051\times 10^{4},\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})\approx 2.327\times 10^{5}.$
$(1)根据表2中的数据，建立y关于t的线性回归方程(系数精确到个位数)；$

Solution:
$易得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{{10}}_{{i=1}}{(t_i-\overline{t})}^2}\approx \frac{2.327 \times {10}^5}{1.051 \times {10}^4}\approx 22，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}\approx 703.45-22\times 38.5\approx -144，故y关于t的线性回归方程为\hat{y}=22t-144.$

Final answer: $\hat{y}=22t-144$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份序号x
1
2
3
4
5
营业收入y(亿元)
0.52
9.36
33.6
132
352
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
6
7
8
9
10
营业收入y(亿元)
571
912
1 207
1 682
2 135
由表1，得到下面的散点图：$<img_2836>$根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx^{2}+a(b和a均为非零常数)来拟合y和x的关系.这时，可以令t=x^{2}，得y=bt+a，由表1可得t与y的相关数据如表2.
表2
t
1
4
9
16
25
y
0.52
9.36
33.6
132
352
t
36
49
64
81
100
y
571
912
1 207
1 682
2 135
参考公式：线性回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(u_i-\overline{u})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：\overline{t}=38.5,\overline{y}\approx 703.45,\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})^{2}\approx 1.051\times 10^{4},\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})\approx 2.327\times 10^{5}.$
$(2)根据(1)中得到的线性回归方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4 000亿元的年份.$

Solution:
$2023年对应的t的值为169，故该年的营业收入为\hat{y}=22\times 169-144=3 574(亿元)，所以估计2023年的营业收入为3 574亿元.依题意，有22t-144>4 000，解得t>188.4，即x^{2}>188.4.因为13<\sqrt{188.4}<14，所以估计营业收入首次超过4 000亿元的年份序号为14，即2024年.$

Final answer: $3574, 2024$