di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944124006402/img/compression/M_cf86dfafa7705cfa0144781d38ed0e9c.jpg)
$求二面角B-B_1E-D的正弦值；$

Solution:
$依题意，\overrightarrow{CA}=(2，0，0)是平面BB_1E的一个法向量，\overrightarrow{EB_1}=(0，2，1)，\overrightarrow{ED}=(2，0，-1)。设n=(x，y，z)为平面DB_1E的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EB_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{ED}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
2y+z=0,\\ 
2x-z=0.
\end{matrix}
\right.
$$
不妨设$x=1，可得n=(1，-1，2)$。

$因此有\cos \langle \overrightarrow{CA}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{6}，于是\sin \langle \overrightarrow{CA}，n\rangle =\frac{\sqrt{30}}{6}.所以，二面角B-B_1E-D的正弦值为\frac{\sqrt{30}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{30}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

<img_3083>
$求二面角B-B_1E-D的正弦值；$

Solution:
$依题意，\overrightarrow{CA}=(2，0，0)是平面BB_1E的一个法向量，\overrightarrow{EB_1}=(0，2，1)，\overrightarrow{ED}=(2，0，-1)。设n=(x，y，z)为平面DB_1E的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EB_1}=0,\\ 
\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{ED}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
2y+z=0,\\ 
2x-z=0.
\end{matrix}
\right.
$$
不妨设$x=1，可得n=(1，-1，2)$。

$因此有\cos \langle \overrightarrow{CA}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{6}，于是\sin \langle \overrightarrow{CA}，n\rangle =\frac{\sqrt{30}}{6}.所以，二面角B-B_1E-D的正弦值为\frac{\sqrt{30}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{30}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

<img_3083>
$求直线AB与平面DB_1E所成角的正弦值.$

Solution:
$依题意，\overrightarrow{AB}=(-2，2，0).由(2)知n=(1，-1，2)为平面DB_1E的一个法向量，故\cos \langle \overrightarrow{AB}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AB}||\boldsymbol{n}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}. 所以，直线AB与平面DB_1E所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: \frac{\sqrt{3}}{3}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，CC_1\perp 平面ABC，AC\perp BC，AC=BC=2，CC_1=3，点D，E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1，CE=2，M为棱A_1B_1的中点.$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944124006402/img/compression/M_cf86dfafa7705cfa0144781d38ed0e9c.jpg)
$求直线AB与平面DB_1E所成角的正弦值.$

Solution:
$依题意，\overrightarrow{AB}=(-2，2，0).由(2)知n=(1，-1，2)为平面DB_1E的一个法向量，故\cos \langle \overrightarrow{AB}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AB}||\boldsymbol{n}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}. 所以，直线AB与平面DB_1E所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: \frac{\sqrt{3}}{3}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,已知四边形ABCD和四边形CDEF都是直角梯形,AB\parallel DC,DC\parallel EF,AB=5,DC=3,EF=1,\angle BAD=\angle CDE=60^\circ ,二面角F-DC-B的平面角为60^\circ .设M,N分别为AE,BC的中点.$

<img_2274>
$求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.$

Solution:
建立如图所示的空间直角坐标系.

<img_2439>

$由题意得B(0,\sqrt{3},0), A(5,\sqrt{3},0),E(1,0,3),D(3,-\sqrt{3},0),则M\left(3,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{BM}=\left(3,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\overrightarrow{DA}=(2,2\sqrt{3},0),\overrightarrow{DE}=(-2,\sqrt{3},3).$

$设平面ADE的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，则$
$\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DA} = 0,$
$\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE} = 0,$
即
$2x+2\sqrt{3}y=0,$
$-2x+\sqrt{3}y+3z=0.令y=-1，则\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3}).$

$设直线BM与平面ADE所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|cos\langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{BM}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BM}||\boldsymbol{n}|}=\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

$\therefore 直线BM与平面ADE所成角的正弦值为\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

Final answer: $\frac{5\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,已知四边形ABCD和四边形CDEF都是直角梯形,AB\parallel DC,DC\parallel EF,AB=5,DC=3,EF=1,\angle BAD=\angle CDE=60^\circ ,二面角F-DC-B的平面角为60^\circ .设M,N分别为AE,BC的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283944862203907/img/compression/M_7878b48b4bd971b18485325842d32d31.jpg)
$求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.$

Solution:
建立如图所示的空间直角坐标系.

![23GZT5SX53A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283945193553922/img/compression/M_833855238bf1f0aa0d01ffaeeb7663d9.jpg)

$由题意得B(0,\sqrt{3},0), A(5,\sqrt{3},0),E(1,0,3),D(3,-\sqrt{3},0),则M\left(3,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{BM}=\left(3,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\overrightarrow{DA}=(2,2\sqrt{3},0),\overrightarrow{DE}=(-2,\sqrt{3},3).$

$设平面ADE的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，则$
$\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DA} = 0,$
$\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DE} = 0,$
即
$2x+2\sqrt{3}y=0,$
$-2x+\sqrt{3}y+3z=0.令y=-1，则\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3}).$

$设直线BM与平面ADE所成角为\theta ，$

$则\sin  \theta =|cos\langle \boldsymbol{n},\overrightarrow{BM}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BM}||\boldsymbol{n}|}=\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

$\therefore 直线BM与平面ADE所成角的正弦值为\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

Final answer: $\frac{5\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283946867081218/img/compression/M_a21b01e9af5f1573350158920a4bc8ec.jpg)
$若M是棱A_1B_1上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为 \frac{\sqrt{5}}{3}，求 \frac{A_1M}{A_1B_1} 的值.$

Solution:
$以D为原点，\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DD_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz(图略).设正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为2，\overrightarrow{A_1M}=\lambda\overrightarrow{A_1B_1}(0< \lambda <1)，则C(0,2,0)，A_1(2,0,2)，B_1(2,2,2)，C_1(0,2,2)，D_1(0,0,2)，F(1,2,2)，E(1,0,2)，所以\overrightarrow{CF}=(1,0,2)，\overrightarrow{EF}=(0,2,0)，\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA_1}+\overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{CA_1}+\lambda\overrightarrow{A_1B_1}=(2,-2,2)+\lambda(0,2,0)=(2,-2+2\lambda,2).$

$设平面CEF的法向量为\mathbf{n}_1=(x_1,y_1,z_1)，则\{ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{CF}=0, \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{EF}=0,\}即\{x_1+2z_1=0,2y_1=0,\} 令z_1=1，得x_1=-2,所以平面CEF的一个法向量为\mathbf{n}_1=(-2,0,1).$

$设平面CFM的法向量为\mathbf{n}_2=(x_2,y_2,z_2)，则\{ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{CF}=0, \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{CM}=0,\}即\{x_2+2z_2=0,2x_2+(-2+2\lambda)y_2+2z_2=0,\} 令z_2=1，得x_2=-2,y_2=\frac{1}{\lambda -1}，所以平面CFM的一个法向量为\mathbf{n}_2=(-2,\frac{1}{\lambda -1},1).$

$因为二面角M-FC-E的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}，所以\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{\sqrt{5}}{3}，即\frac{|(-2)^2+1^2|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(\frac{1}{\lambda -1})^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}，又0< \lambda <1，解得\lambda=\frac{1}{2}，即\frac{A_1M}{A_1B_1}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E为A_1D_1的中点，B_1C_1与平面CDE交于点F.$

<img_2533>
$若M是棱A_1B_1上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为 \frac{\sqrt{5}}{3}，求 \frac{A_1M}{A_1B_1} 的值.$

Solution:
$以D为原点，\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DD_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz(图略).设正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为2，\overrightarrow{A_1M}=\lambda\overrightarrow{A_1B_1}(0< \lambda <1)，则C(0,2,0)，A_1(2,0,2)，B_1(2,2,2)，C_1(0,2,2)，D_1(0,0,2)，F(1,2,2)，E(1,0,2)，所以\overrightarrow{CF}=(1,0,2)，\overrightarrow{EF}=(0,2,0)，\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA_1}+\overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{CA_1}+\lambda\overrightarrow{A_1B_1}=(2,-2,2)+\lambda(0,2,0)=(2,-2+2\lambda,2).$

$设平面CEF的法向量为\mathbf{n}_1=(x_1,y_1,z_1)，则\{ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{CF}=0, \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{EF}=0,\}即\{x_1+2z_1=0,2y_1=0,\} 令z_1=1，得x_1=-2,所以平面CEF的一个法向量为\mathbf{n}_1=(-2,0,1).$

$设平面CFM的法向量为\mathbf{n}_2=(x_2,y_2,z_2)，则\{ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{CF}=0, \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{CM}=0,\}即\{x_2+2z_2=0,2x_2+(-2+2\lambda)y_2+2z_2=0,\} 令z_2=1，得x_2=-2,y_2=\frac{1}{\lambda -1}，所以平面CFM的一个法向量为\mathbf{n}_2=(-2,\frac{1}{\lambda -1},1).$

$因为二面角M-FC-E的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{3}，所以\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{\sqrt{5}}{3}，即\frac{|(-2)^2+1^2|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(\frac{1}{\lambda -1})^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}，又0< \lambda <1，解得\lambda=\frac{1}{2}，即\frac{A_1M}{A_1B_1}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，已知三棱柱$ABC-A\_1B\_1C\_1$的底面是正三角形，侧面$BB\_1C\_1C$是矩形，$M，N$分别为$BC，B\_1C\_1$的中点，$P$为$AM$上一点.过$B\_1C\_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

<img_2871>
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO\parallel 平面EB_1C_1F，且AO=AB，求直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值.$

Solution:
$由已知得AM\perp BC.以M为坐标原点，\overrightarrow{MA}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{MB}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,则AB=2，AM=\sqrt{3}.$

<img_1932>

$连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM=\frac{2\sqrt{3}}{3}，E\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3},0\right).由(1)知平面A_1AMN\perp 平面ABC，作NQ\perp AM，垂足为Q，则NQ\perp 平面ABC.$

$设Q(a,0,0)，则NQ=\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2},B_1\left(a,1,\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2}\right),故\overrightarrow{B_1E}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a,-\frac{2}{3},-\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2}\right),|\overrightarrow{B_1E}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}.$

$又n=(0,-1,0)是平面A_1AMN的法向量，故sin\left(\frac{\pi }{2}-\langle n,\overrightarrow{B_1E}\rangle \right)=cos\langle n,\overrightarrow{B_1E}\rangle =\frac{n\cdot \overrightarrow{B_1E}}{|n|\cdot |\overrightarrow{B_1E}|}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$

$所以直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，已知三棱柱$ABC-A\_1B\_1C\_1$的底面是正三角形，侧面$BB\_1C\_1C$是矩形，$M，N$分别为$BC，B\_1C\_1$的中点，$P$为$AM$上一点.过$B\_1C\_1和P的平面交AB于E，交AC于F.$

![21GZTLSX30A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283949417218051/img/compression/M_aad79aa84346e3af8d174fd1de92cae9.jpg)
$设O为\triangle A_1B_1C_1的中心.若AO\parallel 平面EB_1C_1F，且AO=AB，求直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值.$

Solution:
$由已知得AM\perp BC.以M为坐标原点，\overrightarrow{MA}的方向为x轴正方向，|\overrightarrow{MB}|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,则AB=2，AM=\sqrt{3}.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283949777928194/img/compression/M_79cdec60e102eb1444c2e49a435f9146.jpg)

$连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM=\frac{2\sqrt{3}}{3}，E\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3},0\right).由(1)知平面A_1AMN\perp 平面ABC，作NQ\perp AM，垂足为Q，则NQ\perp 平面ABC.$

$设Q(a,0,0)，则NQ=\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2},B_1\left(a,1,\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2}\right),故\overrightarrow{B_1E}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a,-\frac{2}{3},-\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-a\right)^2}\right),|\overrightarrow{B_1E}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}.$

$又n=(0,-1,0)是平面A_1AMN的法向量，故sin\left(\frac{\pi }{2}-\langle n,\overrightarrow{B_1E}\rangle \right)=cos\langle n,\overrightarrow{B_1E}\rangle =\frac{n\cdot \overrightarrow{B_1E}}{|n|\cdot |\overrightarrow{B_1E}|}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$

$所以直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  =1 (a>b>0)的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B. 已知 \sqrt{3}| OA |=2| OB | ( O 为原点) 。$
求椭圆的离心率；

Solution:
$设椭圆的半焦距为c，$
$因为\sqrt{3}|OA|=2|OB|，所以\sqrt{3}a=2b.$
$又由a^2=b^2+c^2，消去b得a^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+c^2，解得\frac{c}{a}=\frac{1}{2}.$
$所以，椭圆的离心率为\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C ： x^2/25 + y^2/m^2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 \sqrt{15}/4 ，A ，B 分别为 C 的左、右顶点.$
$若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP\perp BQ，求\triangle APQ的面积.$

Solution:
$设P(x_P,y_P),Q(6,y_Q)，根据对称性可设y_Q>0，由题意知y_P>0.$

$由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y=-\frac{1}{y_Q}(x-5)，$

$所以|BP|=y_P\sqrt{1+y^2_Q}, |BQ|=\sqrt{1+y^2_Q}.$

$因为|BP|=|BQ|，$

$所以y_P=1，将y_P=1代入C的方程，解得x_P=3或-3.$

$由直线BP的方程得y_Q=2或8.$

$所以点P，Q的坐标分别为P_1(3,1)，Q_1(6,2)；P_2(-3,1)，Q_2(6,8).$

$|P_1Q_1|=\sqrt{10}，直线P_1Q_1的方程为y=\frac{1}{3}x，点A(-5,0)到直线P_1Q_1的距离为\frac{\sqrt{10}}{2}，故\bigtriangleup AP_1Q_1的面积为\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{2} \times \sqrt{10} = \frac{5}{2}.$

$|P_2Q_2|=\sqrt{130}，直线P_2Q_2的方程为y=\frac{7}{9}x+ \frac{10}{3}，点A到直线P_2Q_2的距离为\frac{\sqrt{130}}{26}，故\bigtriangleup AP_2Q_2的面积为\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{130}}{26} \times \sqrt{130} = \frac{5}{2}.$

$综上，\bigtriangleup APQ的面积为\frac{5}{2}.$

Final answer: $\frac{5}{2}$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 过点 A (-2，-1)，且 a = 2b.$
$过点B(-4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q.求\frac{|PB|}{|BQ|}的值.$

Solution:
$由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为y = k(x+4).  $
$设M(x_1，y_1)，N(x_2，y_2)，  $
$联立 \begin{bmatrix} y=k(x+4),\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1, \end{bmatrix}  $
$化简得 (4k^2+1)x^2 + 32k^2x + (64k^2 - 8) = 0  $
$则 x_1 + x_2 = -\frac{32k^2}{4k^2+1}, x_1x_2 = \frac{64k^2 - 8}{4k^2+1}  $
$\Delta = (32k^2)^2 - 4 \times (4k^2 + 1) \times(64k^2 - 8) = 32(1 - 4k^2) >0  $
$解得 - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}  $
$\therefore 直线MA的方程为y = \frac{y_1 + 1}{x_1 + 2} (x + 2) - 1   $
$令 x = -4，得到y_P = \frac{-2(y_1 + 1)}{x_1 + 2} - 1，即  $
$P \left(-4, -\frac{(2k+1)(x_1 + 4)}{x_1+2}\right)  $
$同理，直线NA的方程为 y = \frac{y_2+1}{x_2+2}(x+2)-1  $
$令 x = -4，得到y_Q = \frac{-2(y_2+1)}{x_2+2} - 1，即  $
$Q \left(-4, -\frac{(2k+1)(x_2+4)}{x_2+2}\right)  $
$y_P + y_Q  = -(2k+1)\left(\frac{x_1+4}{x_1+2}+\frac{x_2+4}{x_2+2}\right) $
$= \frac{-2(2k+1)}{(x_1+2)(x_2+2)}[x_1x_2+3(x_1+x_2)+8]  $
$因为 x_1x_2+3(x_1+x_2)+8=\frac{64k^2-8}{4k^2+1} - \frac{3 \times 32k^2}{4k^2+1} + \frac{8(4k^2+1)}{4k^2+1} = 0  $
$故 y_P+ y_Q= 0，即 y_P = -y_Q，所以 \frac{|PB|}{|BQ|} = \frac{|y_P|}{|y_Q|}= 1.$

Final answer: $1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C：x^2=2py(p>0)上的点(2, y_0)到其焦点F的距离为2.$
$已知点D在直线l：y=-3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与直线l交于点M$，$过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求$

$$
\frac{|AB|}{|MN|}
$$

的值.

Solution:
$由题意可设D(t,-3)，且t\neq 0，A(x_1,y_1)，$
$因为y=\frac{1}{4}x^2，所以y'=\frac{1}{2}x，可得k_{AD}=\frac{1}{2}x_1，$
$所以\frac{y_1+3}{x_1-t}=\frac{1}{2}x_1，整理得tx_1-2y_1+6=0，$
$设点B(x_2,y_2)，同理可得tx_2-2y_2+6=0，$
$则直线AB方程为tx-2y+6=0，$
$令y=-3，可得x=-\frac{12}{t}，即点M\left(-\frac{12}{t},-3\right)，$
$因为直线NF与直线AB垂直，所以直线NF方程为y=-\frac{2}{t}x+1，令y=-3，可得x=2t，即点N(2t,-3)，$
$所以|MN|=\left|-\frac{12}{t}-2t\right|=2|t|+\frac{12}{|t|}\geq 4\sqrt{6}，当且仅当2|t|=\frac{12}{|t|}，即t^2=6时上式等号成立，$
$即|MN|的最小值为4\sqrt{6}，$
$联立\left\{\begin{matrix}tx-2y+6=0,\\ x^2=4y,\end{matrix}\right.整理得x^2-2tx-12=0，$
$所以x_1+x_2=2t，x_1\cdot x_2=-12,\Delta =4t^2+48>0，$
$则|AB|=\sqrt{\left(1+\frac{t^2}{4}\right)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}$
$=\sqrt{\left(1+\frac{t^2}{4}\right)(4t^2+48)}=6\sqrt{5}，$
$所以\frac{|AB|}{|MN|}=\frac{6\sqrt{5}}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{4}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{30}}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 针对我国老龄化问题，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．

|       | 支持  | 保留  | 不支持 |
|-------|-------|-------|--------|
|50岁以下  | 8 000 | 4 000 | 2 000  |
|50岁以上(含50岁)| 1 000 | 2 000 | 3 000  |
$在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；$

Solution:
$参与调查的总人数为8 000+4 000+2 000+1 000+2 000+3 000=20 000，其中从持“不支持”态度的5 000人中抽取了30人，故n=20 000\times \frac{30}{5 000}=120．$

Final answer: $\{n=120\}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某班准备购买班服,确定从A, B两种款式中选出一种统一购买，现在全班50位同学赞成购买A, B款式的人数分别为20,30位，为了尽量统一意见，准备在全班进行三轮宣传,每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成款式的理由，假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的会有5位改变意见，赞成该同学所选款式.
设经过三轮宣传后赞成A款式的人数为X，求随机变量X的期望.

Solution:
由题意得X的所有可能取值为5,15,25,35.
$则P(X=5)=P(B_1B_2B_3)=\frac{30}{50}\times \frac{35}{50}\times \frac{40}{50}=\frac{42}{125},$
$P(X=15)=P(A_1B_2B_3)+P(B_1A_2B_3)+P(B_1B_2A_3)$
$=\frac{20}{50}\times \frac{25}{50}\times \frac{30}{50}+\frac{30}{50}\times \frac{15}{50}\times \frac{30}{50}+\frac{30}{50}\times \frac{35}{50}\times \frac{10}{50}=\frac{39}{125},$
$P(X=25)=P(B_1A_2A_3)+P(A_1B_2A_3)+P(A_1A_2B_3)$
$=\frac{30}{50}\times \frac{15}{50}\times \frac{20}{50}+\frac{20}{50}\times \frac{25}{50}\times \frac{20}{50}+\frac{20}{50}\times \frac{25}{50}\times \frac{20}{50}=\frac{29}{125},$
$P(X=35)=P(A_1A_2A_3)=\frac{20}{50}\times \frac{25}{50}\times \frac{30}{50}=\frac{3}{25}.$
所以分布列为

| X | 5 | 15 | 25 | 35 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{42}{125}$|$\frac{39}{125}$|$\frac{29}{125}$|$\frac{3}{25}$|

$所以E(X)=5\times \frac{42}{125}+15\times \frac{39}{125}+25\times \frac{29}{125}+35\times \frac{3}{25}=\frac{409}{25}.$

Final answer: $\frac{409}{25}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284031749349377/img/compression/M_0097f93c4329d8806a9f3d68dca436e8.jpg)
$求这100位作者年龄的样本平均数\overline{x}和样本方差s^2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$\overline{x} = 30 \times 0.05 + 40 \times 0.10 + 50 \times 0.15 + 60 \times 0.35 + 70 \times 0.2 + 80 \times 0.15 = 60$

$s^{2} = (-30)^{2} \times 0.05 + (-20)^{2} \times 0.1 + (-10)^{2} \times 0.15 + 0 \times 0.35 + 10^{2} \times 0.2 + 20^{2} \times 0.15 = 180$

Final answer: $\overline{x} = 60, s^{2} = 180$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
<img_2984>
$求这100位作者年龄的样本平均数\overline{x}和样本方差s^2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$\overline{x} = 30 \times 0.05 + 40 \times 0.10 + 50 \times 0.15 + 60 \times 0.35 + 70 \times 0.2 + 80 \times 0.15 = 60$

$s^{2} = (-30)^{2} \times 0.05 + (-20)^{2} \times 0.1 + (-10)^{2} \times 0.15 + 0 \times 0.35 + 10^{2} \times 0.2 + 20^{2} \times 0.15 = 180$

Final answer: $\overline{x} = 60, s^{2} = 180$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

|           | 不够良好 |  良好 |
|-----------|----------|------|
| 病例组    |     40   |  60  |
| 对照组    |     10   |  90  |

$附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $P(K^{2}\geq k)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|-------------|-------|-------|-------|
| $k$       | 3.841 | 6.635 |10.828 |
$从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，\frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}与\frac{P(B|\overline{A})}{P(\overline{B}|\overline{A})}的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.  $
$(i)证明：R= \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}；  $
$(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|\overline{B})的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值。$

Solution:
$(i)证明：因为 R = \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)} \cdot \frac{P(\overline{B}|\overline{A})}{P(B|\overline{A})} = \frac{P(AB)}{P(A)} \cdot \frac{P(A)}{P(\overline{B}A)} \cdot \frac{P(\overline{B}\quad \overline{A})}{P(\overline{A})} \cdot \frac{P(\overline{A})}{P(B\overline{A})} = \frac{P(AB)\cdot P(\overline{B}\overline{A})}{P(\overline{B}A)\cdot P(B\overline{A})},$

$注意 P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

$且 \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{P(AB)}{P(B)} \cdot \frac{P(B)}{P(\overline{A}B)} \cdot \frac{P(\overline{A}\quad \overline{B})}{P(\overline{B})} \cdot \frac{P(\overline{B})}{P(A\overline{B})} = \frac{P(AB)\cdot P(\overline{A}\quad \overline{B})}{P(\overline{A}B)\cdot P({A}\overline{B})}.$

$所以 R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}.$

$(ii)由题表中数据可知 P(A|B) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}， P(A|\overline{B}) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}， P(\overline{A}|B) = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}， P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}，$

$所以 R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)} \cdot \frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} \times \frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}} = 6.$

Final answer: R = 6
Subfield: Probability and Statistics


Question: $基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，目的是选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩\xi ~N(\mu ,100)，且P(\xi \leq 50)=P(\xi \geq 70),笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．$

$附：若X~N(\mu ,\sigma ^2)，则P(|X-\mu |\leq \sigma )\approx 0.682 7,P(|X-\mu |\leq 2\sigma )\approx 0.954 5,0.841 35^{10}\approx 0.177 7,0.977 25^{10}\approx 0.794 4.$
从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有1人进入面试的概率；

Solution:
$因为 P(\xi\leq 50)=P(\xi\geq 70)，$

$所以 \mu=\frac{50+70}{2} =60．$

$设“至少有一名学生进入面试”为事件 A，$

$因为 \mu=60,\sigma=10，$

$所以 P(\xi\leq 70)=\frac{1+P(|\xi -\mu |\leq \sigma )}{2}\approx \frac{1+0.682 7}{2} =0.841 35，$

$所以 P(A)=1-0.841 35^{10}\approx 1-0.177 7=0.822 3，$

故10人中至少有1人进入面试的概率为0.822 3．

Final answer: $0.8223$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟(WTT)支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军.乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中,先得11分的一方为胜方(胜方至少比对方多2分)，10 平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为\frac{3}{5}，乙在一次发球中，得1分的概率为\frac{1}{2}，如果在一局比赛中，由乙队员先发球.$
甲、乙的比分暂时为8:8，求最终甲以11:9赢得比赛的概率;

Solution:
$甲以11:9赢得比赛,共计20次发球,在后4次发球中,需甲在最后一次获胜,概率为P=C-{^1_2}\times  \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times  \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times  \frac{2}{5} \times  \frac{3}{5} = \frac{6}{25} .$

Final answer: $\frac{6}{25}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟(WTT)支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军.乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中,先得11分的一方为胜方(胜方至少比对方多2分)，10 平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为\frac{3}{5}，乙在一次发球中，得1分的概率为\frac{1}{2}，如果在一局比赛中，由乙队员先发球.$
求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.

Solution:
$设甲累计得分为随机变量X,X的可能取值为0,1,2,3.$

$P(X=0)= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{2}{5}= \frac{1}{10},$

$P(X=1)=C^1_2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{2}{5}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{3}{5}= \frac{7}{20},$

$P(X=2)=C^1_2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{3}{5}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{2}{5}= \frac{2}{5},$

$P(X=3)= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{3}{5}= \frac{3}{20},$

$随机变量X的分布列为$

| $X$ |  0  |  1  |  2  |  3  |
|-----|-----|-----|-----|-----|
| $P$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{7}{20}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{3}{20}$ |

$\therefore E(X)=0 \times \frac{1}{10}+1 \times \frac{7}{20}+2 \times \frac{2}{5}+3 \times \frac{3}{20}= \frac{8}{5}.$



Final answer: $E(X)= \frac{8}{5}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2\sqrt{2}，b=5，c=\sqrt{13}.$
求角C的大小；

Solution:
$在\triangle ABC中，由余弦定理的推论及a=2\sqrt{2}，b=5，c=\sqrt{13}，有\cos  C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}.又因为C\in (0，\pi )，所以C=\frac{\pi }{4}.$

Final answer: \frac{\pi }{4}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2\sqrt{2}，b=5，c=\sqrt{13}.$
$求\sin  A的值；$

Solution:
$在\triangle ABC中，由正弦定理及C=\frac{\pi }{4}，a=2\sqrt{2}，c=\sqrt{13}，可得\sin  A=\frac{a\sin  C}{c}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$

Final answer: \frac{2\sqrt{13}}{13}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2\sqrt{2}，b=5，c=\sqrt{13}.$
$求\sin  (\left(2A+\frac{\pi }{4}\right)) 的值.$

Solution:
$由a＜c及\sin  A=\frac{2\sqrt{13}}{13}，可得\cos  A=\sqrt{1-\sin ^2A}=\frac{3\sqrt{13}}{13}，进而\sin  2A=2\sin  A\cos  A=\frac{12}{13}，\cos  2A=2\cos ^2 A-1=\frac{5}{13}.所以，\sin \left(2A+\frac{\pi }{4}\right)=\sin  2A\cos  \frac{\pi }{4}+\cos  2A\sin \frac{\pi }{4}=\frac{12}{13}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{13}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{26}.$

Final answer: \frac{17\sqrt{2}}{26}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)^2=sin^2A-sin Bsin C.$
求A；

Solution:
$由已知得 \sin ^2B + \sin ^2C - \sin ^2A = \sin B\sin C，故由正弦定理得 b^2 + c^2 - a^2 = bc .由余弦定理的推论得 \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{2}. 因为0^\circ < A <180^\circ ,所以 A=60^\circ .$



Final answer: $A=60$ ^\circ
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)^2=sin^2A-sin Bsin C.$
$若 \sqrt{2}a+b=2c，求sin C.$

Solution:
$由(1)知 B=120^\circ -C，由题设及正弦定理得 \sqrt{2} sin A+sin(120^\circ -C)=2sin C，即 \frac{\sqrt{6}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} cos C+\frac{1}{2} sin C=2sin C，可得 cos(C+60^\circ )=-\frac{\sqrt{2}}{2}.由于0^\circ <C<120^\circ , 所以 sin(C+60^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{2} ，故 sin C=sin[(C+60^\circ )-60^\circ ]=sin(C+60^\circ )cos 60^\circ -cos(C+60^\circ )sin 60^\circ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Final answer: \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}