di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v_1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上。不计带电粒子的重力。$

<img_1146>
$求整个过程中带电粒子在竖直方向位移的大小h。$

Solution:
$整个过程分为两段：未离开板时在竖直方向上粒子做匀速直线运动，故h_1=v_1t=\sqrt{\frac{2mdv_1}{qB}}$

$离开板瞬间水平速度v_2=at=\sqrt{\frac{2dqv_1B}{m}}$

$离开板后，粒子做匀速圆周运动，v=\sqrt{v^2_1+v^2_2}$

$速度与水平方向夹角为\theta ,\cos \theta =\frac{v_2}{v}$

$qvB=m\frac{v^2}{r},轨迹如图所示$

$h_2=r-r \cos \theta $

$h=h_1+h_2$

联立方程解得

$h=\frac{1}{Bq}\sqrt{mv_1(mv_1+2dqB)}$

<img_1086>

Final answer: $\frac{1}{Bq}\sqrt{mv_1(mv_1+2dqB)}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v_1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上。不计带电粒子的重力。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613162070298627/img/compression/M_0be099002119c4f538fe349a9339d2eb.jpg)
$求整个过程中带电粒子在竖直方向位移的大小h。$

Solution:
$整个过程分为两段：未离开板时在竖直方向上粒子做匀速直线运动，故h_1=v_1t=\sqrt{\frac{2mdv_1}{qB}}$

$离开板瞬间水平速度v_2=at=\sqrt{\frac{2dqv_1B}{m}}$

$离开板后，粒子做匀速圆周运动，v=\sqrt{v^2_1+v^2_2}$

$速度与水平方向夹角为\theta ,\cos \theta =\frac{v_2}{v}$

$qvB=m\frac{v^2}{r},轨迹如图所示$

$h_2=r-r \cos \theta $

$h=h_1+h_2$

联立方程解得

$h=\frac{1}{Bq}\sqrt{mv_1(mv_1+2dqB)}$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613162577809410/img/compression/M_cc7167682d314250b9e8dbcecef5aa47.jpg)

Final answer: $\frac{1}{Bq}\sqrt{mv_1(mv_1+2dqB)}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为$30^\circ$ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求

![physics problem](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613188517208067/img/compression/M_b7952fd3e548855311e2bbe472e05f44.jpg)
带电粒子的比荷；

Solution:
设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有$qU=1/2mv^2$

![20GZTWL90教师单.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613188957609986/img/compression/M_9ee663676c265127f135cf7efa2b5700.jpg)

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有$qvB=mv^2/r$

由几何关系知$d=\sqrt 2r$

联立①②③式得q$/m=4U/B^2d^2$

Final answer: $\frac{4U}{B^2d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为$30^\circ$ ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求

<img_1132>
带电粒子的比荷；

Solution:
设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有$qU=1/2mv^2$

<img_1069>

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有$qvB=mv^2/r$

由几何关系知$d=\sqrt 2r$

联立①②③式得q$/m=4U/B^2d^2$

Final answer: $\frac{4U}{B^2d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调)，其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q(q>0)、速度大小不同的离子，其中速度大小为v_{0}的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613236361633795/img/compression/M_0f9aeb2b42ddfea71e73ecadbe5e7793.jpg)
①求磁感应强度B的大小；②若速度大小为v_0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度$\omega$ 的大小；

Solution:
$①离子在磁场中运动qv_{0}B=\frac{mv^2_0}{R}　 $
$②离子在磁场中的运动时间t=\frac{\pi R}{2v_0} $
$转筒的转动角度\omega t=2k\pi +\frac{\pi }{2} $
$$\omega $$=(4$k$+1)$\frac{v_0}{R}$,$k$=0,1,2,$\ldots $

Final answer: $B=\frac{mv_0}{qR}$, $\omega =(4$k$+1)$\frac{v_0}{R}$,$k$=0,1,2,$\ldots$
Subfield: Electromagnetism


Question: $离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调)，其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q(q>0)、速度大小不同的离子，其中速度大小为v_{0}的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。$

<img_1126>
①求磁感应强度B的大小；②若速度大小为v_0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度$\omega$ 的大小；

Solution:
$①离子在磁场中运动qv_{0}B=\frac{mv^2_0}{R}　 $
$②离子在磁场中的运动时间t=\frac{\pi R}{2v_0} $
$转筒的转动角度\omega t=2k\pi +\frac{\pi }{2} $
$$\omega $$=(4$k$+1)$\frac{v_0}{R}$,$k$=0,1,2,$\ldots $

Final answer: $B=\frac{mv_0}{qR}$, $\omega =(4$k$+1)$\frac{v_0}{R}$,$k$=0,1,2,$\ldots$
Subfield: Electromagnetism


Question: $离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调)，其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q(q>0)、速度大小不同的离子，其中速度大小为v_{0}的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613236361633795/img/compression/M_0f9aeb2b42ddfea71e73ecadbe5e7793.jpg)
较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为$\theta$ ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；

Solution:
设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为R'
$R'=R \tan \frac{\theta }{2}, v=v_0 \tan \frac{\theta }{2}$
$离子在磁场中的运动时间t'=(\pi -\theta ) \frac{R}{v_0}$
转筒的转动角度\omega 't'=2n\pi +\theta 
$转筒的转动角速度\omega '= \frac{(2n\pi +\theta )v_0}{(\pi -\theta )R},n=0,1,2,\ldots $
$动量定理F \frac{2\pi }{\omega '}=Nmv$
$F= \frac{(2n\pi +\theta )Nmv^2_0}{2(\pi -\theta )\pi R} \tan \frac{\theta }{2},n=0,1,2,\ldots $

Final answer: $F= \frac{(2n\pi +\theta )Nmv^2_0}{2(\pi -\theta )\pi R} \tan \frac{\theta }{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调)，其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q(q>0)、速度大小不同的离子，其中速度大小为v_{0}的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。$

<img_1126>
较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为$\theta$ ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；

Solution:
设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为R'
$R'=R \tan \frac{\theta }{2}, v=v_0 \tan \frac{\theta }{2}$
$离子在磁场中的运动时间t'=(\pi -\theta ) \frac{R}{v_0}$
转筒的转动角度\omega 't'=2n\pi +\theta 
$转筒的转动角速度\omega '= \frac{(2n\pi +\theta )v_0}{(\pi -\theta )R},n=0,1,2,\ldots $
$动量定理F \frac{2\pi }{\omega '}=Nmv$
$F= \frac{(2n\pi +\theta )Nmv^2_0}{2(\pi -\theta )\pi R} \tan \frac{\theta }{2},n=0,1,2,\ldots $

Final answer: $F= \frac{(2n\pi +\theta )Nmv^2_0}{2(\pi -\theta )\pi R} \tan \frac{\theta }{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613236969807874/img/compression/M_de7c038ff3507c96ac4ef87915e5dd2e.jpg)
Q到O的距离d；

Solution:
$甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r_1、r_2$

$由半径r=\frac{mv}{qB}得,r_1=\frac{mv}{2qB_0},r_2=\frac{mv}{3qB_0}$

$且d=2r_1-2r_2,解得d=\frac{mv}{3qB_0}$

Final answer: $\frac{mv}{3qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
<img_492>
Q到O的距离d；

Solution:
$甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r_1、r_2$

$由半径r=\frac{mv}{qB}得,r_1=\frac{mv}{2qB_0},r_2=\frac{mv}{3qB_0}$

$且d=2r_1-2r_2,解得d=\frac{mv}{3qB_0}$

Final answer: $\frac{mv}{3qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613236969807874/img/compression/M_de7c038ff3507c96ac4ef87915e5dd2e.jpg)
甲两次经过P点的时间间隔$\Delta t$;

Solution:
$甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t_1、t_2$

$由T=\frac{2\pi m}{qB}得，t_1=\frac{\pi m}{2qB_0}，t_2=\frac{\pi m}{3qB_0}，且\Delta t=2t_1+3t_2$

$解得\Delta t=\frac{2\pi m}{qB_0}$

Final answer: $\frac{2\pi m}{qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
<img_492>
甲两次经过P点的时间间隔$\Delta t$;

Solution:
$甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t_1、t_2$

$由T=\frac{2\pi m}{qB}得，t_1=\frac{\pi m}{2qB_0}，t_2=\frac{\pi m}{3qB_0}，且\Delta t=2t_1+3t_2$

$解得\Delta t=\frac{2\pi m}{qB_0}$

Final answer: $\frac{2\pi m}{qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
<img_492>
$乙的比荷q'/m'可能的最小值。$

Solution:
乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动

若经过两磁场的次数均为$n(n=1,2,3,\ldots )$

$相遇时，有n\frac{m'v}{3q'B_0}=d,n\frac{5\pi m'}{6q'B_0}=t_{1}+t_{2}$

$解得\frac{q'}{m'}=n\frac{q}{m}$

根据题意，$n=1$舍去。

$当n=2时，\frac{q'}{m'}有最小值(\frac{q'}{m'})_{min}=\frac{2q}{m}$

若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为$(n+1),n(n=0,1,2,3,\ldots )$,经分析不可能相遇。

$综上分析，比荷的最小值为\frac{2q}{m}.$

Final answer: $\frac{2q}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B_0、3B_0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：  $
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613236969807874/img/compression/M_de7c038ff3507c96ac4ef87915e5dd2e.jpg)
$乙的比荷q'/m'可能的最小值。$

Solution:
乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动

若经过两磁场的次数均为$n(n=1,2,3,\ldots )$

$相遇时，有n\frac{m'v}{3q'B_0}=d,n\frac{5\pi m'}{6q'B_0}=t_{1}+t_{2}$

$解得\frac{q'}{m'}=n\frac{q}{m}$

根据题意，$n=1$舍去。

$当n=2时，\frac{q'}{m'}有最小值(\frac{q'}{m'})_{min}=\frac{2q}{m}$

若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为$(n+1),n(n=0,1,2,3,\ldots )$,经分析不可能相遇。

$综上分析，比荷的最小值为\frac{2q}{m}.$

Final answer: $\frac{2q}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场(未画出)，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613237406015490/img/compression/M_1d843580f0375cbc2a1876e4ccdecfb0.jpg)
要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。

Solution:
如图1所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为v<sub>min</sub>，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r<sub>1</sub>和r<sub>2</sub>，圆心的连线与NS的夹角为\phi 。

$由r=\frac{mv}{qB}$
$有r_1=\frac{mv_{\min }}{qB}，r_2=\frac{1}{2}r_1$

由$(r_1+r_2)\sin \phi =r_2
r_1+r_1 \cos \phi =h$
$得v<sub>min</sub>=(9-6\sqrt{2})\frac{qBh}{m}$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613237972246529/img/compression/M_0f76963bf71b84ebd56a9e6eab8e694b.jpg)

Final answer: $(9-6\sqrt{2})\frac{qBh}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场(未画出)，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。$

<img_1396>
要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。

Solution:
如图1所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为v<sub>min</sub>，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r<sub>1</sub>和r<sub>2</sub>，圆心的连线与NS的夹角为\phi 。

$由r=\frac{mv}{qB}$
$有r_1=\frac{mv_{\min }}{qB}，r_2=\frac{1}{2}r_1$

由$(r_1+r_2)\sin \phi =r_2
r_1+r_1 \cos \phi =h$
$得v<sub>min</sub>=(9-6\sqrt{2})\frac{qBh}{m}$

<img_892>

Final answer: $(9-6\sqrt{2})\frac{qBh}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴方向水平向右，坐标系xOy所在的空间有一正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m的小球(可视为质点)带正电荷，所带电荷量为q，小球以大小不同的初速度从坐标原点O沿x轴正方向对准x轴上的A点射出。不计空气阻力，重力加速度为g。$

![23AHN5WL74.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613239163428866/img/compression/M_acec2c1d5915ceb00bcb738f9300dba6.jpg)
$若小球做直线运动通过A点，求此时小球的初速度大小v_0；$

Solution:
$因小球沿直线运动通过A点，由平衡条件得：qBv_0=qE+mg$

$解得：v_0=\frac{qE+mg}{qB}$

Final answer: $\frac{qE+mg}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴方向水平向右，坐标系xOy所在的空间有一正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m的小球(可视为质点)带正电荷，所带电荷量为q，小球以大小不同的初速度从坐标原点O沿x轴正方向对准x轴上的A点射出。不计空气阻力，重力加速度为g。$

<img_596>
$若小球做直线运动通过A点，求此时小球的初速度大小v_0；$

Solution:
$因小球沿直线运动通过A点，由平衡条件得：qBv_0=qE+mg$

$解得：v_0=\frac{qE+mg}{qB}$

Final answer: $\frac{qE+mg}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

<img_501>

<center>甲</center>

<img_1371>

<center>乙</center>
$求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L;$

Solution:
设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域Ⅰ中，做匀速圆周运动对应圆心角为\alpha ，在M、N两金属板间，由动能定理得  
$qU= \frac{1}{2}mv^2  $

①  

$在区域Ⅰ中，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m\frac{v^2}{R}  $

②  

$联立①②式得R= \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}  $

③  

由几何关系得$d^2+(R-L)^2=R^2  $

④  

$\cos \alpha  = \frac{\sqrt{R^2-d^2}}{R}  $

⑤  

$\sin \alpha  = \frac{d}{R}  $

⑥  

$联立③④式得L = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}-\sqrt{\frac{2mU}{qB^2}-d^2}  $

⑦

Final answer: $\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}, \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}-\sqrt{\frac{2mU}{qB^2}-d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

![21GZTWLS92.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_e7914664736b1945dd908854b0f9faf0.jpg)

<center>甲</center>

![21GZTWLS93.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_dc133cc952e84023ba9f2bfe4f1ee80a.jpg)

<center>乙</center>
$求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L;$

Solution:
设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域Ⅰ中，做匀速圆周运动对应圆心角为\alpha ，在M、N两金属板间，由动能定理得  
$qU= \frac{1}{2}mv^2  $

①  

$在区域Ⅰ中，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m\frac{v^2}{R}  $

②  

$联立①②式得R= \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}  $

③  

由几何关系得$d^2+(R-L)^2=R^2  $

④  

$\cos \alpha  = \frac{\sqrt{R^2-d^2}}{R}  $

⑤  

$\sin \alpha  = \frac{d}{R}  $

⑥  

$联立③④式得L = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}-\sqrt{\frac{2mU}{qB^2}-d^2}  $

⑦

Final answer: $\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}, \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}-\sqrt{\frac{2mU}{qB^2}-d^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

<img_501>

<center>甲</center>

<img_1371>

<center>乙</center>
求粒子打到记录板上位置的x坐标;

Solution:
$设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为v_z，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得qE=ma  (⑧)$

$粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得v_z=v \cos \alpha  (⑨)$

$d=v_zt (⑩)$

$粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得x=\frac{1}{2}at^2 (⑪)$

$联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2} (⑫)$

Final answer: $x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

![21GZTWLS92.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_e7914664736b1945dd908854b0f9faf0.jpg)

<center>甲</center>

![21GZTWLS93.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_dc133cc952e84023ba9f2bfe4f1ee80a.jpg)

<center>乙</center>
求粒子打到记录板上位置的x坐标;

Solution:
$设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为v_z，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得qE=ma  (⑧)$

$粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得v_z=v \cos \alpha  (⑨)$

$d=v_zt (⑩)$

$粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得x=\frac{1}{2}at^2 (⑪)$

$联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2} (⑫)$

Final answer: $x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

![21GZTWLS92.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_e7914664736b1945dd908854b0f9faf0.jpg)

<center>甲</center>

![21GZTWLS93.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613295162445826/img/compression/M_dc133cc952e84023ba9f2bfe4f1ee80a.jpg)

<center>乙</center>
求粒子打到记录板上位置的y坐标(用R、d表示);

Solution:
$设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得$

$y'= vt \sin \alpha     ⑬$

$由题意得y=L+y'    ⑭$

联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式得

$y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}  ⑮$

Final answer: $y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

<img_501>

<center>甲</center>

<img_1371>

<center>乙</center>
求粒子打到记录板上位置的y坐标(用R、d表示);

Solution:
$设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得$

$y'= vt \sin \alpha     ⑬$

$由题意得y=L+y'    ⑭$

联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式得

$y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}  ⑮$

Final answer: $y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T_0为未知量，不计粒子的重力(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)。$

![23BHUN5WL243.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613331372126209/img/compression/M_58d314ec1364c012e6478f1043b5e220.jpg)
$若粒子射入磁场时的速度为v_0，求0~\frac{2}{5} T_0时间内粒子做匀速圆周运动的半径；$

Solution:
$根据洛伦兹力提供向心力得qv_0 \cdot 3B_0 = m\frac{{v^2_0}}{{r_1}}，解得r_1 = \frac{{mv_0}}{{3qB_0}}。$

Final answer: $\frac{mv_0}{3qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T_0为未知量，不计粒子的重力(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)。$

<img_1303>
$若粒子射入磁场时的速度为v_0，求0~\frac{2}{5} T_0时间内粒子做匀速圆周运动的半径；$

Solution:
$根据洛伦兹力提供向心力得qv_0 \cdot 3B_0 = m\frac{{v^2_0}}{{r_1}}，解得r_1 = \frac{{mv_0}}{{3qB_0}}。$

Final answer: $\frac{mv_0}{3qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T_0为未知量，不计粒子的重力(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)。$

![23BHUN5WL243.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613331372126209/img/compression/M_58d314ec1364c012e6478f1043b5e220.jpg)
$若粒子恰好不能从Oy轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期T_0；$

Solution:
$要使粒子恰好不从Oy轴射出，如图甲，在前\frac{2}{5}T_0内的运动半径r_1=\frac{mv_0}{3qB_0}，在后\frac{3}{5}T_0内的运动半径r_2=\frac{mv_0}{2qB_0}，由几何关系知 \sin \theta =\frac{r_2}{r_1+r_2}=0.6，解得\theta =37^\circ ，0~\frac{2}{5}T_0粒子做圆周运动的周期T=\frac{2\pi m}{3qB_0}，则\frac{180 ^{\circ} -37 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }T=\frac{2}{5}T_0，解得磁感应强度变化周期T_0=\frac{143\pi m}{216B_0q}。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613332148072450/img/compression/M_2e924d86dfa9d5c725e4dbc7d7b4be5f.jpg)

Final answer: $\frac{143\pi m}{216B_0q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T_0为未知量，不计粒子的重力(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8)。$

<img_1303>
$若粒子恰好不能从Oy轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期T_0；$

Solution:
$要使粒子恰好不从Oy轴射出，如图甲，在前\frac{2}{5}T_0内的运动半径r_1=\frac{mv_0}{3qB_0}，在后\frac{3}{5}T_0内的运动半径r_2=\frac{mv_0}{2qB_0}，由几何关系知 \sin \theta =\frac{r_2}{r_1+r_2}=0.6，解得\theta =37^\circ ，0~\frac{2}{5}T_0粒子做圆周运动的周期T=\frac{2\pi m}{3qB_0}，则\frac{180 ^{\circ} -37 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }T=\frac{2}{5}T_0，解得磁感应强度变化周期T_0=\frac{143\pi m}{216B_0q}。$

<img_1147>

Final answer: $\frac{143\pi m}{216B_0q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图甲所示，有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OP与水平方向夹角为\theta =45^\circ ，紧靠磁场右上边界放置长为L、间距为d的平行金属板M、N，磁场边界上的O点与N板在同一水平面上，O1、O2为电场左右边界中点。在两板间存在如图乙所示的交变电场(取竖直向下为正方向)。某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两个相同的质量为m、电荷量为+q的粒子a和b。结果粒子a恰从O1点水平进入板间电场运动，由电场中的O2点射出；粒子b恰好从M板左端边缘水平进入电场。不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知。求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613333242785795/img/compression/M_f650596c160e93596e3c34d608091c75.jpg)
$如果金属板间交变电场的周期T=\frac{4m}{qB}，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，要使粒子b能够穿出板间电场，E\_0满足的条件。$

Solution:
$两粒子在磁场中运动的时间相同，a、b同时离开磁场，a比b进入电场落后时间\Delta t=\frac{d}{2v_a}=\frac{m}{qB}=\frac{T}{4}。$

$粒子b在t=0时刻进入电场。由于粒子a在电场中从O_2射出，在电场中竖直方向位移为0，故a在板间运动的时间t_a是交变电场周期的整数倍，由于v_b=2v_a，b在电场中运动的时间是t_b=\frac{1}{2}t_a，可见b在电场中运动的时间是半个周期的整数倍，即t_b=\frac{L}{v_b}=n\cdot \frac{T}{2}，n=\frac{2L}{Tv_b}，粒子b在\frac{T}{2}内竖直方向的位移为y=\frac{1}{2}a\cdot \left(\frac{T}{2}\right)^2，粒子b在电场中的加速度a=\frac{qE_0}{m}，由题知T=\frac{4m}{qB}，粒子b能穿出板间电场应满足ny\leq d $

$解得E_0\leq \frac{qB^2d^2}{mL}$

Final answer: $E_0\leq \frac{qB^2d^2}{mL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613413289959426/img/compression/M_76c5e0a11377514a1458e9c075559856.jpg)
$在水平轨道上(小于x_0时)运动时水平拉力F与x的关系。$

Solution:
$感应电动势为E=BLv_0=0.6x$
$通过R的电流为I_R=\frac{E}{R}=0.6x$
$电容器两端的电压为U=E$
$所带电荷量为q=CU=0.15x$
$又\frac{\Delta q}{\Delta t}=0.15\frac{\Delta x}{\Delta t}$
$所以充电电流为I_C=0.15v_0=0.45 A$
$所以流过金属杆的电流为I=I_C+I_R=0.45 A+0.6x$
$可得F=BIL=0.09x+0.12x^2$

Final answer: $F=0.09x+0.12x^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

<img_999>
$在水平轨道上(小于x_0时)运动时水平拉力F与x的关系。$

Solution:
$感应电动势为E=BLv_0=0.6x$
$通过R的电流为I_R=\frac{E}{R}=0.6x$
$电容器两端的电压为U=E$
$所带电荷量为q=CU=0.15x$
$又\frac{\Delta q}{\Delta t}=0.15\frac{\Delta x}{\Delta t}$
$所以充电电流为I_C=0.15v_0=0.45 A$
$所以流过金属杆的电流为I=I_C+I_R=0.45 A+0.6x$
$可得F=BIL=0.09x+0.12x^2$

Final answer: $F=0.09x+0.12x^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

<img_1267>
磁感应强度B的大小；

Solution:
导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上，此时安培力水平向左，受力分析可知$mg \tan \theta =BIL$

$根据闭合电路欧姆定律有I= \frac{E}{r+R_1}$

$解得B= \frac{mg(R_1+r) \tan  \theta }{EL}$

Final answer: $\frac{mg(R_1+r) \tan  \theta }{EL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613451984785410/img/compression/M_2d45132e6d6ebc44bdad5912a62d1851.jpg)
磁感应强度B的大小；

Solution:
导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上，此时安培力水平向左，受力分析可知$mg \tan \theta =BIL$

$根据闭合电路欧姆定律有I= \frac{E}{r+R_1}$

$解得B= \frac{mg(R_1+r) \tan  \theta }{EL}$

Final answer: $\frac{mg(R_1+r) \tan  \theta }{EL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨PQ和MN间距为d，左侧P与M之间通过一阻值为R的电阻连接，两条倾角为\theta 的光滑导轨与水平导轨在N、Q处平滑连接，水平导轨的FDNQ区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场区域长度为x。P、M两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为PF，现用某约束装置将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微小扰动，约束装置就解除压缩。长度为d、质量为m、电阻为R的导体棒，从AC处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置。

<img_1272>
若导体棒从距水平导轨高h的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求每根弹簧被约束装置压缩后所具有的弹性势能。

Solution:
$设解除弹簧约束，弹簧恢复原长后导体棒的速度为v_3，根据导体棒与弹簧组成的系统机械能守恒可得\frac{1}{2}mv^2_3=\frac{1}{2}mv^2_2+2E_p$

$导体棒向右通过磁场的过程中，同理可得 v_4=v_3-\frac{B^2d^2x}{2mR}$

$由于导体棒恰好能回到原处，所以有v_4=v_1$

$联立解得E_p=\frac{B^2d^2x}{2R}\sqrt{2gh}$

Final answer: $\frac{B^2d^2x}{2R}\sqrt{2gh}$