di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，C，D间的距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园为四边形ABCD，并将\triangle BCD区域建成免费开放的植物园，如图所示.设\angle ADC=\theta .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233330127179777/img/compression/M_f549c62b1a9e53f1136e37119fa53bef.jpg)
$当\theta 为何值时，线段BD的长度最大？并求出最大值.$

Solution:
$在\triangle ADC中，由余弦定理得AC^{2}=DA^{2}+DC^{2}-2DA\cdot DC\\cos   \theta =1+4-2\times 1\times 2\times \\cos   \theta =5-4\\cos   \theta ，\therefore AC=BC=\sqrt{5-4\\\cos    \theta } 百米.在\triangle ADC中，由正弦定理得\frac{AC}{\\\sin    \theta }=\frac{DA}{\\\sin   \angle DCA}，故\\sin  \angle DCA=\frac{DA\\\sin    \theta }{AC}=\frac{\\\sin    \theta }{\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}，又DA\therefore \\cos  \angle DCB=\\cos  \left(\angle DCA+\frac{\pi }{3}\right)=\\cos  \angle DCA\\cos  \frac{\pi }{3}-\\sin  \angle DCA\\sin  \frac{\pi }{3}=\frac{2-\\\cos    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}-\frac{\sqrt{3}\\\sin    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}.在\triangle DBC中，由余弦定理得DB^{2}=DC^{2}+BC^{2}-2DC\cdot BC\\cos  \angle DCB=4+5-4\\cos   \theta -2\times 2\times \sqrt{5-4\\\cos    \theta }\times \left(\frac{2-\\\cos    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}-\frac{\sqrt{3}\\\sin    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}\right)=5+2\sqrt{3}\\sin   \theta -2\\cos   \theta =5+4\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right).\because \theta \in (0,\pi )，\therefore 当\theta =\frac{2\pi }{3}时，BD的长度最大，为3百米.$

Final answer: $\frac{2\pi }{3}$ , $300$ 米
Subfield: Plane Geometry


Question: $为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，C，D间的距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园为四边形ABCD，并将\triangle BCD区域建成免费开放的植物园，如图所示.设\angle ADC=\theta .$<img_1697>
$当\theta 为何值时，线段BD的长度最大？并求出最大值.$

Solution:
$在\triangle ADC中，由余弦定理得AC^{2}=DA^{2}+DC^{2}-2DA\cdot DC\\cos   \theta =1+4-2\times 1\times 2\times \\cos   \theta =5-4\\cos   \theta ，\therefore AC=BC=\sqrt{5-4\\\cos    \theta } 百米.在\triangle ADC中，由正弦定理得\frac{AC}{\\\sin    \theta }=\frac{DA}{\\\sin   \angle DCA}，故\\sin  \angle DCA=\frac{DA\\\sin    \theta }{AC}=\frac{\\\sin    \theta }{\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}，又DA\therefore \\cos  \angle DCB=\\cos  \left(\angle DCA+\frac{\pi }{3}\right)=\\cos  \angle DCA\\cos  \frac{\pi }{3}-\\sin  \angle DCA\\sin  \frac{\pi }{3}=\frac{2-\\\cos    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}-\frac{\sqrt{3}\\\sin    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}.在\triangle DBC中，由余弦定理得DB^{2}=DC^{2}+BC^{2}-2DC\cdot BC\\cos  \angle DCB=4+5-4\\cos   \theta -2\times 2\times \sqrt{5-4\\\cos    \theta }\times \left(\frac{2-\\\cos    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}-\frac{\sqrt{3}\\\sin    \theta }{2\sqrt{5-4\\\cos    \theta }}\right)=5+2\sqrt{3}\\sin   \theta -2\\cos   \theta =5+4\\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right).\because \theta \in (0,\pi )，\therefore 当\theta =\frac{2\pi }{3}时，BD的长度最大，为3百米.$

Final answer: $\frac{2\pi }{3}$ , $300$ 米
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233484394057731/img/compression/M_6d11bba34a914d4c990a3031ec7ca2a8.jpg)
$求证：AM\parallel 平面BDE；$

Solution:
$证明：令AC\cap BD=O，连接OE，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233484654104577/img/compression/M_74c82da6315a2708656bb1dee9c2176f.jpg)$因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，又M是EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}FE=ME，且AO\parallel ME，故四边形AOEM为平行四边形，所以AM\parallel OE，又OE\subset 平面BDE，AM\not\subset 平面BDE，所以AM\parallel 平面BDE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.$<img_1926>
$求证：AM\parallel 平面BDE；$

Solution:
$证明：令AC\cap BD=O，连接OE，如图，$<img_1766>$因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，又M是EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}FE=ME，且AO\parallel ME，故四边形AOEM为平行四边形，所以AM\parallel OE，又OE\subset 平面BDE，AM\not\subset 平面BDE，所以AM\parallel 平面BDE.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233484394057731/img/compression/M_6d11bba34a914d4c990a3031ec7ca2a8.jpg)
$若平面ADM\cap 平面BDE=l，平面ABM\cap 平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.$

Solution:
$l\parallel m，证明如下：由(1)知，AM\parallel 平面BDE，又AM\subset 平面ADM，平面ADM\cap 平面BDE=l，所以l\parallel AM，同理m\parallel AM，所以l\parallel m.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.$<img_1926>
$若平面ADM\cap 平面BDE=l，平面ABM\cap 平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.$

Solution:
$l\parallel m，证明如下：由(1)知，AM\parallel 平面BDE，又AM\subset 平面ADM，平面ADM\cap 平面BDE=l，所以l\parallel AM，同理m\parallel AM，所以l\parallel m.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，CD与AB都平行于平面EFGH，点E，F，G，H分别在AC，BC，BD，AD上，且CD=a，AB=b，CD与AB所成的角的大小为\frac{\pi }{6}.$<img_2618>
$求证：四边形EFGH是平行四边形；$

Solution:
$证明：\because CD\parallel 平面EFGH，CD\subset 平面ACD，平面EFGH\cap 平面ACD=EH，\therefore CD\parallel EH，同理CD\parallel FG，\therefore EH\parallel FG.\because AB\parallel 平面EFGH,AB\subset 平面ABC，平面EFGH\cap 平面ABC=EF,\therefore AB\parallel EF,同理AB\parallel HG,\therefore EF\parallel GH.\therefore 四边形EFGH是平行四边形.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，CD与AB都平行于平面EFGH，点E，F，G，H分别在AC，BC，BD，AD上，且CD=a，AB=b，CD与AB所成的角的大小为\frac{\pi }{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233485891424258/img/compression/M_a132eeb6ec53cb0ec84f153447db0030.jpg)
$求证：四边形EFGH是平行四边形；$

Solution:
$证明：\because CD\parallel 平面EFGH，CD\subset 平面ACD，平面EFGH\cap 平面ACD=EH，\therefore CD\parallel EH，同理CD\parallel FG，\therefore EH\parallel FG.\because AB\parallel 平面EFGH,AB\subset 平面ABC，平面EFGH\cap 平面ABC=EF,\therefore AB\parallel EF,同理AB\parallel HG,\therefore EF\parallel GH.\therefore 四边形EFGH是平行四边形.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，CD与AB都平行于平面EFGH，点E，F，G，H分别在AC，BC，BD，AD上，且CD=a，AB=b，CD与AB所成的角的大小为\frac{\pi }{6}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233485891424258/img/compression/M_a132eeb6ec53cb0ec84f153447db0030.jpg)
$点F在BC的什么位置时，四边形EFGH的面积最大?最大值是多少？$

Solution:
$由(1)可知在\triangle ABC中，EF\parallel AB.记\frac{CF}{CB}=\frac{EF}{AB}=\lambda (0<\lambda <1)，则EF=\lambda b.在\triangle BCD中，FG\parallel CD，则\frac{BF}{BC}=\frac{FG}{CD}=1-\lambda ，\therefore FG=(1-\lambda )a，\because EF\parallel AB，FG\parallel CD，\therefore \angle EFG(或其补角)为CD与AB所成的角，\therefore \angle EFG=\frac{\pi }{6}或\angle EFG=\frac{5\pi }{6}，\therefore S_{四边形EFGH}=EF\cdot FG\cdot \\sin  \angle EFG=\frac{ab}{2}\cdot \lambda (1-\lambda )\leq \frac{ab}{2}\cdot \left(\frac{1-\lambda +\lambda }{2}\right)^2=\frac{ab}{8}，当且仅当\lambda =1-\lambda ，即\lambda =\frac{1}{2}时，等号成立.故当F为BC的中点时，四边形EFGH的面积最大，最大值是\frac{ab}{8}.$

Final answer: $F为BC的中点时$, $\frac{ab}{8}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，CD与AB都平行于平面EFGH，点E，F，G，H分别在AC，BC，BD，AD上，且CD=a，AB=b，CD与AB所成的角的大小为\frac{\pi }{6}.$<img_2618>
$点F在BC上移动时，四边形EFGH的面积最大值是多少？$

Solution:
$由(1)可知在\triangle ABC中，EF\parallel AB.记\frac{CF}{CB}=\frac{EF}{AB}=\lambda (0<\lambda <1)，则EF=\lambda b.在\triangle BCD中，FG\parallel CD，则\frac{BF}{BC}=\frac{FG}{CD}=1-\lambda ，\therefore FG=(1-\lambda )a，\because EF\parallel AB，FG\parallel CD，\therefore \angle EFG(或其补角)为CD与AB所成的角，\therefore \angle EFG=\frac{\pi }{6}或\angle EFG=\frac{5\pi }{6}，\therefore S_{四边形EFGH}=EF\cdot FG\cdot \\sin  \angle EFG=\frac{ab}{2}\cdot \lambda (1-\lambda )\leq \frac{ab}{2}\cdot \left(\frac{1-\lambda +\lambda }{2}\right)^2=\frac{ab}{8}，当且仅当\lambda =1-\lambda ，即\lambda =\frac{1}{2}时，等号成立.故当F为BC的中点时，四边形EFGH的面积最大，最大值是\frac{ab}{8}.$



Final answer: $\frac{ab}{8}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB=2AD，AC=BC，将\triangle ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图②.$<img_2251>
$求证：BC\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：由题意知BC\perp AC，BD\perp AD，\because C在平面ABD内的射影E在BD上，\therefore BC在平面ABD内的射影在直线BD上，\therefore BC\perp AD.\because AC\cap AD=A，AC，AD\subset 平面ACD，\therefore BC\perp 平面ACD.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB=2AD，AC=BC，将\triangle ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图②.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197277809242115/img/compression/M_928f759bf77cb0245498abe2740269ee.jpg)
$求证：BC\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：由题意知BC\perp AC，BD\perp AD，\because C在平面ABD内的射影E在BD上，\therefore BC在平面ABD内的射影在直线BD上，\therefore BC\perp AD.\because AC\cap AD=A，AC，AD\subset 平面ACD，\therefore BC\perp 平面ACD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB=2AD，AC=BC，将\triangle ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图②.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1707197277809242115/img/compression/M_928f759bf77cb0245498abe2740269ee.jpg)
$(2)在线段AB上是否存在点F，使得AD\parallel 平面CEF？若存在，求出\frac{AF}{FB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.连接AE，\because CE\perp 平面ABD，AE，BE\subset 平面ABD，\therefore CE\perp AE，CE\perp BE.在Rt\triangle AEC和Rt\triangle BEC中，由AC=BC得AE=BE，在Rt\triangle ADB中，由AB=2AD，得\angle ABD=30^\circ ，\therefore \angle AED=\angle ABE+\angle BAE=60^\circ ，\therefore 在Rt\triangle ADE中，DE=\frac{1}{2}AE，\therefore DE=\frac{1}{2}EB.在线段AB上的点F使AF=\frac{1}{2}FB，则有FE\parallel AD.\because FE\subset 平面CEF，AD\not\subset 平面CEF，\therefore AD\parallel 平面CEF.故在线段AB上存在点F，使得AD\parallel 平面CEF，此时\frac{AF}{FB}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，C，D是以AB为直径的圆上两点，且AB=2AD，AC=BC，将\triangle ABC所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图②.$<img_2251>
$(2)在线段AB上是否存在点F，使得AD\parallel 平面CEF？若存在，求出\frac{AF}{FB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.连接AE，\because CE\perp 平面ABD，AE，BE\subset 平面ABD，\therefore CE\perp AE，CE\perp BE.在Rt\triangle AEC和Rt\triangle BEC中，由AC=BC得AE=BE，在Rt\triangle ADB中，由AB=2AD，得\angle ABD=30^\circ ，\therefore \angle AED=\angle ABE+\angle BAE=60^\circ ，\therefore 在Rt\triangle ADE中，DE=\frac{1}{2}AE，\therefore DE=\frac{1}{2}EB.在线段AB上的点F使AF=\frac{1}{2}FB，则有FE\parallel AD.\because FE\subset 平面CEF，AD\not\subset 平面CEF，\therefore AD\parallel 平面CEF.故在线段AB上存在点F，使得AD\parallel 平面CEF，此时\frac{AF}{FB}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB=99 m，AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n\in N^{*})个，每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元，另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路，如图中EF，且EF=1 m，这部分建设造价为每平方米31.4元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233581433729027/img/compression/M_a9102d6a815c5ab2cd05125ec837ff35.jpg)
$当n=20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留\pi )$

Solution:
$设每个半圆柱形大棚的底面半径为r m.当n=20时，共有19个空地，所以r=\frac{99-19\times 1}{2\times 20}=2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=\pi r^{2}+\pi r\times AD=\pi \times 2^{2}+2\pi \times 49.5=103\pi (m^{2}).故蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103\pi  m^{2}.$

Final answer: $103\pi  $ $m^2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB=99 m，AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n\in N^{*})个，每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元，另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路，如图中EF，且EF=1 m，这部分建设造价为每平方米31.4元.$<img_2635>
$当n=20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留\pi )$

Solution:
$设每个半圆柱形大棚的底面半径为r m.当n=20时，共有19个空地，所以r=\frac{99-19\times 1}{2\times 20}=2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=\pi r^{2}+\pi r\times AD=\pi \times 2^{2}+2\pi \times 49.5=103\pi (m^{2}).故蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103\pi  m^{2}.$

Final answer: $103\pi  $ $m^2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB=99 m，AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n\in N^{*})个，每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元，另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路，如图中EF，且EF=1 m，这部分建设造价为每平方米31.4元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233581433729027/img/compression/M_a9102d6a815c5ab2cd05125ec837ff35.jpg)
$试确定使得上述两项费用的和最低的大棚个数.(\pi 取3.14)$

Solution:
$设两项费用的和为f(n)元.因为r=\frac{99-(n-1)\times 1}{2n}=\frac{100-n}{2n}，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S'=\pi r^{2}+\pi r\times AD=\left[\pi \times \left(\frac{100-n}{2n}\right)^2+\pi \times 49.5\times \frac{100-n}{2n}\right]m^{2}，则f(n)=10nS'+31.4\times 1\times 49.5(n-1)=10n\times \left[\pi \times {\left(\frac{100-n}{2n}\right)}^2+\pi \times 49.5\times \frac{100-n}{2n}\right]+31.4\times 1\times 49.5(n-1)=31.4\times \left[\frac{(100-n)^2}{4n}+49.5\times \frac{100-n}{2}+49.5(n-1)\right]=\frac{31.4}{4}\times \left[\frac{{(100-n)}^2}{n}+99(100-n)+198(n-1)\right]=\frac{31.4}{4}\times \left(\frac{{100}^2}{n}+100n+9 502\right)=\frac{31.4}{4}\times \left[100\times \left(\frac{100}{n}+n\right)+9 502\right]\geq \frac{31.4}{4}\times \left(100\times 2\sqrt{\frac{100}{n}\times n}+9 502\right)=90 290.7，当且仅当\frac{100}{n}=n，即n=10时，等号成立，此时f(n)取得最小值.因此，当大棚的个数为10时，上述两项费用的和最低.$

Final answer: $10$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB=99 m，AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n\in N^{*})个，每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元，另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路，如图中EF，且EF=1 m，这部分建设造价为每平方米31.4元.$<img_2635>
$试确定使得上述两项费用的和最低的大棚个数.(\pi 取3.14)$

Solution:
$设两项费用的和为f(n)元.因为r=\frac{99-(n-1)\times 1}{2n}=\frac{100-n}{2n}，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)S'=\pi r^{2}+\pi r\times AD=\left[\pi \times \left(\frac{100-n}{2n}\right)^2+\pi \times 49.5\times \frac{100-n}{2n}\right]m^{2}，则f(n)=10nS'+31.4\times 1\times 49.5(n-1)=10n\times \left[\pi \times {\left(\frac{100-n}{2n}\right)}^2+\pi \times 49.5\times \frac{100-n}{2n}\right]+31.4\times 1\times 49.5(n-1)=31.4\times \left[\frac{(100-n)^2}{4n}+49.5\times \frac{100-n}{2}+49.5(n-1)\right]=\frac{31.4}{4}\times \left[\frac{{(100-n)}^2}{n}+99(100-n)+198(n-1)\right]=\frac{31.4}{4}\times \left(\frac{{100}^2}{n}+100n+9 502\right)=\frac{31.4}{4}\times \left[100\times \left(\frac{100}{n}+n\right)+9 502\right]\geq \frac{31.4}{4}\times \left(100\times 2\sqrt{\frac{100}{n}\times n}+9 502\right)=90 290.7，当且仅当\frac{100}{n}=n，即n=10时，等号成立，此时f(n)取得最小值.因此，当大棚的个数为10时，上述两项费用的和最低.$

Final answer: $10$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，在\triangle ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA},AD与CE交于点O.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969345640210434/img/compression/M_71b7bdabc1d60a77283704256ab6aa32.jpg)
$若\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}，求x,y的值；$

Solution:
$因为\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=-x\overrightarrow{BA}-y\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}=(-x-y)\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}，又\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}，所以\overrightarrow{BO}=\frac{3}{2}(-x-y)\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BO}=-(x+y)\overrightarrow{BA}+2y\overrightarrow{BD}，(2分)因为E,O,C三点共线，所以-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+y=1，①因为A，O，D三点共线，所以-(x+y)+2y=1，②由①②解得x=-\frac{3}{4},y=\frac{1}{4}.(5分)$

Final answer: $-\frac{3}{4}$, $\frac{1}{4}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，在\triangle ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA},AD与CE交于点O.$<img_2659>
$若\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}，求x,y的值；$

Solution:
$因为\overrightarrow{BO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=-x\overrightarrow{BA}-y\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}=(-x-y)\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}，又\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}，所以\overrightarrow{BO}=\frac{3}{2}(-x-y)\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BO}=-(x+y)\overrightarrow{BA}+2y\overrightarrow{BD}，(2分)因为E,O,C三点共线，所以-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+y=1，①因为A，O，D三点共线，所以-(x+y)+2y=1，②由①②解得x=-\frac{3}{4},y=\frac{1}{4}.(5分)$

Final answer: $-\frac{3}{4}$, $\frac{1}{4}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，在\triangle ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA},AD与CE交于点O.$<img_2659>
$若\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}，求\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}的值.$

Solution:
$设\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}m(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})，\overrightarrow{EO}=n\overrightarrow{EC}，则\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{AE}+n\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}+n(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE})=(1-n)\overrightarrow{AE}+n\overrightarrow{AC}=\frac{1-n}{3}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}，(7分)所以\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}m=\frac{1-n}{3},\\ \frac{1}{2}m=n,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2},\\ n=\frac{1}{4},\end{matrix}\right.(9分)所以\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),又\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}，所以6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}=6\times \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}^{2}，又\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}，所以-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}^{2}=0，故\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\sqrt{3}.(12分)$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图所示，在\triangle ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA},AD与CE交于点O.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969345640210434/img/compression/M_71b7bdabc1d60a77283704256ab6aa32.jpg)
$若\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}，求\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}的值.$

Solution:
$设\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}m(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})，\overrightarrow{EO}=n\overrightarrow{EC}，则\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{AE}+n\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}+n(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE})=(1-n)\overrightarrow{AE}+n\overrightarrow{AC}=\frac{1-n}{3}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}，(7分)所以\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}m=\frac{1-n}{3},\\ \frac{1}{2}m=n,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2},\\ n=\frac{1}{4},\end{matrix}\right.(9分)所以\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),又\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}，所以6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}=6\times \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}^{2}，又\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{EC}，所以-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}^{2}=0，故\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\sqrt{3}.(12分)$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d m，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东的流速为|v_{0}|=1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v_{1}，在流水中的实际速度为v_{2}．$<img_1712>
$如果要使此人游的路程最短，且|v_{1}|=\sqrt{2} m/s，求此人游泳的方向与水流方向的夹角\alpha 和v_{2}的大小；$

Solution:
$如果要使此人游的路程最短，只需此人游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直，如图1，$<img_3011>$图1此人游泳的方向与水流方向的夹角\alpha =\angle ACB，(2分)此时|v_{2}|=\sqrt{|\boldsymbol{v}_1|^2-|\boldsymbol{v}_0|^2}=1 m/s,\alpha =\angle ACB=\frac{3\pi }{4}.$

Final answer: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $v_2 = 1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d m，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东的流速为|v_{0}|=1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v_{1}，在流水中的实际速度为v_{2}．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969345967366147/img/compression/M_8a4929a35efe67b79a71e7f897005583.jpg)
$如果要使此人游的路程最短，且|v_{1}|=\sqrt{2} m/s，求此人游泳的方向与水流方向的夹角\alpha 和v_{2}的大小；$

Solution:
$如果要使此人游的路程最短，只需此人游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直，如图1，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969346109972482/img/compression/M_b153d98d1b0d270497011490e063df8c.jpg)$图1此人游泳的方向与水流方向的夹角\alpha =\angle ACB，(2分)此时|v_{2}|=\sqrt{|\boldsymbol{v}_1|^2-|\boldsymbol{v}_0|^2}=1 m/s,\alpha =\angle ACB=\frac{3\pi }{4}.$

Final answer: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $v_2 = 1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d m，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东的流速为|v_{0}|=1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v_{1}，在流水中的实际速度为v_{2}．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969345967366147/img/compression/M_8a4929a35efe67b79a71e7f897005583.jpg)
$如果要使此人游的时间最短，且|v_{2}|=2 m/s，求此人实际前进的方向与水流方向的夹角\beta 和v_{1}的大小．$

Solution:
$如图2，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969346437128194/img/compression/M_5910b7c9737b007a2ee4c4dba62cb860.jpg)$图2由已知得v_{0}与v_{2}的夹角为\beta ,设v_{0}与v_{1}的夹角为\theta ，实际游泳的距离为s m，则\frac{|\boldsymbol{v}_2|}{\\\sin   (\pi -\theta )}=\frac{|\boldsymbol{v}_2|}{\\\sin    \theta }=\frac{|\boldsymbol{v}_1|}{\\\sin    \beta }，又\\sin   \beta =\frac{d}{s}，所以\frac{s}{|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\frac{d}{\\\sin    \beta }}{\frac{|\boldsymbol{v}_1|}{\\\sin    \beta }\\\sin    \theta }=\frac{d}{|\boldsymbol{v}_1|\\\sin    \theta },(7分)所以当v_{0}与v_{1}的夹角\theta =\frac{\pi }{2}时，此人游到对岸用时最短.(9分)如图3，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969346437128194/img/compression/M_66b230e17a891307a659b36a0f44daea.jpg)$图3因为|v_{2}|=2 m/s,|v_{0}|=1 m/s,所以|v_{1}|=\sqrt{|\boldsymbol{v}_2|^2-|\boldsymbol{v}_0|^2}=\sqrt{3} m/s,此时\\tan   \beta =\sqrt{3},所以\beta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $ \frac{\pi }3$, $ \sqrt 3 $ rad, $m/s$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d m，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东的流速为|v_{0}|=1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v_{1}，在流水中的实际速度为v_{2}．$<img_1712>
$如果要使此人游的时间最短，且|v_{2}|=2 m/s，求此人实际前进的方向与水流方向的夹角\beta 和v_{1}的大小．$

Solution:
$如图2，$<img_3093>$图2由已知得v_{0}与v_{2}的夹角为\beta ,设v_{0}与v_{1}的夹角为\theta ，实际游泳的距离为s m，则\frac{|\boldsymbol{v}_2|}{\\\sin   (\pi -\theta )}=\frac{|\boldsymbol{v}_2|}{\\\sin    \theta }=\frac{|\boldsymbol{v}_1|}{\\\sin    \beta }，又\\sin   \beta =\frac{d}{s}，所以\frac{s}{|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\frac{d}{\\\sin    \beta }}{\frac{|\boldsymbol{v}_1|}{\\\sin    \beta }\\\sin    \theta }=\frac{d}{|\boldsymbol{v}_1|\\\sin    \theta },(7分)所以当v_{0}与v_{1}的夹角\theta =\frac{\pi }{2}时，此人游到对岸用时最短.(9分)如图3，$<img_2575>$图3因为|v_{2}|=2 m/s,|v_{0}|=1 m/s,所以|v_{1}|=\sqrt{|\boldsymbol{v}_2|^2-|\boldsymbol{v}_0|^2}=\sqrt{3} m/s,此时\\tan   \beta =\sqrt{3},所以\beta =\frac{\pi }{3}.(12分)$

Final answer: $ \frac{\pi }3$, $ \sqrt 3 $ rad, $m/s$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面四边形ABCD中，BC\parallel AD，AB=BC=2，AD=4，\angle BAD=120^\circ ，E，F分别是AD，DC的中点，G为线段BC上一点，且\overrightarrow{BG}=\lambda \overrightarrow{BC}.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969347091439619/img/compression/M_2718d250de363a341692b50678229215.jpg)
$若\lambda =\frac{1}{3}，以{a，b}为基底表示向量\overrightarrow{AF}与\overrightarrow{EG}；$

Solution:
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)=\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}b.(2分)因为\lambda =\frac{1}{3}，所以\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}b+a+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}b+a+\frac{1}{6}b=a-\frac{1}{3}b.(4分)$

Final answer: $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}b$, $\overrightarrow{EG}=a-\frac{1}{3}b$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在平面四边形ABCD中，BC\parallel AD，AB=BC=2，AD=4，\angle BAD=120^\circ ，E，F分别是AD，DC的中点，G为线段BC上一点，且\overrightarrow{BG}=\lambda \overrightarrow{BC}.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b.$<img_2450>
$若\lambda =\frac{1}{3}，以{a，b}为基底表示向量\overrightarrow{AF}与\overrightarrow{EG}；$

Solution:
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)=\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}b.(2分)因为\lambda =\frac{1}{3}，所以\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}b+a+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}b+a+\frac{1}{6}b=a-\frac{1}{3}b.(4分)$

Final answer: $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}b$, $\overrightarrow{EG}=a-\frac{1}{3}b$