di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，一个正方形花圃被分成5份.$<img_2734>
$若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？$

Solution:
$易知7个不同的盆栽有{3，1，1，1，1}、{2，2，1，1，1}两种分组方式，以{3，1，1，1，1}分组，则有C^3_7A^5_5=4 200种不同的放法，以{2，2，1，1，1}分组，则有\frac{\mathrm{C}^2_7\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{A}^2_2}\cdot A^5_5=12 600种不同的放法，所以共有4 200+12 600=16 800种不同的放法.$

Final answer: $16800$
Subfield: Sequence


Question: $汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图(1)中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_{n}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040158805233666/img/compression/M_889360a10049bfcc41035583ebd507d4.jpg)
$试写出a_{1}，a_{2}，a_{3}，a_{4}的值，并猜想出a_{n}；(无需给出证明)$

Solution:
$由题意得a_{1}=1，a_{2}=3，a_{3}=7，a_{4}=15，猜想a_{n}=2^{n}-1.(3分)$

Final answer: $a_{n}=2^{n}-1$
Subfield: Sequence


Question: $汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图(1)中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_{n}.
$<img_1657>
$试写出a_{1}，a_{2}，a_{3}，a_{4}的值，并猜想出a_{n}；(无需给出证明)$

Solution:
$由题意得a_{1}=1，a_{2}=3，a_{3}=7，a_{4}=15，猜想a_{n}=2^{n}-1.(3分)$

Final answer: $a_{n}=2^{n}-1$
Subfield: Sequence


Question: $汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图(1)中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_{n}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1651040158805233666/img/compression/M_889360a10049bfcc41035583ebd507d4.jpg)
$著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图(2)的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b_{n}=n^{2}这样的数为正方形数.当n\geq 2时，试比较a_{n}与b_{n}的大小，并用数学归纳法加以证明.$

Solution:
$a_{1}=1，a_{2}=3，a_{3}=7，a_{4}=15，a_{5}=31，b_{1}=1，b_{2}=4，b_{3}=9，b_{4}=16，b_{5}=25，则当2\leq n＜5时，a_{n}＜b_{n}，猜想当n\geq 5时，a_{n}＞b_{n}，即2^{n}-1＞n^{2}.(5分)下面利用数学归纳法证明：①当n=5时，a_{5}=31，b_{5}=25，a_{5}＞b_{5}，结论成立.(6分)②假设当n=k(k\geq 5，k\in Z)时，结论成立，即2^{k}-1＞k^{2}，当n=k+1时，a_{k+1}=2^{k+1}-1=2(2^{k}-1)+1＞2k^{2}+1=k^{2}+k^{2}+1，b_{k+1}=(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1，(8分)易知当k\geq 5时，k(k-2)＞0，即k^{2}＞2k，\therefore a_{k+1}＞b_{k+1}.(9分)\therefore 当n=k+1时，结论成立.(10分)由①②可知，当n\geq 5时，结论成立.(11分)综上，当2\leq n＜5时，a_{n}＜b_{n}，当n\geq 5时，a_{n}＞b_{n}.(12分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Sequence


Question: $汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图(1)中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_{n}.
$<img_1657>
$著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图(2)的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b_{n}=n^{2}这样的数为正方形数.当n\geq 2时，试比较a_{n}与b_{n}的大小，并用数学归纳法加以证明.$

Solution:
$a_{1}=1，a_{2}=3，a_{3}=7，a_{4}=15，a_{5}=31，b_{1}=1，b_{2}=4，b_{3}=9，b_{4}=16，b_{5}=25，则当2\leq n＜5时，a_{n}＜b_{n}，猜想当n\geq 5时，a_{n}＞b_{n}，即2^{n}-1＞n^{2}.(5分)下面利用数学归纳法证明：①当n=5时，a_{5}=31，b_{5}=25，a_{5}＞b_{5}，结论成立.(6分)②假设当n=k(k\geq 5，k\in Z)时，结论成立，即2^{k}-1＞k^{2}，当n=k+1时，a_{k+1}=2^{k+1}-1=2(2^{k}-1)+1＞2k^{2}+1=k^{2}+k^{2}+1，b_{k+1}=(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1，(8分)易知当k\geq 5时，k(k-2)＞0，即k^{2}＞2k，\therefore a_{k+1}＞b_{k+1}.(9分)\therefore 当n=k+1时，结论成立.(10分)由①②可知，当n\geq 5时，结论成立.(11分)综上，当2\leq n＜5时，a_{n}＜b_{n}，当n\geq 5时，a_{n}＞b_{n}.(12分)$
Subfield: Derivative


Question: $在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为y=ax^{3}+bx^{2}，其中x(单位：m)表示飞机距离着陆点的水平距离，y(单位：m)表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时距离着陆点的竖直高度为4 500 m，距离着陆点的水平距离为x_{0} m，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850512105078786/img/compression/M_d35acc60fd71a60f41430431d6677232.jpg)
$用x_{0}分别表示a和b；$

Solution:
$设f(x)=ax^{3}+bx^{2},则f'(x)=3ax^{2}+2bx，(2分)由题意可知\left\{\begin{matrix}f(x_0)=4 500,\\ f'(x_0)=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}ax^3_0+bx^2_0=4 500,\\ 3ax^2_0+2bx_0=0,\end{matrix}\right.(4分)解得\left\{\begin{matrix}a=-\frac{9 000}{x^3_0},\\ b=\frac{13 500}{x^2_0}.\end{matrix}\right.(6分)$

Final answer: $a=-\frac{9 000}{x^3_0}$, $b=\frac{13 500}{x^2_0}$
Subfield: Derivative


Question: $在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为y=ax^{3}+bx^{2}，其中x(单位：m)表示飞机距离着陆点的水平距离，y(单位：m)表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时距离着陆点的竖直高度为4 500 m，距离着陆点的水平距离为x_{0} m，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切.$<img_2672>
$用x_{0}分别表示a和b；$

Solution:
$设f(x)=ax^{3}+bx^{2},则f'(x)=3ax^{2}+2bx，(2分)由题意可知\left\{\begin{matrix}f(x_0)=4 500,\\ f'(x_0)=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}ax^3_0+bx^2_0=4 500,\\ 3ax^2_0+2bx_0=0,\end{matrix}\right.(4分)解得\left\{\begin{matrix}a=-\frac{9 000}{x^3_0},\\ b=\frac{13 500}{x^2_0}.\end{matrix}\right.(6分)$

Final answer: $a=-\frac{9 000}{x^3_0}$, $b=\frac{13 500}{x^2_0}$
Subfield: Derivative


Question: $在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为y=ax^{3}+bx^{2}，其中x(单位：m)表示飞机距离着陆点的水平距离，y(单位：m)表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时距离着陆点的竖直高度为4 500 m，距离着陆点的水平距离为x_{0} m，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693850512105078786/img/compression/M_d35acc60fd71a60f41430431d6677232.jpg)
$若飞机开始降落时的水平速度为150 m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度y″(t)[即y关于降落时间t(单位：s)的导函数y'(t)的导数]的绝对值不超过1 m/s^{2}，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x_{0}的最小值.$

Solution:
$由(1)可知, f(x)=-\frac{9 000}{x^3_0}x^{3}+\frac{13 500}{x^2_0}x^{2}，x\in [0,x_{0}]，设飞机降落时间为t s，则x=x_{0}-150t，则y(t)=-\frac{9 000}{x^3_0}(x_{0}-150t)^{3}+\frac{13 500}{x^2_0}(x_{0}-150t)^{2}，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，(8分)y'(t)=\frac{607 500 000}{x^3_0}(150t^{2}-x_{0}t)，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，y″(t)=[y'(t)]'=\frac{607 500 000}{x^3_0}(300t-x_{0})，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，(10分)当t=0或t=\frac{x_0}{150}时，|y″(t)|取得最大值，为\frac{607 500 000}{x^2_0}，故\frac{607 500 000}{x^2_0}\leq 1，可得x_{0}\geq 4 500\sqrt{30}.所以飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x_{0}的最小值为4 500\sqrt{30} m.　(12分)$

Final answer: $4 500\sqrt 30 $
Subfield: Derivative


Question: $在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为y=ax^{3}+bx^{2}，其中x(单位：m)表示飞机距离着陆点的水平距离，y(单位：m)表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时距离着陆点的竖直高度为4 500 m，距离着陆点的水平距离为x_{0} m，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切.$<img_2672>
$若飞机开始降落时的水平速度为150 m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度y″(t)[即y关于降落时间t(单位：s)的导函数y'(t)的导数]的绝对值不超过1 m/s^{2}，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x_{0}的最小值.$

Solution:
$由(1)可知, f(x)=-\frac{9 000}{x^3_0}x^{3}+\frac{13 500}{x^2_0}x^{2}，x\in [0,x_{0}]，设飞机降落时间为t s，则x=x_{0}-150t，则y(t)=-\frac{9 000}{x^3_0}(x_{0}-150t)^{3}+\frac{13 500}{x^2_0}(x_{0}-150t)^{2}，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，(8分)y'(t)=\frac{607 500 000}{x^3_0}(150t^{2}-x_{0}t)，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，y″(t)=[y'(t)]'=\frac{607 500 000}{x^3_0}(300t-x_{0})，t\in \left[0,\frac{x_0}{150}\right]，(10分)当t=0或t=\frac{x_0}{150}时，|y″(t)|取得最大值，为\frac{607 500 000}{x^2_0}，故\frac{607 500 000}{x^2_0}\leq 1，可得x_{0}\geq 4 500\sqrt{30}.所以飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x_{0}的最小值为4 500\sqrt{30} m.　(12分)$

Final answer: $4 500\sqrt 30 $
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
$(1)当a=1，b=1时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；$

Solution:
$根据茎叶图可知甲组数据的平均数为\frac{10+10+14+18+22+25+27+34}{8}=20，乙组数据的平均数为\frac{10+20+22+23+31+32+31+31}{8}=25，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=4，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=4，所以m=n.$

Final answer: $m=n$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.$<img_2099>
$(2)在这8个卖场中，随机选取2个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；$

Solution:
$由(1)知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为4，设选取的两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”为事件M，甲型号电视机的“星级卖场”分别为a，b，c，d，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A，B，C，D，从这8个卖场中，随机选取2个卖场，有AB，AC，AD，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，Ca，Cb，Cc，Cd，Da，Db，Dc，Dd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共28种等可能的情况.其中满足条件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个,所以P(M)=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}.$

Final answer: $\frac{3}{14}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
$(2)在这8个卖场中，随机选取2个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；$

Solution:
$由(1)知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为4，设选取的两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”为事件M，甲型号电视机的“星级卖场”分别为a，b，c，d，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A，B，C，D，从这8个卖场中，随机选取2个卖场，有AB，AC，AD，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，Ca，Cb，Cc，Cd，Da，Db，Dc，Dd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共28种等可能的情况.其中满足条件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个,所以P(M)=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}.$

Final answer: $\frac{3}{14}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.$<img_2099>
$(3)记乙型号电视机销售量的方差为s^{2}，根据茎叶图推断a与b分别取何值时，s^{2}达到最小值.(只需写出结论)$

Solution:
$当a=b=0时，s^{2}达到最小值.详解：设平均数为\overline{x}，s^{2}=\frac{(10-\overline{x})^2+(20-\overline{x})^2+(22-\overline{x})^2+(23-\overline{x})^2+(31-\overline{x})^2+(32-\overline{x})^2+(30+a-\overline{x})^2+(30+b-\overline{x})^2}{8}，0\leq a\leq 9,0\leq b\leq 9,所以当a=b=0时，s^{2}达到最小值.$

Final answer: 0,0
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位：台)，并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598561587203/img/compression/M_19655f91b826afa00e7ab6431490a694.jpg)
$(3)记乙型号电视机销售量的方差为s^{2}，根据茎叶图推断a与b分别取何值时，s^{2}达到最小值.(只需写出结论)$

Solution:
$当a=b=0时，s^{2}达到最小值.详解：设平均数为\overline{x}，s^{2}=\frac{(10-\overline{x})^2+(20-\overline{x})^2+(22-\overline{x})^2+(23-\overline{x})^2+(31-\overline{x})^2+(32-\overline{x})^2+(30+a-\overline{x})^2+(30+b-\overline{x})^2}{8}，0\leq a\leq 9,0\leq b\leq 9,所以当a=b=0时，s^{2}达到最小值.$

Final answer: 0,0
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$<img_2815><img_1692>
$(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；$

Solution:
$由茎叶图可知成绩在[60,70)中的频数为3.结合频率分布直方图，得n=\frac{3}{0.007 5\times 10}=40.\therefore x=\frac{1}{10n}=\frac{1}{400}=0.002 5.\therefore y=0.1-x-0.007 5-0.020 0-0.030 0=0.040 0.$

Final answer: $n=40, x=0.0025, y=0.0400$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_de0c39e7928d3d13a11c6a1678aa0baf.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_8e53bc685001f3459fb0499d7054c5b9.jpg)
$(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；$

Solution:
$由茎叶图可知成绩在[60,70)中的频数为3.结合频率分布直方图，得n=\frac{3}{0.007 5\times 10}=40.\therefore x=\frac{1}{10n}=\frac{1}{400}=0.002 5.\therefore y=0.1-x-0.007 5-0.020 0-0.030 0=0.040 0.$

Final answer: $n=40, x=0.0025, y=0.0400$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$<img_2815><img_1692>
$(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的两组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生的分数都在[80,90)中的概率.$

Solution:
$由题意，本次竞赛成绩样本中分数在[80,90)中的学生有40\times 0.03\times 10=12名，分数在[90,100]中的学生有40\times 0.02\times 10=8名，按分层抽样抽取5名学生，分数在[80,90)中的学生有5\times \frac{12}{12+8}=3名，记为a、b、c；分数在[90,100]中的学生有5\times \frac{8}{12+8}=2名，记为1、2.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12，共10种.其中2名学生的分数都在[80,90)中的结果为ab,ac,bc，共3种.\therefore 所选2名学生的分数都在[80,90)中的概率P=\frac{3}{10}.$



Final answer: $P=\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_de0c39e7928d3d13a11c6a1678aa0baf.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549598901325827/img/compression/M_8e53bc685001f3459fb0499d7054c5b9.jpg)
$(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的两组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生的分数都在[80,90)中的概率.$

Solution:
$由题意，本次竞赛成绩样本中分数在[80,90)中的学生有40\times 0.03\times 10=12名，分数在[90,100]中的学生有40\times 0.02\times 10=8名，按分层抽样抽取5名学生，分数在[80,90)中的学生有5\times \frac{12}{12+8}=3名，记为a、b、c；分数在[90,100]中的学生有5\times \frac{8}{12+8}=2名，记为1、2.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12，共10种.其中2名学生的分数都在[80,90)中的结果为ab,ac,bc，共3种.\therefore 所选2名学生的分数都在[80,90)中的概率P=\frac{3}{10}.$

Final answer: $P=\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.$<img_2308>$为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，17)建立模型①:\hat{y}=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，7)建立模型②：\hat{y}=99+17.5t.$
$(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；$

Solution:
$利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为\hat{y}=-30.4+13.5\times 19=226.1(亿元).利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为\hat{y}=99+17.5\times 9=256.5(亿元).$

Final answer: 226.1,256.5 亿元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549606320922625/img/compression/M_cf7b2f2c6de41c91be266e52a293c6fe.jpg)$为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，17)建立模型①:\hat{y}=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，7)建立模型②：\hat{y}=99+17.5t.$
$(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；$

Solution:
$利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为\hat{y}=-30.4+13.5\times 19=226.1(亿元).利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为\hat{y}=99+17.5\times 9=256.5(亿元).$

Final answer: 226.1,256.5 亿元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549606320922625/img/compression/M_cf7b2f2c6de41c91be266e52a293c6fe.jpg)$为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，17)建立模型①:\hat{y}=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，\ldots ，7)建立模型②：\hat{y}=99+17.5t.$
$(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.$

Solution:
$利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型\hat{y}=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可.$

Final answer: $利用模型②得到的预测值更可靠。理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)作为样本数据，并将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图.$<img_2013><img_3114>
$(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)$

Solution:
$男生竞赛成绩的平均数为45\times 0.05+55\times 0.15+65\times 0.2+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=72.5，女生竞赛成绩的平均数为45\times 0.1+55\times 0.2+65\times 0.25+75\times 0.2+85\times 0.15+95\times 0.1=69.$

Final answer: $72.5,69$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)作为样本数据，并将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549611387875331/img/compression/M_8e977fbef371e61388fcc5f6a8d65d1c.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549611387875331/img/compression/M_30c4e7ef929dd9e412ce06ce8b675fb7.jpg)
$(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)$

Solution:
$男生竞赛成绩的平均数为45\times 0.05+55\times 0.15+65\times 0.2+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=72.5，女生竞赛成绩的平均数为45\times 0.1+55\times 0.2+65\times 0.25+75\times 0.2+85\times 0.15+95\times 0.1=69.$

Final answer: $72.5,69$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)作为样本数据，并将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图.$<img_2013><img_3114>
$(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2\times 2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？
非“太空达人”
“太空达人”
总计
男生
女生
总计
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(K^{2}\geq k_{0})
0.050
0.010
0.001
k_{0}
3.841
6.635
10.828
$

Solution:
$完善2\times 2列联表如下：非“太空达人”“太空达人”总计男生4060100女生5545100总计95105200所以K^{2}的观测值k=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{200\times (40\times 45-60\times 55)^2}{100\times 100\times 95\times 105}\approx 4.511>3.841.所以有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关.$

Final answer: $95\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩(满分100分)作为样本数据，并将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549611387875331/img/compression/M_8e977fbef371e61388fcc5f6a8d65d1c.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549611387875331/img/compression/M_30c4e7ef929dd9e412ce06ce8b675fb7.jpg)
$(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2\times 2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？
非“太空达人”
“太空达人”
总计
男生
女生
总计
附：K^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.
P(K^{2}\geq k_{0})
0.050
0.010
0.001
k_{0}
3.841
6.635
10.828
$

Solution:
$完善2\times 2列联表如下：非“太空达人”“太空达人”总计男生4060100女生5545100总计95105200所以K^{2}的观测值k=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=\frac{200\times (40\times 45-60\times 55)^2}{100\times 100\times 95\times 105}\approx 4.511>3.841.所以有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关.$

Final answer: $95\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
温度x/^\circ C
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
$<img_1985>
$(1)画出散点图，根据散点图判断y=c+dx与y=ae^{bx}哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程模型(给出判断即可、不必说明理由)；$

Solution:
$散点图如图所示，$<img_1906>$根据散点图可以判断，y=a\cdot e^{bx}适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程模型.$

Final answer: $y=ae^{bx}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
温度x/^\circ C
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549612365148161/img/compression/M_c9abce8740f4459eb8aea7d209e1f81c.jpg)
$(1)画出散点图，根据散点图判断y=c+dx与y=ae^{bx}哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程模型(给出判断即可、不必说明理由)；$

Solution:
$散点图如图所示，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549612776189954/img/compression/M_5b33fe14a9da370a261bef8a89b11f1d.jpg)$根据散点图可以判断，y=a\cdot e^{bx}适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程模型.$

Final answer: $y=ae^{bx}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
温度x/^\circ C
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549612365148161/img/compression/M_c9abce8740f4459eb8aea7d209e1f81c.jpg)
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(附：可能用到的公式w_{i}=ln y_{i},\overline{w}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}w_{i},\overline{x}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i},\overline{y}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}y_{i}，可能用到的数据如下表所示：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
27.429
81.286
3.612
147.714
\sum \limits^{7}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}y_{i}-7\overline{x}\overline{y}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}w_{i}-7\overline{x}\overline{w}
11.094
2 934.844
40.193
对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.)$

Solution:
$令w=ln y，则w=ln y=ln(a\cdot e^{bx})=ln a+bx.先建立w关于x的线性回归方程，由数据得\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}w_{i}-7\overline{x}\overline{w}=40.193,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2=147.714,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}{\overline{w}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2}=\frac{40.193}{147.714}\approx 0.272,ln \hat{a}=\overline{w}-\hat{b}\overline{x}\approx -3.849.所以w关于x的线性回归方程为\hat{w}=-3.849+0.272x.因此，y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
温度x/^\circ C
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
$<img_1985>
$(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(附：可能用到的公式w_{i}=ln y_{i},\overline{w}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}w_{i},\overline{x}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i},\overline{y}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{{i=1}}y_{i}，可能用到的数据如下表所示：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{w}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}
27.429
81.286
3.612
147.714
\sum \limits^{7}_{{i=1}}(w_{i}-\overline{w})^{2}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}y_{i}-7\overline{x}\overline{y}
\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}w_{i}-7\overline{x}\overline{w}
11.094
2 934.844
40.193
对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}}{\overline{v}}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n\overline{u}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.)$

Solution:
$令w=ln y，则w=ln y=ln(a\cdot e^{bx})=ln a+bx.先建立w关于x的线性回归方程，由数据得\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_{i}w_{i}-7\overline{x}\overline{w}=40.193,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2=147.714,\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x_iw_i-7\overline{x}{\overline{w}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}x^2_i-7\overline{x}^2}=\frac{40.193}{147.714}\approx 0.272,ln \hat{a}=\overline{w}-\hat{b}\overline{x}\approx -3.849.所以w关于x的线性回归方程为\hat{w}=-3.849+0.272x.因此，y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}.$

Final answer: $\hat{y}=e^{-3.849+0.272x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284031749349377/img/compression/M_0097f93c4329d8806a9f3d68dca436e8.jpg)
$(1)求这100位作者年龄的样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$\overline{x}=30\times 0.05+40\times 0.1+50\times 0.15+60\times 0.35+70\times 0.2+80\times 0.15=60,s^{2}=(-30)^{2}\times 0.05+(-20)^{2}\times 0.1+(-10)^{2}\times 0.15+0\times 0.35+10^{2}\times 0.2+20^{2}\times 0.15=180.$

Final answer: $60,180$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：$<img_2984>
$(1)求这100位作者年龄的样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$\overline{x}=30\times 0.05+40\times 0.1+50\times 0.15+60\times 0.35+70\times 0.2+80\times 0.15=60,s^{2}=(-30)^{2}\times 0.05+(-20)^{2}\times 0.1+(-10)^{2}\times 0.15+0\times 0.35+10^{2}\times 0.2+20^{2}\times 0.15=180.$

Final answer: $60,180$