di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_7d0372e48ea74eb12f8ee625a7fe54f9.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_b60ebf564caf87ae63ba995c3b4e6026.jpg)
$加速氚核时，若交变电压周期仍为T，则需要将图乙中交变电压U_0调至原来的几倍；加速后，氚核在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r等于多少；$

Solution:
要让氚核也能“踏准节奏”在间隙处被加速，则需要氚核在每个金属圆筒中的速度都与质子的相同。

氚核电荷量与质子相同，但质量是质子的3倍；

$由v_n=\sqrt{\frac{2nqU_0}{m}}可知，U_0要调至原来的3倍$

$质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有Bqv_4=mv^2_4/r_1，$

$解得v_4=qBr_1/m，且v_4=\sqrt{\frac{8qU_0}{m}}，B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}$

$故联立解得质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r_1=a$

$氚核质量为质子的3倍，进入区域Ⅰ时的速度与质子的相同，即\frac{Bqr_3}{3m}=\frac{Bqr_1}{m},可得氚核在磁场中做匀速圆周运动的半径为r_3=3a$

Final answer: 3, 3a
Subfield: Electromagnetism


Question: $高能粒子实验装置，是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具，在物理学的研究历史上有着不可磨灭的贡献。为了简化计算，在中学物理范畴，一个复杂的高能粒子实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型，题中所给出的就是这样一个简化模型。如图甲所示，三维坐标系中yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v_0，方向与x轴正方向的夹角为45^\circ 。已知电场强度大小E=\frac{mg}{q}，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正。已知t_0=\frac{\pi v_0}{g}，重力加速度大小为g。$

图甲：

<img_1343>

图乙：

<img_1235>
$求粒子从第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间t_1；$

Solution:
$根据题意有 qE=mg，即重力与电场力平衡，由洛伦兹力提供向心力。$
$则有 qv_0 B_1=m\frac{v^2_0}{R_1}， B_1=\frac{mg}{qv_0}， T_1=\frac{2\pi R_1}{v_0}。$

$解得 R_1=\frac{v^2_0}{g}， T_1=\frac{2\pi v_0}{g}。$

$从 z 方向看过去，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图:$
<img_560>

$可知粒子从第一次经过 x 轴到第二次经过 x 轴，对应的圆心角为90^\circ 。$
$则 t_1=\frac{T_1}{4}=\frac{\pi v_0}{2g}<t_0=\frac{\pi v_0}{g}。$

Final answer: $$
Subfield: Electromagnetism


Question: $高能粒子实验装置，是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具，在物理学的研究历史上有着不可磨灭的贡献。为了简化计算，在中学物理范畴，一个复杂的高能粒子实验装置可以被最简化为空间中的复合场模型，题中所给出的就是这样一个简化模型。如图甲所示，三维坐标系中yOz平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B(图中未画出)和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从xOy平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为v_0，方向与x轴正方向的夹角为45^\circ 。已知电场强度大小E=\frac{mg}{q}，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正。已知t_0=\frac{\pi v_0}{g}，重力加速度大小为g。$

图甲：

![24BZJ5WL294.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294985486888964/img/compression/M_728cfac4f67e364d1854578eaa68ae74.jpg)

图乙：

![24BZJ5WL295.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294985486888964/img/compression/M_686919f080223d206a1444d2a1175d7d.jpg)
$求粒子从第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间t_1；$

Solution:
$根据题意有 qE=mg，即重力与电场力平衡，由洛伦兹力提供向心力。$
$则有 qv_0 B_1=m\frac{v^2_0}{R_1}， B_1=\frac{mg}{qv_0}， T_1=\frac{2\pi R_1}{v_0}。$

$解得 R_1=\frac{v^2_0}{g}， T_1=\frac{2\pi v_0}{g}。$

$从 z 方向看过去，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图:$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294986422218753/img/compression/M_75a23bbcddec8039a773d184f7d3a320.jpg)

$可知粒子从第一次经过 x 轴到第二次经过 x 轴，对应的圆心角为90^\circ 。$
$则 t_1=\frac{T_1}{4}=\frac{\pi v_0}{2g}<t_0=\frac{\pi v_0}{g}。$

Final answer: $$
Subfield: Thermodynamics


Question: $负压病房内的气压低于病房外的气压，外面的新鲜空气能流进病房，病房内的空气不会自动泄漏出去，而是通过专门的通道排放到固定的地方。某负压病房面积约为40 m^2，高度为3 m，净化标准10万级，负压差5~20 Pa，新风换气次数为每小时6次，新风风量150 m^3/h，病房外大气压强p_0=100 020 Pa，假设病房内外温度相同且恒定。$

$①若病房原负压差为20 Pa，进气的时候不排气，求进气一次后，病房内的压强。(保留2位有效数字)$

$②若病房换气时同时进气和排气，则1 h内须向外排出多少气体才能让病房负压差为10 Pa？(保留2位有效数字)$

Solution:
$①设病房原来的压强为p_1、体积为V、进气即进入病房气体体积为\Delta V、进气后病房的压强为p_2，$
$则有p_1=100020 Pa-20 Pa=100000 Pa，V=40\times3 m^3=120 m^3，\Delta V= \frac{150}{6} m^3=25 m^3$
$根据玻意耳定律有p_2V=p_0\Delta V+p_1V$
$解得p_2 \approx 1.2\times10^5 Pa$
$②假如1 h内只进气不排气，病房压强p_3=100010 Pa(负压差为10 Pa)，病房内理想气体的体积为V'，则有$
$p_3V'=150 m^3\times p_0+p_1V$
$解得V' \approx 270 m^3，所以1 h内应排气$
$\Delta V'=V'-120 m^3=150 m^3=1.5\times10^2 m^3$



Final answer: $1.2\times 10^5, 1.5\times 10^2$ Pa, m^3
Subfield: Mechanics


Question: $如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，振子位置坐标x随时间t变化的关系式为x=10 \cos \left(\pi t-\frac{\pi }{3}\right)(cm)。求振子从初始位置沿x轴正方向运动，第一次到达M点通过的路程。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961390803456002/img/compression/M_f080b68b06880771eff28721a33184e9.jpg)

Solution:
$在t=0时，振子的初始位置为x_{0}=10 \times \cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=5 cm，第一次到达M点时，x=-10 cm，代入得t=\frac{4}{3} s，弹簧振子的周期为T=\frac{2\pi }{\pi }=2 s，故第一次到达M点通过的路程为s=3A-x_{0}=25 cm。$

Final answer: $25 cm$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，振子位置坐标x随时间t变化的关系式为x=10 \cos \left(\pi t-\frac{\pi }{3}\right)(cm)。求振子从初始位置沿x轴正方向运动，第一次到达M点通过的路程。$

<img_1374>

Solution:
$在t=0时，振子的初始位置为x_{0}=10 \times \cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=5 cm，第一次到达M点时，x=-10 cm，代入得t=\frac{4}{3} s，弹簧振子的周期为T=\frac{2\pi }{\pi }=2 s，故第一次到达M点通过的路程为s=3A-x_{0}=25 cm。$

Final answer: $25 cm$
Subfield: Mechanics


Question: 某波源$S$发出一列简谐横波，波源S的振动图像如图所示。在波的传播方向上有A、B两点，它们到波源$S$的距离分别为$45 m$和$55 m$。测得A、B两点开始振动的时间间隔为$1.0 s$。求这列简谐横波的波长。

<img_706>

Solution:
$A、B两点之间的距离s_{AB}=(55-45) m=10 m$
$波从A点传到B点的时间t=1.0 s$
$则波速v= \frac{s_{AB}}{t} =10 m/s，由图可知T=2.0 s$
$波长\lambda  =vT，解得\lambda =20 m$

Final answer: $20 m$
Subfield: Mechanics


Question: 某波源$S$发出一列简谐横波，波源S的振动图像如图所示。在波的传播方向上有A、B两点，它们到波源$S$的距离分别为$45 m$和$55 m$。测得A、B两点开始振动的时间间隔为$1.0 s$。求这列简谐横波的波长。

![24AGD5WL281.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961421312319491/img/compression/M_6bc0561a94079e9472b119f0bd07cf92.jpg)

Solution:
$A、B两点之间的距离s_{AB}=(55-45) m=10 m$
$波从A点传到B点的时间t=1.0 s$
$则波速v= \frac{s_{AB}}{t} =10 m/s，由图可知T=2.0 s$
$波长\lambda  =vT，解得\lambda =20 m$

Final answer: $20 m$
Subfield: Optics


Question: $如图，截面为半圆形的透明柱体的半径为R=9 cm，在与直径AB距离为d=9\sqrt{3} cm处放置一个足够大的接收屏，一单色光从圆心O以入射角60^\circ 进入柱体，测得入射光线与折射光线的夹角为150^\circ ，已知光在真空中的传播速度为c=3\times 10^8 m/s。求光线从O点传播到接收屏MN上所用的时间。$

<img_543>

Solution:
$入射光线与折射光线夹角为150^\circ ，则折射角为30^\circ 。$

$根据折射定律得n=\frac{\sin  60 ^{\circ} }{\sin  30 ^{\circ} }=\sqrt{3}$

$光在透明柱体中的传播速度v=\frac{c}{n}，传播时间t_1=\frac{R}{v}$

$光穿过柱体后在真空中传播，传播时间t_2=\frac{\frac{d}{\cos  30 ^{\circ} }-R}{c}$

$则光线从O点传播到屏幕MN上所用的时间t=t_1+t_2$

$联立解得t=3(\sqrt{3}+1)\times 10^-10 s$

Final answer: $3(\sqrt{3}+1)\times 10^-10 s$
Subfield: Optics


Question: $如图，截面为半圆形的透明柱体的半径为R=9 cm，在与直径AB距离为d=9\sqrt{3} cm处放置一个足够大的接收屏，一单色光从圆心O以入射角60^\circ 进入柱体，测得入射光线与折射光线的夹角为150^\circ ，已知光在真空中的传播速度为c=3\times 10^8 m/s。求光线从O点传播到接收屏MN上所用的时间。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961585645654018/img/compression/M_618f8dfeab929e625bf36755083f1591.jpg)

Solution:
$入射光线与折射光线夹角为150^\circ ，则折射角为30^\circ 。$

$根据折射定律得n=\frac{\sin  60 ^{\circ} }{\sin  30 ^{\circ} }=\sqrt{3}$

$光在透明柱体中的传播速度v=\frac{c}{n}，传播时间t_1=\frac{R}{v}$

$光穿过柱体后在真空中传播，传播时间t_2=\frac{\frac{d}{\cos  30 ^{\circ} }-R}{c}$

$则光线从O点传播到屏幕MN上所用的时间t=t_1+t_2$

$联立解得t=3(\sqrt{3}+1)\times 10^-10 s$

Final answer: $3(\sqrt{3}+1)\times 10^-10 s$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，某L形透明材料的折射率n=2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为\theta 。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求\theta 的最大值。$
<img_506>

Solution:
$为使光射到AB面时不射入空气，故光在AB面发生全反射，由\sin C=\frac{1}{n}，且C+\theta =90^\circ ，得\theta =60^\circ $
<img_799>

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Optics


Question: $如图所示，某L形透明材料的折射率n=2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为\theta 。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求\theta 的最大值。$
![20GZTWL118.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961528229322755/img/compression/M_aac8fb627bb1bf7639c33e0c9242e9de.jpg)

Solution:
$为使光射到AB面时不射入空气，故光在AB面发生全反射，由\sin C=\frac{1}{n}，且C+\theta =90^\circ ，得\theta =60^\circ $
![20GZTWL122.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961528229322755/img/compression/M_2ea09947ff8c8b89a29888c951475af4.jpg)

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Optics


Question: $如图，透明玻璃砖竖直放置在水平地面上，玻璃砖对光的折射率为\sqrt{3}，其截面图为等腰三角形ABC，已知\angle ABC=120^\circ ，AC=4\sqrt{3}L，BO\perp AC，两束较细的光垂直AC从P_1、P_2两点射入玻璃砖，OP_1=OP_2=\sqrt{3}L，求两束光的交点到O点的距离。$

<img_682>

Solution:
光路图如图所示

<img_594>

$由几何关系可知 \alpha =30^\circ ，由 n = \frac{\sin  \beta }{\sin  \alpha }= \sqrt{3}，可得 \beta=60^\circ $

$由几何关系可得\angle  P_1AO_1 =30^\circ ,\angle QO_1D=60^\circ ,OD = \frac{AC-OP_1-OP_2}{2}\cdot \tan 30^\circ = L，DQ= O_1D\cdot \tan 60^\circ = OP_1\cdot \tan 60^\circ =3L$

$所以 OQ= OD + DQ =4L$

Final answer: 4L
Subfield: Optics


Question: $如图，透明玻璃砖竖直放置在水平地面上，玻璃砖对光的折射率为\sqrt{3}，其截面图为等腰三角形ABC，已知\angle ABC=120^\circ ，AC=4\sqrt{3}L，BO\perp AC，两束较细的光垂直AC从P_1、P_2两点射入玻璃砖，OP_1=OP_2=\sqrt{3}L，求两束光的交点到O点的距离。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961611671310338/img/compression/M_325a02f9003aa79ef2beaa4aceb81b62.jpg)

Solution:
光路图如图所示

![23AGD5WL105.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961611671310338/img/compression/M_2bb4dfe01577c5e3a13545669553d4f5.jpg)

$由几何关系可知 \alpha =30^\circ ，由 n = \frac{\sin  \beta }{\sin  \alpha }= \sqrt{3}，可得 \beta=60^\circ $

$由几何关系可得\angle  P_1AO_1 =30^\circ ,\angle QO_1D=60^\circ ,OD = \frac{AC-OP_1-OP_2}{2}\cdot \tan 30^\circ = L，DQ= O_1D\cdot \tan 60^\circ = OP_1\cdot \tan 60^\circ =3L$

$所以 OQ= OD + DQ =4L$

Final answer: 4L
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于空气中，一细束单色光从直角三棱镜的AC面的中点垂直射入，进入三棱镜后在AB面恰好发生全反射，已知\angle ABC=30^\circ ，AC边长等于L。MN为一光屏，且与BC边垂直。求：$

<img_1194>
该三棱镜的折射率n；

Solution:
$由几何关系可知光线在AB面上的入射角为60^\circ ，光线在AB面上发生全反射，则有 \sin 60^\circ =\frac{1}{n}$
$得n=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角三棱镜ABC置于空气中，一细束单色光从直角三棱镜的AC面的中点垂直射入，进入三棱镜后在AB面恰好发生全反射，已知\angle ABC=30^\circ ，AC边长等于L。MN为一光屏，且与BC边垂直。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961613059624962/img/compression/M_0d8ed0f0f5b3fc23866fc05f998898d0.jpg)
该三棱镜的折射率n；

Solution:
$由几何关系可知光线在AB面上的入射角为60^\circ ，光线在AB面上发生全反射，则有 \sin 60^\circ =\frac{1}{n}$
$得n=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，容器内盛有某种液体，液体内放置一倾角可调的平面镜，从光源S处发出的细激光束垂直液面入射后射到平面镜上的O点，当平面镜与水平方向的夹角为\theta =15^\circ 时，经平面镜反射后到达液面的细激光束从液面射出，且与液面的夹角为45^\circ 。求：$
<img_741>
该液体的折射率；

Solution:
Ⅰ.激光束垂直液面入射时，画出光路图如图甲所示，由几何关系得：
<img_1197>
$\theta_1 = 2 \theta$

$根据折射定律得 n = \frac{\sin  \theta_2}{\sin  \theta_1}$

$其中 \theta_2 = 90^\circ -45^\circ =45^\circ $

$解得液体的折射率 n = \sqrt{2}$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，容器内盛有某种液体，液体内放置一倾角可调的平面镜，从光源S处发出的细激光束垂直液面入射后射到平面镜上的O点，当平面镜与水平方向的夹角为\theta =15^\circ 时，经平面镜反射后到达液面的细激光束从液面射出，且与液面的夹角为45^\circ 。求：$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961643195699202/img/compression/M_755d46e864eeeace970cc68035f9e25f.jpg)
该液体的折射率；

Solution:
Ⅰ.激光束垂直液面入射时，画出光路图如图甲所示，由几何关系得：
![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961643195699202/img/compression/M_89dc6e4d7d18f2465bb0dfd0241c4c03.jpg)
$\theta_1 = 2 \theta$

$根据折射定律得 n = \frac{\sin  \theta_2}{\sin  \theta_1}$

$其中 \theta_2 = 90^\circ -45^\circ =45^\circ $

$解得液体的折射率 n = \sqrt{2}$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，容器内盛有某种液体，液体内放置一倾角可调的平面镜，从光源S处发出的细激光束垂直液面入射后射到平面镜上的O点，当平面镜与水平方向的夹角为\theta =15^\circ 时，经平面镜反射后到达液面的细激光束从液面射出，且与液面的夹角为45^\circ 。求：$
<img_741>
现使平面镜从图示位置绕O点顺时针旋转，要使经平面镜反射到液面的细激光束不能从液面射出，平面镜至少需要转过的角度。

Solution:
$Ⅱ.当激光束经平面镜反射后恰好不能从液面射出时，光路图如图乙所示，设激光束发生全反射的临界角为C，镜面与水平面的夹角为\beta 。由几何关系知C=2\beta $
$则由 \sin C= \frac{1}{n} 得\beta =22.5^\circ $
$所以平面镜至少需要转过的角度\Delta \theta =\beta -\theta $
$解得\Delta \theta =7.5^\circ $

|   |
| - |
| <img_1384>  |
| 乙  |

Final answer: $7.5^\circ $
Subfield: Optics


Question: $如图所示，容器内盛有某种液体，液体内放置一倾角可调的平面镜，从光源S处发出的细激光束垂直液面入射后射到平面镜上的O点，当平面镜与水平方向的夹角为\theta =15^\circ 时，经平面镜反射后到达液面的细激光束从液面射出，且与液面的夹角为45^\circ 。求：$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961643195699202/img/compression/M_755d46e864eeeace970cc68035f9e25f.jpg)
现使平面镜从图示位置绕O点顺时针旋转，要使经平面镜反射到液面的细激光束不能从液面射出，平面镜至少需要转过的角度。

Solution:
$Ⅱ.当激光束经平面镜反射后恰好不能从液面射出时，光路图如图乙所示，设激光束发生全反射的临界角为C，镜面与水平面的夹角为\beta 。由几何关系知C=2\beta $
$则由 \sin C= \frac{1}{n} 得\beta =22.5^\circ $
$所以平面镜至少需要转过的角度\Delta \theta =\beta -\theta $
$解得\Delta \theta =7.5^\circ $

|   |
| - |
| ![22BGD5WL330教师单.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623961643195699202/img/compression/M_2f44082b728c45286e50dc028004df21.jpg)  |
| 乙  |

Final answer: $7.5^\circ $
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

<img_874>
$求乙的反应时间；(g=10 m/s^2)$

Solution:
$尺子做自由落体运动，则h=\frac{1}{2}gt^2$
$解得t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.2 s$

Final answer: 0.2 s
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

![24AJS5WL263.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608710441553923/img/compression/M_93b4a4c44ba6ed139ea5dc4f891e5986.jpg)
$求乙的反应时间；(g=10 m/s^2)$

Solution:
$尺子做自由落体运动，则h=\frac{1}{2}gt^2$
$解得t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.2 s$

Final answer: 0.2 s
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

<img_874>
$如果乙驾车以108 km/h的速度行驶，看到前方一车突然停止，经反应后作出减速动作，设汽车刹车加速度大小是a=5 m/s^2，安全距离是多少？$

Solution:
$车速v_0=108 km/h=30 m/s，反应时间内通过的位移$

$x_1=v_0t=30\times 0.2 m=6 m$

$减速通过的位移x_2=\frac{v^2_0}{2a}=90 m$

$故安全距离x=x_1+x_2=96 m$

Final answer: 96 m
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

![24AJS5WL263.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608710441553923/img/compression/M_93b4a4c44ba6ed139ea5dc4f891e5986.jpg)
$如果乙驾车以108 km/h的速度行驶，看到前方一车突然停止，经反应后作出减速动作，设汽车刹车加速度大小是a=5 m/s^2，安全距离是多少？$

Solution:
$车速v_0=108 km/h=30 m/s，反应时间内通过的位移$

$x_1=v_0t=30\times 0.2 m=6 m$

$减速通过的位移x_2=\frac{v^2_0}{2a}=90 m$

$故安全距离x=x_1+x_2=96 m$

Final answer: 96 m
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

<img_874>
$如果乙驾车以108 km/h的速度行驶，看到同车道前方x_{0}=20 m处有一货车以72 km/h的速度行驶，在不能改变车道的情况下采取刹车方式避让(加速度大小仍为a=5 m/s^{2})，通过计算说明是否会与前车相碰，若不会，求两车最近的距离。$

Solution:
$货车的速度v = 72 km/h = 20 m/s，由运动分析知，两车速度相等时相距最近，从刹车到速度相等经历的时间为$
$t'=\frac{v_0-v}{a}=\frac{30-20}{5} s=2 s$
此段时间乙驾车行驶的位移为
$x_3=\frac{v^2_0-v^2}{2a}=\frac{900-400}{2 \times 5} m=50 m$
乙在反应时间内的位移仍为
$x_1=6 m$
从乙发现情况到两车速度相等，货车位移为
$x_4=v(t'+t)=20\times 2.2 m=44 m$
$因为x_4 + x_0 > x_1 + x_3$
所以不会相碰，最近的距离为
$x_4 + x_0 - x_1 - x_3 =8 m$

Final answer: $8 m$
Subfield: Mechanics


Question: 人从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间，如图，甲两个手指捏住木尺一端，乙在木尺另一端零刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与尺不接触。当乙看到甲放手时，尺子自由落体，他立即去握木尺，发现所握处刻度值为20 cm，尺子下落的时间就是乙的反应时间。

![24AJS5WL263.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608710441553923/img/compression/M_93b4a4c44ba6ed139ea5dc4f891e5986.jpg)
$如果乙驾车以108 km/h的速度行驶，看到同车道前方x_{0}=20 m处有一货车以72 km/h的速度行驶，在不能改变车道的情况下采取刹车方式避让(加速度大小仍为a=5 m/s^{2})，通过计算说明是否会与前车相碰，若不会，求两车最近的距离。$

Solution:
$货车的速度v = 72 km/h = 20 m/s，由运动分析知，两车速度相等时相距最近，从刹车到速度相等经历的时间为$
$t'=\frac{v_0-v}{a}=\frac{30-20}{5} s=2 s$
此段时间乙驾车行驶的位移为
$x_3=\frac{v^2_0-v^2}{2a}=\frac{900-400}{2 \times 5} m=50 m$
乙在反应时间内的位移仍为
$x_1=6 m$
从乙发现情况到两车速度相等，货车位移为
$x_4=v(t'+t)=20\times 2.2 m=44 m$
$因为x_4 + x_0 > x_1 + x_3$
所以不会相碰，最近的距离为
$x_4 + x_0 - x_1 - x_3 =8 m$

Final answer: $8 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30^\circ 时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角\theta _0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608920239386626/img/compression/M_ad516db78aea8407c41b5f4427b1a8d7.jpg)
物体与斜面间的动摩擦因数；

Solution:
如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mg \sin 30^\circ ＝\mu mg \cos 30^\circ 
$解得\mu ＝\tan 30^\circ ＝\frac{\sqrt{3}}{3}$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608922265235458/img/editor/compression/60113fbb-59a8-4f85-bcff-08f09af78b45.png)

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30^\circ 时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角\theta _0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

<img_648>
物体与斜面间的动摩擦因数；

Solution:
如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mg \sin 30^\circ ＝\mu mg \cos 30^\circ 
$解得\mu ＝\tan 30^\circ ＝\frac{\sqrt{3}}{3}$

<img_496>

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30^\circ 时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角\theta _0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608920239386626/img/compression/M_ad516db78aea8407c41b5f4427b1a8d7.jpg)
$这一临界角\theta_{0}的大小。$

Solution:
$设斜面倾角为\alpha ，受力情况如图乙所示，由平衡条件得：$

$F \cos \alpha ＝mg \sin \alpha ＋Ff'$

$FN'＝mg \cos \alpha ＋F \sin \alpha $

$Ff'＝\mu F_N'$

$解得F＝ \frac{mg \sin  \alpha +\mu mg \cos  \alpha }{\cos  \alpha -\mu  \sin  \alpha }$

$当\cos \alpha -\mu  \sin \alpha ＝0，即\tan \alpha ＝ \sqrt{3} 时，F\rightarrow \infty ，即不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角\theta _0＝\alpha ＝60^\circ 。$

![picture](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608923183788034/img/editor/compression/a542236a-da04-4423-89e8-20a3faf6df20.png)

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30^\circ 时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角\theta _0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

<img_648>
$这一临界角\theta_{0}的大小。$

Solution:
$设斜面倾角为\alpha ，受力情况如图乙所示，由平衡条件得：$

$F \cos \alpha ＝mg \sin \alpha ＋Ff'$

$FN'＝mg \cos \alpha ＋F \sin \alpha $

$Ff'＝\mu F_N'$

$解得F＝ \frac{mg \sin  \alpha +\mu mg \cos  \alpha }{\cos  \alpha -\mu  \sin  \alpha }$

$当\cos \alpha -\mu  \sin \alpha ＝0，即\tan \alpha ＝ \sqrt{3} 时，F\rightarrow \infty ，即不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角\theta _0＝\alpha ＝60^\circ 。$

<img_1395>

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_503>
未拉A时，C受到B作用力的大小F；

Solution:
$C受力平衡，2F \cos 30^\circ =mg，解得F= \frac{\sqrt{3}}{3} mg。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3} mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608923234119683/img/compression/M_05548df59e362156ac22b6ff7fe9975d.jpg)
未拉A时，C受到B作用力的大小F；

Solution:
$C受力平衡，2F \cos 30^\circ =mg，解得F= \frac{\sqrt{3}}{3} mg。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3} mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_503>
$动摩擦因数的最小值\mu _{min}；$

Solution:
$当C恰好降到地面时，B受C压力的水平分力最大F_{x_{max}}= \frac{\sqrt{3}}{2} mg，此时竖直分力为 \frac{1}{2} mg，所以B对地面的压力N = mg，B受地面的最大静摩擦力f = \mu mg。$

$根据题意f_{min}=F_{x_{max}}，解得\mu _{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608923234119683/img/compression/M_05548df59e362156ac22b6ff7fe9975d.jpg)
$动摩擦因数的最小值\mu _{min}；$

Solution:
$当C恰好降到地面时，B受C压力的水平分力最大F_{x_{max}}= \frac{\sqrt{3}}{2} mg，此时竖直分力为 \frac{1}{2} mg，所以B对地面的压力N = mg，B受地面的最大静摩擦力f = \mu mg。$

$根据题意f_{min}=F_{x_{max}}，解得\mu _{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

<img_503>
A移动的整的过程中,拉力做的功W。

Solution:
$- C下降的高度h=(\sqrt{3}-1)R$
$- A的位移x=2(\sqrt{3}-1)R$
$- A受滑动摩擦力的大小f=\mu \left(F \cos  \theta +\frac{1}{2}mg\right)=\mu mg(其中\theta 为A、C圆心连线与竖直方向的夹角)$
$- 摩擦力做功的大小W_f=fx=2(\sqrt{3}-1)\mu mgR$
$- 根据动能定理W-W_f+mgh=0-0$
$- 解得W=(2\mu -1)(\sqrt{3}-1)mgR$



Final answer: $(2\mu -1)(\sqrt{3}-1)mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为  \frac{m}{2} ，与地面间的动摩擦因数均为\mu 。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608923234119683/img/compression/M_05548df59e362156ac22b6ff7fe9975d.jpg)
A移动的整的过程中,拉力做的功W。

Solution:
$- C下降的高度h=(\sqrt{3}-1)R$
$- A的位移x=2(\sqrt{3}-1)R$
$- A受滑动摩擦力的大小f=\mu \left(F \cos  \theta +\frac{1}{2}mg\right)=\mu mg(其中\theta 为A、C圆心连线与竖直方向的夹角)$
$- 摩擦力做功的大小W_f=fx=2(\sqrt{3}-1)\mu mgR$
$- 根据动能定理W-W_f+mgh=0-0$
$- 解得W=(2\mu -1)(\sqrt{3}-1)mgR$

Final answer: $(2\mu -1)(\sqrt{3}-1)mgR$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

![24AJS5WL273.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972426170371/img/compression/M_9c51316d7d3f97ccfea9b6ca23bb2390.jpg)
轻绳OA、OB的拉力分别是多大？

Solution:
以结点O为研究对象，受力分析如图，由平衡条件有：

$F_{OB}-F_{OA} \sin \theta =0$
$F_{OA} \cos \theta -m_{1}g=0$
联立解得
$F_{OA}=\frac{m_1g}{\cos  \theta }=\frac{5}{4}m_{1}g$
$F_{OB}=m_{1}g \tan \theta =\frac{3}{4}m_{1}g$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972778491905/img/compression/M_604b82df0d7af2e8e02ffc4d403951ec.jpg)

Final answer: $\frac{5}{4} m_1g　\frac{3}{4} m_1g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

<img_1407>
轻绳OA、OB的拉力分别是多大？

Solution:
以结点O为研究对象，受力分析如图，由平衡条件有：

$F_{OB}-F_{OA} \sin \theta =0$
$F_{OA} \cos \theta -m_{1}g=0$
联立解得
$F_{OA}=\frac{m_1g}{\cos  \theta }=\frac{5}{4}m_{1}g$
$F_{OB}=m_{1}g \tan \theta =\frac{3}{4}m_{1}g$

<img_720>

Final answer: $\frac{5}{4} m_1g　\frac{3}{4} m_1g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

![24AJS5WL273.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972426170371/img/compression/M_9c51316d7d3f97ccfea9b6ca23bb2390.jpg)
人受到的摩擦力是多大？

Solution:
人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力分析如图所示，由平衡条件得

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608973130813441/img/compression/M_818de439f35383b66a2754a080f029a2.jpg)

$F_{f}=F_{OB'}=F_{OB}=\frac{3}{4}m_{1}g$

Final answer: $\frac{3}{4} m_{1}g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

<img_1407>
人受到的摩擦力是多大？

Solution:
人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力分析如图所示，由平衡条件得

<img_690>

$F_{f}=F_{OB'}=F_{OB}=\frac{3}{4}m_{1}g$

Final answer: $\frac{3}{4} m_{1}g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

![24AJS5WL273.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972426170371/img/compression/M_9c51316d7d3f97ccfea9b6ca23bb2390.jpg)
$若人的质量m_2=60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数\mu=0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量最大不能超过多少？$

Solution:
当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值
$F_{fm}=\mu_{m2}g=\frac{3}{4}m_{1m}g$

$解得 m_{1m}=\frac{4}{3}\mu_{m2}=24 kg$

$即物体甲的质量m_1最大不能超过24 kg$

Final answer: $24 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m_1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m_2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角\theta=37^\circ ，物体甲及人均处于静止状态。(已知\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g取10 m/s^2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：$

<img_1407>
$若人的质量m_2=60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数\mu=0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量最大不能超过多少？$

Solution:
当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值
$F_{fm}=\mu_{m2}g=\frac{3}{4}m_{1m}g$

$解得 m_{1m}=\frac{4}{3}\mu_{m2}=24 kg$

$即物体甲的质量m_1最大不能超过24 kg$

Final answer: $24 kg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，在质量为m=1 kg的物块上系着一根长30 cm的细绳，细绳的另一端连着轻质圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的动摩擦因数\mu =0.75，细绳与棒之间的夹角为\theta 。另有一根细绳，其一端跨过光滑定滑轮与物块相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方。当细绳的另一端挂上重物G，而圆环将要开始滑动时(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s^2)，试问：$

<img_900>
$与物块相连的两绳夹角\phi 多大？$

Solution:
$设右侧绳中拉力为F_T，当圆环将要开始滑动时，对圆环进行受力分析得：$

$\mu F_N - F_T \cos \theta  =0$

$F_N - F_T \sin \theta  =0$

$解得 \tan \theta  =\frac{1}{\mu } =\frac{4}{3} ，故 \theta  =53^\circ $

$又 AO =30 cm，AB =50 cm，由数学知识求得 \phi  =90^\circ $

Final answer: $90 $