di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003548779569154/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
$求第n次碰撞使物块Q上升的高度h_n;$

Solution:
$碰后对Q受力分析，沿斜面方向有-4mg\sin \theta -\mu F_N=-8mg\sin \theta =4ma, a=-2g\sin \theta ；设P、Q第一次碰撞后Q上升的高度为h_1，对Q由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q1}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_1}{\sin  \theta } ...(5)$

$联立④⑤式得h_1=\frac{v^2_0}{25g} ...(6)$

$由于\mu=\tan \theta ，故Q减速运动到最高点后静止；设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为v_{02}，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得:$

$\frac{1}{2}mv^2_{02}-\frac{1}{2}mv^2_{P1}=-mgh_1 ...(7)$

$联立③⑥⑦式得v_{02}=\frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(8)$

$P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P2}、v_{Q2},由动量守恒定律得mv_{02}=mv_{P2}+4mv_{Q2} ...(9)$

由机械能守恒定律得:

$\frac{1}{2}mv^2_{02}=\frac{1}{2}mv^2_{P2}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q2} ...(10)$

$联立⑧⑨⑩式得v_{P2}=-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(11)$

$v_{Q2}=\frac{2}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(12)$

$设第二次碰撞后Q上升的高度为h_2，对Q由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q2}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_2}{\sin  \theta } ...(13)$

$联立⑫⑬式得h_2=\frac{7}{25}\cdot \frac{v^2_0}{25g} ...(14)$

$设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为v_{03}，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得:$

$\frac{1}{2}mv^2_{03}-\frac{1}{2}mv^2_{P2}=-mgh_2 ...(15)$

$联立⑪⑭⑮式得v_{03}=\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(16)$

$P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P3}、v_{Q3}， 由动量守恒定律得:$

$mv_{03}=mv_{P3}+4mv_{Q3} ...(17)$

由机械能守恒定律得:

$\frac{1}{2}mv^2_{03}=\frac{1}{2}mv^2_{P3}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q3} ...(18)$

联立⑯⑰⑱式得:

$v_{P3}=-\frac{3}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(19)$

$v_{Q3}=\frac{2}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(20)$

$设第三次碰撞后Q上升的高度为h_3，由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q3}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_3}{\sin  \theta } ...(21)$

$联立⑳㉑式得h_3=\left(\frac{7}{25}\right)^2\cdot \frac{v^2_0}{25g} ...(22)$

$总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为:$

$h_n=\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1}\cdot \frac{v^2_0}{25g} \quad (n=1,2,3\ldots ) ...(23)$

Final answer: $(\frac{7}{25})^{n-1} \cdot \frac{v^2_0}{25g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

<img_1273>
$求第n次碰撞使物块Q上升的高度h_n;$

Solution:
$碰后对Q受力分析，沿斜面方向有-4mg\sin \theta -\mu F_N=-8mg\sin \theta =4ma, a=-2g\sin \theta ；设P、Q第一次碰撞后Q上升的高度为h_1，对Q由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q1}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_1}{\sin  \theta } ...(5)$

$联立④⑤式得h_1=\frac{v^2_0}{25g} ...(6)$

$由于\mu=\tan \theta ，故Q减速运动到最高点后静止；设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为v_{02}，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得:$

$\frac{1}{2}mv^2_{02}-\frac{1}{2}mv^2_{P1}=-mgh_1 ...(7)$

$联立③⑥⑦式得v_{02}=\frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(8)$

$P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P2}、v_{Q2},由动量守恒定律得mv_{02}=mv_{P2}+4mv_{Q2} ...(9)$

由机械能守恒定律得:

$\frac{1}{2}mv^2_{02}=\frac{1}{2}mv^2_{P2}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q2} ...(10)$

$联立⑧⑨⑩式得v_{P2}=-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(11)$

$v_{Q2}=\frac{2}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0 ...(12)$

$设第二次碰撞后Q上升的高度为h_2，对Q由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q2}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_2}{\sin  \theta } ...(13)$

$联立⑫⑬式得h_2=\frac{7}{25}\cdot \frac{v^2_0}{25g} ...(14)$

$设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为v_{03}，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得:$

$\frac{1}{2}mv^2_{03}-\frac{1}{2}mv^2_{P2}=-mgh_2 ...(15)$

$联立⑪⑭⑮式得v_{03}=\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(16)$

$P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P3}、v_{Q3}， 由动量守恒定律得:$

$mv_{03}=mv_{P3}+4mv_{Q3} ...(17)$

由机械能守恒定律得:

$\frac{1}{2}mv^2_{03}=\frac{1}{2}mv^2_{P3}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q3} ...(18)$

联立⑯⑰⑱式得:

$v_{P3}=-\frac{3}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(19)$

$v_{Q3}=\frac{2}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0 ...(20)$

$设第三次碰撞后Q上升的高度为h_3，由运动学公式得:$

$0-v^2_{Q3}=2\cdot (-2g\sin \theta )\cdot \frac{h_3}{\sin  \theta } ...(21)$

$联立⑳㉑式得h_3=\left(\frac{7}{25}\right)^2\cdot \frac{v^2_0}{25g} ...(22)$

$总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为:$

$h_n=\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1}\cdot \frac{v^2_0}{25g} \quad (n=1,2,3\ldots ) ...(23)$

Final answer: $(\frac{7}{25})^{n-1} \cdot \frac{v^2_0}{25g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

<img_1273>
求物块Q从A点上升的总高度H;

Solution:
当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得

$0-\frac{1}{2}mv^2_0=-(m+4m)gH-\tan \theta \cdot 4mg \cos \theta \cdot \frac{H}{\sin  \theta }$

㉔

$解得H=\frac{v^2_0}{18g}$

㉕

Final answer: $\frac{v^2_0}{18g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003548779569154/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
求物块Q从A点上升的总高度H;

Solution:
当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得

$0-\frac{1}{2}mv^2_0=-(m+4m)gH-\tan \theta \cdot 4mg \cos \theta \cdot \frac{H}{\sin  \theta }$

㉔

$解得H=\frac{v^2_0}{18g}$

㉕

Final answer: $\frac{v^2_0}{18g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

<img_1312>
当A由C点沿半圆弧轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为\theta ,求此时A所受重力对A做功的功率；

Solution:
对A由C到D的过程，
$由机械能守恒定律得 mgR \cos \theta  = \frac{1}{2}mv_D^2$
$A所受重力对A做功的功率为 P = mgv_D \sin \theta $
$解得 P = mg \sin \theta  \sqrt{2gR \cos  \theta }$

Final answer: $mg \sin \theta \sqrt{2gR \cos \theta}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003544799174659/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
当A由C点沿半圆弧轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为\theta ,求此时A所受重力对A做功的功率；

Solution:
对A由C到D的过程，
$由机械能守恒定律得 mgR \cos \theta  = \frac{1}{2}mv_D^2$
$A所受重力对A做功的功率为 P = mgv_D \sin \theta $
$解得 P = mg \sin \theta  \sqrt{2gR \cos  \theta }$

Final answer: $mg \sin \theta \sqrt{2gR \cos \theta}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的工件甲静置在光滑水平面上，其上表面由光滑水平轨道AB和四分之一光滑圆弧轨道BC组成，两轨道相切于B点，圆弧轨道半径为R，质量为m的小滑块乙静置于A点。不可伸长的细线一端固定于O点，另一端系一质量为M的小球丙，细线竖直且丙静止时O到球心的距离为L。现将丙向右拉开至细线与竖直方向夹角为\theta并由静止释放，丙在O正下方与甲发生弹性碰撞(碰后两者不再发生碰撞)；碰后甲向左滑动的过程中，乙从C点离开圆弹性轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。$

<img_1006>
求乙落回轨道后，乙对甲压力的最大值；

Solution:
$乙从C点离开时，因甲、乙水平方向速度相同，故乙仍从C点落回。当乙回到B点时，乙对甲压力最大，设此时甲速度大小为v_{甲1}，乙的速度大小为v_{乙1}，从丙与甲碰撞结束至乙回到B点过程中，甲、乙水平方向动量守恒，由动量守恒得mv=mv_{甲1}+mv_{乙1}，由机械能守恒得\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv^2_{甲1}+\frac{1}{2}mv^2_{乙1}，解得v_{甲1}=0，v_{乙1}=\frac{2M}{M+m}\sqrt{2gL(1-\cos  \theta )}，设此时甲对乙的弹力为F_{N}'，由牛顿第二定律得F_{N}'-mg=m\frac{v^2_{\text{乙}1}}{R}，由牛顿第三定律知乙对甲压力的最大值F_{N}=mg+\frac{8M^2mgL(1-\cos  \theta )}{(M+m)^2R}.$

Final answer: $mg + \frac{8M^2mgL(1-\cos  \theta )}{(M+m)^2R}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为m的工件甲静置在光滑水平面上，其上表面由光滑水平轨道AB和四分之一光滑圆弧轨道BC组成，两轨道相切于B点，圆弧轨道半径为R，质量为m的小滑块乙静置于A点。不可伸长的细线一端固定于O点，另一端系一质量为M的小球丙，细线竖直且丙静止时O到球心的距离为L。现将丙向右拉开至细线与竖直方向夹角为\theta并由静止释放，丙在O正下方与甲发生弹性碰撞(碰后两者不再发生碰撞)；碰后甲向左滑动的过程中，乙从C点离开圆弹性轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。$

![物理题](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003564558053379/img/compression/M_d9fee0ff1f22759eb45fe33d2d01fbbf.jpg)
求乙落回轨道后，乙对甲压力的最大值；

Solution:
$乙从C点离开时，因甲、乙水平方向速度相同，故乙仍从C点落回。当乙回到B点时，乙对甲压力最大，设此时甲速度大小为v_{甲1}，乙的速度大小为v_{乙1}，从丙与甲碰撞结束至乙回到B点过程中，甲、乙水平方向动量守恒，由动量守恒得mv=mv_{甲1}+mv_{乙1}，由机械能守恒得\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv^2_{甲1}+\frac{1}{2}mv^2_{乙1}，解得v_{甲1}=0，v_{乙1}=\frac{2M}{M+m}\sqrt{2gL(1-\cos  \theta )}，设此时甲对乙的弹力为F_{N}'，由牛顿第二定律得F_{N}'-mg=m\frac{v^2_{\text{乙}1}}{R}，由牛顿第三定律知乙对甲压力的最大值F_{N}=mg+\frac{8M^2mgL(1-\cos  \theta )}{(M+m)^2R}.$

Final answer: $mg + \frac{8M^2mgL(1-\cos  \theta )}{(M+m)^2R}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，MP为一水平面，其中MN段光滑且足够长，NP段粗糙。MN上静置有一个光滑且足够高的斜面体C，P端右侧竖直平面内固定一光滑的\frac{1}{4}圆弧轨道PQ，圆弧轨道与水平面相切于P点。两小球A、B压缩一轻质弹簧静置于水平面MN上，释放后，小球A、B瞬间与弹簧分离，一段时间后A通过N点，之后从圆弧轨道末端Q点竖直飞出，飞出后离Q点的最大高度为L，B滑上斜面体C后，在斜面体C上升的最大高度为\frac{L}{4}。已知A、B两球的质量均为m，NP段的长度和圆弧的半径均为L，A球与NP间的动摩擦因数\mu =0.5，重力加速度为g，A、B分离后立刻撤去弹簧，A球始终未与斜面体C发生接触。$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003567858970627/img/compression/M_daacf801d5818dad6812c7cf51b0b726.jpg)
求斜面体C的质量；

Solution:
$设刚分离时A的速度为v_1，A从与B分离到运动至P点的过程中，据动能定理可得 -\mu mgL = \frac{1}{2}mv^2_P - \frac{1}{2}mv^2_1$

$设刚分离时B的速度为v_2，取向左为正方向，在A、B分离的过程中，据动量守恒定律可得mv_1 = mv_2$

$设斜面体C的质量为m_C，B在C上达到最大高度时，B与C共速，设此时两者速度为v_3，B从与A分离到上升至最高点的过程中，水平方向动量守恒，可得mv_2 = (m + m_C)v_3，根据机械能守恒定律可得$

$\frac{1}{2}mv^2_2 = \frac{1}{2}(m + m_C)v_3^2 + mg\frac{L}{4}，联立解得m_C = \frac{1}{9}m.$

Final answer: $\frac{1}{9}m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，MP为一水平面，其中MN段光滑且足够长，NP段粗糙。MN上静置有一个光滑且足够高的斜面体C，P端右侧竖直平面内固定一光滑的\frac{1}{4}圆弧轨道PQ，圆弧轨道与水平面相切于P点。两小球A、B压缩一轻质弹簧静置于水平面MN上，释放后，小球A、B瞬间与弹簧分离，一段时间后A通过N点，之后从圆弧轨道末端Q点竖直飞出，飞出后离Q点的最大高度为L，B滑上斜面体C后，在斜面体C上升的最大高度为\frac{L}{4}。已知A、B两球的质量均为m，NP段的长度和圆弧的半径均为L，A球与NP间的动摩擦因数\mu =0.5，重力加速度为g，A、B分离后立刻撤去弹簧，A球始终未与斜面体C发生接触。$
<img_1065>
求斜面体C的质量；

Solution:
$设刚分离时A的速度为v_1，A从与B分离到运动至P点的过程中，据动能定理可得 -\mu mgL = \frac{1}{2}mv^2_P - \frac{1}{2}mv^2_1$

$设刚分离时B的速度为v_2，取向左为正方向，在A、B分离的过程中，据动量守恒定律可得mv_1 = mv_2$

$设斜面体C的质量为m_C，B在C上达到最大高度时，B与C共速，设此时两者速度为v_3，B从与A分离到上升至最高点的过程中，水平方向动量守恒，可得mv_2 = (m + m_C)v_3，根据机械能守恒定律可得$

$\frac{1}{2}mv^2_2 = \frac{1}{2}(m + m_C)v_3^2 + mg\frac{L}{4}，联立解得m_C = \frac{1}{9}m.$

Final answer: $\frac{1}{9}m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

<img_1019>
$若物块A与B不能发生碰撞，求v_0的最大值；$

Solution:
$设A、B、C的质量均为m，若物块A恰好与物块B不发生碰撞，由动量守恒定律得mv_0=3mv_1，由能量守恒有\mu mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}\times 3mv_1^2，得v_0= \sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}.$

Final answer: $\sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

![24BSD5WL1140.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568332926978/img/compression/M_459064fae133ffac4d9973a14b200e62.jpg)
$若物块A与B不能发生碰撞，求v_0的最大值；$

Solution:
$设A、B、C的质量均为m，若物块A恰好与物块B不发生碰撞，由动量守恒定律得mv_0=3mv_1，由能量守恒有\mu mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}\times 3mv_1^2，得v_0= \sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}.$

Final answer: $\sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

![24BSD5WL1140.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568332926978/img/compression/M_459064fae133ffac4d9973a14b200e62.jpg)
$若物块A与B发生碰撞后，物块B与挡板不发生碰撞，求v_0的最大值。$

Solution:
$因为A与B发生碰撞，则v_0 > \sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}，弹性碰撞后，A与B交换速度，A与C的速度相等，若物块B刚好与挡板不发生碰撞，最终A、B、C三者的速度相等，设此时三者的速度为v_2，根据动量守恒定律有mv_0=3mv_2，由能量守恒有\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_0-\frac{1}{2}\times 3mv^2_2，解得v_0=\sqrt{3\mu gL}。$

Final answer: $\sqrt{3\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

<img_1019>
$若物块A与B发生碰撞后，物块B与挡板不发生碰撞，求v_0的最大值。$

Solution:
$因为A与B发生碰撞，则v_0 > \sqrt{\frac{3\mu gL}{2}}，弹性碰撞后，A与B交换速度，A与C的速度相等，若物块B刚好与挡板不发生碰撞，最终A、B、C三者的速度相等，设此时三者的速度为v_2，根据动量守恒定律有mv_0=3mv_2，由能量守恒有\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_0-\frac{1}{2}\times 3mv^2_2，解得v_0=\sqrt{3\mu gL}。$

Final answer: $\sqrt{3\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

![24BSD5WL1140.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568332926978/img/compression/M_459064fae133ffac4d9973a14b200e62.jpg)
$若物块A恰好未从木板C上掉下来，求v_0的大小；$

Solution:
$若v_{0}> \sqrt{3\mu gL}，则在A、B发生碰撞后，B会与挡板发生碰撞，碰后物块A与B的速度相等，都小于木板C的速度，物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞。A恰好没从木板C上掉下来，即A到达C的左端时三者的速度相同，用v_{3}表示，由动量守恒有mv_{0}=3mv_{3}，由能量守恒有\mu mg \times  2L= \frac{1}{2}mv^2_{0} - \frac{1}{2} \times  3mv^2_{3}，解得v_{0}= \sqrt{6\mu gL}.$

Final answer: $\sqrt{6\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

<img_1019>
$若物块A恰好未从木板C上掉下来，求v_0的大小；$

Solution:
$若v_{0}> \sqrt{3\mu gL}，则在A、B发生碰撞后，B会与挡板发生碰撞，碰后物块A与B的速度相等，都小于木板C的速度，物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞。A恰好没从木板C上掉下来，即A到达C的左端时三者的速度相同，用v_{3}表示，由动量守恒有mv_{0}=3mv_{3}，由能量守恒有\mu mg \times  2L= \frac{1}{2}mv^2_{0} - \frac{1}{2} \times  3mv^2_{3}，解得v_{0}= \sqrt{6\mu gL}.$

Final answer: $\sqrt{6\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

![24BSD5WL1140.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568332926978/img/compression/M_459064fae133ffac4d9973a14b200e62.jpg)
若物块B恰好未从木板C上掉下来，求$v_{0}$的大小。

Solution:
$若v_0 > \sqrt{6\mu gL}，则A将从木板C上掉下来，设A刚要从木板C上掉下来时，A、B、C三者速度分别为v_{A1}、v_{B1}、v_{C1}，且v_{A1}=v_{B1}<v_{C1}，由动量守恒有mv_0=2mv_{A1}+mv_{C1}，由能量守恒有\mu mg \times 2L=\frac{1}{2}mv^2_0 - (\frac{1}{2} \times 2mv^2_{A1} +\frac{1}{2}mv^2_{C1})，若物块A从木板C上掉下来，且物块B恰好不会从木板C上掉下，此时B与C的速度相等，设为v_4，对B、C组成的系统，由动量守恒定律有mv_{A1}+mv_{C1}=2mv_4，由能量守恒有\mu mg\frac{5L}{2}=\frac{1}{2}mv^2_0 - (\frac{1}{2} \times 2mv^2_{4} +\frac{1}{2}mv^2_{A1})，解得v_0=\sqrt{8\mu gL}。$

Final answer: $\sqrt{8\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，右端有固定挡板的长为L的木板C置于光滑水平桌面上，在C上最左端和中点各放一个小物块A和B，且物块A、B和木板C的质量均相等。开始时，B和C静止，A以初速度v_0向右运动。若A、B的大小以及挡板的厚度皆可忽略不计，物块A、B与木板C之间的动摩擦因数均为\mu ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞都是弹性碰撞，接触但无弹力视为未碰撞，重力加速度为g。$

<img_1019>
若物块B恰好未从木板C上掉下来，求$v_{0}$的大小。

Solution:
$若v_0 > \sqrt{6\mu gL}，则A将从木板C上掉下来，设A刚要从木板C上掉下来时，A、B、C三者速度分别为v_{A1}、v_{B1}、v_{C1}，且v_{A1}=v_{B1}<v_{C1}，由动量守恒有mv_0=2mv_{A1}+mv_{C1}，由能量守恒有\mu mg \times 2L=\frac{1}{2}mv^2_0 - (\frac{1}{2} \times 2mv^2_{A1} +\frac{1}{2}mv^2_{C1})，若物块A从木板C上掉下来，且物块B恰好不会从木板C上掉下，此时B与C的速度相等，设为v_4，对B、C组成的系统，由动量守恒定律有mv_{A1}+mv_{C1}=2mv_4，由能量守恒有\mu mg\frac{5L}{2}=\frac{1}{2}mv^2_0 - (\frac{1}{2} \times 2mv^2_{4} +\frac{1}{2}mv^2_{A1})，解得v_0=\sqrt{8\mu gL}。$

Final answer: $\sqrt{8\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568731385858/img/compression/M_f7e610fa700d8fe8da1e315d32730d28.jpg)
物块A第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量。

Solution:
$A、B第一次压缩弹簧的过程中，在任意时刻内系统动量守恒，有4m\times \frac{5}{4}v_0=4mvₑ+mvₐ，在t时间内，可得4m\times \frac{5}{4} v_0\cdot t=4mvₑ\cdot t+mvₐ\cdot t，故5v_0t=4xₑ+xₐ，将xₑ=1.1v_0t代入，可得xₐ=0.6v_0t，所以，物块A第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量\Delta x=xₑ-xₐ=0.5v_0t。$

Final answer: $0.5v_{0}t$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

<img_1394>
物块A第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量。

Solution:
$A、B第一次压缩弹簧的过程中，在任意时刻内系统动量守恒，有4m\times \frac{5}{4}v_0=4mvₑ+mvₐ，在t时间内，可得4m\times \frac{5}{4} v_0\cdot t=4mvₑ\cdot t+mvₐ\cdot t，故5v_0t=4xₑ+xₐ，将xₑ=1.1v_0t代入，可得xₐ=0.6v_0t，所以，物块A第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量\Delta x=xₑ-xₐ=0.5v_0t。$

Final answer: $0.5v_{0}t$
Subfield: Thermodynamics


Question: 潜水钟是一种水下救生设备，它是一个底部开口、上部封闭的容器，外形与钟相似。潜水钟在水下时其内部上方空间里存有空气，以满足潜水员水下避险的需要。为计算方便，将潜水钟简化为截面积为S、高度为h、开口向下的圆筒；工作母船将潜水钟由水面上方开口向下吊放至深度为H的水下，如图所示。已知水的密度为\rho ，重力加速度大小为g，大气压强为p_0，H ≫ h，忽略温度的变化和水密度随深度的变化。

![21GZTWL23.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255608545038338/img/compression/M_4edee11e339036cfadc0cb7f5143f9d2.jpg)
$保持H不变，压入空气使筒内的水全部排出，求压入的空气在其压强为p_0时的体积。$

Solution:
$设水全部排出后筒内气体的压强为p_2，此时筒内气体的体积为V_0，这些气体在其压强为p_0时的体积为V_3，由玻意耳定律有p_2V_0=p_0V_3 ⑥$

$其中p_2=p_0+\rho gH ⑦$

$设需压入筒内的气体体积为V，依题意V=V_3-V_0 ⑧$

$联立②⑥⑦⑧式得V=\frac{\rho gSHh}{p_0} ⑨$

Final answer: $\frac{\rho gSHh}{p_0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: 潜水钟是一种水下救生设备，它是一个底部开口、上部封闭的容器，外形与钟相似。潜水钟在水下时其内部上方空间里存有空气，以满足潜水员水下避险的需要。为计算方便，将潜水钟简化为截面积为S、高度为h、开口向下的圆筒；工作母船将潜水钟由水面上方开口向下吊放至深度为H的水下，如图所示。已知水的密度为\rho ，重力加速度大小为g，大气压强为p_0，H ≫ h，忽略温度的变化和水密度随深度的变化。

<img_1031>
$保持H不变，压入空气使筒内的水全部排出，求压入的空气在其压强为p_0时的体积。$

Solution:
$设水全部排出后筒内气体的压强为p_2，此时筒内气体的体积为V_0，这些气体在其压强为p_0时的体积为V_3，由玻意耳定律有p_2V_0=p_0V_3 ⑥$

$其中p_2=p_0+\rho gH ⑦$

$设需压入筒内的气体体积为V，依题意V=V_3-V_0 ⑧$

$联立②⑥⑦⑧式得V=\frac{\rho gSHh}{p_0} ⑨$

Final answer: $\frac{\rho gSHh}{p_0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某同学探究一封闭气缸内理想气体的状态变化特性，得到压强p随温度t的变化如图所示。已知图线Ⅰ描述的是体积为V_1的等容过程，当温度为t_1时气体的压强为p_1；图线Ⅱ描述的是压强为p_2的等压过程。取0 ^\circ C为273 K，求$
1. 等容过程中，温度为0 ^\circ C时气体的压强；
2. 等压过程中，温度为0 ^\circ C时气体的体积。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255608943497219/img/compression/M_4c123217fcd41c57bc58715611b0ce16.jpg)

Solution:
$- ①等容过程中，设温度为0^\circ C时气体的压强为p_0，由查理定律有$
$  \frac{p_0}{273} = \frac{p_1}{273+t_1}$
$  解得p_0 = \frac{273p_1}{t_1+273} $
$- ②设温度为0^\circ C时图线Ⅱ对应的气体的体积为V_2，研究图线Ⅰ与图线Ⅱ在温度为0^\circ C时的状态，可认为是经过了一个等温的过程，则由玻意耳定律有$
$  p_0V_1 = p_2V_2$
$  解得V_2 = \frac{p_0V_1}{p_2} = \frac{273p_1V_1}{p_2(273+t_1)}$

Final answer: $\frac{273p_1}{t_1+273}, \frac{273p_1V_1}{p_2\left(t_1+273\right)}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某同学探究一封闭气缸内理想气体的状态变化特性，得到压强p随温度t的变化如图所示。已知图线Ⅰ描述的是体积为V_1的等容过程，当温度为t_1时气体的压强为p_1；图线Ⅱ描述的是压强为p_2的等压过程。取0 ^\circ C为273 K，求$
1. 等容过程中，温度为0 ^\circ C时气体的压强；
2. 等压过程中，温度为0 ^\circ C时气体的体积。

<img_693>

Solution:
$- ①等容过程中，设温度为0^\circ C时气体的压强为p_0，由查理定律有$
$  \frac{p_0}{273} = \frac{p_1}{273+t_1}$
$  解得p_0 = \frac{273p_1}{t_1+273} $
$- ②设温度为0^\circ C时图线Ⅱ对应的气体的体积为V_2，研究图线Ⅰ与图线Ⅱ在温度为0^\circ C时的状态，可认为是经过了一个等温的过程，则由玻意耳定律有$
$  p_0V_1 = p_2V_2$
$  解得V_2 = \frac{p_0V_1}{p_2} = \frac{273p_1V_1}{p_2(273+t_1)}$



Final answer: $\frac{273p_1}{t_1+273}, \frac{273p_1V_1}{p_2\left(t_1+273\right)}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，容积均为V_0、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为p_0、温度为T_0的环境中;两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通;汽缸内的两活塞将缸内气体分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第Ⅱ、Ⅲ部分的体积分别为\frac{1}{8}V_0和\frac{1}{4}V_0。环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255610285674499/img/compression/M_41d5e895d3a0383ea95b5ecd16635edd.jpg)
将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度;

Solution:
$选第Ⅳ部分气体为研究对象，在B汽缸中的活塞到达汽缸底部的过程中发生等压变化：\frac{V_0-\frac{1}{4}V_0}{T_0} = \frac{V_0}{T_1}$

$解得 T_1 = \frac{4}{3} T_0$

Final answer: $\frac{4}{3}T_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，容积均为V_0、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为p_0、温度为T_0的环境中;两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通;汽缸内的两活塞将缸内气体分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第Ⅱ、Ⅲ部分的体积分别为\frac{1}{8}V_0和\frac{1}{4}V_0。环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。$

<img_836>
将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度;

Solution:
$选第Ⅳ部分气体为研究对象，在B汽缸中的活塞到达汽缸底部的过程中发生等压变化：\frac{V_0-\frac{1}{4}V_0}{T_0} = \frac{V_0}{T_1}$

$解得 T_1 = \frac{4}{3} T_0$

Final answer: $\frac{4}{3}T_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，内壁光滑的导热汽缸固定在水平面上，汽缸内用横截面积为S，质量为m的绝热活塞封闭一定质量的理想气体。开始时，活塞被一根轻绳吊住，恰好位于卡口处且不与卡口挤压，与汽缸底部的间距为L。现剪断轻绳，活塞再度平衡时与汽缸底部的间距变为\frac{L}{2}. 已知汽缸外界为恒温环境，大气压强为p_0，重力加速度为g。$

<img_1284>
剪断轻绳前，轻绳上的拉力为多大？

Solution:
$设剪断轻绳前气体压强为p_1，体积为V_1，剪断轻绳，活塞再度平衡时气体压强为p_2，体积为V_2，由汽缸导热可知气体等温变化，根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，且V_2=1/2V_1，活塞再度平衡时，对活塞受力分析有p_2S=p_0S+mg，联立解得p_1=1/2(p_0+mg/S)，剪断轻绳前，对活塞受力分析有F+p_1S=mg+p_0S，解得F=1/2(p_0S+mg)。$

Final answer: $\frac{1}{2} (p_0S + mg)$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，内壁光滑的导热汽缸固定在水平面上，汽缸内用横截面积为S，质量为m的绝热活塞封闭一定质量的理想气体。开始时，活塞被一根轻绳吊住，恰好位于卡口处且不与卡口挤压，与汽缸底部的间距为L。现剪断轻绳，活塞再度平衡时与汽缸底部的间距变为\frac{L}{2}. 已知汽缸外界为恒温环境，大气压强为p_0，重力加速度为g。$

![24BKB5WL288.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255619344756738/img/compression/M_e5dae3ca30c7f95c3e78ab1d1ab97965.jpg)
剪断轻绳前，轻绳上的拉力为多大？

Solution:
$设剪断轻绳前气体压强为p_1，体积为V_1，剪断轻绳，活塞再度平衡时气体压强为p_2，体积为V_2，由汽缸导热可知气体等温变化，根据玻意耳定律有p_1V_1=p_2V_2，且V_2=1/2V_1，活塞再度平衡时，对活塞受力分析有p_2S=p_0S+mg，联立解得p_1=1/2(p_0+mg/S)，剪断轻绳前，对活塞受力分析有F+p_1S=mg+p_0S，解得F=1/2(p_0S+mg)。$

Final answer: $\frac{1}{2} (p_0S + mg)$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，内壁光滑的导热汽缸固定在水平面上，汽缸内用横截面积为S，质量为m的绝热活塞封闭一定质量的理想气体。开始时，活塞被一根轻绳吊住，恰好位于卡口处且不与卡口挤压，与汽缸底部的间距为L。现剪断轻绳，活塞再度平衡时与汽缸底部的间距变为\frac{L}{2}. 已知汽缸外界为恒温环境，大气压强为p_0，重力加速度为g。$

![24BKB5WL288.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255619344756738/img/compression/M_e5dae3ca30c7f95c3e78ab1d1ab97965.jpg)
$若给汽缸涂上绝热材料后用电热丝对封闭的理想气体加热，使活塞缓慢上升，电热丝的电阻为R，加热时通过电热丝的电流为I，经t时间活塞恰好回到卡口处，假设电热丝产生的焦耳热全部传给气体，则气体内能的变化量是多少？$

Solution:
$根据焦耳定律可得，气体吸收的热量Q=I^2Rt，气体等压膨胀，外界对气体做功W=-p_2S\frac{L}{2}，结合热力学第一定律\Delta U=Q+W，联立解得\Delta U=I^2Rt-p_2S\frac{L}{2}=I^2Rt-\frac{1}{2}p_0SL-\frac{1}{2}mgL。$

Final answer: $I^{2}Rt - \frac{1}{2}p_{0}SL - \frac{1}{2}mgL$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，内壁光滑的导热汽缸固定在水平面上，汽缸内用横截面积为S，质量为m的绝热活塞封闭一定质量的理想气体。开始时，活塞被一根轻绳吊住，恰好位于卡口处且不与卡口挤压，与汽缸底部的间距为L。现剪断轻绳，活塞再度平衡时与汽缸底部的间距变为\frac{L}{2}. 已知汽缸外界为恒温环境，大气压强为p_0，重力加速度为g。$

<img_1284>
$若给汽缸涂上绝热材料后用电热丝对封闭的理想气体加热，使活塞缓慢上升，电热丝的电阻为R，加热时通过电热丝的电流为I，经t时间活塞恰好回到卡口处，假设电热丝产生的焦耳热全部传给气体，则气体内能的变化量是多少？$

Solution:
$根据焦耳定律可得，气体吸收的热量Q=I^2Rt，气体等压膨胀，外界对气体做功W=-p_2S\frac{L}{2}，结合热力学第一定律\Delta U=Q+W，联立解得\Delta U=I^2Rt-p_2S\frac{L}{2}=I^2Rt-\frac{1}{2}p_0SL-\frac{1}{2}mgL。$

Final answer: $I^{2}Rt - \frac{1}{2}p_{0}SL - \frac{1}{2}mgL$
Subfield: Mechanics


Question: $一列简谐横波在介质中沿x轴正方向传播，O和A是介质中平衡位置分别为x=0和x=10 cm处的两个质点，且两质点的振动情况始终相反。t=0时，质点O的位移为y_0=5 cm，向上振动;t_1=\frac{2}{3} s时，质点O的位移第二次为y_1=5 cm;t_2=1 s时，质点O的位移第一次为y_2=-5 cm。求:$
质点O的位移随时间变化的关系式。

Solution:
$T=2 s，则\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi  rad/s，设质点O的位移随时间变化的关系式为y=A \sin (\omega t+\phi _0)，则t=0时，有y_0=A \sin \phi _0，t_1=\frac{2}{3} s时，有y_1=A \sin \left(\frac{2}{3}\pi +\varphi _0\right)，解得A=10 cm，\phi _0=\frac{\pi }{6}，所以质点O的位移随时间变化的关系式为y=10 \sin \left(\pi t+\frac{\pi }{6}\right) cm。$

Final answer: $y=10 \sin (\pi t+\frac{\pi }{6})$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，为一简谐横波的波动图像。质点P的平衡位置对应的横坐标为6 m，实线为t_1=0时刻的波形图，虚线为t_2=2 s时刻的波形图。已知波沿x轴正方向传播，求：$
<img_633>
$若v=5 m/s，写出质点P的振动方程。$

Solution:
$若v=5 m/s，则周期为T=\frac{\lambda }{v}=\frac{8}{5} s=1.6 s，角速度为\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{5\pi }{4} rad/s，质点P在t_1=0时刻的初相位为\frac{3\pi }{2}，则质点P的振动方程为y=0.2 \sin \left(\frac{5}{4}\pi t+\frac{3}{2}\pi \right) m或y=0.2 \cos \left(\frac{5}{4}\pi t+\pi \right) m。$



Final answer: $y=0.2 \sin \left(\frac{5}{4}\pi t+\frac{3}{2}\pi \right)m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，为一简谐横波的波动图像。质点P的平衡位置对应的横坐标为6 m，实线为t_1=0时刻的波形图，虚线为t_2=2 s时刻的波形图。已知波沿x轴正方向传播，求：$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255652093628418/img/compression/M_8d9f732f97ab6a425aac315bd5c3224f.jpg)
$若v=5 m/s，写出质点P的振动方程。$

Solution:
$若v=5 m/s，则周期为T=\frac{\lambda }{v}=\frac{8}{5} s=1.6 s，角速度为\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{5\pi }{4} rad/s，质点P在t_1=0时刻的初相位为\frac{3\pi }{2}，则质点P的振动方程为y=0.2 \sin \left(\frac{5}{4}\pi t+\frac{3}{2}\pi \right) m或y=0.2 \cos \left(\frac{5}{4}\pi t+\pi \right) m。$

Final answer: $y=0.2 \sin \left(\frac{5}{4}\pi t+\frac{3}{2}\pi \right)
y=0.2 \cos \left(\frac{5}{4}\pi t+\pi \right)$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角玻璃三棱镜ABC置于空气中，棱镜的折射率为n=\sqrt{3}，\angle A=60^\circ 。一细光束从AC的中点D垂直于AC面入射，AD=a。$
<img_1002>
$求光从进入棱镜到它第一次从棱镜中射出所经历的时间(光在真空中的传播速度为c)。$

Solution:
$光在棱镜中的传播速度为v=\frac{c}{n}=\frac{\sqrt{3}c}{3}，由几何关系可知DE=AD \tan 60^\circ =\sqrt{3}a，EF=\frac{DC}{\cos  30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a，光从进入棱镜到它第一次从棱镜中射出所经历的时间为t=\frac{DE+EF}{v}=\frac{5a}{c}。$

Final answer: $\frac{5a}{c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，直角玻璃三棱镜ABC置于空气中，棱镜的折射率为n=\sqrt{3}，\angle A=60^\circ 。一细光束从AC的中点D垂直于AC面入射，AD=a。$
![物理题图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255688318709762/img/compression/M_7a48e8fef38ee2bd3617fa9e987727ff.jpg)
$求光从进入棱镜到它第一次从棱镜中射出所经历的时间(光在真空中的传播速度为c)。$

Solution:
$光在棱镜中的传播速度为v=\frac{c}{n}=\frac{\sqrt{3}c}{3}，由几何关系可知DE=AD \tan 60^\circ =\sqrt{3}a，EF=\frac{DC}{\cos  30^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a，光从进入棱镜到它第一次从棱镜中射出所经历的时间为t=\frac{DE+EF}{v}=\frac{5a}{c}。$

Final answer: $\frac{5a}{c}$