di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，根据测试成绩(单位：分)得到的频率直方图如图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233738338193409/img/compression/M_cea3d446de741dda00751dbe1ecd7b34.jpg)$田径队$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233738338193409/img/compression/M_d18e26b2b3d06d97778718e5cb9a6dc4.jpg)$足球队$
$(2)若测试成绩在90分以上为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人担任正、副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率.$

Solution:
$“田径队”测试中90分以上的有10\times 0.008\times 100=8(人)，“足球队”测试中90分以上的有10\times 0.006\times 100=6(人).所以抽样比为\frac{7}{8+6}=\frac{1}{2}，在“田径队”测试成绩优秀的学生中抽取8\times \frac{1}{2}=4 (人)，分别记作a，b，c，d，在“足球队”测试成绩优秀的学生中抽取6\times \frac{1}{2}=3 (人)，分别记作A，B，C.从7人中任选2人的样本空间\Omega ={ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC}，共21个样本点，设正、副队长都来自“田径队”为事件M，则M={ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6个样本点，所以P(M)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.故正、副队长都来自“田径队”的概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，根据测试成绩(单位：分)得到的频率直方图如图：$<img_1553>$田径队$<img_1823>$足球队$
$(2)若测试成绩在90分以上为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人担任正、副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率.$

Solution:
$“田径队”测试中90分以上的有10\times 0.008\times 100=8(人)，“足球队”测试中90分以上的有10\times 0.006\times 100=6(人).所以抽样比为\frac{7}{8+6}=\frac{1}{2}，在“田径队”测试成绩优秀的学生中抽取8\times \frac{1}{2}=4 (人)，分别记作a，b，c，d，在“足球队”测试成绩优秀的学生中抽取6\times \frac{1}{2}=3 (人)，分别记作A，B，C.从7人中任选2人的样本空间\Omega ={ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC}，共21个样本点，设正、副队长都来自“田径队”为事件M，则M={ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6个样本点，所以P(M)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.故正、副队长都来自“田径队”的概率为\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在[1.5,7.5]内，并绘制了如图所示的频率直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233769193631746/img/compression/M_69ce48d455d43adae7b422de9fbec0f4.jpg)
$(1)按分层抽样的方法从质量落在区间[2.5,3.5)，[3.5,4.5)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚中至少有一个质量小于3.5千克的概率；$

Solution:
$由题意得x=1-(0.1\times 2+0.4+0.2+0.05)\times 1=0.15，所以蜜柚质量在区间[2.5,3.5)和[3.5,4.5)内的个数之比为2:3，所以应在质量在[2.5,3.5)内的蜜柚中抽取2个，分别记为a_{1}，a_{2}，在质量在[3.5,4.5)内的蜜柚中抽取3个，分别记为b_{1}，b_{2}，b_{3}，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，样本空间\Omega ={a_{1}a_{2},a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{1}b_{3},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2},a_{2}b_{3},b_{1}b_{2},b_{1}b_{3},b_{2}b_{3}}，共10个样本点.记抽取的2个蜜柚中至少有一个质量小于3.5千克为事件M，解法一：事件M={a_{1}a_{2},a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{1}b_{3},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2},a_{2}b_{3}}，共7个样本点，所以P(M)=\frac{7}{10}.解法二：事件M的对立事件\overline{M}为抽取的2个蜜柚的质量均大于3.5千克，则\overline{M}={b_{1}b_{2},b_{1}b_{3},b_{2}b_{3}}，共3个样本点，所以P(M)=1-P(\overline{M})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在[1.5,7.5]内，并绘制了如图所示的频率直方图：$<img_2033>
$(1)按分层抽样的方法从质量落在区间[2.5,3.5)，[3.5,4.5)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚中至少有一个质量小于3.5千克的概率；$

Solution:
$由题意得x=1-(0.1\times 2+0.4+0.2+0.05)\times 1=0.15，所以蜜柚质量在区间[2.5,3.5)和[3.5,4.5)内的个数之比为2:3，所以应在质量在[2.5,3.5)内的蜜柚中抽取2个，分别记为a_{1}，a_{2}，在质量在[3.5,4.5)内的蜜柚中抽取3个，分别记为b_{1}，b_{2}，b_{3}，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，样本空间\Omega ={a_{1}a_{2},a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{1}b_{3},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2},a_{2}b_{3},b_{1}b_{2},b_{1}b_{3},b_{2}b_{3}}，共10个样本点.记抽取的2个蜜柚中至少有一个质量小于3.5千克为事件M，解法一：事件M={a_{1}a_{2},a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{1}b_{3},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2},a_{2}b_{3}}，共7个样本点，所以P(M)=\frac{7}{10}.解法二：事件M的对立事件\overline{M}为抽取的2个蜜柚的质量均大于3.5千克，则\overline{M}={b_{1}b_{2},b_{1}b_{3},b_{2}b_{3}}，共3个样本点，所以P(M)=1-P(\overline{M})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.$

Final answer: $\frac{7}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.$<img_1915>
$(1)求甲获得冠军的概率；$

Solution:
$甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：第1场胜，第3场胜，第6场胜；第1场负，第4场胜，第5场胜，第6场胜；第1场胜，第3场负，第5场胜，第6场胜.所以甲获得冠军的概率为\left(\frac{3}{4}\right)^3+2\times \left(\frac{3}{4}\right)^3\times \frac{1}{4}=\frac{81}{128}.$

Final answer: $\frac{81}{128}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233769604673539/img/compression/M_8d3551473cd42d568a73ea68adae0be4.jpg)
$(1)求甲获得冠军的概率；$

Solution:
$甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：第1场胜，第3场胜，第6场胜；第1场负，第4场胜，第5场胜，第6场胜；第1场胜，第3场负，第5场胜，第6场胜.所以甲获得冠军的概率为\left(\frac{3}{4}\right)^3+2\times \left(\frac{3}{4}\right)^3\times \frac{1}{4}=\frac{81}{128}.$

Final answer: $\frac{81}{128}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.$<img_1915>
$(2)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.$

Solution:
$若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲：第1场胜，第3场胜；乙：第1场负，第4场胜，第5场胜.甲：第1场负，第4场胜，第5场胜；乙：第1场胜，第3场胜.所以甲与乙在决赛相遇的概率为\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{27}{128}.若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：第1场胜，第3场胜；丙：第2场胜，第3场负，第5场胜.乙：第1场胜，第3场负，第5场胜；丙：第2场胜，第3场胜.同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)=\frac{5}{128}.丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为\frac{27}{128}+\frac{5}{128}+\frac{5}{128}=\frac{37}{128}.$



Final answer: $\frac{37}{128}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706233769604673539/img/compression/M_8d3551473cd42d568a73ea68adae0be4.jpg)
$(2)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.$

Solution:
$若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲：第1场胜，第3场胜；乙：第1场负，第4场胜，第5场胜.甲：第1场负，第4场胜，第5场胜；乙：第1场胜，第3场胜.所以甲与乙在决赛相遇的概率为\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{27}{128}.若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：第1场胜，第3场胜；丙：第2场胜，第3场负，第5场胜.乙：第1场胜，第3场负，第5场胜；丙：第2场胜，第3场胜.同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\right)=\frac{5}{128}.丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为\frac{27}{128}+\frac{5}{128}+\frac{5}{128}=\frac{37}{128}.$

Final answer: $乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为37/128。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了保证师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把评分分成了5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.$<img_2484>
$(1)计算a的值和样本的平均分；$

Solution:
$由题中的频率直方图知(0.055+0.020+0.015+2a)\times 10=1，解得a=0.005，(3分)则样本的平均分为(55\times 0.005+65\times 0.055+75\times 0.020+85\times 0.015+95\times 0.005)\times 10=71(分).(6分)$

Final answer: $0.005, 71$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了保证师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把评分分成了5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969025857699842/img/compression/M_b82261a60692c12f3678cb3cb7f0d290.jpg)
$(1)计算a的值和样本的平均分；$

Solution:
$由题中的频率直方图知(0.055+0.020+0.015+2a)\times 10=1，解得a=0.005，(3分)则样本的平均分为(55\times 0.005+65\times 0.055+75\times 0.020+85\times 0.015+95\times 0.005)\times 10=71(分).(6分)$

Final answer: $0.005, 71$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了保证师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把评分分成了5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.$<img_2484>
$(2)求该样本的50百分位数(精确到0.01).$

Solution:
$因为(0.005+0.055)\times 10=0.6>0.5>0.005\times 10=0.05，所以50百分位数在[60，70)内，(9分)设50百分位数为x分，则0.005\times 10+(x-60)\times 0.055=0.5，可得x\approx 68.18.故样本的50百分位数约为68.18分.(12分)$

Final answer: $68.18$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了保证师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把评分分成了5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969025857699842/img/compression/M_b82261a60692c12f3678cb3cb7f0d290.jpg)
$(2)求该样本的50百分位数(精确到0.01).$

Solution:
$因为(0.005+0.055)\times 10=0.6>0.5>0.005\times 10=0.05，所以50百分位数在[60，70)内，(9分)设50百分位数为x分，则0.005\times 10+(x-60)\times 0.055=0.5，可得x\approx 68.18.故样本的50百分位数约为68.18分.(12分)$

Final answer: $68.18$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其分为5组，整理得到下表．
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969026210021378/img/compression/M_345e595aa677e452392ff41d2dabb41e.jpg)$
$
$(2)估计该组数据的众数及中位数(中位数精确到0.01小时)；$

Solution:
$该组数据众数的估计值为7.5小时．(5分)(0.01+0.07)\times 5=0.4,(0.01+0.07+0.06)\times 5=0.7，则中位数在[10,15)内，(6分)设中位数为x小时，则0.4+(x-10)\times 0.06=0.5，解得x\approx 11.67，故中位数的估计值为11.67小时．(7分)$

Final answer: $7.5, 11.67$ 小时
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其分为5组，整理得到下表．
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
　$<img_1767>$
$
$(2)估计该组数据的众数及中位数(中位数精确到0.01小时)；$

Solution:
$该组数据众数的估计值为7.5小时．(5分)(0.01+0.07)\times 5=0.4,(0.01+0.07+0.06)\times 5=0.7，则中位数在[10,15)内，(6分)设中位数为x小时，则0.4+(x-10)\times 0.06=0.5，解得x\approx 11.67，故中位数的估计值为11.67小时．(7分)$

Final answer: $7.5, 11.67$ 小时
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其分为5组，整理得到下表．
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969026210021378/img/compression/M_345e595aa677e452392ff41d2dabb41e.jpg)$
$
$(3)现从第4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校中华诗词比赛，比赛后，第4组得分的平均数\overline{x}=7分，方差s^2_1=2分^{2}，第5组得分的平均数\overline{y}=7分，方差s^2_2=1分^{2}，则这6人得分的平均数\overline{a}和方差s^{2}分别为多少？(方差精确到0.01分^{2})$

Solution:
$\because 第4组和第5组的频数之比为2:1，\therefore 从第4组抽取4人，第5组抽取2人．(8分)\therefore 这6人得分的平均数\overline{a}=\frac{4{\overline{x}}+2{\overline{y}}}{6}=\frac{4\times 7+2\times 7}{6}=7(分)，(9分)方差s^{2}=\frac{4[s^2_1+(\overline{x}-\overline{a})^2]+2[s^2_2+(\overline{y}-\overline{a})^2]}{6}=\frac{4\times (2+0)+2\times (1+0)}{6}\approx 1.67(分^{2})，(11分)故这6人得分的平均数为7分，方差约为1.67分^{2}．(12分)$

Final answer: 7, 1.67
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其分为5组，整理得到下表．
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
　$<img_1767>$
$
$(3)现从第4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校中华诗词比赛，比赛后，第4组得分的平均数\overline{x}=7分，方差s^2_1=2分^{2}，第5组得分的平均数\overline{y}=7分，方差s^2_2=1分^{2}，则这6人得分的平均数\overline{a}和方差s^{2}分别为多少？(方差精确到0.01分^{2})$

Solution:
$\because 第4组和第5组的频数之比为2:1，\therefore 从第4组抽取4人，第5组抽取2人．(8分)\therefore 这6人得分的平均数\overline{a}=\frac{4{\overline{x}}+2{\overline{y}}}{6}=\frac{4\times 7+2\times 7}{6}=7(分)，(9分)方差s^{2}=\frac{4[s^2_1+(\overline{x}-\overline{a})^2]+2[s^2_2+(\overline{y}-\overline{a})^2]}{6}=\frac{4\times (2+0)+2\times (1+0)}{6}\approx 1.67(分^{2})，(11分)故这6人得分的平均数为7分，方差约为1.67分^{2}．(12分)$

Final answer: 7, 1.67
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969027191488515/img/compression/M_d2b2eee7e8d658ffe6c6c7538a0609a5.jpg)
$(1)求频率直方图中x的值；$

Solution:
$由题中的频率直方图可得(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)\times 20=1，解得x=0.007 5，所以频率直方图中x的值是0.007 5.(3分)$

Final answer: $0.0075$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$<img_2326>
$(1)求频率直方图中x的值；$

Solution:
$由题中的频率直方图可得(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)\times 20=1，解得x=0.007 5，所以频率直方图中x的值是0.007 5.(3分)$

Final answer: $0.0075$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969027191488515/img/compression/M_d2b2eee7e8d658ffe6c6c7538a0609a5.jpg)
$(2)求月平均用电量的众数和中位数；$

Solution:
$月平均用电量的众数是\frac{220+240}{2}=230(度).(5分)因为(0.002+0.009 5+0.011)\times 20=0.45<0.5，(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)\times 20=0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a度，由0.45+0.012 5\times (a-220)=0.5得a=224，所以月平均用电量的中位数是224度.(8分)$

Final answer: 230, 224
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$<img_2326>
$(2)求月平均用电量的众数和中位数；$

Solution:
$月平均用电量的众数是\frac{220+240}{2}=230(度).(5分)因为(0.002+0.009 5+0.011)\times 20=0.45<0.5，(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)\times 20=0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a度，由0.45+0.012 5\times (a-220)=0.5得a=224，所以月平均用电量的中位数是224度.(8分)$

Final answer: 230, 224
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$<img_2326>
$(3)月平均用电量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？$

Solution:
$100户居民中，月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5\times 20\times 100=25(户)，月平均用电量在[240,260)内的用户有0.007 5\times 20\times 100=15(户)，月平均用电量在[260,280)内的用户有0.005\times 20\times 100=10(户)，月平均用电量在[280,300]内的用户有0.002 5\times 20\times 100=5(户)，(10分)抽样比为\frac{11}{25+15+10+5}=\frac{1}{5}，所以月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25\times \frac{1}{5}=5(户).(12分)$

Final answer: $5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的频率直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969027191488515/img/compression/M_d2b2eee7e8d658ffe6c6c7538a0609a5.jpg)
$(3)月平均用电量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？$

Solution:
$100户居民中，月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5\times 20\times 100=25(户)，月平均用电量在[240,260)内的用户有0.007 5\times 20\times 100=15(户)，月平均用电量在[260,280)内的用户有0.005\times 20\times 100=10(户)，月平均用电量在[280,300]内的用户有0.002 5\times 20\times 100=5(户)，(10分)抽样比为\frac{11}{25+15+10+5}=\frac{1}{5}，所以月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25\times \frac{1}{5}=5(户).(12分)$

Final answer: $5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969045911687170/img/compression/M_6cb946a881a77eeac8fc5f4f8816e511.jpg)
$(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计其评分不小于90分的概率；$

Solution:
$由题中的频率直方图可知，评分不小于90分的频率为(0.030+0.020)\times 4=0.2，由频率估计概率，知评分不小于90分的概率为0.2.(3分)$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$<img_2610>
$(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计其评分不小于90分的概率；$

Solution:
$由题中的频率直方图可知，评分不小于90分的频率为(0.030+0.020)\times 4=0.2，由频率估计概率，知评分不小于90分的概率为0.2.(3分)$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969045911687170/img/compression/M_6cb946a881a77eeac8fc5f4f8816e511.jpg)
$(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设x为其中评分在区间[90,94)内的影视作品数量，求x的值；$

Solution:
$评分在[90,94)内的有400\times (0.030\times 4)=48(部)，评分在[94,98]内的有400\times (0.020\times 4)=32(部)，(5分)所以抽取的5部中评分在[90,94)内的有5\times \frac{48}{32+48}=3(部).所以x的值为3.(7分)$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$<img_2610>
$(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设x为其中评分在区间[90,94)内的影视作品数量，求x的值；$

Solution:
$评分在[90,94)内的有400\times (0.030\times 4)=48(部)，评分在[94,98]内的有400\times (0.020\times 4)=32(部)，(5分)所以抽取的5部中评分在[90,94)内的有5\times \frac{48}{32+48}=3(部).所以x的值为3.(7分)$

Final answer: $3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$<img_2610>
$(3)从(2)中得到的样本内随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求2部影视作品的评分都在区间[90,94)内的概率.$

Solution:
$由(2)知评分在[94,98]内的有5\times \frac{32}{32+48}=2(部)，分别记为a,b，记评分在[90,94)内的3部影视作品分别为A,B,C，从5部影视作品中随机抽取2部，可能的情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)，共10种，(10分)其中，2部影视作品的评分都在区间[90,94)内的情况有(A,B),(A,C),(B,C)，共3种，故所求概率P=\frac{3}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $从某网络平台推荐的影视作品中随机抽取400部，统计其评分(单位：分)，将所得数据分为8组：[66,70)，[70,74)，\ldots ，[94,98]，并整理得到如下的频率直方图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969045911687170/img/compression/M_6cb946a881a77eeac8fc5f4f8816e511.jpg)
$(3)从(2)中得到的样本内随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求2部影视作品的评分都在区间[90,94)内的概率.$

Solution:
$由(2)知评分在[94,98]内的有5\times \frac{32}{32+48}=2(部)，分别记为a,b，记评分在[90,94)内的3部影视作品分别为A,B,C，从5部影视作品中随机抽取2部，可能的情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)，共10种，(10分)其中，2部影视作品的评分都在区间[90,94)内的情况有(A,B),(A,C),(B,C)，共3种，故所求概率P=\frac{3}{10}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，\ldots ，[90,100]，并整理得到如下频率直方图：
$<img_1678>$
A小区方案一满意度评分
$<img_2006>$
B小区方案二满意度评分
$
$(1)分别估计两种方案满意度评分的平均值，并判断哪种方案的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$设A小区方案一满意度评分的平均分为\overline{x}，则\overline{x}=(45\times 0.006+55\times 0.014+65\times 0.018+75\times 0.031+85\times 0.021+95\times 0.010)\times 10=72.7(分).设B小区方案二的满意度评分的平均分为\overline{y}，则\overline{y}=(45\times 0.005+55\times 0.010+65\times 0.010+75\times 0.020+85\times 0.032+95\times 0.023)\times 10=78.3(分).(2分)\because 72.7<78.3，\therefore 方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(3分)$

Final answer: $72.7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，\ldots ，[90,100]，并整理得到如下频率直方图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_90bb33999adbd8a0ecee1aadc5f83821.jpg)$
A小区方案一满意度评分
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_81941f3aff61d9306414a818e99bca67.jpg)$
B小区方案二满意度评分
$
$(1)分别估计两种方案满意度评分的平均值，并判断哪种方案的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$设A小区方案一满意度评分的平均分为\overline{x}，则\overline{x}=(45\times 0.006+55\times 0.014+65\times 0.018+75\times 0.031+85\times 0.021+95\times 0.010)\times 10=72.7(分).设B小区方案二的满意度评分的平均分为\overline{y}，则\overline{y}=(45\times 0.005+55\times 0.010+65\times 0.010+75\times 0.020+85\times 0.032+95\times 0.023)\times 10=78.3(分).(2分)\because 72.7<78.3，\therefore 方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(3分)$

Final answer: $72.7$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，\ldots ，[90,100]，并整理得到如下频率直方图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_90bb33999adbd8a0ecee1aadc5f83821.jpg)$
A小区方案一满意度评分
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_81941f3aff61d9306414a818e99bca67.jpg)$
B小区方案二满意度评分
$
$(2)以频率估计概率，若满意度评分不低于70分，则认为居民赞成推行此方案，低于70分，则认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断哪个小区可继续推行方案；$

Solution:
$A小区即方案一中，满意度评分不低于70分的频率为(0.031+0.021+0.010)\times 10=0.62，由频率估计概率知赞成率为62%；B小区即方案二中，满意度评分不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)\times 10=0.75，由频率估计概率知赞成率为75%，(5分)\therefore B小区可继续推行方案二.(6分)$

Final answer: $B小区可继续推行方案二$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，\ldots ，[90,100]，并整理得到如下频率直方图：
$<img_1678>$
A小区方案一满意度评分
$<img_2006>$
B小区方案二满意度评分
$
$(3)根据(2)中的结果，从可继续推行方案的小区中抽取100人，再按居民态度是否赞成从这100人中分层抽取一个8人代表团，从代表团中选取2人进行汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.$

Solution:
$由(2)知，B小区不赞成的有25%，故8人代表团中不赞成的有8\times 25%=2(人)，分别记为a,b，赞成的有8\times 75%=6(人)，分别记为1，2，3，4，5，6.(8分)从中任选2人有以下情况：ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共28种，(10分)其中至少有一个不赞成有以下情况：ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6，共13种，(11分)故所求概率P=\frac{13}{28}.(12分)$

Final answer: $\frac{13}{28}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，\ldots ，[90,100]，并整理得到如下频率直方图：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_90bb33999adbd8a0ecee1aadc5f83821.jpg)$
A小区方案一满意度评分
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969046415003650/img/compression/M_81941f3aff61d9306414a818e99bca67.jpg)$
B小区方案二满意度评分
$
$(3)根据(2)中的结果，从可继续推行方案的小区中抽取100人，再按居民态度是否赞成从这100人中分层抽取一个8人代表团，从代表团中选取2人进行汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.$

Solution:
$由(2)知，B小区不赞成的有25%，故8人代表团中不赞成的有8\times 25%=2(人)，分别记为a,b，赞成的有8\times 75%=6(人)，分别记为1，2，3，4，5，6.(8分)从中任选2人有以下情况：ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共28种，(10分)其中至少有一个不赞成有以下情况：ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6，共13种，(11分)故所求概率P=\frac{13}{28}.(12分)$

Final answer: $\frac{13}{28}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识、技能服务他人和社会，强化社会责任感.为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间(小时)均在[15，65]内，其数据分组依次为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，得到频率直方图如图所示，其中a-b=0.028.$<img_1717>
$(1)求a,b的值，并估计这100名学生参加公益劳动的总时间(小时)的平均数(同一组中的数据可用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$依题意得(0.005+0.011+b+0.028+a)\times 10=1，故a+b=0.056，(1分)因为a-b=0.028，所以a=0.042,b=0.014.(3分)故所求平均数为20\times 0.11+30\times 0.14+40\times 0.42+50\times 0.28+60\times 0.05=40.2，(5分)所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2小时.(6分)$

Final answer: $0.042,0.014,40.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识、技能服务他人和社会，强化社会责任感.为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间(小时)均在[15，65]内，其数据分组依次为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，得到频率直方图如图所示，其中a-b=0.028.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969059730034690/img/compression/M_0a61b22fb3d45ad3293e6331e2ca75ee.jpg)
$(1)求a,b的值，并估计这100名学生参加公益劳动的总时间(小时)的平均数(同一组中的数据可用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$依题意得(0.005+0.011+b+0.028+a)\times 10=1，故a+b=0.056，(1分)因为a-b=0.028，所以a=0.042,b=0.014.(3分)故所求平均数为20\times 0.11+30\times 0.14+40\times 0.42+50\times 0.28+60\times 0.05=40.2，(5分)所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2小时.(6分)$

Final answer: $0.042,0.014,40.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识、技能服务他人和社会，强化社会责任感.为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间(小时)均在[15，65]内，其数据分组依次为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，得到频率直方图如图所示，其中a-b=0.028.$<img_1717>
$(2)学校要从参加公益劳动总时间(小时)在[35,45)，[45,55)内的学生中用分层抽样的方法选取5名学生进行感受交流，再从这5名学生中随机抽取2名进行感受分享，求这2名学生来自不同组的概率.$

Solution:
$由题中频率直方图可知，参加公益劳动总时间(小时)在[35,45)和[45,55)内的学生人数之比为0.42:0.28=3:2. (7分)则从参加公益劳动的总时间在[35,45)内的学生中抽取5\times \frac{3}{5}=3(名)，分别记为a,b,c，从参加公益劳动的总时间在[45,55)内的学生中抽取5\times \frac{2}{5}=2(名)，分别记为M,N,(8分)则从这5名学生中随机抽取2名的基本事件有(a,b),(a,c),(a,M),(a,N),(b,c),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),(M,N)，共10个，(10分)这2名学生来自不同组的基本事件有(a,M),(a,N),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),共6个，(11分)所以所求概率P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$