di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图如图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861445072592897/img/compression/M_350d16978e4b92a000fd597117160e5b.jpg)
$为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率.$

Solution:
$第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40，从第1，2，3，4组采用分层抽样的方法抽取8人，则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4．从8人中抽取3人，记第3组仅抽到1人为事件A，第4组抽到2人为事件B，则P(B|A)=\frac{\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_8}}{\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_8}}=\frac{2}{5}.即在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率为\frac{2}{5}．$

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图如图.$<img_2786>
$为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率.$

Solution:
$第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40，从第1，2，3，4组采用分层抽样的方法抽取8人，则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4．从8人中抽取3人，记第3组仅抽到1人为事件A，第4组抽到2人为事件B，则P(B|A)=\frac{\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_8}}{\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_6}{\mathrm{C}^3_8}}=\frac{2}{5}.即在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率为\frac{2}{5}．$

Final answer: $\frac{2}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了让更多的人了解中国传统文化，某地举办了一场中国传统文化知识大赛，为了了解本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员，将他们的成绩(满分100分)作为样本，对所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的参赛人员中成绩在[50,60)内的频数为3.$<img_1948>
$求n的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，成绩在[50,60)内的频率为1-(0.040 0+0.030 0+0.012 5+0.010 0)\times 10=0.075，\because 成绩在[50,60)内的频数为3，\therefore n=\frac{3}{0.075}=40.$

Final answer: $40$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了让更多的人了解中国传统文化，某地举办了一场中国传统文化知识大赛，为了了解本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员，将他们的成绩(满分100分)作为样本，对所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的参赛人员中成绩在[50,60)内的频数为3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861453608001538/img/compression/M_7d3fd0efba7c37847fed68ae2df8dd87.jpg)
$求n的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，成绩在[50,60)内的频率为1-(0.040 0+0.030 0+0.012 5+0.010 0)\times 10=0.075，\because 成绩在[50,60)内的频数为3，\therefore n=\frac{3}{0.075}=40.$

Final answer: $40$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了让更多的人了解中国传统文化，某地举办了一场中国传统文化知识大赛，为了了解本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员，将他们的成绩(满分100分)作为样本，对所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的参赛人员中成绩在[50,60)内的频数为3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861453608001538/img/compression/M_7d3fd0efba7c37847fed68ae2df8dd87.jpg)
$已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]内的女士都有2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]内的参赛人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列.$

Solution:
$由(1)及题中频率分布直方图知，抽取的参赛人员中成绩在[80,90)内的人数为0.012 5\times 10\times 40=5，成绩在[90,100]内的人数为0.010 0\times 10\times 40=4，易知X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{20}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^2_4}=\frac{3}{10}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2+\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^2_4}=\frac{7}{15}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2+\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}，P(X=4)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{60}.\therefore X的分布列为X01234P\frac{1}{20}\frac{3}{10}\frac{7}{15}\frac{1}{6}\frac{1}{60}$

Final answer: $X的分布列为：0, 1, 2, 3, 4。$
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Question: $某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463400710147/img/compression/M_ca8f0ce2b4c177f005b0ec2b4f9acab5.jpg)
$根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；$

Solution:
$由题图可知，抽取的100件产品中一级品的频率是\frac{70}{100}=\frac{7}{10}，故从出厂的所有产品中任取1件，该产品是一级品的概率是\frac{7}{10}.设从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件是一级品的事件为A，则P(A)=1-\left(1-\frac{7}{10}\right)^{3}=\frac{973}{1 000}.$

Final answer: $\frac{973}{1000}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示：$<img_1537>
$根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；$

Solution:
$由题图可知，抽取的100件产品中一级品的频率是\frac{70}{100}=\frac{7}{10}，故从出厂的所有产品中任取1件，该产品是一级品的概率是\frac{7}{10}.设从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件是一级品的事件为A，则P(A)=1-\left(1-\frac{7}{10}\right)^{3}=\frac{973}{1 000}.$

Final answer: $\frac{973}{1000}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463400710147/img/compression/M_ca8f0ce2b4c177f005b0ec2b4f9acab5.jpg)
$现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，设取到二级品的件数为\xi ，求随机变量\xi 的分布列.$

Solution:
$由题意可知抽取的10件产品中有一级品7件，二级品2件，三级品1件，故\xi 的可能取值为0，1，2，P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_8}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{7}{15},P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_8}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{7}{15},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_8}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{15},\therefore \xi 的分布列为\xi 012P\frac{7}{15}\frac{7}{15}\frac{1}{15}$

Final answer: $P(\xi =0)=7/15, P(\xi =1)=7/15, P(\xi =2)=1/15$
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Question: $某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.$<img_1965><img_2580>
$估计实验园的“大果”率；$

Solution:
$由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为(0.110+0.010)\times 5=0.6，所以估计实验园的“大果”率为60%.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_89e70daa1af3c82684a366bf3e4c86ff.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_3cdf66214e1c871a4788b5f3249d5d7e.jpg)
$估计实验园的“大果”率；$

Solution:
$由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为(0.110+0.010)\times 5=0.6，所以估计实验园的“大果”率为60%.$

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_89e70daa1af3c82684a366bf3e4c86ff.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_3cdf66214e1c871a4788b5f3249d5d7e.jpg)
$现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X，求X的分布列；$

Solution:
$由题中对照园的频率分布直方图得，这100个果实中大果的个数为(0.040+0.020)\times 5\times 100=30.采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，其中大果有\frac{30}{100}\times 10=3个，从这10个果实中随机抽取3个，其中“大果”的个数X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_7}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_7\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_7\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{120},所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
\frac{7}{24}
\frac{21}{40}
\frac{7}{40}
\frac{1}{120}
$

Final answer: $\frac{7}{24}, \frac{21}{40}, \frac{7}{40}, \frac{1}{120}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_89e70daa1af3c82684a366bf3e4c86ff.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861463958552579/img/compression/M_3cdf66214e1c871a4788b5f3249d5d7e.jpg)
$以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n(n\geq 2，n\in N_{+})个，设其中恰有2个“大果”的概率为P(n)，当P(n)最大时，写出n的值.$

Solution:
$由题可知P(n)=C^2_n0.3^{2}0.7^{n-2}，P(n-1)=C^2_{n-1}\times 0.3^{2}0.7^{n-3}，P(n+1)=C^2_{n+1}0.3^{2}0.7^{n-1}，要使P(n)最大，则\frac{P(n-1)}{P(n)}=\frac{\mathrm{C}^2_{n-1}{0.7}^{n-3}}{\mathrm{C}^2_n{0.7}^{n-2}}=\frac{10(n-2)}{7n}<1且\frac{P(n+1)}{P(n)}=\frac{\mathrm{C}^2_{n+1}{0.7}^{n-1}}{\mathrm{C}^2_n{0.7}^{n-2}}=\frac{7(n+1)}{10(n-1)}<1，\therefore \frac{17}{3}N_{+},\therefore n=6.$

Final answer: $6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.$<img_1965><img_2580>
$以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n(n\geq 2，n\in N_{+})个，设其中恰有2个“大果”的概率为P(n)，当P(n)最大时，写出n的值.$

Solution:
$由题可知P(n)=C^2_n0.3^{2}0.7^{n-2}，P(n-1)=C^2_{n-1}\times 0.3^{2}0.7^{n-3}，P(n+1)=C^2_{n+1}0.3^{2}0.7^{n-1}，要使P(n)最大，则\frac{P(n-1)}{P(n)}=\frac{\mathrm{C}^2_{n-1}{0.7}^{n-3}}{\mathrm{C}^2_n{0.7}^{n-2}}=\frac{10(n-2)}{7n}<1且\frac{P(n+1)}{P(n)}=\frac{\mathrm{C}^2_{n+1}{0.7}^{n-1}}{\mathrm{C}^2_n{0.7}^{n-2}}=\frac{7(n+1)}{10(n-1)}<1，\therefore \frac{17}{3}N_{+},\therefore n=6.$

Final answer: $6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G.如果开车到B，C，E，F，G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为\frac{1}{5}，\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，此外再无别的路口会遇到红灯.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861476678434818/img/compression/M_77c366dbea0a47c2b0488548e94723dd.jpg)
$为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?$

Solution:
$设这位工人选择行驶路线A—B—C—D、A—F—E—D、A—B—G—E—D时堵车的次数分别为X_{1}，X_{2}，X_{3}，则X_{1}，X_{2}的可能取值均为0，1，2，X_{3}的可能取值为0，1，2，3.P(X_{1}=0)=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{5}，P(X_{1}=1)=\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}，P(X_{1}=2)=\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{10}，所以E(X_{1})=0\times \frac{2}{5}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{10}=\frac{7}{10}.P(X_{2}=0)=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}，P(X_{2}=1)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{5}{12}，P(X_{2}=2)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}，所以E(X_{2})=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{5}{12}+2\times \frac{1}{12}=\frac{7}{12}.P(X_{3}=0)=\frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}，P(X_{3}=1)=\frac{1}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{3}{4}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\times \frac{3}{4}+\frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{47}{120}，P(X_{3}=2)=\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{6}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{10}，P(X_{3}=3)=\frac{1}{5}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{120},所以E(X_{3})=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{47}{120}+2\times \frac{1}{10}+3\times \frac{1}{120}=\frac{37}{60}.综上，E(X_{2})最小，所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.$

Final answer: $这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G.如果开车到B，C，E，F，G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为\frac{1}{5}，\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，此外再无别的路口会遇到红灯.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861476678434818/img/compression/M_77c366dbea0a47c2b0488548e94723dd.jpg)
$对于(1)中所选择的路线，求其堵车次数的方差.$

Solution:
$由(1)知E(X_{2})=\frac{7}{12}，P(X_{2}=0)=\frac{1}{2}，P(X_{2}=1)=\frac{5}{12}，P(X_{2}=2)=\frac{1}{12}，则D(X_{2})=\left(0-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{1}{2}+\left(1-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{5}{12}+\left(2-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{1}{12}=\frac{59}{144}，所以该条行驶路线堵车次数的方差为\frac{59}{144}.$

Final answer: $\frac{59}{144}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G.如果开车到B，C，E，F，G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为\frac{1}{5}，\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，此外再无别的路口会遇到红灯.$<img_2963>
$对于(1)中所选择的路线，求其堵车次数的方差.$

Solution:
$由(1)知E(X_{2})=\frac{7}{12}，P(X_{2}=0)=\frac{1}{2}，P(X_{2}=1)=\frac{5}{12}，P(X_{2}=2)=\frac{1}{12}，则D(X_{2})=\left(0-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{1}{2}+\left(1-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{5}{12}+\left(2-\frac{7}{12}\right)^2\times \frac{1}{12}=\frac{59}{144}，所以该条行驶路线堵车次数的方差为\frac{59}{144}.$

Final answer: $\frac{59}{144}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，提升教育质量，某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行了统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.$<img_2891>$
参考数据：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.682 7；P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954 5；P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$记这些学生课堂测试成绩的分数为X，若X近似地服从正态分布N(\mu ，100)，其中\mu 近似为样本平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值表示)，求P(64<X<94)；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图得，\overline{x}=(55\times 0.01+65\times 0.02+75\times 0.045+85\times 0.02+95\times 0.005)\times 10=74，由题意知X~N(74,100)，\therefore P(64<X<94)=P(\mu -\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx \frac{0.682 7+0.954 5}{2}=0.818 6.$

Final answer: $0.8186$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，提升教育质量，某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行了统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861482002575363/img/compression/M_106b26eeca29dd44809c16f9caf1a90e.jpg)$
参考数据：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.682 7；P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954 5；P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$记这些学生课堂测试成绩的分数为X，若X近似地服从正态分布N(\mu ，100)，其中\mu 近似为样本平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值表示)，求P(64<X<94)；$

Solution:
$根据题中频率分布直方图得，\overline{x}=(55\times 0.01+65\times 0.02+75\times 0.045+85\times 0.02+95\times 0.005)\times 10=74，由题意知X~N(74,100)，\therefore P(64<X<94)=P(\mu -\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx \frac{0.682 7+0.954 5}{2}=0.818 6.$

Final answer: $0.8186$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，提升教育质量，某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行了统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.$<img_2891>$
参考数据：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.682 7；P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954 5；P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$为进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩的分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的学生中共抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数在[80,90)内的人数\xi 的数学期望.$

Solution:
$由题图可知分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的频率之比为1:2:2，故抽取的10人中，分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的学生分别有2人，4人，4人，易知随机变量\xi 的取值可以为0，1，2，3，P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30},故\xi 的分布列为\xi 0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}\therefore E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，提升教育质量，某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行了统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861482002575363/img/compression/M_106b26eeca29dd44809c16f9caf1a90e.jpg)$
参考数据：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，则P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.682 7；P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.954 5；P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$为进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩的分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的学生中共抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数在[80,90)内的人数\xi 的分布列和数学期望.$

Solution:
$由题图可知分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的频率之比为1:2:2，故抽取的10人中，分数在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的学生分别有2人，4人，4人，易知随机变量\xi 的取值可以为0，1，2，3，P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{6}，P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{2},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{3}{10}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{1}{30},故\xi 的分布列为\xi 0123P\frac{1}{6}\frac{1}{2}\frac{3}{10}\frac{1}{30}\therefore E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$

Final answer: $0,1,2,3,6/5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $芯片作为集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861523105185795/img/compression/M_4083d03586cf3490f2a3d3b8f0a0866a.jpg)$
附：样本(x_{i},y_{i})(i=1,2,\ldots ,n)的相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}};回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中的系数\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；当|r_{xy}|>0.8时，变量y与x高度相关.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx 395，\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 96，\sum \limits^{7}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}\approx 1 809.$
$由折线图看出，可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r_{xy}加以说明；$

Solution:
$r_{xy}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-{\overline{y}})}{\sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}\cdot \sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(y_i-{\overline{y}})}^2}}\approx \frac{395}{\sqrt{96}\times \sqrt{1 809}}\approx 0.95，因为|0.95|>0.8，所以变量y与x高度相关，可以用一元线性回归模型拟合.利用题中折线图可以初步判断出研发投入x(亿元)与收益y(亿元)可以用一元线性回归模型拟合，通过代数运算进一步得以证实，数与形相互印证，相得益彰.$

Final answer: $变量y与x高度相关，可以用一元线性回归模型拟合。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $芯片作为集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861523105185795/img/compression/M_4083d03586cf3490f2a3d3b8f0a0866a.jpg)$
附：样本(x_{i},y_{i})(i=1,2,\ldots ,n)的相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}};回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中的系数\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；当|r_{xy}|>0.8时，变量y与x高度相关.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx 395，\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 96，\sum \limits^{7}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}\approx 1 809.$
$根据折线图的数据，求y关于x的回归直线方程(系数精确到整数部分)；$

Solution:
$由题图中数据得\overline{x}=\frac{2+3+4+6+8+10+13}{7}=\frac{46}{7},\overline{y}=\frac{13+22+31+42+50+56+58}{7}=\frac{272}{7}，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}\approx \frac{395}{96}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=\frac{272}{7}-\frac{395}{96}\times \frac{46}{7}\approx 12，又因为\frac{395}{96}\approx 4,所以y关于x的回归直线方程为\hat{y}=4x+12.$

Final answer: $\hat{y} = 4x + 12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $芯片作为集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下：$<img_2193>$
附：样本(x_{i},y_{i})(i=1,2,\ldots ,n)的相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}};回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中的系数\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；当|r_{xy}|>0.8时，变量y与x高度相关.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx 395，\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 96，\sum \limits^{7}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}\approx 1 809.$
$根据折线图的数据，求y关于x的回归直线方程(系数精确到整数部分)；$

Solution:
$由题图中数据得\overline{x}=\frac{2+3+4+6+8+10+13}{7}=\frac{46}{7},\overline{y}=\frac{13+22+31+42+50+56+58}{7}=\frac{272}{7}，所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}\approx \frac{395}{96}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=\frac{272}{7}-\frac{395}{96}\times \frac{46}{7}\approx 12，又因为\frac{395}{96}\approx 4,所以y关于x的回归直线方程为\hat{y}=4x+12.$

Final answer: $\hat{y} = 4x + 12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $芯片作为集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861523105185795/img/compression/M_4083d03586cf3490f2a3d3b8f0a0866a.jpg)$
附：样本(x_{i},y_{i})(i=1,2,\ldots ,n)的相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}};回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中的系数\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；当|r_{xy}|>0.8时，变量y与x高度相关.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx 395，\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 96，\sum \limits^{7}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}\approx 1 809.$
$为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司4亿元补贴，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.$

Solution:
$当x=16时，\hat{y}=4\times 16+12=76，故当芯片的研发投入为16亿元时，公司的实际收益的预测值为76+4=80(亿元).$

Final answer: $80$ 亿元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $芯片作为集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下：$<img_2193>$
附：样本(x_{i},y_{i})(i=1,2,\ldots ,n)的相关系数r_{xy}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}};回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中的系数\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；当|r_{xy}|>0.8时，变量y与x高度相关.参考数据：\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx 395，\sum \limits^{7}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 96，\sum \limits^{7}_{i=1}(y_{i}-\overline{y})^{2}\approx 1 809.$
$为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司4亿元补贴，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.$

Solution:
$当x=16时，\hat{y}=4\times 16+12=76，故当芯片的研发投入为16亿元时，公司的实际收益的预测值为76+4=80(亿元).$

Final answer: $80$ 亿元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校在高一部分学生中调查了男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图所示(灰色代表喜欢，白色代表不喜欢).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861513652793346/img/compression/M_62745585a5bf313c8965fe21403b702a.jpg)$
临界值表及公式：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
x_{0}
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$
$写出2\times 2列联表；$

Solution:
$观察题中二维条形图可得，被调查的男生总共有45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人；被调查的女生总共有45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人.由此写出2\times 2列联表如下：喜欢不喜欢合计男153045女54045合计207090$

Final answer: $2          喜欢  不喜欢  合计
男   15     30        45
女   5       40        45
合计 20    70        90$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校在高一部分学生中调查了男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图所示(灰色代表喜欢，白色代表不喜欢).$<img_2813>$
临界值表及公式：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
x_{0}
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$
$在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求选出的两人恰是一男一女的概率.$

Solution:
$设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为A，B，C.任选两人的情况有(A,B)，(A,C)，(B,C)，其中是一名男生和一名女生的情况有(A,B)，(A,C)，所以选出的两人恰是一男一女的概率P=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac23$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校在高一部分学生中调查了男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图所示(灰色代表喜欢，白色代表不喜欢).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861513652793346/img/compression/M_62745585a5bf313c8965fe21403b702a.jpg)$
临界值表及公式：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
x_{0}
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$
$在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求选出的两人恰是一男一女的概率.$

Solution:
$设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为A，B，C.任选两人的情况有(A,B)，(A,C)，(B,C)，其中是一名男生和一名女生的情况有(A,B)，(A,C)，所以选出的两人恰是一男一女的概率P=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac23$