di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题".在一天内参加“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立.在一天内参加“双人对战”活动，每局比赛的获胜者得2分，失败者得1分，各局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为\frac{1}{3}，获得第四名的概率为\frac{1}{6}；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}.$
$记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X分，求X的分布列与数学期望；$

Solution:
$甲参加“四人赛”活动时，每局比赛获得第三名的概率为1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}.  $
依题意，X的所有可能取值为5,4,3，2，  
$P(X=5)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}，  $
$P(X=4)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}=\frac{11}{24}，  $
$P(X=3)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}，  $
$P(X=2)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}.$

所以X的分布列如表所示：

|   X   |   5   |   4   |   3   |   2   |
|:-------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
|   P   |$\frac{1}{4}$|$\frac{11}{24}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{24}$|

$所以E(X)=5\times \frac{1}{4}+4\times \frac{11}{24}+3\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{24}=\frac{47}{12}.$

Final answer: X的分布列：

|   X   |   5   |   4   |   3   |   2   |
|:-------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
|   P   |$\frac{1}{4}$|$\frac{11}{24}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{24}$|

$数学期望：E(X)=\frac{47}{12}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题".在一天内参加“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立.在一天内参加“双人对战”活动，每局比赛的获胜者得2分，失败者得1分，各局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为\frac{1}{3}，获得第四名的概率为\frac{1}{6}；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率均为\frac{3}{4}.$
$记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X分，求X的数学期望；$

Solution:
$甲参加“四人赛”活动时，每局比赛获得第三名的概率为1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}.  $
依题意，X的所有可能取值为5,4,3，2，  
$P(X=5)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}，  $
$P(X=4)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}=\frac{11}{24}，  $
$P(X=3)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}，  $
$P(X=2)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}.$

所以X的分布列如表所示：

|   X   |   5   |   4   |   3   |   2   |
|:-------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
|   P   |$\frac{1}{4}$|$\frac{11}{24}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{24}$|

$所以E(X)=5\times \frac{1}{4}+4\times \frac{11}{24}+3\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{24}=\frac{47}{12}.$



Final answer: $\frac{47}{12}$
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Question: $第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目.某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为\frac{3}{4}；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为\frac{4}{5}和\frac{5}{8}；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和\frac{3}{2}-p，其中0<p<\frac{3}{4}.$
$若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为\frac{29}{72}，求p的值；$

Solution:
$甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率 P = P_1P_2 \cdot  (1-P_3) + P_1P_3(1-P_2)+ P_2P_3(1-P_1)=\frac{9}{16}\times \frac{1}{2}\times \left[1-\left(\frac{3}{2}p-p^2\right)\right]+\frac{9}{16}\times \left(\frac{3}{2}p-p^2\right)\times \left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\times \left(\frac{3}{2}p-p^2\right)\times \left(1-\frac{9}{16}\right)=\frac{29}{72}$

$整理得 18p^2-27p+10=0，解得 p=\frac{2}{3} 或 p=\frac{5}{6}，$

$又\because \frac{1}{2} < p < \frac{3}{4} ，\therefore p=\frac{2}{3} .$

Final answer: $p=\frac{2}{3}$
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Question: $某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n(n\in N，且n\geq 2)次抽奖，每次中奖的概率为\frac{1}{3}，不中奖的概率为\frac{2}{3}，且各次抽奖相互独立.规定第1次抽奖时，若中奖，则得10分，否则得5分；第2次抽奖时，从以下两个方案中任选一个：$
方案①：若中奖，则得30分，否则得0分；
方案②：若中奖，则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束.
$记顾客甲第i次获得的分数为X_i(i=1,2,\ldots ,n)，并且选择方案②.请直接写出E(X_{i+1})与E(X_i)的递推关系式，并求E(X_8)的值. $

$(\text{精确到}0.1,\text{参考数据：}(\frac{2}{3})^7\approx 0.059)$

Solution:
$依题意得E(X_{i+1})=\frac{2}{3} E(X_{i})+ \frac{10}{3} ，$
$X_{1}的可能取值为10，5,其分布列为$

$| X_{1} | 10| 5 |$
|---|----|----|
$| P | \frac{1}{3} | \frac{2}{3} |$

$所以E(X_{1})=\frac{20}{3} ，则E(X_{1})-10=-\frac{10}{3} ，$
$由E(X_{i+1})=\frac{2}{3} E(X_{i})+\frac{10}{3} 得E(X_{i+1})-10=\frac{2}{3} [E(X_{i})-10]，$
$所以{E(X_{i})-10}为等比数列，其首项为-\frac{10}{3} ，公比为\frac{2}{3} .$
$所以E(X_{8})-10=-\frac{10}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^7 ，$
$故E(X_{8})=-\frac{10}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^7 +10\approx 9.8.$

Final answer: $9.8$
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Question: 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

Solution:
由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

Final answer: 3，2，2
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

Solution:
$设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B\cup C，且B与C互斥.$
$由(i)知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，$
$故P(A)=P(B\cup C)=P(X=2)+P(X=1)=\frac{6}{7}.$
$所以事件A发生的概率为\frac{6}{7}.$

Final answer: $\frac{6}{7}$
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Question: $为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(\mu ,\sigma^2).$
$假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(\mu -3\sigma , \mu +3\sigma )之外的零件数，求P(X\geq 1)及X的数学期望；$

Solution:
$抽取的一个零件的尺寸在(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)之外的概率为0.002 6，故X~B(16,0.0026).$
$因此P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0.9974^16\approx 1-0.9592=0.0408.$
$X的数学期望为E(X)=16\times 0.0026=0.0416.$



Final answer: $0.0408, 0.0416$
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Question: 甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球.
甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；

Solution:
$两球颜色相同分为都是红球或都是白球，其概率P=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_6}+\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_6}=\frac{7}{15}.$

Final answer: $\frac{7}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点.已知某顾客在直播电商处购买了n(n\in N)件商品.$
$若n=10，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查。求顾客检查的前4件商品中不合格品的件数X的分布列；$

Solution:
$由题意知，X的可能取值为0，1，2.$
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2\mathrm{C}^4_8}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{1}{3}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^3_8}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{8}{15}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^2_8}{\mathrm{C}^4_{10}}=\frac{2}{15}.$
$所以顾客检查的前4件商品中不合格品的件数X的分布列为$

| X | 0                     | 1                     | 2                     |
| --- | --- | --- | --- |
| P | $\frac{1}{3} $      | $\frac{8}{15}  $    | $\frac{2}{15}  $    |

Final answer: $X = 0，P = \frac{1}{3}；X = 1，P = \frac{8}{15}；X = 2，P = \frac{2}{15}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点.已知某顾客在直播电商处购买了n(n\in N)件商品.$
$抽检中发现该直播电商的产品的不合格率为0.2.若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.998 4，求n的最小值.$

Solution:
记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，
$则P(A)=1-0.2^n-C^1_n\times 0.8\times 0.2^n-1=1-(1+4n)\cdot 0.2^n.$
$由题意，得1-(1+4n)\cdot 0.2^n\geq 0.998 4，$
$所以(1+4n)\cdot 0.2^n\leq 0.001 6，即(1+4n)\cdot 0.2^n-4\leq 1，$
$设f(n)=(1+4n)\cdot 0.2^n-4，$
$则f(n+1)-f(n)=(5+4n)\cdot 0.2^n-3-(1+4n)\cdot 0.2^n-4=-16n\cdot 0.2^n-3<0，$
$所以f(n+1)<f(n)，则f(n)递减.$
$因为f(5)=21\times 0.2=4.2>1，f(6)=25\times 0.04=1，$
$所以当n\geq 6时，f(n)\leq 1成立，故n的最小值为6.$

Final answer: 6
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Question: 某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是不是不合格零件相互独立.
若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；

Solution:
若此批零件检测未通过，且恰好检测5次，

则第五次检验不合格，前四次中有一次检验不合格，

$故恰好检测5次的概率P = C_4^1  0.1  (1-0.1)^3  0.1 = 0.029 16.$

Final answer: $0.02916$
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Question: 某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是不是不合格零件相互独立.
已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件的价格按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产1件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

Solution:
由题意知，每件合格零件利润为70元，
不合格零件修复合格后的利润为50元，
不合格零件未修复合格的利润为-90元，
$则X可取70,50,-90，$
$P(X=70)=0.9，P(X=50)=0.1\times 0.8=0.08，P(X=-90)=0.1\times 0.2=0.02，$
$故X的分布列为$

| X         | 70   | 50   | -90 |
|:-----------:|:----:|:----:|:---:|
|   P       |  0.9 | 0.08 | 0.02|

$所以E(X)=70\times 0.9+50\times 0.08-90\times 0.02=65.2(元).$

Final answer: $E(X)=65.2$ (元)
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Question: $2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大.某商家决定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为a (300\leq a \leq 500)元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量数据统计如下：$

| 商品日销售量(单位：件) | 6   | 7   | 8   | 9   | 10  |
| ---- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲平台的天数           | 14  | 26  | 26  | 24  | 10  |
| 乙平台的天数           | 10  | 25  | 35  | 20  | 10  |

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响.
求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量数据，其中至少有2天的日销售量不低于8件”的概率；

Solution:
令事件A="甲平台日销售量不低于8件",

$则 P(A)=\frac{26+24+10}{100}=\frac{3}{5}. $

令事件B="从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量数据，其中至少有2天的日销售量不低于8件",

$则 P(B)=C^2_3\times \left(\frac{3}{5}\right)^2\times \frac{2}{5}+C^3_3\times \left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{81}{125}.$



Final answer: $P(A)=\frac{3}{5}, P(B)=\frac{81}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某生物实验室用小白鼠进行某病毒实验，已知6只小白鼠中有1只感染该病毒但无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到6个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染该病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定.血液化验结果呈阳性即为感染该病毒，呈阴性即为没有感染该病毒。下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定感染该病毒的小白鼠为止。

方案乙：先任取4只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性，则表明感染该病毒的小白鼠为这4只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定感染该病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验.
求采用方案甲所需化验的次数为4的概率；

Solution:
$记“采用方案甲所需化验的次数为4”为事件 A，则 P(A)= \frac{A^3_5}{A^4_6} = \frac{1}{6}.$

Final answer: $\frac{1}{6}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某生物实验室用小白鼠进行某病毒实验，已知6只小白鼠中有1只感染该病毒但无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到6个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染该病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定.血液化验结果呈阳性即为感染该病毒，呈阴性即为没有感染该病毒。下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定感染该病毒的小白鼠为止。

方案乙：先任取4只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性，则表明感染该病毒的小白鼠为这4只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定感染该病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验.
求采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率.

Solution:
$由题知采用方案甲所需化验的次数可能为1，2，3，4，5，设采用方案甲所需化验的次数为3，4，5分别为事件A_3,A_4,A_5，$
$P(A_3)=\frac{A^2_5}{A^3_6}=\frac{1}{6}，P(A_4)=\frac{1}{6}，P(A_5)=\frac{A^4_5}{A^4_6}=\frac{1}{3}.$
$设采用方案乙所需化验的次数为2，3，4分别为事件B_2,B_3,B_4，$
$由(2)可知P(B_2)=\frac{1}{2},P(B_3)=\frac{1}{6},P(B_4)=\frac{1}{3}.$
$设采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数为事件C，$
$由题意可知B_2与A_3,A_4,A_5相互独立，B_3与A_4，A_5相互独立，B_4与A_5相互独立，$
$则P(C)=P(A_3B_2)+P(A_4B_2)+P(A_5B_2)+P(A_4B_3)+P(A_5B_3)+P(A_5B_4)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{19}{36}. $
$所以采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率为\frac{19}{36}.$

Final answer: $\frac{19}{36}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
![24ASD5SX534.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623895370745212929/img/compression/M_a48d162eaf076e759582d7ad2590205e.jpg)
从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

Solution:
由题中折线图可知，从2011年到2021年的数据中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，
$\therefore 所求概率P=\frac{3}{11}.$

Final answer: $\frac{3}{11}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
<img_260>
从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

Solution:
由题中折线图可知，从2011年到2021年的数据中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，
$\therefore 所求概率P=\frac{3}{11}.$

Final answer: $\frac{3}{11}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
![24ASD5SX534.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623895370745212929/img/compression/M_a48d162eaf076e759582d7ad2590205e.jpg)
从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值.求X的分布列和数学期望；

Solution:
从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，
$\therefore X的所有可能取值为0,1,2，$
$\therefore P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_8}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{14}{33}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_8}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{16}{33}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{1}{11}，$
$则X的分布列为$

| X | 0   | 1   | 2   |
|-----|-----|-----|-----|
| P | $\frac{14}{33}$ | $\frac{16}{33}$ | $\frac{1}{11}$ |

$\therefore X的数学期望E(X)=0\times \frac{14}{33}+1\times \frac{16}{33}+2\times \frac{1}{11}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $X的分布列为$

| X | 0   | 1   | 2   |
|-----|-----|-----|-----|
| P | $\frac{14}{33}$ | $\frac{16}{33}$ | $\frac{1}{11}$ |

$X的数学期望E(X)=\frac{2}{3}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
<img_260>
从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值.求X的数学期望；

Solution:
从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，
$\therefore X的所有可能取值为0,1,2，$
$\therefore P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^2_8}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{14}{33}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_8}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{16}{33}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^2_{12}}=\frac{1}{11}，$
$则X的分布列为$

| X | 0   | 1   | 2   |
|-----|-----|-----|-----|
| P | $\frac{14}{33}$ | $\frac{16}{33}$ | $\frac{1}{11}$ |

$\therefore X的数学期望E(X)=0\times \frac{14}{33}+1\times \frac{16}{33}+2\times \frac{1}{11}=\frac{2}{3}.$



Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
![24ASD5SX534.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623895370745212929/img/compression/M_a48d162eaf076e759582d7ad2590205e.jpg)
$由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？(结论不要求证明)$

Solution:
2017年.

Final answer: $2017$ 年
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级(2010年)到高中三年级(2021年)每年的视力平均值，如图所示.$
<img_260>
$由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？(结论不要求证明)$

Solution:
2017年.

Final answer: $2017$ 年
Subfield: Probability and Statistics


Question: 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布.
$已知如下结论：若X～N(\mu ,\sigma ^2)，从X的取值中随机抽取k(k\in N^，k\geq 2)个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N \left(\mu ,\frac{\sigma ^2}{k}\right).利用该结论解决下面问题.$

$假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记这25个面包的平均值为Y，求P(Y\leq 980)； $

Solution:
$因为 \frac{50^2}{25} =100，$

$所以 Y ～ N (1 000,10^2)，$

$因为980=1 000-2\times 10，$

$所以 P ( Y \leq 980)= P ( Y \leq  \mu  -2 \sigma  )=\frac{1-0.954 5}{2}=0.022 75.$

Final answer: $0.02275 $
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆 C :$

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

$的左，右顶点分别为 A，B.$
$若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP,BQ的斜率分别为k_1,k_2(k_1k_2\neq 0)，求|k_1|+|k_2|的最小值；$

Solution:
$由题意设点 P(x_0,y_0)，Q(x_0，-y_0)，-3<x_0<3，不妨令0<y_0\leq \sqrt{5}，因为A(-3,0),B(3,0)，所以k_1=\frac{y_0}{x_0+3}，k_2=\frac{-y_0}{x_0-3}，则|k_1|+|k_2|=\frac{y_0}{3+x_0}+\frac{y_0}{3-x_0}=\frac{6y_0}{9-x_0^2}，由\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{5}=1可得9-x_0^2=\frac{9y_0^2}{5}，则|k_1|+|k_2|=\frac{10}{3y_0}，因为0<y_0\leq \sqrt{5}，所以|k_1|+|k_2|=\frac{10}{3y_0}\geq \frac{2\sqrt{5}}{3}，当y_0=\sqrt{5}时等号成立，即|k_1|+|k_2|的最小值为\frac{2\sqrt{5}}{3}。$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：$

甲分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 40 | 20 | 20 | 20 |

乙分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 28 | 17 | 34 | 21 |
分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

Solution:
由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
$\frac{40}{100}$
=0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
$\frac{28}{100}$
=0.28.

Final answer: $0.4,0.28$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：$

甲分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 40 | 20 | 20 | 20 |

乙分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 28 | 17 | 34 | 21 |
分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

Solution:
由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

|  利润  | 65 | 25 | -5 | -75 |
| :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
|  频数  | 40 | 20 | 20 | 20 | 

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

$\frac{65 \times 40+25 \times 20-5 \times 20-75 \times 20}{100}$

$=15(元)。$

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

|  利润  | 70 | 30 | 0 | -70 |
| :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
|  频数  | 28 | 17 | 34 | 21 | 

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

$\frac{70 \times 28+30 \times 17+0 \times 34-70 \times 21}{100}$

$=10(元)。$

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.

Final answer: $甲分厂的平均利润是：15(元)$
$乙分厂的平均利润是：10(元)$
应选甲分厂承接加工业务
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：$

甲分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 40 | 20 | 20 | 20 |

乙分厂产品等级的频数分布表

| 等级 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 频数 | 28 | 17 | 34 | 21 |

分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润。

Solution:
由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

|  利润  | 65 | 25 | -5 | -75 |
| :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
|  频数  | 40 | 20 | 20 | 20 | 

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

$\frac{65 \times 40+25 \times 20-5 \times 20-75 \times 20}{100}$

$=15(元)。$

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

|  利润  | 70 | 30 | 0 | -70 |
| :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
|  频数  | 28 | 17 | 34 | 21 | 

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

$\frac{70 \times 28+30 \times 17+0 \times 34-70 \times 21}{100}$

$=10(元)。$

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.



Final answer: $15，10$ 元
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
$求生物成成绩在[50，60)内的人数；$

Solution:
$由题意，知生物成绩在[50,60)内的频率为$

$1-(0.01\times 10+0.02\times 10+0.03\times 10+0.035\times 10)=0.05，$

$所以生物成绩在[50,60)内的人数为0.05\times 1 000=50．$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

<img_2070>

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
$求生物成成绩在[50，60)内的人数；$

Solution:
$由题意，知生物成绩在[50,60)内的频率为$

$1-(0.01\times 10+0.02\times 10+0.03\times 10+0.035\times 10)=0.05，$

$所以生物成绩在[50,60)内的人数为0.05\times 1 000=50．$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

<img_2070>

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1 000名学生生物成绩的平均分；

Solution:
$由(1)及频率分布直方图,知分数在[50，60)内的频率为0.05,在[60，70)内的频率为0.35,在[70，80)内的频率为0.3,在[80，90)内的频率为0.2,在[90，100]内的频率为0.1，所以估计这1 000名学生生物成绩的平均分为55\times 0.05+65\times 0.35+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74.5．$

Final answer: $74.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1 000名学生生物成绩的平均分；

Solution:
$由(1)及频率分布直方图,知分数在[50，60)内的频率为0.05,在[60，70)内的频率为0.35,在[70，80)内的频率为0.3,在[80，90)内的频率为0.2,在[90，100]内的频率为0.1，所以估计这1 000名学生生物成绩的平均分为55\times 0.05+65\times 0.35+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74.5．$

Final answer: $74.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

<img_2070>

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．

Solution:
设“这2名同学来自不同组”为$事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组的2名同学为x，y，则样本空间为\Omega =\{(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)\}，事件A=\{(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)\}，所以P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)

| 组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
| ---- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| 分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．

Solution:
设“这2名同学来自不同组”为$事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组的2名同学为x，y，则样本空间为\Omega =\{(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)\}，事件A=\{(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)\}，所以P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
求甲学校获得冠军的概率；

Solution:
$记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A_i(i=1,2,3)，“甲学校获得冠军”为事件E。$
$则，P(E)=P(A_1A_2A_3)+P(A_1A_2\overline{A}_3)+P(A_1\overline{A}_2A_3)+P(\overline{A}_1A_2A_3).$
$=\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times  \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$
$\therefore 甲学校获得冠军的概率为\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

Solution:
$由题易知X的所有可能取值为0，20，100，$
$P(X=0)=1-0.8=0.2，$
$P(X=20)=0.8 \times (1-0.6)=0.32,$
$P(X=100)=0.8 \times 0.6=0.48，$
$所以X的分布列为$

|   X    | 0   | 20  | 100 |
| :------: | --- | --- | --- |
| P(X)       | 0.2 | 0.32| 0.48|

Final answer: X的分布列为

|  X   | 0    | 20   | 100  |
| :--: | ---- | ---- | ---- |
| P(X) | 0.2  | 0.32 | 0.48 |
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m):$

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

Solution:
设事件A为“甲在校运动会上获得优秀奖”。

根据题中数据，甲在10次比赛中，有4次成绩在9.50 m以上。

$所以P(A)估计为 {\frac{4}{10}} = {\frac{2}{5}}.$

Final answer: \frac{2}{5}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m):$

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
$设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；$

Solution:
设事件B为“乙在校运动会上获得优秀奖”，事件C为“丙在校运动会上获得优秀奖”.
$根据题中数据，P(B)估计为\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(C)估计为\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. $

根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且
$P(X=0)=P(\overline{A}　\overline{B}　\overline{C})=P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})；$
$P(X=1)=P(A\overline{B}　\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}　\overline{B}　C)=P(A)P(\overline{B})P(\overline{C})+P(\overline{A})P(B)P(\overline{C})+P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)；$
$P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)；$
$P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3).$

$所以，P(X=0)估计为\frac{3}{20}；P(X=1)估计为\frac{8}{20}；$
$P(X=3)估计为\frac{2}{20}；P(X=2)估计为\frac{7}{20}.$

$所以EX估计为0\times \frac{3}{20}+1\times \frac{8}{20}+2\times \frac{7}{20}+3\times \frac{2}{20}=\frac{7}{5}.$

Final answer: $\frac{7}{5}$