Subfield: Combinatorics


Question: 设正整数 $n \geqslant 2$. 圆周上放置了 $n$ 种颜色的 $2 n$ 个点,其中每种颜色各两个点. 若某段圆弧 $L$ 含的色点个数属于区间 $[1,2 n-1]$,则存在某种颜色使得圆弧 $L$ 上该颜色的点恰为一个. 证明: 可以去掉某种颜色的两个点,使得上述性质仍保留.

Solution:
为方便起见, 称满足题目条件的 $2 n$ 个点的放置方案为“好的”. 本题中涉及到的弧均为逆时针方向:

设 $A_{i} 、 B_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)$ 为圆周上的 $2 n$ 个色点, 其中, $A_{i} 、 B_{i}$ 的颜色均为 $i$.

据题意, 知任给 $1 \leqslant i \leqslant n$, 色点 $A_{i} 、 B_{i}$ 在圆周上上不相邻 (否则, 只包含此两个色点的弧不满足题意), 色点 $A_{i} 、 B_{i}$ 将圆周分为两个弧 $\overparen{A}_{i} B_{i} 、 \overparen{B}_{i} A_{i}$ (逆时针走向).

再据题意, 知存在 $j(1 \leqslant j \leqslant n)$ 且 $j \neq i$ 使得闭弧 $\overparen{A}_{i} B_{i}$ 上恰存在一个颜色为 $j$ 的点, 另一个颜色为 $j$ 的点在闭弧 $\overparen{B_{i} A}$ 上, 即弦 $A_{i} B_{i}$ 与 $A_{j} B_{j}$ 相交.

考虑无序两点组 $C_{i}=\left(A_{i}, B_{i}\right)$ 为顶点的 $n$阶图 $G$ : 顶点 $C_{i}$ 与 $C_{j}$ 之间连边当且仅当弦 $A_{i} B_{i}$与 $A_{j} B_{j}$ 相交. 据前面推理, 得任给 $1 \leqslant i \leqslant \dot{n}$,存在 $j(1 \leqslant j \leqslant n)$ 且 $j \neq i$, 使得顶点 $C_{i}$ 与 $C_{j}$ 之间连边.

当 $n=2$ 时,满足题意的圆周上的四个色点的颜色只能依次为 $1 、 2 、 1 、 2$, 等价于图 $G$为连通图.

下面证明一个引理.

引理 设 $n \geqslant 3$,一种放置方案为好的等价于对应的图 $G$ 为连通图.

证明 若一种放置方案不是好的, 则存在一段弧 $L$, 弧 $L$ 含的色点数属于区间 $[1,2 n-1]$, 且不存在某种颜色使得弧 $L$ 上该颜色的点恰为一个.

设弧 $L$ 含有 $k$ 种色点, 不妨设此 $k$ 种颜色为 $1,2, \cdots, k$, 则弧 $L$ 上的色点恰为 $A_{1}, B_{1}$, $A_{2}, B_{2}, \cdots, A_{k}, B_{k}$, 其中, $1 \leqslant k \leqslant n-1$. 弧 $L$ 的两个端点的连线将圆盘剖分成两个区域: 弧 $L$ 所在的包含连线的闭区域 $D_{1}$ 和不包含连线的另一个区域 $D_{2}$. 则任给 $1 \leqslant i \leqslant k$, 弦 $A_{i} B_{i}$ 在区域 $D_{1}$ 上, 任给 $k+1 \leqslant j \leqslant n$, 弦 $A_{j} B_{j}$ 在区域 $D_{2}$ 上. 从而, 弦 $A_{i} B_{i}$ 与 $A_{j} B_{j}$ 不相交, 即顶点 $C_{i}$与 $C_{j}$ 之间不连边, 即对应的图 $G$ 为非连通图.

若方案为好的,显然图 $G$ 中存在边.

假设图 $G$ 不是连通图，则存在图 $G$ 的最大连通子图 $G^{*}$, 图 $G^{*}$ 涉及图 $G$ 的 $l(2 \leqslant l \leqslant$ $n-1)$ 个点, 不妨设此 $l$ 个顶点为 $C_{1}, C_{2}, \cdots$, $C_{l}$. 设 $2 l$ 个色点 $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, \cdots, A_{l}, B_{l}$ 将圆周分成 $2 l$ 个弧段, 其中必有一个弧段含有其他色点,设该弧段为闭弧 $\overparen{P Q}$ (逆时针走向),其中, $P 、 Q \in\left\{A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, \cdots, A_{l}, B_{l}\right\}$.

考虑闭弧 $\overparen{Q P}$ (逆时针走向). 显然, 闭弧 $\overparen{Q P}$ 上的色点数属于区间 $[2 l, 2 n-1]$. 因为方案是好的, 所以, 存在颜色 $\dot{j} \in\{l+1, l+2$, $\cdots, l+n\}$ 使得闭弧 $\overparen{Q P}$ 恰含一个颜色为 $j$ 的点 $A_{j}$, 另一个颜色为 $j$ 的点 $B_{j}$ 必在开弧 $\overparen{P Q}$ 上.

不妨设 $1 \leqslant i \leqslant l$ 时, 从点 $Q$ 沿闭弧 $\overparen{Q P}$ 逆时针移动到点 $P$ 过程中首次遇到颜色为 $i$ 的点为 $A_{i}$, 第二次遇到颜色为 $i$ 的点为 $B_{i}$.

因为 $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{l}$ 对应的子图 $G^{*}$ 为连通图, 所以, 闭弧

$$
\overparen{Q P}=\overparen{A_{1} B_{1}} \cup \overparen{A_{2} B_{2}} \cup \cdots \cup \overparen{A_{l} B_{l}}
$$

(否则, 弧 $\overparen{Q P}$ 上存在点 $R$, 且任给 $1 \leqslant i \leqslant l$, 使得点 $R$ 不在弧 $\overparen{A_{i} B_{i}}$ 上, 即色点 $A_{i} 、 B_{i}$ 同在弧 $\overparen{Q R}$或同在弧 $\overparen{R P}$ 上. 不妨设 $1 \leqslant i \leqslant m$ 时, 色点 $A_{i}$ 、$B_{i}$ 均在弧 $\overparen{Q R}$ 上, $m+1 \leqslant j \leqslant l$ 时, 色点 $A_{j} 、 B_{j}$ 均在弧 $\widehat{R P}$ 上, 即 $1 \leqslant i \leqslant m<m+1 \leqslant j \leqslant l$ 时, 弦 $A_{i} B_{i}$ 与 $A_{j} B_{j}$ 不相交, 即顶点 $C_{i}$ 与 $C_{j}$ 之间不连边, 与图 $G^{*}$ 为连通图矛盾).

又因为 $A_{j}$ 在闭弧 $\overparen{Q P}$ 上, 所以, 存在 $i \in$ $\{1,2, \cdots, l\}$ 使得点 $A_{j}$ 在弧 $\widehat{A}_{i} B_{i}$ 上, 显然, 点 $B_{j}$不在弧 $\widehat{A}_{i_{i}} B_{\text {上 }}$ 上.

因此，弦 $A_{i} B_{i}$ 必与 $A_{j} B_{j}$ 相交, 即顶点 $C_{i}$ 与 $C_{j}$ 之间有边, 即图 $G$ 必与最大连通子图 $G^{*}$ 的某个顶点之间有边, 与最大性矛盾, 即对应的图 $G$ 为连通图.

引理得证.

因为原方案为好的, 所以, 对应的图 $G$为连通图, 可以去掉图 $G$ 的一些边, 得到图 $G$的生成树 $\tilde{G}$, 树 $\tilde{G}$ 中存在度为 1 的顶点. 不妨设顶点 $C_{n}$ 在树 $\tilde{G}$ 中的度为 1 , 树 $\tilde{G}$ 中去掉顶点 $C_{n}$ 后仍为树. 于是, 连通图 $G$ 去掉顶点 $C_{n}$及其关联的边后仍为连通图, 即去掉颜色为 $n$的色点 $A_{n} 、 B_{n}$ 后方案仍为好的, 原命题得证.