di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD\perp 平面ABE，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2BC=2CD=2，AE=BE=\sqrt{3}，点M为BE的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236540490035202/img/compression/M_a86edd731531659172850967186806ed.jpg)
$(2)求二面角E-BD-C的正弦值.$

Solution:
$如图，取AB的中点F，连接EF,CF，且CF交BD于点O，连接OE，由AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2CD，得四边形CDFB是正方形，所以CF\perp BD，因为AE=BE，所以EF\perp AB，因为平面ABCD\perp 平面ABE，平面ABCD\cap 平面ABE=AB，EF\subset 平面ABE，所以EF\perp 平面ABCD，又BD\subset 平面ABCD，所以EF\perp BD，EF\perp OF.又因为EF\cap OF=F，EF,OF\subset 平面EFO，所以BD\perp 平面EFO，又OE\subset 平面EFO，所以BD\perp OE，所以\angle EOC是二面角E-BD-C的平面角，在Rt\triangle EFO中，易知OF=\frac{\sqrt{2}}{2}，EF=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}，则OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+2}=\frac{\sqrt{10}}{2}，\\sin  \angle EOF=\frac{EF}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以\\sin  \angle EOC=\\sin  (\pi -\angle EOF)=\\sin  \angle EOF=\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以二面角E-BD-C的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD\perp 平面ABE，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2BC=2CD=2，AE=BE=\sqrt{3}，点M为BE的中点.$<img_1690>
$(2)求二面角E-BD-C的正弦值.$

Solution:
$如图，取AB的中点F，连接EF,CF，且CF交BD于点O，连接OE，由AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2CD，得四边形CDFB是正方形，所以CF\perp BD，因为AE=BE，所以EF\perp AB，因为平面ABCD\perp 平面ABE，平面ABCD\cap 平面ABE=AB，EF\subset 平面ABE，所以EF\perp 平面ABCD，又BD\subset 平面ABCD，所以EF\perp BD，EF\perp OF.又因为EF\cap OF=F，EF,OF\subset 平面EFO，所以BD\perp 平面EFO，又OE\subset 平面EFO，所以BD\perp OE，所以\angle EOC是二面角E-BD-C的平面角，在Rt\triangle EFO中，易知OF=\frac{\sqrt{2}}{2}，EF=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}，则OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+2}=\frac{\sqrt{10}}{2}，\\sin  \angle EOF=\frac{EF}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以\\sin  \angle EOC=\\sin  (\pi -\angle EOF)=\\sin  \angle EOF=\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以二面角E-BD-C的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$<img_2767>
$(1)求该圆柱的表面积；$

Solution:
$由题意可得圆柱的底面圆的半径R=\frac{5}{2}，所以圆柱的表面积S=2\pi R^{2}+2\pi R\cdot AB=2\pi \times \left(\frac{5}{2}\right)^2+2\pi \times \frac{5}{2}\times 5=\frac{75}{2}\pi .$

Final answer: $\frac{75}{2}\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236598576951298/img/compression/M_676f849f43caecf408322833643bde14.jpg)
$(1)求该圆柱的表面积；$

Solution:
$由题意可得圆柱的底面圆的半径R=\frac{5}{2}，所以圆柱的表面积S=2\pi R^{2}+2\pi R\cdot AB=2\pi \times \left(\frac{5}{2}\right)^2+2\pi \times \frac{5}{2}\times 5=\frac{75}{2}\pi .$

Final answer: $\frac{75}{2}\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236598576951298/img/compression/M_676f849f43caecf408322833643bde14.jpg)
$(2)求点B到平面ACD的距离；$

Solution:
$由题意可得BD\perp DC，因为BC=5,DC=3，所以BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=4，所以三棱锥A－BCD的体积为V_{A－BCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AB=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 3\times 5=10，因为AB\perp 平面BCD，且DC\subset 平面BCD，所以DC\perp AB，又BD\perp DC，且AB\cap BD=B，AB,BD\subset 平面ABD,所以DC\perp 平面ABD，因为AD\subset 平面ABD，所以DC\perp AD，在Rt\triangle ABD中，AB=5,BD=4，所以AD=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}，所以S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC=\frac{1}{2}\times \sqrt{41}\times 3=\frac{3\sqrt{41}}{2}，设点B到平面ACD的距离为d，由V_{B－ACD}=V_{A－BCD}，可得\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ACD}\cdot d=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{41}}{2}\times d=10，解得d=\frac{20\sqrt{41}}{41}.$

Final answer: $\frac{20\sqrt{41}}{41}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$<img_2767>
$(2)求点B到平面ACD的距离；$

Solution:
$由题意可得BD\perp DC，因为BC=5,DC=3，所以BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=4，所以三棱锥A－BCD的体积为V_{A－BCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AB=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 3\times 5=10，因为AB\perp 平面BCD，且DC\subset 平面BCD，所以DC\perp AB，又BD\perp DC，且AB\cap BD=B，AB,BD\subset 平面ABD,所以DC\perp 平面ABD，因为AD\subset 平面ABD，所以DC\perp AD，在Rt\triangle ABD中，AB=5,BD=4，所以AD=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}，所以S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC=\frac{1}{2}\times \sqrt{41}\times 3=\frac{3\sqrt{41}}{2}，设点B到平面ACD的距离为d，由V_{B－ACD}=V_{A－BCD}，可得\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ACD}\cdot d=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{41}}{2}\times d=10，解得d=\frac{20\sqrt{41}}{41}.$

Final answer: $\frac{20\sqrt{41}}{41}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$<img_2767>
$(3)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求\triangle ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.$

Solution:
$线段AC绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BC为底面圆的半径，AB为高的圆锥，线段AD绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BD为底面圆的半径，AB为高的圆锥，所以\triangle ACD绕AB所在直线旋转一周而形成的封闭几何体的体积V=\frac{1}{3}\pi \cdot BC^{2}\cdot AB－\frac{1}{3}\pi \cdot BD^{2}\cdot AB=\frac{1}{3}\pi \times 5^{2}\times 5－\frac{1}{3}\pi \times 4^{2}\times 5=15\pi .$

Final answer: $15\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆的圆心O，D是圆O上一点.已知AB=BC=5，CD=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236598576951298/img/compression/M_676f849f43caecf408322833643bde14.jpg)
$(3)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求\triangle ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.$

Solution:
$线段AC绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BC为底面圆的半径，AB为高的圆锥，线段AD绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以BD为底面圆的半径，AB为高的圆锥，所以\triangle ACD绕AB所在直线旋转一周而形成的封闭几何体的体积V=\frac{1}{3}\pi \cdot BC^{2}\cdot AB－\frac{1}{3}\pi \cdot BD^{2}\cdot AB=\frac{1}{3}\pi \times 5^{2}\times 5－\frac{1}{3}\pi \times 4^{2}\times 5=15\pi .$

Final answer: $15\pi $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥S-ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO=8，SM=11.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236576707596289/img/compression/M_3d6fd3bb30422c7d8476baf2714debad.jpg)
$(1)求这个四棱锥的侧棱长；$

Solution:
$在Rt\triangle SOM中，OM=\sqrt{SM^2-SO^2}=\sqrt{121-64}=\sqrt{57}.在Rt\triangle SBM中，SM=11，BM=OM=\sqrt{57},\therefore 侧棱长SB=\sqrt{SM^2+BM^2}=\sqrt{121+57}=\sqrt{178}.$

Final answer: $\sqrt{178}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥S-ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO=8，SM=11.$<img_2339>
$(1)求这个四棱锥的侧棱长；$

Solution:
$在Rt\triangle SOM中，OM=\sqrt{SM^2-SO^2}=\sqrt{121-64}=\sqrt{57}.在Rt\triangle SBM中，SM=11，BM=OM=\sqrt{57},\therefore 侧棱长SB=\sqrt{SM^2+BM^2}=\sqrt{121+57}=\sqrt{178}.$

Final answer: $\sqrt{178}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥S-ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO=8，SM=11.$<img_2339>
$(2)求这个四棱锥的表面积.$

Solution:
$结合(1)得，S_{S-ABCD侧}=4\times \frac{1}{2}\times BC\times SM=4\times \frac{1}{2}\times 2\sqrt{57}\times 11=44\sqrt{57}，S_{S-ABCD底}=BC^{2}=(2\sqrt{57})^{2}=228，\therefore S_{S-ABCD表}=44\sqrt{57}+228.$

Final answer: $44\sqrt{57}+228$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱锥S-ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO=8，SM=11.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236576707596289/img/compression/M_3d6fd3bb30422c7d8476baf2714debad.jpg)
$(2)求这个四棱锥的表面积.$

Solution:
$结合(1)得，S_{S-ABCD侧}=4\times \frac{1}{2}\times BC\times SM=4\times \frac{1}{2}\times 2\sqrt{57}\times 11=44\sqrt{57}，S_{S-ABCD底}=BC^{2}=(2\sqrt{57})^{2}=228，\therefore S_{S-ABCD表}=44\sqrt{57}+228.$

Final answer: $44\sqrt{57}+228$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，D为AC的中点，AA_{1}=AB=2，BC=3.$<img_1784>
$(1)求证：AB_{1}\parallel 平面BC_{1}D；$

Solution:
$证明：如图，连接B_{1}C,交BC_{1}于点O，连接OD，$<img_2340>$因为四边形BCC_{1}B_{1}为平行四边形，所以O为B_{1}C的中点，因为D为AC的中点，所以OD为\triangle ACB_{1}的中位线，所以OD\parallel AB_{1}，因为AB_{1}\not\subset 平面BC_{1}D，OD\subset 平面BC_{1}D，所以AB_{1}\parallel 平面BC_{1}D.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，D为AC的中点，AA_{1}=AB=2，BC=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236581510074370/img/compression/M_5f22bf8d3f1644cd0991dc535052799e.jpg)
$(1)求证：AB_{1}\parallel 平面BC_{1}D；$

Solution:
$证明：如图，连接B_{1}C,交BC_{1}于点O，连接OD，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236581891756034/img/compression/M_8c27469ead1fd7f10198ed17a758eee1.jpg)$因为四边形BCC_{1}B_{1}为平行四边形，所以O为B_{1}C的中点，因为D为AC的中点，所以OD为\triangle ACB_{1}的中位线，所以OD\parallel AB_{1}，因为AB_{1}\not\subset 平面BC_{1}D，OD\subset 平面BC_{1}D，所以AB_{1}\parallel 平面BC_{1}D.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，D为AC的中点，AA_{1}=AB=2，BC=3.$<img_1784>
$(2)求三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}的表面积.$

Solution:
$因为AA_{1}\perp 平面ABC，所以三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}为直三棱柱，所以四边形BCC_{1}B_{1},四边形BAA_{1}B_{1},四边形CAA_{1}C_{1}均为矩形.因为AB\perp BC，所以\triangle ABC,\triangle A_{1}B_{1}C_{1}均为直角三角形.因为AA_{1}=AB=2，BC=3，所以AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},所以三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}的表面积为(AB+BC+AC)\cdot AA_{1}+2\times \frac{1}{2}AB\cdot BC=(2+3+\sqrt{13})\times 2+2\times \frac{1}{2}\times 2\times 3=16+2\sqrt{13}.$

Final answer: $16+2\sqrt{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC，AB\perp BC，D为AC的中点，AA_{1}=AB=2，BC=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236581510074370/img/compression/M_5f22bf8d3f1644cd0991dc535052799e.jpg)
$(2)求三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}的表面积.$

Solution:
$因为AA_{1}\perp 平面ABC，所以三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}为直三棱柱，所以四边形BCC_{1}B_{1},四边形BAA_{1}B_{1},四边形CAA_{1}C_{1}均为矩形.因为AB\perp BC，所以\triangle ABC,\triangle A_{1}B_{1}C_{1}均为直角三角形.因为AA_{1}=AB=2，BC=3，所以AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},所以三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}的表面积为(AB+BC+AC)\cdot AA_{1}+2\times \frac{1}{2}AB\cdot BC=(2+3+\sqrt{13})\times 2+2\times \frac{1}{2}\times 2\times 3=16+2\sqrt{13}.$

Final answer: $16+2\sqrt{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $(1)如图，圆锥底面圆的半径为1，高为2.①求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；
$<img_1829>

Solution:
$①作出轴截面如图所示：$<img_1723>$设内接圆柱底面圆的半径为r(0即\frac{1-r}{1}=\frac{h}{2}，所以h=2(1－r)，所以S_{圆柱侧}=4\pi r(1－r)\leq 4\pi \cdot \left[\frac{r+(1-r)}{2}\right]^2=\pi ，当且仅当r=1－r，即r=\frac{1}{2}时等号成立，此时内接圆柱的侧面积取得最大值，最大值为\pi .②不存在.理由如下：由(1)可得S_{圆柱表}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+4\pi r(1－r)=2\pi [－(r－1)^{2}+1]，而0<r<1，所以内接圆柱的表面积不存在最大值.$



Final answer: \pi
Subfield: Solid Geometry


Question: $(1)如图，圆锥底面圆的半径为1，高为2.①求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；②圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？请说明理由.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236583850496001/img/compression/M_2de58caf34a989d42421a9a860c92e1a.jpg)

Solution:
$①作出轴截面如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236583502368771/img/compression/M_cd907534bdf5782dddba43ea7f30c632.jpg)$设内接圆柱底面圆的半径为r(0即\frac{1-r}{1}=\frac{h}{2}，所以h=2(1－r)，所以S_{圆柱侧}=4\pi r(1－r)\leq 4\pi \cdot \left[\frac{r+(1-r)}{2}\right]^2=\pi ，当且仅当r=1－r，即r=\frac{1}{2}时等号成立，此时内接圆柱的侧面积取得最大值，最大值为\pi .②不存在.理由如下：由(1)可得S_{圆柱表}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+4\pi r(1－r)=2\pi [－(r－1)^{2}+1]，而0<r<1，所以内接圆柱的表面积不存在最大值.$

Final answer: $①最大值为\pi 。
②不存在。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $(2)若圆锥底面圆的半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值.$

Solution:
$设圆柱底面圆的半径为R(0所以S_{圆柱表}=2\pi R^{2}+2\pi Rh'=2\pi \left[\left(1-\frac{b}{a}\right)R^2+bR\right].当1－\frac{b}{a}>0，即b当1－\frac{b}{a}=0，即b=a时，一次函数f(R)=2\pi bR在(0,a)内也无最大值；当1－\frac{b}{a}<0，即b>a时，二次函数的图象开口向下，若存在最大值，则R=\frac{ab}{2(b-a)}\in (0,a)，所以b>2a.综上,当且仅当b>2a(圆锥的高大于其底面圆的直径)时，圆锥内接圆柱的表面积存在最大值.$

Final answer: $圆锥内接圆柱的表面积存在最大值当且仅当b>2a。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在多面体ABCDPQ中，平面PAD\perp 平面ABCD，AB\parallel CD\parallel PQ，AB\perp AD，\triangle PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1.
$<img_2232>
$(1)求证：平面POB\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：由条件易得Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle BAO，故\angle DAC=\angle ABO，\therefore \angle DAC+\angle AOB=\angle ABO+\angle AOB=90^\circ ，\therefore AC\perp BO，\because PA=PD，且O为AD的中点，\therefore PO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，又\because AC\subset 平面ABCD，\therefore AC\perp PO，又\because PO\cap BO=O，PO,BO\subset 平面POB,\therefore AC\perp 平面POB，\because AC\subset 平面PAC，\therefore 平面POB\perp 平面PAC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在多面体ABCDPQ中，平面PAD\perp 平面ABCD，AB\parallel CD\parallel PQ，AB\perp AD，\triangle PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706899157797273602/img/compression/M_9574c9f8713fa0ea4c603503e2f5e9f5.jpg)
$(1)求证：平面POB\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：由条件易得Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle BAO，故\angle DAC=\angle ABO，\therefore \angle DAC+\angle AOB=\angle ABO+\angle AOB=90^\circ ，\therefore AC\perp BO，\because PA=PD，且O为AD的中点，\therefore PO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，PO\subset 平面PAD，\therefore PO\perp 平面ABCD，又\because AC\subset 平面ABCD，\therefore AC\perp PO，又\because PO\cap BO=O，PO,BO\subset 平面POB,\therefore AC\perp 平面POB，\because AC\subset 平面PAC，\therefore 平面POB\perp 平面PAC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在多面体ABCDPQ中，平面PAD\perp 平面ABCD，AB\parallel CD\parallel PQ，AB\perp AD，\triangle PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706899157797273602/img/compression/M_9574c9f8713fa0ea4c603503e2f5e9f5.jpg)
$(2)求多面体ABCDPQ的体积.$

Solution:
$取AB的中点E，连接CE，QE(图略)，由(1)可知，PO\perp 平面ABCD，\because AB\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp AB，又\because AB\perp AD，PO\cap AD=O，PO,AD\subset 平面PAD,\therefore AB\perp 平面PAD，\therefore V_{多面体ABCDPQ}=V_{PAD-QEC}+V_{Q-CEB}=S_{\triangle PAD}\cdot AE+\frac{1}{3}S_{\triangle CEB}\cdot PO=\frac{1}{2}\times 2^{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 1+\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 1\times 2\right)\times \sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在多面体ABCDPQ中，平面PAD\perp 平面ABCD，AB\parallel CD\parallel PQ，AB\perp AD，\triangle PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1.
$<img_2232>
$(2)求多面体ABCDPQ的体积.$

Solution:
$取AB的中点E，连接CE，QE(图略)，由(1)可知，PO\perp 平面ABCD，\because AB\subset 平面ABCD，\therefore PO\perp AB，又\because AB\perp AD，PO\cap AD=O，PO,AD\subset 平面PAD,\therefore AB\perp 平面PAD，\therefore V_{多面体ABCDPQ}=V_{PAD-QEC}+V_{Q-CEB}=S_{\triangle PAD}\cdot AE+\frac{1}{3}S_{\triangle CEB}\cdot PO=\frac{1}{2}\times 2^{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 1+\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 1\times 2\right)\times \sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点A在平面\alpha 外，\triangle BCD在平面\alpha 内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236638465163266/img/compression/M_662a54c3906bdeba01b98e2cb4f9d366.jpg)
$(1)求证：E、F、G、H四点在同一平面上；$

Solution:
$证明：\because E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点，\therefore FG,EH分别是\triangle ABD,\triangle CBD的中位线，\therefore FG\parallel BD，且FG=\frac{1}{2}BD，EH\parallel BD，且EH=\frac{1}{2}BD，\therefore FG\parallel EH，且FG=EH，\therefore 四边形EFGH为平行四边形，\therefore E、F、G、H四点在同一平面上.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点A在平面\alpha 外，\triangle BCD在平面\alpha 内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.$<img_1834>
$(1)求证：E、F、G、H四点在同一平面上；$

Solution:
$证明：\because E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点，\therefore FG,EH分别是\triangle ABD,\triangle CBD的中位线，\therefore FG\parallel BD，且FG=\frac{1}{2}BD，EH\parallel BD，且EH=\frac{1}{2}BD，\therefore FG\parallel EH，且FG=EH，\therefore 四边形EFGH为平行四边形，\therefore E、F、G、H四点在同一平面上.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点A在平面\alpha 外，\triangle BCD在平面\alpha 内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236638465163266/img/compression/M_662a54c3906bdeba01b98e2cb4f9d366.jpg)
$(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，求EG的长.$

Solution:
$由(1)知四边形EFGH为平行四边形，且FG=\frac{1}{2}BD=4，FE=\frac{1}{2}AC=3.由于异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，因此需分\angle GFE=60^\circ 或\angle GFE=120^\circ 两种情况讨论.\because 异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，\therefore 直线FG与FE所成的角为60^\circ ，\therefore \angle GFE=60^\circ 或\angle GFE=120^\circ .当\angle GFE=60^\circ 时，EG^{2}=FE^{2}+FG^{2}-2FE\cdot FG\\cos    60^\circ =25-12=13,此时EG=\sqrt{13}(负值舍去)；当\angle GFE=120^\circ 时，EG^{2}=FE^{2}+FG^{2}-2FE\cdot FG\cdot \\cos    120^\circ =25+12=37，此时EG=\sqrt{37}(负值舍去).\therefore EG的长为\sqrt{13}或\sqrt{37}.$

Final answer: $\sqrt{13},\sqrt{37}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，点A在平面\alpha 外，\triangle BCD在平面\alpha 内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.$<img_1834>
$(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，求EG的长.$

Solution:
$由(1)知四边形EFGH为平行四边形，且FG=\frac{1}{2}BD=4，FE=\frac{1}{2}AC=3.由于异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，因此需分\angle GFE=60^\circ 或\angle GFE=120^\circ 两种情况讨论.\because 异面直线AC与BD所成的角为60^\circ ，\therefore 直线FG与FE所成的角为60^\circ ，\therefore \angle GFE=60^\circ 或\angle GFE=120^\circ .当\angle GFE=60^\circ 时，EG^{2}=FE^{2}+FG^{2}-2FE\cdot FG\\cos    60^\circ =25-12=13,此时EG=\sqrt{13}(负值舍去)；当\angle GFE=120^\circ 时，EG^{2}=FE^{2}+FG^{2}-2FE\cdot FG\cdot \\cos    120^\circ =25+12=37，此时EG=\sqrt{37}(负值舍去).\therefore EG的长为\sqrt{13}或\sqrt{37}.$

Final answer: $\sqrt{13},\sqrt{37}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，四边形ABB_{1}A_{1}是矩形，A_{1}C\cap AC_{1}=D,E是A_{1}B的中点.$<img_2304>
$(1)证明：DE\parallel 平面ABC；$

Solution:
$证明：因为四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，所以D是AC_{1}的中点，因为E是A_{1}B的中点，所以DE是\triangle A_{1}BC的中位线，所以DE\parallel BC.因为BC\subset 平面ABC，DE\not\subset 平面ABC，所以DE\parallel 平面ABC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，四边形ABB_{1}A_{1}是矩形，A_{1}C\cap AC_{1}=D,E是A_{1}B的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236639484379138/img/compression/M_a3307c77961e7c07d1d97192158a362f.jpg)
$(1)证明：DE\parallel 平面ABC；$

Solution:
$证明：因为四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，所以D是AC_{1}的中点，因为E是A_{1}B的中点，所以DE是\triangle A_{1}BC的中位线，所以DE\parallel BC.因为BC\subset 平面ABC，DE\not\subset 平面ABC，所以DE\parallel 平面ABC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，四边形ABB_{1}A_{1}是矩形，A_{1}C\cap AC_{1}=D,E是A_{1}B的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236639484379138/img/compression/M_a3307c77961e7c07d1d97192158a362f.jpg)
$(2)若AA_{1}=2AB=4，求点A到平面A_{1}DE的距离.$

Solution:
$因为四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，所以AC\perp AA_{1}.因为平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，且平面ABB_{1}A_{1}\cap 平面AA_{1}C_{1}C=AA_{1}，所以AC\perp 平面ABB_{1}A_{1}，因为AA_{1}=2AB=4，所以AC=4,AB=2,所以三棱锥C－AA_{1}E的体积为\frac{1}{3}S_{\triangle AA_{1}E}\times AC=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 1\times 4=\frac{8}{3}.因为D是A_{1}C的中点，所以三棱锥D－AA_{1}E的体积为\frac{1}{2}\times \frac{8}{3}=\frac{4}{3}.易知A_{1}D=\frac{1}{2}A_{1}C=2\sqrt{2}，A_{1}E=\frac{1}{2}A_{1}B=\sqrt{5}，DE=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{5}，则\triangle A_{1}DE的底边DA_{1}上的高为\sqrt{(\sqrt{5})^2-\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{3},所以\triangle A_{1}DE的面积为\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}.设点A到平面A_{1}DE的距离为h，因为三棱锥D－AA_{1}E的体积与三棱锥A－A_{1}DE的体积相等，所以\frac{1}{3}\times \sqrt{6}\times h=\frac{4}{3}，解得h=\frac{2\sqrt{6}}{3}，故点A到平面A_{1}DE的距离为\frac{2\sqrt{6}}{3}.等体积转化法是三棱锥求体积的常用方法，通过此种方法的转化运算，很容易求出三棱锥的高，从而得到结果.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 6}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，四边形ABB_{1}A_{1}是矩形，A_{1}C\cap AC_{1}=D,E是A_{1}B的中点.$<img_2304>
$(2)若AA_{1}=2AB=4，求点A到平面A_{1}DE的距离.$

Solution:
$因为四边形AA_{1}C_{1}C是正方形，所以AC\perp AA_{1}.因为平面ABB_{1}A_{1}\perp 平面AA_{1}C_{1}C，且平面ABB_{1}A_{1}\cap 平面AA_{1}C_{1}C=AA_{1}，所以AC\perp 平面ABB_{1}A_{1}，因为AA_{1}=2AB=4，所以AC=4,AB=2,所以三棱锥C－AA_{1}E的体积为\frac{1}{3}S_{\triangle AA_{1}E}\times AC=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 1\times 4=\frac{8}{3}.因为D是A_{1}C的中点，所以三棱锥D－AA_{1}E的体积为\frac{1}{2}\times \frac{8}{3}=\frac{4}{3}.易知A_{1}D=\frac{1}{2}A_{1}C=2\sqrt{2}，A_{1}E=\frac{1}{2}A_{1}B=\sqrt{5}，DE=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{5}，则\triangle A_{1}DE的底边DA_{1}上的高为\sqrt{(\sqrt{5})^2-\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{3},所以\triangle A_{1}DE的面积为\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}.设点A到平面A_{1}DE的距离为h，因为三棱锥D－AA_{1}E的体积与三棱锥A－A_{1}DE的体积相等，所以\frac{1}{3}\times \sqrt{6}\times h=\frac{4}{3}，解得h=\frac{2\sqrt{6}}{3}，故点A到平面A_{1}DE的距离为\frac{2\sqrt{6}}{3}.等体积转化法是三棱锥求体积的常用方法，通过此种方法的转化运算，很容易求出三棱锥的高，从而得到结果.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 6}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个底面半径为x的内接圆柱.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236640285491203/img/compression/M_a7e8c5365946fcb875d1ca7d3e90c55b.jpg)
$(1)试用x表示圆柱的体积；$

Solution:
$设圆柱的高为h，则\frac{x}{2}=\frac{6-h}{6}，所以圆柱的高h=6-3x，所以圆柱的体积V=\pi \cdot x^{2}(6-3x)(0<x<2).$

Final answer: $V=\pi \cdot x^{2}(6-3x)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个底面半径为x的内接圆柱.$<img_2534>
$(1)试用x表示圆柱的体积；$

Solution:
$设圆柱的高为h，则\frac{x}{2}=\frac{6-h}{6}，所以圆柱的高h=6-3x，所以圆柱的体积V=\pi \cdot x^{2}(6-3x)(0<x<2).$

Final answer: $V=\pi \cdot x^{2}(6-3x)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个底面半径为x的内接圆柱.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236640285491203/img/compression/M_a7e8c5365946fcb875d1ca7d3e90c55b.jpg)
$(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值是多少？$

Solution:
$圆柱的侧面积S=2\pi \cdot x(6-3x)=6\pi \cdot (2x-x^{2})(0建立体积V和侧面积S关于x的函数关系，利用函数性质求得最值.$

Final answer: $\frac{2}{3}, \frac{4\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个底面半径为x的内接圆柱.$<img_2534>
$(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值是多少？$

Solution:
$圆柱的侧面积S=2\pi \cdot x(6-3x)=6\pi \cdot (2x-x^{2})(0建立体积V和侧面积S关于x的函数关系，利用函数性质求得最值.$

Final answer: $\frac{2}{3}, \frac{4\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA\perp 平面ABCD，PA＝4.$<img_1982>
$(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ\perp DQ，求a的取值范围；$

Solution:
$如图，连接AQ，\because PA\perp 平面ABCD，DQ\subset 平面ABCD,\therefore PA\perp DQ，又\because PQ\perp DQ，PA\cap PQ=P，PA,PQ\subset 平面PAQ,\therefore DQ\perp 平面PAQ，\therefore DQ\perp AQ.设BQ＝t，则CQ＝a－t.在Rt\triangle ABQ中，AQ=\sqrt{t^2+4}.在Rt\triangle CDQ中，DQ=\sqrt{(a-t)^2+4}.在Rt\triangle ADQ中，AQ^{2}+DQ^{2}=AD^{2}，\therefore t^{2}+4+(a－t)^{2}+4=a^{2}，即t^{2}－at+4=0，\therefore a=t+\frac{4}{t}\geq 4，当且仅当t=2时等号成立，故a的取值范围是[4,+\infty ).将a看成关于t的函数，利用函数的最值求得a的取值范围.
$<img_1794>

Final answer: $[4, +\infty )$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA\perp 平面ABCD，PA＝4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236640621035522/img/compression/M_c97bc133e88631bba3c397d3e0d68388.jpg)
$(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ\perp DQ，求a的取值范围；$

Solution:
$如图，连接AQ，\because PA\perp 平面ABCD，DQ\subset 平面ABCD,\therefore PA\perp DQ，又\because PQ\perp DQ，PA\cap PQ=P，PA,PQ\subset 平面PAQ,\therefore DQ\perp 平面PAQ，\therefore DQ\perp AQ.设BQ＝t，则CQ＝a－t.在Rt\triangle ABQ中，AQ=\sqrt{t^2+4}.在Rt\triangle CDQ中，DQ=\sqrt{(a-t)^2+4}.在Rt\triangle ADQ中，AQ^{2}+DQ^{2}=AD^{2}，\therefore t^{2}+4+(a－t)^{2}+4=a^{2}，即t^{2}－at+4=0，\therefore a=t+\frac{4}{t}\geq 4，当且仅当t=2时等号成立，故a的取值范围是[4,+\infty ).将a看成关于t的函数，利用函数的最值求得a的取值范围.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236641032077313/img/compression/M_492e8043ef8f2d12d805035176f1af6b.jpg)

Final answer: $[4, +\infty )$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA\perp 平面ABCD，PA＝4.$<img_1982>
$(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ\perp DQ时，求二面角A－PD－Q的余弦值.$

Solution:
$由(1)知，当t＝2，a＝4时，边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点)，使PQ\perp QD.如图，过Q作QM\parallel CD交AD于M，则QM\perp AD.\because PA\perp 平面ABCD，\therefore PA\perp QM，又\because AD\cap PA=A，AD,PA\subset 平面PAD,\therefore QM\perp 平面PAD.过M作MN\perp PD于N，连接NQ，则QN\perp PD,\therefore \angle MNQ是二面角A－PD－Q的平面角.在等腰Rt\triangle PAD中，可求得MN=\sqrt{2}，又MQ＝2，\therefore NQ=\sqrt{6}.\therefore \\cos  \angle MNQ=\frac{MN}{NQ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，即二面角A－PD－Q的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA\perp 平面ABCD，PA＝4.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236640621035522/img/compression/M_c97bc133e88631bba3c397d3e0d68388.jpg)
$(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ\perp DQ时，求二面角A－PD－Q的余弦值.$

Solution:
$由(1)知，当t＝2，a＝4时，边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点)，使PQ\perp QD.如图，过Q作QM\parallel CD交AD于M，则QM\perp AD.\because PA\perp 平面ABCD，\therefore PA\perp QM，又\because AD\cap PA=A，AD,PA\subset 平面PAD,\therefore QM\perp 平面PAD.过M作MN\perp PD于N，连接NQ，则QN\perp PD,\therefore \angle MNQ是二面角A－PD－Q的平面角.在等腰Rt\triangle PAD中，可求得MN=\sqrt{2}，又MQ＝2，\therefore NQ=\sqrt{6}.\therefore \\cos  \angle MNQ=\frac{MN}{NQ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，即二面角A－PD－Q的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在直三棱柱ABC－A_{1}B_{1}C_{1}中，M为A_{1}B_{1}的中点，已知AB=AC=1，\angle ABC=\frac{\pi }{4}，AA_{1}=2.$<img_2731>
$(1)求三棱锥A_{1}－AC_{1}M的体积；$

Solution:
$由题设，易知\triangle A_{1}C_{1}M是直角三角形，\therefore S_{\triangle A_{1}C_{1}M}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot A_{1}M=\frac{1}{4}，则V_{A_{1}－AC_{1}M}=V_{A－A_{1}C_{1}M}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle A_{1}C_{1}M}\cdot 2=\frac{1}{6}.$

Final answer: $\frac{1}{6}$