di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874894905368580/img/compression/M_e414bbef565517dae2f476604bf401c3.jpg)
$(1)求证：CE\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：设PA中点为G，连接EG，DG，因为PA\parallel BE，且PA=4，BE=2，所以BE\parallel AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形.所以EG\parallel AB，且EG=AB.在正方形ABCD中，CD\parallel AB，CD=AB，所以EG\parallel CD，且EG=CD.所以四边形CDGE为平行四边形.所以CE\parallel DG.因为DG\subset 平面PAD，CE\not\subset 平面PAD，所以CE\parallel 平面PAD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.$<img_1671>
$(1)求证：CE\parallel 平面PAD；$

Solution:
$证明：设PA中点为G，连接EG，DG，因为PA\parallel BE，且PA=4，BE=2，所以BE\parallel AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形.所以EG\parallel AB，且EG=AB.在正方形ABCD中，CD\parallel AB，CD=AB，所以EG\parallel CD，且EG=CD.所以四边形CDGE为平行四边形.所以CE\parallel DG.因为DG\subset 平面PAD，CE\not\subset 平面PAD，所以CE\parallel 平面PAD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874894905368580/img/compression/M_e414bbef565517dae2f476604bf401c3.jpg)
$(2)求PD与平面PCE所成角的正弦值.$

Solution:
$建立空间直角坐标系如图，则C(4,4,0)，E(4,0，2)，P(0,0，4)，D(0,4,0)，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874895408685058/img/compression/M_ba6e6f5bcabe2d5dfd48e1e01a52d11a.jpg)$所以\overrightarrow{PC}=(4,4,-4),\overrightarrow{PE}=(4,0,-2),\overrightarrow{PD}=(0,4,-4)，设平面PCE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ 2x-z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=1，z=2，所以m=(1,1，2).设PD与平面PCE所成角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PD}||\boldsymbol{m}|}=\left|\frac{-4}{4\sqrt{2} \times \sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}.所以PD与平面PCE所成角的正弦值是\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel BE，AB=PA=4，BE=2.$<img_1671>
$(2)求PD与平面PCE所成角的正弦值.$

Solution:
$建立空间直角坐标系如图，则C(4,4,0)，E(4,0，2)，P(0,0，4)，D(0,4,0)，$<img_1476>$所以\overrightarrow{PC}=(4,4,-4),\overrightarrow{PE}=(4,0,-2),\overrightarrow{PD}=(0,4,-4)，设平面PCE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PE}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ 2x-z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=1，z=2，所以m=(1,1，2).设PD与平面PCE所成角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PD}||\boldsymbol{m}|}=\left|\frac{-4}{4\sqrt{2} \times \sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}.所以PD与平面PCE所成角的正弦值是\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，A_{1}A=4，AB=AD=2，E为A_{1}D_{1}的中点.平面EC_{1}C与棱AD交于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874896981549059/img/compression/M_d405190079cb1d502af0fba1f6b0344f.jpg)
$(1)证明：EF\parallel 平面B_{1}BCC_{1}；$

Solution:
$证明：由长方体的性质知，平面ADD_{1}A_{1}\parallel 平面BCC_{1}B_{1}，\because E\in A_{1}D_{1}，F\in AD且A_{1}D_{1}、AD\subset 平面ADD_{1}A_{1}，\therefore EF\subset 平面ADD_{1}A_{1}，\therefore EF\parallel 平面B_{1}BCC_{1}.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，A_{1}A=4，AB=AD=2，E为A_{1}D_{1}的中点.平面EC_{1}C与棱AD交于点F.$<img_2950>
$(1)证明：EF\parallel 平面B_{1}BCC_{1}；$

Solution:
$证明：由长方体的性质知，平面ADD_{1}A_{1}\parallel 平面BCC_{1}B_{1}，\because E\in A_{1}D_{1}，F\in AD且A_{1}D_{1}、AD\subset 平面ADD_{1}A_{1}，\therefore EF\subset 平面ADD_{1}A_{1}，\therefore EF\parallel 平面B_{1}BCC_{1}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，A_{1}A=4，AB=AD=2，E为A_{1}D_{1}的中点.平面EC_{1}C与棱AD交于点F.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874896981549059/img/compression/M_d405190079cb1d502af0fba1f6b0344f.jpg)
$(2)点M为棱AA_{1}上一点，且\frac{AM}{AA_1}=\frac{1}{4}，求直线MF与平面FBC_{1}所成角的大小.$

Solution:
$建立以D为原点，分别以\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}的方向为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则M(2,0，1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C_{1}(0,2，4)，\because 平面EC_{1}C与棱AD交于点F，\therefore EF\parallel CC_{1}，而E为A_{1}D_{1}的中点，\therefore F为AD的中点，则F(1,0,0)，\therefore \overrightarrow{FM}=(1,0，1)，\overrightarrow{FB}=(1,2,0)，\overrightarrow{BC_1}=(-2,0，4)，设m=(x,y,z)为平面FBC_{1}的法向量，则\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ -2x+4z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得m=(2,-1，1)，设直线MF与平面FBC_{1}所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{FM}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{FM}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{FM}|}=\frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore 直线MF与平面FBC_{1}所成角为\frac{\pi }{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874897476476930/img/compression/M_bf61edcb94c807ef795a2bd920952ce6.jpg)

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，A_{1}A=4，AB=AD=2，E为A_{1}D_{1}的中点.平面EC_{1}C与棱AD交于点F.$<img_2950>
$(2)点M为棱AA_{1}上一点，且\frac{AM}{AA_1}=\frac{1}{4}，求直线MF与平面FBC_{1}所成角的大小.$

Solution:
$建立以D为原点，分别以\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_1}的方向为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则M(2,0，1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C_{1}(0,2，4)，\because 平面EC_{1}C与棱AD交于点F，\therefore EF\parallel CC_{1}，而E为A_{1}D_{1}的中点，\therefore F为AD的中点，则F(1,0,0)，\therefore \overrightarrow{FM}=(1,0，1)，\overrightarrow{FB}=(1,2,0)，\overrightarrow{BC_1}=(-2,0，4)，设m=(x,y,z)为平面FBC_{1}的法向量，则\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ -2x+4z=0,\end{matrix}\right.令x=2，得m=(2,-1，1)，设直线MF与平面FBC_{1}所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle m,\overrightarrow{FM}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{FM}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{FM}|}=\frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore 直线MF与平面FBC_{1}所成角为\frac{\pi }{3}.$<img_2806>

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874969115693057/img/compression/M_8366a284647b2e7f00e0034e742fd5f7.jpg)
$(1)求证：平面BCF\parallel 平面ADE；$

Solution:
$证明：因为DE\parallel BF，DE\subset 平面ADE，BF\not\subset 平面ADE，所以BF\parallel 平面ADE.同理，得BC\parallel 平面ADE.又因为BC\cap BF=B，BC\subset 平面BCF，BF\subset 平面BCF，所以平面BCF\parallel 平面ADE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$<img_1866>
$(1)求证：平面BCF\parallel 平面ADE；$

Solution:
$证明：因为DE\parallel BF，DE\subset 平面ADE，BF\not\subset 平面ADE，所以BF\parallel 平面ADE.同理，得BC\parallel 平面ADE.又因为BC\cap BF=B，BC\subset 平面BCF，BF\subset 平面BCF，所以平面BCF\parallel 平面ADE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$<img_1866>
$(2)求钝二面角D-AE-F的余弦值.$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知DA、DC、DE两两垂直，如图，分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$<img_2535>$则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)，所以\overrightarrow{AE}=(-2,0,2)，\overrightarrow{AF}=(0,2,1)，设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1，则z=-2，x=-2，得n=(-2,1,-2).易知平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0).\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times 3}=\frac{1}{3}，因此，钝二面角D-AE-F的余弦值为-\frac{1}{3}.$

Final answer: $-\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE\perp 平面ABCD，DE\parallel BF，且DE=2BF=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874969115693057/img/compression/M_8366a284647b2e7f00e0034e742fd5f7.jpg)
$(2)求钝二面角D-AE-F的余弦值.$

Solution:
$由DE\perp 平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知DA、DC、DE两两垂直，如图，分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874969493180417/img/compression/M_babcc57418e6f3a1d23c0a3ec69d7223.jpg)$则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)，所以\overrightarrow{AE}=(-2,0,2)，\overrightarrow{AF}=(0,2,1)，设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-2x+2z=0,\\ 2y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1，则z=-2，x=-2，得n=(-2,1,-2).易知平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0).\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times 3}=\frac{1}{3}，因此，钝二面角D-AE-F的余弦值为-\frac{1}{3}.$

Final answer: $-\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB\parallel CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874970051022851/img/compression/M_d9e537ade35b5f39ebdc38d89d178454.jpg)
$(1)求证：平面ABE\parallel 平面CDF；$

Solution:
$证明：因为四边形ACFE为矩形，所以CF\parallel AE.又因为AB\parallel CD，AB\cap AE=A，CD\cap CF=C，AB\subset 平面ABE，AE\subset 平面ABE，CD\subset 平面CDF，CF\subset 平面CDF，所以平面ABE\parallel 平面CDF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB\parallel CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2.$<img_1701>
$(1)求证：平面ABE\parallel 平面CDF；$

Solution:
$证明：因为四边形ACFE为矩形，所以CF\parallel AE.又因为AB\parallel CD，AB\cap AE=A，CD\cap CF=C，AB\subset 平面ABE，AE\subset 平面ABE，CD\subset 平面CDF，CF\subset 平面CDF，所以平面ABE\parallel 平面CDF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB\parallel CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874970051022851/img/compression/M_d9e537ade35b5f39ebdc38d89d178454.jpg)
$(2)设平面BEF\cap 平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B-l-C的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件①：AB\perp AD；条件②：AE\perp 平面ABCD；条件③：平面AED\perp 平面ABCD.$

Solution:
$选择①②.因为AE\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，AD\subset 平面ABCD，所以AE\perp AB，AE\perp AD.又因为AB\perp AD，所以AE、AB、AD两两垂直.以A为原点，分别以AB，AD，AE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B(1,0,0)，E(0,0，1)，F(2,2，1).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874970562727938/img/compression/M_11f4ef45bccc17f375abb7380ae69e34.jpg)$所以\overrightarrow{BE}=(-1,0，1)，\overrightarrow{BF}=(1,2，1).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ x+2y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1，则y=-1，z=1.于是n=(1,-1，1).因为平面ABE\parallel 平面CDF，所以平面CDF的一个法向量为m=(0,1,0).所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{1 \times \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.所以二面角B-l-C的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.选择①③.因为平面AED\perp 平面ABCD，平面AED\cap 平面ABCD=AD,AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD,所以AB\perp 平面AED.又因为AE\subset 平面AED，所以AB\perp AE.在矩形ACFE中，AE\perp AC.因为AB\subset 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，AB\cap AC=A，所以AE\perp 平面ABCD.下同选择①②.$

Final answer: $选择①②：二面角B-l-C的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}；
选择①③：二面角B-l-C的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB\parallel CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2.$<img_1701>
$(2)设平面BEF\cap 平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B-l-C的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件①：AB\perp AD；条件②：AE\perp 平面ABCD；条件③：平面AED\perp 平面ABCD.$

Solution:
$选择①②.因为AE\perp 平面ABCD，AB\subset 平面ABCD，AD\subset 平面ABCD，所以AE\perp AB，AE\perp AD.又因为AB\perp AD，所以AE、AB、AD两两垂直.以A为原点，分别以AB，AD，AE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B(1,0,0)，E(0,0，1)，F(2,2，1).$<img_1589>$所以\overrightarrow{BE}=(-1,0，1)，\overrightarrow{BF}=(1,2，1).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE} \cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BF} \cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ x+2y+z=0.\end{matrix}\right.令x=1，则y=-1，z=1.于是n=(1,-1，1).因为平面ABE\parallel 平面CDF，所以平面CDF的一个法向量为m=(0,1,0).所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{1 \times \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.所以二面角B-l-C的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.选择①③.因为平面AED\perp 平面ABCD，平面AED\cap 平面ABCD=AD,AB\perp AD，AB\subset 平面ABCD,所以AB\perp 平面AED.又因为AE\subset 平面AED，所以AB\perp AE.在矩形ACFE中，AE\perp AC.因为AB\subset 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD，AB\cap AC=A，所以AE\perp 平面ABCD.下同选择①②.$



Final answer: \frac{\sqrt{3}}{3}
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥D-ABC中，\triangle ACD为正三角形，平面ACD\perp 平面ABC，AD\perp BC，AC=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874991993614338/img/compression/M_31be3064fbd8ae3875910ce010147a12.jpg)
$(1)求证：BC\perp AC；$

Solution:
$证明：设O为AC的中点，连接OD.\because \triangle ACD是正三角形，\therefore OD\perp AC，\because 平面ACD\perp 平面ABC，平面ACD\cap 平面ABC=AC，\therefore OD\perp 平面ABC.又BC\subset 平面ABC，\therefore OD\perp BC，又\because AD\perp BC，OD\cap AD=D，OD，AD\subset 平面ACD，\therefore BC\perp 平面ACD，\therefore BC\perp AC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥D-ABC中，\triangle ACD为正三角形，平面ACD\perp 平面ABC，AD\perp BC，AC=BC=2.$<img_1810>
$(1)求证：BC\perp AC；$

Solution:
$证明：设O为AC的中点，连接OD.\because \triangle ACD是正三角形，\therefore OD\perp AC，\because 平面ACD\perp 平面ABC，平面ACD\cap 平面ABC=AC，\therefore OD\perp 平面ABC.又BC\subset 平面ABC，\therefore OD\perp BC，又\because AD\perp BC，OD\cap AD=D，OD，AD\subset 平面ACD，\therefore BC\perp 平面ACD，\therefore BC\perp AC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥D-ABC中，\triangle ACD为正三角形，平面ACD\perp 平面ABC，AD\perp BC，AC=BC=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874991993614338/img/compression/M_31be3064fbd8ae3875910ce010147a12.jpg)
$(2)若E是CD的中点，求直线CD与平面ABE所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB中点为F，连接OF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623874991993614338/img/compression/M_e151ba36e013faf89572e47b68227a8f.jpg)$\therefore OF\parallel BC，又BC\perp AC，\therefore OF\perp AC，\therefore OF、OC、OD两两垂直，以O为原点，分别以OF、OC、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，D(0，0，\sqrt{3})，C(0，1，0)，F(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{AF}=(1，1，0)，\overrightarrow{CD}=(0，-1，\sqrt{3})，\because E是CD的中点，\therefore E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则有\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.不妨取y=-1，则n=(1，-1，\sqrt{3})，设直线CD与平面ABE所成角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle n，\overrightarrow{CD}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{4}{\sqrt{5} \times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在三棱锥D-ABC中，\triangle ACD为正三角形，平面ACD\perp 平面ABC，AD\perp BC，AC=BC=2.$<img_1810>
$(2)若E是CD的中点，求直线CD与平面ABE所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB中点为F，连接OF.$<img_2105>$\therefore OF\parallel BC，又BC\perp AC，\therefore OF\perp AC，\therefore OF、OC、OD两两垂直，以O为原点，分别以OF、OC、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，D(0，0，\sqrt{3})，C(0，1，0)，F(1，0，0)，\therefore \overrightarrow{AF}=(1，1，0)，\overrightarrow{CD}=(0，-1，\sqrt{3})，\because E是CD的中点，\therefore E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则有\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\\ x+y=0,\end{matrix}\right.不妨取y=-1，则n=(1，-1，\sqrt{3})，设直线CD与平面ABE所成角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle n，\overrightarrow{CD}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{4}{\sqrt{5} \times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875036386127874/img/compression/M_c169c733138965f96f9f5a36defee542.jpg)
$(1)证明：PF\perp FD；$

Solution:
$证明：连接AF，则AF＝DF＝\sqrt{2}，又AD＝2，\therefore DF^{2}＋AF^{2}＝AD^{2}，\therefore DF\perp AF.\because PA\perp 平面ABCD，DF\subset 平面ABCD，\therefore DF\perp PA，又PA\cap AF＝A，\therefore DF\perp 平面PAF，又PF\subset 平面PAF，\therefore DF\perp PF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875037241765889/img/compression/M_4f32b8e371ea78b8e88840a66ee3b756.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$<img_2956>
$(1)证明：PF\perp FD；$

Solution:
$证明：连接AF，则AF＝DF＝\sqrt{2}，又AD＝2，\therefore DF^{2}＋AF^{2}＝AD^{2}，\therefore DF\perp AF.\because PA\perp 平面ABCD，DF\subset 平面ABCD，\therefore DF\perp PA，又PA\cap AF＝A，\therefore DF\perp 平面PAF，又PF\subset 平面PAF，\therefore DF\perp PF.$<img_3074>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$<img_2956>
$(2)若PB与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；$

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD，\therefore \angle PBA是PB与平面ABCD所成的角，\therefore \angle PBA=45^\circ .\therefore PA=AB=1.\because 平面PFD\cap 平面CFD=DF，且DF\perp PF，DF\perp AF，\therefore \angle PFA为平面PFD与平面CFD所成锐角，易知PF=\sqrt{3}，\therefore \\cos  \angle PFA=\frac{AF}{PF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875036386127874/img/compression/M_c169c733138965f96f9f5a36defee542.jpg)
$(2)若PB与平面ABCD所成的角为45^\circ ，求平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值；$

Solution:
$\because PA\perp 平面ABCD，\therefore \angle PBA是PB与平面ABCD所成的角，\therefore \angle PBA=45^\circ .\therefore PA=AB=1.\because 平面PFD\cap 平面CFD=DF，且DF\perp PF，DF\perp AF，\therefore \angle PFA为平面PFD与平面CFD所成锐角，易知PF=\sqrt{3}，\therefore \\cos  \angle PFA=\frac{AF}{PF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，故平面PFD与平面CFD所成锐角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$<img_2956>
$(3)若PA＝1，求点E到平面PFD的距离.$

Solution:
$连接EP，ED，EF.\because S_{\triangle EFD}＝S_{矩形ABCD}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle CDF}＝2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}＝\frac{3}{4}，\therefore V_{P-EFD}＝\frac{1}{3}S_{\triangle EFD}\cdot PA＝\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1＝\frac{1}{4}.设点E到平面PFD的距离为h，易知S_{\triangle PFD}=\frac{\sqrt{6}}{2}，则由V_{E-PFD}＝V_{P-EFD}得\frac{1}{3}S_{\triangle PFD}\cdot h＝\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot h＝\frac{1}{4}，解得h＝\frac{\sqrt{6}}{4}，\therefore 点E到平面PFD的距离为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA\perp 平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875036386127874/img/compression/M_c169c733138965f96f9f5a36defee542.jpg)
$(3)若PA＝1，求点E到平面PFD的距离.$

Solution:
$连接EP，ED，EF.\because S_{\triangle EFD}＝S_{矩形ABCD}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle CDF}＝2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}＝\frac{3}{4}，\therefore V_{P-EFD}＝\frac{1}{3}S_{\triangle EFD}\cdot PA＝\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1＝\frac{1}{4}.设点E到平面PFD的距离为h，易知S_{\triangle PFD}=\frac{\sqrt{6}}{2}，则由V_{E-PFD}＝V_{P-EFD}得\frac{1}{3}S_{\triangle PFD}\cdot h＝\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot h＝\frac{1}{4}，解得h＝\frac{\sqrt{6}}{4}，\therefore 点E到平面PFD的距离为\frac{\sqrt{6}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$<img_2549>
$(1)证明：平面PAE\perp 平面BCP；$

Solution:
$证明：连接AC，因为PB=PC，E为线段BC的中点，所以PE\perp BC.又AB=BC，\angle ABC=60^\circ ，所以\triangle ABC为等边三角形，所以BC\perp AE.因为AE\cap PE=E，所以BC\perp 平面PAE，又BC\subset 平面BCP，所以平面PAE\perp 平面BCP.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875061570232322/img/compression/M_2749d0d0b15b52b3165d9b92f0e855a6.jpg)
$(1)证明：平面PAE\perp 平面BCP；$

Solution:
$证明：连接AC，因为PB=PC，E为线段BC的中点，所以PE\perp BC.又AB=BC，\angle ABC=60^\circ ，所以\triangle ABC为等边三角形，所以BC\perp AE.因为AE\cap PE=E，所以BC\perp 平面PAE，又BC\subset 平面BCP，所以平面PAE\perp 平面BCP.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875061570232322/img/compression/M_2749d0d0b15b52b3165d9b92f0e855a6.jpg)
$(2)若PA=AB=\frac{\sqrt{2}}{2}PB，二面角A-BD-F的余弦值为\frac{3}{5},求PD与平面BDF所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB=PA=a，则PB=\sqrt{2}a=PC，因为PA^{2}+AB^{2}=PB^{2}，所以PA\perp AB，同理可证PA\perp AC，又AB\cap AC=A，所以PA\perp 平面ABCD.如图，设AC\cap BD=O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875062039994370/img/compression/M_003a1c520b6529201f20b274f3c2677f.jpg)$易知\angle FOA为二面角A-BD-F的平面角，所以\\cos  \angle FOA=\frac{3}{5}，从而\\tan  \angle FOA=\frac{4}{3}.在Rt\triangle AFO中，\\tan  \angle FOA=\frac{AF}{AO}=\frac{AF}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{3}，得AF=\frac{2}{3}a.故F\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，\overrightarrow{OF}=\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right).又由B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，得\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，由n\perp \overrightarrow{BF}，n\perp \overrightarrow{OF}，得\left\{\begin{matrix}-\frac{\sqrt{3}a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\\ -\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\end{matrix}\right.不妨设z=3，则可得平面BDF的一个法向量为n=(0，4，3).又P\left(0,-\frac{a}{2},a\right)，D\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，所以\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},-a\right).设PD与平面BDF所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n，\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{|2a-3a|}{5\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ,PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的点.$<img_2549>
$(2)若PA=AB=\frac{\sqrt{2}}{2}PB，二面角A-BD-F的余弦值为\frac{3}{5},求PD与平面BDF所成角的正弦值.$

Solution:
$设AB=PA=a，则PB=\sqrt{2}a=PC，因为PA^{2}+AB^{2}=PB^{2}，所以PA\perp AB，同理可证PA\perp AC，又AB\cap AC=A，所以PA\perp 平面ABCD.如图，设AC\cap BD=O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$<img_2381>$易知\angle FOA为二面角A-BD-F的平面角，所以\\cos  \angle FOA=\frac{3}{5}，从而\\tan  \angle FOA=\frac{4}{3}.在Rt\triangle AFO中，\\tan  \angle FOA=\frac{AF}{AO}=\frac{AF}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{3}，得AF=\frac{2}{3}a.故F\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，\overrightarrow{OF}=\left(0,-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right).又由B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，得\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},-\frac{a}{2},\frac{2a}{3}\right)，设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，由n\perp \overrightarrow{BF}，n\perp \overrightarrow{OF}，得\left\{\begin{matrix}-\frac{\sqrt{3}a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\\ -\frac{a}{2}y+\frac{2a}{3}z=0,\end{matrix}\right.不妨设z=3，则可得平面BDF的一个法向量为n=(0，4，3).又P\left(0,-\frac{a}{2},a\right)，D\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,0,0\right)，所以\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},-a\right).设PD与平面BDF所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n，\overrightarrow{PD}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{PD}|}=\frac{|2a-3a|}{5\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875063575109634/img/compression/M_46e33d326e390de4e811ecd25fed9b9d.jpg)
$(1)求证：平面COD\perp 平面AOB；$

Solution:
$证明：由旋转的性质得AO\perp OC，又\because OB\perp OC，且AO\cap OB＝O，\therefore OC\perp 平面AOB，又\because OC\subset 平面COD，\therefore 平面COD\perp 平面AOB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在\triangle AOB中，\angle AOB＝90^\circ ，AO＝2，OB＝1.\triangle AOC可以通过\triangle AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB\perp OC，动点D在斜边AB上.$<img_2997>
$(1)求证：平面COD\perp 平面AOB；$

Solution:
$证明：由旋转的性质得AO\perp OC，又\because OB\perp OC，且AO\cap OB＝O，\therefore OC\perp 平面AOB，又\because OC\subset 平面COD，\therefore 平面COD\perp 平面AOB.$