di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，设\overrightarrow{DA}=a，\overrightarrow{DB}=b，\overrightarrow{DC}=c.$<img_2457>
$以{a,b,c}为基底表示\overrightarrow{FE}；$

Solution:
$因为AE=BE，CF=2DF，所以\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}),\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}，(2分)所以\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})-\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{3}c.(5分)$

Final answer: $\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{3}c$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，设\overrightarrow{DA}=a，\overrightarrow{DB}=b，\overrightarrow{DC}=c.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846930632278017/img/compression/M_06c5043a8815080ec936f6813e354fe0.jpg)
$若\angle ADB=\angle BDC=\angle ADC=60^\circ ，且|\overrightarrow{DA}|=4，|\overrightarrow{DB}|=3，|\overrightarrow{DC}|=3，求|\overrightarrow{FE}|.$

Solution:
$因为\angle ADB=\angle BDC=\angle ADC=60^\circ ，且|\overrightarrow{DA}|=4，|\overrightarrow{DB}|=3，|\overrightarrow{DC}|=3，所以\overrightarrow{FE}^{2}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{3}\boldsymbol{c}\right)^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{9}c^{2}+2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}a\cdot b-2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}a\cdot c-2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}b\cdot c=\frac{1}{4}\times 16+\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{9}\times 9+\left(\frac{1}{2}\times 4\times 3-\frac{1}{3}\times 4\times 3-\frac{1}{3}\times 3\times 3\right)\\cos   60^\circ =4+\frac{9}{4}+1+\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{27}{4}，(8分)所以|\overrightarrow{FE}|=\frac{3\sqrt{3}}{2}.(10分)$

Final answer: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，设\overrightarrow{DA}=a，\overrightarrow{DB}=b，\overrightarrow{DC}=c.$<img_2457>
$若\angle ADB=\angle BDC=\angle ADC=60^\circ ，且|\overrightarrow{DA}|=4，|\overrightarrow{DB}|=3，|\overrightarrow{DC}|=3，求|\overrightarrow{FE}|.$

Solution:
$因为\angle ADB=\angle BDC=\angle ADC=60^\circ ，且|\overrightarrow{DA}|=4，|\overrightarrow{DB}|=3，|\overrightarrow{DC}|=3，所以\overrightarrow{FE}^{2}=\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\frac{1}{3}\boldsymbol{c}\right)^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{9}c^{2}+2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}a\cdot b-2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}a\cdot c-2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}b\cdot c=\frac{1}{4}\times 16+\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{9}\times 9+\left(\frac{1}{2}\times 4\times 3-\frac{1}{3}\times 4\times 3-\frac{1}{3}\times 3\times 3\right)\\cos   60^\circ =4+\frac{9}{4}+1+\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{27}{4}，(8分)所以|\overrightarrow{FE}|=\frac{3\sqrt{3}}{2}.(10分)$

Final answer: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在等边\triangle ABC中，点D,E分别为边AB,AC上的动点，且满足DE\parallel BC，记\frac{DE}{BC}=\lambda .将\triangle ADE沿DE翻折到\triangle MDE的位置，使得平面MDE\perp 平面DECB，连接MB，MC得到图②，N为MC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846933220163587/img/compression/M_b9e2a8ba34e9968a76b9b5a652aff3df.jpg)
$当EN\parallel 平面MBD时，求\lambda 的值；$

Solution:
$如图①，取MB的中点为P，连接DP，PN.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846933689925634/img/compression/M_86718b256fbe8361c6536a0a2cd6a2d3.jpg)$因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP\parallel BC，又DE\parallel BC，所以NP\parallel DE，即N，E，D，P四点共面，(2分)又EN\parallel 平面MBD，EN\subset 平面NEDP，平面NEDP\cap 平面MBD＝DP，所以EN\parallel PD，所以四边形NEDP为平行四边形，所以NP＝DE，又NP=\frac{1}{2}BC，所以DE=\frac{1}{2}BC，所以\lambda =\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}.(4分)$

Final answer: $ \frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在等边\triangle ABC中，点D,E分别为边AB,AC上的动点，且满足DE\parallel BC，记\frac{DE}{BC}=\lambda .将\triangle ADE沿DE翻折到\triangle MDE的位置，使得平面MDE\perp 平面DECB，连接MB，MC得到图②，N为MC的中点.$<img_1729>
$当EN\parallel 平面MBD时，求\lambda 的值；$

Solution:
$如图①，取MB的中点为P，连接DP，PN.$<img_2537>$因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP\parallel BC，又DE\parallel BC，所以NP\parallel DE，即N，E，D，P四点共面，(2分)又EN\parallel 平面MBD，EN\subset 平面NEDP，平面NEDP\cap 平面MBD＝DP，所以EN\parallel PD，所以四边形NEDP为平行四边形，所以NP＝DE，又NP=\frac{1}{2}BC，所以DE=\frac{1}{2}BC，所以\lambda =\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}.(4分)$

Final answer: $ \frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在等边\triangle ABC中，点D,E分别为边AB,AC上的动点，且满足DE\parallel BC，记\frac{DE}{BC}=\lambda .将\triangle ADE沿DE翻折到\triangle MDE的位置，使得平面MDE\perp 平面DECB，连接MB，MC得到图②，N为MC的中点.$<img_1729>
$随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小是否改变？如果改变，请求出实数\lambda 与二面角的平面角的正弦值的函数关系；如果不改变，请求出二面角B-MD-E的正弦值.$

Solution:
$随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小不改变.取DE的中点O，连接MO,因为平面MDE\perp 平面DECB，且MO\perp DE，所以MO\perp 平面DECB.如图②，建立空间直角坐标系O-xyz，$<img_2048>$不妨设BC＝2，易知M(0,0,\sqrt{3}\lambda )，D(\lambda ，0，0)，B(1,\sqrt{3}(1-\lambda ),0)，则\overrightarrow{MD}=(\lambda ,0,-\sqrt{3}\lambda ),\overrightarrow{DB}=(1-\lambda ,\sqrt{3}(1-\lambda ),0).(6分)设平面BMD的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{MD}\cdot \boldsymbol{m}=\lambda x-\sqrt{3}\lambda z=0,\\ \overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{m}=(1-\lambda )x+\sqrt{3}(1-\lambda )y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，则y=-1,z=1，所以m=(\sqrt{3},-1,1).(8分)易得平面EMD的一个法向量为n=(0,1,0),所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5},(10分)故随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小不变,此时\\sin  \langle m,n\rangle =\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以二面角B-MD-E的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt 5}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在等边\triangle ABC中，点D,E分别为边AB,AC上的动点，且满足DE\parallel BC，记\frac{DE}{BC}=\lambda .将\triangle ADE沿DE翻折到\triangle MDE的位置，使得平面MDE\perp 平面DECB，连接MB，MC得到图②，N为MC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846933220163587/img/compression/M_b9e2a8ba34e9968a76b9b5a652aff3df.jpg)
$随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小是否改变？如果改变，请求出实数\lambda 与二面角的平面角的正弦值的函数关系；如果不改变，请求出二面角B-MD-E的正弦值.$

Solution:
$随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小不改变.取DE的中点O，连接MO,因为平面MDE\perp 平面DECB，且MO\perp DE，所以MO\perp 平面DECB.如图②，建立空间直角坐标系O-xyz，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693846934008692737/img/compression/M_4e46690383ab4c950b72c962e17997a1.jpg)$不妨设BC＝2，易知M(0,0,\sqrt{3}\lambda )，D(\lambda ，0，0)，B(1,\sqrt{3}(1-\lambda ),0)，则\overrightarrow{MD}=(\lambda ,0,-\sqrt{3}\lambda ),\overrightarrow{DB}=(1-\lambda ,\sqrt{3}(1-\lambda ),0).(6分)设平面BMD的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{MD}\cdot \boldsymbol{m}=\lambda x-\sqrt{3}\lambda z=0,\\ \overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{m}=(1-\lambda )x+\sqrt{3}(1-\lambda )y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，则y=-1,z=1，所以m=(\sqrt{3},-1,1).(8分)易得平面EMD的一个法向量为n=(0,1,0),所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5},(10分)故随着\lambda 值的变化，二面角B-MD-E的大小不变,此时\\sin  \langle m,n\rangle =\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以二面角B-MD-E的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{2\sqrt 5}{5}$
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Question: $某学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池，如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知AB=100 m，设将建设的架空木栈道的总长为y m.$<img_2709>
$设\angle DAO=\theta  rad，求y关于\theta 的函数关系式，并写出\theta 的取值范围；$

Solution:
$由题可知\angle DAO=\theta ，OC\perp AB，OA=OB=50，所以DA=DB=\frac{50}{\\\cos    \theta }，DO=50\\tan   \theta ，所以DC=50-50\\tan   \theta ，所以y=DA+DB+DC=\frac{100}{\\\cos    \theta }+50-50\\tan   \theta =50\left(\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }+1\right)，0<\theta <\frac{\pi }{4}.$



Final answer: $50\left(\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }+1\right)$, $(0, \frac{\pi}{4})$
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Question: $某学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池，如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知AB=100 m，设将建设的架空木栈道的总长为y m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820357740920834/img/compression/M_0f05cea1a2b63505656cc53ef7fd94a0.jpg)
$设\angle DAO=\theta  rad，求y关于\theta 的函数关系式，并写出\theta 的取值范围；$

Solution:
$由题可知\angle DAO=\theta ，OC\perp AB，OA=OB=50，所以DA=DB=\frac{50}{\\\cos    \theta }，DO=50\\tan   \theta ，所以DC=50-50\\tan   \theta ，所以y=DA+DB+DC=\frac{100}{\\\cos    \theta }+50-50\\tan   \theta =50\left(\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }+1\right)，0<\theta <\frac{\pi }{4}.$

Final answer: $50\left(\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }+1\right)$, $(0, \frac{\pi}{4})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池，如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知AB=100 m，设将建设的架空木栈道的总长为y m.$<img_2709>
$试确定观景台距离点O的位置，使三段架空木栈道的总长度最短.$

Solution:
$y'=\frac{50(2\\\sin    \theta -1)}{\\\cos   ^2\theta }，令y'=0，得\\sin   \theta =\frac{1}{2}，又0<\theta <\frac{\pi }{4}，所以\theta =\frac{\pi }{6}，当0<\theta <\frac{\pi }{6}时，y'<0，原函数单调递减，当\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{4}时，y'>0，原函数单调递增，所以当\theta =\frac{\pi }{6}时，y_{min}=50(\sqrt{3}+1)，此时DO=50\\tan   \theta =\frac{50\sqrt{3}}{3}.所以当观景台D位于OC上且距离点O\frac{50\sqrt{3}}{3} m时，三段架空木栈道的总长度最短.$



Final answer: \frac{50\sqrt{3}}{3} m
Subfield: Plane Geometry


Question: $某学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池，如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知AB=100 m，设将建设的架空木栈道的总长为y m.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820357740920834/img/compression/M_0f05cea1a2b63505656cc53ef7fd94a0.jpg)
$试确定观景台的位置，使三段架空木栈道的总长度最短.$

Solution:
$y'=\frac{50(2\\\sin    \theta -1)}{\\\cos   ^2\theta }，令y'=0，得\\sin   \theta =\frac{1}{2}，又0<\theta <\frac{\pi }{4}，所以\theta =\frac{\pi }{6}，当0<\theta <\frac{\pi }{6}时，y'<0，原函数单调递减，当\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{4}时，y'>0，原函数单调递增，所以当\theta =\frac{\pi }{6}时，y_{min}=50(\sqrt{3}+1)，此时DO=50\\tan   \theta =\frac{50\sqrt{3}}{3}.所以当观景台D位于OC上且距离点O\frac{50\sqrt{3}}{3} m时，三段架空木栈道的总长度最短.$

Final answer: $当观景台D位于OC上且距离点O为50\sqrt 3/3 m时，三段架空木栈道的总长度最短。$
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Question: $如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P与M的距离为10千米.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O(点O不与P，M重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，快速路PO造价为1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米.设\angle OAM=\theta  rad,总造价为y百万元.$<img_3063>
$求y关于\theta 的函数关系式，并指出函数的定义域；$

Solution:
$\because \angle OAM=\theta ,PM\perp AB,M为AB的中点，\therefore OA=OB=\frac{10}{\\\cos    \theta }，OM=10\\tan   \theta ，OP=10-10\\tan   \theta ，(2分)\therefore y=\frac{10}{\\\cos    \theta }\times 1+\frac{10}{\\\cos    \theta }\times 2+(10-10\\tan   \theta )\times 1.5=\frac{30}{\\\cos    \theta }-15\\tan   \theta +15=15\left(\frac{2}{\\\cos    \theta }-\\\tan    \theta \right)+15\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right).(5分)$

Final answer: $y = 15(\frac{2}{\cos \theta} -\tan \theta )+15$, $ (0, \frac{\pi}{4})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P与M的距离为10千米.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O(点O不与P，M重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，快速路PO造价为1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米.设\angle OAM=\theta  rad,总造价为y百万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820353030844417/img/compression/M_5f195ef9bda9c33633495a55a48c9577.jpg)
$求y关于\theta 的函数关系式，并指出函数的定义域；$

Solution:
$\because \angle OAM=\theta ,PM\perp AB,M为AB的中点，\therefore OA=OB=\frac{10}{\\\cos    \theta }，OM=10\\tan   \theta ，OP=10-10\\tan   \theta ，(2分)\therefore y=\frac{10}{\\\cos    \theta }\times 1+\frac{10}{\\\cos    \theta }\times 2+(10-10\\tan   \theta )\times 1.5=\frac{30}{\\\cos    \theta }-15\\tan   \theta +15=15\left(\frac{2}{\\\cos    \theta }-\\\tan    \theta \right)+15\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right).(5分)$

Final answer: $y = 15(\frac{2}{\cos \theta} -\tan \theta )+15$, $ (0, \frac{\pi}{4})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P与M的距离为10千米.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O(点O不与P，M重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，快速路PO造价为1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米.设\angle OAM=\theta  rad,总造价为y百万元.$<img_3063>
$求总造价的最小值，并求出此时\theta 的值.$

Solution:
$设f(\theta )=\frac{2}{\\\cos    \theta }-\\tan   \theta =\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right)，则f'(\theta )=\frac{-\\\cos   ^2\theta +\\\sin    \theta (2-\\\sin    \theta )}{\\\cos   ^2\theta }=\frac{2\\\sin    \theta -1}{\\\cos   ^2\theta }\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right).(7分)令f'(\theta )=0，得\\sin   \theta =\frac{1}{2}，又0<\theta <\frac{\pi }{4}，\therefore \theta =\frac{\pi }{6}.(8分)当0<\theta <\frac{\pi }{6}时,\\sin   \theta <\frac{1}{2}, f'(\theta )<0, f(\theta )单调递减；(9分)当\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{4}时,\\sin   \theta >\frac{1}{2}, f'(\theta )>0, f(\theta )单调递增.(10分)\therefore f(\theta )_{min}=f \left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}，此时y取得最小值，且y_{min}=15\sqrt{3}+15.(11分)\therefore 总造价的最小值为(15\sqrt{3}+15)百万元，此时\theta =\frac{\pi }{6}.(12分)$

Final answer: $(15\sqrt 3+15)$, $\theta =\frac{\pi}6$ 百万元, rad
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知A，B两个城镇相距20千米，设M是AB的中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，P与M的距离为10千米.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O(点O不与P，M重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，快速路PO造价为1.5百万元/千米，快速路OA造价为1百万元/千米，快速路OB造价为2百万元/千米.设\angle OAM=\theta  rad,总造价为y百万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693820353030844417/img/compression/M_5f195ef9bda9c33633495a55a48c9577.jpg)
$求总造价的最小值，并求出此时\theta 的值.$

Solution:
$设f(\theta )=\frac{2}{\\\cos    \theta }-\\tan   \theta =\frac{2-\\\sin    \theta }{\\\cos    \theta }\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right)，则f'(\theta )=\frac{-\\\cos   ^2\theta +\\\sin    \theta (2-\\\sin    \theta )}{\\\cos   ^2\theta }=\frac{2\\\sin    \theta -1}{\\\cos   ^2\theta }\left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right).(7分)令f'(\theta )=0，得\\sin   \theta =\frac{1}{2}，又0<\theta <\frac{\pi }{4}，\therefore \theta =\frac{\pi }{6}.(8分)当0<\theta <\frac{\pi }{6}时,\\sin   \theta <\frac{1}{2}, f'(\theta )<0, f(\theta )单调递减；(9分)当\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{4}时,\\sin   \theta >\frac{1}{2}, f'(\theta )>0, f(\theta )单调递增.(10分)\therefore f(\theta )_{min}=f \left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}，此时y取得最小值，且y_{min}=15\sqrt{3}+15.(11分)\therefore 总造价的最小值为(15\sqrt{3}+15)百万元，此时\theta =\frac{\pi }{6}.(12分)$

Final answer: $(15\sqrt 3+15)$, $\theta =\frac{\pi}6$ 百万元, rad
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Question: $如图①，在四边形ABCD中，AD\parallel BC，AD=2AB=2BC=2CD=4，E是AD的中点，将\triangle ABE沿BE折起至\triangle A'BE的位置，使得二面角A'-BE-C的大小为120^\circ (如图②)，M，N分别是A'D，BC的中点.$<img_2342>
$证明：MN\parallel 平面A'BE；$

Solution:
$证明：取ED的中点P，连接MP，NP，如图所示：$<img_1755>$在四边形ABCD中，因为E是AD的中点，AD=2BC，所以ED=BC，又因为AD\parallel BC，所以四边形BCDE是平行四边形，因为M，N，P分别是A'D，BC，ED的中点，所以MP\parallel A'E，NP\parallel BE.又因为MP\not\subset 平面A'BE，NP\not\subset 平面A'BE，A'E\cap BE=E,A'E，BE\subset 平面A'BE，所以MP\parallel 平面A'BE，NP\parallel 平面A'BE.因为MP\subset 平面MNP，NP\subset 平面MNP，MP\cap NP=P，所以平面MNP\parallel 平面A'BE.又因为MN\subset 平面MNP，所以MN\parallel 平面A'BE.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在四边形ABCD中，AD\parallel BC，AD=2AB=2BC=2CD=4，E是AD的中点，将\triangle ABE沿BE折起至\triangle A'BE的位置，使得二面角A'-BE-C的大小为120^\circ (如图②)，M，N分别是A'D，BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693862049706680323/img/compression/M_35f28c408bee0bdd4134a0d872ab2c33.jpg)
$证明：MN\parallel 平面A'BE；$

Solution:
$证明：取ED的中点P，连接MP，NP，如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693862050033836035/img/compression/M_642dc40272a57a774164dbe157df2121.jpg)$在四边形ABCD中，因为E是AD的中点，AD=2BC，所以ED=BC，又因为AD\parallel BC，所以四边形BCDE是平行四边形，因为M，N，P分别是A'D，BC，ED的中点，所以MP\parallel A'E，NP\parallel BE.又因为MP\not\subset 平面A'BE，NP\not\subset 平面A'BE，A'E\cap BE=E,A'E，BE\subset 平面A'BE，所以MP\parallel 平面A'BE，NP\parallel 平面A'BE.因为MP\subset 平面MNP，NP\subset 平面MNP，MP\cap NP=P，所以平面MNP\parallel 平面A'BE.又因为MN\subset 平面MNP，所以MN\parallel 平面A'BE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在四边形ABCD中，AD\parallel BC，AD=2AB=2BC=2CD=4，E是AD的中点，将\triangle ABE沿BE折起至\triangle A'BE的位置，使得二面角A'-BE-C的大小为120^\circ (如图②)，M，N分别是A'D，BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693862049706680323/img/compression/M_35f28c408bee0bdd4134a0d872ab2c33.jpg)
$求平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值.$

Solution:
$取BE的中点O，连接A'O，CO，CE.在题图①中，因为AD=2AB=2BC=2CD，E为AD的中点，所以\triangle ABE是等边三角形，\angle A=60^\circ ，易知四边形ABCD是等腰梯形，所以\angle D=60^\circ ，所以\triangle BEC 是等边三角形，所以A'O\perp BE，CO\perp BE，所以\angle A'OC=120^\circ .以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693862050289688578/img/compression/M_fbbd91087844d840336a1a73e3d02b99.jpg)$则B(1,0,0)，D(-2,\sqrt{3},0)，A'\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)，则\overrightarrow{A'B}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)，\overrightarrow{BD}=(-3,\sqrt{3},0).设平面A'BD的法向量为m=(x,y,z)，则m\cdot \overrightarrow{A'B}=0,m\cdot \overrightarrow{BD}=0，得\left\{\begin{matrix}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0,\\ -3x+\sqrt{3}y=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=\sqrt{3}，z=\frac{5}{3}，则m=\left(1,\sqrt{3},\frac{5}{3}\right)是平面A'BD的一个法向量，易知平面BDC的一个法向量为n=(0,0,1)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{{\boldsymbol{m}}\cdot {\boldsymbol{n}}}{|{\boldsymbol{m}}||{\boldsymbol{n}}|}=\frac{5\sqrt{61}}{61}.故平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值为\frac{5\sqrt{61}}{61}.$

Final answer: $\frac{5\sqrt{61}}{61}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图①，在四边形ABCD中，AD\parallel BC，AD=2AB=2BC=2CD=4，E是AD的中点，将\triangle ABE沿BE折起至\triangle A'BE的位置，使得二面角A'-BE-C的大小为120^\circ (如图②)，M，N分别是A'D，BC的中点.$<img_2342>
$求平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值.$

Solution:
$取BE的中点O，连接A'O，CO，CE.在题图①中，因为AD=2AB=2BC=2CD，E为AD的中点，所以\triangle ABE是等边三角形，\angle A=60^\circ ，易知四边形ABCD是等腰梯形，所以\angle D=60^\circ ，所以\triangle BEC 是等边三角形，所以A'O\perp BE，CO\perp BE，所以\angle A'OC=120^\circ .以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，$<img_2983>$则B(1,0,0)，D(-2,\sqrt{3},0)，A'\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)，则\overrightarrow{A'B}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)，\overrightarrow{BD}=(-3,\sqrt{3},0).设平面A'BD的法向量为m=(x,y,z)，则m\cdot \overrightarrow{A'B}=0,m\cdot \overrightarrow{BD}=0，得\left\{\begin{matrix}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0,\\ -3x+\sqrt{3}y=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=\sqrt{3}，z=\frac{5}{3}，则m=\left(1,\sqrt{3},\frac{5}{3}\right)是平面A'BD的一个法向量，易知平面BDC的一个法向量为n=(0,0,1)，所以\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{{\boldsymbol{m}}\cdot {\boldsymbol{n}}}{|{\boldsymbol{m}}||{\boldsymbol{n}}|}=\frac{5\sqrt{61}}{61}.故平面A'BD与平面BDC夹角的余弦值为\frac{5\sqrt{61}}{61}.$

Final answer: $\frac{5\sqrt{61}}{61}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是A_{1}B，B_{1}C_{1}上的点，且BM=2A_{1}M，C_{1}N=2B_{1}N.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AA_1}=c.
$<img_1871>
$试用a，b，c表示向量\overrightarrow{MN}；$

Solution:
$易得\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1N}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B_1C_1}，因为\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}=c-a，\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}-\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=b-a，所以\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(c-a)+a+\frac{1}{3}(b-a)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c.$

Final answer: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是A_{1}B，B_{1}C_{1}上的点，且BM=2A_{1}M，C_{1}N=2B_{1}N.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AA_1}=c.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861350249529346/img/compression/M_b447e07a017749d1443b80f068884eee.jpg)
$试用a，b，c表示向量\overrightarrow{MN}；$

Solution:
$易得\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1N}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B_1C_1}，因为\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}=c-a，\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}-\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=b-a，所以\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(c-a)+a+\frac{1}{3}(b-a)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c.$

Final answer: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是A_{1}B，B_{1}C_{1}上的点，且BM=2A_{1}M，C_{1}N=2B_{1}N.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AA_1}=c.
$<img_1871>
$若\angle BAC=90^\circ ，\angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=60^\circ ，AB=AC=AA_{1}=2，求MN的长.$

Solution:
$由\angle BAC=90^\circ ，\angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=60^\circ ，AB=AC=AA_{1}=2，得a\cdot b=0,a\cdot c=b\cdot c=2，所以(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a\cdot b+2a\cdot c+2b\cdot c=20，即|a+b+c|=2\sqrt{5}，由(1)知\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c，故|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{3}|a+b+c|=\frac{2\sqrt{5}}{3},即MN的长为\frac{2\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 5}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是A_{1}B，B_{1}C_{1}上的点，且BM=2A_{1}M，C_{1}N=2B_{1}N.设\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AC}=b，\overrightarrow{AA_1}=c.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693861350249529346/img/compression/M_b447e07a017749d1443b80f068884eee.jpg)
$若\angle BAC=90^\circ ，\angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=60^\circ ，AB=AC=AA_{1}=2，求MN的长.$

Solution:
$由\angle BAC=90^\circ ，\angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=60^\circ ，AB=AC=AA_{1}=2，得a\cdot b=0,a\cdot c=b\cdot c=2，所以(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a\cdot b+2a\cdot c+2b\cdot c=20，即|a+b+c|=2\sqrt{5}，由(1)知\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c，故|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{3}|a+b+c|=\frac{2\sqrt{5}}{3},即MN的长为\frac{2\sqrt{5}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 5}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45^\circ 方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线C符合函数模型y=x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}(x>0).为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.$<img_1545>
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$设点P的坐标为\left(x,x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right)(x>0)，易得直线OB的方程为x-y=0， 则点P到直线x-y=0的距离为\frac{\left|x-\left(x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right)\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{x^2}， 因为PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，所以f(x)=5x+40\cdot \frac{4}{x^2}=5\left(x+\frac{32}{x^2}\right)(x>0).$

Final answer: $f(x) = 5(x + \frac{32}{x^2})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45^\circ 方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线C符合函数模型y=x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}(x>0).为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702935651131846657/img/compression/M_9d99425c52981187f6325d3cc7e3a911.jpg)
$求f(x)的解析式；$

Solution:
$设点P的坐标为\left(x,x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right)(x>0)，易得直线OB的方程为x-y=0， 则点P到直线x-y=0的距离为\frac{\left|x-\left(x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right)\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|\frac{4\sqrt{2}}{x^2}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{x^2}， 因为PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，所以f(x)=5x+40\cdot \frac{4}{x^2}=5\left(x+\frac{32}{x^2}\right)(x>0).$

Final answer: $f(x) = 5(x + \frac{32}{x^2})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45^\circ 方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线C符合函数模型y=x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}(x>0).为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.$<img_1545>
$当x为何值时，总造价f(x)最低？并求出最低总造价.$

Solution:
$因为f(x)=5\left(x+\frac{32}{x^2}\right)(x>0)，所以f'(x)=5\left(1-\frac{64}{x^3}\right)=\frac{5(x^3-64)}{x^3}.令f'(x)=0，得x=4，列表如下：
x
(0,4)
4
(4,+\infty )
f'(x)
-
0
+
f(x)
\text{单调递减}
极小值
\text{单调递增}
所以当x=4时，函数f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(4)=5\times \left(4+\frac{32}{4^2}\right)=30.故当x=4时，总造价f(x)最低，最低总造价为30万元.$

Final answer: $4$，$30$ , 万元
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45^\circ 方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线C符合函数模型y=x+\frac{4\sqrt{2}}{x^2}(x>0).为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1702935651131846657/img/compression/M_9d99425c52981187f6325d3cc7e3a911.jpg)
$当x为何值时，总造价f(x)最低？并求出最低总造价.$

Solution:
$因为f(x)=5\left(x+\frac{32}{x^2}\right)(x>0)，所以f'(x)=5\left(1-\frac{64}{x^3}\right)=\frac{5(x^3-64)}{x^3}.令f'(x)=0，得x=4，列表如下：
x
(0,4)
4
(4,+\infty )
f'(x)
-
0
+
f(x)
\text{单调递减}
极小值
\text{单调递增}
所以当x=4时，函数f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(4)=5\times \left(4+\frac{32}{4^2}\right)=30.故当x=4时，总造价f(x)最低，最低总造价为30万元.$

Final answer: $4$，$30$ , 万元