di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弯道，圆心分别为O_1、O_2，弯道中心线半径分别为r_1=10m，r_2=20m，弯道2比弯道1高h=12m，有一直道与两弯道圆弯道相切。质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑。(\sin 37^\circ =0.6，\sin 53^\circ =0.8，g=10m/s^2)$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060639731150849/img/compression/M_d3604ed7354058bc7568933b026db53e.jpg)
汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d=10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时汽车视为质点)。

Solution:
$用时最短必要速度最大(即R最大)且s最短，对应轨迹应为过A、B两点且与轨道内侧边相切的圆弧$

$R^{2}=r_1^{2}+[R-(r_1-\frac{d}{2})]^{2}$

$\Rightarrow R=12.5 m$

$v_{m}=\sqrt{kgR}=12.5 m/s$

$由\sin \theta =\frac{r_1}{R}=0.8$

$则对应的圆心角2\theta =106^\circ $

$s=\frac{106 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }\times 2\pi R\approx 23.1 m$

$t=\frac{s}{v_{m}}\approx 1.8 s$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060639731150849/img/compression/M_9e1871c3b1a5204b97bfb4b57a5f8cd2.jpg)

Final answer: 1.8 s
Subfield: Mechanics


Question: $图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弯道，圆心分别为O_1、O_2，弯道中心线半径分别为r_1=10m，r_2=20m，弯道2比弯道1高h=12m，有一直道与两弯道圆弯道相切。质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑。(\sin 37^\circ =0.6，\sin 53^\circ =0.8，g=10m/s^2)$

<img_1096>
汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d=10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时汽车视为质点)。

Solution:
$用时最短必要速度最大(即R最大)且s最短，对应轨迹应为过A、B两点且与轨道内侧边相切的圆弧$

$R^{2}=r_1^{2}+[R-(r_1-\frac{d}{2})]^{2}$

$\Rightarrow R=12.5 m$

$v_{m}=\sqrt{kgR}=12.5 m/s$

$由\sin \theta =\frac{r_1}{R}=0.8$

$则对应的圆心角2\theta =106^\circ $

$s=\frac{106 ^{\circ} }{360 ^{\circ} }\times 2\pi R\approx 23.1 m$

$t=\frac{s}{v_{m}}\approx 1.8 s$

<img_1010>

Final answer: 1.8 s
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

![甲图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_cdbece030b86e7c7e9fcbd58211e4f70.jpg)

![乙图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060849245831171/img/compression/M_327c9008cd11ec90554c53dfce4645d4.jpg)
求冰壶与冰面间的动摩擦因数\mu ；

Solution:
$冰壶恰好停在营垒区的中心O点，由动能定理有-\mu mgL_1=0-E_{k0}，解得\mu=0.01。$

Final answer: 0.01
Subfield: Mechanics


Question: $图甲是2022年北京冬奥会冰壶混双比赛情景，其运动模型简化如图乙所示，A、B、C、O为运动场地中心线上的四个点。投壶手将质量m=20 kg的冰壶以初动能E_{k0}=56 J从A点沿中心线掷出，冰壶恰好停在营垒区的中心O点。已知冰壶可视为质点，A点和O点的距离L_{1}=28 m，刷冰手可以在AO区域内刷冰，不计空气阻力，g=10 m/s^{2}。$

<img_718>

<img_1364>
求冰壶与冰面间的动摩擦因数\mu ；

Solution:
$冰壶恰好停在营垒区的中心O点，由动能定理有-\mu mgL_1=0-E_{k0}，解得\mu=0.01。$

Final answer: 0.01
Subfield: Mechanics


Question: $我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用F=kv^2 描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为1.21\times 10^5 kg时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物后质量为1.69\times 10^5 kg，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。$
求飞机装载货物后的起飞离地速度；

Solution:
$设飞机装载货物前质量为m_1，起飞离地速度为v_1；装载货物后质量为m_2，起飞离地速度为v_2，重力加速度大小为g。飞机起飞离地应满足条件$

$m_1g = kv^2_1   ①$

$m_2g = kv^2_2   ②$

$由 ①② 式及题给条件得 v_2 = 78 m/s  ③$

Final answer: 78 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用F=kv^2 描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为1.21\times 10^5 kg时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物后质量为1.69\times 10^5 kg，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。$
若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1521m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。

Solution:
$设飞机滑行距离为s，滑行过程中加速度大小为a，所用时间为t。由匀变速直线运动公式有$

$v_2^2 = 2as  (④)$

$v_2 = at  (⑤)$

$联立③④⑤式及题给条件得a=2.0 m/s^2  (⑥)$

$t=39 s  (⑦)$

Final answer: $2.0 m/s^2 39 s$
Subfield: Mechanics


Question: $近几年,国家取消了7座及以下小型汽车在部分法定假期间的高速公路收费,给自驾出行带来了很大的实惠,但车辆的增多也给道路的畅通增加了压力,因此交管部门规定,上述车辆通过收费站口时,在专用车道上可以不停车拿(交)卡而直接减速通过。若某车减速前的速度v_0=72 km/h,靠近站口时以大小为5 m/s^2 的加速度匀减速行驶,通过收费站口时的速度v_t=28.8 km/h,然后立即以大小为4 m/s^2 的加速度加速至原来的速度(假设收费站的前、后都是平直大道)。问:$
该车驾驶员应在距收费站口多远处开始减速?

Solution:
$设该车初速度方向为正方向, v_t = 28.8 km/h = 8 m/s, v_0 =72 km/h = 20 m/s, a_1 = -5 m/s^2, a_2 = 4 m/s^2。$

$该车进入站口前做匀减速直线运动,设该车在距离收费站x_1处开始制动,由v_t^2 - v_0^2 = 2a_1x_1，解得x_1 = 33.6 m。$

Final answer: 33.6 m
Subfield: Mechanics


Question: $近几年,国家取消了7座及以下小型汽车在部分法定假期间的高速公路收费,给自驾出行带来了很大的实惠,但车辆的增多也给道路的畅通增加了压力,因此交管部门规定,上述车辆通过收费站口时,在专用车道上可以不停车拿(交)卡而直接减速通过。若某车减速前的速度v_0=72 km/h,靠近站口时以大小为5 m/s^2 的加速度匀减速行驶,通过收费站口时的速度v_t=28.8 km/h,然后立即以大小为4 m/s^2 的加速度加速至原来的速度(假设收费站的前、后都是平直大道)。问:$
该车从减速开始到最终恢复到原来速度的过程中,运动的时间是多少?

Solution:
$该车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段,前后两段位移分别为x_1和x_2,时间为t_1和t_2,则减速阶段由v_t=v_0+a_1t_1,得t_1=\frac{v_t-v_0}{a_{1}}=2.4 s。$

$同理，加速阶段t_2=\frac{v_0-v_t}{a_2}=3 s。$

$则加速和减速的总时间t=t_1+t_2=5.4 s。$

Final answer: 5.4 s
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Question: $近几年,国家取消了7座及以下小型汽车在部分法定假期间的高速公路收费,给自驾出行带来了很大的实惠,但车辆的增多也给道路的畅通增加了压力,因此交管部门规定,上述车辆通过收费站口时,在专用车道上可以不停车拿(交)卡而直接减速通过。若某车减速前的速度v_0=72 km/h,靠近站口时以大小为5 m/s^2 的加速度匀减速行驶,通过收费站口时的速度v_t=28.8 km/h,然后立即以大小为4 m/s^2 的加速度加速至原来的速度(假设收费站的前、后都是平直大道)。问:$
在(1)(2)问题中,该车因减速和加速过站而耽误的时间为多少?

Solution:
$在加速阶段x_2=\frac{v_t+v_0}{2}t_2=42 m$

$则总位移x=x_1+x_2=75.6 m$

$若匀速通过相同位移，所需要时间t'=\frac{x}{v_0}=3.78 s$

$车因减速和加速过站而耽误的时间\Delta t=t-t'=1.62 s。$

Final answer: $1.62 s$
Subfield: Mechanics


Question: $四分之一英里赛程(1英里＝1.6 km)的直线加速赛车比赛，不仅是世界上速度最快的车赛，而且是最能体现纯机械性能的比赛之一。在一次比赛中，某赛车在完成整个赛程时车速达到540 km/h。现将该赛车在整个赛程中的运动简化为长度相等的两段匀加速运动，若前、后两段的加速度大小之比是25:11，求该赛车：$
到达赛程中点的速度大小；

Solution:
$设该赛车前、后两段的加速度分别为a_1、a_2，到达赛程中点的速度为v_1，最终速度为v_2，总位移为x，且v_2=540 km/s=150 m/s，则$
$对前半程：v^2_1=2a_1\cdot \frac{x}{2} ①$

$对后半程：v^2_2-v^2_1=2a_2\cdot \frac{x}{2} ②$

$联立①②得：\frac{v^2_1}{v^2_2-v^2_1}=\frac{a_1}{a_2} ③$

$即\frac{v^2_1}{(150)^2-v^2_1}=\frac{25}{11}$
$解得v_1＝125 m/s$

Final answer: 125 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $四分之一英里赛程(1英里＝1.6 km)的直线加速赛车比赛，不仅是世界上速度最快的车赛，而且是最能体现纯机械性能的比赛之一。在一次比赛中，某赛车在完成整个赛程时车速达到540 km/h。现将该赛车在整个赛程中的运动简化为长度相等的两段匀加速运动，若前、后两段的加速度大小之比是25:11，求该赛车：$
完成整的赛程所用时间。

Solution:
$设该赛车前、后两段的运动时间分别为t_1、t_2，则对前半程：\frac{x}{2}=\frac{v_1}{2}t_1$
$即\frac{1}{2}\times\frac{1}{4} \times1.6 km=200 m=\frac{125}{2} m/s \cdot t_1$
$解得t_1=3.2 s$
$对后半程：\frac{x}{2}=\frac{v_1+v_2}{2}t_2$
$即200 m=\frac{125+150}{2} m/s \cdot t_2$
$解得t_2 \approx 1.45 s$
$完成整个赛程所用时间t=t_1+t_2=4.65 s$

Final answer: $4.65 s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图为某一路段的俯视图，该路段全程限速60 km/h，一辆汽车以48 km/h的速度匀速行驶，前方有一路口要通过，绿灯还有2 s将熄灭变为红灯，此时汽车距离停车线30 m。已知该车加速时最大加速度大小为2 m/s^2，刹车时的加速度大小为5 m/s^2。$

![23AXGKXK5WL91.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607399686492161/img/compression/M_16e3c0bbe8ae3a088c7e5bc99dbe378b.jpg)
若汽车此时立即开始刹车，则汽车将停在距停车线多远处?(计算结果保留三位有效数字)

Solution:
$汽车做匀减速直线运动，0-v_0^2=-2a_1x_1$

$解得x_1=\frac{0-v_0^2}{-2a_1}\approx 17.8 m$

$汽车距停车线\Delta x=L-x_1=12.2 m$

Final answer: 12.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图为某一路段的俯视图，该路段全程限速60 km/h，一辆汽车以48 km/h的速度匀速行驶，前方有一路口要通过，绿灯还有2 s将熄灭变为红灯，此时汽车距离停车线30 m。已知该车加速时最大加速度大小为2 m/s^2，刹车时的加速度大小为5 m/s^2。$

<img_1237>
若汽车此时立即开始刹车，则汽车将停在距停车线多远处?(计算结果保留三位有效数字)

Solution:
$汽车做匀减速直线运动，0-v_0^2=-2a_1x_1$

$解得x_1=\frac{0-v_0^2}{-2a_1}\approx 17.8 m$

$汽车距停车线\Delta x=L-x_1=12.2 m$

Final answer: 12.2 m
Subfield: Mechanics


Question: $蓝牙是一种无线技术标准，可实现固定设备、移动设备和楼宇个人域网之间的短距离数据交换(使用2.4~2.485 GHz的ISM波段的UHF无线电波)。现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车甲、乙进行实验。甲、乙两车开始时处于同一直线上相距d=4.0 m的O_1、O_2两点，甲车从O_1点以初速度v_0=4 m/s、加速度a_1=1 m/s^2向右做匀加速运动；乙车从O_2点由静止开始以加速度a_2=2 m/s^2向右做匀加速运动，已知当两车间距超过s_0=10.0 m时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。已知\sqrt{6}=2.4。$

<img_488>
求甲、乙两车在相遇前能保持通信的时间。

Solution:
$当两车的间距大于s_0时，两车无法保持通信。由题可知，两车的间距先增大后减小。所以当s_{甲} + d - s_{乙} = s_0时有v_0t + \frac{1}{2} a_1 t^2 + d - \frac{1}{2} a_2 t^2 = s_0，解得t_2 = 2 s、t_3 = 6 s，即中间有t_3 - t_2 = 4 s的时间无法通信；$

$又当乙车追上甲车时有s_{甲} + d = s_{乙}，即v_0 t_4 + \frac{1}{2} a_1 t^2_4 + d = \frac{1}{2} a_2 t^2_4，解得t_4 = 8.8 s$

$所以相遇前能保持通信的时间为\Delta t = t_4 - (t_3 - t_2) = 4.8 s。$

Final answer: 4.8 s
Subfield: Mechanics


Question: $蓝牙是一种无线技术标准，可实现固定设备、移动设备和楼宇个人域网之间的短距离数据交换(使用2.4~2.485 GHz的ISM波段的UHF无线电波)。现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车甲、乙进行实验。甲、乙两车开始时处于同一直线上相距d=4.0 m的O_1、O_2两点，甲车从O_1点以初速度v_0=4 m/s、加速度a_1=1 m/s^2向右做匀加速运动；乙车从O_2点由静止开始以加速度a_2=2 m/s^2向右做匀加速运动，已知当两车间距超过s_0=10.0 m时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。已知\sqrt{6}=2.4。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607469836226562/img/compression/M_b433acf57603528d23ff4f2dfd10099f.jpg)
求甲、乙两车在相遇前能保持通信的时间。

Solution:
$当两车的间距大于s_0时，两车无法保持通信。由题可知，两车的间距先增大后减小。所以当s_{甲} + d - s_{乙} = s_0时有v_0t + \frac{1}{2} a_1 t^2 + d - \frac{1}{2} a_2 t^2 = s_0，解得t_2 = 2 s、t_3 = 6 s，即中间有t_3 - t_2 = 4 s的时间无法通信；$

$又当乙车追上甲车时有s_{甲} + d = s_{乙}，即v_0 t_4 + \frac{1}{2} a_1 t^2_4 + d = \frac{1}{2} a_2 t^2_4，解得t_4 = 8.8 s$

$所以相遇前能保持通信的时间为\Delta t = t_4 - (t_3 - t_2) = 4.8 s。$

Final answer: 4.8 s
Subfield: Mechanics


Question: 国庆期间小明同学乘坐K5212次客运列车从石家庄出发到北京观看升旗仪式，某段时间该列车匀速行驶，其车轮在轨道间的接缝处会产生周期性的撞击，小明用手机测得从第1次到第13次撞击声的时间间隔为10 s。在相邻的平行车道上有一列货车共有45节，每节货车车厢的长度为15 m,当小明经过货车车尾时，货车恰好从静止开始以恒定加速度沿列车行驶方向运动，小明在此后的20 s内，看到恰好有30节货车车厢被他连续超过。已知每根铁轨的长度为25 m，货车车厢间距忽略不计。求:
列车运行的速度大小和货车运行的加速度大小;

Solution:
第1次撞击声到第13次撞击声之间列车经过12根铁轨\
$所以列车的速度大小为v=\frac{12L_\text{铁}}{t}=30 m/s$
$可知20 s的时间内列车前进的距离x_1=vt_1=600 m$
$货车做匀加速运动的位移x_2=\frac{1}{2}at_1^2，$
$则有x_1-x_2=30L_\text{货}，解得a=0.75 m/s^2。$

Final answer: $30 m/s　0.75 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: 国庆期间小明同学乘坐K5212次客运列车从石家庄出发到北京观看升旗仪式，某段时间该列车匀速行驶，其车轮在轨道间的接缝处会产生周期性的撞击，小明用手机测得从第1次到第13次撞击声的时间间隔为10 s。在相邻的平行车道上有一列货车共有45节，每节货车车厢的长度为15 m,当小明经过货车车尾时，货车恰好从静止开始以恒定加速度沿列车行驶方向运动，小明在此后的20 s内，看到恰好有30节货车车厢被他连续超过。已知每根铁轨的长度为25 m，货车车厢间距忽略不计。求:
小明最多可以追上几节货车车厢。

Solution:
$由题目可知，当货车的速度大小等于列车的速度大小时，小明追上的货车车厢数不再增多，根据匀变速直线运动规律可知，v=at_2，解得t_2=40s；$
$x_3=vt_2=1200m，x_4=\frac{1}{2}at_2^2=600m$
$在此过程中，货车车尾被小明超过的距离x'=x_3-x_4=600m$
$小明可以追上的车厢节数N=\frac{x'}{L_{货}}=40$

Final answer: 40
Subfield: Mechanics


Question: $随着私家车的普及，武汉的许多道路出现了让人头疼的拥堵问题。如图所示为高峰时段武汉某一街道十字路口，在一个单行道上红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面的一辆汽车的前端刚好与路口停车线相齐，假设汽车长均为L=4.5 m，前面汽车尾部与后面相邻汽车的前端相距均为d_1=2.0 m。为了安全，前面汽车尾部与后面相邻汽车的前端相距至少为d_2=3.0 m才能开动，若汽车都以a=2 m/s^2的加速度做匀加速直线运动，加速到v=12.0 m/s后做匀速运动。该路口一次绿灯持续时间t=20.0 s，时间到后直接亮红灯。另外交通规则规定:红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许通过。绿灯亮起瞬间，第一辆汽车立即开动，求$

<img_511>
第一辆车尾部与第二辆车前端的最大距离。

Solution:
$从第一辆车启动开始，设第二辆车的等待时间为t_0，有\frac{1}{2}a{t}^2_0=d_2-d_1，得t_0=1 s；$
$设每辆车的加速时间为t_1,加速阶段位移为x_1，$
$有a{t}_1=v，x_1=\frac{v^2}{2a}，$
$解得t_1=6 s，x_1=36 m；$
$当两车速度相等时，两车之间有最大距离\Delta x_m，有\Delta x_m=d_1+vt_0=14 m；$

Final answer: 14 m
Subfield: Mechanics


Question: $随着私家车的普及，武汉的许多道路出现了让人头疼的拥堵问题。如图所示为高峰时段武汉某一街道十字路口，在一个单行道上红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面的一辆汽车的前端刚好与路口停车线相齐，假设汽车长均为L=4.5 m，前面汽车尾部与后面相邻汽车的前端相距均为d_1=2.0 m。为了安全，前面汽车尾部与后面相邻汽车的前端相距至少为d_2=3.0 m才能开动，若汽车都以a=2 m/s^2的加速度做匀加速直线运动，加速到v=12.0 m/s后做匀速运动。该路口一次绿灯持续时间t=20.0 s，时间到后直接亮红灯。另外交通规则规定:红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许通过。绿灯亮起瞬间，第一辆汽车立即开动，求$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607470498926594/img/compression/M_998d56bddc52374003f483ca1ee66c86.jpg)
第一辆车尾部与第二辆车前端的最大距离。

Solution:
$从第一辆车启动开始，设第二辆车的等待时间为t_0，有\frac{1}{2}a{t}^2_0=d_2-d_1，得t_0=1 s；$
$设每辆车的加速时间为t_1,加速阶段位移为x_1，$
$有a{t}_1=v，x_1=\frac{v^2}{2a}，$
$解得t_1=6 s，x_1=36 m；$
$当两车速度相等时，两车之间有最大距离\Delta x_m，有\Delta x_m=d_1+vt_0=14 m；$

Final answer: 14 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

<img_1211>
$求弹簧伸长量\Delta x的大小；$

Solution:
对O点受力分析如图甲所示，
<img_1239>

图甲

$根据平衡条件，有F_{弹}=m_{B}g \tan \theta $

$由胡克定律 F_{弹}=k\Delta x$

$解得\Delta x=0.1 m$

Final answer: $0.1 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

![Alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099974460264451/img/compression/M_e4c216476e8a7a0393fa70285da7eae8.jpg)
$求弹簧伸长量\Delta x的大小；$

Solution:
对O点受力分析如图甲所示，
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099975139741698/img/compression/M_b41da32ec5f7460e4d6f1e108dc2af4c.jpg)

图甲

$根据平衡条件，有F_{弹}=m_{B}g \tan \theta $

$由胡克定律 F_{弹}=k\Delta x$

$解得\Delta x=0.1 m$

Final answer: $0.1 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

![Alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099974460264451/img/compression/M_e4c216476e8a7a0393fa70285da7eae8.jpg)
求物块A受到的摩擦力的大小；

Solution:
$由(1)中分析可知OC段轻绳的拉力$
$T = \frac{{m}_{B}g}{ \cos  \theta } = \frac{4 \times 10}{0.8} N=50 N$
$A的重力沿斜面向下的分力$
$F_{1} = m_{A}g \sin \alpha =5\times 10\times 0.5 N=25 N $
$A受到的拉力T' = T=50 N $
$由于T ＞ F_{1}，所以摩擦力方向沿斜面向下$
$对A进行受力分析，沿斜面方向根据力的平衡条件，有$
$T' = f + F_{1}$
$代入数据解得f=25 N，方向沿斜面向下$

Final answer: 25 N，方向沿斜面向下
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

<img_1211>
求物块A受到的摩擦力的大小；

Solution:
$由(1)中分析可知OC段轻绳的拉力$
$T = \frac{{m}_{B}g}{ \cos  \theta } = \frac{4 \times 10}{0.8} N=50 N$
$A的重力沿斜面向下的分力$
$F_{1} = m_{A}g \sin \alpha =5\times 10\times 0.5 N=25 N $
$A受到的拉力T' = T=50 N $
$由于T ＞ F_{1}，所以摩擦力方向沿斜面向下$
$对A进行受力分析，沿斜面方向根据力的平衡条件，有$
$T' = f + F_{1}$
$代入数据解得f=25 N，方向沿斜面向下$



Final answer: 25 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

![Alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099974460264451/img/compression/M_e4c216476e8a7a0393fa70285da7eae8.jpg)
如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替轻弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，求重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小。

Solution:
取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，重新平衡时，轻滑轮两边轻绳与竖直方向的夹角相等且两边轻绳上的拉力相等，如图乙所示。

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099976054099970/img/compression/M_c4b78c4eb2c0b4c770138e07b2870e59.jpg)

斜面底端距离左侧墙面的水平距离为：

$d = L_0 + \Delta x + OC \sin \theta  = 0.9 m + 0.1 m + 1\times 0.6 m = 1.6 m$

定滑轮左侧部分轻绳长为：

$L = L_0 + \Delta x + OC = 0.9 m + 0.1 m + 1 m = 2 m$

$设重新平衡时轻滑轮两边轻绳与竖直方向的夹角为\theta '，由几何关系可知 \sin \theta ' = \frac{d}{L} = \frac{1.6}{2} = 0.8$

$所以\theta '=53^\circ $

$重新平衡时有：2F \cos \theta '= m_B g$

$解得：F = \frac{100}{3} N$

$A受到的拉力F'=F = \frac{100}{3} N > F_1=25 N$

$所以A受到的摩擦力的大小：f'=F'- F_1 = \frac{100}{3} N - 25 N = \frac{25}{3} N，方向沿斜面向下。$

Final answer: $\frac{25}{3} N，方向沿斜面向下$
Subfield: Mechanics


Question: $如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻弹簧的左端固定在墙上。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L_0=0.9 m，劲度系数k=300 N/m。轻绳的OC段长1 m，与竖直方向的夹角\theta =37^\circ ，斜面倾角\alpha =30^\circ ，物块A的质量m_A=5 kg，物块B的质量m_B=4 kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2)$

<img_1211>
如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替轻弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，求重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小。

Solution:
取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，重新平衡时，轻滑轮两边轻绳与竖直方向的夹角相等且两边轻绳上的拉力相等，如图乙所示。

<img_1340>

斜面底端距离左侧墙面的水平距离为：

$d = L_0 + \Delta x + OC \sin \theta  = 0.9 m + 0.1 m + 1\times 0.6 m = 1.6 m$

定滑轮左侧部分轻绳长为：

$L = L_0 + \Delta x + OC = 0.9 m + 0.1 m + 1 m = 2 m$

$设重新平衡时轻滑轮两边轻绳与竖直方向的夹角为\theta '，由几何关系可知 \sin \theta ' = \frac{d}{L} = \frac{1.6}{2} = 0.8$

$所以\theta '=53^\circ $

$重新平衡时有：2F \cos \theta '= m_B g$

$解得：F = \frac{100}{3} N$

$A受到的拉力F'=F = \frac{100}{3} N > F_1=25 N$

$所以A受到的摩擦力的大小：f'=F'- F_1 = \frac{100}{3} N - 25 N = \frac{25}{3} N，方向沿斜面向下。$



Final answer: $\frac{25}{3}$ N
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

![23GZT5WLX164.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607802435280898/img/compression/M_c2675bee20ccc1a3bc0aaccdbd67b8c9.jpg)
$求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a_1的大小;$

Solution:
由牛顿第二定律得

$mg \sin 24^\circ -\mu mg \cos 24^\circ =ma_{1}，a_{1}=2 m/s^{2}。$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

<img_856>
$求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a_1的大小;$

Solution:
由牛顿第二定律得

$mg \sin 24^\circ -\mu mg \cos 24^\circ =ma_{1}，a_{1}=2 m/s^{2}。$

Final answer: $2 m/s^2$
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

![23GZT5WLX164.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607802435280898/img/compression/M_c2675bee20ccc1a3bc0aaccdbd67b8c9.jpg)
$求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小;$

Solution:
$货物做匀加速直线运动，故有v^{2}=2a_{1}l_{1}，解得v=4 m/s。$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

<img_856>
$求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小;$

Solution:
$货物做匀加速直线运动，故有v^{2}=2a_{1}l_{1}，解得v=4 m/s。$

Final answer: 4 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

<img_856>
$若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2 m/s,求水平滑轨的最短长度l_2。$

Solution:
$：货物做匀减速直线运动，故有v_{1}^{2}-v^{2}=2a_{2}l_{2}且a_{2}=-\mu g，解得l_{2}=2.7 m。$

Final answer: $2.7 m$
Subfield: Mechanics


Question: $物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示,倾斜滑轨与水平面成24^\circ 角，长度l_1=4 m,水平滑轨长度可调,两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑,其与滑轨间的动摩擦因数均为\mu =\frac{2}{9},货物可视为质点(取\cos 24^\circ =0.9,\sin 24^\circ =0.4，g=10 m/s^2)。$

![23GZT5WLX164.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607802435280898/img/compression/M_c2675bee20ccc1a3bc0aaccdbd67b8c9.jpg)
$若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2 m/s,求水平滑轨的最短长度l_2。$

Solution:
$：货物做匀减速直线运动，故有v_{1}^{2}-v^{2}=2a_{2}l_{2}且a_{2}=-\mu g，解得l_{2}=2.7 m。$

Final answer: $2.7 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为\theta ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接。一个质量为2 kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1 s后质量为48 kg的滑雪者从顶端以1.5 m/s的初速度、3 m/s^2的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起。背包与滑道的动摩擦因数为\mu =\frac{1}{12},重力加速度取g=10 m/s^2，\sin\theta =\frac{7}{25}，\cos\theta =\frac{24}{25}，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化。求：$

![picture](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820315598850/img/compression/M_3ac4aa3798b3bb6020cdd97aeaf02b42.jpg)
滑道AB段的长度；

Solution:
物理科目的题目：

$A \rightarrow  B 过程$
$对背包(设其质量为m_1)：受力分析，由牛顿第二定律得$
$m_1g \sin \theta  -\mu m_1g \cos \theta  = m_1a_1$
$解得 a_1 = 2 m/s^2$ ①

由运动分析得：
$l = \frac{1}{2} a_1t^2 ②$

$v_1 = a_1t ③$

$对滑雪者(设其质量为 m_2)：由运动分析得$
$l = v_0(t - t_0)+ \frac{1}{2} a_2(t - t_0)^2 ④$

$v_2 = v_0 + a_2(t - t_0)，其中 t_0 = 1 s$ ⑤

联立①②③④⑤得
$t = 3 s，v_1 = 6 m/s,v_2 = 7.5 m/s,l = 9 m$

Final answer: $9 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为\theta ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接。一个质量为2 kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1 s后质量为48 kg的滑雪者从顶端以1.5 m/s的初速度、3 m/s^2的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起。背包与滑道的动摩擦因数为\mu =\frac{1}{12},重力加速度取g=10 m/s^2，\sin\theta =\frac{7}{25}，\cos\theta =\frac{24}{25}，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化。求：$

<img_1027>
滑道AB段的长度；

Solution:
物理科目的题目：

$A \rightarrow  B 过程$
$对背包(设其质量为m_1)：受力分析，由牛顿第二定律得$
$m_1g \sin \theta  -\mu m_1g \cos \theta  = m_1a_1$
$解得 a_1 = 2 m/s^2$ ①

由运动分析得：
$l = \frac{1}{2} a_1t^2 ②$

$v_1 = a_1t ③$

$对滑雪者(设其质量为 m_2)：由运动分析得$
$l = v_0(t - t_0)+ \frac{1}{2} a_2(t - t_0)^2 ④$

$v_2 = v_0 + a_2(t - t_0)，其中 t_0 = 1 s$ ⑤

联立①②③④⑤得
$t = 3 s，v_1 = 6 m/s,v_2 = 7.5 m/s,l = 9 m$

Final answer: $9 m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为\theta ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接。一个质量为2 kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1 s后质量为48 kg的滑雪者从顶端以1.5 m/s的初速度、3 m/s^2的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起。背包与滑道的动摩擦因数为\mu =\frac{1}{12},重力加速度取g=10 m/s^2，\sin\theta =\frac{7}{25}，\cos\theta =\frac{24}{25}，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化。求：$

![picture](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820315598850/img/compression/M_3ac4aa3798b3bb6020cdd97aeaf02b42.jpg)
滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度大小。

Solution:
滑雪者拎起背包过程水平方向动量守恒，有
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2) v$
$解得 v = 7.44 m/s$
滑雪者拎起背包时的速度大小为7.44 m/s

Final answer: $7.44 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一滑雪道由AB和BC两段滑道组成，其中AB段倾角为\theta ，BC段水平，AB段和BC段由一小段光滑圆弧连接。一个质量为2 kg的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若1 s后质量为48 kg的滑雪者从顶端以1.5 m/s的初速度、3 m/s^2的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起。背包与滑道的动摩擦因数为\mu =\frac{1}{12},重力加速度取g=10 m/s^2，\sin\theta =\frac{7}{25}，\cos\theta =\frac{24}{25}，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化。求：$

<img_1027>
滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度大小。

Solution:
滑雪者拎起背包过程水平方向动量守恒，有
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2) v$
$解得 v = 7.44 m/s$
滑雪者拎起背包时的速度大小为7.44 m/s

Final answer: $7.44 m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

<img_1029>
$无人机从t=0时刻到重新悬停在H_2=1 m处的总时间t；$

Solution:
$无人机竖直向下匀加速过程中，有h_1=\frac{1}{2}a_1t^2_1，得t_1=3 s，v_1=a_1t_1=6 m/s    $
$无人机减速过程，有H_1-h_1-H_2=\frac{v_1}{2}t_2，得t_2=\frac{20}{3} s。    $
$所以总时间t=t_1+t_2=\frac{29}{3} s。$

Final answer: $\frac{29}{3} s$
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820638560258/img/compression/M_8aece7f855fe8855094b423a0a26570f.jpg)
$无人机从t=0时刻到重新悬停在H_2=1 m处的总时间t；$

Solution:
$无人机竖直向下匀加速过程中，有h_1=\frac{1}{2}a_1t^2_1，得t_1=3 s，v_1=a_1t_1=6 m/s    $
$无人机减速过程，有H_1-h_1-H_2=\frac{v_1}{2}t_2，得t_2=\frac{20}{3} s。    $
$所以总时间t=t_1+t_2=\frac{29}{3} s。$

Final answer: $\frac{29}{3} s$
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

<img_1029>
无人机在安全高度范围内重新悬停,向下匀减速时能提供的最大竖直升力大小；

Solution:
$无人机减速过程有0-v_1^2=-2a_2h_2$

$无人机重新悬停在距试验田的高度H_2″=3 m处时，此时的加速度a_2最大，故H_2″=H_1-h_1-h_2，2a_2h_2=v_1^2-0，得a_2=1 m/s^2；$

无人机向下匀减速运动时，由牛顿第二定律可得

$F+f-mg=ma_2，得升力F=200 N。$

Final answer: 200 N
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820638560258/img/compression/M_8aece7f855fe8855094b423a0a26570f.jpg)
无人机在安全高度范围内重新悬停,向下匀减速时能提供的最大竖直升力大小；

Solution:
$无人机减速过程有0-v_1^2=-2a_2h_2$

$无人机重新悬停在距试验田的高度H_2″=3 m处时，此时的加速度a_2最大，故H_2″=H_1-h_1-h_2，2a_2h_2=v_1^2-0，得a_2=1 m/s^2；$

无人机向下匀减速运动时，由牛顿第二定律可得

$F+f-mg=ma_2，得升力F=200 N。$

Final answer: 200 N
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

<img_1029>
$若无人机在高度H_2'=3 m处悬停时动力系统发生故障,失去竖直升力的时间为\frac{2}{3} s,要使其不落地,恢复升力时加速度的最小值。$

Solution:
$失去竖直升力后，由牛顿第二定律得 mg-f=ma_3 $

$恢复升力时竖直方向上的速度 v=a_3t'，得 v=6 m/s，由高度 H_2'=3 m 处悬停失去升力到刚好不落地这一过程作出 v-t 图像，如图所示$

$即 H_2'=\frac{v^2}{2a_3}+\frac{v^2}{2a_4}，解得 a_4=18 m/s^2。$

<img_906>

Final answer: 18 m/s^2
Subfield: Mechanics


Question: $随着人工智能技术的不断发展,无人机有着非常广阔的应用前景。如图一架总质量m=20 kg的携药无人机即将在田间执行喷洒药剂任务,无人机悬停在距一块试验田高度H_1=30 m的高空,t=0时刻,它以加速度a_1=2 m/s^2竖直向下匀加速运动h_1=9 m后,立即向下做匀减速运动直至速度为零,重新悬停,然后水平飞行喷洒药剂。若无人机田间作业时喷洒的安全高度为1 m~3 m,无人机下降过程中受到的空气阻力恒为20 N,求(g取10 m/s^2):$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820638560258/img/compression/M_8aece7f855fe8855094b423a0a26570f.jpg)
$若无人机在高度H_2'=3 m处悬停时动力系统发生故障,失去竖直升力的时间为\frac{2}{3} s,要使其不落地,恢复升力时加速度的最小值。$

Solution:
$失去竖直升力后，由牛顿第二定律得 mg-f=ma_3 $

$恢复升力时竖直方向上的速度 v=a_3t'，得 v=6 m/s，由高度 H_2'=3 m 处悬停失去升力到刚好不落地这一过程作出 v-t 图像，如图所示$

$即 H_2'=\frac{v^2}{2a_3}+\frac{v^2}{2a_4}，解得 a_4=18 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623607820990881793/img/compression/M_e091c15dab5849ca015d7be384d7dcb4.jpg)

Final answer: 18 m/s^2
Subfield: Mechanics


Question: $机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v_1=0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角\alpha =37^\circ ，转轴间距L=3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v_2=1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)。小包裹与传送带间的动摩擦因数\mu =0.8。取重力加速度g=10 m/s^2, \sin 37^\circ =0.6, \cos 37^\circ =0.8。$

<img_800>
$小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a;$

Solution:
$因为v_1 < v_2，所以包裹相对于传送带向下运动，滑动摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律有\mu mg \cos \alpha  - mg \sin \alpha  = ma$

$代入数据解得a = 0.4 \, m/s^2$

Final answer: 0.4 m/s^2