di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，也是文明城市的主要创造者.某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，所有学生的竞赛成绩(单位：分)均位于区间[50,100]内，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2733>
$(2)利用分层随机抽样的方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]的概率.$

Solution:
$由分层随机抽样可知，从[80,90)内应抽取5人，分别记为a，b，c，d，e，从[90,100]内应抽取2人，分别记为A，B，从中任取2人的所有可能结果为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,e)，(c,A)，(c,B)，(d,e)，(d,A)，(d,B)，(e,A)，(e,B)，(A,B)，共21种.其中至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]内的结果有(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(e,A)，(e,B)，(A,B)，共11种.所以至少有1人竞赛成绩位于区间[90,100]内的概率为\frac{11}{21}.$

Final answer: $\frac{11}{21}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A,B,D上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{10},道路C,E上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{5},只要遇到拥堵上学和上班就会迟到.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665547789770117122/img/compression/M_82cf94b78fcbbdeeffd14344e4f8164b.jpg)
$(1)求李先生的小孩按时到校的概率;$

Solution:
$因为道路D，E上班时间出现拥堵的概率分别是\frac{1}{10}和\frac{1}{5},所以从甲到丙出现拥堵的概率是\frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20},所以李先生的小孩按时到校的概率是1-\frac{3}{20}=\frac{17}{20}.$

Final answer: $\frac{17}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A,B,D上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{10},道路C,E上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{5},只要遇到拥堵上学和上班就会迟到.$<img_1730>
$(1)求李先生的小孩按时到校的概率;$

Solution:
$因为道路D，E上班时间出现拥堵的概率分别是\frac{1}{10}和\frac{1}{5},所以从甲到丙出现拥堵的概率是\frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{20},所以李先生的小孩按时到校的概率是1-\frac{3}{20}=\frac{17}{20}.$

Final answer: $\frac{17}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $市民李先生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其他道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．李先生早上需要先开车送小孩去丙地上学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A,B,D上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{10},道路C,E上、下班时间出现拥堵的概率都是\frac{1}{5},只要遇到拥堵上学和上班就会迟到.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665547789770117122/img/compression/M_82cf94b78fcbbdeeffd14344e4f8164b.jpg)
$(2)李先生是否有七成把握能够按时上班?$

Solution:
$由(1)知,甲到丙没有出现拥堵的概率是\frac{17}{20},同理，丙到甲没有出现拥堵的概率也是\frac{17}{20}.甲到乙出现拥堵的概率是\frac{1}{3}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{2}{15},则甲到乙没有出现拥堵的概率是1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}.所以李先生能够按时上班的概率是\frac{17}{20}\times \frac{17}{20}\times \frac{13}{15}=\frac{3 757}{6 000}\approx 0.63<0.7.故李先生没有七成把握能够按时上班.$

Final answer: $李先生没有七成把握能够按时上班$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数\left(\text{认可系数}=\frac{\text{认可程度平均分}}{100}\right)不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此，该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2045>
$(1)求频率分布直方图中x的值和样本的中位数(保留2位小数)；$

Solution:
$由题图可知10\times (x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,\therefore x=0.010.(2分)样本的中位数为80+\frac{0.5-(0.1+0.15+0.2)}{0.3}\times 10\approx 81.67(分).(4分)$

Final answer: $0.010, 81.67$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数\left(\text{认可系数}=\frac{\text{认可程度平均分}}{100}\right)不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此，该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583804342816771/img/compression/M_343127c5e57bd8be77f49b51c7dc6271.jpg)
$(1)求频率分布直方图中x的值和样本的中位数(保留2位小数)；$

Solution:
$由题图可知10\times (x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,\therefore x=0.010.(2分)样本的中位数为80+\frac{0.5-(0.1+0.15+0.2)}{0.3}\times 10\approx 81.67(分).(4分)$

Final answer: $0.010, 81.67$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数\left(\text{认可系数}=\frac{\text{认可程度平均分}}{100}\right)不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此，该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2045>
$(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70)内的学生人数；$

Solution:
$低于80分的三组学生的人数之比为0.1:0.15:0.2,即2:3:4，(6分)则应选取评分在[60,70)内的学生人数为30\times \frac{3}{2+3+4}=10.(8分)$

Final answer: $10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数\left(\text{认可系数}=\frac{\text{认可程度平均分}}{100}\right)不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此，该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583804342816771/img/compression/M_343127c5e57bd8be77f49b51c7dc6271.jpg)
$(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法选取30人进行座谈，求应选取评分在[60，70)内的学生人数；$

Solution:
$低于80分的三组学生的人数之比为0.1:0.15:0.2,即2:3:4，(6分)则应选取评分在[60,70)内的学生人数为30\times \frac{3}{2+3+4}=10.(8分)$

Final answer: $10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，\ldots ，900.$
$(1)若采用随机数法抽样,并按照以下随机数表,以第5行第5列为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，试写出选取的10个样本编号;
$<img_2617>

Solution:
$根据题意，读出的编号依次是707,626,446,072,021,392,058,587,766,317.(5分)$

Final answer: $707, 626, 446, 072, 021, 392, 058, 587, 766, 317$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，\ldots ，900.$
$(1)若采用随机数法抽样,并按照以下随机数表,以第5行第5列为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，试写出选取的10个样本编号;
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583804791607299/img/editor/compression/a9791814-ba4e-4cde-a9a0-a60a84febfdb.png)

Solution:
$根据题意，读出的编号依次是707,626,446,072,021,392,058,587,766,317.(5分)$

Final answer: $707, 626, 446, 072, 021, 392, 058, 587, 766, 317$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，\ldots ，900.$
$(2)采用分层随机抽样的方法按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7分,方差为4；样本中B题目的成绩有2个,平均数为8分,方差为1.试估计这900名考生选做题得分的平均数与方差.$

Solution:
$记样本中8个A题目的成绩平均数为\overline{x}_{A},方差为s^2_A，2个B题目的成绩平均数为\overline{x}_{B},方差为s^2_B,则样本平均数\overline{x}=\frac{8}{8+2}\times \overline{x}_{A}+\frac{2}{8+2}\times \overline{x}_{B}=\frac{4}{5}\times 7+\frac{1}{5}\times 8=7.2(分),(8分)样本方差s^{2}=\frac{8}{8+2}\times [s^2_A+(\overline{x}_{A}-\overline{x})^{2}]+\frac{2}{8+2}\times [s^2_B+(\overline{x}_{B}-\overline{x})^{2}]=\frac{4}{5}\times [4+(7-7.2)^{2}]+\frac{1}{5}\times [1+(8-7.2)^{2}]=3.56.(11分)故估计这900名考生选做题得分的平均数为7.2分，方差为3.56.(12分)$

Final answer: $7.2, 3.56$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583809661956097/img/compression/M_a29701e5f6c884c3cf676d5cafd817d0.jpg)$
空气质量指数
空气质量等级
小于或等于100
优良
大于100且小于或等于150
轻度污染
大于150且小于或等于200
中度污染
大于200且小于或等于300
重度污染
大于300
严重污染
$
$(1)观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(只写出结论，不要求证明)$

Solution:
$从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．(4分)$

Final answer: $从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．$<img_1492>$
空气质量指数
空气质量等级
小于或等于100
优良
大于100且小于或等于150
轻度污染
大于150且小于或等于200
中度污染
大于200且小于或等于300
重度污染
大于300
严重污染
$
$(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；$

Solution:
$设A_{i}表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1，2，\ldots ，13)．由题意可知，P(A_{i})＝\frac{1}{13}，且A_{i}\cap A_{j}＝\emptyset (i\neq j，j＝1，2，\ldots ，13)．(6分)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则B＝A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{7}\cup A_{12}\cup A_{13}，所以P(B)＝P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{7}\cup A_{12}\cup A_{13})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+P(A_{7})+P(A_{12})+P(A_{13})＝\frac{6}{13}.(8分)$

Final answer: $\frac{6}{13}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583809661956097/img/compression/M_a29701e5f6c884c3cf676d5cafd817d0.jpg)$
空气质量指数
空气质量等级
小于或等于100
优良
大于100且小于或等于150
轻度污染
大于150且小于或等于200
中度污染
大于200且小于或等于300
重度污染
大于300
严重污染
$
$(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；$

Solution:
$设A_{i}表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1，2，\ldots ，13)．由题意可知，P(A_{i})＝\frac{1}{13}，且A_{i}\cap A_{j}＝\emptyset (i\neq j，j＝1，2，\ldots ，13)．(6分)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则B＝A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{7}\cup A_{12}\cup A_{13}，所以P(B)＝P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{7}\cup A_{12}\cup A_{13})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+P(A_{7})+P(A_{12})+P(A_{13})＝\frac{6}{13}.(8分)$

Final answer: $\frac{6}{13}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．$<img_1492>$
空气质量指数
空气质量等级
小于或等于100
优良
大于100且小于或等于150
轻度污染
大于150且小于或等于200
中度污染
大于200且小于或等于300
重度污染
大于300
严重污染
$
$(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．$

Solution:
$设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件C，即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300”，由题意可知P(C)＝P(A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6}\cup A_{7}\cup A_{8}\cup A_{9}\cup A_{10}\cup A_{11})＝P(A_{4})＋P(A_{5})＋P(A_{6})＋P(A_{7})＋P(A_{8})＋P(A_{9})＋P(A_{10})＋P(A_{11})＝\frac{8}{13}.(12分)$

Final answer: $\frac{8}{13}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583809661956097/img/compression/M_a29701e5f6c884c3cf676d5cafd817d0.jpg)$
空气质量指数
空气质量等级
小于或等于100
优良
大于100且小于或等于150
轻度污染
大于150且小于或等于200
中度污染
大于200且小于或等于300
重度污染
大于300
严重污染
$
$(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．$

Solution:
$设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件C，即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300”，由题意可知P(C)＝P(A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6}\cup A_{7}\cup A_{8}\cup A_{9}\cup A_{10}\cup A_{11})＝P(A_{4})＋P(A_{5})＋P(A_{6})＋P(A_{7})＋P(A_{8})＋P(A_{9})＋P(A_{10})＋P(A_{11})＝\frac{8}{13}.(12分)$

Final answer: $\frac{8}{13}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$<img_3040>
$(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;$

Solution:
$由频率分布直方图可知,5x=1-5\times (0.07+0.04+0.02+0.01),(1分)所以x=0.06.(2分)因此身高在170 cm及以上的学生人数为100\times (0.06\times 5+0.04\times 5+0.02\times 5)=60.(4分)$

Final answer: $0.06, 60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583821225017346/img/compression/M_cecab5bc842a7a411ced78d1defc6b12.jpg)
$(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;$

Solution:
$由频率分布直方图可知,5x=1-5\times (0.07+0.04+0.02+0.01),(1分)所以x=0.06.(2分)因此身高在170 cm及以上的学生人数为100\times (0.06\times 5+0.04\times 5+0.02\times 5)=60.(4分)$

Final answer: $0.06, 60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583821225017346/img/compression/M_cecab5bc842a7a411ced78d1defc6b12.jpg)
$(2)用分层随机抽样的方法从身高在区间[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中共抽取6人,求从这三个区间中分别抽取的学生人数;$

Solution:
$身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生人数分别为0.06\times 5\times 100=30,0.04\times 5\times 100=20,0.02\times 5\times 100=10，(6分)因此应该从身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中分别抽取6\times \frac{30}{60}=3(人)，6\times \frac{20}{60}=2(人),6\times \frac{10}{60}=1(人)．(8分)$

Final answer: 3,2,1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$<img_3040>
$(2)用分层随机抽样的方法从身高在区间[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中共抽取6人,求从这三个区间中分别抽取的学生人数;$

Solution:
$身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生人数分别为0.06\times 5\times 100=30,0.04\times 5\times 100=20,0.02\times 5\times 100=10，(6分)因此应该从身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中分别抽取6\times \frac{30}{60}=3(人)，6\times \frac{20}{60}=2(人),6\times \frac{10}{60}=1(人)．(8分)$

Final answer: 3,2,1
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$<img_3040>
$(3)在(2)的条件下,要从6名学生中抽取2人,求至少有1人的身高在[175，180)内的概率.$

Solution:
$在(2)的条件下,设身高在[170，175)内的3名学生分别为A_{1},A_{2},A_{3},身高在[175,180)内的2名学生分别为B_{1},B_{2},身高在[180,185]内的1名学生为C_{0},则从6名学生中抽取2人的样本点共15个,分别为(A_{1},A_{2}),(A_{1},A_{3}),(A_{1},B_{1})，(A_{1},B_{2}),(A_{1},C_{0}),(A_{2},A_{3}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2})，(A_{2},C_{0}),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(A_{3},C_{0}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C_{0}),(B_{2},C_{0})，(10分)至少有1人的身高在[175,180)内包含的样本点有9个，分别为(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{3},B_{1})，(A_{3},B_{2}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C_{0}),(B_{2},C_{0})，所以至少有1人的身高在[175，180)内的概率为\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1669583821225017346/img/compression/M_cecab5bc842a7a411ced78d1defc6b12.jpg)
$(3)在(2)的条件下,要从6名学生中抽取2人,求至少有1人的身高在[175，180)内的概率.$

Solution:
$在(2)的条件下,设身高在[170，175)内的3名学生分别为A_{1},A_{2},A_{3},身高在[175,180)内的2名学生分别为B_{1},B_{2},身高在[180,185]内的1名学生为C_{0},则从6名学生中抽取2人的样本点共15个,分别为(A_{1},A_{2}),(A_{1},A_{3}),(A_{1},B_{1})，(A_{1},B_{2}),(A_{1},C_{0}),(A_{2},A_{3}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2})，(A_{2},C_{0}),(A_{3},B_{1}),(A_{3},B_{2}),(A_{3},C_{0}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C_{0}),(B_{2},C_{0})，(10分)至少有1人的身高在[175,180)内包含的样本点有9个，分别为(A_{1},B_{1}),(A_{1},B_{2}),(A_{2},B_{1}),(A_{2},B_{2}),(A_{3},B_{1})，(A_{3},B_{2}),(B_{1},B_{2}),(B_{1},C_{0}),(B_{2},C_{0})，所以至少有1人的身高在[175，180)内的概率为\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596170752184322/img/compression/M_1173d32d41c487a9e61cd8c314fc516c.jpg)
$(2)求这两个班参赛的学生人数；$

Solution:
$设高二年级两个班参赛的学生人数为x，因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以\frac{40}{x}=0.40，解得x=100.所以高二年级两个班参赛的学生人数为100.$

Final answer: $100$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.$<img_3065>
$(2)求这两个班参赛的学生人数；$

Solution:
$设高二年级两个班参赛的学生人数为x，因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以\frac{40}{x}=0.40，解得x=100.所以高二年级两个班参赛的学生人数为100.$

Final answer: $100$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：$<img_2539>
$(1)年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为　　　　；$

Solution:
$设年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为a，根据题意，得5\times (0.01+a+0.07+0.06+0.02)=1，解得a=0.04.$

Final answer: $0.04$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665652340183867395/img/compression/M_448955ffda85a661ee2b70da9fa3580c.jpg)
$(1)年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为　　　　；$

Solution:
$设年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为a，根据题意，得5\times (0.01+a+0.07+0.06+0.02)=1，解得a=0.04.$

Final answer: $0.04$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665652340183867395/img/compression/M_448955ffda85a661ee2b70da9fa3580c.jpg)
$(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的第85百分位数为　　　　岁.(结果保留整数)$

Solution:
$设志愿者年龄的第85百分位数为x，则5\times (0.01+0.04+0.07)+0.06\times (x-35)=0.85，解得x\approx 39.$

Final answer: $39$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：$<img_2539>
$(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的第85百分位数为　　　　岁.(结果保留整数)$

Solution:
$设志愿者年龄的第85百分位数为x，则5\times (0.01+0.04+0.07)+0.06\times (x-35)=0.85，解得x\approx 39.$

Final answer: $39$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校举办了一场安全教育竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665652341660262402/img/compression/M_2d424f0e1b8498f563df9635b53fc8fb.jpg)
$(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；$

Solution:
$由频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)\times 10=1，解得m=0.03.设此次竞赛活动学生得分的中位数为x_{0}分，因数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内的频率为0.8，从而可得80故m=0.03，估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5分.$

Final answer: $0.03, 82.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校举办了一场安全教育知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图.
$<img_1700>
$(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；$

Solution:
$由频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)\times 10=1，解得m=0.03.设此次竞赛活动学生得分的中位数为x_{0}分，因数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内的频率为0.8，从而可得80故m=0.03，估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5分.$

Final answer: $0.03, 82.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校举办了一场安全教育知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图.
$<img_1700>
$(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.$

Solution:
$由频率分布直方图及(1)知数据落在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2，所以\overline{x}=65\times 0.1+75\times 0.3+85\times 0.4+95\times 0.2=82(分).此次竞赛活动学生得分不低于82分的频率为0.2+\frac{10-2}{10}\times 0.4=0.52，500\times 0.52=260，所以估计此次竞赛活动学生得分的平均值为82分，在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖.$

Final answer: $260$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校举办了一场安全教育知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665652341660262402/img/compression/M_2d424f0e1b8498f563df9635b53fc8fb.jpg)
$(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.$

Solution:
$由频率分布直方图及(1)知数据落在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2，所以\overline{x}=65\times 0.1+75\times 0.3+85\times 0.4+95\times 0.2=82(分).此次竞赛活动学生得分不低于82分的频率为0.2+\frac{10-2}{10}\times 0.4=0.52，500\times 0.52=260，所以估计此次竞赛活动学生得分的平均值为82分，在参赛的500名学生中估计有260名学生获奖.$

Final answer: $260$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596180818894851/img/compression/M_666775704fa0035725ce71879689c463.jpg)
$(1)求出表中M，p及图中a的值；$

Solution:
$由[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知\frac{10}{M}=0.25，所以M=40.因为频数之和为40，所以10+24+m+2=40，解得m=4，所以p=\frac{m}{M}=\frac{4}{40}=0.10.因为a是对应[15,20)的频率与组距的商，频率n=\frac{24}{40}=0.6,所以a=\frac{0.6}{5}=0.12.$

Final answer: $40, 0.10, 0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$<img_2057>
$(1)求出表中M，p及图中a的值；$

Solution:
$由[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知\frac{10}{M}=0.25，所以M=40.因为频数之和为40，所以10+24+m+2=40，解得m=4，所以p=\frac{m}{M}=\frac{4}{40}=0.10.因为a是对应[15,20)的频率与组距的商，频率n=\frac{24}{40}=0.6,所以a=\frac{0.6}{5}=0.12.$

Final answer: $40, 0.10, 0.12$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596180818894851/img/compression/M_666775704fa0035725ce71879689c463.jpg)
$(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；$

Solution:
$因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240\times 0.25=60.$

Final answer: $60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$<img_2057>
$(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；$

Solution:
$因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240\times 0.25=60.$

Final answer: $60$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596180818894851/img/compression/M_666775704fa0035725ce71879689c463.jpg)
$(3)估计学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数.$

Solution:
$估计学生参加社区服务次数的众数是\frac{15+20}{2}=17.5，中位数是15+\frac{0.5-0.25}{0.12}\approx 17.1，平均数是12.5\times 0.25+17.5\times 0.6+22.5\times 0.1+27.5\times 0.05=17.25.$

Final answer: $17.5, 17.1, 17.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生进行调查，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合计M1$<img_2057>
$(3)估计学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数.$

Solution:
$估计学生参加社区服务次数的众数是\frac{15+20}{2}=17.5，中位数是15+\frac{0.5-0.25}{0.12}\approx 17.1，平均数是12.5\times 0.25+17.5\times 0.6+22.5\times 0.1+27.5\times 0.05=17.25.$

Final answer: $17.5, 17.1, 17.25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2366>
$(1)根据频率分布直方图估计该组数据的平均数\overline{x}和标准差s(求标准差准确到0.01,同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$\overline{x}=0.04\times 45+0.1\times 55+0.2\times 65+0.32\times 75+0.24\times 85+0.1\times 95=74.2.s^{2}=0.04\times (45-74.2)^{2}+0.1\times (55-74.2)^{2}+0.2\times (65-74.2)^{2}+0.32\times (75-74.2)^{2}+0.24\times (85-74.2)^{2}+0.1\times (95-74.2)^{2}=159.36.\therefore s=\sqrt{159.36}\approx 12.62.$

Final answer: $74.2, 12.62$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596181355765762/img/compression/M_9d6d9b13639182315dbf816dad77f63d.jpg)
$(1)根据频率分布直方图估计该组数据的平均数\overline{x}和标准差s(求标准差准确到0.01,同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$\overline{x}=0.04\times 45+0.1\times 55+0.2\times 65+0.32\times 75+0.24\times 85+0.1\times 95=74.2.s^{2}=0.04\times (45-74.2)^{2}+0.1\times (55-74.2)^{2}+0.2\times (65-74.2)^{2}+0.32\times (75-74.2)^{2}+0.24\times (85-74.2)^{2}+0.1\times (95-74.2)^{2}=159.36.\therefore s=\sqrt{159.36}\approx 12.62.$

Final answer: $74.2, 12.62$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)，得到如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596181355765762/img/compression/M_9d6d9b13639182315dbf816dad77f63d.jpg)
$(2)成绩位于[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]的有多少人？所占百分比是多少？$

Solution:
$由(1)得s\approx 12.62.\therefore \overline{x}-2s=48.96,\overline{x}+2s=99.44.结合题图，得成绩位于[48.96,99.44]外的只有2人.即成绩位于[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]的有48人，所占百分比为96%.$

Final answer: $48, 96\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)，得到如图所示的频率分布直方图.$<img_2366>
$(2)成绩位于[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]的有多少人？所占百分比是多少？$

Solution:
$由(1)得s\approx 12.62.\therefore \overline{x}-2s=48.96,\overline{x}+2s=99.44.结合题图，得成绩位于[48.96,99.44]外的只有2人.即成绩位于[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]的有48人，所占百分比为96%.$

Final answer: $48, 96\%$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示.$<img_2195>
$(1)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；$

Solution:
$由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.这100名学生参加实践活动时间的中位数为6+\frac{0.5-(0.04+0.12) \times 2}{0.15}=7.2(小时).由(0.04+0.12+0.15+a+0.05)\times 2=1,解得a=0.14，则这100名学生参加实践活动时间的平均数为0.04\times 2\times 3+0.12\times 2\times 5+0.15\times 2\times 7+0.14\times 2\times 9+0.05\times 2\times 11=7.16(小时).$

Final answer: 7, 7.2, 7,16
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1665596182341427202/img/compression/M_820ebb503e06d113eb1235ec143cba4f.jpg)
$(1)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；$

Solution:
$由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.这100名学生参加实践活动时间的中位数为6+\frac{0.5-(0.04+0.12) \times 2}{0.15}=7.2(小时).由(0.04+0.12+0.15+a+0.05)\times 2=1,解得a=0.14，则这100名学生参加实践活动时间的平均数为0.04\times 2\times 3+0.12\times 2\times 5+0.15\times 2\times 7+0.14\times 2\times 9+0.05\times 2\times 11=7.16(小时).$

Final answer: 7, 7.2, 7,16