di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，光滑的水平绝缘轨道M、N上放着质量m_1=0.2 kg、电阻R_1=0.02 \Omega 的“[”形金属框dabc，轨道间有一有界磁场，变化关系如图乙所示。一根长度等于ab，质量m_2=0.1 kg、R_2=0.01 \Omega 的金属棒ef放在轨道上并静止在磁场的左边界上。已知轨道间距与ab长度相等，均为L_1=0.3 m，ad=bc=L_2=0.1 m，其余电阻不计。0时刻，给“[”形金属框一初速度v_0=3 m/s，与金属棒碰撞后合在一起成为一闭合导电金属框(碰撞时间极短)。t_0时刻整个框刚好全部进入磁场，(t_0+1 s)时刻，框右边刚要出磁场。求：$

<img_1112>
$0~t_{0}时间内整个框产生的焦耳热；$

Solution:
$对闭合金属框，由动量定理有-\overline{I} B L_1\Delta t=(m1+m2)\Delta v$

$即-BL_1 q =(m1+m2)(v'-v)$

$又因为q=\frac{B\Delta S}{R} = \frac{BL_1L_2}{R_1+R_2}$

解得$v'=1 m/s$

$所以Q = \frac{1}{2} (m1+m2)v^2 - \frac{1}{2}(m1+m2)v'^2 = 0.45 J$

Final answer: 0.45 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，光滑的水平绝缘轨道M、N上放着质量m_1=0.2 kg、电阻R_1=0.02 \Omega 的“[”形金属框dabc，轨道间有一有界磁场，变化关系如图乙所示。一根长度等于ab，质量m_2=0.1 kg、R_2=0.01 \Omega 的金属棒ef放在轨道上并静止在磁场的左边界上。已知轨道间距与ab长度相等，均为L_1=0.3 m，ad=bc=L_2=0.1 m，其余电阻不计。0时刻，给“[”形金属框一初速度v_0=3 m/s，与金属棒碰撞后合在一起成为一闭合导电金属框(碰撞时间极短)。t_0时刻整个框刚好全部进入磁场，(t_0+1 s)时刻，框右边刚要出磁场。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613412761477124/img/compression/M_eefe53c23b79351bf2574bb72ddc3fc9.jpg)
$0~t_{0}时间内整个框产生的焦耳热；$

Solution:
$对闭合金属框，由动量定理有-\overline{I} B L_1\Delta t=(m1+m2)\Delta v$

$即-BL_1 q =(m1+m2)(v'-v)$

$又因为q=\frac{B\Delta S}{R} = \frac{BL_1L_2}{R_1+R_2}$

解得$v'=1 m/s$

$所以Q = \frac{1}{2} (m1+m2)v^2 - \frac{1}{2}(m1+m2)v'^2 = 0.45 J$

Final answer: 0.45 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，光滑的水平绝缘轨道M、N上放着质量m_1=0.2 kg、电阻R_1=0.02 \Omega 的“[”形金属框dabc，轨道间有一有界磁场，变化关系如图乙所示。一根长度等于ab，质量m_2=0.1 kg、R_2=0.01 \Omega 的金属棒ef放在轨道上并静止在磁场的左边界上。已知轨道间距与ab长度相等，均为L_1=0.3 m，ad=bc=L_2=0.1 m，其余电阻不计。0时刻，给“[”形金属框一初速度v_0=3 m/s，与金属棒碰撞后合在一起成为一闭合导电金属框(碰撞时间极短)。t_0时刻整个框刚好全部进入磁场，(t_0+1 s)时刻，框右边刚要出磁场。求：$

<img_1112>
$t_0~(t_0+1 s)时间内，安培力对ab边的冲量的大小。$

Solution:
$整个框在磁场中运动，感应电流 I = \frac{E}{R_{\text{总}}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t R_{\text{总}}} = \frac{\Delta B L_1L_2}{\Delta t R_{\text{总}}} = 0.4 A$
$又因为 B=1.0-0.4(t-t_0) (T)(t_0 \leq t \leq t_0 + 1s)$
$又 F_{\text{安}} = BIL_1 = 0.12B$
$解得 I_{\text{冲}} = \overline{F_{\text{安}}} t = \frac{F_{\text{安1}}+F_{\text{安2}}}{2} t = \frac{0.12 \times 1+0.12 \times 0.6}{2} \times 1 Ns = 0.096 Ns$



Final answer: $0.096$ N\cdot s
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，光滑的水平绝缘轨道M、N上放着质量m_1=0.2 kg、电阻R_1=0.02 \Omega 的“[”形金属框dabc，轨道间有一有界磁场，变化关系如图乙所示。一根长度等于ab，质量m_2=0.1 kg、R_2=0.01 \Omega 的金属棒ef放在轨道上并静止在磁场的左边界上。已知轨道间距与ab长度相等，均为L_1=0.3 m，ad=bc=L_2=0.1 m，其余电阻不计。0时刻，给“[”形金属框一初速度v_0=3 m/s，与金属棒碰撞后合在一起成为一闭合导电金属框(碰撞时间极短)。t_0时刻整个框刚好全部进入磁场，(t_0+1 s)时刻，框右边刚要出磁场。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613412761477124/img/compression/M_eefe53c23b79351bf2574bb72ddc3fc9.jpg)
$t_0~(t_0+1 s)时间内，安培力对ab边的冲量的大小。$

Solution:
$整个框在磁场中运动，感应电流 I = \frac{E}{R_{\text{总}}} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t R_{\text{总}}} = \frac{\Delta B L_1L_2}{\Delta t R_{\text{总}}} = 0.4 A$
$又因为 B=1.0-0.4(t-t_0) (T)(t_0 \leq t \leq t_0 + 1s)$
$又 F_{\text{安}} = BIL_1 = 0.12B$
$解得 I_{\text{冲}} = \overline{F_{\text{安}}} t = \frac{F_{\text{安1}}+F_{\text{安2}}}{2} t = \frac{0.12 \times 1+0.12 \times 0.6}{2} \times 1 Ns = 0.096 Ns$

Final answer: $0.096 N\cdot s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

<img_999>
$金属杆从开始位置运动到x_0时，通过电阻R的电荷量q为多少？如果拉力F在0~x_0的过程中对ab杆做的功约为0.085 J，那么流过R的电流的有效值多大？$

Solution:
$根据I_R=0.6x=0.6v_0t=1.8t，运动时间t=\frac{x_0}{v_0}=\frac{1}{3} s  $
$可得q=\frac{0+1.8 \times \frac{1}{3}}{2}\times \frac{1}{3} C=0.1 C，充电电流为定值，对应的安培力为F=BIL=0.09x  $
克服充电电流的安培力所做的功为   
$W=\frac{0+0.09 \times x_0}{2}\times x_0=0.045 J  $
$电阻产生的热量Q=0.085 J-0.045 J=0.04 J  $
$又Q=I^2Rt  $
$解得I=\frac{\sqrt{3}}{5} A$



Final answer: $0.1, \frac{\sqrt{3}}{5}$ C, A
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613413289959426/img/compression/M_76c5e0a11377514a1458e9c075559856.jpg)
$金属杆从开始位置运动到x_0时，通过电阻R的电荷量q为多少？如果拉力F在0~x_0的过程中对ab杆做的功约为0.085 J，那么流过R的电流的有效值多大？$

Solution:
$根据I_R=0.6x=0.6v_0t=1.8t，运动时间t=\frac{x_0}{v_0}=\frac{1}{3} s  $
$可得q=\frac{0+1.8 \times \frac{1}{3}}{2}\times \frac{1}{3} C=0.1 C，充电电流为定值，对应的安培力为F=BIL=0.09x  $
克服充电电流的安培力所做的功为   
$W=\frac{0+0.09 \times x_0}{2}\times x_0=0.045 J  $
$电阻产生的热量Q=0.085 J-0.045 J=0.04 J  $
$又Q=I^2Rt  $
$解得I=\frac{\sqrt{3}}{5} A$

Final answer: $0.1 C \frac{\sqrt{3}}{5} A$
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

<img_999>
$当运动到x=x_{0}时，撤去外力并断开开关S，试求撤去外力后电容器所带电荷量的最大值。$

Solution:
$到x=x_{0}处时，U_{0}=BLv=kx_{0}Lv_{0}=0.6 V$

$电容器的电荷量为q_{0}=CU_{0}=0.15 C$

$进入斜面后B_{C}=B \cos \theta=kx_{0}=0.2 T$

$根据牛顿第二定律有mg \sin \theta-B_{C}IL=ma$

$结合CB_{C}La=I$

$解得a=\frac{0.6mg}{m+Ck^2x^2_0L^2}=3 m/s^{2}$

$所以到达MN处的速度v=\sqrt{v^2_0+2as}$

$又s=\frac{\frac{2.8}{3}x_0}{\cos  \theta }=\frac{7}{6} m$

$解得v=4 m/s$

$所以，电容器的最大带电荷量为q_{m}=CB_{C}Lv=0.2 C$

Final answer: 0.2 C
Subfield: Electromagnetism


Question: 相距为$L=1 m$的足够长的金属导轨如图放置，倾斜部分与水平面夹角为$\theta =37^\circ$ ，其他部分水平，左边接有一个定值电阻，阻值为$R=1 \Omega$ ，右端接有一个电容为$C=0.25 F$的电容器，MN左边导轨光滑，右边轨道动摩擦因数为$\mu =0.2$，长度足够长。金属杆ab的质量为m=0.01 kg。MN左边有竖直向上的磁场，MN右边有水平向右的匀强磁场。以左端金属杆初始位置处为$x=0$，水平向右作x轴，磁感应强度随x的分布规律如图所示(不严格按比例)，其他所有电阻均不计。闭合开关S，在水平拉力的作用下让金属杆ab从初始位置开始以速度$v_0=3 m/s$水平向右做匀速运动，那么(注：图中$x_0=1 m$为已知，$k=0.2 T/m$，拐角圆弧状，不计拐角处的机械能损失，取 $\cos 37^\circ =0.8，g=10 m/s^2$，电容器在无电阻的电路中放电极快)

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613413289959426/img/compression/M_76c5e0a11377514a1458e9c075559856.jpg)
$当运动到x=x_{0}时，撤去外力并断开开关S，试求撤去外力后电容器所带电荷量的最大值。$

Solution:
$到x=x_{0}处时，U_{0}=BLv=kx_{0}Lv_{0}=0.6 V$

$电容器的电荷量为q_{0}=CU_{0}=0.15 C$

$进入斜面后B_{C}=B \cos \theta=kx_{0}=0.2 T$

$根据牛顿第二定律有mg \sin \theta-B_{C}IL=ma$

$结合CB_{C}La=I$

$解得a=\frac{0.6mg}{m+Ck^2x^2_0L^2}=3 m/s^{2}$

$所以到达MN处的速度v=\sqrt{v^2_0+2as}$

$又s=\frac{\frac{2.8}{3}x_0}{\cos  \theta }=\frac{7}{6} m$

$解得v=4 m/s$

$所以，电容器的最大带电荷量为q_{m}=CB_{C}Lv=0.2 C$

Final answer: 0.2 C
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值$R=3 \Omega$ 的电阻；导轨间距为$L=1 m$，导轨电阻不计。长为1 m、质量$m=0.5 kg$、电阻$r=1 \Omega$ 的金属棒水平放置在导轨上，它与导轨的动摩擦因数\mu =0.5，导轨平面的倾角为$\theta =37^\circ$ ，在垂直导轨平面方向有匀强磁场，磁感应强度为B=1 T。现让金属棒AB由静止开始下滑，沿导轨下滑距离为s=20 m时速度恰达到最大。($\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8$)求：
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613450827157506/img/compression/M_d3f769eee2f025904645699ba1b36e4f.jpg)
金属棒达到的最大速度；

Solution:
对金属棒运动过程分析，可知合外力为零时金属棒达到最大速度

$于是有 mg \sin \theta =BIL+\mu mg \cos \theta $

$根据闭合电路欧姆定律有 I=\frac{E}{R+r}$

$根据法拉第电磁感应定律有 E=BLv_m$

$解得 v_m=4 m/s$

Final answer: $4 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值$R=3 \Omega$ 的电阻；导轨间距为$L=1 m$，导轨电阻不计。长为1 m、质量$m=0.5 kg$、电阻$r=1 \Omega$ 的金属棒水平放置在导轨上，它与导轨的动摩擦因数\mu =0.5，导轨平面的倾角为$\theta =37^\circ$ ，在垂直导轨平面方向有匀强磁场，磁感应强度为B=1 T。现让金属棒AB由静止开始下滑，沿导轨下滑距离为s=20 m时速度恰达到最大。($\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8$)求：
<img_1317>
金属棒达到的最大速度；

Solution:
对金属棒运动过程分析，可知合外力为零时金属棒达到最大速度

$于是有 mg \sin \theta =BIL+\mu mg \cos \theta $

$根据闭合电路欧姆定律有 I=\frac{E}{R+r}$

$根据法拉第电磁感应定律有 E=BLv_m$

$解得 v_m=4 m/s$

Final answer: $4 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值$R=3 \Omega$ 的电阻；导轨间距为$L=1 m$，导轨电阻不计。长为1 m、质量$m=0.5 kg$、电阻$r=1 \Omega$ 的金属棒水平放置在导轨上，它与导轨的动摩擦因数\mu =0.5，导轨平面的倾角为$\theta =37^\circ$ ，在垂直导轨平面方向有匀强磁场，磁感应强度为B=1 T。现让金属棒AB由静止开始下滑，沿导轨下滑距离为s=20 m时速度恰达到最大。($\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8$)求：
<img_1317>
$金属棒由静止开始沿导轨下滑距离为s=20 m的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q_R。$

Solution:
由能量守恒定律可得

$Q+\frac{1}{2}mv^2_\mathrm{m}+\mu mg \cos \theta \cdot s=mg \sin \theta \cdot s$

$电阻R与金属棒串联，有Q_R=\frac{R}{R+r}Q$

$解得Q_R=12 J$

Final answer: $12 J$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值$R=3 \Omega$ 的电阻；导轨间距为$L=1 m$，导轨电阻不计。长为1 m、质量$m=0.5 kg$、电阻$r=1 \Omega$ 的金属棒水平放置在导轨上，它与导轨的动摩擦因数\mu =0.5，导轨平面的倾角为$\theta =37^\circ$ ，在垂直导轨平面方向有匀强磁场，磁感应强度为B=1 T。现让金属棒AB由静止开始下滑，沿导轨下滑距离为s=20 m时速度恰达到最大。($\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8$)求：
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613450827157506/img/compression/M_d3f769eee2f025904645699ba1b36e4f.jpg)
$金属棒由静止开始沿导轨下滑距离为s=20 m的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q_R。$

Solution:
由能量守恒定律可得

$Q+\frac{1}{2}mv^2_\mathrm{m}+\mu mg \cos \theta \cdot s=mg \sin \theta \cdot s$

$电阻R与金属棒串联，有Q_R=\frac{R}{R+r}Q$

$解得Q_R=12 J$

Final answer: $12 J$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613451984785410/img/compression/M_2d45132e6d6ebc44bdad5912a62d1851.jpg)
将开关S掷向2后，ef棒滑到GH处的速度大小v；(本问中磁感应强度可用B表示)

Solution:
解答解析

将开关S掷向2后，设导体棒在很短时间\Delta t内速度变化量为\Delta v，根据动量定理可得

$mg \sin \theta  \cdot \Delta t - BL\overline{I} \cos \theta  \cdot \Delta t = m\Delta v$

其中电容器所充的电荷量与电流的关系为

$Q = \overline{I}\Delta t = C\Delta U = CBL\Delta v \cos \theta $

整理可得$\Delta v = \frac{mg \sin \theta }{m + B^2L^2C \cos^2 \theta } \cdot \Delta t$

故导体棒做匀加速直线运动，加速度 $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{mg \sin \theta }{m + B^2L^2C \cos^2 \theta }$

ef棒滑到GH处的速度 v = 

$\sqrt{2a\frac{h}{\sin \theta }} = \sqrt{\frac{2mgh}{m + B^2L^2C \cos^2 \theta }}$

Final answer: $\begin{equation}
\sqrt{\frac{2mgh}{m+B^2L^2C \cos^2 \theta }}
\end{equation}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

<img_1267>
将开关S掷向2后，ef棒滑到GH处的速度大小v；(本问中磁感应强度可用B表示)

Solution:
解答解析

将开关S掷向2后，设导体棒在很短时间\Delta t内速度变化量为\Delta v，根据动量定理可得

$mg \sin \theta  \cdot \Delta t - BL\overline{I} \cos \theta  \cdot \Delta t = m\Delta v$

其中电容器所充的电荷量与电流的关系为

$Q = \overline{I}\Delta t = C\Delta U = CBL\Delta v \cos \theta $

整理可得$\Delta v = \frac{mg \sin \theta }{m + B^2L^2C \cos^2 \theta } \cdot \Delta t$

故导体棒做匀加速直线运动，加速度 $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{mg \sin \theta }{m + B^2L^2C \cos^2 \theta }$

ef棒滑到GH处的速度 v = 

$\sqrt{2a\frac{h}{\sin \theta }} = \sqrt{\frac{2mgh}{m + B^2L^2C \cos^2 \theta }}$

Final answer: $\begin{equation}
\sqrt{\frac{2mgh}{m+B^2L^2C \cos^2 \theta }}
\end{equation}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613451984785410/img/compression/M_2d45132e6d6ebc44bdad5912a62d1851.jpg)
$线框穿越磁场边界线MN、PQ过程中产生的热量之比Q_1:Q_2的值。$

Solution:
$设ef与导线框abcd碰撞后，整体速度为v_1，根据动量守恒有mv=4mv_1  $
$线框进入磁场后水平方向上只受安培力作用，从bc边进入Ⅰ区磁场到与PQ重合过程  $
$根据动量定理有-BL\overline{I'}\Delta t'=4m(v_2-v_1)  $
$\overline{I'}\Delta t'=q'=\frac{BL^2}{4R}  $
$解得v_1-v_2=\frac{B^2L^3}{16mR}  $
$bc边进入Ⅱ区磁场，bc、ef边均切割磁感线，并且二者产生的感应电动势叠加，则有-2BL\overline{I″}\Delta t"=4m(0-v_2)  $
$\overline{I″}\Delta t"=q"=2\cdot \frac{BL^2}{4R}  $
$解得v_2=\frac{B^2L^3}{4mR}  $
$联立得v_1=\frac{5B^2L^3}{16mR}=\frac{5}{4}v_2  $
$根据能量守恒，线框穿越磁场边界线MN过程中产生的热量Q_1=\frac{1}{2}\cdot 4m(v_1^2-v_2^2)  $
$线框穿越磁场边界线PQ过程中产生的热量  $
$Q_2=\frac{1}{2}\cdot 4mv_2^2  $
$联立解得Q_1:Q_2=9:16$

Final answer: $9:16$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，左侧倾斜部分为光滑的相互平行放置的间距为L、电阻不计的金属导轨，水平部分为用绝缘材料做成的间距也为L的光滑轨道，两者之间平滑连接。倾斜导轨的倾角为$\theta$ ，倾斜导轨上端接有一个单刀双掷开关S，接在1端的电源电动势为E，内阻为r，其串联的定值电阻为R_1，接在2端的电容器的电容为C(未充电)。在水平轨道正方形区域Ⅰ、Ⅱ分布有大小相等、方向相反的匀强磁场(大小未知)，在倾斜导轨区域Ⅲ中存在方向竖直向上且大小与Ⅰ、Ⅱ区相同的匀强磁场，当先将开关S与1相连时，一质量为m、电阻不计的金属导体棒ef恰好能静止在倾斜导轨上高为h处，然后再将开关S掷向2，此后导体棒ef将由静止开始下滑，并且无能量损失地进入水平轨道，之后与原来静止在水平轨道上的“U”形导线框abcd碰撞，并粘合为一个正方形线框，“U”形导线框三条边总质量为3m、总电阻为4R，当线框完全穿过Ⅰ区磁场后，恰好静止(线框四边与Ⅱ区磁场边界线重合)。不计一切摩擦阻力，(本题中E、r、R_1、C、R、L、h、$\theta$ 、m及重力加速度g均已知)求：

<img_1267>
$线框穿越磁场边界线MN、PQ过程中产生的热量之比Q_1:Q_2的值。$

Solution:
$设ef与导线框abcd碰撞后，整体速度为v_1，根据动量守恒有mv=4mv_1  $
$线框进入磁场后水平方向上只受安培力作用，从bc边进入Ⅰ区磁场到与PQ重合过程  $
$根据动量定理有-BL\overline{I'}\Delta t'=4m(v_2-v_1)  $
$\overline{I'}\Delta t'=q'=\frac{BL^2}{4R}  $
$解得v_1-v_2=\frac{B^2L^3}{16mR}  $
$bc边进入Ⅱ区磁场，bc、ef边均切割磁感线，并且二者产生的感应电动势叠加，则有-2BL\overline{I″}\Delta t"=4m(0-v_2)  $
$\overline{I″}\Delta t"=q"=2\cdot \frac{BL^2}{4R}  $
$解得v_2=\frac{B^2L^3}{4mR}  $
$联立得v_1=\frac{5B^2L^3}{16mR}=\frac{5}{4}v_2  $
$根据能量守恒，线框穿越磁场边界线MN过程中产生的热量Q_1=\frac{1}{2}\cdot 4m(v_1^2-v_2^2)  $
$线框穿越磁场边界线PQ过程中产生的热量  $
$Q_2=\frac{1}{2}\cdot 4mv_2^2  $
$联立解得Q_1:Q_2=9:16$

Final answer: $9:16$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613505040359426/img/compression/M_4b08066de1da44896e5ef00f34be285d.jpg)
$当悬挂MN的细线到达竖直位置时，MNQP回路中的电流大小及MN两端的电势差大小；$

Solution:
$设MN摆动到竖直位置刚好与导轨接触时速度为v_1，由机械能守恒定律得mgh(1-\cos 60^\circ )=\frac{1}{2}mv_1^2 $

$得v_1=\sqrt{gh}=3 m/s$

$此时，MN产生的感应电动势E=BLv_1=3 V $

$回路中的感应电流I=\frac{E}{2R}=3 A $

$解得MN两端的电势差U_{MN}=IR=1.5 V$

Final answer: 3 A　1.5 V
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

<img_1435>
$当悬挂MN的细线到达竖直位置时，MNQP回路中的电流大小及MN两端的电势差大小；$

Solution:
$设MN摆动到竖直位置刚好与导轨接触时速度为v_1，由机械能守恒定律得mgh(1-\cos 60^\circ )=\frac{1}{2}mv_1^2 $

$得v_1=\sqrt{gh}=3 m/s$

$此时，MN产生的感应电动势E=BLv_1=3 V $

$回路中的感应电流I=\frac{E}{2R}=3 A $

$解得MN两端的电势差U_{MN}=IR=1.5 V$

Final answer: 3 A　1.5 V
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613505040359426/img/compression/M_4b08066de1da44896e5ef00f34be285d.jpg)
MN与导轨接触的瞬间流过PQ的电荷量；

Solution:
$由题意知，PQ做匀速直线运动，则有v'_2=\frac{s}{t}=1 m/s$
$对PQ由动量定理有BIL\Delta t=mv'_2-0$
$又q=I\cdot \Delta t$
$解得q=\frac{mv'_2}{BL}=1 C$

Final answer: 1 C
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

<img_1435>
MN与导轨接触的瞬间流过PQ的电荷量；

Solution:
$由题意知，PQ做匀速直线运动，则有v'_2=\frac{s}{t}=1 m/s$
$对PQ由动量定理有BIL\Delta t=mv'_2-0$
$又q=I\cdot \Delta t$
$解得q=\frac{mv'_2}{BL}=1 C$

Final answer: 1 C
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

<img_1435>
MN与导轨短暂接触过程中回路中产生的焦耳热。

Solution:
$在MN与导轨接触的\Delta t时间内，MN与PQ系统动量守恒，选向左为正方向，有mv_1=mv_1'+mv_2'得MN棒接触导轨后摆起的速度v_1'=2 m/s$
$由能量守恒定律得\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_1'^2+\frac{1}{2}mv_2'^2+Q解得回路中产生的焦耳热Q=2 J$

Final answer: 2 J
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，平行光滑且足够长的金属导轨ab、cd固定在同一水平面上，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2 T,导轨间距L=0.5 m。有两根金属棒MN、PQ质量均为1 kg，电阻均为$0.5 \Omega$ ，其中PQ静止于导轨上，MN用两条轻质绝缘细线悬挂在挂钩上，细线长h=0.9 m，当细线竖直时棒刚好与导轨接触但对导轨无压力。现将MN向右拉起使细线与竖直方向夹角为$60^\circ$ ，然后由静止释放MN，忽略空气阻力。发现MN到达最低点与导轨短暂接触后继续向左上方摆起，PQ在MN短暂接触导轨的瞬间获得速度，且在之后1 s时间内向左运动的距离s=1 m。两根棒与导轨接触时始终垂直于导轨，不计其余部分电阻，重力加速度$g=10 m/s^2$，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613505040359426/img/compression/M_4b08066de1da44896e5ef00f34be285d.jpg)
MN与导轨短暂接触过程中回路中产生的焦耳热。

Solution:
$在MN与导轨接触的\Delta t时间内，MN与PQ系统动量守恒，选向左为正方向，有mv_1=mv_1'+mv_2'得MN棒接触导轨后摆起的速度v_1'=2 m/s$
$由能量守恒定律得\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_1'^2+\frac{1}{2}mv_2'^2+Q解得回路中产生的焦耳热Q=2 J$

Final answer: 2 J
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨PQ和MN间距为d，左侧P与M之间通过一阻值为R的电阻连接，两条倾角为\theta 的光滑导轨与水平导轨在N、Q处平滑连接，水平导轨的FDNQ区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场区域长度为x。P、M两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为PF，现用某约束装置将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微小扰动，约束装置就解除压缩。长度为d、质量为m、电阻为R的导体棒，从AC处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613505577230338/img/compression/M_3f3892956c18608308d41e57d52450e3.jpg)
$若导体棒从距水平导轨高h的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求导体棒第一次出磁场时的速率。$

Solution:
$导体棒在倾斜导轨上向下滑动的过程中，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得v_1=\sqrt{2gh}$

导体棒越过磁场的过程中，根据动量定理可得

$-BdIt=mv_2-mv_1$

$根据电荷量的计算公式q=It=\frac{\Delta \mathit{Φ} }{2R}=\frac{Bdx}{2R}$

$解得v_2=\sqrt{2gh}-\frac{B^2d^2x}{2mR}$

Final answer: $\sqrt{2gh} - \frac{B^2d^2x}{2mR}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨PQ和MN间距为d，左侧P与M之间通过一阻值为R的电阻连接，两条倾角为\theta 的光滑导轨与水平导轨在N、Q处平滑连接，水平导轨的FDNQ区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场区域长度为x。P、M两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为PF，现用某约束装置将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微小扰动，约束装置就解除压缩。长度为d、质量为m、电阻为R的导体棒，从AC处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置。

<img_1272>
$若导体棒从距水平导轨高h的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求导体棒第一次出磁场时的速率。$

Solution:
$导体棒在倾斜导轨上向下滑动的过程中，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv^2_1$

$解得v_1=\sqrt{2gh}$

导体棒越过磁场的过程中，根据动量定理可得

$-BdIt=mv_2-mv_1$

$根据电荷量的计算公式q=It=\frac{\Delta \mathit{Φ} }{2R}=\frac{Bdx}{2R}$

$解得v_2=\sqrt{2gh}-\frac{B^2d^2x}{2mR}$

Final answer: $\sqrt{2gh} - \frac{B^2d^2x}{2mR}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $扣在水平桌面上的热杯盖有时会发生被顶起的现象。如图所示，横截面积为S=5 cm^2的热杯盖扣在水平桌面上，开始时内部封闭气体的温度为t_1=27 ^\circ C，压强为大气压强，且大气压强p_0=1\times 10^5 Pa。当封闭气体温度上升至t_2=33 ^\circ C时，杯盖恰好被顶起，放出少量气体后又落回桌面，其内部气体压强立刻减为大气压强p_0，剩余气体温度仍为33 ^\circ C，再经过一段时间，剩余气体温度恢复到27 ^\circ C，封闭气体可视为理想气体，取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_669>
热杯盖的质量；

Solution:
$以热杯盖内封闭的气体为研究对象，温度从t_1升到t_2为等容变化，T_1=t_1=300 K，p_1=p_0=1 \times 10^5 Pa，T_2=t_2=306 K，由杯盖受力平衡得p_2=p_0+\frac{mg}{S}，根据查理定律有\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}，解得m=0.1 kg。$

Final answer: 0.1 kg
Subfield: Thermodynamics


Question: $扣在水平桌面上的热杯盖有时会发生被顶起的现象。如图所示，横截面积为S=5 cm^2的热杯盖扣在水平桌面上，开始时内部封闭气体的温度为t_1=27 ^\circ C，压强为大气压强，且大气压强p_0=1\times 10^5 Pa。当封闭气体温度上升至t_2=33 ^\circ C时，杯盖恰好被顶起，放出少量气体后又落回桌面，其内部气体压强立刻减为大气压强p_0，剩余气体温度仍为33 ^\circ C，再经过一段时间，剩余气体温度恢复到27 ^\circ C，封闭气体可视为理想气体，取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![23BHUN5WL375.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613925377593345/img/compression/M_9f2ff94a346a0f447b460478c7241eae.jpg)
热杯盖的质量；

Solution:
$以热杯盖内封闭的气体为研究对象，温度从t_1升到t_2为等容变化，T_1=t_1=300 K，p_1=p_0=1 \times 10^5 Pa，T_2=t_2=306 K，由杯盖受力平衡得p_2=p_0+\frac{mg}{S}，根据查理定律有\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}，解得m=0.1 kg。$

Final answer: 0.1 kg
Subfield: Thermodynamics


Question: $扣在水平桌面上的热杯盖有时会发生被顶起的现象。如图所示，横截面积为S=5 cm^2的热杯盖扣在水平桌面上，开始时内部封闭气体的温度为t_1=27 ^\circ C，压强为大气压强，且大气压强p_0=1\times 10^5 Pa。当封闭气体温度上升至t_2=33 ^\circ C时，杯盖恰好被顶起，放出少量气体后又落回桌面，其内部气体压强立刻减为大气压强p_0，剩余气体温度仍为33 ^\circ C，再经过一段时间，剩余气体温度恢复到27 ^\circ C，封闭气体可视为理想气体，取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_669>
$当温度恢复到t_{1}=27 ^\circ C时，竖直向上提起杯盖所需的最小力。$

Solution:
$以杯盖内剩余气体为研究对象，T_3=t_2=306 K，p_3=p_0=1\times 10^5 Pa，T_4=t_1=300 K，由杯盖受力平衡得p_4=p_0-\frac{F_{min}}{S}+\frac{mg}{S}，根据查理定律有\frac{p_3}{T_3}=\frac{p_4}{T_4}，解得F_{min}=\frac{101}{51} N.$



Final answer: $\frac{101}{51}$ N
Subfield: Thermodynamics


Question: $扣在水平桌面上的热杯盖有时会发生被顶起的现象。如图所示，横截面积为S=5 cm^2的热杯盖扣在水平桌面上，开始时内部封闭气体的温度为t_1=27 ^\circ C，压强为大气压强，且大气压强p_0=1\times 10^5 Pa。当封闭气体温度上升至t_2=33 ^\circ C时，杯盖恰好被顶起，放出少量气体后又落回桌面，其内部气体压强立刻减为大气压强p_0，剩余气体温度仍为33 ^\circ C，再经过一段时间，剩余气体温度恢复到27 ^\circ C，封闭气体可视为理想气体，取重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![23BHUN5WL375.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613925377593345/img/compression/M_9f2ff94a346a0f447b460478c7241eae.jpg)
$当温度恢复到t_{1}=27 ^\circ C时，竖直向上提起杯盖所需的最小力。$

Solution:
$以杯盖内剩余气体为研究对象，T_3=t_2=306 K，p_3=p_0=1\times 10^5 Pa，T_4=t_1=300 K，由杯盖受力平衡得p_4=p_0-\frac{F_{min}}{S}+\frac{mg}{S}，根据查理定律有\frac{p_3}{T_3}=\frac{p_4}{T_4}，解得F_{min}=\frac{101}{51} N.$

Final answer: $\frac{101}{51} N$
Subfield: Thermodynamics


Question: 
$玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水面上将80 mL水装入容积为380 mL的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为230 mL。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强p_0取1.0\times 10^5 Pa，重力加速度g取10 m/s^2，水的密度\rho取1.0\times 10^3 kg/m^3，求水底的压强p和水的深度h。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613952422719490/img/compression/M_fa15c31d98cdd55664522738923beb6e.jpg)

Solution:
$从水面到水底过程，瓶中气体做等温变化，在水面，瓶中气体体积V_1=380 mL-80 mL=300 mL，压强p_1=p_0=1.0\times 10^5 Pa$

$在水底，瓶中气体体积V_2=380 mL-230 mL=150 mL$

$根据玻意耳定律得：p_1V_1=pV_2$

$代入数据得：p=2.0\times 10^5 Pa$

$而p=p_0+\rho gh$

$代入数据得：h=10 m$

Final answer: $2.0\times 10^5 Pa　10 m$
Subfield: Thermodynamics


Question: $玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水面上将80 mL水装入容积为380 mL的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为230 mL。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强p_0取1.0\times 10^5 Pa，重力加速度g取10 m/s^2，水的密度\rho取1.0\times 10^3 kg/m^3，求水底的压强p和水的深度h。$

<img_607>

Solution:
$从水面到水底过程，瓶中气体做等温变化，在水面，瓶中气体体积V_1=380 mL-80 mL=300 mL，压强p_1=p_0=1.0\times 10^5 Pa$

$在水底，瓶中气体体积V_2=380 mL-230 mL=150 mL$

$根据玻意耳定律得：p_1V_1=pV_2$

$代入数据得：p=2.0\times 10^5 Pa$

$而p=p_0+\rho gh$

$代入数据得：h=10 m$



Final answer: $2.0\times 10^5, 10$ Pa, m
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图所示，柱形绝热汽缸固定在倾角为37^\circ 的斜面上，汽缸深度为H=4 cm，汽缸口有固定卡槽。汽缸内用质量为m=1 kg、横截面积为S=0.5 cm^2的绝热活塞封闭了一定质量的理想气体，此时活塞距汽缸底部的距离为\frac{H}{2}，汽缸内气体温度为T_0。现通过汽缸底部的电热丝(体积可忽略)缓慢对气体加热，一直到气体温度升高到3T_0。加热过程中通过电热丝的电流恒为I=0.2 A，电热丝电阻为R=1 \Omega ，加热时间为t=1 min，若电热丝产生的热量全部被气体吸收。大气压强恒为p_0=1.0\times 10^5 Pa，不计活塞及固定卡槽的厚度，活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动且不漏气。已知\sin 37^\circ =0.6,\cos 37^\circ =0.8，取g=10 m/s^2。求：$
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气体温度升高到$3T_{0}$时的压强；

Solution:
以活塞为研究对象，初始时受力平衡，有
$p_1S=p_0S+mg \sin 37^\circ $
$解得p_1=2.2\times 10^5 Pa$
$活塞到达卡槽前，汽缸内气体压强恒为p_1，由盖-吕萨克定律有$
$\frac{S \cdot \frac{H}{2}}{T_0}=\frac{SH}{T_1}$
$解得T_1=2T_0$
活塞达到卡槽后，汽缸内气体体积不变，由查理定律有
$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{3T_0}$
$解得p_2=3.3\times 10^5 Pa$

Final answer: $3.3\times 10^5 Pa$