di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后b滑行的最大距离为s。已知b的质量是a的3倍。b与水平面间的动摩擦因数为\mu，重力加速度大小为g。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612527768645635/img/compression/M_e39e5df8b36d1a2700adcc465e10f01d.jpg)
轻绳的长度。

Solution:
$对于a、b碰撞过程，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律得mv_0=mv_a+3mv_b$

$根据机械能守恒得\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_a^2+\frac{1}{2}\times 3mv_b^2$

$设轻绳的长度为L，对于a下摆的过程，根据机械能守恒得mgL=\frac{1}{2}mv_0^2$

$联立解得L=4\mu s$

Final answer: $4\mu s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上;物块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t_0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图(b)所示。已知从t=0到t=t_0时间内，物块A运动的距离为0.36 v_0 t_0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为\theta (\sin\theta =0.6)，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求$

<img_1473>

<img_1025>
第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值;

Solution:
$t_0时弹簧被压缩至最短，A、B碰撞过程动量守恒，由图(b)知m_B\cdot 1.2v_0=(m_B+m_A)v_0$

$得：m_B=5m_A=5m$

$此过程A、B与弹簧组成的系统机械能守恒$

弹簧的最大弹性势能

$E_{pmax}=|\Delta E_k|= \frac{1}{2} m_B(1.2v_0)^2- \frac{1}{2}( m_A+m_B)v^2_0=0.6mv^2_0$

Final answer: $0.6mv^{2}_0$
Subfield: Mechanics


Question: $如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上;物块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t_0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图(b)所示。已知从t=0到t=t_0时间内，物块A运动的距离为0.36 v_0 t_0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为\theta (\sin\theta =0.6)，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612582436085763/img/compression/M_2fcaad0aa7563333151493674f9c0abb.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612582436085763/img/compression/M_afe78417919dd86c1a36c45f27c5ad41.jpg)
第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值;

Solution:
$t_0时弹簧被压缩至最短，A、B碰撞过程动量守恒，由图(b)知m_B\cdot 1.2v_0=(m_B+m_A)v_0$

$得：m_B=5m_A=5m$

$此过程A、B与弹簧组成的系统机械能守恒$

弹簧的最大弹性势能

$E_{pmax}=|\Delta E_k|= \frac{1}{2} m_B(1.2v_0)^2- \frac{1}{2}( m_A+m_B)v^2_0=0.6mv^2_0$

Final answer: $0.6mv^{2}_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I_0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a、面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度\omega 匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量Bₓ与时间的近似关系如图2所示，图中B_0已知。$

<img_670>

<img_950>
求圆环中电流的有效值；

Solution:
$由有效值定义I^2_2R \times \frac{2\pi }{3\omega }=I^2_{\text{有}}R \times \frac{2\pi }{\omega }$

$I_{\text{有}}=\frac{2\sqrt{3}S\omega B_0}{\pi R}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}S\omega B_0}{\pi R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I_0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a、面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度\omega 匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量Bₓ与时间的近似关系如图2所示，图中B_0已知。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295003843661827/img/compression/M_7f184240073daf79152f04419c198114.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295003843661827/img/compression/M_2560c640f2f2eab90629cd8c38b4eb15.jpg)
求圆环中电流的有效值；

Solution:
$由有效值定义I^2_2R \times \frac{2\pi }{3\omega }=I^2_{\text{有}}R \times \frac{2\pi }{\omega }$

$I_{\text{有}}=\frac{2\sqrt{3}S\omega B_0}{\pi R}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}S\omega B_0}{\pi R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I_0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a、面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度\omega 匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量Bₓ与时间的近似关系如图2所示，图中B_0已知。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295003843661827/img/compression/M_7f184240073daf79152f04419c198114.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295003843661827/img/compression/M_2560c640f2f2eab90629cd8c38b4eb15.jpg)
$当撤去外力，线框将缓慢减速，经\frac{\pi }{\omega }时间角速度减小量为\Delta \omega \left(\frac{\Delta \omega }{\omega }≪1\right)，设线框与圆环的能量转换效率为k，求\Delta \omega 的值[当0<x≪1，有(1-x)^2\approx 1-2x]。$

Solution:
根据题意，有
$\frac{1}{2}\times 2m(\omega l)^2 - \frac{1}{2}\times 2m(\omega  - \Delta \omega )^2l^2 = \frac{1}{k}I^2_{有}R\times \frac{\pi}{\omega}$

$\Delta \omega  = \frac{6S^2B^2_0}{\pi Rml^2k}$

Final answer: $\frac{6S^2B^2_0}{\pi Rml^2k}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L≫2l。线框通有恒定电流I_0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a、面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度\omega 匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量Bₓ与时间的近似关系如图2所示，图中B_0已知。$

<img_670>

<img_950>
$当撤去外力，线框将缓慢减速，经\frac{\pi }{\omega }时间角速度减小量为\Delta \omega \left(\frac{\Delta \omega }{\omega }≪1\right)，设线框与圆环的能量转换效率为k，求\Delta \omega 的值[当0<x≪1，有(1-x)^2\approx 1-2x]。$

Solution:
根据题意，有
$\frac{1}{2}\times 2m(\omega l)^2 - \frac{1}{2}\times 2m(\omega  - \Delta \omega )^2l^2 = \frac{1}{k}I^2_{有}R\times \frac{\pi}{\omega}$

$\Delta \omega  = \frac{6S^2B^2_0}{\pi Rml^2k}$

Final answer: $\frac{6S^2B^2_0}{\pi Rml^2k}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $一导热汽缸内用活塞封闭着一定质量的理想气体。如图甲所示，汽缸水平横放时，缸内空气柱长为l_0。已知大气压强为p_0，环境温度为T_0，活塞横截面积为S，汽缸的质量m=\frac{p_0S}{20g}，不计活塞与汽缸之间的摩擦，g为重力加速度。现将汽缸悬挂于空中，如图乙所示。求：$

<img_1453>

<img_963>
$第(2)小题过程中，若气体内能减少了\Delta U，此气体放出了多少热量。$

Solution:
$由热力学第一定律可知-\Delta U=-Q+W$
$其中W=p_1S(l_1-l_0)$
$则气体放出的热量为Q=\Delta U+{p_0l_0S}/20$

Final answer: $\Delta U + \frac{p_0l_0S}{20}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $一导热汽缸内用活塞封闭着一定质量的理想气体。如图甲所示，汽缸水平横放时，缸内空气柱长为l_0。已知大气压强为p_0，环境温度为T_0，活塞横截面积为S，汽缸的质量m=\frac{p_0S}{20g}，不计活塞与汽缸之间的摩擦，g为重力加速度。现将汽缸悬挂于空中，如图乙所示。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295112486219779/img/compression/M_03e64dac5aef77e1a3c67afa9ab766a8.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295112486219779/img/compression/M_bd669d17f20cb7c30b4b63e91a99d8d6.jpg)
$第(2)小题过程中，若气体内能减少了\Delta U，此气体放出了多少热量。$

Solution:
$由热力学第一定律可知-\Delta U=-Q+W$
$其中W=p_1S(l_1-l_0)$
$则气体放出的热量为Q=\Delta U+{p_0l_0S}/20$

Final answer: $\Delta U + \frac{p_0l_0S}{20}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，两条距离为D的平行光线，以入射角\theta 从空气射入平静水面，反射光线与折射光线垂直。求：$
<img_436>
水的折射率n；

Solution:
$由几何关系可知折射角\alpha =90^\circ -\theta ,则折射率n=\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }=\tan \theta 。$

Final answer: $\tan \theta $
Subfield: Optics


Question: $如图所示，两条距离为D的平行光线，以入射角\theta 从空气射入平静水面，反射光线与折射光线垂直。求：$
![23GZT5WL243.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295175564357635/img/compression/M_308c97a0ebc2329f3ed01a949f11116d.jpg)
水的折射率n；

Solution:
$由几何关系可知折射角\alpha =90^\circ -\theta ,则折射率n=\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }=\tan \theta 。$

Final answer: $\tan \theta $
Subfield: Optics


Question: $如图所示，两条距离为D的平行光线，以入射角\theta 从空气射入平静水面，反射光线与折射光线垂直。求：$
![23GZT5WL243.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295175564357635/img/compression/M_308c97a0ebc2329f3ed01a949f11116d.jpg)
两条折射光线之间的距离d。

Solution:
如图所示，由几何关系可知

$\frac{D}{\sin  \alpha } = \frac{d}{\cos  \alpha },$

所以

$d = \frac{\cos  (90^{\circ}-\theta )}{\sin  (90^{\circ}-\theta )} D = D \cdot \tan \theta .$

![23GZT5WL243A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716295175908290562/img/compression/M_65fed9981f2212fda00fce78658e7bb9.jpg)

Final answer: $D \cdot \tan \theta$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，两条距离为D的平行光线，以入射角\theta 从空气射入平静水面，反射光线与折射光线垂直。求：$
<img_436>
两条折射光线之间的距离d。

Solution:
如图所示，由几何关系可知

$\frac{D}{\sin  \alpha } = \frac{d}{\cos  \alpha },$

所以

$d = \frac{\cos  (90^{\circ}-\theta )}{\sin  (90^{\circ}-\theta )} D = D \cdot \tan \theta .$

<img_1165>

Final answer: $D \cdot \tan \theta$
Subfield: Mechanics


Question: 在国庆阅兵式中，某直升机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机在一条水平直线上先由静止开始做匀加速直线运动到达B位置，紧接着做匀速直线运动到达C位置，如图所示，已知A、C间的距离为L，匀速运动时速度为v，从A运动到C的时间为t，求：

<img_1459>
直升机加速的时间；

Solution:
$设加速过程的加速度为a，加速时间为t_1，则$
$v=at_1、\frac{1}{2}at^2_1+v(t-t_1)=L$
$解得a=\frac{v^2}{2(vt-L)}，t_1=\frac{2(vt-L)}{v}$

Final answer: $\frac{2(vt-L)}{v}$
Subfield: Mechanics


Question: 在国庆阅兵式中，某直升机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机在一条水平直线上先由静止开始做匀加速直线运动到达B位置，紧接着做匀速直线运动到达C位置，如图所示，已知A、C间的距离为L，匀速运动时速度为v，从A运动到C的时间为t，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271928706863106/img/compression/M_fed6435df197d11142600c66d6a2f201.jpg)
直升机加速的时间；

Solution:
$设加速过程的加速度为a，加速时间为t_1，则$
$v=at_1、\frac{1}{2}at^2_1+v(t-t_1)=L$
$解得a=\frac{v^2}{2(vt-L)}，t_1=\frac{2(vt-L)}{v}$

Final answer: $\frac{2(vt-L)}{v}$
Subfield: Mechanics


Question: 在国庆阅兵式中，某直升机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机在一条水平直线上先由静止开始做匀加速直线运动到达B位置，紧接着做匀速直线运动到达C位置，如图所示，已知A、C间的距离为L，匀速运动时速度为v，从A运动到C的时间为t，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271928706863106/img/compression/M_fed6435df197d11142600c66d6a2f201.jpg)
$直升机的速度为 \frac{1}{3} v的 M 位置(图中未画出)到 C 位置的距离。$

Solution:
$当速度为\frac{1}{3} v时，运动的时间 t_2=\frac{\frac{1}{3}v}{a}=\frac{2(vt-L)}{3v}$

$此时直升机的位移 x=\frac{1}{2} at_2=\frac{vt-L}{9}$

$所以速度为\frac{1}{3} v的 M 位置到 C 位置的距离$

$d = L - x = \frac{10L-vt}{9}$

Final answer: $\frac{10L-vt}{9}$
Subfield: Mechanics


Question: 在国庆阅兵式中，某直升机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机在一条水平直线上先由静止开始做匀加速直线运动到达B位置，紧接着做匀速直线运动到达C位置，如图所示，已知A、C间的距离为L，匀速运动时速度为v，从A运动到C的时间为t，求：

<img_1459>
$直升机的速度为 \frac{1}{3} v的 M 位置(图中未画出)到 C 位置的距离。$

Solution:
$当速度为\frac{1}{3} v时，运动的时间 t_2=\frac{\frac{1}{3}v}{a}=\frac{2(vt-L)}{3v}$

$此时直升机的位移 x=\frac{1}{2} at_2=\frac{vt-L}{9}$

$所以速度为\frac{1}{3} v的 M 位置到 C 位置的距离$

$d = L - x = \frac{10L-vt}{9}$

Final answer: $\frac{10L-vt}{9}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

<img_1162>
A与挡板第一次碰撞前瞬间的速度大小;

Solution:
由静止释放A和B后，由于斜面光滑，但A、B之间有摩擦，因此A、B将保持相对静止，以共同速度沿斜面下滑，直到与挡板发生碰撞。

设第一次碰撞前瞬间A的速度为v1，对A和B组成的整体由机械能守恒定律有

$(M+m)gd \sin \theta  = 1/2 (M+m)v_1^2，解得v_1 = sqrt(2gd \sin \theta )$

Final answer: $\sqrt{2gd \sin \theta}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,倾角为\theta 的光滑固定斜面,其底端固定一垂直于斜面的挡板，一质量为M的木板A放置在斜面上，下端到挡板的距离为d,A的上端放置一质量为m的小物块B,现由静止同时释放A和B,A与挡板发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短,在运动过程中,B始终没有从A上滑落,且B未与挡板发生碰撞。已知M=3m,A、B间的动摩擦因数\mu =1.5 \tan \theta ,g为重力加速度。求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716271978737389570/img/compression/M_b684a864dc4407ef9a9381a052ab2ad0.jpg)
A与挡板第一次碰撞前瞬间的速度大小;

Solution:
由静止释放A和B后，由于斜面光滑，但A、B之间有摩擦，因此A、B将保持相对静止，以共同速度沿斜面下滑，直到与挡板发生碰撞。

设第一次碰撞前瞬间A的速度为v1，对A和B组成的整体由机械能守恒定律有

$(M+m)gd \sin \theta  = 1/2 (M+m)v_1^2，解得v_1 = sqrt(2gd \sin \theta )$

Final answer: $\sqrt{2gd \sin \theta}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

<img_714>
水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小;

Solution:
$小球恰好经过C点且合力指向圆心，可知此时重力与水平恒力的合力沿CO方向，且与轨道间无压力，由平行四边形定则可知水平恒力F_0=mg \tan \alpha = \frac{3}{4}mg，水平恒力方向向右，合力F= \frac{mg}{\cos \alpha  } = \frac{5}{4} mg，由牛顿第二定律有F= \frac{mv^2_C}{R}，解得v_{C}= \frac{\sqrt{5gR}}{2} 。$

Final answer: $\frac{3}{4}mg, \frac{\sqrt{5gR}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示,在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O点为圆心,OA和OB之间的夹角为\alpha ,\sin \alpha =0.6。一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求:

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272015277551618/img/compression/M_4828224b3d307ea01bb69e1215bfc197.jpg)
水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小;

Solution:
$小球恰好经过C点且合力指向圆心，可知此时重力与水平恒力的合力沿CO方向，且与轨道间无压力，由平行四边形定则可知水平恒力F_0=mg \tan \alpha = \frac{3}{4}mg，水平恒力方向向右，合力F= \frac{mg}{\cos \alpha  } = \frac{5}{4} mg，由牛顿第二定律有F= \frac{mv^2_C}{R}，解得v_{C}= \frac{\sqrt{5gR}}{2} 。$

Final answer: $\frac{3}{4}mg, \frac{\sqrt{5gR}}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是\frac{1}{4}圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E<sub>1</sub>、方向指向圆心O<sub>1</sub>；在空间坐标系中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E<sub>2</sub>(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45^\circ 角的匀强磁场、磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377148866949123/img/compression/M_8f532588ebfa692913e1f590b8748a76.jpg)
$若某一粒子进入辐向电场的速率为v_0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为(L，\frac{L}{2}，0)，求该粒子的比荷q_0和区域Ⅱ中电场强度E_2的大小；$

Solution:
$某一粒子进入辐向电场的速率为v_0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得$
$q_0E_1=m_0\frac{v^2_0}{R}$

解得该粒子的比荷为
$\frac{q_0}{m_0}=\frac{v^2_0}{E_1R}$

粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，
$沿x轴方向有L=v_0t$

$沿y轴方向有$
$a=\frac{q_0E_2}{m_0}，\frac{L}{2}=\frac{1}{2}at^2$

$联立解得区域Ⅱ中电场强度E_2的大小为$
$E_2=\frac{E_1R}{L}$

Final answer: $\frac{v^2_0}{E_1R}　\frac{E_1R}{L}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是\frac{1}{4}圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E<sub>1</sub>、方向指向圆心O<sub>1</sub>；在空间坐标系中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E<sub>2</sub>(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45^\circ 角的匀强磁场、磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。$

<img_954>
$若某一粒子进入辐向电场的速率为v_0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为(L，\frac{L}{2}，0)，求该粒子的比荷q_0和区域Ⅱ中电场强度E_2的大小；$

Solution:
$某一粒子进入辐向电场的速率为v_0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得$
$q_0E_1=m_0\frac{v^2_0}{R}$

解得该粒子的比荷为
$\frac{q_0}{m_0}=\frac{v^2_0}{E_1R}$

粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，
$沿x轴方向有L=v_0t$

$沿y轴方向有$
$a=\frac{q_0E_2}{m_0}，\frac{L}{2}=\frac{1}{2}at^2$

$联立解得区域Ⅱ中电场强度E_2的大小为$
$E_2=\frac{E_1R}{L}$

Final answer: $\frac{v^2_0}{E_1R}　\frac{E_1R}{L}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。$

<img_597>

<img_960>
$求粒子打到记录板上位置的x坐标;$

Solution:
设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为$v_{z}$，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得qE=ma  
⑧  
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得$v_{z}=v \cos \alpha   $
⑨  
$d=v_{z}t  $
⑩  
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得$x=1/2at^2  $
⑪  
联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得$x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}  $
⑫

Final answer: $\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377137729695747/img/compression/M_30432ff7baafe0ae6e15051d06879201.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377137729695747/img/compression/M_dc133cc952e84023ba9f2bfe4f1ee80a.jpg)
$求粒子打到记录板上位置的x坐标;$

Solution:
设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为$v_{z}$，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得qE=ma  
⑧  
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得$v_{z}=v \cos \alpha   $
⑨  
$d=v_{z}t  $
⑩  
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得$x=1/2at^2  $
⑪  
联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得$x=\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}  $
⑫

Final answer: $\frac{md^2E}{4mU-2qd^2B^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。$

<img_597>

<img_960>
求粒子打到记录板上位置的y坐标(用R、d表示);

Solution:
$设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得$

$y'=vt \sin \alpha \ \ (⑬)$

$由题意得y=L+y' \ \ (⑭)$

联立④⑤⑥⑨⑩⑬⑭式得

$y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}} \ \ (⑮)$

Final answer: $R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场(初速度视为零)，经b孔进入磁场，过P面上的c点(图中未画出)进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377137729695747/img/compression/M_30432ff7baafe0ae6e15051d06879201.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377137729695747/img/compression/M_dc133cc952e84023ba9f2bfe4f1ee80a.jpg)
求粒子打到记录板上位置的y坐标(用R、d表示);

Solution:
$设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得$

$y'=vt \sin \alpha \ \ (⑬)$

$由题意得y=L+y' \ \ (⑭)$

联立④⑤⑥⑨⑩⑬⑭式得

$y=R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}} \ \ (⑮)$

Final answer: $R-\sqrt{R^2-d^2}+\frac{d^2}{\sqrt{R^2-d^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图a，区域Ⅰ有竖直向上的场强大小为E_0的匀强电场，区域Ⅱ有平行于x轴的交变电场，场强E随时间变化规律如图b所示(设向右为正方向)，区域Ⅲ和区域Ⅳ有方向均垂直纸面的匀强磁场，且区域Ⅳ磁场的磁感应强度大小为区域Ⅲ磁场的磁感应强度大小的2倍。y轴上固定着一块以O'为中点的绝缘弹性挡板(挡板厚度可忽略，粒子与挡板碰撞时，平行挡板方向的分速度不变，垂直挡板方向上的分速度等大反向，且碰撞后带电荷量不变)。t＝0时，在O点释放一带正电粒子(不计重力)，粒子经电场加速后进入区域Ⅱ，经电场偏转后进入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时粒子速度与水平方向成30^\circ 角，接着在区域Ⅲ磁场中恰好以O'点为圆心做圆周运动，此后又恰好回到O点，并做周期性运动，已知粒子的质量m、电荷量q、电场场强大小E_0、区域Ⅰ的宽度d。求：$

图a
<img_430>

图b
<img_1432>
$若粒子在t＝T时刻恰好返回O点，则交变电场随时间变化的周期T是多少。$

Solution:
作出粒子的运动轨迹，如图。 

<img_816>

$粒子在0～\frac{1}{2}T内运动到O'点，轨迹关于y轴对称，由⑤⑦⑧得  $
$t_2=\sqrt{\frac{6md}{qE_0}}  $
粒子在磁场区域Ⅲ中运动的周期  
$T_0=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}  $
粒子在区域Ⅲ运动的时间  
$t_3=2\times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times \frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi m}{3qB}  $
$在区域Ⅳ运动的时间为　t_4=\frac{2\pi m}{2qB}=\frac{\pi m}{qB}  $
故周期$T＝2(t_1＋t_2)＋t_3＋t_4  $
由③⑤⑬⑭⑮⑯⑰⑱得  
$T=(2+2\sqrt{3}+2.5\pi )\sqrt{\frac{2md}{qE_0}}$

Final answer: $(2+2\sqrt{3}+2.5\pi )\sqrt{\frac{2md}{qE_0}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图a，区域Ⅰ有竖直向上的场强大小为E_0的匀强电场，区域Ⅱ有平行于x轴的交变电场，场强E随时间变化规律如图b所示(设向右为正方向)，区域Ⅲ和区域Ⅳ有方向均垂直纸面的匀强磁场，且区域Ⅳ磁场的磁感应强度大小为区域Ⅲ磁场的磁感应强度大小的2倍。y轴上固定着一块以O'为中点的绝缘弹性挡板(挡板厚度可忽略，粒子与挡板碰撞时，平行挡板方向的分速度不变，垂直挡板方向上的分速度等大反向，且碰撞后带电荷量不变)。t＝0时，在O点释放一带正电粒子(不计重力)，粒子经电场加速后进入区域Ⅱ，经电场偏转后进入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时粒子速度与水平方向成30^\circ 角，接着在区域Ⅲ磁场中恰好以O'点为圆心做圆周运动，此后又恰好回到O点，并做周期性运动，已知粒子的质量m、电荷量q、电场场强大小E_0、区域Ⅰ的宽度d。求：$

图a
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377159167905796/img/compression/M_4824af781da6b13b38834d4d70ba2229.jpg)

图b
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377159167905796/img/compression/M_c4652fadbc1fad2d1856832beb5ecde2.jpg)
$若粒子在t＝T时刻恰好返回O点，则交变电场随时间变化的周期T是多少。$

Solution:
作出粒子的运动轨迹，如图。 

![24BGD5WL217.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377159721553922/img/compression/M_2e42186cf98ddcd24c10c9d53fccb8f1.jpg)

$粒子在0～\frac{1}{2}T内运动到O'点，轨迹关于y轴对称，由⑤⑦⑧得  $
$t_2=\sqrt{\frac{6md}{qE_0}}  $
粒子在磁场区域Ⅲ中运动的周期  
$T_0=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}  $
粒子在区域Ⅲ运动的时间  
$t_3=2\times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times \frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi m}{3qB}  $
$在区域Ⅳ运动的时间为　t_4=\frac{2\pi m}{2qB}=\frac{\pi m}{qB}  $
故周期$T＝2(t_1＋t_2)＋t_3＋t_4  $
由③⑤⑬⑭⑮⑯⑰⑱得  
$T=(2+2\sqrt{3}+2.5\pi )\sqrt{\frac{2md}{qE_0}}$

Final answer: $(2+2\sqrt{3}+2.5\pi )\sqrt{\frac{2md}{qE_0}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是列车进站时利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为D，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，MN边界与ab平行，区域长为D。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时列车的速度大小为v_0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m ，所受摩擦阻力大小恒定为kmg，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

<img_1331>
线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小；

Solution:
$线框刚进入磁场时, E = BLv_{0}$

$I = \frac{BLv_0}{R}$

$有 BIL + kmg = ma$

$联立方程解得 a = \frac{B^2L^2v_0}{mR} + kg$

Final answer: $\frac{B^2L^2v_0}{mR}+kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是列车进站时利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为D，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，MN边界与ab平行，区域长为D。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时列车的速度大小为v_0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m ，所受摩擦阻力大小恒定为kmg，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377189115236355/img/compression/M_00f8e91d24e322817724edb6d0c7d8e7.jpg)
线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小；

Solution:
$线框刚进入磁场时, E = BLv_{0}$

$I = \frac{BLv_0}{R}$

$有 BIL + kmg = ma$

$联立方程解得 a = \frac{B^2L^2v_0}{mR} + kg$

Final answer: $\frac{B^2L^2v_0}{mR}+kg$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是列车进站时利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为D，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，MN边界与ab平行，区域长为D。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时列车的速度大小为v_0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m ，所受摩擦阻力大小恒定为kmg，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

<img_1331>
线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热。

Solution:
线框从进入磁场到离开磁场过程中，由动能定理得

$-\textit{W}-\textit{kmg}\cdot 2\textit{d}=0-\frac{1}{2}\textit{mv}_0^2$

又

$\textit{W}=\textit{Q}$

联立方程解得

$\textit{Q}=\frac{1}{2}\textit{mv}_0^2-2\textit{kmgd}$

Final answer: $\frac{1}{2}mv_0^2-2kmgd$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是列车进站时利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为D，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，MN边界与ab平行，区域长为D。若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时列车的速度大小为v_0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动。已知线框总电阻为R，列车的总质量为m ，所受摩擦阻力大小恒定为kmg，不计空气阻力，重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377189115236355/img/compression/M_00f8e91d24e322817724edb6d0c7d8e7.jpg)
线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热。

Solution:
线框从进入磁场到离开磁场过程中，由动能定理得

$-\textit{W}-\textit{kmg}\cdot 2\textit{d}=0-\frac{1}{2}\textit{mv}_0^2$

又

$\textit{W}=\textit{Q}$

联立方程解得

$\textit{Q}=\frac{1}{2}\textit{mv}_0^2-2\textit{kmgd}$

Final answer: $\frac{1}{2}mv_0^2-2kmgd$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图是一种矿井直线电机提升系统的原理图，在同一竖直平面的左右两边条形区域内，有垂直平面向里和向外交替的匀强磁场，每块磁场区域的高度均为L、磁感应强度大小均为B。梯箱左右两边通过绝缘支架均固定有边长为L、匝数为n、总电阻为R的正方形导线框，导线框平面与磁场垂直，上下两边水平。导线框、支架以及梯箱等的总质量为M。电机起动后两边磁场均以速度v沿竖直轨道向上匀速运动。忽略一切阻力，梯箱正常运行时防坠落装置与轨道间没有相互作用。求：$

<img_844>
电机刚起动瞬间导线框ABCD所受安培力的大小；

Solution:
电机刚起动瞬间，导线框ABCD中感应电动势大小为
$E=2nBLv$
$则感应电流大小I=\frac{E}{R}=\frac{2nBLv}{R}$
每边每根导线所受安培力$F_{安}=BIL$
$AD、BC边所受安培力等大反向，则整个导线框ABCD所受安培力为F_{安总}=2nBIL=\frac{4n^2B^2L^2v}{R}$



Final answer: $\frac{4n^2B^2L^2v}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图是一种矿井直线电机提升系统的原理图，在同一竖直平面的左右两边条形区域内，有垂直平面向里和向外交替的匀强磁场，每块磁场区域的高度均为L、磁感应强度大小均为B。梯箱左右两边通过绝缘支架均固定有边长为L、匝数为n、总电阻为R的正方形导线框，导线框平面与磁场垂直，上下两边水平。导线框、支架以及梯箱等的总质量为M。电机起动后两边磁场均以速度v沿竖直轨道向上匀速运动。忽略一切阻力，梯箱正常运行时防坠落装置与轨道间没有相互作用。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377189522083842/img/compression/M_5d04e4f5465d2319d95478cb918d9f9b.jpg)
电机刚起动瞬间导线框ABCD所受安培力的大小；

Solution:
电机刚起动瞬间，导线框ABCD中感应电动势大小为
$E=2nBLv$
$则感应电流大小I=\frac{E}{R}=\frac{2nBLv}{R}$
每边每根导线所受安培力$F_{安}=BIL$
$AD、BC边所受安培力等大反向，则整个导线框ABCD所受安培力为F_{安总}=2nBIL=\frac{4n^2B^2L^2v}{R}$

Final answer: $F_{安总}=\frac{4n^2B^2L^2v}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图是一种矿井直线电机提升系统的原理图，在同一竖直平面的左右两边条形区域内，有垂直平面向里和向外交替的匀强磁场，每块磁场区域的高度均为L、磁感应强度大小均为B。梯箱左右两边通过绝缘支架均固定有边长为L、匝数为n、总电阻为R的正方形导线框，导线框平面与磁场垂直，上下两边水平。导线框、支架以及梯箱等的总质量为M。电机起动后两边磁场均以速度v沿竖直轨道向上匀速运动。忽略一切阻力，梯箱正常运行时防坠落装置与轨道间没有相互作用。求：$

<img_844>
$当梯箱以\frac{v}{3}的速度向上运动时的加速度大小。$

Solution:
$当梯箱以v/3的速度向上运动，此时一个导线框感应电动势大小为E_2=2nBL(v-1/3v)$
$感应电流大小I_2=E_2/R$
$两个导线框所受安培力大小F=4nBI_2L$
$根据牛顿第二定律有F-Mg=Ma$
$解得a=\frac{16n^2B^2L^2v}{3MR}-g$

Final answer: $a=\frac{16n^2B^2L^2v}{3MR}-g$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图是一种矿井直线电机提升系统的原理图，在同一竖直平面的左右两边条形区域内，有垂直平面向里和向外交替的匀强磁场，每块磁场区域的高度均为L、磁感应强度大小均为B。梯箱左右两边通过绝缘支架均固定有边长为L、匝数为n、总电阻为R的正方形导线框，导线框平面与磁场垂直，上下两边水平。导线框、支架以及梯箱等的总质量为M。电机起动后两边磁场均以速度v沿竖直轨道向上匀速运动。忽略一切阻力，梯箱正常运行时防坠落装置与轨道间没有相互作用。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377189522083842/img/compression/M_5d04e4f5465d2319d95478cb918d9f9b.jpg)
$当梯箱以\frac{v}{3}的速度向上运动时的加速度大小。$

Solution:
$当梯箱以v/3的速度向上运动，此时一个导线框感应电动势大小为E_2=2nBL(v-1/3v)$
$感应电流大小I_2=E_2/R$
$两个导线框所受安培力大小F=4nBI_2L$
$根据牛顿第二定律有F-Mg=Ma$
$解得a=\frac{16n^2B^2L^2v}{3MR}-g$

Final answer: $a=\frac{16n^2B^2L^2v}{3MR}-g$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，距离为d，O_1O为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压U_MN=U_0时，某一带负电的粒子从O_1点以速度v_0沿O_1O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计。$

<img_1108>

<img_867>
$求带电粒子的比荷 \frac{q}{m}；$

Solution:
$设粒子经过时间t_0打在M板中点，沿极板方向有$
$\frac{L}{2} = v_0t_0$
垂直极板方向有
$\frac{d}{2} = \frac{qU_0}{2md}t^2_0$
解得
$\frac{q}{m} = \frac{4d^2v^2_0}{U_0L^2}$

Final answer: $\frac{4d^2v^2_0}{U_0L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，距离为d，O_1O为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压U_MN=U_0时，某一带负电的粒子从O_1点以速度v_0沿O_1O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972511879172/img/compression/M_8fad03af01aded8d9e12adfac7acf6f1.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608972511879172/img/compression/M_916b266057090e35161b0461892264b8.jpg)
$求带电粒子的比荷 \frac{q}{m}；$

Solution:
$设粒子经过时间t_0打在M板中点，沿极板方向有$
$\frac{L}{2} = v_0t_0$
垂直极板方向有
$\frac{d}{2} = \frac{qU_0}{2md}t^2_0$
解得
$\frac{q}{m} = \frac{4d^2v^2_0}{U_0L^2}$

Final answer: $\frac{4d^2v^2_0}{U_0L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 一质量为m的带电小球以速度v_0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场中，场强为E，如图所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v_0，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609006222618626/img/compression/M_9c3319d6d6e23ad7055cf5a896edc026.jpg)
小球带电情况；

Solution:
$从A到B过程中，在竖直方向小球做匀减速运动，加速度a_y=g，B点是最高点，竖直分速度为0，有t=\frac{v_0}{g}。$

$水平方向小球在电场力作用下做匀加速运动，可知小球带正电，初速度为0，加速度a_x=\frac{qE}{m}，水平方向有v_0=\frac{qE}{m}t，解得Eq=mg，可得q=\frac{mg}{E}。$

Final answer: $小球带正电，电荷量为 \frac{mg}{E}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 一质量为m的带电小球以速度v_0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场中，场强为E，如图所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v_0，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

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小球的电荷量；

Solution:
$从A到B过程中，在竖直方向小球做匀减速运动，加速度a_y=g，B点是最高点，竖直分速度为0，有t=\frac{v_0}{g}。$

$水平方向小球在电场力作用下做匀加速运动，可知小球带正电，初速度为0，加速度a_x=\frac{qE}{m}，水平方向有v_0=\frac{qE}{m}t，解得Eq=mg，可得q=\frac{mg}{E}。$



Final answer: $\frac{mg}{E}$