Subfield: Number Theory


Question: 正实数 $\alpha 、 \beta 、 \gamma 、 \delta$, 对任意的 $n \in \mathbf{N}_{+}$,满足

$[\alpha n][\beta n]=[\gamma n][\delta n]$,

且 $\{\alpha, \beta\} \neq\{\gamma, \delta\}$. 证明: $\alpha \beta=\gamma \delta$, 且 $\alpha 、 \beta 、 \gamma 、 \delta$为正整数.

Solution:
注意到, $\alpha n-1<[\alpha n] \leqslant \alpha n$.

上式除以 $n$ 得

$\alpha-\frac{1}{n}<\frac{[\alpha n]}{n} \leqslant \alpha \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{[\alpha n]}{n}=\alpha$.

类似地, $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{[\beta n]}{n}=\beta$,

$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{[\gamma n]}{n}=\gamma, \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{[\delta n]}{n}=\delta$.

$[\alpha n][\beta n]=[\gamma n][\delta n]$两边同时除以 $n^{2}$ 得

$\frac{[\alpha n]}{n} \cdot \frac{[\beta n]}{n}=\frac{[\gamma n]}{n} \cdot \frac{[\delta n]}{n}$.

当 $n \rightarrow+\infty$ 时, $\alpha \beta=\gamma \delta$.

不妨假设 $\alpha \geqslant \beta, \gamma \geqslant \delta, \alpha \geqslant \gamma$.

则 $\alpha \geqslant \gamma \geqslant \delta \geqslant \beta$.

因为 $\{\alpha, \beta\} \neq\{\gamma, \delta\}$, 所以,

$\alpha>\gamma \geqslant \delta>\beta$.

于是, 存在正整数 $N$ 满足

(1) $(\alpha-\gamma) N>1$;

(2) $(\delta-\beta) N>1$;

(3) $\beta N>1$.

对任意的 $m>N$, 上述三个条件均成立.此时,

$[\alpha m]-[\gamma m] \geqslant 1,[\delta m]-[\beta m] \geqslant 1$,

$[\beta m] \geqslant 1$.

先证明一个引理.

引理 当 $m>N$ 时, 在上述条件下, $\alpha m$ 、 $\beta m 、 \gamma m 、 \delta m$ 均为正整数.证明 固定 $m>N$. 设 $[\alpha m]=A,\{\alpha m\}$ $=a, a$ 的二进制表示为 $a=\left(0 . a_{1} a_{2} \cdots\right)_{2}$ ；类似地, 可定义 $[\beta m]=B,\{\beta m\}=b$, $b$ 的二进制表示为 $b=\left(0 . b_{1} b_{2} \cdots\right)_{2}$; $[\gamma m]=C,\{\gamma m\}=c$, $c$ 的二进制表示为 $c=\left(0 . c_{1} c_{2} \cdots\right)_{2}$; $[\delta m]=D,\{\delta m\}=d$, $d$ 的二进制表示为 $d=\left(0 . d_{1} d_{2} \cdots\right)_{2}$.据题目条件知 $[\alpha m][\beta m]=[\gamma m][\delta m]$.则 $A B=C D$, 且 $A>C \geqslant D>B \geqslant 1$.

取 $n=2 m$, 则 $[2 \alpha m]=2 A+a_{1},[2 \beta m]=2 B+b_{1}$, $[2 \gamma m]=2 C+c_{1},[2 \delta m]=2 D+d_{1}$.

由 $[2 \alpha m][2 \beta m]=[2 \gamma m][2 \delta m]$,知

$\left(2 A+a_{1}\right)\left(2 B+b_{1}\right)=\left(2 C+c_{1}\right)\left(2 D+d_{1}\right)$

$\Rightarrow 2 A b_{1}+2 B a_{1}+a_{1} b_{1}$

$$
=2 C d_{1}+2 D c_{1}+c_{1} d_{1}. \quad \quad ①
$$

(1) 当 $a_{1}=1, b_{1}=1$ 时, 由于式①左边为奇数, 故右边为奇数. 因此, $c_{1}=1, d_{1}=1$. 由式①可得 $A+B=C+D$, 再结合 $A B=C D$, 得 $\{A, B\}=\{C, D\}$ 与 $A>C \geqslant D>B \geqslant 1$ 矛盾.

(2) 当 $a_{1}=1, b_{1}=0$ 时, 由于式①左边为偶数, 故右边为偶数. 因此, $c_{1} d_{1}=0$. 式①变为 $B=d_{1} C+c_{1} D \in\{0, C, D\}$. 矛盾.

(3) 当 $a_{1}=0, b_{1}=1$ 时, 由于式①左边为偶数, 故右边为偶数. 因此, $c_{1} d_{1}=0$. 式①变为 $A=d_{1} C+c_{1} D \in\{0, C, D\}$. 矛盾.

(4) 当 $a_{1}=0, b_{1}=0$ 时, 由式①得

$c_{1}=d_{1}=0$.

从而, $a_{1}=b_{1}=c_{1}=d_{1}=0$.

取 $n=4 m$, 则

$[4 \alpha m]=4 A+a_{2},[4 \beta m]=4 B+b_{2}$,

$[4 \gamma \mathrm{m}]=4 C+c_{2},[4 \delta \mathrm{m}]=4 D+d_{2}$.

由 $[4 \alpha m][4 \beta m]=[4 \gamma m][4 \delta m]$,知

$\left(4 A+a_{2}\right)\left(4 B+b_{2}\right)=\left(4 C+c_{2}\right)\left(4 D+d_{2}\right)$

$\Rightarrow 4 A b_{2}+4 B a_{2}+a_{2} b_{2}=4 C d_{2}+4 D c_{2}+c_{2} d_{2}$.

类似于之前的讨论知

$a_{2}=b_{2}=c_{2}=d_{2}=0$.

利用数学归纳法可以证明对于任意的 $k \in \mathbf{N}_{+}, a_{k}=b_{k}=c_{k}=d_{k}=0$.

故 $a=b=c=d=0, \alpha m 、 \beta m 、 \gamma m 、 \delta m$ 均为正整数.

引理得证.

据引理知 $(m+1) \alpha_{、}(m+1) \beta 、(m+1) \gamma$ 、 $(m+1) \delta$ 均为正整数.

因此, $\alpha, \beta 、 \gamma, \delta$ 均为正整数.