di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA的中点，AB\parallel CD,AD\perp CD,PD\perp 平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2,AB=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760645473587202/img/compression/M_2b942972cbbf5af2b16031688417e9e2.jpg)
$(2)求直线PA与平面CMB所成角的正弦值；$

Solution:
$\overrightarrow{CB}=(2,-2,0),\overrightarrow{BM}=(-1,-1,1),\overrightarrow{PA}=(2,0,-2),|\overrightarrow{PA}|=2\sqrt{2}，设平面CMB的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BM}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x-2y=0,\\ -x-y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1，则x=1，z=2，\therefore n=(1,1,2),|n|=\sqrt{6},设直线PA与平面CMB所成角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{PA},n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{6},所以直线PA与平面CMB所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA的中点，AB\parallel CD,AD\perp CD,PD\perp 平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2,AB=1.$<img_2177>
$(3)求平面PAB与平面CMB夹角的大小.$

Solution:
$\overrightarrow{AB}=(0,1,0),\overrightarrow{BP}=(-2,-1,2),设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}b=0,\\ -2a-b+2c=0,\end{matrix}\right.令a=1，则c=1，则m=(1,0,1),|m|=\sqrt{2}.由(2)知平面CMB的一个法向量为n=(1,1,2),|n|=\sqrt{6}.设平面PAB与平面CMB的夹角为\alpha ，所以\\cos   \alpha =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{3}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以平面PAB与平面CMB夹角的大小为\frac{\pi }{6}.$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA的中点，AB\parallel CD,AD\perp CD,PD\perp 平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2,AB=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760645473587202/img/compression/M_2b942972cbbf5af2b16031688417e9e2.jpg)
$(3)求平面PAB与平面CMB夹角的大小.$

Solution:
$\overrightarrow{AB}=(0,1,0),\overrightarrow{BP}=(-2,-1,2),设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}b=0,\\ -2a-b+2c=0,\end{matrix}\right.令a=1，则c=1，则m=(1,0,1),|m|=\sqrt{2}.由(2)知平面CMB的一个法向量为n=(1,1,2),|n|=\sqrt{6}.设平面PAB与平面CMB的夹角为\alpha ，所以\\cos   \alpha =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{3}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以平面PAB与平面CMB夹角的大小为\frac{\pi }{6}.$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646044012546/img/compression/M_c436a66fb1be9ef5d0aefd1b858c186e.jpg)
$(1)证明:DM=2MP时，直线MN\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明:在线段AD上取一点Q，使AQ=\frac{1}{3}AD=1，连接MQ，NQ，\because DM=2MP，\therefore QM\parallel AP,又N为BC的中点，AB=BC=2,\therefore AQ=BN,又AQ\parallel BN，\therefore 四边形ABNQ为平行四边形，\therefore NQ\parallel AB,又NQ\cap MQ=Q，AB\cap AP=A，\therefore 平面MNQ\parallel 平面PAB，\because MN\subset 平面MNQ，\therefore MN\parallel 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$<img_2996>
$(1)证明:DM=2MP时，直线MN\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明:在线段AD上取一点Q，使AQ=\frac{1}{3}AD=1，连接MQ，NQ，\because DM=2MP，\therefore QM\parallel AP,又N为BC的中点，AB=BC=2,\therefore AQ=BN,又AQ\parallel BN，\therefore 四边形ABNQ为平行四边形，\therefore NQ\parallel AB,又NQ\cap MQ=Q，AB\cap AP=A，\therefore 平面MNQ\parallel 平面PAB，\because MN\subset 平面MNQ，\therefore MN\parallel 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646044012546/img/compression/M_c436a66fb1be9ef5d0aefd1b858c186e.jpg)
$(2)求二面角C-PD-N的正弦值；$

Solution:
$如图所示，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646346002434/img/compression/M_3b293336e12c4bd52aad973bd279357b.jpg)$则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0)，P(0,0,3),N(2,1,0),\therefore \overrightarrow{PD}=(0，3，-3)，\overrightarrow{CD}=(-2,1,0)，\overrightarrow{DN}=(2，-2，0)，设平面PCD的法向量为n_{1}=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD}\cdot \boldsymbol{n}_1=3y_1-3z_1=0,\\ \overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}_1=-2x_1+y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则n_{1}=(1，2，2)，设平面PND的法向量为n_{2}=(x_{2}，y_{2}，z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD}\cdot \boldsymbol{n}_2=3y_2-3z_2=0,\\ \overrightarrow{DN}\cdot \boldsymbol{n}_2=2x_2-2y_2=0,\end{matrix}\right.令x_{2}=1，则n_{2}=(1，1，1)，\therefore \\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{5\sqrt{3}}{9}，则二面角C-PD-N的正弦值为\sqrt{1-\left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{9}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$<img_2996>
$(2)求二面角C-PD-N的正弦值；$

Solution:
$如图所示，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系，$<img_2559>$则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0)，P(0,0,3),N(2,1,0),\therefore \overrightarrow{PD}=(0，3，-3)，\overrightarrow{CD}=(-2,1,0)，\overrightarrow{DN}=(2，-2，0)，设平面PCD的法向量为n_{1}=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD}\cdot \boldsymbol{n}_1=3y_1-3z_1=0,\\ \overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}_1=-2x_1+y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则n_{1}=(1，2，2)，设平面PND的法向量为n_{2}=(x_{2}，y_{2}，z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PD}\cdot \boldsymbol{n}_2=3y_2-3z_2=0,\\ \overrightarrow{DN}\cdot \boldsymbol{n}_2=2x_2-2y_2=0,\end{matrix}\right.令x_{2}=1，则n_{2}=(1，1，1)，\therefore \\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{5\sqrt{3}}{9}，则二面角C-PD-N的正弦值为\sqrt{1-\left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{9}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$<img_2996>
$(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}?若存在，求出\frac{PM}{PD}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$存在.假设存在点M，设\frac{PM}{PD}=\lambda ，即\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PD}，\lambda \in [0，1],则\overrightarrow{PM}=(0,3\lambda ，-3\lambda )，可得M(0，3\lambda ，3-3\lambda )，\therefore \overrightarrow{MN}=(2,1-3\lambda ,3\lambda -3),设NM与平面PCD所成角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{MN},n_{1}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \boldsymbol{n}_1|}{|\overrightarrow{MN}||\boldsymbol{n}_1|}=\left|\frac{2+2(1-3\lambda )+2(3\lambda -3)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(1-3\lambda )^2+(3\lambda -3)^2}}\right|=\frac{\sqrt{2}}{6}，解得\lambda =\frac{1}{3}或\lambda =1,故存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}，此时\frac{PM}{PD}=\frac{1}{3}或\frac{PM}{PD}=1.$

Final answer: $\frac{1}{3}, 1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD\parallel BC，AD=3，AB=BC=2，PA\perp 平面ABCD，且PA=3，点M在PD上，点N为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646044012546/img/compression/M_c436a66fb1be9ef5d0aefd1b858c186e.jpg)
$(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}?若存在，求出\frac{PM}{PD}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$存在.假设存在点M，设\frac{PM}{PD}=\lambda ，即\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PD}，\lambda \in [0，1],则\overrightarrow{PM}=(0,3\lambda ，-3\lambda )，可得M(0，3\lambda ，3-3\lambda )，\therefore \overrightarrow{MN}=(2,1-3\lambda ,3\lambda -3),设NM与平面PCD所成角为\theta ，\therefore \\sin   \theta =|\\cos  \langle \overrightarrow{MN},n_{1}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \boldsymbol{n}_1|}{|\overrightarrow{MN}||\boldsymbol{n}_1|}=\left|\frac{2+2(1-3\lambda )+2(3\lambda -3)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(1-3\lambda )^2+(3\lambda -3)^2}}\right|=\frac{\sqrt{2}}{6}，解得\lambda =\frac{1}{3}或\lambda =1,故存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}，此时\frac{PM}{PD}=\frac{1}{3}或\frac{PM}{PD}=1.$

Final answer: $\frac{1}{3}, 1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，\triangle PAD是等边三角形，CD\perp 平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646765432835/img/compression/M_324e5d717db07c2f2a56df9b8c7adc7d.jpg)
$(1)求证:PO\perp 平面ABCD;$

Solution:
$证明:因为\triangle PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以PO\perp AD.又因为CD\perp 平面PAD，PO\subset 平面PAD，所以PO\perp CD.又AD\cap CD=D，AD，CD\subset 平面ABCD，所以PO\perp 平面ABCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，\triangle PAD是等边三角形，CD\perp 平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.$<img_2561>
$(1)求证:PO\perp 平面ABCD;$

Solution:
$证明:因为\triangle PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以PO\perp AD.又因为CD\perp 平面PAD，PO\subset 平面PAD，所以PO\perp CD.又AD\cap CD=D，AD，CD\subset 平面ABCD，所以PO\perp 平面ABCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，\triangle PAD是等边三角形，CD\perp 平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760646765432835/img/compression/M_324e5d717db07c2f2a56df9b8c7adc7d.jpg)
$(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;$

Solution:
$连接OG，易知OG\perp AD，如图，以O为坐标原点，分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647017091073/img/compression/M_745e7fdceee6db414aa7761f59b82a05.jpg)$则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(-2，4，0)，D(-2，0，0)，G(0，4，0)，P(0，0，2\sqrt{3})，E(-1,2,\sqrt{3})，F(-1,0,\sqrt{3})，则\overrightarrow{EF}=(0，-2，0)，\overrightarrow{EG}=(1，2,-\sqrt{3}).设平面EFG的法向量为m=(x，y，z)，所以\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{EF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{EG}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2y=0,\\ x+2y-\sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.令z=1，则m=(\sqrt{3}，0，1)，又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，所以|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\times 1}=\frac{1}{2}.所以平面EFG 与平面ABCD的夹角为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，\triangle PAD是等边三角形，CD\perp 平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.$<img_2561>
$(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;$

Solution:
$连接OG，易知OG\perp AD，如图，以O为坐标原点，分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.$<img_1776>$则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(-2，4，0)，D(-2，0，0)，G(0，4，0)，P(0，0，2\sqrt{3})，E(-1,2,\sqrt{3})，F(-1,0,\sqrt{3})，则\overrightarrow{EF}=(0，-2，0)，\overrightarrow{EG}=(1，2,-\sqrt{3}).设平面EFG的法向量为m=(x，y，z)，所以\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{EF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{EG}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2y=0,\\ x+2y-\sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.令z=1，则m=(\sqrt{3}，0，1)，又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，所以|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\times 1}=\frac{1}{2}.所以平面EFG 与平面ABCD的夹角为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647423938563/img/compression/M_915d4d36707f8eea6b5555c4dcc3431a.jpg)
$(1)求证:AN\perp 平面PDM；$

Solution:
$以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647423938563/img/compression/M_14c9d4956699479c9e9166f3e2e77ca2.jpg)$则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，M(2,1,0),N\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).证明：设平面PDM的法向量为m=(x_{1},y_{1},z_{1})，\because \overrightarrow{PD}=(0，1,-1)，\overrightarrow{DM}=(2,0,0)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DM}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y_1-z_1=0,\\ x_1=0.\end{matrix}\right.令y_{1}=1，则m=(0,1,1)，又\overrightarrow{AN}=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}m，\therefore \overrightarrow{AN}\parallel m，\therefore AN\perp 平面PDM.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$<img_2530>
$(1)求证:AN\perp 平面PDM；$

Solution:
$以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$<img_1765>$则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，M(2,1,0),N\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).证明：设平面PDM的法向量为m=(x_{1},y_{1},z_{1})，\because \overrightarrow{PD}=(0，1,-1)，\overrightarrow{DM}=(2,0,0)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DM}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y_1-z_1=0,\\ x_1=0.\end{matrix}\right.令y_{1}=1，则m=(0,1,1)，又\overrightarrow{AN}=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}m，\therefore \overrightarrow{AN}\parallel m，\therefore AN\perp 平面PDM.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$<img_2530>
$(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值;$

Solution:
$设平面PDC的法向量为n=(x_{2},y_{2},z_{2})，\because \overrightarrow{PD}=(0,1,-1),\overrightarrow{DC}=(2,1,0)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y_2-z_2=0,\\ 2x_2+y_2=0,\end{matrix}\right.令y_{2}=2，则n=(-1,2,2).由(1)知平面PDM的一个法向量为m=(0,1,1)，设平面PDM与平面PDC的夹角为\theta ，\therefore \\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\therefore \\sin   \theta =\sqrt{1-\\\cos   ^2 \theta }=\frac{1}{3},\therefore 平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647423938563/img/compression/M_915d4d36707f8eea6b5555c4dcc3431a.jpg)
$(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值;$

Solution:
$设平面PDC的法向量为n=(x_{2},y_{2},z_{2})，\because \overrightarrow{PD}=(0,1,-1),\overrightarrow{DC}=(2,1,0)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y_2-z_2=0,\\ 2x_2+y_2=0,\end{matrix}\right.令y_{2}=2，则n=(-1,2,2).由(1)知平面PDM的一个法向量为m=(0,1,1)，设平面PDM与平面PDC的夹角为\theta ，\therefore \\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\therefore \\sin   \theta =\sqrt{1-\\\cos   ^2 \theta }=\frac{1}{3},\therefore 平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647423938563/img/compression/M_915d4d36707f8eea6b5555c4dcc3431a.jpg)
$(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为\frac{2}{3}？若存在，求出线段PE的长;若不存在，请说明理由.$

Solution:
$假设存在点E，设\overrightarrow{PE}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),\because \overrightarrow{BP}=(-2,0,1)，\overrightarrow{PC}=(2,2,-1)，\therefore \overrightarrow{PE}=(2\lambda ,2\lambda ，-\lambda ),\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PE}=(2\lambda -2，2\lambda ，1-\lambda ),设直线BE与平面PDC所成角为\phi ，由(2)知平面PDC的一个法向量为n=(-1,2,2),\therefore \\sin   \phi =|\\cos  \langle \overrightarrow{BE}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{9\lambda ^2-10\lambda +5}\times 3}=\frac{2}{3}，得9\lambda ^{2}-10\lambda +1=0，即(9\lambda -1)(\lambda -1)=0，\because 0<\lambda <1，\therefore \lambda =\frac{1}{9}，故\overrightarrow{PE}=\frac{1}{9}\overrightarrow{PC}，由|\overrightarrow{PC}|=3可知|\overrightarrow{PE}|=\frac{1}{9}|\overrightarrow{PC}|=\frac{1}{3}，\therefore 线段PE的长为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，\angle ABC=\angle BAD=90^\circ ,AP\perp 平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M,N分别为线段BC和PD的中点.$<img_2530>
$(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为\frac{2}{3}？若存在，求出线段PE的长;若不存在，请说明理由.$

Solution:
$假设存在点E，设\overrightarrow{PE}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1),\because \overrightarrow{BP}=(-2,0,1)，\overrightarrow{PC}=(2,2,-1)，\therefore \overrightarrow{PE}=(2\lambda ,2\lambda ，-\lambda ),\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PE}=(2\lambda -2，2\lambda ，1-\lambda ),设直线BE与平面PDC所成角为\phi ，由(2)知平面PDC的一个法向量为n=(-1,2,2),\therefore \\sin   \phi =|\\cos  \langle \overrightarrow{BE}，n\rangle |=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{9\lambda ^2-10\lambda +5}\times 3}=\frac{2}{3}，得9\lambda ^{2}-10\lambda +1=0，即(9\lambda -1)(\lambda -1)=0，\because 0<\lambda <1，\therefore \lambda =\frac{1}{9}，故\overrightarrow{PE}=\frac{1}{9}\overrightarrow{PC}，由|\overrightarrow{PC}|=3可知|\overrightarrow{PE}|=\frac{1}{9}|\overrightarrow{PC}|=\frac{1}{3}，\therefore 线段PE的长为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760648350879745/img/compression/M_8dfa1eb39ea2bb9d40c349912d11d346.jpg)
$(1)求证：DE\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：\because PD\perp 平面ABCD，AD、DC在平面ABCD内，\therefore PD\perp DC，PD\perp AD，又\angle PAD=45^\circ ,\therefore PD=AD=1，又AB\parallel DC，AB\perp AD，\therefore AD\perp DC，\therefore 以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，P(0，0，1)，E\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)，则\overrightarrow{BC}=(-1,-1,0),\overrightarrow{CP}=(0,-1,1),设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-x-y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CP}=-y+z=0,\end{matrix}\right.取y=1,得m=(-1,1,1),又\overrightarrow{DE}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)，\therefore m\cdot \overrightarrow{DE}=0.又DE\not\subset 平面PBC，\therefore DE\parallel 平面PBC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760647981780995/img/compression/M_3734ca18dd1412bfdbd1286c0b1d892a.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$<img_1601>
$(1)求证：DE\parallel 平面PBC；$

Solution:
$证明：\because PD\perp 平面ABCD，AD、DC在平面ABCD内，\therefore PD\perp DC，PD\perp AD，又\angle PAD=45^\circ ,\therefore PD=AD=1，又AB\parallel DC，AB\perp AD，\therefore AD\perp DC，\therefore 以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，P(0，0，1)，E\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)，则\overrightarrow{BC}=(-1,-1,0),\overrightarrow{CP}=(0,-1,1),设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-x-y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CP}=-y+z=0,\end{matrix}\right.取y=1,得m=(-1,1,1),又\overrightarrow{DE}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)，\therefore m\cdot \overrightarrow{DE}=0.又DE\not\subset 平面PBC，\therefore DE\parallel 平面PBC.$<img_2161>
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$<img_1601>
$(2)求二面角F-PC-B的余弦值；$

Solution:
$由(1)知\overrightarrow{BD}=(-1，-2，0).设点F(1，t,0)(0\leq t\leq 2),则\overrightarrow{CF}=(1，t-1,0).\because \overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0,\therefore -1-2(t-1)=0,解得t=\frac{1}{2},\therefore F\left(1,\frac{1}{2},0\right).则\overrightarrow{FC}=\left(-1,\frac{1}{2},0\right),设平面FPC的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1}),\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FC}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}y_1-z_1=0,\\ -x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right.取x_{1}=1,得n=(1,2,2),设二面角F-PC-B的平面角为\theta ,由图知\theta 为锐角，则\\cos   \theta =\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{3}}{3},\therefore 二面角F-PC-B的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760648350879745/img/compression/M_8dfa1eb39ea2bb9d40c349912d11d346.jpg)
$(2)求二面角F-PC-B的余弦值；$

Solution:
$由(1)知\overrightarrow{BD}=(-1，-2，0).设点F(1，t,0)(0\leq t\leq 2),则\overrightarrow{CF}=(1，t-1,0).\because \overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0,\therefore -1-2(t-1)=0,解得t=\frac{1}{2},\therefore F\left(1,\frac{1}{2},0\right).则\overrightarrow{FC}=\left(-1,\frac{1}{2},0\right),设平面FPC的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1}),\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{FC}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}y_1-z_1=0,\\ -x_1+\frac{1}{2}y_1=0,\end{matrix}\right.取x_{1}=1,得n=(1,2,2),设二面角F-PC-B的平面角为\theta ,由图知\theta 为锐角，则\\cos   \theta =\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{3}}{3},\therefore 二面角F-PC-B的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$<img_1601>
$(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$设\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AP}=(-\lambda ,0,\lambda ),\lambda \in [0,1],\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AQ}=\left(-\lambda ,-\frac{1}{2},\lambda \right),\therefore n\cdot \overrightarrow{FQ}=\lambda -1,\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{FQ},n\rangle =\frac{2\lambda -2}{3\sqrt{8\lambda ^2+1}},\because FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，\therefore 其正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore \left|\frac{2\lambda -2}{3\sqrt{8\lambda ^2+1}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3},解得\lambda =\frac{1}{10}或\lambda =-\frac{1}{2}(舍)，\therefore 在线段PA上存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，\overrightarrow{AQ}=\left(-\frac{1}{10},0,\frac{1}{10}\right)，|\overrightarrow{AQ}|=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 平面ABCD，AB\parallel DC，AB\perp AD，DC=AD=1，AB=2，\angle PAD=45^\circ ,E是PA的中点，F在线段AB上，且满足\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760648350879745/img/compression/M_8dfa1eb39ea2bb9d40c349912d11d346.jpg)
$(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$设\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AP}=(-\lambda ,0,\lambda ),\lambda \in [0,1],\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AQ}=\left(-\lambda ,-\frac{1}{2},\lambda \right),\therefore n\cdot \overrightarrow{FQ}=\lambda -1,\therefore \\cos  \langle \overrightarrow{FQ},n\rangle =\frac{2\lambda -2}{3\sqrt{8\lambda ^2+1}},\because FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，\therefore 其正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore \left|\frac{2\lambda -2}{3\sqrt{8\lambda ^2+1}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3},解得\lambda =\frac{1}{10}或\lambda =-\frac{1}{2}(舍)，\therefore 在线段PA上存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是\frac{\sqrt{6}}{3}，\overrightarrow{AQ}=\left(-\frac{1}{10},0,\frac{1}{10}\right)，|\overrightarrow{AQ}|=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直角梯形ABCD中，AB\parallel DC,AB\perp BC,AB=BC=2CD=2，直角梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成一个圆台.$<img_2862>
$(1)求圆台的表面积和体积；$

Solution:
$由题意，得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为2，则圆台的母线长为\sqrt{5}，所以圆台的表面积S=\pi (1+2)\times \sqrt{5}+\pi +4\pi =(3\sqrt{5}+5)\pi ，圆台的体积V=\frac{1}{3}\times 2\times (\pi +\sqrt{\pi \cdot 4\pi }+4\pi )=\frac{14}{3}\pi .$

Final answer: $(3\sqrt{5}+5)\pi$,$\frac{14}{3}\pi$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直角梯形ABCD中，AB\parallel DC,AB\perp BC,AB=BC=2CD=2，直角梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成一个圆台.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629734902394883/img/compression/M_12dff3b54238c785105b73428dfdb855.jpg)
$(1)求圆台的表面积和体积；$

Solution:
$由题意，得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为2，则圆台的母线长为\sqrt{5}，所以圆台的表面积S=\pi (1+2)\times \sqrt{5}+\pi +4\pi =(3\sqrt{5}+5)\pi ，圆台的体积V=\frac{1}{3}\times 2\times (\pi +\sqrt{\pi \cdot 4\pi }+4\pi )=\frac{14}{3}\pi .$

Final answer: $(3\sqrt{5}+5)\pi$,$\frac{14}{3}\pi$