di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列，b_n为等比数列，a_1=b_1=1，a_5=5(a_4-a_3)，b_5=4(b_4-b_3)。$
$对任意的正整数n，设c_n=\begin{cases}\frac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}, & \text{当} n\text{为奇数},\\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}, & \text{当} n\text{为偶数}.\end{cases} 求数列{c_n}的前2n项和.$

Solution:
$当n为奇数时，c_n=\frac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}=\frac{(3n-2)2^{n-1}}{n(n+2)}=\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n-1}}{n}；当n为偶数时，c_n=\frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}=\frac{n-1}{2^n}.$

$对任意的正整数n，有\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k-1}=\sum \limits^{n}_{k=1}\left(\frac{2^{2k}}{2k+1}-\frac{2^{2k-2}}{2k-1}\right)=\frac{2^{2n}}{2n+1}-1(累加法求和)，和\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k}=\sum \limits^{n}_{k=1}\frac{2k-1}{4^k}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{5}{4^3}+\ldots +\frac{2n-1}{4^n}. ① 由①得\frac{1}{4}\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k}=\frac{1}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\ldots +\frac{2n-3}{4^n}+\frac{2n-1}{4^{n+1}}. ② 由①②得\frac{3}{4}\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\ldots +\frac{2}{4^n}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}=\frac{\frac{2}{4}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}(错位相减法求和)，从而得\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k}=\frac{5}{9}-\frac{6n+5}{9\times 4^n}.$

$因此\sum \limits^{2n}_{k=1}c_{k}=\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k-1}+\sum \limits^{n}_{k=1}c_{2k}=\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times 4^n}-\frac{4}{9}. 所以，数列{c_n}的前2n项和为\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times 4^n}-\frac{4}{9}. $

Final answer: $\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times 4^n}-\frac{4}{9}$
Subfield: Sequence


Question: $意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，\ldots ，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作 F _n. 已知 F _1 =1， F _2 =1， F _n = F _{n-1} + F _{n-2}，其中 n 属于 N _，且 n >2.$
$若F_{2024}=a，则F_1 + F_2 + F_3 \ldots  + F_{2022}= \_\_\_\_\_\_.$

Solution:
$由斐波那契数 F_{n} 的递推关系可知：n > 2 时 F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}，且 F_{1}=F_{2}=1，F_{2024}=a，$

$所以 F_{1}+F_{2}+\ldots+F_{2022}=(F_{3}-F_{2})+(F_{4}-F_{3})+\ldots+(F_{2024}-F_{2023})=F_{2024}-F_{2}=a-1.$

Final answer: $a-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知公差不为0的等差数列a_n的前n项和为S_n，S_9=81，且a_2，a_5，a_{14}成等比数列.$
$求数列{a_n}的通项公式a_n；$

Solution:
$由题意知 S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=81，故 a_5=9.$

$设数列 {a_n} 的公差为 d，d \neq  0.$

$因为 a_2,a_5,a_14 成等比数列，所以 a^2_5=a_2 \cdot a_{14}，$

$即 9^2=(9-3d)(9+9d)，解得 d=2，$

$所以 a_n=a_5+(n-5) \times 2=9+2(n-5)=2n-1 (n\in N^).$

Final answer: $2n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知公差不为0的等差数列a_n的前n项和为S_n，S_9=81，且a_2，a_5，a_{14}成等比数列.$
$设b_n = \sqrt{1+\frac{1}{S_n}+\frac{1}{S_{n+1}}}，求数列{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$由(1)知，S_n = \frac{n(1+2n-1)}{2} = n^2，$
$所以 b_n = \sqrt{1+\frac{1}{S_n}+\frac{1}{S_{n+1}}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}} = \frac{n(n+1)+1}{n(n+1)} = 1+\frac{1}{n(n+1)} = 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}，$
$故 T_n = b_1 + b_2 +\ldots + b_n = \left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) + \left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\ldots + \left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = n+1-\frac{1}{n+1} = \frac{n^2+2n}{n+1}.$

Final answer: $\frac{n^2+2n}{n+1}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E,F,G分别为所在棱的中点,Q,H分别为正方形ADD_1A_1和正方形ABCD的中心,连接EF,EG,FG,D_1Q,CH,QH,CD_1.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479581999107/img/compression/M_45a8dcec9b9427d41a370f6a7e73567f.jpg)
$在线段CD上是否存在一点P,使得DQ\parallel 平面D_1PH?若存在,写出P点的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.$

Solution:
$线段CD上存在一点P,当DP= \frac{1}{3} DC时,满足DQ\parallel 平面D_1PH.证明如下:$

$连接PH并延长交AB于点M,连接D_1M,则平面D_1PH与平面D_1PM为同一平面.$

$由H为AC的中点,得\triangle AMH\cong \triangle CPH.$

$则AM= \frac{2}{3}AB= \frac{2}{3}CD,$

$取线段D_1M的中点N,连接QN,NP.$

$因为Q,N分别为AD_1,D_1M的中点,$

$所以QN= \frac{1}{2}AM= \frac{1}{3}AB= \frac{1}{3}DC 且QN\parallel AM,$

$又DP\parallel AM且DP= \frac{1}{3}DC ，所以QN\parallel DP且QN=DP,$

$所以四边形QDPN为平行四边形,故QD\parallel NP,$

$又QD\not\subset 平面D_1PH,NP\subset 平面D_1PH,$

$所以DQ\parallel 平面D_1PH.$

Final answer: $DP= \frac{1}{3} DC$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E,F,G分别为所在棱的中点,Q,H分别为正方形ADD_1A_1和正方形ABCD的中心,连接EF,EG,FG,D_1Q,CH,QH,CD_1.$

<img_1641>
$在线段CD上是否存在一点P,使得DQ\parallel 平面D_1PH?若存在,写出此时DP与DC的长度关系.$

Solution:
$线段CD上存在一点P,当DP= \frac{1}{3} DC时,满足DQ\parallel 平面D_1PH.证明如下:$

$连接PH并延长交AB于点M,连接D_1M,则平面D_1PH与平面D_1PM为同一平面.$

$由H为AC的中点,得\triangle AMH\cong \triangle CPH.$

$则AM= \frac{2}{3}AB= \frac{2}{3}CD,$

$取线段D_1M的中点N,连接QN,NP.$

$因为Q,N分别为AD_1,D_1M的中点,$

$所以QN= \frac{1}{2}AM= \frac{1}{3}AB= \frac{1}{3}DC 且QN\parallel AM,$

$又DP\parallel AM且DP= \frac{1}{3}DC ，所以QN\parallel DP且QN=DP,$

$所以四边形QDPN为平行四边形,故QD\parallel NP,$

$又QD\not\subset 平面D_1PH,NP\subset 平面D_1PH,$

$所以DQ\parallel 平面D_1PH.$



Final answer: $DP= \frac{1}{3} DC$
Subfield: Conic Sections


Question: $如图，已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，A_1，A_2分别是长轴的左、右两个端点，F_1，F_2分别是左、右焦点.椭圆C过点(0,\sqrt{3})，离心率为\frac{1}{2}.$
<img_1980>
$求椭圆C的方程.$

Solution:
$由题意可知b=\sqrt{3}，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，\therefore a=2c，$
$\because a^2=b^2+c^2，\therefore c=1，a=2，\therefore 椭圆C的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

Final answer: ${\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{3}}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $如图，已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，A_1，A_2分别是长轴的左、右两个端点，F_1，F_2分别是左、右焦点.椭圆C过点(0,\sqrt{3})，离心率为\frac{1}{2}.$
![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549531629117442/img/compression/M_4c062d8bb6dee29cea3272d48b8b3252.jpg)
$求椭圆C的方程.$

Solution:
$由题意可知b=\sqrt{3}，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，\therefore a=2c，$
$\because a^2=b^2+c^2，\therefore c=1，a=2，\therefore 椭圆C的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

Final answer: ${\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{3}}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线E：y^2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P为E上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M,且|MF|=|FP|，\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FP}=32.$
$求抛物线E的标准方程；$

Solution:
$因为，|PM|=|PF|=|FM|，所以，三角形PFM为等边三角形，所以，\angle FMP=\angle PFM=60^\circ ，$

$又，{\vec{FM}} \cdot {\vec{FP}} =|FM| \cdot |FP| \cdot \cos  \angle PFM = |FM|^2 \cdot \cos  60^\circ  = 32，所以|FM|=8,$

$设直线l交x轴于N点，则在Rt\triangle MNF中，\angle NMF=30^\circ ，|NF|=4=p，$

$所以E的方程为y^2=8x.$

Final answer: $y^2=8x$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的一个顶点为A(0，-3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点.$
求椭圆的方程；

Solution:
$由已知可得b=3.记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3.又a^2=b^2+c^2，所以a^2=18.所以，椭圆的方程为\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线C：\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y=\pm \sqrt{3}x.$
求C的方程；

Solution:
由题意知： 
$$
\left\{
\begin{matrix}
c=2,\\ 
\frac{b}{a}=\sqrt{3},\\ 
c^2=a^2+b^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得 
$$
\left\{
\begin{matrix}
a=1,\\ 
b=\sqrt{3},
\end{matrix}
\right.
$$
$\therefore  C 的方程为 x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.$

Final answer: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)过定点(-2,0)，离心率e= \frac{\sqrt{3}}{2}.$
求椭圆C的标准方程；

Solution:
$：依题意可得a=2，\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以c=\sqrt{3}，所以b=1。所以椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{4}+y^{2}=1。$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+y^{2}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆E：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为A(0，1)，焦距为 2\sqrt{3}。$
$求椭圆E的方程；$

Solution:
$由题意得b=1, c=\sqrt{3}, 则a=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2，所以椭圆E的方程为\frac{x^2}{4}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆M: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)经过点C(0，1)，离心率为 \frac{\sqrt{2}}{2} ，M与x轴交于两点A(a，0)，B(-a，0)，过点C的直线l与M交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。$
$求椭圾圆M的方程；$

Solution:
由题意得：
$$
\left\{
\begin{matrix}
b=1,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ 
a^2-c^2=b^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得
$$
\left\{
\begin{matrix}
a^2=2,\\ 
b^2=1,
\end{matrix}
\right.
$$
$所以椭圆 M 的方程为 \frac{x^2}{2}+ y^2 =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+ y^2 =1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知点(1,\frac{3}{2})在椭圆E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)上，且E的离心率为\frac{1}{2}.$
求E的方程；

Solution:
由题意得
$$
\left\{
\begin{matrix}
\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1,\\ 
\frac{c}{a}=\frac{1}{2},\\ 
a^2=b^2+c^2,
\end{matrix}
\right.
$$
解得
$$
\left\{
\begin{matrix}
a=2,\\ 
b=\sqrt{3},\\ 
c=1.
\end{matrix}
\right.
$$
所以椭圆E的方程为
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)的一个顶点为(0，1)，焦距为2 \sqrt{3}. 椭圆E的左、右顶点分别为A、B，P为椭圆E上异于A，B的动点，PB交直线x=4于点T，AT与椭圆E的另一个交点为Q.$
$求椭圆E的标准方程；$

Solution:
由题意得
$$
\left\{\begin{matrix}2c=2\sqrt{3},\\ b=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.
$$
解得
$$
\left\{\begin{matrix}a=2,\\ c=\sqrt{3}.\end{matrix}\right.
$$

$所以椭圆E的标准方程为$

$\frac{x^2}{4} + y^{2} = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^{2} = 1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

| 性别 | 人数 | 获奖人数 | | |
| :-------- | --------:| :--------: | :--------: | :--------: | 
|  |  | 一等奖 | 二等奖 | 三等奖 | 
| 男生 | 200 | 10 | 15 | 15 |
| 女生 | 300 | 25 | 25 | 40 |

假设所有学生的获奖情况相互独立.
$用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的数学期望EX；$

Solution:
$随机变量X的所有可能取值为0，1，2. 记“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”为事件B，“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”为事件C.由题设知，事件B，C相互独立，且P(B)估计为\frac{10+15+15}{200}=\frac{1}{5}，P(C)估计为\frac{25+25+40}{300}=\frac{3}{10}. $

$所以P(X=0)=P(\overline{B}　\overline{C})=P(\overline{B})P(\overline{C})=\left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{3}{10}\right)=\frac{28}{50}=\frac{14}{25}，$

$P(X=1)=P(B\overline{C}\cup \overline{B}C)=P(B)P(\overline{C})+P(\overline{B})P(C)=\frac{1}{5}\times \left(1-\frac{3}{10}\right)+\left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{3}{10}=\frac{19}{50}， $

$P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{5}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{50}. $

所以X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
$| P | $\frac{14}{25}$ | $\frac{19}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |$

$故X的数学期望EX=0\times \frac{14}{25}+1\times \frac{19}{50}+2\times \frac{3}{50}=\frac{1}{2}.$



Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

| 性别 | 人数 | 获奖人数 | | |
| :-------- | --------:| :--------: | :--------: | :--------: | 
|  |  | 一等奖 | 二等奖 | 三等奖 | 
| 男生 | 200 | 10 | 15 | 15 |
| 女生 | 300 | 25 | 25 | 40 |

假设所有学生的获奖情况相互独立.
$用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；$

Solution:
$随机变量X的所有可能取值为0，1，2. 记“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”为事件B，“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”为事件C.由题设知，事件B，C相互独立，且P(B)估计为\frac{10+15+15}{200}=\frac{1}{5}，P(C)估计为\frac{25+25+40}{300}=\frac{3}{10}. $

$所以P(X=0)=P(\overline{B}　\overline{C})=P(\overline{B})P(\overline{C})=\left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{3}{10}\right)=\frac{28}{50}=\frac{14}{25}，$

$P(X=1)=P(B\overline{C}\cup \overline{B}C)=P(B)P(\overline{C})+P(\overline{B})P(C)=\frac{1}{5}\times \left(1-\frac{3}{10}\right)+\left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{3}{10}=\frac{19}{50}， $

$P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{5}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{50}. $

所以X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
$| P | $\frac{14}{25}$ | $\frac{19}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |$

$故X的数学期望EX=0\times \frac{14}{25}+1\times \frac{19}{50}+2\times \frac{3}{50}=\frac{1}{2}.$

Final answer: X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
$| P | $\frac{14}{25}$ | $\frac{19}{50}$ | $\frac{3}{50}$ |$

$X的数学期望EX=0\times \frac{14}{25}+1\times \frac{19}{50}+2\times \frac{3}{50}=\frac{1}{2}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：

|观点类别|没有帮助|有一些帮助|很有帮助|合计|
|---|---|---|---|---|
|男|2|10|-|20|
|女|-|35|40|80|
$|40岁以下<br>(含40岁)|1|-|35|-|$
|40岁以上|6|26|-|45|

假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立。
$对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为\mu_{0}，其中年龄在40岁以下(含40岁)教师得分的平均值记为\mu_{1}，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为\mu_{2}，求\mu_{0}，\mu_{1}，\mu_{2}。$

Solution:
$\mu _0=\frac{(1+6)\times 0+(19+26)\times 2+(35+13)\times 4}{100}=2.82，\mu _1=\frac{1\times 0+19\times 2+35\times 4}{55}=\frac{178}{55}，\mu _2=\frac{6\times 0+26\times 2+13\times 4}{45}=\frac{104}{45}$




Final answer: $2.82, \frac{178}{55}, \frac{104}{45}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：

|观点类别|没有帮助|有一些帮助|很有帮助|合计|
|---|---|---|---|---|
|男|2|10|-|20|
|女|-|35|40|80|
$|40岁以下<br>(含40岁)|1|-|35|-|$
|40岁以上|6|26|-|45|

假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立。
$对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为\mu_{0}，其中年龄在40岁以下(含40岁)教师得分的平均值记为\mu_{1}，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为\mu_{2}，请直接写出\mu_{0}，\mu_{1}，\mu_{2}的大小关系.(结论不要求证明)$

Solution:
$\mu _1>\mu _0>\mu _2.$

$详解：\mu _0=\frac{(1+6)\times 0+(19+26)\times 2+(35+13)\times 4}{100}=2.82，\mu _1=\frac{1\times 0+19\times 2+35\times 4}{55}=\frac{178}{55}，\mu _2=\frac{6\times 0+26\times 2+13\times 4}{45}=\frac{104}{45}，$

$因为\frac{178}{55}>2.82>\frac{104}{45}，所以\mu _1>\mu _0>\mu _2.$

Final answer: \mu _1>\mu _0>\mu _2
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾".另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$
!
<img_1550>
$从所抽取的20人中得分落在[0，40]内的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的数学期望；$

Solution:
$X的所有可能取值为0，1，2.$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{6}{10}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}.$

$\therefore X的分布列为：$

| X | 0 | 1 | 2 |
|------|---|---|---|
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{6}{10}$ | $\frac{3}{10}$ |

$\therefore E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5}.$



Final answer: $\frac{6}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾".另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图，如图所示.$
!
[Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268235425312770/img/compression/M_be969af0823e6dd76b5df62c26c9b116.jpg)
$从所抽取的20人中得分落在[0，40]内的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$X的所有可能取值为0，1，2.$

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{1}{10}，$

$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{6}{10}，$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_5}=\frac{3}{10}.$

$\therefore X的分布列为：$

| X | 0 | 1 | 2 |
|------|---|---|---|
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{6}{10}$ | $\frac{3}{10}$ |

$\therefore E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{6}{5}.$

Final answer: $X的分布列为：$

| X | 0 | 1 | 2 |
|------|---|---|---|
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{6}{10}$ | $\frac{3}{10}$ |

$E(X)=\frac{6}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期数x(其中10场为一个周期)与产品销售额y(千元)的数据统计如下：$

| 直播周期数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 产品销售额y(千元) | 3 | 7 | 15 | 30 | 40 |

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y=2^(bx+a)的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：

| $\overline{z}$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iz_i$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2$ | $\sum \limits^{5}_{{i=1}}(y_i-\hat{y}_i)^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3.7 | 55 | 382 | 65 | 978 | 101 |

$其中z_i=log2y_i，\overline{z}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}z_i.$

$附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),\ldots ,(un,vn)，相关指数R^2=1-\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(v_i-\hat{v}_i)^2}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(v_i-\overline{v})^2}.$
$请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；$

Solution:
$将y=2^(bx+a)两边取对数得log2 y=bx+a，令z=log2 y，则\hat{z}=\hat{b}x+\hat{a}，$
$\because \overline{x}=3，\therefore \hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{i=1}x_iz_i-5\overline{x}\cdot \overline{z}}{\sum \limits^{5}_{i=1}x^2_i-5\overline{x}^2}=\frac{65-5\times 3\times 3.7}{55-5\times 9}=0.95，$
$\therefore \hat{a}=\overline{z}-\hat{b}\overline{x}=3.7-0.95\times 3=0.85，$
$\therefore 回归方程为\hat{z}=0.95x+0.85，即\hat{y}=2^(0.95x+0.85).$

Final answer: $\hat{y}=2^(0.95x+0.85)$
Subfield: Sequence


Question: $设等差数列a_n的前n项和为S_n，a_3=4,a_4=S_3.数列b_n满足：对每个n\in N^，S_n+b_n，S_{n+1}+b_n，S_{n+2}+b_n成等比数列.$
$求数列{a_n},{b_n}的通项公式；$

Solution:
$设数列a_n的公差为d，由题意得a_1+2d=4,a_1+3d=3a_1+3d,解得a_1=0,d=2.$
$从而a_n=2n-2,n \in N^.$
$所以S_n=n^2-n,n \in N^.$
$由S_n+b_n，S_{n+1}+b_n，S_{n+2}+b_n成等比数列得$
$(S_{n+1}+b_{n})^2=(S_n+b_{n})(S_{n+2}+b_{n}).$
$解得b_n=\frac{1}{d}(S^2_{n+1}-S_nS_{n+2}).所以b_n=n^2+n,n \in N^.$

Final answer: $a_n=2n-2, S_n=n^2-n, b_n=n^2+n$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点在x轴上，中心为原点，F_1，F_2分别为椭圆的左、右焦点，D为上顶点，\sin \angle OF_1D=\frac{2}{3}，焦距为2\sqrt{5}，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l_1的极坐标方程为\rho \cos  \theta +2\rho \sin  \theta -10=0.$
$写出直线l_1的直角坐标方程和i\_C的一个参数方程；$

Solution:
$因为直线l_1的极坐标方程为\rho\cos \theta+2\rho\sin \theta-10=0，$

将
$$
\begin{matrix}
x=\rho \cos  \theta ,\\ 
y=\rho \sin  \theta 
\end{matrix}
$$
$代入可得x+2y-10=0，$

$所以直线l_1的直角坐标方程为x+2y-10=0，$

$由题可知c=\sqrt{5}，因为\sin \angle OF_1D=\frac{2}{3}，所以\frac{|OD|}{|DF_1|}=\frac{b}{a}=\frac{2}{3}，又a^2=b^2+c^2，解得$
$$
\begin{matrix}
a=3,\\ 
b=2,
\end{matrix}
$$

$\therefore \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1， $

$则椭圆C的一个参数方程为$

$$
\begin{matrix}
x=3\cos  \varphi ,\\ 
y=2\sin  \varphi 
\end{matrix}
$$

$(\phi为参数).(答案不唯一)$

Final answer: ${x+2y-10=0}和$
$$
\begin{matrix}
x=3\cos  \varphi ,\\ 
y=2\sin  \varphi 
\end{matrix}
$$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为$
$$
\begin{aligned}
x&=1+\cos \alpha, \\
y&=\sin \alpha
\end{aligned}
$$
$其中，\alpha为参数，直线l:x+y=\frac{\sqrt{2}}{2} 。以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。$
写出曲线C的普通方程及直线l的极标方程；

Solution:
$由参数方程\left\{\begin{matrix}x=1+\cos  \alpha ,\\ y=\sin  \alpha \end{matrix}\right.(\alpha为参数),得\left\{\begin{matrix}\cos  \alpha =x-1,\\ \sin  \alpha =y,\end{matrix}\right.又cos^2\alpha+sin^2\alpha=1.$

$\therefore 曲线C的普通方程为(x-1)^2+y^2=1.$

$由直角坐标方程为x+y=\frac{\sqrt{2}}{2},而x=\rho \cos \theta,y=\rho \sin \theta,$

$\therefore 直线l的极坐标方程为2\rho \cos \theta+2\rho \sin \theta-\sqrt{2}=0,$

$即\rho \sin(\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$



Final answer: $(x-1)^2+y^2=1，\rho \\sin (\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为
$$
\begin{matrix}
x=\mathrm{e}^2\cdot t-t\cdot \mathrm{e}^t,\\ 
y=t\mathrm{ln} t-\mathrm{ln} t,
\end{matrix}
$$
t为参数且t>0.曲线C与x轴交于点A，与y轴交于点B.
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以B为圆心，且过原点的圆B的极坐标方程.

Solution:
$因为B(0,ln 2)， 所以圆B的直角坐标方程为x^2+(y-ln 2)^2=(ln 2)^2.即x^2+y^2-(2ln 2)y=0.$
$因为x^2+y^2=\rho ^2,y=\rho sin \theta ，$
$所以得到圆B的极坐标方程为\rho ^2=(2ln 2)\rho sin \theta ,$
$化简得\rho =(2ln 2)sin \theta .$

Final answer: ${\rho}=(2ln 2)\sin  \theta$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知A，B分别为椭圆E：\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。$
$求E的方程；$

Solution:
$由题设得A(-a，0)，B(a，0)，G(0，1).$
$则\overrightarrow{AG}=(a，1)，\overrightarrow{GB}=(a，-1).由\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8得a^2-1=8，即a=3.$
$所以E的方程为\frac{x^2}{9}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{9}+y^2=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，\triangle OAB的面积为1.$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
由题意得

$\left\{\begin{matrix}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \frac{1}{2}ab=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.$

$解得a=2, b=1.$

$所以椭圆C的方程为$

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知圆M与圆F_1：(x+2)^2+y^2=1外切，同时与圆F_2：(x-2)^2+y^2=49内切.$
$设动点M的轨迹是曲线C，直线l_1：3x-2y=0与曲线C交于A，B两点，点P是线段AB上任意一点(不包含端点)，直线l_2过点P，且与曲线C交于E，F两点，若\frac{|EF|^2}{|PA| \cdot |PB|}为定值，证明：|PE|=|PF|.$

Solution:
$证明：设P(2m,3m)，$
由
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1,\\ 
3x-2y=0
\end{matrix}\right.
$$
得
$$
\left\{\begin{matrix}
x=2,\\  
y=3
\end{matrix}\right.
$$
或
$$
\left\{\begin{matrix}
x=-2,\\ 
y=-3,
\end{matrix}\right.
$$
$不妨令A(2,3),B(-2,-3)，则-1<m<1，$
$则|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2m-2)^2+(3m-3)^2}\cdot \sqrt{(2m+2)^2+(3m+3)^2}=13(1-m^2)。$
$当直线l_2的斜率不存在时，可得|EF|=2\sqrt{12-3m^2}，$
$此时\frac{|EF|^2}{|PA| \cdot |PB|}=\frac{12(4-m^2)}{13(1-m^2)},不为定值，故不合题意；$
$当直线l_2的斜率存在时，设斜率为k，$
$则l_2:y-3m=k(x-2m),即y=kx+m(3-2k)，$
$设E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)，由$
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1,\\ 
y=kx+m(3-2k)
\end{matrix}\right.
$$
$得(3+4k^2)x^2+8mk(3-2k)x+4m^2(3-2k)^2-48=0，$
$则x_1+x_2=\frac{8mk(2k-3)}{3+4k^2},x_1x_2=\frac{4m^2(3-2k)^2-48}{3+4k^2}，$
$所以|EF|^2=(1+k^2)|x_1-x_2|^2=(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=\frac{48(1+k^2)[(12+16k^2)-(3-2k)^2m^2]}{(3+4k^2)^2},$
$故\frac{|EF|^2}{|PA| \cdot |PB|}=\frac{48(1+k^2)[(12+16k^2)-(3-2k)^2m^2]}{13(3+4k^2)^2(1-m^2)},$
$若\frac{|EF|^2}{|PA| \cdot |PB|}为定值，则12+16k^2=(3-2k)^2，解得k=-\frac{1}{2}，$
$此时\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\times \frac{8mk(2k-3)}{3+4k^2}=2m，代入y=kx+m(3-2k)得y=3m，$
$故P是EF的中点，因此|PE|=|PF|.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0), A, B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为 \frac{1}{2}, \triangle ABF的面积为 \frac{\sqrt{3}}{2}.$
求椭圆C的标准方程；

Solution:
$由题意得\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，则a=2c，b=\sqrt{3}c.$
$\triangle ABF的面积为\frac{1}{2}(a-c)b=\frac{\sqrt{3}}{2}，则(a-c)b=\sqrt{3}.$
$将a=2c，b=\sqrt{3}c代入上式，得c=1，则a=2，b=\sqrt{3}，$
$故椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)的离心率为\frac{1}{2}， 圆C_1：x^2 + y^2 =3 与椭圆 C 有且仅有的两个交点都在 y 轴上.$
求椭圆C的标准方程；

Solution:
由题意知，
$$
\begin{align*}
e&=\frac{c}{a}=\frac{1}{2},\\ 
b&=\sqrt{3},\\
a^2&=b^2+c^2,
\end{align*}
$$
$解得 a =2, b =\sqrt{3} ，\therefore 椭圆 C 的标准方程为 \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地示意图如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN处将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒区，比赛以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定：冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分；其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为\frac{1}{3}，\frac{1}{4}；甲、乙得2分的概率分别为\frac{2}{5}，\frac{1}{2}；甲、乙得1分的概率分别为\frac{1}{5}，\frac{1}{6}$

![24ASD5SX532.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623895217360535553/img/compression/M_35aadd1de0ec4fa93da02c3591eb5a06.jpg)
$设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望.$

Solution:
$由题可知 X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，$
$P(X = 0) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{180}，$
$P(X = 1) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{36}，$
$P(X = 2) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{10}，$
$P(X = 3) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{19}{90}，$
$P(X = 4) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{11}{36}，$
$P(X = 5) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{15}，$
$P(X = 6) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}，$
$所以随机变量 X 的分布列为$

| X |   0| 1| 2| 3| 4 | 5 | 6  |
| --- | --- |---- | ---- | ---- | ---- |---- | ---- |
| P| $\frac{1}{180}$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{19}{90}$ | $\frac{11}{36}$| $\frac{4}{15}$| $\frac{1}{12}$|

$所以 E(X) = 0 \times \frac{1}{180} + 1 \times \frac{1}{36} + 2 \times \frac{1}{10} + 3 \times \frac{19}{90} + 4 \times \frac{11}{36} + 5 \times \frac{4}{15} + 6 \times \frac{1}{12} = \frac{47}{12}.$

Final answer: $X的分布列为$

| X |   0| 1| 2| 3| 4 | 5 | 6  |
| --- | --- |---- | ---- | ---- | ---- |---- | ---- |
| P| $\frac{1}{180}$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{19}{90}$ | $\frac{11}{36}$| $\frac{4}{15}$| $\frac{1}{12}$|

$期望E(X)=\frac{47}{12}。$