di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

<img_674>
小球到达A点时动量的大小；

Solution:
$设小球到达A点的速度大小为v_1，作CD\perp PA，交PA于D点，由几何关系得$
$DA=R \sin \alpha$  ⑥
$CD=R(1+\cos \alpha$ ) ⑦
由动能定理有
$-mg\cdot CD - F_0\cdot DA = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv1^2 ⑧$
$由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得小球在A点的动量大小为p = mv1 = \frac{m\sqrt{23gR}}{2}  ⑨$

<img_1352>

Final answer: $\frac{m\sqrt{23gR}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608428791668739/img/compression/M_00ed720c9dbe901e5fb2fe1389d3c9f1.jpg)
小球到达A点时动量的大小；

Solution:
$设小球到达A点的速度大小为v_1，作CD\perp PA，交PA于D点，由几何关系得$
$DA=R \sin \alpha$  ⑥
$CD=R(1+\cos \alpha$ ) ⑦
由动能定理有
$-mg\cdot CD - F_0\cdot DA = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv1^2 ⑧$
$由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得小球在A点的动量大小为p = mv1 = \frac{m\sqrt{23gR}}{2}  ⑨$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608429286596609/img/compression/M_e72d25b8b08bceebd05d51d466289773.jpg)

Final answer: $\frac{m\sqrt{23gR}}{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608428791668739/img/compression/M_00ed720c9dbe901e5fb2fe1389d3c9f1.jpg)
小球从C点落至水平轨道所用的时间。

Solution:
$小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为v_{\perp }，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有$

$$
v_{\perp }t+\frac{1}{2}gt^{2}=CD
$$

⑩

$$
v_{\perp }=v \sin \alpha 
$$

⑪

$由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得t=\frac{3}{5}\sqrt{\frac{5R}{g}}$

⑫

Final answer: $\frac{3}{5}\sqrt{\frac{5R}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

<img_674>
小球从C点落至水平轨道所用的时间。

Solution:
$小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为v_{\perp }，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有$

$$
v_{\perp }t+\frac{1}{2}gt^{2}=CD
$$

⑩

$$
v_{\perp }=v \sin \alpha 
$$

⑪

$由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得t=\frac{3}{5}\sqrt{\frac{5R}{g}}$

⑫

Final answer: $\frac{3}{5}\sqrt{\frac{5R}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L,\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。

<img_940>
若A从倾斜轨道上距x轴高度为2\mu L的位置由静止开始下滑，求A经过O点时的速度大小；

Solution:
$：A由距x轴高度为2\mu L的位置滑到O点的过程满足：mg\cdot 2\mu L-\mu mgL= \frac{1}{2} mv^2$

$得v= \sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为\mu 。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，弧形轨道P端坐标为(2\mu L,\mu L)，Q端在y轴上。重力加速度为g。

![22GZTWL38.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608430947540996/img/compression/M_d2ef13ad17a033e16483c4f7d82a5220.jpg)
若A从倾斜轨道上距x轴高度为2\mu L的位置由静止开始下滑，求A经过O点时的速度大小；

Solution:
$：A由距x轴高度为2\mu L的位置滑到O点的过程满足：mg\cdot 2\mu L-\mu mgL= \frac{1}{2} mv^2$

$得v= \sqrt{2\mu gL}$

Final answer: $\sqrt{2\mu gL}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为M(M＞2m)，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度(B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g)。求：

<img_926>
$物体B的最大速度v_m。$

Solution:
$设当物体A刚要离开地面时，弹簧的伸长量为x_A，对A受力分析有kx_A=mg，得x_A=\frac{mg}{k}$
$此时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离为：h=x_A+x_B$
$联立解得：h=\frac{2mg}{k}$

物体A刚要离开地面时，设细线上的弹力大小为T，根据牛顿第二定律，对B有：$T-mg-kx_A=ma$
$对C有：Mg \sin \alpha -T=Ma$
$联立得：Mg\sin\alpha -mg-kx_A=(m+M)a$
$此时B获得最大速度，故有：a=0$
$联立解得：\sin\alpha =\frac{2m}{M}$

$由于x_A=x_B，故弹簧开始时处于压缩状态和A恰好要离开地面时处于伸长状态的弹性势能相等，且物体A刚要离开地面时，B、C两物体的速度大小相等，设为v_m，$

对B、C和弹簧整体，由机械能守恒定律得：
$Mgh \sin \alpha =\frac{1}{2}(M+m)v_m^2+mgh$
$代入h=\frac{2mg}{k}, \sin\alpha =\frac{2m}{M}$
$解得：v_m= \sqrt{\frac{2mgh}{M+m}}= \sqrt{\frac{2mg \times 2mg}{k(M+m)}} =2mg \sqrt{\frac{1}{k(M+m)}}$

Final answer: $2mg \sqrt{\frac{1}{k(M+m)}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为M(M＞2m)，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度(B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g)。求：

![24AXGK5WL576.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608453974269954/img/compression/M_6ffd33d2b8ed5ebc36c765a151162260.jpg)
$物体B的最大速度v_m。$

Solution:
$设当物体A刚要离开地面时，弹簧的伸长量为x_A，对A受力分析有kx_A=mg，得x_A=\frac{mg}{k}$
$此时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离为：h=x_A+x_B$
$联立解得：h=\frac{2mg}{k}$

物体A刚要离开地面时，设细线上的弹力大小为T，根据牛顿第二定律，对B有：$T-mg-kx_A=ma$
$对C有：Mg \sin \alpha -T=Ma$
$联立得：Mg\sin\alpha -mg-kx_A=(m+M)a$
$此时B获得最大速度，故有：a=0$
$联立解得：\sin\alpha =\frac{2m}{M}$

$由于x_A=x_B，故弹簧开始时处于压缩状态和A恰好要离开地面时处于伸长状态的弹性势能相等，且物体A刚要离开地面时，B、C两物体的速度大小相等，设为v_m，$

对B、C和弹簧整体，由机械能守恒定律得：
$Mgh \sin \alpha =\frac{1}{2}(M+m)v_m^2+mgh$
$代入h=\frac{2mg}{k}, \sin\alpha =\frac{2m}{M}$
$解得：v_m= \sqrt{\frac{2mgh}{M+m}}= \sqrt{\frac{2mg \times 2mg}{k(M+m)}} =2mg \sqrt{\frac{1}{k(M+m)}}$

Final answer: $2mg \sqrt{\frac{1}{k(M+m)}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53^\circ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6。求:$

<img_632>
$小球受到手的拉力大小 F;$

Solution:
$设小球受AC、BC的拉力分别为F_1、F_2$
$F_1 \sin 53^\circ =F_2 \cos 53^\circ $
$F+mg=F_1 \cos 53^\circ +F_2 \sin 53^\circ $
$且F_1=Mg$
$解得F=\frac{5}{3}Mg-mg$

Final answer: $\frac{5}{3} Mg-mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53^\circ 。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6。求:$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608454662135810/img/compression/M_0c5c40aa1c5c0f8c88baeb3f8f80d5f8.jpg)
$小球受到手的拉力大小 F;$

Solution:
$设小球受AC、BC的拉力分别为F_1、F_2$
$F_1 \sin 53^\circ =F_2 \cos 53^\circ $
$F+mg=F_1 \cos 53^\circ +F_2 \sin 53^\circ $
$且F_1=Mg$
$解得F=\frac{5}{3}Mg-mg$

Final answer: $\frac{5}{3} Mg-mg$
Subfield: Mechanics


Question: $秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l_1，人站立时摆长为l_2。不计空气阻力，重力加速度大小为g。$
$如果摆长为l_{1}，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。$

Solution:
$根据牛顿运动定律 T-mg=m\frac{v^2}{l_1}$

$得 T=mg+m\frac{v^2}{l_1}$

Final answer: $T=mg+m\frac{v^2}{l_1}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。

$(弹簧的弹性势能可表示为：E_p = \frac{1}{2}kx^2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)$

<img_443>

<img_1125>
$求B、C向左移动的最大距离x_0和B、C分离时B的动能E_k；$

Solution:
$从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得$
$Fx_0=2fx_0+1/2kx^2_0$ ①

$弹簧与A、B相连，弹簧恢复原长之后B向右运动受弹簧阻力、摩擦阻力，C向右运动受摩擦阻力，B、C速度相同后分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得1/2kx^2\_0=2fx\_0+2E\_k ②$

$由①式得x\_0=2F-4f/k ③$

$联立②③式得E\_k=(F^2-6fF+8f^2)/k ④$

Final answer: $\frac{2F-4f}{k}$, $\frac{F^2-6fF+8f^2}{k}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。

$(弹簧的弹性势能可表示为：E_p = \frac{1}{2}kx^2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608482458652674/img/compression/M_747ddbd88b2b234a4bb55e14484953c7.jpg)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608482458652674/img/compression/M_3155d167d1f55ca322b7d05ddcc4ae23.jpg)
$求B、C向左移动的最大距离x_0和B、C分离时B的动能E_k；$

Solution:
$从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得$
$Fx_0=2fx_0+1/2kx^2_0$ ①

$弹簧与A、B相连，弹簧恢复原长之后B向右运动受弹簧阻力、摩擦阻力，C向右运动受摩擦阻力，B、C速度相同后分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得1/2kx^2\_0=2fx\_0+2E\_k ②$

$由①式得x\_0=2F-4f/k ③$

$联立②③式得E\_k=(F^2-6fF+8f^2)/k ④$

Final answer: $\frac{2F-4f}{k}$, $\frac{F^2-6fF+8f^2}{k}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角为\theta ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止.

<img_1004>
$将木板静止放置在x=L/2的位置，则木板释放瞬间加速度多大？$

Solution:
$x=\frac{L}{4}时，f_{1}=mg \sin \theta $
$x=\frac{L}{2}时，摩擦力加倍，f_{2}=2mg \sin \theta $
$故a=\frac{f_2-mg \sin  \theta }{m}=g \sin \theta $

Final answer: $g \sin \theta$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线，与水平方向夹角为\theta ，传送带以较大的恒定速率转动，传送方向向上，木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时，支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置，位于传送带部位的长度设为x，当x=L/4时，木板能保持静止.

![24AXGK5WL344.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608525496406018/img/compression/M_e4a8cd54797e0291306f3a61d78bcb33.jpg)
$将木板静止放置在x=L/2的位置，则木板释放瞬间加速度多大？$

Solution:
$x=\frac{L}{4}时，f_{1}=mg \sin \theta $
$x=\frac{L}{2}时，摩擦力加倍，f_{2}=2mg \sin \theta $
$故a=\frac{f_2-mg \sin  \theta }{m}=g \sin \theta $

Final answer: $g \sin \theta$
Subfield: Mechanics


Question: $一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。$

Solution:
$设爆炸时烟花弹距地面的高度为h_1,由机械能守恒定律有E=mgh_1 $

① 

$火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为v_1和v_2。由题给条件和动量守恒定律有\frac{1}{4}mv^2_1+\frac{1}{4}mv^2_2=E$

②

$\frac{1}{2}mv_1+\frac{1}{2}mv_2=0$

③

$由③式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹向上运动部分继续上升的高度为h_2，由机械能守恒定律有\frac{1}{4}mv^2_1=\frac{1}{2}mgh_2$

④

$联立①②③④式得，烟花弹向上运动部分距地面的最大高度为h=h_1+h_2=\frac{2E}{mg}$

⑤

Final answer: $\frac{2E}{mg}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v_0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。$

![图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608642581909507/img/compression/M_4078a1f68aca1b49fa0c371a0218341c.jpg)
某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；

Solution:
对滑块和木板组成的系统，有

$2mv_{0} = mv_{1} + 2mv_{2}$

$\mu $mg$\Delta $x = \frac{1}{2} \times  2mv_0^2 - \left(\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2} \times 2mv_2^2\right)$

$其中 v_{2} = 2v_{1}$

$联立解得 \Delta x = \frac{7v_0^2}{25\mu g}$

Final answer: $\frac{7v^2_0}{25\mu g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v_0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。$

<img_553>
某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；

Solution:
对滑块和木板组成的系统，有

$2mv_{0} = mv_{1} + 2mv_{2}$

$\mu $mg$\Delta $x = \frac{1}{2} \times  2mv_0^2 - \left(\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2} \times 2mv_2^2\right)$

$其中 v_{2} = 2v_{1}$

$联立解得 \Delta x = \frac{7v_0^2}{25\mu g}$

Final answer: $\frac{7v^2_0}{25\mu g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v_0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。$

![图示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608642581909507/img/compression/M_4078a1f68aca1b49fa0c371a0218341c.jpg)
若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。

Solution:
$对于滑块有 \mu mgt=mv_0$

$木板匀速运动有 F=\mu mg$

$木板运动的位移 x=v_0t$

$外力所做的功 W=Fx$

$联立解得 t=\frac{v_0}{\mu g}，W=mv^2_0$

Final answer: $\frac{v_0}{\mu g}　mv_0^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v_0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为\mu，重力加速度为g。$

<img_553>
若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。

Solution:
$对于滑块有 \mu mgt=mv_0$

$木板匀速运动有 F=\mu mg$

$木板运动的位移 x=v_0t$

$外力所做的功 W=Fx$

$联立解得 t=\frac{v_0}{\mu g}，W=mv^2_0$

Final answer: $\frac{v_0}{\mu g}　mv_0^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
![21GZTWLS94.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608677539061763/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
$求第n次碰撞使物块Q上升的高度h_n;$

Solution:
$碰后对Q受力分析，沿斜面方向有-4mg \sin \theta -\mu F_N=-8mg \sin \theta =4ma, a=-2g \sin \theta ；设P、Q第一次碰撞后Q上升的高度为h_1，对Q由运动学公式得$
$0-v^2_{Q1}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_1}{\sin  \theta }  ⑤$

$联立④⑤式得h_1=\frac{v^2_0}{25g}  ⑥$

$由于\mu =\tan \theta ，故Q减速运动到最高点后静止；设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为v_{02}，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得$
$\frac{1}{2}mv^2_{02}-\frac{1}{2}mv^2_{P1}=-mgh_1  ⑦$

$联立③⑥⑦式得v_{02}=\frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑧$

$P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P2}、v_{Q2},由动量守恒定律得mv_{02}=mv_{P2}+4mv_{Q2}  ⑨$

$由机械能守恒定律得\frac{1}{2}mv^2_{02}=\frac{1}{2}mv^2_{P2}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q2}  ⑩$

$联立⑧⑨⑩式得v_{P2}=-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑪$

$v_{Q2}=\frac{2}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑫$

$设第二次碰撞后Q上升的高度为h_2，对Q由运动学公式得0-v^2_{Q2}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_2}{\sin  \theta }  ⑬$

$联立⑫⑬式得h_2=\frac{7}{25}\cdot \frac{v^2_0}{25g}  ⑭$

$设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为v_{03}，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得$
$\frac{1}{2}mv^2_{03}-\frac{1}{2}mv^2_{P2}=-mgh_2  ⑮$

$联立⑪⑭⑮式得v_{03}=\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑯$

$P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P3}、v_{Q3}，由动量守恒定律得mv_{03}=mv_{P3}+4mv_{Q3}  ⑰$

$由机械能守恒定律得\frac{1}{2}mv^2_{03}=\frac{1}{2}mv^2_{P3}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q3}  ⑱$

联立⑯⑰⑱式得
$v_{P3}=-\frac{3}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑲$

$v_{Q3}=\frac{2}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑳$

$设第三次碰撞后Q上升的高度为h_3，由运动学公式得$
$0-v^2_{Q3}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_3}{\sin  \theta }  ㉑$

$联立⑳㉑式得 h_3=\left(\frac{7}{25}\right)^2\cdot \frac{v^2_0}{25g}  ㉒$

$总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为$
$h_n=\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1}\cdot \frac{v^2_0}{25g} (n=1,2,3\ldots )  ㉓$

Final answer: $\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1} \cdot \frac{v^2_0}{25g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
<img_1390>
$求第n次碰撞使物块Q上升的高度h_n;$

Solution:
$碰后对Q受力分析，沿斜面方向有-4mg \sin \theta -\mu F_N=-8mg \sin \theta =4ma, a=-2g \sin \theta ；设P、Q第一次碰撞后Q上升的高度为h_1，对Q由运动学公式得$
$0-v^2_{Q1}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_1}{\sin  \theta }  ⑤$

$联立④⑤式得h_1=\frac{v^2_0}{25g}  ⑥$

$由于\mu =\tan \theta ，故Q减速运动到最高点后静止；设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为v_{02}，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得$
$\frac{1}{2}mv^2_{02}-\frac{1}{2}mv^2_{P1}=-mgh_1  ⑦$

$联立③⑥⑦式得v_{02}=\frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑧$

$P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P2}、v_{Q2},由动量守恒定律得mv_{02}=mv_{P2}+4mv_{Q2}  ⑨$

$由机械能守恒定律得\frac{1}{2}mv^2_{02}=\frac{1}{2}mv^2_{P2}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q2}  ⑩$

$联立⑧⑨⑩式得v_{P2}=-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑪$

$v_{Q2}=\frac{2}{5}\times \frac{\sqrt{7}}{5}v_0  ⑫$

$设第二次碰撞后Q上升的高度为h_2，对Q由运动学公式得0-v^2_{Q2}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_2}{\sin  \theta }  ⑬$

$联立⑫⑬式得h_2=\frac{7}{25}\cdot \frac{v^2_0}{25g}  ⑭$

$设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为v_{03}，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得$
$\frac{1}{2}mv^2_{03}-\frac{1}{2}mv^2_{P2}=-mgh_2  ⑮$

$联立⑪⑭⑮式得v_{03}=\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑯$

$P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为v_{P3}、v_{Q3}，由动量守恒定律得mv_{03}=mv_{P3}+4mv_{Q3}  ⑰$

$由机械能守恒定律得\frac{1}{2}mv^2_{03}=\frac{1}{2}mv^2_{P3}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q3}  ⑱$

联立⑯⑰⑱式得
$v_{P3}=-\frac{3}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑲$

$v_{Q3}=\frac{2}{5}\times \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2v_0  ⑳$

$设第三次碰撞后Q上升的高度为h_3，由运动学公式得$
$0-v^2_{Q3}=2\cdot (-2g \sin \theta )\cdot \frac{h_3}{\sin  \theta }  ㉑$

$联立⑳㉑式得 h_3=\left(\frac{7}{25}\right)^2\cdot \frac{v^2_0}{25g}  ㉒$

$总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为$
$h_n=\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1}\cdot \frac{v^2_0}{25g} (n=1,2,3\ldots )  ㉓$



Final answer: $\left(\frac{7}{25}\right)^{n-1} \cdot \frac{v^2_0}{25g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
![21GZTWLS94.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608677539061763/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
求物块Q从A点上升的总高度H;

Solution:
$当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零,对两物块运动全过程由动能定理得$
$0-\frac{1}{2} mv_0^2=-( m+4m )gH-\tan \theta \cdot 4mg \cos \theta \cdot \frac{H}{\sin  \theta }$

$解得H=\frac{v_0^2}{18g}$

Final answer: $\frac{v^2_0}{18g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
<img_1390>
求物块Q从A点上升的总高度H;

Solution:
$当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零,对两物块运动全过程由动能定理得$
$0-\frac{1}{2} mv_0^2=-( m+4m )gH-\tan \theta \cdot 4mg \cos \theta \cdot \frac{H}{\sin  \theta }$

$解得H=\frac{v_0^2}{18g}$

Final answer: $\frac{v^2_0}{18g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
<img_1390>
为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

Solution:
$设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t_1，由运动学公式得v_{Q1}=2gt_1 \sin \theta$

$设P运动到斜面底端时的速度为v_{P1}'，需要的时间为t_2，由运动学公式得$
$v_{P1}'=v_{P1}+gt_2 \sin \theta$

$v_{P1}'^2-v_{P1}^2=2sg \sin \theta$

$设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t_3$
$v_{02}=-v_{P1}-gt_3 \sin \theta$

$当A点与挡板之间的距离最小时t_1=2t_2+t_3$

$联立以上式得s=\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$

Final answer: $\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，一倾角为\theta 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v_0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于\tan \theta ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。$
![21GZTWLS94.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608677539061763/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

Solution:
$设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t_1，由运动学公式得v_{Q1}=2gt_1 \sin \theta$

$设P运动到斜面底端时的速度为v_{P1}'，需要的时间为t_2，由运动学公式得$
$v_{P1}'=v_{P1}+gt_2 \sin \theta$

$v_{P1}'^2-v_{P1}^2=2sg \sin \theta$

$设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t_3$
$v_{02}=-v_{P1}-gt_3 \sin \theta$

$当A点与挡板之间的距离最小时t_1=2t_2+t_3$

$联立以上式得s=\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$

Final answer: $\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。$
$质量为m的雨滑由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。$

Solution:
$根据动能定理 mgh-W=\frac{1}{2}mu^2  $

(由于空气阻力未知，故只能从功和能量转化角度分析解决问题)

$可得 W=mgh-\frac{1}{2}mu^2  $

Final answer: $mgh - \frac{1}{2} mu^2$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上固定一个高h的光滑墩子，墩子顶面上有一个侧面光滑可视为质点的物体B，质量为M，与墩子无摩擦。小球A以水平初速度v_0=\sqrt{2gh}从高H=1.5h处水平抛出，恰好与B的左侧面发生弹性碰撞(不会与墩子碰撞)，B物体恰好落在距墩子水平距离x=h处的小车C左端，小车的高度忽略不计，而A球落在墩子的左边，重力加速度为g。$

<img_574>
A 球的落地点距墩子的水平距离多大？

Solution:
$设小球的质量为𝑚，被碰后𝐵的速度为𝑣<sub>B</sub>，根据h=\frac{1}{2}gt^{2}_1，h = v_Bt_1$

$解得𝑣_B = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}$

𝐴与𝐵相碰，水平方向动量守恒 $mv_0 = -mv_A + Mv_B$

$由弹性碰撞的特点可得\frac{1}{2}mv^{2}_0 = \frac{1}{2}mv^2_A + \frac{1}{2}Mv^2_B$

$解得𝑣_A = 𝑣_B = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}，𝑚 = \frac{1}{3}𝑀$

$𝐴球与𝐵球碰撞，竖直速度不会改变，因此落地时间也不会改变，从抛出到落地的时间为 𝑡_H = \sqrt{\frac{3h}{g}}$

$碰后落地时间为\Delta t = t_H - t_{AB} = (\sqrt{3} - 1)\sqrt{\frac{h}{g}}$

$所以落地点与墩子的水平距离为 x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}h$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} h$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，光滑水平地面上固定一个高h的光滑墩子，墩子顶面上有一个侧面光滑可视为质点的物体B，质量为M，与墩子无摩擦。小球A以水平初速度v_0=\sqrt{2gh}从高H=1.5h处水平抛出，恰好与B的左侧面发生弹性碰撞(不会与墩子碰撞)，B物体恰好落在距墩子水平距离x=h处的小车C左端，小车的高度忽略不计，而A球落在墩子的左边，重力加速度为g。$

![24AHUN5WL166](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612614318108674/img/compression/M_bf48f45f25e9a263d960074cc7050ac5.jpg)
A 球的落地点距墩子的水平距离多大？

Solution:
$设小球的质量为𝑚，被碰后𝐵的速度为𝑣<sub>B</sub>，根据h=\frac{1}{2}gt^{2}_1，h = v_Bt_1$

$解得𝑣_B = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}$

𝐴与𝐵相碰，水平方向动量守恒 $mv_0 = -mv_A + Mv_B$

$由弹性碰撞的特点可得\frac{1}{2}mv^{2}_0 = \frac{1}{2}mv^2_A + \frac{1}{2}Mv^2_B$

$解得𝑣_A = 𝑣_B = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}，𝑚 = \frac{1}{3}𝑀$

$𝐴球与𝐵球碰撞，竖直速度不会改变，因此落地时间也不会改变，从抛出到落地的时间为 𝑡_H = \sqrt{\frac{3h}{g}}$

$碰后落地时间为\Delta t = t_H - t_{AB} = (\sqrt{3} - 1)\sqrt{\frac{h}{g}}$

$所以落地点与墩子的水平距离为 x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}h$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} h$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的曲面体静止在水平面上，弧ACB为半径为R的1/4光滑圆弧，B与水平地面相切，曲面体与地面间的动摩擦因数为\mu ，当曲面体所受摩擦力满足f=\mu \cdot F\_N (F\_N为地面对曲面体的弹力)时，由于某种机制，曲面体底面突然光滑且不再变化。现有一质量为m可视为质点的光滑小球(与水平面无摩擦)以v\_0水平向左运动。已知M=2m，v\_0=\sqrt{29gR / 5}，当小球滑到C位置时，曲面体相对地面开始运动，夹角\theta =53^\circ 。取\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6,重力加速度为g，求:$

<img_907>
$小球滑到C点的速度大小v_1;$

Solution:
对小球自B点运动到C点，依据机械能守恒有：

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mgR(1-\cos 53^\circ )$

$解得：v_1 = \sqrt{5gR}$

Final answer: $\sqrt{5gR}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的曲面体静止在水平面上，弧ACB为半径为R的1/4光滑圆弧，B与水平地面相切，曲面体与地面间的动摩擦因数为\mu ，当曲面体所受摩擦力满足f=\mu \cdot F\_N (F\_N为地面对曲面体的弹力)时，由于某种机制，曲面体底面突然光滑且不再变化。现有一质量为m可视为质点的光滑小球(与水平面无摩擦)以v\_0水平向左运动。已知M=2m，v\_0=\sqrt{29gR / 5}，当小球滑到C位置时，曲面体相对地面开始运动，夹角\theta =53^\circ 。取\sin 53^\circ =0.8,\cos 53^\circ =0.6,重力加速度为g，求:$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612614972420098/img/compression/M_6850a95cb997196b8624f7b37ebbc4ef.jpg)
$小球滑到C点的速度大小v_1;$

Solution:
对小球自B点运动到C点，依据机械能守恒有：

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mgR(1-\cos 53^\circ )$

$解得：v_1 = \sqrt{5gR}$

Final answer: $\sqrt{5gR}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，以v=5 m/s的速度顺时针匀速转动的水平传送带左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接，水平面上有n个位于同一直线上、处于静止状态的相同小球，小球质量m_0=0.2 kg。质量m=0.1 kg的物体从轨道上高h=4.0 m的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小v_0=7 m/s。物体和传送带之间的动摩擦因数\mu=0.5，传送带A、B之间的距离L=3.4 m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰，重力加速度g=10 m/s^2，\sqrt{10} \approx 3.16。$

求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612615635120131/img/compression/M_1853bed3225a91a26badd30a303e73a6.jpg)
n个小球最终获得的总动能。

Solution:
$由于小球质量相等，且发生的都是弹性正碰，它们之间将进行速度交换。由(3)可知，物体第一次返回还没到传送带左端速度就减小为零，接下来将再次向右做匀加速运动，直到速度增加到v_1，再跟小球1发生弹性正碰，同理可得，第二次碰后，物体和小球的速度大小分别为：v_2 = \frac{1}{3}v_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^2v，u_2 = \frac{2}{3}v_1 = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}v。$

$以此类推，物体与小球1经过n次碰撞后，它们的速度大小分别为：v_n = \left(\frac{1}{3}\right)^nv，u_n = \frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}v。$

$由于相邻小球之间每次相互碰撞都进行速度交换，所以，最终从1号小球开始，到n号小球，它们的速度大小依次为u_n、u_{n－1}、u_{n－2}、\ldots 、u_1，则n个小球的总动能为E_k = \frac{1}{2}m_0(u^2_1 + u^2_2 +\ldots + u^2_n)=\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right) J。$

Final answer: $\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，以v=5 m/s的速度顺时针匀速转动的水平传送带左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接，水平面上有n个位于同一直线上、处于静止状态的相同小球，小球质量m_0=0.2 kg。质量m=0.1 kg的物体从轨道上高h=4.0 m的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小v_0=7 m/s。物体和传送带之间的动摩擦因数\mu=0.5，传送带A、B之间的距离L=3.4 m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰，重力加速度g=10 m/s^2，\sqrt{10} \approx 3.16。$

求：

<img_480>
n个小球最终获得的总动能。

Solution:
$由于小球质量相等，且发生的都是弹性正碰，它们之间将进行速度交换。由(3)可知，物体第一次返回还没到传送带左端速度就减小为零，接下来将再次向右做匀加速运动，直到速度增加到v_1，再跟小球1发生弹性正碰，同理可得，第二次碰后，物体和小球的速度大小分别为：v_2 = \frac{1}{3}v_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^2v，u_2 = \frac{2}{3}v_1 = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}v。$

$以此类推，物体与小球1经过n次碰撞后，它们的速度大小分别为：v_n = \left(\frac{1}{3}\right)^nv，u_n = \frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}v。$

$由于相邻小球之间每次相互碰撞都进行速度交换，所以，最终从1号小球开始，到n号小球，它们的速度大小依次为u_n、u_{n－1}、u_{n－2}、\ldots 、u_1，则n个小球的总动能为E_k = \frac{1}{2}m_0(u^2_1 + u^2_2 +\ldots + u^2_n)=\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right) J。$



Final answer: $\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right)$ J
Subfield: Electromagnetism


Question: $在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v_1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上。不计带电粒子的重力。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623613162070298627/img/compression/M_0be099002119c4f538fe349a9339d2eb.jpg)
$求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t;$

Solution:
$将粒子在平板上的运动分解，可知水平方向受恒定的洛伦兹力qv_1B，故沿水平方向做初速度为0的匀加速直线运动：qv_1B=ma$

$又d=\frac{1}{2}at^2$

$故t=\sqrt{\frac{2md}{qv_1B}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2md}{qv_1B}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在某些精密实验中，为了避免变化的电场和磁场之间的相互干扰，可以用力学装置对磁场中的带电粒子进行加速。如图，表面光滑的绝缘平板水平放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖直面向里。平板上有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，初始时刻带电粒子静止在绝缘平板上，与绝缘平板左侧边缘的距离为d。在机械外力作用下，绝缘平板以速度v_1竖直向上做匀速直线运动。一段时间后带电粒子从绝缘平板的左侧飞出，并垂直入射到一块与绝缘平板相互垂直的荧光屏上。不计带电粒子的重力。$

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$求带电粒子在绝缘平板上的运动时间t;$

Solution:
$将粒子在平板上的运动分解，可知水平方向受恒定的洛伦兹力qv_1B，故沿水平方向做初速度为0的匀加速直线运动：qv_1B=ma$

$又d=\frac{1}{2}at^2$

$故t=\sqrt{\frac{2md}{qv_1B}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2md}{qv_1B}}$