di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻 R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为 B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为 d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为 h 且无磁场。一长度为 L、质量为 m、电阻为 r 的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界 H 处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻 R 的电流及其变化情况相同，重力加速度为 g。求：$

<img_834>
导体棒穿过区域Ⅰ所用的时间。

Solution:
$设导体棒穿出磁场时速度为v_2，则在两磁场之间的区域仅受重力，根据速度与位移关系式有 v_1^2-v_2^2 =2gh.$

在区域Ⅰ中，导体棒受到重力和安培力的作用，由动量定理有
$mv_2-mv_1 = mgt - \overline{F_A} \cdot t.$

$其中 \overline{F_A} = B\overline{I}L，\overline{I} = \frac{BL\overline{v}}{R+r}.$

$整理得 m(v_2-v_1) = mgt - \frac{B^2L^2d}{R+r}.$

$解得 t = \frac{B^2L^2d}{mg(R+r)} + \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} - \sqrt{\frac{2H}{g}}.$

Final answer: $\frac{B^2L^2d}{mg(R+r)} + \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} - \sqrt{\frac{2H}{g}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻 R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为 B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为 d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为 h 且无磁场。一长度为 L、质量为 m、电阻为 r 的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界 H 处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻 R 的电流及其变化情况相同，重力加速度为 g。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272176668798978/img/compression/M_4c970488c950ce84c67d8326647028eb.jpg)
导体棒穿过区域Ⅰ所用的时间。

Solution:
$设导体棒穿出磁场时速度为v_2，则在两磁场之间的区域仅受重力，根据速度与位移关系式有 v_1^2-v_2^2 =2gh.$

在区域Ⅰ中，导体棒受到重力和安培力的作用，由动量定理有
$mv_2-mv_1 = mgt - \overline{F_A} \cdot t.$

$其中 \overline{F_A} = B\overline{I}L，\overline{I} = \frac{BL\overline{v}}{R+r}.$

$整理得 m(v_2-v_1) = mgt - \frac{B^2L^2d}{R+r}.$

$解得 t = \frac{B^2L^2d}{mg(R+r)} + \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} - \sqrt{\frac{2H}{g}}.$

Final answer: $\frac{B^2L^2d}{mg(R+r)} + \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} - \sqrt{\frac{2H}{g}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $物理学习中,常会遇到新情境、新问题,需要善于利用学过的知识,灵活利用物理思想方法来解决。如图所示,半径为r的铜环固定在某处,铜环单位长度的电阻为\rho_0,将一小块质量为m的圆柱形强磁体从铜环的正上方无初速度释放,磁体中心到达铜环中心时还未达到稳定速度,以磁体中心为坐标原点O,竖直向下为x轴,磁体的N、S极如图所示,磁体产生的磁感应强度沿x轴分量B_x=C-k|x|,式中C、k为已知常量,且保证足够大的空间范围内B_x>0,已知磁体下落高度为h时,速度大小为v(此时磁体还在铜环的上方),重力加速度大小为g,不计空气阻力及磁体中产生的涡流。$

![物理题图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272178631733252/img/compression/M_e38d9d046575fc0ec1e4b2478f19e730.jpg)
$求磁体从静止到下落h高度过程中,铜环内产生的热量Q;$

Solution:
$设克服安培力做功为W_F，则下落过程中，由动能定理知1/2mv^2-0=mgh-W_F，由功能关系知Q=W_F，则Q=mgh-1/2mv^2。$

Final answer: $mgh - \frac{1}{2}mv^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $物理学习中,常会遇到新情境、新问题,需要善于利用学过的知识,灵活利用物理思想方法来解决。如图所示,半径为r的铜环固定在某处,铜环单位长度的电阻为\rho_0,将一小块质量为m的圆柱形强磁体从铜环的正上方无初速度释放,磁体中心到达铜环中心时还未达到稳定速度,以磁体中心为坐标原点O,竖直向下为x轴,磁体的N、S极如图所示,磁体产生的磁感应强度沿x轴分量B_x=C-k|x|,式中C、k为已知常量,且保证足够大的空间范围内B_x>0,已知磁体下落高度为h时,速度大小为v(此时磁体还在铜环的上方),重力加速度大小为g,不计空气阻力及磁体中产生的涡流。$

<img_1094>
$求磁体从静止到下落h高度过程中,铜环内产生的热量Q;$

Solution:
$设克服安培力做功为W_F，则下落过程中，由动能定理知1/2mv^2-0=mgh-W_F，由功能关系知Q=W_F，则Q=mgh-1/2mv^2。$

Final answer: $mgh - \frac{1}{2}mv^2$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。$

![20GZTWL80.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272186996551682/img/compression/M_bbfd5b7a30b938fe124b71f50e55e502.jpg)
断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W。

Solution:
$设PQ由静止开始到速度大小为v的加速过程中，PQ运动的位移为x，所用时间为\Delta t，回路中的磁通量变化为\Delta \Phi，平均感应电动势为\bar{E}，有\bar{E}=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}  $

$其中\Delta \Phi=Blx  $

$设PQ中的平均电流为\bar{I}，有\bar{I}=\frac{\bar{E}}{2R}  $

$根据电流的定义得\bar{I}=\frac{q}{\Delta t}  $

$由动能定理，有Fx+W=\frac{1}{2}mv^{2}-0   $

$联立以上方程式，得W=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{2}{3}kq$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2-\frac{2}{3}kq$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。$

<img_1430>
断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W。

Solution:
$设PQ由静止开始到速度大小为v的加速过程中，PQ运动的位移为x，所用时间为\Delta t，回路中的磁通量变化为\Delta \Phi，平均感应电动势为\bar{E}，有\bar{E}=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}  $

$其中\Delta \Phi=Blx  $

$设PQ中的平均电流为\bar{I}，有\bar{I}=\frac{\bar{E}}{2R}  $

$根据电流的定义得\bar{I}=\frac{q}{\Delta t}  $

$由动能定理，有Fx+W=\frac{1}{2}mv^{2}-0   $

$联立以上方程式，得W=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{2}{3}kq$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2-\frac{2}{3}kq$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

<img_1311>
$末速度的大小v;$

Solution:
$匀加速直线运动v^2=2as$

$解得v=\sqrt{2as}$

Final answer: $\sqrt{2as}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

![19GZTWL113.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610674607443970/img/compression/M_ceb53f6608fa9a178cfaeaf3a2440d45.jpg)
$末速度的大小v;$

Solution:
$匀加速直线运动v^2=2as$

$解得v=\sqrt{2as}$

Final answer: $\sqrt{2as}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

<img_1311>
通过的电流大小I;

Solution:
$安培力 F_{安}=IdB$
$金属棒所受合力 F=mg \sin \theta -F_{安}$
$由牛顿运动定律得 F=ma，解得 I=\frac{m(g \sin  \theta -a)}{dB}。$

Final answer: $\frac{m(g \sin  \theta -a)}{dB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

![19GZTWL113.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610674607443970/img/compression/M_ceb53f6608fa9a178cfaeaf3a2440d45.jpg)
通过的电流大小I;

Solution:
$安培力 F_{安}=IdB$
$金属棒所受合力 F=mg \sin \theta -F_{安}$
$由牛顿运动定律得 F=ma，解得 I=\frac{m(g \sin  \theta -a)}{dB}。$

Final answer: $\frac{m(g \sin  \theta -a)}{dB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

<img_1311>
通过的电荷量Q。

Solution:
$运动时间t=\frac{v}{a},电荷量Q=It$

$解得Q=\frac{\sqrt{2as}m(g \sin  \theta -a)}{dBa}$

Final answer: $\frac{\sqrt{2as}m(g \sin  \theta -a)}{dBa}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为\theta，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒$

![19GZTWL113.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610674607443970/img/compression/M_ceb53f6608fa9a178cfaeaf3a2440d45.jpg)
通过的电荷量Q。

Solution:
$运动时间t=\frac{v}{a},电荷量Q=It$

$解得Q=\frac{\sqrt{2as}m(g \sin  \theta -a)}{dBa}$

Final answer: $\frac{\sqrt{2as}m(g \sin  \theta -a)}{dBa}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O'点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v_0时，粒子从O上方d/2处射出磁场。取\sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6。$

<img_1305>
求磁感应强度大小B;

Solution:
$粒子圆周运动的半径r_0=\frac{mv_0}{qB}$

$由题意知r_0=\frac{d}{4}，解得B=\frac{4mv_0}{qd}$

Final answer: $\frac{4mv_0}{qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O'点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v_0时，粒子从O上方d/2处射出磁场。取\sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610702340182019/img/compression/M_3e2c9c9711382678dc88932baf7d04de.jpg)
求磁感应强度大小B;

Solution:
$粒子圆周运动的半径r_0=\frac{mv_0}{qB}$

$由题意知r_0=\frac{d}{4}，解得B=\frac{4mv_0}{qd}$

Final answer: $\frac{4mv_0}{qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O'点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v_0时，粒子从O上方d/2处射出磁场。取\sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6。$

<img_1305>
$入射速度为5v_0时，求粒子从O运动到O'的时间t;$

Solution:
设粒子在第一个矩形磁场中的偏转角为$\alpha$ 
$由d=r \sin \alpha ，得\sin \alpha =\frac{4}{5}，即\alpha =53^\circ $
$在一个矩形磁场中的运动时间t1=\frac{\alpha }{360 ^{\circ} }\cdot \frac{2\pi m}{qB}，解得t1=\frac{53\pi d}{720v_0}$
$直线运动的时间t2=\frac{2d}{v}，解得t2=\frac{2d}{5v_0}$
$则t=4t1+t2=\left(\frac{53\pi +72}{180}\right)\frac{d}{v_0}$



Final answer: $\left(\frac{53\pi +72}{180}\right)\frac{d}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O'点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v_0时，粒子从O上方d/2处射出磁场。取\sin 53^\circ =0.8，\cos 53^\circ =0.6。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610702340182019/img/compression/M_3e2c9c9711382678dc88932baf7d04de.jpg)
$入射速度为5v_0时，求粒子从O运动到O'的时间t;$

Solution:
设粒子在第一个矩形磁场中的偏转角为$\alpha$ 
$由d=r \sin \alpha ，得\sin \alpha =\frac{4}{5}，即\alpha =53^\circ $
$在一个矩形磁场中的运动时间t1=\frac{\alpha }{360 ^{\circ} }\cdot \frac{2\pi m}{qB}，解得t1=\frac{53\pi d}{720v_0}$
$直线运动的时间t2=\frac{2d}{v}，解得t2=\frac{2d}{5v_0}$
$则t=4t1+t2=\left(\frac{53\pi +72}{180}\right)\frac{d}{v_0}$

Final answer: $\left(\frac{53\pi +72}{180}\right)$, $\frac{d}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号，其原理如图1所示，压力波$p(t)$进入弹性盒后，通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L，驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动，其位移$x$与压力$p$成正比($x=\alpha p，\alpha >0$)。霍尔片的放大图如图2所示，它由$长\times 宽\times 厚=a\times b\times d$、单位体积内自由电子数为$n$的$N$型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上，磁感应强度大小为$B=B_0(1-\beta |x|)，\beta >0$。无压力波输入时，霍尔片静止在$x=0$处，此时给霍尔片通以沿$C_1C_2$方向的电流$I$，则在侧面上$D_1、D_2$两点间产生霍尔电压U_0。

<img_910>

<img_819>
$推导出U_0与I、B_0之间的关系式(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevd，其中e为电子电荷量)；$

Solution:
根据霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得：

$evB_0=e\frac{U_0}{b}$

$将v=\frac{I}{nebd}代入解得：$

$U_0=\frac{IB_0}{ned}$

Final answer: $U_0 = \frac{IB_0}{ned}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号，其原理如图1所示，压力波$p(t)$进入弹性盒后，通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L，驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动，其位移$x$与压力$p$成正比($x=\alpha p，\alpha >0$)。霍尔片的放大图如图2所示，它由$长\times 宽\times 厚=a\times b\times d$、单位体积内自由电子数为$n$的$N$型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上，磁感应强度大小为$B=B_0(1-\beta |x|)，\beta >0$。无压力波输入时，霍尔片静止在$x=0$处，此时给霍尔片通以沿$C_1C_2$方向的电流$I$，则在侧面上$D_1、D_2$两点间产生霍尔电压U_0。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610819908030466/img/editor/compression/0edfb5ff-8a3d-4a24-99a9-66d2b9d08f75.png)

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610820717531137/img/compression/M_8f3d2fd61f8ae14f57510720a3962412.jpg)
$推导出U_0与I、B_0之间的关系式(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevd，其中e为电子电荷量)；$

Solution:
根据霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得：

$evB_0=e\frac{U_0}{b}$

$将v=\frac{I}{nebd}代入解得：$

$U_0=\frac{IB_0}{ned}$

Final answer: $U_0 = \frac{IB_0}{ned}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号，其原理如图1所示，压力波$p(t)$进入弹性盒后，通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L，驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动，其位移$x$与压力$p$成正比($x=\alpha p，\alpha >0$)。霍尔片的放大图如图2所示，它由$长\times 宽\times 厚=a\times b\times d$、单位体积内自由电子数为$n$的$N$型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上，磁感应强度大小为$B=B_0(1-\beta |x|)，\beta >0$。无压力波输入时，霍尔片静止在$x=0$处，此时给霍尔片通以沿$C_1C_2$方向的电流$I$，则在侧面上$D_1、D_2$两点间产生霍尔电压U_0。

<img_910>

<img_819>
$弹性盒中输入压力波p(t)，霍尔片中通以相同电流，测得霍尔电压U_H随时间t变化图像如图3。忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼，求压力波的振幅和频率。(结果用U_0、U_1、t_0、\alpha 及\beta 表示)$

Solution:
由任意时刻霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得：

$evB=e\frac{U_\mathrm{H}(t)}{b}$

$则U_H(t)=\frac{IB}{ned}=\frac{IB_0}{ned}(1-\beta|x|)=\frac{IB_0}{ned}(1-\beta|\alpha p|)=U_0(1-\alpha\beta|p|)$

$由上式可得|p|=\frac{1}{\alpha \beta }-\frac{U_\mathrm{H}(t)}{\alpha \beta U_0}$

$结合U_H-t图像可知，振幅A=\frac{1}{\alpha \beta }(1-\frac{U_1}{U_0}),频率f=\frac{1}{2t_0}。$



Final answer: $\frac{1}{\alpha \beta }\left(1-\frac{U_1}{U_0}\right), \frac{1}{2t_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号，其原理如图1所示，压力波$p(t)$进入弹性盒后，通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L，驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动，其位移$x$与压力$p$成正比($x=\alpha p，\alpha >0$)。霍尔片的放大图如图2所示，它由$长\times 宽\times 厚=a\times b\times d$、单位体积内自由电子数为$n$的$N$型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上，磁感应强度大小为$B=B_0(1-\beta |x|)，\beta >0$。无压力波输入时，霍尔片静止在$x=0$处，此时给霍尔片通以沿$C_1C_2$方向的电流$I$，则在侧面上$D_1、D_2$两点间产生霍尔电压U_0。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610819908030466/img/editor/compression/0edfb5ff-8a3d-4a24-99a9-66d2b9d08f75.png)

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610820717531137/img/compression/M_8f3d2fd61f8ae14f57510720a3962412.jpg)
$弹性盒中输入压力波p(t)，霍尔片中通以相同电流，测得霍尔电压U_H随时间t变化图像如图3。忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼，求压力波的振幅和频率。(结果用U_0、U_1、t_0、\alpha 及\beta 表示)$

Solution:
由任意时刻霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得：

$evB=e\frac{U_\mathrm{H}(t)}{b}$

$则U_H(t)=\frac{IB}{ned}=\frac{IB_0}{ned}(1-\beta|x|)=\frac{IB_0}{ned}(1-\beta|\alpha p|)=U_0(1-\alpha\beta|p|)$

$由上式可得|p|=\frac{1}{\alpha \beta }-\frac{U_\mathrm{H}(t)}{\alpha \beta U_0}$

$结合U_H-t图像可知，振幅A=\frac{1}{\alpha \beta }(1-\frac{U_1}{U_0}),频率f=\frac{1}{2t_0}。$

Final answer: $\frac{1}{\alpha \beta }$, $\left(1-\frac{U_1}{U_0}\right)$, $\frac{1}{2t_0}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $地球表面覆盖着一层大气，我们就生活在大气“海洋”的底部，感受着来自大气的压强。已知大气压强是由于大气的重力而产生的，我校物理兴趣小组的同学，通过查找资料知道：大气层厚度为h，比地球半径小得多。已知地球半径R，地球表面重力加速度g，地球表面附近的大气压为p_0，空气的平均摩尔质量M，阿伏加德罗常数N_A，试求：$

<img_482>
地球表面覆盖的大气层的总质量m；

Solution:
$地球的表面积为S=4\pi R^2，地球表面大气的重力与大气压力大小相等，即有mg=p_0S，所以大气的总质量m= \frac{4\pi R^2p_0}{g}.$

Final answer: $\frac{4\pi R^2p_0}{g}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $地球表面覆盖着一层大气，我们就生活在大气“海洋”的底部，感受着来自大气的压强。已知大气压强是由于大气的重力而产生的，我校物理兴趣小组的同学，通过查找资料知道：大气层厚度为h，比地球半径小得多。已知地球半径R，地球表面重力加速度g，地球表面附近的大气压为p_0，空气的平均摩尔质量M，阿伏加德罗常数N_A，试求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611426238439426/img/compression/M_0a8124e382832119d68276143def6b3e.jpg)
地球表面覆盖的大气层的总质量m；

Solution:
$地球的表面积为S=4\pi R^2，地球表面大气的重力与大气压力大小相等，即有mg=p_0S，所以大气的总质量m= \frac{4\pi R^2p_0}{g}.$

Final answer: $\frac{4\pi R^2p_0}{g}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $地球表面覆盖着一层大气，我们就生活在大气“海洋”的底部，感受着来自大气的压强。已知大气压强是由于大气的重力而产生的，我校物理兴趣小组的同学，通过查找资料知道：大气层厚度为h，比地球半径小得多。已知地球半径R，地球表面重力加速度g，地球表面附近的大气压为p_0，空气的平均摩尔质量M，阿伏加德罗常数N_A，试求：$

<img_482>
$地球表面大气层的分子数n$

Solution:
$地球表面大气层的分子数为n=\frac{m}{M}N_A=\frac{4\pi R^2p_0N_\mathrm{A}}{Mg}。$

Final answer: $\frac{4\pi R^2p_0N_A}{Mg}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $地球表面覆盖着一层大气，我们就生活在大气“海洋”的底部，感受着来自大气的压强。已知大气压强是由于大气的重力而产生的，我校物理兴趣小组的同学，通过查找资料知道：大气层厚度为h，比地球半径小得多。已知地球半径R，地球表面重力加速度g，地球表面附近的大气压为p_0，空气的平均摩尔质量M，阿伏加德罗常数N_A，试求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611426238439426/img/compression/M_0a8124e382832119d68276143def6b3e.jpg)
$地球表面大气层的分子数n$

Solution:
$地球表面大气层的分子数为n=\frac{m}{M}N_A=\frac{4\pi R^2p_0N_\mathrm{A}}{Mg}。$

Final answer: $\frac{4\pi R^2p_0N_A}{Mg}$
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理好气体被活塞封闭在汽缸中,活塞的面积为S，与汽缸底相距L，汽缸和活塞绝热性能良好。气体的压强、温度与外界大气相同,分别为p_0、T_0。现接通电热丝加热气体,一段时间后断开,活塞向右缓慢移动距离L后停止。活塞与汽缸间的滑动摩擦力为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个过程中气体吸收的热量为Q。求该过程中气体

<img_464>
内能的增加量$\Delta U$;

Solution:
$设活塞缓慢移动时气体压强为p，对活塞有pS=p_0S+f，外界对气体做功W=-pSL$

$由热力学第一定律得\Delta U=Q+W$

$解得\Delta U=Q-p_0SL-fL$

Final answer: $Q-p_0SL-fL$
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理好气体被活塞封闭在汽缸中,活塞的面积为S，与汽缸底相距L，汽缸和活塞绝热性能良好。气体的压强、温度与外界大气相同,分别为p_0、T_0。现接通电热丝加热气体,一段时间后断开,活塞向右缓慢移动距离L后停止。活塞与汽缸间的滑动摩擦力为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个过程中气体吸收的热量为Q。求该过程中气体

![22GZTWLS104.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611502543589378/img/compression/M_1852704987a8b3a22cdcf3f1325cf875.jpg)
内能的增加量$\Delta U$;

Solution:
$设活塞缓慢移动时气体压强为p，对活塞有pS=p_0S+f，外界对气体做功W=-pSL$

$由热力学第一定律得\Delta U=Q+W$

$解得\Delta U=Q-p_0SL-fL$

Final answer: $Q-p_0SL-fL$
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理好气体被活塞封闭在汽缸中,活塞的面积为S，与汽缸底相距L，汽缸和活塞绝热性能良好。气体的压强、温度与外界大气相同,分别为p_0、T_0。现接通电热丝加热气体,一段时间后断开,活塞向右缓慢移动距离L后停止。活塞与汽缸间的滑动摩擦力为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个过程中气体吸收的热量为Q。求该过程中气体

<img_464>
最终温度T。

Solution:
$由理想气体状态方程得 \frac{p_0LS}{T_0} = p \cdot  \frac{2LS}{T}，$
$则 T = 2 T_0 (1+ \frac{f}{p_0S})。$

Final answer: $2T_0(1+\frac{f}{p_0S})$
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图所示，一定质量理好气体被活塞封闭在汽缸中,活塞的面积为S，与汽缸底相距L，汽缸和活塞绝热性能良好。气体的压强、温度与外界大气相同,分别为p_0、T_0。现接通电热丝加热气体,一段时间后断开,活塞向右缓慢移动距离L后停止。活塞与汽缸间的滑动摩擦力为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个过程中气体吸收的热量为Q。求该过程中气体

![22GZTWLS104.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611502543589378/img/compression/M_1852704987a8b3a22cdcf3f1325cf875.jpg)
最终温度T。

Solution:
$由理想气体状态方程得 \frac{p_0LS}{T_0} = p \cdot  \frac{2LS}{T}，$
$则 T = 2 T_0 (1+ \frac{f}{p_0S})。$

Final answer: $2T_0(1+\frac{f}{p_0S})$
Subfield: Thermodynamics


Question: $真空泵抽气腔与容器相连，活塞向左运动时即从容器中抽气，活塞向右运动时阀门自动关闭，将进入抽气腔内的气体全部排出，示意图如图甲。设抽气过程中抽气腔与容器中的气体压强始终相等，每次抽气活塞均从抽气腔最右端移动至最左端。已知容器的容积为V_0，抽气腔的容积为nV_0，初始时刻气体压强为p_0。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611503260815362/img/compression/M_f71505d8bbe41a691466a0c4245b392c.jpg)
$若抽气过程中气体的温度保持不变，求第一次抽气后容器中气体的压强p；$

Solution:
$ 气体温度保持不变，是等温变化，根据玻意耳定律，第一次抽气有p_0V_0＝p(V_0＋nV_0)，得p＝\frac{p_0}{n+1}。$

Final answer: $\frac{p_0}{n+1}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $真空泵抽气腔与容器相连，活塞向左运动时即从容器中抽气，活塞向右运动时阀门自动关闭，将进入抽气腔内的气体全部排出，示意图如图甲。设抽气过程中抽气腔与容器中的气体压强始终相等，每次抽气活塞均从抽气腔最右端移动至最左端。已知容器的容积为V_0，抽气腔的容积为nV_0，初始时刻气体压强为p_0。$

<img_605>
$若抽气过程中气体的温度保持不变，求第一次抽气后容器中气体的压强p；$

Solution:
$ 气体温度保持不变，是等温变化，根据玻意耳定律，第一次抽气有p_0V_0＝p(V_0＋nV_0)，得p＝\frac{p_0}{n+1}。$

Final answer: $\frac{p_0}{n+1}$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学用图(a)所示的装置测量木块与木板之间的动摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与木块和弹簧秤相连，滑轮和木块间的细线保持水平，在木块上方放置砝码。缓慢向左拉动水平放置的木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即木块受到的滑动摩擦力的大小。某次实验所得数据在表中给出，其中f_4的值可从图(b)中弹簧秤的示数读出。$

<img_1475>

<img_653>

|  砝码的质量m/kg | 0.05 | 0.10 | 0.15 | 0.20 | 0.25 |
|::|------|------|------|------|------|
| 滑动摩擦力f/N  | 2.15 | 2.36 | 2.55 | f_4 | 2.93 |

<img_472>

回答下列问题：

注意Markdown中的LaTeX公式需要用""符号包围，且方程中的下标用"_ "来表示。对于图片，用"![alt text](url)"的格式，其中"alt text"是图片的描述，"url"是图片的网络链接。表格则由“|”符号和“-”符号组成，列与列之间用“|”分隔，表头与内容用一行“-”分隔。
f与m、木块质量M、木板与木块之间的动摩擦因数\mu 及重力加速度大小g之间的关系式为f=____，f-m图线(直线)的斜率的表达式为k=____。

Solution:
$以木块和砝码为研究对象，整体水平方向受木板的滑动摩擦力和细线的拉力，f=\mu (M+m)g，整理得f=\mu mg+\mu Mg，故f-m图线的斜率k=\mu g。$

Final answer: $\mu(M+m)g \mu g$
Subfield: Mechanics


Question: $某同学用图(a)所示的装置测量木块与木板之间的动摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与木块和弹簧秤相连，滑轮和木块间的细线保持水平，在木块上方放置砝码。缓慢向左拉动水平放置的木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即木块受到的滑动摩擦力的大小。某次实验所得数据在表中给出，其中f_4的值可从图(b)中弹簧秤的示数读出。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611829365579778/img/compression/M_d6756feb8ad89876861e64965484e124.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611829365579778/img/compression/M_b5f0113c2d66278f67bfdabcc750a656.jpg)

|  砝码的质量m/kg | 0.05 | 0.10 | 0.15 | 0.20 | 0.25 |
|::|------|------|------|------|------|
| 滑动摩擦力f/N  | 2.15 | 2.36 | 2.55 | f_4 | 2.93 |

![图(c)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611829365579778/img/compression/M_fc957351e010563bb87040e8ff5e6c00.jpg)

回答下列问题：

注意Markdown中的LaTeX公式需要用""符号包围，且方程中的下标用"_ "来表示。对于图片，用"![alt text](url)"的格式，其中"alt text"是图片的描述，"url"是图片的网络链接。表格则由“|”符号和“-”符号组成，列与列之间用“|”分隔，表头与内容用一行“-”分隔。
f与m、木块质量M、木板与木块之间的动摩擦因数\mu 及重力加速度大小g之间的关系式为f=____，f-m图线(直线)的斜率的表达式为k=____。

Solution:
$以木块和砝码为研究对象，整体水平方向受木板的滑动摩擦力和细线的拉力，f=\mu (M+m)g，整理得f=\mu mg+\mu Mg，故f-m图线的斜率k=\mu g。$

Final answer: $\mu(M+m)g \mu g$
Subfield: Thermodynamics


Question: $医院里给病人打吊针的装置如图所示。倒置的输液瓶上方有一气室E，密封的瓶口处的橡胶塞上插有两根细管，其中A管与大气相通，B管为输液软管，中间又有一滴壶C，而其D端则通过针头接入人体静脉。设输液瓶的容积为V_0，开始输液时，药液占输液瓶容积的\frac{3}{4}，气室E内气压为\frac{1}{2}p_0(p_0为大气压强)，细管A、B体积忽略，求：$

![23BTY5WL222.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377299580620802/img/compression/M_582a996a17b286b3fce1a578feb8be5b.jpg)
![23BTY5WL223.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377299580620802/img/compression/M_bed12721a39cc82e3994001ee73d62cd.jpg)
$液面下降到输液瓶的中间位置时，气室E内气压为\frac{3}{4}p_0。求此过程中，从进气口A进入气室E的空气体积V(标准大气压下)。$

Solution:
$刚开始输液时p_{1}=\frac{1}{2} p_{0}，V_{1}=\frac{1}{4} V_{0}$

$液面下降到输液瓶的中间位置时p_{2}=\frac{3}{4} p_{0}，V_{2}=\frac{1}{2} V_{0}$

$则p_{1} V_{1}+p_{0} V=p_{2} V_{2}$

$解得V=\frac{1}{4} V_{0}$

Final answer: $\frac{1}{4} V_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $医院里给病人打吊针的装置如图所示。倒置的输液瓶上方有一气室E，密封的瓶口处的橡胶塞上插有两根细管，其中A管与大气相通，B管为输液软管，中间又有一滴壶C，而其D端则通过针头接入人体静脉。设输液瓶的容积为V_0，开始输液时，药液占输液瓶容积的\frac{3}{4}，气室E内气压为\frac{1}{2}p_0(p_0为大气压强)，细管A、B体积忽略，求：$

<img_565>
<img_1213>
$液面下降到输液瓶的中间位置时，气室E内气压为\frac{3}{4}p_0。求此过程中，从进气口A进入气室E的空气体积V(标准大气压下)。$

Solution:
$刚开始输液时p_{1}=\frac{1}{2} p_{0}，V_{1}=\frac{1}{4} V_{0}$

$液面下降到输液瓶的中间位置时p_{2}=\frac{3}{4} p_{0}，V_{2}=\frac{1}{2} V_{0}$

$则p_{1} V_{1}+p_{0} V=p_{2} V_{2}$

$解得V=\frac{1}{4} V_{0}$

Final answer: $\frac{1}{4} V_0$
Subfield: Optics


Question: 在饮品质检中常通过测液体折射率确定饮料含糖量。如图甲所示，一半圆柱透明薄壳空腔，截面圆心为 O 点， MN 部分内表面涂黑，向其中注满待测液体，有一目镜可沿以 O 点为圆心的圆轨道 PQ 转动，始终对准 O 点进行观察。

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377379904614403/img/compression/M_5eccac9a3c517e924a9b0f1eb7843fa6.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377379904614403/img/compression/M_15583f3957a2a911fe5ca4324476455b.jpg)
$在图甲中，观察到目镜视野中明暗各一半时，测得经目镜的视线与竖直方向的夹角为\phi，求该饮料的折射率。$

Solution:
$\phi 对应的是全反射的临界角，故该饮料折射率n= \frac{1}{\sin  \varphi }。$

Final answer: $n= \frac{1}{\sin  \varphi }$
Subfield: Optics


Question: 在饮品质检中常通过测液体折射率确定饮料含糖量。如图甲所示，一半圆柱透明薄壳空腔，截面圆心为 O 点， MN 部分内表面涂黑，向其中注满待测液体，有一目镜可沿以 O 点为圆心的圆轨道 PQ 转动，始终对准 O 点进行观察。

<img_727>

<img_562>
$在图甲中，观察到目镜视野中明暗各一半时，测得经目镜的视线与竖直方向的夹角为\phi，求该饮料的折射率。$

Solution:
$\phi 对应的是全反射的临界角，故该饮料折射率n= \frac{1}{\sin  \varphi }。$

Final answer: $n= \frac{1}{\sin  \varphi }$
Subfield: Optics


Question: 如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接收到光的强度变化而触发工作的。光从挡风玻璃内侧P点射向外侧M点再折射到空气中，测得入射角为$\alpha $，折射角为$\beta$ ；光从P点射向外侧N点，刚好发生全反射并被Q接收，求光从玻璃射向空气时临界角$\theta$ 的正弦值表达式。

![22GZTWL18.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716377359752359938/img/compression/M_35403e0238452b3197e6ed3a3d0464f0.jpg)

Solution:
当光从P点射向M点再折射到空气中时，可知
$n= \frac{\sin  \beta }{\sin  \alpha }$
①

当光从P点射向N点刚好发生全反射时，有
$n= \frac{1}{\sin  \theta }$
②

$由①②得\sin \theta = \frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }$

思路点拨

发生全反射的条件是：①光从光密介质射入光疏介质；②入射角大于或等于临界角。

Final answer: $\sin \theta =\frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }$
Subfield: Optics


Question: 如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接收到光的强度变化而触发工作的。光从挡风玻璃内侧P点射向外侧M点再折射到空气中，测得入射角为$\alpha $，折射角为$\beta$ ；光从P点射向外侧N点，刚好发生全反射并被Q接收，求光从玻璃射向空气时临界角$\theta$ 的正弦值表达式。

<img_915>

Solution:
当光从P点射向M点再折射到空气中时，可知
$n= \frac{\sin  \beta }{\sin  \alpha }$
①

当光从P点射向N点刚好发生全反射时，有
$n= \frac{1}{\sin  \theta }$
②

$由①②得\sin \theta = \frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }$

思路点拨

发生全反射的条件是：①光从光密介质射入光疏介质；②入射角大于或等于临界角。

Final answer: $\sin \theta =\frac{\sin  \alpha }{\sin  \beta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

<img_1062>
求A、O之间的距离；

Solution:
$由题可知，A、B两星球角速度相同：m\omega ^2r_{AO}=M\omega ^2r_{OB}，L=r_{AO}+r_{BO}，解得r_{AO}=\frac{M}{M+m}L。$

Final answer: $\frac{M}{M+m} L$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003488111906818/img/compression/M_a6b42758be9a17a55ac5b161e811ee6c.jpg)
求A、O之间的距离；

Solution:
$由题可知，A、B两星球角速度相同：m\omega ^2r_{AO}=M\omega ^2r_{OB}，L=r_{AO}+r_{BO}，解得r_{AO}=\frac{M}{M+m}L。$

Final answer: $\frac{M}{M+m} L$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003488111906818/img/compression/M_a6b42758be9a17a55ac5b161e811ee6c.jpg)
两星球做圆周运动的周期T；

Solution:
$根据万有引力与星球所需向心力相等得  \frac{GMm}{L^2}  = m \frac{4\pi ^2}{T^2} r_{OA} ; \ \frac{GMm}{L^2} = M \frac{4\pi ^2}{T^2} r_{OB}$

$解得T = 2\pi   \sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}} .$

Final answer: $2\pi  \sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，质量分别为m和M的两个星球A、B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。$

<img_1062>
两星球做圆周运动的周期T；

Solution:
$根据万有引力与星球所需向心力相等得  \frac{GMm}{L^2}  = m \frac{4\pi ^2}{T^2} r_{OA} ; \ \frac{GMm}{L^2} = M \frac{4\pi ^2}{T^2} r_{OB}$

$解得T = 2\pi   \sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}} .$

Final answer: $2\pi  \sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}}$