di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，“L”形平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O'点，O'点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动(要求摆角小于5^\circ )，A以速度v_0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量mₐ=0.1 kg，B的质量mₖ=0.3 kg，A与B间的动摩擦因数\mu _1=0.4，B与地面间的动摩擦因数\mu _2=0.225，v_0=4 m/s，取重力加速度g=10 m/s^2。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求:$

<img_725>
$实现上述运动过程，\frac{M}{m_A}的取值范围(结果用\cos 5^\circ 表示)。$

Solution:
$设A在光滑区向右滑动的时间为t_1，在粗糙区运动的时间为t_3，水平向右为正方向，单摆的摆长为L，周期为T，小球与A碰前速度为v，碰后速度为v'$
$由运动学公式得t_1=\frac{d}{v_0}$
$由题意知T=4(t_1+t_2+t_3)$
代入数据得T=4.5 s
$由机械能守恒定律得MgL=\frac{1}{2}Mv^2$
$由动量守恒定律得Mv=Mv' +m_Av_0$
由题意得v' >0
由单摆做简谐运动的条件得
$MgL(1-\cos 5^\circ )>\frac{1}{2}Mv'^2$
由碰撞过程的能量关系得
$\frac{1}{2}Mv^2 \geq \frac{1}{2}Mv'^2 + \frac{1}{2}m_Av^2_0$
$由T=2\pi  \sqrt{\frac{L}{g}} ，并联立以上各式得$
$\frac{4\sqrt{2}\pi }{45} < \frac{M}{m_A} < \frac{4\sqrt{2}\pi }{45(1-\sqrt{1-\cos  5^{\circ}})}$

Final answer: (\frac{4\sqrt{2}\pi }{45},\frac{4\sqrt{2}\pi }{45(1-\sqrt{1-\cos  5^{\circ}})})
Subfield: Electromagnetism


Question: $某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示。矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d。质量为m、电荷量为+q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为E_k，入射角为\theta，在纸面内运动。不计重力及粒子间的相互作用力。$

<img_1015>
$当E_k=4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，求入射角\theta的范围；$

Solution:
$若粒子从CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，则粒子在整个运动过程中竖直方向上位移大小都应小于d，即x＜d，再由2ax=v_0y^2，E_k=4qd=\frac{1}{2}mv_0^2，v_0y=v_0\cdot \sin \theta ，Eq=ma,联立可得：\sin \theta ＜ \frac{1}{2}。又因为粒子在OO'上、下方的运动具有对称性，则-30^\circ ＜\theta ＜30^\circ 。$

Final answer: $(-30,30)$ ^\circ
Subfield: Electromagnetism


Question: $某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示。矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d。质量为m、电荷量为+q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为E_k，入射角为\theta，在纸面内运动。不计重力及粒子间的相互作用力。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716255425496608772/img/compression/M_956ac4365102f400cdb01162f99caa88.jpg)
$当E_k=4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，求入射角\theta的范围；$

Solution:
$若粒子从CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d，则粒子在整个运动过程中竖直方向上位移大小都应小于d，即x＜d，再由2ax=v_0y^2，E_k=4qd=\frac{1}{2}mv_0^2，v_0y=v_0\cdot \sin \theta ，Eq=ma,联立可得：\sin \theta ＜ \frac{1}{2}。又因为粒子在OO'上、下方的运动具有对称性，则-30^\circ ＜\theta ＜30^\circ 。$

Final answer: $(-30,30)$ ^\circ
Subfield: Mechanics


Question: $小明制作了一个“20”字样的轨道玩具模型。该模型的“2”字是由 \frac{3}{4} 圆弧形的管道 ABC(圆心为 O_1)和半圆形的管道 CD(圆心为 O_2)以及直管道 DE组成，管道 ABC和管道 CD对应的圆半径均为 R_1=10 cm，A 点与O_1等高，B为“2”字最高点，D为最低点，E为管道的出口；“0”字是长轴 GF垂直于水平地面的椭圆形管道，其最高点G与 B点等高，G点附近的一小段管道可看作半径为R_2=6 cm的圆弧；最低点 F和 F'(一进一出)位于水平地面上；整个装置处于竖直平面内，所有管道的粗细忽略不计。HK为一个倾角 \theta  可调节的足够长的斜面，且 D、E、F(F')、H 位于同一条水平直线上，F'H和 HK平滑连接。质量 m=0.1 kg(可视为质点)的小滑块 P与水平地面 EF段和斜面 HK间的动摩擦因数均为 \mu =0.25，其余所有摩擦均不计。现让滑块 P从 A点以 v_0=2 m/s的速率平滑进入管道，滑块 P运动到 G点时恰与管道间无相互作用，g=10 m/s^2，求：$

<img_535>
要使滑块P不会二次进入EF段且最后停在F' H段，$\theta$ 的正切值应满足的条件。

Solution:
$1. 滑块不会停在HK上，则\tan \theta_1 > \mu = \frac{1}{4}$
$2. 滑块恰好不会二次进入EF段，设此时\theta = \theta_2，滑块第一次滑上HK通过的最大位移为x，最高点为K'，此后恰好返回到G点(速度为0)，则从G运动到K'，由动能定理有mg(\left(4R_1-x \sin  \theta_2\right) - \mu mg \cos \theta_2 \cdot x = 0 - \frac{1}{2} mv_G^2，对由G(速度为v_G)到K'再回G(速度为0)的运动过程有 -\mu mg \cos \theta_2 \cdot 2x= 0 - \frac{1}{2} mv_G^2，联立得 \tan \theta_2 = \frac{83}{12}$

$综上所述 \frac{1}{4} < \tan \theta < \frac{83}{12}$



Final answer: $(\frac{1}{4}, \frac{83}{12})$
Subfield: Mechanics


Question: $小明制作了一个“20”字样的轨道玩具模型。该模型的“2”字是由 \frac{3}{4} 圆弧形的管道 ABC(圆心为 O_1)和半圆形的管道 CD(圆心为 O_2)以及直管道 DE组成，管道 ABC和管道 CD对应的圆半径均为 R_1=10 cm，A 点与O_1等高，B为“2”字最高点，D为最低点，E为管道的出口；“0”字是长轴 GF垂直于水平地面的椭圆形管道，其最高点G与 B点等高，G点附近的一小段管道可看作半径为R_2=6 cm的圆弧；最低点 F和 F'(一进一出)位于水平地面上；整个装置处于竖直平面内，所有管道的粗细忽略不计。HK为一个倾角 \theta  可调节的足够长的斜面，且 D、E、F(F')、H 位于同一条水平直线上，F'H和 HK平滑连接。质量 m=0.1 kg(可视为质点)的小滑块 P与水平地面 EF段和斜面 HK间的动摩擦因数均为 \mu =0.25，其余所有摩擦均不计。现让滑块 P从 A点以 v_0=2 m/s的速率平滑进入管道，滑块 P运动到 G点时恰与管道间无相互作用，g=10 m/s^2，求：$

![enter image description here](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294843726106628/img/compression/M_a074f35e8d64cbd646826a011690232c.jpg)
要使滑块P不会二次进入EF段且最后停在F' H段，$\theta$ 的正切值应满足的条件。

Solution:
$1. 滑块不会停在HK上，则\tan \theta_1 > \mu = \frac{1}{4}$
$2. 滑块恰好不会二次进入EF段，设此时\theta = \theta_2，滑块第一次滑上HK通过的最大位移为x，最高点为K'，此后恰好返回到G点(速度为0)，则从G运动到K'，由动能定理有mg(\left(4R_1-x \sin  \theta_2\right) - \mu mg \cos \theta_2 \cdot x = 0 - \frac{1}{2} mv_G^2，对由G(速度为v_G)到K'再回G(速度为0)的运动过程有 -\mu mg \cos \theta_2 \cdot 2x= 0 - \frac{1}{2} mv_G^2，联立得 \tan \theta_2 = \frac{83}{12}$

$综上所述 \frac{1}{4} < \tan \theta < \frac{83}{12}$

Final answer: $\frac{1}{4} ＜\tan \theta  ＜\frac{83}{12}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

<img_698>
$若小球2能与小球3发生弹性碰撞且最终仍停在平台上，整个过程中轻绳始终不松弛，小球2与平台DE间动摩擦因数\mu _2的范围。$

Solution:
$①若小球2运动到小球3处时速度为零，则有 -\mu _{2}m_{2}gs=0-\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2}    $
$  解得 \mu _{2}=0.4      $
$②设小球2运动到小球3处时的速度为 v_{2}'(此时未与小球3碰撞)，则有 -\mu _{2}m_{2}gs=\frac{1}{2}m_{2}{v'}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2}   $
$之后小球2与小球3发生弹性碰撞，由于两球的质量相等，则速度交换，故碰撞后小球3的速度为 v_{3}=v'_{2}，为保证整个过程中轻绳始终不松弛，且最终小球2仍停在平台上，则小球3最多上升到右侧与 O' 等高处，则有 \frac{1}{2}m_{3}v^{2}_{3}=m_{3}gL     $
$联立解得 \mu _{2}=0.15   $
$综上所述，0.15\leq \mu _{2}<0.4$

Final answer: $[0.15,0.4)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x=1 m，其左侧有一个m_1=2 kg的小球1和处于压缩、弹性势能E_p=2 J的弹簧(二者不连接，小球1用锁定装置锁定)，小球1与平台AB间的动摩擦因数为\mu _1=0.05，其右侧有一半径R=1.2 m、圆心角\theta =60^\circ 的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D处平滑连接另一长s=2 m的粗糙平台DE，质量m_2=4 kg的小球2静止在D点，小球2的左侧粘有少量塑胶炸药(质量不计)，E处有一质量m_3=4 kg的小球3，用长为L=0.5 m的轻绳悬吊于O'点，对E点刚好无压力。现小球1解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C点的切线方向进入圆弧轨道到达D点与小球2发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2速度方向均水平，随后小球1恰好能以进入C点时的速度大小从C点滑出。炸药爆炸前后小球1、2质量保持不变，小球1、2与3均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g=10 m/s^2，空气阻力忽略不计，求：$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294874477621250/img/compression/M_1c9198ac2f75b89b2e224d978bdcaeff.jpg)
$若小球2能与小球3发生弹性碰撞且最终仍停在平台上，整个过程中轻绳始终不松弛，小球2与平台DE间动摩擦因数\mu _2的范围。$

Solution:
$①若小球2运动到小球3处时速度为零，则有 -\mu _{2}m_{2}gs=0-\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2}    $
$  解得 \mu _{2}=0.4      $
$②设小球2运动到小球3处时的速度为 v_{2}'(此时未与小球3碰撞)，则有 -\mu _{2}m_{2}gs=\frac{1}{2}m_{2}{v'}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m_{2}v^{2}_{2}   $
$之后小球2与小球3发生弹性碰撞，由于两球的质量相等，则速度交换，故碰撞后小球3的速度为 v_{3}=v'_{2}，为保证整个过程中轻绳始终不松弛，且最终小球2仍停在平台上，则小球3最多上升到右侧与 O' 等高处，则有 \frac{1}{2}m_{3}v^{2}_{3}=m_{3}gL     $
$联立解得 \mu _{2}=0.15   $
$综上所述，0.15\leq \mu _{2}<0.4$

Final answer: $[0.15,0.4)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

<img_658>

<img_1113>
$为使上述先后通过此加速器的质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点(只考虑两种粒子第一次进入匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹)，两磁场间距L的取值范围。$

Solution:
$由几何关系知，氚核离开磁场区域 Ⅰ 的速度方向与边界iPQ之间的夹角的正切值 \tan \alpha  = \frac{\sqrt{5}}{2}，正弦值 \sin \alpha  = \frac{\sqrt{5}}{3}，余弦值 \cos \alpha  = \frac{2}{3}$

如图1所示，两轨迹相交于D点

<img_455>

$L = HC \tan \alpha $

$CD = 2r_{3} \sin \alpha $

$GH = r_{3} \sin \alpha $

$HC = CD - r_{1} - GH$

$由以上各式联立解得 L = \frac{5-\sqrt{5}}{2}a$

如图2所示，两轨迹外切

<img_1038>

$L = HC \tan \alpha $

$OG = r_{1} + r_{3}$

$OB = r_{3} \cos \alpha $

$CB = r_{3} \sin \alpha $

$GH = r_{3} \sin \alpha $

$GB = \sqrt{OG^{2}-OB^{2}}$

HC = CB + GB - GH

$联立以上各式解得 L = \sqrt{15}a$

综上所述，为使质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点，L的取值范围为

$0 \leq  L < \frac{5-\sqrt{5}}{2}a 或 L > \sqrt{15}a$

Final answer: $[0,\frac{5-\sqrt{5}}{2}a)\cup(\sqrt{15}a,+\infty)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速(穿过间隙的时间忽略不计)，在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从O点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域Ⅰ，OP距离为a，区域Ⅰ的PO、PQ两直线边界垂直。区域Ⅰ的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子^{1}_{1}H和氚核^{3}_{1}H(含有1个质子和2个中子)两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中U_0、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU_0}{q}}。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求：$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_7d0372e48ea74eb12f8ee625a7fe54f9.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294974457245699/img/compression/M_b60ebf564caf87ae63ba995c3b4e6026.jpg)
$为使上述先后通过此加速器的质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点(只考虑两种粒子第一次进入匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹)，两磁场间距L的取值范围。$

Solution:
$由几何关系知，氚核离开磁场区域 Ⅰ 的速度方向与边界iPQ之间的夹角的正切值 \tan \alpha  = \frac{\sqrt{5}}{2}，正弦值 \sin \alpha  = \frac{\sqrt{5}}{3}，余弦值 \cos \alpha  = \frac{2}{3}$

如图1所示，两轨迹相交于D点

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294975249969153/img/compression/M_c754e9d5601f83fa9f4a79b0eafcc0ba.jpg)

$L = HC \tan \alpha $

$CD = 2r_{3} \sin \alpha $

$GH = r_{3} \sin \alpha $

$HC = CD - r_{1} - GH$

$由以上各式联立解得 L = \frac{5-\sqrt{5}}{2}a$

如图2所示，两轨迹外切

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716294975249969153/img/compression/M_36db28adbe6351745867ce2801d69487.jpg)

$L = HC \tan \alpha $

$OG = r_{1} + r_{3}$

$OB = r_{3} \cos \alpha $

$CB = r_{3} \sin \alpha $

$GH = r_{3} \sin \alpha $

$GB = \sqrt{OG^{2}-OB^{2}}$

HC = CB + GB - GH

$联立以上各式解得 L = \sqrt{15}a$

综上所述，为使质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点，L的取值范围为

$0 \leq  L < \frac{5-\sqrt{5}}{2}a 或 L > \sqrt{15}a$

Final answer: $[0,\frac{5-\sqrt{5}}{2}a)\cup(\sqrt{15}a,+\infty)$
Subfield: Thermodynamics


Question: $轮胎气压是行车安全的重要参数。某型号汽车轮胎容积 V_0 为25 L，安全气压范围为2.4～3.0 atm。汽车行驶一段时间后，发现胎压下降到 p_1 =2.0 atm，用车载气泵给其充气，气泵每秒钟注入0.5 L压强为 p_0 =1.0 atm的空气。忽略轮胎容积与气体温度的变化。为使气压回到安全范围，求气泵工作的时间范围。$

Solution:
$忽略轮胎容积与气体温度的变化，外部向内部充气过程中，气体发生等温变化，以轮胎内已有气体和充入气体整体为研究对象，根据玻意耳定律有 pV_0 = p_1V_0 + np_0V，设气泵工作的时间为 t，因为 p_0 一定，则有 nV = 0.5t (L)，联立得 pV_0 = p_1V_0 + p_0 \times 0.5t，代入数据得 p = 2 + 0.02t (atm)，由于 2.4 atm \leq p \leq 3.0 atm，则 20s \leq t \leq 50s。$

Final answer: $[20, 50]$ s
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一质量为$2 kg$、长度为1 m的木板甲，其上表面粗糙、下表面光滑。质量为$1 kg$的物块乙放在木板甲的最左端，两者均处于静止状态。现用$F=2 N$的水平恒力将物块乙从木板甲的左端拉到右端，直至两者分离。已知物块乙与木板甲间的动摩擦因数为0.1，$g=10 m/s^2$，求：

<img_875>
要使物块乙在木板甲上相对滑动，水平恒力应满足的条件，不用写单位。

Solution:
对乙，由牛顿第二定律得

$F'-\mu m_{乙}g=m_{乙}a_{乙}'$

对甲，由牛顿第二定律得

$\mu m_{乙}g=m_{甲}a_{甲}$

发生相对滑动的条件是

$a_{乙}'>a_{甲}$

$联立求得F'>1.5 N$

即水平恒力应大于1.5 N。



Final answer: $(1.5, +\infty) $
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，光滑水平面上有一质量为$2 kg$、长度为1 m的木板甲，其上表面粗糙、下表面光滑。质量为$1 kg$的物块乙放在木板甲的最左端，两者均处于静止状态。现用$F=2 N$的水平恒力将物块乙从木板甲的左端拉到右端，直至两者分离。已知物块乙与木板甲间的动摩擦因数为0.1，$g=10 m/s^2$，求：

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609225797509122/img/compression/M_0a89b24965a9a838234c924665cb3ce1.jpg)
要使物块乙在木板甲上相对滑动，水平恒力应满足的条件。

Solution:
对乙，由牛顿第二定律得

$F'-\mu m_{乙}g=m_{乙}a_{乙}'$

对甲，由牛顿第二定律得

$\mu m_{乙}g=m_{甲}a_{甲}$

发生相对滑动的条件是

$a_{乙}'>a_{甲}$

$联立求得F'>1.5 N$

即水平恒力应大于1.5 N。

Final answer: 大于1.5 N
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，由两个半径均为R=0.2 m的四分之一圆弹性细管道构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，管道最低点刚好与水平面相切，圆心连线O1O2水平；轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m=10 g的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径，小球大小可忽略)。宽为2R、高为R的木盒子固定于水平面上，盒子左侧DG到管道右端C的水平距离为2R，开始时弹簧处于锁定状态，当解除锁定后小球离开弹簧进入管道，最后到达C点或从C点抛出，重力加速度g取10 m/s^2。(弹簧、小球及轨道ABC与木盒截面GDEF在同一竖直面内)$

<img_551>
若小球从C点抛出后能直接击中盒子的底部，求弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能满足什么条件（不需要写单位）?

Solution:
①小球从G点进入盒子，则小球从C点到G点做平抛运动，有

$R= \frac{1}{2}gt^2_1$

$2R = v_1 t_1$

从小球从弹簧处离开至C点由动能定理得

$E_p1=2mgR+ \frac{1}{2}mv^2_1$

$联立解得E_1=0.06 J$

②小球落到E点，则小球从C点到E点做平抛运动，有

$2R= \frac{1}{2}gt^2_2$

$4R = v_2 t_2$

从小球从弹簧处离开至C点由动能定理得

$E_p2 =2mgR+ \frac{1}{2}mv^2_2$

$解得E_p2=0.08 J$

弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能满足

$0.06 J \leq  E_p \leq  0.08 J$



Final answer: $[0.06, 0.08 ]$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，由两个半径均为R=0.2 m的四分之一圆弹性细管道构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，管道最低点刚好与水平面相切，圆心连线O1O2水平；轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m=10 g的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径，小球大小可忽略)。宽为2R、高为R的木盒子固定于水平面上，盒子左侧DG到管道右端C的水平距离为2R，开始时弹簧处于锁定状态，当解除锁定后小球离开弹簧进入管道，最后到达C点或从C点抛出，重力加速度g取10 m/s^2。(弹簧、小球及轨道ABC与木盒截面GDEF在同一竖直面内)$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609765808132099/img/compression/M_981f9174e1a8ddbddab1289af1d9a22e.jpg)
若小球从C点抛出后能直接击中盒子的底部，求弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能满足什么条件?

Solution:
①小球从G点进入盒子，则小球从C点到G点做平抛运动，有

$R= \frac{1}{2}gt^2_1$

$2R = v_1 t_1$

从小球从弹簧处离开至C点由动能定理得

$E_p1=2mgR+ \frac{1}{2}mv^2_1$

$联立解得E_1=0.06 J$

②小球落到E点，则小球从C点到E点做平抛运动，有

$2R= \frac{1}{2}gt^2_2$

$4R = v_2 t_2$

从小球从弹簧处离开至C点由动能定理得

$E_p2 =2mgR+ \frac{1}{2}mv^2_2$

$解得E_p2=0.08 J$

弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能满足

$0.06 J \leq  E_p \leq  0.08 J$

Final answer: $0.06 J\leq E_p\leq 0.08 J$
Subfield: Mechanics


Question: $某种弹射装置如图所示，左端固定的轻弹簧处于压缩状态且锁定，弹簧具有的弹性势能E_p=4.5 J，质量m=1.0 kg的小滑块静止于弹簧右端，光滑水平导轨AB的右端与倾角\theta=30^\circ 的传送带平滑连接，传送带长度L=8.0 m，传送带以恒定速率v_0=8.0 m/s顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带顶端滑离落至地面。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数\mu=\frac{\sqrt{3}}{2}，重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_1046>
$若每次开始时弹射装置具有不同的弹性势能E_p'，要使滑块滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，求E_p'的取值范围。$

Solution:
分析可知，要使滑块滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，滑块滑出传送带时要与传送带共速。

滑块刚好加速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最小，有

$E_{pmin} + (\mu mg\, \cos\, \theta - mg\, \sin \theta)L = \frac{1}{2}m v_0^2$

$得E_{pmin} = 12\, J$

同理可得，滑块刚好减速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最大，有

$E_{pmax} - (\mu mg\, \cos\, \theta + mg\, \sin \theta)L = \frac{1}{2}m v_0^2$

$得E_{pmax} = 132\, J$

$所以，满足条件的弹性势能E_p'范围为$

$12J \leq  E_p'  \leq 132J$

Final answer: $[12, 132]$ J
Subfield: Mechanics


Question: $某种弹射装置如图所示，左端固定的轻弹簧处于压缩状态且锁定，弹簧具有的弹性势能E_p=4.5 J，质量m=1.0 kg的小滑块静止于弹簧右端，光滑水平导轨AB的右端与倾角\theta=30^\circ 的传送带平滑连接，传送带长度L=8.0 m，传送带以恒定速率v_0=8.0 m/s顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带顶端滑离落至地面。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数\mu=\frac{\sqrt{3}}{2}，重力加速度g取10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623609847598882819/img/compression/M_8a7cf3dfedaf689168c293b4f8778bb4.jpg)
$若每次开始时弹射装置具有不同的弹性势能E_p'，要使滑块滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，求E_p'的取值范围。$

Solution:
分析可知，要使滑块滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，滑块滑出传送带时要与传送带共速。

滑块刚好加速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最小，有

$E_{pmin} + (\mu mg\, \cos\, \theta - mg\, \sin \theta)L = \frac{1}{2}m v_0^2$

$得E_{pmin} = 12\, J$

同理可得，滑块刚好减速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最大，有

$E_{pmax} - (\mu mg\, \cos\, \theta + mg\, \sin \theta)L = \frac{1}{2}m v_0^2$

$得E_{pmax} = 132\, J$

$所以，满足条件的弹性势能E_p'范围为$

$12J \leq  E_p'  \leq 132J$

Final answer: $[12, 132]$ J
Subfield: Optics


Question: $如图，一潜水员在距海岸A点45 m的B点竖直下潜,B点和灯塔之间停着一条长4 m的皮划艇。皮划艇右端距B点4 m，灯塔顶端的指示灯与皮划艇两端的连线与竖直方向的夹角分别为\alpha 和\beta  (\sin  \alpha =\frac{4}{5}, \sin  \beta =\frac{16}{37}),水的折射率为\frac{4}{3}，皮划艇高度可忽略。$

<img_927>
求潜水员竖直下潜过程中看不到灯塔指示灯的深度范围。

Solution:
$由折射定律，灯塔发出的光恰好照到皮划艇右沿外侧并射入水中时，\frac{\sin  \alpha }{\sin  r_1} = n，h_1 = \frac{l_1}{\tan  r_1}，可得 h_1 = \frac{16}{3} m。$

$同理，灯塔发出的光恰好照到皮划艇左沿外侧并射入水中时，\frac{\sin  \beta }{\sin  r_2} = n，h_2 = \frac{l_1+l_2}{\tan  r_2}，可得 h_2 = \frac{70}{3} m。$

$则潜水员看不到灯塔指示灯的深度范围为 \frac{16}{3} m \leq  h \leq  \frac{70}{3} m。$

Final answer: $[\frac{16}{3},\frac{70}{3}]$ m
Subfield: Optics


Question: $如图，一潜水员在距海岸A点45 m的B点竖直下潜,B点和灯塔之间停着一条长4 m的皮划艇。皮划艇右端距B点4 m，灯塔顶端的指示灯与皮划艇两端的连线与竖直方向的夹角分别为\alpha 和\beta  (\sin  \alpha =\frac{4}{5}, \sin  \beta =\frac{16}{37}),水的折射率为\frac{4}{3}，皮划艇高度可忽略。$

![22ABJ5WL420.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487740792688643/img/compression/M_c0dca28a8bd8a9a70acab27468d5fa10.jpg)
求潜水员竖直下潜过程中看不到灯塔指示灯的深度范围。

Solution:
$由折射定律，灯塔发出的光恰好照到皮划艇右沿外侧并射入水中时，\frac{\sin  \alpha }{\sin  r_1} = n，h_1 = \frac{l_1}{\tan  r_1}，可得 h_1 = \frac{16}{3} m。$

$同理，灯塔发出的光恰好照到皮划艇左沿外侧并射入水中时，\frac{\sin  \beta }{\sin  r_2} = n，h_2 = \frac{l_1+l_2}{\tan  r_2}，可得 h_2 = \frac{70}{3} m。$

$则潜水员看不到灯塔指示灯的深度范围为 \frac{16}{3} m \leq  h \leq  \frac{70}{3} m。$

Final answer: $[\frac{16}{3},\frac{70}{3}]$ m
Subfield: Optics


Question: $超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为\theta 。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d=100.0 mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=\sqrt{2}和n_2=\frac{\sqrt{31}}{4}.取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}，\cos 37^\circ =\frac{4}{5}，\frac{5}{\sqrt{7}}=1.890。$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487767692689411/img/compression/M_3992146f6a47236a1bd7ce46bee592a0.jpg)
$为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，求\theta的取值范围；$

Solution:
设C是全反射的临界角，光线在第一个三棱镜右侧斜面上恰好发生全反射时，根据折射定律得

$\sin C = \frac{1}{n}$

①

$代入较大的折射率得C=45^\circ $

②

$所以顶角\theta 的范围为0<\theta <45^\circ (或\theta <45^\circ )$

③

Final answer: $0<\theta <45^\circ (或\theta <45^\circ )$
Subfield: Optics


Question: $超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为\theta 。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d=100.0 mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=\sqrt{2}和n_2=\frac{\sqrt{31}}{4}.取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}，\cos 37^\circ =\frac{4}{5}，\frac{5}{\sqrt{7}}=1.890。$

<img_629>
$为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，求\theta的取值范围；$

Solution:
设C是全反射的临界角，光线在第一个三棱镜右侧斜面上恰好发生全反射时，根据折射定律得

$\sin C = \frac{1}{n}$

①

$代入较大的折射率得C=45^\circ $

②

$所以顶角\theta 的范围为0<\theta <45^\circ (或\theta <45^\circ )$

③



Final answer: $(0, \frac{\pi}{4})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B_0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B_0的匀强磁场。在x轴上x<-2R的位置有荧光屏，粒子源P(2R，-R)可以在纸面内沿与x轴负方向成-37^\circ 到37^\circ 夹角的范围内发射速率v_0= \frac{B_0qR}{m}(m、q分别为粒子的质量和电荷量)的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：$

<img_1277>
$粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围；$

Solution:
根据题意，可知距原点最近和最远的粒子的运动轨迹如图2所示

<img_981>

对最远粒子在第二象限的运动，几何关系如图3所示

<img_1326>

$根据对称关系，打到荧光屏上的最远距离的位置x_1=-(2R+R+R \sin 37^\circ )=-3.6R，同理可得，打到荧光屏上的最近距离的位置x_2=-(2R+R-R \sin 37^\circ )=-2.4R，粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围为(-3.6R，-2.4R)。$

Final answer: $(-3.6R, -2.4R)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示是带电粒子流的控制装置。该装置内有三个半径均为R的圆形磁场区域，第一、二象限的磁场方向垂直纸面向里，第四象限的磁场方向垂直纸面向外，三个圆形磁场区域与x轴、y轴均相切，磁感应强度大小均为B_0。第三象限内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B_0的匀强磁场。在x轴上x<-2R的位置有荧光屏，粒子源P(2R，-R)可以在纸面内沿与x轴负方向成-37^\circ 到37^\circ 夹角的范围内发射速率v_0= \frac{B_0qR}{m}(m、q分别为粒子的质量和电荷量)的同种带正电粒子。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003729519267842/img/compression/M_452272b8604ff41f76e1598a0a4dec8d.jpg)
$粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围；$

Solution:
根据题意，可知距原点最近和最远的粒子的运动轨迹如图2所示

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003730270048258/img/compression/M_72b53df7db2080ca23468cafabf1a938.jpg)

对最远粒子在第二象限的运动，几何关系如图3所示

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003730270048258/img/compression/M_3487ff2842f444444780d7f9de19ffa5.jpg)

$根据对称关系，打到荧光屏上的最远距离的位置x_1=-(2R+R+R \sin 37^\circ )=-3.6R，同理可得，打到荧光屏上的最近距离的位置x_2=-(2R+R-R \sin 37^\circ )=-2.4R，粒子打到荧光屏上的x轴坐标范围为(-3.6R，-2.4R)。$

Final answer: $(-3.6R, -2.4R)$
Subfield: Thermodynamics


Question: $一竖直放置的圆柱形试管内，通过一段长L_0=24 cm的水银柱封闭了一段理想气体，气柱高L_1=60 cm、温度T_1=300 K，水银柱的上表面与管侧面小孔的高度差\Delta L=16 cm，小孔左边用一橡胶软管连接另一支上端开口的空试管，如图所示。通过加热装置使气体温度缓慢升高到一定值时，水银就会从右边试管通过小孔溢到左边试管中，左边试管可上下移动，上移时可使左边试管中的水银回流到右边试管中，从而调节右边试管中水银柱的长度，调节完后左边试管回到原始位置。已知当地大气压强p_0=76 cmHg。$
    
![24BSD5WL605.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003860958609410/img/compression/M_a3f06deffa9653d7e24ca029fe09ee04.jpg)
$若封闭气体温度T_3=385.4 K，求右边试管中水银柱可能的长度。$

Solution:
$假设右侧水银不会进入左侧，则封闭气体从T_1升到T_3是等压过程，有\frac{L_1S}{T_1} =\frac{L_3S}{T_3} ，解得L_3=77.08 cm.$

$因为77.08 cm+24 cm > 60 cm+16 cm+24 cm，所以此时右边试管中水银柱上表面已经超过了小孔的位置，即假设不成立，实际有一部分水银流到了左侧，设右边试管中水银柱剩余长度为L'，封闭气体长度为L_4，压强为p_4，数字x等于L'的大小.$

则有：

$$
\begin{align*}
\frac{p_1L_1S}{T_1} &= \frac{p_4L_4S}{T_3} \\
p_1 &= 76 \text{cmHg} + 24 \text{cmHg} \\
p_4 &= 76 \text{cmHg} + x \text{cmHg} \\
L_4 + x &= L_1 + L_0 + \Delta L
\end{align*}
$$

$解得L'=6 cm或L'=18 cm.$

Final answer: 6,18 cm
Subfield: Thermodynamics


Question: $一竖直放置的圆柱形试管内，通过一段长L_0=24 cm的水银柱封闭了一段理想气体，气柱高L_1=60 cm、温度T_1=300 K，水银柱的上表面与管侧面小孔的高度差\Delta L=16 cm，小孔左边用一橡胶软管连接另一支上端开口的空试管，如图所示。通过加热装置使气体温度缓慢升高到一定值时，水银就会从右边试管通过小孔溢到左边试管中，左边试管可上下移动，上移时可使左边试管中的水银回流到右边试管中，从而调节右边试管中水银柱的长度，调节完后左边试管回到原始位置。已知当地大气压强p_0=76 cmHg。$
    
<img_715>
$若封闭气体温度T_3=385.4 K，求右边试管中水银柱可能的长度。$

Solution:
$假设右侧水银不会进入左侧，则封闭气体从T_1升到T_3是等压过程，有\frac{L_1S}{T_1} =\frac{L_3S}{T_3} ，解得L_3=77.08 cm.$

$因为77.08 cm+24 cm > 60 cm+16 cm+24 cm，所以此时右边试管中水银柱上表面已经超过了小孔的位置，即假设不成立，实际有一部分水银流到了左侧，设右边试管中水银柱剩余长度为L'，封闭气体长度为L_4，压强为p_4，数字x等于L'的大小.$

则有：

$$
\begin{align*}
\frac{p_1L_1S}{T_1} &= \frac{p_4L_4S}{T_3} \\
p_1 &= 76 \text{cmHg} + 24 \text{cmHg} \\
p_4 &= 76 \text{cmHg} + x \text{cmHg} \\
L_4 + x &= L_1 + L_0 + \Delta L
\end{align*}
$$

$解得L'=6 cm或L'=18 cm.$

Final answer: 6,18 cm
Subfield: Optics


Question: $近年来，对具有负折射率人工材料的光学性质及应用的研究备受关注。该材料折射率为负值(n<0)，如图甲所示，光从真空射入负折射率材料时，入射角和折射角的大小关系仍然遵从折射定律，但折射角取负值，即折射光线和入射光线位于界面法线同侧。如图乙所示，在真空中对称放置两个完全相同的负折射率材料制作的直角三棱镜A、B，顶角为\theta ，A、B两棱镜斜面相互平行放置，两斜面间的距离为d。一束包含有两种频率光的激光，从A棱镜上的P点垂直入射，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=-\sqrt{2}，n_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}，在B棱镜下方有一平行于下表面的光屏，P'点为P点在光屏上的投影。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007396432244740/img/compression/M_b146f3f0cf6ef480451951c162ad4525.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007396432244740/img/compression/M_5e0050a8799feab86e6490324c6d09c1.jpg)
$为使两种频率的光都能从棱镜A斜面射出，求\theta 的取值范围；$

Solution:
$分析可知两光的入射角等于棱镜的顶角\theta，若两光都能从棱镜A斜面射出，\theta应小于两光对应临界角中较小的那个，由\sin C = \frac{1}{|n_1|}，得C=45^\circ ，所以\theta的取值范围为0^\circ <\theta<45^\circ 。$

Final answer: $0^\circ < \theta  <45^\circ $
Subfield: Optics


Question: $近年来，对具有负折射率人工材料的光学性质及应用的研究备受关注。该材料折射率为负值(n<0)，如图甲所示，光从真空射入负折射率材料时，入射角和折射角的大小关系仍然遵从折射定律，但折射角取负值，即折射光线和入射光线位于界面法线同侧。如图乙所示，在真空中对称放置两个完全相同的负折射率材料制作的直角三棱镜A、B，顶角为\theta ，A、B两棱镜斜面相互平行放置，两斜面间的距离为d。一束包含有两种频率光的激光，从A棱镜上的P点垂直入射，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=-\sqrt{2}，n_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}，在B棱镜下方有一平行于下表面的光屏，P'点为P点在光屏上的投影。$

<img_427>

<img_1333>
$为使两种频率的光都能从棱镜A斜面射出，求\theta 的取值范围；$

Solution:
$分析可知两光的入射角等于棱镜的顶角\theta，若两光都能从棱镜A斜面射出，\theta应小于两光对应临界角中较小的那个，由\sin C = \frac{1}{|n_1|}，得C=45^\circ ，所以\theta的取值范围为0^\circ <\theta<45^\circ 。$



Final answer: $(0, \frac{\pi}{4})$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物体A、B叠放在倾角\theta =37^\circ 的斜面上(斜面保持不动，质量为M=10 kg)，并通过跨过光滑滑轮的细线相连，细线与斜面平行。两物体的质量分别为m_{A}=2 kg，m_{B}=1 kg，B与斜面间的动摩擦因数\mu _2=0.2，问：(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6)$
<img_598>
$如果A、B间动摩擦因数未知，为使A、B两个物体一起静止在斜面上，A、B间的动摩擦因数\mu _1应满足什么条件。$

Solution:
由受力分析可知，一定存在A有下滑趋势，B有上滑趋势。

$对A由平衡条件得：mAg\sin\theta \leq \mu _1mAg\cos\theta +T$

$对B由平衡条件得：T\leq \mu _1mAg\cos\theta +\mu _2(mA+mB)g\cos\theta +mBg\sin\theta $

$解得\mu _1\geq 0.037 5$



Final answer: $[0.0375, +\infty)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物体A、B叠放在倾角\theta =37^\circ 的斜面上(斜面保持不动，质量为M=10 kg)，并通过跨过光滑滑轮的细线相连，细线与斜面平行。两物体的质量分别为m_{A}=2 kg，m_{B}=1 kg，B与斜面间的动摩擦因数\mu _2=0.2，问：(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s^2，\sin 37^\circ =0.6)$
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611475606261762/img/compression/M_bab8551dfaaf8394ad1ba1c8ca27afae.jpg)
$如果A、B间动摩擦因数未知，为使A、B两个物体一起静止在斜面上，A、B间的动摩擦因数\mu _1应满足什么条件。$

Solution:
由受力分析可知，一定存在A有下滑趋势，B有上滑趋势。

$对A由平衡条件得：mAg\sin\theta \leq \mu _1mAg\cos\theta +T$

$对B由平衡条件得：T\leq \mu _1mAg\cos\theta +\mu _2(mA+mB)g\cos\theta +mBg\sin\theta $

$解得\mu _1\geq 0.037 5$

Final answer: $\mu_{1} \geq 0.0375$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在磁感应强度为B的匀强磁场区域内，垂直于磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd,两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L,导体棒的质量均为m,电阻均为R,导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨间的动摩擦因数均为\mu 。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v_0,重力加速度为g,以上物理量除v_0未知外，其余的均已知。$

<img_1127>

当cd棒速度v_0满足什么条件时，导体棒ab会相对于导轨运动？

Solution:
$E = BLv_{0} $

$I = \frac{E}{2R} $

$棒ab运动时 BIL > \mu mg $

$则v_{0} > \frac{2\mu mgR}{B^2L^2} $



Final answer: $(\frac{2\mu mgR}{B^2L^2}, +\infty)$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在磁感应强度为B的匀强磁场区域内，垂直于磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd,两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L,导体棒的质量均为m,电阻均为R,导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨间的动摩擦因数均为\mu 。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v_0,重力加速度为g,以上物理量除v_0未知外，其余的均已知。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716624977736757250/img/compression/M_91c804be28a4373ae00fc0900595cac9.jpg)
当cd棒速度v_0满足什么条件时，导体棒ab会相对于导轨运动？

Solution:
$E = BLv_{0} $

$I = \frac{E}{2R} $

$棒ab运动时 BIL > \mu mg $

$则v_{0} > \frac{2\mu mgR}{B^2L^2} $

Final answer: $v_0 > \frac{2\mu mgR}{B^2L^2}$