di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C的坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A，直线BP与AC交于点D.$<img_1792>
$当E点坐标为\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)时，求直线OD的方程；$

Solution:
$当E点坐标为\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)时，直线EP的方程为y=x+1，(1分)令y=0，得x=-1，所以A(-1,0)，故直线AC的方程为y=2x+2.(2分)易得直线BP的方程为y=-\frac{1}{2}x+1，由\left\{\begin{matrix}y=2x+2,\\ y=-\frac{1}{2}x+1,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{5},\\ y=\frac{6}{5},\end{matrix}\right.所以D\left(-\frac{2}{5},\frac{6}{5}\right)，(3分)所以直线OD的方程为y=-3x.(5分)$

Final answer: $y=-3x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C的坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A，直线BP与AC交于点D.$<img_1792>
$求\triangle BOE与\triangle ABE的面积之和S的最小值.$

Solution:
$直线BC的方程为y=-x+2，设E(a,2-a)，易知0则直线PE的方程为y=\frac{1-a}{a}x+1，故A\left(\frac{a}{a-1},0\right)，(7分)由于直线EP与x轴负半轴交于点A，所以0<a<1，故1-a>0,所以S=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle ABE}=2-a+\frac{1}{2}\times \left(2-\frac{a}{a-1}\right)\times (2-a)=\frac{1}{2}\times \frac{(3a-4)(2-a)}{a-1}=\frac{1}{2}\times \frac{-3a^2+10a-8}{a-1}=\frac{1}{2}\times \frac{-3(a-1)^2+4(a-1)-1}{a-1}=\frac{1}{2}\times \left[-3(a-1)-\frac{1}{a-1}+4\right]=\frac{1}{2}\times \left[3(1-a)+\frac{1}{1-a}+4\right](8分)\geq \frac{1}{2}\times \left[2\sqrt{3(1-a) \times \frac{1}{1-a}}+4\right]=\sqrt{3}+2，(10分)当且仅当3(1-a)=\frac{1}{1-a}，即a=1-\frac{\sqrt{3}}{3}时等号成立，所以\triangle BOE与\triangle ABE的面积之和S的最小值为\sqrt{3}+2.(12分)$

Final answer: $\sqrt{3}+2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C的坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A，直线BP与AC交于点D.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663306475933698/img/compression/M_47e1a05dba66d027ab31e65bdc377aa0.jpg)
$求\triangle BOE与\triangle ABE的面积之和S的最小值.$

Solution:
$直线BC的方程为y=-x+2，设E(a,2-a)，易知0则直线PE的方程为y=\frac{1-a}{a}x+1，故A\left(\frac{a}{a-1},0\right)，(7分)由于直线EP与x轴负半轴交于点A，所以0<a<1，故1-a>0,所以S=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle ABE}=2-a+\frac{1}{2}\times \left(2-\frac{a}{a-1}\right)\times (2-a)=\frac{1}{2}\times \frac{(3a-4)(2-a)}{a-1}=\frac{1}{2}\times \frac{-3a^2+10a-8}{a-1}=\frac{1}{2}\times \frac{-3(a-1)^2+4(a-1)-1}{a-1}=\frac{1}{2}\times \left[-3(a-1)-\frac{1}{a-1}+4\right]=\frac{1}{2}\times \left[3(1-a)+\frac{1}{1-a}+4\right](8分)\geq \frac{1}{2}\times \left[2\sqrt{3(1-a) \times \frac{1}{1-a}}+4\right]=\sqrt{3}+2，(10分)当且仅当3(1-a)=\frac{1}{1-a}，即a=1-\frac{\sqrt{3}}{3}时等号成立，所以\triangle BOE与\triangle ABE的面积之和S的最小值为\sqrt{3}+2.(12分)$

Final answer: $\sqrt{3}+2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，过椭圆的左、右焦点F_{1}，F_{2}分别作长轴的垂线l_{1}，l_{2}交椭圆于A_{1}，B_{1}，A_{2}，B_{2}，将l_{1}，l_{2}两侧的椭圆弧删去，再分别以F_{1}，F_{2}为圆心，线段F_{1}A_{1}，F_{2}A_{2}的长为半径向外侧作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l_{1}，l_{2}之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”，其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1，(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663319478755330/img/compression/M_dbca541b1eef0a2c71938f0ac566fa77.jpg)
$求“帽体段”的方程；$

Solution:
$设“帽体段”所在椭圆的标准方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),(1分)由题意知F_{2}(\sqrt{2},0),A_{2}(\sqrt{2},1)，所以c=\sqrt{2},\frac{b^2}{a}=1，又a^{2}=b^{2}+c^{2}，所以a=2,b=c=\sqrt{2}，(2分)所以“帽体段”的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1(-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}).(4分)$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，过椭圆的左、右焦点F_{1}，F_{2}分别作长轴的垂线l_{1}，l_{2}交椭圆于A_{1}，B_{1}，A_{2}，B_{2}，将l_{1}，l_{2}两侧的椭圆弧删去，再分别以F_{1}，F_{2}为圆心，线段F_{1}A_{1}，F_{2}A_{2}的长为半径向外侧作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l_{1}，l_{2}之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”，其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1，(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1.$<img_1728>
$求“帽体段”的方程；$

Solution:
$设“帽体段”所在椭圆的标准方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),(1分)由题意知F_{2}(\sqrt{2},0),A_{2}(\sqrt{2},1)，所以c=\sqrt{2},\frac{b^2}{a}=1，又a^{2}=b^{2}+c^{2}，所以a=2,b=c=\sqrt{2}，(2分)所以“帽体段”的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1(-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}).(4分)$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，过椭圆的左、右焦点F_{1}，F_{2}分别作长轴的垂线l_{1}，l_{2}交椭圆于A_{1}，B_{1}，A_{2}，B_{2}，将l_{1}，l_{2}两侧的椭圆弧删去，再分别以F_{1}，F_{2}为圆心，线段F_{1}A_{1}，F_{2}A_{2}的长为半径向外侧作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l_{1}，l_{2}之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”，其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1，(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658663319478755330/img/compression/M_dbca541b1eef0a2c71938f0ac566fa77.jpg)
$记“帽体段”所在椭圆为C，过点P(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点M(t,0)，使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$①当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=my+1,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})，将x=my+1代入\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1，得(m^{2}+2)y^{2}+2my-3=0，所以y_{1}+y_{2}=\frac{-2m}{m^2+2},y_{1}y_{2}=\frac{-3}{m^2+2}，则x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+2=\frac{4}{m^2+2},x_{1}x_{2}=(my_{1}+1)(my_{2}+1)=\frac{-4m^2+2}{m^2+2},由题意得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}-t(x_{1}+x_{2})+t^{2}+y_{1}y_{2}=\frac{m^2(t^2-4)+2t^2-4t-1}{m^2+2}，(6分)要使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值，即使\frac{m^2(t^2-4)+2t^2-4t-1}{m^2+2}为定值，则2(t^{2}-4)=2t^{2}-4t-1，解得t=\frac{7}{4}，即当t=\frac{7}{4}时，\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-\frac{15}{16}，为定值，(9分)②当直线AB与x轴重合时，直线AB的方程为y=0,不妨令A(-2,0)，B(2,0)，当点M的坐标为\left(\frac{7}{4},0\right)时，\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-\frac{15}{16}成立.(11分)所以存在定点M\left(\frac{7}{4},0\right)，使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值-\frac{15}{16}.(12分)$

Final answer: $(7/4,0)$，$-\frac{15}{16}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，过椭圆的左、右焦点F_{1}，F_{2}分别作长轴的垂线l_{1}，l_{2}交椭圆于A_{1}，B_{1}，A_{2}，B_{2}，将l_{1}，l_{2}两侧的椭圆弧删去，再分别以F_{1}，F_{2}为圆心，线段F_{1}A_{1}，F_{2}A_{2}的长为半径向外侧作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l_{1}，l_{2}之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”，其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1，(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1.$<img_1728>
$记“帽体段”所在椭圆为C，过点P(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点M(t,0)，使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$①当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=my+1,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})，将x=my+1代入\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1，得(m^{2}+2)y^{2}+2my-3=0，所以y_{1}+y_{2}=\frac{-2m}{m^2+2},y_{1}y_{2}=\frac{-3}{m^2+2}，则x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+2=\frac{4}{m^2+2},x_{1}x_{2}=(my_{1}+1)(my_{2}+1)=\frac{-4m^2+2}{m^2+2},由题意得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(x_{1}-t)(x_{2}-t)+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}-t(x_{1}+x_{2})+t^{2}+y_{1}y_{2}=\frac{m^2(t^2-4)+2t^2-4t-1}{m^2+2}，(6分)要使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值，即使\frac{m^2(t^2-4)+2t^2-4t-1}{m^2+2}为定值，则2(t^{2}-4)=2t^{2}-4t-1，解得t=\frac{7}{4}，即当t=\frac{7}{4}时，\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-\frac{15}{16}，为定值，(9分)②当直线AB与x轴重合时，直线AB的方程为y=0,不妨令A(-2,0)，B(2,0)，当点M的坐标为\left(\frac{7}{4},0\right)时，\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-\frac{15}{16}成立.(11分)所以存在定点M\left(\frac{7}{4},0\right)，使得\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}为定值-\frac{15}{16}.(12分)$

Final answer: $(7/4,0)$，$-\frac{15}{16}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
$<img_1716><img_1694>
$如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程;$

Solution:
$过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,由题意知,A,B两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(a,b),如图①所示：
$<img_2973>$
图①
则有\left\{\begin{matrix}a+b-4=0,\\ \sqrt{(a-4)^2+{b}^2}=2,\\ a>0,b>0,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=4-\sqrt{2},\\ b=\sqrt{2},\end{matrix}\right.即A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(4-\sqrt{2},\sqrt{2}),所以碰撞前母球A运动的直线方程为y=\frac{\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}x=\frac{2\sqrt{2}+1}{7}x.$

Final answer: $y=(2\sqrt 2+1)/7x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402119419097089/img/compression/M_e3a0208598a63bebfa29cf94ab52ac93.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402119419097089/img/compression/M_67e4dab415dd705df069f02c51779a3d.jpg)
$如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程;$

Solution:
$过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,由题意知,A,B两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(a,b),如图①所示：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402117179338757/img/compression/M_a3d2e905c4dd4ab89bd4d028a3cb3c24.jpg)$
图①
则有\left\{\begin{matrix}a+b-4=0,\\ \sqrt{(a-4)^2+{b}^2}=2,\\ a>0,b>0,\end{matrix}\right.解得\left\{\begin{matrix}a=4-\sqrt{2},\\ b=\sqrt{2},\end{matrix}\right.即A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(4-\sqrt{2},\sqrt{2}),所以碰撞前母球A运动的直线方程为y=\frac{\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}x=\frac{2\sqrt{2}+1}{7}x.$

Final answer: $y=(2\sqrt 2+1)/7x$
Subfield: Plane Geometry


Question: $规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
$<img_1716><img_1694>
$当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4\sqrt{2},0)可以向能碰到目标球C(7\sqrt{2},-5\sqrt{2})的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可).$

Solution:
$a的最小值为-2\sqrt{2}.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图③所示:
$<img_3005>$
图③
设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有\left\{\begin{matrix}BB'\bot B'C,\\ |B'C|=2,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}(x-4\sqrt{2})(x-7\sqrt{2})+y(y+5\sqrt{2})=0,\\ (x-7\sqrt{2})^2+(y+5\sqrt{2})^2=4,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x=8\sqrt{2},\\ y=-4\sqrt{2},\end{matrix}\right.所以B'(8\sqrt{2},-4\sqrt{2}),所以直线CB'的倾斜角为45^\circ ,所以直线A'B的倾斜角为135^\circ ,易得A'(3\sqrt{2},\sqrt{2}).过A'(3\sqrt{2},\sqrt{2})作倾斜角为45^\circ 的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2\sqrt{2}).若a<-2\sqrt{2},则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2\sqrt{2}.$

Final answer: $-2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402119419097089/img/compression/M_e3a0208598a63bebfa29cf94ab52ac93.jpg)![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402119419097089/img/compression/M_67e4dab415dd705df069f02c51779a3d.jpg)
$当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4\sqrt{2},0)可以向能碰到目标球C(7\sqrt{2},-5\sqrt{2})的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可).$

Solution:
$a的最小值为-2\sqrt{2}.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图③所示:
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402119419097089/img/compression/M_190bee785949cbe1a0b6231ab86f9765.jpg)$
图③
设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有\left\{\begin{matrix}BB'\bot B'C,\\ |B'C|=2,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}(x-4\sqrt{2})(x-7\sqrt{2})+y(y+5\sqrt{2})=0,\\ (x-7\sqrt{2})^2+(y+5\sqrt{2})^2=4,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}x=8\sqrt{2},\\ y=-4\sqrt{2},\end{matrix}\right.所以B'(8\sqrt{2},-4\sqrt{2}),所以直线CB'的倾斜角为45^\circ ,所以直线A'B的倾斜角为135^\circ ,易得A'(3\sqrt{2},\sqrt{2}).过A'(3\sqrt{2},\sqrt{2})作倾斜角为45^\circ 的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2\sqrt{2}).若a<-2\sqrt{2},则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2\sqrt{2}.$

Final answer: $-2\sqrt 2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知动圆M过点E(-1,0)，且与圆F:(x-1)^{2}+y^{2}=8内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
$<img_2158>
$求曲线C的方程；$

Solution:
$由圆F的方程知，其圆心为F(1,0)，半径为2\sqrt{2}.设圆M和圆F内切于点D，则D，M，F三点共线，且|DF|=2\sqrt{2}.因为圆M过点E，所以|ME|=|MD|，所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=2\sqrt{2}>|EF|=2，所以圆心M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆.因为2a=2\sqrt{2}，所以a=\sqrt{2}，又因为c=1，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=1，所以曲线C的方程是\frac{x^2}{2}+y^{2}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知动圆M过点E(-1,0)，且与圆F:(x-1)^{2}+y^{2}=8内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402142527766529/img/compression/M_cc5b4bec765a4da7a69794f00d5520b2.jpg)
$求曲线C的方程；$

Solution:
$由圆F的方程知，其圆心为F(1,0)，半径为2\sqrt{2}.设圆M和圆F内切于点D，则D，M，F三点共线，且|DF|=2\sqrt{2}.因为圆M过点E，所以|ME|=|MD|，所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=2\sqrt{2}>|EF|=2，所以圆心M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆.因为2a=2\sqrt{2}，所以a=\sqrt{2}，又因为c=1，则b^{2}=a^{2}-c^{2}=1，所以曲线C的方程是\frac{x^2}{2}+y^{2}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知动圆M过点E(-1,0)，且与圆F:(x-1)^{2}+y^{2}=8内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
$<img_2158>
$过圆心F的直线l交曲线C于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点P，使得当直线l绕点F任意转动时，\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}为定值？若存在，求出点P的坐标和\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，代入\frac{x^2}{2}+y^{2}=1，得(ty+1)^{2}+2y^{2}=2，即(t^{2}+2)y^{2}+2ty-1=0.设点A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，则y_{1}+y_{2}=-\frac{2t}{t^2+2}，y_{1}y_{2}=-\frac{1}{t^2+2}.设点P(m,0)，则\overrightarrow{PA}=(x_{1}-m,y_{1})，\overrightarrow{PB}=(x_{2}-m,y_{2})，\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(x_{1}-m)(x_{2}-m)+y_{1}y_{2}=(ty_{1}+1-m)(ty_{2}+1-m)+y_{1}y_{2}=(t^{2}+1)y_{1}y_{2}+t(1-m)(y_{1}+y_{2})+(1-m)^{2}=-\frac{t^2+1}{t^2+2}-\frac{2t^2(1-m)}{t^2+2}+(1-m)^{2}=-\frac{(3-2m)t^2+1}{t^2+2}+(1-m)^{2}.若\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}为定值，则\frac{3-2m}{1}=\frac{1}{2}，解得m=\frac{5}{4}，此时\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\frac{1}{2}+\left(1-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}.当直线l与x轴重合时，点A(-\sqrt{2},0)，B(\sqrt{2},0).对于点P\left(\frac{5}{4},0\right)，则\overrightarrow{PA}=\left(-\sqrt{2}-\frac{5}{4},0\right)，\overrightarrow{PB}=\left(\sqrt{2}-\frac{5}{4},0\right)，此时\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{25}{16}-2=-\frac{7}{16}.综上所述，存在点P\left(\frac{5}{4},0\right)，使得\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\frac{7}{16}为定值.$

Final answer: $(\frac54, 0), -\frac{7}{16}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，已知动圆M过点E(-1,0)，且与圆F:(x-1)^{2}+y^{2}=8内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402142527766529/img/compression/M_cc5b4bec765a4da7a69794f00d5520b2.jpg)
$过圆心F的直线l交曲线C于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点P，使得当直线l绕点F任意转动时，\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}为定值？若存在，求出点P的坐标和\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，代入\frac{x^2}{2}+y^{2}=1，得(ty+1)^{2}+2y^{2}=2，即(t^{2}+2)y^{2}+2ty-1=0.设点A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，则y_{1}+y_{2}=-\frac{2t}{t^2+2}，y_{1}y_{2}=-\frac{1}{t^2+2}.设点P(m,0)，则\overrightarrow{PA}=(x_{1}-m,y_{1})，\overrightarrow{PB}=(x_{2}-m,y_{2})，\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(x_{1}-m)(x_{2}-m)+y_{1}y_{2}=(ty_{1}+1-m)(ty_{2}+1-m)+y_{1}y_{2}=(t^{2}+1)y_{1}y_{2}+t(1-m)(y_{1}+y_{2})+(1-m)^{2}=-\frac{t^2+1}{t^2+2}-\frac{2t^2(1-m)}{t^2+2}+(1-m)^{2}=-\frac{(3-2m)t^2+1}{t^2+2}+(1-m)^{2}.若\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}为定值，则\frac{3-2m}{1}=\frac{1}{2}，解得m=\frac{5}{4}，此时\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\frac{1}{2}+\left(1-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}.当直线l与x轴重合时，点A(-\sqrt{2},0)，B(\sqrt{2},0).对于点P\left(\frac{5}{4},0\right)，则\overrightarrow{PA}=\left(-\sqrt{2}-\frac{5}{4},0\right)，\overrightarrow{PB}=\left(\sqrt{2}-\frac{5}{4},0\right)，此时\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{25}{16}-2=-\frac{7}{16}.综上所述，存在点P\left(\frac{5}{4},0\right)，使得\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\frac{7}{16}为定值.$

Final answer: $(\frac54, 0), -\frac{7}{16}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，抛物线E:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.$<img_2583>
$若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；$

Solution:
$由已知可得直线DN为抛物线的准线.设直线l的倾斜角为\alpha .如图所示，分别过点A，B作AG\perp DN，BH\perp DN，G，H为垂足，则|BH|=|BF|，|AG|=|AF|.
$<img_2406>$作BQ\perp AG，Q为垂足，则|QG|=|BH|.\because B为线段AC的中点，\therefore BH，BQ为\triangle ACG的中位线.\therefore |BH|=\frac{1}{2}|AG|=|AQ|，\therefore |AQ|=\frac{1}{3}|AB|.\therefore \\cos   \alpha =\\cos  \angle QAB=\frac{|AQ|}{|AB|}=\frac{1}{3}，\therefore \\tan   \alpha =2\sqrt{2}，\therefore 直线l的斜率为2\sqrt{2}.$

Final answer: $2\sqrt{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，抛物线E:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402232887480321/img/compression/M_53e1b994a04c080cae7fda928b82ec22.jpg)
$若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；$

Solution:
$由已知可得直线DN为抛物线的准线.设直线l的倾斜角为\alpha .如图所示，分别过点A，B作AG\perp DN，BH\perp DN，G，H为垂足，则|BH|=|BF|，|AG|=|AF|.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402233294327810/img/compression/M_7c1389fcf170f3cd98d3a1a6d000f144.jpg)$作BQ\perp AG，Q为垂足，则|QG|=|BH|.\because B为线段AC的中点，\therefore BH，BQ为\triangle ACG的中位线.\therefore |BH|=\frac{1}{2}|AG|=|AQ|，\therefore |AQ|=\frac{1}{3}|AB|.\therefore \\cos   \alpha =\\cos  \angle QAB=\frac{|AQ|}{|AB|}=\frac{1}{3}，\therefore \\tan   \alpha =2\sqrt{2}，\therefore 直线l的斜率为2\sqrt{2}.$

Final answer: $2\sqrt{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，抛物线E:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402232887480321/img/compression/M_53e1b994a04c080cae7fda928b82ec22.jpg)
$若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k_{1}，k_{2}，k_{3}，问是否存在实数\lambda ，使得k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}？若存在，求出\lambda 的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.\because 正方形DFMN的边长为1，\therefore p=1，因此抛物线的方程为y^{2}=2x，可得M\left(\frac{1}{2},1\right).设直线l的方程为my=x-\frac{1}{2}(m\neq 0)，A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，C\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{m}\right).联立\left\{\begin{matrix}my=x-\frac{1}{2},\\ {}y^2=2x,\end{matrix}\right.得y^{2}-2my-1=0，\Delta =4m^{2}+4>0,\therefore y_{1}+y_{2}=2m，y_{1}y_{2}=-1.假设存在实数\lambda ，使得k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}.则\frac{y_1-1}{x_1-\frac{1}{2}}+\frac{y_2-1}{x_2-\frac{1}{2}}=\lambda \left(1+\frac{1}{m}\right)，上式左边=\frac{y_1-1}{my_1}+\frac{y_2-1}{my_2}=\frac{2y_1y_2-(y_1+y_2)}{my_1y_2}=\frac{-2-2m}{-m}=\frac{2(1+m)}{m}，\therefore \frac{2(1+m)}{m}=\lambda \left(1+\frac{1}{m}\right)，解得\lambda =2.因此存在实数\lambda =2，使得k_{1}+k_{2}=2k_{3}.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，抛物线E:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.$<img_2583>
$若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k_{1}，k_{2}，k_{3}，问是否存在实数\lambda ，使得k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}？若存在，求出\lambda 的值；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.\because 正方形DFMN的边长为1，\therefore p=1，因此抛物线的方程为y^{2}=2x，可得M\left(\frac{1}{2},1\right).设直线l的方程为my=x-\frac{1}{2}(m\neq 0)，A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，C\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{m}\right).联立\left\{\begin{matrix}my=x-\frac{1}{2},\\ {}y^2=2x,\end{matrix}\right.得y^{2}-2my-1=0，\Delta =4m^{2}+4>0,\therefore y_{1}+y_{2}=2m，y_{1}y_{2}=-1.假设存在实数\lambda ，使得k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}.则\frac{y_1-1}{x_1-\frac{1}{2}}+\frac{y_2-1}{x_2-\frac{1}{2}}=\lambda \left(1+\frac{1}{m}\right)，上式左边=\frac{y_1-1}{my_1}+\frac{y_2-1}{my_2}=\frac{2y_1y_2-(y_1+y_2)}{my_1y_2}=\frac{-2-2m}{-m}=\frac{2(1+m)}{m}，\therefore \frac{2(1+m)}{m}=\lambda \left(1+\frac{1}{m}\right)，解得\lambda =2.因此存在实数\lambda =2，使得k_{1}+k_{2}=2k_{3}.$

Final answer: $2$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A_{1}OA及一个矩形A_{1}C_{1}CA的三边组成，尺寸如图1(单位：m).
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402252248510465/img/compression/M_94860a6eb6e16c1158004953247a0a68.jpg)$
图1
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402252248510465/img/compression/M_97a11741d27f9362851eb98d76e2896e.jpg)$
图2
$
$以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A_{1}OA所在抛物线的方程；$

Solution:
$设抛物线的方程为y=ax^{2}(a<0)，因为抛物线的顶点为坐标原点，隧道宽6 m，高5 m，矩形的高为2 m，所以抛物线过点A_{1}(-3,-3)，将其代入抛物线方程，得-3=9a，解得a=-\frac{1}{3}，所以该段抛物线A_{1}OA所在抛物线的方程为y=-\frac{1}{3}x^{2},即x^{2}=-3y.$

Final answer: $x^{2}=-3y$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某市为安全教育，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A_{1}OA及一个矩形A_{1}C_{1}CA的三边组成，尺寸如图1(单位：m).
$<img_2723>$
图1
$<img_1941>$
图2
$
$以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A_{1}OA所在抛物线的方程；$

Solution:
$设抛物线的方程为y=ax^{2}(a<0)，因为抛物线的顶点为坐标原点，隧道宽6 m，高5 m，矩形的高为2 m，所以抛物线过点A_{1}(-3,-3)，将其代入抛物线方程，得-3=9a，解得a=-\frac{1}{3}，所以该段抛物线A_{1}OA所在抛物线的方程为y=-\frac{1}{3}x^{2},即x^{2}=-3y.$

Final answer: $x^{2}=-3y$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面上P，Q两地间的距离为4，O为PQ的中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得\angle MOQ=60^\circ ，且O，M间的距离为2\sqrt{3}，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P，O，M，N及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402257134874626/img/compression/M_79ca7cf29519f764d28fffa1c796fab2.jpg)
$求出机器人N运行的轨迹方程；$

Solution:
$如图所示，以点O为坐标原点，PQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则P(-2,0),Q(2,0),设点N(x,y)，则|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4,所以动点N的运动轨迹是以点P,Q为焦点的双曲线的右支，由题得a=1,c=2,所以b^{2}=4-1=3，所以机器人N运行的轨迹方程为x^{2}-\frac{y^2}{3}=1(x>0).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402257503973377/img/compression/M_411355afd8874ee577f5beeb61b3fd7f.jpg)

Final answer: $x^{2}-\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面上P，Q两地间的距离为4，O为PQ的中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得\angle MOQ=60^\circ ，且O，M间的距离为2\sqrt{3}，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P，O，M，N及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.$<img_1574>
$求出机器人N运行的轨迹方程；$

Solution:
$如图所示，以点O为坐标原点，PQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则P(-2,0),Q(2,0),设点N(x,y)，则|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4,所以动点N的运动轨迹是以点P,Q为焦点的双曲线的右支，由题得a=1,c=2,所以b^{2}=4-1=3，所以机器人N运行的轨迹方程为x^{2}-\frac{y^2}{3}=1(x>0).$<img_2872>

Final answer: $x^{2}-\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面上P，Q两地间的距离为4，O为PQ的中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得\angle MOQ=60^\circ ，且O，M间的距离为2\sqrt{3}，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P，O，M，N及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402257134874626/img/compression/M_79ca7cf29519f764d28fffa1c796fab2.jpg)
$为了使机器人N免受M处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M的直线)，求出电波所在直线斜率k的取值范围.$

Solution:
$由题得，点M的坐标为(\sqrt{3},3)，则电波所在直线的方程为y-3=k(x-\sqrt{3})，即y=k(x-\sqrt{3})+3，与x^{2}-\frac{y^2}{3}=1(x>0)联立，消去y，得(3-k^{2})x^{2}+(2\sqrt{3}k^{2}-6k)x+6\sqrt{3}k-3k^{2}-12=0.当3-k^{2}=0时，若k=\sqrt{3}，则电波所在直线为y=\sqrt{3}x,是双曲线的渐近线，符合题意；若k=-\sqrt{3}，则电波所在直线为y=-\sqrt{3}x+6,与机器人N的轨迹有交点，不符合题意.当3-k^{2}\neq 0时，由\Delta <0，得(2\sqrt{3}k^{2}-6k)^{2}-4(3-k^{2})\cdot (6\sqrt{3}k-3k^{2}-12)<0，所以(k-\sqrt{3})(k-2\sqrt{3})<0，所以\sqrt{3}综上所述，\sqrt{3}\leq k<2\sqrt{3}，即电波所在直线斜率k的取值范围是[\sqrt{3},2\sqrt{3}).$

Final answer: $[\sqrt{3},2\sqrt{3})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面上P，Q两地间的距离为4，O为PQ的中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得\angle MOQ=60^\circ ，且O，M间的距离为2\sqrt{3}，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P，O，M，N及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.$<img_1574>
$为了使机器人N免受M处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M的直线)，求出电波所在直线斜率k的取值范围.$

Solution:
$由题得，点M的坐标为(\sqrt{3},3)，则电波所在直线的方程为y-3=k(x-\sqrt{3})，即y=k(x-\sqrt{3})+3，与x^{2}-\frac{y^2}{3}=1(x>0)联立，消去y，得(3-k^{2})x^{2}+(2\sqrt{3}k^{2}-6k)x+6\sqrt{3}k-3k^{2}-12=0.当3-k^{2}=0时，若k=\sqrt{3}，则电波所在直线为y=\sqrt{3}x,是双曲线的渐近线，符合题意；若k=-\sqrt{3}，则电波所在直线为y=-\sqrt{3}x+6,与机器人N的轨迹有交点，不符合题意.当3-k^{2}\neq 0时，由\Delta <0，得(2\sqrt{3}k^{2}-6k)^{2}-4(3-k^{2})\cdot (6\sqrt{3}k-3k^{2}-12)<0，所以(k-\sqrt{3})(k-2\sqrt{3})<0，所以\sqrt{3}综上所述，\sqrt{3}\leq k<2\sqrt{3}，即电波所在直线斜率k的取值范围是[\sqrt{3},2\sqrt{3}).$

Final answer: $[\sqrt{3},2\sqrt{3})$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某城市决定在夹角为30^\circ 的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，|AB|=2，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且直线MN的倾斜角为45^\circ ，交OD于G.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658402257898237954/img/compression/M_6e2211c926ab38b906f7d5870234a162.jpg)
$若|OE|=3，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；$

Solution:
$以点O为坐标原点，OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).设椭圆方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，因为|OE|=3，所以E(0,3)，又EB，EF的夹角为30^\circ ，所以直线EF的方程为y=-\sqrt{3}x+3.又因为|AB|=2，所以b=1，则椭圆方程为\frac{x^2}{a^2}+y^{2}=1.为了不破坏道路EF，则直线EF与半椭圆至多有一个交点，联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{a^2}+y^2=1,\\ {}y=-\sqrt{3}x+3,\end{matrix}\right.整理，得(1+3a^{2})x^{2}-6\sqrt{3}a^{2}x+8a^{2}=0，则\Delta =108a^{4}-4(1+3a^{2})\cdot 8a^{2}\leq 0，即a^{2}(3a^{2}-8)\leq 0,又a>0，所以0当a=\frac{2\sqrt{6}}{3}时，半椭圆与EF相切，所以a_{max}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $某城市决定在夹角为30^\circ 的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，|AB|=2，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且直线MN的倾斜角为45^\circ ，交OD于G.$<img_2746>
$若|OE|=3，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；$

Solution:
$以点O为坐标原点，OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).设椭圆方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，因为|OE|=3，所以E(0,3)，又EB，EF的夹角为30^\circ ，所以直线EF的方程为y=-\sqrt{3}x+3.又因为|AB|=2，所以b=1，则椭圆方程为\frac{x^2}{a^2}+y^{2}=1.为了不破坏道路EF，则直线EF与半椭圆至多有一个交点，联立\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{a^2}+y^2=1,\\ {}y=-\sqrt{3}x+3,\end{matrix}\right.整理，得(1+3a^{2})x^{2}-6\sqrt{3}a^{2}x+8a^{2}=0，则\Delta =108a^{4}-4(1+3a^{2})\cdot 8a^{2}\leq 0，即a^{2}(3a^{2}-8)\leq 0,又a>0，所以0当a=\frac{2\sqrt{6}}{3}时，半椭圆与EF相切，所以a_{max}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$