di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 为了保证载人飞船能更安全着陆，设计师在返回舱的底盘安装了4台相同的电磁缓冲装置。如图所示，为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，MN、PQ为绝缘光滑缓冲轨道，竖直固定在返回舱底部，导轨内侧存在稳定匀强磁场，方向垂直于整个缓冲轨道平面。单匝闭合矩形线圈abcd绕在缓冲滑块上，缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，缓冲滑块接触地面前瞬间速度大小为v<sub>0</sub>，接触地面后滑块立即停止运动，此后线圈与磁场相互作用，返回舱开始做减速直线运动，经时间t，返回舱以速度v(未知)做匀速直线运动。已知线圈的电阻为R，ab边长度为L，返回舱质量(含缓冲轨道、磁场发生器)为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，不计空气阻力。求：

<img_606>
v的大小；

Solution:
$返回舱向下做减速运动，受到向上的安培力和向下的重力，随着速度的减小，安培力减小，直到安培力减小到与重力大小相等时，速度最小，此后匀速运动，速度大小为v，由平衡条件可知4F_{安}=mg，F_{安}=BIL，I=\frac{E}{R}，E=BLv，即\frac{4B^2L^2v}{R}=mg，解得v=\frac{mgR}{4B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mgR}{4B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 为了保证载人飞船能更安全着陆，设计师在返回舱的底盘安装了4台相同的电磁缓冲装置。如图所示，为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，MN、PQ为绝缘光滑缓冲轨道，竖直固定在返回舱底部，导轨内侧存在稳定匀强磁场，方向垂直于整个缓冲轨道平面。单匝闭合矩形线圈abcd绕在缓冲滑块上，缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，缓冲滑块接触地面前瞬间速度大小为v<sub>0</sub>，接触地面后滑块立即停止运动，此后线圈与磁场相互作用，返回舱开始做减速直线运动，经时间t，返回舱以速度v(未知)做匀速直线运动。已知线圈的电阻为R，ab边长度为L，返回舱质量(含缓冲轨道、磁场发生器)为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，不计空气阻力。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003767960064002/img/compression/M_1ddb1d0a8228f90a5a80682c6704e205.jpg)
v的大小；

Solution:
$返回舱向下做减速运动，受到向上的安培力和向下的重力，随着速度的减小，安培力减小，直到安培力减小到与重力大小相等时，速度最小，此后匀速运动，速度大小为v，由平衡条件可知4F_{安}=mg，F_{安}=BIL，I=\frac{E}{R}，E=BLv，即\frac{4B^2L^2v}{R}=mg，解得v=\frac{mgR}{4B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mgR}{4B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，快递公司用水平传送带传送快递，传送带顺时针转动，速度大小恒为v_0=3 m/s。质量为m=1 kg的快递，上表面固定一“日”字形线框，ab边长L=0.1 m，ae边长为2L，c、d为两长边的中点，ab、cd、ef的电阻均为r=0.04 \Omega ，其余部分电阻不计。传送带右侧存在磁感应强度为B=3 T、方向竖直向下、宽度为L的匀强磁场，其边界与ab平行。已知线框的ab边进入磁场区域前快递已与传送带保持相对静止，线框的质量忽略不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s^2。$

<img_554>
若线框进入磁场后，快递仍能与传送带保持相对静止，求快递与传送带间的动摩擦因数的最小值；

Solution:
$ab边刚进磁场时，其切割磁感线产生的感应电动势为E_1=BLv_0$

此时线框形成回路的总电阻为

$R_{总1}=r+\frac{r\cdot r}{r+r}=1.5r$

$所受安培力大小为F_1=B I_1L，I_1=\frac{E_1}{R_{总1}}$

$解得F_1=4.5 N$

$若ab边进入磁场后快递仍能与传送带保持静止，可知快递所受最大静摩擦力必须大于等于4.5 N。$

$当cd边进入磁场时，其切割磁感线产生的感应电动势大小仍为E_1，线框的总电阻仍为1.5r，且仍是切割磁感线的边受到安培力，故仍需摩擦力大于等于4.5 N。$

$同理当ef边进入磁场时，线框所受安培力仍然一样。$

$因此线框进入磁场后，为使快递仍能与传送带保持相对静止，则快递与传送带间的动摩擦因数的最小值满足mg\mu _{\text{min}}=F_1,$

$解得\mu _{\text{min}}=0.45$

Final answer: 0.45
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，快递公司用水平传送带传送快递，传送带顺时针转动，速度大小恒为v_0=3 m/s。质量为m=1 kg的快递，上表面固定一“日”字形线框，ab边长L=0.1 m，ae边长为2L，c、d为两长边的中点，ab、cd、ef的电阻均为r=0.04 \Omega ，其余部分电阻不计。传送带右侧存在磁感应强度为B=3 T、方向竖直向下、宽度为L的匀强磁场，其边界与ab平行。已知线框的ab边进入磁场区域前快递已与传送带保持相对静止，线框的质量忽略不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s^2。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003774101286914/img/compression/M_a431b5c9c97c63e42d1d3a3f04272b73.jpg)
若线框进入磁场后，快递仍能与传送带保持相对静止，求快递与传送带间的动摩擦因数的最小值；

Solution:
$ab边刚进磁场时，其切割磁感线产生的感应电动势为E_1=BLv_0$

此时线框形成回路的总电阻为

$R_{总1}=r+\frac{r\cdot r}{r+r}=1.5r$

$所受安培力大小为F_1=B I_1L，I_1=\frac{E_1}{R_{总1}}$

$解得F_1=4.5 N$

$若ab边进入磁场后快递仍能与传送带保持静止，可知快递所受最大静摩擦力必须大于等于4.5 N。$

$当cd边进入磁场时，其切割磁感线产生的感应电动势大小仍为E_1，线框的总电阻仍为1.5r，且仍是切割磁感线的边受到安培力，故仍需摩擦力大于等于4.5 N。$

$同理当ef边进入磁场时，线框所受安培力仍然一样。$

$因此线框进入磁场后，为使快递仍能与传送带保持相对静止，则快递与传送带间的动摩擦因数的最小值满足mg\mu _{\text{min}}=F_1,$

$解得\mu _{\text{min}}=0.45$

Final answer: 0.45
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，快递公司用水平传送带传送快递，传送带顺时针转动，速度大小恒为v_0=3 m/s。质量为m=1 kg的快递，上表面固定一“日”字形线框，ab边长L=0.1 m，ae边长为2L，c、d为两长边的中点，ab、cd、ef的电阻均为r=0.04 \Omega ，其余部分电阻不计。传送带右侧存在磁感应强度为B=3 T、方向竖直向下、宽度为L的匀强磁场，其边界与ab平行。已知线框的ab边进入磁场区域前快递已与传送带保持相对静止，线框的质量忽略不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s^2。$

<img_554>
若线框刚到达磁场左边界时，快递与传送带间的摩擦力消失，求线框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q。

Solution:
$由(1)可知，当线框速度为v时，线框所受安培力大小为$
$F=\frac{B^2L^2v}{R_{\text{总}}}，$
$R_{\text{总}}=1.5r$

$根据牛顿第二定律F=ma$

$解得ma=\frac{B^2L^2v}{1.5r}$

$两边同乘\Delta t可得ma\Delta t=\frac{B^2L^2v\Delta t}{1.5r}$

$所以m\Delta v=\frac{B^2L^2\Delta x}{1.5r}$

$设线框出磁场速度为v_{1}，则有m(v_{0}-v_{1})=\frac{B^2L^2\cdot 3L}{1.5r}$

$解得v_{1}=2.55 m/s$

$由功能关系可得\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=W_{\text{安}}=-Q$

$解得Q\approx 1.25 J$

Final answer: 1.25 J
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，快递公司用水平传送带传送快递，传送带顺时针转动，速度大小恒为v_0=3 m/s。质量为m=1 kg的快递，上表面固定一“日”字形线框，ab边长L=0.1 m，ae边长为2L，c、d为两长边的中点，ab、cd、ef的电阻均为r=0.04 \Omega ，其余部分电阻不计。传送带右侧存在磁感应强度为B=3 T、方向竖直向下、宽度为L的匀强磁场，其边界与ab平行。已知线框的ab边进入磁场区域前快递已与传送带保持相对静止，线框的质量忽略不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s^2。$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003774101286914/img/compression/M_a431b5c9c97c63e42d1d3a3f04272b73.jpg)
若线框刚到达磁场左边界时，快递与传送带间的摩擦力消失，求线框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q。

Solution:
$由(1)可知，当线框速度为v时，线框所受安培力大小为$
$F=\frac{B^2L^2v}{R_{\text{总}}}，$
$R_{\text{总}}=1.5r$

$根据牛顿第二定律F=ma$

$解得ma=\frac{B^2L^2v}{1.5r}$

$两边同乘\Delta t可得ma\Delta t=\frac{B^2L^2v\Delta t}{1.5r}$

$所以m\Delta v=\frac{B^2L^2\Delta x}{1.5r}$

$设线框出磁场速度为v_{1}，则有m(v_{0}-v_{1})=\frac{B^2L^2\cdot 3L}{1.5r}$

$解得v_{1}=2.55 m/s$

$由功能关系可得\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=W_{\text{安}}=-Q$

$解得Q\approx 1.25 J$

Final answer: 1.25 J
Subfield: Modern Physics


Question: $^{30}_{15}P衰变时能放出一个正电子。如图所示，一个运动的^{30}_{15}P以某一初速度沿MO垂直磁场方向进入匀强磁场，运动到O点时发生上述衰变，生成的新粒子中较大的原子核沿ON方向运动，若弧MO对应的半径为r_1，弧ON对应的半径为r_2，且r_1：r_2=7：5。$

<img_1123>
求生成的两个新核的动量之比的值。

Solution:
$衰变前后两原子核运动的两段弧都沿顺时针方向，说明生成的 ^{30}_{14} Si核与原来的 ^{30}_{15} P核的速度方向相同，设衰变前 ^{30}_{15} P核动量大小为 p_1，衰变后 ^{30}_{14} Si和正电子的动量分别为 p_2 和 p_3， ^{30}_{15} P核、 ^{30}_{14} Si核在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，半径分别为 r_1、r_2， q_1 v_1 B = \frac{mv^2_1}{r_1}，q_2 v_2 B = \frac{mv^2_2}{r_2}$

$r_1 = \frac{mv_1}{q_1B} = \frac{p_1}{q_1B}，r_2 = \frac{mv_2}{q_2B} = \frac{p_2}{q_2B}。$

$又由 \frac{r_1}{r_2} = \frac{14p_1}{15p_2} = \frac{7}{5}，可得 p_2 = \frac{2}{3} p_1。由衰变过程中动量守恒得 p_1 = p_2 + p_3，可得 p_3 = \frac{1}{3} p_1。以上各式可解得 p_2 : p_3 = 2 : 1。$

Final answer: 2:1
Subfield: Modern Physics


Question: $^{30}_{15}P衰变时能放出一个正电子。如图所示，一个运动的^{30}_{15}P以某一初速度沿MO垂直磁场方向进入匀强磁场，运动到O点时发生上述衰变，生成的新粒子中较大的原子核沿ON方向运动，若弧MO对应的半径为r_1，弧ON对应的半径为r_2，且r_1：r_2=7：5。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003837972148227/img/compression/M_4ea2eaec4b94025965fe5fcfddfd807f.jpg)
求生成的两个新核的动量之比的值。

Solution:
$衰变前后两原子核运动的两段弧都沿顺时针方向，说明生成的 ^{30}_{14} Si核与原来的 ^{30}_{15} P核的速度方向相同，设衰变前 ^{30}_{15} P核动量大小为 p_1，衰变后 ^{30}_{14} Si和正电子的动量分别为 p_2 和 p_3， ^{30}_{15} P核、 ^{30}_{14} Si核在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，半径分别为 r_1、r_2， q_1 v_1 B = \frac{mv^2_1}{r_1}，q_2 v_2 B = \frac{mv^2_2}{r_2}$

$r_1 = \frac{mv_1}{q_1B} = \frac{p_1}{q_1B}，r_2 = \frac{mv_2}{q_2B} = \frac{p_2}{q_2B}。$

$又由 \frac{r_1}{r_2} = \frac{14p_1}{15p_2} = \frac{7}{5}，可得 p_2 = \frac{2}{3} p_1。由衰变过程中动量守恒得 p_1 = p_2 + p_3，可得 p_3 = \frac{1}{3} p_1。以上各式可解得 p_2 : p_3 = 2 : 1。$

Final answer: 2:1
Subfield: Thermodynamics


Question: $一竖直放置的圆柱形试管内，通过一段长L_0=24 cm的水银柱封闭了一段理想气体，气柱高L_1=60 cm、温度T_1=300 K，水银柱的上表面与管侧面小孔的高度差\Delta L=16 cm，小孔左边用一橡胶软管连接另一支上端开口的空试管，如图所示。通过加热装置使气体温度缓慢升高到一定值时，水银就会从右边试管通过小孔溢到左边试管中，左边试管可上下移动，上移时可使左边试管中的水银回流到右边试管中，从而调节右边试管中水银柱的长度，调节完后左边试管回到原始位置。已知当地大气压强p_0=76 cmHg。$
    
<img_715>
$求右边试管中水银柱上表面恰好与小孔平齐时，封闭气体的温度 T_2；$

Solution:
$被封闭气体从初始状态到水银柱上表面恰好与小孔平齐的过程中，压强p_1不变，设右侧试管横截面积为S，则根据盖-吕萨克定律有$

$\frac{L_1S}{T_1} = \frac{(L_1+\Delta L)S}{T_2}$

$解得T_2=380 K$

Final answer: $380 K$
Subfield: Thermodynamics


Question: $一竖直放置的圆柱形试管内，通过一段长L_0=24 cm的水银柱封闭了一段理想气体，气柱高L_1=60 cm、温度T_1=300 K，水银柱的上表面与管侧面小孔的高度差\Delta L=16 cm，小孔左边用一橡胶软管连接另一支上端开口的空试管，如图所示。通过加热装置使气体温度缓慢升高到一定值时，水银就会从右边试管通过小孔溢到左边试管中，左边试管可上下移动，上移时可使左边试管中的水银回流到右边试管中，从而调节右边试管中水银柱的长度，调节完后左边试管回到原始位置。已知当地大气压强p_0=76 cmHg。$
    
![24BSD5WL605.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003860958609410/img/compression/M_a3f06deffa9653d7e24ca029fe09ee04.jpg)
$求右边试管中水银柱上表面恰好与小孔平齐时，封闭气体的温度 T_2；$

Solution:
$被封闭气体从初始状态到水银柱上表面恰好与小孔平齐的过程中，压强p_1不变，设右侧试管横截面积为S，则根据盖-吕萨克定律有$

$\frac{L_1S}{T_1} = \frac{(L_1+\Delta L)S}{T_2}$

$解得T_2=380 K$

Final answer: $380 K$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某物理实验小组，为了测量当地的大气压强，设计了如图所示的实验装置。U形管竖直放置，B管的横截面积为A管的2倍，底部用细管相连，稳定时，A管中封闭有长为H_1=32 cm的空气柱，B管开口，A、B两管水银面高度差为h=16 cm。现将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动180^\circ ，A管中气柱长度缩短到H_2=16 cm，实验中空气不会进入细管，U形管导热良好，环境温度保持不变。计算结果均保留2位有效数字，气体压强单位用cmHg表示。那么：$

<img_489>
求当地的大气压强是多少。

Solution:
$对A中气体，U形管开口向上时，有p_1=p_0-p_h，U形管开口向下时，如图所示。$

<img_825>

$设B中水银面移动h_B，有$

$h_B\cdot 2S=(H_1-H_2)S$

$p_2=p_0+(H_1-H_2)+p_h+p_{hB}$

由玻意耳定律得

$p_1H_1S=p_2H_2S$

$解得p_0=72 cmHg$



Final answer: $72$ cmHg
Subfield: Thermodynamics


Question: $某物理实验小组，为了测量当地的大气压强，设计了如图所示的实验装置。U形管竖直放置，B管的横截面积为A管的2倍，底部用细管相连，稳定时，A管中封闭有长为H_1=32 cm的空气柱，B管开口，A、B两管水银面高度差为h=16 cm。现将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动180^\circ ，A管中气柱长度缩短到H_2=16 cm，实验中空气不会进入细管，U形管导热良好，环境温度保持不变。计算结果均保留2位有效数字，气体压强单位用cmHg表示。那么：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003861449342978/img/compression/M_84651b62a33e880150f96d0c60e4877c.jpg)
求当地的大气压强是多少。

Solution:
$对A中气体，U形管开口向上时，有p_1=p_0-p_h，U形管开口向下时，如图所示。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003862296592385/img/compression/M_f3a81156ead9545caa2eb5c9e9626905.jpg)

$设B中水银面移动h_B，有$

$h_B\cdot 2S=(H_1-H_2)S$

$p_2=p_0+(H_1-H_2)+p_h+p_{hB}$

由玻意耳定律得

$p_1H_1S=p_2H_2S$

$解得p_0=72 cmHg$

Final answer: $72 cmHg$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某物理实验小组，为了测量当地的大气压强，设计了如图所示的实验装置。U形管竖直放置，B管的横截面积为A管的2倍，底部用细管相连，稳定时，A管中封闭有长为H_1=32 cm的空气柱，B管开口，A、B两管水银面高度差为h=16 cm。现将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动180^\circ ，A管中气柱长度缩短到H_2=16 cm，实验中空气不会进入细管，U形管导热良好，环境温度保持不变。计算结果均保留2位有效数字，气体压强单位用cmHg表示。那么：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003861449342978/img/compression/M_84651b62a33e880150f96d0c60e4877c.jpg)
$该将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动90^\circ 时，A管中气柱的长度为多少。$

Solution:
$U形管水平时，对A中气体有(p_0-p_h)H_1S=p_0H_AS$

$解得H_A=25 cm。$

Final answer: $25 cm$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某物理实验小组，为了测量当地的大气压强，设计了如图所示的实验装置。U形管竖直放置，B管的横截面积为A管的2倍，底部用细管相连，稳定时，A管中封闭有长为H_1=32 cm的空气柱，B管开口，A、B两管水银面高度差为h=16 cm。现将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动180^\circ ，A管中气柱长度缩短到H_2=16 cm，实验中空气不会进入细管，U形管导热良好，环境温度保持不变。计算结果均保留2位有效数字，气体压强单位用cmHg表示。那么：$

<img_489>
$该将该装置从图示位置绕轴OO'缓慢转动90^\circ 时，A管中气柱的长度为多少。$

Solution:
$U形管水平时，对A中气体有(p_0-p_h)H_1S=p_0H_AS$

$解得H_A=25 cm。$

Final answer: $25 cm$
Subfield: Thermodynamics


Question: 一个$50 L$的容器A，通过一带有压力释放阀的细管与一个$10 L$的容器B连接，两容器导热良好。当容器A中的压强比容器B中的压强大1.16 atm时，阀门打开，气体由容器A通向容器B，当两容器中压强差小于$1.16 atm$时，阀门关闭。环境温度为$288 K$时，容器A中的气体压强为$1.12 atm$，此时容器B已抽成真空，现缓慢升高环境温度。求：
<img_463>
压力释放阀刚打开时的环境温度；

Solution:
$对容器A中的气体\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} 解得 T_2=298.3 K$

Final answer: 298.3 K
Subfield: Thermodynamics


Question: 一个$50 L$的容器A，通过一带有压力释放阀的细管与一个$10 L$的容器B连接，两容器导热良好。当容器A中的压强比容器B中的压强大1.16 atm时，阀门打开，气体由容器A通向容器B，当两容器中压强差小于$1.16 atm$时，阀门关闭。环境温度为$288 K$时，容器A中的气体压强为$1.12 atm$，此时容器B已抽成真空，现缓慢升高环境温度。求：
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003855423885314/img/compression/M_98ab373faf930184d20cb6afd2496b09.jpg)
压力释放阀刚打开时的环境温度；

Solution:
$对容器A中的气体\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} 解得 T_2=298.3 K$

Final answer: 298.3 K
Subfield: Thermodynamics


Question: 一个$50 L$的容器A，通过一带有压力释放阀的细管与一个$10 L$的容器B连接，两容器导热良好。当容器A中的压强比容器B中的压强大1.16 atm时，阀门打开，气体由容器A通向容器B，当两容器中压强差小于$1.16 atm$时，阀门关闭。环境温度为$288 K$时，容器A中的气体压强为$1.12 atm$，此时容器B已抽成真空，现缓慢升高环境温度。求：
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003855423885314/img/compression/M_98ab373faf930184d20cb6afd2496b09.jpg)
环境温度为360 K时，容器B内的气体压强。

Solution:
$环境温度为360 K时p_A'=p_B+1.16$

$对于总气体\frac{p_AV_A}{T_1} = \frac{p_A'V}{T_3}$

$对于进入容器B的气体p_A'(V - V_A)=p_BV_B$

$解得p_B=0.2 atm。$

Final answer: $0.2 atm$
Subfield: Thermodynamics


Question: 一个$50 L$的容器A，通过一带有压力释放阀的细管与一个$10 L$的容器B连接，两容器导热良好。当容器A中的压强比容器B中的压强大1.16 atm时，阀门打开，气体由容器A通向容器B，当两容器中压强差小于$1.16 atm$时，阀门关闭。环境温度为$288 K$时，容器A中的气体压强为$1.12 atm$，此时容器B已抽成真空，现缓慢升高环境温度。求：
<img_463>
环境温度为360 K时，容器B内的气体压强。

Solution:
$环境温度为360 K时p_A'=p_B+1.16$

$对于总气体\frac{p_AV_A}{T_1} = \frac{p_A'V}{T_3}$

$对于进入容器B的气体p_A'(V - V_A)=p_BV_B$

$解得p_B=0.2 atm。$

Final answer: $0.2 atm$
Subfield: Thermodynamics


Question: $深海养殖技术在海洋渔业中被普遍推广。甲图为某深海大黄鱼渔场引进的单柱半潜式养殖网箱，乙图为其截面示意图。在乙图中，网箱的中央柱形容器是由横截面积为2 m^2，高16 m的镀锌铁皮(不计铁皮体积)制成的空心圆柱体，可进水或充气，以此调节网箱在海水中的位置，使整个网箱按要求上浮或下沉；网箱与海水相通，是养鱼的空间，并与圆柱体固定在一起；网箱的底部用绳索悬挂质量为20 t的铸铁块(不与海底接触)，铸铁块相当于“船锚”，起稳定作用。已知制作网箱材料的总质量为10 t，养殖网箱材料和铸铁块能够排开海水的体积为6 m^3，海水的密度1.0\times 10^3 kg/m^3，大气压强1.0\times 10^5 Pa，g=10 m/s^2。在认为空气温度与海水温度相同的情况下，当网箱的底部下沉到海面下15 m处静止时。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003855725875201/img/compression/M_637c168c09f6e5309c679024485b54d3.jpg)
求空心圆柱体内气体的压强。

Solution:
$网箱材料和铸铁块的总质量 m =10 t+20 t=30 t=3\times 10^4 kg$

$网箱静止在海水中，整个装置受到的浮力等于它的总重力，即 F_{浮} = G = mg =3\times 10^4\times 10 N=3\times 10^5 N$

$根据阿基米德原理有 V_{排}= \frac{F_{浮}}{\rho_{海水}g} =\frac{3\times 10^5}{1\times 10^3\times 10} m^3=30 m^3$

$空心圆柱体排开水的体积 V_{排}' =V_{排} -V_{0} =30 m^3-6 m^3=24 m^3$

$空心圆柱体内海水的体积 V_{海水} =15\times 2 m^3 -24 m^3 =6 m^3$

$空心圆柱体内海水的高度 h = \frac{V_{海水}}{S} =3 m$

$空心圆柱体内气体的压强 p =1.0\times 10^5 Pa+(15-3)\times 10\times 10^3 Pa=2.2\times 10^5 Pa$

Final answer: $2.2\times 10^5 Pa$
Subfield: Thermodynamics


Question: $深海养殖技术在海洋渔业中被普遍推广。甲图为某深海大黄鱼渔场引进的单柱半潜式养殖网箱，乙图为其截面示意图。在乙图中，网箱的中央柱形容器是由横截面积为2 m^2，高16 m的镀锌铁皮(不计铁皮体积)制成的空心圆柱体，可进水或充气，以此调节网箱在海水中的位置，使整个网箱按要求上浮或下沉；网箱与海水相通，是养鱼的空间，并与圆柱体固定在一起；网箱的底部用绳索悬挂质量为20 t的铸铁块(不与海底接触)，铸铁块相当于“船锚”，起稳定作用。已知制作网箱材料的总质量为10 t，养殖网箱材料和铸铁块能够排开海水的体积为6 m^3，海水的密度1.0\times 10^3 kg/m^3，大气压强1.0\times 10^5 Pa，g=10 m/s^2。在认为空气温度与海水温度相同的情况下，当网箱的底部下沉到海面下15 m处静止时。$

<img_824>
求空心圆柱体内气体的压强。

Solution:
$网箱材料和铸铁块的总质量 m =10 t+20 t=30 t=3\times 10^4 kg$

$网箱静止在海水中，整个装置受到的浮力等于它的总重力，即 F_{浮} = G = mg =3\times 10^4\times 10 N=3\times 10^5 N$

$根据阿基米德原理有 V_{排}= \frac{F_{浮}}{\rho_{海水}g} =\frac{3\times 10^5}{1\times 10^3\times 10} m^3=30 m^3$

$空心圆柱体排开水的体积 V_{排}' =V_{排} -V_{0} =30 m^3-6 m^3=24 m^3$

$空心圆柱体内海水的体积 V_{海水} =15\times 2 m^3 -24 m^3 =6 m^3$

$空心圆柱体内海水的高度 h = \frac{V_{海水}}{S} =3 m$

$空心圆柱体内气体的压强 p =1.0\times 10^5 Pa+(15-3)\times 10\times 10^3 Pa=2.2\times 10^5 Pa$



Final answer: $2.2\times 10^5$ Pa
Subfield: Thermodynamics


Question: $深海养殖技术在海洋渔业中被普遍推广。甲图为某深海大黄鱼渔场引进的单柱半潜式养殖网箱，乙图为其截面示意图。在乙图中，网箱的中央柱形容器是由横截面积为2 m^2，高16 m的镀锌铁皮(不计铁皮体积)制成的空心圆柱体，可进水或充气，以此调节网箱在海水中的位置，使整个网箱按要求上浮或下沉；网箱与海水相通，是养鱼的空间，并与圆柱体固定在一起；网箱的底部用绳索悬挂质量为20 t的铸铁块(不与海底接触)，铸铁块相当于“船锚”，起稳定作用。已知制作网箱材料的总质量为10 t，养殖网箱材料和铸铁块能够排开海水的体积为6 m^3，海水的密度1.0\times 10^3 kg/m^3，大气压强1.0\times 10^5 Pa，g=10 m/s^2。在认为空气温度与海水温度相同的情况下，当网箱的底部下沉到海面下15 m处静止时。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003855725875201/img/compression/M_637c168c09f6e5309c679024485b54d3.jpg)
求充入或放出的气体在空气中的体积。

Solution:
$设充入的体积为V^{″}，根据玻意耳定律p_0(V+V^{″})=pV'$

$解得V^{″}=25.2 m^3。$

Final answer: $25.2 m^3$
Subfield: Thermodynamics


Question: $深海养殖技术在海洋渔业中被普遍推广。甲图为某深海大黄鱼渔场引进的单柱半潜式养殖网箱，乙图为其截面示意图。在乙图中，网箱的中央柱形容器是由横截面积为2 m^2，高16 m的镀锌铁皮(不计铁皮体积)制成的空心圆柱体，可进水或充气，以此调节网箱在海水中的位置，使整个网箱按要求上浮或下沉；网箱与海水相通，是养鱼的空间，并与圆柱体固定在一起；网箱的底部用绳索悬挂质量为20 t的铸铁块(不与海底接触)，铸铁块相当于“船锚”，起稳定作用。已知制作网箱材料的总质量为10 t，养殖网箱材料和铸铁块能够排开海水的体积为6 m^3，海水的密度1.0\times 10^3 kg/m^3，大气压强1.0\times 10^5 Pa，g=10 m/s^2。在认为空气温度与海水温度相同的情况下，当网箱的底部下沉到海面下15 m处静止时。$

<img_824>
求充入或放出的气体在空气中的体积。

Solution:
$设充入的体积为V^{″}，根据玻意耳定律p_0(V+V^{″})=pV'$

$解得V^{″}=25.2 m^3。$

Final answer: $25.2 m^3$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图是泡茶常用的茶杯，某次茶艺展示中往杯中倒入适量热水，水温为87 ^\circ C，盖上杯盖，杯内气体与茶水温度始终相同。已知室温为27 ^\circ C，杯盖的质量m=0.1 kg，杯身与茶水的总质量为M=0.5 kg，杯盖的面积约为S=50 cm^2，大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，忽略汽化、液化现象，杯中气体可视为理想气体，重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![teacup](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003863928176642/img/compression/M_9dd28d8ba0ea507f35ccd1a7998e9398.jpg)
若杯盖和杯身间气密性很好，请估算向上提杯盖恰好带起整个杯身时的水温；

Solution:
$杯中气体做等容变化，则有\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}，末态时对杯身和茶水受力分析如图$
![24BSD5WL1205](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003864171446273/img/compression/M_f13823d865a408cd04aec81e5288f7ae.jpg)
$列平衡方程有p_1S+Mg=p_0S，解得T_1=356.4 K，所以此时水温为t_1=83.4 ^\circ C。$

Final answer: 83.4 ^\circ C
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图是泡茶常用的茶杯，某次茶艺展示中往杯中倒入适量热水，水温为87 ^\circ C，盖上杯盖，杯内气体与茶水温度始终相同。已知室温为27 ^\circ C，杯盖的质量m=0.1 kg，杯身与茶水的总质量为M=0.5 kg，杯盖的面积约为S=50 cm^2，大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，忽略汽化、液化现象，杯中气体可视为理想气体，重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_822>
若杯盖和杯身间气密性很好，请估算向上提杯盖恰好带起整个杯身时的水温；

Solution:
$杯中气体做等容变化，则有\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}，末态时对杯身和茶水受力分析如图$
<img_1037>
$列平衡方程有p_1S+Mg=p_0S，解得T_1=356.4 K，所以此时水温为t_1=83.4 ^\circ C。$



Final answer: 83.4 ^\circ C
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图是泡茶常用的茶杯，某次茶艺展示中往杯中倒入适量热水，水温为87 ^\circ C，盖上杯盖，杯内气体与茶水温度始终相同。已知室温为27 ^\circ C，杯盖的质量m=0.1 kg，杯身与茶水的总质量为M=0.5 kg，杯盖的面积约为S=50 cm^2，大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，忽略汽化、液化现象，杯中气体可视为理想气体，重力加速度g=10 m/s^2，求：$

<img_822>
实际的杯盖和杯身间有间隙，当水温降到室温时，从外界进入茶杯的气体质量与原有气体质量的比值。

Solution:
$杯中气体降为室温过程中，全部气体都做等压变化，对于全部气体有\frac{V_1}{T_1}+\frac{V_2}{T_0}=\frac{V_1}{T_0}，解得进入杯中的空气在室温下的体积为V_2=\frac{1}{6}V_1，所以杯中原有气体在室温下的体积为V_{原}=\frac{5}{6}V_1，所以外界进入茶杯的气体质量与原有气体质量的比值为\frac{1}{5}.$

Final answer: $\frac{1}{5}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图是泡茶常用的茶杯，某次茶艺展示中往杯中倒入适量热水，水温为87 ^\circ C，盖上杯盖，杯内气体与茶水温度始终相同。已知室温为27 ^\circ C，杯盖的质量m=0.1 kg，杯身与茶水的总质量为M=0.5 kg，杯盖的面积约为S=50 cm^2，大气压强p_0=1.0\times 10^5 Pa，忽略汽化、液化现象，杯中气体可视为理想气体，重力加速度g=10 m/s^2，求：$

![teacup](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003863928176642/img/compression/M_9dd28d8ba0ea507f35ccd1a7998e9398.jpg)
实际的杯盖和杯身间有间隙，当水温降到室温时，从外界进入茶杯的气体质量与原有气体质量的比值。

Solution:
$杯中气体降为室温过程中，全部气体都做等压变化，对于全部气体有\frac{V_1}{T_1}+\frac{V_2}{T_0}=\frac{V_1}{T_0}，解得进入杯中的空气在室温下的体积为V_2=\frac{1}{6}V_1，所以杯中原有气体在室温下的体积为V_{原}=\frac{5}{6}V_1，所以外界进入茶杯的气体质量与原有气体质量的比值为\frac{1}{5}.$

Final answer: $\frac{1}{5}$
Subfield: Optics


Question: $两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝-0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.3 m处。$

<img_905>
求两列波相遇的时刻。

Solution:
$两列波在x = 0.5 m处相遇，则相遇的时刻t = \frac{\Delta x}{v} = \frac{0.5 - 0.2}{0.4} s = 0.75 s。$

Final answer: 0.75 s
Subfield: Optics


Question: $两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝-0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.3 m处。$

![题目图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003891181576194/img/compression/M_c6c5a08e85a2c7f063c1f19243b7ebfc.jpg)
求两列波相遇的时刻。

Solution:
$两列波在x = 0.5 m处相遇，则相遇的时刻t = \frac{\Delta x}{v} = \frac{0.5 - 0.2}{0.4} s = 0.75 s。$

Final answer: 0.75 s
Subfield: Optics


Question: $两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝-0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.3 m处。$

<img_905>
求1.5 s内质点M运动的路程。

Solution:
$由题意T = \frac{\lambda }{v}=1 s，左侧波传到M点需要的时间t_1 = \frac{\Delta x_1}{v} = \frac{0.3-0.2}{0.4} s=0.25 s。右侧波传到M点t_2 = \frac{\Delta x_2}{v} = \frac{0.8-0.3}{0.4} s=1.25 s，在0~0.25 s，M点不动；在0.25 s~1.25 s，左侧波传到M，M点通过的路程s_1 = 4A = 8 cm；在1.25 s~1.5 s，左右两侧波传到M，M点振动加强，则经过0.25 s通过的路程s_2 = 2A = 4 cm；M点通过的总路程s = s_1 + s_2 = 12 cm。$

Final answer: $12 cm$
Subfield: Optics


Question: $两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝-0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.3 m处。$

![题目图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003891181576194/img/compression/M_c6c5a08e85a2c7f063c1f19243b7ebfc.jpg)
求1.5 s内质点M运动的路程。

Solution:
$由题意T = \frac{\lambda }{v}=1 s，左侧波传到M点需要的时间t_1 = \frac{\Delta x_1}{v} = \frac{0.3-0.2}{0.4} s=0.25 s。右侧波传到M点t_2 = \frac{\Delta x_2}{v} = \frac{0.8-0.3}{0.4} s=1.25 s，在0~0.25 s，M点不动；在0.25 s~1.25 s，左侧波传到M，M点通过的路程s_1 = 4A = 8 cm；在1.25 s~1.5 s，左右两侧波传到M，M点振动加强，则经过0.25 s通过的路程s_2 = 2A = 4 cm；M点通过的总路程s = s_1 + s_2 = 12 cm。$

Final answer: $12 cm$
Subfield: Optics


Question: $一列简谐横波沿x轴传播，某时刻其波形如图中实线所示，此时平衡位置位于x=0.3 m处的质点向y轴负方向运动。\Delta t=0.06 s后，其波形如图中虚线所示。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003894317666306/img/compression/M_d968673d5185be7a4541e67e59542952.jpg)
求该波的最小频率；

Solution:
$由题图知该波的波长为\lambda=1.2 m,波在\Delta t=0.06 s后传播的距离$
$\Delta x=n\lambda+\frac{1}{4}\lambda(n=0，1，2，\ldots )$
则传播时间
$\Delta t=\left(n+\frac{1}{4}\right)T(n=0，1，2，\ldots )$
$周期T=\frac{0.24}{4n+1} s(n=0，1，2，\ldots )$
$波的频率f=\frac{1}{T}，f=\frac{4n+1}{0.24} Hz(n=0，1，2，\ldots )$
$当n=0时f_{min}=\frac{1}{0.24} Hz\approx 4.2 Hz$

Final answer: $4.2 Hz$
Subfield: Optics


Question: $一列简谐横波沿x轴传播，某时刻其波形如图中实线所示，此时平衡位置位于x=0.3 m处的质点向y轴负方向运动。\Delta t=0.06 s后，其波形如图中虚线所示。$

<img_831>
求该波的最小频率；

Solution:
$由题图知该波的波长为\lambda=1.2 m,波在\Delta t=0.06 s后传播的距离$
$\Delta x=n\lambda+\frac{1}{4}\lambda(n=0，1，2，\ldots )$
则传播时间
$\Delta t=\left(n+\frac{1}{4}\right)T(n=0，1，2，\ldots )$
$周期T=\frac{0.24}{4n+1} s(n=0，1，2，\ldots )$
$波的频率f=\frac{1}{T}，f=\frac{4n+1}{0.24} Hz(n=0，1，2，\ldots )$
$当n=0时f_{min}=\frac{1}{0.24} Hz\approx 4.2 Hz$



Final answer: $4.2$ Hz
Subfield: Optics


Question: $一列简谐横波沿x轴传播，某时刻其波形如图中实线所示，此时平衡位置位于x=0.3 m处的质点向y轴负方向运动。\Delta t=0.06 s后，其波形如图中虚线所示。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003894317666306/img/compression/M_d968673d5185be7a4541e67e59542952.jpg)
$若\Delta t大于该波周期的2倍、小于该波周期的3倍，求该波的波速。$

Solution:
$2T<\Delta t<3T$
即$2T<0.06 s<3T$
解得$0.02 s<T<0.03 s$
$即0.02 s<\frac{0.24}{4n+1}<0.03 s$
解得$1.75<n<2.75$
$n=2，T=\frac{0.24}{9} s$
$波的传播速度v=\frac{\lambda }{T}$
解得$v=45 m/s$。

Final answer: $45 m/s$
Subfield: Optics


Question: $一列简谐横波沿x轴传播，某时刻其波形如图中实线所示，此时平衡位置位于x=0.3 m处的质点向y轴负方向运动。\Delta t=0.06 s后，其波形如图中虚线所示。$

<img_831>
$若\Delta t大于该波周期的2倍、小于该波周期的3倍，求该波的波速。$

Solution:
$2T<\Delta t<3T$
即$2T<0.06 s<3T$
解得$0.02 s<T<0.03 s$
$即0.02 s<\frac{0.24}{4n+1}<0.03 s$
解得$1.75<n<2.75$
$n=2，T=\frac{0.24}{9} s$
$波的传播速度v=\frac{\lambda }{T}$
解得$v=45 m/s$。

Final answer: $45 m/s$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，用同种透明材料制成的两玻璃砖甲、乙平放在水平桌面上，其中甲的横截面是半径为R的半圆形，O点为其圆心；乙的横截面为长方形，CD边的长度为2R，CE边的长度为\frac{\sqrt{3}}{2}R，AB与CD平行且相距\frac{R}{4}. 玻璃砖右侧固定一平行于DF的光屏MN，光屏离B、D两点的距离均为R. 整个装置置于真空中，一束激光沿半径方向平行于桌面射向O点，当该光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出。已知光在真空中的传播速度为c，现将夹角\alpha 调整至60^\circ ，不考虑多次反射，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007394603528193/img/compression/M_d66fd0c1bb09ccdc5d335069c68c386c.jpg)
光在玻璃砖下表面EF的出射点到光屏的距离；

Solution:
$由于光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出，则有n=\frac{1}{\sin  45^{\circ}}=\sqrt{2}$

$当夹角\alpha 调整至60^\circ 时，作出光路图，如图所示$

![24BSD5WL1222.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007395077484545/img/compression/M_21276f213d0ff2391fa9e3daa9b0f576.jpg)

$根据n=\frac{\sin  \theta }{\sin  (90^{\circ}-60^{\circ})}解得\theta =45^\circ  $

$则根据几何关系，玻璃砖下表面EF的出射点到光屏的距离为x=R+R-(\frac{1}{4}R+\frac{\sqrt{3}}{2}R \tan 30^\circ )，解得x=\frac{5}{4}R$

Final answer: $\frac{5}{4}R$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，用同种透明材料制成的两玻璃砖甲、乙平放在水平桌面上，其中甲的横截面是半径为R的半圆形，O点为其圆心；乙的横截面为长方形，CD边的长度为2R，CE边的长度为\frac{\sqrt{3}}{2}R，AB与CD平行且相距\frac{R}{4}. 玻璃砖右侧固定一平行于DF的光屏MN，光屏离B、D两点的距离均为R. 整个装置置于真空中，一束激光沿半径方向平行于桌面射向O点，当该光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出。已知光在真空中的传播速度为c，现将夹角\alpha 调整至60^\circ ，不考虑多次反射，求：$

<img_1200>
光在玻璃砖下表面EF的出射点到光屏的距离；

Solution:
$由于光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出，则有n=\frac{1}{\sin  45^{\circ}}=\sqrt{2}$

$当夹角\alpha 调整至60^\circ 时，作出光路图，如图所示$

<img_1228>

$根据n=\frac{\sin  \theta }{\sin  (90^{\circ}-60^{\circ})}解得\theta =45^\circ  $

$则根据几何关系，玻璃砖下表面EF的出射点到光屏的距离为x=R+R-(\frac{1}{4}R+\frac{\sqrt{3}}{2}R \tan 30^\circ )，解得x=\frac{5}{4}R$



Final answer: $\frac{5}{4}R$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，用同种透明材料制成的两玻璃砖甲、乙平放在水平桌面上，其中甲的横截面是半径为R的半圆形，O点为其圆心；乙的横截面为长方形，CD边的长度为2R，CE边的长度为\frac{\sqrt{3}}{2}R，AB与CD平行且相距\frac{R}{4}. 玻璃砖右侧固定一平行于DF的光屏MN，光屏离B、D两点的距离均为R. 整个装置置于真空中，一束激光沿半径方向平行于桌面射向O点，当该光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出。已知光在真空中的传播速度为c，现将夹角\alpha 调整至60^\circ ，不考虑多次反射，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007394603528193/img/compression/M_d66fd0c1bb09ccdc5d335069c68c386c.jpg)
该光束在两玻璃砖内传播的总时间。

Solution:
$根据折射率与波速的关系有n=\frac{c}{v}$

$光在半圆形玻璃砖中传播的时间t_{1}=\frac{R}{v}$

$光在长方形玻璃砖中传播的时间t_{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2 \cos  30^{\circ}}R}{v}，解得t=t_{1}+t_{2}=\frac{2\sqrt{2}R}{c}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，用同种透明材料制成的两玻璃砖甲、乙平放在水平桌面上，其中甲的横截面是半径为R的半圆形，O点为其圆心；乙的横截面为长方形，CD边的长度为2R，CE边的长度为\frac{\sqrt{3}}{2}R，AB与CD平行且相距\frac{R}{4}. 玻璃砖右侧固定一平行于DF的光屏MN，光屏离B、D两点的距离均为R. 整个装置置于真空中，一束激光沿半径方向平行于桌面射向O点，当该光束与AB边的夹角\alpha 为45^\circ 时，恰好无光线从AB面射出。已知光在真空中的传播速度为c，现将夹角\alpha 调整至60^\circ ，不考虑多次反射，求：$

<img_1200>
该光束在两玻璃砖内传播的总时间。

Solution:
$根据折射率与波速的关系有n=\frac{c}{v}$

$光在半圆形玻璃砖中传播的时间t_{1}=\frac{R}{v}$

$光在长方形玻璃砖中传播的时间t_{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2 \cos  30^{\circ}}R}{v}，解得t=t_{1}+t_{2}=\frac{2\sqrt{2}R}{c}$



Final answer: $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$
Subfield: Optics


Question: $近年来，对具有负折射率人工材料的光学性质及应用的研究备受关注。该材料折射率为负值(n<0)，如图甲所示，光从真空射入负折射率材料时，入射角和折射角的大小关系仍然遵从折射定律，但折射角取负值，即折射光线和入射光线位于界面法线同侧。如图乙所示，在真空中对称放置两个完全相同的负折射率材料制作的直角三棱镜A、B，顶角为\theta ，A、B两棱镜斜面相互平行放置，两斜面间的距离为d。一束包含有两种频率光的激光，从A棱镜上的P点垂直入射，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=-\sqrt{2}，n_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}，在B棱镜下方有一平行于下表面的光屏，P'点为P点在光屏上的投影。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007396432244740/img/compression/M_b146f3f0cf6ef480451951c162ad4525.jpg)

![图乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007396432244740/img/compression/M_5e0050a8799feab86e6490324c6d09c1.jpg)
$若\theta =30^\circ ，求两种频率的光通过两棱镜后，打在光屏上的点距P'点的距离分别多大。$

Solution:
两束光传播的光路图如图所示，

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007397648592897/img/compression/M_973f6cf6f23f8dfe9cf2ac1a878357bf.jpg)

$由折射定律可知，\frac{\sin (-\theta _1)}{\sin  \theta }=n_1，\frac{\sin (-\theta _2)}{\sin  \theta }=n_2$

$由几何关系可知，x_1=\frac{d}{ \cos  \theta _1}\sin(\theta +\theta _1)，x_2=\frac{d}{ \cos  \theta _2}\sin(\theta +\theta _2)$

$得，x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}d，x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{4}d$

Final answer: $\frac{1+\sqrt{3}}{2} d \frac{2+\sqrt{6}}{4} d$