di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: 如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角$\theta =30^\circ$ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上，质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为Ek0=5/4 mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右;Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度 25/36 h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272072295534594/img/compression/M_ee3ade00aee1bf369bc341ebd7c41f6b.jpg)
求Q的质量;

Solution:
$设Q的质量为M，初速度为v_0，由于P、Q发生弹性碰撞，以向右为正方向，可知$

$Mv_0=Mv_{Q1}+mv_{P1}$

$\frac{1}{2}Mv^2_0 =\frac{1}{2}Mv^2_{Q1} +\frac{1}{2}mv^2_{P1}$

$\frac{1}{2}Mv^2_0=E_{k0}=\frac{5}{4}mgh$

$碰后P沿斜面上滑，机械能守恒，有$

$\frac{1}{2}mv ^2_{P1}=mg \cdot\frac{25}{36}h$

$联立上述各式解得M=5m。$

Final answer: 5m
Subfield: Mechanics


Question: 如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角$\theta =30^\circ$ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上，质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为Ek0=5/4 mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右;Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度 25/36 h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。

<img_1215>
为保证第2次碰撞能在水平轨道AB上发生，求初始时P到斜面底端B的最小距离。

Solution:
$为使第2次碰撞发生在水平轨道上，需满足Q运动到斜面底端B之前P已经从斜面上滑下。设P的初始位置到斜面底端B的距离为d，P在水平面运动的时间为t_{1}，P第二次碰撞前在斜面上运动的时间为t_{2}。  $

由于P、Q第一次碰后在水平面上做匀速直线运动，由运动学规律有  

$d=v_{P1}t_{1}  $

P在斜面上运动时，由动量定理有  

$2mv_{P1}=mg \sin \theta t_{2}  $

此过程中Q仍在水平面上，有  

$d \geq v_{Q1}(t_{1}+t_{2})  $

$解得d \geq \frac{100}{27}h。  $

$可知初始时P到斜面底端B的最小距离为\frac{100}{27}h。$

Final answer: $\frac{100}{27} h$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，水平轨道AB、CD分别与高为h、倾角$\theta =30^\circ$ 的斜面轨道BC两端平滑连接。质量为m的小物块P静止在水平轨道AB上，质量大于m的小物块Q位于P的左侧。Q的初动能为Ek0=5/4 mgh(g为重力加速度大小)，初速度方向向右;Q与P发生碰撞后，P沿斜面上滑高度 25/36 h后返回，在水平轨道上与Q再次发生碰撞。所有轨道均是光滑的，每次碰撞均为弹性碰撞。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272072295534594/img/compression/M_ee3ade00aee1bf369bc341ebd7c41f6b.jpg)
为保证第2次碰撞能在水平轨道AB上发生，求初始时P到斜面底端B的最小距离。

Solution:
$为使第2次碰撞发生在水平轨道上，需满足Q运动到斜面底端B之前P已经从斜面上滑下。设P的初始位置到斜面底端B的距离为d，P在水平面运动的时间为t_{1}，P第二次碰撞前在斜面上运动的时间为t_{2}。  $

由于P、Q第一次碰后在水平面上做匀速直线运动，由运动学规律有  

$d=v_{P1}t_{1}  $

P在斜面上运动时，由动量定理有  

$2mv_{P1}=mg \sin \theta t_{2}  $

此过程中Q仍在水平面上，有  

$d \geq v_{Q1}(t_{1}+t_{2})  $

$解得d \geq \frac{100}{27}h。  $

$可知初始时P到斜面底端B的最小距离为\frac{100}{27}h。$

Final answer: $\frac{100}{27} h$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，m_A=0.1 \, kg，m_B=0.2 \, kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质量M=0.3 kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度L=1 m，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A滑到距平台右端x=2 m的C点停下，滑块A与平台间的动摩擦因数\mu_1=0.4，滑块B冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B与小车粗糙部分间的动摩擦因数\mu_2=0.1。两滑块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_987>
滑块B刚滑上小车时速度的大小;

Solution:
由于A、B间炸药爆炸时间极短，因此爆炸时，两滑块组成的系统满足动量守恒的条件，有
$0=m_Av_A-m_Bv_B$
滑块A向左滑动$x=2 m$后停下，由动能定理有
$0-\frac{1}{2}m_Av^2_A=-\mu_1m_Agx$
联立解得$v_B=2 m/s$。

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，m_A=0.1 \, kg，m_B=0.2 \, kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质量M=0.3 kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度L=1 m，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A滑到距平台右端x=2 m的C点停下，滑块A与平台间的动摩擦因数\mu_1=0.4，滑块B冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B与小车粗糙部分间的动摩擦因数\mu_2=0.1。两滑块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272072752713731/img/compression/M_200789fffc2ac24ced306f5828fa90ac.jpg)
滑块B刚滑上小车时速度的大小;

Solution:
由于A、B间炸药爆炸时间极短，因此爆炸时，两滑块组成的系统满足动量守恒的条件，有
$0=m_Av_A-m_Bv_B$
滑块A向左滑动$x=2 m$后停下，由动能定理有
$0-\frac{1}{2}m_Av^2_A=-\mu_1m_Agx$
联立解得$v_B=2 m/s$。

Final answer: 2 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，m_A=0.1 \, kg，m_B=0.2 \, kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质量M=0.3 kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度L=1 m，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A滑到距平台右端x=2 m的C点停下，滑块A与平台间的动摩擦因数\mu_1=0.4，滑块B冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B与小车粗糙部分间的动摩擦因数\mu_2=0.1。两滑块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度g=10 m/s^2。求:$

<img_987>
最终滑块B与小车共速时到小车左端的距离。

Solution:
由于弹簧自然长度所在范围内车面光滑，因此滑块B最终与小车共速时应相对静止于粗糙段，该状态下弹簧的长度为原长，因此最终共速时弹簧弹性势能为零，由能量守恒有：

$\frac{1}{2} m_Bv_B^2 = \frac{1}{2} (m_B + M)v^2 + \mu_{2}m_Bgs$

解得s = 1.2 m。

由于 s ＞ L，可知 B 最终静止的位置到小车左端的距离 d = 2L - s = 0.8 m。

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，固定平台右端静止着两个小滑块A、B，m_A=0.1 \, kg，m_B=0.2 \, kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车静止在光滑的水平地面上，小车质量M=0.3 kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度L=1 m，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A滑到距平台右端x=2 m的C点停下，滑块A与平台间的动摩擦因数\mu_1=0.4，滑块B冲上小车并最终与小车共速运动，滑块B与小车粗糙部分间的动摩擦因数\mu_2=0.1。两滑块都可以视为质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度g=10 m/s^2。求:$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272072752713731/img/compression/M_200789fffc2ac24ced306f5828fa90ac.jpg)
最终滑块B与小车共速时到小车左端的距离。

Solution:
由于弹簧自然长度所在范围内车面光滑，因此滑块B最终与小车共速时应相对静止于粗糙段，该状态下弹簧的长度为原长，因此最终共速时弹簧弹性势能为零，由能量守恒有：

$\frac{1}{2} m_Bv_B^2 = \frac{1}{2} (m_B + M)v^2 + \mu_{2}m_Bgs$

解得s = 1.2 m。

由于 s ＞ L，可知 B 最终静止的位置到小车左端的距离 d = 2L - s = 0.8 m。

Final answer: 0.8 m
Subfield: Mechanics


Question: $质量为M=0.6 kg的小车,原来静止在光滑水平轨道上，有两根长度均为L=0.8 m的细绳,一根系在固定的挡板D上，另一根系在小车C上,下面各挂一个小球,小球的质量分别为m_{A}=0.4 kg,m_{B}=0.2 kg,静止时两小球正好相切,且切点与两球心同在一水平面上,如图所示,如果将A球拉成水平后由静止释放，在最低点与B球碰撞,碰后A球继续向右运动,上升的最大高度为h=0.2 m。重力加速度的大小取10 m/s^2$。

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272073109229570/img/compression/M_5e2cc4a99e7117c6d34a50ff5d0f908d.jpg)
求碰撞后B球上升的最大高度;

Solution:
$碰后B向右摆动，小车在细绳的拉力作用下由静止开始向右运动，B与小车组成的系统水平方向不受外力，因此该系统水平方向动量守恒，同时此过程中该系统除B球重力外其他力做功为零，满足机械能守恒的条件，有m_Bv_B=(m_B+M)v，\frac{1}{2}m_Bv^2_B=\frac{1}{2}(m_B+M)v^2+m_Bgh_B，解得h_B=0.6 m。$

Final answer: 0.6 m
Subfield: Mechanics


Question: $质量为M=0.6 kg的小车,原来静止在光滑水平轨道上，有两根长度均为L=0.8 m的细绳,一根系在固定的挡板D上，另一根系在小车C上,下面各挂一个小球,小球的质量分别为m_{A}=0.4 kg,m_{B}=0.2 kg,静止时两小球正好相切,且切点与两球心同在一水平面上,如图所示,如果将A球拉成水平后由静止释放，在最低点与B球碰撞,碰后A球继续向右运动,上升的最大高度为h=0.2 m。重力加速度的大小取10 m/s^2$。

<img_989>
求碰撞后B球上升的最大高度;

Solution:
$碰后B向右摆动，小车在细绳的拉力作用下由静止开始向右运动，B与小车组成的系统水平方向不受外力，因此该系统水平方向动量守恒，同时此过程中该系统除B球重力外其他力做功为零，满足机械能守恒的条件，有m_Bv_B=(m_B+M)v，\frac{1}{2}m_Bv^2_B=\frac{1}{2}(m_B+M)v^2+m_Bgh_B，解得h_B=0.6 m。$

Final answer: 0.6 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平面上有一质量M=3 kg的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量m_{A}=2 kg的小物块A，A与小车一起以v_{0}=4 m/s的速度向右匀速运动，与静止在水平面上、质量m_{B}=1 kg的物块B发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力$。

![picture](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272073440579586/img/compression/M_3d82bd6b25ffdf9c2e7e2a5bb31050a0.jpg)
若小车与B发生弹性碰撞，求碰后B的速度大小;

Solution:
小车与物块B碰撞时，由于时间极短且忽略阻力，弹簧弹力瞬间不变，可知小车与B组成的系统动量守恒。

由弹性碰撞规律有

$Mv_0 = Mv + m_B v_B，$

$\frac{1}{2}Mv_0^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2$

$代入数据解得v = 2 m/s，v_B = 6 m/s。$

Final answer: 6 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平面上有一质量M=3 kg的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量m_{A}=2 kg的小物块A，A与小车一起以v_{0}=4 m/s的速度向右匀速运动，与静止在水平面上、质量m_{B}=1 kg的物块B发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力$。

<img_563>
若小车与B发生弹性碰撞，求碰后B的速度大小;

Solution:
小车与物块B碰撞时，由于时间极短且忽略阻力，弹簧弹力瞬间不变，可知小车与B组成的系统动量守恒。

由弹性碰撞规律有

$Mv_0 = Mv + m_B v_B，$

$\frac{1}{2}Mv_0^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2$

$代入数据解得v = 2 m/s，v_B = 6 m/s。$

Final answer: 6 m/s
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平面上有一质量M=3 kg的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量m_{A}=2 kg的小物块A，A与小车一起以v_{0}=4 m/s的速度向右匀速运动，与静止在水平面上、质量m_{B}=1 kg的物块B发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力$。

![picture](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272073440579586/img/compression/M_3d82bd6b25ffdf9c2e7e2a5bb31050a0.jpg)
若小车与B碰撞后粘在一起运动，求此后弹簧能获得的最大弹性势能。

Solution:
$若小车和B碰撞后瞬间共速，由动量守恒定律有Mv_0=(M+m_B)v_1$

$此时物块A速度仍为v_0，当弹簧的弹性势能最大时，三者速度相同，$

$有m_Av_0+(M+m_B)v_1=(M+m_B+m_A)v_2$

由机械能守恒有

$\frac{1}{2}m_Av^2_0+\frac{1}{2}(M+m_B)v^2_1=\frac{1}{2}(M+m_B+m_A)v^2_2+E_p$

$解得E_p=\frac{2}{3} J。$

Final answer: $\frac{2}{3} J$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，水平面上有一质量M=3 kg的小车，其右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量m_{A}=2 kg的小物块A，A与小车一起以v_{0}=4 m/s的速度向右匀速运动，与静止在水平面上、质量m_{B}=1 kg的物块B发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力$。

<img_563>
若小车与B碰撞后粘在一起运动，求此后弹簧能获得的最大弹性势能。

Solution:
$若小车和B碰撞后瞬间共速，由动量守恒定律有Mv_0=(M+m_B)v_1$

$此时物块A速度仍为v_0，当弹簧的弹性势能最大时，三者速度相同，$

$有m_Av_0+(M+m_B)v_1=(M+m_B+m_A)v_2$

由机械能守恒有

$\frac{1}{2}m_Av^2_0+\frac{1}{2}(M+m_B)v^2_1=\frac{1}{2}(M+m_B+m_A)v^2_2+E_p$

$解得E_p=\frac{2}{3} J。$



Final answer: $\frac{2}{3}$ J
Subfield: Electromagnetism


Question: $科技在我国的“蓝天保卫战”中发挥了重要作用,某科研团队设计了一款用于收集工业生产中产生的固体颗粒的装置,其原理简图如图所示。固体颗粒通过带电室时带上正电荷,颗粒从A点无初速度地进入加速区,经B点进入径向电场区,沿1/4圆弧BC运动,再经C点竖直向下进入偏转电场区,最终打在竖直收集挡板上的G点。建立如图所示坐标系,带电室、加速区、径向电场区在第二象限,偏转电场区和挡板在第四象限。已知固体颗粒的比荷为1\times 10^{-3} C/kg,加速区板间电压U=2\times 10^{3} V,圆弧BC上各点的电场强度大小相同且为E1=2.5\times 10^{4} V/m,方向都指向圆弧BC的圆心D点,偏转电场区电场强度大小E2=4 \times 10^{4} V/m,方向水平向右,挡板距离y轴0.2 m。不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力。$

<img_636>
$求带电固体颗粒离开加速区的速度v的大小及圆弧BC的半径R;$

Solution:
$不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力，颗粒在整个运动过程中只受各个区域的电场力。在加速区，由动能定理有\frac{1}{2} mv^2-0=Uq，解得v=2 m/s。由B到C过程中，颗粒做圆周运动，由径向电场力提供向心力，有E_1q=\frac{mv^2}{R}，解得R=0.16 m。$

Final answer: 2 m/s,0.16 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $科技在我国的“蓝天保卫战”中发挥了重要作用,某科研团队设计了一款用于收集工业生产中产生的固体颗粒的装置,其原理简图如图所示。固体颗粒通过带电室时带上正电荷,颗粒从A点无初速度地进入加速区,经B点进入径向电场区,沿1/4圆弧BC运动,再经C点竖直向下进入偏转电场区,最终打在竖直收集挡板上的G点。建立如图所示坐标系,带电室、加速区、径向电场区在第二象限,偏转电场区和挡板在第四象限。已知固体颗粒的比荷为1\times 10^{-3} C/kg,加速区板间电压U=2\times 10^{3} V,圆弧BC上各点的电场强度大小相同且为E1=2.5\times 10^{4} V/m,方向都指向圆弧BC的圆心D点,偏转电场区电场强度大小E2=4 \times 10^{4} V/m,方向水平向右,挡板距离y轴0.2 m。不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272110604316674/img/compression/M_b5cacf2e3bd7f5bec0cd0bf5ffdb5b84.jpg)
$求带电固体颗粒离开加速区的速度v的大小及圆弧BC的半径R;$

Solution:
$不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力，颗粒在整个运动过程中只受各个区域的电场力。在加速区，由动能定理有\frac{1}{2} mv^2-0=Uq，解得v=2 m/s。由B到C过程中，颗粒做圆周运动，由径向电场力提供向心力，有E_1q=\frac{mv^2}{R}，解得R=0.16 m。$

Final answer: 2 m/s,0.16 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $科技在我国的“蓝天保卫战”中发挥了重要作用,某科研团队设计了一款用于收集工业生产中产生的固体颗粒的装置,其原理简图如图所示。固体颗粒通过带电室时带上正电荷,颗粒从A点无初速度地进入加速区,经B点进入径向电场区,沿1/4圆弧BC运动,再经C点竖直向下进入偏转电场区,最终打在竖直收集挡板上的G点。建立如图所示坐标系,带电室、加速区、径向电场区在第二象限,偏转电场区和挡板在第四象限。已知固体颗粒的比荷为1\times 10^{-3} C/kg,加速区板间电压U=2\times 10^{3} V,圆弧BC上各点的电场强度大小相同且为E1=2.5\times 10^{4} V/m,方向都指向圆弧BC的圆心D点,偏转电场区电场强度大小E2=4 \times 10^{4} V/m,方向水平向右,挡板距离y轴0.2 m。不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力。$

<img_636>
求G点与x轴之间的距离y。

Solution:
$颗粒进入偏转电场区后，沿y轴负方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，由类平抛运动规律有y=vt，x= \frac{1}{2} at^2，根据牛顿第二定律有ma=E_2q，解得y=0.2 m。$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $科技在我国的“蓝天保卫战”中发挥了重要作用,某科研团队设计了一款用于收集工业生产中产生的固体颗粒的装置,其原理简图如图所示。固体颗粒通过带电室时带上正电荷,颗粒从A点无初速度地进入加速区,经B点进入径向电场区,沿1/4圆弧BC运动,再经C点竖直向下进入偏转电场区,最终打在竖直收集挡板上的G点。建立如图所示坐标系,带电室、加速区、径向电场区在第二象限,偏转电场区和挡板在第四象限。已知固体颗粒的比荷为1\times 10^{-3} C/kg,加速区板间电压U=2\times 10^{3} V,圆弧BC上各点的电场强度大小相同且为E1=2.5\times 10^{4} V/m,方向都指向圆弧BC的圆心D点,偏转电场区电场强度大小E2=4 \times 10^{4} V/m,方向水平向右,挡板距离y轴0.2 m。不计重力、空气阻力及颗粒间的作用力。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272110604316674/img/compression/M_b5cacf2e3bd7f5bec0cd0bf5ffdb5b84.jpg)
求G点与x轴之间的距离y。

Solution:
$颗粒进入偏转电场区后，沿y轴负方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，由类平抛运动规律有y=vt，x= \frac{1}{2} at^2，根据牛顿第二定律有ma=E_2q，解得y=0.2 m。$

Final answer: 0.2 m
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2l,板间有竖直向下的匀强电场E,距上板3l处有一带电荷量为+q的小球B,在小球B上方有一带电荷量为-6q的小球A,两小球的大小不计,质量均为m,用长度为l的绝缘轻杆相连。已知E= \frac{2mg}{q},现让两小球从静止释放,小球可以通过上板的小孔进入电场中(空气阻力不计,重力加速度为g)。求:$
<img_993>
B球刚进入电场时速度的大小

Solution:
$进入电场前，A、B两小球和杆组成的系统做自由落体运动，当B球刚进入电场时，系统已经下落了3l的高度，由自由落体运动规律可知v_1^2=2g\cdot 3l，得v_1=\sqrt{6gl}。$

Final answer: $\sqrt{6gl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2l,板间有竖直向下的匀强电场E,距上板3l处有一带电荷量为+q的小球B,在小球B上方有一带电荷量为-6q的小球A,两小球的大小不计,质量均为m,用长度为l的绝缘轻杆相连。已知E= \frac{2mg}{q},现让两小球从静止释放,小球可以通过上板的小孔进入电场中(空气阻力不计,重力加速度为g)。求:$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105078214659/img/compression/M_20456a12a55a61dbf4aa9385e80e0a62.jpg)
B球刚进入电场时速度的大小

Solution:
$进入电场前，A、B两小球和杆组成的系统做自由落体运动，当B球刚进入电场时，系统已经下落了3l的高度，由自由落体运动规律可知v_1^2=2g\cdot 3l，得v_1=\sqrt{6gl}。$

Final answer: $\sqrt{6gl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某空气净化设备可用于气体中有害离子的收集和分离，其简化原理如图甲所示，Ⅰ区为电场加速区，Ⅱ区为电场收集区。Ⅰ区和Ⅱ区之间是无场区。已知Ⅰ区中AB与CD两电极的电势差为U，Ⅱ区中分布着方向竖直向下的匀强电场，且EG与FH间的距离为d，假设大量相同的正离子在AB极均匀分布，从初速度为零开始加速，不考虑离子间的相互作用和重力的影响。

<img_1349>
甲

<img_1169>
乙
将Ⅱ区的匀强电场换成如图乙所示的匀强磁场,则电场收集区变成了磁场分离区,为收集分离出的离子，需在EF边上放置收集板EP，收集板下端留有狭缝PF，离子只能通过狭缝进入磁场进行分离；假设在AB极上有两种正离子，质量分别为m和M，且M=4m，电荷量均为q；现调节磁感应强度的大小和狭缝PF的宽度，可使质量为M的离子都打在收集板EP右表面上，且打在收集板的两种离子完全分离，狭缝PF宽度的最大值为多少?(Ⅱ区中EF与GH间距足够大，不考虑出Ⅱ区后再次返回的离子)

Solution:
由于两种离子的带电荷量相同，因此经过同一电场加速后获得的动能相等，由动能和动量的关系可知
$p=mv=\sqrt[　]{2mE_\mathrm{k}}$
$即p_{m}:p_{M}=\sqrt[　]{m}:\sqrt[　]{M}=1:2$
$两种离子在磁场中均仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动，有Bvq=mv \frac{v^2}{R}$
$可得R=\frac{mv}{Bq}=\frac{p}{Bq}$
可知两种离子在磁场中的轨迹半径与其动量大小成正比，因此可得
$R_{m}:R_{M}=p_{m}:p_{M}=1:2$
$以F为原点、竖直向上为正方向建立x轴，设P点坐标为x_{0}(狭缝宽度)。若要两种离子不重叠，则由P点进入磁场且质量为m的离子经磁场偏转后到达x轴的位置坐标不应大于由F点进入磁场且质量为M的离子到达x轴的位置坐标，即2R_{M}-2R_{m}\geq x_{0}$
$若要满足所有进入磁场且质量为M的离子均打在收集板的右表面，则由P点进入磁场的该种离子到达x轴的坐标不应大于E点的坐标，即$
$2R_{M}+x_{0}\leq d$
$联立解得x_{0}\leq \frac{d}{3}，即狭缝PF宽度的最大值为\frac{d}{3}。$

Final answer: $\frac{d}{3}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某空气净化设备可用于气体中有害离子的收集和分离，其简化原理如图甲所示，Ⅰ区为电场加速区，Ⅱ区为电场收集区。Ⅰ区和Ⅱ区之间是无场区。已知Ⅰ区中AB与CD两电极的电势差为U，Ⅱ区中分布着方向竖直向下的匀强电场，且EG与FH间的距离为d，假设大量相同的正离子在AB极均匀分布，从初速度为零开始加速，不考虑离子间的相互作用和重力的影响。

![24BTJ5WL428.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_a31ba9ad2013f7b3fe4c289664c142e8.jpg)
甲

![24BTJ5WL429.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_52b4d9b7d1d0ae5a537ab3cef547d3a5.jpg)
乙
将Ⅱ区的匀强电场换成如图乙所示的匀强磁场,则电场收集区变成了磁场分离区,为收集分离出的离子，需在EF边上放置收集板EP，收集板下端留有狭缝PF，离子只能通过狭缝进入磁场进行分离；假设在AB极上有两种正离子，质量分别为m和M，且M=4m，电荷量均为q；现调节磁感应强度的大小和狭缝PF的宽度，可使质量为M的离子都打在收集板EP右表面上，且打在收集板的两种离子完全分离，狭缝PF宽度的最大值为多少?(Ⅱ区中EF与GH间距足够大，不考虑出Ⅱ区后再次返回的离子)

Solution:
由于两种离子的带电荷量相同，因此经过同一电场加速后获得的动能相等，由动能和动量的关系可知
$p=mv=\sqrt[　]{2mE_\mathrm{k}}$
$即p_{m}:p_{M}=\sqrt[　]{m}:\sqrt[　]{M}=1:2$
$两种离子在磁场中均仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动，有Bvq=mv \frac{v^2}{R}$
$可得R=\frac{mv}{Bq}=\frac{p}{Bq}$
可知两种离子在磁场中的轨迹半径与其动量大小成正比，因此可得
$R_{m}:R_{M}=p_{m}:p_{M}=1:2$
$以F为原点、竖直向上为正方向建立x轴，设P点坐标为x_{0}(狭缝宽度)。若要两种离子不重叠，则由P点进入磁场且质量为m的离子经磁场偏转后到达x轴的位置坐标不应大于由F点进入磁场且质量为M的离子到达x轴的位置坐标，即2R_{M}-2R_{m}\geq x_{0}$
$若要满足所有进入磁场且质量为M的离子均打在收集板的右表面，则由P点进入磁场的该种离子到达x轴的坐标不应大于E点的坐标，即$
$2R_{M}+x_{0}\leq d$
$联立解得x_{0}\leq \frac{d}{3}，即狭缝PF宽度的最大值为\frac{d}{3}。$

Final answer: $\frac{d}{3}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

<img_1411>
图甲

<img_1093>
图乙
$求氙离子从栅电极D喷出时速度v_0的大小$。

Solution:
$氙离子在被加速的过程中，仅有电场力做功，由动能定理可得\frac{1}{2}mv^2_0=Eqd$

$解得v_0=\sqrt[　]{\frac{2Eqd}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

![24BTJ5WL430](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_dfed5989f65b820a9d8db58f9f466063.jpg)
图甲

![24BTJ5WL431](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_49cdab8a675cc15b16a6d0582a04d9f3.jpg)
图乙
$求氙离子从栅电极D喷出时速度v_0的大小$。

Solution:
$氙离子在被加速的过程中，仅有电场力做功，由动能定理可得\frac{1}{2}mv^2_0=Eqd$

$解得v_0=\sqrt[　]{\frac{2Eqd}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v_0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272127811342338/img/compression/M_57de70aef26a3589dcd98f760c12a683.jpg)
电场强度和磁感应强度的大小之比。

Solution:
设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F=ma

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128142692353/img/compression/M_a02457c46be621b6ea65c44857fae4f9.jpg)

⑧
又F=qE
⑨
设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有

$qvB=m\frac{v^2}{R}$

⑩
如图，由几何关系可知
$R=\sqrt{2}L$
⑪
联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得
$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}$
⑫

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v_0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：$

<img_909>
电场强度和磁感应强度的大小之比。

Solution:
设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F=ma

<img_1205>

⑧
又F=qE
⑨
设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有

$qvB=m\frac{v^2}{R}$

⑩
如图，由几何关系可知
$R=\sqrt{2}L$
⑪
联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得
$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}$
⑫

Final answer: $\frac{v_0}{2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=5\sqrt{3} N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1\times 10^-6 kg，电荷量q=2\times 10^-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10 m/s^2。求：$

<img_456>
$小球做匀速直线运动的速度v的大小。$

Solution:
小球做匀速直线运动时的受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有

<img_1034>

$qvB=\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}$

①

$代入数据解得v=20 m/s$

②

$速度v的方向与电场E的方向之间的夹角\theta满足$

$\tan \theta=\frac{qE}{mg}$

③

代入数据解得

$\tan \theta=\sqrt{3}$

$\theta=60^\circ $

④

Final answer: $20 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=5\sqrt{3} N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1\times 10^-6 kg，电荷量q=2\times 10^-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10 m/s^2。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128436293635/img/compression/M_d0edcc2a26912ea553d16fa81367915f.jpg)
$小球做匀速直线运动的速度v的大小。$

Solution:
小球做匀速直线运动时的受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有

![17GZTWL107答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128683757570/img/compression/M_2aa0653fc4281a3d9d45adf482e9a680.jpg)

$qvB=\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}$

①

$代入数据解得v=20 m/s$

②

$速度v的方向与电场E的方向之间的夹角\theta满足$

$\tan \theta=\frac{qE}{mg}$

③

代入数据解得

$\tan \theta=\sqrt{3}$

$\theta=60^\circ $

④

Final answer: $20 m/s$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=5\sqrt{3} N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1\times 10^-6 kg，电荷量q=2\times 10^-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10 m/s^2。求：$

<img_456>
从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。

Solution:
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
$a=\frac{\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}}{m}    ⑤$

设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
$x=vt    ⑥$

设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有
$y=\frac{1}{2}at^2    ⑦$

$a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为\theta ，又$
$\tan\theta =\frac{y}{x}    ⑧$

联立②④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
$t=2\sqrt{3} s\approx 3.5 s    ⑨$
$撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为$
$vy=v\sin\theta     ⑤$

$若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球竖直方向上的分位移为零，则有$
$vyt-\frac{1}{2}gt^2=0    ⑥$

联立②④⑤⑥式，代入数据解得
$t=2\sqrt{3} s\approx 3.5 s    ⑦$

Final answer: 3.5 s
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E=5\sqrt{3} N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1\times 10^-6 kg，电荷量q=2\times 10^-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10 m/s^2。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128436293635/img/compression/M_d0edcc2a26912ea553d16fa81367915f.jpg)
从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。

Solution:
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
$a=\frac{\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}}{m}    ⑤$

设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
$x=vt    ⑥$

设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有
$y=\frac{1}{2}at^2    ⑦$

$a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为\theta ，又$
$\tan\theta =\frac{y}{x}    ⑧$

联立②④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
$t=2\sqrt{3} s\approx 3.5 s    ⑨$
$撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为$
$vy=v\sin\theta     ⑤$

$若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球竖直方向上的分位移为零，则有$
$vyt-\frac{1}{2}gt^2=0    ⑥$

联立②④⑤⑥式，代入数据解得
$t=2\sqrt{3} s\approx 3.5 s    ⑦$

Final answer: 3.5 s
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

<img_654>
$若电子入射速度为\frac{v_0}{4}，求运动到速度为\frac{v_0}{2}时位置的纵坐标y_1;$

Solution:
$若电子沿x轴正方向的入射速度为 \frac{v_0}{4}，利用运动的分解，可将初速度 \frac{v_0}{4} 分解为一个沿x轴正方向的速度(大小v_{1}=v_{0})和一个沿x轴负方向的速度 \left({\text{大小}}v_2=\frac{3}{4}v_0\right)，由v_{1}产生的洛伦兹力ev_{0}B与电场力eE平衡，得到电子的一个分运动为速度为v_{0}的匀速直线运动，另一个分运动为速率为 \frac{3}{4} v_{0}的匀速圆周运动。$

$设v_{2}的方向与x轴负方向的夹角为\theta (如图所示)时，v_{1}与v_{2}的合速度大小为 \frac{v_0}{2}，由余弦定理得 \cos \theta = \frac{v^2_2+v^2_1-{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2}{2v_1v_2}$

<img_537>

$解得 \cos \theta = \frac{7}{8}$

$设以v_{2}=\frac{3}{4} v_{0}做匀速圆周运动的轨迹半径为R，则ev_{2}B=m\frac{v^2_2}{R}，运动速度为 \frac{v_0}{2} 时的纵坐标y_{1}=R(1-\cos \theta )，联立解得 y_{1}=\frac{3mv_0}{32eB}。$
由题意可知，整个过程洛伦兹力不做功，电场力做正功，由动能定理可知，
$eEy_{1}=\frac{1}{2} m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2-\frac{1}{2} m\left(\frac{v_0}{4}\right)^2，解得y_{1}=\frac{3mv_0}{32eB}.$

Final answer: $\frac{3mv_0}{32eB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128985747458/img/compression/M_96b1e88fdbbfb52906718ade20347a01.jpg)
$若电子入射速度为\frac{v_0}{4}，求运动到速度为\frac{v_0}{2}时位置的纵坐标y_1;$

Solution:
$若电子沿x轴正方向的入射速度为 \frac{v_0}{4}，利用运动的分解，可将初速度 \frac{v_0}{4} 分解为一个沿x轴正方向的速度(大小v_{1}=v_{0})和一个沿x轴负方向的速度 \left({\text{大小}}v_2=\frac{3}{4}v_0\right)，由v_{1}产生的洛伦兹力ev_{0}B与电场力eE平衡，得到电子的一个分运动为速度为v_{0}的匀速直线运动，另一个分运动为速率为 \frac{3}{4} v_{0}的匀速圆周运动。$

$设v_{2}的方向与x轴负方向的夹角为\theta (如图所示)时，v_{1}与v_{2}的合速度大小为 \frac{v_0}{2}，由余弦定理得 \cos \theta = \frac{v^2_2+v^2_1-{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2}{2v_1v_2}$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272129296125954/img/compression/M_5737601c6e0f6fe03ac72f97b500871b.jpg)

$解得 \cos \theta = \frac{7}{8}$

$设以v_{2}=\frac{3}{4} v_{0}做匀速圆周运动的轨迹半径为R，则ev_{2}B=m\frac{v^2_2}{R}，运动速度为 \frac{v_0}{2} 时的纵坐标y_{1}=R(1-\cos \theta )，联立解得 y_{1}=\frac{3mv_0}{32eB}。$
由题意可知，整个过程洛伦兹力不做功，电场力做正功，由动能定理可知，
$eEy_{1}=\frac{1}{2} m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2-\frac{1}{2} m\left(\frac{v_0}{4}\right)^2，解得y_{1}=\frac{3mv_0}{32eB}.$

Final answer: $\frac{3mv_0}{32eB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

<img_654>
$若电子入射速度在0＜v＜v_0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y_2= \frac{mv_0}{5eB} 位置的电子数N占总电子数N_0的百分比。$

Solution:
$设能到达纵坐标y_{2}=\frac{mv_0}{5eB}位置的电子做匀速圆周运动的分速度为v_{2}'，半径为R'，则y_{2} \leq2R'$

$洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，ev_{2}'B=m\frac{v_{2}'^2}{R'}$

$解得v_{2}' \geq\frac{v_0}{10}$

$则电子入射速度v=v_{0}-v_{2}'$

$即v \leq\frac{9}{10}v_{0}$

$由题意可知电子入射速度在0<v<v_{0}范围内均匀分布，能到达纵坐标y_{2}=\frac{mv_0}{5eB}位置的电子数N占总电子数N_{0}的百分比\eta=\frac{\frac{9}{10}v_0}{v_0}\times 100\%=90\%。$

Final answer: $90\%$
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128985747458/img/compression/M_96b1e88fdbbfb52906718ade20347a01.jpg)
$若电子入射速度在0＜v＜v_0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y_2= \frac{mv_0}{5eB} 位置的电子数N占总电子数N_0的百分比。$

Solution:
$设能到达纵坐标y_{2}=\frac{mv_0}{5eB}位置的电子做匀速圆周运动的分速度为v_{2}'，半径为R'，则y_{2} \leq2R'$

$洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，ev_{2}'B=m\frac{v_{2}'^2}{R'}$

$解得v_{2}' \geq\frac{v_0}{10}$

$则电子入射速度v=v_{0}-v_{2}'$

$即v \leq\frac{9}{10}v_{0}$

$由题意可知电子入射速度在0<v<v_{0}范围内均匀分布，能到达纵坐标y_{2}=\frac{mv_0}{5eB}位置的电子数N占总电子数N_{0}的百分比\eta=\frac{\frac{9}{10}v_0}{v_0}\times 100\%=90\%。$

Final answer: $90\%$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272144997609475/img/compression/M_4510f2940f93d8e42cda73b8559c6729.jpg)
求粒子从a点射入电场时速度的大小;

Solution:
$粒子在金属板间做类平抛运动，初速度方向竖直向下，加速度方向水平向右。由类平抛运动规律有l=v_0t，\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}at^{2}，v_x=at，U=El，ma=Eq，解得v_0= \sqrt{\frac{Uq}{m}}，v_x = \sqrt{\frac{Uq}{m}}，v = \sqrt{v^2_0+v^2_x} = \sqrt{\frac{2Uq}{m}}，可知粒子离开电场时速度方向与CD板夹角\theta  = \frac{\pi }{4}，斜向右下方。$

Final answer: $\sqrt{\frac{Uq}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

<img_1152>
求粒子从a点射入电场时速度的大小;

Solution:
$粒子在金属板间做类平抛运动，初速度方向竖直向下，加速度方向水平向右。由类平抛运动规律有l=v_0t，\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}at^{2}，v_x=at，U=El，ma=Eq，解得v_0= \sqrt{\frac{Uq}{m}}，v_x = \sqrt{\frac{Uq}{m}}，v = \sqrt{v^2_0+v^2_x} = \sqrt{\frac{2Uq}{m}}，可知粒子离开电场时速度方向与CD板夹角\theta  = \frac{\pi }{4}，斜向右下方。$

Final answer: $\sqrt{\frac{Uq}{m}}$