di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的一个顶点为A(0，-3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点.$
$已知点C满足3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.$

Solution:
$因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，所以AB\perp CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在$$(由于A为椭圆的一个顶点，B为非顶点，直线AB与圆C相切，故直线AB，CP斜率均存在).设直线AB的方程为y = kx-3. 由方程组:$

$$
\left\{
\begin{matrix}
y=kx-3,\\ 
\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1,
\end{matrix}
\right.
$$

$消去y，可得(2k^2+1)x^2-12kx=0，解得x=0，或x = \frac{12k}{2k^2+1}.$

$依题意，可得点B的坐标为\left(\frac{12k}{2k^2+1},\frac{6k^2-3}{2k^2+1}\right).$
$因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，-3)，所以点P的坐标为\left(\frac{6k}{2k^2+1},\frac{-3}{2k^2+1}\right)(中点坐标公式).$

$由3\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OF}，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率为 \frac{\frac{-3}{2k^2+1}-0}{\frac{6k}{2k^2+1}-1}，即\frac{3}{2k^2-6k+1}.$
$又因为AB \perp  CP，所以 k\cdot \frac{3}{2k^2-6k+1} = -1(两直线垂直，斜率之积为-1)，整理得2k^2-3k+1=0，解得k= \frac{1}{2}，或k=1.$

$所以，直线AB的方程为y= \frac{1}{2}x-3，或y= x-3.$

Final answer: $y= \frac{1}{2}x-3，y= x-3$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} =1 (a>b>0) 的离心率为 \frac{\sqrt{5}}{3}，点 A (-2,0) 在 C 上.$
求C的方程；

Solution:
$由已知条件得b=2，又e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}，$
$\therefore a^2=9，\therefore C的方程为\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1.$

Final answer: $\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C：x^2=2py(p>0)上的点(2, y_0)到其焦点F的距离为2.$
求抛物线C的方程；

Solution:
$因为点(2,y_0)在抛物线C:x^2=2py(p>0)上，可得y_0=\frac{2}{p}，$

$又因为点(2,y_0)到其焦点F的距离为2，$

$由抛物线的定义可得\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2，解得p=2，$

$所以抛物线C的方程为x^2=4y.$

Final answer: $x^2=4y$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284031749349377/img/compression/M_0097f93c4329d8806a9f3d68dca436e8.jpg)
$央视媒体平台从年龄在[45，55)和[65，75)的作者中，按照分层抽样的方法抽出了7人参加“改革开放40周年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45，55)的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望.$

Solution:
$根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45，55)内的有3人，在[65，75)内的有4人，Y的所有可能值为0，1，2，3，P(Y=0)=\frac{\mathrm{C}^0_3\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，P(Y=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{18}{35}，P(Y=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{12}{35}，P(Y=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{35}，所以Y的分布列为$

| Y | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{4}{35}$|$\frac{18}{35}$|$\frac{12}{35}$|$\frac{1}{35}$|

$所以E(Y)=0\times \frac{4}{35}+1\times \frac{18}{35}+2\times \frac{12}{35}+3\times \frac{1}{35}=\frac{9}{7}.$

Final answer: Y的分布列为

| Y     | 0              | 1               | 2               | 3              |
| ----- | -------------- | --------------- | --------------- | -------------- |
| $ P $ | $\frac{4}{35}$ | $\frac{18}{35}$ | $\frac{12}{35}$ | $\frac{1}{35}$ |

$E(Y)=\frac{9}{7}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗.会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40周年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40周年图片展”，其作者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
<img_2984>
$央视媒体平台从年龄在[45，55)和[65，75)的作者中，按照分层抽样的方法抽出了7人参加“改革开放40周年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45，55)的人数是Y，求变量Y的数学期望.$

Solution:
$根据分层抽样可知抽取的7人中年龄在[45，55)内的有3人，在[65，75)内的有4人，Y的所有可能值为0，1，2，3，P(Y=0)=\frac{\mathrm{C}^0_3\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，P(Y=1)=\frac{\mathrm{C}^1_3\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{18}{35}，P(Y=2)=\frac{\mathrm{C}^2_3\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{12}{35}，P(Y=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3\mathrm{C}^0_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{35}，所以Y的分布列为$

| Y | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{4}{35}$|$\frac{18}{35}$|$\frac{12}{35}$|$\frac{1}{35}$|

$所以E(Y)=0\times \frac{4}{35}+1\times \frac{18}{35}+2\times \frac{12}{35}+3\times \frac{1}{35}=\frac{9}{7}.$



Final answer: $\frac{9}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，目的是选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩\xi ~N(\mu ,100)，且P(\xi \leq 50)=P(\xi \geq 70),笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．$

$附：若X~N(\mu ,\sigma ^2)，则P(|X-\mu |\leq \sigma )\approx 0.682 7,P(|X-\mu |\leq 2\sigma )\approx 0.954 5,0.841 35^{10}\approx 0.177 7,0.977 25^{10}\approx 0.794 4.$
$现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为\frac{1}{3}、\frac{1}{3}、\frac{1}{2}、\frac{1}{2}，设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的数学期望．$

Solution:
$X的可能取值为0,1,2,3，4，$

$P(X=0)=C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{9}，$
$P(X=1)=C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 + C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}，$
$P(X=2)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 +C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)
+C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{13}{36},$
$P(X=3)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) +C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{6},$
$P(X=4)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{36}，$

| $X $| 0  | 1  | 2           | 3     | 4      |
|-----|----|----|-------------|-------|--------|
| $P$ | $\frac19$ | $\frac13$ | $\frac{13}{36}$ | $\frac16$ | $\frac1{36}$ |

$\therefore E(X) = 0 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{13}{36} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{36} = \frac{5}{3}.$



Final answer: $\frac{5}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，目的是选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩\xi ~N(\mu ,100)，且P(\xi \leq 50)=P(\xi \geq 70),笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．$

$附：若X~N(\mu ,\sigma ^2)，则P(|X-\mu |\leq \sigma )\approx 0.682 7,P(|X-\mu |\leq 2\sigma )\approx 0.954 5,0.841 35^{10}\approx 0.177 7,0.977 25^{10}\approx 0.794 4.$
$现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为\frac{1}{3}、\frac{1}{3}、\frac{1}{2}、\frac{1}{2}，设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．$

Solution:
$X的可能取值为0,1,2,3，4，$

$P(X=0)=C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{9}，$
$P(X=1)=C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 + C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}，$
$P(X=2)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)^2 +C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)
+C_{0}^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{13}{36},$
$P(X=3)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) +C_{1}^{2}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{6},$
$P(X=4)=C_{2}^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 C_{2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{36}，$

| $X $| 0  | 1  | 2           | 3     | 4      |
|-----|----|----|-------------|-------|--------|
| $P$ | $\frac19$ | $\frac13$ | $\frac{13}{36}$ | $\frac16$ | $\frac1{36}$ |

$\therefore E(X) = 0 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{13}{36} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{36} = \frac{5}{3}.$

Final answer: $P(X=0)=\frac{1}{9}, P(X=1)=\frac{1}{3}, P(X=2)=\frac{13}{36}, P(X=3)=\frac{1}{6}, P(X=4)=\frac{1}{36}, E(X) = \frac{5}{3}.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．$
<img_3059>
$证明：PC\parallel 平面EFG；$

Solution:
$因为E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点，所以EF\parallel BP，GF\parallel AD，$
$又EF不在平面PBC，BP在平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC，$
$又因为底面ABCD为平行四边形，所以AD\parallel BC，则GF\parallel BC，又GF不在平面PBC，BC在平面PBC，$
$所以GF\parallel 平面PBC，因为GF\cap EF=F，GF，EF在平面EFG，所以平面EFG\parallel 平面PBC，$
$又PC在平面PBC，所以PC\parallel 平面EFG．$
$取AC的中点H，连接FH，HE，GH，$
$因为E、H分别是AB、AC的中点，所以EH\parallel BC，同理可知FG\parallel AD，所以EH\parallel FG，所以E、H、G、F四点共面．$
$同理可知FH\parallel PC，$
$又PC不在平面EFG，FH在平面EFG，所以PC\parallel 平面EFG．$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283913765634051/img/compression/M_2b9715567145d97814d18c86dbc7707f.jpg)
$证明：PC\parallel 平面EFG；$

Solution:
$因为E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点，所以EF\parallel BP，GF\parallel AD，$
$又EF不在平面PBC，BP在平面PBC，所以EF\parallel 平面PBC，$
$又因为底面ABCD为平行四边形，所以AD\parallel BC，则GF\parallel BC，又GF不在平面PBC，BC在平面PBC，$
$所以GF\parallel 平面PBC，因为GF\cap EF=F，GF，EF在平面EFG，所以平面EFG\parallel 平面PBC，$
$又PC在平面PBC，所以PC\parallel 平面EFG．$
$取AC的中点H，连接FH，HE，GH，$
$因为E、H分别是AB、AC的中点，所以EH\parallel BC，同理可知FG\parallel AD，所以EH\parallel FG，所以E、H、G、F四点共面．$
$同理可知FH\parallel PC，$
$又PC不在平面EFG，FH在平面EFG，所以PC\parallel 平面EFG．$

Final answer: 证明题
Subfield: Probability and Statistics


Question: 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

$附：线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；$

$参考数据：\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1.46，\overline{x}=0.46，\overline{x}^2=0.212 \left(\begin{matrix}\text{其中}x_i=\frac{1}{t_i},\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i\end{matrix}\right).$
$某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的数学期望；$

Solution:
$由题知，X的可能取值为1，2，3，$
$所以P(X=1)=\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2=\frac{1}{4}，$
$P(X=2)=\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2\right]\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_3}\right)^2=\frac{1}{12}，$
$P(X=3)=\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_3}\right)^2\right]=\frac{2}{3}，$
$所以X的分布列为$

| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{2}{3}$ |

$所以数学期望E(X)=1\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{12}+3\times \frac{2}{3}=\frac{29}{12}.$



Final answer: $\frac{29}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

$附：线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；$

$参考数据：\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1.46，\overline{x}=0.46，\overline{x}^2=0.212 \left(\begin{matrix}\text{其中}x_i=\frac{1}{t_i},\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i\end{matrix}\right).$
$某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题知，X的可能取值为1，2，3，$
$所以P(X=1)=\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2=\frac{1}{4}，$
$P(X=2)=\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2\right]\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_3}\right)^2=\frac{1}{12}，$
$P(X=3)=\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_2}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{1}{\mathrm{C}^1_3}\right)^2\right]=\frac{2}{3}，$
$所以X的分布列为$

| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{2}{3}$ |

$所以数学期望E(X)=1\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{12}+3\times \frac{2}{3}=\frac{29}{12}.$

Final answer: $X的分布列为$

| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{2}{3}$ |

$数学期望E(X)=\frac{29}{12}.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = \sin{x} - m{x}^{3} (m \in \mathbb{R}), g(x) = (x - 1)e^{x}.$
$当m=1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;$

Solution:
$当m=1时， f(x)=\sin x - x^{3}，所以f'(x)=\cos x - 3x^{2}.$

$因为f'(0)=1，f(0)=0,所以切线方程为y=x.$

Final answer: $y=x$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right)\ln(1+x).$
$当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程；$

Solution:
$当a=-1时, f(x)=\left(\frac{1}{x}-1\right)ln(x+1),则f(1)=0,且f'(x)=-\frac{1}{x^2}ln(x+1)+\left(\frac{1}{x}-1\right)\cdot\frac{1}{x+1},$
$故f'(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0.$

Final answer: $xln 2+y-ln 2=0$
Subfield: Probability and Statistics


Question: |             |2022年北京冬奥会赛程表                    |
|-------------|---|
| 2022年2月 | 北京赛区  |
|开闭幕式    |冰壶    |
|$|5(六)    |     |     |     |1     |1     |     |     |     |     |     |1     |     |1     |     |1     |1     |6     |$||
|$|6(日)    |     |     |     |1     |     |     |1     |     |     |1     |1     |     |1     |1     |     |1     |7     |$||

说明：“”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
$若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望E(X).$

Solution:
随机变量X的所有可能取值为1,2,3.
根据题意，
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^2_4+\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4+\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1+6+12+4}{35}=\frac{23}{35}，$
$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{8}{35}.$
随机变量X的分布列为：

| X   | 1           | 2           | 3           |
| --- | ----------- | ----------- | ----------- |
|$ P  $|$\frac{4}{35}$|$\frac{4}{35}$|$\frac{4}{35}$|

$数学期望E(X)=1\times \frac{4}{35}+2\times \frac{23}{35}+3\times \frac{8}{35}=\frac{74}{35}.$

Final answer: 随机变量X的分布列为：

| X      | 1              | 2              | 3              |
| ------ | -------------- | -------------- | -------------- |
| $ P  $ | $\frac{4}{35}$ | $\frac{4}{35}$ | $\frac{4}{35}$ |

$数学期望E(X)=\frac{74}{35}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: |             |2022年北京冬奥会赛程表                    |
|-------------|---|
| 2022年2月 | 北京赛区  |
|开闭幕式    |冰壶    |
|$|5(六)    |     |     |     |1     |1     |     |     |     |     |     |1     |     |1     |     |1     |1     |6     |$||
|$|6(日)    |     |     |     |1     |     |     |1     |     |     |1     |1     |     |1     |1     |     |1     |7     |$||

说明：“”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
$若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的期望E(X).$

Solution:
随机变量X的所有可能取值为1,2,3.
根据题意，
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{35}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^2_2+\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^2_4+\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4+\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1+6+12+4}{35}=\frac{23}{35}，$
$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^1_1\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{8}{35}.$
随机变量X的分布列为：

| X   | 1           | 2           | 3           |
| --- | ----------- | ----------- | ----------- |
|$ P  $|$\frac{4}{35}$|$\frac{4}{35}$|$\frac{4}{35}$|

$数学期望E(X)=1\times \frac{4}{35}+2\times \frac{23}{35}+3\times \frac{8}{35}=\frac{74}{35}.$



Final answer: $\frac{74}{35}$
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Question: 现有甲、乙、丙、丁四位同学分别带着$A，B，C，D$四个不同的礼物参加派对进行“礼物交换”游戏，将四个礼物放入袋中，每位同学分别抽取一个礼物。
$记X为未拿到自己所带礼物的同学的人数，求X的数学期望.$

Solution:
$X的可能取值为0，2，3，4，$
$X=0表示四位同学都拿到自己所带的礼物，只有一种可能，\therefore P(X<=0)=\frac{1}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{24}.$
$X=2表示恰好有两位同学拿到自己所带的礼物，共有C^2_4=6种，\therefore P(X=2)=\frac{6}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{4}.$
$X=3表示恰有一位同学拿到自己所带的礼物.从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学拿到自己所带的礼物，有C^1_4=4种，假设是甲拿到了A礼物，则其他人都拿到别人的礼物，有两种可能：乙拿C礼物、丙拿D礼物、丁拿B礼物或者乙拿D礼物、丙拿B礼物、丁拿C礼物，共有4\times 2=8种，\therefore P(X=3)=\frac{8}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{3}.由(1)可知，P(X=4)=\frac{3}{8}.$
$\therefore X的分布列为$

| <i>X</i> | 0 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
$| <i>P</i> | \frac{1}{24} | \frac{1}{4} | \frac{1}{3} | \frac{3}{8} |$

$E(X=)=0\times \frac{1}{24}+2\times \frac{1}{4}+3\times \frac{1}{3}+4\times \frac{3}{8}=3.$



Final answer: $3$
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Question: 现有甲、乙、丙、丁四位同学分别带着$A，B，C，D$四个不同的礼物参加派对进行“礼物交换”游戏，将四个礼物放入袋中，每位同学分别抽取一个礼物。
$记X为未拿到自己所带礼物的同学的人数，求X的分布列和数学期望.$

Solution:
$X的可能取值为0，2，3，4，$
$X=0表示四位同学都拿到自己所带的礼物，只有一种可能，\therefore P(X<=0)=\frac{1}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{24}.$
$X=2表示恰好有两位同学拿到自己所带的礼物，共有C^2_4=6种，\therefore P(X=2)=\frac{6}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{4}.$
$X=3表示恰有一位同学拿到自己所带的礼物.从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学拿到自己所带的礼物，有C^1_4=4种，假设是甲拿到了A礼物，则其他人都拿到别人的礼物，有两种可能：乙拿C礼物、丙拿D礼物、丁拿B礼物或者乙拿D礼物、丙拿B礼物、丁拿C礼物，共有4\times 2=8种，\therefore P(X=3)=\frac{8}{\mathrm{A}^4_4}=\frac{1}{3}.由(1)可知，P(X=4)=\frac{3}{8}.$
$\therefore X的分布列为$

| <i>X</i> | 0 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
$| <i>P</i> | \frac{1}{24} | \frac{1}{4} | \frac{1}{3} | \frac{3}{8} |$

$E(X=)=0\times \frac{1}{24}+2\times \frac{1}{4}+3\times \frac{1}{3}+4\times \frac{3}{8}=3.$

Final answer: X的分布列为：

| <i>X</i> | 0 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| <i>P</i> | $\frac{1}{24}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{3}{8}$ |

$E(X)=3$.
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Question: 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在$[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]$的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).

![23ABJ5SX156.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876332453236738/img/compression/M_a7ff170cc75e84929f8b247d2887c3e1.jpg)
为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3)和[8，9)的人中任选3人，求其中在[8，9)的人数 X 的分布列和数学期望；

Solution:
由题图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3)和[8，9)的学生人数分别为5和3.
$所以X的所有可能取值为0，1，2，3.$
$P(X＝0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{28}，$
$P(X＝1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}，$
$P(X＝2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{56}，$
$P(X＝3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{1}{56}.$

$所以X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{5}{28}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{1}{56}$ |

$所以数学期望E(X)=0\times \frac{5}{28}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{15}{56}+3\times \frac{1}{56}=\frac{9}{8}.$

Final answer: $X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{5}{28}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{1}{56}$ |

$数学期望E(X)=\frac{9}{8}.$
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Question: 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在$[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]$的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).

<img_2694>
为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3)和[8，9)的人中任选3人，求其中在[8，9)的人数 X 的数学期望；

Solution:
由题图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3)和[8，9)的学生人数分别为5和3.
$所以X的所有可能取值为0，1，2，3.$
$P(X＝0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{28}，$
$P(X＝1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}，$
$P(X＝2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{56}，$
$P(X＝3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{1}{56}.$

$所以X的分布列为$

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{5}{28}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{15}{56}$ | $\frac{1}{56}$ |

$所以数学期望E(X)=0\times \frac{5}{28}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{15}{56}+3\times \frac{1}{56}=\frac{9}{8}.$



Final answer: $\frac{9}{8}$
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Question: $某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量X_1、X_2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，X_1和X_2的分布列如下表所示：$

| $X_1$ | 1   | 2   | 3   | 4   |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |

| $X_2$ | 1   | 2   | 3   | 4   |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ | 0.4 | 0.1 | 0.1 | 0.4 |
电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X(单位:元)，求X的分布列；

Solution:
$ X的所有可能取值为600,650,700,750,800,850,900.$
$ P(X=600)=0.4\times 0.4=0.16；$
$ P(X=650)=C_2^1\times 0.4\times 0.1=0.08；$
$ P(X=700)=0.1\times 0.1+C_2^1\times 0.4\times 0.1=0.09；$
$ P(X=750)=C_2^1\times 0.4\times 0.4+C_2^1\times 0.1\times 0.1=0.34；$
$ P(X=800)=0.1\times 0.1+C_2^1\times 0.1\times 0.4=0.09；$
$ P(X=850)=C_2^1\times 0.1\times 0.4=0.08；$
$ P(X=900)=0.4\times 0.4=0.16.$
$ 所以X的分布列为$

| $X$ | 600  | 650  | 700  | 750  | 800  | 850  | 900  |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | 0.16 | 0.08 | 0.09 | 0.34 | 0.09 | 0.08 | 0.16 |

Final answer: | $X$  | 600  | 650  | 700  | 750  | 800  | 850  | 900  |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$  | 0.16 | 0.08 | 0.09 | 0.34 | 0.09 | 0.08 | 0.16 |




$E(X) = 13$
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Question: 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

|选择餐厅情况(午餐，晚餐)|(A，A)|(A，B)|(B，A)|(B，B)|
|---|---|---|---|---|
|甲员工|30天|20天|40天|10天|
|乙员工|20天|25天|15天|40天|

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
$记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1；乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2.

$X的所有可能取值为1，2.$

$P(X=1)=0.3\times 0.2+0.1\times 0.4=0.1,$

$P(X=2)=1-P(X=1)=0.9.$

$X的分布列为$

| X |  1 |  2 |
|:---:|:--:|:--:|
| P | 0.1| 0.9|

$E(X)=1\times 0.1+2\times 0.9=1.9.$

Final answer: $X的分布列为$

| X |  1 |  2 |
|:---:|:--:|:--:|
| P | 0.1| 0.9|

$E(X) = 1.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

|选择餐厅情况(午餐，晚餐)|(A，A)|(A，B)|(B，A)|(B，B)|
|---|---|---|---|---|
|甲员工|30天|20天|40天|10天|
|乙员工|20天|25天|15天|40天|

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
$记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1；乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2.

$X的所有可能取值为1，2.$

$P(X=1)=0.3\times 0.2+0.1\times 0.4=0.1,$

$P(X=2)=1-P(X=1)=0.9.$

$X的分布列为$

| X |  1 |  2 |
|:---:|:--:|:--:|
| P | 0.1| 0.9|

$E(X)=1\times 0.1+2\times 0.9=1.9.$



Final answer: $1.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 \frac{2}{5} ，高一年级胜高三年级的概率为 \frac{1}{3} ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.$
$若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.$

Solution:
$X可能取2，3，4，5，$

$iP(X=2)\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$

$iP(X=3)=C^1_2\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

$iP(X=4)=C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

$iP(X=5)=C^1_4\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^3\times 1+\left(1-\frac{1}{3}\right)^4\times 1=\frac{16}{27}$

$X的分布列为$

|X |2|3|4|5|
|---    |---   |---   |---  |---  |
|$iP $|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{27}$|$\frac{4}{27}$|$\frac{16}{27}$|

$所以iE(X)=2\times  \frac{1}{9} +3\times  \frac{4}{27} +4\times  \frac{4}{27} +5\times  \frac{16}{27} =\frac{38}{9}.$

Final answer: $X的分布列为$

| X     | 2             | 3              | 4              | 5               |
| ----- | ------------- | -------------- | -------------- | --------------- |
| $iP $ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{4}{27}$ | $\frac{4}{27}$ | $\frac{16}{27}$ |

$所以iE(X)=2\times \frac{1}{9}+3\times \frac{4}{27}+4\times \frac{4}{27}+5\times \frac{16}{27}=\frac{38}{9}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 \frac{2}{5} ，高一年级胜高三年级的概率为 \frac{1}{3} ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.$
$若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的数学期望.$

Solution:
$X可能取2，3，4，5，$

$iP(X=2)\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$

$iP(X=3)=C^1_2\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

$iP(X=4)=C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

$iP(X=5)=C^1_4\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^3\times 1+\left(1-\frac{1}{3}\right)^4\times 1=\frac{16}{27}$

$X的分布列为$

|X |2|3|4|5|
|---    |---   |---   |---  |---  |
|$iP $|$\frac{1}{9}$|$\frac{4}{27}$|$\frac{4}{27}$|$\frac{16}{27}$|

$所以iE(X)=2\times  \frac{1}{9} +3\times  \frac{4}{27} +4\times  \frac{4}{27} +5\times  \frac{16}{27} =\frac{38}{9}.$



Final answer: $\frac{38}{9}$
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Question: $某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：$
<img_1615>
<img_2922>
从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的数学期望；

Solution:
$评分不低于80分的人数为0.005\times 20\times 100=10人，X的可能取值为0,1,2，$

$P(X=0)= \frac{\mathrm{C}^2_{90}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{89}{110},$

$P(X=1)= \frac{\mathrm{C}^1_{90}\mathrm{C}^1_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{2}{11},$

$P(X=2)= \frac{\mathrm{C}^2_{10}}{\mathrm{C}^2_{100}} = \frac{1}{110}，$

所以分布列如下：

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{89}{110}$ | $\frac{2}{11}$ | $\frac{1}{110}$ |

$所以数学期望E(X) = 0\times  \frac{89}{110} + 1\times  \frac{2}{11} + 2\times  \frac{1}{110} = \frac{1}{5}.$



Final answer: $\frac{1}{5}$