di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系中，P为曲线C_{1}:$
$
\begin{align*}x = 2 + 2\cos \alpha ,\\y = \sin \alpha
\end{align*}
$
$(\alpha 为参数)上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点，记Q点轨迹为C_{2}，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.$
$A, B 是曲线 C\_2 上异于极点的两点，且\angle AOB= \frac{\pi }{6}，求|OA|-\sqrt{3}|OB| 的取值范围.$

Solution:
$设A(\rho 1，\theta )，B \left(\rho _2,\theta +\frac{\pi }{6}\right) \left(\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3}\right)\right).$



$\therefore |OA| - \sqrt{3} |OB| = \rho 1 - \sqrt{3} \rho 2 = 2\cos  \theta  - 2 \sqrt{3} \cos  \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right) = \sqrt{3} \sin  \theta  - \cos  \theta  = 2\sin  \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right).$



$又 \theta  - \frac{\pi }{6} \in  \left(-\frac{2}{3}\pi ,\frac{\pi }{6}\right) ，所以|OA| - \sqrt{3} |OB|的取值范围是[-2,1).$

Final answer: [-2,1)
Subfield: Inequality


Question: $已知 f(x)=2|x|+|x-2|.$
$求不等式f(x) \leq 6 - x的解集。$

Solution:
$f(x)=2|x|+|x-2|=\begin{cases}-3x+2,x\leq 0,\\ x+2,0<x<2,\\ 3x-2,x\geq 2,\end{cases}  $
$不等式f(x)\leq 6-x等价于\begin{cases}x\leq 0,\\ -3x+2\leq 6-x\end{cases} 或 \begin{cases}0<x<2,\\ x+2\leq 6-x\end{cases} 或 \begin{cases}x\geq 2,\\ 3x-2\leq 6-x,\end{cases}.  $
$解得-2\leq x\leq 0或0<x<2或x=2，所以不等式的解集为{x|-2\leq x\leq 2}.$

Final answer: [-2,2]
Subfield: Inequality


Question: $设a>0，函数f(x)=2|x-a|-a。$
$求不等式f(x)<x的解集；$

Solution:
$依题意， f(x)=\left\{\begin{matrix}2x-3a, & x\geq a,\\ a-2x, & x<a,\end{matrix}\right.$
$则f(x)<x等价于\left\{\begin{matrix}x\geq a,\\ 2x-3a<x\end{matrix}\right. 或 \left\{\begin{matrix}x<a,\\ a-2x<x,\end{matrix}\right.$
$解得a\leq x<3a或\frac{a}{3}<x<a,即\frac{a}{3}<x<3a, 所以f(x)<x的解集为\left(\frac{a}{3},3a\right).$

Final answer: $(\frac{a}{3},3a)$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.$
$当a=2时，求不等式f(x)\geq 4的解集；$

Solution:
$当a=2时， f(x)=\begin{cases}7-2x,&x\leq 3,\\ 1,&3<x\leq 4,\\ 2x-7,&x>4.\end{cases}$

$因此，不等式f(x)\geq 4的解集为\left\{x\left|x\leq \frac{3}{2}{\text{或}}x\geq \frac{11}{2}\right.\right\}.$

Final answer: (-\infty,\frac{3}{2}]\cup[\frac{11}{2},+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.$
$如果f(x) \geq 4, 求a的取值范围.$

Solution:
$因为 f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|\geq |a^2-2a+1|=(a-1)^2, 故当 (a-1)^2\geq 4, 即 |a-1|\geq 2 时，f(x)\geq 4。所以当 a\geq 3 或 a\leq -1 时，f(x)\geq 4。$

$当 -1<a<3 时，f(a^2)=|a^2-2a+1|=(a-1)^2<4。$

$所以 a 的取值范围是 (-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )。$

Final answer: $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=-x^{2}+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.$
$当a=1时，求不等式f(x)\geq g(x)的解集；$

Solution:
$当a=1时，不等式f(x)\geq g(x)等价于x^2-x+|x+1|+|x-1|-4\leq 0.①$
$当x＜-1时，①式化为x^2-3x-4\leq 0，无解。$
$当-1\leq x\leq 1时，①式化为x^2-x-2\leq 0，$
$从而-1\leq x\leq 1；$
$当x＞1时，①式化为x^2+x-4\leq 0，$
$从而1＜x\leq \frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$
$所以，当a=1时，f(x)\geq g(x)的解集为\left\{x\left|-1\leq x\leq \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right.\right\}.$

Final answer: [-1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}]
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=-x^{2}+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.$
$若不等式f(x) \geq g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.$

Solution:
$当x\in [-1，1]时，g(x)=2.  $
$所以f(x)\geq g(x)的解集包含[-1，1]，等价于当x\in [-1，1]时f(x)\geq 2.  $
$又f(x)在[-1，1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一，  $
$所以f(-1)\geq 2且f(1)\geq 2，得-1\leq a\leq 1.  $
$所以a的取值范围为[-1，1].$

Final answer: $[-1,1]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 北京2022年冬奥会向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神,引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟)，得到下表:

|      |      | 时间 | 人数 | 类别 | [0,50) | [50，60) |  [60，70)  | [70，80) | [80，90) | [90，100) |
| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | --- |
| 性别 | 男     | 5   | 12  | 13  | 8  | 9  | 8  |
|      | 女     | 6   | 9   | 10  | 10 | 6  | 4  |
| 学段 | 初中   |     |     |     |    | 10 |    |
|      | 高中   | m | 13  | 12  | 7  | 5  | 4  |
$假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为\mu_0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为\mu_1,\mu_2，当m满足什么条件时，\mu_0\geq \frac{\mu _1+\mu _2}{2}？(结论不要求证明)$

Solution:
$m \in Z | 2 \leq m \leq 9.$



Final answer: $[2, 9]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272477794306/img/compression/M_d785009a4897f86dfde2e3171fce32c0.jpg)

假设用频率估计概率.
$从样本中身高大于或等于 a cm(a\in {155,160,165,170,175,180})的员工中随机抽取1人，若其身体处于肥胖状态的概率小于10%，写出 a 的所有可能取值.(结论不要求证明)$

Solution:
$满足题意的a的所有可能取值为165，170。$

$详解：假设a=155,此时样本中身高大于或等于155 cm的员工有30人，其中身体处于肥胖状态的员工有6人，故所求概率为\frac{6}{30}=\frac{1}{5}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$同理，假设a=160,所求概率为\frac{4}{28}=\frac{1}{7}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$假设a=165,所求概率为\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<\frac{1}{10},满足题意；$

$假设a=170,所求概率为\frac{1}{18}<\frac{1}{10},满足题意；$

$假设a=175,所求概率为\frac{1}{8}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$假设a=180,所求概率为\frac{1}{4}>\frac{1}{10},不满足题意.$

$综上，a的所有可能取值为165，170.$

Final answer: 165, 170
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

<img_106>

假设用频率估计概率.
$从样本中身高大于或等于 a cm(a\in {155,160,165,170,175,180})的员工中随机抽取1人，若其身体处于肥胖状态的概率小于10%，写出 a 的所有可能取值.(结论不要求证明)$

Solution:
$满足题意的a的所有可能取值为165，170。$

$详解：假设a=155,此时样本中身高大于或等于155 cm的员工有30人，其中身体处于肥胖状态的员工有6人，故所求概率为\frac{6}{30}=\frac{1}{5}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$同理，假设a=160,所求概率为\frac{4}{28}=\frac{1}{7}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$假设a=165,所求概率为\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<\frac{1}{10},满足题意；$

$假设a=170,所求概率为\frac{1}{18}<\frac{1}{10},满足题意；$

$假设a=175,所求概率为\frac{1}{8}>\frac{1}{10},不满足题意；$

$假设a=180,所求概率为\frac{1}{4}>\frac{1}{10},不满足题意.$

$综上，a的所有可能取值为165，170.$

Final answer: 165, 170
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x) = 5 - |x + a| - |x - 2|.$
$当a=1时，求不等式f(x) \geq 0的解集；$

Solution:
$当a=1时，$

$f(x)=
\begin{cases}
2x+4, &x\leq -1,\\ 
2, &-1<x\leq 2,\\ 
-2x+6, &x>2.
\end{cases}$

$可得f(x)\geq 0的解集为\{x|-2\leq x\leq 3\}.$

Final answer: [-2,3]
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x) = 5 - |x + a| - |x - 2|.$
$若f(x) \leq 1，求a的取值范围.$

Solution:
$解析答案：f(x) \leq 1 等价于 |x + a| + |x - 2| \geq 4。  $
$而 |x + a| + |x - 2| \geq |a + 2|，且当 x = 2 时等号成立。  $
$故 f(x) \leq 1 等价于 |a + 2| \geq 4。  $
$由 |a+2| \geq 4 可得 a \leq -6 或 a \geq 2。  $
$所以 a 的取值范围是 (-\infty,-6] \cup [2,+\infty)。$

Final answer: (-\infty,-6] \cup [2,+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x+1|-|x|-2.$
$求不等式f(x) \geq 1的解集；$

Solution:
$f(x)=\begin{cases}-3, & x<-1,\\ 2x-1, & -1\leq x\leq 2,\\ 3, & x>2.\end{cases}$

$当x<-1时， f(x)\geq 1无解；  $
$当-1\leq x\leq 2时，由f(x)\geq 1得，2x-1\geq 1，解得1\leq x\leq 2；  $
$当x>2时，由f(x)\geq 1解得x>2.  $
$所以f(x)\geq 1的解集为\{x|x\geq 1\}.$

Final answer: [1,+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x+1|-|x|-2.$
$若不等式f(x) \geq  x^{2} - x + m 的解集非空，求 m 的取值范围.$

Solution:
$由 f(x) \geq  x^2- x+m 得 m \leq  |x + 1| - |x - 2| - x^2 + x. 而$

$|x + 1| - |x - 2| - x^2 + x \leq  |x| + 1 + |x| - 2 - x^2 + |x|$

$= -(|x| - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4} \leq  \frac{5}{4}$

$且当x=\frac{3}{2}时，|x + 1| - |x - 2| - x^2 + x = \frac{5}{4}$

$故m的取值范围为(-\infty ,\frac{5}{4}].$

Final answer: (-\infty ,\frac{5}{4}]
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x-a-1|+|x-2a|.$
$当x \in [2a,4]时, f(x) \leq x+a，求a的取值范围。$

Solution:
$当x\in [2a,4]时， f(x)=|x-a-1|+x-2a，由f(x)\leq x+a，得|x-a-1|\leq 3a，$
$显然3a\geq 0，否则不等式不成立，于是-3a\leq x-a-1\leq 3a，即-2a+1\leq x\leq 4a+1，$
$因为当x\in [2a,4]时， f(x)\leq x+a，所以$
$\left\{\begin{matrix}-2a+1\leq 2a,\\ 4a+1\geq 4,\end{matrix}\right.$
$解得a\geq \frac{3}{4}，又2a＜4，所以a＜2，$
$所以a的取值范围是\left[\frac{3}{4},2\right)。$



Final answer: \left[\frac{3}{4},2\right)
Subfield: Inequality


Question: $已知f(x)=|2x+1|，不等式f(x)\leq 3x的解集为M.$
求集合M；

Solution:
$由|2x+1| \leq 3x得(2x+1)^2 \leq 9x^2且x \geq 0，解得x \geq 1，$
$故集合M=\{x|x \geq 1\}.$

Final answer: [1,+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x)=3|x-2|+|x|.$
$求不等式f(x)>2x的解集；$

Solution:
$f(x)=3|x-2|+|x|=$
$$
\left\{
\begin{matrix}
6-4x, & x<0,\\ 
6-2x, & 0\leq x\leq 2,\\ 
4x-6, & x>2,
\end{matrix}
\right.
$$
$所以不等式f(x)>2x等价于$
$$
\left\{
\begin{matrix}
6-4x>2x, & x<0
\end{matrix}
\right.
$$
或
$$
\left\{
\begin{matrix}
6-2x>2x, & 0\leq x\leq 2
\end{matrix}
\right.
$$
或
$$
\left\{
\begin{matrix}
4x-6>2x, & x>2.
\end{matrix}
\right.
$$
$解得x<0或0\leq x<\frac{3}{2}或x>3，$
$故不等式f(x)>2x的解集为(-\infty ,\frac{3}{2})\cup(3,+\infty ).$

Final answer: $(-\infty ,\frac{3}{2})\cup(3,+\infty )$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|.$
$解不等式f(x)\leq 7；$

Solution:
$因为f(x)=|x-1| + |x+2|=\left\{\begin{matrix}-2x-1,x\leq -2,\\ 3,-2<x<1,\\ 2x+1,x\geq 1,\end{matrix}\right.所以不等式f(x)\leq 7可化为\left\{\begin{matrix}x\leq -2,\\ -2x-1\leq 7\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}-2<x<1,\\ 3\leq 7\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}x\geq 1,\\ 2x+1\leq 7.\end{matrix}\right.解得-4\leq x\leq 3，即不等式f(x)\leq 7的解集为[-4,3].$

Final answer: $[-4,3]$
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x)=|2x-3|+|2x+1|.$
$解不等式f(x)\leq 6-x；$

Solution:
$由题意得f(x) = \begin{cases} -4x+2, & \text{if } x < -\frac{1}{2},\\ 4, & \text{if } -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2},\\ 4x-2, & \text{if } x > \frac{3}{2}\end{cases}$

$当x < -\frac{1}{2}时，-4x+2 \leq 6-x，解得 -\frac{4}{3} \leq x < -\frac{1}{2}；$

$当-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}时，4\leq 6-x，解得 -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}；$

$当x > \frac{3}{2}时，4x-2\leq6-x，解得 \frac{3}{2} < x \leq \frac{8}{5}，$

$综上所述，不等式f(x)\leq6-x的解集为\left[-\frac{4}{3},\frac{8}{5}\right].$



Final answer: $\left[-\frac{4}{3},\frac{8}{5}\right]$
Subfield: Inequality


Question: $已知f(x)=|a^{2}x+1|，g(x)=\left|2-\frac{2}{a}x\right|.$
$当a=1时，求不等式f(x)-g(x)\geq -1的解集；$

Solution:
$当a=1时， f(x)-g(x)\geq -1\Leftrightarrow |x+1|-|2-2x|\geq -1，$
即

$$
\left\{\begin{matrix}x\leq -1,\\ x-2\geq 0\end{matrix}\right.
$$
或
$$
\left\{\begin{matrix}-1<x<1,\\ 3x\geq 0\end{matrix}\right.
$$
或
$$
\left\{\begin{matrix}x\geq 1,\\ -x+4\geq 0,\end{matrix}\right.
$$
$解得 0\leq x\leq 4，$

$所以不等式的解集为[0,4].$

Final answer: $[0,4]$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x|.$
$求不等式3f(x-1)-f(x+1)>2的解集；$

Solution:
$3f(x-1)-f(x+1)>2$
$即3|x-1|-|x+1|>2，$

所以
$$
\begin{cases}
x\leq -1,\\
-3(x-1)+x+1>2
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
-1<x<1,\\
-3(x-1)-x-1>2
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
x\geq 1,\\
3(x-1)-x-1>2,
\end{cases}
$$
$解得x\leq -1或-1<x<0或x>3，即x<0或x>3，$

$所以原不等式的解集为(-\infty ,0)\cup (3,+\infty ).$

Final answer: $(-\infty ,0)\cup (3,+\infty )$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x|.$
$若不等式f(x-a)+f(x+2) \leq f(x+3)的解集包含[-2,-1]，求a的取值范围.$

Solution:
$f(x-a)+f(x+2)\leq f(x+3)即|x-a|+|x+2|\leq |x+3|.$
$因为不等式f(x-a)+f(x+2)\leq f(x+3)的解集包含[-2,-1]，所以|x-a|+|x+2|\leq |x+3|对于任意x\in [-2,-1]恒成立.$
$因为x\in [-2,-1]，$
$所以x+2\geq 0，x+3\geq 0，$
$所以|x-a|+|x+2|\leq |x+3|等价于|x-a|+x+2\leq x+3，即|x-a|\leq 1恒成立，$
$所以a-1\leq x\leq a+1在[-2,-1]上恒成立，$
$所以\left\{\begin{matrix}a-1\leq -2,\\ -1\leq a+1,\end{matrix}\right.解得-2\leq a\leq -1，即实数a的取值范围为[-2,-1].$

Final answer: [-2,-1]
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x) = |2x+6| + |2x - 4| - 11，g(x) = - |x - 1|.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549671479435266/img/compression/M_7d95b675b202c7f345fd347b7c742003.jpg)
$若g(x+t) \leq f(x)恒成立，求t的取值范围.$

Solution:
$若g(x+t) \leq f(x)恒成立，则y=g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，而y=g(x+t)的图象可由y=g(x)的图象平移得到，如图.$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549671479435266/img/compression/M_0788a604dda7c19a333ee9b3cb73a512.jpg)

$当y=g(x+t)的图象的左侧射线过B或在B的下方或y=g(x+t)的图象的右侧射线过A或在A的下方时，g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，$

$由(1)可得A(-3,-1), B(2,-1)，$

$当x=-3时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|-3+t-1|=-1，解得t=5或t=3(舍去).$

$当x=2时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|2+t-1|=-1，解得t=-2或t=0(舍去).结合图象可得t \leq -2或t \geq 5.$

Final answer: (-\infty,-2]\cup[5,+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x) = |2x+6| + |2x - 4| - 11，g(x) = - |x - 1|.$
<img_1635>
$若g(x+t) \leq f(x)恒成立，求t的取值范围.$

Solution:
$若g(x+t) \leq f(x)恒成立，则y=g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，而y=g(x+t)的图象可由y=g(x)的图象平移得到，如图.$

<img_3055>

$当y=g(x+t)的图象的左侧射线过B或在B的下方或y=g(x+t)的图象的右侧射线过A或在A的下方时，g(x+t)的图象不在y=f(x)图象的上方，$

$由(1)可得A(-3,-1), B(2,-1)，$

$当x=-3时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|-3+t-1|=-1，解得t=5或t=3(舍去).$

$当x=2时，g(x+t)=-|x+t-1|=-|2+t-1|=-1，解得t=-2或t=0(舍去).结合图象可得t \leq -2或t \geq 5.$

Final answer: (-\infty,-2]\cup[5,+\infty)
Subfield: Inequality


Question: $设命题p：实数x满足x^{2}-4ax+3a^{2}<0，命题q：实数x满足|x-3|<1.$
$若a=1，且p \lor q为真，求实数x的取值范围；$

Solution:
$由x^2-4ax+3a^2<0得(x-a)(x-3a)<0，$
$当a=1时，1<x<3，即p为真时，x\in (1,3).$
$由|x-3|<1得-1<x-3<1，得2<x<4，即q为真时，x\in (2,4).若p\lor q为真，则p真或q真，$
$所以实数x的取值范围是(1,4).$

Final answer: $(1,4)$
Subfield: Inequality


Question: $设命题p：实数x满足x^{2}-4ax+3a^{2}<0，命题q：实数x满足|x-3|<1.$
$若a>0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.$

Solution:
$由x^{2}-4ax+3a^{2}<0得 (x-a)(x-3a)<0，$

$\because a>0，\therefore a<x<3a。设P=(a,3a)，Q=(2,4)。$

$由题意知p是q的必要不充分条件，所以Q\subsetneq P，$

$所以 \left\{\begin{matrix}a\leq 2,\\ 3a>4\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}a<2,\\ 3a\geq 4,\end{matrix}\right.所以\frac{4}{3}\leq a\leq 2。$

$所以实数a的取值范围为\left[\frac{4}{3},2\right].$



Final answer: $\left[\frac{4}{3},2\right]$
Subfield: Derivative


Question: $已知f(x)=\frac{x^2-a}{e^x}.$
$若f(x)\leq x-1对x\in [1,+\infty )恒成立,求a的取值范围.$

Solution:
$f(x) \leq x-1, 即 \frac{x^2-a}{e^x} \leq x-1, 即 a \geq x^2 - e^x(x-1),$

$设 g(x) = x^2 - e^x(x-1), x \in [1,+\infty ),$

$则 g'(x) = x(2-e^x), 当 x \in [1,+\infty ) 时， g'(x) < 0,$

$故 g(x) 在 [1,+\infty ) 上单调递减，所以 g(x) 在 [1,+\infty ) 上的最大值为 g(1) = 1,$

$所以 a 的取值范围为 [1,+\infty ).$

Final answer: [1,+\infty )
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{2\mathrm{eln} x}{x}-1.$
$求函数f(x)的单调区间；$

Solution:
$由(1)知 f'(x)=\frac{2e-2elnx}{x^2}，$

$令 f'(x)>0，解得 0<x<e，令 f'(x)<0，解得 x>e，$

$故 f(x) 在 (0，e) 上递增，在 (e,+\infty ) 上递减.$

Final answer: $f(x) 在 (0，e) 上递增，在 (e,+\infty ) 上递减.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{2\mathrm{eln} x}{x}-1.$
$求函数f(x)的单调递增区间；$

Solution:
$由(1)知 f'(x)=\frac{2e-2elnx}{x^2}，$

$令 f'(x)>0，解得 0<x<e，令 f'(x)<0，解得 x>e，$

$故 f(x) 在 (0，e) 上递增，在 (e,+\infty ) 上递减.$



Final answer: (0，e)
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{2\mathrm{eln} x}{x}-1.$
$已如函数 g(x)=3x^{3}+2ax^{2}+1，若对于所有 x_{1}，x_{2} \in  [1, e]，不等式 f(x_{1}) \leq g(x_{2}) 恒成立，求实数 a 的取值范围.$

Solution:
$由(2)得 f(x) 的极大值是 f(e)=\frac{2\mathrm{eln} \mathrm{e}}{\mathrm{e}}-1=1，$
$即 f(x) 在[1，e]上的最大值是 f(e)=1，$
$\because g(x)=3x^{3}+2ax^{2}+1，\therefore g'(x)=9x^{2}+4ax，$
$令 g'(x)=0，解得 x=0 或 x=-\frac{4a}{9}，$
$若∀ x_{1}， x_{2} \in [1,e]，不等式 f(x_{1})\leq g(x_{2}) 恒成立，$
$则 x \in [1,e]时， f(x)_{\text{max}}\leq g(x)_{\text{min}} 恒成立，$
$①当 -\frac{4a}{9} \leq 1 即 a \geq -\frac{9}{4} 时，g(x) 在[1,e]上递增，$
$此时 g(x)_{\text{min}}=g(1)=4+2a，令 4+2a \geq 1，得 a \geq -\frac{3}{2}；$
$②当 1<- \frac{4a}{9}<e 即 -\frac{9e}{4}<a<- \frac{9}{4} 时，g(x) 在 \left[1,-\frac{4a}{9}\right) 上递减，在\left(-\frac{4a}{9},e\right] 上递增，$
$此时 g(x)_{\text{min}}=g\left(-\frac{4a}{9}\right)=\frac{32a^{3}}{243}+1，$
$令\frac{32a^{3}}{243}+1\geq 1，解得 a\geq 0，不符合题意；$
$③当 -\frac{4a}{9}\geq e 即 a \leq -\frac{9e}{4} 时，g(x) 在[1,e]上递减，$
$故 g(x)_{\text{min}}=g(e)=3e^{3}+2a e^{2}+1，$
$令 3e^{3}+2ae^{2}+1\geq 1，解得 a\geq -\frac{3}{2}e，不符合题意.$
$综上，实数 a 的取值范围是 \left[-\frac{3}{2},+\infty \right).$



Final answer: $\left[-\frac{3}{2},+\infty \right)$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{a}{x}-x+aln x存在两个极值点x_1,x_2.$
$求a的取值范围；$

Solution:
$函数f(x)的定义域为(0,+\infty )， f' (x)=-\frac{a}{x^2}-1+\frac{a}{x}=\frac{-x^2+ax-a}{x^2},$

$令g(x)=-x^2+ax-a,则g(x)=0在(0，+\infty )内存在两个不等实根，则$

$\left\{\begin{matrix}\mathit{\Delta}  =a^2-4a>0,\\ x_1+x_2=a&gt;0,\\ x_1x_2=a&gt;0,\end{matrix}\right. $

$解得a\in (4,+\infty ),$

$故a的取值范围为(4,+\infty ).$

Final answer: $(4,+\infty )$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = ae^{x} - x - a (a\neq 0). a>0$
$求f(x)的单调递增区间；$

Solution:
解答解析:

$f'(x)=ae^{x}-1$

$若a<0,则f'(x)<0, f(x)在R上单调递减。$

$若a>0，令f'(x)=0，得x=-\ln a。$

$当x<-ln a时， f'(x)<0，f(x)单调递减。$

$当x>-ln a时， f'(x)>0，f(x)单调递增。$

$综上所述，当a<0时， f(x)在R上单调递减，当a>0时， f(x)在(-\infty , -\ln a)上单调递减，在(-\ln a,+\infty )上单调递增.$



Final answer: (-\ln a,+\infty )
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = ae^{x} - x - a (a\neq 0).$
$讨论f(x)的单调性；$

Solution:
解答解析:

$f'(x)=ae^{x}-1$

$若a<0,则f'(x)<0, f(x)在R上单调递减。$

$若a>0，令f'(x)=0，得x=-\ln a。$

$当x<-ln a时， f'(x)<0，f(x)单调递减。$

$当x>-ln a时， f'(x)>0，f(x)单调递增。$

$综上所述，当a<0时， f(x)在R上单调递减，当a>0时， f(x)在(-\infty , -\ln a)上单调递减，在(-\ln a,+\infty )上单调递增.$

Final answer: $当a<0时， f(x)在R上单调递减，当a>0时， f(x)在(-\infty , -\ln a)上单调递减，在(-\ln a,+\infty )上单调递增.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知F_1, F_2分别为椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线\frac{x^2}{4} - y^2 = 1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|PF_2| = 1。$
$设直线 y=kx+1 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 \overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{OB} (m>0). 若椭圆 C 上存在点 E ，使得四边形 OAED 为平行四边形，求 m 的取值范围.$

Solution:
$设A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)，则D(mx_2,my_2).$

$\because四边形OAED为平行四边形，$

$\therefore\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AE}, E(x_1+mx_2,y_1+my_2).$

$\because点A, B, E均在椭圆C上，$

$\therefore\frac{x^2_1}{9}+\frac{y^2_1}{4}=1, \frac{x^2_2}{9}+\frac{y^2_2}{4}=1, \frac{(x_1+mx_2)^2}{9}+\frac{(y_1+my_2)^2}{4}=1.$

$\because m>0, \therefore 4x_1x_2+9y_1y_2+18m=0 (用第三个式子减去第一个式子，再减去第二个式子的m^2倍).$

$\therefore(4+9k^2)x_1x_2+9k(x_1+x_2)+9+18m=0.$

$由\begin{cases} y=kx+1, \\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \end{cases}消去y，得(9k^2+4)x^2+18kx-27=0.$

$显然\Delta =432(3k^2+1)>0.$

$\therefore x_1+x_2=\frac{-18k}{9k^2+4}, x_1x_2=\frac{-27}{9k^2+4}.$

$\therefore\frac{-27}{9k^2+4}\times (4+9k^2)-\frac{18k}{9k^2+4}\times 9k+18m+9=0.$

$\therefore m=2-\frac{4}{9k^2+4}.\therefore m\in [1,2).$

Final answer: [1,2)
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C的方程为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3} = 1，斜率为k(k \neq 0)的直线与𝐶相交于M，N两点.$

<img_2371>
$在(1)的条件下，若P是椭圆C的左顶点，k_{PM} k_{PN}=-\frac{1}{4}，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.$

Solution:
$设MN方程为y=kx+m，则$

$$
\left\{
\begin{matrix}
3x^2+4y^2=12,\\ 
y=kx+m,
\end{matrix}
\right.
$$

$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0，$

$x_1+x_2=\frac{-8km}{3+4k^2}，$

$x_1x_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}，$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=k \times \left(\frac{-8km}{3+4k^2}\right)+2m=\frac{6m}{3+4k^2}，$

$y_1y_2=(kx_1+m) \cdot (kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=k^2 \cdot \frac{4m^2-12}{3+4k^2}+km \left(\frac{-8km}{3+4k^2}\right)+m^2=\frac{3m^2-12k^2}{3+4k^2}，$

$k_{PM}k_{PN}=\frac{y_1}{x_1+2} \cdot \frac{y_2}{x_2+2}=\frac{y_1y_2}{(x_1+2)(x_2+2)}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}=\frac{3m^2-12k^2}{4m^2-16km+16k^2}=-\frac{1}{4}，$

$解得m=2k(舍)或m=-k，$

$若F在以MN为直径的圆内，则\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}<0，$

$即\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}=(x_1+1,y_1) \cdot (x_2+1,y_2)=x_1x_2+x_1+x_2+1+y_1y_2<0，$

$即\frac{4m^2-12}{3+4k^2}-\frac{8km}{3+4k^2}+\frac{3m^2-12k^2}{3+4k^2}+1<0，$

$即4k^2-12+8k^2+3k^2-12k^2+3+4k^2<0，$

$即7k^2-9<0且k\neq 0，$

$解得-\frac{3\sqrt{7}}{7}<k<\frac{3\sqrt{7}}{7}且k\neq 0，$

$所以k的取值范围为\left(\frac{-3\sqrt{7}}{7},0\right)\cup \left(0,\frac{3\sqrt{7}}{7}\right).$



Final answer: $\left(\frac{-3\sqrt{7}}{7},0\right)\cup \left(0,\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆𝐶的方程为\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3} = 1，斜率为k(k \neq 0)的直线与𝐶相交于M，N两点.$

![图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715284008124891138/img/compression/M_ada47ac1fe8c46c4f77e04992d76fc43.jpg)
$在(1)的条件下，若P是椭圆C的左顶点，k_{PM} k_{PN}=-\frac{1}{4}，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.$

Solution:
$设MN方程为y=kx+m，则$

$$
\left\{
\begin{matrix}
3x^2+4y^2=12,\\ 
y=kx+m,
\end{matrix}
\right.
$$

$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0，$

$x_1+x_2=\frac{-8km}{3+4k^2}，$

$x_1x_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}，$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=k \times \left(\frac{-8km}{3+4k^2}\right)+2m=\frac{6m}{3+4k^2}，$

$y_1y_2=(kx_1+m) \cdot (kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=k^2 \cdot \frac{4m^2-12}{3+4k^2}+km \left(\frac{-8km}{3+4k^2}\right)+m^2=\frac{3m^2-12k^2}{3+4k^2}，$

$k_{PM}k_{PN}=\frac{y_1}{x_1+2} \cdot \frac{y_2}{x_2+2}=\frac{y_1y_2}{(x_1+2)(x_2+2)}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}=\frac{3m^2-12k^2}{4m^2-16km+16k^2}=-\frac{1}{4}，$

$解得m=2k(舍)或m=-k，$

$若F在以MN为直径的圆内，则\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}<0，$

$即\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}=(x_1+1,y_1) \cdot (x_2+1,y_2)=x_1x_2+x_1+x_2+1+y_1y_2<0，$

$即\frac{4m^2-12}{3+4k^2}-\frac{8km}{3+4k^2}+\frac{3m^2-12k^2}{3+4k^2}+1<0，$

$即4k^2-12+8k^2+3k^2-12k^2+3+4k^2<0，$

$即7k^2-9<0且k\neq 0，$

$解得-\frac{3\sqrt{7}}{7}<k<\frac{3\sqrt{7}}{7}且k\neq 0，$

$所以k的取值范围为\left(\frac{-3\sqrt{7}}{7},0\right)\cup \left(0,\frac{3\sqrt{7}}{7}\right).$

Final answer: $\left(\frac{-3\sqrt{7}}{7},0\right)\cup \left(0,\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容.2020年6月1日上午，李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.地摊游戏中的套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎.现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B处进行套圈，已知甲在A，B两点处的命中率均为\frac{1}{3}，乙在A点处的命中率为p (\frac{1}{2}\leq p\lt1),在B点处的命中率为2p-1，且他们每次套圈互不影响.$
$在(2)的条件下，若E(X) > E(Y)，求p的取值范围.$

Solution:
$因为 E(X) > E(Y)，所以 \frac{5}{3} > 8p - 3，即 p < \frac{7}{12}.$

$又 \frac{1}{2} \leq p < 1，所以 p 的取值范围是 \left[\frac{1}{2}, \frac{7}{12}\right)。$



Final answer: $\left[\frac{1}{2}, \frac{7}{12}\right)$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $设函数f(x)=\sin x, x \in R。$
$求函数 y = [f(x+\frac{\pi }{12})]^2 + [f(x+\frac{\pi }{4})]^2 的值域.$

Solution:
$y = \left[f\left(x+\frac{\pi }{12}\right)\right]^2 + \left[f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]^2= \sin^2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)+\sin^2(x+\frac{\pi }{4})=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)}{2}+\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=1-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x -\frac{3}{2}\sin 2x \right)=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi }{3}\right). 因此，函数的值域是 \left[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right].$



Final answer: $\left[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，a_1=-\frac{9}{4},且4S_{n+1}=3S_{n}-9(n\in N)。$
$设数列b_n满足3b_n+(n-4)a_n=0(n \in N^)，记b_n的前n项和为T_n，若T_n \leq \lambda b_n对任意n \in N^恒成立，求实数\lambda 的取值范围.$

Solution:
$由题意得b_n=(n-4)\times \left(\frac{3}{4}\right)^n.$
$则T_n=(-3)\times \frac{3}{4}+(-2)\times \left(\frac{3}{4}\right)^2+\ldots +(n-4)\times \left(\frac{3}{4}\right)^n, \frac{3}{4} T_n=(-3)\times \left(\frac{3}{4}\right)^2+(-2)\times \left(\frac{3}{4}\right)^3+\ldots +(n-4)\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}.$
$两式相减，得\frac{1}{4}T_n=(-3)\times \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3+\ldots +\left(\frac{3}{4}\right)^n-(n-4)\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1},$
$所以T_n=-4n\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}，$
$由题意得-4n\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}\leq \lambda (n-4)\times \left(\frac{3}{4}\right)^n恒成立，所以(\lambda +3)n-4\lambda \geq 0,$
$记f(n)=(\lambda +3)n-4\lambda (n\in N^),$
$所以\left\{\begin{matrix}\lambda +3\geq 0,\\ f(1)\geq 0,\end{matrix}\right.解得-3\leq \lambda \leq 1.$

Final answer: [-3,1]
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x-1}+ax.$
$若f(x)\geq 0恒成立,求a的取值范围;$

Solution:
$由题可知，f'(x) = e^{x-1} + a,$
$当a > 0时，f'(x) > 0恒成立，f(x)单调递增，$
$存在x_0 < 0，且x_0 < \frac{1}{ae},使得f(x_0) = e^{x_0-1} + ax_0 < e^{-1} + a\left(-\frac{1}{ae}\right) = 0,所以当a > 0时不符合题意;$
$当a = 0时，f(x) = e^{x-1} > 0，显然成立。$

$当a < 0时，令f'(x) = 0，解得x = 1 + \ln(-a)，$
$易知x \in (-\infty,1+ln(-a))时， f'(x) < 0， f(x)单调递减; x \in (1+\ln(-a),+\infty)时， f'(x) > 0， f(x)单调递增.$
$若f(x) \geq 0恒成立，则f(1+\ln(-a)) = -a + a[1+\ln(-a)] = a\ln(-a) \geq 0，解之得-1 \leq a < 0.$
$综上可得a的取值范围为[-1,0].$

Final answer: $[-1,0]$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = \sin{x} - m{x}^{3} (m \in \mathbb{R}), g(x) = (x - 1)e^{x}.$
$设F(x)=f(x)+g(x)-\sin x,当x>0时,函数F(x)有两个极值点，求实数m的取值范围.$

Solution:
$由题意得F(x)=sin x-mx^3+(x-1)e^x-sin x=(x-1)\cdot e^x-mx^3.当x>0时，F(x)=(x-1)e^x-mx^3有两个极值点,$
$即F'(x)=x(e^x-3mx)有两个零点，$
$令h(x)=e^x-3mx,则F'(x)有两个零点等价于h(x)有两个零点，对函数h(x)求导得h'(x)=e^x-3m.$

$①当m\in (-\infty ,0]时，h'(x)>0在(0,+\infty )上恒成立，所以h(x)在(0,+\infty )上单调递增.$
$所以h(x)>h(0)=1,因此h(x)在(0,+\infty )上没有零点,$
$即F'(x)在(0,+\infty )上没有零点，不符合题意.$

$②当m\in (0,+\infty )时，令h'(x)=0得x=ln(3m),$
$当x\in (0,ln(3m))时，h'(x)<0,当x\in (ln(3m),+\infty )时，h'(x)>0,$
$所以h(x)在(0,ln(3m))上单调递减，在(ln(3m),+\infty )上单调递增,$
$所以h(x)的最小值为h(ln(3m))=3m-3m\cdot ln(3m).$

$由于h(x)在(0,+\infty )上有两个零点，所以h(ln(3m))=3m-3m\cdot ln(3m)<0,$
$得3m>e,即m>\frac{e}{3}.$

$因为h(0)=1>0,且x\rightarrow +\infty 时，h(x)\rightarrow +\infty ,$
$所以由零点存在性定理得m>\frac{e}{3}时，h(x)在(0,+\infty )上有两个零点，$
$综上，m的取值范围是\left(\frac{e}{3} ,+\infty \right).$



Final answer: $\left(\frac{e}{3} ,+\infty \right)$