di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp  底面 ABCD ，AB \perp  AD ，BC \parallel  AD ，PA = AB = BC = 2，AD = 4，E 为棱 PD 的中点，\overrightarrow{PF} = \lambda \overrightarrow{PC} (\lambda  为常数，且0 < \lambda  < 1).$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959261249539/img/compression/M_2204568acb0be54936034d86506013b5.jpg)
$当\lambda =\frac{1}{4}时，求二面角C-AE-F的大小.$

Solution:
$由(1)知，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，\overrightarrow{PF}=(2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda )，\overrightarrow{AE}=(0，2，1)，平面ACE的一个法向量为m=(1，-1，2).$

$当\lambda =\frac{1}{4}时，\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=(2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda )=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).$

$设平面AEF的法向量为n=(x_0,y_0,z_0).$

$由\begin{cases}\overrightarrow{AE}\cdot n=0,\\ \overrightarrow{AF}\cdot n=0,\end{cases}，得\begin{cases}2y_0+z_0=0,\\ \frac{1}{2}x_0+\frac{1}{2}y_0+\frac{3}{2}z_0=0.\end{cases}$

$令y_0=1，得n=(5，1，-2)，$

$所以cos\langle m，n\rangle =\frac{m \cdot n}{|m||n|}=0，所以二面角C-AE-F的大小为\frac{\pi }{2}.$

Final answer: $\frac{\pi }{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，BC||AD，\angle BAD=90^\circ ，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点.$

![图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283959890395139/img/compression/M_77310709ff52b6c505dd3dc7499d5609.jpg)
$若平面ABCD \perp 平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60^\circ ，且 \triangle PAD 是钝角三角形，求二面角B-PC-D的正弦值.$

Solution:
$因为BC\parallel AD，所以\angle ADP或其补角为异面直线BC与PD所成角，又AD=PD，\triangle PAD为钝角三角形，所以\angle ADP=120^\circ ，又平面ABCD\perp 平面PAD，平面ABCD\cap 平面PAD=AD，AB\perp AD，所以AB\perp 平面PAD，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，1)，D(0，2，0)，C(0，1，1)，P(\sqrt{3}，3，0)，所以\overrightarrow{PC}=(-\sqrt{3}，-2，1)，\overrightarrow{PB}=(-\sqrt{3}，-3，1).设平面PBC的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z).由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x-2y+z=0,\\ -\sqrt{3}x-3y+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得平面PBC的一个法向量为\boldsymbol{n}=(1,0,\sqrt{3})，同理可得平面PCD的一个法向量为\boldsymbol{m}=(-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}).则cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{｜\boldsymbol{m}｜｜\boldsymbol{n}｜}=\frac{\sqrt{7}}{7}，设二面角B-PC-D的平面角为\theta ，则sin \theta =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{42}}{7}，故二面角B-PC-D的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{7}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，BC||AD，\angle BAD=90^\circ ，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点.$

<img_2104>
$若平面ABCD \perp 平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60^\circ ，且 \triangle PAD 是钝角三角形，求二面角B-PC-D的正弦值.$

Solution:
$因为BC\parallel AD，所以\angle ADP或其补角为异面直线BC与PD所成角，又AD=PD，\triangle PAD为钝角三角形，所以\angle ADP=120^\circ ，又平面ABCD\perp 平面PAD，平面ABCD\cap 平面PAD=AD，AB\perp AD，所以AB\perp 平面PAD，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，1)，D(0，2，0)，C(0，1，1)，P(\sqrt{3}，3，0)，所以\overrightarrow{PC}=(-\sqrt{3}，-2，1)，\overrightarrow{PB}=(-\sqrt{3}，-3，1).设平面PBC的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z).由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x-2y+z=0,\\ -\sqrt{3}x-3y+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，得平面PBC的一个法向量为\boldsymbol{n}=(1,0,\sqrt{3})，同理可得平面PCD的一个法向量为\boldsymbol{m}=(-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}).则cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{｜\boldsymbol{m}｜｜\boldsymbol{n}｜}=\frac{\sqrt{7}}{7}，设二面角B-PC-D的平面角为\theta ，则sin \theta =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{42}}{7}，故二面角B-PC-D的正弦值为\frac{\sqrt{42}}{7}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{42}}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：$

| 锻炼人次\空气质量等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
|-----|---------|----------|----------|
| 1(优)                  | 2       | 16       | 25       |
| 2(良)                  | 5       | 10       | 12       |
| 3(轻度污染)            | 6       | 7        | 8        |
| 4(中度污染)            | 7       | 2        | 0        |

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

\[
\begin{array}{c|ccc}
P\left(K^{2} \geqslant k\right) & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\
\hline k & 3.841 & 6.635 & 10.828
\end{array}
\]
分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

Solution:
由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

|   空气质量等级   |   1    |   2    |   3    |   4    |
|-----------------|-------|-------|-------|-------|
|   概率的估计值   |  0.43  |  0.27  |  0.21  |  0.09  |

Final answer: 1:0.43, 2:0.27, 3:0.21, 4:0.09
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：$

| 锻炼人次\空气质量等级 | [0，200] | (200，400] | (400，600] |
|-----|---------|----------|----------|
| 1(优)                  | 2       | 16       | 25       |
| 2(良)                  | 5       | 10       | 12       |
| 3(轻度污染)            | 6       | 7        | 8        |
| 4(中度污染)            | 7       | 2        | 0        |

$附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

\[
\begin{array}{c|ccc}
P\left(K^{2} \geqslant k\right) & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\
\hline k & 3.841 & 6.635 & 10.828
\end{array}
\]
$求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 \frac{1}{100}\times(100\times20+300\times35+500\times45)=350 (注意：同一组数据用该组区间的中点值代表)。$

Final answer: $350$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.

$参考数据 \left(\text{其中}t_i=\frac{1}{x_i}\right)：$

| $\sum \limits^{7}_{{i=1}}t_iy_i$ | $\overline{t}$ | $\sum \limits^{7}_{{i=1}}t_i^2-7\overline{t}^2$ |
| ------ | ------ | ------ |
| 1845   | 0.37   | 0.55   |

$参考公式：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，\ldots ，(un,vn)，其线性回归直线v=\alpha +\beta u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 \hat{\beta } = \frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n\overline{u} \cdot \overline{v}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n\overline{u}^2} ， \hat{\alpha } = \overline{v} - \hat{\beta } \cdot  \overline{u}.$
$小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜.两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为\frac{3}{5}，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.$

Solution:
设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负，X的所有可能取值为2，3，4.

当X=2时，小明以4:1赢得比赛，

$\therefore P(X=2)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}；$

当X=3时，小明以4:2赢得比赛，

$\therefore P(X=3)=C^1_2\times \frac{3}{5}\times \left(1-\frac{3}{5}\right)\times \frac{3}{5}=\frac{36}{125}；$

当X=4时，小明以4:3赢得比赛，

$\therefore P(X=4)=C^1_3\times \frac{3}{5}\times \left(1-\frac{3}{5}\right)^2\times \frac{3}{5}=\frac{108}{625}.$

$\therefore 小明最终赢得比赛的概率为\frac{9}{25}+\frac{36}{125}+\frac{108}{625}=\frac{513}{625}.$

Final answer: $\frac{513}{625}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

$附：线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x_iy_i-n\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}x^2_i-n{\overline{x}}^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}；$

$参考数据：\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i=1.46，\overline{x}=0.46，\overline{x}^2=0.212 \left(\begin{matrix}\text{其中}x_i=\frac{1}{t_i},\overline{x}=\frac{1}{5}\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_i\end{matrix}\right).$
$为验证抽球试验成功的概率不超过\frac{1}{2}，有1 000名数学爱好者独立进行该抽球试验，记i表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：$

| t | 1   | 2  | 3  | 4  | 5  |
|-----|-----|----|----|----|----|
| y | 232 | 98 | 60 | 40 | 20 |

$求y关于t的回归方程\hat{y} = \frac{\hat{b}}{t} + \hat{a}，并预测成功的总人数(精确到1)；$

Solution:
$令x_i = \frac{1}{t_i}，则\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}，$

$由题知\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i=315，\sum \limits^{5}_{{i=1}}y_i=450，\overline{y}=90，$

$所以\hat{b}=\frac{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x_iy_i-5\overline{x} \cdot \overline{y}}{\sum \limits^{5}_{{i=1}}x^2_i-5\overline{x}^2}=\frac{315-5 \times 0.46 \times 90}{1.46-5 \times 0.212}=\frac{108}{0.4}=270，$

$所以\hat{a}=90-270\times 0.46=-34.2，所以\hat{y}=270x - 34.2，$

$故所求的回归方程为\hat{y}=\frac{270}{t} - 34.2，$

$当t=6时，y \approx 11；当t=7时，y \approx 4；当t \geq 8时，y < 0.$

$所以预测成功的总人数为 450 + 11 + 4 = 465.$

Final answer: $465$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为促销商品举行抽奖活动，设置了A,B两种抽奖方案.方案A的中奖率为\frac{2}{3}，中奖可得2分；方案B的中奖率为\frac{2}{5}，中奖可得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.$
若顾客甲选择方案A抽奖，顾客乙选择方案B抽奖，记他们的累计得分为X，求X的分布列和数学期望；

Solution:
$由题意得，X的可能值有0，2，3，5，  $
$P(X=0)=(1-\frac{2}{3})(1-\frac{2}{5})=\frac{1}{5}，P(X=2)=\frac{2}{3}(1-\frac{2}{5})=\frac{2}{5}，  $
$P(X=3)=(1-\frac{2}{3})\frac{2}{5}=\frac{2}{15}，$
$P(X=5)=\frac{2}{3}\frac{2}{5}=\frac{4}{15}，  $
$故X的分布列为  $

|  $X$  | 0 | 2 | 3 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |:---: |
| $P$ |$\frac{1}{5}$ |$\frac{2}{5}$ | $\frac{2}{15}$ |$\frac{4}{15}$|

$\therefore E(X)=0\frac{1}{5}+2\frac{2}{5}+3\frac{2}{15}+5\frac{4}{15}=\frac{38}{15}.$

Final answer: $X的分布列为  $

| $X$  |       0       |       2       |       3        |       5        |
| :--: | :-----------: | :-----------: | :------------: | :------------: |
| $P$  | $\frac{1}{5}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ |

$E(X)=\frac{38}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某商场为促销商品举行抽奖活动，设置了A,B两种抽奖方案.方案A的中奖率为\frac{2}{3}，中奖可得2分；方案B的中奖率为\frac{2}{5}，中奖可得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.$
若顾客甲选择方案A抽奖，顾客乙选择方案B抽奖，记他们的累计得分为X，求X的数学期望；

Solution:
$由题意得，X的可能值有0，2，3，5，  $
$P(X=0)=(1-\frac{2}{3})(1-\frac{2}{5})=\frac{1}{5}，P(X=2)=\frac{2}{3}(1-\frac{2}{5})=\frac{2}{5}，  $
$P(X=3)=(1-\frac{2}{3})\frac{2}{5}=\frac{2}{15}，$
$P(X=5)=\frac{2}{3}\frac{2}{5}=\frac{4}{15}，  $
$故X的分布列为  $

|  $X$  | 0 | 2 | 3 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |:---: |
| $P$ |$\frac{1}{5}$ |$\frac{2}{5}$ | $\frac{2}{15}$ |$\frac{4}{15}$|

$\therefore E(X)=0\frac{1}{5}+2\frac{2}{5}+3\frac{2}{15}+5\frac{4}{15}=\frac{38}{15}.$



Final answer: $\frac{38}{15}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的首项为1，对任意的n \in N^，定义b_n = a_{n+1} - a_n.$
$若b_n = n + 1，求a_4;$

Solution:
$因为a_1=1，b_n=a_{n+1}-a_n=n+1，$

$所以a_2=a_1+b_1=1+2=3，a_3=a_2+b_2=3+3=6，$

$a_4=a_3+b_3=6+4=10.$

Final answer: 10
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 -1$
$求函数f(x)的极小值;$

Solution:
$f'(x)=-\sin x + x，且f'(0)=0. 令g(x)=f' (x),则g'(x)=-\cos x+1.$
$易知g'(x)\geq 0，则g(x)在(-\infty ,+\infty )上单调递增.$
$当x>0时，g(x)=f' (x)>g(0)=0；当x<0时，g(x)=f' (x)<g(0)=0.$
$因此，f(x)在(-\infty ,0)上单调递减，在(0,+\infty )上单调递增.$
$因此，x=0是函数f(x)的极小值点.$
$因此，f(x)_{极小值}=f(0)=0， f(x)无极大值.$



Final answer: 0
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 -1$
$求函数f(x)的极值;$

Solution:
$f'(x)=-\sin x + x，且f'(0)=0. 令g(x)=f' (x),则g'(x)=-\cos x+1.$
$易知g'(x)\geq 0，则g(x)在(-\infty ,+\infty )上单调递增.$
$当x>0时，g(x)=f' (x)>g(0)=0；当x<0时，g(x)=f' (x)<g(0)=0.$
$因此，f(x)在(-\infty ,0)上单调递减，在(0,+\infty )上单调递增.$
$因此，x=0是函数f(x)的极小值点.$
$因此，f(x)_{极小值}=f(0)=0， f(x)无极大值.$

Final answer: ${f(x)_{极小值}=f(0)=0}， f(x)无极大值.$
Subfield: Derivative


Question: $在\triangle ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知\cos (B - C)\cos  A + \cos  2A = 1 + \cos  A \cos (B + C)。$
$若B=C,求cos A的值;$

Solution:
$若B=C,则A+2B=\pi$ .

$因为cos(B-C)cos A+cos 2A=1+cos(B+C)cos A$,

$所以cos A+cos 2A=1+cos(\pi -A)cos A$,

$整理得3cos^2 A+cos A-2=0$,

$解得cos A=-1(舍)或cos A= \frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知\cos (B - C)\cos  A + \cos  2A = 1 + \cos  A \cos (B + C)。$
$求\frac{b^2+c^2}{a^2}的值.$

Solution:
$因为 \cos (B-C)\cos  A+\cos  2A=1+\cos (B+C)\cos  A,$

$所以 [\cos (B-C)-\cos (B+C)]\cos  A=1-\cos  2A.$

$整理得 2\sin  B\sin  C\cos  A=2\sin ^2A,$

$由正弦定理得 2bc \cos  A=2a^2,$

$由余弦定理得 b^2+c^2-a^2=2bc\cos  A=2a^2,$

$所以 \frac{b^2+c^2}{a^2}=3.$

Final answer: $3$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=\frac{\pi }{3}.$
$若b=2，c=3。求证：\frac{a}{\\tan  A}+\frac{b}{\\sin  B}=\sqrt{21}；$

Solution:
$证明：\because A=\frac{\pi }{3}，b=2，c=3，$
$\therefore 由余弦定理可得a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\\cos  A=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7，\therefore a=\sqrt{7}.$
$\therefore 由正弦定理得\frac{a}{\\tan   A}+\frac{b}{\\sin   B}=\frac{a}{\\tan   A}+\frac{a}{\\sin   A}=\frac{\sqrt{7}}{\\tan  \frac{\pi }{3}}+\frac{\sqrt{7}}{\\sin  \frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{21}.$

Final answer: \sqrt{21}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=\frac{\pi }{3}.$
$若D为BC边的中点，且\triangle ABC的面积为6\sqrt{3}，求AD长的最小值.$

Solution:
$由S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bcsin\angle BAC=\frac{\sqrt{3}}{4}bc=6\sqrt{3}可得bc=24.$

$\because D为边BC的中点，\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}，$

$\therefore 4\overrightarrow{AD}^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=c^2+b^2+2cbcos\frac{\pi }{3}=b^2+c^2+bc\geq 2bc+bc=3bc=72，即|\overrightarrow{AD}|\geq 3\sqrt{2}，$

$当且仅当b=c=2\sqrt{6}时，等号成立，故AD长的最小值为3\sqrt{2}.$

Final answer: $3\sqrt{2}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=\sqrt{39},b=2,A=120^\circ .$
求sin B的值；

Solution:
$因为A=120^\circ ,所以B，C都为锐角，且B+C=60^\circ .$
$由\frac{a}{\\sin   A}=\frac{b}{\\sin   B},得\frac{\sqrt{39}}{\\sin   120^{\circ}}=\frac{2}{\\sin   B},$

$所以 \sin  B=\frac{\sqrt{13}}{13}.$



Final answer: $\sin  B=\frac{\sqrt{13}}{13}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=\sqrt{39},b=2,A=120^\circ .$
求$c$的值；

Solution:
$由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccos A,得39=4+c^2+2c，$
$即c^2+2c-35=0，解得c=5或c=-7(舍去)，所以c=5.$

Final answer: c=5
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $在\triangle ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=\sqrt{39},b=2,A=120^\circ .$
$求sin(B-C).$

Solution:
$解法： 因为sin B=\frac{\sqrt{13}}{13}, B为锐角，$
$所以cos B=\frac{2\sqrt{39}}{13}，$
则$sin(B-C)=sin[B-(60^\circ -B)]=sin(2B-60^\circ )$
$=\frac{1}{2}sin 2B - \frac{\sqrt{3}}{2}cos 2B=sin Bcos B - \frac{\sqrt{3}}{2} (1-2sin^2 B)=-\frac{7\sqrt{3}}{26}.$
$解法： 因为sin B=\frac{\sqrt{13}}{13}, B为锐角，$
$所以cos B=\frac{2\sqrt{39}}{13}.$
$由\frac{a}{\sin  A}=\frac{c}{\sin  C}, 得\frac{\sqrt{39}}{\sin  120^{\circ}}=\frac{5}{\sin  C},$
$则sin C=\frac{5\sqrt{13}}{26}.$
$又C为锐角，所以cos C=\frac{3\sqrt{39}}{26},$
$则sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=\frac{\sqrt{13}}{13}\times \frac{3\sqrt{39}}{26} - \frac{2\sqrt{39}}{13}\times \frac{5\sqrt{13}}{26}=-\frac{7\sqrt{3}}{26}. $

Final answer: $-\frac{7\sqrt{3}}{26}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: 在$\triangle ABC$中，内角$A，B，C$所对的边分别为$a，b，c$.已知$b+c=2a，3c sin B=4a sin C$.
求$cos B$的值；

Solution:
在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$bsinC=csinB$，
$又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，所以b=\frac{4}{3}a.$
$又因为b+c=2a，所以c=\frac{2}{3}a.$
$由余弦定理可得cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+\frac{4}{9}a^2-\frac{16}{9}a^2}{2\cdot a\cdot \frac{2}{3}a}=-\frac{1}{4}.$

Final answer: $-\frac{1}{4}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: 在$\triangle ABC$中，内角$A，B，C$所对的边分别为$a，b，c$.已知$b+c=2a，3c sin B=4a sin C$.
$求sin (\left(2B+\frac{\pi }{6}\right)) 的值.$

Solution:
$由(1)可得sin B=\sqrt{1-\cos ^2B}=\frac{\sqrt{15}}{4}，$
$从而sin 2B=2sin Bcos B=-\frac{\sqrt{15}}{8}，cos 2B=cos^2 B-sin^2 B=-\frac{7}{8}，$
$故sin\left(2B+\frac{\pi }{6}\right)=sin 2Bcos\frac{\pi }{6}+cos 2Bsin\frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{15}}{8}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{8}\times \frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}+7}{16}.$

Final answer: $-\frac{3\sqrt{5}+7}{16}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知\frac{b^2+c^2-a^2}{\\cos   A}=2.$
求bc；

Solution:
$由 (\frac{b^2+c^2-a^2}{\cos  A}) = (\frac{b^2+c^2-a^2}{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}) = 2bc =2, 得 bc=1.$

Final answer: $bc=1$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $记\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知\frac{b^2+c^2-a^2}{\\cos   A}=2.$
$若\frac{a\cos  B-b\cos  A}{a\cos  B+b\cos  A} - \frac{b}{c} = 1，求\triangle ABC面积.$

Solution:
由正弦定理得

$\frac{a\cos  B-b\cos  A}{a\cos  B+b\cos  A}-\frac{b}{c}$

$= \frac{\sin  A\cos  B-\cos  A\sin  B}{\sin  A\cos  B+\cos  A\sin  B}-\frac{\sin  B}{\sin  C}$

$= \frac{\sin  A\cos  B-\cos  A\sin  B-\sin  B}{\sin  C}$

= 1

即 $sin A cos B - cos A sin B - sin B = sin C = sin(A + B)$

得 $-sin B = 2cos A sin B$

$sin B \neq 0, 则 cos A = -\frac{1}{2}$

$又因 A \in  (0,\pi )， 所以 sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$所以， S\triangle ABC = \frac{1}{2} bc sin A = \frac{1}{2} \times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: \frac{\sqrt{3}}{4}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: 在$\triangle ABC$中，已知$\angle BAC=120^\circ ，AB=2，AC=1$.
求$sin\angle ABC$；

Solution:
$在\triangle ABC中，由余弦定理，得BC^2=2^2+1^2-2\times 2\times 1\times cos 120^\circ =7，则BC=\sqrt{7}.$
$由正弦定理，得\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}，$
$则sin\angle ABC=\frac{AC\cdot \sin \angle BAC}{BC}=\frac{1\times \sin  120^{\circ}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{21}}{14}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: 在$\triangle ABC$中，已知$\angle BAC=120^\circ ，AB=2，AC=1$.
$若D为BC上一点，且\angle BAD=90^\circ ，求\triangle ADC的面积$.

Solution:
$在\triangle ABC中，由余弦定理，得BC^2=2^2+1^2-2\times 2\times 1\times cos 120^\circ =7，则BC=\sqrt{7}.$
$由正弦定理，得\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}，$
$则sin\angle ABC=\frac{AC\cdot \sin \angle BAC}{BC}=\frac{1\times \sin  120^{\circ}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}.$



$在Rt\triangle ABD中，由上知sin\angle ABD=\frac{\sqrt{21}}{14}，且\angle ABD为锐角，所以tan\angle ABD=\frac{\sqrt{3}}{5}.在Rt\triangle ABD中，AB=2,则AD=AB\cdot tan\angle ABD=2\times \frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{2\sqrt{3}}{5}.在\triangle ADC中，\angle DAC=30^\circ ，AC=1，\therefore \triangle ADC的面积S=\frac{1}{2}\times \frac{2\sqrt{3}}{5}\times 1\times sin 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{10}.$

一题多解
$在\triangle ABC中，AB=2，AC=1,\angle BAC=120^\circ ，\therefore S_\triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\times 1\times sin 120^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}，又\frac{S_{\vartriangle ACD}}{S_{\vartriangle ABD}}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot AD\cdot \sin  30^{\circ}}{\frac{1}{2}AB\cdot AD}=\frac{1\times \frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}，\therefore S_\triangle ACD=\frac{1}{5}S_\triangle ABC=\frac{\sqrt{3}}{10}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{10}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知 \cos ^2(\frac{\pi }{2}+A) + \cos  A=\frac{5}{4}.$
求$A$；

Solution:
$由已知得 \sin ^2 A + \cos  A = \frac{5}{4},$
$即 \cos ^2 A - \cos  A + \frac{1}{4} = 0.$
$所以 (\cos  A - \frac{1}{2})^2 = 0, \cos  A = \frac{1}{2}. 由于 0 < A < \pi, 故 A = \frac{\pi}{3}.$



Final answer: $A = \frac{\pi}{3}$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC$的内角$A，B，C$的对边分别为$a，b，c.$已知$B=150^\circ$ .
$若a=\sqrt{3}c，b=2\sqrt{7}，求\triangle ABC的面积；$

Solution:
$由题设及余弦定理得28=3c^2+c^2-2\times \sqrt{3} c^2\times cos 150^\circ .$
$解得c_1=-2(舍去)，c_2=2，从而a=2\sqrt{3}.$
$\triangle ABC的面积为\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\times sin 150^\circ =\sqrt{3}.$

Final answer: \sqrt{3}
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $\triangle ABC$的内角$A，B，C$的对边分别为$a，b，c.$已知$B=150^\circ$ .
$若sin A + \sqrt{3} sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}，求C。$

Solution:
$在\triangle ABC中，A=180^\circ -B-C=30^\circ -C，所以sin A + \sqrt{3} sin C = sin(30^\circ -C)+ \sqrt{3}sin C = sin(30^\circ +C).$

$故sin(30^\circ +C)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

而$0^\circ  < C < 30^\circ ，所以30^\circ +C=45^\circ ，故C=15^\circ$ .

Final answer: $15 $ ^\circ
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是各项均为正数的等比数列，a_1=2，a_3=2a_2+16。$
$设b_n=log_2a_n,求数列{b_n}的前n项和.$

Solution:
$设a_n的公比为q,由题设得2q^2=4q+16,即q^2-2q-8=0.$

$解得q=-2(舍去)或q=4.$

$因此a_n的通项公式为a_n=2\times4^{n-1}=2^{2n-1}.$

名师点拨

$若a_n为正项等比数列，则{log_a}a_n(a>0且a\neq 1)为等差数列.$

$由上可得b_n=(2n-1)log_22=2n-1,因此数列{b_n}的前n项和为1+3+\ldots +2n-1=n^2.$
名师点拨
$若{a_n}是等差数列，则{c^{a_n}}(c>0且c\neq 1)为等比数列.$

Final answer: n^2
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：$

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
求甲的康复时间不少于14天的概率；

Solution:
$甲有7种选法，康复时间不少于14天的有3种选法，所以概率P=\frac{3}{7}.$

Final answer: $\frac{3}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：$

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
$如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；$

Solution:
$如果a=25，从A，B两组随机各选1人，共有49种选法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：(13，12)，(14，12)，(14，13)，(15，12)，(15，13)，(15,14),(16，12)，(16，13),(16，15),(16,14)，共10种选法，所以概率P=\frac{10}{49}$

Final answer: $\frac{10}{49}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：$

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
$当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)$

Solution:
把B组数据调整为a，12，13，14，15，16，17或12，13，14，15，16，17，a，可见当a=11或a=18时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明)

Final answer: $11,18$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

<img_2435>
从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

Solution:
由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的有5名，
$所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$
$所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876281339441153/img/compression/M_4a129620f1e6872637b0e2114f8deb4f.jpg)
从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

Solution:
由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的有5名，
$所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$
$所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

<img_2435>
从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；

Solution:
$记A_i(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，B_j(j=1，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.$

$同(1)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{3}{15}=\frac{1}{5}，则P(C)=P(A_1A_2\overline{B}_1\overline{B}_2+A_1A_2\overline{B}_1B_2+A_1A_2B_1\overline{B}_2+\overline{A}_1A_2\overline{B}_1\overline{B}_2+A_1\overline{A}_2\overline{B}_1\overline{B}_2)=P(A_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)P(\overline{B}_2)+P(A_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)\cdot P(B_2)+P(A_1)P(A_2)P(B_1)P(\overline{B}_2)+P(\overline{A}_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)P(\overline{B}_2)+P(A_1)P(\overline{A}_2)P(\overline{B}_1)\cdot P(\overline{B}_2)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{88}{225}.$

Final answer: $\frac{88}{225}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876281339441153/img/compression/M_4a129620f1e6872637b0e2114f8deb4f.jpg)
从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；

Solution:
$记A_i(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，B_j(j=1，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.$

$同(1)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{3}{15}=\frac{1}{5}，则P(C)=P(A_1A_2\overline{B}_1\overline{B}_2+A_1A_2\overline{B}_1B_2+A_1A_2B_1\overline{B}_2+\overline{A}_1A_2\overline{B}_1\overline{B}_2+A_1\overline{A}_2\overline{B}_1\overline{B}_2)=P(A_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)P(\overline{B}_2)+P(A_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)\cdot P(B_2)+P(A_1)P(A_2)P(B_1)P(\overline{B}_2)+P(\overline{A}_1)\cdot P(A_2)P(\overline{B}_1)P(\overline{B}_2)+P(A_1)P(\overline{A}_2)P(\overline{B}_1)\cdot P(\overline{B}_2)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{88}{225}.$

Final answer: $\frac{88}{225}$