di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1 000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析.经统计，这50名学生的分数全部介于55和95之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[55，60)，\ldots ，第八组[90，95]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3.$<img_3100>
$若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的分数分别为x,y，从下面两个条件中选一个，求事件E发生的概率P(E).①事件E：|x-y|\in [0,5)；②事件E：|x-y|\in [5，15].注：如果①②都做，只按①计分.$

Solution:
$因为成绩在第六组的频率是0.08，所以从第六组[80，85)抽取的学生成绩数为0.08\times 50=4，设这4个成绩对应的4名学生分别为a，b，c，d，从第八组[90，95]抽取的学生成绩数为0.008\times 5\times 50=2，设这2个成绩对应的2名学生分别为A，B，则从中随机抽取两名学生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共15种情况.(7分)选择条件①：由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，(9分)所以P(E)=\frac{7}{15}.(10分)选择条件②：由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E包含的基本事件为aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8种情况，(9分)所以P(E)=\frac{8}{15}.(10分)$

Final answer: $\frac{7}{15}$, $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1 000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析.经统计，这50名学生的分数全部介于55和95之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[55，60)，\ldots ，第八组[90，95]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313548210937858/img/compression/M_24ab75e2c4f2695a93679e99aa6f5417.jpg)
$若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的分数分别为x,y，从下面两个条件中选一个，求事件E发生的概率P(E).①事件E：|x-y|\in [0,5)；②事件E：|x-y|\in [5，15].注：如果①②都做，只按①计分.$

Solution:
$因为成绩在第六组的频率是0.08，所以从第六组[80，85)抽取的学生成绩数为0.08\times 50=4，设这4个成绩对应的4名学生分别为a，b，c，d，从第八组[90，95]抽取的学生成绩数为0.008\times 5\times 50=2，设这2个成绩对应的2名学生分别为A，B，则从中随机抽取两名学生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共15种情况.(7分)选择条件①：由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，(9分)所以P(E)=\frac{7}{15}.(10分)选择条件②：由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E包含的基本事件为aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8种情况，(9分)所以P(E)=\frac{8}{15}.(10分)$

Final answer: $\frac{7}{15}$, $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$<img_3103>
$若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数；$

Solution:
$由题图得体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30(名)，(2分)\because 体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，该校高一年级有1 000名学生，\therefore 估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数为1 000\times \frac{30}{40}=750.(4分)$

Final answer: $750$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313554593800193/img/compression/M_f7ce819c0f846572c8b3250c7e2a8492.jpg)
$若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数；$

Solution:
$由题图得体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30(名)，(2分)\because 体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，该校高一年级有1 000名学生，\therefore 估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数为1 000\times \frac{30}{40}=750.(4分)$

Final answer: $750$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313554593800193/img/compression/M_f7ce819c0f846572c8b3250c7e2a8492.jpg)
$用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；$

Solution:
$用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分\overline{x}=\frac{1}{40}\times (45\times 2+55\times 6+65\times 2+75\times 14+85\times 3+95\times 13)=77.25(分).(8分)$

Final answer: $77.25$ 分
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$<img_3103>
$用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；$

Solution:
$用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分\overline{x}=\frac{1}{40}\times (45\times 2+55\times 6+65\times 2+75\times 14+85\times 3+95\times 13)=77.25(分).(8分)$

Final answer: $77.25$ 分
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313554593800193/img/compression/M_f7ce819c0f846572c8b3250c7e2a8492.jpg)
$假设甲，乙，丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a\in [60，70)，b\in [70，80)，c\in [80，90)，a,b,c\in N，当三人的体育成绩方差s^{2}最小时，写出a，b，c的所有可能取值(不要求证明).$

Solution:
$\because 甲，乙，丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a\in [60，70)，b\in [70，80)，c\in [80，90)，其中a，b，c\in N，\therefore 当三人的体育成绩方差s^{2}最小时，a，b，c的所有可能取值为69，74，80或69，75，80.(12分)$

Final answer: $(69, 74, 80), (69, 75, 80)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如下：
$<img_3103>
$假设甲，乙，丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a\in [60，70)，b\in [70，80)，c\in [80，90)，a,b,c\in N，当三人的体育成绩方差s^{2}最小时，写出a，b，c的所有可能取值(不要求证明).$

Solution:
$\because 甲，乙，丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a\in [60，70)，b\in [70，80)，c\in [80，90)，其中a，b，c\in N，\therefore 当三人的体育成绩方差s^{2}最小时，a，b，c的所有可能取值为69，74，80或69，75，80.(12分)$

Final answer: $(69, 74, 80), (69, 75, 80)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步提高广大学生的自我防范意识，某校组织1 000名高一学生开展线上防疫知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555231334402/img/compression/M_c941268eb1a09ecdb773bcb251398f65.jpg)
$求a的值，并估计该校参加竞赛的1 000名学生成绩(单位：分)的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果精确到0.1)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得(0.010+0.015+0.030+0.040+a)\times 10=1，解得a=0.005，(1分)所以样本中学生成绩的平均数为0.15\times 55+0.3\times 65+0.4\times 75+0.1\times 85+0.05\times 95=71(分).前两组的频率之和为(0.015+0.030)\times 10=0.45<0.5，前三组的频率之和为(0.015+0.030+0.040)\times 10=0.85>0.5，所以样本中学生成绩(单位：分)的中位数在[70，80)内.设样本中学生成绩的中位数为m分，则(m-70)\times 0.040+0.45=0.5，解得m\approx 71.3.所以a的值为0.005，该校参加竞赛的1 000名学生成绩的平均数为71分，中位数为71.3分.(6分)$

Final answer: $a=0.005$, $71$, $71.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步提高广大学生的自我防范意识，某校组织1 000名高一学生开展线上防疫知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$<img_2217>
$求a的值，并估计该校参加竞赛的1 000名学生成绩(单位：分)的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果精确到0.1)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可得(0.010+0.015+0.030+0.040+a)\times 10=1，解得a=0.005，(1分)所以样本中学生成绩的平均数为0.15\times 55+0.3\times 65+0.4\times 75+0.1\times 85+0.05\times 95=71(分).前两组的频率之和为(0.015+0.030)\times 10=0.45<0.5，前三组的频率之和为(0.015+0.030+0.040)\times 10=0.85>0.5，所以样本中学生成绩(单位：分)的中位数在[70，80)内.设样本中学生成绩的中位数为m分，则(m-70)\times 0.040+0.45=0.5，解得m\approx 71.3.所以a的值为0.005，该校参加竞赛的1 000名学生成绩的平均数为71分，中位数为71.3分.(6分)$

Final answer: $a=0.005$, $71$, $71.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步提高广大学生的自我防范意识，某校组织1 000名高一学生开展线上防疫知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555231334402/img/compression/M_c941268eb1a09ecdb773bcb251398f65.jpg)
$采用分层抽样的方法从样本中成绩不低于80分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，试求成绩(单位：分)在[90,100]的学生至少有1人被抽到的概率.$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知成绩(单位：分)在[80，90)和[90，100]内的频率分别是0.1和0.05，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，成绩(单位：分)在[80，90)内的有4人，记为a，b，c，d，分数在[90，100]内的有2人，记为e，f.从这6人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种.“成绩(单位：分)在[90，100]的学生至少有1人被抽到”包含的情况有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，则成绩(单位：分)在[90，100]的学生至少有1人被抽到的概率P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步提高广大学生的自我防范意识，某校组织1 000名高一学生开展线上防疫知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，得到如下的样本数据的频率分布直方图：$<img_2217>
$采用分层抽样的方法从样本中成绩不低于80分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，试求成绩(单位：分)在[90,100]的学生至少有1人被抽到的概率.$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知成绩(单位：分)在[80，90)和[90，100]内的频率分别是0.1和0.05，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，成绩(单位：分)在[80，90)内的有4人，记为a，b，c，d，分数在[90，100]内的有2人，记为e，f.从这6人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种.“成绩(单位：分)在[90，100]的学生至少有1人被抽到”包含的情况有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，则成绩(单位：分)在[90，100]的学生至少有1人被抽到的概率P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民人数约为2 000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_76a56600c139886b1b8ac28533c9be0a.jpg)$图1 $![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_950effdfa396c40067efd7fbebf2cc90.jpg)$图2$
$估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；$

Solution:
$由题知该地区居民人数约为2 000万，由题图1知该地区年龄在71～80岁的居民人数约为0.004\times 10\times 2 000=80(万)，由题图2知年龄在71～80岁的居民签约率为70%，\therefore 该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数约为80\times 0.7=56(万).(4分)$

Final answer: $56$ 万
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民人数约为2 000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$<img_1814>$图1 $<img_2765>$图2$
$估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；$

Solution:
$由题知该地区居民人数约为2 000万，由题图1知该地区年龄在71～80岁的居民人数约为0.004\times 10\times 2 000=80(万)，由题图2知年龄在71～80岁的居民签约率为70%，\therefore 该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数约为80\times 0.7=56(万).(4分)$

Final answer: $56$ 万
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民人数约为2 000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_76a56600c139886b1b8ac28533c9be0a.jpg)$图1 $![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_950effdfa396c40067efd7fbebf2cc90.jpg)$图2$
$若以图2中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；$

Solution:
$由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7，且每个居民之间是否签约都是独立的，\therefore 所求概率P=0.7\times 0.3+0.3\times 0.7=0.42.(8分)$

Final answer: $0.42$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民人数约为2 000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$<img_1814>$图1 $<img_2765>$图2$
$若以图2中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；$

Solution:
$由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7，且每个居民之间是否签约都是独立的，\therefore 所求概率P=0.7\times 0.3+0.3\times 0.7=0.42.(8分)$

Final answer: $0.42$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民人数约为2 000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_76a56600c139886b1b8ac28533c9be0a.jpg)$图1 $![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313555789176834/img/compression/M_950effdfa396c40067efd7fbebf2cc90.jpg)$图2$
$据统计，该地区被访者的签约率约为44%，为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？写出结论并结合数据解释结论.$

Solution:
$由题图1，2得
年龄段
该地区人数(万)
签约率%
18～30
大于0.018\times 10\times 2 000=360，小于(0.005+0.018)\times 10\times 2 000=460
30.3
31～50
(0.021+0.016)\times 10\times 2 000=740
37.1
51～60
0.015\times 10\times 2 000=300
55.7
61～70
0.010\times 10\times 2 000=200
61.7
71～80
0.004\times 10\times 2 000=80
70.0
81以上
(0.002 5+0.000 5)\times 10\times 2 000=60
75.8
由以上数据可知这个地区在31～50这个年龄段的人数为740万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，\therefore 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高31～50这个年龄段的签约率.
(12分)$

Final answer: $31～50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图，据此解答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313619974610947/img/compression/M_ea173f460569ec24a7bdb8f0b467aab1.jpg)
$求分数在[50，60]内的频数及全班人数；$

Solution:
$分数在[50，60]内的频率为0.008\times 10=0.08.由茎叶图知，分数在[50，60]内的频数为2，所以全班人数为\frac{2}{0.08}=25.$

Final answer: $25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图，据此解答下列问题：$<img_1504>
$求分数在[50，60]内的频数及全班人数；$

Solution:
$分数在[50，60]内的频率为0.008\times 10=0.08.由茎叶图知，分数在[50，60]内的频数为2，所以全班人数为\frac{2}{0.08}=25.$

Final answer: $25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图，据此解答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313619974610947/img/compression/M_ea173f460569ec24a7bdb8f0b467aab1.jpg)
$求分数在[80，90]内的频数，并计算频率分布直方图中[80，90]的矩形的高.$

Solution:
$分数在[80，90]内的频数为25-2-7-10-2=4，频率分布直方图中[80，90]的矩形的高为\frac{4}{25}\div 10=0.016.$

Final answer: $0.016$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图，据此解答下列问题：$<img_1504>
$求分数在[80，90]内的频数，并计算频率分布直方图中[80，90]的矩形的高.$

Solution:
$分数在[80，90]内的频数为25-2-7-10-2=4，频率分布直方图中[80，90]的矩形的高为\frac{4}{25}\div 10=0.016.$

Final answer: $0.016$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313649376681985/img/compression/M_e6472a9e559c5e6b789193f020231c0e.jpg)
$求图中x的值；$

Solution:
$由题意知，(0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002)\times 10=1，解得x=0.01.(2分)$

Final answer: $0.01$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$<img_2986>
$求图中x的值；$

Solution:
$由题意知，(0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002)\times 10=1，解得x=0.01.(2分)$

Final answer: $0.01$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313649376681985/img/compression/M_e6472a9e559c5e6b789193f020231c0e.jpg)
$请用样本数据估计本次联考该校语文的平均分数(同一组数据用该组区间的中点值代替)；$

Solution:
$由题图及(1)可知，语文分数在[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文的平均分数为\overline{x}，则\overline{x}=85\times 0.12+95\times 0.22+105\times 0.28+115\times 0.18+125\times 0.10+135\times 0.08+145\times 0.02=107.4，故估计本次联考该校语文的平均分数为107.4.(6分)$

Final answer: $107.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$<img_2986>
$请用样本数据估计本次联考该校语文的平均分数(同一组数据用该组区间的中点值代替)；$

Solution:
$由题图及(1)可知，语文分数在[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文的平均分数为\overline{x}，则\overline{x}=85\times 0.12+95\times 0.22+105\times 0.28+115\times 0.18+125\times 0.10+135\times 0.08+145\times 0.02=107.4，故估计本次联考该校语文的平均分数为107.4.(6分)$

Final answer: $107.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$<img_2986>
$用分层随机抽样的方法，从样本中语文分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2名，求选出的2名学生中恰有一名学生的语文分数在[130,140)的概率.$

Solution:
$由题知，样本中语文分数在[130，140)，[140，150]的学生分别有8名和2名，则按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在[130，140)的学生有4名，分别记为A，B，C，D，在[140，150]的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出2名，所有的情况有AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，共10种，其中恰有一名学生的语文分数在[130，140)的情况有Ae，Be，Ce，De，共4种，则这5名学生中随机选出2名，恰有1名学生的语文分数在[130，140)的概率为\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{4}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文分数作为样本，按分组[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]整理后得到如下频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313649376681985/img/compression/M_e6472a9e559c5e6b789193f020231c0e.jpg)
$用分层随机抽样的方法，从样本中语文分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2名，求选出的2名学生中恰有一名学生的语文分数在[130,140)的概率.$

Solution:
$由题知，样本中语文分数在[130，140)，[140，150]的学生分别有8名和2名，则按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在[130，140)的学生有4名，分别记为A，B，C，D，在[140，150]的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出2名，所有的情况有AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，共10种，其中恰有一名学生的语文分数在[130，140)的情况有Ae，Be，Ce，De，共4种，则这5名学生中随机选出2名，恰有1名学生的语文分数在[130，140)的概率为\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.(10分)$

Final answer: $\frac{4}{10}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699316733083508738/img/compression/M_0a736cf723d122fae00520e9c08e194d.jpg)$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$上表是年龄的频数分布表，求正整数a,b的值；$

Solution:
$由题设可知a=0.08\times 5\times 500=200，b=0.02\times 5\times 500=50.(4分)$

Final answer: $200$, $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_2808>$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$上表是年龄的频数分布表，求正整数a,b的值；$

Solution:
$由题设可知a=0.08\times 5\times 500=200，b=0.02\times 5\times 500=50.(4分)$

Final answer: $200$, $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699316733083508738/img/compression/M_0a736cf723d122fae00520e9c08e194d.jpg)$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，求抽取的6人中年龄在第1，2，3组的人数分别是多少；$

Solution:
$易知第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样的方法可得第1组应抽取的人数为6\times \frac{50}{300}=1，第2组应抽取的人数为6\times \frac{50}{300}=1，第3组应抽取的人数为6\times \frac{200}{300}=4，所以抽取的6人中年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.(8分)$

Final answer: $1, 1, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_2808>$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，求抽取的6人中年龄在第1，2，3组的人数分别是多少；$

Solution:
$易知第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样的方法可得第1组应抽取的人数为6\times \frac{50}{300}=1，第2组应抽取的人数为6\times \frac{50}{300}=1，第3组应抽取的人数为6\times \frac{200}{300}=4，所以抽取的6人中年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.(8分)$

Final answer: $1, 1, 4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$<img_2808>$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.$

Solution:
$设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C_{1}，C_{2}，C_{3}，C_{4}，则从这6人中随机抽取2人有(A，B)，(A，C_{1})，(A，C_{2})，(A，C_{3})，(A，C_{4})，(B，C_{1})，(B，C_{2})，(B，C_{3})，(B，C_{4})，(C_{1}，C_{2})，(C_{1}，C_{3})，(C_{1}，C_{4})，(C_{2}，C_{3})，(C_{2}，C_{4})，(C_{3}，C_{4})，共15种情况.其中2人年龄都不在第3组的情况为(A，B)，共1种，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}.(12分)$

Final answer: $\frac{14}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业500名员工参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组(单位：岁)：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699316733083508738/img/compression/M_0a736cf723d122fae00520e9c08e194d.jpg)$
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50
a
150
b
$
$在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.$

Solution:
$设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C_{1}，C_{2}，C_{3}，C_{4}，则从这6人中随机抽取2人有(A，B)，(A，C_{1})，(A，C_{2})，(A，C_{3})，(A，C_{4})，(B，C_{1})，(B，C_{2})，(B，C_{3})，(B，C_{4})，(C_{1}，C_{2})，(C_{1}，C_{3})，(C_{1}，C_{4})，(C_{2}，C_{3})，(C_{2}，C_{4})，(C_{3}，C_{4})，共15种情况.其中2人年龄都不在第3组的情况为(A，B)，共1种，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}.(12分)$

Final answer: $\frac{14}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议(COP15)于2021年10月11—24日在云南昆明举办，为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长(小时)，得到如图1的频率分布直方图：$<img_1958>$图1　　　$<img_1655>$图2$
$求x的值，估计抽取的志愿者服务时长(小时)的中位数；$

Solution:
$(0.002+0.004+x+0.02+0.008+0.002)\times 20=1，解得x=0.014，(2分)则前三组频率之和为(0.002+0.004+0.014)\times 20=0.4，前四组频率之和为0.4+0.02\times 20=0.8，设中位数为n，则(n-60)\times 0.02=0.5-0.4，解得n=65.\therefore 中位数为65.(5分)$

Final answer: $65$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议(COP15)于2021年10月11—24日在云南昆明举办，为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长(小时)，得到如图1的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313667645313026/img/compression/M_032bf1aef3265ba1aa3218e7fca1b0a2.jpg)$图1　　　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313667645313026/img/compression/M_20ca30b082463d869ca4fa9719e9d86c.jpg)$图2$
$求x的值，估计抽取的志愿者服务时长(小时)的中位数；$

Solution:
$(0.002+0.004+x+0.02+0.008+0.002)\times 20=1，解得x=0.014，(2分)则前三组频率之和为(0.002+0.004+0.014)\times 20=0.4，前四组频率之和为0.4+0.02\times 20=0.8，设中位数为n，则(n-60)\times 0.02=0.5-0.4，解得n=65.\therefore 中位数为65.(5分)$

Final answer: $65$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议(COP15)于2021年10月11—24日在云南昆明举办，为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长(小时)，得到如图1的频率分布直方图：$<img_1958>$图1　　　$<img_1655>$图2$
$用分层抽样的方法从[20，40)，[80，100)这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长(小时)，得到如图2所示的茎叶图.①已知这6名志愿者服务时长(小时)的平均数为67，求m的值；②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在[80，100)这一组的概率.$

Solution:
$①(22+39+80+81+80+m+93)\div 6=67，解得m=7.(7分)②易知从[20，40)，[80，100)这两组中抽取的人数分别为2，4，将从[20，40)这一组中抽取的2人分别记为A_{1}，A_{2}，从[80，100)这一组中抽取的4人分别记为B_{1}，B_{2}，B_{3}，B_{4}，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有(A_{1}，A_{2})，(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{1}，B_{3})，(A_{1}，B_{4})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{2}，B_{3})，(A_{2}，B_{4})，(B_{1}，B_{2})，(B_{1}，B_{3})，(B_{1}，B_{4})，(B_{2}，B_{3})，(B_{2}，B_{4})，(B_{3}，B_{4})，共15个.(10分)所抽取的2人都在[80，100)这一组的基本事件有6个.　(11分)所以所求概率为\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.(12分)$

Final answer: $7$, $\frac25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议(COP15)于2021年10月11—24日在云南昆明举办，为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长(小时)，得到如图1的频率分布直方图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313667645313026/img/compression/M_032bf1aef3265ba1aa3218e7fca1b0a2.jpg)$图1　　　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313667645313026/img/compression/M_20ca30b082463d869ca4fa9719e9d86c.jpg)$图2$
$用分层抽样的方法从[20，40)，[80，100)这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长(小时)，得到如图2所示的茎叶图.①已知这6名志愿者服务时长(小时)的平均数为67，求m的值；②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在[80，100)这一组的概率.$

Solution:
$①(22+39+80+81+80+m+93)\div 6=67，解得m=7.(7分)②易知从[20，40)，[80，100)这两组中抽取的人数分别为2，4，将从[20，40)这一组中抽取的2人分别记为A_{1}，A_{2}，从[80，100)这一组中抽取的4人分别记为B_{1}，B_{2}，B_{3}，B_{4}，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有(A_{1}，A_{2})，(A_{1}，B_{1})，(A_{1}，B_{2})，(A_{1}，B_{3})，(A_{1}，B_{4})，(A_{2}，B_{1})，(A_{2}，B_{2})，(A_{2}，B_{3})，(A_{2}，B_{4})，(B_{1}，B_{2})，(B_{1}，B_{3})，(B_{1}，B_{4})，(B_{2}，B_{3})，(B_{2}，B_{4})，(B_{3}，B_{4})，共15个.(10分)所抽取的2人都在[80，100)这一组的基本事件有6个.　(11分)所以所求概率为\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.(12分)$

Final answer: $7$, $\frac25$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了解人们对传染病知识的了解程度，举办了一次全市人民都能参加的“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45)，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.$<img_2964>
$估计抽取的x人的年龄的85%分位数；$

Solution:
$设85%分位数为a，依题意得0.01\times 5+0.07\times 5+0.06\times 5+(a-35)\times 0.04=0.85，求解即可.$

Final answer: $38.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了解人们对传染病知识的了解程度，举办了一次全市人民都能参加的“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45)，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313687459205122/img/compression/M_38d1710247ef87ee9b83a7761848712c.jpg)
$估计抽取的x人的年龄的85%分位数；$

Solution:
$设85%分位数为a，依题意得0.01\times 5+0.07\times 5+0.06\times 5+(a-35)\times 0.04=0.85，求解即可.$

Final answer: $38.9$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了解人们对传染病知识的了解程度，举办了一次全市人民都能参加的“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45)，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.$<img_2964>
$采用分层随机抽样的方法从第四、五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.$

Solution:
$按照分层抽样的方法得到第四组抽取4人，记为1，2，3，4，第五组抽取2人，记为A，B，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可.$

Final answer: $ \frac{14}{15}$
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Question: $某市为了解人们对传染病知识的了解程度，举办了一次全市人民都能参加的“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45)，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1699313687459205122/img/compression/M_38d1710247ef87ee9b83a7761848712c.jpg)
$采用分层随机抽样的方法从第四、五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.$

Solution:
$按照分层抽样的方法得到第四组抽取4人，记为1，2，3，4，第五组抽取2人，记为A，B，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可.$

Final answer: $ \frac{14}{15}$