di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将\triangle ADP沿AP折起，使得平面ADP\perp 平面ABCP，得到四棱锥D-ABCP.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706200518871322625/img/compression/M_9b5dced2356b895c309da82d845a8396.jpg)
$(2)求二面角P-AD-B的平面角的余弦值.$

Solution:
$易知AP=BP=\sqrt{2},AB=2，\therefore AP^{2}+BP^{2}=AB^{2}，\therefore AP\perp BP.又平面ADP\perp 平面ABCP，平面ADP\cap 平面ABCP=AP，BP\subset 平面ABCP，\therefore BP\perp 平面ADP，\because DP\subset 平面ADP，\therefore BP\perp DP， (8分)\therefore BD^{2}=DP^{2}+BP^{2}=1+2=3.在\triangle ADB中，\because AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}，\therefore AD\perp DB，又PD\perp AD,PD\subset 平面ADP，BD\subset 平面ADB，平面ADP\cap 平面ADB=AD，\therefore \angle PDB即为二面角P-AD-B的平面角，(10分)在Rt\triangle PDB中，\\cos  \angle PDB=\frac{DP}{BD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，\therefore 二面角P-AD-B的平面角的余弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}. (12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知多面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体.$<img_2706>
$(1)求A_{1}C_{1}与B_{1}C所成角的大小；$

Solution:
$如图，连接AC，AB_{1}.易知四边形AA_{1}C_{1}C为平行四边形，\therefore AC\parallel A_{1}C_{1}，\therefore \angle B_{1}CA(或其补角)就是A_{1}C_{1}与B_{1}C所成的角.易知\triangle AB_{1}C为正三角形，\therefore \angle B_{1}CA=60^\circ .\therefore A_{1}C_{1}与B_{1}C所成的角为60^\circ .$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知多面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236474173894658/img/compression/M_b2b9421b9432ef9face20b99cd4010fe.jpg)
$(1)求A_{1}C_{1}与B_{1}C所成角的大小；$

Solution:
$如图，连接AC，AB_{1}.易知四边形AA_{1}C_{1}C为平行四边形，\therefore AC\parallel A_{1}C_{1}，\therefore \angle B_{1}CA(或其补角)就是A_{1}C_{1}与B_{1}C所成的角.易知\triangle AB_{1}C为正三角形，\therefore \angle B_{1}CA=60^\circ .\therefore A_{1}C_{1}与B_{1}C所成的角为60^\circ .$

Final answer: $60^\circ $
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知多面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体.$<img_2706>
$(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A_{1}C_{1}与EF所成角的大小.$

Solution:
$连接BD，\because E,F分别为AB，AD的中点，\therefore EF\parallel BD.\because AC\parallel A_{1}C_{1}，\therefore AC与EF所成的角就是A_{1}C_{1}与EF所成的角.易知AC\perp BD，\therefore AC\perp EF.\therefore A_{1}C_{1}与EF所成角的大小为90^\circ .$<img_2347>

Final answer: $90^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，已知多面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236474173894658/img/compression/M_b2b9421b9432ef9face20b99cd4010fe.jpg)
$(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A_{1}C_{1}与EF所成角的大小.$

Solution:
$连接BD，\because E,F分别为AB，AD的中点，\therefore EF\parallel BD.\because AC\parallel A_{1}C_{1}，\therefore AC与EF所成的角就是A_{1}C_{1}与EF所成的角.易知AC\perp BD，\therefore AC\perp EF.\therefore A_{1}C_{1}与EF所成角的大小为90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236474173894658/img/compression/M_61ad0cd35866e144ed6102e8924b14a7.jpg)

Final answer: $90^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，点M,N分别为线段A_{1}B,AC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867547873968132/img/compression/M_9aa7a3bb68cf038abe8a0fc831502d8d.jpg)
$(1)求证：MN\parallel 平面BB_{1}C_{1}C；$

Solution:
$证明：连接A_{1}C，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，侧面AA_{1}C_{1}C为矩形，N为AC_{1}的中点，所以N为A_{1}C的中点，又M为A_{1}B的中点，所以MN\parallel BC，又MN\not\subset 平面BB_{1}C_{1}C，BC\subset 平面BB_{1}C_{1}C，所以MN\parallel 平面BB_{1}C_{1}C.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，点M,N分别为线段A_{1}B,AC_{1}的中点.$<img_1833>
$(1)求证：MN\parallel 平面BB_{1}C_{1}C；$

Solution:
$证明：连接A_{1}C，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，侧面AA_{1}C_{1}C为矩形，N为AC_{1}的中点，所以N为A_{1}C的中点，又M为A_{1}B的中点，所以MN\parallel BC，又MN\not\subset 平面BB_{1}C_{1}C，BC\subset 平面BB_{1}C_{1}C，所以MN\parallel 平面BB_{1}C_{1}C.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，点M,N分别为线段A_{1}B,AC_{1}的中点.$<img_1833>
$(2)若D在棱BC上，DN\parallel 平面ABB_{1}A_{1}，求\frac{CD}{DB}的值.$

Solution:
$因为DN\parallel 平面ABB_{1}A_{1}，DN\subset 平面A_{1}BC，平面A_{1}BC\cap 平面ABB_{1}A_{1}=A_{1}B，所以DN\parallel A_{1}B，所以\frac{CD}{DB}=\frac{CN}{NA_1}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱A_{1}B_{1}C_{1}-ABC中，点M,N分别为线段A_{1}B,AC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867547873968132/img/compression/M_9aa7a3bb68cf038abe8a0fc831502d8d.jpg)
$(2)若D在棱BC上，DN\parallel 平面ABB_{1}A_{1}，求\frac{CD}{DB}的值.$

Solution:
$因为DN\parallel 平面ABB_{1}A_{1}，DN\subset 平面A_{1}BC，平面A_{1}BC\cap 平面ABB_{1}A_{1}=A_{1}B，所以DN\parallel A_{1}B，所以\frac{CD}{DB}=\frac{CN}{NA_1}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867564592971778/img/compression/M_753147ddcdc8cf44dd139d1e82be8ae0.jpg)
$(1)AC与A_{1}D所成角的大小；$

Solution:
$连接A_{1}C_{1}，DC_{1}，则A_{1}C_{1}\parallel AC，所以AC与A_{1}D所成的角即为A_{1}C_{1}与A_{1}D所成的角，即为\angle DA_{1}C_{1}(或其补角)，设正方体的棱长为1，在\triangle DA_{1}C_{1}中，A_{1}C_{1}=A_{1}D=DC_{1}=\sqrt{2}，故\triangle DA_{1}C_{1}为等边三角形，所以\angle DA_{1}C_{1}=\frac{\pi }{3}，所以AC与A_{1}D所成的角为\frac{\pi }{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867564924321794/img/compression/M_fc4210fbb5898d6bb9d586c5c54c3f66.jpg)

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，求：$<img_2945>
$(1)AC与A_{1}D所成角的大小；$

Solution:
$连接A_{1}C_{1}，DC_{1}，则A_{1}C_{1}\parallel AC，所以AC与A_{1}D所成的角即为A_{1}C_{1}与A_{1}D所成的角，即为\angle DA_{1}C_{1}(或其补角)，设正方体的棱长为1，在\triangle DA_{1}C_{1}中，A_{1}C_{1}=A_{1}D=DC_{1}=\sqrt{2}，故\triangle DA_{1}C_{1}为等边三角形，所以\angle DA_{1}C_{1}=\frac{\pi }{3}，所以AC与A_{1}D所成的角为\frac{\pi }{3}.$<img_1913>

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，求：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867564592971778/img/compression/M_753147ddcdc8cf44dd139d1e82be8ae0.jpg)
$(2)A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角.$

Solution:
$连接BC_{1},B_{1}C，设BC_{1},B_{1}C交于点E，连接A_{1}E，易知A_{1}D\parallel B_{1}C，所以平面A_{1}DC即为平面A_{1}DCB_{1}.因为几何体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体，所以DC\perp 平面BCC_{1}B_{1}，所以DC\perp BC_{1}，又B_{1}C\perp BC_{1}，DC\cap B_{1}C=C，所以BC_{1}\perp 平面A_{1}DCB_{1}，所以\angle BA_{1}E即为A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角.设正方体的棱长为1，在Rt\triangle BEA_{1}中，A_{1}B=\sqrt{2},BE=\frac{\sqrt{2}}{2}，所以\\sin  \angle BA_{1}E=\frac{BE}{A_1B}=\frac{1}{2}，所以\angle BA_{1}E=\frac{\pi }{6}，所以A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角为\frac{\pi }{6}.$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图所示，在正方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，求：$<img_2945>
$(2)A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角.$

Solution:
$连接BC_{1},B_{1}C，设BC_{1},B_{1}C交于点E，连接A_{1}E，易知A_{1}D\parallel B_{1}C，所以平面A_{1}DC即为平面A_{1}DCB_{1}.因为几何体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}为正方体，所以DC\perp 平面BCC_{1}B_{1}，所以DC\perp BC_{1}，又B_{1}C\perp BC_{1}，DC\cap B_{1}C=C，所以BC_{1}\perp 平面A_{1}DCB_{1}，所以\angle BA_{1}E即为A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角.设正方体的棱长为1，在Rt\triangle BEA_{1}中，A_{1}B=\sqrt{2},BE=\frac{\sqrt{2}}{2}，所以\\sin  \angle BA_{1}E=\frac{BE}{A_1B}=\frac{1}{2}，所以\angle BA_{1}E=\frac{\pi }{6}，所以A_{1}B与平面A_{1}DC所成的角为\frac{\pi }{6}.$

Final answer: $\frac{\pi }{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2\sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867565775765505/img/compression/M_c91cdac7014322a040bf979e558c743d.jpg)
$(1)证明：PO\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：\because PA=PC=AC=4，O为AC的中点，\therefore OP\perp AC，且OP=2\sqrt{3}.连接OB，如图，\because AB=BC=\frac{\sqrt{2}}{2}AC，\therefore \triangle ABC为等腰直角三角形，且OB\perp AC，\therefore OB=\frac{1}{2}AC=2，\therefore OP^{2}+OB^{2}=PB^{2}，\therefore OP\perp OB.又\because OB\cap AC=O，OB,AC\subset 平面ABC,\therefore PO\perp 平面ABC.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867565775765505/img/compression/M_88e689aefc5c704c032b9e52cc6ae7e3.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2\sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.$<img_2287>
$(1)证明：PO\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：\because PA=PC=AC=4，O为AC的中点，\therefore OP\perp AC，且OP=2\sqrt{3}.连接OB，如图，\because AB=BC=\frac{\sqrt{2}}{2}AC，\therefore \triangle ABC为等腰直角三角形，且OB\perp AC，\therefore OB=\frac{1}{2}AC=2，\therefore OP^{2}+OB^{2}=PB^{2}，\therefore OP\perp OB.又\because OB\cap AC=O，OB,AC\subset 平面ABC,\therefore PO\perp 平面ABC.
$<img_1503>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2\sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.$<img_2287>
$(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.$

Solution:
$作CH\perp OM，垂足为H，由(1)可得OP\perp CH，又OM\cap OP=O，OM,OP\subset 平面POM,\therefore CH\perp 平面POM，\therefore CH的长即为点C到平面POM的距离.由题设可知，OC=\frac{1}{2}AC=2，CM=\frac{2}{3}BC=\frac{4\sqrt{2}}{3}，\angle ACB=45^\circ ，\therefore OM=\frac{2\sqrt{5}}{3}，\therefore CH=\frac{OC\cdot CM\cdot \\\sin   \angle ACB}{OM}=\frac{4\sqrt{5}}{5}，\therefore 点C到平面POM的距离为\frac{4\sqrt{5}}{5}.$



Final answer: $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2\sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867565775765505/img/compression/M_c91cdac7014322a040bf979e558c743d.jpg)
$(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.$

Solution:
$作CH\perp OM，垂足为H，由(1)可得OP\perp CH，又OM\cap OP=O，OM,OP\subset 平面POM,\therefore CH\perp 平面POM，\therefore CH的长即为点C到平面POM的距离.由题设可知，OC=\frac{1}{2}AC=2，CM=\frac{2}{3}BC=\frac{4\sqrt{2}}{3}，\angle ACB=45^\circ ，\therefore OM=\frac{2\sqrt{5}}{3}，\therefore CH=\frac{OC\cdot CM\cdot \\\sin   \angle ACB}{OM}=\frac{4\sqrt{5}}{5}，\therefore 点C到平面POM的距离为\frac{4\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $为4\sqrt{5}/5$
Subfield: Solid Geometry


Question: $从①CD\perp BC，②CD\parallel 平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=2，BC=CD=1，PC=3，　　　　.$<img_2642>
$(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；$

Solution:
$选择①.证明：连接AC，因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AC.因为PA=2，PC=3，所以AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5，因为AB=2，BC=1，所以AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}，所以AB\perp BC.因为CD\perp BC，所以AB\parallel CD，又AB\neq CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
选择②.证明：连接AC，因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AC.因为PA=2，PC=3，所以AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5，因为AB=2，BC=1，所以AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}，所以AB\perp BC.因为CD\parallel 平面PAB，CD\subset 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD=AB，所以AB\parallel CD，又AB\neq CD,所以四边形ABCD是直角梯形.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $从①CD\perp BC，②CD\parallel 平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=2，BC=CD=1，PC=3，　　　　.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867569697439746/img/compression/M_d0cea791e852bbd06340415714cb6075.jpg)
$(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；$

Solution:
$选择①.证明：连接AC，因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AC.因为PA=2，PC=3，所以AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5，因为AB=2，BC=1，所以AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}，所以AB\perp BC.因为CD\perp BC，所以AB\parallel CD，又AB\neq CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
选择②.证明：连接AC，因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AC.因为PA=2，PC=3，所以AC^{2}=PC^{2}-PA^{2}=5，因为AB=2，BC=1，所以AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}，所以AB\perp BC.因为CD\parallel 平面PAB，CD\subset 平面ABCD，平面PAB\cap 平面ABCD=AB，所以AB\parallel CD，又AB\neq CD,所以四边形ABCD是直角梯形.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $从①CD\perp BC，②CD\parallel 平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=2，BC=CD=1，PC=3，　　　　.$<img_2642>
$(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.$

Solution:
$选择①. 如图，将四棱锥P-ABCD补成一个长方体ABCE-PFGH，连接PE，CF，则PB与平面PCD所成的角即PB与平面PFCE所成的角.过B作BO\perp CF于O，连接OP，由长方体的性质知，EC\perp 平面BCGF，所以EC\perp OB，又CF\cap EC=C，所以OB\perp 平面PFCE，则\angle BPO即为直线PB与平面PCD所成的角.在Rt\triangle CBF中，可求得OB=\frac{2\sqrt{5}}{5}，在Rt\triangle PAB中，可求得PB=2\sqrt{2}，所以\\sin  \angle BPO=\frac{OB}{PB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.
$<img_2122>$
选择②. 同选择①.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $从①CD\perp BC，②CD\parallel 平面PAB这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，PA=AB=2，BC=CD=1，PC=3，　　　　.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867569697439746/img/compression/M_d0cea791e852bbd06340415714cb6075.jpg)
$(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.$

Solution:
$选择①. 如图，将四棱锥P-ABCD补成一个长方体ABCE-PFGH，连接PE，CF，则PB与平面PCD所成的角即PB与平面PFCE所成的角.过B作BO\perp CF于O，连接OP，由长方体的性质知，EC\perp 平面BCGF，所以EC\perp OB，又CF\cap EC=C，所以OB\perp 平面PFCE，则\angle BPO即为直线PB与平面PCD所成的角.在Rt\triangle CBF中，可求得OB=\frac{2\sqrt{5}}{5}，在Rt\triangle PAB中，可求得PB=2\sqrt{2}，所以\\sin  \angle BPO=\frac{OB}{PB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867569697439746/img/compression/M_c887ec7c0974189180dff60037c12552.jpg)$
选择②. 同选择①.$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为梯形，AB\parallel CD，\angle C=60^\circ ，AB=2，BC=3，CD=6，点M在CD上，且CM=\frac{1}{3}CD,连接AM,BD，且AM与BD交于点O.现沿AM将\triangle ADM折起至\triangle AQM的位置，使QB=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867570439831554/img/compression/M_93a4613751832c5b2f56063d0da18348.jpg)
$(1)求证：QB\perp 平面ABCM；$

Solution:
$证明：因为BC=3，CD=6，\angle C=60^\circ ，所以由余弦定理得BD=3\sqrt{3}，从而BD^{2}+BC^{2}=CD^{2}，所以DB\perp BC.由已知得AB\parallel MC,AB=MC，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AM\parallel BC,所以DB\perp AM.由折叠可得AM\perp QO，AM\perp BO.又QO\cap BO=O，QO，BO\subset 平面QOB，所以AM\perp 平面QOB.而QB\subset 平面QOB，所以QB\perp AM.易得QO=2\sqrt{3}，OB=\sqrt{3}，因为QB=3，所以QB^{2}+BO^{2}=QO^{2}，所以QB\perp BO.因为AM\cap BO=O，AM，BO\subset 平面ABCM，所以QB\perp 平面ABCM.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为梯形，AB\parallel CD，\angle C=60^\circ ，AB=2，BC=3，CD=6，点M在CD上，且CM=\frac{1}{3}CD,连接AM,BD，且AM与BD交于点O.现沿AM将\triangle ADM折起至\triangle AQM的位置，使QB=3.$<img_1998>
$(1)求证：QB\perp 平面ABCM；$

Solution:
$证明：因为BC=3，CD=6，\angle C=60^\circ ，所以由余弦定理得BD=3\sqrt{3}，从而BD^{2}+BC^{2}=CD^{2}，所以DB\perp BC.由已知得AB\parallel MC,AB=MC，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AM\parallel BC,所以DB\perp AM.由折叠可得AM\perp QO，AM\perp BO.又QO\cap BO=O，QO，BO\subset 平面QOB，所以AM\perp 平面QOB.而QB\subset 平面QOB，所以QB\perp AM.易得QO=2\sqrt{3}，OB=\sqrt{3}，因为QB=3，所以QB^{2}+BO^{2}=QO^{2}，所以QB\perp BO.因为AM\cap BO=O，AM，BO\subset 平面ABCM，所以QB\perp 平面ABCM.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为梯形，AB\parallel CD，\angle C=60^\circ ，AB=2，BC=3，CD=6，点M在CD上，且CM=\frac{1}{3}CD,连接AM,BD，且AM与BD交于点O.现沿AM将\triangle ADM折起至\triangle AQM的位置，使QB=3.$<img_1998>
$(2)求直线BM与平面AQM所成角的正弦值.$

Solution:
$如图，在平面BOQ内作BP\perp QO于点P，则由AM\perp 平面QOB，得AM\perp BP.又QO\cap AM=O，QO，AM\subset 平面AQM，所以BP\perp 平面AQM.连接MP，则MP是BM在平面AQM内的投影，所以\angle BMP即是BM与平面AQM所成的角.因为BP=\frac{QB\cdot OB}{QO}=\frac{3\times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}，BM=\sqrt{BC^2+CM^2-2BC\cdot CM\\\cos   60^{\circ}}=\sqrt{7}，所以\\sin  \angle BMP=\frac{BP}{BM}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.即直线BM与平面AQM所成角的正弦值为\frac{3\sqrt{7}}{14}.$<img_1797>

Final answer: $\frac{3\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四边形ABCD为梯形，AB\parallel CD，\angle C=60^\circ ，AB=2，BC=3，CD=6，点M在CD上，且CM=\frac{1}{3}CD,连接AM,BD，且AM与BD交于点O.现沿AM将\triangle ADM折起至\triangle AQM的位置，使QB=3.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867570439831554/img/compression/M_93a4613751832c5b2f56063d0da18348.jpg)
$(2)求直线BM与平面AQM所成角的正弦值.$

Solution:
$如图，在平面BOQ内作BP\perp QO于点P，则由AM\perp 平面QOB，得AM\perp BP.又QO\cap AM=O，QO，AM\subset 平面AQM，所以BP\perp 平面AQM.连接MP，则MP是BM在平面AQM内的投影，所以\angle BMP即是BM与平面AQM所成的角.因为BP=\frac{QB\cdot OB}{QO}=\frac{3\times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}，BM=\sqrt{BC^2+CM^2-2BC\cdot CM\\\cos   60^{\circ}}=\sqrt{7}，所以\\sin  \angle BMP=\frac{BP}{BM}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.即直线BM与平面AQM所成角的正弦值为\frac{3\sqrt{7}}{14}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706867570926370817/img/compression/M_919ca084f2c50edb3a0a50ed24d64bcb.jpg)

Final answer: $\frac{3\sqrt{7}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是线段A_{1}B，AC_{1}的中点.$<img_2976>
$(1)求证：AA_{1}\perp MN；$

Solution:
$证明：如图，连接A_{1}C，则N也是A_{1}C的中点，$<img_1742>$因为M为A_{1}B的中点，所以MN为\triangle A_{1}BC的中位线，所以MN\parallel BC.因为三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}为直三棱柱，所以AA_{1}\perp 平面ABC,又BC\subset 平面ABC，所以AA_{1}\perp BC，所以AA_{1}\perp MN.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是线段A_{1}B，AC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236549013241858/img/compression/M_d014048dd06c0aa628688e4a8dcd5b57.jpg)
$(1)求证：AA_{1}\perp MN；$

Solution:
$证明：如图，连接A_{1}C，则N也是A_{1}C的中点，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236549462032386/img/compression/M_bb84df1714aa5858b895bf2d90f5ab5f.jpg)$因为M为A_{1}B的中点，所以MN为\triangle A_{1}BC的中位线，所以MN\parallel BC.因为三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}为直三棱柱，所以AA_{1}\perp 平面ABC,又BC\subset 平面ABC，所以AA_{1}\perp BC，所以AA_{1}\perp MN.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，M，N分别是线段A_{1}B，AC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236549013241858/img/compression/M_d014048dd06c0aa628688e4a8dcd5b57.jpg)
$(2)在线段BC_{1}上是否存在一点P,使得平面MNP\parallel 平面ABC?若存在，指出点P的具体位置；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在，当点P为BC_{1}的中点时，平面MNP\parallel 平面ABC.取BC_{1}的中点P，如图，连接PN，PM，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236549852102658/img/compression/M_6e09bf1e1f22ecf2485ae108c161c14b.jpg)$因为N为AC_{1}的中点，P为BC_{1}的中点，所以NP为\triangle ABC_{1}的中位线，所以PN\parallel AB，又PN\not\subset 平面ABC，AB\subset 平面ABC，所以PN\parallel 平面ABC.又由(1)知MN\parallel BC,BC\subset 平面ABC,MN\not\subset 平面ABC，所以MN\parallel 平面ABC，又MN\cap PN=N,MN,PN\subset 平面PMN，所以平面MNP\parallel 平面ABC.故在线段BC_{1}上存在一点P,当P为BC_{1}的中点时，平面MNP\parallel 平面ABC.$

Final answer: $在线段BC1上存在一点P使得平面MNP平行于平面ABC，点P的具体位置是BC1的中点。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=1，AA_{1}=\sqrt{2}，M为DD_{1}的中点.
$<img_1686>
$(1)求证：D_{1}B\parallel 平面MAC；$

Solution:
$证明：连接DB交AC于点O，所以O为DB的中点，连接MO，因为M为DD_{1}的中点，所以MO是\triangle D_{1}DB的中位线，所以D_{1}B\parallel MO，又MO\subset 平面MAC，D_{1}B\not\subset 平面MAC，所以D_{1}B\parallel 平面MAC.$<img_2424>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=1，AA_{1}=\sqrt{2}，M为DD_{1}的中点.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236524010614786/img/compression/M_e4dfbc437bcb21b4b4158e3ec2b67339.jpg)
$(1)求证：D_{1}B\parallel 平面MAC；$

Solution:
$证明：连接DB交AC于点O，所以O为DB的中点，连接MO，因为M为DD_{1}的中点，所以MO是\triangle D_{1}DB的中位线，所以D_{1}B\parallel MO，又MO\subset 平面MAC，D_{1}B\not\subset 平面MAC，所以D_{1}B\parallel 平面MAC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236524513931266/img/compression/M_7e4a4b2061bcf966d282fedcc0904118.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=1，AA_{1}=\sqrt{2}，M为DD_{1}的中点.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236524010614786/img/compression/M_e4dfbc437bcb21b4b4158e3ec2b67339.jpg)
$(2)过D_{1}B作正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.$

Solution:
$分别取A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C的中点E,G,F，连接D_{1}E,EB,BF,FD_{1}，则平面D_{1}EBF即为所求截面.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236524954333186/img/compression/M_f8e6c979761340526139f715cb27612b.jpg)$理由如下：连接A_{1}G,GF，EF,BD,易知A_{1}E=GB，A_{1}E\parallel GB，所以四边形A_{1}EBG是平行四边形，所以A_{1}G=EB，A_{1}G\parallel EB，同理，A_{1}D_{1}=GF，A_{1}D_{1}\parallel GF，所以四边形D_{1}A_{1}GF是平行四边形，所以A_{1}G=D_{1}F，A_{1}G\parallel D_{1}F，所以D_{1}F=EB，D_{1}F\parallel EB，所以四边形D_{1}EBF是平行四边形.因为MD_{1}=CF，MD_{1}\parallel CF，所以四边形D_{1}MCF是平行四边形，所以D_{1}F\parallel MC，因为D_{1}F\not\subset 平面MAC，MC\subset 平面MAC，所以D_{1}F\parallel 平面MAC，因为D_{1}F\cap D_{1}B=D_{1}，所以平面MAC\parallel 平面D_{1}EBF.而D_{1}B\subset 平面D_{1}EBF，所以平面D_{1}EBF即为所求截面.因为EB=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，FB=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，所以EB=FB，所以四边形D_{1}EBF为菱形，所以D_{1}B\perp EF，因为D_{1}B=\sqrt{D_1D^2+BD^2}=\sqrt{D_1D^2+AD^2+AB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1+1}=2，EF=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}，所以截面面积为\frac{1}{2}D_{1}B\times EF=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AB=1，AA_{1}=\sqrt{2}，M为DD_{1}的中点.
$<img_1686>
$(2)过D_{1}B作正四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.$

Solution:
$分别取A_{1}A，B_{1}B，C_{1}C的中点E,G,F，连接D_{1}E,EB,BF,FD_{1}，则平面D_{1}EBF即为所求截面.$<img_2050>$理由如下：连接A_{1}G,GF，EF,BD,易知A_{1}E=GB，A_{1}E\parallel GB，所以四边形A_{1}EBG是平行四边形，所以A_{1}G=EB，A_{1}G\parallel EB，同理，A_{1}D_{1}=GF，A_{1}D_{1}\parallel GF，所以四边形D_{1}A_{1}GF是平行四边形，所以A_{1}G=D_{1}F，A_{1}G\parallel D_{1}F，所以D_{1}F=EB，D_{1}F\parallel EB，所以四边形D_{1}EBF是平行四边形.因为MD_{1}=CF，MD_{1}\parallel CF，所以四边形D_{1}MCF是平行四边形，所以D_{1}F\parallel MC，因为D_{1}F\not\subset 平面MAC，MC\subset 平面MAC，所以D_{1}F\parallel 平面MAC，因为D_{1}F\cap D_{1}B=D_{1}，所以平面MAC\parallel 平面D_{1}EBF.而D_{1}B\subset 平面D_{1}EBF，所以平面D_{1}EBF即为所求截面.因为EB=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，FB=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，所以EB=FB，所以四边形D_{1}EBF为菱形，所以D_{1}B\perp EF，因为D_{1}B=\sqrt{D_1D^2+BD^2}=\sqrt{D_1D^2+AD^2+AB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1+1}=2，EF=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}，所以截面面积为\frac{1}{2}D_{1}B\times EF=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $风筝起源于春秋时期，是我国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC\perp BD，AC与BD交于点O,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC,PO\perp 平面ABCD.$<img_2297>
$(1)求证：AC\perp PB；$

Solution:
$证明：因为PO\perp 平面ABCD,AC\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC.又AC\perp BD,BD\cap PO=O,BD\subset 平面PBD,PO\subset 平面PBD，所以AC\perp 平面PBD.又PB\subset 平面PBD，所以AC\perp PB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $风筝起源于春秋时期，是我国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC\perp BD，AC与BD交于点O,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC,PO\perp 平面ABCD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236568755830787/img/compression/M_bbd14b54a93b49914d84a30ee6af4843.jpg)
$(1)求证：AC\perp PB；$

Solution:
$证明：因为PO\perp 平面ABCD,AC\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC.又AC\perp BD,BD\cap PO=O,BD\subset 平面PBD,PO\subset 平面PBD，所以AC\perp 平面PBD.又PB\subset 平面PBD，所以AC\perp PB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $风筝起源于春秋时期，是我国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC\perp BD，AC与BD交于点O,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC,PO\perp 平面ABCD.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236568755830787/img/compression/M_bbd14b54a93b49914d84a30ee6af4843.jpg)
$(2)若AC=12，为使风筝保持最大张力，平面PBC与底面ABCD所成二面角的正切值应为\frac{\sqrt{5}}{4}，求此时点P到底面ABCD的距离.$

Solution:
$由AC=12,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC，得OB=OA=4,OC=8.如图，过O作OE\perp BC于E，连接PE，由PO\perp 平面ABCD，BC\subset 平面ABCD,知PO\perp BC，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236569166872578/img/compression/M_61ecade742666c221adeb06c3a6bfb14.jpg)$因为PO\cap OE=O，PO,OE\subset 平面POE,所以BC\perp 平面POE.又PE\subset 平面POE，所以BC\perp PE，故\angle PEO是二面角P-BC-A的平面角，此时\\tan  \angle PEO=\frac{\sqrt{5}}{4}，易知OE=\frac{4\times 8}{\sqrt{4^2+8^2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}，故此时点P到底面ABCD的距离PO=\frac{\sqrt{5}}{4}\times \frac{8\sqrt{5}}{5}=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $风筝起源于春秋时期，是我国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC\perp BD，AC与BD交于点O,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC,PO\perp 平面ABCD.$<img_2297>
$(2)若AC=12，为使风筝保持最大张力，平面PBC与底面ABCD所成二面角的正切值应为\frac{\sqrt{5}}{4}，求此时点P到底面ABCD的距离.$

Solution:
$由AC=12,OA=OB=OD=\frac{1}{2}OC，得OB=OA=4,OC=8.如图，过O作OE\perp BC于E，连接PE，由PO\perp 平面ABCD，BC\subset 平面ABCD,知PO\perp BC，$<img_2728>$因为PO\cap OE=O，PO,OE\subset 平面POE,所以BC\perp 平面POE.又PE\subset 平面POE，所以BC\perp PE，故\angle PEO是二面角P-BC-A的平面角，此时\\tan  \angle PEO=\frac{\sqrt{5}}{4}，易知OE=\frac{4\times 8}{\sqrt{4^2+8^2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}，故此时点P到底面ABCD的距离PO=\frac{\sqrt{5}}{4}\times \frac{8\sqrt{5}}{5}=2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD\perp 平面ABE，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2BC=2CD=2，AE=BE=\sqrt{3}，点M为BE的中点.$<img_1690>
$(1)求证：CM\parallel 平面ADE；$

Solution:
$证明：如图，取AE的中点N，连接NM,ND，因为M是EB的中点，所以MN是\triangle AEB的中位线，所以MN\parallel AB且MN=\frac{1}{2}AB，又AB\parallel CD，AB=2CD，所以MN\parallel CD，且MN=CD，所以四边形MNDC是平行四边形，所以CM\parallel DN，又DN\subset 平面ADE，CM\not\subset 平面ADE，所以CM\parallel 平面ADE.$<img_3052>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD\perp 平面ABE，AB\parallel DC，AB\perp BC，AB=2BC=2CD=2，AE=BE=\sqrt{3}，点M为BE的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236540490035202/img/compression/M_a86edd731531659172850967186806ed.jpg)
$(1)求证：CM\parallel 平面ADE；$

Solution:
$证明：如图，取AE的中点N，连接NM,ND，因为M是EB的中点，所以MN是\triangle AEB的中位线，所以MN\parallel AB且MN=\frac{1}{2}AB，又AB\parallel CD，AB=2CD，所以MN\parallel CD，且MN=CD，所以四边形MNDC是平行四边形，所以CM\parallel DN，又DN\subset 平面ADE，CM\not\subset 平面ADE，所以CM\parallel 平面ADE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1706236540833968129/img/compression/M_32c2f3dc0deeaefc0a8680e34fcce4c5.jpg)

Final answer: 证明题