di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $半径为r_1的单匝线圈放置在绝缘水平面上，线圈的电阻为R，O为圆心，以O为圆心、半径为r_0(r_0<r_1)的圆形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律为B=B_0-kt，在磁感应强度由B_0减为0的过程中，求：$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522166707474433/img/compression/M_c5a224e81eeb17a9c5ff98748b548d6b.jpg)
$线圈中产生的感应电流I；$

Solution:
$设线圈中感应电动势为E，则$
$E=|\frac{\Delta B}{\Delta t}|S$

$线圈中的感应电流I=\frac{E}{R}$

$解得I=\frac{k\pi r^2_0}{R}$

Final answer: $\frac{k\pi r^2_0}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $半径为r_1的单匝线圈放置在绝缘水平面上，线圈的电阻为R，O为圆心，以O为圆心、半径为r_0(r_0<r_1)的圆形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律为B=B_0-kt，在磁感应强度由B_0减为0的过程中，求：$

<img_978>
$线圈中产生的感应电流I；$

Solution:
$设线圈中感应电动势为E，则$
$E=|\frac{\Delta B}{\Delta t}|S$

$线圈中的感应电流I=\frac{E}{R}$

$解得I=\frac{k\pi r^2_0}{R}$

Final answer: $\frac{k\pi r^2_0}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $半径为r_1的单匝线圈放置在绝缘水平面上，线圈的电阻为R，O为圆心，以O为圆心、半径为r_0(r_0<r_1)的圆形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律为B=B_0-kt，在磁感应强度由B_0减为0的过程中，求：$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522166707474433/img/compression/M_c5a224e81eeb17a9c5ff98748b548d6b.jpg)
$线圈中产生的焦耳热Q和通过线圈横截面的电荷量q。$

Solution:
$磁感应强度减为零所需时间t= \frac{B_0}{k}$

$线圈中产生的焦耳热Q= I^2Rt$

$解得Q= \frac{k\pi ^2r^4_0B_0}{R}$

$通过线圈横截面的电荷量q= It$

$解得q= \frac{\pi r^2_0B_0}{R}$

Final answer: $ \frac{\pi r^2_0B_0}{R}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $半径为r_1的单匝线圈放置在绝缘水平面上，线圈的电阻为R，O为圆心，以O为圆心、半径为r_0(r_0<r_1)的圆形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律为B=B_0-kt，在磁感应强度由B_0减为0的过程中，求：$

<img_978>
$线圈中产生的焦耳热Q和通过线圈横截面的电荷量q。$

Solution:
$磁感应强度减为零所需时间t= \frac{B_0}{k}$

$线圈中产生的焦耳热Q= I^2Rt$

$解得Q= \frac{k\pi ^2r^4_0B_0}{R}$

$通过线圈横截面的电荷量q= It$

$解得q= \frac{\pi r^2_0B_0}{R}$

Final answer: $ \frac{\pi r^2_0B_0}{R}$
Subfield: Modern Physics


Question: $静止在匀强电场中的碳^{14}_{ 6}C原子核，某时刻衰变放出的某种粒子与新核的初速度方向均与电场方向垂直，且经过相等时间后形成的轨迹如图所示，光速为c，忽略粒子与新核之间的作用力。$

<img_932>
$若已知新核的动能为E，且衰变过程中放出的核能全部转为两种粒子的动能，求此衰变过程的质量亏损\Delta m。$

Solution:
两粒子动量等大

$又因为E_k = \frac{p^2}{2m}$

$\frac{E}{E_1} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{5}  或 E_1 = \frac{5}{2}E$

$\Delta E = E + E_1 = \frac{7}{2}E$

$\Delta E = \Delta mc^2 $

$所以 \Delta m = \frac{7E}{2c^2}$

Final answer: $\frac{7E}{2c^2}$
Subfield: Modern Physics


Question: $静止在匀强电场中的碳^{14}_{ 6}C原子核，某时刻衰变放出的某种粒子与新核的初速度方向均与电场方向垂直，且经过相等时间后形成的轨迹如图所示，光速为c，忽略粒子与新核之间的作用力。$

![24BJS5WL296.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522232113451010/img/compression/M_2d1afc877477612e34f8f3537273d8f5.jpg)
$若已知新核的动能为E，且衰变过程中放出的核能全部转为两种粒子的动能，求此衰变过程的质量亏损\Delta m。$

Solution:
两粒子动量等大

$又因为E_k = \frac{p^2}{2m}$

$\frac{E}{E_1} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{5}  或 E_1 = \frac{5}{2}E$

$\Delta E = E + E_1 = \frac{7}{2}E$

$\Delta E = \Delta mc^2 $

$所以 \Delta m = \frac{7E}{2c^2}$

Final answer: $\frac{7E}{2c^2}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时，缸内气体体积为V_1,温度为T_1。已知重力加速度大小为g,大气压强为p_0。$
<img_924>
$将汽缸如图(b)竖直悬挂，缸内气体温度仍为 T_1。求此时缸内气体体积 V_2；$

Solution:
$题图(a)状态下，对汽缸受力分析，如图1所示，则封闭气体的压强为p_1=p_0+\frac{mg}{S}。$

$当汽缸按题图(b)方式悬挂时，对汽缸受力分析，如图2所示，则封闭气体的压强为p_2=p_0-\frac{mg}{S}。$

<img_972>

<img_1163>

$对封闭气体由玻意耳定律得p_1V_1=p_2V_2，$

$解得V_2=\frac{p_0S+mg}{p_0S-mg}V_1。$

Final answer: $\frac{p_0S+mg}{p_0S-mg} V_1 $
Subfield: Thermodynamics


Question: $质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时，缸内气体体积为V_1,温度为T_1。已知重力加速度大小为g,大气压强为p_0。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522268872331266/img/compression/M_c6140cd113df754bdf6a0d6ae6fbb7a5.jpg)
$将汽缸如图(b)竖直悬挂，缸内气体温度仍为 T_1。求此时缸内气体体积 V_2；$

Solution:
$题图(a)状态下，对汽缸受力分析，如图1所示，则封闭气体的压强为p_1=p_0+\frac{mg}{S}。$

$当汽缸按题图(b)方式悬挂时，对汽缸受力分析，如图2所示，则封闭气体的压强为p_2=p_0-\frac{mg}{S}。$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522269149155330/img/compression/M_38adf53b6b1cd0cdc5e01bef7af4408e.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522269149155330/img/compression/M_e19ce0d966f881f6d37f3abf7d2d06f5.jpg)

$对封闭气体由玻意耳定律得p_1V_1=p_2V_2，$

$解得V_2=\frac{p_0S+mg}{p_0S-mg}V_1。$

Final answer: $\frac{p_0S+mg}{p_0S-mg} V_1 $
Subfield: Thermodynamics


Question: $质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时，缸内气体体积为V_1,温度为T_1。已知重力加速度大小为g,大气压强为p_0。$
<img_924>
$如图(c)所示，将汽缸水平放置，稳定后对汽缸缓慢加热，当缸内气体体积为V_3时，求此时缸内气体的温度。$

Solution:
当汽缸按题图(c)的方式水平放置时，
$封闭气体的压强为p_{3}=p_{0}，$
$由理想气体状态方程得\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_3V_3}{T_3}，$
$解得T_{3}=\frac{p_0SV_3T_1}{(p_0S+mg)V_1}。$

Final answer: $\frac{p_0SV_3T_1}{(p_0S+mg)V_1}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时，缸内气体体积为V_1,温度为T_1。已知重力加速度大小为g,大气压强为p_0。$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522268872331266/img/compression/M_c6140cd113df754bdf6a0d6ae6fbb7a5.jpg)
$如图(c)所示，将汽缸水平放置，稳定后对汽缸缓慢加热，当缸内气体体积为V_3时，求此时缸内气体的温度。$

Solution:
当汽缸按题图(c)的方式水平放置时，
$封闭气体的压强为p_{3}=p_{0}，$
$由理想气体状态方程得\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_3V_3}{T_3}，$
$解得T_{3}=\frac{p_0SV_3T_1}{(p_0S+mg)V_1}。$

Final answer: $\frac{p_0SV_3T_1}{(p_0S+mg)V_1}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $装有氮气的气球半径为R，现向气球内缓慢充入氮气，当气球膨胀至半径为2R时破裂，已知大气压强为p_{0}，该气球内外压强差\Delta p=\frac{\beta }{r}(\beta 为常量、r为气球半径)，球的体积公式为V=\frac{4}{3}\pi r^3。求：$
充气前气球内气体质量与破裂前瞬间气球内气体质量之比k。

Solution:
$充气前气球内气体压强为p_1=p_0+\frac{\beta }{R}$

$设充气前气球内气体的体积为V_1，破裂前原来气体在压强为p的状态下体积为V'_1，则p_1V_1=pV'_1$

$破裂前气球内气体的总体积为8V_1$

$质量之比k=\frac{V'_1}{8V_1}$

$解得k=\frac{p_0R+\beta }{8p_0R+4\beta }$

Final answer: $k=\frac{p_0R+\beta }{8p_0R+4\beta }$
Subfield: Thermodynamics


Question: $A、B两个容器体积均为V，C是用活塞密封的气筒，它的工作体积为0.5V。C与A、B通过两只单向气阀a、b相连；当气筒C抽气时气阀a打开、b关闭；当气筒打气时气阀b打开、a关闭。最初A、B两容器内气体的压强均为大气压强p_0，活塞位于气筒C的最右侧。(气筒与容器连接部分的气体体积忽略不计，整个装置温度保持不变，气体可视为理想气体)$

<img_1418>
$求以工作体积完成第1次抽气后，容器A内气体的压强p_1；$

Solution:
$对第1次抽气过程，以容器A内气体为研究对象，由波意耳定律有 p_0 V=p_1(0.5+1)V$
$解得p_1=\frac{2}{3} p_0$

Final answer: $p_1=\frac{2}{3} p_0$
Subfield: Thermodynamics


Question: $A、B两个容器体积均为V，C是用活塞密封的气筒，它的工作体积为0.5V。C与A、B通过两只单向气阀a、b相连；当气筒C抽气时气阀a打开、b关闭；当气筒打气时气阀b打开、a关闭。最初A、B两容器内气体的压强均为大气压强p_0，活塞位于气筒C的最右侧。(气筒与容器连接部分的气体体积忽略不计，整个装置温度保持不变，气体可视为理想气体)$

![23AJS5WL132.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522260904787970/img/compression/M_ba72b66e2f962cd3ec67b0a81436c0df.jpg)
$求以工作体积完成第1次抽气后，容器A内气体的压强p_1；$

Solution:
$对第1次抽气过程，以容器A内气体为研究对象，由波意耳定律有 p_0 V=p_1(0.5+1)V$
$解得p_1=\frac{2}{3} p_0$

Final answer: $p_1=\frac{2}{3} p_0$
Subfield: Optics


Question: $一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量，其部分原理简化如图所示。两光纤可等效为圆柱状玻璃丝M、N，相距为d，直径均为2a，折射率为n(n<\sqrt{2})。M、N下端横截面平齐且与被测物体表面平行。激光在M内多次全反射后从下端面射向被测物体，经被测物体表面镜面反射至N下端面，N下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。![N下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522327009579010/img/compression/M_e8619c27060d0b15a4a3f95a96d6f231.jpg)$
$从M下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为\theta ，求\theta 的正弦值；$

Solution:
$由题意可知光在M内恰好发生全反射时，从M下端面出射的光与竖直方向的偏角最大为\theta ，设光在M下端面的入射角为\alpha ，则有\alpha =90^\circ -C，故有\sin \alpha ＝\cos C，又\sin C＝\frac{1}{n}，n＝\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }，联立解得\sin \theta ＝\sqrt{n^2-1}.$

Final answer: $\sqrt{n^2-1}$
Subfield: Optics


Question: $一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量，其部分原理简化如图所示。两光纤可等效为圆柱状玻璃丝M、N，相距为d，直径均为2a，折射率为n(n<\sqrt{2})。M、N下端横截面平齐且与被测物体表面平行。激光在M内多次全反射后从下端面射向被测物体，经被测物体表面镜面反射至N下端面，N下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。<img_567>$
$从M下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为\theta ，求\theta 的正弦值；$

Solution:
$由题意可知光在M内恰好发生全反射时，从M下端面出射的光与竖直方向的偏角最大为\theta ，设光在M下端面的入射角为\alpha ，则有\alpha =90^\circ -C，故有\sin \alpha ＝\cos C，又\sin C＝\frac{1}{n}，n＝\frac{\sin  \theta }{\sin  \alpha }，联立解得\sin \theta ＝\sqrt{n^2-1}.$

Final answer: $\sqrt{n^2-1}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997080035331/img/compression/M_7ce42025ba44615f13470a3863e3dd7f.jpg)
$金属棒甲刚进入磁场时的速度v_{1}；$

Solution:
$金属棒甲刚进入磁场时，有E=B_0dv_1,$

$U_0=\frac{E}{\frac{1}{2}R+R} \cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{3}B_0dv_1 ，得 v_1=\frac{3U_0}{B_0d} 。$

Final answer: $\frac{3U_0}{B_0d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

<img_1252>
$金属棒甲刚进入磁场时的速度v_{1}；$

Solution:
$金属棒甲刚进入磁场时，有E=B_0dv_1,$

$U_0=\frac{E}{\frac{1}{2}R+R} \cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{3}B_0dv_1 ，得 v_1=\frac{3U_0}{B_0d} 。$

Final answer: $\frac{3U_0}{B_0d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997080035331/img/compression/M_7ce42025ba44615f13470a3863e3dd7f.jpg)
金属棒甲在经过匀强磁场过程中每个电阻R产生的焦耳热；

Solution:
$穿过磁场Ⅰ的过程中，对甲由动能定理有 (mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta)L + Q_{热}= \frac{1}{2}mv^2_2 - \frac{1}{2}mv^2_1， Q_{安}=-Q_{热}，  $

$Q_{热}是电路产生的总热量，由电压传感器输出信号，可知金属棒甲最后匀速运动并穿出磁场，  $
$则 2U_0 = \frac{E'}{\frac{1}{2}R+R} \cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{3}B_0dv_2，得 v_2=\frac{6U_0}{B_0d},$

$根据电路的连接特点，可得一个电阻 R 产生的焦耳热 Q_{R}= \frac{1}{6} Q_{热}= \frac{(mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta )L-\frac{27mU^2_0}{2B^2_0d^2}}{6}$

Final answer: $\frac{(mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta )L-\frac{27mU^2_0}{2B^2_0d^2}}{6}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

<img_1252>
金属棒甲在经过匀强磁场过程中每个电阻R产生的焦耳热；

Solution:
$穿过磁场Ⅰ的过程中，对甲由动能定理有 (mg \sin \theta -\mu mg \cos \theta)L + Q_{热}= \frac{1}{2}mv^2_2 - \frac{1}{2}mv^2_1， Q_{安}=-Q_{热}，  $

$Q_{热}是电路产生的总热量，由电压传感器输出信号，可知金属棒甲最后匀速运动并穿出磁场，  $
$则 2U_0 = \frac{E'}{\frac{1}{2}R+R} \cdot \frac{1}{2}R = \frac{1}{3}B_0dv_2，得 v_2=\frac{6U_0}{B_0d},$

$根据电路的连接特点，可得一个电阻 R 产生的焦耳热 Q_{R}= \frac{1}{6} Q_{热}= \frac{(mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta )L-\frac{27mU^2_0}{2B^2_0d^2}}{6}$

Final answer: $\frac{(mg \sin  \theta -\mu mg \cos  \theta )L-\frac{27mU^2_0}{2B^2_0d^2}}{6}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061997080035331/img/compression/M_7ce42025ba44615f13470a3863e3dd7f.jpg)
$若让甲、乙(图中未画出)两根完全一样的金属棒分别从左侧AA'，右侧MM'同高度同时下滑，发现金属棒甲到达CC'和金属棒乙到达DD'的时间总是相同，求磁场Ⅱ的磁感应强度B_x。$

Solution:
$由题意分析可知，每个时刻甲乙的加速度大小相等，即合力大小相等，则有 mg \sin \theta  -\mu mg \cos \theta  -B_{0}Id =mg \sin \theta  -\mu  (mg \cos  \theta +Bx \times \frac{1}{3} \times Id) ，得 B_{x} =\frac{3B_0}{\mu }$

Final answer: $\frac{3B_0}{\mu }$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平面上固定了一个左右两侧结构完全对称的金属轨道。只有直轨道BC、B' C' 和ED、E' D' 部分粗糙，粗糙部分轨道倾角为\theta ，长度为L，动摩擦因数为\mu ，其余部分都是光滑的，轨道各部分之间平滑连接。BB' C' C 区域存在垂直于斜面BB' C' C 向上的匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度为B_0，EE' D' D 区域存在平行于斜面EE' D' D 向上的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度B_x 未知)。轨道的水平部分连接有两个阻值为R 的电阻和一套电压传感器。现有一根金属棒甲，从AA' 静止释放，下滑过程中通过数字接收器在屏幕上显示的电压如图。已知金属棒甲的电阻为R，质量为m；金属轨道间距为d，电阻不计,重力加速度为g。求：$

<img_1252>
$若让甲、乙(图中未画出)两根完全一样的金属棒分别从左侧AA'，右侧MM'同高度同时下滑，发现金属棒甲到达CC'和金属棒乙到达DD'的时间总是相同，求磁场Ⅱ的磁感应强度B_x。$

Solution:
$由题意分析可知，每个时刻甲乙的加速度大小相等，即合力大小相等，则有 mg \sin \theta  -\mu mg \cos \theta  -B_{0}Id =mg \sin \theta  -\mu  (mg \cos  \theta +Bx \times \frac{1}{3} \times Id) ，得 B_{x} =\frac{3B_0}{\mu }$

Final answer: $\frac{3B_0}{\mu }$
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑。整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气。平衡时，氮气的压强和体积分别为p0和V0，氢气的体积为2V0，空气的压强为p。现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求$

<img_454>
抽气后氢气的压强和体积。

Solution:
$设抽气后氢气的压强和体积分别为p_1'和V_1，氮气的压强和体积分别为p_2和V_2。有p_2\cdot S=p_1'\cdot 2S  $
$p_1'V_1=p_1\cdot 2V_0,p_2V_2=p_0V_0,V_1-2V_0=2(V_0-V_2)  $
$解得p_1'=\frac{1}{2}p_0+\frac{1}{4}p,V_1=\frac{4(p_0+p)V_0}{2p_0+p}$

Final answer: \[, \frac{1}{2}p_{0}+\frac{1}{4}p　\frac{4(p_{0}+p)V_{0}}{2p_{0}+p}, \]
Subfield: Thermodynamics


Question: $如图，一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑。整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气。平衡时，氮气的压强和体积分别为p0和V0，氢气的体积为2V0，空气的压强为p。现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062440731734019/img/compression/M_9ae7497f1016873c1ba5724e3ea3b429.jpg)
抽气后氢气的压强和体积。

Solution:
$设抽气后氢气的压强和体积分别为p_1'和V_1，氮气的压强和体积分别为p_2和V_2。有p_2\cdot S=p_1'\cdot 2S  $
$p_1'V_1=p_1\cdot 2V_0,p_2V_2=p_0V_0,V_1-2V_0=2(V_0-V_2)  $
$解得p_1'=\frac{1}{2}p_0+\frac{1}{4}p,V_1=\frac{4(p_0+p)V_0}{2p_0+p}$

Final answer: \[, \frac{1}{2}p_{0}+\frac{1}{4}p　\frac{4(p_{0}+p)V_{0}}{2p_{0}+p}, \]
Subfield: Optics


Question: $一振动片以频率f做简谐运动时,固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上 a、b两点,两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点,a、b、c 间的距离均为 l，如图所示。已知除 c 点外,在 ac 连线上还有其他振幅极大的点,其中距 c 最近的点到 c 的距离为 \frac{3}{8} l。求:$

![23ATY5WL112.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625062495731642370/img/compression/M_1b60b3f0eddd37200180536e5e1879be.jpg)
波的传播速度。

Solution:
$波的频率取决于波源的频率,得v=\lambda f=\frac{1}{4}fl 。$

Final answer: $\frac{1}{4}fl$
Subfield: Optics


Question: $一振动片以频率f做简谐运动时,固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上 a、b两点,两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点,a、b、c 间的距离均为 l，如图所示。已知除 c 点外,在 ac 连线上还有其他振幅极大的点,其中距 c 最近的点到 c 的距离为 \frac{3}{8} l。求:$

<img_540>
波的传播速度。

Solution:
$波的频率取决于波源的频率,得v=\lambda f=\frac{1}{4}fl 。$

Final answer: $\frac{1}{4}fl$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码移动的距离很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为m_1和m_2，各接触面间的动摩擦因数均为\mu 。重力加速度为g。$
![24AZJ5WL117.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060457355104258/img/compression/M_26a7719bdc6d3b1c7c79e6bcab9750fd.jpg)
当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力大小；

Solution:
$当纸板相对砝码运动时，砝码和桌面对纸板的摩擦力分别为f_1 = \mu m_1g，f_2 = \mu (m_1+m_2)g，方向均水平向左；纸板所受摩擦力的大小f = f_1 + f_2 = \mu (2m_1+m_2)g。$

Final answer: $\mu(2m_1+m_2)g$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码移动的距离很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为m_1和m_2，各接触面间的动摩擦因数均为\mu 。重力加速度为g。$
<img_1104>
当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力大小；

Solution:
$当纸板相对砝码运动时，砝码和桌面对纸板的摩擦力分别为f_1 = \mu m_1g，f_2 = \mu (m_1+m_2)g，方向均水平向左；纸板所受摩擦力的大小f = f_1 + f_2 = \mu (2m_1+m_2)g。$

Final answer: $\mu(2m_1+m_2)g$
Subfield: Mechanics


Question: $汽车从静止开始以大小为a的加速度做匀加速直线运动，经一段时间以后，以大小为2a的加速度做匀减速直线运动，它一共前进了l的距离后静止，求该汽车运动的平均速度大小。$

Solution:
$设汽车加速结束时的速度为v，则\frac{v^2}{2a} + \frac{v^2}{2 \times 2a} = l，得v=\sqrt{\frac{4al}{3}}，而\frac{0+v}{2}t_1 + \frac{v+0}{2}t_2 = l，得\frac{v}{2}(t_1+t_2)=l，即\frac{v}{2}=\frac{l}{t_1+t_2}=\overline{v}，因此，全程的平均速度\overline{v}=\frac{v}{2}=\frac{\sqrt{\frac{4al}{3}}}{2}=\frac{\sqrt{3al}}{3}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3al}}{3}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,矩形平板ABCD的AD边固定在水平面上,平板与水平面夹角为\theta ,AC与AB的夹角也为\theta 。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下,沿AC方向匀速运动。物块与平板间的动摩擦因数\mu =\tan \theta ,重力加速度大小为g,则拉力大小为多少?$

![物理题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099904319152131/img/compression/M_18fe33e43aee6a07d363adf1ec3051ca.jpg)

Solution:
$重力沿斜面的分力G_1平行于CD向下，滑动摩擦力f与运动方向相反，受力如图所示。有G_1=mg \sin \theta , f = \mu mg \cos \theta , F = \sqrt{G^2_1+f^2-2G_1f \cos  (\pi -\theta )} = 2mg \sin \theta  \cos (\frac{\theta }{2})。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099904319152131/img/compression/M_a10ed9e9e9b2e5b065972c3fdf9b52e9.jpg)

Final answer: $2mg \sin \theta  \cos \frac{\theta }{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示,矩形平板ABCD的AD边固定在水平面上,平板与水平面夹角为\theta ,AC与AB的夹角也为\theta 。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下,沿AC方向匀速运动。物块与平板间的动摩擦因数\mu =\tan \theta ,重力加速度大小为g,则拉力大小为多少?$

<img_624>

Solution:
$重力沿斜面的分力G_1平行于CD向下，滑动摩擦力f与运动方向相反，受力如图所示。有G_1=mg \sin \theta , f = \mu mg \cos \theta , F = \sqrt{G^2_1+f^2-2G_1f \cos  (\pi -\theta )} = 2mg \sin \theta  \cos (\frac{\theta }{2})。$

<img_857>

Final answer: $2mg \sin \theta  \cos \frac{\theta }{2}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099976859406338/img/compression/M_2904c78e0a71da275d0c52f6247a970a.jpg)
求所挂C的质量的最大值；

Solution:
$把B刚好要拉离地面时C的质量最大，设C的质量的最大值为M_{max}$

此时对A、B整体分析知轻绳的拉力大小为T=2mg

对C沿斜面方向受力分析，根据平衡条件可得

$M_{max}g \sin \theta =T+\mu M_{max}g \cos \theta $

$解得M_{max}=\frac{2m}{ \sin  \theta -\mu  \cos  \theta }$

Final answer: $\frac{2m}{\sin  \theta -\mu  \cos  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

<img_471>
求所挂C的质量的最大值；

Solution:
$把B刚好要拉离地面时C的质量最大，设C的质量的最大值为M_{max}$

此时对A、B整体分析知轻绳的拉力大小为T=2mg

对C沿斜面方向受力分析，根据平衡条件可得

$M_{max}g \sin \theta =T+\mu M_{max}g \cos \theta $

$解得M_{max}=\frac{2m}{ \sin  \theta -\mu  \cos  \theta }$

Final answer: $\frac{2m}{\sin  \theta -\mu  \cos  \theta }$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099976859406338/img/compression/M_2904c78e0a71da275d0c52f6247a970a.jpg)
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，求因轻绳挂上C而使A上升的高度；

Solution:
$设没有挂C时，弹簧压缩量为x_0，则x_0=\frac{mg}{k}$
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，设此时轻绳拉力大小为T_1，则对C沿斜面方向有
$T_1=Mg \sin \theta +\mu Mg \cos \theta $
对A根据平衡条件可得：若弹簧对A的弹力向上，则有
$T_1+kx_1=mg$
$解得x_1=\frac{mg-Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$
因轻绳挂上C而使A上升的高度
$h_1=x_0-x_1=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
若弹簧对A的弹力向下，则有T_1-kx_1'=mg
$解得x_1'=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta -mg}{k}$
因轻绳挂上C而使A上升的高度
$h_1'=x_1'+x_0=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
$h_1=h_1'=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$

Final answer: $\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

<img_471>
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，求因轻绳挂上C而使A上升的高度；

Solution:
$设没有挂C时，弹簧压缩量为x_0，则x_0=\frac{mg}{k}$
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，设此时轻绳拉力大小为T_1，则对C沿斜面方向有
$T_1=Mg \sin \theta +\mu Mg \cos \theta $
对A根据平衡条件可得：若弹簧对A的弹力向上，则有
$T_1+kx_1=mg$
$解得x_1=\frac{mg-Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$
因轻绳挂上C而使A上升的高度
$h_1=x_0-x_1=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
若弹簧对A的弹力向下，则有T_1-kx_1'=mg
$解得x_1'=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta -mg}{k}$
因轻绳挂上C而使A上升的高度
$h_1'=x_1'+x_0=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
$h_1=h_1'=\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$

Final answer: $\frac{Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630099976859406338/img/compression/M_2904c78e0a71da275d0c52f6247a970a.jpg)
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动。再将C沿斜面向上移动一段距离，C恰好不会向下滑动，求这段距离\Delta s。

Solution:
$若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，再将C向上移动一段距离，C恰好不会向下滑动，此时轻绳拉力大小为T_2，则对C沿斜面方向受力分析，有$

$T_2=Mg \sin \theta -\mu Mg \cos \theta $

对A根据平衡条件可得：若弹簧对A的弹力向上，则有

$T_2+kx_2=mg$

$解得x_2=\frac{mg-Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$因细绳挂上C并将C向上移动一段距离而使A上升的高度h_2=x_0-x_2=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$若弹簧对A的弹力向下，则有T_2-kx_2'=mg$

$解得x_2'=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta -mg}{k}$

$因细绳挂上C并将C向上移动一段距离而使A上升的高度h_2'=x_2'+x_0=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$h_2=h_2'$

所以再将C沿斜面向上移动的距离

$\Delta s=h_1-h_2=\frac{2\mu Mg \cos  \theta }{k}。$

Final answer: $\frac{2\mu Mg \cos  \theta }{k}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量均为m的物块A、B之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，竖直放置于水平地面上，轻绳的一端与A连接并绕过其正上方的光滑定滑轮P及与P等高的光滑定滑轮Q，另一端可挂到放在斜面上的物块C上。轻绳挂上C之后，将把A往上拉升直至新的平衡位置。已知B未离开地面，QC段轻绳与斜面平行，固定的斜面倾角为\theta ，C与斜面间的动摩擦因数为\mu (\mu <\tan \theta )，重力加速度为g，C与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。$

<img_471>
若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动。再将C沿斜面向上移动一段距离，C恰好不会向下滑动，求这段距离\Delta s。

Solution:
$若轻绳挂上质量为M的C后，C恰好不会向上滑动，再将C向上移动一段距离，C恰好不会向下滑动，此时轻绳拉力大小为T_2，则对C沿斜面方向受力分析，有$

$T_2=Mg \sin \theta -\mu Mg \cos \theta $

对A根据平衡条件可得：若弹簧对A的弹力向上，则有

$T_2+kx_2=mg$

$解得x_2=\frac{mg-Mg \sin  \theta +\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$因细绳挂上C并将C向上移动一段距离而使A上升的高度h_2=x_0-x_2=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$若弹簧对A的弹力向下，则有T_2-kx_2'=mg$

$解得x_2'=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta -mg}{k}$

$因细绳挂上C并将C向上移动一段距离而使A上升的高度h_2'=x_2'+x_0=\frac{Mg \sin  \theta -\mu Mg \cos  \theta }{k}$

$h_2=h_2'$

所以再将C沿斜面向上移动的距离

$\Delta s=h_1-h_2=\frac{2\mu Mg \cos  \theta }{k}。$

Final answer: $\frac{2\mu Mg \cos  \theta }{k}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角\theta 均为53^\circ ，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为\frac{3l}{2}，支架静止时弹簧被压缩了\frac{l}{3}，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO'以角速度\omega 匀速转动。\sin 53^\circ =\frac{4}{5}，\cos 53^\circ =\frac{3}{5}，求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608088411316227/img/compression/M_2665ddbcf47c7d73dd08436c0e337a3f.jpg)
$轻弹簧恰为原长时，支架的角速度\omega_{0}；$

Solution:
$轻弹簧恰为原长时，对小球受力分析，如图乙所示，支架的角速度为\omega_0$

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608088973352961/img/compression/M_5fcd647deea07194d3851ce21d8fcd85.jpg)

$mg \tan \theta=m\omega_0^2l \cos \theta$

$解得\omega_0=\sqrt{\frac{20g}{9l}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{20g}{9l}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，“V”形光滑支架下端用铰链固定于水平地面上，支架两臂与水平面间夹角\theta 均为53^\circ ，“V”形支架的AB臂上套有一根原长为l的轻弹簧，轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端，上端与一小球相接触不连接，该臂上端有一挡板。已知小球质量为m，支架每臂长为\frac{3l}{2}，支架静止时弹簧被压缩了\frac{l}{3}，重力加速度为g。现让小球随支架一起绕中轴线OO'以角速度\omega 匀速转动。\sin 53^\circ =\frac{4}{5}，\cos 53^\circ =\frac{3}{5}，求：$

<img_590>
$轻弹簧恰为原长时，支架的角速度\omega_{0}；$

Solution:
$轻弹簧恰为原长时，对小球受力分析，如图乙所示，支架的角速度为\omega_0$

<img_646>

$mg \tan \theta=m\omega_0^2l \cos \theta$

$解得\omega_0=\sqrt{\frac{20g}{9l}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{20g}{9l}}$
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
$某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v_1，在远日点速度为v_2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W。$

Solution:
$根据动能定理有 W=\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

Final answer: $\frac{1}{2}mv^2_2 - \frac{1}{2}mv^2_1$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

<img_674>
水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

Solution:
$设水平恒力的大小为 F_0，小球到达 C 点时所受合力的大小为 F。由力的合成法则有$

$\frac{F_0}{mg} = \tan \alpha    ①$

$F^2 = (mg)^2 + F_0^2  ②$

$设小球到达 C 点时的速度大小为 v ，由牛顿第二定律得$

$F = m \frac{v^2}{R}   ③$

由①②③式和题给数据得

$F_0 = \frac{3}{4} mg  ④$

$v = \frac{\sqrt{5gR}}{2}    ⑤$

Final answer: \frac{3}{4}mg, \frac{\sqrt{5gR}}{2}
Subfield: Mechanics


Question: $如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为\alpha ，\sin \alpha  = \frac{3}{5}。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623608428791668739/img/compression/M_00ed720c9dbe901e5fb2fe1389d3c9f1.jpg)
水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

Solution:
$设水平恒力的大小为 F_0，小球到达 C 点时所受合力的大小为 F。由力的合成法则有$

$\frac{F_0}{mg} = \tan \alpha    ①$

$F^2 = (mg)^2 + F_0^2  ②$

$设小球到达 C 点时的速度大小为 v ，由牛顿第二定律得$

$F = m \frac{v^2}{R}   ③$

由①②③式和题给数据得

$F_0 = \frac{3}{4} mg  ④$

$v = \frac{\sqrt{5gR}}{2}    ⑤$

Final answer: \frac{3}{4}mg, \frac{\sqrt{5gR}}{2}