di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识、技能服务他人和社会，强化社会责任感.为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间(小时)均在[15，65]内，其数据分组依次为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，得到频率直方图如图所示，其中a-b=0.028.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703969059730034690/img/compression/M_0a61b22fb3d45ad3293e6331e2ca75ee.jpg)
$(2)学校要从参加公益劳动总时间(小时)在[35,45)，[45,55)内的学生中用分层抽样的方法选取5名学生进行感受交流，再从这5名学生中随机抽取2名进行感受分享，求这2名学生来自不同组的概率.$

Solution:
$由题中频率直方图可知，参加公益劳动总时间(小时)在[35,45)和[45,55)内的学生人数之比为0.42:0.28=3:2. (7分)则从参加公益劳动的总时间在[35,45)内的学生中抽取5\times \frac{3}{5}=3(名)，分别记为a,b,c，从参加公益劳动的总时间在[45,55)内的学生中抽取5\times \frac{2}{5}=2(名)，分别记为M,N,(8分)则从这5名学生中随机抽取2名的基本事件有(a,b),(a,c),(a,M),(a,N),(b,c),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),(M,N)，共10个，(10分)这2名学生来自不同组的基本事件有(a,M),(a,N),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),共6个，(11分)所以所求概率P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.(12分)$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(1)求生物成绩在[50，60)内的人数；$

Solution:
$由题意，知生物成绩在[50,60)内的频率为1-(0.01\times 10+0.02\times 10+0.03\times 10+0.035\times 10)=0.05，所以生物成绩在[50,60)内的人数为0.05\times 1 000=50．$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$<img_2070>$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(1)求生物成绩在[50，60)内的人数；$

Solution:
$由题意，知生物成绩在[50,60)内的频率为1-(0.01\times 10+0.02\times 10+0.03\times 10+0.035\times 10)=0.05，所以生物成绩在[50,60)内的人数为0.05\times 1 000=50．$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(2)若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1 000名学生生物成绩的平均分；$

Solution:
$由(1)及频率分布直方图,知分数在[50，60)内的频率为0.05,在[60，70)内的频率为0.35,在[70，80)内的频率为0.3,在[80，90)内的频率为0.2,在[90，100]内的频率为0.1，所以估计这1 000名学生生物成绩的平均分为55\times 0.05+65\times 0.35+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74.5．$

Final answer: $74.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$<img_2070>$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(2)若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1 000名学生生物成绩的平均分；$

Solution:
$由(1)及频率分布直方图,知分数在[50，60)内的频率为0.05,在[60，70)内的频率为0.35,在[70，80)内的频率为0.3,在[80，90)内的频率为0.2,在[90，100]内的频率为0.1，所以估计这1 000名学生生物成绩的平均分为55\times 0.05+65\times 0.35+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.1=74.5．$

Final answer: $74.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611529833553922/img/compression/M_2758f332540b4cd4ba8cb927690614fb.jpg)$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(3)现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．$

Solution:
$设“这2名同学来自不同组”为事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组的2名同学为x，y，则样本空间为\Omega ={(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)}，事件A={(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c,y)}，所以P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.$<img_2070>$



组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组


分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]



$
$(3)现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．$

Solution:
$设“这2名同学来自不同组”为事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组的2名同学为x，y，则样本空间为\Omega ={(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，(x，y)}，事件A={(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c,y)}，所以P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Final answer: $\frac{3}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_1571>
$(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}(同一组的数据用该组区间中点值作代表)；$

Solution:
$根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5),[10.5,11.5),[11.5,12.5]内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，\overline{x}=6\times 0.03+7\times 0.1+8\times 0.2+9\times 0.35+10\times 0.19+11\times 0.09+12\times 0.04=9，s^{2}=(6-9)^{2}\times 0.03+(7-9)^{2}\times 0.1+(8-9)^{2}\times 0.2+(9-9)^{2}\times 0.35+(10-9)^{2}\times 0.19+(11-9)^{2}\times 0.09+(12-9)^{2}\times 0.04=1.78，所以样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}分别为9，1.78.$

Final answer: $9, 1.78$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611828983898114/img/compression/M_c8c2823a4e5af52c58622251689b8926.jpg)
$(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}(同一组的数据用该组区间中点值作代表)；$

Solution:
$根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5),[10.5,11.5),[11.5,12.5]内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，\overline{x}=6\times 0.03+7\times 0.1+8\times 0.2+9\times 0.35+10\times 0.19+11\times 0.09+12\times 0.04=9，s^{2}=(6-9)^{2}\times 0.03+(7-9)^{2}\times 0.1+(8-9)^{2}\times 0.2+(9-9)^{2}\times 0.35+(10-9)^{2}\times 0.19+(11-9)^{2}\times 0.09+(12-9)^{2}\times 0.04=1.78，所以样本平均数\overline{x}和样本方差s^{2}分别为9，1.78.$

Final answer: $9, 1.78$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.$<img_1571>
$(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本平均数\overline{x}，\sigma ^{2}近似为样本方差s^{2}.①一般正态分布N(\mu ,\sigma )的概率都可以转化为标准正态分布N(0,1)的概率进行计算：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，令Y=\frac{X-\mu }{\sigma }，则Y~N(0,1)，且P(X\leq a)=P\left(Y\leq \frac{a-\mu }{\sigma }\right)，利用直方图得到的正态分布求P(X\leq 10)；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参考数据：\sqrt{178}\approx \frac{40}{3}，若Y~N(0,1)，则P(Y\leq 0.75)=0.773 4.$

Solution:
$①由(1)知\mu =9，\sigma ^{2}=1.78，则有X～N(9,1.78)，\sigma =\sqrt{1.78}=\frac{\sqrt{178}}{10}\approx \frac{4}{3}，P(X\leq 10)=P\left(Y\leq \frac{\frac{　}{10-9}}{\frac{4}{3}}\right)=P(Y\leq 0.75)=0.773 4.②由①知P(X>10)=1-P(X\leq 10)=0.226 6，可得Z～B(20,0.226 6)，所以Z的均值E(Z)=20\times 0.226 6=4.532.$





Final answer: $P(X\leq 10)=0.7734, E(Z)=4.532$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611828983898114/img/compression/M_c8c2823a4e5af52c58622251689b8926.jpg)
$(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})，其中\mu 近似为样本平均数\overline{x}，\sigma ^{2}近似为样本方差s^{2}.①一般正态分布N(\mu ,\sigma )的概率都可以转化为标准正态分布N(0,1)的概率进行计算：若X~N(\mu ,\sigma ^{2})，令Y=\frac{X-\mu }{\sigma }，则Y~N(0,1)，且P(X\leq a)=P\left(Y\leq \frac{a-\mu }{\sigma }\right)，利用直方图得到的正态分布求P(X\leq 10)；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参考数据：\sqrt{178}\approx \frac{40}{3}，若Y~N(0,1)，则P(Y\leq 0.75)=0.773 4.$

Solution:
$①由(1)知\mu =9，\sigma ^{2}=1.78，则有X～N(9,1.78)，\sigma =\sqrt{1.78}=\frac{\sqrt{178}}{10}\approx \frac{4}{3}，P(X\leq 10)=P\left(Y\leq \frac{\frac{　}{10-9}}{\frac{4}{3}}\right)=P(Y\leq 0.75)=0.773 4.②由①知P(X>10)=1-P(X\leq 10)=0.226 6，可得Z～B(20,0.226 6)，所以Z的均值E(Z)=20\times 0.226 6=4.532.$

Final answer: $P(X\leq 10)=0.7734, E(Z)=4.532$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$<img_1490>$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；$

Solution:
$估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为\overline{x}=\frac{0.6}{10}=0.06(m^{2}),平均一棵的材积量为\overline{y}=\frac{3.9}{10}=0.39(m^{3}).$

Final answer: $0.06, 0.39$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611949536583681/img/editor/compression/aae0e46c-c265-4ae5-a0fc-bc8041802ba4.png)$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；$

Solution:
$估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为\overline{x}=\frac{0.6}{10}=0.06(m^{2}),平均一棵的材积量为\overline{y}=\frac{3.9}{10}=0.39(m^{3}).$

Final answer: $0.06, 0.39$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$<img_1490>$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；$

Solution:
$样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{10}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i-10\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i-10\overline{x}^2)(\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i-10\overline{y}^2)}}=\frac{0.247 4-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{(0.038-10 \times 0.06^2)(1.615 8-10 \times 0.39^2)}}=\frac{0.013 4}{\sqrt{0.002 \times 0.094 8}}=\frac{0.013 4}{0.01\sqrt{1.896}}\approx \frac{0.013 4}{0.013 77}\approx 0.97.即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.$

Final answer: $0.97$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611949536583681/img/editor/compression/aae0e46c-c265-4ae5-a0fc-bc8041802ba4.png)$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；$

Solution:
$样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{10}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{10}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{\sum \limits^{10}_{i=1}x_iy_i-10\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i-10\overline{x}^2)(\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i-10\overline{y}^2)}}=\frac{0.247 4-10 \times 0.06 \times 0.39}{\sqrt{(0.038-10 \times 0.06^2)(1.615 8-10 \times 0.39^2)}}=\frac{0.013 4}{\sqrt{0.002 \times 0.094 8}}=\frac{0.013 4}{0.01\sqrt{1.896}}\approx \frac{0.013 4}{0.013 77}\approx 0.97.即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.$

Final answer: $0.97$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611949536583681/img/editor/compression/aae0e46c-c265-4ae5-a0fc-bc8041802ba4.png)$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m^{2}.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.$

Solution:
$设这种树木的根部横截总面积为X m^{2},总材积量为Y m^{3}，则\frac{X}{Y}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}},则Y=\frac{X \cdot \overline{y}}{\overline{x}}=\frac{186 \times 0.39}{0.06}=1 209,所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m^{3}.$

Final answer: $1209$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m^{2})和材积量(单位：m^{3})，得到如下数据：
$<img_1490>$并计算得\sum \limits^{10}_{i=1}x^2_i=0.038，\sum \limits^{10}_{i=1}y^2_i=1.615 8，\sum \limits^{10}_{i=1}x_{i}y_{i}=0.247 4.
附：相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum \limits^{n}_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{1.896}\approx 1.377.$
$(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m^{2}.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.$

Solution:
$设这种树木的根部横截总面积为X m^{2},总材积量为Y m^{3}，则\frac{X}{Y}=\frac{\overline{x}}{\overline{y}},则Y=\frac{X \cdot \overline{y}}{\overline{x}}=\frac{186 \times 0.39}{0.06}=1 209,所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m^{3}.$

Final answer: $1209$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：$<img_2435>
$(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；$

Solution:
$由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的有5名，所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876281339441153/img/compression/M_4a129620f1e6872637b0e2114f8deb4f.jpg)
$(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；$

Solution:
$由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的有5名，所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：$<img_2435>
$(2)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；$

Solution:
$记A_{i}(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，B_{j}(j=1，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同(1)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{3}{15}=\frac{1}{5}，则P(C)=P(A_{1}A_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2}+A_{1}A_{2}\overline{B}_{1}B_{2}+A_{1}A_{2}B_{1}\overline{B}_{2}+\overline{A}_{1}A_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2}+A_{1}\overline{A}_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})P(\overline{B}_{2})+P(A_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})\cdot P(B_{2})+P(A_{1})P(A_{2})P(B_{1})P(\overline{B}_{2})+P(\overline{A}_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})P(\overline{B}_{2})+P(A_{1})P(\overline{A}_{2})P(\overline{B}_{1})\cdot P(\overline{B}_{2})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{88}{225}.$

Final answer: $\frac{88}{225}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876281339441153/img/compression/M_4a129620f1e6872637b0e2114f8deb4f.jpg)
$(2)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；$

Solution:
$记A_{i}(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，B_{j}(j=1，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同(1)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为\frac{3}{15}=\frac{1}{5}，则P(C)=P(A_{1}A_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2}+A_{1}A_{2}\overline{B}_{1}B_{2}+A_{1}A_{2}B_{1}\overline{B}_{2}+\overline{A}_{1}A_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2}+A_{1}\overline{A}_{2}\overline{B}_{1}\overline{B}_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})P(\overline{B}_{2})+P(A_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})\cdot P(B_{2})+P(A_{1})P(A_{2})P(B_{1})P(\overline{B}_{2})+P(\overline{A}_{1})\cdot P(A_{2})P(\overline{B}_{1})P(\overline{B}_{2})+P(A_{1})P(\overline{A}_{2})P(\overline{B}_{1})\cdot P(\overline{B}_{2})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{5}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{88}{225}.$

Final answer: $\frac{88}{225}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876281339441153/img/compression/M_4a129620f1e6872637b0e2114f8deb4f.jpg)
$(3)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为\mu _{1}，这10名女生竞赛成绩的平均数为\mu _{2}，能否认为\mu _{1}＞\mu _{2}？说明理由.$

Solution:
$不能认为\mu _{1}>\mu _{2}.10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以\mu _{1}，\mu _{2}是随机的，所以不能认为\mu _{1}>\mu _{2}.$

Final answer: 不能认为$\mu _{1}>\mu _{2}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的质量x(单位：kg)近似服从正态分布N(2,\sigma ^{2})，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04,P(x\leq 1.5)=0.26.$<img_2861>
$(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率；$

Solution:
$由正态曲线的对称性可知，P(2.5\leq x\leq 3.5)=P(0.5\leq x\leq 1.5)=P(x\leq 1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22，所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率为0.22.$

Final answer: $0.22$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的质量x(单位：kg)近似服从正态分布N(2,\sigma ^{2})，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04,P(x\leq 1.5)=0.26.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876380963569665/img/compression/M_8571bc48337134a16532696eea6bf17a.jpg)
$(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率；$

Solution:
$由正态曲线的对称性可知，P(2.5\leq x\leq 3.5)=P(0.5\leq x\leq 1.5)=P(x\leq 1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22，所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率为0.22.$

Final answer: $0.22$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的质量x(单位：kg)近似服从正态分布N(2,\sigma ^{2})，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04,P(x\leq 1.5)=0.26.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876380963569665/img/compression/M_8571bc48337134a16532696eea6bf17a.jpg)
$(2)从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量质量，6条鱼的质量情况如表.



质量范围(单位：kg)
[0.5,1.5)
[1.5,2.5)
[2.5,3.5]


条数
1
3
2



①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中质量在[2.5,3.5]内的条数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；②若将选剩下的94条鱼称重作标记后立即放生，两周后又随机捕捞1 000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的总数的40\%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数.$

Solution:
$①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}；P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{12}{20}；P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}.所以X的分布列为X012P\frac{4}{20}\frac{12}{20}\frac{4}{20}数学期望E(X)=0\times \frac{4}{20}+1\times \frac{12}{20}+2\times \frac{4}{20}=1.②设水库中共有N条鱼，根据题意有\frac{N}{94}=\frac{1 000}{2}，则N=\frac{1 000}{2}\times 94=47 000，所以估计水库中有47 000条鱼.由(1)可知P(2.5\leq x\leq 3.5)=0.22，则应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数为47 000\times 0.22\times 0.4=4 136.$

Final answer: $①随机变量X的分布列：X=0, P=4/20；X=1, P=12/20；X=2, P=4/20
数学期望E(X)=1
②水库中鱼的条数为47,000条，应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数为4,136条$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2694>
$(1)由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6)的概率；$

Solution:
$因为(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)\times 1＝1，所以a＝0.2.由频率估计概率可知从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6)的概率为0.2\times 1=0.2.$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876332453236738/img/compression/M_a7ff170cc75e84929f8b247d2887c3e1.jpg)
$(1)由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6)的概率；$

Solution:
$因为(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)\times 1＝1，所以a＝0.2.由频率估计概率可知从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6)的概率为0.2\times 1=0.2.$

Final answer: $0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2694>
$(2)为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3)和[8，9)的人中任选3人，求其中在[8，9)的人数X的数学期望；$

Solution:
$由题图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3)和[8，9)的学生人数分别为5和3.所以X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{28}，P(X＝1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}，P(X＝2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{56}，P(X＝3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{1}{56}.所以X的分布列为X0123P\frac{5}{28}\frac{15}{28}\frac{15}{56}\frac{1}{56}所以数学期望E(X)=0\times \frac{5}{28}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{15}{56}+3\times \frac{1}{56}=\frac{9}{8}.$



Final answer: $9/8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876332453236738/img/compression/M_a7ff170cc75e84929f8b247d2887c3e1.jpg)
$(2)为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3)和[8，9)的人中任选3人，求其中在[8，9)的人数X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3)和[8，9)的学生人数分别为5和3.所以X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{5}{28}，P(X＝1)=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{28}，P(X＝2)=\frac{\mathrm{C}^1_5\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{15}{56}，P(X＝3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_8}=\frac{1}{56}.所以X的分布列为X0123P\frac{5}{28}\frac{15}{28}\frac{15}{56}\frac{1}{56}所以数学期望E(X)=0\times \frac{5}{28}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{15}{56}+3\times \frac{1}{56}=\frac{9}{8}.$

Final answer: $分布列：P(X＝0)=\frac{5}{28}，P(X＝1)=\frac{15}{28}，P(X＝2)=\frac{15}{56}，P(X＝3)=\frac{1}{56}，数学期望E(X)=9/8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$<img_2694>
$(3)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段内.(只需写出结论)$

Solution:
$样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6)内.$

Final answer: $[5，6)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876332453236738/img/compression/M_a7ff170cc75e84929f8b247d2887c3e1.jpg)
$(3)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段内.(只需写出结论)$

Solution:
$样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6)内.$

Final answer: $[5，6)$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876333405343746/img/compression/M_7afb8f1d12e618cb98d30e2a787282c3.jpg)
$(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；$

Solution:
$由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为\frac{15}{50}=0.3.$

Final answer: $0.3$