di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AA_{1}=AD=2，BD_{1}和B_{1}D交于点E，F为AB的中点.$<img_1590>
$(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；(ii)点A到平面CEF的距离.条件①：CE\perp B_{1}D；条件②：B_{1}D与平面BCC_{1}B_{1}所成角为\frac{\pi }{4}.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$选条件①.连接B_{1}C.在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,由AA_{1}=AD=2，可得B_{1}C=2\sqrt{2}.在\triangle CDB_{1}中，因为E为B_{1}D的中点，CE\perp B_{1}D，所以CD=B_{1}C=2\sqrt{2}.如图2建立空间直角坐标系D－xyz，
$<img_2522>$
图2
因为长方体中A_{1}A=AD=2，CD=2\sqrt{2}，所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2\sqrt{2}，0)，C(0，2\sqrt{2}，0)，F(2，\sqrt{2}，0)，B_{1}(2，2\sqrt{2}，2)，E(1，\sqrt{2}，1).所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(1，－\sqrt{2}，1)，\overrightarrow{CF}=(2，－\sqrt{2}，0).(i)设平面CEF的法向量为m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=x_1-\sqrt{2}y_1+z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}=2x_1-\sqrt{2}y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则y_{1}=\sqrt{2}，z_{1}=1，得m=(1，\sqrt{2}，1).设平面BCE的法向量为n=(x_{2}，y_{2}，z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=x_2-\sqrt{2}y_2+z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CB}=2x_2=0,\end{matrix}\right.令y_{2}=1，则z_{2}=\sqrt{2}，得n=(0，1，\sqrt{2}).设平面CEF与平面BCE的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}，所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.(ii)因为\overrightarrow{AF}=(0，\sqrt{2}，0)，由(i)知平面CEF的一个法向量为m=(1,\sqrt{2},1),所以点A到平面CEF的距离为\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=1.选条件②.连接B_{1}C.在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CD\perp 平面BCC_{1}B_{1}，又B_{1}C\subset 平面BCC_{1}B_{1}，所以CD\perp B_{1}C.所以\angle DB_{1}C为直线B_{1}D与平面BCC_{1}B_{1}所成角，即\angle DB_{1}C=\frac{\pi }{4}.所以\triangle DB_{1}C为等腰直角三角形.在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,由AA_{1}=AD=2，可得B_{1}C=2\sqrt{2}.所以CD=B_{1}C=2\sqrt{2}.以下同选条件①.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$,1
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，AA_{1}=AD=2，BD_{1}和B_{1}D交于点E，F为AB的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267994991030274/img/compression/M_2e96e14696120933cbae81b58bee56ff.jpg)
$(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；(ii)点A到平面CEF的距离.条件①：CE\perp B_{1}D；条件②：B_{1}D与平面BCC_{1}B_{1}所成角为\frac{\pi }{4}.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$选条件①.连接B_{1}C.在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,由AA_{1}=AD=2，可得B_{1}C=2\sqrt{2}.在\triangle CDB_{1}中，因为E为B_{1}D的中点，CE\perp B_{1}D，所以CD=B_{1}C=2\sqrt{2}.如图2建立空间直角坐标系D－xyz，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267997536972801/img/compression/M_9ca3b2013e6704b665f3d685b60755b3.jpg)$
图2
因为长方体中A_{1}A=AD=2，CD=2\sqrt{2}，所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2\sqrt{2}，0)，C(0，2\sqrt{2}，0)，F(2，\sqrt{2}，0)，B_{1}(2，2\sqrt{2}，2)，E(1，\sqrt{2}，1).所以\overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{CE}=(1，－\sqrt{2}，1)，\overrightarrow{CF}=(2，－\sqrt{2}，0).(i)设平面CEF的法向量为m=(x_{1}，y_{1}，z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CE}=x_1-\sqrt{2}y_1+z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CF}=2x_1-\sqrt{2}y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=1，则y_{1}=\sqrt{2}，z_{1}=1，得m=(1，\sqrt{2}，1).设平面BCE的法向量为n=(x_{2}，y_{2}，z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=x_2-\sqrt{2}y_2+z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CB}=2x_2=0,\end{matrix}\right.令y_{2}=1，则z_{2}=\sqrt{2}，得n=(0，1，\sqrt{2}).设平面CEF与平面BCE的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m，n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}，所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.(ii)因为\overrightarrow{AF}=(0，\sqrt{2}，0)，由(i)知平面CEF的一个法向量为m=(1,\sqrt{2},1),所以点A到平面CEF的距离为\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{m}|}=1.选条件②.连接B_{1}C.在长方体ABCD－A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中，CD\perp 平面BCC_{1}B_{1}，又B_{1}C\subset 平面BCC_{1}B_{1}，所以CD\perp B_{1}C.所以\angle DB_{1}C为直线B_{1}D与平面BCC_{1}B_{1}所成角，即\angle DB_{1}C=\frac{\pi }{4}.所以\triangle DB_{1}C为等腰直角三角形.在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中,由AA_{1}=AD=2，可得B_{1}C=2\sqrt{2}.所以CD=B_{1}C=2\sqrt{2}.以下同选条件①.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$,1
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，\angle BAD=60^\circ ，PB=PD.点E是棱PA的中点，连接OE，OP.$<img_2092>
$(1)求证：OE\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是AC中点，因为E是棱PA的中点，所以OE\parallel PC，又因为OE\not\subset 平面PCD，PC\subset 平面PCD，所以OE\parallel 平面PCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，\angle BAD=60^\circ ，PB=PD.点E是棱PA的中点，连接OE，OP.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267999827062787/img/compression/M_967b7a65ac9623c9d38e27fc9e4fb933.jpg)
$(1)求证：OE\parallel 平面PCD；$

Solution:
$证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是AC中点，因为E是棱PA的中点，所以OE\parallel PC，又因为OE\not\subset 平面PCD，PC\subset 平面PCD，所以OE\parallel 平面PCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，\angle BAD=60^\circ ，PB=PD.点E是棱PA的中点，连接OE，OP.$<img_2092>
$(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长.条件①：平面PBD\perp 平面ABCD；条件②：PB\perp AC.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$选择条件①.因为PB=PD，O是BD的中点，所以PO\perp BD，因为平面PBD\perp 平面ABCD，平面PBD\cap 平面ABCD=BD，PO\subset 平面PBD，所以PO\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC，又在菱形ABCD中，AC\perp BD，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
$<img_2238>$因为菱形的边长为2，\angle BAD=60^\circ 所以BD=2，AC=2\sqrt{3}，所以C(0，\sqrt{3}，0)，D(－1，0，0)，设P(0，0，t)(t>0)，所以\overrightarrow{DC}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{DP}=(1，0，t)，设平面PCD的法向量是n=(x，y，z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\bot \overrightarrow{DC},\\ \boldsymbol{n}\bot \overrightarrow{DP}\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DP}=x+tz=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}t，得y=－t，z=－\sqrt{3}，所以n=(\sqrt{3}t，－t，－\sqrt{3})，易知平面PAC的一个法向量为m=(1，0，0)，因为平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}，所以|\\cos  \langle n，m\rangle |=\frac{\sqrt{15}}{5}，所以\left|\frac{1\cdot \sqrt{3}t}{\sqrt{(\sqrt{3}t)^2+(-t)^2+(-\sqrt{3})^2}\cdot 1}\right|=\frac{\sqrt{15}}{5}，所以t^{2}=3，因为t>0，所以t=\sqrt{3}.所以线段OP的长为\sqrt{3}.选择条件②.因为PB=PD,O是BD的中点，所以PO\perp BD,在菱形ABCD中，BD\perp AC，又PB\perp AC,PB，BD\subset 平面PBD，PB\cap BD=B，所以AC\perp 平面PBD，因为PO\subset 平面PBD，所以AC\perp PO，所以OB，OC，OP两两垂直，以下同选择条件①.$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，\angle BAD=60^\circ ，PB=PD.点E是棱PA的中点，连接OE，OP.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716267999827062787/img/compression/M_967b7a65ac9623c9d38e27fc9e4fb933.jpg)
$(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长.条件①：平面PBD\perp 平面ABCD；条件②：PB\perp AC.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.$

Solution:
$选择条件①.因为PB=PD，O是BD的中点，所以PO\perp BD，因为平面PBD\perp 平面ABCD，平面PBD\cap 平面ABCD=BD，PO\subset 平面PBD，所以PO\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以PO\perp AC，又在菱形ABCD中，AC\perp BD，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268002050043906/img/compression/M_aab0d8e2406369840515d0e66942c90d.jpg)$因为菱形的边长为2，\angle BAD=60^\circ 所以BD=2，AC=2\sqrt{3}，所以C(0，\sqrt{3}，0)，D(－1，0，0)，设P(0，0，t)(t>0)，所以\overrightarrow{DC}=(1，\sqrt{3}，0)，\overrightarrow{DP}=(1，0，t)，设平面PCD的法向量是n=(x，y，z)，由\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\bot \overrightarrow{DC},\\ \boldsymbol{n}\bot \overrightarrow{DP}\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DP}=x+tz=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}t，得y=－t，z=－\sqrt{3}，所以n=(\sqrt{3}t，－t，－\sqrt{3})，易知平面PAC的一个法向量为m=(1，0，0)，因为平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}，所以|\\cos  \langle n，m\rangle |=\frac{\sqrt{15}}{5}，所以\left|\frac{1\cdot \sqrt{3}t}{\sqrt{(\sqrt{3}t)^2+(-t)^2+(-\sqrt{3})^2}\cdot 1}\right|=\frac{\sqrt{15}}{5}，所以t^{2}=3，因为t>0，所以t=\sqrt{3}.所以线段OP的长为\sqrt{3}.选择条件②.因为PB=PD,O是BD的中点，所以PO\perp BD,在菱形ABCD中，BD\perp AC，又PB\perp AC,PB，BD\subset 平面PBD，PB\cap BD=B，所以AC\perp 平面PBD，因为PO\subset 平面PBD，所以AC\perp PO，所以OB，OC，OP两两垂直，以下同选择条件①.$

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010143674370/img/compression/M_1eb8962f49bea9c9e6e2baebf78358cf.jpg)
$(1)求证：BD\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，BD\subset 平面ABCD,所以PA\perp BD.又因为底面ABCD为菱形，所以BD\perp AC.又PA\cap AC=A，所以BD\perp 平面PAC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$<img_1632>
$(1)求证：BD\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，BD\subset 平面ABCD,所以PA\perp BD.又因为底面ABCD为菱形，所以BD\perp AC.又PA\cap AC=A，所以BD\perp 平面PAC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$<img_1632>
$(2)若\angle ABC=60^\circ ，求证：平面PAB\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，AE\subset 平面ABCD，所以PA\perp AE.因为底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ，且E为CD的中点，所以AE\perp CD.所以AB\perp AE.又PA\cap AB=A，所以AE\perp 平面PAB.又因为AE\subset 平面PAE，所以平面PAB\perp 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010143674370/img/compression/M_1eb8962f49bea9c9e6e2baebf78358cf.jpg)
$(2)若\angle ABC=60^\circ ，求证：平面PAB\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABCD，AE\subset 平面ABCD，所以PA\perp AE.因为底面ABCD为菱形，\angle ABC=60^\circ ，且E为CD的中点，所以AE\perp CD.所以AB\perp AE.又PA\cap AB=A，所以AE\perp 平面PAB.又因为AE\subset 平面PAE，所以平面PAB\perp 平面PAE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$<img_1632>
$(3)棱PB上是否存在点F，使得CF\parallel 平面PAE？说明理由.$

Solution:
$棱PB上存在点F，使得CF\parallel 平面PAE.理由如下.$<img_2644>$取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FG\parallel AB，且FG=\frac{1}{2}AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE\parallel AB，且CE=\frac{1}{2}AB.所以FG\parallel CE，且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF\parallel EG.因为CF\not\subset 平面PAE，EG\subset 平面PAE，所以CF\parallel 平面PAE.$



Final answer: $棱PB上存在点F，使得CF\parallel 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010143674370/img/compression/M_1eb8962f49bea9c9e6e2baebf78358cf.jpg)
$(3)棱PB上是否存在点F，使得CF\parallel 平面PAE？说明理由.$

Solution:
$棱PB上存在点F，使得CF\parallel 平面PAE.理由如下.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010537938945/img/compression/M_ae55d9eea1cf812aac4e69cb0bc877c9.jpg)$取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FG\parallel AB，且FG=\frac{1}{2}AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE\parallel AB，且CE=\frac{1}{2}AB.所以FG\parallel CE，且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF\parallel EG.因为CF\not\subset 平面PAE，EG\subset 平面PAE，所以CF\parallel 平面PAE.$

Final answer: $棱PB上存在点F，使得CF\parallel 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010898649091/img/compression/M_fde24ce6c175984056260619bbe5a463.jpg)
$(1)求证：PA\perp BD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp AB，PA\perp BC，又AB\cap BC=B，所以PA\perp 平面ABC.又BD\subset 平面ABC，所以PA\perp BD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$<img_2960>
$(1)求证：PA\perp BD；$

Solution:
$证明：因为PA\perp AB，PA\perp BC，又AB\cap BC=B，所以PA\perp 平面ABC.又BD\subset 平面ABC，所以PA\perp BD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$<img_2960>
$(2)求证：平面BDE\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD\perp AC.由(1)知，PA\perp BD，又PA\cap AC=A，所以BD\perp 平面PAC.又因为BD\subset 平面BDE，所以平面BDE\perp 平面PAC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010898649091/img/compression/M_fde24ce6c175984056260619bbe5a463.jpg)
$(2)求证：平面BDE\perp 平面PAC；$

Solution:
$证明：因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD\perp AC.由(1)知，PA\perp BD，又PA\cap AC=A，所以BD\perp 平面PAC.又因为BD\subset 平面BDE，所以平面BDE\perp 平面PAC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010898649091/img/compression/M_fde24ce6c175984056260619bbe5a463.jpg)
$(3)当PA\parallel 平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.$

Solution:
$因为PA\parallel 平面BDE，平面PAC\cap 平面BDE=DE，所以PA\parallel DE.因为D，E分别为AC，PC的中点，所以DE=\frac{1}{2}PA=1，BD=DC=\sqrt{2}.由(1)知，PA\perp 平面ABC，所以DE\perp 平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=\frac{1}{6}BD\cdot DC\cdot DE=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA\perp AB，PA\perp BC，AB\perp BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$<img_2960>
$(3)当PA\parallel 平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.$

Solution:
$因为PA\parallel 平面BDE，平面PAC\cap 平面BDE=DE，所以PA\parallel DE.因为D，E分别为AC，PC的中点，所以DE=\frac{1}{2}PA=1，BD=DC=\sqrt{2}.由(1)知，PA\perp 平面ABC，所以DE\perp 平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=\frac{1}{6}BD\cdot DC\cdot DE=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268018658111490/img/compression/M_3147e27a7229281eed3a388496670f75.jpg)
$(1)证明：EF\parallel 平面ADO;$

Solution:
$证明：如图，连接DE、OF,设AF=tAC(0\because BF\perp AO,\therefore \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AO}=[(1-t)\overrightarrow{BA}+t\overrightarrow{BC}]\cdot \left(-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=(t-1)\overrightarrow{BA}^2+\frac{1}{2}t\overrightarrow{BC}^2=4(t-1)+4t=0,解得t=\frac{1}{2}，故F为AC的中点.\because D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，\therefore DE\parallel AB，且DE=\frac{1}{2}AB,OF\parallel AB，且OF=\frac{1}{2}AB,\therefore DE\xlongequal{//} OF.\therefore 四边形DEFO是平行四边形，\therefore EF\parallel DO.又EF\not\subset 平面ADO,DO\subset 平面ADO,\therefore EF\parallel 平面ADO.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$<img_2543>
$(1)证明：EF\parallel 平面ADO;$

Solution:
$证明：如图，连接DE、OF,设AF=tAC(0\because BF\perp AO,\therefore \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AO}=[(1-t)\overrightarrow{BA}+t\overrightarrow{BC}]\cdot \left(-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=(t-1)\overrightarrow{BA}^2+\frac{1}{2}t\overrightarrow{BC}^2=4(t-1)+4t=0,解得t=\frac{1}{2}，故F为AC的中点.\because D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，\therefore DE\parallel AB，且DE=\frac{1}{2}AB,OF\parallel AB，且OF=\frac{1}{2}AB,\therefore DE\xlongequal{//} OF.\therefore 四边形DEFO是平行四边形，\therefore EF\parallel DO.又EF\not\subset 平面ADO,DO\subset 平面ADO,\therefore EF\parallel 平面ADO.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268018658111490/img/compression/M_3147e27a7229281eed3a388496670f75.jpg)
$(2)证明：平面ADO\perp 平面BEF;$

Solution:
$证明：\because D,O分别是PB,BC的中点，且PC=\sqrt{6},\therefore DO=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{6}}{2},又AD=\sqrt{5}DO,\therefore AD=\frac{\sqrt{30}}{2}.在Rt\triangle ABO中，AB=2,BO=\sqrt{2}，\therefore AO=\sqrt{6},在\triangle ADO中，OD^{2}+AO^{2}=AD^{2},\therefore OD\perp AO,由(1)知EF\parallel OD,则EF\perp AO,又AO\perp BF,BF\cap EF=F,BF\subset 平面BEF,EF\subset 平面BEF,\therefore AO\perp 平面BEF,又AO\subset 平面ADO,\therefore 平面ADO\perp 平面BEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$<img_2543>
$(2)证明：平面ADO\perp 平面BEF;$

Solution:
$证明：\because D,O分别是PB,BC的中点，且PC=\sqrt{6},\therefore DO=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{6}}{2},又AD=\sqrt{5}DO,\therefore AD=\frac{\sqrt{30}}{2}.在Rt\triangle ABO中，AB=2,BO=\sqrt{2}，\therefore AO=\sqrt{6},在\triangle ADO中，OD^{2}+AO^{2}=AD^{2},\therefore OD\perp AO,由(1)知EF\parallel OD,则EF\perp AO,又AO\perp BF,BF\cap EF=F,BF\subset 平面BEF,EF\subset 平面BEF,\therefore AO\perp 平面BEF,又AO\subset 平面ADO,\therefore 平面ADO\perp 平面BEF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268018658111490/img/compression/M_3147e27a7229281eed3a388496670f75.jpg)
$(3)求二面角D-AO-C的正弦值.$

Solution:
$如图，过点O作OH\parallel BF交AC于点H，由AO\perp BF,知HO\perp AO，又由(2)知OD\perp AO，故\angle DOH为二面角D-AO-C的平面角，设AD\cap BE=G，\because D,E分别为PB,PA的中点，\therefore G为\triangle PAB的重心，\therefore DG=\frac{1}{3}AD,GE=\frac{1}{3}BE,\because O为BC的中点，OH\parallel BF，\therefore H为FC的中点，由(1)知F为AC的中点，\therefore FH=\frac{1}{3}AH,连接DH，GF，\therefore DH=\frac{3}{2}GF,由\\cos  \angle ABD=\frac{4+\frac{3}{2}-\frac{15}{2}}{2\times 2\times \frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{4+6-PA^2}{2\times 2\times \sqrt{6}},得PA=\sqrt{14}，同理可得BE=\frac{\sqrt{6}}{2}，\therefore BE^{2}+EF^{2}=3=BF^{2}，故BE\perp EF,则GF^{2}=\left(\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=\frac{5}{3},\therefore GF=\frac{\sqrt{15}}{3},故DH=\frac{3}{2}\times \frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{\sqrt{15}}{2}.在\triangle DOH中，OH=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{3}}{2}，OD=\frac{\sqrt{6}}{2}，DH=\frac{\sqrt{15}}{2}，\therefore \\cos  \angle DOH=\frac{\frac{6}{4}+\frac{3}{4}-\frac{15}{4}}{2\times \frac{\sqrt{6}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}.\therefore 二面角D-AO-C的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{2}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268019895431169/img/compression/M_ffe1e01a675f5d780766d26257612918.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=\sqrt{5}DO,点F在AC上，BF\perp AO.$<img_2543>
$(3)求二面角D-AO-C的正弦值.$

Solution:
$如图，过点O作OH\parallel BF交AC于点H，由AO\perp BF,知HO\perp AO，又由(2)知OD\perp AO，故\angle DOH为二面角D-AO-C的平面角，设AD\cap BE=G，\because D,E分别为PB,PA的中点，\therefore G为\triangle PAB的重心，\therefore DG=\frac{1}{3}AD,GE=\frac{1}{3}BE,\because O为BC的中点，OH\parallel BF，\therefore H为FC的中点，由(1)知F为AC的中点，\therefore FH=\frac{1}{3}AH,连接DH，GF，\therefore DH=\frac{3}{2}GF,由\\cos  \angle ABD=\frac{4+\frac{3}{2}-\frac{15}{2}}{2\times 2\times \frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{4+6-PA^2}{2\times 2\times \sqrt{6}},得PA=\sqrt{14}，同理可得BE=\frac{\sqrt{6}}{2}，\therefore BE^{2}+EF^{2}=3=BF^{2}，故BE\perp EF,则GF^{2}=\left(\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=\frac{5}{3},\therefore GF=\frac{\sqrt{15}}{3},故DH=\frac{3}{2}\times \frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{\sqrt{15}}{2}.在\triangle DOH中，OH=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{3}}{2}，OD=\frac{\sqrt{6}}{2}，DH=\frac{\sqrt{15}}{2}，\therefore \\cos  \angle DOH=\frac{\frac{6}{4}+\frac{3}{4}-\frac{15}{4}}{2\times \frac{\sqrt{6}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}.\therefore 二面角D-AO-C的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{2}.$<img_2063>

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
$(1)求证：AM\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：因为AD=2\sqrt{2}，DC=2，M为BC的中点，所以\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}=\sqrt{2}，因为四棱锥P－ABCD的底面是矩形，所以\angle DAB=\angle MBA=\frac{\pi }{2}，所以Rt\triangle DAB∽Rt\triangle ABM，所以\angle DBA=\angle AMB，而\angle MBD+\angle DBA=\frac{\pi }{2}，所以\angle MBD+\angle AMB=\frac{\pi }{2}，所以AM\perp DB，因为PD\perp 底面ABCD，AM\subset 底面ABCD，所以PD\perp AM，而DB，PD\subset 平面PBD，DB\cap PD=D，所以AM\perp 平面PBD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$<img_2508>
$(1)求证：AM\perp 平面PBD；$

Solution:
$证明：因为AD=2\sqrt{2}，DC=2，M为BC的中点，所以\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}=\sqrt{2}，因为四棱锥P－ABCD的底面是矩形，所以\angle DAB=\angle MBA=\frac{\pi }{2}，所以Rt\triangle DAB∽Rt\triangle ABM，所以\angle DBA=\angle AMB，而\angle MBD+\angle DBA=\frac{\pi }{2}，所以\angle MBD+\angle AMB=\frac{\pi }{2}，所以AM\perp DB，因为PD\perp 底面ABCD，AM\subset 底面ABCD，所以PD\perp AM，而DB，PD\subset 平面PBD，DB\cap PD=D，所以AM\perp 平面PBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
$(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；$

Solution:
$因为PD\perp 平面ABCD，AD，DC\subset 平面ABCD，所以PD\perp AD，PD\perp DC，因为四棱锥P－ABCD的底面是矩形，所以AD\perp DC，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_d3a5ad68304db2b8d8c3ced8292c84a8.jpg)$则D(0，0，0)，A(2\sqrt{2}，0，0)，P(0，0，2)，M(\sqrt{2}，2，0)，因为PD\perp 平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{DP}=(0，0，2)，设平面APM的法向量为n=(x，y，z)，\overrightarrow{PA}=(2\sqrt{2}，0，－2)，\overrightarrow{MA}=(\sqrt{2}，－2，0)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MA}=\sqrt{2}x-2y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{2}，得y=1，z=2，所以n=(\sqrt{2}，1，2)，设平面ABCD与平面APM所成角为\theta ,则\\cos   \theta =\\cos  \langle \overrightarrow{DP}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{7}}{7},所以平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$<img_2508>
$(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；$

Solution:
$因为PD\perp 平面ABCD，AD，DC\subset 平面ABCD，所以PD\perp AD，PD\perp DC，因为四棱锥P－ABCD的底面是矩形，所以AD\perp DC，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
$<img_1479>$则D(0，0，0)，A(2\sqrt{2}，0，0)，P(0，0，2)，M(\sqrt{2}，2，0)，因为PD\perp 平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{DP}=(0，0，2)，设平面APM的法向量为n=(x，y，z)，\overrightarrow{PA}=(2\sqrt{2}，0，－2)，\overrightarrow{MA}=(\sqrt{2}，－2，0)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MA}=\sqrt{2}x-2y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{2}，得y=1，z=2，所以n=(\sqrt{2}，1，2)，设平面ABCD与平面APM所成角为\theta ,则\\cos   \theta =\\cos  \langle \overrightarrow{DP}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{7}}{7},所以平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$<img_2508>
$(3)求D到平面APM的距离.$

Solution:
$由(2)可知\overrightarrow{DA}=(2\sqrt{2},0,0),平面APM的一个法向量为n=(\sqrt{2},1,2),所以点D到平面APM的距离为\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
$(3)求D到平面APM的距离.$

Solution:
$由(2)可知\overrightarrow{DA}=(2\sqrt{2},0,0),平面APM的一个法向量为n=(\sqrt{2},1,2),所以点D到平面APM的距离为\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面\triangle ABC为等腰直角三角形，侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，D为AC中点，AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}.$<img_1596>
$(1)求证：BD\perp A_{1}D；$

Solution:
$证明：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD\perp AC，又平面AA_{1}C_{1}C\perp 平面ABC，平面AA_{1}C_{1}C\cap 平面ABC=AC，BD\subset 平面ABC，所以BD\perp 平面AA_{1}C_{1}C，又A_{1}D\subset 平面AA_{1}C_{1}C，所以BD\perp A_{1}D.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，底面\triangle ABC为等腰直角三角形，侧面AA_{1}C_{1}C\perp 底面ABC，D为AC中点，AB=BC=\sqrt{2}，AA_{1}=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268035201822722/img/compression/M_271918518a13a10a011ae5725efd9fa9.jpg)
$(1)求证：BD\perp A_{1}D；$

Solution:
$证明：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD\perp AC，又平面AA_{1}C_{1}C\perp 平面ABC，平面AA_{1}C_{1}C\cap 平面ABC=AC，BD\subset 平面ABC，所以BD\perp 平面AA_{1}C_{1}C，又A_{1}D\subset 平面AA_{1}C_{1}C，所以BD\perp A_{1}D.$

Final answer: 证明题