di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，货舱P中的两种谷物需要通过如图装置进行分离。谷物以相同的初速度v_0=3\sqrt{2} m/s 通过半径为R=0.4 m的光滑半圆轨道的最高点A，并沿半圆轨道运动至最低点B(最低点B与传送带平滑连接)，之后谷物通过长度为L的传送带运动至另一端点C，最终从点C水平飞出落至收集板上，谷物落到收集板后保持静止。利用不同谷物与接触面间的动摩擦因数\mu 不同这一特性，通过调节传送带运行速度v和传送带长度L来达到分离的目的，分离效果可由收集板上两种谷物的间距x来衡量。两种谷物和传送带间的动摩擦因数分别是0.2和0.4，点C距收集板的高度为h=1.25 m。不考虑轮的半径及谷物在连接处的能量损失，不考虑谷物间的碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(结果可以保留根号形式)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060981555023874/img/compression/M_1c06c3f802edd487a88eab09caf06a43.jpg)
求谷物运动至点B时的速度大小；

Solution:
$根据能量守恒，从A到B过程有\frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_0 = 2mgR，解得v_B=\sqrt{34} m/s。$

Final answer: $\sqrt{34} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，货舱P中的两种谷物需要通过如图装置进行分离。谷物以相同的初速度v_0=3\sqrt{2} m/s 通过半径为R=0.4 m的光滑半圆轨道的最高点A，并沿半圆轨道运动至最低点B(最低点B与传送带平滑连接)，之后谷物通过长度为L的传送带运动至另一端点C，最终从点C水平飞出落至收集板上，谷物落到收集板后保持静止。利用不同谷物与接触面间的动摩擦因数\mu 不同这一特性，通过调节传送带运行速度v和传送带长度L来达到分离的目的，分离效果可由收集板上两种谷物的间距x来衡量。两种谷物和传送带间的动摩擦因数分别是0.2和0.4，点C距收集板的高度为h=1.25 m。不考虑轮的半径及谷物在连接处的能量损失，不考虑谷物间的碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(结果可以保留根号形式)$

<img_1208>
求谷物运动至点B时的速度大小；

Solution:
$根据能量守恒，从A到B过程有\frac{1}{2}mv^2_B - \frac{1}{2}mv^2_0 = 2mgR，解得v_B=\sqrt{34} m/s。$

Final answer: $\sqrt{34} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，货舱P中的两种谷物需要通过如图装置进行分离。谷物以相同的初速度v_0=3\sqrt{2} m/s 通过半径为R=0.4 m的光滑半圆轨道的最高点A，并沿半圆轨道运动至最低点B(最低点B与传送带平滑连接)，之后谷物通过长度为L的传送带运动至另一端点C，最终从点C水平飞出落至收集板上，谷物落到收集板后保持静止。利用不同谷物与接触面间的动摩擦因数\mu 不同这一特性，通过调节传送带运行速度v和传送带长度L来达到分离的目的，分离效果可由收集板上两种谷物的间距x来衡量。两种谷物和传送带间的动摩擦因数分别是0.2和0.4，点C距收集板的高度为h=1.25 m。不考虑轮的半径及谷物在连接处的能量损失，不考虑谷物间的碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(结果可以保留根号形式)$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625060981555023874/img/compression/M_1c06c3f802edd487a88eab09caf06a43.jpg)
$若传送带逆时针转动，调整传送带长度L=2.25 m，求x；$

Solution:
$从B点到C点过程，有\frac{1}{2}mv^2_C-\frac{1}{2}mv^2_B=-\mu mgL，则两种谷物到达C点的速度分别为v_{C1}=5 m/s，v_{C2}=4 m/s，两种谷物从C点离开分别做平抛运动，有h=\frac{1}{2}gt^2，x=(v_{C1}-v_{C2})t=\Delta vt，联立解得x=0.5 m。$

Final answer: 0.5 m
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，货舱P中的两种谷物需要通过如图装置进行分离。谷物以相同的初速度v_0=3\sqrt{2} m/s 通过半径为R=0.4 m的光滑半圆轨道的最高点A，并沿半圆轨道运动至最低点B(最低点B与传送带平滑连接)，之后谷物通过长度为L的传送带运动至另一端点C，最终从点C水平飞出落至收集板上，谷物落到收集板后保持静止。利用不同谷物与接触面间的动摩擦因数\mu 不同这一特性，通过调节传送带运行速度v和传送带长度L来达到分离的目的，分离效果可由收集板上两种谷物的间距x来衡量。两种谷物和传送带间的动摩擦因数分别是0.2和0.4，点C距收集板的高度为h=1.25 m。不考虑轮的半径及谷物在连接处的能量损失，不考虑谷物间的碰撞，忽略空气阻力，重力加速度g=10 m/s^2。(结果可以保留根号形式)$

<img_1208>
$若传送带逆时针转动，调整传送带长度L=2.25 m，求x；$

Solution:
$从B点到C点过程，有\frac{1}{2}mv^2_C-\frac{1}{2}mv^2_B=-\mu mgL，则两种谷物到达C点的速度分别为v_{C1}=5 m/s，v_{C2}=4 m/s，两种谷物从C点离开分别做平抛运动，有h=\frac{1}{2}gt^2，x=(v_{C1}-v_{C2})t=\Delta vt，联立解得x=0.5 m。$

Final answer: 0.5 m
Subfield: Mechanics


Question: $海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝壳动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m=0.1 kg的鸟蛤，在H=20 m的高度、以v_0=15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g=10 m/s^2，忽略空气阻力。$

<img_439>
$若鸟蛤与地面的碰撞时间\Delta t=0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)$

Solution:
$设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v，竖直方向分速度大小为v_y，根据运动的合成与分解得H=\frac{1}{2}gt^2$

①

$v_y=gt$

②

$v=\sqrt{v^2_0+v^2_y}$

③

$在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得$

$-F\Delta t=0-mv$

④

$联立①②③④式，代入数据得F=500 N$

⑤

Final answer: 500 N
Subfield: Mechanics


Question: $海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝壳动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m=0.1 kg的鸟蛤，在H=20 m的高度、以v_0=15 m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g=10 m/s^2，忽略空气阻力。$

![22GZTWL105.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061002518155266/img/compression/M_6259ba52874db8ffa15e9fe81e83074e.jpg)
$若鸟蛤与地面的碰撞时间\Delta t=0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)$

Solution:
$设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v，竖直方向分速度大小为v_y，根据运动的合成与分解得H=\frac{1}{2}gt^2$

①

$v_y=gt$

②

$v=\sqrt{v^2_0+v^2_y}$

③

$在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得$

$-F\Delta t=0-mv$

④

$联立①②③④式，代入数据得F=500 N$

⑤

Final answer: 500 N
Subfield: Mechanics


Question: $空间飞行器的交会对接是载人航天中的一项基础技术。北京时间2021年9月20日，天舟三号货运飞船采用自主交会对接模式成功和天和核心舱完成对接。成功对接后组合体沿圆形轨道运行，经过时间t，组合体绕地球转过的角度为\theta 。地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。$
求组合体所在圆形轨道离地高度H；

Solution:
$由牛顿第二定律有G\frac{Mm_0}{R^2}=m_0g$

$G\frac{Mm}{{(R+H)}^2}=m(R+H)\omega ^2，联立可得H=\sqrt[3]{\frac{gR^2t^2}{\theta ^2}}-R$

Final answer: $\sqrt[3]{\frac{gR^2t^2}{\theta ^2}} - R$
Subfield: Mechanics


Question: $空间飞行器的交会对接是载人航天中的一项基础技术。北京时间2021年9月20日，天舟三号货运飞船采用自主交会对接模式成功和天和核心舱完成对接。成功对接后组合体沿圆形轨道运行，经过时间t，组合体绕地球转过的角度为\theta 。地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。$
$已知天舟三号飞船在对接过程中的某一时刻质量为m，发动机喷气孔打开，在极短的时间内向后喷射出质量为\Delta m的燃气，喷出的燃气相对于喷气后飞船的速度为v，求喷气后火箭增加的速度\Delta v。$

Solution:
$(取喷气之后的飞船为参考系)-m\cdot \Delta v=-\Delta m\cdot v，得\Delta v=\frac{\Delta m \cdot v}{m}。$

Final answer: $\frac{\Delta m \cdot v}{m}$
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061105618214914/img/compression/M_56042fc5aa5b6e699e437d059502c986.jpg)
求滑块过C点的速度大小v_{C}和轨道对滑块的作用力大小F_{C}；

Solution:
机械能守恒
$mg(h-3R)=\frac{1}{2}mv^2_C-0$
$v_C=4 m/s$
最高点C
$F_C+mg=m\frac{v^2_C}{R}$
$F_C=22 N$

Final answer: 4 m/s 22 N
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

<img_780>
求滑块过C点的速度大小v_{C}和轨道对滑块的作用力大小F_{C}；

Solution:
机械能守恒
$mg(h-3R)=\frac{1}{2}mv^2_C-0$
$v_C=4 m/s$
最高点C
$F_C+mg=m\frac{v^2_C}{R}$
$F_C=22 N$



Final answer: 4, 22 m/s, N
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061105618214914/img/compression/M_56042fc5aa5b6e699e437d059502c986.jpg)
摆渡车碰到IJ前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数\mu ；

Solution:
动能定理
$mgh-0.2mgL_{FG}=\frac{1}{2}mv^2_G$
$达到共速时的速度为v，动量守恒2mv=mv_{G}$
$功能关系\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_G-\frac{1}{2}\times 2mv^2$
$$\mu $$=0.3

Final answer: 0.3
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

<img_780>
摆渡车碰到IJ前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数\mu ；

Solution:
动能定理
$mgh-0.2mgL_{FG}=\frac{1}{2}mv^2_G$
$达到共速时的速度为v，动量守恒2mv=mv_{G}$
$功能关系\mu mgL=\frac{1}{2}mv^2_G-\frac{1}{2}\times 2mv^2$
$$\mu $$=0.3

Final answer: 0.3
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061105618214914/img/compression/M_56042fc5aa5b6e699e437d059502c986.jpg)
在(2)的条件下，求滑块从G到J所用的时间t。

Solution:
$滑块滑上摆渡车到共速的时间t_1，有$
$t_1 = \frac{v_G-v}{\mu g} = 1 s$

$共速后继续向右匀速运动时间t_2$
$t_2 = \frac{L_0-L-\frac{1}{2}vt_1}{v} = 1.5 s$

$t = t_1 + t_2 = 2.5 s$

Final answer: 2.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角\theta = 37^\circ 的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角\theta = 37^\circ 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R = 0.5 m，B点高度为1.2R，FG长度L_{FG} = 2.5 m，HI长度L_{0} = 9 m，摆渡车长度L = 3 m、质量m = 1 kg。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度h = 2.3 m处静止释放，滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，\sin 37^\circ =0.6，\cos 37^\circ =0.8，g = 10 m/s^2)$

<img_780>
在(2)的条件下，求滑块从G到J所用的时间t。

Solution:
$滑块滑上摆渡车到共速的时间t_1，有$
$t_1 = \frac{v_G-v}{\mu g} = 1 s$

$共速后继续向右匀速运动时间t_2$
$t_2 = \frac{L_0-L-\frac{1}{2}vt_1}{v} = 1.5 s$

$t = t_1 + t_2 = 2.5 s$

Final answer: 2.5 s
Subfield: Mechanics


Question: $一玩具以初速度v_0从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1:4的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求$
两部分落地时速度大小之比的值。

Solution:
$设玩具分开时两部分的质量分别为m_1、m_2，水平速度大小分别为v_1、v_2。依题意，动能关系为$

$\frac{1}{2}m_1v^2_1 + \frac{1}{2}m_2v^2_2 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_0^2$

玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，有

$m_1v_1 - m_2v_2 = 0$

$分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为v_0，设两部分落地时的速度大小分别为v_1'、v_2'，由速度合成公式，有$

$v_1' = \sqrt{v_0^2+v_1^2}$

$v_2' = \sqrt{v_0^2+v_2^2}$

$联立上述各式，考虑到m_1:m_2=1:4，得$

$v_1':v_2'=2:1$

Final answer: 2:1
Subfield: Mechanics


Question: $航空公司装卸货物时常因抛掷而造成物品损坏，为解决这个问题，某同学设计了如图所示的缓冲转运装置。装置A上表面由光滑曲面和粗糙水平面组成，装置A紧靠飞机，转运车B紧靠A。已知包裹与装置A、转运车B水平上表面间的动摩擦因数均为\mu _1=0.2，装置A与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，不计转运车B与水平地面间的摩擦.A、B的质量均为M=40 kg，A、B水平上表面的长度均为L=4 m。包裹可视为质点，将其由装置A的光滑曲面某高度h处静止释放，包裹与B的右挡板碰撞损失的机械能可忽略。重力加速度g取10 m/s^2。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061154536509442/img/compression/M_eaa81998f9e2ef04d815b861deb1a4bb.jpg)
要使包裹在装置A上运动时A不动，求包裹的质量最大不超过多少；

Solution:
$ A 不动时需满足 \mu _1mg \leq  \mu _2(m+M)g，解得 m \leq  40 kg，即包裹的质量不能超过40 kg。$

Final answer: 40 kg
Subfield: Mechanics


Question: $航空公司装卸货物时常因抛掷而造成物品损坏，为解决这个问题，某同学设计了如图所示的缓冲转运装置。装置A上表面由光滑曲面和粗糙水平面组成，装置A紧靠飞机，转运车B紧靠A。已知包裹与装置A、转运车B水平上表面间的动摩擦因数均为\mu _1=0.2，装置A与水平地面间的动摩擦因数\mu _2=0.1，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，不计转运车B与水平地面间的摩擦.A、B的质量均为M=40 kg，A、B水平上表面的长度均为L=4 m。包裹可视为质点，将其由装置A的光滑曲面某高度h处静止释放，包裹与B的右挡板碰撞损失的机械能可忽略。重力加速度g取10 m/s^2。$

<img_903>
要使包裹在装置A上运动时A不动，求包裹的质量最大不超过多少；

Solution:
$ A 不动时需满足 \mu _1mg \leq  \mu _2(m+M)g，解得 m \leq  40 kg，即包裹的质量不能超过40 kg。$

Final answer: 40 kg
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为一种质谱仪装置，由竖直放置的、正对的金属板M、N和立方体ABCD-A'B'C'D'构成，金属板N与立方体ADD'A'面重合。立方体除BCC'B'为荧光屏外，其余各面均为相互绝缘的金属板，已知立方体边长L=0.2 m。正方形ADD'A'的正中心上方L/4处有一小孔O，现以小孔O为坐标原点建立x、y和z坐标轴，各坐标轴与立方体相应边平行，M板上小孔O正后方位置有一平行于x轴的线状粒子源S，可连续发出沿xOz平面的带正电粒子，其比荷为q/m=1\times 10^{8} C/kg，经M、N之间的电场加速后，部分可从小孔O进入立方体，M、N之间的电场可看成匀强电场，M、N板间电势差U_0=5 000 V，立方体内存在某方向的匀强电场。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061367484837891/img/compression/M_dbf1067b8f9fbba94a0a6ca734fcc1c0.jpg)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061367484837891/img/compression/M_3df718475e981bebdca255845a4c3e5a.jpg)
$若粒子飘入M板的初速度可忽略不计，试求：能进入立方体的粒子经过小孔O的速度大小；若x、y方向存在如图乙所示周期性变化的匀强电场，粒子在立方体内运动时间远小于电场变化的周期，要求所有粒子均打在荧光屏上，求E_0的最大值。$

Solution:
$根据题意，由动能定理有 U_0q=\frac{1}{2}mv^2，解得 v=\sqrt{\frac{2U_0q}{m}}=1\times 10^6 m/s。若单独存在 E_x 时，粒子恰好打在边缘，有 \frac{L}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2} ，解得 E_0=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m；单独存在 E_y 时，粒子恰好打在边缘，有 \frac{3L}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2}，解得 E_0=\frac{15}{8}\times 10^4 V/m；若 x 、y 方向电场同时存在， E=5E_0，粒子到达 x 方向边界时，在 y 方向上运动了 \frac{2}{3}L ,可判断粒子偏移量为 \frac{5L}{6}，有 \frac{5L}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2} ，解得 E_0=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m，所以 E_0 最大值为 E_{0m}=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m。$

Final answer: $1\times 10^6 m/s \frac{5}{3}\times 10^4 V/m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为一种质谱仪装置，由竖直放置的、正对的金属板M、N和立方体ABCD-A'B'C'D'构成，金属板N与立方体ADD'A'面重合。立方体除BCC'B'为荧光屏外，其余各面均为相互绝缘的金属板，已知立方体边长L=0.2 m。正方形ADD'A'的正中心上方L/4处有一小孔O，现以小孔O为坐标原点建立x、y和z坐标轴，各坐标轴与立方体相应边平行，M板上小孔O正后方位置有一平行于x轴的线状粒子源S，可连续发出沿xOz平面的带正电粒子，其比荷为q/m=1\times 10^{8} C/kg，经M、N之间的电场加速后，部分可从小孔O进入立方体，M、N之间的电场可看成匀强电场，M、N板间电势差U_0=5 000 V，立方体内存在某方向的匀强电场。$

<img_996>

<img_1452>
$若粒子飘入M板的初速度可忽略不计，试求：能进入立方体的粒子经过小孔O的速度大小；若x、y方向存在如图乙所示周期性变化的匀强电场，粒子在立方体内运动时间远小于电场变化的周期，要求所有粒子均打在荧光屏上，求E_0的最大值。$

Solution:
$根据题意，由动能定理有 U_0q=\frac{1}{2}mv^2，解得 v=\sqrt{\frac{2U_0q}{m}}=1\times 10^6 m/s。若单独存在 E_x 时，粒子恰好打在边缘，有 \frac{L}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2} ，解得 E_0=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m；单独存在 E_y 时，粒子恰好打在边缘，有 \frac{3L}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2}，解得 E_0=\frac{15}{8}\times 10^4 V/m；若 x 、y 方向电场同时存在， E=5E_0，粒子到达 x 方向边界时，在 y 方向上运动了 \frac{2}{3}L ,可判断粒子偏移量为 \frac{5L}{6}，有 \frac{5L}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5E_{0}q}{m}\cdot \left(\frac{L}{v}\right)^{2} ，解得 E_0=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m，所以 E_0 最大值为 E_{0m}=\frac{5}{3}\times 10^4 V/m。$



Final answer: $1\times 10^6, \frac{5}{3}\times 10^4$ m/s, V/m
Subfield: Electromagnetism


Question: $某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP'N'N内有竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN'M'M内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽为s，长为3s；NN'为磁场与电场之间的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%。若最后电子仅能从磁场边界M'N'飞出，不计电子所受重力。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061690354651142/img/compression/M_e0d5e76da77d017f6644e6aa45b777f7.jpg)
求电子第一次与第二次圆周运动半径之比的值；

Solution:
$设电子做圆周运动的半径分别为R_1、R_2、\ldots \ldots 、R_n、R_{n+1}，第一次和第二次进入磁场做圆周运动的速率分别为v_1和v_2，动能分别为E_{k1}和E_{k2}，由evB=\frac{v^2}{R}，E_k=\frac{1}{2}mv^2，可得R=\frac{mv}{eB}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}，由于电子第一次与第二次圆周运动之间穿越隔离层两次，则有\frac{E_{k1}}{E_{k2}}=\frac{1}{0.9^2}，可得\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{0.9}=\frac{10}{9}。$

Final answer: 10:9
Subfield: Electromagnetism


Question: $某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP'N'N内有竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN'M'M内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽为s，长为3s；NN'为磁场与电场之间的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%。若最后电子仅能从磁场边界M'N'飞出，不计电子所受重力。$

<img_515>
求电子第一次与第二次圆周运动半径之比的值；

Solution:
$设电子做圆周运动的半径分别为R_1、R_2、\ldots \ldots 、R_n、R_{n+1}，第一次和第二次进入磁场做圆周运动的速率分别为v_1和v_2，动能分别为E_{k1}和E_{k2}，由evB=\frac{v^2}{R}，E_k=\frac{1}{2}mv^2，可得R=\frac{mv}{eB}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}，由于电子第一次与第二次圆周运动之间穿越隔离层两次，则有\frac{E_{k1}}{E_{k2}}=\frac{1}{0.9^2}，可得\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{0.9}=\frac{10}{9}。$

Final answer: 10:9
Subfield: Modern Physics


Question: $通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率(即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值)，可研究中子(^1_0n)的\beta 衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子\overline{\nu }_e。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度L=1.2 m以O为中点的探测板，P点离探测板的距离OP为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。$
$已知电子质量m_e=9.1\times 10^-31 kg=0.51 MeV/c^2，中子质量m_n=939.57 MeV/c^2，质子质量m_p=938.27 MeV/c^2 (c为光速，不计重力，不考虑粒子之间的相互作用)。$
$若质子的动量p=4.8\times 10^-21 kg\cdot m\cdot s^-1=3\times 10^-8 MeV\cdot s\cdot m^-1$
<img_1337>
$当a=0.15 m，B=0.1 T时，求计数率；$

Solution:
$质子在磁场中的运动半径为R= \frac{p}{eB}=0.3 m$

$如图甲所示，由几何关系可知，\sin \alpha =\sin \beta = \frac{R-a}{R}= \frac{1}{2}，则打到探测板的对应发射角度$

<img_1447>

$\alpha =\beta = \frac{\pi }{6}，可得质子计数率为\eta = \frac{2\pi -\frac{2\pi }{3}}{2\pi }= \frac{2}{3}$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Modern Physics


Question: $通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率(即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值)，可研究中子(^1_0n)的\beta 衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子\overline{\nu }_e。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度L=1.2 m以O为中点的探测板，P点离探测板的距离OP为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。$
$已知电子质量m_e=9.1\times 10^-31 kg=0.51 MeV/c^2，中子质量m_n=939.57 MeV/c^2，质子质量m_p=938.27 MeV/c^2 (c为光速，不计重力，不考虑粒子之间的相互作用)。$
$若质子的动量p=4.8\times 10^-21 kg\cdot m\cdot s^-1=3\times 10^-8 MeV\cdot s\cdot m^-1$
![21BZJ5WL387.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061728178884610/img/compression/M_bc7b91edb9153b6e427428c09101cd3f.jpg)
$当a=0.15 m，B=0.1 T时，求计数率；$

Solution:
$质子在磁场中的运动半径为R= \frac{p}{eB}=0.3 m$

$如图甲所示，由几何关系可知，\sin \alpha =\sin \beta = \frac{R-a}{R}= \frac{1}{2}，则打到探测板的对应发射角度$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061728531206146/img/compression/M_8a60d4612193926397c56f94c30e9caf.jpg)

$\alpha =\beta = \frac{\pi }{6}，可得质子计数率为\eta = \frac{2\pi -\frac{2\pi }{3}}{2\pi }= \frac{2}{3}$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m，电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。$

<img_1389>
求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离L_{max}；

Solution:
$a、c束中的离子从同一点Q射出，\alpha = \beta$

<img_558>

$\tan \alpha = \frac{R-s}{L_{\max }}，L_{max} = \frac{4}{15} R$



Final answer: $\frac{4}{15}R$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m，电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061753222946819/img/compression/M_970da899b3c43ac8342dbf4bd0d818fe.jpg)
求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离L_{max}；

Solution:
$a、c束中的离子从同一点Q射出，\alpha = \beta$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1625061753579462658/img/compression/M_68d261297779a99918f2018f7a60357e.jpg)

$\tan \alpha = \frac{R-s}{L_{\max }}，L_{max} = \frac{4}{15} R$

Final answer: $\frac{4}{15}R$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S=0.3 m^2、电阻R=0.6 \Omega ，磁场的磁感应强度B=0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在\Delta t=0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522144447315970/img/compression/M_cedd121a011583fb8229eb5f57c972de.jpg)
感应电动势的平均值E；

Solution:
$感应电动势的平均值E=\frac{\Delta\mathit{ Φ} }{\Delta t}$

磁通量的变化量$\Delta Φ=B\Delta S$

$解得E=\frac{B\Delta S}{\Delta t}，代入数据得E=0.12 V$

Final answer: 0.12 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S=0.3 m^2、电阻R=0.6 \Omega ，磁场的磁感应强度B=0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在\Delta t=0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中。$

<img_1164>
感应电动势的平均值E；

Solution:
$感应电动势的平均值E=\frac{\Delta\mathit{ Φ} }{\Delta t}$

磁通量的变化量$\Delta Φ=B\Delta S$

$解得E=\frac{B\Delta S}{\Delta t}，代入数据得E=0.12 V$

Final answer: 0.12 V
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S=0.3 m^2、电阻R=0.6 \Omega ，磁场的磁感应强度B=0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在\Delta t=0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522144447315970/img/compression/M_cedd121a011583fb8229eb5f57c972de.jpg)
通过导线横截面的电荷量q。

Solution:
$电荷量q=I\Delta t，代入数据得q=0.1 C$

Final answer: 0.1 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S=0.3 m^2、电阻R=0.6 \Omega ，磁场的磁感应强度B=0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在\Delta t=0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中。$

<img_1164>
通过导线横截面的电荷量q。

Solution:
$电荷量q=I\Delta t，代入数据得q=0.1 C$

Final answer: 0.1 C
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_c791868107d75f6712c4d49be4d5e9f4.jpg)

(a)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_9b6921043ce8d4db9c71d2a9843d8ba9.jpg)

(b)
在1~2 s时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小；

Solution:
$由v-t图像可得在1～2 s内，棒G做匀加速运动，其加速度大小为a=2 m/s^2$

$依题意物块A的加速度大小也为a=2 m/s^2，$

$由牛顿第二定律可得T-m_A g \sin \theta =m_A a$

$解得细绳对A的拉力T=0.9 N$

Final answer: $2 m/s^2$   $0.9 N$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

<img_1124>

(a)

<img_850>

(b)
在1~2 s时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小；

Solution:
$由v-t图像可得在1～2 s内，棒G做匀加速运动，其加速度大小为a=2 m/s^2$

$依题意物块A的加速度大小也为a=2 m/s^2，$

$由牛顿第二定律可得T-m_A g \sin \theta =m_A a$

$解得细绳对A的拉力T=0.9 N$



Final answer: $2$, $0.9$ m/s^2, N
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_c791868107d75f6712c4d49be4d5e9f4.jpg)

(a)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_9b6921043ce8d4db9c71d2a9843d8ba9.jpg)

(b)
$t=1.5s时，棒H上拉力的瞬时功率；$

Solution:
$由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为I = \frac{BL(v_H-v_G)}{R_H+R_G}  $
$由牛顿第三定律知，绳对G的拉力T_G = T  $
$由牛顿第二定律和安培力公式有BIL - T_G = m_G a  $
$由于在1~2 s内棒G做匀加速运动，回路中电流恒定为I=6.5 A，两棒速度差v_H - v_G = 6.5 m/s保持不变，这说明两棒加速度大小相同且均为a；   $
$对棒H由牛顿第二定律得F - BIL = m_H a  $
$可求得其受到水平向右拉力F = 1.7 N  $
$由v - t图像可知t = 1.5 s时，棒G的速度为v_G = 3 m/s  $
$此刻棒H的速度为v_H = 9.5 m/s  $
$则棒H上拉力的功率P_F = Fv_H = 16.15 W$

Final answer: 16.15 W
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

<img_1124>

(a)

<img_850>

(b)
$t=1.5s时，棒H上拉力的瞬时功率；$

Solution:
$由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为I = \frac{BL(v_H-v_G)}{R_H+R_G}  $
$由牛顿第三定律知，绳对G的拉力T_G = T  $
$由牛顿第二定律和安培力公式有BIL - T_G = m_G a  $
$由于在1~2 s内棒G做匀加速运动，回路中电流恒定为I=6.5 A，两棒速度差v_H - v_G = 6.5 m/s保持不变，这说明两棒加速度大小相同且均为a；   $
$对棒H由牛顿第二定律得F - BIL = m_H a  $
$可求得其受到水平向右拉力F = 1.7 N  $
$由v - t图像可知t = 1.5 s时，棒G的速度为v_G = 3 m/s  $
$此刻棒H的速度为v_H = 9.5 m/s  $
$则棒H上拉力的功率P_F = Fv_H = 16.15 W$

Final answer: 16.15 W
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)，一倾角为\theta 的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N。两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行。从t=0 s开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；t=2 s时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定。G在t=1 s后的速度-时间图线如图(b)所示，其中1~2 s段为直线。已知：磁感应强度大小B=1 T，L=0.2 m，G、H和A的质量均为0.2 kg，G、H的电阻均为0.1 \Omega ；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：\sin \theta =0.25，\cos \theta =0.97，重力加速度大小取10 m/s^{2}，图(b)中e为自然常数，\frac{4}{e}=1.47。求：$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_c791868107d75f6712c4d49be4d5e9f4.jpg)

(a)

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719522155440836610/img/compression/M_9b6921043ce8d4db9c71d2a9843d8ba9.jpg)

(b)
在2~3 s时间段内，棒G滑行的距离。

Solution:
$2 s末棒H突然停止时，棒G的速度v_{G}'=4 m/s，假设2 s末时绳子松弛，对A由牛顿第二定律有m_{A}g \sin \theta =m_{A}a'，解得a'=2.5 m/s^2，对棒G由牛顿第二定律得\frac{B^2L^2v_G'}{R_H+R_G}=m_{G}a''，解得a''=4 m/s^2，A做匀减速直线运动，3 s末时的速度为1.5 m/s，G做加速度减小的减速运动，3 s末时速度为\frac{4}{e}，由于开始时G的加速度大于A的，且二者2 s 末时速度相同，则在2~3 s内G的速度始终小于A的速度，则2~3 s内绳子始终松弛，棒G水平方向只受安培力。$

$在2~3 s内，对棒G由动量定理得：\frac{B^2L^2}{R_H+R_G}∑v_{G}\Delta t=m_{G}∑a\Delta t。式中∑v_{G}\Delta t为2~3 s时间段内棒G滑行的距离x，∑a\Delta t为2~3 s时间段内，棒G的速度改变量，即：∑a\Delta t=v_{G2}-v_{G3}。联立解得x=2.53 m。$

Final answer: 2.53 m