di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003526967939075/img/compression/M_800ca26981004a7a74d96794a9224e5c.jpg)
传送带达到最大速度时P、Q间距离d；

Solution:
$设 P、Q 碰撞后的速度分别为 v_1、v_2，又因为是弹性碰撞，故有 m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2，\frac{1}{2}m_1v_0^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2，得 v_1=2 \,m/s，v_2=8 \,m/s。设 P、Q 两滑块的加速度分别为 a_P、a_Q，与传送带达到速度相等的时间分别为 t_1、t_2，\mu_1m_1g=m_1a_P，\mu_2m_2g=m_2a_Q；由 v_1-a_Pt_1=a_1t_1，v_2-a_Qt_2=a_1t_2，得 t_1=1 \,s，t_2=1 \,s，此时传动带的速度 v'=a_1t_1=1\, m/s；此后 P、Q 与传送带相对静止。设 P、Q 的位移分别为 x_1、x_2，x_1=v_1t_1-\frac{1}{2}a_Pt_1^2，x_2=v_2t_2-\frac{1}{2}a_Qt_2^2，d=x_2-x_1，联立解得 d=3 \,m。$

Final answer: $3 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

<img_820>
P、Q最终的速度大小；

Solution:
$设传送带减速时间为t_3，得t_3=\frac{v}{a_2}=2 s，设在t_3时间内，P相对传送带的位移x_3=vt_3-\frac{1}{2}a_{P}t^2_3-\frac{1}{2}vt_3，解得x_3=2 m；设P与Q第二次相碰前速度为v_3，2a_{P}(d - x_3) = (v-a_{P}t_3)^2-v^2_3，得v_3=\sqrt{2} m/s，根据动量守恒及动能定理，P、Q最终速度为v_{P}=\frac{\sqrt{2}}{3} m/s，v_{Q}=\frac{4\sqrt{2}}{3} m/s。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3} m/s \frac{4\sqrt{2}}{3} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003526967939075/img/compression/M_800ca26981004a7a74d96794a9224e5c.jpg)
P、Q最终的速度大小；

Solution:
$设传送带减速时间为t_3，得t_3=\frac{v}{a_2}=2 s，设在t_3时间内，P相对传送带的位移x_3=vt_3-\frac{1}{2}a_{P}t^2_3-\frac{1}{2}vt_3，解得x_3=2 m；设P与Q第二次相碰前速度为v_3，2a_{P}(d - x_3) = (v-a_{P}t_3)^2-v^2_3，得v_3=\sqrt{2} m/s，根据动量守恒及动能定理，P、Q最终速度为v_{P}=\frac{\sqrt{2}}{3} m/s，v_{Q}=\frac{4\sqrt{2}}{3} m/s。$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{3} m/s \frac{4\sqrt{2}}{3} m/s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003526967939075/img/compression/M_800ca26981004a7a74d96794a9224e5c.jpg)
P、Q与传送带间的摩擦产生的热量Q。

Solution:
$设P、Q与传送带间摩擦产生的热量分别为Q_1、Q_2，$

$Q_1=\mu _1m_1g(x_1-\frac{1}{2}a_1t^2_1)+\mu _1m_1gd，$

$Q_2=\mu _2m_2g(x_2-\frac{1}{2}a_1t^2_2)，$

$P、Q与传送带间的摩擦产生的热量Q=Q_1+Q_2=36 J。$

Final answer: $36 J$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，水平面中间夹有一水平传送带，水平面与传送带上表面齐平且平滑连接，左侧水平面上c点左侧部分粗糙，右侧部分光滑，传送带右侧水平面光滑，质量为$m_1=2 kg$的小滑块P与固定挡板间有一根劲度系数为$k=76 N/m$的轻弹簧(P与弹簧不拴接)，初始时P放置在c点静止且弹簧处于原长，传送带初始静止，在传送带左端点a处停放有一质量为$m_2=1 kg$的小滑块Q。现给P施加一水平向左、大小为$F=40 N$的恒力，使P向左运动，当P速度为零时立即撤掉恒力，一段时间后P将与Q发生弹性碰撞(不计碰撞时间)，以后P、Q间的碰撞都是弹性碰撞，在P、Q第一次碰撞时传送带由静止开始顺时针做匀加速运动，加速度大小为$a_1=1 m/s^2$，当速度达到$v=4 m/s$时传送带立即做匀减速运动直至速度减为零，加速度大小为$a_2=2 m/s^2$，当传送带速度减为零时，Q恰好运动到传送带右端点b处，已知P与水平面、传送带间的动摩擦因数均为$\mu _1=0.1$，Q与传送带间的动摩擦因数$\mu _2=0.7$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的形变在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为$E_p=1/2kx^2$，x为弹簧的形变量，取重力加速度$g=10 m/s^2$，不计空气阻力。

求：

<img_820>
P、Q与传送带间的摩擦产生的热量Q。

Solution:
$设P、Q与传送带间摩擦产生的热量分别为Q_1、Q_2，$

$Q_1=\mu _1m_1g(x_1-\frac{1}{2}a_1t^2_1)+\mu _1m_1gd，$

$Q_2=\mu _2m_2g(x_2-\frac{1}{2}a_1t^2_2)，$

$P、Q与传送带间的摩擦产生的热量Q=Q_1+Q_2=36 J。$

Final answer: $36 J$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

<img_1273>
$求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小v_{P1}、v_{Q1};$

Solution:
$- P与Q的第一次碰撞，Q质量较大，P与之碰后速度方向改变，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得$
$     mv_0=-mv_{P1}+4mv_{Q1} ①$
- 由机械能守恒定律得
$     \frac{1}{2}mv^2_0=\frac{1}{2}mv^2_{P1}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q1} ②$
$- 联立①②式得v_{P1}=\frac{3}{5}v_0 ③$
$- v_{Q1}=\frac{2}{5}v_0 ④$

Final answer: $\frac{3}{5}v_{0}　\frac{2}{5}v_{0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003548779569154/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
$求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小v_{P1}、v_{Q1};$

Solution:
$- P与Q的第一次碰撞，Q质量较大，P与之碰后速度方向改变，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得$
$     mv_0=-mv_{P1}+4mv_{Q1} ①$
- 由机械能守恒定律得
$     \frac{1}{2}mv^2_0=\frac{1}{2}mv^2_{P1}+\frac{1}{2}\cdot 4mv^2_{Q1} ②$
$- 联立①②式得v_{P1}=\frac{3}{5}v_0 ③$
$- v_{Q1}=\frac{2}{5}v_0 ④$

Final answer: $\frac{3}{5}v_{0}　\frac{2}{5}v_{0}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003548779569154/img/compression/M_2740f1dbc6b1edb6a6d696e06b6dc10f.jpg)
为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

Solution:
$设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t_1，由运动学公式得v_{Q1}=2gt_1 \sin \theta$

$设P运动到斜面底端时的速度为v_{P1}'，需要的时间为t_2，由运动学公式得$
$v_{P1}'=v_{P1}+gt_2 \sin \theta$

$v_{P1}'^2-v^2_{P1}=2sg \sin \theta$

$设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t_3$
$v_{02}=-v_{P1}-gt_3 \sin \theta$

$当A点与挡板之间的距离最小时t_1=2t_2+t_3$

$联立③④⑧㉖㉗㉘㉙㉚式得s=\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一倾角为$\theta$ 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为$m和4m$，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度$v_0$与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于$\tan \theta$ ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

<img_1273>
为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

Solution:
$设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t_1，由运动学公式得v_{Q1}=2gt_1 \sin \theta$

$设P运动到斜面底端时的速度为v_{P1}'，需要的时间为t_2，由运动学公式得$
$v_{P1}'=v_{P1}+gt_2 \sin \theta$

$v_{P1}'^2-v^2_{P1}=2sg \sin \theta$

$设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t_3$
$v_{02}=-v_{P1}-gt_3 \sin \theta$

$当A点与挡板之间的距离最小时t_1=2t_2+t_3$

$联立③④⑧㉖㉗㉘㉙㉚式得s=\frac{(8\sqrt{7}-13)v^2_0}{200g \sin  \theta }$

Final answer: $$
Subfield: Mechanics


Question: $“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h_0=0.8 m处，将一质量m=20 g的小石片以初速度v_0=16 m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2 N，接触水面0.1 s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直方向速度的\frac{3}{4}。取重力加速度g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

![alt](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003559291682823/img/compression/M_597b08361ee2f52099d61c314131f6df.jpg)
小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离；

Solution:
$小石片抛出后，做平抛运动，h_0 = \frac{1}{2}gt_0^2，v_{y0} = gt_0，解得v_{y0} = 4 m/s，则第一次反弹时竖直方向的分速度大小v_{y1} = \frac{3}{4}v_{y0} = 3 m/s，第一次在水面上滑行时水平方向有f = ma，v_{x1} = v_0 - a\Delta t，解得v_{x1} = 10 m/s，设小石片第1次离开水面后到再次碰到水面经历时间为t_1，则有v_{y1} = g \cdot  \frac{t_1}{2}，x = v_{x1}t_1，解得x = 6 m。$

Final answer: 6 m
Subfield: Mechanics


Question: $“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h_0=0.8 m处，将一质量m=20 g的小石片以初速度v_0=16 m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2 N，接触水面0.1 s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直方向速度的\frac{3}{4}。取重力加速度g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

<img_538>
小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离；

Solution:
$小石片抛出后，做平抛运动，h_0 = \frac{1}{2}gt_0^2，v_{y0} = gt_0，解得v_{y0} = 4 m/s，则第一次反弹时竖直方向的分速度大小v_{y1} = \frac{3}{4}v_{y0} = 3 m/s，第一次在水面上滑行时水平方向有f = ma，v_{x1} = v_0 - a\Delta t，解得v_{x1} = 10 m/s，设小石片第1次离开水面后到再次碰到水面经历时间为t_1，则有v_{y1} = g \cdot  \frac{t_1}{2}，x = v_{x1}t_1，解得x = 6 m。$

Final answer: 6 m
Subfield: Mechanics


Question: $“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h_0=0.8 m处，将一质量m=20 g的小石片以初速度v_0=16 m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2 N，接触水面0.1 s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直方向速度的\frac{3}{4}。取重力加速度g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

<img_538>
第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。

Solution:
$第1次与水面接触过程竖直方向有 F\Delta t-mg\Delta t=mv_{y1}-(-mv_{y0})，解得F=1.6 N，则水面对小石片的作用力大小F'=\sqrt{F^2+f^2}，解得F'=2.0 N。$

Final answer: $2.0 N$
Subfield: Mechanics


Question: $“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h_0=0.8 m处，将一质量m=20 g的小石片以初速度v_0=16 m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2 N，接触水面0.1 s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直方向速度的\frac{3}{4}。取重力加速度g=10 m/s^2，不计空气阻力。求：$

![alt](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003559291682823/img/compression/M_597b08361ee2f52099d61c314131f6df.jpg)
第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。

Solution:
$第1次与水面接触过程竖直方向有 F\Delta t-mg\Delta t=mv_{y1}-(-mv_{y0})，解得F=1.6 N，则水面对小石片的作用力大小F'=\sqrt{F^2+f^2}，解得F'=2.0 N。$

Final answer: $2.0 N$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

<img_1312>
求B从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到Q点的距离；

Solution:
$设B到半圆弧轨道最高点时速度为v_2'，由于B在轨道最高点时对轨道的压力恰好为零，则由牛顿第二定律得mg = m \frac{v'^2_{2}}{R}$
B离开最高点后做平抛运动，
$则在竖直方向上有2R = \frac{1}{2} gt^2$
在水平方向上有x = v_2' t
联立解得x = 2R

Final answer: 2R
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003544799174659/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
求B从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到Q点的距离；

Solution:
$设B到半圆弧轨道最高点时速度为v_2'，由于B在轨道最高点时对轨道的压力恰好为零，则由牛顿第二定律得mg = m \frac{v'^2_{2}}{R}$
B离开最高点后做平抛运动，
$则在竖直方向上有2R = \frac{1}{2} gt^2$
在水平方向上有x = v_2' t
联立解得x = 2R

Final answer: 2R
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

<img_1312>
求碰撞过程中A和B损失的总动能。

Solution:
设A、B碰后瞬间的速度分别为v<sub>1</sub>、v<sub>2</sub>，对B由Q到最高点的过程，由机械能守恒定律得

$\frac{1}{2}mv^2_2 = \frac{1}{2}mv'^2_{2} + mg\cdot 2R$

$解得v_2 = \sqrt{5gR}$

$对A由Q到C的过程，由机械能守恒定律得 \frac{1}{2}mv^2_1 = mgR$

$解得v_1 = \sqrt{2gR}$

设碰前瞬间A的速度为v<sub>0</sub>，对A、B碰撞的过程，由动量守恒定律得 $mv_0 = mv_1 + mv_2$

$解得v_0 = \sqrt{2gR} + \sqrt{5gR}$

碰撞过程中A和B损失的总动能为

$\Delta E = \frac{1}{2}mv^2_0 - \frac{1}{2}mv^2_1 - \frac{1}{2}mv^2_2$

$解得\Delta E = \sqrt{10}mgR$

Final answer: $\sqrt{10} mgR$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内,其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动，A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

![22GZTWL1023.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003544799174659/img/compression/M_7d9f8be58dc0fd09e0ea246a3eac39d6.jpg)
求碰撞过程中A和B损失的总动能。

Solution:
设A、B碰后瞬间的速度分别为v<sub>1</sub>、v<sub>2</sub>，对B由Q到最高点的过程，由机械能守恒定律得

$\frac{1}{2}mv^2_2 = \frac{1}{2}mv'^2_{2} + mg\cdot 2R$

$解得v_2 = \sqrt{5gR}$

$对A由Q到C的过程，由机械能守恒定律得 \frac{1}{2}mv^2_1 = mgR$

$解得v_1 = \sqrt{2gR}$

设碰前瞬间A的速度为v<sub>0</sub>，对A、B碰撞的过程，由动量守恒定律得 $mv_0 = mv_1 + mv_2$

$解得v_0 = \sqrt{2gR} + \sqrt{5gR}$

碰撞过程中A和B损失的总动能为

$\Delta E = \frac{1}{2}mv^2_0 - \frac{1}{2}mv^2_1 - \frac{1}{2}mv^2_2$

$解得\Delta E = \sqrt{10}mgR$

Final answer: $\sqrt{10} mgR$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

<img_754>
若木板只与C发生了1次碰撞，求木板的运动时间；

Solution:
$滑块P从A到B过程，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv^2，代入数据解得v=6 m/s。$

P在Q上做匀减速运动，Q做匀加速运动，运动过程中二者的动量守恒。

若木板只与C发生了一次碰撞(不与B碰撞)，则碰撞后到停止运动的这段过程中二者的动量变化量相等，即碰前P与Q的动量大小相等，则有

$mv=mv_{P}+Mv_{Q}，mv_{P}=Mv_{Q}$

代入数据解得$v_{Q}=1.5 m/s$。

而$\mu mg=Ma_{Q1}$。

$Q的运动时间t=2\frac{v_Q}{a_{Q1}}，解得t=2 s。$

Final answer: $2 s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

![24BSD5WL415.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003565048786946/img/compression/M_e6d20d3867fb8ad278053e012423cbf0.jpg)
若木板只与C发生了1次碰撞，求木板的运动时间；

Solution:
$滑块P从A到B过程，根据机械能守恒定律有mgh=\frac{1}{2}mv^2，代入数据解得v=6 m/s。$

P在Q上做匀减速运动，Q做匀加速运动，运动过程中二者的动量守恒。

若木板只与C发生了一次碰撞(不与B碰撞)，则碰撞后到停止运动的这段过程中二者的动量变化量相等，即碰前P与Q的动量大小相等，则有

$mv=mv_{P}+Mv_{Q}，mv_{P}=Mv_{Q}$

代入数据解得$v_{Q}=1.5 m/s$。

而$\mu mg=Ma_{Q1}$。

$Q的运动时间t=2\frac{v_Q}{a_{Q1}}，解得t=2 s。$

Final answer: $2 s$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

<img_754>
若木板只与C发生了2次碰撞，求最终P与B点的距离；

Solution:
木板只与C发生2次碰撞后，最终停止时右端与B刚好接触，此过程中滑块在木板上一直做匀减速运动。

$v^{2}=2a_{P}L，\mu mg=a_{P}，代入数据解得L=6 m$

Final answer: $6 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

![24BSD5WL415.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003565048786946/img/compression/M_e6d20d3867fb8ad278053e012423cbf0.jpg)
若木板只与C发生了2次碰撞，求最终P与B点的距离；

Solution:
木板只与C发生2次碰撞后，最终停止时右端与B刚好接触，此过程中滑块在木板上一直做匀减速运动。

$v^{2}=2a_{P}L，\mu mg=a_{P}，代入数据解得L=6 m$

Final answer: $6 m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

<img_754>
若木板只与C发生了3次碰撞，求x的值；

Solution:
$木板共与C发生了3次碰撞，即第3次碰撞前木板与滑块的动量大小相等。每次碰撞前木板的速度都相等，设为v_{Q3}，即每次碰撞过程中左挡板C对木板的冲量大小I_1=2Mv_{Q3}，从P滑上Q到最终都静止的过程，对P、Q整体根据动量定理得3I_1=mv，解得v_{Q3}=0.5 m/s，而v_{Q3}^2=2a_{Q1}x，解得x=\frac{1}{12} m。$

Final answer: $\frac{1}{12} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

![24BSD5WL415.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003565048786946/img/compression/M_e6d20d3867fb8ad278053e012423cbf0.jpg)
若木板只与C发生了3次碰撞，求x的值；

Solution:
$木板共与C发生了3次碰撞，即第3次碰撞前木板与滑块的动量大小相等。每次碰撞前木板的速度都相等，设为v_{Q3}，即每次碰撞过程中左挡板C对木板的冲量大小I_1=2Mv_{Q3}，从P滑上Q到最终都静止的过程，对P、Q整体根据动量定理得3I_1=mv，解得v_{Q3}=0.5 m/s，而v_{Q3}^2=2a_{Q1}x，解得x=\frac{1}{12} m。$

Final answer: $\frac{1}{12} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

<img_754>
$其他条件不变，若m = 2 kg、M = 1 kg、x = \frac{4}{3} m，求木板通过的总路程。$

Solution:
$m=2 kg，M=1 kg，x=\frac{4}{3} m时，根据牛顿第二定律有 \mu mg=Ma_{Q2}，a_{Q2}=6 m/s^2，碰撞前木板的速度 v_{Q1}^2=2a_{Q2}x，解得 v_{Q1}=4 m/s，$

$根据动量守恒定律 mv=mv_{P1}+Mv_{Q1} 解得 v_{P1}=4 m/s=v_{Q1}$

碰后木板向右匀减速到速度为零后向左匀加速，滑块一直向左匀减速直到二者速度相等。

$从第1次碰后到第2次碰前，此过程木板的路程 s_1=2\cdot \frac{v^2_{Q1}}{2a_{Q2}}，根据动量守恒定律 mv_{P1}-Mv_{Q1}=(m+M)v_{Q2}，v_{Q2}=\frac{m-M}{m+M}v_{Q1}，第2次碰后到第3次碰前 s_2=2\cdot \frac{v^2_{Q2}}{2a_{Q2}}，即 s_2=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2s_1=\left(\frac{1}{3}\right)^2s_1=\frac{1}{9}s_1$

$mv_{P2}-Mv_{Q2}=(m+M)v_{Q3}；$

$v_{Q3}=\frac{M-m}{M+m}v_{Q2}；$

$s_3=2\cdot \frac{v^2_{Q3}}{2a_{Q2}}；$

$即 s_3=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2s_2=\frac{1}{9}s_2=\left(\frac{1}{9}\right)^2s_1$

$以此类推 s_n=\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}s_1；$

$木板通过的路程为 s=x+s_1+s_2+s_3+\ldots s_n；而 s_1=2x，$

$即 s=x+s_1+\frac{1}{9}s_1+\left(\frac{1}{9}\right)^2s_1+\ldots =x+s_1\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n}{1-\frac{1}{9}}；$

$当 n\rightarrow \infty  时， s=x+\frac{9}{8}s_1$

$所以 s=\frac{13}{3} m.$

Final answer: $\frac{13}{3} m$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量$M=2 kg$的长木板Q静止在光滑水平面上，右端紧靠光滑固定曲面AB的最低点B，木板上表面与曲面相切于B，水平面的左侧与木板左端相距为x(未知且可调)处有一挡板C。一质量$m=1 kg$的小滑块P(可视为质点)从曲面上与B的高度差为1.8 m处由静止滑下，经B点后滑上木板，最终滑块未滑离木板。已知重力加速度大小为$10 m/s^2$，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.3，木板与挡板C和曲面最低点B的碰撞中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略，则从滑块滑上木板到二者最终都静止的过程中。

![24BSD5WL415.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003565048786946/img/compression/M_e6d20d3867fb8ad278053e012423cbf0.jpg)
$其他条件不变，若m = 2 kg、M = 1 kg、x = \frac{4}{3} m，求木板通过的总路程。$

Solution:
$m=2 kg，M=1 kg，x=\frac{4}{3} m时，根据牛顿第二定律有 \mu mg=Ma_{Q2}，a_{Q2}=6 m/s^2，碰撞前木板的速度 v_{Q1}^2=2a_{Q2}x，解得 v_{Q1}=4 m/s，$

$根据动量守恒定律 mv=mv_{P1}+Mv_{Q1} 解得 v_{P1}=4 m/s=v_{Q1}$

碰后木板向右匀减速到速度为零后向左匀加速，滑块一直向左匀减速直到二者速度相等。

$从第1次碰后到第2次碰前，此过程木板的路程 s_1=2\cdot \frac{v^2_{Q1}}{2a_{Q2}}，根据动量守恒定律 mv_{P1}-Mv_{Q1}=(m+M)v_{Q2}，v_{Q2}=\frac{m-M}{m+M}v_{Q1}，第2次碰后到第3次碰前 s_2=2\cdot \frac{v^2_{Q2}}{2a_{Q2}}，即 s_2=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2s_1=\left(\frac{1}{3}\right)^2s_1=\frac{1}{9}s_1$

$mv_{P2}-Mv_{Q2}=(m+M)v_{Q3}；$

$v_{Q3}=\frac{M-m}{M+m}v_{Q2}；$

$s_3=2\cdot \frac{v^2_{Q3}}{2a_{Q2}}；$

$即 s_3=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2s_2=\frac{1}{9}s_2=\left(\frac{1}{9}\right)^2s_1$

$以此类推 s_n=\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}s_1；$

$木板通过的路程为 s=x+s_1+s_2+s_3+\ldots s_n；而 s_1=2x，$

$即 s=x+s_1+\frac{1}{9}s_1+\left(\frac{1}{9}\right)^2s_1+\ldots =x+s_1\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n}{1-\frac{1}{9}}；$

$当 n\rightarrow \infty  时， s=x+\frac{9}{8}s_1$

$所以 s=\frac{13}{3} m.$

Final answer: $\frac{13}{3} m$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，MP为一水平面，其中MN段光滑且足够长，NP段粗糙。MN上静置有一个光滑且足够高的斜面体C，P端右侧竖直平面内固定一光滑的\frac{1}{4}圆弧轨道PQ，圆弧轨道与水平面相切于P点。两小球A、B压缩一轻质弹簧静置于水平面MN上，释放后，小球A、B瞬间与弹簧分离，一段时间后A通过N点，之后从圆弧轨道末端Q点竖直飞出，飞出后离Q点的最大高度为L，B滑上斜面体C后，在斜面体C上升的最大高度为\frac{L}{4}。已知A、B两球的质量均为m，NP段的长度和圆弧的半径均为L，A球与NP间的动摩擦因数\mu =0.5，重力加速度为g，A、B分离后立刻撤去弹簧，A球始终未与斜面体C发生接触。$
<img_1065>
求小球A第一次通过P点时对圆弧轨道的压力大小；

Solution:
$设小球A经过P点的速度为v_P，从P点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得\frac{1}{2}m v_P^2=mg\cdot 2L$
$设A在P点受到圆形轨道的支持力为F_N，由牛顿第二定律得F_N-mg=m\frac{v^2_P}{L}$
$联立解得F_N=5mg$
据牛顿第三定律可知，A通过P点时对圆形轨道的压力大小为5mg。

Final answer: $5mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图，MP为一水平面，其中MN段光滑且足够长，NP段粗糙。MN上静置有一个光滑且足够高的斜面体C，P端右侧竖直平面内固定一光滑的\frac{1}{4}圆弧轨道PQ，圆弧轨道与水平面相切于P点。两小球A、B压缩一轻质弹簧静置于水平面MN上，释放后，小球A、B瞬间与弹簧分离，一段时间后A通过N点，之后从圆弧轨道末端Q点竖直飞出，飞出后离Q点的最大高度为L，B滑上斜面体C后，在斜面体C上升的最大高度为\frac{L}{4}。已知A、B两球的质量均为m，NP段的长度和圆弧的半径均为L，A球与NP间的动摩擦因数\mu =0.5，重力加速度为g，A、B分离后立刻撤去弹簧，A球始终未与斜面体C发生接触。$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003567858970627/img/compression/M_daacf801d5818dad6812c7cf51b0b726.jpg)
求小球A第一次通过P点时对圆弧轨道的压力大小；

Solution:
$设小球A经过P点的速度为v_P，从P点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得\frac{1}{2}m v_P^2=mg\cdot 2L$
$设A在P点受到圆形轨道的支持力为F_N，由牛顿第二定律得F_N-mg=m\frac{v^2_P}{L}$
$联立解得F_N=5mg$
据牛顿第三定律可知，A通过P点时对圆形轨道的压力大小为5mg。

Final answer: $5mg$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

<img_1394>
子弹嵌入物块B的深度；

Solution:
$设子弹的质量为m_0，子弹嵌入物块B的深度为x，子弹射入B的过程中，m_0 \times 3 v_0 = 4 m \times \frac{5}{4} v_0$

$\frac{1}{2}m_0 (3v_0)^2 = \frac{1}{2} \times 4m (\frac{5}{4}v_0)^2 + 35 mg \cdot x，联立得x = \frac{v^2_0}{8g}。$

Final answer: $\frac{v_0^2}{8g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568731385858/img/compression/M_f7e610fa700d8fe8da1e315d32730d28.jpg)
子弹嵌入物块B的深度；

Solution:
$设子弹的质量为m_0，子弹嵌入物块B的深度为x，子弹射入B的过程中，m_0 \times 3 v_0 = 4 m \times \frac{5}{4} v_0$

$\frac{1}{2}m_0 (3v_0)^2 = \frac{1}{2} \times 4m (\frac{5}{4}v_0)^2 + 35 mg \cdot x，联立得x = \frac{v^2_0}{8g}。$

Final answer: $\frac{v_0^2}{8g}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

<img_1394>
物块A第一次离开弹簧时，A、B各自的速度大小；

Solution:
$物块A第一次离开弹簧时，由动量守恒有4\m\times \frac{5}{4}v_0=4mv_B+mv_A，由机械能守恒有\frac{1}{2}\times 4m\left(\frac{5}{4}v_0\right)^2=\frac{1}{2}\times 4\mv^2_B+\frac{1}{2}mv^2_A，联立得v_A=2v_0，v_B=\frac{3}{4}v_0。$

Final answer: $2v_0 \frac{3}{4}v_0$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568731385858/img/compression/M_f7e610fa700d8fe8da1e315d32730d28.jpg)
物块A第一次离开弹簧时，A、B各自的速度大小；

Solution:
$物块A第一次离开弹簧时，由动量守恒有4\m\times \frac{5}{4}v_0=4mv_B+mv_A，由机械能守恒有\frac{1}{2}\times 4m\left(\frac{5}{4}v_0\right)^2=\frac{1}{2}\times 4\mv^2_B+\frac{1}{2}mv^2_A，联立得v_A=2v_0，v_B=\frac{3}{4}v_0。$

Final answer: $2v_0 \frac{3}{4}v_0$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，物块A和B静止在光滑水平面上，B的前端固定一轻质弹簧，某时刻一子弹以大小为3v_0的速度水平射向B并嵌入其中，射入过程子弹与B水平方向的平均相互作用力大小为35mg，之后B以大小为\frac{5}{4}v_0的速度向着A运动，从弹簧开始接触A到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为1.1v_0t。又经过一段时间后A与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A的质量为m，子弹和B的总质量为4m，A前两次在斜面上到达的最高点相同，B始终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计A、B碰撞过程中的机械能损失。求：$

![物理题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003568731385858/img/compression/M_f7e610fa700d8fe8da1e315d32730d28.jpg)
物块A第一次在斜面上到达的最大高度；

Solution:
$设A返回斜面底端时的速度大小为v'，斜面倾角为\theta ，A所受斜面的摩擦力为f，对A第一次在斜面上的运动，上滑过程有-mgh-f\cdot \frac{h}{\sin  \theta }=0-\frac{1}{2} m(2v_0)^2，下滑过程有mgh-f\cdot \frac{h}{\sin  \theta }=\frac{1}{2} mv'^2-0，由两次沿斜面上滑的最高点相同可知，A与B再次碰撞分离后A的速度大小仍为2v_0，对A与B再次碰撞分离的过程中，m(-v')+4m\times \frac{3}{4}v_0=m\times 2v_0+4mv_B'，\frac{1}{2}m(-v')^2+\frac{1}{2}\times 4m\times \left(\frac{3}{4}v_0\right)^2=\frac{1}{2}m(2v_0)^2+\frac{1}{2}\times 4m(v_B')^2，联立得v'=\frac{4}{3}v_0，故物块A第一次在斜面上到达的最大高度为h=\frac{13v^2_0}{9g}。$

Final answer: $\frac{13v^2_0}{9g}$