di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.\triangle ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=\frac{\sqrt{6}}{6}DO.$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268008944103427/img/compression/M_fa2785ceeb7784ada317ae8f0710e744.jpg)
求二面角B-PC-E的余弦值.

Solution:
$解法一：以O为坐标原点，\overrightarrow{OE}的方向为y轴正方向，\overrightarrow{OE}为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268009409671169/img/compression/M_875e0b740a62b0c26ff77012801c6cd9.jpg)
$由题设可得E(0，1，0)，A(0，-1，0)，C\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，P\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).所以\overrightarrow{EC}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0\right)，\overrightarrow{EP}=\left(0,-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EP}=0,\\ 
\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{EC}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0,\\ 
-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0.
\end{matrix}
\right.
$$
$可取m=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{2}\right).$
$由(1)知\overrightarrow{AP}=\left(0,1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)是平面PCB的一个法向量，$
$记n=\overrightarrow{AP},则\cos \langle n,m\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
易知二面角B-PC-E的平面角为锐角，
$所以二面角B-PC-E的余弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

$解法二：设BC\cap AE=F，易知F是BC的中点，过F作FG\parallel AP交PE于G，取PC的中点H，$
$连接GH，HF，则HF\parallel PB.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268009409671169/img/compression/M_14e847bdc50643d4fd8084f008701702.jpg)
$由PA\perp 平面PBC，得FG\perp 平面PBC，所以FG\perp FH.$
$由(1)可得，BC^2=PB^2+PC^2，得PB\perp PC.$
$所以FH\perp PC，根据三垂线定理，得GH\perp PC.$
$所以\angle GHF是二面角B-PC-E的平面角.$
$设圆O的半径为r，则AF=\frac{3}{2}r，AE=2r，EF=\frac{1}{2}r，\frac{EF}{AF}=\frac{1}{3}，所以FG=\frac{1}{4}PA，又FH=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}PA，所以\frac{FG}{FH}=\frac{1}{2}.$
$在Rt\triangle GFH中，\tan \angle GHF=\frac{FG}{FH}=\frac{1}{2},则\cos \angle GHF=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
$所以二面角B-PC-E的余弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA \perp  AB，PA \perp  BC，AB \perp  BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$
<img_2960>
$当PA\parallel 平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.$

Solution:
$因为PA\parallel 平面BDE，平面PAC\cap 平面BDE=DE，$

$所以PA\parallel DE.$

$因为D，E分别为AC，PC的中点，$

$所以DE=\frac{1}{2}PA=1，BD=DC=\sqrt{2}.$

$由(1)知，PA\perp 平面ABC，所以DE\perp 平面ABC.$

$所以三棱锥E-BCD的体积V=\frac{1}{6}BD\cdot DC\cdot DE=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，PA \perp  AB，PA \perp  BC，AB \perp  BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268010898649091/img/compression/M_fde24ce6c175984056260619bbe5a463.jpg)
$当PA\parallel 平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.$

Solution:
$因为PA\parallel 平面BDE，平面PAC\cap 平面BDE=DE，$

$所以PA\parallel DE.$

$因为D，E分别为AC，PC的中点，$

$所以DE=\frac{1}{2}PA=1，BD=DC=\sqrt{2}.$

$由(1)知，PA\perp 平面ABC，所以DE\perp 平面ABC.$

$所以三棱锥E-BCD的体积V=\frac{1}{6}BD\cdot DC\cdot DE=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，A_1C\perp 平面ABC，\angle ACB=90^\circ .$
![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268012463124483/img/compression/M_a8025f4f82f5b0cead8d41759ec1f9a1.jpg)
$设AB=A_1B，AA_1=2，求四棱锥A_1-BB_1C_1C的高.$

Solution:
$过A_1作A_1O \perp CC_1，垂足为O，$

$\because  平面ACC_1A_1 \perp平面BB_1C_1C，且平面ACC_1A_1 \cap平面BB_1C_1C = CC_1, A_1O \subset平面ACC_1A_1，$

$\therefore A_1O \perp平面BB_1C_1C，即A_1O是四棱锥A_1-BB_1C_1C的高。$

$由(1)知\angle A_1CB = \angle BCA = 90^\circ 。$

$在Rt \triangle A_1CB与Rt \triangle ACB中，A_1B = AB, BC = BC，$

$\therefore Rt \triangle A_1CB \cong  Rt \triangle ACB，\therefore A_1C = AC，\therefore A_1C = A_1C_1，$

$又知A_1C \perp A_1C_1，$

$\therefore  \triangle CA_1C_1为等腰直角三角形，\therefore A_1O = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 1，即四棱锥A_1-BB_1C_1C的高为1。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268017018138626/img/compression/M_2b8f6361e1a4069817b41a65814cfff9.jpg)

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，A_1C\perp 平面ABC，\angle ACB=90^\circ .$
<img_11>
$设AB=A_1B，AA_1=2，求四棱锥A_1-BB_1C_1C的高.$

Solution:
$过A_1作A_1O \perp CC_1，垂足为O，$

$\because  平面ACC_1A_1 \perp平面BB_1C_1C，且平面ACC_1A_1 \cap平面BB_1C_1C = CC_1, A_1O \subset平面ACC_1A_1，$

$\therefore A_1O \perp平面BB_1C_1C，即A_1O是四棱锥A_1-BB_1C_1C的高。$

$由(1)知\angle A_1CB = \angle BCA = 90^\circ 。$

$在Rt \triangle A_1CB与Rt \triangle ACB中，A_1B = AB, BC = BC，$

$\therefore Rt \triangle A_1CB \cong  Rt \triangle ACB，\therefore A_1C = AC，\therefore A_1C = A_1C_1，$

$又知A_1C \perp A_1C_1，$

$\therefore  \triangle CA_1C_1为等腰直角三角形，\therefore A_1O = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 1，即四棱锥A_1-BB_1C_1C的高为1。$

<img_186>

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=BC=1，AA_1=2，AC \perp BC，D是AA_1的中点.$
<img_183>
$求直线CD与平面BC_1D所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意可知，CA,CB,CC_1两两垂直，以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CC_1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$
<img_5>
$则B(0，1，0)，C(0，0，0)，C_1(0，0，2)，D(1，0，1)，  $
$所以\overrightarrow{CD}=(1，0，1)，$
$\overrightarrow{C_1D}=(1，0，－1)，$
$\overrightarrow{BC_1}=(0，－1，2)$
$设平面BC_1D的法向量为\boldsymbol{n}=(x，y，z)，  $
则
$ \begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BC_1}=-y+2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{C_1D}=x-z=0 \end{cases}  $
$令z=1，得x=1，y=2，则\boldsymbol{n}=(1，2，1)，  $
$所以\cos \langle \overrightarrow{CD}，\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CD}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，因此CD与平面BC_1D所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC=BC=1，AA_1=2，AC \perp BC，D是AA_1的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268028633542657/img/compression/M_27c9272c7d8c576df0713380b7d9c3fe.jpg)
$求直线CD与平面BC_1D所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意可知，CA,CB,CC_1两两垂直，以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CC_1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，$
![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268029061361666/img/compression/M_d5335a720a5912c48799f6e86d49faac.jpg)
$则B(0，1，0)，C(0，0，0)，C_1(0，0，2)，D(1，0，1)，  $
$所以\overrightarrow{CD}=(1，0，1)，$
$\overrightarrow{C_1D}=(1，0，－1)，$
$\overrightarrow{BC_1}=(0，－1，2)$
$设平面BC_1D的法向量为\boldsymbol{n}=(x，y，z)，  $
则
$ \begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BC_1}=-y+2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{C_1D}=x-z=0 \end{cases}  $
$令z=1，得x=1，y=2，则\boldsymbol{n}=(1，2，1)，  $
$所以\cos \langle \overrightarrow{CD}，\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{CD}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，因此CD与平面BC_1D所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
<img_2508>
求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

Solution:
因为PD垂直平面ABCD，AD，DC属于平面ABCD，
所以PD垂直AD，PD垂直DC，
因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以AD垂直DC，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

<img_1479> 

$则D(0，0，0)，A(2\sqrt{2}，0，0)，P(0，0，2)，M(\sqrt{2}，2，0)，$
因为PD垂直平面ABCD，
$所以平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{DP}=(0，0，2)，$
$设平面APM的法向量为n=(x，y，z)，\overrightarrow{PA}=(2\sqrt{2}，0，－2)，\overrightarrow{MA}=(\sqrt{2}，－2，0)，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MA}=\sqrt{2}x-2y=0,\end{matrix}\right. 令i= \sqrt{2}，得i=1，z=2，$
$所以n=(\sqrt{2}，1，2)，$
$设平面ABCD与平面APM所成角为\theta ,$
$则 \cos  \theta = \cos \langle \overrightarrow{DP}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{7}}{7},$
$所以平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

Solution:
因为PD垂直平面ABCD，AD，DC属于平面ABCD，
所以PD垂直AD，PD垂直DC，
因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以AD垂直DC，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_d3a5ad68304db2b8d8c3ced8292c84a8.jpg) 

$则D(0，0，0)，A(2\sqrt{2}，0，0)，P(0，0，2)，M(\sqrt{2}，2，0)，$
因为PD垂直平面ABCD，
$所以平面ABCD的一个法向量为\overrightarrow{DP}=(0，0，2)，$
$设平面APM的法向量为n=(x，y，z)，\overrightarrow{PA}=(2\sqrt{2}，0，－2)，\overrightarrow{MA}=(\sqrt{2}，－2，0)，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-2z=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{MA}=\sqrt{2}x-2y=0,\end{matrix}\right. 令i= \sqrt{2}，得i=1，z=2，$
$所以n=(\sqrt{2}，1，2)，$
$设平面ABCD与平面APM所成角为\theta ,$
$则 \cos  \theta = \cos \langle \overrightarrow{DP}，n\rangle =\frac{\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{7}}{7},$
$所以平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
<img_2508>
求D到平面APM的距离.

Solution:
$由(2)可知，\overrightarrow{DA}=(2\sqrt{2},0,0)，平面APM的一个法向量为n=(\sqrt{2},1,2)，所以点D到平面APM的距离为 \frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=2，AD=2\sqrt{2}，M为BC的中点.$
![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268033561849858/img/compression/M_df24c6c47b7893fb44dce438d62cdd90.jpg)
求D到平面APM的距离.

Solution:
$由(2)可知，\overrightarrow{DA}=(2\sqrt{2},0,0)，平面APM的一个法向量为n=(\sqrt{2},1,2)，所以点D到平面APM的距离为 \frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{7}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB = AC = 2，E是线段AD上一点.

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268034375544835/img/compression/M_549f66340c6ba88b4f30e820fae38055.jpg)
$若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，求\frac{AE}{AD}的值.$

Solution:
$设\frac{AE}{AD}=\lambda ，\lambda \in [0,1].$
取AB的中点O，BC的中点F，连接OD，OF，
$则OD\perp AB，OF\parallel AC.$
$由(1)知AC\perp 平面ABD，所以OF\perp 平面ABD，$
$所以OF\perp AB，OF\perp OD.$
建立空间直角坐标系O-xyz如图，

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268034664951809/img/compression/M_17e870bbc5775acb6e6ed007cc898837.jpg)

$则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(-1,2,0)，D(0,0,\sqrt{3}).$
$所以\overrightarrow{BA}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，\overrightarrow{AD}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(1,-2,\sqrt{3})，\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\lambda \overrightarrow{AD}=(\lambda -2,0,\sqrt{3}\lambda ).$
设平面BCE的法向量为m=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BE}=(\lambda -2)x+\sqrt{3}\lambda z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}\lambda ，得y=\sqrt{3}\lambda ，z=2-\lambda ,所以m=(\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,2-\lambda ).$
$因为直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，$
$所以|\cos \langle \overrightarrow{CD},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{CD}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|2\sqrt{3}(1-\lambda )|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3\lambda ^2+3\lambda ^2+{(2-\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}，$
$整理得8\lambda ^2-26\lambda +11=0，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{11}{4}.$
$因为\lambda \in [0,1]，所以\lambda =\frac{1}{2}，即\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB = AC = 2，E是线段AD上一点.

<img_2499>
$若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，求\frac{AE}{AD}的值.$

Solution:
$设\frac{AE}{AD}=\lambda ，\lambda \in [0,1].$
取AB的中点O，BC的中点F，连接OD，OF，
$则OD\perp AB，OF\parallel AC.$
$由(1)知AC\perp 平面ABD，所以OF\perp 平面ABD，$
$所以OF\perp AB，OF\perp OD.$
建立空间直角坐标系O-xyz如图，

<img_2760>

$则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(-1,2,0)，D(0,0,\sqrt{3}).$
$所以\overrightarrow{BA}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，\overrightarrow{AD}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(1,-2,\sqrt{3})，\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\lambda \overrightarrow{AD}=(\lambda -2,0,\sqrt{3}\lambda ).$
设平面BCE的法向量为m=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BE}=(\lambda -2)x+\sqrt{3}\lambda z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}\lambda ，得y=\sqrt{3}\lambda ，z=2-\lambda ,所以m=(\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,2-\lambda ).$
$因为直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，$
$所以|\cos \langle \overrightarrow{CD},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{CD}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|2\sqrt{3}(1-\lambda )|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3\lambda ^2+3\lambda ^2+{(2-\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}，$
$整理得8\lambda ^2-26\lambda +11=0，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{11}{4}.$
$因为\lambda \in [0,1]，所以\lambda =\frac{1}{2}，即\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AD=AA_1=1, AB=2，点E在线段AB上.$
<img_76>
$当点E是AB中点时，求A_1D与平面D_1EC所成角的大小.$

Solution:
$以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD_1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A_1(1,0,1)，D_1(0,0,1)，C(0，2，0)，$
当点E是AB中点时，可得E(1,1,0)，
$所以\overrightarrow{D_1E}=(1,1,－1)，\overrightarrow{CE}=(1,－1,0).$

$设n=(x,y,z)为平面D_1EC的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{D_1E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ x-y=0,\end{matrix}\right.令x=1，得y=1,z=2，$
所以n=(1,1,2).

$又\overrightarrow{A_1D}=(－1,0,－1)，$
$所以\cos \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle =\frac{\overrightarrow{A_1D}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A_1D}||\boldsymbol{n}|}=－\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$设A_1D与平面D_1EC所成角为\theta ，0<\theta \leq \frac{\pi }{2}，$
$则\sin  \theta =|\cos \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2} .$


$所以\theta =\frac{\pi }{3}，故A_1D与平面D_1EC所成角的大小为\frac{\pi }{3}.$

<img_250>

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AD=AA_1=1, AB=2，点E在线段AB上.$
![23BBJ5SX22.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037139591170/img/compression/M_47f8965fa7093dcdfde6c127d5590fa1.jpg)
$当点E是AB中点时，求A_1D与平面D_1EC所成角的大小.$

Solution:
$以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD_1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A_1(1,0,1)，D_1(0,0,1)，C(0，2，0)，$
当点E是AB中点时，可得E(1,1,0)，
$所以\overrightarrow{D_1E}=(1,1,－1)，\overrightarrow{CE}=(1,－1,0).$

$设n=(x,y,z)为平面D_1EC的法向量，$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{D_1E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y-z=0,\\ x-y=0,\end{matrix}\right.令x=1，得y=1,z=2，$
所以n=(1,1,2).

$又\overrightarrow{A_1D}=(－1,0,－1)，$
$所以\cos \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle =\frac{\overrightarrow{A_1D}\cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A_1D}||\boldsymbol{n}|}=－\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$设A_1D与平面D_1EC所成角为\theta ，0<\theta \leq \frac{\pi }{2}，$
$则\sin  \theta =|\cos \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle |=\frac{\sqrt{3}}{2} .$


$所以\theta =\frac{\pi }{3}，故A_1D与平面D_1EC所成角的大小为\frac{\pi }{3}.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037449969665/img/compression/M_430483beef817aea3e8d47a8fd551161.jpg)

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_1B_1C_1D_1中，底面ABCD是正方形，平面A_1ADD_1\perp 平面ABCD，AD=2，AA_1=A_1D.$
<img_1648>
$若直线AB与平面A_1DC_1所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{21}}{7} ，求 AA_1 的长度.$

Solution:
取AD的中点O，连接A1O，
$\because AA1=A1D，O为AD的中点，\therefore A1O\perp AD，$
$\because 平面AA1D1D\perp 平面ABCD，平面AA1D1D\cap 平面ABCD=AD，A1O\subset 平面AA1D1D，\therefore A1O\perp 平面ABCD，$
$以点O为坐标原点，\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{OA_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，$

<img_1769>

$设A1O=a(a>0)，$
$则A(0,－1,0)，B(2,－1,0)，A1(0,0,a)，C1(2,2,a)，D(0,1,0)，所以\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0)，\overrightarrow{A_1D}=(0,1,－a)，$
设平面A1DC1的法向量为m=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1D}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y-az=0,\end{matrix}\right.$
取x=a，得y=－a,z=－1，则m=(a,－a,－1)，
$由题意可得|\cos \langle \overrightarrow{AB},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2a}{2\sqrt{2a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，又a>0，\therefore a=\sqrt{3}，$
$则|\overrightarrow{AA_1}|=\sqrt{1+a^2}=2.所以AA1的长度为2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_1B_1C_1D_1中，底面ABCD是正方形，平面A_1ADD_1\perp 平面ABCD，AD=2，AA_1=A_1D.$
![23BBJ5SX130.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037756153858/img/compression/M_0831044b2d0f1f3fece9777034042755.jpg)
$若直线AB与平面A_1DC_1所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{21}}{7} ，求 AA_1 的长度.$

Solution:
取AD的中点O，连接A1O，
$\because AA1=A1D，O为AD的中点，\therefore A1O\perp AD，$
$\because 平面AA1D1D\perp 平面ABCD，平面AA1D1D\cap 平面ABCD=AD，A1O\subset 平面AA1D1D，\therefore A1O\perp 平面ABCD，$
$以点O为坐标原点，\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{OA_1}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，$

![23BBJ5SX131答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038133641217/img/compression/M_c5e25fd7412d4c1d488654f479868a9b.jpg)

$设A1O=a(a>0)，$
$则A(0,－1,0)，B(2,－1,0)，A1(0,0,a)，C1(2,2,a)，D(0,1,0)，所以\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{A_1C_1}=(2,2,0)，\overrightarrow{A_1D}=(0,1,－a)，$
设平面A1DC1的法向量为m=(x,y,z)，
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1D}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}2x+2y=0,\\ y-az=0,\end{matrix}\right.$
取x=a，得y=－a,z=－1，则m=(a,－a,－1)，
$由题意可得|\cos \langle \overrightarrow{AB},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{2a}{2\sqrt{2a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}，又a>0，\therefore a=\sqrt{3}，$
$则|\overrightarrow{AA_1}|=\sqrt{1+a^2}=2.所以AA1的长度为2.$

Final answer: $2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2。\triangle PAD为等边三角形，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$
![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268038527905795/img/compression/M_f7e3254b1f2bc08925f42f53ecb8b3ab.jpg)
求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值.

Solution:
：

取 BC 的中点 F ，连接 EF.

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268039635202049/img/compression/M_09d67c43736253a75cf66ae35b4826bc.jpg)

$由 (1) 知，PE \perp  平面 ABCD.所以 PE \perp  AD, PE \perp  EF. 因为底面 ABCD 为矩形，E 为 AD 中点，$

$所以 EF \perp  AD.所以 EA ， EF ， EP 两两垂直. 以 E 为原点，分别以 EA ， EF ， EP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 E-xyz .如图.$

$则 E (0,0,0), A (1,0,0), P (0,0, \sqrt{3} ), C (-1,3,0).$

$所以 \overrightarrow{PA} =(1，0，- \sqrt{3} )，\overrightarrow{AC} =(-2，3，0).$

设平面 PAC 的法向量为 n =( x , y , z )，

$由 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right. 得 \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -2x+3y=0.\end{matrix}\right.. $

$令 x =3，得 y =2， z = \sqrt{3} .所以 n =(3,2, \sqrt{3} ).$

$易知平面 ABCD 的一个法向量为 \overrightarrow{EP} =(0，0， \sqrt{3} ).$

$设平面 PAC 与平面 ABCD 的夹角为 \theta  ,$

$则 \cos   \theta  =|\cos \langle  n , \overrightarrow{EP} \rangle |= \left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EP}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{EP}|}\right| = \frac{\sqrt{3}}{4} .$

$所以平面 PAC 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{4} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2。\triangle PAD为等边三角形，$
$平面PAD\perp 平面ABCD,E为AD的中点.$
<img_2714>
求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值.

Solution:
：

取 BC 的中点 F ，连接 EF.

<img_1595>

$由 (1) 知，PE \perp  平面 ABCD.所以 PE \perp  AD, PE \perp  EF. 因为底面 ABCD 为矩形，E 为 AD 中点，$

$所以 EF \perp  AD.所以 EA ， EF ， EP 两两垂直. 以 E 为原点，分别以 EA ， EF ， EP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 E-xyz .如图.$

$则 E (0,0,0), A (1,0,0), P (0,0, \sqrt{3} ), C (-1,3,0).$

$所以 \overrightarrow{PA} =(1，0，- \sqrt{3} )，\overrightarrow{AC} =(-2，3，0).$

设平面 PAC 的法向量为 n =( x , y , z )，

$由 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\end{matrix}\right. 得 \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -2x+3y=0.\end{matrix}\right.. $

$令 x =3，得 y =2， z = \sqrt{3} .所以 n =(3,2, \sqrt{3} ).$

$易知平面 ABCD 的一个法向量为 \overrightarrow{EP} =(0，0， \sqrt{3} ).$

$设平面 PAC 与平面 ABCD 的夹角为 \theta  ,$

$则 \cos   \theta  =|\cos \langle  n , \overrightarrow{EP} \rangle |= \left|\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EP}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{EP}|}\right| = \frac{\sqrt{3}}{4} .$

$所以平面 PAC 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{4} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$
<img_1667>
$若平面PAB与平面PCD的夹角等于\frac{\pi }{3}，求点B到平面PCD的距离.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AE\perp AD,$
$所以AE,AD,PA两两垂直.$
$如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=a(a>0).$

<img_1715>

$则C(1,1,0),D(0,1,0),B(1,-1,0),P(0,0,a),$
$所以\overrightarrow{PD}=(0,1,-a)，\overrightarrow{DC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(0,2,0).$
$设平面PCD的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.
$$
即
$$
\left\{\begin{matrix}y-az=0,\\ x=0.\end{matrix}\right.
$$
$令z=1,得y=a.$
$所以\boldsymbol{n}=(0,a,1).$
$由(1)知，平面PAB的一个法向量为\overrightarrow{AC}=(1,1,0).$
$因为平面PAB与平面PCD的夹角为\frac{\pi }{3}，$
$所以\cos \frac{\pi }{3}=|\cos \langle \overrightarrow{AC}，\boldsymbol{n}\rangle |= \frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\boldsymbol{n}|}= \frac{a}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2+1}}= \frac{1}{2},解得a=1(负值舍去).故\boldsymbol{n}=(0,1,1).$
$设点B到平面PCD的距离为d.$
$则d= \frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}= \frac{2}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD．在底面ABCD中，BC\parallel AD,CD\perp AD,AD=CD=1，BC=2.$
![23BBJ5SX233.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040050438147/img/compression/M_035c74d0e7028d54de1899bf73f92205.jpg)
$若平面PAB与平面PCD的夹角等于\frac{\pi }{3}，求点B到平面PCD的距离.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD，AE\perp AD,$
$所以AE,AD,PA两两垂直.$
$如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=a(a>0).$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268040612474882/img/compression/M_a91042b51966402f37500e9556c63d3c.jpg)

$则C(1,1,0),D(0,1,0),B(1,-1,0),P(0,0,a),$
$所以\overrightarrow{PD}=(0,1,-a)，\overrightarrow{DC}=(1,0,0)，\overrightarrow{BC}=(0,2,0).$
$设平面PCD的法向量为\boldsymbol{n}=(x,y,z)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PD}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\end{matrix}\right.
$$
即
$$
\left\{\begin{matrix}y-az=0,\\ x=0.\end{matrix}\right.
$$
$令z=1,得y=a.$
$所以\boldsymbol{n}=(0,a,1).$
$由(1)知，平面PAB的一个法向量为\overrightarrow{AC}=(1,1,0).$
$因为平面PAB与平面PCD的夹角为\frac{\pi }{3}，$
$所以\cos \frac{\pi }{3}=|\cos \langle \overrightarrow{AC}，\boldsymbol{n}\rangle |= \frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\boldsymbol{n}|}= \frac{a}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2+1}}= \frac{1}{2},解得a=1(负值舍去).故\boldsymbol{n}=(0,1,1).$
$设点B到平面PCD的距离为d.$
$则d= \frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}= \frac{2}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = ax^{2} + bx + 2，关于x的不等式f(x) > 0的解集为\{x | -2 < x < 1\}.$
$求实数a，b的值；$

Solution:
$由题意知，-2，1是关于x的方程ax^2+bx+2=0的两个根，且a<0，所以$

$$
\begin{align*}
-2+1 &= -\frac{b}{a}\\
(-2) \times 1 &= \frac{2}{a}
\end{align*}
$$

$所以a=-1，b=-1。$

Final answer: $a=-1，b=-1$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知a,b\in R且a>0，函数f(x) = \frac{4^x+b}{4^x-a}是奇函数.$
求a，b的值；

Solution:
$因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),$

$即2-2ab+(b-a)(4^x+4^{-x})=0恒成立，\therefore $
$\left\{\begin{matrix}b-a=0,\\ 2-2ab=0,\end{matrix}\right.$

$又a>0,所以解得a=b=1.$

Final answer: $a=1，b=1$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知定义域为R的函数f(x)=\frac{-2^x+a}{2^x+1}是奇函数.$
$求实数a的值；$

Solution:
$因为f(x)为奇函数且定义域为R，所以f(0)= \frac{a-1}{2} =0，所以a=1，当a=1时，f(x) = \frac{1-2^x}{1+2^x}，f(-x) = \frac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}} = \frac{2^x-1}{2^x+1} =-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以a=1符合条件.$

Final answer: $a=1$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=x^2+ax-2，a\in R.$
$若关于x的不等式f(x)\geq (2a-1)x-6在(0,2]上恒成立，求a的最大值.$

Solution:
$由f(x) \geq  (2a-1)x-6得x^2 + (1-a)x + 4 \geq  0，所以问题转化为 x^2 + (1-a)x + 4 \geq  0在(0,2]上恒成立，即a \leq  x + \frac{4}{x} + 1在(0,2]上恒成立，因为x \in  (0,2]，所以x + \frac{4}{x} + 1 \geq  2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} + 1=5，当且仅当x = \frac{4}{x}，即x = 2时取等号，所以x + \frac{4}{x} + 1的最小值为5，所以a \leq  5, 所以a的最大值为5.$

Final answer: 5