di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧,C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场;M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直;入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置,可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N、沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r，r≫d,d远大于弹簧长度改变量的绝对值。

![示意图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894169433620482/img/compression/M_0537ca9896e73a036063c0522e514d15.jpg)
$若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值\Delta x及PQ上反射光点与O点间的弧长s;$

Solution:
$通入电流后线圈所受安培力F=NBIl$

$由胡克定律及平衡条件有F=k\Delta x$

$故弹簧长度改变量\Delta x=\frac{NBIl}{k}$

$由于d远大于弹簧长度的改变量，故细杆转过的角度$

$\theta \approx \frac{\Delta x}{d}=\frac{NBIl}{kd}$

$由于入射光线不变，平面镜转过\theta 角时反射光线转过2\theta ，故$

$s=2\theta r=\frac{2NBIlr}{kd}$

Final answer: $\frac{NBIl}{k}$, $\frac{2NBIlr}{kd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

<img_712>
$若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压U_0的大小；$

Solution:
在负极板上方，洛伦兹力提供向心力
$qvB = \frac{mv^2}{R} ①$
$粒子打在P点有：L_0=2R ②$
$粒子在电场中加速有qU_0=\frac{1}{2} mv^2-\frac{1}{2} mv_0^2 ③$
$联立①②③得：U_0=\frac{qB^2L_0^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q}$

Final answer: $\frac{qB^2L_0^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894170310230018/img/compression/M_7db65e96d41487cebfda8ec38a1b4839.jpg)
$若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压U_0的大小；$

Solution:
在负极板上方，洛伦兹力提供向心力
$qvB = \frac{mv^2}{R} ①$
$粒子打在P点有：L_0=2R ②$
$粒子在电场中加速有qU_0=\frac{1}{2} mv^2-\frac{1}{2} mv_0^2 ③$
$联立①②③得：U_0=\frac{qB^2L_0^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q}$

Final answer: $\frac{qB^2L_0^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

<img_712>
调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM上，求电压的最小值$U_{min}$；

Solution:
粒子刚好不能打在OM上时，轨迹如图1所示，粒子回到正极板时的速度仍为v_0  
$qv_0B=\frac{mv_0^2}{R_0}  $
④  
$qvₘᵢₙB=\frac{mv^2_{\min }}{R_{\min }}  $
⑤  
$qUₘᵢₙ=\frac{1}{2}mv^2ₘᵢₙ-\frac{1}{2}mv_0^2  $
⑥  
$2Rₘᵢₙ= R_0+\frac{R_0}{\sin  37^{\circ}}  $
⑦  

<img_721>  

$联立④⑤⑥⑦得Uₘᵢₙ=\frac{7mv_0^2}{18q}$

Final answer: $\frac{7mv_0^2}{18q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894170310230018/img/compression/M_7db65e96d41487cebfda8ec38a1b4839.jpg)
调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM上，求电压的最小值$U_{min}$；

Solution:
粒子刚好不能打在OM上时，轨迹如图1所示，粒子回到正极板时的速度仍为v_0  
$qv_0B=\frac{mv_0^2}{R_0}  $
④  
$qvₘᵢₙB=\frac{mv^2_{\min }}{R_{\min }}  $
⑤  
$qUₘᵢₙ=\frac{1}{2}mv^2ₘᵢₙ-\frac{1}{2}mv_0^2  $
⑥  
$2Rₘᵢₙ= R_0+\frac{R_0}{\sin  37^{\circ}}  $
⑦  

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894170666745857/img/compression/M_ecede8aa032d27fd1cf33e6d91820d15.jpg)  

$联立④⑤⑥⑦得Uₘᵢₙ=\frac{7mv_0^2}{18q}$

Final answer: $\frac{7mv_0^2}{18q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

<img_712>
若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点($CH\leq CP＜CS$, H、S两点未在图中标出)，对于粒子靶在HS区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n(n\geq 2)种能量的粒子，求CH和CS的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定)。

Solution:
根据题意可知，当粒子在下方磁场中轨迹与OM相切之后第n-1次进入上方磁场做圆周运动打到负极板上的位置为距C最近且满足题意的位置，如图2，则$CH=2R_min+(n-1)(2R_min-2R_0)=\frac{(2n+6)mv_0}{3qB}(n\geq 2)$
分析可知$CS=CH+(2R_min-2R_0)=\frac{(2n+8)mv_0}{3qB}(n\geq 2)$

<img_984>

图2



Final answer: $\frac{(2n+6)mv_0}{3qB}，\frac{(2n+8)mv_0}{3qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上 O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 v_{0}、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 m、电荷量为 q。一足够长的挡板 OM 与正极板成 37^\circ  倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C 、P 是负极板上的两点，C 点位于 O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为 L_{0}。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，\sin 37^\circ =\frac{3}{5}。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894170310230018/img/compression/M_7db65e96d41487cebfda8ec38a1b4839.jpg)
若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点($CH\leq CP＜CS$, H、S两点未在图中标出)，对于粒子靶在HS区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n(n\geq 2)种能量的粒子，求CH和CS的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定)。

Solution:
根据题意可知，当粒子在下方磁场中轨迹与OM相切之后第n-1次进入上方磁场做圆周运动打到负极板上的位置为距C最近且满足题意的位置，如图2，则$CH=2R_min+(n-1)(2R_min-2R_0)=\frac{(2n+6)mv_0}{3qB}(n\geq 2)$
分析可知$CS=CH+(2R_min-2R_0)=\frac{(2n+8)mv_0}{3qB}(n\geq 2)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894171136507906/img/compression/M_3979b3f9aa73a6d51e5d538893658977.jpg)

图2

Final answer: $\frac{(2n+6)mv_0}{3qB}(n\geq 2)　\frac{(2n+8)mv_0}{3qB}(n\geq 2)$
Subfield: Electromagnetism


Question: 霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿-z方向。

![23AKB5WL1030.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894204842315778/img/compression/M_de75c109af8ab6b6d634bba35aa70261.jpg)
$若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为I_n，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小F_{nz}；$

Solution:
$设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有$
$I_n= \frac{q}{t}$
①
$设自由电子在x方向上定向移动速率为v_{nx}，可导出自由电子的电流微观表达式为$
$I_n=neabv_{nx}$
②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
$F_{洛}=ev_{nx}B$
③
霍尔电场力大小为
$F_{电}=eE$
④
$自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，其合力大小为$
$F_{nz}=F_{洛}+F_{电}=e(I_nB/neab+E)$
⑤

Final answer: $e(I_nB/neab+E)$
Subfield: Electromagnetism


Question: 霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿-z方向。

<img_561>
$若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为I_n，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小F_{nz}；$

Solution:
$设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有$
$I_n= \frac{q}{t}$
①
$设自由电子在x方向上定向移动速率为v_{nx}，可导出自由电子的电流微观表达式为$
$I_n=neabv_{nx}$
②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
$F_{洛}=ev_{nx}B$
③
霍尔电场力大小为
$F_{电}=eE$
④
$自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，其合力大小为$
$F_{nz}=F_{洛}+F_{电}=e(I_nB/neab+E)$
⑤

Final answer: $e(I_nB/neab+E)$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

<img_701>
$求0~t_{0}内使棒CD保持静止的水平外力F大小；$

Solution:
$根据楞次定律和安培定则可知，在0~t_0内，等效电源为圆形线圈部分，由E=\frac{\Delta Φ}{\Delta t}、\DeltaΦ=\Delta B\cdot S、S=\pi R^2，得感应电动势为E=\frac{B_0}{t_0}\pi R^2，CD棒中的电流由C到D，感应电流为I=\frac{E}{\sqrt{2}r+r}=\frac{B_0\pi R^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}，安培力F_A=B_0Id，则外力F=F_A=B_0Id=\frac{B_0^2\pi dR^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}；$

Final answer: $\frac{B^2_0\pi dR^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

![24BHN5WL400.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894235650920451/img/compression/M_f8cad3dd3a8cece7b84f9670af557639.jpg)
$求0~t_{0}内使棒CD保持静止的水平外力F大小；$

Solution:
$根据楞次定律和安培定则可知，在0~t_0内，等效电源为圆形线圈部分，由E=\frac{\Delta Φ}{\Delta t}、\DeltaΦ=\Delta B\cdot S、S=\pi R^2，得感应电动势为E=\frac{B_0}{t_0}\pi R^2，CD棒中的电流由C到D，感应电流为I=\frac{E}{\sqrt{2}r+r}=\frac{B_0\pi R^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}，安培力F_A=B_0Id，则外力F=F_A=B_0Id=\frac{B_0^2\pi dR^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}；$

Final answer: $\frac{B^2_0\pi dR^2}{(\sqrt{2}+1)rt_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

<img_701>
$在3t_0以后的某时刻，撤去右侧圆形磁场，在外力作用下磁场源S以速度v_0向左匀速运动，当磁场从区域Ⅰ内全部移入区域Ⅱ时，导体棒CD速度恰好达到v_0且恰好进入区域Ⅱ，且棒CD产生的焦耳热为Q，求金属棒CD与区域Ⅰ左边界的初始距离x_0和该过程维持磁场源S匀速运动的外力所做的功；$

Solution:
$CD棒向左加速过程中，导体棒速度为v时，切割磁感线的速度为导体棒相对于磁场的速度，导体棒感应电动势的瞬时值为e=B_0d(v_0-v)，由i= \frac{e}{(\sqrt{2}+1)r} 、F_A=B_0id得安培力的瞬时值为F_A= \frac{B^2_0d^2(v_0-v)}{(\sqrt{2}+1)r} ，安培力为变力，CD棒做变加速运动，由动量定理得ΣF_A\cdot \Delta t=mv_0，可得B_0dq=mv_0，又有q= \frac{B_0dx}{(\sqrt{2}+1)r} ，x为CD棒与磁场的相对位移，即x=L-x_0，联立可得 \frac{B^2_0d^2}{(\sqrt{2}+1)r} (L-x_0)=mv_0，解得x_0=L-\frac{(\sqrt{2}+1)mrv_0}{B^2_0d^2} ，由串联电路的特点可知，电路中产生的总热量为Q_总=(\sqrt{2}+1)Q，由功能关系和能量守恒得W=(\sqrt{2}+1)Q+\frac{1}{2}mv^2_0；$

Final answer: $L- \frac{(\sqrt{2}+1)mrv_0}{B^2_0d^2} (\sqrt{2}+1)Q+ \frac{1}{2}mv^2_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

![24BHN5WL400.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894235650920451/img/compression/M_f8cad3dd3a8cece7b84f9670af557639.jpg)
$在3t_0以后的某时刻，撤去右侧圆形磁场，在外力作用下磁场源S以速度v_0向左匀速运动，当磁场从区域Ⅰ内全部移入区域Ⅱ时，导体棒CD速度恰好达到v_0且恰好进入区域Ⅱ，且棒CD产生的焦耳热为Q，求金属棒CD与区域Ⅰ左边界的初始距离x_0和该过程维持磁场源S匀速运动的外力所做的功；$

Solution:
$CD棒向左加速过程中，导体棒速度为v时，切割磁感线的速度为导体棒相对于磁场的速度，导体棒感应电动势的瞬时值为e=B_0d(v_0-v)，由i= \frac{e}{(\sqrt{2}+1)r} 、F_A=B_0id得安培力的瞬时值为F_A= \frac{B^2_0d^2(v_0-v)}{(\sqrt{2}+1)r} ，安培力为变力，CD棒做变加速运动，由动量定理得ΣF_A\cdot \Delta t=mv_0，可得B_0dq=mv_0，又有q= \frac{B_0dx}{(\sqrt{2}+1)r} ，x为CD棒与磁场的相对位移，即x=L-x_0，联立可得 \frac{B^2_0d^2}{(\sqrt{2}+1)r} (L-x_0)=mv_0，解得x_0=L-\frac{(\sqrt{2}+1)mrv_0}{B^2_0d^2} ，由串联电路的特点可知，电路中产生的总热量为Q_总=(\sqrt{2}+1)Q，由功能关系和能量守恒得W=(\sqrt{2}+1)Q+\frac{1}{2}mv^2_0；$

Final answer: $L- \frac{(\sqrt{2}+1)mrv_0}{B^2_0d^2} (\sqrt{2}+1)Q+ \frac{1}{2}mv^2_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

![24BHN5WL400.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894235650920451/img/compression/M_f8cad3dd3a8cece7b84f9670af557639.jpg)
在(2)前提下，若磁场全部移入区域Ⅱ时立刻停下，求导体棒CD运动到FI时的速度v。

Solution:
$CD棒从区域Ⅱ右边界向左运动距离x时，CD棒的速度为v_x，等效电源的长度是变化的，CD棒接入回路中的长度为d_x=d+2x，则回路中总电阻r_{总x}=\frac{r}{d}(d_x+2\sqrt{2}x)+\sqrt{2}r=\frac{r}{d}(d+2x+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}d)，回路中电流I_x=\frac{B_0d_xv_x}{r_{\text{总}x}}=\frac{B_0(d+2x)v_x}{\frac{r}{d}(d+2x+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}d)}=\frac{B_0dv_x}{(\sqrt{2}+1)r}，CD棒所受安培力为F_{Ax}=B_0I_xd_x=\frac{B^2_0dv_xd_x}{(\sqrt{2}+1)r}，CD棒从磁场区域Ⅱ右边界运动到FI过程，由动量定理得-Σ\frac{B^2_0dv_xd_x}{(\sqrt{2}+1)r}\Delta t=mv-mv_0，即-\frac{B^2_0dS_{\text{梯}}}{(\sqrt{2}+1)r}=mv-mv_0，其中S_{梯}=\frac{1}{2}d(3d+d)=2d^2，解得v=v_0-\frac{2B^2_0d^3}{(\sqrt{2}+1)mr}。$

Final answer: $v_{0}-\frac{2B^2_0d^3}{(\sqrt{2}+1)mr}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，电阻为\sqrt{2}r、半径为R的单匝圆形导体线圈，两端与导轨ME、NH相连，处于竖直向下的匀强磁场中，其磁感应强度B随时间t变化规律为\left\{\begin{matrix}B=\frac{B_0}{t_0}t(0\leq t<t_0),\\ B=B_0(t>t_0),\end{matrix}\right.其中B_0、t_0为已知量。CD、EF、HI是三根材质和粗细相同的匀质金属棒，CD棒的长度为3d、电阻为3r、质量为m。导轨ME与NH平行且间距为d，导轨FG与IJ平行且间距为3d，EF和HI的长度相同且与ME、NH的夹角均为45^\circ 。由磁场源S产生的正方形边界匀强磁场存在于区域Ⅰ中，边长为L(L>3d)、方向竖直向下、磁感应强度大小为B_0。区域Ⅱ是和区域Ⅰ相邻的边长也为L的正方形区域，0~3t_0时间内，水平外力使棒CD在区域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨FG与IJ对齐。其余导体电阻均不计，导轨均固定于水平面内，不计一切摩擦。$

<img_701>
在(2)前提下，若磁场全部移入区域Ⅱ时立刻停下，求导体棒CD运动到FI时的速度v。

Solution:
$CD棒从区域Ⅱ右边界向左运动距离x时，CD棒的速度为v_x，等效电源的长度是变化的，CD棒接入回路中的长度为d_x=d+2x，则回路中总电阻r_{总x}=\frac{r}{d}(d_x+2\sqrt{2}x)+\sqrt{2}r=\frac{r}{d}(d+2x+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}d)，回路中电流I_x=\frac{B_0d_xv_x}{r_{\text{总}x}}=\frac{B_0(d+2x)v_x}{\frac{r}{d}(d+2x+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}d)}=\frac{B_0dv_x}{(\sqrt{2}+1)r}，CD棒所受安培力为F_{Ax}=B_0I_xd_x=\frac{B^2_0dv_xd_x}{(\sqrt{2}+1)r}，CD棒从磁场区域Ⅱ右边界运动到FI过程，由动量定理得-Σ\frac{B^2_0dv_xd_x}{(\sqrt{2}+1)r}\Delta t=mv-mv_0，即-\frac{B^2_0dS_{\text{梯}}}{(\sqrt{2}+1)r}=mv-mv_0，其中S_{梯}=\frac{1}{2}d(3d+d)=2d^2，解得v=v_0-\frac{2B^2_0d^3}{(\sqrt{2}+1)mr}。$

Final answer: $v_{0}-\frac{2B^2_0d^3}{(\sqrt{2}+1)mr}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根金属棒甲和乙分别放在左侧和右侧光滑的水平导轨上，左侧和右侧导轨间距分别为L和2L，金属棒甲和乙的质量分别为m和2m，电阻分别为R和2R，它们的长度均与导轨间距相等，导轨足够长且电阻忽略不计，两棒与导轨良好接触且各自只能在对应的导轨上运动。导轨间有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，现用水平向右的恒力F作用于甲棒。

<img_1176>
若固定乙棒，求甲棒产生焦耳热的功率的最大值；

Solution:
$设甲向右运动的最大速度为v_m，对应电流为I，甲受到的安培力为F_{安}，则F=F_{安}=BIL$

$而I= \frac{BLv_m}{3R}$

$所求甲棒产生焦耳热的功率的最大值应为P=\frac{1}{3}F_{安}v_m$

$由以上各式求得P= \frac{F^2R}{B^2L^2}$

Final answer: $\frac{F^2R}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根金属棒甲和乙分别放在左侧和右侧光滑的水平导轨上，左侧和右侧导轨间距分别为L和2L，金属棒甲和乙的质量分别为m和2m，电阻分别为R和2R，它们的长度均与导轨间距相等，导轨足够长且电阻忽略不计，两棒与导轨良好接触且各自只能在对应的导轨上运动。导轨间有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，现用水平向右的恒力F作用于甲棒。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894236070350850/img/compression/M_783279e6dd755476a5d3cb87f798794b.jpg)
若固定乙棒，求甲棒产生焦耳热的功率的最大值；

Solution:
$设甲向右运动的最大速度为v_m，对应电流为I，甲受到的安培力为F_{安}，则F=F_{安}=BIL$

$而I= \frac{BLv_m}{3R}$

$所求甲棒产生焦耳热的功率的最大值应为P=\frac{1}{3}F_{安}v_m$

$由以上各式求得P= \frac{F^2R}{B^2L^2}$

Final answer: $\frac{F^2R}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根金属棒甲和乙分别放在左侧和右侧光滑的水平导轨上，左侧和右侧导轨间距分别为L和2L，金属棒甲和乙的质量分别为m和2m，电阻分别为R和2R，它们的长度均与导轨间距相等，导轨足够长且电阻忽略不计，两棒与导轨良好接触且各自只能在对应的导轨上运动。导轨间有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，现用水平向右的恒力F作用于甲棒。

<img_1176>
$若不固定乙棒，已知当F作用时间为t时，甲的加速度大小为a，求此时乙棒的速度大小；$

Solution:
$设当F作用时间为t时，甲和乙的速度大小分别为v_1和v_2$

$对甲：Ft-B\overline{I}Lt=mv_1$

$对乙：2B\overline{I}Lt=2mv_2$

$此时电路中的电流为I=\frac{BLv_1-2BLv_2}{3R}$

$对甲：F-BIL=ma$

$由以上各式求得乙的速度大小为v_2=\frac{Ft}{3m}-\frac{(F-ma)R}{B^2L^2}$

Final answer: $\frac{Ft}{3m}-\frac{(F-ma)R}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两根金属棒甲和乙分别放在左侧和右侧光滑的水平导轨上，左侧和右侧导轨间距分别为L和2L，金属棒甲和乙的质量分别为m和2m，电阻分别为R和2R，它们的长度均与导轨间距相等，导轨足够长且电阻忽略不计，两棒与导轨良好接触且各自只能在对应的导轨上运动。导轨间有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，现用水平向右的恒力F作用于甲棒。

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894236070350850/img/compression/M_783279e6dd755476a5d3cb87f798794b.jpg)
$若不固定乙棒，已知当F作用时间为t时，甲的加速度大小为a，求此时乙棒的速度大小；$

Solution:
$设当F作用时间为t时，甲和乙的速度大小分别为v_1和v_2$

$对甲：Ft-B\overline{I}Lt=mv_1$

$对乙：2B\overline{I}Lt=2mv_2$

$此时电路中的电流为I=\frac{BLv_1-2BLv_2}{3R}$

$对甲：F-BIL=ma$

$由以上各式求得乙的速度大小为v_2=\frac{Ft}{3m}-\frac{(F-ma)R}{B^2L^2}$

Final answer: $\frac{Ft}{3m}-\frac{(F-ma)R}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

<img_593>

<img_1351>
$闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v_{1}；$

Solution:
$闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg=BI_1L，由法拉第电磁感应定律得E_1=BLv_1，由闭合电路欧姆定律得I_1=\frac{E_1}{R}，解得v_1=\frac{mgR}{B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mgR}{B^2L^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I_0时，电压稳定为U_m。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I_0= \frac{mg}{4BL}，U_m= \frac{mgR}{2BL}。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_9dc49946fc9a5eb073475b641fc9e925.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894225364664324/img/compression/M_091944d317571b6bf14e2d19b98e9e97.jpg)
$闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v_{1}；$

Solution:
$闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg=BI_1L，由法拉第电磁感应定律得E_1=BLv_1，由闭合电路欧姆定律得I_1=\frac{E_1}{R}，解得v_1=\frac{mgR}{B^2L^2}。$

Final answer: $\frac{mgR}{B^2L^2}$
Subfield: Modern Physics


Question: “夸父一号”太阳探测卫星可以观测太阳辐射的硬X射线。硬X射线是波长很短的光子,设波长为\lambda 。若太阳均匀地向各个方向辐射硬X射线,卫星探测仪镜头正对着太阳，每秒接收到N个该种光子。已知探测仪镜头面积为S,卫星离太阳中心的距离为R,普朗克常量为h,光速为c,求:
$每个光子的动量p和能量E;$

Solution:
$根据光子的动量和能量表达式可直接得出结果p=\frac{h}{\lambda }，E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }。$

Final answer: $\frac{h}{\lambda }，\frac{hc}{\lambda }$
Subfield: Modern Physics


Question: “夸父一号”太阳探测卫星可以观测太阳辐射的硬X射线。硬X射线是波长很短的光子,设波长为\lambda 。若太阳均匀地向各个方向辐射硬X射线,卫星探测仪镜头正对着太阳，每秒接收到N个该种光子。已知探测仪镜头面积为S,卫星离太阳中心的距离为R,普朗克常量为h,光速为c,求:
太阳辐射硬X射线的总功率P。

Solution:
$由题意可知镜头接收到的功率 P_0 为单位时间内接收到光子的总能量,故 P_0 = \frac{W}{t} = \frac{Nhc}{\lambda } 。太阳辐射的总功率可以看成是均匀分布在一个面积为4\pi  R^2 的球面上，镜头接收到的功率占太阳辐射总功率的 \frac{S}{4\pi R^2}，故 \frac{P_0}{P} = \frac{S}{4\pi R^2},得 P = \frac{4\pi R^2Nhc}{\lambda S}.$

Final answer: $\frac{4\pi R^2Nhc}{\lambda S}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个质量都为M的木块A、B用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v射向A木块并嵌在其中。求：$

<img_1399>
打击过程中产生的热量；

Solution:
子弹射入A的过程中，子弹与A组成的系统动量守恒、能量守恒，有

$mv = (M + m) v_{1}$，

$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 + Q$

解得 Q = $(\frac{Mmv^2}{2(M+m)})$.

Final answer: $\frac{Mmv^2}{2(M+m)}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个质量都为M的木块A、B用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v射向A木块并嵌在其中。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272071565725698/img/compression/M_29e19c4cd3f4db1c58049d789d7d3f3c.jpg)
打击过程中产生的热量；

Solution:
子弹射入A的过程中，子弹与A组成的系统动量守恒、能量守恒，有

$mv = (M + m) v_{1}$，

$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 + Q$

解得 Q = $(\frac{Mmv^2}{2(M+m)})$.

Final answer: $\frac{Mmv^2}{2(M+m)}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个质量都为M的木块A、B用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v射向A木块并嵌在其中。求：$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272071565725698/img/compression/M_29e19c4cd3f4db1c58049d789d7d3f3c.jpg)
弹簧被压缩后的最大弹性势能。

Solution:
子弹射入A后，A与子弹共同向右运动，压缩弹簧，此时子弹、A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒，有
$(M+m)v_1=(2M+m)v_2$
$\frac{1}{2}(M+m)v_1^2=\frac{1}{2}(2M+m)v_2^2+E_p$
$解得E_p=\frac{Mm^2v^2}{2(2M+m)(M+m)}。$

Final answer: $\frac{Mm^2v^2}{2(2M+m)(M+m)}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，两个质量都为M的木块A、B用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v射向A木块并嵌在其中。求：$

<img_1399>
弹簧被压缩后的最大弹性势能。

Solution:
子弹射入A后，A与子弹共同向右运动，压缩弹簧，此时子弹、A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒，有
$(M+m)v_1=(2M+m)v_2$
$\frac{1}{2}(M+m)v_1^2=\frac{1}{2}(2M+m)v_2^2+E_p$
$解得E_p=\frac{Mm^2v^2}{2(2M+m)(M+m)}。$

Final answer: $\frac{Mm^2v^2}{2(2M+m)(M+m)}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力忽略不计。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272091482484738/img/compression/M_6f5644fc6b4089980fb3bf8b69b5f669.jpg)
$求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r;$

Solution:
$粒子在磁场中做匀速圆周运动,所受洛伦兹力提供向心力,有qvB=m\frac{v^2}{r}$

③

$得r=\frac{mv}{qB}$

④

Final answer: $\frac{mv}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力忽略不计。

<img_847>
$求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r;$

Solution:
$粒子在磁场中做匀速圆周运动,所受洛伦兹力提供向心力,有qvB=m\frac{v^2}{r}$

③

$得r=\frac{mv}{qB}$

④

Final answer: $\frac{mv}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力忽略不计。

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272091482484738/img/compression/M_6f5644fc6b4089980fb3bf8b69b5f669.jpg)
$若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,求粒子在磁场中运动的时间t。$

Solution:
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272091906109441/img/compression/M_c4cb5ede5bfa2b8b2aacf9f8c71d507d.jpg)

如图所示，设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为$\theta$,依题意,粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,由几何关系得
$\theta =\frac{\pi }{3}$
⑤
$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,有T=\frac{2\pi r}{v}$
⑥
$带电粒子在磁场中运动的时间t=\frac{\theta }{2\pi }T$
⑦
$联立③⑤⑥⑦式得t=\frac{\pi m}{3qB}$
⑧

Final answer: $\frac{\pi m}{3qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力忽略不计。

<img_847>
$若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,求粒子在磁场中运动的时间t。$

Solution:
<img_595>

如图所示，设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为$\theta$,依题意,粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,由几何关系得
$\theta =\frac{\pi }{3}$
⑤
$设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,有T=\frac{2\pi r}{v}$
⑥
$带电粒子在磁场中运动的时间t=\frac{\theta }{2\pi }T$
⑦
$联立③⑤⑥⑦式得t=\frac{\pi m}{3qB}$
⑧

Final answer: $\frac{\pi m}{3qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272111313154051/img/compression/M_a3dbcc1ad0daa6a207a75ade4bfafe73.jpg)

图甲
$若离子的动能E_k由电场加速获得,其初动能为零,求加速电压U_0;$

Solution:
$离子获得动能E_k的过程中仅有加速电场的电场力做功，由动能定理有E_k=U_0q，解得U_0=\frac{E_k}{q}。$

Final answer: $\frac{E_k}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

<img_710>

图甲
$若离子的动能E_k由电场加速获得,其初动能为零,求加速电压U_0;$

Solution:
$离子获得动能E_k的过程中仅有加速电场的电场力做功，由动能定理有E_k=U_0q，解得U_0=\frac{E_k}{q}。$

Final answer: $\frac{E_k}{q}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

<img_710>

图甲
要使三种带电离子都被极板吞噬,求离子在电场中运动的最长时间和偏转极板的最短长度;

Solution:
$三种不同初动能的带电离子进入电场区域时，受到与初速度方向垂直且恒定的电场力作用，具有相同的加速度，带电离子做类平抛运动，因此运动时间最长的离子应从上极板边缘进入场区，偏转距离为d，由类平抛运动的规律有 d = \frac{1}{2} at^2，Eq = ma，U = Ed，联立解得 t = \sqrt {\frac{2md^2}{Uq}}。  $
$要使三种带电离子都能被吞噬，则由上极板左边缘进入场区且初速度最大的离子应恰好到达下极板右端，设极板长度为L，则此运动过程满足 E_k= \frac{1}{2} mv^2，L = vt，解得 L = 2d \sqrt{\frac{E_\mathrm{k}}{Uq}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2md^2}{Uq}},2d\sqrt{\frac{E_\mathrm{k}}{Uq}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $我国的东方超环(EAST)是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。装置中的中性化室将加速到很高能量的离子束变成中性粒子束,注入发生聚变反应的等离子体中,将等离子体加热到发生聚变反应所需点火温度。没有被中性化的高能带电离子对实验装置有很大的破坏作用,因此需要利用“剩余离子偏转系统”将所有带电离子从粒子束剥离出来。“剩余离子偏转系统”的原理如图甲所示,让混合粒子束经过偏转电场,未被中性化的带电离子发生偏转被极板吞噬,中性粒子继续沿原有方向运动被注入等离子体中。若粒子束中的带电离子主要由动能为E_k、\frac{1}{2}E_k、\frac{1}{3}E_k的三种正离子组成。所有离子的电荷量均为q,质量均为m,两极板间电压为U,间距为d。$

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图甲
要使三种带电离子都被极板吞噬,求离子在电场中运动的最长时间和偏转极板的最短长度;

Solution:
$三种不同初动能的带电离子进入电场区域时，受到与初速度方向垂直且恒定的电场力作用，具有相同的加速度，带电离子做类平抛运动，因此运动时间最长的离子应从上极板边缘进入场区，偏转距离为d，由类平抛运动的规律有 d = \frac{1}{2} at^2，Eq = ma，U = Ed，联立解得 t = \sqrt {\frac{2md^2}{Uq}}。  $
$要使三种带电离子都能被吞噬，则由上极板左边缘进入场区且初速度最大的离子应恰好到达下极板右端，设极板长度为L，则此运动过程满足 E_k= \frac{1}{2} mv^2，L = vt，解得 L = 2d \sqrt{\frac{E_\mathrm{k}}{Uq}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2md^2}{Uq}},2d\sqrt{\frac{E_\mathrm{k}}{Uq}}$