di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549663510257665/img/compression/M_44430e6dc1d9f29cb57ab1a0aba94d3c.jpg)
$当x \in [0, +\infty) 时， f(x) \leq ax + b，求a + b的最小值.$

Solution:
$由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a\geq 3且b\geq 2时， f(x)\leq ax+b在[0，+\infty )成立，因此a+b的最小值为5.$

Final answer: 5
Subfield: Inequality


Question: $设x, y, z\in R，且x+y+z=1.$
$求 (x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值；$

Solution:
$解法一： 由于 (x-1)+(y+1)+(z+1)^2=(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] \leq ((x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2)+[(x-1)^2+(y+1)^2]+[(y+1)^2+(z+1)^2]+[(z+1)^2+(x-1)^2] = 3[(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2]，$
$故 (x+y+z+1)^2=4\leq3[(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2]，即 (x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\geq \frac{4}{3}，$
$当且仅当 x=\frac{5}{3}, y=-\frac{1}{3}, z=-\frac{1}{3} 时等号成立.$
$所以 (x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值为 \frac{4}{3}.$

Final answer: $\frac{4}{3}$
Subfield: Inequality


Question: $已知f(x)=|2x+1|，不等式f(x)\leq 3x的解集为M.$
$若x\in M时，不等式f(x)+\frac{a}{f(x)}\geq 4-a恒成立，求正实数a的最小值.$

Solution:
$由(1)知，f(x)=2x+1，$
$\therefore f(x)+\frac{a}{f(x)}\geq 4-a，即为2x+1+\frac{a}{2x+1}\geq 4-a(x\geq 1)恒成立，$
$则a\geq \frac{(3-2x)(2x+1)}{2x+2}(x\geq 1)恒成立，$
$设h(x)=\frac{(3-2x)(2x+1)}{2x+2}=6-2(x+1)-\frac{5}{2(x+1)}(x\geq 1)，$
$则h'(x)=-2+\frac{5}{2(x+1)^2}=\frac{5-4(x+1)^2}{2(x+1)^2}。$
$当x\geq 1时, h'(x)<0，\therefore h(x)单调递减，$
$\therefore h_{max}(x)=h(1)=\frac{3}{4}，\therefore a\geq \frac{3}{4}，即正实数a的最小值为\frac{3}{4}。$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Inequality


Question: $设函数f(x)=3|x-2|+|x|.$
$求直线 y = a 与 f(x) 的图象围成的三角形的面积的最大值.$

Solution:
$作出f(x)的大致图象如图所示，$
<img_388>

$由图可得当a=6时，直线y=a与f(x)的图象围成的\triangle ABC的面积最大，$

$令f(x)=6，即$
$$
\begin{align*}
6-2x&=6,& 0\leq x\leq 2\\
\end{align*}
$$
或
$$
\begin{align*}
4x-6&=6,& x>2.\\
\end{align*}
$$
$解得x=0或x=3，所以B(0,6)，A(3,6)，又C(2,2)，$

$所以\triangle ABC的面积为\frac{1}{2}\times3\times(6-2)=6.$

Final answer: 6
Subfield: Inequality


Question: $已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|.$
$如果t是f(x)的最小值，且a+2b+3c=t，求a^2+2b^2+3c^2的最小值。$

Solution:
$因为 |x - 1| + |x + 2| \geq  |(x - 1) - (x + 2)| = 3，当且仅当 (x-1)(x+2) \leq  0，即 -2 \leq  x \leq  1 时，等号成立，所以 t = 3，从而 a + 2b + 3c = 3。$

$又 a^2 + 2b^2 + 3c^2 = a^2 + (\sqrt{2}b)^2 + (\sqrt{3}c)^2，所以由柯西不等式得 a + 2b + 3c = 1a + \sqrt{2} \times  \sqrt{2}b + \sqrt{3} \times  \sqrt{3}c \leq  \sqrt{ [1^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2] \cdot [a^2 + (\sqrt{2}b)^2 + (\sqrt{3}c)^2] } ，即 9 \leq  6(a^2 + 2b^2 + 3c^2)，当且仅当 a = \frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{3}}，即 a = b = c 时，等号成立，$

$所以 a^2 + 2b^2 + 3c^2 \geq  \frac{3}{2}，$

$故 a^2 + 2b^2 + 3c^2 的最小值为 \frac{3}{2} 。$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x)=2|x+1|+|x+2| 的最小值为 m.$
$求m的值;$

Solution:
$依题意得， f(x)=2|x+1|+|x+2|=\begin{cases} -3x-4,x \leq -2，\\ -x,-2 < x < -1，\\ 3x+4,x \geq -1. \end{cases}$
$当x \leq -2时， f(x) \geq 2，$
$当-2 < x < -1时，1 < f(x) < 2，$
$当x \geq -1时， f(x) \geq 1。$
$综上，当x = -1时， f(x)取得最小值1，即m=1。$

Final answer: $m=1$
Subfield: Inequality


Question: $已知函数 f(x)=2|x+1|+|x+2| 的最小值为 m.$
$已知a，b，c为正数，且abc=\sqrt{2}m，求(a+b)^2+c^2的最小值.$

Solution:
$由(1)知abc= \sqrt{2} m= \sqrt{2}，$
$\because (a+b)^2+ c^2 \geq 4ab+c^2=2ab+2ab+c^2$
$\geq 3 \sqrt[3]{(2ab)\cdot (2ab)\cdot c^2}$
$=3 \sqrt[3]{4(abc)^2} =3 \sqrt[3]{4\times 2} =6，$
$当且仅当a=b且2ab=c^2，即a=b=1，c= \sqrt{2} 时等号成立，$
$\therefore (a+b)^2+c^2的最小值为6.$

Final answer: 6
Subfield: Inequality


Question: $若关于x的不等式|x-1|+|2x-3|<m的解集为(n,2).$
求n的值；

Solution:
$由题意知2为方程 |x-1|+|2x-3|=m 的根，所以 |2-1|+|4-3|=m，即 m=2，$

$则原不等式为 |x-1|+|2x-3|<2，$

$当 x<1 时， 1-x+3-2x<2，解得 x>\frac{2}{3}，故 \frac{2}{3}<x<1；$

$当 1 \leq x \leq \frac{3}{2} 时， x-1+3-2x<2，解得 x>0，故 1 \leq x \leq \frac{3}{2}；$

$当 x>\frac{3}{2} 时， x-1+2x-3<2，解得 x < 2，故 \frac{3}{2}<x<2，$

$综上，\frac{2}{3}<x<2，所以 n=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Derivative


Question: $某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=\frac{1}{3}x^2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+\ln x+\frac{e^3}{x}-17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.$
该同学的这一产品理论上可能的最大年利润是多少？

Solution:
$由(1)可得，当0<x<7时，P(x)=-\frac{1}{3}x^2+4x-2=-\frac{1}{3}(x-6)^2+10\leq 10，当且仅当x=6时，等号成立；$

$当x\geq 7时，P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}，$

$则P'(x)=-\frac{1}{x}+\frac{\mathrm{e}^3}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^3-x}{x^2}，$

$所以，当7\leq x<e^3时，P'(x)>0，即函数P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}单调递增；当x>e^3时，P'(x)<0，即函数P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}单调递减.$

$所以当x=e^3时，P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}取得最大值P(e^3)=15-ln e^3-\frac{\mathrm{e}^3}{\mathrm{e}^3}=11>10.$

$综上，当年产量为e^3\approx 20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.$



Final answer: 11 万元
Subfield: Derivative


Question: $某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=\frac{1}{3}x^2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+\ln x+\frac{e^3}{x}-17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.$
$当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e^3\approx 20)$

Solution:
$由(1)可得，当0<x<7时，P(x)=-\frac{1}{3}x^2+4x-2=-\frac{1}{3}(x-6)^2+10\leq 10，当且仅当x=6时，等号成立；$

$当x\geq 7时，P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}，$

$则P'(x)=-\frac{1}{x}+\frac{\mathrm{e}^3}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^3-x}{x^2}，$

$所以，当7\leq x<e^3时，P'(x)>0，即函数P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}单调递增；当x>e^3时，P'(x)<0，即函数P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}单调递减.$

$所以当x=e^3时，P(x)=15-ln x-\frac{\mathrm{e}^3}{x}取得最大值P(e^3)=15-ln e^3-\frac{\mathrm{e}^3}{\mathrm{e}^3}=11>10.$

$综上，当年产量为e^3\approx 20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.$

Final answer: $e^3\approx 20万件，最大年利润是11万元.$
Subfield: Trigonometric Functions


Question: $已知角\alpha 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P (-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}) .$
$求\sin (\alpha +\pi )的值；$

Solution:
:

$由角 \alpha  的终边过点 P (-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}) 得 sin \alpha  = -\frac{4}{5} ，所以 sin(\alpha +\pi )=-sin \alpha  = \frac{4}{5} .$

Final answer: $\frac{4}{5}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{a}{x}-x+aln x存在两个极值点x_1,x_2.$
$求f(x_1)+f(x_2)-3a的最小值.$

Solution:
$因为x_1,x_2为f(x)的极值点，则f'(x_1)=0，f'(x_2)=0，即x_1+x_2=a,x_1x_2=a，$
$又f(x_1)+f(x_2)-3a=\frac{a}{x_1}-x_1+a ln x_1+\frac{a}{x_2}-x_2+a ln x_2-3a=\frac{a(x_1+x_2)}{x_1x_2}-(x_1+x_2)+a ln(x_1x_2)-3a=a(ln a-3)，$
$令h(a)=a(ln a-3)，a\in (4,+\infty )，则h'(a)=ln a-2，$
$当a\in (4,e^2)时，h'(a)<0，h(a)单调递减，$
$当a\in (e^2,+\infty )时，h'(a)>0，h(a)单调递增，  $
$所以h(a)_{min}=h(e^2)=-e^2，$
$故f(x_1)+f(x_2)-3a的最小值为-e^2。$

Final answer: $-e^2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD\perp 底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610382688079873/img/compression/M_62a83a6b173937a55f672ab06eccda08.jpg)
$已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$以D为坐标原点，\overrightarrow{DA}的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，则\overrightarrow{DC}=(0，1，0)，\overrightarrow{PB}=(1，1，-1).由(1)可设Q(a,0，1)，则\overrightarrow{DQ}=(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，则$
$$
\left\{\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DQ}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,
\end{matrix}\right.
$$
即
$$
\left\{\begin{matrix}
ax+z=0,\\ 
y=0.
\end{matrix}\right.
$$
$可取n=(-1,0,a).所以cos\langle n，\overrightarrow{PB}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}=\frac{-1-a}{\sqrt{3}\sqrt{1+a^2}}. 设PB与平面QCD所成角为\theta，则sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{|a+1|}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{1+\frac{2a}{a^2+1}}.因为\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{1+\frac{2a}{a^2+1}}\leq \frac{\sqrt{6}}{3}，当且仅当a=1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

![21GZTSXS42.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610383518552065/img/compression/M_34a85c7371a708c8193d4b0da099f5d8.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD\perp 底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.$

<img_112>
$已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.$

Solution:
$以D为坐标原点，\overrightarrow{DA}的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，则\overrightarrow{DC}=(0，1，0)，\overrightarrow{PB}=(1，1，-1).由(1)可设Q(a,0，1)，则\overrightarrow{DQ}=(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，则$
$$
\left\{\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DQ}=0,\\ 
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0,
\end{matrix}\right.
$$
即
$$
\left\{\begin{matrix}
ax+z=0,\\ 
y=0.
\end{matrix}\right.
$$
$可取n=(-1,0,a).所以cos\langle n，\overrightarrow{PB}\rangle =\frac{\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}=\frac{-1-a}{\sqrt{3}\sqrt{1+a^2}}. 设PB与平面QCD所成角为\theta，则sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{|a+1|}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{1+\frac{2a}{a^2+1}}.因为\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{1+\frac{2a}{a^2+1}}\leq \frac{\sqrt{6}}{3}，当且仅当a=1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$

<img_23>

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC \perp BC,AC=BC=2,CC_1=3，点D,E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1,CE=2.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610384625848323/img/compression/M_449333a156f952e539ea56f8637aad47.jpg)
$求直线A_1B_1与平面BDE所成角的正弦值．$

Solution:
$因为直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC\perp BC，所以CA、CB、CC1两两垂直.$
$分别以\overrightarrow{CA}、\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CC_1}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，E(0,0,2),D(2,0,1),A(2,0,0)，所以\overrightarrow{BE}=(0,-2,2)，\overrightarrow{BD}=(2,-2,1)，\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}=(-2,2,0).$
$设平面BDE的法向量为\textbf{n}=(x,y,z)，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-2y+2z=0,\\
2x-2y+z=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$令y=1，得到平面BDE的一个法向量为\textbf{n}=\left(\frac{1}{2},1,1\right).\$
$设直线A_1B_1与平面BDE所成的角为\theta ，则$
\sin \theta =|\cos\langle \overrightarrow{A_1 B_1}，\textbf{n}\rangle |=$
$$
\frac{|\overrightarrow{A_1B_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{A_1B_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=
\frac{\left|\frac{1}{2} \times (-2)+1 \times 2+1 \times 0\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{4+4+0}}=
\frac{\sqrt{2}}{6}
$$
$所以直线A_1B_1与平面BDE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610385213050882/img/compression/M_421732bb8c44fe1be163256db03202b7.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC \perp BC,AC=BC=2,CC_1=3，点D,E分别在棱AA_1和棱CC_1上，且AD=1,CE=2.$
<img_275>
$求直线A_1B_1与平面BDE所成角的正弦值．$

Solution:
$因为直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AC\perp BC，所以CA、CB、CC1两两垂直.$
$分别以\overrightarrow{CA}、\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CC_1}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，E(0,0,2),D(2,0,1),A(2,0,0)，所以\overrightarrow{BE}=(0,-2,2)，\overrightarrow{BD}=(2,-2,1)，\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}=(-2,2,0).$
$设平面BDE的法向量为\textbf{n}=(x,y,z)，则$
$$
\left\{
\begin{matrix}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,
\end{matrix}
\right.
$$
即
$$
\left\{
\begin{matrix}
-2y+2z=0,\\
2x-2y+z=0,
\end{matrix}
\right.
$$
$令y=1，得到平面BDE的一个法向量为\textbf{n}=\left(\frac{1}{2},1,1\right).\$
$设直线A_1B_1与平面BDE所成的角为\theta ，则$
\sin \theta =|\cos\langle \overrightarrow{A_1 B_1}，\textbf{n}\rangle |=$
$$
\frac{|\overrightarrow{A_1B_1} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{A_1B_1}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=
\frac{\left|\frac{1}{2} \times (-2)+1 \times 2+1 \times 0\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1} \times \sqrt{4+4+0}}=
\frac{\sqrt{2}}{6}
$$
$所以直线A_1B_1与平面BDE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{2}}{6}.$
<img_189>

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1 B_1 C_1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC， CC_1的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610358396178434/img/compression/M_13e094971d66e73d3c9057bcdb66d80a.jpg)
$若\angle EFC=30^\circ ，求点C到平面AEF的距离．$

Solution:
$在Rt\triangle EFC中，\angle EFC=30^\circ ，EC=1，\therefore EF=2，FC=\sqrt{3}.设点C到平面AEF的距离为d ，由(1)知AE\perp 面B_1 BCC_1，$

$则由V_{A-EFC}=V_{C-AEF} ，即 \frac{1}{3}\cdot AE\cdot \frac{1}{2}\cdot EC\cdot FC=\frac{1}{3}\cdot d\cdot \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EF，解得d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1 B_1 C_1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC， CC_1的中点.$

<img_2710>
$若\angle EFC=30^\circ ，求点C到平面AEF的距离．$

Solution:
$在Rt\triangle EFC中，\angle EFC=30^\circ ，EC=1，\therefore EF=2，FC=\sqrt{3}.设点C到平面AEF的距离为d ，由(1)知AE\perp 面B_1 BCC_1，$

$则由V_{A-EFC}=V_{C-AEF} ，即 \frac{1}{3}\cdot AE\cdot \frac{1}{2}\cdot EC\cdot FC=\frac{1}{3}\cdot d\cdot \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EF，解得d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_731fe4cd4be6171353724f0492510203.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_291560bb7608b1fe77d0f364ccf862b0.jpg)
求点M到平面BDP的距离h.

Solution:
取BP的中点N，连接DN，
$因为AD\perp 平面ABP，AB = AP = AD = 2，$
$所以DP = BD = 2\sqrt{2}，所以DN \perp  BP.$
$所以在Rt\triangle DPN中，DN = \sqrt{DP^2 - PN^2} = \sqrt{8-1} = \sqrt{7}，$
$所以S_{\triangle DBP} = \frac{1}{2}BP\cdot DN = \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7} = \sqrt{7}，$
$因为AD\perp 平面ABP，所以V_{D-BMP} = \frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}.$
$因为V_{M-BDP} = V_{D-BMP}，所以\frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle BDP} = \frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}，$
$又S_{\triangle BMP} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times AB^{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}\times 2^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}，$
$所以h = \frac{AD \cdot S_{\vartriangle BMP}}{S_{\vartriangle BDP}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}，即点M到平面BDP的距离为\frac{\sqrt{21}}{7}.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610360413638657/img/compression/M_f29346d79cbf9473ff8ed60cc3a84971.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$

<img_2498>

<img_3031>
求点M到平面BDP的距离h.

Solution:
取BP的中点N，连接DN，
$因为AD\perp 平面ABP，AB = AP = AD = 2，$
$所以DP = BD = 2\sqrt{2}，所以DN \perp  BP.$
$所以在Rt\triangle DPN中，DN = \sqrt{DP^2 - PN^2} = \sqrt{8-1} = \sqrt{7}，$
$所以S_{\triangle DBP} = \frac{1}{2}BP\cdot DN = \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7} = \sqrt{7}，$
$因为AD\perp 平面ABP，所以V_{D-BMP} = \frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}.$
$因为V_{M-BDP} = V_{D-BMP}，所以\frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle BDP} = \frac{1}{3}AD\cdot S_{\triangle BMP}，$
$又S_{\triangle BMP} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times AB^{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}\times 2^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}，$
$所以h = \frac{AD \cdot S_{\vartriangle BMP}}{S_{\vartriangle BDP}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}，即点M到平面BDP的距离为\frac{\sqrt{21}}{7}.$

<img_1940>

Final answer: $\frac{\sqrt{21}}{7}$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2，B_2，C_2，D_2分别在棱AA_1，BB_1，CC_1，DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
![24GZT5SX1.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283940768563203/img/compression/M_b2fb22a9a4b6a7b1dd37c5e2deebef03.jpg)
$点P在棱BB_{1}上，当二面角P-A_{2}C_{2}-D_{2}为150^\circ 时，求B_{2}P.$

Solution:
$\because 点P在棱BB_1上，\therefore 设P(0，2，a)(0\leq a\leq 4)，$
$结合(1)可知\overrightarrow{A_2C_2}=(-2，-2，2)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),\overrightarrow{PA_2}=(2,0,1-a)，\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3-a).$
设平面$A_2C_2D_2$的法向量为$n_1=(x_1,y_1,z_1)$,
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ \overrightarrow{A_2D_2}\cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x_1-2y_1+2z_1=0,\\ -2y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.$
令$z_1=2,则n_1=(1,1,2)$.
$设平面PA_2C_2的法向量为n_2=(x_2,y_2,z_2),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PA_2}\cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ \overrightarrow{PC_2}\cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2+(1-a)z_2=0,\\ -2y_2+(3-a)z_2=0,\end{matrix}\right.$
令$z_2=2,则n2=(a-1,3-a,2)$,
$又\because 二面角P-A2C2-D2为150^\circ ，$
$\therefore |\cos  150^\circ |=|\cos \langle n_1,n_2\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|a-1+3-a+4|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{(a-1)^2+(3-a)^2+4}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2a^2-8a+14}},$
$即\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-4a+7}},化简得a^2-4a+3=0,解得a=1或a=3,$
$当a=1时，B_2P=1;当a=3时，B_2P=1$.
综上，$B_2P=1$.

Final answer: $B_2P=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2，B_2，C_2，D_2分别在棱AA_1，BB_1，CC_1，DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
<img_3044>
$点P在棱BB_{1}上，当二面角P-A_{2}C_{2}-D_{2}为150^\circ 时，求B_{2}P.$

Solution:
$\because 点P在棱BB_1上，\therefore 设P(0，2，a)(0\leq a\leq 4)，$
$结合(1)可知\overrightarrow{A_2C_2}=(-2，-2，2)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),\overrightarrow{PA_2}=(2,0,1-a)，\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3-a).$
设平面$A_2C_2D_2$的法向量为$n_1=(x_1,y_1,z_1)$,
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot \boldsymbol{n}_1=0,\\ \overrightarrow{A_2D_2}\cdot \boldsymbol{n}_1=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x_1-2y_1+2z_1=0,\\ -2y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.$
令$z_1=2,则n_1=(1,1,2)$.
$设平面PA_2C_2的法向量为n_2=(x_2,y_2,z_2),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PA_2}\cdot \boldsymbol{n}_2=0,\\ \overrightarrow{PC_2}\cdot \boldsymbol{n}_2=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2+(1-a)z_2=0,\\ -2y_2+(3-a)z_2=0,\end{matrix}\right.$
令$z_2=2,则n2=(a-1,3-a,2)$,
$又\because 二面角P-A2C2-D2为150^\circ ，$
$\therefore |\cos  150^\circ |=|\cos \langle n_1,n_2\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1|\cdot |\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|a-1+3-a+4|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{(a-1)^2+(3-a)^2+4}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2a^2-8a+14}},$
$即\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-4a+7}},化简得a^2-4a+3=0,解得a=1或a=3,$
$当a=1时，B_2P=1;当a=3时，B_2P=1$.
综上，$B_2P=1$.

Final answer: $B_2P=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
<img_1780>
$求直线AC_1与平面A_1EC_1所成角的正弦值；$

Solution:
$由公式1得到，向量\overrightarrow{AC_1}=(2,2,2).$
$设直线AC_1与平面A_1EC_1所成的角为\theta ，$
$则sin\theta =|cos\langle m,\overrightarrow{AC_1}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC_1}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\overrightarrow{AC_1}|}\right|=\frac{\sqrt{3}}{9}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283942374981635/img/compression/M_07622067350e8856c0d52e7d8bfe96af.jpg)
$求直线AC_1与平面A_1EC_1所成角的正弦值；$

Solution:
$由公式1得到，向量\overrightarrow{AC_1}=(2,2,2).$
$设直线AC_1与平面A_1EC_1所成的角为\theta ，$
$则sin\theta =|cos\langle m,\overrightarrow{AC_1}\rangle |=\left|\frac{\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC_1}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\overrightarrow{AC_1}|}\right|=\frac{\sqrt{3}}{9}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283942374981635/img/compression/M_07622067350e8856c0d52e7d8bfe96af.jpg)
$求二面角A-A_1C_1-E的正弦值.$

Solution:
$由正方体的特征可得平面 AA_1C_1 的一个法向量为 \overrightarrow{DB} = (2,-2,0)，则 cos\langle \overrightarrow{DB},\boldsymbol{m}\rangle =\frac{\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{DB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{8}{3\times 2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，$

$所以二面角 A-A_1C_1-E 的正弦值为 \sqrt{1-\cos ^2\langle \overrightarrow{DB},\boldsymbol{m}\rangle }=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在棱长为2的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.$
<img_1780>
$求二面角A-A_1C_1-E的正弦值.$

Solution:
$由正方体的特征可得平面 AA_1C_1 的一个法向量为 \overrightarrow{DB} = (2,-2,0)，则 cos\langle \overrightarrow{DB},\boldsymbol{m}\rangle =\frac{\overrightarrow{DB}\cdot \boldsymbol{m}}{|\overrightarrow{DB}|\cdot |\boldsymbol{m}|}=\frac{8}{3\times 2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，$

$所以二面角 A-A_1C_1-E 的正弦值为 \sqrt{1-\cos ^2\langle \overrightarrow{DB},\boldsymbol{m}\rangle }=\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB\perp AM.$

<img_3088>
求BC；

Solution:
$解法： 连接BD。因为PD\perp 底面ABCD，$
$AM\subset 平面ABCD，所以PD\perp AM。$
$又PB\perp AM，PD\cap PB=P，所以AM\perp 平面PBD，故AM\perp BD。$
$于是\triangle ABD∽\triangle BMA，故\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}。$
$因为BM=\frac{1}{2}BC，AD=BC，AB=1，$
$所以\frac{1}{2}BC^2=1，即BC=\sqrt{2}。$
$解法： 由题意知DA，DC，DP两两垂直，所以以D为原点，\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，设BC=t(t>0)，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，M\left(\frac{t}{2},1,0\right)，P(0，0，1)，所以\overrightarrow{PB}=(t，1，-1)，\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{t}{2},1,0\right)，$
$因为PB\perp AM，所以\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AM}=0，所以-\frac{t^2}{2}+1=0，即t^2=2.$
$又t>0，所以t=\sqrt{2}，即BC=\sqrt{2}.$

<img_2529>

Final answer: \sqrt{2}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB\perp AM.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283943247396866/img/compression/M_55a633b8173abc28ca1fd7038c6cc3c0.jpg)
求BC；

Solution:
$解法： 连接BD。因为PD\perp 底面ABCD，$
$AM\subset 平面ABCD，所以PD\perp AM。$
$又PB\perp AM，PD\cap PB=P，所以AM\perp 平面PBD，故AM\perp BD。$
$于是\triangle ABD∽\triangle BMA，故\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BM}。$
$因为BM=\frac{1}{2}BC，AD=BC，AB=1，$
$所以\frac{1}{2}BC^2=1，即BC=\sqrt{2}。$
$解法： 由题意知DA，DC，DP两两垂直，所以以D为原点，\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，设BC=t(t>0)，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，M\left(\frac{t}{2},1,0\right)，P(0，0，1)，所以\overrightarrow{PB}=(t，1，-1)，\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{t}{2},1,0\right)，$
$因为PB\perp AM，所以\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AM}=0，所以-\frac{t^2}{2}+1=0，即t^2=2.$
$又t>0，所以t=\sqrt{2}，即BC=\sqrt{2}.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283943570358274/img/compression/M_a2920142b13ea29a0a2da5ae0967d5cd.jpg)

Final answer: \sqrt{2}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB\perp AM.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283943247396866/img/compression/M_55a633b8173abc28ca1fd7038c6cc3c0.jpg)
$求二面角A-PM-B的正弦值.$

Solution:
$设平面PAM的法向量为n_1=(x_1，y_1，z_1)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}
n_1\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ 
n_1\cdot \overrightarrow{AM}=0,
\end{matrix}\right.
$$

$由(1)知\overrightarrow{PA}=(\sqrt{2}，0，-1)，\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1,0\right)，$
所以
$$
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}x_1-z_1=0,\\ 
-\frac{\sqrt{2}}{2}x_1+y_1=0,
\end{matrix}\right.
$$

$令x_1=\sqrt{2}，则y_1=1，z_1=2，即n_1=(\sqrt{2}，1，2)，$

$设平面PMB的法向量为n_2=(x_2，y_2，z_2)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}
n_2\cdot \overrightarrow{PB}=0,\\ 
n_2\cdot \overrightarrow{MB}=0,
\end{matrix}\right.
$$

$由(1)知\overrightarrow{PB}=(\sqrt{2}，1，-1)，\overrightarrow{MB}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0\right)，$
所以
$$
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}x_2+y_2-z_2=0,\\ 
\frac{\sqrt{2}}{2}x_2=0,
\end{matrix}\right.
$$

$令y_2=1，则z_2=1，即n_2=(0，1，1)，$

$所以\cos \langle n_1，n_2\rangle =$
$$
\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1||n_2|}
$$
=
$$
\frac{1\times 1+2\times 1}{\sqrt{7}\times \sqrt{2}}
$$
=
$$
\frac{3}{\sqrt{14}}
$$

$由题图可知二面角A-PM-B的平面角为锐角，所以所求二面角的正弦值为$
$$
\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2}
$$
=
$$
\frac{\sqrt{70}}{14}
$$

Final answer: $\frac{\sqrt{70}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD\perp 底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB\perp AM.$

<img_3088>
$求二面角A-PM-B的正弦值.$

Solution:
$设平面PAM的法向量为n_1=(x_1，y_1，z_1)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}
n_1\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ 
n_1\cdot \overrightarrow{AM}=0,
\end{matrix}\right.
$$

$由(1)知\overrightarrow{PA}=(\sqrt{2}，0，-1)，\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1,0\right)，$
所以
$$
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}x_1-z_1=0,\\ 
-\frac{\sqrt{2}}{2}x_1+y_1=0,
\end{matrix}\right.
$$

$令x_1=\sqrt{2}，则y_1=1，z_1=2，即n_1=(\sqrt{2}，1，2)，$

$设平面PMB的法向量为n_2=(x_2，y_2，z_2)，$
则
$$
\left\{\begin{matrix}
n_2\cdot \overrightarrow{PB}=0,\\ 
n_2\cdot \overrightarrow{MB}=0,
\end{matrix}\right.
$$

$由(1)知\overrightarrow{PB}=(\sqrt{2}，1，-1)，\overrightarrow{MB}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0\right)，$
所以
$$
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}x_2+y_2-z_2=0,\\ 
\frac{\sqrt{2}}{2}x_2=0,
\end{matrix}\right.
$$

$令y_2=1，则z_2=1，即n_2=(0，1，1)，$

$所以\cos \langle n_1，n_2\rangle =$
$$
\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1||n_2|}
$$
=
$$
\frac{1\times 1+2\times 1}{\sqrt{7}\times \sqrt{2}}
$$
=
$$
\frac{3}{\sqrt{14}}
$$

$由题图可知二面角A-PM-B的平面角为锐角，所以所求二面角的正弦值为$
$$
\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2}
$$
=
$$
\frac{\sqrt{70}}{14}
$$

Final answer: $\frac{\sqrt{70}}{14}$