di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱柱ABCD－A_1B_1C_1D_1中，底面ABCD是正方形，平面A_1ADD_1\perp 平面ABCD，AD=2，AA_1=A_1D.$
![23BBJ5SX130.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268037756153858/img/compression/M_0831044b2d0f1f3fece9777034042755.jpg)
$求证：A_1D \perp AB；$

Solution:
$证明：\because 四边形ABCD为正方形，\therefore AB\perp AD，\because 平面A_1ADD_1\perp 平面ABCD，平面A_1ADD_1\cap 平面ABCD=AD，AB\subset 平面ABCD，\therefore AB\perp 平面A_1AD_1D，    $
$\because A_1D\subset 平面A_1AD_1D，\therefore AB\perp A_1D。$

Final answer: 证明题
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=x^{2}-a\ln x(a\in R)。$
$若函数f(x)存在两个不同的零点x_1, x_2，证明：x_1 x_2 > e。$

Solution:
$由(1)可知a>2e时，f(x)有两个零点，令x_2>x_1>0，由f(x_1)=f(x_2)=0\Rightarrow $

$$
\left\{
\begin{matrix}
x^2_1-aln x_1=0,\\ 
x^2_2-aln x_2=0,
\end{matrix}
\right.
$$

即

$$
\left\{
\begin{matrix}
x^2_1=aln x_1,\\ 
x^2_2=aln x_2,
\end{matrix}
\right.
$$

$所以x^2_1+x^2_2=a(ln x_1+ln x_2), x^2_2-x^2_1=a(ln x_2-ln x_1)，$

$即lnx_2+ln x_1=\frac{ln x_2-ln x_1}{x^2_2-x^2_1}(x^2_1+x^2_2)，要证明x_1x_2>e，即证ln x_1+ln x_2>1，需证\frac{ln x_2-ln x_1}{x^2_2-x^2_1}(x^2_1+x^2_2)>1，$

$即证ln x_2-ln x_1>\frac{x^2_2-x^2_1}{x^2_2+x^2_1}，即证ln \frac{x_2}{x_1}-\frac{{\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^2-1}{{\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^2+1}>0，$

$设\frac{x_2}{x_1}=x，则x>1，即证ln x-\frac{x^2-1}{x^2+1}>0，即证ln x+\frac{2}{x^2+1}-1>0，令h(x)=ln x+\frac{2}{x^2+1}-1(x>1)，$

$则h'x=\frac{1}{x}-\frac{4x}{{(x^2+1)}^2}=\frac{{(x^2+1)}^2-4x^2}{x(x^2+1)^2}=\frac{{(x^2-1)}^2}{x(x^2+1)^2}>0，$

$故函数h(x)在(1,+\infty )上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即有ln x+\frac{2}{x^2+1}-1>0，所以x_1x_2>e.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
<img_63>
$求证：AA_1\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：因为四边形AA_1C_1C为正方形，所以AA_1\perp AC.$
$因为平面ABC\perp平面AA_1C_1C，且AA_1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA_1\perp平面ABC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268071788482563/img/compression/M_8301c926f88e061e4b3a9257f2467ddf.jpg)
$求证：AA_1\perp 平面ABC；$

Solution:
$证明：因为四边形AA_1C_1C为正方形，所以AA_1\perp AC.$
$因为平面ABC\perp平面AA_1C_1C，且AA_1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA_1\perp平面ABC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2,B_2,C_2，D_2分别在棱AA_1,BB_1,CC_1,DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
<img_234>
$证明：B_2C_2\parallel A_2D_2;$

Solution:
$证明：以C为原点，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$
$由题意知，A_2(2,2,1),B_2(0,2,2),C_2(0,0,3),D_2(2,0,2),$
$则\overrightarrow{B_2C_2}=(0，-2，1)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),$
$\therefore \overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}，\therefore \overrightarrow{B_2C_2}\parallel \overrightarrow{A_2D_2},$
$又知B_2C_2与A_2D_2无公共点，$
$\therefore B_2C_2\parallel A_2D_2.$
<img_200>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2,B_2,C_2，D_2分别在棱AA_1,BB_1,CC_1,DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268072606371842/img/compression/M_b2fb22a9a4b6a7b1dd37c5e2deebef03.jpg)
$证明：B_2C_2\parallel A_2D_2;$

Solution:
$证明：以C为原点，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1}的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，$
$由题意知，A_2(2,2,1),B_2(0,2,2),C_2(0,0,3),D_2(2,0,2),$
$则\overrightarrow{B_2C_2}=(0，-2，1)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),$
$\therefore \overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}，\therefore \overrightarrow{B_2C_2}\parallel \overrightarrow{A_2D_2},$
$又知B_2C_2与A_2D_2无公共点，$
$\therefore B_2C_2\parallel A_2D_2.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268072929333249/img/compression/M_df204ba2bd9062cf121894dc131de51e.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥 P-ABCD 中，PD \perp 底面 ABCD ，CD \parallel  AB ,AD = DC = CB = 1, AB = 2, DP = \sqrt{3} .$

<img_37>
$证明：BD \perp PA;$

Solution:
$证明：过 D 作 DH \perp  AB, 垂足为 H ，则 AH = \frac{1}{2}, 又 AD = 1, 所以 DH = \frac{\sqrt{3}}{2}. 易知 BH = \frac{3}{2}, 所以 BD = \sqrt{3}, 在\triangle  ABD 中，AD^2 + BD^2 = AB^2, 所以 AD \perp  BD. 因为 PD \perp 平面 ABCD, BD \subset 平面 ABCD ，所以 PD \perp  BD, 又因为 PD \cap  AD = D, 所以 BD \perp 平面 PAD, 又 PA \subset 平面 PAD, 所以 BD \perp  PA.$

<img_90>
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥 P-ABCD 中，PD \perp 底面 ABCD ，CD \parallel  AB ,AD = DC = CB = 1, AB = 2, DP = \sqrt{3} .$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610381119410178/img/compression/M_2f4c33999697b6aeb725683d0e2f9ce8.jpg)
$证明：BD \perp PA;$

Solution:
$证明：过 D 作 DH \perp  AB, 垂足为 H ，则 AH = \frac{1}{2}, 又 AD = 1, 所以 DH = \frac{\sqrt{3}}{2}. 易知 BH = \frac{3}{2}, 所以 BD = \sqrt{3}, 在\triangle  ABD 中，AD^2 + BD^2 = AB^2, 所以 AD \perp  BD. 因为 PD \perp 平面 ABCD, BD \subset 平面 ABCD ，所以 PD \perp  BD, 又因为 PD \cap  AD = D, 所以 BD \perp 平面 PAD, 又 PA \subset 平面 PAD, 所以 BD \perp  PA.$

![23GZT5SX46答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610380444127235/img/compression/M_6f92613ec026ed68ec9cce77476e6c80.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=a(x+2)e^{x}-(x+3)^{2}(a\in R, e为自然对数的底数)。$
$讨论函数f(x)的单调性；$

Solution:
$因为f'(x)=a(x+3)e^{x}-2(x+3)=(x+3)\cdot (ae^{x}-2)，若a\leq 0，则ae^{x}-2<0。$

$当x\in (-\infty ，-3)时，f'(x)>0；当x\in (-3，+\infty )时，f'(x)<0。\therefore 当a\leq 0时，函数f(x)在(-3，+\infty )上单调递减，在(-\infty ，-3)上单调递增。$

$若a>0，由f'(x)=0解得x_{1}=-3，x_{2}=\ln\frac{2}{a}。$

$①若0<a<2e^{3}，则\ln\frac{2}{a}>-3。$

$当x\in (-\infty ，-3)\cup \left(\ln\frac{2}{a},+\infty \right)时，f'(x)>0；当x\in \left(-3,\ln\frac{2}{a}\right)时，f'(x)<0。$

$\therefore 当0<a<2e^{3}时，函数f(x)在(-\infty ，-3)，\left(\ln\frac{2}{a},+\infty \right)上单调递增，在\left(-3,\ln\frac{2}{a}\right)上单调递减。$

$②若a=2e^{3}，则\ln\frac{2}{a}=-3。$

$当x\in R时，f'(x)\geq 0，\therefore 函数f(x)在R上单调递增。$

$③若a>2e^{3}，则\ln\frac{2}{a}<-3。$

$当x\in \left(-\infty  ,\ln\frac{2}{a}\right)\cup (-3,+\infty )时，f'(x)>0；当x\in \left(\ln\frac{2}{a},-3\right)时，f'(x)<0。$

$\therefore 当a>2e^{3}时，函数f(x)在\left(-\infty  ,\ln\frac{2}{a}\right)，(-3，+\infty )上单调递增，在\left(\ln\frac{2}{a},-3\right)上单调递减.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$

<img_2498>

<img_3031>
$求证：BM \perp DP；$

Solution:
$证明：因为AD \perp EF，所以AD \perp AP, AD \perp AB，又AP \cap AB = A，AP, AB \subset 平面ABP，所以AD \perp 平面ABP.$
$因为BM \subset 平面ABP，所以AD \perp BM.$
$由已知得，AB = AP = BP = 2，所以\triangle ABP是等边三角形，$
$又因为点M是AP的中点，所以BM \perp AP.$
$因为AD \cap AP = A，AD, AP \subset 平面ADP，$
$所以BM \perp 平面ADP.$
$因为DP \subset 平面ADP，所以BM \perp DP.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD=AE=CD=2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合，记为点P)．$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_731fe4cd4be6171353724f0492510203.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610359050489858/img/compression/M_291560bb7608b1fe77d0f364ccf862b0.jpg)
$求证：BM \perp DP；$

Solution:
$证明：因为AD \perp EF，所以AD \perp AP, AD \perp AB，又AP \cap AB = A，AP, AB \subset 平面ABP，所以AD \perp 平面ABP.$
$因为BM \subset 平面ABP，所以AD \perp BM.$
$由已知得，AB = AP = BP = 2，所以\triangle ABP是等边三角形，$
$又因为点M是AP的中点，所以BM \perp AP.$
$因为AD \cap AP = A，AD, AP \subset 平面ADP，$
$所以BM \perp 平面ADP.$
$因为DP \subset 平面ADP，所以BM \perp DP.$

Final answer: 证明题
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆C：\frac{x^2}{2}+y^2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).$
$设O为坐标原点，证明：\angle OMA=\angle OMB.$

Solution:
$当l与x轴重合时，\angle OMA=\angle OMB=0^\circ ，$
$当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，$
$所以\angle OMA=\angle OMB.$
$当l与x轴不重合也不垂直时，$
$设l的方程为y=k(x-1)(k\neq 0), A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)，$
$则x_1＜\sqrt{2}, x_2＜\sqrt{2}, 直线MA，MB的斜率之和为k_{MA}+k_{MB}= \frac {y_1}{x_1-2} + \frac {y_2}{x_2-2}  ，$
$由y_1=kx_1-k, y_2=kx_2-k得k_{MA}+k_{MB}= \frac {2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k}{(x_1-2)(x_2-2)}  .$
$将y=k(x-1)代入\frac {x^2}{2} + y^2=1，$
$得(2k^2+1)x^2-4k^2x+2k^2-2=0，$
$所以，x_1+x_2= \frac {4k^2}{2k^2+1} , x_1x_2= \frac {2k^2-2}{2k^2+1}  .$
$则2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k= \frac {4k^3-4k-12k^3+8k^3+4k}{2k^2+1}  =0，$
$从而k_{MA}+k_{MB}=0，故MA，MB的倾斜角互补，$
$所以\angle OMA=\angle OMB.$
$综上，\angle OMA=\angle OMB.$
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为数列{a_n}的前n项和, \frac{2S_n}{n}=a_n+2.$
$证明a_n是等差数列;$

Solution:
$证明：由 \frac{2S_n}{n} = a_n + 2, 得 2 S_n = na_n + 2n ①,$

$所以 2 S_{n+1} = (n + 1) a_{n+1} + 2(n + 1) ②,$

$② - ① 得 (n - 1) a_{n+1} - na_n + 2 = 0 ③,$

$当 n \geq  2 时， (n - 2) a_n - (n - 1) a_{n-1} + 2 = 0 ④,$

$③ - ④ 得 (n - 1) a_{n+1} - 2(n - 1) a_n + (n - 1) a_{n-1} = 0,$

$即 a_{n+1} + a_{n-1} = 2 a_n , 所以 {a_n} 是等差数列.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，等腰梯形ABCD中，AB\parallel CD，AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点，以AE为折痕把\triangle ADE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).$
![24BKB5LSX167.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715283928091447298/img/compression/M_7c3c33302f258e56b6079208c0dcbfff.jpg)
$求证: AE \perp  PB；$

Solution:
证明：连接BD，BE，设AE的中点为O,  
$\because AB\parallel CE，AB=CE=\frac{1}{2}CD,  $
$\therefore 四边形ABCE为平行四边形，\therefore AE=BC=AD=DE，  $
$\therefore \triangle ADE，\triangle ABE为等边三角形，  $
$\therefore 四边形ABED为菱形，  $
$\therefore OD\perp AE，OB\perp AE,折叠后OP\perp AE,  $
$OB\perp AE，又OP\cap OB=O,  $
$\therefore AE\perp 平面POB，又PB\subset 平面POB,  $
$\therefore AE\perp PB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，等腰梯形ABCD中，AB\parallel CD，AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点，以AE为折痕把\triangle ADE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE).$
<img_1534>
$求证: AE \perp  PB；$

Solution:
证明：连接BD，BE，设AE的中点为O,  
$\because AB\parallel CE，AB=CE=\frac{1}{2}CD,  $
$\therefore 四边形ABCE为平行四边形，\therefore AE=BC=AD=DE，  $
$\therefore \triangle ADE，\triangle ABE为等边三角形，  $
$\therefore 四边形ABED为菱形，  $
$\therefore OD\perp AE，OB\perp AE,折叠后OP\perp AE,  $
$OB\perp AE，又OP\cap OB=O,  $
$\therefore AE\perp 平面POB，又PB\subset 平面POB,  $
$\therefore AE\perp PB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_1B_1C_1，A_1A，B_1B，C_1C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_1A=4，C_1C=1，AB=BC=B_1B=2.$
<img_3012>
$证明：AB_1 \perp  平面 A_1B_1C_1；$

Solution:
$证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.$

<img_2421>

$由题意知各点坐标如下：A(0，-\sqrt{3}，0)，B(1，0，0)，A_1(0，-\sqrt{3}，4)，B_1(1，0，2)，C_1(0，\sqrt{3}，1).因此\overrightarrow{AB_1}=(1，\sqrt{3}，2)，\overrightarrow{A_1B_1}=(1，\sqrt{3}，-2)，\overrightarrow{A_1C_1}=(0，2\sqrt{3}，-3).由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1B_1}=0得AB_1\perp A_1B_1.由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0得AB_1\perp A_1C_1.(注意两向量垂直的充要条件的应用)$

$所以AB_1\perp 平面A_1B_1C_1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知多面体ABCA_1B_1C_1，A_1A，B_1B，C_1C均垂直于平面ABC，\angle ABC=120^\circ ，A_1A=4，C_1C=1，AB=BC=B_1B=2.$
![19GZTLSX22.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875120491814915/img/compression/M_c50411d4f0d40e3d1ad5a15a16f4f9c3.jpg)
$证明：AB_1 \perp  平面 A_1B_1C_1；$

Solution:
$证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.$

![题目图像](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875121016102913/img/compression/M_61573c4717ce2e582f16796416504c4d.jpg)

$由题意知各点坐标如下：A(0，-\sqrt{3}，0)，B(1，0，0)，A_1(0，-\sqrt{3}，4)，B_1(1，0，2)，C_1(0，\sqrt{3}，1).因此\overrightarrow{AB_1}=(1，\sqrt{3}，2)，\overrightarrow{A_1B_1}=(1，\sqrt{3}，-2)，\overrightarrow{A_1C_1}=(0，2\sqrt{3}，-3).由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1B_1}=0得AB_1\perp A_1B_1.由\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0得AB_1\perp A_1C_1.(注意两向量垂直的充要条件的应用)$

$所以AB_1\perp 平面A_1B_1C_1.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875180000116739/img/compression/M_3235fdceecb9e19919a8627128e958c8.jpg)
$求证：EF \perp平面PAC；$

Solution:
$证明：在平行四边形 ABCD 中，因为\angle  BCD =135^\circ ，所以\angle  ABC =45^\circ ，又因为在\triangle  ABC 中， AB = AC ，所以\angle  BAC =90^\circ ，即 AB \perp  AC.$
$由 E ， F 分别为 BC , AD 的中点，得 EF \parallel  AB ，所以 EF \perp  AC .$
$因为侧面 PAB \perp 底面 ABCD ，且\angle  BAP =90^\circ ，所以 PA \perp 底面 ABCD .$
$又因为 EF \subset 底面 ABCD ，所以 PA \perp  EF .$
$又因为 PA \cap  AC = A ， PA \subset 平面 PAC ， AC \subset 平面 PAC ，所以 EF \perp 平面 PAC .$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，\angle BCD=135^\circ ，侧面PAB \perp底面ABCD，\angle BAP=90^\circ ，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上。$

<img_2918>
$求证：EF \perp平面PAC；$

Solution:
$证明：在平行四边形 ABCD 中，因为\angle  BCD =135^\circ ，所以\angle  ABC =45^\circ ，又因为在\triangle  ABC 中， AB = AC ，所以\angle  BAC =90^\circ ，即 AB \perp  AC.$
$由 E ， F 分别为 BC , AD 的中点，得 EF \parallel  AB ，所以 EF \perp  AC .$
$因为侧面 PAB \perp 底面 ABCD ，且\angle  BAP =90^\circ ，所以 PA \perp 底面 ABCD .$
$又因为 EF \subset 底面 ABCD ，所以 PA \perp  EF .$
$又因为 PA \cap  AC = A ， PA \subset 平面 PAC ， AC \subset 平面 PAC ，所以 EF \perp 平面 PAC .$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PC\perp 平面ABCD，AB\parallel DC， DC\perp AC.$

<img_56>
$设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F，使得PA\parallel 平面CEF？说明理由.$

Solution:
$在棱PB上存在点F，使得PA\parallel 平面CEF.$
理由如下：
$如图，取PB的中点F，连接EF，CE，CF.$
<img_33>
$因为E为AB的中点，所以EF\parallel PA.$
$又因为PA\not\subset 平面CEF，EF\subset 平面CEF，$
$所以PA\parallel 平面CEF.$

思路分析

$此问为探究性问题，求解时可构造平面CEF，使得PA平行于平面CEF内的一条直线，由于点E为AB的中点，所以可取PB的中点，构造中位线.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PC\perp 平面ABCD，AB\parallel DC， DC\perp AC.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875236040212483/img/compression/M_5ce588d6b6725207da4f9125deb30d96.jpg)
$设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F，使得PA\parallel 平面CEF？说明理由.$

Solution:
$在棱PB上存在点F，使得PA\parallel 平面CEF.$
理由如下：
$如图，取PB的中点F，连接EF，CE，CF.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623875236858101762/img/compression/M_9ef7e4ec0a334e42ca46608e71fbf052.jpg)
$因为E为AB的中点，所以EF\parallel PA.$
$又因为PA\not\subset 平面CEF，EF\subset 平面CEF，$
$所以PA\parallel 平面CEF.$

思路分析

$此问为探究性问题，求解时可构造平面CEF，使得PA平行于平面CEF内的一条直线，由于点E为AB的中点，所以可取PB的中点，构造中位线.$

Final answer: 证明题
Subfield: Inequality


Question: $已知a+b+c=3.$
$若a、b、c均为正数，证明：\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq  3，并且写出等号成立的条件;$

Solution:
$证明：\because a>0，b>0，c>0，\therefore a+b\geq 2\sqrt{ab}，b+c\geq 2\sqrt{bc}，a+c\geq 2\sqrt{ac}，三式相加可得，\therefore 2a+2b+2c\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}，当且仅当a=b=c时取等号.\because a+b+c=3,\therefore \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq 3,当且仅当a=b=c时取等号.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$<img_2221>
$(1)求证：AD\perp BC；$

Solution:
$证明：由平面ABC\perp 平面ABD，平面ABC\cap 平面ABD=AB，AD\perp AB，可得AD\perp 平面ABC，故AD\perp BC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549444928532483/img/compression/M_e73cd93c8a1eeb80eb81c3c40a327e6f.jpg)
$(1)求证：AD\perp BC；$

Solution:
$证明：由平面ABC\perp 平面ABD，平面ABC\cap 平面ABD=AB，AD\perp AB，可得AD\perp 平面ABC，故AD\perp BC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549444928532483/img/compression/M_e73cd93c8a1eeb80eb81c3c40a327e6f.jpg)
$(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；$

Solution:
$取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN\parallel BC.所以\angle DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt\triangle DAM中，AM=1，故DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{13}.因为AD\perp 平面ABC，故AD\perp AC.在Rt\triangle DAN中，AN=1，故DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{13}.在等腰三角形DMN中，MN=1，可得\\cos  \angle DMN=\frac{\frac{1}{2}MN}{DM}=\frac{\sqrt{13}}{26}.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{13}}{26}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549445364740097/img/compression/M_19b6b35eb79eb44d3796e71731fe05b1.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{13}}{26}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$<img_2221>
$(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；$

Solution:
$取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN\parallel BC.所以\angle DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt\triangle DAM中，AM=1，故DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{13}.因为AD\perp 平面ABC，故AD\perp AC.在Rt\triangle DAN中，AN=1，故DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{13}.在等腰三角形DMN中，MN=1，可得\\cos  \angle DMN=\frac{\frac{1}{2}MN}{DM}=\frac{\sqrt{13}}{26}.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为\frac{\sqrt{13}}{26}.$<img_1904>

Final answer: $\frac{\sqrt{13}}{26}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549444928532483/img/compression/M_e73cd93c8a1eeb80eb81c3c40a327e6f.jpg)
$(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.$

Solution:
$连接CM.因为\triangle ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM\perp AB，CM=\sqrt{3}.又因为平面ABC\perp 平面ABD，而CM\subset 平面ABC，故CM\perp 平面ABD.所以，\angle CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt\triangle CAD中，CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=4.在Rt\triangle CMD中，\\sin  \angle CDM=\frac{CM}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{4}.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四面体ABCD中，\triangle ABC是等边三角形，平面ABC\perp 平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2\sqrt{3}，\angle BAD=90^\circ .$<img_2221>
$(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.$

Solution:
$连接CM.因为\triangle ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM\perp AB，CM=\sqrt{3}.又因为平面ABC\perp 平面ABD，而CM\subset 平面ABC，故CM\perp 平面ABD.所以，\angle CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt\triangle CAD中，CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=4.在Rt\triangle CMD中，\\sin  \angle CDM=\frac{CM}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{4}.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为2,E,F分别为AD,CC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549455997300737/img/compression/M_da67893a27363eb5a1bd233e0d45a733.jpg)
$(1)已知点G满足\overrightarrow{DD_1}=4\overrightarrow{DG}，求证B,E,G,F四点共面；$

Solution:
$证明：如图，取DD_{1}中点H，则G为DH的中点，连接AH,HF.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549456462868481/img/compression/M_7c832302421c2749944c3596830518d7.jpg)$易知四边形ABFH是平行四边形，所以BF\parallel AH，在\triangle AHD中，EG为中位线，故EG\parallel AH，所以EG\parallel BF，故B,E,G,F四点共面.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为2,E,F分别为AD,CC_{1}的中点.$<img_1738>
$(1)已知点G满足\overrightarrow{DD_1}=4\overrightarrow{DG}，求证B,E,G,F四点共面；$

Solution:
$证明：如图，取DD_{1}中点H，则G为DH的中点，连接AH,HF.$<img_1795>$易知四边形ABFH是平行四边形，所以BF\parallel AH，在\triangle AHD中，EG为中位线，故EG\parallel AH，所以EG\parallel BF，故B,E,G,F四点共面.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为2,E,F分别为AD,CC_{1}的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549455997300737/img/compression/M_da67893a27363eb5a1bd233e0d45a733.jpg)
$(2)求点C_{1}到平面BEF的距离.$

Solution:
$设C_{1}到平面BEF的距离为h.由题意得点E到平面BB_{1}C_{1}C的距离为2，在\triangle BEF中，BE=BF=\sqrt{5},EF=\sqrt{6}.故S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{(\sqrt{5})^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.易得S_{\triangle BC_{1}F}=1，由V_{C_{1}-BEF}=V_{E-BC_{1}F}，得\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot h=\frac{1}{3}S_{\triangle BC_{1}F}\cdot 2，得h=\frac{4\sqrt{21}}{21}.故点C_{1}到平面BEF的距离为\frac{4\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}的棱长为2,E,F分别为AD,CC_{1}的中点.$<img_1738>
$(2)求点C_{1}到平面BEF的距离.$

Solution:
$设C_{1}到平面BEF的距离为h.由题意得点E到平面BB_{1}C_{1}C的距离为2，在\triangle BEF中，BE=BF=\sqrt{5},EF=\sqrt{6}.故S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{(\sqrt{5})^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.易得S_{\triangle BC_{1}F}=1，由V_{C_{1}-BEF}=V_{E-BC_{1}F}，得\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot h=\frac{1}{3}S_{\triangle BC_{1}F}\cdot 2，得h=\frac{4\sqrt{21}}{21}.故点C_{1}到平面BEF的距离为\frac{4\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上，BF\perp AO.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549460967677955/img/compression/M_f2a44ea932fda3f2c8eaf6030319e4ad.jpg)
$(1)证明：EF\parallel 平面ADO;$

Solution:
$证明：因为AB=2，BC=2\sqrt{2}，AB\perp BC，所以AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=12，AC=2\sqrt{3}.设\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AC},则\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AO}=(\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\lambda \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\lambda \overrightarrow{AC}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\lambda +6\lambda -2-2=0,解得\lambda =\frac{1}{2},所以F为AC的中点，所以EF\parallel PC,又OD\parallel PC,所以EF\parallel OD,又因为EF\not\subset 平面ADO,OD\subset 平面ADO,所以EF\parallel 平面ADO.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上，BF\perp AO.$<img_2890>
$(1)证明：EF\parallel 平面ADO;$

Solution:
$证明：因为AB=2，BC=2\sqrt{2}，AB\perp BC，所以AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=12，AC=2\sqrt{3}.设\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AC},则\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{AO}=(\lambda \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\lambda \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\lambda \overrightarrow{AC}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\lambda +6\lambda -2-2=0,解得\lambda =\frac{1}{2},所以F为AC的中点，所以EF\parallel PC,又OD\parallel PC,所以EF\parallel OD,又因为EF\not\subset 平面ADO,OD\subset 平面ADO,所以EF\parallel 平面ADO.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上，BF\perp AO.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549460967677955/img/compression/M_f2a44ea932fda3f2c8eaf6030319e4ad.jpg)
$(2)若\angle POF=120^\circ ，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$因为AB\perp BC,OF\parallel AB,所以OF\perp BC,又PB=PC=\sqrt{6}，所以OP\perp BC,又OF\cap OP=O，OF,OP\subset 平面OPF，所以BC\perp 平面OPF，又BC\subset 平面ABC,所以平面ABC\perp 平面OPF,过点P作PM\perp OF于点M，又平面OPF\cap 平面ABC=OF,PM\subset 平面OPF,所以PM\perp 平面ABC,因为BC=2\sqrt{2}，PB=PC=\sqrt{6}，所以OP=2，又\angle POF=120^\circ ，所以PM=OP\cdot \\sin  (180^\circ -120^\circ )=\sqrt{3},即三棱锥P-ABC的高为\sqrt{3}.所以三棱锥P-ABC的体积V=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，AB\perp BC,AB=2,BC=2\sqrt{2},PB=PC=\sqrt{6},BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上，BF\perp AO.$<img_2890>
$(2)若\angle POF=120^\circ ，求三棱锥P-ABC的体积.$

Solution:
$因为AB\perp BC,OF\parallel AB,所以OF\perp BC,又PB=PC=\sqrt{6}，所以OP\perp BC,又OF\cap OP=O，OF,OP\subset 平面OPF，所以BC\perp 平面OPF，又BC\subset 平面ABC,所以平面ABC\perp 平面OPF,过点P作PM\perp OF于点M，又平面OPF\cap 平面ABC=OF,PM\subset 平面OPF,所以PM\perp 平面ABC,因为BC=2\sqrt{2}，PB=PC=\sqrt{6}，所以OP=2，又\angle POF=120^\circ ，所以PM=OP\cdot \\sin  (180^\circ -120^\circ )=\sqrt{3},即三棱锥P-ABC的高为\sqrt{3}.所以三棱锥P-ABC的体积V=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_{1}是圆柱OO_{1}的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$<img_2273>
$(1)弦AB上是否存在点D，使得O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，请说明理由；$

Solution:
$当点D为AB的中点时，O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC.理由：取AB的中点D，连接OD，\because O，D分别为BC，AB的中点，则OD\parallel AC，又OD\not\subset 平面A_{1}AC，AC\subset 平面A_{1}AC，\therefore OD\parallel 平面A_{1}AC，又\because OO_{1}\parallel AA_{1}，OO_{1}\not\subset 平面A_{1}AC，AA_{1}\subset 平面A_{1}AC，\therefore OO_{1}\parallel 平面A_{1}AC，\because O_{1}O\cap OD=O，O_{1}O，OD\subset 平面OO_{1}D，\therefore 平面OO_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，由于O_{1}D\subset 平面OO_{1}D，故O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC.$<img_1995>



Final answer: $O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，理由：当点D为AB的中点时，O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AA_{1}是圆柱OO_{1}的母线，BC是圆柱下底面\odot O的直径.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479019962371/img/compression/M_90b3cf5f52739697c5be4aba769b586e.jpg)
$(1)弦AB上是否存在点D，使得O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，请说明理由；$

Solution:
$当点D为AB的中点时，O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC.理由：取AB的中点D，连接OD，\because O，D分别为BC，AB的中点，则OD\parallel AC，又OD\not\subset 平面A_{1}AC，AC\subset 平面A_{1}AC，\therefore OD\parallel 平面A_{1}AC，又\because OO_{1}\parallel AA_{1}，OO_{1}\not\subset 平面A_{1}AC，AA_{1}\subset 平面A_{1}AC，\therefore OO_{1}\parallel 平面A_{1}AC，\because O_{1}O\cap OD=O，O_{1}O，OD\subset 平面OO_{1}D，\therefore 平面OO_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，由于O_{1}D\subset 平面OO_{1}D，故O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549479225483265/img/compression/M_2d16a056c09d8a95af1862e9733a26be.jpg)

Final answer: $O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC，理由：当点D为AB的中点时，O_{1}D\parallel 平面A_{1}AC。$