di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: 雪车是冬奥会的比赛项目之一，风驰电掣般的高速行驶是雪车的最大看点之一。北京2022年冬奥会雪车项目的比赛在延庆赛区的国家雪车雪橇中心进行。雪车比赛所用赛道长1.5 km左右，落差在100 m至150 m之间。比赛可以分为两个过程：过程1中运动员手推雪车沿斜向下的赛道奔跑获得初始速度，如图1所示；过程2中运动员跳入车体内，呈坐姿在弯曲的赛道上无动力滑行，如图2所示。

<img_1040> 
<img_1404>

$设雪车的质量为m_1，运动员的质量为m_2，重力加速度大小为g，忽略冰面与雪车之间的摩擦。$
$过程1中运动员推车奔跑使雪车获得速度v_0，这一过程中赛道的落差为h，求这一过程中运动员对雪车做的功W。$

Solution:
$运动员推车奔跑过程中对雪车应用动能定理可得W+m_1gh=\frac{1}{2}m_1v^2_0$
$解得W=\frac{1}{2}m_1v^2_0-m_1gh$

Final answer: $W=\frac{1}{2}m_1v^2_0-m_1gh$
Subfield: Mechanics


Question: 雪车是冬奥会的比赛项目之一，风驰电掣般的高速行驶是雪车的最大看点之一。北京2022年冬奥会雪车项目的比赛在延庆赛区的国家雪车雪橇中心进行。雪车比赛所用赛道长1.5 km左右，落差在100 m至150 m之间。比赛可以分为两个过程：过程1中运动员手推雪车沿斜向下的赛道奔跑获得初始速度，如图1所示；过程2中运动员跳入车体内，呈坐姿在弯曲的赛道上无动力滑行，如图2所示。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385607033286658/img/compression/M_5b2dfd24e1e12f1d6eb9ffaa340c43cb.jpg) 
![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385607033286658/img/compression/M_2d7a731414275a24fb99cb2e6fa3a514.jpg)

$设雪车的质量为m_1，运动员的质量为m_2，重力加速度大小为g，忽略冰面与雪车之间的摩擦。$
$过程1中运动员推车奔跑使雪车获得速度v_0，这一过程中赛道的落差为h，求这一过程中运动员对雪车做的功W。$

Solution:
$运动员推车奔跑过程中对雪车应用动能定理可得W+m_1gh=\frac{1}{2}m_1v^2_0$
$解得W=\frac{1}{2}m_1v^2_0-m_1gh$

Final answer: $W=\frac{1}{2}m_1v^2_0-m_1gh$
Subfield: Mechanics


Question: 雪车是冬奥会的比赛项目之一，风驰电掣般的高速行驶是雪车的最大看点之一。北京2022年冬奥会雪车项目的比赛在延庆赛区的国家雪车雪橇中心进行。雪车比赛所用赛道长1.5 km左右，落差在100 m至150 m之间。比赛可以分为两个过程：过程1中运动员手推雪车沿斜向下的赛道奔跑获得初始速度，如图1所示；过程2中运动员跳入车体内，呈坐姿在弯曲的赛道上无动力滑行，如图2所示。

<img_1040> 
<img_1404>

$设雪车的质量为m_1，运动员的质量为m_2，重力加速度大小为g，忽略冰面与雪车之间的摩擦。$
$过程2中为了让运动员乘坐雪车能高速且安全地通过弯道，弯道处的赛道均向内侧倾斜。若雪车以速度v通过半径为r的一小段弯道，弯道落差可忽略。建立如图3所示的模型，将运动员和雪车整体看作质点，求在弯道处赛道对雪车的支持力F_N的大小。$

Solution:
$根据牛顿第二定律，转弯过程中运动员和雪车需要的向心力F_{向}=(m_{1}+m_{2})\frac{v^2}{r}$

对运动员和雪车受力分析，如图所示

<img_1060>

$根据平行四边形定则可知F_N^2=(m_{1}+m_{2})^2g^2+F^2_{向}$

$代入解得F_{N}=(m_{1}+m_{2})\sqrt{g^2+\frac{v^4}{r^2}}$

Final answer: $F_{N}=(m_{1}+m_{2})\sqrt{g^2+\frac{v^4}{r^2}}$
Subfield: Mechanics


Question: 雪车是冬奥会的比赛项目之一，风驰电掣般的高速行驶是雪车的最大看点之一。北京2022年冬奥会雪车项目的比赛在延庆赛区的国家雪车雪橇中心进行。雪车比赛所用赛道长1.5 km左右，落差在100 m至150 m之间。比赛可以分为两个过程：过程1中运动员手推雪车沿斜向下的赛道奔跑获得初始速度，如图1所示；过程2中运动员跳入车体内，呈坐姿在弯曲的赛道上无动力滑行，如图2所示。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385607033286658/img/compression/M_5b2dfd24e1e12f1d6eb9ffaa340c43cb.jpg) 
![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385607033286658/img/compression/M_2d7a731414275a24fb99cb2e6fa3a514.jpg)

$设雪车的质量为m_1，运动员的质量为m_2，重力加速度大小为g，忽略冰面与雪车之间的摩擦。$
$过程2中为了让运动员乘坐雪车能高速且安全地通过弯道，弯道处的赛道均向内侧倾斜。若雪车以速度v通过半径为r的一小段弯道，弯道落差可忽略。建立如图3所示的模型，将运动员和雪车整体看作质点，求在弯道处赛道对雪车的支持力F_N的大小。$

Solution:
$根据牛顿第二定律，转弯过程中运动员和雪车需要的向心力F_{向}=(m_{1}+m_{2})\frac{v^2}{r}$

对运动员和雪车受力分析，如图所示

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385607033286658/img/compression/M_28c38ab74c298726ccb90d0f3c535f6d.jpg)

$根据平行四边形定则可知F_N^2=(m_{1}+m_{2})^2g^2+F^2_{向}$

$代入解得F_{N}=(m_{1}+m_{2})\sqrt{g^2+\frac{v^4}{r^2}}$

Final answer: $F_{N}=(m_{1}+m_{2})\sqrt{g^2+\frac{v^4}{r^2}}$
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

<img_552>
$求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。$

Solution:
$r > R时，万有引力提供向心力，即$

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

$解得v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Final answer: $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621142925313/img/compression/M_a9f8574b92bf6936cb00ec43c42dc9be.jpg)
$求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。$

Solution:
$r > R时，万有引力提供向心力，即$

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

$解得v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Final answer: $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

<img_552>
$根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识,求r \leq R 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。$

Solution:
$r \leq  R 区域的恒星受到半径为 r 的球体的万有引力提供向心力，即 \frac{GM_rm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

$又 M = \rho  \cdot  \frac{4}{3} \pi  R^{3}$

$半径为 r 的球体的总质量$

$M_{r} = \rho  \cdot  \frac{4}{3} \pi  r^{3} $

$联立解得 v = \sqrt{\frac{GMr^2}{R^3}}$

Final answer: $v = \sqrt{\frac{GMr^{2}}{{R}^{3}}}$
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621142925313/img/compression/M_a9f8574b92bf6936cb00ec43c42dc9be.jpg)
$根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识,求r \leq R 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。$

Solution:
$r \leq  R 区域的恒星受到半径为 r 的球体的万有引力提供向心力，即 \frac{GM_rm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

$又 M = \rho  \cdot  \frac{4}{3} \pi  R^{3}$

$半径为 r 的球体的总质量$

$M_{r} = \rho  \cdot  \frac{4}{3} \pi  r^{3} $

$联立解得 v = \sqrt{\frac{GMr^2}{R^3}}$

Final answer: $v = \sqrt{\frac{GMr^{2}}{{R}^{3}}}$
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621142925313/img/compression/M_a9f8574b92bf6936cb00ec43c42dc9be.jpg)
$科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r > R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围(r > R)存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r = nR内暗物质的质量M'。$

Solution:
$设有一质量为m'的恒星，由题意可知$
$当r=R时有\frac{GMm'}{R^2}=\frac{m'v^2}{R}$
$当r=nR时有\frac{G(M+M')m'}{(nR)^2}=\frac{m'v^2}{nR}$
$联立解得M'=(n-1)M$

Final answer: (n-1)M
Subfield: Mechanics


Question: $螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。$

<img_552>
$科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r > R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围(r > R)存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r = nR内暗物质的质量M'。$

Solution:
$设有一质量为m'的恒星，由题意可知$
$当r=R时有\frac{GMm'}{R^2}=\frac{m'v^2}{R}$
$当r=nR时有\frac{G(M+M')m'}{(nR)^2}=\frac{m'v^2}{nR}$
$联立解得M'=(n-1)M$

Final answer: (n-1)M
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_528073ca9b9e03fda4c7f8248a07bc94.jpg)

<center>图1</center>

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_e98ebfc3f456efb461b32a048d85c402.jpg)

<center>图2</center>
$求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F_n；$

Solution:
$由向心力公式可得 F_n = mr\omega ^2 = 2mL\omega ^2。$

Final answer: $2mL\omega ^2$
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

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<center>图1</center>

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<center>图2</center>
$求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F_n；$

Solution:
$由向心力公式可得 F_n = mr\omega ^2 = 2mL\omega ^2。$

Final answer: $2mL\omega ^2$
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_528073ca9b9e03fda4c7f8248a07bc94.jpg)

<center>图1</center>

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_e98ebfc3f456efb461b32a048d85c402.jpg)

<center>图2</center>
求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P；

Solution:
$由匀变速直线运动公式 L = \frac{1}{2}  a  t^2、v = a  t，再由牛顿第二定律 F = m  a，瞬时功率公式 P = F  v ，联立可解得 P = \frac{4  m  L^2}{t^3} 。$

Final answer: $\frac{4mL^2}{t^3}$
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

<img_500>

<center>图1</center>

<img_639>

<center>图2</center>
求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P；

Solution:
$由匀变速直线运动公式 L = \frac{1}{2}  a  t^2、v = a  t，再由牛顿第二定律 F = m  a，瞬时功率公式 P = F  v ，联立可解得 P = \frac{4  m  L^2}{t^3} 。$

Final answer: $\frac{4mL^2}{t^3}$
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

<img_500>

<center>图1</center>

<img_639>

<center>图2</center>
在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上。货物与空间站同步做匀速圆周运动。已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1:F2。

Solution:
设地球质量为M、空间站质量为m'，货物与空间站一起绕地球转动的角速度为\omega '，由牛顿第三定律可得空间站所受机械臂作用力大小F_1'=F_1,则由牛顿第二定律，
对空间站有
$\frac{GMm'}{r^2}$
+F_1'=m'r\omega '^2
对货物有
$\frac{GMm}{{(r-d)}^2}$
-F_1=m(r-d)\omega '^2
联立F_2=
$\frac{GMm}{{(r-d)}^2}$
，解得
$\frac{F_1}{F_2}$
$=\frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3+\frac{m}{m'}r^2(r-d)}$
。考虑到货物的质量m远小于空间站质量m'，可得
$\frac{F_1}{F_2}\approx  \frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3}。$

Final answer: $\frac{r^3-(r-d)^3}{r^3}$
Subfield: Mechanics


Question: 在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略。空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L。如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为$\omega$ 的匀速圆周运动，运动到A点停下。然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。  

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_528073ca9b9e03fda4c7f8248a07bc94.jpg)

<center>图1</center>

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385621520412674/img/compression/M_e98ebfc3f456efb461b32a048d85c402.jpg)

<center>图2</center>
在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上。货物与空间站同步做匀速圆周运动。已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1:F2。

Solution:
设地球质量为M、空间站质量为m'，货物与空间站一起绕地球转动的角速度为\omega '，由牛顿第三定律可得空间站所受机械臂作用力大小F_1'=F_1,则由牛顿第二定律，
对空间站有
$\frac{GMm'}{r^2}$
+F_1'=m'r\omega '^2
对货物有
$\frac{GMm}{{(r-d)}^2}$
-F_1=m(r-d)\omega '^2
联立F_2=
$\frac{GMm}{{(r-d)}^2}$
，解得
$\frac{F_1}{F_2}$
$=\frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3+\frac{m}{m'}r^2(r-d)}$
。考虑到货物的质量m远小于空间站质量m'，可得
$\frac{F_1}{F_2}\approx  \frac{r^3-{(r-d)}^3}{r^3}。$

Final answer: $\frac{r^3-(r-d)^3}{r^3}$
Subfield: Mechanics


Question: $设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。$
推导地球质量M的表达式。

Solution:
$忽略地球自转，地球表面的物体所受重力等于万有引力mg=G \frac{Mm}{R^2}$
$解得地球质量M= \frac{gR^2}{G}$

Final answer: $\frac{gR^2}{G}$
Subfield: Mechanics


Question: $设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。$
$推导地球第一宇宙速度v的表达式。$

Solution:
在地球表面附近万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
$解得地球第一宇宙速度v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$

Final answer: $\sqrt{gR}$
Subfield: Mechanics


Question: $设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。$
$设地球的密度为\rho ，靠近地球表面做圆周运动的卫星的周期为T，证明\rho T^2=\frac{3\pi }{G}.$

Solution:
$靠近地球表面做圆周运动的卫星，万有引力提供向心力，有G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{4\pi ^2}{T^2}R$

$又地球质量M=\rho V=\frac{4}{3}\pi R^3\rho $

$解得\rho T^2=\frac{3\pi }{G}$

Final answer: 证明题
Subfield: Mechanics


Question: 无处不在的引力场，构建出一幅和谐而神秘的宇宙图景。
地球附近的物体处在地球产生的引力场中。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球的质量为M，引力常量为G。请类比电场强度的定义，写出距地心r处的引力场强度g的表达式。(已知r大于地球半径，结果用M、G和r表示)

Solution:
$根据类比，有 g = \frac{F}{m} = \frac{G\frac{Mm}{r^2}}{m} = \frac{GM}{r^2}$

Final answer: $g = \frac{GM}{r^2}$
Subfield: Mechanics


Question: 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

<img_752>

<img_1320>
如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，引力常量为G。
卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可看成匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。

Solution:
$卫星在近地轨道Ⅰ上运动，根据万有引力提供匀速圆周运动所需的向心力，有 G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}，解得卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小为 v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{GM}{R}}$
Subfield: Mechanics


Question: 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385628126187521/img/compression/M_9801cbd240ece4a9f400161c0575b839.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385628126187521/img/compression/M_5621e4331b0d000e8ebef89d79c2fd6d.jpg)
如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，引力常量为G。
卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动，可看成匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。

Solution:
$卫星在近地轨道Ⅰ上运动，根据万有引力提供匀速圆周运动所需的向心力，有 G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}，解得卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小为 v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{GM}{R}}$
Subfield: Mechanics


Question: 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385628126187521/img/compression/M_9801cbd240ece4a9f400161c0575b839.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385628126187521/img/compression/M_5621e4331b0d000e8ebef89d79c2fd6d.jpg)
$在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为\rho_0和\rho，木星和地球的半径分别为R_0和R，且d \gg R。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。[提示：当x很小时，(1+x)^n \approx 1+nx]$

Solution:
$设木星质量为M_0，地球质量为M，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为m的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，只考虑地球和木星之间的引力，根据牛顿第二定律，有G\frac{M_0M}{d^2}=Ma$

物体在木星引力和地球引力作用下，有

$G\frac{M_0m}{(d-R)^2}-G\frac{Mm}{R^2}=ma'$

$其中M_0=\rho _0⋅\frac{4}{3}\pi R_0^3，M=\rho ⋅\frac{4}{3}\pi R^3$

$当a' > a时，地球将被撕裂$

$由a' = a可得 G\frac{M_0}{(d-R)^2}-G\frac{M}{R^2}=G\frac{M_0}{d^2}$

$整理得\frac{M_0}{d^2}\left[\left(1-\frac{R}{d}\right)^{-2}-1\right]=\frac{M}{R^2}$

$因为d ≫ R，所以\frac{R}{d}很小，满足 \left(1-\frac{R}{d}\right)^{-2} \approx  1+\frac{2R}{d}$

$代入得\frac{M_0}{d^2}⋅\frac{2R}{d}=\frac{M}{R^2}$

$推得“洛希极限”的表达式为d=R_0\sqrt[3]{\frac{2\rho _0}{\rho }}$

Final answer: $d=R_{0}\sqrt[3]{\frac{2\rho _0}{\rho }}$
Subfield: Mechanics


Question: 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

<img_752>

<img_1320>
$在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为\rho_0和\rho，木星和地球的半径分别为R_0和R，且d \gg R。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。[提示：当x很小时，(1+x)^n \approx 1+nx]$

Solution:
$设木星质量为M_0，地球质量为M，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为m的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，只考虑地球和木星之间的引力，根据牛顿第二定律，有G\frac{M_0M}{d^2}=Ma$

物体在木星引力和地球引力作用下，有

$G\frac{M_0m}{(d-R)^2}-G\frac{Mm}{R^2}=ma'$

$其中M_0=\rho _0⋅\frac{4}{3}\pi R_0^3，M=\rho ⋅\frac{4}{3}\pi R^3$

$当a' > a时，地球将被撕裂$

$由a' = a可得 G\frac{M_0}{(d-R)^2}-G\frac{M}{R^2}=G\frac{M_0}{d^2}$

$整理得\frac{M_0}{d^2}\left[\left(1-\frac{R}{d}\right)^{-2}-1\right]=\frac{M}{R^2}$

$因为d ≫ R，所以\frac{R}{d}很小，满足 \left(1-\frac{R}{d}\right)^{-2} \approx  1+\frac{2R}{d}$

$代入得\frac{M_0}{d^2}⋅\frac{2R}{d}=\frac{M}{R^2}$

$推得“洛希极限”的表达式为d=R_0\sqrt[3]{\frac{2\rho _0}{\rho }}$

Final answer: $d=R_{0}\sqrt[3]{\frac{2\rho _0}{\rho }}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为$\mu$ 。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量，重力加速度为g。
<img_1118>
$物块由x_1向右运动到x_3，然后由x_3返回到x_2，在这个过程中，$
求滑动摩擦力所做的功

Solution:
整个过程中，摩擦力做功
$W_f=-\mu mg\cdot(2x_3-x_1-x_2)$

Final answer: $W_f=-\mu mg\cdot(2x_3-x_1-x_2)$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为$\mu$ 。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量，重力加速度为g。
![16GZTWL108.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385639035826180/img/compression/M_25830060022b7f39fe548abcc564476d.jpg)
$物块由x_1向右运动到x_3，然后由x_3返回到x_2，在这个过程中，$
求滑动摩擦力所做的功

Solution:
整个过程中，摩擦力做功
$W_f=-\mu mg\cdot(2x_3-x_1-x_2)$

Final answer: $W_f=-\mu mg\cdot(2x_3-x_1-x_2)$
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
<img_1454>
若杆的质量与小球质量相比可以忽略。把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放。
$当杆转动至与水平方向成\theta角时(\theta<90^\circ )，求小球的角速度\omega。$

Solution:
设当杆由水平位置转动至与水平方向成\theta 角时(\theta <90^\circ )，由线速度与角速度的关系公式v=\omega r和动能定理可得

$m_1gL \sin \theta = \frac{1}{2} m_1(\omega L)^2$

$解得小球的角速度 \omega = \sqrt{\frac{2g \sin \theta }{L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2g \sin   \theta }{L}}$
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651509686276/img/compression/M_bb2d592a376b540243167340c818b7cb.jpg)
若杆的质量与小球质量相比可以忽略。把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放。
$当杆转动至与水平方向成\theta角时(\theta<90^\circ )，求小球的角速度\omega。$

Solution:
设当杆由水平位置转动至与水平方向成\theta 角时(\theta <90^\circ )，由线速度与角速度的关系公式v=\omega r和动能定理可得

$m_1gL \sin \theta = \frac{1}{2} m_1(\omega L)^2$

$解得小球的角速度 \omega = \sqrt{\frac{2g \sin \theta }{L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{2g \sin   \theta }{L}}$
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
<img_1454>
$若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O点转动时，其动能的表达式为E_k=\frac{1}{6}m \omega ^2 L^2 。$
把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放，当杆转动至与水平方向成$\theta 角时(\theta <90^\circ )，求小球的角速度\omega '$。

Solution:
$由线速度与角速度的关系公式 v=\omega r 和动能定理可得 m_1gL \sin \theta +m_2g \cdot \frac{1}{2}L \sin \theta =\frac{1}{2}m_1\omega 'L^2+\frac{1}{6}m_2(\omega 'L)^2 解得 \omega '=\sqrt{\frac{(6m_1+3m_2)g \sin \theta }{(3m_1+m_2)L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{(6m_1+3m_2)g \sin \theta }{(3m_1+m_2)L}}$
Subfield: Mechanics


Question: 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。  
$如图所示，长为L的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O转动。已知小球质量为m_1，杆的质量为m_2。小球可视为质点，重力加速度为g。  $
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651509686276/img/compression/M_bb2d592a376b540243167340c818b7cb.jpg)
$若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O点转动时，其动能的表达式为E_k=\frac{1}{6}m \omega ^2 L^2 。$
把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放，当杆转动至与水平方向成$\theta 角时(\theta <90^\circ )，求小球的角速度\omega '$。

Solution:
$由线速度与角速度的关系公式 v=\omega r 和动能定理可得 m_1gL \sin \theta +m_2g \cdot \frac{1}{2}L \sin \theta =\frac{1}{2}m_1\omega 'L^2+\frac{1}{6}m_2(\omega 'L)^2 解得 \omega '=\sqrt{\frac{(6m_1+3m_2)g \sin \theta }{(3m_1+m_2)L}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{(6m_1+3m_2)g \sin \theta }{(3m_1+m_2)L}}$
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

![Graph-A](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_31ed97ea2d28dae3b7607e1bef427418.jpg)
图甲

![Graph-B](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385651874590722/img/compression/M_5fe104f1c36506860b1a1d51760c3666.jpg)
图乙
运动员经过跳台O点时的速度大小v；

Solution:
$运动员从A点滑到O点，根据机械能守恒定律mgh = \frac{1}{2} mv^2$
$解得v = \sqrt{2gh}$

Final answer: $\sqrt{2gh}$
Subfield: Mechanics


Question: 首钢滑雪大跳台(如图甲所示)又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，谷爱凌和苏翊鸣在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。跳台滑雪运动员从滑道上的A点由静止滑下，从跳台O点沿水平方向飞出。已知O点是斜坡的起点，A点与O点在竖直方向的距离为h，斜坡的倾角为\theta ，运动员的质量为m。重力加速度为g。不计一切摩擦和空气阻力。求：

<img_557>
图甲

<img_1471>
图乙
运动员经过跳台O点时的速度大小v；

Solution:
$运动员从A点滑到O点，根据机械能守恒定律mgh = \frac{1}{2} mv^2$
$解得v = \sqrt{2gh}$

Final answer: $\sqrt{2gh}$
Subfield: Mechanics


Question: 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

![23AKB5WL142.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385675180961793/img/compression/M_d59165e188a2d07d97ef154ed2242112.jpg)
$质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。$

Solution:
$根据动能定理 mgh - W = \frac{1}{2}mu^2$

$可得 W = mgh - \frac{1}{2}mu^2$

Final answer: $mgh - \frac{1}{2}mu^2$
Subfield: Mechanics


Question: 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

<img_1296>
$质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。$

Solution:
$根据动能定理 mgh - W = \frac{1}{2}mu^2$

$可得 W = mgh - \frac{1}{2}mu^2$

Final answer: $mgh - \frac{1}{2}mu^2$
Subfield: Mechanics


Question: 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

![23AKB5WL142.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385675180961793/img/compression/M_d59165e188a2d07d97ef154ed2242112.jpg)
$将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr^2v^2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。$
$设雨滴的密度为\rho，推导雨滴下落趋近的最大速度v_m与半径r的关系式；$

Solution:
$根据牛顿第二定律有 mg-f=ma$
$得 a=g-\frac{kr^2v^2}{m}$
$当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度 v_m$
$雨滴质量 m=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$
$由 a=0，可得$
$雨滴最大速度 v_m=\sqrt{\frac{4\pi \rho g}{3k}r}$

Final answer: $v_m = \sqrt{\frac{4\pi \rho g}{3k}r}$
Subfield: Mechanics


Question: 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

<img_1296>
$将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr^2v^2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。$
$设雨滴的密度为\rho，推导雨滴下落趋近的最大速度v_m与半径r的关系式；$

Solution:
$根据牛顿第二定律有 mg-f=ma$
$得 a=g-\frac{kr^2v^2}{m}$
$当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度 v_m$
$雨滴质量 m=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$
$由 a=0，可得$
$雨滴最大速度 v_m=\sqrt{\frac{4\pi \rho g}{3k}r}$

Final answer: $v_m = \sqrt{\frac{4\pi \rho g}{3k}r}$
Subfield: Mechanics


Question: 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

![23AKB5WL142.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385675180961793/img/compression/M_d59165e188a2d07d97ef154ed2242112.jpg)
$由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f\propto v^2 (提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m_0)。$

Solution:
根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。

简化的圆盘模型如图2，设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在\Delta t时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为\Delta m=Sv\Delta tnm0

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385675990462467/img/compression/M_3a3b6cc9149fe8e668d6cca26ffcad01.jpg)

以F表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，有F\Delta t\propto \Delta m\times v得F\propto nm0Sv^2

由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力f\propto v^2

Final answer: 证明题
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385666360340483/img/compression/M_af24d1fa68acf5e281f02aa143d130e6.jpg)
A 释放时距桌面的高度 H。

Solution:
$A由静止释放，到达最低点时速度为v，根据机械能守恒定律有mgH=\frac{1}{2}mv^{2}$

$解得A释放时距桌面的高度H=\frac{v^{2}}{2g}$

Final answer: $\frac{v^2}{2g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

<img_1472>
A 释放时距桌面的高度 H。

Solution:
$A由静止释放，到达最低点时速度为v，根据机械能守恒定律有mgH=\frac{1}{2}mv^{2}$

$解得A释放时距桌面的高度H=\frac{v^{2}}{2g}$

Final answer: $\frac{v^2}{2g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385666360340483/img/compression/M_af24d1fa68acf5e281f02aa143d130e6.jpg)
碰撞前瞬间绳子的拉力大小F。

Solution:
$在最低点根据牛顿第二定律有F-mg=m\frac{v^2}{L}$

$解得碰撞前瞬间绳子的拉力大小F=mg+m\frac{v^2}{L}$

Final answer: $mg + \frac{v^2}{L}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

<img_1472>
碰撞前瞬间绳子的拉力大小F。

Solution:
$在最低点根据牛顿第二定律有F-mg=m\frac{v^2}{L}$

$解得碰撞前瞬间绳子的拉力大小F=mg+m\frac{v^2}{L}$

Final answer: $mg + \frac{v^2}{L}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

<img_1472>
碰撞过程中系统损失的机械能$\Delta E$。

Solution:
$A和B碰撞过程，根据动量守恒定律有mv=2mv'$

$碰撞过程中系统损失的机械能\Delta E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2} \cdot 2mv'^2$

$联立解得\Delta E=\frac{1}{4}mv^2$

Final answer: $\frac{1}{4}mv^2$
Subfield: Mechanics


Question: 如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385666360340483/img/compression/M_af24d1fa68acf5e281f02aa143d130e6.jpg)
碰撞过程中系统损失的机械能$\Delta E$。

Solution:
$A和B碰撞过程，根据动量守恒定律有mv=2mv'$

$碰撞过程中系统损失的机械能\Delta E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2} \cdot 2mv'^2$

$联立解得\Delta E=\frac{1}{4}mv^2$

Final answer: $\frac{1}{4}mv^2$
Subfield: Mechanics


Question: $一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v_1，经过一段时间\Delta t，速度变为v_2。$
求物体的加速度大小a；

Solution:
$根据匀变速直线运动规律v_2=v_1+a\Delta t$
$可得a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$

Final answer: $\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$
Subfield: Mechanics


Question: $一个质量为m的物体，在光滑水平面上向左做匀加速直线运动。某时刻物体的速度为v_1，经过一段时间\Delta t，速度变为v_2。$
$若物体所受合力为F，在\Delta t时间内动量的变化量为\Delta p，根据牛顿第二定律推导\Delta p与F的关系；$

Solution:
$根据牛顿第二定律 F=ma$

$a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$

$\Delta p=mv_2-mv_1$

$所以 \Delta p=ma\Delta t=F\Delta t$

Final answer: $\Delta p=F\Delta t$
Subfield: Mechanics


Question: 反冲是常见的现象。

![24BBJ5WL290.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385685603807234/img/compression/M_fc0a9109dc5d686c69762f13d9d1390c.jpg)
$静止的铀核(^{238}_{ 92}U)放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核(^{234}_{ 90}Th)。$
求反冲的钍核的动能$E_k$。(计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应)

Solution:
$设质子和中子的质量均为m，衰变后氦核的速度为v_1，钍核的速度为v_2，设氦核的运动方向为正方向，根据动量守恒定律有4mv_1 - 234mv_2 = 0 解得钍核的速度大小为v_2 = \frac{2}{117} v_1 又E = \frac{1}{2} \cdot 4mv^2_1 则反冲的钍核的动能E_k = \frac{1}{2} \cdot 234mv^2_2 = \frac{2}{117} E$

Final answer: $\frac{2}{117}E$
Subfield: Mechanics


Question: 反冲是常见的现象。

<img_699>
$静止的铀核(^{238}_{ 92}U)放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核(^{234}_{ 90}Th)。$
求反冲的钍核的动能$E_k$。(计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应)

Solution:
$设质子和中子的质量均为m，衰变后氦核的速度为v_1，钍核的速度为v_2，设氦核的运动方向为正方向，根据动量守恒定律有4mv_1 - 234mv_2 = 0 解得钍核的速度大小为v_2 = \frac{2}{117} v_1 又E = \frac{1}{2} \cdot 4mv^2_1 则反冲的钍核的动能E_k = \frac{1}{2} \cdot 234mv^2_2 = \frac{2}{117} E$

Final answer: $\frac{2}{117}E$