di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Elementary Functions


Question: $函数 f(x)=ax^2+bx-3 的图象与 x 轴交于点 (3,0) 且 f(1-x)=f(1+x)。$
$当x \in [-1, m]时，函数f(x) = ax^{2} + bx - 3有最小值2m，求m的值．$

Solution:
$f(x)=x^2-2x-3图象的对称轴为直线x=1且开口向上。$

$①若-1<m<1，则当x=m时，函数f(x)=x^2-2x-3取得最小值，即m^2-2m-3=2m，解得m=2-\sqrt{7}或m=2+\sqrt{7}(舍去)。$

$②若m\geq 1，则当x=1时，函数f(x)=x^2-2x-3取得最小值，即2m=-4，解得m=-2(舍去)。$

$综上所述，m的值为2-\sqrt{7}。$

Final answer: $2-\sqrt{7}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $设函数f(x)=x^{2}+bx+c (b,c \in R)，已知 f(x)<0 的解集为(-1，3)。$
求b，c的值；

Solution:
$由f(x)<0的解集为(-1,3)可知x=-1和x=3是关于x的一元二次方程x^2+bx+c=0的解，故$

$$
\begin{matrix}
-1+3=-b,\\ 
-1 \times 3=c,
\end{matrix}
$$

$解得b=-2,c=-3。$

Final answer: $$
\begin{matrix}
b=-2,\\ 
c=-3
\end{matrix}
$$
Subfield: Elementary Functions


Question: $设函数f(x)=x^{2}+bx+c (b,c \in R)，已知 f(x)<0 的解集为(-1，3)。$
若函数\(g(x) = f(x) - ax\)在区间[0, 2]上的最小值为-4，求实数\(a\)的值.

Solution:
$g(x) = f(x) - ax = x^2 - (a+2)x -3 的图象开口向上，对称轴为直线 x = \frac{a+2}{2}. $

$(i) 当 \frac{a+2}{2} \geq  2，即 a \geq  2 时，函数 g(x) 在[0，2]上单调递减， g(x)_min = g(2) = -2a -3 = -4，解得 a ＝ \frac{1}{2} (舍)$

$(ii) 当 \frac{a+2}{2} \leq  0，即 a \leq  -2 时，函数 g(x) 在[0，2]上单调递增， g(x)_min = g(0) = -3 \neq  -4 (舍)$

$(iii) 当 0 < \frac{a+2}{2} < 2，即 -2 < a < 2 时，函数 g(x) 在[0，2]上先减后增， g(x)_min = g(\frac{a+2}{2}) = -3 - \frac{(a+2)^2}{4} = -4，解得 a ＝ -4(舍)或 a ＝ 0.$

综上，a ＝ 0.

Final answer: $a=0$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = log_2(x + a)的定义域为[1，9]，且f(x)的图象经过点(3，2).$
$求函数 g(x) = (\frac{1}{4})^{x-2} - f(x) 的最大值；$

Solution:
$因为f(x)的图象经过点(3，2)，所以f(3)=\log_2(3+a)=2，则3+a=2^2，即a=1。$

$从而f(x)=\log_2(x+1)。y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x-2}在[1,9]上为减函数，y=-f(x)在[1，9]上为减函数，所以g(x)在[1，9]上是减函数，故g_{max}=g(1)=4-1=3.$

Final answer: $3$
Subfield: Elementary Functions


Question: $某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元，当年产量不足50千件时，C(x)=\frac{1}{2}x^2+10x，当年产量不小于50千件时，C(x)=52x+\frac{7 200}{x+1}-1 200，已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.$
当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

Solution:
$当0<x<50时，L(x)=-\frac{1}{2}x^2+40x-200=-\frac{1}{2}(x-40)^2+600，当x=40时，L(x)取得最大值，L_{max}=600，$

$当x\geq 50时，L(x)=1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right)，其中2x+\frac{7 200}{x+1}=2(x+1)+\frac{7 200}{x+1}-2\geq 2\sqrt{2(x+1) \cdot \frac{7 200}{x+1}}-2=238，当且仅当2(x+1)=\frac{7 200}{x+1}，即x=59时，等号成立，$

$所以L(x)=1 000-\left(2x+\frac{7 200}{x+1}\right)\leq 1 000-238=762。$

因为600<762，所以当年产量为59千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为762万元.



Final answer: 762 万元
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x) = ln x - \frac{a}{x}．$
$若f(x)在[1,e]上的最小值为\frac{3}{2}，求a的值．$

Solution:
$由(1)可知，f'(x)=\frac{x+a}{x^2}．$

$①若a\geq -1，则x+a\geq 0，即f'(x)\geq 0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，\therefore f_{min}=f(1)=-a=\frac{3}{2}，\therefore a=-\frac{3}{2}(舍去)；$

$②若a\leq -e，则x+a\leq 0，即f'(x)\leq 0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，\therefore f_{min}=f(e)=1-\frac{a}{\mathrm{e}}=\frac{3}{2}，\therefore a=-\frac{\mathrm{e}}{2}(舍去)；$

$③若-e<a<-1，令f'(x)=0，得x=-a，$

$当-a<x<e时，f'(x)>0，\therefore f(x)在(-a,e)上为增函数，$

$当1<x<-a时，f'(x)<0，\therefore f(x)在(1,-a)上为减函数，$

$\therefore f_{min}=f(-a)=ln(-a)+1=\frac{3}{2}，\therefore a=-\sqrt{\mathrm{e}}．$

$综上所述，a=-\sqrt{\mathrm{e}}．$

Final answer: $a=-\sqrt{\mathrm{e}}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=12-x^2.$
$设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.$

Solution:
$由题设知t\neq 0，根据对称性，只需考虑t>0的情形.  $
$曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y=12-t^2-2t(x-t).  $
$切线与x轴的交点是\left(\frac{t}{2}+\frac{6}{t},0\right)，与y轴的交点是(0,12+t^2).  $
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为  
$S(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{t}{2}+\frac{6}{t}\right) (12+t^2)=\frac{1}{4}\left(t^3+24t+\frac{144}{t}\right).  $
$因此S'(t)=\frac{1}{4}\left(3t^2+24-\frac{144}{t^2}\right)=\frac{3}{4t^2}(t^2-4)(t^2+12).  $
$令S'(t)=0，即(t^2-4)(t^2+12)=0，得t_1=-2(舍),t_2=2.  $
$因为当t\in (0,2)时，S'(t)<0，S(t)单调递减；  $
$当t\in (2,+\infty )时，S'(t)>0，S(t)单调递增，  $
$所以S(t)的最小值为S (2)=32.$

Final answer: $S (2)=32$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=\ln(1+ax)+bx, g(x)=f(x)-bx^2.$
$若曲线 y=g(x) 在点 (1, \ln3) 处的切线与直线 11x-3y=0 平行,求 a, b 的值.$

Solution:
$g(x) = f(x) - bx^2 = ln(1 + ax) + bx - bx^2,$

$求导得 g'(x) = \frac{a}{1+ax} + b - 2bx,$

$因为曲线 y = g(x) 在点 (1, ln 3) 处的切线与直线 11x - 3y = 0 平行, 所以 g'(1) = \frac{a}{1+a} + b - 2b = \frac{11}{3},$

$g(1) = ln(1+a) + b - b = ln 3, 解得 a = 2, b = -3.$

Final answer: $a = 2, b = -3.$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x-a\sin  x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x。$
求a；

Solution:
$对f(x)=x-a\sin  x求导得f '(x)=1-a\cos  x，则f '(0)=1-a\cos  0=1-a，$
$根据f(x)=x-a\sin  x的图象在(0,f(0))处的切线方程为y=-x，有1-a=-1，解得a=2.$

Final answer: $a=2$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=a\ln x-\sqrt{x}+1(x>0)，a \in R。$
$若对任意x\in (0,+\infty )，均有f(x)\leq 0，求a的值；$

Solution:
$当a\leq 0时，函数f(x)在(0,+\infty )上为减函数，且f(1)=0，当0<x<1时，f(x)>f(1)=0，不合题意.$

$当a>0时，由(1)知f_{max}=f(4a^2)=a ln(4a^2)-2a+1=2a ln(2a)-2a+1\leq 0，$

$令t=2a，t>0，可得t ln t-t+1\leq 0，即ln t-1+\frac{1}{t}\leq 0，$

$令g(t)=ln t+\frac{1}{t}-1，其中t>0, 则g'(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}.$

$当0<t<1时，g'(t)<0, 此时函数g(t)单调递减;$

$当t>1时，g'(t)>0，此时函数g(t)单调递增.$

$所以，g_{min}=g(1)=0，则g(t)\geq g(1)=0，又g(t)\leq 0，所以g(t)=0，所以2a=t=1，解得a=\frac{1}{2}.$

Final answer: $a=\frac{1}{2}$
Subfield: Elementary Functions


Question: $已知函数f(x)=x^3-ax-1(a\in R).$
$若函数f(x)的单调递减区间是(-1,1)，求实数a的值；$

Solution:
$由(1)，得f'(x)=3x^2-a，因为f(x)的单调递减区间是(-1,1)，所以不等式3x^2-a<0的解集为(-1,1)，所以-1和1是方程3x^2-a=0的两个实根，所以a=3.$

Final answer: $a=3$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x-k)e^{x}$
$求f(x)的极值；$

Solution:
$由f(x)=(x-k)e^{x}可得f'(x)=(x-k+1)e^{x}，$

$令f'(x)=0，得x=k-1，$

$随x变化，f(x)与f'(x)的变化情况如表：$

|   x   | $(-\infty , k-1)$ |  k-1  | $(k-1, +\infty )$ |
| :---: | :-------: | :---: | :-------: |
| f'(x) |     -     |   0   |     +     |
|f(x)|$\text{单调递减}️$|$-e^{k-1}$|$\text{单调递增}️$|

$所以f(x)的单调递减区间是(-\infty , k-1)，单调递增区间是(k-1,+\infty )，所以f(x)有极小值f(k-1)=-e^{k-1}，无极大值.$

Final answer: $-e^{k-1}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值。$
求a;

Solution:
$f'(x) = e^{x} -a，g'(x) = a - \frac{1}{x}.$

$当a\leq 0时, f'(x) >0恒成立, f(x)在R上无最小值，不符合题意. \therefore a>0.$
$令f'(x) =0，得x = \ln a，令g'(x) =0,得x = \frac{1}{a}.$

$易知f_{\text{min}}=f(\ln a) = a - aln a，$
$g_{\text{min}}=g\left(\frac{1}{a}\right) = 1 + \ln a.$
$\therefore a - aln a = 1 + \ln a，即\ln a = \frac{a - 1}{a + 1}.$

$令h(x) = \ln x - \frac{x - 1}{x + 1} (x > 0)，$
$则h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 1}{x(x + 1)^2} > 0，$
$\therefore h(x)在(0，+\infty )上单调递增，则h(x)最多有一个零点. 又h(1) = \ln 1 - \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0，\therefore 方程有且仅有一解，为a = 1，即为所求.$

Final answer: $a = 1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ax-\frac{1}{x}-(a+1)lnx.$
$当a=0时，求f(x)的最大值；$

Solution:
$当a=0时, f(x)=-\frac{1}{x}-ln x (x>0),  $
$\therefore  f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x} (x>0),  $
$令 f'(x)=0, 得x=1,  $
$x\in (0,1)时, f'(x)>0, x\in (1,+\infty )时, f'(x)<0,  $
$\therefore  f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+\infty )上单调递减.  $
$\therefore  fmax=f(1)=-1.$

Final answer: $-1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知函数f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a.$
$当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；$

Solution:
$f(x)的定义域为(0，+\infty )， f'(x)=ae^{x-1} - \frac{1}{x}.$

$当a=e时， f(x)=e^{x}-\ln x + 1， f'(1)=e-1，曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)\cdot (x-1)，即y=(e-1)x+2.$

$直线y=(e-1)x+2在x轴，y轴上的截距分别为\frac{-2}{e-1}，2.因此所求三角形的面积为\frac{2}{e-1}.$

Final answer: $\frac{2}{e-1}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1)-\lambda x.$
$当x \geq 0时，f(x) \geq 0，求\lambda的最大值；$

Solution:
$f(x)的定义域为(-1,+\infty )，f'(x)=ln(x+1)-\lambda +1. f'(x)在[0,+\infty )上单调递增，f'(0)=-\lambda +1;$

$①当\lambda \leq 1时，对任意的x\in [0,+\infty ),有f'(x)\geq f'(0)\geq 0，所以f(x)在[0,+\infty )上单调递增，于是对任意的x\in [0,+\infty ), f(x)\geq f(0)=0，所以\lambda \leq 1符合题意；$

$②当\lambda >1时，令f'(x)>0，得x>e^{\lambda -1}-1，令f'(x)<0，得0\leq x<e^{\lambda -1}-1，所以f(x)在[0,e^{\lambda -1}-1)上单调递减，在(e^{\lambda -1}-1,+\infty )上单调递增，于是f(e^{\lambda -1}-1)<f(0)=0，这与当x\geq 0时，f(x)\geq 0矛盾，所以\lambda >1舍去.$

$综上，\lambda \leq 1，所以\lambda 的最大值为1.$

Final answer: $1$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中t_1，t_2，t_3 \in \mathbb{R}，且t_1，t_2，t_3是公差为d的等差数列.$
$若d=3，求f(x)的极大值；$

Solution:
$由已知可得f(x)=(x-t_2+3)(x-t_2)(x-t_2-3)=(x-t_2)^3-9(x-t_2)=x^3-3t_2x^2+(3t_2^2-9)x-t_2^3+9t_2.$

$故f '(x)=3x^2-6t_2x+3t_2^2-9.$

$令f '(x)=0，解得x_1=t_2-\sqrt{3}，x_2=t_2+\sqrt{3}.$

$当x变化时， f '(x)， f(x)的变化情况如表：$

| $x$ | $(-\infty ，x_1)$ | $x_1$ | $(x_1，x_2)$ | $x_2$ | $(x_2，+\infty )$ |
|---------|---------|---------|---------|---------|---------|
| $f '(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ | $\text{单调递增}$ | 极大值 | $\text{单调递减}$ | 极小值 | $\text{单调递增}$ |

$所以函数f(x)的极大值为f(t_2-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^3-9\times (-\sqrt{3})=6\sqrt{3}；函数f(x)的极小值为f(t_2+\sqrt{3})=(\sqrt{3})^3-9\times \sqrt{3}=-6\sqrt{3}.$



Final answer: 6\sqrt{3}
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中t_1，t_2，t_3 \in \mathbb{R}，且t_1，t_2，t_3是公差为d的等差数列.$
$若d=3，求f(x)的极值；$

Solution:
$由已知可得f(x)=(x-t_2+3)(x-t_2)(x-t_2-3)=(x-t_2)^3-9(x-t_2)=x^3-3t_2x^2+(3t_2^2-9)x-t_2^3+9t_2.$

$故f '(x)=3x^2-6t_2x+3t_2^2-9.$

$令f '(x)=0，解得x_1=t_2-\sqrt{3}，x_2=t_2+\sqrt{3}.$

$当x变化时， f '(x)， f(x)的变化情况如表：$

| $x$ | $(-\infty ，x_1)$ | $x_1$ | $(x_1，x_2)$ | $x_2$ | $(x_2，+\infty )$ |
|---------|---------|---------|---------|---------|---------|
| $f '(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ | $\text{单调递增}$ | 极大值 | $\text{单调递减}$ | 极小值 | $\text{单调递增}$ |

$所以函数f(x)的极大值为f(t_2-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^3-9\times (-\sqrt{3})=6\sqrt{3}；函数f(x)的极小值为f(t_2+\sqrt{3})=(\sqrt{3})^3-9\times \sqrt{3}=-6\sqrt{3}.$

Final answer: $极大值：6\sqrt{3}，极小值：-6\sqrt{3}。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_1EF的位置，得到五棱锥A_1－BCDFE，如图2.$

![图1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_1c5157c5d4993a264a37144c65ef4598.jpg)

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044387348483/img/compression/M_d97357ee57f6ddf3c558aed8708d35c6.jpg)
$若平面A_1EF\perp 平面BCDFE，求二面角D－A_1C－H的余弦值；$

Solution:
$由EF\perp A_1H,EF\perp HC，可知\angle A_1HC为二面角A_1－EF－C的平面角，  $
$\because 平面A_1EF\perp 平面BCDFE，  $
$\therefore \angle A_1HC=90^\circ ，即A_1H\perp HC，  $
$又EF\perp A_1H, EF\cap HC=H，EF, HC\subset 平面BCDFE.  \therefore A_1H\perp 平面BCDFE.  $
如图,建立空间直角坐标系，  

![qyx-center](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268044932608001/img/compression/M_64bfec6318691b2c357f1de7eed5aab4.jpg)

$则D(－1,1,0),A_1(0,0,2),C(0,3,0)，  $
$\therefore \overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{A_1C}=(0,3,－2).  $
$设平面DA_1C的法向量为\textbf{m}=(x,y,z)，  $
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ 3y-2z=0,\end{matrix}\right.  $
$令y=2，则\textbf{m}=(－4,2,3)，  $
$易知平面A_1CH的一个法向量为\textbf{n}=(1,0,0)，  $
$\therefore \cos \langle \textbf{m},\textbf{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-4}{\sqrt{16+4+9}}=－\frac{4\sqrt{29}}{29}，  $
$由图可知二面角D-A_1C-H是锐二面角，  $
$\therefore 二面角D－A_1C－H的余弦值为\frac{4\sqrt{29}}{29}.  $

Final answer: \frac{4\sqrt{29}}{29}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图1，在四边形ABCD中，AC\perp BD，AC\cap BD=O，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是AB，AD上的点，EF\parallel BD，AC\cap EF=H，AH=2，HO=1.将\triangle AEF沿EF折起到\triangle A_1EF的位置，得到五棱锥A_1－BCDFE，如图2.$

<img_2832>

<img_2080>
$若平面A_1EF\perp 平面BCDFE，求二面角D－A_1C－H的余弦值；$

Solution:
$由EF\perp A_1H,EF\perp HC，可知\angle A_1HC为二面角A_1－EF－C的平面角，  $
$\because 平面A_1EF\perp 平面BCDFE，  $
$\therefore \angle A_1HC=90^\circ ，即A_1H\perp HC，  $
$又EF\perp A_1H, EF\cap HC=H，EF, HC\subset 平面BCDFE.  \therefore A_1H\perp 平面BCDFE.  $
如图,建立空间直角坐标系，  

<img_1565>

$则D(－1,1,0),A_1(0,0,2),C(0,3,0)，  $
$\therefore \overrightarrow{DC}=(1,2,0),\overrightarrow{A_1C}=(0,3,－2).  $
$设平面DA_1C的法向量为\textbf{m}=(x,y,z)，  $
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC}=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A_1C}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}x+2y=0,\\ 3y-2z=0,\end{matrix}\right.  $
$令y=2，则\textbf{m}=(－4,2,3)，  $
$易知平面A_1CH的一个法向量为\textbf{n}=(1,0,0)，  $
$\therefore \cos \langle \textbf{m},\textbf{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-4}{\sqrt{16+4+9}}=－\frac{4\sqrt{29}}{29}，  $
$由图可知二面角D-A_1C-H是锐二面角，  $
$\therefore 二面角D－A_1C－H的余弦值为\frac{4\sqrt{29}}{29}.  $

Final answer: \frac{4\sqrt{29}}{29}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

Solution:
$\because DE\perp 平面ABC, BD\subset 平面ABC, \therefore DE\perp BD.$
$故AD, DB, DE两两垂直.$
$如图，以D为原点，分别以DA, DB, DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_5d84c982dd0aa2545e9890775c5ed78c.jpg)
$在Rt\triangle ABD中，\because AB= \sqrt{5} ，AD= \frac{1}{2} AC=1，\therefore BD=2，$
$\therefore D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，$
$则 \overrightarrow{DE} =(0，0，2)， \overrightarrow{AB} =(－1，2，0)， \overrightarrow{AE} =(－1，0，2)，$
设平面ABE的法向量为 n =(x，y，z)，
$\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2y=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.$
令x=2，得y=1，z=1，
$\therefore  n =(2，1，1)，$
$设直线DE与平面ABE所成的角为\theta ，$
$\therefore sin \theta =|cos\langle  \overrightarrow{DE} ,  n \rangle |= \frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\boldsymbol{n}|} = \frac{\sqrt{6}}{6} .$
$\therefore 直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

<img_2267>
求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

Solution:
$\because DE\perp 平面ABC, BD\subset 平面ABC, \therefore DE\perp BD.$
$故AD, DB, DE两两垂直.$
$如图，以D为原点，分别以DA, DB, DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$

<img_2684>
$在Rt\triangle ABD中，\because AB= \sqrt{5} ，AD= \frac{1}{2} AC=1，\therefore BD=2，$
$\therefore D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，$
$则 \overrightarrow{DE} =(0，0，2)， \overrightarrow{AB} =(－1，2，0)， \overrightarrow{AE} =(－1，0，2)，$
设平面ABE的法向量为 n =(x，y，z)，
$\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2y=0,\\ \overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.$
令x=2，得y=1，z=1，
$\therefore  n =(2，1，1)，$
$设直线DE与平面ABE所成的角为\theta ，$
$\therefore sin \theta =|cos\langle  \overrightarrow{DE} ,  n \rangle |= \frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\boldsymbol{n}|} = \frac{\sqrt{6}}{6} .$
$\therefore 直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268087172067330/img/compression/M_75b7e4f8b23d5602e07580fcd072d033.jpg)
求点D到平面ABE的距离.

Solution:
由(2)可得点D到平面ABE的距离为

$\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$

$= \frac{2}{\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

<img_2267>
求点D到平面ABE的距离.

Solution:
由(2)可得点D到平面ABE的距离为

$\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$

$= \frac{2}{\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\triangle ABC为等边三角形，四边形BCC_1B_1是边长为2的正方形，AC_1=2\sqrt{2}，D_1为B_1C_1的中点，D为棱BC上一点，BD_1\parallel 平面ADC_1.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268088812040194/img/compression/M_2cb30fa4161c4f58d3b075da7f665e11.jpg)
$求直线BC与平面ADC_1所成角的正弦值.$

Solution:
$连接DD_1,可知DD_1 \perp BC,$
$由(1)得BD=1,又\triangle ABC为等边三角形，\therefore AD=\sqrt{3}，$
$\because  BD_1=\sqrt{BB^2_1+B_1D^2_1}=\sqrt{5},\therefore DC_1=BD_1=\sqrt{5}，又AC_1=2\sqrt{2}，\therefore AD^2+DC_1^2=AC^2_1，\therefore AD \perp DC_1，$
$又AD \perp BC，BC \bigcap DC_1=D，BC，DC_1 \subset 平面BB_1CC_1C，\therefore AD \perp 平面BB_1CC_1C，又DD_1 \subset 平面BB_1CC_1C,\therefore AD \perp DD_1.$
$如图建立以D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DD_1所在直线为y轴，DA所在直线为z轴的空间直角坐标系，$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268089072087041/img/compression/M_6d1771f1f6e537686dcdb45f97b2bdd2.jpg)
$A(0，0，\sqrt{3})，B(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，0)，C_1(－1，2，0)，\therefore \overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{DA}=(0，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{DC_1}=(－1，2，0),$
$设平面ADC_1的法向量为\textbf{m}=(x，y，z),$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DA}=\sqrt{3}z=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC_1}=-x+2y=0,\end{matrix}\right. 令y=1，得x=2，$
$\therefore m=\textbf{m}=(2，1，0)，$
$设直线BC与平面ADC_1所成角为\alpha，$
$\sin \alpha=|cos<m,\overrightarrow{CB}>|=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{CB}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，$
$故直线BC与平面ADC_1所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\triangle ABC为等边三角形，四边形BCC_1B_1是边长为2的正方形，AC_1=2\sqrt{2}，D_1为B_1C_1的中点，D为棱BC上一点，BD_1\parallel 平面ADC_1.$

<img_2966>
$求直线BC与平面ADC_1所成角的正弦值.$

Solution:
$连接DD_1,可知DD_1 \perp BC,$
$由(1)得BD=1,又\triangle ABC为等边三角形，\therefore AD=\sqrt{3}，$
$\because  BD_1=\sqrt{BB^2_1+B_1D^2_1}=\sqrt{5},\therefore DC_1=BD_1=\sqrt{5}，又AC_1=2\sqrt{2}，\therefore AD^2+DC_1^2=AC^2_1，\therefore AD \perp DC_1，$
$又AD \perp BC，BC \bigcap DC_1=D，BC，DC_1 \subset 平面BB_1CC_1C，\therefore AD \perp 平面BB_1CC_1C，又DD_1 \subset 平面BB_1CC_1C,\therefore AD \perp DD_1.$
$如图建立以D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DD_1所在直线为y轴，DA所在直线为z轴的空间直角坐标系，$
<img_1546>
$A(0，0，\sqrt{3})，B(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，0)，C_1(－1，2，0)，\therefore \overrightarrow{CB}=(2，0，0)，\overrightarrow{DA}=(0，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{DC_1}=(－1，2，0),$
$设平面ADC_1的法向量为\textbf{m}=(x，y，z),$
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DA}=\sqrt{3}z=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{DC_1}=-x+2y=0,\end{matrix}\right. 令y=1，得x=2，$
$\therefore m=\textbf{m}=(2，1，0)，$
$设直线BC与平面ADC_1所成角为\alpha，$
$\sin \alpha=|cos<m,\overrightarrow{CB}>|=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{CB}|}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{CB}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times 2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，$
$故直线BC与平面ADC_1所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=4，AD= AA1=2，E 是 A1D1 的中点，平面 ACE 与棱 C1D1 相交于点 F.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268092402364418/img/compression/M_2239766426b4acb6a52456e33688df85.jpg)
$若点G为棱AB上一点，且D_1G\perp AC，求点G到平面ACE的距离.$

Solution:
$由题意得 DA, DC, DD_1 两两垂直，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268092637245442/img/compression/M_92df98b8c9eca9ce55bec8e7c677df11.jpg)

$则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(1,0,2)，D_1(0,0,2). 所以 \overrightarrow{AC}=(-2，4，0)，\overrightarrow{AE}=(-1，0，2).$

$设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，$

$则 \left\{\begin{matrix} n \cdot \overrightarrow{AC}=-2x+4y=0,\\ n \cdot \overrightarrow{AE}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.$

$令 x=2，得 y=1,z=1，所以 n=(2，1，1).$

$设 G(2,t,0)(0\leq t\leq 4)，则 \overrightarrow{D_1G}=(2，t,-2)，$

$因为 D_1G \perp  AC, 所以 \overrightarrow{D_1G} \cdot  \overrightarrow{AC}=0，则-4+4t=0，解得 t=1，所以 G(2,1,0)，所以 \overrightarrow{AG}=(0,1,0),$

$则点 G 到平面 ACE 的距离 d = \frac{|\overrightarrow{AG}\cdot n|}{|n|} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=4，AD= AA1=2，E 是 A1D1 的中点，平面 ACE 与棱 C1D1 相交于点 F.$
<img_367>
$若点G为棱AB上一点，且D_1G\perp AC，求点G到平面ACE的距离.$

Solution:
$由题意得 DA, DC, DD_1 两两垂直，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.$

<img_411>

$则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(1,0,2)，D_1(0,0,2). 所以 \overrightarrow{AC}=(-2，4，0)，\overrightarrow{AE}=(-1，0，2).$

$设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，$

$则 \left\{\begin{matrix} n \cdot \overrightarrow{AC}=-2x+4y=0,\\ n \cdot \overrightarrow{AE}=-x+2z=0,\end{matrix}\right.$

$令 x=2，得 y=1,z=1，所以 n=(2，1，1).$

$设 G(2,t,0)(0\leq t\leq 4)，则 \overrightarrow{D_1G}=(2，t,-2)，$

$因为 D_1G \perp  AC, 所以 \overrightarrow{D_1G} \cdot  \overrightarrow{AC}=0，则-4+4t=0，解得 t=1，所以 G(2,1,0)，所以 \overrightarrow{AG}=(0,1,0),$

$则点 G 到平面 ACE 的距离 d = \frac{|\overrightarrow{AG}\cdot n|}{|n|} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面PAC\perp 平面ABC，AB\perp BC，AB=BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC=8，PA=PC=5.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268093820039169/img/compression/M_d187d648d509685520f8f8113549dcc3.jpg)
求直线PB与平面BOD所成角的正弦值.

Solution:
$连接PO.因为PA=PC，O为AC中点，所以PO\perp AC.$

$因为平面PAC\perp 平面ABC，平面PAC \cap  平面ABC=AC,$

$所以PO\perp 平面ABC.$

$因为OB \subset  平面ABC,所以PO\perp OB.$

$因为AB=BC，O为AC中点，所以OB\perp AC.所以OB、OC、OP两两垂直.$

$如图，建立空间直角坐标系O－xyz，$

$则O(0，0，0)，A(0，－4，0)，B(4，0，0),P(0，0，3).$

$所以\overrightarrow{PB}=(4，0，-3)，\overrightarrow{OB}=(4，0，0).$

$因为点D为PA中点，所以D\left(0,-2,\frac{3}{2}\right).$

$所以\overrightarrow{OD}=\left(0,-2,\frac{3}{2}\right)，$

$设平面BOD的法向量为n=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}4x=0,\\ -2y+\frac{3}{2}z=0.\end{matrix}\right.$

$令z=4，则y=3，得\boldsymbol{n}=(0,3,4).$

$设直线PB与平面BOD所成角为\alpha ，$

$所以sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{PB}，\boldsymbol{n} \rangle |= \frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\boldsymbol{n}|}= \frac{12}{25}.$

$所以直线PB与平面BOD所成角的正弦值为 \frac{12}{25}.$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268094956695553/img/compression/M_441c1f98e5aa1ee8b0cf3feced383ed8.jpg)

Final answer: $\frac{12}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面PAC\perp 平面ABC，AB\perp BC，AB=BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC=8，PA=PC=5.$
<img_2200>
求直线PB与平面BOD所成角的正弦值.

Solution:
$连接PO.因为PA=PC，O为AC中点，所以PO\perp AC.$

$因为平面PAC\perp 平面ABC，平面PAC \cap  平面ABC=AC,$

$所以PO\perp 平面ABC.$

$因为OB \subset  平面ABC,所以PO\perp OB.$

$因为AB=BC，O为AC中点，所以OB\perp AC.所以OB、OC、OP两两垂直.$

$如图，建立空间直角坐标系O－xyz，$

$则O(0，0，0)，A(0，－4，0)，B(4，0，0),P(0，0，3).$

$所以\overrightarrow{PB}=(4，0，-3)，\overrightarrow{OB}=(4，0，0).$

$因为点D为PA中点，所以D\left(0,-2,\frac{3}{2}\right).$

$所以\overrightarrow{OD}=\left(0,-2,\frac{3}{2}\right)，$

$设平面BOD的法向量为n=(x,y,z)，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OB}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OD}=0,\end{matrix}\right. 即\left\{\begin{matrix}4x=0,\\ -2y+\frac{3}{2}z=0.\end{matrix}\right.$

$令z=4，则y=3，得\boldsymbol{n}=(0,3,4).$

$设直线PB与平面BOD所成角为\alpha ，$

$所以sin \alpha =|cos\langle \overrightarrow{PB}，\boldsymbol{n} \rangle |= \frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\boldsymbol{n}|}= \frac{12}{25}.$

$所以直线PB与平面BOD所成角的正弦值为 \frac{12}{25}.$

<img_2443>

Final answer: $\frac{12}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 底面ABCD，CD\parallel AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=\sqrt{3}.$

![23GZT5SX6.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268057733369857/img/compression/M_2f4c33999697b6aeb725683d0e2f9ce8.jpg)
$求PD与平面PAB所成的角的正弦值.$

Solution:
$由(1)知BD\perp 平面PAD，AD\perp PD，$
$\therefore DA，DB，DP两两垂直.$
$以D为原点，分别以\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DP}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，$

![image1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268057439768579/img/compression/M_82f30d3bc0ca0960d50a3bcf859ea982.jpg)
$则D(0，0，0)，P(0，0，\sqrt{3})，A(1，0，0)，B(0，\sqrt{3}，0)，$
$\therefore \overrightarrow{DP}=(0，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{PA}=(1，0，-\sqrt{3})，\overrightarrow{AB}=(-1，\sqrt{3}，0)$

![image2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268057733369857/img/compression/M_898ab44a25309af2a9adb18a56034915.jpg)
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.$
即
$\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -x+\sqrt{3}y=0.\end{matrix}\right.$

$令x=\sqrt{3}，则y=1,z=1，$
$\therefore 平面PAB的一个法向量为n=(\sqrt{3},1,1).$
$设直线PD与平面PAB所成的角为\theta ，$
$则 sin \theta =|cos\langle \overrightarrow{DP},n\rangle |= \frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}. $

$故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}. $

Final answer: \frac{\sqrt{5}}{5}