di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年份序号x
1
2
3
4
5
营业收入y(亿元)
0.52
9.36
33.6
132
352
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
6
7
8
9
10
营业收入y(亿元)
571
912
1 207
1 682
2 135
由表1，得到下面的散点图：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661729709408259/img/compression/M_172a49f1b0d51e869c630ca46ebb6c78.jpg)$根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=bx^{2}+a(b和a均为非零常数)来拟合y和x的关系.这时，可以令t=x^{2}，得y=bt+a，由表1可得t与y的相关数据如表2.
表2
t
1
4
9
16
25
y
0.52
9.36
33.6
132
352
t
36
49
64
81
100
y
571
912
1 207
1 682
2 135
参考公式：线性回归方程\hat{v}=\hat{\beta }u+\hat{\alpha }中，\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(u_i-\overline{u})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.参考数据：\overline{t}=38.5,\overline{y}\approx 703.45,\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})^{2}\approx 1.051\times 10^{4},\sum \limits^{{10}}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})\approx 2.327\times 10^{5}.$
$(2)根据(1)中得到的线性回归方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4 000亿元的年份.$

Solution:
$2023年对应的t的值为169，故该年的营业收入为\hat{y}=22\times 169-144=3 574(亿元)，所以估计2023年的营业收入为3 574亿元.依题意，有22t-144>4 000，解得t>188.4，即x^{2}>188.4.因为13<\sqrt{188.4}<14，所以估计营业收入首次超过4 000亿元的年份序号为14，即2024年.$

Final answer: $3574, 2024$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$<img_2320>$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dln x哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)，并建立y关于x的回归方程(结果保留一位小数)；$

Solution:
$根据题中散点图，得y=c+dln x更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型.令u=ln x,则y=c+du.由已知数据,得\hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(u_i-{\overline{u}})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(u_i-{\overline{u}})}^2}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}u_iy_i-7{\overline{u}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}u^2_i-7{\overline{u}}^2}=\frac{235.1-7 \times 1.2 \times 22.7}{13.2-7 \times 1.2^2}\approx 14.2，故\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\overline{u}=22.7-14.2\times 1.2\approx 5.7，故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2ln x.$

Final answer: $y=5.7+14.2\ln x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661742424289282/img/compression/M_c9719a5e80a200f220a8a3e05d65561a.jpg)$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dln x哪一个更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)，并建立y关于x的回归方程(结果保留一位小数)；$

Solution:
$根据题中散点图，得y=c+dln x更适宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方程模型.令u=ln x,则y=c+du.由已知数据,得\hat{d}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(u_i-{\overline{u}})(y_i-{\overline{y}})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}{(u_i-{\overline{u}})}^2}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}u_iy_i-7{\overline{u}} {\overline{y}}}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}u^2_i-7{\overline{u}}^2}=\frac{235.1-7 \times 1.2 \times 22.7}{13.2-7 \times 1.2^2}\approx 14.2，故\hat{c}=\overline{y}-\hat{d}\overline{u}=22.7-14.2\times 1.2\approx 5.7，故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2ln x.$

Final answer: $y=5.7+14.2\ln x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$<img_2320>$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(2)根据(1)建立的回归方程，试估计要到哪一年华溪村村民每户平均可支配收入才能超过35千元；$

Solution:
$由题知，令5.7+14.2ln x>35，整理,得ln x>2.06，即x>e^{2.06}=7.9，故当x=8时，即到2021年华溪村村民每户平均可支配收入才能超过35千元.$

Final answer: $2021$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661742424289282/img/compression/M_c9719a5e80a200f220a8a3e05d65561a.jpg)$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(2)根据(1)建立的回归方程，试估计要到哪一年华溪村村民每户平均可支配收入才能超过35千元；$

Solution:
$由题知，令5.7+14.2ln x>35，整理,得ln x>2.06，即x>e^{2.06}=7.9，故当x=8时，即到2021年华溪村村民每户平均可支配收入才能超过35千元.$

Final answer: $2021$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661742424289282/img/compression/M_c9719a5e80a200f220a8a3e05d65561a.jpg)$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(3)从2014年至2020年中任选两年，求事件A：“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率.$

Solution:
$由题知2014年到2020年共7年，其中每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^2_7}=\frac{4}{7}.$

Final answer: $\frac{4}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年增加.以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
年份代码x
1
2
3
4
每户平均可支配收入y(千元)
4
15
22
26
年份
2018
2019
2020
年份代码x
5
6
7
每户平均可支配收入y(千元)
29
31
32
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.$<img_2320>$
参考数据：
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{7}_{i=1}x_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}y_{i}
\sum \limits^{7}_{i=1}u^2_i
e^{2.06}
22.7
1.2
759
235.1
13.2
7.9
其中u_{i}=ln x_{i},\overline{u}=\frac{1}{7}\sum \limits^{7}_{i=1}u_{i}.参考公式：在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$
$(3)从2014年至2020年中任选两年，求事件A：“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率.$

Solution:
$由题知2014年到2020年共7年，其中每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为P(A)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^2_7}=\frac{4}{7}.$

Final answer: $\frac{4}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$<img_1922>$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出样本相关系数r(精确到0.01)$

Solution:
$由题意得\overline{t}=\frac{1}{7}\times (1+2+3+4+5+6+7)=4,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_{i}-\overline{t})^{2}=(1-4)^{2}+(2-4)^{2}+(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(5-4)^{2}+(6-4)^{2}+(7-4)^{2}=28,故\sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}=2\sqrt{7}，故r=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2\sum \limits^{7}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{126}{2\sqrt{7} \times 27}\approx 0.88，因为0.88\in [0.75,1]，所以y与t的相关性较强.$



Final answer: $0.88$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661743057629186/img/compression/M_f310e91a8dafce003894094aece599d2.jpg)$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出样本相关系数r(精确到0.01)，并指出是哪一层次的相关性；$

Solution:
$由题意得\overline{t}=\frac{1}{7}\times (1+2+3+4+5+6+7)=4,\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_{i}-\overline{t})^{2}=(1-4)^{2}+(2-4)^{2}+(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(5-4)^{2}+(6-4)^{2}+(7-4)^{2}=28,故\sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}=2\sqrt{7}，故r=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2\sum \limits^{7}_{{i=1}}(y_i-\overline{y})^2}}=\frac{126}{2\sqrt{7} \times 27}\approx 0.88，因为0.88\in [0.75,1]，所以y与t的相关性较强.$

Final answer: $0.88, 相关性较强$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$<img_1922>$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(2)建立y关于t的线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}；$

Solution:
$易得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}=\frac{126}{28}=4.5,\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}y_i}{7}-4.5\times 4=\frac{259}{7}-18=19,所以y关于t的线性回归方程为\hat{y}=4.5t+19.$

Final answer: $19, 4.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661743057629186/img/compression/M_f310e91a8dafce003894094aece599d2.jpg)$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(2)建立y关于t的线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}；$

Solution:
$易得\hat{b}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}=\frac{126}{28}=4.5,\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}=\frac{\sum \limits^{7}_{{i=1}}y_i}{7}-4.5\times 4=\frac{259}{7}-18=19,所以y关于t的线性回归方程为\hat{y}=4.5t+19.$

Final answer: $19, 4.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$<img_1922>$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(3)若2023年该市某家庭预计总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.$

Solution:
$2023年对应的年份代码t=9，当t=9时，\hat{y}=4.5\times 9+19=59.5，故预测2023年该家庭的教育支出为10\times 59.5%=5.95(万元).$

Final answer: $5.95$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，现随机抽样调查了某市2015—2021年的家庭平均教育支出(单位：万元)，得到如下折线图.(注：年份代码1—7分别对应2015—2021年)经计算得\sum \limits^{7}_{i=1}y_{i}=259，\sum \limits^{7}_{i=1}t_{i}y_{i}=1 178，\sqrt{7}\approx 2.65，\sqrt{\sum \limits^{7}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}=27，\sum \limits^{7}_{i=1}(t_{i}-\overline{t})(y_{i}-\overline{y})=126.　$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661743057629186/img/compression/M_f310e91a8dafce003894094aece599d2.jpg)$
附：(i)样本相关系数r=\frac{\sum \limits^{n}_{i=1}(t_i-{\overline{t}})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum \limits^{n}_{i=1}{(t_i-{\overline{t}})}^2\sum \limits^{n}_{i=1}{(y_i-\overline{y})}^2}}；样本相关系数|r|\in [0.75,1]时相关性较强，|r|\in (0.3,0.75)时相关性一般，|r|\in [0,0.3]时相关性较弱.(ii)在线性回归方程\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(t_i-\overline{t})^2}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}.$
$(3)若2023年该市某家庭预计总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.$

Solution:
$2023年对应的年份代码t=9，当t=9时，\hat{y}=4.5\times 9+19=59.5，故预测2023年该家庭的教育支出为10\times 59.5%=5.95(万元).$

Final answer: $5.95$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图和2\times 2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661736575483906/img/compression/M_a20e0d9e3ee5ef1518238c79f6aa9512.jpg)$
性别
“球迷”情况
非“球迷”
“球迷”
总计
男
女
20
110
总计
参考公式和数据：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(其中n=a+b+c+d).
P(\chi ^{2}\geq k)
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
$
$(1)根据已知条件完成2\times 2列联表；$

Solution:
$2\times 2列联表为
性别
“球迷”情况
非“球迷”
“球迷”
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
$

Final answer: $2\times 2列联表为：
性别    “球迷”情况
非“球迷”      “球迷”
男         60             30
女         90             20
总计      150           50
$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图和2\times 2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”).$<img_1911>$
性别
“球迷”情况
非“球迷”
“球迷”
总计
男
女
20
110
总计
参考公式和数据：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(其中n=a+b+c+d).
P(\chi ^{2}\geq k)
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
$
$(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为是“球迷”与性别有关？$

Solution:
$由(1)中数据得\chi ^{2}=\frac{200 \times (60 \times 20-30 \times 90)^2}{90 \times 110 \times 150 \times 50}=\frac{200}{33}=6\frac{2}{33}>3.841,所以有95%的把握认为是“球迷”与性别有关.$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图和2\times 2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661736575483906/img/compression/M_a20e0d9e3ee5ef1518238c79f6aa9512.jpg)$
性别
“球迷”情况
非“球迷”
“球迷”
总计
男
女
20
110
总计
参考公式和数据：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(其中n=a+b+c+d).
P(\chi ^{2}\geq k)
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
$
$(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为是“球迷”与性别有关？$

Solution:
$由(1)中数据得\chi ^{2}=\frac{200 \times (60 \times 20-30 \times 90)^2}{90 \times 110 \times 150 \times 50}=\frac{200}{33}=6\frac{2}{33}>3.841,所以有95%的把握认为是“球迷”与性别有关.$

Final answer: 95%
Subfield: Probability and Statistics


Question: $1G和2G时代，我们的听觉得以随时随地延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺.到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻.4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手拍的视频随手发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点都能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、朋友圈、短视频平台等等这些在我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所.现在，5G时代的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革.基于领先技术的支持，某科技创新公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表所示，根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$<img_2314>$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2
3.50
21.15
2.85
17.50
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}
e^{1.52}
e^{2.66}
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u=ln y，u_{i}=ln y_{i}(i=1，2，3，4，5，6).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x_{i}，v_{i})，i=1，2，3，\ldots ,n，其回归直线v=\beta x+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$(1)根据散点图判断y=ax+b与y=ce^{dx}(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由);$

Solution:
$根据题中散点图可知，y=ce^{dx}更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型.$

Final answer: $y=ce^{dx}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $1G和2G时代，我们的听觉得以随时随地延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺.到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻.4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手拍的视频随手发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点都能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、朋友圈、短视频平台等等这些在我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所.现在，5G时代的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革.基于领先技术的支持，某科技创新公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表所示，根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661750519173122/img/compression/M_82b2ec4815bee98cbfda4a3f11479536.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2
3.50
21.15
2.85
17.50
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}
e^{1.52}
e^{2.66}
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u=ln y，u_{i}=ln y_{i}(i=1，2，3，4，5，6).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x_{i}，v_{i})，i=1，2，3，\ldots ,n，其回归直线v=\beta x+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$(1)根据散点图判断y=ax+b与y=ce^{dx}(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由);$

Solution:
$根据题中散点图可知，y=ce^{dx}更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型.$

Final answer: $y=ce^{dx}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $1G和2G时代，我们的听觉得以随时随地延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺.到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻.4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手拍的视频随手发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点都能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、朋友圈、短视频平台等等这些在我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所.现在，5G时代的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革.基于领先技术的支持，某科技创新公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表所示，根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658661750519173122/img/compression/M_82b2ec4815bee98cbfda4a3f11479536.jpg)$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2
3.50
21.15
2.85
17.50
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}
e^{1.52}
e^{2.66}
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u=ln y，u_{i}=ln y_{i}(i=1，2，3，4，5，6).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x_{i}，v_{i})，i=1，2，3，\ldots ,n，其回归直线v=\beta x+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$(2)根据(1)中判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入(结果保留小数点后两位)；$

Solution:
$将y=ce^{dx}两边同时取自然对数，得ln y=ln c+dx，令u=ln y，则u=ln c+dx，\hat{d}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.73}{17.50}\approx 0.38，ln \hat{c}=\overline{u}-\hat{d}\overline{x}=2.85-0.38\times 3.50=1.52，所以\hat{u}=0.38x+1.52，即ln \hat{y}=0.38x+1.52，所以\hat{y}=e^{0.38x+1.52}.令x=7，得\hat{y}=e^{0.38\times 7+1.52}=e^{1.52}\times e^{2.66}=4.57\times 14.30\approx 65.35，故预测该公司7月份的5G经济收入为65.35百万元.$

Final answer: $65.35$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $1G和2G时代，我们的听觉得以随时随地延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺.到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻.4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手拍的视频随手发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点都能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、朋友圈、短视频平台等等这些在我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所.现在，5G时代的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革.基于领先技术的支持，某科技创新公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表所示，根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y(百万元)
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
$<img_2314>$
参考数据：
\overline{x}
\overline{y}
\overline{u}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2
3.50
21.15
2.85
17.50
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}
\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}
e^{1.52}
e^{2.66}
125.35
6.73
4.57
14.30
其中u=ln y，u_{i}=ln y_{i}(i=1，2，3，4，5，6).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x_{i}，v_{i})，i=1，2，3，\ldots ,n，其回归直线v=\beta x+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(v_i-\overline{v})}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}，\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{x}.$
$(2)根据(1)中判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入(结果保留小数点后两位)；$

Solution:
$将y=ce^{dx}两边同时取自然对数，得ln y=ln c+dx，令u=ln y，则u=ln c+dx，\hat{d}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(u_i-\overline{u})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})^2}=\frac{6.73}{17.50}\approx 0.38，ln \hat{c}=\overline{u}-\hat{d}\overline{x}=2.85-0.38\times 3.50=1.52，所以\hat{u}=0.38x+1.52，即ln \hat{y}=0.38x+1.52，所以\hat{y}=e^{0.38x+1.52}.令x=7，得\hat{y}=e^{0.38\times 7+1.52}=e^{1.52}\times e^{2.66}=4.57\times 14.30\approx 65.35，故预测该公司7月份的5G经济收入为65.35百万元.$

Final answer: $65.35$