di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，P为固定的竖直挡板，质量为2m的长木板A静置于光滑水平面上(A的上表面略低于挡板P的下端)，质量为m的小物块B(可视为质点)以水平初速度v_0从A的左端向右滑上A的上表面，经过一段时间A、B第一次达到共同速度，此时B恰好未从A上滑落，然后物块B与长木板A一起向右运动，在t=0时刻，物块B与挡板P发生了第一次碰撞，经过一段时间物块B与长木板A第二次达到共同速度，之后物块B与挡板P发生了很多次碰撞，最终在t=t_0(未知)时恰好相对地面静止。已知A、B间的动摩擦因数为\mu ，重力加速度为g，物块与挡板P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，求：$

<img_753>
$0~t_0时间内B经过的路程；$

Solution:
$由(1)(2)问分析可知，物块B与木板第n次共速时的速度大小为 \frac{v_0}{3^n}，对于B， \mu mg=ma_B，$
$从B第一次撞击挡板到第1次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3}\right)^2=2a_Bs_1，$
$从B第二次撞击挡板到第2次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3^2}\right)^2=2a_Bs_2，$
$从B第n次撞击挡板到第n次向左减速为0的过程，有 \left(\frac{v_0}{3^n}\right)^2=2a_Bs_n，$
$B物体每次向左运动的位移大小与向右运动的位移大小相等，则B物体运动的总路程s=2(s_1+s_2+s_3+...+s_n)=\frac{v^2_0}{\mu g}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+\cdots +\frac{1}{3^{2n}}\right)，结合等比数列的前n项和的公式得s=\frac{v^2_0}{\mu g}\frac{\frac{1}{3^2}\left(1-\frac{1}{3^{2n}}\right)}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)}=\frac{v^2_0}{8\mu g}；$

Final answer: $\frac{v^2_0}{8\mu g}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直。质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。

<img_1373>
小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；

Solution:
$设小球第一次运动到轨道最低点时的速度大小为v_m，凹槽速度大小为v_M，地面光滑，小球和凹槽组成的系统在水平方向上动量守恒，则有0=mv_m-Mv_M。$

$半椭圆形轨道光滑，由机械能守恒定律有mgb=\frac{1}{2}mv^2_m+\frac{1}{2}Mv^2_M，$

$解得v_M = \sqrt{\frac{2m^2gb}{M(M+m)}}。$

根据水平方向动量守恒有：

$mv'_m=Mv'_M, x_m=∑v'_mt, x_M=∑v'_Mt，且x_m+x_M=a。$

$联立解得x_M=\frac{ma}{M+m}.$

Final answer: $\sqrt{\frac{2m^2gb}{M(M+m)}}$, $\frac{ma}{m+M}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直。质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。

![24GZT5WL44.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894066322673668/img/compression/M_cdcecefea8719f26414b9734bbc140f1.jpg)
小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；

Solution:
$设小球第一次运动到轨道最低点时的速度大小为v_m，凹槽速度大小为v_M，地面光滑，小球和凹槽组成的系统在水平方向上动量守恒，则有0=mv_m-Mv_M。$

$半椭圆形轨道光滑，由机械能守恒定律有mgb=\frac{1}{2}mv^2_m+\frac{1}{2}Mv^2_M，$

$解得v_M = \sqrt{\frac{2m^2gb}{M(M+m)}}。$

根据水平方向动量守恒有：

$mv'_m=Mv'_M, x_m=∑v'_mt, x_M=∑v'_Mt，且x_m+x_M=a。$

$联立解得x_M=\frac{ma}{M+m}.$

Final answer: $\sqrt{\frac{2m^2gb}{M(M+m)}}$, $\frac{ma}{m+M}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直。质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。

<img_1373>
$若\frac{M}{m}=\frac{b}{a-b}，求小球下降h=\frac{b}{2}高度时，小球相对于地面的速度大小(结果用a、b及g表示)。$

Solution:
将M、m的关系式代入第(2)问小球运动的轨迹方程中，则有
$\frac{[x-(a-b)]^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\leq 0)$
可知小球的运动轨迹为半径为b的圆弧，圆心为$O_1(a-b,0)$，如图所示
<img_1041>
当小球下降$h=\frac{b}{2}$
高度时，设小球此时的坐标为$(x_0,y_0)$，则$y_0=-\frac{b}{2}$
设此时小球的速度大小为$v_1，v_1的方向与水平方向的夹角为\theta ，凹槽的速度大小为v_2$
根据几何关系可知$\tan \theta =\sqrt{3}$
将$v_1$沿水平方向和竖直方向分解，则$v_x=v_1 \cos \theta$ 
根据机械能守恒定律有$mg$
$\frac{b}{2}= \frac{1}{2}mv_1^2+ \frac{1}{2}Mv_2^2$
小球和凹槽在运动过程中，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有$mv_x=Mv_2$
联立解得$v_1=2b$
$\sqrt{\frac{g}{a+3b}}。$

Final answer: $2b \sqrt{\frac{g}{a+3b}}$
Subfield: Mechanics


Question: 如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直。质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。

![24GZT5WL44.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894066322673668/img/compression/M_cdcecefea8719f26414b9734bbc140f1.jpg)
$若\frac{M}{m}=\frac{b}{a-b}，求小球下降h=\frac{b}{2}高度时，小球相对于地面的速度大小(结果用a、b及g表示)。$

Solution:
将M、m的关系式代入第(2)问小球运动的轨迹方程中，则有
$\frac{[x-(a-b)]^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\leq 0)$
可知小球的运动轨迹为半径为b的圆弧，圆心为$O_1(a-b,0)$，如图所示
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894066872127489/img/compression/M_daf3ea82f5728fc85605e2c574f87157.jpg)
当小球下降$h=\frac{b}{2}$
高度时，设小球此时的坐标为$(x_0,y_0)$，则$y_0=-\frac{b}{2}$
设此时小球的速度大小为$v_1，v_1的方向与水平方向的夹角为\theta ，凹槽的速度大小为v_2$
根据几何关系可知$\tan \theta =\sqrt{3}$
将$v_1$沿水平方向和竖直方向分解，则$v_x=v_1 \cos \theta$ 
根据机械能守恒定律有$mg$
$\frac{b}{2}= \frac{1}{2}mv_1^2+ \frac{1}{2}Mv_2^2$
小球和凹槽在运动过程中，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有$mv_x=Mv_2$
联立解得$v_1=2b$
$\sqrt{\frac{g}{a+3b}}。$

Final answer: $2b \sqrt{\frac{g}{a+3b}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

<img_657>
当离子甲从A点出射速度为v_0时,求电场强度的大小E;

Solution:
离子甲在电场中的运动可看成是类抛体运动的逆过程
$在 z 轴方向上有 L = v_0 \cos \beta \cdot t$
$在 y 轴方向上有 v_0 \sin \beta = at $
$由牛顿第二定律有 qE = ma$
$联立可得 E = \frac{mv^2_0 \sin \beta \cos \beta}{qL} = \frac{mv^2_0 \sin 2\beta }{2qL}$

Final answer: $\frac{mv^2_0 \sin  2\beta }{2qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894126228475907/img/compression/M_7e8bd79772f69c8056f1c26670947d7c.jpg)
当离子甲从A点出射速度为v_0时,求电场强度的大小E;

Solution:
离子甲在电场中的运动可看成是类抛体运动的逆过程
$在 z 轴方向上有 L = v_0 \cos \beta \cdot t$
$在 y 轴方向上有 v_0 \sin \beta = at $
$由牛顿第二定律有 qE = ma$
$联立可得 E = \frac{mv^2_0 \sin \beta \cos \beta}{qL} = \frac{mv^2_0 \sin 2\beta }{2qL}$

Final answer: $\frac{mv^2_0 \sin  2\beta }{2qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

<img_657>
$若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度v_m;$

Solution:
$当离子甲以最大速度v_m进入磁场Ⅰ时，离子在yOz平面内做圆周运动，轨迹半径设为R_1，由洛伦兹力提供向心力有Bqv_m=\frac{mv^2_m}{R_1}。$

$离子运动半周后从y轴上y=2R_1处即坐标为(0，2R_1，0)处沿z轴负方向进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ内与磁感应强度垂直的平面内做圆周运动，轨迹半径设为R_2，则有\frac{\sqrt{2}}{2}Bqv_m=\frac{mv^2_m}{R_2}，解得R_2=\sqrt{2}R_1；为使离子甲能始终在磁场中运动，离子甲不能出磁场Ⅰ，应满足R_1\leq d，离子甲在磁场Ⅱ中运动，轨迹为半圆，且恰好过(2R_1，0，0)，应满足R_2\leq 3d。$

$联立得R_1\leq d，故v_m=\frac{qBd}{m}。$

Final answer: $\frac{qBd}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894126228475907/img/compression/M_7e8bd79772f69c8056f1c26670947d7c.jpg)
$若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度v_m;$

Solution:
$当离子甲以最大速度v_m进入磁场Ⅰ时，离子在yOz平面内做圆周运动，轨迹半径设为R_1，由洛伦兹力提供向心力有Bqv_m=\frac{mv^2_m}{R_1}。$

$离子运动半周后从y轴上y=2R_1处即坐标为(0，2R_1，0)处沿z轴负方向进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ内与磁感应强度垂直的平面内做圆周运动，轨迹半径设为R_2，则有\frac{\sqrt{2}}{2}Bqv_m=\frac{mv^2_m}{R_2}，解得R_2=\sqrt{2}R_1；为使离子甲能始终在磁场中运动，离子甲不能出磁场Ⅰ，应满足R_1\leq d，离子甲在磁场Ⅱ中运动，轨迹为半圆，且恰好过(2R_1，0，0)，应满足R_2\leq 3d。$

$联立得R_1\leq d，故v_m=\frac{qBd}{m}。$

Final answer: $\frac{qBd}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

<img_657>
$当离子甲以\frac{qBd}{2m}的速度从O点进入磁场Ⅰ时,质量为4m、带电荷量为+q的离子乙,也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差\Delta t(忽略离子间相互作用)。$

Solution:
$离子乙在两磁场区域中运动的轨迹半径分别为R_{Ⅰ}'=\frac{4mv'}{qB}、R_{Ⅱ}'=\sqrt{2}R_{Ⅰ}'$

$由于\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\times4m\times v'^2$

$解得R_{Ⅰ}'=d、R_{Ⅱ}'=\sqrt{2}d、v'=\frac{qBd}{4m}$

$由于离子甲在两磁场区域内运动轨迹半径分别为R_{Ⅰ}=\frac{d}{2}、R_{Ⅱ}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$

则在离子甲完成两次周期性运动处、离子乙完成一次周期性运动处产生第一个交点，则两离子运动到第一个交点处的时间差为

$\Delta t=\frac{\pi (R_{Ⅰ}'+R_{Ⅱ}')}{v'}-\frac{2\pi (R_{Ⅰ}+R_{Ⅱ})}{v}=\frac{2(\sqrt{2}+1)\pi m}{qB}$

Final answer: $\frac{2(\sqrt{2}+1)\pi m}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中, 0<z\leq d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；在 -3d\leq z<0, y\geq 0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为\sqrt{2}/2 B，方向平行于 xOy 平面、与x轴正方向夹角为45^\circ ，当z<0, y\leq 0 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为+q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点 A 以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为\beta，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ。不计离子重力。$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1719894126228475907/img/compression/M_7e8bd79772f69c8056f1c26670947d7c.jpg)
$当离子甲以\frac{qBd}{2m}的速度从O点进入磁场Ⅰ时,质量为4m、带电荷量为+q的离子乙,也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差\Delta t(忽略离子间相互作用)。$

Solution:
$离子乙在两磁场区域中运动的轨迹半径分别为R_{Ⅰ}'=\frac{4mv'}{qB}、R_{Ⅱ}'=\sqrt{2}R_{Ⅰ}'$

$由于\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\times4m\times v'^2$

$解得R_{Ⅰ}'=d、R_{Ⅱ}'=\sqrt{2}d、v'=\frac{qBd}{4m}$

$由于离子甲在两磁场区域内运动轨迹半径分别为R_{Ⅰ}=\frac{d}{2}、R_{Ⅱ}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$

则在离子甲完成两次周期性运动处、离子乙完成一次周期性运动处产生第一个交点，则两离子运动到第一个交点处的时间差为

$\Delta t=\frac{\pi (R_{Ⅰ}'+R_{Ⅱ}')}{v'}-\frac{2\pi (R_{Ⅰ}+R_{Ⅱ})}{v}=\frac{2(\sqrt{2}+1)\pi m}{qB}$

Final answer: $\frac{2(\sqrt{2}+1)\pi m}{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验设计简单巧妙，被称为物理学史上最美的实验之一。该实验的简化装置如图甲所示。水平放置、间距为d的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力f=6\pi r\eta v，式中\eta 为已知量，r为油滴的半径，v为油滴的速度大小。已知油的密度为\rho ，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723676880898/img/compression/M_aed3a8f97c1e4bd16cee035f3db88b48.jpg)

甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723676880898/img/compression/M_d197922ed022ad4c60f696b5e73cc21f.jpg)

乙
$在极板间不加电压，由于空气阻力作用，观测到某一油滴以恒定速率缓慢下降距离L所用的时间为t_1，求该油滴的半径r；$

Solution:
$板间未加电压时，设油滴的速度为v_1，根据平衡条件有mg = 6\pi r\eta v_1$

$其中m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3，且v_1 = \frac{L}{t_1}$

$联立可得r = 3\sqrt{\frac{\eta L}{2\rho gt_1}}$

Final answer: $3 \sqrt{\frac{\eta L}{2\rho gt_1}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验设计简单巧妙，被称为物理学史上最美的实验之一。该实验的简化装置如图甲所示。水平放置、间距为d的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力f=6\pi r\eta v，式中\eta 为已知量，r为油滴的半径，v为油滴的速度大小。已知油的密度为\rho ，重力加速度为g。$

<img_1209>

甲

<img_1416>

乙
$在极板间不加电压，由于空气阻力作用，观测到某一油滴以恒定速率缓慢下降距离L所用的时间为t_1，求该油滴的半径r；$

Solution:
$板间未加电压时，设油滴的速度为v_1，根据平衡条件有mg = 6\pi r\eta v_1$

$其中m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3，且v_1 = \frac{L}{t_1}$

$联立可得r = 3\sqrt{\frac{\eta L}{2\rho gt_1}}$

Final answer: $3 \sqrt{\frac{\eta L}{2\rho gt_1}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验设计简单巧妙，被称为物理学史上最美的实验之一。该实验的简化装置如图甲所示。水平放置、间距为d的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力f=6\pi r\eta v，式中\eta 为已知量，r为油滴的半径，v为油滴的速度大小。已知油的密度为\rho ，重力加速度为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723676880898/img/compression/M_aed3a8f97c1e4bd16cee035f3db88b48.jpg)

甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385723676880898/img/compression/M_d197922ed022ad4c60f696b5e73cc21f.jpg)

乙
$在极板间加电压U，经过一段时间后，观测到(1)问中的油滴以恒定速率缓慢上升距离L所用的时间为t_2，求该油滴所带的电荷量Q；$

Solution:
$板间加电压时，设油滴的速度为v_2，根据平衡条件有Q\frac{U}{d}=mg+6\pi r\eta v_2，其中v_2=\frac{L}{t_2}$

$联立可得Q=\frac{18\pi d}{U}(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})\sqrt{\frac{\eta^3L^3}{2\rho gt_1}}$

Final answer: $\frac{18\pi d}{U}\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}\right)\sqrt{\frac{\eta ^3L^3}{2\rho gt_1}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验设计简单巧妙，被称为物理学史上最美的实验之一。该实验的简化装置如图甲所示。水平放置、间距为d的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力f=6\pi r\eta v，式中\eta 为已知量，r为油滴的半径，v为油滴的速度大小。已知油的密度为\rho ，重力加速度为g。$

<img_1209>

甲

<img_1416>

乙
$在极板间加电压U，经过一段时间后，观测到(1)问中的油滴以恒定速率缓慢上升距离L所用的时间为t_2，求该油滴所带的电荷量Q；$

Solution:
$板间加电压时，设油滴的速度为v_2，根据平衡条件有Q\frac{U}{d}=mg+6\pi r\eta v_2，其中v_2=\frac{L}{t_2}$

$联立可得Q=\frac{18\pi d}{U}(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})\sqrt{\frac{\eta^3L^3}{2\rho gt_1}}$



Final answer: $\frac{18\pi d}{U}\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}\right)\sqrt{\frac{\eta ^3L^3}{2\rho gt_1}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385779926691842/img/compression/M_1140f13ce9643fa33888fe965230a29f.jpg)
求匀强磁场磁感应强度的大小B；

Solution:
$带电粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡，有qE=qv_{0}B$

$得B=\frac{E}{v_0}$

Final answer: $\frac{E}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

<img_1141>
求匀强磁场磁感应强度的大小B；

Solution:
$带电粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡，有qE=qv_{0}B$

$得B=\frac{E}{v_0}$

Final answer: $\frac{E}{v_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385779926691842/img/compression/M_1140f13ce9643fa33888fe965230a29f.jpg)
$若撤去磁场只保留电场，求粒子射出电场时沿电场方向移动的距离i；$

Solution:
只保留电场，粒子做类平抛运动，

$水平方向有L=v_0t$

$竖直方向有y=\frac{1}{2}at^2，其中a=\frac{qE}{m}$

$得y=\frac{qEL^2}{2mv_0^2}$

Final answer: $\frac{qEL^2}{2mv^2_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

<img_1141>
$若撤去磁场只保留电场，求粒子射出电场时沿电场方向移动的距离i；$

Solution:
只保留电场，粒子做类平抛运动，

$水平方向有L=v_0t$

$竖直方向有y=\frac{1}{2}at^2，其中a=\frac{qE}{m}$

$得y=\frac{qEL^2}{2mv_0^2}$

Final answer: $\frac{qEL^2}{2mv^2_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

<img_1141>
$若撤去电场，仅将磁感应强度大小调为B'，粒子恰能从上极板右边缘射出，求B'的大小。$

Solution:
若撤去电场，粒子做匀速圆周运动，
$设粒子做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供向心力，qv_0B'=\frac{mv^2_0}{r}$
由几何关系有
$r^2 = L^2+(r-\frac{L}{2})^2$
$得B'=\frac{4mv_0}{5qL}$

Final answer: $\frac{4mv_0}{5qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，两块带电金属极板a、b水平正对放置，极板长度、板间距均为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以水平速度v_0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385779926691842/img/compression/M_1140f13ce9643fa33888fe965230a29f.jpg)
$若撤去电场，仅将磁感应强度大小调为B'，粒子恰能从上极板右边缘射出，求B'的大小。$

Solution:
若撤去电场，粒子做匀速圆周运动，
$设粒子做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供向心力，qv_0B'=\frac{mv^2_0}{r}$
由几何关系有
$r^2 = L^2+(r-\frac{L}{2})^2$
$得B'=\frac{4mv_0}{5qL}$

Final answer: $\frac{4mv_0}{5qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图甲所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于D2圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应)，质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电荷量为q。

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780312567811/img/editor/compression/b443741a-9bcc-471b-a91e-dc0aad64ec60.png)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780312567811/img/editor/compression/08c6fc19-e480-4c94-b0cd-f8487bc0d684.png)
$求质子被回旋加速器加速能达到的最大速率v_m。$

Solution:
$质子达到最大速度v_m时，它的运动半径等于半圆金属盒的半径R。$

$根据洛伦兹力充当向心力有qv_mB=\frac{mv^2_m}{R}$

$解得v_m=\frac{qBR}{m}$

Final answer: $\frac{qBR}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图甲所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于D2圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应)，质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电荷量为q。

<img_533>

<img_1233>
$求质子被回旋加速器加速能达到的最大速率v_m。$

Solution:
$质子达到最大速度v_m时，它的运动半径等于半圆金属盒的半径R。$

$根据洛伦兹力充当向心力有qv_mB=\frac{mv^2_m}{R}$

$解得v_m=\frac{qBR}{m}$

Final answer: $\frac{qBR}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图甲所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于D2圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应)，质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电荷量为q。

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780312567811/img/editor/compression/b443741a-9bcc-471b-a91e-dc0aad64ec60.png)

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780312567811/img/editor/compression/08c6fc19-e480-4c94-b0cd-f8487bc0d684.png)
$利用静电偏转器可将加速后的质子从加速器中引出。已知质子被引出前在磁场中做圆周运动的半径为 R、圆心为 D_2 的圆心，如图乙所示，静电偏转器由一对圆心在 O'、距离很近的弧形电极 S_1、S_2 构成，S_2 厚度不计。两电极间加有沿弧形电极半径方向的电场，使得质子做圆周运动的半径增加为 R' 离开加速器。求偏转电场场强 E 的大小。$

Solution:
$洛伦兹力与电场力的合力提供向心力，由于速率不变，半径变大，所以向心力减小，则电场力沿半径向外。根据qv_m B-qE=\frac{mv^2_\mathrm{m}}{R'}，得E=\frac{qRB^2}{m}(1-\frac{R}{R'})$

Final answer: $\frac{qRB^2}{m} (1-\frac{R}{R'})$
Subfield: Electromagnetism


Question: 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图甲所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于D2圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应)，质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电荷量为q。

<img_533>

<img_1233>
$利用静电偏转器可将加速后的质子从加速器中引出。已知质子被引出前在磁场中做圆周运动的半径为 R、圆心为 D_2 的圆心，如图乙所示，静电偏转器由一对圆心在 O'、距离很近的弧形电极 S_1、S_2 构成，S_2 厚度不计。两电极间加有沿弧形电极半径方向的电场，使得质子做圆周运动的半径增加为 R' 离开加速器。求偏转电场场强 E 的大小。$

Solution:
$洛伦兹力与电场力的合力提供向心力，由于速率不变，半径变大，所以向心力减小，则电场力沿半径向外。根据qv_m B-qE=\frac{mv^2_\mathrm{m}}{R'}，得E=\frac{qRB^2}{m}(1-\frac{R}{R'})$

Final answer: $\frac{qRB^2}{m} (1-\frac{R}{R'})$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压U_H。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻R_H。$

<img_418>

甲

<img_919>

乙

<img_640>

丙
图甲所示的半导体薄片的厚度为d，薄片中自由电荷的电荷量为q，单位体积内的自由电荷数为n。磁感应强度大小为B。请你推导霍尔电阻$R_{H}$的表达式。

Solution:
$当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有 qE=qvB。$

$半导体内的电流为 I，有 I=nqSv。$

$设半导体的长为 a，宽为 b，半导体的电流通过方向的横截面积为 S=db。$

$其半导体两端的霍尔电压为 U_H=Eb。$

$整理有 U_H=\frac{BI}{nqd}。$

$根据霍尔电阻定义有 R_H=\frac{U_H}{I}。$

$解得 R_H=\frac{B}{nqd}。$

Final answer: $\frac{B}{nqd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压U_H。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻R_H。$

![甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_cc72b648aed66b4e3e2b1471c7dbd639.jpg)

甲

![乙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_124779ea5cd1baa91a02287d76699342.jpg)

乙

![丙](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385780887187458/img/compression/M_62d19dd5ca01ad81695825c92e6cc8e6.jpg)

丙
图甲所示的半导体薄片的厚度为d，薄片中自由电荷的电荷量为q，单位体积内的自由电荷数为n。磁感应强度大小为B。请你推导霍尔电阻$R_{H}$的表达式。

Solution:
$当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有 qE=qvB。$

$半导体内的电流为 I，有 I=nqSv。$

$设半导体的长为 a，宽为 b，半导体的电流通过方向的横截面积为 S=db。$

$其半导体两端的霍尔电压为 U_H=Eb。$

$整理有 U_H=\frac{BI}{nqd}。$

$根据霍尔电阻定义有 R_H=\frac{U_H}{I}。$

$解得 R_H=\frac{B}{nqd}。$

Final answer: $\frac{B}{nqd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。

<img_762>
图1

<img_886>
图2
$如图1，将一半导体薄片垂直置于磁场中，磁场的磁感应强度为B。在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧面c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中能够自由移动的电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是在c、f间产生霍尔电压U_H。已知半导体薄片的厚度为d，自由电荷的电荷量为q，求薄片内单位体积中的自由电荷数n。$

Solution:
$设c、f两侧面之间的距离为L$
$当电场力与洛伦兹力相等时有 \frac{U_\mathrm{H}}{L}q=qvB$
$又I=nqvS$
$其中S=Ld$
$代入得n=\frac{BI}{U_\mathrm{H}qd}$

Final answer: $\frac{BI}{U_\mathrm{H}qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。

![22BBJ5WL353.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385781843488771/img/compression/M_eec35787886cba678f8f1a3664ea43c5.jpg)
图1

![22BBJ5WL354.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385782275502083/img/compression/M_4c97b29047fcb42106cfb24b9d9314d8.jpg)
图2
$如图1，将一半导体薄片垂直置于磁场中，磁场的磁感应强度为B。在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧面c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中能够自由移动的电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是在c、f间产生霍尔电压U_H。已知半导体薄片的厚度为d，自由电荷的电荷量为q，求薄片内单位体积中的自由电荷数n。$

Solution:
$设c、f两侧面之间的距离为L$
$当电场力与洛伦兹力相等时有 \frac{U_\mathrm{H}}{L}q=qvB$
$又I=nqvS$
$其中S=Ld$
$代入得n=\frac{BI}{U_\mathrm{H}qd}$

Final answer: $\frac{BI}{U_\mathrm{H}qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。

<img_762>
图1

<img_886>
图2
自行车测速码表的主要工作传感器也是霍尔传感器。如图3，霍尔元件固定在自行车前叉一侧，一块强磁铁固定在一根辐条上。当强磁铁经过霍尔元件时，使其产生电压脉冲。已知自行车在平直公路上匀速行驶，车轮与地面间无滑动，车轮边缘到车轴的距离为r。

<img_1217>

若单位时间内霍尔元件检测到m个脉冲，求自行车行驶的速度大小v。

Solution:
单位时间内霍尔元件检测到m个脉冲，因此车轮转动的角速度\omega =2\pi m
自行车的行驶速度 $v=\omega r=2\pi mr$

Final answer: $2\pi mr$
Subfield: Electromagnetism


Question: 利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。

![22BBJ5WL353.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385781843488771/img/compression/M_eec35787886cba678f8f1a3664ea43c5.jpg)
图1

![22BBJ5WL354.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385782275502083/img/compression/M_4c97b29047fcb42106cfb24b9d9314d8.jpg)
图2
自行车测速码表的主要工作传感器也是霍尔传感器。如图3，霍尔元件固定在自行车前叉一侧，一块强磁铁固定在一根辐条上。当强磁铁经过霍尔元件时，使其产生电压脉冲。已知自行车在平直公路上匀速行驶，车轮与地面间无滑动，车轮边缘到车轴的距离为r。

![图3](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385782657183747/img/compression/M_485e8ec8984a6da0dafe855950136d04.jpg)

若单位时间内霍尔元件检测到m个脉冲，求自行车行驶的速度大小v。

Solution:
单位时间内霍尔元件检测到m个脉冲，因此车轮转动的角速度\omega =2\pi m
自行车的行驶速度 $v=\omega r=2\pi mr$

Final answer: $2\pi mr$
Subfield: Mechanics


Question: 人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
$情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿Ox方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为v_0的带正电的粒子，沿与Ox夹角为\alpha 的方向入射，不计带电粒子的重力。$

$求带电粒子轨迹的“螺距”d_2。$

<img_1119>  

图2

Solution:
$d_2=v_xT=\frac{2\pi mv_0 \cos  \alpha }{qB}$

Final answer: $\frac{2\pi mv_0 \cos  \alpha }{qB}$
Subfield: Mechanics


Question: 人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
$情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿Ox方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为v_0的带正电的粒子，沿与Ox夹角为\alpha 的方向入射，不计带电粒子的重力。$

$求带电粒子轨迹的“螺距”d_2。$

![图2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385783894503427/img/compression/M_fc7b7fe5fe8c814e355d133f892fdc6b.jpg)  

图2

Solution:
$d_2=v_xT=\frac{2\pi mv_0 \cos  \alpha }{qB}$

Final answer: $\frac{2\pi mv_0 \cos  \alpha }{qB}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385797123338243/img/compression/M_d24b8427fff954178e087806418bef8d.jpg)
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F。

Solution:
$金属棒经过第一级区域时受到的安培力大小为F=B_1IL$

$根据磁感应强度与电流的关系有B_1=kI$

$联立可得F=kI^2L$

Final answer: $kI^2L$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

<img_1474>
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F。

Solution:
$金属棒经过第一级区域时受到的安培力大小为F=B_1IL$

$根据磁感应强度与电流的关系有B_1=kI$

$联立可得F=kI^2L$

Final answer: $kI^2L$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

<img_1474>
$金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。$

Solution:
$对金属棒，根据动能定理W_{合}=\Delta E_k可得$
$W_1+W_2=\frac{1}{2}mv^2$

$W_1=Fs，W_2=F' s，$

$即kI^2Ls + k(2I)^2Ls = \frac{1}{2}mv^2$

$解得v = I\sqrt{\frac{10kLs}{m}}$

Final answer: $I\sqrt{\frac{10kLs}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。  
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。  
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求:

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385797123338243/img/compression/M_d24b8427fff954178e087806418bef8d.jpg)
$金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。$

Solution:
$对金属棒，根据动能定理W_{合}=\Delta E_k可得$
$W_1+W_2=\frac{1}{2}mv^2$

$W_1=Fs，W_2=F' s，$

$即kI^2Ls + k(2I)^2Ls = \frac{1}{2}mv^2$

$解得v = I\sqrt{\frac{10kLs}{m}}$

Final answer: $I\sqrt{\frac{10kLs}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716385798163525634/img/compression/M_1a8391779d6cda8fb33d1b6a1f9618fc.jpg)
感应电动势的大小E；

Solution:
由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势
$E=BLv$

Final answer: BLv
Subfield: Electromagnetism


Question: 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：

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感应电动势的大小E；

Solution:
由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势
$E=BLv$

Final answer: BLv