di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
![24BSD5WL508.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003731058577410/img/compression/M_cc093196a3180e847d6c8a1a69440031.jpg)
Ⅱ区的长度L应为多大。

Solution:
离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期
$T=\frac{2\pi r}{v_y}$
$离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得L=v0nT+\frac{1}{2}a(nT)^2$
$联立解得，Ⅱ区的长度L=n\pi R+\frac{3n^2\pi ^2}{32}R(n=1，2，3\ldots )$

Final answer: $n\pi R+\frac{3n^2\pi ^2}{32}R$
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
<img_1032>
Ⅱ区的长度L应为多大。

Solution:
离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期
$T=\frac{2\pi r}{v_y}$
$离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得L=v0nT+\frac{1}{2}a(nT)^2$
$联立解得，Ⅱ区的长度L=n\pi R+\frac{3n^2\pi ^2}{32}R(n=1，2，3\ldots )$

Final answer: $n\pi R+\frac{3n^2\pi ^2}{32}R$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B_{1}(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B_{2}(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B_{1}，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=L，B_{2}=5 \sqrt{2} B_{1}，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003721508147202/img/compression/M_d28f0bb7b8b5a681b4b83445e2ed926f.jpg)
$磁感应强度iB_{1}的大小；$

Solution:
带电粒子在$yOz$平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得
$R^2 = (2L)^2 + (R-L)^2$
$解得R = \frac{5}{2} L$
$由牛顿第二定律可得qvB1 = m \frac{v^2}{R}$
$解得B1 = \frac{2mv}{5qL}$

Final answer: $\frac{2mv}{5qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B_{1}(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B_{2}(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B_{1}，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=L，B_{2}=5 \sqrt{2} B_{1}，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：$

<img_802>
$磁感应强度iB_{1}的大小；$

Solution:
带电粒子在$yOz$平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得
$R^2 = (2L)^2 + (R-L)^2$
$解得R = \frac{5}{2} L$
$由牛顿第二定律可得qvB1 = m \frac{v^2}{R}$
$解得B1 = \frac{2mv}{5qL}$

Final answer: $\frac{2mv}{5qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B_{1}(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B_{2}(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B_{1}，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=L，B_{2}=5 \sqrt{2} B_{1}，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003721508147202/img/compression/M_d28f0bb7b8b5a681b4b83445e2ed926f.jpg)
电场强度E的大小。

Solution:
$粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上$

$2L = vt$

$y轴方向上$

$L - y = \frac{1}{2} \frac{qE}{m} t^2$

$解得E = \frac{mv^2}{4qL}$

Final answer: $\frac{mv^2}{4qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在三维坐标系O-xyz中存在一长方体ABCD-abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B_{1}(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B_{2}(未知)的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B_{1}，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB=2L、Aa=L，B_{2}=5 \sqrt{2} B_{1}，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：$

<img_802>
电场强度E的大小。

Solution:
$粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上$

$2L = vt$

$y轴方向上$

$L - y = \frac{1}{2} \frac{qE}{m} t^2$

$解得E = \frac{mv^2}{4qL}$

Final answer: $\frac{mv^2}{4qL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，在x轴上方空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁场方向垂直纸面向外，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m电荷量为q的带正电离子从x轴上的$M(-3d,0)$点射入电场，速度方向与x轴正方向夹角为$45^\circ$ ，之后该离子从$N(-d,0)$点射入磁场Ⅰ，速度方向与x轴正方向夹角也为$45^\circ$ ，速度大小为v，离子在磁场Ⅰ中的轨迹与y轴交于P点，最后从$Q(3d,0)$点射出第一象限，不计离子重力。

<img_852>
图甲

<img_1068>
图乙
$求第三象限内电场强度的大小 E；$

Solution:
<img_1059>

离子在M点的速度大小为$v'$，则$v' \cos 45^\circ =v \cos 45^\circ $

则$v'=v$

离子在电场中从M点到N点运动的时间为t，加速度为a，则

$2d=vt \cos 45^\circ $

$a= \frac{qE}{m}$

$t= \frac{2v \sin  45^{\circ}}{a}$

$解得场强大小E= \frac{mv^2}{2qd}$

Final answer: $\frac{mv^2}{2qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，在x轴上方空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁场方向垂直纸面向外，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m电荷量为q的带正电离子从x轴上的$M(-3d,0)$点射入电场，速度方向与x轴正方向夹角为$45^\circ$ ，之后该离子从$N(-d,0)$点射入磁场Ⅰ，速度方向与x轴正方向夹角也为$45^\circ$ ，速度大小为v，离子在磁场Ⅰ中的轨迹与y轴交于P点，最后从$Q(3d,0)$点射出第一象限，不计离子重力。

![figure1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_8cdcb05b9d8209b0370f37da7f59a39b.jpg)
图甲

![figure2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_ed36a9a04a0ccee44809d9327ab65a20.jpg)
图乙
$求第三象限内电场强度的大小 E；$

Solution:
![24BSD5WL506.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_c302d2fc5984eb15dd809f5abee50f28.jpg)

离子在M点的速度大小为$v'$，则$v' \cos 45^\circ =v \cos 45^\circ $

则$v'=v$

离子在电场中从M点到N点运动的时间为t，加速度为a，则

$2d=vt \cos 45^\circ $

$a= \frac{qE}{m}$

$t= \frac{2v \sin  45^{\circ}}{a}$

$解得场强大小E= \frac{mv^2}{2qd}$

Final answer: $\frac{mv^2}{2qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003733773053955/img/compression/M_f72bc695f627ea2ebe21ce5a728dc633.jpg)

求：
匀强电场的电场强度大小；

Solution:
$由初速度为v_0的粒子在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O可知，洛伦兹力与电场力平衡，Eq=qvₓB_0,又有vₓ=v_0 \sin 45^\circ ，解得E=\frac{\sqrt{2}}{2}B_0v_0$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2} B_0v_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

<img_564>

求：
匀强电场的电场强度大小；

Solution:
$由初速度为v_0的粒子在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O可知，洛伦兹力与电场力平衡，Eq=qvₓB_0,又有vₓ=v_0 \sin 45^\circ ，解得E=\frac{\sqrt{2}}{2}B_0v_0$

Final answer: $\frac{\sqrt{2}}{2} B_0v_0$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003733773053955/img/compression/M_f72bc695f627ea2ebe21ce5a728dc633.jpg)

求：
$粒子从发出到第3次经过x轴需要的时间；$

Solution:
$设在Ⅰ区运动时间为t_1，粒子经原点进入Ⅲ区域后，其运动的轨迹俯视图(沿y轴负方向俯视)，如图所示。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003734087626753/img/compression/M_fa8c897b36996fdc728323e6d0c477b4.jpg)

$则有2a = v_0t_1，t_2 = \frac{3}{4}T_1，qv_0B_0 = m\frac{v^2_0}{R}$

$T_1 = \frac{2\pi R}{v_0}$

$设粒子第2次通过z轴的坐标为z_1，则z_1 = \sqrt{2}R$

$t_3 = \frac{\sqrt{2}z_1}{v_0}，t = t_1 + t_2 + t_3$

$解得t = \frac{2a}{v_0} + \frac{(4+3\pi )}{2qB_0}m$

Final answer: $\frac{2a}{v_0} + \frac{(4+3\pi )}{2qB_0}m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

<img_564>

求：
$粒子从发出到第3次经过x轴需要的时间；$

Solution:
$设在Ⅰ区运动时间为t_1，粒子经原点进入Ⅲ区域后，其运动的轨迹俯视图(沿y轴负方向俯视)，如图所示。$

<img_638>

$则有2a = v_0t_1，t_2 = \frac{3}{4}T_1，qv_0B_0 = m\frac{v^2_0}{R}$

$T_1 = \frac{2\pi R}{v_0}$

$设粒子第2次通过z轴的坐标为z_1，则z_1 = \sqrt{2}R$

$t_3 = \frac{\sqrt{2}z_1}{v_0}，t = t_1 + t_2 + t_3$

$解得t = \frac{2a}{v_0} + \frac{(4+3\pi )}{2qB_0}m$

Final answer: $\frac{2a}{v_0} + \frac{(4+3\pi )}{2qB_0}m$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

<img_564>

求：
粒子第6次通过yOz平面时的y轴坐标值。

Solution:
画出第6次通过yOz平面的轨迹俯视图如图所示

<img_1285>

$粒子第2次到第3次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅱ中沿y轴方向做匀加速运动，设运动时间为t_4，则Eq=ma，t_4 = \frac{3}{8}T_2$

$v_{y_1}=at_4$

$设粒子第4次到第5次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅱ中运动的时间为t_5，则，t_5 = \frac{1}{2}T_2$

$T_2 = \frac{2\pi m}{\frac{qB_0}{2}} = \frac{4\pi m}{qB_0}$

$y_1 = \frac{1}{2}a(t_4+t_5)^2$

$第3次至第4次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅰ运动时间为t_6，第5次至第6次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅰ中运动的时间为t_7，沿y轴运动的速度为v_{y_2}，则$

$t_6 = t_7 = \frac{1}{2}T_1$

$v_{y_2} = a(t_4+t_5)$

$y_2 = v_{y_1}t_6 + y_{y_2}t_7$

$y = y_1+y_2 = \frac{89\sqrt{2}\pi ^2mv_0}{16qB_0}$

Final answer: $\frac{89\sqrt{2}\pi ^2mv_0}{16qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x\leq 0的区域Ⅰ、Ⅱ中，存在匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，其中区域Ⅰ(x<0、z>0)中磁场的磁感应强度大小为B_0、方向沿x轴正方向，区域Ⅱ(x\leq 0、z\leq 0)中磁场的磁感应强度大小为\frac{{B_0}}{2}、方向沿y轴正方向；在x\geq 0的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B_0。区域Ⅰ中坐标为(-\sqrt{2}a,0,\sqrt{2}a)的A点有一粒子源，发出沿AO方向、质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v_0，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过原点O，粒子的重力不计。$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003733773053955/img/compression/M_f72bc695f627ea2ebe21ce5a728dc633.jpg)

求：
粒子第6次通过yOz平面时的y轴坐标值。

Solution:
画出第6次通过yOz平面的轨迹俯视图如图所示

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003734511251457/img/compression/M_95df9ef1926d48a28e29cefacc869515.jpg)

$粒子第2次到第3次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅱ中沿y轴方向做匀加速运动，设运动时间为t_4，则Eq=ma，t_4 = \frac{3}{8}T_2$

$v_{y_1}=at_4$

$设粒子第4次到第5次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅱ中运动的时间为t_5，则，t_5 = \frac{1}{2}T_2$

$T_2 = \frac{2\pi m}{\frac{qB_0}{2}} = \frac{4\pi m}{qB_0}$

$y_1 = \frac{1}{2}a(t_4+t_5)^2$

$第3次至第4次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅰ运动时间为t_6，第5次至第6次经过yOz平面的时间内，在区域Ⅰ中运动的时间为t_7，沿y轴运动的速度为v_{y_2}，则$

$t_6 = t_7 = \frac{1}{2}T_1$

$v_{y_2} = a(t_4+t_5)$

$y_2 = v_{y_1}t_6 + y_{y_2}t_7$

$y = y_1+y_2 = \frac{89\sqrt{2}\pi ^2mv_0}{16qB_0}$

Final answer: $\frac{89\sqrt{2}\pi ^2mv_0}{16qB_0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在三维坐标系Oxyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，x>d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场，荧光屏垂直x轴放置，其中心C位于x轴上并且荧光屏可以沿x轴水平移动。从粒子源中不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v_0沿x轴正方向经过O点，经电场进磁场后打在荧光屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角\theta =60^\circ ，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。$

<img_1406>

乙图如下：

<img_890>
$求匀强电场的电场强度大小E；$

Solution:
$粒子在电场中运动时，则d=v_0t，qE=ma，v_y=\sqrt{3}v_0=at，解得匀强电场的电场强度大小E=\frac{\sqrt{3}mv^2_0}{qd}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}mv^2_0}{qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示，在三维坐标系Oxyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，x>d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场，荧光屏垂直x轴放置，其中心C位于x轴上并且荧光屏可以沿x轴水平移动。从粒子源中不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v_0沿x轴正方向经过O点，经电场进磁场后打在荧光屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角\theta =60^\circ ，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。$

![图甲](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003736000229379/img/compression/M_f3237b006befde1d2f7e83944e89ab6b.jpg)

乙图如下：

![乙图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003736000229379/img/compression/M_e7e6a51f7a92c0376c447b1e6ab1104e.jpg)
$求匀强电场的电场强度大小E；$

Solution:
$粒子在电场中运动时，则d=v_0t，qE=ma，v_y=\sqrt{3}v_0=at，解得匀强电场的电场强度大小E=\frac{\sqrt{3}mv^2_0}{qd}。$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}mv^2_0}{qd}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 为了保证载人飞船能更安全着陆，设计师在返回舱的底盘安装了4台相同的电磁缓冲装置。如图所示，为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，MN、PQ为绝缘光滑缓冲轨道，竖直固定在返回舱底部，导轨内侧存在稳定匀强磁场，方向垂直于整个缓冲轨道平面。单匝闭合矩形线圈abcd绕在缓冲滑块上，缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，缓冲滑块接触地面前瞬间速度大小为v<sub>0</sub>，接触地面后滑块立即停止运动，此后线圈与磁场相互作用，返回舱开始做减速直线运动，经时间t，返回舱以速度v(未知)做匀速直线运动。已知线圈的电阻为R，ab边长度为L，返回舱质量(含缓冲轨道、磁场发生器)为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，不计空气阻力。求：

<img_606>
$在返回舱减速运动过程中，通过每台电磁缓冲装置线圈的电荷量q。$

Solution:
$返回舱减速运动的过程中，有mgt-4F_{安}t=mv-mv_0，$

$又因为q=\overline{I}t，F_{安}=B\overline{I}L，解得q=\frac{mgt-mv+mv_0}{4BL}。$

Final answer: $\frac{mgt-mv+mv_0}{4BL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 为了保证载人飞船能更安全着陆，设计师在返回舱的底盘安装了4台相同的电磁缓冲装置。如图所示，为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，MN、PQ为绝缘光滑缓冲轨道，竖直固定在返回舱底部，导轨内侧存在稳定匀强磁场，方向垂直于整个缓冲轨道平面。单匝闭合矩形线圈abcd绕在缓冲滑块上，缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，缓冲滑块接触地面前瞬间速度大小为v<sub>0</sub>，接触地面后滑块立即停止运动，此后线圈与磁场相互作用，返回舱开始做减速直线运动，经时间t，返回舱以速度v(未知)做匀速直线运动。已知线圈的电阻为R，ab边长度为L，返回舱质量(含缓冲轨道、磁场发生器)为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，不计空气阻力。求：

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003767960064002/img/compression/M_1ddb1d0a8228f90a5a80682c6704e205.jpg)
$在返回舱减速运动过程中，通过每台电磁缓冲装置线圈的电荷量q。$

Solution:
$返回舱减速运动的过程中，有mgt-4F_{安}t=mv-mv_0，$

$又因为q=\overline{I}t，F_{安}=B\overline{I}L，解得q=\frac{mgt-mv+mv_0}{4BL}。$

Final answer: $\frac{mgt-mv+mv_0}{4BL}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

<img_602>
ab边刚好进入分界面P时，a、b两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；

Solution:
$ab边切割磁感线产生的感应电动势E=BLv_0，a点电势高于b点电势，则Uₐᵦ=\frac{3}{4}E=\frac{3}{4}BLv_0，根据闭合电路欧姆定律有I=\frac{E}{R}，所受安培力Fₐₙ=BIL，根据牛顿第二定律有\sqrt{F^2_{\text{安}}+(mg)^2}=ma，解得a=\sqrt{\frac{B^4L^4v^2_0}{m^2R^2}+g^2}。$

Final answer: $\frac{3}{4} BLv_{0}　\sqrt{\frac{B^4L^4v^2_0}{m^2R^2}+g^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003777024716802/img/compression/M_ef97f6dd10fb35d427724fe9a126b2d1.jpg)
ab边刚好进入分界面P时，a、b两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；

Solution:
$ab边切割磁感线产生的感应电动势E=BLv_0，a点电势高于b点电势，则Uₐᵦ=\frac{3}{4}E=\frac{3}{4}BLv_0，根据闭合电路欧姆定律有I=\frac{E}{R}，所受安培力Fₐₙ=BIL，根据牛顿第二定律有\sqrt{F^2_{\text{安}}+(mg)^2}=ma，解得a=\sqrt{\frac{B^4L^4v^2_0}{m^2R^2}+g^2}。$

Final answer: $\frac{3}{4} BLv_{0}　\sqrt{\frac{B^4L^4v^2_0}{m^2R^2}+g^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003777024716802/img/compression/M_ef97f6dd10fb35d427724fe9a126b2d1.jpg)
ab边刚好到达分界面Q时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；

Solution:
$ab边从分界面P运动到分界面Q，由法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电动势E_1=\frac{\Delta \mathit{Φ}_1}{\Delta t}=\frac{BLd}{\Delta t}，根据闭合电路欧姆定律\overline{I}=\frac{E_1}{R}，对线框abcd，由动量定理得-B\overline{I}L\Delta t=mv_1-mv_0，又v^2_1+v^2_y=v^2_0，v^2_y=2gh，h=\frac{B^2L^2dv_0}{mRg}-\frac{B^4L^4d^2}{2m^2R^2g}，Q=mgh，解得Q=\frac{B^2L^2dv_0}{R}-\frac{B^4L^4d^2}{2mR^2}.$

Final answer: $\frac{B^2L^2dv_0}{R} - \frac{B^4L^4d^2}{2mR^2}，\frac{B^2L^2dv_0}{mRg} - \frac{B^4L^4d^2}{2m^2R^2g}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

<img_602>
ab边刚好到达分界面Q时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；

Solution:
$ab边从分界面P运动到分界面Q，由法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电动势E_1=\frac{\Delta \mathit{Φ}_1}{\Delta t}=\frac{BLd}{\Delta t}，根据闭合电路欧姆定律\overline{I}=\frac{E_1}{R}，对线框abcd，由动量定理得-B\overline{I}L\Delta t=mv_1-mv_0，又v^2_1+v^2_y=v^2_0，v^2_y=2gh，h=\frac{B^2L^2dv_0}{mRg}-\frac{B^4L^4d^2}{2m^2R^2g}，Q=mgh，解得Q=\frac{B^2L^2dv_0}{R}-\frac{B^4L^4d^2}{2mR^2}.$

Final answer: $\frac{B^2L^2dv_0}{R} - \frac{B^4L^4d^2}{2mR^2}，\frac{B^2L^2dv_0}{mRg} - \frac{B^4L^4d^2}{2m^2R^2g}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

<img_602>
要想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。

Solution:
线框最终能竖直下落的临界条件为cd边运动到分界面N时水平速度为零，此时磁感应强度最小。从开始进入磁场到最终出磁场过程中，线圈中有感应电流的阶段如下。
- ① ab边切割磁感线，运动的水平距离为d
$- ② cd边切割磁感线，运动的水平距离为2d-L$
$- ③ ab边、cd边都切割磁感线，运动的水平距离为L-d$
$- ④ ab边切割磁感线，运动的水平距离为2d-L$
- ⑤ cd边切割磁感线，运动的水平距离为d

$一个边切割磁感线的总水平距离为6d-2L，此过程中安培力的冲量为\frac{B^2L^2(6d-2L)}{R}；$
$两个边同时切割磁感线的总水平距离为L-d，此过程中安培力的冲量为\frac{4B^2L^2(L-d)}{R}；$

$对线框abcd水平方向全程应用动量定理得-B_{min}\bar{I}L\Delta t=-mv_0，得B_{min}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mRv_0}{2d+2L}}$

Final answer: $\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mRv_0}{2d+2L}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L(d <L <2 d)的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v_0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v_0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求：$

![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003777024716802/img/compression/M_ef97f6dd10fb35d427724fe9a126b2d1.jpg)
要想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。

Solution:
线框最终能竖直下落的临界条件为cd边运动到分界面N时水平速度为零，此时磁感应强度最小。从开始进入磁场到最终出磁场过程中，线圈中有感应电流的阶段如下。
- ① ab边切割磁感线，运动的水平距离为d
$- ② cd边切割磁感线，运动的水平距离为2d-L$
$- ③ ab边、cd边都切割磁感线，运动的水平距离为L-d$
$- ④ ab边切割磁感线，运动的水平距离为2d-L$
- ⑤ cd边切割磁感线，运动的水平距离为d

$一个边切割磁感线的总水平距离为6d-2L，此过程中安培力的冲量为\frac{B^2L^2(6d-2L)}{R}；$
$两个边同时切割磁感线的总水平距离为L-d，此过程中安培力的冲量为\frac{4B^2L^2(L-d)}{R}；$

$对线框abcd水平方向全程应用动量定理得-B_{min}\bar{I}L\Delta t=-mv_0，得B_{min}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mRv_0}{2d+2L}}$

Final answer: $\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mRv_0}{2d+2L}}$
Subfield: Thermodynamics


Question: $某医用氧气瓶容积为40 L，瓶内贮有压强为9.6 \times 10^6 Pa的氧气，可视为理想气体。广泛用于野外急救的氧气袋容积为5 L。将氧气瓶内的氧气分装到氧气袋，充气前袋内为真空，充气后袋内压强为1.2 \times 10^6 Pa。分装过程不漏气，环境温度不变。$
若将医用氧气瓶内的氧气依次分装到原为真空、容积为5 L的若干个便携式钢瓶内，每次分装后，钢瓶内气体压强与氧气瓶内剩余气体压强相等，求分装30次后医用氧气瓶内剩余氧气的压强与分装前氧气瓶内氧气压强之比。

Solution:
根据玻意耳定律，
$- 分装一次有 pV_0 = p_1 (V_0+\Delta V)$
$- 分装二次 p_1V_0 = p_2(V_0+\Delta V)$
$- 分装三次 p_2V_0 = p_3(V_0+\Delta V)$

$\ldots \ldots $

$依次类推，第 n 次分装后 p_{n-1} V_0 = p_n (V_0+\Delta V)$

$可以得到 p_{30} = p \left( \frac{V_0}{V_0+\Delta V}\right)^{30}$

$代入数据解得 \frac{p_{30}}{p} = \left(\frac{8}{9}\right)^{30}$



Final answer: $\left(\frac{8}{9}\right)^{30}$
Subfield: Optics


Question: $一折射率为 \sqrt{2} 的玻璃正柱体如图甲所示，柱体长为 l_1，其横截面如图乙所示，上侧 ABC 为等腰直角三角形，\angle  A=90^\circ ， BC =l_2 ，下侧为半圆圆弧。柱体表面 ABED 区域有平行于 BC 方向的单色光射入柱体，不考虑光线在柱体内的多次反射。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007395526275075/img/compression/M_5dbe0eb0f3f74ce980dca8f2e6b2e566.jpg)

甲

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007395526275075/img/compression/M_bcefd406ae0132c96ebf462b4feda617.jpg)

乙
进入柱体的光线有部分不经过反射直接从柱体射出，求该部分光线在柱体表面射出的区域面积。

Solution:
$由B处入射的光线在弧面上的入射角\beta =15^\circ ，故照射到弧面上的光线的入射角都小于15^\circ ，均能射出，由几何关系可知，该部分对应的圆心角\theta =30^\circ ，设该部分弧长为l，则$

$\frac{l}{2\pi \cdot \frac{l_2}{2}}=\frac{\theta }{2\pi }$

$，解得l=\frac{\pi l_2}{12}$

$，出射面积S=l\cdot l\_{1}=\frac{\pi l_1l_2}{12}$

![24BSD5WL1221A](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717007396138643457/img/compression/M_3fff638ed84e8693ab5e551c5372c663.jpg)

Final answer: $\frac{\pi l_1l_2}{12}$
Subfield: Optics


Question: $一折射率为 \sqrt{2} 的玻璃正柱体如图甲所示，柱体长为 l_1，其横截面如图乙所示，上侧 ABC 为等腰直角三角形，\angle  A=90^\circ ， BC =l_2 ，下侧为半圆圆弧。柱体表面 ABED 区域有平行于 BC 方向的单色光射入柱体，不考虑光线在柱体内的多次反射。$

<img_784>

甲

<img_814>

乙
进入柱体的光线有部分不经过反射直接从柱体射出，求该部分光线在柱体表面射出的区域面积。

Solution:
$由B处入射的光线在弧面上的入射角\beta =15^\circ ，故照射到弧面上的光线的入射角都小于15^\circ ，均能射出，由几何关系可知，该部分对应的圆心角\theta =30^\circ ，设该部分弧长为l，则$

$\frac{l}{2\pi \cdot \frac{l_2}{2}}=\frac{\theta }{2\pi }$

$，解得l=\frac{\pi l_2}{12}$

$，出射面积S=l\cdot l\_{1}=\frac{\pi l_1l_2}{12}$

<img_1236>

Final answer: $\frac{\pi l_1l_2}{12}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，为透明材料制成的一件艺术摆件的截面图，上半部分是半径为R的半圆形，一细光束沿径向射入，在底面B点恰好发生全反射，OA是圆心O到底面的高，已知OA=AB=\frac{\sqrt{2}}{4}R，光在真空中传播的速度为c，求：$

<img_941>
光在透明艺术摆件中传播的时间。

Solution:
$光在透明艺术摆件中传播的速度v = \frac{c}{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} c$

$传播的时间t = \frac{R+\frac{1}{2}R+R \cos  30^{\circ}}{v} = \frac{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})R}{2c}。$

Final answer: $\frac{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})R}{2c}$
Subfield: Optics


Question: $如图所示，为透明材料制成的一件艺术摆件的截面图，上半部分是半径为R的半圆形，一细光束沿径向射入，在底面B点恰好发生全反射，OA是圆心O到底面的高，已知OA=AB=\frac{\sqrt{2}}{4}R，光在真空中传播的速度为c，求：$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003918064058370/img/compression/M_b4eb8533fce62205f9bb3ced87040b44.jpg)
光在透明艺术摆件中传播的时间。

Solution:
$光在透明艺术摆件中传播的速度v = \frac{c}{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} c$

$传播的时间t = \frac{R+\frac{1}{2}R+R \cos  30^{\circ}}{v} = \frac{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})R}{2c}。$

Final answer: $\frac{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})R}{2c}$
Subfield: Mechanics


Question: $从地面处竖直上抛一个小球，小球两次经历高度为h处经历的时间为\Delta t=\sqrt{\frac{h}{g}}，求小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间(忽略空气阻力，重力加速度为g)。$

Solution:
$设小球在h高度处上方上升h'，由竖直上抛运动的对称性特点，有：h'=\frac{1}{2}g\left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2$

$解得h'=\frac{1}{8}h$

$整个上升过程逆向看有：v^2_0=2g(h+h')$

$解得：v<sub>0</sub>=\frac{3}{2}\sqrt{gh}$

设小球在空中运动的总时间为t，小球下落过程有：

$h+h'=\frac{1}{2}g\left(\frac{t}{2}\right)^2$

$解得：t=3\sqrt{\frac{h}{g}}$

Final answer: $\frac{3}{2}\sqrt{gh}$, $3\sqrt{\frac{h}{g}}$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的木楔倾角为\theta ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成\alpha 角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度大小为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611476172492803/img/compression/M_d1085991d7e2b7a41593c366717d363b.jpg)
$当\alpha为多大时，F有最小值，求此时\alpha的大小及F的最小值；$

Solution:
$木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有 mg \sin \theta =\mu mg \cos \theta，解得 \mu=\tan \theta。木块在 F 作用下沿斜面向上匀速运动，有 F \cos \alpha=mg \sin \theta+F_f，F \sin \alpha+F_N=mg \cos \theta，又 F_f=\mu F_N，解得 F=\frac{2mg \sin  \theta }{ \cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha }=\frac{2mg \sin  \theta  \cos  \theta }{ \cos  \alpha  \cos  \theta + \sin  \theta  \sin  \alpha }=\frac{mg \sin  2\theta }{ \cos  (\theta -\alpha )}，则当 \alpha=\theta 时， F 有最小值，为 F_{min}=mg \sin 2\theta。$

Final answer: $\theta mg \sin 2\theta$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的木楔倾角为\theta ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成\alpha 角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度大小为g。$

<img_1142>
$当\alpha为多大时，F有最小值，求此时\alpha的大小及F的最小值；$

Solution:
$木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有 mg \sin \theta =\mu mg \cos \theta，解得 \mu=\tan \theta。木块在 F 作用下沿斜面向上匀速运动，有 F \cos \alpha=mg \sin \theta+F_f，F \sin \alpha+F_N=mg \cos \theta，又 F_f=\mu F_N，解得 F=\frac{2mg \sin  \theta }{ \cos  \alpha +\mu  \sin  \alpha }=\frac{2mg \sin  \theta  \cos  \theta }{ \cos  \alpha  \cos  \theta + \sin  \theta  \sin  \alpha }=\frac{mg \sin  2\theta }{ \cos  (\theta -\alpha )}，则当 \alpha=\theta 时， F 有最小值，为 F_{min}=mg \sin 2\theta。$

Final answer: $\theta mg \sin 2\theta$
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的木楔倾角为\theta ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成\alpha 角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度大小为g。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611476172492803/img/compression/M_d1085991d7e2b7a41593c366717d363b.jpg)
$当\alpha＝\theta时，木楔对水平面的摩擦力是多大？$

Solution:
$因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即F'f=F \cos (\alpha +\theta )，当\alpha =\theta ，即F取最小值mg \sin 2\theta 时，F'f=Fmin \cos 2\theta =mg \sin 2\theta  \cos 2\theta = \frac{1}{2} mg \sin 4\theta 。$

Final answer: $\frac{1}{2}mg \sin 4\theta $
Subfield: Mechanics


Question: $如图所示，质量为M的木楔倾角为\theta ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成\alpha 角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度大小为g。$

<img_1142>
$当\alpha＝\theta时，木楔对水平面的摩擦力是多大？$

Solution:
$因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即F'f=F \cos (\alpha +\theta )，当\alpha =\theta ，即F取最小值mg \sin 2\theta 时，F'f=Fmin \cos 2\theta =mg \sin 2\theta  \cos 2\theta = \frac{1}{2} mg \sin 4\theta 。$

Final answer: $\frac{1}{2}mg \sin 4\theta $
Subfield: Mechanics


Question: $2022年北京冬奥会上，中国花样滑冰队的隋文静、韩聪不负众望，在双人滑项目上强势夺冠，这也是中国队时隔12年后再次登上奥运会最高领奖台。该项目有一项技术动作叫螺旋线，如图(a)所示，以男选手为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景抽象成如图(b)所示：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小的速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。小球(可视为质点)质量为m，细线AC长度为L，重力加速度为g。$

![(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_bd4236755eebc46d88ef3256bf1bb035.jpg)

![(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_766f84148e9d0d027b2b7ca2b7251517.jpg)

![(c)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_295662e627d38409e9fc9e3b2aeef0c3.jpg)

![(d)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_ed2d3405ef9fac64f6cefb0a831ae417.jpg)

![(e)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612026775810051/img/compression/M_6c96898d48a766edca968f8d87e2a928.jpg)
在紧贴着小球运动的水平面上加一光滑平板，使球在板上做匀速圆周运动，此时细线与竖直方向所成夹角为$\theta$ ，如图(c)所示，当小球的角速度$\omega$ 大于某一值$\omega_1$时，小球将脱离平板，则$\omega_1$为多大？

Solution:
$当平板对小球支持力为零时，小球恰好脱离平板，此时重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg \tan \theta  = m\omega ^{2}_{1}L \sin \theta $

$解得 \omega _{1}=\sqrt{\frac{g}{L \cos\theta}}$

Final answer: $\sqrt{\frac{g}{L \cos \theta }}$