di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

![24BTJ5WL124.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272113826918402/img/compression/M_a2faccc4a918298c6ffd4c2d0865f43d.jpg)
求墨滴所带的电荷量;

Solution:
$由于墨滴在电场区域做匀速直线运动，可知其所受重力和电场力等大反向，有 mg - Eq = 0，在匀强电场中，U = Ed，解得 q = \frac{mgd}{U}。$

Final answer: $\frac{mgd}{U}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

<img_485>
求墨滴所带的电荷量;

Solution:
$由于墨滴在电场区域做匀速直线运动，可知其所受重力和电场力等大反向，有 mg - Eq = 0，在匀强电场中，U = Ed，解得 q = \frac{mgd}{U}。$

Final answer: $\frac{mgd}{U}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

<img_485>
求磁感应强度B的大小;

Solution:
$由于墨滴所受重力和电场力的合力为零，因此在磁场区域中墨滴所受的合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动。墨滴沿板间中线进入磁场区域，垂直于极板打到P点，由几何关系可知入射点和P点之间的轨迹为\frac{1}{4}圆周。$

由牛顿第二定律有
$Bv_0q=\frac{mv^2_0}{R_1}$
$而R_1=\frac{d}{2}$
$解得B=\frac{2Uv_0}{gd^2}。$

Final answer: $\frac{2Uv_0}{gd^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

![24BTJ5WL124.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272113826918402/img/compression/M_a2faccc4a918298c6ffd4c2d0865f43d.jpg)
求磁感应强度B的大小;

Solution:
$由于墨滴所受重力和电场力的合力为零，因此在磁场区域中墨滴所受的合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动。墨滴沿板间中线进入磁场区域，垂直于极板打到P点，由几何关系可知入射点和P点之间的轨迹为\frac{1}{4}圆周。$

由牛顿第二定律有
$Bv_0q=\frac{mv^2_0}{R_1}$
$而R_1=\frac{d}{2}$
$解得B=\frac{2Uv_0}{gd^2}。$

Final answer: $\frac{2Uv_0}{gd^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

<img_485>
$现保持喷口方向不变,使其竖直上移到靠近上板下表面的位置。为了使墨滴仍能到达下板P点,应将磁场的磁感应强度调为B',求B'的大小。$

Solution:
$若墨滴改由上极板边缘进入磁场，则在磁场区域的轨迹如图所示。由(2)问结论可知磁场左边界到 P 点的距离为 \frac{d}{2} ，在\triangle OQP中，OQ=d-R_2，QP=\frac{d}{2}，OP=R_2，由几何关系可知 (d-R_2)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2=R_2^2 ，同时仍由洛伦兹力提供向心力，B'v_0q=\frac{mv^2_0}{R_2} ，解得 B'=\frac{8v_0U}{5gd^2} $

<img_665>

Final answer: $\frac{8v_0U}{5gd^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,M、N两块水平放置的长金属板相距为d,两板间电势差为U。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口置于两板正中间的位置,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v_0、带相等电荷量的墨滴。已知墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的P点。重力加速度为g。$

![24BTJ5WL124.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272113826918402/img/compression/M_a2faccc4a918298c6ffd4c2d0865f43d.jpg)
$现保持喷口方向不变,使其竖直上移到靠近上板下表面的位置。为了使墨滴仍能到达下板P点,应将磁场的磁感应强度调为B',求B'的大小。$

Solution:
$若墨滴改由上极板边缘进入磁场，则在磁场区域的轨迹如图所示。由(2)问结论可知磁场左边界到 P 点的距离为 \frac{d}{2} ，在\triangle OQP中，OQ=d-R_2，QP=\frac{d}{2}，OP=R_2，由几何关系可知 (d-R_2)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2=R_2^2 ，同时仍由洛伦兹力提供向心力，B'v_0q=\frac{mv^2_0}{R_2} ，解得 B'=\frac{8v_0U}{5gd^2} $

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272114179239938/img/compression/M_3c37e1013b4dfb67776c849f7c3d46de.jpg)

Final answer: $\frac{8v_0U}{5gd^2}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $汤姆孙用来测定电子的比荷(电荷量与质量的比值)的实验装置如图所示,真空管内的阴极K发出的电子(不计初速度、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后,穿过A'中心的小孔沿中心轴O_1O的方向进入两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域。当极板间不加偏转电压时,电子束打在荧光屏的中心O点处,形成了一个亮点;加上偏转电压U后,亮点偏离到O'点,O'点与O点的竖直间距为d,水平间距可忽略不计。此时,在P和P'间的区域,再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场。调节磁场的强弱,当磁感应强度的大小为B时,亮点重新回到O点。已知极板水平方向的长度为L_1,极板间距为b,极板右端到荧光屏的距离为L_2。$

<img_1263>
求打在荧光屏O点的电子速度的大小;

Solution:
$当电场力与洛伦兹力平衡时，电子可沿直线通过复合场区，此时电子受力情况应满足Bve=Ee，而E= \frac{U}{b} ，联立解得v= \frac{U}{Bb} 。$

Final answer: $\frac{U}{Bb}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $汤姆孙用来测定电子的比荷(电荷量与质量的比值)的实验装置如图所示,真空管内的阴极K发出的电子(不计初速度、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后,穿过A'中心的小孔沿中心轴O_1O的方向进入两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域。当极板间不加偏转电压时,电子束打在荧光屏的中心O点处,形成了一个亮点;加上偏转电压U后,亮点偏离到O'点,O'点与O点的竖直间距为d,水平间距可忽略不计。此时,在P和P'间的区域,再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场。调节磁场的强弱,当磁感应强度的大小为B时,亮点重新回到O点。已知极板水平方向的长度为L_1,极板间距为b,极板右端到荧光屏的距离为L_2。$

![24BTJ5WL141.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272104713310212/img/compression/M_e2dd23af1c1b59bf1595f18c351d4d71.jpg)
求打在荧光屏O点的电子速度的大小;

Solution:
$当电场力与洛伦兹力平衡时，电子可沿直线通过复合场区，此时电子受力情况应满足Bve=Ee，而E= \frac{U}{b} ，联立解得v= \frac{U}{Bb} 。$

Final answer: $\frac{U}{Bb}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $汤姆孙用来测定电子的比荷(电荷量与质量的比值)的实验装置如图所示,真空管内的阴极K发出的电子(不计初速度、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后,穿过A'中心的小孔沿中心轴O_1O的方向进入两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域。当极板间不加偏转电压时,电子束打在荧光屏的中心O点处,形成了一个亮点;加上偏转电压U后,亮点偏离到O'点,O'点与O点的竖直间距为d,水平间距可忽略不计。此时,在P和P'间的区域,再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场。调节磁场的强弱,当磁感应强度的大小为B时,亮点重新回到O点。已知极板水平方向的长度为L_1,极板间距为b,极板右端到荧光屏的距离为L_2。$

![24BTJ5WL141.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272104713310212/img/compression/M_e2dd23af1c1b59bf1595f18c351d4d71.jpg)
推导出电子的比荷的表达式。

Solution:
$当板间仅有偏转电场时，电子进入极板区域时做类平抛运动，满足ma=Ee=\frac{U}{b}e  $
$电子在水平方向做匀速直线运动，有L_1=vt_1，在竖直方向做匀加速运动，有y_1=\frac{1}{2}at_1^2，v_y=at_1  $
$离开电场后在水平方向仍然做匀速运动，有L_2=vt_2，竖直方向也做匀速运动，有y_2=v_yt_2  $
$到达荧光屏时，竖直方向满足d=y_1+y_2  $
$联立解得\frac{e}{m}=\frac{2Ud}{B^2bL_1(2L_2+L_1)}。$

Final answer: $\frac{e}{m}=\frac{2Ud}{B^2bL_1(2L_2+L_1)}。$
Subfield: Electromagnetism


Question: $汤姆孙用来测定电子的比荷(电荷量与质量的比值)的实验装置如图所示,真空管内的阴极K发出的电子(不计初速度、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后,穿过A'中心的小孔沿中心轴O_1O的方向进入两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域。当极板间不加偏转电压时,电子束打在荧光屏的中心O点处,形成了一个亮点;加上偏转电压U后,亮点偏离到O'点,O'点与O点的竖直间距为d,水平间距可忽略不计。此时,在P和P'间的区域,再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场。调节磁场的强弱,当磁感应强度的大小为B时,亮点重新回到O点。已知极板水平方向的长度为L_1,极板间距为b,极板右端到荧光屏的距离为L_2。$

<img_1263>
推导出电子的比荷的表达式。

Solution:
$当板间仅有偏转电场时，电子进入极板区域时做类平抛运动，满足ma=Ee=\frac{U}{b}e  $
$电子在水平方向做匀速直线运动，有L_1=vt_1，在竖直方向做匀加速运动，有y_1=\frac{1}{2}at_1^2，v_y=at_1  $
$离开电场后在水平方向仍然做匀速运动，有L_2=vt_2，竖直方向也做匀速运动，有y_2=v_yt_2  $
$到达荧光屏时，竖直方向满足d=y_1+y_2  $
$联立解得\frac{e}{m}=\frac{2Ud}{B^2bL_1(2L_2+L_1)}。$

Final answer: $\frac{e}{m}=\frac{2Ud}{B^2bL_1(2L_2+L_1)}。$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2l,板间有竖直向下的匀强电场E,距上板3l处有一带电荷量为+q的小球B,在小球B上方有一带电荷量为-6q的小球A,两小球的大小不计,质量均为m,用长度为l的绝缘轻杆相连。已知E= \frac{2mg}{q},现让两小球从静止释放,小球可以通过上板的小孔进入电场中(空气阻力不计,重力加速度为g)。求:$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105078214659/img/compression/M_20456a12a55a61dbf4aa9385e80e0a62.jpg)
求B球刚碰到下极板时的速度大小。

Solution:
$假设B球能碰到下极板，设碰到前瞬间速度大小为v_2，对系统，从释放开始的整个过程，由动能定理有:$

$\frac{1}{2} \cdot 2mv_2^2 = 2mg(3l + 2l) + Eq \cdot 2l - E \cdot 6ql$

$解得v_2 = \sqrt{2gl}。$

Final answer: $\sqrt{2gl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，上、下水平放置的两带电金属板相距为2l,板间有竖直向下的匀强电场E,距上板3l处有一带电荷量为+q的小球B,在小球B上方有一带电荷量为-6q的小球A,两小球的大小不计,质量均为m,用长度为l的绝缘轻杆相连。已知E= \frac{2mg}{q},现让两小球从静止释放,小球可以通过上板的小孔进入电场中(空气阻力不计,重力加速度为g)。求:$
<img_993>
求B球刚碰到下极板时的速度大小。

Solution:
$假设B球能碰到下极板，设碰到前瞬间速度大小为v_2，对系统，从释放开始的整个过程，由动能定理有:$

$\frac{1}{2} \cdot 2mv_2^2 = 2mg(3l + 2l) + Eq \cdot 2l - E \cdot 6ql$

$解得v_2 = \sqrt{2gl}。$

Final answer: $\sqrt{2gl}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，竖直平面内有一平行板电容器AB，两极板间电压为U，靠近A板有一个粒子源，可产生初速度为零、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，B板开有一小孔，粒子被平行板电容器加速后可无摩擦地穿过小孔，B板右侧有一宽度为d、电场强度大小为E_0的匀强电场，方向竖直向下，不计重力。$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105363427331/img/compression/M_1953b4bbfdb8c33cf13c954c79b33e60.jpg)
$求粒子到达小孔处速度的大小v_0;$

Solution:
$粒子从A板静止释放后，在A、B板间仅有静电力做功，由动能定理有Uq=\frac{1}{2}mv{^2_0}，解得v_0=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，竖直平面内有一平行板电容器AB，两极板间电压为U，靠近A板有一个粒子源，可产生初速度为零、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，B板开有一小孔，粒子被平行板电容器加速后可无摩擦地穿过小孔，B板右侧有一宽度为d、电场强度大小为E_0的匀强电场，方向竖直向下，不计重力。$

<img_1073>
$求粒子到达小孔处速度的大小v_0;$

Solution:
$粒子从A板静止释放后，在A、B板间仅有静电力做功，由动能定理有Uq=\frac{1}{2}mv{^2_0}，解得v_0=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}。$

Final answer: $\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某空气净化设备可用于气体中有害离子的收集和分离，其简化原理如图甲所示，Ⅰ区为电场加速区，Ⅱ区为电场收集区。Ⅰ区和Ⅱ区之间是无场区。已知Ⅰ区中AB与CD两电极的电势差为U，Ⅱ区中分布着方向竖直向下的匀强电场，且EG与FH间的距离为d，假设大量相同的正离子在AB极均匀分布，从初速度为零开始加速，不考虑离子间的相互作用和重力的影响。

![24BTJ5WL428.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_a31ba9ad2013f7b3fe4c289664c142e8.jpg)
甲

![24BTJ5WL429.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272105644445699/img/compression/M_52b4d9b7d1d0ae5a537ab3cef547d3a5.jpg)
乙
$若正离子的比荷为 \frac{q}{m}，求该离子到达 CD 极时的速度大小;$

Solution:
离子从AB极开始加速，到达CD极的过程中仅有电场力做功，由动能定理有
$Uq=1/2mv^2$
解得$v=\sqrt{2Uq/m}$。

Final answer: $\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 某空气净化设备可用于气体中有害离子的收集和分离，其简化原理如图甲所示，Ⅰ区为电场加速区，Ⅱ区为电场收集区。Ⅰ区和Ⅱ区之间是无场区。已知Ⅰ区中AB与CD两电极的电势差为U，Ⅱ区中分布着方向竖直向下的匀强电场，且EG与FH间的距离为d，假设大量相同的正离子在AB极均匀分布，从初速度为零开始加速，不考虑离子间的相互作用和重力的影响。

<img_1349>
甲

<img_1169>
乙
$若正离子的比荷为 \frac{q}{m}，求该离子到达 CD 极时的速度大小;$

Solution:
离子从AB极开始加速，到达CD极的过程中仅有电场力做功，由动能定理有
$Uq=1/2mv^2$
解得$v=\sqrt{2Uq/m}$。

Final answer: $\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

![24BTJ5WL430](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_dfed5989f65b820a9d8db58f9f466063.jpg)
图甲

![24BTJ5WL431](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_49cdab8a675cc15b16a6d0582a04d9f3.jpg)
图乙
在栅电极D的右侧正方体空间加垂直向里的匀强磁场，从栅电极C中央射入的氙离子加速后经栅电极D的中央O点进入磁场，恰好打在正方体的棱GH的中点Q上。求所加磁场磁感应强度B的大小。

Solution:
$氙离子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 Bv_0q=\frac{mv^2_0}{r}$

$氙离子从 O 点进入磁场，从 Q 点离开磁场，将立体图转换为平面图，氙离子的运动轨迹如图所示。$

![24BTJ5WL431a.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106776907778/img/compression/M_e51bd0d091e3796d0fd7fce2d7fc9cef.jpg)

$由几何关系有 r^2=L^2+\left(r-\frac{L}{2}\right)^2$

$解得 B=\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2mEd}{qL^2}}。$

Final answer: $\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2mEd}{qL^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

<img_1411>
图甲

<img_1093>
图乙
在栅电极D的右侧正方体空间加垂直向里的匀强磁场，从栅电极C中央射入的氙离子加速后经栅电极D的中央O点进入磁场，恰好打在正方体的棱GH的中点Q上。求所加磁场磁感应强度B的大小。

Solution:
$氙离子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 Bv_0q=\frac{mv^2_0}{r}$

$氙离子从 O 点进入磁场，从 Q 点离开磁场，将立体图转换为平面图，氙离子的运动轨迹如图所示。$

<img_440>

$由几何关系有 r^2=L^2+\left(r-\frac{L}{2}\right)^2$

$解得 B=\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2mEd}{qL^2}}。$

Final answer: $\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2mEd}{qL^2}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

<img_1411>
图甲

<img_1093>
图乙
$若该离子推进器在静止悬浮状态下进行实验，撤去离子推进器中的磁场，调整栅电极间的电场，推进器在开始的一段极短时间内喷射出 N 个氙离子以水平速度 v 通过栅电极 D ，该过程中氙离子和推进器获得的总动能占推进器提供能量的 \eta 倍，推进器的总质量可视为保持不变，推进器的总功率为 P ，求推进器获得的平均推力 F 的大小。$

Solution:
推进器悬浮时，在喷射离子的过程中，氙离子与推进器组成的系统动量守恒，有

$Mv'-Nmv=0 $

$设喷射过程持续的时间为t，则在此时间内，推进器做的总功W=Pt $

根据功能关系有 

$\eta W=\frac{1}{2} Mv'^2+\frac{1}{2} Nmv^2 $

此时间内推进器的动量增加量等于推力的冲量，由动量定理得 

$Ft=Mv' $

$联立解得 F=\frac{2\eta MP}{(M+Nm)v}。$

Final answer: $\frac{2\eta MP}{(M+Nm)v}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图甲所示为离子推进器，由离子源、间距为d的平行栅电极C、D和棱长为L的正方体空间构成，工作原理简化为如图乙所示。氙离子从离子源飘移过栅电极C(速度大小可忽略不计)，在栅电极C、D之间施加垂直于电极、场强为E的匀强电场，氙离子在电场中加速并从栅电极D喷出，在加速氙离子的过程中飞船获得推力。离子推进器处于真空环境中，不计氙离子间的相互作用及重力的影响，氙离子的质量为m、电荷量为q，推进器的总质量为M。若该离子推进器固定在地面上进行实验。$

![24BTJ5WL430](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_dfed5989f65b820a9d8db58f9f466063.jpg)
图甲

![24BTJ5WL431](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272106219065347/img/compression/M_49cdab8a675cc15b16a6d0582a04d9f3.jpg)
图乙
$若该离子推进器在静止悬浮状态下进行实验，撤去离子推进器中的磁场，调整栅电极间的电场，推进器在开始的一段极短时间内喷射出 N 个氙离子以水平速度 v 通过栅电极 D ，该过程中氙离子和推进器获得的总动能占推进器提供能量的 \eta 倍，推进器的总质量可视为保持不变，推进器的总功率为 P ，求推进器获得的平均推力 F 的大小。$

Solution:
推进器悬浮时，在喷射离子的过程中，氙离子与推进器组成的系统动量守恒，有

$Mv'-Nmv=0 $

$设喷射过程持续的时间为t，则在此时间内，推进器做的总功W=Pt $

根据功能关系有 

$\eta W=\frac{1}{2} Mv'^2+\frac{1}{2} Nmv^2 $

此时间内推进器的动量增加量等于推力的冲量，由动量定理得 

$Ft=Mv' $

$联立解得 F=\frac{2\eta MP}{(M+Nm)v}。$

Final answer: $\frac{2\eta MP}{(M+Nm)v}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、\sqrt{3}R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272134744526850/img/compression/M_c8ee4a4aa053027063702983f99b6e8f.jpg)
求粒子从P到M所用的时间t;

Solution:
$设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有$

$qvB=m\frac{v^2}{\sqrt{3}R}$

①

$设粒子在电场中运动所受电场力为F，有$

$F=qE$

②

$设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=ma$

③

粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有

$v=at$

④

联立①②③④式得

$t=\frac{\sqrt{3}RB}{E}$

⑤

Final answer: $\frac{\sqrt{3}RB}{E}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、\sqrt{3}R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。$

<img_761>
求粒子从P到M所用的时间t;

Solution:
$设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有$

$qvB=m\frac{v^2}{\sqrt{3}R}$

①

$设粒子在电场中运动所受电场力为F，有$

$F=qE$

②

$设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=ma$

③

粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有

$v=at$

④

联立①②③④式得

$t=\frac{\sqrt{3}RB}{E}$

⑤

Final answer: $\frac{\sqrt{3}RB}{E}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、\sqrt{3}R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。$

<img_761>
$若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出。粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v_0的大小。$

Solution:
$粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、轨迹半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定。故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短(如图所示)。设粒子在磁场中的轨迹半径为r',由几何关系可得$

<img_1431>

$({r}'-{R})^2+(\sqrt{3}{R})^2={r}'^2$

$设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为\theta，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知$

$\tan\space \theta=\frac{\sqrt{3}R}{{r}'-R}$

$粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v。在垂直于电场方向上的分速度始终等于v_0，由运动的合成和分解可得\tan\space \theta=\frac{v}{v_0}$

联立①⑥⑦⑧式得

$v_0=\frac{qBR}{m}$

Final answer: $\frac{qBR}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、\sqrt{3}R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。$

![题图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272134744526850/img/compression/M_c8ee4a4aa053027063702983f99b6e8f.jpg)
$若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出。粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v_0的大小。$

Solution:
$粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、轨迹半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定。故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短(如图所示)。设粒子在磁场中的轨迹半径为r',由几何关系可得$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272135046516738/img/compression/M_3bb88e1e3b499731c327ad3a9653c63f.jpg)

$({r}'-{R})^2+(\sqrt{3}{R})^2={r}'^2$

$设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为\theta，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知$

$\tan\space \theta=\frac{\sqrt{3}R}{{r}'-R}$

$粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v。在垂直于电场方向上的分速度始终等于v_0，由运动的合成和分解可得\tan\space \theta=\frac{v}{v_0}$

联立①⑥⑦⑧式得

$v_0=\frac{qBR}{m}$

Final answer: $\frac{qBR}{m}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为m、电荷量为+q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零。每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离。A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

<img_1026>
$A 运动第1周时磁场的磁感应强度 B_{1} 的大小；$

Solution:
$设A经电场第1次加速后的速度为v_1，由动能定理得$
$qU=\frac{1}{2}mv^2_1-0(①)$

A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
$qv_1B_1=\frac{mv^2_1}{R}(②)$

由①②得
$B_1=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}(③)$

Final answer: $\frac{1}{R}$, $\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为m、电荷量为+q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零。每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离。A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

![15GZTWL140.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272140364894210/img/compression/M_be2d2760364d9e5d127337fe0f34c8aa.jpg)
$A 运动第1周时磁场的磁感应强度 B_{1} 的大小；$

Solution:
$设A经电场第1次加速后的速度为v_1，由动能定理得$
$qU=\frac{1}{2}mv^2_1-0(①)$

A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
$qv_1B_1=\frac{mv^2_1}{R}(②)$

由①②得
$B_1=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}(③)$

Final answer: $\frac{1}{R}$, $\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为m、电荷量为+q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零。每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离。A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

![15GZTWL140.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272140364894210/img/compression/M_be2d2760364d9e5d127337fe0f34c8aa.jpg)
$在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率\overline{P}_{n}；$

Solution:
$设 A 经 n 次加速后的速度为 v_n ，由动能定理得$
$nqU=\frac{1}{2}mv^2_n-0$
④

$设 A 做第 n 次圆周运动的周期为 T_n ，有$
$T_n=\frac{2\pi R}{v_n}$
⑤

$设在 A 运动第 n 周的时间内电场力做功为 W_n ，则$
$W_n=qU$
⑥

在该段时间内电场力做功的平均功率为
$\overline{P}_n=\frac{W_n}{T_n}$
⑦

由④⑤⑥⑦解得
$\overline{P}_n=\frac{qU}{\pi R} \sqrt{\frac{nqU}{2m}}$
⑧

Final answer: $\frac{qU}{\pi R} $, $\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为m、电荷量为+q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零。每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离。A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

<img_1026>
$在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率\overline{P}_{n}；$

Solution:
$设 A 经 n 次加速后的速度为 v_n ，由动能定理得$
$nqU=\frac{1}{2}mv^2_n-0$
④

$设 A 做第 n 次圆周运动的周期为 T_n ，有$
$T_n=\frac{2\pi R}{v_n}$
⑤

$设在 A 运动第 n 周的时间内电场力做功为 W_n ，则$
$W_n=qU$
⑥

在该段时间内电场力做功的平均功率为
$\overline{P}_n=\frac{W_n}{T_n}$
⑦

由④⑤⑥⑦解得
$\overline{P}_n=\frac{qU}{\pi R} \sqrt{\frac{nqU}{2m}}$
⑧

Final answer: $\frac{qU}{\pi R} $, $\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v_0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：$

<img_909>
粒子到达O点时速度的大小；

Solution:
$在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有$

$2L=v_{0}t (①)$

$L=\frac{1}{2} at^{2} (②)$

$设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为v_{y}$

$v_{y}=at (③)$

$设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为\alpha ，有$

$\tan \alpha =\frac{v_y}{v_0} (④)$

联立①②③④式得

$\alpha =45^\circ  (⑤)$

$即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45^\circ 角斜向上$

$设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有$

$v=\sqrt{v^2_0+v^2_y} (⑥)$

联立①②③⑥式得

$v=\sqrt{2}v_{0} (⑦)$

Final answer: $\sqrt{2} v_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v_0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272127811342338/img/compression/M_57de70aef26a3589dcd98f760c12a683.jpg)
粒子到达O点时速度的大小；

Solution:
$在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有$

$2L=v_{0}t (①)$

$L=\frac{1}{2} at^{2} (②)$

$设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为v_{y}$

$v_{y}=at (③)$

$设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为\alpha ，有$

$\tan \alpha =\frac{v_y}{v_0} (④)$

联立①②③④式得

$\alpha =45^\circ  (⑤)$

$即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45^\circ 角斜向上$

$设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有$

$v=\sqrt{v^2_0+v^2_y} (⑥)$

联立①②③⑥式得

$v=\sqrt{2}v_{0} (⑦)$

Final answer: $\sqrt{2} v_{0}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

<img_654>
$求电场强度的大小 E；$

Solution:
$当电子的入射速度为v_0时，电子沿x轴做直线运动，则电场力与洛伦兹力平衡，有eE = ev_0B，解得电场强度的大小E = v_0B。$

Final answer: $v_{0}B$
Subfield: Electromagnetism


Question: $霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电荷量为 e 的电子从 O 点沿 x 轴正方向水平入射。入射速度为 v_0 时，电子沿 x 轴做直线运动；入射速度小于 v_0 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272128985747458/img/compression/M_96b1e88fdbbfb52906718ade20347a01.jpg)
$求电场强度的大小 E；$

Solution:
$当电子的入射速度为v_0时，电子沿x轴做直线运动，则电场力与洛伦兹力平衡，有eE = ev_0B，解得电场强度的大小E = v_0B。$

Final answer: $v_{0}B$
Subfield: Electromagnetism


Question: $由于受地球信风带和盛行西风带的影响，海洋中一部分海水做定向流动，称为风海流，风海流中蕴藏着巨大的动力资源。因为海水中含有大量的带电离子，这些离子随风海流做定向运动，如果有足够强的磁场能使海流中的正、负离子发生偏转，便可用来发电。如图为一利用风海流发电的磁流体发电机原理示意图，用绝缘材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道的上、下两个内表面装有两块金属板M、N，金属板长为a，宽为b，两板间的距离为d。将管道沿风海流方向固定在海洋中，在金属板之间加一水平匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向由南向北，用导线将M、N外侧连接电阻为R的航标灯(图中未画出)。工作时，海水从东向西流过管道，在两金属板之间形成电势差，可以对航标灯供电。设管道内海水的流速处处相同，且速率恒为v，海水的电阻率为\rho ，海水所受摩擦阻力与流速成正比，即f=kv，k为比例系数。$

<img_1105>
由于管道内海水中有电流通过，求磁场对管道内海水作用力的大小;

Solution:
$设管道内海水的电阻为r，则r=\rho \frac{d}{ab}$

$组成的闭合电路中电流为I=\frac{E}{R+r}$

$磁场对管道内海水的作用力大小为F=BId得F=\frac{B^2d^2v}{R+\rho \frac{d}{ab}}=\frac{B^2d^2vab}{abR+\rho d}$

$由左手定则判定F方向向东(向右)。$

Final answer: $\frac{B^2d^2vab}{abR+\rho d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $由于受地球信风带和盛行西风带的影响，海洋中一部分海水做定向流动，称为风海流，风海流中蕴藏着巨大的动力资源。因为海水中含有大量的带电离子，这些离子随风海流做定向运动，如果有足够强的磁场能使海流中的正、负离子发生偏转，便可用来发电。如图为一利用风海流发电的磁流体发电机原理示意图，用绝缘材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道的上、下两个内表面装有两块金属板M、N，金属板长为a，宽为b，两板间的距离为d。将管道沿风海流方向固定在海洋中，在金属板之间加一水平匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向由南向北，用导线将M、N外侧连接电阻为R的航标灯(图中未画出)。工作时，海水从东向西流过管道，在两金属板之间形成电势差，可以对航标灯供电。设管道内海水的流速处处相同，且速率恒为v，海水的电阻率为\rho ，海水所受摩擦阻力与流速成正比，即f=kv，k为比例系数。$

![Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272144523653122/img/compression/M_10c4b78a48e59dfba1aaa52e732170c0.jpg)
由于管道内海水中有电流通过，求磁场对管道内海水作用力的大小;

Solution:
$设管道内海水的电阻为r，则r=\rho \frac{d}{ab}$

$组成的闭合电路中电流为I=\frac{E}{R+r}$

$磁场对管道内海水的作用力大小为F=BId得F=\frac{B^2d^2v}{R+\rho \frac{d}{ab}}=\frac{B^2d^2vab}{abR+\rho d}$

$由左手定则判定F方向向东(向右)。$

Final answer: $\frac{B^2d^2vab}{abR+\rho d}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $由于受地球信风带和盛行西风带的影响，海洋中一部分海水做定向流动，称为风海流，风海流中蕴藏着巨大的动力资源。因为海水中含有大量的带电离子，这些离子随风海流做定向运动，如果有足够强的磁场能使海流中的正、负离子发生偏转，便可用来发电。如图为一利用风海流发电的磁流体发电机原理示意图，用绝缘材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道的上、下两个内表面装有两块金属板M、N，金属板长为a，宽为b，两板间的距离为d。将管道沿风海流方向固定在海洋中，在金属板之间加一水平匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向由南向北，用导线将M、N外侧连接电阻为R的航标灯(图中未画出)。工作时，海水从东向西流过管道，在两金属板之间形成电势差，可以对航标灯供电。设管道内海水的流速处处相同，且速率恒为v，海水的电阻率为\rho ，海水所受摩擦阻力与流速成正比，即f=kv，k为比例系数。$

![Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272144523653122/img/compression/M_10c4b78a48e59dfba1aaa52e732170c0.jpg)
$求在t时间内磁流体发电机消耗的总机械能。$

Solution:
闭合电路消耗的电能
$W_1=I^2(R+r)t$
克服阻力做功
$W_2=fx，f=kv,x=vt$
$由能量守恒定律可得在t时间内磁流体发电机消耗的总机械能W=W_1+W_2=\frac{B^2d^2v^2t}{R+\frac{\rho d}{ab}}+kv^2t=\frac{B^2d^2v^2abt}{abR+\rho d}+kv^2t。$

Final answer: $\frac{B^2d^2v^2abt}{abR+\rho d}+kv^2t$
Subfield: Electromagnetism


Question: $由于受地球信风带和盛行西风带的影响，海洋中一部分海水做定向流动，称为风海流，风海流中蕴藏着巨大的动力资源。因为海水中含有大量的带电离子，这些离子随风海流做定向运动，如果有足够强的磁场能使海流中的正、负离子发生偏转，便可用来发电。如图为一利用风海流发电的磁流体发电机原理示意图，用绝缘材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道的上、下两个内表面装有两块金属板M、N，金属板长为a，宽为b，两板间的距离为d。将管道沿风海流方向固定在海洋中，在金属板之间加一水平匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向由南向北，用导线将M、N外侧连接电阻为R的航标灯(图中未画出)。工作时，海水从东向西流过管道，在两金属板之间形成电势差，可以对航标灯供电。设管道内海水的流速处处相同，且速率恒为v，海水的电阻率为\rho ，海水所受摩擦阻力与流速成正比，即f=kv，k为比例系数。$

<img_1105>
$求在t时间内磁流体发电机消耗的总机械能。$

Solution:
闭合电路消耗的电能
$W_1=I^2(R+r)t$
克服阻力做功
$W_2=fx，f=kv,x=vt$
$由能量守恒定律可得在t时间内磁流体发电机消耗的总机械能W=W_1+W_2=\frac{B^2d^2v^2t}{R+\frac{\rho d}{ab}}+kv^2t=\frac{B^2d^2v^2abt}{abR+\rho d}+kv^2t。$

Final answer: $\frac{B^2d^2v^2abt}{abR+\rho d}+kv^2t$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

<img_1152>
求正三角形中匀强磁场的磁感应强度的大小;

Solution:
$粒子经磁场返回小孔b时，方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方，由题意知粒子从正三角形的同一条边进出磁场，结合上问粒子进入磁场时速度方向可知粒子在磁场中速度方向改变了180^\circ ，在磁场中的轨迹为半圆，轨迹如图；由几何关系可知粒子的轨迹直径D=2r=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}l，洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^2}{r}，解得B=\frac{mv}{qr}=\frac{8}{l}\sqrt{\frac{Um}{q}}，由左手定则分析可知，磁场方向垂直于纸面向里。$

<img_1130>

Final answer: $\frac{8}{l}\sqrt{\frac{Um}{q}}$
Subfield: Electromagnetism


Question: $如图所示,AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板,两板的长度与间距均为l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接,a是两板上边缘连线的中点,b是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形(图中未画出)中有垂直于纸面的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的粒子从a点竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场,并且会从小孔b再次进入电场,再次进入电场时的速度方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方,不计粒子所受的重力。$

![Physics Diagram](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272144997609475/img/compression/M_4510f2940f93d8e42cda73b8559c6729.jpg)
求正三角形中匀强磁场的磁感应强度的大小;

Solution:
$粒子经磁场返回小孔b时，方向与CD板成45^\circ 角斜向左上方，由题意知粒子从正三角形的同一条边进出磁场，结合上问粒子进入磁场时速度方向可知粒子在磁场中速度方向改变了180^\circ ，在磁场中的轨迹为半圆，轨迹如图；由几何关系可知粒子的轨迹直径D=2r=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}l，洛伦兹力提供向心力，有Bvq=m\frac{v^2}{r}，解得B=\frac{mv}{qr}=\frac{8}{l}\sqrt{\frac{Um}{q}}，由左手定则分析可知，磁场方向垂直于纸面向里。$

![question image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716272145379291138/img/compression/M_e4479340382ef56896f04fa38fbee027.jpg)

Final answer: $\frac{8}{l}\sqrt{\frac{Um}{q}}$