di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1\perp 平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$

<img_2267>
$求证：AC\perp 平面BDE；$

Solution:
$证明:在三棱柱ABC- A_1B_1C_1中，D，E分别为AC，A_1C_1的中点，\therefore DE\parallel AA_1，$

$\because AA_1\perp 平面ABC，\therefore DE\perp 平面ABC，$

$\because AC\subset 平面ABC，\therefore DE\perp AC，$

$在\triangle ABC中，AB=BC，D为AC的中点，\therefore AC\perp BD，$

$\because DE\cap BD = D，DE，BD\subset 平面BDE，\therefore AC\perp 平面BDE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\triangle ABC为等边三角形，四边形BCC_1B_1是边长为2的正方形，AC_1=2\sqrt{2}，D_1为B_1C_1的中点，D为棱BC上一点，BD_1\parallel 平面ADC_1.$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268088812040194/img/compression/M_2cb30fa4161c4f58d3b075da7f665e11.jpg)
$求证：D为BC中点；$

Solution:
$证明：\because BD_1\parallel 平面ADC_1，BD_1\subset 平面BB_1C_1C，平面ADC_1\cap 平面BB_1C_1C=DC_1，\therefore BD_1\parallel DC_1，$
$又BD\parallel D_1C_1，\therefore 四边形BD_1C_1D为平行四边形，$
$又D_1为B_1C_1的中点，\therefore BD=D_1C_1=\frac{1}{2}B_1C_1=\frac{1}{2}BC，$
$\therefore D为BC的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\triangle ABC为等边三角形，四边形BCC_1B_1是边长为2的正方形，AC_1=2\sqrt{2}，D_1为B_1C_1的中点，D为棱BC上一点，BD_1\parallel 平面ADC_1.$

<img_2966>
$求证：D为BC中点；$

Solution:
$证明：\because BD_1\parallel 平面ADC_1，BD_1\subset 平面BB_1C_1C，平面ADC_1\cap 平面BB_1C_1C=DC_1，\therefore BD_1\parallel DC_1，$
$又BD\parallel D_1C_1，\therefore 四边形BD_1C_1D为平行四边形，$
$又D_1为B_1C_1的中点，\therefore BD=D_1C_1=\frac{1}{2}B_1C_1=\frac{1}{2}BC，$
$\therefore D为BC的中点.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=4，AD= AA1=2，E 是 A1D1 的中点，平面 ACE 与棱 C1D1 相交于点 F.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268092402364418/img/compression/M_2239766426b4acb6a52456e33688df85.jpg)
$求证：点F为C_1D_1的中点；$

Solution:
$因为平面ABCD \parallel  平面 A_1B_1C_1D_1 ，平面 ACE \cap  平面 ABCD = AC ，平面 ACE \cap  平面 ABCD = EF ，所以 EF \parallel  AC .(面面平行的性质定理)$
$连接 A_1C_1 .$
$因为 AA_1 \parallel  CC_1 , AA_1 = CC_1 ，$
$所以四边形 AA_1C_1C 是平行四边形.$
$所以 A_1C_1 \parallel  AC ，所以 EF \parallel  A_1C_1 .$
$因为点 E 是 A_1D_1 的中点，所以点 F 为 C_1D_1 的中点.(三角形中位线定理的逆定理)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=4，AD= AA1=2，E 是 A1D1 的中点，平面 ACE 与棱 C1D1 相交于点 F.$
<img_367>
$求证：点F为C_1D_1的中点；$

Solution:
$因为平面ABCD \parallel  平面 A_1B_1C_1D_1 ，平面 ACE \cap  平面 ABCD = AC ，平面 ACE \cap  平面 ABCD = EF ，所以 EF \parallel  AC .(面面平行的性质定理)$
$连接 A_1C_1 .$
$因为 AA_1 \parallel  CC_1 , AA_1 = CC_1 ，$
$所以四边形 AA_1C_1C 是平行四边形.$
$所以 A_1C_1 \parallel  AC ，所以 EF \parallel  A_1C_1 .$
$因为点 E 是 A_1D_1 的中点，所以点 F 为 C_1D_1 的中点.(三角形中位线定理的逆定理)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面PAC\perp 平面ABC，AB\perp BC，AB=BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC=8，PA=PC=5.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268093820039169/img/compression/M_d187d648d509685520f8f8113549dcc3.jpg)
$设平面PBC\cap 平面BOD=l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；$

Solution:
$直线l\parallel PC，证明如下：$
$因为D，O分别为PA，AC的中点，所以DO\parallel PC.$
$又因为DO\subset 平面BOD，PC\not\subset 平面BOD，$
$所以PC\parallel 平面BOD.$
$因为PC\subset 平面PBC，平面PBC\cap 平面BOD=l，$
$所以l\parallel PC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，平面PAC\perp 平面ABC，AB\perp BC，AB=BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC=8，PA=PC=5.$
<img_2200>
$设平面PBC\cap 平面BOD=l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；$

Solution:
$直线l\parallel PC，证明如下：$
$因为D，O分别为PA，AC的中点，所以DO\parallel PC.$
$又因为DO\subset 平面BOD，PC\not\subset 平面BOD，$
$所以PC\parallel 平面BOD.$
$因为PC\subset 平面PBC，平面PBC\cap 平面BOD=l，$
$所以l\parallel PC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,底面ABCD是边长为2的正方形,DD_1=4,E,F分别是CC_1, B_1C_1的中点.$
<img_1942>
$求证：A_1F\parallel 平面AED_1；$

Solution:
$证明：连接A_1D，设A_1D\cap AD_1=O，连接OE,EF,B_1C.在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，因为A_1B_1\parallel CD，且A_1B_1=CD，所以四边形A_1B_1CD是平行四边形．所以A_1D\parallel B_1C，且A_1D=B_1C。因为E,F分别是CC_1,B_1C_1的中点，所以FE\parallel B_1C，且FE=\frac{1}{2}B_1C。$

$在矩形A_1ADD_1中,O是A_1D的中点，所以A_1O\parallel FE，且A_1O=FE。$

$所以四边形A_1OEF是平行四边形。所以A_1F\parallel OE。$

$因为A_1F\not\subset 平面AED_1, OE\subset 平面AED_1，所以A_1F\parallel 平面AED_1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图,在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,底面ABCD是边长为2的正方形,DD_1=4,E,F分别是CC_1, B_1C_1的中点.$
![question_image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268095271268354/img/compression/M_4b6add02f0706778992248e7fe4690ff.jpg)
$求证：A_1F\parallel 平面AED_1；$

Solution:
$证明：连接A_1D，设A_1D\cap AD_1=O，连接OE,EF,B_1C.在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，因为A_1B_1\parallel CD，且A_1B_1=CD，所以四边形A_1B_1CD是平行四边形．所以A_1D\parallel B_1C，且A_1D=B_1C。因为E,F分别是CC_1,B_1C_1的中点，所以FE\parallel B_1C，且FE=\frac{1}{2}B_1C。$

$在矩形A_1ADD_1中,O是A_1D的中点，所以A_1O\parallel FE，且A_1O=FE。$

$所以四边形A_1OEF是平行四边形。所以A_1F\parallel OE。$

$因为A_1F\not\subset 平面AED_1, OE\subset 平面AED_1，所以A_1F\parallel 平面AED_1.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 底面ABCD，CD\parallel AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=\sqrt{3}.$

<img_2588>
$证明：BD \perp PA;$

Solution:
$证明：过D作DH \perp AB,垂足为H，则AH=\frac{1}{2},又AD=1,所以DH=\frac{\sqrt{3}}{2}.易知BH=\frac{3}{2},所以BD=\sqrt{3},在\triangle ABD中，AD^2+BD^2=AB^2,所以AD \perp BD.因为PD \perp 平面 ABCD,BD \subset 平面 ABCD，所以PD \perp BD,又因为PD \cap AD=D,所以BD \perp 平面 PAD，又PA \subset 平面 PAD,所以BD \perp PA.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 底面ABCD，CD\parallel AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=\sqrt{3}.$

![23GZT5SX6.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268057733369857/img/compression/M_2f4c33999697b6aeb725683d0e2f9ce8.jpg)
$证明：BD \perp PA;$

Solution:
$证明：过D作DH \perp AB,垂足为H，则AH=\frac{1}{2},又AD=1,所以DH=\frac{\sqrt{3}}{2}.易知BH=\frac{3}{2},所以BD=\sqrt{3},在\triangle ABD中，AD^2+BD^2=AB^2,所以AD \perp BD.因为PD \perp 平面 ABCD,BD \subset 平面 ABCD，所以PD \perp BD,又因为PD \cap AD=D,所以BD \perp 平面 PAD，又PA \subset 平面 PAD,所以BD \perp PA.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中,PA\perp 平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=\sqrt{3}.$
<img_1724>
$求证：BC \perp 平面 PAB;$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABC, BC, AB\subset 平面ABC,所以PA\perp BC, PA\perp AB.所以PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{2}.又因为BC=1, PC=\sqrt{3}, 所以PB^2+BC^2=PC^2,所以PB\perp BC,又因为PA\perp BC,且PA\cap PB=P, PA, PB\subset 平面PAB,所以BC\perp 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中,PA\perp 平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=\sqrt{3}.$
![24GZT5SX70.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061034287105/img/compression/M_07de336452ec87a3337bf6049a4f43b0.jpg)
$求证：BC \perp 平面 PAB;$

Solution:
$证明：因为PA\perp 平面ABC, BC, AB\subset 平面ABC,所以PA\perp BC, PA\perp AB.所以PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{2}.又因为BC=1, PC=\sqrt{3}, 所以PB^2+BC^2=PC^2,所以PB\perp BC,又因为PA\perp BC,且PA\cap PB=P, PA, PB\subset 平面PAB,所以BC\perp 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，AD \perp CD，AD \parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061596323843/img/compression/M_0522d0e632ccd528c7d3c89dc35fccff.jpg)
$求证：CD\perp 平面PAD；$

Solution:
证明：因为PA垂直于平面ABCD，CD属于平面ABCD，所以PA垂直于CD，
又因为AD垂直于CD，且AD交PA于A，所以CD垂直于平面PAD。

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，AD \perp CD，AD \parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$

<img_3107>
$求证：CD\perp 平面PAD；$

Solution:
证明：因为PA垂直于平面ABCD，CD属于平面ABCD，所以PA垂直于CD，
又因为AD垂直于CD，且AD交PA于A，所以CD垂直于平面PAD。
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
求证：M为PB的中点；

Solution:
$证明：设AC，BD交点为E，连接ME。$
![18GZTLSX22A答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268068550479874/img/compression/M_d135af96180e59728e49da155e1a9568.jpg){width=172px}
$因为PD\parallel 平面MAC，平面MAC\cap 平面PDB=ME，$
$所以PD\parallel ME.$
$因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点.$
$所以M为PB的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

<img_1527>
求证：M为PB的中点；

Solution:
$证明：设AC，BD交点为E，连接ME。$
<img_2869>{width=172px}
$因为PD\parallel 平面MAC，平面MAC\cap 平面PDB=ME，$
$所以PD\parallel ME.$
$因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点.$
$所以M为PB的中点.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
![19GZTLSX19.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
$求证：AC\perp 平面BEF；$

Solution:
$证明：\because AB=BC，且E是AC的中点，$

$\therefore AC \perp BE.$

$\because 在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，E，F分别是AC，A_1C_1的中点，\therefore EF \parallel CC_1.$

$\because CC_1 \perp 平面ABC，\therefore EF \perp 平面ABC，$

$\because AC\subset 平面ABC，\therefore EF \perp AC，$

$\because EF，BE\subset 平面BEF，EF \cap BE =E，\therefore AC \perp 平面BEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
<img_2557>
$求证：AC\perp 平面BEF；$

Solution:
$证明：\because AB=BC，且E是AC的中点，$

$\therefore AC \perp BE.$

$\because 在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，E，F分别是AC，A_1C_1的中点，\therefore EF \parallel CC_1.$

$\because CC_1 \perp 平面ABC，\therefore EF \perp 平面ABC，$

$\because AC\subset 平面ABC，\therefore EF \perp AC，$

$\because EF，BE\subset 平面BEF，EF \cap BE =E，\therefore AC \perp 平面BEF.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
![19GZTLSX19.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
$证明：直线FG与平面BCD相交.$

Solution:
$证法一： \because  F(0，0，2)，G(0，2，1)，$
$\therefore  \overrightarrow{FG} =(0，2，-1).$
$由(2)知平面 BCD 的一个法向量为 n =(2，-1，-4)，$
$设直线 FG 与平面 BCD 的夹角为 \theta ，$
$\therefore sin \theta =|cos\langle \overrightarrow{FG} ， n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{FG}\cdot n}{|\overrightarrow{FG}|\cdot |n|}\right| = \frac{|-2+4|}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}} =\frac{2}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}} \neq 0，$
$\therefore  \theta \neq 0，\therefore 直线 FG 与平面 BCD 相交.$

$证法二： 假设直线 FG 与平面 BCD 平行，$
$设 CD 与 EF 的交点为 M ，连接 BM ， B_1F .$
$\because  FG 为平面 BB_1FE 的\subset ，且平面 BB_1FE \cap 平面 BCD =BM ，$
$\therefore  FG \parallel  BM ，\because  BG \parallel  FM ，$
$\therefore 四边形 BMFG 为平行四边形，$
$\therefore  FM =BG ，易知 FM \neq  BG ，\therefore 假设不成立，$
$\therefore 直线 FG 与平面 BCD 相交.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
<img_2557>
$证明：直线FG与平面BCD相交.$

Solution:
$证法一： \because  F(0，0，2)，G(0，2，1)，$
$\therefore  \overrightarrow{FG} =(0，2，-1).$
$由(2)知平面 BCD 的一个法向量为 n =(2，-1，-4)，$
$设直线 FG 与平面 BCD 的夹角为 \theta ，$
$\therefore sin \theta =|cos\langle \overrightarrow{FG} ， n\rangle |=\left|\frac{\overrightarrow{FG}\cdot n}{|\overrightarrow{FG}|\cdot |n|}\right| = \frac{|-2+4|}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}} =\frac{2}{\sqrt{5}\times \sqrt{21}} \neq 0，$
$\therefore  \theta \neq 0，\therefore 直线 FG 与平面 BCD 相交.$

$证法二： 假设直线 FG 与平面 BCD 平行，$
$设 CD 与 EF 的交点为 M ，连接 BM ， B_1F .$
$\because  FG 为平面 BB_1FE 的\subset ，且平面 BB_1FE \cap 平面 BCD =BM ，$
$\therefore  FG \parallel  BM ，\because  BG \parallel  FM ，$
$\therefore 四边形 BMFG 为平行四边形，$
$\therefore  FM =BG ，易知 FM \neq  BG ，\therefore 假设不成立，$
$\therefore 直线 FG 与平面 BCD 相交.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD\perp CD，\angle ADB=\angle ADC=60^\circ ，E为BC的中点.$
<img_349>
$证明: BC \perp DA；$

Solution:
$证明：连接AE，DE，$
$\because DB=DC,E为BC的中点，\therefore DE\perp BC.$
$又\because DA=DB=DC,\angle ADB=\angle ADC=60^\circ ,$
$\therefore \triangle ACD与\triangle ABD均为等边三角形,$
$\therefore AC=AB,\therefore AE\perp BC.$
$又\because AE\cap DE=E,AE\subset 平面ADE,DE\subset 平面ADE,$
$\therefore BC\perp 平面ADE,$
$又\because DA\subset 平面ADE,\therefore BC\perp DA.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD\perp CD，\angle ADB=\angle ADC=60^\circ ，E为BC的中点.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268073264877571/img/compression/M_de29da90feca03c43a87ef0366594e17.jpg)
$证明: BC \perp DA；$

Solution:
$证明：连接AE，DE，$
$\because DB=DC,E为BC的中点，\therefore DE\perp BC.$
$又\because DA=DB=DC,\angle ADB=\angle ADC=60^\circ ,$
$\therefore \triangle ACD与\triangle ABD均为等边三角形,$
$\therefore AC=AB,\therefore AE\perp BC.$
$又\because AE\cap DE=E,AE\subset 平面ADE,DE\subset 平面ADE,$
$\therefore BC\perp 平面ADE,$
$又\because DA\subset 平面ADE,\therefore BC\perp DA.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_1B_1C_1中，已知A_1A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_1=2，A_1C_1=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268074628026369/img/compression/M_d0d3f0b9eac0c6da2d33d5135562b272.jpg)
$求证：A_1N\parallel 平面C_1MA；$

Solution:
$证明：连接MN，$
$因为N为线段AB的中点，M为线段BC的中点，$
$所以MN是\triangle ABC的中位线，$
$所以MN\parallel AC，且MN=\frac{1}{2} AC.$
$在三棱台ABC-A_1B_1C_1中，A_1C_1\parallel AC，又AC=2，A_1C_1=1，所以A_1C_1=\frac{1}{2} AC，$
$所以MN\parallel A_1C_1，且MN=A_1C_1，$
$所以四边形A_1C_1MN是平行四边形，所以A_1N\parallel C_1M.$
$又A_1N\not\subset 平面C_1MA，C_1M\subset 平面C_1MA，$
$所以A_1N\parallel 平面C_1MA.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱台ABC-A_1B_1C_1中，已知A_1A\perp 平面ABC，AB\perp AC，AB=AC=AA_1=2，A_1C_1=1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点.$
<img_2106>
$求证：A_1N\parallel 平面C_1MA；$

Solution:
$证明：连接MN，$
$因为N为线段AB的中点，M为线段BC的中点，$
$所以MN是\triangle ABC的中位线，$
$所以MN\parallel AC，且MN=\frac{1}{2} AC.$
$在三棱台ABC-A_1B_1C_1中，A_1C_1\parallel AC，又AC=2，A_1C_1=1，所以A_1C_1=\frac{1}{2} AC，$
$所以MN\parallel A_1C_1，且MN=A_1C_1，$
$所以四边形A_1C_1MN是平行四边形，所以A_1N\parallel C_1M.$
$又A_1N\not\subset 平面C_1MA，C_1M\subset 平面C_1MA，$
$所以A_1N\parallel 平面C_1MA.$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n，b_n，c_n满足a_1=b_1=c_1=1，c_n=a_{n+1}-a_n，c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}}c_n，n属于正整数集N^.$
$若b_n为等差数列，公差d>0，证明：c_1+c_2+c_3+\ldots +c_n<1+\frac{1}{d}，n \in N^.$

Solution:
$由c_{n+1} = \frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n 得 c_n = \frac{b_1b_2c_1}{b_nb_{n+1}} = \frac{1+d}{d} \left(\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_{n+1}}\right),$

$所以 c_1 + c_2 + c_3 + \ldots + c_n = \frac{1+d}{d}  \left(1-\frac{1}{b_{n+1}}\right).$

$由b_1 = 1, d > 0 得 b_{n+1} > 0, 因此 c_1 + c_2 + c_3 + \ldots + c_n < 1+ \frac{1}{d}，n \in \mathbb{N}^.$
Subfield: Sequence


Question: $已知公差不为零的等差数列a_n的前n项和为S_n，S_3=6，a_2，a_4，a_8成等比数列，数列b_n满足b_1=1，b_{n+1}=2b_n+1.$
$证明：\sum \limits^{n}_{{k=1}} \frac{b_{k+1}}{b_k} <2n+2  (n \in N^).$

Solution:
证明：

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}-1}{2^n-1} = \frac{2^{n+1}-2+1}{2^n-1} = 2+ \frac{1}{2^n-1} \leq  2+ \frac{1}{2^{n-1}}$

因此，

$\sum \limits^{n}_{{k=1}} \frac{b_{k+1}}{b_k} \leq  2n + \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} = 2n + 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right) = 2n + 2- \frac{1}{2^{n-1}}$

$当 n 属于 N^ 时， $

$\frac{1}{2^{n-1}} > 0$

因此，

$\sum \limits^{n}_{{k=1}} \frac{b_{k+1}}{b_k} < 2n + 2$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，\triangle PAB是正三角形，G是\triangle PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF=3FC.$

<img_308>
$求证：平面DFH\parallel 平面PGE；$

Solution:
证明：连接BG，GD，由题意得BG与GD共线，且BG=2GD，
\because E是BC的中点，BF=3FC，\therefore F是CE的中点，
$\therefore \frac{BG}{GD}=\frac{BE}{EF}=2，\therefore GE\parallel DF，$
\because GE\subset 平面PGE，DF\not\subset 平面PGE，\therefore DF\parallel 平面PGE，
\because H是PC的中点，\therefore FH\parallel PE，
\because HF\not\subset 平面PGE，PE\subset 平面PGE，\therefore FH\parallel 平面PGE，
\because DF\cap FH=F，\therefore 平面DFH\parallel 平面PGE.
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，\triangle PAB是正三角形，G是\triangle PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF=3FC.$

![22BKB5LSX234.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610083964690435/img/compression/M_92fefe75627deb6551cd1f0334503286.jpg)
$求证：平面DFH\parallel 平面PGE；$

Solution:
证明：连接BG，GD，由题意得BG与GD共线，且BG=2GD，
\because E是BC的中点，BF=3FC，\therefore F是CE的中点，
$\therefore \frac{BG}{GD}=\frac{BE}{EF}=2，\therefore GE\parallel DF，$
\because GE\subset 平面PGE，DF\not\subset 平面PGE，\therefore DF\parallel 平面PGE，
\because H是PC的中点，\therefore FH\parallel PE，
\because HF\not\subset 平面PGE，PE\subset 平面PGE，\therefore FH\parallel 平面PGE，
\because DF\cap FH=F，\therefore 平面DFH\parallel 平面PGE.

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA\perp 平面ABCD，M为PC的中点。$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1632636360653598722/img/compression/M_11a61dd53eaf94b126bf41743b84c5bc.jpg)
$求证：PA\parallel 平面MBD；$

Solution:
$证明：连接AC交BD于点O，可知O为AC的中点，连接OM，又M为PC的中点，所以OM\parallel PA，又OM\subset 平面MBD，PA\not\subset 平面MBD，所以PA\parallel 平面MBD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA\perp 平面ABCD，M为PC的中点。$
<img_253>
$求证：PA\parallel 平面MBD；$

Solution:
$证明：连接AC交BD于点O，可知O为AC的中点，连接OM，又M为PC的中点，所以OM\parallel PA，又OM\subset 平面MBD，PA\not\subset 平面MBD，所以PA\parallel 平面MBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$
![23BXGK5SX97.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610140755566594/img/compression/M_bc68c6126fdab19fd13be1621f5221de.jpg)
$求证：平面 BMD \parallel 平面 EFC；$

Solution:
证明：连接AC，交BD于点N，
$\therefore N为AC的中点，连接MN，\because M为棱AE的中点，$
$\therefore MN\parallel EC.$
$\because MN\not\subset 平面EFC，EC\subset 平面EFC，\therefore MN\parallel 平面EFC.
\because BF\parallel DE,BF=DE,\therefore 四边形BDEF为平行四边形,$
$\therefore BD\parallel EF.又BD\not\subset 平面EFC,EF\subset 平面EFC,
\therefore BD\parallel 平面EFC,又MN\cap BD=N，$
$\therefore 平面BMD\parallel 平面EFC.$

这其中的各种符号 ($\therefore ,\because ,\parallel ,\not\subset ,\subset ,\cap$ ) 都是数学中常用的符号，分别代表“因此”、“因为”、“平行”、“不包含”、“包含”、“并”的意思。

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF\parallel DE，M为棱AE的中点.$
<img_2438>
$求证：平面 BMD \parallel 平面 EFC；$

Solution:
证明：连接AC，交BD于点N，
$\therefore N为AC的中点，连接MN，\because M为棱AE的中点，$
$\therefore MN\parallel EC.$
$\because MN\not\subset 平面EFC，EC\subset 平面EFC，\therefore MN\parallel 平面EFC.
\because BF\parallel DE,BF=DE,\therefore 四边形BDEF为平行四边形,$
$\therefore BD\parallel EF.又BD\not\subset 平面EFC,EF\subset 平面EFC,
\therefore BD\parallel 平面EFC,又MN\cap BD=N，$
$\therefore 平面BMD\parallel 平面EFC.$

这其中的各种符号 ($\therefore ,\because ,\parallel ,\not\subset ,\subset ,\cap$ ) 都是数学中常用的符号，分别代表“因此”、“因为”、“平行”、“不包含”、“包含”、“并”的意思。
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.
![24AXGK5SX358.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610167754301443/img/compression/M_c9f25fd1d7bf956fa63d3e301366afaa.jpg)
$证明：PA \perp 平面 PBD；$

Solution:
证明：$取AD的中点O，连接OP，OE，\because EA=ED，且O是AD的中点，\therefore EO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，EO\subset 平面ABCD，$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610168396029953/img/compression/M_a06c078b98da6090bb38d391f68489c9.jpg)
$\therefore EO\perp 平面PAD，\because PA\subset 平面PAD，\therefore EO\perp PA，
又\because EO\parallel BD，\therefore PA\perp BD，$
$又PA\perp PD，BD\cap PD=D，PD，BD\subset 平面PBD，
\therefore PA\perp 平面PBD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA\perp PD，PA=PD，AD=4，E为AB的中点，DE=AE，侧面PAD\perp 底面ABCD.
<img_2943>
$证明：PA \perp 平面 PBD；$

Solution:
证明：$取AD的中点O，连接OP，OE，\because EA=ED，且O是AD的中点，\therefore EO\perp AD，\because 平面PAD\perp 平面ABCD，平面PAD\cap 平面ABCD=AD，EO\subset 平面ABCD，$
<img_2542>
$\therefore EO\perp 平面PAD，\because PA\subset 平面PAD，\therefore EO\perp PA，
又\because EO\parallel BD，\therefore PA\perp BD，$
$又PA\perp PD，BD\cap PD=D，PD，BD\subset 平面PBD，
\therefore PA\perp 平面PBD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610238911787013/img/compression/M_07d87029d68c20fa3861e7cbb629f210.jpg)
$求证：QB\perp 平面EAC；$

Solution:
证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp BD.连接OQ，因为四棱锥Q-ABCD是正四棱锥，所以$OQ\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以OQ\perp AC，因为OQ\cap BD=O，所以AC\perp 平面QBD，因为BQ\subset 平面QBD，所以AC\perp BQ.$

$延长QO与PB交于点F，因为PD\perp 平面ABCD，DQ\perp 平面ABCD，所以PD\parallel QO，因为O为BD的中点，所以F为PB的中点，则OF=\frac{1}{2}PD=2，又OQ=4，OB=2\sqrt{2}，所以QF=6，BF^2=OF^2+OB^2=2^2+(2\sqrt{2})^2=12，QB^2=OQ^2+OB^2=4^2+(2\sqrt{2})^2=24，所以BF^2+QB^2=QF^2，所以QB\perp BF.$

$连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以OE\parallel BF，所以QB\perp OE，因为OE\cap AC=O，所以QB\perp 平面EAC.$

![24AXGK5SX97.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610239700316161/img/compression/M_5ab6c8e3d3412d7cac0ccb2eae228636.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD\perp 平面ABCD，PD=4，点E为PD的中点，四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.$
<img_2312>
$求证：QB\perp 平面EAC；$

Solution:
证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp BD.连接OQ，因为四棱锥Q-ABCD是正四棱锥，所以$OQ\perp 平面ABCD，因为AC\subset 平面ABCD，所以OQ\perp AC，因为OQ\cap BD=O，所以AC\perp 平面QBD，因为BQ\subset 平面QBD，所以AC\perp BQ.$

$延长QO与PB交于点F，因为PD\perp 平面ABCD，DQ\perp 平面ABCD，所以PD\parallel QO，因为O为BD的中点，所以F为PB的中点，则OF=\frac{1}{2}PD=2，又OQ=4，OB=2\sqrt{2}，所以QF=6，BF^2=OF^2+OB^2=2^2+(2\sqrt{2})^2=12，QB^2=OQ^2+OB^2=4^2+(2\sqrt{2})^2=24，所以BF^2+QB^2=QF^2，所以QB\perp BF.$

$连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以OE\parallel BF，所以QB\perp OE，因为OE\cap AC=O，所以QB\perp 平面EAC.$

<img_2068>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD\perp 底面ABCD，M是PD的中点．$

<img_265>
证明：AM垂直平面PCD；

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是矩形，所以CD\perp AD。$

$因为侧面PAD\perp 底面ABCD，侧面PAD\cap 底面ABCD=AD，CD\subset 平面ABCD，所以CD\perp 平面PAD，因为AM\subset 平面PAD，所以CD\perp AM。$

$又\triangle PAD是正三角形，M是PD的中点，$

$所以PD\perp AM，又PD\cap CD=D，PD，CD\subset 平面PCD，所以AM\perp 平面PCD。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD\perp 底面ABCD，M是PD的中点．$

![Alt Text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610240237187074/img/compression/M_33213ed7166fe72f9a245f8abb4d099c.jpg)
证明：AM垂直平面PCD；

Solution:
$证明：因为四边形ABCD是矩形，所以CD\perp AD。$

$因为侧面PAD\perp 底面ABCD，侧面PAD\cap 底面ABCD=AD，CD\subset 平面ABCD，所以CD\perp 平面PAD，因为AM\subset 平面PAD，所以CD\perp AM。$

$又\triangle PAD是正三角形，M是PD的中点，$

$所以PD\perp AM，又PD\cap CD=D，PD，CD\subset 平面PCD，所以AM\perp 平面PCD。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的等边三角形，且满足\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}，M，N分别为BC，AB的中点，\overrightarrow{MF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{MN}，PD\perp 平面ABC。$

<img_409>
证明：$平面PDF垂直于平面PMN$；

Solution:
$证明：因为 \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}， AC=6，所以 AD=4，CD=2，因为 M，N 分别为 BC，AB 的中点，所以 MN\parallel AC，MN=\frac{1}{2} AC =3，因为 \overrightarrow{MF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{MN}，所以 MF=\frac{1}{2}，在\triangle  ABC 内，取 AC 的中点 K，连接 BK 交 MN 于 H，则 BK\perp AC，KD=1，MH=\frac{1}{2}MN=\frac{3}{2}，则 FH=1，所以 FH < KD，所以四边形 FDKH 为平行四边形，所以 DF\parallel BK，所以 DF\perp AC，所以 DF\perp MN.$

$又 PD\perp  平面 ABC，MN\subset  平面 ABC，所以 PD\perp MN，因为 PD\cap DF = D，PD, DF \subset  平面 PDF，所以 MN\perp  平面 PDF，因为 MN\subset  平面 PMN，所以平面 PDF\perp  平面 PMN.$

<img_114>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的等边三角形，且满足\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}，M，N分别为BC，AB的中点，\overrightarrow{MF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{MN}，PD\perp 平面ABC。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610263739125762/img/compression/M_4feb1632e0f0bf2d64886d73e1110149.jpg)
证明：$平面PDF垂直于平面PMN$；

Solution:
$证明：因为 \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}， AC=6，所以 AD=4，CD=2，因为 M，N 分别为 BC，AB 的中点，所以 MN\parallel AC，MN=\frac{1}{2} AC =3，因为 \overrightarrow{MF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{MN}，所以 MF=\frac{1}{2}，在\triangle  ABC 内，取 AC 的中点 K，连接 BK 交 MN 于 H，则 BK\perp AC，KD=1，MH=\frac{1}{2}MN=\frac{3}{2}，则 FH=1，所以 FH < KD，所以四边形 FDKH 为平行四边形，所以 DF\parallel BK，所以 DF\perp AC，所以 DF\perp MN.$

$又 PD\perp  平面 ABC，MN\subset  平面 ABC，所以 PD\perp MN，因为 PD\cap DF = D，PD, DF \subset  平面 PDF，所以 MN\perp  平面 PDF，因为 MN\subset  平面 PMN，所以平面 PDF\perp  平面 PMN.$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610264246636546/img/compression/M_5bcacb2d66d67fca15017da6464b6a91.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点。
<img_2178>
$求证：AM \parallel  平面 SCD；$

Solution:
$因为SA\perp 底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，以向量\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AS}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)，所以\overrightarrow{AM}=(0,1,1)，\overrightarrow{SD}=(1,0,-2)，\overrightarrow{CD}=(-1,-2,0).$

$证明：设平面SCD的法向量为\mathbf{n}=(x,y,z)，$

则
$$
\begin{cases}
\overrightarrow{SD} \cdot \mathbf{n}=0,\\ 
\overrightarrow{CD} \cdot \mathbf{n}=0,
\end{cases}
$$

即
$$
\begin{cases}
x-2z=0,\\ 
-x-2y=0,
\end{cases}
$$

$令z＝1，则x＝2，y＝-1，则\mathbf{n}=(2,-1,1).$

$因此\overrightarrow{AM}\cdot \mathbf{n}=-1+1=0，从而\overrightarrow{AM}\perp \mathbf{n},又AM\not\subset 平面SCD，所以AM\parallel 平面SCD.$