di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级中随机抽取100名学生测量其身高，把他们的身高(单位：cm)按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到如图所示的频率分布直方图．$<img_2385>
$(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175 cm的学生人数；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，(0.01+0.02+x+0.06+0.07)\times 5=1，所以x=0.04．易得样本中身高不低于175 cm的学生的频率为(0.04+0.02)\times 5=0.3，所以样本中身高不低于175 cm的学生人数为100\times 0.3=30．$

Final answer: $0.04, 30$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级中随机抽取100名学生测量其身高，把他们的身高(单位：cm)按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到如图所示的频率分布直方图．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664561087963137/img/compression/M_889ef658240d7a5c259831a08c6f2724.jpg)
$(2)若在统计过程中，小明与小张两名同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172 cm，方差为29，之后补测得到小明与小张的身高分别为171 cm与173 cm．试求这100个样本数据的方差．$

Solution:
$设除小张与小明外其他98名同学的身高(单位：cm)分别为x_{1}，x_{2}，x_{3}，\ldots ，x_{98}，小张与小明的身高分别为x_{99}，x_{100}，这100个样本数据的平均数为\overline{x}，方差为s^{2}．由题意得\overline{x}=\frac{1}{100}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{98}+x_{99}+x_{100})=\frac{1}{100}\times (172\times 98+171+173)=172(cm),又(x_{1}-172)^{2}+(x_{2}-172)^{2}+\ldots +(x_{98}-172)^{2}=98\times 29=2 842，所以s^{2}=\frac{1}{100}\sum \limits^{100}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\frac{2 842+(171-172)^2+(173-172)^2}{100}=28.44．$

Final answer: $28.44$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级中随机抽取100名学生测量其身高，把他们的身高(单位：cm)按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到如图所示的频率分布直方图．$<img_2385>
$(2)若在统计过程中，小明与小张两名同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172 cm，方差为29，之后补测得到小明与小张的身高分别为171 cm与173 cm．试求这100个样本数据的方差．$

Solution:
$设除小张与小明外其他98名同学的身高(单位：cm)分别为x_{1}，x_{2}，x_{3}，\ldots ，x_{98}，小张与小明的身高分别为x_{99}，x_{100}，这100个样本数据的平均数为\overline{x}，方差为s^{2}．由题意得\overline{x}=\frac{1}{100}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{98}+x_{99}+x_{100})=\frac{1}{100}\times (172\times 98+171+173)=172(cm),又(x_{1}-172)^{2}+(x_{2}-172)^{2}+\ldots +(x_{98}-172)^{2}=98\times 29=2 842，所以s^{2}=\frac{1}{100}\sum \limits^{100}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\frac{2 842+(171-172)^2+(173-172)^2}{100}=28.44．$

Final answer: $28.44$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664585398149123/img/compression/M_f1b107f4826cb6064a8f0d1083cb9f9f.jpg)$
$
$(1)同一组数据以该组区间的中点值作代表，求实数a的值并估计本次考试的平均分；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，(2a+0.04+0.03+0.02)\times 10=1，解得a=0.005.估计本次考试的平均分为55\times 0.05+65\times 0.4+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.05=73(分)．$

Final answer: $0.005, 73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$<img_2448>$
$
$(1)同一组数据以该组区间的中点值作代表，求实数a的值并估计本次考试的平均分；$

Solution:
$由题中频率分布直方图可知，(2a+0.04+0.03+0.02)\times 10=1，解得a=0.005.估计本次考试的平均分为55\times 0.05+65\times 0.4+75\times 0.3+85\times 0.2+95\times 0.05=73(分)．$

Final answer: $0.005, 73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664585398149123/img/compression/M_f1b107f4826cb6064a8f0d1083cb9f9f.jpg)$
$
$(2)按照等级分赋分规则，估计此次化学考试成绩中A等级的原始分区间；$

Solution:
$A等级所占的人数比例为15\%，由题中频率分布直方图知，原始分位于区间[90,100]的占比为5\%，位于区间[80,90)的占比为20\%，所以最低原始分在[80,90)内，设最低原始分为x，则(90-x)\times 0.02=15\%-5\%，解得x=85，所以估计此次化学考试成绩中A等级的原始分区间为[85,98]．$

Final answer: $[85,98]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$<img_2448>$
$
$(2)按照等级分赋分规则，估计此次化学考试成绩中A等级的原始分区间；$

Solution:
$A等级所占的人数比例为15\%，由题中频率分布直方图知，原始分位于区间[90,100]的占比为5\%，位于区间[80,90)的占比为20\%，所以最低原始分在[80,90)内，设最低原始分为x，则(90-x)\times 0.02=15\%-5\%，解得x=85，所以估计此次化学考试成绩中A等级的原始分区间为[85,98]．$

Final answer: $[85,98]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664585398149123/img/compression/M_f1b107f4826cb6064a8f0d1083cb9f9f.jpg)$
$
$(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．$

Solution:
$由(2)知，化学成绩的原始分为90分是A等级，则T_{1}=86，T_{2}=100，Y_{1}=85，Y_{2}=98，Y=90，代入公式，得\frac{98-90}{90-85}=\frac{100-T}{T-86}，解得T=\frac{1 188}{13}\approx 91，故该学生的等级分为91分．$

Final answer: $91$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $江西省作为全国第四批启动高考综合改革的七个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表，



等级
A
B
C
D
E


人数比例
15%
35%
35%
13%
2%


赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]



将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为\frac{Y_2-Y}{Y-Y_1}=\frac{T_2-T}{T-T_1}，其中Y_{1}，Y_{2}分别表示原始分区间的最低分和最高分，T_{1}，T_{2}分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y_{1}时，等级分为T_{1}，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的考生原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：$<img_2448>$
$
$(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．$

Solution:
$由(2)知，化学成绩的原始分为90分是A等级，则T_{1}=86，T_{2}=100，Y_{1}=85，Y_{2}=98，Y=90，代入公式，得\frac{98-90}{90-85}=\frac{100-T}{T-86}，解得T=\frac{1 188}{13}\approx 91，故该学生的等级分为91分．$

Final answer: $91$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$<img_2649>
$(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；$

Solution:
$估计本次考试成绩的平均数\overline{x}=(45\times 0.01+55\times 0.026+65\times 0.02+75\times 0.03+85\times 0.008+95\times 0.006)\times 10=66.8.$

Final answer: $66.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664600686260226/img/compression/M_83da3a6fad000b8ca7c40648b522bdc6.jpg)
$(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；$

Solution:
$估计本次考试成绩的平均数\overline{x}=(45\times 0.01+55\times 0.026+65\times 0.02+75\times 0.03+85\times 0.008+95\times 0.006)\times 10=66.8.$

Final answer: $66.8$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664600686260226/img/compression/M_83da3a6fad000b8ca7c40648b522bdc6.jpg)
$(2)估计样本的第65百分位数；$

Solution:
$\because 成绩在[40,70)内的频率为(0.01+0.026+0.02)\times 10=0.56，成绩在[40,80)内的频率为0.56+0.03\times 10=0.86，\therefore 第65百分位数位于[70,80)内，设其为x，则0.56+(x-70)\times 0.03=0.65，解得x=73，\therefore 第65百分位数为73.$

Final answer: $73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$<img_2649>
$(2)估计样本的第65百分位数；$

Solution:
$\because 成绩在[40,70)内的频率为(0.01+0.026+0.02)\times 10=0.56，成绩在[40,80)内的频率为0.56+0.03\times 10=0.86，\therefore 第65百分位数位于[70,80)内，设其为x，则0.56+(x-70)\times 0.03=0.65，解得x=73，\therefore 第65百分位数为73.$

Final answer: $73$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664600686260226/img/compression/M_83da3a6fad000b8ca7c40648b522bdc6.jpg)
$(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不低于90分为优秀，若从第5组和第6组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.$

Solution:
$第5组有50\times 0.008\times 10=4人，分别记为A,B,C,D；第6组有50\times 0.006\times 10=3人，分别记为a,b,c.从中随机抽取2人，所有的情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共21种，其中至少1人成绩优秀的情况有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种，\therefore 至少1人成绩优秀的概率P=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}.$

Final answer: $\frac{5}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了选择奥赛培训对象，进行了一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组，第1组：[40,50)，第2组：[50,60)，第3组：[60,70)，第4组：[70,80)，第5组：[80,90)，第6组：[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，根据图中信息，回答下列问题：$<img_2649>
$(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不低于90分为优秀，若从第5组和第6组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.$

Solution:
$第5组有50\times 0.008\times 10=4人，分别记为A,B,C,D；第6组有50\times 0.006\times 10=3人，分别记为a,b,c.从中随机抽取2人，所有的情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共21种，其中至少1人成绩优秀的情况有(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(D,a)，(D,b)，(D,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种，\therefore 至少1人成绩优秀的概率P=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}.$

Final answer: $\frac{5}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示.



<img_2343>


甲品牌






<img_2554>


乙品牌


$
$(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率；$

Solution:
$甲品牌产品使用寿命小于200 h的频率为\frac{5+20}{100}＝\frac{1}{4}，用频率估计概率，可得甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率为\frac{1}{4}.$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示.



![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664618482819073/img/compression/M_6f9852ce00718d34202c4a64b12df942.jpg)


甲品牌






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乙品牌


$
$(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率；$

Solution:
$甲品牌产品使用寿命小于200 h的频率为\frac{5+20}{100}＝\frac{1}{4}，用频率估计概率，可得甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率为\frac{1}{4}.$

Final answer: $\frac{1}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示.



<img_2343>


甲品牌






<img_2554>


乙品牌


$
$(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.$

Solution:
$根据抽样结果知，使用寿命至少200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，使用寿命至少200 h的产品是甲品牌的频率是\frac{75}{145}＝\frac{15}{29}，用频率估计概率，可得已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为\frac{15}{29}.$

Final answer: $\frac{15}{29}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示.



![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664618482819073/img/compression/M_6f9852ce00718d34202c4a64b12df942.jpg)


甲品牌






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乙品牌


$
$(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.$

Solution:
$根据抽样结果知，使用寿命至少200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，使用寿命至少200 h的产品是甲品牌的频率是\frac{75}{145}＝\frac{15}{29}，用频率估计概率，可得已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为\frac{15}{29}.$

Final answer: $\frac{15}{29}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出了一周内销量的频率分布直方图如图所示.$<img_3002>
$(1)估计每周销量的平均数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；$

Solution:
$每周销量的平均数约为85\times 10\times 0.015+95\times 10\times 0.025+105\times 10\times 0.030+115\times 10\times 0.020+125\times 10\times 0.010\approx 104(件).$

Final answer: $104$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出了一周内销量的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664620110209026/img/compression/M_891f00f40b70235834aff2eadc2ef22a.jpg)
$(1)估计每周销量的平均数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；$

Solution:
$每周销量的平均数约为85\times 10\times 0.015+95\times 10\times 0.025+105\times 10\times 0.030+115\times 10\times 0.020+125\times 10\times 0.010\approx 104(件).$

Final answer: $104$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出了一周内销量的频率分布直方图如图所示.$<img_3002>
$(2)用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率. 现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率，先由计算机产生0到9之间的整数随机数，用0,1,2,\ldots ,k表示周销量低于100件，k+1,k+2,\ldots ,9表示周销量不低于100件，再以每三个随机数为1组表示3周周销量的结果，经随机模拟产生如下20组随机数：807　966　191　925　271　932　812　458569　683　489　257　394　027　552　488740　113　537　741确定k的值，并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率.$

Solution:
$①由题中频率分布直方图可知周销量不低于100件的频率为(0.030+0.020+0.010)\times 10=0.6=\frac{3}{5},10\times \frac{3}{5}=6，所以估计未来10周内周销量不低于100件的有6周. ②根据周销量不低于100件的频率为0.6，可得k=3，(总共10个随机数，用6个随机数表示周销量不低于100件，用4个随机数表示周销量低于100件)这20组随机数中，表示3周恰有2周周销量不低于100件的有807，925，683，257，394，552，740，537，741，共9组，所以估计所求概率为\frac{9}{20}.$



Final answer: $\frac{9}{20}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出了一周内销量的频率分布直方图如图所示.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703664620110209026/img/compression/M_891f00f40b70235834aff2eadc2ef22a.jpg)
$(2)用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率.①估计未来10周内周销量不低于100件的有多少周？②现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率，先由计算机产生0到9之间的整数随机数，用0,1,2,\ldots ,k表示周销量低于100件，k+1,k+2,\ldots ,9表示周销量不低于100件，再以每三个随机数为1组表示3周周销量的结果，经随机模拟产生如下20组随机数：807　966　191　925　271　932　812　458569　683　489　257　394　027　552　488740　113　537　741确定k的值，并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率.$

Solution:
$①由题中频率分布直方图可知周销量不低于100件的频率为(0.030+0.020+0.010)\times 10=0.6=\frac{3}{5},10\times \frac{3}{5}=6，所以估计未来10周内周销量不低于100件的有6周. ②根据周销量不低于100件的频率为0.6，可得k=3，(总共10个随机数，用6个随机数表示周销量不低于100件，用4个随机数表示周销量低于100件)这20组随机数中，表示3周恰有2周周销量不低于100件的有807，925，683，257，394，552，740，537，741，共9组，所以估计所求概率为\frac{9}{20}.$

Final answer: $①估计未来10周内周销量不低于100件的有6周。
②估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率为9/20。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响该地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层随机抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分组，并得到如图所示的频率分布直方图．$<img_2599>
$(1)求频率分布直方图中a的值以及此次问卷调查分数的中位数；$

Solution:
$由题意可得5\times (0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020)=1，解得a=0.040.由0.01\times 5+0.02\times 5+0.04\times 5=0.35,0.35+0.06\times 5=0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在[75,80)内，设为x，则0.35+0.06(x-75)=0.5，解得x=77.5.所以此次问卷调查分数的中位数为77.5.$

Final answer: $0.040, 77.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响该地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层随机抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分组，并得到如图所示的频率分布直方图．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703667768081018881/img/compression/M_8108254ce22699da511f8a32359d0d0f.jpg)
$(1)求频率分布直方图中a的值以及此次问卷调查分数的中位数；$

Solution:
$由题意可得5\times (0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020)=1，解得a=0.040.由0.01\times 5+0.02\times 5+0.04\times 5=0.35,0.35+0.06\times 5=0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在[75,80)内，设为x，则0.35+0.06(x-75)=0.5，解得x=77.5.所以此次问卷调查分数的中位数为77.5.$

Final answer: $0.040, 77.5$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响该地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层随机抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分组，并得到如图所示的频率分布直方图．$<img_2599>
$(2)若分数在区间[60,70)内的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．$

Solution:
$得分在[60,65)内的市民有0.010\times 5\times 40=2人，记为a，b，得分在[65,70)内的市民有0.020\times 5\times 40=4人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的所有可能情况有ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15种，其中两人来自不同打分区间的情况有8种，故所求概率为\frac{8}{15}.$

Final answer: $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响该地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层随机抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分组，并得到如图所示的频率分布直方图．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703667768081018881/img/compression/M_8108254ce22699da511f8a32359d0d0f.jpg)
$(2)若分数在区间[60,70)内的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．$

Solution:
$得分在[60,65)内的市民有0.010\times 5\times 40=2人，记为a，b，得分在[65,70)内的市民有0.020\times 5\times 40=4人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的所有可能情况有ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15种，其中两人来自不同打分区间的情况有8种，故所求概率为\frac{8}{15}.$

Final answer: $\frac{8}{15}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958647488659459/img/compression/M_d70e0fd1c08ca1a8eff5c91c023cb771.jpg)
$(1)求频率分布直方图中t的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图得10\times (0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1，解得t=0.015.(4分)$

Final answer: $0.015$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$<img_2094>
$(1)求频率分布直方图中t的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图得10\times (0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1，解得t=0.015.(4分)$

Final answer: $0.015$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958647488659459/img/compression/M_d70e0fd1c08ca1a8eff5c91c023cb771.jpg)
$(2)根据频率分布直方图估计该市60\%的居民年用水量不超过m吨，求m的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图得，前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48，前5组频率之和为0.48+0.24=0.72，所以40(6分)由\frac{m-40}{10}=\frac{0.6-0.48}{0.24}，解得m=45.(8分)$

Final answer: $45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$<img_2094>
$(2)根据频率分布直方图估计该市60\%的居民年用水量不超过m吨，求m的值；$

Solution:
$由题中频率分布直方图得，前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48，前5组频率之和为0.48+0.24=0.72，所以40(6分)由\frac{m-40}{10}=\frac{0.6-0.48}{0.24}，解得m=45.(8分)$

Final answer: $45$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958647488659459/img/compression/M_d70e0fd1c08ca1a8eff5c91c023cb771.jpg)
$(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表)$

Solution:
$由题可知区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位：吨)分别取55,65,75,85为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，(10分)则10^{6}\times (0.15\times 5+0.07\times 15+0.03\times 25+0.03\times 35)=3.6\times 10^{6}(元)，所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6\times 10^{6}元.(12分)$

Final answer: $3.6\times 10^6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组，制成频率分布直方图(如图所示).$<img_2094>
$(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表)$

Solution:
$由题可知区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位：吨)分别取55,65,75,85为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，(10分)则10^{6}\times (0.15\times 5+0.07\times 15+0.03\times 25+0.03\times 35)=3.6\times 10^{6}(元)，所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6\times 10^{6}元.(12分)$

Final answer: $3.6\times 10^6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高级中学全体学生参加了《安全教育知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40,100]内，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800，1 000，1 200，现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了样本频率分布直方图(如图所示).$<img_2676>
$(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、第71百分位数(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.06,0.12,0.4,0.26,0.1,0.06，显然学生成绩在[60,70)内的频率最大，所以估计该校全体学生成绩的众数为65分.(1分)平均数\overline{x}=0.06\times 45+0.12\times 55+0.4\times 65+0.26\times 75+0.1\times 85+0.06\times 95=69(分).(2分)设第71百分位数为m分，显然m\in (70,80)，由0.06+0.12+0.4+(m-70)\times 0.026=0.71，解得m=75，所以第71百分位数为75分.(4分)$

Final answer: $65, 69, 75$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高级中学全体学生参加了安全教育测试，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40,100]内，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800，1 000，1 200，现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了样本频率分布直方图(如图所示).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958648050696194/img/compression/M_7bba533ab386b1593b1cf9a707791b69.jpg)
$(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、第71百分位数(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；$

Solution:
$由题中频率分布直方图知，学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.06,0.12,0.4,0.26,0.1,0.06，显然学生成绩在[60,70)内的频率最大，所以估计该校全体学生成绩的众数为65分.(1分)平均数\overline{x}=0.06\times 45+0.12\times 55+0.4\times 65+0.26\times 75+0.1\times 85+0.06\times 95=69(分).(2分)设第71百分位数为m分，显然m\in (70,80)，由0.06+0.12+0.4+(m-70)\times 0.026=0.71，解得m=75，所以第71百分位数为75分.(4分)$

Final answer: $65, 69, 75$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某高级中学全体学生参加了《安全教育知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[40,100]内，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800，1 000，1 200，现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了样本频率分布直方图(如图所示).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1703958648050696194/img/compression/M_7bba533ab386b1593b1cf9a707791b69.jpg)
$(2)已知所抽取的各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩(单位：分)的平均数和高二年级学生成绩的方差.



年级
样本平均数
样本方差


高一
60
75


高二
63



高三

55



$

Solution:
$记高一、高二、高三年级学生成绩(单位：分)的平均数分别为\overline{x}_{1},\overline{x}_{2},\overline{x}_{3}，方差分别为s^2_1,s^2_2,s^2_3，显然样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人，100人，120人，\overline{x}=\frac{80}{300}\overline{x}_{1}+\frac{100}{300}\overline{x}_{2}+\frac{120}{300}\overline{x}_{3}=\frac{80}{300}\times 60+\frac{100}{300}\times 63+\frac{120}{300}\overline{x}_{3}=69，解得\overline{x}_{3}=80，(8分)s^{2}=\frac{80}{300}[(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+s^2_1]+\frac{100}{300}[(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}+s^2_2]+\frac{120}{300}[(\overline{x}_{3}-\overline{x})^{2}+s^2_3]=\frac{80}{300}[(60-69)^{2}+75]+\frac{100}{300}[(63-69)^{2}+s^2_2]+\frac{120}{300}[(80-69)^{2}+55]=\frac{208}{5}+12+\frac{1}{3}s^2_2+\frac{352}{5}=124+\frac{1}{3}s^2_2=140，解得s^2_2=48，所以高三年级学生成绩(单位：分)的平均数为80，高二年级学生成绩的方差为48.(12分)$

Final answer: $80, 48$