di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直角梯形ABCD中，AB\parallel DC,AB\perp BC,AB=BC=2CD=2，直角梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成一个圆台.$<img_2862>
$(2)若直角梯形ABCD绕BC所在直线逆时针旋转角\theta (\theta >0)到直角梯形A_{1}BCD_{1}，且直线A_{1}D与平面ABCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{21}}{7}，求角\theta 的最小值.$

Solution:
$作BM\perp BA，以点B为坐标原点，射线BA，BM，BC为x，y，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，$<img_1924>$则D(1,0,2)，A_{1}(2\\cos   \theta ,2\\sin   \theta ,0)，则\overrightarrow{A_1D}=(1-2\\cos   \theta ,-2\\sin   \theta ,2)，易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,1,0)，设A_{1}D与平面ABCD所成的角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle |=\frac{|-2\\\sin    \theta |}{\sqrt{{(1-2\\\cos    \theta )}^2+{(-2\\\sin    \theta )}^2+4}}=\frac{|2\\\sin    \theta |}{\sqrt{9-4\\\cos    \theta }}=\frac{\sqrt{21}}{7}，两边平方并结合\\sin  ^{2}\theta +\\cos  ^{2}\theta =1，解得\\cos   \theta =\frac{1}{2}或\\cos   \theta =-\frac{1}{14}，故\\cos   \theta =\frac{1}{2}时所求角\theta 的值最小，为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直角梯形ABCD中，AB\parallel DC,AB\perp BC,AB=BC=2CD=2，直角梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成一个圆台.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629734902394883/img/compression/M_12dff3b54238c785105b73428dfdb855.jpg)
$(2)若直角梯形ABCD绕BC所在直线逆时针旋转角\theta (\theta >0)到直角梯形A_{1}BCD_{1}，且直线A_{1}D与平面ABCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{21}}{7}，求角\theta 的最小值.$

Solution:
$作BM\perp BA，以点B为坐标原点，射线BA，BM，BC为x，y，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629735292465154/img/compression/M_62b5502ee27571af03a12579f5468ec8.jpg)$则D(1,0,2)，A_{1}(2\\cos   \theta ,2\\sin   \theta ,0)，则\overrightarrow{A_1D}=(1-2\\cos   \theta ,-2\\sin   \theta ,2)，易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,1,0)，设A_{1}D与平面ABCD所成的角为\alpha ，则\\sin   \alpha =|\\cos  \langle \overrightarrow{A_1D},n\rangle |=\frac{|-2\\\sin    \theta |}{\sqrt{{(1-2\\\cos    \theta )}^2+{(-2\\\sin    \theta )}^2+4}}=\frac{|2\\\sin    \theta |}{\sqrt{9-4\\\cos    \theta }}=\frac{\sqrt{21}}{7}，两边平方并结合\\sin  ^{2}\theta +\\cos  ^{2}\theta =1，解得\\cos   \theta =\frac{1}{2}或\\cos   \theta =-\frac{1}{14}，故\\cos   \theta =\frac{1}{2}时所求角\theta 的值最小，为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB\perp 平面ABCD,AB\parallel CD,AB\perp AD,AB=3,AD=\sqrt{3},AP=CD=2,\angle PAB=60^\circ ，M是CD的中点，N是PB上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629735980331011/img/compression/M_d0a7e4822bf391fb76d94e06a9a5c74d.jpg)
$(1)若\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{BN},求三棱锥P-AMN的体积；$

Solution:
$\because 平面PAB\perp 平面ABCD且交线是AB，又DA\perp AB，DA\subset 平面ABCD，\therefore DA\perp 平面PAB，又MD\parallel AB，MD\not\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，\therefore MD\parallel 平面PAB，\therefore 点M到平面PAB的距离是AD=\sqrt{3}，又\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{BN}，\therefore S_{\triangle APN}=\frac{2}{3}S_{\triangle APB}=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 3\times \\sin   60^\circ =\sqrt{3}，\therefore V_{P-AMN}=V_{M-PAN}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB\perp 平面ABCD,AB\parallel CD,AB\perp AD,AB=3,AD=\sqrt{3},AP=CD=2,\angle PAB=60^\circ ，M是CD的中点，N是PB上一点.$<img_3027>
$(1)若\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{BN},求三棱锥P-AMN的体积；$

Solution:
$\because 平面PAB\perp 平面ABCD且交线是AB，又DA\perp AB，DA\subset 平面ABCD，\therefore DA\perp 平面PAB，又MD\parallel AB，MD\not\subset 平面PAB，AB\subset 平面PAB，\therefore MD\parallel 平面PAB，\therefore 点M到平面PAB的距离是AD=\sqrt{3}，又\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{BN}，\therefore S_{\triangle APN}=\frac{2}{3}S_{\triangle APB}=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 3\times \\sin   60^\circ =\sqrt{3}，\therefore V_{P-AMN}=V_{M-PAN}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1.$

Final answer: $1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB\perp 平面ABCD,AB\parallel CD,AB\perp AD,AB=3,AD=\sqrt{3},AP=CD=2,\angle PAB=60^\circ ，M是CD的中点，N是PB上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629735980331011/img/compression/M_d0a7e4822bf391fb76d94e06a9a5c74d.jpg)
$(2)是否存在点N,使得MN\parallel 平面PAD？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629736336846850/img/compression/M_efffa344e5eafcca874d97482c46547c.jpg)$连接BM并延长交AD的延长线于点E，\because DM\parallel AB，\therefore 在\triangle EAB中，\frac{EM}{EB}=\frac{DM}{AB}=\frac{1}{3}，\therefore 在\triangle PBE中，在PB上取点N，使得\frac{BN}{BP}=\frac{BM}{BE}=\frac{2}{3}，则MN\parallel PE，又MN\not\subset 平面PAD，PE\subset 平面PAD，\therefore MN\parallel 平面PAD.在\triangle PAB中，由余弦定理得PB=\sqrt{2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \frac{1}{2}}=\sqrt{7}，\therefore PN=\frac{\sqrt{7}}{3}.$

Final answer: $存在, PN=\frac{\sqrt {7}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB\perp 平面ABCD,AB\parallel CD,AB\perp AD,AB=3,AD=\sqrt{3},AP=CD=2,\angle PAB=60^\circ ，M是CD的中点，N是PB上一点.$<img_3027>
$(2)是否存在点N,使得MN\parallel 平面PAD？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.$<img_2125>$连接BM并延长交AD的延长线于点E，\because DM\parallel AB，\therefore 在\triangle EAB中，\frac{EM}{EB}=\frac{DM}{AB}=\frac{1}{3}，\therefore 在\triangle PBE中，在PB上取点N，使得\frac{BN}{BP}=\frac{BM}{BE}=\frac{2}{3}，则MN\parallel PE，又MN\not\subset 平面PAD，PE\subset 平面PAD，\therefore MN\parallel 平面PAD.在\triangle PAB中，由余弦定理得PB=\sqrt{2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \frac{1}{2}}=\sqrt{7}，\therefore PN=\frac{\sqrt{7}}{3}.$



Final answer: $\frac{\sqrt {7}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB=AD,EB=EC，平面ABD\perp 平面BCD，平面BCE\perp 平面BCD，点F,G分别是CD,BD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756072423427/img/compression/M_c02698d0bf7c6fa947e46d524dffdaf3.jpg)
$(1)证明：平面AFG\parallel 平面BCE；$

Solution:
$证明：取BC的中点H，连接EH，因为EB=EC，所以EH\perp BC，又因为平面BCE\perp 平面BCD，平面BCE\cap 平面BCD=BC，EH\subset 平面BCE，所以EH\perp 平面BCD，同理可得AG\perp 平面BCD，所以EH\parallel AG，又因为AG\not\subset 平面BCE,EH\subset 平面BCE，所以AG\parallel 平面BCE.因为点F,G分别是CD,BD的中点，所以FG\parallel BC，又FG\not\subset 平面BCE,BC\subset 平面BCE，所以FG\parallel 平面BCE，又因为AG\cap FG=G,AG,FG\subset 平面AFG，所以平面AFG\parallel 平面BCE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB=AD,EB=EC，平面ABD\perp 平面BCD，平面BCE\perp 平面BCD，点F,G分别是CD,BD的中点.$<img_1665>
$(1)证明：平面AFG\parallel 平面BCE；$

Solution:
$证明：取BC的中点H，连接EH，因为EB=EC，所以EH\perp BC，又因为平面BCE\perp 平面BCD，平面BCE\cap 平面BCD=BC，EH\subset 平面BCE，所以EH\perp 平面BCD，同理可得AG\perp 平面BCD，所以EH\parallel AG，又因为AG\not\subset 平面BCE,EH\subset 平面BCE，所以AG\parallel 平面BCE.因为点F,G分别是CD,BD的中点，所以FG\parallel BC，又FG\not\subset 平面BCE,BC\subset 平面BCE，所以FG\parallel 平面BCE，又因为AG\cap FG=G,AG,FG\subset 平面AFG，所以平面AFG\parallel 平面BCE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB=AD,EB=EC，平面ABD\perp 平面BCD，平面BCE\perp 平面BCD，点F,G分别是CD,BD的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756072423427/img/compression/M_c02698d0bf7c6fa947e46d524dffdaf3.jpg)
$(2)若BC\perp BD,BC=BD=2,AB=\sqrt{2},BE=\sqrt{5}，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值.$

Solution:
$因为BC\perp BD，BC\parallel FG，所以FG\perp BD，由(1)知AG\perp BD，AG\perp 平面BCD，因为GF\subset 平面BCD，所以AG\perp GF，所以GF，GB，GA两两垂直，如图，以点G为坐标原点，GF，GB，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756328275970/img/compression/M_7f956667326c1f6a59c1de413dea4391.jpg)$则A(0,0,1),C(2,1,0),E(1,1,2)，\overrightarrow{AC}=(2,1,-1),\overrightarrow{CE}=(-1,0,2)，易知平面AFG的一个法向量为\overrightarrow{DB}=(0,2,0)，设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2x+y-z=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right.取x=2，得n=(2,-3,1)，设平面AFG和平面ACE的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{DB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DB}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{DB}|}=\frac{6}{2\times \sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}，所以平面AFG和平面ACE夹角的余弦值为\frac{3\sqrt{14}}{14}.$

Final answer: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在如图所示的多面体中，AB=AD,EB=EC，平面ABD\perp 平面BCD，平面BCE\perp 平面BCD，点F,G分别是CD,BD的中点.$<img_1665>
$(2)若BC\perp BD,BC=BD=2,AB=\sqrt{2},BE=\sqrt{5}，求平面AFG和平面ACE夹角的余弦值.$

Solution:
$因为BC\perp BD，BC\parallel FG，所以FG\perp BD，由(1)知AG\perp BD，AG\perp 平面BCD，因为GF\subset 平面BCD，所以AG\perp GF，所以GF，GB，GA两两垂直，如图，以点G为坐标原点，GF，GB，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$<img_2652>$则A(0,0,1),C(2,1,0),E(1,1,2)，\overrightarrow{AC}=(2,1,-1),\overrightarrow{CE}=(-1,0,2)，易知平面AFG的一个法向量为\overrightarrow{DB}=(0,2,0)，设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}2x+y-z=0,\\ -x+2z=0,\end{matrix}\right.取x=2，得n=(2,-3,1)，设平面AFG和平面ACE的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{DB}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DB}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{DB}|}=\frac{6}{2\times \sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}，所以平面AFG和平面ACE夹角的余弦值为\frac{3\sqrt{14}}{14}.$

Final answer: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA_{1}、CC_{1}为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=AA_{1}=2BC=2CD，E、F分别为A_{1}D、C_{1}C的中点.$<img_1844>
$(1)证明：EF\parallel 平面ABCD；$

Solution:
$证明：取AD的中点M，连接EM、MC，如图1，
$<img_2916>$
图1
\because E为A_{1}D的中点，\therefore EM\parallel AA_{1}，EM=\frac{1}{2}AA_{1}，又F为CC_{1}的中点，CC_{1\xlongequal{//} }AA_{1},\therefore CF\parallel AA_{1}，CF=\frac{1}{2}AA_{1}，\therefore EM\parallel CF，EM=CF，\therefore 四边形EMCF为平行四边形，\therefore EF\parallel CM，又EF\not\subset 平面ABCD，CM\subset 平面ABCD，\therefore EF\parallel 平面ABCD.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA_{1}、CC_{1}为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=AA_{1}=2BC=2CD，E、F分别为A_{1}D、C_{1}C的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756609294339/img/compression/M_61993fda9d66019eea637335d562f955.jpg)
$(1)证明：EF\parallel 平面ABCD；$

Solution:
$证明：取AD的中点M，连接EM、MC，如图1，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756873535490/img/compression/M_148e5e58bbd2f99820a71b4ff0c4886f.jpg)$
图1
\because E为A_{1}D的中点，\therefore EM\parallel AA_{1}，EM=\frac{1}{2}AA_{1}，又F为CC_{1}的中点，CC_{1\xlongequal{//} }AA_{1},\therefore CF\parallel AA_{1}，CF=\frac{1}{2}AA_{1}，\therefore EM\parallel CF，EM=CF，\therefore 四边形EMCF为平行四边形，\therefore EF\parallel CM，又EF\not\subset 平面ABCD，CM\subset 平面ABCD，\therefore EF\parallel 平面ABCD.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA_{1}、CC_{1}为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=AA_{1}=2BC=2CD，E、F分别为A_{1}D、C_{1}C的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756609294339/img/compression/M_61993fda9d66019eea637335d562f955.jpg)
$(2)求平面OEF与平面BCC_{1}夹角的余弦值.$

Solution:
$设AB=AA_{1}=2BC=2CD=4.连接AC，则AC\perp BC(直径所对的圆周角为直角)，\therefore AC=2\sqrt{3}.由题意知CA、CB、CC_{1}两两垂直，故以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC_{1}所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图2，则A(2\sqrt{3}，0，0)，A_{1}(2\sqrt{3},0,4)，O(\sqrt{3},1,0)，F(0,0,2)，C(0,0,0)，D(\sqrt{3},-1,0)，则\overrightarrow{OF}=(-\sqrt{3}，-1，2)，\therefore A_{1}D的中点E的坐标为\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},2\right)，\therefore \overrightarrow{EF}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，设平面OEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OF}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x-y+2z=0,\\ -\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x+y-2z=0,\\ 3\sqrt{3}x-y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，得n=(\sqrt{3},9,6).\because AC\perp BC，AC\perp CC_{1}，BC\cap CC_{1}=C，\therefore AC\perp 平面BCC_{1}，\therefore 平面BCC_{1}的一个法向量为\overrightarrow{CA}=(2\sqrt{3},0,0)，\therefore \\cos  \langle n,\overrightarrow{CA}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CA}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{CA}|}=\frac{6}{\sqrt{3+81+36}\times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}}{20}，\therefore 平面OEF与平面BCC_{1}夹角的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{20}.
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629756873535490/img/compression/M_bad564498f847b76a80ef0b1124c0e97.jpg)$
图2
$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{20}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA_{1}、CC_{1}为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=AA_{1}=2BC=2CD，E、F分别为A_{1}D、C_{1}C的中点.$<img_1844>
$(2)求平面OEF与平面BCC_{1}夹角的余弦值.$

Solution:
$设AB=AA_{1}=2BC=2CD=4.连接AC，则AC\perp BC(直径所对的圆周角为直角)，\therefore AC=2\sqrt{3}.由题意知CA、CB、CC_{1}两两垂直，故以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC_{1}所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图2，则A(2\sqrt{3}，0，0)，A_{1}(2\sqrt{3},0,4)，O(\sqrt{3},1,0)，F(0,0,2)，C(0,0,0)，D(\sqrt{3},-1,0)，则\overrightarrow{OF}=(-\sqrt{3}，-1，2)，\therefore A_{1}D的中点E的坐标为\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},2\right)，\therefore \overrightarrow{EF}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，设平面OEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{OF}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x-y+2z=0,\\ -\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}\sqrt{3}x+y-2z=0,\\ 3\sqrt{3}x-y=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}，得n=(\sqrt{3},9,6).\because AC\perp BC，AC\perp CC_{1}，BC\cap CC_{1}=C，\therefore AC\perp 平面BCC_{1}，\therefore 平面BCC_{1}的一个法向量为\overrightarrow{CA}=(2\sqrt{3},0,0)，\therefore \\cos  \langle n,\overrightarrow{CA}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CA}}{|\boldsymbol{n}|\cdot |\overrightarrow{CA}|}=\frac{6}{\sqrt{3+81+36}\times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}}{20}，\therefore 平面OEF与平面BCC_{1}夹角的余弦值为\frac{\sqrt{10}}{20}.
$<img_1683>$
图2
$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{20}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，AC=2，BC=1,PA\perp 平面ABC，M是PB上的动点，且\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}(0<\lambda <1)，N是PC的中点.$<img_1619>
$(1)若\lambda =\frac{1}{2}，记平面AMN与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；$

Solution:
$直线l\parallel 平面PBC.证明：当\lambda =\frac{1}{2}时，M是PB的中点，又因为N是PC的中点,所以MN\parallel BC，又BC\subset 平面ABC，且MN\not\subset 平面ABC,所以MN\parallel 平面ABC,又MN\subset 平面AMN,且平面AMN\cap 平面ABC=l,所以MN\parallel l,又因为l\not\subset 平面PBC,MN\subset 平面PBC,所以直线l\parallel 平面PBC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，AC=2，BC=1,PA\perp 平面ABC，M是PB上的动点，且\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}(0<\lambda <1)，N是PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629757540429827/img/compression/M_09d5670317ebf35655e187e528c7d3dd.jpg)
$(1)若\lambda =\frac{1}{2}，记平面AMN与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；$

Solution:
$直线l\parallel 平面PBC.证明：当\lambda =\frac{1}{2}时，M是PB的中点，又因为N是PC的中点,所以MN\parallel BC，又BC\subset 平面ABC，且MN\not\subset 平面ABC,所以MN\parallel 平面ABC,又MN\subset 平面AMN,且平面AMN\cap 平面ABC=l,所以MN\parallel l,又因为l\not\subset 平面PBC,MN\subset 平面PBC,所以直线l\parallel 平面PBC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，AC=2，BC=1,PA\perp 平面ABC，M是PB上的动点，且\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}(0<\lambda <1)，N是PC的中点.$<img_1619>
$(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为\frac{\pi }{4}，点M到平面PAC的距离是\frac{\sqrt{3}}{3}，求\lambda 的值.$

Solution:
$因为AC是圆O的直径，所以\angle ABC=\frac{\pi }{2}.由勾股定理得AB=\sqrt{3}.因为PA\perp 平面ABC,BC\subset 平面ABC,所以PA\perp BC,又AB\perp BC,AB\cap PA=A,所以BC\perp 平面PBA,因为PB\subset 平面PBA，所以BC\perp PB,故\angle PBA是平面PBC与平面ABC所成的角，所以\angle PBA=\frac{\pi }{4},所以\triangle PAB为等腰直角三角形，且PA=AB=\sqrt{3}.以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,$<img_1877>$则A(\sqrt{3},0,0),B(0,0,0),C(0,1,0),P(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),则\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{3},1,0),\overrightarrow{AP}=(0,0,\sqrt{3}),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x+y=0,\\ \sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.令x=1,得y=\sqrt{3},则n=(1,\sqrt{3},0),又\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}=(-\sqrt{3}\lambda ,0,-\sqrt{3}\lambda ),所以点M到平面PAC的距离d=\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}\lambda }{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},所以\lambda =\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，AC=2，BC=1,PA\perp 平面ABC，M是PB上的动点，且\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}(0<\lambda <1)，N是PC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629757540429827/img/compression/M_09d5670317ebf35655e187e528c7d3dd.jpg)
$(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为\frac{\pi }{4}，点M到平面PAC的距离是\frac{\sqrt{3}}{3}，求\lambda 的值.$

Solution:
$因为AC是圆O的直径，所以\angle ABC=\frac{\pi }{2}.由勾股定理得AB=\sqrt{3}.因为PA\perp 平面ABC,BC\subset 平面ABC,所以PA\perp BC,又AB\perp BC,AB\cap PA=A,所以BC\perp 平面PBA,因为PB\subset 平面PBA，所以BC\perp PB,故\angle PBA是平面PBC与平面ABC所成的角，所以\angle PBA=\frac{\pi }{4},所以\triangle PAB为等腰直角三角形，且PA=AB=\sqrt{3}.以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629757863391234/img/compression/M_f2ab925c01025cb1ffb8b602d0d1fc3d.jpg)$则A(\sqrt{3},0,0),B(0,0,0),C(0,1,0),P(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),则\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{3},1,0),\overrightarrow{AP}=(0,0,\sqrt{3}),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0,\end{matrix}\right.所以\left\{\begin{matrix}-\sqrt{3}x+y=0,\\ \sqrt{3}z=0,\end{matrix}\right.令x=1,得y=\sqrt{3},则n=(1,\sqrt{3},0),又\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}=(-\sqrt{3}\lambda ,0,-\sqrt{3}\lambda ),所以点M到平面PAC的距离d=\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}\lambda }{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},所以\lambda =\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中(其中F\in 平面EDC)，四边形ABCD是正方形，ED\perp 平面ABCD，BF=FE，且平面FEB\perp 平面EDB .$<img_2226>
$(1)设M 为棱EB 的中点，证明：A，C，F，M四点共面；$

Solution:
$证明：连接AC,因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp DB,又ED\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD,所以ED\perp AC,又DE\cap BD=D,DE,BD\subset 平面BDE，所以AC\perp 平面BDE， 因为M为棱EB的中点，BF=FE，所以FM\perp EB,因为平面FEB\perp 平面EDB，平面FEB\cap 平面EDB=EB，FM\subset 平面EFB,所以FM\perp 平面EDB,因此FM\parallel AC,所以A，C，F，M四点共面.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中(其中F\in 平面EDC)，四边形ABCD是正方形，ED\perp 平面ABCD，BF=FE，且平面FEB\perp 平面EDB .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629778225360899/img/compression/M_9ac1e610f74578c1d1525f654297dd6c.jpg)
$(1)设M 为棱EB 的中点，证明：A，C，F，M四点共面；$

Solution:
$证明：连接AC,因为四边形ABCD是正方形，所以AC\perp DB,又ED\perp 平面ABCD，AC\subset 平面ABCD,所以ED\perp AC,又DE\cap BD=D,DE,BD\subset 平面BDE，所以AC\perp 平面BDE， 因为M为棱EB的中点，BF=FE，所以FM\perp EB,因为平面FEB\perp 平面EDB，平面FEB\cap 平面EDB=EB，FM\subset 平面EFB,所以FM\perp 平面EDB,因此FM\parallel AC,所以A，C，F，M四点共面.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中(其中F\in 平面EDC)，四边形ABCD是正方形，ED\perp 平面ABCD，BF=FE，且平面FEB\perp 平面EDB .$<img_2226>
$(2)若ED=2AB=2，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值.$

Solution:
$因为DE,DA,DC两两垂直，所以以D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),E(0,0,2),C(0,1,0),M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right),设F(0,a,b)，由(1)知\overrightarrow{FM}\parallel \overrightarrow{CA},故\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}-a,1-b\right)=\lambda (1,-1,0)，解得\lambda =\frac{1}{2},a=1,b=1，故F(0,1,1),则\overrightarrow{BF}=(-1,0,1),\overrightarrow{BE}=(-1,-1,2),\overrightarrow{AB}=(0,1,0),设平面FEB的法向量为m=(x,y,z),由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-x-y+2z=0,\\ -x+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，得m=(1,1,1)，设平面EAB的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1}),由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right. 得\left\{\begin{matrix}-x_1-y_1+2z_1=0,\\ y_1=0,\end{matrix}\right.取z_{1}=1，则n=(2,0,1)，设平面FEB与平面EAB的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$<img_2515>

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中(其中F\in 平面EDC)，四边形ABCD是正方形，ED\perp 平面ABCD，BF=FE，且平面FEB\perp 平面EDB .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629778225360899/img/compression/M_9ac1e610f74578c1d1525f654297dd6c.jpg)
$(2)若ED=2AB=2，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值.$

Solution:
$因为DE,DA,DC两两垂直，所以以D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),E(0,0,2),C(0,1,0),M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right),设F(0,a,b)，由(1)知\overrightarrow{FM}\parallel \overrightarrow{CA},故\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}-a,1-b\right)=\lambda (1,-1,0)，解得\lambda =\frac{1}{2},a=1,b=1，故F(0,1,1),则\overrightarrow{BF}=(-1,0,1),\overrightarrow{BE}=(-1,-1,2),\overrightarrow{AB}=(0,1,0),设平面FEB的法向量为m=(x,y,z),由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.得\left\{\begin{matrix}-x-y+2z=0,\\ -x+z=0,\end{matrix}\right.取x=1，得m=(1,1,1)，设平面EAB的法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1}),由\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right. 得\left\{\begin{matrix}-x_1-y_1+2z_1=0,\\ y_1=0,\end{matrix}\right.取z_{1}=1，则n=(2,0,1)，设平面FEB与平面EAB的夹角为\theta ，则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629778401521666/img/compression/M_9110ed98a84a562c6c37b4df0a01406d.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{15}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为边CD上的点，CB=CE，以BE为折痕把\triangle CBE折起，使点C到达点P的位置，且使二面角P-BE-C为直二面角，三棱锥P-ABE的体积为\frac{4\sqrt{2}}{3}.$<img_1507>
$(1)求证：平面PAB\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：设BC=CE=m，m>0，由题意知\triangle BCE为等腰直角三角形，折叠后\triangle BPE为等腰直角三角形.取BE的中点F，连接PF，则PF\perp BE，因为二面角P-BE-C为直二面角，所以PF\perp 平面ABCD.由V_{P-ABE}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABE}\cdot PF=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot PF=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4m\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}m=\frac{4\sqrt{2}}{3}，得m=2，即BC=CE=DE=2.则AE=BE=2\sqrt{2},则AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}，故AE\perp BE.因为PF\perp 平面ABCD，AE\subset 平面ABCD，所以AE\perp PF，又PF与BE相交，所以AE\perp 平面PBE，因为PB\subset 平面PBE,所以AE\perp PB，又PE\perp PB，且PE与AE相交，所以PB\perp 平面PAE，又PB\subset 平面PAB，所以平面PAB\perp 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为边CD上的点，CB=CE，以BE为折痕把\triangle CBE折起，使点C到达点P的位置，且使二面角P-BE-C为直二面角，三棱锥P-ABE的体积为\frac{4\sqrt{2}}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716629778766426114/img/compression/M_db82f2e7b2a6d3bc184f8c3d74ac8e1c.jpg)
$(1)求证：平面PAB\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：设BC=CE=m，m>0，由题意知\triangle BCE为等腰直角三角形，折叠后\triangle BPE为等腰直角三角形.取BE的中点F，连接PF，则PF\perp BE，因为二面角P-BE-C为直二面角，所以PF\perp 平面ABCD.由V_{P-ABE}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABE}\cdot PF=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot PF=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4m\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}m=\frac{4\sqrt{2}}{3}，得m=2，即BC=CE=DE=2.则AE=BE=2\sqrt{2},则AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}，故AE\perp BE.因为PF\perp 平面ABCD，AE\subset 平面ABCD，所以AE\perp PF，又PF与BE相交，所以AE\perp 平面PBE，因为PB\subset 平面PBE,所以AE\perp PB，又PE\perp PB，且PE与AE相交，所以PB\perp 平面PAE，又PB\subset 平面PAB，所以平面PAB\perp 平面PAE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为边CD上的点，CB=CE，以BE为折痕把\triangle CBE折起，使点C到达点P的位置，且使二面角P-BE-C为直二面角，三棱锥P-ABE的体积为\frac{4\sqrt{2}}{3}.$<img_1507>
$(2)求二面角B-PA-D的余弦值.$

Solution:
$以D为原点，\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}的方向分别为x，y轴的正方向，过D作z轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，$<img_1952>$则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),P(1,3,\sqrt{2})，则\overrightarrow{AP}=(-1,3,\sqrt{2}),\overrightarrow{DA}=(2,0,0),\overrightarrow{AB}=(0,4,0)，设平面BPA的法向量为n_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}_1=-x_1+3y_1+\sqrt{2}z_1=0,\\ \overrightarrow{AB}\cdot \boldsymbol{n}_1=4y_1=0,\end{matrix}\right.取z_{1}=1，可得n_{1}=(\sqrt{2},0,1)，设平面DPA的法向量为n_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AP}\cdot \boldsymbol{n}_2=-x_2+3y_2+\sqrt{2}z_2=0,\\ \overrightarrow{DA}\cdot \boldsymbol{n}_2=2x_2=0,\end{matrix}\right.取z_{2}=3，可得n_{2}=(0,-\sqrt{2},3)，则\\cos  \langle n_{1},n_{2}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{3}{\sqrt{3}\times \sqrt{11}}=\frac{\sqrt{33}}{11}，由图知二面角B-PA-D的平面角为钝角，所以二面角B-PA-D的余弦值为-\frac{\sqrt{33}}{11}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{33}}{11}$