di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Thermodynamics


Question: 如图，一粗细均匀的细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为2.0 cm的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，水银柱上表面到管口的距离为2.0 cm。若将细管倒置，水银柱下表面恰好位于管口处，且无水银滴落，管内气体温度与环境温度相同。已知大气压强为76 cmHg，环境温度为296 K。

<img_1023>
若在倒置前，缓慢加热管内被密封的气体，直到水银柱的上表面恰好与管口平齐为止，求此时密封气体的温度。

Solution:
$设气体被加热前后的温度分别为 T_0 和 T ，由盖-吕萨克定律有$

$\frac{V}{T_0} = \frac{V_1}{T}$

$由④⑤⑥⑦式和题给数据得 T =312 K$

Final answer: $312 K$
Subfield: Mechanics


Question: $一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5 m/s。$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610257109753859/img/compression/M_ce7d78870845a42bc28dbd1002ef9601.jpg)

$图(a)$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610257109753859/img/compression/M_17587efc684cd9cd27dd7720a2912069.jpg)

$图(b)$
求波源在4 s内通过的路程；

Solution:
$4 s内波源通过的路程为s=4A=16 cm$

Final answer: 16 cm
Subfield: Mechanics


Question: $一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5 m/s。$

<img_641>

$图(a)$

<img_713>

$图(b)$
求波源在4 s内通过的路程；

Solution:
$4 s内波源通过的路程为s=4A=16 cm$

Final answer: 16 cm
Subfield: Mechanics


Question: $均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和x_B=16 cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20 cm/s，波长大于20 cm，振幅为y_0=1 cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔\Delta t=0.6 s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t_1时刻(t_1>0)，质点A位于波峰。求$
$从t_{1}时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；$

Solution:
$因t_1时刻A位于波峰，A、B间水平距离\Delta x=16 cm＜\lambda，且波由A向B传播，故质点B到达波峰所需最短时间：t=\frac{\Delta x}{v}=0.8 s$

Final answer: 0.8 s
Subfield: Mechanics


Question: $均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和x_B=16 cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20 cm/s，波长大于20 cm，振幅为y_0=1 cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔\Delta t=0.6 s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t_1时刻(t_1>0)，质点A位于波峰。求$
$t_1时刻质点B偏离平衡位置的位移。$

Solution:
$由“每隔\Delta t=0.6 s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同”可知T=2\Delta t=1.2 s$

$因波速v=20 cm/s$

$故波长\lambda=vT=24 cm$

$由于\Delta x=16 cm=\frac{2}{3}\lambda,故B的振动状态滞后于A的相位\phi=\frac{2}{3}\times 2\pi =\frac{4}{3}\pi $

$t_{1}时刻A质点的位移y_{A}=y_{0}=1 cm$

$故B质点的位移y_{B}=y_{0} \cos \frac{4}{3}\pi =-0.5 cm$

Final answer: -0.5 cm
Subfield: Optics


Question: $如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在平面内，一光线自M点射入棱镜，入射角为60^\circ ，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜。求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。$

![题目图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487716497014786/img/compression/M_158aa1813a6fb2d772f4bd09bf615674.jpg)

Solution:
设光线在M点的折射角为\theta ，由折射定律有
$n=\frac{\sin  60 ^{\circ} }{\sin  \theta }$
$由几何关系可知光线在N点的入射角为90^\circ -\theta ，由于光线在N点恰好发生全反射，可知临界角\theta _0=90^\circ -\theta $
$又n=\frac{1}{\sin  \theta _0}$
$解得n=\frac{\sqrt{7}}{2},\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$
$由题图中几何关系有\frac{\frac{a}{2}}{\tan  \theta }+\frac{PC}{\tan  \theta }=a$
$解得PC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{2} \frac{\sqrt{3}-1}{2} a$
Subfield: Optics


Question: $如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在平面内，一光线自M点射入棱镜，入射角为60^\circ ，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜。求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。$

<img_1254>

Solution:
设光线在M点的折射角为\theta ，由折射定律有
$n=\frac{\sin  60 ^{\circ} }{\sin  \theta }$
$由几何关系可知光线在N点的入射角为90^\circ -\theta ，由于光线在N点恰好发生全反射，可知临界角\theta _0=90^\circ -\theta $
$又n=\frac{1}{\sin  \theta _0}$
$解得n=\frac{\sqrt{7}}{2},\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$
$由题图中几何关系有\frac{\frac{a}{2}}{\tan  \theta }+\frac{PC}{\tan  \theta }=a$
$解得PC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$

Final answer: $\frac{\sqrt{7}}{2} \frac{\sqrt{3}-1}{2} a$
Subfield: Optics


Question: $将自然光引入室内进行照明是一种新型的绿色能源技术。某科技兴趣小组设计了一种接收太阳光的实验装置，如图为过装置中心轴线的截面，上部的集光球是半径为R的某种均匀透明材料的半球体，下部为导光管，两部分的交界面是PQ。若只有PQ上方高度h=\frac{\sqrt{3}}{2}R范围内的光束平行于PQ射入后，能直接通过PQ面进入导光管(不考虑集光球内表面的反射)，求该材料的折射率。$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487717713362947/img/compression/M_43c2f9ee52dbddf1f9b3bf93a8435995.jpg)

Solution:
由题意可知，最上端的太阳光经集光球折射后到达Q点，作出光路图如图所示，由图中几何关系有
$\sin i=\frac{h}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin r=\frac{h}{\sqrt{h^2+(R+\sqrt{R^2-h^2})^2}}=\frac{1}{2}$
$故该材料的折射率为n=\frac{\sin  i}{\sin  r}=\sqrt{3}$
![22ABJ5WL551.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487717713362947/img/compression/M_e3f3c1966c416e41e93c24b049a28e10.jpg)

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $将自然光引入室内进行照明是一种新型的绿色能源技术。某科技兴趣小组设计了一种接收太阳光的实验装置，如图为过装置中心轴线的截面，上部的集光球是半径为R的某种均匀透明材料的半球体，下部为导光管，两部分的交界面是PQ。若只有PQ上方高度h=\frac{\sqrt{3}}{2}R范围内的光束平行于PQ射入后，能直接通过PQ面进入导光管(不考虑集光球内表面的反射)，求该材料的折射率。$

<img_1244>

Solution:
由题意可知，最上端的太阳光经集光球折射后到达Q点，作出光路图如图所示，由图中几何关系有
$\sin i=\frac{h}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin r=\frac{h}{\sqrt{h^2+(R+\sqrt{R^2-h^2})^2}}=\frac{1}{2}$
$故该材料的折射率为n=\frac{\sin  i}{\sin  r}=\sqrt{3}$
<img_845>

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53^\circ (取\sin 53^\circ =0.8)。已知水的折射率为\frac{4}{3}。$

<img_1300>
船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45^\circ 时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。

Solution:
$设激光束在水中与竖直方向的夹角为45^\circ 时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i'，由折射定律有$
$\sin i'=n \sin 45 ^\circ ⑥$
$设船向左行驶的距离为x'，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x_1' ,到P点的水平距离为x_2' ,则$
$x_1' + x_2' = x' + x⑦$
有
$\frac{x_1'}{h_1}=\tan i'⑧$
$\frac{x_2'}{h_2}=\tan 45 ^\circ ⑨$
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得
$x'=(6\sqrt{2}-3)m \approx 5.5 m⑩$

Final answer: 5.5 m
Subfield: Optics


Question: $如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53^\circ (取\sin 53^\circ =0.8)。已知水的折射率为\frac{4}{3}。$

![20GZTWL16.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610459041189890/img/compression/M_1351dcf7d1f547c0dbe1b7b0f3e36b66.jpg)
船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45^\circ 时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。

Solution:
$设激光束在水中与竖直方向的夹角为45^\circ 时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i'，由折射定律有$
$\sin i'=n \sin 45 ^\circ ⑥$
$设船向左行驶的距离为x'，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x_1' ,到P点的水平距离为x_2' ,则$
$x_1' + x_2' = x' + x⑦$
有
$\frac{x_1'}{h_1}=\tan i'⑧$
$\frac{x_2'}{h_2}=\tan 45 ^\circ ⑨$
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得
$x'=(6\sqrt{2}-3)m \approx 5.5 m⑩$

Final answer: 5.5 m
Subfield: Optics


Question: 如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta 的控制(可视角度\theta 定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。

![physics_topic_figure](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610459536117763/img/compression/M_fe23d3f45d5b6a8ee9e67679a9cfb3a8.jpg)
$若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度\theta控制为60^\circ ，求屏障的高度d;$

Solution:
$由可视角度为60^\circ ，可知最大折射角r=30^\circ ,由折射定律可知，最大入射角i的正弦值为$
$$
\sin i = \frac{\sin r}{n} = \frac{1}{4}
$$
$由图中几何关系可得d=\frac{L/2}{\tan i}=\frac{\sqrt{15}}{2}L=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm\approx 1.55 mm$

![23GZT5WL40答案教师.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610460026851331/img/compression/M_74c9e39b12be026e83afd79764254e2a.jpg)

Final answer: 1.55 mm
Subfield: Optics


Question: 如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta 的控制(可视角度\theta 定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。

<img_1278>
$若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度\theta控制为60^\circ ，求屏障的高度d;$

Solution:
$由可视角度为60^\circ ，可知最大折射角r=30^\circ ,由折射定律可知，最大入射角i的正弦值为$
$$
\sin i = \frac{\sin r}{n} = \frac{1}{4}
$$
$由图中几何关系可得d=\frac{L/2}{\tan i}=\frac{\sqrt{15}}{2}L=\frac{2\sqrt{15}}{5} mm\approx 1.55 mm$

<img_970>

Final answer: 1.55 mm
Subfield: Optics


Question: 如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta 的控制(可视角度\theta 定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。

<img_1278>
$若屏障高度d=1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度\theta刚好被扩为180^\circ (只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元)。$

Solution:
$如图，若使可视角度刚好被扩为180^\circ ,则临界光线恰好发生全反射\sin C= \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$

可得C=30^\circ 

$由图中几何关系有\tan C= \frac{\frac{x}{2}+\frac{L}{2}}{d}$

$解得x= \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right) mm\approx 0.35 mm$

<img_1344>

Final answer: $0.35 mm$
Subfield: Optics


Question: 如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度\theta 的控制(可视角度\theta 定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍)。透明介质的折射率n=2，屏障间隙L=0.8 mm。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间。不考虑光的衍射。

![physics_topic_figure](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610459536117763/img/compression/M_fe23d3f45d5b6a8ee9e67679a9cfb3a8.jpg)
$若屏障高度d=1.0 mm，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度\theta刚好被扩为180^\circ (只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元)。$

Solution:
$如图，若使可视角度刚好被扩为180^\circ ,则临界光线恰好发生全反射\sin C= \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$

可得C=30^\circ 

$由图中几何关系有\tan C= \frac{\frac{x}{2}+\frac{L}{2}}{d}$

$解得x= \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0.8\right) mm\approx 0.35 mm$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610460391755777/img/compression/M_acefa72140a00e773fe7ad93a00043e6.jpg)

Final answer: $0.35 mm$
Subfield: Optics


Question: $如图，一折射率为 \sqrt{3} 的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形 ABC，\angle A=90^\circ ，\angle B=30^\circ 。一束平行光平行于 BC 边从 AB 边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求 AC 边与 BC 边上有光出射区域的长度的比值。$

![21GZTWLS15A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610483717787649/img/compression/M_fad82b6d9af8452489e7390187fb817a.jpg)

Solution:
$如图(a)所示，设从D点入射的光线经折射后恰好射向C点，光在AB边上的入射角为\theta_1，折射角为\theta_2，由折射定律有\sin \theta_1=n \sin \theta_2$

①

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610483717787649/img/compression/M_72f7d0a3e727018a3eb128d0be11de21.jpg)

$设从DB范围入射的光折射后在BC边上的入射角为\theta '，由几何关系\theta '=30^\circ +\theta _2$

②

由①②式并代入题给数据得

$\theta _2=30^\circ 　\theta '=60^\circ $

③

$n \sin \theta '=\frac{3}{2} >1$

④ 

所以，从DB范围入射的光折射后在BC边上发生全反射，反射光线垂直射到AC边，AC边上全部有光射出。

设从AD范围入射的光折射后在AC边上的入射角为\theta ″，如图(b) 所示。由几何关系

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610483717787649/img/compression/M_57936c43fd8842380d91631af1960dc4.jpg)

$\theta ″=90^\circ -\theta _2$

⑤ 

由$③⑤式和已知条件可知n \sin \theta ″ >1$

⑥ 

$即从AD范围入射的光折射后在AC边上发生全反射，反射光线垂直射到BC边上。设BC边上有光线射出的部分为CF，由几何关系得CF=AC\cdot \sin 30^\circ $

⑦ 

$AC边与BC边有光出射区域的长度的比值为 \frac{AC}{CF}=2$

⑧

Final answer: $2$
Subfield: Optics


Question: $如图，一折射率为 \sqrt{3} 的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形 ABC，\angle A=90^\circ ，\angle B=30^\circ 。一束平行光平行于 BC 边从 AB 边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求 AC 边与 BC 边上有光出射区域的长度的比值。$

<img_925>

Solution:
$如图(a)所示，设从D点入射的光线经折射后恰好射向C点，光在AB边上的入射角为\theta_1，折射角为\theta_2，由折射定律有\sin \theta_1=n \sin \theta_2$

①

<img_728>

$设从DB范围入射的光折射后在BC边上的入射角为\theta '，由几何关系\theta '=30^\circ +\theta _2$

②

由①②式并代入题给数据得

$\theta _2=30^\circ 　\theta '=60^\circ $

③

$n \sin \theta '=\frac{3}{2} >1$

④ 

所以，从DB范围入射的光折射后在BC边上发生全反射，反射光线垂直射到AC边，AC边上全部有光射出。

设从AD范围入射的光折射后在AC边上的入射角为\theta ″，如图(b) 所示。由几何关系

<img_441>

$\theta ″=90^\circ -\theta _2$

⑤ 

由$③⑤式和已知条件可知n \sin \theta ″ >1$

⑥ 

$即从AD范围入射的光折射后在AC边上发生全反射，反射光线垂直射到BC边上。设BC边上有光线射出的部分为CF，由几何关系得CF=AC\cdot \sin 30^\circ $

⑦ 

$AC边与BC边有光出射区域的长度的比值为 \frac{AC}{CF}=2$

⑧

Final answer: $2$
Subfield: Optics


Question: $一细束单色光在三棱镜ABC的侧面AC上以大角度由D点入射(入射面在棱镜的横截面内)，入射角为i，经折射后射至AB边的E点，如图所示。逐渐减小i，E点向B点移动，当\sin i= \frac{1}{6}时，恰好没有光线从AB边射出棱镜，且DE = DA。求棱镜的折射率。$

<img_757>

Solution:
<img_1251>

$由折射定律得：n=\frac{\sin i}{\sin  \alpha}$

$恰好发生全反射时：n=\frac{1}{\sin  \theta}$

$由几何关系：\alpha =\frac{\pi }{2}-(\pi -2\beta )，\theta =\frac{\pi }{2}-\beta $

$联立解得：n=\frac{3}{2}$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Optics


Question: $一细束单色光在三棱镜ABC的侧面AC上以大角度由D点入射(入射面在棱镜的横截面内)，入射角为i，经折射后射至AB边的E点，如图所示。逐渐减小i，E点向B点移动，当\sin i= \frac{1}{6}时，恰好没有光线从AB边射出棱镜，且DE = DA。求棱镜的折射率。$

![23GZT5WL60.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610485328400386/img/compression/M_370e9be7e6f7496069c47159bfe931ac.jpg)

Solution:
![光路图如图所示](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610485328400386/img/compression/M_71b9e64e97fdf9c0e63a9a713f536a52.jpg)

$由折射定律得：n=\frac{\sin i}{\sin  \alpha}$

$恰好发生全反射时：n=\frac{1}{\sin  \theta}$

$由几何关系：\alpha =\frac{\pi }{2}-(\pi -2\beta )，\theta =\frac{\pi }{2}-\beta $

$联立解得：n=\frac{3}{2}$

Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Optics


Question: $如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,\theta=30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$

<img_859>
玻璃的折射率；

Solution:
光路图如图所示
$在A点发生折射时，\theta =30^\circ $
$由几何关系：\alpha =2\theta =60^\circ $
$则折射率n= \frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta } = \sqrt{3}$

<img_609>

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,\theta=30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486028849155/img/compression/M_dbdea916f9bc4ad27d8d96984fe2103b.jpg)
玻璃的折射率；

Solution:
光路图如图所示
$在A点发生折射时，\theta =30^\circ $
$由几何关系：\alpha =2\theta =60^\circ $
$则折射率n= \frac{\sin  \alpha }{\sin  \theta } = \sqrt{3}$

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486028849155/img/compression/M_3a9c7a6bc00b25c8f1f97f10ea13cfa9.jpg)

Final answer: $\sqrt{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,\theta=30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$

<img_859>
从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。

Solution:
$\sin 45^\circ  > \sin C = \frac{1}{n} = \frac{\sqrt{3}}{3}，当\theta =45^\circ 时，从S发出的光线经3次全反射后回到S点通过的路程最短，所用时间最短，$

$光通过的路程s= 4\sqrt{2}R$

$光速v= \frac{c}{n}$

$最短时间t= \frac{s}{v}$

$联立解得t= \frac{4\sqrt{6}R}{c}$



Final answer: $\frac{4\sqrt{6}R}{c}$
Subfield: Optics


Question: $如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,\theta=30^\circ 。光在真空中的传播速度为c。求：$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610486028849155/img/compression/M_dbdea916f9bc4ad27d8d96984fe2103b.jpg)
从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。

Solution:
$\sin 45^\circ  > \sin C = \frac{1}{n} = \frac{\sqrt{3}}{3}，当\theta =45^\circ 时，从S发出的光线经3次全反射后回到S点通过的路程最短，所用时间最短，$

$光通过的路程s= 4\sqrt{2}R$

$光速v= \frac{c}{n}$

$最短时间t= \frac{s}{v}$

$联立解得t= \frac{4\sqrt{6}R}{c}$

Final answer: $`\frac{4\sqrt{6}R}{c}`$
Subfield: Optics


Question: $用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路，C、D两个大头针确定出射光路，O和O'分别是入射点和出射点，如图(a)所示。测得玻璃砖厚度为h=15.0 mm；A到过O点的法线OM的距离AM=10.0 mm，M到玻璃砖的距离MO=20.0 mm，O'到OM的距离为s=5.0 mm。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487056453635/img/compression/M_c83c4a57798ac08fbaa9386abbad5241.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487056453635/img/compression/M_655609db0bef902d178ec93f62fa2b25.jpg)
求玻璃砖的折射率；

Solution:
$$
\sin i = \frac{AM}{OA} = \frac{10 \mathrm{mm}}{10\sqrt{5} \mathrm{mm}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
$$

$$
\sin r = \frac{s}{\sqrt{s^2+h^2}} = \frac{5 \mathrm{mm}}{5\sqrt{10} \mathrm{mm}} = \frac{\sqrt{10}}{10}
$$

$则折射率 n = \frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{2}$

Final answer: $`\sqrt{2}`$
Subfield: Optics


Question: $用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路，C、D两个大头针确定出射光路，O和O'分别是入射点和出射点，如图(a)所示。测得玻璃砖厚度为h=15.0 mm；A到过O点的法线OM的距离AM=10.0 mm，M到玻璃砖的距离MO=20.0 mm，O'到OM的距离为s=5.0 mm。$

<img_1088>

<img_1288>
求玻璃砖的折射率；

Solution:
$$
\sin i = \frac{AM}{OA} = \frac{10 \mathrm{mm}}{10\sqrt{5} \mathrm{mm}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
$$

$$
\sin r = \frac{s}{\sqrt{s^2+h^2}} = \frac{5 \mathrm{mm}}{5\sqrt{10} \mathrm{mm}} = \frac{\sqrt{10}}{10}
$$

$则折射率 n = \frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{2}$

Final answer: $`\sqrt{2}`$
Subfield: Optics


Question: $用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路，C、D两个大头针确定出射光路，O和O'分别是入射点和出射点，如图(a)所示。测得玻璃砖厚度为h=15.0 mm；A到过O点的法线OM的距离AM=10.0 mm，M到玻璃砖的距离MO=20.0 mm，O'到OM的距离为s=5.0 mm。$

![图(a)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487056453635/img/compression/M_c83c4a57798ac08fbaa9386abbad5241.jpg)

![图(b)](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487056453635/img/compression/M_655609db0bef902d178ec93f62fa2b25.jpg)
用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图(b)所示。光从上表面入射，入射角从0逐渐增大，达到45^\circ 时，玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。

Solution:
由题意，光的传播路线如图所示。
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487673016321/img/compression/M_387e6b9f5530a00c89e45321034065b4.jpg)
$由 \frac{\sin  45 ^{\circ} }{\sin  \alpha }=\sqrt{2}，得\sin \alpha = \frac{1}{2},则\alpha =30^\circ $
$=\alpha +\theta $
$而\sin C= \frac{1}{n}= \frac{\sqrt{2}}{2}，则C=45^\circ $
$故\theta =15^\circ $

Final answer: $15^\circ $
Subfield: Optics


Question: $用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路，C、D两个大头针确定出射光路，O和O'分别是入射点和出射点，如图(a)所示。测得玻璃砖厚度为h=15.0 mm；A到过O点的法线OM的距离AM=10.0 mm，M到玻璃砖的距离MO=20.0 mm，O'到OM的距离为s=5.0 mm。$

<img_1088>

<img_1288>
用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图(b)所示。光从上表面入射，入射角从0逐渐增大，达到45^\circ 时，玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。

Solution:
由题意，光的传播路线如图所示。
<img_601>
$由 \frac{\sin  45 ^{\circ} }{\sin  \alpha }=\sqrt{2}，得\sin \alpha = \frac{1}{2},则\alpha =30^\circ $
$=\alpha +\theta $
$而\sin C= \frac{1}{n}= \frac{\sqrt{2}}{2}，则C=45^\circ $
$故\theta =15^\circ $

Final answer: $15^\circ $
Subfield: Optics


Question: 将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示。用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为\theta 。当\theta =60^\circ 时，A右侧恰好无光线射出；当\theta =30^\circ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h。不考虑多次反射。求：

![22GZTWLS18.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610487979200516/img/compression/M_908f718ce942a7492cc800ba5f278a4c.jpg)
半圆柱体对该单色光的折射率；

Solution:
$因为 \theta =60^\circ 时，A 右侧恰好无光线射出，此时恰好发生全反射$

$\sin C = \frac{1}{n}，其中 C = 60^\circ $

$n = \frac{1}{\sin C}$

$n = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Optics


Question: 将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示。用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为\theta 。当\theta =60^\circ 时，A右侧恰好无光线射出；当\theta =30^\circ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h。不考虑多次反射。求：

<img_1451>
半圆柱体对该单色光的折射率；

Solution:
$因为 \theta =60^\circ 时，A 右侧恰好无光线射出，此时恰好发生全反射$

$\sin C = \frac{1}{n}，其中 C = 60^\circ $

$n = \frac{1}{\sin C}$

$n = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Optics


Question: $如图，一潜水员在距海岸A点45 m的B点竖直下潜,B点和灯塔之间停着一条长4 m的皮划艇。皮划艇右端距B点4 m，灯塔顶端的指示灯与皮划艇两端的连线与竖直方向的夹角分别为\alpha 和\beta  (\sin  \alpha =\frac{4}{5}, \sin  \beta =\frac{16}{37}),水的折射率为\frac{4}{3}，皮划艇高度可忽略。$

<img_927>
潜水员在水下看到水面上的所有景物都出现在一个倒立的圆锥里。若海岸上A点恰好处在倒立圆锥的边缘上，求潜水员下潜的深度；

Solution:
设潜水员下潜到M点时，A点恰好处在倒立圆锥的边缘上，说明从A点射入水的光线当入射角无限接近90^\circ 时，折射角等于临界角C,
$则有\sin C=\frac{1}{n}=\frac{3}{4}$
$\tan C=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
$h_BM=\frac{x_{AB}}{\tan  C}=15\sqrt{7} m$

Final answer: $15 \sqrt{7} m$
Subfield: Optics


Question: $如图，一潜水员在距海岸A点45 m的B点竖直下潜,B点和灯塔之间停着一条长4 m的皮划艇。皮划艇右端距B点4 m，灯塔顶端的指示灯与皮划艇两端的连线与竖直方向的夹角分别为\alpha 和\beta  (\sin  \alpha =\frac{4}{5}, \sin  \beta =\frac{16}{37}),水的折射率为\frac{4}{3}，皮划艇高度可忽略。$

![22ABJ5WL420.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487740792688643/img/compression/M_c0dca28a8bd8a9a70acab27468d5fa10.jpg)
潜水员在水下看到水面上的所有景物都出现在一个倒立的圆锥里。若海岸上A点恰好处在倒立圆锥的边缘上，求潜水员下潜的深度；

Solution:
设潜水员下潜到M点时，A点恰好处在倒立圆锥的边缘上，说明从A点射入水的光线当入射角无限接近90^\circ 时，折射角等于临界角C,
$则有\sin C=\frac{1}{n}=\frac{3}{4}$
$\tan C=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
$h_BM=\frac{x_{AB}}{\tan  C}=15\sqrt{7} m$

Final answer: $15 \sqrt{7} m$
Subfield: Optics


Question: $超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为\theta 。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d=100.0 mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=\sqrt{2}和n_2=\frac{\sqrt{31}}{4}.取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}，\cos 37^\circ =\frac{4}{5}，\frac{5}{\sqrt{7}}=1.890。$

![alt text](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1630487767692689411/img/compression/M_3992146f6a47236a1bd7ce46bee592a0.jpg)
$若\theta =37^\circ ，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差\Delta L(保留3位有效数字)。$

Solution:
$脉冲激光从第一个三棱镜右侧斜面射出时发生折射，设折射角分别为\alpha _1和\alpha _2。由折射定律得$

$n_1 = \frac{\sin  \alpha _1}{\sin  \theta }$

④

$n_2 = \frac{\sin  \alpha _2}{\sin  \theta }$

⑤
设两束光在前两个三棱镜斜面之间的路程分别为L_1和L_2，则

$L_1 = \frac{d}{\cos  \alpha _1}$

⑥

$L_2 = \frac{d}{\cos  \alpha _2}$

⑦
$\Delta L=2(L_1-L_2)$

⑧

联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据得

$\Delta L=14.4 mm$

⑨

Final answer: $14.4 mm$
Subfield: Optics


Question: $超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为\theta 。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d=100.0 mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n_1=\sqrt{2}和n_2=\frac{\sqrt{31}}{4}.取\sin 37^\circ =\frac{3}{5}，\cos 37^\circ =\frac{4}{5}，\frac{5}{\sqrt{7}}=1.890。$

<img_629>
$若\theta =37^\circ ，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差\Delta L(保留3位有效数字)。$

Solution:
$脉冲激光从第一个三棱镜右侧斜面射出时发生折射，设折射角分别为\alpha _1和\alpha _2。由折射定律得$

$n_1 = \frac{\sin  \alpha _1}{\sin  \theta }$

④

$n_2 = \frac{\sin  \alpha _2}{\sin  \theta }$

⑤
设两束光在前两个三棱镜斜面之间的路程分别为L_1和L_2，则

$L_1 = \frac{d}{\cos  \alpha _1}$

⑥

$L_2 = \frac{d}{\cos  \alpha _2}$

⑦
$\Delta L=2(L_1-L_2)$

⑧

联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据得

$\Delta L=14.4 mm$

⑨

Final answer: $14.4 mm$
Subfield: Electromagnetism


Question: 小梦同学自制了一个两挡位(“$\times 1$”“$\times 10$”)的欧姆表，其内部结构如图所示，_R_<sub>0</sub>为调零电阻(最大阻值为_R_<sub>0m</sub>)，_R_<sub>_s_</sub>、_R_<sub>_m_</sub>、_R_<sub>_n_</sub>为定值电阻(_R_<sub>_s_</sub>+_R_<sub>0m</sub>&lt;_R_<sub>_m_</sub>&lt;_R_<sub>_n_</sub>),电流计<img_419>的内阻为_R_<sub>G</sub>(_R_<sub>_s_</sub>≪_R_<sub>G</sub>)。用此欧姆表测量一待测电阻的阻值，回答下列问题:

<img_975>
$在“\times 10”挡位调整欧姆零点后，在①②间接入阻值为100 \Omega 的定值电阻 R_1 $，稳定后电流计<img_419> 的指针偏转到满偏刻度的 $\frac{2}{3}; 取走 R_1，在①②间接入待测电阻 R_x$，稳定后电流计<img_419> 的指针偏转到满偏刻度的$\frac{1}{3} ，则 R_x= \Omega 。$

Solution:
$设I_{\text{总}}=kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{总}}}，当①②短接时，kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}}；当接入100 \Omega 的电阻时，\frac{2}{3}kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}+100 \Omega }；当接入R_{x}时，\frac{1}{3}kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}+R_x}，联立解得R_{\text{内}}=200 \Omega ，R_{x}=400 \Omega 。$

Final answer: 400
Subfield: Electromagnetism


Question: 小梦同学自制了一个两挡位(“$\times 1$”“$\times 10$”)的欧姆表，其内部结构如图所示，_R_<sub>0</sub>为调零电阻(最大阻值为_R_<sub>0m</sub>)，_R_<sub>_s_</sub>、_R_<sub>_m_</sub>、_R_<sub>_n_</sub>为定值电阻(_R_<sub>_s_</sub>+_R_<sub>0m</sub>&lt;_R_<sub>_m_</sub>&lt;_R_<sub>_n_</sub>),电流计![G.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612364062019586/img/compression/M_7724e901058e2819a112199b27eb7438.jpg)的内阻为_R_<sub>G</sub>(_R_<sub>_s_</sub>≪_R_<sub>G</sub>)。用此欧姆表测量一待测电阻的阻值，回答下列问题:

![23GZT5WL12.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612364062019586/img/compression/M_14ec67601909d387d616720cffedf3d0.jpg)
$在“\times 10”挡位调整欧姆零点后，在①②间接入阻值为100 \Omega 的定值电阻 R_1 $，稳定后电流计![G.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612364062019586/img/compression/M_7724e901058e2819a112199b27eb7438.jpg) 的指针偏转到满偏刻度的 $\frac{2}{3}; 取走 R_1，在①②间接入待测电阻 R_x$，稳定后电流计![G.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623612364062019586/img/compression/M_7724e901058e2819a112199b27eb7438.jpg) 的指针偏转到满偏刻度的$\frac{1}{3} ，则 R_x= \Omega 。$

Solution:
$设I_{\text{总}}=kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{总}}}，当①②短接时，kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}}；当接入100 \Omega 的电阻时，\frac{2}{3}kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}+100 \Omega }；当接入R_{x}时，\frac{1}{3}kI_{g}=\frac{E}{R_{\text{内}}+R_x}，联立解得R_{\text{内}}=200 \Omega ，R_{x}=400 \Omega 。$

Final answer: 400
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
![24BSD5WL508.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003731058577410/img/compression/M_cc093196a3180e847d6c8a1a69440031.jpg)
离子到达B点时速度的大小；

Solution:
类平抛过程由动能定理有

$\frac{3EqR}{2} = \frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_0^{2}. $

$解得，离子到达B点时速度的大小为 v=\frac{5}{4}v_0.$

Final answer: $\frac{5}{4} $
Subfield: Electromagnetism


Question: $某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d=4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处，以初速度v_0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m，电量为q，不计重力，求：$
<img_1032>
离子到达B点时速度的大小；

Solution:
类平抛过程由动能定理有

$\frac{3EqR}{2} = \frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_0^{2}. $

$解得，离子到达B点时速度的大小为 v=\frac{5}{4}v_0.$

Final answer: $\frac{5}{4} $
Subfield: Electromagnetism


Question: 如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，在x轴上方空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁场方向垂直纸面向外，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m电荷量为q的带正电离子从x轴上的$M(-3d,0)$点射入电场，速度方向与x轴正方向夹角为$45^\circ$ ，之后该离子从$N(-d,0)$点射入磁场Ⅰ，速度方向与x轴正方向夹角也为$45^\circ$ ，速度大小为v，离子在磁场Ⅰ中的轨迹与y轴交于P点，最后从$Q(3d,0)$点射出第一象限，不计离子重力。

<img_852>
图甲

<img_1068>
图乙
$如图乙所示的边长为d的立方体中有垂直于AA' C' C面的匀强磁场Ⅱ，将立方体的ABCD面刚好落在坐标系xOy平面内的第四象限，A点与Q点重合，AD边沿x轴正方向，离子从Q点射出后在该立方体内发生偏转，且恰好通过C'点，设匀强磁场Ⅰ的磁感应强度为B_1，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度为B_2，求B_1与B_2的比值。$

Solution:
<img_466>

离子在匀强磁场Ⅰ中

$qvB_{1}=m\frac{v^2}{R}$

$设离子在匀强磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为R_{2}，则$

$qvB_{2}=m\frac{v^2}{R_2}$

$由几何关系有R^{2}_{2}=(\sqrt{2}d)^2+(R_{2}-d)^2$

$解得R_{2}=\frac{3}{2}d$

$联立解得\frac{B_1}{B_2}=\frac{R_2}{R}$

$代入数据\frac{B_1}{B_2}=\frac{3\sqrt{2}}{8}$

Final answer: $\frac{3\sqrt{2}}{8}$
Subfield: Electromagnetism


Question: 如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，在x轴上方空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁场方向垂直纸面向外，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m电荷量为q的带正电离子从x轴上的$M(-3d,0)$点射入电场，速度方向与x轴正方向夹角为$45^\circ$ ，之后该离子从$N(-d,0)$点射入磁场Ⅰ，速度方向与x轴正方向夹角也为$45^\circ$ ，速度大小为v，离子在磁场Ⅰ中的轨迹与y轴交于P点，最后从$Q(3d,0)$点射出第一象限，不计离子重力。

![figure1](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_8cdcb05b9d8209b0370f37da7f59a39b.jpg)
图甲

![figure2](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_ed36a9a04a0ccee44809d9327ab65a20.jpg)
图乙
$如图乙所示的边长为d的立方体中有垂直于AA' C' C面的匀强磁场Ⅱ，将立方体的ABCD面刚好落在坐标系xOy平面内的第四象限，A点与Q点重合，AD边沿x轴正方向，离子从Q点射出后在该立方体内发生偏转，且恰好通过C'点，设匀强磁场Ⅰ的磁感应强度为B_1，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度为B_2，求B_1与B_2的比值。$

Solution:
![24BSD5WL507.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1717003722032435202/img/compression/M_5789d32ea0cb3084a4de07d10d517e64.jpg)

离子在匀强磁场Ⅰ中

$qvB_{1}=m\frac{v^2}{R}$

$设离子在匀强磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为R_{2}，则$

$qvB_{2}=m\frac{v^2}{R_2}$

$由几何关系有R^{2}_{2}=(\sqrt{2}d)^2+(R_{2}-d)^2$

$解得R_{2}=\frac{3}{2}d$

$联立解得\frac{B_1}{B_2}=\frac{R_2}{R}$

$代入数据\frac{B_1}{B_2}=\frac{3\sqrt{2}}{8}$

Final answer: $\frac{3\sqrt{2}}{8}$