di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如表：(单位：人)$

|   | 首选志愿为师范专业 | 首选志愿为非师范专业 |
| --- | --- | --- |
| 女性 | 25 | 35 |
| 男性 | 5 | 25 |

$附： \chi ^2 = {\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}} ， n=a+b+c+d.$

| $\alpha$ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_\alpha$ | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |

$用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)。$

Solution:
$某个考生首选志愿为师范专业的概率P=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}，$

$X的所有可能取值为0，1，2，3，X~B\left(3,\frac{1}{3}\right).$

$P(X=0)=\left(\frac{2}{3}\right)^{3} =\frac{8}{27}，P(X=1)=C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(\frac{2}{3}\right)^{2} =\frac{4}{9}，$

$P(X=2)=C^2_3\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}，P(X=3)=\left(\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{1}{27}，$

$\therefore X的分布列为$

|  $X$  |  0  |  1  |  2  |  3  |
|------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ |$\frac{8}{27}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{2}{9}$|$\frac{1}{27}$|

$E(X)=3\times \frac{1}{3}=1,D(X)=3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.$



Final answer: $1,\frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 研究显示，越来越多的上班族下班后通过慢跑强身健体，慢跑属于一种有氧运动，可以消耗人体大量热量，坚持慢跑可以促进新陈代谢，增加肺活量以及增强心脏功能，提升人体免疫力，因此深受青年人喜爱.下图统计了小明这100天每天慢跑的时间情况(单位：分钟).

![24AXGK5SX409.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1635167151268712450/img/compression/M_2c7d096cd43d9d8ce075d27beae21198.jpg)
$小明的同事小强本月前7次慢跑的时间情况如表.由散点图可知，小强的慢跑次数x和慢跑时间y(单位：分钟)之间成线性相关.$

| 次数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 慢跑时间y(单位：分钟) | 15 | 18 | 27 | 23 | 20 | 29 | 36 |

$①求y关于x的经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}，其中\hat{b},\hat{a}使用分数形式表示；$

②根据①中的运算结果预测小强第9次的慢跑时间是否会超过小明这100天慢跑的平均时间.

$参考公式：在经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}, \hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$

Solution:
①依题意，知

$\overline{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = 4$

$\overline{y} = \frac{15+18+27+23+20+29+36}{7} = 24$

$\sum \limits^{7}_{i=1} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) = (-3)\times (-9)+(-2)\times (-6)+(-1)\times 3+1\times (-4)+2\times 5+3\times 12 = 78$

$\sum \limits^{7}_{i=1} (x_i-\overline{x})^2 = (-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+1^2+2^2+3^2 = 28$

则 

$\hat{b} = \frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2} = \frac{39}{14}$

$\hat{a} = \overline{y}-\hat{b}\overline{x} = 24-\frac{39}{14}4 = \frac{90}{7}$

故所求经验回归方程为 

$\hat{y} = \frac{39}{14}x + \frac{90}{7}$

②小明这100天慢跑的平均时间为 

$5\times 0.05+15\times 0.12+25\times 0.31+35\times 0.34+45\times 0.15+55\times 0.03=30.1$

$将 x ＝9代入 \hat{y} = \frac{39}{14}x + \frac{90}{7} 中，得 $

$\hat{y} = \frac{39}{14}9 + \frac{90}{7} \approx 37.93 > 30.1$

故可以预测小强第9次的慢跑时间会超过小明这100天慢跑的平均时间.

Final answer: $\hat{y} = \frac{39}{14}x + \frac{90}{7}, \hat{y} = \frac{39}{14}9 + \frac{90}{7} \approx 37.93 > 30.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 研究显示，越来越多的上班族下班后通过慢跑强身健体，慢跑属于一种有氧运动，可以消耗人体大量热量，坚持慢跑可以促进新陈代谢，增加肺活量以及增强心脏功能，提升人体免疫力，因此深受青年人喜爱.下图统计了小明这100天每天慢跑的时间情况(单位：分钟).

<img_185>
$小明的同事小强本月前7次慢跑的时间情况如表.由散点图可知，小强的慢跑次数x和慢跑时间y(单位：分钟)之间成线性相关.$

| 次数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 慢跑时间y(单位：分钟) | 15 | 18 | 27 | 23 | 20 | 29 | 36 |

$求y关于x的经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}，其中\hat{b},\hat{a}使用分数形式表示；$


$参考公式：在经验回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}中，\hat{b}=\frac{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})}^2}, \hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$

Solution:
依题意，知

$\overline{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = 4$

$\overline{y} = \frac{15+18+27+23+20+29+36}{7} = 24$

$\sum \limits^{7}_{i=1} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) = (-3)\times (-9)+(-2)\times (-6)+(-1)\times 3+1\times (-4)+2\times 5+3\times 12 = 78$

$\sum \limits^{7}_{i=1} (x_i-\overline{x})^2 = (-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+1^2+2^2+3^2 = 28$

则 

$\hat{b} = \frac{\sum \limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum \limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})^2} = \frac{39}{14}$

$\hat{a} = \overline{y}-\hat{b}\overline{x} = 24-\frac{39}{14}4 = \frac{90}{7}$

故所求经验回归方程为 

$\hat{y} = \frac{39}{14}x + \frac{90}{7}$




Final answer: $\hat{y} = \frac{39}{14}x + \frac{90}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为\alpha和\beta，一轮试验中甲药的得分记为X。$
$求x的分布列；$

Solution:
X的所有可能取值为-1，0，1.
$P(X=-1)=(1-\alpha )\beta ,$
$P(X =0)=\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta ),$
$P(X=1)=\alpha (1-\beta ).$
所以X的分布列为

| X | -1 | 0 | 1 |
| :-- | -- | -- | -- |
|$P$|$(1-\alpha )\beta$|$\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta )$|$\alpha (1-\beta ) $|

Final answer: | X    | -1                 | 0                                     | 1                    |
| :--- | ------------------ | ------------------------------------- | -------------------- |
| $P$  | $(1-\alpha )\beta$ | $\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta )$ | $\alpha (1-\beta ) $ |
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工x万千克该农产品，需另投入成本f(x)万元，且f(x)=$

$$
\begin{cases}
\frac{1}{2}x^2+x, & 0<x<6,\\
7x+\frac{49}{x}-27, & x\geq 6.
\end{cases}
$$

已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
$求加工后该农产品的利润\(y\)(万元)与加工量\(x\)(万千克)的函数关系式；$

Solution:
$当0 < x < 6时，y = 6x - ( \frac{1}{2}x^2+x ) -2 = -( \frac{1}{2} )x^2 + 5x -2。$
$当 x \geq  6时，y = 6x - ( 7x+\frac{49}{x}-27 ) -2 = -x - ( \frac{49}{x} ) +25。$
$故 y = ( \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2+5x-2,& 0 < x < 6,\\ -x-\frac{49}{x}+25, & x\geq 6. \end{cases} )$

Final answer: $ y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2+5x-2,& 0 < x < 6,\\ -x-\frac{49}{x}+25, & x\geq 6. \end{cases} $
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为 \frac{1}{2}.$
$求椭圆E的方程；$

Solution:
由已知可得
$\left\{\begin{matrix}{|QF|}_{\max }=a+c=3,\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2},\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right. $
解得
$\left\{\begin{matrix}a=2,\\ b=\sqrt{3},\\ c=1.\end{matrix}\right.$
因此椭圆E的方程为
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知\sqrt{3}|OA|=2|OB|(O为原点)。$
$设经过点F且斜率为 \frac{3}{4} 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC\parallel AP.求椭圆的方程.$

Solution:
$由(1)知，a=2c, b=\sqrt{3}c, 故椭圆方程为 \frac{x^2}{4c^2}+ \frac{y^2}{3c^2} =1. 由题意知，F(-c，0)，则直线 l 的方程为 y=\frac{3}{4}(x+c)。$

$点 P 的坐标满足 $

$$
\left\{
\begin{matrix}
\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1,\\ 
y=\frac{3}{4}(x+c),
\end{matrix}
\right.
$$

$消去 y 并化简，得到 7x^2+6cx-13c^2=0，解得 x_1=c, x_2=-\frac{13c}{7}.$

$代入 l 的方程，解得 y_1=\frac{3}{2}c, y_2=-\frac{9}{14}c.$

$因为点 P在 x轴上方，所以 P (c,\frac{3}{2}c).$

$由圆心 C 在直线 x=4 上，可设 C(4，t).$

$因为 OC \parallel  AP，且由(1)知 A(-2c，0)，故 \frac{t}{4}=\frac{\frac{3}{2}c}{c+2c}，解得 t=2. 则 C(4,2).$

$因为圆 C与 x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆 C与 l相切，得 \frac{\left|\frac{3}{4}(4+c)-2\right|}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=2，可得 c=2.$

$所以椭圆的方程为 \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} =1.$

Final answer: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} =1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C :  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1  (a > b > 0) 的离心率为  \frac{\sqrt{2}}{2} ，且过点 A (2，1)。$
求C的方程；

Solution:
$由题设得，\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1，， \frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{1}{2}, 解得a^{2}=6，b^{2}=3。所以C的方程为： \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆𝐶：𝑥^2/𝑎^2 + 𝑦^2/𝑏^2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的长轴长为4，𝑃在𝐶上运动，𝐹<sub>1</sub>，𝐹<sub>2</sub>为𝐶的两个焦点，且\cos \angle 𝐹<sub>1</sub>𝑃𝐹<sub>2</sub>的最小值为1/2．$
求C的方程；

Solution:
$由题意得a＝2，设|PF_1|，|PF_2|分别为p，q，则p+q=2a，$

$cos\angle F_1PF_2=\frac{p^2+q^2-4c^2}{2pq}=\frac{{(p+q)}^2-4c^2-2pq}{2pq}$

$=\frac{2b^2-pq}{pq}=\frac{2b^2}{pq}-1\geq \frac{2b^2}{{\left(\frac{p+q}{2}\right)}^2}-1=\frac{2b^2}{a^2}-1(当且仅当p＝q时取等号)，从而\frac{2b^2}{a^2}-1=\frac{1}{2}，得\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}，又a=2,\therefore b^2=3，$

$则C的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1．$

Final answer: ${\frac{x^2}{4}}+{\frac{y^2}{3}}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C：\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)的离心率为\frac{\sqrt{6}}{3}，且经过点P(1, \sqrt{3}).$
$求椭圆C的方程；$

Solution:
由题意得 

$$
\left\{\begin{matrix}e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3},\\ \frac{3}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.
$$

$解得 a = \sqrt{6} ，b = \sqrt{2} $

$\therefore 椭圆 C 的方程为 $

$$
\frac{y^2}{6} + \frac{x^2}{2} = 1
$$

Final answer: $\frac{y^2}{6} + \frac{x^2}{2} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 x^2/a^2+ y^2/b^2=1 (a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 B，离心率为 2\sqrt{5}/5，且 |BF|=\sqrt{5}.$
求椭圆的方程；

Solution:
$易知F(c,0)，B(0,b)，故|BF|=\sqrt{c^2+b^2}=a=\sqrt{5}，$
$因为椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，所以c=2，所以b=\sqrt{a^2-c^2}=1，$
$故椭圆的方程为\frac{x^2}{5}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)与直线x=-\sqrt{2}b有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，P_1(-1,0)，P_2(1,0)，\overrightarrow{PP_1}\cdot \overrightarrow{PP_2}的最小值为\frac{a}{2}.$
求椭圆C的标准方程；

Solution:
设P(x,y).
$由题意知a=\sqrt{2}b，所以C:x^2+2y^2=a^2，所以\overrightarrow{PP_1}\cdot \overrightarrow{PP_2}=x^2+y^2-1=-y^2+a^2-1.$
$易知当y=\pm b时，\overrightarrow{PP_1}\cdot \overrightarrow{PP_2}取得最小值，$
$所以a^2-b^2-1=\frac{a}{2}\Rightarrow \frac{a^2}{2}-1=\frac{a}{2}\Rightarrow a=2,所以b=\sqrt{2}，$
$故椭圆C的标准方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.$

Final answer: \frac{x^2}{4}+{\frac{y^2}{2}}=1
Subfield: Conic Sections


Question: $在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}，点\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)在椭圆C上.$
求椭圆C的方程；

Solution:
由题意可得
$$
\left\{\begin{matrix}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{matrix}\right.
$$
解得
$$
\left\{\begin{matrix}a^2=4\\ b^2=1,\end{matrix}\right.
$$
所以椭圆C的方程为
$$
\frac{x^2}{4} + y^{2} = 1
$$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + y^{2} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知双曲线C: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0,b>0) 的左焦点为 F，右顶点为 A，渐近线方程为 y=\pm \sqrt{3}x，F到渐近线的距离为 \sqrt{3}.$
求C的方程；

Solution:
：

$双曲线 C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线方程为 y = \frac{b}{a} x， 焦点 F (-c, 0)， $

$则焦点到渐近线的距离 d = \frac{|-bc|}{\sqrt{a^2+b^2}} = b，$

$由 F 到渐近线的距离为 \sqrt{3} 可知 b = \sqrt{3}，$

$由渐近线方程为 y = \pm \sqrt{3} x 知 \frac{b}{a} = \sqrt{3}，故 a = 1，$

$所以 C 的方程为 x^2 - \frac{y^2}{3} = 1.$

Final answer: $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a  >  b > 0), F_1，F_2 为C的左，右焦点，点P \left(1,-\frac{3}{2}\right) 为椭圆上一点，且|PF_1|+|PF_2|=4. 过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A,B,直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.$
求椭圆C的方程;

Solution:
$由|PF_1| + |PF_2| = 4 = 2a，可得a=2,又因为点P(1,-\frac{3}{2})在椭圆C上，所以\frac{1}{4}+\frac{9}{4b^2} = 1，得b^2=3，所以椭圆C的方程为\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$

$(4分)$

Final answer: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=2cos^2\omega x+2\sqrt{3}sin \omega x cos \omega x+a(\omega>0，a\in R)。再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知：$

$条件①：f(x)的最大值为1；$
$条件②：f(x)图象的一条对称轴是直线x=-\frac{\pi }{12\omega }；$
$条件③：f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为\frac{\pi}{2}.$
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$f(x) = 2cos^2 \omega x + 2\sqrt{3} sin \omega x cos \omega x + a = cos 2\omega x + \sqrt{3}sin 2\omega x + a+1 = 2 sin(2\omega x+\frac{\pi}{6}) + a + 1$

若选条件②：

$因为f(x)图象的一条对称轴是直线x = -\frac{\pi}{12\omega}，所以2\omega (-\frac{\pi}{12\omega}) + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi,k\in Z，即 0 = \frac{\pi}{2} + k\pi ,k\in Z，显然不成立，故条件②不合理.$

选择条件①③：

$因为f(x)的最大值为1, f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为\frac{\pi}{2}，$

$所以2+a+1=1, T = \pi = \frac{2\pi}{2\omega }，解得\omega = 1,  a = -2，$

$所以f(x) = 2sin(2x+\frac{\pi}{6}) - 1.$

Final answer: f(x) = 2sin(2x+\frac{\pi}{6}) - 1
Subfield: Derivative


Question: $函数 f(x)=A\sin (\omega x+\phi ) (A, \omega , \phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$
<img_1720>
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知，A=2，且\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=\frac{3}{4}T，即T=\pi，$
$所以\omega=2，又f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2，0<\phi <\pi ，得\phi =\frac{\pi }{6}，$
$所以f(x)=2sin\left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$



Final answer: $f(x)=2sin\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$
Subfield: Derivative


Question: $函数 f(x)=A\sin (\omega x+\phi ) (A, \omega , \phi 为常数，A>0,\omega >0,0<\phi <\pi )的图象如图所示.$
![图一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623873745639403522/img/compression/M_33a7be52836e700b7aed792df5d6c83a.jpg)
$求函数f(x)的解析式；$

Solution:
$由题图可知，A=2，且\frac{11\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=\frac{3}{4}T，即T=\pi，$
$所以\omega=2，又f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2，0<\phi <\pi ，得\phi =\frac{\pi }{6}，$
$所以f(x)=2sin\left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$

Final answer: $f(x)=2sin\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和S_n=3n^2+8n，b_n是等差数列，且a_n=b_n+b_{n+1}.$
$求数列{b_n}的通项公式；$

Solution:
$因为数列a_n的前n项和S_n=3n^2+8n，所以a_1=S_1=11，当n\geq 2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+8n-3(n-1)^2-8(n-1)=6n+5，$
$当n=1时,a_1=11也适合上式，所以a_n=6n+5.$
$设等差数列b_n的公差为d，则a_n=b_n+b_{n+1}=2b_n+d.$
$当n=1时，2b_1=11-d，当n=2时，2b_2=17-d，则2b_2-2b_1=2d=6,解得d=3，$
$所以数列b_n的通项公式为b_n=\frac{a_n-d}{2}=3n+1.$

Final answer: b_n=3n+1
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和S_n=3n^2+8n，b_n是等差数列，且a_n=b_n+b_{n+1}.$
$令c_n=\frac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}, 求数列{c_n}的前n项和T_n.$

Solution:
:
$由(1)可得c_n=\frac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}=\frac{(6n+6)^{n+1}}{(3n+3)^n}=(3n+3)\cdot 2^{n+1}，则T_n=6\times 2^{2}+9\times 2^{3}+12\times 2^{4}+\ldots +(3n+3)\times 2^{n+1}，$
$2T_n=6\times 2^{3}+9\times 2^{4}+\ldots +3n\times 2^{n+1}+(3n+3)\times 2^{n+2}，$
两式相减，得
$-T_n=6\times 2^{2}+3\times 2^{3}+3\times 2^{4}+\ldots +3\times 2^{n+1}-(3n+3)\times 2^{n+2}=3\times 2^{2}+\frac{3 \times 2^2(1-2^n)}{1-2}-(3n+3)\times 2^{n+2}=-3n\cdot 2^{n+2},$
$所以T_n=3n\cdot 2^{n+2}.$

Final answer: $T_n=3n\cdot 2^{n+2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n和b_n满足a_1=1, b_1=0, 4a_{n+1}=3a_n-b_n+4, 4b_{n+1}=3b_n-a_n-4.$
$求a_n和b_n的通项公式.$

Solution:
$由(1)知，a_n + b_n = \frac{1}{2^{n-1}}，a_n - b_n=2n-1.  $
$所以a_n=\frac{1}{2}[(a_n+b_n) + (a_n-b_n)]=\frac{1}{2^n}+n-\frac{1}{2},  $
$b_n=\frac{1}{2}[(a_n+b_n) - (a_n-b_n)]=\frac{1}{2^n}-n+\frac{1}{2}.$

Final answer: a_n=\frac{1}{2^n}+n-\frac{1}{2}}, {b_n=\frac{1}{2^n}-n+\frac{1}{2}
Subfield: Sequence


Question: $已知等差数列a_n的首项a_1=-1,公差d>1。记a_n的前n项和为S_n (n\in N^)。$
$若 S_4-2a^2a_3+6=0，求 S_n；$

Solution:
$易得a_n=(n-1)d-1，n \in N^，S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=6d-4。  $

$又S_4-2a_2a_3+6=0，\therefore 6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0，  $

$\therefore d=3或d=0(舍)，则a_n=3n-4，n \in N^，  $

$故S_n=3(1+2+\ldots +n)-4n=\frac{3n(n+1)-8n}{2}=\frac{3n^2-5n}{2}，n \in N^.$

Final answer: $\frac{3n^2-5n}{2}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}单调递增，其前n项和为S_n，且a_1=2，S_n=\frac{a^2_n}{4}+n.$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$因为 S_n = \frac{{a_n}^2}{4} + n，所以当 n \geq  2 时，S_{n-1} = \frac{{a_{n-1}}^2}{4} + n - 1，$

$所以当 n \geq  2 时，S_n - S_{n-1} = \frac{{a_n}^2 - {a_{n-1}}^2}{4} + 1 = a_n，整理得 (a_n - 2)^2 = a_{n-1}^2。$

$因为数列 {a_n} 单调递增，且 a_1 = 2，所以当 n \geq  2 时，a_n - 2 > 0，a_{n-1} > 0，$

$所以当 n \geq  2 时，a_n - 2 = a_{n-1}，即 a_n - a_{n-1} = 2。$

$所以数列 {a_n} 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列。$

$所以 a_n = 2 + 2(n-1) = 2n。$

Final answer: $a_n = 2n$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}单调递增，其前n项和为S_n，且a_1=2，S_n=\frac{a^2_n}{4}+n.$
$设b_n=a_n\cdot 3^{\frac{a_n}{2}}-1，求数列{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$由(1)得 b_n = 2n \cdot 3^n -1，所以，T_n = b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n = 2(1 \times 3^{1} + 2 \times 3^{2} + 3 \times 3^{3} + ... + n \times 3^n) - n.$

$设 B_n = 1 \times 3^{1} + 2 \times 3^{2} + 3 \times 3^{3} + ... + n \times 3^n，则 3B_n = 1 \times 3^{2} + 2 \times 3^{3} + ... + (n-1) \times 3^n + n \times 3^{n+1}，所以 -2B_n = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^n - n \cdot 3^{n+1}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-n \cdot 3^{n+1} =\left(\frac{1}{2}-n \right) 3^{n+1}-\frac{3}{2}，$
    
$所以 2B_n=\left(n-\frac{1}{2}\right) 3^{n+1}+\frac{3}{2}，所以 T_n = 2B_n - n = \left(n-\frac{1}{2}\right) 3^{n+1} - n + \frac{3}{2}.$



Final answer: T_n = \left(n-\frac{1}{2}\right) 3^{n+1} - n + \frac{3}{2}
Subfield: Sequence


Question: $已知数列{a_n}中，a_1=-9，且\frac{a_{n+1}}{2}是2与a_n(n\in N^)的等差中项.$
$求数列{|a_n|}的前n项和G_n；$

Solution:
$由题意得a_{n+1}-a_n=2$

$故数列{a_n}是以-9为首项，2为公差的等差数列,$

$所以a_n=-9+2(n-1)=2n-11.$

$当n\leq 5时，a_n<0；当n\geq 6时，a_n>0，$

$所以当n\leq 5时，G_n=|a_1|+|a_2|+\ldots +|a_n|=-(a_1+a_2+\ldots +a_n)= \frac{n(9+11-2n)}{2} =10n-n^2.$

$当n\geq 6时，G_n=|a_1|+|a_2|+\ldots +|a_5|+|a_{6}|+\ldots +|a_n|=-2(a_1+a_2+\ldots +a_{5})+(a_1+a_2+\ldots +a{n})=25+(n-5)^2.$

$故G_n= \left\{\begin{matrix}10n-n^2(n\leq 5),\\ 25+(n-5)^2(n\geq 6).\end{matrix}\right.$

Final answer: G_n=\left\{\begin{matrix}10n-n^2(n\leq 5),\\ 25+(n-5)^2(n\geq 6).\end{matrix}\right.
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列，前n项和为S_n(n\in N^)，b_n是首项为2的等比数列，且公比大于0，b_2+b_3=12，b_3=a_4-2a_1，S_{11}=11b_4.$
$求a_n和b_n的通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，等比数列b_n的公比为q(q>0). $

$由b_2+b_3=12，得b_1(q+q^2)=12，又b_1=2，所以q^2+q-6=0.$

$解得q=2或q=-3(舍去).所以b_n=2^n.$

$由b_3=a_4-2a_1，可得3d-a_1=8①.由S_{11}=11b_4，可得a_1+5d=16②.$

$联立①②，解得a_1=1,d=3，故a_n=3n-2.$

$所以a_n的通项公式为a_n=3n-2，b_n的通项公式为b_n=2^n.$

Final answer: $a_n=3n-2，b_n=2^n$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=(x-2)e^{x}-\frac{a}{2}(x-1)^2, a \in R.$
$当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；$

Solution:
$当 a=2 时, f(x)=(x-2)e^x-(x-1)^2，$
$所以 f'(x)=(x-1)e^x-2(x-1)。$
$又因为 f(0)=(0-2)\times e^0-(0-1)^2=-3，f'(0)=(0-1)\times e^0-2(0-1)=1，$
$所以曲线 y=f(x) 在(0, f(0))处的切线方程为 y+3=x-0，即 y=x-3.$

Final answer: $y=x-3$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x+\frac{a}{e^x} (a>0)$
$求函数f(x)的极值.$

Solution:
$因为f(x) = x + \frac{a}{e^x}(a > 0)，$

$所以 f'(x) = 1 - \frac{a}{e^x} = \frac{e^x - a}{e^x}，$

$令 f'(x) > 0，得 x > \ln a， 令 f'(x) < 0， 得 x < \ln a，$

$所以函数 f(x) 在 (-\infty, \ln a) 上单调递减，在 (\ln a, +\infty) 上单调递增，$

$所以函数 f(x) 无极大值，有极小值，为 f(\ln a) = 1 + \ln a.$

Final answer: $1 + \ln a$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = e^x \sin x - 2x.$
$求曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程。$

Solution:
$因为 f(x) = e^x \sin x - 2x，所以 f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) -2，则 f'(0) = -1，又 f(0) = 0，所以曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程为 y = -x.$

Final answer: $y = -x$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
求第i次投篮的人是甲的概率;

Solution:
$设“第i次投篮的人是甲”的概率为P_i，$
$则第i-1次投篮的人是甲的概率为P_{i-1}，第i-1次投篮的人是乙的概率为1-P_{i-1}，$
$则P_i=0.6\cdot P_{i-1}+(1-P_{i-1})\times 0.2(i\geq 2)，$
$即P_i=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}P_{i-1}(i\geq 2)，则P_i-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}(P_{i-1}-\frac{1}{3})，$
$又P_1=\frac{1}{2}，\therefore P_1-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\neq 0，$
$\therefore 数列\left\{P_i-\frac{1}{3}\right\}是以\frac{1}{6}为首项，\frac{2}{5}为公比的等比数列.$
$\therefore P_i-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(\frac{2}{5})^{i-1}，即P_i=\frac{1}{6}(\frac{2}{5})^{i-1}+\frac{1}{3}，$
$\therefore 第i次投篮的人是甲的概率为\frac{1}{6}(\frac{2}{5})^{i-1}+\frac{1}{3}.$

Final answer: $\frac{1}{6}(\frac{2}{5})^{i-1}+\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
$已知：若随机变量 X_{i} 服从两点分布，且 P(X_{i}=1)=1-P(X_{i}=0)=q_{i}, i=1,2,\ldots ,n ，则 E\left(\sum \limits^{n}_{i=1}X_i\right)=\sum \limits^{n}_{i=1}q_i 。记前 n 次 (即从第1次到第 n 次投篮)中甲投篮的次数为 Y ，求 E(Y) 。$

Solution:
$由题意知E​(Y)=\sum \limits^{n}_{i=1}\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1}\right]=\frac{n}{3}+\frac{1}{6}\times \frac{1\times \left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right]}{1-\frac{2}{5}}=\frac{n}{3}+\frac{5}{18}\times \left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right].$



Final answer: $\frac{n}{3}+\frac{5}{18}\times \left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right]$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：

| 编号/准确率 | 1号  | 2号  | 3号  | 4号  | 5号  | 6号  | 7号  | 8号  | 9号  | 10号 |
|-------------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| 讲座前      | 65%  | 60%  | 70%  | 100% | 65%  | 75%  | 90%  | 85%  | 80%  | 60%  |
| 讲座后      | 90%  | 85%  | 80%  | 95%  | 85%  | 85%  | 95%  | 100% | 85%  | 90%  |
$从正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量x为抽中讲座前答卷的份数，求随机变量x的分布列和数学期望；$

Solution:
正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，X的所有可能取值是0，1，2，

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{2}{7}；P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\cdot \mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{7}；$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\cdot \mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{7}。$

故X的分布列为

|   X  |  0  |  1  |  2  |
|:----:|:---:|:---:|:---:|
|   P  | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$故E(X)=0\times \frac{2}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$

Final answer: X的分布列为

|   X  |  0  |  1  |  2  |
|:----:|:---:|:---:|:---:|
|   P  | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$E(X)=\frac{6}{7}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：

| 编号/准确率 | 1号  | 2号  | 3号  | 4号  | 5号  | 6号  | 7号  | 8号  | 9号  | 10号 |
|-------------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| 讲座前      | 65%  | 60%  | 70%  | 100% | 65%  | 75%  | 90%  | 85%  | 80%  | 60%  |
| 讲座后      | 90%  | 85%  | 80%  | 95%  | 85%  | 85%  | 95%  | 100% | 85%  | 90%  |

$从正确率不低于90\%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量x为抽中讲座前答卷的份数，求随机变量x的数学期望；$

Solution:
正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，X的所有可能取值是0，1，2，

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{2}{7}；P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\cdot \mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{4}{7}；$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\cdot \mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^3_7}=\frac{1}{7}。$

故X的分布列为

|   X  |  0  |  1  |  2  |
|:----:|:---:|:---:|:---:|
|   P  | $\frac{2}{7}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{1}{7}$ |

$故E(X)=0\times \frac{2}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{1}{7}=\frac{6}{7}.$



Final answer: $\frac{6}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

|    | 父亲 | 母亲 | 弟弟 |
|:---------:|:------:|:------:|:-------:|
|比赛的次数 |  50   |  60   |   40   |
|李梦获胜的次数 |  10   |  30   |   32   |

以上表中的频率作为概率，求解下列问题。
如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛: 如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的期望.

Solution:
$X的所有可能取值为0，1，2，3，$
$则 P(X=0)=\left(1-\frac{1}{5}\right) \times \left(1-\frac{1}{2}\right) \times \left(1-\frac{4}{5}\right) = \frac{2}{25}，$
$P(X=1)=\left(1-\frac{1}{5}\right) \times \left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} + \left(1-\frac{1}{5}\right) \times \frac{1}{2} \times \left(1-\frac{4}{5}\right) + \frac{1}{5} \times \left(1-\frac{1}{2}\right) \times \left(1-\frac{4}{5}\right) = \frac{21}{50}，$
$P(X=2)=\left(1-\frac{1}{5}\right) \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times \left(1-\frac{4}{5}\right) + \frac{1}{5} \times \left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} = \frac{21}{50}，$
$P(X=3)= \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{25}.$
故分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{2}{25}$ | $\frac{21}{50}$ | $\frac{21}{50}$ | $\frac{2}{25}$ |

$E(X)=0\times \frac{2}{25} +1\times \frac{21}{50} +2\times \frac{21}{50} +3\times \frac{2}{25} = \frac{3}{2}.$



Final answer: $\frac{3}{2}$