di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB=AD=3，BC=4，AC=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378849194012674/img/compression/M_9451d6a318ceea573eb4c50848aa1c76.jpg)
$(1)当AP变化时，点C到平面PAB的距离是不是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；$

Solution:
$当AP变化时，点C到平面PAB的距离是定值.由题意得AB\perp BC.因为PA\perp 底面ABCD,BC\subset 底面ABCD,所以PA\perp BC.因为PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB,所以BC\perp 平面PAB，(3分)所以点C到平面PAB的距离BC=4，即为定值.(4分)$

Final answer: $点C到平面PAB的距离是定值，即BC=4。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB=AD=3，BC=4，AC=5.$<img_1495>
$(1)当AP变化时，点C到平面PAB的距离是不是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；$

Solution:
$当AP变化时，点C到平面PAB的距离是定值.由题意得AB\perp BC.因为PA\perp 底面ABCD,BC\subset 底面ABCD,所以PA\perp BC.因为PA\cap AB=A,PA,AB\subset 平面PAB,所以BC\perp 平面PAB, 所以点C到平面PAB的距离BC=4，即为定值.$



Final answer: $4$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB=AD=3，BC=4，AC=5.$<img_1495>
$(2)当直线PB与平面ABCD所成的角为45^\circ 时，求二面角A-PD-C的余弦值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD,AB为PB在平面ABCD上的射影,所以\angle PBA为直线PB与平面ABCD所成的角,即\angle PBA=45^\circ ,所以PA=AB=3.(6分)由AD\parallel BC,AB\perp BC,得AB\perp AD,故直线AB、AD、AP两两垂直.以A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$<img_1788>$易得P(0,0,3)，D(0,3,0)，C(3,4,0)，所以\overrightarrow{DP}=(0,-3,3),\overrightarrow{DC}=(3,1,0).设平面PDC的一个法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=-3y+3z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=3x+y=0,\end{matrix}\right.取x=1,则y=-3,z=-3,所以n=(1,-3,-3).(8分)易得平面PAD的一个法向量m=(1,0,0).(9分)\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times \sqrt{1^2+{(-3)}^2+{(-3)}^2}}=\frac{\sqrt{19}}{19}.(11分)由图可知，二面角A-PD-C的平面角为钝角,所以二面角A-PD-C的余弦值为-\frac{\sqrt{19}}{19}.(12分)$

Final answer: $-\frac{\sqrt{19}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD中，PA\perp 底面ABCD，AD\parallel BC，AB=AD=3，BC=4，AC=5.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378849194012674/img/compression/M_9451d6a318ceea573eb4c50848aa1c76.jpg)
$(2)当直线PB与平面ABCD所成的角为45^\circ 时，求二面角A-PD-C的余弦值.$

Solution:
$因为PA\perp 底面ABCD,AB为PB在平面ABCD上的射影,所以\angle PBA为直线PB与平面ABCD所成的角,即\angle PBA=45^\circ ,所以PA=AB=3.(6分)由AD\parallel BC,AB\perp BC,得AB\perp AD,故直线AB、AD、AP两两垂直.以A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378849194012674/img/compression/M_aecee0208580d6fc66fe2db15af8c288.jpg)$易得P(0,0,3)，D(0,3,0)，C(3,4,0)，所以\overrightarrow{DP}=(0,-3,3),\overrightarrow{DC}=(3,1,0).设平面PDC的一个法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DP}=-3y+3z=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{DC}=3x+y=0,\end{matrix}\right.取x=1,则y=-3,z=-3,所以n=(1,-3,-3).(8分)易得平面PAD的一个法向量m=(1,0,0).(9分)\\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{1 \times \sqrt{1^2+{(-3)}^2+{(-3)}^2}}=\frac{\sqrt{19}}{19}.(11分)由图可知，二面角A-PD-C的平面角为钝角,所以二面角A-PD-C的余弦值为-\frac{\sqrt{19}}{19}.(12分)$

Final answer: $-\frac{\sqrt{19}}{19}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在\triangle ABC中，AB\perp BC，AB=6，BC=3，点D，E分别在AC，AB上，且满足\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，将\triangle ADE沿DE折到\triangle PDE的位置，得到四棱锥P-EDCB，如图②．$<img_1600>
$(1)已知M，N分别为PB，PE上的动点，求证：MN\perp DE；$

Solution:
$证明：在题图①中，\because \frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，\therefore DE\parallel BC，又\because AB\perp BC，\therefore DE\perp BE且DE\perp AE，即在题图②中，DE\perp BE，DE\perp PE，(3分)又\because BE\cap PE=E，BE,PE\subset 平面PBE，\therefore DE\perp 平面PBE，又MN\subset 平面PBE，\therefore MN\perp DE.(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在\triangle ABC中，AB\perp BC，AB=6，BC=3，点D，E分别在AC，AB上，且满足\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，将\triangle ADE沿DE折到\triangle PDE的位置，得到四棱锥P-EDCB，如图②．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378849890267138/img/compression/M_b38918fe732fc18cd1c34bd0ffdc354e.jpg)
$(1)已知M，N分别为PB，PE上的动点，求证：MN\perp DE；$

Solution:
$证明：在题图①中，\because \frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，\therefore DE\parallel BC，又\because AB\perp BC，\therefore DE\perp BE且DE\perp AE，即在题图②中，DE\perp BE，DE\perp PE，(3分)又\because BE\cap PE=E，BE,PE\subset 平面PBE，\therefore DE\perp 平面PBE，又MN\subset 平面PBE，\therefore MN\perp DE.(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在\triangle ABC中，AB\perp BC，AB=6，BC=3，点D，E分别在AC，AB上，且满足\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，将\triangle ADE沿DE折到\triangle PDE的位置，得到四棱锥P-EDCB，如图②．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378849890267138/img/compression/M_b38918fe732fc18cd1c34bd0ffdc354e.jpg)
$(2)在翻折过程中，当二面角P-ED-B为60^\circ 时，求直线CE与平面PCD所成角的正弦值．$

Solution:
$\because DE\perp BE，DE\perp PE，\therefore \angle PEB为二面角P-ED-B的平面角，则\angle PEB=60^\circ ，在\triangle PBE中，易知BE=2，PE=4，又\angle PEB=60^\circ ，\therefore 由余弦定理，可知PB=2\sqrt{3}，\therefore PB^{2}+BE^{2}=PE^{2}，\therefore PB\perp BE.由(1)知，BC\perp 平面PBE，则PB\perp BC.(8分)如图，以B为坐标原点，BE，BC，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378850401972226/img/compression/M_9cc68503130aa67dcd604a78f8e2cb99.jpg)$则E(2,0,0)，P(0,0,2\sqrt{3})，C(0,3,0)，D(2,2,0)，\therefore \overrightarrow{PC}=(0,3,-2\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(2,-1,0)，\overrightarrow{CE}=(2,-3,0).(9分)设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=3y-2\sqrt{3}z=0,\\ \overrightarrow{CD} \cdot \boldsymbol{n}=2x-y=0,\end{matrix}\right.令x=1，得n=(1,2,\sqrt{3}),(10分)设直线CE与平面PCD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =\frac{|\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{13} \times 2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{26}}{13}，故直线CE与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{26}}{13}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{26}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图①，在\triangle ABC中，AB\perp BC，AB=6，BC=3，点D，E分别在AC，AB上，且满足\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DC}=2，将\triangle ADE沿DE折到\triangle PDE的位置，得到四棱锥P-EDCB，如图②．$<img_1600>
$(2)在翻折过程中，当二面角P-ED-B为60^\circ 时，求直线CE与平面PCD所成角的正弦值．$

Solution:
$\because DE\perp BE，DE\perp PE，\therefore \angle PEB为二面角P-ED-B的平面角，则\angle PEB=60^\circ ，在\triangle PBE中，易知BE=2，PE=4，又\angle PEB=60^\circ ，\therefore 由余弦定理，可知PB=2\sqrt{3}，\therefore PB^{2}+BE^{2}=PE^{2}，\therefore PB\perp BE.由(1)知，BC\perp 平面PBE，则PB\perp BC.(8分)如图，以B为坐标原点，BE，BC，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，$<img_1902>$则E(2,0,0)，P(0,0,2\sqrt{3})，C(0,3,0)，D(2,2,0)，\therefore \overrightarrow{PC}=(0,3,-2\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(2,-1,0)，\overrightarrow{CE}=(2,-3,0).(9分)设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PC} \cdot \boldsymbol{n}=3y-2\sqrt{3}z=0,\\ \overrightarrow{CD} \cdot \boldsymbol{n}=2x-y=0,\end{matrix}\right.令x=1，得n=(1,2,\sqrt{3}),(10分)设直线CE与平面PCD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =\frac{|\overrightarrow{CE} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{CE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{13} \times 2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{26}}{13}，故直线CE与平面PCD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{26}}{13}.(12分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{26}}{13}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB\perp 底面ADCB，AB\perp BC，AD\parallel BC，AB=AD=2，CD\perp PD，异面直线PA和CD所成的角为60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378850762682371/img/compression/M_d5c97bfab75922671bf18743739354c8.jpg)
$(1)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值；$

Solution:
$因为PB\perp 底面ADCB，BC\subset 底面ADCB，所以PB\perp BC，同理PB\perp AB，又因为AB\perp BC，所以以B为坐标原点，BA，BC，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,0,0),D(2,2,0).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378851047895042/img/compression/M_148e687d9e5a97ddc394a0c5ccfee30a.jpg)$设P(0,0,p)，C(0,c,0)，其中p>0,c>0，则\overrightarrow{PA}=(2,0,-p),\overrightarrow{CD}=(2,2-c,0),\overrightarrow{PD}=(2,2,-p).(2分)因为CD\perp PD，所以\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{PD}=0，即4+4-2c=0，所以c=4，所以\overrightarrow{CD}=(2,-2,0),C(0,4,0).因为异面直线PA和CD所成的角为60^\circ ，所以\frac{1}{2}=\left|\frac{4}{\sqrt{4+p^2} \times \sqrt{4+4}}\right|，解得p=2或p=-2(舍去)，所以\overrightarrow{PA}=(2,0,-2),P(0,0,2),\overrightarrow{PD}=(2,2,-2)，\overrightarrow{PC}=(0,4,-2).(4分)设平面PAD的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x-2z=0,\\ 2x+2y-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=0,z=1，所以m=(1,0,1)，所以\\cos  \langle \overrightarrow{PC},m\rangle =\frac{0+0-2}{2\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}，所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.(6分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB\perp 底面ADCB，AB\perp BC，AD\parallel BC，AB=AD=2，CD\perp PD，异面直线PA和CD所成的角为60^\circ .$<img_1727>
$(1)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值；$

Solution:
$因为PB\perp 底面ADCB，BC\subset 底面ADCB，所以PB\perp BC，同理PB\perp AB，又因为AB\perp BC，所以以B为坐标原点，BA，BC，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,0,0),D(2,2,0).$<img_2384>$设P(0,0,p)，C(0,c,0)，其中p>0,c>0，则\overrightarrow{PA}=(2,0,-p),\overrightarrow{CD}=(2,2-c,0),\overrightarrow{PD}=(2,2,-p).(2分)因为CD\perp PD，所以\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{PD}=0，即4+4-2c=0，所以c=4，所以\overrightarrow{CD}=(2,-2,0),C(0,4,0).因为异面直线PA和CD所成的角为60^\circ ，所以\frac{1}{2}=\left|\frac{4}{\sqrt{4+p^2} \times \sqrt{4+4}}\right|，解得p=2或p=-2(舍去)，所以\overrightarrow{PA}=(2,0,-2),P(0,0,2),\overrightarrow{PD}=(2,2,-2)，\overrightarrow{PC}=(0,4,-2).(4分)设平面PAD的一个法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{PD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x-2z=0,\\ 2x+2y-2z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则y=0,z=1，所以m=(1,0,1)，所以\\cos  \langle \overrightarrow{PC},m\rangle =\frac{0+0-2}{2\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}，所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}.(6分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB\perp 底面ADCB，AB\perp BC，AD\parallel BC，AB=AD=2，CD\perp PD，异面直线PA和CD所成的角为60^\circ .$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378850762682371/img/compression/M_d5c97bfab75922671bf18743739354c8.jpg)
$(2)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，请说明理由.$

Solution:
$存在.设\overrightarrow{PE}=\lambda \overrightarrow{PA}，\lambda \in [0,1]，则\overrightarrow{PE}=(2\lambda ,0,-2\lambda )，所以E(2\lambda ,0,2-2\lambda )，\overrightarrow{BE}=(2\lambda ,0,2-2\lambda ),由(1)知\overrightarrow{BD}=(2,2,0).(8分)设平面BDE的一个法向量为n=(x_{1},y_{1},z_{1})，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BE}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2\lambda x_1+(2-2\lambda )z_1=0,\\ 2x_1+2y_1=0,\end{matrix}\right.令x_{1}=1-\lambda ，则y_{1}=\lambda -1,z_{1}=-\lambda ，所以n=(1-\lambda ,\lambda -1,-\lambda ).易知平面PAB的一个法向量k=(0,1,0)，(10分)又二面角A-BE-D的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}，所以|\\cos  \langle n,k\rangle |=\left|\frac{\lambda -1}{\sqrt{(1-\lambda )^2+(\lambda -1)^2+(-\lambda )^2}}\right|=\frac{\sqrt{6}}{6}，解得\lambda =\frac{2}{3}或\lambda =2(舍去)，所以E是棱PA上靠近点A的三等分点.(12分)$

Final answer: $存在，E是棱PA上靠近点A的三等分点$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378851391827970/img/compression/M_630a4deb29420ab8dc61d6b697ddc690.jpg)
$(1)求证：PA\parallel 平面EFG；$

Solution:
$证明：取AD的中点H，连接EH,GH.\because E,F,G，H分别是PD,PC,BC，AD的中点，\therefore EF\parallel CD，GH\parallel CD，EH\parallel PA，\therefore EF\parallel GH，\therefore E,F,G,H四点共面.\because PA\parallel EH，PA\not\subset 平面EFG，EH\subset 平面EFG，\therefore PA\parallel 平面EFG.(4分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$<img_2066>
$(1)求证：PA\parallel 平面EFG；$

Solution:
$证明：取AD的中点H，连接EH,GH.\because E,F,G，H分别是PD,PC,BC，AD的中点，\therefore EF\parallel CD，GH\parallel CD，EH\parallel PA，\therefore EF\parallel GH，\therefore E,F,G,H四点共面.\because PA\parallel EH，PA\not\subset 平面EFG，EH\subset 平面EFG，\therefore PA\parallel 平面EFG.(4分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$<img_2066>
$(2)求二面角G－EF－D的大小；$

Solution:
$\because 平面PDC\perp 平面ABCD，平面PDC\cap 平面ABCD=DC，AD\perp DC，\therefore AD\perp 平面PDC.以DA,DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，$<img_2010>$则G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0\right)，E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，F\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{EF}=(0,1,0)，\overrightarrow{GF}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，易得平面EFD的一个法向量m=(1,0,0).设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EF}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{GF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y=0,\\ -\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3},则y=0,z=1,\therefore n=(\sqrt{3},0,1).(7分)\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{1 \times 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore \langle m,n\rangle =30^\circ ，易知二面角G-EF-D的平面角为锐角，\therefore 二面角G-EF-D的大小为30^\circ .(8分)$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378851391827970/img/compression/M_630a4deb29420ab8dc61d6b697ddc690.jpg)
$(2)求二面角G－EF－D的大小；$

Solution:
$\because 平面PDC\perp 平面ABCD，平面PDC\cap 平面ABCD=DC，AD\perp DC，\therefore AD\perp 平面PDC.以DA,DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378851681234945/img/compression/M_6172cf5c405e734d97799f83bf78c426.jpg)$则G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0\right)，E\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，F\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，\therefore \overrightarrow{EF}=(0,1,0)，\overrightarrow{GF}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)，易得平面EFD的一个法向量m=(1,0,0).设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，\therefore \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{EF}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{GF}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}y=0,\\ -\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3},则y=0,z=1,\therefore n=(\sqrt{3},0,1).(7分)\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{1 \times 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\therefore \langle m,n\rangle =30^\circ ，易知二面角G-EF-D的平面角为锐角，\therefore 二面角G-EF-D的大小为30^\circ .(8分)$

Final answer: $30^\circ$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$<img_2066>
$(3)若线段PB上存在一点Q，使得PC\perp 平面ADQ，且\overrightarrow{PQ}=\lambda \overrightarrow{PB}，求实数\lambda 的值.$

Solution:
$易得P(0,1,\sqrt{3})，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，则\overrightarrow{PC}=(0,1,－\sqrt{3})，\overrightarrow{PB}=(1,0,－\sqrt{3})，设Q(a,b,c)，\therefore \overrightarrow{PQ}=(a,b－1,c－\sqrt{3})=\lambda \overrightarrow{PB}=\lambda (1,0,－\sqrt{3})=(\lambda ,0,－\sqrt{3}\lambda )，\therefore Q(\lambda ,1,\sqrt{3}－\sqrt{3}\lambda )，\therefore \overrightarrow{AQ}=(\lambda －1,1,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda ).(10分)\because PC\perp 平面ADQ，\therefore PC\perp AQ，\therefore \overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AQ}=1-\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )=0，解得\lambda =\frac{2}{3},满足题意.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB\parallel DC,AD\perp DC,平面PDC\perp 平面ABCD,\triangle PDC是等边三角形，AB=AD=\frac{1}{2}CD=1，E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378851391827970/img/compression/M_630a4deb29420ab8dc61d6b697ddc690.jpg)
$(3)若线段PB上存在一点Q，使得PC\perp 平面ADQ，且\overrightarrow{PQ}=\lambda \overrightarrow{PB}，求实数\lambda 的值.$

Solution:
$易得P(0,1,\sqrt{3})，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，则\overrightarrow{PC}=(0,1,－\sqrt{3})，\overrightarrow{PB}=(1,0,－\sqrt{3})，设Q(a,b,c)，\therefore \overrightarrow{PQ}=(a,b－1,c－\sqrt{3})=\lambda \overrightarrow{PB}=\lambda (1,0,－\sqrt{3})=(\lambda ,0,－\sqrt{3}\lambda )，\therefore Q(\lambda ,1,\sqrt{3}－\sqrt{3}\lambda )，\therefore \overrightarrow{AQ}=(\lambda －1,1,\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda ).(10分)\because PC\perp 平面ADQ，\therefore PC\perp AQ，\therefore \overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AQ}=1-\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{3}\lambda )=0，解得\lambda =\frac{2}{3},满足题意.(12分)$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC,AC\perp BC,AC=\sqrt{2}BC，CM\perp AB于点M，点N在棱CC_{1}上，满足\frac{CN}{CC_1}=\lambda (0<\lambda <1).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378852100665347/img/compression/M_f62016af801120365110f4d3156818b5.jpg)
$(1)若\lambda =\frac{2}{3}，求证:CM\parallel 平面B_{1}AN;$

Solution:
$证明：设BC=a，因为AC=\sqrt{2}BC,CM\perp AB,AC\perp BC，所以AC=\sqrt{2}a,AB=\sqrt{3}a,又CM\cdot AB=AC\cdot BC，所以CM=\frac{\sqrt{6}}{3}a.设AA_{1}=b，以M为坐标原点，BA所在直线为x轴，过M且和BB_{1}平行的直线为y轴，MC所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378852415238146/img/compression/M_4648a64a3957ec3b027c200576168dc8.jpg)$则A\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}a,0,0\right)，C\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),B_{1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a,b,0\right)，C_{1}\left(0,b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),A_{1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}a,b,0\right)，B\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a,0,0\right),M(0，0，0)，所以\overrightarrow{CC_1}=(0,b,0)，\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}a,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)，\overrightarrow{B_1C}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a,-b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),\overrightarrow{AB_1}=(-\sqrt{3}a,b,0)，\overrightarrow{MC}=\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)，\overrightarrow{A_1B}=(-\sqrt{3}a,-b,0).(2分)因为\frac{CN}{CC_1}=\frac{2}{3},所以\overrightarrow{CN}=\left(0,\frac{2b}{3},0\right)，所以\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}a,\frac{2}{3}b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right).(3分)设m=(x,y,z)为平面B_{1}AN的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AN}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB_1}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}ax+\frac{2}{3}by+\frac{\sqrt{6}}{3}az=0,\\ -\sqrt{3}ax+by=0,\end{matrix}\right.取x=\sqrt{3}b，则y=3a,z=0，所以m=(\sqrt{3}b,3a,0).因为m\cdot \overrightarrow{MC}=0，又直线CM在平面B_{1}AN外，所以CM\parallel 平面B_{1}AN.(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC,AC\perp BC,AC=\sqrt{2}BC，CM\perp AB于点M，点N在棱CC_{1}上，满足\frac{CN}{CC_1}=\lambda (0<\lambda <1).$<img_2394>
$(1)若\lambda =\frac{2}{3}，求证:CM\parallel 平面B_{1}AN;$

Solution:
$证明：设BC=a，因为AC=\sqrt{2}BC,CM\perp AB,AC\perp BC，所以AC=\sqrt{2}a,AB=\sqrt{3}a,又CM\cdot AB=AC\cdot BC，所以CM=\frac{\sqrt{6}}{3}a.设AA_{1}=b，以M为坐标原点，BA所在直线为x轴，过M且和BB_{1}平行的直线为y轴，MC所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)$<img_1750>$则A\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}a,0,0\right)，C\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),B_{1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a,b,0\right)，C_{1}\left(0,b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),A_{1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}a,b,0\right)，B\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a,0,0\right),M(0，0，0)，所以\overrightarrow{CC_1}=(0,b,0)，\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}a,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)，\overrightarrow{B_1C}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a,-b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right),\overrightarrow{AB_1}=(-\sqrt{3}a,b,0)，\overrightarrow{MC}=\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)，\overrightarrow{A_1B}=(-\sqrt{3}a,-b,0).(2分)因为\frac{CN}{CC_1}=\frac{2}{3},所以\overrightarrow{CN}=\left(0,\frac{2b}{3},0\right)，所以\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}a,\frac{2}{3}b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right).(3分)设m=(x,y,z)为平面B_{1}AN的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AN}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AB_1}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}ax+\frac{2}{3}by+\frac{\sqrt{6}}{3}az=0,\\ -\sqrt{3}ax+by=0,\end{matrix}\right.取x=\sqrt{3}b，则y=3a,z=0，所以m=(\sqrt{3}b,3a,0).因为m\cdot \overrightarrow{MC}=0，又直线CM在平面B_{1}AN外，所以CM\parallel 平面B_{1}AN.(5分)$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1}中，AA_{1}\perp 平面ABC,AC\perp BC,AC=\sqrt{2}BC，CM\perp AB于点M，点N在棱CC_{1}上，满足\frac{CN}{CC_1}=\lambda (0<\lambda <1).$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378852100665347/img/compression/M_f62016af801120365110f4d3156818b5.jpg)
$(2)设平面B_{1}AN与平面B_{1}MC所成的角为\theta ，若A_{1}B\perp B_{1}C，试判断命题“∃\lambda \in (0,1),\theta =\frac{\pi }{4}”的真假，并说明理由.$

Solution:
$命题“∃\lambda \in (0,1),\theta =\frac{\pi }{4}”是假命题.理由如下：因为A_{1}B\perp B_{1}C，所以\overrightarrow{A_1B}\cdot \overrightarrow{B_1C}=(-\sqrt{3}a,-b,0)\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a,-b,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)=b^{2}-a^{2}=0,所以a=b，(6分)所以\overrightarrow{CN}=(0,\lambda a,0)，\overrightarrow{AB_1}=(-\sqrt{3}a,a,0)，所以\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}a,\lambda a,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right).设m_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})为平面B_{1}AN的法向量，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}_1 \cdot \overrightarrow{AN}=0,\\ \boldsymbol{m}_1 \cdot \overrightarrow{AB_1}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}ax_1+\lambda ay_1+\frac{\sqrt{6}}{3}az_1=0,\\ -\sqrt{3}ax_1+ay_1=0,\end{matrix}\right.取x_{1}=\sqrt{3}，则y_{1}=3,z_{1}=\frac{\sqrt{6}}{2}(2-3\lambda )，所以m_{1}=\left(\sqrt{3},3,\frac{\sqrt{6}}{2}(2-3\lambda )\right).(8分)因为CM\perp 平面ABB_{1}A_{1}，所以CM\perp A_{1}B，因为A_{1}B\perp B_{1}C，CM\cap B_{1}C=C,所以A_{1}B\perp 平面B_{1}MC,所以\overrightarrow{A_1B}=(-\sqrt{3}a,-a,0)与平面B_{1}MC的法向量平行，设平面B_{1}MC的一个法向量为n，取n=(\sqrt{3},1,0).易知平面B_{1}AN与平面B_{1}MC所成的角为锐角，故\\cos   \theta =|\\cos  \langle m_{1},n\rangle |=\frac{|\boldsymbol{m}_1 \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}_1| \cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{6}{2 \times \sqrt{12+\frac{3}{2}{(2-3\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{{(3\lambda -2)}^2+8}}.(10分)∀\lambda \in (0,1)，若把\\cos   \theta 看成关于\lambda 的函数，则此函数在\left(0,\frac{2}{3}\right)上单调递增，在\left(\frac{2}{3},1\right)上单调递减，所以\frac{\sqrt{2}}{2}<\\cos   \theta \leq \frac{\sqrt{3}}{2}，所以\frac{\pi }{6}\leq \theta <\frac{\pi }{4}，所以不存在\lambda \in (0,1)，使得\theta =\frac{\pi }{4}，命题“∃\lambda \in (0,1),\theta =\frac{\pi }{4}”是假命题.(12分)$

Final answer: $不存在\lambda \in (0,1)，使得\theta =\frac{\pi }{4}，命题“∃\lambda \in (0,1),\theta =\frac{\pi }{4}”是假命题.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $下图是一个半圆柱，E为半圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上一点，|CD|=\sqrt{5}.$<img_2679>
$(1)若|AD|=2\sqrt{5}，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；$

Solution:
$过点E作EF\perp CD于点F，因为平面ABCD\perp 平面EDC,平面ABCD\cap 平面EDC=DC,所以EF\perp 平面ABCD.(2分)因为E为半圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上一点，所以CE\perp ED,所以V_{E-ABCD}=\frac{1}{3}\times S_{四边形ABCD}\times |EF|=\frac{1}{3}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\times \frac{|CE| \times |ED|}{|CD|}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\times |CE|\times |ED|，因为|CE|^{2}+|ED|^{2}=|CD|^{2}=5,所以V_{E-ABCD}\leq \frac{2\sqrt{5}}{3}\times \frac{|CE|^2+|ED|^2}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\times \frac{5}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{3},当且仅当|CE|=|ED|=\frac{\sqrt{10}}{2}时，等号成立,所以四棱锥E-ABCD的体积的最大值为\frac{5\sqrt{5}}{3}.(4分)$<img_2169>

Final answer: $\frac{5\sqrt{5}}{3}。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $下图是一个半圆柱，E为半圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上一点，|CD|=\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378886166679553/img/compression/M_3e22e5090c317680f2d1e527825456a9.jpg)
$(1)若|AD|=2\sqrt{5}，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；$

Solution:
$过点E作EF\perp CD于点F，因为平面ABCD\perp 平面EDC,平面ABCD\cap 平面EDC=DC,所以EF\perp 平面ABCD.(2分)因为E为半圆弧\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上一点，所以CE\perp ED,所以V_{E-ABCD}=\frac{1}{3}\times S_{四边形ABCD}\times |EF|=\frac{1}{3}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\times \frac{|CE| \times |ED|}{|CD|}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\times |CE|\times |ED|，因为|CE|^{2}+|ED|^{2}=|CD|^{2}=5,所以V_{E-ABCD}\leq \frac{2\sqrt{5}}{3}\times \frac{|CE|^2+|ED|^2}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\times \frac{5}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{3},当且仅当|CE|=|ED|=\frac{\sqrt{10}}{2}时，等号成立,所以四棱锥E-ABCD的体积的最大值为\frac{5\sqrt{5}}{3}.(4分)$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1658378885898244099/img/compression/M_4c21041239ded70693b6d547027350a1.jpg)

Final answer: $\frac{5\sqrt{5}}{3}。$