di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为\rho=2\sqrt{2}\cos  \theta。$
将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

Solution:
$由\rho =2\sqrt{2}\cos  \theta ，得\rho ^2=2\sqrt{2}\rho \cos  \theta .$
$将x^2+y^2=\rho ^2，x=\rho \cos  \theta 代入上式，得x^2+y^2=2\sqrt{2}x，$
$\therefore 曲线C的直角坐标方程为x^2+y^2-2\sqrt{2}x=0.$

Final answer: $x^2+y^2-2\sqrt{2}x=0$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$\begin{align*}
x&=2\cos  \theta ,\\
y&=4\sin  \theta
\end{align*}$
$(\theta为参数)，直线l的参数方程为$
$\begin{align*}
x&=1+t\cos  \alpha ,\\ 
y&=2+t\sin  \alpha
\end{align*}$
$(t为参数).$
求C和l的直角坐标方程；

Solution:
曲线C的直角坐标方程为

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$

$当\cos  \alpha  \neq 0时，l的直角坐标方程为 y = \tan  \alpha  \cdot  x + 2 - \tan  \alpha ,$

$当\cos  \alpha  = 0时，l的直角坐标方程为 x = 1.$

Final answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 ，y = \tan  \alpha  \cdot  x + 2 - \tan  \alpha  ， x = 1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ 
y=\frac{4t}{1+t^2}
\end{matrix}
\right.
$$
$(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2\rho \cos  \theta +\sqrt{3}\rho \sin  \theta +11=0.$
求C和l的直角坐标方程；

Solution:
$因为-1<\frac{1-t^2}{1+t^2}\leq 1， 利用分离常数法求\frac{1-t^2}{1+t^2}的范围。$

$且x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} =1， (利用同角三角函数的平方关系消去参数)$

$所以C的直角坐标方程为x^2 +\frac{y^2}{4}=1 (x\neq -1)。$

$l的直角坐标方程为2x + \sqrt{3}y +11=0.$

Final answer: $C的直角坐标方程为x^2 +\frac{y^2}{4}=1 (x\neq -1)，l的直角坐标方程为2x + \sqrt{3}y +11=0。$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$

$$
\begin{matrix}
x = 2\cos \alpha + \sin alpha, \\
y = \cos \alpha -2\sin \alpha
\end{matrix}
$$

$其中\alpha为参数。以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为\rho\sin (\theta + \frac{\pi }{4}) = 2\sqrt{2}.$
求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

Solution:
由曲线C的参数方程为

$$
\left\{
\begin{matrix}
x=2\cos  \alpha +\sin  \alpha ,\\ 
y=\cos  \alpha -2\sin  \alpha 
\end{matrix}
\right.
$$

$(\alpha 为参数)， 可得x^2+y^2=5\cos ^2\alpha +5\sin ^2\alpha =5，即曲线C的普通方程为x^2+y^2=5。$

$由\rho \sin $

$$
\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)
$$

=2

$$
\sqrt{2}
$$

$，得\rho (\sin  \theta +\cos  \theta )=4，$

所以直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.

Final answer: $x^{2}+y^{2}=5，x+y-4=0$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 $

$\left\{
\begin{matrix}
x=2-t,\\ 
y=\sqrt{3}t
\end{matrix}
\right.$

$ (t为参数)，曲线C：\frac{x^2}{2} + y^2=1. 以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.$
$求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；$

Solution:
$由直线l的参数方程$

$$
\begin{align*}
x &= 2-t,\\ 
y &= \sqrt{3}t
\end{align*}
$$

$(t为参数)，消t得直线l的普通方程为\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0，将$

$$
\begin{align*}
x &= \rho \cos \theta,\\ 
y &= \rho \sin \theta 
\end{align*}
$$

$代入直线l的方程，得直线l的极坐标方程为\sqrt{3}\rho \cos \theta + \rho \sin \theta - 2\sqrt{3}=0，$

$曲线C的一个参数方程为$

$$
\begin{align*}
x &= \sqrt{2}\cos \alpha,\\ 
y &= \sin \alpha
\end{align*}
$$

$(\alpha为参数)。$

Final answer: $直线l的极坐标方程：\sqrt{3}\rho \cos \theta + \rho \sin \theta - 2\sqrt{3}=0$

$曲线C的参数方程：$
$$
\begin{align*}
x &= \sqrt{2}\cos \alpha,\\ 
y &= \sin \alpha
\end{align*}
$$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在极坐标系中，O(0,0)，A\left(6,\frac{\pi }{2}\right)，B\left(6\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为\left\{\begin{matrix}x=-1+t\cos  \alpha ,\\ y=2+t\sin  \alpha \end{matrix}\right.(t为参数，\alpha \in R)，且点P的直角坐标为(-1,2).$
$求经过O，A，B三点的圆C的极坐标方程；$

Solution:
$由已知O, A, B的极坐标和极直互化公式$
$$
\left\{\begin{matrix}
x=\rho \cos  \theta ,\\ 
y=\rho \sin  \theta
\end{matrix}\right.
$$
$得O, A, B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6)，\therefore \angle OAB为直角.$

$\therefore 经过O, A, B三点的圆C的圆心为(3,3),且经过原点O,则圆C的半径为r=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}，$

$\therefore 圆C的方程为(x-3)^2+(y-3)^2=18，即x^2+y^2-6x-6y=0，化成极坐标方程得\rho ^2-6\rho \cos  \theta -6\rho \sin  \theta =0，即\rho =6\cos  \theta +6sin \theta .$

Final answer: $\rho =6cos \theta +6\sin \theta $.
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $如图，在极坐标系Ox中，点A(4,\pi )，曲线M是以OA为直径，O_1为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1715549655776194562/img/compression/M_2c06737f56466dac1c5b247d61df0744.jpg)
当点B在曲线M上运动时，求点D轨迹的极坐标方程.

Solution:
$设D(\rho, \theta)，B(\rho_0, \theta_0)，且$

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\rho_0 = \rho,\\
\theta_0 = \theta + \frac{\pi}{2}
\end{cases}
\end{equation}
$$

$由题意可得O_1的直角坐标为(-2,0)，所以曲线M的直角坐标方程为(x+2)^2 + y^2 = 4 (y\geq0)，即x^2 + 4x + y^2=0 (y\geq0)，将x = \rho_0 \cos \theta_0, y = \rho_0 \sin \theta_0代入曲线M得极坐标方程为\rho_0 = -4 \cos \theta_0 $

$当\frac{\pi}{2} \leq \theta_0 \leq \pi 时，当\theta_0 = \frac{\pi}{2}时，O，B两点重合，不合题意。$

$因此点B的极坐标方程为\rho_0 = -4 \cos \theta_0 (\frac{\pi}{2} < \theta_0 \leq \pi) ，$

$将公式①代入得点D的极坐标方程为\rho = -4 \cos (\theta +\frac{\pi}{2}) = 4 \sin \theta (0 < \theta \leq \frac{\pi}{2}).$

Final answer: $\rho = 4 \sin \theta (0 < \theta \leq \frac{\pi}{2})$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $已知曲线C：x^{2}+y^{2}=2，从曲线C上的任意点P(x,y)作压缩变换$
$$
\left\{\begin{matrix}
x'=x,\\ 
y'=\frac{y}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right.
$$
$得到点P'(x',y').$
$求点P'(x',y')所在的曲线E的方程；$

Solution:
$由 \left\{\begin{matrix}x'=x,\\ y'=\frac{y}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right. 得 \left\{\begin{matrix}x=x',\\ y=\sqrt{2}y',\end{matrix}\right.$
$代入 x^2+y^2=2 得 \frac{x'^2}{2}+y'^2=1，\therefore 曲线E的方程为 \frac{x^2}{2}+y^2=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为\rho=4\cos  \theta.$
将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

Solution:
$\because 曲线C的极坐标方程为\rho =4\cos  \theta ,\therefore \rho ^2=4\rho \cos  \theta ，$
化为直角坐标方程为$x^2+y^2=4x，即(x-2)^2+y^2=4$.

Final answer: $(x-2)^2+y^2=4$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为\rho=4\cos  \theta.$
$设点A的直角坐标为(0,-2),M为C上的动点，点P是线段AM的中点，求点P轨迹的极坐标方程.$

Solution:
$设M(2+2\cos  \alpha ,2\sin  \alpha )，又A(0,-2)，故由中点坐标公式可得P(1+\cos  \alpha ,-1+\sin  \alpha )，化为参数方程为$

$$
\begin{align*}
x&=1+\cos \alpha  ,\\ 
y&=-1+\sin \alpha  
\end{align*}
$$

$(\alpha 为参数)，其普通方程为(x-1)^2+(y+1)^2=1，故点P的轨迹的极坐标方程为\rho ^2-2\rho \cos  \theta +2\rho \sin  \theta +1=0.$

Final answer: $\rho ^2-2\rho \cos  \theta +2\rho \sin  \theta +1=0$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系中，P为曲线C_{1}:$
$
\begin{align*}x = 2 + 2\cos \alpha ,\\y = \sin \alpha
\end{align*}
$
$(\alpha 为参数)上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点，记Q点轨迹为C_{2}，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.$
$求曲线C_2的极坐标方程；$

Solution:
数学科目的题目：

$曲线C_1:$
$\left\{\begin{matrix}x=2+2\cos  \alpha ,\\ y=\sin  \alpha \end{matrix}\right.$
化为普通方程为
$\frac{(x-2)^2}{4}+y^2=1.$



$设P点坐标为(x,y)，Q点坐标为(x'，y')，$
则有
$\frac{(x-2)^2}{4}+y^2=1，x'=\frac{x}{2}$
$，y'=y.$



$故(x'-1)^2+y'^2=1，即x'^2+y'^2=2x'，则曲线C_2的普通方程为x^2+y^2=2x.$
$\therefore 曲线C_2的极坐标方程为\rho =2\cos  \theta .$

Final answer: $\rho=2cos\theta$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在平面直角坐标系xOy中，设曲线C_1的参数方程为$
$$
\left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{3}\cos  \alpha ,\\ 
y=2+\frac{1}{3}\sin  \alpha 
\end{matrix}\right.
$$
$(\alpha为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C_2的极坐标方程为\rho=\frac{2}{\sqrt{\cos^2\theta +4\sin^2\theta }}。$
$求曲线C_1的普通方程与曲线C_2的直角坐标方程；$

Solution:
$由曲线C_1的参数方程消去\alpha，得x^2+(y-2)^2=\frac{1}{9}.$

$C_2的极坐标方程\rho=\frac{2}{\sqrt{\cos ^2\theta +4\sin ^2\theta }}可化为\rho^2cos^2\theta+4\rho^2sin^2\theta=4，化为直角坐标方程为 \frac{x^2}{4}+y^2=1.$

Final answer: $x^2+(y-2)^2=\frac{1}{9}, \frac{x^2}{4}+y^2=1$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2+4\cos  \varphi ,y=4\sin  \varphi(\phi 为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为\rho \cos (\theta +\frac{\pi }{4})=-\sqrt{2}.$
分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

Solution:
：
$曲线C的普通方程为：(x-2)^2+y^2=16。根据：$

$$
\begin{align*}
x&=\rho \cos \theta,\\
y&=\rho \sin \theta,\\
\rho \cos (\theta +\frac{\pi}{4})&=-\sqrt{2},
\end{align*}
$$

得直线 l 的直角坐标方程为 x-y+2=0。

Final answer: $(x-2)^2+y^2=16， x-y+2=0$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试.两次考试的成绩如下表所示(满分100分)：

学生  | 第一次成绩 | 第二次成绩
----- | ------  | --------
学生1 | 82     | 83
学生2 | 89     | 90
学生3 | 78     | 75
学生4 | 92     | 95
学生5 | 92     | 93
学生6 | 65     | 61
学生7 | 81     | 76
$设x_i(i=1,2,\ldots ,7)表示第i名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据x_i,x_j(1\leq i,j\leq 7,i\neq j)，定义随机变量X，Y如下：$
$X=$
$\left\{\begin{matrix}0,0\leq |x_i-x_j|<3,\\ 1,3\leq |x_i-x_j|<6,\\ 2,|x_i-x_j|\geq 6,\end{matrix}\right.$
$Y=$
$\left\{\begin{matrix}0,0\leq |x_i-x_j|<2,\\ 1,2\leq |x_i-x_j|<4,\\ 2,4\leq |x_i-x_j|<6,\\ 3,|x_i-x_j|\geq 6.\end{matrix}\right.$

$求X的分布列和数学期望EX；$

Solution:
$随机变量X的所有可能取值为0，1，2.$

这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，-3，3，1，-4，-5.

$P(X=0)=\frac{9}{C_7^2}=\frac{3}{7}；$
$P(X=1)=\frac{6}{C_7^2}=\frac{2}{7}；$
$P(X=2)=\frac{6}{C_7^2}=\frac{2}{7}.$

$则随机变量X的分布列为：$

|   X  |   0   |   1   |   2   |
|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|
|   P  | $\frac{3}{7}$  | $\frac{2}{7}$  | $\frac{2}{7}$  |

$X的数学期望EX=0\times\frac{3}{7}+1\times\frac{2}{7}+2\times\frac{2}{7}=\frac{6}{7}.$

Final answer: ${X=0,P=\frac{3}{7}}；{X=1,P=\frac{2}{7}}；{X=2,P=\frac{2}{7}}。EX=\frac{6}{7}。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试.两次考试的成绩如下表所示(满分100分)：

学生  | 第一次成绩 | 第二次成绩
----- | ------  | --------
学生1 | 82     | 83
学生2 | 89     | 90
学生3 | 78     | 75
学生4 | 92     | 95
学生5 | 92     | 93
学生6 | 65     | 61
学生7 | 81     | 76

$设x_i(i=1,2,\ldots ,7)表示第i名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据x_i,x_j(1\leq i,j\leq 7,i\neq j)，定义随机变量X，Y如下：$
$X=$
$\left\{\begin{matrix}0,0\leq |x_i-x_j|<3,\\ 1,3\leq |x_i-x_j|<6,\\ 2,|x_i-x_j|\geq 6,\end{matrix}\right.$
$Y=$
$\left\{\begin{matrix}0,0\leq |x_i-x_j|<2,\\ 1,2\leq |x_i-x_j|<4,\\ 2,4\leq |x_i-x_j|<6,\\ 3,|x_i-x_j|\geq 6.\end{matrix}\right.$

$求X的数学期望EX；$

Solution:
$随机变量X的所有可能取值为0，1，2.$

这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，-3，3，1，-4，-5.

$P(X=0)=\frac{9}{C_7^2}=\frac{3}{7}；$
$P(X=1)=\frac{6}{C_7^2}=\frac{2}{7}；$
$P(X=2)=\frac{6}{C_7^2}=\frac{2}{7}.$

$则随机变量X的分布列为：$

|   X  |   0   |   1   |   2   |
|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|
|   P  | $\frac{3}{7}$  | $\frac{2}{7}$  | $\frac{2}{7}$  |

$X的数学期望EX=0\times\frac{3}{7}+1\times\frac{2}{7}+2\times\frac{2}{7}=\frac{6}{7}.$



Final answer: $\frac{6}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

| 康复时间 | 只服用药物A | 只服用药物B |
| -------- | -------------- | -------------- |
| 7天内康复 | 360人           | 160人           |
| 8至14天康复 | 228人          | 200人           |
| 14天内未康复 | 12人           | 40人             |

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的数学期望；

Solution:
$只服用药物A的患者7天内康复的概率为\frac{360}{600}=\frac{3}{5}.$

$只服用药物B的患者7天内康复的概率为\frac{160}{160+200+40}=\frac{2}{5}.$

X的所有可能取值为0，1，2.

$P(X=0)=\left(1-\frac{3}{5}\right)\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{6}{25}.$

$P(X=1)=\frac{3}{5}\times \left(1-\frac{2}{5}\right)+\left(1-\frac{3}{5}\right)\times \frac{2}{5}=\frac{13}{25}.$

$P(X=2)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{25}.$

则分布列为:

| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{6}{25}$ | $\frac{13}{25}$ | $\frac{6}{25}$ |

$数学期望E[X] = 0\times \frac{6}{25}+1\times \frac{13}{25}+2\times \frac{6}{25}=1.$



Final answer: 1
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

| 康复时间 | 只服用药物A | 只服用药物B |
| -------- | -------------- | -------------- |
| 7天内康复 | 360人           | 160人           |
| 8至14天康复 | 228人          | 200人           |
| 14天内未康复 | 12人           | 40人             |

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望；

Solution:
$只服用药物A的患者7天内康复的概率为\frac{360}{600}=\frac{3}{5}.$

$只服用药物B的患者7天内康复的概率为\frac{160}{160+200+40}=\frac{2}{5}.$

X的所有可能取值为0，1，2.

$P(X=0)=\left(1-\frac{3}{5}\right)\times \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{6}{25}.$

$P(X=1)=\frac{3}{5}\times \left(1-\frac{2}{5}\right)+\left(1-\frac{3}{5}\right)\times \frac{2}{5}=\frac{13}{25}.$

$P(X=2)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{25}.$

则分布列为:

| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{6}{25}$ | $\frac{13}{25}$ | $\frac{6}{25}$ |

$数学期望E[X] = 0\times \frac{6}{25}+1\times \frac{13}{25}+2\times \frac{6}{25}=1.$

Final answer: 分布列为:

| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | $\frac{6}{25}$ | $\frac{13}{25}$ | $\frac{6}{25}$ |

数学期望E[X] = 1。
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

| 班号 | 1   | 2   | 3   | 4   |
| ---- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 30  | 40  | 20  | 10  |

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3个的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的数学期望；

Solution:
$X的所有可能取值为1,2,3,4，$
$P(X=1)=\frac{C^1_7C^3_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{30},$

$P(X=2)=\frac{C^2_7C^2_3}{C^4_{10}}=\frac{3}{10},$

$P(X=3)=\frac{C^3_7C^1_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{2},$

$P(X=4)=\frac{C^4_7C^0_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{6},$

$所以X的分布列为$

$| X | 1    | 2    | 3    | 4    |$
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- |
$| P | 1/30 | 3/10 | 1/2  | 1/6  |$

$E(X)=1\times \frac{1}{30}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{6}=\frac{14}{5}.$



Final answer: $\frac{14}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

| 班号 | 1   | 2   | 3   | 4   |
| ---- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 30  | 40  | 20  | 10  |

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3个的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望；

Solution:
$X的所有可能取值为1,2,3,4，$
$P(X=1)=\frac{C^1_7C^3_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{30},$

$P(X=2)=\frac{C^2_7C^2_3}{C^4_{10}}=\frac{3}{10},$

$P(X=3)=\frac{C^3_7C^1_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{2},$

$P(X=4)=\frac{C^4_7C^0_3}{C^4_{10}}=\frac{1}{6},$

$所以X的分布列为$

$| X | 1    | 2    | 3    | 4    |$
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- |
$| P | 1/30 | 3/10 | 1/2  | 1/6  |$

$E(X)=1\times \frac{1}{30}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{6}=\frac{14}{5}.$

Final answer: $X的分布列为$

$| X | 1    | 2    | 3    | 4    |$
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- |
$| P | 1/30 | 3/10 | 1/2  | 1/6  |$

$E(X)=1\times \frac{1}{30}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{6}=\frac{14}{5}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

<img_2323>

<img_1491>
$从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为
$\frac{16+14}{40} = \frac{3}{4}$
$假设 X～B(2,\frac{3}{4})，X的所有可能取值为0，1，2。$
$求解 P(X=0)=C_2^0\left(\frac{3}{4}\right)^0\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16},$
$求解 P(X=1)=C_2^1\left(\frac{3}{4}\right)^1\left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8},$
$求解 P(X=1)=C_2^2\left(\frac{3}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^0 = \frac{9}{16}.$
$下面是 X的分布列：$

| X | 0 | 1 | 2 |
| :-- | :--: | :--: | --: |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{8} $| $\frac{9}{16}$ |


由求解得出
$E(X) = 0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{9}{16} = \frac{3}{2}.$



Final answer: $\frac{3}{2}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.

![高一](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_bd886ed54417834b5b2ebe6fd733765f.jpg)

![高二](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1721818132646952961/img/compression/M_de611cb229f68e53faabb8712a2228ae.jpg)
$从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为
$\frac{16+14}{40} = \frac{3}{4}$
$假设 X～B(2,\frac{3}{4})，X的所有可能取值为0，1，2。$
$求解 P(X=0)=C_2^0\left(\frac{3}{4}\right)^0\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16},$
$求解 P(X=1)=C_2^1\left(\frac{3}{4}\right)^1\left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8},$
$求解 P(X=1)=C_2^2\left(\frac{3}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^0 = \frac{9}{16}.$
$下面是 X的分布列：$

| X | 0 | 1 | 2 |
| :-- | :--: | :--: | --: |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{8} $| $\frac{9}{16}$ |


由求解得出
$E(X) = 0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{9}{16} = \frac{3}{2}.$

Final answer: $X的分布列为：$
| X | 0 | 1 | 2 |
| :-- | :--: | :--: | --: |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{8} $| $\frac{9}{16}$ |

$数学期望E(X) = \frac{3}{2}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268272477794306/img/compression/M_d785009a4897f86dfde2e3171fce32c0.jpg)

假设用频率估计概率.
$从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取3人，设其中体重在80 kg以上的人数为X，估计X的分布列和数学期望EX；$

Solution:
$因为样本中身体处于肥胖状态的员工共6人，且其中恰有2人体重在80 kg以上，所以从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取1人，估计其体重在80 kg以上的概率为\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. $
$X~B\left(3,\frac{1}{3}\right)，X的所有可能取值为0,1,2,3.$

$P(X=0)估计为\left(1-\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{8}{27}；$
$P(X=1)估计为C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^{2} =\frac{4}{9}；$
$P(X=2)估计为C^2_3\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}；$
$P(X=3)估计为\left(\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{1}{27}。$

所以X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |

$估计X的数学期望EX=0\times \frac{8}{27}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{2}{9}+3\times \frac{1}{27}=1.$

Final answer: X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |

数学期望EX=1.
Subfield: Probability and Statistics


Question: $体重指数(Body Mass Index，简称BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标.已知BMI=\frac{W}{H^2}，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：m).对成人，若BMI\geq 28，则身体处于肥胖状态.某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重(单位：kg)和身高(单位：cm)，得到如下散点图(图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系).$

<img_106>

假设用频率估计概率.
$从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取3人，设其中体重在80 kg以上的人数为X，估计X的数学期望EX；$

Solution:
$因为样本中身体处于肥胖状态的员工共6人，且其中恰有2人体重在80 kg以上，所以从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取1人，估计其体重在80 kg以上的概率为\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. $
$X~B\left(3,\frac{1}{3}\right)，X的所有可能取值为0,1,2,3.$

$P(X=0)估计为\left(1-\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{8}{27}；$
$P(X=1)估计为C^1_3\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)^{2} =\frac{4}{9}；$
$P(X=2)估计为C^2_3\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}；$
$P(X=3)估计为\left(\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{1}{27}。$

所以X的分布列为

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{27}$ |

$估计X的数学期望EX=0\times \frac{8}{27}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{2}{9}+3\times \frac{1}{27}=1.$



Final answer: 1
Subfield: Inequality


Question: $设x, y, z\in R，且x+y+z=1.$
$若(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2 \geq \frac{1}{3} 成立，证明：a \leq -3或a \geq -1.$

Solution:
$证明：由于 [(x-2)+(y-1)+(z-a)]^2 = (x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] \leq 3[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2]，  $
$故由已知得 (x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2 \geq \frac{(2+a)^2}{3}，当且仅当 x=\frac{4-a}{3}, y=\frac{1-a}{3}, z=\frac{2a-2}{3} 时等号成立.  $
$因此 (x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2 的最小值为 \frac{(2+a)^2}{3}.  $
$由题设知 \frac{(2+a)^2}{3} \geq \frac{1}{3}，解得 a \leq -3 或 a \geq -1.  $
解法：
$1. 由柯西不等式得 [(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2]  (1^2 + 1^2 + 1^2) \geq [(x-1)+(y+1)+(z+1)]^2 = (x+y+z+1)^2 = 4，故 (x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 \geq \frac{4}{3}(当且仅当 x-1=y+1=z+1，即 x=\frac{5}{3}， y=z=-\frac{1}{3} 时等号成立).  $
$所以 (x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值为 \frac{4}{3}.$
$2. 证明：由柯西不等式得 [(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2]  (1^2+1^2+1^2)  \geq (x-2+y-1+z-a)^2 = (a+2)^2 (当且仅当 x-2=y-1=z-a ，即 x=\frac{4-a}{3}, y=\frac{1-a}{3}, z=\frac{2a-2}{3} 时等号成立)，  $
$即 (x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2 的最小值为 \frac{(a+2)^2}{3}.  $
$因为 (x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2 \geq \frac{1}{3} 成立，则 \frac{(a+2)^2}{3} \geq \frac{1}{3}.即 (a+2)^2 \geq 1，则 a \leq -3 或 a \geq -1.$
Subfield: Derivative


Question: $已知f(x)=\frac{x^2-a}{e^x}.$
$当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;$

Solution:
$当a=1时， f(x)=\frac{x^2-1}{e^x}， f(0)=-1,$
$又f'(x)=\frac{2x-x^2+1}{e^x}，则f'(0)=1，故切线为y+1=x，$
$所以当a=1时，曲线y=f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为y=x-1.$

Final answer: $y=x-1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}-\ln{x}+\ln{a}.$
$当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线方程;$

Solution:
$当a=e时， f(x)=e^x-\ln x +1，所以f '(x)=e^x-\frac{1}{x}.所以f '​(1)=e-1.$

$又因为f(1)=e+1,所以切点坐标为(1，1+e).$

$所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.$

Final answer: $y=(e-1)x+2$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=\frac{2\mathrm{eln} x}{x}-1.$
$求曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程；$

Solution:
$因为f(x)=\frac{2\mathrm{eln} x}{x}-1，定义域是(0,+\infty )，$

$所以f(1)=-1， f' (x)=\frac{2\mathrm{e}-2\mathrm{eln} x}{x^2}， f' (1)=2e，$

$故切线方程为y+1=2e(x-1)，即2ex-y-2e-1=0.$

Final answer: $2ex-y-2e-1=0$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^x + x\sin x + \cos x - ax - 2 (a \in \mathbb{R}.)$
$若a=2，求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；$

Solution:
$当a=2时， f(x)=e^{x}+x\sin  x +\cos  x -2x-2，$

$则f^{'}(x)=e^{x}+x\cos  x -2，所以f^{'}(0)=-1。$

$又f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=-x。$

Final answer: $y=-x$
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  =1 (a>b>0)的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B. 已知 \sqrt{3}| OA |=2| OB | ( O 为原点) 。$
$设经过点F且斜率为\frac{3}{4}的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC\parallel AP.求椭圆的方程.$

Solution:
$由(1)知，a=2c,b=\sqrt{3}c，故椭圆方程为\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1。由题意，F(-c，0)，则直线l的方程为y=\frac{3}{4}(x+c)。$

$第一步：先由直线与椭圆位置关系求出点P坐标.$

$点P的坐标满足\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1,\\ y=\frac{3}{4}(x+c),\end{matrix}\right.消去y并化简，得到7x^2+6cx-13c^2=0，解得x_1=c,x_2=-\frac{13c}{7}。$

$代入l的方程，解得y_1=\frac{3}{2}c,y_2=-\frac{9}{14}c。$

$因为点P在x轴上方，所以P\left(c,\frac{3}{2}c\right)。$

$第二步：由OC\parallel AP求得圆心C的坐标.$

$由圆心C在直线x=4上，可设C(4，t)。$

$因为OC\parallel AP，且由(1)知A(-2c，0)，故\frac{t}{4}=\frac{\frac{3}{2}c}{c+2c}，$

$解得t=2.则C(4,2).$

$第三步：由圆与直线l的相切关系求出c的大小，进而求得椭圆方程.$

$因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得\frac{\left|\frac{3}{4}(4+c)-2\right|}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=2，可得c=2。$

$所以，椭圆的方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1。$

Final answer: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 C ： x^2/25 + y^2/m^2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 \sqrt{15}/4 ，A ，B 分别为 C 的左、右顶点.$
求C的方程；

Solution:
由题设可得

$\frac{\sqrt{25-m^2}}{5}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

$得 m^2=\frac{25}{16} ，所以 C 的方程为$

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{16}}=1$

Final answer: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{16}}=1$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知抛物线C：y^2=2px (p>0) 的焦点为 F，A 是 C 上的动点，点 P(1，1) 不在 C 上，且 |AF| + |AP| 的最小值为 2.$
$若直线AP与C交于另一点B，与直线l交于点Q，设 \overrightarrow{QA} = \lambda  \overrightarrow{PA}， \overrightarrow{QB} = \mu  \overrightarrow{PB}，且 \lambda  ＋ \mu  ＝4，求直线l的方程．$

Solution:
$设 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), Q(x, y), 直线 AP 的斜率不为0，设 AP 的方程为 x=my+1-m，联立$
$$
\left\{
\begin{matrix}
y^2＝4x,\\
x＝my+1-m
\end{matrix}
\right.
$$
$可得 y^2-4my+4m-4=0，则 y_1+y_2=4m, y_1y_2=4m-4，因为 \overrightarrow{QA} = \lambda \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{QB} = \mu \overrightarrow{PB}，所以 \lambda +\mu = \frac{y_1-y}{y_1-1} + \frac{y_2-y}{y_2-1} =2+ \frac{1-y}{y_1-1} + \frac{1-y}{y_2-1} =2+ \frac{(1-y)(y_1+y_2-2)}{y_1y_2-(y_1+y_2)+1} =2- \frac{4m(1-y)-2+2y}{3} =4，即 2m(y-1)=y+2，而 x=my+1-m，所以 2x-y-4=0．$

Final answer: $2x-y-4=0$
Subfield: Conic Sections


Question: $设椭圆C：\frac{x^2}{2}+y^2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).$
$当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；$

Solution:
$由已知得F(1，0)，l的方程为x=1，$

由已知可得，点A的坐标为
$\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
或
$\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). $

$所以AM的方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}$
$或 y= \frac{\sqrt{2}}{2} x-\sqrt{2}.$

Final answer: $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}，y= \frac{\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的一个顶点为A(0，-3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点.$
求椭圆的方程；

Solution:
$由已知可得 b=3. 记半焦距为 c ，由|OF|=|OA| 可得 c=b=3. 又 a^2=b^2+c^2，所以 a^2=18. 所以，椭圆的方程为 \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1.$

Final answer: $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$