di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱子装有1个黑球和3个白球，2号箱子装有2个黑球和2个白球，3号箱子装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一个箱子，再从取出的箱子中任意摸出1个球，记事件A_{i}(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱子”，事件B表示“取得黑球”．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856000240185346/img/compression/M_4e1e732a2df271d2062998f46e6f5cf1.jpg)
$分别求P(BA_{1})，P(BA_{2})，P(BA_{3})和P(B)的值；$

Solution:
$由已知可得P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{1}{3},P(B|A_{1})=\frac{1}{4},P(B|A_{2})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},P(B|A_{3})=1,\therefore P(BA_{1})=P(A_{1})P(B|A_{1})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}，P(BA_{2})=P(A_{2})P(B|A_{2})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}，P(BA_{3})=P(A_{3})P(B|A_{3})=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}，\therefore P(B)=P(BA_{1})+P(BA_{2})+P(BA_{3})=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}.$

Final answer: $P(BA_{1})=\frac{1}{12}$,  $P(BA_{2})=\frac{1}{6}$, $P(BA_{3})=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{7}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱子装有1个黑球和3个白球，2号箱子装有2个黑球和2个白球，3号箱子装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一个箱子，再从取出的箱子中任意摸出1个球，记事件A_{i}(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱子”，事件B表示“取得黑球”．$<img_2120>
$分别求P(BA_{1})，P(BA_{2})，P(BA_{3})和P(B)的值；$

Solution:
$由已知可得P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{1}{3},P(B|A_{1})=\frac{1}{4},P(B|A_{2})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},P(B|A_{3})=1,\therefore P(BA_{1})=P(A_{1})P(B|A_{1})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}，P(BA_{2})=P(A_{2})P(B|A_{2})=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}，P(BA_{3})=P(A_{3})P(B|A_{3})=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}，\therefore P(B)=P(BA_{1})+P(BA_{2})+P(BA_{3})=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}.$



Final answer: $P(BA_{1})=\frac{1}{12}$,  $P(BA_{2})=\frac{1}{6}$, $P(BA_{3})=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{7}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额(单位：元)的频率直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856009612886018/img/compression/M_6c4191c2b40aed1e2b3b58b239d5da52.jpg)$已知月消费金额在区间[350,450),[450,550),[550,650)内的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.$
$求m，n的值，并估计这100名学生月消费金额的平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$易得(0.001 5+n+m+0.001 5+0.001 0)\times 100=1,且2m=n+0.001 5，解得m=0.002 5,n=0.003 5.则\overline{x}=300\times 0.15+400\times 0.35+500\times 0.25+600\times 0.15+700\times 0.1=470(元).$

Final answer: $m=0.002 5$, $n=0.003 5$, $\overline{x}=470$ ,,元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额(单位：元)的频率直方图如图所示：$<img_2262>$已知月消费金额在区间[350,450),[450,550),[550,650)内的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.$
$求m，n的值，并估计这100名学生月消费金额的平均数\overline{x}(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；$

Solution:
$易得(0.001 5+n+m+0.001 5+0.001 0)\times 100=1,且2m=n+0.001 5，解得m=0.002 5,n=0.003 5.则\overline{x}=300\times 0.15+400\times 0.35+500\times 0.25+600\times 0.15+700\times 0.1=470(元).$

Final answer: $m=0.002 5$, $n=0.003 5$, $\overline{x}=470$ ,,元
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额(单位：元)的频率直方图如图所示：$<img_2262>$已知月消费金额在区间[350,450),[450,550),[550,650)内的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.$
$现采用分层抽样的方式从月消费金额在[350,450),[550,650)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3人中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的数学期望.$

Solution:
$由题意得，从月消费金额在[350,450)内的学生中抽取7人，从月消费金额在[550,650)内的学生中抽取3人，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，故P(X=k)=\frac{\mathrm{C}^k_3\mathrm{C}^{3-k}_7}{\mathrm{C}^3_{10}}(k=0,1,2,3)，所以随机变量X的概率分布为X0123P\frac{7}{24}\frac{21}{40}\frac{7}{40}\frac{1}{120}故数学期望E(X)=0\times \frac{7}{24}+1\times \frac{21}{40}+2\times \frac{7}{40}+3\times \frac{1}{120}=\frac{9}{10}.$



Final answer: $9/10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额(单位：元)的频率直方图如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856009612886018/img/compression/M_6c4191c2b40aed1e2b3b58b239d5da52.jpg)$已知月消费金额在区间[350,450),[450,550),[550,650)内的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.$
$现采用分层抽样的方式从月消费金额在[350,450),[550,650)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3人中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望.$

Solution:
$由题意得，从月消费金额在[350,450)内的学生中抽取7人，从月消费金额在[550,650)内的学生中抽取3人，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，故P(X=k)=\frac{\mathrm{C}^k_3\mathrm{C}^{3-k}_7}{\mathrm{C}^3_{10}}(k=0,1,2,3)，所以随机变量X的概率分布为X0123P\frac{7}{24}\frac{21}{40}\frac{7}{40}\frac{1}{120}故数学期望E(X)=0\times \frac{7}{24}+1\times \frac{21}{40}+2\times \frac{7}{40}+3\times \frac{1}{120}=\frac{9}{10}.$

Final answer: $X的概率分布为：P(X=0)=7/24, P(X=1)=21/40, P(X=2)=7/40, P(X=3)=1/120
数学期望E(X)=9/10$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A市开展了安全教育知识知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员，对他们的成绩(满分150分)进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率直方图，如图所示.直方图中m，n的关系为m-n=\frac{1}{1 000}，根据频率直方图中的信息解答下列问题.$<img_2001>
$从成绩(单位：分)在[90,110)内的参赛人员中任取3人，求其中至少有2人的成绩在[90,100)内的概率；$

Solution:
$因为(0.005+m+0.032+0.024+n+0.006)\times 10=1，所以m+n=0.033，又m-n=\frac{1}{1 000}，所以m=0.017,n=0.016，所以成绩在[90,100)内的有0.005\times 10\times 100=5(人)，成绩在[100,110)内的有0.017\times 10\times 100=17(人)，所以至少有2人的成绩在[90,100)内的概率P=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_{17}+\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_{22}}=\frac{9}{77}.$

Final answer: $\frac{9}{77}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A市开展了安全教育知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员，对他们的成绩(满分150分)进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率直方图，如图所示.直方图中m，n的关系为m-n=\frac{1}{1 000}，根据频率直方图中的信息解答下列问题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856011391270913/img/compression/M_7f0295a0d07ad38ca658e20755962a85.jpg)
$从成绩(单位：分)在[90,110)内的参赛人员中任取3人，求其中至少有2人的成绩在[90,100)内的概率；$

Solution:
$因为(0.005+m+0.032+0.024+n+0.006)\times 10=1，所以m+n=0.033，又m-n=\frac{1}{1 000}，所以m=0.017,n=0.016，所以成绩在[90,100)内的有0.005\times 10\times 100=5(人)，成绩在[100,110)内的有0.017\times 10\times 100=17(人)，所以至少有2人的成绩在[90,100)内的概率P=\frac{\mathrm{C}^2_5\mathrm{C}^1_{17}+\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^3_{22}}=\frac{9}{77}.$

Final answer: $\frac{9}{77}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A市开展了安全教育知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员，对他们的成绩(满分150分)进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率直方图，如图所示.直方图中m，n的关系为m-n=\frac{1}{1 000}，根据频率直方图中的信息解答下列问题.$<img_2001>
$用分层抽样的方法，先从成绩分别在[110,120),[120,130)，[130,140)内的参赛人员中抽取9人，再从这9人中任取4人，设抽取的4人中成绩在[110,120)内的人数为\xi ，求\xi 的数学期望；$

Solution:
$由题意及(1)知,成绩在[110,120),[120,130)，[130,140)内的分别有32人，24人，16人，因此，抽取的9人中成绩在[110,120)内的有9\times \frac{32}{72}=4(人)，成绩在[120,130)内的有9\times \frac{24}{72}=3(人)，成绩在[130,140)内的有9\times \frac{16}{72}=2(人)，所以\xi 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^4_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{5}{126},P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{20}{63},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{10}{21}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{10}{63},P(\xi =4)=\frac{\mathrm{C}^4_4}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{1}{126}.所以\xi 的概率分布为\xi 01234P\frac{5}{126}\frac{20}{63}\frac{10}{21}\frac{10}{63}\frac{1}{126}故E(\xi )=0\times \frac{5}{126}+1\times \frac{20}{63}+2\times \frac{10}{21}+3\times \frac{10}{63}+4\times \frac{1}{126}=\frac{16}{9}.$



Final answer: $\frac{16}{9}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A市开展了安全教育知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员，对他们的成绩(满分150分)进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率直方图，如图所示.直方图中m，n的关系为m-n=\frac{1}{1 000}，根据频率直方图中的信息解答下列问题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856011391270913/img/compression/M_7f0295a0d07ad38ca658e20755962a85.jpg)
$用分层抽样的方法，先从成绩分别在[110,120),[120,130)，[130,140)内的参赛人员中抽取9人，再从这9人中任取4人，设抽取的4人中成绩在[110,120)内的人数为\xi ，求\xi 的概率分布和数学期望；$

Solution:
$由题意及(1)知,成绩在[110,120),[120,130)，[130,140)内的分别有32人，24人，16人，因此，抽取的9人中成绩在[110,120)内的有9\times \frac{32}{72}=4(人)，成绩在[120,130)内的有9\times \frac{24}{72}=3(人)，成绩在[130,140)内的有9\times \frac{16}{72}=2(人)，所以\xi 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^4_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{5}{126},P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_4\mathrm{C}^3_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{20}{63},P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_4\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{10}{21}，P(\xi =3)=\frac{\mathrm{C}^3_4\mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{10}{63},P(\xi =4)=\frac{\mathrm{C}^4_4}{\mathrm{C}^4_9}=\frac{1}{126}.所以\xi 的概率分布为\xi 01234P\frac{5}{126}\frac{20}{63}\frac{10}{21}\frac{10}{63}\frac{1}{126}故E(\xi )=0\times \frac{5}{126}+1\times \frac{20}{63}+2\times \frac{10}{21}+3\times \frac{10}{63}+4\times \frac{1}{126}=\frac{16}{9}.$

Final answer: $\xi的概率分布为：\xi = 0,1,2,3,4，P(\xi =0)=\frac{5}{126}, P(\xi =1)=\frac{20}{63}, P(\xi =2)=\frac{10}{21}, P(\xi =3)=\frac{10}{63}, P(\xi =4)=\frac{1}{126}。\xi的数学期望为E(\xi) = \frac{16}{9}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $A市开展了安全教育知识竞赛活动.竞赛活动后，在参赛的人员中，随机抽取了100名参赛人员，对他们的成绩(满分150分)进行统计分析，将所抽取的100名参赛人员的成绩数据绘制成频率直方图，如图所示.直方图中m，n的关系为m-n=\frac{1}{1 000}，根据频率直方图中的信息解答下列问题.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856011391270913/img/compression/M_7f0295a0d07ad38ca658e20755962a85.jpg)
$若参赛人员共有1 000人，现有B公司准备拿出一定资金，奖励成绩在120分及以上的参赛人员，并拟定了两种奖励方案.方案一：人均奖励333元；方案二：把成绩在[120,130)内的记为等级三，成绩在[130,140)内的记为等级二，成绩在[140,150]内的记为等级一，并按等级每人分别奖励200元，400元，600元.若你是竞赛活动的负责人，用统计知识分析，你将选择哪一种奖励方案？并说明理由.$

Solution:
$由题意及(2)知，在所抽取的这100人的成绩中，成绩在[120,130),[130,140)，[140,150]内的人数分别为24,16，6，所以方案一所需费用为(24+16+6)\times 10\times 333=153 180(元);方案二所需费用为(24\times 200+16\times 400+6\times 600)\times 10=148 000(元).因为153 180>148 000，所以选择方案一，既能使得获奖人员得到的奖励资金总额较多，又淡化了等级意识，可以更好地发挥激励作用(也可以选择方案二，既能相对的节约资金，又能激励等级竞争意识).$

Final answer: $方案一，选择方案一，既能使得获奖人员得到的奖励资金总额较多，又淡化了等级意识，可以更好地发挥激励作用。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则如下：以O为起点，从图内A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.$<img_2301>
$求小波参加学校合唱团的概率；$

Solution:
$从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C^2_8=28种，当X=0时，两向量夹角为90^\circ ，共有8种情况，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=\frac{8}{28}=\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac27$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则如下：以O为起点，从图内A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856005365624833/img/compression/M_6791d6a42702dc40b8e5828b4634ec53.jpg)
$求小波参加学校合唱团的概率；$

Solution:
$从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C^2_8=28种，当X=0时，两向量夹角为90^\circ ，共有8种情况，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=\frac{8}{28}=\frac{2}{7}.$

Final answer: $\frac27$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则如下：以O为起点，从图内A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6},A_{7},A_{8}这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856005365624833/img/compression/M_6791d6a42702dc40b8e5828b4634ec53.jpg)
$求X的概率分布.$

Solution:
$两个向量的数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1.当X=-2时，有2种情况；当X=-1时，有10种情况；当X=0时，有8种情况；当X=1时，有8种情况.故P(X=-2)=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}，P(X=-1)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}，P(X=0)=\frac{8}{28}=\frac{2}{7}，P(X=1)=\frac{8}{28}=\frac{2}{7}.所以X的概率分布为
X
-2
-1
0
1
P
\frac{1}{14}
\frac{5}{14}
\frac{2}{7}
\frac{2}{7}
$

Final answer: $\frac{1}{14}, \frac{5}{14}, \frac{2}{7}, \frac{2}{7}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目的满意度进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率直方图，并将分数从低到高分为四个等级，如表所示：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856033774510082/img/compression/M_1d2354c9fd3c5dfdeb7a8b80aadf7f57.jpg)$
$
$若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民的满意度，现从全市市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；$

Solution:
$由题意，得(0.002+0.004+0.015+0.02+a+0.034)\times 10=1，解得a=0.025，所以市民非常满意的概率为0.025\times 10=0.25.设至少2人非常满意为事件A，由题意知，5人中非常满意的人数\xi ~B\left(5,\frac{1}{4}\right)，故P(A)=1-C^0_5\times \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5}-C^1_5\times \left(1-\frac{1}{4}\right)^{4}\times \frac{1}{4}=\frac{47}{128}.$

Final answer: $\frac{47}{128}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目的满意度进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率直方图，并将分数从低到高分为四个等级，如表所示：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
$<img_3026>$
$
$若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民的满意度，现从全市市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；$

Solution:
$由题意，得(0.002+0.004+0.015+0.02+a+0.034)\times 10=1，解得a=0.025，所以市民非常满意的概率为0.025\times 10=0.25.设至少2人非常满意为事件A，由题意知，5人中非常满意的人数\xi ~B\left(5,\frac{1}{4}\right)，故P(A)=1-C^0_5\times \left(1-\frac{1}{4}\right)^{5}-C^1_5\times \left(1-\frac{1}{4}\right)^{4}\times \frac{1}{4}=\frac{47}{128}.$

Final answer: $\frac{47}{128}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目的满意度进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率直方图，并将分数从低到高分为四个等级，如表所示：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856033774510082/img/compression/M_1d2354c9fd3c5dfdeb7a8b80aadf7f57.jpg)$
$
$在等级为不满意的市民中，老人占\frac{1}{3}，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员.记X为老年督导员的人数，求X的概率分布及数学期望E(X).$

Solution:
$在分层抽取的9人中，老人有3人，由题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{20}{84}=\frac{5}{21}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{18}{84}=\frac{3}{14}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}，所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
\frac{5}{21}
\frac{15}{28}
\frac{3}{14}
\frac{1}{84}
故E(X)=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$

Final answer: $X的概率分布为：P(X=0)=5/21，P(X=1)=15/28，P(X=2)=3/14，P(X=3)=1/84。
数学期望E(X)=1。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2021年年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目的满意度进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率直方图，并将分数从低到高分为四个等级，如表所示：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
$<img_3026>$
$
$在等级为不满意的市民中，老人占\frac{1}{3}，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员.记X为老年督导员的人数，求X的数学期望E(X).$

Solution:
$在分层抽取的9人中，老人有3人，由题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^3_6}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{20}{84}=\frac{5}{21}，P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}，P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^1_6\mathrm{C}^2_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{18}{84}=\frac{3}{14}，P(X=3)=\frac{\mathrm{C}^3_3}{\mathrm{C}^3_9}=\frac{1}{84}，所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
\frac{5}{21}
\frac{15}{28}
\frac{3}{14}
\frac{1}{84}
故E(X)=0\times \frac{5}{21}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{14}+3\times \frac{1}{84}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856050836074498/img/compression/M_e50ccae3aa00287e6a1e611783a23ceb.jpg)
$求X的概率分布；$

Solution:
$设1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量为\xi ，则P(\xi =5)=P(\xi =7)=P(\xi =8)=0.2，P(\xi =6)=0.4，易知X的可能取值为10，11，12，13，14，15，16，P(X=10)=0.2\times 0.2=0.04，P(X=11)=2\times 0.2\times 0.4=0.16，P(X=12)=0.4^{2}+2\times 0.2\times 0.2=0.24，P(X=13)=2\times (0.2\times 0.2+0.2\times 0.4)=0.24，P(X=14)=0.2^{2}+2\times 0.4\times 0.2=0.2，P(X=15)=2\times 0.2\times 0.2=0.08，P(X=16)=0.2\times 0.2=0.04，则X的概率分布为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04$

Final answer: $X的概率分布：X=10: P=0.04, X=11: P=0.16, X=12: P=0.24, X=13: P=0.24, X=14: P=0.2, X=15: P=0.08, X=16: P=0.04$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.$<img_1707>
$若满足P(X\geq n)\leq 0.6的n的最小值为n_{0}，求n_{0}；$

Solution:
$由(1)可知P(X\geq 12)=0.8，P(X\geq 13)=0.56，故n_{0}=13.$

Final answer: $13$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856050836074498/img/compression/M_e50ccae3aa00287e6a1e611783a23ceb.jpg)
$若满足P(X\geq n)\leq 0.6的n的最小值为n_{0}，求n_{0}；$

Solution:
$由(1)可知P(X\geq 12)=0.8，P(X\geq 13)=0.56，故n_{0}=13.$

Final answer: $13$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频率直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠每次注射疫苗后是否产生抗体相互独立.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856068775112706/img/compression/M_57c3924c1090b443b0eca54a64b8e8eb.jpg)$
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
x_{0}
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
$
$填写下面的2\times 2列联表，并根据列联表及独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
$

Solution:
$由题中的频率直方图，知200只小白鼠按指标值分布如下:在[0,20)内的有0.002 5\times 20\times 200=10(只)；在[20,40)内的有0.006 25\times 20\times 200=25(只)；在[40,60)内的有0.008 75\times 20\times 200=35(只)；在[60,80)内的有0.025\times 20\times 200=100(只)；在[80,100]内的有0.007 5\times 20\times 200=30(只).由题意，知有抗体且指标值小于60的有50只，而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70(只)，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故2\times 2列联表如下：
指标值
合计
小于60
不小于60
抗体
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
提出假设H_{0}:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关.根据列联表中的数据，得\chi ^{2}=\frac{200\times {(50\times 20-20\times 110)}^2}{160\times 40\times 70\times 130}\approx 4.945，因为当H_{0}成立时，\chi ^{2}\geq 3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为，注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.$

Final answer: $注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关。$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频率直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠每次注射疫苗后是否产生抗体相互独立.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856068775112706/img/compression/M_57c3924c1090b443b0eca54a64b8e8eb.jpg)$
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
x_{0}
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
$
$为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的人数为随机变量X.试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n.$

Solution:
$①令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗后产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗后产生抗体”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P(A)=\frac{160}{200}=0.8，P(B)=\frac{20}{40}=0.5，P(C)=1-P(\overline{A}　\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0.2\times 0.5=0.9，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9.②由题意，知随机变量X～B(n,0.9)，P(X=k)=C^k_n\times 0.9^{k}\times 0.1^{n-k}(k=0,1,2,\ldots ,n)，因为P(X=99)最大，所以\left\{\begin{matrix}\mathrm{C}^{99}_n\times {0.9}^{99}\times {0.1}^{n-99}\geq \mathrm{C}^{98}_n\times {0.9}^{98}\times {0.1}^{n-98},\\ \mathrm{C}^{99}_n\times {0.9}^{99}\times {0.1}^{n-99}\geq \mathrm{C}^{100}_n\times {0.9}^{100}\times {0.1}^{n-100},\end{matrix}\right.解得109\leq n\leq 110\frac{1}{9},因为n是整数，所以n=109或n=110，所以参加人体接种试验的人数n为109或110.$

Final answer: $109$, $110$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频率直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠每次注射疫苗后是否产生抗体相互独立.$<img_1931>$
参考公式：\chi ^{2}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.参考数据：
P(\chi ^{2}\geq x_{0})
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
x_{0}
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
$
$为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的人数为随机变量X.试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n.$

Solution:
$①令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗后产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗后产生抗体”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P(A)=\frac{160}{200}=0.8，P(B)=\frac{20}{40}=0.5，P(C)=1-P(\overline{A}　\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0.2\times 0.5=0.9，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9.②由题意，知随机变量X～B(n,0.9)，P(X=k)=C^k_n\times 0.9^{k}\times 0.1^{n-k}(k=0,1,2,\ldots ,n)，因为P(X=99)最大，所以\left\{\begin{matrix}\mathrm{C}^{99}_n\times {0.9}^{99}\times {0.1}^{n-99}\geq \mathrm{C}^{98}_n\times {0.9}^{98}\times {0.1}^{n-98},\\ \mathrm{C}^{99}_n\times {0.9}^{99}\times {0.1}^{n-99}\geq \mathrm{C}^{100}_n\times {0.9}^{100}\times {0.1}^{n-100},\end{matrix}\right.解得109\leq n\leq 110\frac{1}{9},因为n是整数，所以n=109或n=110，所以参加人体接种试验的人数n为109或110.$

Final answer: $109$, $110$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如表：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100
参考数据：
$<img_2434>$参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\beta u+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}} \overline{v}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$判断y=bx+a(a,b为常数)与y=c_{1}e^{c_{2}x}(c_{1},c_{2}为常数，且c_{1}>0,c_{2}\neq 0)哪一个更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)$

Solution:
$根据题表中的数据画出散点图,然后通过观察散点图选择适合的回归方程类型,体现了数形结合的思想.作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图所示：$<img_1753>$观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，所以y=c_{1}e^{c_{2}x}更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.$

Final answer: $y=c_{1}e^{c_{2}x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如表：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100
参考数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856071260766209/img/editor/compression/545f3f75-b340-4542-8f1b-d6d56be996eb.png)$参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\beta u+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}} \overline{v}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$判断y=bx+a(a,b为常数)与y=c_{1}e^{c_{2}x}(c_{1},c_{2}为常数，且c_{1}>0,c_{2}\neq 0)哪一个更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)$

Solution:
$根据题表中的数据画出散点图,然后通过观察散点图选择适合的回归方程类型,体现了数形结合的思想.作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图所示：$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856071264960515/img/compression/M_1b50220364881e7cb89c569ed9f4346e.jpg)$观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，所以y=c_{1}e^{c_{2}x}更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.$

Final answer: $y=c_{1}e^{c_{2}x}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如表：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100
参考数据：
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1693856071260766209/img/editor/compression/545f3f75-b340-4542-8f1b-d6d56be996eb.png)$参考公式：对于一组数据(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}),\ldots ,(u_{n},v_{n})，其回归直线v=\beta u+\alpha 的斜率和截距的最小二乘估计分别为\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u_iv_i-n{\overline{u}} \overline{v}}{\sum \limits^{n}_{{i=1}}u^2_i-n{\overline{u}}^2},\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}.$
$①证明：对于非线性回归方程\hat{y}=\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x}，令\hat{z}=ln \hat{y}，可以得到繁殖个数y的对数z关于天数x具有线性关系(即\hat{z}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha },\hat{\beta },\hat{\alpha }为常数)；②根据①的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数保留两位小数).$

Solution:
$①证明：因为\hat{y}=\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x}，\hat{z}=ln \hat{y}，所以ln \hat{y}=ln(\hat{c}_{1}e^{\hat{c}_{2}x})=ln \hat{c}_{1}+ln e^{\hat{c}_{2}x}=ln \hat{c}_{1}+\hat{c}_{2}x，令\hat{\alpha }=ln \hat{c}_{1},\hat{\beta }=\hat{c}_{2}，即\hat{z}=\hat{\beta }x+\hat{\alpha },\hat{\beta },\hat{\alpha }为常数，所以繁殖个数y的对数z关于天数x具有线性关系.②由①及题表中的数据，得\hat{c}_{2}=\hat{\beta }=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x_iz_i-6\overline{x}　\overline{z}}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}x^2_i-6\overline{x}^2}=\frac{\sum \limits^{6}_{{i=1}}(x_i-\overline{x})(z_i-\overline{z})}{\sum \limits^{6}_{{i=1}}{(x_i-\overline{x})}^2}=\frac{12.12}{17.5}\approx 0.69，ln \hat{c}_{1}=\hat{\alpha }=\overline{z}-\hat{\beta }　\overline{x}=2.85-0.69\times 3.50\approx 0.44，因此\hat{z}=0.69x+0.44，所以y关于x的回归方程为\hat{y}=e^{0.69x+0.44}.$

Final answer: 证明题