di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: $2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容.2020年6月1日上午，李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.地摊游戏中的套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎.现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B处进行套圈，已知甲在A，B两点处的命中率均为\frac{1}{3}，乙在A点处的命中率为p (\frac{1}{2}\leq p\lt1),在B点处的命中率为2p-1，且他们每次套圈互不影响.$
若甲和乙每人在A，B两点处各套圈一次，且在A点处命中计2分，在B点处命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的期望；

Solution:
$由题意知，X=0，2，3，5，Y=0，2，3，5，$

$P(X=0)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}，$

$P(X=2)=P(X=3)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}，$

$P(X=5)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}.$

$P(Y=0)=(1-p)(2-2p)=2(1-p)^2=2p^2-4p+2，$

$P(Y=2)=p(2-2p)=-2p^2+2p,$

$P(Y=3)=(1-p)(2p-1)=-2p^2+3p-1,$

$P(Y=5)=p(2p-1)=2p^2-p.$

$\therefore X的分布列为：$

| $X$ | 0 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |

$Y的分布列为：$

| $Y$ | 0 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $2p^2-4p+2$ | $-2p^2+2p$ | $-2p^2+3p-1$ | $2p^2-p$ |

$\therefore E(X)=0\times \frac{4}{9}+2\times \frac{2}{9}+3\times \frac{2}{9}+5\times \frac{1}{9}=\frac{5}{3}，$

$E(Y)=0\times (2p^2-4p+2)+2\times (-2p^2+2p)+3\times (-2p^2+3p-1)+5\times (2p^2-p)=8p-3.$

Final answer: $\frac{5}{3}, 8p-3$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，且a_1=3，S_{n+1}+S_n=(n+1)a_{n+1}.$
$求a_n的通项公式;$

Solution:
$当n=1时, S_2+S_1=2a_2, 解得a_2=2a_1=6. $

$当n\geq 2时,由S_{n+1}+S_n=(n+1)a_{n+1},得S_n+S_{n-1}=na_n,$

$两式相减得a_{n+1}+a_n=(n+1)a_{n+1}-na_n,即$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n},$

则

$\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_4}{a_3} \cdot \ldots  \cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \ldots  \times \frac{n}{n-1},$

则

$\frac{a_n}{a_1}=n,$

$因为a_1=3, 所以a_n=3n.$

Final answer: $a_n=3n$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，且a_1=3，S_{n+1}+S_n=(n+1)a_{n+1}.$
$若b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}, 求数列{b_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$由(1)可知，b_{n} = \frac{1}{a_na_{n+1}} = \frac{1}{9n(n+1)} = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right),$
$则 T_{n} = \frac{1}{9} \times  \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{n}{9n+9}.$

Final answer: $\frac{n}{9n+9}$
Subfield: Sequence


Question: $已知1^2+2^2+\ldots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)，数列{a_n}满足a_{n+1}-a_n=n^2+2n+1, a_1=1.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$因为a_{n+1} - a_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2,$
$所以 a_{2}-a_{1}=2^2, a_{3}-a_{2}=3^2，\ldots \ldots ，a_{n}-a_{n-1}=n^2 (n\geq2),$
$以上各式相加得a_{n}-a_{1}=2^2+3^2+\ldots +n^2 (n\geq2),$
$又a_{1}=1, 所以 a_{n}=1^2+2^2+\ldots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).$
$当n=1时，a_{1}=1=\frac{1}{6}1(1+1)(21+1),$
$故{a_{n}}的通项公式为a_{n}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).$

Final answer: $\{a_{n}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\}$
Subfield: Sequence


Question: $已知1^2+2^2+\ldots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)，数列{a_n}满足a_{n+1}-a_n=n^2+2n+1, a_1=1.$
$设b_n = \frac{a_n}{2n+1}, 求数列\left\{\frac{1}{b_n}\right\}的前n项和S_n.$

Solution:
结合(1)知，
$b_n = \frac{a_n}{2n+1}= \frac{1}{6}n(n+1),$
$则 \frac{1}{b_n} = \frac{6}{n(n+1)} = 6\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right),$
$故 S_n = 6\times  \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{6n}{n+1}.$

Final answer: $\frac{6n}{n+1}$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列， b_n = $
$$
\begin{cases}
a_n - 6, &\text{当} n \text{为奇数},\\
2a_n, &\text{当} n \text{为偶数}.
\end{cases}
$$
$记S_n,T_n分别为数列a_n，b_n的前n项和，S_4=32，T_3=16.$
$求a_n的通项公式;$

Solution:
$设数列a_n的首项为a_1,公差为d,$

$\because b_n=\begin{cases}a_n-6, & \text{若 }n\text{为奇数},\\ 2a_n, & \text{若 }n\text{为偶数},\end{cases}$

$\therefore b_1=a_1-6, b_2=2a_2, b_3=a_3-6,$

$又T_3=16,且b_1+b_2+b_3=a_1+2a_2+a_3-12=4a_2-12, \therefore 4a_2-12=16, \therefore a_2=7, 即a_1+d=7，①$

$又S_4=32，\therefore 4a_1+6d=32,②$

$由①②得a_1=5, d=2, $

$\therefore a_n=5+2(n-1)=2n+3.$

Final answer: $a_n=2n+3$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，a_1=-\frac{9}{4},且4S_{n+1}=3S_{n}-9(n\in N)。$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$由4S_{n+1}=3S_n-9，得4S_n=3S_{n-1}-9 (n\geq 2)，则4a_{n+1}=3a_n (n\geq 2)，又4(a_1+a_2)=3a_1-9, a_1=-\frac{9}{4}，所以4a_2=3a_1，所以{a_n}是以-\frac{9}{4}为首项，\frac{3}{4}为公比的等比数列，所以a_n=-3\times \left(\frac{3}{4}\right)^n.$



Final answer: ${a_n}=-3\times \left(\frac{3}{4}\right)^n$
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为数列{a_n}的前n项和, \frac{2S_n}{n}=a_n+2.$
$已知a_2=5,若c_n=2^{n-1}a_n,求数列{c_n}的前n项和T_n.$

Solution:
$在 \frac{2S_n}{n} = a_n + 2 中，令 n = 1得 \frac{2a_1}{1} = a_1 + 2，所以 a_1 = 2，因为 a_2 = 5，所以 {a_n}的公差 d = a_2 - a_1 = 3， 则 a_n = a_1 + (n - 1) d = 2 + (n - 1) \times  3 = 3 n - 1. c_n = (3 n -1) \cdot  2 ^ {n -1}，$

$所以 T_n = 2 + 5 \times  2 ^ 1 + 8 \times  2 ^ 2 + \ldots  + (3 n -1) \times  2 ^ {n -1}，$

$2 T_n = 2 \times  2 ^ 1 + 5 \times  2 ^ 2 + 8 \times  2 ^ 3 + \ldots  + (3 n -1) \times  2 ^ n，$

$两式相减得 -T_n =2 + 3(2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + \ldots  + 2 ^ {n -1}) - (3 n -1) \times  2 ^ n = 2 + 3 \times  \frac{2}{2-1} (2 ^ n -1 -1) - (3 n -1) \times  2 ^ n = -4 + (4 - 3 n) \times  2 ^ n，$

$所以 T_n = 4 + (3 n - 4) \times  2 ^ n。$

Final answer: $T_n = 4 + (3 n - 4) \times  2 ^ n$
Subfield: Sequence


Question: $已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n\in N^)，-2S_2，S_3，4S_4成等差数列，且a_2+2a_3+a_4=\frac{1}{16}.$
$求数列{a_n}的通项公式；$

Solution:
$设等比数列a_n的公比为q，$

$由-2S_2,S_3,4S_4成等差数列知，2S_3=-2S_2 + 4S_4，$

$所以2a_4=-a_3，即q=-\frac{1}{2}.$

$又a_2+2a_3+a_4=\frac{1}{16}，所以a_1q+2a_1q^2+a_1q^3=\frac{1}{16}，$

$所以a_1=-\frac{1}{2}，所以等比数列a_n的通项公式为a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n.$



Final answer: $a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n$
Subfield: Sequence


Question: $已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n\in N^)，-2S_2，S_3，4S_4成等差数列，且a_2+2a_3+a_4=\frac{1}{16}.$
$若b_n=- (n+2) \log_2 |a_n|，求数列 \left\{\frac{1}{b_n}\right\} 的前n项和 T_n.$

Solution:
$由(1)知，b_n=-(n+2)log2 \left(\frac{1}{2}\right)^n=n(n+2)，$

$所以\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)，$

$所以数列\left\{\frac{1}{b_n}\right\}的前n项和$

$T_n=\frac{1}{2} \left[\right. \left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\ldots +\left(\right. \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1} \left)\right.+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) \left]\right.=\frac{1}{2} \left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)},$

$所以数列\left\{\frac{1}{b_n}\right\}的前n项和T_n=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}.$

Final answer: \frac{3}{4}}-{\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，且满足S_n=(n+1)^2a_n-3，n\in N^.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$当n=1时，a_1=4a_1-3，所以a_1=1.$

$当n\geq 2，n\in N^时，S_{n-1}=n^2a_{n-1}-3，$
$故a_n=S_n-S_{n-1}=(n+1)^2a_n-n^2a_{n-1}，所以$

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n+2}，$

$故a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \ldots \cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot a_1=\frac{n}{n+2}\cdot \frac{n-1}{n+1}\cdot \ldots \cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot 1=\frac{6}{(n+1)(n+2)}$

$a_1=1符合上式.$

$故{a_n}的通项公式为a_n=\frac{6}{(n+1)(n+2)}，n\in N^.$

Final answer: $a_n=\frac{6}{(n+1)(n+2)}$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n的前n项和为S_n，且满足S_n=(n+1)^2a_n-3，n\in N^.$
$若b_n=(2n+3)(-1)^na_n，求{b_n}的前n项和T_n。$

Solution:
$由(1)可得b_n=(2n+3)(-1^n)a_n$
$=6(-1^n)\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)，$
$所以T_n=b_1+b_2+\ldots +b_n=-6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+6\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\ldots +6(-1^n)\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)=-3+\frac{6}{n+2}(-1^n).$

Final answer: $-3+\frac{6}{n+2}(-1^n)$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n满足 \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\ldots +\sqrt{a_n} = \frac{n^2+n+2}{2}.$
$求数列a_n的通项公式；$

Solution:
$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \ldots + \sqrt{a_n} = \frac{n^2+n+2}{2} ①，$

$当 n=1 时，\sqrt{a_1} = 2 \Rightarrow a_1=4;$

$当 n\geq 2 时，有 \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \ldots + \sqrt{a_{n-1}} = \frac{(n-1)^2 + (n-1) + 2}{2} ②，$

$①-② 得 \sqrt{a_n} =n，即 a_n = n^2.$

$a_1=4 不符合上式，故 $

$$
a_n = 
\begin{cases}
4, & \text{if } n = 1,\\
n^2, & \text{if } n\geq 2.
\end{cases}
$$

Final answer: $$
a_n = 
\begin{cases}
4, & \text{if } n = 1,\\
n^2, & \text{if } n\geq 2.
\end{cases}
$$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列a_n满足 \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\ldots +\sqrt{a_n} = \frac{n^2+n+2}{2}.$
$记b_n = \frac{1}{a_n+ \sqrt{a_n}}，求数列\{ b_n \}的前n项和S_n.$

Solution:
$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \ldots + \sqrt{a_n} = \frac{n^2+n+2}{2} ①，$

$当 n=1 时，\sqrt{a_1} = 2 \Rightarrow a_1=4;$

$当 n\geq 2 时，有 \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \ldots + \sqrt{a_{n-1}} = \frac{(n-1)^2 + (n-1) + 2}{2} ②，$

$①-② 得 \sqrt{a_n} =n，即 a_n = n^2.$

$a_1=4 不符合上式，故 $

$$
a_n = 
\begin{cases}
4, & \text{if } n = 1,\\
n^2, & \text{if } n\geq 2.
\end{cases}
$$

### 

$由上可知n=b_n=$
$$
\begin{cases}
\frac{1}{6}, & \text{if } n=1,\\
\frac{1}{n^2+n}, & \text{if } n\geq 2
\end{cases}
$$
$\Rightarrow n=b_n=$
$$
\begin{cases}
\frac{1}{6}, & \text{if } n=1,\\
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}, & \text{if } n\geq 2,
\end{cases}
$$
$故当n=1时，S_1=\frac{1}{6}；$
$当n\geq 2时，S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots +b_n=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{2n-1}{3(n+1)}，$
$因为S_1=\frac{1}{6}符合上式，故S_n=\frac{2n-1}{3(n+1)}.$

Final answer: $S_n=\frac{2n-1}{3(n+1)}$
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a_1=-7,S_3=-15.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$设a_n的公差为d，由题意得3a_1+3d=-15。由a_1=-7得d=2。$

$所以a_n的通项公式为a_n=2n-9.$

Final answer: $a_n=2n-9$
Subfield: Sequence


Question: $记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a_1=-7,S_3=-15.$
$求S_n，并求S_n的最小值。$

Solution:
$设a_n的公差为d，由题意得3a_1+3d=-15。由a_1=-7得d=2。$

$所以a_n的通项公式为a_n=2n-9.$


$由上得 S_n = n^2 - 8n = (n - 4)^2 - 16。$

$所以当 n = 4 时，S_n 取得最小值，最小值为 -16.$

Final answer: $S_n = (n - 4)^2 - 16，-16$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列 a_n 是首项为 1 的等差数列，公差 d > 0，设数列 a_n 的前 n 项和为 S_n，且，S_1，S_2，S_4 成等比数列。$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$因为 S_1,S_2,S_4 成等比数列，所以 S^2_2 = S_1S_4，可得 (a_1+a_1+d)^2=a_1(4a_1+6d)，即 (2+d)^2=4+6d，又 d>0，解得 d=2，则 a_n=a_1+(n-1)d=2n-1，$
$所以 {a_n} 的通项公式是 a_n=2n-1.$

Final answer: $a_n=2n-1$
Subfield: Sequence


Question: $已知数列 a_n 是首项为 1 的等差数列，公差 d > 0，设数列 a_n 的前 n 项和为 S_n，且，S_1，S_2，S_4 成等比数列。$
$求数列{|a_n-8|}的前n项和T_n。$

Solution:
$由(1)知，令b_n=a_n-8=2n-9，则数列\{b_n\}为递增的等差数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，$
$设b_n的前n项和为P_n，则P_n=\frac{n(b_1+b_n)}{2}=\frac{n(-7+2n-9)}{2}=n^2-8n，$
$若n\leq 4，则T_n=|b_1|+|b_2|+\ldots +|b_n|=-(b_1+b_2\ldots +b_n)=-P_n=8n-n^2，$
$若n\geq 5，T_n=|b_1|+|b_2|+\ldots +|b_n|=-(b_1+b_2+b_3+b_4)+(b_5+\ldots +b_n)=-P_4+(P_n-P_4)=P_n-2P_4=n^2-8n+32，$
$所以T_n=\begin{cases}8n-n^2, & \text{if}\ n\leq 4,\\ n^2-8n+32, & \text{otherwise},\end{cases} n\in N^。$

Final answer: $T_n=\begin{cases}8n-n^2, & \text{if}\ n\leq 4,\\ n^2-8n+32, & \text{otherwise},\end{cases} n\in N^.$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n是各项均为正数的等比数列，a_1=2，a_3=2a_2+16。$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$设a_n的公比为q,由题设得2q^2=4q+16,即q^2-2q-8=0.$

$解得q=-2(舍去)或q=4.$

$因此a_n的通项公式为a_n=2\times4^{n-1}=2^{2n-1}.$

Final answer: $a_n=2^{2n-1}$
Subfield: Sequence


Question: $已知首项为3的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_{n+1} + a_n = S_n + 5 \cdot 4^n.$
$求数列{a_n}的前n项和S_n.$

Solution:
$由(1)知，a_n-4^n=(-1)^n，即a_n=4^n+(-1)^n$
$数列{4^n}的前n项和为\frac{4\cdot (1-4^n)}{1-4}=\frac{4^{n+1}-4}{3}，$
$数列{(-1)^n}的前n项和为$
$\frac{(-1)[1-(-1)^n]}{1-(-1)}=\frac{(-1)^n-1}{2}，$
$故S_n=$
$\frac{4^{n+1}-4}{3}+\frac{(-1)^n-1}{2}=\frac{4^{n+1}}{3}+\frac{(-1)^n}{2}-\frac{11}{6}.$

Final answer: $\frac{4^{n+1}}{3}+\frac{(-1)^n}{2}-\frac{11}{6}$
Subfield: Sequence


Question: $数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+2n，记T_n为等比数列{b_n}的前n项和，且b_2+b_4=90，T_4=120.$
$求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；$

Solution:
$当n\geq 2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1.$

$当n=1时，a_1=S_1=3也满足上式，故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1.$

$设{b_n}的公比为q，当q=1时，由题意可知b_2+b_4=2b_1=90，T_4=4b_1=180\neq 120，显然不成立.$

$当q\neq 1时，依题意得$

$$
\begin{matrix}
b_1q+b_1q^3=90,\\ 
\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=120,
\end{matrix}
$$

解得

$$
\begin{matrix}
b_1=3,\\ 
q=3,
\end{matrix}
$$

$所以b_n=3^n.$

Final answer: $a_n=2n+1, b_n=3^n$
Subfield: Sequence


Question: $数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+2n，记T_n为等比数列{b_n}的前n项和，且b_2+b_4=90，T_4=120.$
$设数列c_n满足c_n = \frac{a_n}{b_n}，求数列{c_n}的前n项和H_n。$

Solution:
$由(1)得 c_n=\frac{a_n}{b_n}=(2n+1)\left(\frac{1}{3}\right)^n，则$

$H_n = 3 \times \frac{1}{3} + 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 7 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \ldots + (2n-1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + (2n+1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^n ①$

$\frac{1}{3} H_n = 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 7 \times \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \ldots + (2n-1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^n + (2n+1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} ②$

$①-②得 \frac{2}{3} H_n = 1 + 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \ldots + 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n - (2n+1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 1 + \frac{\frac{2}{9}\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{1}{3}} - (2n+1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 1 + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^n - (2n+1) \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = \frac{4}{3} - (2n+4) \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$

$所以 H_n = 2 - (n+2) \left(\frac{1}{3}\right)^n.$



Final answer: $H_n = 2 - (n+2) \left(\frac{1}{3}\right)^n$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某次投篮测试中，有两种投篮方案.方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为 \frac{3}{4} ，命中一次得3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为 \frac{4}{5} ，命中一次得2分，没有命中得0分.用随机变量\xi 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果\xi 的值不低于3分，则认为通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.$
$若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分\xi的数学期望；$

Solution:
$在A点投篮命中记作A,不中记作\overline{A}；在B点投篮命中记作B,不中记作\overline{B}.$

$其中P(A)=\frac{3}{4},P(\overline{A})=\frac{1}{4},P(B)=\frac{4}{5},P(\overline{B})=\frac{1}{5} $

$\xi 的所有可能取值为0,2,3,4，则$

$P(\xi =0)=P(\overline{A}\overline{B}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{B})=\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{100}，$

$P(\xi =2)=P(\overline{A}B\overline{B})+P(\overline{A}\overline{B}B)=2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{25}，$

$P(\xi =3)=P(A)=\frac{3}{4}，$

$P(\xi =4)=P(\overline{A}BB)=P(\overline{A})P(B)P(B)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}.$

$\xi 的分布列为$

| $\xi$ | 0 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P | $\frac{1}{100}$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{4}{25}$ |

$所以E(\xi )=0\times \frac{1}{100}+2\times \frac{2}{25}+3\times \frac{3}{4}+4\times \frac{4}{25}=3.05，$

$所以\xi 的数学期望为3.05.$



Final answer: $3.05$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某次投篮测试中，有两种投篮方案.方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为 \frac{3}{4} ，命中一次得3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为 \frac{4}{5} ，命中一次得2分，没有命中得0分.用随机变量\xi 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果\xi 的值不低于3分，则认为通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.$
$若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分\xi的分布列和数学期望；$

Solution:
$在A点投篮命中记作A,不中记作\overline{A}；在B点投篮命中记作B,不中记作\overline{B}.$

$其中P(A)=\frac{3}{4},P(\overline{A})=\frac{1}{4},P(B)=\frac{4}{5},P(\overline{B})=\frac{1}{5} $

$\xi 的所有可能取值为0,2,3,4，则$

$P(\xi =0)=P(\overline{A}\overline{B}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{B})=\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{100}，$

$P(\xi =2)=P(\overline{A}B\overline{B})+P(\overline{A}\overline{B}B)=2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{25}，$

$P(\xi =3)=P(A)=\frac{3}{4}，$

$P(\xi =4)=P(\overline{A}BB)=P(\overline{A})P(B)P(B)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{25}.$

$\xi 的分布列为$

| $\xi$ | 0 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P | $\frac{1}{100}$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{4}{25}$ |

$所以E(\xi )=0\times \frac{1}{100}+2\times \frac{2}{25}+3\times \frac{3}{4}+4\times \frac{4}{25}=3.05，$

$所以\xi 的数学期望为3.05.$

Final answer: $\xi 的分布列为$

| $\xi$ | 0               | 2              | 3             | 4              |
| ----- | --------------- | -------------- | ------------- | -------------- |
| P     | $\frac{1}{100}$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{4}{25}$ |

$\xi 的数学期望为3.05.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

<img_2861>
从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量质量，6条鱼的质量情况如表：

| 质量范围(单位：kg) | [0.5,1.5) | [1.5,2.5) | [2.5,3.5] |
| --- | --------- | --------- | ---------- |
| 条数                  | 1         | 3         | 2          |

为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中质量在[2.5,3.5]内的条数为X，求随机变量X的数学期望；

Solution:
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}；$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{12}{20}；$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}.$
所以X的分布列为

|   X   | 0 | 1 | 2 |
| ----- | --- | --- | --- |
|$   P   $|$\frac{4}{20}$|$\frac{12}{20}$|$\frac{4}{20}$|

$数学期望E(X)=0\times \frac{4}{20}+1\times \frac{12}{20}+2\times \frac{4}{20}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

![23ABJ5SX94](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876380963569665/img/compression/M_8571bc48337134a16532696eea6bf17a.jpg)
从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量质量，6条鱼的质量情况如表：

| 质量范围(单位：kg) | [0.5,1.5) | [1.5,2.5) | [2.5,3.5] |
| --- | --------- | --------- | ---------- |
| 条数                  | 1         | 3         | 2          |

为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中质量在[2.5,3.5]内的条数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

Solution:
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}^0_2\mathrm{C}^3_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}；$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^2_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{12}{20}；$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}^2_2\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_6}=\frac{4}{20}.$
所以X的分布列为

|   X   | 0 | 1 | 2 |
| ----- | --- | --- | --- |
|$   P   $|$\frac{4}{20}$|$\frac{12}{20}$|$\frac{4}{20}$|

$数学期望E(X)=0\times \frac{4}{20}+1\times \frac{12}{20}+2\times \frac{4}{20}=1.$

Final answer: $X的分布列为$

| X         | 0              | 1               | 2              |
| --------- | -------------- | --------------- | -------------- |
| $   P   $ | $\frac{4}{20}$ | $\frac{12}{20}$ | $\frac{4}{20}$ |

$数学期望E(X)=0\times \frac{4}{20}+1\times \frac{12}{20}+2\times \frac{4}{20}=1，$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知表1和表2是某年部分日期天安门广场升旗时刻表. 

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- |
| 1月1日 | 7:36 | 7月9日 | 4:53 |
| 1月21日 | 7:31 | 7月27日 | 5:07 |
| 2月10日 | 7:14 | 8月14日 | 5:24 |
| 3月2日 | 6:47 | 9月2日 | 5:42 |
| 3月22日 | 6:16 | 9月20日 | 5:59 |
| 4月9日 | 5:46 | 10月8日 | 6:17 |
| 4月28日 | 5:19 | 10月26日 | 6:36 |
| 5月16日 | 4:59 | 11月13日 | 6:56 |
| 6月3日 | 4:47 | 12月1日 | 7:16 |
| 6月22日 | 4:46 | 12月20日 | 7:31 |

表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |
| 2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
| 2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
| 2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
| 2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
| 2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |

$甲，乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立.记X为这两个人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X的数学期望E(X)；$

Solution:
X的可能取值为0,1,2.

记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这天的升旗时刻早于7:00”，则P(B)=\(\frac{5}{15}\)=\(\frac{1}{3}\)，P(\(\overline{B}\))=1-P(B)=1-\(\frac{1}{3}\)=\(\frac{2}{3}\).

$所以P(X=0)=P(\overline{B})\cdot P(\overline{B})=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}，$

$P(X=1)=C^1_2\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}，$

$P(X=2)=P(B)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

所以iX的分布列为: 

|$iX$|0|1|2|
|---|---|---|---|
|$P$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{1}{9}$|

$E(X)=0\times \frac{4}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{1}{9}=\frac{2}{3}.$



Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知表1和表2是某年部分日期天安门广场升旗时刻表. 

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- |
| 1月1日 | 7:36 | 7月9日 | 4:53 |
| 1月21日 | 7:31 | 7月27日 | 5:07 |
| 2月10日 | 7:14 | 8月14日 | 5:24 |
| 3月2日 | 6:47 | 9月2日 | 5:42 |
| 3月22日 | 6:16 | 9月20日 | 5:59 |
| 4月9日 | 5:46 | 10月8日 | 6:17 |
| 4月28日 | 5:19 | 10月26日 | 6:36 |
| 5月16日 | 4:59 | 11月13日 | 6:56 |
| 6月3日 | 4:47 | 12月1日 | 7:16 |
| 6月22日 | 4:46 | 12月20日 | 7:31 |

表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表

| 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 | 日期 | 升旗时刻 |
| --- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |
| 2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
| 2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
| 2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
| 2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
| 2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
$甲，乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立.记X为这两个人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；$

Solution:
X的可能取值为0,1,2.

记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这天的升旗时刻早于7:00”，则P(B)=\(\frac{5}{15}\)=\(\frac{1}{3}\)，P(\(\overline{B}\))=1-P(B)=1-\(\frac{1}{3}\)=\(\frac{2}{3}\).

$所以P(X=0)=P(\overline{B})\cdot P(\overline{B})=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}，$

$P(X=1)=C^1_2\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}，$

$P(X=2)=P(B)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

所以iX的分布列为: 

|$iX$|0|1|2|
|---|---|---|---|
|$P$|$\frac{4}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{1}{9}$|

$E(X)=0\times \frac{4}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{1}{9}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $X的分布列为: $

| $iX$ | 0             | 1             | 2             |
| ---- | ------------- | ------------- | ------------- |
| $P$  | $\frac{4}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |

$E(X)=\frac{2}{3}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 防洪工程对防洪减灪起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日)水库的蓄水量数据如下：

| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 蓄水量<br>(亿立方米)| 11.25 | 13.25 | 13.58 | 17.4 | 12.4 |12.1 |18.3 |26.5 |34.3 | 34.1|
由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.(结论不要求证明)

Solution:
从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.

Final answer: 从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某学校高中三个年级共有300名学生,为调查他们的课后学习时间情况,通过分层随机抽样获得了20名学生一周的课后学习时间,数据如下表(单位：小时):

|       |     |     |     |     |     |     |     |     |
|-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| 高一年级  | 7   | 7.5 | 8   | 8.5 | 9   |     |     |     |
| 高二年级  | 7   | 8   | 9   | 10  | 11  | 12  | 13  |     |
| 高三年级  | 6   | 6.5 | 7   | 8.5 | 11  | 13.5| 17  | 18.5|
$再从高中三个年级中各随机抽取一名学生,他们该周的课后学习时间分别是8,9,10(单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为x_1,表格中的数据平均数记为x_0,试判断x_0与x_1的大小.(结论不要求证明)$

Solution:
$\overline{x}_{\text{高一}} = \frac{7+7.5+8+8.5+9}{5} = 8$

$\overline{x}_{\text{高二}} = \frac{7+8+9+10+11+12+13}{7} = 10$

$\overline{x}_{\text{高三}} = \frac{6+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18.5}{8} = 11$

$所以 \overline{x}_{0} = \frac{5 \times 8+7 \times 10+8 \times 11}{20} = 9.9，新加入的三个数据8，9，10的平均数为9，比 \overline{x}_{0} 小，故拉低了平均值，所以 \overline{x}_{1} < \overline{x}_{0}。$

Final answer: $\overline{x}_{1} < \overline{x}_{0}$
Subfield: Polar Coordinates and Parametric Equations


Question: $在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$
$$
\left\{
\begin{matrix}
x=2-t-t^2,\\ 
y=2-3t+t^2
\end{matrix}
\right.
$$
$(t为参数且t\neq 1)，C与坐标轴交于A，B两点.$
$以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.$

Solution:
$由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为\frac{x}{-4}+\frac{y}{12}=1，将x=\rho cos \theta ,y=\rho sin \theta 代入，得直线AB的极坐标方程为3\rho cos \theta -\rho sin \theta +12=0.$

Final answer: $3\rho cos \theta -\rho sin \theta +12=0$
Subfield: Sequence


Question: $等差数列{a_n}中，a_3+a_4=4，a_5+a_7=6.$
$求a_n的通项公式；$

Solution:
$设数列a_n的公差为d，$
由题意有
$$
\left\{
\begin{matrix}
2a_1+5d=4,\\ 
a_1+5d=3,
\end{matrix}
\right.
$$
解得
$$
\left\{
\begin{matrix}
a_1=1,\\ 
d=\frac{2}{5}.
\end{matrix}
\right.
$$



$所以a_n的通项公式为a_n=\frac{2n+3}{5}.$

Final answer: $a_n=\frac{2n+3}{5}$
Subfield: Sequence


Question: $已知a_n为等差数列，b_n为等比数列，a_1=b_1=1，a_5=5(a_4-a_3)，b_5=4(b_4-b_3)。$
$求a_n和b_n的通项公式；$

Solution:
$设等差数列a_n的公差为d，等比数列b_n的公比为q.由a_1=1，a_5=5(a_4-a_3)，可得d=1，从而a_n的通项公式为a_n=n.由b_1=1，b_5=4(b_4-b_3)，又q\neq 0，可得q^2-4q+4=0，解得q=2，从而b_n的通项公式为b_n=2^{n-1}.$

Final answer: $a_n=n, b_n=2^{n-1}$