di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，PD\perp 底面ABCD，CD\parallel AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=\sqrt{3}.$

<img_2588>
$求PD与平面PAB所成的角的正弦值.$

Solution:
$由(1)知BD\perp 平面PAD，AD\perp PD，$
$\therefore DA，DB，DP两两垂直.$
$以D为原点，分别以\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DP}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，$

<img_2654>
$则D(0，0，0)，P(0，0，\sqrt{3})，A(1，0，0)，B(0，\sqrt{3}，0)，$
$\therefore \overrightarrow{DP}=(0，0，\sqrt{3})，\overrightarrow{PA}=(1，0，-\sqrt{3})，\overrightarrow{AB}=(-1，\sqrt{3}，0)$

<img_2586>
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{matrix}\right.$
即
$\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{3}z=0,\\ -x+\sqrt{3}y=0.\end{matrix}\right.$

$令x=\sqrt{3}，则y=1,z=1，$
$\therefore 平面PAB的一个法向量为n=(\sqrt{3},1,1).$
$设直线PD与平面PAB所成的角为\theta ，$
$则 sin \theta =|cos\langle \overrightarrow{DP},n\rangle |= \frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DP}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}. $

$故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}. $

Final answer: \frac{\sqrt{5}}{5}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的体积为4，\triangle A_1BC的面积为2  \sqrt{2} .$
<img_68>
$求A到平面A_1BC的距离；$

Solution:
$设 A 到平面 A_1BC 的距离为 d. 因为 V_{A_1-ABC}=V_{A-A_1BC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BC}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot V_{ABC-A_1B_1C_1}=\frac{4}{3}, S_{\triangle A_1BC}=2\sqrt{2}, 所以 d=\frac{3\times \frac{4}{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的体积为4，\triangle A_1BC的面积为2  \sqrt{2} .$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268058781945857/img/compression/M_efb4efe5c251c2ff4685e574363344a8.jpg)
$求A到平面A_1BC的距离；$

Solution:
$设 A 到平面 A_1BC 的距离为 d. 因为 V_{A_1-ABC}=V_{A-A_1BC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BC}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot V_{ABC-A_1B_1C_1}=\frac{4}{3}, S_{\triangle A_1BC}=2\sqrt{2}, 所以 d=\frac{3\times \frac{4}{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

Final answer: $\sqrt{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的体积为4，\triangle A_1BC的面积为2  \sqrt{2} .$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268058781945857/img/compression/M_efb4efe5c251c2ff4685e574363344a8.jpg)
$设D为A_1C的中点，AA_1=AB，平面A_1BC\perp 平面ABB_1A_1，求二面角A-BD-C的正弦值.$

Solution:
$如图，取A_1B的中点E，连接AE.  $
$因为AA_1=AB，所以AE\perp A_1B，又因为平面A_1BC\perp 平面ABBA_1A_1，平面A_1BC\cap 平面ABBA_1A_1=A_1B，AE\subset 平面ABBA_1A_1，所以AE\perp 平面A_1BC.  $
$又BC\subset 平面A_1BC，所以AE\perp BC.  $
$由直三棱柱ABC-A_1B_1C_1得AA_1\perp 平面ABC，  $
$又BC\subset 平面ABC，所以AA_1\perp BC，又AA_1\cap AE=A，AA_1,AE\subset 平面ABBA_1A_1，所以BC\perp 平面ABBA_1A_1，  $
$又AB\subset 平面ABBA_1A_1，所以BC\perp AB.  $
$由(1)知AE=d=\sqrt{2}，所以AB=AA_1=2,A_1B=2\sqrt{2}，  $
$又因为\triangle A_1BC的面积为2\sqrt{2}，所以BC=2.  $
$以B为坐标原点，向量\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BB_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系B-xyz，  $
$则C(2,0,0),A(0,2,0),A_1(0,2,2)，D(1,1,1),B(0,0,0)，则\overrightarrow{BC}=(2,0,0),\overrightarrow{BA}=(0,2,0),\overrightarrow{BD}=(1,1,1).  $
![answer](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268059125878786/img/compression/M_fd5414f13a4cc0cfa70de34472145380.jpg)  
设平面ABD的法向量为 n_1=(x_1,y_1,z_1)，  
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{BA}=0,\\ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_1=0,\\ x_1+y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.  $
令x_1=1，得z_1=-1，所以 n_1=(1,0,-1).  
设平面BCD的法向量为 n_2=(x_2,y_2,z_2)，  
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2=0,\\ x_2+y_2+z_2=0,\end{matrix}\right.  $
令y_2=1，得z_2=-1，所以 n_2=(0,1,-1).  
$所以cos\langle n_1,n_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{1}{2}，  $
$又sin\langle n_1, n_2\rangle >0,所以sin\langle n_1, n_2\rangle =\frac{\sqrt{3}}{2}.  $
$所以二面角A-BD-C的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的体积为4，\triangle A_1BC的面积为2  \sqrt{2} .$
<img_68>
$设D为A_1C的中点，AA_1=AB，平面A_1BC\perp 平面ABB_1A_1，求二面角A-BD-C的正弦值.$

Solution:
$如图，取A_1B的中点E，连接AE.  $
$因为AA_1=AB，所以AE\perp A_1B，又因为平面A_1BC\perp 平面ABBA_1A_1，平面A_1BC\cap 平面ABBA_1A_1=A_1B，AE\subset 平面ABBA_1A_1，所以AE\perp 平面A_1BC.  $
$又BC\subset 平面A_1BC，所以AE\perp BC.  $
$由直三棱柱ABC-A_1B_1C_1得AA_1\perp 平面ABC，  $
$又BC\subset 平面ABC，所以AA_1\perp BC，又AA_1\cap AE=A，AA_1,AE\subset 平面ABBA_1A_1，所以BC\perp 平面ABBA_1A_1，  $
$又AB\subset 平面ABBA_1A_1，所以BC\perp AB.  $
$由(1)知AE=d=\sqrt{2}，所以AB=AA_1=2,A_1B=2\sqrt{2}，  $
$又因为\triangle A_1BC的面积为2\sqrt{2}，所以BC=2.  $
$以B为坐标原点，向量\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BB_1}的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系B-xyz，  $
$则C(2,0,0),A(0,2,0),A_1(0,2,2)，D(1,1,1),B(0,0,0)，则\overrightarrow{BC}=(2,0,0),\overrightarrow{BA}=(0,2,0),\overrightarrow{BD}=(1,1,1).  $
<img_315>  
设平面ABD的法向量为 n_1=(x_1,y_1,z_1)，  
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{BA}=0,\\ \boldsymbol{n}_1\cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2y_1=0,\\ x_1+y_1+z_1=0,\end{matrix}\right.  $
令x_1=1，得z_1=-1，所以 n_1=(1,0,-1).  
设平面BCD的法向量为 n_2=(x_2,y_2,z_2)，  
$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0,\\ \boldsymbol{n}_2\cdot \overrightarrow{BD}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2=0,\\ x_2+y_2+z_2=0,\end{matrix}\right.  $
令y_2=1，得z_2=-1，所以 n_2=(0,1,-1).  
$所以cos\langle n_1,n_2\rangle =\frac{\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{1}{2}，  $
$又sin\langle n_1, n_2\rangle >0,所以sin\langle n_1, n_2\rangle =\frac{\sqrt{3}}{2}.  $
$所以二面角A-BD-C的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中,PA\perp 平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=\sqrt{3}.$
<img_1724>
$求二面角A-PC-B的大小.$

Solution:
以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

<img_2072>

$则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以\overrightarrow{AP}=(0，0，1)，\overrightarrow{AC}=(1,-1,0),\overrightarrow{PC}=(1,-1,-1),\overrightarrow{BC}=(1，0，0)$

设平面PAC的法向量为m=(x_1,y_1,z_1), 

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AP}=z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=x_1-y_1=0,\end{matrix}\right. $

令y_1=1,则m=(1,1,0),

设平面PBC的法向量为n=(x_2,y_2,z_2), 

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=x_2-y_2-z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BC}=x_2=0,\end{matrix}\right. $

令z_2=-1,则n=(0,1,-1),

$所以cos\langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2} $

又因为二面角 A-PC-B为锐二面角，

$所以二面角 A-PC-B的大小为 \frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱锥P-ABC中,PA\perp 平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=\sqrt{3}.$
![24GZT5SX70.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061034287105/img/compression/M_07de336452ec87a3337bf6049a4f43b0.jpg)
$求二面角A-PC-B的大小.$

Solution:
以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061290139649/img/compression/M_b05789b52e592d0c88a7c825812c136a.jpg)

$则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以\overrightarrow{AP}=(0，0，1)，\overrightarrow{AC}=(1,-1,0),\overrightarrow{PC}=(1,-1,-1),\overrightarrow{BC}=(1，0，0)$

设平面PAC的法向量为m=(x_1,y_1,z_1), 

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AP}=z_1=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AC}=x_1-y_1=0,\end{matrix}\right. $

令y_1=1,则m=(1,1,0),

设平面PBC的法向量为n=(x_2,y_2,z_2), 

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PC}=x_2-y_2-z_2=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{BC}=x_2=0,\end{matrix}\right. $

令z_2=-1,则n=(0,1,-1),

$所以cos\langle m,n\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2} $

又因为二面角 A-PC-B为锐二面角，

$所以二面角 A-PC-B的大小为 \frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，AD \perp CD，AD \parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$

<img_3107>
求二面角F-AE-P的余弦值；

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.$

$因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.$

$如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).$

<img_2181>
 $因为E为PD的中点，所以E(0，1，1).$

$所以 \overrightarrow{AE} =(0，1，1) .又 \overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，$

$所以 \overrightarrow{PF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{PC} = (\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}), \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}).$

$设平面AEF的法向量为  \boldsymbol{n} = (x, y, z)，$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right. 即 $
$\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0.\end{matrix}\right..$

$令 z = 1，则 y = -1, x = -1. 于是  \boldsymbol{n} = (-1,-1,1).$

$又因为平面PAD的一个法向量为  \boldsymbol{p}=(1,0,0),$

$所以 cos\langle  \boldsymbol{n}, \boldsymbol{p} \rangle = \frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|} = -\frac{\sqrt{3}}{3} .$

$由题知，二面角 F-AE-P 为锐二面角，所以其余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，PA \perp平面ABCD，AD \perp CD，AD \parallel BC，PA=AD=CD=2，BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268061596323843/img/compression/M_0522d0e632ccd528c7d3c89dc35fccff.jpg)
求二面角F-AE-P的余弦值；

Solution:
$过A作AD的垂线交BC于点M.$

$因为PA\perp 平面ABCD，所以PA\perp AM，PA\perp AD.$

$如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268062003171329/img/compression/M_b8bc816d9fc90e37133f93e29c655fce.jpg)
 $因为E为PD的中点，所以E(0，1，1).$

$所以 \overrightarrow{AE} =(0，1，1) .又 \overrightarrow{PC}=(2，2，-2)，\overrightarrow{AP}=(0，0，2)，$

$所以 \overrightarrow{PF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{PC} = (\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}), \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}).$

$设平面AEF的法向量为  \boldsymbol{n} = (x, y, z)，$

$则 \left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{E}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot A\overrightarrow{F}=0,\end{matrix}\right. 即 $
$\left\{\begin{matrix}y+z=0,\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0.\end{matrix}\right..$

$令 z = 1，则 y = -1, x = -1. 于是  \boldsymbol{n} = (-1,-1,1).$

$又因为平面PAD的一个法向量为  \boldsymbol{p}=(1,0,0),$

$所以 cos\langle  \boldsymbol{n}, \boldsymbol{p} \rangle = \frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|} = -\frac{\sqrt{3}}{3} .$

$由题知，二面角 F-AE-P 为锐二面角，所以其余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

<img_1527>
求二面角B- PD - A 的大小；

Solution:
$取AD的中点O，连接OP，OE.$
$因为PA=PD，所以OP\perp AD.$
$又因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD,OP\subset 平面PAD，$
$所以OP\perp 平面ABCD.$
$因为OE\subset 平面ABCD，所以OP\perp OE.$
$因为四边形ABCD是正方形，所以OE\perp AD.$
<img_2674>
$如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，\sqrt{2})，D(2，0，0)，B(-2，4，0)，则\overrightarrow{BD}=(4，-4，0)，\overrightarrow{PD}=(2，0，-\sqrt{2}).$
$设平面BDP的法向量为\boldsymbol{n}(x,y,z)，$
则
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{D}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot P\overrightarrow{D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4x-4y=0,\\ 2x-\sqrt{2}z=0.\end{matrix}\right.$

$令x=1，则y=1,z=\sqrt{2}.于是\boldsymbol{n}(1,1,\sqrt{2}).$
$平面PAD的一个法向量为\boldsymbol{p}(0,1,0).$
$所以cos\langle \boldsymbol{n},\boldsymbol{p}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=\frac{1}{2}.$
由题意知二面角B-PD-A为锐二面角，
$所以它的大小为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
求二面角B- PD - A 的大小；

Solution:
$取AD的中点O，连接OP，OE.$
$因为PA=PD，所以OP\perp AD.$
$又因为平面PAD\perp 平面ABCD，且平面PAD\cap 平面ABCD=AD,OP\subset 平面PAD，$
$所以OP\perp 平面ABCD.$
$因为OE\subset 平面ABCD，所以OP\perp OE.$
$因为四边形ABCD是正方形，所以OE\perp AD.$
![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070496636931/img/compression/M_30dd0476071e7c3165432afd7c1a4754.jpg)
$如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，\sqrt{2})，D(2，0，0)，B(-2，4，0)，则\overrightarrow{BD}=(4，-4，0)，\overrightarrow{PD}=(2，0，-\sqrt{2}).$
$设平面BDP的法向量为\boldsymbol{n}(x,y,z)，$
则
$\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n}\cdot B\overrightarrow{D}=0,\\ \boldsymbol{n}\cdot P\overrightarrow{D}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}4x-4y=0,\\ 2x-\sqrt{2}z=0.\end{matrix}\right.$

$令x=1，则y=1,z=\sqrt{2}.于是\boldsymbol{n}(1,1,\sqrt{2}).$
$平面PAD的一个法向量为\boldsymbol{p}(0,1,0).$
$所以cos\langle \boldsymbol{n},\boldsymbol{p}\rangle =\frac{\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{p}}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{p}|}=\frac{1}{2}.$
由题意知二面角B-PD-A为锐二面角，
$所以它的大小为\frac{\pi }{3}.$

Final answer: $\frac{\pi }{3}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268066646265858/img/compression/M_578f8a913a3f4ff685b939a51475647d.jpg)
$求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意知M\left(-1,2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，C(2，4，0)，\overrightarrow{MC}=\left(3,2,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设直线MC与平面BDP所成角为\alpha ，则sin \alpha =|cos\langle n,\overrightarrow{MC}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot M\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||M\overrightarrow{C}|}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{6}}{9}. $

方法总结
$1.在求二面角时，通常用空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量n_1,n_2，设二面角的大小为\theta ，则有|cos \theta |=|cos\langle n_1,n_2\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}.再通过图形判断二面角是钝二面角还是锐二面角，进而求出二面角.$
$2.用向量法求直线与平面所成的角的方法：设直线的方向向量为e，平面的法向量为n，则直线与平面所成的角\theta 满足sin \theta = \left|\frac{\boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{e}||\boldsymbol{n}|}\right|, \theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right].$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD\perp 平面ABCD，点M在线段PB上，PD\parallel 平面MAC，PA = PD = \sqrt{6}，AB = 4.$

<img_1527>
$求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.$

Solution:
$由题意知M\left(-1,2,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，C(2，4，0)，\overrightarrow{MC}=\left(3,2,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).设直线MC与平面BDP所成角为\alpha ，则sin \alpha =|cos\langle n,\overrightarrow{MC}\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}\cdot M\overrightarrow{C}|}{|\boldsymbol{n}||M\overrightarrow{C}|}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\frac{2\sqrt{6}}{9}. $

方法总结
$1.在求二面角时，通常用空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量n_1,n_2，设二面角的大小为\theta ，则有|cos \theta |=|cos\langle n_1,n_2\rangle |= \frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}.再通过图形判断二面角是钝二面角还是锐二面角，进而求出二面角.$
$2.用向量法求直线与平面所成的角的方法：设直线的方向向量为e，平面的法向量为n，则直线与平面所成的角\theta 满足sin \theta = \left|\frac{\boldsymbol{e}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{e}||\boldsymbol{n}|}\right|, \theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right].$

Final answer: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
<img_2557>
求二面角B-CD-C_1的余弦值；

Solution:
$由(1)知，EF \perp AC，AC \perp BE，EF \perp EB，  $
$\therefore 以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$
<img_2954>
$则有B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(1，0，1)，C_1(-1，0，2)，$
$\therefore \overrightarrow{BC}=(-1，-2，0)，\overrightarrow{CD}=(2，0，1).$
$设平面BCD的法向量为\mathbf{n}=(x，y，z)，  $
$\therefore \{\overrightarrow{BC} \cdot \mathbf{n}=0,\overrightarrow{CD} \cdot \mathbf{n}=0,\}即\{-x-2y=0,2x+z=0,\}可取\mathbf{n}=(2，-1，-4).$
$易知平面CDC_1的一个法向量为\mathbf{m}=(0，1，0)，  $
$\therefore cos\langle \mathbf{m},\mathbf{n} \rangle = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{| \mathbf{m} | \cdot | \mathbf{n} |} = \frac{-1}{\sqrt{1} \times \sqrt{21}} = -\frac{\sqrt{21}}{21}，  $
$由图可知，二面角B-CD-C_1的平面角为钝角，  $
$\therefore 二面角B-CD-C_1的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1\perp 平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC= \sqrt{5}，AC=AA1=2.$
![19GZTLSX19.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268070920261634/img/compression/M_d7c75b218da9b93e06231d2eed054925.jpg)
求二面角B-CD-C_1的余弦值；

Solution:
$由(1)知，EF \perp AC，AC \perp BE，EF \perp EB，  $
$\therefore 以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$
![19GZTLSX50答案教师.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268071297748994/img/compression/M_79dd81cd017a2a149f5b016414e0facb.jpg)
$则有B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(1，0，1)，C_1(-1，0，2)，$
$\therefore \overrightarrow{BC}=(-1，-2，0)，\overrightarrow{CD}=(2，0，1).$
$设平面BCD的法向量为\mathbf{n}=(x，y，z)，  $
$\therefore \{\overrightarrow{BC} \cdot \mathbf{n}=0,\overrightarrow{CD} \cdot \mathbf{n}=0,\}即\{-x-2y=0,2x+z=0,\}可取\mathbf{n}=(2，-1，-4).$
$易知平面CDC_1的一个法向量为\mathbf{m}=(0，1，0)，  $
$\therefore cos\langle \mathbf{m},\mathbf{n} \rangle = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{| \mathbf{m} | \cdot | \mathbf{n} |} = \frac{-1}{\sqrt{1} \times \sqrt{21}} = -\frac{\sqrt{21}}{21}，  $
$由图可知，二面角B-CD-C_1的平面角为钝角，  $
$\therefore 二面角B-CD-C_1的余弦值为-\frac{\sqrt{21}}{21}.$

Final answer: $-\frac{\sqrt{21}}{21}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268071788482563/img/compression/M_8301c926f88e061e4b3a9257f2467ddf.jpg)
$求二面角A_1-BC_1-B_1的余弦值；$

Solution:
$由(1)知 AA_1 \perp AC，AA_1 \perp AB.$

$由题知 AB = 3，BC = 5，AC= 4，所以AB \perp AC 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268072098861057/img/compression/M_0fbc93d0e5897888ee462ccf5584cc60.jpg)

$则B (0，3，0)，A_1 (0，0，4)，B_1 (0，3，4)，C_1 (4，0，4).$

$设平面 A_1BC_1 的法向量为 n= (x,y,z)，则$

$$
\left\{\begin{matrix}n \cdot \overrightarrow{A_1B}=0,\\ n \cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\end{matrix}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{matrix}3y-4z=0,\\ 4x=0.\end{matrix}\right.
$$

$令 z = 3，则 y = 4，所以 n = (0,4,3).$

$同理可得，平面 B_1BC_1 的一个法向量为 m = (3,4,0).$

$所以 cos\langle n, m\rangle  = $

$$
\frac{n \cdot m}{|n||m|}
$$

= 

$$
\frac{16}{25}
$$

$由题知二面角 A_1-BC_1-B_1 为锐角，$

$所以二面角 A_1-BC_1-B_1 的余弦值为 $

$$
\frac{16}{25}
$$

Final answer: $\frac{16}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
<img_63>
$求二面角A_1-BC_1-B_1的余弦值；$

Solution:
$由(1)知 AA_1 \perp AC，AA_1 \perp AB.$

$由题知 AB = 3，BC = 5，AC= 4，所以AB \perp AC 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，$

<img_45>

$则B (0，3，0)，A_1 (0，0，4)，B_1 (0，3，4)，C_1 (4，0，4).$

$设平面 A_1BC_1 的法向量为 n= (x,y,z)，则$

$$
\left\{\begin{matrix}n \cdot \overrightarrow{A_1B}=0,\\ n \cdot \overrightarrow{A_1C_1}=0,\end{matrix}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{matrix}3y-4z=0,\\ 4x=0.\end{matrix}\right.
$$

$令 z = 3，则 y = 4，所以 n = (0,4,3).$

$同理可得，平面 B_1BC_1 的一个法向量为 m = (3,4,0).$

$所以 cos\langle n, m\rangle  = $

$$
\frac{n \cdot m}{|n||m|}
$$

= 

$$
\frac{16}{25}
$$

$由题知二面角 A_1-BC_1-B_1 为锐角，$

$所以二面角 A_1-BC_1-B_1 的余弦值为 $

$$
\frac{16}{25}
$$

Final answer: $\frac{16}{25}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268071788482563/img/compression/M_8301c926f88e061e4b3a9257f2467ddf.jpg)
$证明：在线段BC_1上存在点D，使得AD\perp A_1B。并求\frac{BD}{BC_1}的值.$

Solution:
$设D(x,y,z)是直线BC_1上一点，且\overrightarrow{BD}=\lambda \overrightarrow{BC_1} (0\leq \lambda \leq 1).$
$所以(x, y-3, z)=\lambda (4,-3,4).$
$解得x=4\lambda , y=3-3\lambda , z=4\lambda .$
$所以\overrightarrow{AD}=(4\lambda ,3-3\lambda ,4\lambda ).$
$由\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{A_1B}=0，即9-25\lambda =0,解得\lambda =\frac{9}{25}.$
$因为\frac{9}{25}\in [0,1]，所以在线段BC_1上存在点D，使得AD\perp A_1B.此时，\frac{BD}{BC_1}=\lambda =\frac{9}{25}.$

Final answer: \frac{9}{25}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AA_1C_1C是边长为4的正方形，平面ABC\perp 平面AA_1C_1C，AB=3，BC=5.$
<img_63>
$证明：在线段BC_1上存在点D，使得AD\perp A_1B。并求\frac{BD}{BC_1}的值.$

Solution:
$设D(x,y,z)是直线BC_1上一点，且\overrightarrow{BD}=\lambda \overrightarrow{BC_1} (0\leq \lambda \leq 1).$
$所以(x, y-3, z)=\lambda (4,-3,4).$
$解得x=4\lambda , y=3-3\lambda , z=4\lambda .$
$所以\overrightarrow{AD}=(4\lambda ,3-3\lambda ,4\lambda ).$
$由\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{A_1B}=0，即9-25\lambda =0,解得\lambda =\frac{9}{25}.$
$因为\frac{9}{25}\in [0,1]，所以在线段BC_1上存在点D，使得AD\perp A_1B.此时，\frac{BD}{BC_1}=\lambda =\frac{9}{25}.$

Final answer: \frac{9}{25}
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2,B_2,C_2，D_2分别在棱AA_1,BB_1,CC_1,DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
![题目图片](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268072606371842/img/compression/M_b2fb22a9a4b6a7b1dd37c5e2deebef03.jpg)
$点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2D2为150^\circ 时，求B2P.$

Solution:
$\because 点P在棱BB1上，\therefore 设P(0，2，a)(0\leq a\leq 4)，$
$结合(1)可知\overrightarrow{A_2C_2}=(-2，-2，2)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),\overrightarrow{PA_2}=(2,0,1-a)，\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3-a).$
$设平面A2C2D2的法向量为n1=(x1,y1,z1),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot n_1=0,\\ \overrightarrow{A_2D_2}\cdot n_1=0 \end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x_1-2y_1+2z_1=0,\\ -2y_1+z_1=0, \end{matrix}\right.$
$令z1=2,则n1=(1,1,2).$
$设平面PA2C2的法向量为n2=(x2,y2,z2),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PA_2}\cdot n_2=0,\\ \overrightarrow{PC_2}\cdot n_2=0, \end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2+(1-a)z_2=0,\\ -2y_2+(3-a)z_2=0, \end{matrix}\right.$
$令 z2=2,则n2=(a-1,3-a,2),$
$又\because 二面角P-A2C2-D2为150^\circ ，$
$\therefore |cos 150^\circ |=|cos\langle n1,n2\rangle |=$
$\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\cdot |n_2|}=$
$\frac{|a-1+3-a+4|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{(a-1)^2+(3-a)^2+4}}=$
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2a^2-8a+14}},$
$即\frac{\sqrt{3}}{2}=$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-4a+7}},化简得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3,$
当a=1时，B2P=1;当a=3时，B2P=1.
综上，B2P=1.

Final answer: $B2P=1$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在正四棱柱ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=2，AA_1=4，点A_2,B_2,C_2，D_2分别在棱AA_1,BB_1,CC_1,DD_1上，AA_2=1，BB_2=DD_2=2，CC_2=3.$
<img_234>
$点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2D2为150^\circ 时，求B2P.$

Solution:
$\because 点P在棱BB1上，\therefore 设P(0，2，a)(0\leq a\leq 4)，$
$结合(1)可知\overrightarrow{A_2C_2}=(-2，-2，2)，\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1),\overrightarrow{PA_2}=(2,0,1-a)，\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3-a).$
$设平面A2C2D2的法向量为n1=(x1,y1,z1),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot n_1=0,\\ \overrightarrow{A_2D_2}\cdot n_1=0 \end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x_1-2y_1+2z_1=0,\\ -2y_1+z_1=0, \end{matrix}\right.$
$令z1=2,则n1=(1,1,2).$
$设平面PA2C2的法向量为n2=(x2,y2,z2),$
$则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PA_2}\cdot n_2=0,\\ \overrightarrow{PC_2}\cdot n_2=0, \end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}2x_2+(1-a)z_2=0,\\ -2y_2+(3-a)z_2=0, \end{matrix}\right.$
$令 z2=2,则n2=(a-1,3-a,2),$
$又\because 二面角P-A2C2-D2为150^\circ ，$
$\therefore |cos 150^\circ |=|cos\langle n1,n2\rangle |=$
$\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\cdot |n_2|}=$
$\frac{|a-1+3-a+4|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{(a-1)^2+(3-a)^2+4}}=$
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2a^2-8a+14}},$
$即\frac{\sqrt{3}}{2}=$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-4a+7}},化简得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3,$
当a=1时，B2P=1;当a=3时，B2P=1.
综上，B2P=1.

Final answer: $B2P=1$