di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB=AC=2，E是线段AD上一点.$<img_2499>
$设E为AD的中点，求证：BE\perp CD；$

Solution:
$证明：由题意知AB\perp AC.因为平面ABC\perp 平面ABD，平面ABC\cap 平面ABD=AB，所以AC\perp 平面ABD.因为BE\subset 平面ABD，所以AC\perp BE.因为\triangle ABD为等边三角形，E是AD的中点，所以AD\perp BE.因为AC\cap AD=A，所以BE\perp 平面ACD.因为CD\subset 平面ACD,所以BE\perp CD.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB=AC=2，E是线段AD上一点.$<img_2499>
$若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，求\frac{AE}{AD}的值.$

Solution:
$设\frac{AE}{AD}=\lambda ，\lambda \in [0,1].取AB的中点O，BC的中点F，连接OD，OF，则OD\perp AB，OF\parallel AC.由(1)知AC\perp 平面ABD，所以OF\perp 平面ABD，所以OF\perp AB，OF\perp OD.建立空间直角坐标系O-xyz如图，
$<img_2760>$则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(-1,2,0)，D(0,0,\sqrt{3}).所以\overrightarrow{BA}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，\overrightarrow{AD}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(1,-2,\sqrt{3})，\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\lambda \overrightarrow{AD}=(\lambda -2,0,\sqrt{3}\lambda ).设平面BCE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BE}=(\lambda -2)x+\sqrt{3}\lambda z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}\lambda ，得y=\sqrt{3}\lambda ，z=2-\lambda ,所以m=(\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,2-\lambda ).因为直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{CD},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{CD}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|2\sqrt{3}(1-\lambda )|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3\lambda ^2+3\lambda ^2+{(2-\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}，整理得8\lambda ^{2}-26\lambda +11=0，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{11}{4}.因为\lambda \in [0,1]，所以\lambda =\frac{1}{2}，即\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在平面互相垂直，AB=AC=2，E是线段AD上一点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268034375544835/img/compression/M_549f66340c6ba88b4f30e820fae38055.jpg)
$若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，求\frac{AE}{AD}的值.$

Solution:
$设\frac{AE}{AD}=\lambda ，\lambda \in [0,1].取AB的中点O，BC的中点F，连接OD，OF，则OD\perp AB，OF\parallel AC.由(1)知AC\perp 平面ABD，所以OF\perp 平面ABD，所以OF\perp AB，OF\perp OD.建立空间直角坐标系O-xyz如图，
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268034664951809/img/compression/M_17e870bbc5775acb6e6ed007cc898837.jpg)$则A(-1,0,0)，B(1,0,0)，C(-1,2,0)，D(0,0,\sqrt{3}).所以\overrightarrow{BA}=(-2,0,0)，\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)，\overrightarrow{AD}=(1,0,\sqrt{3})，\overrightarrow{CD}=(1,-2,\sqrt{3})，\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\lambda \overrightarrow{AD}=(\lambda -2,0,\sqrt{3}\lambda ).设平面BCE的法向量为m=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BC}=-2x+2y=0,\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{BE}=(\lambda -2)x+\sqrt{3}\lambda z=0,\end{matrix}\right.令x=\sqrt{3}\lambda ，得y=\sqrt{3}\lambda ，z=2-\lambda ,所以m=(\sqrt{3}\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,2-\lambda ).因为直线CD和平面BCE所成角的正弦值为\frac{\sqrt{10}}{10}，所以|\\cos  \langle \overrightarrow{CD},m\rangle |=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{CD}||\boldsymbol{m}|}=\frac{|2\sqrt{3}(1-\lambda )|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3\lambda ^2+3\lambda ^2+{(2-\lambda )}^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}，整理得8\lambda ^{2}-26\lambda +11=0，解得\lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{11}{4}.因为\lambda \in [0,1]，所以\lambda =\frac{1}{2}，即\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}.$

Final answer: $\frac{1}{2}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$<img_2467>
$证明：平面BED\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：因为AD=CD,E为AC的中点，所以DE\perp AC.因为\angle ADB=\angle BDC,AD=CD,BD=BD,所以\triangle ADB\cong \triangle CDB,所以AB=CB,又E为AC的中点，所以BE\perp AC.又DE,BE\subset 平面BED,且DE\cap BE=E,所以AC\perp 平面BED,又AC\subset 平面ACD,所以平面ACD\perp 平面BED.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268075433332738/img/compression/M_c9b4b059a249c6edf1e2d0e1b4e0b200.jpg)
$证明：平面BED\perp 平面ACD；$

Solution:
$证明：因为AD=CD,E为AC的中点，所以DE\perp AC.因为\angle ADB=\angle BDC,AD=CD,BD=BD,所以\triangle ADB\cong \triangle CDB,所以AB=CB,又E为AC的中点，所以BE\perp AC.又DE,BE\subset 平面BED,且DE\cap BE=E,所以AC\perp 平面BED,又AC\subset 平面ACD,所以平面ACD\perp 平面BED.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$<img_2467>
$设AB=BD=2，\angle ACB=60^\circ ，点F在BD上，当\triangle AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.$

Solution:
$由题意及(1)知AB=BC=2,又\angle ACB=60^\circ ,所以AC=2,BE=\sqrt{3}.因为AD\perp DC,E为AC的中点，所以DE=1.所以DE^{2}+BE^{2}=BD^{2},则DE\perp BE.连接EF,因为AC\perp 平面BED,EF\subset 平面BED,所以AC\perp EF,所以S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}AC\cdot EF=EF.当EF\perp BD时，EF最小，即\triangle AFC的面积最小，此时EF=\frac{\sqrt{3}}{2}.如图，以E为坐标原点，\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EB},\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系E-xyz,
$<img_1898>$则C(-1,0,0),A(1,0,0),B(0,\sqrt{3},0),D(0,0,1),F\left(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right),所以\overrightarrow{AD}=(-1,0,1),\overrightarrow{BD}=(0,-\sqrt{3},1),\overrightarrow{CF}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ -\sqrt{3}y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1,得n=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}).设CF与平面ABD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{CF}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CF}|}=\frac{4\sqrt{3}}{7}，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，四面体ABCD中，AD\perp CD，AD=CD，\angle ADB=\angle BDC，E为AC的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268075433332738/img/compression/M_c9b4b059a249c6edf1e2d0e1b4e0b200.jpg)
$设AB=BD=2，\angle ACB=60^\circ ，点F在BD上，当\triangle AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.$

Solution:
$由题意及(1)知AB=BC=2,又\angle ACB=60^\circ ,所以AC=2,BE=\sqrt{3}.因为AD\perp DC,E为AC的中点，所以DE=1.所以DE^{2}+BE^{2}=BD^{2},则DE\perp BE.连接EF,因为AC\perp 平面BED,EF\subset 平面BED,所以AC\perp EF,所以S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}AC\cdot EF=EF.当EF\perp BD时，EF最小，即\triangle AFC的面积最小，此时EF=\frac{\sqrt{3}}{2}.如图，以E为坐标原点，\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EB},\overrightarrow{ED}的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系E-xyz,
$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1716268075731128321/img/compression/M_71555b95d41b62ef90a2d228416db172.jpg)$则C(-1,0,0),A(1,0,0),B(0,\sqrt{3},0),D(0,0,1),F\left(0,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right),所以\overrightarrow{AD}=(-1,0,1),\overrightarrow{BD}=(0,-\sqrt{3},1),\overrightarrow{CF}=\left(1,\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x+z=0,\\ -\sqrt{3}y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1,得n=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}).设CF与平面ABD所成的角为\theta ，则\\sin   \theta =|\\cos  \langle n,\overrightarrow{CF}\rangle |=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{CF}|}=\frac{4\sqrt{3}}{7}，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为\frac{4\sqrt{3}}{7}.$

Final answer: $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$<img_2493>
$求证:AC\parallel 平面BEF;$

Solution:
$证明:设AC\cap BD=O，取BE的中点G，连接FG,OG，\therefore OG\parallel DE，且OG=\frac{1}{2}DE.\because AF\parallel DE，DE=2AF，\therefore AF\parallel OG，且OG=AF，\therefore 四边形AFGO是平行四边形，\therefore FG\parallel OA，又FG\subset 平面BEF,AO\not\subset 平面BEF,\therefore AO\parallel 平面BEF,即AC\parallel 平面BEF.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760593384902658/img/compression/M_d4716be148f30b38b6c098602c53e76d.jpg)
$求证:AC\parallel 平面BEF;$

Solution:
$证明:设AC\cap BD=O，取BE的中点G，连接FG,OG，\therefore OG\parallel DE，且OG=\frac{1}{2}DE.\because AF\parallel DE，DE=2AF，\therefore AF\parallel OG，且OG=AF，\therefore 四边形AFGO是平行四边形，\therefore FG\parallel OA，又FG\subset 平面BEF,AO\not\subset 平面BEF,\therefore AO\parallel 平面BEF,即AC\parallel 平面BEF.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760593384902658/img/compression/M_d4716be148f30b38b6c098602c53e76d.jpg)
$求二面角A-FD-B的正切值;$

Solution:
$\because 平面ABCD\perp 平面ADEF，平面ABCD\cap 平面ADEF=AD，DE\perp AD,DE\subset 平面ADEF,\therefore DE\perp 平面ABCD，又AD\subset 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore DE\perp AD，DE\perp CD，又AD\perp CD，\therefore 以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x,y，z轴，建立空间直角坐标系，\because DE=DA=2AF=2，\therefore B(2,2,0),E(0，0,2),F(2,0，1)，D(0,0,0),\therefore \overrightarrow{BF}=(0,-2,1)，\overrightarrow{BD}=(-2，-2，0).设平面BDF的法向量为m=(a，b，c)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2b+c=0,\\ -2a-2b=0,\end{matrix}\right.令b=1，\therefore m=(-1,1,2),易知平面ADF的一个法向量为m_{1}=(0,1,0),\\cos  \langle m,m_{1}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{m}_1}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{m}_1|}=\frac{1}{\sqrt{6}\times 1}=\frac{\sqrt{6}}{6}，\therefore 二面角A-FD-B的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}，\therefore 其正切值为\sqrt{5}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760593682698241/img/compression/M_8f71c012f21089137d4797bbe04cdffc.jpg)

Final answer: $\sqrt 5$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$<img_2493>
$求二面角A-FD-B的正切值;$

Solution:
$\because 平面ABCD\perp 平面ADEF，平面ABCD\cap 平面ADEF=AD，DE\perp AD,DE\subset 平面ADEF,\therefore DE\perp 平面ABCD，又AD\subset 平面ABCD，CD\subset 平面ABCD，\therefore DE\perp AD，DE\perp CD，又AD\perp CD，\therefore 以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x,y，z轴，建立空间直角坐标系，\because DE=DA=2AF=2，\therefore B(2,2,0),E(0，0,2),F(2,0，1)，D(0,0,0),\therefore \overrightarrow{BF}=(0,-2,1)，\overrightarrow{BD}=(-2，-2，0).设平面BDF的法向量为m=(a，b，c)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2b+c=0,\\ -2a-2b=0,\end{matrix}\right.令b=1，\therefore m=(-1,1,2),易知平面ADF的一个法向量为m_{1}=(0,1,0),\\cos  \langle m,m_{1}\rangle =\frac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{m}_1}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{m}_1|}=\frac{1}{\sqrt{6}\times 1}=\frac{\sqrt{6}}{6}，\therefore 二面角A-FD-B的余弦值为\frac{\sqrt{6}}{6}，\therefore 其正切值为\sqrt{5}.$<img_1568>

Final answer: $\sqrt 5$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760593384902658/img/compression/M_d4716be148f30b38b6c098602c53e76d.jpg)
$求点D到平面BEF的距离.$

Solution:
$由(2)得\overrightarrow{BE}=(-2，-2，2)，设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x-2y+2z=0,\\ -2y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1，则n=(1,1,2),\therefore 点D到平面BEF的距离d=\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 6}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，\angle ADE=90^\circ ，AF\parallel DE，DE=DA=2AF=2.$<img_2493>
$求点D到平面BEF的距离.$

Solution:
$由(2)得\overrightarrow{BE}=(-2，-2，2)，设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{BE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-2x-2y+2z=0,\\ -2y+z=0,\end{matrix}\right.令y=1，则n=(1,1,2),\therefore 点D到平面BEF的距离d=\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt 6}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760642776649730/img/compression/M_a02ac7b7b481ca28451e1ac71ca4974e.jpg)
$求证:EF\parallel 平面PADQ;$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD为正方形，且PA\perp 平面ABCD,所以AP,AB,AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760642407550978/img/compression/M_6c974fa02c9b1fbc2058a2898274de37.jpg)$
(1分)
则P(0,0,3)，C(3,3,0),Q(0,3,1)，B(3,0,0),E\left(\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}\right)，F\left(\frac{3}{2},3,\frac{1}{2}\right)，
(3分)
所以\overrightarrow{EF}=(0,3,-1)，易知平面PADQ的一个法向量为a=(1,0,0)，因为a\cdot \overrightarrow{EF}=0，所以\overrightarrow{EF}\perp a,
(4分)
又因为EF\not\subset 平面PADQ,所以EF\parallel 平面PADQ.
(5分)$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$<img_2729>
$求证:EF\parallel 平面PADQ;$

Solution:
$证明：因为四边形ABCD为正方形，且PA\perp 平面ABCD,所以AP,AB,AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，$<img_2758>$
(1分)
则P(0,0,3)，C(3,3,0),Q(0,3,1)，B(3,0,0),E\left(\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}\right)，F\left(\frac{3}{2},3,\frac{1}{2}\right)，
(3分)
所以\overrightarrow{EF}=(0,3,-1)，易知平面PADQ的一个法向量为a=(1,0,0)，因为a\cdot \overrightarrow{EF}=0，所以\overrightarrow{EF}\perp a,
(4分)
又因为EF\not\subset 平面PADQ,所以EF\parallel 平面PADQ.
(5分)$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$<img_2729>
$求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值;$

Solution:
$\overrightarrow{PC}=(3,3,-3),\overrightarrow{CQ}=(-3,0,1),设平面PCQ的法向量为m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PC}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{CQ}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}3x+3y-3z=0,\\ -3x+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则z=3,y=2,所以平面PCQ的一个法向量为m=(1,2,3)，(6分)易知平面CDQ的一个法向量为n=(0,1,0)，设平面PCQ与平面CDQ的夹角为\theta ,则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{2}{1\times \sqrt{1+4+9}}=\frac{2}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{7}，所以平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值为\frac{\sqrt{14}}{7}.(8分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{14}}{7}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760642776649730/img/compression/M_a02ac7b7b481ca28451e1ac71ca4974e.jpg)
$求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值;$

Solution:
$\overrightarrow{PC}=(3,3,-3),\overrightarrow{CQ}=(-3,0,1),设平面PCQ的法向量为m=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{PC}\cdot \boldsymbol{m}=0,\\ \overrightarrow{CQ}\cdot \boldsymbol{m}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}3x+3y-3z=0,\\ -3x+z=0,\end{matrix}\right.令x=1，则z=3,y=2,所以平面PCQ的一个法向量为m=(1,2,3)，(6分)易知平面CDQ的一个法向量为n=(0,1,0)，设平面PCQ与平面CDQ的夹角为\theta ,则\\cos   \theta =|\\cos  \langle m,n\rangle |=\frac{2}{1\times \sqrt{1+4+9}}=\frac{2}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{7}，所以平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值为\frac{\sqrt{14}}{7}.(8分)$

Final answer: $\frac{\sqrt{14}}{7}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$<img_2729>
$线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是\frac{\sqrt{42}}{7}？若存在，求出\frac{PM}{MC}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设存在点M，设\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}，\lambda \in [0,1],设M(x_{1},y_{1},z_{1})，所以(x_{1},y_{1},z_{1}-3)=\lambda (3,3,-3),(9分)所以M(3\lambda ,3\lambda ,3-3\lambda )，所以\overrightarrow{AM}=(3\lambda ,3\lambda ,3-3\lambda ).(10分)由(2)得平面PCQ的一个法向量为m=(1,2,3),\therefore \frac{\sqrt{42}}{7}=\frac{|3\lambda +6\lambda +9-9\lambda |}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{9\lambda ^2+9\lambda ^2+(3-3\lambda )^2}}，(12分)得12\lambda ^{2}-8\lambda +1=0，即(2\lambda -1)(6\lambda -1)=0,(13分)\therefore \lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{1}{6}，(14分)\therefore \frac{PM}{MC}=1或\frac{PM}{MC}=\frac{1}{5}.(15分)$

Final answer: $1$, $\frac{1}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知底面ABCD是正方形，PA\perp 平面ABCD，PA\parallel DQ,PA=AD=3DQ=3,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760642776649730/img/compression/M_a02ac7b7b481ca28451e1ac71ca4974e.jpg)
$线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是\frac{\sqrt{42}}{7}？若存在，求出\frac{PM}{MC}的值；若不存在，说明理由.$

Solution:
$假设存在点M，设\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}，\lambda \in [0,1],设M(x_{1},y_{1},z_{1})，所以(x_{1},y_{1},z_{1}-3)=\lambda (3,3,-3),(9分)所以M(3\lambda ,3\lambda ,3-3\lambda )，所以\overrightarrow{AM}=(3\lambda ,3\lambda ,3-3\lambda ).(10分)由(2)得平面PCQ的一个法向量为m=(1,2,3),\therefore \frac{\sqrt{42}}{7}=\frac{|3\lambda +6\lambda +9-9\lambda |}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{9\lambda ^2+9\lambda ^2+(3-3\lambda )^2}}，(12分)得12\lambda ^{2}-8\lambda +1=0，即(2\lambda -1)(6\lambda -1)=0,(13分)\therefore \lambda =\frac{1}{2}或\lambda =\frac{1}{6}，(14分)\therefore \frac{PM}{MC}=1或\frac{PM}{MC}=\frac{1}{5}.(15分)$

Final answer: $1$, $\frac{1}{5}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760644764749826/img/compression/M_5966b6e0a5d9a9fadc0c447730556d58.jpg)
$求证：AE\perp 平面BCE；$

Solution:
$证明：\because BF\perp 平面ACE，AE\subset 平面ACE，\therefore BF\perp AE，\because 平面ABCD\perp 平面ABE，平面ABCD\cap 平面ABE=AB，且CB\perp AB，\therefore CB\perp 平面ABE，\because AE\subset 平面ABE，\therefore CB\perp AE，又CB\cap BF=B,CB\subset 平面BCE，BF\subset 平面BCE，\therefore AE\perp 平面BCE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$<img_2261>
$求证：AE\perp 平面BCE；$

Solution:
$证明：\because BF\perp 平面ACE，AE\subset 平面ACE，\therefore BF\perp AE，\because 平面ABCD\perp 平面ABE，平面ABCD\cap 平面ABE=AB，且CB\perp AB，\therefore CB\perp 平面ABE，\because AE\subset 平面ABE，\therefore CB\perp AE，又CB\cap BF=B,CB\subset 平面BCE，BF\subset 平面BCE，\therefore AE\perp 平面BCE.$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$<img_2261>
$求二面角B-AC-E的正弦值；$

Solution:
$取AB的中点O，连接OE，\because AE=EB，\therefore OE\perp AB，由题意得，以O点为原点，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，\because AE\perp 平面BCE，BE\subset 平面BCE，\therefore AE\perp BE.易得A(0，-1，0)，E(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，2)，D(0，-1，2)，\therefore \overrightarrow{AE}=(1，1，0)，\overrightarrow{AC}=(0，2，2)，设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ 2y+2z=0,\end{matrix}\right.取x=1,得n=(1,-1,1),又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},设二面角B-AC-E的平面角为\theta ,则\\sin   \theta =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}，\therefore 二面角B-AC-E的正弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$<img_2771>

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760644764749826/img/compression/M_5966b6e0a5d9a9fadc0c447730556d58.jpg)
$求二面角B-AC-E的正弦值；$

Solution:
$取AB的中点O，连接OE，\because AE=EB，\therefore OE\perp AB，由题意得，以O点为原点，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，\because AE\perp 平面BCE，BE\subset 平面BCE，\therefore AE\perp BE.易得A(0，-1，0)，E(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，2)，D(0，-1，2)，\therefore \overrightarrow{AE}=(1，1，0)，\overrightarrow{AC}=(0，2，2)，设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AE}\cdot \boldsymbol{n}=0,\\ \overrightarrow{AC}\cdot \boldsymbol{n}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x+y=0,\\ 2y+2z=0,\end{matrix}\right.取x=1,得n=(1,-1,1),又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),\therefore \\cos  \langle m,n\rangle =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},设二面角B-AC-E的平面角为\theta ,则\\sin   \theta =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}，\therefore 二面角B-AC-E的正弦值为\frac{\sqrt{6}}{3}.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760645028990977/img/compression/M_a29012bb9509ee1de7a2b32b28205e53.jpg)

Final answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$<img_2261>
$求点D到平面ACE的距离.$

Solution:
$由(2)知\overrightarrow{AD}=(0，0，2)，\therefore 点D到平面ACE的距离d=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $如图，平面ABCD\perp 平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF\perp 平面ACE.$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760644764749826/img/compression/M_5966b6e0a5d9a9fadc0c447730556d58.jpg)
$求点D到平面ACE的距离.$

Solution:
$由(2)知\overrightarrow{AD}=(0，0，2)，\therefore 点D到平面ACE的距离d=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Final answer: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)，长轴长为短轴长的两倍，抛物线：y^{2}=2px(p>0)，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760719079428098/img/compression/M_383b975c98f8ea6086e3c84c3d39b1b5.jpg)
$证明：直线OA，OB的斜率乘积为定值，并求出该定值；$

Solution:
$设直线OA的斜率为k_{1}(k_{1}>0)，直线OB的斜率为k_{2}，A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，由题意可知，直线l的斜率不为0，设直线l:x=ty+\frac{p}{2}，联立\left\{\begin{matrix}x=ty+\frac{p}{2},\\ y^2=2px,\end{matrix}\right.消去x并整理可得y^{2}-2pty-p^{2}=0，易知\Delta >0，且y_{1}y_{2}=-p^{2}，又x_{1}x_{2}=\frac{y^2_1}{2p}\cdot \frac{y^2_2}{2p}=\frac{(y_1y_2)^2}{4p^2}=\frac{p^2}{4}，所以k_{1}k_{2}=\frac{y_1}{x_1}\cdot \frac{y_2}{x_2}=-p^{2}\cdot \frac{4}{p^2}=-4.$

Final answer: $-4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)，长轴长为短轴长的两倍，抛物线：y^{2}=2px(p>0)，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示．$<img_2375>
$证明：直线OA，OB的斜率乘积为定值，并求出该定值；$

Solution:
$设直线OA的斜率为k_{1}(k_{1}>0)，直线OB的斜率为k_{2}，A(x_{1}，y_{1})，B(x_{2}，y_{2})，由题意可知，直线l的斜率不为0，设直线l:x=ty+\frac{p}{2}，联立\left\{\begin{matrix}x=ty+\frac{p}{2},\\ y^2=2px,\end{matrix}\right.消去x并整理可得y^{2}-2pty-p^{2}=0，易知\Delta >0，且y_{1}y_{2}=-p^{2}，又x_{1}x_{2}=\frac{y^2_1}{2p}\cdot \frac{y^2_2}{2p}=\frac{(y_1y_2)^2}{4p^2}=\frac{p^2}{4}，所以k_{1}k_{2}=\frac{y_1}{x_1}\cdot \frac{y_2}{x_2}=-p^{2}\cdot \frac{4}{p^2}=-4.$

Final answer: $-4$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)，长轴长为短轴长的两倍，抛物线：y^{2}=2px(p>0)，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示．$![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1701760719079428098/img/compression/M_383b975c98f8ea6086e3c84c3d39b1b5.jpg)
$反向延长OA，OB，分别与椭圆交于C，D两点，且OC^{2}+OD^{2}=5，求椭圆的方程；$

Solution:
$设C(x_{C}，y_{C})，D(x_{D}，y_{D})，由(1)知，直线OA的方程为y=k_{1}x，直线OB的方程为y=k_{2}x=-\frac{4}{k_1}x，联立\left\{\begin{matrix}y=k_1x,\\ \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1,\end{matrix}\right.解得x^2_C=\frac{a^2b^2}{b^2k^2_1+a^2}，用-\frac{4}{k_1}替换式子中的k_{1}，得x^2_D=\frac{a^2b^2}{b^2\left(-\frac{4}{k_1}\right)^2+a^2}=\frac{a^2b^2k^2_1}{a^2k^2_1+16b^2}，所以OC^{2}+OD^{2}=x^2_C+y^2_C+x^2_D+y^2_D=x^2_C+\left(1-\frac{x^2_C}{b^2}\right)\cdot a^{2}+x^2_D+\left(1-\frac{x^2_D}{b^2}\right)\cdot a^{2}=2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\left(\frac{a^2b^2}{b^2k^2_1+a^2}+\frac{a^2b^2k^2_1}{a^2k^2_1+16b^2}\right)=2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot \frac{a^2b^4k^4_1+2a^4b^2k^2_1+16a^2b^4}{a^2b^2k^4_1+(a^4+16b^4)k^2_1+16a^2b^2}，又OC^{2}+OD^{2}=5，故\frac{2a^4b^2}{a^4+16b^4}=b^{2}，且2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot b^{2}=5，即a^{2}+b^{2}=5，又2a=2\times 2b，所以a^{2}=4，b^{2}=1，所以椭圆的方程为\frac{y^2}{4}+x^{2}=1.$

Final answer: $\frac{y^2}{4}+x^{2}=1$
Subfield: Plane Geometry


Question: $已知椭圆：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)，长轴长为短轴长的两倍，抛物线：y^{2}=2px(p>0)，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示．$<img_2375>
$反向延长OA，OB，分别与椭圆交于C，D两点，且OC^{2}+OD^{2}=5，求椭圆的方程；$

Solution:
$设C(x_{C}，y_{C})，D(x_{D}，y_{D})，由(1)知，直线OA的方程为y=k_{1}x，直线OB的方程为y=k_{2}x=-\frac{4}{k_1}x，联立\left\{\begin{matrix}y=k_1x,\\ \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1,\end{matrix}\right.解得x^2_C=\frac{a^2b^2}{b^2k^2_1+a^2}，用-\frac{4}{k_1}替换式子中的k_{1}，得x^2_D=\frac{a^2b^2}{b^2\left(-\frac{4}{k_1}\right)^2+a^2}=\frac{a^2b^2k^2_1}{a^2k^2_1+16b^2}，所以OC^{2}+OD^{2}=x^2_C+y^2_C+x^2_D+y^2_D=x^2_C+\left(1-\frac{x^2_C}{b^2}\right)\cdot a^{2}+x^2_D+\left(1-\frac{x^2_D}{b^2}\right)\cdot a^{2}=2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\left(\frac{a^2b^2}{b^2k^2_1+a^2}+\frac{a^2b^2k^2_1}{a^2k^2_1+16b^2}\right)=2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot \frac{a^2b^4k^4_1+2a^4b^2k^2_1+16a^2b^4}{a^2b^2k^4_1+(a^4+16b^4)k^2_1+16a^2b^2}，又OC^{2}+OD^{2}=5，故\frac{2a^4b^2}{a^4+16b^4}=b^{2}，且2a^{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot b^{2}=5，即a^{2}+b^{2}=5，又2a=2\times 2b，所以a^{2}=4，b^{2}=1，所以椭圆的方程为\frac{y^2}{4}+x^{2}=1.$

Final answer: $\frac{y^2}{4}+x^{2}=1$