di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

|       | 男生     |        | 女生     |        |
| ----- | -------- | ------ | -------- | ------ |
|       | 支持     | 不支持 | 支持     | 不支持 |
| 方案一 | 200人    | 400人  | 300人    | 100人  |
| 方案二 | 350人    | 250人  | 150人    | 250人  |

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

Solution:
$从表格数据可知，抽查的600名男生中有200人支持方案一，因此该校男生支持方案一的概率可以估计为\frac{200}{600}=\frac{1}{3}. $

$抽查的400名女生中有300人支持方案一，因此该校女生支持方案一的概率可以估计为\frac{300}{400}=\frac{3}{4}.$



Final answer: $\frac{1}{3}，\frac{3}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

|       | 男生     |        | 女生     |        |
| ----- | -------- | ------ | -------- | ------ |
|       | 支持     | 不支持 | 支持     | 不支持 |
| 方案一 | 200人    | 400人  | 300人    | 100人  |
| 方案二 | 350人    | 250人  | 150人    | 250人  |

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

Solution:
$设事件A_{i}：抽取的男生中有i人支持方案一，i=1,2；\$
$事件B：抽取的女生支持方案一；\$
$事件C：抽取的3人中恰有2人支持方案一.$$因此C=A_{1}B\cup A_{2}\overline{B}，$
$所以P(C)=P(A_{1}B\cup A_{2}\overline{B})=P(A_{1})P(B)+P(A_{2})P(\overline{B})$
$所以抽取的3人中恰有2人支持方案一的概率可以估计为2\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{13}{36}$

Final answer: $\frac{13}{36}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: |             |2022年北京冬奥会赛程表                    |
|-------------|---|
| 2022年2月 | 北京赛区  |
|开闭幕式    |冰壶    |
|$|5(六)    |     |     |     |1     |1     |     |     |     |     |     |1     |     |1     |     |1     |1     |6     |$||
|$|6(日)    |     |     |     |1     |     |     |1     |     |     |1     |1     |     |1     |1     |     |1     |7     |$||

说明：“”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

Solution:
$记“在这两天每天随机观看一个比赛项目，恰好看到冰壶和冰球”为事件A.由题表可知，在这两天每天随机观看一个比赛项目，共有10\times 10=100种不同的情况，其中恰好看到冰壶和冰球，共有2种不同的情况。所以P(A)= \frac{2}{100} = \frac{1}{50}.$

Final answer: $\frac{1}{50}；$
Subfield: Probability and Statistics


Question: |             |2022年北京冬奥会赛程表                    |
|-------------|---|
| 2022年2月 | 北京赛区  |
|开闭幕式    |冰壶    |
|$|5(六)    |     |     |     |1     |1     |     |     |     |     |     |1     |     |1     |     |1     |1     |6     |$||
|$|6(日)    |     |     |     |1     |     |     |1     |     |     |1     |1     |     |1     |1     |     |1     |7     |$||

说明：“”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.
若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

Solution:
记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.$由题表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6\times 7=42种不同的情况，其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同的情况，在张家口赛区共有4\times 4=16种不同的情况。所以P(B)= \frac{2+16}{42} = \frac{3}{7}.$

Final answer: $\frac{3}{7}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：

A型车

| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 车辆数   | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 |

B型车

| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 车辆数   | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
$从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；$

Solution:
出租天数为3天的汽车中A型车有30辆，B型车有20辆.从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为
$\frac{30}{30+20}$
=0.6.

Final answer: $0.6$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：

A型车

| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 车辆数   | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 |

B型车

| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 车辆数   | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
$根据这个星期的统计数据(用频率估计概率)，求该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；$

Solution:
$设事件A_i表示$“一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，$事件B_j$表示“一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，$其中i，j=1，2，\ldots ，7.$

$则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为$

$P(A_1B_3+A_2B_2+A_3B_1)=P(A_1B_3)+P(A_2B_2)+P(A_3B_1)$

$=P(A_1)P(B_3)+P(A_2)P(B_2)+P(A_3)P(B_1)$

$=\frac{5}{100} \times \frac{20}{100} + \frac{10}{100} \times \frac{20}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{14}{100} = \frac{9}{125}.$

Final answer: $\frac{9}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某企业招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下：

|岗位|男性应聘人数|男性录用人数|男性录用比例|女性应聘人数|女性录用人数|女性录用比例|
|--- |--- |--- |--- |--- |--- |--- |
|A|269|167|62%|40|24|60%|
|B|40|12|30%|202|62|31%|
|C|177|57|32%|184|59|32%|
|D|44|26|59%|38|22|58%|
|E|3|2|67%|3|2|67%|
|总计|533|264|50%|467|169|36%|
从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；

Solution:
表中所有应聘人员总数为533+467=1 000，
被该企业录用的人数为264+169=433，
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为
$\frac{433}{1 000}$

Final answer: $\frac{433}{1 000}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下：

| 甲/乙 | 1局 | 2局 | 3局 | 4局 |
| :----: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|   甲   |  6  |  6  |  9  |  9  |
|$乙$|7|9|$x$|$y$|
若从甲的4局比赛中随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；

Solution:
$记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件 A，$
$由题意，得 P(A)=\frac{2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{3}，$
$所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为 \frac{1}{3}。$

Final answer: $\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下：

| 甲/乙 | 1局 | 2局 | 3局 | 4局 |
| :----: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|   甲   |  6  |  6  |  9  |  9  |
|$乙$|7|9|$x$|$y$|
$如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；$

Solution:
$由题意可知x的所有可能取值为13，15，16，18，$
$且P(X=13)=\frac{3}{8}, P(X=15)=\frac{1}{8}, P(X=16)=\frac{3}{8}, P(X=18)=\frac{1}{8}，$
$所以X的分布列为$

| $X$ | 13 | 15 | 16 | 18 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |

$所以E(X)=13\times \frac{3}{8}+15\times \frac{1}{8}+16\times \frac{3}{8}+18\times \frac{1}{8}=15.$

Final answer: $E(X)=15$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下：

| 甲/乙 | 1局 | 2局 | 3局 | 4局 |
| :----: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|   甲   |  6  |  6  |  9  |  9  |
|$乙$|7|9|$x$|$y$|
$在4局比战中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.(结论不要求证明)$

Solution:
$x的可能取值为6，7，8.$

Final answer: 6, 7, 8
Subfield: Probability and Statistics


Question: 现有甲、乙、丙、丁四位同学分别带着$A，B，C，D$四个不同的礼物参加派对进行“礼物交换”游戏，将四个礼物放入袋中，每位同学分别抽取一个礼物。
求四位同学都没有拿到自己所带礼物的概率；

Solution:
$四位同学抽取礼物的总情况数为A^{4}_{4}=24.$
若四位同学都没有拿到自己所带礼物，则甲同学拿的是$B、C、D$三个礼物中的一个，有3种可能，假设甲同学拿的是B礼物，接下来分成两种情况：
①若乙同学拿的是A礼物，则丙、丁同学分别拿到D、C礼物，共1种情况.
$②若乙同学拿的不是A礼物，则乙同学从C、D两个礼物中取一个，有两种可能，假设乙同学拿的是C礼物，则丙、丁分别拿到D、A礼物，这种情况共有C^{1}_{2}\times 1=2种.$
四位同学都没有拿到自己所带礼物的情况有3\times (1+2)=9种.
$所以四位同学都没有拿到自己所带礼物的概率P=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}.$

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在$[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]$的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).

![23ABJ5SX156.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876332453236738/img/compression/M_a7ff170cc75e84929f8b247d2887c3e1.jpg)
由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6)的概率；

Solution:
因为$(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)\times 1=1$，所以$a=0.2$.
由频率估计概率可知从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在$[5，6)$的概率为$0.2\times 1=0.2$.

Final answer: $a=0.2, 概率=0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)分别在$[2，3)，[3，4)，[4，5)，\ldots ，[8，9)，[9，10]$的数据，整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).

<img_2694>
由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6)的概率；

Solution:
因为$(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)\times 1=1$，所以$a=0.2$.
由频率估计概率可知从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在$[5，6)$的概率为$0.2\times 1=0.2$.



Final answer: $0.2, 0.2$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在核酸检测中,"k合1"混采核酸检测是指:先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. 如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

Solution:
依题意，如果感染新冠病毒的2人在同一组，则该组需要检测11次，其他9个组都只需要检测1次，所以检测总次数为20.

Final answer: 20
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876333405343746/img/compression/M_7afb8f1d12e618cb98d30e2a787282c3.jpg)
$从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；$

Solution:
由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为

$\frac{15}{50}$

=0.3.

Final answer: $0.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.$

<img_2895>
$从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；$

Solution:
由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为

$\frac{15}{50}$

=0.3.

Final answer: $0.3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876333405343746/img/compression/M_7afb8f1d12e618cb98d30e2a787282c3.jpg)
$从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记\xi为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求\xi的分布列和数学期望E(\xi)；$

Solution:
$由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以\xi 的所有可能取值为0，1，2.$

$P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6},$

$P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{2}{3},$

$P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}.  $
$所以\xi 的分布列为  $

|$\xi$  | 0 | 1 | 2 |
| :----: | :----: | :----: | :----: |
|$P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |

$故\xi 的期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=1.$

Final answer: $$\xi $$的分布列为  

| $\xi$ |       0       |       1       |       2       |
| :---: | :-----------: | :-----------: | :-----------: |
|  $P$  | $\frac{1}{6}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |

$E(\xi )=1.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.$

<img_2895>
$从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记\xi为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求\xi的数学期望E(\xi)；$

Solution:
$由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以\xi 的所有可能取值为0，1，2.$

$P(\xi =0)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6},$

$P(\xi =1)=\frac{\mathrm{C}^1_2\mathrm{C}^1_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{2}{3},$

$P(\xi =2)=\frac{\mathrm{C}^2_2}{\mathrm{C}^2_4}=\frac{1}{6}.  $
$所以\xi 的分布列为  $

|$\xi$  | 0 | 1 | 2 |
| :----: | :----: | :----: | :----: |
|$P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |

$故\xi 的期望E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=1.$



Final answer: $1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量X_1、X_2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，X_1和X_2的分布列如下表所示：$

| $X_1$ | 1   | 2   | 3   | 4   |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |

| $X_2$ | 1   | 2   | 3   | 4   |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| $P$ | 0.4 | 0.1 | 0.1 | 0.4 |
若某位顾客购买H型和V型手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；

Solution:
设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”，故$P(A)=0.1\times 0.4=0.04$.

Final answer: $0.04$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为\frac{4}{5}，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记\xi 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为$

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|--- |--- |--- |--- |--- |
| $P$ | $\frac{6}{125}$ | $a$ | $b$ | $\frac{24}{125}$ |
求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

Solution:
$事件A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3，由题意知P(A_1)= \frac{4}{5}，P(A_2)＝p，P(A_3)＝q.$

$由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“\xi ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是P=1-P(\xi =0)=1-\frac{6}{125}=\frac{119}{125}.$

Final answer: $\frac{119}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为\frac{4}{5}，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记\xi 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为$

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|--- |--- |--- |--- |--- |
| $P$ | $\frac{6}{125}$ | $a$ | $b$ | $\frac{24}{125}$ |
求$p, q$的值；

Solution:
$由题意知P(\xi=0)=P(\overline{A}_1　\overline{A}_2　\overline{A}_3)=\frac{1}{5}(1-p)(1-q)=\frac{6}{125}，$

$P(\xi=3)=P(A_1A_2A_3)=\frac{4}{5}pq=\frac{24}{125}，$

$整理得pq=\frac{6}{25}，p+q＝1，$

$由p＞q，可得p=\frac{3}{5}，q=\frac{2}{5}.$

Final answer: p=\frac{3}{5}, q=\frac{2}{5}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为\frac{4}{5}，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记\xi 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为$

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|--- |--- |--- |--- |--- |
| $P$ | $\frac{6}{125}$ | $a$ | $b$ | $\frac{24}{125}$ |
求数学期望E(\xi )。

Solution:
$由题意知a=P(\xi =1)=\frac{4}{5}(1-p)(1-q)+\frac{1}{5}p(1-q)+\frac{1}{5}(1-p)q=\frac{37}{125}，$
$b＝P(\xi ＝2)＝1-P(\xi ＝0)-P(\xi ＝1)-P(\xi ＝3)＝\frac{58}{125}，$
$故E(\xi )＝0\times \frac{6}{125}+1\times \frac{37}{125}+2\times \frac{58}{125}+3\times \frac{24}{125}＝\frac{9}{5}.$

Final answer: $\frac{9}{5}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在某次投篮测试中，有两种投篮方案.方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为 \frac{3}{4} ，命中一次得3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为 \frac{4}{5} ，命中一次得2分，没有命中得0分.用随机变量\xi 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果\xi 的值不低于3分，则认为通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.$
试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大.请说明理由.

Solution:
选手选择方案甲通过测试的概率为
$P_1 = P(\xi \geq 3) = \frac{75}{100} + \frac{16}{100} = \frac{91}{100} = 0.91，$

选手选择方案乙通过测试的概率为
$P_2 = P(\xi \geq 3) = 2\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5} + \frac{4}{5}\times \frac{4}{5} = \frac{112}{125} = \frac{896}{1 000} = 0.896， $

因为P_2 < P_1，所以该选手选择方案甲通过测试的概率更大.

Final answer: $0.91$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

![23ABJ5SX94](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876380963569665/img/compression/M_8571bc48337134a16532696eea6bf17a.jpg)
若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率；

Solution:
$由正态曲线的对称性可知，P(2.5\leq x\leq 3.5)=P(0.5\leq x\leq 1.5)=P(x\leq 1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22，$
所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率为0.22.

Final answer: $0.22$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

<img_2861>
若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率；

Solution:
$由正态曲线的对称性可知，P(2.5\leq x\leq 3.5)=P(0.5\leq x\leq 1.5)=P(x\leq 1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22，$
所以从水库中随机捕捞一条鱼，鱼的质量在[2.5,3.5]内的概率为0.22.

Final answer: $0.22$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

![23ABJ5SX94](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623876380963569665/img/compression/M_8571bc48337134a16532696eea6bf17a.jpg)
从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量质量，6条鱼的质量情况如表：

| 质量范围(单位：kg) | [0.5,1.5) | [1.5,2.5) | [2.5,3.5] |
| --- | --------- | --------- | ---------- |
| 条数                  | 1         | 3         | 2          |

若将选剩下的94条鱼称重作标记后立即放生，两周后又随机捕捞1 000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数。

Solution:
$设水库中共有N条鱼，根据题意有\frac{N}{94}=\frac{1 000}{2}，$
$则N=\frac{1 000}{2}\times 94=47 000，$
所以估计水库中有47 000条鱼.
$由(1)可知P(2.5\leq x\leq 3.5)=0.22，则应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数为47 000\times 0.22\times 0.4=4 136.$

Final answer: $4136$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，同一种生物体的身长、体重等指标。随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断地深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化。为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重。经整理分析后发现，鱼的质量$x(单位：kg)$近似服从正态分布$N(2, \sigma ^2)，如图所示，已知P(x<0.5)=0.04，P(x\leq 1.5)=0.26$。

<img_2861>
从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量质量，6条鱼的质量情况如表：

| 质量范围(单位：kg) | [0.5,1.5) | [1.5,2.5) | [2.5,3.5] |
| --- | --------- | --------- | ---------- |
| 条数                  | 1         | 3         | 2          |

若将选剩下的94条鱼称重作标记后立即放生，两周后又随机捕捞1 000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数。

Solution:
$设水库中共有N条鱼，根据题意有\frac{N}{94}=\frac{1 000}{2}，$
$则N=\frac{1 000}{2}\times 94=47 000，$
所以估计水库中有47 000条鱼.
$由(1)可知P(2.5\leq x\leq 3.5)=0.22，则应捕捞质量在[2.5,3.5]内的鱼的条数为47 000\times 0.22\times 0.4=4 136.$

Final answer: $4136$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n(n\in N^)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为\frac{4}{15}.$
$求n的值；$

Solution:
$从(n+8)个城市中一次抽取2个城市，有C^2_{n+8}种取法，$
$其中全是小城市的有C^2_8种取法，全是小城市的概率为\frac{C^2_8}{C^2_{n+8}}=\frac{8 \times 7}{(n+8)(n+7)}=\frac{4}{15}，$
$解得n=7(负值舍去).$

Final answer: n=7
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n(n\in N^)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为\frac{4}{15}.$
若一次抽取4个城市，假设抽取的小城市个数为X，求X的可能值及相应的概率；

Solution:
$由题意，X可能取0，1，2，3，4，$
$P(X=0)=\frac{{C}^0_8{C}^4_7}{{C}^4_{15}}=\frac{1}{39}，$
$P(X=1)=\frac{{C}^1_8{C}^3_7}{{C}^4_{15}}=\frac{8}{39}，$
$P(X=2)=\frac{{C}^2_8{C}^2_7}{{C}^4_{15}}=\frac{28}{65}，$
$P(X=3)=\frac{{C}^3_8{C}^1_7}{{C}^4_{15}}=\frac{56}{195}，$
$P(X=4)=\frac{{C}^4_8{C}^0_7}{{C}^4_{15}}=\frac{2}{39}.$



Final answer: P(X=0)=\frac{1}{39}，P(X=1)=\frac{8}{39}，P(X=2)=\frac{28}{65}，P(X=3)=\frac{56}{195}，P(X=4)=\frac{2}{39}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n(n\in N^)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为\frac{4}{15}.$
若一次抽取4个城市，若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

Solution:
$若抽取的4个城市全是超大城市，共有C^4_7=35种取法，$
$若抽取的4个城市全是小城市，共有C^4_8=70种取法，$
$所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为\frac{35}{35+70}=\frac{1}{3}.$



Final answer: $P=\frac{1}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

|选择餐厅情况(午餐，晚餐)|(A，A)|(A，B)|(B，A)|(B，B)|
|---|---|---|---|---|
|甲员工|30天|20天|40天|10天|
|乙员工|20天|25天|15天|40天|

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率与乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；

Solution:
设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”,事件D为“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”.

$由于100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以P(C)=\frac{30}{100}=0.3，P(D)=\frac{40}{100}=0.4.$

Final answer: $P(C)=0.3，P(D)=0.4$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为\frac{2}{3}.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.$
设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

Solution:
$设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B \left(3,\frac{2}{3}\right),且M={X=3,Y=1}\cup {X=2,Y=0}.  $
$由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥，且事件{X=3}与{Y=1}，事件{X=2}与{Y=0}均相互独立，  $
$从而由(1)知P(M)=P({X=3，Y=1}\cup {X=2，Y=0})=P(X=3，Y=1)+P(X=2，Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=\frac{8}{27}\times \frac{2}{9}+\frac{4}{9}\times \frac{1}{27}=\frac{20}{243}.$

Final answer: $\frac{20}{243}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 \frac{2}{5} ，高一年级胜高三年级的概率为 \frac{1}{3} ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.$
若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

Solution:
$高三年级胜高二年级的概率为\frac{3}{5}，$
$设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，P表示“至少有3轮胜出”的概率，则$
$P=P(x=3)+P(x=4)=C^3_4\left(\frac{3}{5}\right)^3\times\frac{2}{5} + \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \frac{297}{625}.$

Final answer: $\frac{297}{625}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为\frac{2}{3}，\frac{3}{4}。假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是1 min.$
若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；

Solution:
$甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}，所以该人走甲路线恰好遇到1个红灯的概率P=C^1_3\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{8}.$

Final answer: $\frac{3}{8}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为\frac{1}{2}；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为\frac{2}{3}，\frac{3}{4}。假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是1 min.$
$若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间x的分布列和期望；$

Solution:
X的可能取值为0，1，2.

$P(X=0)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{12}，$

$P(X=1)=\frac{2}{3}\times \left(1-\frac{3}{4}\right)+\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \frac{3}{4}=\frac{5}{12}，$

$P(X=2)=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}.$

随机变量X的分布列为

| X | 0   | 1   | 2   |
| --- | --- | --- | --- |
|$ P $|$\frac{1}{12}$|$\frac{5}{12}$|$\frac{1}{2}$|

$所以E(X)=\frac{1}{12}\times 0+\frac{5}{12}\times 1+\frac{1}{2}\times 2=\frac{17}{12}.$



Final answer: $E(X)=\frac{17}{12}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1)，且各件产品是不是不合格品相互独立。$
$记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p_0；$

Solution:
$20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C_{20}^2p^2(1-p)^{18}.$
$因此 f'(p)=C_{20}^2[2p(1-p)^{18}-18p^2(1-p)^{17}]=2C_{20}^2p(1-p)^{17}(1-10p).$
$令f'(p)=0, 得p=0.1，$
$当p\in (0,0.1)时， f'(p)＞0；$
$当p\in (0.1,1)时， f'(p)＜0.$
$所以f(p)的最大值点为p_0=0.1.$

Final answer: $p_0=0.1$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对A,B,C,D,E五类线上教育软件的使用情况(每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件)，从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如下表，其中a>b，a,b\in N.$

| 教育软件类型 | A | B | C | D | E |
| ----------- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 选用的教师人数 | 10 | 15 | $a$ | 30 | $b$ |

假设所有教师选择使用哪类教育软件相互独立.
若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；

Solution:
由表格数据可知，$10+15+a+30+b=100，则a+b=45$，所以样本中教师使用教育软件C或E的人数为45，
$故估计该校教师中使用教育软件C或E的人数为300\times  \frac{45}{100} =135.$

Final answer: 135
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对A,B,C,D,E五类线上教育软件的使用情况(每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件)，从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如下表，其中a>b，a,b\in N.$

| 教育软件类型 | A | B | C | D | E |
| ----------- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 选用的教师人数 | 10 | 15 | $a$ | 30 | $b$ |

假设所有教师选择使用哪类教育软件相互独立.
从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；

Solution:
设事件F为“从该区教师中随机抽取3人，至少有2人使用教育软件D”.

$由题意知,样本中100名教师使用软件D的频率为\frac{30}{100}=\frac{3}{10}.用频率估计概率，从该区教师中随机抽取一名教师，估计该教师使用教育软件D的概率为\frac{3}{10}.$

$记被抽取的3人中使用教育软件D的人数为X，则X～B\left(3,\frac{3}{10}\right).$

$所以P(X=2)=C^2_3\left(\frac{3}{10}\right)^2\times \left(1-\frac{3}{10}\right)=\frac{189}{1 000}，$
$P(X=3)=C^3_3\left(\frac{3}{10}\right)^3\times \left(1-\frac{3}{10}\right)^0=\frac{27}{1 000}，$

$所以P(F)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{216}{1 000}=\frac{27}{125}.$

Final answer: $\frac{27}{125}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对A,B,C,D,E五类线上教育软件的使用情况(每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件)，从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如下表，其中a>b，a,b\in N.$

| 教育软件类型 | A | B | C | D | E |
| ----------- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 选用的教师人数 | 10 | 15 | $a$ | 30 | $b$ |

假设所有教师选择使用哪类教育软件相互独立.
$设该区有3 000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P_1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率为P_2；从该区其他教师(除学校M外)中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P_3.试比较P_1，P_2和P_3的大小.(结论不要求证明)$

Solution:
$P_2 < P_1 < P_3.$

$详解：由(1)及已知知，a > b 且 a + b = 45，则 a \geq 23，即100个人中使用教育软件 C 或 D 的至少有 23+30=53(人)，则 P_1 = \frac{a+30}{100} \geq \frac{53}{100} > \frac{1}{2}，P_2 = \frac{200+100}{600} = \frac{1}{2}，P_3 = \frac{3 000 \times P_1-(200+100)}{3 000-600} = \frac{a+20}{80}.$

$因为 \frac{a+20}{80} - \frac{a+30}{100} = \frac{a-20}{400}，且 a \geq 23，所以 P_3 > P_1 恒成立，故 P_2 < P_1 < P_3.$

Final answer: $P_2 < P_1 < P_3$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

Solution:
由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.



Final answer: 3，2，2
Subfield: Probability and Statistics


Question: 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

Solution:
$由(1),不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种. 所以，事件M发生的概率P(M)=\frac{5}{21}.$

Final answer: $\frac{5}{21}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，\ldots ,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：$

<img_175>
从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

Solution:
$根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)\times 10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.$

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

Final answer: $0.4$