di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB\parallel CD，\angle ABC=90^\circ ，AB=2BC=2CD=2，\triangle ADP为等边三角形，且平面ADP\perp 底面ABCD.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894097299992579/img/compression/M_dc32bb949d3b662b757c57b1b0ebe03a.jpg)
求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值.

Solution:
$由(1)可知，PO\perp OM，以O为坐标原点，向量\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，$

![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623894098180796417/img/compression/M_12b3eb79e8f9122fba778e609ba56dbd.jpg)

$则O(0,0,0)，B(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)，C(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)，A(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)，D(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)，P(0,0,\frac{\sqrt{6}}{2})，$

$所以\overrightarrow{AD}=(-1,1,0)，\overrightarrow{OP}=(0,0,\frac{\sqrt{6}}{2})，\overrightarrow{CB}=(1,0,0)，$

$\overrightarrow{BP}=(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})，$

$设\boldsymbol{m}=(x_1,y_1,z_1)为平面PAD的一个法向量，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AD}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{OP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ \frac{\sqrt{6}}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.$

$令x_1=1，则\boldsymbol{m}=(1,1,0).$

$设\boldsymbol{n}=(x_2,y_2,z_2)为平面PBC的一个法向量，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2=0,\\ -\frac{1}{2}x_2-\frac{3}{2}y_2+\frac{\sqrt{6}}{2}z_2=0,\end{matrix}\right.令z_2=\sqrt{6}，$

$则\boldsymbol{n}=(0,2,\sqrt{6}).$

$故cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$

$由图可知平面PAD与平面PBC所成的二面角为锐角，$

$所以平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB\parallel CD，\angle ABC=90^\circ ，AB=2BC=2CD=2，\triangle ADP为等边三角形，且平面ADP\perp 底面ABCD.$

<img_301>
求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值.

Solution:
$由(1)可知，PO\perp OM，以O为坐标原点，向量\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，$

<img_69>

$则O(0,0,0)，B(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)，C(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)，A(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)，D(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)，P(0,0,\frac{\sqrt{6}}{2})，$

$所以\overrightarrow{AD}=(-1,1,0)，\overrightarrow{OP}=(0,0,\frac{\sqrt{6}}{2})，\overrightarrow{CB}=(1,0,0)，$

$\overrightarrow{BP}=(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})，$

$设\boldsymbol{m}=(x_1,y_1,z_1)为平面PAD的一个法向量，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{AD}=0,\\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{OP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}-x_1+y_1=0,\\ \frac{\sqrt{6}}{2}z_1=0,\end{matrix}\right.$

$令x_1=1，则\boldsymbol{m}=(1,1,0).$

$设\boldsymbol{n}=(x_2,y_2,z_2)为平面PBC的一个法向量，$

$则\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{CB}=0,\\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BP}=0,\end{matrix}\right.即\left\{\begin{matrix}x_2=0,\\ -\frac{1}{2}x_2-\frac{3}{2}y_2+\frac{\sqrt{6}}{2}z_2=0,\end{matrix}\right.令z_2=\sqrt{6}，$

$则\boldsymbol{n}=(0,2,\sqrt{6}).$

$故cos\langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =\frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}，$

$由图可知平面PAD与平面PBC所成的二面角为锐角，$

$所以平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值为\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Final answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=axsinx，若曲线f(x)在x=\frac{\pi }{2}处的切线的斜率为2.$
$求实数a的值；$

Solution:
$因为f'(x)=a(sin x+xcos x)，$

$所以f'\left(\frac{\pi }{2}\right)=a\left(\sin \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}\right)=a=2.$

Final answer: $a=2$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=axsinx，若曲线f(x)在x=\frac{\pi }{2}处的切线的斜率为2.$
$求函数g(x)=\frac{f(x)+2}{e^x} 在区间[1,\pi ]上的最小值.$

Solution:
$g(x)=\frac{f(x)+2}{e^x}=\frac{2x\sin  x+2}{e^x}，$

$则 g'(x)=\frac{2(\sin  x+x\cos  x-x\sin  x-1)}{e^x}= \frac{2[(\sin  x-1)+x(\cos  x-\sin  x)]}{e^x}，$

$当 x\in (1,\pi ) 时，\sin x-1\leq 0，\cos x-\sin x<0，$

$所以 g'(x)<0，所以 g(x) 在[1,\pi ]上单调递减，$

$所以 g(x) 在 x\in [1,\pi ] 上的最小值为 g(\pi )=\frac{2}{e^\pi }.$

Final answer: $\frac{2}{e^\pi }$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=ln x+\frac{x-1}{x}-a(x-1)(a\in R).$
$设h(x)=(x-1)f(x)-\frac{{(x-1)}^2}{x}+\frac{a}{2}(x-1)^2，若x=t(t>1)为函数h(x)的极值点，且h(t)=\frac{a-1}{2}，求a的值.$

Solution:
$由题意知只需研究h(x)在(1,+\infty )上的极值点的情况.$

$易得h'(x)=ln(x)+\frac{x-1}{x}-a(x-1)=f(x)，f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-a=\frac{-ax^2+x+1}{x^2}，$

$①当a\leq 0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，即h'(x)单调递增.$

$因为h'(1)=0，所以当x>1时，h'(x)>0，h(x)在(1,+\infty )上单调递增.$

$所以h(x)在(1,+\infty )上没有极值点，不符合题意.$

$②当a=2时，由(1)知，h'(x)_{max}=f(x)_{max}=f(1)=0，即h'(x)\leq 0，$

$所以h(x)在(1,+\infty )上是减函数，h(x)没有极值点，不符合题意.$

$③当a>2时，令g(x)=-ax^2+x+1，则g(1)=2-a<0，$

$易得当x>1时，g(x)<0，即f'(x)<0，所以h'(x)在(1,+\infty )上单调递减，$

$又因为h'(1)=0，所以x\in (1,+\infty )时，h'(x)<0，$

$所以h(x)在(1,+\infty )上单调递减，没有极值点，不符合题意.$

$④当0<a<2时，g(1)>0，由二次函数的图象得，存在x_0\in (1,+\infty )，使得g(x_0)=0.$

$当x\in (1,x_0)时，g(x)>0，h'(x)单调递增；当x\in (x_0,+\infty )时，g(x)<0，h'(x)单调递减；$

$又h'(1)=0，所以x\in (1,x_0)时，h'(x)>0.$

$当x\rightarrow +\infty 时，h'(x)\rightarrow -\infty ，所以存在t\in (1,+\infty )，使得h'(t)=0，$

$所以h(x)在(1,t)上单调递增，在(t,+\infty )上单调递减，所以x=t符合题目要求，$

$故f(t)=ln(t)+\frac{t-1}{t}-a(t-1)=0，所以a=\frac{\ln t}{t-1}+\frac{1}{t}，$

$又h(t)=(t-1)ln(t)-\frac{a}{2}(t-1)^2=\frac{a-1}{2}，$

$所以2(t-1)ln(t)-\left(\frac{\ln t}{t-1}+\frac{1}{t}\right)(t-1)^2=\frac{\ln t}{t-1}+\frac{1}{t}-1，$

$即\frac{t^2-2t}{t-1}\ln(t)=\frac{t^2-3t+2}{t}，即\frac{(t-2)t}{t-1}\ln(t)=\frac{(t-1)(t-2)}{t}，$

$当t=2时，该式成立，当t\neq 2时，\frac{t}{t-1}\ln(t)=\frac{t-1}{t}，即\ln(t)=\frac{(t-1)^2}{t^2}，$

$令\phi(t)=\ln(t)-\frac{(t-1)^2}{t^2}(t>1)，可得\phi'(t)>0，故\phi(t)在(1,+\infty )上为增函数，$

$所以\phi(t)>\phi(1)=0，\ln(t)=\frac{(t-1)^2}{t^2}无解.$

$综上，t=2，所以a=\ln2+\frac{1}{2}.$

提醒：根据极值求参数时，一般利用导数得出单调性，再由极值确定参数的值或范围.

Final answer: $a=\ln2+\frac{1}{2}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=aln(x+1)+\frac{x^2}{2}-x，其中a为非零实数.$
$当a=-1时，求f(x)的极值；$

Solution:
函数f(x)的定义域为(-1,+\infty )，  
$当a=-1时，f(x)=-ln(x+1)+\frac{x^2}{2}-x，  $
$则f'(x)=-\frac{1}{x+1}+x-1=\frac{x^2-2}{x+1}，  $
$令f'(x)=0，解得x=\sqrt{2}或x=-\sqrt{2}(舍去)，  $
$当x\in (-1,\sqrt{2})时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，  $
$当x\in (\sqrt{2},+\infty )时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，  $
$所以函数f(x)的极小值为f(\sqrt{2})=-ln(1+\sqrt{2})+1-\sqrt{2}，无极大值.$

Final answer: -ln(1+\sqrt{2})+1-\sqrt{2}
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x-1-a \ln x。$
$若f(x)\geq 0，求a的值；$

Solution:
$f(x)的定义域为(0，+\infty ).$
$①若a\leq 0，因为f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+aln 2<0,所以不满足题意；$
$②若a>0，由f' x)=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}知，当x\in (0,a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减;当x\in (a,+\infty )时，f'(x)>0,f(x)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+\infty )的唯一最小值点.$
$由于f(1)=0，所以当且仅当a=1时，f(x)\geq 0.故a=1.$

Final answer: $a=1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=x-1-a \ln x。$
$设m为整数，且对于任意正整数n，(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\ldots (1+\frac{1}{2^n})<m，求m的最小值.$

Solution:
$由(1)知当x\in (1，+\infty )时，x-1-lnx>0$

$令x=1+\frac{1}{2^n},得ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)<\frac{1}{2^n}$

$从而ln\left(1+\frac{1}{2}\right)+ln\left(1+\frac{1}{2^2}\right)+\ldots +ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}<1$

$故\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\ldots \left(1+\frac{1}{2^n}\right)<e$

$而\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)>2, 所以m的最小值为3$

Final answer: $3$
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x) = \ln(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.$
求a；

Solution:
$[xf(x)]'=ln(a-x)-\frac{x}{a-x}.$
$因为x=0是y=xf(x)的极值点，所以ln a=0,故a=1.$

Final answer: a=1
Subfield: Derivative


Question: $设函数f(x)=x^3+bx+c，曲线y=f(x)在点(\frac{1}{2}, f \left(\frac{1}{2}\right))处的切线与y轴垂直.$
求b；

Solution:
$f' (x) =3x^2 + b  $
$依题意得 f' \left(\frac{1}{2}\right) =0，即 \frac{3}{4} + b =0。故 b = -\frac{3}{4}。$

Final answer: $- \frac{3}{4}$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=e^{x}+\\sin  x - \\cos  x - ax.$
$设函数 g(x) = f(x) - ln(1 - x)，若 g(x) \geq 0，求 a 的值.$

Solution:
:

$g(x) = f(x) - ln(1-x) = e^x + \sin x - \cos x - ax - ln(1-x), x\in (-\infty ,1)$

$所以 g'(x) = e^x + \cos x + \sin x - a + \frac{1}{1-x}, g(0) = 0.$

$因为 g(x) \geq  0，所以∀x\in (-\infty ,1)，g(x) \geq  g(0)，$

$即 g(0) 为 g(x) 的最小值，x = 0 为 g(x) 的一个极小值点，$

$所以 g'(0) = e^0 + \cos 0 + \sin 0 - a + \frac{1}{1-0} = 0，解得 a = 3$

$当 a = 3 时， g(x) = e^x + \sin x - \cos x - 3x - ln(1-x)  (x < 1)，$

$所以 g'(x) = e^x + \cos x + \sin x - 3 + \frac{1}{1-x} = e^x + \sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi }{4}) - 3 +  \frac{1}{1-x}.$

$①当 0 \leq  x < 1 时， g'(x) \geq  1 + 1 - 3 + 1 = 0 (当且仅当 x = 0 时等号成立),$

$所以 g(x) 在[0,1)上单调递增.$

$②当 x < 0 时，若 -\frac{\pi }{2} \leq  x < 0，则 g'(x) < 1 + 1 - 3 + 1 = 0；$

$若 x < -\frac{\pi }{2}，g'(x) < e^{-\frac{\pi }{2}} + \sqrt{2} - 3 + \frac{2}{\pi  +2} < \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 3 + \frac{2}{\pi  +2} < 0.$

$所以 g(x) 在(-\infty ,0)上单调递减.$

$综上，g(x) 在(-\infty ,0)上单调递减，在[0,1)上单调递增，满足题意，$

$所以 a = 3.$

Final answer: $a = 3$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = \frac{1+\mathrm{ln} x}{x}。$
$求函数 y=f(x) 的最大值；$

Solution:
$易得f'(x)=\frac{-\mathrm{ln} x}{x^2}，当x\in (0,1)时，f'(x)>0，当x\in (1,+\infty )时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+\infty )上单调递减。$

$所以当x=1时，f(x)取最大值，最大值为1.$

Final answer: $1$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x)=e^x cos x ，g(x)=a\cos x+x (a<0)，曲线 y=g(x) 在 x=\frac{\pi }{6} 处的切线的斜率为 \frac{3}{2}.$
$求实数a的值；$

Solution:
$因为 g(x) = a\cos x + x (a<0) ,$

$所以 g'(x) = 1-a\sin x ,$

$由已知可得 g'\left(\frac{\pi }{6}\right) = 1 - \frac{1}{2}a = \frac{3}{2} ,解得 a=-1.$

Final answer: a=-1
Subfield: Probability and Statistics


Question: 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.

![](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611774207152129/img/compression/M_cc63aaf2c53743d3263aeb246a053820.jpg)

$附：若随机变量X～N(\mu , \sigma ^2),则P(\mu -\sigma ＜X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma ＜X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma ＜X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，其中\mu 可用样本平均数近似代替，\sigma ^2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表)，若本次数学建模竞赛满分为100分，成绩在46分以上的学生均能得到奖励，试估计此次竞赛中得到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)$

Solution:
$由题意可知，\mu =(30\times 0.005+50\times 0.015+70\times 0.02+90\times 0.01)\times 20=64, \sigma ^2=(30-64)^2\times 0.1+(50-64)^2\times 0.3+(70-64)^2\times 0.4+(90-64)^2\times 0.2=324，所以\sigma =18.$

$由X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，得P(64-18＜X\leq 64+18)=P(46＜X\leq 82)\approx 0.682 7，然后P(X＞82)=\frac{1}{2}\times (1-0.682 7)=0.158 65, P(X＞46)=0.682 7+0.158 65=0.841 35，60\times 0.841 35\approx 50，所以估计此次竞赛中得到奖励的人数为50.$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.

<img_324>

$附：若随机变量X～N(\mu , \sigma ^2),则P(\mu -\sigma ＜X\leq \mu +\sigma )\approx 0.682 7，P(\mu -2\sigma ＜X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.954 5，P(\mu -3\sigma ＜X\leq \mu +3\sigma )\approx 0.997 3.$
$已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，其中\mu 可用样本平均数近似代替，\sigma ^2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表)，若本次数学建模竞赛满分为100分，成绩在46分以上的学生均能得到奖励，试估计此次竞赛中得到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)$

Solution:
$由题意可知，\mu =(30\times 0.005+50\times 0.015+70\times 0.02+90\times 0.01)\times 20=64, \sigma ^2=(30-64)^2\times 0.1+(50-64)^2\times 0.3+(70-64)^2\times 0.4+(90-64)^2\times 0.2=324，所以\sigma =18.$

$由X服从正态分布N(\mu ,\sigma ^2)，得P(64-18＜X\leq 64+18)=P(46＜X\leq 82)\approx 0.682 7，然后P(X＞82)=\frac{1}{2}\times (1-0.682 7)=0.158 65, P(X＞46)=0.682 7+0.158 65=0.841 35，60\times 0.841 35\approx 50，所以估计此次竞赛中得到奖励的人数为50.$

Final answer: $50$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关.某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相亚独立.
求B同学闯过第一关的概率;

Solution:
$B同学闯过第一关的情况有答对2题和答对3题，故B同学闯过第一关的概率 P=\frac{\mathrm{C}^3_6+\mathrm{C}^2_6\mathrm{C}^1_4}{\mathrm{C}^3_{10}}=\frac{2}{3}.$

Final answer: $\frac{2}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关.某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相亚独立.
$求这5位同学闯过第一关的人数 X 的分布列和数学期望.$

Solution:
$由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，且X服从二项分布，即X~B \(\left(5,\frac{2}{3}\right)\).$
$P(X=0)= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{5} \)= \(\frac{1}{243}\),$
$P(X=1)=C \(^1_5\)\times \(\left(\frac{2}{3}\right)\)\times \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4} \)=\(\frac{10}{243}\),$
$P(X=2)=C \(^2_5\)\times \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \)\times \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \)=\(\frac{40}{243}\),$
$P(X=3)=C \(^3_5\)\times \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \)\times \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \)=\(\frac{80}{243}\),$
$P(X=4)=C \(^4_5\)\times \(\left(\frac{2}{3}\right)^{4} \)\times \(\left(\frac{1}{3}\right)\)=\(\frac{80}{243}\),$
$P(X=5)=\(\left(\frac{2}{3}\right)^{5} \)=\(\frac{32}{243}\).$

故X的分布列为

| X    | 0               | 1                | 2                | 3                | 4                | 5                |
| ---- | --------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- |
| $P$  | $\frac{1}{243}$ | $\frac{10}{243}$ | $\frac{40}{243}$ | $\frac{80}{243}$ | $\frac{80}{243}$ | $\frac{32}{243}$ |

$所以E(X)=0\times \(\frac{1}{243}\)+1\times \(\frac{10}{243}\)+2\times \(\frac{40}{243}\)+3\times \(\frac{80}{243}\)+4\times \(\frac{80}{243}\)+5\times \(\frac{32}{243}\)=\(\frac{10}{3}\)\(\left(\text{或}E(X)=5 \times \frac{2}{3}=\frac{10}{3}\right)\).$

Final answer: $X的分布列为$

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|$P$|$\frac{1}{243}$|$\frac{10}{243}$|$\frac{40}{243}$|$\frac{80}{243}$|$\frac{80}{243}$|$\frac{32}{243}$|

$且数学期望E(X)=\frac{10}{3}.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关.某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相亚独立.
$求这5位同学闯过第一关的人数 X 的数学期望.$

Solution:
$由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，且X服从二项分布，即X~B \left(5,\frac{2}{3}\right).$
$P(X=0)= \left(\frac{1}{3}\right)^{5} = \frac{1}{243},$
$P(X=1)=C^1_5\times \left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{1}{3}\right)^{4} =\frac{10}{243},$
$P(X=2)=C ^2_5\times \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3} =\frac{40}{243},$
$P(X=3)=C ^3_5\times \left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} =\frac{80}{243},$
$P(X=4)=C ^4_5\times \left(\frac{2}{3}\right)^{4} \times \left(\frac{1}{3}\right)=\frac{80}{243},$
$P(X=5)=\left(\frac{2}{3}\right)^{5} =\frac{32}{243}.$

故X的分布列为

| X    | 0               | 1                | 2                | 3                | 4                | 5                |
| ---- | --------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- | ---------------- |
| $P$  | $\frac{1}{243}$ | $\frac{10}{243}$ | $\frac{40}{243}$ | $\frac{80}{243}$ | $\frac{80}{243}$ | $\frac{32}{243}$ |

$所以E(X)=0\times \frac{1}{243}+1\times \frac{10}{243}+2\times \frac{40}{243}+3\times \frac{80}{243}+4\times \frac{80}{243}+5\times \frac{32}{243}=\frac{10}{3}\left(\text{或}E(X)=5 \times \frac{2}{3}=\frac{10}{3}\right).$



Final answer: $\frac{10}{3}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率均为\frac{1}{3}.$
求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

Solution:
$设3条生产线中出现故障的条数为X，则X～B(3, 1/3)，因此P(X=1)=C^1_3  (1/3)^1  (2/3)^2 = 4/9.$

Final answer: 4/9
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中，学生完成数学作业时间的范围是(0,100](单位：分钟)．其统计数据分组区间为(0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．$

<img_259>
$求直方图中x的值；$

Solution:
$由直方图中小矩形面积之和为1，可得20x+0.025\times 20+0.006 5\times 20+0.003\times 2\times 20=1，解得x=0.012 5.$

Final answer: 0.0125
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中，学生完成数学作业时间的范围是(0,100](单位：分钟)．其统计数据分组区间为(0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．$

![24AXGK5SX406.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611729417687042/img/compression/M_69ddf6cd8c1461e3e54a50118b927ad8.jpg)
$求直方图中x的值；$

Solution:
$由直方图中小矩形面积之和为1，可得20x+0.025\times 20+0.006 5\times 20+0.003\times 2\times 20=1，解得x=0.012 5.$

Final answer: 0.0125
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为  \frac{1}{2}  .$
求甲连胜四场的概率；

Solution:
$甲连胜四场的概率为 \frac{1}{16}.$

Final answer: $\frac{1}{16}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为  \frac{1}{2}  .$
求需要进行第五场比赛的概率；

Solution:
$根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为 \frac{1}{16}；乙连胜四场的概率为 \frac{1}{16}；丙上场后连胜三场的概率为 \frac{1}{8}. 所以需要进行第五场比赛的概率为1- \frac{1}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{8}= \frac{3}{4}.$

Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为  \frac{1}{2}  .$
求丙最终获胜的概率.

Solution:
丙最终获胜，有两种情况：
$比赛四场结束且丙最终获胜的概率为\frac{1}{8};$
$比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为\frac{1}{16}，\frac{1}{8}，\frac{1}{8}.$
$因此丙最终获胜的概率为\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{16}.$

Final answer: $\frac{7}{16}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25\%，35\%，40\%，甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75。水仙花球茎的使用率=(\text{能使用的水仙花球茎数}\over\text{采摘的水仙花球茎总数})。$
$从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为\xi，求随机变量\xi的期望；$

Solution:
$在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是\frac{1}{4}.$

$依题意，\xi 的所有取值为0，1，2，3，且\xi ~B\left(3,\frac{1}{4}\right)，$

$所以P(\xi =k)=C^k_3\left(\frac{1}{4}\right)^{k} \left(\frac{3}{4}\right)^{3-k}，k=0,1,2,3，$

$即P(\xi =0)=\frac{27}{64}，$

$P(\xi =1)=\frac{27}{64}，$

$P(\xi =2)=\frac{9}{64}，$

$P(\xi =3)=\frac{1}{64}，$

$所以\xi 的分布列为$

|i|P|
|--|--|
|$\xi$|$\frac{27}{64}$|
|$1$|$\frac{27}{64}$|
|$2$|$\frac9{64}$|
|$3$|$\frac1{64}$|

$所以E(\xi )=3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$



Final answer: $\frac{3}{4}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75。水仙花球茎的使用率=(\text{能使用的水仙花球茎数}\over\text{采摘的水仙花球茎总数})。$
$从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为\xi，求随机变量\xi的分布列及期望；$

Solution:
$在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是\frac{1}{4}.$

$依题意，\xi 的所有取值为0，1，2，3，且\xi ~B\left(3,\frac{1}{4}\right)，$

$所以P(\xi =k)=C^k_3\left(\frac{1}{4}\right)^{k} \left(\frac{3}{4}\right)^{3-k}，k=0,1,2,3，$

$即P(\xi =0)=\frac{27}{64}，$

$P(\xi =1)=\frac{27}{64}，$

$P(\xi =2)=\frac{9}{64}，$

$P(\xi =3)=\frac{1}{64}，$

$所以\xi 的分布列为$

|i|P|
|--|--|
|$\xi$|$\frac{27}{64}$|
|$1$|$\frac{27}{64}$|
|$2$|$\frac9{64}$|
|$3$|$\frac1{64}$|

$所以E(\xi )=3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$

Final answer: P(\xi =0)=\frac{27}{64}, P(\xi =1)=\frac{27}{64},P(\xi =2)=\frac{9}{64},P(\xi =3)=\frac{1}{64}, E(\xi )=\frac{3}{4}
Subfield: Probability and Statistics


Question: $漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75。水仙花球茎的使用率=(\text{能使用的水仙花球茎数}\over\text{采摘的水仙花球茎总数})。$
已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.

Solution:
$用A_1，A_2，A_3分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，B表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用，则P(A_1)=0.25，P(A_2)=0.35，P(A_3)=0.4，$

$且P(B|A_1)=0.8,P(B|A_2)=0.6,P(B|A_3)=0.75，$

$故P(B)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)$

$=0.25\times 0.8+0.35\times 0.6+0.4\times 0.75=0.71$

$所以P(A_3|B)=\frac{P(A_3B)}{P(B)}=\frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}=\frac{0.3}{0.71}=\frac{30}{71}$

$即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，它是由丙工作队所采摘的概率为\frac{30}{71}.$

Final answer: $\frac{30}{71}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
<img_64>
$估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$平均年龄为(5\times 0.001+15\times 0.002+25\times 0.012+35\times 0.017+45\times 0.023+55\times 0.020+65\times 0.017+75\times 0.006+85\times 0.002)\times 10=47.9(岁).$



Final answer: 47.9 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611861364789251/img/compression/M_5f8714a2336668d520c123ae61ed49f0.jpg)
$估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；$

Solution:
$平均年龄为(5\times 0.001+15\times 0.002+25\times 0.012+35\times 0.017+45\times 0.023+55\times 0.020+65\times 0.017+75\times 0.006+85\times 0.002)\times 10=47.9(岁).$

Final answer: 47.9 岁
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
<img_64>
$估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；$

Solution:
$设事件A="该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)",则P(A)=1-P(\overline{A})=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)\times 10=1-0.11=0.89.$

Final answer: $0.89$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611861364789251/img/compression/M_5f8714a2336668d520c123ae61ed49f0.jpg)
$估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；$

Solution:
$设事件A="该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)",则P(A)=1-P(\overline{A})=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)\times 10=1-0.11=0.89.$

Final answer: $0.89$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611861364789251/img/compression/M_5f8714a2336668d520c123ae61ed49f0.jpg)
$已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)。$

Solution:
$设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得 P(C|B)= \frac{P(BC)}{P(B)} =\frac{0.1%  \times 0.023 \times 10}{16% } =\frac{0.001 \times 0.23}{0.16} =0.001 437 5\approx 0.001 4.$

Final answer: $0.0014$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
<img_64>
$已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)。$

Solution:
$设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得 P(C|B)= \frac{P(BC)}{P(B)} =\frac{0.1%  \times 0.023 \times 10}{16% } =\frac{0.001 \times 0.23}{0.16} =0.001 437 5\approx 0.001 4.$

Final answer: $0.0014$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

![20GZTLSX17A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611862186872834/img/compression/M_d02ca6b07e4e7594aadc1fb5dfbeaaa7.jpg)

![20GZTLSX17.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611862186872834/img/compression/M_acb9feeb96abdb749f84027fea9320bf.jpg)

$记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.$
$求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；$

Solution:
$由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.$
$b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.$

Final answer: $a=0.35, b=0.10.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

<img_73>

<img_299>

$记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.$
$求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；$

Solution:
$由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.$
$b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.$

Final answer: $a=0.35, b=0.10.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

![20GZTLSX17A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611862186872834/img/compression/M_d02ca6b07e4e7594aadc1fb5dfbeaaa7.jpg)

![20GZTLSX17.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623611862186872834/img/compression/M_acb9feeb96abdb749f84027fea9320bf.jpg)

$记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.$
$分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)。$

Solution:
甲离子残留百分比的平均值的估计值为
$2\times 0.15+3\times 0.20+4\times 0.30+5\times 0.20+6\times 0.10+7\times 0.05=4.05.$
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
$3\times 0.05+4\times 0.10+5\times 0.15+6\times 0.35+7\times 0.20+8\times 0.15=6.00.$

Final answer: 甲的为4.05，乙的为6