di-zhang-fdu/OlympiadExtended huggingface dataset:
Subfield: Derivative


Question: $已知函数 f(x) = -2ln x + \frac{a}{x^2} + 1.$
$若f(x)有两个不同的零点x_1, x_2，x_0为其极值点，证明：\frac{1}{x^2_1} + \frac{1}{x^2_2} > 2f(x_0).$

Solution:
$证明：由(1)可知a < 0，且当x = \sqrt{-a}时，f(x)取得极大值，也是最大值，为f(\sqrt{-a}) = -ln(-a)，  $
$从而x_0 = \sqrt{-a}。  $
$由题意得f(\sqrt{-a}) = -ln(-a) > 0，即-1 < a < 0。  $
$设h(x) = ln x - x，则h'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}，  $
$当x \in  (0,1)时，h'(x) > 0，\therefore h(x)在(0,1)上单调递增；  $
$当x \in  (1, +\infty )时，h'(x) < 0，\therefore h(x)在(1, +\infty )上单调递减，  $
$\therefore h(x)_{max} = h(1) = -1 < 0，从而lnx < x，  $
$\therefore 2f(x_0) = -4ln(\sqrt{-a}) = 2ln\left(-\frac{1}{a}\right) < -\frac{2}{a}.  $
$\because x_1, x_2是函数f(x)的两个不同的零点，  $
$\therefore f(x_1) = -2ln x_1 + \frac{a}{x^2_1} +1 = 0，f(x_2) = -2ln x_2 + \frac{a}{x^2_2} +1 = 0，  $
$两式相减得-\frac{1}{a} = \frac{x^2_2 - x^2_1}{2x^2_1x^2_2ln\frac{x_2}{x_1}}.  $
$不妨设x_2 > x_1 > 0，则要证明\frac{1}{x^2_1} + \frac{1}{x^2_2} > 2f(x_0)，  $
$只需要证明\frac{1}{x^2_1} + \frac{1}{x^2_2} > 2\times \frac{x^2_2 - x^2_1}{2x^2_1x^2_2ln\frac{x_2}{x_1}}.  $
$即证明ln\frac{x^2_2}{x^2_1} > \frac{2(x^2_2 - x^2_1)}{x^2_1 + x^2_2}，也就是证明ln\frac{x^2_2}{x^2_1} > \frac{2\left(\frac{x^2_2}{x^2_1} -1\right)}{\frac{x^2_2}{x^2_1} +1}，  $
$设\frac{x^2_2}{x^2_1} = t, t \in  (1, +\infty )，则只需证明ln t > \frac{2(t - 1)}{t + 1} (t > 1)，  $
$设g(t) = ln t - \frac{2(t - 1)}{t + 1} (t > 1)，则g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{4}{{(t+1)}^2} = \frac{{(t - 1)}^2}{t(t + 1)^2} > 0，  $
$\therefore g(t)在(1,+\infty )上为增函数，从而g(t) > g(1) = 0，  $
$\therefore ln t > \frac{2(t - 1)}{t + 1}成立，从而\frac{1}{x^2_1} + \frac{1}{x^2_2} > 2f(x_0).$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=2lnx-x+\frac{a}{x}.$
$若f(x)有两个极值点x_1,x_2，且x_1<x_2 ，证明 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{2}{\sqrt{a}}-2；$

Solution:
$由题意知，x_1,x_2是x^2-2x+a=0的两个实数根，则x_1+x_2=2，x_1x_2=a，$

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{2(\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1)-(x_2-x_1)+\frac{a(x_1-x_2)}{x_1x_2}}{x_2-x_1}，$

$将x_1x_2=a代入，得 $

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{2(\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1)}{x_2-x_1}-2，$

$要证明\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{2}{\sqrt{a}}-2，只需证明\frac{2(\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1)}{x_2-x_1}-2<\frac{2}{\sqrt{a}}-2，即\frac{\mathrm{ln} x_2-\mathrm{ln} x_1}{x_2-x_1}<\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{x_1x_2}}，因为0<x_1<x_2，所以x_2-x_1>0，$

$只需证明ln\frac{x_2}{x_1}<\frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}-\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}，$

$令\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=t，则t>1，$

$只需证明ln t^2<t-\frac{1}{t}，即2ln t-t+\frac{1}{t}<0(t>1)，$

$令h(t)=2ln t-t+\frac{1}{t},t>1，$

$则h'(t)=\frac{2}{t}-1-\frac{1}{t^2}=-{(t-1)}^2/t^2<0，$

$所以h(t)在(1,+\infty )上单调递减，可得h(t)<h(1)=0，所以2ln t-t+\frac{1}{t}<0(t>1)，$

$所以\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{2}{\sqrt{a}}-2。$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x)=2lnx-x+\frac{a}{x}.$
$若f(x)有两个极值点x_1,x_2，且x_1<x_2 ，证明 f(x_2)<\frac{2}{3}a+2ln 2-2. $

Solution:
$f '(x)=\frac{-x^2+2x-a}{x^2}(x>0)。$

$设g(x)=-x^2+2x-a。$

$因为f(x)有两个极值点，所以\left\{\begin{matrix}\Delta =4-4a&gt;0,\\ g(0)&lt;0,\end{matrix}\right. 解得0<a<1。$

$因为g(2)=-a<0,g(1)=1-a>0，所以1<x_2<2，$

$由题意可知-x^2_2+2x_2-a=0，$

$可得a=-x^2_2+2x_2，所以f(x_2)-\frac{2}{3}a=2ln x_2-x_2+\frac{a}{x_2}-\frac{2}{3}a=2ln x_2+\frac{2}{3}x^2_2-\frac{10}{3}x_2+2，$

$令h(x)=2ln x+\frac{2}{3}x^2-\frac{10}{3}x+2(1<x<2)，$

$则 h'(x)=\frac{2}{x}+\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{2(x-1)(2x-3)}{3x}。$

$当x\in \left(1,\frac{3}{2}\right)时,h'(x)<0，所以h(x)在\left(1,\frac{3}{2}\right)上单调递减，$

$当x\in \left(\frac{3}{2},2\right)时,h'(x)>0，所以h(x)在\left(\frac{3}{2},2\right)上单调递增.$

$因为1<x_2<2，所以h(x_2)<\max{h(1),h(2)}，$

$又h(1)=-\frac{2}{3},h(2)=2ln 2-2，$

$可得h(2)-h(1)=\frac{2(\mathrm{ln} 8-\mathrm{ln} \mathrm{e}^2)}{3} > 0，所以h(2)>h(1)，所以h(x_2)<h(2)，$

$所以f(x_2)-\frac{2}{3}a<2ln 2-2，即f(x_2)<\frac{2}{3}a+2ln 2-2。$
Subfield: Derivative


Question: $已知函数f(x) = \frac{1+\mathrm{ln} x}{x}。$
$证明：\frac{\mathrm{ln} 2}{2^2} + \frac{\mathrm{ln} 3}{3^2} + \ldots  + \frac{\mathrm{ln} n}{n^2} < \frac{2n^2-n-1}{4(n+1)}(n\in N^,n\geq2)。$

Solution:
$证明：由(1)知 f(x) \leq 1，当且仅当 x=1 时取等号，因此当 x>1 时， ln x < x - 1，$

$即当 n \geq  2 时，ln n^2 < n^2 -1$

$因此：\frac{\ln n}{n^2} =\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln n^2}{n^2} < \frac{1}{2} \times \frac{n^2-1}{n^2} = \frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{n^2}\right) < \frac{1}{2} \left[1-\frac{1}{n(n+1)}\right] = \frac{1}{2} \left[1-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$

$所以 \frac{\ln 2}{2^2} + \frac{\ln 3}{3^2} +\ldots + \frac{\ln n}{n^2} < \frac{1}{2} \left[1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+1-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+ \cdots \right]$

$这可以等价于：\frac{1}{2} \left[(n-1)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right)\right] = \frac{2n^2-n-1}{4(n+1)}$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x_i,y_i)(i=1,2,\ldots ，20)，其中x_i和y_i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得\sum^{20}_{i=1} x_i=60,\sum^{20}_{i=1} y_i=1 200,\sum^{20}_{i=1} (x_i-\overline{x})^2=80,\sum^{20}_{i=1} (y_i-\overline{y})^2=9 000,\sum^{20}_{i=1} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=800.$

$附：相关系数r=\frac{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}，\sqrt{2}\approx 1.414.$
根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

Solution:
分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样.

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关关系.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

Final answer: "分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样."
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.

$附： \chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $\alpha$  | 0.10  |0.05 | 0.010  | 0.005 | 0.001 |
|------|-------|------|-------|-------|-------|
| $x_\alpha$ | 2.706 |3.841| 6.635  | 7.879 | 10.828|
该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片.某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装批次M的有40人，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N的有60人，其中对开机速度满意的有58人.依据\alpha =0.005的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?

Solution:
$零假设为H_0：芯片批次与用户对开机速度满意度无关.由数据可建立2\times 2列联表如下：(单位：人)$

| 开机速度满意度 | 芯片批次 |   | 合计 |
| -------------- | -------- | - | ---- |
|                | M        | N |      |
| 不满意         | 10       | 2 | 12   |
| 满意           | 30       | 58| 88   |
| 合计           | 40       | 60| 100  |

根据列联表得

$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$=\frac{100 \times {(10 \times 58-2 \times 30)}^2}{40 \times 60 \times 12 \times 88}$

$\approx 10.67>7.879.$

$因此，依据\alpha=0.005的独立性检验，我们推断H_0不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关.此推断犯错误的概率不大于0.005.$

Final answer: ${H_0}不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关.此推断犯错误的概率不大于0.005.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.

$附： \chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $\alpha$  | 0.10  |0.05 | 0.010  | 0.005 | 0.001 |
|------|-------|------|-------|-------|-------|
| $x_\alpha$ | 2.706 |3.841| 6.635  | 7.879 | 10.828|

该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片.某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装批次M的有40人，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N的有60人，其中对开机速度满意的有58人.依据\alpha =0.005的独立性检验，证明：能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关。

Solution:
证明

$零假设为H_0：芯片批次与用户对开机速度满意度无关.由数据可建立2\times 2列联表如下：(单位：人)$

| 开机速度满意度 | 芯片批次 |   | 合计 |
| -------------- | -------- | - | ---- |
|                | M        | N |      |
| 不满意         | 10       | 2 | 12   |
| 满意           | 30       | 58| 88   |
| 合计           | 40       | 60| 100  |

根据列联表得

$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$=\frac{100 \times {(10 \times 58-2 \times 30)}^2}{40 \times 60 \times 12 \times 88}$

$\approx 10.67>7.879.$

$因此，依据\alpha=0.005的独立性检验，我们推断H_0不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关.此推断犯错误的概率不大于0.005.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二、高三随机抽取200名学生(该学校学生总数较多)，调查日均晨读时间，数据如表：

|日均晨读时间/分钟  |[0,10)|[10,20)|[20,30)|[30,40)|[40,50)|[50,60]|
|----------------|-------|--------|--------|--------|--------|------|
|人数            |5      |10      |25      |50      |50      |60    |

将学生日均晨读时间在[30,60]上的学生评价为“晨读合格”。

$参考公式：\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$

临界值表：

|\alpha      |0.1   |0.05  |0.01  |0.005 |0.001 |
|------|------|------|------|------|------|
|x_\alpha    |2.706 |3.841 |6.635 |7.879 |10.828|
$请根据上述表格中的统计数据填写下面2\times 2列联表，依据\alpha=0.05的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关？$

|       | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
|-------|--------|-------|----|
| 高二  |         |        |     |
| 高三  | 15       |        | 100  |
| 合计  |         |        |     |

Solution:
列联表如下：

|      | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
| ---- | -------- | ------- | ---- |
| 高二 | 25       | 75      | 100  |
| 高三 | 15       | 85      | 100  |
| 合计 | 40       | 160     | 200  |

\chi ^2=\frac{200 \times (25 \times 85-15 \times 75)^2}{100 \times 100 \times 40 \times 160}=3.125 < 3.841=x_{0.05}
所以依据\alpha =0.05的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关.

Final answer: $不能认为“晨读合格”与年级有关$
Subfield: Probability and Statistics


Question: 暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二、高三随机抽取200名学生(该学校学生总数较多)，调查日均晨读时间，数据如表：

|日均晨读时间/分钟  |[0,10)|[10,20)|[20,30)|[30,40)|[40,50)|[50,60]|
|----------------|-------|--------|--------|--------|--------|------|
|人数            |5      |10      |25      |50      |50      |60    |

将学生日均晨读时间在[30,60]上的学生评价为“晨读合格”。

$参考公式：\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d.$

临界值表：

|\alpha      |0.1   |0.05  |0.01  |0.005 |0.001 |
|------|------|------|------|------|------|
|x_\alpha    |2.706 |3.841 |6.635 |7.879 |10.828|

$请根据上述表格中的统计数据填写下面2\times 2列联表，依据\alpha=0.05的独立性检验，证明：不能认为“晨读合格”与年级有关。$

|       | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
|-------|--------|-------|----|
| 高二  |         |        |     |
| 高三  | 15       |        | 100  |
| 合计  |         |        |     |

Solution:
证明

列联表如下：

|      | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
| ---- | -------- | ------- | ---- |
| 高二 | 25       | 75      | 100  |
| 高三 | 15       | 85      | 100  |
| 合计 | 40       | 160     | 200  |

\chi ^2=\frac{200 \times (25 \times 85-15 \times 75)^2}{100 \times 100 \times 40 \times 160}=3.125 < 3.841=x_{0.05}
所以依据\alpha =0.05的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关.
Subfield: Probability and Statistics


Question: 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战在2022年11月21日打响，决赛于12月18日晚进行，全程为期28天.
$校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为P_n，即P_1=1．$

$证明：数列\left\{P_n-\frac{1}{4}\right\}为等比数列，并比较第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．$
$ 附：\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

| $\alpha $ | 0.10  | 0.05  | 0.010 | 0.005 | 0.001  |
|---|------|------|------|------|-------|
| $x_\alpha  $| 2.706 | 3.841 | 6.635  | 7.879 | 10.828 |

Solution:
$第n次触球者是甲的概率为P_n，则当n\geq 2时，第n-1次触球者是甲的概率为P_{n-1}，第n-1次触球者不是甲的概率为1-P_{n-1}，$
$则P_n=P_{n-1}\cdot 0+(1-P_{n-1})\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}(1-P_{n-1})，$
$从而P_n-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}(P_{n-1}<-\frac{1}{4}),$
$又P_1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}，\therefore \{P_n-\frac{1}{4}\}是以\frac{3}{4}为首项，-\frac{1}{3}为公比的等比数列．则P_n=\frac{3}{4}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{4}，$
$\therefore P_{19}=\frac{3}{4}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{18}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}，P_{20}=\frac{3}{4}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{19}+\frac{1}{4}<\frac{1}{4}，$
$则P_{19}>P_{20}，故第19次触球者是甲的概率大.$
Subfield: Probability and Statistics


Question: $一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代\ldots \ldots 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p_{i}(i=0，1，2，3).$
$设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+p_{3}x^{3}=x的一个最小正实根，求证：当E(X)\leq 1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；$

Solution:
$证明：设f(x)=p_3x^3+p_2x^2+(p_1-1)x+p0,  $
$由题意知p_3+p_2+p_1+p_0=1,  $
$故f(x)=p_3x^3+p_2x^2-(p_2+p_0+p_3)x+p_0,  $
$f'(x)=3p_3x^2+2p_2x-(p_2+p_0+p_3),  $
$若E(X)\leq 1,则p_1+2p_2+3p_3\leq 1,故p_2+2p_3\leq p_0,  $
$因为f'(0)=-(p_2+p_0+p_3)<0, f'(1)=p_2+2p_3-p_0\leq 0,  $
$f'(x)有两个不同零点x_1,x_2,且x_1<0<1\leq x_2,$
$当x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )时, f'(x)>0，  $
$当x\in (x_1,x_2) 时， f'(x)<0,$
$f(x)在(-\infty ,x_1)，(x_2,+\infty )上为增函数，$
$在(x_1,x_2)上为减函数，$
$若x_2=1，因为f(x)在(x_2,+\infty )上为增函数，在(x_1,x_2)上为减函数，且f(1)=0，  $
$故f(x)>f(x_2)=f(1)=0，  $
$1为关于x的方程：p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x的一个最小正实根，即p=1，故当E(x)\leq 1时，p=1.  $
$若x_2>1， 因为f(1)=0且f(x)在(0,x_2)上为减函数，  $
$故1为关于x的方程：p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x的一个最小正实根.  $
$若E(X)>1，则p_1+2p_2+3p_3>1，则p_2+2p_3>p_0，  $
$此时f'(0)=-(p_2+p_0+p_3)<0, f'(1)=p_2+2p_3-p_0>0,$
$f'(x)有两个不同零点x_3,x_4且x_3<0<x_4<1，$
$故f(x)在(-\infty ,x_3),(x_4,+\infty )上为增函数，在(x_3,x_4)上为减函数，而f(1)=0，故f(x_4)<0，  $
$又f(0)=p_0>0，所以f(x)在(0,x_4)上存在一个零点x_0，且x_0<1，  $
$所以x_0为关于x的方程：p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x的一个最小正根，即p<1，  $
$故当E(X)>1时，p<1.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD垂直于平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点。$

![24AXGK5SX136A.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610432352833537/img/compression/M_314b962e5e2e9234bdd92f4cb27925aa.jpg){: style="width: 130px;"}
$求证：EF\parallel 平面PAD；$

Solution:
证明：取PD的中点G，连接GF、AG。
$由题意知GF为\triangle PDC的中位线，$
$\therefore GF\parallel CD且GF=\frac{1}{2}CD，又AE\parallel CD且AE=\frac{1}{2}CD，$
$\therefore GF\parallel AE且GF=AE，\therefore 四边形EFGA是平行四边形，则EF\parallel AG，又EF\not\subset 平面PAD，AG\subset 平面PAD，\therefore EF\parallel 平面PAD。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD垂直于平面ABCD，E,F分别为棱AB,PC的中点。$

<img_2377>{: style="width: 130px;"}
$求证：EF\parallel 平面PAD；$

Solution:
证明：取PD的中点G，连接GF、AG。
$由题意知GF为\triangle PDC的中位线，$
$\therefore GF\parallel CD且GF=\frac{1}{2}CD，又AE\parallel CD且AE=\frac{1}{2}CD，$
$\therefore GF\parallel AE且GF=AE，\therefore 四边形EFGA是平行四边形，则EF\parallel AG，又EF\not\subset 平面PAD，AG\subset 平面PAD，\therefore EF\parallel 平面PAD。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$
![img](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610434089275394/img/compression/M_1ff01b93ef91913fc333df6cd8b28034.jpg){: width=123px}
$证明：DE\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：由条件可得AE=DE= 2\sqrt{2} ，又AD=4，所以AE^2+DE^2=AD^2，所以AE\perp DE，又因为PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，所以PA\perp DE，又PA\cap AE=A，所以DE\perp 平面PAE.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，PA\perp 平面ABCD，E是BC的中点.$
<img_2995>{: width=123px}
$证明：DE\perp 平面PAE；$

Solution:
$证明：由条件可得AE=DE= 2\sqrt{2} ，又AD=4，所以AE^2+DE^2=AD^2，所以AE\perp DE，又因为PA\perp 平面ABCD，DE\subset 平面ABCD，所以PA\perp DE，又PA\cap AE=A，所以DE\perp 平面PAE.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610437797040130/img/compression/M_0bd2b413dd3055d1a1d16e6ac2d321a2.jpg)
$证明：AB || l；$

Solution:
$证明：因为AB\parallel CD，CD\subset 平面PCD，AB不在平面PCD，所以AB\parallel 平面PCD。$
$又AB\subset 平面PAB，平面PAB\cap 平面PCD=l，所以AB\parallel l。$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP\perp BP，AP=BP，PD=\sqrt{6}.记平面PAB与平面PCD的交线为l.$

<img_1916>
$证明：AB || l；$

Solution:
$证明：因为AB\parallel CD，CD\subset 平面PCD，AB不在平面PCD，所以AB\parallel 平面PCD。$
$又AB\subset 平面PAB，平面PAB\cap 平面PCD=l，所以AB\parallel l。$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=\frac{1}{2}AD，\angle BAD=ABC=90^\circ ，E是PD的中点.$

![图](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610440640778243/img/compression/M_ac5b554fd278dbf4d0fd9c6033b7481e.jpg)
$证明：直线CE\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF\parallel AD，EF=\frac{1}{2}AD.$
$由\angle BAD=\angle ABC=90^\circ 得BC\parallel AD，又BC=\frac{1}{2}AD，所以EF\xlongequal{//} BC，所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE\parallel BF，又BF\subset 平面PAB，CE\not\subset 平面PAB，故CE\parallel 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=\frac{1}{2}AD，\angle BAD=ABC=90^\circ ，E是PD的中点.$

<img_392>
$证明：直线CE\parallel 平面PAB；$

Solution:
$证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF\parallel AD，EF=\frac{1}{2}AD.$
$由\angle BAD=\angle ABC=90^\circ 得BC\parallel AD，又BC=\frac{1}{2}AD，所以EF\xlongequal{//} BC，所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE\parallel BF，又BF\subset 平面PAB，CE\not\subset 平面PAB，故CE\parallel 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD\parallel BC，AD\perp AB，侧面PAB\perp 底面ABCD，PA=PB=AD=\frac{1}{2}BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点.$

<img_1889>
$证明：DE\parallel 平面PAB；$

Solution:
证明：取PB的中点M，连接AM，EM，
$因为E为PC的中点，所以ME平行于BC,ME=\frac{1}{2}BC，$
$又因为AD平行于BC,AD=\frac{1}{2}BC，$
所以ME平行于AD,ME=AD，所以四边形ADEM为平行四边形，
所以DE平行于AM，因为DE不在平面PAB，AM在平面PAB，所以DE平行于平面PAB。
Subfield: Solid Geometry


Question: $在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD\parallel BC，AD\perp AB，侧面PAB\perp 底面ABCD，PA=PB=AD=\frac{1}{2}BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点.$

![image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610442276556802/img/compression/M_7ab219725c44295ef41714e14b8f4507.jpg)
$证明：DE\parallel 平面PAB；$

Solution:
证明：取PB的中点M，连接AM，EM，
$因为E为PC的中点，所以ME平行于BC,ME=\frac{1}{2}BC，$
$又因为AD平行于BC,AD=\frac{1}{2}BC，$
所以ME平行于AD,ME=AD，所以四边形ADEM为平行四边形，
所以DE平行于AM，因为DE不在平面PAB，AM在平面PAB，所以DE平行于平面PAB。

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，M为PD的中点，N为BC的中点.

![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610443572596737/img/compression/M_d3dbbe623bb931acc1eccd378787e966.jpg)
$求证：MN\parallel 平面PAB；$

Solution:
证明：取AP的中点为E，连接EM，EB，
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610444608589826/img/compression/M_3a37981ca651d36ac8753a4d8896b6c0.jpg)
在$\triangle PAD中，\because M为PD的中点，E为AP的中点，$
$\therefore EM\parallel AD,EM=\frac{1}{2}AD,$
在正方形ABCD中，\because N为BC的中点， AD\parallel BC，
$\therefore BN\parallel AD,BN=\frac{1}{2}AD,$
$\therefore BN\parallel ME,BN=ME，\therefore 四边形BNME为平行四边形，$
$\therefore MN\parallel BE，\because MN不在平面PAB，BE在平面PAB，\therefore MN\parallel 平面PAB.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，M为PD的中点，N为BC的中点.

<img_340>
$求证：MN\parallel 平面PAB；$

Solution:
证明：取AP的中点为E，连接EM，EB，
<img_192>
在$\triangle PAD中，\because M为PD的中点，E为AP的中点，$
$\therefore EM\parallel AD,EM=\frac{1}{2}AD,$
在正方形ABCD中，\because N为BC的中点， AD\parallel BC，
$\therefore BN\parallel AD,BN=\frac{1}{2}AD,$
$\therefore BN\parallel ME,BN=ME，\therefore 四边形BNME为平行四边形，$
$\therefore MN\parallel BE，\because MN不在平面PAB，BE在平面PAB，\therefore MN\parallel 平面PAB.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 所在平面垂直，M是 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 上异于C，D的点.$
![19GZTLSX11.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610445841715203/img/compression/M_39256a3ec97e7c0575716accdc935b47.jpg)
$证明：平面AMD垂直于平面BMC；$

Solution:
$证明：由题设知，平面CMD\perp 平面ABCD，交线为CD.因为BC\perp CD，BC\subset 平面ABCD，所以BC\perp 平面CMD，故BC\perp DM.因为M为\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM\perp CM.又BC\cap CM=C，所以DM\perp 平面BMC.而DM\subset 平面AMD，故平面AMD\perp 平面BMC.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 所在平面垂直，M是 \overset{\LARGE{\frown}}{CD} 上异于C，D的点.$
<img_2074>
$证明：平面AMD垂直于平面BMC；$

Solution:
$证明：由题设知，平面CMD\perp 平面ABCD，交线为CD.因为BC\perp CD，BC\subset 平面ABCD，所以BC\perp 平面CMD，故BC\perp DM.因为M为\overset{\LARGE{\frown}}{CD}上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM\perp CM.又BC\cap CM=C，所以DM\perp 平面BMC.而DM\subset 平面AMD，故平面AMD\perp 平面BMC.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.$
<img_1691>
$证明：G是AB的中点；$

Solution:
$证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB\perp PD.$
$因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB\perp DE.$
$又PD\cap DE=D，所以AB\perp平面PED，故AB\perp PG.$
$又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点.$
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.$
![17GZTWS12.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610524208091140/img/compression/M_05f79eda2361e9a6a41f0593e519b0be.jpg)
$证明：G是AB的中点；$

Solution:
$证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB\perp PD.$
$因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB\perp DE.$
$又PD\cap DE=D，所以AB\perp平面PED，故AB\perp PG.$
$又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD, PA=AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC.$
![Image](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610527899078659/img/compression/M_3aa6de5a86d41cbb6e44a0b58230f0a2.jpg)
若点E为棱PC的中点，证明：$BE\parallel 平面PAD$；

Solution:
$证明：延长CB, DA交于点F，连接PF，$

$\because  DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC，\therefore 易证\triangle CDF是等腰三角形，\therefore 点B是CF的中点，又\because E是PC的中点，\therefore BE\parallel PF，又PF\subset 平面PAD, BE\not\subset 平面PAD，\therefore BE\parallel 平面PAD.$

![24AXGK5SX170.TIF](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610528243011585/img/compression/M_096bcdf063c71bfbea7171eb250f0a39.jpg)

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD\perp 平面ABCD, PA=AD=2, BD=4, AB=2\sqrt{3}，DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC.$
<img_1791>
若点E为棱PC的中点，证明：$BE\parallel 平面PAD$；

Solution:
$证明：延长CB, DA交于点F，连接PF，$

$\because  DB是\angle ADC的平分线，且BD\perp BC，\therefore 易证\triangle CDF是等腰三角形，\therefore 点B是CF的中点，又\because E是PC的中点，\therefore BE\parallel PF，又PF\subset 平面PAD, BE\not\subset 平面PAD，\therefore BE\parallel 平面PAD.$

<img_2075>
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E，F分别在棱DD_1，BB_1上，且2DE=ED_1，BF=2FB_1$
![21GZTLSX10.tif](https://cdntk.53zaixian.com/tq/1623610530721845251/img/compression/M_96ff668e6ba196b909bfa7be8108807e.jpg)
$证明：点C_1在平面_AEF内；$

Solution:
$设AB=a, AD=b，AA_1=c，如图，以C_1为坐标原点，\overrightarrow{C_1D_1}的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C_1-xyz.$

$证明：连接C_1F，则C_1(0，0，0)，A(a,b,c)，E\left(a,0,\frac{2}{3}c\right)，F\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，\overrightarrow{EA}=\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，\overrightarrow{C_1F}=\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，得\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{C_1F}，因此EA \parallel C_1F，即A，E，F，C_1四点共面，所以点C_1在平面AEF内.$

Final answer: 证明题
Subfield: Solid Geometry


Question: $如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点E，F分别在棱DD_1，BB_1上，且2DE=ED_1，BF=2FB_1$
<img_227>
$证明：点C_1在平面_AEF内；$

Solution:
$设AB=a, AD=b，AA_1=c，如图，以C_1为坐标原点，\overrightarrow{C_1D_1}的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C_1-xyz.$

$证明：连接C_1F，则C_1(0，0，0)，A(a,b,c)，E\left(a,0,\frac{2}{3}c\right)，F\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，\overrightarrow{EA}=\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，\overrightarrow{C_1F}=\left(0,b,\frac{1}{3}c\right)，得\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{C_1F}，因此EA \parallel C_1F，即A，E，F，C_1四点共面，所以点C_1在平面AEF内.$
Subfield: Conic Sections


Question: $已知椭圆E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为 \frac{1}{2}.$
$若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)，与直线x=2交于点M，\angle PFB的平分线与直线x=2交于点N，求证：点N是线段BM的中点.$

Solution:
证明：由对称性，不妨设点P在x轴上方.

①当直线PF的斜率存在时，因为FN平分\angle PFB，所以\angle PFB = 2\angle NFB，

$所以tan\angle PFB = \frac{2\tan \angle NFB}{1-{\tan }^2\angle NFB}，即k_PF_ = \frac{2k_{NF}}{1-k^2_{NF}}.$

设直线AP的方程为y = k(x + 2)，其中k > 0，

$联立 \left\{\begin{matrix}y=k(x+2),\\ 3x^2+4y^2=12,\end{matrix}\right. 消y可得(4k^2 + 3)x^2 + 16k^2x + 16k^2 - 12 = 0，$

$设点P(x1, y1)，则 -2 x1 = \frac{16k^2-12}{4k^2+3}，所以x1 = \frac{6-8k^2}{4k^2+3}，$

$则y1 = k(x1 + 2) = \frac{12k}{4k^2+3}，即点P \left(\frac{6-8k^2}{4k^2+3},\frac{12k}{4k^2+3}\right)，$

$所以k_PF_ = \frac{y_1}{x_1-1} = \frac{\frac{12k}{3+4k^2}}{\frac{6-8k^2}{3+4k^2}-1} = \frac{4k}{1-4k^2}，$

设直线FN的方程为y = m(x - 1)，则点N(2, m)，把x = 2代入 y = k(x + 2)得 y = 4 k, 即M(2, 4 k)，

$因为k_PF_ = \frac{2k_{NF}}{1-k^2_{NF}}，所以 \frac{4k}{1-4k^2} = \frac{2m}{1-m^2}，$

整理可得(2k - m)(2 km + 1)= 0，

$因为 km > 0，所以 m = 2 k，所以 \frac{y_N}{y_M} = \frac{m}{4k} = \frac{1}{2}，$

所以点N为线段BM的中点.

$②当直线PF的斜率不存在时，不妨设点P \left(1,\frac{3}{2}\right)，$

$则直线AP的方程为 y = \frac{1}{2}(x + 2)，所以点M(2,2)，$

又因为直线FN的方程为 y = x - 1，所以点N(2,1)，

所以点N为线段BM的中点.

综上可知，点N为线段BM的中点.