제목: 모두 수학을 즐겨주세요
카테고리: 문화/예술/체육/언론
청원기간: 2018-05-31 ~ 2018-06-30
참여인원: 2

-1. 문재인이 여긴 놀이터라고 했으니 올려보ㄱ... 0. 정수론에서 cohomlogy를 쓴다고 하면, sheaf cohomology도 물론 중요하지만 대부분은 etale cohomology, 그 중에서도 coefficient가 base field의 char.하고 다른 l-adic sheaf를 써요. 왜냐하면 이것이 singular cohomology하고 비슷하게 행동하기 때문이죠!! 그렇다면, 다른 cohomology를 만들 수 있을까요?? de Rham cohomology는 de Rham theorem으로 singular cohomology하고 똑같이 행동하는데, 그러면 정수론에서도 "de Rham-like" cohomology가 있을 수 있다고 기대할 수 있어요. 가장 첫번째 후보는 그냥 naive하게 정의된 algebraic de Rham cohomology인데, 이것은 char. 0 field에서만 제대로 작동해요. Example. (Cartier) k가 finite field라고 하자고요. char. p라고 하고요. 그러면 f가 k 위의 algebraic scheme X의 어떤 open subscheme의 section일 때 df^p=pf^{p-1}df=0이 되면서 de Rham complex에서 중요한 "local exactness"가 깨져요!! 특히 O_X->Ω^1_X의 kernel을 생각하면 나와야 할 것 같은 k가 아니고 O^p_X가 나옴 알 수 있어요. 이 현상을 좀 더 일반화하면, dR_X를 X 위에서 정의된 "naive" de Rham complex라고 한다면 H^i(dR_X)=Ω^i_{X"(1)"} 이 되는데, 여기에서 X(1)은 Spec k ->Spec k를 Frobenius라고 할 때 ....X(1)----->X ......|............| Spec k->Spec k 란 pullback sequence를 만드는 애예요. 이런 현상은 중요한데, Hodge-to-de Rham spectral sequence의 r=1 degeneracy를 이것이 증명해주기 때문지요!! 다른 방법으론 편미방을 쓴다는데 전 모르겠어요. 그렇기 때문에, 우리에겐 다른 게 필요해요. 이건 "진짜" de Rham cohomology가 아닌 셈이죠!! 따라서, 우리에겐 "진짜" de Rham-like cohomology가 있어야 하고, 이걸 "crystalline cohomology"라고 해요. 이것은 대충 말해서 x^n의 미분을 nx^{n-1}이 아니라 "x^{n-1}"로 만들어서 저 문제를 해결해요. 1. 본격적으로 가기 전에, 다음을 보자고요. Slogan. (Hegel) All differential structures on X are stored in non-reduced scheme under X Remark. 1단원에서 할 내용 전체는 Hegel의 독일 관념론의 일부라고 볼 수 있어요. 정확히는 Hegel의 science of logic의 304쪽 이후 내용의 "categorization"이 바로 1단원 내용이에요. 이런 직관으로, 우리는 X 위에 "infinitesimal topology"라는 걸 정의할 수 있어요. Definition. 1. U->T가 morphism of scheme이고 U는 X의 open subscheme일 때 이것이 "infinitesimally open" over X라는 것은 U->T가 closed immersion이고 topological space sense에서 homeomorphic일 때를 말한다. 2. X 위의 "infinitesimal covering"을 1의 조건을 만족하면서 \bigcup U_i=X인 {U_i->T_i}를 말한다고 하고 이것으로 만드는 Grothendieck topology를 X의 "infinitesimal topology"라고 하자. 그러면 우리는 sheaves of X in infinitesimal topology를 Sh_dR(X)라고 쓸 수 있고, 이건 enough injective인 abelian category가 되니까 F가 Sh_dR(X)의 object일 때 H^i_dR(X,F)를 정의할 수 있어요!! 이 topology에선 fibre product가 어떻게 생겼을까요?? (U->T)를 스스로 곱하면 Zariski topology에선 아무 변화 없겠지면 여기선 변화가 생겨요. 우린 이걸 (U(1)->T(1))이라고 쓰기로 한다면, U(1)은 그냥 U 자기 자신하고 아무런 다를 게 없지만 가환대수에서 볼 때 T(1)은 U 위에서 자기 자신하고 "tensoring"한 것과 같은 모습을 하고 있지요!! 그리고 당연한 diagonal morphism (U->T)->(U(1)->T(1))이 있겠고요. 다음을 정의하자고요. Definition. F\in ob(Sh_dR(X))라고 하자. 그러면 이것이 "crystal in infinitesimal topology"라는 것은 f:(U->T)->(U->T')라는 X의 infinitesimal open sets가 있을 때 f*F|_T->F|_T'가 isomorphism인 것이다. 이제, Hartshorne 2.8단원을 따라해 보자고요. 그니까 (U->T)->(U(1)->T(1))이란 diagonal morphism은 다음과 같은 O_X(U(1)->T(1))->O_X(U->T) 이란 morphism을 만들고, 그럼 이것의 kernel을 생각해서 I라고 하면 Ω^1_X(U->T):=I/I^2 라고 정의할 수 있지요!! 굳이 T(1)을 선택할 필요는 없어요. T'를 T의 first-order thickening이라고 하자고요. 그니까 T->T'가 있고 이것의 ideal sheaf의 square는 zero sheaf인 걸 생각해 보자고요. 그러면 우리는 아무 생각 없이 O_X(U->T')=O_X(U->T)\oplus Ω^1_X(U->T) 라고 정의하자고요. 이것은 structure sheaf를 infinitesimal topology 위의 sheaf로 만드는 작업이에요. 여기에서 algebra structure는 (x,y)(x',y')=(xx',xy'+x'y)로 주자고요. 그러면 f:(U->T)->(U->T')가 있을 때 f*O_X|_T=Ω^1_X(U->T) 가 되고, O_X|_T'는 T->T'의 ideal sheaf를 생각하면 똑같이 \Omega^1_X(U->T)니까 O_X는 crystal in infinitesimal topology가 되겠네요!! "crystal in infinitesial topology"를 등장시킨 이유는 간단해요. Z가 있으면 Z-module이 있고 Q_l이 있으면 lisse sheaf가 있듯이 이것하고 대응되는 개념이 필요한 것 뿐인데, de Rham complex 위에 있는 것이 바로 crystal인 것 뿐이지요!! 그니까, 잠깐 가환대수로 내려와서, A'가 A의 first-order thickening이라고 할께요. 그러면 A->A'란 두 morphism을 우리는 만나볼 수 있는데, A'를 I가 A'->A의 kernel일 때 A\oplus I로 표현한다면 하나는 x|->(x,0)이고 또 하나는 x|->(x,dx)예요. 여기에서 dx는 A->Ω^1_{A'/A}=I/I^2=I란 canonical morphism이에요. 그럼 이걸 대수기하로 바꿔서, (U->T)->(U->T')가 있을 때 T->T'란 두 "projection"을 생각할 수 있게 돼요. 그러면 x|->(x,0)을 p_0라고 하고 나머지를 p_1이라고 하고 F가 X 위의 crystal in infinitesimal topology일 때 p*_1-c(p_0):F|_T->Ker(p*_1F|_T->F|_T) 를 생각할 수 있고, 여기에서 c는 c_0:p*_0F|_T->F|_T'<-p*_1F|_T:c_1 이 있을 때 crystal in infinitesimal topology의 정의로 c=c^{-1}_1\circ c_0로 정의한 건데, 그냥 "장소" 똑같이 맞추려고 끼워맞춘 것 뿐이고 별 거 없어요. 우리는 이것을 "전미분"이라고 생각할 수 있지요!! 특히 다음과 같은 presentation O^J_X->O^I_X->F->0 을 잡고 O_X의 "정의"를 생각하고 crystal in infinitesimal topology하고 five lemma를 생각한다면 F|_T'=F|_T\oplus Ω^1_X|_T가 되고, 따라서 이것은 ∇:F|_T->F|_T\otimes_{O_X} Ω^1_X|_T 를 만들어요. 이것은 ∇(fs)=f∇(s)+s\otimes df 를 만족하는 것은 노가다로 알 수 있어요. 그러면, 저 ∇(fs)=f∇(s)+s\otimes df를 만족하는 애를 "connection"이라고 부르는데, 그럼 connection은 crystal in infinitesimal topology를 모두 만들 수 있는가?? 이건 어려운 문제같아요. 저로선 잘 모르겠어요 (...) 이렇게, X가 field k 위의 scheme이고 F가 crystal in infinitesimal topology일 때 우리는 다음과 같은 morphism을 만들 수 있어요. (0->F->F\otimes_{O_X}Ω^1_{X/k}->F\otimes_{O_X}Ω^2_{X/k}->...)->F[0] 그러면 이것이 quasi-isomorphism인지에 대해서 알아야 하는데, X_inf를 infinitesimal site on X라고 하고 u:X_inf->X_Zar을 생각할 때 여기에 u_*를 씌우면 X가 "char. 0" field 위의 algebraic smooth scheme일 때 이것은 quasi-isomorphism이 돼요!! 이것을 "Poincare lemma"라고 하지요. 증명은 crystalline cohomology에 대한 Poincare lemma보다도 더 심각한 노가다... 대충 sketch를 하자면 etale base change에 대해서 Kahler differentials가 바뀌지 않으니까 polynomial ring에 대해서만 증명하면 되고, 여기에 대해선 진짜 노가다예요. 어쨌든, 그러면 F가 crystal in infinitesimal topology라면 H^i_dR(X,F)=H^i_Zar(X,F_{dR,X/k}) 라는 걸 증명할 수 있어요. 여기에서 F_{dR,X/k}=(0->F->F\otimes_{O_X}Ω^1_{X/k}->F\otimes_{O_X}Ω^2_X->...) 예요. 2. 그러면, 저 Hegel's slogan에서 어디가 잘못되었기에 char. p field 위에선 de Rham cohomology가 잘 작동하지 않는 걸까요?? 이것은 "non-reduced scheme"에서 잘못된 거예요!! 그니까 우리가 다루어야 한 scheme은 non-reduced scheme이 "아니라" 좀 더 다른 거란 거예요. 이런 잘못됨은 naive하게 생각하면, x^n의 미분이 nx^{n-1}이란 데에서 시작해요. n=p면 이건 char. 0에선 p가 invertible이니까 아무 문제 없지만, char. p에선 큰 문제점으로 다가오지요. 그래서 "divided power structure"로 x^n의 미분을 강제로 x^{n-1}로 만들고 나면 문제가 해결되고, 그대로 Poincare lemma도 성립하게 되어서 아무 문제 없게 되어요. 좀 더 깊숙히 들어가면, 이것은 일종의 "도망"이라고 생각할 수 있어요. 그러니까 char. p에선 잘 작동 안 하니까 coefficient를 char. 0인 데로 "도망"시켰다고 생각하면 되지요. 저 미분규칙을 바꾸는 것은 일종의 도망가는 과정이라고 할 수 있고요. 이 도망가는 과정은 Witt vector를 생각하게 되는데, 여기에서 de Rham complex는 새롭게 바뀌게 되어요. "de Rham-Witt complex"로 말이죠!! 그렇다면, Hegel's slogan 없이도 일종의 이데아인 de Rham-Witt complex를 정의할 수 있다면 crystalline cohomology를 정의할 수 있는데, Dieudonne complex를 정의하고 이것들의 일종의 "universal object"로 de Rham-Witt complex를 정의한다면 Hegel's slogan 없이도 crystalline cohomology를 정의할 수 있어요. 물론 de Rham-Witt complex를 structure sheaf로 보려면 Hegel's slogan이 있어야 하겠지만요. 그래서 전 de Rham-Witt complex를 직접 정의하는 것보단 이런 방식이 좀 더 좋아요. 그럼, 하나 좀 어지러워 보이는 걸 정의하자고요. Definition. A가 ring이고 I가 A의 ideal이라고 하자. 그러면 γ_n:I->A가 다음 조건들을 만족할 때 1. γ_0(x)=1, γ_1(x)=x 2. γ_n(x+y)=\sum_{i+j=n}γ_i(x)γ_j(y) 3. n이 양수일 때 γ_n(x)는 언제나 I의 원소 4. γ_n(ax)=a^nγ_n(x) 5. γ_n(x)γ_m(x)=\binom{m+n}{n}γ_{m+n}(x) 6. γ_m(γ_n(x))=(mn)!/((m!)^nn!)γ_{mn}(x) (A,I,γ)를 "divided power ring"이라고 하고 γ를 "divided power structure"라고 하자. 그리고 두 divided power ring (A,I,γ),(B,J,\delta)가 있을 때 둘 사이의 morphism을 f:A->B란 ring homomorphism, IB\subseteq J, f(γ_n(x))=δ_n(f(x)) 세 조건으로 정의하자. 그러면 divided power rings의 category인 Div를 정의할 수 있다. Remark. A가 char. 0 field 위의 algebra일 때 divided power structure는 유일하게 있게 돼요. 그냥 γ_n(x)=x^n/n!으로 정의하면 말이죠. 그럼 두번째는 그냥 이항정리고 나머지는 아주-더러운 표현이죠. 그럼, 우리가 직관적으로 하고자 하는 것은, 바로 γ_n(x)를 미분하면 γ_{n-1}(x)가 나온단 거예요!! 그러니까 γ_n(x)를 x의 일종의 "divided n제곱"으로 보고 싶은 거지요. Example. (A,I,γ)가 divided power ring일 때 comma category Div_{(A,I,γ)}를 생각할 수 있고, 그러면 forgetful functor Div_{(A,I,γ)}->Set을 생각할 수 있어요. 그럼 이건 free functor가 있게 되는데, 이걸 F라고 쓴다면 S가 set일 때 F(S)를 A<{x_i}_{i \in S}>라고 쓰자고요. 이것은 대충 x^{"[n]"}_i들을 모았다고 생각할 수 있는데, 여기에서 x^[n]은 x^n/n!정도의 의미를 가져요. 그니까 A=Z, I=(0), γ는 자명한 걸로 주면 A<x>는 Z[x,x^2/2!,...,x^n/n!,...]가 되지요. 그럼, 우리가 잘 아는 category of rings에서 category of divided power rings로 옮기는 방법을 알아보자면, Comm^nu를 (A,I)들의 category라고 하고 morphism은 (A,I)->(B,J)를 f(I)B\subseteq J일 때라고 하자고요. 그러면 forgetful functor Div_{(A,I,γ)}->Comm^nu_{(A,I)}가 있게 되고, 이것은 left adjoint가 있고, (B,J)를 이런 left adjoint로 옮긴 것을 (D_B(J),J,δ)라고 쓰자고요. Example. 위의 작업을 "divided power enveloping"이라고 해요. 당연히 우리가 잘 쓰고 있는 ring은 divided power structure가 없는데, 거기에다가 divided power structure를 억지로 집어넣은 것이죠. 그러면, A가 char. 0라면 D_B(J)는 J의 원소를 x라고 하면 x^n/n!들을 모두 집어넣은 모습을 하고 있어요. 그니까 A[x]는 D_{A[x]}(x)=A<x>=A[x,x^2/2!,...,x^n/n!,...]가 되는 식으로요. 그러면, flat map에 대한 gross technical lemma의 divided power version이 있어요. Theorem. (A,I,γ)가 divided power ring이고 B->B'가 A-algebra로 algebra homomorphism이라고 하자. 그러면 1. B/IB->B'/IB'가 flat이고 2. Tor^A_1(B',B/IB)=0이면 모든 IB\subseteq J\subseteq B에 대해서 D_B(J)\otimes_B B'=D_B'(JB')가 된다. D_B(J)만 J로 쏙 바꾸면 그냥 flatness criterion이죠. 증명은 생략할께요. 그러면, 다음 lemma를 볼께요. Lemma. (A,I,γ)가 divided power ring이라고 M이 A-module이라고 하자. 그리고 B=A\oplus M이라고 하고 이것을 A-algebra로 보자. 그러면 J=I\oplus M이라고 하고 δ_n(x+z)=γ_n(x)+γ_{n-1}(x)z 라고 하면 δ는 divided power structure가 되고 A->B는 (A,I,γ)->(B,J,δ)를 만든다. stacks에 있는 lemma 그대로 배껴왔어요. 그냥 divided power structure는 reduced structure가 올라가도 똑같이 확장 가능하단 간단한 이야기예요. Proof) 계산 매우 귀찮으니 pass 그럼, 아주 중요한 이야기를 할 텐데, divided power structure로 Kahler differentials가 정의 가능하단 이야기를 할 거예요!! 사실상 divided power structure가 존재하는 이유지요. Definition. (B,J,δ)가 divided power ring이라고 하고 A->B가 있다고 하자. 그러면 Ω^1_{B/A,δ}를 {\sum a_idb_i}를 적당한 addition rule하고 a(d(bb')-bdb'-b'db)의 formal sum들하고 a(dδ_n(x)-δ_{n-1}(x)dx)의 formal sum들로 나눈 B-module이라고 하자. 그럼 이것도 x|->dx로 B->Ω^1_{B/A,δ}를 정의할 수 있고, 같은 방식으로 de Rham complex를 정의할 수 있는데, Kahler differentials하고 한 가지 다른 점은 dδ_n(x)=δ_{n-1}(x)dx라는 점이지요. 그러니까 보통의 Kahler differentials보단 조금 더 "작아요". 3. 그러면, 이걸로 topology를 정의할 차례네요. 편의상 앞으로 모든 scheme은 Z_{(p)} 위의 scheme이라고 할께요. Definition. X가 scheme이라고 하자. 1. 그리고 I가 X의 어떤 ideal sheaf라고 하자. 그러면 I의 "divided power structure" γ_n:I->O_X는 각 open subscheme U마다 γ_n:I(U)->O_X(U)가 divided power structure여야 한다. 2. U가 X의 open subscheme이고 U->T가 infinitesimally open on X라고 하자. 그럼 이것의 ideal sheaf에 divided power structure가 있을 때 이것을 "crystalline open"이라고 하자. 3. {U_i->T_i}가 모두 X에서 crystalline open이고 \bigcup U_i=X일 때 이것을 crystalline cover라고 하자. 4. crystalline cover로 만드는 topology를 "crystalline topology"라고 하자. 5. f:(U->T)->(U->T')가 있다고 하자. 그리고 F는 crystalline site의 quasi-coherent sheaf라고 하자. 그러면 f*F|_T=F|_T'일 때 F를 "crystal"이라고 하자. structure sheaf를 crystal로 만드는 작업은 1단원하고 완전히 같고, crystal로 connection을 만드는 과정도 완전히 같아요. 그럼 편의상 가환대수에서만 생각해보면, 그러니까 (A,I,γ)가 divided power ring이고 P=A[{x_i}]가 polynomial ring이고 B가 A-algebra일 때 적당한 P가 있어서 P->B라는 surjection이 있고, 이것의 kernel을 J라고 하고, 그러면 다음과 같이 정의할 수 있어요. D=lim D_P(J)/p^nD_p(J) 여기에서 lim은 n에 대해서 진행하는 거라고 하자고요. 이것은 "p-completed" divided power envelope라고 생각할 수 있어요. 여기에 달린 divided power structure를 γ'라고 하면, 그럼 "p-completed" Kahler differentials도 정의할 수 있어야 하겠죠?? Ω^1_D=\lim Ω^1_{D/A,γ'}/p^nΩ^1_{D/A,γ'} 그럼, 이것이 우리가 원하는 "진짜" Kahler differentials라고 생각할 수 있어요. char. 0로 도망쳤지, 거기다가 divided power structure를 반영하기까지 하니까요!! 그리고 다음과 같은 map d:D->Ω^1_D 가 당연히 있어요. Spec D 자체는 Spec B의 crystalline site엔 없어요. 이건 prismatic site에 있어야 하는 애지요. 하지만 그래도 우리는 이것의 fibre product를 생각해볼 수 있고, 이것을 정의하는 건 뭐 J(n)=Ker(P\otimes_A \cdots \otimes_A P->B) 로 정의하고 같은 방식으로 D(n)을 정의할 수 있어요. 그러면, 다음 네 조건을 볼께요. 1. M is a p-complete D-module 2. ∇:M->M\otimes^{\wedge}_D Ω^1_D is a connection. i.e., ∇(fm)=m\otimes df+f∇(m) 3. ∇ is integrable. i.e., ∇ \circ ∇=0 4. ∇ is "topologically quasi-nilpotent": If we write ∇(m)=\sum \theta_i(m)dx_i for some operators \theta_i:M->M, then for any m \in M there are only finitely many pairs (i,k) s.t. \theta^k_i(m)\notin pM 이건 그냥 stacks에 있는 내용 그대로 따라서 써본 건데, 네번째가 특이하다고 할 수 있겠네요. 이건 사실 가장 중요한 내용이라고 할 수 있는데, 저걸 계속 하면 coefficient가 점점 작아진단 내용을 담고 있거든요. Dieudonne complex 정의에도 나오는 중요한 성질이에요!! 그리고 stacks 왈 이 네 조건으로 crystal을 하나 만들 수 있다고 하네요. 어쨌든, 우리에게 중요한 것은 이건 아니니까요. 4. 다음을 볼 거예요. Theorem. (Poincare lemma) A가 ring이고 P=A<{x_i}>=D_A[{x_i}](({x_i}))라고 하자. 그러면 A-module M에 대해서 다음 complex 0->M->M\otimes_A P->M\otimes_A Ω^1_{P/A,δ}->M\otimes_A Ω^2_{P/A,δ}->... 는 exact가 된다. 이것은 D를 써서 0->M->M\otimes^_A D->M\otimes^_A Ω^1_D->M\otimes^_A Ω^2_D->... 가 exact하단 내용으로 바꿀 수 있다. Proof) 그냥 Poincare lemma하고 증명이 그냥 똑같아요. index 하나일 때만 sketch해보면 먼저 원소 m\otimes f를 하나 잡고 ∇를 씌우면 f=\sum a_i x^[i]라고 하면 ∇(m\otimes f)=m\otimes df+f∇(m\otimes 1) =m\otimes \sum a_ix^[n-1]dx+f∇(m\otimes 1) =(\sum a_i x^[i-1] m+\sum a_i x^[i] \theta(m)) dx 이 되고, 이게 0이 되려면 x^[0] 확인해서 a_1=0 나오고, 이렇게 쭉 가면 a_i들이 i=0일 때 빼고 모두 0이 되어야 하니까 f는 상수고, 따라서 m\otimes f는 M->M\otimes_A P의 image 안에 있겠죠?? D 나오는 건 그냥 completion 취한 것밖에 안 되고요. 이건 미분이 여전히 (x^n)'=nx^{n-1}이었으면 증명 못 했을 거예요. 그럼, 다음을 증명할 수 있어요. Theorem. A가 ring이고, (B,J,δ)가 divided power ring이고, P=B<{x_i}>라고 하자. 그리고 M은 B-module인데, ∇:M->M\otimes_B Ω^1_{B/A,δ}가 integrable이라고 하자. 그러면 M\otimes_B Ω*_{B/A,δ}->M\otimes_P Ω*_{P/A,δ} 는 quasi-isomorphism이고, 이건 D,D'를 각각 B,P의 completion이라고 했을 때 M\otimes^_B Ω*_D->M\otimes^_P Ω*_D' 도 마찬가지다. Proof) 다음 exact sequence를 생각하자고요. 0->Ω^1_{B/A,δ}\otimes_B P->Ω^1_{P/A,δ}->Ω^1_{P/B,δ}->0 여기에서 0->은 polynomial algebra의 cotangent complex가 degree 0에 concentrate되어 있단 것에서 와요. 그럼 이것은 마지막 module이 free니까 split하고, 저 morphism between complexes의 homotopy cokernel은 M\otimes_B Ω*_{P/B,δ}가 되고, 이건 Poincare lemma로 0이지요!! 간단한 lemma를 보고 싶어요. Lemma. 다음 complex는 exact다. Ω^1_D(0)->Ω^1_D(1)->Ω^2_D(2)->... Proof) 그냥 P->P\otimes_A P->P\otimes_A P\otimes_A P->... 이게 exact라는 것과 동치인데, 이건 cosimplicial set으로 자주 나오는 예제고 너무 당연하게 exact고, 이제 여기에 Kahler differentials를 씌워도 P들이 모두 polynomial ring이니까 x_i로 하던 걸 dx_i로 살짝쿵 바꾸면 그냥 끝나고, 남은 건 이제 divided power envelope하고 completion인데 둘 다 쉽게 돼요. 이제, T(n)_e:=Spec D(n)/p^eD(n)이라고 할께요. 그러면 F가 affine scheme X=Spec B 위의 crystal일 때 M=lim Γ((X,T(n)_e,δ(n)),F) 를 만들 수 있게 되고, 다음이 성립하지요. Lemma. X가 quasi-separated and quasi-compact고 F가 crystal일 때 M(0)->M(1)->M(2)->... 는 RΓ(X_cris,F)하고 quasi-isomorphic이다. 여기에서 X_cris는 crystalline site다. 그냥 Cech nerve로 T(0)을 생각하면 되는 일이에요. {X->T}는 crystalline covering이니까요. 그렇다면, 대망의 정리를 보자고요 Theorem. X가 field k 위의 algebraic scheme이고 F가 X 위의 crystal이라고 하자. 그리고 ∇를 F에 달린 connection이라고 생각한다면 complex M\otimes^_D Ω*_D는 RΓ(X_cris,F)하고 quasi-isomorphic이다. Proof) 이런 게 보이면 언제나 하는 게 E^{ij}_0:=M\otimes^_D Ω^i_D(j) 로 spectral sequence 만들기인데, 먼저 i>0일 때 E^{ij}_0은 i 고정일 때 위의 lemma로 acyclic이고, 이번엔 i=0으로 두면 E^{0j}_0은 RΓ(X_cris,F)하고 quasi-isomorphic해요. 그러면 가로를 de Rham complex로, 세로를 Cech complex로 두면 가로 먼저 cohomology를 구하면 r=1일 때부터 많이 간단한데, 세로는 Poincare lemma로 E^{ij}_1=H^i(M\otimes^_D Ω*_D) 가 되고, 그니까 이건 j에 대해서 독립이에요!! 그리고 여기에 달린 morphism은 cosimplicial set에 달린 morphism을 생각하면 Poincare lemma로 \sum (...)에서 (...) 부분이 모두 같아지니까 E^{i0}_1->E^{i1}_1->E^{i2}_1->... 은 0, id, 0, id,... 이 순서대로 흘러가고, 따라서 r=2에선 first row 빼고 (이 땐 H^i(M\otimes^_D Ω*_D)) 모두 0이 되고, first row에서 들어오거나 나가는 화살표는 (두 칸씩 내려가니까) 각각 0이 source거나 target이고, 따라서 모두 Tot(E^{ij}_0)으로 converges하니까 가로 세로가 둘이 같아질 수밖에 없겠죠?? 5. 이렇게 보니까, 아주 잘 작동하는 것처럼 보이네요!! 하지만 몇 가지 결점이 있는데, 5.1. 그냥 naive하게 coefficient sheaf로 O_X를 쓰는 경우, finite field 위의 projective scheme의 crystalline cohomology는 infinite group(!!)이다. 이 점은 crystalline cohomology에서 쓰는 ring이 우리가 잘 아는 ring이 아니라 "divided power" ring이라서 그래요. 그렇기에 divided power ring하고 그냥 ring하고 다른 점이 없도록 뭔가를 해줘야 할 필요를 느끼는데, k가 char. p perfect field일 때 Witt vectors W(k)를 생각할 거예요. 단 이 때는 X가 k에서 W(k)로 lifting이 가능해야 하는데, 그러면 X를 W_n(k)로 lifting한 것을 X_n이라고 한다면 H^i_cris(X/W):=lim H^i_cris(X_n/W_n(k),O_{X_n}) 으로 정의할 수 있어요. 이것은 아주 잘 작동하는 crystalline cohomology죠!! 이건 W(k)-module이 될 거고요. 덤으로 Frobenius도 붙고요. 5.2. 두 번째는 이것이 X가 smooth가 아니면 잘 작동하지 않는단 거예요. 그니까 projective여도 smooth가 아니면 finite W(k)-module이 되지 않아요. 이 점에 대해선 최근에 나온 논문인 http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/Crystalline.pdf가 아주 잘 해결해 줄 거라고 전 믿고 있어요. 그러면, 궁극적으로, divided power structure는 도대체 왜 나와야 하는 걸까요?? 저도 이것은 확실한 답을 내릴 순 없지만, Frobenius가 붙는단 것에 큰 초점을 맞춰야 한다고 생각해요. 그러니까 de Rham complex에선 Frobenius는 그냥 zero map이지만(그리고 이것이 Poincare lemma가 성립하지 않는 본질적 이유지만) crystalline cohomology에선 아주 잘 붙어요. 그렇다면 divided power structure를 저렇게 정의하긴 했지만, 우린 좀 더 나아갈 수 있을 거라고 생각할 수 있어요.(그러니까 x^n의 미분이 n에 상관 없이 모두 nx^{n-1}이 아니라 x^{n-1}이 되도록 했는데 n이 p의 거듭제곱일 때만 이렇게 되도록!!) 이렇게 refine한 cohomology가 바로 \delta-ring을 기반으로 한 "prismatic cohomology"인데, 아직 논문 하나 안 나왔어요 (...) 6. 이제 다 쓴 것 같네.