despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
观察下列各式及其验证过程：
① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$ .
验证：  $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}=\sqrt{\frac{\left(2^{3}-2\right)+2}{2^{2}-1}}$ $=\sqrt{\frac{2 \times\left(2^{2}-1\right)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$ .
② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$ .
验证： $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{\frac{\left(3^{3}-3\right)+3}{3^{2}-1}}$ $=\sqrt{\frac{3 \times\left(3^{2}-1\right)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$ .
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $4\sqrt{\frac{4}{15}}$ 信的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式，其中n为自然数，且n≥2,并进行证明.
知识点：二次根式的乘除法
阅读材料:将分母中的根号化去叫做分母有理化.分母有理化的方法一般是把分子、分母都乘同一个适当的代数式,使分母不含根号.
例如 $\colon\frac{ 1 } { \sqrt2 }=\frac{ 1 \times\sqrt2 } { \sqrt2 \times\sqrt2 }=\frac{ \sqrt2 } { \left( \sqrt2 \right) ^ { 2 } }=\frac{ \sqrt2 } { 2 }.$  
(1)将  $\frac{ 1 } { \sqrt{ 2 } + 1 }$  分母有理化可得____；
(2)求方程  $3x-\frac{ 1 } { 2 }=\frac{ 1 } { 1 + \sqrt3 }+\frac{ 1 } { \sqrt3 + \sqrt5 }+$    $\frac{ 1 } { \sqrt5 + \sqrt7 }+\cdots+\frac{ 1 } { \sqrt{ 9 7 } + \sqrt{ 9 9 } }$  的解
知识点：二次根式的乘除法
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC,FC $\bot$  AC.
(1)求证：△ABE≌△CDF;(2)若∠B=30°，∠AEC=45°，求证：AB=AF.
知识点：平行四边形的性质
如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，已知AE=CF.求证：DE=BF.

知识点：平行四边形的性质
下列运算正确的是(    )                 
 A. $\sqrt3+\sqrt3=3$  
 B. $4\sqrt5-\sqrt5=4$  
 C. $\sqrt3\times\sqrt2=\sqrt6$  
 D. $\sqrt{ 3 2 }\div\sqrt8=4$ 
知识点：二次根式的混合运算
估计 $\sqrt3\times\left(2\sqrt3+\sqrt5\right)$  的值应在(    ) 
 A. 10和11之间 
 B. 9和10之间 
 C. 8和9之间 
 D. 7和8之间
知识点：二次根式的混合运算
下列计算中,正确的是     （    ）             
 A. $\left(2\sqrt5+\sqrt2\right)\left(\sqrt5-\sqrt2\right)=2\left(\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2=10-2=8$  
 B. $\left(\sqrt7-\sqrt3\right)^2=7-3=4$  
 C. $\left(2\sqrt2-3\sqrt3\right)\left(2\sqrt2+3\sqrt3\right)$ $=(2\sqrt{2})^2-(3\sqrt{3})^2=8-27=-1$   
 D. $\left(\sqrt7+\sqrt3\right)\times\sqrt{ 1 0 }=\sqrt{ 1 0 }\times\sqrt{ 1 0 }=10$ 
知识点：二次根式的混合运算
$\frac{ \sqrt3 } { \sqrt3 + \sqrt{ 1 2 } }=$  ____
知识点：二次根式的混合运算
一个梯形的高为  $\left(2\sqrt2-\sqrt3\right)cm,$  它的上底长为  $\left(\sqrt3+\sqrt2\right)cm,$  下底长为  $2\sqrt3cm,$  ,则其面积为____  $cm^2.$  
知识点：二次根式的混合运算
$\sqrt8\cdot\sqrt6-3\sqrt{ \frac{ 4 } { 3 } };$  
知识点：二次根式的混合运算
$\left(\sqrt3-2\right)^2$    $+\sqrt{ 1 2 }+6\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } };$  
知识点：二次根式的混合运算
$({14\sqrt{ 5 4 }-8\sqrt{ 2 4 }-\sqrt{ 2 1 6 }})$ $\div2\sqrt6\times\frac{ 1 } { \sqrt6 };$  
知识点：二次根式的混合运算
$\left(3+\sqrt2\right)\left(2-\sqrt2\right)+\left(1+\sqrt2\right)^2.$  
知识点：二次根式的混合运算
$\left(\sqrt{ 2 7 }-\sqrt{ 1 2 }\right)\times\sqrt{\frac{1}{3}}=$________;
知识点：二次根式的混合运算
下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：中心对称图形
下列调查中,不适合采用普查的是(    ) 
 A. 对进入地铁站的旅客携带物品的安检 
 B. 调查我校七年级全体学生的入学数学成绩 
 C. 对全校同学进行每日温度测量统计 
 D. 检测某城市的空气质量状况
知识点：调查收集数据的过程与方法
代数式  $\sqrt{ 3 - x }+\frac{ 1 } { x - 1 }$  中x的取值范围在数轴上表示为(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：数轴
下列根式中,一定不是最简二次根式的是(    )       
 A. $\sqrt{ 2 x + 1 }$   
 B. $\sqrt{14}$  
 C. $\sqrt{0.5}$  
 D.  $\frac{ \sqrt{ 2 b } } { 4 }$ 
知识点：最简二次根式
高尔基说:“书,是人类进步的阶梯.阅读可以丰富知识,拓展视野,充实生活,给我们带来愉快.许昌市某中学计划在各班设立图书角,为合理搭配各类书籍,学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题,对全校学生进行抽样调查,收集整理喜爱的书籍类型(A.科普,B.文学,C.体育,D.其他)数据后,绘制出两幅不完整的统计图,则下列说法错误的是(    )
 
 A. 类型C所占百分比为30% 
 B. 类型D所对应的扇形的圆心角为  $36^{\circ}$   
 C. 样本容量为400 
 D. 类型B的人数为120人
知识点：扇形统计图、条形统计图、统计图的选择
如图, 在平行四边形ABCD中, 用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为(     )
 
 A. 5 
 B. 6 
 C. 8 
 D. 12
知识点：命题与证明
如图, 菱形ABCD的边长为  $2\sqrt3,$  矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上, E为AD中点, 若顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上,则FH的长为()
 
 A. 4 
 B. 5 
 C.   $2\sqrt2$   
 D.   $2\sqrt3$  
知识点：命题与证明
如图, 正方形ABCD的顶点A在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上,顶点B、C在x轴上,对角线DB的延长线交y轴于点E,连接CE,若△BCE的面积是6,则k的值为(    )
 
 A. 6 
 B. 8 
 C. 9 
 D. 12
知识点：命题与证明
$\left(\sqrt3+\sqrt2\right)^2-\sqrt{ 2 4 }=$  ____
知识点：二次根式的混合运算
下列根式中,与  $\sqrt3$  是同类二次根式的是        
 A.  $\sqrt{ 1 2 }$  
 B.  $\sqrt{ 1 8 }$  
 C.  $\sqrt[ 3 ] 6$  
 D.  $\sqrt{ \frac{ 2 } { 3 } }$ 
知识点：二次根式的加减法
下列运算中,正确的是                 
 A.  $\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt5$  
 B.  $2\sqrt2-\sqrt2=2$  
 C.  $\sqrt{ \left( - 3 \right) \times\left( - 5 \right) }=\sqrt{ - 3 }\times\sqrt{ - 5 }$  
 D.  $\sqrt6\div\sqrt3=\sqrt2$ 
知识点：二次根式的加减法
已知等腰三角形的两条边长分别为1和  $\sqrt5,$  则这个三角形的周长为 
 A.  $2+\sqrt5$  
 B.  $1+2\sqrt5$  
 C.  $2+\sqrt5$ 或 $1+2\sqrt5$  
 D.  $1+\sqrt5$ 
知识点：二次根式的加减法
计算:  $\sqrt8-|\sqrt2-2|+\sqrt{ \left( - 2 \right) ^ { 2 } }=$  ____
知识点：二次根式的加减法
已知最简二次根式  $\sqrt{ x + 6 }$  与  $\sqrt8$  是同类二次根式,则x的值为____.
知识点：二次根式的加减法
化简:  $\colon\sqrt{ 1 - x }+\sqrt{ x - 1 }=$  ____
知识点：二次根式的加减法
若两个正方形的面积分别为S,4S(S\gt0),则这两个正方形的边长之和为____
知识点：二次根式的加减法
计算： $\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}+$   $\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|-\sqrt{(-2)^{2}}$    
知识点：二次根式的加减法
$\frac{ 2 } { 3 }\sqrt{ 9 x }+6\sqrt{ \frac{ x } { 4 } }-2x\sqrt{ \frac{ 1 } { x } }\left(x\gt0\right)$  
知识点：二次根式的加减法
已知矩形的长  $a=\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 3 2 },$  宽  $b=\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 1 8 }.$ 
 (1)求该矩形的周长;
(2)求与该矩形等面积的正方形的周长,并比较该正方形与该矩形的周长的大小关系.
知识点：二次根式的加减法
有下面四组二次根式(其中x\gt0);  
① $\sqrt{0.125}$ 与 $\sqrt{128}$ .
② $\sqrt{75}$ $\sqrt{\frac{1}{50}}$ 与.
③ $\sqrt{\frac{1}{12 x}}$ 与 $\sqrt{\frac{x^{3}}{48}}$ .
④ $\sqrt{54 x}$ 与 $\sqrt{27 x}$ . 
 A. ①和② 
 B. ①和③ 
 C. ②和④ 
 D. ③和④
知识点：二次根式的加减法
$({3\sqrt{2}}+\sqrt{6})({{3\sqrt{2}}-\sqrt{6}})$ =________
知识点：二次根式的混合运算
已知a1=x+1(x≠0且x≠-1)， $a_2=\frac{1}{1-a_{1}},a_3=\frac{1}{1-a_{2}},\cdots,a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}$ ，则a2023=（    ） 
 A. x 
 B. x+1 
 C. - $\frac{1}{x}$  
 D. $\frac{x}{x+1}$ 
知识点：分式的混合运算
计算：  $\sqrt{32}-2\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\frac{6}{\sqrt{2}}$
知识点：二次根式的加减法
如果a、b都是实数,那么a+b=b+a,这个事件是_______事件(填“随机”“不可能”或“必然”).
知识点：随机事件
表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况:

由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为____.(精确到0.1)
知识点：统计表
如图, 菱形ABCD的周长为16, 若∠BAD=  $60^{\circ},E$  是AB 的中点,则点E的坐标为____.

知识点：坐标确定位置
若方程  $\frac{ a } { x - 3 }-\frac{ 1 } { 3 - x }=2$  有增根,则a=____.
知识点：方程的解
已知点A(1,m),B(2,n),C(-2,3)在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上,则m,n的大小关系是____.
知识点：反比例函数图象上点的坐标特征
已知等式  $\sqrt{ \frac{ 7 - x } { x + 2 } }=\frac{ \sqrt{ 7 - x } } { \sqrt{ x + 2 } }$  成立,则  $\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{81-18x+x^2}=$  ____.
知识点：二次根式
如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB和菱形OCDE的边OA、OE都在x轴上,点C在OB边上,  $S_{\triangle ABD}=\sqrt3,$  反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过点B,则k的值为____.

知识点：命题与证明
如图, 在正方形纸片ABCD中, E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF,若AD=4cm,则CF的长为cm____.

知识点：推理与论证
已知菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=  $4\sqrt5,$  点P是对角线OB上的一个动点,D(0, 1),当CP+DP最短时,点P 的坐标为____.

知识点：命题与证明
计算： $\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}$ ；
知识点：二次根式的化简求值
计算  $6\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } }+8\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }-\sqrt{ 1 8 }$  的结果是 
 A.  $2\sqrt3-\sqrt2$  
 B.  $2\sqrt3+\sqrt2$  
 C.  $2\sqrt3$  
 D.  $\sqrt3-\sqrt2$ 
知识点：二次根式的加减法
下列各式中,正确的是 
 A.  $\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$  
 B.  $2+\sqrt2=2\sqrt2$  
 C.  $3\sqrt2-\sqrt2=3$  
 D. $\sqrt2-\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }=\frac{ \sqrt2 } { 2 }$  
知识点：二次根式的加减法
已知m，n是两个连续的自然数(m\ltn),且q=mn.设  $p=\sqrt{ q + n }+\sqrt{ q - m },$  则ρ的值(    ) 
 A. 总是奇数 
 B. 总是偶数 
 C. 有时是奇数,有时是偶数 
 D. 有时是有理数,有时是无理数
知识点：二次根式的加减法
计算:  $|1-\sqrt3|-\sqrt{ 1 2 }=$ ____
知识点：二次根式的加减法
若两个最简二次根式  $\sqrt{ | x | + x - 1 }$  与  $\sqrt{ x + 5 }$  可以合并,则x=____
知识点：二次根式的加减法
$\left(6\sqrt{ 1 2 }-\frac{ 2 } { 3 }\sqrt{ 1 8 }\right)-\left(3\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } }-4\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }\right)$  
知识点：二次根式的加减法
$\left(5\sqrt{ \frac{ 1 } { 5 } }+\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 2 0 }\right)-\left(\frac{ 5 } { 4 }\sqrt{ \frac{ 4 } { 5 } }-\sqrt{ 4 5 }\right)$
知识点：二次根式的加减法
如图,现有一块长7.5 dm、宽5dm的矩形木板,能否在这块木板上截出两块面积分别为  $8dm^2$  和  $18dm^2$  的正方形木板?

知识点：二次根式的加减法
像 $(\sqrt{5}+$ $\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=3,\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a(a\geqslant0)$ ， $(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)=b-1(b\geqslant0)$ ……这样两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式的两个代数式,我们称之为互为有理化因式.
例如:与  $\sqrt3,\sqrt2+1$  与  $\sqrt2-$ $1,2\sqrt3+3\sqrt5$  与  $2\sqrt3-3\sqrt5$  等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:
（1）计算 ：① $\frac{1}{\sqrt{2}}=$   ____；② $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=$ _____$\sqrt2\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } - 1 }=$
(2)计算:  $\frac{ 1 } { 2 - \sqrt3 }-\frac{ 2 } { \sqrt3 - 1 };$ 
 (3)已知有理数a,b满足  $\frac{ a } { \sqrt3 + 2 }+\frac{ 2 b } { \sqrt3 - 1 }=$    $2\sqrt3-1,$  则a=____b=____
知识点：二次根式的加减法
$\frac{ 1 } { 4 }\sqrt{ 3 2 a }+6a\sqrt{ \frac{ a } { 1 8 } }-3a^2\sqrt{ \frac{ 2 } { a } }\left(a\gt0\right)$  
知识点：二次根式的加减法
下列运算错误的是    
 A.  $\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt6$  
 B.  $\frac{ 1 } { \sqrt2 }=\frac{ \sqrt2 } { 2 }$  
 C. $2\sqrt2+2\sqrt3=5\sqrt5$   
 D.  $\sqrt{ \left( - 4 \right) ^ { 2 } }=4$ 
知识点：二次根式的加减法
下列计算正确的是 
 A.  $3\sqrt{ 1 0 }-2\sqrt5=\sqrt5$  
 B.  $\sqrt{ \frac{ 7 } { 1 1 } }\cdot\left(\sqrt{ \frac{ 1 1 } { 7 } }\div\sqrt{ \frac{ 1 } { 1 1 } }\right)=\sqrt{ 1 1 }$  
 C.  $\left(\sqrt{ 7 5 }-\sqrt{ 1 5 }\right)\div\sqrt3=2\sqrt5$  
 D.  $\frac{ 1 } { 3 }\sqrt{ 1 8 }-3\sqrt{ \frac{ 8 } { 9 } }=\sqrt2$ 
知识点：二次根式的加减法
已知x+y=5,xy=3,  $1\sqrt{ \frac{ x } { y } }+\sqrt{ \frac{ y } { x } }$  的值为 
 A.  $\sqrt3$  
 B. 5 
 C. 15 
 D. $\frac{ 5 \sqrt3 } { 3 }$  
知识点：二次根式的加减法
有一对角线互相垂直的四边形,对角线的长分别为  $6\sqrt5+1$  和  $6\sqrt5-1,$  则该四边形的面积为 
 A. 179 
 B.   $B.\sqrt{ 6 5 }$   
 C. 89.5 
 D. 不能确定
知识点：二次根式的加减法
计算  $\sqrt3\times\sqrt6-\sqrt8$  的结果是____
知识点：二次根式的加减法
计算:  $2\sqrt{ 1 8 }+6\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }-3\sqrt{ 3 2 }=$ ____.
知识点：二次根式的加减法
已知  $x=\sqrt3+1,y=\sqrt3-1,$  则  $x^2+2xy+$ $y^2$的值为____.
知识点：二次根式的加减法
计算：
$\left(\frac{ \sqrt6 } { 6 }-\sqrt2\right)\left(\frac{ \sqrt2 } { 2 }+\sqrt6\right)$  
知识点：二次根式的加减法
已知  $x=2-\sqrt3,$  求代数式  $\left(7+4\sqrt3\right)x^2-$    $\left(2+\sqrt3\right)x-\sqrt3$  的值.
知识点：二次根式的加减法
计算  $\sqrt{ 1 2 }\times\left(\sqrt{ 7 5 }+3\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } }-\sqrt{ 4 8 }\right)$  的结果是 
 A. 6 
 B.   $4\sqrt3$   
 C.   $2\sqrt3+6$   
 D. 12
知识点：二次根式的加减法
计算：
 $\left(\frac{ \sqrt5 - 3 } { \sqrt2 }\right)^2$  
知识点：二次根式的加减法
能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ）. 
 A. AB∥CD,AD=BC 
 B. ∠A=∠B,∠C=∠D 
 C. AB∥CD,∠C=∠A 
 D. AB=AD,CB=CD
知识点：平行四边形的判定
如图，在△ABC中，AB=AC=8,点E、F、G分别在边AB、BC、AC上，EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是(    ）.
 
 A. 8 
 B. 16 
 C. 24 
 D. 32
知识点：平行四边形的判定
如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠ABD=∠CDB,请添加一个条件________,使四边形ABCD是平行四边形.(只填一种情况即可)

知识点：平行四边形的判定
如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.

知识点：平行四边形的判定
已知点E、F分别是口ABCD的边BC、AD的中点.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC=10,∠BAC=90°，求▱AECF的周长.
知识点：平行四边形的判定
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ）.
 
 A. ①② 
 B. ①④ 
 C. ③④ 
 D. ②③
知识点：平行四边形的判定
如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E、F.请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________.

知识点：平行四边形的判定
如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.
(1)求证：△AEF≌△DEC;
(2)若AD∥BC,求证：四边形ABCD为平行四边形.
知识点：平行四边形的判定
如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AE平分∠DAB,∠EDC=30°，求∠AED的度数.
知识点：平行四边形的判定
如图，在口ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E,交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF=12,EM=5,求AN的长

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.在运动以后，当t=________________时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形.

知识点：平行四边形的判定
为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.（1）求实际施工时，每天改造管网的长度：（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
知识点：分式方程的应用、一元一次不等式的应用
如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，AB∥CD,且AB=CD,BF=CE.

求证：(1)△ABE≌△DCF;(2)四边形AEDF是平行四边形.
知识点：平行四边形的判定
化简  $\frac{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a - b }+\frac{ 2 a b } { b - a }$  的结果是（    ） 
 A. a+b 
 B. a-b 
 C.   $\frac{ \left( a + b \right) ^ { 2 } } { a - b }$   
 D.   $\frac{ \left( a - b \right) ^ { 2 } } { a - b }$  
知识点：分式的定义
若  $\frac{ 3 - 2 x } { x - 1 }=$  ____  $+\frac{ 1 } { x - 1 },$  则____中的数是(    ) 
 A. -1 
 B. -2 
 C. -3 
 D. 任意实数
知识点：分式的定义
两个分式  $A=\frac{ 2 } { a ^ { 2 } - 1 },B=$    $\frac{ 1 } { a + 1 }+\frac{ 1 } { 1 - a },$  其中a≠±1,则A与B的关系是(    ) 
 A. 相等 
 B. 互为倒数 
 C. 互为相反数 
 D. A大于B
知识点：分式的定义
化简： $\frac{ x + 5 } { x + 2 }-\frac{ 3 } { x + 2 }=$  ____
知识点：分式的定义
$\frac{ x ^ { 2 } } { x - 3 }+\frac{ 9 } { 3 - x }=$  ____;
知识点：分式的定义
$\frac{ 2 } { m + n }=\frac{ m - 3 n } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } }=$  ____
知识点：分式的定义
若  $a^2+5ab-b^2=0,$  则  $\frac{ b } { a }-\frac{ a } { b }$ 的值为________
知识点：分式的定义
$\frac{ 4 } { a + 2 }-2+a,$  
知识点：分式的定义
如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB=DE,AF=CD,BC=EF

(1)求证：∠ACB=∠DFE;(2)连接BF、CE,直接判断四边形BFEC的形状.
知识点：平行四边形的判定
如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（    ）.
 
 A. ①② 
 B. ①④ 
 C. ①②④ 
 D. ①③④
知识点：平行四边形的判定与性质
如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）.
 
 A. ∠ABC=∠ADC,AD∥BC 
 B. ∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB 
 C. ∠ABD=∠BDC,OA=OC 
 D. ∠ABC=∠ADC,AB=CD
知识点：平行四边形的判定与性质
估计  $\sqrt{ 3 2 }\times\sqrt{ \frac{ 1 } { 4 } }+\sqrt{ 1 8 }$  的运算结果应在 
 A. 5和6之间 
 B. 6和7之间 
 C. 7和8之间 
 D. 8和9之间
知识点：二次根式的加减法
已知  $x=2-\sqrt5,$  则代数式  $x^2-4x-2$  的值为 
 A. 0 
 B. 1 
 C. -1 
 D.   $\sqrt5$  
知识点：二次根式的加减法
若三角形三边的长分别是a,b,c,且(a-$2\sqrt5)^2+\sqrt{ a - b - 1 }+|c-4|=0,$  则这个三角形的周长是 
 A.  $2\sqrt5+5$  
 B.  $4\sqrt5-3$  
 C.  $4\sqrt5+5$  
 D.  $4\sqrt5+3$ 
知识点：二次根式的加减法
化简 ${\frac{ x - y } { \sqrt x + \sqrt y }}$ (x≠y,且x,y均不为0)，甲的解法是  $\frac{ x - y } { \sqrt x + \sqrt y }=\frac{ \left( x - y \right) \left( \sqrt x - \sqrt y \right) } { \left( \sqrt x + \sqrt y \right) \left( \sqrt x - \sqrt y \right) }=$    $\sqrt{x}-\sqrt{y}$  ,乙的解法是  $\frac{ x - y } { \sqrt x + \sqrt y }=$    $\frac{ \left( \sqrt x + \sqrt y \right) \left( \sqrt x - \sqrt y \right) } { \sqrt x + \sqrt y }=\sqrt{x}-\sqrt{y}$  下列判断中,正确的是 
 A. 甲的解法正确,乙的解法不正确 
 B. 甲的解法不正确,乙的解法正确 
 C. 甲、乙的解法都正确 
 D. 甲、乙的解法都不正确
知识点：二次根式的加减法
化简:  $\sqrt3\left(\sqrt2-\sqrt3\right)-\sqrt{ 2 4 }-|\sqrt6-3|=$____.
知识点：二次根式的加减法
已知直角三角形的两条直角边长分别为  $a=8+\sqrt2,b=8-\sqrt2,$  则其斜边c上的高____为.
知识点：二次根式的加减法
已知:  $x=3+2\sqrt2,y=3-$    $2\sqrt2,$  则  $\frac{ y } { x }+\frac{ x } { y }$  的值为____
知识点：二次根式的加减法
计算： $\left(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt6\right)\left(\sqrt2-\sqrt3-\sqrt6\right)$     
知识点：二次根式的加减法
先阅读材料,再解答问题.
计算  $x^2+xy+y^2$  的值,其中  $x=\frac{ 1 } { 2 }\left(\sqrt{ 1 1 }+\right.$    $\sqrt7),y=\frac{ 1 } { 2 }\left(\sqrt{ 1 1 }-\sqrt7\right).$  解题时可先求x+y及xy的值,然后再代人求值.
解,因为  $x=\frac{ 1 } { 2 }\left(\sqrt{ 1 1 }+\sqrt7\right),y=\frac{ 1 } { 2 }\left(\sqrt{ 1 1 }-\sqrt7\right),$  
所以  $x+y=\sqrt{ 1 1 },xy=1,$  
所以:  $x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy=$    $\left(\sqrt{ 1 1 }\right)^2-1=10.$  
这里运用了“整体”的数学思想,使得计算变得简便,请你仿照例题,计算  $x^2-3xy+$    $y^2$  的值,其中  $x=\frac{ 1 } { 3 }\left(\sqrt{ 1 5 }+\sqrt6\right),y=$    $\frac{ 1 } { 3 }\left(\sqrt{ 1 5 }-\sqrt6\right).$  
知识点：二次根式的加减法
在四边形ABCD中，现给出下列结论：①若四边形ABCD是平行四边形，则AC=BD;②若AB∥CD,∠A=∠C,则四边形ABCD是平行四边形；③若AB=CD,∠A=∠C,则四边形ABCD平行四边形；④若四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的面积最大值是 $\frac{1}{2}$ AC·BD.其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号)
知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE=∠CBF,EF与BD相交于点O.

求证：BO=DO.
知识点：平行四边形的判定与性质
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE=CF.

求证：
(1)△ADE≌△CBF;(2)ED∥BF.
知识点：平行四边形的判定与性质
计算：  $\frac{ a - 1 } { a - b }-\frac{ 1 + b } { b - a };$ 
知识点：分式的定义
$\frac{ 1 } { x - 1 }+\frac{ x ^ { 2 } - 3 x } { x ^ { 2 } - 1 };$   
知识点：分式的定义
$\frac{ a ^ { 2 } - 4 } { a ^ { 2 } - 4 a + 4 }-\frac{ 4 a } { a ^ { 2 } - 2 a };$  
知识点：分式的定义
计算： $\left(\frac{ 1 } { 3 }\sqrt{ 4 5 }+\frac{ 2 4 } { \sqrt8 }-\sqrt{ 5 0 }\right)-\left(18\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }-\right.$   $4\sqrt{125})$  
知识点：二次根式的加减法
如图，在☐ABCD中，AB=8,点E是AB上一点，AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为（    ）.
 
 A. 5 
 B. 4 
 C. 3 
 D. 2
知识点：平行四边形的判定与性质
先化简,再求值:  $\frac{ a ^ { 2 } - a } { \left( a - 1 \right) ^ { 2 } }-\frac{ a + 1 } { a },$  其中  $a=\frac{ 1 } { 2 },$  
知识点：分式的定义
对于代数式a，b,c,d规定一种运算:  $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=\frac{a}{d}-\frac{b}{c}$       ,按照此规定,  $\left|\begin{array}{cc}x^2+3x-2 & x-1 \\ 2 & 2x+4\end{array}\right|$   化简的结果为(    )    
 A.   $x^2$     
 B. $\frac{x+1}{x}$  
 C. $\frac{x}{x+2}$  
 D. 1
知识点：分式的定义
如图,若x为正整数,则表示  $\frac{ \left( x + 2 \right) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 }-\frac{ 1 } { x + 1 }$  的值的点落在(    )
 
 A. 段① 
 B. 段② 
 C. 段① 
 D. 段④
知识点：分式的定义
由  $\left(\frac{1+c}{2+c}-\frac{ 1 } { 2 }\right)$  值的正负可以比较  $A=\frac{ 1 + c } { 2 + c }$ 与 $\frac{ 1 } { 2 }$  的大小,下列正确的是（    ） 
 A. 当c=-2时,  $A=\frac{ 1 } { 2 }$   
 B. 当c=0时,  $A\ne\frac{ 1 } { 2 }$  c\lt-2时,  $A\gt\frac{ 1 } { 2 }$   
 C. 当 c\lt-2 时, $A\gt\frac{1}{2}$  
 D. 当c\lt0时,  $A\lt\frac{ 1 } { 2 }$  
知识点：分式的定义
若  $\frac{ 4 x - 1 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 1 \right) }=\frac{ M } { x + 2 }+$    $\frac{ 1 } { x - 1 },$  则整式M＝____
知识点：分式的定义
化简:  $\frac{ a } { a + b - c }+\frac{ b } { b - c + a }+\frac{ c } { c - a - b }=$  ____
知识点：分式的定义
已知a、b均为正数,设  $M=\frac{ a } { a + 1 }+\frac{ b } { b + 1 },N=\frac{ 1 } { a + 1 }+\frac{ 1 } { b + 1 }.$  有以下结论:若ab=1时,M=N;②若ab\gt1时,M\gtN;③若ab\lt1时,M\gtN.其中正确的结论为________.(填序号)
知识点：分式的定义
阅读下列材料:①  $\frac{ 1 } { 1 \times2 }=1-\frac{ 1 } { 2 },\frac{ 1 } { 2 \times3 }=\frac{ 1 } { 2 }-\frac{ 1 } { 3 },\frac{ 1 } { 3 \times4 }=\frac{ 1 } { 3 }-\frac{ 1 } { 4 },$  ···②  $\frac{ 1 } { 1 \times3 }=\frac{ 1 } { 2 }\times\left(1-\frac{ 1 } { 3 }\right),\frac{ 1 } { 3 \times5 }=\frac{ 1 } { 2 }\times\left(\frac{ 1 } { 3 }-\frac{ 1 } { 5 }\right).$    $\frac{ 1 } { 5 \times7 }=\frac{ 1 } { 2 }\times\left(\frac{ 1 } { 5 }-\frac{ 1 } { 7 }\right),$  ···  $③\frac{ 1 } { 1 \times4 }=\frac{ 1 } { 3 }\times\left(1-\frac{ 1 } { 4 }\right),\frac{ 1 } { 4 \times7 }=\frac{ 1 } { 3 }\times\left(\frac{ 1 } { 4 }-\frac{ 1 } { 7 }\right).$    $\frac{ 1 } { 7 \times1 0 }=\frac{ 1 } { 3 }\times\left(\frac{ 1 } { 7 0 }-\frac{ 1 } { 1 0 }\right),\cdots$  
根据你观察到的规律,解决下列问题:
(1)写出①中的第5个等式;
(2)写出②中的第a个等式,并证明;
(3)计算:  $\frac{ 1 } { 1 \times5 }+\frac{ 1 } { 5 \times9 }+\frac{ 1 } { 9 \times1 3 }+\cdots+\frac{ 1 } { 3 9 7 7 \times4 0 1 }.$  
知识点：分式、分式的定义
如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.若∠EBC=30°，BE=10,则▱ABCD的面积为________.

知识点：平行四边形的判定与性质
定义：作□ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P,P与这组邻角的公共边组成的三角形为口ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形AB=m,BC=4,连接AP并延长交直线CD于点Q,若Q点落在线段CD上（包括端点C、D),则m的取值范围为________.

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4.对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于E、F（1）当α=________°时，四边形ABEF是平行四边形（2）在旋转的过程中，以A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形①α=________°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，求出该矩形的面积

知识点：平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE、CF.求证：AE=CF.

知识点：平行四边形的判定与性质
函数  $y=\frac{ k } { | x | }\left(k\right.$  \left.{0, x≠0} )的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

（1）求k的值；
（2）函数  $y=\frac{ k } { | x | }$  的图像在第________象限；
（3）直接写出当y\lt2时，x的取值范围。
知识点：反比例函数的性质
已知  $P\left(x_1,-2\right),$    $Q\left(x_2,2\right),R\left(x_3,3\right)$  三点都在反比例函数y=  $\frac{ a ^ { 2 } + 3 } { x }$  的图像上，则下列关系正确的是（    ） 
 A. $x_1\ltx_2\ltx_3$ 
 B. $x_3\ltx_2\ltx_1$ 
 C. $x_1\ltx_3\ltx_2$  
 D. $x_2\ltx_3\ltx_1$ 
知识点：反比例函数的性质
已知  $a\gt-\frac{ 3 } { 2 },$  ,若当 $1\le x\le2$ 时，函数  $y=\frac{ a } { x }$  (a≠0)的最大值与最小值之差是1，则a的值为（    ） 
 A. -1 
 B. 1 
 C. 2 
 D. 3
知识点：反比例函数的性质
一次函数y=ax-a与反比例函数  $y=\frac{ a } { x }\left(a\ne0\right)$  在同一坐标系中的图像可能是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数的性质
已知  $A\left(-1,y_1\right),B\left(3,y_2\right)$  两点在双曲线  $y=\frac{ 3 + 2 m } { x }$  上，且  $y_1\gty_2,$  则m的取值范围是________。
知识点：反比例函数的性质
已知点  $A\left(a,y_1\right),$    $B\left(a+1,y_2\right)$  在反比例函数  $y=\frac{ m ^ { 2 } + 1 } { x }\left(m\right.$  是常数)的图像上，且  $y_1\lty_2,$  ,则a的取值范围是________.
知识点：反比例函数的性质
设A、B、C、D是反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  图像上的任意四点,现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形
其中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
知识点：反比例函数的性质
设函数  $y_1=\frac{ k } { x },y_2=\frac{ k + 2 } { x }\left(k\ne0,k\ne-2\right),$  当 $1\le x\le4$ ，函数  $y_1$  的最大值为m，函数  $y_2$  的最小值为m－4，求m与k的值。
知识点：反比例函数的性质
$\frac{ 1 } { 1 + a }+\frac{ 1 } { 1 - a }+\frac{ 2 } { 1 + a ^ { 2 } }+\frac{4}{1+a^4}=$  ____
知识点：分式的定义
如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.

(1)求证：BE=CD;(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC、DE,求证：四边形ACED是平行四边形.
知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,O是AC的中点，AD∥BC,AC=8,BD=6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则以下说法错误的是
 
 A. △BDE和△DCF的面积相等 
 B. 四边形A EDF是平行四边形 
 C. 若AB=BC,则四边形A EDF是菱形 
 D. 若  $\angle A=90^{\circ},$  则四边形A EDF是矩形
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=6,BC=  $4\sqrt6,$  则DF的长为
 
 A. 2 
 B. 4 
 C.   $\sqrt6$   
 D.   $2\sqrt3$  
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转  $45^{\circ}$  后得到正方形  $AB_1C_1D_1,$  边  $B_1C_1$  与CD交于点O,则四边形  $AB_1OD$  的面积为
        
 A.  $\frac{ 3 } { 4 }$  
 B.  $\frac{ 7 } { 1 6 }$  
 C.  $\frac{ \sqrt2 - 1 } { 2 }$  
 D.  $\sqrt2-1$ 
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,E是AD上一点,且AE=1,P是BC上一动点,连接AP,取AP的中点F,连接EF.当线段EF取得最小值时,线段PD的长是____

知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在  $▱ABCD$  中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,,垂足E在线段AB上,连接EF,CF.有下列结论:① $\angle DCF+\frac{1}{2}\angle D=$ 90°;② $\angle AEF+\angle ECF=90^{\circ}$ ；③ $S_{\triangle BEC}=$ $2S_{\triangle CEF}$ ；④若  $\angle B=80^{\circ},$  则  $\angle AEF=50^{\circ}.$  其中一定成立的是____(填序号).

知识点：平行四边形的判定与性质
在平面直角坐标系中,已知A,B,C,D四点的坐标依次为(0,0),(6,2),(8,8),(2,6).若一次函数y=mx-6m+6(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1:1两部分,则m的值为____.
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF与AB,CD分别交于点E,F,连接DE,BF.
(1) 求证:四边形BED F是平行四边形;
(2)若AD=4,AC=8,且OF=CF,求四边形BEDF的面积.

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在平行四边形ABCD中，∠DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE,AE=AB,点F是对角线AC边上一动点，连接EF.
(1)如图(1)，若点F与对角线交点O重合，已知BE=4,OC：EC=5：3,求AC的长度；(2)如图(2)，若EC=FC,点G是AC边上一点，连接BG、EG,已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求证：BG+EG=DC.
知识点：平行四边形的判定与性质
阅读理解：如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A(xA,yA)和点C(xc,yc),点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，AM=CM，即 $x_M-x_A=x_C-x_M,y_A-y_M=y_M-y_C$  从而有
$\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}, \\ y_M=\frac{y_{A}+y_{C}}{2},\end{array}\right.$ $即中点M的坐标为$ $\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2}\right.$ $\left.\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$ 
基本知识：（1）如图①，若A、C点的坐标分别是A(-1,3)，C(3,-1),求AC中点M的坐标.方法提炼：（2）如图②，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(-1,5)，(-2,2),（3,3),求点D的坐标.（3）如图③，点A是反比例函数y= $\frac{8}{x}$ (x\gt0)2的图像上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y= $\frac{2}{x}$ (x\gt0)的图像于点B、C,点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶，点的四边形能否为平行四边形若能，求出此时点A的坐标：若不能，请说明理由.

知识点：规律型：点的坐标、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质
若  $a=\sqrt2+1,b=\sqrt2-1,$  则  $\sqrt{ a b }\left(\sqrt{ \frac{ a } { b } }-\sqrt{ \frac{ b } { a } }\right)$  的值为(    ) 
 A. 2 
 B. -2 
 C.   $\sqrt2$   
 D.   $2\sqrt2$  
知识点：二次根式的混合运算
按如图所示的程序计算,若开始输人 $n$ 的的值为  $\sqrt2,$  则最后输出的结果是(    )
 
 A. 14 
 B. 16 
 C.   $8+5\sqrt2$   
 D.   $14+\sqrt2$  
知识点：二次根式的混合运算
若  $a+b=2+\sqrt3,ab=\sqrt3,$  则 $a-b$ =____
知识点：二次根式的混合运算
对于任意的正数 $m$ 、 $n$ ,定义运算※为: $m※n=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m}-\sqrt{n}(m\geqslant n), \\ \sqrt{m}+\sqrt{n}(m\ltn),\end{array}\right.$ 计算(3※2)x(8※12)的结果为____
知识点：二次根式的混合运算
$|1-\sqrt3|-\sqrt2\times\sqrt6+$$\frac{ 1 } { 2 - \sqrt3 }-\left(\frac{ 2 } { 3 }\right)^{-2};$  
知识点：二次根式的混合运算
$\sqrt2\times\left(\sqrt2+\frac{ 1 } { \sqrt2 }\right)-\frac{ \sqrt{ 1 8 } - \sqrt8 } { \sqrt2 };$      
知识点：二次根式的混合运算
$\left(\frac{ \sqrt{ 1 8 } } { 3 }+\sqrt3-\sqrt5\right)\left(\sqrt2-\frac{ 3 } { \sqrt3 }+\sqrt5\right).$  
知识点：分式的混合运算、二次根式的混合运算
有个填写运算符号的游戏:在 “ $\frac{ \sqrt2 } { 2 }\square\sqrt{ 8 }\square\sqrt{ 1 8 }\square4\sqrt{2}$ ”中的每个口内,填人+,－,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算  $\colon\frac{ \sqrt2 } { 2 }+\sqrt8-\sqrt{ 1 8 }-4\sqrt2;$  
(2)若  $\frac{ \sqrt2 } { 2 }\div\sqrt8\times\sqrt{ 1 8 }\square4\sqrt2=-\frac{ 1 3 } { 4 }\sqrt2$  请推算口内的符号;
(3)在" $\frac{ \sqrt2 } { 2 }\square\sqrt{8}$口 $\sqrt{ 1 8 }-4\sqrt2$"的口内填人符号后,使计算所得数最大,直接写出这个最大数.
知识点：二次根式的混合运算
计算： $(1-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)^2$ .
知识点：二次根式的化简求值
如图, 菱形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE:AC=1:2,连接CE,OE,AE.
(1)求证:OE=CD;
(2) 若菱形ABCD的边长为2, ∠ABC=  $60^{\circ},$  求AE的长.

知识点：平行四边形的判定与性质
八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换——旋转,图形旋转过程中蕴含着众多数学规律,以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法.
(1)【问题提出】
如图1, 在正方形ABCD中,∠MAN=  $45^{\circ},$  点M,N分别在边BC,CD上.求证:MN=BM+DN.
证明思路如下:
第一步,如图2,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转  $90^{\circ}$  得到△ABE,证E,B,M三点在一条直线上.
第二步,证明△AEM≅△AN M.
请按照证明思路写出完整的证明过程.
(2)【初步思考】
如图3, 四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形,连接DG,BE,得到△DCG和△BCE.下列关于这两个三角形的结论:①周长相等;②面积相等;③∠C BE=∠CDG.其中所有正确结论的序号是____
(3)【深入研究】
如图4,分别以$▱ABCD$的四条边为边向外作正方形,连接EF,GH,IJ,KL.若 $▱ABCD$ 的面积为8,则图中阴影部分(四个三角形)的面积之和为____.

知识点：平行四边形的判定与性质
$\left(\sqrt27\times3\sqrt6+\frac{ 4 } { 5 }\sqrt{ 5 0 }-8\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }\right)\div\sqrt2;$  
知识点：分式的混合运算、二次根式的混合运算
问题：如图，在□ABCD中，AB=8,AD=5,∠DAB、∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F,求EF的长，
答案：EF=2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉，其余条件不变，当点C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值。
知识点：平行四边形的判定与性质
解方程： $\frac{ x } { x + 2 }=\frac{ 2 } { x - 1 }+1;$  
知识点：方程的解
解方程： $\frac{3}{x^2-9}-\frac{ 1 } { 2 x - 6 }=\frac{ 1 } { 2 x + 6 }.$  
知识点：方程的解
化简求值:  $\frac{ a - 1 } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 }\div({}\frac{ a ^ { 2 } + a } { a ^ { 2 } - 1 }+\frac{ 1 } { a - 1 }),$  其中  $a=\sqrt3-1.$  
知识点：二次根式的化简求值
先化简,再求值  $\colon\frac{ x \sqrt{ y } - y \sqrt x } { x \sqrt{ y } + y \sqrt{ x } }-\frac{x\sqrt{ y }+y\sqrt{x}}{y\sqrt{x}-x\sqrt{y}},$  其中 $x=3$ , $y=2$ .
知识点：二次根式的混合运算