despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
求当x取何值时，分式$\frac{x^2}{2|x|+1}$有意义？
知识点：分式有意义的条件
已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD．（1）根据题意，补全图形；（2）求证：四边形ACBD为正方形．
知识点：线段垂直平分线的性质、正方形的判定
如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH=CF，AH∥CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）连接FH，若FH=AD，求证：四边形EFGH是矩形．
知识点：全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC=8，BC=6，则BF的长为（　　） 
 A. 2 
 B. 2.5 
 C. 3 
 D. 4
知识点：直角三角形斜边上的中线、勾股定理、三角形中位线定理
若$\frac{2}{3{x}^{2}-4x+7}$的值为$\frac{1}{4}$，则$\frac{5}{6{x}^{2}-8x-7}$的值是（　　） 
 A. -1 
 B. 1 
 C. -$\frac{5}{8}$ 
 D. $\frac{5}{8}$
知识点：分式的值
如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为点M、N，若BD=10，则PM+PN=____．
知识点：正方形的性质
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD中点，连接AE、BE，试说明：BE平分∠ABC，AE平分∠BAD．
知识点：梯形中位线定理
给定下面一列分式：$\frac{x^3}{y}$，$-\frac{x^5}{y^2}$，$\frac{x^7}{y^3}$，$-\frac{x^9}{y^4}$，…，（其中x≠0）（1）把除第一个分式外的任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出上面分式列中的第9个分式．
知识点：分式的定义、分式的乘除法
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　） 
 A. 10 
 B. 12 
 C. 16 
 D. 18
知识点：平行四边形的性质、菱形的判定与性质
若分式$\frac{x-5}{x-1}$的值为0，则x的值是（　　） 
 A. 1 
 B. 0 
 C. 5 
 D. 2
知识点：分式的值为零的条件
如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为____cm2．
知识点：正方形的性质、平移的性质
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为CA延长线上一点，D为AB上一点，F为△ABC外一点且AC=AE=AF=AD=1，EF∥AB，连接DF，BF．（1）当∠CAB的度数是多少时，四边形ADFE为菱形，请说明理由；（2）当AB=____时，四边形ACBF为正方形．（请直接写出）
知识点：等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定
已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC=∠BED=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
知识点：全等三角形的判定与性质、矩形的判定
分式$\frac{x+1}{x-2}$的值（　　） 
 A. 不能为-1 
 B. 不能为0 
 C. 不能为1 
 D. 不能为2
知识点：分式的值
如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，延长AD到E，使DE=BD，连接BE．若∠EBC=27°，则∠ABD=____度．
知识点：矩形的性质
我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
知识点：全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、梯形中位线定理
如图，△ABC中，N是BC边上的中点，AM平分∠BAC，BM⊥AM于点M，若AB=8，MN=2．则AC的长为（　　） 
 A. 10 
 B. 11 
 C. 12 
 D. 13
知识点：等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理
给定下面一列分式：$\frac{x^3}{y}，-\frac{x^5}{y^2}，\frac{x^7}{y^3}，-\frac{x^9}{y^4}$，…，（其中x≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
知识点：分式的定义、分式的乘除法
如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（　　） 
 A. 15 
 B. 16 
 C. 19 
 D. 20
知识点：菱形的判定与性质
分式$\frac{x+5}{x-2}$的值是零，则x的值为（　　） 
 A. 2 
 B. 5 
 C. -2 
 D. -5
知识点：分式的值为零的条件
如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
知识点：平行四边形的判定与性质、矩形的判定
如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，ED=5，EC=3，则AD的长为____．
知识点：角平分线的性质、矩形的性质
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE．（2）若DE=$\frac{1}{2}$BC，求证：四边形BECF是正方形．
知识点：全等三角形的判定与性质、正方形的判定
已知分式$\frac{-6x+b}{x+a}$（a，b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（　　）



x的取值
-1
1
c
d


分式的值
无意义
1
0
-1


 
 A. a=1 
 B. b=8 
 C. c=$\frac{4}{3}$ 
 D. d=$\frac{7}{6}$
知识点：分式有意义的条件、分式的值
已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，MN是中位线交AC于P，AC平分∠BCD，MP=12，PN=8，求：梯形ABCD的周长．
知识点：三角形中位线定理、梯形中位线定理
要使分式$\frac{x-2}{x-1}$有意义，则x的取值范围是（　　） 
 A. x=1 
 B. x=2 
 C. x≠1 
 D. x≠2
知识点：分式有意义的条件
下列说法错误的是（　　） 
 A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 
 B. 等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都“三线合一” 
 C. 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 
 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
知识点：平行线的判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理
如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（　　） 
 A. ①③ 
 B. ②④ 
 C. ①③④ 
 D. ②③④
知识点：全等三角形的判定、含30度角的直角三角形、菱形的判定与性质
若分式$\frac{x-2}{x+4}$的值为0，则x的值是（　　） 
 A. 2 
 B. -2 
 C. -4 
 D. 0
知识点：分式的值为零的条件
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
知识点：全等三角形的判定与性质、矩形的判定
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE=AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A=____°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）
知识点：直角三角形斜边上的中线、正方形的判定
要使分式$\frac{1}{x-1}$有意义，则x的取值应满足（　　） 
 A. x=0 
 B. x=1 
 C. x≠0 
 D. x≠1
知识点：分式有意义的条件
若a=$\sqrt[3]{2}$+1，则$\frac{{a}^{3}+{a}^{4}}{{a}^{3}+1}$=（　　） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. $\sqrt[3]{2}+2$ 
 D. $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$
知识点：立方根、分式的值
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．求证：AD∥BC．
知识点：梯形中位线定理
如果代数式$\frac{x-1}{x}$的值为0，那么实数x满足（　　） 
 A. x=1       
 B. x≥1              
 C. x≠0 
 D. x≥0
知识点：分式的值为零的条件
下列说法中不正确的是（　　） 
 A. 四边相等的四边形是菱形 
 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 
 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 
 D. 菱形的邻边相等
知识点：平行四边形的性质、菱形的判定与性质
在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），C（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．任意一点A都满足|AB-AC|=2$\sqrt{3}$．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（　　） 
 A. $\sqrt{6}$ 
 B. $\sqrt{3}$ 
 C. $\sqrt{2}$ 
 D. 1
知识点：角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理
如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
知识点：平行四边形的判定与性质、矩形的判定
如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）△EFD≌△GFB．（2）试判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（3）当△ABC满足条件____时，四边形EBGD是正方形（不用说明理由）．
知识点：全等三角形的判定、正方形的判定
分式$\frac{6}{{x}^{2}-9}$有意义的条件是（　　） 
 A. x≠3 
 B. x≠9 
 C. x≠±3 
 D. x≠-3
知识点：分式有意义的条件
使分式$\frac{5}{2x-1}$的值为整数的所有整数x的和是（　　） 
 A. -1 
 B. 0 
 C. 1 
 D. 2
知识点：分式的值
如果连接梯形两腰的中点，把这条线段叫做梯形的中位线，那么梯形的中位线有什么特征呢？如图，梯形ABCD中，AD∥BC、点E、F分别为两腰AB、CD的中点．猜想：EF=____．
知识点：梯形中位线定理
若分式$\frac{x+3}{x-2}$的值为零，则（　　） 
 A. x=3 
 B. x=-2 
 C. x=2 
 D. x=-3
知识点：分式的值为零的条件
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF．求AE的长．
知识点：全等三角形的判定与性质、矩形的性质
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC=6，则DE的长为____．
知识点：三角形中位线定理
下列说法中，错误的是（　　） 
 A. 菱形的对角线互相垂直 
 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 
 C. 矩形的四个内角都相等 
 D. 四个内角都相等的四边形是矩形
知识点：菱形的判定与性质、矩形的判定与性质
下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　） 
 A. 由②推出③，由③推出① 
 B. 由①推出②，由②推出③ 
 C. 由③推出①，由①推出② 
 D. 由①推出③，由③推出②
知识点：矩形的判定、正方形的判定与性质
如图，G、H分别是两个有公共顶点B的等腰直角三角形斜边的中点，P是两直角顶点连线CE的中点．（1）如图1，当A、B、D在同一条直线上，探究PG、PH的大小关系，并说明理由；（2）如图2，当A、B、D不在同一条直线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．
知识点：全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、梯形中位线定理
若代数式$\frac{1}{x-2}$有意义，则实数x的取值范围是（　　） 
 A. x=0 
 B. x=2 
 C. x≠0 
 D. x≠2
知识点：分式有意义的条件
若a2-2ab=0（b≠0），则$\frac{a}{a+b}$=（　　） 
 A. 0 
 B. $\frac{2}{3}$ 
 C. 0或 2 
 D. 0或$\frac{2}{3}$
知识点：分式的值
如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=5时，线段BC的长为____．
知识点：菱形的判定与性质
若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，则x的值是（　　） 
 A. -2 
 B. 2 
 C. ±2 
 D. 任意实数
知识点：分式的值为零的条件
如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4$\sqrt{2}$，M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM=5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=____．
知识点：全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质
如图，等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线则DE的长为____．
知识点：等边三角形的性质、三角形中位线定理
如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N，与BD相交于点O，连结BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若MD=2AM，BD=8，求矩形ABCD的周长．
知识点：线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质
如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC=3cm，则BD等于（　　）cm． 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：矩形的判定与性质
使分式$\frac{x}{x-3}$有意义的条件是（　　） 
 A. x=±3 
 B. x≠±3 
 C. x≠-3 
 D. x≠3
知识点：分式有意义的条件
下列说法正确的有几个（　　）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；      ②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定与性质
下列代数式中属于分式的是（　　） 
 A. $\frac{x+y}{6}$ 
 B. $\frac{1}{2x}$ 
 C. $\frac{x}{π}$ 
 D. $\frac{2}{3}$a
知识点：分式的定义
a=$\sqrt[3]{2}$+1，$\frac{{a}^{3}+{a}^{4}}{{a}^{3}+1}$=（　　） 
 A. $\sqrt{2}$ 
 B. $\sqrt{3}$ 
 C. 2 
 D. 3
知识点：立方根、分式的值
已知分式$\frac{x-b}{2x+a}$当x=2时，分式的值为零；当x=-2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（　　） 
 A. -2 
 B. 2 
 C. 6 
 D. -6
知识点：分式有意义的条件、分式的值为零的条件
如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2，则BC边的长为____．
知识点：三角形中位线定理
如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF=DG
知识点：全等三角形的判定与性质、正方形的性质
下列分式中，x取任意实数总有意义的是（　　） 
 A. $\frac{x+1}{x^2}$ 
 B. $\frac{{x^2}-1}{{(x+2)}^2}$ 
 C. $\frac{1-x}{{x^2}+1}$ 
 D. $\frac{x}{x+2}$
知识点：分式有意义的条件
如图，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，CD=2，点E在边AB，且AD=AE，BE=BC，则AE•BE的值为（　　） 
 A. $\sqrt{2}$ 
 B. 1 
 C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 
 D. $\frac{1}{2}$
知识点：勾股定理、矩形的判定与性质
如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在平行四边形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在平行四边形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，AB=$\sqrt{5}$，求线段FH的长．
知识点：平行四边形的性质、矩形的性质
下列式子中是分式的是（　　） 
 A. $\frac{1}{π}$ 
 B. $\frac{x}{3}$ 
 C. $\frac{5}{a}$ 
 D. $\frac{2}{3}$
知识点：分式的定义
下列说法正确的是（　　） 
 A. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形 
 B. 对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 
 C. 四条边相等的四边形是正方形 
 D. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形
知识点：平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=6，则EF的长为____．
知识点：直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理
若$\frac{a}{b}=\frac{3b}{4b-a}$（a≠b），则$\frac{{a}^{2}+ab-2{b}^{2}}{{a}^{2}-3ab+2{b}^{2}}$的值是（　　） 
 A. -3 
 B. -$\frac{1}{3}$ 
 C. $\frac{1}{5}$ 
 D. 5
知识点：分式的值
已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．（1）求证：△ABF≌△DAG．（2）若FG=1，DG=2，求AB的长．
知识点：全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质
无论x取何值，下列分式总有意义的是（　　） 
 A. $\frac{x-3}{x}$ 
 B. $\frac{1}{2x+2}$ 
 C. $\frac{2}{2{x^2}+1}$ 
 D. $\frac{x}{x-1}$
知识点：分式有意义的条件
如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE．（1）求证：四边形ACED为平行四边形．（2）若AB=1，DE=$\sqrt{5}$，求点D到AC的距离．
知识点：全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质
在式子：-$\frac{3}{2}$x，$\frac{4}{x-y}$，x+y，$\frac{{x}^{2}+2}{π}$，$\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$，$\frac{10}{x}$中，是分式的有（　　） 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：分式的定义
若三角形的三条中位线长分别为2，3，4，则原三角形的周长为____．
知识点：三角形中位线定理
如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且AE∥CF，连接AF、CE．求证：四边形AECF菱形．
知识点：全等三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质
学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是（　　） 
 A. 甲、乙 
 B. 甲、丙 
 C. 乙、丙、丁 
 D. 甲、乙、丙、丁
知识点：平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质
如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．（1）求证：HE=HG；（2）如图2，当BE=AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求$\frac{PE-PA}{PB}$的值；
知识点：全等三角形的判定与性质、矩形的性质
证明一个四边形是正方形，使用次数最少的方法对折，则应该对折（　　） 
 A. 1次 
 B. 2次 
 C. 3次 
 D. 4次
知识点：正方形的判定
已知$\frac{x}{y}=2$，则$\frac{{x^2}+xy}{y^2}$=____．
知识点：分式的值
当a=2+$\sqrt{3}$时，分式$\frac{9}{{a}^{2}-4a+4}$的值等于____．
知识点：因式分解-运用公式法、分式的值
已知：$\frac{xy}{x+y}$=-2，$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}$=-$\frac{4}{3}$，则$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值为____．
知识点：分式的值
当a=-2，b=4时，求式子$\frac{a-b}{ab}$的值．
知识点：分式的值
已知：a是最小的正整数，b能够使4-（b+2）2取到最大值，|c+1|=3，且ac＜0，求$\frac{4ab+c}{-{a}^{2}+{c}^{2}+4}$的值．
知识点：分式的值
已知$\sqrt{{(2x-y)}^{2}}$=1，$\sqrt[3]{{(1-2y)}^{3}}$=-1，求$\frac{3x+y}{x-y}$的值．解：根据算术平方根的定义，由$\sqrt{{(2x-y)}^{2}}$=1，得（2x-y）2=1，所以2x-y=1①…第一步根据立方根的定义，由$\sqrt[3]{{(1-2y)}^{3}}$=-1，得1-2y=-1②……第二步由①②，解得x=1，y=1……第三步把x=1，y=1代入$\frac{3x+y}{x-y}$中，得$\frac{3x+y}{x-y}$=0……第四步（1）以上解题过程存在错误，请指出错在哪些步骤，并说明错误的原因；（2）把正确解答过程写出来．
知识点：算术平方根、立方根、分式的值
若x为整数，且$\frac{4x+8}{{x^2}-4}$的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．
知识点：分式的值
阅读材料：已知$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$的值解：由$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{3}$得，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=3，则有x+$\frac{1}{x}$=3，由此可得，$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}$=x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）2-2=32-2=7；所以，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}=\frac{1}{7}$．请理解上述材料后求：已知$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=a，用a的代数式表示$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．
知识点：列代数式、完全平方式、分式的值
分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式$\frac{4}{x+2}$，$\frac{3{x^2}}{{x^3}+4x}$是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式$\frac{x-4}{x+2}$，$\frac{x^2}{x-1}$是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，$\frac{x-4}{x+2}=\frac{({x+2})-6}{x+2}=1-\frac{6}{x+2}$．（1）将假分式$\frac{x+1}{x-1}$化为一个整式与一个真分式的和是____；（2）将假分式$\frac{2x-1}{x+1}$化为一个整式与一个真分式的和；（3）若分式$\frac{x^2}{x+1}$的值为整数，求整数x的值．
知识点：整式、分式的定义、分式的值
（1）如果a，b，c是任意的整数，那么在$\frac{a+b}{2}$，$\frac{b+c}{2}$，$\frac{a+c}{2}$这三个数中，至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由．（2）某学习小组在“课题学习”中，根据下表作了三个推测：



x
1
10
100
1000
10000
…


3-$\frac{x-1}{x}$
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
…



甲同学：3-$\frac{x-1}{x}$（x＞0）的值随着x的增大而减小；乙同学：3-$\frac{x-1}{x}$（x＞0）的值有可能等于2；丙同学：3-$\frac{x-1}{x}$（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于2．哪些同学的推测是正确的？哪些同学的推测是错误的？请说明理由．
知识点：分式的值、反比例函数的图象
已知A、B两个港口之间的距离为100千米，水流的速度为b千米/时，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，则轮船往返两个港口之间一次需要的时间是（　　） 
 A. $\frac{100}{a}$+$\frac{100}{b}$ 
 B. $\frac{200}{a+b}$ 
 C. $\frac{100}{a+b}$+$\frac{100}{a-b}$ 
 D. $\frac{100}{a+b}$-$\frac{100}{a-b}$
知识点：列代数式（分式）
一列火车长m米，以每秒v米的速度通过一个长为n米的隧道，用式子表示它刚好从开始进隧道口到全部通过隧道所需的时间为（　　）秒． 
 A. $\frac{n}{v}$ 
 B. $\frac{m+n}{v}$ 
 C. $\frac{2m+n}{v}$ 
 D. $\frac{n-m}{v}$
知识点：列代数式（分式）
一检测员在n分钟内可检查$\frac{a}{3}$个产品，他在2小时内可检查产品（　　）个． 
 A. $\frac{2a}{3n}$ 
 B. $\frac{40a}{n}$ 
 C. $\frac{a}{3n}$ 
 D. $\frac{120a}{n}$
知识点：列代数式（分式）
几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有x人，结果每个同学比原来少分摊元车费（　　） 
 A. $\frac{180}{x+2}-\frac{180}{x}$ 
 B. $\frac{180}{x(x+2)}$ 
 C. $\frac{360}{x(x+2)}$ 
 D. $\frac{720}{x(x+2)}$
知识点：分式的加减法、列代数式（分式）
粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　） 
 A. x 
 B. y 
 C. $\frac{x+y}{2}$ 
 D. $\frac{2xy}{x+y}$
知识点：列代数式（分式）
中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（　　） 
 A. $\frac{7200}{a(a+20)}$ 
 B. $\frac{3600}{a(a+20)}$ 
 C. $\frac{3600}{a(a-20)}$ 
 D. $\frac{7200}{a(a-20)}$
知识点：分式的加减法、列代数式（分式）
相距S千米的两个港口A、B分别位于河的上游和下游，货船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，一艘货船从A港口出发，在两港之间不停顿地往返一次所需的时间是（　　） 
 A. $\frac{2S}{a+b}$小时 
 B. $\frac{2S}{a-b}$小时    
 C. （$\frac{S}{a}$+$\frac{S}{b}$）小时 
 D. （$\frac{S}{a+b}$+$\frac{S}{a-b}$）小时
知识点：列代数式（分式）
某次列车平均提速v千米/每小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是（　　）km/h． 
 A. $\frac{sv}{50}$ 
 B. $\frac{50v}{s}$ 
 C. $\frac{50}{sv}$ 
 D. $\frac{v}{50s}$
知识点：列代数式（分式）
一条笔直的公路依次经过A、B、C三地，甲乙分别同时从A、B地出发到C地，AB=100米，BC=200米，设甲速度为a米/分，乙速度为b米/分（3b＞2a），那么（　　） 
 A. 甲先到 
 B. 乙先到 
 C. 两人同时到 
 D. 无法确定谁先到
知识点：分式的加减法、列代数式（分式）
已知买n千克苹果共花了m元，则买2千克苹果要花（　　）元． 
 A. 2mn 
 B. $\frac{2m}{n}$ 
 C. $\frac{mn}{2}$ 
 D. $\frac{2n}{m}$
知识点：列代数式（分式）
若2017～2019年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，则2019年与2018年相比，森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）
知识点：列代数式（分式）
甲、乙两港分别位于长江的上、下游，相距s km，若一艘游轮在静水中的速度为a km/h，水流速度为b km/h，（b＜a）．则该游轮往返两港口所需的时间相差多少？
知识点：列代数式（分式）
用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10t，改用喷灌方式后，10t水可以比原来多用5天．喷灌比漫灌平均每天节约用水多少？
知识点：分式的加减法、列代数式（分式）
两地之间的空中航线全程skm，飞行时间需用ah，两地之间的铁路线全长是空中航线全程的m倍，火车运行的时间为bh，求飞机速度是火车速度的多少倍．
知识点：分式的乘除法、列代数式（分式）
分式$\frac{a+b}{ab}$（a、b均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） 
 A. 不变 
 B. 扩大为原来的2倍 
 C. 缩小为原来的$\frac{1}{2}$ 
 D. 缩小为原来的$\frac{1}{4}$
知识点：分式的基本性质
将下列分式中x，y（xy≠0）的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是（　　） 
 A. $\frac{3x+1}{2y}$ 
 B. $\frac{3x}{2{y^2}}$ 
 C. $\frac{3{x^2}}{2xy}$ 
 D. $\frac{3{x^3}}{2{y^2}}$
知识点：分式的基本性质
分式$\frac{2}{2-x}$可变形为（　　） 
 A. -$\frac{2}{x-2}$ 
 B. -$\frac{2}{2+x}$ 
 C. $\frac{2}{x-2}$ 
 D. $\frac{2}{2+x}$
知识点：分式的基本性质
根据分式的性质，分式$\frac{3}{3-a}$可以变形为（　　） 
 A. $\frac{1}{1-a}$ 
 B. $-\frac{3}{a-3}$ 
 C. $-\frac{3}{a+3}$ 
 D. 1-$\frac{3}{a}$
知识点：分式的基本性质
下列各式正确的是（　　） 
 A. $\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$ 
 B. $\frac{{x^2}+{y^2}}{x+y}=x+y$ 
 C. $\frac{b}{-a-b}=-\frac{b}{a-b}$ 
 D. $\frac{{a^2}b+a{b^2}}{{a^2}-{b^2}}=\frac{ab}{a-b}$
知识点：分式的基本性质
下列各式与$\frac{x}{x-y}$相等的是（　　） 
 A. $\frac{{x}^{2}}{(x-y)^{2}}$ 
 B. $\frac{{x}^{2}-xy}{(x-y)^{2}}$ 
 C. $\frac{2x}{2x-y}$ 
 D. $\frac{-x}{x+y}$
知识点：分式的基本性质
已知分式$\frac{x+y}{1-xy}$的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　） 
 A. 相等 
 B. 互为相反数 
 C. 互为倒数 
 D. 乘积为-1
知识点：分式的基本性质
把方程$\frac{x}{0.7}$=1.5的分母化为整数，可得方程（　　） 
 A. $\frac{x}{7}$=1.5 
 B. $\frac{x}{7}$=15 
 C. $\frac{10x}{7}$=15 
 D. $\frac{10x}{7}$=1.5
知识点：分式的基本性质
下列等式成立的是（　　） 
 A. $\frac{n}{m}=\frac{n+a}{m+a}$（a≠0） 
 B. $\frac{n}{m}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$ 
 C. $\frac{n}{m}=\frac{n-a}{m-a}$（a≠0） 
 D. $\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}$（a≠0）
知识点：分式的基本性质
从某一个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E、F分别是AB、DC的中点，若AD=8，AB=6，则这个正六棱柱的侧面积为____．
知识点：二次根式的混合运算、几何体的表面积、简单几何体的三视图
一个三棱柱的三视图如图所示，已知主视图、左视图、俯视图的面积分别为12、4、3，则左视图中MN的长为____．
知识点：勾股定理的应用、由三视图判断几何体
如图，正三棱柱的底面周长为15，截去一个底面周长为6的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是____，面积是____．
知识点：截一个几何体、勾股定理的应用、简单组合体的三视图
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/小时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处于灯塔P的距离为____．
知识点：方向角、等腰三角形的性质
如图，在边长为12cm的正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M、N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片折成一个正六棱柱，使AB与点DC重合，则M、N两点间的距离是____cm．
知识点：展开图折叠成几何体、勾股定理的应用
已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为____．
知识点：二次根式的混合运算、简单组合体的三视图、由三视图判断几何体
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，并且△ABC $≌$ △DEF，那么这两个全等三角形属于全等变换中的____．
知识点：几何变换的类型
平移也可以通过连续多次轴对称变换来实现，水平或竖直方向的平移只需通过____次轴对称变换即可完成．
知识点：几何变换的类型
关于x的方程x+2a=1的解是负数，则a的取值范围是____．
知识点：一元一次方程的解、解一元一次不等式
如图CD⊥AB于点D，EF⊥AB于F，∠DGC=84°，∠BCG=96°，则∠1+∠2=____．
知识点：垂线、平行线的判定与性质
若关于x的方程5x-2m=-4-x解在1和10之间，则m的取值为____．
知识点：解一元一次方程、解一元一次不等式
在下列方程中 ①x+2y=3，②$\frac{1}{x}-3x=9$，③$\frac{y-2}{3}=y+\frac{1}{3}$，④$\frac{1}{2}x=0$，是一元一次方程的有____，是二元一次方程的有____（填序号）
知识点：一元一次方程的定义、二元一次方程的解
用长方形纸条，折叠后剪出一个图案，展开后折痕是整个图案的____．
知识点：生活中的轴对称现象
在实数范围内，把多项式3x2-9因式分解的结果是____．
知识点：实数范围内分解因式、一元二次方程的解、解一元二次方程-公式法
如图，在△ABC中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是____．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、轴对称的性质
野营活动中，小明用等腰三角形铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状和大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼仍然正好落在“锅”中，这是因为____．
知识点：生活中的轴对称现象
已知△ABC与△ABD，点D不与点C重合，且$AC=AD=\sqrt{3}$，∠ABD=∠ABC=30°，∠ACB=60°，则CD=____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作C点关于直线AB的对称点C'，连接BC'．过A点作DA⊥AC交BC'于点D，若AC=4cm，BC=8cm，则△ABD的周长是____cm．
知识点：全等三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质
____有一条对称轴，____有四条对称轴，____有无数条对称轴．（各填上一个图形即可）．
知识点：生活中的轴对称现象
如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为____．
知识点：角平分线的性质、等腰三角形的判定
含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠1=60°，以下三个结论中正确的是____（只填序号）①AC=2BC；②△BCD为正三角形；③AD=BD
知识点：平行线的性质、等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠ACB=45°，点D、A关于直线BC对称，DE⊥AB于点E，CF∥AD，交射线ED于点F，DG⊥CF于点G，若GF=$\frac{3}{8}$AD，S△ABC=14，则线段BE的长为____．
知识点：平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质
在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是____，它有____条对称轴；最少的是____，它有____条对称轴．
知识点：生活中的轴对称现象
在△ABC中，AB=AC，∠BAC＞90°，点E在边BC上，且使△ABE和△ACE都为等腰三角形，则∠EAC=____度．
知识点：等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
将一张长方形的纸对折两次，然后剪下以折点为顶点的角，剪下的图形展开后一定是____形．
知识点：剪纸问题
已知∠AOB=60°，点P在∠AOB的内部，P1是点P关于OA的对称点，P2是点P关于OB的对称点，若OP=6，则P1P2=____．
知识点：等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质
已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的序号是____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，请写出图中有哪些等腰三角形？____．
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的判定
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D为AB的中点，点E为线段AC上一个动点，连接DE，点F为点B关于DE的对称点，连接BE，EF，DF，若BC=2，当△DEF与△DEA的重合部分的面积为△EAB面积的$\frac{1}{4}$时，AE的长为____．
知识点：含30度角的直角三角形、轴对称的性质
如图，已知△ABC是一个等边三角形，它的边AB长为3，D、E、F分别是AB、BC、CA的三等分点，则△DEF的边长为____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为____（只写序号1，2等）．
知识点：生活中的轴对称现象
如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC=____．
知识点：菱形的性质、剪纸问题
如图，∠AOB=56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为____．
知识点：等腰三角形的判定
如图，在四边形ABDE中，C是BD的中点，BD=8，AB=2，DE=8．若∠ACE=150°，则线段AE长度的最大值为____．
知识点：线段的性质：两点之间线段最短、轴对称的性质
如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是____三角形．
知识点：等边三角形的判定与性质
剪纸是我国最普及的民间传统装饰艺术之一．现在请你试一试：用一张纸制作一个由8个“丰”字横排而成的带状图案，需将这张纸对折4次，折好的纸块上画____形状的图案，再用剪刀剪好后拉开．
知识点：剪纸问题
在△ABC中，∠A=20°，当∠B=____时，△ABC为等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上．画出关于l成轴对称图形的△AB′C，五边形ACBB′C′的周长为____．
知识点：勾股定理、关于x轴、y轴对称的点的坐标、作图-轴对称变换
如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为____．
知识点：生活中的轴对称现象
已知，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，那么AC=____．
知识点：含30度角的直角三角形
三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是____．
知识点：角平分线的性质
在△ABC中，∠A=50°，当∠B=____°时，△ABC是等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的____．
知识点：三角形的稳定性
对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点的____，连接____，就可以得到原图形的轴对称图形．
知识点：作图-轴对称变换
如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为____．
知识点：生活中的轴对称现象、镜面对称
在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，则△ABC的面积为____．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若∠ADC=60°，CD=2，则△ABC周长等于____．
知识点：角平分线的性质
如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是____．
知识点：等腰三角形的性质、等腰三角形的判定、平移的性质
如图，木匠在做门框时防止门框变形，用一根木条斜着钉好，这样门框就固定了，所运用的数学道理是____．
知识点：三角形的稳定性
在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，-8），作点A关于x轴的对称点，得到点A′再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″的坐标为____．
知识点：关于x轴、y轴对称的点的坐标、作图-轴对称变换
在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是____．
知识点：轴对称图形
如图，已知∠AOB=30°，点P在边OA上，OP=14，点E，F在边OB上，PE=PF，EF=6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE=45°时，DF的长为____．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，∠C=90°，∠A=30°，BD为角平分线，则S△ABD：S△CBD=____．
知识点：角平分线的性质
如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其理论依据是____．
知识点：三角形的稳定性
如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …（1）若∠MON=30°，可以得到的最后一个等腰三角形是____；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是____．
知识点：等腰三角形的判定
画一个图形关于某条直线的对称图形时，只要从已知图形上找出几个____，然后分别作出它们的____，再按原有方式连接起来即可．
知识点：作图-轴对称变换
北京天安门雄伟壮丽，用数学的眼光看，天安门主视图是____图形．
知识点：轴对称图形
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=3，则AC=____．
知识点：含30度角的直角三角形
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若BC=20cm，BE=7.6cm，则△DBE的周长为____cm．
知识点：角平分线的性质
如图，木工师傅做好一门框后钉上木条AB，CD，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是____．
知识点：三角形的稳定性
如图，请你画出这个图形的一条对称轴．答：____是它的一条对称轴（用图中已有的字母回答）
知识点：作图-轴对称变换
已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为____．
知识点：等腰三角形的判定
给出下列4种图形：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆．其中，不一定是轴对称图形的是____（填写序号）．
知识点：轴对称图形
在Rt△ABC中，∠A=90°，其中一个锐角为60°，BC=2$\sqrt{3}$，点P在直线AC上（不与A，C两点重合），当∠ABP=30°时，CP的长为____．
知识点：含30度角的直角三角形
如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交于I，AI=3ID，AE=m，BD=n，则AB=____．（用含m、n的式子表示）
知识点：列代数式、角平分线的性质
如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的____．
知识点：三角形的稳定性
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t=____时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点（Ⅰ）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值等于____；（Ⅱ）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位置如何找到的（不要求证明）
知识点：勾股定理、作图-轴对称变换
写出一个你熟悉的轴对称图形的名称：____．
知识点：轴对称图形
已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，则△ABC底角的度数为____．
知识点：三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．动点P从点C开始按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒3cm，运动的时间为t秒．则△BCP为等腰三角形时t的值是____．
知识点：等腰三角形的判定
如图，在做门窗时，工人叔叔常把还没有安装的门窗钉上两根斜拉的木条．工人叔叔这样做的数学道理是根据____．
知识点：三角形的稳定性
在△ABC中MP，NO分别垂直平分AB，AC．若∠BAC=106°，则∠PAO的度数是____．
知识点：线段垂直平分线的性质
阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作直线外一点关于直线的对称点．已知：如图1，直线l与直线l外一点A．求作：直线外一点A关于直线l的对称点B．小颖的作法如下：（1）如图2，在直线l上任取点C；（2）以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线l于点D；（3）分别以点C，点D为圆心，AC长为半径作弧，处于直线l异侧的两弧交点为B．所以点B为所求．老师说：“小颖的作法正确．”请回答：小颖的作图依据是____．
知识点：菱形的判定、作图-轴对称变换
角是轴对称图形，____是它的对称轴．
知识点：轴对称图形
如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
在生活中，我们经常会看见桥梁拉杆、电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的____性．
知识点：三角形的稳定性
如图，在△ABC中，D是AB的中点，且CD⊥AB，∠A=45°，则∠B=____．
知识点：线段垂直平分线的性质
在△ABC中，∠B=50°，当∠A为____时，△ABC是等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点____；（2）分别延长DM，EP，FN至____，使____=____，____=____，____=____；（3）顺次连接____，____，____，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．
知识点：作图-轴对称变换
如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是____（填出所有符合要求的小正方形的标号）
知识点：轴对称图形
等腰三角形腰长为6cm，腰上的高为3cm．那么这个三角形的顶角是____度．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是____．
知识点：三角形的稳定性
如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是____．
知识点：等腰三角形的判定、勾股定理
如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l₁，l₂相交于点O，若∠BAC等于76°，则∠OBC=____．
知识点：三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质
如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（-4，3），B（0，5），C（0，1）．（1）请画出△ABC关于直线BC作轴对称变换得到的△DBC，点D的坐标为____； （2）将四边形ABDC向左平移4个单位得四边形A′B′D′C′．则四边形ABDC与四边形A′B′D′C′重叠部分图形的形状为____，它的面积为____．（直接写答案）
知识点：作图-轴对称变换、坐标与图形变化-平移
下面的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？是对称轴的是____；不是对称轴的是____（填写序号）．
知识点：轴对称图形
如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE=6，EF=8，FC=10，则△ABC的周长是____．
知识点：线段垂直平分线的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
为使一个四边形木架不变形我们会从中钉一根木条，这是利用了三角形的____．
知识点：三角形的稳定性
如图所示，BE⊥AC于点D，且AB=CB，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，D在AB上，E在AC上，且使AE=EC=DE，那么AD2：BC2等于____．
知识点：含30度角的直角三角形
小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到等腰直角三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案，她拿出剪出的图案请小冬猜，打开的图案至少有____条对称轴，最多有____条对称轴．
知识点：剪纸问题
观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是____．（填写序号）
知识点：轴对称图形
三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是____．
知识点：线段垂直平分线的性质
如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是____．
知识点：三角形的稳定性
如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为____．
知识点：直角三角形斜边上的中线、轴对称图形
将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则$\frac{FM}{GF}$的值是____．
知识点：剪纸问题
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为=____．
知识点：角平分线的定义、线段垂直平分线的性质
已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=____°．
知识点：等腰三角形的判定与性质
空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是____．
知识点：三角形的稳定性
小刚从镜子中看到的电子表的读数是[15：01]，则电子表的实际度数是____．
知识点：镜面对称
如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是____．
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理、剪纸问题
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE=____．
知识点：线段垂直平分线的性质
人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了____．
知识点：三角形的稳定性
小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是____．
知识点：镜面对称
如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=____．
知识点：剪纸问题
O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC=2∠BPC，则∠BAC=____．
知识点：角平分线的性质、线段垂直平分线的性质
工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用____性．
知识点：三角形的稳定性
如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP=QC=PQ=AP=AQ，则∠BAC=____．
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质
在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为____cm．
知识点：勾股定理、平行四边形的性质、剪纸问题、解直角三角形
小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是____．
知识点：镜面对称
等腰三角形的一个角为150°，则它的顶角的度数为____．
知识点：等腰三角形的性质
起重机的吊臂都是用铁条焊成三角形，这是利用了____．
知识点：三角形的稳定性
小丽在镜子里看到对面墙上电子钟示数为12：01，则此时实际时刻为____．
知识点：镜面对称