despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
已知[  $\left[\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2+2y\left(x-y\right)\right]\div4y=$  1,则代数式  $\frac{ 4 x } { 4 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }-\frac{ 1 } { 2 x + y }$  的值____
 
 
知识点：分式的定义
定义:若两个分式的差为2,则称这两个分式属于“友好分式组”。
 
(1)下列3组分式: ① $\frac{ 3 a } { a + 1 }$  与  $\frac{ a } { a + 1 };②\frac{ 3 a } { a - 1 }$  与  $\frac{ a + 2 } { a - 1 };③\frac{ a } { 2 a + 1 }$ 与   $\frac{ 5 a + 2 } { 2 a + 1 }.$  其中属于“友好分式组”的有____(只填序号);
 
(2)若正实数a、b互为倒数,求证:  $\frac{ 3 a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b }$  与 $\frac{a-2 b^{2}}{a+b^{2}}$ 属于“友好分式组”;
 
(3)若a、b均为非零实数,且分式  $\frac{ 3 a ^ { 3 } } { a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } }$  与  $\frac{ a } { a + 2 b }$  于友好分式组”,求分式  $\frac{ a ^ { 2 } - 2 b ^ { 2 } } { a b }$  的值。
知识点：分式的定义
先化简,再求值:  $\left(\frac{ 3 x } { x - 2 }-\right.$    $\frac{ x } { x + 2 })\div\frac{ x } { x ^ { 2 } - 4 },$  在-2,0,1,2四个数中选一个合适的代入求值.
知识点：分式的值
已知  $x^2+5xy+y^2=0\left(x\ne0,y\ne0\right),$  ,则代数式  $\frac{ y } { x }+\frac{ x } { y }$  的值等于________。
知识点：分式的值
先化简,再求值:  $(\frac{ 1 } { x }-\frac{2}{x+2})$  $\div\frac{ 2 x - 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 },$  ,其中x满足  $x^2-x-1=0.$  
知识点：分式的值
如果a、b、c是正数,且满足  $a+b+c=9,\frac{ 1 } { a + b }+$    $\frac{ 1 } { b + c }+\frac{ 1 } { c + a }=\frac{ 1 0 } { 9 },$  试求  $\frac{ a } { b + c }+\frac{ b } { c + a }+\frac{ c } { a + b }$  的值
知识点：分式的值
已知实数:满足  $x+\frac{ 1 } { x + 1 }=9,$  则分式  $\frac{ x + 1 } { x ^ { 2 } + 5 x + 5 }$  的值为.____
知识点：分式的值
已知a,bc为实数,且  $\frac{ a b } { a + b }=\frac{ 1 } { 3 },\frac{ b c } { b + c }=\frac{ 1 } { 4 },\frac{ c a } { c + a }=$    $\frac{ 1 } { 5 },$    $\frac{ a b c } { a b + b c + c a }$  的值
知识点：分式的值
已知,  $a+\frac{ 1 } { a }=4,$    $\left(a-\frac{ 1 } { a }\right)^2=$  ____
知识点：分式的值
已知  $a\gtb\gt0,a^2+b^2=3ab,$  则  $\frac{ a + b } { a - b }$  值为________
知识点：分式的值
已知  $\frac{ m } { n }=\frac{ 2 } { 3 },$  则  $\frac{ m } { m - n }+\frac{ m } { m + n }-\frac{ n ^ { 2 } } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } }$  值为____.
知识点：分式的值
已知  $\frac{ x } { 2 }=\frac{ y } { 3 }=\frac{ z } { 5 },$  2x+y≠0,则  $\frac{ x + y - 3 z } { 2 x + y }$  的值为____.
知识点：分式的值
已知实数a、b、c满足  $\frac{ a + b } { c }=\frac{ b + c } { a }=\frac{ a + c } { b },$  计算 $\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}.$ 
知识点：分式的值
已知实数m、满  $m^2+2m-2=0,m-n=2,$  则代数式  $\frac{ 1 } { m + 1 }+$ $\frac{2}{n}$  的值为____
知识点：分式的定义
已知等腰三角形的面积为10,底边长为 $x_{},$底边上的高为y,写出y与x的函数表达式及自的取值范围,并画出其函数图像.
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知  $\frac{ y } { x }-\frac{ x } { y }=5,$    $\frac{ 5 x ^ { 2 } + 2 x y - 5 y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } }=$  ____
知识点：分式的值
对于分式方程 $\frac{ x } { x - 4 }=2+\frac{ 4 } { x - 4 },$  有下列说法:①最简公分母为  $\left(x-4\right)^2;$  ②转化为整式方程是x=2+4,解得x=6;③原方程的解为x=4;④原方程无解.其中,正确的有(    ) 
 A. 4个 
 B. 3个 
 C. 2个 
 D. 1个
知识点：分式方程的增根
若关于x的方程  $\frac{ x + 2 } { x - 1 }=\frac{ m + 1 } { x - 1 }$  产生增根,则增根是(    )。 
 A. x=-1 
 B. x=1 
 C. x=-2 
 D. 无法确定
知识点：分式方程的增根
分式方程  $\frac{ x + 1 } { 2 x - 1 }=1$  的解为____________。
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ m + 4 } { x - 3 }=\frac{ 3 x } { x - 3 }+2$有增根,则m的值为________________.
知识点：分式方程的增根
解方程：
$1-\frac{ 2 } { 3 - x }=\frac{ 4 } { x - 3 }.$  
知识点：分式方程的增根
解方程：
  $\frac{ 4 } { x ^ { 2 } - 1 }+1=\frac{ x - 1 } { x + 1 }.$  
知识点：分式方程的增根
已知关于x的分式方程  $\frac{ 5 } { x }=\frac{ a } { x - 2 }$  有解,则a的取值范围是(    ) 
 A. a=5或a=0 
 B. a≠0 
 C. a≠5 
 D. a≠5且a≠0
知识点：分式方程的增根
已知关于x的分式方程  $\frac{ m } { x - 1 }+2=-\frac{ 3 } { 1 - x }$  的解为非负数,则满足条件的正整数m共有(    ) 
 A. 3个 
 B. 4个 
 C. 5个 
 D. 6个
知识点：分式方程的增根
若关于x的方程  $\frac{ 3 } { x }+\frac{ a x } { x + 1 }=2-\frac{ 3 } { x + 1 }$  有增根x=-1,,则2a-3的值为(    ) 
 A. 2 
 B. 3 
 C. 4 
 D. 6
知识点：分式方程的增根
已知分式  $\frac{ 7 } { x - 2 }$与$\frac{ x } { 2 - x }$  的和为4,则x的值为____________.
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ x } { x - 3 }+\frac{ 3 a } { 3 - x }=2a$  无解,则的值为____________。
知识点：分式方程的增根
解方程：
$\frac{x}{x-1}=\frac{x-1}{2x-2}.$ 
知识点：分式方程的增根
如图,P是反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上任意一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.若△POM的面积等于2,则k的值等于
 
 A. 一4 
 B. 4 
 C. -2 
 D. 2
知识点：反比例函数的图象
如图,在平面直角坐标系x0y中,A,B,C为反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  上不同的三点,连接OA,OB,OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B,C分别作BE,CF垂直x轴于点E,F,OC与BE相交于点M,记△AOD, △BOM,四边形CME F的面积分别为  $S_1,S_2,S_3,$  ,则
 
 A.  $S_1=S_2+S_3$  
 B.  $S_2=S_3$  
 C.  $S_3\gtS_2\gtS_1$  
 D. $S_1S_2\ltS^2_3$ 
知识点：反比例函数的图象
如图,⊙O的半径为2,双曲线的函数表达式分别为,  $y=\frac{ 1 } { x }$  和  $y=-\frac{ 1 } { x },$  则阴影部分的面积是
 
 A. 4π 
 B. 3π 
 C. 2π 
 D. π
知识点：反比例函数的图象
如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AD⊥yy轴,垂足为E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴正半轴上,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0,x\gt0\right)$  的图像同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=2DE,则k的值为
 
 A.  $\frac{ 4 0 } { 3 }$  
 B.  $\frac{ 5 } { 2 }$  
 C.  $\frac{ 5 } { 4 }$  
 D.  $\frac{ 2 0 } { 3 }$ 
知识点：反比例函数的图象
如图,反比例函数  $y=\frac{ 2 } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为____

知识点：反比例函数的图象
计算  $\left(-\frac{ 1 } { a }\right)^3\cdot{\left(-a^4\right)}$  的结果是(    ) 
 A. a 
 B. -a 
 C.   $\frac{ 1 } { a }$   
 D.   $\frac{ 1 } { a }$  
知识点：分式的乘除法
化简  $\frac{ m ^ { 2 } - 1 } { m }\div\frac{ m ^ { 2 } - m } { m ^ { 2 } }$  的结果是(    ) 
 A. m 
 B. -m 
 C. m+1 
 D. m-1
知识点：分式的乘除法
已知  $\left(\frac{ x ^ { 3 } } { y ^ { 2 } }\right)^2+\left(-\frac{ x } { y ^ { 2 } }\right)^2=6,$  则  $x^4y^2$  的值为(    ). 
 A. 6 
 B. 36 
 C. 12 
 D. 3
知识点：分式的乘除法
化简:  $\frac{ 1 } { a }\div\left(-\frac{ 1 } { a ^ { 2 } }\right)=$  ____ 
知识点：分式的乘除法
使式子  $\frac{ x + 3 } { x - 3 }+\frac{ x + 5 } { x - 4 }$  有意义的x的取值范围是________
知识点：分式的乘除法
已知分式  $\frac{ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x }$  乘一个分式A后的结果为  $-\frac{ \left( x - y \right) ^ { 2 } } { x },$  则这个分式A为____ 
知识点：分式的乘除法
$\left(-\frac{ x } { y }\right)^2\cdot\left(-\frac{ y } { x }\right)^3\div{\left(\frac{ 1 } { x y }\right)^2};$  
知识点：分式的乘除法
$\frac{ x - 1 } { x }+\frac{ x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } + x };$  
知识点：分式的乘除法
$\frac{ a + 3 } { 1 - a }\div\frac{ a ^ { 2 } + 3 a } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 }.$  
知识点：分式的乘除法
方程  $\frac{ 2 } { x }+\frac{ 1 } { x \left( x - 2 \right) }=\frac{ 5 } { 2 x }$  的解为____________.
知识点：分式方程的增根
若  $x-\frac{ 1 } { x }=3,$    则 $\frac{ x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + 1 }=$  ____
知识点：分式的值
若  $a^2+\frac{ 1 } { a ^ { 2 } }=23,$   则 $a+\frac{ 1 } { a }-2$  的值为____。
知识点：分式的值
如图,反比例函数  $y_1=\frac{ m } { x }$  和正比例函数  $y_2=nx$  的图像交于A(-1,-3),B两点,则  $\frac{ m } { x }-nx\ge0$  的解集是____

知识点：反比例函数的图象
如图,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过A,B两点,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,BE⊥x轴于点E,连接AD.已知AC=1,BE=1，=4,则  $S_{\triangle ACD}=$____.

知识点：反比例函数的图象
如图,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB,BC于点D,E,若四边形ODBE的面积为12,则k的值为____

 
知识点：反比例函数的图象
如图已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像与直线y=ax+b相交于点A(-2,3),B(1,m).
(1)求直线的函数表达式;
(2)在x轴上有一点P,使得△PAB的面积为18,求点P的坐标.

知识点：反比例函数的图象
如图,四边形,ABCD是矩形,点A在第四象限  $y_1=-\frac{ 2 } { x }$  的图像上,点B在第一象限  $y_2=\frac{ k } { x }$  的图像上,AB交x轴于点E,点C与点D在y轴上,
(1)求点B的坐标;
(2)若点P在x轴上,  $S_{\triangle BPE}=3,$  求直线BP的函数表达式.
知识点：反比例函数的图象
$x^2+\left(\frac{ 2 x } { y }\right)^2=$  ____. 
知识点：分式的乘除法
$\left(\frac{ x - y } { y }\right)^2+\left(y-x\right)=$  ____
知识点：分式的乘除法
$\left(\frac{ a - b } { b }\right)^2\cdot\frac{ b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } };$  
知识点：分式的乘除法
关于x的分式方程  $\frac{ 2 } { x }+\frac{ 3 } { x - a }=0$  解为x=4,则常数a的值为(      ) 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 4 
 D. 10
知识点：分式的值
当a=________时,关于x的方程 $\frac{ x + 1 } { x - 2 }=\frac{ 2 a - 3 } { a + 5 }$  解等于零.
知识点：分式的值
若关于x的方程  $\frac{ 2 x + m } { x - 2 }+$    $\frac{ x - 1 } { 2 - x }=3$  的解是正数,则m的取值范围是____.
知识点：分式的值
若关于x的分式方程  $\frac{ x - a } { x - 1 }-\frac{ 2 } { x }=1$  有一个正整数解,则整数a的值为____.
知识点：分式的值
若数a使关于x的不等式组 $\begin{cases}{\frac{x}{3}-2\le\frac{1}{4}(x-7)} \\ {6x-2a\gt5(1-x)}\end{cases},$ 有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程  $\frac{ 1 - 2 y } { y - 1 }-\frac{ a } { 1 - y }=-3$ 的解为正数,求所有满足条件的整数a的值之和.
知识点：分式的值
若关于x的分式方程  $\frac{ x + m } { 4 - x ^ { 2 } }+\frac{ x } { x - 2 }=1$  有增根,则m的值是(    ) 
 A. 2或6 
 B. 2 
 C. 6 
 D. 2或-6
知识点：分式的值
解关于x的分式方程  $\frac{ 2 m + x } { x - 3 }-1=\frac{ 2 } { x }$  会产生增根,则增根可能为(    ) 
 A. 0或3 
 B. 3 
 C. 0 
 D. 以上都不对
知识点：分式的值
当k为何值时,分式方程  $\frac{ 6 } { x - 1 }=\frac{ x + 2 k } { x \left( x - 1 \right) }-\frac{ 5 } { x }$  有增根?
知识点：分式的值
小明在做作业时发现方程  $\frac{■}{x-2}=\frac{ 1 - x } { 2 - x }-3$  有一部分被墨水污染,通过翻看答案得知原方程无解,则被“■”盖住的数是 ____。
知识点：分式的值
若分式方程  $\frac{ x - a } { x + 1 }=a$  无解,则a的值为____.
知识点：分式的值
关于x的分式方程  $\frac{ x } { x + 1 }=\frac{ a x } { 3 x + 3 }+1$  无解,求常数a的值.
知识点：分式的值
若关于的方程  $\frac{ 1 } { x - 4 }+$    $\frac{ m } { x + 4 }=\frac{ m + 3 } { x ^ { 2 } - 1 6 }$  无解,求m的值.
知识点：分式的值
解方程：
  $\frac{ 3 - x } { x - 4 }=\frac{ 1 } { 4 - x }-2.$  
知识点：分式方程的增根
解方程：
  $\frac{ x } { x - 1 }=\frac{ 4 } { x ^ { 2 } - 1 }+1.$  
知识点：分式方程的增根
已知关于x的分式方程  $\frac{ 2 } { x - 1 }+$    $\frac{ m x } { \left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right) }=\frac{ 1 } { x + 2 }.$ 
 (1)若方程的增根为x=1,求m的值.
 (2)若方程有增根,求m的值.
知识点：分式方程的增根
若分式方程  $\frac{ 2 x } { x + 1 }-\frac{ m + 1 } { x ^ { 2 } + x }=\frac{ x + 1 } { x }$  有增根,则m的值为(    )。 
 A. 一1或1 
 B. 一1或2 
 C. 1或2 
 D. 1或一2
知识点：分式方程的增根
仙桃是遂宁市某地的特色时令水果.仙桃一上市,水果店的老板用2400元购进一批仙桃,很快售完;老板又用3700元购进第二批仙桃,所购件数是第一批的 $\frac{3}{2}$ 倍,但进价比第一批每件多了5元.
(1)第一批仙桃每件进价是多少元?
(2)老板以每件225元的价格销售第二批仙桃,售出80%后,为了尽快售完,剩下的决定打折促销.要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元,剩余的仙桃每件售价至少打几折?(利润=售价-进价)
知识点：分式的值
某品牌牛奶专营店销售一款牛奶,售价是在进价的基础上加价a%,每月的销售额可以达到9.6万元,但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用.如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元,那么a的值是多少?(利润=售价-进价-固定费用-其他费用)
知识点：分式的值
为加快城市群的建设与发展,在A、B两城市间新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程由现在的120 km缩短至114 km,城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km,运行时间仅是现行时间的  $\frac{ 2 } { 5 },$  求建成后的城际铁路在A、B两地的运行时间.
知识点：分式的值
班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动,基地离学校有90公里,队伍8:00从学校出发.苏老师因有事情,8:30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶,追上大巴后继续前行,结果比队伍提前15分钟到达基地.问:
(1)大巴与小车的平均速度各是多少?
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远?
知识点：分式的值
一次函数y=x+n的图像与x轴交于点B,与反比例函数,  $y=\frac{ m } { x }\left(m\gt0\right)$  的图像交于点A(1,m),且△AOB的面积为1,则m的值是 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：反比例函数的应用
如图,正比例函数y==kx与函数  $y=\frac{ 6 } { x }$  的图像交于A,B两点,BC∥x轴,AC//y轴,则  $S_{\triangle ABC}=$ ____

知识点：反比例函数的应用
如图,直线 $l$ ⊥x轴于点P,且与反比例函数  $y_1=\frac{ k _ { 1 } } { x }\left(x\gt0\right)$  及  $y_2=\frac{ k _ { 2 } } { x }\left(x\gt0\right)$  )的图像分别交于A,B两点,连接OA,OB,已知△OAB的面积为4,则  $k_1-k_2=$ ____

知识点：反比例函数的应用
如图,△ABC的顶点A,C落在坐标轴上,且顶点B的坐标为(一5,2),将△ABC沿x轴向右平移得到  $\triangle{A_1}{B_1}C_1,$  ,使得点  $B_1$  恰好落在函数  $y=\frac{ 6 } { x }$  的图像上,若线段AC扫过的面积为48,则点  $C_1$  的坐标为____

知识点：反比例函数的应用
反比例函数  $y=\frac{ 1 } { x }$  和  $y=\frac{ k } { x }$  在第一象限内的图像如图,点P在  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上,PC⊥x轴,垂足为C,交  $y=\frac{ 1 } { x }$  的图像于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交  $y=\frac{ 1 } { x }$  的图像于点B.已知A(m,1)为线段PC的中点.
(1)求m和k的值;
(2)求四边形OAPB的面积.

知识点：反比例函数的应用
在矩形ABCD中，若AD=4,DC=3,则BD等于（    ）. 
 A. 2 
 B. 5 
 C. 4 
 D. 6
知识点：矩形的性质
如图,正方形O ABC的面积为9,点O为坐标原点,点B在函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上,P(m,n)是函数图像上任意一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F.设矩形OE PF与正方形O ABC不重合的部分(阴影部分)的面积为S.
(1)求k的值;
(2)当  $S=\frac{ 9 } { 2 }$  时,求点P的坐标;
(3)写出S关于m的函数表达式.

知识点：反比例函数的应用
如图,P是反比例函数,  $y=\frac{ k _ { 1 } } { x }\left(k_1\gt0,x\gt0\right)$  的图像上一动点,过点P作x轴,y轴的垂线,分别交x轴,y轴于A,B两点,交反比例函数  $y=\frac{ k _ { 2 } } { x }\left(k_2\lt0\right.$    $|k_2|\ltk_1$  )的图像于E,F两点,连接OE,OF.

(1)四边形PEOF的面积S=____.(用含  $k_1,k_2$  的式子表示)
(2)设点P的坐标为(2,3),连接EF.
①点E的坐标是________,点F的坐标是________ ;(用含 $k_2$  的式子表示)
②若△OEF的面积为  $\frac{ 8 } { 3 },$  ,求反比例函数,  $y=\frac{ k _ { 2 } } { x }$  的表达式
知识点：反比例函数的应用
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,∠COB=60°.若四边形CODE的周长为8.则AB的长为（    ）.
 
 A. 4 
 B. 2 
 C. $2\sqrt{3}$  
 D. $\sqrt{3}$ 
知识点：矩形的性质
如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点EF,若BE= $\frac{7}{4}$ ，AF $=\frac{25}{4}$ ，则AC的长为________.

知识点：矩形的性质
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形的对角线的长.

知识点：矩形的性质
，如图，点A在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上，且点A的横坐标为a（a\lt0） , AB⊥y轴于点B，若△AOB的面积是3，则k的值是（    ）
 
 A. 3 
 B. -3 
 C. 6 
 D. -6
知识点：反比例函数与一次函数的交点问题
在同一平面直角坐标系中，一次函数  $y_1=k_1x+b$  与反比例函数  $y_2=\frac{ k _ { 2 } } { x }\left(x\gt0\right)$  图像如图所示，则当  $y_1\gty_2$  时，自变量x的取值范围为(    )
 
 A. x\lt1 
 B. x\gt3 
 C. 0\ltx\lt1 
 D. 1\ltx\lt3
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
(1)如图①所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限， x轴为该矩形的一条对称轴， 且矩形ABCD的面积为6。若反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过点C，则k的值为________。

(2)如图②，在直角坐标系中，点A在函数y=  $\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数  $y=\frac{ k } { x }$  (x\gt0)的图像交于点D，连接AC、CB、BD、DA，若四边形ACBD的面积等于4，则k的值为________。
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点P(2，3)，且与函数  $y=\frac{ 2 } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像交于点Q(m，n)，若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是________。

知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
如图，一次函数 $y=kx+b$（ $k$ 、 $b$ 为常数， $k\ne0)$ 的图像与反比例函数y=  $\frac{ m } { x }\left(m\right.$  为常数, $m\ne0$ )的图像在第二象限交于点 $A\left(-4,3\right)$ ，与y轴负半轴交于点B，且 $OA=OB$ 。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式。
（2）根据图像直接写出当 $x\lt0$ 时，不等式,kx+  $b\le\frac{ m } { x }$  的解集。

知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△BEC;(2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长.

知识点：矩形的性质
如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,则DE的长是（    ）.
 
 A. 3 
 B. 5 
 C. 2.4 
 D. 2.5
知识点：矩形的性质
“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处，且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°，则∠A=________°.

知识点：矩形的性质
如图，点A是反比例函数y=  $\frac{ 6 } { x }\left(x\gt0\right)$  上的一点,过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数  $y=\frac{ 2 } { x }$  的图像于点B，点P是轴上的动点，则△PAB的面积为（    ）
 
 A. 2 
 B. 4 
 C. 6 
 D. 8
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
如图，在平面直角坐标系中，点 $P\left(1，4\right)、Q\left(m，n\right)$ 在函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上，当 $m\gt1$ 时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D。QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（    ）
 
 A. 减小 
 B. 增大 
 C. 先减小后增大 
 D. 先增大后减小
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
（1）如图①，反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过  $▱ABCD$  对角线的交点  $P_2$  已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC, ◻ABCD的面积为6，则k=________。

（2）如图②，反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过矩形O ABC对角线的交点M， 分别与AB、BC交于点D、E, 若四边形ODBE的面积为9，则k的值为________。
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
函数  $y_1=x$  与  $y_2=\frac{ 4 } { x }$  的图像如图所示，下列关于函数  $y=y_1+y_2$  的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当 $x\lt-2$ 时，y随x的增大而减小；③当 $x\gt0$ 时，函数图像的最低点坐标是 $\left(2,4\right)$ 。其中所有正确结论的序号是________。

知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
设函数  $y_1=\frac{ k _ { 1 } } { x },$  函数  $y_2=k_2x+b\left(k_1,k_2,b\right.$  是常数,  ${k_1\ne0,k_2\ne0}),$ 
（1）若函数  $y_1$  和函数  $y_2$  的图像交于点 $A\left(1,m\right),$ 点 $B\left(3,1\right).$ 
         ①求函数  $y_1,y_2$  的表达式；
         ②当 $2\ltx\lt3$ 时，比较  $y_1$  与  $y_2$  的大小(直接写出结果)。
（2）若点$C\left(2,n\right)$ 在函数  $y_1$  的图像上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数  $y_1$  的图像上，求n的值。
知识点：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题
如图,点A(m,1),B(2,n)在双曲线  $y=\frac{ k } { x }\left(k\right.$  ≠0)上,连接OA、OB.若  $S_{\triangle ABO}=8,$  则k的值为____

知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,-2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.
(1)求直线AB与双曲线的函数表达式.
(2)求△ABC的面积.

知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图,点A在双曲线   $y_1=$     $\frac{ 2 } { x }\left(x\gt0\right)$  上,点B在双曲线  $y_2=\frac{ k } { x }\left(x\lt0\right)$  上,AB//x轴,点C是x轴上一点,连接AC、BC,若△ABC的面积是6,则k的值为
 
 A. -6 
 B. -8 
 C. -10 
 D. -12
知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图,平行于x轴的直线与函数  $y=\frac{ k _ { 1 } } { x }\left(k_1\gt0,\right.$    $\left.{x\gt0}\right),y=\frac{ k _ { 2 } } { x }\left(k_2\gt0,x\gt0\right)$  的图像分别相交于A、B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则  $k_1-k_2$  的值为___.

知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图, 平行四边形OABC的顶点O是坐标原点,A在x轴的正半轴上,B、C在第一象限,反比例函数  $y=\frac{ 1 } { x }$  的图像经过点  $C,y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right)$  的图像经过点B.若OC=AC,则k=____

知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图，在矩形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AC、DE,BE=AC,若∠ACB=40°，则∠E的度数是________°.

知识点：矩形的性质
在数轴上点A、B对应的数分别为2， $\frac{x-5}{x+1}$ ，且点A、B到原点的距离相等，则x的值为________.
知识点：分式方程的解
如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上.若BE=FD=2cm,矩形AEGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为________cm $^2$ .

知识点：矩形的性质
按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是________.

知识点：分式方程的解
若关于x的一元一次不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-1\geqslant\frac{4 x-1}{3} \\ 5x-1\lta\end{array}\right.$ ,的解集为x≤-2，且关于y的分式方程 $\frac{y-1}{y+1}=\frac{a}{y+1}-2$ 的解是负整数，则所有满足条件的整数α的值之和是________.
知识点：分式方程的解
如图，将矩形ABCD以点D为旋转中心，逆时针旋转90°得到矩形EFGD,试说明△BDF是等腰直角三角形.

知识点：矩形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点C作BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E.

求证：AC=CE
 
知识点：矩形的性质
关于x的方程 $x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$ 的解为 $x_1=c,x_2=\frac{1}{c},x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}\left(\right.$ 可变形为 $\left.x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}\right)$ 的解为 $x_1=c,x_2=-\frac{1}{c},x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$ 的解为 $_2=\frac{2}{c},x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$ 的解为 $x_1=c,x_2=\frac{3}{c},\cdots$ (1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于x的方程 $x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m\neq0)$ 的解是什么？(2)请总结上面的结论，并求出关于x的方程 $x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$ 的解.
知识点：分式方程的解
如图，利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”已知：________________________;求证：________________________;
证明：

知识点：矩形的性质
如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.

(1)求证：△DAF≌△ECF;(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数.
知识点：矩形的性质
实数m满足 $\frac{1}{m-4}+\frac{4}{m-1}=\frac{2}{m-3}+\frac{3}{m-2}$  这个 等式, 则m的值为________.
知识点：分式方程的解
实数a 、 b满足 $ab\neq0$ , 且使得 $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=\frac{a+b}{1+a+b}$ , 则a+b的值为________.
知识点：分式方程的解
阅读下面材料，解答后面的问题.解方程： $\frac{x-1}{x}-\frac{4 x}{x-1}$ =0.解：设y= $\frac{x-1}{x}$ ，则原方程化为y- $\frac{4}{y}$ =0,方程两边同时乘y得y2-4=0,解得y= $\pm$ 2，经检验y= $\pm$ 2都是方程y- $\frac{4}{y}$ =0的解.$∴$ 当y= 2时， $\frac{x-1}{x}$ =2，解得x=-1;当y=-2时， $\frac{x-1}{x}$ =2，解得x= $\frac{1}{3}$ .经检验x=-1或x=2都是原分式方程的解，
 $∴$ 原分式方程的解为x=-1或x= $\frac{1}{3}$ .上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：模仿上述换元法解方程： $\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-$ 1=0.
知识点：分式方程的解
要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（    ）. 
 A. 测量两组对边是否相等 
 B. 测量对角线是否相等 
 C. 测量对角线是否互相平分 
 D. 测量对角线交点到四个顶，点的距离是否都相等
知识点：矩形的判定
下列条件中，能判定▱ABCD是矩形的是（    ）. 
 A. AC=BD 
 B. AB $\bot$ BD 
 C. AD=BD 
 D. AC⊥BD
知识点：矩形的判定
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是________.

知识点：矩形的判定
如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接BE,BE、CD的延长线相交于点F,连接AF、BD.(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)当∠C与∠BED满足条件________时，四边形ABDF是矩形.

知识点：矩形的判定
如果非零实数a、b满足  $\sqrt{ a ^ { 2 } b ^ { 3 } }=-ab\sqrt{b}$  ,那么点(a,b)在(    ) 
 A. 第一象限 
 B. 第二象限 
 C. 第三象限 
 D. 第四象限
知识点：二次根式的乘除法
若  $m\lt2\sqrt7\ltm+1$ ,且m为整数,则m=(    ) 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. 6
知识点：二次根式的乘除法
已知n是正整数,  $\sqrt{ 4 8 n }$  是整数,则的最小值是____
知识点：二次根式的乘除法
若等式  $\sqrt{ 1 + x }\cdot\sqrt{ 1 - x }=\sqrt{ 1 - x ^ { 2 } }$  成立,则x的取值范围是________
知识点：二次根式的乘除法
若  $\sqrt{ x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x }=\left(1-x\right)\sqrt{x}$  成立,则x的取值范围是____
知识点：二次根式的乘除法
观察分析,探求规律,然后填空:  $\sqrt2,2,\sqrt6,$    $2\sqrt2,\sqrt{ 1 0 },$  …，____.(请在横线上写出第100个数).
知识点：二次根式的乘除法
计算： $\sqrt{ \frac{ 3 } { 4 } }\times\sqrt{ 2 \frac{ 2 } { 3 } }$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：  ${\left(-\sqrt{x y^{5}}\right)\cdot\sqrt{x^{3} y}\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{y^{6}}}\right)(x\geqslant0,y\gt}0)$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算：$\sqrt{ 2 0 2 3 ^ { 2 } - 2 0 2 1 ^ { 2 } }$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：$\left(2\sqrt3+3\sqrt2\right)\left(2\sqrt3-3\sqrt2\right)$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：$\left(\sqrt3-2\right)^{2n}\left(\sqrt3+2\right)^{2n+2}$  
知识点：二次根式的乘除法
如图,从一个大正方形中裁去面积为  $30cm^2$  和  $48cm^2$  的两个小正方形,则余下部分的面积为____  $cm^2$。
  
知识点：二次根式的乘除法
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.

(1)若DE⊥AC于点E,BF ⊥AC于点F,求证：AE=CF;(2)若DO= $\frac{1}{2}$ AC,求证：四边形ABCD为矩形.
知识点：矩形的判定
“五一”期间,某校组织全校教师和部分学生去郊区植树,已知老师平均每小时植树比学生多5棵,且老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同,则老师平均每小时植树(    )。 
 A. 10棵 
 B. 15棵 
 C. 20裸 
 D. 25棵
知识点：分式方程的应用
某工人原计划在规定时间内加工300个零件,因改进了工具和操作方法,现在每小时比原来多加工10个零件,结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同,则原计划每小时加工零件(    )。 
 A. 40个 
 B. 50个 
 C. 30个 
 D. 24个
知识点：分式方程的应用
2022年北京冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式.北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行的路程均约60 km,已知高铁的速度是班车速度的3倍,乘高铁用时比乘班车少40 min, 则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需的时间约为min________________.
知识点：分式方程的应用
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行120 km所用的时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相同,则江水的流速为____________km/h.
知识点：分式方程的应用
在“旅游示范公路”建设的过程中,工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道.由于采用新的施工方式,平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度.
知识点：分式方程的应用
某店在开学初用880元购进若干个学生专用的科学计算器,按每个50元出售,很快就销售一空.据了解学生还急需3倍数量的这种计算器,于是商店又用2580元购进所需计算器,由于量大,每个计算器的进价比上次优惠1元,该店仍按每个50元销售,最后剩下的4个按九折卖出.这笔生意该店共盈利(    ) 
 A. 508元 
 B. 520元 
 C. 528元 
 D. 560元
知识点：分式方程的应用
某人承包了1125平方米的铺地砖任务,计划在一定的时间内完成,按计划工作3天后,提高了工作效率,使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍,结果提前4天完成了任务,则原计划每天铺地砖(    )。 
 A. 70平方米 
 B. 65平方米 
 C. 75平方米 
 D. 85平方米
知识点：分式方程的应用
某地为美化环境,计划种植树木6000棵.由于志愿者的加人,实际每天植树的棵数比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务,则实际每天植树____棵.
知识点：分式方程的应用
如图，在△ABC中，AB=BC,BD平分∠ABC,四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F,连接CE.

求证：四边形BECD是矩形
知识点：矩形的判定
已知正比例函数  $y_1$  的图像与反比例函数  $y_2$  的图像相交于点A(2,4),下列说法正确的是 
 A. 反比例函数  $y_2$  的表达式是  $y_2=-\frac{ 8 } { x }$   
 B. 两个函数图像的另一交点坐标为(2,-4) 
 C. 当x\lt-2或0\ltx\lt2时,  $y_1\lty_2$   
 D. 正比例函数  $y_1$  与反比例函数  $y_2$  都随:的增大而增大
知识点：反比例函数综合题
若ab\lt0,则一次函数y=ax+b与反比例函数  $y=\frac{ b } { x }$  在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数综合题
如图,直线  $y=-\frac{ 1 } { 4 }x$  与双曲线  $y=\frac{ k } { x }\left(k\lt0,x\lt0\right)$  )交于点A,将直线  $y=-\frac{ 1 } { 4 }x$  向上平移2个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线交于点B,若OA=2BC,,则的值为
 
 A. -7 
 B.   $-\frac{ 2 2 } { 3 }$   
 C. $-\frac{ 6 4 } { 9 }$     
 D.   $-\frac{ 6 5 } { 8 }$  
知识点：反比例函数综合题
直线y=kx(k\gt0)与双曲线  $y=\frac{ 6 } { x }$ 交于 $A\left(x_1,y_1\right)$ 和 $B\left(x_2,y_2\right)$ 两点,则 $3x_1y_2-$    $9x_2y_1$ 的值为____.
知识点：反比例函数综合题
如图所示,已知  $A\left(1,y_1\right),$    $B\left(3,y_2\right)$  为反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  图像上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之和达到最小时,点P的坐标是____

知识点：反比例函数综合题
反比例函数  $y=\frac{ 4 } { x }$  的图像如图所示,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与y= $\frac{4}{x}$ 的图像交于A(m,4),B(-2,n)两点
(1)求一次函数的表达式,并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)观察图像,直接写出不等式  $kx+b\lt\frac{ 4 } { x }$  解集;
(3)一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点C,连接OA,求△OAC的面积.

知识点：反比例函数综合题
下列各数中,与  $2\sqrt3$  的积为有理数的是(    )                 
 A.  $2+\sqrt3$  
 B.  $2-\sqrt3$  
 C. $-2+\sqrt3$   
 D.  $\sqrt3$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算并化简  $3\sqrt6\times2\sqrt2,$  ,得到的结果是(    )                 
 A.  $6\sqrt6$  
 B.  $12\sqrt3$  
 C.  $6\sqrt{ 1 2 }$  
 D.  $12\sqrt6$ 
知识点：二次根式的乘除法
已知b\gt0,  $\sqrt{ - a ^ { 3 } b }$  得(    )                 
 A.  $-a\sqrt{ a b }$  
 B.  $-a\sqrt{ - a b }$  
 C.  $a\sqrt{ a b }$  
 D.  $a\sqrt{ - a b }$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算:  $\left(1\right)\sqrt{ 2 1 6 }=$  ____;  $\left(2\right)\left(-2\sqrt2\right)^3=$  .____
知识点：二次根式的乘除法
直角三角形的两条直角边长分别为  $\sqrt2cm、$    $\sqrt{ 1 0 }cm,$  ,则这个直角三角形的斜边长为________cm,面积为________  $cm^2.$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $3\sqrt7\times2\sqrt{ 1 4 }$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\sqrt{ 4 x }\cdot\sqrt{ \frac{ 1 } { 4 } x ^ { 2 } }\left(x\gt0,y\gt0\right);$      
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\sqrt{ \frac{ 3 } { 4 } }\times\left(-\sqrt{ 2 \frac{ 2 } { 3 } }\right)\times\sqrt{ 5 6 };$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：$\frac{ 2 } { 3 }\sqrt{ 3 \frac{ 3 } { 4 } }\times\left(-9\sqrt{ 4 5 }\right);$  
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $4\sqrt{ \frac{ 3 x y } { 7 } }\cdot\left(-\frac{ 5 } { 6 }\sqrt{ 2 8 x ^ { 2 } y }\right)\left(x\ge0,y\ge0\right).$  
知识点：二次根式的乘除法
设  $\sqrt2=a,\sqrt3=b,$  用含a、b的式子表示  $\sqrt{ 5 4 },$  则下列表示正确的是 
 A. ab 
 B.   $a^2b^2$   
 C.   $ab^3$   
 D.   $a^2b^3$  
知识点：二次根式的乘除法
已知  $m=\left(-\frac{ \sqrt3 } { 3 }\right)\times\left(-2\sqrt{ 1 5 }\right),$  则有(    ) 
 A. 5\ltm\lt6 
 B. 4\ltm\lt5 
 C. -5\ltm\lt-4 
 D. -6\ltm\lt-5
知识点：二次根式的乘除法
某班学生从学校出发前往科技馆参观,学校距离科技馆15 km,一部分学生骑自行车先走, 过了15 min后, 其余学生乘公交车出发,结果同时到达科技馆,已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，则学生骑自行车的速度是________________km/h.
知识点：分式方程的应用
如图,在平面直角坐标系中,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  )的图像和矩形ABCD在第一象限, AD平行于x轴, 且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).将矩形向下平移,若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上,则矩形的平移距离a的值为（    ）
 
 A. a=2.5 
 B. a=3 
 C. a=2 
 D. a=3.5
知识点：反比例函数综合题
以矩形ABCD两条对角线的交点0为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线  $y=\frac{ 3 } { 2 x }\left(x\gt0\right)$  经过点D,则OB⋅BE的值为____

知识点：反比例函数综合题
如图, 正方形ABCD的顶点B、C在轴的正半轴上,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right)$  在第一象限的图像经过点A(m,2)和CD边上的点E(n,   $\left.{\frac{ 2 } { 3 }}\right),$  过点E作直线, $l$ //BD交y轴于点F,则点F的坐标是____
知识点：反比例函数综合题
如图,点A是双曲线  $y=\frac{ 4 } { x }$  在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断地变化,但始终在一函数图像上运动,则这个函数的表达式为____

知识点：反比例函数综合题
如图,点B是反比例函数  $y=\frac{ 8 } { x }$  (x\gt0)图像上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A、C.反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过OB的中点M,与AB、BC分别相交于点D、E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF、BG.
(1)填空:k=____
(2)求△BDF的面积;
(3) 求证:四边形BDFG为平行四边形.

知识点：反比例函数综合题
为了让学生崇尚劳动、尊重劳动,在劳动中提升综合素质,某校定期开展劳动实践活动,甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中,甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同.已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆,则乙班平均每小时挖多少千克土豆?
知识点：分式方程的应用
某镇政府准备完成一项工程建设项目,经调查,若甲、乙两队单独完成该工程,则乙队所需的时间是甲队的2倍;若甲、乙两队共同完成该工程,则需30天.已知甲队每天所需的劳务费用为2400元,乙队每天所需的劳务费用为1500元,从节约资金的角度考虑,应该选择哪个队单独完成该工程?
知识点：分式方程的应用
某商店销售一种旅游纪念品,4月的营业额为2000元.为扩大销售量,5月该商店对这种纪念品打九折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元.若4月销售这种纪念品获利1000元,则5月销售这种纪念品获利元____________。
知识点：分式方程的应用
某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单(如下表)已被墨水污染.

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:我记得甲商品的进价比乙商品的进价高50%.
王师傅:甲商品的数量比乙商品多40件.
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.
知识点：分式方程的应用
计算： $\sqrt{108 a^{3} b}\cdot(-\sqrt{6 b})(a\geqslant0,b\geqslant0)$ 
知识点：二次根式的乘除法
若计算  $\sqrt{ 1 2 }\times m$  的结果为正整数,则无理数m的值可以是____(写出一个符合条件的即可)
知识点：二次根式的乘除法
如图,在矩形OABC中,AB=2,BC=4,点D是边AB的中点,反比例函数  $y_1=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过点D,交BC边于点E,直线DE的表达式为  $y_2=mx+n\left(m\ne0\right).$ 
(1)求反比例函数  $y_1=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的表达式和直线DE的函数表达式;
(2)在y轴上找一点P,使△PDE的周长最小,求出此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,的周长最小值是△PDE____.

知识点：反比例函数综合题