despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；     ②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
若a，b是直角三角形两直角边的长，c为斜边长，h为斜边上的高，则有（　　） 
 A. a+b＞c+h 
 B. a+b=c+h 
 C. a+b＜c+h 
 D. 以上情况都有可能
知识点：勾股定理
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．（1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD．（2）计算（1）中线段CD的长．
知识点：勾股定理
（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2．称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S=c2，又可表示为S=____∴____=c2∴____．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图3所示，∠ABC=∠ACE=90°，请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2=c2．
知识点：勾股定理的证明
△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（　　） 
 A. 2个 
 B. 3个 
 C. 4个 
 D. 5个
知识点：等边三角形的判定
满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） 
 A. BC：AC：AB=3：4：5 
 B. ∠A：∠B：∠C=9：12：15 
 C. ∠C=∠A-∠B 
 D. AC2-BC2=AB2
知识点：三角形内角和定理、勾股定理、勾股定理的逆定理
在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=4，则BC等于（　　） 
 A. 2 
 B.  
 C.  
 D. 8
知识点：含30度角的直角三角形
如图，AB=AC，AE=EC=CD，∠A=60°，若EF=2，则DF=（　　） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. 6
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，CE=CD，DB=DE，∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
知识点：角平分线的性质、等腰三角形的性质
如图，点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上，且BD=CE=AF，说明△DEF为等边三角形．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
已知等边三角形的边长为6，则此三角形的面积为（　　） 
 A. 18 
 B. 9 
 C. 6 
 D. 18
知识点：等边三角形的性质
已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
知识点：三角形的角平分线、中线和高、等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD∥BC，CE=CB，CE、AB交于点F．求证：BE=BF．
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
如图，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，交AC于点E，AB=15，AC=10，则CE=____．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．
知识点：二次根式有意义的条件、勾股定理的证明
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC=20，BC=15，DB=9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．
知识点：勾股定理
如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB=120°，AB=54，求SO的长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（　　） 
 A. 直角三角形 
 B. 等腰三角形 
 C. 等边三角形 
 D. 等腰直角三角形
知识点：等边三角形的判定
如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C的度数．
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8米，∠A=30°，则DE等于（　　） 
 A. 4米 
 B. 3米 
 C. 2米 
 D. 1米
知识点：含30度角的直角三角形
在△ABC中，AB=AC，若∠B=60°，则△ABC的形状为（　　） 
 A. 钝角三角形 
 B. 等边三角形 
 C. 直角三角形 
 D. 不等边三角形
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定
如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AC=14，则图中阴影部分的△ACF面积是____．
知识点：等腰直角三角形
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2-b2=c2，则下列说法正确的是（　　） 
 A. ∠C是直角 
 B. ∠B是直角 
 C. ∠A是直角 
 D. ∠A是钝角
知识点：勾股定理的逆定理
如图，在△AOB中，点C在OA上，点E，D在OB上，且CD∥AB，CE∥AD，AB=AD，试证明△CDE是等腰三角形．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定
如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的最大值和最小值的和（　　） 
 A.  
 B. 14 
 C.  
 D. 
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：____；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2=c2【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积：大正方形面积=____；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6此时空白部分的面积为____；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x=定值k．
知识点：勾股定理的证明
已知，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求证：AB=AE；（2）求等腰三角形的腰长CD．
知识点：角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
如图，∠ABC=90°，AB=BC，∠ABC的平分线BD交过点C且平行AB的直线于D点；AE⊥BD交BD于E点，连接CE并延长，交过A点且平行BC的直线于F点，AD与CF交于O点．现得到如下两个结论：①∠DAE=22.5°；②DE=（2）BE；请帮助判断结论的真假，并说明你的理由．
知识点：等腰直角三角形
列方程解应用题用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？
知识点：一元一次方程的应用、等边三角形的性质
如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为____．
知识点：等腰三角形的判定与性质
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=____．
知识点：勾股定理
如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE⊥BD，DE∥BC，BE与DE交于点E，DE交AB于点F．（1）若∠A=56°，求∠E的度数；（2）求证：BF=EF．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
等腰三角形底角是30°，腰长为2，求它的周长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（　　） 
 A. 9 cm 
 B. 8 cm 
 C. 7cm 
 D. 6cm
知识点：含30度角的直角三角形
已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　） 
 A. 等腰直角三角形 
 B. 一般的等腰三角形 
 C. 等边三角形 
 D. 等腰钝角三角形
知识点：三角形的外角性质、等边三角形的判定
一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） 
 A. 30海里 
 B. 40海里 
 C. 50海里 
 D. 60海里
知识点：方向角、等边三角形的判定与性质
如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB=12cm，求CM的长．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF=BF，求证：△CEF是等边三角形．
知识点：角平分线的定义、等边三角形的判定
在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则该三角形为（　　） 
 A. 锐角三角形 
 B. 直角三角形 
 C. 纯角三角形 
 D. 等腰直角三角形
知识点：勾股定理的逆定理、等腰直角三角形
如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，（1）求证：AB=AC（2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE=a，DE=b，AD=c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2=c2．
知识点：勾股定理的证明
如图，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，则S3=____．
知识点：勾股定理
如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是BC、AC上的一点，且BD=CE，AD和BE交于点P，求∠APE的度数．
知识点：三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为（　　） 
 A. 3 
 B. 2 
 C. 1 
 D. 0.5
知识点：等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为．（2）在方格纸中画出以DE为一边、一个内角为钝角的等腰三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且三角形DEF的面积为4．连接CF，请直接写出线段CF的长．
知识点：勾股定理
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE=110°，∠ABC=52°，求∠CGD的度数．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC=NC，求证：△AMN是等边三角形．
知识点：直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD=PD，延长DP交BC的延长线于点B，若AB=2，求PE的长．
知识点：含30度角的直角三角形、勾股定理
如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．（1）当n=5时，共向外作出了____个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为____，这些小等边三角形的面积和为____；（用含S的式子表示）（2）当n=k时，共向外作出了____个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为____，这些小等边三角形的面积和为____；（用含k和S的式子表示）（3）若大等边三角形的面积为100，则当n=10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？
知识点：代数式求值、等边三角形的判定与性质
如图，已知△ABC，AB=5，∠ABC=60°，D为BC边上的点，AD=AC，BD=2，则DC=（　　） 
 A. 0.5 
 B. 1 
 C. 1.5 
 D. 2
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　） 
 A. 等腰三角形 
 B. 等边三角形 
 C. 不等边三角形 
 D. 不能确定形状
知识点：等边三角形的判定
如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（　　） 
 A. 2个 
 B. 3个 
 C. 4个 
 D. 5个
知识点：等边三角形的判定与性质
（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S=c2，又可表示为S=4×ab+（b-a）2，∴4×ab+（b-a）2=c2．∴____即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（3）如图3所示，∠ABC=∠ACE=90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2=c2．
知识点：数学常识、勾股定理的证明
在△ABC中，∠ACB=90°，若AC=5，AB=13，则BC=____．
知识点：勾股定理
下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（　　） 
 A. 2，3，4 
 B. 3，4，5 
 C. 6，8，10 
 D. 1，
知识点：勾股定理的逆定理
如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=6cm，BC=6cm，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以3cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以cm/s的速度移动，动点P、Q同时出发，到点C运动结束．设运动过程中△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为t（s）．（1）点P运动到点A，t=____（s）；（2）请你用含t的式子表示y．
知识点：列代数式、勾股定理
如图，已知：∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则B2018B2019的长为（　　） 
 A. 2017 
 B. 2018 
 C.  
 D. 
知识点：规律型：图形的变化类、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△ECD，连接BE，交AC于F．（1）猜想AC与BE的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BE的长．
知识点：等边三角形的性质、平移的性质
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DC=3，求BD的长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E、F两点，求证：△OEF是等边三角形．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质
如图，△ABC中，∠B=60°，AB=8，点D在BC边上，且AD=AC．若BD=，则CD的长为（　　） 
 A. 4 
 B.  
 C. 5 
 D. 
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（　　） 
 A. 30° 
 B. 45° 
 C. 60° 
 D. 90°
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则AB=____．
知识点：勾股定理
如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
知识点：勾股定理的证明
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD=3，CE=4，AD=3DE，求△ABD的面积．
知识点：等腰直角三角形
三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（　　） 
 A. 2，3，4 
 B. 3，4，5 
 C. 4，5，6 
 D. 5，6，7
知识点：勾股定理的逆定理
正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
知识点：勾股定理
如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于____．
知识点：勾股定理的证明
如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
知识点：等边三角形的性质
如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=35°，则∠β等于（　　） 
 A. 35° 
 B. 30° 
 C. 25° 
 D. 15°
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质
一个等腰直角三角板和一直尺按如图摆放，测得∠1=25°，则∠2=____°．
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC（1）求证：DC=BC；（2）如果∠C：∠ADC=1：2，求证：△CDB是等边三角形．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等边三角形的判定
如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上的点，过点D作DE∥AC交BC于点E，求证：△BDE是等边三角形．
知识点：平行线的性质、等边三角形的判定与性质
在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，则∠CAD的度数为（　　） 
 A. 60° 
 B. 66° 
 C. 72° 
 D. 80°
知识点：角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____；（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
知识点：勾股定理的证明、梯形
若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（　　）（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形． 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：等边三角形的判定
直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x，则x2=____．
知识点：勾股定理
从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：____（只填序号）求证：△AED是等腰三角形．证明：____．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为（　　） 
 A. 1.5 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边的中点，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连结BE、AF，求的值；应用：如图②，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，D是BC边的中点，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连结BE、AF，则的值是____．
知识点：等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三角形
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB=7cm，AE=4cm．则DE的长为____cm．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（　　） 
 A. 1组 
 B. 2组 
 C. 3组 
 D. 4组
知识点：勾股定理的逆定理
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为____．
知识点：勾股定理的证明
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
知识点：二次根式的应用、等腰三角形的判定、勾股定理的应用
如图所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
知识点：平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若BE=2，CF=3，求线段EF的长．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠B=60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求证：△ABC是等边三角形．
知识点：平行线的性质、等边三角形的判定
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．试作出图形，写出已知、求证，并给出证明．
知识点：含30度角的直角三角形
货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
知识点：方向角、等边三角形的判定与性质
如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
知识点：勾股定理的证明
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为____．
知识点：全等三角形的判定与性质、勾股定理
已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是（　　） 
 A. ①③④ 
 B. ①②③ 
 C. ①③ 
 D. ①②③④
知识点：平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定
如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） 
 A. 等腰三角形 
 B. 等腰直角三角形 
 C. 等边三角形 
 D. 直角三角形
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b=，ab=2，则小正方形的面积为____．
知识点：全等图形、勾股定理的证明
如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若AC=15cm，AE=7cm，则DE=____cm．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=6，则AD的长为（　　） 
 A. 2 
 B. 3 
 C. 4 
 D. 4.5
知识点：角平分线的性质、含30度角的直角三角形
探究题，将两个直角三角形△ACD和△BCE的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=50°，∠D=40°，∠E=∠B=45°．将△BCE绕点C旋转，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两个三角形是否存在一组边互相平行？在备用图上画出所有可能的图形，并求出∠ACE的角度．
知识点：余角和补角、平行线的判定、等腰直角三角形
满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） 
 A. ，BC=4，AC=5 
 B. AB：BC：AC=3：4：5 
 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 
 D. ∠A=2∠B=2∠C
知识点：勾股定理的逆定理
在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN=DN，求证：MB=MN．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质
如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） 
 A. 24cm2 
 B. 36cm2 
 C. 48cm2 
 D. 60cm2
知识点：完全平方公式、勾股定理
如图，在△ABC中．AB=AC，∠A=120°，BC=6，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．请说明：BM=MN=NC．
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
参照如图，写出勾股定理的逻辑证明．
知识点：勾股定理的证明
如图所示，点D为等边△ABC的AC边上的一点，∠1=∠2，BD=CE．求证：△DAE是等边三角形．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30°，BC=DE．求证：△FCD是等腰三角形．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定
用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB=10，AF=8，则小正方形EFGH的面积为____．
知识点：数学常识、全等图形、勾股定理的证明
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（　　）①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF． 
 A. ①②③ 
 B. ①②④ 
 C. ②③④ 
 D. ①②③④
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8，DE=20，则FG=____．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=8，BC的长是（　　） 
 A. 16 
 B. 24 
 C. 30 
 D. 32
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足（a-b）（a2-b2-c2）=0，则△ABC是（　　） 
 A. 直角三角形 
 B. 等边三角形 
 C. 等腰直角三角形 
 D. 等腰三角形或直角三角形
知识点：等腰三角形的判定、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD是底边上的高，用推理格式说明△ADC也是等腰直角三角形．
知识点：等腰直角三角形
如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB-∠B）．请说明理由．
知识点：三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质
如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF=60°．（1）若∠1=50°，求∠2；（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1=∠3．
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质
如图，OC平分∠AOB，CD∥OB．求证：OD=CD．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE=AB，∠CAD=45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：a2+b2=c2．
知识点：勾股定理的证明
如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　） 
 A. 1.6 
 B. 1.4 
 C. 1.5 
 D. 2
知识点：勾股定理
如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-∠DBC．求证：AC=AD．
知识点：等边三角形的判定与性质、轴对称的性质
如图，△ABC中，∠A=60°，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D，PD=DQ，证明：△ABC为等边三角形．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为____．
知识点：勾股定理
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，求BD的长．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
知识点：角平分线的性质、等腰三角形的判定
下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　） 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理．如图，“弦图”是由四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a、b且a＜b）拼成的边长为c的大正方形，如果每个直角三角形的面积都是3，大正方形的边长是，那么b-a=____．
知识点：数学常识、勾股定理的证明
如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数）
知识点：勾股定理、等腰直角三角形
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是（　　） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. 4.5
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
已知三角形的三边a，b，c，满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么这个三角形的形状（　　） 
 A. 直角三角形 
 B. 等腰三角形 
 C. 等边三角形 
 D. 有一个角为30°的直角三角形
知识点：非负数的性质：偶次方、等边三角形的判定
现有4个全等的直角三角形纸板，你能用它们来拼证勾股定理吗？若能，说明你的思路和方法，方法越多越好（至少要写出四种方法）．
知识点：勾股定理的证明
已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，试说明：AB+BD=CD．
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD=CD．求证：∠B=2∠C．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3=0，求证：h1+h2+h3=h；（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
知识点：等边三角形的性质
如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） 
 A. 3 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 4
知识点：勾股定理
问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=____，BC=____，AC=____；△ABC的面积为____．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
知识点：勾股定理
在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA=PM．
知识点：三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=，∠BAD=∠ADE=60°，AD=5，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则DE的长等于____．
知识点：等腰直角三角形
若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　） 
 A. a=8，b=15，c=17 
 B. a=3，b=5，c=4 
 C. a=4，b=8，c=9 
 D. a=9，b=40，c=41
知识点：勾股定理的逆定理
如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD=2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE=EF？
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB=AC．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，DB和DC分别平分∠ABC和∠ACB，过D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若EF=5，BE=3，则线段CF的长为____．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a-b）2的值是____．
知识点：数学常识、勾股定理的证明
已知：如图，点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线．若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长．
知识点：等腰直角三角形
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定
如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
知识点：等腰三角形的判定与性质、勾股定理
如图，B、D、C三点在一条直线上，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DE，∠DAC=45°；（1）线段AB、CE的关系为____；（2）若BD=a，AD=b，AB=c，请利用此图的面积式证明勾股定理．
知识点：勾股定理的证明
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（　　） 
 A. 2：1 
 B. 3：1 
 C. 4：1 
 D. 5：1
知识点：含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB=FE．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD=5，求DF的长．
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质
由6条长度均为2cm的线段可构成边长为2cm的n个等边三角形，则n的最大值为（　　） 
 A. 4 
 B. 3 
 C. 2 
 D. 1
知识点：等边三角形的判定
如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE=a，则△ABC的边长为（　　） 
 A. a 
 B. a 
 C. a 
 D. a
知识点：平行线的性质、等边三角形的判定与性质
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形____常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为____（请按从小到大排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
知识点：勾股定理
一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（　　） 
 A. 4cm 
 B. 8cm 
 C. cm 
 D. 4cm或cm
知识点：勾股定理
如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C $≌$ △APB，连接PP′，则以下结论错误的是（　　） 
 A. △APP'是正三角形 
 B. △PCP'是直角三角形 
 C. ∠APB=150° 
 D. ∠APC=135°
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理
小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG=AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC=10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE=BD，连接ED，EC，求证：∠ECD=∠EDC．
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、三角形中位线定理
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于E，垂足为D．试问：图中的等腰三角形有哪些？
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定
如图，在△ABC中，∠A=∠B，D是AB边上任意一点DE∥BC，DF∥AC，AC=5cm，则四边形DECF的周长是____．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：①△ABC $≌$ △DBE；②△ACB$≌$ △ABD；③△CBE$≌$ △BED；④△ACE$≌$ △ADE．这些三角形真的全等吗？简要说明理由．
知识点：全等三角形的判定、等腰直角三角形
如图，∠A=∠B．下列4个条件：①∠A=60°；②∠B+∠D=180°；③CE∥AD；④BE=CE．请选出能推出△BCE是等边三角形的两个条件．已知：如图，∠A=∠B，____，____；（写出一种情况即可）求证：△BCE是等边三角形．
知识点：平行线的判定与性质、等边三角形的判定
已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF=EF．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=13，EF=7，那么AH等于____．
知识点：勾股定理的证明
利用所示图来证明勾股定理．证明：
知识点：勾股定理的证明
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE=3，EF=5，试求CF的值．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB=∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC=5∠EDB，BD=2时，求EB的长．
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理
在△ABC中，三个内角的度数分别为α，β，γ，且满足等式|α-β|+（α-γ）2=0，这个三角形是（　　） 
 A. 只有两边相等的等腰三角形 
 B. 等边三角形 
 C. 等腰直角三角形 
 D. 直角三角形
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、三角形内角和定理、等边三角形的判定
如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） 
 A. 1 
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC，AB，BC的长；（2）点C到AB边的距离；（3）求△ABC的面积．
知识点：二次根式的混合运算、勾股定理
下列说法：①等边三角形的三个内角都相等；②等边三角形的每一个角都等于60°；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（　　） 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） 
 A. 8 
 B. 9 
 C. 27 
 D. 45
知识点：勾股定理
如图，在△ABC中，∠C=90°，边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．（1）求证：E为AB的中点；（2）若，求BE的长．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为____．
知识点：勾股定理的逆定理
如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则B处到灯塔C的距离为（　　） 
 A. 15海里 
 B. 20海里 
 C. 30海里 
 D. 求不出来
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD=8cm，DE=3cm，求CE的长为____cm．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为____．
知识点：勾股定理的证明
如果三角形的三边长a，b，c，满足（a-b）2+|b-c|=0，试判断这个三角形的形状．
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、等边三角形的判定
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=；（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
知识点：勾股定理
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质
将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　） 
 A. 10° 
 B. 15° 
 C. 20° 
 D. 30°
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE=BG=6cm，∠BEG=60°，EF=2cm．（1）求∠DFG的度数．（2）求BC的长度．
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a：b=3：4，则ab=____．
知识点：勾股定理
如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC等于（　　） 
 A. 4 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 8
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
如图，以Rt△ABC的三边为边分别作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，已知正方形Ⅰ与正方形Ⅱ的面积分别为25和9，则正方形Ⅲ的面积为（　　） 
 A. 4 
 B. 8 
 C. 16 
 D. 34
知识点：勾股定理
下列说法中，正确的个数是（　　）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形； 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2=____，∠ABC=____°．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　） 
 A. CE垂直平分AD 
 B. CE平分∠ACD 
 C. △ABD是等腰三角形 
 D. △ACD是等边三角形
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=2cm，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于E、F两点，直线EF交BC于点D，求BD的长．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积____cm2．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离到达C、D两地，若C与B的距离为a千米，则D与B的距离为（　　） 
 A. a千米 
 B. a千米 
 C. 2a千米 
 D. 无法确定
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为____．
知识点：勾股定理的证明
在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是多少？
知识点：平行线之间的距离、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形