despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
当x≥2时,下列式子一定有意义的是 
 A.  $\frac{ 1 } { x - 2 }$  
 B.  $\frac{ 1 } { x - 3 }$  
 C.  $\sqrt{ x - 1 }$  
 D.  $\sqrt{ x - 3 }$ 
知识点：二次根式
若二次根式  $\frac{ \sqrt{ 2 x - 1 } } { 3 }$  有意义,则α的取值范围____
知识点：二次根式
若 $\sqrt{ 2 0 n }$  是整数,则最小正整数n的值为____.
知识点：二次根式
使式子  $\frac{ x } { \sqrt{ x - 4 } }$  有意义的x的取值范围是____.
知识点：二次根式
使代数式  $\frac{ \sqrt{ 2 x - 1 } } { 3 - x }$  有意义的x的取值范围是____
知识点：二次根式
计算:  $\left(\frac{ 1 } { 2 }\right)^0+\sqrt4-\left(-2\right)^3+\left(\frac{ 1 } { 6 }\right)^{-1}.$  
知识点：二次根式
在实数范围内分解因式： $x^2-7$ 
知识点：二次根式
在实数范围内分解因式： $x^3-5x$ 
知识点：二次根式
在实数范围内分解因式： $4x^2-11$ 
知识点：二次根式
在实数范围内分解因式： $x^2-2\sqrt{3}x+3$ 
知识点：二次根式
下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是 
 A. $\sqrt{a}$  
 B.  $\sqrt{ a - 1 }$  
 C.  $\sqrt{ \frac{ 1 } { a + 1 } }$  
 D.  $\sqrt{ \left( a - 1 \right) ^ { 2 } }$ 
知识点：二次根式
已知实数a、b、c满足  $|a-3|+\sqrt{ c + 2 }=$    $\sqrt{ b - 5 }+\sqrt{ 5 - b },$  则b-a+c=____
知识点：二次根式
计算： $\frac{ x ^ { 2 } } { x + y }-x+y;$ 
知识点：分式的加减法
计算  $\frac{3 a}{a-b}-\frac{3 b}{a-b}$  的结果是(    ). 
 A. 3 
 B. 3a+3b 
 C. 1 
 D.   $\frac{ 6 a } { a - b }$  
知识点：分式的加减法
化简  $\frac{ 3 } { a - b }-\frac{ 1 } { a }$  的结果是(    ).                 
 A.  $\frac{ 2 a + b } { a \left( a - b \right) }$  
 B.  $\frac{ 2 } { a \left( a - b \right) }$  
 C.  $\frac{ 2 a - b } { a \left( a - b \right) }$  
 D.  $\frac{ a + b } { a \left( a - b \right) }$ 
知识点：分式的加减法
化简  $\frac{ 1 } { a - 3 }-\frac{ 6 } { a ^ { 2 } - 9 }$  的结果是(    ).    
 A.  $\frac{ 1 } { a + 3 }$  
 B. a-3 
 C. a+3 
 D. $\frac{ 1 } { a - 3 }$  
知识点：分式的加减法
计算:  $\colon\frac{ b + 3 } { b ^ { 2 } + 6 b + 9 }+\frac{ 1 } { b ^ { 2 } - 9 }=$  ____
知识点：分式的加减法
计算： $\frac{3}{2 x}+\frac{1}{2 x}$ 
知识点：分式的加减法
计算： $\frac{a+1}{a-1}-\frac{4 a}{a^{2}-1}$ 
知识点：分式的加减法
已知  $x^2-2=0,$  求代数式  $\frac{ \left( x - 1 \right) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 1 }+\frac{ x ^ { 2 } } { x + 1 }$  的值.
知识点：分式的加减法
甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克;乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
知识点：分式的加减法
化简：$\frac{ 1 } { x - 1 }+\frac{ 2 } { x + 2 }.$  小明的解法如下框:

小明的解答是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请写出你的解答过程.
知识点：分式的加减法
若分式  $\frac{ 2 } { x - 1 }$  有意义,则x的取值范围是____________。
知识点：分式有意义的条件
若分式  $\frac{ x + 5 } { x - 2 }$  的值是0,则x的值为(    )。 
 A. 2 
 B. 5 
 C. -2 
 D. 一5
知识点：分式的值
对于非负整数x,使得  $\frac{ x ^ { 2 } + 3 } { x + 3 };$  是一个正整数,则x的个数为(    )。 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. 6
知识点：分式的值
如果把  $\frac{ 5 x } { x + y }$  中的x与y都扩大为原来的10倍,那么这个代数式的值(    )。 
 A. 扩大为原来的5倍 
 B. 不变 
 C. 扩大为原来的10倍 
 D. 缩小为原来的 $\frac{1}{10}$ 
知识点：分式的基本性质
小丽在化简分式  $\frac{*}{x^2-1}=\frac{ x - 1 } { x + 1 }$  时,“*”部分不小心滴上了墨水,请你推测,“*”部分的式子应该是(    ) . 
 A. $x^2-2x+1$  
 B. $x^2+2x+1$  
 C. $x^2-1$  
 D. $x^2-2x-1$ 
知识点：分式的基本性质
如果y=-x+3,且x≠y,那么代数式  $\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }+\frac{ 1 } { y - x }$  的值为(    )  。 
 A. $-\frac{1}{3}$  
 B. $\frac{1}{3}$  
 C. -3 
 D. 3
知识点：分式的值
若x-3y=0,,则代数式  $\frac{ x + y } { x - y }-\frac{ 4 x y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$  的值为________________.
知识点：分式的值
计算：
  $\frac{ x - 2 } { x + 1 }\cdot\left(1+\frac{ 2 x + 5 } { x ^ { 2 } - 4 }\right),$  
知识点：分式的值
$\left(\frac{ a ^ { 2 } } { b }-a\right)\div\frac{ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { b }.$  
知识点：分式的值
$\left(\frac{ x ^ { 2 } + 4 } { x }-4\right)\div\frac{ x ^ { 2 } - 4 } { 2 x }.$  
知识点：分式的值
先化简,再求值: 
 $\left(\frac{ a ^ { 2 } - 9 } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 }\div\frac{ a - 3 } { a - 1 }-\frac{ 1 } { a - 1 }\right)\cdot\frac{ 1 } { a + 2 },$  其中a=2.
知识点：分式的值
要使代数式  $\frac{ \sqrt{ x + 1 } } { x }$  有意义,则x的取值范围是____
知识点：二次根式
如果整数x\gt-3,那么使函数  $y=\sqrt{ \pi- 2 x }$  有意义的x的值是____(只填一个)
知识点：二次根式
已知x、y均为实数,  $y=\sqrt{ x - 2 }+\sqrt{ 2 - x }+5,$  则x+y的值为____
知识点：二次根式
已知  $A=^{a+b-2}\sqrt{ a + 3 }$  是a+3的算术平方根,  $B=^{2a-b+4}\sqrt{ b - 2 }$  是b-2的立方根,求A-B的n次方根.
知识点：二次根式
已知x、y都是实数,且y=  $\sqrt{ x - 3 }+\sqrt{ 3 - x }+4,$  求  $y^x$  的平方根.
知识点：二次根式
当a取什么值时,代数式  $\sqrt{ 2 a + 1 }+1$  取值最小?求出这个最小值.
知识点：二次根式
已知x、y都是有理数, $y=\sqrt{ 2 x - 3 }-\sqrt{ 3 - 2 x }$  十6，求4xy的平方根.
知识点：二次根式
要使代数式  $\frac{ x } { \sqrt{ x - 4 } }$  有意义,则x的取值范围为____
知识点：二次根式
实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简  $|a+1|-\sqrt{ \left( b - 1 \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( a - b \right) ^ { 2 } }=$ ________ .

知识点：二次根式
计算:  $\sqrt{ \left( - 5 \right) ^ { 2 } }=$  ____.
知识点：二次根式
$\sqrt{ 3 \frac{ 1 } { 1 6 } }=$  ________
知识点：二次根式
$\sqrt{ \left( 6 - 2 \sqrt3 \right) ^ { 0 } }=$ ____
知识点：二次根式
已知a、b、c三数在数轴上的对应位置如图所示,试化简  $\sqrt{ \left( a + b \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( c - a \right) ^ { 2 } }-\sqrt{ \left( b - c \right) ^ { 2 } }$  ____

知识点：二次根式
计算  $\sqrt{ \left( 1 - \pi\right) ^ { 2 } }=$ ____
知识点：二次根式
当x是什么实数时,下列各式有最小值?并求这个最小值.  
$\left(1\right)\sqrt{ 2 - x };$   
$\left(2\right)\sqrt{ 5 x - 6 };$    
$\left(3\right)x^2-7;$    
$\left(4\right)\sqrt{ x ^ { 2 } + 7 }.$  
知识点：二次根式
化简:  $\sqrt{ 9 + 6 a + a ^ { 2 } }\left(a\gt-3\right);$ 
知识点：二次根式
已知  $y=\sqrt{ x ^ { 2 } - 1 0 x + 2 5 }-$  x+6,当x分别取1、2、3、…、2022时,求所对应y值的总和.
知识点：二次根式
若  $\sqrt{ \left( 2 - b \right) ^ { 2 } }=2-b,$  ,则b满足的条件是 
 A. b\gt2 
 B. b\lt2 
 C. b≥2 
 D. b≤2
知识点：二次根式
已知  $\left(x-y+3\right)^2+\sqrt{ 2 x + y }=0,$  则x+y的值为 
 A. 0 
 B. -1 
 C. 1 
 D. 5
知识点：二次根式
实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,化简  $|-a|+\sqrt{ \left( a - b \right) ^ { 2 } }$  的结果是 
 A. -2a+b 
 B. 2a-b 
 C. -b 
 D. 无意义
知识点：二次根式
当x\lt0时,  $\sqrt{ x ^ { 2 } }=$________  ,  $\sqrt{ \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } }=$  ____________  $\sqrt{ \left( x - 1 \right) ^ { 2 } }=$  ____
知识点：二次根式
化简：  $\sqrt{ 1 6 - 8 x + x ^ { 2 } }-\sqrt{ x ^ { 2 } - 2 x + 1 }\left(1\right.\ltx\lt4)$  
知识点：二次根式
若关于x的分式方程  $\frac{ a x } { x - 1 }=\frac{ 3 a + 2 } { x - 1 }+1$  无解,则的值为(    ) 
 A. -1 
 B. 1 
 C. 1或2 
 D. -1或1
知识点：分式方程
若关于x的分式方程  $\frac{ 3 x } { x - 1 }=\frac{ m } { 1 - x }+2$  的解为正数,则m的取值范围是(    ) 
 A. m\gt-2 
 B. m\gt-2且m≠1 
 C. m\lt-2 
 D. m\lt-2且m≠-3
知识点：分式方程
学校师生去距学校45 km的名人故居开展研学旅行活动,骑行爱好者张老师骑自行车先行2h后,其余师生乘汽车出发,结果同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
知识点：分式方程的应用
定义一种新运算:对于任意的非零实数,  $a、b,a\otimes b=\frac{ 1 } { a }+\frac{ 1 } { b }.$  若(x+$1)\otimes x=\frac{ 2 x + 1 } { x },$  则x的值为____________。
知识点：分式方程的解
某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A、B两种型号的机器.已知1台A型号机器比1台B型号机器每小时多加工2个零件,且1台A型号机器加工80个零件所用的时间与1台B型号机器加工60个零件所用的时间相等.(1)A、B两种型号的机器每台每小时分别能加工多少个零件?
(2)如果该企业计划安排A、B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求这10台机器每小时加工的零件不少于72个,同时为了保障机器的正常运转,这10台机器每小时加工的零件不能超过76个,那么A、B两种型号的机器可以各安排多少台?
知识点：分式方程的解、解分式方程
计算:  $\left(-2\right)^2-\left(3-5\right)-\sqrt4+2\times\left(-3\right).$  
知识点：二次根式
已知0\ltx\lt1,化简:  $\sqrt{ \left( x - \frac{ 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 4 }-$    $\sqrt{ \left( x + \frac{ 1 } { x } \right) ^ { 2 } - 4 }.$  
知识点：二次根式
设a、b、c为△ABC的三边,化简  $\colon\sqrt{ \left( a + b + c \right) ^ { 2 } }+\sqrt{(a-b-c)^2}+\sqrt{(b-a-c)^2}-\sqrt{(c-b-a)^2}.$     
知识点：二次根式
求  $\sqrt{ a - 4 }-\sqrt{ 8 - \frac{ 4 } { 5 } }a+\sqrt{ 5 + 4 a }+\sqrt{ - \left( 5 - a \right) ^ { 2 } }$  的值.
知识点：二次根式
已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:  $|a|-\sqrt{ \left( a + c \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( c - a \right) ^ { 2 } }-\sqrt{ b ^ { 2 } }.$  

知识点：二次根式
若代数式 $\sqrt{x+1}+\frac{1}{x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________
知识点：二次根式
已知  $n=\sqrt{ 2 0 1 9 - m }-\sqrt{ m - 2 0 1 9 }-6,$  求  $\sqrt{ m - n }$  的值.
知识点：二次根式
已知a、b、c满足  $\sqrt{ 2 a + b - 4 }+|a+1|=\sqrt{ b - c }+$$\sqrt{ c - b }.$ 
(1)求证:b=c;
(2)求-4a+b+c的平方根.
知识点：二次根式
已知x、y为实数,且满足  $\sqrt{ 1 + x }-\left(y-1\right)\sqrt{ 1 - y }$  =0,求  $x^{2023}-y^{2022}$  的值.
知识点：二次根式
如果  $\sqrt{ x - 1 }+\sqrt{ 9 - x }$  有意义,求代数式|x-1|+  $\sqrt{ \left( x - 1 2 \right) ^ { 2 } }$  的值.
知识点：二次根式
已知x、y为实数,且  $y\lt\sqrt{ x - 1 }+\sqrt{ 1 - x }+3,$  化简:  $|y-3|-\sqrt{ y ^ { 2 } - 8 y + 1 6 }.$  
知识点：二次根式
(1)已知实数a、b满足  $\left(a-2\right)^2+\sqrt{ b - 2 a }=0,$  求b-a的算术平方根;
(2)已知  $y=\sqrt{ x - 1 }-\sqrt{ 1 - x }+4,$  求  $\sqrt{ x ^ { 2 } y }$  的值.
知识点：二次根式
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$  ____(a≥0,b≥0);
知识点：二次根式的乘除法
$\sqrt3\times\sqrt6=$ 
 A. 3 
 B.   $3\sqrt2$   
 C.   $2\sqrt3$   
 D. 6
知识点：二次根式
计算  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 5 }$  的结果等于 
 A.  $3\sqrt{ 1 5 }$  
 B.  $9\sqrt5$  
 C. $3\sqrt5$   
 D.  $5\sqrt3$ 
知识点：二次根式
化简： $\sqrt{16 \times81}$   $\sqrt{16 \times81}$
知识点：二次根式
化简：  $\sqrt{4 a^{2} b^{3}}(a\geqslant0,b\geqslant0)$
知识点：二次根式
$\sqrt{ \frac{ 2 a } { 5 b } },\sqrt{ \frac{ 2 b } { c } }\cdot\sqrt{ \frac{ c } { 5 a } }\left(a\gt0,b\gt0,c\gt0\right),$  
知识点：二次根式
计算：  $(5\sqrt{3}+2\sqrt{5})^2$
知识点：二次根式
计算：  $\left(4\sqrt2-3\sqrt6\right)\div2\sqrt2;$      
知识点：二次根式
$\left(1\right)\sqrt2\times3\sqrt2=$________
$(2)3\sqrt{2}\times5\sqrt{8}=$ ________
$(3)5\sqrt{x}\times6\sqrt{x^{3}}=$ ________ $(x\geqslant0)$ 
$(4)5\sqrt{a b}\cdot\left(-4\sqrt{a^{3} b}\right)=$ ________ $(a\geqslant0,b\geqslant0)$ 
 
知识点：二次根式
已知  $x=\sqrt2-1,$  求  $x^2+3x-1$ 的值.
知识点：二次根式
一长方形的长为  $\left(7\sqrt2+2\sqrt7\right),$  宽为  $\left(7\sqrt2-2\sqrt7\right),$  求这个长方形的面积.
知识点：二次根式
下列计算正确的是 
 A.  $\left(-\sqrt3\right)^2=3$  
 B.  $\sqrt{ \left( - 3 \right) ^ { 2 } }=-3$  
 C.  $\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }=2\sqrt2$  
 D.  $3\sqrt2=\sqrt{ 3 \times2 }$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算  $\sqrt{ 1 8 }\times\sqrt{ 1 2 }$  的结果是 
 A. 6 
 B.   $6\sqrt2$   
 C. $6\sqrt3$   
 D. $6\sqrt6$  
知识点：二次根式的乘除法
计算的结果是  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }$  ____.
知识点：二次根式
$\sqrt2\times\sqrt5$  的计算结果是____
知识点：二次根式的乘除法
$\sqrt{ 4 - x ^ { 2 } }=\sqrt{ 2 + x }\cdot\sqrt{ 2 - x }$  成立的条件是____
知识点：二次根式的乘除法
实数a在数轴上的位置如图,化简  $\sqrt{ \left( a - 1 \right) ^ { 2 } }+$  a=____

知识点：二次根式的乘除法
化简 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 结果正确的是 
 A.  $\sqrt7$  
 B.  $\frac{ \sqrt7 } { 7 }$  
 C.  $\frac{ 1 } { 7 }$  
 D. 7
知识点：二次根式的乘除法
已知a-1的绝对值是其相反数,a+1的绝对值是其本身.试求  $2\sqrt{ a ^ { 2 } - 6 a + 9 }+|2a+3|$  的值.
知识点：二次根式的乘除法
如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,BC=8,AD⊥BC,垂足为D,求△ABC的面积.

知识点：二次根式的乘除法
以下是甲、乙两人证明  $\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\ne\sqrt{ 1 5 + 8 }$  的过程:
甲:  $\because\sqrt{ 1 5 }\gt\sqrt9=3,\sqrt8\gt\sqrt4=2,$   
$\therefore\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\gt3+2=5.$ 
又$\sqrt{ 1 5 + 8 }=\sqrt{ 2 3 }\lt\sqrt{ 2 5 }=5,$    
$\therefore\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\gt5\gt\sqrt{ 1 5 + 8 }.$  
故  $\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\ne\sqrt{ 1 5 + 8 }.$  
乙:作一个直角三角形,两直角边长分别为  $\sqrt{ 1 5 },\sqrt8,$  
利用勾股定理  $\left(\sqrt{ 1 5 }\right)^2+\left(\sqrt8\right)^2=15+8,$
得斜边长为  $\sqrt{ 1 5 + 8 }.$    
$\because\sqrt{ 1 5 + 8 }、\sqrt{ 1 5 }、\sqrt8$  为此三角形的三边长,  
$\therefore\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\gt\sqrt{ 1 5 + 8 }.$  
故 $\sqrt{ 1 5 }+\sqrt8\ne\sqrt{ 1 5 + 8 }$  
对于两人的证法,下列说法正确的是 
 A. 两人都正确 
 B. 两人都错误 
 C. 甲正确,乙错误 
 D. 甲错误,乙正确
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\sqrt{5 \times4 \times9}$
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\sqrt{(-7)^{2} \times49}$
知识点：二次根式的乘除法
下列选项中,化简正确的是 
 A.  $\sqrt{ \left( - 1 \right) ^ { 2 } }=-1$  
 B.  $\left(\sqrt6\right)^2=6$  
 C. $\sqrt{ \frac{ 9 } { 2 } }=\frac{ 3 } { 2 }$   
 D.  $\sqrt8=4$ 
知识点：二次根式的乘除法
下列各式是最简二次根式的是 
 A.  $\sqrt5$  
 B.  $\frac{ 1 } { \sqrt6 }$  
 C.  $\sqrt{ \frac{ 1 } { 7 } }$  
 D.  $\sqrt8$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算  $\frac{ \sqrt3 \times\sqrt{ 1 2 } } { \sqrt2 }$  的结果是____
知识点：二次根式的乘除法
(1)判断下列变形过程是否正确:
① $2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^{2} \times\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$  （               ）.
② $7\sqrt{\frac{5}{7}}=\sqrt{7^{2}}\times\sqrt{\frac{5}{7}}=\sqrt{7^{2} \times\frac{5}{7}}=\sqrt{35}$ （               ）.
 
（2）计算：
① $3\sqrt{\frac{1}{3}}=$ ________
 
②  $-4\sqrt{\frac{5}{8}}=$  ________
知识点：二次根式的乘除法
计算:  $\colon\sqrt{ \left( \sqrt5 - 3 \right) ^ { 2 } }=$ ____，实数  $2-\sqrt3$  的倒数是____
知识点：二次根式的乘除法
若 $m+\sqrt{m^{2}}=2m$ ，测m的取值范围是________.
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{2}}$
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\sqrt{\frac{3}{2}}\div\left(-2\sqrt{\frac{1}{18}}\right)$
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\frac{\sqrt{18 a^{3} b}}{\sqrt{2 a}}(a\gt0,b\gt0)$
知识点：二次根式的乘除法
化简： $\sqrt{\frac{4}{9 x^{4}}}(x\gt0)$
知识点：二次根式的乘除法
$\sqrt{\frac{16 a^{4}}{a^{2}}}(a\lt0)$   
知识点：二次根式的乘除法
三角形的面积为  $5\sqrt{ 3 5 }cm^2,$  一条边长为  $2\sqrt{ 1 5 }cm,$  求这边上的高.
知识点：二次根式的乘除法
计算：  $\frac{x}{2 \sqrt{x^{4}+x^{2}}}(x\gt0)$
知识点：二次根式的乘除法
观察下列各式; 
$\sqrt{ 1 + \frac{ 1 } { 1 ^ { 2 } } + \frac{ 1 } { 2 ^ { 2 } } }=1+\frac{ 1 } { 1 }-\frac{ 1 } { 2 }=1\frac{ 1 } { 2 };$    
$\sqrt{ 1 + \frac{ 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac{ 1 } { 3 ^ { 2 } } }=1+\frac{ 1 } { 2 }-\frac{ 1 } { 3 }=1\frac{ 1 } { 6 };$   
$\sqrt{ 1 + \frac{ 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac{ 1 } { 4 ^ { 2 } } }=1+\frac{ 1 } { 3 }-\frac{ 1 } { 4 }=1\frac{ 1 } { 1 2 };$  
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:
(1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}=$ ________
(2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:________;
(3)利用上述规律计算:  $\sqrt{ \frac{ 8 2 } { 8 1 } + \frac{ 1 } { 1 0 0 } }$  (仿照上式写出过程).
知识点：二次根式的乘除法
已知  $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2},\sqrt{a b}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，求a+b的值.
知识点：二次根式的乘除法
已知  $x=\sqrt3+2,y=\sqrt3-2,$  求  $x^2-y^2-\left(x-y\right)^2.$  
知识点：二次根式的乘除法
下列运算正确的是 
 A.  $\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }\times\sqrt8=\pm2$  
 B.  $\left(m+n\right)^2=m^2+n^2$  
 C.  $\frac{ 1 } { x - 1 }-\frac{ 2 } { x }=-\frac{ 1 } { x }$  
 D.  $3xy\div\frac{ - 2 y ^ { 2 } } { 3 x }=-\frac{ 9 x ^ { 2 } } { 2 y }$ 
知识点：二次根式的乘除法
下列变量中,两个量成反比例函数关系的是(    ) 
 A. 正方形的边长和面积 
 B. 圆的周长一定,它的直径和圆周率 
 C. 速度一定,路程和时间 
 D. 总价一定,单价和数量
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
若函数  $y=\left(m-1\right)x^{m^2-2}$  是反比例函数,则m的值是(    ) 
 A. ±1 
 B. -1 
 C. 0 
 D. 1
知识点：反比例函数、反比例函数的图象
有下列函数:  $①y=\frac{ x } { 3 };②y=\frac{ 2 } { x };③y=$    $\frac{ - 3 } { 2 x };④xy=\frac{ 1 } { 2 };⑤y=x-1;⑥\frac{ y } { x }=2;$    $⑦y=\frac{ k } { x }\left(k\right.$ 为常数,{k≠0})..其中,是反比例函数的有________________(填序号).
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
已知y与x成反比例,且当x=-3时,y=4,则当x=6时,y的值为____________。
知识点：反比例函数、反比例函数的性质
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数.如果是，写出k的值.
(1)底边为3cm的平行四边形的面积 $y\left(cm^2\right)$ 随底边上的高x(cm)的变化而变化。
(2)一艘轮船从相距200 km的甲地匀速驶往乙地，轮船的速度u(km/h)与航行时间t（h）的关系。
(3)在检修100m长的管道时,每天能完成10 m,剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化.
(4)实数x与y互为倒数,y随x的变化而变化.
知识点：反比例函数、反比例函数的定义、反比例函数的图象
若函数  $y=\left(m^2-3m+2\right)x^{|m|-3}$  是反比例函数,则m的值是(    )。 
 A. 1 
 B. -2 
 C. 2或一2 
 D. 2
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
下列命题中,错误的是(    )。 
 A. 如果y是x的反比例函数,那么x也是y的反比例函数 
 B. 如果y是z的反比例函数,z是x的正比例函数,且x≠0,,那么y是x的反比例函数 
 C. 如果y是z的正比例函数,z是x的反比例函数,且.x≠0,那么y是x的反比例函数 
 D. 如果y是z的反比例函数,z是x的反比例函数,那么y是x的反比例函数
知识点：反比例函数、反比例函数的定义、反比例函数的图象
已知y是x的反比例函数,  $x_1,y_1$  和  $x_2,$    $y_2$  是自变量与函数的两组对应值,则下列关系式中,成立的是(    ) 。               
 A.  $x_1x_2=y_1y_2$  
 B.  $x_1y_1=x_2y_2$  
 C.  $\frac{ x _ { 1 } } { x _ { 2 } }=\frac{ y _ { 1 } } { y _ { 2 } }$  
 D.  $\frac{ y _ { 1 } } { x _ { 1 } }=\frac{ y _ { 2 } } { x _ { 2 } }$ 
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
一个游泳池的容积为  $2000m^3,$  注满游泳池所用的时间t(h)随注水速度  $v\left(m^3/h\right)$  的变化而变化，则t与u之间的函数表达式为________________。
知识点：反比例函数、反比例函数的性质
(1)发现规律:
特例  $1\colon\sqrt{ 1 + \frac{ 1 } { 3 } }=\sqrt{ \frac{ 3 + 1 } { 3 } }=\sqrt{ 4 \times\frac{ 1 } { 3 } }=2\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } };$  
特例  $2\colon\sqrt{ 2 + \frac{ 1 } { 4 } }=\sqrt{ \frac{ 8 + 1 } { 4 } }=\sqrt{ 9 \times\frac{ 1 } { 4 } }=3\sqrt{ \frac{ 1 } { 4 } };$  
特例  $3\colon\sqrt{ 3 + \frac{ 1 } { 5 } }=4\sqrt{ \frac{ 1 } { 5 } };$
特例  4:________(填写一个符合上述运算特征的例子);
(2)归纳猜想:
如果n为正整数,用含n的式子表示上述的运算规律：________;
(3)请证明你的猜想.
知识点：二次根式的乘除法
下列二次根式中属于最简二次根式的是 
 A.  $\sqrt{ 1 6 }$  
 B.  $\sqrt3$  
 C.  $\sqrt{ 0 . 3 }$  
 D.  $\sqrt{ 1 2 }$ 
知识点：二次根式的乘除法
下列二次根式中,属于最简二次根式的是 
 A.  $\sqrt{ 0 . 3 }$  
 B.  $\sqrt{ 3 x ^ { 2 } }$  
 C.  $\sqrt{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$  
 D.  $\sqrt8$ 
知识点：二次根式的乘除法
我们把形如  $a\sqrt{x}+b$ （a、b  为有理数,   $\sqrt{ x }$  为最简二次根式)的数叫做 $\sqrt{ x }$ 型无理数,如  $3\sqrt3+1$  是  $\sqrt3$  型无理数,则  $\left(\sqrt3-\sqrt6\right)^2$   是 
 A.  $\sqrt2$  型无理数 
 B.  $\sqrt3$  型无理数 
 C.  $\sqrt6$  型无理数 
 D.  $\sqrt{ 1 8 }$  型无理数
知识点：二次根式的乘除法
下列计算正确的是 
 A.  $\frac{ \sqrt3 } { \sqrt2 }=\frac{ \sqrt6 } { 2 }$  
 B.  $\sqrt{ \left( - 2 \right) ^ { 2 } }=-2$  
 C.  $\left(\sqrt2\right)^2=4$  
 D.  $\sqrt{ 4 \frac{ 9 } { 1 6 } }=2\frac{ 3 } { 4 }$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去分母中的根号:  $\frac{ 8 } { 3 \sqrt2 - 4 }=$  ____
知识点：二次根式的乘除法
写出一个二次根式,使它与  $\sqrt2$  的积是有理数.这个二次根式是____
知识点：二次根式的乘除法
化去根号中的分母： $2\sqrt{\frac{1}{32}}$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去根号中的分母： $\sqrt{4 \frac{4}{9}}$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去根号中的分母： $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{8 x}}(x\gt0)$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去分母中的根号： $\frac{\sqrt{42}}{2 \sqrt{6}}$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去分母中的根号： $\frac{\sqrt{27}}{2 \sqrt{12}}$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算:  $\left(\sqrt6+3\right)\left(3-\sqrt6\right).$  
知识点：二次根式的乘除法
仔细观察下列计算过程: 
$\because11^2=121,$    
$\therefore\sqrt{ 1 2 1 }=11;$    
$\because111^2=12321,$    
$\therefore\sqrt{ 1 2 3 2 1 }=111;$ 
... 
由此猜想$\sqrt{12345678987654321}=$  _______
知识点：二次根式的乘除法
已知函数  $y=y_1+y_2,y_1$  与x成正比例,  $y_2$  与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.y与x之间的函数表达式为________________,当x=4时，y=________________.
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
如图,有一面墙(可利用的最大长度为100 m),现打算沿墙围一个面积为  $120m^2$  的矩形花圃.设花圃的一边AB=xm,另一边为ym,则y与x之间的函数表达式为________________,其中,自变量x的取值范围是____________。
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
已知y与x之间的函数表达式为y=  $\left(5m-3\right)x^{2-n}+\left(n+m\right).$  请求出在下列情况下m、n的值:
(1)该函数为一次函数.
(2)该函数为正比例函数.
(3)该函数为反比例函数.
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
当反比例函数  $y=\left(m-2\right)x^{2m+1}$  的函数值为3时,求自变量x的值.
知识点：反比例函数、反比例函数的性质
将  $x=\frac{ 2 } { 3 }$  代入反比例函数  $y=-\frac{ 1 } { x }$  中,所得函数值记为  $y_1,$  ,又将  $x=y_1+1$  代人该反比例函数中,所得函数值记为  $y_2,$  ,再将  $x=y_2+1$  代人该反比例函数中,所得函数值记为  $y_3$  ……如此继续下去,则  $y_{2002}=$  ____________.
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
某班同学结合杠杆原理进行了如下实验:在一把直尺的中央点O处拴上细绳吊在空中,左边挂一重物M,右边挂上3个钩码,钩码悬挂处为点A(如图①),重物到直尺中央的距离不变,此时杠杆平衡.若将图①中点A向左移动1格,则必须加上3个钩码才能保持平衡(如图②).若将图①中点A向右移动1格,则必须去掉1个钩码才能保持平衡(如图③).设点A到点O的距离为x格,杠杆平衡时钩码个数为y.
(1)根据上述实验填写下表:

(2)观察所填表格你发现了哪些规律?x与y有什么关系?

 
 
知识点：反比例函数、反比例函数的定义
如图,下列图像可能是反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像的有(    )。
 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：反比例函数的图象
在平面直角坐标系中,点P、Q在同一反比例函数图像上的是(    ) 
 A. P(-2,-3),Q(3,-2) 
 B. P(2,一3)、Q(3,2) 
 C. P(2,3).Q(-4,-1.5) 
 D. P(-2,3)、Q(一3,一2)
知识点：反比例函数的图象
在同一平面直角坐标系中,直线y=-3x与双曲线  $y=\frac{ 1 } { x }$  的交点有________________个.
知识点：反比例函数的图象
在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.已知双曲线  $y=\frac{ 2 } { x }$ 。
(1)求该双曲线上的“整点”.
(2)顺次连接这些“整点”,能得到一个什么图形?
 
知识点：反比例函数、反比例函数的图象
在平面直角坐标系中,将一把含有  $45^{\circ}$  角的三角尺按如图所示的方式放置,直角顶点C的坐标为(2,0),顶点A的坐标为(0,4),顶点B恰好落在第一象限内,反比例  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过点B,则k的值为(    )。
 
 
 A. 4 
 B. 6 
 C. 8 
 D. 12
知识点：反比例函数的图象
如图,菱形OABC的边OC在x轴上,点B的坐标为(8,4),反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过点A,则k的值为(    )。 
 A. 12 
 B. 15 
 C. 16 
 D. 20
知识点：反比例函数的图象
如图,过点A(1,0)的直线与y轴平行,且分别与正比例函数  $y=k_1x、y=k_2x$  和反比例函数  $y=\frac{ k _ { 3 } } { x }$  的图像在第一象限相交,则 $k_1，k_2，k_3$ 的大小关系是________________________(用“\gt”连接).
知识点：反比例函数的图象
化去分母中的根号： $\frac{a b^{2}}{\sqrt{2 a}}(a\gt0)$ 
知识点：二次根式的乘除法
化去分母中的根号： $\frac{a-b}{\sqrt{a-b}}(a\gtb)$ 
知识点：二次根式的乘除法
如图,⊙O的半径为2,双曲线对应的函数表达式分别为  $y=\frac{ 1 } { x }$  和  $y=-\frac{ 1 } { x },$  则涂色部分的面积为(    )。
 
 A. 4π 
 B. 3π 
 C. 2π 
 D. π
知识点：反比例函数、反比例函数的图象
已知x为奇数,且  $\sqrt{ \frac{ x - 6 } { 9 - x } }=\frac{ \sqrt{ x - 6 } } { \sqrt{ 9 - x } },$    $\sqrt{ 1 + 2 x + x ^ { 2 } }$  的算术平方根.
知识点：二次根式的乘除法
在解决数学问题时,我们一般先仔细阅读题干,找出有用信息作为已知条件,然后利用这些信息解决问题,但是有的题目信息比较明显,我们把这样的信息称为显性条件;而有的信息不太明显,需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件,我们把这样的条件称为隐含条件;所以我们在做题时,要注意发现题目中的隐含条件.
【阅读理解】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件并回答下面的问题.
化简:  $\left(\sqrt{ 1 - 3 x }\right)^2-|1-x|$  
解:隐含条件1-3x≥0,解得  $x\le\frac{ 1 } { 3 },$ 
∴1-x\gt0.∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:  $\sqrt{ \left( x - 3 \right) ^ { 2 } }-$    $\left(\sqrt{ 2 - x }\right)^2;$  
【类比迁移】
(2).实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}}+\sqrt{(a+b)^{2}}-|b-a|$ .

知识点：二次根式的乘除法
(1)已知  $x=2-\sqrt3,y=2+\sqrt3,$  求  $x^2+xy+y^2$  的值;
(2)已知  $x=\sqrt2+1,$  求  $x+1-\frac{ x ^ { 2 } } { x - 1 }$  的值.
知识点：二次根式的乘除法
先观察下列分母有理化:
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1;\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$   
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3};\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$  
…
从计算结果中找出规律,再利用这一规律计算下列式子的值:  $\left(\frac{ 1 } { \sqrt2 + 1 }+\frac{ 1 } { \sqrt3 + \sqrt2 }+\frac{ 1 } { \sqrt4 + \sqrt3 }\right.$ $\left.+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}\right)\times(\sqrt{2023}+1)$  
知识点：二次根式的乘除法
若一个反比例函数的图像经过点A(3,m)和点B(-2-2m,-1),则这个反比例函数的表达式为____________。
知识点：反比例函数的图象
已知  $P_1\left(2,y_1\right),P_2\left(x_2,3\right)$  是同一个反比例函数  $y=\frac{ 3 - m ^ { 2 } } { x }\left(3-m^2\ne0\right)$  的图像上的两点,若点  $P_1$  与点  $P_2$  关于原点对称,则m的值为________________.
知识点：反比例函数的图象
反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  与一次函数y=2x-8的图像都过点A(m,2),求:
(1)点A的坐标.
(2)反比例函数的表达式.
知识点：反比例函数的图象
已知点P(m,n)在直线y=-x+2上，也在双由线  $y=-\frac{ 1 } { x }$  上,则  $m^2+n^2$  的值为____________。
知识点：反比例函数的图象
已知 $|a-4|+\sqrt{b-9}=0$ ，计算 $\frac{a^{2}+a b}{b^{2}}$ · $\frac{a^{2}-a b}{a^{2}-b^{2}}$ 的值.
知识点：二次根式的乘除法
有这样一个问题:探究函数,  $y=\frac{ 2 x - 6 } { x - 2 }$  的图像与性质.小慧根据学习函数的经验,对该函数的图像与性质进行了探究.以下是小慧的探究过程,请补充完整;
(1)函数  $y=\frac{ 2 x - 6 } { x - 2 }$  的自变量x的取值范围是____________。
(2)列出y与x的部分对应值如下表:

其中,m的值为____________。
(3)请在如图所示的平面直角坐标系中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,并画出该函数的图像。
(4)结合函数的图像,写出该函数的两条性质.

知识点：反比例函数的图象
对于反比例函数  $y=-\frac{ 4 } { x },$  ,下列说法不正确的是(    )。 
 A. 图像经过点(1,-4) 
 B. 图像在第一、三象限 
 C. 当x\gt0时,y随x的增大而增大 
 D. 图像关于原点中心对称
知识点：反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne\right.$  0),且在各自象限内,函数值y随x的增大而增大,则下列点可能在这个函数图像上的为(    )。 
 A. (2,3) 
 B. (-2,3) 
 C. (3,0) 
 D. (-3,0)
知识点：反比例函数的性质
已知  $A\left(-4,y_1\right),B\left(-1,y_2\right)$  是反比例函数  $y=-\frac{ 4 } { x }$  的图像上的两个点,则  $y_1$  与  $y_2$  的大小关系为________________(用“\lt”连接).
知识点：反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ 1 - m } { x }$  的图像的一支位于第一象限,则常数m的取值范围是____________.
知识点：反比例函数的性质
已知反比例函数 $y=\frac{m-5}{x}$ (m为常数)的图像的一支在第一象限.
(1)该反比例函数的图像的另一支在第几象限?常数m的取值范围是什么?
(2)若该反比例函数的图像与正比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点为A,过点A作x轴的垂线,垂足为B,当△OAB的面积为4时,求点A的坐标及该反比例函数的表达式.
知识点：反比例函数的性质
在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与$y=\frac{ b } { a x }$  (其中a、b是常数,ab≠0)的图像大致是(    )。 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数的性质
已知反比例函数 $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right),$ 当 -2≤x≤-1时,y的最大值是3,则当x≥6时,y有(    ) 
 A. 最大值  $-\frac{ 1 } { 2 }$   
 B. 最大值一1 
 C. 最小值  $-\frac{ 1 } { 2 }$   
 D. 最小值一1
知识点：反比例函数的性质
点P(-1,m-3)在第三象限,则反比例函数  $y=\frac{ m - 4 } { x }$  的图像在第________________象限.
知识点：反比例函数的性质
点  $\left(2a-1,y_1\right)、\left(a,y_2\right)$  在反比例函数 $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  的图像上.若  $0\lty_1\lty_2,$  则a的取值范围是____________________。
知识点：反比例函数的性质
已知函数  $y=\frac{ k - 1 } { x }$  的图像位于第二、四象限,则k的取值范围是____________.
知识点：反比例函数的性质
在平面直角坐标系中,点A(-2,1)、B(3,2)、C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right)$  的图像经过其中两点,则m的值为____________。
知识点：反比例函数的性质
如图,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过点A(4,m),AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值.
(2)若点C(x,y)也在该反比例函数的图像上,当-3≤x≤-1时,求函数值y的取值范围.

知识点：反比例函数的性质
【问题呈现】我们知道反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像是双曲线,那么函数  $y=\frac{ k } { x + m }+n$  (k、m、n为常数且k≠0})的图像还是双曲线吗?它与反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像有怎样的关系呢?让我们一起开启探索之旅·······
 
 
【探索思考】我们可以借鉴学过的研究函数的方法,探索函数  $y=\frac{ 4 } { x + 1 }$  的图像.
(1)补充表格，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图像。
①列表:

②描点并连线,画图.
(2)观察图像,写出该函数图像的两条不同类型的特征.
【理解运用】
(3)函数  $y=\frac{ 4 } { x + 1 }$  的图像是由函数  $y=\frac{ 4 } { x }$  的图像向________________平移________个单位长度得到的,其对称中心的坐标为________________.
【灵活运用】
(4)根据上述画函数图像的经验,说明函数  $y=\frac{ 4 } { x + 1 }+2$  的图像的大致位置,并直接写出当y≥3时x的取值范围.

知识点：反比例函数的性质
已知一个三角形的面积为4,一边长为x,这条边上的高为y,则y关于x的变化规律用图像表示大致是(    ). 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=-\frac{ 8 } { x },$  下列说法不正确的是(    )。 
 A. 图像经过点(2,-4) 
 B. 图像在第二、四象限  
 C. 当y≤1时,x≤-8 
 D. 在每个象限内,y随x的增大而增大
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像与直线y=-2x相交于点A,点A的横坐标为-1,则此反比例函数的表达式为____________。
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ 3 } { x },$  ,若y\gt-1,则x的取值范围是____________。
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数的图像经过点P(2,-3).
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位长度,再沿y轴平移n(n\gt0)个单位长度得到点P',使点P'恰好在该函数的图像上,求n的值和点P沿y轴平移的方向.
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知函数  $y_1=\frac{ k } { x },y_2=-\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right),$  ,当-3≤x≤-2时,  $y_1$  的最大值为  $a,y_2$  的最小值为a+2,,则实数a与k的值分别为(    ). 
 A. 3、1 
 B. -1、-1 
 C. 3、3 
 D. -1、3
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图所示为同一平面直角坐标系中函数  $y_1=2x$  和  $y_2=\frac{ 2 } { x }$  的图像.观察图像可得,关于x的不等式  $2x\gt\frac{ 2 } { x }$  的解集为(    )。
 
 A. -1\ltx\lt1 
 B. x\lt-1或x\gt1 
 C. x\lt-1或0\ltx\lt1 
 D. -1\ltx\lt0或x\gt1
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,点P、Q的坐标分别为(2,2)、(2,4),过点P作x轴的垂线,与一次函数y=x+k和反比例函数  $y=\frac{ k + 1 } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像分别相交于点A、B,若P、Q两点都在线段AB上,则k的取值范围是(    )
 
 A. 1≤k≤2 
 B. 0\ltk≤7 
 C. 2≤k≤4 
 D. 2≤k≤3
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
若反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像过点(-2,a)、(2,b),且a-b=-6,则k=____________。
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\lt0\right),$  1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k=________________.
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,A是反比例函数 $y=-\frac{ 2 } { x }$  的图像上的一个动点,连接OA.若将线段OA绕点O按顺时针方向旋转  $90^{\circ}$  得到线段OB,则点B所在反比例函数图像对应的表达式为____________。

知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,菱形O ABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(3,4)。
(1)求图像过点B的反比例函数的表达式。
(2)求图像过点A、B的一次函数的表达式.
(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图像在所求反比例函数图像的下方时,请直接写出自变量x的取值范围.

知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的直角边AC在x 轴上,  $\angle ACB=90^{\circ},$  AC=1.,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  的图像经过边BC的中点D(3,1).
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)若△ABC与△EFG成中心对称,且Rt△EFG的边FG在y轴的正半轴上,点E在这个反比例函数的图像上.
①求OF的长.
②连接AF、BE, 求证:四边形A BEF是正方形.

知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,在函数  $y=\frac{ 2 } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上任取一点A,过点A作y轴的垂线交函数 $y=-\frac{ 8 } { x }\left(x\lt0\right)$  的图像于点B,连接OA、OB,则△AOB的面积是(    )。
 
 A. 3 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 10
知识点：反比例函数系数k的几何意义