despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
分式方程  $\frac{ 3 - x } { x - 2 }+\frac{ x } { 2 - x }=1$  的解是____.
知识点：分式方程的定义、解分式方程
解方程： $\frac{ 2 } { x - 2 }=\frac{ 3 } { x }$  
知识点：分式方程的定义、解分式方程
解方程： $\frac{2 x}{x-1}-1=\frac{4}{x-1}$ 
知识点：分式方程的定义、解分式方程
解方程： $\frac{x}{x+1}=\frac{2 x}{3 x+3}+1$ 
知识点：分式方程的定义、解分式方程
解方程： $\frac{x-2}{x+2}+\frac{4}{x^{2}-4}=1$ 
知识点：分式方程的定义、解分式方程
解分式方程:  $\frac{ 2 - x } { x - 1 }-1=\frac{ 1 } { 1 - x }.$  第①步去分母两边都乘(x-1),得2-x-1=1, 第②步整理,得x=0, 第③步检验:当x=0时,x-1≠0,所以x=0是原方程的根.(1)以上解题过程中从哪一步开始出现了错误?答:____;
(2)这一步共有_______处错误,分别是:____________________________________;
(3)请写出正确的解答.
知识点：分式方程的定义、解分式方程
下列二次根式中，与  $\sqrt3$  是同类二次根式的是（    ） 
 A.  $\sqrt6$  
 B.  $\sqrt9$  
 C.  $\sqrt{ 1 2 }$  
 D.  $\sqrt{ 1 8 }$ 
知识点：二次根式的加减法
计算  $\sqrt8+\sqrt2$  的结果是（    ） 
 A. 5 
 B.   $\sqrt{ 1 0 }$   
 C.   $3\sqrt2$   
 D.   $4+\sqrt2$  
知识点：二次根式的加减法
若最简二次根式  $\sqrt{ x + 3 }$  与最简二次根式  $\sqrt{ 2 x }$  是同类二次根式，则 $x$ 的值为（    ） 
 A. 0 
 B. 1 
 C. 2 
 D. 3
知识点：二次根式的加减法
已知  $\sqrt{ 1 8 }-\sqrt2=a\sqrt2-\sqrt2=b\sqrt2,$  则 $ab=$ ________。
知识点：二次根式的加减法
已知等腰三角形的边长分别为  $\sqrt8$  和  $6\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } },$  那么这个三角形的周长为________________。
知识点：二次根式的加减法
给出一种新的运算：a※$b=\sqrt{ a b }+\sqrt{ \frac{ a } { b } },$  2※3=________________。
知识点：二次根式的加减法
计算：
$\sqrt{80}-\sqrt{20}+\sqrt{5};$ 
知识点：二次根式的加减法
已知长方形的长为a，宽为b，且  $a=\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 3 2 },b=\frac{ 1 } { 3 }\sqrt{ 1 8 }.$  
（1）求长方形的周长；
（2）当 $S_{长方形}$  $=S_{正方形}$  时，求正方形的周长。
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{9x}+2\sqrt{4x}-3x\sqrt{\frac{1}{x}};$ 
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{5}+3\sqrt{7}+4\sqrt{5}-4\sqrt{7};$ 
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{2x}+\sqrt{8x}-2\sqrt{18x}({x\ge0}).$ 
知识点：二次根式的加减法
估计  $5\sqrt6-\sqrt{ 2 4 }$  的值应在(    ) 
 A. 5和6之间 
 B. 6和7之间 
 C. 7和8之间 
 D. 8和9之间
知识点：二次根式的加减法
若 $|m-\sqrt3|-\sqrt3+m=0,$  则m的取值范围是（    ） 
 A.  $m\lt\sqrt3$  
 B.  $m\le\sqrt3$  
 C.  $m\gt\sqrt3$  
 D.  $m\ge\sqrt3$ 
知识点：二次根式的加减法
若  $\sqrt{ 1 8 x }+2\sqrt{ \frac{ x } { 2 } }+x\sqrt{ \frac{ 2 } { x } }=10,$  则 $x$ 的值为（    ） 
 A. 4 
 B. 2 
 C. ±2 
 D. ±4
知识点：二次根式的加减法
若  $\sqrt{ 4 8 }$  与最简二次根式  $\sqrt{ 2 a - 3 }$  是同类二次根式，则 $a=$ ________。
知识点：二次根式的加减法
已知m为实数，则代数式  $\sqrt{ m + 3 }-\sqrt{ - m ^ { 2 } }-\sqrt{ 1 2 - 4 m }$  的值为________。
知识点：二次根式的加减法
计算：
$\sqrt{8}+({\frac{1}{2}\sqrt{12}-\frac{1}{5}\sqrt{50}});$ 
知识点：二次根式的加减法
$\frac{2}{3}\sqrt{9x}-({6\sqrt{\frac{x}{4}}+2\sqrt{x}})({x\ge0}).$ 
知识点：二次根式的加减法
一个三角形的三边长分别为  $3\sqrt{ \frac{ x } { 3 } },\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 1 2 x },\frac{ 3 } { 4 }x\sqrt{ \frac{ 4 } { 3 x } }.$  
（1）求它的周长；(要求结果化简)
（2）请你给一个适当的 $x$ 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长。
知识点：二次根式的加减法
阅读下列解题过程：
  $\left(1\right)\frac{ 1 } { \sqrt5 + \sqrt4 }=\frac{ 1 \times\left( \sqrt5 - \sqrt4 \right) } { \left( \sqrt5 + \sqrt4 \right) \left( \sqrt5 - \sqrt4 \right) }=\frac{ \sqrt5 - \sqrt4 } { \left( \sqrt5 \right) ^ { 2 } - \left( \sqrt4 \right) ^ { 2 } }=\sqrt5-\sqrt4,$   
 $\frac{ 1 } { \sqrt6 + \sqrt5 }=\frac{ 1 \times\left( \sqrt6 - \sqrt5 \right) } { \left( \sqrt6 + \sqrt5 \right) \left( \sqrt6 - \sqrt5 \right) }=\frac{ \sqrt6 - \sqrt5 } { \left( \sqrt6 \right) ^ { 2 } - \left( \sqrt5 \right) ^ { 2 } }=\sqrt6-\sqrt5.$  
观察上面的解答过程，请写出  $\frac{ 1 } { \sqrt{ n + 1 } + \sqrt n }=$ ________________；
（2）利用上面的解法，请化简  $\frac{ 1 } { 1 + \sqrt2 }+\frac{ 1 } { \sqrt2 + \sqrt3 }+\frac{ 1 } { \sqrt3 + \sqrt4 }+\cdots+\frac{ 1 } { \sqrt{ 9 8 } + \sqrt{ 9 9 } }+\frac{ 1 } { \sqrt{ 9 9 } + \sqrt{ 1 0 0 } };$  
  $\left(3\right)\sqrt{ 1 2 }-\sqrt{ 1 1 }$  和  $\sqrt{ 1 3 }-\sqrt{ 1 2 }$  的值哪个较大，请说明理由。
知识点：二次根式的加减法
关于x的分式方程  $\frac{ m } { x + 3 }=1$  ,下列说法中正确的是(    ) 
 A. 方程的解是x=m-3 
 B. 当m\gt3时,方程的解是正数 
 C. 当m\lt3时,方程的解为负数 
 D. 当m=3时,方程无解
知识点：解分式方程
某校用420元到商场去购买“84”消毒液,经过还价,每瓶便宜了0.5元,结果比用原价多买了20瓶,原价每瓶多少元?设原价每瓶x元,则可列出方程为(    )             
 A.  $\frac{ 4 2 0 } { x }-\frac{ 4 2 0 } { x - 0 . 5 }=20$  
 B.  $\frac{ 4 2 0 } { x - 0 . 5 }-\frac{ 4 2 0 } { x }=20$  
 C.  $\frac{ 4 2 0 } { x }-\frac{ 4 2 0 } { x - 2 0 }=0.5$  
 D.  $\frac{ 4 2 0 } { x - 2 0 }-\frac{ 4 2 0 } { x }=0.5$ 
知识点：解分式方程
若关于x的分式方程  $\frac{ 2 } { x - 1 }=\frac{ m } { x }$  有正整数解,则整数m的值为____.
知识点：解分式方程
若定义: a*b $=\frac{ a } { b },$  则方程2*(x+3)=1*(2x)的解为____.
知识点：解分式方程
当x为何值时,分式  $\frac{ 2 x } { x - 1 }$  的值比分式  $\frac{ 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$  的值大2?
知识点：解分式方程
阅读下列材料:关于x的分式方程, 
 $x+\frac{ 1 } { x }=c+\frac{ 1 } { c }$  的解是  $x_1=c,x_2=\frac{ 1 } { c };$   
 
 $x-\frac{ 1 } { x }=c-\frac{ 1 } { c },$  ,即  $x+\frac{ - 1 } { x }=c+\frac{ - 1 } { c }$  的解是  $x_1=c,x_2=-\frac{ 1 } { c }$  
 
  $x+\frac{ 2 } { x }=c+\frac{ 2 } { c }$  的解是  $x_1=c,x_2=\frac{ 2 } { c };$  
 
  $x+\frac{ 3 } { x }=c+\frac{ 3 } { c }$  的解是  $x_1=c,x_2=\frac{ 3 } { c }.$ 
 (1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于x的方程  $x+\frac{ m } { x }=c+\frac{ m } { c }\left(m\ne0\right)$  的解是什么?并利用方程解的概念(使得方程等号两边相等的未知数的值叫作方程的解)进行验证;
(2)根据以上的规律,解关于x的方程:  $\colon x+\frac{ 2 } { x - 1 }=a+\frac{ 2 } { a - 1 }.$  
知识点：解分式方程
分式方程  $\frac{ 3 } { x - 1 }-1=0$  的解为(    ) 
 A. x=1 
 B. x=2 
 C. x=3 
 D. x=4
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ m } { x - 2 }-\frac{ 3 } { 2 - x }=1$  有增根,则m的值为(    ) 
 A. 2 
 B. 1 
 C. 3 
 D. -3
知识点：分式方程的增根
下列结论中,正确的是(    )  
 A.   $\frac{ y + 1 } { 5 }=\frac{ y } { 3 }$  是分式方程 
 B. 方程  $\frac{ x - 2 } { x + 2 }-\frac{ 1 6 } { x ^ { 2 } - 4 }=1$  无解 
 C. 方程  $\frac{ x } { x ^ { 2 } + x }=\frac{ 3 x } { x ^ { 2 } + x }$  的根为x=0 
 D. 解分式方程时,一定会出现增根
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ 3 x } { x - 2 }-1=\frac{ m + 3 } { x - 2 }$  有增根,则m的值为____.
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ m } { 2 x - 1 }+2=0$  的解为正数,则m的取值范围是____
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{2 x}{x+3}=\frac{1}{x+3}+1$ 
知识点：分式方程的增根
关于x的方程  $\frac{ k } { x + 1 }+\frac{ 3 } { x - 1 }=\frac{ 7 } { x ^ { 2 } - 1 }$  有增根,求增根和k的值.
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{4}{x^{2}-1}+1=\frac{x-1}{x+1}$ 
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{x}{x-1}-\frac{2 x-1}{x^{2}-1}=1$ 
知识点：分式方程的增根
解方程：
知识点：分式方程的增根
若方程  $\frac{ 3 } { x - 2 }=\frac{ a } { x }+\frac{ 4 } { x \left( x - 2 \right) }$  有增根,则增根为(    ) 
 A. x=0 
 B. x=2 
 C. x=0或x=2 
 D. x=1
知识点：分式方程的增根
若关于x的分式方程  $\frac{ x - a } { x + 1 }=a$  无解,则a的值为(    ) 
 A. 1 
 B. -1 
 C. 1或0 
 D. 1或一1
知识点：分式方程的增根
已知关于x的分式方程  $\frac{ k x } { 2 x - 1 }-\frac{ 3 } { 1 - 2 x }+1=0$  有解,则&的取值范围为(    ) 
 A. k≠-2 
 B. k≠-6 
 C. k≠-2且k≠-6 
 D. k\lt-2且k≠-6
知识点：分式方程的增根
若关于x的方程  $\frac{ a + 3 } { x + 1 }=1$  的解是负数,则a的取值范围是____.
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{x-1}{x-3}+\frac{2}{3 x-x^{2}}=1$ 
知识点：分式方程的增根
已知分式方程  $\frac{ 3 } { 1 + x }-\frac{ x } { 1 + x }=$  ■有解,其中“■”表示一个数.嘉淇回忆说:由于抄题时等号右边的数值抄错了,并且找不到原题目了,但可以肯定的是“■”是-1,0这两个数中的一个.请你帮助嘉淇确定“■”表示的数,并求原分式方程的解.
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{2 x}{x+1}-\frac{3}{x^{2}-1}=2$ 
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{(x-1)(x+2)}=1$ 
知识点：分式方程的增根
解方程： $\frac{1}{2 x+3}-\frac{1}{2 x-3}=\frac{4 x}{4 x^{2}-9}$ 
知识点：分式方程的增根
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B都是格点，则线段AB的长度为（    ）
 
 A. 5 
 B. 6 
 C. 7 
 D. 15
知识点：勾股定理与网格问题、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A,\angle B,\angle C$ 的对应边分别是a,b,c,若 $\angle A$ =90°,则下列等式中成立的是（    ） 
 A. $a^2+b^2=c^2$  
 B. $b^2+c^2=a^2$  
 C. $a^2+c^2=b^2$  
 D. a＋b=c
知识点：勾股定理
如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C=90$ °,AC=3,BC=2,以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）
 
 A. 5 
 B. 6 
 C. 12 
 D. 13
知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长的平方为________
知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为________

知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C$ =90°,AD平方 $\angle BAC$ ,AB=10,AC=6,则BD的长为________

知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、根据角平分线的性质求长度
在Rt $\triangle ABC$ 中，斜边BC=3,则 $AB^2+BC^2$ ＋ $AC^2$ 的值为________
知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图，在 $\triangle ABC$ 中，AB=AC=10cm,BC=16cm,M为BC的中点， $MN\bot AC$ 于点N,求：

（1）MN的长度；
（2）CN的长度.
知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、三线合一
如图, 在等腰直角三角形ABC中, 点D在斜边BC上, 以AD为直角边作等腰直角三角形ADE.求证:
(1) △ABD≅△ACE;
  $\left(2\right)BD^2+CD^2=2AD^2.$  

知识点：角平分线的性质
已知一个直角三角形的两条边长分别为 1 和 2 , 则第三条边长的平方是________
知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
4的平方根是（    ） 
 A. 16 
 B. 2 
 C. $\pm2$  
 D. $\pm\sqrt{2}$ 
知识点：求一个数的平方根
如图是4×4的正方形网格,其中已有3个小方格涂成了阴影.请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影,使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形.请用三种方法在图中补全图形,并画出它们各自的对称轴.(所画的三个图形不能全等)

知识点：利用轴对称设计图案
在如图所示的正方形网格上画有两条线段,现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有(    )
 
 A. 2条 
 B. 3条 
 C. 4条 
 D. 5条
知识点：利用轴对称设计图案
如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,A,B,C在小正方形的顶点上,请在图中以AB,BC为边画四边形ABCD, D在小正方形的顶点上,使得此四边形有两组角互补且是轴对称图形, 那么这个四边形ABCD的面积为___。

知识点：利用轴对称设计图案
在如图所示的2×5正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个___。

知识点：利用轴对称设计图案
如图所示的“钻石”型网格(由边长为1个单位长度的等边三角形组成),其中已经涂黑了3个小三角形(阴影部分表示),请你再涂黑一个小三角形,使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形.请你在下面设计出3种不同的涂色方式,并画出每个图形的对称轴.

知识点：利用轴对称设计图案
如图,正方形被分成16个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件:
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;
(2)涂黑部分是轴对称图形,请设计四种不同的涂法.

知识点：利用轴对称设计图案
下列各数中，没有平方根的是（    ） 
 A. $-2^2$  
 B. $({-2})^2$  
 C. $-({-2})$  
 D. $\left|-2\right|$ 
知识点：求一个数的平方根
$\left|-9\right|$ 的平方根是（       ） 
 A. 81 
 B. 3 
 C. $-3$  
 D. $\pm3$ 
知识点：求一个数的平方根
49的平方根是________.
知识点：求一个数的平方根
如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________.
知识点：已知一个数的平方根，求这个数
若3x＋2有平方根，则x的取值范围为________
知识点：求一个数的平方根、估计算术平方根的取值范围
△ABC的边AB的垂直平分线经过点C,则有(    ) 
 A. AB=AC 
 B. AB=BC 
 C. AC=BC 
 D. ∠B=∠C
知识点：线段垂直平分线的性质
如图,线段AC,AB的垂直平分线交于点O,已知OC=2cm,则OB等于(    )
 
 A. 1cm 
 B. 2cm 
 C. 4 cm 
 D. 不能确定
知识点：线段垂直平分线的性质
如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AD=10,DB=6,则BC的长是____。

知识点：线段垂直平分线的性质
如图,在△ABC中,AB+AC=7cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D.则△ABD的周长为________cm.

知识点：线段垂直平分线的性质
如图,AB垂直平分CD,若AC=2cm,BC=3cm,则四边形ACBD的周长为_____cm.

知识点：线段垂直平分线的性质
如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,E是边AB上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≅△CDF;
(2)当AD⊥BC,AE=2,CF=4时,求AC的长

知识点：线段垂直平分线的性质
已知 $|a-b-1|+|2a+b-5|=0$ ，求 $a^{-2b}$ 的平方根
知识点：求代数式的平方根
一个正数x的平方根为2a-3和5-a，求a与x的值.
知识点：已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根
下列说法中，正确的是（     ） 
 A. 36的平方根是6 
 B. 25的平方根是5或-5 
 C. (-3) $^2$ 没有平方根 
 D. 16的平方根是4和-4
知识点：已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根
下列说法中，正确的是（    ） 
 A. $\pm\sqrt{9}=\pm3$  
 B. 16的平方根是4 
 C. $({-4})^2$ 的平方根是4 
 D. $-({-25})$ 的平方根是 $-$ 5
知识点：已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根
已知一个正数x的两个平方根分别是 $\sqrt{5}$ 和m，则m=________，x=________
知识点：已知一个数的平方根，求这个数
若 $-\sqrt{3}$ 是m的一个平方根，则m＋6的平方根是________
知识点：求一个数的平方根
已知 $-2x^{m-2}y^2$ 与 $3x^4y^{2m+n}$ 是同类项，求 $m-3n$ 的平方根
知识点：求代数式的平方根
若4x $^2$ +13的平方根是 $\pm$ 7，求x的值.
知识点：求代数式的平方根
已知2a－1的平方根是 $\pm$ 3,3a+b－1的平方根是 $\pm$ 4，求a+2b的平方根
知识点：求代数式的平方根
如图,在△ABC中,AC\gtAB.
(1)尺规作图:过点A作AD⊥BC,D为垂足,在线段CD上取一点E,使得DE=BD,连接AE;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若(1)中恰好有AB+BD=CD.求证:点E在线段AC的垂直平分线上.

知识点：线段垂直平分线的性质
如图,A,B,C为某公园的三个景点,景点A和景点B之间有一条笔直的小路,现要在小路上建一个凉亭M,使景点A,景点C到凉亭M的距离之和等于A,B之间的距离.请用直尺和圆规在所给的图中作出点M.

知识点：线段垂直平分线的性质
如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,  $\angle ACB=90^{\circ},D$  是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,
求证:BE垂直平分CD.

知识点：线段垂直平分线的性质
3的平方根是（    ） 
 A. 3 
 B. $\pm3$  
 C. $\sqrt{3}$  
 D. $\pm\sqrt{3}$ 
知识点：求一个数的平方根、算术平方根的实际应用
若方程x $^2$ =5的根分别为a,b,且a\gtb,下列说法中正确的是（    ）
  
 A. 5的平方根是a 
 B. 5的平方根是b 
 C. 5的算术平方根是a 
 D. 5的算术平方根是b
知识点：求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
下列各式中，没有意义的是（      ） 
 A.  $\sqrt{\frac{1}{4}}$  
 B. $\sqrt{(-3)^{2}}$  
 C. $\sqrt{-\frac{1}{9}}$  
 D. $\sqrt{7}$ 
知识点：平方根的性质、算术平方根的实际应用
如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是________
知识点：算术平方根的实际应用
$(-1)^2+\sqrt{9}=$ ________
知识点：算术平方根的实际应用
在△ABC中，∠C=90°.(1)AC=2,AB=3,则BC=________(2)BC=1,AB=4,则AC=________(3)AC=2,BC=3,则AB=________
知识点：算术平方根的实际应用
计算
 
$\sqrt{100}$ 
知识点：算术平方根的实际应用
计算
 
 $\sqrt{0.04}$  
知识点：算术平方根的实际应用
计算
 
$\sqrt{\frac{49}{81}}$ 
知识点：算术平方根的实际应用
计算
 
 $\sqrt{2 \frac{1}{4}}$  
知识点：算术平方根的实际应用
如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点p在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④P为∠BAC, ∠CBE, ∠BCD的平分线的交点.其中正确的是(    )
 
 A. ①②③④ 
 B. ①②③ 
 C. ④ 
 D. ②③
知识点：角平分线的性质
如图,直线  $l_1,l_2,l_3$  表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(    )
 
 A. 一处 
 B. 二处 
 C. 三处 
 D. 四处
知识点：角平分线的性质
如图,∠ACD是△ABC的外角,  $\angle BAC=80^{\circ},\angle ABC$  和 $\angle ACD$ 的平分线相交于点E,连接AE,则∠CAE的度数为________________。

知识点：角平分线的性质
如图,在四边形ABDC中,  $\angle D=\angle ABD=90^{\circ},O$  为BD的中点,且OA平分∠BAC.求证:
(1)OC平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.

知识点：角平分线的性质
利用网格线按要求画图:
(1)在图中找一点O.使得OA=OB=OC;
(2)在AC上找一点P,使得点P到AB,BC的距离相等;
(3)在射线BP上找一点Q,使得QA=QC.

知识点：角平分线的性质
已知 $\sqrt{x-y+3}$ 与 $\sqrt{x+y-1}$ 互为相反数。求 $({x-y})^2$  的平方根
知识点：求代数式的平方根
计算 $\sqrt{(-3)^{2}}$ 的结果是（        ） 
 A. $-3$  
 B. 3 
 C. $-9$  
 D. 9
知识点：求一个数的算术平方根
下列计算中，正确的是（       ） 
 A. $\sqrt{(-3)^{2}}=-3$  
 B. $\sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{5^{2}}$  
 C. $\sqrt{36}=\pm6$  
 D. $-\sqrt{0.36}=0.6$ 
知识点：求一个数的算术平方根
设a是9的算术平方根， $b=(\sqrt{3})^2$，则a＋b=________
知识点：算术平方根的实际应用、求一个数的算术平方根
若一个自然数的算术平方根是α，则与它相邻的后一个自然数的算术平方根是________
知识点：求一个数的算术平方根
若 $16x^2-25=0$ ，求 $\sqrt{4 x+11}$ 的值
知识点：算术平方根的实际应用
已知 $\sqrt{2 a-1}=3,3a+b-1$ 的平方根是 $\pm4$ ，c是 $\sqrt{60}$ 的整数部分，求 $a+2b+c$ 的平方根
知识点：求代数式的平方根、算术平方根的实际应用
小丽手中有张周长为120cm的长方形硬纸片，其长比宽多10cm(1)求长方形的面积；(2)现小丽想用这张长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一张长与宽的比为7：5，面积为805cm的长方形纸片，试判断小丽能否成功，并说明理由.
知识点：算术平方根的实际应用
－64的立方根是（     ） 
 A. -2 
 B. $\pm2$  
 C. 4 
 D. －4
知识点：求一个数的立方根
下列说法中，正确的是（      ） 
 A. 0.09的平方根是0.3 
 B. $\sqrt{16}$ = $\pm4$  
 C. 0的立方根是0 
 D. 1的立方根是 $\pm1$ 
知识点：求一个数的立方根、求一个数的平方根、立方根的实际应用
下列等式中，错误的是（     ） 
 A. $\pm\sqrt{64}=\pm8$  
 B. $\sqrt{\frac{121}{225}}=\pm\frac{11}{15}$  
 C. $\sqrt[3]{-216}=-6$  
 D. $-\sqrt[3]{0.001}=-0.1$ 
知识点：求一个数的立方根、求一个数的平方根
计算： $\sqrt[3]{27}-|-2|=$ ________
知识点：立方根的实际应用
8的立方根是________
知识点：已知一个数的立方根，求这个数
如果3x－1的立方根是2，那么9x-2的平方根是________
知识点：立方根的实际应用、平方根和立方根的综合应用
求下列各数的立方根：
$-125$ 
知识点：求一个数的立方根
求下列各数的立方根：
 $\frac{27}{64}$  
知识点：求一个数的立方根
求下列各数的立方根：
知识点：求一个数的立方根
求下列各数的立方根：
 $-0.512$ 
 
知识点：求一个数的立方根
求下列各数的立方根：
11
知识点：求一个数的立方根
解方程
$125x^3-27=0$ 
知识点：立方根的实际应用
解方程
$(x+2)^3+1=\frac{7}{8}$ 
知识点：立方根的实际应用
$\sqrt[3]{64}$ 的算术平方根是（      ） 
 A. 2 
 B. $\sqrt{2}$  
 C. 4 
 D. $\pm2$ 
知识点：求一个数的算术平方根
如果 $-$ b是a的立方根，那么下列结论中正确的是（       ） 
 A. －b也是－a的立方根 
 B. b是a的立方根 
 C. b是－a的立方根 
 D. $\pm$ b都是a的立方根
知识点：立方根的性质
计算： $\sqrt[3]{-8}+\sqrt{16}$ =________。
知识点：平方根和立方根的综合应用
观察下表：

若 $\sqrt[3]{2.37}=1.333,\sqrt[3]{23.7}=2.872$ ，则 $\sqrt[3]{0.0237}$ =________ 。
知识点：已知一个数的立方根，求这个数、立方根的实际应用、探究被开方数扩大后立方根的变化规律
已知m＋n与m－n分别是9的两个平方根，m＋n－p的立方根是1，求n＋p的值。
知识点：平方根和立方根的综合应用、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、立方根的性质、平方根的性质
已知实数a＋9的平方根是 $\pm$ 5，2b $-$ a的立方根是 $-$ 2，求 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 的值。
知识点：已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、平方根和立方根的综合应用
若数a,b满足 $\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$ ，请按要求解答下列问题：(1)若a,b都是整数，请写出一对符合条件的a,b的值；(2)若a,b都是分数，请写出一对符合条件的a,b的值。
知识点：已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、平方根和立方根的综合应用
若等腰三角形的边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是(    ) 
 A. 9 cm 
 B. 12cm 
 C. 15 cm 
 D. 12 cm或15cm
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,在 $\triangle ABC$ 中,  $AB=AC,\angle C=65^{\circ},D$  是边 $BC$ 上的任意一点,过点 $D$ 作 $DF\Vert AB$ 交 $AC$ 于点 $E$ ,则 $\angle FEC$ 的度数为(    )   

            
 A. $120^{\circ}$  
 B. $130^{\circ}$  
 C. $145^{\circ}$  
 D. $150^{\circ}$ 
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图, $AE\Vert BD$ , $C$ 是 $BD$ 上的点, $AB=BC$ ,且  $\angle ACD=110^{\circ},$  则 $\angle EAB=$ ____。

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,在 $\triangle ABC$ 中,  $AB=AC,\angle A=36^{\circ},AB$  的垂直平分线交 $AC$ 于点 $E$ ,垂足为 $D$ ,连接 $BE$ ,则 $\angle EBC$ 的度数为____

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,  $\angle BAC=90^{\circ},$  若  $\angle B=55^{\circ},$  过点 $A$ 作 $AD\bot BC$ 于点 $D$ ,在 $CD$ 上取一点 $B^{\prime}$ ,使 $BD=B^{\prime}D$ ,则 $\angle CAB^{\prime}=$ ___。

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,已知 $AC\bot BC,BD\bot AD$ , $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ , $AC=BD$ .
(1)BC=AD;
(2) △OAB是等腰三角形.

知识点：等腰三角形的判定与性质
下列实数是无理数的是（    ） 
 A. $-2$ 
 B. $\frac{1}{6}$  
 C. $\sqrt{9}$  
 D. $\sqrt{11}$ 
知识点：无理数
下列说法中，正确的是（    ） 
 A. 带根号的数是无理数 
 B. 无理数不能在数轴上表示出来 
 C. 无理数是无限小数 
 D. 无限小数是无理数
知识点：无理数、实数的概念与分类
如图，数轴上点A所表示的实数是（    ）
 
 A. $\sqrt{5}$  
 B. $\sqrt{5}-1$  
 C. $2-\sqrt{5}$  
 D. 2
知识点：实数与数轴、实数与数轴上点的关系
请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是________。
知识点：无理数、无理数的大小估算
如图，M,N,P,Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 $\sqrt{7}$ 的是点________。

知识点：实数与数轴上点的关系、无理数的大小估算
请写出一个小于4的无理数：________。
知识点：无理数、比较实数的大小、无理数的大小估算
将下列各数填入相应的括号内.
 $-\frac{1}{3},\sqrt{16},\sqrt[3]{9},0,-\frac{\pi}{2},3.14,31,0.8989989998\cdots$  (相邻两个8之间9的个数逐次加1).
有理数集合： $\{\quad \cdots\}$  无理数集合： $\{\quad \cdots\}$ 正实数集合： $\{\quad \cdots\}$ 负实数集合： $\{\quad \cdots\}$ 
 
知识点：无理数、求一个数的立方根、求一个数的平方根、实数的概念与分类
如图，数轴上的点A所表示的数为x,则x $^2$ －10的立方根是（    ）
 
 A. $\sqrt{2}-10$  
 B. $-\sqrt{2}-10$  
 C. 2 
 D. $-2$ 
知识点：求一个数的立方根、实数与数轴上点的关系、实数与数轴、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图，用64个边长为1cm的小正方形拼成的网格中，点A,B,C,D,E都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB,AC,AD,AE,长度为无理数的有（    ）
 
 A. 4条 
 B. 3条 
 C. 2条 
 D. 1条
知识点：无理数、实数与网格、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
在 $-\frac{29}{7}$ ， $-\sqrt{7}$ ， $\frac{\pi}{3}$ 这三个实数中，分数是________。
知识点：实数的性质、实数的概念与分类
如图，把无理数 $\sqrt{17},\sqrt{11},\sqrt{5},-\sqrt{3}$ 表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹覆盖住的无理数是________。

知识点：无理数、实数的有关概念、实数与数轴上点的关系、实数与数轴
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示 $-\sqrt{2}$ ，设点B所表示的数为m。

（1）求 $|m+1|+|m-1|$ 的值
（2）在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有|2c＋d|与 $\sqrt{d+4}$ 互为相反数，求2c－3d的平方根。
知识点：实数与数轴上点的关系、求一个数的平方根、实数与数轴、算术平方根的非负性、已知一个数的平方根，求这个数
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{5}$ 。

知识点：实数的有关概念、无理数、实数与构造图形
$\sqrt{2}$ 的相反数是（    ） 
 A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$  
 B. $-\sqrt{2}$  
 C. $-\frac{1}{\sqrt{2}}$  
 D. $\sqrt{2}$ 
知识点：实数与数轴、实数的性质、实数与数轴上点的关系
下列各数中，比3大比4小的无理数是（    ） 
 A. 3.14 
 B. $\frac{10}{3}$  
 C. $\sqrt{12}$  
 D. $\sqrt{17}$ 
知识点：无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算
下列无理数中，与3最接近的是（    ） 
 A. $\sqrt{6}$  
 B. $\sqrt{7}$  
 C. $\sqrt{10}$  
 D. $\sqrt{11}$ 
知识点：无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、平方法或立方法
下列判断中，正确的是（    ） 
 A. $0\lt\sqrt{3}\lt1$  
 B. $1\lt\sqrt{3}\lt2$  
 C. $2\lt\sqrt{3}\lt3$  
 D. $3\lt\sqrt{3}\lt4$ 
知识点：无理数整数部分的有关计算、平方法或立方法
$\sqrt{3}-2$ 的绝对值是________。
知识点：无理数的大小估算、作差比较法、平方法或立方法、无理数整数部分的有关计算
满足 $\sqrt{11}\geqslant k$ 的最大整数 $k$ 是________。
知识点：无理数整数部分的有关计算
计算
$(\sqrt{3})^2-|-2|+(-2)^0$ 
知识点：实数的运算
计算
 $(-1)^2+2^0-|-3|$  
知识点：实数的运算
计算
 $|3-2\sqrt{3}|+(\pi-2021)^0+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ 
知识点：实数的运算
计算
$|-2|-2021^0+\sqrt[3]{8}-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ 
知识点：实数的运算
估计5－ $\sqrt{3}$ 的值在（    ） 
 A. 2到3之间 
 B. 3到4之间 
 C. 4到5之间 
 D. 5到6之间
知识点：估算法、无理数整数部分的有关计算
下列数中，在 $\sqrt[3]{80}$ 与 $\sqrt[3]{200}$ 之间的是（    ） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. 6
知识点：平方法或立方法
若 $\sqrt[3]{3}$ 取1.442，计算 $\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{3}-98\sqrt[3]{3}$ 的结果是（    ） 
 A. $-100$  
 B. $-144.2$  
 C. $144.2$  
 D. $-0.01442$ 
知识点：实数的运算
若$a\lt\sqrt{7}-2\ltb,$ 且 $a,b$ 是两个连续的整数，则 $a+b$ 的值是________。
知识点：实数的运算、无理数整数部分的有关计算
请写出一个大于 $\sqrt{2}$ 且小于 $\sqrt{10}$ 的整数：________。
知识点：无理数整数部分的有关计算
已知x－1的平方根是 $\pm$ 2，2x+y+5的立方根是3，求x $^2$ +y $^2$ 的算术平方根。
知识点：实数的运算、求一个数的算术平方根、平方根和立方根的综合应用
已知实数a,b互为相反数，c,d互为倒数， $|x|=\sqrt{5}$ ，求 $x^2-(a+b-3cd)x-\sqrt{2 a+2 b}-\sqrt[3]{c d}$ 的值。
知识点：实数的运算、平方根和立方根的综合应用
我们用[a]表示不大于a的最大整数，a－[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]=2,2.13的小数部分为2.13一[2.13]=0.13.(1)[ $\sqrt{3}$ ]=________，[ $\sqrt{7}$ ]=________，π的小数部分=________；(2)已知10＋ $\sqrt{3}$ =x+y，其中x是整数；且0\lty\lt1，求x－y的相反数。
知识点：实数的运算、无理数整数部分的有关计算、实数的有关概念
如图,已知在△ABC中,AB=6,AC=9,AD⊥BC于点D,M为AD上任一点,则  $MC^2-MB^2$  等于(    )
 

 
  
 A. 9 
 B. 25 
 C. 36 
 D. 45
知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边向两侧作正方形,设AB=6,两个正方形的面积和,  $S_1+S_2=20,$  ,则△BCD的面积为____。

知识点：利用勾股定理求面积
如图,在 $\triangle ABC$ 中, $CE$ 平分 $\angle ACB$ , $CF$ 平分 $\angle ACD$ ,且 $EF\Vert BC$ 交 $AC$ 于点 $M$ ,若 $CM=3$ ,则  $CE^2+CF^2$  的值为____.
 
 
知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、角平分线的判定定理、根据等角对等边求边长
如图是一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积是___.

 
知识点：勾股树（数）问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理求面积
如图,在△ABC中，AB=25,BC=28,AC=17,求△ABC的面积.

知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,  $\angle ACB=90^{\circ},AB=5cm,BC=3cm,$  ,动点P从点A出发,沿射线AC以1cm/s的速度运动,设运动时间为ts.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值。

知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、遇点的位置不确定时，需分类讨论
用三张正方形纸片,按如图所示方式构成图案,若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形,则选取的三个正方形纸片的面积不可以是(    )
 
 A. 1,2,3 
 B. 2,2,4 
 C. 3,4,5 
 D. 2,3,5
知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,在 $\triangle ABC$ 中,  $AC=5,BC=12,\angle ACB=90^{\circ},CD$  是边 $AB$ 上的中线,则 $CD$ 的长度为(    )
 
 A. 6 
 B. 6.5 
 C. 7.5 
 D. 8
知识点：直角三角形斜边上的中线的性质、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
三角形的三边长分别为6,8,10,则它最长边上的高为(    ) 
 A. 6 
 B. 2.4 
 C. 8 
 D. 4.8
知识点：利用勾股定理求面积、用勾股定理解三角形
在Rt△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},AB=41,BC=40,$  则AC=____
 
知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
已知直角三角形两边的长 $x$ , $y$ 满足  $|x-3|+\left(y-4\right)^2=0,$  则第三边长的平方为____.
 
知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,  $\angle B=90^{\circ},AB=4,BC=3,AC$  的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为___。

知识点：线段垂直平分线的性质、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:EC=DB;
(2)设△AEC的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

 
知识点：“ASA”的应用、面积法
用四舍五人法将数3.14159精确到千分位的结果是(    ) 
 A. 3.1 
 B. 3.14 
 C. 3.142 
 D. 3.141
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五入法得到的近似数1.05万,下列说法中正确的是(    ) 
 A. 精确到十分位 
 B. 精确到0.01 
 C. 精确到百位 
 D. 精确到千分位
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法将130542精确到千位并用科学记数法表示,正确的是(    ) 
 A. 131000 
 B.   $0.131\times{10^6}$   
 C. $1.31\times{10^5}$     
 D.   $13.1\times{10^4}$  
知识点：四舍五入法求近似数
由四舍五人得到的近似数3.17精确到位____
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法将2.693精确到0.01,所得到的近似数是.____
知识点：四舍五入法求近似数
判断下列各数,哪些是准确数?哪些是近似数?
(1)八年级某班有43名学生,数学期末考试的平均成绩是82.5分;
(2)某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加;
(3)通过计算,直径为10 cm的圆的周长是31.4cm;
(4)检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌80000万个.
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法按括号里的要求对下列各数取近似数并用科学记数法表示.
(1)704.9(精确到个位);
知识点：四舍五入法求近似数
近似数  $5.0\times{10^2}$  精确到.____
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法按括号里的要求对下列各数取近似数并用科学记数法表示.
7049(精确到百位)：
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法按括号里的要求对下列各数取近似数并用科学记数法表示.
26074(精确到千位)
知识点：四舍五入法求近似数
用四舍五人法按括号里的要求对下列各数取近似数并用科学记数法表示.
6074000000(精确到亿位)，
知识点：四舍五入法求近似数
近似数  $4.5\times{10^2}$  精确到（  ） 
 A. 十分位 
 B. 个位 
 C. 十位 
 D. 百位
知识点：求近似数的精确度
下列四个数据中,是精确数的是(    ) 
 A. 小莉班上有45人 
 B. 某次地震中,伤亡大约1万人 
 C. 小明测得数学书的长度为21cm 
 D. 吐鲁番盆地低于海平面大约155 m
知识点：求近似数的精确度
若实数用四舍五人法取得近似数为1.6,则下列结论中正确的是（  ） 
 A. m=1.6 
 B. 1.55≤m\lt1.65 
 C. 1.5≤m\lt1.56 
 D. $1.5\leqslant m\lt1.56$ 
知识点：近似数推断取值范围
一个式子,用计算器计算星示的结果为1.5972583,将这个结果精确到0.01是.____
知识点：四舍五入法求近似数
据统计,我国某社交软件用户数量已突破&.87亿人,近似数8.87亿精确到位.____
知识点：求近似数的精确度
大量事实证明,治理垃圾污染刻不容缓,据统计,某市每天的生活垃圾达20.9万吨.如果每年按365天计算,试估计该市一年的生活垃圾大约为多少吨.(用科学记数法表示,精确到十万位)
知识点：四舍五入法求近似数
车间工人小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说:“不合格,作废!”小王不服气地说:“图纸要求精确到:2.60m,,一根为2.56m,另一根为2.62m,怎么不合格?”(1)图纸要求精确到2.60m,原轴的范围是多少?(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难?
知识点：求近似数的精确度、四舍五入法求近似数
如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为  $S_1,S_2,S_3,$  若  $S_1+S_2+S_3=18,$  则  $S_2$  的值是(    )    

  
 A. $\frac{ 1 2 } { 5 }$  
 B. $6$  
 C. $5$  
 D. $\frac{15}{4}$ 
知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,  $S_1,S_2,S_3$  分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积,其中  $S_1=10\pi,S_2=6\pi,$  ,则  $S_3=$  ____

 
知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长作正方形,面积分别记为  $S_1,S_2,S_2,$  若  $S_2+S_1-S_3=18,$  ,则阴影部分的面积为____

知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE,AF,则∠EAF=____

知识点：勾股定理与网格问题、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系、求角度
如图,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放,那么比此门高出1尺,如果斜放,那么恰好等于门的对角线的长.已知门宽4尺,试求出竹竿的长与门的高.

知识点：利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周牌算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图"(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)人们已经找到了400多种方法来证明勾股定理,请从下面两种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)

知识点：以弦图为背景的计算题、割补法、赵爽弦图
①如图3,图4,图5,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足  $S_1+S_2=S_3$  的有________个；

②如图6,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(阴影部分)的面积分别为  $S_1,S_2,$  直角三角形的面积为  $S_3,$  请判断  $S_1,S_2,S_3$  的关系并证明;

知识点：利用勾股定理求面积、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到如图7所示的“勾股树”.在如图8所示的“勾股树”的某部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3=∠α,则当∠α变化时,回答下列问题:(结果可用含m的式子表示) 

 
 
① $a^2+b^2+c^2+d^2=$  ___；
②b与c的大小关系为________a与d的关系为__________
知识点：勾股树（数）问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,在 $\triangle ABC$ 中,  $\angle BAC=90^{\circ},AC=16,BC=20,AD\bot BC,$  垂足为 $D$ ,则 $AD$ 的长为____

 
知识点：利用勾股定理求面积
如图,以 $Rt\triangle ABC$ 的两条直角边为边长作两个正方形,面积分别为9和16,则斜边 $AC$ =____
 

知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,在一次暴风灾害中,一棵大树在离地面 $2m$ 处折断,树的另一部分倒地后与地面成  $30^{\circ}$  角,那么这棵树折断之前的高度是____m

知识点：求大树折断前的高度
如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△BEF的面积为____  $cm^2.$  

知识点：勾股定理的逆定理、利用勾股定理求面积
如图, 在四边形 $ABCD$ 中,  $\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ},$  分别以四边形 $ABCD$ 的四条边为边长,向外作四个正方形,面积分别为  $S_1,S_2,S_3$  和  $S_4.$  若  $S_2=18,S_3=15,S_4=6,$  则  $S_1$  的值是____

知识点：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
如图,一个无盖的长方体盒子,底面是边长为2的正方形,高为4,一只蚂蚊从盒外的BC的中点M,沿长方体的表面爬到点  $D_1,$  蚂蚊爬行的最短距离是____

知识点：求最短路径、利用勾股定理证明求线段长度和平方关系
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是边BC的中点,M,N分别是AD,AB上的动点.则BM+MN的最小值是____。

知识点：解决动态问题、三线合一
若m,n为整数,且  $m\gtn\gt1,a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+$ $n^2.$  求证:a,b,c为勾股数.
知识点：勾股数、勾股定理的逆定理
下列图形中,是轴对称图形的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：轴对称图形
如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有(    ) 
 A. 2条 
 B. 4条 
 C. 6条 
 D. 8条
知识点：轴对称图形
如图是3×3的正方形网格,要在图中再涂黑一个小正方形,使得图中黑色的部分成为轴对称图形,这样的小正方形有几个？

知识点：轴对称图形
如图, 在长方形ABCD中, 长BC=a,,宽AB=b(b\lta\lt2b),, 四边形A BE H和四边形ECG F都是正方形.当a,b满足的等量关系是.____时,图形是一个轴对称图形
知识点：轴对称图形
如图是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形,并画出相应的对称轴.
知识点：轴对称图形
如图,有六个正六边形,在每个正六边形里有六个顶点,要求用两个顶点连线(即正六边形的对角线)将正六边形分成若干块,相邻的两块用黑白两色分开,最后形成轴对称图形,图中已画出三个,请你继续画出三个不同的轴对称图形.(至少用两条对角线)

知识点：轴对称图形
如图, 在四边形ABCD中, 对角线BD所在的直线是其对称轴, P是直线BD上的点,则下列结论中错误的是(    )
 
 A. AD=CD 
 B. ∠DAP=∠DCP 
 C. AP=BC 
 D. ∠ABP=∠CBP
知识点：轴对称的性质
如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,  $\angle A=50^{\circ},\angle C^{\prime}=30^{\circ},$  则∠B的度数为(    )    
 A.  $30^{\circ}$  
 B.  $50^{\circ}$  
 C.  $90^{\circ}$  
 D.  $100^{\circ}$ 
知识点：轴对称的性质