despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
在二次根式中有一种相辅相成的“对子”,如  $\left(\sqrt5+3\right)\left(\sqrt5-3\right)=-4,\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=$  1,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理数因式.于是,二次根式除法可以这样解:如  $\frac{ 1 } { \sqrt3 }=\frac{ 1 \times\sqrt3 } { \sqrt3 \times\sqrt3 }=\frac{ \sqrt3 } { 3 },\frac{ 2 + \sqrt3 } { 2 - \sqrt3 }=$    $\frac{ \left( 2 + \sqrt3 \right) \left( 2 + \sqrt3 \right) } { \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( 2 + \sqrt3 \right) }=7+4\sqrt3.$  像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫分母有理化.解决问题:  $\left(1\right)\frac{ \sqrt3 + 1 } { \sqrt3 - 1 }=$  ____ ， $\frac{ \sqrt3 - 1 } { \sqrt{ 3 + 1 } }=$  ____。
(2)计算  $\frac{ 2 } { 3 + \sqrt3 }+\frac{ 2 } { 5 \sqrt3 + 3 \sqrt5 }+\frac{ 2 } { 7 \sqrt5 + 5 \sqrt7 }+\cdots+$  $\frac{2}{99\sqrt{ 9 7 }+97\sqrt{ 9 9 }}$； 
 (3)设实数 $x、y$ 满足  $\left(x+\sqrt{ x ^ { 2 } + 2 0 2 1 }\right)\left(y+\right.$ $\sqrt{ y ^ { 2 } + 2 0 2 1 })=2021,$  求 $x+y+2021$ 的值.
知识点：二次根式的混合运算
如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在边AD的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则CF的长为
 
 A.  $\frac{ 1 0 } { 3 }$  
 B. 4 
 C. 4.5 
 D. 5
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在矩形ABCD中,E是边BC的中点,将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长AF交CD于点G.已知CG=2,DG=1,则BC的长是
 
 A.  $3\sqrt2$  
 B.  $2\sqrt6$  
 C.  $2\sqrt5$  
 D.  $2\sqrt3$ 
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,则折痕EF的长是
 
 A.  $\frac{ 2 5 } { 4 }$  
 B.  $2\sqrt{ 1 0 }$  
 C.  $\frac{ 1 5 } { 2 }$  
 D.  $2\sqrt{ 1 3 }$ 
知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在$▱ABCD$中,点E在AD上,以BE为折痕,把△ABE向上翻折,点A正好落在边CD上的点F处.若△FDE的周长为6, △FCB的周长为20,则CF的长为____

知识点：平行四边形的判定与性质
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,E是AB的中点,F是边AD上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,则A'C长的最小值是____

知识点：平行四边形的判定与性质
如图, 在边长为1的正方形ABCD中, 动点E,F分别在边AB,CD上.将正方形ABCD沿直线EF折叠, 使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x,
(1)当  $AM=\frac{ 1 } { 3 }$  时,求x的值.
(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出该定值.

知识点：平行四边形的判定与性质
先化简,再求值  $\left(\frac{ 1 } { a - \sqrt{ a b } }+\frac{ 1 } { \sqrt{ a b } + b }\right)\div$    $\frac{ \sqrt{ a b } } { a - b },$  其中  $a=\sqrt3+1,b=\sqrt3-1.$ 
知识点：二次根式的混合运算
为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取n名学生的体育成绩进行分段(A:30分；B:29~25分；C:24~20分；D:19~10分；E:9~0分)，统计图如图所示：

根据上面提供的信息，回答下列问题：(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______(填写“普查”或“抽样调查”).(2)n=______,a=_____,b=______.(3)补全频数分布直方图.
(4)若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度数是_____.成绩在25分以上（含25分）定为优秀，那么该市今年20000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？
 
知识点：调查收集数据的过程与方法、频数（率）分布直方图、统计表、条形统计图
如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴、y轴的正半轴上,连接AC,且AC=$\sqrt5,OA=2CO.$
(1)求直线AC的函数表达式;
(2)将纸片O ABC折叠,使点A与点C重合(折痕为EF),求折叠后纸片重叠部分的面积;
(3)若过定点M的任意一条直线总能把矩形O ABC分为面积相等的两部分, 则点M的坐标为____

知识点：平行四边形的判定与性质
填空：
$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\div\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)\cdot ab=$ ________
知识点：分式的混合运算
填空：
(________ $-\frac{3}{a-1})\cdot\frac{2 a-2}{a+2}=2a-4$ 
知识点：分式的混合运算
一块麦田有a公顷，甲收割机单独收割完这块麦田用b小时，乙收割机单独收割这块麦田，结果比甲收割机多用1小时收割完，这两台收割机同时收割这块麦田需要________小时完成.
知识点：分式的混合运算
【问题背景】在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点P在边AB上,点Q在边BC上,将纸片沿PQ折叠,使顶点B落在点E处.
(1)【初步认识】如图1,折痕的端点P与点A重合.
①当  $\angle CQE=50^{\circ}$  时,∠AQB=____°;
②若点E恰好在线段QD上,则BQ的长为____;
(2)【深入思考】点E恰好落在边AD上.
①请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出折痕PQ(不写作法,保留作图痕迹);
②如图3,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF,请根据题意,补全图形, 并证明四边形PBFE是菱形;
③在②的条件下,当AE=3时,菱形PB FE的边长为, BQ的长____为。
(3)【拓展提升】如图4,DQ⊥PQ,连接DE,,若△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形,则BQ的长为____

知识点：平行四边形的判定与性质
先化简，再求值： $\left(\frac{m^{2}-1}{m^{2}-2 m+1}-\frac{1}{1-m}\right)\div\frac{2}{m^{2}-m}$ ,其中m满足m2+2m-6=0.
知识点：分式的混合运算
解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}3x-6\leq x \\ \frac{4 x+5}{10}\lt\frac{x+1}{2}\end{array}\right.$ 并求出它的整数解，再化简代数式 $\frac{x+3}{x^{2}-2 x+1}\cdot\left(\frac{x}{x+3}-\frac{x-3}{x^{2}-9}\right)$ ，从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值.
知识点：分式的混合运算
如图，在平面直角坐标系中，点A(3，5)与点C关于原点O对称，分别过点A、C作y轴的平行线，与反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(0\ltk\lt15\right)$  的图像交于点B、D，连接AD、BC，AD与x轴交于点E(－2，0)。
（1）求直线AD对应的函数表达式；
（2）求k的值；
（3）直接写出阴影部分图形的面积之和。

知识点：反比例函数的性质
参照学习函数的过程与方法，探究函数  $y=\frac{ x - 2 } { x }\left(x\ne0\right)$  的图像与性质。因  $y=\frac{ x - 2 } { x }=1-\frac{ 2 } { x },$  即  $y=-\frac{ 2 } { x }+1,$  ,所以我们对比函数  $y=-\frac{ 2 } { x }$  来探究列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以  $y=\frac{ x - 2 } { x }$  相应的函数值为纵坐标，描出相应的点,如图所示。
（1）请把y轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来。
（2）观察图像并分析表格,回答下列问题：
        ①当x\lt0时，y随x的增大而________；(填“增大”或“减小”)    
        ② $y=\frac{x-2}{x}$ 的图像是由  $y=-\frac{ 2 } { x }$  的图像向________平移个单位而得________到的;
        ③图像关于点________中心对称。(填点的坐标)
（3）设  $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$  是函数  $y=\frac{ x - 2 } { x }$  图像上的两点,且  $x_1+x_2=0,$  试求  $y_1+y_2+$  3的值。

知识点：反比例函数的性质
如图,在平面直角坐标系中,  $▱OABC$的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限,  $\angle BAO=60^{\circ},BC$  交y轴于点D,DB:DC=3：1.若函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0,x\gt0\right)$  的图像经过点C,则k的值为
 
 A.  $A.\frac{ \sqrt3 } { 3 }$  
 B.  $B.\frac{ \sqrt3 } { 2 }$  
 C.  $C.\frac{ 2 \sqrt3 } { 3 }$  
 D.  $D.\sqrt3$ 
知识点：反比例函数的应用
如图, 在平面直角坐标系中, 正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0,x\gt0\right)$  的图像经过正方形ABCD对角线的交点E.若点A(2, 0) ,D(0,4),则k的值为
 
 A. 6 
 B. 8 
 C. 9 
 D. 12
知识点：反比例函数的应用
如图,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像经过  $▱OABC$  的顶点C和对角线的交点E,顶点A在x轴上.若 $▱OABC$的面积为12,则k的值为
 
 A. 8 
 B. 6 
 C. 4 
 D. 2
知识点：反比例函数的应用
如图,在菱形ABOC中,  $\angle A=60^{\circ},$  顶点C在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上.若将菱形ABOC向下平移2个单位长度,点A恰好落在反比例函数的图像上,则反比例函数的表达式为
       
 A. $y=-\frac{ 3 \sqrt3 } { x }$   
 B.  $y=-\frac{ \sqrt3 } { x }$  
 C.  $y=-\frac{ 3 } { x }$  
 D.  $y=\frac{ \sqrt3 } { x }$ 
知识点：反比例函数的应用
如图, 在平面直角坐标系中, 等边三角形AOB的边长为6,点C在边OA上,点D在边AB上,OC=3BD.若反比例函数,  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right)$  的图像恰好经过点C和点D,则k的值为
 
 A.  $\frac{ 8 1 \sqrt3 } { 2 5 }$  
 B.  $\frac{ 8 1 \sqrt3 } { 1 6 }$  
 C.  $\frac{ 8 1 \sqrt3 } { 5 }$  
 D.  $\frac{ 8 1 \sqrt3 } { 4 }$ 
知识点：反比例函数系数k的几何意义
如图,点A在反比例函数  $y=\frac{ 2 } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像上,以A为一边作等腰直角三角形OAB, 其中,  $\angle OAB=90^{\circ},AO=$  AB,则线段OB长的最小值是
 
 A. 1 
 B.   $\sqrt2$   
 C.   $2\sqrt2$   
 D. 4
知识点：反比例函数的应用
如图,平行于y轴的直线分别交反比例函数  $y=\frac{ k _ { 1 } } { x }$  与  $y=\frac{ k _ { 2 } } { x }$  的图像于点A,B,C是y轴上的点,则△ABC的面积为____

知识点：反比例函数的应用
下列函数;   $①y=\frac{x}{2}-2;②y=\frac{2}{x};③y=\frac{2}{x^{2}};④y=\frac{2}{x+1}⑤y=x^{-1}$   .其中y是x的反比例函数的有(    ) 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：反比例函数
下列关系中,两个变量之间为反比例函数关系的是(    ) 
 A. 圆的周长1与圆的半径r 
 B. 在等腰三角形中,顶角y与底角x之间的关系 
 C. 正方形的面积为S,边长为 
 D. 菱形的面积为20,对角线的长分别为x、y
知识点：反比例函数
如果以  $12m^3/h$  的速度向水箱注水,5h可以注满.为了赶时间,现增加注水管,使注水速度达到  $Q\left(m^3/h\right),$  那么此时注满水箱所需要的时间t(h)与  $Q\left(m^3/h\right)$  之间的函数关系为(    )     
 A. $t=\frac{60}{Q}$  
 B. t=60Q 
 C. $t=12-\frac{60}{Q}$  
 D. $t=12+\frac{60}{Q}$ 
知识点：反比例函数
反比例函数  $y=-\frac{ 1 } { 8 x }$  中,反比例系数k的值____为.
知识点：反比例函数
若函数  $y=\frac{ m \left( m + 1 \right) } { x }$  是反比例函数,则m必须满足____
知识点：反比例函数
已知一个长方体的体积是  $100m^3,$  它的长是ym,宽是5m,高是xm,则y与x的函数表达式是________,自变量x的取值范围是.________
知识点：反比例函数
已知y+1与x成反比例函数关系,且x=4时,y=2.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x=-2时,求y的值.
知识点：反比例函数
写出下列图中的函数关系式,并判断是不是反比例函数关系.
 

知识点：反比例函数
如图,B为反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\lt0,x\lt0\right)$  图像上的一点,A(2k,0)为x轴负半轴上一点,连接AB,将线段AB绕点A逆时针旋转$90^{\circ},$  点B的对应点为C.若点C恰好也在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上,且点C的横坐标是点A横坐标的两倍,则k=____

知识点：反比例函数的应用
如图,4是一次函数  $y=\frac{ 1 } { 3 }x\left(x\ge0\right)$  图像上一点,过点A作x轴的垂线  $l$ ,B是 $l$ 上一点(点B在点A上方),在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC, 反比例函数y=  $\frac{ k } { x }\left(x\gt0\right)$  的图像过点B.C.若△OAB的面积为8,则△ABC的面积是____

知识点：反比例函数的应用
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点C,A分别在x轴和y轴的正半轴上,D为AB的中点.已知实数k≠0,一次函数y=-3x+k的图像经过点C,D,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(x\gt\right.$  0)的图像经过点B,求k的值.

知识点：反比例函数的应用
如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的直角边AC在x轴上,  $\angle ACB=90^{\circ},AC=$  1,反比例函数,  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  的图像经过边BC的中点D(3,1).
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)若△ABC△EFG与成中心对称,且△EFG的边FG在y轴正半轴上,点E在这个函数的图像上.
①求OF的长;
②连接AF, BE, 求证:四边形ABEF是正方形.

知识点：反比例函数的应用
已知函数 $y=(4-2a)x^{a^2-5}$  是反比例函数,则 a 的值为____
知识点：反比例函数
顺次连接一个平行四边形的各边中点所得四边形的形状是(    ) 
 A. 平行四边形 
 B. 矩形 
 C. 菱形 
 D. 正方形
知识点：平面镶嵌（密铺）
若四边形的对角线互相垂直,那么顺次连接该四边形中点所得的四边形一定是(    ) 
 A. 矩形 
 B. 菱形 
 C. 正方形 
 D. 以上都不对
知识点：平面镶嵌（密铺）
若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是(    ) 
 A. 矩形 
 B. 对角线相等的四边形 
 C. 菱形 
 D. 对角线互相垂直的四边形
知识点：平面镶嵌（密铺）
如图,四边形ABCD、A EFM都是正方形,连接BE、DM
(1)判断线段DM、BE的关系并证明.
(2)连接DE、EM、MB、BD,顺次连接各边中点G、H、Q、N,试判断四边形GHQ N的形状,并说明理由.
知识点：平面镶嵌（密铺）
我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1) 如图①, 四边形ABCD中, 点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图②,, 点P是四边形ABCD内一点, 且满足PA=PB, PC=PD, ∠APB=∠CPD,,点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点, 猜想中点四边形EFGH的形状, 并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=  $90^{\circ},$  ,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.

知识点：平面镶嵌（密铺）
如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x的图像与反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  的图像在第一象限内交于点P(1,p).点M的横坐标为m(0\ltm\lt1),且是反比例函数图像上的一点,MN∥x轴交一次函数y=2x的图像于点N.
(1)求k的值.
(2)是否存在点M,使得△MNP是以MN为底的等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)以MN为边长,在MN的下方作正方形MN AB, 边NA与反比例函数的图像是否有交点?若有,求出交点坐标;若没有,请说明理由.

知识点：反比例函数的应用
如图,在平面直角坐标系中有  $Rt\triangle ABC,\angle BAC=90^{\circ},AB=AC,$  点A(-3,0),B(0,1),C(m,n).
(1)直接写出点C的坐标.
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位长度,若B,C两点的对应点B',C'正好落在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  在第一象限内的图像上,求t,k的值.
(3)在(2)的条件下,问是否存在x轴上的点M和反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  图像上的点N,使得以B',C',M,N为顶点的四边形为平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点M和点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

知识点：反比例函数的应用
下列四个表格表示的变量关系中,变量y是x的反比例函数的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数
用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是  $P=T^2R,$  ,下面说法正确的是(    ) 
 A. P为定值,I与R成反比例 
 B. $I^2$P为定值,    与R成反比例 
 C. P为定值,与R成正比例 
 D. P为定值,  $I2$  与R成正比例
知识点：反比例函数
若y与-3x成反比例,x与 $\frac{4}{z}$ 成正比例,则y是z的(    ) 
 A. 正比例函数 
 B. 反比例函数 
 C. 一次函数 
 D. 不能确定
知识点：反比例函数
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠杆原理”,即:阻力x阻力臂=动力x动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m,则动力F(单位:N)关于动力臂I(单位:m)的函数表达式为____
知识点：反比例函数
将 $x=\frac{ 2 } { 3 }$  代入反比例函数  $y=-\frac{ 1 } { x }$  中,所得函数值记为  $y_1,$  ,又将  $x=y_1+1$  代入函数中,所得函数值记为  $y_2,$  ,再将  $x=y_2+$  1代入函数中,所得函数值记为  $y_3,$  …,如此继续下去,则  $y_{2023}=$  ____
知识点：反比例函数
已知函数  $y=\left(5m-3\right)x^{2-n}+\left(n+m\right).$  (1)当m、n为何值时,为一次函数?(2)当m、n为何值时,为正比例函数?(3)当n、n为何值时,为反比例函数?
知识点：反比例函数
已知  $y=y_1-y_2,$    $y_1$  与x成正比例  $,y_2$  与x+3成反比例,当x=0时,y=-2;当x=3时,y=2.求y与x的函数表达式.
知识点：反比例函数
$C.k_1\ltk_2$定义:[a,b]为反比例函数  $y=\frac{ a } { b x }\left(ab\ne0,a,b\right.$  为实数)的关联数”反比例函数  $y=\frac{ k _ { 1 } } { x }$  的“关联数”为[m,m+2],,反比例函数  $y=\frac{ k _ { 2 } } { x }$  的“关联数”为[m+1,m+3],若m\gt0,则  $k_1$  与  $k_2$  的大小关系为(    ) 
 A. $k_1=k_2$ 
 B. $k_1\gtk_2$  
 C. $k_1\ltk_2$   
 D. 无法比较
知识点：反比例函数
顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫做中点四边形.现有一个对角线分别为10和24的菱形,它的中点四边形的两条对角线长的和为(    ) 
 A. 20 
 B. 26 
 C. 34 
 D. 48
知识点：平行四边形的判定与性质
如图, 已知E、F、G、H分别为正方形ABCD各边上的动点,且始终保持AE=BF=CG=DH,点M、N、P、Q分别是EH、EF、FG、HG的中点.当AE从小于BE到大于BE的变化过程中,若正方形ABCD的周长始终保持不变, 则四边形MN PQ的面积变化情况是(    ) 
 A. 一直增大 
 B. 一直减小 
 C. 先增大后减小 
 D. 先减小后增大
知识点：平行四边形的判定与性质
如图, 四边形ABCD中, 对角线AC、BD交于点0,且AC⊥BD,AC=BD,8 cm2,EF、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于——----
知识点：平行四边形的判定与性质
如图, 在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求  $EG^2+$    $FH^2$  的值.
知识点：平行四边形的判定与性质
如图, 在四边形ABCD中, AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,若在AB上取一点E,连接DE、CE,恰好△A DE和△BCE都是等边三角形,当AC=8时, 求四边形PQ MN的周长.
知识点：平行四边形的判定与性质
下列是关于x的分式方程的是（    ） 
 A. $\frac{x+2}{4}-3=\frac{3+x}{6}$  
 B. $\frac{x-7}{a+7}=3-x$  
 C. $\frac{x}{a}-\frac{x}{b}=1$  
 D. $\frac{2 x}{x^{2}+2}=5$ 
知识点：分式方程的解
如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC,交AC于点E、G.
(1)求证：BE∥DG,BE=DG;(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF=6,求△ABC的面积.
知识点：平行四边形的判定与性质
解分式方程 $\frac{1-x}{x-2}-\frac{1}{2-x}=-2$ 时，去分母变形正确的是（    ） 
 A. -1+x-1=-2(x-2) 
 B. 1-x+1=2(x-2) 
 C. -1+x-1=2(2-x) 
 D. 1-x+1=-2(x-2)
知识点：分式方程的解
方程 $\frac{2}{x-3}=1$  的解是________.
知识点：分式方程的解
分式方程 $\frac{3}{2 x}=\frac{2}{x+1}$ 的解是________.
知识点：分式方程的解
若关于x的分式方程 $\frac{2}{x-a}-\frac{3}{x}=0$  的解为x=3, 则a的值为________.
知识点：分式方程的解
解分式方程：
$\frac{x}{x+1}+\frac{3}{x}=1$ 
知识点：分式方程的解
解分式方程：
$\frac{x}{x+1}=\frac{2 x}{3 x+3}+1$ 
知识点：分式方程的解
解分式方程：
$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^{2}-4 x+4}$ 
知识点：分式方程的解
某同学在解关于x的分式方程 $\frac{x-3}{x-2}+6=\frac{m}{x-2}$ , 去分母时, 由于常数 6 漏乘了公分母, 最后解得 x=-1, 试求m的值, 并求出该分式方程正确的解.
知识点：分式方程的解
如图, 已知矩形ABCD的边长分别为a、b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点, 得到四边形  $A_1B_1C_1D_1;$  第二次,顺次连接四边形  $A_1B_1C_1D_1$  各边的中点,得到四边形  $A_2B_2C_2D_2$  ...如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形  $A_nB_nC_nD_n$  的面积是.____
知识点：平行四边形的判定与性质
若分式 $\frac{x}{x-5}-2$ 与 $\frac{x+1}{x}$ 的值 互为相反数, 则x=（    ） 
 A. $\frac{6}{5}$  
 B. $\frac{5}{6}$  
 C. $\frac{3}{2}$  
 D. $\frac{2}{3}$ 
知识点：分式方程的解
对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号min{a,b}表示a、b中的较小的值，如min{2,4}=2,按照这个规定，方程 $\min \left\{\frac{5}{x},\frac{2}{x}\right\}=\frac{6}{x}-2$ 的解为x=（    ） 
 A. $\frac{1}{2}$  
 B. 2 
 C. $\frac{1}{2}$ 或2 
 D. 1或-2
知识点：分式方程的解
如图,已知在△ABC中,  $\angle ABC=90^{\circ},$  AB=8,BC=6.将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD,且∠DAC=∠BAC,,连接CD,则△A CD的面积为
 
 A. 24 
 B. 30 
 C. 36 
 D. 40
知识点：图形的旋转
如图,在Rt△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ},$  将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM.若  $BC=4,\angle BAC=30^{\circ},$  ,则线段PM长的最大值是
 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 6 
 D. 无法确定
知识点：图形的旋转
如图, 以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于E,F两点,则线段EF长度的最小值为
 
 A. 2 
 B. 4 
 C.   $\sqrt2$   
 D.   $2\sqrt2$  
知识点：图形的旋转
如图, 菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将△BOC绕着点C旋转  $180^{\circ}$  得到△B'O'C.若AC=4,AB'=10,则菱形ABCD的边长是____

知识点：图形的旋转
如图, 已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值为____

知识点：图形的对称
如图,在△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ},AC=3,BC=4.$  将△ABC绕点C顺时针旋转  $90^{\circ}$  得到△A'B'C.若P为边AB上一动点,旋转后点P的对应点为P',则线段PP'长度的取值范围是____

知识点：图形的旋转
如图, 在边长为2的等边三角形ABC中, D为BC的中点,E是边AC上一点,则BE+DE的最小值为____

知识点：三角形
某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为  $18^{\circ}C$  的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度  $y\left(^{\circ}C\right)$  随时间x(h)变化的函数图像,其中BC段是双曲线  $y=\frac{ k } { x }\left(k\ne0\right)$  )的一部分,则当x=16时,大棚内的温度约为(    )    
            
 A.  $18^{\circ}C$  
 B.  $15.5^{\circ}C$  
 C.  $13.5^{\circ}C$  
 D.  $12^{\circ}C$ 
知识点：反比例函数的应用
春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷酒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中, 先经过5min的集中药物喷洒, 再封闭宿舍10 min, 然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量  $y\left(mg/m^3\right)$  与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系是:在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例函数,如图所示.下面四个选项中错误的是(    )
 
 A. 经过5 min集中喷洒药物, 室内空气中的含药量最高达到  $10mg/m^3$   
 B. 室内空气中的含药量不低于  $8mg/m^3$  的持续时间达到了11 min 
 C. 当室内空气中的含药量不低于  $5mg/m^3$  且持续时间不低于;35min时,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效 
 D. 当室内空气中的含药量低于  $2mg/m^3$  时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到  $2mg/m^3$  开始, 需经过59min后, 学生才能进入室内
知识点：反比例函数的应用
丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验,v、t的一组对应值如下表:

(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式.(2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由.(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围
知识点：反比例函数的应用
已知分式 $A=\left(a+1-\frac{3}{a-1}\right)\div\frac{a^{2}-4 a+4}{a-1}$ .(1)化简这个分式.(2)当a\gt2时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上4后得到分式B,问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3)若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和.
知识点：分式的混合运算
计算  $\sqrt{ 1 8 }\times\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }$  的结果是(    ) 
 A. 6 
 B.   $\pm\sqrt6$   
 C. 3 
 D.   $\sqrt3$  
知识点：二次根式的乘除法
化简  $\sqrt{ 1 2 }$  的结果是(    )   
 A.  $2\sqrt3$  
 B. 3 
 C.  $2\sqrt2$  
 D. 2
知识点：二次根式的乘除法
下列变形正确的是(    )                 
 A.  $\sqrt{ \left( - 4 \right) \times\left( - 9 \right) }=\sqrt{ \left( - 4 \right) }\times\sqrt{ \left( - 9 \right) }$  
 B.  $\sqrt{ 1 6 \frac{ 1 } { 4 } }=\sqrt{ 1 6 }\times\sqrt{ \frac{ 1 } { 4 } }=4\times\frac{ 1 } { 2 }=2$  
 C.  $\sqrt{ 1 8 a ^ { 2 } }=\sqrt{ 9 a ^ { 2 } }\times\sqrt2=3\sqrt2a\left(a\ge0\right)$  
 D.  $\sqrt{ 2 5 ^ { 2 } - 2 4 ^ { 2 } }=25-24=1$ 
知识点：二次根式的乘除法
化简:  $\left(1\right)\sqrt{ 4 5 }=$  ____;  
$\left(2\right)\sqrt{ 1 2 1 \times0 . 8 1 }=$ ____；
$\left(3\right)\sqrt{ 1 2 \times2 7 }=$  .____;
知识点：二次根式的乘除法
计算:(1) $\sqrt{ 2 m }\cdot\sqrt{ 3 m }\left(m\ge0\right)$ =____;  
$\left(2\right)\sqrt{ - 2 a }\cdot\sqrt{ - 8 a }\left(a\lt0\right)=$  ____.
知识点：二次根式的乘除法
化简:  $\sqrt{ 2 0 0 };$      
知识点：二次根式的乘除法
化简：  $\sqrt{ 1 2 a ^ { 2 } b ^ { 3 } }\left(a\ge0,b\ge0\right);$  
知识点：二次根式的乘除法
化简：  $\sqrt{ 1 6 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } y }\left(x\ge0,y\ge0\right)$  
知识点：二次根式的乘除法
比较下面各组中两个数的大小：
$4\sqrt2$  与  $3\sqrt3;$ 
知识点：二次根式的乘除法
【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
(1)完成上表；(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.（均价=总金额÷总质量）【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价,比较的大小，并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在水流速度为0时，船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p时(p\ltv),船顺水航行速度为(v+p),逆水航行速度为(v-p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由.
知识点：分式的混合运算
在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和直角三角形纸片DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活动：活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE,BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移。【思考】(1)图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由，【发现】(2)当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3),求AF的长活动二：在图3中，取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O按顺时针方向旋转α°(0≤a≤90),连接OB,OE(如图4).【探究】(3)当EF平分∠AEO时，探究OF与BD之间的数量关系，并说明理由

知识点：三角形
化简： $\sqrt{ 0 . 0 0 1 \times1 . 6 };$ 
知识点：二次根式的乘除法
比较下面各组中两个数的大小：
$-2\sqrt3$  与  $-3\sqrt2$  
知识点：二次根式的乘除法
下列二次根式是最简二次根式的是 
 A.  $\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }$  
 B.  $\sqrt{ \frac{ 1 2 } { 7 } }$  
 C. $\sqrt8$   
 D.  $\sqrt3$ 
知识点：二次根式的应用
如图,若x为正整数,则表示  $\frac{ \left( x + 2 \right) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 }-$    $\frac{ 1 } { x + 1 }$  的值的点落在
 
 A. 第①段 
 B. 第②段 
 C. 第③段 
 D. 第④段
知识点：分式
已知k,m,n均为整数,若  $\sqrt{ 1 3 5 }=k\sqrt{ 1 5 },$    $\sqrt{450}=15\sqrt{m},\sqrt{180}=6\sqrt{n},$  ,则k,m,n的大小关系是 
 A. k\ltm=n 
 B. m=n\ltk 
 C. m\ltn\ltk 
 D. m\ltk\ltn
知识点：二次根式
分式方程  $\frac{ x - 5 } { x - 1 }+\frac{ 2 } { x }=1$  的解为 
 A. x=-1 
 B. x=1 
 C. x=2 
 D. x=-2
知识点：分式
甲、乙两人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,则下列方程正确的是 
 A.  $\frac{ 1 2 0 } { x }=\frac{ 1 5 0 } { x - 8 }$  
 B.  $\frac{ 1 2 0 } { x + 8 }=\frac{ 1 5 0 } { x }$  
 C.  $\frac{ 1 2 0 } { x - 8 }=\frac{ 1 5 0 } { x }$  
 D.  $\frac{ 1 2 0 } { x }=\frac{ 1 5 0 } { x + 8 }$ 
知识点：分式
下列计算错误的是 
 A.  $\frac{ 0 . 2 a + b } { 0 . 7 a - b }=\frac{ 2 a + b } { 7 a - b }$  
 B.  $\frac{ x ^ { 3 } y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 3 } }=\frac{ x } { y }$  
 C.  $\frac{ a - b } { b - a }=-1$  
 D.  $\frac{ 1 } { c }+\frac{ 2 } { c }=\frac{ 3 } { c }$ 
知识点：分式
当x=____时,分式  $\frac{ 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x }$  的值为0.
知识点：分式
计算  $(\sqrt{5}-2)^{2022}(\sqrt{5}+2)^{2022}$   的结果是____
知识点：二次根式
已知关于x的方程  $\frac{ 2 x + a } { x - 1 }=1$ 的解是正数,则a的取值范围是____.
知识点：分式
为了比较  $\sqrt{ 1 0 }+1$  与  $\sqrt{ 1 7 }$  的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中  $\angle C=90^{\circ},BC=4,$  点D在BC上,且BD=AC=1.通过计算可得  $\sqrt{ 1 0 }+1$  ____  $\sqrt{ 1 7 }\left(\right.$  填“\gt”“\lt”或“=”).

知识点：二次根式
无论x取何实数,代数式  $\sqrt{ x ^ { 2 } - 6 x + m }$  都有意义,则m的取值范围是____
知识点：二次根式
比较大小:  $\frac{ \sqrt5 - 1 } { 2 }$  ____  $\frac{ 5 } { 8 }$  (填“\gt\lt”或“=”).
知识点：分式
已知x,y,z满足  $\frac{ x y } { x + y }=-2,\frac{ y z } { y + z }=\frac{ 4 } { 3 },$    $\frac{ z x } { x + x }=-\frac{ 4 } { 3 },$   则 $\frac{ x y z } { x y + y z + z x }$  的值为____
知识点：分式
观察分析下列方程: ① $x+\frac{2}{x}=3$ ；② $x+\frac{6}{x}=5$ ；③ $x+\frac{12}{x}=7$ ；… 根据它们所蕴含的规律可知,关于x的方程,  $x+\frac{ n ^ { 2 } + n } { x - 3 }=2n+$  4(n为正整数)的根是____________.
知识点：分式
已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示.化简:  $\sqrt{ a ^ { 2 } }+|a-c|+\sqrt{ \left( b - c \right) ^ { 2 } }-|b|.$  

知识点：二次根式
先化简,再求值:  $\frac{ a - 4 } { a }\div\left(\frac{ a + 2 } { a ^ { 2 } - 2 a }-\right.$    $\frac{ a - 1 } { a ^ { 2 } - 4 a + 4 }),$  ,其中a的值从不等式组 $\left\{\begin{array}{l}-a\leqslant0, \\ 2a-1\lt10\end{array}\right.$ 的整数解中选取.
知识点：分式
求代数式a+  $\sqrt{ a ^ { 2 } - 2 a + 1 }$  的值,其中a=-2021.如图是小明和小芳的解答过程
(1)________的解法是错误的;
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____
(3)求代数式  $a+2\sqrt{ a ^ { 2 } - 1 2 a + 3 6 }$  的值,其中a=-2022.
知识点：二次根式
我们要学会用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界.例如生活经验:
(1)往一杯糖水中再加人一点糖,糖水就变更甜了.这一生活经验可以转译成数学问题:将糖放入水中,得到bg糖水,此时糖水的含糖量我们可以记为  $\frac{ a } { b }\left(b\gta\gt0\right),$  ,再往杯中加人mg(m\gt0)糖,此时糖水的含糖量就变大了(糖完全溶于水中).
①用数学关系式可以表示为________;
 
    $B.\frac{ a + m } { b + m }=\frac{ a } { b }$    $C.\frac{ a + m } { b + m }\lt\frac{ a } { b }$  
②请证明你选择的数学关系式是正确的.
 
(2)再如:矩形的面积为S(S为定值),设矩形的长为x,则宽为  $\frac{ S } { x },$  周长为  $2\left(x+\frac{ S } { x }\right),$  当矩形为正方形时,周长为  $4\sqrt{S}$，  有“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”这一结论.
①用数学关系式可以表示为____ 
$A.2\left(x+\frac{ S } { x }\right)\ge4\sqrt5$   
 $B.2\left(x+\frac{ S } { x }\right)=4\sqrt5$  
  $C.2\left(x+\frac{ 5 } { x }\right)\le4\sqrt5$  
②请证明你选择的数学关系式是正确的：

知识点：分式、二次根式
两个反比例函数  $y=\frac{ 3 } { x },y=\frac{ 6 } { x }$  在第一象限内的图像如图所示,点  $P_1,P_2,P_3,\cdots$    $,P_{2022}$  在反比例函数  $y=\frac{ 6 } { x }$  的图像上,它们的横坐标分别是  $x_1,$    $x_2,x_3,$     … $x_{2022},$  纵坐标分别是1,3,5,…,共2022个连续奇数,过点  $P_1,P_2,P_3,$  …,  $P_{2022}$  分别作y轴的平行线,与反比例函数  $y=\frac{ 3 } { x }$  的图像交点依次是  $Q_1\left(x_1,y_1\right),$    $Q_2\left(x_2,y_2\right),Q_3\left(x_3,y_3\right),\cdots,Q_{2021}\left(x_{2022},\right.$    ${y_{2002}}),$  ,则  $y_2\cos 2$  等于
 
 A. 2021.5 
 B. 2020.5 
 C. 2021 
 D. 4043
知识点：反比例函数
在平面直角坐标系x Oy中,正方形  $A_1B_1C_1D_1、$  正方形  $D_1E_1E_2B_2,$  、正方形  $A_2B_2C_2D_2,$  、正方形  $D_2E_3E_4B_3,$  、正方形  $A_3B_3C_3D_3$  .…按如图所示的方式放置,其中点  $B_1$  在y轴上,点  $C_1,E_1,E_2,C_2,E_3,E_4,C_3,$  …在轴上,已知正方形  $A_1B_1C_1D_1$  的边长为  $1,\angle{B_1}{C_1}O=$ 60°， $B_1C_1//B_2C_2//B_3C_3$  …则正方形  $A_{2022}B_{2022}C_{2022}D_{2022}$  的边长是
 
 A. $\left(\frac{ 1 } { 2 }\right)^{2021}$   
 B.  $\left(\frac{ 1 } { 2 }\right)^{2021}$  
 C.  $\left(\frac{ \sqrt3 } { 3 }\right)^{2022}$  
 D.  $\left(\frac{ \sqrt3 } { 3 }\right)^{2011}$ 
知识点：平面直角坐标系
点(-1,4)在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上,则下列各点在此函数图像上的是(    ) 
 A. (4,-1) 
 B.   $\left(-\frac{ 1 } { 4 },1\right)$   
 C. (-4,-1) 
 D.   $\left(\frac{ 1 } { 4 },2\right)$  
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
如图,在平面直角坐标系中有P、Q、M、N四个点,其中恰有三点在反比例函数  $y=\frac{ k } { x }\left(k\gt0\right)$  的图像上.根据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像上的点是(    )
 
 
 A. 点P 
 B. 点Q 
 C. 点M 
 D. 点N
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
在下列选项中,反比例函数  $y=\frac{ k ^ { 2 } + 1 } { x }$  的图像大致是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
若点A(a,b)在反比例函数;  $y=\frac{ - 5 } { x }$  的图像上,则代数式ab-4的值为________.
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
反比例函数  $y=\frac{ k - 2 } { x }$  的图像如图所示,则整数的值可能是.(写出满足条件的一个k____值即可)
 

知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图像上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数  $y=\frac{ 1 } { 2 }x$  的图像上,则这个反比例函数的表达式为____
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像经过点A(3,-2).(1)求k的值;(2)画出函数的大致图像;(3)点  $B\left(-\frac{ 1 } { 3 },18\right),C\left(9,-\frac{ 1 } { 3 }\right)$  在这个函数的图像上吗?
知识点：反比例函数的图象、反比例函数的性质
有下列方程:  $\colon\frac{ x - 3 } { 4 }=1,\frac{ 3 } { x }=2,\frac{ x + 3 } { x + 5 }=\frac{ 1 } { 2 },$    $\frac{ x } { 3 }-\frac{ x } { 2 }=1.$  .其中,分式方程的个数是(    ) 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：分式的定义、分式有意义的条件
某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元,用6000元购进豆沙棕的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同.设豆沙棕每盒的进价为x元,则可列方程为(    ) 。 
 A. $\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x-10}$  
 B. $\frac{6000}{x}=\frac{8000}{x+10}$  
 C. $\frac{8000}{x}=\frac{6000}{x-10}$  
 D. $\frac{8000}{x}=\frac{6000}{x+10}$ 
知识点：分式、分式的定义、分式有意义的条件、分式的基本性质
方程  $\frac{ x + 2 } { 3 - x }+\frac{ 1 } { x - 3 }=1$  的解是____。
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
若关于x的方程  $\frac{ a } { x - 1 }=2$  的解是x=3,,则a的值为________.
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
解方程：
  $\frac{ 2 } { x - 1 }=\frac{ 1 } { x - 2 }.$     
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
小明解分式方程 $\frac{1}{x+1}=$   $\frac{ 2 x } { 3 x + 3 }-1$ 的过程如下:
 解:去分母,得3=2x-(3x+3),①
去括号,得3=2x-3x+3.②
移项、合并同类项,得-x=6,③
化系数为1,得x=-6.④
以上步骤中,开始出错的一步是(    )  
 A. ① 
 B. ② 
 C. ③ 
 D. ④
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
使分式  $\frac{ 3 } { x - 3 }$  和分式  $\frac{ 1 } { x - 1 }$  相等的x的值是(    ) 
 A. 0 
 B. 1 
 C. 3 
 D. -1
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
研究15.12.10这三个数的倒数,发现  $\frac{ 1 } { 1 2 }-$    $\frac{ 1 } { 1 5 }=\frac{ 1 } { 1 0 }-\frac{ 1 } { 1 2 },$  ,我们称15,12,10这三个数为一组“调和数”.现有一组“调和数”:x、5、3(x\gt5),,则x的值是(    ) 
 A. 7 
 B. 15 
 C. 25 
 D. 不存在
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
方程  $\frac{ 1 } { x - 2 }=\frac{ 3 } { 2 x + 3 }$  的解为____________。
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
$\frac{ 2 } { 3 x - 1 }-1=\frac{ 3 } { 6 x - 2 }。$ 
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
某玩具厂生产一种玩具,甲车间计划生产500个,乙车间计划生产400个,甲车间每天比乙车间多生产10个,两车间同时开始生产且同时完成任务。设乙车间每天生产x个，则可列方程为________________。
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
已知反比例函数  $y=\frac{ k } { x },A\left(m,y_1\right),B\left(m+2,y_2\right)$  是函数图像上的两点,且满足  $\frac{ 1 } { y _ { 1 } }=\frac{ 1 } { y _ { 2 } }-\frac{ 1 } { 2 },$  则k的值为____
知识点：反比例函数的图象
如图,一次函数  $y_1=kx+b$  的图像与反比例函数  $y_2=\frac{ m } { x }$  的图像交于点A(2,4)和点B(n,-2),与y轴交于点C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)当  $y_1\gty_2$  时,请直接写出x的取值范围;
(3)点B关于y轴的对称点是B',连接AB',CB',求△AB'C的面积.

知识点：反比例函数的图象
定义新运算:对于任意不为0的实数a、b,都有a★ $b=\frac{ 1 } { a }-\frac{ 1 } { b },$  ,则方程  $x^{}$  ★(2-x）= $\frac{6}{x^2-2x}$ 的解是____________.
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
解方程:  $\frac{ 2 x } { x - 2 }=1+\frac{ 1 } { x - 2 }.$  
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
当x为何值时,分式  $\frac{ 3 - x } { 2 - x }$  的值比分式  $\frac{ 1 } { x - 2 }$  的值大3?
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
有下列一组方程;  ①$x+\frac{ 2 } { x }=3;$  ②x+ $\frac{ 6 } { x }=5;③x+\frac{ 1 2 } { x }=7.$
小明通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解,他的解题过程如下:
①由  $x+\frac{ 1 \times2 } { x }=1+2,$  得x=1或x=2;
②由  $x+\frac{ 2 \times3 } { x }=2+3,$  得x=2或x=3;
③由  $x+\frac{ 3 \times4 } { x }=3+4,$  得x=3或x=4.
(1)请写出第4个方程,并按照小明的解题思路求出该方程的解.
(2)若n为正整数,请写出第n个方程及方程的解.
(3)若n为正整数,且关于x的方程x+  $\frac{ n ^ { 2 } + n } { x + 2 }=2n-1$  一1的一个解是x=10,求n的值.
知识点：分式、分式的定义、分式的基本性质
甲、乙两人两次同时在同一家粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同),甲每次购买粮食100千克,乙每次购买粮食用去100元.
(1)假设x、y分别表示两次购买粮食时的单价(单位:元/千克),试用含x、y的代数式表示:甲两次购买粮食共需付款____元,乙两次共购买千____克粮食:若甲两次购买粮食的平均单价为每千克  $Q_1$  元,乙两次购买粮食的平均单价为每千克  $Q_2$  元,则  $Q_1=$  ____  $O_2=$  ____
(2)若谁两次购买粮食的平均单价低,谁购买粮食的方式就较合算,请你判断甲、乙两人购买粮食的方式哪一个较合算,并说明理由.
知识点：分式、分式的定义