despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t=2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
知识点：等腰三角形的判定、勾股定理
已知：如图，AC=AB，∠ACD=∠ABD，求证：CD=BD．
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为____．
知识点：勾股定理
公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（　　） 
 A. 84 
 B. 86 
 C. 160 
 D. 162
知识点：规律型：图形的变化类、等腰直角三角形
如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE=2DF．
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3=∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC=BC，CE平分∠ACB，求证：AF=CF．
知识点：余角和补角、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（　　） 
 A. 17 
 B. 7 
 C. 14 
 D. 13
知识点：勾股定理
若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为____．
知识点：勾股定理的逆定理
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=2cm，则AB的长度是（　　） 
 A. 2cm 
 B. 4cm 
 C. 8cm 
 D. 16cm
知识点：含30度角的直角三角形
如图，△ABC中，AB=6，AC=7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为____．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E．（1）求∠BAD的度数；（2）若BD=2cm，试求CD的长度．
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，E为等边△ABC的边AC上一点，且∠1=∠2，CD=BE，试判定△ADE的形状，并说明理由．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（　　） 
 A. 4个 
 B. 3个 
 C. 2个 
 D. 1个
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　） 
 A. 10 
 B. 6 
 C. 4 
 D. 不确定
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） 
 A. 2个 
 B. 3个 
 C. 4个 
 D. 无数个
知识点：等边三角形的判定
（1）操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
知识点：全等三角形的判定与性质、勾股定理
已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．（1）求证：DB=DE；（2）若点F是BE的中点，连接DF，且CF=2，求等边三角形△ABC的边长．
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
知识点：角平分线的定义、等边三角形的判定
如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB=AC+CD．
知识点：全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形
已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） 
 A. 60° 
 B. 65° 
 C. 70° 
 D. 75°
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（　　） 
 A. 25 
 B. 7 
 C. 25或7 
 D. 不能确定
知识点：勾股定理
用一根长度为20cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于4cm，请简单说明原因．（3）若所围成的等腰三角形的腰长为a，请求出a的取值范围．
知识点：三角形三边关系、等腰三角形的判定与性质
如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为____．
知识点：勾股定理的证明
如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点．若BC=6，则BD的长为（　　） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 6 
 D. 8
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB=8，则DE=____．
知识点：等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE=2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE．
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质
下列条件不能得到等边三角形的是（　　） 
 A. 有两个内角是60°的三角形 
 B. 有一个角是60°的等腰三角形 
 C. 腰和底相等的等腰三角形 
 D. 有两个角相等的等腰三角形
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的判定
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
知识点：三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定
边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（　　） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 3.5 
 D. 2
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
知识点：平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理
如图，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C=90°，则下列等式中成立的是（　　） 
 A. a2+b2=c2 
 B. b2+c2=a2 
 C. a2+c2=b2 
 D. c2-a2=b2
知识点：勾股定理
猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的∠B和∠C）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的∠C和边BC．（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法，并在备用图上恢复原来的样子．（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
知识点：全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC；其中正确的结论有（　　） 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，BD=1，求BC的长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，“中国海监50”于上午11时30分在南海海域A处巡逻，观测到岛礁B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向正东航行到C处，观测岛礁B在北偏东30°，继续向正东航行到D处时，再观测到岛礁B在北偏西30°，当海监船到达C处时恰与岛礁B相距20海里，请你分别确定“中国海监50”从A处到达C处和D处所用的时间．
知识点：方向角、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　） 
 A. 10m 
 B. 5m 
 C. 2.5m 
 D. 9.5m
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=6，S3=15，则S2=____．
知识点：勾股定理
如图，在三角形ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B=60°，∠C=30°，求证：△ABD是等边三角形．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BC=6，则AB的值是（　　） 
 A. 12 
 B. 8 
 C. 6 
 D. 3
知识点：等边三角形的判定
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，（1）求证：△BCE $≌$ △DCF；（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．
知识点：直角三角形全等的判定、勾股定理
如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） 
 A. 25° 
 B. 60° 
 C. 85° 
 D. 95°
知识点：三角形的外角性质、等边三角形的性质
如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（　　） 
 A. 25° 
 B. 130° 
 C. 50°或130° 
 D. 25°或130°
知识点：等腰三角形的判定与性质
设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BC⊥BD，且BC=BD．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=25，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为____．
知识点：勾股定理的证明
已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA=____°．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线
如图，在平面内，DE∥FG，点A、B分别在直线DE、FG上，△ABC为等腰直角形，∠C为直角，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） 
 A. 20° 
 B. 22.5° 
 C. 70° 
 D. 80°
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为（　　） 
 A. 1.5 
 B. 2 
 C. 2.5 
 D. 3
知识点：等腰三角形的性质
若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是____cm2．
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理
如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm，DE=3cm，则BC=____cm．
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、矩形的判定与性质
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．
知识点：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质
在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：2：5，则△ABC是（　　） 
 A. 等腰三角形 
 B. 等边三角形 
 C. 直角三角形 
 D. 锐角三角形
知识点：三角形内角和定理、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC．（1）求∠A、∠ABC的度数；（2）连接CE，且CE=AB，求证：△BCE是等边三角形．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为____．
知识点：数学常识、勾股定理的证明
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE=3，CF=2，则线段EF的长为（　　） 
 A. 5 
 B. 6 
 C. 7 
 D. 8
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边上的中线AD=4．求AC的长．
知识点：勾股定理
已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC，若AB=6cm，AC=8cm，求△ADE的周长．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　） 
 A. 15° 
 B. 30° 
 C. 45° 
 D. 60°
知识点：三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
知识点：三角形内角和定理、等腰直角三角形
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC=6，则△AMN的周长为____．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
在如图所示的三角形中，∠A=30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有多少个？（　　） 
 A. 10 
 B. 8 
 C. 6 
 D. 4
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理
如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=____．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B=60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
知识点：角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAD=60°，且AD=AB，则∠BCD=（　　） 
 A. 30° 
 B. 15° 
 C. 45° 
 D. 35°
知识点：等腰直角三角形
如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
已知∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=____．
知识点：含30度角的直角三角形、轴对称的性质
如图，在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB=90°，EF=2，则BF长为（　　） 
 A. 4 
 B. 6 
 C. 8 
 D. 10
知识点：含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线
如图，已知在等边三角形ABC中，点P为边AB的中点，点D、E分别为边AC、BC上的点，∠APD+∠BPE=60°．点F、H分别在线段BC、AC上．连接PH、PF、HF．若PD⊥PF且PD=PF，HP⊥EP．连接DE，则=____，∠PHF=____度．
知识点：等边三角形的性质、等腰直角三角形
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD=BD．求∠A的度数．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理
如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB=5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（　　） 
 A. 7 
 B. 6 
 C. 5 
 D. 4
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　） 
 A. 2，2，3 
 B. 3，3，3 
 C. 3，4，5 
 D. 3，4，4
知识点：等边三角形的判定
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=10，则线段MN的长为____．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．（1）求证：AD=CE；（2）猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
知识点：全等三角形的判定、等腰直角三角形
如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=25°，则∠2的大小为（　　） 
 A. 25° 
 B. 35° 
 C. 45° 
 D. 55°
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质
如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE=AB．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为（　　） 
 A. 4 
 B. 4π 
 C. 8π 
 D. 8
知识点：勾股定理
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足是D，若AB=8cm，则AD=____cm．
知识点：含30度角的直角三角形
如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=6，求AD的长．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
已知a∥b，将等腰直角三角形ABC按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B，直角顶点C分别落在直线a，b上，若∠1=15°，则∠2的度数是（　　） 
 A. 15° 
 B. 22.5° 
 C. 30° 
 D. 45°
知识点：平行线的性质、等腰直角三角形
已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60度，则△ABC的周长为____．
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．（1）求证：DB=DE；（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．
知识点：等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
在△ABC中，已知AB=AC，BE是角平分线．（1）若BE=AE，求证：∠ABC=2∠A；（2）若BE⊥AC，求证：△ABC为等边三角形．
知识点：角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定
如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，DE经过O点，且DE∥BC．（1）请指出图中的两个等腰三角形．（2）请选择（1）中的一个三角形，说明它是等腰三角形的理由．（3）如果△ABC的周长是26，△ADE的周长是18，请求出BC的长．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB=4，DC=1，BC=4．（1）求线段AD的长．（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．
知识点：等腰三角形的判定、勾股定理
如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=10．若点M，N分别在射线OA，OB上，且△PMN是边长为整数的等边三角形，则满足上述条件的点M有（参考数据：）（　　） 
 A. 4个以上 
 B. 4个 
 C. 3个 
 D. 2个
知识点：等边三角形的判定、勾股定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（　　） 
 A. 9个 
 B. 7个 
 C. 6个 
 D. 5个
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是____．
知识点：全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
如图：AB、BC的垂直平分线交于点P，（1）求证：PA=PC．（2）连接AC，①若∠ABC=150°，证明△PAC是等边三角形．②若∠ABC=____°，△PAC是等腰直角三角形．（直接填结果，不需要说明）
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为____．
知识点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（　　） 
 A. 4 
 B. 16 
 C.  
 D. 4或
知识点：勾股定理
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，AD=3，则BC=____．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直线PC与AB垂直；（4）四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　） 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：平行线的判定、全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形
△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=____度．
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
知识点：由实际问题抽象出一元一次方程、等边三角形的判定与性质
如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数为（　　） 
 A. 4 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 7
知识点：等腰直角三角形
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC．求证：△CEB为等边三角形．
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定
如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为____．
知识点：含30度角的直角三角形、勾股定理
如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　） 
 A. 4 
 B. 6 
 C. 8 
 D. 10
知识点：勾股定理的证明
我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3，那么这个三角形称作帅气等腰三角形．已知△ABC中，，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） 
 A. 0条 
 B. 1条 
 C. 2条 
 D. 3条
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l1、l2，则∠1+∠2=（　　） 
 A. 30° 
 B. 40° 
 C. 50° 
 D. 60°
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质
如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于____．
知识点：等边三角形的判定与性质、旋转的性质
如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm．点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，连结AD，设运动时间为t秒．（1）求AB的长．（2）当t为多少时，△ABD为等腰三角形．
知识点：等腰三角形的判定、等腰直角三角形
已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（　　） 
 A. 4.8 
 B. 5 
 C. 4 
 D. 
知识点：垂线段最短、等腰三角形的性质、勾股定理
在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
知识点：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质
如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，BC=12．求：（1）∠1和∠ADC的度数； （2）DE的长．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=CA=a，求AB的长．（提示：作出AB边上的高，借助△ABC的面积求解）
知识点：等腰直角三角形
如图，∠A=∠B=60°，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等边三角形．
知识点：等边三角形的判定
如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，在Rt△OAA1中，∠A=90°，OA=1，则在Rt△OA3A4中，OA4的长度为（　　） 
 A.  
 B. 3 
 C.  
 D. 4
知识点：等腰直角三角形
如果一个等边三角形的边长是2，那么这个等边三角形的面积是（　　） 
 A. 1 
 B. 2 
 C.  
 D. 
知识点：等边三角形的性质
在△ABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，则BC=____．
知识点：等边三角形的判定
我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a-b）2的值是（　　） 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 12 
 D. 13
知识点：勾股定理的证明
三角形三边长为6、8、10，则这个三角形的面积是____．
知识点：勾股定理的逆定理
如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，∠1=∠2，CD⊥AD于D，求证：AB-AC=2CD．
知识点：三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质
在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，则这个三角形中最小的内角为____度．
知识点：含30度角的直角三角形
如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．（1）求∠DCB、∠DFE的度数；（2）求证：△ADF是等腰直角三角形；（3）求证：AB=2DF．
知识点：等边三角形的性质、等腰直角三角形
如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
知识点：平行线的性质、等边三角形的判定与性质
在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=4，求DF的长．
知识点：平行线的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
已知等腰直角三角形的底边长为4，求腰上的中线长．
知识点：等腰直角三角形
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．求∠ADC=____度．
知识点：等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．求证：．
知识点：全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形
有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） 
 A. 1 
 B. 2018 
 C. 2019 
 D. 2020
知识点：勾股定理
在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的正三角形的个数为____．
知识点：等边三角形的判定
以下叙述中不正确的是（　　） 
 A. 等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 
 B. 有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形 
 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 
 D. 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
知识点：等腰三角形的判定、等边三角形的性质
四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为____．
知识点：勾股定理的证明
在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（　　） 
 A. 35 
 B. 43 
 C. 89 
 D. 97
知识点：勾股定理的证明
如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A=30°，AC=10时，两直角顶点C，C1的距离是____．
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD=ED；（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长．
知识点：平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
若等边三角形的边长为4cm，则这条边上的高为（　　） 
 A. 2cm 
 B. cm 
 C. 1cm 
 D. 2
知识点：等边三角形的性质
如图，已知在△ABC中，AB=AC=13cm，D是AB上一点，且CD=12cm，BD=8cm．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）求BC的长
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若BD=1，BC=3，则AC的长为（　　） 
 A. 5 
 B. 4 
 C. 3 
 D. 2
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，已知∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB=6，∠DAB=30°，求以BD为直径的圆的面积．
知识点：含30度角的直角三角形、等腰直角三角形
观察下列两组勾股数：（1）3，4，5；5，12，13；7，24，25；…（2）6，8，10；10，24，26；14，48，50；…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m，n的式子表示出来（m＜n）．你还能发现勾股数有什么特征？
知识点：勾股数
如图，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交于F，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
知识点：全等三角形的判定、等腰直角三角形
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　） 
 A. 13 
 B. 26 
 C. 34 
 D. 47
知识点：勾股定理
如图，已知CD=4，AD=3，∠ADC=90°，BC=12，AB=13．（1）求AC的长．（2）求图中阴影部分图形的面积．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）
知识点：勾股定理的应用
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；   （2）求BD的长．
知识点：线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C=60°，∠F=45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF=____°．
知识点：等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线
求下列各式中x的值：（1）4x2-12=0（2）48-3（x-2）2=0
知识点：平方根
的平方根是多少（　　） 
 A. ±9 
 B. 9 
 C. ±3 
 D. 3
知识点：平方根
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠BCD=∠B，AB=26，AC=10．求AD的长．
知识点：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3=12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4=20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5=30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（　　） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：规律型：图形的变化类、等边三角形的性质
记Sn=++…+，则=（　　） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：算术平方根、规律型：数字的变化类
电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt．已知导线的电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，求电流的值（结果保留小数点后两位）．
知识点：算术平方根
【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4=，弦5=；当勾为5时，股12=，弦13=；当勾为7时，股24=，弦25=．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=____，弦=____．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a=2m，b=m2-1，c=m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
知识点：规律型：图形的变化类、勾股定理的证明、勾股数
如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若=，求证：△ABC是直角三角形．
知识点：勾股定理的逆定理
如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
知识点：勾股定理的应用
式子3-的值为（　　） 
 A. 当x=-4时最大 
 B. 当x=-4时最小 
 C. 当x=0时最大 
 D. 当x=0时最小
知识点：非负数的性质：算术平方根
如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=13，CD=12，AD=4，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积是____．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
已知x，y为实数，且满足-（y-1）=0，那么x2011-y2011．
知识点：非负数的性质：算术平方根
如图，在△ABD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．
知识点：勾股定理的逆定理
已知4x2=81，求x的值．
知识点：平方根
如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB=1cm，BC=3cm，CD=3cm，DE=2cm，则这个六边形的周长是：____．
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） 
 A. 10尺 
 B. 11尺 
 C. 12尺 
 D. 13尺
知识点：勾股定理的应用
求下列各式中x的值（1）2x2=10（2）（x+3）3=-8
知识点：平方根、立方根
若a2=16，=-2，则a+b的值是（　　） 
 A. 12 
 B. 12或4 
 C. 12或±4 
 D. -12或4
知识点：平方根、立方根
-4的平方根为（　　） 
 A. ±2 
 B. +2 
 C. -2 
 D. 无意义
知识点：平方根
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=30°，若CD=3cm，则BD=____cm．
知识点：含30度角的直角三角形
如图，在正△ABC中，将每条边六等分，则图中正六边形的个数为（　　） 
 A. 8 
 B. 10 
 C. 11 
 D. 12
知识点：等边三角形的性质
已知≈1.414，求与的近似值．
知识点：算术平方根
的算术平方根是____．
知识点：算术平方根
若+（y-2）2=0，则xy+xy的值=____．
知识点：非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根
如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=20，BC=15，CD=9．（1）求AC的长；（2）判断△ABC的形状并证明．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；（2）确定C港在A港的什么方向．
知识点：方向角、勾股定理的应用
已知 +=0，求x和y的值．
知识点：非负数的性质：算术平方根
我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a=（m2-n2），b=mn，c=（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n）时，a，b，c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．
知识点：数学常识、勾股数
若，则（b-a）2019=（　　） 
 A. -1 
 B. 1 
 C. -52018 
 D. 52018
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根
如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，则四边形ABCD的面积等于____．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
知识点：勾股定理、勾股定理的逆定理
若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b=（m+n）2，则称a+b为完美根式，m+n为a+b的完美平方根．例如：因为19+6=（1+3）2，所以1+3是19+6的完美平方根．（1）已知3+2是a+12的完美平方根，求a的值；（2）若m+n是a+b的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b；（3）已知17-12是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
知识点：平方根
（1）利用计算器计算：=____；（2）利用计算器计算：=____；（3）利用计算器计算：=____；（4）利用计算器计算：=____．
知识点：计算器—数的开方、规律型：数字的变化类
式子2+的结果精确到0.01为（可用计算器计算或笔算）（　　） 
 A. 4.9 
 B. 4.87 
 C. 4.88 
 D. 4.89
知识点：计算器—数的开方
一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（　　） 
 A. 6dm 
 B. 5dm 
 C. 4dm 
 D. 3dm
知识点：线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用
解方程（1）（x-2）2=9（2）8（x+1）3=27．
知识点：平方根、立方根
在数-，0，（-1）4，，-，，3.14159，，，-中，整数有____个，负分数有____个，无理数有____个．
知识点：实数
81的平方根为（　　） 
 A. 9 
 B. ±9 
 C. -9 
 D. ±8
知识点：平方根
立方根等于它本身的有（　　） 
 A. 0，1 
 B. -1，0，1 
 C. 0 
 D. 1
知识点：立方根
a与b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．
知识点：有理数、无理数、实数
沿面积为60cm2正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长、宽之比为3：2，且面积为48cm2？
知识点：算术平方根
已知a为实数，那么等于____．
知识点：算术平方根
若，则xy的值为____．
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根
已知5+=0，求a2017+（a+b）2018的值．
知识点：非负数的性质：算术平方根
数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
知识点：勾股定理的应用
解方程（1）2x+3=5x-6（2）（x-2）2=9（3）（4）
知识点：平方根、解一元一次方程
求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：



n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…



4
0.4
0.04
40
400
…



（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）____（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206；  ②2060000．
知识点：计算器—数的开方、规律型：数字的变化类
下列各组数中，属于勾股数的是（　　） 
 A. 1，，2 
 B. 1.5，2，2.5 
 C. 6，8，10 
 D. 5，6，7
知识点：勾股数
我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如①世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中a=（m2-n2），b=mn，c=（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n）②毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n为正整数），请你在上述的两个公式中选择一种，证明满足公式的a、b、c是一组勾股数．（3）请根据你在（2）中所选的公式，写出一组勾股数．
知识点：数学常识、勾股数
如图，E为AB中点，CE⊥AB于点E，AD=5，CD=4，BC=3，求证：∠ACD=90°．
知识点：勾股定理的逆定理
若+=0，则x2006+y2005的值为（　　） 
 A. 0 
 B. 1 
 C. -1 
 D. 2
知识点：非负数的性质：算术平方根
求数的方根，可以用估算的方法，但是这样求方根速度太慢，计算器可以帮你解决这一问题，使你的计算快速大大加快，为此，熟练掌握用计算器求平方根和立方根的程序是关键．在计算器上，按程序2nd⇒x2⇒625）enter计算，显示的结果是（　　） 
 A. 25 
 B. ±25 
 C. -25 
 D. 15
知识点：计算器—数的开方
求下列各式中的x：（1）（x-1）2=25（2）x3+4=
知识点：平方根、立方根
在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺=10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（　　） 
 A. 100寸 
 B. 101寸 
 C. 102寸 
 D. 103寸
知识点：数学常识、勾股定理的应用
下列计算正确的是（　　） 
 A. 6÷（-3-2）=-5 
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：平方根
下列说法不正确的是（　　） 
 A. 0.04的平方根是士0.2 
 B. -9是81的一个平方根 
 C. 9的立方根是3 
 D. -=3
知识点：平方根、立方根
根据如表回答下列问题：



x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17


x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289



（1）268.96的平方根是多少？（2）≈____．（3）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
知识点：平方根、算术平方根
（1）已知正数a，b满足a=1，求a2+b2的值．（2）先填空：13=1，13+23=9，13+23+33=____，13+23+33+43=____，13+23+33+43+53=____，然后根据发现的规律，试写出13+23+33+…+n3的结果（用n表示）．可参考公式1+2+3+…+n=，n为正整数．
知识点：实数、规律型：数字的变化类
如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
知识点：勾股定理的应用
已知：a、b、c满足求：（1）a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根、三角形三边关系
已知一个数x的两个平方根分别是3a+2和a+14，求a和x的值．
知识点：平方根
如图，已知等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，其中BD=8，CD=6．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理
在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器计算，结果精确到0.01cm）
知识点：算术平方根、立方根、计算器—数的开方
下列是勾股数的有（　　）①3，4，5   ②5、12、13   ③9，40，41④13、14、15  ⑤⑥11、60、61 
 A. 6组 
 B. 5组 
 C. 4组 
 D. 3组
知识点：勾股数
据我囯古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三，股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股4=，弦5=；勾为5时，股12=，弦13=；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24=____；弦25=____．（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股=____；弦=____．（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示直角三角形的另一条直角边和弦的长．
知识点：列代数式、规律型：图形的变化类、勾股数
已知实数x，y满足，则y的值是（　　） 
 A. 2 
 B. -2 
 C. 0 
 D. 3
知识点：非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根
在实数：-（-3.14159），1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），-（-1）2013，-|-|，4.，，中，分数有____个．
知识点：相反数、绝对值、实数
如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（　　） 
 A.  
 B. 100 
 C. 0.01 
 D. 0.1
知识点：计算器—数的开方
求下列各式中的x：（1）5x2=10（2）（x+4）3=-8
知识点：平方根、立方根
9的平方根是（　　） 
 A.  
 B. 81 
 C. ±3 
 D. 3
知识点：平方根
如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） 
 A. 4米 
 B. 5米 
 C. 6米 
 D. 7米
知识点：勾股定理的应用
一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积扩大为原来的9倍呢？n倍呢？
知识点：算术平方根
若=1.02，=10.2，则y等于（　　） 
 A. 1000000 
 B. 1000 
 C. 10 
 D. 10000
知识点：立方根