despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
（1）填空：  $\frac{ 1 } { 2 }=\frac{ 1 + \left( \right) } { 2 + 4 }-\frac{ 1 + \left( \right) } { 2 + 6 }=$    $\frac{ 1 + \left( \right) } { 2 + 8 }=\frac{ 1 + \left( \right) } { 2 + 1 0 }.$    $\frac{ 4 } { 7 }=\frac{ 4 + \left( \right) } { 7 + 1 4 }=\frac{ 4 + \left( \right) } { 7 + 2 1 }=$    $\frac{ 4 + \left( \right) } { 7 + \left( \right) }=\frac{ 4 + 2 0 } { 7 + \left( \right) }.$ 
 （2）从（1）中的两个等式中找规律；若a≠0，则 $\frac{ b } { a }=\frac{ b + \left( \right) } { a + \left( \right) }$必然成立（用含n的式子表示，n为正整数）.
知识点：分式的基本性质
在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复.如表是这次摸球试验获得的统计数据：

（1）表中的a=________；b=；________
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是_______（精确到0.1）；
（3）袋中白球个数的估计值为______.
知识点：利用频率估计概率
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为  $15\sim20^{\circ}C$  的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度  $y\left(^{\circ}C\right)$  随时间x（时）变化的函数图像，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线  $y=\frac{ k } { x }$  的一部分.请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）求恒温系统在一天内保持大棚里温度在  $15^{\circ}C$  及  $15^{\circ}C$  以上的时长.
 

知识点：反比例函数的应用
下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有（    ）. 
 A. 2个 
 B. 3个 
 C. 4个 
 D. 5个
知识点：生活中的旋转现象
如图， 将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B'恰好落在CA的延长线上，  $\angle B=30^{\circ},\angle C=90^{\circ},$  ，则∠BAC'等于（    ）.  
   
 A. 90° 
 B. 60° 
 C. 45° 
 D. 30°
知识点：旋转的性质
如图，已知△ABC中，∠CAB=  $20^{\circ},\angle ABC=30^{\circ},$  将△ABC绕A点逆时针旋转  $50^{\circ}$  得到△AB'C'，以下结论:①BC=B'C'；②AC∥C'B'； ③C'B'⊥BB'； ④∠ABB'=∠ACC'，正确的有（    ）：
 
 A. ①②③ 
 B. ①②④ 
 C. ①③④ 
 D. ②③④
知识点：旋转对称图形
如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ）
 
 A. AB=AN 
 B. AB//NC 
 C. ∠AMN=∠ACN 
 D. MN⊥AC
知识点：旋转的性质
在平面内，将一个图形绕一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为______，这个定点称为______，转动的角度称为______，图形的旋转不改变图形的_______和________.
知识点：旋转的性质、旋转对称图形
如图，将△ABC绕点A旋转得到△A DE，若  $\angle B=90^{\circ},\angle C=30^{\circ},AB=1,$  ，则AE=____。

知识点：旋转的性质
如图，在△ABC中，  $\angle ACB=90^{\circ},CD$  平分∠ACB交AB于点D，将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上.
（1） △CDB旋转了______度
（2）连接DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由.

知识点：利用频率估计概率
如图，在△AFC中， $\angle FAC=45^{\circ},$FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.

知识点：平行四边形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的判定与性质
如图， 在四边形ABCD中， AC是对角线，AC=AD，点E在边BC上，AB=AE，∠BAE=∠CAD，连接DE.
（1）求证：BC=ED.
（2）当AC=BC时， 求证： 四边形ABCD是平行四边形.

 
知识点：平行四边形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的判定与性质
如图， 在四边形ABCD中，AD $\Vert$ BC，BD⊥AD，E、F分别是边AB，CD的中点，且DE=BF.求证：四边形ABCD是平行四边形.

 
知识点：平行四边形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的判定与性质
如图，点A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE=DF，AE∥DF，求证：四边形EBFC是平行四边形.

 
知识点：平行四边形的性质、平行四边形的判定、平行四边形的判定与性质
如图， 矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF.
（1）若DG=2，， 求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积.

知识点：正方形的判定与性质
如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(3，2）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转  $90^{\circ},$  则旋转后点D的对应点D'的坐标是____.

知识点：正方形的判定与性质
如图①， 在平面直角坐标系中， 四边形OB CD是正方形，且D(0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.
（1）写出点C的坐标.
（2）求证：MD=MN.
（3）如图②，连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB.其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明.

知识点：正方形的判定与性质
写出一个概率为1的事件：________
知识点：随机事件
如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，在BC上取一点E，使AD=AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接DE.下列结论不一定正确的是（    ）
 
 A. △ADF≅△EAB 
 B. DE平分∠FDC 
 C.   $\angle AEC=150^{\circ}$   
 D.   $DF=\frac{ 1 } { 2 }AF$  
知识点：矩形的性质
如图， 矩形ABCD的顶点A、B、C分别落在∠MON的边OM、ON上.若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下：连接AC、BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON.有下列几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法的依据是（    ）
 
 A. ①② 
 B. ①③ 
 C. ②③ 
 D. ①②③
知识点：矩形的性质
如图， 矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F.若AB=3，BC=4，，则图中阴影部分的面积为________.

 
知识点：矩形的性质
如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE.若  $\angle ABD=50^{\circ},$  则∠E=________.

 
知识点：矩形的性质
如图， 四边形ABCD是矩形， 点E在AD上，EF⊥EC交AB于点F，且EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长.

 
知识点：矩形的性质
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（    ）

  
 A. $\frac{7}{8}$  
 B. $\frac{6}{5}$  
 C. 1 
 D. $\frac{1}{2}$ 
知识点：矩形的性质
如图，在矩形ABCO中，点B的坐标为（3，4）， AC与y轴相交于点D.若AC∥x轴，则OD的长为（    ）

  
 A. 1.5 
 B. 2.5 
 C. 3.5 
 D. 2
知识点：矩形的性质
矩形ABCD与矩形CEFG按如图所示的方式放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的长为（    ）
 
 A. 1 
 B. $\frac{2}{3}$  
 C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$  
 D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 
知识点：矩形的性质
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG.若  $\angle BOG=15^{\circ},$  ，则∠BCG的度数是________.

知识点：矩形的性质
如图， 在矩形ABCD中， E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，连接AC、DF.
（1）求证：四边形A CDF是平行四边形.
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD之间的数量关系，并说明理由.

知识点：矩形的性质
阅读材料，回答问题：
小明遇到这样一个问题，如图①，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E.已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小明发现，如图②，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，，经过推理和计算能够使问题得到解决.
（1）求证：DE=CF.
（2）求BC+DE的值.
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③， 在矩形ABEF中， 以AB为一边向外作  $▱$ABCD，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数.

 
知识点：矩形的性质
在矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为边AB的中点，P为边CD上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=________.
知识点：矩形的性质
下列条件中，能够判定  $▱ABCD$  为矩形的是（    ） 
 A. AB=AD 
 B. AC⊥BD 
 C. AB=AC 
 D. AC=BD
知识点：矩形的判定
在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下列是一个学习小组拟定的方案，其中，正确的方案是（    ） 
 A. 测量其中三个角是否为直角 
 B. 测量两组对边是否相等 
 C. 测量对角线是否相互平分 
 D. 测量对角线是否相等
知识点：矩形的判定
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 四边形ABDE是平行四边形， 则四边形ADCE的形状是________.

 
知识点：矩形的判定
如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转  $180^{\circ}$  得到△FEC，连接AE、BF. 当∠ACB=________时， 四边形ABFE为矩形.

 
 
知识点：矩形的判定
如图，在  $▱ABCD$  中，AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，连接DE、BF.
（1）求证：BE=DF.
（2）设  $\frac{ A C } { B D }=k,$  当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.

 
知识点：矩形的判定
如图，在  $▱ABCD$  中，对角线AC与BD相交于点O，给出下列条件：①∠1+∠3=90°；② $BC^2+CD^2=AC^2$  ③ $\angle1=\angle2$ ；④AC⊥BD.其中， 能判定四边形ABCD是矩形的个数是（    ）

  
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：矩形的判定
如图， 四边形ABCD为平行四边形， 延长AD到点E，使DE=AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（    ）
 
 A. AB=BE 
 B. BE⊥DC 
 C.   $\angle ADB=90^{\circ}$   
 D. CE⊥DE
知识点：矩形的判定
如图，将  $▱ABCD$  的边DC延长到点E，使CE=CD，连接 AE 交BC 于点F，∠AFC=n∠D.连接BE、AC，当n=________时，四边形ABEC是矩形.

 
知识点：矩形的判定
如图，在  $▱ABCD$  中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF，AF平分∠DAB，线段CF、BF、DF之间的数量关系是________.

 
知识点：矩形的判定
如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求证：四边形ACED是平行四边形.
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形.

 
知识点：矩形的判定
如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是________.（只需写出一个符合要求的条件）

知识点：矩形的判定
(2022·天津)计算  $\frac{ a + 1 } { a + 2 }+\frac{ 1 } { a + 2 }$  的结果是(    ) 
 A. 1 
 B.   $B.\frac{ 2 } { a + 2 }$   
 C. a+2 
 D.   $D.\frac{ a } { a + 2 }$  
知识点：分式的加减法
化简  $5\frac{ 1 } { a - 3 }-\frac{ 6 } { a ^ { 2 } - 9 }$  的结果是（    ）   
 A. $\frac{1}{a+3}$  
 B.   a-3 
 C.   a+3  
 D.     $D.\frac{ 1 } { a - 3 }$  
知识点：分式的加减法
$\frac{ a ^ { 2 } + 3 } { a ^ { 2 } - a }+\frac{ 3 } { a - a ^ { 2 } }$  。
知识点：分式的加减法
$\frac{ 1 } { x - 1 }+\frac{ x ^ { 2 } - 3 x } { x ^ { 2 } - 1 }.$  
知识点：分式的加减法
分式  $\frac{ 2 a + 2 } { a ^ { 2 } - 1 }-\frac{ a + 1 } { 1 - a }$  化简后的结果为（    ）   
 A.   $\frac{a+1}{a-1}$  
 B. $\frac{a+3}{a-1}$  
 C. $-\frac{a}{a-1}$  
 D. $-\frac{a^2+3}{a^2-1}$ 
知识点：分式的加减法
已知  $1\frac{ 1 } { a }+\frac{ 1 } { b }=3,\frac{ 1 } { b }+\frac{ 1 } { c }=4,\frac{ 1 } { c }+\frac{ 1 } { a }=5,$  ，则  $\frac{ a b c } { a b + b c + c a }$  的值为（    ）  
 A. $\frac{1}{3}$  
 B. $\frac{1}{4}$  
 C. $\frac{1}{5}$  
 D. $\frac{1}{6}$ 
知识点：分式的加减法
已知a、b为实数,且ab=1.设  $P=\frac{ 1 } { a + 1 }+$    $\frac{ 1 } { b + 1 },Q=\frac{ a } { a + 1 }+\frac{ b } { b + 1 },$  ,则P与Q的大小关系是(    ) 
 A. P\ltQ 
 B. P\gtQ 
 C. P=Q 
 D. 无法确定
知识点：分式的加减法
下列结论错误的是(    ) 
 A. 若 $a\lt1$ ，  则$\left(a-1\right)\sqrt{ \frac{ 1 } { 1 - a } }=-\sqrt{ 1 - a }$   
 B. 若 $\sqrt{ \left( 3 - a \right) ^ { 2 } }=a-3,$  则 $a\ge3$  
 C.   $-\sqrt{ \left( - 7 \right) ^ { 2 } }=-7$   
 D.   $\sqrt{ 8 1 }$  的算术平方根是9
知识点：二次根式的化简求值
已知 $m$ 为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（    ）                 
 A. $({\sqrt{m}})^2=m$  
 B. $\sqrt{ m ^ { 2 } + 2 m + 1 }=m+1$  
 C. $\sqrt{ m ^ { 2 } }=m$  
 D. $\left(\sqrt{ m ^ { 2 } + 1 }\right)^2=m^2+1$ 
知识点：二次根式的加减法
已知实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （   ）
          
 A. $\sqrt{ \left( a + b \right) ^ { 2 } }=a+b$  
 B. $\sqrt{ \left( a - b \right) ^ { 2 } }=a-b$  
 C. $\sqrt{ \left( b + 1 \right) ^ { 2 } }=b+1$  
 D. $\sqrt{ \left( a - 2 \right) ^ { 2 } }=a-2$ 
知识点：二次根式的应用
若等式  $\sqrt{ \left( a - 1 \right) ^ { 2 } }-|a-3|=2$  成立，则 $a$ 的取值范围是（    ） 
 A. $a\le1$  
 B. $a\ge3$  
 C. $1\lta\lt3$  
 D.  $1\le a\le3$
知识点：二次根式的性质与化简
已知 $a,b,c$ 为三角形的三边长，化简：  $\sqrt{ \left( a + b - c \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( b - c - a \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( b + c - a \right) ^ { 2 } }=$  ____
知识点：二次根式的应用
如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $a$ ，化简：  $a+\sqrt{ a ^ { 2 } - 4 a + 4 }=$  _______.

知识点：二次根式的化简求值
若  $\frac{ \sqrt{ x ^ { 2 } - 2 x + 1 } } { x - 1 }=-1$ 成立，则 $x$ 的取值范围是____.
知识点：二次根式的化简求值
若  $|x-3|+\left(x-y+1\right)^2=0,$  则  $\sqrt{x^2y+xy^2+\frac{y^{^3}}{4}}=$  ____.
知识点：二次根式的化简求值
计算：
  $\left(1\right)\sqrt{ \left( 3 - \sqrt{ 1 1 } \right) ^ { 2 } }+\sqrt{ \left( \sqrt{ 1 1 } - 4 \right) ^ { 2 } };$    
$\left(2\right)\sqrt{ a ^ { 2 } }-\sqrt{ a ^ { 2 } - 6 a + 9 }\left(0\lta\lt3\right).$  
知识点：二次根式的化简求值
已知  $a=\sqrt2-1,$  先化简：  $\frac{ \sqrt{ a ^ { 2 } - 2 a + 1 } } { a ^ { 2 } - a }+$    $\frac{ \sqrt2 a + \sqrt2 } { a ^ { 2 } + 2 a + 1 }+\frac{ 4 a ^ { 2 } - 1 6 } { a ^ { 2 } - 4 a + 4 }\div\frac{ 4 a ^ { 2 } + 8 a } { a - 2 },$  再求值.
知识点：二次根式的化简求值
如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为________.

知识点：矩形的判定
有这样一道题：先化简 $({\frac{x}{x+1}}-\frac{1}{x-1})\div\frac{x}{3}$ ，再从一2、一1，0、1四个数中选择一个你认为合适的数作为 $x$ 的值代入求值.这道题中 $x$ 应取的值为（    ）. 
 A. $-2$  
 B. $-1$  
 C. $0$  
 D. $1$ 
知识点：代数式求值
$\frac{2a}{a-1}-\frac{2}{a-1}=$ ________.
知识点：分式的加减法
$\frac{ x ^ { 2 } + x y } { x y }+\frac{ x y - x ^ { 2 } } { x y }=$    ________。
知识点：分式的加减法
如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是________.

知识点：矩形的判定
计算  $\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - 9 }-\frac{ 1 } { x - 3 }$  的结果是________。
知识点：分式的加减法
先化简，再求值： $({\frac{3x}{x-2}}-\frac{x}{x+2})\div\frac{x}{x^2-4}$ 在 $-$ 2、0、1、2四个数中选一个合适的数代入求值.
知识点：代数式求值、分式的化简求值
不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（    ）. 
 A. 摸出的2个球中至少有1个红球 
 B. 摸出的2个球都是白球 
 C. 摸出的2个球中1个红球、1个白球 
 D. 摸出的2个球都是红球
知识点：随机事件
某班学生做“用频率估计概率”的试验时，将得到的试验结果绘制成如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ）.
 
 A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4 
 B. 扔一枚面额一元的硬币,正面朝上 
 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀” 
 D. 从标有1、2、3、4、5、6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
知识点：利用频率估计概率
商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”，下列说法正确的是（    ）. 
 A. 抽10次奖必有一次抽到一等奖 
 B. 抽一次不可能抽到一等奖 
 C. 抽10次也可能没有抽到一等奖 
 D. 抽了9次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖
知识点：可能性的大小
如表是小明做“拋掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ）.
 
 A. 0.59 
 B. 0.61 
 C. 0.63 
 D. 0.64
知识点：可能性的大小、利用频率估计概率
从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色的”.其中，发生可能性最大的事件是（    ）. 
 A. ① 
 B. ② 
 C. ③ 
 D. ④
知识点：可能性的大小
两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标上数字1、2、3，从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（    ）. 
 A. 摸出的两个小球所标数字之和等于6 
 B. 摸出的两个小球所标数字之和大于6 
 C. 摸出的两个小球所标数字之和等于1 
 D. 摸出的两个小球所标数字之和大于1
知识点：随机事件
在一个不透明的口袋中有白球、黑球共10个，这些球除颜色外均相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球记下颜色后放回口袋中，多次摸球后发现摸到的白球的频率稳定在60%，则估计口袋中的白球数量为____.
知识点：利用频率估计概率
小明和小丽按如下规则做游戏:桌面上放有7根火柴棒,每次取1根或2根,最后取完者获胜.若由小明先取,且小明获胜是必然事件,则小明第一次应该取走火柴棒的根数是____
知识点：随机事件、可能性的大小
已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD(1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.

知识点：矩形的判定
如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD， 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为  $S_1,$  ，另两张直角三角形纸片的面积都为  $S_2,$  中间一张矩形纸片EFGH的面积为  $S_3,FH$  与GE相交于点0.当△AEO，△BFO， △CGO， △DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（    ） 
 
 A. $S_1=S_2$  
 B. $S_1=S_3$  
 C. AB=AD 
 D. EG=GH
知识点：菱形的判定与性质
先化简，再求值： $({m+2+\frac{5}{2-m}})$ · $\frac{2m-4}{3-m}$ ，其中 $m$ 为满足一1\lt $m$ \lt4的整数.
知识点：代数式求值、分式的化简求值
如图，△ABC中，∠CAB=  $72^{\circ},$  在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠AB'B的度数为________°.
知识点：平行四边形的判定与性质
计算  $\left(a-\frac{ 1 } { b }\right)\div\left(\frac{ 1 } { a }-b\right)$  的的结果是  （    ） 
 A.  $-\frac{ a } { b }$           
 B.     $\frac{ a } { b }$         
 C.    $-\frac{ b } { a }$      
 D.       $\frac{ b } { a }$  
知识点：分式的混合运算
化简  $\left(1+\frac{ 1 } { a - 1 }\right)\div\frac{ a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 1 }$  的结果是(    ) 
 A. a+1 
 B.   $B.\frac{ a + 1 } { a }$   
 C.   $C.\frac{ a - 1 } { a }$   
 D.   $D.\frac{ a + 1 } { a ^ { 2 } }$  
知识点：分式的混合运算
化简 $\left(1-\frac{ 1 } { x + 1 }\right)\cdot\frac{ x ^ { 2 } - 1 } { x }=$  ____________.
知识点：分式的混合运算
化简：  $\frac{ a - 3 } { a ^ { 2 } + 4 a + 4 }\cdot\frac{ a ^ { 2 } - 4 } { a - 3 }+$    $\frac{ 2 } { a + 2 }=$  __________.
知识点：分式的混合运算
化简：  $\frac{ x ^ { 2 } + 4 } { x ^ { 2 } - 4 }-\frac{ x - 3 } { x - 2 }\div\frac{ x - 3 } { x }$    .  
知识点：分式的混合运算
化简  $\left(1-\frac{ 2 x - 1 } { x ^ { 2 } }\right)\div\left(1-\frac{ 1 } { x ^ { 2 } }\right)$  的结果为  （    ） 
 A.  $\frac{ x - 1 } { x + 1 }$     
 B.     $\frac{ x + 1 } { x - 1 }$         
 C.   $\frac{ x + 1 } { x }$      
 D.    $\frac{ x - 1 } { x }$  
知识点：分式的混合运算
试卷上一个正确的式子  $\left(\frac{ 1 } { a + b }+\frac{ 1 } { a - b }\right)\div\pi=\frac{ 2 } { a + b }$  被小颗同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为 （    ） 
 A.  $\frac{ a } { a - b }$            
 B.    $\frac{ a - b } { a }$     
 C.   $\frac{ a } { a + b }$   
 D.   $\frac{ 4 a } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$  
知识点：分式的混合运算
如果  $a^2+2a-1=0,$  那么代数式  $\left(a-\frac{ 4 } { a }\right)\cdot\frac{ a ^ { 2 } } { a - 2 }$  的值是（    ） 
 A. -3 
 B. -1 
 C. 1 
 D. 3
知识点：分式的混合运算
计算的结果是  $\left(\frac{ 1 } { a + 1 }-\frac{ 1 } { a - 1 }\right)\div\frac{ 1 } { a ^ { 2 } - 1 }$  __________。
知识点：分式的混合运算
如果a+b=2，那么代数式  $\left(a-\frac{ b ^ { 2 } } { a }\right)\div$    $\frac{ a - b } { a }$  的值是________.
知识点：分式的混合运算
已知m+n=-3，则计算  $\frac{ m + n } { m }+$    $\left(\frac{ - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } { m }-2n\right)$  的结果是________.
知识点：分式的混合运算
计算：  $\left(1+\frac{ 1 } { x }\right)\div\frac{ x ^ { 2 } + x } { x }.$  
知识点：分式的混合运算
以  $▱ABCD$  对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若A点坐标为（-2，1），则C点坐标为________。
知识点：平行四边形的判定与性质
已知平行四边形ABCD中， 下列条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是________（填序号）.
知识点：矩形的判定与性质
如图， 正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC 于点H、G，则BG=________.
知识点：正方形的判定与性质
如图， 菱形ABCD的边长为10，对角线AC=16，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线交于点G，则EG的长为________.
知识点：菱形的判定与性质
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M、N在对角线AC上，且AM=CN，E、F分别是AD、BC的中点.（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG的长

知识点：矩形的判定
如图， 四边形O ABC是矩形， 点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形O ABC沿OB折叠， 点C落在点D处， 则点D的坐标为________。
知识点：矩形的判定与性质
在一个不透明的口袋里装有若干个红球和白球（这些球除颜色外都相同），八（1）班学生在数学实验室做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是这次活动统计汇总获得的数据统计表：

（1）按表格数据，表中的a=________，b=________；（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会在某一个常数附近摆动，这个常数是________（精确到0.1）；（3）将球搅匀，从口袋中任意摸出1个球，摸到白球和摸到红球的可能性相同吗？为什么？
知识点：利用频率估计概率
如图， 在矩形ABCD中，AB=1，BC=7，，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转  $90^{\circ}$  得到矩形A'B'CD'，点E、F分别是BD、B'D的中点，则EF的长度为________.
知识点：矩形的判定与性质
如图所示， 正方形ABCD的边长为6， △A BE是等边三角形，点E在正方形ABCD内， 在对角线AC上有一点P， 使PD+PE的和最小，则这个最小值为________.
知识点：正方形的判定与性质
如图，在  $▱ABCD$  中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC.
（1） 求证：四边形BE CD是平行四边形；
（2）若  $\angle A=50^{\circ},$  则当∠BOD=____°时，四边形BECD是矩形，

知识点：矩形的判定与性质
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度.平面直角坐标系x0y的原点O在格点上，x轴、y轴都在网格线上，A、B在格点上.
（1）将线段AB绕点O逆时针旋转  $90^{\circ}$  得到线段  $A_1B_1,$  试在图中画出线段.  $A_1B_1;$  
（2）在（1）的条件下，线段  $A_2B_2$  与线段  $A_1B_1$  关于原点O成中心对称，请在图中画出线段  $A_2B_2;$  
（3）在（1）（2）的条件下，点P是此平面直角坐标系内的一点，当以点  $A、B、B_2、P$  为顶点的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标________

知识点：平行四边形的判定与性质
在  $▱ABCD$  中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，，连接AE、CF.
（1）求证：△ADE≅△CBF.
（2）连接AF、CE.当BD平分∠ABC时，四边形A FCE是什么特殊四边形？请说明理由.

知识点：菱形的判定与性质
计算  $\frac{ 2 x ^ { 2 } - x + 1 } { x ^ { 2 } - 1 }-\frac{ x } { x - 1 }$  的结果是____.
知识点：分式的加减法
已知等式  "$\frac{ b ^ { 2 } } { a \left( a + b \right) }-\bigcirc=\frac{ a } { a + b }$  "迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是________.
知识点：分式的加减法
从一大批水稻种子中抽取若干粒，在同一条件下进行发芽试验，结果如下表：
    
（1）计算各批种子的发芽频率.（2）画出发芽频率的折线统计图.（3）这些频率具有什么样的稳定性？
（4）根据频率的稳定性，估计水稻种子发芽的概率.（精确到0.01）
知识点：利用频率估计概率
从甲地到乙地有两条路，每条路都长3km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路、2km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h， 在下坡路上的骑车速度为 3vkm/h， 则小丽走第________条路花费的时间较少
知识点：分式的加减法
如图，在△ABC中，AE平分∠BAC， BE⊥AE于点E，点F是BC的中点.【探究】（1）如图①，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：  $EF=\frac{ 1 } { 2 }\left(AC-AB\right).$  （2）如图②，，线段AB、AC、EF之间的数量关系为.____【应用】（3）如图③， △ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为.____（4）如图④， △ABC中，AD平分∠BAC， AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD=3，AD=4，求DE的长.第3关练思维宽度难度级别：☆☆☆☆☆14.如图①， 在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证：∠BME=∠CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH、HE作辅助线）问题一：如图②，在四边形A DBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图③，，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若  $\angle EFC=60^{\circ},$连接GD，判断△AGD的形状并证明.问题三：如图④，四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，  $AB=5,CD=12,EF=\frac{ 1 3 } { 2 },$  试求∠BMF+∠CNF的度数.
知识点：三角形中位线定理
求代数式  $\frac{ 3 x + 2 y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }+\frac{ x } { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$  的值，其中x=2+y.
知识点：分式的加减法
计算  $\frac{ x ^ { 2 } } { x + 1 }-x+1$  +1时，小明、小亮两名同学的解法如图所示.
（1）判断小明、小亮两名同学的解题过程有无错误.若有错误，则找出最先出错的式子，并改正.
（2）请任选一种自己喜欢的解法，完成解答.

知识点：分式的加减法
$\frac{ x ^ { 2 } + 4 x } { x ^ { 2 } + 2 x }-\frac{ x ^ { 2 } - 4 } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 }.$    
知识点：分式的加减法
$x^2+x-\frac{ x ^ { 3 } } { x - 1 }+1.$  
知识点：分式的加减法
小明和小刚骑自行车经过同样长的一段路程， 小明以a km/h的速度骑完全程的一半， 又以bkm/h的速度骑完余下的路程； 小刚以a km/h的速度骑完全程时间的一半， 又以bkm/h的速度骑完另一半时间（a≠b），则骑完全程所用的时间较少的是（    ） 
 A. 小明 
 B. 小刚 
 C. 时间相同 
 D. 无法确定
知识点：分式的加减法
已知a、b、c是互不相等的正实数,满足  $a^2=b^2-bc,c^2=b^2-ca,$  ,求证:  $\frac{ 1 } { b }+$    $\frac{ 1 } { c }=\frac{ 1 } { a }.$  
知识点：分式的加减法
2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
    
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_________.（结果精确到 0.1）
知识点：利用频率估计概率
近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有_________只A种候鸟.
知识点：利用频率估计概率
下列成语描述的事件为随机事件的是（） 
 A. 瓮中捉鳖 
 B. 水中捞月 
 C. 守株待兔 
 D. 水涨船高
知识点：随机事件
已知平面上四点A(0，0）、B(4，0）、C(4，2）、D(0，2），直线y=mx-m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为________.
知识点：矩形的判定
下列事件中，是不确定事件的是（） 
 A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 
 B. 同位角相等，两条直线平行 
 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 
 D. 对顶角相等
知识点：随机事件
彩民李大叔购买1张彩票中奖.这个事件是（） 
 A. 必然事件 
 B. 确定性事件 
 C. 不可能事件 
 D. 随机事件
知识点：可能性的大小
一个不透明的袋子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，从中摸出1个球，下列说法中正确的是（） 
 A. 摸出的球一定是白球 
 B. 摸出的球一定是黑球 
 C. 摸出白球的可能性大 
 D. 摸出黑球的可能性大
知识点：可能性的大小
（1）尝试证明：等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.但是当时并未说明这个结论的合理性.现在我们学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了如图①，若在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，则CD= $\frac{1}{2}$ AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图②所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系.
②如图③所示，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形.

知识点：矩形的判定
小芳有一串形状、大小差不多的钥匙，其中只有2把能开教室门锁，其余5把是开其他门锁的.在看不见的情况下随意摸出一把钥匙开门锁，小芳能打开教室门锁的可能性为（） 
 A. $\frac{2}{7}$  
 B. $\frac{3}{7}$  
 C. $\frac{5}{7}$  
 D. $\frac{2}{5}$ 
知识点：可能性的大小
$\frac{ 1 } { x + 1 }+\frac{ 1 } { x ^ { 2 } - 1 }+\frac{ 1 } { 1 - x }.$  
知识点：分式的加减法
若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（） 
 A. 明天下雨的可能性比较大 
 B. 明天一定不会下雨 
 C. 明天一定会下雨 
 D. 明天下雨的可能性比较小
知识点：利用频率估计概率
在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，则可以推算a大约是（） 
 A. 11 
 B. 14 
 C. 17 
 D. 20
知识点：利用频率估计概率
如图①，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证：BME=∠CNE.（提示：取BD的中，点H，连接FH、HE作辅助线
问题一：如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论，
问题二：如图③，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明
问题三：如图④，四边形ABCD中，E、F分别13是AD、BC的中点，AB=5，CD=12，EF= $\frac{13}{2}$ ，试求∠BMF+∠CNF的度数.

知识点：三角形中位线定理
如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有四个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618；④若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是（）.
 
 A. ①② 
 B. ②③ 
 C. ③④ 
 D. ②④
知识点：利用频率估计概率
在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为（） 
 A. 6 
 B. 8 
 C. 10 
 D. 12
知识点：利用频率估计概率
中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500位学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机抽取了400位家长进行调查，结果有360位家长持反对态度.则这次调查的样本容量是____.
知识点：全面调查与抽样调查
在一个不透明的口袋里装有1个红球，2个白球和n个黄球，这些球除颜色外其余都相同.若从该口袋中任意摸出1个球，摸到白球的可能性大于摸到黄球的可能性，则n等于____.
知识点：可能性的大小
一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀.不断重复这个过程，获得数据如下：

该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是____（精确到0.01），由此估计出红球有____个。
知识点：频数与频率
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0） ，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转  $90^{\circ},$  ，得到△A'BO'，则点A'的坐标为____。

知识点：坐标与图形性质
如图， 将正方形ABCD沿BE折叠， 使点A落在对角线BD上的A'处，连接A'C，则∠BA'C=____°.

知识点：展开图折叠成几何体
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为 F， 将 △ABC分割后拼接成矩形B CHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是____.

知识点：三角形中位线定理
矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E、F为直线AD上两点， 且满足四边形BCFE为菱形，若M 为EF 的中点，则AM 的长为____.
知识点：菱形的判定与性质
如图所示，在边长为2cm的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点， 点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为________cm.

知识点：正方形的性质
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（    ）.
 
 A. AC=AD 
 B. BC=DE 
 C. AB⊥EB 
 D. ∠A=∠EBC
知识点：旋转的性质
如图，在△ABC中，∠ACB  $=90^{\circ},$  ，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（    ）. 
  
 A. 90°＋ $\frac{1}{2}$ α 
 B. 90°－ $\frac{1}{2}$ α 
 C. 180°- $\frac{3}{2}$ α 
 D. $\frac{3}{2}$ α
知识点：旋转的性质
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转  $95^{\circ},$  ，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD=____。

知识点：旋转的性质
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角  $\alpha\left(0^{\circ}△A DE，，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，  $\angle CAD=25^{\circ},$  则旋转角的度数是_______.

 
知识点：旋转的性质
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）.
（1）将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到  $\triangle{A_1}{B_1}C_1,$  ，请画出  $\triangle{A_1}{B_1}C_1;$  
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转  $180^{\circ},$  ，得到  $\triangle{A_2}{B_2}C_2,$  ，请画出  $\triangle{A_2}{B_2}C_2.$  

知识点：旋转的性质、作图-旋转变换
如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB=CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA=∠DCB，连接DE与AC交于点F，且  $\angle B=70^{\circ},\angle A=10^{\circ}.$  
（1）求证：AB=ED；
（2）求∠AFE的度数.

知识点：旋转的性质
$\left(\frac{m^{2}}{m-1}-m-1\right)\div\frac{2 m}{1-m^{2}}$ .
知识点：分式的混合运算
先化简，再求值： $({\frac{a}{a-b}}-\frac{b^2}{a^2-ab})\div\frac{a^2+2ab+b^2}{a}$ .当 $a=-1$ 时，请你选择一个合适的数作为 $b$ 的值代入求值.
知识点：代数式求值、分式的化简求值
先化简，再求值： $({x+2+\frac{3x+4}{x-2}})\div\frac{x^2+6x+9}{x-2}$ ，取一个合适的 $x$ 的值代入求值.
知识点：代数式求值、分式的化简求值
先化简，再求值：  $\frac{ a } { a - 1 }\div\frac{ a + 1 } { a ^ { 3 } - 1 }-\left(2a-1\right),$  其中a=3.
知识点：分式的混合运算
（1）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：第一次（单价：3元/千克）：


①完成上表.
②计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价（均价一总金额一总质量）.
 
（2）【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次买菜的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价x甲，x乙，比较：x甲，x乙 的大小，并说明理由。
 
（3）【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次.船在静水中的航行的速度为v，所需时间为  $t_1$  如果水流的速度为p(pv），船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为所需时间为  $t_2,$  .请借鉴上面的研究经验，比较  $t_1、t_2$  的大小，并说明理由。
知识点：分式的混合运算
先化简，再求值：  $\frac{ 2 } { x ^ { 2 } + x }\div\left(1-\frac{ x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }\right),$  其中x是不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2(x-1)\ltx+1 \\ 5x+3\geqslant2x\end{array}\right.$ 的整数解.
知识点：分式的混合运算
已知一次函数y=-x+1与反比例函数  $y=-\frac{ 2 } { x },x$  与y的部分对应值如下表：

则不等式  $-x+1>-\frac{ 2 } { x }$  的解集为____________________。
知识点：反比例函数的定义、反比例函数的图象、反比例函数的性质
某校九年级兴趣小组进行投针实验，在地面上有一组平行线，相邻两条平行线间的距离都为5cm，将一长为3cm的针任意投向这组平行线，下表是他们的试验数据.

（1）计算出针与平行线相交的频率，并完成统计表；（2）估算出针与平行线相交的频率；（3）由表中的数据说明：在以上条件下相交与不相交的可能性相同吗？
知识点：可能性的大小、利用频率估计概率
某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇）、B（安全防疫篇）、C（劳动实践篇）、D（冬奥运动篇）.下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业所在扇形的圆心角是________度。

知识点：圆心角、弧、弦的关系
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE=6，则BF的长为（    ）
 
 A. 6 
 B. 4 
 C. 3 
 D. 5
知识点：三角形中位线定理
下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：三角形中位线定理
如图，在  $▱ABCD$  中，点E在BC上，且CD=CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为  $F_n$  若  $\angle DAF=48^{\circ},$∠C的度数为（    ）  $A.84^{\circ}$    $B.96^{\circ}$    $C.98^{\circ}$    $D.106^{\circ}$   
 A. $84^{\circ}$  
 B. $96^{\circ}$  
 C. $98^{\circ}$  
 D. $106^{\circ}$ 
知识点：三角形中位线定理
如图，E是  $▱ABCD$  边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BC ED为平行四边形的是（    ） 
 A. ∠ABD=∠DCE 
 B. DF=CF 
 C. ∠AEB=∠BCD 
 D. ∠AEC=∠CBD
知识点：三角形中位线定理
如图， 四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心、大于  $\frac{ 1 } { 2 }BF$  长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF.下列结论中不一定成立的是（    ） 
 A. BE=EF 
 B. $EF//CD$  
 C. AE平分∠BEF 
 D. AB=AE
知识点：三角形中位线定理
如图，把含  $30^{\circ}$  角的直角三角板PM N放置在正方形ABCD中，  $\angle PMN=30^{\circ},$  .直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M、N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（    ）           
 A. $60^{\circ}$  
 B. $65^{\circ}$  
 C. $75^{\circ}$  
 D. $80^{\circ}$ 
知识点：三角形中位线定理
如图， 菱形ABCD中， 点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若  $BF\colon CE=1\colon2,EF=\sqrt7,$  则菱形ABCD的边长是（    ） 
 A. 3 
 B. 4 
 C. 5 
 D. $\frac{ 4 } { 5 }\sqrt7$    
知识点：三角形的外角性质
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（    ）.
 
 A. ∠B=∠F 
 B. DE=EF 
 C. AC=CF 
 D. AD=CF
知识点：三角形中位线定理
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：

（1）上表中a=________，b=________（2）请估计，当n很大时，频率将会接近________（3）这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由，
（4）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽，估计可得到油菜秧苗多少棵.
知识点：可能性的大小、利用频率估计概率
将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A'处，如图所示.若∠A'=35°，∠B=105°，则∠A'NC的大小为（    ）
 
 A. 80° 
 B. 90° 
 C. 100° 
 D. 120°
知识点：三角形中位线定理
计算  $\frac{ 2 a } { a + 1 }\div\frac{ a } { a + 1 }$  的结果是（    ） 
 A. 2 
 B. 2a+2 
 C. 1 
 D. $\frac{ 4 a } { a + 1 }$
知识点：分式的乘除法
计算  $\frac{ x ^ { 2 } + 4 x + 4 } { x ^ { 2 } - 4 }\div\frac{ x ^ { 2 } + 2 x } { x - 2 }$  的结果是（    ） 
 A. $\frac{ 1 } { x }$ 
 B. $\frac{ 1 } { x + 2 }$ 
 C. $\frac{ 1 } { x - 2 }$ 
 D. $\frac{ x } { x + 2 }$
知识点：分式的乘除法
计算： 
 $\frac{ a + 3 } { 1 - a }\div\frac{ a ^ { 2 } + 3 a } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 }.$  
知识点：分式的乘除法