despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
如图,  $AB=AE,AB\parallel DE,\angle DAB=70^{\circ},\angle E=40^{\circ}.$ 
(1)求∠DAE的度数;
(2)若  $\angle B=30^{\circ},$  求证:AD=BC.

知识点：全等三角形的性质
如图,点B、C、E在同一条直线上,AC//DE, BC=DE, ∠ACD=∠B.若AC=0.8cm,则CE=________cm.

知识点：全等三角形的性质
如图,AO平分∠BAC, ∠AOD=∠AOE,图中的全等三角形共有________对,它们分别是____________________.

知识点：全等三角形的性质
如图,AB//DE,B、C、D三点在同一条直线上,  $\angle A=90^{\circ},EC\bot BD,$  且AB=CD.求证:AC=CE.

知识点：全等三角形的性质
如图,点B、D在线段AE上,AD=BE, AC//EF, ∠ABC=∠EDF.,求证:BC=DF.

知识点：全等三角形的性质
如图,  $\angle ACB=90^{\circ},AC=BC,AD\bot CE,BE\bot CE,$  垂足分别是D、E,AD=3,BE=1,求DE的长.

知识点：全等三角形的性质
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,要使△ABC≅△DEF(不添加其他字母及辅助线),则需补充一个条件,合适的条件共有（    ）。 
 A. 4个 
 B. 3个 
 C. 2个 
 D. 1个
知识点：全等三角形的性质
如图,AB//DE,AC//DF,AC=DF,添加下列条件不能判定.△ABC≅△DEF的是（    ）。
 
 A. AB=DE 
 B. ∠B=∠E 
 C. EF=BC 
 D. EF//BC
知识点：全等三角形的性质
如图,AC=AD,∠1=∠2,要使△ABC≅△AED,应添加的条件是____________________________(只需写出一个条件即可).

知识点：全等三角形的性质
如图,在△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},AD$  平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,,垂足为E.若BC=4,DE=1.6,则BD的长为____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD,则图中与BC相等的线段是____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.求证:BE=CF.

知识点：全等三角形的性质
如图,BC//EF,AC//DF,添加下列条件不能判定△ABC≅△DEF的是（    ）。
 
 A. AB=DE 
 B. AD=BE 
 C. AC=DF 
 D. ∠C=∠F
知识点：全等三角形的性质
如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为________(用含a、b、c的代数式表示).

知识点：全等三角形的性质
计算 $\sqrt{8a}\div\sqrt{2a}$ 的结果为（    ） 
 A. $\sqrt{2}$  
 B. $\sqrt{6a}$  
 C. 2 
 D. 4 $a$ 
知识点：二次根式的乘除法
下列计算中，正确的是（    ） 
 A. $-\sqrt{1+\frac{9}{40}}\div\sqrt{0.7}=-\frac{1}{2}\sqrt{7}$  
 B. $5xy\div\frac{\sqrt{y^3}}{\sqrt{25x^2}}=y^2\sqrt{y}$  
 C. $\sqrt{15}\times\sqrt{\frac{1}{5}}\div\sqrt{3}=3$  
 D. $\frac{1}{7}\sqrt{(-6{})^2xy}\div7\sqrt{6xy}=-\frac{1}{49}$ 
知识点：二次根式的乘除法
若ab\gt0,a+b\lt0,给出下列各式：① $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ; ② $\sqrt{\frac{a}{b}}$ · $\sqrt{\frac{b}{a}}=1$ ;③ $\sqrt{ab}\div\sqrt{\frac{a}{b}}=-b$ .其中，正确的是________（填序号).
知识点：二次根式的乘除法
若等式 $\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+2}}$ 成立，则x的取值范围是________.
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\frac{\sqrt{41^2-40^2}}{3^2+4^2}$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\sqrt{\frac{2}{45}}\div({\frac{3}{2}}\sqrt{1\frac{3}{5}})$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\sqrt{3a^2}\div3\sqrt{\frac{a}{2}}\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{3}}$ .
知识点：二次根式的乘除法
下列各式计算正确的是（    ） 
 A. $\sqrt{27}\div\sqrt{3}=9$  
 B. $\sqrt{48}\div\sqrt{16}=\sqrt{3}$  
 C. $\sqrt{20}\div\sqrt{4}=4$  
 D. $\sqrt{\frac{4}{3}}\div\sqrt{\frac{1}{9}}=3\sqrt{2}$ 
知识点：二次根式的乘除法
如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则BD的长为________.

知识点：全等三角形的性质
如图,AC平分∠DCB, CB=CD, DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=  $49^{\circ},$  则∠BAE的度数为____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,△ABC≅△A'B'C', AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线.求证:AD=A'D'.

知识点：全等三角形的性质
如图,点A、E、F、B在直线l上,AE=BF,AC∥BD,且AC=BD.
(1)求证:CF∥DE(请用“ $\Rightarrow$ ”表述推理过程);
(2)若△ACF的周长为8.8,AC=4,BE=2,则DE的长为____________。

知识点：全等三角形的性质
计算 $\sqrt{45}\div3\sqrt{2}\times\sqrt{\frac{2}{5}}$ 的结果是（    ）. 
 A. 1 
 B. 2.5 
 C. 5 
 D. 6
知识点：二次根式的乘除法
给出下列算式：① $\frac{\sqrt{({-4})^2ab}}{\sqrt{4ab}}=-4$ ;② $\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{5^2-3^2}}=1\frac{1}{4}$ ;③ $\frac{28x}{\sqrt{7}x}=4\sqrt{x}$ ;④ $\frac{\sqrt{({b-a})^2}}{\sqrt{a-b}}=\sqrt{a-b}({a\gtb}).$ 其中，正确的是（    ） 
 A. ①③ 
 B. ②④ 
 C. ①④ 
 D. ②③
知识点：二次根式的乘除法
如图，点D是△ABC内一点，点E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°，求四边形EFGH的周长.

知识点：中点四边形
已知矩形的面积是48cm $^2$ ,其中一边的长是 $\sqrt{32}$ cm,则该矩形的相邻的另一边的长为________cm.
知识点：二次根式的乘除法
化简：
$\sqrt{\frac{72a^3b}{({a-b})^2}}({0\ltb\lta})$ .
知识点：二次根式的乘除法
先仔细阅读第(1)题，再解答第(2)题。
（1）a为何值时，方程  $\frac{ x } { x - 3 }=2+\frac{ a } { x - 3 }$  会产生增根解方程：两边同时乘 $\left(x-3\right)$ ，得 $x=2\left(x-3\right)+a①$ ，因为 $x=3$ 是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将 $x=3$ 代入①，得 $3=2\times\left(3-3\right)+a,$ 所以 $a=3$ 。
（2）当m为何值时，方程  $\frac{ y } { y - 1 }-\frac{ m ^ { 2 } } { y ^ { 2 } - y }=\frac{ y - 1 } { y }$  会产生增根?
知识点：分式方程
已知关于x的分式方程  $\frac{ x + a } { x - 2 }-\frac{ 5 } { x }=1.$  
（1）若方程的增根为 $x=2$ ，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值。
知识点：分式方程
关于 $x$ 的分式方程  $\frac{ x - a } { x - 3 }=-2$  的根是正数，试确定的取值范围。
关于本题,有同学解答如下：
解：两边同乘 $\left(x-3\right)$ ，得 $x-a=-2\left(x-3\right)$ ，化简，得 $3x=a+6$ ，所以  $x=\frac{ a + 6 } { 3 }.$  
因为原方程的根是正数，所以  $\frac{ a + 6 } { 3 }\gt0,$  得 $a\gt-6$ 。
所以当 $a\gt-6$ 时，原方程的根是正数。
你认为上述解法正确吗？如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答。
知识点：分式方程
如果关于 $x$ 的方程  $\frac{ 2 x + m } { x - 1 }=1$  的解是正数，那么 $m$ 的取值范围是（    ）。 
 A. $m\gt-1$  
 B. $m\gt-1$ 且 $m\ne0$  
 C. $m\lt-1$  
 D. $m\lt-1$ 且 $m\ne-2$ 
知识点：分式方程
若关于 $x$ 的方程  $\frac{ m x - 1 } { x - 1 }=3$  无解，则 $m$ 的值为（    ）。 
 A. 1 
 B. 1或3 
 C. 1或2 
 D. 2或3
知识点：分式方程
化简：
$\sqrt{\frac{a^2-4ab+4b^2}{a^4b^2}}({0\lt2b\lta})$ .
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\sqrt{\frac{2}{5}}\times2\sqrt{12}\div\sqrt{\frac{3}{10}}.$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\sqrt{\frac{x^3y}{3}}\div\sqrt{6xy}$ · $\sqrt{8x^5y}({x\gt0,y\gt0}).$ 
知识点：二次根式的乘除法
计算：
$\sqrt{75}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\div\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
知识点：二次根式的乘除法
如图，点E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点.(1)证明：四边形EFGH为平行四边形；(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2,则四边形EFGH的面积是________cm2.

知识点：中点四边形
如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若点M为EF的中点，OM=5,∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度.
知识点：中点四边形
计算：
 $\frac{\sqrt{3a}}{b}$ · $({\sqrt{\frac{b}{a}\div\sqrt{\frac{1}{b}}}})$ .
知识点：二次根式的乘除法
如图(1)，四边形ABCD四条边上的中点分别为点E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是________,证明你的结论；(2)如图(2)，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD,当AC与BD满足________条件时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论.(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由

知识点：中点四边形
如图，在□ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF.求证：(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形AECF是平行四边形.

知识点：四边形综合题
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长.
知识点：四边形综合题
如图, 正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G.则BG=____.

知识点：正方形的判定与性质
如图, 四边形ABCD是正方形, E, F是AD、DC上的点,且  $\angle EBF=45^{\circ},$  则EF与CF+AE相等吗?说明理由.

知识点：正方形的判定与性质
如图, 已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若∠CAD=∠DBC.(1) 求证:四边形ABCD是正方形;(2)E是OB上一点,DH⊥CE,垂足为点H,DH与OC相交于点F,求证:OE=OF。

知识点：正方形的判定与性质
如图,正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2.
(1)如图(1),当DG=2时, 求证:菱形EFGH是正方形;
(2)如图(2),连接CF,,当△FCG的面积等于1时,求线段DG的长度.

知识点：正方形的判定与性质
如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O,点E、F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形A ECF是正方形.

知识点：正方形的判定与性质
如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F(1)若AB=2,AD=3,求EF的长；(2)若G是EF的中点，连接BG和DG,求证：△BCG≌△DFG.

知识点：四边形综合题
如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6,BC=10,AC=8,∠ABC=∠BCD.过点D作DE⊥BC,垂足为点E,延长DE至点F,使EF=DE,连接BF、CF.(1)求证：四边形ABFC是矩形；(2)求DE的长.

知识点：四边形综合题
先将 $\frac{\sqrt{x-2}}{x-2}\div\sqrt{\frac{x}{x^3-2x^2}}$ 化简，然后选择一个合适的x的值，代人化简后的式子求值.
知识点：二次根式的乘除法
如图，在△ABC中，AB=AC,点E、F分别在AB、AC上，AE=AF,BF与CE相交于点P.求证：PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.

知识点：全等三角形的性质
如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AC=DB,AC,BD相交于点O,则图中的全等三角形共有（    ）。
 
 A. 2对 
 B. 3对 
 C. 4对 
 D. 5对
知识点：全等三角形的性质
如图,  $AB=AC,AD=AE,BE=CD,\angle2=110^{\circ},\angle BAE=60^{\circ},$  则下列结论错误的是（    ）。
 
 A. △ABE≅△A CD 
 B. △ABD≅△ACE 
 C.   $\angle ACE=30^{\circ}$   
 D.   $\angle1=70^{\circ}$  
知识点：全等三角形的性质
木工师傅在做完门框后为了防止变形,常用如图所示的方法钉上两根斜拉的木条,这样做的数学依据是____________________.

知识点：全等三角形的性质
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B、D、E三点在同一条直线上.若  $\angle1=31^{\circ},\angle2=$ $66^{\circ},$  则∠3的度数为________________.

知识点：全等三角形的性质
如图,AB=CD,AD=CB,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:
(1)AB//CD;
(2)BF=DE.

知识点：全等三角形的性质
如图,平面上有△ACD与△BCE, AD与BE相交于点P.若AC=BC,AD=BE,CD=  $CE,\angle ACE=55^{\circ},\angle BCD=155^{\circ},$  则∠BPD的度数为(    )。
 
 A. $110^{\circ}$   
 B.  $125^{\circ}$  
 C.  $130^{\circ}$  
 D.  $155^{\circ}$ 
知识点：全等三角形的性质
已知实数a、b满足 $\sqrt{4a-b+1}+\sqrt{\frac{1}{3}b-4a-3}=0$ ,求  $2a\sqrt{\frac{a}{b}}$ · $({\sqrt{\frac{b}{a}}}\div\sqrt{\frac{1}{-b}})$ 的值.
知识点：二次根式的乘除法
甲、乙两人沿着总长度为10 km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程。设乙的速度为 $x$ km\h, 则下列方程中正确的是（    ）。 
 A. $\frac{10}{x}-\frac{10}{1.2x}=12$  
 B. $\frac{10}{1.2x}-\frac{10}{x}=0.2$  
 C. $\frac{10}{1.2x}-\frac{10}{x}=12$  
 D. $\frac{10}{x}-\frac{10}{1.2x}=0.2$ 
知识点：分式方程
为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18 km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km。他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的  $\frac{ 3 } { 4 }.$  小王乘公交车上班平均每小时行驶（    ）。 
 A. 30 km 
 B. 36 km 
 C. 40 km 
 D. 46km
知识点：分式方程
某学校即将开展读书活动，决定为各班级添置图书柜，原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个书柜上涨20元，实际购买时多花了400元，则书柜原来每个________元。
知识点：分式方程
某工程队准备修建一条长3600m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前3天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
知识点：分式方程
为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校。实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
知识点：分式方程
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km。由于小明父母在外工作，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天骑自行车接小明上班比平时独自步行上班多用了20 min， 问：王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？

知识点：分式方程
下列根式中，是最简二次根式的为（    ） 
 A. $\sqrt{\frac{1}{9}}$  
 B. $\sqrt{4}$  
 C. $\sqrt{a^2}$  
 D. $\sqrt{a+b}$ 
知识点：最简二次根式
将 $\sqrt{\frac{45}{2}}$ 化为最简二次根式，其结果是（    ） 
 A. $\frac{\sqrt{45}}{2}$  
 B. $\frac{\sqrt{90}}{2}$  
 C. $\frac{9\sqrt{10}}{2}$  
 D. $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ 
知识点：最简二次根式
化简：
$\sqrt{\frac{3}{2}}=$ ________.
知识点：最简二次根式
化简：
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}=$ ________.
知识点：最简二次根式
在二次根式 $\sqrt{15}$ 、 $\sqrt{20}$ 、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 、 $\sqrt{0.4}$ 中，最简二次根式有________个.
知识点：最简二次根式
已知m= $\sqrt{18}$ .(1)将m化为最简二次根式为________.(2)若m÷■= $\sqrt{6}$ ，则“■”表示的数是________.
知识点：最简二次根式
下列根式是最简二次根式吗？若不是，请化成最简二次根式.
(1) $\sqrt{14}$ 
(2) $\sqrt{72}$ 
(3) $\sqrt{25a^3}$ 
(4) $\sqrt{\frac{y}{x}}$ 
(5) $\sqrt{a+b^2}$ 
(6) $\sqrt{({a+b})^3}$ 
 
知识点：最简二次根式
如图, 将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使C、A两点重合,点D落在点G处.已知AB=4,BC=8.
(1)求证:△AEF是等腰三角形;
(2)求线段FD的长.

知识点：线段的性质：两点之间线段最短
如图, 在矩形纸片ABCD中,AD=4,AB=8,把纸片沿直线AC折叠,使点B落在E处,AE交DC于点  $F_1$  ,求△CEF的面积

知识点：几何体的表面积
如图, 在矩形ABCD中, 点E、F分别是BC,DC上的动点.沿EF折叠△CEF,使点C的对称点G落在AD上,若AB=3,BC=5,求CF的取值范围.

知识点：线段的和差
数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为  $\sqrt2$  的正方形ABCD与边长为  $\sqrt5$  的正方形A EFG按图(1)位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,,请你帮他说明理由;
(2) 如图(2) , 小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长

知识点：图形的旋转
当a\lt0,b\lt0时，把 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 化为最简二次根式，结果是（    ） 
 A. $\frac{1}{b}\sqrt{ab}$  
 B. $-\frac{1}{b}\sqrt{ab}$  
 C. $-\frac{1}{b}\sqrt{-ab}$  
 D. $b\sqrt{ab}$ 
知识点：最简二次根式
化简m· $\sqrt{-\frac{1}{m}}$ 的结果是（    ） 
 A. $-\sqrt{-m}$  
 B. $\sqrt{-m}$  
 C. $-\sqrt{m}$  
 D. $\sqrt{m}$ 
知识点：最简二次根式
化简 $a\sqrt{-\frac{a+1}{a^2}}$ 的结果是________.
知识点：最简二次根式
若 $\sqrt{2^{m+2}}$ 和 $\sqrt{3^{2m-n+1}}$ 都是最简二次根式，则 $m+n=$ ________.
知识点：最简二次根式
计算：
$\sqrt{72}\div\sqrt{6}$ 
知识点：最简二次根式
计算：
$\frac{\sqrt{24}}{2\sqrt{3}}$ 
知识点：最简二次根式
计算：
$\sqrt{45}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\div\frac{1}{\sqrt{3}}$ 
知识点：最简二次根式
计算：
$\frac{\sqrt{3a}}{b}$ · $({\sqrt{\frac{b}{a}}}\div\sqrt{\frac{2}{b}})$ 
知识点：最简二次根式
如图,在△ABC中,AB=AC,E、D、F是BC的四等分点,AE=AF,则图中的全等三角形共有________对,分别是____________________.

知识点：全等三角形的性质
如图,以△ABC的顶点A为圆心,BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD、CD.若  $\angle B=65^{\circ},$  则∠D的度数为________。

 
知识点：全等三角形的性质
如图,点A、D、C、B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:AE∥FB.

知识点：全等三角形的性质
如图,AC=AD,BC=BD.求证:∠C=∠D.

知识点：全等三角形的性质
如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则与∠ACB相等的是（    ）。
 
 A. ∠EDB 
 B. ∠BED 
 C.   $\frac{ 1 } { 2 }\angle AFB$   
 D. 2∠ABF
知识点：全等三角形的性质
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= $\sqrt{8}$ ，BC= $\sqrt{2}$ ，求斜边AB上的高CD的长.

知识点：最简二次根式
老师在黑板上写出下面的一道题作为练习：已知 $\sqrt{7}$ =a, $\sqrt{70}$ =b,用含a、b的代数式表示 $\sqrt{4.9}$ .小豪、小麦两名同学上台板书了下面两种解法：
小豪： $\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49\times10}{10\times10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{\sqrt{7\times70}}{10}=\frac{\sqrt{7}\times\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}$
 
小麦: $\sqrt{4.9}=\sqrt{49\times0.1}=7\sqrt{0.1}$ .
因为 $\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$ ,
所以 $\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\frac{7a}{b}$ .
老师看后，提出下列问题：(1)两名同学的解法都正确吗？(2)请你再给出一种不同于这两名同学的解法.
知识点：最简二次根式
如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是（    ）。
 
 A. SAS 
 B. ASA 
 C. AAS 
 D. SSS
知识点：角平分线的性质
如图,在Rt△ABC中,  $\angle ABC=90^{\circ},$  根据尺规作图的痕迹判断下列结论:①DB=DE; ②AB=AE; ③∠EDC=∠BAC; ④∠DAC=∠C.其中,错误的是____(填序号).

知识点：角平分线的性质
如图,A是∠MON的边ON上的一点,利用直尺和圆规,过点A分别作OM、ON的垂线(不写作法,保留作图痕迹).

知识点：角平分线的性质
如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)尺规作图:在AC上有一点D,连接BD,并在BD的延长线上取点E,连接AE,使AE=AB,作∠EAC的平分线AF,交DE于点F(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,连接CF.求证:∠E=∠ACF.

知识点：角平分线的性质
下列尺规作图中,能判断AD是△ABC的高的是（    ）。 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：角平分线的性质
下列计算正确的是(    )     
 A.  $\sqrt3\times\sqrt5=\sqrt{ 1 5 }$  
 B.  $\sqrt3\times\sqrt5=3\sqrt5$  
 C. $\sqrt3\times\sqrt5=5\sqrt3$   
 D.  $\sqrt3\times\sqrt5=\sqrt8$ 
知识点：分式的定义、二次根式
若等式  $\sqrt{ m ^ { 2 } - 4 }=\sqrt{ m + 2 }\cdot\sqrt{ m - 2 }$  成立,则m的取值范围是(    ) 
 A. m≥-2 
 B. m≥2 
 C. -2≤m≤2 
 D. m≥4
知识点：分式的定义、二次根式
计算:  $\sqrt{ 1 2 }\times\sqrt3=$  ____    
知识点：分式的定义、二次根式
$2\sqrt3\times\sqrt{ \frac{ 1 } { 3 } },$  
知识点：二次根式的定义
$-\sqrt{ 1 9 ^ { 2 } - 1 7 ^ { 2 } }.$  
知识点：分式的定义、二次根式
$2\sqrt{ 5 a }\times\sqrt{ 1 0 a }\left(a\ge0\right).$  
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 2 7 }\times3\sqrt{ 1 2 }\times\frac{ 1 } { 2 }\sqrt3,$  
知识点：分式的定义、二次根式
关于  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }$  的变形,不正确的是(    )     
 A.  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }=\sqrt{ 3 \times1 2 }$  
 B.  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }=\sqrt3\times\sqrt2\times\sqrt6$  
 C.  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }=\sqrt{ 3 + 1 2 }$  
 D.  $\sqrt3\times\sqrt{ 1 2 }=\sqrt3\times2\sqrt3$ 
知识点：分式的定义、二次根式
计算  $\sqrt{ 6 a }\cdot\sqrt{ 2 a }\left(a\ge0\right)$  的结果是(    )   
 A.  $2\sqrt3a$  
 B.  $3\sqrt2a$  
 C.  $\sqrt{ 3 a }$  
 D.  $3\sqrt{ 3 a }$ 
知识点：分式的定义
小明的作业本上有下列题目 ① $\sqrt{16 a^{4}}=$ 4a2  ② $\sqrt{5 a}\times\sqrt{15 a}=5\sqrt{3}a$    ③ $a\sqrt{\frac{1}{a}}=$ $\sqrt{a^{2} \cdot\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$  ④ $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$ 其中,做错的题是(    ) 
 A. ① 
 B. ② 
 C. ③ 
 D. ④
知识点：分式的定义
$\sqrt{ \frac{ 1 } { 2 } }\times\sqrt{ 5 0 }=$    ____
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ \left( - 2 1 \right) \times\left( - 2 8 \right) }=$ -——-
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 2 7 a ^ { 3 } b ^ { 2 } }\left(a\ge0,b\ge0\right)=$ ----------
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 2 4 a }\cdot\sqrt{ 1 8 a ^ { 3 } }\left(a\ge0\right)=$----------- 
知识点：分式的定义、二次根式
如图,在Rt△ABC中,  $\angle B=90^{\circ},$  以点A为圆心,适当的长为半径画弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于  $\frac{ 1 } { 2 }DE$  的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G.若BG=1,AC=4,则△ACG的面积为____________。

知识点：角平分线的性质
如图,∠AOB是一个锐角,利用直尺与圆规完成下面的作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)作∠AOB的余角∠BOC;
(2)作∠BOC的平分线OD.

知识点：角平分线的性质
如图,在△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ}.$  
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
②过点D作BC的垂线,垂足为E.
(2)在(1)作出的图形中,若BC=7,DE=3,,求BE的长.

知识点：角平分线的性质
如图,AE//BF,AC平分∠BAE,,交BF于点C.
(1)尺规作图:过点B作AC的垂线,交AC于点O,交AE于点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)作出的图形中,找出相等的线段,并予以证明.

知识点：角平分线的性质
化简:  $\sqrt{ 6 3 }=$  ____    
知识点：分式的定义
计算 $\sqrt{75}$ 
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{18 a}\times\sqrt{2 a}(a\geqslant0)$ 
知识点：分式的定义、二次根式
设 $a=\sqrt{\frac{2020}{2021}}$ , $b=\sqrt{\frac{2021}{2022}}$ ,比较大小： $\frac{a}{b}$ ________1(填“ $\gt$ ”“ $\lt$ ”或“ $=$ ”）
知识点：最简二次根式
已知 $\sqrt{\frac{9-x}{x-6}}=\frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x-6}}$ ,x是偶数，求代数式 $({x+2})\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}$ 的值。
知识点：最简二次根式
下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的为（    ） 
 A. $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{3}$  
 B.  $\sqrt{2}$ 与  $\sqrt{12}$  
 C.  $\sqrt{5}$ 与  $\sqrt{15}$  
 D.  $\sqrt{75}$ 与  $\sqrt{27}$ 
知识点：二次根式的加减法
下列等式成立的是（    ） 
 A. $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$  
 B. $5\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}=\sqrt{6x}$  
 C. $2x\sqrt{27x}-6x\sqrt{\frac{3x}{4}}=3x\sqrt{3x}$  
 D. $3m\sqrt{x}-5\sqrt{m}=3m-5\sqrt{x}$ 
知识点：二次根式的加减法
如图,AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≅△ADC的是（    ）。
 
 A. CB=CD 
 B. ∠BAC=∠DAC 
 C. ∠BCA=∠DCA 
 D.   $\angle B=\angle D=90^{\circ}$  
知识点：全等三角形的性质
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AF=BE,且AC=BD,则下列结论不一定正确的是（    ）。 
 A. AC//BD 
 B.   $\angle C+\angle B=90^{\circ}$   
 C. ∠A=∠D 
 D. Rt△ACE≅Rt△BDF
知识点：全等三角形的性质
如图,在Rt△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},AC=20,BC=10,PQ=AB,P、Q$  两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动.当CP=________时,Rt△ABC≅Rt△QPA.

知识点：全等三角形的性质
如图,在Rt△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},ED\bot AB$  于点D,BC=BD.若AC=3cm,则AE+DE=________________cm。

知识点：全等三角形的性质
有下列条件:①一个锐角和一条边对应相等;②两条边对应相等;③两个锐角对应相等.其中,能判定两个直角三角形全等的是________________________(填序号)。
知识点：全等三角形的性质
如图,AB⊥DB,AC⊥EC,垂足分别为B、C,AD=AE,AC=AB,BD与CE交于点F,连接CD、BE.
(1)求证:∠ADB=∠AEC;
(2)求证:CD=BE;
(3)连接AF,则图中共有________对全等三角形.

知识点：全等三角形的性质
如图,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PE=PF,则下列结论不一定正确的是（    ）。
 
 A. AD平分∠BAC 
 B. AE=AF 
 C. Rt△APE≅Rt△APF 
 D. AP=PE+PF
知识点：全等三角形的性质
若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $5\sqrt{a+1}$ 是同类二次根式，则a的值为________.
知识点：二次根式的加减法
若两个最简根式 $\sqrt{4a+3b}$ 与 $\sqrt[b+1]{3a-2b+6}$ 是同类二次根式，则a十b=________.
知识点：二次根式的加减法
已知某矩形的长和宽分别是 $\sqrt{18}$ 、 $\sqrt{8}$ ，则它的周长是________.
知识点：二次根式的加减法
计算:  $\sqrt{ 2 4 }\times3\sqrt{ 1 8 }\times\frac{ \sqrt3 } { 2 }=$  ____
知识点：分式的定义
化简：  $\sqrt{ 1 8 x ^ { 2 } y ^ { 5 } }\left(x\ge0\right).$  
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 1 3 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } }.$  
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 4 x ^ { 2 } + 6 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\left(x\ge0\right).$  
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }\left(x\ge0,\right.$  y≥0).
知识点：二次根式、二次根式的定义
$2\sqrt6\times\left(-3\sqrt5\right).$  
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{ 1 2 }\times\sqrt{ 2 \frac{ 2 } { 3 } }\times\sqrt{ 1 \frac{ 1 } { 2 } }.$  
知识点：分式的定义、二次根式
$a\sqrt{ \frac{ x } { b } }\cdot\left(-\frac{ b } { a }\sqrt{ a x }\right)\cdot2b\sqrt{ \frac{ a } { b } }\left(a\gt0,\right.$  \left.{b\gt0, x\gt0} ) .
知识点：二次根式的定义
*已知a\lt0,,则化简二次根式  $\sqrt{ - a ^ { 3 } b }$  的结果是(    )  
 A.  $-a\sqrt{ - a b }$  
 B.  $a\sqrt{ - a b }$  
 C.  $.a\sqrt{ a b }$  
 D. $\sqrt{-a b}$ 
知识点：分式的定义、二次根式
我们可以把根号外的数移到根号内,从而达到化简的目的.例如  $2\sqrt{ \frac{ 3 } { 2 } }=\sqrt{ 2 ^ { 2 } \times\frac{ 3 } { 2 } }=\sqrt6.$ 请仿照上例化简:    1、 $3\sqrt{\frac{2}{3}}$  2、 $3\sqrt{\frac{2}{3}}$ （2）请化简： $a\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 
知识点：分式的定义、二次根式
计算：
$3\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$3\sqrt{8}-\sqrt{50}+\sqrt{2}$ 
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{ 1 2 a ^ { 2 } b ^ { 3 } }\left(a\ge0,b\ge0\right)=$---------- 
知识点：分式的定义、二次根式
计算：
$\sqrt{40}-\sqrt{\frac{2}{5}}+2\sqrt{0.1}$ 
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{ \left( - 1 5 \right) \times\left( - 4 5 \right) }=$---------- 
知识点：分式的定义、二次根式
$\sqrt{27a}$ . $\sqrt{ 1 2 a ^ { 3 } }\left(a\ge0\right)=$--------- 
知识点：分式的定义
化简:  $\sqrt{ 1 8 }=$  ____. 
知识点：分式的定义、二次根式
下列式子中，正确的是（    ） 
 A. $\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$  
 B. $\sqrt{a^2-b^2}=a-b$  
 C. $a\sqrt{x}-b\sqrt{x}=({a-b})\sqrt{x}$  
 D. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{3}+\sqrt{4}=\sqrt{3}+2$ 
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{ \frac{ 2 a } { 5 b } }\cdot\sqrt{ \frac{ 2 b } { c } }\cdot\sqrt{ \frac{ c } { 5 a } }=$ 
知识点：分式的定义、二次根式
一个等腰三角形的两边长分别是 $2\sqrt{5}$ 、 $3\sqrt{2}$ ，则这个三角形的周长为（    ） 
 A.  $2\sqrt{5}$  ＋ $6\sqrt{2}$  
 B.  $4\sqrt{5}$  ＋ $3\sqrt{2}$  
 C.  $4\sqrt{5}$  ＋ $6\sqrt{2}$  
 D.  $2\sqrt{5}$  ＋ $6\sqrt{2}$ 或 $4\sqrt{5}$  ＋ $3\sqrt{2}$ 
知识点：二次根式的加减法
若三角形的底边长为  $\sqrt{ 8 5 },$  ,底边上的高为  $\frac{ 1 } { 2 }\sqrt{ 1 7 },$  ,则此三角形的面积为____
知识点：分式的定义、二次根式
已知 $x\sqrt{\frac{2}{x}}+2\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{18x}=10$ .则x的值为（    ） 
 A. 4 
 B. $\pm2$  
 C. 2 
 D. $\pm4$ 
知识点：二次根式的加减法
如果两个最简二次根式 $\sqrt{3x-8}$ 和$\sqrt{17-2x}$ 可以合并，那么x=________.
知识点：二次根式的加减法
若a、b为有理数，且 $\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{9}}=a+b\sqrt{3}$ ，则ab=________.
知识点：二次根式的加减法
$\sqrt{ 3 2 a }\cdot\sqrt{ 3 a }.$ 
知识点：分式的定义、二次根式
计算 $\sqrt{12}-\left|1-\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{27}-1\right|$ 的结果为________.
知识点：二次根式的加减法
计算：
$({\sqrt{32}}+\sqrt{12})-({\sqrt{\frac{1}{2}}}+\sqrt{27})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$({\sqrt{24}-\sqrt{0.5}+3\sqrt{\frac{2}{3}}})-({\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{6}})$ 
知识点：二次根式的加减法
如图,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,,垂足分别为E、F,且AE=CF,则图中相等的角(直角除外)有（    ）。
 
 A. 3对 
 B. 4对 
 C. 5对 
 D. 6对
知识点：全等三角形的性质
如图,A、B、C三点在同一条直线上,  $\angle A=\angle C=90^{\circ},AB=CD,$  请你添加一个适当的条件:________,使得△EAB≅△BCD.

知识点：全等三角形的性质
如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E.若AB=5cm,DE=2cm,则BE的长为________cm.

知识点：全等三角形的性质
如图,AB=AD,CB⊥AB,CD⊥AD,E、F分别是BC、DC的中点,连接AE、AF.求证:AE=AF.

知识点：全等三角形的性质
【知识再现】学完《全等三角形》一章后,我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称‘HL’定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.
【简单应用】如图①,在△ABC中,  $\angle BAC=90^{\circ},AB=AC,$  点D、E分别在边AC、AB上.若CE=BD,则线段AE和线段AD的数量关系是________.
【拓展延伸】如图②,在△ABC中,  $90^{\circ}\lt\angle BAC\lt180^{\circ},AB=AC,$  点D在边AC上.若点E在边AB上,且CE=BD,则线段AE与线段AD相等吗?如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由.

知识点：全等三角形的性质
计算：
$x\sqrt{8x}-2x^2\sqrt{\frac{1}{2x}}+3\sqrt{2x^3}({x\gt0})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$\frac{4}{3}\sqrt{27a}-({6\sqrt{\frac{a}{3}}}+3\sqrt{3a})({a\gt0})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$\frac{1}{2}\sqrt{12}-({3\sqrt{\frac{1}{3}}}+\sqrt{2})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$({2\sqrt{\frac{1}{8}}}-\sqrt{12})-({\sqrt{\frac{1}{2}}-2\sqrt{\frac{1}{3}}})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$({3\sqrt{0.5}-5\sqrt{\frac{1}{3}}})-({2\sqrt{0.125}-\sqrt{20}})$ 
知识点：二次根式的加减法
计算：
$({2\sqrt{\frac{1}{8}}}-\sqrt{18})-({\sqrt{\frac{1}{2}}}+\sqrt{2}-2\sqrt{\frac{1}{3}})$ 
知识点：二次根式的加减法
已知 $3\sqrt{x}+4\sqrt{y}=16$ , $4\sqrt{x}-3\sqrt{y}$ ,则m的取值范围是________.
知识点：二次根式的加减法
如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE.(1)求证：AE=CE;(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF,当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论，

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE,过点C作CF∥BE,交DE的延长线于点F,若EF=3,求DE的长.

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t s.(1)求t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)求t为何值时，四边形AQCP是菱形.

知识点：平行四边形的判定与性质
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,且AO=OC,过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)连接BE,若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE,求∠ABE的度数.
知识点：平行四边形的判定与性质
已知 $y=\sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$ ,求代数式 $\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}-\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$ 的值.
知识点：二次根式的加减法
如图,在平面直角坐标系中,一次函数  $y_1=kx+b$  的图像与反比例函数y $_2$ = $\frac{m}{x}$ 的图像交于点A(-2,2)、B(n,-1).当y $_1$ \lty $_2$ 时，x的取值范围是________________.

 
知识点：反比例函数的定义、反比例函数的性质
如图,反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  (k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图像交于点A(-1,2)和点B,C是点A关于y轴的对称点,连接AC、BC.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)求△ABC的面积.
(3)请结合函数图像,直接写出关于x的不等式  $\frac{ k } { x }\ltmx$  的解集.

知识点：反比例函数的定义、反比例函数的图象
如图,正比例函数y=mx(m\gt0)与反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像交于A、B两点,BD//x轴,交y轴于点C,BD=3BC,若  $S_{\triangle ACD}=$  8,则k的值为(    ).
 
 A. 2 
 B. 4 
 C. 6 
 D. 8
知识点：反比例函数的定义、反比例函数的图象
如图,直线  $y=-\frac{ 3 } { 2 }x+1$  与反比例函数  $y=\frac{ k } { x }$  的图像在第二象限交于点A,点A的横坐标为-2.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)点B的坐标是(-3,0),连接OA、AB.若点P在y轴上,且△AOP的面积与△AOB的面积相等,求点P的坐标.

知识点：反比例函数的定义、反比例函数的图象
如图,点B、C、E在同一条直线上,  $\angle B=\angle E=70^{\circ},\angle ACF=70^{\circ},$  且AB=CE.图中与AC相等的线段是（    ）。
 
 A. BC 
 B. EF 
 C. CF 
 D. AF
知识点：全等三角形的性质
如图,B、A、D三点共线,  $\angle CAE=\angle B=\angle D\lt90^{\circ},AC=AE.$  求证:
(1) △ABC≅△EDA;
(2)BD=BC+DE.

知识点：全等三角形的性质
如图,直线  $l$  过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线 $l$ 的距离分别是AE=1.3,CF=0.8,则EF的长为____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,AC⊥BC,BE⊥CE,AD⊥CE,垂足分别为C、E、D.若AC=BC,AD=5,DE=3,则BE的长为____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E、A、B三点共线,AB=4,则涂色部分的面积是____________。

知识点：全等三角形的性质
如图,BA⊥AD,CD⊥AD,垂足分别为A、D,BE、CE分别平分∠ABC, ∠BCD,交点E恰好在AD上.BC=AB+CD成立吗?为什么?

知识点：全等三角形的性质
如图,在四边形ABCD中,  $\angle B=\angle C=90^{\circ},AB\gtCD,AD=AB+CD.$ 
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,求证:AE⊥DE.

知识点：全等三角形的性质
已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)如图①,若直线CD经过∠BCA的内部,且点E、F在射线CD上,  $0^{\circ}\lt\angle BCA\lt180^{\circ},$    $\angle\alpha+\angle BCA=180^{\circ},$  请写出线段EF、BE、AF之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图②,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请写出线段EF、BE、AF之间的数量关系,并证明你的结论.

知识点：全等三角形的性质
下列函数中，y是x的反比例函数的有（    ）
①y= $\frac{1}{3}$ x，②y=- $\frac{3}{x}$ ；③xy=1，④y=3x $^{-1}$ . 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
已知反比例函数y= $\frac{3}{x}$ ，下列结论中不正确的是（    ） 
 A. 其图像经过点（-1，-3） 
 B. 其图像分别位于第一、第三象限 
 C. 当x\lt0时，y随x的增大而增大 
 D. 当x\gt1时，0\lty\lt3
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
若反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图像经过点(2,1)，则下列各点中，不在该函数图像上的是（    ） 
 A. (1,2) 
 B. (-1,-2) 
 C. （-2,-1) 
 D. (-2,1)
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图像如图所示，M是该函数图像上的一点，MN垂直于x轴，垂足为N如果S△MON=2,那么k的值为（    ）
 
 A. 2 
 B. -2 
 C. 4 
 D. -4
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
函数y=a(x一3)与y= $\frac{a}{x}$ 在同一坐标系中的大致图像是（    ）
  
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
如图，□OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4,3)在对角线OB上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k\gt0,x\gt0)的图像经过C、D两点，已知□OABC的面积是 $\frac{28}{3}$，则点B的坐标为（    ）
 
 A. $\left(5,\frac{15}{4}\right)$  
 B. $\left(6,\frac{9}{2}\right)$  
 C. $\left(\frac{16}{3},4\right)$  
 D. $\left(\frac{28}{5},\frac{21}{5}\right)$ 
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO=30°，AD=4，若反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k\gt0,x\gt0)的图像经过点B,则k的值为（    ）
 
 A. $8\sqrt{3}$  
 B. 8 
 C. 6 
 D. $6\sqrt{3}$ 
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
如图，已知双曲线y=-$\frac{3}{x}$ 经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C，则△AOC的面积为（    ）.
 
 A. 9 
 B. 6 
 C. 4.5 
 D. 3
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
已知双曲线y= $\frac{k+1}{x}$ 经过点(-1,2)，那么k的值等于________
知识点：反比例函数、反比例函数与一次函数的交点问题、根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的应用、反比例函数综合题
已知  $x=2+\sqrt3,y=2-\sqrt3,$  试求代数式  $\frac{ x } { y }+\frac{ y } { x }$  的值.
知识点：分母有理化
(1)已知  $a^2+b^2=6,ab=1,$  求a一b的值;
(2)已知  $a=\frac{ 1 } { \sqrt3 - 1 },b=\frac{ 1 } { \sqrt3 + 1 },$   求 $a^2+b^2$  的值
知识点：分母有理化