despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
如图，在△ABC中，  $\angle ACB=90^{\circ},$  且AC=AD。
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明： $AB\bot DE$ .

知识点：全等三角形的判定
如图，在△ABC中，AC=BC,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E,BE的垂直平分线正好经过点A,交BC于点F.
(1)若AB=a,BF=b,求AC的长；（用含a、b的代数式表示)(2)求∠C的度数.

知识点：等边三角形的判定与性质
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.
从而得数学等式:  $\left(a+b\right)^2=c^2+4\times\frac{ 1 } { 2 }ab,$  化简证得勾股定理：a2+b2=c2.
现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若a=4,b=6,此时空白部分的面积为________

知识点：勾股定理的证明
如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB',则∠C'的度数为（    ）
 
 A. 18° 
 B. 20° 
 C. 24° 
 D. 28°
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（    ）
 
 A. 108° 
 B. 126° 
 C. 144° 
 D. 无法确定
知识点：等边三角形的判定与性质
在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD,若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为________°.
知识点：等边三角形的判定与性质
一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角形的底角度数为________°.
知识点：等边三角形的判定与性质
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设∠ABC=a,则∠ADC=________(用含的代数式表示).

知识点：等边三角形的判定与性质
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.
从而得数学等式:  $\left(a+b\right)^2=c^2+4\times\frac{ 1 } { 2 }ab,$  化简证得勾股定理：a2+b2=c2.
【迁移运用】
如果用三张含  $60^{\circ}$  角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问,小丽拼出图⑤的等边三角形,仿照勾股定理的验证,发现含  $60^{\circ}$  角的三角形三边a、b、c之间的关系为____________________________.
(知识补充：如图⑥，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x=定值k)

知识点：勾股定理的证明
过直线 $l$ 外一点P作直线 $l$ 的垂线PQ。下列尺规作图错误的是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：全等三角形的判定
如图，已知 $\triangle ABC$ 中，  $\angle A=70^{\circ},$  根据作图痕迹推断。∠BOC的度数为________。

知识点：全等三角形的判定
尺规作图。(只保留作图痕述，不要求写出作法)如图，已知∠α和线段a，求作 $\triangle ABC$ ，使∠A=  $\angle\alpha,\angle C=90^{\circ},AB=a.$  

知识点：全等三角形的判定
如图，已知在 $\triangle ABC$ 中，AB=AC。
（1）作图：在AC上有一点D，连接BD并延长，BD的延长线上取点E，使AE=AB，连接AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF.

知识点：全等三角形的判定
如图，在△ABC中，  $\angle ACB=90^{\circ},AC=BC=AD.$  
（1）用直尺和圆规作∠A的平分线交CD于E；
（2）用直尺和圆规过点B作CD延长线的垂线，垂足为F；
（3）请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并加以证明。

知识点：全等三角形的判定
尺规作图：请在原图上作一个 $\angle AOC$ ，使其是 $\angle AOB$ 的 $\frac{3}{2}$ 倍(要求：保留作图痕，在所作图中标上必要的字母)

知识点：全等三角形的判定
以下列各组数为边长能组成直角三角形的是 
 A. 2,3,4 
 B.   $\frac{ 1 } { 3 },\frac{ 1 } { 4 },\frac{ 1 } { 5 }$   
 C.   $3^2,4^2,5^2$   
 D. 6,8,10
知识点：勾股定理的逆定理
△ABC的三边长分别为a、b、c.下列条件能判断△ABC是直角三角形的个数是
①∠A=∠B-∠C;
②a2=(b+c)(b-c);
③∠A:∠B:∠C=3:4:5;
④a:b:c=5:12:13. 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：勾股定理的逆定理
已知△ABC的三边长为a、b、c,满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为________三角形
知识点：勾股定理的逆定理
如图,分别以△ABC的三边为直径向三角形外作半圆,图中有阴影的三个半圆的面积  $S_1、S_2、S_3$  的关系为  $S_1+S_2=S_3,$  则△ABC是____三角形.

知识点：勾股定理的逆定理
如图, 正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE、AF,则∠EAF=____°

知识点：勾股定理的逆定理
如图, 四边形ABCD中,  $\angle A=90^{\circ},AB=3,BC=13,CD=12,AD=4,$  求四边形ABCD的面积.

知识点：勾股定理的逆定理
张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:

(1)请你分别观察a、b、c与之间的关系,并用含自然数n(n\gt1)的代数式表示:a=________;b=________;c=________
(2)猜想:以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?为什么?
知识点：勾股定理的逆定理
如图，在△ABC中，∠A=40°，点D、E分别在边AB、AC上，BD=BC=CE,连接CD、BE.

(1)若∠ABC=80°，求∠BDC,∠ABE的度数；(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并明理由.
知识点：等边三角形的判定与性质
已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC、BC,则△ABC一定是 
 A. 锐角三角形 
 B. 直角三角形 
 C. 钝角三角形 
 D. 等腰三角形
知识点：勾股定理的逆定理
如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格,A、B、C、D都是网格线的交点,由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为
 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：勾股定理的逆定理
若a、b、c是直角三角形ABC的三边长, 且  $a^2+b^2+c^2+200=12a+$  16b+20c,则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：勾股定理的逆定理
如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=6cm,BC=10cm,点D在AB上,且BD=CD,则△BDC的面积为____  $cm^2.$  

知识点：勾股定理的逆定理
已知等腰直角  $\triangle ABC,\angle ABC=90^{\circ},AB=BC=$  4,平面内有一点D,连接CD、AD,若CD=2,AD=6,则∠BCD=____.
知识点：勾股定理的逆定理
如图,在Rt△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ},AB=5cm,AC=3cm,$  ,动点P从点B出发,沿射线BC以2cm/s的速度移动,设运动的时间为t(s),当t=________时,△ABP为直角三角形.

知识点：勾股定理的逆定理
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,垂足为点D,交AB于点E,  $BE^2-$    $EA^2=AC^2.$  
(1)求证:  $\angle A=90^{\circ};$  
(2)若DE=3,BD=4,求AE的长

知识点：勾股定理的逆定理
美术老师布置同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：轴对称图形
下列各选项中,两个三角形成轴对称的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：轴对称图形
如图是由“ $\bigcirc$ ”和“ $\square$ ”组成的轴对称图形,该图形的对称轴是直线(    )                
 
 A. $l_1$  
 B. $l_2$  
 C. $l_3$  
 D. $l_4$ 
知识点：轴对称图形
在①线段、②角、③圆、④长方形、⑤梯形、⑥三角形、⑦等边三角形中,一定是轴对称图形的有________。(只填序号)
知识点：轴对称图形
画出下列轴对称图形的对称轴,并在每个图形的下面写出它有几条对称轴.

知识点：轴对称图形
图中序号①②③④对应的四个三角形,都是 $\triangle ABC$ 这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是(    )
 
 A. ① 
 B. ② 
 C. ③ 
 D. ④
知识点：轴对称图形
下列说法:①全等的两个三角形一定关于某条直线对称;②成轴对称的两个三角形一定全等:③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在的直线对称:④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧。其中正确的个数是(    ) 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4
知识点：轴对称图形
如图,四边形 $ABCD$ 中, $\angle BAC=\angle DAC$ ,请补充一个条件________, 使四边形 $ABCD$ 成为一个轴对称图形。

知识点：轴对称图形
在△ABC中,CA=CB, ∠ACB=α,点P为1△ABC内一点,将CP绕点C顺时针旋转α角得到CD,连接AD.
(1)如图①,当  $\alpha=60^{\circ},PA=10,PB=6,PC=8$  时,求∠BPC的度数;
(2)如图②,当  $\alpha=90^{\circ},PA=3,PB=1,PC=2$  时,求∠BPC的度数.

知识点：勾股定理的逆定理
如图①所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=____°(点A、B、P是网格线交点)

知识点：勾股定理的逆定理
【思维拓宽○勾股定理与旋转问题】
我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图①,已知格点(小正方形的顶点)O、A、B,若M为格点,请直接画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
(2)如图②,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转  $60^{\circ},$  得到△DBE,连接AD、DC,  $\angle DCB=30^{\circ},$  求证:  $DC^2+BC^2=AC^2,$  即四边形ABCD是勾股四边形;
(3)如图③,在四边形ABCD中,△BCD为等边三角形,  $AB=6,AD=8,\angle DAB=30^{\circ},$  求AC的长.

知识点：勾股定理的逆定理
一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为________.
知识点：轴对称图形
如图②,在正方形网格中,A、B、C、D、E均为格点,则∠BAC-∠DAE=____

知识点：勾股定理的逆定理
教室内墙壁上挂一平面镜,小明在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图,则这时的实际时间是____。

知识点：轴对称图形
如图,在 $3\times4$ 的正方形网格中已有2个正方形涂黑,再选择一个正方形涂黑,使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形,选择的位置共有(    )
 
 A. 7处 
 B. 4处 
 C. 3处 
 D. 2处
知识点：轴对称图形
如图, $BD\bot OA$ 于 $D$ ， $AC\bot BO$ 于 $C$ .且 $AC，BD$ 交于点 $E$ , $OE$ 平分 $\angle AOB$ ,则图中关于直线 $OE$ 成轴对称的三角形共有________对.

知识点：轴对称图形
如图,桌面上有A、B两球,若要将B球射向桌面的任意一边,使一次反弹后击中A球,则如图所示8个点中,可以准的点有________个。

知识点：轴对称图形
已知各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形边数大于或等于3).请你探究下列正多边形对称轴的条数.

 
(1)正三角形有________条对称轴;正方形有________条对称轴:正五边形有____条对称轴;正六边形有____条对称轴;正n边形有____条对称轴
(2)当n越来越大时,正多边形接近于____,它有________条对称轴。
知识点：轴对称图形
小玉学了轴对称后,想起以前做过的一道题:有一组数排成如图所示的方阵,试计算这组数的和。小玉想:方阵就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢?小玉试了试,得到了非常巧妙的方法,你也来试试看吧!

知识点：轴对称图形
在平面上有且只有四个点,这四个点有一个独特的性质:每两点之间的距离有且只有两种长度.例如正方形 $ABCD$ 的四个顶点 $A，B,C,D,$ 有 $AB=BC=CD=DA,AC=BD$ .请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形,并标明相等的线段和每个图形对称轴的条数.

知识点：轴对称图形
如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了几步路,却踩伤了花草.他们少走的路长为
 
 A. 2m 
 B. 3m 
 C. 3.5m 
 D. 4m
知识点：勾股定理的应用
如图,有两棵树,一棵高19米,另一棵高10米,两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 
 A. 10米 
 B. 15米 
 C. 16米 
 D. 20米
知识点：勾股定理的应用
如图,甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后两船之间的距离是
 
 A. 40海里 
 B. 32海里 
 C. 24海里 
 D. 20海里
知识点：勾股定理的应用
如图所示的一段楼梯,高BC是3米,斜边AB长是5米,现打算在楼梯上铺地毯,至少需要地毯的长度为____米

知识点：勾股定理的应用
如图,一根长25 m的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯子的底端距墙底端7m.如果梯子的顶端下滑4m,那么梯子的底端将向右滑动________m

知识点：勾股定理的应用
《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其底面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如图).水深和芦苇长各多少尺?

知识点：勾股定理的应用
在△ABC中，AB=AC,D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=26°，则∠DCE=________.
(2)设 $\angle BAC=\alpha,\angle DCE=$ $\beta$ .
①当点D在BC延长线上移动时， $\alpha$ 与 $\beta$ 之间有什么数量关系？请说明理由.
②当点D在直线BC上（不与B、C两点重合)移动时， $\alpha$ 与 $\beta$ 之间有什么数量关系？请直接写出你的结论.

知识点：等边三角形的判定与性质
下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（    ） 
 A. ∠A=30°，∠B=60° 
 B. AB=3,AC=4,BC=5 
 C. ∠A=50°，∠B=80° 
 D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，直线m $\Vert$ n,△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°，则∠2的度数是（    ）
 
 A. 80° 
 B. 100° 
 C. 120° 
 D. 140°
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC,DE∥AB,AD=3,CE=5,则AC的长为（    ）
 
 A. 9 
 B. 8 
 C. 6 
 D. 7
知识点：等腰三角形的判定与性质
下列说法正确的是(    ) 
 A. 线段的垂直平分线是一条线段 
 B. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线 
 C. 线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线 
 D. 线段的垂直平分线有无数条
知识点：轴对称的性质
如图,△ABC与△A'B'C关于直线1对称,下列判断不一定正确的是(    )  
 
 A.  $\angle ABC=90^{\circ}$  
 B. 直线l垂直平分线段BB' 
 C.  $S_{\triangle ABC}=S^{}_{\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$  
 D. BC∥A'B'
知识点：轴对称的性质
如图,△ABC中,D点在BC上,将D点分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE、AF,根据图中标示的角度,∠EAF的度数为(    )           
      
 A. 126° 
 B. 128° 
 C. 130° 
 D. 132°
知识点：轴对称的性质
如图,已知直线AD是△ABC的对称轴,若BD=4,AD=6,则图中阴影部分的面积是.____

知识点：轴对称的性质
如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,点A与点E关于直线CD对称.若AB=7,AC=9,BC=12,则△DBE的周长为.____

知识点：轴对称的性质
如图,在△ABC中,点D是BC上的点,  $\angle BAD=\angle ABC=40^{\circ},$  将△ABD沿着AD 翻折得到△AED,则∠CDE=____。

知识点：轴对称的性质
如图,点P是∠AOB外的一点,点M、N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段OR的长为(    )
 
 A. 4.5 cm 
 B. 5.5 cm 
 C. 6.5 cm 
 D. 7 cm
知识点：轴对称的性质
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为________海里.

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，MN∥BC,BD⊥DC,∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线，若DC=2cm,则四边形ABED的周长是________.

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.

知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为
 
 A. 0.7米 
 B. 1.5米 
 C. 2.2米 
 D. 2.4米
知识点：勾股定理的应用
如图是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分h的取值范围是
 
 A. 3\lth\lt4 
 B. 3≤h≤4 
 C. 2≤h≤4 
 D. h=4
知识点：勾股定理的应用
《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去间(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图①、②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是____寸.

知识点：勾股定理的应用
如图,铁路MN和公路PO在点O处交会,公路PQ上点A距离点O是270m,与MN这条铁路的距离是200m.如果火车行驶时,周围250 m以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时,点A处受噪音影响的时间是____

知识点：勾股定理的应用
在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部的绳索,划过  $90^{\circ}$  到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B.
(1)求旗杆的高度;
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=____米

知识点：勾股定理的应用
如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别作出直线l.

知识点：轴对称的性质
如图,直线l,m相交于点O,P为这两条直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点  $P_1,P_2,$  ,则  $P_1,P_2$  之间的距离可能是(    )
 
 A. 0 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 7
知识点：轴对称的性质
如图,△ABC的内部有一点P,且D、E、F是点P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角  $\angle BAC=70^{\circ},\angle ABC=60^{\circ},$    $\angle BCA=50^{\circ},$  则∠ADB+∠BEC+∠CFA=____

知识点：轴对称的性质
如图,△ABC和△A'B'C关于直线MN对称,△A'B'C'和△A''B''C''成轴对称.
(1)画出△A'B'C'和△A''B''C''的对称轴EF;
(2)直线MN和EF相交于点O.连接BO,B''O,试探究∠BOB''与直线MN、EF所夹角的数量关系.

知识点：轴对称的性质
如图①,有一张平行四边形纸片ABCD, AB=5, AD=7,,将这张纸片折叠,使得点B落在边AD上,点B的对应点为点B',折痕为EF,若点E在边AB上,则DB'长的最小值等于.____

知识点：轴对称的性质
如图①,长方形纸片ABCD(AD\gtAB) ,点O位于边BC上,点E位于边AD上,将纸片沿OE折叠,点C、D的对应点分别为点C'、D'.
(1)当点C'与点A重合时,如图②,如果AD=12,CD=8,连接CE,那么△CDE的周长是____
(2)如果点F位于边AB上,将纸片沿OF折叠,点B的对应点为点B'.
①当点B'恰好落在线段OC'上时,如图③,那么∠EOF的度数为____;(直接填写答案)
②当  $\angle B^{\prime}OC^{\prime}=20^{\circ}$  时,求出∠EOF的度数.

知识点：轴对称的性质
拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,一个某种拉杆箱箱体长AB=65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,点A到地面的距离AD=3cm,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移55 cm到A'处,求拉杆把手C离地面的距离(假设C点的位置保持不变).

知识点：勾股定理的应用
(1)图①是一个圆柱,它的高为40cm,底面周长为60cm.如果一只蚂蚁从圆柱下底面的点A处沿圆柱的侧面爬到与点A相对的上底面的点B处,然后爬回点A处,那么蚂蚁爬行的最短路程为____cm.
(2)如图②,已知长方体的长AC=2cm,,宽BC=1cm,高AA'=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B'点,那么需要爬行的最短距离为____cm.

知识点：勾股定理的应用
如图,在△ABC中,  $\angle ABC=90^{\circ},AC=13,BA=5,$  ,点P从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线C-A-B运动.设点P的运动时间为t(t\gt0)
(1)BC=____
(2)求斜边AC上的高线长.
(3)①当P在AB上时,AP的长为____,t的取值范围是________.(用含t的代数式表示)
②若点P在∠BCA的平分线上,则t的值为____.
(4)在整个运动过程中,直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值.

知识点：勾股定理的应用
如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=________°

知识点：线段垂直平分线的性质
已知C、D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=50°，∠ADB=86°，则∠CAD的度数是________
知识点：线段垂直平分线的性质
如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D,连接DE.（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6,求AB的长；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数.

知识点：线段垂直平分线的性质
如图，线段AB、BC的垂直平分线 $l_1$ 、 $l_2$ 相交于点0.若∠1=39°，则∠A0C=________°

知识点：线段垂直平分线的性质
如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上.（1）如图①，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB=110°，求∠APB的度数；（2）如图②，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H,试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由.

知识点：线段垂直平分线的性质
已知点p为∠CAB内一点，且点P到AB、AC的距离PE=PF，则 $\triangle PEA\cong\triangle PFA$ 的理由是（    ） 
 A. HL 
 B. SSS 
 C. AS A 
 D. SAS
知识点：直角三角形全等的判定
下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（    ） 
 A. 一组锐角和斜边分别对应相等 
 B. 两个锐角分别对应相等 
 C. 两组直角边分别对应相等 
 D. 斜边和一组直角边分别对应相等
知识点：直角三角形全等的判定
如图， $DB\bot AB$ 于B，DF⊥AC $DF\bot AC$ 于  $F$  ，若BD=DF，DE=DC，则下列结论中不一定正确的是（    ）
 
 A. BE=FC 
 B. AD平分∠BAC 
 C.   $\angle C+\angle AED=180^{\circ}$   
 D. AC-AB=BD
知识点：直角三角形全等的判定
如图，  $\angle B=\angle D=90^{\circ},$    $AB=AD,\angle BAD=130^{\circ},$  则 $\angle DCA=$ ________°。

知识点：直角三角形全等的判定
如图，AD是△ABC的高，AD=BD=8，E是AD上的一点，BE=AC，AE=2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为________。

知识点：直角三角形全等的判定
如图，已知 $Rt\triangle ABC$ 中，  $\angle ACB=90^{\circ},CA=CB,D$  是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F。试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性。

知识点：直角三角形全等的判定
已知直角三角形的面积为  $6cm^2,$  两直角边的差为1cm,则它的斜边长为____cm
知识点：勾股定理的应用
如图,  $\angle AOB=90^{\circ},$  OA=25m,OB=5m,,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着A0方向匀速滚向点0,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球,如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是
 
 A. 12 m 
 B. 13 m 
 C. 14 m 
 D. 15m
知识点：勾股定理的应用
如图,铁路上A、B两点相距40km,C、D为两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A和B,DA=24km,CB=16km.现在要在铁路旁修建一个煤栈E,使得C、D两村到煤栈的距离相等,那么煤栈E应距A点
 
 A. 20 km 
 B. 16 km 
 C. 12 km 
 D. 无法确定
知识点：勾股定理的应用
如图, 在长方形ABCD中,DC=6,DC上存在一点E,沿直线AE把△A DE折叠,使点D恰好落在BC边上的点F处,若△ABF的面积为24,则折叠的△ADE的面积为
 
 A. 30 
 B. 20 
 C.   $\frac{ 4 0 } { 3 }$   
 D. $\frac{ 5 0 } { 3 }$    
知识点：勾股定理的应用
如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,CM⊥MB,经测量得到如下数据:AM=  $4m,AB=4m,\angle MAD=45^{\circ},CM\colon CB=3\colon5,$  则警示牌的高CD为m____

知识点：勾股定理的应用
如图, 已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=  $45^{\circ},$  ,将△DAE绕点D逆时针旋转  $90^{\circ},$  得到△DCM.若AE=1,则FM的长为____

知识点：勾股定理的应用
如图,在Rt△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},AC=8,BC=$  6,AD为△ABC的角平分线.
(1)用尺规在AB上作一点P,满足DP⊥AB;(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)求CD的长度.

知识点：勾股定理的应用
如图，已知 $AC\bot BD$ 于点P，AP=CP，请增加一个条件，使 $\triangle ABP\cong\triangle CDP$ (不能添加辅助线)。
（1）若以“SAS”为依据，则可添加条件________；
（2）若以“HL”为依据，则可添加条件________；
（3）若以“AS A”为依据， 则可添加条件________；
（4）若以“A AS”为依据，则可添加条件________。

知识点：直角三角形全等的判定
如图②,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后, 点A、B分别落在A'、B'的位置,再沿AD边将∠A'折叠到∠H处,已知  $\angle FEH=12^{\circ},$  .则∠AEF=____

知识点：轴对称的性质
下面是四位同学所作的△ABC关于直线MN对称的图形,其中正确的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
如图,给出了一个轴对称图形的一半,其中虚线是这个图形的对称轴,请你猜想整个图形是(    )
 
 A. 三角形 
 B. 长方形 
 C. 五边形 
 D. 六边形
知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
把下列图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形.

知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
如图,在正方形网格上有一个△DEF,
(1)作△DEF关于直线HG的对称图形;
(2)作△DEF的EF边上的高;
(3)若网格中每个小正方形的边长均为1,求△DEF的面积.

知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
如图是2×5的正方形网格,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形.则在网格中,能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有(    )
 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,如图是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词____

知识点：作图-轴对称变换、轴对称的性质
如图所示,由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8的正方形网格中,点A、B、C、M、N均在格点上(小正方形的顶点为格点),利用网格画图.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的.△A'B'C';
(2)在线段MN上找一点P,使得∠A PM=∠CPN,(保留必要的画图痕迹,并标出点P的位置)

知识点：作图-轴对称变换
(1)如图,一条笔直的河流l的同侧有A、B两个村庄,要把A处的产品运往B处.按计划要先到河岸M处接一批货物,然后一起运往B处,要使总路程最短,点M应选在河流l的什么位置?
(2)在(1)的条件下,若在河岸M处接货后,需沿河岸行a千米至N处,再将货物运送至B处,要使总路程最短,M、N两点应选在河流l的什么位置?

知识点：作图-轴对称变换
如图,已知∠AOB外有一点P, ∠AOB=α,画出点P关于直线OA的对称点P',再作点P'关于直线OB的对称点P''
(1)试猜想∠POP''的度数与α的数量关系,并说明理由;
(2)当P为∠AOB内一点或∠AOB边上一点时,上述结论是否成立?

知识点：作图-轴对称变换
如图,已知等边△ABC中,D是AC的中点,连接BD,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,,垂足为M.求证;M是BE的中点
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是(    ) 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：等腰三角形的判定
如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,∠CPE的度数是(    )     
 A.  $60^{\circ}$  
 B.  $50^{\circ}$  
 C.  $45^{\circ}$  
 D.  $30^{\circ}$ 
知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
如图,在△ABC中,  $AB=AC,\angle A=120^{\circ},BC=$  6cm.若AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN=____
知识点：等边三角形的判定与性质
如图,线段04与射线OB垂直,点P是射线OB上一动点(与0点不重合),∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F
(1)求∠AEP的大小,
(2)当点P在射线OB上运动时,△EPF的形状是否变化?若变化,请写出它的变化规律;若不变,请写出它的形状,并说明理由.
知识点：等边三角形的判定与性质
如图,∠MON=  $30^{\circ},$  点  $A_1,A_2,A_3,$  在射线ON上,点  $B_1,B_2,$    $B_3$  …在射线OM上,  $\triangle{A_1}{B_1}A_2,\triangle{A_2}{B_2}A_3,$    $\triangle{A_3}{B_3}A_4\cdots$  均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记为  $a_1,$  ,第2个等边三角形的边长记为  $a_2,$  ,以此类推若  $OA_1=1,$  ,则  $a_2a_4=$  ____
知识点：等边三角形的判定与性质
如图, 在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
知识点：等边三角形的判定与性质
如图,点D为△ABC的边AB上一点,且  $AD=AC,\angle B=45^{\circ},$  过D作DE⊥AC于E,若AE=3,四边形B DEC的面积为8, 则AB的长度为.____
知识点：等边三角形的判定与性质
△ABC和△A DE都是等边三角形.
(1)将△A DE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD、CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB )成立,请证明.
(2)将△A DE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD、CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明.
(3)将△A DE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD、CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.
知识点：等边三角形的判定与性质
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,,则DE的长是(    ) 
 A. 8 
 B. 6 
 C. 5 
 D. 4
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,在△ABC中,  $AB=AC,\angle A=120^{\circ}.$  分别以点A和C为圆心,以大于  $\frac{ 1 } { 2 }AC$  的长度为半径作弧,两弧相交于点P和点Q,作直线PO分别交BC,AC于点D和点E.若CD=3,,则BD的长为(    ) 
 A. 4 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 7
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,已知直线  $l_1\parallel{l_2},$  ,含  $30^{\circ}$  角的三角板的直角顶点C在  $l_1$  上,  $30^{\circ}$  角的顶点A在  $l_2$  上,如果边AB与  $l_1$  的交点D是AB的中点,那么∠1=____
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,在Rt△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ},\angle A=62^{\circ},CD\bot AB,$  ,垂足为D,点E是BC的中点,连接ED,∠EDB的度数是.____·
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图, 四边形ABCD中,  $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ},P$  是边AD的中点若BC=3,AD=8,,则△BPC的周长为.____
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,△ABC中,  $\angle BAC=90^{\circ},$  ,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连接CE.(1)求证:AD=DE;(2)连接BE,猜想△BE C的形状,并说明理由.
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,∠AOE=  $15^{\circ},OE$  平分∠AOB, DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,,则OD的长为(    ) 
 A. 2 
 B. 4 
 C. 6 
 D. 8
知识点：直角三角形斜边上的中线
在如图所示的Rt△ABC纸片中,  $\angle ACB=90^{\circ},D$  是斜边AB的中点,把纸片沿着CD折叠,点B到点E的位置,连接AE.若AE∥DC,∠B=α,则∠EAC等于(    ) 
 A. α 
 B.   $90^{\circ}-\alpha$   
 C.   $\frac{ 1 } { 2 }\alpha$   
 D.   $90^{\circ}-2\alpha$  
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图,△ABC中,∠ACB=  $90^{\circ},AB=8cm,D$  是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG, FG交AC于H,则GH的长等于____cm.
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD.若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________
知识点：直角三角形斜边上的中线
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,则△ADC≌△BOC,连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当a=120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
知识点：直角三角形斜边上的中线
(1)如图①,P是∠AOB内部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,,垂足分别是M、N,D是OP的中点,连接DM、DN.求证:∠MDN=2∠MON.
(2)如图②,,在△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是边BC的中点.连接DM、ME,试判断∠DME与∠A之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,将图②的锐角△ABC变为钝角△ABC,其余条件不变,直接写出∠DME与∠BAC之间的数量关系.③
知识点：直角三角形斜边上的中线
若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知等腰三角形的一边长为4,周长为10,则另两边长分别为.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是  $50^{\circ},$  那么这个等腰三角形的顶角的度数为.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另外一部分长2,则三角形的腰长是.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm和15 cm两部分,求它的三边长.
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知C、D两点在线段AB的垂直平分线上,且  $\angle ACB=50^{\circ},\angle ADB=80^{\circ},$  则∠CAD=.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为  $42^{\circ},$  则∠B=.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
如图,在△ABC中,  $\angle ABC=40^{\circ},\angle BAC=80^{\circ},$  以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
有一张三角形纸片  $ABC,\angle A=80^{\circ},$  ,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为3m,4m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长两条直角边中的一条,画出扩充后的等腰三角形绿地的示意图.
知识点：等腰三角形的性质
若等腰三角形的一个角为  $110^{\circ},$  则顶角为.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知等腰三角形中,有一个角比另一个角的2倍少  $20^{\circ},$  ,则顶角度数为.____
知识点：等腰三角形的判定与性质
已知在 $\triangle ABC$ 中，AB=AC，∠B=α。
（1）如图①，当  $\alpha=30^{\circ}$  时，过点A作AD $\bot$ AB交BC于D，若AD=4cm，则BC的长为____cm；
（2）如图②，当  $\alpha=45^{\circ}$  时，过点B作BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE $\bot$ BD交BD的延长线于E，求证：BD=2CE；
（3）当  $0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$  时，AB=4，BC=5，BE为∠ABC的平分线，CE $\bot$ BE于E，连接AE，若  $S_{\triangle ABC}=m,$  请直接写出△ACE的面积(用含m的式子表示)

知识点：等腰三角形的性质
如图，在△ABC中,  $\angle BAC=120^{\circ},AD\bot BC$  于D，且AB+BD=DC，求∠C的度数。(用截长法和补短法两种方法解答)

知识点：等腰三角形的性质
在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB=2\angle B$ ，BC=2AC，求证:  $\angle A=90^{\circ}.$  
知识点：等腰三角形的性质
在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高线为12,则△ABC的面积为____
知识点：勾股定理的应用
如图,在Rt△ABC中,  $\angle A=90^{\circ},AC=12,AB=9,DE\bot AC,CD=\frac{ 1 } { 3 }BC,$    $CE=\frac{ 1 } { 3 }AC,P$  是直线AC上一动点,把△CDP沿DP所在的直线翻折后,点C落在直线DE上的点H处,CP的长是____
知识点：勾股定理的应用
如图,在△ABC中,  $\angle C=90^{\circ},AB=5cm,BC=$  3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)点P出发6.5秒后,求CP和BP的长.
(2)问满足什么条件时(t的值或取值范围),△BCP为直角三角形?
知识点：勾股定理的应用
如图, 将三角形纸片ABC沿AD折叠,使点C落在BD边上的点E处.若BC=8,BE=2,则  $AB^2-AC^2$  的值为____.

知识点：勾股定理的应用
如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,AD⊥BC于D,M为AD上任意一点,则  $MB^2-MC^2$  的值为____

知识点：勾股定理的应用
如图, 四边形ABCD和四边形A EFG都是正方形,点B在EF上,若  $S_1=140,S_2=124,$  则EB的长为____

知识点：勾股定理的应用
如图,在Rt△ABC中,  $\angle ACB=90^{\circ},AC=3,$  BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形A BEF、A CPQ、BC MN,四块阴影部分的面积分别为  $S_1,S_2,S_3、S_4$  求  $S_1-$    $S_2+S_3+S_4$  的值.

知识点：勾股定理的应用
一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,在其正上方的点B处有一只小虫子,螳螂按如图所示的路线来到B处吃掉小虫子.已知树干的底面周长为20cm,A、B两点间的距离为15cm,则螳螂绕行的最短路程为____cm

知识点：勾股定理的应用
如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm(杯壁厚度不计)
知识点：勾股定理的应用
如图, 四边形ABCD是长方形地面,长AB=10m,宽AD=5m,中间竖有一堵砖墙高MN=1m.一只蚂蚱从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要爬____m

知识点：勾股定理的应用
如图,一块长方体砖宽AN=5,长ND=10,CD上的点B距地面的高BD=8,,地面上A处的一只蚂蚊到B处吃食,那么它需要爬行的最短路程是____

知识点：勾股定理的应用
如图,高速公路的同一侧有A、B两个城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2km,BB'=4km,且A'B'=8km.
(1)要在高速公路上的A'、B'之间建一个出口P,使A、B两个城镇到P的距离之和最小,请在图中画出P的位置;
(2)最短距离为km____

知识点：勾股定理的应用
(1)探究:如图①,P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点,在BC上求作一点M,使△PQM的周长最短.
(2)应用:如图②, 在长方形ABCD中, AB=6,AD=8,E、F分别为边AB、AD的中点,点M、N分别为BC、CD上的动点,求四边形EF NM周长的最小值.
(3)拓展:如图③,在△ABC中,AC=BC,  $\angle ACB=90^{\circ},$  点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,试求PC+PD的最小值.

知识点：勾股定理的应用
如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC B沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为
 
 A. 3cm 
 B. 4cm 
 C. 5cm 
 D. 6cm
知识点：勾股定理的应用
一次数学课上,老师请同学们在一张长为18cm,宽为16cm的长方形纸板上,剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其他两个顶点在长方形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为 
 A. 50cm2 
 B. 50cm2或40cm2 
 C. 50cm2或40cm2或30cm2 
 D. 50cm2或30cm2或20cm2
知识点：勾股定理的应用
如图,  $\angle ABC=90^{\circ},CB=15,AC=17,$  则阴影部分的面积是____

知识点：勾股定理的应用
一个直角三角形的两边长分别是3和7,则第三边长的平方为____

知识点：勾股定理的应用
如图①,这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,此图案的示意图如图②,其中四边形ABCD和四边形EF CH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为____
知识点：勾股定理的应用
如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于  $\frac{ 1 } { 2 }BC$  的长径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=  $5,BE=4,\angle B=45^{\circ},$  则AB的长为____

知识点：勾股定理的应用
如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED,AC∥FD,那么添加下面一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（    ）
 
 A. BF=EC 
 B. AC=DF 
 C. AB=ED 
 D. ∠A=∠D
知识点：全等三角形的应用
如图，点B、C、E在同一直线上，且AC=CE,∠B=∠D=90°，AC⊥CD,下列结论不一定成立的是（    ）
 
 A. ∠A=∠2 
 B. ∠A+∠E=90° 
 C. BC=DE 
 D. ∠BCD=∠ACE
知识点：全等三角形的应用
《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面尺高 ____

知识点：勾股定理的应用
如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,4 dm,1dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是____dm

知识点：勾股定理的应用
如图, 等腰三角形ABC的底边BC=10,,面积为30,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为____

知识点：勾股定理的应用
如图, 直角三角形DEF中,  $\angle DFE=90^{\circ},$  在直角三角形外面作正方形AB DE、CD Fl、EFGH,面积分别为25, 9, 16, △A EH、△BDC、△GFI的面积分别为  $S_1、S_2、S_3,$  ,则  $S_1+S_2+$    $S_5=$ ________ .
知识点：勾股定理的应用
如图,△ABC中,∠C=  $90^{\circ},AC=4,BC=8.$  
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.

知识点：勾股定理的应用
如图，0B平分∠AOC,D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF,要使得△DOE≌△FOE.(1)若以“SAS”为依据，则可添加的条件是________;(2)若以“ASA”为依据，则可添加的条件是________;(3)若以“AAS”为依据，则可添加的条件是________.

知识点：全等三角形的应用
如图，∠ACB= 90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是 D、E,若AD=3,BE=1,则DE的长是________.

知识点：全等三角形的应用
已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证：AD=CF.

知识点：全等三角形的应用
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E、F在对角线AC上，且AE=CF,∠ADE=∠CBF.不添加字母及辅助线，写出图中两对全等三角形，并选一对进行证明.

知识点：全等三角形的应用
如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论：①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=AE.其中不正确的结论有（    ）
 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：全等三角形的应用
如图，AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a, BF=b,EF=c,则AD的长为（    ）
 
 A. a+c 
 B. b+c 
 C. a-b+c 
 D. a+b-c
知识点：全等三角形的应用
如图，AE⊥AB,且 AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,EF⊥AC, BG⊥AC,DH⊥AC,垂足分别是F、G、H,请按照图中所标注的数据：EF=6,BG=3,DH=4,计算图中实线所围成的图形的面积 S是________.

知识点：全等三角形的应用
如图，AO⊥OM, OA=4,点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰直角三角形△OBF、等腰直角三角形ABE,连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，BP的长度为________.

知识点：全等三角形的应用
如图，四边形ABCD中，点F是BC的中点，连接AF并延长，交DC的延长线于点E,且AB∥CE.(1)求证：△ABF≌ECF;(2)若AD∥BC,∠B+∠D=260°，求∠D的度数；(3)若∠B=∠D,求证：AD=BC.

知识点：全等三角形的应用
如图,点E是正方形ABCD内的一点, 连接AE、BE、CE, 将△ABE绕点B顺时针旋转  $90^{\circ}$  到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠AEB的度数.

知识点：勾股定理的应用
我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图①,,在△ABC中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于  $AO^2-BO^2$  的值,可记为AB△  $AC=AO^2-BO^2.$  
(1)在图①中,若  $\angle BAC=90^{\circ},AB=8,AC=$  6,AO是BC边上的中线,则AB△AC=____,OC△OA=____;
(2)如图②,在△ABC中,AB=AC=4,  $\angle BAC=120^{\circ},$  求AB△AC,BA△BC的值;
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AO是BC边上的中线,点N在A0上,且ON=  $\frac{ 1 } { 3 }AO$  已知AB△AC=14,BN△BA=10,求BC的长.

知识点：勾股定理的应用
水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2 $\pi r$ .下列判断正确的是（    ） 
 A. 2是变量 
 B. $\pi$ 是变量 
 C. r是变量 
 D. C是常量
知识点：常量与变量
下列图像，表示y是x的函数的是（    ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：函数关系式
下列各式中，y不是x的函数的是（    ） 
 A. x＋y=10 
 B. $\left|y\right|=x$  
 C. y=2x 
 D. $y=x^2$ 
知识点：函数关系式
如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是________,变量是________.

知识点：函数关系式
下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：

(1)时间是8分时，水的温度为________；
(2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量；(3)在________时间段内，温度随时间的增加而增加；在________时间段内，水的温度不再变化.
知识点：函数关系式