despeerado/kp-20000 huggingface dataset:
林林家距离学校a千米，他每天骑自行车上学需要b分钟（刚好准时到校），若某一天林林从家中出发迟了c(b\gtc）分钟，则他每分钟应骑________千米才能不迟到.
知识点：分式的基本性质
（1）若|4a+12|+（b-1） $^2$ =0，求分式 $\frac{a-b}{a+b}$ 的值.（2）已知当x=-4时，分式 $\frac{x-b}{2 x+a}$ 无意义；当x=2时，此分式的值为零，求分式 $\frac{a+b}{a-3 b}$ 的值.
知识点：分式的基本性质
甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工作的（    ） 
 A. $\frac{n}{n+3}$  
 B. $\frac{1}{n+3}$  
 C. $\frac{n}{2n+3}$  
 D. $\frac{1}{n}+\frac{n}{n+3}$ 
知识点：分式的基本性质
若不论x取何实数时，分式 $\frac{a}{x^{2}-2 x+a}$ 总有意义，则a的取值范围是（    ） 
 A. a≥1 
 B. a\gt1 
 C. a≤1 
 D. a\lt1
知识点：分式的基本性质
已知一组按规律排列的分式： $-\frac{b}{a},\frac{b^{3}}{a^{2}},-\frac{b^{5}}{a^{3}},\ldots.$ （ab≠0），其中第6个式子是________，第n个式子是________（n为正整数）.
知识点：分式的基本性质
分式$\frac{ x - 2 } { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } },\frac{ 5 } { 2 x - 2 }$  的最简公分母是（    ） 
 A. $\left(x-1\right)^2$   
 B. 2(x+2） 
 C. 2x（x+2） 
 D.   $2\left(x-1\right)^2$  
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ 1 } { a + b },\frac{ 2 a } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } },\frac{ b } { b - a }$  的最简公分母是（    ）   
 A. $\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)\left(b-a\right)$   
 B.  $\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)$    
 C.   $\left(a^2-b^2\right)\left(b-a\right)$    
 D.    $a^2-b^2$  
知识点：分式的基本性质
求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取（    ） 
 A. 各分母系数的最小者 
 B. 各分母系数的最小公倍数 
 C. 各分母系数的公倍数 
 D. 各分母系数的最大公约数
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ x - 1 } { x ^ { 2 } + x - 6 },\frac{ 2 } { x ^ { 2 } - 9 },\frac{ x - 2 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 }$  的最简公分母是（    ）   
 A.  $\left(x+3\right)^2\left(x+2\right)\left(x-2\right)$  
 B.    $\left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)$   
 C. $\left(x^2-9\right)^2\left(x-4\right)^2$   
 D. $\left(x+3\right)^2\left(x-3\right)^2\left(x^2+2\right)\left(x-2\right)$  
知识点：分式的基本性质
指出下列各组分式的最简公分母：  
$\left(1\right)\frac{ y } { 7 x ^ { 3 } },\frac{ y } { 3 x ^ { 7 } };$   
 $\left(2\right)\frac{ c } { a b }+\frac{ a } { b c },\frac{ b } { a c };$   
 $\left(3\right)\frac{ x } { 1 - a },\frac{ y } { \left( a - 1 \right) ^ { 2 } },\frac{ z } { \left( 1 - a \right) ^ { 3 } }.$  
知识点：分式的基本性质
已知  $a+x^2=2020,b+x^2=2021,c+x^2=$  2022，且abc=6012，求  $\frac{ a } { b c }+\frac{ b } { c a }+\frac{ c } { a b }-\frac{ 1 } { a }-$    $\frac{ 1 } { b }-\frac{ 1 } { c }$  的值.
知识点：分式的基本性质
如果分式  $\frac{ 3 a } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$  的分母经过通分后变成  $2\left(a-b\right)^2\left(a+b\right),$  ，那么分子应变为（    ） 
 A.  $6a\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)$   
 B. 2(a-b） 
 C. 6a(a-b） 
 D. 6a（a+b）
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ 1 } { x - 2 },\frac{ 1 } { \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) }$    $\frac{ 2 } { \left( x + 3 \right) ^ { 2 } }$  的通分过程中，不正确的是（    ） 
 A. 最简公分母是  $\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2$   
 B.   $\frac{ 1 } { x - 2 }=\frac{ \left( x + 3 \right) ^ { 2 } } { \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) ^ { 2 } }$   
 C.   $\frac{ 1 } { \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) }$     $=\frac{\left(x+3\right)^{}}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2}$   
 D.  $\frac{ 2 } { \left( x + 3 \right) ^ { 2 } }$    $=\frac{2x-2}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2}$  
知识点：分式的基本性质
（2021南京联合体期末）下列式子从左到右的变形不正确的是（    ）     
 A. $\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}$  
 B. $\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$  
 C. $\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b$  
 D. $\frac{a-1}{1-a}=-1$ 
知识点：分式的基本性质
化简  $\frac{ a ^ { 2 } - 2 a } { 2 - a }$  的结果是 
 A. 一1 
 B. 1 
 C. 一a 
 D. a
知识点：分式的基本性质
（2022淮安洪泽期中）给出下列分式：  $①\frac{ 8 b c } { 6 a };$    $②\frac{ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a + b };③\frac{ 4 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a - b };④\frac{ a - b } { b - a };⑤\frac{ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } }.$  其中最简分式有（    ） 
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：分式的基本性质
若  $a^2-ab=0\left(b\ne0\right),$  ,则  $\frac{ a } { a + b }$  的值为(    ) 
 A. 0 
 B.   $\frac{ 1 } { 2 }$   
 C. 0或 $\frac{1}{2}$  
 D. 1或2
知识点：分式的基本性质
约分：  $\left(1\right)\frac{ 2 a x ^ { 2 } y } { 3 a x y ^ { 2 } };$    $\left(2\right)\frac{ - 2 a \left( a + b \right) ^ { 3 } } { 3 b \left( a + b \right) ^ { 2 } };$    $\left(3\right)\frac{ 2 x ^ { 2 } y - 2 x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } };\left(4\right)\frac{ 2 5 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 1 0 x + 2 5 }.$  
知识点：分式的基本性质
$\left(1\right)\frac{ a + 3 b } { a ^ { 2 } - 9 b ^ { 2 } },$  a=4，b=3；  $\left(2\right)\frac{ x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { x + 1 }+\frac{ x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 },$  ，其中x=-2.
知识点：分式的基本性质
下列各分式中，是最简分式的是（    ）     
 A. $\frac{34(x-y)}{83(x+y)}$  
 B. $\frac{y^2-x^2}{x+y}$  
 C. $\frac{x^2+y^2}{x^3y+xy^3}$  
 D. $\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}$ 
知识点：分式的基本性质
在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个.
（1）先从袋子中取出m（ m\gt1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
 



事件A
必然事件
随机事件


m的值
________
________



 
（2）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个.先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黑球的频率在 $\frac{4}{5}$ 附近摆动，求m的值.
知识点：利用频率估计概率
当m=________________时，分式 $\frac{ m ^ { 2 } - 4 } { 2 - m }$  的值为0.
知识点：分式的基本性质
定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线 $l_1//l_2$ ，点A，D在直线上 $l_1$ ，点B，C在直 $l_2$ 上，若∠BAD=2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形.

（1）如图2，E是矩形ABCD的边AD上一点，AB=1，AE=2.若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长.（2）如图3，以口ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，E是边AD上一点，满足BC=AE+CE.求证：四边形ABCE是半对角四边形.（3）在（2）的条件下，当AB=AE= $2\sqrt{3}$ ，∠B=60°时，将四边形ABCE向左平移a（a>0）个单位长度后，恰有两个顶点落在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图像上求k的值.
知识点：反比例函数综合题、平行四边形的判定与性质
给出下列3个分式：  $\frac{ 2 } { a b },\frac{ 1 } { a ^ { 2 } b },\frac{ 3 } { a b c },$  ，它们的最简公分母为________
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ 1 } { x ^ { 2 } - 4 },\frac{ x - 1 } { x },\frac{ 1 } { x + 2 },$  的最简公分母是________
知识点：分式的基本性质
某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表：
 



每批粒数n
100
150
200
500
800
1000



发芽的粒数m

65
111
136
345
560
700


发芽的频率 $\frac{m}{n}$ 
0.65
0.74
0.68
0.69
 
 



 
（1）计算并完成表格；
（2）画出这种玉米种子发芽的频率的折线统计图；
（3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少（精确到0.01）？请简要说明理由.
（4）如果该种玉米种子发芽后的成秧率为90%，那么在相同条件下种10 000粒该种玉米种子估计可得到玉米秧苗多少棵？
知识点：利用频率估计概率
分式  $\frac{ 1 } { x },-\frac{ 2 } { 3 x ^ { 2 } y },\frac{ x } { 6 \left( x - y \right) }$  的最简公分母是________
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ 1 } { x ^ { 2 } + 3 x },\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - 9 }$  的最简公分母是________
知识点：分式的基本性质
把分式$\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - 9 },\frac{ x } { 2 x + 6 }$  通分后，结果是________________
知识点：分式的基本性质
填空：  $\left(1\right)\frac{ 2 b } { 2 a }=\frac{ \left( \right) } { a };$    $\left(2\right)\frac{ 3 a + 3 b } { 9 c }=\frac{ a + b } { \left( \right) };$    $3)\frac{ a c } { a ^ { 2 } }=\frac{ c } { \left( \right) };$    $\left(4\right)\frac{ x } { 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } }=\frac{ 1 } { \left( \right) }.$  
知识点：分式的基本性质
约分：  $\colon\frac{ 4 2 a b ^ { 3 } c } { 7 a ^ { 2 } b c ^ { 2 } }=$  ____
知识点：分式的基本性质
化简：  $\colon\frac{ m ^ { 2 } - 4 m n + 4 n ^ { 2 } } { m ^ { 2 } - 4 n ^ { 2 } }=$  ____.
知识点：分式的基本性质
化简  $\frac{ 4 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a + b }$  的结果为____
知识点：分式的基本性质
某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘（如图）.规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的部分统计数据：
 




转动转盘
的次数n

100
200
300
400
500
1000



落在“书画”
区域的次数m

60
122
180
298
a
604



落在“书画”
区域的频率 $\frac{m}{n}$ 

0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604



 
（1）a=________，b=________；
 
（2）请估计当n很大时，频率将会接近________，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”的概率约是________；（结果全部精确到0.1）
 
（3）如果要使获得“手工”的可能性不小于获得“书画”的可能性，则表示“手工”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？

知识点：利用频率估计概率
下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（   ） 
 A.  
 B.  
 C.  
 D. 
知识点：旋转的性质
如图，在△AOB中，A0= 1 ，BO=AB= $\frac{3}{2}$ .将△AOB绕点О按逆时针方向旋转90°，得到△A'OB' ，连接AA'.则线段AA'的长为（      ）
 
 A. 1 
 B. $\sqrt{2}$  
 C. $\frac{3}{2}$  
 D. 2
知识点：旋转的性质
在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点О按顺时针方向旋转得到A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________°.

知识点：旋转的性质
如图，在 $\triangle$ ABC中， $\angle$ C=90°，AB=2，AC=1，将 $\triangle$ ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到 $\triangle$ AB'C'，B'C'交AB于点E，则B'E=________ 。

知识点：旋转的性质
如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点О为原点，点A、B的坐标分别是A(3，2），B（ 1，3）。
（1）将△AOB绕点О逆时针旋转90°后得到△A $_1$OB $_1$ ，请在图中画出△A $_1$OB $_1$ ，并求出这时点B $_1$ 的坐标；
（2）计算在旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积.

 
知识点：旋转的性质
如图，在四边形ABCD中，AD $\Vert$ BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC.

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.（2）如果 $BE=BC$ ，且 $\angle CBE\colon\angle BCE=2\colon3$ ，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形
 
知识点：正方形的判定与性质
观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5∼124.5这一组的频数为（    ）.
 
 A. 5 
 B. 6 
 C. 7 
 D. 8
知识点：频数（率）分布直方图
将八年级3班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1:2:5:3:1，人数最多的一组有15人，则该班共有____人.
知识点：频数（率）分布直方图
为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理、描述和分析.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a=________，b=_______，c=_________；
（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t5范围内的学生人数.

知识点：频数（率）分布直方图
某市为增强学生的反诈防骗意识，组织全市学生参加反诈防骗知识竞赛.为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出不完整的统计图，如图所示，请根据图中信息解答以下问题（图中成绩分组60分~70分表示大于或等于60分而小于70分，其他类同）.

（1）一共抽取了______名参赛学生的成绩；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中成绩分布在“90分~100分”所对应的圆心角度数为________°；
（4）该市共有30000名学生参加竞赛，请估计反诈防骗意识强（成绩在80分及以上）的学生有多少人？
知识点：频数（率）分布直方图、扇形统计图
为提高学生阅读兴趣，培养良好阅读习惯，2021年3月31日，教育部印发了《中小学生课外读物进校园管理办法》的通知某学校根据通知精神，积极优化校园阅读环境，推动书香校园建设，开展了“爱读书、读好书、善读书”主题活动，随机抽取部分学生同时进行“你最喜欢的课外读物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调查，并绘制成如图（1），图（2）的统计图.图（1）中A代表“喜欢人文类”的人数，B 代表“喜欢社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D 代表“喜欢艺术类”的人数.已知A为56 人且对应扇形圆心角的度数为 126”请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，求出“喜欢科学类”的人数；
（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生 3 200 人，估计每周课外阅读时间不低于 3小时的人数

知识点：统计图的选择
不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号 。
 $\frac{ - 3 x } { 4 y }$        
知识点：分式的基本性质
不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号.  
 $\frac{ - 2 m } { - n }$     
知识点：分式的基本性质
不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号.        
  $-\frac{ - 4 m } { 5 n }$  
知识点：分式的基本性质
如图，在Rt△ABC中，  $\angle C=90^{\circ},$    $\angle ABC=30^{\circ},AC=1cm,$  将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（    ）
 
 A. 1cm 
 B. 2cm 
 C.   $\sqrt3cm$   
 D.   $2\sqrt3cm$  
知识点：利用旋转设计图案
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角  $\alpha\left(0^{\circ}△A DE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，  $\angle CAD=25^{\circ},$  则旋转角 $\alpha$ 的度数（    ）                 
 A.   $40^{\circ}$    
 B.    $50^{\circ}$   
 C.  $60^{\circ}$   
 D.  $70^{\circ}$  
知识点：利用旋转设计图案
一副三角尺按如图所示的位置摆放（顶点C与F重合，顶点A在边FE上，顶点B、C、D在一条直线上） .将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转  $n^0$  后（0n360），如果EF∥AB，那么n的值为____.

知识点：利用旋转设计图案
如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转  $90^{\circ},$  得到△OA'B'，则点B'的坐标为____.

知识点：利用旋转设计图案
如图，点O是等边△ABC内一点，且OA=3，OB=4，OC=5.若将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转  $60^{\circ}$  得到线段BO'，则∠AOB的度数为____°.

知识点：利用旋转设计图案
如图， 点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，  $2\sqrt2,\sqrt{ 1 0 },\triangle ADP$  沿点A旋转至△ABP'，连接PP，并延长AP与BC相交于点Q.
（1）求证：△APP'是等腰直角三角形；
（2）判断.△BPP'的形状，并求∠BP Q的度数；
（3） 求正方形ABCD的边AB的长.

知识点：利用旋转设计图案
如图①，在四边形ABCD中，  $\angle ABC=30^{\circ},$  将△DCB绕点C顺时针旋转  $60^{\circ}$  后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，，若AB=3，BC=4，则BD=____.

知识点：利用旋转设计图案
聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色.某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇）、B（安全防疫篇）、C（劳动实践篇）、D（冬奥运动篇）.下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有_________份.

知识点：统计图的选择
为庆祝中国共青团成立 100 周年，某校开展四项活动：A 项参观学习B 项团史宣讲、C 项经典诵读、D 项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动.该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.

（1）本次调查的样本容量是________，，B项活动条形所在扇形的圆心角的大小是__________，统计图中C项活动的人数是_________；
（2）若该校约有 2 000 名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数.
知识点：统计图的选择
某校计划成立“数学欣赏“中国象棋”“名著赏析”和“音乐乐园”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向并将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）：

根据图表信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生总数为________；
（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1200名学生，试估计全校选择音乐乐园”社团的学生人数

知识点：条形统计图
安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此，交警部门在全市范围内开展了安全使用电瓶车专项宣传活动。在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表.                                                               活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
                                                           
                                                              活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图
                                                             
（1）宣传活动前，在抽取的市民中_______（填类别）的人数最多，占抽取人数的_______%；
（2）该市约有 40 万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约_______万人；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的有 178人，比活动前还增加了1人因此交警部门开展的宣传活动没有效果.请结合统计图表，通过计算说明小明的说法是否正确，并就交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法.
知识点：条形统计图
如图， 四边形ABCD是菱形， E、F分别是BC、CD上的点，添加一个条件，不能判定△A BE≅△ADF的是（    ）
 
 A. EC=FC 
 B. AE=AF 
 C. ∠BAF=∠DAE 
 D. BE=DF
知识点：菱形的性质
如图， 四边形ABCD是菱形， 顶点A、C的坐标分别是（0，2）、（8，2），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（    ）
 
 A. (4,2) 
 B. (5,2) 
 C. (4,4) 
 D. (5,4)
知识点：菱形的性质
如图， 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
（1）求证；△ODE≅△FCE.
（2）试判断四边形ODF C的形状，并写出证明过程.

知识点：菱形的性质
如图， 在菱形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（    ）
 
 A. 11 
 B. 12 
 C. 24 
 D. 22
知识点：菱形的性质
如图， 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH.若OA=4，OH的长为1.5，则菱形ABCD的面积为（    ）
 
 A. 24 
 B. 12 
 C. 8 
 D. 6
知识点：菱形的性质
一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（    ） 
 A. 8 
 B. 12 
 C. 16 
 D. 32
知识点：菱形的性质
在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n个黄球.某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀为一次摸球试验.记录摸球的次数与摸出白球的次数的数据如下：

根据表格可以估计出n的值为________.
知识点：利用频率估计概率
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为________°。

知识点：菱形的性质
如图， 在菱形ABCD中，  $\angle B=50^{\circ},$  点E在CD 上.若AE=AC，，则∠BAE=____°.

知识点：菱形的性质
大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，抛掷1000次，点落入白色部分有400次，则点落入白色部分的概率的估计值为________，黑色部分的总面积约为________ $\operatorname{cm}^2$ .

知识点：利用频率估计概率
计算  $\frac{ 1 } { x }-\frac{ 1 } { 2 x }$  的结果是（    ）                 
 A. $-\frac{ 1 } { x }$ 
 B. $-\frac{ 1 } { 2 x }$ 
 C. $\frac{ 1 } { 2 x }$ 
 D. $\frac{ 1 } { x }$
知识点：分式的加减法
化简  $\frac{ a ^ { 2 } } { a - 1 }-\frac{ 1 - 2 a } { 1 - a }$  的结果是（    ）   
 A. $\frac{ a + 1 } { a - 1 }$ 
 B. a-1 
 C. a 
 D. 1
知识点：分式的加减法
把分式  $\frac{ x } { x - y },\frac{ y } { x + y },\frac{ 2 } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$  的分母化为  $x^2-y^2$  后，各分式的分子之和是（    ）                 
 A. $x^2+y^2+2$ 
 B. $x^2+y^2-x+y+2$ 
 C. $x^2+2xy-y^2+2$ 
 D. $x^2-2xy+y^2+2$
知识点：分式的加减法
如果x\gty\gt0，那么  $\frac{ y + 1 } { x + 1 }-\frac{ y } { x }$  的值是（    ） 
 A. 零 
 B. 正数 
 C. 负数 
 D. 整数
知识点：分式的加减法
计算：  $\left(1\right)\frac{ x ^ { 2 } } { x - 2 }-\frac{ 2 x } { x - 2 }=$  ____；
  $\left(2\right)\frac{ 1 } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }-\frac{ 1 } { a + b }=$  ____ ；
 $\left(3\right)\frac{ 1 } { x - 1 }-\frac{ x } { x ^ { 2 } - 1 }=$  ____.
知识点：分式的加减法
已知  $\frac{ M } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }=\frac{ 2 x y - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }+\frac{ x - y } { x + y },$  则 $M=$ ___.
知识点：分式的加减法
已知 $a$ ， $b$ 为实数，且 $ab$ =1，设  $P=\frac{ a } { a + 1 }+$$\frac{ b } { b + 1 },Q=\frac{ 1 } { a + 1 }+\frac{ 1 } { b + 1 },$  则$P$ ____ $Q$ （填"\gt""\lt"或"=").    
知识点：分式的加减法
$\frac{2x}{x^2-y^2}-\frac{2y}{x^2-y^2};$ 
 
知识点：分式的加减法
按要求填空：  
小王计算$\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - 4 }-\frac{ 1 } { x + 2 }$  的过程如下：
解 ： $\frac{ 2 x } { x ^ { 2 } - 4 }-\frac{ 1 } { x + 2 }$  $=\frac{ 2 x } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) }-\frac{ 1 } { x + 2 }$  第一步 
 $=\frac{ 2 x } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) }-\frac{ x - 2 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) }$  第二步
  $=\frac{ 2 x - x - 2 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) }$  第三步 
 $=\frac{ x - 2 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) }$  第四步  
$=\frac{ 1 } { x + 2 }$  第五步
小王计算的第一步是_____（填“整式乘法"或“因式分解”），计算过程的第_____步出现错误.直接写出正确的计算结果是____.
知识点：分式的加减法
下列计算正确的是（    ）         
 A. $\frac{ b } { a }+\frac{ b } { c }=\frac{ 2 b } { a c }$ 
 B. $\frac{ 1 } { a - b }+\frac{ 1 } { b - a }=0$ 
 C. $\frac{c}{a}-\frac{c+1}{a}=\frac{1}{a}$  
 D. $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{2({a+b})}$ 
知识点：分式的加减法
某商场设立一个如图所示的可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）计算并完成表格.（精确到0.01）（2）画出获得铅笔频率的折线统计图.（3）请估计，当n很大时，获得铅笔的频率将会接近多少？假如你去转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？（精确到0.1）（4）在该转盘中，表示“可乐”区域的圆心角约是多少度？

知识点：利用频率估计概率
下列计算错误的是（    ）   
 A. $\frac{0.2a+b}{0.7a-b}=\frac{2a+b}{7a-b}$  
 B. $\frac{x^3y^2}{x^2y^3}=\frac{x}{y}$  
 C. $\frac{a-b}{b-a}=-1$  
 D. $\frac{1}{c}+\frac{2}{c}=\frac{3}{c}$  
知识点：分式的基本性质
(2021南京期末)已知M表示一个整式,若  $\frac{ 2 x } { M }$  是最简分式,则M可以是(    ) 
 A. 7 
 B. 8x 
 C.   $x^2-x$   
 D.   $y^2$  
知识点：分式的基本性质
已知关于 x，y 的二元一次方程组 $\begin{cases}{x+y=1} \\ {2x+4y=9}\end{cases}$ ，则  $\frac{ x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$  的值是（    ） 
 A. 一5 
 B. 5 
 C. -6 
 D. 6
知识点：分式的基本性质
约分    $\left(1\right)\frac{ a ^ { 4 } - 1 } { a ^ { 2 } + 2 a + 1 };$  $(2)\frac{(a+b)^2-10(a+b)+25}{(a+b)^2-25}.$ 
知识点：分式的基本性质
已知a+2b=0，求  $\frac{ a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } }$  的值.
知识点：分式的基本性质
请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：  $x^2-4xy+4y^2,x^2-$ $4y^2,x-2y.$  
知识点：分式的基本性质
已知a，b，c，d都不等于0，并且  $\frac{ a } { b }=\frac{ c } { d },$  ，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系，然后选择其中一组进行具体说明.  
$\left(1\right)\frac{ a } { c }$和 $\frac{ b } { d };$    $\left(2\right)\frac{ a + b } { b }$    和$\frac{ c + d } { d };$    $\left(3\right)\frac{ a + b } { a - b }$  和  $\frac{ c + d } { c - d }\left(a\ne b,c\ne d\right).$  
知识点：分式的基本性质
如图，在Rt△ABC中，  $\angle ACB=90^{\circ},AC=$  4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作  $▱CDEB,$  当AD=____时，  $▱CDEB$  为菱形.
知识点：菱形的判定
如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
（1）求证：AD=CF.
（2）连接AF、CD.如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形A DCF是菱形？证明你的结论.

知识点：菱形的判定
如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，交DE于点H.若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE、GD.
（1）求证：△ECG≅△GHD.
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若  $\angle B=30^{\circ},$  判断四边形A EGF是否为菱形，并说明理由.

知识点：菱形的判定
下列运算正确的是（    ）                 
 A. $\frac{y}{-x-y}=-\frac{y}{x-y}$  
 B. $\frac{2x+y}{3x+y}=\frac{2}{3}$  
 C. $\frac{x^2+y^2}{x+y}=x+y$  
 D. $\frac{y-x}{x^2-y^2}=-\frac{1}{x+y}$ 
知识点：分式的基本性质
在下列各式中成立的有（    ） 
① $\frac{ x } { y }=\frac{ x - 1 } { y - 1 };$  
②  $\frac{ x } { y }=\frac{ a x } { a y }\left(a\ne0\right);$  
③ $\frac{ x } { y }=\frac{ x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } };$   
④ $\frac{ x } { y }=\frac{ x \left( a ^ { 2 } + 1 \right) } { y \left( a ^ { 2 } + 1 \right) }.$   
 A. 1个 
 B. 2个 
 C. 3个 
 D. 4个
知识点：分式的基本性质
下列结论正确的是 
 A. 若a\gtb,,则  $ac^2\gtbc^2$   
 B. 分式  $\frac{ a } { a - b }$  一定等于  $\frac{ a ^ { 2 } + a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$   
 C. 若ab=cd,,则  $\frac{ a } { c }=\frac{ d } { b }$   
 D. 两个连续奇数的平方差都能被8整除
知识点：分式的基本性质
某体育用品厂要生产a只篮球，原计划每天生产b只篮球（a\gtb， 且b是a的约数），实际提前了1天完成任务，则实际每天生产篮球（    ）。
  
 A. $\frac{a}{b+1}$ 只 
 B. $\frac{ab}{a+b}$ 只 
 C. $\frac{ab}{a-b}$ 只 
 D. $\frac{c}{b-1}$ 只
知识点：分式的基本性质
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
$\frac{\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}y}{2x+\frac{1}{6}y}$ 
知识点：分式的基本性质
某班捐赠图书的情况如下表：

根据所给表格解答下列问题.
（1）该班共捐了多少册书？'
（2）若该班所捐图书按如图所示的比例分送，则送给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多多少册？
                      
知识点：扇形统计图
某校数学兴趣小组为了解学生对 A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类，并将统计结果绘制了统计表和扇形统计图.
                                                           
请根据图中所给出的信息舒答下列问题：
（1）n=_______，a=________，b=________；
（2）在扇形统计图中，求节目类型"C"所占的百分数；
（3）在咖形统计图中，求节日类型所对应的扇形圆心角的度数.
知识点：扇形统计图
小聪，小明参加了100米跑的5期集，每期集训结束时选行测试根据们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图，
                                                                                  1~5期每期的集训时间统计图
                                                                  
                                                                                   1~5期每期小明小聪测试成绩统计图
                                                                    
根据图中倍息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？
（2）哪一期小的成绩比他上一期的成绩进步最多？选步了多少秒？
（3）根据统计数据，结合体育运动的实际.从集训时间和测试成绩这两方面，简要说你的想法，
知识点：折线统计图
小南发现操场中有一个不规则的封闭图形ABC，如图.为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圆内掷石子，若石子落在图形ABC以外，则重掷.记录如下：

根据以上的数据，小南得到了封闭图形ABC的面积请根据以上信息，解答以下问题：（1）求石子落在圆内（含圆上）的频率；（2）估计封闭图形ABC的面积

知识点：利用频率估计概率
在分式  $\frac{ b } { 8 a },\frac{ a + b } { a - b },\frac{ x - y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } },\frac{ x + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$  中，最简分式有________个.
知识点：分式的基本性质
当a=29时，分式  $\colon\frac{ a ^ { 2 } - 1 } { a - 1 }$  的值是.____
知识点：分式的基本性质
若  $\frac{ | x - 1 | } { x - 1 }=-1,$  1，则x的取值范围是____.
知识点：分式的基本性质
已知3x=4y=5z(x≠0），则  $1\frac{ 2 x - 3 y + 6 z } { 3 x - 2 y + 4 z }$  的____
知识点：分式的基本性质
在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点（点E不与点B、C重合），且 $\angle$ EAF=45°.

（1）如图①，当BE=DF时，求证：AE=AF.（2）如图②，猜想BE、EF、DF之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）如图③，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H，GH=AE.若DF=a，CH=b，请用含a、b的代数式表示EF的长.
知识点：平行四边形的判定与性质
下列诗句表述的是随机事件的是（） 
 A. 离离原上草，一岁一枯荣 
 B. 危楼高百尺，手可摘星辰 
 C. 会当凌绝而一监众小 
 D. 东力日出西边雨首是无晴却有晴
知识点：随机事件
某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中

（1）柑橘损坏的概率约为________（精确到0.1）；（2）当抽取柑橘的总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是_______.A.99.32kg      B.203.45kgC.486.76kg    D.894.82kg （3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
知识点：利用频率估计概率
“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1、2、x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（） 
 A. 4 
 B. 5 
 C. 6 
 D. 7
知识点：可能性的大小
分式  $\frac{ b } { a ^ { 2 } - 4 a b + 4 b ^ { 2 } }+\frac{ a } { a - 2 b }+\frac{ a - b } { a + 2 b }$  的最简公分母是（    ） 
 A.  $\left(a^2-4ab+4b^2\right)\left(a-2b\right)\left(a-2b\right)$  
 B.    $\left(a-2b\right)^2\left(a+2b\right)$   
 C.   $\left(a-2b\right)^2\left(a^2-4b^2\right)$   
 D.   $\left(a-2b\right)^2\left(a+2b\right)^2$  
知识点：分式的基本性质
写出下列各组分式的最简公分母
  $\left(1\right)\frac{ 1 } { x },\frac{ 1 } { 2 x },\frac{ 1 } { 3 x };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(2\right)\frac{ 3 } { a + b },\frac{ 1 } { a - b };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(3\right)\frac{ 1 } { 2 x ^ { 3 } y },\frac{ 4 } { 3 x x ^ { 2 } },\frac{ 7 } { 4 y z };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(4\right)\frac{ x + 1 } { x },\frac{ x } { 2 x + 6 },\frac{ x - 1 } { x ^ { 2 } - 9 };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(5\right)\frac{ a + b } { \left( a + 2 b \right) \left( a - 2 b \right) },\frac{ a + b } { \left( 2 b + a \right) \left( 2 b - a \right) }.$
知识点：分式的基本性质
$\left(2\right)\frac{ 1 } { x ^ { 2 } - 1 6 },\frac{ 1 } { 2 x - 8 };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(3\right)\frac{ 1 } { x + 2 },\frac{ 4 x } { x ^ { 2 } - 4 },\frac{ 2 } { 2 - x };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(4\right)\frac{ y } { x \left( x - y \right) ^ { 2 } },\frac{ x } { \left( y - x \right) ^ { 3 } };$  
知识点：分式的基本性质
$\left(5\right)\frac{ 1 } { 0 . 0 3 x ^ { 2 } - 0 . 2 7 y ^ { 2 } },\frac{ - 2 x } { \frac{ 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac{ 9 } { 4 } x y + \frac{ 5 } { 2 } y ^ { 2 } }.$  
知识点：分式的基本性质
已知a，b，c为实数，，  $\frac{ a + b } { a b }=6,\frac{ b + c } { b c }=8,$    $\frac{ a + c } { a c }=10,$  ，求分式  $\frac{ a b + b c + c a } { a b c }$  的值.
知识点：分式的基本性质
观察等式：①  $\frac{ 1 } { 1 \times2 }=1-\frac{ 1 } { 2 };$    ②  $\frac{ 1 } { 2 \times3 }=\frac{ 1 } { 2 }-\frac{ 1 } { 3 };$  
③ $\frac{ 1 } { 3 \times4 }=\frac{ 1 } { 3 }-\frac{ 1 } { 4 };$ ④ $\frac{ 1 } { 4 \times5 }=\frac{ 1 } { 4 }-\frac{ 1 } { 5 }$……  
（1）试用含字母n的等式表示出你发现的规律，并证明该等式成立；
（2）计算：  $\frac{ 1 } { 1 \times2 }+\frac{ 1 } { 2 \times3 }+\frac{ 1 } { 3 \times4 }+\cdots+$    $\frac{ 1 } { 2 0 2 1 \times2 0 2 2 }=$________（直接写出结果）.
知识点：分式的基本性质
为了解某学校兴趣小姐活动情况，随机抽取了部分同学行调查，按  A：  艺术，B： 科技、 C： 体育、  D：其他四个项目进行统计，绘了两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题.

（1）本次按受问调查的共有_______人，在扇形统计图中“D”项目所占的百分比为______；
（2）扇形统计国中，“R"项目所对应扇形的圆心角为_________度；
（3）请补全条形处计图；
（4）若全校有2000人，请你估算一下全校喜欢艺术类的学生有多少人.
                           
知识点：扇形统计图、条形统计图、折线统计图
某校计划成立下列学生社团：A.合唱团、B.英语俱乐部、C.动漫创作社、D.文学社、E.航模工作室，为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况，某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图，
                                                                       最喜欢社团调查的条形统计图                                                                                                                                            最喜欢社团调查的扇形统计图
                                                                         
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有________人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中 D选项所对应扇形的圆心角为_______°；
（3）若该学校共有学生 3 000 人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数.
知识点：扇形统计图、条形统计图、折线统计图
在大量重复实验中关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（） 
 A. 频率就是概率 
 B. 频率与试验次数无关 
 C. 概率是随机的，与频率无关 
 D. 随着试验次数的增加，频率一股会稳足定在概率附近
知识点：利用频率估计概率
分式  $\frac{ 1 } { x },\frac{ 2 } { 3 x ^ { 2 } y },\frac{ 1 } { 1 2 y ^ { 2 } }$  的最简公分母是________
知识点：分式的基本性质
分式  $\frac{ 5 } { x + 3 },\frac{ 4 x } { 9 - x ^ { 2 } },\frac{ 1 } { 3 - x },\frac{ 1 } { x ^ { 2 } - 6 x + 9 }$  的最简公分母是________
知识点：分式的基本性质
从连续的20个整数中任意选取一个数，这个数是2的倍数的可能性和它是3的倍数的可能性相比（） 
 A. 是3的倍数的可能性大 
 B. 是2的倍数的可能性大 
 C. 两个可能性相等 
 D. 不能确定
知识点：可能性的大小
写出等式中未知的分子或分母： 
 $\frac{ y } { 3 x }=\frac{ \left( \right) } { 3 x ^ { 2 } y };$   
   
    
知识点：分式的基本性质
为了解某地区九几牛数男生的身信青况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（    ）
 
 A. 0.32 
 B. 0.55 
 C. 0.68 
 D. 0.87
知识点：利用频率估计概率
如图， 在菱形ABCD中， E为对角线BD上一点，连接AE、CE.
（1）求证：AE=CE.
（2）若AE=DE，AE⊥AB，求∠ABD的度数.

知识点：菱形的性质
阅读下面的材料：问题：如图①， 在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°  ，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC之间的位置关系。
小颗同学的思路：延长GP交DC于点H，，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）请你写出材料问题中线段PG与PC之间的位置关系，并说明理由.
（2） 将图①中的菱形BE FG绕点B按顺时针方向旋转， 使菱形BE FG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图②）.（1）中的结论是否发生变化？请说明理由.

知识点：菱形的性质
如图， 四边形ABCD是菱形，∠ADC=  $100^{\circ},DH\bot AB$  交AC于点F，垂足为H，则∠AFH的度数为________。

知识点：菱形的性质
如图， 菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是________。

知识点：菱形的性质
为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得：A、C、B、B、C、C、C、A、B、C、C、C、D、B、C、C、C、E、C、C.

（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数；
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟、20分钟、25分钟、30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由.
知识点：频数与频率、统计表
如图②， 四边形ABCD中， AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，  $\angle ADC=30^{\circ},$  CD=2，BD=3，则AD的长为____.

知识点：利用旋转设计图案
“把三角板切去一个角，使它成为四边形”是____事件.（填“必然”“不可能”或“随机”）
知识点：随机事件
排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性________小亮“站在两边”的可能性.（填“大于”“小于”或“等于”）
知识点：可能性的大小
写出一个概率为1的事件:________
知识点：可能性的大小
2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，幼树移植过程中的一组统计数据如下表；由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是_________（精确到0.1）
 

知识点：可能性的大小