Mathematik

Wikipedia:
Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch: , ; österreichisches Hochdeutsch: ; altgriechisch aa v mathematike techne ,die Kunst des Lernens') ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.
Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.
== Geschichte
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften.
Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China, später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus.
Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des "rein logischen Beweisens" und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie.
Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.
In der frühen Neuzeit führte Francois Viete Variablen ein, Rene Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie.
Die Betrachtung von Änderungsraten (Fluxionen) sowie die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten ("Quadratur") führten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton.
Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.
Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen.
Zu dessen Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Evariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt.
Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden.
Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab.
Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen.
Die neuen Ideen und Verfahren eroberten viele Bereiche.
Aber über Jahrhunderte hinweg kam es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen.
Versuche, den Begriff "Wahrscheinlichkeit" explizit zu definieren, gelangen nur für Spezialfälle.
Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schloss die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab, siehe dazu auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form.
Die von Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.
Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen.
Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren.
So entwickelte Emmy Noether die Grundlagen der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, Stefan Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum.
Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane.
== Inhalte und Methodik
=== Inhalte und Teilgebiete
Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen:
Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.
Unterschieden werden ferner die reine Mathematik, auch als theoretische Mathematik bezeichnet, die sich nicht mit außermathematischen Anwendungen befasst, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie.
Die Übergänge der eben genannten Gebiete sind fließend.
=== Fortschreiten durch Problemlösen
Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von "eigentlich zu schweren" Problemen voranschreitet.
Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: "Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?" Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion.
Die Frage lässt sich dann umformulieren zu:
"Was ist 5 minus 3?" Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen:
"Was ist 3 minus 5?", die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt.
Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind.
Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.
Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.
=== Axiomatische Formulierung und Sprache
Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet.
Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln.
Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze.
Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes.
In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, durch sie werden mathematische Begriffe durch Rückführung auf grundlegendere eingeführt und präzisiert.
Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien.
Üblicherweise verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr sind.
Diese Widerspruchsfreiheit selbst lässt sich aber im Allgemeinen nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen (dies ist abhängig von den verwendeten Axiomen).
Das hat zur Folge, dass etwa die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die fundamental für die moderne Mathematik ist, nicht ohne Zuhilfenahme weiterer Annahmen beweisbar ist.
Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden.
Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen.
In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.
Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind.
Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen.
Kurt Gödel zeigte um 1930 den nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass es in jedem Axiomensystem klassischer Logik, das erlaubt, gewisse Aussagen über natürliche Zahlen zu beweisen, entweder Aussagen gibt, die ebenso wenig wie ihre Negation beweisbar sind, oder aber das System selbst widersprüchlich ist.
Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht.
Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Liste mathematischer Symbole.
Eine Besonderheit der mathematischen Fachsprache besteht in der Bildung von aus Mathematikernamen abgeleiteten Adjektiven wie pythagoreisch, euklidisch, eulersch, abelsch, noethersch und artinsch.
=== Anwendungsgebiete
Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind.
Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften.
Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt.
Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept "Kraft gleich Impulsänderung" mathematisch zu fassen.
Solow entwickelte ein ökonomisches Modell des Wachstums einer Volkswirtschaft, das bis heute die Grundlage der neoklassischen Wachstumstheorie bildet.
Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt und Gauß hat im Rahmen seiner Beschäftigung mit Astronomie und Landvermessung die Methode der kleinsten Quadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungssystemen systematisiert.
Aus der anfänglichen Untersuchung von Glücksspielen ist die heute allgegenwärtige Statistik hervorgegangen.
Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben.
So ist zum Beispiel die schon im 16. Jahrhundert entstandene Theorie der komplexen Zahlen zur mathematischen Darstellung des Elektromagnetismus inzwischen unerlässlich geworden.
Ein weiteres Beispiel ist der tensorielle Differentialformenkalkül, den Einstein für die mathematische Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet hatte.
Des Weiteren galt die Beschäftigung mit der Zahlentheorie lange Zeit als intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar.
== Verhältnis zu anderen Wissenschaften
=== Kategorisierung der Mathematik
Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert.
Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen.
Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen.
Dennoch wird in der neueren Philosophie der Mathematik davon ausgegangen, dass auch die Methodik der Mathematik immer mehr derjenigen der Naturwissenschaft entspricht.
Im Anschluss an Imre Lakatos wird eine "Renaissance des Empirismus" vermutet, wonach auch Mathematiker Hypothesen aufstellen und für diese Bestätigungen suchen.
Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften.
Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten.
Auch aus diesen Gründen kategorisieren einige die Mathematik - neben anderen Disziplinen wie der Informatik - als Strukturwissenschaft bzw. Formalwissenschaft.
An deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. (Doktor der Naturwissenschaft) verliehen.
Im Gegensatz dazu erreicht im englischen Sprachraum der Hochschulabsolvent die Titel "Bachelor of Arts" bzw. "Master of Arts", die eigentlich an Geisteswissenschaftler vergeben werden.
=== Sonderrolle unter den Wissenschaften
Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse und der Strenge ihrer Methoden ein.
Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein.
Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden.
In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, sodass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann.
Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik.
So sagte David Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress 1900 in Paris:
Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.
Die Mathematik ist daher auch eine kumulative Wissenschaft.
Man kennt heute über 2000 mathematische Fachzeitschriften.
Dies birgt jedoch auch eine Gefahr: durch neuere mathematische Gebiete geraten ältere Gebiete in den Hintergrund.
Neben sehr allgemeinen Aussagen gibt es auch sehr spezielle Aussagen, für die keine echte Verallgemeinerung bekannt ist.
Donald E. Knuth schreibt dazu im Vorwort seines Buches Concrete Mathematics:
Es kommt somit der älteren mathematischen Literatur eine besondere Bedeutung zu.
Der Mathematiker Claus Peter Ortlieb kritisiert die - seiner Ansicht nach - zu wenig reflektierte Anwendung der modernen Mathematik:
== Mathematik in der Gesellschaft
Das vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) seit dem Jahr 2000 jährlich ausgerichtete Wissenschaftsjahr war 2008 das Jahr der Mathematik.
=== Mathematik als Schulfach
Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als Pflichtfach.
Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Lehren und Lernen von Mathematik beschäftigt.
In der Unterstufe geht es vor allem um das Erlernen von Rechenfertigkeiten.
In der Oberstufe werden dann Differential- und Integralrechnung sowie Analytische Geometrie/ Lineare Algebra eingeführt und dazu Stochastik weitergeführt.
=== Mathematik als Studienfach und Beruf
Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker.
Neben dem Mathematikstudium, in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik, Computermathematik oder Biomathematik eingerichtet worden.
Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig.
An deutschen Universitäten wurde im Rahmen des Bologna-Prozesses das Diplom auf Bachelor/ Master-Studiengänge umgestellt.
Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden müssen auch angehende Informatiker, Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen und Ingenieure belegen.
Die häufigsten Arbeitgeber für Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im Bereich mathematischer Finanzmodelle und Consulting, aber auch im IT-Bereich.
Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.
== Mathematische Museen und Sammlungen
Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften und auch eine experimentelle Wissenschaft.
Diese beiden Aspekte lassen sich durch Museen und historische Sammlungen sehr gut verdeutlichen.
Die älteste Einrichtung dieser Art in Deutschland ist der 1728 gegründete Mathematisch-Physikalische Salon in Dresden.
Das Arithmeum in Bonn am dortigen Institut für diskrete Mathematik geht in die 1970er Jahre zurück und beruht auf der Sammlung von Rechengeräten des Mathematikers Bernhard Korte.
Das Heinz Nixdorf MuseumsForum (Abkürzung "HNF") in Paderborn ist das größte deutsche Museum zur Entwicklung der Rechentechnik (insbesondere des Computers), und das Mathematikum in Gießen wurde 2002 von Albrecht Beutelspacher gegründet und wird von ihm laufend weiterentwickelt.
Im Museumsquartier in Wien befindet sich das von Rudolf Taschner geleitete Math.space, welches die Mathematik im Kontext zu Kultur und Zivilisation zeigt.
Darüber hinaus sind zahlreiche Spezialsammlungen an Universitäten untergebracht, aber auch in umfassenderen Sammlungen wie zum Beispiel im Deutschen Museum in München oder im Museum für Technikgeschichte in Berlin (Rechner von Konrad Zuse entwickelt und gebaut).
== Aphorismen über Mathematik und Mathematiker
Folgende Aphorismen bekannter Persönlichkeiten sind zu finden:

Klexikon (einfache Sprache):
Das Wort Mathematik kommt aus dem Griechischen und heißt so viel wie "die Kunst des Lernens".
Es geht dabei um das Rechnen mit Zahlen und um geometrische Formen.
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften.
Sie ist schon 3.500  Jahre alt.
Sie entstand in Hochkulturen wie die der Babylonier, Ägypter und frühen Griechen.
Es gab sie aber auch in China und in vielen anderen Ländern.
== Was gehört zur Mathematik?
Im Kindergarten und in der Grundschule beginnt es mit dem Zählen.
Der Zahlenraum ist unbegrenzt und zu den Zahlen gehört ja auch eine Vorstellung davon, wie viel etwas ungefähr ist.
Später kommt der negative Zahlenraum dazu.
Das sind die Zahlen unter Null.
Als nächstes werden die beiden ersten Grundrechenarten Addition und Subtraktion gelernt, also das Zuzählen und Wegnehmen.
Erst später kommen die Multiplikation und die Division dazu.
Das ist das Malrechnen und das Teilen.
Mit großen Zahlen wird das schon recht anspruchsvoll, deshalb gibt es dafür besondere Techniken.
Etwa soweit kommt man in der Grundschule.
Das Rechnen mit Zahlen nennt man auch Arithmetik.
Ein zweites großes Feld der Mathematik ist die Geometrie.
Da geht es um das Zeichnen oder das Messen von Längen und Winkeln.
Später geht es um die Vermessung und Berechnung einfacher Flächen, also Dreieck, Kreis, Quadrat und so weiter.
Später kommen Körper dazu.
Hierzu gehören der Würfel, die Pyramide, die Kugel und so weiter.
Für weiterführende Gebiete der Geometrie muss man schon bald an die Universität gehen.
Es gibt sehr viele verschiedene Erklärungen dafür, was Mathematik eigentlich ist.
Auf jeden Fall kann man sagen, dass die Mathematik viele Vorgänge auf der Welt logisch zu erklären versucht.
Dazu verwendet sie eine eigene Art von Sprache, die aus Symbolen, Zahlen und Formeln besteht.
Mit Hilfe dieser Sprache kann man vieles beschreiben oder berechnen.
Es gibt heute kaum mehr eine Wissenschaft, die ohne die Mathematik auskommt:
Ingenieure planen den Bau von Autos oder Brücken mit Hilfe der Mathematik.
Biologen berechnen, wie sich Tiere vermehren oder wie schnell sie aussterben.
Astronomen brauchen die Mathematik, um den Lauf der Himmelskörper zu berechnen und so weiter.
== Wie rechnet man in der Mathematik?
Im Lauf der Zeit wurden viele Methoden und Geräte erfunden, mit denen das Rechnen erleichtert werden soll.
Die einfachste Möglichkeit ist die, seine Finger zu nutzen.
Da man da aber nur zehn Finger hat, kommt man nicht allzu weit.
Eine Verbesserung ist da schon der Zählrahmen oder der Abakus.
Hier sind Perlen verschiebbar auf mehreren Stangen aufgereiht.
Später wurden dann mechanische Rechenmaschinen entwickelt.
Sie sind sehr kompliziert aufgebaut.
Die ersten konnten nur addieren und subtrahieren, später war dann auch multiplizieren und dividieren möglich.
Die mechanischen Maschinen wurden dann von elektrischen abgelöst.
Heute nutzen wir Taschenrechner und Computer.
Beim Rechnen mit Zahlen kann der Taschenrechner eine große Hilfe sein.
In der Mathematik wird aber nicht nur mit Zahlen gerechnet, sondern auch mit Buchstaben.
Diese stehen oft stellvertretend für eine bestimmte (aber unbekannte) Zahl und werden Variablen genannt.
Hier hilft der Taschenrechner kaum noch weiter.