Welche Eigenschaft haben zyklische Gruppen in Mathematik?
durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein
Gruppe__Mathematik_
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=== Zyklische Gruppen ===
Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe
wobei  meint und  das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element  wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch
Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.
Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel . Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen , die die Gleichung
erfüllen. Die  Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären ''n''-Ecks visualisiert werden. Für  ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit  der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um .
Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt zwei zyklische Gruppen mit jeweils  Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe  der ganzen Zahlen.
Eigenschaft_T
In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.
Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.
Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T. 3-Transpositionsgruppe
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie sind 3-Transpositionsgruppen Gruppen mit einer speziellen Eigenschaft. Es handelt sich um Gruppen, die von einer unter Konjugation abgeschlossenen Menge von Involutionen (d. h. Elementen der Ordnung 2) erzeugt werden, so dass das Produkt von je zwei Elementen dieser Menge höchstens die Ordnung 3 hat.
Eine Gruppe  heißt demnach 3-Transpositionsgruppe, wenn es eine Teilmenge  gibt, so dass  für alle ,  für alle ,  für alle  und jedes Element aus  endliches Produkt von Elementen aus  ist.
Die 3-Transpositionsgruppen wurden als erstes von Bernd Fischer studiert, der damit dann die drei sporadischen Fischer-Gruppen entdeckte. Somit gelang ihm ein Beitrag zur Klassifikation der 26 sporadischen Gruppen, also solchen endlichen einfachen Gruppen, die nicht in den 18 unendlichen Familien (zyklische Gruppen, alternierende Gruppen oder Gruppen vom Lie-Typ) vorkommen. Zyklische_Gruppe
Eigenschaft_T
In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.
Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.
Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T. 3-Transpositionsgruppe
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie sind 3-Transpositionsgruppen Gruppen mit einer speziellen Eigenschaft. Es handelt sich um Gruppen, die von einer unter Konjugation abgeschlossenen Menge von Involutionen (d. h. Elementen der Ordnung 2) erzeugt werden, so dass das Produkt von je zwei Elementen dieser Menge höchstens die Ordnung 3 hat.
Eine Gruppe  heißt demnach 3-Transpositionsgruppe, wenn es eine Teilmenge  gibt, so dass  für alle ,  für alle ,  für alle  und jedes Element aus  endliches Produkt von Elementen aus  ist.
Die 3-Transpositionsgruppen wurden als erstes von Bernd Fischer studiert, der damit dann die drei sporadischen Fischer-Gruppen entdeckte. Somit gelang ihm ein Beitrag zur Klassifikation der 26 sporadischen Gruppen, also solchen endlichen einfachen Gruppen, die nicht in den 18 unendlichen Familien (zyklische Gruppen, alternierende Gruppen oder Gruppen vom Lie-Typ) vorkommen. Zyklische_Gruppe

== Eigenschaften ==
Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.
Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben. Die Erzeuger von  sind +1 und −1, die Erzeuger von  sind die Restklassen, die teilerfremd zu  sind; ihre Anzahl  wird von der Eulerschen φ-Funktion angegeben.
Ist allgemein  ein Teiler von , dann ist  die Anzahl der Elemente von , die die Ordnung  haben:
Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen  und  ist genau dann zyklisch, wenn  und  teilerfremd sind; in diesem Fall ist das Produkt isomorph zu .
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler (endlicher und unendlicher) zyklischer Gruppen.
Der Gruppenexponent einer endlichen zyklischen Gruppe ist gleich ihrer Ordnung. Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe des Restklassenring , der Isomorphismus ist dabei der diskrete Logarithmus: Ist  ein Erzeuger von , dann ist die Abbildung