Welche Rolle spielt Energie in der theoretischen Physik?
dass der Energieerhaltungssatz, ursprünglich eine Erfahrungstatsache, schon daraus gefolgert werden kann, dass die grundlegenden physikalischen Naturgesetze zeitlich unveränderlich sind
Energie
Energie ist eine fundamentale physikalische Größe, die in allen Teilgebieten der Physik sowie in der Technik, Chemie, Biologie und der Wirtschaft eine zentrale Rolle spielt. Ihre SI-Einheit ist das ''Joule''. Die praktische Bedeutung der Energie liegt oft darin, dass ein physikalisches System in dem Maß Wärme abgeben, Arbeit leisten oder Strahlung aussenden kann, in dem seine Energie sich verringert. In einem gegenüber der Umgebung abgeschlossenen System ändert sich die Gesamtenergie nicht (Energieerhaltungssatz). Die Bedeutung der Energie in der theoretischen Physik liegt unter anderem darin, dass der Energieerhaltungssatz, ursprünglich eine Erfahrungstatsache, schon daraus gefolgert werden kann, dass die grundlegenden physikalischen Naturgesetze zeitlich unveränderlich sind.
Energie gibt es in verschiedenen ''Energieformen'', die ineinander umgewandelt werden können. Beispiele von Energieformen sind potentielle, kinetische, elektrische, chemische und Wärmeenergie (thermische Energie). Beispiele für solche Umwandlungen von Energie sind, dass ein Mensch ein Paket hochhebt oder ein Fahrrad beschleunigt, dass eine Batterie geladen wird, ein Lebewesen Stoffwechsel betreibt oder eine Heizung Wärme abgibt.
Die Energie eines Systems ist von seinem Zustand abhängig, d. h. von den Parametern des Systems und den momentanen Werten seiner Variablen. Die Form dieser Abhängigkeit bestimmt nach den hamiltonschen Bewegungsgleichungen, der Schrödingergleichung oder der Dirac-Gleichung in allen Einzelheiten die zeitliche Entwicklung des Systems.
Gemäß der Relativitätstheorie sind Ruheenergie und Masse durch die Äquivalenz von Masse und Energie () verknüpft.
Energie
Energie ist eine fundamentale physikalische Größe, die in allen Teilgebieten der Physik sowie in der Technik, Chemie, Biologie und der Wirtschaft eine zentrale Rolle spielt. Ihre SI-Einheit ist das ''Joule''. Die praktische Bedeutung der Energie liegt oft darin, dass ein physikalisches System in dem Maß Wärme abgeben, Arbeit leisten oder Strahlung aussenden kann, in dem seine Energie sich verringert. In einem gegenüber der Umgebung abgeschlossenen System ändert sich die Gesamtenergie nicht (Energieerhaltungssatz). Die Bedeutung der Energie in der theoretischen Physik liegt unter anderem darin, dass der Energieerhaltungssatz, ursprünglich eine Erfahrungstatsache, schon daraus gefolgert werden kann, dass die grundlegenden physikalischen Naturgesetze zeitlich unveränderlich sind.
Energie gibt es in verschiedenen ''Energieformen'', die ineinander umgewandelt werden können. Beispiele von Energieformen sind potentielle, kinetische, elektrische, chemische und Wärmeenergie (thermische Energie). Beispiele für solche Umwandlungen von Energie sind, dass ein Mensch ein Paket hochhebt oder ein Fahrrad beschleunigt, dass eine Batterie geladen wird, ein Lebewesen Stoffwechsel betreibt oder eine Heizung Wärme abgibt.
Die Energie eines Systems ist von seinem Zustand abhängig, d. h. von den Parametern des Systems und den momentanen Werten seiner Variablen. Die Form dieser Abhängigkeit bestimmt nach den hamiltonschen Bewegungsgleichungen, der Schrödingergleichung oder der Dirac-Gleichung in allen Einzelheiten die zeitliche Entwicklung des Systems.
Gemäß der Relativitätstheorie sind Ruheenergie und Masse durch die Äquivalenz von Masse und Energie () verknüpft.
Spontane_Symmetriebrechung
Spontane Symmetriebrechung ist ein Konzept der theoretischen Physik, das insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle spielt (Higgs-Mechanismus). Man spricht von ''spontaner'' Symmetriebrechung, wenn der Grundzustand (der Zustand niedrigster Energie) eines physikalischen Systems weniger Symmetrien aufweist als die zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen.
Symmetrien sind wichtige physikalische Eigenschaften eines Systems, da sie zum Beispiel die Erfüllung von Erhaltungssätzen oder die Existenz von Elementarteilchen bedingen können.
Das Konzept spielt auch eine Rolle in der Festkörperphysik, wo es seinen Ursprung hat. Kühlt z. B. ein Ferromagnet unter die Curie-Temperatur ab, so entwickelt sich – auch bei beliebig schwachem internem Magnetfeld – eine in dessen Richtung orientierte „spontane Magnetisierung“, was die vorher vorhandene Drehsymmetrie bricht. Durch das schwache Magnetfeld kann also die ''Richtung'' der spontanen Magnetisierung vorgegeben werden, während der ''Betrag'' davon unabhängig ist. Symplektische_Mannigfaltigkeit Zweiseitige_Laplace-Transformation
Spontane_Symmetriebrechung
Spontane Symmetriebrechung ist ein Konzept der theoretischen Physik, das insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle spielt (Higgs-Mechanismus). Man spricht von ''spontaner'' Symmetriebrechung, wenn der Grundzustand (der Zustand niedrigster Energie) eines physikalischen Systems weniger Symmetrien aufweist als die zugrunde liegenden Bewegungsgleichungen.
Symmetrien sind wichtige physikalische Eigenschaften eines Systems, da sie zum Beispiel die Erfüllung von Erhaltungssätzen oder die Existenz von Elementarteilchen bedingen können.
Das Konzept spielt auch eine Rolle in der Festkörperphysik, wo es seinen Ursprung hat. Kühlt z. B. ein Ferromagnet unter die Curie-Temperatur ab, so entwickelt sich – auch bei beliebig schwachem internem Magnetfeld – eine in dessen Richtung orientierte „spontane Magnetisierung“, was die vorher vorhandene Drehsymmetrie bricht. Durch das schwache Magnetfeld kann also die ''Richtung'' der spontanen Magnetisierung vorgegeben werden, während der ''Betrag'' davon unabhängig ist. Symplektische_Mannigfaltigkeit

== Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik ==
In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form
Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich  in lokalen Koordinaten immer als  schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik.
Die mathematische Aussage bezüglich  ist  äquivalent zu den sogenannten kanonischen Gleichungen der theoretischen Physik, speziell in der analytischen Mechanik.
In diesem Zusammenhang ist auch das Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der statistischen Physik eine  Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist Zweiseitige_Laplace-Transformation

== Definition ==
Für eine reell- oder komplexwertige Funktion  einer reellen Variable  ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle komplexen Zahlen  durch das Integral
Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von  bis 
In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion , für  schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.