Was versteht man unter einer zyklischen Gruppe in Mathematik?
eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können
Gruppe__Mathematik_
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=== Zyklische Gruppen ===
Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe
wobei  meint und  das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element  wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch
Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.
Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel . Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen , die die Gleichung
erfüllen. Die  Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären ''n''-Ecks visualisiert werden. Für  ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit  der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um .
Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt zwei zyklische Gruppen mit jeweils  Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe  der ganzen Zahlen.
Lie-Gruppe
Eine Lie-Gruppe (auch Liesche Gruppe), benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der theoretischen Physik, vor allem der Teilchenphysik, wichtige Werkzeuge.
Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine Gruppe, die als differenzierbare Mannigfaltigkeit aufgefasst werden kann, sodass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung kompatibel mit dieser glatten Struktur sind.
Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie in der Lie-Theorie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt. Unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nichteuklidischer Geometrien. Die älteren Bezeichnungen ''stetige Gruppe'' oder ''kontinuierliche Gruppe'' für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer topologischen Gruppe versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe.
Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlich-dimensionale Lie-Gruppen. Es gibt auch eine Theorie unendlich-dimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise Banach-Lie-Gruppen. Nilpotente_Gruppe
Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die ''p''-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer ''p''-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird. Kummertheorie
Lie-Gruppe
Eine Lie-Gruppe (auch Liesche Gruppe), benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet wird. Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der theoretischen Physik, vor allem der Teilchenphysik, wichtige Werkzeuge.
Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine Gruppe, die als differenzierbare Mannigfaltigkeit aufgefasst werden kann, sodass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung kompatibel mit dieser glatten Struktur sind.
Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie in der Lie-Theorie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt. Unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nichteuklidischer Geometrien. Die älteren Bezeichnungen ''stetige Gruppe'' oder ''kontinuierliche Gruppe'' für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer topologischen Gruppe versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe.
Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlich-dimensionale Lie-Gruppen. Es gibt auch eine Theorie unendlich-dimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise Banach-Lie-Gruppen. Nilpotente_Gruppe
Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die ''p''-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer ''p''-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird. Kummertheorie

== Kummertheorie ==
Die Kummertheorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist  ein Körper, der  verschiedene -te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von  vom Grad  durch das Ziehen einer -ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit  die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers , so stehen die zyklischen Erweiterungen von  vom Grad , die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von , also der Faktorgruppe von  nach den -ten Potenzen.
Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe  wird die Erweiterung  zugeordnet, die durch Adjunktion aller -ten Wurzeln von Elementen aus  zu  entsteht.
Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung  die Untergruppe  zu.
Ordnet diese Bijektion die Gruppe  und die Körpererweiterung  einander zu, so gibt es einen Isomorphismus , der gegeben ist durch . Dabei steht  für die Gruppe der -ten Einheitswurzeln und  für eine beliebige -te Wurzel von .