Welche Freimauergrade bezeichnet man als Johannisfreimaurerei?
''Lehrling'', ''Geselle'' und ''Meister''
Freimaurerei
Freimaurerei

=== Grade ===
Anzahl und Art der Freimaurergrade unterscheiden sich nach ''Lehrart'', so haben z. B. die Schwedischen Systeme insgesamt 9, die Schottischen Systeme 33 Grade. Grundsätzlich beginnen aber alle Systeme mit den Graden ''Lehrling'', ''Geselle'' und ''Meister''. Diese Stufen werden auch als ''blaue'' oder ''Johannisfreimaurerei'' bezeichnet und symbolisieren den Weg der persönlichen Weiterentwicklung. Entsprechend ihrem Selbstverständnis beschränken sich maßgebliche Lehrarten auf diese 3 Stufen, da sie den gesamten ethischen Reifeprozess der Mitglieder abdecken sollen.
Durch seine Initiation in den Lehrlingsgrad, die Stufe der ''Selbsterkenntnis'', soll der Lehrling in die Lage versetzt werden, seine menschliche Unvollkommenheit erkennen zu können. Sie wird durch den ''rauen Stein'' symbolisiert. Als unvollkommener Mensch bedürfe er der Hilfe anderer Menschen und soll sich der Bedeutung von Menschlichkeit und Brüderlichkeit bewusst werden. Durch seine kontinuierliche Arbeit an sich selbst möchte er sich symbolisch gesprochen zu einem Baustein des ''Tempels der Humanität'' entwickeln.
Abhängig von seinen Fähigkeiten, üblicherweise nach einem Jahr, wird er in den Gesellengrad befördert, dessen Symbol der ''kubische Stein'' ist. Der Geselle soll lernen, sich in Selbstdisziplin zu üben, denn dies sei die Voraussetzung, damit sich alle Menschen, durch Bausteine symbolisiert, harmonisch zu einem gemeinsamen ''Tempelbau der Humanität'' zusammenfügen. Dabei wird eine Vervollkommnung der sozialen Beziehungen zu seinen Mitbrüdern und Mitmenschen angestrebt.
Der Freimaurer-Meister möchte sich der Vergänglichkeit des menschlichen Lebens bewusst werden, überschaut und durchdenkt seinen Lebensplan. Dem Meister-Grad ist symbolisch das Reißbrett zugeordnet. Durch das Vorbild seiner Zeichnung wird er seine Erfahrung weitergeben. Er trägt höhere Verantwortung und übernimmt weitere Aufgaben. Von der Arbeit der vorherigen Grade ist der Meister damit nicht entbunden.
Zusätzlich (und optional) gibt es verschiedene sogenannte ''rote'' ''Hochgradsysteme''. Sie führen nicht darüber hinaus, sondern haben das Ziel, die Lehren des Lehrlings-, Gesellen- und Meistergrades zu vertiefen, daher werden sie heute als Erkenntnis- oder Vervollkommnungsstufen bezeichnet.
Grad__Freimaurerei_
Insignien der Freimaurer: Schurz, Beamtenabzeichen "Altstuhlmeister" und Bijou.
Die gesamte Lehre der Freimaurerei gliedert sich großlogenübergreifend in drei Grade (''blaue Johannisfreimaurerei''). Darauf aufbauend werden von einer Minderheit der Freimaurer verschiedene so genannte Hochgradsysteme „bearbeitet“. Da die dabei rituell verwendeten Kleidungsbestandteile und die farbliche Gestaltung der Versammlungsorte jeweils eine andere Arbeitsfarbe haben, werden sie auch als ''weiße, grüne, schwarze'' und ''rote Grade'' bezeichnet. Allen Hochgradsystemen gemeinsame Voraussetzung für die Aufnahme ist der Meistergrad in der Johannisfreimaurerei. Fraternitas_Saturni Riemannsche_Normalkoordinaten
Grad__Freimaurerei_
Insignien der Freimaurer: Schurz, Beamtenabzeichen "Altstuhlmeister" und Bijou.
Die gesamte Lehre der Freimaurerei gliedert sich großlogenübergreifend in drei Grade (''blaue Johannisfreimaurerei''). Darauf aufbauend werden von einer Minderheit der Freimaurer verschiedene so genannte Hochgradsysteme „bearbeitet“. Da die dabei rituell verwendeten Kleidungsbestandteile und die farbliche Gestaltung der Versammlungsorte jeweils eine andere Arbeitsfarbe haben, werden sie auch als ''weiße, grüne, schwarze'' und ''rote Grade'' bezeichnet. Allen Hochgradsystemen gemeinsame Voraussetzung für die Aufnahme ist der Meistergrad in der Johannisfreimaurerei. Fraternitas_Saturni

==== Entwicklung ====
Im Gradsystem der Fraternitas Saturni wurden ursprünglich zehn Grade bearbeitet. Die ersten drei orientierten sich äußerlich an den drei Graden der blauen Johannisfreimaurerei (Lehrling, Geselle, Meister) und wurden als ''Pronaos'', griech. ‚Vorhalle des Tempels‘, bezeichnet: ''Neophyt'' (Lehrling), ''Gradus Mercurii'', lat. ‚Grad des Merkur‘ (Geselle) und ''Gradus Solis'', lat. ‚Sonnengrad‘ (Meister). Darauf folgten drei Rosenkreuzer-Grade: der ''Gradus Pentalphae'', lat. ‚Grad des Pentagramms‘, der ''Gradus Sigilii Salomonis'', lat. ‚Grad des Siegels Salomons‘ und der ''Magus Heptagrammatos'', lat. ‚Magier des Siebensterns‘. Die höchste Stufe der Einweihung bzw. Ausbildung waren die drei Grade des Souveränen Sanktuariums der Gnosis, welche ''Templarius'', lat. ‚Tempelherr‘, ''Gnosticus'', lat. ‚Gnostiker‘ und ''Magister Aquarii'', lat. ‚Meister des Wassermannes‘ genannt wurden. Vor den ''Pronaos''-Graden gab es noch den Grad des ''Novizenbruders'', welcher dem gegenseitigen Kennenlernen von Kandidat und Loge diente. Der Großmeister war Inhaber des höchsten Grades ''Magister Aquarii'' und trug den Titel ''Meister vom Stuhl''.
Anfang der 1960er Jahre wurde das Einweihungssystem auf 33 Grade erweitert. Die Grade orientieren sich am Rahmen der Grade des „Alten und Angenommenen Schottischen Ritus“ der Freimaurerei, erhielten jedoch andere Namen und eigene Inhalte. Dadurch entstand ein ausdifferenziertes und komplexes Gebilde, in dem nur bestimmte Schlüsselgrade erarbeitet werden, um in die tieferen Ebenen der Loge zu gelangen. Zu diesen Graden gehören der 8° (''Gradus Mercurii'') und der 12° (''Gradus Solis''). Mit den übrigen Graden sind unterschiedliche Betätigungsfelder verbunden, die zu bearbeiten den Mitgliedern der ''Fraternitas Saturni'' freisteht. Riemannsche_Normalkoordinaten

== Definition ==
Sei  eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang  und  sei eine beliebige Kurve, welche die Geodätengleichung  erfüllt. Mit  werde der Tangentialraum am Punkt  bezeichnet und für  werde mit
die Exponentialabbildung bezeichnet. Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis  von  erhält man einen Isomorphismus
welcher durch  definiert ist. Sei weiter  eine offene Umgebung von , auf welcher die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus ist, und für welche  gilt. Dann erhält man eine Abbildung
Da  bzw.  auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw. Diffeomorphismus definiert, ist auch  ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.