Welche Eigenschaft muss ein universell programmierbarer Computer aufweisen?
die Turing-Vollständigkeit
Computer
 zentriert Versuchsmodell der Analytical Engine
zentriertNotebook (Laptop) MacBook, 2006
Ein Computer (englisch; deutsche Aussprache ) oder Rechner ist ein Gerät, das mittels programmierbarer Rechenvorschriften Daten verarbeitet. Dementsprechend sind vereinzelt auch die abstrahierenden bzw. veralteten, synonym gebrauchten Begriffe Rechenanlage, Datenverarbeitungsanlage oder elektronische Datenverarbeitungsanlage sowie Elektronengehirn anzutreffen.
Charles Babbage und Ada Lovelace gelten durch die von Babbage 1837 entworfene Rechenmaschine ''Analytical Engine'' als Vordenker des modernen universell programmierbaren Computers. Konrad Zuse (Z3, 1941 und Z4, 1945) in Berlin, John Presper Eckert und John William Mauchly (ENIAC, 1946) bauten die ersten funktionstüchtigen Geräte dieser Art. Bei der Klassifizierung eines Geräts als ''universell programmierbarer Computer'' spielt die Turing-Vollständigkeit eine wesentliche Rolle. Sie ist benannt nach dem englischen Mathematiker Alan Turing, der 1936 das logische Modell der Turingmaschine eingeführt hatte.
Die frühen Computer wurden auch (Groß-)Rechner genannt; ihre Ein- und Ausgabe der Daten war zunächst auf Zahlen beschränkt. Zwar verstehen sich moderne Computer auf den Umgang mit weiteren Daten, beispielsweise mit Buchstaben und Tönen. Diese Daten werden jedoch innerhalb des Computers in Zahlen umgewandelt und als solche verarbeitet, weshalb ein Computer auch heute eine Rechenmaschine ist.
Mit zunehmender Leistungsfähigkeit eröffneten sich neue Einsatzbereiche. Computer sind heute in allen Bereichen des täglichen Lebens vorzufinden, meistens in spezialisierten Varianten, die auf einen vorliegenden Anwendungszweck zugeschnitten sind. So dienen integrierte Kleinstcomputer (eingebettetes System) zur Steuerung von Alltagsgeräten wie Waschmaschinen und Videorekordern oder zur Münzprüfung in Warenautomaten; in modernen Automobilen dienen sie beispielsweise zur Anzeige von Fahrdaten und steuern in „Fahrassistenten“ diverse Manöver selbst.
Universelle Computer finden sich in Smartphones und Spielkonsolen. Personal Computer (engl. für Persönliche Computer, als Gegensatz zu von vielen genutzten Großrechnern) dienen der Informationsverarbeitung in Wirtschaft und Behörden sowie bei Privatpersonen; Supercomputer werden eingesetzt, um komplexe Vorgänge zu simulieren, z. B. in der Klimaforschung oder für medizinische Berechnungen.
Computer
 zentriert Versuchsmodell der Analytical Engine
zentriertNotebook (Laptop) MacBook, 2006
Ein Computer (englisch; deutsche Aussprache ) oder Rechner ist ein Gerät, das mittels programmierbarer Rechenvorschriften Daten verarbeitet. Dementsprechend sind vereinzelt auch die abstrahierenden bzw. veralteten, synonym gebrauchten Begriffe Rechenanlage, Datenverarbeitungsanlage oder elektronische Datenverarbeitungsanlage sowie Elektronengehirn anzutreffen.
Charles Babbage und Ada Lovelace gelten durch die von Babbage 1837 entworfene Rechenmaschine ''Analytical Engine'' als Vordenker des modernen universell programmierbaren Computers. Konrad Zuse (Z3, 1941 und Z4, 1945) in Berlin, John Presper Eckert und John William Mauchly (ENIAC, 1946) bauten die ersten funktionstüchtigen Geräte dieser Art. Bei der Klassifizierung eines Geräts als ''universell programmierbarer Computer'' spielt die Turing-Vollständigkeit eine wesentliche Rolle. Sie ist benannt nach dem englischen Mathematiker Alan Turing, der 1936 das logische Modell der Turingmaschine eingeführt hatte.
Die frühen Computer wurden auch (Groß-)Rechner genannt; ihre Ein- und Ausgabe der Daten war zunächst auf Zahlen beschränkt. Zwar verstehen sich moderne Computer auf den Umgang mit weiteren Daten, beispielsweise mit Buchstaben und Tönen. Diese Daten werden jedoch innerhalb des Computers in Zahlen umgewandelt und als solche verarbeitet, weshalb ein Computer auch heute eine Rechenmaschine ist.
Mit zunehmender Leistungsfähigkeit eröffneten sich neue Einsatzbereiche. Computer sind heute in allen Bereichen des täglichen Lebens vorzufinden, meistens in spezialisierten Varianten, die auf einen vorliegenden Anwendungszweck zugeschnitten sind. So dienen integrierte Kleinstcomputer (eingebettetes System) zur Steuerung von Alltagsgeräten wie Waschmaschinen und Videorekordern oder zur Münzprüfung in Warenautomaten; in modernen Automobilen dienen sie beispielsweise zur Anzeige von Fahrdaten und steuern in „Fahrassistenten“ diverse Manöver selbst.
Universelle Computer finden sich in Smartphones und Spielkonsolen. Personal Computer (engl. für Persönliche Computer, als Gegensatz zu von vielen genutzten Großrechnern) dienen der Informationsverarbeitung in Wirtschaft und Behörden sowie bei Privatpersonen; Supercomputer werden eingesetzt, um komplexe Vorgänge zu simulieren, z. B. in der Klimaforschung oder für medizinische Berechnungen.
Pocket-Computer Substitution__Logik_ HP-12C
Der HP-12C ist ein weit verbreiteter, programmierbarer finanzmathematischer Taschenrechner aus der Voyager-Serie des US-amerikanischen Herstellers Hewlett-Packard. Diese Serie umfasst die Modelle HP-10C bis HP-16C, die alle ein gleiches äußeres Erscheinungsbild im Querformat aufweisen. Der HP-12C erschien im September 1981 und wird seit  Jahren mit unverändertem Design und Funktionsumfang produziert, was für ein Gerät der sich rasant entwickelnden Informationstechnik, speziell für einen Taschenrechner, einzigartig sein dürfte.
Pocket-Computer

== Geschichte ==
Im Jahre 1977 brachte Sharp mit dem PC-1201 seinen ersten programmierbaren Taschenrechner unter der Bezeichnung ''POCKET COMPUTER'' auf den Markt. Mit dem Modell EL 5100 folgte ein programmierbarer Taschenrechner im Querformat (2½"×7"×½" EL 5100). Diese Bauform ermöglichte ein einzeiliges LCD mit erstmals 24 Zeichen, als weitere Innovation, Platz für (zehn) „ABC“-Tasten. Mit dem PC-1211 folgte eine QWERTY-Tastatur. So gilt der Sharp PC-1211, eingeführt im Jahre 1980, heute als erster Pocket-Computer.Es gab aber Ausnahmen: Z. B. der Casio FX-702P besitzt eine alphabetische Tastatur.
Bis zu diesem Zeitpunkt waren die Sprachen der programmierbaren Taschenrechner (zum Beispiel TI-59) stets hersteller- beziehungsweise modellgebunden. Pocket-Computer konnten erstmals herstellerunabhängig Programme verarbeiten, welche in der damals sehr populären Programmiersprache BASIC erstellt waren.
Zur Markteinführung gegen Ende 1980 waren diese Rechner durch den niedrigen Einstiegspreis (ab ca. 330 DM) und die gute Verfügbarkeit (die Geräte konnten z. B. im Versandhandel bestellt werden) auch eine preisgünstige Alternative für Computereinsteiger. Substitution__Logik_

=== Gesetz der universellen Substitution ===
Ist eine Aussage  ein Theorem und ist  das Resultat der universellen Substitution von  durch , so ist  wiederum ein Theorem. Wichtig ist hier, dass universell substituiert wird; bei bloß einfacher Substitution ist nicht gewährleistet, dass  ein Theorem ist. Eine weitere Voraussetzung ist, dass es sich bei dem Substituendum  um einen „Satzparameter“ handelt, d. h. um eine nicht-komplexe Formel, die überdies in keinem Axiom vorkommt. Für das Substituens  gibt es keine entsprechende Beschränkung.
können wir den Ausdruck  universell ersetzen durch
und erhalten wiederum ein Theorem, nämlich:
Bei einfacher Substitution könnten wir auch folgendes erhalten:
Wenn wir die Forderung fallenließen, dass das Substituendum ein Satzparameter ist, so könnten wir den ganzen Ausdruck  durch eine Formel, etwa , ersetzen und erhielten:
was natürlich ebenfalls kein Theorem ist.
Die Eigenschaft, dass universelle Substitution die Theorem-Eigenschaft erhält, wird in manchen Kalkülen ausgenutzt, indem dies als Schlussregel formuliert wird. Die ''Regel der universellen Substitution'' besagt, dass man in jeder Formel, die man mit einem Beweis gewonnen hat, jeden Satzparameter durch eine beliebige Aussage universell ersetzen kann. HP-12C
Der HP-12C ist ein weit verbreiteter, programmierbarer finanzmathematischer Taschenrechner aus der Voyager-Serie des US-amerikanischen Herstellers Hewlett-Packard. Diese Serie umfasst die Modelle HP-10C bis HP-16C, die alle ein gleiches äußeres Erscheinungsbild im Querformat aufweisen. Der HP-12C erschien im September 1981 und wird seit  Jahren mit unverändertem Design und Funktionsumfang produziert, was für ein Gerät der sich rasant entwickelnden Informationstechnik, speziell für einen Taschenrechner, einzigartig sein dürfte.