Welche Bedingungen muss eine Gruppe in der Mathematik erfüllen?
das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen
Gruppe__Mathematik_
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.
Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.
Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.
Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren. Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.
Gruppe__Mathematik_
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.
Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.
Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.
Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren. Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.
Metrisierbarer_Raum
Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist ein metrisierbarer Raum ein topologischer Raum mit zusätzlichen besonderen Eigenschaften.
Da die metrischen Räume Spezialfälle der topologischen Räume sind, liegt es nahe, zu fragen, wann ein topologischer Raum ''metrisierbar'' ist, das heißt, welche zusätzlichen Forderungen ein topologischer Raum erfüllen muss, damit es eine Metrik gibt, die die Topologie induziert. Dieser Artikel gibt einen Überblick über notwendige und hinreichende Bedingungen für die ''Metrisierbarkeit'', die in den Artikeln ausführlicher erklärt werden, auf die von hier aus verwiesen wird. Sätze, die schwache hinreichende Bedingungen oder gleichwertige Bedingungen zur Metrisierbarkeit formulieren, werden in der Literatur als ''Metrisationssätze'' bezeichnet. Abelsche_Varietät
In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen ''gleichzeitig'' zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) ''und'' die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.
Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven. Programmiersprache
Metrisierbarer_Raum
Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist ein metrisierbarer Raum ein topologischer Raum mit zusätzlichen besonderen Eigenschaften.
Da die metrischen Räume Spezialfälle der topologischen Räume sind, liegt es nahe, zu fragen, wann ein topologischer Raum ''metrisierbar'' ist, das heißt, welche zusätzlichen Forderungen ein topologischer Raum erfüllen muss, damit es eine Metrik gibt, die die Topologie induziert. Dieser Artikel gibt einen Überblick über notwendige und hinreichende Bedingungen für die ''Metrisierbarkeit'', die in den Artikeln ausführlicher erklärt werden, auf die von hier aus verwiesen wird. Sätze, die schwache hinreichende Bedingungen oder gleichwertige Bedingungen zur Metrisierbarkeit formulieren, werden in der Literatur als ''Metrisationssätze'' bezeichnet. Abelsche_Varietät
In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen ''gleichzeitig'' zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) ''und'' die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.
Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven. Programmiersprache

=== Deklarative Programmiersprachen ===
Den genau umgekehrten Ansatz verfolgen die deklarativen Programmiersprachen. Dabei beschreibt der Programmierer, welche Bedingungen die Ausgabe des Programms (das ''Was'') erfüllen muss. Wie die Ergebnisse konkret erzeugt werden, wird bei der Übersetzung, zum Beispiel durch einen Interpreter festgelegt. Ein Beispiel ist die Datenbankabfragesprache SQL.
Ein Programm muss nicht unbedingt eine Liste von Anweisungen enthalten. Stattdessen können grafische Programmieransätze, zum Beispiel wie bei der in der Automatisierung verwendeten Plattform STEP 7, benutzt werden.
Die Art der formulierten Bedingungen unterteilen die deklarativen Programmiersprachen in logische Programmiersprachen, die mathematische Logik benutzen, und funktionale Programmiersprachen, die dafür mathematische Funktionen einsetzen.