مشتق کسری (قسمت دوم)

اول بیایید تعریف عادی مشتق را ببینیم. مشتق به صورت زیر تعریف می شود:اگر دقت کنید در این تعریف تنها به مقادیر تابع در همسایگی آن توجه می کنیم. یعنی شیب خط یک ویژگی محلی (local) است. سه تعریف بالا در حالت حدی یک مقدار دارند. مهم نیست یک قدم قبل یا بعد یا حتی جفتشان را بررسی می کنیم. خیلی از ویژگی هایی که در فیزیک وجود دارند خاصیت محلی دارند مانند دما، فشار و مکان. به طور مثال دمای یک نقطه به آرامی و از یک نقطه همسایه به بعدی تغییر می کند. سرعت مشتق اول مکان نسبت به زمان است. یعنی میزان سرعت در هر نقطه ای ناشی از تفاوت مکان در الان (t) و یک زمان بسیار کوچک قبل تر (t-dt) است. یا به عبارتی:البته چنین چیزی برای ما آنقدر آشناست که حتی به این فکر نمیکنیم چرا شتاب یک ویژگی محلی است. اما چنین چیزی در حالت کلی صادق نیست. پدیده هایی در فیزیک وجود دارند که میتوانند به زمان های بسیار قبل تر هم وابسته باشند. برای اینکه چنین چیزی را ببینیم بیایید اول تعریف مشتق را کمی تغییر دهیم. این فرمول کمی ترسناک بنظر می رسد و انگار تعریف را بسیار سخت کرده است. اما اگر دقت کنید این دقیقا همان حرف را می زند. این فرمول در واقع کانولوشن بین تابع دلتای دیراک و خود تابع سرعت است! به خاطر ویژگی خاص تابع دلتای دیراک چنین چیزی خود تابع را بر می گرداند:انتگرال تابع دلتای دیراک در هر نقطه t مقدار تابع در همان نقطه f(t) را بر میگرداند انگار این تابع انتگرال را خنثی می کند. اما هدف کانولوشن صاف تر کردن تابع با استفاده از یک تابع دیگر است. دلتا آنقدر تیز است که عملا تابع اولیه را به همان حالت اول بر می گرداند. اما اگر به جای این تابع چیزی انتخاب کنیم که کمی کمتر تیز باشد چه؟ مثلا تابع هایی را به شکل زیر در نظر بگیریم که به تدریج صاف تر و صاف تر می شوند.چنین توابعی به ما اطلاعات بیشتری از همسایگی می دهند. به عبارتی آن ها غیر محلی تر (non local) هستند. مثلا می توانیم یک خانواده از توزیع های w(a,t) را در نظر بگیریم که در حد همان تابع دلتای دیراک می شوند. در این صورت مشتق غیر محلی به صورت زیر می توان تعریف کرد:که در آن N صرفا برای نرمال کردن است یعنی:چنین تعریفی از مشتق به مشتق های کسری منجر می شود (در اینجا وارد این موضوع نمی شویم).اما چرا باید چنین انتخاب عجیبی از w داشته باشیم که به مشتق های غیر محلی منجر شود. اولین پاسخ این است که چرا نه؟ چه چیزی باعث می شود که انتخاب عجیب «فقط» همسایه محلی را داشته باشیم. اما از جنبه ی عملی برخی از پدیده ها وجود دارند که از قوانین ساده ی قبلی پیروی نمی کنند یکی از مثال های آن anomalous diffusion است. پدیده انتشار ویژگی بسیار جالبی است که همه ی ما دیده ایم. مثلا وقتی گاز شهری در اتاق منتشر می شود. یا زمانی که یک قطره جوهر را در آب میریزیمچنین انتشار هایی به صورت کلاسیک در فیزیک بررسی شده اند و مشخص شده است که انتشار یک ویژگی درجه ی اول است. چنین چیزی برای انتشار دما هم صدق می کند. تابع انتشار به صورت زیر می توان تعریف کرد:سرعت زمانی تغییر در تابع در این معادله معادل با میزان چین خوردگی فضایی (یا چگالی) آن است. یک ویژگی این معادله این است که در زمان خطی است. یعنی دقیقا مانند معادله ی اول میزان پخش و چگالی آن در هر لحظه فقط به لحظه ی قبل تر آن بستگی دارد. به چنین ویژگی ای یک زنجیره ی مارکوف هم می گوییم. با این حال این معادله زمانی درست است که ظرف بی نهایت بزرگ و بدون دیوار باشد. زمانی که ذرات به دیواره برخورد می کنند و منعکس می شوند دیگر نمی توان وضعیت سیستم در زمان t را نتیجه ی زمان t-dt دانست. بلکه سیستم به زمان های بسیار قبل تر هم وابسته می شودو برای اینکه این موقعیت را درک کنید به این مثال توجه کنید: فرض کنید یک منبع داشته باشیم که به تمام سمت ها توپ پرتاب می کند. چنین سیستمی حالت ساده ای است که وضعیت آن در هر لحظه ناشی از لحظه ی قبل آن است. اما اگر برای این سیستم یک دیوار قرار دهیم اگر توپی به دیوار پرتاب شد و بازگشت به توپ های دیگر برخورد می کند و آن ها تحت تاثیر می گذارد. پس سیستم به تمام زمان های قبل وابسته است.معمولا حتی با برخورد لزوما سیستم تغییر جدی ای در رفتارش ندارد اما میزان این برخورد ها مهم است. اگر میزان آن ها از حدی بیشتر باشد سیستم از حالت «انتشار» به حالت «زیرانتشار» subdiffusion تغییر وضعیت می دهد. در این حالت با اینکه ذرات از هم دور می شوند اما نه آنقدر که نتوانند کنار هم جمع شوند و گروه ها و خوشه هایی بسازند. چنین چیزی مقدمه ای برای ایجاد ساختار پیچیده تر است. در واقع مشخص شده است که در مورد موجودات زنده بیشتر پخش ها از حرکت پروتئین ها در سلول تا موجودات در یک اکوسیستم یا جمعیت های زنده از «زیرانتشار» پیروی می کنند. چنین پدیده ای بسیار عجیب است چون در چنین حالتی ماده وارد فاز جدید می شود که فضای لازم برای ساختار پیچیده را ایجاد می کند. به چنین حالتی Active Matter یا «ماده ی فعال» گفته می شود.چنین مباحثی هنوز در مرحله ی تحقیقات هستند اما افق های جالبی برای فهیدن حیات و ساختار پیچیده را فراهم می کنند. مشتق های کسری ابزارهای جالب جدیدی برای توصیف دینامیک حیات را در اختیارمان می گذارد.