کاربرد مشتق

این مطلب در اصل برای دانش آموزان سال دوازدهم رشته ریاضی نوشته شده است اما سایر دانش آموزان و دانش پژوهان نیز می توانند با مطالعه ی مقاله و مشاهده ویدپو های آموزشی با کاربرد مشتق در زمینه های مختلف آشنا شوند. در فصل چهارم کتاب حسابان ۲ با مفهوم مشتق و روش های مشتق گیری آشنا شدیم.حال در ادامه در فصل پنج با بعضی از کاربردهای مشتق آشنا می شویم. در واقع پی می بریم که چگونه مشتق در حل مسائل علوم مختلف نظیر ریاضی، فیزیک، علوم اقتصادی و برنامه ریزی ها طراحی های علمی نقش دارد.در علوم مختلف به تناوب با مسائلی رو به رو می شویم که علاقه مندیم حداکثر نمودن یا حداقل نمودن متغیر مورد هدفمان به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم. به عنوان یک مثال ساده، ورقه مقوایی مربع شکل داریم می خواهیم از چهار گوشه ی آن چهار مربع هم اندازه ببریم و ضلع مربع گوشه ها را تا بزنیم تا جعبه دربازی مثل جعبه شیرینی یا جعبه کفش به طور که بیشترین گنجایش را داشته باشد یا برای محافظت از تیرهای چراغ برق در بیابان آن ها را با کابل هایی به زمین می بندیم سوال پیش رو این است که چطور امکان پذیر است که با کمترین کابل بهترین استحکام را داشته باشد. یا در مواقعی نیاز به رسم تقریبی معادلاتی داریم که در مسائل با آنها رو به رو هستیم در حالی که حل مستقیم این معادلات بسیار دشوار است یا با شکل آنها به قدر کافی آشنا نیستیم. همه این موارد در واقع کاربرد های اصلی مشتق در علوم مختلف می باشد.در ادامه با برخی کاربردهای مشتق آشنا می شویم:۱) نقاط بحرانی و اکسترمم های تابعبه نقاطی از دامنه تابع (به جز نقطه ابتدا و انتها) که مشتق در آنها تعریف نشده یا برابر صفر باشد، نقاط بحرانی می گوییم. ماکزیمم ها و مینیمم های نسبی یک تابع در نقاط بحرانی ظاهر می شوند و این مسئله اهمیت این نقاط را افزایش داده است. اگر بازه ی بازی یافت شود که نقطه ای از این بازه عرضش از عرض بقیه نقاط این بازه بزرگتر یا مساوی باشد این نقطه ماکزیمم نسبی است واگر کوچکتر یا مساوی بقیه نقاط این همسایگی باشد مینیمم نسبی نام دارد. به مجموعه نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی موجود در یک تابع اکسترمم های نسبی تابع گفته می شود. مشابه همین مسئله، در صورتی که عرض نقطه ای در تابع از تمام نقاط موجود در دامنه تابع بیشتر باشد، ماکزیمم مطلق نامیده می شود. و بالعکس به نقطه ای کمترین عرض را در دامنه داشته باشد مینیمم مطلق می گوییم. به مجموعه نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق، اکسترمم مطلق گفته می شود.در ویدئو زیر روش بدست آوردن نقاط بحرانی و اکسترمم های تابع نشان داده شده است. همچنین مثالی متنوعی مشابه مثال های کتاب را حل کرده ایم: https://www.aparat.com/v/MRFt9 ۲) بهینه سازییکی از موارد کاربرد اکسترمم های مطلق استفاده از آن در مسائل بهینه سازی است در مسائل بهینه سازی مثلا کمیتی مانند سطح، حجم، طول و..... را می خواهیم ماکزیمم یا مینیمم کنیم یا سود حاصل از یک سرمایه گذاری را ماکزیمم نماییم. برای منظور مراحل زیر را باید انجام دهیم: الف)‌ فهم مسئله: در مرحله اول می بایست به طور کامل شرایط مسئله را بررسی کنیم. برای این کار شاید لازم باشد شکل رسم کنیم یا معادلات موجود را مشخص کنیم. در مسائل بهینه سازی دو عامل از اهمیت بالایی برخوردار هستند. اول هدف مسئله یا همان خواسته اصلی ما می باشد. مثلا می خواهیم حجم استوانه ای را ماکزیمم کنیم یا طول مسیری را حداقل نماییم. و دوم متغیر اصلی مسئله می باشد. درواقع آنچه تغییر می دهیم تا به ما در رسیدن به هدف اصلی کمک کند. تشخیص این دو عامل در ابتدای کار بسیار مهم استب) ایجاد معادله ی تک متغیره: در مرحله دوم باید معادله ای بر اساس متغییر های اصلی ایجاد می کنیم. برای این کار می بایست به کمک معادلات موجود، روابط میان متغیرها را مشخص کرده و همه آنها را بر اساس متغیر اصلی بدست آوریم. در نتیجه یک تابع بر اساس متغیر اصلی حاصل می شود. پ) مشخص کردن اکسترمم مطلق معادله ی اصلی: در مرحله نهایی اکسترمم مطلق تابع اصلی (براساس هدف مسئله مشخص می شود به دنبال مینیمم مطلق هستیم یا ماکزیمم مطلق) را به کمک مشتق گیری از تابع بدست می آوریم. فرایند حل مسائل بهینه سازیبرای درک بهتر توجه شما را به ویدئو آموزشی زیر جلب می کنم: https://www.aparat.com/v/6i0Gh ۳) تعیین نزولی یا صعودی بودن تابع:یکی از کاربرد های مشتق مشخص کردن صعودی یا نزولی بودن تابع است. برای بررسی جهت تغییرات و تعیین نقاط اکسترمم نسبی یک تابع از آزمون اول مشتق استفاده می کنیم. بدین منظور از معادله تابع مشتق گرفته تعیین علامت می کنیم در فاصله ای که مشتق مثبت باشد تابع صعودی است در فاصله ای که مشتق منفی باشد تابع نزولی است در فاصله ای که مشتق صفر باشد. تابع ثابت است اگر مشتق تابعی به ازای مقدار معینی تغییر علامت دهد تابع به ازای آن مقدار ماکزیمم یا مینیمم است اگر این تغییر علامت از مثبت به منفی باشد آن نقطه ماکزیمم تابع است واگر از منفی به مثبت باشد آن نقطه مینیمم تابع است و اگر تغییر علامت ندهد اکسترمم محسوب نمی شود. برای فهم بهتر این مطلب توجه شما را به ویدئو آموزشی زیر جلب می کنم: https://www.aparat.com/v/MA1hi ۴) جهت تقعر و نقطه عطف:‍اگر گودی یک منحنی به طرف بالا باشد می گوییم تقعر آن منحنی به طرف بالاست. و اگر گودی یک منحنی به طرف پایین باشد می گوییم تقعر منحنی به طرف پایین است. نقطه ای از منحنی که درآن تقعر عوض می شود به شرط آنکه خط مماس داشته باشد، نقطه عطف نامیده می شود. در عمل برای بررسی جهت تقعر و نقطه ی عطف یک منحنی از آزمون دوم مشتق استفاده می کنیم. برای این منظور از معادله تابع مشتق دوم گرفته و تعیین علامت می کنیم. در فاصله ای که مشتق دوم منفی باشد تقعر به طرف پایین است در فاصله ای که مشتق دوم مثبت باشد تقعر منحنی به طرف بالاست اگر مشتق دوم به ازای مقدار معینی تغییر علامت دهد به شرط آنکه تابع در آن نقطه خط مماس داشته باشد نقطه عطف منحنی است. برای آموزش بهتر می توانید ویدئو زیر را مشاهده کنید: https://www.aparat.com/v/3tg0U ۵) رسم نمودار تابع:از اطلاعاتی که در قسمت های قبل کسب کردیم، به منظور رسم نمودار یک تابع استفاده می کنیم. برای رسم نمودار یک تابع معمولا اعمال زیر را انجام می دهیم:الف) دامنه تابع را تعیین می کنیم ب) در صورت داشتن مجانب، مجانب های تابع را می یابیمج) نقاط تلاقی تابع را با محورهای مختصات در صورت امکان تعیین می کنیمد) مشتق تابع را گرفته نقاط بحرانی و نقاط اکسترمم را در صورت وجود تعیین می کنیمه) مشتق دوم گرفته جهت تقعر و نقطه عطف تابع را در صورت وجود تعیین می کنیمو) جدول جهت تغییرات تابع را تشکیل می دهیم وبا استفاده از جدول نمودار تابع را رسم می کنیم آموزش کامل این مبحث به همراه مثال های متنوع در ویدئوی زیر قابل مشاهده است: https://www.aparat.com/v/7KJfF مدرس: تیمور جویبار