عددهای دوست داشتنی

از وقتی که وارد دانشگاه شدم، مرتب در جاهای مختلف چیزهای زیبایی از ریاضیات می‌دیدم که پیش‌نیاز ریاضی سنگینی نداشتند. با خودم می‌گفتم ای کاش، یک سری از این مفاهیم و کتاب‌ها رو در دوران دبیرستان به ما معرفی می‌کردند. برای مثال، ریاضیات گسسته مطالب بسیاری دارد که خیلی پیش‌نیاز خاصی نمی‌خواهد و یک دبیرستانی علاقه‌مند، چیزهای جالب فراوانی در آن خواهد یافت. در این نوشتار، قصد دارم چند کتاب جذاب و خواندنی ریاضی را معرفی کنم که به عددها می‌پردازند. همین عددهای ساده‌ای که هر روز در خیابان از کنارمان رد می‌شوند، از سر و کول دفتر و کتاب‌هایمان بالا می‌روند، گاهی روی اعصابمان می‌روند و ... ! البته بعضی از این عددها خودشان خود به خود مشکوک هستند: مثلاً اعداد گنگ، اعداد مختلط یا بی‌نهایت. در این نوشته، تک تک به سراغشان خواهیم رفت! ۱. اعداد: گویا و گنگاعداد: گویا و گنگدر این کتاب خیلی ساده با تعریف اعداد گویا کار آغاز می‌شود و سپس ارتباط آن‌ها با اعداد اعشاری و نحوه تبدیلشان به هم بررسی می‌شود. بعد کم‌کم اعداد گنگ پیدا می‌شوند و بازی جذاب‌تر هم می‌شود. اثبات گنگ بودن اعداد گنگ مختلف از زیباترین بخش‌های این کتاب است. مثلاً در دبیرستان بیشتر اثبات گنگ بودن اعداد رادیکالی مطرح است اما در این کتاب می‌توانید اثبات‌های زیبایی برای گنگ بودن sin زوایای مختلف یا logها یا اعداد گنگ عجیب غریب‌تر ببینید. در فصل سوم کتاب یک قضیه بسیار مفید اثبات شده که به کمک آن می‌توانید همه ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای را بیابید. فصل‌های پایانی که قدری پیشرفته‌تر هستند به ترسیم‌های هندسی، تقریب اعداد گنگ و اعداد متعالی می‌پردازد. خود تقسیم اعداد حقیقی به اعداد جبری و متعالی هم بحث شیرینی است که جای آن در کتاب‌های درسی خالی است.این را هم اضافه کنم که این کتاب از سری کتاب‌های ریاضیات پیش‌دانشگاهی هست که فکر می‌کنم اواخر دهه ۶۰ منتشر می‌شدند. «دانستنیهای اعداد بزرگ» و «گزیده‌ای از نظریه اعداد» دو کتاب خواندنی دیگر از این مجموعه هستند.٢. ریشه‌ی دومِ ٢ریشه دومِ دوبه گمانم حدود ده سال پیش بود که این کتاب را دانلود کردم. آن زمان سایتی پیدا کرده بودم که در موضوعات مختلف کتاب‌های انگلیسی داشت که غالباً رنگی بودند و خوش نقش و نگار. این کتاب را هم از همان سایت دانلود کردم. با خودم گفتم شاید برای تمرین زبان خوب باشد. چند صفحه‌ای را همان موقع نگاه کردم و دیگر آن را کنار گذاشتم. چند وقت پیش فرصتی فراهم شد و برای شروع، فصل اول را چاپ کردم و خواندم. حوصله‌ی پی‌دی‌اف خواندن نداشتم. فصل‌های بعدی دیگر خود به خود پیش رفتند. کتاب کلاً مکالمه بین یک معلم ریاضی و یک دانش‌آموزِ کنجکاوِ علاقه‌مند است. از جاهای خیلی ساده مثل مفهوم جذر آغاز می‌شود و سپس با در نظر گرفتن عدد رادیکال دو که احتمالاً ساده‌ترین عدد گنگ است، مسائل زیبایی مطرح شده و حل می‌شوند. مثلاً اثبات گنگ بودن رادیکال دو، اندازه‌ناپذیر بودن اعداد گنگ و گویا با یک خط‌کش، کاشی‌کاری، ارتباط کاغذ A4 و رادیکال دو (عالی بود)، دنباله پِل برای رادیکال دو، انواع اعداد اعشاری و کسرهای مسلسل و ... . در فصل آخر کتاب هم، در کنار گاوس و رامانوجان (دو تا از ریاضی‌دان‌های مطرح و درجه یک) به کنجکاوی‌های بیشتر در اعداد گنگ می‌پردازیم.برای اینکه شیرینی این کتاب زیر دندانتان برود، بگذارید مسأله‌ی جالب رامانوجان را که در کتاب مطرح شده، اینجا بنویسم:«خانه‌های یک طرفِ خیابانی به ترتیب و با شروع از یک شماره‌گذاری شده‌اند. شماره خانه‌ای را می‌خواهیم که حاصل جمع عددهای بعد از آن خانه و حاصل جمع اعداد قبل از آن برابر باشند.»مثلاً برای n=8، خانه‌ی ششم جواب خواهد بود، زیرا 1+2+3+4+5 = 7+8. تلاش برای یافتن یک جواب دیگر بسیار جذاب خواهد بود و یافتن همه جواب‌ها، شکرستانی خواهد بود! پاسخ زیبای رامانوجان به این سوال تا چند روز حال شما را خوب خواهد کرد. باورتان می‌شود که سوال بالا را به رادیکال دو ربطش بدهند؟!!۳. داستان مجموعه‌هاداستان مجموعه‌هاکتاب بالا خیلی با عددها کار ندارد ولی با چیزهایی کار دارد که خیلی با عددها کار دارند یا شاید عددها با آن‌ها کار دارند (بالاخره جمله تموم شد)! به نظرم نمی‌شود دانش‌‌آموزِ ریاضی‌دوستی باشی و به این «بی‌نهایت» چپ‌چپ نگاه نکنی. خیلی عجیب غریب است. مخصوصاً اگر گاهی این بی‌نهایت‌ها شما را دست انداخته باشند. مجموع جملات نامتناهی، کسرهای نامسلسل نامتناهی و اثبات‌های متناقض از چیزهای دمِ‌دستی بی‌نهایت‌هاست ولی دانش‌آموزان ریاضی و تجربی این شانس را دارند که در مباحث حد و مشتق و انتگرال دوباره با این موجودات سروکله بزنند.خلاصه اینکه «بی‌نهایت» موضوعی بی‌نهایت زیبا در ریاضیات است و کار کتابِ بالا، این است که بی‌نهایت ساده و با داستان‌هایی جالب و خواندنی تفاوت‌های بی‌نهایت با اعداد معمولی را به ما یاد بدهد. البته فصل اول کتاب در مورد مجموعه‌هاست و فصل سوم و آخر هم در مورد منحنی‌ها و توابع ولی فصل دوم شاید برای دانش‌آموزان جالب‌تر باشد.شاید اگر به جای همه حرف‌ها بالا، اشاره می‌کردم که مترجم کتاب پرویز شهریاری است، کفایت می‌کرد!۴. اعداد مختلط از A تا Zدروغ چرا؟! کتاب بالا را هنوز خودم هم کامل نخواندم. فقط نگاه گذرایی به آن داشتم اما دو دلیل دارم که هر کدام به تنهایی خوب بودن کتاب را اثبات می‌کنند: اول نام تیتو آندرسکو روی جلد کتاب هست (یکی از نویسنده‌ها). ایشان رئیس کمیته المپیاد ریاضی آمریکا بودند چند سال (یا سازمانی در همین حول و حوش) و تألیفات بسیار خوبی در موضوعات مختلف ریاضی دارند. عموماً هم کتاب‌هایشان مسأله محور است و با رویکرد حل مسأله مطالب را آموزش می‌دهند. کتاب «۱۰٢ مسئله ترکیبیات» و «معادلات دیوفانتی» از دیگر کتاب‌های ایشان هستند که به فارسی هم ترجمه شده‌اند. کتاب بسیار خوبی هم برای جبرخطی دارند که به نظرم کم‌نظیر است: «Essential Linear Algebra with Applications: A Problem-Solving Approach». کتاب انگلیسی ایشان در جبرخطی از کتاب فارسی هافمن برای من فارسی‌تر بود! دلیل دوم هم اینکه یک سال این کتاب منبع مسابقه کلاغ‌های دانشگاه شهید بهشتی بوده است. (کلاغ‌ها مسابقه کتابخوانی ریاضی بود که تا یک سال قبل از کرونا دانشکده ریاضی دانشگاه شهید بهشتی برگزار می‌کرد. یک کتاب جالب ریاضی را انتخاب می‌کردند و تیم‌های مختلف آن را می‌خواندند و در یک روز امتحان می‌دادند. دو دوره‌‌ی آخرش را با دوستان شرکت کردیم که عالی بود. اگر فرصتی شد باید در مورد کلاغ‌ها هم به تفصیل بنویسم.)خود موضوع اعداد مختلط بسیار برای دانش‌آموزان علاقه‌مند جذاب است. به خاطر دارم اولین بار در درس ریاضی سمپاد کلاس اول دبیرستان به اندازه نصف صفحه معلممان در مورد اعداد مختلط توضیح داد. همان روز بعدازظهر به کتابخانه رفتم و اعداد مختلط را جستجو کردم. کتاب «آنالیز مختلط و کاربردهای آن» نوشته سیلورمن را داشت. کتاب را گرفتم و با جدیت دو هفته سعی کردم آن را بفهمم. شکست خوردم ولی واقعاً کمی بیشتر از نصف صفحه‌ای که معلم درس داده بود، فهمیدم و لذت بردم. اگر آن روز این کتاب را دیده بودم، خیلی خوب بود. اگر شما هنوز در «آن روز» هستید یا به زودی به «آن روز» می‌رسید، رویکرد هندسی و ساده این کتاب را برای فهم اعداد مختلط از دست ندهید. این روزها بازار کتاب بیشتر در کارِ «نکات تستی بسیار مهم» است و لذا کتاب‌های بالا را یا باید از اینترنت بگیرید یا کتابخانه‌ها. دیگر قصه کوتاه کنم که غصه‌ای نیفزایم.به امیدِ بودن با کتاب‌های خوب!محمدرضا شمس اشکذریآبانِ صفر یکو سپاس خدای را ...