ریاضیات || عدد پی π

عکس از کتابخانۀ شخصیپی (π) معروف‌ترین عدد در جهان ریاضیات است. اگر تمام ثوابت طبیعت را طبقه‌بندی کنیم، پی (π) همیشه در صَدرِ این طبقه‌بندی قرار دارد. اگر در دنیای اعداد نیز جایزۀ اُسکار وجود داشت، پی (π) هر سال برندۀ این جایزه می‌شد.حاصل تقسیم محیط بر قطر دایره همان عدد پی (π) است که حقیقتاً یک ثابت ریاضی بوده و برای همۀ دایره‌ها در هر اندازه‌ای یکسان است. با این که دایره زادگاه طبیعی عدد پی (π) است، ولی در هر مکان دیگری در ریاضیات ممکن است دیده شود، که البته چندان هم با دایره بی‌ارتباط نیست.«ارشمیدس» با تلفّظ یونانی آرخِمیدِس Archemides (Άρχιμήδης)نسبت محیط دایره به قطر آن یک موضوع تاریخی است. دو هزار سال پیش از میلاد مسیح، بابِلیان دریافتند که محیط دایره تقریباً سه برابر قطر آن است. امّا این ارشمیدس بود که در حدود 225 سال پیش از میلاد، به صورت جدّی و ریاضی به برّرسی عدد پی (π) پرداخت.ریاضی‌دانان که علاقۀ شدیدی به مقایسۀ همکاران‌شان دارند، ارشمیدس را هم‌رتبۀ «کارل فردریش گاوس» (سلطان ریاضیات) و «آیزاک نیوتن» می‌دانند.گذشته از عادلانه بودن یا نبودن این قضاوت، واضح است که نام ارشمیدس در زُمرۀ بزرگان ریاضیات قرار دارد. او در زمینه‌های بسیاری مانند نجوم، فیزیک و ریاضیات درخشید و حتّیٰ با طراحی سلاح‌های جنگی اَهرُمی، منجنیق و «آینه‌های سوزان» کمک شایانی در دفاع از «سیراکوز» در مقابله با رومیان کرد.ارشمیدس به وسیلۀ آینه‌های مُقعّر (کاو) کشتی‌های دشمن (رومیان) را آتش زد، که البته پس از دفاع طولانی شهر سیراکوز، ارتش قدرتمند روم موفّق به تسخیر شهر شد. روزی یک سرباز رومی در کنار ساحل، اَشکال هندسی‌ای را که پیرمردی 75 ساله بر روی شِن‌ها کشیده بود لگدمال کرد، و پس از اعتراض پیرمرد، او را به ضرب شمشیر کُشت. غافل از این که یکی از اساطیر جهان ریاضی (ارشمیدس) را از بین برده است.امّا با وجود تمام نظریّات مُتفکّرانه و ابتکارات شگفت، گاهی اَعمال احمقانه‌ای از وی سَر می‌زد که دور از شأن یک دانشمند بود. چه چیزی باعث گردید به او این انگیزه اِلقاء شود تا به هنگام کشف «قانون بالابَری هیدرواستاتیک» عُریان از گرمابه بیرون دَویده و در خیابان فریاد کند: «اورکا، اورکا» (یافتم، یافتم). در حالی که هیجان‌زدگی وی برای کار بر روی عدد پی (π) در تاریخ ثبت نشده است.عدد پی (π) بر اساس نسبت محیط به قطر دایره تعریف شده است. پس نقش این عدد در مساحت دایره چیست؟ مساحت دایره به شعاع (r) برابر است با (πr²)، که این نیز استنتاجی است از عددی ثابت که از نسبت محیط به قطر به دست آمده، اگر چه اکنون خود، تعریفی شناخته‌شده‌تر است.برای بِدست آوردن اندازۀ مساحت دایره، آن را به مثلث‌های باریک به طول قاعدۀ (b) و ارتفاعی تقریباً برابر با شعاع (r) تقسیم‌بندی می‌کنیم.عکس از کتاب نظریه‌های تاثیرگذار در علم ریاضیاتاین مثلث‌ها درون دایره یک چندضلعی را تشکیل می‌دهند که مساحت آن تقریباً برابر با مساحت دایره است. اجازه بدهید با 1000 مثلث شروع کنیم. تمام این رَوَند یک تمرین تقریبی برای بِدست آوردن مساحت دایره است. می‌توانیم با مُجاور هم قرار دادن هر دو مثلث (مانند شکل بالا سمت راست) یک مستطیل تشکیل دهیم که مساحت آن برابر (b×r) است، که به این ترتیب مساحت چندضلعی ما برابر با (500 × r × b) می‌شود.محیط چندضلعی که تقریباً برابر محیط دایره است برابر (1000 × b) است، پس (500 × b) تقریباً با نصف محیط دایره، یعنی (πr) برابر است.بنابرانی مساحت چندضلعی ما از ضرب نصف محیط در شعاع حاصل می‌شود: (πr × r = πr²).هر چه تعداد مثلث‌ها را بیشتر کنیم، مساحت چندضلعی ایجاد شده، به مساحت دایره نزدیکتر شده و اختلاف نتیجه از (πr²) کمتر خواهد بود.ارشمیدس محاسباتش را دقیق‌تر و دقیق‌تر کرد و اثبات کرد عدد پی (π) مابین دو عدد (223/71 تا 220/7) قرار دارد. از اینجا است که ما تقریب آشنای (22/7) را مرهون ارشمیدس هستیم.اعداد در متن به صورت کسریدر قرن هجدهم افتخار انتخاب سَمبُل (π) نصیب «ویلیام جونز» ریاضی‌دان اهل «وِلز» شد و «لئونارد اویلر» باعث معروف شدن این عدد به عنوان نسبت دایره شد.مقدار دقیق‌تر عدد پی (π)ما هیچگاه مقدار عدد پی (π) را نخواهیم دانست، چون یک عدد گُنگ است. این حقیقت را «یوهان لَمبرت» در سال 1768 اثبات کرد. اعشار این عدد بی‌انتها است و از هیچ اُلگوی خاصی پیروی نمی‌کند.بیست رقم اوّل اعشار این عدد عبارتند از: 3/14159265358979323846. مقدار (10√ = رادیکال 10) استفاده شده توسط ریاضی‌دانان چینی برابر 3/16227766016837933199 است و این مقدار 500 سال پس از میلاد توسط «براهماگوپتا» تایید شد که البته از تقریب غیرِ دقیق 3 است. زیرا در رقم دوم اعشار با مقدار پی (π) متفاوت است.عدد پی (π) می‌تواند از بسط‌هایی محاسبه شود که یکی از معروف‌ترین آنها عبارتند از:که البته این سِری بِطور آزار دهنده‌ای به آهستگی با عدد پی (π) همگرا می‌شود و در هنگام محاسبه منجر به ناامیدی می‌گردد. برای حلّ این موضوع، «اویلر» سری دیگری یافت که به صورت قابل توجّهی در نزدیک شدن به عدد پی (π) موفّق بود:نابغۀ خودآموختۀ ریاضیات «سرینیواسا رامانوجان»، یک فرمول تقریبی غیر عادی برای عدد پی (π) ابداع کرد که فقط شامل ریشۀ دوم عدد 2 است، که از هفتمین رقم اعشار با عدد پی (π) متفاوت است:ریاضی‌دانان مجذوب عدد پی (π) هستند. هنگامی که «لَمبرت» ثابت کرد که نمی‌توان آن را در قالب یک کسر نشان داد، در سال 1882 ریاضی‌دان آلمانی «فردیناند فون لیندمَن»، برجسته‌ترین مسئله دربارۀ عدد پی (π) را حل کرد. او نشان داد که عدد پی (π) بیان جبری ندارد، یعنی نمی‌تواند نتیجۀ یک معادلۀ جبری باشد (معادله‌ای که فقط شامل توان x است). با حل این معمّا، وی توانست پاسخ سؤال «مربع کردنِ دایره» را بیابد.سؤال مذکور این بود که آیا می‌توان تنها با داشتن یک دایره و یک خط‌کش، مربعی دقیقاً هم‌مساحت با دایره ساخت؟ «لیندمَن» اثبات کرد که ابداً نمی‌توان این کار را انجام داد و باعث شد امروزه عبارت «مربع کردن دایره» در بین ریاضی‌دانان به کنایه در مورد کارهای غیر ممکن بِکار رود.محاسبات عدد پی (π) با سرعت ادامه یافت. در سال 1853، «ویلیام شَنکس» این عدد را تا دقّت 607 رقم اعشار محاسبه کرد که البته 527 رقم آن درست بود. در عصر کنونی روند محاسبۀ ارقام عدد پی (π) با ظهور کامپیوتر و انجام محاسبات پیچیده شتاب گرفته است. در سال 1949، این عدد تا 2037 رقم اعشار در طول 70 ساعت توسط کامپیوتر «ENIAC» محاسبه شد و در سال 2002، این عدد تا 1241100000000 رقم اعشار رسید، و این محاسبات روز به روز دقیق و دقیق‌تر می‌شود.طبق محاسبات «شَنکس»، اگر روی خط اِستوا بایستیم و شروع به نوشتن ارقام عدد پی (π) کنیم، طول اعشار آن در حدود 14 متر خواهد شد. امّا ارقام محاسبه شده برای عدد پی (π) در سال 2002 نشان داد که طول اعشار آن می‌تواند 62 بار زمین را دور بزند.سؤالات زیادی در مورد عدد پی (π) ذهن انسان را به خود مشغول ساخته است. برای بعضی از آنها پاسخی پیدا شده و بعضی همچنان بدون جواب باقی مانده‌اند. مثلاً آیا ارقام عدد پی (π) از ترتیب خاصی پیروی می‌کنند؟ آیا این امکان وجود دارد که بتوانیم ارقام آن را پیش‌بینی کنیم؟ آیا ممکن است رشته‌ای مانند «0123456789» را به ترتیب در آن مشاهده کنیم؟در دهۀ 1950 به نظر می‌رسید پاسخ این سؤالات غیر ممکن باشد. تا آن زمان هیچکس نتوانسته بود در میان دو هزار رقم شناخته شده برای عدد پی (π) دنباله‌ای ثابت را پیدا کند. البته «برائُوِر» Brouwer ریاضی‌دان برجستۀ هلندی اعتقاد داشت چنین چیزی وجود ندارد و معتقد بود این سؤال اساساً بی‌معنا است.امّا این ارقام تکراری در سال 1997 در اعشار 17387594880 دیده شد. یعنی در موقعیّت جغرافیایی بر روی اِستوا، حدود 3000 مایل پیش از آن که یک دورِ زمین کامل شود قرار دارد. می‌توانید در 600 مایلی قبل از تمام شدن یک دور، ده عدد 6 را بطور مُتوالی ببینید و اگر صبر کنید تا یک دور کامل شود و 3600 مایلِ دیگر بگذرد، ده عدد 7 را به صورت متوالی می‌بینید.عکس از کتاب نظریه‌های تاثیرگذار در علم ریاضیاتاهمیّت عدد پی (π)دانستن مقدار دقیق‌تر عدد پی (π) چه سودی دارد؟ در حالی که بیشتر محاسبات ما تنها با تعداد محدودی از اعشار این عدد انجام می‌شود. آیا دانستن 10 رقم از آن نیز می‌توانست برای ما کافی باشد؟ حتّیٰ در بیشتر مواقع همان تقریب (22/7) ارشمیدس هم برای محاسبات ما کفایت می‌کنند.ولی بسط محاسبات این مقدار فقط برای سرگرمی نیست. به این وسیله محدودیّت‌ها و عیوب کامپیوترها تست می‌شود. علاوه بر این که محاسبۀ این ارقام برای ریاضی‌دانانی که خود را گروه «دوستانِ پی (π)» می‌نامند، جذابیّت خاص خود را دارد.برای دایره‌ای به قطر d و شعاع r داریم:محیط: πd = 2πr.مساحت: πr².برای کُره‌ای به قطر d و شعاع r داریم:سطح: πd² = 4πr².حجم: 4/3πr³منبع:نظریه‌های تاثیرگذار در علم ریاضیات، نویسندگان: مارک هندرسون و جوآن بیکر و تونی کلر، مترجمین: سحر عرب‌زاده و هدی منصوریان تفتی و دکتر مهدی خاکیان قمی، انتشارات سبزان، چاپ اوّل، ۱۳۹۳.فَرازی از سخنان گُهربار امیرالمومنین علی‌ابن‌ابی‌طالب علیه‌السّلام در نهج‌البلاغهعِظَمُ اؐلْخَالِقِ عِنْدَکَ یُصَغِّرُ اؐلْمَخْلُوقَ فِی عَیْنِکَ.بزرگیِ آفریننده در اندیشه‌ات، آفریده را خُرد می‌نمایاند در دیده‌ات.