فرآیند اثبات منطقی و قضیه‌ ناتمامیت گودل

..گفته بودی که یکی از استادهای روانشناسی در دانشگاهتان، پرسش‌های زیر را درباره «اثبات» مطرح کرده است:فرآیند اثبات منطقی به چه شکل است؟ چگونه باید یک جمله را به طور منطقی اثبات کرد؟ منطقدانان چگونه با مفهوم اثبات برخورد می‌کنند؟آیا می‌توان هر جمله‌ای را بالاخره یا اثبات کرد یا رد کرد؟آیا می‌توانید جمله‌ای بگویید که نه اثبات شود و نه رد شود؟از من خواسته بودی تا پاسخ دهم. من پاسخی برای این پرسش‌ها فراهم کرده‌ام، و مجبور شدم برای تکمیل حرف‌هایم، از قضیه‌های ناتمامیت گودل هم سخن بگویم. توضیحاتم را به ساده‌ترین شکل نوشته‌ام، اما زبان نامه‌ام رسمی است، چرا که بتوانی مستقیما آن را برای استادت ارسال کنی. داستان از جایی شروع شد که انسان برای اولین بار، تلاش کرد جمله‌ای را «اثبات» کند. در سرتاسر این نوشته، منظور از اثبات یک جمله، کنار هم قرار دادن چند جمله و نتیجه گرفتن جمله مورد نظر است. بنابراین وقتی تلاش می‌کنید جمله‌ای را اثبات کنید، لاجرم از مقدماتی استفاده می‌کنید و آن‌ها را «فرض» می‌گیرید. تصور کنید می‌خواهید جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنید. باید جمله‌هایی را فرض کنید تا بتوانید از آن‌ها، جمله بالا را نتیجه بگیرید.تصور کنید جملاتی که آن‌ها را فرض گرفته‌اید، جملات زیر باشند:۱. «جهان منظم است»۲. «اگر چیزی منظم باشد، آنگاه دارای ناظم است»۳. از جمله‌ی «الف، ب است» و جمله «اگر چیزی ب باشد، آنگاه آن چیز ج است»، جمله «الف ج است» نتیجه می‌شود.در این صورت، شما با کنار هم قرار دادن این سه جمله، می‌توانید اثبات کنید که «جهان دارای ناظم است» و اگر آن ناظم را خدا بنامید، اثبات کرده‌اید که «خدا وجود دارد». مخاطب منطقی شما، اگر جملات ۱، ۲ و ۳ را پذیرفته باشد، جمله «خدا وجود دارد» را نیز می‌پذیرد. اما ممکن است جملاتی که شما فرض گرفته‌اید را قبول نداشته باشد و از شما بپرسد: «چرا این جملات درست هستند»؟ در این صورت شما برای اینکه او را قانع کنید و اثباتتان را تکمیل، لازم است جملات ۱، ۲ و ۳ را هم برای او اثبات کنید. برای این اثبات، دوباره باید جملاتی را «فرض» بگیرید. اما لازم است دقت کنید که جمله‌ی «خدا وجود دارد» را نباید فرض بگیرید؛ زیرا هدف نهایی شما، اثبات همین جمله است. اگر چنین کنید، اتفاقی پیش آمده که آن را «دور» می‌نامیم. می‌گوییم بین دو جمله الف و ب، دور به وجود آمده، هرگاه:برای اثبات جمله ب، از جمله الف استفاده شده باشد و برای اثبات جمله ب، از جمله الف. فرض فلسفی ما در منطق کلاسیک، این است که «دور، باطل است». به این معنا که اگر بین جمله الف و ب، دور به وجود آمده باشد، نه الف اثبات شده است، نه ب. البته این فرض فلسفی، به شهود ما نزدیک است. احتمالا اگر فردی در برابرتان چنین کند، به او خرده خواهید گرفت و اثباتش را قبول نخواهید کرد! پس اگر می‌خواهید بدون اینکه دوری پیش بیاید جمله‌های ۱، ۲ و ۳ را اثبات کنید، باید جملاتی را فرض بگیرید، اما بین جملاتی که فرض می‌گیرید، نباید جمله «خدا وجود دارد» قرار داشته باشد. اگر برای اثبات جمله ۱، فقط جملات ۲ و ۳ را فرض بگیرید، در این صورت برای اثبات جمله ۲، باید جملاتی غیر از جمله ۱ و جمله «خدا وجود دارد» را فرض کنید. زیرا در غیر این صورت، دور به وجود می‌آید. اگر برای اثبات جمله ۲، فقط جمله ۳ را فرض کنید، برای اثبات جمله ۳، باید جمله‌ای غیر از جمله ۱، ۲ و «جمله خدا وجود دارد» را فرض کنید. زیرا در غیر این صورت، دور به وجود می‌آید. پس برای اثبات جملاتی که آن‌ها را فرض گرفته بودید، به عبارتی، برای اثبات همه جملات ۱، ۲، و ۳، حداقل باید یک جمله جدید را فرض بگیرید. این جمله را جمله ۴ بنامید. فرض کنید با استفاده از جمله ۴، جملات ۱، ۲ و ۳ را اثبات کنید. ممکن است مخاطبتان از شما بپرسد: «چرا جمله ۴ درست است»؟ و شما برای قانع کردن او، و تکمیل اثباتتان، لازم است جمله ۴ را هم اثبات کنید. اما با استدلالی مشابه، اگر می‌خواهید دور پیش نیاید، برای اثبات جمله ۴، باید حداقل یک جمله جدید را فرض بگیرید. این جمله را، جمله ۵ بنامید. اگر پرسش مخاطب شما درباره جمله ۵ تکرار شود، دوباره لازم است جمله جدیدی را فرض بگیرید تا جمله ۵ را بدون اینکه به دام دور بیفتید، اثبات کنید. و اگر او دوباره درباره درستی جمله ۵ سوال کند، مجبورید برای تکمیل اثباتتان دوباره جمله جدیدی را فرض کنید و اگر او مدام سوالش را تکرار کند، شما چه خواهید کرد؟ این فرآیند قرار است تا کجا ادامه پیدا کند؟ آیا او بالاخره قانع می‌شود؟ آیا بالاخره اثباتتان تکمیل می‌شود؟ جواب معلوم است. اگر او مدام سوال بپرسد، شما تا زمانی که لحظه مرگتان فرا برسد، باید مشغول اثبات کردن باشید! و اگر تا ابد هم عمر کنید، باید تا ابد مشغول اثبات کردن باشید، و البته هیچ گاه موفق نخواهید شد تا جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنید. پس اگر بخواهیم این جمله را اثبات کنیم، مجبوریم تعدادی جمله را، بدون اثبات، بپذیریم. جملاتی که آن‌ها را بدون اثبات می‌پذیریم، «بُنداشت» (اصلِ موضوع، یا axiom) می‌نامیم. در مثال یاد شده، اگر مثلا جمله ۵ را به عنوان بنداشت فرض کنیم، یعنی آن را بدون اثبات بپذیریم، جمله ۴، جمله ۳، جمله ۲ و جمله ۱ از آن نتیجه می‌شوند و در نهایت جمله‌ای که قصد اثبات آن را داشتیم، یعنی «جمله خدا وجود دارد» اثبات می‌شود‌. اما مسأله منطقی دیگری هم وجود دارد. و آن، مسأله‌ی تعریف یک مفهوم است. فرض کنید می‌خواهید جمله «خدا وجود دارد» را برای مخاطبتان اثبات کنید. ممکن است، و البته منطقی است، که همان ابتدا از شما بپرسد:«خدا چیست»؟«وجود داشتن به چه معناست»؟و شما قبل از اینکه اثباتتان را شروع کنید، باید مفاهیم «خدا» و «وجود داشتن» را برای او تعریف کنید. و برای تعریف کردن هر مفهوم، مجبورید از مفاهیمی دیگر استفاده کنید. و اگر برای تعریف مفهوم «خدا»، از مفهوم «وجود داشتن» استفاده کنید، دیگر نباید برای تعریف مفهوم «وجود داشتن» از مفهوم «خدا» استفاده کنید. اگر چنین کنید، اصطلاحا می‌گوییم دور به وجود آمده است؛ منظور از اینکه بین دو مفهوم الف و ب دور به وجود آمده، این است که:مفهوم الف به کمک مفهوم ب تعریف شده، و مفهوم ب به کمک مفهوم الف.فرض فلسفی دیگر ما در منطق کلاسیک، این است که درباره مفاهیم نیز، «دور، باطل است». یعنی اگر بین دو مفهوم الف و ب دور به وجود آمده باشد، نه مفهوم الف تعریف شده، نه مفهوم ب. به عبارتی، یکی از شرایط تعریف، این است که دور نداشته باشد. البته این فرض فلسفی به شهود ما نزدیک است. مثال خوب چنین اتفاقی این است:تعریف عدد زوج: عددی که فرد نباشد.تعریف عدد فرد: عددی که زوج‌ نباشد.روشن است که با دو تعریف فوق، نه مفهوم زوج بودن بر ما آشکار می‌شود، نه مفهوم فرد بودن. خلاصه اگر نمی‌خواهید دوری پیش بیاید، برای تعریف مفهوم «خدا» و مفهوم «وجود داشتن»، باید از حداقل یک مفهوم جدید استفاده کنید. این مفهوم را مفهوم 3 بنامید. اگر مخاطب از شما خواست که مفهوم 3 را برایش تعریف کنید، دوباره اگر می‌خواهید در باتلاق دور گرفتار نشوید، مجبورید از مفهومی جدید برای تعریف مفهوم 3 استفاده کنید. این مفهوم جدید را مفهوم 4 بنامید. اگر او مدام از شما بخواهد که مفاهیم جدید را برای او تعریف کنید، اگر تا ابد هم عمر کنید، تا ابد باید مشغول تعریف کردن مفاهیم باشید. و البته هیچ گاه موفق نخواهید شد که مفهوم «خدا» را که همان ابتدا قصد تعریف کردنش را داشتید، تعریف کنید. پس اگر دوست دارید که موفق شوید مفهوم «خدا» را تعریف کنید، مجبورید مفاهیمی را بدون تعریف بپذیرید! به چنین مفاهیمی، «مفاهیم اولیه» می‌گوییم. مثلا اگر مفهوم 4 را به عنوان مفهوم اولیه می‌پذیرفتید، به کمک آن می‌توانستید مفاهیم 3، «خدا» و «وجود داشتن» را تعریف کنید.پس برای اینکه موفق شویم اثبات یک جمله را تکمیل کنیم، لازم است همان ابتدا دو کار را انجام دهیم:۱. مفاهیم اولیه را مشخص کنیم.۲. بنداشت‌ها را مشخص کنیم.اگر کارهای ۱ و ۲ را انجام دهیم، موجودی پدید آورده‌ایم که آن را یک «دستگاه منطقی» (logical system) یا یک «دستگاه صوری» (formal system) می‌نامیم. پس هنگامی که از یک دستگاه منطقی حرف می‌زنیم، در حال اشاره کردن به مفاهیم اولیه و بنداشت‌هایی که پذیرفته‌ایم هستیم. پس دقت کنید که وقتی می‌پرسیم: «آیا جمله X اثبات می‌شود یا نه»؟ پرسشمان دقیق نیست. ابتدا باید یک دستگاه منطقی را مشخص کنیم، بعد در مورد اثبات جمله X حرف بزنیم. به عبارتی، دقیق‌تر این است که اینگونه بپرسیم:«آیا جمله X در دستگاه منطقی T اثبات می‌شود یا نه»؟تا زمانی که دستگاهی منطقی را تعیین نکرده باشیم، سخن از اثبات یک جمله، از دقت لازم برخوردار نیست و بحثی نادقیق خواهد بود.اکنون مناسب است تا مثالی از یک دستگاه منطقی را به شما نشان دهیم.«هندسه‌ی وقوع» را می‌توان یک دستگاه منطقی نامید که شامل چهار مفهوم اولیه و تعدادی بنداشت است؛ سه بنداشت مربوط به مفاهیم اولیه، و چند بنداشت مربوط به منطق و قواعد استنتاج.مفاهیم اولیه:۱. نقطه۲. خط۳. واقع بودن نقطه بر خط.۴. وجود داشتنبنداشت‌ها:۱. اگر دو نقطه وجود داشته باشد، آنگاه فقط یک خط وجود دارد که این دو نقطه بر آن خط واقع‌اند. ۲. اگر خطی وجود داشته باشد، آنگاه حداقل دو نقطه روی این خط واقع است. ۳. حداقل سه نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی وجود ندارد که هر سه‌تای آن‌ها بر آن خط واقع باشند. ۴. بنداشت‌های منطق و استنتاج.بنداشت‌های منطق و استنتاج، همان بنداشت‌های معروف منطق کلاسیک هستند؛ مثل قاعده «طردِ شِقِّ ثالث»، قاعده «قیاس استثنائی»، قاعده «انتفای مقدم»، قواعد «دمورگان» و ... . مثلا بیانی از قاعده قیاس استثنائی به شکل زیر است:اگر p و q دو جمله باشند، از جمله «اگر p آنگاه q» و جمله «p»، جمله «q» نتیجه می‌شود.بنداشت‌های منطق و استنتاج از این جهت لازم‌اند که برای ما امکان نتیجه گرفتن جملات جدید را فراهم می‌کنند.در دستگاه هندسه وقوع، می‌توان جملاتی را اثبات کرد؛ مثلا دو جمله زیر:اگر نقطه‌ای وجود داشته باشد، آنگاه خطی وجود دارد که آن نقطه روی آن خط واقع نیست. اگر نقطه‌ای وجود داشته باشد، آنگاه حداقل دو خط وجود دارد که آن نقطه روی هر دو خط واقع است.بعضی جملات مثل جمله‌ی «خدا وجود دارد» در این دستگاه، یک جمله بی‌معناست؛ زیرا برای ساختن این جمله، نه از مفاهیم اولیه استفاده شده، نه از مفاهیمی که به کمک مفاهیم اولیه تعریف شده‌اند(مگر اینکه مفهوم خدا را به کمک نقطه، خط، واقع بودن نقطه بر خط و وجود تعریف کنید).اما جمله‌ای مانند جمله‌ی «خطی وجود دارد که هیچ نقطه‌ای روی آن واقع نیست»، در این دستگاه، جمله‌ای معنادار است.پس یک جمله را در یک دستگاه منطقی، معنادار گوییم، هرگاه:هر مفهومی که در آن جمله به کار رفته شده، یا خود مفهومی اولیه باشد، یا توسط مفاهیم اولیه قابل تعریف باشد. مثلا موازی بودن دو خط، مفهومی اولیه نیست، اما به کمک مفاهیم اولیه بدین شکل قابل تعریف است:دو خط را با هم موازی گوییم، هر گاه اگر نقطه‌ای روی یکی واقع باشد، آن نقطه روی خط دیگر واقع نباشد.دقت کنید که در این تعریف، صرفا از مفهوم نقطه، خط، وقوع استفاده کردیم که مفاهیمی اولیه هستند.بنابراین جمله زیر، که بیانی از بنداشت پنجم اقلیدس است، یک جمله معنادار در دستگاه هندسه وقوع است:«اگر نقطه p روی خط l واقع نباشد، فقط یک خط مانند m وجود دارد که با l موازی است و نقطه p روی آن قرار دارد».در دستگاه هندسه وقوع، تمام بنداشت‌ها، جملاتی معنادار هستند. در واقع این جملات، درباره مفاهیم اولیه و ارتباطشان به ما اطلاعات می‌دهند. نه تنها در این دستگاه خاص، بلکه در هر دستگاه منطقی، وضع به همین شکل است. یعنی بنداشت‌ها، باید جملاتی معنادار باشند. مثلا مجاز نیستیم که در هندسه وقوع، جمله «ماست سفید است» را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم. زیرا درست است که این جمله در جامعه جمله‌ای معنادار است، اما در دستگاه هندسه وقوع، جمله‌ای بی‌معنا است. روشن است که شرط معناداری برای پذیرش یک بنداشت، شرطی بسیار طبیعی است.نکته مهم درباره یک دستگاه منطقی، این است که مفاهیم اولیه، واقعا تعریف نشده هستند! و بنداشت‌ها، واقعا بدون اثبات! مثلا اگر کسی درباره دستگاه هندسه وقوع بپرسد: «نقطه چیست»؟ پاسخ این است: «نقطه تعریفی ندارد»! اگر بپرسد: «خط چیست»؟، همین جواب را می‌دهیم. اگر بپرسد: «منظور از واقع بودن یک نقطه روی یک خط چیست»؟ یا اگر بپرسد: «منظور از وجود چیست»؟ باز هم همین جواب را می‌دهیم. به عبارتی، ما نمی‌دانیم که نقطه چیست، خط چیست، وقوع چیست و وجود چیست. تنها چیزی که از این مفاهیم می‌دانیم، همان چیزی است که بنداشت‌ها به ما می‌گویند؛ مثلا ما نمی‌دانیم نقطه چیست، خط چیست، وقوع چیست و وجود چیست، اما می‌دانیم: «حداقل سه نقطه وجود دارد که هیچ خطی وجود ندارد که هر سه نقطه روی آن خط واقع باشند»! و اگر کسی از ما بخواهد این جمله را اثبات کنیم، می‌گوییم این جمله را بدون اثبات پذیرفته‌ایم! احتمالا به خاطر همین است که برتراند راسل می‌گوید:«ریاضیات چیزی است که در آن نه می‌دانیم از چه سخن می‌گوییم، نه می‌دانیم آنچه که می‌گوییم راست است»!زیرا به یک معنا، ریاضیات را نیز می‌توان در یک دستگاه منطقی صورت بندی کرد.احتمالا می‌پرسید که در این صورت تصوراتمان از نقطه و خط چه می‌شود. به هر حال از نقطه و خط تصوراتی داریم و اگر کسی قلم و کاغذی در اختیارمان بگذارد و از ما بخواهد که یک خط و یک نقطه بکشیم، با قلم روی کاغذ اثری می‌گذاریم و به او می‌گوییم: «این نقطه، این هم خط»! ولی اکنون گفته شد که در دستگاه هندسه وقوع، ما که از نقطه و خط چیزی نمی‌دانیم! فقط می‌دانیم مثلا «سه نقطه وجود دارد» و «خطی وجود دارد» و معنای وجود را هم نمی‌دانیم! جواب این است که آن تصورات ما از نقطه، خط، وقوع و وجود، «تعبیر»هایی از آن مفاهیم اولیه هستند. نه خود آن مفاهیم. اما دقیقا منظور از تعبیر چیست؟یک «تعبیر» از یک دستگاه منطقی، یک جهان است که در آن، مفاهیم اولیه به اشیایی واقعی در آن جهان نسبت داده می‌شوند، به طوری که همان وضعیتی که توسط بنداشت‌ها برای آن مفاهیم اولیه برقرار شده است، درباره تصویر آن مفاهیم اولیه در جهان هم برقرار باشد. مثلا یک تعبیر برای دستگاه هندسه وقوع، همان تصور غالبی است که ما از نقطه، خط، وقوع و وجود داریم. زیرا همه آن بنداشت‌ها، با این تصورات همخوانی دارد. مثلا با تصوری که ما از نقطه، خط و وجود داریم، واقعا جمله «حداقل سه نقطه وجود دارد» جمله‌ای درست خواهد بود. زیرا طبق تصوراتمان، حداقل سه نقطه روی صفحه می‌توان کشید! همین‌طور همه بنداشت‌های هندسه وقوع، با تصورات ما همخوانی دارد. اما، این بدان معنی نیست که مفهوم نقطه، همان چیزی باشد که ما در حال تصور آن هستیم! نقطه واقعا مفهومی مجرد و تعریف نشده است. شاید برای همین است که دیوید هیلبرت می‌گوید:«شما باید بتوانید به جای نقطه و خط، میز و صندلی یا هر چیز دیگری تصور کنید»!حتی می‌توانید به جای نقطه از حرف انگلیسی A و به جای خط از حرف انگلیسی B استفاده کنید. یعنی نگویید نقطه و خط، بگویید A و B. به عبارتی، یک دستگاه منطقی، فاقد هر گونه معنا است. فقط رشته‌ای صوری از نمادهاست که در حال بازی کردن با آن‌ها هستیم. برای همین است که یک دستگاه منطقی را گاهی «دستگاه صوری» نیز می‌گوییم. یک مثال خوب برای درک بهتر دستگاه منطقی، بازی شطرنج است؛ در بازی شطرنج، اگر کسی بگوید فیل چیست یا وزیر چیست، می‌گوییم نمی‌دانیم این‌ها چیستند (در واقع فیل و وزیر مفاهیمی تعریف نشده هستند) اما چیزی که درباره آن‌ها می‌دانیم، همان قوانین بازی شطرنج است (در واقع این قوانین، همان بنداشت‌ها هستند). مثلا نمی‌دانیم فیل چیست اما می‌دانیم فقط به شکل ضربدری حرکت می‌کند. حال اگر کسی بپرسد: «چرا این را پذیرفته‌ای که فیل فقط باید ضربدری حرکت کند»؟ می‌گوییم بدون اثبات پذیرفته‌ایم! و صرفا به این جهت پذیرفته‌ایم که بتوانیم شطرنج بازی کنیم! چون دوست داریم شطرنج بازی کنیم!در واقع داستان بدین قرار است:هدف ما این است مثلا قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم و همین الان، تصوری از قضیه فیثاغورث داریم. تصوری از مثلث، طول، زاویه قائمه و ... داریم. یعنی به نوعی «می‌دانیم که قصد داریم چه چیزی را اثبات کنیم». به عبارتی، قضیه فیثاغورث برای ما فقط رشته‌ای از نمادهای صوری نیست، و بی‌معنا نیست. بلکه از قضیه فیثاغورث، معنایی در ذهن داریم. پس فعلا قضیه فیثاغورث برایمان معنادار است.برای اثبات این قضیه، درست مانند مثالِ «خدا وجود دارد» که حواشی آن را به تفصیل شرح دادیم، مجبور هستیم یک دستگاه منطقی را در نظر بگیریم. یعنی اگر دوست داریم که قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم، مجبوریم مفاهیم اولیه و بنداشت‌های خود را معین کنیم. این مفاهیم اولیه را به گونه‌ای در نظر می‌گیریم، که بتوانیم به کمک آن‌ها مثلث، زاویه قائمه، طول و ... را تعریف کنیم، تا قضیه فیثاغورث در دستگاهمان، یک جمله معنادار باشد. فرض کنید توانستیم این مفاهیم را، به کمک مفهوم خط، نقطه، وقوع و وجود تعریف کنیم. پس همین چهار مفهوم را به عنوان مفاهیم اولیه در نظر می‌گیریم. اکنون تصوری از خط، نقطه، وقوع و وجود داریم، و اصلا به همین قصد آن‌ها را به عنوان مفاهیم اولیه در نظر گرفتیم که بتوانیم تصورات خود (قضیه فیثاغورث) را اثبات کنیم! اما وقتی چنین کردیم، و به آن‌ها گفتیم مفاهیم اولیه، دیگر باید خود را از بند تصورات برهانیم! چرا که وقتی می‌گوییم مفهوم اولیه، در واقع داریم اقرار می‌کنیم که این مفهوم، تعریف نشده است. پس هیچ معنایی ندارد! به عبارتی، در اینجا چیزی مانند «تجرید» اتفاق افتاده؛ تجرید از هرگونه معنا. حال که مفاهیم اولیه مشخص شدند، باید با استفاده از آن مفاهیم اولیه، جملاتی بسازیم و آن‌ها را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم. اما دوست داریم این بنداشت‌ها به گونه‌ای باشند که بتوانیم به کمک آن‌ها قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. ما با همان تصور ابتدایی که از مفاهیم اولیه داریم، این مفاهیم را به گونه‌ای کنار هم قرار می‌دهیم و بنداشت می‌سازیم، که بتوانیم قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. مثلا تصور کنید پس از مدتی فکر کردن، می‌فهمیم برای اثبات قضیه فیثاغورث، لازم است فرض کنیم: «حداقل سه نقطه وجود دارد»، بنابراین مثلا همین جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیریم. برای اینکه بفهمیم این جمله، برای بنداشت بودن، جمله مناسبی است یا نه، آیا نقطه و وجود را مفاهیمی مجرد و بی‌معنا در نظر گرفتیم؟ خیر! بلکه با همان تصور ابتدایی که از نقطه و خط داشتیم، به این نتیجه رسیدیم. اما به هر حال، اکنون که فهمیدیم این جمله می‌تواند بنداشت مناسبی باشد، دیگر لازم نیست در این جمله نقطه و وجود همان نقطه‌ و وجودِ تصورات ما باشد! بلکه می‌توانیم به جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد»، به عنوان جمله‌ای کاملا صوری و مجرد از هرگونه معنا نگاه کنیم!تصور کنید متوجه می‌شویم مثلا پنج جمله هست، که با پذیرش آن‌ها می‌توانیم قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. بنابراین همان پنج جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیریم. ما تصوراتی از آن پنج جمله داریم، و حتی با توجه به شهود و تجربه شخصی، تا اندازه زیادی به درستی آن‌ها اطمینان داریم. اما وقتی آن‌ها را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم، دیگر باید این تصورات و شهودات خود از آن پنج جمله را دور بریزیم! چرا که وقتی نام بنداشت بر آن‌ها بگذاریم، در واقع اقرار کرده‌ایم که این جملات اثباتی ندارند! این فرآیند، مخصوصا در ریاضیات زیاد اتفاق می‌افتد؛ یک نمونه آن، همین «دستگاه هندسه وقوع» است که بحثش گذشت. یک نمونه دیگر، «دستگاه گروه‌های جابه‌جایی» است.فرض کنید می‌خواهیم نظریه گروه‌ها‌ی جابه‌جایی را پایه گذاری کنیم! ما مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد صحیح را می‌شناسیم و از آن تصویری در ذهن داریم. می‌فهمیم که روابط خاصی در مجموعه اعداد صحیح (Z) و عمل جمع اعداد صحیح (+) برقرار است. مثلا عمل جمع اعداد صحیح خاصیت جابه‌جایی و شرکت پذیری دارد، یا مثلا هر عدد صحیحی را با صفر جمع کنیم، خود آن عدد حاصل می‌شود، یا اینکه به ازای هر عدد صحیح، عددی صحیح وجود دارد که اگر آن دو را با هم جمع کنیم، صفر حاصل می‌شود. پس می‌آییم همین خواص را در مجرد‌ترین حالت خودش تعریف می‌کنیم و مفهوم گروه جابه‌جایی را پدید می‌آوریم. در تعریف گروه، از مجموعه G و عمل * و عضو e حرف می‌زنیم، اما اگر کسی از ما بپرسد : «G کدام مجموعه است»؟ یا بپرسد: «e چیست و * کدام است»؟ جوابمان این است که این‌ها مفاهیم اولیه هستند و هیچ چیز از آن‌ها نمی‌دانیم، به جز چیزهایی که بنداشت‌ها به ما می‌گویند! مثلا، یک بنداشت می‌گوید عمل * خاصیت جابه‌جایی دارد و بنداشت دیگری می‌گوید e با هر عضوی که ستاره شود خود آن عضو حاصل می‌شود و ... . پس سه مفهوم (G,*,e) مفاهیمی اولیه هستند و در کنار بنداشت‌هایی که مشخص می‌کنیم، دستگاهی منطقی پدید می‌آورند که آن را «دستگاه گروه‌های جابه‌جایی» می‌نامیم. همان طور که می‌دانید، این دستگاه، تعابیر مختلفی دارد که البته یکی از آن تعابیر، همان (Z,+,0) است. اما این درست نیست که هر زمان از مجموعه G و عمل * یاد شود، مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد صحیح را در نظر آوریم! آری درست است که خاستگاه معرفی G و عمل * همان Z و + است، اما ما G و *، و نیز همه بنداشت‌های دستگاه گروه‌های جابه‌جایی را کاملا صوری و مجرد در نظر گرفتیم و هیچ معنایی برای آن قائل نیستیم. Z و + فقط تعبیری از G و * است. یعنی به G و * معنا بخشیده‌ایم و G را به Z و * را به + تعبیر کرده‌ایم و می‌توانیم ببینیم که تمام آن بنداشت‌های صوری، در این جهان، یعنی جهان مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع، جملاتی واقعی هستند و البته علاوه بر اینکه واقعی هستند و صرفا نماد نیستند، برقرار هم هستند. و البته که می‌توانیم تعابیر دیگری برای G و * داشته باشیم؛ مثلا: مجموعه ماتریس‌های دو در دو به همراه عمل جمع ماتریسی. پس G و * نه مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع اعداد صحیح است، نه مجموعه ماتریس‌های دو در دو به همراه عمل جمع ماتریسی. بلکه چیزی کلی‌تر و مجردتر از آن‌هاست.بنابراین وقتی از یک دستگاه منطقی حرف می‌زنیم، دو مفهوم «صورت» (syntax) و «معنا» (semantic) به تمامی از هم تفکیک می‌شوند. جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد» به خودی خود فاقد هر گونه معنا است. اما می‌شود به آن معنا بخشید؛ چگونه؟ اینگونه که مفهوم «نقطه» و «وجود» را به چیزی در یک جهان مشخص تعبیر کنیم. مثلا نقطه را همان تصور شهودی خود از نقطه بدانیم، و وجود را همان تصور شهودی خود از وجود. اما مفاهیم نقطه و وجود، به خودی خود، مجرد از هرگونه معنایی هستند و صرفا نمادند! کاملا صوری و بی‌معنا! البته اکنون که داریم از دستگاه منطقی یا همان دستگاه صوری حرف می‌زنیم، در بند زبان فارسی هستیم و واژه‌های «حداقل» ، «سه» و «دارد» در جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد» ایجاد ابهام می‌کنند. باید زبانی بسازیم که مخصوص دستگاه‌های صوری باشد و مجبور نباشیم برای بیان جملات از زبان‌های طبیعی مثل زبان فارسی یا انگلیسی استفاده کنیم. چنین کاری، انجام شدنی است و فرآیند انجام آن را می‌توانید در هر کتاب تخصصی که در زمینه منطق ریاضی نوشته شده، ببینید.اکنون که تا اندازه‌ای با مفهوم دستگاه‌ منطقی آشنا شدید، زمان مناسبی است تا پرسش مهمی را در این باره مطرح کنیم و به آن بپردازیم.پرسشِ مهم منطقی-فلسفی اینجاست که:«کدام مفاهیم را به عنوان مفاهیم اولیه، و کدام جملات را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم»؟به عبارتی، «کدام دستگاه منطقی را برای اثبات جملاتمان انتخاب کنیم؟»پاسخ من این است که هر دستگاهی را که دلتان می‌خواهد انتخاب کنید! مثلا، حتی می‌توانید جمله «خدا وجود دارد» را به عنوان بنداشت در نظر بگیرید و آن را بدون اثبات بپذیرید! اما چنین کاری، پسندیده نیست. نه اینکه از نظر منطقی اشکال داشته باشد، بلکه از منظرهای دیگری محل بحث است. مثلا، یکی از توجیهاتی که علیه انجام این کار داریم این است که وقتی می‌توانیم به کمک جمله ۱، ۲ و ۳ که پذیرش آن‌ها به جهاتی آسان‌تر از پذیرش جمله «خدا وجود دارد» است، جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنیم، چرا چنین نکنیم؟ بحث مشابهی درباره مفاهیم اولیه نیز مطرح می‌شود.آری؛ اهالی منطق و فلسفه، معمولا تلاش می‌کنند مفاهیمی را به عنوان مفاهیم اولیه، و جملاتی را به عنوان بنداشت در نظر بگیرند، که پذیرش آن‌ها کمتر مناقشه برانگیز باشد. اما مناقشه برانگیز بودن، مفهومی نسبی است؛ بنابراین ملاک دقیقی نیست. گاهی میزان «بدیهی بودن یک مفهوم»، به عنوان معیاری برای انتخاب آن مفهوم به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته می‌شود. و همینطور، میزان «بدیهی بودن یک جمله»، به عنوان معیاری برای انتخاب آن جمله به عنوان یک بنداشت در نظر گرفته می‌شود. با این معیار، مثلا اگر بخواهیم بین دو مفهوم «خدا» و «وجود» یکی را به عنوان مفهوم اولیه انتخاب کنیم، مفهوم «وجود» را انتخاب می‌کنیم؛ زیرا بدیهی‌تر از مفهوم «خدا» است.یا مثلا اگر بخواهیم یکی از دو جمله «خدا وجود دارد» و «انسان وجود دارد» را به عنوان بنداشت انتخاب کنیم، جمله «انسان وجود دارد» را انتخاب می‌کنیم، زیرا بدیهی‌تر از جمله «خدا وجود دارد» است. اما دوباره، مشکلی که این معیار دارد، نسبی بودن آن است. ممکن است مفهومی برای من بدیهی باشد و برای شما نباشد، یا جمله‌ای از نظر شما بدیهی باشد و از نظر من بدیهی نباشد. برای همین، معیار بداهت، با وجود اینکه گاهی در انتخاب مفاهیم اولیه و بنداشت‌ها کمکمان می‌کند، معیار دقیقی نیست. اما چند ملاک دیگر وجود دارد که نسبی نیستند و تعریفی دقیق دارند، و به علاوه خیلی اساسی هستند و می‌توان حدس زد که هر منطقدانی برای انتخاب یک دستگاه منطقی، آن‌ها را در نظر می‌گیرد؛ از آن دو ملاک، تحت عنوان «کامل بودن» و «سازگاری» یاد می‌کنیم. اما کامل بودن و سازگاری به چه معناست؟کامل بودن: یک دستگاه منطقی را کامل می‌گوییم، هرگاه هر جمله معناداری که در آن دستگاه نوشته شود، توسط دستگاه، یا اثبات شود، یا رد شود.منظور از رد شدن یک جمله، این است که نقیض آن اثبات شود. مثلا برای اینکه جمله «خدا وجود دارد» را رد کنیم، باید جمله «خدا وجود ندارد» را اثبات کنیم.پس وقتی دستگاهی کامل است، یعنی در برابر هر جمله معناداری، سکوت نمی‌کند و حکم می‌دهد؛ یا خود آن جمله را اثبات می‌کند، یا نقیضش را.سازگاری: یک دستگاه را سازگار می‌گوییم، هرگاه هیچ جمله‌ای وجود نداشته باشد که هم توسط دستگاه اثبات شود، هم توسط دستگاه رد شود.اکنون برای درک بهتر دو مفهوم کامل بودن و سازگاری، این دو مفهوم را بیشتر توضیح می‌دهیم.تصور کنید یک دستگاه منطقی در اختیار دارید؛ یعنی چند مفهوم اولیه و چند بنداشت. شما می‌توانید به کمک مفاهیم اولیه، تعداد زیادی جمله بسازید، که البته چندتا از آن جمله‌ها را به عنوان بنداشت در نظر گرفته‌اید. غیر از بنداشت‌ها، جملات زیاد دیگری هم می‌توانید بسازید.تصور کنید دستگاه منطقی که در اختیار دارید، همان دستگاه هندسه وقوع باشد. اکنون سعی کنید به کمک مفاهیم اولیه، یک جمله غیر از بنداشت‌ها بسازید. (نه اینکه هر جمله فارسی که دلتان بخواهد بسازید! بلکه یک جمله به کمک مفاهیم اولیه بسازید. به عبارتی، یک جمله معنادار در دستگاه هندسه وقوع بسازید) مثلا همان طور که قبلاً توضیح دادیم، جمله زیر که بیانی از بنداشت پنجم اقلیدس است، جمله‌ای معنادار در دستگاه هندسه وقوع است:«اگر نقطه p روی خط l واقع نباشد، یک و فقط یک خط مانند m وجود دارد که با l موازی است و نقطه p روی آن قرار دارد».نام این جمله را A بگذارید.اکنون یک پرسش مهم منطقی مطرح می‌شود:«آیا جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، اثبات می‌شود»؟به عبارتی، آیا می‌توانیم با کنار هم قرار دادن بنداشت‌های هندسه وقوع و استفاده از قواعد استنتاجِ منطقی که آن‌ها را پذیرفته‌ایم، جمله A را نتیجه بگیریم؟دقت کنید که منظور از این توانستن، تواناییِ انسانی ما نیست! بلکه منظور، توانایی دستگاه است. یعنی ممکن است دستگاه بتواند یک جمله را اثبات کند، اما ما نتوانیم! به عبارتی، ممکن است به طریقی از کنار هم قرار دادن بنداشت‌های دستگاه و قواعد استنتاج منطقی، جمله مورد نظر اثبات شود، اما انجام این کار توسط انسان نشدنی باشد!به راستی تضمینی برای «وجود اثبات» وجود ندارد! واقعا ممکن است جمله‌ای معنادار در دستگاه نوشته شود، اما توسط دستگاه اثبات نشود. فرض کنید ساعت‌ها و روز‌ها و سال‌ها اندیشه کردیم، اما موفق نشدیم جمله A را در دستگاه هندسه وقوع اثبات کنیم. سوال دیگری به ذهن می‌رسد:«آیا جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، رد می‌شود»؟به عبارتی، حال که موفق نشدیم جمله A را اثبات کنیم، آیا می‌توانیم این جمله را رد کنیم؟! به عبارت دیگر، آیا می‌توانیم نقیض جمله A را اثبات کنیم؟به راستی تضمینی وجود ندارد! واقعا ممکن است جمله‌ای معنادار در دستگاه نوشته شود، اما توسط دستگاه رد نشود.مثالی واقعی از چنین اتفاقی، همین دستگاه هندسه وقوع و جمله A است. می‌توان نشان داد که جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود!پس دستگاه هندسه وقوع، کامل نیست؛ زیرا جمله‌ای پیدا کردیم(جمله A)، که این دستگاه نه آن را اثبات می‌کند، نه رد می‌کند.در چنین حالتی، می‌گوییم دستگاه هندسه وقوع آنقدر «قوی» نیست که درباره جمله A نظر بدهد. یا اصطلاحا می‌گوییم جمله A، «مستقل» از دستگاه هندسه وقوع است.حال ممکن است دستگاهی وجود داشته باشد که کامل باشد؛ یعنی هر جمله‌ معناداری که در آن دستگاه بنویسیم، بالاخره یا توسط دستگاه اثبات شود یا رد شود. واقعا چنین دستگاه‌هایی وجود دارند. روشن است که کامل بودن، ویژگی مطلوبی برای یک دستگاه منطقی به شمار می‌رود.اکنون دوباره تصور کنید که دستگاهی منطقی در اختیار دارید؛ یعنی چند مفهوم اولیه و چند بنداشت. همین ابتدا، یک پرسش مهم منطقی پیش می‌آید:«آیا جمله‌ای وجود دارد، که توسط دستگاه، هم اثبات شود، هم رد شود»؟ به عبارتی، آیا جمله‌ای هست که هم خودش توسط دستگاه اثبات شود، هم نقیضش؟به راستی هیچ تضمینی وجود ندارد که چنین جمله‌ای یافت نمی‌شود! فرض کنید دستگاهمان ۵ بنداشت دارد و با استفاده از این ۵ بنداشت، ۷۴۳ جمله را اثبات کرده‌ایم. و هیچ کدام از این ۷۴۳ جمله، نقیض یکدیگر نبوده‌اند. ما همچنان به اثبات کردن‌هایمان ادامه می‌دهیم و مدام جملات جدیدی را اثبات می‌کنیم. ممکن است پنجاه سال بعد، وقتی جمله ۲۳۵۹ را اثبات کردیم، معلوم شود که این جمله، با جمله ۲۸۱ در تناقض است! به عبارتی، ممکن است جمله ۲۳۵۹ و جمله ۲۸۱ که هر دو توسط دستگاه اثبات شده‌اند، نقیض یکدیگر باشند! برای آنکه تصوری پیدا کنید، به این فکر کنید که جمله‌ «خدا وجود دارد» و جمله «خدا وجود ندارد» نقیض یکدیگر هستند!این وضعیت، بسیار نامطلوب است؛ ما دوست نداریم دستگاهمان به گونه‌ای باشد که دو جمله‌ی متناقض را اثبات کند. اگر جمله‌ای وجود داشته باشد که هم خودش و هم نقیضش توسط دستگاه اثبات شود، دستگاه را ناسازگار می‌گوییم. در غیر این صورت، آن را سازگار می‌گوییم.واقعا دستگاه‌هایی وجود دارند که ناسازگار هستند. همینطور دستگاه‌هایی وجود دارند که سازگار هستند.با تعاریفی که تا کنون ارائه دادیم، مطلوب‌ترین وضعیتی که دستگاهمان می‌تواند داشته باشد، این است که هم کامل باشد، هم سازگار. البته شرط سازگاری بسیار مهم‌تر از کامل بودن است. اگر دستگاهمان کامل نباشد، فوقش درباره تعدادی جمله سکوت می‌کند و نه اثباتشان می‌کند، نه ردشان می‌کند. اما اگر دستگاه سازگار نباشد، تناقض (یعنی یک جمله و نقیضش) را اثبات می‌کند و این خیلی فاجعه‌بار است.پرسش مهم منطقی-فلسفی که در این زمینه به ذهن می‌رسد، این است که:«آیا می‌توان یک دستگاه منطقی ساخت، که در آن همه‌ی جملات خبری معنادار باشند، و این دستگاه هم سازگار باشد و هم کامل باشد»؟دقت کنید که قصد داریم همه جملات خبری در این دستگاه معنادار باشند؛ حتی جمله «خدا وجود دارد»، «مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است»، «ماست سفید است» و جمله «آدم‌فضایی‌ها وجود دارند»! و به علاوه، هر جمله‌‌ی خبری که بگوییم، توسط این دستگاه بالاخره یا اثبات شود، یا رد شود؛ و علاوه بر این، این دستگاه هیچگاه تناقض را اثبات نکند. آیا چنین دستگاهی وجود دارد؟پرسشی مشابه پرسش بالا را دیوید هیلبرت درباره ریاضیات مطرح می‌کند. به عبارتی، پرسش دیوید هیلبرت، ضعیف‌تر از پرسش بالاست و حالت خاصی از آن است.پرسش مهمی که دیوید هیلبرت درباره مبانی ریاضیات مطرح می‌کند این است:«آیا دستگاهی منطقی برای ریاضیات وجود دارد که هم کامل باشد هم سازگار»؟به عبارتی، آیا می‌توان دستگاهی منطقی معرفی کرد به طوری که همه جملات ریاضیات در آن دستگاه به عنوان جملاتی معنادار قابل بیان باشد، و هر جمله ریاضی بالاخره توسط آن دستگاه یا اثبات شود یا رد شود، و این دستگاه هیچگاه تناقض را اثبات نکند؟ما دوست داریم پاسخ این پرسش مثبت باشد؛ این، ایده‌آل‌ترین وضعیت ممکن برای ریاضیات است. گمان هیلبرت هم همین بود که پاسخ مثبت است. تا اینکه کورت گودل در ۱۹۳۱ اثبات کرد که پاسخ این پرسش منفی است! یعنی چنین دستگاهی وجود ندارد. قضیه زیر که به قضیه ناتمامیت اول گودل شهرت دارد، همین حقیقت را بیان می‌کند:قضیه ناتمامیت اول گودل:«اگر دستگاهی به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، آنگاه کامل نیست»بیان دیگر این است که: «اگر دستگاهی به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، جمله‌ای معنادار در دستگاه وجود دارد که توسط دستگاه نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود»صفتِ «به اندازه کافی قوی»، تعریفی دقیق دارد. اما در اینجا کافی است بدانید هر دستگاهی که بخواهد همه ریاضیات را در بر داشته باشد، به اندازه کافی قوی است. پس اگر سازگار باشد، دیگر کامل نخواهد بود. در نتیجه اگر کامل باشد، دیگر سازگار نیست. پس نمی‌تواند هم سازگار باشد، هم کامل. به عبارتی، ما درباره همه ریاضیات، نمی‌توانیم سازگار بودن و کامل بودن را با هم داشته باشیم و با داشتن یکی، دیگری را از دست می‌دهیم. و چون سازگار بودن ویژگی مهم‌تری است، ترجیح می‌دهیم سازگاری را داشته باشیم و کامل بودن را بیخیال شویم!پس پاسخِ پرسشِ نخست هم معلوم شد؛ هیچ دستگاهی وجود ندارد که همه جملات خبری در آن قابل بیان باشد و آن دستگاه هم سازگار باشد، هم کامل. چرا که اگر چنین دستگاهی وجود داشته باشد، همه ریاضیات را نیز در بر دارد، و به اندازه همه ریاضیات قوی است، و چون همه ریاضیات به اندازه کافی قوی است، این دستگاه نیز به اندازه کافی قوی است، پس قضیه ناتمامیت اول گودل درباره آن برقرار است.در نتیجه، این ایده که همه جملات به طور دقیق، منطقی و بی‌مناقشه در یک دستگاه منطقی قابل اثبات هستند، رویایی است که واقعیت ندارد. به عبارتی، نباید انتظار داشته باشید که هر جمله‌ای را بتوان اثبات کرد یا رد کرد! کسی چه می‌داند، شاید جمله‌ی «خدا وجود دارد» از همین نوع باشد. البته در تمام این بحث، منظور از اثبات، استنتاج منطقی یک جمله از تعدادی جمله است؛ شاید روش‌های دیگری از اثبات وجود داشته باشد که با این روش متفاوت باشد. بحثِ اینجا درباره روش‌های دیگر اثبات هیچ نظری نمی‌دهد. مثلا شاید نتوان جمله «خدا وجود دارد» را با آن مفهومی که از اثبات معرفی کردیم اثبات کرد، اما بتوان به گونه‌ای دیگر اطمینان یافت که خدا وجود دارد! همان طور که شما، نمی‌توانید به طور رسمی و دقیق اثبات کنید که «حداقل یک انسان وجود دارد» (اگر گمان می‌کنید که می‌توانید، تلاش کنید اثباتتان را بنویسید!)، اما اطمینان دارید که حداقل یک انسان وجود دارد! یا نمی‌توانید به شکلی منطقی اثبات کنید «ماست سفید است»، اما اطمینان دارید که ماست سفید است. به عبارتی، اثبات منطقی، تنها راه اطمینان به درستی یک جمله نیست!خوب است همینجا به قضیه ناتمامیت دوم گودل هم اشاره کنیم؛ این قضیه، در پاسخ به پرسشِ زیر مطرح می‌شود:«اگر T یک دستگاه منطقی باشد، آیا می‌توان اثبات کرد که T سازگار است؟»به هرحال وقتی یک دستگاه منطقی را انتخاب می‌کنیم، دوست داریم بدانیم که سازگار هست یا نه. در واقع دوست نداریم دستگاهی که در آن به اثبات جملات می‌پردازیم، ناسازگار باشد و تناقض را اثبات کند. برای همین دنبال راهی هستیم که از سازگاری آن اطمینان پیدا کنیم و سازگاری‌اش را به اثبات برسانیم. قضیه ناتمامیت دوم گودل، توضیح جالبی درباره این موضوع می‌دهد.این قضیه بیان می‌کند که اگر دستگاه T به اندازه کافی قوی باشد، و سازگار باشد، جمله‌ی «T سازگار است» که یک جمله «در مورد دستگاه» و به عبارتی «بیرون دستگاه» است، و به عبارت دیگر در «فرازبان» است، در «خود دستگاه»(«درون دستگاه» یا «زبان») به عنوان یک جمله معنادار بیان می‌شود. اما نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود!قضیه ناتمامیت دوم گودل:«اگر دستگاه T به اندازه کافی قوی باشد، اگر T سازگار باشد، جمله‌‌ی T سازگار است، توسط T نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود»به عبارتی، اگر T به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، جمله‌ای وجود دارد که توسط T نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود و یکی از آن جملات، جمله «T سازگار است» است! قضیه ناتمامیت دوم گودل، نتایج جالبی دارد: اگر شما در یک دستگاه به اندازه کافی قوی، بتوانید اثبات کنید که این دستگاه سازگار است، در واقع اثبات کرده‌اید که دستگاه ناسازگار است! نتیجه جالب دیگر این است که اگر یک دستگاه منطقی برای ریاضیات داشته باشیم که به اندازه کافی قوی باشد، نمی‌توانیم سازگاری این دستگاه را اثبات کنیم. ریاضیات مدرن در دستگاهی به نام ZFC صورت بندی می‌شود، و ZFC به اندازه کافی قوی است. پس اگر سازگار باشد، بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل کامل نیست، یعنی جملاتی معنادار در ریاضیات هستند که ZFC درباره آن‌ها سکوت می‌کند و توانایی اثبات کردن یا رد کردنشان را ندارد، و بنا بر قضیه ناتمامیت دوم گودل، اگر سازگار باشد، نمی‌تواند سازگاری خودش را اثبات کند! و ریاضیدانان، اکنون نمی‌دانند که ZFC سازگار است یا نه، یعنی ممکن است مثلا چند سال بعد، قضیه‌ای در ZFC اثبات شود که با قضیه 2+2=4 در تناقض باشد!قضیه‌های ناتمامیت گودل، نتایج بسیار دیگری در «ریاضیات»، «منطق»، «فسلفه» و «علوم کامپیوتر» دارد و کتاب‌ها و مقالات زیادی در این باره نوشته شده است.هدف من، بحثی منطقی-فلسفی درباره اثبات منطقی و شرح قضیه‌های ناتمامیت گودل بود. آنچه از دستم برمی‌آمد و به ذهنم می‌رسید، نوشتم. امیدوارم هدفم را به نیکی محقق کرده باشم.برای مطالعه بیشتر در این زمینه، کتاب‌های زیر را ببینید:۱. «هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی» از گرینبرگ۲. «قضیه‌ گودل» از ارنست نیگل و دیگران۳. «منطق ریاضی» از محمد اردشیر