ریاضیات چگونه به ما در اتخاذ تصمیم‌های بهتر کمک می‌کند؟

انسان‌ها، همواره و از جهات گوناگون در معرض آزمون تصمیم‌گیری قرار می‌گیرند. یک تصمیم درست می‌تواند منجر به دستاوردی بزرگ شود. اتخاذ تصمیم صحیح مبنی بر مشارکت یا عدم مشارکت در یک معامله، می‌تواند شما را به یک سود قابل توجه برساند یا شما را از یک ضرردهی بزرگ نجات دهد. در مقابل، تصمیمات اشتباه می‌تواند منجر به نتایج تاسف‌آوری برای شما شود که حتی از بیان آن‌ها نیز ابا دارید. در بسیاری از مواقع، بیش از دو گزینه برای انتخاب وجود دارد و این امر، فرایند تصمیم‌گیری را پیچیده‌تر می‌کند و حتی ممکن است شما را کلافه می‌کند.مثال‌های موید این مسئله بسیار زیاد هستند. شما به عنوان مسئول جذب یک شرکت، همواره در این دو راهی قرار دارید که یک متقاضی شغل را قبول یا رد کنید. اگر او را قبول کنید، این نگرانی همواره در پس‌زمینه ذهن شما خواهد بود که این امکان وجود داشت که متقاضی بهتری برای این موقعیت شغلی در آینده نصیب شرکت شود. یا بالعکس، با رد کردن این فرد، ممکن است هیچ‌گاه گزینه بهتری برای این موقعیت نیابید و احتمالا تا اخر عمر به خاطر این اشتباه، خود را سرزنش خواهید کرد. متقابلا چنین چالشی برای متقاضی شغل نیز وجود دارد. او بعد از یک مصاحبه کاری و قبول‌شدن در آن مصاحبه با خود خواهد گفت که ممکن است موقعیت بهتری با مزایای بهتری وجود داشته‌باشد و از طرفی این احتمال وجود دارد که موقعیتی بهتر از این هم وجود نداشته‌باشد. می‌توان ادعا کرد در اکثر تصمیمات کوچک و بزرگ و زندگی‌مان در معرض چنین دوراهی‌هایی هستیم. خرید خانه،اتومبیل، ازدواج و ... .در دنیای مملو از عدم قطعیت‌ها، حتی خبره‌ترین افراد هم نمی‌توانند ادعا کنند تصمیمات خالی از اشتباه گرفته‌اند. بنابراین نباید تعجب کنید اگر در انتهای این نوشته مشاهده کنید حتی ابزاری قوی مثل ریاضیات راه حلی ارائه می‌دهد که احتمال اتخاذ تصمیم صحیح بعد از استفاده از این راه حل، در بهترین حالت کمتر از 50 درصد است. چیزی که دستیابی به بهترین تصمیم را دشوار می‌کند، ناتوانی ما از پیش‌بینی آینده است. شما به عنوان یک متقاضی شغل، نمی‌توانید پیش‌بینی کنید که مصاحبه شغلی بعدی شما حقوق و مزایای بهتری برای شما خواهد داشت یا خیر. مسئول جذب نیرو در یک شرکت نمی‌داند نفر بعدی‌ای که با او ملاقات می‌کند، نسبت به گزینه‌های قبلی فردی توانمندتر است یا نه.آمار و احتمال به عنوان ابزاری قوی و قابل اتکا در ریاضیات، به ما این امکان را می‌دهد تا مسائلی از این دست را مدل‌سازی کنیم و به دنبال جوابی بهینه برای آن‌ها باشیم.برای آنکه بتوانیم مسئله را مدل کنیم، باید به صورت مسئله، سر و شکلی ریاضی‌گونه‌تر بدهیم. مسئله از این قرار است که شما مسئول جذب نیروی یک شرکت هستید و در طول یکسال برای یک موقعیت شغلی خاص، به طور متوسط، تعداد n متقاضی دارید. شما با تک تک این افراد مصاحبه می‌کنید و بعد از مصاحبه تصمیم می‌گیرید که او را رد کنید یا استخدام کنید. توجه کنید که تصمیات شما بدون بازگشت هستند. از آنجایی که شما مدیر توانمندی هستید، این قابلیت را دارید که جایگاه هر فرد را از نظر توانمندی مابین افراد قبلی که با آن‌ها مصاحبه کرده‌اید و رد شده‌اند تشخیص دهید. مثلا بعد از مصاحبه با فرد 50 ام تشخیص می‌دهید که او به لحاظ توانمندی در رتبه سوم بین 50 فرد قرار دارد. حال سوال اساسی مسئله این است که شما به عنوان مدیر، چه استراتژی‌ای برای استخدام دارید که در آن با احتمال بالایی، بهترین متقاضی انتخاب شود؟راه حلی که ریاضیدان‌ها از آن به عنوان راه بهینه یاد می‌کنند، از ما می‌خواهد که در انتخاب‌کردن عجله نکنیم. در واقع راه حل بهینه بر اساس یک قاعده معروف در آمار و احتمال با عنوان قاعده توقف بدست آمده است. این قاعده به این صورت است که از شما می‌خواهد از بین n متقاضی، همواره r-1 نفر اول را در مصاحبه رد کنید، اما بهترین آن‌ها را به عنوان شاخصی برای مقایسه افراد بعدی با او در ذهن داشته باشید(فرض کنید نفر m ام چنین ویژگی‌ای را دارد.). از اینجا به بعد کار ساده می‌شود. شما باید از نفر rام به بعد، اولین فردی که بهتر از نفر mام است را انتخاب کنید. به طور خلاصه، راه حل فوق بیان می‌کند که شما باید بخشی از جامعه متقاضیان را صرفا برای مشاهده و رسیدن به یک چشم انداز کلی از میزان توانمندی گزینه‌های پیش‌رو انتخاب کنید( به نوعی ما در اینجا داریم عمل نمونه‌برداری را انجام می‌دهیم.). بعد از این مرحله شما گزینه‌های بعدی را با بهترین گزینه موجود در نمونه انتخاب‌شده مقایسه می‌کنید و اولین فردی که بهتر از او بود را انتخاب می‌کنید. این روش در نظر شما ممکن است ناعادلانه جلوه کند. به خصوص اگر یک متقاضی شغل باشید، با خود خواهید گفت اگر مدیران استخدام کننده از این روش برای استخدام استفاده کنند همواره درصدی از اولین افراد مصاحبه شونده، بدون توجه به توانایی‌شان رد خواهند شد. تا حدودی حق با شماست اما باید این نکته را در نظر داشته‌باشید که با استفاده از این استراتژی، مدیر استخدام کننده نیز امکان ضرر کردن دارد. اگر بهترین متقاضی شغل بین آن r-1 نفری که از قبل ردشده هستند قرار داشته باشد چه می‌شود؟ با انتخاب این روش، مدیران در واقع وارد یک شرط‌بندی می‌شوند. به هر حال زندگی همین است، ما بر همه چیز احاطه نداریم و آینده را ندیده‌ایم پس همواره در معرض شرط‌بندی بر روی تصمیماتمان هستیم.تا اینجای کار، فهمیدیم که استراتژی بهینه در چنین شرایطی به چه صورت است. اما هنوز یک نقطه ابهام دیگر باقی مانده‌است و آن این است که مقدار r چگونه باید انتخاب شود؟ آیا باید r همواره یک مقدار ثابت و مشخصی باشد( مثلا همیشه بگوییم 10 نفر اول را رد می‌کنیم.) یا اینکه با تعداد کل متقاضیان یعنی n رابطه‌ای دارد؟از اینجای مطلب به بعد، کمی با ریاضیات و فرمول‌ها دست و پنجه نرم می‌کنیم. اگر حوصله کنکاش با اعداد را ندارید می‌توانید چند خط بعدی را نادیده بگیرید و نتیجه نهایی را بخوانید.ما به دنبال این هستیم که ببینیم به ازای چه مقداری از r، احتمال موفقیت مدیر برای استخدام بهترین کارمند بیشینه می‌شود. اگر مقدار این احتمال را با p(r) نشان دهیم در این صورت، این احتمال از رابطه زیر محاسبه می‌شود:در عبارت فوق احتمال p(applicant i is the best) برابر با 1 تقسیم بر n می‌باشد. همچنین برای مقدارهای بین 1 تا r-1، احتمال شرطی برابر با صفر است، زیرا هیچ‌کدام از متقاضیان در این بازه برای شغل انتخاب نمی‌شوند. پس عبارت فوق به صورت زیر ساده می‌شود:رابطه احتمال فوق را باز هم می‌توان ساده‌تر کرد و به صورت زیر نوشت:اگر در رابطه فوق n را به بینهایت میل دهیم و همچنین تغییر متغیر r-1/n=x را انجام دهیم رابطه به فرم انتگرال زیر در می‌آید:حال کافی است مقدار بیشینه عبارت فوق را بدست آوریم. برای اینکار از عبارت مشتق گرفته و مساوی صفر قرار می‌دهیم. مقدار بهینه برای x بدست می‌آید. سپس کافی است در رابطه r-1/n=x مقدار ایکس را قرار دهیم تا پارامتر r-1(تعداد افرادی که در ابتدای مصاحبه باید رد شوند.) عدد e ، عدد اویلر است و مقدار آن به صورت تقریبی برابر با 2.71828 است. مقدار r-1 برابر با n/e است. یعنی در هر مصاحبه باید حدود 37 درصد از افراد را که در ابتدا با آن‌ها مصاحبه می‌کنید، بی برو و برگشت رد کنید. حال اگر مقدار ایکس را در رابطه احتمال موفقیت قرار دهید، احتمال موفقیت 37 درصد خواهد بود. همانطور که ابتدای متن اشاره‌شد، حتی با چنین استراتژی‌ای که از نظر ریاضیاتی بهینه است، احتمال موفقیت در یافتن بهترین کارمند کمتر از 50 درصد خواهد بود.در موقعیت‌هایی که شما با مسئله "انتخاب" از بین چندین گزینه مواجه هستید، همواره می‌توانید استراتژی بیان‌شده را به کار بگیرید. ابتدا سقف تعداد گزینه‌هایی که ممکن است از بین آن‌ها انتخاب کنید را در نظر بگیرید. 37 درصد این تعداد را تنها مشاهده و ارزیابی کنید و بهترین آن را در نظر بگیرید. سپس از بین مابقی گزینه‌ها، اولین گزینه‌ای که بهتر از بهترین مورد یافت‌شده بین 37 درصد اولی بود را به عنوان انتخاب نهایی خود اتخاذ کنید. البته ذکر این نکته خالی از لطف نیست که در مسئله فوق، یک قید محدودکننده در فرضیات مسئله وجود دارد. اینکه شما مجبورید یک گزینه را یا رد کنید یا به عنوان انتخاب نهایی خود انتخاب کنید، همان قید محدودکننده است. در بسیاری از تصمیمات، ما ملزم به رد کردن گزینه‌های قبلی نیستیم و می‌توانیم آن‌ها را در پس ذهن خود نگه داریم تا در صورتی که مورد بهتری یافت نشد به آن‌ها رجوع کنیم. طبیعتا در این دسته از مسائل احتمال موفقیت بیشتر خواهد بود.مسئله‌ای که در بالا بیان شد با عنوان secretary problem معروف است. در لینک زیر می‌توانید راجع به این مسئله مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Secretary_problem