توان گویا و توابع نمایی

این مطلب مخصوص دانش آموزان پایه دوازدهم انسانی ( کتاب ریاضی و آمار ۳ - فصل سوم الگوهای غیر خطی درس دوم) می باشد در ابتدا مبحث توان گویا را آموزش می دهیم و در ادامه ۲۰ سوال به عنوان نمونه تستهای نکته دار این فصل را قرار داده ایم. دانش آموزان عزیز می توانند به کمک این تست ها علاوه بر یادگیری خود ارزیابی نیز داشته باشند. تدریس فصل در قالب ویدپو در پست قرار داده شده است. علاوه بر این در پست بعدی حل تست ها در قالب ویدئو نشان داده شده است.توان گویادر مطالب آموخته شده قبل با مفهوم توان های صحیح اعداد و نحوه ریشه گیری دوم وسوم آشنا شده اید در این قسمت ضمن یادآوری مطالب فوق با ریشه n ام و توان گویا آشنا می شویم مسائلی را مطرح می کنیم که در آن به توان گویا نیاز باشد. به عنوان مثال اگر شخصی ده میلیون تومان با سود سالیانه بیست درصد در بانک سرمایه گذاری کند سرمایه او از فرمول زیر به دست می آید:فرمول رشد سرمایه (برای ۱۰ میلیون تومان سرمایه اولیه و رشد ۲۰ درصد سالیانه) که در آن t زمان برحسب سال می باشد، مثلا بعد از گذشت یکسال سرمایه او دوازده میلیون وبعد از گذشت دوسال سرمایه او چهارده میلیون وچهارصد هزار تومان خواهد شد. اگر این شخص بخواهد برای مدت کمتر از یکسال برای مثال ۶ ماه یا ۲۰۰ روز محاسبه کند چگونه می تواند این کار را انجام دهد؟ به عنوان مثال دیگر اگر جرم اولیه نوعی باکتری c گرم باشد وهر ساعت جرم باکتری دوبرابر شود جرم باکتری بعد از t ساعت از فرمول زیر بدست می آید:فرمول کلی روشد نمایی باکتری هابعد از ۳ ساعت جرم باکتری ۸ برابر می گردد حال اگر ما بخواهیم جرم باکتری بعد از ۴۵ دقیقه محاسبه کنیم چگونه باید محاسبه کنیم؟ مثال هایی از این قبیل اهمیت توان گویا را نشان می دهد.در این قسمت ابتدا با ریشه n ام آشنا می شویم. ریشه nام زوج برای اعداد مثبت تعریف می شود. اگر a عدد منفی باشد ریشه nام زوج تعریف نمی شود. اگر a عددحقیقی مثبت باشد. ریشه های دوم عدد a برابر است با:به عبارت دیگر ، ریشه های دوم عدد a همان ریشه های معادله درجه دوم:برای مثال ریشه های دوم عدد ۴۹ از معادله ی زیر بدست می آید:پس ۷ و ۷- ریشه های دوم عدد ۴۹ هستند. . ریشه n ام فرد برای هر عدد حقیقی تعریف می شود به عنوان مثال ریشه پنجم عدد ۳۲- همان جواب معادله :از آنجا که ۳۲- برابر ۲- به توان ۵ است، ریشه پنجم ۳۲- برابر ۲- می شود. اصولا اگر توان یک عدد با فرجه ی رادیکان برابر باشد آنگاه: در واقع در صورتی که n زوج باشد برابر قدرمطلق a می شود و در صورتی که n فرد باشد خود a می شود. همچنین برای هر عدد طبیعی n (بزرگتر از ۲)، ریشه ی n ام a (در صورتی که a عدد مثبت باشد) برابر است با: تبدیل ریشه n ام به توان گویادر واقع رادیکال به فرجه ی n هم توان یک nام است. فرمول بالا در حالت کلی به شکل زیر است:در ویدئوی زیر به طور کاملتر موضوع توان گویا آموزش داده شده است. همچنین مثال های متنوعی از این مبحث حل شده است که می توانید مشاهده کنید: https://www.aparat.com/v/Hid7f توابع نمایی اگر a یک عدد حقیقی مثبت و مخالف یک باشد تابع زیر را تابع نمایی می نامیم:دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن اعداد حقیقی مثبت است. اگر a>1 تابع صعودی است یعنی با افزایش x ، مقدار y افزایش می یابد و برای a بین صفر و یک باشد تابع نزولی است یعنی وقتی x بزرگ می شود مقدار y کم می شود. در شکل های زیر نمودار توابع نمایی به ازای مقادیر مختلف a را مشاهده می کنید.نمودار تابع نمایی به ازا مقداری مختلف aرشد و زوال تابع نمایی معادله کلی رشد نمایی به صورت زیر است، که در آن (f(t بیانگر مقدار نهایی، c بیانگر مقدار اولیه و r بیانگر میزان رشد (تغییرات بر حسب اعشار ) و t بیانگر زمان است.فرمول کلی رشد نماییبه عنوان مثال اگر شخصی مبلغ ده میلیون تومان با سود سالیانه پانزده درصد سرمایه گذاری کند میزان سرمایه او بعد از t سال از فرمول زیر بدست می آید:مثلا بعد از دو سال سرمایه او برابر می شود با:معادله کلی زوال نمایی نیز به فرم زیر است، که در آن f(t) بیانگر مقدار نهایی ، c بیانگر مقدار اولیه،r بیانگر میزان نزول (بر حسب اعشار) و t بیانگر زمان است.فرمول کلی زوال نماییبه عنوان مثال اگر جمعیت کشوری 20000000 نفر اگر رشد جمعیت این کشور بانرخ یک درصد در حال کاهش باشد جمعیت بعد از 10 سال برابربا:در ویدئوی زیر توابع نمایی (رشد و زوال نمایی) آموزش داده شده است. همچنین مثال های متنوعی از علوم اقتصاد، زیست شناسی و... حل شده است. https://www.aparat.com/v/1HuU2 از آنجا که مخاطب اصلی این ویدئو دانش آموزان پایه دوازدهم انسانی می باشند، نمونه ای از تست های نکته دار و مشابه کنکور در ادامه برای شما قرار می دهیم. دانش آموزان عزیز سعی نمایند به عنوان یک خودآزمایی به سوالات پاسخ دهند. در پایان بعد از زدن دکمه submit می توانید با زدن دکمه view score نتیجه را مشاهده نمایید. همچنین در پست بعدی پاسخ کامل (در قالب ویدئو) قابل مشاهده است. https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfnDuRgAY0kBeIwGSTQ1YAr2gi5NaOc_zZxcy0IuwJPxmkijg/viewform?usp=sf_link