Unità di misura di Planck

Nellafisica delle particellee nellacosmologia, leunità di Plancksono un insieme diunità di misuradefinite esclusivamente in termini di cinquecostanti fisicheuniversali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di1quando espresse in termini di queste unità.
Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedescoMax Planck, queste unità sono anche conosciute comeunità naturaliperché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà dellanaturae non da alcun costrutto umano,come ad esempio l'intensità luminosa(misurata incandele), ilflusso luminoso(misurato inlumen), e ladose equivalente(misurata inSievert), né derivano da qualsiasi proprietà dellaterraodell'universo(come per esempio accade per l'accelerazione di gravità, l'atmosfera standardo lacostante di Hubble), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come ilpunto di fusionedell'acqua, ladensitàdell'acqua o lacapacità termica specificadell'acqua). Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcunoggetto prototipooparticellache sarebbe scelta arbitrariamente (come lacarica elementare, lamassa a riposo dell'elettroneo la massa a riposo delprotone), ma piuttosto si basano sulle proprietà dellospazio libero: difatti la velocità di Planck è lavelocità della luce, il momento angolare di Planck è lacostante ridotta di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è lacostante di Boltzmann, tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddettanon dimensionalizzazione. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come lagravità quantistica.
Il terminescala di Plancksi riferisce alle magnitudini di spazio, tempo,energiae altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni delModello standard, lateoria quantistica dei campie larelatività generalenon sono più riconciliabili, e si prevedono dominare glieffetti quantistici della gravità. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i5.52×108J{\displaystyle 5.52\times 10^{8}\,\mathrm {J} }e i1.96×109J{\displaystyle 1.96\times 10^{9}\,\mathrm {J} }(chiamate appuntoenergie di Planck), intervalli ditempotra i1.91×10−43s{\displaystyle 1.91\times 10^{-43}s}e i5.39×10−44s{\displaystyle 5.39\times 10^{-44}s}(chiamatitempi di Planck) elunghezzetra i5.73×10−35m{\displaystyle 5.73\times 10^{-35}m}e i1.62×10−35m{\displaystyle 1.62\times 10^{-35}m}(chiamatelunghezze di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno unmodello scientificoper suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi10−43{\displaystyle 10^{-43}}secondidel nostro universodopo ilBig Bang, circa 13,8 miliardi di anni fa. Nel nuovo2019 CODATAdaNISTsi prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.
Esistono due versioni delle unità di Planck, laversione di Lorentz –Heaviside(chiamata ancherazionalizzata) e laversione gaussiana(chiamata anchenon razionalizzata).
Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a1{\displaystyle 1}sono:
Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:
A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. NelSistema internazionale, ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata delmetro. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, lalegge di gravitazione universaledi Newton
può essere espressa come:
FFP=(m1mP)(m2mP)(rlP)2.{\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}
Entrambe le equazioni sonodimensionalmente coerentie ugualmente valide inqualsiasisistema di unità, ma la seconda equazione, conG{\displaystyle G}mancante, riguarda solo lequantità senza dimensionipoiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:
F=m1m2r2.{\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .}
Quest'ultima equazione (senzaG{\displaystyle G}) è valida solo seF{\displaystyle F},m1{\displaystyle m_{1}},m2{\displaystyle m_{2}}er{\displaystyle r}sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi aG=c=1{\displaystyle G=c=1}, Paul S. Wesson scrisse che:
In fisica, leunità di misura di Plancksono un particolare sistema diunità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:
Nota:L{\displaystyle \mathrm {L} }= lunghezza,M{\displaystyle \mathrm {M} }=massa,T{\displaystyle \mathrm {T} }=tempo,Q{\displaystyle \mathrm {Q} }=carica,Θ{\displaystyle \Theta }=temperatura.
Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande.Frank Wilczekprobabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:
L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia unaforza estremamente debolerispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.
Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nellateoria dei quanti.
Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:
Nota:L{\displaystyle \mathrm {L} }= lunghezza,M{\displaystyle \mathrm {M} }= massa,T{\displaystyle \mathrm {T} }= tempo,Q{\displaystyle \mathrm {Q} }= carica,Θ{\displaystyle \Theta }= temperatura.
Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:
c=lPtP{\displaystyle c={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}}
ℏ=mPlP2tP{\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}}
G=lP3mPtP2{\displaystyle G={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{m_{\text{P}}t_{\text{P}}^{2}}}}
Nel 1899 Max Planck propose di partire dallecostanti fondamentali(che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di NewtonG{\displaystyle {G}\ }; nell'elettrostatica la costante di Coulomb14πε0{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della lucec{\displaystyle {c}\ }; nella termodinamica la costante di BoltzmannkB{\displaystyle k_{\text{B}}}e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridottaℏ=h2π{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton èl'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb èl'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce èla velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann èl'energia termica della temperatura di Plancke la costante di Planck èl'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck.
Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (ilsistema internazionale di misura(SI), piuttosto che ilsistema CGS). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso.
Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa10−43{\displaystyle {\text{10}}^{-43}}secondi, la lunghezza di Planck è1020{\displaystyle {\text{10}}^{20}}volte più piccola di unprotone, la massa di Planck è pari a1019{\displaystyle {\text{10}}^{19}}protoni e farebbe collassare un quanto in un buco nero, lacarica di Planckè12{\displaystyle {\text{12}}}volte maggiore di quella di unelettroneo unprotone, latemperatura di Planck, infine, è di circa1030{\displaystyle {\text{10}}^{30}}gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.
La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti soloapprossimativamente.Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionaleG{\displaystyle G}misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della lucec{\displaystyle c}nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è oradefinitacome la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di1299792458{\displaystyle {\frac {1}{299792458}}}di secondo. Quindi il valore dic{\displaystyle c}è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuotoε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}, a causa della definizione diampereche imposta lapermeabilità magneticadel vuotoμ0{\displaystyle \mu _{0}}a4π×10−7Hm{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\frac {H}{m}}}: infatti, poichéμ0{\displaystyle \mu _{0}}ec{\displaystyle c}sono ben definite, dalla relazioneμ0ε0=1c2{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}è possibile ricavare un valore diε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planckℏ{\displaystyle \hbar }è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello diG{\displaystyle G}è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su21300(o47000parti per miliardo).G{\displaystyle G}appare nella definizione diquasitutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma nontutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore diG{\displaystyle G}. (La propagazione dell'errore inG{\displaystyle G}è una funzione dell'esponente diG{\displaystyle G}nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è±12{\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella diG{\displaystyle G}. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su43500, o23000parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019,h{\displaystyle h}(e quindiℏ=h2π{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}) è un valore di riferimento esatto,kB{\displaystyle k_{\text{B}}}è anch'essa esatta ma, poichéG{\displaystyle G}non è ancora esatta, anche i valori diℓP{\displaystyle \ell _{\text{P}}},mP{\displaystyle m_{\text{P}}},tP{\displaystyle t_{\text{P}}}eθP{\displaystyle \theta _{\text{P}}}non sono esatti. Inoltre,μ0{\displaystyle \mu _{0}}(e quindiε0=1c2μ0{\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}}) non è più esatto (solo la caricae{\displaystyle e}è esatta), quindi ancheqP{\displaystyle q_{\text{P}}}non è esatto come precisione numerica.
In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato allafisica teoricaperché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valor
Alcune unità di Planck, come quella di tempo o di lunghezza, sono molti ordini di grandezza maggiori o minori per essere d'uso pratico, e sono rilevanti solo nella fisica teorica. In alcuni casi, un'unità di Planc suggerisce un limite alla gamma di valori che una grandezza fisica può assumere nelle attuali teorie.Per esempio, l'attuale comprensione delBig Bangsi ferma all'epoca di Planck, corrispondente all'età dell'universo di un tempo di Planck. Descrivere l'universo durante l'epoca di Planck comporta una teoria digravità quantistica, che incorpori gli effetti quantistici nella relatività generale.
Nelle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti dellameccanica quantisticache dellarelatività generale, ma ciò richiede una teoria dellagravità quantisticadi cui ancora non conosciamo la forma.
La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionaleG{\displaystyle {G}}(che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).
La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere:
doveα{\displaystyle {\alpha }}è la costante di struttura fine:
Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché laforza elettromagneticatra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale aα{\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale aα{\displaystyle {\alpha }}.
L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenzacaratteristica del vuoto,Z0{\displaystyle Z_{0}}, divisa per4π{\displaystyle 4\pi }. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb,14πε0{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}, è normalizzata a1{\displaystyle 1}nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità del sistema CGS, invece che porre a1{\displaystyle 1}la permittività del vuotoε0{\displaystyle \varepsilon _{0}\ }. Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionaleG{\displaystyle G}è normalizzata a1{\displaystyle 1}(invece che4πG{\displaystyle 4\pi G}o8πG{\displaystyle 8\pi G}o16πG{\displaystyle 16\pi G}), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire leunità più naturali della fisicacome unità di Planck.
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La carica, come le altre unità di Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.La carica elementaree{\displaystyle e}, misurato in termini di unità di Planck, è
doveα{\displaystyle {\alpha }}è lacostante di struttura fine
La costante di struttura fineα{\displaystyle \alpha }è anche chiamatacostante di accoppiamento elettromagnetico, confrontandola così con lacostante di accoppiamentogravitazionaleαG{\displaystyle \alpha _{\text{G}}}. Lamassa a riposo dell'elettroneme{\displaystyle m_{e}}misurata in termini di massa di Planck, è:
me=4παG⋅mP≈1.48368⋅10−22⋅mP{\displaystyle m_{e}={\sqrt {4\pi \alpha _{\text{G}}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 1.48368\cdot 10^{-22}\cdot m_{\text{P}}\,}(Versione Lorentz – Heaviside)
me=αG⋅mP≈4.18539⋅10−23⋅mP{\displaystyle m_{e}={\sqrt {\alpha _{\text{G}}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 4.18539\cdot 10^{-23}\cdot m_{\text{P}}\,}(Versione gaussiana)
doveαG{\displaystyle {\alpha _{\text{G}}}}è la costante di accoppiamento gravitazionale:
αG=Gme2ℏc≈1,7518⋅10−45{\displaystyle \alpha _{\text{G}}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}\approx 1,7518\cdot 10^{-45}}
αG=14π(memP)2{\displaystyle \alpha _{\text{G}}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}(Versione Lorentz – Heaviside)
αG=(memP)2{\displaystyle \alpha _{\text{G}}=\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}(Versione gaussiana)
Alcune unità di Planck sono adatte per misurare quantità familiari nel mondo della fisica. Per esempio:
Tuttavia, la maggior parte delle unità di Planck haordini di grandezzatroppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità di Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti,1{\displaystyle 1}unità di Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:
Nelle unità di Planck abbiamo:
dove:
Le unità di Planck sono prive di arbitrarietàantropocentrica. Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'intelligenza extraterrestredovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa.A differenza del metro e del secondo, che esistono comeunità di basenel sistemaSIper ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.
Nella cosmologia del Big Bang, l'epoca di Planckoera di Planckè il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck,tP{\displaystyle t_{\text{P}}}, o circa10−43{\displaystyle 10^{-43}}secondi.Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto ditemposia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che glieffetti quantistici della gravitàdominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che laforza unificatadel Modello standard siaunificata con la gravitazione. Incommensurabilmentecaldoedenso, lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca dellagrande unificazione, in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguitadall'epoca inflazionistica, che si concluse dopo circa10−32{\displaystyle 10^{-32}}secondi (o circa1010tP{\displaystyle 10^{10}\;t_{P}}).
Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:
La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a1060{\displaystyle 10^{60}}nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo dicoincidenzadigrandi numeriche ha portato teorici comeEddingtoneDiraca sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile ola teoria diGvariabile diDirac).Dopo la misurazione dellacostante cosmologicaΛ{\displaystyle \Lambda }nel 1998, stimata in10−122{\displaystyle 10^{-122}}unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciprocodell'età dell'universoal quadrato.Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui tale costante è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimangaΛ∼T−2{\displaystyle \Lambda \sim T^{-2}}per tutta la storia dell'universo.
Le quantità fisiche che hanno dimensioni diverse (come il tempo e la lunghezza) non possono essere equiparate anche se sono numericamente uguali (1 secondo non è uguale a 1 metro). Nella fisica teorica, tuttavia, questo scrupolo può essere messo da parte, mediante un processo chiamatonon dimensionalizzazione. La tabella 6 mostra come l'uso delle unità di Planck semplifichi molte equazioni fondamentali della fisica, poiché conferiscono a ciascuna delle cinque costanti fondamentali, e prodotti di esse, un semplice valore numerico pari a1{\displaystyle 1}, mentre nel sistema SI le unità devono essere contabilizzate. Nella forma non dimensionata le unità, che ora sono unità di Planck, non devono essere scritte se ne viene compreso l'uso.
Nota:
doveα{\displaystyle \alpha }è la costante di struttura fine.
doveαG{\displaystyle \alpha _{G}}è la costante di accoppiamento gravitazionale.
Come si può vedere sopra, laforza gravitazionaledi due corpi di1{\displaystyle 1}massa di Planck ciascuno, separati da1{\displaystyle 1}lunghezza di Planck è 1forza di Plancknella versione gaussiana, o14π{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}forza di Planck nella versione Lorentz-Heaviside. Allo stesso modo, la distanza percorsa dallalucedurante1{\displaystyle 1}tempo di Planck è di1{\displaystyle 1}lunghezza di Planck. Per determinare le grandezze fisiche, in termini di SI o di un altro sistema esistente di unità, devono essere soddisfatti i valori quantitativi delle cinque unità di Planck di base mediante le seguenti cinque equazioni:
FP=lPmPtP2=GmP2lP2{\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=G\ {\frac {m_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}}(Versione gaussiana)
CP=tP2qP2lP2mP=4πε0lP{\displaystyle C_{\text{P}}={\frac {t_{\text{P}}^{2}q_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}m_{\text{P}}}}=4\pi \varepsilon _{0}\ l_{\text{P}}}(Versione gaussiana)
Come già detto sopra, le unità di Planck sono derivate "normalizzando" i valori numerici di alcune costanti fondamentali su1{\displaystyle 1}. Queste normalizzazioni non sono né le uniche possibili, né necessariamente le migliori. Inoltre, la scelta di quali fattori normalizzare, tra i fattori che compaiono nelle equazioni fondamentali della fisica, non è evidente e i valori delle unità di Planck sono sensibili a questa scelta.
Il fattore4π{\displaystyle 4\pi }è onnipresente nellafisica teoricaperché la superficie di unasferadi raggior{\displaystyle r}è4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}. Questo, insieme al concetto diflusso, sono la base per lalegge del quadrato inverso,la legge di Gausse l'operatore didivergenzaapplicato alladensità del flusso. Ad esempio, icampigravitazionaliedelettrostaticiprodotti dalle cariche puntiformi hanno una simmetria sferica. Il4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}che appare a denominatore della legge di Coulomb in forma razionalizzata, ad esempio, segue il flusso di un campo elettrostatico distribuito uniformemente sulla superficie di una sfera; lo stesso accade per la legge di gravitazione universale di Newton. (Se lo spazio avesse più di tre dimensioni spaziali, il fattore4π{\displaystyle 4\pi }dovrebbe essere modificato in base alla geometria dellasfera in dimensioni superiori).
Quindi un corpo sostanziale di teoria fisica sviluppato da Planck (1899) suggerisce di normalizzare nonG{\displaystyle G}ma4πG{\displaystyle 4\pi G}(o8πG{\displaystyle 8\pi G}oppure16πG{\displaystyle 16\pi G}) a1{\displaystyle 1}. In tal modo si introdurrebbe un fattore pari a14π{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}(o18π{\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}}oppure116π{\displaystyle {\frac {1}{16\pi }}}) nella forma adimensionalizzata della legge di gravitazione universale, coerente con la moderna formulazione razionalizzata della legge di Coulomb in termini di permittività del vuoto. Infatti, le normalizzazioni alternative preservano frequentemente il fattore di14π{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}anche nella forma non dimensionalizzata della legge di Coulomb, cosicché le equazioni di Maxwell non dimensionalizzate per l'elettromagnetismo e il gravitoelettromagnetismo assumono entrambe la stessa forma di quelle per l'elettromagnetismo nel SI, che non hanno alcun fattore4π{\displaystyle 4\pi }. Quando questo viene applicato alle costanti elettromagnetiche, il sistema di unità viene chiamatorazionalizzato. Se applicate in aggiunta alla gravitazione e alle unità di Planck, queste sono chiamateunità di Planck razionalizzatee si vedonofisica delle alte energie..
Le unità di Planck razionalizzate sono definite in modo tale chec=4πG=ℏ=ϵ0=kB=1{\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{\text{B}}=1}. Queste sono le unità di Planck basate su unità di Lorentz-Heaviside (invece che sulle unità gaussiane più convenzionali) come illustrato sopra. Esistono diverse possibili normalizzazioni alternative.
Nel 1899, la legge di gravitazione universale di Newton era ancora vista come esatta, piuttosto che come un'approssimazione conveniente per velocità e masse "piccole" (la natura approssimativa della legge di Newton fu dimostrata in seguito allo sviluppo dellarelatività generalenel 1915). Quindi Planck normalizzò a1{\displaystyle 1}la costante gravitazionaleG{\displaystyle G}nella legge di Newton. Nelle teorie emerse dopo il 1899,G{\displaystyle G}appare quasi sempre in formule moltiplicate per4π{\displaystyle 4\pi }o un suo multiplo intero piccolo. Quindi, una scelta da fare quando si progetta un sistema di unità naturali è quale, se del caso, delle istanze di4π{\displaystyle 4\pi }che compaiono nelle equazioni della fisica devono essere eliminate tramite la normalizzazione.
Per costruire unità naturali nell'elettromagnetismo si possono usare:
Di questi, Lorentz – Heaviside è il sistema un po' più utilizzato,principalmente perché leequazioni di Maxwellsono più semplici nelle unità di Lorentz – Heaviside che non nelle unità gaussiane.
Nei sistemi a due unità, la carica dell'unità di PlanckqP{\displaystyle q_{P}}è:
doveℏ{\displaystyle \hbar }è la costante di Planck ridotta,c{\displaystyle c}è la velocità della luce eα≈1137{\displaystyle \alpha \approx {\frac {1}{137}}}è la costante di struttura fine.
In un sistema di unità naturale in cuic=1{\displaystyle c=1}, le unità di Lorentz – Heaviside possono essere derivate dalle unità impostandoε0=μ0=1{\displaystyle \varepsilon _{0}=\mu _{0}=1}. Unità gaussiane possono essere derivate da unità di un insieme più complicato di trasformazioni, come moltiplicando tutti icampi elettriciper(4πε0)−1/2{\displaystyle (4\pi \varepsilon _{0})^{-1/2}}, tutte lesuscettibilità magneticheper4π{\displaystyle 4\pi }e così via. Le unità di Planck normalizzano a1{\displaystyle 1}lacostante di Coulombke=14πε0{\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}(come fanno il sistema di misuraCGSe le unità gaussiane). Questo imposta l'impedenza di Planck,ZP{\displaystyle Z_{P}}, uguale aZ04π{\displaystyle {\frac {Z_{0}}{4\pi }}}doveZ0{\displaystyle Z_{0}}è l'impedenza caratteristica del vuoto.
La normalizzazione della costante dielettrica del vuotodaε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}a1{\displaystyle 1}(come le unità di Planck della versione Lorentz – Heaviside):
doveα{\displaystyle {\alpha }\ }è la costante di struttura fine. Questa convenzione è usata nella fisica delle alte energie.
Planck normalizzò a1{\displaystyle 1}la costante di BoltzmannkB{\displaystyle k_{B}}
La normalizzazione di12kB{\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{B}}a1{\displaystyle 1}:
Alcuni teorici (comeDiraceMilne) hanno propostocosmologieche ipotizzano che le "costanti" fisiche potrebbero effettivamente cambiare nel tempo (ad esempio una velocità della luce variabile ola teoria diGvariabile diDirac). Tali cosmologie non hanno ottenuto l'accettazione generale e tuttavia esiste ancora un notevole interesse scientifico nella possibilità che le "costanti" fisiche possano cambiare, sebbene tali proposizioni introducano domande difficili. Forse la prima domanda da porsi è: in che modo un tale cambiamento farebbe una notevole differenza operativa nella misurazione fisica o, più fondamentalmente, nella nostra percezione della realtà? Se una particolare costante fisica fosse cambiata, come la noteremmo o come la realtà fisica sarebbe diversa? Quali costanti modificate si traducono in una differenza significativa e misurabile nella realtà fisica? Se unacostante fisicache non è priva didimensioni, come la velocità della luce,fosseeffettivamente cambiata, saremmo in grado di notarla o misurarla in modo inequivocabile? Questa è una domanda esaminata da Michael Duff nel suo articolo "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali".
George Gamowsosteneva nel suo libroMr Tompkins nel Paese delle Meraviglieche un cambiamento sufficiente in una costante fisica dimensionale, come la velocità della luce nel vuoto, avrebbe comportato evidenti cambiamenti percettibili. Ma questa idea è messa in discussione:
Facendo riferimento al "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali"di Duff e all'articolo di Duff, Okun eGabriele Veneziano"Trialogo sul numero di costanti fondamentali",in particolare la sezione intitolata "The operationally indistinguishable world of Mr. Tompkins", se tutte le quantità fisiche (masse e altre proprietà delle particelle) fossero espresse in termini di unità di Planck, quelle quantità sarebbero numeri adimensionali (massa divisa per la massa di Planck, lunghezza divisa per la lunghezza di Planck, e così via) e le uniche quantità che alla fine misuriamo negli esperimenti fisici o nella nostra percezione della realtà sono numeri adimensionali. Quando si misura comunemente una lunghezza con un righello o un metro a nastro, si stanno effettivamente contando i segni di graduazione su un dato standard o misurando la lunghezza rispetto a quel dato standard, che è un valore adimensionale. Non è diverso per gli esperimenti fisici, poiché tutte le quantità fisiche vengono misurate rispetto a un'altra quantità di dimensioni simili.
Potremmo notare una differenza se una qualche grandezza fisica adimensionale (come la costante di struttura fine o il rapporto di massa protone/elettrone) cambiasse (le strutture atomiche cambierebbero), ma se tutte le quantità fisiche adimensionali rimanessero invariate (questo include tutti i possibili rapporti di quantità fisiche di dimensioni identiche), non possiamo dire se una quantità dimensionale, come la velocità della lucec{\displaystyle c}, è cambiata. E, in effetti, il concetto di Tompkins diventa privo di significato nella nostra percezione della realtà se una quantità dimensionale comec{\displaystyle c}è cambiata, anche drasticamente.
Se il valore velocità della lucec{\displaystyle c}è stato in qualche modo improvvisamente dimezzato e cambiato in12c{\displaystyle {\frac {1}{2}}c}(ma con l'assioma chetuttele grandezze fisiche adimensionali rimangano uguali), allora la lunghezza di Planckaumenterebbedi un fattore22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}dal punto di vista di un osservatore esterno. Misurata da osservatori "mortali" in termini di unità di Planck, la nuova velocità della luce rimarrebbe come 1 nuova lunghezza di Planck per 1 nuovo tempo di Planck, che non è diverso dalla vecchia misurazione. Ma per assioma, la dimensione degli atomi (approssimativamente ilraggio di Bohr) è correlata alla lunghezza di Planck da una costante immutabile di proporzionalità:
a0=4πϵ0ℏ2mee2=mPmeαlP.{\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{e}\alpha }}l_{\text{P}}.}
Quindi gli atomi sarebbero più grandi (in una dimensione) di22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}, e ognuno di noi sarebbe più alto di22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}, e così i nostri strumenti per misurare il metro sarebbero più alti (e più larghi e più spessi) di un fattore22{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}. La nostra percezione della distanza e delle lunghezze rispetto alla lunghezza di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni.
I nostri orologi ticchetterebbero più lentamente di un fattore42{\displaystyle 4{\sqrt {2}}}(dal punto di vista di questo osservatore esterno) perché il tempo di Planck è aumentato di42{\displaystyle 4{\sqrt {2}}}, ma non conosceremmo la differenza (la nostra percezione delle durate del tempo rispetto al tempo di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni). Questo ipotetico osservatore esterno potrebbe osservare che la luce ora si propaga a metà della velocità che aveva precedentemente (così come tutte le altre velocità osservate), ma avrebbe comunque percorso299792458{\displaystyle 299792458}dei nostrinuovimetri nel tempo trascorso da uno dei nostrinuovisecondi(12c⋅42/22{\displaystyle {\frac {1}{2}}c\cdot 4{\sqrt {2}}/2{\sqrt {2}}}continua a essere uguale a299792458m/s{\displaystyle 299792458\,m/s}). Non noteremmo alcuna differenza.
Ciò contraddice ciò cheGeorge Gamowscrive nel suo libroMr. Tompkins; lì, Gamow suggerisce che se una costante universale dimensione-dipendente comec{\displaystyle c}cambiasse significativamente,dovremmofacilmente notare la differenza. Il disaccordo è meglio espresso dall'ambiguità nella frase"cambiare una costante fisica"; cosa succederebbe se (1)   tutte le altre costanti senzadimensionesono state mantenute uguali o se (2)   tutte le altre costantidipendenti dalladimensione vengono mantenute uguali. La seconda scelta è una possibilità alquanto confusa, poiché la maggior parte delle nostre unità di misura sono definite in relazione ai risultati degli esperimenti fisici, e i risultati sperimentali dipendono dalle costanti. Gamow non affronta questa sottigliezza; gli esperimenti di pensiero che conduce nelle sue opere popolari assumono la seconda scelta per"cambiare una costante fisica". E Duff o Barrow sottolineano che l'attribuzione di un cambiamento nella realtà misurabile, ovveroα{\displaystyle \alpha }, a una specifica quantità dimensionale, comec{\displaystyle c}, è ingiustificata. La stessa differenza operativa nella misurazione o nella realtà percepita potrebbe anche essere causata da un cambiamento inh{\displaystyle h}oeseα{\displaystyle \alpha }viene modificato e non vengono modificate altre costanti senza dimensione. Sono solo le costanti fisiche senza dimensioni che alla fine contano nella definizione di mondi.
Questo aspetto invariato della scala relativa a Planck, o quello di qualsiasi altro sistema di unità naturali, porta molti teorici a concludere che un ipotetico cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali può manifestarsi solo come un cambiamento nellecostanti fisiche senza dimensioni; una di queste costanti fisiche senza dimensioni è la costante di struttura fine. Ci sono alcuni fisici sperimentali che affermano di aver effettivamente misurato un cambiamento nella costante della struttura finee questo ha intensificato il dibattito sulla misurazione delle costanti fisiche. Secondo alcuni teoricici sono alcune circostanze molto speciali in cui i cambiamenti nella costante della struttura finepossonoessere misurati come un cambiamento nelle costanti fisichedimensionali. Altri tuttavia rifiutano la possibilità di misurare un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali in qualsiasi circostanza.La difficoltà o persino l'impossibilità di misurare i cambiamenti nelle costanti fisiche dimensionali ha portato alcuni teorici a discutere tra loro se una costante fisica dimensionale abbia o meno un significato pratico e che a sua volta porti a domande su quali costanti fisiche dimensionali siano significative.