Pirámide (geometría)

Engeometría, unapirámide(dellatínpyrămis, -ĭdis, y este delgriegopyramís, -ídos; propiamente 'pastel de harina de trigo de forma piramidal', derivado de πυρός pyrós 'harina de trigo')​​​ es unpoliedro, constituido por unpolígono simple(llamadobase) y cuyas caras laterales son triángulos que se juntan en unvérticecomún, también llamadoápiceocúspide. Los triángulos se denominancaraslaterales.​ El lado común a dos caras laterales se llamaarista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es el doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tienen+1{\displaystyle n+1}vértices poliedrales, donden{\displaystyle n}es el número de vértices de la base. Todas las pirámides sonpoliedros autoduales.
Las pirámides son una clase deprismatoide, y mediante su duplicación simétrica por reflexión en el plano de la base permiten generarbipirámides.​
Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono.​
Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional. Cuando no se especifica su configuración, generalmente se asume que se está hablando de unapirámide cuadrada"regular", como las conocidaspirámides de Egipto.
De acuerdo con las denominaciones de la primera imagen del artículo:
Unapirámide rectaes un tipo de pirámide en el que laproyección ortogonalde lacúspidesobre la base coincide con el centroide.
Unapirámide oblicuaes una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
Unapirámide agudatiene la proyección de la cúspide por dentro de la base.
Unapirámide en ángulo recto(orectangular) tiene la proyección de la cúspide sobre un lado o vértice de la base.
Unapirámide obtusatiene la proyección de la cúspide por fuera de la base.
Esta clasificación toma como referencia una cara de la pirámide, designada como su base, y el tipo puede cambiar si se cambia la cara de referencia de la misma pirámide.
Unapirámide de base regulares una pirámide cuya base es unpolígono regular.
Unapirámide regulares una pirámide recta y de base regular. Sus caras laterales son todas triángulos isósceles idénticos cuya altura corresponde alapotemade la pirámide. Solo existen tres pirámides de este tipo: eltetraedro(pirámide triangular), lapirámide cuadraday lapirámide pentagonal.
Unapirámide convexatiene como base unpolígono convexo.
Unapirámide cóncavatiene como base unpolígono cóncavo.
Una pirámide recta de base regular tiene sus caras laterales formadas por triángulos isósceles, con simetría Cnvo [1,n], de orden 2n. Se le asigna unsímbolo de Schläfliextendido ( ) ∨ {n}, que representa un punto, ( ), unido (desplazado ortogonalmente) a unpolígono regular, {n}. La operación de unión crea una nueva arista entre todos los pares de vértices (con uno de cada una de los dos figuras, punto y polígono) unidos entre sí.​
Lapirámide triangularotrigonalcuyas todas sus caras sontriángulos equiláteroses untetraedroregular, uno de lassólidos platónicos. Un caso de simetría inferior de lapirámide triangulares C3v, que implica que tiene una base en forma de triángulo equilátero y 3 lados que son triángulos isósceles idénticos. Las pirámides cuadradas y pentagonales también pueden estar compuestas por polígonos regulares convexos, en cuyo caso sonsólidos de Johnson.
Si todas las aristas de una pirámide cuadrada (o cualquier poliedro convexo) sontangentesa unaesferade modo que la media aritmética de las coordenadas de los puntos de tangencia coincide con el centro de la esfera, entonces se dice que la pirámide escanónica, y forma la mitad de unoctaedroregular.
Las pirámides de base hexagonal o superior deben estar compuestas por triángulos isósceles. Una pirámide hexagonal con triángulos equiláteros sería una figura completamente plana, y en una heptagonal o superior la apotema de los triángulos no tiene la longitud necesaria para poder unirse al vértice.
Las pirámides rectas con bases en forma depolígono estrelladoregular se denominanpirámides estrelladas.​ Por ejemplo, la pirámide pentagrámica tiene por base unaestrella pentagonaly 5 lados triangulares que se cruzan entre sí.
Unapirámide rectase puede describir mediante la notación como ( )∨P, donde ( ) representa el ápice, ∨ es el operador unión y P es el polígono base.
Untetraedro recto sobre un triángulo isóscelesse puede anotar de otras tres formas: como ( )∨[( )∨{ }], que describe la unión del punto con los vértices de una base con forma detriángulo isóscelescompuesta por otro punto y un segmento; como [( )∨( )]∨{ }, que describe la unión de dos puntos que a su vez se unen con un segmento; o como { }∨{ }, que describe la unión de dos segmentos ortogonales entre sí (undisfenoide digonalcon cuatro caras isósceles). Posee simetría C1va partir de dos orientaciones base-ápice diferentes, y C2ven su simetría completa.
Unapirámide rectarectangular, anotada como ( )∨[{ }×{ }], y unapirámiderómbica, anotada como ( )∨[{ }+{ }], poseen simetría C2v.
Área de un polígono regular
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y de su número de lados. Un polígono regular denlados puede dividirse enntriángulosisósceles (equiláteros en el caso delhexágonoregular) cuyas bases son los lados del polígono regular. Laalturade cada uno de estos triángulos es unaapotemadel polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dostriángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en2ntriángulos rectángulos.
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):
Dondeaes la apotema del polígono regular. Para calcular la longitud de la apotema se aplica latrigonometría.
Aparte: Se debe calcular la apotemaa, dondeαes el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular:
Ahora, reemplazando el valor de la apotemaaen el área del polígono regular (Ab) tenemos:
El valor del ánguloαresulta de dividir elángulo completo(2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luegoα=2π/2n=π/n{\displaystyle \alpha =2\pi /2n=\pi /n}.
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras  laterales por el número de caras laterales.
Dondeapes la apotema de la pirámide ypes elperímetrode la base.
La apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir de la apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando elteorema de Pitágoras.
El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se obtiene:
El volumen de una pirámide puede obtenerse mediantecálculo diferencial. Eláreade un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una alturazpor encima de la base es
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
Esta fórmula también es válida para elcono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.
ElmatemáticoyastrónomoindioAryabhatadedujo la fórmula utilizando un método similar, que aparece en su obra tituladaAryabhatiya(sección 2.6), que data del año 499 a. C.
El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y de la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la baseAb(1) en la ecuación del volumen de la pirámide (4) se obtiene:
Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:​
La fórmula del volumen de una pirámide también se puede deducir a partir derazonamientos geométricos, sin necesidad de realizar cálculo alguno:
Cuando los triángulos de la pirámide son equiláteros, la fórmula para hallar su volumen es (siendos{\displaystyle s}la longitud del lado del triángulo, yn{\displaystyle n}el número de lados de la base):
Esta fórmula solo se aplica paran= 2, 3, 4 y 5; y también cubre el cason= 6, para el que el volumen es igual a cero (es decir, la altura de la pirámide es cero).
Elcentroideo baricentro de untetraedroregular está situado en sualtura. El punto donde se cortan las cuatro posiblesalturas, se encuentra a una distancia de la base igual a:​
es decir, el centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.​
Coincide con elcentro de masasde un tetraedro regular dedensidaduniforme. También coincide con elcentro de gravedadde un tetraedro regular de densidad uniforme en un campo gravitacional uniforme.
La tabla contiene fórmulas para las propiedades geométricas de unapirámide recta regular generalen la columna 2, y en las columnas 3 y 4 específicamente para los casosn=4{\displaystyle n=4}yn=3{\displaystyle n=3}.
Casos especiales:
Para ciertos valores den{\displaystyle n}yh{\displaystyle h}existen conexiones con lossólidos platónicos:
Entre todas las pirámides uniformes denlados conárea de superficie dadaO{\displaystyle O}(incluida la base), para la de mayor volumen se cumple que:
y por lo tanto se aplica queh=a2cot⁡πn{\displaystyle \ h=a{\sqrt {2}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}\ }.
Elcircunradiodel polígono base es
El volumen máximo esV=O122Oπ⋅πncot⁡πn{\displaystyle V={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}\ }.
Cuandon{\displaystyle n}tiende a infinito,a{\displaystyle a}decrece monótonamente hacia0{\displaystyle 0}yh{\displaystyle h}aumenta monótonamente haciahc=2Oπ{\displaystyle h_{c}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}}. Esta última es la altura de unconocon volumen máximo para una superficie dadaO{\displaystyle O}. Para obtener este resultado, se parte dellímiteconocidolimx→0sen⁡xx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\operatorname {sen} x}{x}}=1}.
El radio del círculo base del cono que maximiza el volumen esrc=O4π{\displaystyle \ r_{c}={\sqrt {\tfrac {O}{4\pi }}}},su altura eshc=22rc=2Oπ{\displaystyle \ h_{c}=2{\sqrt {2}}\;r_{c}={\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }y su volumen valeVc=O122Oπ{\displaystyle \ V_{c}={\tfrac {O}{12}}{\sqrt {\tfrac {2\;O}{\pi }}}\ }.
La relación entre los volúmenes es:VPiram/VCono=πncot⁡πn{\displaystyle V_{Piram}/V_{Cono}={\sqrt {{\tfrac {\pi }{n}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}}},tendiendo a 1 paran→∞{\displaystyle n\to \infty }.
Dada una pirámide recta de alturah, la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una alturah':
Un plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen. Para calcularla, se debe hallar la razón de lahomotecia, el coeficiente por el que se deben multiplicar las longitudes de los lados de la base y la altura, para obtener las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total.
Se puede usar una sucesión de pirámides regulares que tienen unpolígono regularcomobasecon cada vez más lados paraaproximaruncono, que por definición tiene unacircunferenciacomo base.
Si la base de la pirámide es un polígono regular conn{\displaystyle n}lados, elsucesiónque tiende alinfinitoseaproxima al perímetro de una circunferencia. El cono circular puede entenderse como una pirámide regular, por así decirlo, donde la base tiene un número infinito de vértices y la longitud del lado tiene el límite 0.
Esto permite deducir elvolumendelconode la manera que se explica a continuación.
Usando la fórmula deláreade unpolígono regularconn{\displaystyle n}lados, el volumenV{\displaystyle V}de la pirámide regular se obtiene a partir del área de lacircunferencia circunscritaal polígono de la base, de radioru{\displaystyle r_{u}}:
Para determinar el volumen de uncono, se puede calcular ellímitecuandon{\displaystyle n}tiende ainfinito. Este límite se obtiene mediante la fórmulalimx→0sen⁡xx=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\operatorname {sen} x}{x}}=1}:
Una pirámide bidimensional es un triángulo, formado por un borde base conectado a un punto no colineal llamadoápice.
Una pirámide de 4 dimensiones se llama pirámide poliedral, y está constituida por unpoliedrocontenido en un 3-hiperplano de un espacio de 4 dimensiones y por un punto situado fuera de ese 3-hiperplano, que se conecta con todos los vértices del poliedro.
Las pirámides de dimensiones superiores se construyen de manera similar.
La familia desímplicesincluye pirámides en cualquier dimensión, aumentando a espacios de mayor orden para formar sucesivamentetriángulos,tetraedros,pentacorones,5-símplex, etc.
Un símplex n-dimensional tiene como mínimon+1vértices, con todos los pares de vértices conectados poraristas, todas las ternas de vértices que definencaras, todos los grupos de cuatro puntos que definen celdas tetraédricas, y así sucesivamente.
Engeometríade 4 dimensiones, unapirámide poliédricaes unpolícoroconstruido por unpoliedrocomo celda base y un puntoápice. Lascaraslaterales son celdas piramidales, cada una construida por una cara del poliedro base y el vértice. Los vértices y las aristas de las pirámides poliédricas forman ejemplos degrafos de ápice, gráficos formados al agregar un vértice (el ápice) a ungrafo plano(el grafo asociado a la base).
Elpentácoronregular (o 4-símplex) es un ejemplo de unapirámide tetraédricade cuatro dimensiones. Los poliedros uniformes con circunradio menor que 1 se pueden hacer pirámides poliédricas con lados tetraédricos regulares. Un poliedro convvértices,earistas yfcaras puede ser la base de una pirámide poliédrica conv+1vértices,e+varistas,f+ecaras y1+fceldas.
Una "pirámide poliédrica" 4D consimetría axialse puede visualizar en 3D con undiagrama de Schlegel, una proyección 3D que coloca el vértice en el centro del poliedro base.
Cualquier 4-politopo convexo se puede dividir enpirámides poliédricasagregando un punto interior y creando una pirámide desde cada faceta hasta el punto central. Esto puede ser útil para calcular volúmenes.
El "hipervolumen" de 4 dimensiones de una pirámide poliédrica es 1/4 del volumen del poliedro base por su altura perpendicular, en comparación con el área de un triángulo que es 1/2 de la longitud de la base por la altura y el volumen de una pirámide es 1/3 del área de la base por la altura.
Elvolumen de superficietridimensional de una pirámide poliédrica esSV=B+13AL{\displaystyle SV=B+{\tfrac {1}{3}}AL}, dondeB{\displaystyle B}es el volumen de la base,A{\displaystyle A}es el área de la superficie de la base yL{\displaystyle L}es la altura inclinada (altura de las celdas piramidales laterales). A su vez,L=h2+r2{\displaystyle L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}, dondeh{\displaystyle h}es la altura yr{\displaystyle r}es el radio interior.