실수

수학에서실수(實數,영어:real number)는 주로실직선위의 점 또는십진법전개로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0,⁠1/2⁠√2,e,π등은 모두 실수이다. 즉 좌표축을 꽉 채울 수 있는 수의 집합이라고도 할 수 있다.
실수에 대하여사칙 연산(덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈)을 실행할 수 있다. 실수는 크기비교가 가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작다.  특히, 실수는 0보다 큰양수· 0보다 작은음수· 0으로 분류된다. 또한, 실수는정수의비인유리수와 그렇지 않은무리수로도 분류되며, 정수 계수다항식의 근인대수적 수와 그렇지 않은초월수로도 분류된다. 실직선은복소 평면의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는허수와 함께복소수를 이룬다.
공리적으로, 실수는완비순서체로 정의되고, 이는동형의미 아래 유일하다. 구성적으로, 실수는 유리수코시 수열의동치류·데데킨트 절단· 십진법 전개의 동치류로서 구성된다.실수의 완비성은 공집합이 아닌 실수유계 집합이 항상상한과 하한을 갖는다는 성질이다. 이는유리수와 구별되는 중요한 성질이다.
실수 집합은비가산 집합이다. 즉,자연수집합과 실수 집합은 둘다무한 집합이나, 그 사이에일대일 대응이 존재하지 않는다. 실수집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 크다.연속체 가설은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수부분 집합이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉,선택 공리를 추가한체르멜로-프렝켈 집합론)에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의모형이 모두 존재한다.
실수 체계(R,+,⋅,<){\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)}는 실수의공리계를 통해 정의하거나, 구체적인모형을 구성하여 정의할 수 있다.
실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는동형의미 하에 유일하다.
실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의모형을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.
실수 집합 위에는덧셈+,뺄셈-,곱셈×,나눗셈÷이 정의되어 있으며, 이들 중 덧셈과 곱셈은교환 법칙,결합 법칙,분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
실수x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }과 그반수−x{\displaystyle -x}를 더하면 0이다. 즉,
0이 아닌 실수x∈R∖{0}{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}과 그역수1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}를 곱하면 1이다. 즉,
뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.
양수(=실직선에서 0의 우측의 실수=0보다 큰 수) 밑, 실수 지수의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 실수에 대하여 거듭제곱을 정의할 수 있는 건 실수의 완비성이 있기 때문이다. 대략의 정의는 다음과 같다.
음수(=실직선에서 0의 좌측의 실수=0보다 작은 수) 밑의 거듭제곱 역시 정의할 수 있는데, 이는 유리수 지수에 한하며, 또한 이렇게 확장된 거듭제곱은 위의 연산 법칙을 비롯한 좋은 성질들을 만족시키지 못한다.
실수들 사이에는 순서(즉, 크기 비교)가 존재한다. 두 실수a,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }의 순서a<b{\displaystyle a<b}의 직관은실직선위에서a{\displaystyle a}가 더 왼쪽에,b{\displaystyle b}가 오른쪽에 있다는 것이다.a≤b{\displaystyle a\leq b}는a<b{\displaystyle a<b}이거나a=b{\displaystyle a=b}라는 뜻이다. 이에 따라, 실수의 순서는 다음 성질들을 만족시킨다.
또한, 실수의 순서는 실수의 연산과 호환된다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
양수(영어:positive number)는 0보다 큰 실수를 뜻하며,음수(영어:negative number)는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 위의 성질들에 따라, 모든 실수는 양수, 음수와 0 가운데 하나에 속한다. 또한, 양수 곱하기 양수는 항상 양수이며, 양수 곱하기 음수는 항상 음수이며, 음수 곱하기 음수는 항상 양수이다. 특히, 임의의 실수의 제곱은 항상 음수가 아닌 실수이다.(제곱해서음수가 되는 수는허수라고 불리고,수직선상에 표시할 수 없다.)
구간은 특별한 실수부분 집합으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }에 대하여, 다음과 같다.
퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.
수들의 집합(예를 들어,유리수집합이나 실수 집합)의 모든 수들보다 작지 않은 수를 그 집합의상계라고 한다. 이는 보통 존재하지 않거나, 존재한다면 여럿이 같이 존재한다. 수들의 집합에 상계들이 존재하며, 이들 가운데 가장 작은 하나가 존재한다면, 이를상한이라고 한다. 실수 집합R{\displaystyle \mathbb {R} }은 다음 성질을 만족시킨다.
이를 상한 공리이라고 한다. 상한 공리는 실수의 완비성에 대한 한 가지 표현이다.
실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질의 하나이다.데데킨트 절단(영어:Dedekind cut)을 통해 서술하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합R{\displaystyle \mathbb {R} }의 두 부분 집합D,E⊆R{\displaystyle D,E\subseteq \mathbb {R} }의 쌍(D,E){\displaystyle (D,E)}이 다음 조건들을 만족시키면,(D,E){\displaystyle (D,E)}를R{\displaystyle \mathbb {R} }의데데킨트 절단이라고 한다.
이제, 실수의데데킨트 완비성 공리를 다음과 같이 서술할 수 있다.
데데킨트 완비성 공리는 상한 공리와 서로 동치이다.
실수 집합은아르키메데스 성질을 만족한다. 즉, 두 실수x,y>0{\displaystyle x,y>0}가 있다고 하자. 이 경우x{\displaystyle x}가 아무리 작고y{\displaystyle y}가 아무리 크더라도,x{\displaystyle x}를 충분히 많은 횟수n{\displaystyle n}만큼 더하면,y{\displaystyle y}를 초과한다. 즉,
실수 집합 위의 순서는조밀 순서이다. 즉, 임의의 서로 다른 두 실수x<y{\displaystyle x<y}에 대하여, 항상 그 사이에 또 다른 실수x<z<y{\displaystyle x<z<y}가 존재한다.
실수 집합 위에는 표준적인위상 공간·거리 공간·노름 공간·내적 공간구조를 부여할 수 있다. 즉,
실수 부분 집합S⊆R{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }에 대하여, 다음 조건들이 서로동치이다.
사실, 모든유클리드 공간에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든거리 공간에 대하여, 앞에 세 조건은 서로 동치이다.
또한,S⊆R{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }에 대하여, 다음 조건들이 서로동치이다.
실수는유리수와무리수로 분류된다. 실수q∈R{\displaystyle q\in \mathbb {R} }에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
예를 들어, 1/3 = 0.333...은 유리수이며,e= 2.7182...와π = 3.1415...는 무리수이다.
실수집합의 크기는 다음과 같다.
여기서ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}은알레프 0이다. 달리 말해, 실수는 자연수 부분 집합과 일대일 대응한다. 이 둘 사이의 일대일 대응은 여러 가지 만들 수 있다.
실수에 대한 엄밀한 정의는게오르크 칸토어에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은카를 바이어슈트라스,게오르크 칸토어,리하르트 데데킨트와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.