Kořen (matematika)

Kořenemfunkcef{\displaystyle f}se vmatematicenazývá takový prvekazdefiničního oborufunkcef{\displaystyle f}, v němž funkcef{\displaystyle f}nabývánulovéhodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnotaa{\displaystyle a}splňujícírovnicif{\displaystyle f}(a{\displaystyle a}) = 0.
Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkcef{\displaystyle f}podmnožinoukomplexníchresp.reálných čísel, je kořen bod, v němžgraf funkcef{\displaystyle f}protínákomplexní rovinuresp.osux{\displaystyle x}souřadnicového systému.
Polynomjedné proměnné stupněn{\displaystyle n}skomplexnímikoeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýšen{\displaystyle n}různých komplexních kořenů. Je-lia{\displaystyle a}kořenem polynomuP(x){\displaystyle P(x)}, pak(x−a){\displaystyle (x-a)}dělíP(x){\displaystyle P(x)}a tedyP(x)(x−a){\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)}}}je polynom stupněn−1{\displaystyle n-1}.
Podlezákladní věty algebrymá každý polynom jedné proměnné stupněn{\displaystyle n}s komplexními koeficienty v komplexních číslech právěn{\displaystyle n}kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nadreálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynomx2+1{\displaystyle x^{2}+1}nemá řešení v oboru reálných čísel.
Řešení:x2+1=0;{\displaystyle x^{2}+1=0;}x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1};x=±i{\displaystyle x=\pm i}.
Je-lilineární polynom(P(x)=ax+b;{\displaystyle P(x)=ax+b;}kdea≠0,b{\displaystyle a\neq 0,b}jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslox0=−ba{\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{a}}}.
Prokvadratický polynom(P(x)=ax2+bx+c{\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}), existují obecně dva kořenyx1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.
Příklad1:rovnicev součinném tvaru(2x+1)(x−3)=0{\displaystyle (2x+1)(x-3)=0}
řešení:
2x+1=0⇒x1=−12{\displaystyle 2x+1=0\Rightarrow x_{1}=-{\frac {1}{2}}};
x−3=0⇒x2=3{\displaystyle x-3=0\Rightarrow x_{2}=3}
Pro výpočet kořenůkubického polynomulze použít např.Cardanovy vzorceneboHornerovo schéma.
Příklad2:x3+3x2+2x+6=0{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0}, hledané řešení:x∈R{\displaystyle x\in R}
x3+3x2+2x+6=0=(x−a)(x2+px+q){\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=(x-a)(x^{2}+px+q)}, kdea{\displaystyle a}je kořen ap,q∈R{\displaystyle p,q\in R},
po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:
x3+3x2+2x+6=0=x3+(p−a)x2+(q−ap)x−aq{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq}
porovnáním koeficientů u stejné mocninyx{\displaystyle x}vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:
3=p−a{\displaystyle 3=p-a}
2=q−ap{\displaystyle 2=q-ap}
6=−aq{\displaystyle 6=-aq}
Vyřešené hodnotya=−3;p=0;q=2{\displaystyle a=-3;p=0;q=2}lze dosadit do rovnice
x3+3x2+2x+6=0=x3+(p−a)x2+(q−ap)x−aq=(x+3)(x2+2){\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq=(x+3)(x^{2}+2)}
vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslox1=−3{\displaystyle x_{1}=-3}, kvadratická rovnicex2+2=0{\displaystyle x^{2}+2=0}nemá v oboruR{\displaystyle R}řešení.
Najdeme-li dva bodyx1{\displaystyle x_{1}}ax2{\displaystyle x_{2}}, pro které platísgn⁡(P(x1))=−sgn⁡(P(x2)){\displaystyle \operatorname {sgn}(P(x_{1}))=-\operatorname {sgn}(P(x_{2}))}, kdesgn{\displaystyle \operatorname {sgn} }značí znaménkovou funkcisignum(P(x1)P(x2)<0{\displaystyle P(x_{1})P(x_{2})<0}), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu(x1,x2){\displaystyle (x_{1},x_{2})}, (vizBolzanova věta). Tento kořen lze najít metodoupůlení intervalůnebometodou tečen.
Řešené příklady(německy)