실수의 완비성

실수의 이론에서,실수의 완비성(實數-完備性,영어:completeness of the real numbers)은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다.실수의 연속성(實數-連續性,영어:continuity of real numbers)이라고도 불리는데,함수의 연속성과는 다른 개념이다.공리적으로 정의된실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는공리이며, 이를완비성 공리(完備性公理,영어:completeness axiom)라고 한다. 완비성 공리는순서체공리와 함께실수 공리를 이룬다.구성적으로 정의된실수에게 있어, 실수의 완비성은정리이며, 이는 서로 다른실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다.
실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다.상한 공리또는최소 상계 공리(最小上界公理,영어:least upper bound axiom)는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수부분 집합이상계를 가지면 반드시상한을 가진다. 이와 달리,유리수는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.
상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히,아르키메데스 성질을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다.
실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.
실수 부분 집합S⊂R{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의 한상계는 다음을 만족시키는 실수u∈R{\displaystyle u\in \mathbb {R} }이다.
실수 부분 집합S⊂R{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의상한은 다음 두 조건을 만족시키는 실수u∈R{\displaystyle u\in \mathbb {R} }이다.
비슷하게, 실수 부분 집합의하계와하한을 정의할 수 있다.
상한 공리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
단조 수렴 정리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
닫힌구간의 열
이
를 만족한다고 하자.축소 구간 정리에 따르면,
이게 되는c∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} }이 존재하며, 더 일반적으로, 두 번째 전제를 제거하였을 때,
이게 되는a,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }이 존재한다.
정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.
실수 부분 집합S⊂R{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }에 대하여,⋃i∈ICi⊃S{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}C_{i}\supset S}를 만족시키는 실수 부분 집합족{Ci}i∈I⊂P(R){\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}을S{\displaystyle S}의덮개라고 한다.
하이네-보렐 정리에 따르면, 실수 유계닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계닫힌집합은 항상콤팩트 집합이다.
실수 부분 집합S⊂R{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }의극한점은 서로동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }이다.
극한점 성질에 따르면, 실수유계무한 집합은극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은극한점 콤팩트 공간이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면,유계 수열은 수렴부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은점렬 콤팩트 공간이다.
실수코시 수열은 임의의ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}에 대하여, 다음을 만족시키는N∈N{\displaystyle N\in \mathbb {N} }이 존재하는 실수 수열(an)n∈N{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}이다.
코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은완비 거리 공간이다.
순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로동치이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)
또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며,아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.
유리수순서체Q{\displaystyle \mathbb {Q} }는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 유리수 상계2∈Q{\displaystyle 2\in \mathbb {Q} }를 갖는 유리수 부분 집합
는 실수 부분 집합으로서는 상한2∈R{\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {R} }을 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열
는 실수 수열로서는원주율π∈R{\displaystyle \pi \in \mathbb {R} }로 수렴하지만, 유리수에 수렴하지 못한다.
R{\displaystyle \mathbb {R} }위의 형식적 로랑 급수들의 집합R((t)){\displaystyle \mathbb {R} ((t))}위에 통상적인 연산 및 다음과 같은 크기를 주면 이는 순서체가 된다.
이 경우 모든 코시 수열이 수렴한다. 왜냐 하면,{xn}n∈N{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}이 코시 수열이라면 임의의r∈Z{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }에 대해n,m≥N⇒|xn−xm|<tr{\displaystyle n,m\geq N\Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<t^{r}}이 되게 하는N∈N{\displaystyle N\in \mathbb {N} }이 존재하므로 각 항의 계수는 결국 상수 수열이 되기 때문이다.
그러나1−nt>0∀n∈N{\displaystyle 1-nt>0\quad \forall n\in \mathbb {N} }이므로R((t)){\displaystyle \mathbb {R} ((t))}는 아르키메데스 원리를 충족시키지 않으며, 따라서 실수체와 동형이 아니다.