अपरिमेय संख्या

[गणित] में,अपरिमेय संख्या(irrtional number) वहवास्तविक संख्याहै जोपरिमेयनहीं है, अर्थात् जिसे भिन्नp/qके रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहांpऔरqपूर्णांकहैं, जिसमेंqगैर-शून्य है और इसलिएपरिमेय संख्यानहीं है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि एकअपरिमेय संख्याको एक सरल भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिये२ का वर्गमूल, औरपाईअपरिमेय संख्याएँ हैं।
यह साबित हो सकता है कि अपरिमेय संख्याएं विशिष्ट रूप से ऐसी वास्तविक संख्याएं हैं जिन्हें समापक या सतत दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, हालांकि गणितज्ञ इसे परिभाषा के रूप में नहीं लेते हैं।कैंटर प्रमाणके परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएंअगणनीयहैं (परिमेय गणनीय) यह मानता है किलगभग सभीवास्तविक संख्याएं अपरिमेय हैं।शायद, सर्वाधिक प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याएं हैंπ,eऔर√२.जब दो रेखा खंडों की लंबाई काअनुपातअपरिमेय है, तो रेखा खण्डों को भीतारतम्यहीनके रूप में वर्णित किया जाता है, वे किसी माप को आम रूप से साझा नहीं करते. इस अर्थ में एक रेखा खंडlकामापएक रेखा खंडJहै जिसका "माप" इस अर्थ मेंlहै कि एक छोर से दूसरे छोर तकJकी सभी प्रतियों की संख्या1के समान ही लंबाई हासिल करती है।
अपरिमेयता की अवधारणा कोभारतीय गणितज्ञोंद्वारा सातवीं शताब्दी ई.पू. से अव्यक्त रूप से स्वीकार किया गया, जबमानव(c. 750-690 ई.पू.) का मानना था कि कुछ विशिष्ट संख्याओं केवर्गमूलजैसे 2 और 61 को निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अपरिमेय संख्या के अस्तित्व के प्रथम सबूत का श्रेय आम तौर पर एकपाईथागोरियाई(संभवतःमेटापोंटम के हिपासस) को दिया जाता है,जिसने शायदपेंटाग्रामके पक्षों की पहचान करने के दौरान उनकी खोज की।उस वक्त के मौजूदा पाइथागोरिआई पद्धति ने दावा किया होता कि वहां जरुर ऐसी कोई पर्याप्त छोटी, अविभाज्य इकाई है जो इन लंबाई में से एक और अन्य में समान रूप से फिट बैठ सकती है। हालांकि, पांचवीं शताब्दी ई.पू. में हिपासस यह परिणाम निकालने में सक्षम था कि वास्तव में मापन की कोई आम इकाई नहीं है और इस तरह के एक अस्तित्व का अभिकथन वास्तव में एक विरोधाभास है। उसने यह प्रदर्शित करते हुए ऐसा किया की वह असंभव है जो यह द्वारा किया प्रदर्शन है कि अगर एकसम त्रिकोण समद्विबाहुका कर्ण वास्तव में एक बाहु से आनुपातिक है, तो माप की उस इकाई को सम और विषम, दोनों होना चाहिए जो कि असंभव है। उसका तर्क इस प्रकार है:
यूनानी गणितज्ञोंने असम्मेय परिमाण के इस अनुपात कोअलोगोसअथवा वर्णनातीत कहा. हालांकि, उसके प्रयासों के लिए हिपासस की सराहना नहीं की गई: एक कथा के अनुसार, उसने अपनी यह खोज समुद्री यात्रा के दौरान की और उसे बाद में पाईथागोरिआई साथियों द्वारा जहाज से बाहर फेंक दिया गया "...ब्रह्मांड में एक ऐसा तत्त्व उत्पन्न करने के लिए जिसने ... इस सिद्धांत का खंडन किया कि ब्रह्मांड में सभी घटनाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में संक्षिप्त किया जा सकता है।एक अन्य कथा के अनुसार हिपासस को केवल इस रहस्योद्घाटन के लिए निर्वासित कर दिया गया था। हिपासस को खुद जो भी परिणाम भुगतने पड़े हों, उसकी खोज ने पाईथागोरियन गणित के समक्ष एक बहुत गंभीर समस्या खड़ी कर दी, क्योंकि इसने इस धारणा को ध्वस्त कर दिया कि संख्या और ज्यामिति अवियोज्य हैं-उनके सिद्धांत का आधार.
सिरेन के थिओडोरसने 17 तक के पूर्णाकों केकरणीगतकी अपरिमेयता को साबित किया, लेकिन वहीं ठहर गया शायद इसलिए क्योंकि जिस बीजगणित का इस्तेमाल उसने किया उसे 17 के वर्ग मूल पर लागू नहीं किया जा सका.और जबयुडोक्ससने अनुपात का सिद्धांत विकसित किया जिसमें अपरिमेय के साथ-साथ परिमेय अनुपात का ध्यान रखा गया, तभी अपरिमेय संख्याओं की मजबूत गणितीय नींव निर्मित हुई.एक परिमाण "एक संख्या नहीं था, बल्कि वह अस्तित्वों के लिए था जैसे रेखा खंड, कोण, क्षेत्र, आयतन और समय जो हम कह सकते हैं लगातार भिन्न हो सकता है। परिमाण, संख्याओं के विपरीत थे, जो एक मान से दूसरे मान में उछल रहे थे, जैसे 4 से 5 पर.संख्याएं कुछ न्यूनतम, अविभाज्य इकाई से बनी होती हैं, जबकि परिमाण अपरिमित रूप से कम करने योग्य हैं। क्योंकि परिमाण के लिए कोई मात्रात्मक मूल्यों को नहीं सौंपा गया था, इसलिए युडोक्सस, सम्मेय और असम्मेय, दोनों अनुपातों की गणना करने में सक्षम हुआ जिसके लिए उसने एक अनुपात को उसके परिमाण और समानुपात के मामले में दोनों अनुपातों के बीच एक समानता के रूप में परिभाषित किया। समीकरण से मात्रात्मक मानों (संख्या) को बाहर लेते हुए, उसने एक अपरिमेय संख्या को एक संख्या के रूप में व्यक्त करने के जाल से खुद को बचाया. "युडोक्सस सिद्धांत ने असम्मेय अनुपातों के लिए आवश्यक परिमेय आधार प्रदान करते हुए यूनानी गणितज्ञों को ज्यामिति में अभूतपूर्व प्रगति करने में सक्षम बनाया."यूक्लिडकीएलिमेंट्सपुस्तक 10, अपरिमेय परिमाण के वर्गीकरण को समर्पित है।
मध्य युगमें,अरब गणितज्ञोंद्वाराबीजगणितके विकास ने अपरिमेय संख्याओं को "बीजीय वस्तुओं" के रूप में प्रयोग करने की अनुमति दी।अरब गणितज्ञों ने, "संख्या" और "परिमाण" की अवधारणा को "वास्तविक संख्या" की एक अधिक सामान्य धारणा में विलय भी किया, यूक्लिड केअनुपातकी अवधारणा की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत का विकास किया और संख्या की अवधारणा को सतत परिमाण के अनुपात तक विस्तारित किया।एलिमेंट्सकी पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी मेंफारसीगणितज्ञअल महनी(d. 874/884) नेद्विघात अपरिमेयऔर घन अपरिमेय की जांच की और उनका वर्गीकरण किया। उसने परिमेय और अपरिमेय परिमाण के लिए परिभाषा प्रदान की, जिसे वह अपरिमेय संख्या के रूप में मानता था। उसने उनका इस्तेमाल मुक्त रूप से किया लेकिन उनकी व्याख्या ज्यामितीय शब्दों में की जो निम्नानुसार है:
रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महनी ने पूर्णांक और भिन्न को परिमेय परिमाण के रूप में माना और वर्ग मूल औरघन मूलको अपरिमेय परिमाण के रूप में. उसने अपरिमेयता की अवधारणा के लिए एकअंकगणितीयदृष्टिकोण भी पेश किया, जैसा की वह निम्नलिखित का श्रेय अपरिमेय परिमाण को देता है:
मिस्रका गणितज्ञअबू कामिल शुजा इब्न असलम(c. 850-930) प्रथम व्यक्ति था जिसने अपरिमेय संख्याओं कोद्विघात समीकरणके समाधान के रूप में या एकसमीकरणमेंगुणांकके रूप में स्वीकार किया, जो अक्सर वर्ग मूल, घन मूल औरचौथे मूलके स्वरूप में होता था।दसवीं शताब्दी में,इराकीगणितज्ञ अल-हाशिमी ने गुणन, भाग और अन्य अंकगणितीय क्रियाओं पर विचार करने की प्रक्रिया में अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य (ज्यामितीय प्रदर्शनों के बजाय) सबूत प्रदान किये।अबू ज़फर अल खज़ीन(900-971), परिमेय और अपरिमेय परिमाण परिभाषा प्रदान करता है, यह कहते हुए कि यदि एक निश्चितराशिहै:
इन अवधारणाओं को फलस्वरूप12वीं सदी के लैटिन अनुवादके कुछ समय बाद यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा स्वीकार कर लिया गया। 12वीं सदी के दौरानमघरेब(उत्तरी अफ्रीका) का एक अरबी गणितज्ञ, अल हस्सार जोइस्लामिक उत्तराधिकार न्यायशास्त्रमें विशेषज्ञ था, उसनेभिन्नके लिए आधुनिक प्रतीकात्मकगणितीय अंकनविकसित किया, जहां गणक और हर को एक क्षैतिज रोध द्वारा पृथक किया जाता है। यही समान भिन्नात्मक संकेतन शीघ्र ही 13वीं सदी मेंफिबोनैकीके कार्यों में प्रकट होता है।14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान,संगमग्राम के माधवऔरखगोल विज्ञान और गणित के केरल स्कूलने अपरिमेय संख्याओं के लिए अनंतश्रृंखलाकी खोज की जैसे pi औरत्रिकोणमितीय क्रियाओंके कुछ विशिष्ट अपरिमेय मानों की।ज्येष्ठदेवनेयुक्तिभाषामें इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण उपलब्ध कराए हैं।
17वीं सदी ने,अब्राहम डे मूवरऔर विशेष रूप सेलिओनार्ड युलरके हाथों मेंकाल्पनिक संख्याओंको एक शक्तिशाली उपकरण बनते देखा. उन्नीसवीं शताब्दी मेंजटिल संख्याओंके सिद्धांत के पूर्ण होने के लिए अपरिमेय का बीजीय औरअबीजीय संख्यामें विभेदन, अबीजीय संख्या के अस्तित्व का सबूत और अपरिमेय सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान आवश्यक था जिसकीयूक्लिडके बाद से बड़े पैमाने पर उपेक्षा की गई। वर्ष 1872 में कई लोगों ने सिद्धांतों का प्रकाशन किया जिनमें शामिल थेकार्ल विअरस्ट्रास(उनके छात्रकोज़ाकद्वारा),हेन(क्रेल, 74),जोर्ज कैंटर(अन्नालेन, 5) औररिचर्ड डेडेकिंड. 1869 में मेराय ने हेन के समान ही प्रस्थान के समान बिंदु को लिया, लेकिन इस सिद्धांत को आमतौर पर वर्ष 1872 से उद्धृत किया जाता है। विअरस्ट्रास की विधि को 1880 में पूरी तरह सेसेल्वाटोर पिंचरलेद्वारा आगे बढ़ाया गया,और डेडेकिंड की विधि को लेखक के बाद के कार्यों (1888) औरपॉल टेनरी(1894) के समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त महत्त्व प्राप्त हुआ। विअरस्ट्रास, कैंटर और हेन ने अपने सिद्धांतों को अनंत शृंखला पर आधारित किया, जबकि डेडेकिंड ने अपने आधारों कोवास्तविक संख्याकी प्रणाली में एककटौती(श्निट) की धारणा पर रखा, जिसके तहत उसने सभीपरिमेय संख्याओंको विशेष गुणों के आधार पर दो समूहों में विभाजित किया। इस विषय के विकास में बाद में विअरस्ट्रास, क्रोनेकर (क्रेल, 101) और मेराय ने योगदान दिया।
सतत भिन्न, जो अपरिमेय संख्याओं (और केटाल्डी, 1613 के कारण) से नज़दीकी रूप से सम्बंधित हैं उसेयुलरके हाथों प्रचार प्राप्त हुआ और उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत मेंलग्रांगके लेखन के माध्यम से अधिक उभरा. डिरीचलेट ने भी सामान्य सिद्धांत में अपना योगदान दिया, जैसा कि कई अन्य योगदानकर्ताओं ने इस विषय के अनुप्रयोग के लिए दिया।
लैम्बर्ट(1761) ने साबित किया कि π परिमेय नहीं हो सकता और कहा किeतब अपरिमेय होगा जब यदिnपरिमेय है (जब तक किn= 0 ना हो).जबकि लैम्बर्ट के सबूत को अक्सर अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक कह कर समर्थन देता है और वास्तव में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से कठोर है।लीजेंडर(1794) ने,बेसेल-क्लिफर्ड क्रियापेश करने के बाद, यह दर्शाने के लिए सबूत प्रदान किया πअपरिमेय है, जिस कारण से तुरंत यह बात आती है कि π भी अपरिमेय है। अबीजीय संख्या का अस्तित्व सर्वप्रथम लिओविले द्वारा स्थापित किया गया था (1844, 1851). बाद में, जोर्ज कैंटर (1873) ने एक भिन्न तरीके से उनके अस्तित्व को साबित कर दिया, जिसमें दर्शाया गया कि वास्तविक में हर अंतराल में अबीजीय संख्या शामिल होती है।चार्ल्स हर्मिट(1873) ने सबसे पहलेeअबीजीयको साबित किया औरफर्डिनेंड वॉन लिंडेमन(1882) ने हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए, π के लिए यही दर्शाया. लिंडेमन का सबूत विअरस्ट्रास (1885) द्वारा काफी सरलीकृत किया गया, बाद मेंडेविड हिल्बर्ट(1893) द्वारा और अंत मेंएडॉल्फ हुर्वित्ज़औरपॉल अल्बर्ट गोर्डनद्वारा प्राथमिक बनाया गया।
2 का वर्ग मूलवह पहली संख्या थी जिसे अपरिमेय साबित किया गया और उस लेख में कई सबूत शामिल हैं।सुनहरा अनुपात, अगला सबसे प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय है और उसके लेख में उसकी अपरिमेयता का एक सरल सबूत है। सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्या का वर्ग मूल, अपरिमेय है औरद्विघात अपरिमेयमें एक प्रमाण देखा जा सकता है।
2 के वर्गमूल की अपरिमेयता उसे परिमेय मानते हुए और एक विरोधाभास का निष्कर्ष निकालते हुए सिद्ध की जा सकती है, जिसेरिडक्शियो एड एब्सर्डमद्वारा एक तर्क कहा जाता है। निम्नलिखित तर्क इस तथ्य से दो बार अपील करता है कि एक विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है।
यदि √2परिमेय है, तो पूर्णांकm,nके लिए इसका रूपm/nहै, जहां दोनों सम नहीं हैं। फिरm= 2n, इसलिएmसम है, कह लीजिये किm= 2p. इस प्रकार 4p= 2nइसलिए 2p=nइसलिएnभी सम है, जो एक विरोधाभास है।
दो के वर्गमूल के लिए उपर्युक्त सबूत कोअंकगणित के मौलिक प्रमेयके उपयोग द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे1798मेंगॉसद्वारा साबित किया गया था। इससे यह बल मिलता है कि हर पूर्णांक का अभाज्य मेंअद्वितीय गुणनखंडनहोता है। इसका इस्तेमाल करते हुए हम यह दिखा सकते हैं कि यदि एक परिमेय संख्या एक पूर्णांक नहीं है तो उसका कोई अभिन्न घात एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि अपनेन्यूनतम पदमें हर में एक गुणनखंड होना चाहिए जो गणक से विभाजित नहीं होता चाहे दोनों ही किसी भी घात तक बढ़ा दिए जाएं. इसलिए अगर एक पूर्णांक, एक अन्य पूर्णांक का सटीकkघात नहीं है तो उसकाkवर्ग अपरिमेय है।
वे संख्याएं जिन्हें सबसे आसानी से अपरिमेय साबित किया जाता है वे शायद कुछ ख़ासलघुगणकहै। यहांरिडक्शियो एड एब्सर्डमद्वारा एक सबूत है कि log23 अपरिमेय है। ध्यान दें कि log23 ≈ 1.58> 0.
मान लीजिये कि log23 परिमेय है। कुछ धनात्मक पूर्णांकmऔरnके लिए, हमारे पास है
इसका मतलब है कि
हालांकि, संख्या 2 जिसे किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात में बढ़ाया गया हो उसे सम होना चाहिए (क्योंकि वह 2 से विभाज्य होगा) और संख्या 3 को जिसे किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात में बढ़ाया गया हो उसे विषम होना चाहिए (क्योंकि उसका कोई भी अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होगा). जाहिर है, एक पूर्णांक एक ही समय में सम और विषम, दोनों नहीं हो सकता: हमारे पास एक विरोधाभास है। जो एकमात्र अनुमान हमने लगाया था वह था कि log23 परिमेय है (और इसलिए पूर्णांकm/nके एक भागफल के रूप में व्यक्त होने में सक्षम है जहांn≠ 0 है). विरोधाभास का मतलब है कि यह धारणा ज़रूर गलत होगी, यानी log23 अपरिमेय है और इसे कभी भी पूर्णांकm/nके एक भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जहांn≠ 0 है।
log102 जैसे मामलों के साथ भी इसी तरह का व्यवहार किया जा सकता है।
लगभग सभीअपरिमेय संख्याएं अबीजीय हैं और सभीअबीजीय संख्याएंअपरिमेय हैं: अबीजीय संख्या वाला लेख कई उदाहरणों को सूचीबद्ध करता है।eऔर πअपरिमेय हैं अगरr≠ 0 परिमेय है;eअपरिमेय है।
अपरिमेय संख्या को निर्मित करने का दूसरा तरीका है अपरिमेयबीजीय संख्याके रूप में निर्माण, यानी पूर्णांक गुणांक के साथबहुपदके शून्य के रूप में: बहुपद समीकरण के साथ शुरू कीजिये
जहां गुणांकaiपूर्णांक हैं। मान लीजिए आप जानते हैं कि कुछ वास्तविक संख्याएंxमौजूद हैं जहांp(x) = 0 (उदाहरण के लिए यदिnविषम है औरanगैर-शून्य है, तबमध्यवर्ती प्रमेय मानकी वजह से). इस बहुपद समीकरण का एकमात्र संभावित परिमेय मूलr/sस्वरूप में होगा जहांr,a0का एकभाजकहै औरs,anका एक भाजक है; ऐसे केवल सीमित उम्मीदवार हैं जिसे आप सिर्फ हाथों से जांच सकते हैं। अगर उनमें से कोई भीpका मूल नहीं है, तोxज़रूर अपरिमेय होना चाहिए। उदाहरण के लिए, इस तकनीक का इस्तेमाल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है किx= (2+ 1)अपरिमेय है: हमारे पास है (x- 1)= 2 और इसलिएx- 2x- 1 = 0 और इस बाद वाले बहुपद में कोई परिमेय मूल नहीं है (जांच करने के लिए एकमात्र उम्मीदवार हैं ± 1).
क्योंकि बीजीय संख्या एकक्षेत्रगठित करते हैं, कई अपरिमेय संख्याओं को बीजीय और अबीजीय संख्याओं के संयोजन द्वारा निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए 3π + 2, π + √2औरe√3अपरिमेय हैं (और यहां तक कि अबीजीय).
एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार, एक परिमेय संख्या के विपरीत कभी दोहराता या समाप्त नहीं होता।
यह दर्शाने के लिए, मान लीजिये हमnपूर्णांक कोmद्वारा भाग देते हैं (जहांmगैर-शून्य है). जबmद्वाराnके भाग परदीर्घ भागको लागू किया जाता है, तो केवलmशेषफल संभव होते हैं। यदि 0 एक शेषफल के रूप में प्रकट होता है, तो दशमलव विस्तार समाप्त हो जाता है। यदि 0 कभी प्रकट नहीं होता तो वह एल्गोरिथ्म, किसी भी शेषफल को एक बार से अधिक उपयोग ना करते हुए अधिक से अधिकm- 1 चरण चल सकता है। उसके बाद, एक शेषफल की पुनरावृत्ति होनी ही चाहिए और तब दशमलव विस्तार दोहराता है।
इसके विपरीत, मान लीजिये हमारे सामने एकआवर्ती दशमलवआता है, तो हम सिद्ध कर सकते हैं कि वह दो पूर्णांकों का भिन्न है। उदाहरण के लिए:
यहां रेपिटेंड की लंबाई 3 है। हम 10से गुणा करते हैं:
ध्यान दें कि जब हमने 10 के घाते दोहराए जाने वाले भाग की लंबाई से गुणा किया, तो हमने अंकों को दशमलव बिंदु के बाईं ओर ठीक उतने ही स्थानों से स्थानांतरित किया। इसलिए, 1000Aका पिछला सिरा बिल्कुलAके पिछले सिरे से मेल खाता है। यहां, दोनों 1000AऔरAके सिरे में 162 दोहराव है।
इसलिए, जब हम दोनों पक्षों सेAको घटाते हैं, तो 1000Aका पिछला सिरा A के पिछले सिरे से बाहर रद्द हो जाता है:
फिर
(7155 और 9990 कामहत्तम आम भाजकहै 135). वैकल्पिक रूप से, चूंकि 0.5 = 1/2 है, एक व्यक्ति अंश और हर को 2 से गुणा करके भिन्न को साफ़ कर सकता है:
(1431 और 1998 का महत्तम आम भाजक है 27).
अंतिम पंक्ति, 53/74, पूर्णांकों का एक भागफल है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।
यहां एक प्रसिद्ध शुद्ध अस्तित्व या गैर-रचनात्मक प्रमाणहै:
वहां दो अपरिमेय संख्याएंaऔरbमौजूद हैं, इस प्रकार किaपरिमेय है। वास्तव में, अगर √2परिमेय है, तब मानिये किa=b= √2. अन्यथा, मान लीजिये किaअपरिमेय संख्या √2है औरb= √2. तो फिरa= (√2)= 2= √2=
2 जो परिमेय है।
हालांकि उपर्युक्त दलील दोनों मामलों के बीच निर्णय नहीं करती,गेल्फोंड-श्नाईडर प्रमेयका तात्पर्य है कि √2अबीजीय है, इसलिए अपरिमेय है।
यह ज्ञात नहीं है कि क्याπ+eअथवा π -eअपरिमेय है या नहीं। वास्तव में, वहां गैर-शून्य पूर्णांक m और n का कोई युग्म नहीं है जिसके बारे में यह ज्ञात हो कि क्याmπ +neअपरिमेय है या नहीं। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं है कि सेट (π,e)Qपरबीजगणित के अनुसार स्वतंत्रहै या नहीं।
यह ज्ञात नहीं है कि क्या 2, π, π, कातालान निरंतर, यायुलर-मेश्चेरोनी गामा निरंतरγ अपरिमेय हैं या नहीं।
चूंकि वास्तविक एकअगणनीयसेट का गठन करते हैं, जिनमें से परिमेय एकगणनीयसबसेट होते हैं, अपरिमेय का पूरक सेट
अगणनीय है।
सामान्य (इयूक्लिडियन) सुदूर क्रियाd(x,y) = |x-y|, वास्तविक संख्या एकमीट्रिक स्पेसहै और इसलिए एकसांस्थितिकीय स्पेसभी है। इयूक्लिडियन सुदूर क्रिया को सीमित करने से अपरिमेय को एक मीट्रिक स्पेस की संरचना मिलती है। चूंकि अपरिमेय का उपस्पेस बंद नहीं है,
उत्प्रेरित मीट्रिकपूर्णनहीं है। हालांकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान मेंG-डेल्टा सेटहोते हुए - अर्थात् खुले सबसेट का एक गणनीय प्रतिच्छेदन - अपरिमेय का स्थानसांस्थितिकी रूप से पूर्णहै: अर्थात्, अपरिमेय पर एक मीट्रिक है जो ठीक वैसी ही सांस्थितिकी को उत्प्रेरित करता है जैसा कि इयूक्लिडियन मीट्रिक का प्रतिबंध करता है, लेकिन जिसके संबंध में अपरिमेय पूर्ण हैं। एक व्यक्ति G-डेल्टा सेट के बारे में ऊपर उल्लिखित तथ्य से अनभिज्ञ रहते भी इसे देख सकता है: एक अपरिमेय संख्या कासतत भिन्नविस्तार, अपरिमेय के स्थान से सभी धनात्मक पूर्णांक के स्थान तक एक होमिओमोर्फिज़म को परिभाषित करता है, जिसे आसानी से पूर्ण रूप से मेट्रिक योग्य देखा जाता है।
इसके अलावा, सभी अपरिमेय के सेट, कटे हुए एक मेट्रिक-योग्य स्थान हैं। वास्तव में, अपरिमेय मेंक्लोपेनसेट का आधार होता है इसलिए स्थान शून्य-आयामी होता है।
== इन्हें भी देखें ==√8