Penambahan

Penambahan, sering ditandai dengantanda plus"+", adalah salah satu dari empatoperasiaritmetikadasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompokbilanganatau lebih menjadi suatu bilangan yang disebutjumlah. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "3 + 2 = 5", disebut "3 ditambah2sama dengan5".
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupabilangan, di antaranyabilangan bulat,bilangan real, danbilangan kompleks. Dalam cabang matematika lain yang disebutaljabar, penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya sepertivektordanmatriks.
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifatkomutatif, yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifatasosiatif, yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan0tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasipengurangandanperkalian.
Penjumlahan ditulis menggunakantanda plus"+" di antara suku-suku tersebut;yaitu, dalamnotasi infix. Hasilnya diekspresikan dengantanda sama dengan. Sebagai contoh,
Ada pula situasi di mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:
Jumlah dari sebuahderetdari bilangan terkait dapat diekspresikan melaluinotasi Sigmayang secara kompak menunjukkaniterasi. Sebagai contoh,
Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagaisuku,tinambahataupenjumlahan;terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah.
Dibedakan darifaktor, yaituperkalian.
Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagaiaugend.Faktanya, selamaRenaisans, banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali.Saat ini, karenasifat komutatifpenjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.
Tanda plus"+" (Unicode:U+002B;ASCII:&#43;) adalah singkatan dari kata Latinet, yang berarti "dan".Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.
Penambahan digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik. Bahkan untuk kasus sederhana penambahanbilangan asli, banyak kemungkinan interpretasi dan bahkan lebih banyak lagi representasi visual.
Interpretasi paling mendasar dari penjumlahan terletak pada himpunan gabungan:
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat§ Bilangan aslidi bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
Interpretasi kedua tentang penjumlahan berawal dari panjang awal dengan panjang tertentu:
Jumlaha+bdapat diartikan sebagaioperasi bineryang menggabungkanadanb, dalam arti aljabar, dapat diartikan sebagai penambahanblebih banyak unit kea. Dibawah interpretasi terakhir, bagian dari penjumlahana+bmemainkan peran asimetri, dan operasia+bsebagaioperasi uner+bkea.Alih kedua adendemenadanb, lebih tepat untukadariaugenddalam kasus ini, karenaamemainkan peran pasif. Tampilan uner berguna saat mendiskusikanpengurangan, karena setiap operasi penjumlahan uner memiliki operasi pengurangan uner terbalik, dansebaliknya.
Penambahan bersifatkomutatif, berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jikaxdanyadalah sembarang bilangan, maka
Penambahan bersifatasosiatif, yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh denganurutan operasi. Misalkan untuk pernyataanx+y+z{\displaystyle x+y+z}, jika pernyataan tersebut diartikan sebagai(x+y)+z{\displaystyle (x+y)+z}maupunx+(y+z){\displaystyle x+(y+z)}, hasilnya akan sama.
Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.
Ketika menambahkannoldengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalahelemen identitasdari penambahan. Dalam simbol matematika, untukxapapun,
Hukum ini pertama dikenali dalamBrahmasphutasiddhantadariBrahmaguptapada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakahaadalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. MatematikawanIndiakemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830,Mahaviramenulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary0 +x=x.
Dalam konteks bilangan bulat, penambahansatujuga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulata, bilangan bulat(a+ 1)adalah bilangan bulat terkecil daria, juga dikenal sebagaipenerusdaria.Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilaia+bjuga dapat dilihat sebagai penerus ke-bdaria, membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya,6 + 2adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
Untuk menambahkankuantitas-kuantitas fisikdengansatuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar darianalisis dimensi.
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomenapembiasaan:bayimelihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.Percobaan tersebut dimulai olehKaren Wynnpada tahun 1992 yang melibatkan bonekaMickey Mouseyang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap'1 + 1menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa1 + 1bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.Eksperimen tahun 1992 lainnya denganbalitayang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bolaping-pongdari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutamaprimata. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakanterongsebagai pengganti boneka),monyet rhesusdantamarin berkepala kapasmemiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dariangka Arab0 hingga 4, satusimpansedapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.Baru-baru ini,Gajah Asiatelah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.
Biasanya, anak pertama menguasaimenghitung. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat,lima" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat,lima." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("bilangan ikatan"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu6 + 6 = 12dan kemudian beralasan bahwa6 + 7adalah 13.Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.
Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistemdesimaladalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "simpan" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan27 + 59
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
Pecahan desimaldapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas.Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
Padanotasi ilmiah, bilangan ditulis dalam bentukx=a×10b{\displaystyle x=a\times 10^{b}}, dimanaa{\displaystyle a}adalah signifikan dan10b{\displaystyle 10^{b}}adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Sebagai contoh:
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner.Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
Ini dikenal sebagaisimpan.Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 011012(1310) dan 101112(2310). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan,1 + 1 = 102. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan:1 + 0 + 1 = 102; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga:1 + 1 + 1 = 112. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 1001002(3610).
Komputer analogbekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengantuasperata-rata. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari duaporos, maka ia ditambahkan dengandiferensial. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkantekanandalam dua ruang dengan memanfaatkanhukum kedua Newtonuntuk menyeimbangkan gaya pada rakitanpiston. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog adalah ketika menambahkan duavoltase(direferensikan ketanah); ini dapat dicapai secara kasar denganresistorjaringan, tetapi desain yang lebih baik memanfaatkanpenguat operasional.
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasiankomputer digital, dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanismepenerus, merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
Swipoa, juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis diAsia,Afrika, dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan diSumer.
Blaise Pascalmenemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;ia adalahmesin penambahpertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17dan komputer digital otomatis paling awal.Kalkulator Pascaldibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakankomplemen kalkulator Pascal, yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan.Giovanni Polenimengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.
Penambah binermelakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakanaritmetika biner. Arsitektur paling sederhana adalah penambah dengan simpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain yang bisa melewati simpan; sesuai intuisi manusia, tidak perlu mengitung semua simpan dalam komputasi999 + 1, tetapi bisa melewati sekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.
Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadiluapan aritmetika (overflow), menghasilkan jawaban yang salah. Luapan aritmetika yang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum darikutu program (bugs). Kutu luapan (overflow bug) seperti ini bisa jadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.Masalah tahun 2000adalah serangkaianbugsdi mana kesalahan luapan (overflow) terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.
Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untukbilangan asli. Dalamteori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitubilangan bulat,bilangan rasional, danbilangan real.
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asliadanb. Jika bilangan asli didefinisikan sebagaikardinalitasdarihimpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
Di sini,A∪BadalahgabungandariAdanB. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkanAdanBbertindih dan kemudian mengambilsatuan disjoin, mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dariteorema rekursipadahimpunan terurut parsialN.Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satuauntuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi padabuntuk mendefinisikan fungsi "a+", dan menempelkan operasi uner ini untuk semuaadengan membentuk operasi biner penuh.
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakaninduksi matematika.
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri darinilai absolut(yang merupakan bilangan asli) dantanda(umumnyapositifataunegatif). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut,a–bsama denganc–djika dan hanya jikaa+d=b+c.
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagaikelas ekuivalensidaripasangan terurutbilangan asli di bawahrelasi ekuivalensi
Kelas ekuivalensi dari(a,b)berisi(a–b, 0)jikaa≥b, atau(0,b–a). Jikanadalah bilangan asli, yang menyatakan+nkelas ekuivalen dari(n, 0), dan dengan–nkelas ekuivalen dari(0,n). Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan aslindengan kelas ekivalen+n.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalamgrupkomutatifsemigrupdengansifat pembatalan. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan namagrup Grothendieckuntuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalanhomomorfisme semigrupdari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawahisomorfismeobjek darikategori Abelian, denganjumlah langsungsebagai operasi semigrup.
Penambahanbilangan rasionaldidefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
Sebagai contoh, jumlah34+18=3×8+4×14×8=24+432=2832=78{\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}.
Penambahan pecahan lebih sederhana ketikapenyebutnyasama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya:ac+bc=a+bc{\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}, jadi14+24=1+24=34{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}.
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat.Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihatmedan pecahan.
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagaipotongan Dedekinddari rasional:himpunan tak kosongdari rasional tertutup bawah dan tidak memilikielemen terbesar. Jumlah bilangan riiladanbdidefinisikan elemen demi elemen:
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, olehRichard Dedekindpada tahun 1872.Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dariurutan Cauchydari rasional, liman. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
Definisi ini pertama kali diterbitkan olehGeorg Cantor, juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.
Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan.Artinya:
Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleksAdanB, ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titikXyang diperoleh dengan membangunjajar genjangtiga di antaranya adalahO,AdanB. Secara ekuivalen,Xadalah titik sedemikian rupasegitigadengan simpulO,A,B, danX,B,Aadalahkongruen.
Ada banyakoperasi bineryang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidangaljabar abstrakutamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalamteori himpunandanteori kategori.
Dalamaljabar linear,ruang vektoradalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara duavektordanperkalian skalarsuatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
Operasi penambahan ini penting sekali bagimekanika klasik, di managayaditafsirkan sebagai vektor.
Penjumlahanmatriksdidefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuranm×nAdanB, dilambangkan denganA+B, adalah sebuah matriksm×nyang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:
Contohnya:
Dalamaritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yangkongruendengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif.Struktur aljabardengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalahmonoid komutatifdangrup abelian.
Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahanbilangan urutdanbilangan kardinaldalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli kelintas-hingga. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasisatuan disjoin.
Dalamteori kategori, satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasikoproduk, dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, sepertijumlah langsungdanjumlah irisan, diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalamaritmatika dasar.
Pengurangandianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahanaditif invers. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahanxdan penguranganxadalahfungsi invers.
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.
Perkaliandianggap sebagaipenjumlahan berulang. Jika satu sukuxmuncul dalam jumlahnkali, maka jumlah tersebut adalah hasil kalindanx. Jikanbukanbilangan asli, produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan−1menghasilkaninvers aditifdari suatu bilangan.
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan denganfungsi eksponensial:
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihattabeldarilogaritmadan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian padamistar hitung. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luasgrup Lie, dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalamaljabar Lieyang terkait.
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.Secara umum, operasi perkalian selaludistributifmelebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisigelanggang. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk(1 + 1)(a+b)dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.
Pembagianadalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karenaa/b=a(b), pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan:(a+b) /c=a/c+b/c.Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan;1 / (2 + 2)tidak sama dengan1/2 + 1/2.
Operasi maksimum "maks (a,b)" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatifadanbberbedatingkat besaran, maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potonganderet Taylor. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalamanalisis numerik, pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jikabjauh lebih besar daria, maka perhitungan langsung(a+b)bmengakumulasi nilai yang tidak dapat diterimagalat pembulatan, bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pulaKehilangan signifikans.
Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jikaaataubadalahbilangan kardinaltak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya.Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.
Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:
Untuk alasan ini, dalamgeometri tropismengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalahtak hingga negatif.Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.
Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melaluilogaritma:
yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma.Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstantah, dinamai dengan analogi dengankonstanta Planckdarimekanika kuantum,dan mengambil "batas klasik" sebagaihcenderung nol:
Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yangterdekuantisasi.
Kenaikan, juga dikenal sebagaioperasi penerus, adalah penambahan1ke suatu bilangan.
Penjumlahanmenjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, danjumlah kosong, yaitunol.Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagaideret.
Mencacahhimpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
Integrasiadalah semacam "penjumlahan" padakontinum, atau lebih tepatnya dan secara umum, padamanifold terdiferensiasi. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
Kombinasi linearmenggabungkan perkalian dan penjumlahan; ia adalah jumlah di mana setiap istilah memiliki pengali, biasanyariilataukompleks. Kombinasi linear sangat berguna dalam konteks di mana penambahan langsung akan melanggar beberapa aturan normalisasi, seperticampurandaristrategidalamteori permainanatausuperposisidarikeadaandalammekanika kuantum.
Konvolusidigunakan untuk menambahkan duavariabel acakindependen yang ditentukan olehfungsi distribusi. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.
Templat:Operasi-hiper