Integrazione di contorno

Nell'analisi complessa, l'integrazione di contornoè un metodo per calcolare integrali lungo contorni, ovvero cammini nel piano complesso.Tale metodo, strettamente legato alcalcolo dei residui,può essere anche usato per calcolare integrali lungo la retta reale nei casi in cui le tecniche dell'analisi reale risultano inefficaci.
Tra imetodi di integrazionedi contorno ci sono:
Si può usare un metodo, o una combinazione di questi, per il calcolo degli integrali.
Inanalisi complessauncontornoè un tipo di curva nelpiano complesso. Negli integrali di contorno, i contorni danno una definizione precisa dellecurvesulle quali può essere definito un integrale. Unacurvanel piano complesso è definita come unafunzione continuada unintervallo chiusodella retta reale al piano complesso:z:[a,b]→C{\displaystyle z\colon [a,b]\to \mathbb {C} }.
Nelle sottosezioni successive restringeremo l'insieme delle curve su cui possiamo integrare per includere solamente quelle che possono essere costruite da un numero finito di curve continue che possono avere una direzione. Inoltre, impediremo ai "pezzi" di incrociarsi, e richiediamo che ogni pezzo abbia una derivata continua e finita (non nulla). Questi requisiti equivalgono a richiedere solo curve che possono essere tracciate, ad esempio da una penna, con una sequenza di tratti regolari, ciascuno che finisce all'inizio del successivo, tutto senza sollevare la penna dal foglio.
I contorni sono spesso definiti in termini di curve lisce orientate.Queste forniscono una definizione precisa di "pezzo" di curva liscia, di cui è fatto un contorno.
Unacurva lisciaè una curvaz:[a,b]→C{\displaystyle z\colon [a,b]\to \mathbb {C} }con la derivata continua e non nulla, tale che passi per ogni punto solo una volta (z{\displaystyle z}è iniettiva su(a,b){\displaystyle (a,b)}), con l'eventuale eccezione di quelle curve i cui estremi sono uguali (z(a)=z(b){\displaystyle z(a)=z(b)}). Nel caso in cui gli estremi combaciano la curva è dettachiusa, la funzione deve essere iniettiva in ogni altro punto e la derivata deve essere continua in quel punto (z′(a)=z′(b){\displaystyle z'(a)=z'(b)}). Una curva liscia non chiusa è spesso chiamata arco liscio.
La parametrizzazione di una curva dà un ordinamento dei punti sulla curva:z(x){\displaystyle z(x)}viene prima diz(y){\displaystyle z(y)}sex<y.{\displaystyle x<y.}Questo porta al concetto dicurva liscia orientata, molto utile per considerare curve indipendentemente dalla specifica parametrizzazione. Questo può essere fatto considerando classi di equivalenza di curve lisce con la stessa orientazione. Unacurva liscia orientatapuò quindi essere definita come un insieme ordinato di punti nel piano complesso che è l'immagine di una qualche curva liscia nel suo ordine naturale (a seconda della parametrizzazione). Si noti che non tutti gli ordinamenti dei punti sono i naturali ordinamenti di una curva liscia. Infatti, una curva liscia data ha solo due ordinamenti di questo tipo. Inoltre, una curva chiusa singola può avere ogni punto come estremo, mentre un arco liscio ha solo due scelte per i suoi estremi.
I contorni sono la classe di curve sulla quale definiamo l'integrazione di contorno. Uncontornoè una curva orientata fatta di una successione finita di curve lisce orientate i cui estremi sono sovrapposti in modo da avere una direzione unica. Questo necessita che la successione di curveγ1,…,γn{\textstyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}sia tale che l'ultimo punto diγi{\displaystyle \gamma _{i}}coincida con il punto di inizio diγi+1{\displaystyle \gamma _{i+1}}.
Tutte le curve lisce orientate sono contorni. Anche un singolo punto nel piano complesso è un contorno. Il simbolo+{\displaystyle +}si usa spesso per indicare le curve che si concatenano per formare una nuova curva. Perciò potremmo scrivere un contornoΓ{\displaystyle \Gamma }fatto dan{\displaystyle n}curve nel modo seguente:
L'integrale di contornodi unafunzione complessaf:C→C{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }è una generalizzazione degli integrali di funzioni a valori reali. Perfunzioni continuenelpiano complesso, l'integrale di contorno può essere definito, in analogia con l'integrale di linea, definendo per prima cosa l'integrale lungo una curva liscia orientata in termini di un integrale su un parametro reale. Si può dare una definizione più generale in termini di partizioni del contorno, in analogia con lepartizioni di un intervalloe l'integrale di Riemann. In entrambi i casi l'integrale su un contorno è definito come la somma degli integrali lungo le curve lisce orientate che formano il contorno.
Per definire in questo modo l'integrale di contorno bisogna per prima cosa considerare l'integrale, su una variabile reale, di una funzione a valori complessi. Siaf:R→C{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }una funzione a valori complessi di una variabile realet.{\displaystyle t.}Le parti reale e immaginaria dif{\displaystyle f}sono spesso indicate rispettivamente conu(t){\displaystyle u(t)}ev(t),{\displaystyle v(t),}cosicché
Allora l'integrale della funzione a valori complessif{\displaystyle f}sull'intervallo[a,b]{\displaystyle [a,b]}è dato da
Siaf:C→C{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }unafunzione continuasulla curva liscia direttaγ.{\displaystyle \gamma .}Siaz:R→C{\displaystyle z\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }una qualsiasi parametrizzazione diγ{\displaystyle \gamma }coerente con la sua orientazione. Allora l'integrale lungoγ{\displaystyle \gamma }si indica
ed è dato da
Questa uguaglianza è ben definita, cioè il risultato non dipende dalla parametrizzazione scelta.Nel caso in cui l'integrale reale nel membro a destra non esista, si dice che non esiste neanche l'integrale lungoγ.{\displaystyle \gamma .}
La generalizzazione dell'integrale di Riemanna funzioni di variabile complessa è fatta in completa analogia alla definizione per le funzioni dai reali. La partizione di una curva liscia direttaγ{\displaystyle \gamma }è definita come uninsieme finitoe ordinato di punti diγ.{\displaystyle \gamma .}L'integrale lungo la curva è il limite delle somme finite di valori della funzione, presi ai punti delle partizioni, nel limite in cui la distanza massima di due punti successivi sulla partizione (nel piano complesso) tende a zero.
Calcolare gli integrali con metodi diretti significa calcolarli con metodi simili a quelli usati per gli integrali curvilinei di funzioni a più variabili. Ciò significa che usiamo il seguente metodo.
Un risultato fondamentale dell'analisi complessa è che l'integrale di contorno di1/z{\displaystyle 1/z}è2πi,{\displaystyle 2\pi i,}dove il contorno scelto è il cerchio unitario percorso in senso antiorario (o qualsiasicurva di Jordanorientata positivamente intorno a0{\displaystyle 0}). Nel caso del cerchio unitario c'è un metodo diretto per calcolare l'integrale
Nel calcolare l'integrale, usiamo come contorno il cerchio unitario|z|=1,{\displaystyle |z|=1,}parametrizzato da
Per calcolare gli integrali di contorno vengono spesso applicati teoremi integrali, cioè viene calcolato un integrale reale in concomitanza con l'integrale di contorno.
I teoremi integrali come laformula integrale di Cauchyo ilteorema dei residuisono generalmente usati nel metodo seguente.
Consideriamo l'integrale
Per calcolare questo integrale, diamo un'occhiata alla funzione a valori complessi
che ha singolarità ini{\displaystyle i}e in−i.{\displaystyle -i.}Scegliamo un contorno che racchiuda la funzione nei reali; qui un semicerchio con il diametro sulla retta reale sarà utile. Il raggio èa.{\displaystyle a.}Chiamiamo tale contornoC.{\displaystyle C.}
Ci sono due modi per procedere, con laformula integrale di Cauchyo con il metodo dei residui.
Si noti che:
perciò
Inoltre si osservi che
Dato che l'unica singolarità nel contornoC{\displaystyle C}è quella ini,{\displaystyle i,}possiamo scrivere
che mette la funzione nella forma che permette l'applicazione diretta della formula. Quindi,
Facciamo la derivata prima, nei passaggi qui sopra, perché il polo è di secondo ordine, vale a dire,(z−i){\displaystyle (z-i)}è alla seconda, così deriviamo una volta solaf(z).{\displaystyle f(z).}Se(z−i){\displaystyle (z-i)}fosse al cubo, useremmo la derivata seconda e la divideremmo per2!{\displaystyle 2!}e così via. Il caso di(z−i){\displaystyle (z-i)}non elevato a potenza corrisponde alla funzione non derivata, cioè la stessaf(z).{\displaystyle f(z).}
Dobbiamo far vedere che l'integrale lungo l'arco del semicerchio tende a 0 pera→∞{\displaystyle a\to \infty }, con illemma di stima
doveM{\displaystyle M}è l'estremo superiore di|f(z)|{\displaystyle |f(z)|}lungo l'arco eL{\displaystyle L}è la lunghezza dell'arco. Ora,
Quindi
Consideriamo laserie di Laurentdif(z){\displaystyle f(z)}centrata ini,{\displaystyle i,}l'unica singolarità che dobbiamo tenere in considerazione. Allora abbiamo
Il residuo è−i/4{\displaystyle -i/4}(per vederlo, si immagini che l'equazione qui sopra venga moltiplicata perz−i,{\displaystyle z-i,}ed entrambi i lati integrati con la formula integrale di Cauchy, solo l'integrale del secondo termine verrebbe non nullo), quindi, per ilteorema dei residui, abbiamo
Così otteniamo lo stesso risultato di prima.
Come digressione ci si può chiedere perché non prendiamo il semicerchio per includere l'altra singolarità:−i.{\displaystyle -i.}Per fare in modo che l'integrale lungo l'asse reale si muova nella direzione corretta, il contorno deve essere percorso in senso orario, cioè nella direzione negativa, invertendo così il segno dell'integrale. Ciò non influisce sull'uso del metodo dei residui.
L'integrale
(che viene dallateoria della probabilitàcome multiplo scalare dellafunzione caratteristicadelladistribuzione di Cauchy) "resiste" alle tecniche dell'analisielementare. Lo calcoleremo esprimendolo come limite di integrali di contorno lungo il contornoC{\displaystyle C}che va lungo la retta reale da−a{\displaystyle -a}ada{\displaystyle a}e poi lungo il semicerchio centrato in 0 di raggioa,{\displaystyle a,}percorso in senso antiorario. Siaa>1,{\displaystyle a>1,}cosicché l'unità immaginariai{\displaystyle i}sia racchiusa nel contorno.
L'integrale diventa
Dato cheeitz{\displaystyle e^{itz}}è unafunzione intera(non avente singolarità nel piano complesso), l'integranda ha singolarità solo dove il denominatore è nullo, cioè perz=i{\displaystyle z=i}oz=−i.{\displaystyle z=-i.}Solo uno di questi punti è nella regione limitata dal contorno.
Ilresiduodif(z){\displaystyle f(z)}inz=i{\displaystyle z=i}è
Secondo ilteorema dei residui, si ha
Il contornoC{\displaystyle C}può essere spezzato in una parte dritta e un arco curvo, così
perciò
Si può far vedere che set>0,{\displaystyle t>0,}allora
Quindi set>0,{\displaystyle t>0,}allora
Il ragionamento per l'arco intorno a−i{\displaystyle -i}è simile: set<0,{\displaystyle t<0,}allora
e infine si ha:
Set=0{\displaystyle t=0}l'integrale è risolvibile con metodi di analisi reale e il suo valore èπ.{\displaystyle \pi .}
Per risolvere gli integrali difunzioni trigonometriche, si possono fare delle sostituzioni che trasformano l'integranda in unafunzione razionaledi variabile complessa. Ad esempio consideriamo l'integrale
Facciamo una sostituzione diz=eit{\displaystyle z=e^{it}}. Allora
e
ChiamandoC{\displaystyle C}il cerchio unitario, sostituiamo e otteniamo:
Le singolarità da considerare sono in±i3.{\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}Sia C1un cerchio piccolo intorno ai3,{\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}e C2un cerchio piccolo intorno a−i3.{\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}Allora si arriva a:
Il metodo sopra può essere applicato a tutti gli integrali del tipo
doveP{\displaystyle P}eQ{\displaystyle Q}sono polinomi. Si noti che gli estremi di integrazione possono essereπ{\displaystyle \pi }e−π,{\displaystyle -\pi ,}come nell'esempio precedente, o qualsiasi altra coppia di punti distanti2π{\displaystyle 2\pi }tra loro.
Il trucco è usare la sostituzionez=eit{\displaystyle z=e^{it}}e
La sostituzione manda l'intervallo[0,2π]{\displaystyle [0,2\pi ]}nel cerchio unitario. Inoltre,
così la sostituzione dà una funzione razionalef(z){\displaystyle f(z)}inz,{\displaystyle z,}e l'integrale diventa
che è uguale alla somma dei residui nel cerchio unitario.
L'immagine a destra lo raffigura per
che ora calcoleremo. Il primo passo è riconoscere che
Sostituire dà
Il poli di questa funzione sono in1±2{\displaystyle 1\pm {\sqrt {2}}}e−1±2.{\displaystyle -1\pm {\sqrt {2}}.}Di questi,1+2{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}e−1−2{\displaystyle -1-{\sqrt {2}}}sono fuori dal cerchio unitario (in rosso, non in scala), mentre1−2{\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}e−1+2{\displaystyle -1+{\sqrt {2}}}sono dentro (in blu). I residui corrispondenti sono entrambi uguali a−i2/16,{\displaystyle -i{\sqrt {2}}/16,}quindi l'integrale vale
Consideriamo l'integrale reale
Cominciamo considerando l'integrale complesso
Possiamo usare la formula integrale di Cauchy o il teorema dei residui per ottenere i residui rilevanti. Tuttavia, la cosa importante da notare è chez=e1/2Log⁡z{\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{1/2\operatorname {Log} z}}, e la radice ha untaglio. Questo influisce la nostra scelta del contornoC.{\displaystyle C.}Normalmente il taglio del logaritmo è il semiasse reale negativo, tuttavia, questo rende i calcoli un po' più complicati, quindi scegliamo il semiasse positivo.
Quindi, usiamo il cosiddetto contornoa serratura, che consiste in un cerchio piccolo di raggio ε intorno all'origine, due segmenti antiparalleli tra loro, uno sopra all'asse e uno sotto, e un cerchio grande, come nell'immagine a destra.
Si noti chez=−2{\displaystyle z=-2}ez=−4{\displaystyle z=-4}stanno dentro al cerchio grande. Questi sono i due poli rimanenti, ottenibili fattorizzando il denominatore dell'integranda. Il punto di diramazione inz=0{\displaystyle z=0}è evitato girando intorno all'origine.
Siaγ{\displaystyle \gamma }il cerchio piccolo di raggioε{\displaystyle \varepsilon },Γ{\displaystyle \Gamma }il più grande, con raggioR,{\displaystyle R,}allora
Si può far vedere che gli integrali lungoΓ{\displaystyle \Gamma }eγ{\displaystyle \gamma }tendono entrambi a 0 perε→0{\displaystyle \varepsilon \to 0}eR→∞,{\displaystyle R\to \infty ,}per un ragionamento di stima, che lascia due termini. Ora dato chez=e1/2Log⁡z{\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{1/2\operatorname {Log} z}}, sul contorno fuori dal taglio, l'argomento guadagna2π{\displaystyle 2\pi }lungoγ{\displaystyle \gamma }. (Per l'identità di Eulero,eit{\displaystyle e^{it}}rappresenta il vettore unitario, che haπ{\displaystyle \pi }come suo logaritmo. Questoπ{\displaystyle \pi }è l'argomento diz.{\displaystyle z.}Il coefficiente di 1/2 ci obbliga a usare2π.{\displaystyle 2\pi .}) Allora
Quindi:
Usando il teorema dei residui e la formula integrale di Cauchy (prima impiegando il metodo delle frazioni parziali per ottener la somma di due semplici integrali di contorno) si ha
Questa sezione tratta un tipo di integrale dei quali
è un esempio.
Per calcolare questo integrale, si usa la funzione
e il ramo del logaritmo corrispondente a−π<arg⁡z≤π.{\displaystyle -\pi <\arg z\leq \pi .}
Calcoleremo l'integrale dif(z){\displaystyle f(z)}lungo il contorno a serratura raffigurato a destra. Questo integrale è un multiplo dell'integrale iniziale che vogliamo calcolare e per il teorema dei residui abbiamo
SiaR{\displaystyle R}il raggio del cerchio grande, er{\displaystyle r}il raggio di quello piccolo. Denotiamo la linea superiore conM{\displaystyle M}e quella inferiore conN.{\displaystyle N.}Come prima facciamo il limite perR→∞{\displaystyle R\to \infty }er→0.{\displaystyle r\to 0.}I contributi dei due cerchi sono nulli. Per esempio, si ha il seguente limite superiore con illemma ML:
Per calcolare i contributi diM{\displaystyle M}eN{\displaystyle N}impostiamoz=−x+iε{\displaystyle z=-x+i\varepsilon }suM{\displaystyle M}ez=−x−iε{\displaystyle z=-x-i\varepsilon }suN,{\displaystyle N,}con0<x<∞{\displaystyle 0<x<\infty }:
che viene
Vogliamo valutare
Ciò richiede uno studio attento di
Costruiremof(z){\displaystyle f(z)}in modo tale che abbia un taglio in[0,3],{\displaystyle [0,3],}mostrato in rosso nel grafico. Per farlo, scegliamo due rami del logaritrmo, mettendo
e
Il taglio diz3/4{\displaystyle z^{3/4}}è quindi(−∞,0]{\displaystyle (-\infty ,0]}e il taglio di(3−z)1/4{\displaystyle (3-z)^{1/4}}è(−∞,3].{\displaystyle (-\infty ,3].}È facile vedere che il taglio del prodotto, cioèf(z),{\displaystyle f(z),}è[0,3],{\displaystyle [0,3],}perchéf(z){\displaystyle f(z)}di fatto è continua in(−∞,0).{\displaystyle (-\infty ,0).}Questo perché quandoz=−r<0{\displaystyle z=-r<0}e ci avviciniamo al taglio da sopra,f(z){\displaystyle f(z)}ha il valore
Quando ci avviciniamo da sotto,f(z){\displaystyle f(z)}ha il valore
Ma
così abbiamo continuità attraverso il taglio. Questo è raffigurato nel grafico, dove i cerchi neri orientati sono indicati con il corrispondente valore di argomento del logaritmo usato inz3/4{\displaystyle z^{3/4}}e(3−z)1/4.{\displaystyle (3-z)^{1/4}.}
Useremo il contorno mostrato in verde. Per fare questo, dobbiamo calcolare il valore dif(z){\displaystyle f(z)}lungo i segmenti poco sopra e poco sotto il taglio.
Siaz=r{\displaystyle z=r}(nel limite, cioè per il raggio dei due cerchi verdi si riduce a zero), dove0≤r≤3.{\displaystyle 0\leq r\leq 3.}Lungo il segmento superiore, troviamo chef(z){\displaystyle f(z)}ha il valore
e lungo il segmento inferiore,
Segue che l'integrale dif(z)/5−z{\displaystyle f(z)/5-z}lungo il segmento superiore è−iI{\displaystyle -iI}nel limite, e lungo il segmento inferiore,I.{\displaystyle I.}
Se possiamo far vedere che gli integrali lungo i due cerchi verdi svaniscono nel limite, allora possiamo avere il valore diI,{\displaystyle I,}per ilteorema dei residui. Sia il raggio dei cerchi verdiρ,{\displaystyle \rho ,}doveρ<0,001{\displaystyle \rho <0,001}eρ→0,{\displaystyle \rho \to 0,}e applichiamo illemma ML. Per il cerchioCL{\displaystyle C_{\mathrm {L} }}sulla sinistra, troviamo
Similmente, per il cerchioCR{\displaystyle C_{\mathrm {R} }}sulla destra, abbiamo
Ora, usando ilteorema dei residui, abbiamo
dove il segno meno è dato dalla direzione in senso orario intorno ai residui. Usando il ramo del logaritmo come prima, chiaramente
Il polo è in blu nel grafico. Il valore si semplifica a
Usiamo la formula seguente per il residuo all'infinito:
Sostituendo, troviamo
e
dove abbiamo usato il fatto cheeπi=−1{\displaystyle e^{\pi i}=-1}per il secondo ramo del logaritmo. Dopo applichiamo lo sviluppo binomiale, ottenendo
Concludendo, si ha
Infine, il valore diI{\displaystyle I}è
Unarappresentazione integraledi una funzione significa esprimere la funzione in termini di un integrale di contorno. Sono note varie rappresentazioni integrali per moltefunzioni speciali. Le rappresentazioni integrali possono essere importanti per ragioni teoriche, ad esempio per dareprolungamento analiticooequazioni funzionali, o talvolta per farecalcoli numerici.
Ad esempio, la definizione originale dellafunzione zeta di Riemannζ(s){\displaystyle \zeta (s)}tramiteserie di Dirichlet,
vale solo perRe(s)>1,{\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1,}ma
dove l'integrale è fatto lungo il contorno di Hankel, è valida per tutti i complessis{\displaystyle s}diversi da 1.