Тогда и только тогда

«Тогда́ и то́лько тогда́» —логическая связкаэквиваленциимежду утверждениями, применяемая влогике,математике,философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию(«только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.
В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие:Qнеобходимо и достаточнодля Р;Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q;Р точно, если Q;P точно, когда Q;P точно в случае Q;P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Таблица истинностидляp ↔ qимеет следующий вид:
Заметим, что эквивалентное преобразование производитстандартная ячейкаXNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.
Для обозначения в формулах логической связки «тогда и только тогда» используются логические символы ↔, ⇔ и ≡. Ванглийскихтекстах иногда для обозначения связки используется «iff» (аббревиатура от «if and only if»), а врусскоязычныхтекстах по аналогии изредка используется аббревиатура «ттт», или «в томмслучае», или «согда». Обычно все эти символы трактуются как эквивалентные. Однако некоторые текстыматематической логики(особенно пологике первого порядкаи в меньшей степени пологике высказываний) делают различие между ними, причём, первый знак ↔ используется как символ в логических формулах, тогда как знак ⇔ используется в рассуждениях по поводу этих формул (например, вметалогике). В нотацииЛукасевичав качестве префикса используется символ «E». Отрицанием данной связки является «исключающее или».
В большинствелогических системдоказываетсяутверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (илиобратное«если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательстводизъюнкции«(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.
Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если даноP→Q(или еслиP, тоQ), тоPбудет достаточным условием дляQ, аQбудет необходимым условием дляP. Кроме того, если даноP→Q, то истинно также¬Q→¬P(где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь междуPиQ, установленная операторомP→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:
Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждаетсяP→Q, гдеP— это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», аQ— это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь», то следующие четыре способа выражения отношений будут эквивалентны:
Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в видеесли … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с заварным кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть,Иесли Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».