การบวก

การบวก(มักแทนด้วยเครื่องหมายบวก "+") คือหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิตมูลฐานนอกจากการบวกยังมีการลบการคูณและการหารการบวกจำนวนสองจำนวนคือผลรวมของปริมาณสองปริมาณรวมกัน ตัวอย่างเช่น ในภาพด้านขวาเป็นการรวมแอปเปิล 3 ผลกับแอปเปิล 2 ผลเข้าด้วยกัน หลายเป็นแอปเปิล 5 ผล ดังนั้นจึงเหมือนกับว่ามีแอปเปิล 5 ผล การกระทำเช่นนี้เทียบเท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า "3 + 2 = 5" หมายความว่า "3 บวก 2 เท่ากับ 5" เป็นต้น
นอกจากการนับผลไม้แล้ว การบวกสามารถใช้แทนการรวมวัตถุอื่น ๆ การบวกสามารถนิยามด้วยสมบัติที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่นจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนและวัตถุนามธรรมอื่น ๆ เช่นเวกเตอร์และเมทริกซ์ฯลฯ
ในเลขคณิตมีกฎของการบวกที่เกี่ยวกับ และจำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ ถูกคิดค้นขึ้นใหม่ ในทางพีชคณิต การศึกษาการบวกนั้นเป็นไปในเชิงนามธรรมมากขึ้น
การบวกมีสมบัติที่สำคัญหลายประการ การบวกมี หมายความว่าลำดับไม่สำคัญ และมี หมายความว่าเมื่อจำนวนหนึ่งบวกกับจำนวนมากกว่าสองจำนวน ลำดับในการบวกก่อนหลังนั้นไม่สำคัญ (ดูผลรวม) การบวก 1 ซ้ำ ๆ มีความหมายเหมือนการนับ การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง การบวกยังสามารถคล้อยตามกฎที่ทำนายได้ของการดำเนินการอื่น ๆ ได้แก่ การลบ และการคูณ
การบวกจำนวนน้อย ๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่วัยเด็กหัดเดิน เด็กทารกอายุห้าเดือน และแม้กระทั่งสัตว์บางชนิดก็สามารถคำนวณงานพื้นฐานที่สุดอย่าง 1 + 1 ได้ ในระดับประถมศึกษานักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบโดยเริ่มต้นจากเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาที่ยากขึ้น เครื่องมือช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งยังมีงานวิจัยเรื่องวิธีการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเรื่อยมาถึงทุกวันนี้
ปกติการบวกเขียนแทนด้วยเครื่องหมายบวก(+) ใส่ไว้ระหว่างพจน์แบบสัญกรณ์เติมกลางผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ(=) ตัวอย่างเช่น
แต่ก็มีบางสถานการณ์ที่สามารถทำให้เข้าใจได้ว่าเป็นการบวก แม้จะไม่มีเครื่องหมายบวกอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น
จำนวนหรือวัตถุที่จะบวกเข้าด้วยกันโดยทั่วไปเรียกว่าพจน์(term)ตัวบวก(addend) หรือส่วนของผลบวก(summand) ซึ่งศัพท์คำสุดท้ายนี้นำไปใช้อธิบายผลรวมของพจน์ที่เป็นพหุคูณ ผู้แต่งตำราบางท่านเรียกตัวบวกจำนวนแรกว่าตัวตั้งบวก(augend) เนื่องจากข้อเท็จจริงในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาผู้แต่งตำราหลายท่านไม่นับว่าจำนวนแรกในการบวกเป็น "ตัวบวก" แต่ในทุกวันนี้คำว่า "ตัวตั้งบวก" มีการใช้น้อย และทั้งสองคำก็หมายถึงตัวบวกได้เหมือนกัน
การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพ
การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ
การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ
หนทางหนึ่งที่เป็นไปได้ คือการพิจารณาว่ากลุ่มของวัตถุเหล่านั้นสามารถตัดแบ่งได้โดยง่าย เหมือนกับขนมพายหรือท่อนไม้มากกว่าเพียงแค่การรวมกลุ่มของวัตถุเข้าด้วยกัน เราสามารถนำปลายของท่อนไม้มาต่อกัน เพื่อแสดงอีกแนวความคิดหนึ่งของการบวก นั่นคือการบวกไม่ได้นับที่จำนวนท่อนไม้ แต่หมายถึงความยาวรวมของท่อนไม้
การแปลความหมายอย่างที่สองของการบวก มาจากการต่อความยาวขนาดเริ่มต้น ด้วยความยาวอีกขนาดหนึ่ง นั่นคือ
ผลบวกของa+bสามารถแปลผลได้ในฐานะของการดำเนินการทวิภาค(ในความคิดทางพีชคณิต) ว่าเป็นการประสานกันระหว่างaกับbหรือหมายถึงการเพิ่มจากaไปเป็นจำนวนbสำหรับภายใต้การแปลความหมายอย่างหลัง ส่วนต่างๆ ของผลบวกa+bจึงมีบทบาทโดยไม่สมมาตร อาจมองได้ว่าเป็นการดำเนินการเอกภาค"+b" บนaและกรณีเช่นนี้จะถือว่าaเป็นตัวตั้งบวก แทนที่จะเป็นตัวบวกทั้งคู่ การมองให้เป็นการดำเนินการเอกภาคมีประโยชน์สำหรับอธิบายการลบเพราะว่าการบวกแบบเอกภาคเป็นตัวผกผัน (inverse) ของการลบแบบเอกภาค และในทางกลับกันด้วย887
การบวกมีสมบัติการสลับที่หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้aและbเป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว
ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น "กฎการสลับที่ของการบวก" วลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่น ๆ อีก ตัวอย่างเช่น กฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบ และการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดเมื่อกล่าวถึงกฎการสลับที่โดยไม่ระบุให้ชัดเจน
การบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่หมายความว่าเมื่อบวกจำนวนสามจำนวนขึ้นไป ลำดับของการดำเนินการจะไม่สำคัญ
ตัวอย่างเช่น ควรนิยามนิพจน์ a + b + c ว่าหมายถึง (a+b) +cหรือa+ (b+c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับจำนวนสามจำนวนใด ๆa,b,cเป็นจริงว่า (a+b) +c=a+ (b+c) ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)
เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่น ๆลำดับของการดำเนินการจะเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับลำดับมาตรฐานของการดำเนินการ การบวกจะสำคัญน้อยกว่าการยกกำลังรากที่ nการคูณ และการหาร แต่สำคัญเท่ากับการลบ
เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ๆ ปริมาณที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวกสำหรับค่าaใดๆ จะได้ว่า
กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำราพรัหมสผุฏะ สิทธานตะ(Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ(Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ ขึ้นอยู่กับaว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์ในเวลาต่อมามหวิระนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า "ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 +a=aในคริสต์ศตวรรษที่ 12ภาสกระที่ 2ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า "ในการบวกด้วยตัวศูนย์ หรือการลบ ปริมาณทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบจะคงค่าเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาคa+ 0 =a
เมื่อกล่าวถึงจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งยังมีบทบาทพิเศษ กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็มaใด ๆ แล้ว จำนวนเต็ม (a+ 1) เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a เรียกว่าเป็นตัวตามหลังของaตัวอย่างเช่น 3 เป็นตัวตามหลังของ 2 และ 7 คือตัวตามหลังของ 6 เนื่องด้วยตัวตามหลังนี้ ค่าของa+bใด ๆ สามารถมองว่าเป็นตัวตามหลังลำดับที่ b ของaทำให้การบวกกลายเป็นการตามหลังแบบวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น 6 + 2 คือ 8 เพราะ 8 เป็นตัวตามหลังของ 7 ซึ่งก็เป็นตัวตามหลังของ 6 อีกทีหนึ่ง ทำให้ 8 เป็นตัวตามหลังลำดับที่ 2 ของ 6
ในการบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยวัดกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต หากถูกขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาดังกล่าวนี้เป็นรากฐานของการวิเคราะห์เชิงมิติ(dimensional analysis)
ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลบวกไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การคูณ) เช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน1+2⋅⋯⋅99+100{\displaystyle 1+2\cdot \cdots \cdot 99+100}
นอกจากนี้แล้ว ผลบวกหรือผลรวมยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลรวม ซึ่งมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า
ตัวอย่างเช่น
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (iไปถึงq) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น
บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น
หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น
คือผลรวมของf(k) บนทุกจำนวนเต็มkที่อยู่ในช่วงดังกล่าว
คือผลรวมของf(x) บนทุกสมาชิกxในเซตSและ
คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็มdที่หารnได้ลงตัว เป็นต้น
นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น