Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего(лат.tertium non datur, то есть «третьего не дано») — законклассической логики, который формулируется следующим образом: два противоречащих суждения не могут быть оба ложными, одно из них будет истинно:аесть либоb, либоне b. Истинно либо утверждение некоторого факта, либо его отрицание. Третьего не дано.
В отличие отзакона противоречия, который действует по отношению ко всем несовместимым друг с другом суждениям, закон исключенного третьего действует только в отношении противоречащих (контрадикторных) суждений.
С «интуиционистской» (и, в частности, «конструктивистской») точки зрения установление истинности высказывания вида «Аилине А» означает:
Поскольку, вообще говоря, не существует общего метода, позволяющего для любого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключённого третьего не должен применяться в рамках интуиционистского и конструктивного направлений в математике какаксиома.
Вматематической логикезакон исключённого третьего выражается тождественно истинной формулой:
A∨¬A,{\displaystyle A\vee \neg A,}
где:
Подобный смысл имеют другиелогические законы, многие из которых сложились исторически.
В частности,закон двойного отрицания¬(¬A)→A{\displaystyle \neg (\neg A)\rightarrow A}изакон Пирса((P→Q)→P)→P{\displaystyle ((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P}эквивалентны закону исключённого третьего винтуиционистской логике.
Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит кклассической логике. И всё же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны.
"Из двух противоречащих друг другу утверждений об отношении двух понятий одно утверждение – и только одно – необходимо должно быть истинным, так что невозможно никакое третье истинное утверждение... Так как, по закону противоречия, два противоречащих друг другу утверждения не могут быть оба сразу истинными, то истинность одного из таких утверждений означает ложность другого и – наоборот... Закон исключённого третьего говорит, кроме того, что истина лежит только в пределах этих двух утверждений. Кроме этих двух утверждений невозможно никакое третье об отношении между теми же понятиями, которое было бы истинным. В случае противоречащих суждений рассуждать приходится по схеме: «или – или. Третье не дано» (tertium non datur).""...Закон... не имеет силы по отношению к контрарной противоположности. Здесь остаётся возможным, что истина не заключается ни в одном из двух противоположных высказываний, но заключается в каком-то третьем утверждении."Предположим, чтоPпредставляет собой утверждение«Сократсмертен». Тогда закон исключённого третьего дляPпримет вид:«Сократ смертен или Сократ бессмертен», — откуда ясно, что закон отсекает все иные варианты, при которых Сократ и не смертен, и не бессмертен. Последнее — это и есть то самое «третье», которое исключается.
Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказатьтеорему, что существуютиррациональные числаa{\displaystyle a}иb{\displaystyle b}такие, чтоab{\displaystyle a^{b}}рационально.
Известно, что2{\displaystyle {\sqrt {2}}}иррациональное число (доказательство). Рассмотрим число:
22{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}.
Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально. Если данное число рационально, то теорема доказана. Искомые числа:
a=2{\displaystyle a={\sqrt {2}}}иb=2{\displaystyle b={\sqrt {2}}}
Но если число22{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}является иррациональным, тогда пустьa=22{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}иb=2{\displaystyle b={\sqrt {2}}}. Следовательно,
то естьab{\displaystyle a^{b}}—рациональное число.
По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.