Teorema della pizza

Ilteorema della pizzaè unteoremadigeometriaelementare che dimostra l'uguaglianza di due aree ottenutepartizionandoopportunamente uncerchio. Il nome del teorema deriva dal fatto che la costruzione imita il modo di tagliare lapizza.
Sianopun punto interno al disco enun intero multiplo di quattro e maggiore o uguale ad otto. Si partiziona il disco innsettori equiangolari, costruiti tracciando una retta perpe ruotandolan/2 − 1 volte intorno apdi un angolo pari a 2π/n. Se si numerano progressivamente in senso orario o antiorario, allora la somma delle aree dei settori associati ad unnumero pariè uguale alla somma delle aree dei settori associati ad un numero dispari.
Come conseguenza immediata, se due persone tagliano una pizza in 4m+ 4 settori equiangolari (conmqualsiasinaturalediverso da zero), centrati in un punto qualsiasi, e si alternano prendendo una fetta a testa, percorrendo la pizza in senso orario o antiorario, entrambi ne mangeranno la stessa quantità.
Il problema da cui nasce il teorema è stato proposto da L.J. Upton nel maggio 1968, pubblicato suMathematical Magazine,e si limitava a considerare otto settori con angoli di 45°. Il testo originale era:
La soluzione pubblicata nella rivista, sottoposta da Michael Goldberg (Washington, D.C.),è basata sulla manipolazione algebrica delle espressioni che esprimono le aree dei settori circolari. Oltre a rispondere al quesito del problema (ovvero mostrare che la suddivisione in otto settori è equa), Goldberg evidenzia che la soluzione si generalizza al caso in cui si suddivida il disco, in maniera analoga, in 4n+ 4 settori equiangolari, permettendo di dividerlo equamente inninsiemi equiestesi di settori(la formulazione generale del teorema annunciata in precedenza è una conseguenza immediata di questo risultato).
Una più elegantedimostrazione senza paroleper il problema ad otto settori è stata elaborata da Larry Carter e Stan Wagon, mostrando che per ogni divisione fatta secondo le ipotesi del teorema esiste una opportunapartizionedei settori in modo che ogni blocco contenuto in un settore pari siacongruentead un corrispondente blocco contenuto in un settore dispari.Greg Frederickson ha formulato una famiglia di dimostrazioni di questo tipo che copre tutti i casi possibili del teorema nella formulazione generale.
La condizione che il numero di settori sia multiplo di quattro e maggiore di quattro è necessaria: si mostra facilmente che se il numero di settori è pari a quattro il teorema non è vero in generale. Con una elegante dimostrazione che sfrutta latrascendenzadiπ,Don Coppersmithmostra la non validità del teorema se il numero di settori non è divisibile per quattro, senza però esplicare quale dei due insiemi sia più esteso.Rick Mabry e Paul Deiermann hanno risolto tale problema correlato, posto suMathematical Magazine,elaborando una versione più precisa del teorema, che indica quali delle due aree sia maggiore dell'altra nel caso non sussista l'uguaglianza:
Nella stessa pubblicazione osservano anche che, se si definisce la crosta come il perimetro del disco oppure come unacorona circolarecompresa tra il perimetro ed una secondacirconferenzaconcentrica e di raggio minore, quando la pizza è divisa in parti uguali lo è anche la crosta. Essendo infatti equamente divise fra i due insiemi di fette le aree sia del disco maggiore sia di quello minore, lo sarà anche la loro differenza, che è appunto la crosta. Se invece la pizza è divisa in parti diverse, chi riceve più pizza riceve anche meno crosta.
Se la pizza è divisa in parti uguali lo sono anche i condimenti, se essi sono distribuiti su un disco (non necessariamente concentrico alla pizza) contenente il puntopnel quale è centrata la divisione dei settori. Inoltre, se un disco è equamente diviso secondo le condizioni del teorema (in un numerondi settori equiangolari connmultiplo di quattro e maggiore o uguale a otto) allora i settori possono essere raggruppati anche inn/4 insiemi equiestesi. Quindi, ad esempio, una pizza tagliata in dodici fette che rispettino le ipotesi del teorema potrà essere suddivisa equamente fra tre commensali, una divisa in venti fette tra cinque.
Dal punto di vista dellateoria dei giochisi può studiare lastrategiadi scelta delle fette in maniera tale da ottenere la maggiore quantità di pizza. A questo scopo, in una versione del problema la pizza è affettata radialmente (senza l'ipotesi dei settori equiangolari) e due commensali si alternano nel prendere una fetta a testa, purché sia adiacente ad una fetta già presa. Se i due commensali scelgono le fette in maniera da tentare entrambi di massimizzare la propria quantità di pizza presa, chi prende la prima fetta può assicurarsi i 4/9 della pizza, ed esiste una divisione della stessa tale che egli non possa prenderne di più. Un problema correlato più generale è quello dell'equa suddivisione (o del "taglio della torta"), che consideragiochisimili nei quali più giocatori possono avere varie regole per misurare le porzioni prese (ad esempio, un commensale può preferire massimizzare la quantità di peperoni, mentre un altro può cercare di prendere più formaggio possibile).
Altri risultati matematici correlati al taglio della pizza coinvolgono lasuccessionedeinumeri poligonali centrali, che conta il numero di pezzi ottenuti tagliando la pizza lungo linee che non passano tutte per lo stesso punto (per le sue applicazioni al taglio dei cibi, tale successione è anche dettadell'organizzatore di banchetti pigro).Ilteorema di Stone-Tukey(noto come teorema del panino al prosciutto) dimostra che pernoggetti qualsiasi in uno spazion-dimensionale esiste un opportunoiperpiano(n−1)-dimensionale che li biseca simultaneamente:la sua applicazione al caso bidimensionale mostra che esiste sempre una retta che divide in due parti uguali due pizze oppure esiste un taglio rettilineo che divide in parti uguali sia una pizza che la sua crosta.
La dimostrazione che segue ricalca quella formulata da Goldberg e pubblicata come soluzione suMathematical Magazine.SiaP{\displaystyle P}il centro della circonferenza di raggior{\displaystyle r}e sianoAC{\displaystyle AC}eBD{\displaystyle BD}duecordefra loro perpendicolari passanti entrambe per un puntoO{\displaystyle O}interno al cerchio. Siaa{\displaystyle a}la distanza traP{\displaystyle P}eO{\displaystyle O}eϑ{\displaystyle \vartheta }l'angolo compreso traBD{\displaystyle BD}eOP{\displaystyle OP}. Si dimostra algebricamente che la somma delle lunghezze al quadrato diAO{\displaystyle AO},BO{\displaystyle BO},CO{\displaystyle CO}eDO{\displaystyle DO}non dipende dalla scelta diA{\displaystyle A}eϑ{\displaystyle \vartheta }. Dallatrigonometriaelementare si ha:
Analogamente:
Procedendo analogamente per la cordaBD{\displaystyle BD}e sommando si ha:
Per cui la somma non dipende daϑ{\displaystyle \vartheta }. L'areadS{\displaystyle \mathrm {d} S}spazzata dai quattro segmenti per una rotazionedφ{\displaystyle \mathrm {d} \varphi }intorno adO{\displaystyle O}sarà quindi:
e poiché la somma dei quadrati non dipende daφ{\displaystyle \varphi }si ha:
Ponendoφ=π4{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}tale area equivale alla somma delle aree dei quattro settori pari (o dispari) considerati nel quesito ed è uguale aπr22{\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{2}}}, ovvero metà dell'area del cerchio, per cui sarà uguale all'area restante, che equivale alla somma delle aree degli altri quattro settori.
La dimostrazione si generalizza partendo con2n{\displaystyle 2n}corde equidistanti e ruotandole ponendoφ=π2n{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2n}}}. In questo modo, per ognip=1,...,n{\displaystyle p=1,...,n}la somma delle aree dei settori in posizione{p,p+n,p+2n,...}{\displaystyle \{p,p+n,p+2n,...\}}equivale aπr2n{\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{n}}}e il disco viene diviso inn{\displaystyle n}parti uguali.