Groupe fondamental

Enmathématiques, et plus spécifiquement entopologie algébrique, legroupe fondamental, ougroupe de Poincaré, est uninvarianttopologique. Le groupe fondamental d'unespace topologiquepointé(X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopiedelacets(cheminsfermés) deXde based. C'est ungroupedont laloi de composition interneest induite par laconcaténation(juxtaposition) des arcs.
L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent êtrehoméomorphes(c'est-à-dire topologiquement équivalents). Le groupe fondamental permet de classifier lesrevêtementsd'un espaceconnexe par arcs, à unisomorphismeprès.
Une généralisation des groupes fondamentaux est la suite desgroupes d'homotopiesupérieurs. Pour cette raison, le groupe fondamental est aussi appelépremier groupe d'homotopie.
Le groupe fondamental fut introduit parHenri Poincarédans la douzième section de son articleAnalysis Situs, paru en 1895 et annoncé dans une note auxComptes rendus de l'Académie des sciences, parue en 1892.
Tout d'abord, familiarisons-nous avec l'idée du groupe fondamental à travers l'exemple dutorebidimensionnel (qu'on peut se représenter comme étant la surface d'undonutou d'une bouée). On fixe sur le tore un point de départp.
À partir de ce point, on peut construire deslacets,i.edes courbes fermées, qui partent du pointp, « se promènent » sur le tore et qui reviennent au point de départ. Imaginons que les lacets soient faits à partir decaoutchouccomme unélastiqueet qu'il soit ainsi possible de les étirer, les déformer de telle manière que le point de départ et le point d'arrivée soient toujourspet que les lacets se déplacent toujours sur le tore. Une telle déformation s'appelle unehomotopie: on dit que deux lacets qui peuvent s'obtenir l'un à partir de l'autre par une homotopie sont homotopiquement équivalents. Ce sont les lacets à déformation près qui nous intéressent : on regroupe donc les lacets dans des classes d'homotopie. Le groupe fondamental du tore est l'ensemble des différentes classes d'homotopie des lacets.
Dans la figure ci-contre, les lacetsaetbne sont pas homotopiquement équivalents : on ne peut obtenir l'un en déformant continûment le second sans le « déchirer » à un moment, ils représentent deux éléments distincts du groupe fondamental. On obtient d'autres classes d'homotopie en faisant tourner les lacets plusieurs fois autour du trou.
Comme son nom l'indique, le groupe fondamental n'est pas un simple ensemble, il est muni d'une structure degroupe: laloi de composition interneest celle qui à deux lacets associe un troisième lacet obtenu en parcourant le premier puis le second (il n'y a pas de problèmes de définition puisque les lacets commencent et terminent avec le même pointp). L'élément neutre du groupe fondamental est la classe d'homotopie du lacet qui reste au pointp. On obtient un élément inverse en parcourant les lacets d'une classe d'homotopie dans le sens contraire.
SoitXun espace topologique. Un arc continu est une application continueγ: [0 1] →X.
Soitpun point fixé dansX. Unlacetbasé enpest un arc continu vérifiant de plusγ(0) =γ(1) =p. Il peut s'interpréter comme une application continue ducercle unitéSdansXqui envoie 1 surp.
Deux lacetsγ0etγ1sont ditshomotopess'il existe une homotopie de l'un vers l'autre, c'est-à-dire une application continueH: [0 1]→Xtelle que :
La dernière condition exprime que pourxfixé entre 0 et 1,t↦H(t,x) est un lacet basé enp.
Autrement dit, deux lacets sont ditshomotopessi l'on peut passer continument de l'un à l'autre, à l'image de la figure de droite (le pointpest situé en A sur la figure).
Le fait d'être homotopes est unerelation d'équivalenceentre lacets (basés enp). On notera [γ] la classe d'équivalence d'un lacetγ(aussi appelée classe d'homotopie).
L'ensembleπ1(X,p) de ces classes d'équivalences s'identifie à l'ensemble descomposantes connexes par arcsde l'espace des lacetsbasés enpdeX(muni de latopologie compacte-ouverte), noté Ω(X,p), et la structure de groupe dont on va le munir ci-dessous provient en fait de la structure deH-groupede Ω(X,p):
On souhaite donner une structure de groupe à cet ensembleπ1(X,p). Sifetgsont deux lacets de X (basés enp), leurjuxtapositionoucompositionest le lacethappelé lacetcomposédefet degou lacetproduitfg, défini par :
h(t)={f(2t),sit∈[0,1/2]g(2t−1),sit∈[1/2,1]{\displaystyle h(t)=\left\{{\begin{matrix}f(2t),&{\mbox{si }}t\in [0,1/2]\\g(2t-1),&{\mbox{si }}t\in [1/2,1]\end{matrix}}\right.}
Intuitivement, c'est le lacet qui parcourtfpuisg(chacun deux fois plus rapidement, pour arriver à parcourir le lacet en un temps unité). On noterafgle composé defet deg. On peut prouver que la classe d'homotopie [fg] ne dépend que de la classe d'homotopie def, et de celle deg. Ainsi, on peut définir une loi de composition interne sur l'ensembleπ1(X,p) des classes d'homotopie des lacets basés enpdeX, par [f][g] = [fg], encore appeléejuxtaposition.
On peut alors prouver que l'on obtient une structure de groupe sur l'ensembleπ1(X,p) :
Le groupe ainsi obtenu est appelégroupe fondamentalougroupe de Poincaréoupremier groupe d'homotopiedeXbasé enp, et est notéπ1(X,p).
SiXest ungroupe topologique(ou plus généralement unH-espace) d'élément neutrep, le groupeπ1(X,p) estabélienet le lacet composéfgest homotope au lacet produitt↦f(t)g(t).
Examinons le cas particulier où l'espace topologiqueXestconnexe par arcs. Deux groupes fondamentaux basés en deux pointspetq(π1(X,p) etπ1(X,q)) sont isomorphes. En effet, il existe un cheminγallant depàq. On peut donc définir l'application suivante
qui réalise visiblement unisomorphismedu groupe fondamentalπ1(X,q) vers le groupe fondamentalπ1(X,p) dont l'isomorphisme réciproque est l'application :
Ainsi, siXest connexe par arcs, parabus de langage, on parle dugroupe fondamental(à un isomorphisme non unique près) de l'espace topologiqueX, sans préciser le point base, que l'on noteπ1(X) =π1(X,p). Cependant, l'isomorphisme entre les groupesπ1(X,p) etπ1(X,q) n'est pas unique et dépend du choix d'un chemin entrepetq. Ainsi on doit se souvenir que le groupe fondamentalvarielorsque le point basevariedans l'espaceX, les groupes restant toujours isomorphes.
SiXn'est pas connexe par arcs, les groupes fondamentaux de deux composantes connexes, sont différents. Par abus de langage, on parle néanmoins du groupe fondamental d'une composante connexe par arcs, sans préciser le point base, mais on doit se souvenir que le groupe fondamentalvarielorsque le point basevariedans la composante connexe par arcs, les groupes restant toujours isomorphes.
Un espace connexe par arcs de groupe fondamentaltrivialest ditsimplement connexe.
Par exemple toutespace contractile(c'est-à-dire qui serétracte par déformationsur un point) en particulier toutconvexedeℝ, est simplement connexe. LasphèreSpourn≥ 2 est aussi simplement connexe.
Le terme de cercle désigne ici un espace homéomorphe à uncercleduplan euclidien, comme legroupe topologiquequotientℝ/ℤ ou comme lecercle unitéSdesnombres complexesde module 1.
(C'est un cas particulier desgroupes d'homotopie des sphères:πn(S) = ℤ.)
On considère iciπ1(S, 1), c'est-à-dire que le point de base est 1. On définit unmorphisme de groupesμ de ℤ dansπ1(S, 1) qui, à chaque entierm, associe la classe d'un lacetemqui fait |m| tours, dans le sens trigonométrique simest positif, et dans le sens inverse sinon :em:[0,1]→S1em(t)=exp⁡(2iπmt).{\displaystyle e_{m}:[0,1]\rightarrow S^{1}\quad e_{m}(t)=\exp(2\mathrm {i} \pi mt).}C'est bien un morphisme car le lacet composéemenest homotope au lacet produit, égal àem+n.
Pour établir qu'il estbijectif, il faut montrer que le « nombre de tours » estbien définipour tout lacet et ne dépend que de sa classe d'homotopie, et que tout lacet qui faitmtours est homotope àem.
La non-trivialité du groupe fondamental du cercle est à l'origine de plusieurs démonstrations de théorèmes non triviaux. Un exemple est celui deBorsuk-Ulamqui indique qu'une application continue de la sphère dans le plan possède toujours deux points antipodaux ayant même image. Ce résultat est la clé de la démonstration duthéorème du sandwich au jambonqui indique qu'il existe toujours un plan qui divise en deux parties de volumes égaux trois solides bornés et mesurables.
Si (Xi) est unefamilled'espaces connexes par arcs, l'espace produitX= ∏Xiest aussi connexe par arcs donc son groupe fondamental estindépendant du point basechoisi dansX. De plus :
Le groupe fondamental de l'espace produit∏Xiest leproduit directdes groupes fondamentaux des Xi.
Cela résulte immédiatement de lapropriété universelledu produit : la donnée d'une application continue deYdans ∏Xiéquivaut à celle d'une famille d'applications continues deYdans chaqueXi, pour tout espaceY, en particulier pourSetS× [0, 1].
Par exemple, le groupe fondamental dun-toreT= (S)est isomorphe augroupe abélien libreℤ.
Une question naturelle est celle de la compatibilité du groupe fondamental vis-à-vis d'une application continuef. SoientXetYdeux espaces topologiques tels queXsoit connexe par arc etfune application continue deXdansY. La fonctionfassure non seulement la connexité def(X), mais aussi sa connexité par arcs.
De plus la fonctionftransforme un lacet deXen un lacet deY. Soit α un lacet deX, l'applicationf∘α est bien un lacet deY. Ce lacet est généralement notéf✻(α).
La fonctionfinduit une applicationf✻des lacets deXdans les lacets deY. Cette application est compatible avec la relation d'équivalence que définit l'homotopie ainsi qu'avec la loi de composition du groupe fondamental.
Si α1et α2sont deux lacets de basep, la loi de juxtaposition s'applique. Si les deux lacets sont homotopes parH, alors l'applicationf∘Hest une homotopie entref✻(α1) etf✻(α2), ce qui montre que l'applicationf✻est définie sur le groupeπ1(X,p) à valeurs dans le groupeπ1(Y,f(p)). De plus :
SiZest un autre espace topologique etgunefonction continuedeYdansZ, alors les morphismes se composent :
Il suffit de remarquer que l'application (IdX)✻est l'identité du groupeπ1(X,p) pour conclure que :
Si deux espaces sont connexes par arcs et homéomorphes, leurs groupes fondamentaux sont donc isomorphes. L'isomorphisme n'est en général pas unique.
Un exemple d'application des morphismes précédents est le théorème du point fixe de Brouwer. En dimension 2, il se démontre simplement à l'aide de l'étude d'une fonction continue permettant de bâtir un morphisme de groupes fondamentaux. Une définition est utile:
Cette définition permet d'exprimer la proposition suivante, équivalente au théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2 :
SoientBle disque etSsa frontière. Supposons qu'une telle rétraction, notéeF, deBsurS, existe. Notons InjSl'injection canonique deSdansBet IdSl'application identitédeS. On aurait alors la contradiction suivante :
le fait que le morphisme (InjS)✻est nul étant justifié par la remarque qu'il est à valeurs dans le groupe fondamental du disque, qui est trivial.
Lethéorème de Brouwerindique que toute fonction continuefdu disque dans lui-même admet un point fixe. S'il n'en avait pas, il serait aisé de construire une rétraction. On considérerait le segment passant parxetf(x) illustré sur la figure (sixest un élément du disque). Ce segment traverse le disque en un point, plus proche dexque def(x). Si ce point est l'image parFdu pointx, alorsFest la rétraction recherchée. Une description plus précise est disponible dans l'article détaillé :
Deux espaces topologiquesXetYsont ditshomotopiquement équivalentss'il existe deux applications continuesf:X→Yetg:Y→Xtelles queg∘fest homotope à IdXetf∘gest homotope à IdY.
Par exemple, un espace homotopiquement équivalent à unespace simplement connexeest simplement connexe.
Le premier groupe d'homologied'un espace est lasomme directedes premiers groupes d'homologie de chacune de ses composantes connexes par arcs. Un cas particulier duthéorème d'Hurewiczrelie ces groupes d'homologie des composantes à leurs groupes fondamentaux :
Le premier groupe d'homologie entière d'un espace connexe par arcs estisomorpheà l'abélianiséde son groupe fondamental.
Il y a équivalence entre les sous-groupes à conjugaison près du groupe fondamental et lesrevêtementsà isomorphisme près. Dans cette équivalence, les sous-groupes normaux correspondent aux revêtements galoisiens.
En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtementsimplement connexe(en particulier si l'espace estsemi-localement simplement connexec'est-à-dire si l'espace n'est pas trop «sauvage», par exemple s'il est localement contractile) son groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes d'un de ses revêtements universels.
Calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui n'est passimplement connexeest un exercice difficile, car il faut prouver que certains lacets ne sont pas homotopes. Lethéorème de van Kampen, également appeléthéorème de Seifert-Van Kampen, permet de résoudre ce problème lorsque l'espace topologique peut être décomposé en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus. Ce théorème permet de calculer le groupe fondamental d'un éventail très large d'espaces.
Ce théorème dit que si deux sous-espaces deX, tous les deux ouverts ou tous les deux fermés, contiennent un pointxet ont une intersection connexe par arcs, le groupe fondamental de la réunion des deux espaces pointés enxest lasomme amalgamée (dans la catégorie des groupes)des groupes fondamentaux enxdes deux espaces, l'amalgame se faisant le long du groupe fondamental de leur intersection.
On définit lecône d'un espace topologiqueXcomme l'espace quotient
duproduitdeXpar l'intervalle unitéI= [0, 1].
(SiXest un cercle, on obtient une partie d'uncône de révolution.)
Tout côneC(X) estsimplement connexe(car contractile).
On a une inclusion canoniqueX = X× {1} ⊂C(X).
Sif:X→Yest une application continue entre deux espaces topologiques, on définit lecôneC(f) de l'applicationfcomme le quotient de la réunion disjointeC(X)⊔Ypar l'identification de chaque élémentxdeX⊂C(X) avec son imagef(x) dansY.
Exemples: sifest l'application de degré 2 dans le cercle :S→S,z↦z, on obtientC(f) =P2(ℝ), leplan projectif réel. Plus généralement, pourn≥ 1, sifest la projection canonique de lasphèreSsur l'espace projectifréelPn–1(ℝ),C(f) =Pn(ℝ).
Lethéorème du côneaffirme quesi X est connexe par arcs, le groupe fondamental de C(f)est isomorphe au quotient deπ1(Y)par lenormalisé(en)du sous-groupe deπ1(Y)image de f✻.
Application:les espaces projectifs Pn(ℝ)pour n≥ 2ont des groupes fondamentaux isomorphes àℤ/2ℤ.
Enthéorie des nœuds, on cherche à distinguer les nœuds nonisotopes. Le groupe fondamental ducomplément d'un nœudfournit uninvariant de nœuds, qui permet de distinguer certains d'entre eux.
Unecatégorieest appelée ungroupoïdesi les objets et les flèches forment un ensemble (c'est unepetite catégorie) et si toutes les flèches sont inversibles (sont des isomorphismes). Les groupoïdes forment une catégorie dont les morphismes sont les foncteurs entre groupoïdes.
Les groupes sont des groupoïdes avec un seul objet, les flèches étant les éléments du groupe.
SoitGun groupoïde, on définit la relation d'équivalencex≡ysi l'ensembleG(x,y) des morphismes dexversyest non vide. L'ensemble quotient (dont les objets sont les classes d'équivalences) est notéπ0(G). Sifest un morphisme de groupoïdes,fest compatible avec la relation d'équivalence ≡. Par passage au quotient,π0définit un foncteur (le foncteur composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.
SoitGun groupoïde, etxun objet deG(on dit aussi un point deG). La loi de composition entre les flèches deG(x,x) restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On noteπ1(G,x) ce groupe.
À chaque espace topologiqueX, on associe de façon fonctorielle un groupoïdeπX: on prend pour ensemble d'objetsπXl'ensemble sous-jacent àX. Les flèches de sourcexet de butysont les classes d'homotopie des chemins (= arcs continus) dexversy. La relation d'homotopie est compatible avec la composition des chemins et définit donc un groupoïdeπXappelé legroupoïde fondamentaldeX.
Lethéorème de van Kampens'exprime également simplement en utilisant les groupoïdes fondamentaux.
Le groupe fondamental est défini par
Le groupe fondamental est en fait le premiergroupe d'homotopie, d'où l'indice 1 dans la notationπ1(X).
Dans la théorie des revêtements d'un espaceX, on définit la fibre d'un revêtementπE:E→Xau pointpcomme l'ensembleπE(p) qui est aussi notéE(p). La correspondanceE↦E(p) définit unfoncteurde la catégorie des revêtements de base (X,p), dans la catégorie des ensembles.
Le groupe fondamental peut être défini de manière abstraite comme le groupe desautomorphismes du foncteurfibre, qui, à un revêtement de base (X,p), associeE(p).
Cette définition alternative ouvre la voie à la généralisation engéométrie algébrique, où la définition donnée précédemment en termes de lacets de basepne s'applique pas naturellement. Dans cette généralisation, les revêtements étant remplacés par les morphismes étales finis: le groupe fondamental de l'espace pointé (X,p) est le groupe des automorphismes du foncteur fibre qui, à un morphisme étale finiE→X, associe la fibreE(p) au pointp. Cette généralisation est due àAlexandre GrothendiecketClaude Chevalley.
Cette théorie permet d'expliquer le lien entre la théorie deGaloisdes revêtements dessurfaces de Riemann(groupe d'automorphismes…) et lathéorie de Galoisdes corps de fonctions.
Animations qui introduisent au groupe fondamental, par Nicolas Delanoue