davidanugraha/M4-RAG huggingface dataset:
Brouwerij 't IJ

Brouwerij 't IJ(pronunciación en neerlandés:/ˌbrʌuʋəˈrɛi ət ɛi/; traducido como «cervecería del IJ») es una pequeñacerveceríaenÁmsterdam,Países Bajos. Está ubicado en una antiguacasa de bañosllamadaFunen, junto al molino de viento De Gooyer. La cervecería fue inaugurada por Kaspar Peterson, antiguo músico, en octubre de 1985 y fue una de varias pequeñas fábricas de cerveza que se abrieron en las ciudades en los Países Bajos debido a la insatisfacción con la cerveza fabricada por las empresas más grandes.​ Elabora ocho cervezas disponibles todo el año​ y tres cervezas estacionales,​ además de cervezas de edición limitada.​
La fábrica de cerveza ofrece visitas guiadas y degustaciones, y tiene un bar con una terraza al aire libre.​
Su logotipo es unavestruzcon un huevo y un molino de viento a lo lejos. La cervecería recibe su nombre de labahía del IJ.
La fábrica de cerveza produce ocho cervezas y tres cervezas estacionales. Sus cervezas Natte, Zatte, Colón, y Struis cuentan concertificación ecológica.​
Los ocho cervezas son:
Los tres cervezas estacionales son:
Muziekgebouw aan 't IJ

ElMuziekgebouw aan 't IJes unasala de conciertosdeÁmsterdam,Países Bajos. Gracias a su excelente acústica, el Muziekgebouw se considera como uno de las tres mejores salas de concierto del mundo. Es la sede de laHolland Festival,Slagwerk Den Haag.
ElSound Lab(Laboratorio de sonido) consta de un espacio lleno de un único instrumentos musicales experimentales de creación personalizado. Más de 400 talleres al año se organizan y es el más grande de Europa en este aspecto educativo. En junio de 2017, el laboratorio de sonido tiene actualmente 100 instrumentos diferentes que van desde una variedad de instrumentos étnicos de todo el mundo a extraños instrumentos conocidos, tales comothereminytambor tanquey más singulares instrumentos de fabricantes Al igual queYuri Landman,Arvid Jense,Diane Verdonk,Dato instrumentos,Makey Makeyy otros.​ La director de Sound Lab es Anouk Diepenbroek.
IJ Editores

IJ Editores es unfondo editorialde revistas jurídicas latinoamericanas, que cuenta con más de 150 publicaciones periódicas.​ Fue fundado en el año 2006 en Argentina y se mantiene activo hasta el día de hoy.
Todo su fondo editorial es de acceso libre y gratuito desde cualquier parte del mundo.
-Revista de Derecho Constitucional, en conjunto a laUniversidad del Salvadory dirigida por Guillermo Cappeletti. ISSN 2422-5762.​
- Revista Argentina de Derecho Civil,​ dirigida porMarcelo López Mesa.
- Revista Argentina de Justicia Constitucional,​ en conjunto a la Asociación Argentina de Justicia Constitucional, y dirigida por Patricio Maraniello.
- Revista de la Facultad de Ciencias Jurídicas de laUniversidad del Museo Social Argentino, dirigida por María José Rodriguez, y en cuyo consejo consultivo se encuentra elMinistro de Justicia de la Nación,Mariano Cúneo-Libarona.
- Revista Argentina de Derecho Electoral, dirigida por María Alejandra Lázzaro. Dicha publicación -cuyas ediciones fueron oportunamente presentadas en el Salón Rojo de laUniversidad de Buenos Aires, con la asistencia de juristas tales como Jorge Amaya, Zunilda Niremperger, María Victoria Patiño yMatías Padin Marchioli, y personalidad como Ignacio Zuleta​- cuenta con el aporte en varias de sus ediciones de Mario Midón, María Inés Tula, Andrés Malamud​ yJuan Manuel Abal Medina (h).​
- Revista Jurídica de Derecho Animal, dirigiada por Laura Cecilia Velasco, y coordinada porMatías Padin Marchioli. La Revista es pionera en el desarrollo delDerecho Animalen Argentina y en Latinoamérica.​
- Revista Guatemalteca de Derecho Procesal, dirigida por Alba Lorena Alonzo Ortiz. La misma cuenta con el apoyo del Instituto Panamericano de Derecho Procesal. Su primera edición fue presentada a inicios del mes de Octubre a través de Wolap.​
- Revista Ibero Latinoamericana de Seguros, realizada en conjunto a laPontificia Universidad Javeriana, y dirigida por Carlos Ignacio Jaramillo Jaramillo.​
- Columnas de Derecho Constitucional y Derechos Humanos, dirigidas porCarlos Hakansson Nieto.​
- Revista Peruana de Derecho, realizada en conjunto al Instituto Peruano de Derecho, y dirigida por Mario Castillo Freyre.
- Anuario Iberoamericano sobre Buena Administración, realizado en conjunto a Ius Publicum Innovatio y al Foro Iberoamericano (FIDA), y dirigido porJaime Rodríguez-Arana Muñoz.​
- Colección de Tesis de Derecho Procesal Latinoamericano, dirigida porAdolfo Alvarado Velloso.​
- Los Desafíos del Derecho en la Era de la Inteligencia Artificial, realizada en conjunto al Mediterranea International Centre for Human Rights Research (MICHR) y la Universidad de Reggio Calabria.
Ecuación constitutiva

Unaecuación constitutivaes una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico:presión,volumen,tensión,deformación,temperatura,densidad,entropía, etcétera. Cada material o sustancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación solo depende de la organización molecular interna.
Enmecánica de sólidosy en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo detensionescon ladeformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de lostensores tensión,deformaciónyvelocidad de deformación. Para unmaterial elástico linealla ecuación constitutiva se llamanecuaciones de Lamé-Hookeo más simplementeley de Hooke.
También más generalmente enfísicase usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado.
La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada porRobert Hookey actualmente se conoce comoley de Hooke. Esta ecuación trata el caso deelasticidad lineal. Siguiendo a este trabajo, se han usado frecuentemente los términos "relación tensión-deformación", "asunción constitutiva" o "ecuación de estado".Walter Nolldesarrolló un importante trabajo sobre ecuaciones constitutivas, clarificando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, restricciones y definiciones de términos como "material", "isótropo", "alotrópico", etc. La clase de ecuaciones constitutivas de la forma "derivada temporal de la tensión = f (gradiente de velocidad, tensión, densidad)" fue el objeto de la tesis doctoral deWalter Nollde 1954 bajo la dirección deClifford Truesdell.​ Algunos ejemplos de ecuaciones constitutivas usables en el campo de los medios continuos y la termodinámica son:
Gravedad cuántica canónica

Enfísica, lagravedad canónicaogravedad cuántica canónicaes un intento decuantizarlaformulación canónicade la relatividad general. Es una formulaciónhamiltonianade laTeoría General de la RelatividaddeEinstein.
La teoría básica fue descrita porBryce DeWitt​ en un artículo formal en 1967, basándose en un trabajo previo dePeter G. Bergmann,​ usando las llamadas técnicas de cuantización canónica para sistemas hamiltonianos limitados inventadas porP. A. M. Dirac.​ El enfoque de Dirac permite la cuantización de sistemas que incluyensimetrías de normausando técnicas hamiltonianas en unaelección de normafija. Nuevos enfoques, basados en parte en el trabajo de DeWitt y Dirac, incluyen elestado de Hartle-Hawking, elcálculo de Regge, laecuación de Wheeler-DeWitty lagravedad cuántica de lazos.
La cuantización se basa en la descomposición deltensor métricotal y como sigue,
donde la suma de los índices repetidos esimplícita, el índice 0 indica tiempoτ=x0{\displaystyle \tau =x^{0}}, los índices griegos toman todos los valores 0,...,3 y los índices latinos toman los valores especiales 1,...3. La funciónN{\displaystyle N}se llama lafunción lapsoy las funcionesβk{\displaystyle \beta _{k}}se llamanfunciones shift.Los índices espaciales se incrementan y decrementan usando la métrica espacialγij{\displaystyle \gamma _{ij}}y su inversaγij{\displaystyle \gamma ^{ij}}:γijγjk=δik{\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}},βi=γijβj{\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}},γ=detγij{\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}, dondeδ{\displaystyle \delta }es ladelta de Kronecker. Con esta descomposición, lalagrangiana de Einstein-Hilbertse convierte en, hastaderivadas totales,
Donde:
DeWitt escribe que la lagrangiana «tiene la forma clásica de "energía cinética menos energía potencial", con la curvatura extrínseca jugando el papel de la energía cinética y el opuesto de la la curvatura intrínseca, el de la energía potencial.» Aunque esta forma de lalagrangianaes manifiestamente invariante si se redefinen la coordenadas espaciales, hace opaca lacovarianza general.
Como las funciones lapso (delay) y desplazamiento (shift) pueden ser eliminadas por unatransformación de gauge, no representan grados físicos de libertad. Esto se indica moviéndonos al formalismo hamiltoniano por el hecho de sus momentos conjugados, respectivamente,π{\displaystyle \pi }yπi{\displaystyle \pi ^{i}}, desaparecen de forma idéntica (on shell y off shell). Esto es lo que Dirac llamalimitaciones primarias. Una elección popular de gauge llamadagauge síncrono, esN=1{\displaystyle N=1}yβi=0{\displaystyle \beta _{i}=0}, aunque, en principio, puede ser elegida cualquier función de las coordenadas. En este caso, elhamiltonianotoma la forma:
donde
y:
Las ecuaciones de Einstein pueden ser recuperadas tomandocorchetes de Poissoncon el hamiltoniano. Limitacioneson-shelladicionales, llamadaslimitaciones secundariaspor Dirac, surgen de la consistencia del álgebra de Poisson. SonH=0{\displaystyle {\mathcal {H}}=0}y∇jπij=0{\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}. Esta es la teoría que está siendo cuantizada en aproximaciones a la gravedad cuántica canónica.
Liste de digrammes et trigrammes

Cet article constitue unelisteregroupant lesdigrammesettrigrammesparlangue, ces dernières étant classées parordre alphabétique.
Pour l'espéranto, contrairement aux autres langues, il ne s'agit pas digrammes mais d'un moyen permettant d'écrire les lettres accentuées au moyen d'un clavier n'en disposant pas.
Remarques :
Nj (digramme)

NJ(minusculenj) est un digramme de l’alphabet latin, composé des lettresNetJ.
Le digramme ‹ nj › est utilisé par diverses langues :
Trois caractères latinsǊ, ǋ, ǌont été conçus pour correspondre à la lettre «Њ» utilisée dans l'alphabet cyrilliquepour écrire leserbe.
Ils ont été ajoutés dans la version Unicode 1.1 de 1993. Cependant, les polices de caractères oublient très souvent ces trois caractères.
Aujourd'hui, ces trois caractères sont de moins en moins utilisés, au profit des deux lettres écrites séparément (comme dans l'article 'Bosnian-Croatian-Montenegrin-Serbian language' de Britannica).
Le digramme ‹ nj › possède plusieurs représentationsUnicode:
Y (lettre)

Y(la lettre se nomme «igrec» et se prononce isolée/i/) est la25lettrede l'alphabet latinmoderne.
Le graphème majuscule est le même que celui de l'upsilonde l'alphabet grec.
C'est à la fois unevoyelle(/i/, comme danscycle) et unesemi-voyelle(/j/, comme dans « yeux ») ; la prononciation est :
Par exemple, il peut avoir dans certains mots l'équivalent de deuxilorsqu'il est encadré par deux voyelles, comme dans appuyer (/a.pɥi.je/). Dans des mots où le ‹ y › est précédé d'un ‹ a › ou d'un ‹ o ›, on a d'abord l'équivalent d'un digramme ‹ ai ›/e/comme dansabbaye(/a.be.i/) ou ‹ oi ›/wa/comme dans aboyer (/a.bwa.je/). Enfin, dans une suite consonne + y + voyelle (CyV), il peut aussi avoir une valeur de/i.j/, comme dansembryon(/ɑ̃.bʁi.jɔ̃/) ou dans la prononciation locale deLyon(/li.jɔ̃/).
Y a pour signification : « en ce », « dans ce » comme adverbe et « à ce » comme pronom, par exemple :
Dans certaines régions, comme enAuvergne-Rhône-Alpesou enSuissefrancophone, la forme « y » est utilisée à la place du pronom « le » quand il réfère à un objet :
Pour retranscrire la prononciation informelle des pronoms « il » et « ils », c'est-à-dire/i/sans la consonne finale, on utilise parfois « y » :
En latin, Y est appeléI graeca, « I grec », et prononcéI graeca, « I grec », puisque le son dugrec classique/y/, semblable auüde l'allemandmoderne ou auufrançais, n'était pas un son natif pour les locuteurs latins, la lettre ayant été initialement utilisée pour épeler des mots étrangers. Dans leslangues romanes, cette histoire a conduit à la norme moderne du nom de la lettre : enespagnol, Y est appeléi griega, engalicieni Grego, encatalani grega, enfrançaiset enroumainigrec, enpolonaisigrek- tous signifient « i grec » (sauf pour le polonais, où c'est tout simplement une transcription phonétique du nom français) ; ennéerlandais, on utilise à la foisi-grecouypsilonou encoreijlorsqu’elle se confond avec ledigramme ij. Le nom original grecupsilona également été adapté dans plusieurs langues modernes : enallemand, par exemple, il est appeléYpsilon, et enitalienle nom estípsilonouípsilo. Enportugais, les deux noms sont utilisés, soientípsiloneti grego. Dans les langues slaves, elle est transcrite parJenserbe,croate,macédonien,slovèneetslovaqueet parЙenrusse,biélorusse,ukrainienetbulgare.
Levieil anglaisa emprunté le Y latin pour écrire le son natif de cette langue /y/, écrit précédemment avec laruneŪruzᚣ. Le nom de la lettre peut être liée àui(ouvi) dans différentes langues médiévales ; enmoyen anglais, il étaitwi/wiː/, qui, via legrand changement vocaliqueest devenu lewy/waɪ/ de l'anglaismoderne.
IJ (digramma)

L'IJ(minuscoloij) è undigrammadellalingua olandesedelle lettereiej. Talvolta è considerato unalegatura, o addirittura una singola lettera. Anche se nella maggior parte deitipi di carattereesistono i caratteri specificiĲ(unicode U+0132; HTML: &#306) eĳ(unicode U+0133; HTML: &#307),le due parti che lo compongono sono separate.
Unijin olandese scritto solitamente rappresenta ildittongo[ɛi].In olandese standard e nella maggior parte deidialettiolandesi, esistono due possibili modi di scrivere il dittongo[ɛi]:ijedei. Questo causa confusione per chi deve imparare la lingua in quanto dovrà memorizzare quali parole scrivere coneie quali conij. Per distinguerle vengono definiteei cortala prima eij lungala seconda.In alcunidialettiolandesi, specificatamente infiammingo occidentaleezelandese, così come nel dialetto delbasso sassoneparlato nei Paesi Bassi, ilnederlands nedersaksisch, la differenza di pronuncia traeieijviene mantenuta.
L'ijrappresentava originariamente unai lunga.Questo può essere riscontrato nell'etimologia di alcune parole in olandese. L'IJdifferisce dalla letteraY. In passato era comune scrivere Y al posto di IJ, specialmente scrivendo in maiuscolo. Infatti questo era il modo ufficiale di scrivere all'inizio delXIX secolo. In olandese la letteraYsi può trovare solo in parole inprestito linguistico, nei nomi propri, o come varianti di parole derivate dall'olandese arcaico. Inafrikaans, lingua derivata dall'olandese, la letteraYha completamente sostituito l'IJ. Inoltre, esiste la tendenza ad inglesizzare i nomi olandesi contenentiIJsostituendociY. Tale fenomeno è stato particolarmente diffuso tra gli immigrati olandesi negliStati Uniti,CanadaeAustraliaed è riscontrabile ancora oggi attraverso l'erronea scrittura di alcuni nomi olandesi:
IJsselmeer

L'IJsselmeer(pron.['ɛɪ̯səlˌmeːr]), olago di Ĳssel, è unlago artificialedeiPaesi Bassi. Ha una superficie di1100km²ed è uno dei più grandi d'Europa. Profondo in media appena 5 metri, è separato dalMare del Nordda unadigalunga32kmchiamataAfsluitdijk, oDiga del Nord. L'IJsselmeer deve il suo nome al fiumeIJsselche ne è tributario, ed è caratterizzato daldigramma IJche inolandeseè una lettera dell'alfabetoe si scrive tutto maiuscolo.
Fu creato nel1932, quando loZuiderzee, il mare interno che allora bagnava le province delFlevoland, dell'Olanda Settentrionalee dellaFrisia, fu separato dal mare esterno per mezzo dell'Afsluitdijk.
Gli anni successivi videro la bonifica di estesi tratti di terreno, trasformati in grandipoldernell'ambito dell'imponente progetto conosciuto comeZuiderzeewerken("lavori dello Zuiderzee"). Uno di questi, ilMarkerwaard, prevedeva di occupare l'area della parte meridionale dell'IJsselmeer. In vista della realizzazione di tale polder fu costruita la digaHoutribdijk, oMarkerwaarddijk, terminata nel 1976, che divide idrologicamente l'IJsselmeer in due. La parte meridionale prese il nome diMarkermeer. Il Markerwaard però non fu mai realizzato, perché diversi paesi rivieraschi non desideravano perdere l'accesso diretto allo specchio d'acqua.
IJsselmeer e Markermeer sono collegati da un canale, l'Hoge Vaart, che passa perAlmeree attraversa ilFlevopolderper tutta la sua lunghezza.
IJ

IJは、オランダ語で使われる字母、合字または二重音字である。小文字はij。
発音は、一般的には[ɛi]である。手書きでは、ijの筆記体と似ていることからÿのようにも書かれる。大文字では点をつけずに Y に似た形（キリル文字のУに近い）に書かれることもある。アフリカーンス語では IJ/ij は使用せず、かわりに Y/y を用いる。
この字が1文字であるか2文字であるかは、オランダ語話者の間でも意見が分かれる。オランダ語連合の参照するファン・ダーレの辞典では、i と j の2文字からなる二重音字であって、合字ではない。
文頭に置かれるときは、I と J の両方を大文字にする。また、頭文字のみに略す場合にも IJ になる。
この字母には、次のような3通りの並べ方がある。
オランダの通話表では、"IJmuiden"/ɛimœydən/（エイマイデン、北ホラント州の港湾都市）で、IJを表す。
Unicodeでは、ラテン文字拡張Aの領域に IJ および ij をひとまとめにした字に符号位置を与えている。これはISO/IEC 6937との互換性のために存在する。合字と2文字で書いた場合は互換等価である。
HTML 4 の文字実体参照では定義されていない。HTML5には &IJlig; および &ijlig; が存在する。
I

Iは、ラテン文字（アルファベット）の9番目の文字である。小文字はiであるが、トルコ語とアゼルバイジャン語では点のないıがある。
大文字は、一本の縦棒である。しかし、それではLの小文字や数字の1など混同し易い（ホモグリフ）せいもあって、手書き文字（ブロック体）であってもセリフを上下に付けて区別することがある。
同様にして、数字の 1 は飾りを上だけにする、数字の7は鉤を付ける、小文字の L は筆記体で ℓ と書く、というように区別することがある。
また、iだけを小文字にして、他の字を大文字にするのも見受けられる。
筆記体では、本体は下部が左に流れるが、ベースラインを超えない。また、右下から左に弧を描いて文字の頂点までの飾りを付ける。フラクトゥールはI{\displaystyle {\mathfrak {I}}}で、書体によってはJ{\displaystyle {\mathfrak {J}}}(J) と区別が付かない（あるいは、もともと異体字であったIとJの区別を設けていない）。このため、記号としてはJ{\displaystyle {\mathfrak {J}}}(J) を抜かすことがある（I{\displaystyle {\mathfrak {I}}}(I) の次の記号にK{\displaystyle {\mathfrak {K}}}(K) を使う）。また、Tの筆記体と紛らわしいが、フラクトゥールでTはT{\displaystyle {\mathfrak {T}}}のようであり、区別が付く。
小文字は、縦棒の上に（トルコ語とアゼルバイジャン語を除き）点を付ける。縦棒はしばしば下部が右に曲がり、折り返すこともある。筆記体で前の文字から続くときは、下部左から、右上に向かって後で書かれる本体に合流する。フラクトゥールはi{\displaystyle {\mathfrak {i}}}。文字の上部に付けるダイアクリティカルマークが付く場合、普通は点を取った上で付ける。
ギリシャ文字のΙ（イオタ）に由来し、キリル文字のІ,Јと同系の文字である。元々は同一の文字で、基本形のIと、装飾としてIの下部を伸ばして曲げたJの2形があった。例えば、ローマ数字の23が、XXIIIではなくXXIIJと書かれた。
発音面では、ラテン語において語頭のIは半母音[j]を表わしていたが、後期から次第に[j]を発声する際の舌の位置が上がって[dj]に変化しはじめ、古フランス語では[dʒ]、中期フランス語では[ʒ]となった。英語では、古フランス語の発音である[dʒ]が現在まで維持されている。
文字としての両者の区別は、1524年に始まる。en:Gian Giorgio Trissinoがイタリア語正書法について、口語的には別々の発音が文字では同一になっている事態を是正するため、母音/i/をI、半母音[j]をJと書き分けるよう提案した。同時にUとVの書き分けも提案され、時間はかかりつつも多くの言語に影響を及ぼした。
英語においては、1629年出版のジェームズ王欽定訳聖書が初めてIとJを区別したが、両者の混在は長く続き、18世紀のJohnsonの辞書でもIとJが同列に並べられていた。
この文字が表す音素は、/i/ないしその類似音である。
音声記号としては、[i]は「非円唇前舌狭母音」、小型大文字[ɪ]は「非円唇前舌広め狭母音」を表す。
商標、作品名等については、I (曖昧さ回避)参照。
行列の乗法

数学において、行列の対から別の行列を作り出す二項演算としての行列の乗法（ぎょうれつのじょうほう）は、実数や複素数などの数が初等的な四則演算でいうところの乗法を持つことと対照的に、そのような「数の配列」の間の乗法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる。行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数（行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの）が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。
例えば、ベクトルの場合と同様に、任意の行列に対してスカラーを掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ数を掛けるという方法で与えられる。また、加法や減法（英語版）の場合と同様に、同じサイズの行列に対して成分ごとの乗法を入れることによって定まる行列の積はアダマール積と呼ばれる。それ以外にも、二つの行列のクロネッカー積は区分行列として得られる。
このようにさまざまな乗法が定義できるという事情の中にあっても、しかし最も重要な行列の乗法は連立一次方程式やベクトルの一次変換に関するもので、応用数学や工学へも広く応用がある。これは通例、行列の積（ぎょうれつのせき、英:matrix product）と呼ばれるもので、Aがn×m行列で、Bがm×p行列ならば、それらの行列の積ABがn×p行列として与えられ、その成分はAの各行のm個の成分がそれぞれ順番にBの各列のm個の成分と掛け合わされる形で与えられる（後述）。
この通常の積は可換ではないが、結合的かつ行列の加法に対して分配的である。この行列の積に関する単位元（数において1を掛けることに相当するもの）は単位行列であり、正方行列は逆行列（数における逆数に相当）を持ち得る。行列の積に関して行列式は乗法的である。一次変換や行列群あるいは群の表現などの理論を考える上において行列の積は重要な演算となる。
行列のサイズが大きくなれば、二つあるいはそれ以上の行列の積の計算を定義に従って行うには、非常に膨大な時間が掛かるようになってしまうため、効果的に行列の積を計算できるアルゴリズムが考えられてきた。
行列に付随するもっとも単純な形の乗法としてスカラー乗法が挙げられる（これはクロネッカー積の特別の場合になっている）。
行列Aのスカラーλによる左スカラー倍（英:left scalar multiplication）は、
で与えられるAと同じサイズの行列λAとなる。つまり、
同様に、行列Aのスカラーλによる右スカラー倍（英:right scalar multiplication）は
で定義される。
基礎とする環が（例えば実または複素数体のような）可換環ならば、左及び右スカラー倍の概念は一致して、単にスカラー倍と呼ばれる。より一般の環では（四元数体のように）非可換であるから左右が異なれば異なる乗法である。
まずは二つの行列を掛け合わせることを考える（任意個数への一般化は後述）。
n×m行列Aとm×p行列Bを
とするとき、これらの行列の積AB（通例、乗法記号は特に用いずに併置で表す）は、
各(i, j)成分cijがAの第i行に横に並ぶ成分aikとBの第j列に縦に並ぶ成分bkjをk= 1, 2, ...,mに亙って足し合わせた和
で与えられるn×p行列
である。従って、積ABが定義されるのはAの列の本数とBの行の本数が一致している場合に限られる（今の場合はm本）。
二つ以上の個数の行列に対しても、それらの連続する各対に関してサイズの条件が満たされるならば、行列の積を定義することができる。
n-個の行列A1,A2, ...,Anがそれぞれサイズs0×s1,s1×s2, ...,sn− 1×snであるとき（ここでs0,s1,s2, ...,snは何れも単に正整数であって、これらの下付き添数はそれぞれどの行列に対応するのかを示す以上の意味は無い）、これら行列の積
はs0×sn行列であり、その任意の(i0,in)-成分は
で与えられる。
正方行列に関しては、行の本数と列の本数が常に等しいから、通常の数と同様に自分自身を繰り返し掛けることができて、この行列の積の特別の場合としての反復乗積は行列の冪（英:matrix power）を定義することができる。行の本数と列の本数が一致しない一般の矩形行列では冪を考えることができない。即ち、n×n行列Aと正整数kに対して
冪の逆として行列の冪根を考えたり、また冪級数として行列の指数函数やその逆写像として行列の対数函数などを定義したりすることもできる。
二つの行列に対して定義されるその他の乗法を以下にいくつか挙げる。実は通常の乗法よりも定義としては単純なものもいくつかある。
同じサイズの二つの行列に対し、アダマール積（英:Hadamard product）、要素ごとの積（英:element-wise product）、点ごとの積（英:pointwise product）、成分ごとの積（英:entrywise product）あるいはシューア積（英:Schur product）などと呼ばれる積を定義することができる。同じサイズの二つの行列A,Bのアダマール積A○Bはもとと同じサイズの行列で、その(i,j)-成分はAの(i, j)-成分とBの(i,j)-成分との積で与えられる。つまり、
全部書けば、
この演算は（mn個ある各成分において）通常の数の積を一斉に行うことに他ならない。故にアダマール積は可換、結合的、かつ成分ごとの和に対して分配的になる。これはまた、クロネッカー積の主小行列でもある。
フロベニウス（内）積（英:Frobenius inner product）は行列を単にベクトルと見做してとった成分ごとの内積で、A:Bなどと書かれることもある。これはアダマール積の成分の和でもあり、具体的に書けば
となる。ただし "tr" は行列の蹟であり、"vec" は行列の一列化である。この内積からフロベニウスノルムが誘導される。
二つの行列A,Bのサイズがそれぞれm×n,p×qであるとき、これらがどのようなサイズであったとしても（サイズに関する制約条件なしに）、この二つの行列のクロネッカー積（英:Kronecker product）は
で与えられるサイズmp×nqの行列である。これはより一般のテンソル積を行列に対して適用したものになっている。
イオン結合

イオン結合（イオンけつごう、英語：ionic bond）は正電荷を持つ陽イオン（カチオン）と負電荷を持つ陰イオン（アニオン）の間の静電引力（クーロン力）による化学結合である。この結合によってイオン結晶が形成される。共有結合と対比され、結合性軌道が電気陰性度の高い方の原子に局在化した極限であると解釈することもできる。
イオン結合は金属元素（主に陽イオン）と非金属元素（主に陰イオン）との間で形成されることが多いが、塩化アンモニウムなど、非金属の多原子イオン（ここではアンモニウムイオン）が陽イオンとなる場合もある。イオン結合によってできた物質は組成式で表される。
イオン結晶の結合エネルギーのうち、イオン間の静電相互作用によるエネルギーをマーデルング・エネルギー（Madelung energy）という。
はじめに2つのイオン間の相互作用について考える。陽イオンと陰イオンの電荷をそれぞれ±q{\displaystyle \pm q}とすると、イオンi{\displaystyle i}とj{\displaystyle j}の間の相互作用エネルギーUij{\displaystyle U_{ij}}は
と書くことができる。イオンi{\displaystyle i}とj{\displaystyle j}の間の距離をrij{\displaystyle r_{ij}}とした。第１項はパウリの排他律による斥力ポテンシャルで、λ{\displaystyle \lambda }とρ{\displaystyle \rho }はそれぞれ、斥力の大きさと斥力が働く距離を決定するパラメータである。第2項はクーロンポテンシャルを表す。 (1)式の+{\displaystyle +}符号は同種の電荷に対して、−{\displaystyle -}符号は異種の電荷に対してとる。ただし、イオン結晶でのファンデルワールス力の部分は凝集エネルギーの1∼2%{\displaystyle 1\sim 2\%}程度の比較的小さな寄与しか与えないので、ここでは無視した。
次に結晶について考える。結晶の最近接イオン間距離をR{\displaystyle R}とおき、rij=pijR{\displaystyle r_{ij}=p_{ij}R}となるpij{\displaystyle p_{ij}}を導入すると2N{\displaystyle 2N}個のイオンからなる結晶の全格子エネルギーUtot{\displaystyle U_{tot}}は、
と書くことができる。ただし斥力ポテンシャルは、最近接イオン間相互作用のみを考慮し、それ以外は無視した。z{\displaystyle z}は最近接イオンの数である。α{\displaystyle \alpha }はマーデルング定数とよばれ、
で定義する。ただしSij{\displaystyle S_{ij}}はイオンi{\displaystyle i}とj{\displaystyle j}が異符号のときは+1{\displaystyle +1}、同符号のときは−1{\displaystyle -1}をとる。
イオンが静止した温度ゼロの状態を考える。圧力がゼロという条件の下では、体積に対してUtot{\displaystyle U_{tot}}が最小となる。これは平衡距離R0{\displaystyle R_{0}}でUtot{\displaystyle U_{tot}}が最小となることに等しいのでdUtotdR=0{\displaystyle {dU_{tot} \over dR}=0}が成り立つ。(2)式より
平衡距離R0{\displaystyle R_{0}}での2個のイオンからなる結晶の全格子エネルギーは
と書ける。第1項が斥力項、第2項がクーロン項すなわちマーデルング・エネルギーを表す。
例えば水素（H₂）や酸素（O₂）など等核2原子分子は、純粋な共有結合によって形成されている。しかし一酸化窒素（NO）や一酸化炭素（CO）のような異核２原子分子は、共有結合性とイオン結合性が混ざっている。これは分子を形成する際の電荷分布の変化によって生じる。
原子A,Bからなる2原子分子について考える。結合前の原子A,Bの電子の存在確率密度をそれぞれρA{\displaystyle \rho _{A}}、ρB{\displaystyle \rho _{B}}とすると、2原子分子の電子の存在確率密度ρAB{\displaystyle \rho _{AB}}は次の形で与えられる。
右辺第一項と第二項は、αi{\displaystyle \alpha _{i}}個だけの電子が原子Bから原子Aに移動し、2原子分子において電子が偏っていることを表す。ρbond{\displaystyle \rho _{bond}}は原子A,Bが結合したときに中間部分に電子密度が高くなってできた結合電荷であり、全空間でのρbond{\displaystyle \rho _{bond}}に関する全電荷はゼロに等しい。αi{\displaystyle \alpha _{i}}、αc{\displaystyle \alpha _{c}}は、結合のイオン性(ionicity)と共有性(covalency)の尺度を表し、αi2+αc2=1{\displaystyle {\alpha _{i}}^{2}+{\alpha _{c}}^{2}=1}を満たす。等核2原子分子は電子の偏りはないのでαi=0,αc=1{\displaystyle \alpha _{i}=0,{\displaystyle \alpha _{c}=1}}である。電子密度は
と表せ、結合前後の電荷密度の変化は結合電荷の寄与(ρbond){\displaystyle {\bigl (}\rho _{bond}{\bigr )}}のみによって与えられる。一方、異核2原子分子はαi≠0,αc≠1{\displaystyle \alpha _{i}\neq 0,\alpha _{c}\neq 1}であるので電子密度は
と表せる。共有結合性の電荷の寄与(αcρbond){\displaystyle {\bigl (}\alpha _{c}\rho _{bond}{\bigr )}}に加えて、イオン結合性の電荷の寄与(αi(ρA−ρB)){\displaystyle {\bigl (}\alpha _{i}(\rho _{A}-\rho _{B}){\bigr )}}を含んでいる。
これより、等核2原子分子では、結合は純粋に共有性であり、異核2原子分子では共有性とイオン性が混ざった性格を示す。
累積カイ二乗検定

累積カイ二乗検定(るいせきかいじじょうけんてい、累積カイ二乗法、英:Cumulative chi-squared test)は統計学における仮説検定の一種である。東京大学の竹内啓、広津千尋らによって1966年に田口玄一が導入した累積法を修正して1979年に提案された統計学的仮説検定法である。2つの変数の間、2つの母集団の間に差がないという帰無仮説に対して、対立仮説として帰無仮説の棄却ではなく、一つの変数または両方の変数が増加または減少をする傾向性がある、といった対立仮説を設定する。例えば、薬剤の効果を調べる試験において複数の投与量ごとの反応の程度を見る、といった順序尺度で表される変数について、投与量の水準が増加するにつれて反応が変化する、という対立仮説を立てる。同様の目的のための検定法としてはウィルコクソンの符号順位検定などがある。
2つの母集団A, B から抽出して得られる観測値y{\displaystyle y}により母集団の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のあるk{\displaystyle k}個の水準のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値をyij(i=1,2j=1,2,...,k){\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)}で表し、yij{\displaystyle y_{ij}}が水準k{\displaystyle k}に入る確率をpij(i=1,2j=1,2,…,k){\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)}とする。この場合の帰無仮説は2つの母集団A, B の間に差がないということを表すため次の式になる
単に帰無仮説を棄却するのであれば対立仮説は次のようになる
しかしこの対立仮説ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の対立仮説を想定する。
ただしPij{\displaystyle P_{ij}}は累積確率を表す。
対立仮説H1{\displaystyle H_{1}}は母集団 A が若い水準(優れているまたはその反対)に分類されることが多いことを表す。対立仮説H3{\displaystyle H_{3}}はどの累積確率で比較しても同等以上であることを表す。
上記の帰無仮説H0{\displaystyle H_{0}}は次のH0j{\displaystyle H_{0j}}が同時に成り立つことと同じである。
このH0{\displaystyle H_{0}}についての自由度 1 のカイ二乗値
この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量
とする。
傾向のある対立仮説を想定する検定問題で
などに用いることができる。
用量反応関係の検定などにおいて累積カイ二乗検定の適用となる分割表のタイプには次のようなものが挙げられる
共分散分析

共分散分析（きょうぶんさんぶんせき、analysis of covariance、ANCOVA）は、分散分析（ANOVA）と回帰を組み合わせた一般線形モデルである。共変量の効果をコントロールしながら、アウトカムの平均が、カテゴリカル独立変数である処置（treatment） の水準によらず等しいかを評価する。数学的には、アウトカムの分散を、共変量による分散、処置による分散、残差分散に分解する。共分散の群平均によってアウトカムを調整していると考えることもできる。
共分散分析では、i{\displaystyle i}番目の処置群でのj{\displaystyle j}番目の観測に関して、アウトカムyij{\displaystyle y_{ij}}と共変量xij{\displaystyle x_{ij}}との間に線形関係を仮定する。
アウトカムの総平均μ{\displaystyle \mu }と共変量のグローバル平均x¯{\displaystyle {\overline {x}}}は観測データから導出される。処置効果τi{\displaystyle \tau _{i}}、β{\displaystyle \beta }（回帰直線の傾き）、ϵij{\displaystyle \epsilon _{ij}}（未観測誤差項）をフィッティングする。
この仮定の下、処置効果の総和はゼロになる。
後述のように、線形回帰モデルの標準的な仮定が成立しているものとする。
ANCOVAは、群内の誤差分散を減らし、統計的検出力（群間差がある場合に、実際にその差が有意と判定される確率）を高めるため使用できる。これを理解するためには、F検定（群間差を評価する検定）を理解する必要である。 F検定では、群間分散を群内分散で割ることによって計算する。
この値が臨界値よりも大きければ、群間に有意差があると判断する。説明できない分散には、他の要因の影響だけではく、誤差分散（個人差など）も含まれる。共変量の影響は分母にまとめられる。共変量のアウトカムへの影響をコントロールすると、それが分母から除外されて F が大きくなり、検出力が大きくなる。
ANCOVA のもう一つの使用法は、非等価群の所与の差を調整することである。割り付け前のアウトカムの群間差を修正することを目的とする。無作為割付が不可能な状況で、共変量によってスコアを調整し、比較可能性を高めるために使用される。しかし、群間差を消すことはできない。また、共変量と処置とが相関するため、共変量に関するアウトカムの分散を取り除くことで処置に関するアウトカムの分散まで取り除いてしまう可能性がある。
ANCOVAの使用の基礎となり、結果の解釈に影響を与える重要な仮定がある。標準的な線形回帰の仮定が保持され、共変量の傾きが全ての処置群で等しいと仮定する（回帰勾配の均一性）。
アウトカムと変数との回帰関係は線形でなければならない。
誤差は確率変数であり、さまざまな処置と観測に対して、平均がゼロで分散が等しい。
誤差は無相関である。すなわち、誤差の共分散行列は対角行列である。
誤差（残差）は平均ゼロの正規分布に従う。
異なる回帰直線の傾きは同じである。すなわち、回帰直線はグループ間で平行である。
異なる回帰勾配の均一性に関する5番目の問題は、ANCOVAモデルの適切性を評価する上で特に重要です。また、正規分布する必要があるのは誤差項のみであることに注意してください。実際、ほとんどの場合、独立変数と付随変数の両方が正規分布しません。
共変量が別の共変量と強く相関する場合、統計的に冗長であるため、どちらか一方の共変量を削除する。
誤差分散の均一性に関してルビーン検定を行う。共変量で調整した後の均一性が最も重要だが、調整前に均一なら、調整後も均一である可能性が高い。
共変量と処置との相互作用を確認するために、相互作用項を含めたモデルを作成する。 相互作用が有意なら ANCOVA は実行すべきではない。Green らは、共変量で層別化して、アウトカムの群間差を評価することを提案している。
回帰勾配の均一性が確認されたら、交互作用項なしで ANCOVA を実行する。この分析では、調整済み平均と調整済み平均二乗誤差を使用する。調整済み平均（最小二乗平均、LS平均、推定周辺平均、EMMとも呼ばる）は、アウトカムに対する共変量の影響をコントロールした後の群平均を指す。
主効果が有意であった場合、いずれかの処置の水準間に有意差があることを意味する。どの水準が互いに有意に異なるかを正確に見つけるために、ANOVAの場合と同じフォローアップテストを使用できる。 処置が複数ある場合、相互作用がある可能性があります。これは、アウトカムに対する1つの処置の影響が、別の要因の水準に応じて変化することを意味する。階乗ANOVAと同じ方法を使用して、単純主効果を調査できる。
従属変数の分散の一部を説明できる共変量を ANOVA に加えることで、統計的検出力が大きくことが期待される。しかし、追加した共変量が従属変数の分散をほとんど説明しない場合、自由度が減って検出力はむしろ小さくなる可能性もある。
判別分析

判別分析（はんべつぶんせき、英:discriminant analysis）は、事前に与えられているデータが異なるグループに分かれる場合、新しいデータが得られた際に、どちらのグループに入るのかを判別するための基準（判別関数）を得るための正規分布を前提とした分類の手法。英語では線形判別分析をLDA、二次判別分析をQDA、混合判別分析をMDAと略す。1936年にロナルド・フィッシャーが線形判別分析を発表し、1996年に Trevor Hastie, Robert Tibshirani が混合判別分析を発表した。
3つ以上のグループの判別は重判別分析や正準判別分析と呼ばれる。
判別関数には以下の物などがある。
線形判別分析は、以下の前提条件が成立する必要がある。
その上で、マハラノビス汎距離が等距離の所に直線を引く。これらの前提条件が成立しないとおかしな結果になる。
各グループの平均が異なる以上、分散が異なることは多々ある。等分散性の仮定を外した物が二次判別分析である。それぞれのグループで異なる共分散行列を使用してマハラノビス距離を計算して、等距離になる場所を判別曲面とする方法である。この方法は二次関数となり、正規分布が成立している場合は正しい結果になる。
線形判別分析において、グループ間の確率のロジットは線形関数となるが、ここで線形関数という仮定を残したまま、正規分布や等分散性の仮定を外すとロジスティック回帰や単純パーセプトロンになる。
さらに別な方法としては、線形判別関数を使用したい場合は、線形サポートベクターマシンで線形判別関数を求めるという方法もある。
線形判別関数は以下の通り。これの正負で判断。x{\displaystyle x}は入力、μ{\displaystyle \mu }は平均、Σ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }は共分散行列。この式は多変量正規分布の式より導出できる。
より細かく、線形判別関数 (y=∑i=1naixi+a0{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+a_{0}}) の求め方を以下に示す。
グループの平均を中心に回転・軸方向のスケーリングを行い共分散行列を揃え、線形判別分析を行えば良い。
単一の正規分布ではなく、混合正規分布で表現した物を混合判別分析という。その場合でも共分散行列は共通の物を使う。混合正規分布を使うことにより複雑な分布も扱えるようになる。混合正規分布はEMアルゴリズムなどで求める。
計量テンソル

リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英:metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。
ひとたびある座標系xが選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字Gがあてがわれ、各成分はgijとされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。
以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。
時刻t1からt2までの曲線の長さは、tをパラメータとして、
と定義される。
この定義からわかる通り、gijは、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。
このとき2つの接ベクトル（tangent vector）U=ui∂∂xi{\displaystyle U=u^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}\ }とV=vi∂∂xi{\displaystyle V=v^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}\ }のなす角度θは、
で与えられる。
2次元のユークリッド計量（平らな空間、直交直線座標系）では、その全域において、計量テンソルがクロネッカーデルタまたは単位行列となる。すなわち
で与えられ、曲線の長さは良く知られた
で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る。
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。
•ポアンカレ円板
ds2=(4/(1−(x2+y2))2)(dx2+dy2){\displaystyle ds^{2}=(4/(1-(x^{2}+y^{2}))^{2})(dx^{2}+dy^{2})}
測地線

微分幾何学において測地線（そくちせん、英:geodesic）とは、曲面（より一般的にはリーマン多様体）上の曲線であって、その上の十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。ユークリッド空間における直線の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、地球の大きさと形状を測定する学問である測地学に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状の地球の場合、大円の一部となる。測地線の中でその長さが最小のものは最短測地線という。
リーマン空間において、ある曲線が曲面上の測地線となるための必要十分条件は、曲線の主法線と曲面の接平面の法線とが曲線に沿って常に一致することである。
この概念は、数学的な空間にも拡張され、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点(vertex) や結節点(node) 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。
1697年、ヨハン・ベルヌーイは、曲面上の２点をその曲面上で結び、その長さを最小にする問題を考え、このような長さの最も短い曲線を、この曲面上の測地線（geodesic）と呼んだ。そして、測地線上の点での接平面の法線がその点で曲面に垂直であることを発見した。1698年、ヤコブ・ベルヌーイは円筒、円錐、回転面上の測地線を求めた。1728年、レオンハルト・オイラーは自身の開発した変分法を用いて、曲面上の測地線が満たす微分方程式を導出した。
典型的な測地線は、測地学の対象でもある地球上の2点を結ぶ最短曲線である。地球を単純に球面であるとする。例えば、東京とニューヨークの間を最短距離で移動するためには、東京とニューヨークを通る大円に沿った移動を行えばよく、この大円の一部こそ、測地線と呼ばれるものになる。
2点間の最短距離を示す曲線は測地線となるので、2点を結ぶ測地線の中で最短のものが2点の最短距離を示すと考えてよい。その意味で、測地線というのは、2点間の最短距離を測るための曲線の候補の集まりであるともいえる。ちなみに、2点を北極と南極のような対極の位置に取れば、この2点を結ぶ最短測地線は無数にあることにも注意されたい。
球面では測地線は閉曲線となるが、回転楕円体面上など一般には測地線は閉曲線とならない。
計量テンソルgij{\displaystyle g_{ij}}を持つリーマン多様体上の微分可能な曲線x(t){\displaystyle x(t)_{}^{}}のある一点x(t1){\displaystyle x(t_{1})}から他の一点x(t2){\displaystyle x(t_{2})}までの長さ S は積分
で与えられる。この変分δS{\displaystyle \delta S}についてδS=0{\displaystyle \delta S=0}となる曲線x(t){\displaystyle x(t)}をそのリーマン多様体の測地線と呼ぶ。この曲線x(t){\displaystyle x(t)}についてδS=0{\displaystyle \delta S=0}となるための必要十分条件は曲線x(t){\displaystyle x(t)}がオイラー＝ラグランジュ方程式
を満たすことである。
整理すると、
となる。上式にgka{\displaystyle g^{ka}}を掛け合わせ a に関して足しあわせを行うと、
となるが、ここで弧長s を媒介変数の一次関数と置き直せばs¨=0{\displaystyle {\ddot {s}}=0}となる。特に媒介変数 t を弧長 s と置き直せばより簡単になり、
を得る。最後にクリストッフェル記号
で置き直せば、上式は、
と表されることになる。これを測地線の方程式（geodesic equation）という。s{\displaystyle s}はx(s){\displaystyle x(s)}の始点からの長さを表す弧長パラメータである。たとえば、3次元の空間が平坦である場合は、gμν=diag(1,1,1){\displaystyle g_{\mu \nu }^{}={\rm {diag}}(1,1,1)}であり、接続はすべて0となる為、測地線の方程式は単にd2xids2=0{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}=0}となる。つまり、xi{\displaystyle x^{i}}はs{\displaystyle s}の1次式であり
通常の直線の方程式を表すこととなる。
この方程式は、最短測地線の満たすべき「2点間の最短距離を示す」という性質、或いは、「測地線x(τ){\displaystyle x(\tau )}の接ベクトル場はレヴィ-チビタ接続（リーマン接続）に関して平行である」という性質により導かれる。
繰り返しになるが、微分方程式は局所的な情報を与えるものなので、大域的な曲線の長さなどを表すものではなく、したがってこの方程式で定義される測地線が必ずしも最短測地線とはならないことに注意されたい。
一般相対性理論では時空を4次元の擬リーマン多様体として記述する。時空上の試験粒子（時空への重力的な反作用を与えない仮想的な質点である。電荷やスピンなどの性質は通常持たないと考える）や光の経路は測地線で記述されると考えられている。いわゆる自由落下している物体の軌跡は測地線で表されると考えるのである。たとえば、地上でボールを放り投げたときに描く放物線も4次元の時空の中でその軌跡を捉えれば測地線である。一般相対性理論では測地線は時空の因果構造を定義するときに重要な役割を果たす。ブラックホールの定義や特異点定理、そのほか数学的な時空の定式化には欠かせない道具である。
回転楕円体面上の測地線は、地球の場合に大圏コースに対応する。経線に沿う測地線は子午線弧。
IJ (이중음자)

IJ(소문자ij)는i와j를 합친이중음자이다. 보통은 두 문자가 서로 연결되어 있지 않고 사이의 간격만 좁을 뿐이다. 일부의 경우합자로 쓰이는 경우도 있고, 드물게는 독립적인 글자로 분류하는 경우도 있다.
네덜란드어에서 Ĳ의 발음은 보통[ɛi]이며, 표준 네덜란드어를 포함한 대부분의 방언들에서는 ei와 같은 발음이다. (일부 방언에서는 두 발음이 구분되는 경우도 있다.)네덜란드어철자법은 두 표기가 언제 쓰여야 할지 구분하고 있다.
Ĳ나 ĳ를 종종 한 글자로 보는 경우가 있다. 대부분의 네덜란드인들은 필기체에서 ĳ를 ÿ와 같은 모양으로 쓰며, Ĳ를 Y와 같은 모양으로 쓰는 경우도 있다. 네덜란드어에서Y는 오로지외래어에만 쓰이지만,아프리칸스어에서는 Ĳ 대신 Y를 쓰며,미국이나캐나다로 이민한 많은 네덜란드인들은 이름의 ĳ를 y로 바꿔서 사용하기도 한다.
네덜란드어에서는 Ĳ를 대문자로 바꿀 경우 i와 j 모두 대문자로 써야 한다. 예를 들어 Ĳsselmeer(에이설호)가 맞고, Ijsselmeer는 잘못된 표기이다.
세로쓰기에서는 Ĳ를 2줄에 나누어 쓰기도 한다.
유니코드에는 다음 글자가 있다. 이 문자들은 기존 인코딩과의 호환을 위해 추가된 호환분해문자(compatibility decomposable character)이며,유니코드 표준에서는 호환문자는 특수한 목적을 제외하고는 사용하지 않을 것을 권장하고 있다.
이중음자

이중음자(二重音字)란 두 개의 글자 조합으로 이루어져 하나의 음소를 나타내는문자의 짝이다. 이철일음자(ニ綴一音字)라고도 한다. 보통로마자에서 자주 사용되나,한글의 ㅏ+ㅣ로 이루어진 ㅐ나, ㅗ+ㅏ로 이루어진 ㅘ, ㄱ+ㅅ으로 이루어닌 ㄳ 등도 관점에 따라 이중음자의 일종으로 볼 수 있다. 보통 기본 자모만으로 특정 언어의 음소를 모두 표기할 수 없을 때 사용한다. 이중음자는 경우에 따라 하나의 독립된 자모로 간주하기도 한다. 예를 들어 이중음자 ch를 독립 자모로 간주하는 경우, 사전에서는 c 다음에 ch를 독립 항목으로 설정하여 표제어가 ... ca – cb – cc … cg – ci ... cz – cha – chb … chz – d …의 순서가 된다. 반면, 이를 독립 자모로 간주하지 않는 경우는 cg와 ci 사이에 ch가 나타난다. 이중음자는 각 언어마다 음소와의 대응 규칙이 다르다.
이중음자의 예로는qu,ch,sh,th,wh,tz,rr,ll,rz,zs,sx,dh,rh,bb,dd,rs,yy,sz,zx,ds,gu,gh,zh,xx,sy,zy,pp,tt,nn등이 있다.
ISO/IEC 8859-1

ISO/IEC 8859-1:1998(별칭:Information technology - 8-bit single-byte coded graphic character sets - Part 1: Latin alphabet No. 1)은ISO/IEC 8859의 일부인 문자 집합으로, 약칭 라틴-1(Latin-1)로 불린다.
IANA에서 정의한MIME이름은ISO/IEC 6429의C0과 C1 제어 문자를 포함하여ISO-8859-1로 되어 있고, 별칭은iso-ir-100,ISO_8859-1,latin1,l1,IBM819,CP819로 정의되어 있다.Windows-1252가 ISO-8859-1과 통하는 것으로 알려져 있으나, Windows-1252는 ISO-8859-1에서 C1 제어 문자가 있던 0x80~0x9F의 범위에ISO 8859-15를 대신 넣은 것으로 완벽히 일치하지는 않는다.
ISO/IEC 8859-1은 다음과 같은 언어를 표현할 수 있다.
위에 언급된 언어에서, ISO/IEC 8859-1에 제 언어에 맞는따옴표가 빠진 경우가 있다. ISO 8859-1에는« », " ", ' '의 따옴표만이 있고, 6이나 9 모양의 열거나 닫는 큰따옴표와 작은따옴표도 지원하지 않는다. 일부 글꼴은 공간을 차지하는악상 그라브(`, 0x60)와어포스트로피(', 0x27)를 각각 여는 작은따옴표와 닫는 작은따옴표로 나타내나, 이는 근래의 표준에 비춰 볼때 옳은 방법이 아니다.
크메르 문자

크메르 문자(크메르어:អក្ខរក្រមខេមរភាសា억커러크롬 크마에피어서)는캄보디아의 법적공용어인크메르어를 표기하는 문자이다.
이 문자는 인도의브라흐미계 문자에 속한아부기다이며, 왼쪽에서 오른쪽으로 쓴다. 같은 문장 안의 단어 또는 구문은 일반적으로 사이에 공백없이 표기된다. 단어 내의복합 자음군(consonant cluster)은 한 음절에 겹쳐지며, 두번째(간혹 세번째) 자음이 주 자음 아래의 첨자 형태로 쓰여진다. 원래 35개의 자음 문자가 있었으나 현대 크메르어에서는 33개만 사용한다. 각 문자는 고유한 모음(â 또는 ô)과 함께 자음을 나타낸다.
일부 독립된 모음 문자가 있지만 모음 소리는 의존 모음이 더 일반적으로 표시되며, 자음 문자를 수반하는 추가 기호와 해당 자음(또는 복합 자음군) 다음에 어떤 모음 소리가 발음되어야 하는지를 나타낸다. 대부분의 의존 모음은 추가되는 자음의 고유 모음에 따라 대부분의 경우 두 가지 다른 발음을 갖는다. 발음의 추가 수정을 나타내는 데 사용되는 발음 구별 부호도 있다. 크메르 문자에는 고유한 숫자와 문장부호도 포함되어 있다.
크메르어 문자는 33개의 자음을 갖고 있으며 유성음과 무성음, 두가지 종류로 분류된다. 무성 자음들은 딸림모음으로 ' â /ɑː/ (어)'를 갖고 있는 반면에, 유성 자음들은 딸림모음으로 'ô /ɔː/ (오)'를 갖고 있다. 중기 크메르 시대의 음성 변화는 무성 자음 뒤에 오는 모음에 영향을 주었고 이러한 변화는 독특한 유성음이 손실되었음에도 불구하고 보존되었다.
다수의 자음이 복합적으로 쓰여질때, 첫 자음을 제외하고는 첨자의 형태로 쓰여진다. 대부분의 아래 첨자 자음은 해당 자음 기호와 유사한 형태이나 일부 경우에는 명백한 유사성이 없지만 더 작고 단순화된 형태일 수 있다. 대부분의 아래 첨자 자음은 다른 자음 바로 아래에 작성되지만 아래 첨자 r은 왼쪽에 표시되고 일부 다른 자음에는 오른쪽에 나타나기도 하다. 첨자는 자음군(단어 사이에 모음 소리가 없는 단어에서 연속적으로 발음되는 자음)을 작성할 때 사용된다.
자음과 첨자 형태는 아래 표에 나열되어 있으며, 일반적으로 표음 값은국제음성기호(IPA)를 사용하여 표기되며, 변형은 표 아래에 설명되어 있다. 자음 문자는 딸림 모음과 함께 발음을 표기하였다. 음역은UNGEGN시스템을 사용하였다.
크메르 문자 체계에는 특정 차용어, 특히프랑스어와태국어에서 사용되는 보조 자음이 포함된다. 대부분 토착 단어에서 발생하지 않거나 토착 문자가 두 모음 계열 중 하나로 제한되는 소리를 나타낸다. 대부분은ហhâ아래 첨자를 겹쳐서 형성되는 이중음자이며 고유 모음을 ô로 변경해야 하는 경우 추가 treisăpt 분음 부호를 사용한다. 그러나 pâ의 문자는 문자បbâ위에 musĕkâtônd("쥐이빨") 분음 부호를 배치하여 형성된다.
대부분의 크메르 모음은 크메르어로ស្រៈនិស្ស័យsrăk nĭssăy또는ស្រៈផ្សំsrăk phsâm("연결 모음")으로 알려진 의존 모음으로 작성된다. 이 모음은 자음(또는 복합 자음군)과 조합해서만 쓸 수 있다.
대부분의 모음 기호는 추가되는 자음의 딸림모음에 따라 두 가지 발음이 가능하다. 이들의 발음은 약한 음절과 짧은 음절(예를 들어 발음 구별법)에서도 다를 수 있다. 종속모음(또는 발음기호)가 없으면 종종 초성자음 뒤의 딸림모음 소리가 뒤따른다.
각 의존 모음의 구어 이름은 단어ស្រៈsrăk[sraʔ]("모음") 다음에 성문 파열음이 오는 모음의 a 계열 값으로 구성된다.
일부 크메르 분음 부호를 추가하면 고유 또는 의존 모음의 길이와 값을 수정할 수 있다.
다음 표는 마지막[m]및[h]를 나타내는nĭkkôhĕtandreăhmŭkh분음 부호의 조합을 나타낸다. a 계열 자음អ’â와 함께 표시한다.
여기에 나열된 처음 4개의 구성은 자체적으로 의존 모음으로 취급되며 다른 의존 모음과 동일한 방식으로 구성된 이름을 가진다(이전 문단에서 설명됨).
reăhmŭkh와 함께 다른 드문 구성은[əh]로 발음되는អើះ(orអឹះ) 및[eh]로 발음되는អែះ이다.ចា៎ះ"예"(여성이 사용) 단어는 [caː]로 발음되나 드물게[caːh]로 발음된다.
bânták(음절의 마지막 자음 위에 작은 수직선)은 다음과 같은 효과가 있다.
sanhyoŭk sannha는bântăk를 가진 의존 모음과 같다. 그러나 o 계열 발음은 마지막y앞에서[ɨ], 마지막(무음)r앞에서[ɔə]가 된다.
yŭkôlpĭntŭ(쌍점)은[a](a 계열) 또는[ĕə](o 계열)를 나타내며 뒤에 성문 파열음이 나타난다.
독립 모음은 자음 기호에 붙지 않고 단독으로 표기되는 모음 문자이다. 크메르어로는 "완전한 모음"을 뜻하는ស្រៈពេញតួsră pénh tuŏ라고 부른다. 일부 단어에서는 초기성문 파열음또는유음과 모음의 특정 조합을 나타내기 위해 사용된다. 독립 모음은 소수의 단어에 사용되며, 대부분 인도어에서 유래했으며, 결과적으로 사용법과 발음에 약간의 불일치가 있다.그러나 이러한 현상이 발생하는 몇 가지 단어는 상당히 자주 사용된다.
그러나 이 독립 모음이 나오는 몇 단어는 꽤 자주 사용되며, 다음 몇가지가 포함된다.:ឥឡូវĕlov[ʔəjləw]"지금",ឪពុកâupŭk[ʔəwpuk]"아버지",ឬrœ[rɨː]"또는",ឮlœ[lɨː]"듣다",ឲ្យaôy[ʔaoj]"주다, 알리다",ឯងêng[ʔaeŋ]"당신, 너",ឯណាê na[ʔae naː]"어디에".
독립 모음 문자는 의존 모음과 유사하게 이름이 지정된다. 단어ស្រៈsră[sraʔ]("모음) 다음에 해당 문자의 주요 소리(위의 발음 또는 위에 나열된 발음 중 첫 번째)가 오고, 단모음 뒤에 성문 파열음이 추가된다. 짧은 모음 뒤에. 그러나 ឥ 문자는ស្រៈឥsră ĕ[sraʔ ʔeʔ]라고 한다.
크메르어 문자 체계에는 발음의 변화를 나타내는 몇 가지분음 부호(វណ្ណយុត្តិ,vônnâyŭttĕ,발음[ʋannajut])가 포함되어 있다.
예를 들어 72를 크메르 문자로 작성할 때에는៧២라고 표기한다.
IJ

Ĳ,ĳ—диграф, состоящий из букв i и j. Его часто называютлигатурой, хотя в большинствешрифтовэти буквы не сливаются. Также его часто считают отдельной буквой. Используется внидерландском языке, где он означает обычнодифтонг[ɛi]. В стандартном нидерландском и большинстве нидерландских диалектов этот дифтонг можно записать двумя способами: ij и ei, что создаёт определённые проблемы для школьников. Тем не менее в некоторых диалектах сохраняется различие в произношении ei и ij.
Часто происходит путаница между буквами Ĳ и Y. В современном нидерландском Y встречается только в заимствованиях и старых вариантах написания. В математике Y обычно читается Ĳ (хотя формально Y называется Griekse Ĳ («греческое Ĳ»), I-grec или Ypsilon). В США и Канаде имена голландских иммигрантов обычно англизируются с заменой Ĳ на Y (например, Spĳker → Spyker). В языкеафрикаансY полностью заменила Ĳ. Это произошло потому, что прописью ij пишется очень похоже на y .
Диграфĳпроисходит от двойногоi, которое в средние века обозначало долгое [iː]. В те временаiчасто писалось без точки, и поэтомуııможно было легко спутать сu. Для облегчения чтения вторуюiстали писать с хвостиком. Официальный статус диграфĳполучил в 1804 г.
Припереносе словаĳ никогда не разделяется.
Если нидерландское слово должно начинаться с заглавной буквы, то ĳ становится заглавным целиком: Ĳsselmeer, Ĳmuiden. Однако воФландриииногда встречаются написания, нарушающие это правило (например, Ijzer).
При сокращении имён Ĳ сохраняется целиком, например Ĳsbrand Eises Ypma → Ĳ. E. Ypma.
При алфавитной сортировке используются три метода:
В вертикальном письме, при набореразрядкой, при использованиишрифтов фиксированной ширины, вкроссвордахи тому подобных играх, при чтении «по буквам» Ĳ может трактоваться и как самостоятельный неделимый знак, и как две отдельные буквы I+J.
ВЮникодеесть отдельные символыU+0132Ĳlatin capital ligature ij,U+0133ĳlatin small ligature ij, однако в подавляющем большинстве нидерландских электронных текстов используются сочетания обычных латинских букв I+J и i+j.
При необходимости поставитьударениезначокакутадолжен ставиться над обоими компонентами диграфа (íj́), хотя в компьютерном наборе часто ударение ставят только над i из-за технических ограничений.
На большинстве нидерландских (но не бельгийских)пишущих машинокбыла отдельная клавиша для ĳ. В современных компьютерныхраскладках клавиатурытакой клавиши нет.
В некоторых словах ij не является диграфом — например, на стыкеморфемв слове bijectie (биекция, читается bi-jec-tie). Для таких слов все вышеупомянутые правила неприменимы.
Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнениемэлементаaij{\displaystyle \ a_{ij}}матрицыA{\displaystyle \ A}называется число
гдеMij{\displaystyle \ M_{ij}}—дополнительный минор,определительматрицы, получающейся из исходной матрицыA{\displaystyle \ A}путём вычёркиванияi-й строки иj-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:
Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу).Определитель матрицыA{\displaystyle A}может быть представлен в виде суммы
Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:
Лемма о фальшивом разложении определителя.Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть∑j=1nai1jAi2j=∑i=1naij1Aij2=0{\displaystyle \ \sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0}приi1≠i2{\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}иj1≠j2{\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}.
Из этих утверждений следует алгоритм нахожденияобратной матрицы:
Гаплогруппа IJ

Гаплогруппа IJ(P123, P124, P125, P126, P127, P129, P130) — Y-хромосомнаягаплогруппачеловека. ГаплогруппаIJпроизошла отIJK, которая, в свою очередь, — от макрогруппыF. Её наследниками являются гаплогруппыIиJ. Потомки гаплогруппыIJсоставляют значительную долю современного населения Западной Евразии, Северной Африки, обеих Америк и Австралии.
Гаплогруппа IJ происходит от мутации гаплогруппы IJK, произошедшей у мужчины, жившего ок. 47,2 тыс. лет назад (даты определены по снипам компанией YFull). Никаких представителейпарагруппыIJ(то есть не относящихся либо кI, либо кJ) пока не зафиксировано; на существование этой гаплогруппы указывает наличие некоторых общих мутаций в Y-хромосомах происходящих от неё гаплогруппIиJ. Ввиду этого попытки определить место её возникновения затруднены; однако тот факт, что как одна, так и другая распространены среди современного населенияКавказаиМалой Азии, позволяет предположить, чтогаплогруппа IJпроизошла изгаплогруппы IJKв районеБлижнего Востокаили где-то вЗападной Азиии в дальнейшем распространилась по Западной Евразии. Есть гипотеза её возникновения вЕвропевремён последнего ледникового максимума, во время которого ветви этой гаплогруппы разделились из-за ухудшения условий климата и оказались в разных регионах.
Последний общий предокдлягруппыIJжил приблизительно 38,5 (30,5-46,2) тыс. лет назад.
Вполне вероятно, что именно к группеIJпринадлежаликроманьонцы(или их большая часть), первые представителилюдей современного типа, пришедшие в Европу около 40 тыс. лет назад, встретившие тамнеандертальцеви на протяжении 15 тысячелетий сосуществовавшие с ними до их исчезновения впоследний ледниковый период. Ещё 20 тысячелетий после этого (до вторжения индоевропейцев) потомки этих кроманьонцев (гаплогруппаI), по всей видимости, составляли большую часть населения Европы.Гаплогруппа I, возникшая 25—20 тыс. лет назад, вероятнее всего, выделилась из локальной европейской субкладыIJ, таким образом являясь единственной «большой» гаплогруппой, возникшей в Европе. Разделение гаплогруппы IJ на гаплогруппы I и J произошло 44 тыс. л. н. (95 % доверительный интервал — 41−47 тыс. л. н.), по данным компании YFull — 42,9 тыс. лет назад.
IJ

Ĳ,ĳ（I-J）是荷兰语的二合字母之一，名称发音大致为“yei”，在单词中读“ai”。Ĳ在国际音标中发[eɪ]或[ɛɪ]音。这两个字符编码，纯为提供对旧电脑系统的支援，现已不再鼓励使用，根据European rules for the use of the IJ in public records（页面存档备份，存于互联网档案馆），现在应使用两个字母的ij。
常见的带有ij的词语：
荷蘭語

荷兰語（荷蘭語：Nederlands，英語：Dutch），简称荷語，属於印欧语系日耳曼语族的西日耳曼语支，主要通行於荷蘭全境，比利時弗拉芒大区與南美洲国家蘇利南全境（這三個國家共同組成荷蘭語聯盟）。荷兰语是荷蘭、比利時、苏里南和阿魯巴、庫拉索及荷屬聖馬丁的官方語言，并在被荷蘭統治了四個世紀的印度尼西亞也有日常的使用。全世界约有2400万人以荷兰语为第一母语。
荷兰语字母表由26或27個拉丁字母组成，除A至Z外，在Y后面有一个Ĳ。荷兰语有时用 Ĳ 代替Y。
荷兰语与英语和德语接近，同属西日耳曼语支。荷兰语是由古代低地德语诸方言演变而来，最早的荷兰语文献可追溯到12世纪的佛兰德。当代荷兰语是五种方言群体的集合：中西部方言（包括南、北荷兰省，乌德勒支，海尔德兰的大部和西兰的岛屿等地区使用的方言），东北方言（格罗宁根、德伦特、上埃塞尔和海尔德兰东部使用的方言），中南部方言（北博拉班特及其周边的林堡地区，比利时的安特卫普、博拉班特和东弗兰德斯），西南部方言（西弗兰德斯）和东南部方言（荷兰的林堡地区大部和比利时的同名地区）。东北方言通常被称为萨克森方言，东南方言被称为东部低地法兰科方言，其他的三个群体则被称为西部低地法兰科方言。荷兰的弗里斯兰省的语言通常单独列为一种语言：弗里斯兰语。南非荷兰语是17世紀殖民者所說的荷蘭語的變種，有相當數量的馬來、班圖諸語言的借詞和語法散佈其中，南非白人的祖先名為布爾人，其名稱的由來是來自荷蘭語中boer（農夫）這個單詞。
荷兰语是一种SOV语言，语序为主语-宾语-谓语。荷兰语大部分句子遵循动词第二顺位原则，指将子句或句子的限定动词放在第二位置，并且在其前面有一个单独的成分，用作子句主题。在大部分句子中，主要顺序（不倒置）为：主语-限定动词-间接宾语-确定时间和地点的状语-直接宾语-谓语-非谓语部分。
在从句中，动词第二顺位则不再适用，发生反转（如同德语），变回SOV语序。
在荷兰语文法中，名词的性决定了修饰或指代它的冠词、形容词与代词形式。荷兰语中的性是一个很复杂的话题，因为取决于地理区域与说话者本身的不同，荷兰语的性有两种情况:第一种是通性与中性；第二种是三性（阴性、阳性与中性）。其中荷兰王国的荷兰语属于第一种情况，即两种性；比利时的荷兰语（又称弗拉芒语）则仍保留三种性。传统上，荷兰语的名词与德语、冰岛语等一致，仍延续了日耳曼语言中的三个性：阴性、阳性与中性。阴性和阳性名词（或通性）都用定冠词de，包含了一半以上的荷兰语名词；中性名词使用定冠词het，这类词语占了一小部分。两种词汇并无记忆规律，因此荷兰语语法中的性对于将荷兰语作为第二语言的学习者常常较为困难。
常用語句如下：
荷蘭語是荷兰王国（包括荷蘭本土、荷屬加勒比、阿魯巴、库拉索及荷屬聖馬丁）、比利时、南非和蘇里南的官方語言。荷蘭同時亦是數個國際組織的官方語言，包括歐盟、南美洲國家聯盟、加勒比共同體、荷蘭語聯盟等。全球40個國家的175個大學設立荷蘭語課程。各地大學大概有1.5萬名學生學習荷蘭語。
牛顿流体

牛顿流体（英語：Newtonian fluid）指应力与应变率成正比的流体。此比例係數為流体的黏度。
牛顿流体特性的基本方程為：
其中
这意味着不论流体所受的力如何，流体都能继续流动，即使是水仍然不属于牛顿流体，因为只要搅拌的够快，它就会表现出非牛顿流体的性质。
对于牛顿流体来说，黏度只与温度和压强有关，与流体所受的力无关。
如果流体是不可压缩的，且黏度总是不变的，则决定剪应力的方程为：
随动应力张量P{\displaystyle \mathbb {P} }（也可写为σ{\displaystyle \mathbf {\sigma } }）为：
其中
如果流体不服从这个关系，则称为非牛顿流体。
初等矩阵

线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。
初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。
初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某列的变换。
此变换 Ti j将单位矩阵的第 i 行的所有元素与第 j 行互换。
此变换 Ti(m) 将第 i 行的所有元素乘以一個非零常数 m。
此变换 Ti j(m) 将第 i 行加上第 j 行的 m 倍，其中 m 为第 i 列第 j 行的元素。
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
S波

S波（S-wave，secondary wave）是二種體波（體波的命名是因為此波穿越地球內部，相對於體波的是表面波）中之一。它是因地震而產生的，被地震儀記錄下來。命名為S波（二次波，secondary wave）是因為它的速度僅次於P波（最快的地震波）。S波也可以代表剪切波（shear wave），因為S波是一種橫波，地球內部粒子的震動方向與震波能量傳遞方向是垂直的。S波與P波不同的是，S波無法穿越外地核。所以S波的陰影區正對著地震的震源。
S波移动时是剪切波或横波，因此其运动方向与波的传播方向是垂直的，若要形象地描述S波，可以认为S波是挥动绳子时，绳子上传播的波，这与P波是不同的。P波是一种纵波，纵波就如振动的弹簧上传播的波，其形态就像蠕虫一样。S波通过弹性介质移动，而主要的恢复力来自於剪切效应。这些波是不发散的，遵守不可压缩介质的连续性方程：
S波预测来自於1800年代的理论，最初来自於各向同性固体的應力－应变关系：
其中τ{\displaystyle \tau }是应力，λ{\displaystyle \lambda }和μ{\displaystyle \mu }是拉梅参数（μ{\displaystyle \mu }是剪切模量），δij{\displaystyle \delta _{ij}}是克罗内克函数，而应变张量定义为
其中u是应变位移。将後式代入前式得到
这种情况下的牛顿第二定律给出了地震波传播的运动齐次方程：
其中ρ{\displaystyle \rho }是质量密度。代入上面的应力张量得到：
利用向量恒等式并取一定的近似可得到均匀介质中的地震波方程：
其中牛顿标记（英语：Newton's notation）用於表示时间导数。取方程的旋度并利用向量恒等式最终得到：
这一方程是一个只包含了u的旋度和速度β{\displaystyle \beta }的波动方程，其中β{\displaystyle \beta }满足
这一公式描述了S波的传播。若用均匀介质中的地震波方程的散度代替旋度，则会得到描述P波传播的方程。
ه (رياضيات)

العددهـ‍(بالإنجليزية:e{\displaystyle e})‏، يسمى أيضًاعدد أويلرأوثابت أويلرنسبةً إلى العالم السويسريليونهارت أويلر، أوثابت نابيرنسبة إلى عالمالرياضياتالإسكتلنديجون نابير، أوالعدد الهائينسبةً إلى رمزه العربيهـ؛هوعدد حقيقيغير نسبييساوي تقريبا 2.718281828 أو مختصرا بالتقريب 2.72، حيث مجموع الكسور في المتوالية التالية لا ينتهي وتصغر عناصر المتتالية باستمرار.
للعدد النيبيري أهمية كبيرة فيالرياضياتوالعلوم، وقد فتح الباب لحلالمعادلات التفاضليةوخصوصاً الخطية والمثلثية. قدم الثابت الحسابي هـ (e{\displaystyle e}) إجابات على عدد من المسائلالفيزيائيةوالهندسيةلا حدود لها وخصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في مجالالأعداد المركبة(خصوصا فيالهندسة الكهربائية) فيعطي حلاً لكثير
من المسائل ينتج عنها دالةالجيبأوجيب التمام(طالعمعادلات دوال مثلثية).
نشرت أول إشارة لهذه الثابتة عام 1618 في عمللجون نابيرحول اللوغاريتمات. و لكن اكتشاف الثابت الفعلي يُنسب إلىياكوب بيرنوليالذي حاول ايجادنهايةللمتتالية التالية:
اكتشفيعقوب بيرنوليالثابت خلال دراستهللفائدة المركبة.
الثابت الرياضيeهو عدد حقيقي فريد من نوعهفمشتقدالتهf(x)=ex{\displaystyle f(x)=e^{x}}عند النقطةx=0{\displaystyle x=0}تساوي الواحد تماما ً. يطلق على هذه الدالة اسمدالة الأس الطبيعي، وعلى معكوسها دالةاللوغاريتم الطبيعي.
يمكن حساب قيمته من خلال السلسلة الآتية:
أوlimn→0(1+n)1/n{\displaystyle \lim _{n\to 0}\left(1+n\right)^{1/n}}
العددe{\displaystyle e}عدد غير نسبي(أصم). برهن على ذلكأويلربالبرهان على كونالكسر المستمر البسيطالممثل لe{\displaystyle e}غير منته (انظر أيضا إلىالبرهان على أن e عدد غير جذريمن طرففورييه).
يمكن أن تكتبدالة الأسعلى شكلمتسلسلة تايلوركما يلي:
صيغة أويلر:
حيث أنi{\displaystyle i}عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أنi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1})، وx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
الدالة العامة:
هي الحل للمعادلة التفاضلية التالية:
يرسم منحنىالدالة النيبيريةبعدة أشكال، وهذا هو الشكل الأساسي:
لاحظ أن:ddxeu=eududx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{u}=e^{u}{\frac {du}{dx}}}
E

E\إيه\هو خامس حرف فيالأبجدية اللاتينية، ويسمى فياللغة الإنجليزية«إي» [i].حرف E هو مشتق من الحرف الإغريقيΕ(يلفظ إيپسيلون، والحرف الصغير هو ε) المشابه له في الشكل واللفظ. E هو حرف علة فياللغة العربيةويلفظ منحرف الياءأو مثلفياللغة العربية. وفي كثير من الأحيان يكون صامتاً في اللغة الإنجليزية عندما يكون في نهاية الكلمات، إلا أن وظيفته غالباً تغيير لفظ الكلمة، فمثلاً rat (تلفظ «رات»)، وrate (تلفظ «ريت»).
الحرف الكبير E في الترميز (Unicode) يكتب U+0045، والصغير e يكتب U+0065. فيالآسكي(ASCII) يكتب الحرف الكبير 69 والصغير 101. فينظام العد الثنائييكتب الحرف الكبير 01000101 والصغير 01100101. شفرةكود التبادل الموسع للترميز العشري الثنائيللحرف الكبير 197 والصغير 133. في لغةHTMLوXMLيكتب الحرف الكبير "E" والصغير "e".