دالة أسية

الدالة الأسية(بالإنجليزية:Exponential Function)‏ هي كل دالة تُكتب على الشكلf(x)=ax{\displaystyle f(x)=a^{x}}حيثx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }وa{\displaystyle a}عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان0<a<1{\displaystyle 0<a<1}فإن الدالةax{\displaystyle a^{x}}تكونتناقصيةوتسمى دالةتضاؤل أسي، أما إذا كانa>1{\displaystyle a>1}فإن الدالة تكونتزايديةوتسمى دالةنمو أسي.
مثال آخر للدالة الأسية:
أي أنالدالة الأسيةبصفة عامة:
X = y
تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلاen{\displaystyle e^{n}}حيث e هو الثابت الطبيعي المسمىعدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصةen{\displaystyle e^{n}}لها استخدامات واسعة فيالفيزياءوالكيمياءوالهندسة الكهربائيةوالهندسة الميكانيكيةوالإحصاءوغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.
التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.
من خواص الدالة الأسية:
الدالة العكسيةللدالة الأسية هياللوغاريتم(log) ذو الأساس a حيث تحولax{\displaystyle a^{x}}إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:
حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق علىاللوغاريتمللأساس 10.
يمكن تحويل الدالة الأسيةax{\displaystyle a^{x}}إلى أي أساس آخرb{\displaystyle b}:
وتنطبق القوانين التالية عليها:
وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبةa{\displaystyle a\,}وb{\displaystyle b\,}وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبةx{\displaystyle x}.
من أهم الدوال الأسيةالمستعملة في العلوم مثلكالفيزياء النوويةوالفيزياء الذريةوالكهرباءوالهندسة الكهربائيةهي الدالة ذات الأساس e أيex{\displaystyle e^{x}}واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمزln، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».
الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:
أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.
هناك الحالة الخاصة عندما يكونالأساسهوالثابت الطبيعي e(تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).
وتكتب باللغة الإنجليزية:
حيث n هو الأُس للأساسالثابت الطبيعيالثابت «ه»والذي يساوي 2.718281828
وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.
أو بالتفصيل:
x = e
من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:
وذلك لجميعa>0{\displaystyle a>0}وجميعx{\displaystyle x}الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى فيالفيزياء(مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفيالكيمياء(مثل:اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)
وفيالفيزياءبالنسبة إلىالدارة الإلكترونيةحيث تتزايد مثلا شحنةمكثفطبقا للدالة الأسية مع الزمن x = eحيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e.
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمالمتسلسلة قوى:
أقل شيوعا يمكن تعريف eكحل للمعادلة التالية:
هي أيضا تساوي النهاية التالية:
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:
وعندما نختار لها الشرط:
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكونa>0{\displaystyle a>0}ينتج:
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العددeفي حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيثy(x)=λeax−ba{\displaystyle y(x)=\lambda e^{ax}-{\frac {b}{a}}}حيثλ{\displaystyle \lambda }ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية
مثال:
قانونالتحلل الإشعاعيلنواة الذرة:
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).
وتعتمد:λ{\displaystyle {\lambda }\!}على نوعالذراتالموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائصالعنصر المشع، وتختلفلليورانيومعنالبلوتونيوموعنالبوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.
ليكنa{\displaystyle a}عنصرا منمجموعة الأعداد الحقيقيةحيثa>1{\displaystyle a>1}
المجموع الأول
نهاية هذا المجموع:limn→∞∑i=1nai=+∞{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=1}^{n}}{a^{i}}=+\infty }
المجموع الثاني
نهاية هذا المجموع:limn→∞∑i=0n1ai=∑i=0∞a−i=aa−1{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=0}^{n}}{\frac {1}{a^{i}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{a^{-i}}={\frac {a}{a-1}}}
تزايد الميكروبات: ينقسمالميكروبإلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.
أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:
N = 2
N = 8
فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:
N = 2
N = 64
أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.
التزايد السكاني:
يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟
نكتب المعادلة الآتي:
N = 4. e
أو:
والنتيجة:
مثال 3 :
تكوّن النجوم:تتزايدكتلةأحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.
N = 1. e
N = 1. e
باستخدامالحاسوبنحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
مثال 4:
تغيركثافةالهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:
حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض(hb){\displaystyle \ (h_{b})}.