Homotopie

Enmathématiques, unehomotopieest une déformationcontinueentre deux applications, notamment entre lescheminsà extrémités fixées et en particulier leslacets. Cette notiontopologiquepermet de définir desinvariantsalgébriquesutilisés pour classifier les applications continues entreespaces topologiquesdans le cadre de latopologie algébrique.
L’homotopie induit unerelation d'équivalencesur les applications continues, compatible avec lacomposition, qui mène à la définition de l’équivalence d'homotopieentre espaces topologiques.
L'homotopie fournit des informations sur la naturetopologiqued'un espace. Une bande circulaire d'un plan ne peut êtreéquivalente, au sens de l'homéomorphisme, à undisque. Dans un disque, tout lacet est homotope à un point. Dans une bande circulaire, ce n'est pas le cas. Cette remarque est source de démonstrations, comme celles duthéorème de d'Alembert-Gauss,du point fixe de Brouwer,de Borsuk-Ulamou encore celle duthéorème du sandwich au jambonqui précise par exemple que, pour trois solides mesurables et de mesures finies del'espace usuel, il existe unplanqui sépare chacun des solides en deux parties de mesures égales.
C'est uneclasse d'équivalencedu chemin pour la relation d'homotopie.
SoitXun espace topologique. Unchemincontinu γ deXest une application continue du segment réel [0, 1] dansX. Cette définition correspond à l'idée intuitive dechemin, au sens desentierqui part d'un point γ(0) pour arriver à un autre point γ(1).
Cette situation ne décrit pas encore exactement la situation représentée à droite. Sur l'illustration, les deux chemins γ0et γ1possèdent la même originexainsi que la même extrémitéy. C'est-à-dire :
Les définitions précédentes se généralisent à deux fonctions continuesfetgd'un espace topologiqueXdans un espace topologiqueY.
Il est possible de généraliser la deuxième définition. SoitAun sous-ensemble deXtel que les restrictions defet degàAsoient égales.
Un espaceXest dit contractile si sonapplication identitéidXest homotope à une application constante, ou encore : si toute application continue d'un espaceYdansXest homotope à une application constante.
En particulier, unespace contractileestsimplement connexe:
Dans unespace vectoriel normé(ou plus généralement : unespace vectoriel topologique) sur ℝ, toutepartie étoilée, en particulier toutconvexenon vide, est contractile. La figure de droite illustre le cas d'un lacet dans undisque. Ce lacet est visiblement homotope « à un point », c'est-à-dire à un lacet constant.
Dans le cas d'uncercleS, identifié ici auxcomplexesdemodule1, la situation n'est pas équivalente à la précédente. Intuitivement, si un fil parcourt une boucle autour d'un cercle, il n'est pas possible de modifier le « nombre de tours » (compté algébriquement) sans que le fil ne quitte la surface du cercle et sans le briser. Ce nombre de tours est défini formellement de la façon suivante. L'application ℝ →S,t↦ exp(i2πt) étant unhoméomorphisme local, toutlacetγ: [0, 1] →Stel queγ(0) =γ(1) = 1 possède un uniquerelèvementcontinuγ~:[0,1]→R{\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to \mathbb {R} }tel queγ~(0)=0{\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}(0)=0}, et le degré du lacetγest alors l'entierγ~(1){\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}(1)}. Si deux tels lacets sont homotopes, on démontre (en relevant de même cette homotopie) qu'ils ont même degré. En effet, le long de l'homotopie, le degré varie continûment et ne prend que des valeurs entières, donc il est constant.
Par exemple, le lacet qui àtassocie exp(i2πt), de degré 1, n'est pas homotope au lacet constant qui àtassocie 1, de degré 0.
L'homotopie est source de nombreuses démonstrations. Un exemple célèbre est lethéorème de d'Alembert-Gauss, qui indique que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ.
Pour le démontrer, on considère unpolynôme unitairePn'ayant aucune racine dans ℂ et on va prouver que son degrénest nul. Pour chaque réel positifr, on définit le lacet αrpar :
Par définition, αrest un lacet défini sur le cercle. Sirest égal à 0, on obtient le lacet constant égal à 1. Comme la fonction qui àrettassocie αr(t) est continue, tous les lacets αrsont homotopes à un point.
Soient (aj) la suite des coefficients dePet ρ unnombre réelplus grand que 1 et que la somme Σ|aj| desmodulesdes coefficients deP. Sizest un complexe de module ρ,
On définit le polynômePset le lacet βspar :
Les inégalités (1) montrent que si |s| ≤ 1, le polynômePsn'admet pas de racine de module ρ donc le lacet βsestbien défini. Le lacet β0faitntours autour de l'origine, d'après le paragraphe précédent. Comme la fonction qui àsettassocie βs(t) est continue, ce lacet β0est homotope à β1= αρ. Comme ce dernier est homotope à un point c'est-à-dire qu'il fait 0 tour autour de l'origine,nest bien égal à 0.
SiXest un espace topologique, on peutcomposerdeux lacets de même basep(c'est-à-dire de même origine et même extrémitép) α1et α2en construisant un lacet parcourant d'abord la trajectoire de α1, puis celle de α2. Cettecompositionest compatible avec la relation d'équivalenceest homotope à. Quotienté par cette relation d'équivalence, on obtient une structure degroupeappelégroupe fondamentalougroupe de Poincaré. Cette notion se généralise et permet de définir une infinité degroupes d'homotopie.
Ce groupe est à l'origine de démonstrations. L'une des plus célèbres est celle duthéorème du point fixe de Brouweren dimension deux, qui indique que toute application continue du disque dans lui-même admet un point fixe.
L'homotopie est l'un des outils essentiels de la topologie algébrique. Le cas le plus simple, celui des lacets est la source de nombreuses démonstrations dans ce domaine. En plus du théorème de d'Alembert-Gauss ou de celui du point fixe de Brouwer,celui de Borsuk-Ulamest caractéristique d'une démarche de la topologie algébrique. En dimension deux, il indique que toute application continue de la sphère dans ℝadmet deux points antipodaux de même image. Autrement dit, il existe toujours sur terre deux points situés aux antipodes ayant exactement la même température et la même pression. Il permet de résoudre par l'affirmative quelques questions célèbres comme celle dusandwich au jambon: existe-il un plan qui coupe trois solides bornés etmesurables(correspondant au jambon, au fromage et au pain d'unsandwich) en deux parties de volumes égaux pour les trois solides? Les raisonnements de topologie algébrique faisant usage de l'homotopie permettent aussi de démontrer que si trois fermés ont pour union la sphère, l'un d'entre eux au moins contient deux points antipodaux.
On peut citer encore la question du partage du collier et des deux voleurs : un collier ouvert, illustré à gauche, est formé de perles de deux couleurs différentes, avec un nombre pair de perles de chaque couleur.On montre de façon élémentaireque les deux voleurs peuvent se répartir équitablement les perles en coupant le collier par seulement deux coups de ciseaux. Le théorème de Borsuk-Ulam permet de démontrer que plus généralement, s'il y atcouleurs de perles,tcoupes suffisent.
La notion d'homotopie entre deux fonctionspermet de définir unerelation d'équivalenceentre espaces topologiques :
Deux espacesEetFsont ditshomotopiquement équivalents(ou « de même type d'homotopie ») s'il existe deux applications continuesf:E→Fetg:F→Etelles queg∘fest homotope à idEetf∘gest homotope à idF.
Un espace estcontractilesi et seulement s'il a même type d'homotopie qu'unsingleton.
Deux espaces topologiqueshoméomorphessont homotopiquement équivalents mais la réciproque est fausse, comme le montrent les exemples suivants :
Diverses propriétés importantes entopologie algébriquesont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la simple connexité, laconnexité par arcs, lesgroupes d'homotopie, lesgroupes d'homologie et de cohomologie…
L’isotopieest un raffinement de l'homotopie ; dans le cas où les deux applications continuesf,g:X→Ysont deshoméomorphismes, on peut vouloir passer defàgnon seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.
On dira donc quefetgsontisotopess’il existe une application continueH:X× [0, 1] →Ytelle que :
Une variante est la notion d'isotopie ambiante, qui est une sorte de déformation continue de l'« espace ambiant », transformant progressivement un sous-espace en un autre : deuxplongementsα, βd'un espaceZdans un espaceXsont dits « isotopes de manière ambiante » s'ils se prolongent en deux homéomorphismesf,gdeXdans lui-même isotopes (au sens précédent) ou, ce qui est équivalent, s'il existe une isotopie entre l'identitédeXet un homéomorphismehdeXdans lui-même tel queh∘α = β. Cette notion est importante enthéorie des nœuds: deuxnœudssont dits équivalents s'ils sont reliés par une isotopie ambiante.
A titre d'exemple l'effet deparallaxeréalise un isotopie ambiante des vues en perspective d'objets.