Sucesión de Sylvester

Enteoría de números, lasucesión de Sylvesteres unasucesióndenúmeros enterosen la cual cada término es el producto de todos los anteriores, más uno. Los primeros términos de la sucesión son:
La sucesión de Sylvester se llama así en honor deJames Joseph Sylvester, quien la investigó por primera vez en 1880. Sus términos crecen de formadoblemente exponencial, y la suma de susinversosconstituye unaseriedefracciones unitariasqueconvergea 1 más rápidamente que ninguna otra serie de fracciones unitarias con la misma suma. La manera en que se define permite que sus términos sefactoricenmás fácilmente que otros números del mismoorden de magnitud, pero, debido al ritmo de crecimiento de los mismos, sólo se conoce la factorización completa en factores primos de unos pocos términos. Los términos de esta sucesión también han tenido usos en la representación finita defracciones egipciasde suma 1, así como en lasvariedades sasakianasy lasde Einstein.
Formalmente, la sucesión de Sylvester se puede definir mediante la fórmula
Elproducto de un conjunto vacíoes 1, por tanto,s0= 2.
Alternativamente, se puede definir la sucesión porrecurrenciacomo
Se puede demostrar porinducciónque las dos definiciones son equivalentes.
Lasfracciones unitariasgeneradas por losinversosde los términos de la sucesión de Sylvester generan unaserie:
Las sumas parciales de esta serie tienen una forma simple,
como se puede probar por inducción. Obviamente esta identidad es cierta paraj= 0, ya que los dos miembros son cero. Para unjmayor, al expandir el miembro izquierdo de la identidad mediante la hipótesis de inducción se obtiene
como se quería demostrar. Como esta sucesión de sumas parciales (sj-2)/(sj-1) converge a uno, la serie global forma una representación infinita enfracción egipciade la unidad:
Se pueden encontrar representaciones finitas en forma de fracción egipcia de la unidad, de cualquier longitud, truncando esta serie y restando uno del último denominador:
La suma de loskprimeros términos de la serie infinita proporciona la mejor aproximación a 1 por la izquierda de una fracción egipcia arbitraria dektérminos.​ Por ejemplo, los cuatro primeros términos suman18051806{\displaystyle {\tfrac {1805}{1806}}}, y por tanto cualquier fracción egipcia de un número perteneciente alintervalo abierto(18051806{\displaystyle {\tfrac {1805}{1806}}}, 1) requiere al menos cinco términos.
Se puede considerar la sucesión de Sylvester como unalgoritmo vorazpara fracciones egipciasque en cada paso escoge el mínimo denominador posible que haga que la suma parcial de la serie sea menor que uno. Además, si se exceptúa el primer término, los demás se pueden ver como los denominadores de laexpansión voraz imparde12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}.
La sucesión de Sylvester crece de formadoblemente exponencialcomo función den. Concretamente, se puede mostrar que
para un númeroEque vale aproximadamente 1,264.​ De esta fórmula se deriva el siguientealgoritmo:
Este algoritmo sólo tendría un uso práctico si hubiese una forma mejor de calcularEcon la precisión requerida en lugar de calcular sny tomar repetidamente suraíz cuadrada.
El crecimiento doblemente exponencial de la sucesión de Sylvester no resulta sorprendente si se compara con la de losnúmeros de FermatFn, ya que los números de Fermat se suelen definir mediante una fórmula doblemente exponencial,22n+1{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}, pero también se pueden definir de una forma muy similar a la que define la sucesión de Sylvester:
Como el mismo Sylvester observó, la sucesión de Sylvester parece ser única en mostrar crecimiento tan rápido de sus términos, a la vez que la suma de sus inversos coverge a unnúmero racional.
Más precisamente, es una consecuencia de los resultados de Badea (1993) que, si una sucesión de enterosan{\displaystyle a_{n}}crece lo suficientemente rápido como para que
y si la serie
converge a un número racionalA, entonces, para cadandespués de cierto punto, esta sucesión debe estar definida por la misma recurrencia
que se emplea para definir la sucesión de Sylvester.
Erdős(1980)conjeturóque, para este tipo de resultados, ladesigualdad matemáticaque acota el crecimiento de la sucesión se podría reemplazar por una condición más débil,
Badea (1995) estudia los progresos relacionados con esta conjetura, véase también Brown.
Sii<j, entonces se sigue de la definición quesj≡ 1 (modsi). Por tanto, dos términos cualesquiera de la sucesión de Sylvester sonprimos entre sí. Esta sucesión se puede utilizar para demostrar queexisten infinitos números primos, ya que cada uno de los números primos puede dividira lo sumouno de los términos de la sucesión.
Se ha realizado algún esfuerzo parafactorizarlos términos de la sucesión de Sylvester, pero quedan muchas incógnitas sobre su factorización. Por ejemplo, no se sabe si todos los términos de la sucesión sonlibres de cuadrados, aunque todos los que se conocen lo son.
Como Vardi (1991) describe, es fácil determinar a qué número de Sylvester (si es que hay alguno) divide un número primopdado: basta con calcular la recurrencia que define la sucesión módulophasta encontrar, bien un número congruente con cero (modp) o un módulo repetido. Mediante esta técnica, descubrió que 1166 de los primeros tres millones de primos son divisores de números de Sylvester,​ y que ninguno de ellos tiene un cuadrado que divida a un número de Sylvester. Un resultado general de Jones (2006) implica que el conjunto de factores primos de Sylvester tienedensidad ceroen el conjunto de los primos.
La siguiente tabla muestra la factorización de estos números (excepto los cuatro primeros, que son primos) hasta donde se conoce:​
Pny Cndenotan, respectivamente, números primos y compuestos, dencifras.
Boyer et al. (2005) se valen de las propiedades de la sucesión de Sylvester para definir números grandes devariedades de Einstein-Sasakique tienen latopología diferecialdeesferasoesferas exóticasde dimensión impar. Demuestran que el número demétricasde Einstein-Sasaki sobre unaesfera topológicade dimensión 2n- 1 es al menos proporcional asny por tanto sigue un crecimiento doblemente exponencial en función den.
Como describen Galambos y Woeginger (1995), Brown (1979) y Liang (1980) emplean valores derivados de la sucesión de Sylvester para construir ejemplos de cota inferior dealgoritmosdebin packingen línea. Seiden y Woeginger (2005) también se valen de la sucesión para acotar inferiormente el rendimiento de un algoritmocutting stockbidimensional.​
Elproblema de Známse refiere a conjuntos de números tales que cada número de ese conjunto divide pero no es igual al producto de todos los demás más uno. Sin el requisito de la desigualdad, los valores de la sucesión de Sylvester resolverían el problema, pero con ese requisito tiene otras soluciones que se derivan de recurrencias similares a la que define la sucesión de Sylvester. Las soluciones del problema de Znám tienen aplicaciones en la clasificación de singularidades de superficies (Brenton y Hill, 1988) y en la teoría de losautómatas finitos no determinísticos(Domaratzki et al. 2005).
Curtiss (1922) describe una aplicación de las aproximaciones más próximas a uno por sumas dektérminos de fracciones unitarias, para acotar inferiormente del número de divisores de cualquiernúmero perfecto, y Miller (1919) usa la misma propiedad para acotar inferiormente el tamaño de ciertos grupos.