Десятичная дробь

Десяти́чнаядробь— разновидность формы записи дробных чисел, способ представлениядействительных чиселв позиционной десятичной системе нумерации таким образом, чтобы знаменателем дроби служило число10{\displaystyle 10}с каким-нибудьнатуральнымпоказателем и этот знаменатель был задан неявно, но подразумевался. Общий вид десятичной дроби:
где
Примеры:
Значением десятичной дроби±dm…d1d0,d−1d−2…{\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}\ldots }является действительное число
равноесуммеконечного или бесконечного числа слагаемых.
Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записицелых чиселвдесятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид
что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.
Десятичная дробь называетсяконечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид
В соответствии с определением эта дробь представляет число
Легко видеть, что это число можно представить в видеобыкновенной дробивидаp/10s{\displaystyle p/10^{s}}, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число видаp/10s{\displaystyle p/10^{s}}, гдеp{\displaystyle p}— целое, аs{\displaystyle s}— целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Если обыкновенную дробьp/10s{\displaystyle p/10^{s}}привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид2m5n{\displaystyle 2^{m}5^{n}}. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.
Теорема.Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробьюp/q{\displaystyle p/q}знаменательq{\displaystyle q}не имеетпростыхделителей, отличных от2{\displaystyle 2}и5{\displaystyle 5}.
Бесконечная десятичная дробь
представляет, согласно определению, действительное число
Этот рядсходится, каковы бы ни были целое неотрицательноеa0{\displaystyle a_{0}}и десятичные цифрыa1,a2,…{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }. Это предложение вытекает из того факта, что последовательность егочастичных сумм(если отбросить знак дроби) ограничена сверху числомa0+1{\displaystyle a_{0}+1}(см.критерий сходимости знакоположительных рядов).
Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:
Эти вопросы освещаются ниже.
Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числуα{\displaystyle \alpha }десятичной дроби, которая является его представлением.
Рассмотрим вначале случайα⩾0{\displaystyle \alpha \geqslant 0}. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезокI0{\displaystyle I_{0}}, который содержит точкуα{\displaystyle \alpha }; в частном случае, когда точкаα{\displaystyle \alpha }является концом двух соседних отрезков, в качествеI0{\displaystyle I_{0}}выберемправый отрезок.
Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезкаI0{\displaystyle I_{0}}, черезa0{\displaystyle a_{0}}, то можно записать:
На следующем шаге разделим отрезокI0{\displaystyle I_{0}}на десять равных частей точками
и рассмотрим тот из отрезков длины1/10{\displaystyle 1/10}, на котором лежит точкаα{\displaystyle \alpha }; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберемправый.
Обозначим этот отрезокI1{\displaystyle I_{1}}. Он имеет вид:
Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точкиα{\displaystyle \alpha }.
На очередном шаге, имея отрезокIn−1{\displaystyle I_{n-1}}, содержащий точкуα{\displaystyle \alpha }, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезокIn{\displaystyle I_{n}}, на котором лежит точкаα{\displaystyle \alpha }; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираемправый.
Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезковI0,I1,…{\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }вида
гдеa0{\displaystyle a_{0}}— целое неотрицательное, аa1,a2,…{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }— целые числа, удовлетворяющие неравенству0⩽ak⩽9{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant 9}.
Построенная последовательность отрезковI0,I1,…{\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }обладает следующими свойствами:
Из этих условий следует, чтоI0,I1,…{\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }есть системавложенных отрезков, длины которыхстремятся к нулюприn→∞{\displaystyle n\to \infty }, а точкаα{\displaystyle \alpha }есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точкеα{\displaystyle \alpha }(аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть
Это значит, что ряд
сходится к числуα{\displaystyle \alpha }, и таким образом, десятичная дробь
является представлением числаα{\displaystyle \alpha }. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числаα{\displaystyle \alpha }в десятичную дробь.
Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид
Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точкаα{\displaystyle \alpha }совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме
нулевые слагаемые, получим, что числоα{\displaystyle \alpha }также может быть представлено конечной десятичной дробью
Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае числоα{\displaystyle \alpha }может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).
Тем самым рассмотрен случай неотрицательногоα{\displaystyle \alpha }. В случае отрицательногоα{\displaystyle \alpha }, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного емуположительногочисла, взятое со знаком «минус».
Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая
Теорема.Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.
Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемоеаксиомой Архимеда.
Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целоеa0{\displaystyle a_{0}}, такое, что действительное числоα{\displaystyle \alpha }находится междуa0{\displaystyle a_{0}}и следующим целымa0+1{\displaystyle a_{0}+1}:
Однако существование такого целого числаa0{\displaystyle a_{0}}надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целоеn{\displaystyle n}, всегда имеет место неравенствоn⩽α{\displaystyle n\leqslant \alpha }. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числаa0{\displaystyle a_{0}}не нашлось бы.
Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было числоα{\displaystyle \alpha }, всегда найдётся целоеn{\displaystyle n}такое, чтоn>α{\displaystyle n>\alpha }. Теперь среди чиселk=1,…,n{\displaystyle k=1,\ldots ,n}возьмём наименьшее, обладающее свойствомk>α{\displaystyle k>\alpha }. Тогда
Искомое число найдено:a0=k−1{\displaystyle a_{0}=k-1}.
Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательностиI0,I1,I2,…{\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\ldots }:
Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение
В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное числоE>0{\displaystyle E>0}, последовательность натуральных чисел1,2,…{\displaystyle 1,2,\ldots }превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякогоn{\displaystyle n}имеет место неравенство
то последовательность10n{\displaystyle 10^{n}}также превзойдётE{\displaystyle E}, начиная с того же номера. В соответствии с определениемпределачисловой последовательности, это означает, чтоlimn→∞10n=∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty }.
С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числаα{\displaystyle \alpha }построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое числоα{\displaystyle \alpha }может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.
Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.
Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.
Рассмотрим например, десятичную дробь
Согласно определению, эта дробь является представлением числа0+9/10+9/100+…=1{\displaystyle 0+9/10+9/100+\ldots =1}. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби1,00…{\displaystyle 1{,}00\ldots }. В самом деле, вещественные числаa,b{\displaystyle a,b}различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самимиa,b.{\displaystyle a,b.}Но между0,99…{\displaystyle 0{,}99\ldots }и1,00…{\displaystyle 1{,}00\ldots }никакого третьего числа вставить нельзя.
Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби
и
гдеan≠9{\displaystyle a_{n}\neq 9}, представляют одно и то же действительное число.
Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей+0,00…{\displaystyle +0{,}00\ldots }и−0,00…{\displaystyle -0{,}00\ldots }.
Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.
Теорема.Всякое действительное числоα{\displaystyle \alpha }, не представимое в видеp/10s{\displaystyle p/10^{s}}, гдеp{\displaystyle p}— целое,s{\displaystyle s}— целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.
Всякое действительное число видаα=p/10s{\displaystyle \alpha =p/10^{s}}может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Еслиα≠0{\displaystyle \alpha \neq 0}, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на999…{\displaystyle 999\ldots }. Числоα=0{\displaystyle \alpha =0}может быть представлено дробями вида+0,00…{\displaystyle +0{,}00\ldots }, а также дробями вида−0,00…{\displaystyle -0{,}00\ldots }.
Замечание.Бесконечные дроби, оканчивающиеся на999…{\displaystyle 999\ldots }, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбиратьлевый отрезоквместоправого.
С точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.
Принято считать, что, еслипогрешностьне указана, тоабсолютная погрешностьдесятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005.
Другие примеры:
Бесконечная десятичная дробь называетсяпериодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид
Такую дробь принято кратко записывать в виде
Повторяющаяся группа цифрb1…bl{\displaystyle b_{1}\ldots b_{l}}называетсяпериодомдроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.
Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называетсячистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называетсясмешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода —предпериодомдроби. Например, дробь1,(23)=1,2323…{\displaystyle 1{,}(23)=1{,}2323\ldots }является чистой периодической, а дробь0,1(23)=0,12323…{\displaystyle 0{,}1(23)=0{,}12323\ldots }— смешанной периодической.
Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляютрациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.
Теорема.Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.
Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дробиp/q{\displaystyle p/q}знаменательq{\displaystyle q}не имеетпростыхделителей2{\displaystyle 2}и5{\displaystyle 5}, а также рациональным числамp/q{\displaystyle p/q}, у которых знаменательq{\displaystyle q}имеет толькопростые делители2{\displaystyle 2}и5{\displaystyle 5}. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробямp/q{\displaystyle p/q}, знаменательq{\displaystyle q}которых имеет как простые делители2{\displaystyle 2}или5{\displaystyle 5}, так и отличные от них.
Предположим, что дана периодическая десятичная дробьx=0,(1998){\displaystyle x=0{,}(1998)}с периодом 4. Заметим, что домножив её на104=10000{\displaystyle 10^{4}=10000}, получим большую дробь10000x=1998,(1998){\displaystyle 10000x=1998{,}(1998)}с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (1998{\displaystyle 1998}), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь (x{\displaystyle x}):10000x−1998=x{\displaystyle 10000x-1998=x}⇒{\displaystyle \Rightarrow }10000x−x=1998{\displaystyle 10000x-x=1998}⇒{\displaystyle \Rightarrow }x=19989999=2221111{\displaystyle x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}}
В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).
Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.
Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают постепеням тысячи.Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.
Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.
Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).
Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде.Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.
Тимуридскийматематик и астрономДжамшид Гияс-ад-дин аль-Каши(1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудахАл-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.
В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицыРегиомонтана(1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёлИммануил Бонфисоколо 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандироватьВиет. Но широкое распространение они получили только после появления сочиненияСимона Стевина«Десятая» (1585).