E (konstanta matematika)

Bilangane{\displaystyle e}adalahkonstanta matematika, bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basislogaritma alamidanfungsi eksponensial. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagaibilangan Euleryang namanya diambil dariLeonhard Euler, seorang matematikawanSwiss. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, sepertibilangan Euler (deret), dankonstanta Euler(dinotasikanγ{\displaystyle \gamma }). Di samping Euler, bilangane{\displaystyle e}juga disebut sebagaikonstanta Napieryang namanya diambil dariJohn Napier.Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan olehJacob Bernoullisaat ia mempelajaribunga majemuk.
Bilanganeadalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika,bilangan lainnya, antara lain 0, 1,π, dani. Kelima bilangan tersebut merupakan bagianidentitas Eulereiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika.Sama seperti konstantaπ, bilanganeirasionalyang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara duabilangan bulat. Lebih lanjut, bilanganejugatransendenyang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial.Nilai bilanganehingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:
Bilanganediungkapkan sebagailimitlimn→∞(1+1n)n,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}ungkapan yang diperoleh saat menghitungbunga majemuk
Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagaideret takhinggae=∑n=0∞1n!=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯.{\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}Bilangan tersebut adalah angka positif khususayang menjadikan fungsiy=abergradien1 di titikx= 0.
Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagaie=exp⁡(1),{\displaystyle e=\exp(1),}denganexp{\displaystyle \exp }fungsi eksponesial, fungsi yangturunannyasama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilaiexp⁡(0)=1.{\displaystyle \exp(0)=1.}Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan denganx↦ex,{\displaystyle x\mapsto e^{x},}ungkapan tersebut ditulis ulang sebagaie=e1.{\displaystyle e=e^{1}.}Fungsilogaritmaberbasisbdidefinisikan sebagaiinversatas fungsix↦bx.{\displaystyle x\mapsto b^{x}.}Sebagai contoh, persamaanb=b1{\displaystyle b=b^{1}}memiliki inverslogb⁡b=1.{\displaystyle \log _{b}b=1.}Dengan demikian, persamaane=e1{\displaystyle e=e^{1}}mengartikan bahwaeadalah basis logaritma natural.
Bilanganejuga diungkapkan sebagaiintegral:∫1edxx=1.{\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}Untuk bentuk lainnya, terdapat pada§ Representasi
Pembahasan mengenai bilangane{\displaystyle e}pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 olehJohn Napierdalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma.Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasise{\displaystyle e}. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisanWilliam Oughtred.
Bilangane{\displaystyle e}pertama kali diperkenalkan olehJacob Bernoullipada tahun 1683,yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengane{\displaystyle e}):
Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh hurufb{\displaystyle b}adalah dalam korespondensi dariGottfried LeibnizhinggaChristiaan Huygenspada tahun 1690 dan 1691.Leonhard Eulermemperkenalkan hurufe{\displaystyle e}sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepadaChristian Goldbachpada tanggal 25 November 1731.Euler mulai menggunakan hurufe{\displaystyle e}untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,sedangkan perkenalan pertamae{\displaystyle e}dalam sebuah publikasi adalahMechanicaEuler (1736).Meskipun beberapa peneliti menggunakan hurufc{\displaystyle c}pada tahun-tahun berikutnya, hurufe{\displaystyle e}lebih umum dan akhirnya menjadi standar.
Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "e{\displaystyle e}" yang ditulis dalam huruf miring; standarISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.
Jacob Bernoullimenemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:
Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan$1.00 × 1.5= $2.25di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan$1.00 × 1.25= $2.4414..., dan penggabungan hasil bunga bulanan$1.00 × (1 + 1/12)= $2.613035…Bila adaninterval majemuk, bunga untuk setiap interval akan100%/ndan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 ×(1 + 1/n).
Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilainyang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan (n= 52) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian (n= 365) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagaintumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagaie. Artinya, dengan penggabungankontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...
Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesarR, setelah ituttahun, hasil dariedolar dengan penambahan bunga terus-menerus.
(Perhatikan di sini karenaRadalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagaipersentase, jadi untuk bunga 5%,R= 5/100 = 0.05.)
Bilangan darieitu sendiri juga memiliki aplikasi dalamteori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait denganpertumbuhan eksponensial:
Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali (k= 0) adalah
yang sangat mendekati batas
Distribusi normaldengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagaidistribusi normal standar, diberikan olehfungsi kepadatan probabilitas
Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan12dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurvaϕ(x){\displaystyle \phi (x)}menghasilkan faktor1/2π{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}.Fungsi ini simetrisx= 0, di mana ia mencapai nilai maksimumnya1/2π{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}, dan memilikititik belokdix= ±1.
Aplikasi lain darie, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama denganPierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalahkekacauan, juga dikenal sebagaimasalah cek topi:ntamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalamnkotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan denganpn{\displaystyle p_{n}\!}, didefinisikan sebagai:
Dengannsebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilaipnakan semakin mendekati1 /e. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalahn!/e(dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positifn).
Nilai maksimum darixx{\textstyle {\sqrt[{x}]{x}}}dapat diperoleh saatx=e{\textstyle x=e}. Selain itu, untuk nilai basisb>1{\textstyle b>1}, nilai maksimum dari1xlogb⁡x{\textstyle {\frac {1}{x}}\log _{b}{x}}diperoleh saatx=e{\textstyle x=e}(Permasalahan Steiner).
Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjangLdipecah menjadinbagian yang sama. Nilai darinyang memaksimalkan produk dari panjang adalah:
Angkaeterjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalahRumus Stirlinguntukasimtotikdarifungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebutedanπmuncul:
Sebagai konsekuensi,