Curva de momentos

Engeometría, unacurva de momentoses unaentidad algebraicadada en unespacio euclídeode dimensiónda la que pertenenece un conjunto de puntos concoordenadas cartesianasde la forma
En el espaciobidimensional, la curva de momentos es unaparábola, mientras que en el espacio tridimensional es uncúbica alabeada. Su cierre en elespacio proyectivoes unacurva normal racional.
Las curvas de momentos se han utilizado para varias aplicaciones engeometría discreta, incluidospolitopos cíclicos, elproblema de sin tres en líneay una prueba geométrica decoloración de grafosdelgrafo de Kneser.
Cadahiperplanointerseca la curva de momentos en un conjunto finito de como máximodpuntos. Si un hiperplano interseca la curva exactamente en los mencionadosdpuntos, entonces la curva cruza el hiperplano en cada punto de intersección. Por lo tanto, cada punto finito establecido en la curva de momentos está enposición general lineal.​
Laenvolvente convexade cualquier conjunto finito de puntos en una curva de momentos es unpolitopo cíclico.​ Los politopos cíclicos tienen el mayor número posible de caras para un número dado de vértices, y en dimensiones cuatro o más tienen la propiedad de que sus aristas forman ungrafo completo. Más fuertemente, sonpolitopos vecinos, lo que significa que cada conjunto de como máximod/2 vértices delpolitopoforma una de sus caras. Los conjuntos de puntos en la curva de momentos también realizan el máximo número posible de simples,Ω(n⌈d/2⌉){\displaystyle \Omega (n^{\lceil d/2\rceil })}, entre todas lastriangulaciones de Delaunayposibles de conjuntos denpuntos enddimensiones.​
En el espaciobidimensional, es posible dividir cualquier área o medida en cuatro subconjuntos iguales, utilizando elteorema del sándwich de jamón. De manera similar pero más complicada, cualquier volumen o medida en tres dimensiones puede dividirse en ocho subconjuntos iguales mediante tres planos. Sin embargo, este resultado no se generaliza a cinco o más dimensiones, ya que la curva de momentos proporciona ejemplos de conjuntos que no se pueden dividir en 2subconjuntos mediantedhiperplanos. En particular, en cinco dimensiones, conjuntos de cinco hiperplanos pueden dividir segmentos de la curva de momentos en un máximo de 26 partes. No se sabe si las particiones de cuatro dimensiones en 16 subconjuntos iguales por cuatro hiperplanos son siempre posibles, pero es posible dividir 16 puntos en la curva de momentos de cuatro dimensiones en los 16 ortantes de un conjunto de cuatro hiperplanos.​
Se puede utilizar una construcción basada en la curva de momentos para demostrar un lema de Gale, según el cual, para cualesquiera enteros positivoskyd, es posible colocar 2k+dpuntos en una esfera de dimensióndde tal manera que cada hemisferio abierto contiene al menoskpuntos. Este lema, a su vez, se puede usar para calcular lacoloraciónde losgrafos de Kneser, un problema queLászló Lovászresolvió primero de manera diferente.​
La curva de momentos también se ha utilizado endibujo de grafos, para mostrar que todos los grafos denvértices se pueden dibujar con sus vértices en una cuadrícula entera tridimensional de longitud lateral O(n) y sin dos cruces entre sus vínculos. La idea principal es elegir un número primopmayor queny colocar el vérticeidel grafo en las coordenadas
Entonces un plano solo puede cruzar la curva en tres posiciones. Dado que dos vínculos que se cruzan deben tener cuatro vértices en el mismo plano, esto nunca puede suceder.
Una construcción similar que usa la curva de momentos módulo unnúmero primo, pero en dos dimensiones en lugar de tres, proporciona un límite lineal para elproblema de sin tres en línea.​