Теорема о дележе пиццы

Теорема о дележе пиццыутверждаетравенствоплощадейдвух областей, получающихся при разрезаниикругаопределённым образом.
Название теоремы отражает классическую технику разрезанияпиццы.Теоремапоказывает, что, если два человека разрезают пиццу таким способом и по очереди берут куски, то каждый получит равное количество пиццы.
Пустьpбудет внутренней точкой диска и пустьnбудет кратно 4 и не меньше 8. Разрежем диск наnсекторовс равными углами (равными2πn{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{n}}}радиан) поn2{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}прямым, проходящим через точкуp. Пронумеруем сектора последовательно по часовой или против часовой стрелки. Тогда теорема о пицце утверждает, что:
Теорема о дележе пиццы была первоначально предложена как задача-вызов Лесли Аптоном (англ.L. J. Upton). Опубликованное решение этой задачи Майклом Голдбергом (англ.Michael Goldberg) использовало прямое применение алгебраических выражений для площадей секторов.
Л. Картер (англ.Larry Carter) и С. Вагон (англ.Stan Wagon)дали альтернативное доказательство путёмразрезания. Они показали, как нужно разрезать сектора на более мелкие кусочки, чтобы каждый кусочек внечётномсекторе имелконгруэнтныйкусочек в чётном секторе и наоборот. Г. Фредериксон (англ.Greg Frederickson)привёл семейство доказательств рассечения для всех случаев (в которых число секторов равно8, 12, 16, ...).
Требование, чтобы число секторов было кратно четырём, существенно — это показалДон Копперсмит; деление диска на четыре сектора или на число секторов, не делящееся на четыре, как правило, не даёт одинаковых площадей. Марби (англ.Rick Mabry) и Дайерман (англ.L. Paul Deiermann)ответили на решение Картера и Вагона, дав более точную версиютеоремы, в которой определяется, какой из наборов секторов будет иметь большуюплощадь, если площади не равны. В частности, если число секторовсравнимос 2 (mod8) и никакой из разрезов не проходит через центр диска, то подмножество кусков, содержащих центр, имеет меньшую площадь; в то время как в случае, когда число секторов сравнимо с 6 (mod 8) и никакой из разрезов не проходит через центр, набор кусков, содержащих центр, имеет большую площадь. Нечётное число секторов невозможно при прямолинейных разрезах, а разрез через центр делает оба набора секторов равными по площади вне зависимости от числа секторов.
Марби и Дайерманзаметили также, что в случае, когда пицца разделена поровну, то делится поровну и кромка (кромкой можно считать либо периметр пиццы, либо площадь между границей круга (пиццы) и меньшим кругом с тем же центром, при условии, что точка деления лежит в этом меньшем круге), поскольку диски, ограниченные обеими окружностями, делятся поровну, то же будет и с их разностью. Однако, если пицца разделена не поровну, то едок, который получает большую часть площади пиццы, получает меньший кусок кромки.
Как заметили Хишхорны, равное деление пиццы приводит также и к равному делению её начинки, если начинка распределена  в виде круга (не обязательно концентричного кругу пиццы), содержащего центральную точкуpделения на сектора.
Обобщение теоремы о пицце для n-мерного шара предложено в работе Браилова Ю. А.: набор гиперплоскостей, который обладает аналогичным свойством, соответствует конечной группе отражений типа B_n.
Хиршхорныпоказали, что пицца, разрезанная как в теореме о пицце наnсекторов с равными углами, гдеnделится на четыре, может быть разделена поровну средиn/4 людей. Например, пицца, разделённая на 12 секторов, может быть поровну разделена среди трёх человек. Однако, чтобы распределить пиццу на пять человек, требуется разделить пиццу на 20 секторов.
Цибулька, Кинчл и др.и Кнауэр, Мичек, Ёкордтизучали игру выбора свободных кусочков пиццы в порядке, гарантирующем получение большей части, — задачу, предложенную Даном Брауном иПитером Уинклером.
В версии задачи, которую они изучали, пицца делится радиально (без гарантии равенства углов секторов) и два обедающих поочерёдно выбирают кусочки пиццы, которые смежны уже съеденным секторам. Если два обедающих пытаются максимизировать количество съеденной пиццы, то обедающий, берущий первый кусок, может гарантировать себе 4/9 всей пиццы и существуют разрезания пиццы, при которых он не может получить больше.Справедливый делёжилизадача деления пирогарассматривает похожие игры, в которых различные игроки имеют различные критерии для измерения размера их доли. Например, один из едоков может предпочесть большепеперони, в то время как другой может отдать предпочтениесыру.
Другие математические вычисления, близкие к дележу пиццы, включаютпоследовательности ленивого поставщика— последовательность целых чисел, отражающих максимальное число кусков пиццы, которое можно получить прямыми разрезаниями, а такжетеорему о бутербродео разрезании трёхмерных объектов, из двумерной версии которой вытекает, что пицца даже уродливой формы может быть разделена пополам по площади и по кромке одновременно одним разрезом, а из трёхмерной версии теоремы следует, что существуетплоскость, которая поровну делит основание и начинку.