Théorème de Borsuk-Ulam

Enmathématiques, lethéorème de Borsuk-Ulamest un résultat detopologie algébrique. Il indique que pour toute fonctionfcontinued'unesphère de dimensionn, c'est-à-dire la frontière de la boule euclidienne de ℝ, dans unespace euclidiende dimensionn, il existe deuxpoints antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant mêmeimageparf.
Il fait partie des« quelques grandsthéorèmesconcernant latopologie des espacesde dimension finie. »Contrairement authéorème de Jordan, il est peu intuitif. Il indique par exemple qu'à tout instant, il existe deux points antipodaux de laTerreayant exactement la même température et la même pression(on suppose que ces deux grandeurs évoluent de façon continue).
Son premier usage concerne la topologie algébrique ; il permet par exemple de démontrerlethéorème du point fixe de Brouwerqui lui est analogue à certains égards. Il permet de démontrer des résultats au titre aussi amusant que leur démonstration est difficile, comme lethéorème du sandwich au jambonou encore leproblème du partage d'un collier. À partir des années 1970, il devient un outil pour démontrer des résultats dedénombrement, liés à lathéorie des graphes.
Ce théorème futconjecturéparStanislaw UlametprouvéparKarol Borsuken 1933.
En dimension un, la preuve est une conséquence directe d'un résultat analogue authéorème des valeurs intermédiaires. Soitfla fonction continue du cercle, de centre le vecteur nul, dans ℝ. On définit la fonctiongdu cercle dans ℝ, qui àxassocieg(x) =f(x) –f(–x). Le théorème revient à montrer quegpossède unzéro. On remarque que la fonctiongestimpaire, c'est-à-dire queg(–x) = –g(x).
Soitx0un point du cercle. Sig(x0) est nul, le théorème est démontré. Dans le cas contraire, l'image degest connexe car le cercle l'est. Cette image contient donc le segment d'extrémitésg(x0) et –g(x0). Ce segment contient 0, qui possède donc unantécédent.
Sous cette forme, le théorème n'est guère étonnant. Uncorollaireest un peu plus surprenant : si deuxfermésdu cercle ont pour union le cercle entier, l'un des deux fermés contient deux points antipodaux. En effet, soitAetBles deux ensembles non vides et fermés dont l'union est égale au cercle. On considère la fonctionfqui, au pointxdu cercle, associe ladistance dexàA. Le théorème assure l'existence de deux pointsxet –xayant même image parf. Si cette image est 0, alorsxet –xsont tous deux dansAcarAest fermé, et le corollaire est démontré. Dans le cas contraire, ils sont tous deux dansBet le corollaire est à nouveau démontré.
Une méthode classique en dimension 2 fait appel au groupe fondamental du cercle. Onraisonne par l'absurdeet l'on suppose qu'il existe une fonctionfde la sphèreSdans ℝtelle que tous les points antipodaux ont des images distinctes parf. On associe àfune certaine fonction continueg, de la sphèreSdans le cercleS. L'applicationginduit unmorphismeg✻du groupe fondamental deSdans celui deS. CommeSpossède un groupe fondamentaltrivialcar la sphère estsimplement connexe, les images des lacets parg✻devraient tous être homotopes à un point. On construit un lacet dont l'image ne l'est pas. Cette contradiction démontre le théorème.
Le corollaire démontré pour le cercle se généralise. Cette fois-ci, la sphère est divisée en trois parties fermées comme illustré sur la figure de droite, la bleue, notéeA, la rouge notéeBet la verteC. Dans l'exemple, c'est la zone verte qui contient les points antipodaux. Une fois encore, le centre de la sphère est placé sur le vecteur nul, deux points antipodaux sont ainsi opposés.
On considère la fonction, qui àx, associe lecouplef(x) = (dA(x),dB(x)) : la première composante indique la distance séparantxdeAet la deuxième celle qui séparexdeB. La fonctionfétant continue, le théorème de Borsuk-Ulam assure l'existence de deux points antipodaux ayant même image parf. Si cette image comporte une coordonnée nulle, les pointsxet –xsont, soit dansA, soit dansB, carAetBsont fermés. Dans le cas contraire,xet –xsont nécessairement tous deux dansC.
On peut se demander si 3 est bien le nombre maximal pour décomposer une sphère en fermés contenant nécessairement deux points antipodaux dans un même fermé. Pour s'en persuader, le plus simple est de placer la sphère dans untétraèdre réguliercirconscrità la sphère, comme illustré sur la figure de gauche. On associe à chaquefacedu tétraèdre, un fermé de la sphère de la manière suivante. On considère un pointpde la sphère et lademi-droited'extrémité le centre de la sphère et passant parp. Si cette demi-droite rencontre une face du tétraèdre, le pointpest élément du fermé associé à cette face (certains points de la sphère sont associés à deux faces si l'intersection est sur unearête). Aucun des quatre fermés ne contient depairede points antipodaux.
Le raisonnement proposé ici se généralise pour une dimension quelconque.
Le théorème du sandwich au jambondans le cas oùnest égal à 3 s'exprime de manière suivante. Soit trois partiesmesurableset de mesure finie d'un espace euclidien de dimension trois. On les représente par le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich. Il existe un plan affine qui coupe simultanément chacune des trois parties en deux sous-ensembles de volumes égaux. Plus généralement, le théorème implique :
Cette question est initialement posée parHugo Steinhausdans le cas de la dimension 3 et est aussitôt résolue en 1938 parStefan Banachà l'aide du théorème de Borsuk-Ulam. La réponse à cette question d'apparence aussi ludique qu'anodine est la clé de questions très sérieuses. Luis Paris remarque que :« […] c’est avec ces mêmes techniques que les mathématiciens ont établi l’existence d’enzymes appeléestopo-isomérasesqui
effectuent des manipulations topologiques sur l'ADN ».
Le problème du partage discret du collier est beaucoup plus délicat à démontrer, même si son apparence est des plus simples. On présente souvent ce problème ainsi: deux voleurs dérobent un collier composé de perles detcouleurs différentes, avec un nombre pair de perles de chaque couleur. Ces perles sont fixées sur une chaînetteouverte. Ne connaissant pas la valeur des différentes couleurs de perles, ils veulent se répartir autant de perles de chaque couleur. De plus, pour préserver les maillons d'or de la chaînette, ils souhaitent effectuer le moins de coupes possibles.
Si les perles de chacune destcouleurs sont contigües, il faut bien sûr au moinstcoupes. Le théorème indique que, quelle que soit la configuration, ce nombretde coupes est toujours suffisant.
Lorsquetest égal à 2, ce théorème se démontre de façon élémentaire: si le collier contient par exemple 2aperles vertes et 2bperles rouges et si, parmi lesa + bpremières à partir d'une extrémité, il y a strictement plus deaperles vertes (donc strictement moins debrouges) alors, en translatant pas à pas cette « fenêtre » de taillea + ble long du collier, on aboutit, à l'autre extrémité, à la situation opposée, donc lors d'une étape intermédiaire, le partage est équitable.
Le théorème pourtquelconque a été démontré pour la première fois en 1985. La démonstration est considérablement simplifiée parAlon et West 1986, en utilisant le théorème de Borsuk-Ulam.
Le cas où le nombre de voleurs n'est pas 2 mais devient une valeurqquelconque (avec, dans chacune destcouleurs, un nombre de perles multiple deq) est traité l'année suivante par Alon, en utilisant un théorèmequi généralise à la fois celui de Borsuk-Ulam etcelui de Tverberg: il suffit det(q– 1) coupes.
À la différence des exemples précédents, le théorème de Borsuk-Ulam quitte ici son champ d'application naturel — la topologie algébrique — pour devenir la cheville ouvrière d'un résultat dedénombrement.