삼각 함수

수학에서삼각 함수(三角函數,영어:trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는각의 크기를삼각비로 나타내는함수이다. 즉, 삼각형의 각도와 변의 길이의 관계를 나타낸 것이다. 예각 삼각 함수는직각 삼각형의예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각 함수 역시 정의할 수 있다. 삼각 함수는 복소수의지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때푸리에 급수의 형태로 등장한다.
삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은사인(영어:sine,문화어:시누스, 기호sin{\displaystyle \sin }) ·코사인(영어:cosine,문화어:코시누스, 기호cos{\displaystyle \cos }) ·탄젠트(영어:tangent,문화어:탕겐스, 기호tan{\displaystyle \tan })라고 한다. 이들의 역수는 각각코시컨트(영어:cosecant, 기호csc{\displaystyle \csc }) ·시컨트(영어:secant, 기호sec{\displaystyle \sec }) ·코탄젠트(영어:cotangent, 기호cot{\displaystyle \cot })라고 한다.
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를a,b,h{\displaystyle a,b,h}라고 할 때,사인,코사인,탄젠트의 정의는 다음과 같다.
또한,코시컨트,시컨트,코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A(x,y){\displaystyle (x,y)}에 대해,x{\displaystyle x}축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을θ{\displaystyle \theta }라고 하면, 다음과 같이 정의한다.
오일러의 공식eix=cos⁡x+isin⁡x{\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x}에x=bi{\displaystyle \,x=bi}를 대입하면,
x=−bi{\displaystyle \,x=-bi}를 대입하면,
연립하여 풀면,쌍곡선함수,
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가2π{\displaystyle 2\pi }인주기함수이다. 즉, 임의의복소수z∈C{\displaystyle z\in \mathbb {C} }에 대하여,
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가π{\displaystyle \pi }인주기함수이다. 즉, 임의의복소수z∈C{\displaystyle z\in \mathbb {C} }에 대하여,
사인과코사인은 실수선 위에서해석함수이며, 복소 평면 위에서정칙함수이다. 이들은 복소 무한대∞^{\displaystyle {\hat {\infty }}}에서본질적 특이점을 갖는다.
탄젠트는 실수선의π/2+nπ{\displaystyle \pi /2+n\pi }(n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} })에서 정의되지 않는다.
특별한각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다.
삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가r{\displaystyle r}인 빗변이고 밑변이b,{\displaystyle b,}각x{\displaystyle x}의 대변인 높이a{\displaystyle a}에 대하여a2+b2r2=r2r2=1{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{r^{2}}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}=1}를 만족한다는피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각 함수로 나타내면 다음과 같다.
이것은 다음과 같다.
따라서, 이것은 또한단위원에서 다음과 같다.
서로 다른 삼각 함수의 관계는삼각 함수의 덧셈 정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는제2 코사인 법칙과두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고,제1 코사인 법칙과사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고,오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.
모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음은 6개의 기본 삼각 함수에 대한 도함수와 부정적분이다.
사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각A,B,C의 대변a,b,c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.
마찬가지로,
도 성립한다. 여기서R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.
코사인 제 1 법칙에 따르면,
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.
코사인 제 2 법칙은피타고라스의 정리를 확장한 것이다.
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
와 같이 나타낼 수 있다.
코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각A,B의 대변a,b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
기원전 2~1세기 그리스의히파르코스와프톨레마이오스등은 각도에 대해 달라지는현의 길이를 다룬 적이 있다.
현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은굽타 시대인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.
삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어ज्या(jyā,베다jiyā́)를 음차한 것이다.
‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.
코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는에드먼드 건터(영어판)의Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.
한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인요한 슈렉(영어판)이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.