ข้อความคาดการณ์

ข้อความคาดการณ์(อังกฤษ:conjecture) ในคณิตศาสตร์คือ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ถูกเสนอว่าเป็นจริง แต่ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ข้อคาดการณ์หลายข้อเป็นปัญหาผลักดันให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ๆ ตามมา เช่นในกรณีทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาหรือข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร
ข้อความคาดการณ์อาจพิสูจน์ได้ในภายหลังว่าเป็นจริง เช่นในกรณี ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา หรือ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ในขณะที่บางข้อความคาดการณ์อาจไม่จริง เช่นข้อความคาดการณ์ของออยเลอร์ในบางครั้งข้อคาดการณ์บางข้อกลับเป็นอิสระจากสัจพจน์พื้นฐานในคณิตศาสตร์ (เช่น เป็นอิสระจากสัจพจน์ในZF) ทำให้ข้อความดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์หรือยกตัวอย่างค้านได้ เช่นสมมติฐานความต่อเนื่อง
ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มากล่าวว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวกa,b{\displaystyle a,b}และc{\displaystyle c}ที่สอดคล้องกับสมการan+bn=cn{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}ทุกจำนวนเต็มn>2{\displaystyle n>2}
ข้อความคาดการณ์นี้ตั้งขึ้นโดยปีแยร์ เดอ แฟร์มาในปี ค.ศ. 1637 โดยอ้างว่ามีบทพิสูจน์แต่มีเนื้อที่เขียนในขอบกระดาษไม่เพียงพอ บทพิสูจน์ที่สมบูรณ์นั้นปรากฏในปี ค.ศ. 1994 โดยแอนดรูว์ ไวลส์
สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่า ทุก ๆ รากของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ไม่ใช่รากชัดแจ้ง ต้องมีส่วนจริงเท่ากับ 1/2
แบร์นฮาร์ด รีมันน์ได้เสนอข้อความคาดการณ์นี้ในปี ค.ศ. 1859 ปัจจุบันยังเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน
ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค (Goldbach's conjecture) เป็นข้อความคาดการณ์ในทฤษฎีจำนวนซึ่งประกอบด้วยข้อความคาดการณ์ 2 อันที่เกี่ยวเนื่องกัน ได้แก่ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อน(weak Goldbach conjecture) ที่กล่าวว่า  ทุกจำนวนคี่ที่มากกว่า 5 สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของจำนวนเฉพาะสามจำนวน และข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบเข้ม(strong Goldbach conjecture) ซึ่งกล่าวว่า ทุกจำนวนคู่ที่มากกว่า 2 จะสามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อนเป็นผลโดยตรงจากข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบเข้ม
ปัญหาข้อนี้เสนอโดยคริสเตียน ก็อลท์บัคในจดหมายจากเขาถึงเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1742 ปัจจุบันมีบทพิสูจน์ของข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อนโดยฮาราล์ด เฮลฟ์กอดท์ในปี ค.ศ. 2013
ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เสนอว่า ทุก 3-แมนิโฟลด์ที่มีสมบัติเป็นแมนิโฟลด์เชื่อมโยงอย่างง่ายและเป็นแมนิโฟลด์ปิดจะสมานสัณฐานกับ 3-sphere (ทรงกลมในปริภูมิสี่มิติ)
อ็องรี ปวงกาเรตั้งข้อคาดการณ์นี้ในปี ค.ศ. 1904 ก่อนจะได้รับการพิสูจน์ว่าจริงโดยกริกอรี เพเรลมานผ่านพรีพรินต์ในปี ค.ศ. 2002-2003 ก่อนจะได้รับการยืนยันว่าจริงในปี ค.ศ. 2006
สมมติฐานความต่อเนื่อง เป็นสมมติฐานเกี่ยวกับขนาดของเซตอนันต์ซึ่งกล่าวว่า ไม่มีเซตใดมีภาวะเชิงการนับ(cardinality) อยูระหว่างขนาดของเซตของจำนวนเต็มและเซตของจำนวนจริง
สมมติฐานความต่อเนื่อถูกตั้งเป็นข้อคาดการณ์โดยเกออร์ก คันตอร์ในปี ค.ศ. 1878 ก่อนที่จะพบว่าข้อความนี้เป็นอิสระจากสัจพจน์อื่น ๆ ของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมกับสัจพจน์ของการเลือก(ZFC) จากบทพิสูจน์ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถหักล้างได้จากสัจพจน์ใน ZFC ของควร์ท เกอเดิลและ สมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ใน ZFC ของพอล โคเฮน
ข้อคาดการณ์ของเวย์เป็นข้อความคาดการณ์หลายข้อที่อ็องเดร เวย์เสนอไว้ในปี ค.ศ. 1949 เกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ที่นิยามบนวาไรตีเชิงพีชคณิตเหนือฟีลด์จำกัดข้อคาดการณ์นี้เสนอว่า ฟังก์ชันซีตาเหล่านี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะจะสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันรูปแบบหนึ่ง จะสอดคล้องกับเงื่อนไขเกี่ยวข้องกับจำนวนเบตตีและมีผลเฉลยอยู่ในบริเวณจำกัดคล้ายกับในสมมติฐานของรีมันน์
ความเป็นฟังก์ชันตรรกยะพิสูจน์โดยเบอร์นาร์ด ดวอร์กข้อคาดการณ์เกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชันและความเชื่อมโยงกับจำนวนเบตตีพิสูจน์โดยอเล็กซองดร์ โกรเธนดีกและส่วนเหมือนของสมมติฐานรีมันน์พิสูจน์โดยปิแยร์ เดอลิญน์
ข้อความคาดการณ์ที่มีชื่อเสียงอื่น ๆ ได้แก่