Plasticidad (mecánica de sólidos)

Laplasticidades un comportamiento mecánico característico de ciertos materialesanelásticosconsistente en la capacidad dedeformarsepermanente e irreversiblemente cuando se encuentra sometido atensionespor encima de su rangoelástico, es decir, por encima de sulímite elástico.
En los metales, la plasticidad se explica en términos de desplazamientos irreversibles dedislocaciones.
En los materiales elásticos, en particular en muchos metales dúctiles, unesfuerzouniaxial detracciónpequeño lleva aparejado un comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la tensión de tracción comporta pequeños incrementos en la deformación, si la carga se vuelve cero de nuevo el cuerpo recupera exactamente su forma original, es decir, se tiene una deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que existe un límite, llamadolímite elástico, tal que si cierta función homogénea de las tensiones supera dicho límite entonces al desaparecer la carga quedan deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su forma. Es decir, aparecen deformaciones no reversibles.
Este tipo decomportamiento elasto-plásticodescrito más arriba es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos, y también en muchos otros materiales. Elcomportamiento perfectamente plásticoes algo menos frecuente, e implica la aparición de deformaciones irreversibles por pequeña que sea la tensión, la arcilla de modelar y laplastilinase aproximan mucho a un comportamiento perfectamente plástico. Otros materiales además presentanplasticidad con endurecimientoy necesitan esfuerzos progresivamente más grandes para aumentar su deformación plástica total. E incluso los comportamientos anteriores pueden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se conoce con el nombre devisco-plasticidad.
La plasticidad de los materiales está relacionada con cambios irreversibles en esos materiales. A diferencia delcomportamiento elásticoque es termodinámicamente reversible, un cuerpo que se deforma plásticamente experimenta cambios de entropía, como desplazamientos de las dislocaciones. En elcomportamiento plásticoparte de laenergía mecánicase disipa internamente, en lugar de transformarse enenergía potencial elástica.
Microscópicamente, en la escala de la red cristalina de los metales, la plasticidad es una consecuencia de la existencia de ciertas imperfecciones en la red llamadas dislocaciones. En 1934, Egon Orowan, Michael Polanyi y Geoffrey Ingram Taylor, más o menos simultáneamente llegaron a la conclusión de que la deformación plástica de materiales dúctiles podía ser explicada en términos de lateoría de dislocaciones. Para describir la plasticidad usualmente se usa un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y dependientes del tiempo que describen los cambios en las componentes del tensor deformación y el tensor tensión con respecto al estado de deformación-tensión previo y el incremento de deformación en cada instante.
La base de la moderna teoría de la plasticidad fue asentada en el sigloXIXcon los trabajos deTresca,Saint-Venant,LévyyBauschinger. A principios del sigloXXse hicieron algunos avances en la comprensión del fenómeno por parte dePrandtl,Von Misesy A. Reuss. En esta primera fase se introdujo el concepto de deformación irreversible,criterios de fallo, endurecimiento y plasticidad perfecta, además de la forma incremental de las ecuaciones constitutivas de la deformación plástica.
Justo después de laSegunda Guerra Mundialaparecieron los trabajos dePrager,DruckeryHillen los que se logró una mayor claridad de la formulación y se estableció laconvexidadde lassuperficies de fluencia. Poco después, a partir de 1960, se produjeron ciertos avances matemáticos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y las desigualdades variacionales que resultarían ser particularmente provechosos para la teoría de la plasticidad. Esos avances probaron que el marco natural para resolver losproblemas de valor inicial en sólidos elastoplásticoseran las desigualdades variacionales. La confluencia de ciertos avances en el terreno de la mecánica de sólidos y las matemáticas dieron lugar a nuevos desarrollos teóricos, de los cuales son un ejemplo los artículos de Moreau, las monografías deDuvautyJ.L. LionsyTemam.
En general un modelo de plasticidad requiere definir varios elementos:
La existencia de variables internas ---como el grado de plastificación (deformación plástica), el endurecimiento y otras--- hace que la relación entre tensiones y deformaciones sea más compleja que en el caso elástico, en particular, dado un nivel de deformación elástica las tensiones no pueden conocerse a menos que se conozca cómo han variado las variables internas. El hecho de tener en cuenta cómo varían las variables internas hace que un problema elastoplástico en general sólo pueda ser unívocamente resuelto como problema dinámico resolviendo simultáneamente las ecuaciones del siguiente sistema:
donde la primera relación expresa laecuación constitutivaentre latensión mecánica(σ{\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}}), ladeformación(ε{\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}), las variables internas (ξ{\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\xi }}}), para cada punto del sólido. La segunda relación es laecuación en derivadas parcialesque recoge el equilibrio de fuerzas entre las tensiones internas y las fuerzas aplicadas (f{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} }) y la última es laecuación diferencial ordinariaque da la regla de flujo que expresa cómo aumentan las variables internas (en particular la deformación plástica) con el tiempo una vez el material alcanza un estado de tensiones donde aparece fluencia.
La descripción de un material plástico requiere tanto de variables que describan la deformación total, como variables internasξk{\displaystyle \xi _{k}}que describan los cambios irreversibles que tienen lugar en el interior del material. Estas variables intervienen además en las relaciones de disipación del material. Las consideraciones termodinámicas llevan a que laenergía libre de Gibbsg[por unidad de volumen] esté relacionada con laenergía libre de Helmholtzf, las tensiones y las deformaciones mediante la relación:
Donde:
La relación anterior implica:
Experimentalmente se conoce que eltensor de complianzaA{\displaystyle \mathbf {A} }no parece verse afectado por los procesos irreversibles de deformación plástica, lo que a su vez implicará:
Y en ese caso existe una descomposición aditiva de ladeformación, en deformación elástica y deformación plástica, porque bajo la hipótesis de independencia deA{\displaystyle \mathbf {A} }de la deformación plástica, (*) puede ser integrada en la forma:
Por otra parte laley de flujoestá limitada por una desigualdad asociada a la disipación plástica de la energía. Esta desigualdad se deriva de lasegunda ley de la termodinámicaen la forma de Clausius-Duhem:
Donde:
Laley de Hookeusada para materiales elásticos reversibles y lineales es una ecuación constitutiva en que lastensionesse describen como el producto decomponentes tensorialesdel tensor deconstantes elásticaspor las componentes deltensor deformación. En dicha ley las tensiones son combinaciones lineales de las deformaciones, y no existe disipación de energía y por tanto irreversibilidad. Por esas razones no pueden describir la plasticidad. De hecho, la descripción matemática de la plasticidad debe incluir tanto la irreversibilidad o disipación de energía como la no linealidad de las expresiones que relacionan tensiones y deformaciones. Existe un buen número de modelos matemáticos de plasticidad con estas características. En todos los modelos de plasticidad la relación entre tensiones y deformaciones es del tipo:
Donde en la ecuación anterior y en las siguientes se usa elconvenio de sumación de Einsteinsobre índices repetidos, y donde además:
La diferencia básica entre los diversos modelos de plasticidad es lasuperficie de fluenciay por tanto la manera en que se computan las deformaciones plásticas, además de las posibles variaciones en la componente viscoplástica. De hecho, un modelo de plasticidad además de la ecuación (1) necesita especificar dos relaciones más:
Donde
Si se derivan las ecuaciones (1) y (2) respecto al tiempo y se añade la ecuación (3) se tiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias respecto al tiempo, que junto con las correspondientes ecuaciones de contorno describiendo las cargas, los valores iniciales y otras restricciones forman unproblema elastoplásticocuya solución es única en el caso lineal. En el caso no lineal no considerado aquí no se ha demostrado launicidad.
Este es un modelo elasto-plástico isótropo sin vicosidad ni endurecimiento y es uno de los modelos elasto-plásticos más sencillos. La tensión en cada instante viene dada por una tensión puramente elástica independiente de la velocidad de deformación:
Donde la superficie de fluencia y la zona plástica vienen dadas por el segundo invariante oinvariante cuadráticodel tensor desviador.
En las ecuaciones anteriores y en lo que se sigue se emplea elconvenio de sumación de Einsteinrespecto a los índices repetidos. Las ecuaciones básicas adicionales de la evolución temporal del límite de fluencia y la deformación elástica son:
La función⟨⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot \rangle }es lafunción rampa. Esta última expresión indica que el tensor de deformación plástica es proporcional al tensor de tensiones desviador.
Este modelo atribuye un comportamiento elástico al material por debajo de límite de fluencia y atribuye aumentos de la deformación plástica por encima de él. La velocidad de deformación no juega ningún papel dentro de él. Las relaciones entre tensión y deformación son de la forma:
Donde lasωkj{\displaystyle \omega _{kj}}se usan para calcular latasa objetiva de cambio de Jaumanny donde la superficie de fluencia y la zona donde se producen deformaciones plástica es la misma que en el modelo de plasticidadJ2, lo cual significará que existirá aumento de la deformación plástica siempre y cuando:
Las ecuaciones adicionales de laevolución temporaldel límite de fluencia y la deformación plástica son:
Donde el instante inicial se ha tomado antes de que apareciera plastificación.
Este modelo es un modelo elasto-plástico con endurecimiento cinemático, una vez pasado el punto de fluencia del material. La relación entre tensiones y deformaciones viene dada por una contribución elástica más una contribución plástica. 
En el caso isotrópico lasuperficie de fluenciase toma como el lugar geométrico:​
Donde:
La versión isótropa de este modelo contiene 7 constantes del material: dos constantes elásticasE,ν{\displaystyle E,\nu \,}, dos parámetros de plasticidadEp,σ0{\displaystyle E_{p},\sigma _{0}\,}, dos parámetros de viscoelásticosC,p{\displaystyle C,p\,}y el parámetro de endurecimientoβ{\displaystyle \beta \,}.
Este es un modelo elasto-plástico isótropo sinviscosidadque generaliza elmodeloJ2sin endurecimiento. En este modelo, las ecuaciones de evolución del tensor de deformación plástica se substituyen por otras más complicadas y se añaden las siguientes variables internasξ=(α,βij){\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=(\alpha ,\beta _{ij})}. La deformación plástica evoluciona según la ecuación:
Donde:
Mientras que las ecuaciones de evolución de las variables internas viene dada por:
En los metales, la plasticidad frecuentemente aparece relacionada con el desplazamiento de dislocaciones en el interior del material. Los metales usualmente están formados por cristales con planos razonablemente bien alineados dentro de cada cristal, aunque siempre existen algunas dislocaciones y planos atómicos incompletos. A partir de un cierto valor de la tensión esas dislocaciones sufren desplazamientos, que constituyen transformaciones irreversibles que absorben energía y cuyas deformaciones asociadas no se recuperan cuando desaparece el esfuerzo.
El cálculo plástico se refiere al cálculo deesfuerzos, tensiones y deformaciones eningeniería estructuralde elementos que tienen un comportamiento plástico. A diferencia de los mecanismos que deben operar de manera reversible, las estructuras estáticas pueden ser proyectadas para trabajar por encima del dominio elástico, lográndose con ello un aprovechamiento más completo de sucapacidad resistente. Esto se debe a que, una vez rebasado el dominio elástico de reversibilidad, algunos materiales de construcción siguen teniendo capacidad para resistir esfuerzos mayores, por endurecimiento cinemático, aún a costa de sufrir transformaciones internas irreversibles.
En estructura metálica el cálculo plástico consiste básicamente en identificar los puntos de aparición de rótulas plásticas o regiones de plastificación que, una vez completamente plastificadas, se convierten enarticulaciones, llamadas "rótulas de plastificación". Para encontrar para qué valor de la carga se forma una rótula plástica se representa la estructura por una estructura elástica lineal donde todas las rótulas de plastificación ya formadas se han sustituido por articulaciones. La aparición de rótulas de plastificación reduce el grado dehiperestaticidadampliando el número degrados de libertad. Cuando aparece el suficiente número de rótulas plásticas la estructura se convierte en unmecanismo, y la configuración del mismo da el mecanismo de colapso de la estructura. El cálculo plástico es especialmente útil en estructuras hiperestáticas con condiciones de enlaces redundantes. El cálculo plástico incluye la identificación de los modos de colapso por formación de rótulas plásticas, y la carga necesaria para la plastificación de todas las rótulas. La carga última plástica es el valor a partir del cual la estructura queda convertida en mecanismo por plastificación de la última rótula.
En una estructura con una única carga aplicada cuasiestáticamente la primera rótula de plastificación se habrá acabado de formar cuando el momento máximo iguale el momento plástico. Para calcularlo se considera una carga arbitraria de ensayoP~{\displaystyle \scriptstyle {\tilde {P}}}aplicada en el mismo punto que la carga original y se calculan losmomentos flectoresen todos los puntos en función de dicha cargaM~1(x,P~){\displaystyle \scriptstyle {\tilde {M}}_{1}(x,{\tilde {P}})}, entonces la carga de formación de la primera rótulaPR,1se calcula simplemente como:
Donde:
Una vez identificada la primera rótula, se prosigue calculando una estructura como la original pero en la que el punto de formación de la rótula de plastificación se ha sustituido por una articulación, se considera una nueva carga de ensayo, se ve en qué otro punto se da ahora el momento máximo y se determina que carga se necesita para que el nuevo punto, teniendo en cuenta el momento flector total que ya tenía en la fase anterior, para que el momento iguale al momento plástico:
El procedimiento anterior es generalizable al caso de varias cargasP1, ...,Pnque se incrementan cuasiestáticamente de manera uniparamétricaPi=Pi(λ). En el caso más general en que cada carga varía independientemente, el estado final dependerá de qué cargas aumenten más rápidamente por lo que la resistencia última en régimen plástico sólo puede determinarse si se especifica la variación de todas las cargas en el tiempo:Pi=Pi(t).
También en el cálculo de estructuras dehormigón armadose admite que las barras de acero sometidas a tracción adquieran deformaciones plásticas, ya que el acero tiene un comportamiento plástico con endurecimiento, y al rebasar su límite elástico se endurece pudiendo soportar mayores tensiones que antes de adquirir deformaciones plásticas. Este endurecimiento o aumento de la capacidad resistente del acero en tracción permite economizar, y construir estructuras con una menor cantidad de acero.
En el caso de algunos terrenos húmedos, la plasticidad es la propiedad que les permite ser moldeados aplicándoles fuerzas externas, y mantener las formas adquiridas, aun cuando la humedad y las fuerzas externas desaparezcan. SegúnAtterberg​ se pueden definir dos límites de plasticidad,​ el máximo y el mínimo. Con porcentaje de humedad por encima del límite máximo de plasticidad, lamasaterrosa adquiere fluidez y pierde su capacidad de mantener la forma, y si el terreno tiene un porcentaje de humedad por debajo del límite mínimo de plasticidad, la masa terrosa se vuelve quebradiza, y no se puede moldear.​ Es evidente que no todos los suelos tienen la misma plasticidad; lasarenasy loslimostienen una plasticidad baja o muy baja, mientras que suelos con alto contenido dearcillastienen una plasticidad mayor. En línea general puede afirmarse que terrenos con un contenido de arcilla inferior al 15% no son plásticos.​
Para cada uno de los límites de plasticidad, el máximo y el mínimo, corresponde, en función del terreno, un porcentaje de humedad, la diferencia entre los dos porcentajes de humedad límites de llamanúmerooíndice de plasticidad. Tanto los límites de plasticidad como también el correspondiente número de plasticidad o índice de plasticidad varían, obviamente de terreno a terreno, en función principalmente de la textura y más precisamente del contenido decoloidesinorgánicos.
Otro factor importante que influencia la plasticidad es el tipo decationesdisponibles.​ Generalmente el ionK+disminuye los dos límites de plasticidad y el índice de plasticidad, mientras que el ionNa+disminuye los límites de plasticidad, pero aumenta el índice de plasticidad; los cationesMg++yCa++aumentan la plasticidad, pero los terrenos saturados con ellos requieren una cantidad elevada de agua para alcanzar el estado de plasticidad, al contrario de los saturados con cationes deK+.
El efecto de hidratación y de dispersión delNa+determinan una plasticidad de los suelos saturados con este catión mayor de la que alcanzan los terrenos saturados con cationes bivalentes.
Generalmente, la influencia de los diversos cationes sobre la plasticidad varía con la calidad y la naturaleza de la arcilla.
La materia orgánica contenida en el suelo también tiene un efecto importante en la plasticidad de los suelos.​ En general los estratos superiores del suelo tienen una plasticidad mayor que los estratos más profundos. Esto puede atribuirse a la mayor presencia de material orgánico en las capas superiores del terreno.