قيمة متوقعة

القيمة المتوقعة(بالإنجليزية:Expected value)‏لمتغير عشوائيx{\displaystyle x}هي القيمة التي تظهر نتيجة لإعادة تجارب معينة معدلا لنتاج هذه التجارب.فالقيمة المتوقعة هي قيمة عددية تساوي درجة المساواة في لعبة حظ. وهي تساوي مجموع الارباح (أو الخسائر) موزونة باحتمال الربح (أو الخسارة).
يختار اللاعب عددا من 0 إلى 36 (37 عدداً) على العجلة (متكونة من 37 خانة كل خانة تمثل عددا). ثم يراهن على هذا العدد.
توضع كرة صغيرة في العجلة وتدار العجلة بسرعة ثم تقف الكرة في خانة عدد ما. إذا كان عدد الخانة يساوي العدد الذي اختاره اللاعب في البداية فإن رهانه سيضاعف 36 مرّة أما في الحالة الثانية فإنه يخسر رهانه.
لنفترض أنه يراهن على هذه الخانة بـ 10 دولارات.
القيمة المتوقعة للربح هي إذا:
هذا العدد يمثل، معدلاّ، أن اللاعب يخسر 0.27 دولارا بعد كل لعبة (لحساب صاحب العجلة).
عندما تكون القيمة المتوقعة تساوي 0، نعتبر اللعبةعادلة.
في بعض الحالات، إشارات القيمة المتوقعة لا تتطابق مع الاختيار المعقول.
لنتخيل مثلا أن نفوم بالاقتراح التالي: لو تم رمي زهري نرد، وظهر العدد 6 على كلاهما، فإن اللاعب يربح مليوندولاروإذا لم يقع ذلك يخسر اللاعب 10000 دولار. من المحتمل، أن يرفض اللاعب اللعب (قد يتبين لنا أنّه سيخسر الكثير).
ولكن القيمة المتوقعة لهذه اللعبة ملائمة للربح: احتمال الحصول على 6 على كلا الزهرين هو 1/36، فلنا إذا:
بعد كلّ شوط، يربح الاعب 18055 دولار معادلا.
تكمن المشكلة في الحقيقة على لفظة «معدلا»: إذ مع أن الأرباح قد تكون عالية، فإن وقوعها نادر نسبيا، وليضمن اللاعب أن يكون رابحا فإنه يجب أن يكون لديه كمية كافية من المال ليلعب عددا كبيرا من المرّات. وإذا كانت الرهانات كبيرة (بإفراط) فإن اللاعب يستطيع اللعب عددا كبيرا من المرّات وعندها تكون حجة القيمة المتوسطة ليست كافية.
إنّ اعتبارات المجازفة بالخسارة هذه هي التي جعلت الرياضيدانيال برنولييجد فكرة «النفور من المجازفة» في كتابه «تناقض متسرل سانت بتارسبورغ». هذ الفكرة أدّت إلى مصاحبة القيمة المتوقعة بعلاوة على المجازفة (ميداناقتصادي) عند تطبيقها في مسائل الاختيار.
القيمة المتوقعةلمتغير عشوائيتعادل احتمال معدل متسلسلة إحصائية فيالإحصاء.
يرمز إليها ب (E(X وتقرأ القيمة المتوقعة لـ X.
تحسب القيمة المتوقعةكالتباينأي باستعمال قوى المتغير العشوائي
تحسب القيمة المتوقعة لمتغيرات عشوائية (حقيقية أو مركبة) بالشكل التالي:
تمتلك القيمة المتوقعة بعض الخصائص المهمة رياضياً ومنها:
تمتلك القيمة المتوقعة خاصية الخطية، حيث أنه يمكن أن ينطبق مع أي متغيرين عشوائيينX1,X2{\displaystyle X_{1},X_{2}}التالي:
E(X1+X2)=E(X1)+E(X2){\displaystyle E(X_{1}+X_{2})=E(X_{1})+E(X_{2})}
وكحالات خاصة ينطبق مع أي متغيرين حقيقيينc{\displaystyle c}أوd{\displaystyle d}ومتغيّر عشوائيX{\displaystyle X}التالي:
E(cX+d)=cE(X)+d{\displaystyle E(cX+d)=cE(X)+d}
E(cX)=cE(X){\displaystyle E(cX)=cE(X)}
وأيضاً:
E(d)=d{\displaystyle E(d)=d}
تنطبق خاصية الخطية في القيمة المتوقعة أيضاً على المتسلسلات:
E(∑k=1nXk)=∑k=1nE(Xk){\displaystyle E{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\Bigr )}=\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})}
إن خاصية الخطية للقيمة المتوقعة تأتي كنتيجة لخطيةتكاملالقيمة المتوقعة.
يقولقانون الأعداد الكبيرةأن المعدل التجريبي لـ N (مع ملاحظة أن N كبير) للمتغير العشوائي X تقدير جيّد للقيمة المتوقعة لـ X.
غالبا، نعتبر القيمة المتوقعة أن تكون مثل «وسط المتغير العشوائي»، أي القيمة التي تتوزع حولها القيم الأخرى.
مثلا إذا كان لـX و2a - X نفسالتوزيع الاحتماليأي أنّ التوزيع هذا متناظر بالنسبة إلى a، إذن E (X).
ولكن هذه الفكرة تفقد صحتها إذا لم يكن التوزيع متناظرا. لندرس مثالاالتوزيع الهندسي، وهو توزيع غير متناظر. إذا X يمثل عدد رميات زهر نرد، يمكن أن نبرهن أنّ 6 =(E(X يعني أن لنحصل على "1" يكفي، معدلا، أن نرمي الزهر 6 مرّات. ولكن احتمال أنّ 5 رميات أو أقل تكفي للحصول على "1" تساوي 0.6 والاحتمال أن 7 رميات أو أكثر تساوي 0.33. قيمات X تتوزع بطريقة غير متساوية حول القيمة المتوقعة.