Conjunto vacío

Desde principios del sigloXX, en lamatemática, particularmente en lateoría axiomática de Conjuntos de ZFo la teoría intuitiva de conjuntos, elconjunto vacíoesel queno poseeelementoalguno. Puesto que lo único que define a un conjunto es la propiedad que satisfacen sus elementos, el conjunto vacío es único.
Algunas propiedades de los conjuntos sonobviamenteciertas para el conjunto vacío. En unateoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.
El concepto de "conjunto vacío", representa la idea de un conjunto que no contiene elementos. Su desarrollo es fundamental en la historia de lateoría de conjuntosy las matemáticas, particularmente en la transición de las nociones clásicas de números y colecciones a un marco más formal y abstracto para entender los objetos matemáticos.
La historia del conjunto vacío puede rastrearse hasta los primeros fundamentos de la teoría de conjuntos en el sigloXIX. La formalización de la teoría de conjuntos comenzó con el trabajo deGeorg Cantora finales de 1800. Cantor es conocido por desarrollar lateoría de la cardinalidad, que se centra en los tamaños de los conjuntos infinitos.​ Aunque Cantor no definió explícitamente el conjunto vacío, su trabajo sentó las bases para desarrollos posteriores. Trataba los conjuntos como colecciones de objetos y estaba interesado en las propiedades de estas colecciones, lo que preparó el terreno para tratamientos más rigurosos de los conjuntos y sus elementos.
La primera mención explícita del conjunto vacío apareció con los trabajos deRichard DedekindyGiuseppe Peano,​ quienes, basándose en las ideas de Cantor, estaban formalizando los fundamentos de la aritmética y el álgebra. Dedekind, en particular, estaba interesado en definir los números en términos de conjuntos. Su trabajo sobre los números naturales incluyó definir el 0 como el conjunto vacío ∅, lo que marcó un momento importante en el desarrollo del concepto.​ Esta visión vinculaba el conjunto vacío directamente con la idea de "nada", ya que representaba la ausencia de elementos en una colección.
Sin embargo, no fue hasta principios del sigloXX, con el desarrollo de la teoría formal de conjuntos porErnst ZermeloyAbraham Fraenkel, que el conjunto vacío se integró completamente en un marco matemático riguroso. Los axiomas de Zermelo de 1908 para la teoría de conjuntos​ (más tarde refinados en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o ZFC) hicieron del conjunto vacío un componente fundamental del sistema axiomático. Losaxiomas de Zermelo-Fraenkel​ incluyen un axioma de "extensionalidad", que esencialmente afirma que los conjuntos están determinados por sus elementos, y un axioma del "conjunto vacío", que garantiza la existencia de un conjunto sin elementos.
La inclusión del conjunto vacío como un objeto fundamental en la teoría de conjuntos tiene consecuencias de gran alcance en las matemáticas modernas. Sirve como el bloque de construcción para conjuntos más complejos y es crucial para comprender la estructura de objetos matemáticos, como funciones, relaciones yespacios topológicos. Su utilidad se extiende a casi todas las ramas de las matemáticas, desde la lógica hasta la topología, y es esencial en la formalización de demostraciones matemáticas, donde el conjunto vacío a menudo representa un caso base o la condición nula en definiciones inductivas y recursivas.
Elconjunto vacíoes el conjunto que no tiene elementos.
Elconjunto vacíoes denotado por los símbolos: ∅ o∅{\displaystyle \emptyset \,}derivados de la letraØde las lenguasdanesaynoruega, entre otras. Esta notación fue introducida porAndré Weilen 1939.​ Otra notación común para el conjunto vacío es la notaciónextensiva, especificando sus elementos (ninguno) entrellaves:
El conjunto vacío∅{\displaystyle \emptyset \ }es el conjunto de todos los elementosx{\displaystyle x}tal quex≠x{\displaystyle x\neq x}.
Expresión analítica :  Sea el conjunto en elespacio vectorialRS={x∈Z:x2−x−2=0}.{\displaystyle S=\{x\in \mathbf {Z} :x^{2}-x-2=0\}.}.  EntoncesS=∅{\displaystyle S=\varnothing }​
Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». El conjunto vacío posee ciertas propiedades:
Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:
Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en∅es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en∅», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como elceroen las operaciones delálgebra de conjuntos:
Adicionalmente, elconjunto potenciadel conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir,{∅}. Por lo tanto, elnúmero cardinaldeP(∅)={∅}{\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}es|P(∅)|=1{\displaystyle |{\mathcal {P}}(\varnothing )|=1}.
Dado que el conjunto vacío no tiene miembros cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado, cada miembro de ese conjunto será un límite superior e inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se ve como un subconjunto de los números reales, con su orden habitual, representado por una recta numérica real, cada número real es un límite superior e inferior para el conjunto vacío.​ Cuando se ve como un subconjunto de los valoresreales extendidosformados al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (es decir, infinito negativo, denotado−∞,{\displaystyle -\infty \!\,,}que se define como menor que cualquier otro número real aumentado, y el infinito positivo , denotado por+∞,{\displaystyle +\infty \!\,,}, que se define como mayor que cualquier otro número real aumentado), obtenemos que:
sup∅=min({−∞,+∞}∪R)=−∞,{\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}yinf∅=max({−∞,+∞}∪R)=+∞.{\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}
En otras palabras, el límite superior más pequeño (sup o supremum) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior más grande (inf o infimum) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los valores reales extendidos, el infinito negativo es el elemento idéntico para los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento identidad para los operadores mínimo e ínfimo.
En cualquierespacio topológicoX, el conjunto vacío es abierto por definición, al igual que X. Dado que el complemento delconjunto abiertoes cerrado, y el conjunto vacío y X son complementarios entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto abierto-cerrado. Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.
El cierre del conjunto vacío es vacío. Esto se conoce como "preservación deunionesnulas".
SiA{\displaystyle A}es un conjunto entonces hay exactamente una funciónf{\displaystyle f}desde el∅{\displaystyle \varnothing }haciaA,{\displaystyle A,}que es una función vacía. Por lo tanto, el conjunto vacío es el único objeto inicial de la categoría de conjunto y función.
Un conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico, llamadoespacio vacío, de una sola manera: definiendo que el conjunto vacío sea abierto. Este espacio topológico vacío es un objeto inicial único en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos. De hecho, es un objeto inicial estricto: solo el conjunto vacío tiene una función de conjunto vacío.
En laconstrucción ordinal de von Neumann, 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor del ordinal se define comoS(α)=α∪{α}{\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}. Entonces tenemos0=∅{\displaystyle 0=\varnothing },1=0∪{0}={∅}{\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}},2=1∪{1}={∅,{∅}}{\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}, y así sucesivamente.​ La construcción de Von Neumann, junto con elaxioma del infinito, que garantiza la existencia de al menos unconjunto infinito, puede usarse para construir el conjunto de números naturales,N0{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}, tal que se satisfagan losAxiomas de Peanode la aritmética.
En el contexto de los conjuntos de números reales, Cantor utilizóP≡O{\displaystyle P\equiv O}para denotar «P{\displaystyle P}no contiene ningún punto». Esta notación≡O{\displaystyle \equiv O}se utilizó en definiciones; por ejemplo, Cantor definió dos conjuntos como disjuntos si su intersección tiene ausencia de puntos; sin embargo, es discutible si Cantor consideróO{\displaystyle O}como un conjunto existente por sí mismo, o si Cantor simplemente utilizó≡O{\displaystyle \equiv O}como un predicado de vacío. Zermelo aceptóO{\displaystyle O}en sí mismo como un conjunto, pero lo consideró un «conjunto impropio».​
En lateoría de conjuntos de Zermelo, la existencia del conjunto vacío está asegurada por elaxioma de conjunto vacío, y su unicidad se deriva delaxioma de extensionalidad. Sin embargo, el axioma del conjunto vacío puede mostrarse redundante al menos de dos maneras:
Aunque el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidadontológica, cuyo significado y utilidad debaten filósofos y lógicos.
El conjunto vacío no es lo mismo quenada; más bien, es un conjunto con nadaadentroy un conjunto siempre esalgo. Este problema puede superarse considerando un conjunto como una bolsa: una bolsa vacía sigue existiendo, sin duda. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino «el conjunto de todos los triángulos con cuatro lados, el conjunto de todos los números que son mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todas lasmovimientos de aperturaenajedrezque implican unrey.»​
Elsilogismopopular
se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste puede verse reescribiendo las afirmaciones «Nada es mejor que la felicidad eterna» y «[Un] bocadillo de jamón es mejor que nada» en tono matemático. Según Darling, la primera equivale a «El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es  
∅ » y la segunda a «El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto  ∅ ». El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los conjuntos en sí.​
El filósofoJonathan Lowesostiene que si bien el conjunto vacío
también es el caso que:
George Boolosargumentó que mucho de lo obtenido hasta ahora por la teoría de conjuntos puede obtenerse con la misma facilidad mediante cuantificación plural sobre individuos, sin reificar conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros.​