Bisección

Engeometría, el términobisecciónhace referencia a la división de un elemento en dos partes iguales ocongruentes, generalmente mediante una línearecta, denominadabisector.
Los tipos de bisectores más frecuentemente considerados son:
En el espaciotridimensional, la bisección generalmente se realiza mediante un plano, también llamado "plano bisector" o "plano de bisección".
Un bisector de unsegmentopasa a través delpunto mediodel segmento dado.
Particularmente importante es el bisectorperpendicularde un segmento, lamediatriz, que forma dosángulos rectoscon el segmento dado. La mediatriz de un segmento tiene también la propiedad de que cada uno de sus puntos esequidistantede los puntos extremos del segmento. Por lo tanto, los límites de lospolígonos de Thiessenconsisten en segmentos de tales líneas o planos.
En la geometría clásica, la bisección es una construcción realizable medianteregla y compás, cuya posibilidad depende de la capacidad de dibujarcircunferenciasde radios iguales y centros diferentes. El segmento se biseca dibujando circunferencias de intersección de igual radio, cuyos centros son respectivamente los puntos extremos del segmento, y de tal manera que cada uno pasa por un punto extremo contrario. La línea determinada por los puntos de intersección de las dos circunferencias es la mediatriz del segmento, ya que cruza el segmento por su centro. De hecho, esta construcción se usa cuando se construye una línea perpendicular a una línea dada en un punto dado: dibujando una circunferencia arbitraria cuyo centro es ese punto, interseca la línea en dos puntos más, y la perpendicular a construir es la que biseca el segmento definido por estos dos puntos.
Teorema de Brahmaguptaestablece que si uncuadrilátero cíclicoesortodiagonal(es decir, tieneperpendicularidaddiagonal), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre divide el lado opuesto.
Algebraicamente, la mediatriz de un segmento recto con los puntos extremosP1(x1,y1){\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}yP2(x2,y2){\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})}, viene dada por la ecuación
que establece que la distancia al cuadrado de los puntos de la mediatriz a un punto extremo, es igual a la distancia al cuadrado desde ese punto hasta el otro punto extremo del segmento.
Una bisectrizángulodivide el ángulo en dos ángulos con medidasequal. Un ángulo solo tiene una bisectriz. Cada punto de una bisectriz de ángulo es equidistante de los lados del ángulo.
Labisectriz,bisector internoobisector interiorde un ángulo es la línea,recta, o segmento de línea que divide un ángulo de menos de 180° en dos ángulos iguales. Labisectriz exteriorobisector externoes la línea que divide elángulo(a partir de un ángulo original de menos de 180°), formado por un lado del ángulo original y la extensión del otro lado, en dos ángulos iguales.​
Para dividir un ángulo conregla y compás, se dibuja una circunferencia cuyo centro es el vértice, que se corta con el ángulo en dos puntos: uno en cada uno de sus lados. Usando cada uno de estos puntos como centro, se dibujan otras dos circunferencias del mismo tamaño. La intersección de los círculos (dos puntos) determina una línea que es la bisectriz del ángulo.
La prueba de la corrección de esta construcción es bastante intuitiva, confiando en la simetría del problema. Es interesante observar que latrisección del ángulo(dividiéndolo en tres partes iguales) no se puede lograr solo con regla y compás (hecho probado por primera vez porPierre Wantzel).
Las bisectrices internas y externas de un ángulo sonperpendicularesentre sí. Si el ángulo está formado por las dos líneas dadas algebraicamente comol1x+m1y+n1=0{\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}yl2x+m2y+n2=0,{\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}, las bisectrices internas y externas vienen dadas por las dos ecuaciones​
Las bisectrices de los ángulos interiores de untriángulosonconcurrentesen un punto llamadoincentrodel triángulo, como se ve en el diagrama de la derecha.
Las bisectrices de dosángulos interioresy la bisectriz del otroángulo interiorson concurrentes.​
Los tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de un ángulo externo con la extensión del lado opuesto, soncolineales(están en la misma línea que los otros).​
Los tres puntos de intersección, dos de ellos entre una bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de un ángulo exterior y el lado opuesto extendido, son colineales.​
El teorema de la bisectriz se refiere a laslongitudesrelativas de los dos segmentos en los que el lado de untriánguloqueda dividido por la bisectriz el ángulo opuesto. Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.
Si las longitudes de los lados de un triángulo sona,b,c{\displaystyle a,b,c}, el semiperímetros=(a+b+c)/2,{\displaystyle s=(a+b+c)/2,}y A es el lado opuesto del ánguloa{\displaystyle a}, entonces la longitud de la bisectriz interna del ángulo A es​
o en términos trigonométricos,​
Si la bisectriz interna del ángulo A en el triángulo ABC tiene una longitudta{\displaystyle t_{a}}y si esta bisectriz divide el lado opuesto A en segmentos de longitudesmyn, entonces​
dondebycson las longitudes laterales opuestas a los vértices B y C; y el lado opuesto a A se divide en la proporciónb:c.
Si las bisectrices internas de los ángulos A, B y C tienen longitudesta,tb,{\displaystyle t_{a},t_{b},}ytc{\displaystyle t_{c}}, entonces​
No hay dos triángulos no congruentes que compartan el mismo conjunto de las tres longitudes de bisectriz de los ángulos internos.​​
Existentriángulos enteros con bisectrices de coeficientes racionales.
Las bisectrices internas de uncuadriláteroconvexoforman uncuadrilátero cíclico(es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de ángulos adyacentes sonconcíclicos),​ o sonconcurrentes. En este último caso, el cuadrilátero es uncuadrilátero circunscrito.
Cada diagonal de unrombobiseca sus ángulos opuestos.
El excentro de uncuadrilátero extratangencialse encuentra en la intersección de seis bisectrices: las bisectrices internas de los ángulos de dos vértices opuestos, las bisectrices de los ángulos externos (bisectrices angulares suplementarias) en los ángulos de los otros dos vértices y las bisectrices angulares externas en los ángulos formados donde se cruzan las extensiones de los lados opuestos.
Latangentea cualquier punto de unaparábola, biseca el ángulo formado entre la línea que une dicho punto al foco de la parábola, y la líneaperpendiculara la directriz desde el punto citado.
Cada una de las tresmedianasde un triángulo es un segmento de línea que atraviesa unvérticey el punto medio del lado opuesto, por lo que divide ese lado en dos partes iguales (aunque en general, no perpendicularmente). Las tres medianas se cruzan entre sí en elbaricentrodel triángulo, que es sucentro de masassi tiene densidad uniforme; así, cualquier línea a través del centroide de un triángulo y uno de sus vértices divide el lado opuesto en dos partes iguales. El centroide está dos veces más cerca del punto medio de cualquier lado que del vértice opuesto.
Las mediatrices (bisectoresperpendiculares) interiores de un lado de un triángulo, son los segmentos que quedan completamente dentro del triángulo de la línea que biseca ese lado perpendicularmente. Las tres mediatrices de los tres lados de un triángulo se cruzan en elcircuncentro(el centro de la circunferencia que pasa a través de los tres vértices). Por lo tanto, cualquier línea a través del circuncentro de un triángulo y perpendicular a un lado biseca ese lado.
En untriángulo acutángulo, el circuncentro divide las mediatrices interiores de los dos lados más cortos en proporciones iguales. En untriángulo obtusángulo, las dos mediatrices de los dos lados más cortos (extendidas más allá de sus lados opuestos del triángulo al circuncentro) están divididas por sus respectivos lados del triángulo que se cruzan en proporciones iguales.​
Para cualquier triángulo, las longitudes interiores de las mediatrices vienen dadas por
donde los lados sona≥b≥c{\displaystyle a\geq b\geq c}y el área esT.{\displaystyle T.}​Aunquea prioripueda parecer sorprendente, los denominadores de estas tres fórmulas no son simétricos (es decir, no intercambian de forma correlativa los valores dea{\displaystyle a},b{\displaystyle b}yc{\displaystyle c}).
Las dosbimedianasde uncuadriláteroconvexoson los segmentos de línea que conectan los puntos medios de lados opuestos, por lo tanto, cada uno biseca dos lados. Las dos bimedianas y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes en un punto llamado "centroide de los vértices" y quedan divididos en dos por este punto.​
Las cuatro "malturas" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado a través del punto medio del lado opuesto, por lo tanto, bisecan al segundo lado. Si el cuadrilátero escíclico(inscrito en un círculo), estas malturas sonconcurrentes(todas se encuentran) en un punto común llamado "anticentro".
Elteorema de Brahmaguptaestablece que si un cuadrilátero cíclico esortodiagonal(es decir, tiene susdiagonalesperpendiculares), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre biseca el lado opuesto.
Laconstrucción por mediatricesforma un nuevo cuadrilátero desde las mediatrices de los lados de un primer cuadrilátero.
Hay una infinitud de líneas que bisecan eláreade untriángulo. Tres de ellas son lasmedianasdel triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), que sonconcurrentesen elcentroidedel triángulo; de hecho, son los únicos bisectores del área que pasan por el baricentro. Otros tres bisectores del área de un triángulo son rectas paralelas a sus lados; cada una de ellas interseca a los otros dos lados para dividirlos en segmentos con las proporciones2+1:1{\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}.​ Estas seis líneas son concurrentes de tres en tres: además de las tres medianas que son concurrentes, cualquier mediana es concurrente con dos de las líneas bisectoras del área paralelas a los lados del triángulo.
Laenvolventede la infinitud de las rectas bisectoras del área es unadeltoide(en general, definida como una figura con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas hacia el exterior del deltoide, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo).​ Los vértices del deltoide están en los puntos medios de las medianas; en todos los puntos dentro del deltoide se cortan tres bisectores del área diferentes, mientras que todos los puntos externos están solo en uno.​
Por los puntos de la frontera, excluidos los vértices, pasan dos bisectores, y por los vértices uno solo, la mediana correspondiente. Los lados del deltoide son arcos dehipérbolaque sonasintóticosa los lados extendidos del triángulo.​ La relación del área de la envolvente de los bisectores del área con respecto al área del triángulo es invariante para todos los triángulos, pues se trata de un problema afín, e igual a34loge⁡(2)−12,{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}es decir, 0.019860..., algo menos del 2%.
Unacuchillade un triángulo es un segmento de línea que divide en dos partes de igual longitud elperímetrodel triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Las tres cuchillasconcurrenen (todas atraviesan) elcentro de la circunferencia de Spieker, que es elincírculodeltriángulo medial. Las cuchillas son paralelas a los bisectores angulares.
Unadivisoriade un triángulo es un segmento que tiene uno de sus extremos en uno de los tres vértices del triángulo cuyo perímetro biseca. Las tres divisorias coinciden en elpunto de Nageldel triángulo.
Cualquier línea a través de un triángulo que divide por la mitad el área del triángulo y su perímetro, pasa por el incentro del triángulo (el centro de sucircunferencia inscrita). Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado. Una línea que pasa a través del incentro divide en dos el área o el perímetro, si y solo si también divide al otro.​
Cualquier línea que cruce el punto medio de unparalelogramodivide en dos su área​ y su perímetro.
Todas las rectas bisectoras del área y del perímetro de un círculo u otra elipse pasan por sucentro, y cualquiercuerdaa través del centro biseca el área y el perímetro. En el caso de un círculo, son losdiámetrosdel círculo.
Lasdiagonalesde un paralelogramo se bisecan entre sí.
Si un segmento de línea que conecta las diagonales de un cuadrilátero biseca ambas diagonales, entonces este segmento (lalínea de Newton) es bisecado por el baricentro de los vértices delcuadrilátero.
Un plano que biseca dos aristas opuestas de untetraedroen una relación dada, también divide el volumen del tetraedro en la misma proporción. Por lo tanto, cualquier plano que contenga una bimediana de un tetraedro (conectando los puntos medios de dos aristas opuestas) divide en dos su volumen.​​