Topologia

Latopologia(dalgrecoτόπος,tópos, "luogo", e λόγος,lógos, "studio", col significato quindi di "studio dei luoghi") è una branca dellamatematicache studia le proprietà dellefiguree, in generale, degli oggetti matematici, che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
È una delle più importanti branche della matematica moderna. Concetti fondamentali comeconvergenza,limite,continuità,connessioneocompattezzatrovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. Si basa essenzialmente sui concetti dispazio topologico,funzione continuaeomeomorfismo.
Col terminetopologiasi indica anche la collezione diapertiche definisce unospazio topologico. Per esempio, uncuboe unasferasono oggetti topologicamente equivalenti (cioèomeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere ad alcuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e untoroinvece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione.
L'antenata della topologia è la geometria antica.
L'articolo diEulerodel1736suiSette ponti di Königsbergè visto come uno dei primi risultati che non dipendono da alcun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.
Georg Cantor, l'inventore dellateoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nellospazio euclideoverso la fine delXIX secolo.
Nel1895, nel suoAnalysis Situs,Henri Poincaréintrodusse i concetti diomotopiaeomologia, adesso considerati parte dellatopologia algebrica. A metà '800 risale la corrispondenza fra i matematici italianiEnrico BettiePlacido Tardy, raccolta a cura diAndré Weil, che verteva in particolare sulla connessione degli spazi topologici.
Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor,Vito Volterra,Cesare Arzelà,Jacques Hadamard,Guido Ascolie altri, nel 1906 introdusse il concetto dispazio metrico.
Tra il 1910 e il 1912Luitzen Brouwerdimostrò, tra gli altri, ilteorema del punto fissoe quello dell'invarianza di dominio, fondamentali in topologia, ilteorema della palla pelosae introdusse la quantità digrado topologico.
Nel 1914Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine dispazio topologicoe definì quello che oggi è dettospazio di Hausdorff.
Infine, nel 1922Kazimierz Kuratowski, con un'ulteriore lieve generalizzazione, fornì il concetto odierno di spazio topologico.
Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dallageometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. Latopologia generale(otopologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loroconnessione, lacompattezzae lacontinuità. Latopologia algebricainvece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti" (ad esempio numeri,gruppi, oanelli), più calcolabili, spesso servendosi difuntori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebrae sullageometria algebrica.
La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio ilteorema della sfera pelosadella topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste uncampo vettorialecontinuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per iPonti di Königsberg, il risultato non dipende dall'esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.
Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione diequivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste unomeomorfismofra loro: in questo caso sono dettiomeomorfie sono, ai fini topologici, esattamente identici.
Un omeomorfismo è formalmente definito come unafunzione biettivacontinuadotata di unainversacontinua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due. Ad esempio, una tazza e una ciambella sono omeomorfi, come suggerito dall'animazione qui accanto.
Un semplice esercizio introduttivo consiste nel classificare le lettere maiuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica. Si ottiene il risultato seguente:
Esiste una nozione di equivalenza più debole dell'omeomorfismo, dettaomotopia. Informalmente, questa nozione permette di trasformare gli oggetti l'uno nell'altro in modo leggermente più libero: è possibile ad esempio trasformare unaQ{\displaystyle Q}in unaO{\displaystyle O}accorciando progressivamente il piede della letteraQ{\displaystyle Q}fino a farlo scomparire. Si ottengono le classi seguenti:
Quest'ultima nozione distingue le lettere essenzialmente per il numero di "buchi":{A,R,D,O,P,Q}{\displaystyle \{A,R,D,O,P,Q\}}ne hanno uno,{B}{\displaystyle \{B\}}ne ha due, tutte le altre lettere nessuno. Il numero di buchi è quindi uninvariante, una quantità utile a distinguere oggetti. Tale quantità si realizza formalmente con il concetto digruppo fondamentale.
La topologia si presta molto bene anche per un approccio elementare
allo studio della geometria. Il già citato "problema dei 7 ponti", ad esempio porta a riflessioni sulle reti nel piano, con nodi, archi e superfici. Il "problema dei 4 colori" affronta il tema di come si può colorare col minor numero possibile di colori diversi una superficie divisa in regioni separate, come potrebbe essere la cartina dell'Italia politica. Lo stesso nastro di Möbius costruito con carta, con la sua unica faccia ed il suo unico bordo, tagliato longitudinalmente in vari modi, consente osservazioni interessanti che stupiscono quasi come giochi di prestigio.
La nozione fondamentale in topologia è quella dispazio topologico. Uno spazio topologico è uninsiemeX{\displaystyle X}di punti, dotato di una struttura che realizzi i concetti di vicinanza e lontananza fra questi. La struttura consiste in una collezione di insiemi diX{\displaystyle X}, dettiaperti, che soddisfano delle proprietà simili a quelle degliinsiemi apertidellaretta realeR{\displaystyle \mathbb {R} }.
Si definiscetopologiauna collezioneT{\displaystyle T}disottoinsiemidi uninsiemeX{\displaystyle X}tali che:
Uno spazio topologico è una coppia (X{\displaystyle X},T{\displaystyle T}), doveX{\displaystyle X}è un insieme eT{\displaystyle T}una topologia. In uno spazio topologico gli insiemi che costituisconoT{\displaystyle T}si diconoapertiinX{\displaystyle X}.I complementari degli insiemi aperti sono dettichiusi, sempre in analogia con gliinsiemi chiusidiR{\displaystyle \mathbb {R} }
Inoltre, dalla terza condizione di topologia, e per induzione, si deduce che l'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti aT{\displaystyle T}appartiene aT{\displaystyle T}.
Unospazio metricoè un particolare spazio topologico, in cui due puntix,y{\displaystyle x,y}hanno una definitadistanzad(x,y){\displaystyle d(x,y)}, che quantifica concretamente la vicinanza (o lontananza) fra i due punti. È importante sottolineare però che la nozione di spazio topologico è più generale e flessibile, perché non necessita di definire con precisione la distanza fra due punti.
Lospazio euclideoRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}di dimensionen{\displaystyle n}è uno spazio metrico e quindi topologico. In particolare, ilpiano cartesianoe lo spazio 3-dimensionale sono spazi topologici.
Ogni sottoinsieme di uno spazio topologico è anch'esso in modo naturale uno spazio topologico. Ne segue che qualsiasi oggetto contenuto nel piano o nello spazio è uno spazio topologico: ad esempio unpoligono, unacorona circolareo oggetti molto più complessi come ifrattalisono spazi topologici contenuti nel piano; una tazza, una ciambella, unnastro di Möbiussono spazi topologici contenuti nello spazio. Molti spazi topologici non sono contenuti né nel piano né nello spazio: un esempio è labottiglia di Klein(che è però contenuta nello spazio 4-dimensionale).
La nozione difunzione continuaè utile a modellizzare in modo rigoroso le "deformazioni ammissibili" che ad esempio trasformano una tazza in una ciambella. Unafunzione
fra due spazi topologici ècontinuase lacontroimmaginedi un insieme aperto diY{\displaystyle Y}è un insieme aperto diX{\displaystyle X}. Questa nozione usa l'unica struttura a disposizione (gli insiemi aperti) e per quanto espressa in modo totalmente differente coincide (per funzioni daRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}inRm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}) con la più usuale nozione di funzione continua definita inanalisi matematicacon l'ausilio delcalcolo infinitesimale, ovvero degliϵ{\displaystyle \epsilon }e deiδ{\displaystyle \delta }.
Due spazi topologiciX{\displaystyle X}eY{\displaystyle Y}sono quindiomeomorfise esistono due funzioni continue
che sono una l'inversadell'altra. In altre parole, esiste unacorrispondenza biunivocafraX{\displaystyle X}eY{\displaystyle Y}che mette in corrispondenza gli insiemi aperti diX{\displaystyle X}con quelli diY{\displaystyle Y}.
Due spazi topologici omeomorfi sono quindi in un certo senso "uguali" (da un punto di vista topologico). Ad esempio, tazza e ciambella sono omeomorfi. Quadrato e cerchio sono omeomorfi. Ovviamente tali spazi possono non essere "uguali" se considerati da altri punti di vista: comespazi metrici, il quadrato ed il cerchio non sono uguali.
Uno spazio topologicoX{\displaystyle X}èconnessose è "fatto di un pezzo solo". Formalmente, si chiede cheX{\displaystyle X}non sia l'unione di due aperti disgiunti (entrambi non vuoti). Una nozione lievemente più forte è quella diconnessione per archi:X{\displaystyle X}è connessoper archise ogni coppia di punti è collegata da unarco continuo.
Uno spazio topologico è sempre unione disgiunta di alcuni spazi connessi naturali, detticomponenti connesse.
In topologia la nozione dicompattezzaha un ruolo molto importante. Uno spazio topologicoX{\displaystyle X}contenuto inRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ècompattose è chiuso elimitato: ad esempio, la ciambella è compatta, mentre una retta no (perché è illimitata); unapallache contiene anche il suo bordo è compatta, una palla senza bordo no (perché non è chiusa).
La nozione di compattezza è definita per uno spazio arbitrarioX{\displaystyle X}nel modo seguente:X{\displaystyle X}è compatto se ogniricoprimento apertocontiene un sottoricoprimentofinito. Perspazi metrici, questa nozione equivale alla definizione seguente usata in analisi: uno spazio è compatto se ognisuccessioneammette una sottosuccessione convergente. Informalmente, uno spazio è compatto se qualsiasi successione di punti converge (in un certo senso) a qualcosa.
L'ipotesi di connessione per uno spazio topologicoX{\displaystyle X}non è molto forte: seX{\displaystyle X}non è connesso, si può comunque spezzare nelle sue componenti connesse e questo in molti contesti non causa grossi problemi. L'ipotesi di compattezza è però più forte: molti risultati (come ilteorema di Weierstrass) sono validi solo per spazi compatti, e non si estendono facilmente a spazi non compatti.
La definizione di spazio topologico è molto generale e prevede anche la trattazione di oggetti molto lontani dalla nostra comune intuizione data dallo spazio tridimensionale in cui viviamo. Per evitare spazi topologici troppo "esotici" si mettono in alcuni casi nella definizione degli assiomi aggiuntivi. Gli assiomi più usati sono di due tipi.
Gliassiomi di separazioneriguardano il modo in cui i punti o i chiusi di uno spazio vengono "separati" dalla topologia. La nomenclatura standard codifica questi assiomi con i simboliT0,T1,T2,T3eT4(e altre varianti). Tra questi l'assioma più usato è T2, detto anchedi Hausdorffperché incluso daFelix Hausdorffnel1914nella sua definizione di spazio topologico.
Gliassiomi di numerabilitàrichiedono che lo spazio topologico non sia "troppo grosso". Questi assiomi non assumono che lo spazio sia numerabile, perché sarebbe una condizione troppo forte, visto che taglierebbe fuori dalla teoria lo spazio euclideoRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}che ha lacardinalità del continuo. Richiedono però che uninsieme numerabiledi aperti sia sufficiente per determinare tutta la topologia dello spazio.
Unavarietà topologicadi dimensionen{\displaystyle n}è uno spazio topologico in cui ogni punto ha un intorno omeomorfo ad un insieme aperto diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. La nozione di varietà è molto importante nella geometria contemporanea, perché è l'oggetto base usato per definire la nozione di "spazio curvo di dimensione arbitraria" utile ad esempio per modellizzare l'universosecondo larelatività generale.
Ad esempio, conn=1{\displaystyle n=1}en=2{\displaystyle n=2}si ottengono curve (come lacirconferenza) esuperfici(come lasfera, iltoro, ed altre superfici più esotiche quali ilnastro di Möbius, labottiglia di Klein, ...) Le varietà di dimensione 3, dette3-varietà, sono più difficili da visualizzare. Tra queste troviamo l'ipersfera.
Ungrafoè un oggetto formato davertici(onodi) collegati da segmenti dettispigoli. Gli spigoli non sono dotati di lunghezza o di curvatura: l'unico dato utile di ciascuno spigolo è la coppia di vertici che collega. Un grafo può essere descritto in modo pressoché equivalente usando il linguaggio dellacombinatoriao della topologia.
Ilproblema dei ponti di Königsberg, considerato storicamente uno dei primi problemi topologici, è un classico problema dellateoria dei grafi. Nello stesso ambito, ilteorema dei quattro coloriè un importante teorema modellizzato e recentemente dimostrato usando i grafi.
In topologia, un grafo è uno spazio topologico relativamente semplice. Ilgruppo fondamentaleo l'omologiamisurano il numero di cicli ("buchi") del grafo. Esiste una nozione didimensione topologica, secondo la quale i grafi hanno dimensione 1. Oggetti di dimensione superiore che generalizzano i grafi sono icomplessi di celle(osimpliciali).
Nelcalcolo differenzialeeintegraleviene studiato spesso un insieme apertoΩ{\displaystyle \Omega }diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, che può essere ad esempio il dominio di una funzione, di uncampo vettorialeo di unaforma differenziale. La topologia diΩ{\displaystyle \Omega }fornisce molte informazioni sull'esistenza e proprietà di tali oggetti: ad esempio, seΩ{\displaystyle \Omega }"non ha buchi" allora ogniforma differenziale chiusaè in realtàesatta; la nozione appropriata di "buco" non è però banale in questo contesto, ed è rigorosamente codificata dalla omologia (in questo contesto, dallacoomologia di De Rham).
Il calcolo differenziale è anche usato per studiare altri oggetti, come le superfici inR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. La topologia di tali superfici fornisce anche qui delle importanti informazioni. Ad esempio, uncampo vettorialetangente mai nullo su unasuperficie chiusanello spazio esiste se e solo se si annulla un importante invariante topologico della superficie, lacaratteristica di Eulero. In particolare, non esiste un tale campo sulla sfera, mentre esiste sul toro (questo risultato è noto anche come ilteorema della sfera pelosa).
Inanalisi complessasi fa spesso uso difunzioni meromorfe, definite su un apertoΩ{\displaystyle \Omega }ottenuto rimuovendo alcuni punti dalpiano complessoC{\displaystyle \mathbb {C} }. Lo studio di tali funzioni e di nozioni comeresiduo,polo,integrale di linea, ecc. sono strettamente connesse alla nozione topologica digruppo fondamentalediΩ{\displaystyle \Omega }.
L'analisi funzionaleè la branca dell'analisi che studia glispazi di funzioni, generalmente con lo scopo di risolvere unaequazione differenziale, cioè di trovare una particolare funzione le cuiderivatesoddisfano delle determinate proprietà.
Lo spazio di funzioni considerato è generalmente unospazio vettoriale topologicodi dimensione infinita. La topologia gioca qui un ruolo importante: sullo stesso spazio di funzioni esistono spesso varie topologie diverse, e la scelta di quella più adatta al problema in esame è un aspetto cruciale della teoria. Alcune topologie sono indotte da unanormacompleta: in questo caso si ottengono deglispazi di Banachodi Hilbert, come glispazi Lpodi Sobolev. In altri casi si usa una topologiapiù debole, ad esempio con ledistribuzioni.
Unageometria non euclideaè una geometria che soddisfa i primi 4postulati di Euclide, ma non ilquinto. L'esistenza di tali geometrie è stata mostrata inizialmente nelXIX secolo; successivamente, la stessa nozione di "geometria" è stata ridiscussa numerose volte. Oggi una nozione che descrive efficacemente e in modo molto generale una "geometria" è quella divarietà riemanniana, ovvero un oggetto topologico (una varietà) dotato di opportune strutture ereditate dalcalcolo infinitesimaleche permettano di definire le nozioni di retta (più precisamente,geodetica), angolo, volume, ecc. In questo contesto, la geometria euclidea è la geometria del piano (e più in generale dellospazio euclideodi dimensionen{\displaystyle n}), che può essere caratterizzata come l'unica varietàsemplicemente connessaaventecurvaturanulla. Altre geometrie fondamentali sono lageometria sfericae lageometria iperbolica, aventicurvatura sezionalecostante positiva e negativa.
Lageometria algebricaè un'importante branca della matematica che unisce l'algebraalla geometria. Oggetto principale di studio sono levarietà algebriche, ovvero i luoghi di punti che sono zeri di alcunipolinomia coefficienti in uncampoK{\displaystyle K}, che può essere ad esempio il campo deinumeri realiR{\displaystyle \mathbb {R} }o deinumeri complessiC{\displaystyle \mathbb {C} }.
In questo contesto è utile definire una topologia particolare, dettatopologia di Zariski, in cui gli insiemi chiusi sono forniti proprio dalle varietà algebriche (e gli aperti sono i loro complementari). Questa topologia è molto lontana dall'usualetopologia euclidea: aperti e chiusi sono in quantità minore e conseguentemente lo spazio non èdi Hausdorff.
La nozione di varietà algebrica è stata quindi estesa a quella più astratta e intrinseca dischema: anch'esso è un particolare spazio topologico con delle strutture algebriche aggiuntive.
Larelatività generalediEinsteinmodellizza l'interospaziotempocome uno "spazio curvo di dimensione 4". Lo spazio di dimensione 4 è definito topologicamente come unavarietà4-dimensionale; la suacurvaturadipende in ogni punto dalla massa/energia (secondo l'equazione di campo di Einstein) ed è codificata tramite una struttura aggiuntiva abbastanza complessa (iltensore di Riemann) propria dellageometria differenziale. L'oggetto risultante è unavarietà pseudoriemanniana.
Una delle idee cardine della teoria consiste nel fatto che uno spazio topologico non muta se deformato senza strappi. Strappi e ricuciture possono in effetti variare drasticamente la topologia di uno spazio: queste operazioni di "sartoria" sono comunque utili in molte occasioni, perché permettono di creare nuovi spazi topologici a partire da spazi dati.
Ad esempio, un oggetto complesso come iltoropuò essere ottenuto da un oggetto più semplice, ilquadrato, incollando i lati opposti come suggerito in figura. Incollando i lati in modo lievemente diverso si ottiene unasuperficieben più complessa, labottiglia di Klein. Molte delle proprietà di questi oggetti complessi possono essere studiate direttamente sul quadrato, tenendo bene a mente le identificazioni (codificate dalle frecce di colore diverso). L'operazione di incollamento è un'operazione molto generale, che permette di costruire unospazio topologico quozientea partire da qualsiasirelazione di equivalenzafra punti.
In molti contesti è utile aggiungere ad uno spazio topologico i suoi "punti all'infinito". Spesso questa operazione trasforma uno spazio non compatto in uno compatto, ed è quindi dettacompattificazione.
Una compattificazione può però essere fatta in vari modi diversi. Ad esempio, allaretta realeR{\displaystyle \mathbb {R} }si possono aggiungere i due infiniti+∞{\displaystyle +\infty }e−∞{\displaystyle -\infty }ed ottenere laretta estesaR∪{−∞,+∞}{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}. Topologicamente la retta reale è omeomorfa all'intervallo aperto(−1,1){\displaystyle (-1,1)}, e quindi la retta estesa è omeomorfa all'intervallo chiuso[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}. Alternativamente, si può aggiungere aR{\displaystyle \mathbb {R} }un infinito solo e ottenereR∪{∞}{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}, che è omeomorfo allacirconferenzatramiteproiezione stereografica.
La compattificazione che aggiunge un punto solo è lacompattificazione di Alexandroff. Un'altra compattificazione, che aggiunge generalmente molti più punti, è lacompattificazione di Stone-Čech. La proiezione stereografica mostra che la compattificazione di Alexandroff dello spazio euclideoRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}è un'ipersferaSn=Rn∪{∞}{\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}. Un'altra compattificazione molto importante diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}è lospazio proiettivo, che aggiunge un punto per ogni "direzione all'infinito".
Ilgruppo fondamentaledi uno spazio topologicoX{\displaystyle X}è un oggetto algebrico (ungruppo) che codifica in modo efficiente i "buchi" presenti inX{\displaystyle X}. Tale gruppo è definito fissando un punto diX{\displaystyle X}(dettopunto base) e considerando tutti icammini continuiche partono dal punto base, si muovono inX{\displaystyle X}e quindi tornano nel punto base. Questi cammini sono considerati a meno di spostamenti continui (cioèomotopie) e possono essere concatenati; con questa operazione di concatenamento, i cammini formano effettivamente un gruppo.
Uno spazio connesso avente gruppo fondamentale banale è dettosemplicemente connesso. Sono semplicemente connessiRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, la sferaSn{\displaystyle S^{n}}conn>1{\displaystyle n>1}, ildiscoDn{\displaystyle D^{n}}. In uno spazio semplicemente connesso ogni cammino chiuso può essere strizzato ad un punto (sempre tramiteomotopia).
La nozione di gruppo fondamentale, associata a quella dirivestimento, è uno strumento fondamentale in topologia.
Igruppi di omologiadi uno spazio topologicoX{\displaystyle X}sono deigruppi abelianiche similmente al gruppo fondamentale codificano i "buchi" dello spazio topologicoX{\displaystyle X}. In un certo senso, il gruppo fondamentale fa uso dei cammini, che sono oggetti 1-dimensionali, e quindi codifica solo i "buchi 1-dimensionali". I gruppi di omologia usano anche oggetti di dimensione superiore e quindi codificano i "buchin{\displaystyle n}-dimensionali" per ognin=1,2,3,{\displaystyle n=1,2,3,}ecc. Per ciascunn{\displaystyle n}è quindi definito un gruppo di omologiaHn{\displaystyle H_{n}}.
Ad esempio, la sferaSn{\displaystyle S^{n}}ha un "bucon{\displaystyle n}-dimensionale" al suo interno. Il gruppo fondamentale si accorge di questo buco soltanto per lacirconferenza, cioè pern=1{\displaystyle n=1}: in questo caso il gruppo fondamentale èZ{\displaystyle \mathbb {Z} }, mentre per ognin>1{\displaystyle n>1}è banale. L'omologia però si accorge dell'esistenza di questo buco per ogni valore din{\displaystyle n}: infattiHn(Sn){\displaystyle H_{n}(S^{n})}è sempreZ{\displaystyle \mathbb {Z} }.
Nel caso 1-dimensionale, il gruppo fondamentale è però uno strumento più raffinato (e generalmente più utile) del gruppo di omologiaH1(X){\displaystyle H_{1}(X)}; in effetti,H1(X){\displaystyle H_{1}(X)}è isomorfo alla versioneabelianizzatadel gruppo fondamentale diX{\displaystyle X}(teorema di Hurewicz).
Un'omotopiaè una deformazione continua fra oggetti, o più generalmente frafunzioni. Applicata ai cammini continui, permette di definire il gruppo fondamentale di uno spazio topologico e di studiarne molte proprietà. Applicata agli spazi topologici, permette di trasformare uno spazio topologico in un altro con più libertà di quanto offerto dalla più rigida nozione diomeomorfismo. Ad esempio, permette di "contrarre" alcune parti dello spazio topologico trasformandole (con continuità!) ad un punto. Ad esempio, un disco, un segmento e un punto sono tutti omotopicamente equivalenti, anche se non sono omeomorfi.
Le relazioni fra le due nozioni di omotopia e omeomorfismo sono spesso non banali. Ad esempio, lacongettura di Poincaré, formulata nel1904e dimostrata solo nel2003, asserisce che unavarietà topologicadi dimensione 3, omotopicamente equivalente all'ipersferaS3{\displaystyle S^{3}}, è in realtà omeomorfa a questa.
L'introduzione del libroHomotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics, per la prima volta pubblicato nel 2013, afferma che introducendo l'assioma della sceltae dell'assioma del terzo esclusonella teoria dei tipi omotopici, è possibile costruire un continuo deglin-tipi possibili−1<n<+∞{\displaystyle {-1}<n<{+\infty }}, del quale lalogica classicae lalogica costruttivistasono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore (p. 9).
Esiste unatabella di equivalenzafra i tipi e glioperatoridefinibili nelle teorie logica, topologica, omotopici (p. 11). Vale quanto segue:
Nella moltitudine di spazi topologici esistenti, levarietàgiocano un ruolo centrale. Una varietà di dimensionen{\displaystyle n}è un oggetto in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo aRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Esempi classici sono le superfici inR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, come la sfera o il toro. In queste superfici, un piccolo intorno di un punto è come un disco bidimensionale, però leggermente incurvato.
La nozione di curvatura non è però una nozione topologica. Per poter dare un senso a domande del tipo "quanto è curva la superficie?", "esiste uncampo vettorialetangente?", "cosa è laderivata(più precisamente, ildifferenziale) di una funzione fra due varietà?" è necessario attrezzare le varietà topologiche di alcune strutture aggiuntive, che fanno uso delcalcolo infinitesimale. Senza queste strutture aggiuntive queste domande non hanno senso.
Una varietà dotata di una struttura aggiuntiva di questo tipo è unavarietà differenziabile. In una varietà differenziabile sono definite le nozioni di vettore tangente, difunzione differenziabile, ecc. Per definire una nozione dicurvaturaè però necessaria un'ulteriore (e ben più complicata) struttura, quella divarietà riemanniana.
Un sottoinsieme diRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Sono quindi compatti i poligoni, ipoliedri, unaellisse, unellissoide. Non sono compatti rette, piani e gli altrisottospazi affini(perché non limitati), né unapalla aperta(perché non chiusa). Il teorema non si estende però aspazi vettoriali topologiciarbitrari di dimensione infinita, come glispazi Lp.
Ilteorema di Weierstrassè un risultato classico dianalisi matematicache ha una naturale generalizzazione in topologia. Il teorema asserisce che ogni funzione continua
ammette un massimo ed un minimo. Da un punto di vista topologico, questo è conseguenza di un fatto più generale: per ogni funzione continua
fra spazi topologici, se il dominioX{\displaystyle X}è compatto allora anche l'immaginef(X){\displaystyle f(X)}è compatta. Informalmente, una funzione continua manda compatti in compatti.
Nel caso in cui il codominioY{\displaystyle Y}siaR{\displaystyle \mathbb {R} }, l'immaginef(X){\displaystyle f(X)}è un compatto inR{\displaystyle \mathbb {R} }, e per ilteorema di Heine-Borelè un chiuso e limitato. L'insiemef(X){\displaystyle f(X)}ha quindi un massimo e un minimo. Quindi una funzione continua a valori reali definita su un qualsiasi spazio compatto ha sempre punti di massimo e minimo.
Ilteorema di Tychonoffassicura che ilprodottodi due o più spazi topologici compatti è compatto. Ad esempio, il prodotto di due circonferenzeS1×S1{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}è compatto (si tratta in realtà di un toro). Il teorema di Tychonoff è valido per un prodotto avente una quantità arbitraria (anche infinita) di fattori.
Unteorema di punto fissoè un teorema che garantisce che una data funzionef:X→X{\displaystyle f:X\to X}abbia unpunto fisso, ovvero unx{\displaystyle x}tale chef(x)=x{\displaystyle f(x)=x}. Interpretandof{\displaystyle f}come funzione che sposta i punti, un punto fisso è un punto che non si muove. I teoremi di punto fisso sono utili in molte aree della matematica, ad esempio inanalisipossono essere utili per dimostrare l'esistenza di una soluzione di una particolareequazione differenziale.
Ilteorema del punto fisso di Brouwerasserisce che seX{\displaystyle X}è unapalla chiusadi dimensione arbitrarian{\displaystyle n}ef{\displaystyle f}è continua, allora un punto fisso esiste sempre. Il teorema è intrinsecamente topologico e resta quindi valido per ogni spazioX{\displaystyle X}omeomorfo a una palla chiusa, quale un quadrato, unpoliedro convesso, ecc. Il teorema può essere dimostrato con l'omologia.
Due teoremi correlati sono ilteorema di Borsuk-Ulame ilteorema del panino al prosciutto.
Gliassiomi di separazioneT0, T1, T2, ... sono degli assiomi aggiuntivi che garantiscono una maggiore "regolarità" allo spazio topologico in esame. Ciascun assioma è un raffinamento del precedente. Ci sono in topologia vari teoremi molto generali, che hanno però bisogno che alcuni di questi assiomi siano soddisfatti.
Se lo spazio topologicoX{\displaystyle X}in esame èT4, gli insiemi chiusi possono essere "separati" tramite una funzione continua a valori in un intervallo reale. Cioè, per ogni coppia di chiusiA,B{\displaystyle A,B}disgiunti esiste una funzione continua
che valga 1 suA{\displaystyle A}e 0 suB{\displaystyle B}. Il lemma di Urysohn è considerato spesso il primo risultato non banale in topologia.Può essere usato (se sono validi anche gliassiomi di numerabilità) per dare aX{\displaystyle X}una struttura dispazio metrico.
Se lo spazio topologicoX{\displaystyle X}èT4, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottoinsieme chiuso può essere estesa ad una funzione continua suX{\displaystyle X}. Questo teorema è conseguenza del lemma di Urysohn.
Unospazio metrico completoè sempre unospazio di Baire. Questo risultato implica in particolare cheR{\displaystyle \mathbb {R} }non può essere unione numerabile di chiusi conparte internavuota (maQ{\displaystyle \mathbb {Q} }sì).
Latopologia generaleè il settore di base. Si occupa degli spazi topologici e delle loro proprietà generali ed è il più vicino allateoria degli insiemi. Si interessa quindi in particolare delle nozioni diintorno,parte interna,chiusura,compattezza,connessione,successioni,reti,spazi metrici,funzioni continue,assiomi di separazioneedi numerabilità.
Latopologia algebricaapplica gli strumenti dell'algebraalla topologia. La nozione fondamentale è quella diinvariante topologico, un oggetto algebrico che caratterizza alcune proprietà dello spazio topologico in esame. Fra gli invarianti più usati ci sono ilgruppo fondamentale(e i più generaligruppi di omotopia) e l'omologia. La topologia algebrica studia più in generale la nozione diomotopiae vari concetti correlati quali ilgrado topologico.
Latopologia differenzialesi occupa essenzialmente divarietà differenziabilie applica gli strumenti delcalcolo infinitesimaleal loro studio. Con questi strumenti si definiscono e studianocampi vettoriali,spazio tangente,fibrati vettoriali,forme differenzialie i più generalitensori.
Latopologia in dimensione bassaè un settore più recente, esploso alla fine deglianni settanta. Gli oggetti studiati sono le varietà di dimensionebassa, ovvero 1,2,3,4. Una branca importante è lateoria dei nodi.