Geodesik

Dalamgeometri diferensial,geodesik(/ˌdʒiːəˈdɛsɪk,ˌdʒiːoʊ-,-ˈdiː-,-zɪk/)) adalah generalisasi gagasan "garis lurus" ke "ruang melengkung". Istilah "geodesik" berasal darigeodesi, ilmu mengukur ukuran dan bentukBumi; Dalam pengertian aslinya, geodesik adalah rute terpendek antara dua titik dipermukaanBumi, yaitusegmenlingkaran besar. Istilah ini telah digeneralisasi untuk mencakup pengukuran di ruang matematis yang jauh lebih umum; sebagai contoh, dalamteori graf, seseorang dapat mempertimbangkangeodesikantara duasimpul/simpul dari sebuahgrafik.
Jalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang darikurva(fungsi f dari interval terbuka dariRke ruang dimensi lain) setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakankalkulus variasi. Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena adaruangdengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek. Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulankurvayang berparameter "dengankecepatankonstan"1yang berarti jarak darif(s) (t)sepanjang kurva sama dengans-t. Secara setara,kuantitasyang berbeda dapat digunakan, disebutenergi kurva; meminimalisasi kanenergiyang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik ("kecepatan konstan" adalah konsekuensi dari minimalisasi)Secara intuitif, seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pitaelastisyang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya, dan dengan demikian akan meminimalkan energinya. Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik.
Ada kemungkinan bahwa beberapakurvaberbeda antara dua titik memperkecil jarak, seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuahbola. Dalam kasus seperti itu, salah satu kurva ini adalah geodesik.
Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik.
Secara umum, geodesik tidak sama dengan "kurva terpendek" antara dua titik, meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat. Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal , dan diparameterisasi dengan "kecepatan konstan". Saat melakukan "jalan memutar" padalingkaranbesar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik. Terdapat rumus petat→t2{\displaystyle t\to t^{2}}dari interval satuan padagaris bilangan realke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1, tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan.
Geodesik umumnya terlihat dalam studiGeometri Riemanniandan geometri metrik yang lebih umum. Dalamrelativitas umum, geodesik dalamruangwaktumenggambarkan gerakanpartikel titikdi bawah pengaruh gravitasi saja. Secara khusus, jalur yang diambil oleh batu yang jatuh,satelityang mengorbit, atau membentukorbit planetsemuanya geodesik dalamruangwaktumelengkung. Secara lebih umum,topik geometrisub-Riemannianberkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas, dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara.
Artikel ini menyajikan formalismematematikayang terlibat dalam mendefinisikan, menemukan, dan membuktikan keberadaan geodesik, dalam kasusManifold RiemanniandanPseudo-Riemannian. Artikel geodesik (relativitas umum) membahas kasus khususrelativitasumum secara lebih rinci.
Contoh yang paling dikenal adalah garis lurus dalamgeometri Euclidean. Pada sebuah bola gambaran geodesik adalah lingkaran besar. Jalur terpendek dari titikAke titikBpada sebuah bola diberikan oleh lebih pendek busur lingkaran besar yang melewatiAdanB. KetikaAdanBadalah titik antipodal, maka ada banyak jalur terpendek di antara keduanya. Geodesik pada ellipsoid berperilaku lebih rumit daripada pada bola; secara khusus, mereka tidak tertutup secara umum (lihat gambar).
Dalamgeometri metrik, geodesik adalah kurva yang di mana-mana secara lokal merupakan peminimal jarak. Lebih tepatnya, kurvaγ:I→Mdari intervalIke bilangan real ke ruang metrikMadalah geodesik jika ada konstantav≥0sehingga untuk setiapt∈Iada lingkunganJdaritdiIseperti bahwa untuk setiapt1t2∈Jkita punya:
Hal tersebut menggeneralisasi pengertian geodesik untuk lipatan Riemannian. Namun dalam geometri metrik, geodesi yang dipertimbangkan sering kali dilengkapi dengan parameterisasi natural, yaitu pada identitasdan
Jika persamaan terakhir terpenuhi untuk semuat1t2∈I, maka geodesi disebut sebagai geodesik minimal atau jalur terpendek.
Secara umum, ruang metrik mungkin tidak memiliki geodesik, kecuali kurva konstan. Di sisi lain, dua titik dalam ruang metrik panjang digabungkan dengan urutan meminimalkan jalur yang dapat diperbaiki, meskipun urutan meminimalkan ini tidak perlu menyatu dengan geodesik.
Pemecah yang efisien untuk masalah geodesik minimal pada permukaan yang dianggap sebagai persamaan eikonal telah diusulkan oleh Kimmel dan lainnya.