E (costante matematica)

Inmatematicail numeroe{\displaystyle e}è unacostante matematicail cui valore approssimato a 12 cifre decimali è2,718281828459{\displaystyle 2{,}718281828459}. È la base dellafunzione esponenzialeex{\displaystyle e^{x}}e dellogaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è comelimite della successione(1+1/n)n{\displaystyle (1+1/n)^{n}}al tendere din{\displaystyle n}all'infinito. Insieme api greco(π){\displaystyle (\pi )}è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.
È unnumero trascendente, dunqueirrazionale, e tramite laformula di Euleroè legato allefunzioni trigonometriche. Il numeroe{\displaystyle e}è chiamatonumero di Euleroin ambito internazionale enumero diNeperoinItalia, pur essendo stato usato per la prima volta daJakob Bernoullinel tentativo di trovare un metodo per il calcolo degliinteressi composti.
Il numeroe{\displaystyle e}può essere definito in uno dei seguenti modi:
doven!{\displaystyle n!}è ilfattorialedelnumero naturalen{\displaystyle n}.
Unadimostrazionedell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione dellafunzione esponenziale.
Un modo alternativo (non standard) di definiree{\displaystyle e}coinvolge leequazioni differenziali: il numero diNeperosi può definire come il valore inx=1{\displaystyle x=1}della funzionef(x){\displaystyle f(x)}soluzione unica delproblema di Cauchydato dall'equazione differenzialef′(x)=f(x){\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)}con condizioni inizialif(0)=1{\displaystyle f(0)=1}.
Il numeroe{\displaystyle e}èirrazionale, più precisamente unnumero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.
Questo è stato il primo numero che si èdimostrato essere trascendentesenza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme deinumeri realinon algebrici, come era accaduto in precedenza per lacostante di Liouville. Unadimostrazione della irrazionalità di eè stata data daCharles Hermitenel1873. Si presume che esso sia unnumero normale.
La costantee{\displaystyle e}compare nellaformula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:
dovei{\displaystyle i}indica l'unità immaginaria. Il caso particolare conx=π{\displaystyle x=\pi }è noto comeidentità di Eulero:
questa uguaglianza è stata chiamata daRichard Feynman"gioiello di Eulero".
Lo sviluppo die{\displaystyle e}comefrazione continuainfinita è espresso dalla seguente configurazione:
Troncando la frazione continua si ottengono leapprossimazioni razionalidie{\displaystyle e}, di cui le prime (non intere) sono3,8/3,11/4,19/7{\displaystyle 3,\ 8/3,\ 11/4,\ 19/7}.
Il numeroe{\displaystyle e}è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie(x,y){\displaystyle (x,y)}per le qualixy=yx{\displaystyle x^{y}=y^{x}}. Oltre al caso banalex=y{\displaystyle x=y}, l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rettex=1{\displaystyle x=1}ey=1{\displaystyle y=1}. Tale curva e la rettay=x{\displaystyle y=x}si intersecano nel punto(e,e){\displaystyle (e,e)}. Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radicex{\displaystyle x}-esima dix{\displaystyle x}, ossiax1x{\displaystyle x^{\frac {1}{x}}}, ha massimo perx=e{\displaystyle x=e}e l'esponenzialex{\displaystyle x}-esimo dix{\displaystyle x}, ovveroxx{\displaystyle x^{x}}, ha minimo perx=1e{\displaystyle x={\frac {1}{e}}}.
Il primo riferimento ade{\displaystyle e}in letteratura risale al1618ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi diJohn Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta daWilliam Oughtred. La prima espressione die{\displaystyle e}come una costante è stata trovata daJakob Bernoulli:
Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.
La sua prima citazione, rappresentata con la letterab{\displaystyle b}compare in due lettere diGottfried LeibnizaChristiaan Huygens, del1690e del1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la letterae{\displaystyle e}per la costante nel1727e il primo uso die{\displaystyle e}compare nellaMechanicadi Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la letterac{\displaystyle c}, poi l'uso die{\displaystyle e}si è fatto più comune. Oggi la letterae{\displaystyle e}è il simbolo definitivo per indicare il numero diNepero.
Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la letterae{\displaystyle e}, si può supporre chee{\displaystyle e}fu scelto perché iniziale della parolaesponenziale.Un altro motivo sta nel fatto chea{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c}, ed{\displaystyle d}venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ede{\displaystyle e}era la prima lettera dell'alfabetolatinonon utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.
La seguente dimostrazione mostra l'equivalenza delle due definizoni date sopra, ossia mostra che lo sviluppo in serie infinita presentato in precedenza conincide con illimitestudiato da Bernoulli.
Definiamo
Dalteorema binomialesi ha
da cui
Qui devono essere usati illimite superioree illimite inferiorepoiché non è ancora noto setn{\displaystyle t_{n}}esn{\displaystyle s_{n}}convergono. Si noti che dall'espressione sopra ditn{\displaystyle t_{n}}, se2≤m≤n{\displaystyle 2\leq m\leq n}, segue che
Fissatom,{\displaystyle m,}si fa tenderen{\displaystyle n}all'infinito ottenendo
Da cui segue, facendo tenderem{\displaystyle m}a infinito, che
Considerando la prima delle precedenti disuguaglianze si ottiene:
Quindisn{\displaystyle s_{n}}converge:
Ora usando la seconda delle precedenti disuguaglianze si ottiene:
Quindi anchetn{\displaystyle t_{n}}converge e il limite coincide con il limite disn.{\displaystyle s_{n}.}Questo completa la dimostrazione.
Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolaree{\displaystyle e}, esistono metodistocasticiper stimarlo. Uno di questi parte da una successione infinita divariabili casualiindipendentiX1,X2,…,Xn{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}distribuite uniformemente nell'intervallo[0,1]{\displaystyle [0,1]}. SiaK{\displaystyle K}il numero di somme parziali di variabiliXn{\displaystyle X_{n}}che siano strettamente minori di1{\displaystyle 1}, ponendo:
doveni=min(n:X1+X2+…+Xn>1),{\displaystyle n_{i}=\min(n:X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}>1),}allora ilvalore attesoV{\displaystyle V}è proprio la costantee{\displaystyle e}.