مبرهنة شيفا

فيالهندسة الإقليدية، تعدمبرهنة سيفامن أشهرالمبرهنات الرياضية.
إذا كان ABCمثلثاوكانتالنقاطD و E و F تقعن علىالأضلاعBC و AC و AB على التوالي، فإنالمستقيماتAD و BE و CFتتقاطعفي نقطة واحدة Oإذا وفقط إذاكان:
قدمجيوفاني سيفابرهاناًلهذه المبرهنة في عام1678.
جيوفاني سيفارياضيإيطاليتخصص فيالهندسةواشتهر بهذه المبرهنة، وإن كانت المبرهنة قد برهنت سابقاً من قبل العالميوسف المؤتمن بن هودملكطائفة سرقسطةفي القرن الحادي عشر ميلادي.
هناكصيغة مثلثيةمشابهة لمبرهنة سيفا، إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط D,E,F تقع على الأضلاع BC,AC,AB على الترتيب، فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان:
نذكر هنا أهم النتائج المباشرة من هذه المبرهنة:
تلتقيمتوسطاتالمثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرفبالنقطة الوسطىأومركز ثقلالمثلث.
البرهان:
في المثلث AD,BE,CF : ABC متوسطات تنصف الأضلاع BC,CA,AB عند النقاط D,E,F على الترتيب.
المطلوب: لكي تتقاطع المتوسطات في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
نلاحظ أن النقطة FمنتصفAFFB=1⇐AF=FB⇐AB{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}=1\Leftarrow AF=FB\Leftarrow AB\,}
كذلك الأمر مع النقطتين D,E منتصفBDDC=1,CEEA=1⇐BC,CA{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}=1,{\frac {CE}{EA}}=1\Leftarrow BC,CA\,}
ومن الواضح أن1.1.1=1{\displaystyle 1.1.1=1\,}وبالتالي فإن متوسطات المثلث AD,BE,CF تلتقي في نقطة واحدة.
تلتقيمنصفات الزوايافي نقطة واحدة، هذه النقطةمركزالدائرة الداخليةالتي تمس أضلاع المثلث.
البرهان:
في المثلث AD,BE,CF : ABC منصفات للزوايا A,B,C على الترتيب.
المطلوب: لكي تتقاطع منصفات الزوايا في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
باستخداممبرهنة منصف الزاويةينتج لدينا:
AFFB=ACBC,BDDC=ABAC,CEEA=BCAB{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AC}{BC}},{\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}},{\frac {CE}{EA}}={\frac {BC}{AB}}}⇒AFFB⋅BDDC⋅CEEA=ACBC⋅ABAC⋅BCAB=1{\displaystyle \Rightarrow {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {AC}{BC}}\cdot {\frac {AB}{AC}}\cdot {\frac {BC}{AB}}=1}
ولهذا فإن منصفات الزوايا تلتقي في نقطة واحدة.
تلتقيارتفاعات المثلثفي نقطة واحدة تعرفبملتقى الارتفاعاتأوالمركز القائم.
البرهان:
في المثلث AD,BE,CF : ABC ارتفاعاتأقدامهاD,E,F على الترتيب.
المطلوب: لكي تتقاطع ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
المثلثان CDO,AFOمتشابهان(زاويتان قائمتانوزاويتان متقابلتان بالرأس)ومن التشابه ينتج:
AFDC=AOCO{\displaystyle {\frac {AF}{DC}}={\frac {AO}{CO}}}
أيضاً المثلثان CEO,BFO متشابهان وكذلك المثلثان AEO,BDO متشابهان ومن التشابهات ينتج:
BDEA=BOAO,CEFB=COBO{\displaystyle {\frac {BD}{EA}}={\frac {BO}{AO}},{\frac {CE}{FB}}={\frac {CO}{BO}}}⇒AFFB⋅BDDC⋅CEEA=AFDC⋅BDEA⋅CEFB=AOCO⋅BOAO⋅COBO=1{\displaystyle \Rightarrow {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {AF}{DC}}\cdot {\frac {BD}{EA}}\cdot {\frac {CE}{FB}}={\frac {AO}{CO}}\cdot {\frac {BO}{AO}}\cdot {\frac {CO}{BO}}=1}
وبهذا تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة.
في البداية سنثبت أنه إذا كانت المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة فإنAFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}.
لنبدأ مع الضلعBC{\displaystyle BC\,}في المثلث نلاحظ أن:
المثلثانDOC,BOD{\displaystyle DOC,BOD\,}لهما نفس الارتفاع وليكنh{\displaystyle h\,}، إذا:AreaBODAreaDOC=12h.BD12h.DC{\displaystyle {\frac {Area_{BOD}}{Area_{DOC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}h.BD}{{\frac {1}{2}}h.DC}}}⇒AreaBODAreaDOC=BDDC{\displaystyle \Rightarrow {\frac {Area_{BOD}}{Area_{DOC}}}={\frac {BD}{DC}}}أيضاً المثلثانDAC,BAD{\displaystyle DAC,BAD\,}لهما ارتفاع واحد لذا:AreaBADAreaDAC=BDDC{\displaystyle {\frac {Area_{BAD}}{Area_{DAC}}}={\frac {BD}{DC}}}وصلنا إلى أنBDDC=AreaBADAreaDAC=AreaBODAreaDOC{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {Area_{BAD}}{Area_{DAC}}}={\frac {Area_{BOD}}{Area_{DOC}}}}ومن خصائصالتناسبنصل إلى:BDDC=AreaBAD−AreaBODAreaDAC−AreaDOC=AreaAOBAreaAOC{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {Area_{BAD}-Area_{BOD}}{Area_{DAC}-Area_{DOC}}}={\frac {Area_{AOB}}{Area_{AOC}}}}بطريقة مشابهة مع الضلعينAB,AC{\displaystyle AB,AC\,}نصل إلى:
AFFB=AreaAOCAreaBOC,CEEA=AreaBOCAreaAOB{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {Area_{AOC}}{Area_{BOC}}},{\frac {CE}{EA}}={\frac {Area_{BOC}}{Area_{AOB}}}}⇒AFFB⋅BDDC⋅CEEA=AreaAOCAreaBOC.AreaAOBAreaAOC.AreaBOCAreaAOB=1{\displaystyle \Rightarrow {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {Area_{AOC}}{Area_{BOC}}}.{\frac {Area_{AOB}}{Area_{AOC}}}.{\frac {Area_{BOC}}{Area_{AOB}}}=1}
وهو المطلوب.
بقي الآن أن ثبت الإتجاه المعاكس أي إذا كانتAFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة.
لتكن Oنقطة تقاطعالمستقيمين BE,CF سنثبت أن المستقيم AD يمبر بالنقطة O، نرسم المستقيم AO الذي يقطع BC في النقطة 'D، إذا أثبتنا أن D = 'D فإن AD سيكون نفسه 'AD الذي يمر عبر النقطة O وبالتالي يتحقق المطلوب.
المستقيمات AD',BE,CF تتقاطع في O بتطبيق مبرهنة سيفا (الاتجاه الأول):
AFFB⋅BD′D′C⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD'}{D'C}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
ومن المعطيات:
AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}⇒BD′D′C=BDDC{\displaystyle \Rightarrow {\frac {BD'}{D'C}}={\frac {BD}{DC}}}⇒BD′D′C+1=BDDC+1⇒BD′D′C+D′CD′C=BDDC+DCDC{\displaystyle \Rightarrow {\frac {BD'}{D'C}}+1={\frac {BD}{DC}}+1\Rightarrow {\frac {BD'}{D'C}}+{\frac {D'C}{D'C}}={\frac {BD}{DC}}+{\frac {DC}{DC}}}⇒BD′+D′CD′C=BD+DCDC⇒BCD′C=BCDC{\displaystyle \Rightarrow {\frac {BD'+D'C}{D'C}}={\frac {BD+DC}{DC}}\Rightarrow {\frac {BC}{D'C}}={\frac {BC}{DC}}}⇒D′C=DC⇒D′=D{\displaystyle \Rightarrow D'C=DC\Rightarrow D'=D}
وبذلك يتحقق المطلوب.