Удельное электрическое сопротивление

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние(удельное сопротивление) — физическая величина, характеризующая способность материала препятствовать прохождениюэлектрического тока. Выражается в Ом·метр (в системеСИ) или Ом·мм (часто в техническом проектировании). Удельное электрическое сопротивление принято обозначать греческой буквойρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называетсяудельной проводимостью(также удельной электропроводностью).
Удельное сопротивление материала также зависит от температуры. В отличие отэлектрического сопротивления, являющегося свойством некого тела (заполненной жидкостью или газом области пространства) и зависящего от формы размеров и материала тела (заполненной жидкостью или газом области пространства), удельное электрическое сопротивление есть свойство тольковещества.
Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлениемρ, длинойlи площадью поперечного сеченияSможет быть рассчитано по формуле:
Предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника. Соответственно, дляρвыполняется равенство:
Из этой формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения. При этомl{\displaystyle l}может означать как длину так и толщину материала.
Единица измерения удельного сопротивления вМеждународной системе единиц (СИ)—Ом·м.
Из формулыρ=R⋅S/l{\displaystyle \rho =R\cdot S/l\,}понятно, что удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной в1 ми площадью поперечного сечения в1 м.
В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм/м, равная1·10Ом·м= 1 мкОм·м. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной1 мс площадью поперечного сечения1 мм, изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное1 Ом. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной1 ми площадью поперечного сечения1 мм.
Величина, учитывающая термическое изменение удельного электрического электрического сопротивления называетсятемпературный коэффициент удельного сопротивления.
В чистых металлах и большинстве сплавов удельное электрическое сопротивление растёт при увеличении температуры. Это объясняется тем, что с ростом температуры увеличивается интенсивность колебания атомов в узлах кристаллической решетки проводника, что препятствует движению свободных электронов.
В полупроводниках и диэлектриках удельное электрическое сопротивление с ростом температуры уменьшается. Это объясняется тем, что с увеличением температуры увеличивается концентрация носителейэлектрического заряда.
Величина, учитывающая изменение удельного электрического сопротивление от температуры называюттемпературным коэффициентом удельного сопротивления.
Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке пространства материала. В этом случае удельное электрические сопротивление уже не константа, но скалярная функциейкоординат— коэффициентом, связующимнапряжённость электрического поляE→(r→){\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})}иплотность токаJ→(r→){\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})}в данной точкеr→{\displaystyle {\vec {r}}}. Указанная связь выражаетсязаконом Ома в дифференциальной форме:
Эта формула верна для неоднородного но изотропного вещества. Вещество может быть ианизотропно(большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), — то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление как функция функция пространственных координат представляет собойтензорвторого ранга, содержащим девять компонентρij{\displaystyle \rho _{ij}}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены, — связь между ними выражается уравнением:
В анизотропном, но однородном веществе тензорρij{\displaystyle \rho _{ij}}от координат не зависит.
Тензорρij{\displaystyle \rho _{ij}}симметричен, то есть для любыхi{\displaystyle i}иj{\displaystyle j}выполняетсяρij=ρji.{\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}.}
Как и для всякого симметричного тензора, дляρij{\displaystyle \rho _{ij}}можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрицаρij{\displaystyle \rho _{ij}}становитсядиагональной, — приобретает вид, при котором из девяти компонентρij{\displaystyle \rho _{ij}}отличными ненулевые лишь три:ρ11{\displaystyle \rho _{11}},ρ22{\displaystyle \rho _{22}}иρ33{\displaystyle \rho _{33}}. В этом случае, обозначивρii{\displaystyle \rho _{ii}}какρi{\displaystyle \rho _{i}}, вместо предыдущей формулы получаем более простую:
Величиныρi{\displaystyle \rho _{i}}называютглавными значениямитензора удельного сопротивления.
В изотропных материалах связь между удельным сопротивлениемρ{\displaystyle \rho }иудельной проводимостьюσ{\displaystyle \sigma }выражается равенством:
В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивленияρij{\displaystyle \rho _{ij}}и тензора удельной проводимостиσij{\displaystyle \sigma _{ij}}имеет более сложный характер. Закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:
Из этого уравнения и приведённого ранее соотношения дляEi(r→){\displaystyle E_{i}({\vec {r}})}следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:
гдеdet(σ){\displaystyle \det(\sigma )}—определительматрицы, составленной из компонент тензораσij{\displaystyle \sigma _{ij}}.
Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов1,2и3.
В таблице приведены главные значения тензора удельного сопротивления монокристаллов при температуре20 °C.
Разброс значений обусловлен разной химической чистотой металлов, способов изготовления образцов, изученных разными учеными и непостоянством состава сплавов.
Значения даны при температуреt= 20 °C. Сопротивлениясплавовзависят от их химического состава и могут варьироваться. Для чистых веществ колебания численных значений удельного сопротивления обусловлены различными методами механической и термической обработки, например,отжигомпроволоки послеволочения.
Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат»,RSq.{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.}Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этогоквадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеетпрямоугольнуюформу, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширинеL/W:RSq=RW/L,{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,}гдеR— измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в плёнке неоднородное, используютметод ван дер Пау.