Matemática egipcia

Lamatemática egipciaes la matemática desarrollada en elAntiguo Egiptoo escrita en laslenguas egipcias. Constituyeron la rama de lacienciaque más se desarrolló en elAntiguo Egipto. Desde elperiodo helenístico, elgriegosustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a lamatemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de lasmatemáticas islámicas, cuando elárabese convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.
El texto matemático más antiguo descubierto es elpapiro de Moscú, que data delImperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llamanproblemas con palabrasoproblemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de untronco: «Si te dicen: una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto.» Otro conjunto de reglas presente en el papiro es para determinar el volumen de unaesfera.
Elpapiro de Rhind​ (hacia 1650 a. C.) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,​ incluyendonúmeros compuestosyprimos,media aritmética,geométricayarmónica, y una comprensión simple de lacriba de Eratóstenesy lateoría de números perfectos(a saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolverecuaciones linealesde primer orden,​ así comoseries aritméticasyseries geométricas.​
Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de lageometría analítica: cómo obtener una aproximación deπ{\displaystyle \pi }con un error menor del 1%; un antiguo intento decuadrar el círculo; y el uso más antiguo conocido de un tipo decotangente. El papiro también anuncia «Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto.»
Finalmente, elpapiro de Berlín(hacia 1300 a. C.)​ muestra que los antiguos egipcios podían resolver unaecuación cuadrática.​
Paradójicamente, los papiros más recientes atestiguan, más que un progreso, una degradación de conocimientos, que se reducen a algunos procedimientos prácticos decálculoy medida. Este debía ser el estado de las matemáticas egipcias en el momento en que losgriegosentraron en contacto con ellas.
La introducción de un calendario, basado en la división del año en doce meses de treinta días y el agregado de cinco días festivos, el erguimiento de edificios monumentales perfectamente realizados, como las pirámides, sugieren , conjuntamente a una técnica avanzada, una buena apoyatura matemática, fue inventado por los egipcios. Los conocimientos actuales respecto a lo anterior están restringidos a pocas listas de ejemplos, de muestra para encumbrados funcionarios; entre los más importantes, se puede mencionar: Papiro de Moscú, Rollo de Cuero, Papiro de Rhind, redactado por Ahmés y del Papiro de Moscú que data de 1850 a. C. aproximadamente.​
En elperiodo predinástico de Egiptodel V milenio a. C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos.
El punto de vista tradicional sobre elImperio Antiguonos dice que los egipcios dedicaron laaritméticapara usos prácticos, con muchos problemas del tipo:Cómo un número de panes se pueden dividir en partes iguales entre un número de personas. Los problemas de los papiros de Moscú y Rhind se expresan en un contexto educativo, y los traductores han encontrado tres definiciones abstractas del número y otras formas más complejas de aritmética. Las tres definiciones abstractas están en la tablilla de madera de Ajmin, el EMLR y el papiro matemático de Rhind. Las formas más complejas de aritmética incluyen el uso de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división. Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de posicionamiento en la tablilla deAjmin, el PMR y otros textos.
Para laadicióny lamultiplicación, emplearon el método de duplicar, y de dividir por dos, un número conocido para encontrar la solución. Para lasustraccióny ladivisiónemplearon otros métodos que todavía no se conocen en su totalidad. El «método de posición falsa» puede no haber sido utilizado para la división y los problemas simples delálgebra.
En el Imperio Antiguo, usaban un sistema numérico de base 10, en elImperio Nuevo,fracciones unitariasy tablas de segundos resultados; los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los cuales se explican en el papiro matemático de Rhind.
SegúnHeródoto, los egipcios son los padres de laGeometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.
Alrededor del año 2700 a. C., los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración completamente desarrollado de base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitió el uso de grandes números y también de fracciones en la forma de fracciones unitarias: fracciones delOjo de Horus, y varias fracciones binarias.
En esa misma época, las técnicas egipcias de construcción incluyeron sistemas de topografía, marcando el norte por la situación del sol al mediodía. Antes del año 2000 a. C., comenzaron a aparecer referencias claras que citaban aproximaciones paraπy raíces cuadradas. Las relaciones del número exacto, tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y medidas también comenzaron a aparecer alrededor de 2000 a. C., con varios problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.
Nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias ha sido incompleto por la falta de fuentes disponibles. La más famosa es el papiro Rhind, o Ahmes, el papiro matemático (PMR), un texto que puede ser leído comparando muchos de sus elementos con otros textos como el EMLR y las tablillas de madera de Ajmim. El PMR se fecha a partir delSegundo periodo intermedio de Egipto(circa 1650 a. C.), pero el autor lo identifica como copia de un papiro delImperio Medio. El papiro matemático de Rhind contiene una tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Utiliza una forma de aritmética que usa fracciones unitarias, que eran precedidas a menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente como aritmética del resto.
El PMR también incluye fórmulas y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de latabla deEratóstenesy del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas.
Lospapiros de Berlín, escritos alrededor del año 1300 a. C., muestran que los antiguos egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo texto.
Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner, la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que incluyen prescripciones médicas,una escusa
En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito enjeroglíficos, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc., que se usó en elperiodo Predinástico. El segundo, el sistemahierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo,
se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor de 2150 a. C.
Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en elPeriodo Romanopara las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.
Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo, utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema que reemplazó al modo jeroglífico.
Como la mayoría de textos administrativos y de contabilidad fue escrita enpapirosuostracas, y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el sistemahieráticode escritura, siempre los casos encontrados de números escritos en hierático son posteriores alImperio Antiguo. Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que utilizan estos números.
Boyer demostró hace 50 años que esa escritura utilizaba un sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números 1 a 9, los múltiplos de 10 entre 10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como 9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos.
Dos papiros matemáticos famosos que usan la escritura hierática son el de Moscú y el de Rhind. Este último contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus cálculos matemáticos, y los números fueron designados poniendo una línea sobre la letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1500 años más tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1, /beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeración y resolución de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeración egipcia, la aritmética y otros aspectos de las matemáticas egipcias.
Simplemente unían los signos para sumar.
Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significabansuma, si noresta.
La sustracción está descrita en elrollode cuero EMLR (1800 a. C.), un documento que incluye cuatro métodos de adición.
La multiplicación egipcia se hacía por duplicaciones del multiplicando, y es conocido comoduplicación y mediación, y se basa en lapropiedad distributivade la multiplicación.
El método utilizado solo requiere saber sumar:
Si deseamos multiplicarXporY, siendoXmayor queY(si no lo fuera, se procedería a invertir el orden de los factores, se trata de realizar el menor número posible de operaciones)
Como un corte para números más grandes, el multiplicando se puede también multiplicar inmediatamente por 10, 100, etc.
Por ejemplo, el problema 69 en el papiro de Rhind (RMP) proporciona el resultado siguiente:
Nota: El signoHechoindica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final: se desecha la primera línea (A =X= 80) y se detiene la operación en B = 8, ya que la siguiente cifra (16) es mayor queY(14).
La matemática hierática delImperio Mediomantuvo esta forma de multiplicación jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar, como luego se hizo enMesopotamia.
La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se marcan los números de la columnaBcuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la columnaAse halla el cociente. Así:
Notas:
Cuando el cociente no es exacto, es necesario introducir las fracciones.
Losnúmeros racionalesse podían también expresar, pero solamente como sumas de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era una boca, y significaba la «parte»:
Las fracciones eran escritas con el signorencima del número; en notación actual: 1 comonumerador, y el número escrito debajo comodenominador. Así, 1/3 se representaba como:
Había símbolos especiales para el 1/2 y para dos fracciones, 2/3 (usado con frecuencia) y 3/4 (utilizado algo menos):
Si el denominador era demasiado grande, la «boca» era puesta al principio del «denominador»:
Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en elOjo de Horus(ojo izquierdo que le fue arrancado porSeth).
Cada fracción se representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo:
Por ejemplo:
Significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625)heqatde cebada.
Utilizaban un tercer sistema de notación para medir los campos:
Por ejemplo:
Significa: 1/4 + 1/8 (3/8 = 0'375) de arada.
Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque, los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.
Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recogida de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,) entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.
Por ejemplo, en el problema n.º 4 del Papiro de Rhind:
Es evidente que a los egipcios les interesaba solo el aspecto práctico de la ciencia. Esto explica por qué, especialmente en los cálculos de repartimiento, los escribas tuvieran en cuenta, además del número de partes, la calidad de la mercancía. Este concepto se llamabapesú, que significa literalmentevalor de cocina, e indica el número de unidades que se puede obtener de una fanega: si elpesúde un pan es 12, significa que ese pan tiene 1/12 de fanega; elpesúde una jarra de cerveza (otro elemento fundamental en la alimentación) significa el número de jarras obtenidas de una fanega de grano. Cuanto más bajo sea el número delpesú, más fuerte es la cerveza, o más grande o compacto el pan.
Este elemento de cálculo es fundamental para remunerar los servicios, por lo cual interviene en numerosos problemas.
Por ejemplo:
Hay que observar que el valorpesúvariaba en proporciones apreciables, y que los escribas a veces tenían que entregar líquidos por sólidos o viceversa.