코시 열

코시 열(Cauchy列,영어:Cauchy sequence)은해석학에서점사이의 거리가 서로 점점 가까워지는수열이다.프랑스의 수학자인오귀스탱 루이 코시에서 이름을 따서 명명되었다.보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에 수열의 유한한 수의 원소를 제외한 모든 원소가 서로 주어진 거리보다 작다.
각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다.
연속 항은 다음과 같이 임의로 서로 가까워진다.
그러나 지수n의 값이 증가함에 따라an항은 임의로 커지게 된다. 따라서 모든 지수n과 거리d에 대해am–an>d과 같이 충분히 큰 지수m이 존재한다. 실제로m> (√n+d)이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다.
코시 열의 효용성은완비 거리 공간(모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용알고리즘에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는반복법으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다.
보다 추상적인균등 공간에서 코시 열은 코시필터와 코시그물의 형태로 일반화 할 수 있다.
실수의 수열x1,x2,x3,…{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }이 있다고 하자. 모든양수인ε에 대해 양의정수N이 있어서, 모든 자연수m,n>N이 다음 조건을 만족한다면, 이 수열을 코시 열이라고 부른다.
여기서 수직 막대는절댓값을 나타낸다. 비슷한 방법으로 유리수나 복소수의 코시 열을 정의할 수 있다.코시는 이러한 조건을 무한대인m,n의 모든 쌍에 대해xm−xn{\displaystyle x_{m}-x_{n}}이무한소가 되는 것으로 공식화했다.
실수r의 경우에는r의 잘린 소수 확장 수열은 코시 열을 형성한다. 예를 들어r=π일 때 이 수열은 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)이다.m<n을 가정할 때m번째와n번째 항은 최대 10만큼 달라지며m이 커짐에 따라 고정된 양수 ε보다 작아진다.
만약(x1,x2,x3,...){\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}가 집합X{\displaystyle X}의 수열인 경우에는 수열에 대한 "코시 수렴 계수"는자연수집합에서 자신에게∀k∀m,n>α(k),|xm−xn|<1/k{\displaystyle \forall k\forall m,n>\alpha (k),|x_{m}-x_{n}|<1/k}와 같은함수α{\displaystyle \alpha }이다.
코시 수렴 계수가 있는 모든 수열은 코시 열이다. 코시 열을 위한 계수의 존재는 자연수의 순서적 특성에서 비롯된다 (α(k){\displaystyle \alpha (k)}는 코시 열의 정의에서 가능한 가장 작은N{\displaystyle N}이 되도록 하여r{\displaystyle r}을1/k{\displaystyle 1/k}로 한다). 또한 계수의 존재는 선택 공리의 약한 형태인의존적 선택 공리로부터 따르며 또한 AC00이라고 불리는 훨씬 더 약한 조건으로부터 온다. "정규 코시 열"은 주어진 코시 수렴 계수(보통α(k)=k{\displaystyle \alpha (k)=k}또는α(k)=2k{\displaystyle \alpha (k)=2^{k}})의 수열이다. 코시 수렴 계수를 갖는 모든 코시 열은 정규 코시 열과 동일하다. 이것은 어떠한 형태의 선택 공리도 사용하지 않고 증명될 수 있다.
코시 수렴 계수는 어떠한 형태의 선택도 사용하지 않으려는구성주의수학자들에 의해 사용된다. 코시 수렴 계수를 사용하면 구성주의 해석학에서 정의와 이론을 모두 단순화할 수 있다. 정규 코시 열은 에렛 비숍(Errett Bishop)의 구성적 해석학 기초(Foundations of Constructive Analysis)에서, 더글러스 브리지(Douglas Bridges)의 비구성적 교과서(ISBN978-0-387-98239-7)에서 사용되었다.
코시 열의 정의는 거리 개념만 포함하므로 이를 거리 공간X로 일반화하는 것이 간단하다. 이를 위해 |xm−xn|은xm과xn사이의 거리d(xm,xn) (여기서d는거리를 나타냄)로 대체된다.
일반적으로 주어진 거리 공간(X,d)의 수열은x1,x2,x3, ...이다. 코시 열(d(xm,xn) <ε)은 모든 양의실수ε> 0인 경우 모든 양의정수m,n>N에 대해 거리d(xm,xn) <ε인 양의 정수N이 있다는 것을 의미한다.
대략적으로 말해서 수열의 항은X에극한이 있어야 한다는 것을 암시하는 방식으로 점점 더 가까워지고 있다. 그럼에도 불구하고 그러한 극한은 항상X내에 존재하는 것은 아니다. 모든 코시 열이 공간에서 수렴하는 공간의 속성을 완비성이라고 하며 아래에 자세히 설명되어 있다.
모든 코시 열이X의 원소로 수렴되는 거리 공간(X,d)을완비 거리 공간이라고 한다.
실수는 일반적인 절댓값에 의해 유도된 거리 아래에서 완비이며실수의 구성가운데유리수의 코시 열을 포함한다. 이 구조에서 특정한 꼬리 행동을 가진 유리수의 코시 열의 각 동치류, 즉 서로 임의로 가까워지는 수열의 모임은 실수이다.
다소 다른 유형의 예는이산 위상을 가진 거리 공간X이다.X원소의 모든 코시 열은 어떤 지점 이후에는 값이 일정해야 하며, 결국 반복해서 등장하는 값으로 수렴한다.
유리수Q는 일반적인 거리에서 완비가 아니다.무리수R에 수렴하는 일련의 유리수들이 있는데 이들은Q에 극한이 없는 코시 열들이다. 실수x가 무리수인 경우에n번째 항이x의 소수점 확장에서n번째 항이 잘린 소수점 자리인 수열(xn)은 무리수인 극한x를 가진 유리수의 코시열을 제공한다. 무리수는 확실히R에 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.
R에 보통 거리가 있는 실수의 집합에서 열린 구간X=(0,2){\displaystyle X=(0,2)}는 완비 공간이 아니다. 그 안에 수열x=1/n{\displaystyle x=1/n}이 있는데 이것은 코시 열(임의적으로 작은 거리 경계d>0{\displaystyle d>0}의 경우n>1/d{\displaystyle n>1/d}의 모든 항xn{\displaystyle x_{n}}이(0,d){\displaystyle (0,d)}구간에 적합하다)이다. 그러나 "극한"인 수0{\displaystyle 0}은 공간X{\displaystyle X}에 속하지 않는다.
볼차노-바이어슈트라스 정리,하이네-보렐 정리는 이들의 마지막 2가지 특성과 밀접하게 관련된 실수의 완비성에 대한 표준 증거를 제시한다. 실수의 코시 열은 유계이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 갖기 때문에 그 자체를 스스로 수렴한다. 실수의 완전성에 대한 이 증거는 암시적으로최소 상계 성질을 이용한다. 위에서 언급한 유리수의 완성으로서 실수를 구성하는 대안적 접근 방식은 실수의 완전성을 자율적으로 만든다.
코시 열로 작업하고 완비성을 사용할 수 있는 이점을 보여주는 표준 삽화 가운데 하나는 무한히 연속되는 실수의 합계(또는 보다 일반적인노름 공간또는바나흐 공간의 원소)를 고려하여 제공된다. 이러한급수∑n=1∞xn{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}은 부분합(sm){\displaystyle (s_{m})}의 수열이 수렴하는 경우에만 수렴하는 것으로 간주된다. 여기서sm=∑n=1mxn{\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}}이라는 등식이 성립된다. 양수p>q인 경우에는sp−sq=∑n=q+1pxn{\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}}이라는 등식을 통해 부분합의 수열이 코시 열인지 아닌지를 판단할 수 있다.
만약f:M→N{\displaystyle f\colon M\rightarrow N}가 거리 공간M과N사이의균등 연속 함수이고 (xn)가M의 코시 열이라면,(f(xn)){\displaystyle (f(x_{n}))}는N의 코시 열이다. 만약(xn){\displaystyle (x_{n})}와(yn){\displaystyle (y_{n})}가 유리수, 실수 또는 복소수에서 2개의 코시 열이라면, 합계(xn+yn){\displaystyle (x_{n}+y_{n})}와 곱(xnyn){\displaystyle (x_{n}y_{n})}역시 코시 열이다.
위상 벡터 공간X{\displaystyle X}에 대한 코시 열의 개념도 있다. 먼저 0에 대한 국소기저인X{\displaystyle X}의B{\displaystyle B}를 선택한다. (xk{\displaystyle x_{k}})는 각 구성체가V∈B{\displaystyle V\in B}일 때에n,m>N,xn−xm{\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}이V{\displaystyle V}의 원소일 때에 코시 열이다.X{\displaystyle X}의 위상 배치가 변환 불변 공간d{\displaystyle d}와 호환된다면 2가지 정의는 일치한다.
코시 열의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "추출" 연산만 있으면 되기 때문에위상군의 맥락에서 설명될 수 있다. 위상군G{\displaystyle G}의 수열(xk){\displaystyle (x_{k})}는G{\displaystyle G}의항등원의 모든 열린 근방U{\displaystyle U}에 대해m,n>N{\displaystyle m,n>N}이 존재할 때마다xnxm−1∈U{\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U}를 따르는 일부N{\displaystyle N}이 존재한다면 코시 열이다.
거리 공간의 완비화 구성과 마찬가지로G{\displaystyle G}에 있는 모든 열린근방U{\displaystyle U}에 대해m,n>N{\displaystyle m,n>N}이xnym−1∈U{\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U}을 따르도록 몇 개의N{\displaystyle N}이 존재한다면(xk){\displaystyle (x_{k})}와(yk){\displaystyle (y_{k})}가 동등하다는 코시 열에 대한 이진 관계를 정의할 수 있다. 이러한 관계는동치관계이고 이러한 수열은 반사적인 코시 열이다. 이러한 수열은ynxm−1=(xmyn−1)−1∈U−1{\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}이기 때문에 대칭이며 이는 역의 연속성에 의해항등원의 또다른 열린 근방이기 때문에 대칭이다.xnzl−1=xnym−1ymzl−1∈U′U″{\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}에서U′{\displaystyle U'}와U″{\displaystyle U''}는U′U″⊆U{\displaystyle U'U''\subseteq U}와 같이 항등원의 개방된 근방이기 때문에추이적 관계이다. 이러한 쌍들은 군 연산의 연속성에 의해 존재한다.
G{\displaystyle G}군에는 코시 열 개념도 있다:H=(Hr){\displaystyle H=(H_{r})}은 유한 지수G{\displaystyle G}의정규 부분군이 감소하는 수열이다.G{\displaystyle G}의 수열(xn){\displaystyle (x_{n})}는 코시 열(w.r.t.H{\displaystyle H})이라고 표현하는데N{\displaystyle N}과 같은∀m,n>N,xnxm−1∈Hr{\displaystyle \forall m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}}인 경우에r{\displaystyle r}이 있는 경우에만 해당된다. 기술적으로 이것은G{\displaystyle G}의 위상 배치를 위한 코시 열과 동일하며H{\displaystyle H}가 국소기저이다.
이러한 코시 열의 집합C{\displaystyle C}는 (성분별 결과물인 경우) 군을 형성하며 Null 수열(s.th.∀r,∃N,∀n>N,xn∈Hr{\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}})의 집합C0{\displaystyle C_{0}}은C{\displaystyle C}의 정규 부분군이다. 요인 그룹C/C0{\displaystyle C/C_{0}}은H{\displaystyle H}와 관련하여G{\displaystyle G}의 완성이라고 한다. 그런 다음에 이러한 완비가 수열(G/Hr){\displaystyle (G/H_{r})}의 역극한과 같은 형이라는 것을 확인할 수 있다.
정수론과대수기하학에서 익숙한 이러한 구조의 예는소수p에 대한p진수완비 구조이다. 이 경우G는 추가되는 정수이고Hr은p의 정수 배수로 구성된 가법 부분군이다. 만약H{\displaystyle H}가공종 집합수열이라면(즉 유한 지수의 모든 정규 부분군은Hr{\displaystyle H_{r}}을 포함한다) 이 완비는(G/H)H{\displaystyle (G/H)_{H}}의 역극한과 동일하다는 점에서 표준이다. 여기서H{\displaystyle H}는 유한 지수의 "모든" 정규 부분군에 걸쳐 변화한다.
실제 수열⟨un:n∈N⟩{\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }은 일반적인 자연수n이외에 지수n의 초정수 값에 대해 정의된 자연적인 초실수 확장H를 갖고 있다. 무한대인H와K에 대해 값이 표시되는 경우(st(uH−uK)=0{\displaystyle \,\mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0})만 코시 열이다. 여기서 "st"는 표준부분함수이다.
헤닝 크라우제(Henning Krause)는 2018년에범주의 코시 완비화에 대한 개념을 도입했다.Q(유리수를 대상으로 하며, 작은 유리수에서 큰 유리수로의 사상을 가지는 얇은 범주)의 범주 코시 완비화는R(마찬가지의 범주)이다.