Azione di Nambu-Goto

L'azione di Nambu-Gotoè la più sempliceazioneinvariante in unateoria di stringa bosonica. Essa è il punto di partenza dell'analisi del comportamento di unastringa, utilizzando i principi della meccanicalagrangiana. Come l'azione relativistica di unpunto materialelibero è proporzionale al suotempo propriocosì l'azione relativistica per una stringa è proporzionale all'area del "foglio di mondo" (world-sheet). Ovvero le soluzioni delle equazioni classiche per l'azione di una stringa libera sono le superfici dell'universo con area minima.
L'azione di Nambu-Goto prende il nome da fisici giapponesiYōichirō Nambue Tetsuo Goto.
La trattazione fa uso dellameccanica lagrangianae delprincipio di minima azione. Questo approccio ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per esempio, possiamo scrivere una lagrangiana per una particella relativistica, che sarà valida anche se la particella sta viaggiando quasi allavelocità della luce. Per mantenere l'invarianza di Lorentz, l'azione deve dipendere da quantità che sono le stesse per tutti gli osservatori di Lorentz. La più semplice di queste quantità  è iltempo proprio, indicato conτ{\displaystyle \tau }, ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella. In accordo con la relativita ristretta si ha che la quantità:
dove conc{\displaystyle c}si è indicata la velocità della luce  e condτ=−ds/c{\displaystyle d\tau =-ds/c}è la variazione infinitesime del tempo proprio.  Per un punto materiale non soggetto a forze  l'azione relativistica è data da:
dove conm{\displaystyle m}si è indicata la massa inerziale della particella.
Proprio come il moto di un punto materiale (zero dimensionale) è descritto dalla sua traiettoria su un diagramma spazio-temporale, così una stringa uni-dimensionale è rappresentato da un foglio-mondo. Tutti i fogli di mondo hanno le dimensioni di una superficie bi-dimensionale e quindi abbiamo bisogno di due parametri per specificare un punto sul foglio; i fisici teorici delle stringhe utilizzare i simboliτ{\displaystyle \tau }eσ{\displaystyle \sigma }per questi parametri. 
Se condsi indica il numero di dimensioni spaziali, noi possiamo rappresentare un punto nello spazio tempo in questo modo:
Descriviamo una stringa utilizzando delle funzioni che mappano una posizione nello spazio dei parametri (τ{\displaystyle \tau },σ{\displaystyle \sigma }) di un punto nello spazio-tempo.  Per ogni valore diτ{\displaystyle \tau }e diσ{\displaystyle \sigma }, queste funzioni sono specificate da un unico vettore di tipo spazio-tempo:
Le funzioniXμ(τ,σ){\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}determinano la forma del foglio di mondo presa in considerazione.
L'azione di Nambu–Goto è per definizione proporzionale all'area della superficie.
Segμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}è iltensore metriconello spazio tempo(d+1)-dimensionale. Noi abbiamo che la grandezza:
è iltensore metrico indottosui fogli di mondo.
L'areaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}sul foglio di mondo è data da:
doved2Σ=dσdτ{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau }eg=detgab{\displaystyle g=\det g_{ab}}
Usando la seguente notazione:
e
uno può riscrivere il tensore metricogab{\displaystyle g_{ab}}in questo modo:
e l'azione di Nambu-Goto per una stringa libera risulta essere definita nel seguente modo:
doveT0{\displaystyle T_{0}}è la tensione della stringa ec{\displaystyle c}è la velocità della luce.
In genere i teorici delle stringhe lavorano in "unità naturali", dovec{\displaystyle c}è uguale ad uno, come la costante di Planckh=1{\displaystyle h=1}e laCostante di gravitazione universaleG=1{\displaystyle G=1}. Inoltre, in parte per motivi storici, usano il "parametro di inclinazione"α′{\displaystyle \alpha '}invece diT0{\displaystyle T_{0}}. Con queste modifiche, l'azione di Nambu-Goto diventa:
Queste due forme sono, ovviamente, del tutto equivalenti: scegliere l'una o l'altra è una questione di convenzioni e di convenienza.
In genere, l'azione di Nambu-Goto non è l'azione fondamentale per i fisici in quanto preferiscono utilizzare l'azione di Poljakovche è classicamente equivalente alla azione Nambu-Goto, ma è più conveniente per la formulazione quantistica. È tuttavia possibile lo sviluppo di una teoria quantistica delle stringhe partendo dall'azione di Nambu-Goto.
L'azione di Poljakovè un'azionebidimensionale che descrive ilworldsheet(foglio di mondo) di una stringa in modo diverso ma equivalente rispetto all'azione di Nambu-Goto. È stata introdotta da S. Deser e B. Zumino, e indipendentemente da L. Brink, P Di Vecchia e P.S. Howeed è successivamente stata associata adAleksandr Poljakovquando ne ha fatto uso per la quantizzazione delle stringhe. L'azione è descritta dalla seguente formula:
doveT{\displaystyle T}è la tensione propria della stringa,gμν{\displaystyle {g_{\mu \nu }}}è la metrica della cosiddetta varietà "bersaglio" (lo spazio dove vive e si muove la stringa) ehab{\displaystyle h^{ab}}è la metrica della superficie di mondo della stringa mentreh{\displaystyle h}è il suo determinante. Una convenzione è quella di assegnare segno positivo alla direzione temporale e segno negativo a quella spaziale; così la coordinata spaziale è chiamataσ{\displaystyle \sigma }, mentre le coordinate temporali sono definite conτ{\displaystyle \tau }. Questo è anche conosciuto come modello sigma non lineare.