Дробь (математика)

Дробьварифметике—число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.
В математической записи дроби видаm/n{\displaystyle m/n}илиmn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}число перед (над) чертой называетсячислителем, а число после черты (под чертой) —знаменателем(произведено от словазнаменовать, т. е.‘обозначать, указывать, каковы доли’). Первый выступает в ролиделимого, второй —делителя.
Вобщей алгебреобыкновенные дроби образуютполе, называемое полемрациональных чисел.
Обыкновенная(илипростая) дробь — запись числа в видеmn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}илиm/n,{\displaystyle m/n,}гдеm{\displaystyle m}— целое, аn{\displaystyle n}— натуральное число. Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное.Делимоеназываетсячислителемдроби, аделитель—знаменателем.
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
Правильнойназывается дробь, у котороймодульчислителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называетсянеправильнойи представляет собой число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби35{\displaystyle {\frac {3}{5}}},78{\displaystyle {\frac {7}{8}}}и12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}— правильные, в то время как53{\displaystyle {\frac {5}{3}}},87{\displaystyle {\frac {8}{7}}},21{\displaystyle {\frac {2}{1}}}и11{\displaystyle {\frac {1}{1}}}— неправильные. Всякое, отличное от нуля, целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем1{\displaystyle 1}.
Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби, называетсясмешанным числом(илисмешанной дробью) и понимается как сумма этого натурального числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанного числа (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называетсяпростой.
Например,237=2+37=147+37=177{\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}.
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.
Десятичной дробью называютпозиционнуюзапись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак+{\displaystyle +}вне арифметических выражений обычно опускается):
Часть записи, которая стоит дозапятой, в случае неотрицательной дроби являетсяцелой частьючисла (дроби), а стоящая после запятой —дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать вдесятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо являетсяпериодической дробью.
Пример: десятичная дробь3,1415926{\displaystyle 3{,}1415926}в формате обыкновенной дроби равна3141592610000000{\displaystyle {\frac {31415926}{10000000}}}.
Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10, означает 0,0000006023 (умножение на10−7{\displaystyle 10^{-7}}, или, что то же, деление на107,{\displaystyle 10^{7},}перемещает знакзапятойна 7 разрядов влево).
Другой вид дроби представляет собойпроцент(лат.Pro Centum— «на сто»), представленный символом%, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.
Схожее понятиепромиллеили частей на тысячу подразумевает знаменатель1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (англ.parts per million— ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но идругие(в том числе и специфические, такие, какфибоначчиева).
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Еслиумножитьчислитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеютобщий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называетсясокращениемдроби. Пример:
Несократимойназывается дробь, числитель и знаменатель которойвзаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме±1.{\displaystyle \pm 1.}
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см.Десятичная дробь.
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}иcd{\displaystyle {\frac {c}{d}}}. Порядок действий:
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равныM{\displaystyle M}). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качествеM{\displaystyle M}любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже вразделе Сравнение.
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем34{\displaystyle {\frac {3}{4}}}и45{\displaystyle {\frac {4}{5}}}.HOK(4,5)=20{\displaystyle \mathrm {HOK} (4,5)=20}. Приводим дроби к знаменателю20{\displaystyle 20}.
Следовательно,34<45{\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}.
Другой способ. Сравним дополнения дробей34{\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}и45{\displaystyle {\dfrac {4}{5}}}до единицы, то есть сравним14{\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}и15{\displaystyle {\dfrac {1}{5}}}. Поскольку14>15{\displaystyle {\dfrac {1}{4}}>{\dfrac {1}{5}}}, так как4<5{\displaystyle 4<5}, выводим, что34<45{\displaystyle {\dfrac {3}{4}}<{\dfrac {4}{5}}}.
Сумма обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей данных дробей.
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
НОКзнаменателей (здесь2{\displaystyle 2}и3{\displaystyle 3}) равно6{\displaystyle 6}.
Приводим дробь12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}к знаменателю6{\displaystyle 6}, для этого числитель и знаменатель надо умножить на3{\displaystyle 3}.Получилось36{\displaystyle {\frac {3}{6}}}.
Приводим дробь13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на2{\displaystyle 2}. Получилось26{\displaystyle {\frac {2}{6}}}.Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
НОКзнаменателей (здесь2{\displaystyle 2}и4{\displaystyle 4}) равно4{\displaystyle 4}. Приводим дробь12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}к знаменателю4{\displaystyle 4}, для этого надо числитель и знаменатель умножить на2{\displaystyle 2}. Получаем24{\displaystyle {\frac {2}{4}}}.
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Определимобратную дробьдля дробиab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}как дробьba{\displaystyle {\frac {b}{a}}}(здесьa,b≠0{\displaystyle a,b\neq 0}). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
Например:
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:
Пример:
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:
Пример:
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечнойпериодической дробью. Примеры:
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являютсяпериодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно.
Пример (см. такжеПреобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь1,3(142857)=1,3142857142857142857…{\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots }в обыкновенную дробь.1,3(142857)=1,3+0,1⋅0,(142857).{\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).}Обозначимx=0,(142857){\displaystyle x=0{,}(142857)}, тогда1000000⋅x=142857+x,{\displaystyle 1000000\cdot x=142857+x,}откуда:999999x=142857,{\displaystyle 999999x=142857,}или:x=142857999999=17.{\displaystyle x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.}В итоге получаем:1,3(142857)=1,3+0,1x=1,3+0,1⋅17.=1310+170=9270=11135.{\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7}}.={\frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.}
Русский терминдробь, как и его аналоги в других языках, происходит отлат.fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением:ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложилигреческиеииндийскиематематики. Марокканский учёныйаль-Хасарвпервые использовал современное символьное обозначение с горизонтальной чертой. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже уФибоначчи(1202 год). Словачислительизнаменательввёл в оборот греческий математикМаксим Плануд.
Дроби вычислялись ещё вДревнем Египте. До наших дней сохранились математические источники оегипетских дробях:Математический папирус Ринда(ок. 1650 год до н. э.),Египетский математический кожаный свиток(XVII век до н. э.),Московский математический папирус(ок. 1850 год до н. э.),Деревянная табличка из Ахмима(ок. 1950 год до н. э.).
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном .Десятичные дробивпервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.
Персидский математик и астрономДжамшид Гияс-ад-дин аль-Каши(1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались уже в трудахаль-Уклидиси, жившего на пять веков раньше.
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — сшестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит изДревней Индии— вначале егопозаимствовали арабы, а затем, вXII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа14,215{\displaystyle {\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}}записывались таким способом:14,2I5.{\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.}Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря —Фибоначчи(Леонардо Пизанский). Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья,Клавиус).
В Европе первые десятичные дроби ввёлИммануил Бонфисоколо 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочиненияСимона Стевина«Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как4025132{\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}}или42⓪5 ① 3 ②, где0в круге или над строкой означал целую часть,1— десятые,2— сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать сXVII века.
На Руси дроби называлидолями. В первых российских учебниках математики — вXVII веке— дроби называлисьломаными числами. Терминдробь, как аналог латинскогоfractura, используется в «Арифметике»Магницкого(1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
На русском:
На английском: