Théorème du bagel au pavot

Lethéorème du bagel au pavot(poppy-seed bagel theorem) est un énoncé dephysiquemathématique décrivant les conditions pour que desparticulesse repoussant les unes les autres et confinées à unesurfaceou dans un volume s'y répartissent de manière uniforme.
Le théorème s'applique lorsque laforcede répulsion entre les particules est inversement proportionnelle à la distance entre celles-ci élevée à la puissances, oùsest un nombre positif. C'est donc par exemple  le cas d'un ensemble d'électronssoumis à laloi de Coulomb, ou de particules soumises à despotentiels de Rieszou d'autres interactions décrites enthéorie du potentiel.
PourNparticules, il existe un état d'équilibre stable dépendant de la valeur des, qui minimise l'énergie potentielleassociée au système. Dans le cas d'un grand nombre de particules, une telle configuration crée une discrétisation du sous-ensemble dans lequel sont contraintes les particules.
Le théorème du bagel précise les conditions pour lesquelles cette discrétisation est uniforme. Pour catégorie assez large de sous-ensembles, l'uniformité est vérifiée lorsque le paramètres{\displaystyle s}est supérieur ou égal à la dimension du sous ensemble.
Par exemple, lorsque les points (lesgrains de pavot) sont confinés à la surface à 2 dimensions d'untore(la surface d'unbagel), plongé dans un espace à 3 dimensions, si les points se repoussent avec une force proportionnelle à l'inverse du carré de leur distance (s= 2), les points se répartirontuniformémentsur la surface du tore s'ils sont en nombre suffisant, puisque le tore est une surface de dimension deux. Toute force répulsive plus puissante (s> 2) aura la même propriété.
Soit un paramètres> 0 et un ensemble deNpointsωN={x1,…,xN}⊂Rp{\displaystyle \omega _{N}=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}\subset \mathbb {R} ^{p}}dans un espace de dimensionp. On définit las-énergie des points comme suit:Es(ωN)=∑i≠j1≤i,j≤N1|xi−xj|s{\displaystyle E_{s}(\omega _{N})=\sum _{\stackrel {1\leq i,j\leq N}{i\not =j}}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|^{s}}}}Pour toutsous-ensemble compactA{\displaystyle A}de l'espace, on définit son énergie minimale àNpoints par.Es(A,N)=minωN⊂AEs(ωN){\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N)=\min _{\omega _{N}\subset A}E_{s}(\omega _{N})}où leminimumest pris sur tous les sous-ensembles deNpoints deA; c'est-à-dire,ωN⊂A{\displaystyle \omega _{N}\subset A}. Une répartition deNpoints sur la surfaceAminimisantEsest appelée configuration des-équilibre àNpoints
Supposons que l'ensembleA⊂Rp{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{p}}soit compact etLebesgue-mesurablede mesureλ(A)>0{\displaystyle \lambda (A)>0}et ques⩾p{\displaystyle s\geqslant p}. Pour toutN⩾2{\displaystyle N\geqslant 2}, étant donnée une configuration d'équilibre àNpointsωN∗={x1,N,…,xN,N}{\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}, on définit la mesureμNμN:=1N∑i=1Nδxi,N,{\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i,N}},}oùδx{\displaystyle \delta _{x}}est unemasse ponctuelleenx{\displaystyle x}. Sous ces hypothèses,
μN→∗μ,{\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}
c'est-à-dire que la mesureμNconverge (au sens de laconvergence faible des mesures) vers la mesureμ,oùμest  la mesure de  Lebesgue restreinte àA; soit,μ(B)=λ(A∩B)/λ(A){\displaystyle \mu (B)=\lambda (A\cap B)/\lambda (A)}.
De plus, on alimN→∞Es(A,N)N1+s/p=Cs,pλ(A)s/p,{\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/p}}}={\frac {C_{s,p}}{\lambda (A)^{s/p}}},}oùCs,p{\displaystyle C_{s,p}}est une constante indépendante de l'ensembleA{\displaystyle A}et donc,Cs,p=limN→∞Es([0,1]p,N)N1+s/p,{\displaystyle C_{s,p}=\lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}([0,1]^{p},N)}{N^{1+s/p}}},}où[0,1]p{\displaystyle [0,1]^{p}}est lecube unitédeRp{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}.
SoitAunevariété différentiellede dimensiondplongée dansRp{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}et σ unemesure géométriquesur cette variété. On suppose de plus queσ(A)>0{\displaystyle \sigma (A)>0}ets⩾d{\displaystyle s\geqslant d}. Pour chaqueN⩾2{\displaystyle N\geqslant 2}étant donnée une configuration minimaleωN∗={x1,N,…,xN,N}{\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}, on pose de mêmeμN=1N∑i=1Nδxi,N.{\displaystyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i,N}}.}Alors, on aμN→∗μ,{\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}la mesureμNconverge (au sens de la  convergence faible des mesures) vers la mesureμ, où μest la mesure géométrique normaliséeμ(B)=σ(A∩B)/σ(A){\displaystyle \mu (B)=\sigma (A\cap B)/\sigma (A)}. SiHd{\displaystyle H^{d}}est lamesure de Hausdorffde dimensiondnormalisée de sorte queHd([0,1]d)=1{\displaystyle H^{d}([0,1]^{d})=1}, alorslimN→∞Es(A,N)N1+s/d=2sαd−s/d⋅Cs,d(Hd(A))s/d,{\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/d}}}=2^{s}\alpha _{d}^{-s/d}\cdot {\frac {C_{s,d}}{(H^{d}(A))^{s/d}}},}oùαd=πd/2/Γ(1+d/2){\displaystyle \alpha _{d}=\pi ^{d/2}/\Gamma (1+d/2)}est levolume d'uned-boule.
Pourp=1{\displaystyle p=1}, on sait  queCs,1=2ζ(s){\displaystyle C_{s,1}=2\zeta (s)}, oùζ(s){\displaystyle \zeta (s)}est lafonction zêta de Riemann. En utilisant une approche basée sur uneforme modulairepour laprogrammation linéaire,Viazovskaet ses coauteurs ont établi dans un article de 2022 qu'en dimensionsp=8{\displaystyle p=8}etp=24{\displaystyle p=24}, les valeurs deCs,p{\displaystyle C_{s,p}},s>p{\displaystyle s>p}, sont donnés par la fonction zêta d’Epsteinassociées respectivement au réseau E8et  auréseau de Leech. On suppose que pourp=2{\displaystyle p=2}, la valeur deCs,p{\displaystyle C_{s,p}}est déterminée de la même manière comme la valeur de la fonction zêta d'Epstein pour le treilishexagonal. Enfin, pour toutes dimensionsp≥1{\displaystyle p\geq 1}on sait que lorsques=p{\displaystyle s=p}, la convergence deEs(A,N){\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N)}devientN2log⁡N{\displaystyle N^{2}\log N}plutôt queN2=N1+s/p{\displaystyle N^{2}=N^{1+s/p}}, et la valeur deCs,p{\displaystyle C_{s,p}}peut être calculée explicitement puisqu’elle est égale au volume de lap-boule:Cs,p=Hp(Bp)=πp/2Γ(1+p/2).{\displaystyle C_{s,p}=H^{p}({\mathcal {B}}^{p})={\frac {\pi ^{p/2}}{\Gamma (1+p/2)}}.}Il existe une relation entre la constanteCs,p{\displaystyle C_{s,p}}et le problème de l'empilement compact de sphères:lims→∞(Cs,p)1/s=1s(αpΔp)1/p,{\displaystyle \lim _{s\to \infty }(C_{s,p})^{1/s}={\frac {1}{s}}\left({\frac {\alpha _{p}}{\Delta _{p}}}\right)^{1/p},}oùαp{\displaystyle \alpha _{p}}est le volume de lap-boule etΔp=supρ(P),{\displaystyle \Delta _{p}=\sup \rho ({\mathcal {P}}),}où laborne supérieureest prise sur toutes les famillesP{\displaystyle {\mathcal {P}}}deboules unitairesqui ne se chevauchent pas de telle sorte que la limiteρ(P)=limr→∞λ([−r,r]p∩⋃B∈PB)(2r)p{\displaystyle \rho ({\mathcal {P}})=\lim _{r\to \infty }{\frac {\lambda \left([-r,r]^{p}\cap \bigcup _{B\in {\mathcal {P}}}B\right)}{(2r)^{p}}}}existe.