Правила Кирхгофа

Пра́вила Ки́рхгофа(часто в технической литературе называютсяЗако́нами Ки́рхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любойэлектрической цепи.
Решения системлинейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа, позволяют найти все токи и напряжения в электрических цепях постоянного, переменного иквазистационарного тока.
Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач втеории электрических цепейи практических расчётов сложных электрических цепей.
Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получитьсистему линейных уравненийотносительно токов или напряжений и, соответственно, при решении этой системы найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.
СформулированыГуставом Кирхгофомв1845 году.
Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третьеуравнение Максвеллапри неизменном магнитном поле).
Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа вхимииифизике.
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятияузел,ветвьиконтурэлектрической цепи. Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Терминзамкнутый путьозначает, что, начав с некоторого узла цепи иоднократнопройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходныйузел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.
В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.
Первое правило Кирхгофа (правило токов Кирхгофа) гласит, чтоалгебраическая сумматоковветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.
Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментальногозакона сохранения электрического заряда.
Однако при расчетах следует учитывать, что это правило применимо только в случае пренебрежимо малой емкости узла. В противном случае первое правило может нарушаться, что особенно заметно при высокочастотных токах.
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, чтоалгебраическая сумманапряженийна резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической суммеЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:
Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.
Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, являетсязакон Омадля этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным — в противном случае (см. далее).
Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.
Если цепь содержитp{\displaystyle p}узлов, то она описываетсяp−1{\displaystyle p-1}уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды ипотокаэтих частиц.
Если цепь содержитm{\displaystyle m}ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количествеmi{\displaystyle m_{i}}, то она описываетсяm−mi−(p−1){\displaystyle m-m_{i}-(p-1)}уравнениями напряжений.
Количество узлов: 3.
p−1=2{\displaystyle p-1=2}
Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.
m−mi−(p−1)=2{\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}
Количество контуров: 2.
Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:
Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.
Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называтьметодом контурных токов.
В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:
Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называтьметодом узловых потенциалов.
Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора,принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера,методом Гауссаи др.).
Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит изn{\displaystyle n}узлов. Составим матрицуA={aij}i,j=1n{\displaystyle A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}}, гдеaij{\displaystyle a_{ij}}приi≠j{\displaystyle i\neq j}естьпроводимостьветви, соединяющей узлы с номерамиi{\displaystyle i}иj{\displaystyle j}(если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости). При этомajj=∑i=1,i≠jn(−aij){\displaystyle a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})}. Пустьφ{\displaystyle \varphi }— потенциал, который мы рассматриваем как функцию, определённую на множестве узлов (или, что то же самое, векторu=(φ1,φ2,…,φn){\displaystyle \mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})}вn{\displaystyle n}-мерном пространствеRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}). Тогда по определению проводимости имеемIij=aij(φi−φj){\displaystyle I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})}, гдеIij{\displaystyle I_{ij}}— ток в ветви, идущей из вершиныi{\displaystyle i}в вершинуj{\displaystyle j}. Стало быть, первое правило Кирхгофа дляj{\displaystyle j}-того узла можно записать как∑i=1,i≠jnIij=∑i=1,i≠jnaij(φi−φj)=0{\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})=0}, или же∑i=1,i≠jnaijφi+(∑i=1,i≠jn(−aij))φj=∑i=1,i≠jnaijφi+ajjφj=0{\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_{jj}\varphi _{j}=0}, или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как∑i=1naijφi=0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0}. В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицыA{\displaystyle A}на вектор-столбецu{\displaystyle \mathbf {u} }.
Итак,первоеправило Кирхгофа в матричном виде гласит:
‖a11a21…an1a12a22…an2............a1na2n…ann‖‖φ1φ2...φn‖=0⇔ATu=0{\displaystyle {\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0} }.
В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией накасательных векторахк поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как оримановой метрикеg{\displaystyle g}(отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств). Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функциейu{\displaystyle u}на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будетоператор Лапласа — БельтрамиΔg{\displaystyle \Delta _{g}}метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же:Δgu=0{\displaystyle \Delta _{g}u=0}. Иначе говоря, потенциал естьгармоническая функция.
В связи с этим матрицуA{\displaystyle A}, сопоставляемую произвольномувзвешенному графу, за исключением диагонали равнуюматрице смежности, иногда называютдискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основанинтегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.
В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об1-формеdu{\displaystyle du}. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное полеgradg(u){\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(u)}— и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична (то есть лежит в ядреходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах). Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытиядвойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаемтеории Ходжадля 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класскогомологий де Рамапредставляется гармонической формой, притом только одной).
Кирхгофом были установлены ещё два закона, ныне носящие его имя. Они не имеют отношения к электротехнике.
Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.
Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициенттеплового эффектахимической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.