Матрица (математика)

Ма́трица—математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементовкольцаилиполя(например,целых,действительныхиликомплексныхчисел), который представляет собой совокупностьстрокистолбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейныхалгебраическихилидифференциальныхуравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решениесистем линейных уравненийсводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующиеалгебраическиеоперации:
Относительно сложения матрицы образуютабелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуютмодульнад соответствующим кольцом (векторное пространствонад полем). Множествоквадратных матрицзамкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативноекольцос единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждомулинейному оператору, действующему вn{\displaystyle n}-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядкаn{\displaystyle n}; и обратно — каждой квадратной матрице порядкаn{\displaystyle n}может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности,собственные числаматрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующимсобственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицамибилинейных (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видовматриц. Таковы, например,единичная,симметричная,кососимметричная,верхнетреугольная(нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможныенормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теорияжордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Такжеволшебные квадратыбыли известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц.
После развития теории определителей в конце 17-го векаГабриэль Крамерначал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса».
Теория матриц начала своё существование в серединеXIX векав работахУильяма ГамильтонаиАртура Кэли.
Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежатВейерштрассу,Жордану,Фробениусу.
Термин «матрица» ввёлДжеймс Сильвестрв 1850 г.
Матрицы естественным образом возникают при решениисистем линейных уравнений, а также при рассмотрениилинейных преобразований.
Рассмотримсистему линейных уравненийвида:
Эта система состоит изm{\displaystyle m}линейных уравненийотносительноn{\displaystyle n}неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :
где
МатрицаA{\displaystyle A}— это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбецx{\displaystyle x}— вектор неизвестных, а вектор-столбецb{\displaystyle b}— некоторый заданный вектор.
Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно),необходимо и достаточно, чтобы векторb{\displaystyle b}быллинейной комбинациейстолбцовA{\displaystyle A}, и тогда векторx{\displaystyle x}— это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектораb{\displaystyle b}по столбцам матрицыA{\displaystyle A}.
На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в видетеоремы Кронекера-Капелли:
составленной из столбцовA{\displaystyle A}и столбцаb{\displaystyle b}.
Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (m=n{\displaystyle m=n}, то есть матрицаA{\displaystyle A}— квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицыA{\displaystyle A}.
(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример:0x=0{\displaystyle 0x=0}.)
В частности, если матрицаA{\displaystyle A}является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычисленаA−1{\displaystyle A^{-1}}, то и найдено) в виде
Это приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных поправилу Крамера.
Рассмотримлинейное преобразованиеA:Rn→Rm{\displaystyle {\mathcal {A}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}, действующее изn{\displaystyle n}-мерного векторного пространстваRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}вm{\displaystyle m}-мерное векторное пространствоRm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, имеющее следующий вид:
В матричной форме это преобразование уравнения вида:
МатрицаA{\displaystyle A}— это матрица коэффициентов линейного преобразования.
Если рассмотреть действие линейного преобразованияA{\displaystyle {\mathcal {A}}}на векторы вида
составляющие базис пространстваRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, тоAej{\displaystyle {\mathcal {A}}\mathbf {e} _{j}}— это естьj{\displaystyle j}-ый столбец матрицыA{\displaystyle A}.
Таким образом, матрицаA{\displaystyle A}полностью описывает линейное преобразованиеA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, и поэтому называетсяматрицей линейного преобразования.
Пусть есть два конечных множества:
Назовём матрицейA{\displaystyle A}размераm×n{\displaystyle m\times n}(читаетсяm{\displaystyle m}наn{\displaystyle n}) (m{\displaystyle m}—строк,n{\displaystyle n}—столбцов) с элементами из некоторого кольца или поляK{\displaystyle {\mathcal {K}}}отображение видаA:M×N→K{\displaystyle A\colon M\times N\to {\mathcal {K}}}. Матрица записывается как
где элемент матрицыaij=a(i,j){\displaystyle a_{ij}=a(i,j)}находится на пересеченииi{\displaystyle i}-йстрокииj{\displaystyle j}-гостолбца.
При этом количество элементов матрицы равноm⋅n{\displaystyle m\cdot n}.
В соответствии с этим
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространствеKmn{\displaystyle {\mathcal {K}}^{mn}}, имеющем размерностьmn{\displaystyle mn}. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касаетсяматричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Если у матрицы количество строкm{\displaystyle m}совпадает с количеством столбцовn{\displaystyle n}, то такая матрица называетсяквадратной, а числоm=n{\displaystyle m=n}называетсяразмеромквадратной матрицыили еёпорядком.
Матрицы размераm×1{\displaystyle m\times 1}и1×n{\displaystyle 1\times n}являются элементами пространствKm{\displaystyle {\mathcal {K}}^{m}}иKn{\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}соответственно:
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:
Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.
Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:
Рангом матрицыназывают количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый рангматрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный рангматрицы).
Этому определению эквивалентно определениеранга матрицыкак порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.
При элементарных преобразованияхранг матрицыне меняется.
Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть
тогдаA{\displaystyle A}— матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поляK{\displaystyle {\mathcal {K}}}видаaij=A(i,j){\displaystyle a_{ij}=A(i,j)}, где
таким образом,aij{\displaystyle a_{ij}}— элемент матрицыA{\displaystyle A}, находящийся на пересеченииi{\displaystyle i}-й строки иj{\displaystyle j}-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размераm×n{\displaystyle m\times n}:
или просто
если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.
Иногда, вместоaij{\displaystyle a_{ij}}, пишутai,j{\displaystyle a_{i,j}}, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.
Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).
Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:
а
Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:
и по строкам:
Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.
Для каждой матрицыA=(ai,j)i=1,m¯j=1,n¯=(a1,1⋯a1,n⋮⋱⋮am,1⋯am,n){\displaystyle A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}размераm×n{\displaystyle m\times n}
можно построить матрицуB=(bj,i)j=1,n¯i=1,m¯=(b1,1⋯b1,m⋮⋱⋮bn,1⋯bn,m){\displaystyle B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}}размераn×m{\displaystyle n\times m},
у которойbj,i=ai,j{\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j}}для всехi=1,m¯{\displaystyle i={\overline {1,m}}}иj=1,n¯{\displaystyle j={\overline {1,n}}}.
Такая матрица называетсятранспонированной матрицейдляA{\displaystyle A}и обозначаетсяAT{\displaystyle A^{T}},
иногда (если нет возможности спутать сдифференцированием) 
обозначаетсяA′{\displaystyle A'},
иногда (если нет возможности спутать сэрмитовым сопряжением) 
обозначаетсяA∗{\displaystyle A^{*}}.
При транспонировании строки (столбцы) матрицыA{\displaystyle A}становятся столбцами (соответственно - строками) 
матрицыAT{\displaystyle A^{T}}.
Очевидно,(AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}.
Для матриц надкольцомK{\displaystyle {\mathcal {K}}}транспонирование являетсяизоморфизмомK{\displaystyle {\mathcal {K}}}-модулейматриц, поскольку
Диагональная матрица— квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые(i≠j:aij=0){\displaystyle (i\neq j:a_{ij}=0)}, иногда записывается как:
Кромеглавной диагоналииногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуютнаддиагональматрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуютподдиагональматрицы (см.Бидиагональная матрица).
Элементы, расположенные на местахa1,n,a2,n−1,…,an,1{\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1}}образуютпобочнуюдиагональ (см., например,Побочная диагональилиВиды матриц).
Единичная матрица— матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остаётся неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для её обозначения чаще всего используется обозначениеIилиE, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для обозначения её элементов также используетсясимвол Кронекераδij{\displaystyle \delta _{ij}}, определяемый как:
Для обозначениянулевой матрицы— матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остаётся неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, напримерO{\displaystyle O}илиΘ{\displaystyle \Theta }.
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Сложение матрицA+B{\displaystyle A+B}есть операция нахождения матрицыC{\displaystyle C}, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матрицA{\displaystyle A}иB{\displaystyle B}, то есть каждый элемент матрицыC{\displaystyle C}равен
Свойства сложения матриц:
Все свойства линейных операций повторяют аксиомылинейного пространстваи поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеровm×n{\displaystyle m\times n}с элементами из поляP{\displaystyle P}(поля всехдействительныхиликомплексных чисел) образуетлинейное пространствонад полемP{\displaystyle P}(каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и чёткого уточнения употребления термина называть векторами.
Умножение матрицыA{\displaystyle A}на числоλ∈K{\displaystyle \lambda \in {\mathcal {K}}}заключается в построении матрицыλA=(λaij){\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij})}.
Свойства умножения матриц на число:
Умножение матриц(обозначение:AB{\displaystyle AB}, реже со знаком умноженияA×B{\displaystyle A\times B}) — есть операция вычисления матрицыC{\displaystyle C}, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрицеA{\displaystyle A}должно совпадать с количеством строк в матрицеB{\displaystyle B}, иными словами, матрицаA{\displaystyle A}обязана бытьсогласованнойс матрицейB{\displaystyle B}. Если матрицаA{\displaystyle A}имеет размерностьm×n{\displaystyle m\times n},B{\displaystyle B}—n×k{\displaystyle n\times k}, то размерность их произведенияAB=C{\displaystyle AB=C}естьm×k{\displaystyle m\times k}.
Свойства умножения матриц:
A(B+C)=AB+AC{\displaystyle A(B+C)=AB+AC};
По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:
для вектора-столбцаv{\displaystyle v}(получая новый вектор-столбецAv{\displaystyle Av}):
для вектора-строкиs{\displaystyle s}(получая новый вектор-строкуsA{\displaystyle sA}):
Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):
(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).
Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм.
Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый векторAv, полученный из исходного вектораvпреобразованием, представимым умножением на матрицуA, преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицуB, получивB(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведённого в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы(BA), представляющую композицию первого и второго преобразований и совпадающую с обычным определением матричного умножения.
Если элементами матрицыA=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}являются комплексные числа, токомплексно сопряжённая(не путать сэрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равнаA¯=(a¯i,j){\displaystyle {\bar {A}}=({\bar {a}}_{i,j})}. Здесьa¯{\displaystyle {\bar {a}}}— число,комплексно сопряжённоекa{\displaystyle a}.
Транспонирование уже обсуждалось выше: еслиA=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}, тоAT=(aji){\displaystyle A^{T}=(a_{ji})}. Для комплексных матриц более употребительноэрмитово сопряжение:A∗=A¯T{\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}. С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора,сопряжённогоотносительноскалярногоилиэрмитовапроизведения, соответственно.
Для квадратной матрицыA{\displaystyle A}сумма диагональных элементов (т.е. главных миноров первого порядка) называетсяследом:
(другие обозначенияTrace{\displaystyle \mathrm {Trace} },Sp{\displaystyle \mathrm {Sp} },Spur{\displaystyle \mathrm {Spur} }).
Свойства:
Пусть матрицаA{\displaystyle A}— квадратная, тогда обозначение определителя:Δ=detA{\displaystyle \Delta =\det A}. Если матрица2×2{\displaystyle 2\times 2}, тоΔ=detA=a11a22−a12a21{\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
Ввекторном пространствелинейной комбинацией векторовx1,…,xn{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}называется вектор
гдеa1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}— коэффициенты разложения:
Это позволяет описать произведениеC=AB{\displaystyle C=AB}матрицA{\displaystyle A}иB{\displaystyle B}терминами линейных комбинаций:
Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят олинейной зависимостиданного вектора от элементов комбинации.
Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называетсялинейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или
где не все числаa1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называетсялинейно независимой.
Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.
Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:
Сложение ивычитаниедопускается только для матриц одинакового размера.
Существуетнулевая матрицаΘ{\displaystyle \Theta }такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Возводить в степень можно толькоквадратные матрицы.
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называетсяквадратной.
Для квадратных матриц существуетединичная матрицаE{\displaystyle E}(аналогединицыдля операцииумножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно
У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю
Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемуюобратную матрицу. Обратная матрицаA−1{\displaystyle A^{-1}}такова, что если матрицу умножить на обратную ей матрицу, то получится единичная матрица:
Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная матрица существует, называютсяневырожденными(или регулярными), а для которых нет —вырожденными(илисингулярными). Матрица невырождена, если все её строки (столбцы)линейно независимыкаквекторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы.Определителем(детерминантом) матрицы называется значение нормированнойкососимметрической(антисимметрической)полилинейной формывалентности(p;0){\displaystyle (p;\;0)}на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.
Из указанных выше свойств сложения и умножения матриц (ассоциативность и коммутативность сложения, дистрибутивность умножения, существование нулевой и противоположной по сложению матрицы) следует, что квадратные матрицыnнаnс элементами из любогокольцаRобразуют кольцо, изоморфное кольцуэндоморфизмовсвободного модуляR. Это кольцо обозначаетсяM(n,R){\displaystyle M(n,R)}илиMn(R){\displaystyle M_{n}(R)}. Если жеR—коммутативное кольцо,M(n,R){\displaystyle M(n,R)}является такжеассоциативнойалгебройнадR. Определитель матрицы с элементами из коммутативного кольца можно вычислять по обычной формуле, при этом матрица будет обратима тогда и только тогда, когда её определительобратимвR. Это обобщает ситуацию с матрицами с элементами изполя, так как в поле обратим любой элемент, кроме нуля.
Матрицы играют важную роль втеории групп. Они используются при построенииобщих линейных групп,специальных линейных групп,диагональных групп,треугольных групп,унитреугольных групп.
Конечную группу (в частности, симметрическую) можно (изоморфно) промоделировать матрицами перестановок (содержащими только «0» и «1»),
например, дляS3{\displaystyle S_{3}}:(100010001){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}},(010001100){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}},(001100010){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}},(010100001){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}},(001010100){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}},(100001010){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
ПолеC{\displaystyle \mathbb {C} }комплексных чисел может быть (изоморфно) промоделировано
над полемR{\displaystyle \mathbb {R} }вещественных чисел:
дляz=x+iy,c=a+ib∈C{\displaystyle z=x+iy,\quad c=a+ib\in \mathbb {C} }матричные аналогиZ=(xy−yx){\displaystyle Z={\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}},C=(ab−ba){\displaystyle C={\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}, гдеx,y,a,b∈R{\displaystyle x,y,a,b\in \mathbb {R} };
z+c=(x+a)+i(y+b){\displaystyle z+c=(x+a)+i(y+b)}соответствуетZ+C=(x+ay+b−y−bx+a){\displaystyle Z+C={\begin{pmatrix}x+a&y+b\\-y-b&x+a\end{pmatrix}}};
zc=(xa−yb)+i(xb+ya){\displaystyle zc=(xa-yb)+i(xb+ya)}соответствуетZC=(xa−ybxb+ya−ya−xb−yb+xa){\displaystyle ZC={\begin{pmatrix}xa-yb&xb+ya\\-ya-xb&-yb+xa\end{pmatrix}}};
z¯=x−iy{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}соответствуетZT=(x−yyx){\displaystyle Z^{T}={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}};
|z|2=zz¯=x2+y2=det(Z)∈R{\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R} };
1z=z¯zz¯=x−iyx2+y2{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}}приz≠0{\displaystyle z\neq 0}соответствуетZ−1=ZTdet(Z){\displaystyle Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)}}}приdet(Z)≠0{\displaystyle \det(Z)\neq 0};
ez=ex+iy=ex(cos⁡(y)+isin⁡(y)){\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))}соответствуетex(cos⁡(y)sin⁡(y)−sin⁡(y)cos⁡(y)){\displaystyle e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix}}}.
В частности, дляE=(1001){\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}},I=(01−10){\displaystyle I={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
z=x+iy∈C{\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {C} }соответствуетZ=xE+yI{\displaystyle Z=xE+yI},
гдеI2=−E{\displaystyle I^{2}=-E}.
Замечание. Модель имеет автоморфизм(I→−I){\displaystyle (I\to -I)}, то естьZ→ZT{\displaystyle Z\to Z^{T}}
Тело кватернионовH{\displaystyle \mathbb {H} }может быть (изоморфно) промоделировано
над полемR{\displaystyle \mathbb {R} }вещественных чисел:
дляq=t+ix+jy+kz∈H{\displaystyle q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H} }матричный аналогQ=(txy−z−xt−z−y−yztxzy−xt){\displaystyle Q={\begin{pmatrix}t&x&y&-z\\-x&t&-z&-y\\-y&z&t&x\\z&y&-x&t\end{pmatrix}}}, гдеt,x,y,z∈R{\displaystyle t,x,y,z\in \mathbb {R} }.
Для того, чтобы кватернионуq=t+ix+jy+kz{\displaystyle q=t+ix+jy+kz}соответствовала матрицаQ=tE+xI+yJ+zK{\displaystyle Q=tE+xI+yJ+zK},
гдеI2=J2=K2=−E{\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=-E},IJ=−JI=K{\displaystyle IJ=-JI=K},JK=−KJ=I{\displaystyle JK=-KJ=I},KI=−IK=J{\displaystyle KI=-IK=J},
можно ввести базисные элементы
E=(1000010000100001){\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}},I=(0a00−a000000b00−b0){\displaystyle I={\begin{pmatrix}0&a&0&0\\-a&0&0&0\\0&0&0&b\\0&0&-b&0\end{pmatrix}}},J=(00c0000d−c0000−d00){\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&0&c&0\\0&0&0&d\\-c&0&0&0\\0&-d&0&0\end{pmatrix}}},K=(000ad00−ac00−bd00bc000){\displaystyle K={\begin{pmatrix}0&0&0&ad\\0&0&-ac&0\\0&-bd&0&0\\bc&0&0&0\end{pmatrix}}}.
Параметры должны удовлетворять условиям:a,b,c,d∈{−1,+1}{\displaystyle a,b,c,d\in \left\{-1,+1\right\}}иabcd=−1{\displaystyle abcd=-1}.
Существует 8 решений (8 представлений).