Teorema del emparedado

Encálculo, elteorema del emparedado​ es unteoremausado en la determinación dellímite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.
El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones decálculoyanálisismatemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable.
Fue utilizado por primera vezde forma geométricaporArquímedesyEudoxoen sus esfuerzos por calcularπ, aunque la formulación moderna fue obra deGauss.
Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite
Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.​
Este resultado es muy importante, pues permite, entre otras cosas, calcular lasderivadasde las funciones trigonométricas en un punto.​
El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:
Las funcionesg(x) yh(x) son llamadas cotas def(x), o también funciones minorante y mayorante def(x), respectivamente.
Seanf{\displaystyle f}yg{\displaystyle g}dos funciones definidas en un mismo dominio, ya{\displaystyle a}unpunto de acumulaciónen el referido dominio. Puede demostrarse el siguiente caso particular del teorema de intercalación.
El teorema aplica a funciones de varias variables, por ejemplo parafunciones escalaresde la forma
conD⊆R2{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}. Para unpunto de acumulación(a,b)∈D{\displaystyle (a,b)\in D}, el teorema se enuncia de la siguiente manera:
Seanf{\displaystyle f},g{\displaystyle g}yh{\displaystyle h}funciones definidas enD{\displaystyle D}que satisfacen
entonces
El teorema puede ser extendido también a cualquier función con dominio enRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.​
Para calcular el límite
que es una indeterminación del tipo
se siguen los siguientes pasos:​
1. Se toma la relaciónsen⁡x≤x≤tan⁡x{\displaystyle \operatorname {sen} x\leq x\leq \tan x}en el intervalo(0,π/2){\displaystyle (0,\pi /2)}, sin pérdida de generalidad.
2. Dividiendo los miembros porsen⁡x{\displaystyle \operatorname {sen} x}resulta:
3. Se sabe que
y que
4. Por el teorema de sándwich se concluye que
Un razonamiento similar permite calcular el límite doble
ya que
pero comolim(x,y)→(0,0)12|x|=0{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {1}{2}}|x|=0}ylim(x,y)→(0,0)0=0{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}0=0}entonces por el teorema del sándwich,
Existen, entre otras, versiones del teorema del emparedado parasucesionesy paraseries.​
Sean las sucesiones{an}n∈N{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}y{bn}n∈N{\displaystyle \{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}convergentes aL{\displaystyle L}y sea la sucesión{cn}n∈N{\displaystyle \{c_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}tal que existen0∈N{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }de modo quean≤cn≤bn{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}paran≥n0{\displaystyle n\geq n_{0}}. Entonces, la sucesióncn{\displaystyle c_{n}}también converge aL{\displaystyle L}.
Sean∑n∈Nan{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}y∑n∈Nbn{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}}dos series convergentes y sean0∈N{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }tal quean≤cn≤bn{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}para todon≥n0∈N{\displaystyle n\geq n_{0}\in \mathbb {N} }. Entonces, la serie∑n∈Ncn{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }c_{n}}también converge.