Numeri di Bernoulli

Inmatematica, inumeri di BernoulliBn{\displaystyle B_{n}}costituiscono una successione dinumeri razionaliche gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione ipolinomi di Bernoulliche si possono considerare una loro generalizzazione.
Questi numeri furono individuati quasi contemporaneamente ma indipendentemente daKōwa Sekinel1712e daJakob Bernoullinel1713. Bernoulli li tratta nella sua operaArs Conjectandi, in relazione con le forme chiuse per lesomme di potenze di interi successivi
per valori interi positivi fissati dim.{\displaystyle m.}
Queste forme chiuse erano state individuate già nel1631daJohann Faulhabercui Bernoulli fa riferimento. Dopo la morte di Bernoulli, nel1721Abraham de MoivreedEulerodiedero ai numeriBn{\displaystyle B_{n}}il nome con il quale sono tuttora conosciuti.
Le precedenti somme sono esprimibili per ognim{\displaystyle m}comepolinomiinn{\displaystyle n}di gradom+1.{\displaystyle m+1.}La formula rivelata e forse scopertama non dimostrata daJakob Bernoulli, scritta in notazione moderna utilizzando la notazione delfattoriale decrescente, è:
Bernoulli però nel suo trattato non considerava quelli che oggi per noi sono invece i primi due numeri della sequenza numerica che porta il suo nome per cui oggi preferiamo esprimere quella stessa formula nel seguente modo
dove si è utilizzata la varianteB1=1/2{\displaystyle B_{1}=1/2}dei numeri di Bernoulli.
I numeri di Bernoulli, nella varianteB1=−1/2{\displaystyle B_{1}=-1/2}, possono essere calcolati usando la seguenteformula di ricorrenza:
che equivale a:
da cui la forma esplicita:
Nella nota G delle Note diAda Lovelacesull'analytical enginedel1842è stato descritto per la prima volta un algoritmo per la costruzione dei numeri di Bernoulli con una macchina in grado di eseguire calcoli automatici.
L'algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoullisi basa sulla formula ricorsiva che abbiamo visto anche se per riconoscerla si deve tener conto che anche ai suoi tempi, come in quelli di Bernoulli, non erano considerati i primi due numeri della sequenza.
Si può dimostrare cheBn=0{\displaystyle B_{n}=0}per tutti glin{\displaystyle n}dispari maggiori di 1.
I primi valori diversi da 0 sono i seguenti:
I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi inserie di Taylordellatangentee dellatangente iperbolica, nellaformula di Eulero-Maclaurine nelle espressioni di certi valori dellafunzione zeta di Riemann.
I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando dellefunzioni generatriciesponenziali sviluppate inserie di Maclaurin. Per la variante della sequenza bernoulliana conB1=−1/2{\displaystyle B_{1}=-1/2}abbiamo:
mentre sommandox{\displaystyle x}ai due membri della precedente, troviamo la funzione generatrice della variante conB1=1/2{\displaystyle B_{1}=1/2}
Queste possono considerarsi uguaglianze fraserie formali di potenze; in questo caso per la convergenza della serie si chiede chex{\displaystyle x}abbiavalore assolutominore di2π{\displaystyle 2\pi }(ilraggio di convergenzadella serie stessa).
dove|An|{\displaystyle |A_{n}|}è il determinante di unamatrice di Hessenbergdi ordinen{\displaystyle n}parzialmente coincidente con iltriangolo di Tartagliai cui elementi sono definiti da
Per la dimostrazione si rimanda alla bibliografia.
Esempio: