E (ค่าคงตัว)

eเป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติมีค่าประมาณ 2.71828สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชันex{\displaystyle e^{x}}มีค่าเท่ากับความชัน(derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูปkex{\displaystyle ke^{x}}เมื่อk{\displaystyle k}เป็นค่าคงตัวใด ๆ  นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับlimn→∞(1+1n)n{\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้e{\displaystyle e}สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์นี้ :
e=∑n=0∞1n!=11+11+11⋅2+11⋅2⋅3+...{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+...}
ค่าคงที่e{\displaystyle e}สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf(x)=ex{\displaystyle f(x)=e^{x}}เรียกว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์(Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น
ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ(Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันf(x)=1x{\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับln⁡(e){\displaystyle \ln(e)}(ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1
e มักเรียกกันว่าจำนวนของออยเลอร์(Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ,ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเลออนฮาร์ด ออยเลอร์(Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่าค่าคงตัวเนเปียร์ตามจอห์น เนเปียร์(John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึมอนึ่ง ค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดยยาค็อบ แบร์นูลลี(Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น
eเป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนอดิศัยเหมือนกับค่าπ{\displaystyle \pi }โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และi{\displaystyle i}มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และมักปรากฏตัวในสมการทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์
ค่าeที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (ลำดับA001113ในOEIS)
ยาค็อพ แบร์นุลลี(Jacob Bernoulli) ค้นพบค่าe{\displaystyle e}ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:
หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้  1.5= 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25= 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)= 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้นn{\displaystyle n}ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ100%n{\textstyle {\frac {100\%}{n}}}และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน(1+1n)n{\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}}บาท
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่าe{\displaystyle e}นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงินN{\displaystyle N}บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตราR{\displaystyle R}ต่อปี จะมีเงินจำนวนNeRt{\displaystyle Ne^{Rt}}เมื่อเวลาผ่านไปt{\displaystyle t}ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)
การแจกแจงปรกติ(Normal distribution) ที่มีค่าμ= 0 และσ= 1 จะถูกเรียกว่าการแจกแจงปรกติมาตรฐาน(standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
เมื่อσ{\displaystyle \sigma }เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและμ{\displaystyle \mu }เป็นค่าเฉลี่ย
ในวิชาความน่าจะเป็น พบeในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น
pn=1−11!+12!−13!+...=∑k=0n(−1)kk!{\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}
ซึ่งเมื่อจำนวนแขกn{\displaystyle n}เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา1e{\textstyle {\frac {1}{e}}}
e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร
n!∼2πn(ne)n{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
ซึ่งแปลว่า
e=limn→∞nn!n{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่าe{\displaystyle e}คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมโดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันy=ax{\displaystyle y=a^{x}}จากนิยามของอนุพันธ์
ddxax=limh→0ax+h−axh=limh→0axah−axh=ax⋅(limh→0ah−1h){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right)\end{aligned}}}
จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับx{\displaystyle x}แต่ขึ้นกับฐานa{\displaystyle a}เพียงอย่างเดียว โดยที่e{\displaystyle e}คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า
ddxex=ex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์
ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันy=loga⁡x{\displaystyle y=\log _{a}x}จะได้
ddxloga⁡x=limh→0loga⁡(x+h)−loga⁡(x)h=limh→0loga⁡(1+h/x)x⋅h/x=1xloga⁡(limn→0(1+1n)n)=1xloga⁡e,{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{n\to 0}(1+{\frac {1}{n}})^{n}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}
โดยn=xh{\displaystyle n={\frac {x}{h}}}
ดังนั้นถ้าแทนa{\displaystyle a}เป็นe{\displaystyle e}จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น
ddxloge⁡x=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}}
ลอการิทึมฐานe{\displaystyle e}นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วยln{\displaystyle \ln }ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่าe{\displaystyle e}เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส
จากคุณสมบัติที่ln⁡x{\textstyle \ln x}มี1x{\textstyle {\frac {1}{x}}}เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยามe{\displaystyle e}อีกวิธีคือ
∫0edtt=1{\displaystyle \int _{0}^{e}{\frac {dt}{t}}=1}
e{\displaystyle e}เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัยนั่นแปลว่าe{\displaystyle e}ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่าe{\displaystyle e}เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่าe{\displaystyle e}เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้สำหรับการที่e{\displaystyle e}เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่าe{\displaystyle e}เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต
ในระบบจำนวนจริงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลex{\displaystyle e^{x}}สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น
ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+...{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}
ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของex{\displaystyle e^{x}}ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชันex{\displaystyle e^{x}}สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ
จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของsin⁡x{\displaystyle \sin x}และcos⁡x{\displaystyle \cos x}นำไปสู่สูตรของออยเลอร์eix=cos⁡x+isin⁡x{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}(ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}เป็นกรณีพิเศษที่x=π{\displaystyle x=\pi }) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์(cos⁡x+isin⁡x)n=(eix)n=einx=cos⁡nx+isin⁡nx{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=\cos {nx}+i\sin {nx}}