Определитель

Определи́тель(детермина́нт) влинейной алгебре—скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерногоевклидова пространствапосле преобразования матрицей; имеет смысл только дляквадратных матриц. Стандартные обозначения определителяматрицыA{\displaystyle A}—det(A){\displaystyle \det(A)},|A|{\displaystyle |A|},Δ(A){\displaystyle \Delta (A)}.
Определительквадратной матрицыA{\displaystyle A}размеровn×n{\displaystyle n\times n}, заданной надкоммутативным кольцомR{\displaystyle R}, является элементом кольцаR{\displaystyle R}. Эта величина определяет многие свойства матрицыA{\displaystyle A}, в частности, матрицаобратиматогда и только тогда, когда её определитель являетсяобратимым элементомкольцаR{\displaystyle R}. В случае, когдаR{\displaystyle R}—поле, определитель матрицыA{\displaystyle A}равен нулю тогда и только тогда, когдаранг матрицыA{\displaystyle A}меньшеn{\displaystyle n}, то есть когда системы строк и столбцов матрицыA{\displaystyle A}являютсялинейно зависимыми.
Теория определителей возникла в связи с задачей решениясистем линейных уравнений.
К понятию определителя близко подошли авторы древнекитайского учебника «Математика в девяти книгах».
В Европе определители матриц 2 × 2 встречаются уКарданов XVI веке.
Для старших размерностей определение детерминанта даноЛейбницемв 1693 году.
Первая публикация принадлежитКрамеру. Теория определителей созданаВандермондом,Лапласом,КошииЯкоби. Термин «определитель» в современном его значении ввёл О. Коши (1815), хотя ранее (1801) «детерминантом» К. Гаусс назвал дискриминант квадратичной формы.
Японский математикСэки Такакадзуввёл определители независимо в 1683 году.
Для квадратной матрицыA=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}размераn×n{\displaystyle n\times n}её определительdetA{\displaystyle \det A}вычисляется по формуле:
где суммирование проводится по всемперестановкамα1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}чисел1,2,…,n{\displaystyle 1,2,\dots ,n}, аN(α1,α2,…,αn){\displaystyle N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}обозначаетчисло инверсийв перестановкеα1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}.
Таким образом, в определитель входитn!{\displaystyle n!}слагаемых, которые также называют «членами определителя».
Эквивалентная формула:
где коэффициентεi1i2…in{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}—символ Леви-Чивиты— равен:
Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функцияdet:Rn×n→R{\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R} }, обладающая следующими тремя свойствами:
Для матрицы первого порядка значениедетерминантаравно единственному элементу этой матрицы:
Для матрицы2×2{\displaystyle 2\times 2}определитель вычисляется как:
Эта матрицаAможет быть рассмотрена как матрицалинейного отображения, преобразующегоединичный квадратв параллелограмм с вершинами(0, 0),(a,b),(a+c,b+d), и(c,d).
Абсолютное значениеопределителя|ad−bc|{\displaystyle |ad-bc|}равно площади этого параллелограмма, и, таким образом, отражает коэффициент, на который масштабируются площади при преобразованииA.
Значение определителя со знаком (ориентированная площадьпараллелограмма) помимо коэффициента масштабирования также показывает, выполняет ли преобразованиеAотражение.
Определитель матрицы3×3{\displaystyle 3\times 3}можно вычислить по формуле:
Для более удобного вычисления определителя третьего порядка можно воспользоватьсяправилом Саррюсаили правилом треугольника.
Определитель матрицы, составленной из векторовa,b,c{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }равен ихсмешанному произведениювправойдекартовой системе координат и, аналогично двумерному случаю, представляет собой ориентированный объём параллелепипеда, натянутого наa,b,c{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }. Геометрически определитель матрицы 3х3 означает объём параллелепипеда, построенного на векторах матрицы.
В общем случае, для матриц более высоких порядков (выше 2-го порядка)n×n{\displaystyle n\times n}определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу:
Легко доказать, что притранспонированииопределитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):
Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):
Обобщениемвышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любымk{\displaystyle k}строкам (столбцам):
Следующие свойства отражают основные результаты теории определителей, применение которых выходит далеко за пределы этой теории:
При изучении теории определителей полезно иметь в виду, что в основе этой теории лежит техника манипулирования со строками и столбцами матриц, разработаннаяК.Ф. Гауссом(преобразования Гаусса). Суть этих преобразований сводится к линейным операциям над строками (столбцами) и их перестановке. Эти преобразования достаточно простым образом отражаются на определителе, и при их изучении удобно "расчленить" исходную матрицу на строки (или столбцы) и считать определитель функцией, определённой над наборами строк (столбцов). Далее буквамиA^i{\displaystyle {\hat {A}}_{i}}обозначаются строки (столбцы) матрицыA{\displaystyle A}.
Замечание.Свойства 1-3 являются основными свойствами определителя как функции строк (столбцов), они легко доказываются непосредственно из определения. Свойство 2 (кососимметричность) является логическим следствием свойств 1 и 3. Свойство 3 является логическим следствием свойства 2, если в кольцеR{\displaystyle R}элемент 2 (т.е. 1 + 1) не совпадает с нулём и не является делителем нуля. Из свойств 1 и 3 вытекают также следующие свойства:
Фактом, имеющим фундаментальное значение, является универсальность определителя как полилинейной кососимметрической функции полного ранга, аргументами которой являются элементы конечномерного векторного пространстваV{\displaystyle V}(илиR{\displaystyle R}-модуляV{\displaystyle V}с конечным базисом). Справедлива следующая
гдеX^i{\displaystyle {\hat {X}}_{i}}— столбец координат вектораXi{\displaystyle X_{i}}относительно базисаE1,E2,…,En{\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}}.
Одним из важнейших следствий универсальности определителя является следующая теорема о мультипликативности определителя.
Пустьa→,b→,c→{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}— три вектора в пространствеR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Они порождают параллелепипед, вершины которого лежат в точках с радиус-векторами0→,a→,b→,c→,a→+b→,c→+a→,b→+c→,a→+b→+c→{\displaystyle {\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}. Этот параллелепипед может быть вырожден, если вектораa→,b→,c→{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}компланарны (лежат в одной плоскости, линейно зависимы).
Функция ориентированного объёмаVol(a→,b→,c→){\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}определяется как объём параллелепипеда, порождённого этими векторами, и взятый со знаком "+", если тройка векторов(a→,b→,c→){\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}положительно ориентирована, и со знаком "-", если она ориентирована отрицательно.
ФункцияVol(a→,b→,c→){\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}полилинейна и кососимметрична. Свойство 3, очевидно, выполнено. Для доказательства полилинейности этой функции, достаточно доказать её линейность по векторуa→{\displaystyle {\vec {a}}}. Если вектораb→,c→{\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}линейно зависимы, значениеVol(a→,b→,c→){\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}будет нулевым независимо от вектораa→{\displaystyle {\vec {a}}}, и значит, линейно зависящим от него. Если вектораb→,c→{\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}линейно независимы, обозначим черезn→{\displaystyle {\vec {n}}}вектор единичной нормали к плоскости векторовb→,c→{\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}, такой, чтоVol(n→,b→,c→)>0{\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0}. Тогда ориентированный объём параллелепипеда равен произведению площади основания, построенного на векторахb→,c→{\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}и независящего от вектораa→{\displaystyle {\vec {a}}}, и алгебраической величины проекции вектораa→{\displaystyle {\vec {a}}}на нормаль к основанию, которая равна скалярному произведению⟨a→,n→⟩{\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle }и является величиной, линейно зависящей от вектораa→{\displaystyle {\vec {a}}}. Линейность поa→{\displaystyle {\vec {a}}}доказана, и аналогично доказывается линейность по остальным аргументам.
Применяя теорему об универсальности определителя как кососимметрической полилинейной функции, получаем, что при выборе ортонормированного базиса(e→1,e→2,e→3){\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}пространстваR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
гдеai,bi,ci{\displaystyle a_{i},b_{i},c_{i}}— координаты векторов(a→,b→,c→){\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}в выбранном базисе.
Таким образом, определитель матрицы коэффициентов векторов относительно ортонормированного базиса имеет смысл ориентированного объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Всё вышесказанное без существенных изменений переносится на пространствоRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}произвольной размерности.
Формулы разложения определителя по строке/столбцу позволяют сводить вычисление определителей к рекурсивной процедуре, использующей вычисление определителей меньших порядков. Для вывода этих формул сгруппируем и просуммируем в формуле для определителя матрицыC=(cij){\displaystyle C=(c_{ij})}, с учётом равенстваεi1…in−1n=εi1…in−1{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}}, все ненулевые члены, содержащие элементcnn{\displaystyle c_{nn}}. Эта сумма равна:
гдеCij{\displaystyle C_{i}^{j}}— матрица, получаемая изC{\displaystyle C}удалением строки с номеромi{\displaystyle i}и столбца с номеромj{\displaystyle j}.
Так как произвольный элементcij{\displaystyle c_{ij}}можно(n−j){\displaystyle (n-j)}перестановками соответствующего столбца вправо и(n−i){\displaystyle (n-i)}перестановками соответствующей строки вниз переместить в правый нижний угол матрицы, причём дополнительная к нему матрица сохранит свой вид, то сумма всех членов в разложении определителя, содержащихcij{\displaystyle c_{ij}}, будет равна
ВеличинаAij=(−1)i+jdetCij{\displaystyle A_{i}^{j}=(-1)^{i+j}\det C_{i}^{j}}называется алгебраическим дополнением элемента матрицыcij{\displaystyle c_{ij}}.
Учитывая, что каждый член разложения определителя с ненулевым коэффициентом содержит ровно один элемент из i-ой строки, можно разложить определитель по членам этой строки:
Аналогично, учитывая, что каждый член разложения определителя с ненулевым коэффициентом содержит ровно один элемент из j-го столбца, можно разложить определитель по членам этого столбца:
Если элементы k-й строки матрицыC{\displaystyle C}скопировать в i-ую строку, её определитель станет равен нулю, а по формуле разложения определителя по i-ой строке получится:
Аналогично для столбцов:
Полученные формулы полезно записать в матричном виде. Введём матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицыC{\displaystyle C}:A=(Aij){\displaystyle A=(A_{i}^{j})}.
Тогда, согласно с полученными формулами,
Следствие 1 (Критерий обратимости матриц).Квадратная матрицаC{\displaystyle C}является обратимой тогда и только тогда, когдаdetC{\displaystyle \det C}— обратимый элемент кольцаR{\displaystyle R}, при этомC−1=(detC)−1⋅AT{\displaystyle C^{-1}=(\det C)^{-1}\cdot A^{T}}.
Следствие 2.Если произведение матриц равно нулюCX=0{\displaystyle CX=0}, и матрицаC{\displaystyle C}— квадратная, тогда(detC)⋅X=0{\displaystyle (\det C)\cdot X=0}.
Формула Крамера позволяет выразить решение системы линейных алгебраических уравнений в виде отношения определителей, в знаменателе которого стоит определитель системы, а в числителе — определитель матрицы системы, в которой столбец коэффициентов при соответствующей переменной заменён на столбец из правых частей уравнений.
Формула Крамера.Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в матричном виде:CX=B{\displaystyle CX=B}, гдеC=(cij){\displaystyle C=(c_{ij})}— матрица коэффициентов системы размераn×n{\displaystyle n\times n},B=(b1,b2,…,bn)T{\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})^{T}}— столбец из правых частей уравнений системы, и векторX=(x1,x2,…,xn)T{\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T}}— решение этой системы. Тогда при любыхλ1,λ2,…,λn∈R{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in R}справедливо равенство:
Из этой формулы следует, в частности, что еслиdetC{\displaystyle \det C}— не вырожден (не является нулём или делителем нуля), система может обладать не более чем одним решением, а если определитель ещё и обратим, то система обладает единственным решением.
Одной из важнейших теорем в теории определителей является следующая теорема о решениях однородной системы линейных уравнений.
Теорема.ПустьR{\displaystyle R}— поле. Однородная система линейных уравненийCX=0{\displaystyle CX=0}имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю:detC=0{\displaystyle \det C=0}.
Данная теорема используется, в частности, для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
Тесно связанными с понятием определителя является понятие линейной зависимости и полноты систем векторов в векторном пространстве.
ПустьR{\displaystyle R}— поле,V{\displaystyle V}— векторное пространство надR{\displaystyle R}с конечным базисомe1→,e2→,…,en→{\displaystyle {\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}}. Пусть задан ещё набор изn{\displaystyle n}векторовv1→,v2→,…,vn→{\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}}. Их координатамиvij{\displaystyle v_{ij}}относительно заданного базиса являются коэффициенты разложенияvi→=∑vijej→{\displaystyle {\vec {v_{i}}}=\sum v_{ij}{\vec {e_{j}}}}. Составим (квадратную) матрицуA=(vij){\displaystyle A=(v_{ij})}. Справедлива теорема:
Теорема (Критерий полноты и линейной независимости системы векторов).
Следствие.В векторном пространствеV{\displaystyle V}, обладающем конечным базисом изn{\displaystyle n}векторов:
Таким образом, размерность векторного пространстваV{\displaystyle V}с конечным базисом корректно определена.