الجسم الأسود

الجسم الأسودهو جسمٌ وهميّ مثاليّ يحقق الشرطين التاليين. يمتصُ كلالإشعاع الكهرومغناطيسي(الضوء مثلاً) الساقط عليه، ويشعإشعاع حرارييتناسبُ مع حرارته، على كاملالأطوال الموجية، لا يوجد جسم أسود مثالي لأنه لا يوجد جسم يمتص الأطوال الموجية ويشعها دون فقد في الطاقة وما نحو ذلك.الإشعاع الصادر عنه يكون بشكل متواحد الخواص (متساوي في كل الاتجاهات).
و بناءً على ذلك، الجسم الأسود هو أفضل ماصّ وباعث للإشعاع، وهو ما يسمى بِباعث انتشاريّ.
و قد سميّ جسمًا «أسودًا» لأن اللون الأسود هو اللون الذي يمتصُ كل الضوء الساقطِ عليه ولا يعكس منه شيئاً.
جسم أسود في حالةتوازن حراري(أي حرارته ثابتة) يُشِعّ إشعاع كهرومغناطيسي يسمى إشعاع الجسم الأسود. ولِكون هذا الجسم مثالياً، فهذا الإشعاع هو أكبر طاقة يمكن ان يشعُها أي جسم بنفس درجة الحرارة.يحكم هذا الإشعاعقانون بلانكالذي ينُصّ على أن حرارة الجسم هي العامل الوحيد المُحدِد لكمية الطاقة المنبعثة عند طول موجيّ معين.
يبين الشكل على اليسار عدةاطيافاجسام سوداء بدرجات حرارة مختلفة. تُلاحظ أنه كلما قلت الحرارة تنزاح القمة باتجاه الأطوال الموجية الأطول، أي باتجاه اللون الأحمر في نطاقالضوء المرئي. فعند حرارة 3000K يكون أكبر قدر للطاقة المنبعثة داخل النطاق المرئي عند الطول الموجيّ الذي يمثل اللون الأحمر. لهذا، عند تسخين الحديد يبدأ أولاً بالتحول للّون الأحمر. ثم إن تم تسخينه أكثر فأكثر يبدأ الأشعاع الحراري المنبعث منه يعطي أكبر قدر طاقة منبعثة (متمثل بقمة المنحنى) عند الطول الموجيّ الذي يمثل اللون الاصفر.
تمثيل واقعي قريب لهذا الجسم المثاليّ هو تجويف كبير نسبياً بجدران مُكمَّدة (قاتمة السواد) وفي أحدها ثقب صغير جداً. يدخل الضوء من هذا الثقب إلى التجويف وينعكس ويتشتت (و بالتالي يمتصه جسم هذا التجويف) داخل هذا الحيز الواسع، ولصغر الثقب يكون من غير المحتمل أن يخرج الضوء إلى الخارج.
يصف هذا الجزء المفاهيم التي تطورت اتصالًا بالأجسام السوداء.
يُستخدم الثقب الصغير في تجويف به جدران معتمة للإشعاع بصورة شائعة كنموذج على السطح الأسود. أي حادثة للإشعاع على الثقب ستمر خلال التجويف، ومن النادر أن يُعاد إشعاعها إذا كان التجويف كبيرًا. ليس الثقب سطحًا أسود كاملًا، بالتحديد إذا كان الطول الموجي للإشعاع الحادث أطول من قطر الثقب، سينعكس بعضها. وبصورة مشابهة، في التوازن الحراري المثالي، لن يكون للإشعاع داخل تجويف متناهي الحجم طيف بلانك مثالي للأطوال الموجية مقارنة بالتجويف أو أكبر منه.
افترض أن التجويف بدرجة حرارة ثابتة هي [T] والإشعاع محصور بالداخل بتوازن حراري مع التطويق. سيسمح الثقب داخل التطويق بهروب بعض الإشعاع. إذا كان الثقب صغيرًا، سيكون تأثير الإشعاع الذي يمر داخل وخارج الثقب مهملًا على توازن الإشعاع داخل التجويف. ستقترب تلك الأشعة الهاربة من إشعاع الجسم الأسود الذي يظهر توزيعًا للطاقة مميزًا للحرارة [T] ولا يعتمد على خصائص التجويف أو الثقب، على الأقل بالنسبة للأطوال الموجية الأصغر من حجم الثقب.
عند أي وقت معطى، ربما لن يكون الإشعاع في التجويف في حالة توازن حراري، ولكنالقانون الثاني للديناميكا الحراريةينص على أنه إذا تُرك دون مقاطعة سوف يصل للتوازن في النهاية، بالرغم من طول الوقت الذي يتطلبه فعل ذلك. نصل للتوازن بالامتصاص المستمر والانبعاث للإشعاع بواسطة مادة في التجويف أو في جدرانه. سيكتسب الإشعاع الداخل للتجويف حرارة بهذه الآلية: سيُعاد توزيع الطاقة حتى تحقق الفوتونات المتفرقة توزيع بلانك. الوقت المأخوذ للتسخين أسرع بوجود المادة المكثفة أكثر من المادة المخلخلة مثل الغاز المخفف. عند درجات حرارة أقل من بلايين الكيلفن، تكون تفاعلات الفوتون-فوتون المباشرة مهملة مقارنة بالتفاعلات مع المادة. الفوتونات هي مثال على غازالبوزونالمتفاعل، وموصوف بمبرهنة إتش، تحت الظروف العامة سيصل أي غاز بوزون متفاعل إلى التوازن الحراري.
يتميز سلوك الجسم بالنسبة للإشعاع الحراري بالانتشار τ والامتصاص α والانعكاس ρ.
تشكل حدود الجسم سطحًا مع المحيط بها، وربما يكون هذا السطح خشنًا أو ناعمًا. يجب أن يكون السطح غير العاكس الذي يفصل المناطق التي لهامعاملات انكسارمختلفة خشنًا، لأن قوانين الانعكاس والانكسار محكومة بمعادلات فرينل حيث يتطلب السطح الناعم شعاعًا منعكسًا عندما تختلف معاملات الانكسار للمادة والمحيط بها.تُعطى بعض الأنواع المتصورة من السلوك أسماء محددة:
الجسم المعتم هو الذي لا ينبعث منه إشعاعًا من الذي يصل إليه، بالرغم من انعكاس جزء منه. وهو ما يعني أن: τ=0 and α+ρ=1
الجسم الشفاف هو الجسم الذي ينبعث منه كل الإشعاع الذي يصل إليه. مما يعني أن: τ=1 and α=ρ=0
الجسم الرمادي هو الذي يتساوى فيه كل من الانتشار τ والامتصاص α والانعكاس ρ لكل الأطوال الموجية. يُستخدم هذا المصطلح أيضًا ليعني جسمًا يكون فيه الامتصاص غير معتمد على الطول الموجي ودرجة الحرارة.
الجسم الأبيض هو الذي ينعكس عليه كل الإشعاع الحادث بصورة متساوية في كل الاتجاهات: τ=0، α=0، ρ=1.
بالنسبة للجسم الأسود، τ=0، α=1 و ρ=0. يوفر بلانك نموذجًا نظريًّا للأجسام السوداء المثالية، والتي لاحظ أنها لا توجد في الطبيعة: بجانب الداخل المعتم، فإن لها أسطحًا مشعة وغير عاكسة.
قدم كيرشوف في عام 1860 المفهوم النظري للجسم الأسود المثالي، بطبقة سطح ماص مثالي لديه سمك متناهي الصغر، لكن بلانك لاحظ بعض القيود الشديدة على هذه الفكرة. لاحظ بلانك ثلاث متطلبات للجسم الأسود: يجب أن يكون الجسم الأسود (1) يسمح بدخول الإشعاع ولا يعكسه، (2) لديه الحد الأدنى من السُمك المناسب لامتصاص الأشعة الحادثة ومنع إعادة الانبعاث، (3) يناسب الحدود القصوى للتبعثرلمنع الإشعاع من الدخول ثم الخروج. ونتيجة لذلك، لا يمكن أن تتحقق أجسام كيرشوف السوداء المثالية والتي تمتص كل الإشعاع الساقط عليها، بوجود ظروف تبعثر الضوء خلال الجسم الأسود والتي يصعب تحقيقها.
تلك الأمثلة توضح التحقق الواقعي والتجسد في العالم الواقعي للجسم الأسود.
في عام 1898، نشر أوتو لومار وفيردناند كورلباوم موجزًا عن مصدر إشعاع تجويفهم. استُخدم تصميمهم بصورة واسعة لقياس الإشعاع حتى هذا اليوم. كان الثقب في جدار صندوق البلاتينيوم، مقسمًا إلى حواجز، وداخله مطلي بأكسيد الحديد. كان مكونًا مهمًا للقياسات المحسنة والتي أدت إلى اكتشاف قانون بلانك. وصفت نسخة منه عام 1901 وكان داخلها مسودًا بمزيج من أكاسيدالنيكلوالكروموالكوبلت.
يتزايد الاهتمام بالأجسام شبه السوداء من أجل استخدامها في التمويه والمواد الماصة للرادار من أجل التخفي. كما أن لها تطبيقات كمجمعات للطاقة الشمسية، ومستشعرات للحرارة تحت الحمراء. وكباعث مثالي للإشعاع، يمكن للمادة الساخنة بسلوك الجسم الأسود أن تخلق سخانًا للأشعة تحت الحمراء كفء، خاصة في الفضاء أو الفراغ عندما يكون التسخين العادي غير متوفر. كما أنها كانت مفيدة في التيليسكوب والكاميرا كسطح مضاد للانعكاس لتقليل الضوء الضال وتجميع المعلومات حول الأجسام في المناطق عالية التباين (على سبيل المثال، ملاحظة الكواكب في مداراتها حول النجوم)، حيث تمتص المواد الشبيهة بالأجسام السوداء الضوء وتأتي من مصادر خاطئة.
كما أنه كان من المعروف أن غطاء أسود الكربون سوف يجعل الجسم أسود تقريبًا. وجد تحسينًا في أسود الكربون في الأنابيب النانوية الكربونية المصنعة. يمكن أن تحقق المواد نانوية الثقوب معاملات انكسار قريبة من الفراغ، فتحصل على متوسط انعكاس 0.045%. في عام 2009، صنع فريق من العلماء اليابانيين مادة تسمى أسود النانو وهو قريب من الجسم الأسود المثالي، بناءً علىأنابيب نانوية كربونيةوحيدة الجدار. يمتص ذلك نحو 98% و99% من الضوء في المدى الطيفي من الأشعة فوق البنفسجية حتىالأشعة تحت الحمراء.
يُعتبر الأسود الفائق من الأمثلة الأخرى للمواد السوداء المثالية، المجهزة بالنقش الكيميائي لسبيكة النيكل والفسفور، وصفوف الأنانيب الكربونية السوداء المرتبة عموديا، كلاهما يمتص 99.9% من الضوء أو يزيد عن ذلك.
يُمثل النجم أو الكوكب نموذجًا للجسم الأسود، ينبعثالطيف الكهرومغناطيسيلهذه الأجسام على هيئة إشعاع الجسم الأسود. تظهر الصورة مخططًا لقطاع عرضي لتوضيح الفكرة. يُمثلالغلاف الضوئيللنجم، حيث يشع الضوء، كطبقة تتفاعل خلالها الفوتونات مع المادة الموجودة في الغلاف الضوئي وتحقق درجة الحرارة الشائعة [T] التي يُحافظ عليها خلال فترة من الزمن. تهرب بعض الفوتونات وتُبعث للفضاء، لكن الطاقة التي تحملها تُستبدل بطاقة خلال النجم، وبالتالي تكون درجة الحرارة للغلاف الضوئي ثابتة تقريبًا. تؤدي التغيرات في اللب إلى تغيرات في إمداد الطاقة للغلاف الضوئي، لكن مثل هذه التغيرات بطيئة على مقياس الزمن. بافتراض أن هذه الظروف يمكن تحقيقها، فإن الطبقة الخارجية للنجم تتناظر مع مثال التجويف بثقب، حيث يستبدل الثقب الانتشار المحدود للفضاء خارج الغلاف الضوئي. وبهذه الافتراضات، يشع النجم إشعاع الجسم الأسود بدرجة حرارة الغلاف الضوئي.
أثبت الفيزيائيون أنه توجد علاقة بين طاقة الشعاع وطول موجته. فإذا رمزنالطول الموجةشعاع ب (λ{\displaystyle \lambda }) فإن الطاقة المقترنة بها E (طاقة الشعاع) تعطى بالعلاقة:
E =hf
حيث h ثابت طبيعي يسمىثابت بلانك،
و cسرعة الضوء في الفراغ(وهي أيضا ثابت طبيعي).
كما أن الطاقة ترتبط مع التردد بالعلاقة التالية:
E=h.v{\displaystyle E=h.v}
حيث f التردد.
كما يرتبط ترددموجة كهرومغناطيسيةبطول موجتها بالعلاقة (المعروفة عنالصوت):
λ{\displaystyle \lambda }.f= c
حيث c سرعة الضوء في الفراغ.
علاقة بلانك المذكورة أعلاه تعطينا العلاقة بين طاقة الشعاع وتردده:
E = hν{\displaystyle \nu }
حيثν{\displaystyle \nu }التردد، وhثابت بلانك.
نريد بواسطة تلك المعادلة حساب طاقة شعاع من وسط قمة منحنى بلانك لأشعة الشمس وليكن شعاع ذو طول موجة 500 نانو متر (انظر توزيع بلانك للشمس أسفله (الرسم البياني الإيطالي)).
حساب طول الموجة بالمتر = 500. 10متر
ونحسبترددالشعاع من العلاقة:
ثابت بلانك = 6,6. 10جول. ثانية
يستعمل الفيزيائيون في هذه الحالة ثابت بلانك كوحدة (الإلكترون فولت. ثانية) لتسهيل الحساب، حيث أن المقدار (بالجول.ثانية) صغير جدا.
نعوض الآن في معادلة بلانك، فنحصل على:
أي أن شعاع الطيف ذو طول الموجة 500 نانومتر له طاقة 3و2 إلكترون فولت.
وكان العالم كيرشوف قد بين من اعتباراتالديناميكا الحراريةأنه بالنسبة لأي طول موجة تكون النسبة بين معدل إصدار سطح مادة ما ومعدل الإصدار من سطح الجسم الأسود تساوي عامل الامتصاص لهذه المادة عند هذا الطول الموجي. وهذا ما جعل سطح الجسم الأسود مصدرا عياريا ملائما للإشعاع وامتصاص الأشعة الحرارية. وسوف نقتصر على دراسة إشعاع الجسم الأسود، وذلك بتخيل أن شعاعا ذو طول موجة معين دخل من ثقب في جدار فقاعة في مادة صلبة سوداء، فإنه سينعكس عدة مرات على جدران الفقاعة الداخلية، حتى يصل إلى حالة التوازن الحراري. وحالة التوازن الحراري هذه تتسم بأن كل ذرة من الذرات المكونة للجدران تصدر طيفا منالإشعاعات الكهرومغناطيسيةبنفس القدر الذي تمتصه من إشعاعات الذرات الأخرى. فيملأ طيف الإشعاع الكهرومغناطيسي الفقاعة ويصل إلى حالة التوازن. أي أن في حالة التوازن الحراري داخل الفقاعة يكون مقدار الطاقة الذي تـُصدره الذرات في وحدة الزمن مساويا مقدار الطاقة الذي تمتصه. وتصبح كثافة طاقة الطيف الكهرمغاطيسي في الفقاعة ثابتة.
وكانت التجارب قد بينت أن للإشعاع الكهرمغناطيسي المحتجز داخل الفقاعة (وبالمثل للإشعاع الصادر من الجسم الأسود) وهو في حالة التوازن الحراري، يكون له توزيعا للطاقة محددا تماما يعتمد على درجة حرارته (انظر الشكل). وينتمي لكل تواترν{\displaystyle \nu }(أو طول موجةλ{\displaystyle \lambda }) كثافة طاقة محددة، لا تعتمد إلا على درجة حرارة الجسم ولا علاقة لها بمادة هذا الجسم.
ويبين الشكل البياني أعلاه توزيع طول موجة الإشعاع الصادر من الجسم الأسود وشدة الإشعاع، وعلاقتهما بدرجة حرارة الجسم الأسود. ونرى أن النهاية العظمى للمنحني تزيد وتنزاح في اتجاه طول موجة أقصر كلما ارتفعت درجة حرارة الجسم.
وقد أدت مسألة إيجاد الآلية التي تجعل طاقة إصدار الذرات للإشعاع الحراري موزعة على مختلف التواترات كما يشاهد تجريبيا إلى ولادةفيزياء الكم. ذلك أن كل المحاولات التي جرت في نهاية القرن التاسع عشر لتفسير هذا التوزيع الطاقي بالاستناد إلى المفاهيم الكلاسيكية بالاستعانةبالديناميكاالحراريةوقوانينالكهرومغناطيسية التيكانت سائدة في ذلك الوقت باءت بالفشل (قارن منحنى العلاقة الكلاسيكيه بالرسم).
يبين الشكل المقابل (الإيطالي) طيف الشمس الذي التقطه أحد الأقمار الصناعية (باللون الأصفر) وهو ينطبق انطباقا جيدا على منحني بلانك من أول الطيف إلى آخره، وكلاهما يبين قمة للإشعاع بين موجة طولها 750 نانومتر ونحو 370 نانومتر، وهذا هو حيز الضوء المرئي. وتجري المقارنة في نفس الوقت بطيف الشمس الملتقط على سطح الأرض (باللون الأحمر)، ولايزال التطابق جيدا بينهم مع الفارق أن طيف الأرض يتعرض عند بعض أطوال موجة أشعته للامتصاص في جو الأرض، الشيء الذي يترك فيه بعض الفجوات وهي ناشئة في معظمها عن امتصاص بخار الجو لتلك الأشعة. كما نلاحظ أن الطيف الحراري للشمس ينتهي تقريبا عند طول موجة قدرها نحو 170 نانومنتر وهو تقريبا نهايةالأشعة فوق البنفسجية.
في مجال الإشعاع الحراري عمل كثير من العلماء في الشرق والغرب لاستنباط القوانين المتحكمة في إصدار الحرارة من الأجسام، وقد اتضح أنها تصدرها بواسطةأشعة كهرومغناطيسيةمثلالضوء المرئيومثلوالأشعة تحت الحمراءوالموجةميكروية. وتوصلوا إلى القوانين التالية التي تصفها:
ينص قانون ستيفان بولتزمان على أن الطاقة الكاملة المنبعثة من الجسم الأسودواطفي الثانية لكل وحدة مساحة تتناسب مع القوة الرابعة لدرجة حرارة الجسمكلفن.
E(T) =σ{\displaystyle \sigma }. T
اعتبر العالمان رايلي وجينز في أوائل القرن العشرين أن الجسم الأسود مكون من عدد كبير من المتذبذبات المشحونة التي تتحركحركة توافقية بسيطةSimple Harmonic Motion وهذه المتذبذبات المشحونة تطلق أشعة كهرومغناطيسية أثناء حركتها بحيث تكون كثافة توزيع الطاقة المنبعثة من الجسم الأسود مساوية لكثافة الطاقة للمتذبذبات عند الإتزان الحراري. وقد وضع العالمان بناء على هذه الفرضية طبقاًللديناميكا الحراريةالمعادلة التي تعطي عدد المتذبذبات لكل وحدة حجوم المسئولة عن كثافة الإشعاع عند طول موجي معينλ{\displaystyle \lambda }، حيث أن:
حيثcسرعة الضوء في الفراغ
والمعادلة الخاصة بالترددν{\displaystyle \nu }هي:
وكما نرى في الشكل المقابل أن هذه الفرضية لرايلي وجينز فشلت في تفسير طيف الجسم الأسود، فبينما تنطبق مع القياسات الأطوال موجة طويلة (تردد منخفض)، لكنها تنحرف عن القياسات للموجات القصيرة (الترددات العالية).
أي أن تطبيقالميكانيكا الإحصائيةالكلا سيكية أدى إلى هذه النتيجة الغريبة، ودعيت هذه المشكلة وقتهابالكارثة فوق البنفسجية.
حيث:
نلاحظ أن كل فقرة تردد بين v وv+dv لها قيمة لمقدار الطاقة الصادرة وتمثل نقطة على منحني بلانك.
في عام 1900 قام العالم الألماني بلانك Planck بدراسة توزيع إشعاع الجسم الأسود وافترض أن الذرات في الفقاعة التي تمثل الجسم الأسود، تسلك سلوك هزازات توافقية وأن كلا منها تهتز بتواتر معين، وفي حالة الاتزان الحراري تمتص أو تصدركممن طاقة الإشعاع متناسبا مع تواتر اهتزازها. أي أن يكون هناك حد أدنى للطاقة مقدارة h كثابت طبيعي لا ينقسم ووحدتهجول.ثانيةوهذا جديد على النظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية التي تتيح تغير الطاقة تغيرا مستمرا من دون أحدود للانقسام. وحصل نتيجة ذلك على قانونه الموصوف أعلاه (قانون بلانك للإشعاع)الذي يتفق تماما مع القياسات المعملية. عند مقارنة منحني بلانك في الشكل المجاور مع الطاقة الصادرة من الشمس (المقاسة فوق الغلاف الجوي للأرض) نجد أنطباقا جيدا بينهما.
بذلك توصل بلاك إلى الثابت الطبيعي h المسمى باسمه، وهو يعطي العلاقة بين طاقة الشعاع الكهرونغناطيسي E وطول موجتهλ{\displaystyle \lambda }:
حيث h ثابتة بلانك وc سرعة الضوء في الفراغ.
لجأ بلانك لإعطاء علاقته السابقة أساسا فيزيائيا نظريا إلى الطرق الإحصائية لحساب الأنطروبية، ولجأ إلى حساب عدد الطرق الممكنة التي يمكن أن تتوزع بها كمية معينة من الطاقة على عدد معين من الهزازات في الفقاعة (الجسم الأسود). ووجد أنه لو عوملت الطاقة على أنها مقدار مستمر (كما هو متعارف عليه) لكان عدد هذه الطرق لانهائيا. لذلك قسم بلانك، لتسهيل عملية عد هذه الطرق، طاقة الهزازات الكلية إلى «عناصر» مقدار كل منها:
E=n.h.ν{\displaystyle E=n.h.\nu \,}
وسميت تلك «العناصر» فيما بعدكمّاتquanta (مفردها كم quantum)، ووجد أنه يمكن بواسطة تلك العلاقة التوفيق بين النظرية والقياسات إذا كانت n أعدادا صحيحية... 3، 2، n = 1.
تبين بذلك أن الطاقة لها وحدة كثابت طبيعي لا ينقسم. وكان ذلك طفرة كبرى في عالم الفيزياء وفهم جديد أوسع لطبيعة الكون. وفتحت الطريق عام 1900لنظرية الكم، التي استطاعت في الأعوام 1923 - 1930 تفسير تركيب الذرة وتوزيع الإلكترونات فيها، ولا زالتميكانيكا الكمالمبنية على نظرية الكم لماكس بلانك تحقق نجاحات كبيرة في عالم الفزياء حتى اليوم. والمعضلة التي لا زالت تحير العلماء هو الربط بين ميكانيكا الكم وظاهرةالجاذبيةفي نظرية موحدة. فميكانيكا الكم تصف بوضوح كامل عالمالذرةوالجزيئاتوالأجسام دون الذرة، والجاذبية تحكم حركة الأجرام الكبيرةالشمسوالقمروالأرض.
قانون فين للإزاحةيقول أن طول موجة العظمي لإشعاع الجسم الأسود تتناسب تناسبا عكسيا مع درجة حرارته:
حيث:
وهو يساوي = 10. 2.897786 (كلفن. متر)
توصل العالم الألماني (فين)إلى معادلته عن الانزياح عام 1893 عن طريق تطبيقالديناميكا الحراريةعلىالإشعاع الكهرومغناطيسي. وتوجد طريقة جديدة نتبعها الآن للحصول عليها عن طريق قانون بلانك للجسم الأسود:
وطبقا ً لقانون بلانك، يمثل طيف الجسم الأسود بالمعادلة :
ونريد الحصول على هذة الدالة عندما تكونλ{\displaystyle \lambda }نهاية عظمى. لهذا فإننا نفاضل المعادلةu(λ,T){\displaystyle u(\lambda ,T)}بالنسبة لλ{\displaystyle \lambda }ونساويها بالصفر. فنحصل على:
وإذا وضعنا:
فنحض على المعادلة التالية:
هذه المعادلة ليس لها حل. ولكننا نستطيع الحصول على قيمة x بحساب المعادلة لقيم مختلفة ل x حتى نصل إلى النتيجة.
وبوضعناλ{\displaystyle \lambda }بوحدة النانومتر، ودرجة الحرارة (كلفن) نحصل على معادلة فين :
إذا ما اعتبرنا أن الكوكب يتبع سلوك الجسم الأسود فإن بالإمكان استخلاص العلاقة التي تربط بين مصدر الإشعاع (النجم مثلا) وبين مصدر استلام الإشعاع الحراري وعكسه (الكوكب مثلا) بتطبيق معادلاتالتوازن الحراري.
تعتمد درجة حرارة الكوكب على العوامل الآتية:
من قانون ستيفان-بولتزمان نجد أن القدرة التي تشعها الشمس بوحدات الطاقة لكل ثانية هي:
حيث
تشع الشمس طاقتها بشكل متماثل في جميع الاتجاهات. ويكون نصيب الأرض من هذه الطاقة المنبعثه هو جزء ضئيل يكافئ المساحة المقطعية للأرض (مساحة دائرة قطرها هو قطر الأرض مع الغلاف الجوي) نسبة للمساحة السطحية للكرة المحيطة بالشمس والتي تقع عليها الأرض:
حيث
نظرا لحرارة الشمس المرتفعة فإنها تشع أكبر قدر من الطاقة في نطاقالأشعة فوق البنفسجية. تعكس الأرض جزءا من هذا الإشعاع مقدارهα{\displaystyle \alpha }حيث أنα{\displaystyle \alpha }تمثل البياض أو الانعكاس عند الأشعة فوق البنفسجية. بتعبير آخر تمتص الأرض1−α{\displaystyle 1-\alpha }من ضوء الشمس وتعكس الباقي. تكون القدرة الممتصة من الأرض وغلافها الجوي:
بالرغم من أن الأرض تمتص قدرا من الإشعاع يكافئ مساحة دائرةπR2{\displaystyle \pi R^{2}}، إلا أنها تشع طاقتها بشكل متماثل كالشمس في جميع الاتجاهات أي على صورة سطح كروي. إذا كانت الأرض جسما أسودا مثاليا فإن قدرتها المشعة تكون:
حيثTE{\displaystyle T_{E}}درجة حرارة الأرض. ولما كانت درجة حرارة الأرض أقل بكثير من تلك على سطح الشمس فإنها تشع أغلب طاقتها في نطاق الأشعة تحت الحمراء،ϵ¯{\displaystyle {\overline {\epsilon }}}حيثϵ¯{\displaystyle {\overline {\epsilon }}}تمثل متوسط الانبعاثية للأشعة تحت الحمراء. بالتالي تكون الحرارة المنبعثة من الأرض والغلاف الجوي هي:
على افتراض أن الأرض والشمس في حالة اتزان حراري فإن الحراة الممتصة بواسطة الأرض تساوي الحرارة المنبعثة من الأرض:
بالتعويض والتبسيط نحصل على:
بعبارة أخرى واعتمادا على الافتراضات السابقة فإن درجة حرارة الأرض تتأثر فقط بكل من درجة حرارة سطح الشمس، نصف قطر الشمس، بعدها عن الشمس، بياض سطح الأرض ومقدار الانبعاثية الأرضية للأشعة تحت الحمراء.
إذا طبقنا العلاقة السابقة على الشمس والأرض:
وبجعل متوسط الانبعاثية مساويا للواحد، يمكن إيجاد الحرارة الفعالة للأرض مساوية:
هذه هي الحرارة التي يفترض أن تكون الأرض عليها إذا كانت تخضع لقانون الجسم الأسود المثالي التي تحدد ترددات الموجات الكهرومغناطيسية الي يشعها - حيث يختلف إشعاع أي جسم غير مثالي قليلا - حتى جسم الإنسان يشع تلك الأشعة الحرارية .
عند مقارنة درجة الحرارة الفعالة الناتجة من العلاقات السابقة بما هي عليه الأرض فعلا لوجدنا أن درجة حرارة الأرض أكثر بحوالى 33 درجة (متوسط درجة حرارة سطح الأرض حوالى 15 درجة مئوية). السبب في هذا الاختلاف يعود إلىتأثير الصوبةأو الغازات الدفيئة والتي تعمل على حبس الحرارة على الأرض، مخلة بذلك بقانون التوازن الحراري.