Рациональное число

Рациона́льное число́(отлат.ratio«отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в видеобыкновенной дробиmn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, гдеm{\displaystyle m}—целое число, аn{\displaystyle n}—натуральное. Пример:23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}, гдеm=2{\displaystyle m=2}, аn=3{\displaystyle n=3}.
Целые числа также могут быть записаны в виде дроби, например:
Поэтому целые числа также являются рациональными. Таким образом, множество рациональных чисел представляет собой расширение множества целых чисел путём добавления к ним дробей.
Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые величины (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что целых чисел недостаточно и необходимо ввести понятие доли: половины, трети, четверти и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например,шумеры,древние египтянеигреки.
Множество рациональных чисел обозначаетсяQ{\displaystyle \mathbb {Q} }(отлат.quotient, «частное») и может быть записано в таком виде:
При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например,34{\displaystyle {\frac {3}{4}}}и912{\displaystyle {\frac {9}{12}}}, (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на ихнаибольший общий делительможно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множественесократимыхдробей совзаимно простымицелым числителем и натуральным знаменателем:
Здесьgcd(m,n){\displaystyle \gcd(m,n)}—наибольший общий делительчиселm{\displaystyle m}иn{\displaystyle n}.
Множество рациональных чисел является естественным обобщением множествацелых чисел. Легко видеть, что если у рационального числаa=mn{\displaystyle a={\frac {m}{n}}}знаменательn=1{\displaystyle n=1}, тоa=m{\displaystyle a=m}является целым числом.
Множество рациональных чисел располагаетсявсюду плотноначисловой оси: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеетсчётную мощность(то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времёндревних грековизвестно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали в частности, что2{\displaystyle {\sqrt {2}}}не рациональное число. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятиювещественного числа. В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствуетодномерному пространству), множество рациональных чиселимеет меру нуль.
Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар{(m,n)∣m,n∈Z,n≠0}{\displaystyle \left\{(m,\;n)\mid m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}поотношению эквивалентности(m,n)∼(m′,n′){\displaystyle (m,\;n)\sim (m',\;n')}, еслиm⋅n′=m′⋅n{\displaystyle m\cdot n'=m'\cdot n}. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:
Из определения видно, что никакие операции сложения или умножения не приводят к появлению пары вида(m,0).{\displaystyle (m,0).}
Правильнойназывается дробь, у котороймодульчислителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшиеединицы. Дробь, не являющаяся правильной, называетсянеправильнойи представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.
Неправильную дробь можно представить в видесуммыцелого числа и правильной дроби, называемойсмешанным числом. Например,237=2+37=147+37=177{\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}. Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарнойарифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.
Высота обыкновенной дроби— это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби.Высота рационального числа— это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, чтобы узнать высоту дроби−156{\displaystyle -{\frac {15}{6}}}, нужно сначала из неё получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так:−52{\displaystyle -{\frac {5}{2}}}. Потом нужно сложить модуль числителя и знаменатель:5+2=7{\displaystyle 5+2=7}. Значит высота дроби−156{\displaystyle -{\frac {15}{6}}}равна7{\displaystyle 7}.
Терминдробное число (дробь)иногдаиспользуется как синоним к терминурациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.
Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основнымсвойствам, которые легко могут быть получены из свойствцелых чисел.
Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.
Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найтимощностьих множества. Легко доказать, что множество рациональных чиселсчётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливаетбиекциюмежду множествами рациональных и натуральных чисел.
Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждойi{\displaystyle i}-ой строке в каждомj{\displaystyle j}-ом столбце которой располагается дробьij{\displaystyle {\frac {i}{j}}}. Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются(i,j){\displaystyle \left(i,j\right)}, гдеi{\displaystyle i}— номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, аj{\displaystyle j}— номер столбца.
Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.
Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.
В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. То есть дроби1/1{\displaystyle 1/1}ставится в соответствие число 1, дроби2/1{\displaystyle 2/1}— число 2, и т. д. Нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единиценаибольшего общего делителячислителя и знаменателя дроби.
Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чиселQ+{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}}счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Таким образом множество отрицательных рациональных чиселQ−{\displaystyle \mathbb {Q} _{-}}тоже счётно. Их объединениеQ+∪Q−{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}\cup \mathbb {Q} _{-}}также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чиселQ=Q+∪Q−∪{0}{\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Q} _{+}\cup \mathbb {Q} _{-}\cup \left\{0\right\}}тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.
Существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, воспользовавшись такими структурами какдерево Калкина — Уилфа,дерево Штерна — Брокоилиряд Фарея.
Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, так как на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел (ведь между любыми двумя натуральными числами находится бесконечное множество рациональных). На самом деле это не так, и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.
Вгеометрииследствием так называемойаксиомы Архимеда(в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида1/n{\displaystyle 1/n}. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрическиерасстояния. Легко показать, что это не верно.
Изтеоремы Пифагораизвестно, чтогипотенузапрямоугольноготреугольникавыражается какквадратный кореньсуммыквадратовегокатетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна2{\displaystyle {\sqrt {2}}}, то есть числу, квадрат которого равен 2.
Если допустить, что число2{\displaystyle {\sqrt {2}}}представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое числоm{\displaystyle m}и такое натуральное числоn{\displaystyle n}, что2=mn{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}, причём дробьmn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}несократима, то есть числаm{\displaystyle m}иn{\displaystyle n}—взаимно простые.
Если2=mn{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}, то2=2⋅2=mn⋅mn=m2n2{\displaystyle 2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {m}{n}}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}}, то естьm2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}}. Следовательно, числоm2{\displaystyle m^{2}}чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само числоm{\displaystyle m}также чётно. А значит найдётся натуральное числоk{\displaystyle k}, такое что числоm{\displaystyle m}можно представить в видеm=2k{\displaystyle m=2k}. Квадрат числаm{\displaystyle m}в этом смыслеm2=4k2{\displaystyle m^{2}=4k^{2}}, но с другой стороныm2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}}, значит4k2=2n2{\displaystyle 4k^{2}=2n^{2}}, илиn2=2k2{\displaystyle n^{2}=2k^{2}}. Как уже показано ранее для числаm{\displaystyle m}, это значит, что числоn{\displaystyle n}— чётно, как иm{\displaystyle m}. Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся на2. Полученное противоречие доказывает, что2{\displaystyle {\sqrt {2}}}не есть рациональное число.
Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и начисловой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел довещественных.