Syllogisme

Enlogique, lesyllogismeest unraisonnement logiquemettant en relation au moins troispropositions: deux ou plus d'entre elles, appelées «prémisses», conduisent à une «conclusion».Aristotea été le premier à le formaliser dans sonOrganon. Ces propositions sont généralement exprimées avec uniquement desprédicatsunaireset relèvent donc de lalogique monadique du premier ordre.
Un exemple très connu de syllogisme est : « Tous les hommes sont mortels, orSocrateest un homme ; donc Socrate est mortel » : les deuxprémisses(dites « majeure » et « mineure ») sont des propositions données et supposées vraies, le syllogisme permettant d'établir lavaliditéformelle de la conclusion, qui est nécessairementvraiesi les prémisses sont vraies.
La science des syllogismes est la syllogistique, à laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de lascolastiqueauMoyen Âge, commeAl-Fârâbî,Avicenne, puisAntoine Arnauld,Gottfried Wilhelm Leibniz,Emmanuel Kant,Georg Wilhelm Friedrich HegeletÉmile Durkheim. Elle est l'ancêtre de lalogique mathématiquemoderne et a été enseignée jusqu'à la fin duXIXsiècle.
Syllogisme est emprunté au grecσυλλογισμός, composé deσύν(syn, « avec ») etλόγος(logos, « parole », « discours », « fable », « bruit », « lettres »).
Le sens delogosà utiliser est tout simplement parole (désignant ici une proposition). Syllogisme signifie donc littéralement« parole (qui va) avec (une autre) ».
Définition du syllogisme selonAristote:« Il me semble que cette définition pourrait être ainsi traduite : Le syllogisme est un raisonnement où, certaines choses étant prouvées, une chose autre que celles qui ont été accordées se déduit nécessairement des choses qui ont été accordées. »ThéophrasteetEudème de Rhodesont montré plus simplement qu’une proposition négative universelle pouvait être convertie en ses propres termes ; la proposition négative universelle, ils l’ont appelée proposition universelle privative, et ils font la démonstration suivante : supposons que A ne soit à aucun B ; s’il n’est à aucun B, il est séparé de lui, donc B est aussi séparé de tout A : par conséquent, B n’est à aucun A.Théophrastedit aussi que cette proposition affirmative probable peut être convertie de la même façon que toutes les autres propositions affirmatives. Théophraste etEudèmede Rhodes disent que la proposition universelle affirmative elle-même peut être convertie, comme on convertirait la proposition universelle affirmative et nécessaire. Théophraste, dans lePremier livre des Premières Analytiques, dit que la mineure d’un syllogisme est établie soit par une induction, soit par une hypothèse, soit par une évidence, soit par des syllogismes. Théophraste définit la voie qui conduit aux choses particulières, indéfinie celle qui conduit aux parties. Il oppose d’autre part à celle qui est simplement générale celle qui concerne les choses particulières, et à celle qui est générale en tant que générale celle qui concerne les parties.
Le syllogisme permet de mettre en lien dans une conclusion deuxtermes, le majeur et le mineur, au moyen d'un moyen terme. Le majeur et le mineur ne doivent apparaître qu'une fois chacun dans les prémisses, le moyen terme est présent dans chaque prémisse (puisqu'il permet la mise en rapport des deux autres termes) tandis que la conclusion expose le rapport entre le majeur et le mineur, de sorte que le syllogisme est un« rapport de rapports »(expression deRenouvier,Traité). Voici un exemple de syllogisme :
La syllogistique consiste à dresser la liste de toutes les formes de syllogismes correspondant à des raisonnements valides, et à étudier les liens qui existent entre ces diverses formes.
Avant de chercher à comprendre le fonctionnement des syllogismes, il faut distinguerValiditéetVérité: dire d'un syllogisme qu'il est valide, c'est affirmer que sa forme est valide. Un syllogisme est concluant quand il est valide et toutes ses prémisses sont vraies. Un syllogisme n'est jamais vrai ou faux. Ainsi, le syllogisme suivant est formellement valide. Il n'est, en revanche, pas concluant.
Les syllogismes sont constitués depropositions, ou affirmations faites d'unsujet(désigné parS) relié par unecopuleà unprédicat(désigné parP), de type
Ces propositions doivent être construites dans un ordre précis : le sujet de la conclusion, en effet, doit être présent dans une des prémisses (normalement la mineure), son prédicat dans l'autre (la plupart du temps la majeure), pour que le syllogisme soit valide. Le moyen terme (M) établit le rapport : {M estP} or {Sest M} donc {S est P}.
Il est donc exclu que le moyen terme apparaisse dans la conclusion ou que l'une des prémisses mette en relation les deux termes extrêmes (termes mineur et majeur).
En fait, la copuleestintroduit un rapport entre les deux concepts S et P. Ces concepts, et le rapport que l'on établit ensuite entre eux, peuvent être appréhendés sous l'angle de lacompréhensionou de l'extension.(En logique, la compréhension d'un concept est la donnée des concepts plus généraux qui peuvent en être prédiqués, et peuvent entrer dans sa définition; là où l'extension d'un concept est la classe (l'ensemble) des individus qui répondent à ce concept.)
S est Pdoit donc se comprendre à la fois comme :
Ainsi,tous les hommes sont mortelsse comprend doublement :
Il existe quatre classes de propositions, distinguées par leur qualité et leur quantité :
Ces quatre classes sont traditionnellement désignées par des lettres (depuis lascolastiquemédiévale, suivant une correspondancemnémotechniqueenlatin:affirmo(« j'affirme »),nego(« je nie ») :
AetOsont 2 énoncés logiques contradictoires (l'un est vrai si et seulement si l'autre est faux);EetIaussi.
Soient :
Deux propositions disposant des mêmes sujet et prédicat peuvent s'opposer par leur qualité et/ou par leur quantité. Ainsi les oppositions qui peuvent être créées sont les suivantes :
On établit ainsi lecarré logiquede l'opposition des propositions.
Or, un syllogisme doit considérer la classe de ses propositions et l'ordre dans lequel elles apparaissent pour rester valide : le schéma[(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P)ne suffit pas, ne serait-ce que parce que l'on a parfois à faire à des exclusions d'ensembles, et non de seules inclusions.
On l'a dit, l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'est pas pertinent. Ce qui l'est, en revanche, c'est la répartition du sujet et du prédicat de la conclusion au sein des prémisses, indiquée par celle du moyen terme.
La forme canonique d'un syllogisme est [(M ⊂ P) ; ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P). Dans ce cas, le moyen terme est sujet de la majeure et prédicat de la mineure. Cela dessine ce que l'on nomme lapremière figure, dans laquelle le terme majeur est prédicat de la prémisse majeure et le terme mineur sujet de la prémisse mineure. Trois autres figures sont cependant possibles :
Ces figures ont une importance dans la recherche des modes concluants car elles déterminent, outre la place du prédicat, celle des termes majeurs et mineurs ; or, selon qu'un terme est sujet ou prédicat, et selon la qualité de la proposition (affirmative ou négative), l'extension de ce terme varie. Si l'on se souvient que le syllogisme fonctionne sur l'inclusion de classes au sein d'autres classes, l'on comprend que l'extension des termes soit fondamentale : dire quetous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes donc les Grecs sont mortelsnécessite que les ensembleshommes,mortelsetGrecssoient pris dans la même extension d'un bout à l'autre du syllogisme ou au moins dans une extension moindre dans la conclusion. Si, par exemple,Grecscorrespondait dans les prémisses àseulement les Grecs de Béotieet dans la conclusion àtous les Grecs, le syllogisme n'aurait aucun sens : la classetous les Grecsn'est pas incluse dans la classeGrecs de Béotie.
Sachant que l'extension des termes change selon la qualité de la proposition et leur place en son sein, il convient, si l'on veut respecter leur identité d'un bout à l'autre du syllogisme, de connaître les règles suivantes :
En effet, dans :
On peut aussi résumer les questions d'extension en considérant les classes de propositions :
L'extension des sujets et des prédicats, on le verra plus bas, joue dans la détermination des modes concluants.
Sachant qu'il existe quatre classes de propositions (A, E, I et O), qu'un syllogisme se compose de trois propositions et que le moyen terme dessine quatre figures, il existe donc 4³ ×4 = 256 modes (à noter que si l'on compte les deux tournures que peut prendre la conclusion (A implique B ou B implique A), il existe alors 4³ ×4 ×2 = 512 modes).
De ces 256, seuls 24 sont valides, ouconcluants(six par figure). Jusqu'àThéophrastedix-neuf étaient retenus, cependantLeibniz, dans sonDe arte combinatoria(1666), prend en compte les cinq autres, ces derniers ayant des conclusions particulières subalternes de conclusions universelles d'autres syllogismes.
Afin de dresser la liste des modes concluants,plusieurs règles(que l'on déduit d'autres règles logiques concernant l'extension des termes ; voir plus bas) sont à considérer :
De sorte, il est possible de recenser les modes concluants. Ceux-ci sont depuis leMoyen Âgedésignés par des noms sans signification dont les voyelles indiquent les classes des propositions. Pour trouver le mode, nommé par un sigle de 3 lettres parmi les 4 des classes de propositions, il faut extraire les 3 voyelles qui composent ces noms de syllogismes. Ainsi, le syllogismeBArbArApar exemple doit se comprendre comme ayant deux prémisses et une conclusion affirmatives et universelles(A A A).
On peut représenter les différents modes sous la forme dediagrammes de Venn. Le tableau suivant recense les diagrammes des 24 modes concluants, répartis sur quatre lignes correspondant aux quatre figures. Les modes de syllogismes présentant le même contenu sont représentés sur la même colonne.
Note : les noms de ces modes peuvent varier ; les logiciens dePort-Royalles disent « Barbari », « Calentes », « Dibatis », « Fespamo » et « Fresisom ».
Schéma : [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P) ; ces modes sont dits « parfaits » parce qu'Aristote s'en est servi pour démontrer le caractère concluant des modes des autres figures (ou « modes imparfaits »). En effet, tout syllogisme peut se ramener à l'un des quatre modes parfaits. Chacun de ces modes donne une conclusion d'une des classes :
Cette figure, ou catégorie de syllogismes, n'a que deux règles qui lui soient propres :
Deux syllogismes, bien que formellement valides, ne sont généralement pas retenus. Le premier (AAI) est subalterne de Barbara, le second (EAO) est subalterne de Celarent. Les conclusions qu'ils proposent sont affaiblies, et leur intérêt est donc limité :
Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P) ; tous ces modes ont une conclusion négative :
Les deux syllogismes AEO (Camestrop) et EAO (Cesaro), bien que valides, ne sont généralement pas retenus, car subalternes de Camestres et Cesare, dont ils ne sont que des formes affaiblies.
Cette figure ou catégorie de syllogismes a deux règles qui lui sont propres :
Schéma : [(M ⊂ P) ∧ (M ⊂ S)] ⇒ (S ⊂ P) ; chacun des modes de cette figure implique une conclusion particulière :
Les syllogismes de cette figure obéissent à deux règles.
Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (M ⊂ S)] ⇒ (S ⊂ P) ; la conclusion des modes de cette figure ne peut pas être universelle affirmative. Les modes galéniques n'ont pas été reconnus concluants par Aristote.
Les syllogismes appartenant à cette catégorie sont soumis à trois règles :
Le syllogisme AEO (Calemop), bien que valide, n'est généralement pas retenu, car subalterne de Camenes.
On a indiqué plus haut des règles communes à toutes les figures permettant de repérer les modes concluants sans en expliquer les raisons profondes, si ce n'est évoquer l'importance de l'extension des termes. Ainsi, comment expliquer qu'un Bamalip galénique(tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P)est concluant mais pas un éventuel « Bamalap » galénique(tout P est M, or tout M est S, donc tout S est P)?
Il faut, pour ce faire, étudier par le menu les règles de formation des syllogismes.
L'extension des termes de la conclusion (ses sujet et prédicat) ne peut dépasser celle qu'ils ont dans les prémisses. Puisque la conclusion découle des prémisses, il faut que les ensembles qui y sont désignés soient ou les mêmes ou des plus petits pour que le jeu d'inclusion de classes au sein d'autres classes fonctionne. Cela explique pourquoi le mode Bamalip(tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P)de la quatrième figure ne peut avoir de conclusion universelle : dans cette figure, le terme mineur (sujet de la conclusion) est toujours prédicat, or, dans ce mode, il est pris en particulier puisque la proposition est affirmative. Il doit donc être particulier dans la conclusion.
Le moyen terme assurant le rapport entre les termes de la conclusion, celui-ci doit au moins une fois être utilisé sous son extension universelle. En effet, ce rapport ne fonctionne que si le moyen terme possède une identité claire. Or, si le moyen terme n'était considéré deux fois qu'en partie, rien ne permettrait d'affirmer que ces deux parties sont identiques ou que l'une est incluse dans l'autre. Ceci explique pourquoi les syllogismes de la deuxième figure, dans lesquels le moyen terme est toujours prédicat, donc pris particulièrement, ne peuvent suivre un schéma AAA : rien n'indique que dans les deux prémisses ce moyen terme serait le même :les cerises sont sphériques, or les yeux sont sphériques, donc les yeux sont des cerises. Dans les prémisses, les deux classes desobjets sphériquesévoqués ne se recoupent pas : le rapport entre le terme mineur et le majeur ne peut être assuré en l'absence d'un moyen terme non ambigu.
Ce cas de figure est impossible. En effet, dans le cas où les deux prémisses seraient affirmatives particulières, tous les termes seraient particuliers (voir tableauplus haut), dont le moyen. Or, le moyen terme doit obligatoirement être pris au moins une fois universellement (voirplus haut).
Dans le cas où l'une des deux prémisses serait négative particulière (deux négatives étant impossibles ; voirplus bas), la conclusiondevrait êtrenégative, le prédicat P de la conclusion serait donc universel, et le syllogismedevraitcontenir au moins deux termes universels, P et M. Le prédicat de la prémisse négative est universel, mais seule une prémisse universelle permettrait d'obtenir un sujet universel.
Le sujet et le prédicat de la conclusion étant mis en rapport par le moyen terme, si ce rapport est nié deux fois, on ne peut naturellement établir de lien. Ainsi, il ne peut exister de syllogisme EEE ou OOO (ou un mélange quelconque de ces deux classes), qui ressemblerait à cela :aucun animal n'est immortel, or aucun dieu n'est un animal, donc aucun dieu n'est immortel.
Deux prémisses affirmatives unissent les termes de la conclusion par le moyen terme. On ne peut donc obtenir une conclusion négative, c'est-à-dire une absence de lien entre les termes. Cela exclut tous les modes AAE, AAO, AIE, AIO, IAE, IAO, IIE et IIO (les modes IIE et IIO sont également exclus par le fait que les deux prémisses sont particulières).
On entend par « faible » une hiérarchie au sein des qualités et des quantités :
Lorsqu'une des prémisses est négative (le cas où deux prémisses seraient négatives n'étant pas possible; voirplus haut), le rapport établi par le moyen terme entre le terme majeur et le mineur est double : l'une des classes est incluse ou identique à celle du moyen terme, l'autre est exclue du moyen terme. Il ne peut donc y avoir d'union entre le majeur et le mineur.
De même, à supposer qu'une conclusion soit universelle affirmative, ses prémisses devront aussi être affirmatives et contenir chacune un terme universel, l'extension des termes de la conclusion ne pouvant dépasser celle des termes des prémisses. Si la conclusion est universelle négative, il faut que les prémisses contiennent trois termes universels, soient une négative (prédicat universel), et deux sujets universels.
Ces règles permettent d'expliquer le caractère concluant de tous les modes syllogistiques en excluant ceux qui ne seraient pas convaincants du fait de l'extension des termes. L'utilisation de syllogismes non concluants se rencontre cependant souvent dans le cadre de l'argumentation; on parle dans ce cas desophisme, la plupart du temps par généralisation, ou sophismesecundum quid.
Les quatre modes de la première figure, Barbara, Celarent, Darii, Ferio sont dits parfaitscar le terme moyen y occupe une position médiane (sujet dans la majeure, prédicat dans la mineure). En outre, tous les autres modes peuvent s'y ramener au moyen de transformations élémentaires des propositions. L'initiale des modes parfaits B, C, D, F utilisent les premières lettres de l'alphabet, autres que A et E déjà prises pour désigner les universelles affirmatives et négatives.
Le nom des autres modes a été choisi de façon à pouvoir désigner le mode parfait vers lequel on peut les réduire ainsi que les transformations pour y parvenir.
La connaissance des quatre syllogismes parfaits et des moyens d'y ramener les autres modes concluants permettait au logicien scolastique d'alléger la mémorisation des dix-neuf syllogismes.
Voici quelques exemples :
Ferison est le syllogismenul M n'est P, or quelque M est S, donc quelque S est non-P. On le prouve en transformant simplement la deuxième prémisse enquelque S est M. L'application de Ferio (nul M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S est-non P) conduit à la conclusion voulue.
Fesapo est le syllogisme énonçant que :nul P n'est M, or tout M est S, donc quelque S est non-P. On prouve sa validité en le transformant en Ferio (nul M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S est non-P) au moyen des deux transformations suivantes :
On déduit donc des prémisses de Fesapo quenul M n'est P, or quelque S est M, donc (Ferio)quelque S est non-P.
Bamalip est le syllogismetout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P. On procède à :
Camestres est le syllogismetout P est M, or nul S n'est M, donc nul S n'est P. Il se ramène à Celarent (nul M n'est P, or tout S est M, donc nul S n'est P) au moyen de :
Baroco est le syllogismetout P est M, or quelque S est non-M, donc quelque S est non-P. Prouvons le par l'absurde : si la conclusion était fausse, alors on auraittout S est P. Mais l'application de Barbara surtout P est M, or tout S est Pconduit à la conclusiontout S est M, en contradiction avec la deuxième prémisse de Baroco. La conclusion de Barocoquelque S est non-Pest donc nécessairement exacte.
Un faux syllogisme, c'est-à-dire un «sophisme» ou un «paralogisme» selon qu'il est volontaire ou non, est un syllogisme invalide, donnant lieu à unparadoxe. Il se produit lorsqu'une conclusionabsurdeest déduite de prémisses semblant correctes mais n'obéissant pas aux règles d'inclusion.
exemple :
La conclusion est fausse car B n'implique pas A : il est possible d'être mortel sans être humain.
Pour d'autres exemples voir les articlesparalogisme(dont l'exemple ci-dessus est tiré) ouparadoxe du fromage à trous.
John Stuart Mill(et avant lui,Sextus Empiricus, philosophesceptique) évoque les limites du syllogisme en remarquant que dans la pratique un syllogisme déductif est rarement applicable sans une part plus ou moins escamotée d'induction.
Ainsi, le célèbre syllogisme
repose sur la validité de la prémisse« tous les hommes sont mortels », qui n’est pas vérifiable. Par conséquent, le syllogisme classique est lui-même unparalogisme: aucune vérité particulière ne peut être inférée de principes généraux puisque c'est au contraire l'ensemble des premières qui doivent être démontrées pour garantir la validité des seconds.