Двоичная система счисления

Двои́чная систе́ма счисле́ния—позиционная система счисленияс основанием 2. Благодаря непосредственной реализации вцифровых электронных схемахналогических вентилях, двоичная система используется практически во всех современныхкомпьютерахи прочих вычислительныхэлектронных устройствах.
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двухсимволов(0и1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе510, в двоичной1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом0bили символом& (амперсанд), например0b101или соответственно&101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012произносится «один ноль один».
Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как(an−1an−2…a1a0)2{\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}, имеет значение:
где:
Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления(−an−1an−2…a1a0)2{\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}, имеет величину:
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел вдополнительном коде.
Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m)2{\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}}, имеет величину:
где:
Таблица сложения
Таблица вычитания
Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410+ 510= 1910в двоичном виде выглядит как 11102+ 1012= 100112):
Таблица умножения
Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410* 510= 7010в двоичном виде выглядит как 11102* 1012= 10001102):
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два.
Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Допустим, дано двоичное число1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
То же самое чуть иначе:
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 1100012равнозначно десятичному 4910.
Нужно перевести число1011010,1012в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
То же самое чуть иначе:
Или по таблице:
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.
Например, двоичное число10110112переводится в десятичную систему так:
То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.
Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).
Например0,11012
Ответ: 0,11012= 0,812510
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоватьсяделением с остатком:
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи:10011.
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число206,116в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
Таким образом 0,11610≈ 0,00011101102
Получим: 206,11610≈ 11001110,00011101102
Двоичная система используется вцифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел вдополнительном коде. Например, число −510может быть записано как −1012но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.
Двоичная система счисления является комбинациейдвоичной системы кодированияипоказательнойвесовой функции с основанием равным 2. Число может быть записано вдвоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример:двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.