Doppio pendolo

Infisica classica, in particolare inmeccanica classica, ildoppio pendoloè unsistema fisicocostituito da duependoliattaccati uno all'estremità dell'altro e liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suocomportamento dinamicoè fortemente sensibile a piccole variazioni dellecondizioni inizialie, per alcuni valori dell'energia, il suo moto risultante ècaotico.
Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono esserependoli sempliciocomposti(detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezzaℓ{\displaystyle \ell }e le massem{\displaystyle m}, e il moto è limitato ad un piano.
In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora ilcentro di massadi ogni braccio si trova alla sua metà, ed ilmomento di inerziarispetto a tale punto èI=112mℓ2{\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato daI=13mℓ2{\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}.
È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e  l'asse verticale comecoordinata generalizzataper definire lospazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ1e θ2. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di unsistema di riferimento cartesianoil punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono
mentre per il secondo pendolo si ha
Con queste informazioni si può scrivere lalagrangianadel sistema.
La lagrangiana è
Il primo termine è l'energia cineticadi traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionaleassumendo unaaccelerazionecostanteg{\displaystyle g}. La notazionex˙{\displaystyle {\dot {x}}}indica laderivatarispetto al tempo (notazione di Newton).
Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova
L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sonomomenti generalizzaticonservati. I due momenti possono essere scritti come
e
Invertendo queste espressioni si trova
e
Le altre equazioni del moto sono
e
Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ1e θ2in funzione del tempo. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con imetodi di Runge-Kutta.
Il doppio pendolo si muove conmoto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile allecondizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ1(direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ2(direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro10ℓ/g{\displaystyle 10{\sqrt {\ell /g}}}(in verde), entro100ℓ/g{\displaystyle 100{\sqrt {\ell /g}}}(rosso),1000ℓ/g{\displaystyle 1000{\sqrt {\ell /g}}}(viola) o10000ℓ/g{\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}}(blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro10000ℓ/g{\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}}sono in bianco.
Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva
All'interno della regione definita da questa curva, cioè se
è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.
La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto diedifici antisismici.  L'idea è di vedere l'intero edificio come unpendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo.  La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwaneseTaipei 101, è dotato alla sua sommità di unmass damperdi 660 tonnellate.