Matématika

Matématika(basa Yunani:μαθηματικά-mathēmatiká, saking tembung μάθημα(máthema) ingkang tegesipun "sains, èlmu pangertosan, utawi sinau" ugi μαθηματικός (mathematikós) ingkang tegesipun "remen sinau") inggih punika studibesaran,struktur,ruwang, lanéwah-éwahan. Paramatématikawanpados manékapola,ngrumusakenkonjekturénggal, lan yasa kaleresan liwatmétodhe dhédhuksiingkangkakusakingaksioma-aksiomalandhéfinisi-dhéfinisiingkang silih selaras.
Dhisiplin ingkang paling utami ing matématika dhasaripun inggih punika kabetahan kanggé pangétangan wonten babagan dedagangan, pangukuran siti, ugi pangétangan kanggé paramalan kadadosanastronomi. Tiga kabetahan punika limrahipun wonten gegandhènganipun kaliyan pambagéyan umum babagan matématika inggih punika: studi masalah struktur, ruwang lan éwah-éwahan.
Pangertosan ingkang prasaja saking matématika inggih punika ngèlmu étang utawiaritmatika, punika wujud pamahaman matématika ingkang paling dhasar.
Wonten pasulayan prakawis: punapa objèk-objèk matématika kados tawilanganlantitikdhateng kanthi alami, utawi namung damelan manungsa. Satunggiling matématikawanBenjamin Peircenyebat matématika minangka "èlmu ingkang nggambaraken simpulan-simpulan ingkang wigatos".Déné tiyang sanèsipun,Albert Einsteinnélakaken bilih "satebihipun ukum-ukum matématika tegesipun kasunyatan, sadaya wau boten mesthi; lan satebihipun sadaya wau mesthi, sadaya wau boten tegesipun kasunyatan."
Langkung pangginaanpanalaranlogikalanabstraksi, matématika ngrembaka sakingpancacahan,pangétangan,pangukuran, lan pangkajian sistematis dhumatengbangunlanpagerakanbendha-bendha fisika. Matématika praktis sampun dados kagiyatan manungsa milai wontenipunrekaman kaserat.Argumèntasi kakusepindhah muncul ing salebetipunMatématika Yunani, mliginipun ing salebetipun karyaEuklides,Èlemèn. Matématika tansah ngrembaka, upaminipun ingCinanalika taun 300SM, ingIndianalika taun 100M, lan ing Arab nalika taun 800 M, dumugi jamanRénaisans, nalika pamanggihan énggal matématika silih interaksi kaliyanpamanggihan èlmiahénggal ingkang ngarah dhumateng paningkatan ingkang rikat ing salebetipun laju pamanggihan matématika ingkang teras dumugi sepriki.
Sapunika matématika dipun-ginakaken ing saindhenging donya minangka piranti wigatos ing manéka babagan, kalebetèlmu alam,tèknik,kadhokteran/mèdhis, lanèlmu sosialkados taékonomi, lanpsikologi.Matématika terapan, cabang matématika ingkang nglingkupi panerapan pangertosan matématika dhumateng babagan-babagan sanès, ngilhami lan damel panggunaan pamanggihan-pamanggihan matématika énggal, lan sok-sok ngarah dhumateng pangembangan dhisiplin-dhisiplin èlmu ingkang sapenuhipun énggal, kados tastatistikalantéyori permainan. Para matématikawan ugi sinau ing salebetipunmatématika murni, utawi matématika kanggé pakembangan matématika punika piyambak, tanpa wontenipun panerapan ing salebetipun pikiran, sanadyan panerapan praktis ingkang dados latar munculipun matématika murni kasunyatanipun asring kapanggih ing tembé wingking.
Tembung "matématika" asalipun sakingbasa Yunani Kunaμάθημα (máthēma), ingkang tegesipunpangkajian,panyinaonan,èlmu, ingkang ruwang lingkupipun saya ciut, lan teges tèknisipun dados "pangkajian matématika", malah makaten ugi ing jaman kuna. Tembung sipatipun inggih punika μαθηματικός (mathēmatikós),gegandhèngan kaliyan pangkajian, utawisregep sinau, ingkang langkung lebet tegesipunmatématis. Sacara mirunggan,μαθηματικὴ τέχνη(mathēmatikḗ tékhnē), ing salebetipunbasa Latinars mathematica, tegesipunseni matématika.
Wangun jamak asring dipun-ginakaken salebetipunbasa Inggris, kados ta ugi ing salebetipunbasa Prancisles mathématiques(lan arang dipun-ginakaken minangka turunan wangun tunggalla mathématique), tegesipun wangun jamak basa Latin ingkang langkung nétralmathematica(Cicero), dhedhasar wangun jamak basa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), ingkang dipun-ginakakenAristotle, ingkang pertalan kasaripun ateges "sadaya prakawis ingkang matématis".Nanging, salebetipun basa Inggris, tembung bendhamathematicsmundhut wangun tunggal manawi dipungunakaken minangka tembungkerja. Salebetipun rupa pirembagan, matématika asring dipunsingkat minangkamathing Amérika Lèr lanmathsing papan sanès.
Évolusimatématika sok-sok dipunpirsani minangka sadhèrètanabstraksiingkang tansah tambah kathah, utawi tembung sanèsipun pawiyaran pokok masalah. Abstraksi awal, ingkang ugi lumampah dhumateng kathah kéwan, inggih punika prakawiswilangan: pranyatan bilih kalih apel lan kalih jeruk (minangka conto) gadhah gunggung ingkang sami.
Sasanèsipun mangertosi caranyacahobjèk-objèkfisika, manungsaprasajarahugi nepangi cara nyacah besaranabstrak, kados tawekdal—dinten,mangsa,taun.Aritmétika dhasar(lan,suda,ping, lanpara) numuti kanthi alami.
Lampah salajengipun mbetahakenpanyeratanutawi sistem sanès kanggé nyathetaken wilangan, upaminipuntaliutawi senar mawi simpul ingkang dipunsebatquipudipungunakaken déning bangsaIncakanggé nyimpen data numerik.Sistem wilanganwonten kathah lan manéka jinisipun, wilangan kaserat ingkang sepindhah dipunkawruhi wonten ing salebetipun naskah warisanMesir KunaingKarajan Tengah Mesir,Lembaran Matématika Rhind.
Panggunaan matématika paling kuna inggih punika ing salebetipunpadagangan,pangukuran siti,panglukisan, lan pola-polapanenunanlan panyathetan wekdal lan boten naté ngrembaka wiyar dumugi taun 3000 SM mangajeng nalika tiyangBabilonialanMesir Kunawiwit migunakakenaritmétika,aljabar, langéomètrikanggé pangétanganpajeklan urusan kauangan sanèsipun, yasan lan konstruksi, lanastronomi.Pangkajian matématika ingkang sistematis ing salebetipun kaleresnipun piyambak dipunwiwiti nalika jaman Yunani Kuna antawis taun 600 lan 300 SM.
Matématika wiwit wekdal punika lajeng mawiyar, lan wonten interaksi migunani antawisipun matématika lansains, nguntungaken kekalih pihak. Pamanggihan-pamanggihan matématika dipundamel salaminipun sajarah lan lumampah teras dumugi sapunika. Miturut Mikhail B. Sevryuk, ing wulan Januari 2006 terbitanBulletin of the American Mathematical Society, "kathahipun makalah lan buku ingkang dipunlibataken ing salebetipun basis dataMathematical Reviewswiwit taun 1940 (taun sepindhahipun operasinipun MR) sapunika nglangkungi 1,9 yuta, lan nglangkungi 75 éwu artikel dipuntambahaken dhumateng basis data punika saben taun. Sapérangan ageng karya ing samodra punika isinipuntéorémamatématika énggal sartabukti-buktinipun."
Matematika muncul nalika ngadhepi masalah-masalah ingkang rumit ingkang nglibataken kuantitas, struktur, ruwang, utawi éwah-éwahan. Awalipun masalah-masalah punika kapanggih ing salebetipunpadagangan,pangukuran siti, lan salajengipunastronomi; sapunika sadaya èlmu pangertosan nganjuraken masalah-masalah ingkang dipunkaji déning para matématikawan, lan kathah masalah ingkang muncul ing salebetipun matématika punika piyambak. Upaminipun, satunggilingfisikawanRichard Feynmanmanggihakenrumus integral lintasanmékanika kuantummigunakaken gabungan nalar matématika lan wawasan fisika, lantéyori senarwekdal sapunika téyori èlmiah ingkang taksih ngrembaka ingkang gadhah upados manunggalaken sekawangaya dhasar alami, teras kémawon ngilhami matématika énggal.Sapérangan matématika namung silih selaras ing salebetipun wewengkon ingkang ngilhami piyambakipun, lan dipuntrepaken kanggé mecahaken masalah lajengan ing wewengkon punika. Nanging asring ugi matématika dipunilhami déning bukti-bukti ing satunggiling wewengkon pranyata gadhah mupangat ugi ing kathah wewengkon sanèsipun, lan nggabungaken cawisan umum konsèp-konsèp matématika. Fakta ingkang ngédab-édabi bilih matématika "paling murni" asring malih dados gadhah patrapan praktis inggih punika ingkangEugene Wignersebat minangka "Kabotenèfèktifan Matématika boten kanalar ing salebetipun Èlmu Pangertosan Alam".
Kados ing sapérangan ageng wewengkon pangkajian, jeblugan pengertosan ing jaman èlmiah sampun ngarah dhumateng pangususan ing salebetipun matématika. Setunggal prabèntenan utami inggih punika ing antawisipunmatématika murnilanmatématika terapan: sapérangan ageng matématikawan musataken panlitènipun namung ing satunggal wewengkon punika lan sok-sok pilihan punika dipundamel saawal pakuliahan programsarjananipun. Sapérangan wewengkon matématika terapan sampun dipungabungaken kaliyan tradhisi-tradhisi ingkang silih selaras ing sanjawinipun matématika lan dados dhisiplin ingkang gadhah hak piyambak, kalebetstatistika,risèt oprasi, lanèlmu komputer.
Tiyang ingkang gadhah minat dhumateng matématika asring ugi manggihi satunggiling aspèk èstètika tinentu ing kathah matématika. Kathah matématikawan pirembagan prakawiskaanggunanmatématika,èstètikaingkang kasirat, lankaéndahansaking lebetipun. Kaprasajanan lan kaumumanipun dipunregani. Wonten kaéndahan ing salebetipun kaprasajanan lan kaanggunanbuktiingkang dipunparingaken, upaminipun buktiEuclidinggih punika bilih wonten boten-kakinten kathahipunwilangan prima, lan ing salebetipunmétodhe numerikingkang anggun bilih pangétangan laju, inggih punikatransformasi Fourier rikat.G. H. Hardying salebetipunA Mathematician's Apologyndungkapaken kapitadosan bilih panganggepan èstètika punika ing lebetipun piyambak, cekap kanggé nyengkuyung pangkajian matématika murni.Para matématikawan asring nyambut damel awrat manggihaken bukti téoréma ingkang anggun kanthi mirunggan, pamadosanPaul Erdősasring nggulet ing satunggil jinis pamadosan akar saking "Alkitab" ing pundiGustisampun nyerataken bukti-bukti karemenanipun.Kapopulèranmatématika rékréasiinggih punika tetenger sanès bilih kabingahan kathah kapanggih nalika satunggiling tiyang saged mecahaken soal-soal matématika.
Sapérangan ageng notasi matématika ingkang dipungunakaken sapunika boten kapanggih dumugi abad angka 16.Nalika abad angka 18,Eulergadhah tanggel waler dhumateng kathah notasi ingkang dipungunakaken sapunika. Notasi modhèren damel matématika langkung gampil kanggé para profésional, nanging para pamula asring manggihaken minangka satunggaling prakawis ingkang ngajrihi. Dumados pamadhetan ingkang langkung sanget: sakedhik lambang gadhah isi informasi ingkang sugih. Kadosnotasi musik, notasi matématika modhèren gadhah tata ukara ingkang kaku lan ndadosaken informasi ingkang mbok manawi awrat manawi dipunserataken miturut cara sanès.
Basamatématika saged ugi gadhah kesan awrat kanggé para pamula. Tembung-tembung kadosutawilannamunggadhah teges ingkang langkung présisi tinimbang ing salebetipun pirembagan sadinten-dinten. Sasanèsipun punika tembung-tembung kados takabikaklanlapanganmaringaken teges mirunggan matématika.Jargon matématikakalebet istilah-istilah tèknis kados tahomomorfismelankaintegralaken. Nanging wonten alasan kanggé notasi mirunggan lan jargon tèknis punika: matématika mbetahaken présisi ingkang langkung saking sadrema pirembakan sadinten-dinten. Para matématikawan nyebat présisi basa lan logika punika minangka "kaku" (rigor).
Kakukanthi dhasar inggih punika prakawisbukti matématika. Para matématikawan kepéngin téorémanipun numuti aksioma-aksioma kanthi maksud panalaran ingkang sistematik. Pupunika kanggé nyegah "téoréma" ingkang salah pundhut, dipundhasaraken dhumateng pradugi kagagalan, ing pundi kathah conto naté muncul ing salebetipun sajarah subjèk punika.Tingkat kakakuan dipunajengaken ing salebetipun matématika tansah éwah sapanjangipun wekdal:bangsa Yunaniménginaken dalil ingkang kaprincèn, nanging ing wekdal punika métode ingkang dipungunakakenIsaac Newtonkirang kaku. Masalah ingkang nèmpèl ing dhéfinisi-dhéfinisi ingkang dipungunakaken Newton bakal ngarah dhumateng munculipun analisis saksama lan bukti formal ing abad angka 19. Sapunika para matématikawan taksih teras adu argumèntasi prakawisbukti mawi bantuan-komputer. Amargi pangétangan ageng awrat sanget dipunpriksa, bukti-bukti punika mbok manawi kémawon boten cekap kaku.
Aksiomamiturut pamikiran tradhisional inggih punika "kaleresan ingkang dados bukti makaten kémawon", nanging konsèp punika micu pasoalan. Ing tataran formal, satunggiling aksioma punika namung satunggal lèr senarlambang, ingkang namung gadhah makna kasirat ing salebetipun kontèks sadaya rumus ingkang katurunaken saking satunggilingsistem aksioma. Pupunika wujud tujuanprogram Hilbertkanggé nyèlèhaken sadaya matématika ing satunggiling basis aksioma ingkang kokoh, nanging miturutTéoréma kabotenjangkepan Gödelsaben-saben sistem aksioma (ingkang cekap kiyat) gadhah rumus-rumus ingkangboten saged dipuntemtokaken; lan mila satunggilingaksiomatisasipungkasan ing salebetipun matématika punika mokal. Sanadyan makaten, matématika asring dipunbayangaken (ing salebetipun kontèks formal) boten sanès kejawitéyori himpunaning sapérangan aksiomatisasi, kanthi pangertosan bilih saben-saben pranyatan utawi bukti matématika saged dipunkemas dhumateng salebetipun rumus-rumus téyori himpunan.
Carl Friedrich Gaussnélakaken matématika minangka "Ratunipun Èlmu Pangertosan".Ing salebetipun basa aslinipun, LatinRegina Scientiarum, ugi ing salebetingbasa JermanKönigin der Wissenschaften, tembung ingkang selaras kaliyanèlmu pangertosanateges (lapangan) pangertosan. Cetha, punika ugi teges asli ing salebeting basa Inggris, lan boten wontenkeraguanbilih matématika ing salebetipun kontèks punika inggih punika satunggiling èlmu pangertosan. Pangususan ingkang nyiutaken makna dados èlmu pangertosanalaminggih punika ing tembé wingking. Manawi satunggiling tiyang mriksanièlmu pangertosannamung winates ing donya fisika, mila matématika, utawi sakirang-kirangipunmatématika murni, sanès èlmu pangertosan.Albert Einsteinnélakaken bilih"satebihipun hukum-hukum matématika tegesipun kasunyatan, mila sadaya punika boten mesthi; lan satebihipun sadaya punika mesthi, sadaya punika boten tegesipun kasunyatan."
Kathah filsuf yakin bilih matématika botenkapalsukakendhedhasar pacobèn, lan kanthi makaten sanès èlmu pangertosan per définisiKarl Popper.Nanging, ing salebetipun karya wigatos taun 1930-an prakawis logika matématika nedhaken bilih matématika boten saged dipunrédhuksi dados logika, lan Karl Popper nyimpulaken bilih "sapérangan ageng téyori matématika, kados dénéfisikalanbiologi, inggih punikahipotetis-deduktif: mila matématika mdados langkung caket dhumateng èlmu pangertosan alam ingkang hipotesis-hipotesisipun inggih punika konjektur (kintenan), langkung tinimbang minangka prakawis ingkang énggal."Para wicaksana bestari sanèsipun, sebat kémawonImre Lakatos, sampun nerapaken satunggal vèrsipamalsuandhumateng matématika punika piyambak.
Satunggiling tinjauan alternatif inggih punika bilih lapangan-lapangan èlmiah tinentu (upaminipunfisika téorètis) inggih punika matématika kanthi aksioma-aksioma ingkang dipuntujokaken kados makaten saéngga silih selaras kaliyan kasunyatan. Faktanipun, satunggiling fisikawan téorètis,J. M. Ziman, ngajengaken pendhapat bilih èlmu pangertosan inggih punikapangertosan umumlan kanthi makaten matématika kalebet ing salebetipun.Ing sapérangan kasus, matématika kathah silih dundum kaliyan èlmu pangertosan fisika, sebat kémawon pangedhukan akibat-akibat logis saking sapérangan anggapan.Intuisilanpacobènugi gadhah peran wigatos ing salebetipun parumusankonjektur-konjektur, ing matématika, ugi ing èlmu-èlmu pangertosan (sanèsipun).Matématika pacobènteras tuwuh ngrembaka, ngèlingi kapentinganipun ing salebetipun matématika, salajengipun komputasi lan simulasi mainaken peran ingkang tansaya kiyat, ing èlmu pangertosan, ugi ing matématika, nglemahaken objèksi ing pundi matématika boten migunakakenmétode èlmiah. Ing salebetipun bukunipun ingkang dipunterbitaken taun 2002A New Kind of Science,Stephen Wolframgadhah dalil bilih matématika komputasi patut kanggé dipunkedhuk kanthiempirikminangka lapangan èlmiah ing salebetipun hakipun/kaleresanipun piyambak.
Pendhapat-pendhapat para matématikawan dhumateng prakawis punika manéka macem. Kathah matématikawan rumaos bilih kanggé nyebat wewengkonipun minangka èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan mandhapaken kadhar kapentingan sisih èstètikanipun, lan sajarahipun ing salebeting pituseni liberaltradhisional; ingkang sanèsipun rumaos bilih pangabaian pranala punika dhumateng èlmu pangertosan sami kémawon kaliyan muter-muter paningal ingkang wuta dhumateng fakta bilih antarslira antawisipun matématika lan panerapanipun ing salebetipun èlmu pangertosan lanrékayasasampun ngemudhiaken kathah pangembangan ing salebetipun matématika. Satunggal dalan ingkang dipunmainaken déning prabédan pojok paningalan punika inggih punika ing salebetipun pirembagan filsafat punapa matématikadipunripta(kados ing salebetipun seni) utawikapanggih(kados ing salebetipun èlmu pangertosan). Punika wajar kanggéuniversitasmanawi dipunpérang dhumateng salebetipun pérangan-pérangan ingkang nganthèkaken départemènÈlmu Pangertosan lan Matématika, punika nedahaken bilih lapangan-lapangan punika dipunpriksani gadhah sekuthu nanging lapangan-lapangan punika boten kados kalih sisih keping dhuwit logam. Ing tataran praktisipun, para matématikawan limrahipun dipunklompokaken bebarengan para èlmuwan ing tataran kasar, nanging dipunpisahaken ing tataran akir. Pupunika wujud salah satunggil saking kathah prakawis ingkang dipunwigatosaken ing salebetipunfilsafat matématika.
Bebungah matématika limrahipun dipunpiara supados tetep kapisah saking kasetaraanipun kaliyan èlmu pangertosan. Bebungah ingkang adiluhung ing salebetipun matématika inggih punikaFields Medal(medhali lapangan),dipunwiwitaken taun 1936 lan sapunika dipunslenggarakaken saben sekawan taunan. Bebungah punika asring dipunanggep setara kaliyanBebungah Nobelèlmu pangertosan.Wolf Prize in Mathematics, dipunlembagaaken taun 1978, ngakeni mangsa prèstasi, lan bebungah internasional utami sanèsipun,Bebungah Abel, dipuntepangaken taun 2003. Pupunika dipunanugerahaken kanggé ruas mirunggan karya, saged wujud pangénggalan, utawi pangrampungan masalah ingkang misuwur ing saebetipun lapangan ingkang mapan. Satunggiling dhaftar misuwur kanthi isi 23masalah kabikak, ingkang dipunsebat "masalah Hilbert", dipunkempalaken taun 1900 déning matématikawanJermanDavid Hilbert. Pratélan punika nggayuh pasulangan ingkang ageng ing antawisipun para matématikawan, lan paling sakedhik sanga saking masalah-masalah punika sapunika kapecahaken. Satunggiling dhaftar énggal kanthi isi pitu masalah wigatos, asesirah "Masalah Bebungah Milenium", dipunterbitaken taun 2000. Pamecahan saben masalah punika bebungahipunUS$1 yuta, lan namung satunggal (hipotésis Riemann) ingkang ngalami panggandhaan ing salebetipun masalah-masalah Hilbert.
Dhisiplin-dhisiplin utami ing salebetipun matématika sepindhahipun muncul amargi kabetahan dhumateng pangétangan ing salebetipun padagangan, kanggé mahami gegayutan antarwilangan, kanggé ngukur siti, lan kanggé ngramal prastawaastronomi. Sekawan kabetahan punika kanthi kasar saged dipunkaitaken kaliyan pamérangan-pamérangan kasar matématika dhumateng salebeting pangkajian besaran, struktur, ruwang, lan éwah-éwahan (inggih punikaaritmetika,aljabar,géomètri, lananalisis). Sasanèsipun pokok bahasan punika ugi wonten pamérangan-pamérangan ingkang dipunpisungsungaken kanggé pranala-pranala pangdhukan saking jantung matématika dhumateng lapangan-lapangan sanès: dhumatenglogika, dhumatengtéyori himpunan(dhasar), dhumateng matématika èmpirik saking manéka jinis èlmu pangertosan (matématika terapan), lan ingkang langkung énggal inggih punika dhumateng pangkajian kaku tumrapkabotenmethinan.
Pangkajian besaran dipunawali déningwilangan, sepindhahwilangan aslilanwilangan bulat("sadaya wilangan") lan operasi aritmetika ing ruwang wilangan iku, kang dipunasifataken ing salebetipunaritmetika. Sifat-sipat ingkang langkung lebet saking wilangan bulat dipunkaji ing salebetipuntéyori wilangan, saking pundi dhatengipun asil-asil populèr kados taTéoréma Pungkasan Fermat. Téyori wilangan ugi nyepeng kalih masalah boten kapecahaken:konjektur prima kembarlankonjektur Goldbach.
Amargi sistem wilangan dipunkembangaken langkung tebih, wilangan bulat dipunakeni minangkahimpunan pérangansakingwilangan rasional("pecahan"). Sauntawis wilangan pecahan wonten ing salebetipunwilangan réal, ingkang dipungunakaken kanggé nyawisaken besaran-besarankontinu. Wilangan réal dipundadosaken umum dadoswilangan komplèks. Pupunika jangkahan sepindhah saking jenjang wilangan ingkangberanjaknganthèkakenkuarternionlanoktonion. Kawigatosan dhumateng wilangan asli ugi ngarah dhumatengwilangan transfinit, ingkang damel formalipun konsèp pancacahankabotenkintenan. Wewengkon sanès pangkajian punika inggih punika ukuran, ingkang ngarah dhumatengwilangan kardinallan salajengipun ing konsèpsi kabotenkintenan sanèsipun:wilangan aleph, ingkang mungkinaken pabandhingan gadhah makna prakawis ukuran himpunan-himpunan ageng kabotenkintenan.
Pangkajian ruwang awalipun mawigéomètri– khususipun,géomètri euclid.Trigonomètrimadhuaken ruwang lan wilangan, lan nyakupiTéoréma pitagorasingkang misuwur. Pangkajian modhèren prakawis ruwang damel saya umum gagasan-gagasan punika kanggé nganthèkaken géometri kanthi dimènsi langkung inggil,géomètri boten-euclid(ingkang gadhah peran wigatos ing salebetipunrélativitas umum) lantopologi. Besaran lan ruwang gadhah peran wigatos ing salebetipungéomètri analitik,géomètri diferènsial, langéomètri aljabar. Ing salebetipun géomètri diferènsial wonten konsèp-konsèpbuntelan seratlan kalkuluslempitan. Ing salebetipun géomètri aljabar wonten panjlasan objèk-objèk géomètri minangka himpunan pangrampungan pepadhanpolinom, madhuaken konsèp-konsèp besaran lan ruwang, lan ugi pangkajiangrup topologi, ingkang madhuaken struktur lan ruwang.Grup liebiyasa dipinpigunakaken kanggé ngkaji ruwang, struktur, lan éwah-éwahan.Topologiing salebetipun kathah pacabanganipun mungkin dados wewengkon patuwuhan paling ageng ing salebetipun matématika abad angka 20, lan nganthèkakenkonjèktur poincaréingkang sampun lami wonten lantéoréma sekawan warni, ingkang namung "kasil" dipunbuktèkaken mawi komputer, lan dèreng naté dipunbuktèkaken déning manungsa kanthi manual.
Mahami lan njelasaken éwah-éwahan wujud téma biyasa ing salebetipunèlmu pangertosan alam, lankalkulussampun ngrembaka minangka piranti ingkang penuh-daya kanggé nylidhiki.Fungsi-fungsimuncul ing mriki, minangka konsèp wigatos kanggé njelasaken besaran ingkang éwah. Pangkajian kaku prakawiswilangan réallan fungsi-fungsi mawi paéwah réal dipuntepangi minangkaanalisis réal, kanthianalisis komplèkslapangan ingkangsetarakanggéwilangan komplèks.Hipotésis Riemann, salah satunggil masalah kabikak ingkang paling dhasar ing salebetipun matématika, dipunlukisaken saking analisis komplèks.Analisis fungsionalmusataken kawigatosan dhumatengruwangfungsi (limrahipun kanthi dimènsi boten-kaétang). Setunggil saking kathah terapan analisis fungsional inggih punikamékanika kuantum. Kathah masalah kanthi alami ngarah dhumateng gegandhèngan antawisipun besaran lan laju éwah-éwahanipun, lan punika dipunkaji minangkapepadhan diferènsial. Kathah tandha-tandha ing alam saged dipunjelasaken migunakakensistem dinamika;téyori kakacoannambah tepat dalan-dalan ing pundi kathah sistem punika mamèraken prilakudéterministikingkang taksih kémawon dèrèng kakinten.
Kathah objèk matématika, saupamihimpunanwilangan lanfungsi, mameraken struktur pérangan lebet. Sifat-sipat struktural objèk-objèk punika dipunslidhiki ing salebetipun pangkajiangrup,glanggang,lapanganlan sistem abstrak sanèsipun, ingkang piyambakipun wujud objèk ugi. Pupunika wujud lapanganaljabar abstrak. Satunggiling konsèp wigatos ing mriki inggih punikavèktor, dipundadosaken umum dadosruwang vèktor, lan dipunkaji ing salebetipunaljabar linéar. Pangkajian vèktor madhuaken tiga wewengkon dhasar matématika: besaran, struktur, lan ruwang.Kalkulus vèktormiyaraken lapangan punika dhumateng salebetipun wewengkon dhasar kasekawan, inggih punika éwah-éwahan.Kalkulus tensorngkajikasetangkupanlan prilaku vèktor ingkang dipunrotasi. Sapérangan masalah kuna prakawisKompas lan konstruksi garis luruspungkasanipun kapecahaken déningTéyori galois.
Kanggé mriksadhasar-dhasar matématika, lapanganlogika matématikalantéyori himpunandipunkembangaken, ugitéyori kategoriingkang taksih dipunkembangaken. Tembung majemuk "krisis dhasar" njelasaken pamadosan dhasar kaku kanggé matématika ingkang mundhut papan ingdasawarsa1900-an dumugi 1930-an.Sapérangan kabotensarujukan ngenani dhasar-dhasar matématika teras lumampah dumugi sapunika. Krisis dhasar dipunpicu déning sapérangan silang sengkéta ing wekdal punika kalebetkontrovèrsi téyori himpunan Cantorlankontrovèrsi Brouwer-Hilbert.
Logika matématika dipingatosaken kanthi mapanaken matématika ing satunggiling rangka kerjaaksiomatisingkang kaku, lan ngkaji asil-asil rangka kerja punika. Logika matématika wujud griya kanggéTéyori kabotenjangkepan kaping kalih Gödel, manawi asil ingkang paling dipunriyayakaken ing donya logika, ingkang (kanthi informal) gadhah akibat bilih satunggilingsistem formalingkang isinipun aritmetika dhasar, manawiswantun(maksudipun sadaya téoréma ingkang saged dipunbuktèkaken inggih punika leres), milaboten-jangkep(maksudipun wonten téoréma sajatos ingkang boten saged dipunbuktèkakening salebetipun sistem punika). Gödel nedahaken cara ngonstruksi,sembarangkempalan aksioma wilangan téorètis ingkang dipunparingaken, satunggiling pranyatan formal ing salebetipun logika inggih punika satunggiling wilangan sajatos-satunggiling kasunyatan téorètik, nanging boten numuti aksioma-aksioma punika. Mila, boten wonten sistem formal ingkang wujud aksiomatisasi sajatos téyori wilangan sapenuhipun. Logika modhèren dipunpérang dhumateng salebetipuntéyori rekursi,téyori modhèl, lantéyori pambuktèn, lan magepokan caket kaliyanèlmu komputertéorètis.
Matématika diskrètinggih punika nama jamak kanggé lapangan matématika ingkang paling migunani ing salebetipunèlmu komputer téoretis. Pupunika ngathèkakentéyori komputabilitas,téyori komplèksitas komputasional, lantéyori informasi. Téyori komputabilitas mriksa watesan-watesan manéka modhèl téoretis komputer, kalebet modhèl ingkang dipuntepangi paling gadhah daya-Mesin turing. Téyori komplèksitas inggih punika pangkajian traktabilitas déning komputer; sapérangan masalah, sanadyan kanthi téoretis karampungaken déning komputer, nanging cekap awis miturut kontèks wekdal lan ruwang, boten saged dipundamel kanthi praktis, malah kanthi cepetipun kamajenganpiranti atoskomputer. Pungkasanipun, téyori informasi musataken kawigatosan dhumateng kathahipun data ingkang saged dipunsimpen ing médhia ingkang dipuparingaken, lan mila sesambetan kaliyan konsèp-konsèp saupamipamadhetanlanéntropi.
Minangka lapangan ingkang rélatif énggal, matématika diskrèt gadhah sapérangan masalah kabikak ingkang kalebet masalah dhasar. Ingkang paling misuwur inggih punika masalah "P=NP?", salah satunggilMasalah Bebungah Milenium.
Matématika terapansesambetan kaliyan panggunaan piranti matématika abstrak kanggé mecahaken masalah-masalah konkrèt ing salebetipunèlmu pangertosan,bisnis, lan wewengkon sanèsipun. Satunggiling lapangan wigatos ing salebetipun matématika terapan inggih punikastatistika, ingkang migunakakentéyori peluangminangka piranti lan marengaken panjlasan, analisis, lan paramalan tandha-tandha ing pundipeluanggadhah peran wigatos. Sapérangan ageng pacobèn, survey, lan pangkajian pangamatan mbetahaken statistika. (Nanging kathahstatistikawan, boten nganggep piyambakipun minangka matématikawan, nanging minangka golongan sekuthu.)Analisis numeriknylidhiki métode komputasional kanggé mecahaken masalah-masalah matématika kanthi èfisièn ingkang limrahipun kalangkung amba kanggé kapasitas numerik manungsa; analisis numerik nglibataken pangkajiangalat pamotonganutawi sumber-sumber galat sanès ing salebetipun komputasi.
Pipalanda punika akronim, cekakan saking tembungping,para,lanlansuda. Tembung-tembung wau wujud sekawan sakingoperasi matématikadhasar wonten ingaritmatikaingkang asring kanggé sadinten-dinten. Urutanipun kedah kados makaten, dados manawi wonten operasi matématika ingkang wujud gabungan kedah dipunurut ping-pingan utawi paran lajeng panambahan utawi pangirangan.
Urutan salebeting ngayahi operasi matématika ingkang langkung pepak inggih punika dipunwiwiti wilangan ingkang wonten ing salebeting tandha kurung: () lan ingkang wonten ing salebeting tandhakurung kurawal: {}, dipunlajengaken urutan ping para lan suda.
Tuladha: {(10+2X3-6:2) + (9-4:2+5X1)}
Étangan dipunwiwiti kanthi ngétang kanthi urut kados kasebat ing ngandhap punika
Cithakan:Babagan matematika