Espace à quatre dimensions

Enmathématiques, et plus spécialement engéométrie, l'espace à quatre dimensions(souvent abrégé en4D; on parlera par exemple derotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu commeespace à trois dimensions: tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée detroisnombres, appelésdimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessitequatre. Par exemple, une boîte rectangulaire est caractérisée par sa longueur, sa largeur et sa hauteur ; cela amène au système descoordonnées cartésiennes, souvent notées par les lettresx,y{\displaystyle x,y}etz{\displaystyle z}. Dans l'espace à quatre dimensions, les points sont de même repérés par quatre coordonnées ; la quatrième, qui est le plus souvent notéet{\displaystyle t}ouw{\displaystyle w}, correspond à une nouvelle direction, perpendiculaire à toutes les directions de notre espace.
L'idée d'une quatrième dimension (alors identifiée au temps) apparaît au milieu duXVIIIsiècle, proposée pard'Alembertet rendue rigoureuse parLagrange, mais ce n'est qu'un siècle plus tard qu'une véritable géométrie de l'espace à quatre dimensions est développée par divers auteurs, avant d'être complètement formalisée parBernhard Riemannen 1854. Les outils conceptuels ainsi créés permettent en particulier de classifier complètement les formes géométriques en quatre dimensions analogues aux formes traditionnelles de l'espace usuel, comme lespolyèdresou lescylindres.
L'utilisation de la quatrième dimension (et de dimensions supérieures) est devenue indispensable à laphysique moderne, de lathéorie de la relativité(dont le cadre géométrique est l'espace de Minkowski, un espace à quatre dimensions muni d'unegéométrie non euclidienne) jusqu'à laphysique quantique.
La question de la limitation du monde physique à trois dimensions a été souvent abordée par les philosophes, d'AristoteàKant; des spéculations sur ce que pourrait être une quatrième dimension se trouvent chezOresmeet, de manière plus précise, chezHenry More, lequel imagine une sorte d'« épaisseur spirituelle » à laquelle il donne le nom despissitude, et qui s'étendrait dans une direction « hors de l'espace ».
Cependant, l'idée de donner un sens géométrique concret à une quatrième dimension apparaît pour la première fois chezd'Alembert, qui la mentionne en 1754 dans l'entréeDimensionde l'Encyclopédie.Lagrange, dans saMécanique analytique(publiée en 1788, mais s'appuyant sur des travaux datant de 1755), montre que lamécaniquepeut être étudiée en se plaçant dans un espace à quatre dimensions — trois dimensions pour l'espace et une pour le temps.
En 1827,Möbiuscomprend qu'une quatrième dimension permettrait, par un simple déplacement, de transformer un objet à trois dimensions en sonreflet dans un miroir; vers 1853,Ludwig Schläflidécouvre tous lespolytopesen dimensions supérieures, bien que son travail ne soit pas publié avant sa mort.
Après avoir longuement cherché un ensemble denombress'appliquant à lagéométrie dans l'espace, comme lesnombres complexess'appliquent à la géométrie du plan,William Rowan Hamiltondécouvre en 1843 lesquaternions, un système de nombres plus vaste que celui des nombres complexes, maispartageant la plupart de leurs propriétés. Bien que cet ensemble soit de dimension quatre (c'est-à-dire qu'on peut interpréter chaque quaternion comme un point de l'espace à quatre dimensions), il permet surtout un véritablecalcul géométriqueen trois dimensions et va donner naissance aux outils de l'analyse vectorielle.
Une approche rigoureuse de toutes ces questions est proposée parBernhard Riemanndans sathèsede 1854,Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen[« Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie »], dans laquelle il considère un « point » d'un espace àp{\displaystyle p}dimensions comme étant simplement unesuitedep{\displaystyle p}nombres(x1,…,xp){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{p})}, ce qui permet une géométrie dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Les idées de Riemann amènent également à considérer des coordonnées ditescurvilignes(un exemple simple dans l'espace usuel étant lescoordonnées sphériques) ; pour le mathématicien, il n'y a désormais plus de sens à parler d'une dimension individuelle (comme la quatrième dimension) ; il peut seulement définir ladimension d'un espacecomme étant le nombre de coordonnées nécessaires pour le décrire.
En 1886,Victor Schlegeldécrit une méthode de visualisation depolytopesà l'aide dediagrammes qui portent à présent son nom.
Charles Howard Hintonest l'un des premiers vulgarisateurs de la quatrième dimension, publiant en 1880 son essaiWhat is the Fourth Dimension?dans le magazine de l'université de Dublin. Il introduit un vocabulaire pour parler des objets de cet espace (comme le termetesseract, ou les deux noms de directionanaetkata) dans son livreA New Era of Thought, et une méthode de visualisation à l'aide d'analogies avec les techniques de laperspectivedans le livreFourth Dimension. Dès le début duXXsiècle, plusieurs auteurs rédigent des textes plus rigoureux à l'usage des étudiants, par exemple leTraité élémentaire de géométrie à quatre dimensionsd'Esprit Jouffreten 1904.
En 1909,Hermann Minkowskipublie une construction géométrique de l'espace-tempsde larelativité restreinteà laquelle on donnera par la suite le nom d'espace de Minkowski; cet espace, bien qu'à quatre dimensions, a unegéométrie non euclidienne, très différente de celle popularisée par Hinton. Cette différence n'est pas toujours bien perçue dans les textes de vulgarisation et moins encore dans les ouvrages de philosophie ou de fiction, ce qui amène à des confusions entre le temps physique et une véritable dimension spatiale ; en 1973 encore,Coxeterse sent obligé d'écrire :
—H. S. M. Coxeter,Regular Polytopes
Une première approche de la quatrième dimension consiste à raisonner par analogie, en considérant que la relation entre les objets du plan et ceux de l'espace ordinaire doit donner une idée de la relation entre ces derniers et ceux de l'espace à quatre dimensions. Cette approche fut utilisée parEdwin Abbott Abbottdans son livreFlatland, l'histoire d'un carré vivant dans un monde à deux dimensions, comme la surface d'une feuille de papier. De son point de vue, un être à trois dimensions (une sphère, dans le roman) a des pouvoirs surnaturels, comme la capacité de sortir des objets d'un coffre sans l'ouvrir (en les soulevant et en les reposant un peu plus loin), ou de voir l'intérieur des êtres vivants. Par analogie dimensionnelle, un être à quatre dimensions serait capable de prouesses semblables par rapport à nous ; c'est ce queRudy Ruckerillustre dans son romanSpaceland.
Se repérer dans un plan demande d'y définir deux axes, et passer du plan à l'espace revient de ce point de vue à ajouter un troisième axe sortant du plan. En partant des repères familiers de l'espace usuel (souvent matérialisés par les arêtes joignant deux murs et le plancher d'une pièce), l'idée d'un quatrième axe perpendiculaire aux trois premiers (impossible dans notre espace) permet d'imaginer — par exemple en pensant à des représentations en perspective — un système à quatre coordonnées, et des déplacements dans huit directions principales : avant et arrière, gauche et droite, haut et bas, et deux nouvelles directions pour lesquelles le vulgarisateurHintona inventé les termesanaetkata, à partir de préfixes grecs signifiant respectivement « vers le haut » et « vers le bas »; ces nouvelles directions sont perpendiculaires à toutes les directions de l'espace tridimensionnel familier. Les axes de cet espace étant généralement notésx,y{\displaystyle x,y}etz{\displaystyle z}, le nouvel axe est alors notéw{\displaystyle w}(et nont{\displaystyle t}, puisqu'on ne parle plus du temps, mais d'une nouvelle dimension spatiale), lescoordonnées(longueur, largeurethauteur, ou plus techniquementabscisse,ordonnéeetcote) se voyant adjoindre un nouveau terme, laspissitude, reprenant une idée deHenry More.
Quand un objet tridimensionnel traverse un plan, les habitants de ce plan le perçoivent sous forme desections. Par exemple, si une sphère traverse un plan, les observateurs bidimensionnels verront apparaître un point, puis un cercle grandissant jusqu'au diamètre de la sphère, et rétrécissant ensuite jusqu'à disparaître. Par analogie, unehypersphèretraversant notre espace devrait apparaître comme une sphère gonflant, puis diminuant avant de disparaître. Cette méthode de visualisation d'objets à quatre dimensions est utilisée dans plusieurs ouvrages deCharles Howard Hinton.
Une autre méthode de visualisation consiste à étudier desprojections. Les représentations d'objets en trois dimensions sur une surface plane utilisent généralement destransformations géométriques, dont les plus élaborées (lestransformations projectives) proviennent à l'origine des travaux des peintres duQuattrocento, inventant leslois de la perspective; la troisième dimension (laprofondeur) est souvent, dans ce cas, donnée par des indices indirects, tels que les ombres, les reflets ou le flou de l'éloignement. Ces projections déforment les objets, les faces carrées d'un cube devenant des parallélogrammes.
De façon analogue, des objets de la quatrième dimension peuvent être projetés sur notre espace ; avec de l'entraînement, on peut attribuer les déformations correspondantes à laspissitude(la « profondeur » dans la quatrième dimension).
Les images ci-dessous illustrent ce principe, montrant trois projections d'untesseract(l'analogue du cube à quatre dimensions), déterminées par analogie avec les projections correspondantes d'un cube ; le calcul rigoureux montre qu'il s'agit bien des véritables projections (au sens mathématique).
Une variante consiste à interpréter plus physiquement ces projections comme correspondant à l'ombreportée d'un objet : puisque l'ombre sur un plan d'un cube (matérialisé par ses arêtes) est formée de deux carrés dont les sommets sont reliés entre eux, l'analogie prédit que l'ombre d'un tesseract sera un cube suspendu à l'intérieur d'un autre cube, comme on le voit sur la figure de gauche.
Les techniques de lagéométrie descriptive, représentant le même objet par trois projections orthogonales, peuvent là aussi permettre, par analogie, des représentations (par quatre projections) d'objets en 4D, comme sur l'illustration de droite, représentant une des cellules octaédriques du24-cellules.
On peut (figure de gauche) tracer dans un plan lepatrond'un cube et donner des indications de repliage (évidemment inutilisables pour un habitant du plan) permettant de construire le cube lui-même. La figure animée de droite tente de montrer de même comment replier le patron d'un tesseract.
Bien que considérer le temps comme une quatrième dimension ne permette pas le plus souvent d'en percevoir les propriétés géométriques, certaines configurations simples peuvent être plus aisément visualisées en les interprétant de manièrecinématique. Par exemple, une droite de l'espace usuel se déplaçant dans unmouvement de translation uniformedécrit un plan de l'espace-temps; on voit alors que l'intersection de deux plans correspond aux points de l'espace-temps où les deux droites se coupent, ce qui se produira en général en un lieu et un temps uniques, et donc que l'intersection de deux plans  en 4D est en général réduite à un point.
Ces différentes méthodes sont utiles en première approche, mais elles souffrent de plusieurs limites : elles ne permettent pas de soupçonner l'existence d'objets sans analogue tridimensionnel, comme lesixième polytope régulier, ni de prédire la plupart des résultats quantitatifs, comme le volume de l'hypersphère, lequel n'est pas6πr3{\displaystyle 6\pi r^{3}}(ou peut-être8πr3{\displaystyle 8\pi r^{3}}), comme on pourrait le penser en prolongeant la série2πr{\displaystyle 2\pi r}(pour le périmètre d'un cercle) et4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}(pour l'aire d'une sphère), mais est donné par la formule inattendueV3=2π2r3{\displaystyle V_{3}=2\pi ^{2}r^{3}}. Enfin, elles peuvent amener à des erreurs importantes : ainsi, lesrotations du planse faisant autour d'un point fixe, etcelles de l'espaceautour d'un axe fixe, on pourrait croire que lesrotations 4Dse font autour d'un plan fixe, mais ce n'est le cas que pour desrotations très particulières.
La section précédente a montré les limites des approches non rigoureuses. Pour pouvoir étudier en détail les propriétés de l'espace à quatre dimensions, l'emploi du raisonnement mathématique s'appuyant sur des définitions précises est nécessaire ; l'approche géométrique pure (à la manière des Grecs) est séduisante, mais l'utilisation des outils algébriques (et même d'outils plus modernes, comme ceux de l'analyseou de latopologie combinatoire) permet une analyse plus sûre et plus rapide, d'autant que l'intuition visuelle, sur laquelle les démonstrations géométriques reposent souvent, est beaucoup plus difficile à développer en 4D.
Une constructionaxiomatiqueselon la méthode desÉléments(ou d'une version plus moderne et plus rigoureuse, telle quecelle de Hilbert) est possible et a été proposée parGrassmanndès 1840, formalisée parCayleyetSylvester, et vulgarisée par exemple parSchuberten 1905; outre les points, droites et plans familiers, on définit un nouvel objet primitif, l'hyperplan, et une série de nouveaux axiomes : la géométrie d'un hyperplan est la géométrie de l'espace usuel à trois dimensions, par quatre points non coplanaires passe un hyperplan et un seul, par tout point d'un hyperplan passe une droite perpendiculaire à toutes les droites de cet hyperplan passant par ce point,etc.
Une approche plus moderne utilisant cependant le même vocabulaire, comme celle proposée parJouffret, définit l'espace à quatre dimensions comme étant simplementR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}(c’est-à-dire que chaque point est identifié à unesuitede quatre nombres, ses coordonnées), mais traduit ensuite les ensembles et les équations dans le langage de la géométrie classique, définissant par exemple un plan comme la donnée d'un système de deux équations à quatre inconnues, représentant les quatre coordonnées des points du plan.
La géométrie ainsi construite esteuclidienne(au sens où, par exemple, lasomme des angles d'un trianglereste égale à180∘{\displaystyle 180^{\circ }}) ; ce ne fut pas toujours bien compris par les contemporains, car l'apparition presque simultanée desgéométries non euclidiennesavait amené à des confusions mettant dans le même ensemble de mathématiques exotiques, voirepathologiques, toutes ces idées incompatibles avec l'intuition géométrique usuelle.
Beaucoup d'objets d'étude de la géométrie dans l'espace (droites et plans, distances et angles,polyèdres, surfaces classiques comme lessphèresou lestores,déplacements,etc.) se généralisent ou ont des analogues à quatre dimensions, mais certaines propriétés de ces nouveaux objets sont assez différentes ou plus complexes, en raison d'un nombre plus grand dedegrés de liberté.
La position relative de deux plans est une bonne illustration de la complexité apportée par la quatrième dimension : contrairement à ce qui se passe dans l'espace usuel (où deux plans distincts ne peuvent être que parallèles ou avoir une droite en commun), deux plans n'ont en général qu'un seul point en commun, mais ils peuvent (s'ils sont contenus dans le même hyperplan) avoir une droite en commun, et deux types de « parallélisme » (c'est-à-dire de non intersection) sont possibles : les deux plans peuvent être parallèles à une même droite (chaque plan définissant avec la droite un hyperplan, les deux hyperplans étant distincts), ou les deux plans peuvent être complètement parallèles, c'est-à-dire parallèles dans le même hyperplan.
Bien que les méthodes classiques de la géométrie euclidienne suffisent pour démontrer ce genre de résultat, les démonstrations et les calculs sont bien plus aisés à l'aide des outils de l'algèbre linéaire, et analyser tous les cas de figure possibles d'une situation plus complexe, telle que la configuration de quatre hyperplans, relèverait même plutôt des méthodes de lagéométrie énumérative.
Les cinqpolyèdres réguliers(connus sous le nom desolides de Platon) ont pour analogue des4-polytopes(appeléspolychores réguliers), dont les « faces » (ou plutôt les 3-faces, oucellules) sont des polyèdres réguliers ; il en existe six, représentés ci-dessous ; cinq ont des relations étroites avec les cinq solides de Platon, mais le sixième, l'icositétrachore, ou 24-cellules, ne pourrait se deviner par simple analogie. En affaiblissant les conditions de régularité, on obtient dans l'espace usuel 13polyèdres semi-réguliers, lessolides d'Archimède; en dimension 4, il existe de même une soixantaine de4-polytopes uniformes, dont beaucoup n'ont aucun analogue tridimensionnel.
Ces objets généralisent les objets correspondants de l'espace ; il s'agit d'ensemblesparamétrés(de manièrerégulière) par un, deux ou trois paramètres (autrement dit, on peut s'y déplacer suivant un, deux ou troisdegrés de liberté). La description la plus générale de ces ensembles a été construite parBernhard Riemann(dans sa thèse de 1854) sous le nom devariétés, iciplongéesdans l'espace à quatre dimensions.
L’ensemble des points situés à la même distanceR{\displaystyle R}d’un point fixéP0{\displaystyle P_{0}}est unehypersurface, la3-sphère(de centreP0{\displaystyle P_{0}}et de rayonR{\displaystyle R}), souvent appeléehypersphèrelorsque la dimension est claire d'après le contexte. On peut repérer les points de la 3-sphère à l'aide descoordonnées hypersphériques, définies de manière analogue auxcoordonnées sphériques. Son volume estV3=2π2R3{\displaystyle V_{3}=2\pi ^{2}R^{3}}et le domaine qu'elle délimite a pour hypervolumeV4=12π2R4{\displaystyle V_{4}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}, mais ces formules ne peuvent en revanche pas être obtenues par analogie, et demandent les outils ducalcul intégral. L'hypersphère est la plus simple des3-variétésdecourburenon nulle et a servi demodèle cosmologiqueà l'univers décrit par larelativité générale.
Dans l'espace usuel, uncylindrepeut être interprété comme le résultat du déplacement d'un cercle dans une direction hors de son plan, ou, plus abstraitement, comme leproduit cartésiend'un cercle par une droite. En quatre dimensions, plusieurs objets distincts généralisent ces définitions : déplaçant une sphère hors de son hyperespace, on obtient une hypersurface, appeléecylindre sphérique; déplaçant de même un cylindre (ou, ce qui revient au même, déplaçant un cercle dans deux directions), on obtient une autre hypersurface, lecylindre cubique. Enfin, le produit cartésien de deux cercles, dont letore de Cliffordest un plongement dans la 3-sphère, est une surfacetopologiquement semblableà untore, mais qui n'a pas de courbure. Suivant les auteurs, ces différents termes désignent parfois non des surfaces ou des hypersurfaces, mais des sous-ensembles de l'espace bornés par elles ; par exemple, le cylindre sphérique désigne parfois le produit d'uneboulepar un segment de droite, et ledouble cylindrela région de la 3-sphère bornée par le tore de Clifford (une portion d'hypersurface), ou même le produit de deux disques.
Laclassification des surfacesfermées de l'espace usuel (au senstopologique, qui veut qu'une tasse de café soit indiscernable d'un beignet pour un mathématicien) a été achevée parPoincaréen 1907 ; le résultat correspondant pour les hypersurfaces de l'espace à quatre dimensions (dont un cas particulier est laconjecture de Poincaré) est laconjecture de géométrisation de Thurston, qui ne fut formulée par lui qu'en 1976 et démontrée parPerelmanen 2003 ; cette classification est complexe et pratiquement impossible à visualiser ou même àvulgariser.
Dans l'espace usuel, unecourbe ferméepeut former unnœud, mais une surface (semblable à une sphère) ne le peut pas. En quatre dimensions, la situation s'inverse : une courbe qui semble nouée peut se ramener à un cercle en déplaçant les croisements apparents dans la quatrième direction, mais au contraire on peut fabriquer des surfaces nouéeshoméomorphesà une sphère, par exemple en partant d'un nœud simple de l'espace usuel et en le faisanttourner autour d'un planbien choisi. La théorie de ces nœuds est là aussi beaucoup plus complexe que lathéorie des nœudsusuelle.
Résoudre des questions de ce genre, et même simplement les formuler rigoureusement, demande l'utilisation d'outils plus abstraits que ceux de la géométrie classique :topologie combinatoire,homotopie,géométrie algébrique,etc.
Commeen dimension trois, lesdéplacements4D sont descomposéesdetranslationset derotations; ces dernières (définies comme desisométriesdirectesayant unpoint fixe) n'ont en général qu'un seul point fixe et sont composées de rotations autour de deux plans orthogonauxinvariants. Lorsque ces deux rotations ont le même angle, il existe toute une famille de plans invariants et dans lesquels la rotation se fait selon le même angle ; on parle alors derotation isocline. L'étude de ces transformations relève plutôt de l'algèbre linéaireet ducalcul matriciel, plus précisément de la technique deréduction des endomorphismes(utilisant en particulier les notions devecteur propreet desous-espace caractéristique).
Formellement, l’espace à quatre dimensions est défini comme unespace affine euclidien(de dimension 4).
La représentation algébrique la plus simple de cet espace consiste à identifier chaque point auvecteurde ses quatre coordonnées dans unrepèreorthonormal, l'espace vectoriel correspondant étant identifié àR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}; le vecteura{\displaystyle \mathbf {a} }s'écrit alorsa=(a1,a2,a3,a4).{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}).}Les quatre vecteurs de labase canonique(e1,e2,e3,e4){\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\mathbf {e} _{4})}sont donnés pare1=(1,0,0,0);e2=(0,1,0,0);e3=(0,0,1,0);e4=(0,0,0,1),{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0,0)\ ;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0,0)\ ;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1,0)\ ;\mathbf {e} _{4}=(0,0,0,1),}et le vecteur général s'écrit donca=a1e1+a2e2+a3e3+a4e4.{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}
Les calculs vectoriels se font comme dans l'espace usuelR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, leproduit scalairese généralise de même à
et permet de calculer lanorme(donc la distance entre deux points) par la formule (généralisant lethéorème de Pythagore)
et de définir l'angleθ{\displaystyle \theta }entre deux vecteurs non nuls parθ=arccos⁡a⋅b|a||b|{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}. Il n'existe en revanche pas deproduit vectorielen 4 dimensions.
Cette représentation permet d'utiliser les outils de lagéométrie analytique, en ramenant les objets à étudier à leurséquations cartésiennes. Par exemple, un hyperplan est formé de tous les points de coordonnées(x,y,z,w){\displaystyle (x,y,z,w)}vérifiant une équation de la formeax+by+cz+dw=e{\displaystyle ax+by+cz+dw=e}et il est orthogonal aux droites devecteur directeur(a,b,c,d){\displaystyle (a,b,c,d)}; l'hypersphère de centreP0=(x0,y0,z0,w0){\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0},w_{0})}et de rayonR{\displaystyle R}a pour équation(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2+(w−w0)2=R2{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}+(w-w_{0})^{2}=R^{2}}.
D'autres systèmes de coordonnées, comme lescoordonnées hypersphériques, ou lescoordonnées de Hopf, sont plus adaptés à l'étude des déplacements de l'espace à quatre dimensions, en particulier desrotations.
L'espace de Minkowskiutilise le mêmesystème de coordonnéescartésiennes (en remplaçantw{\displaystyle w}part{\displaystyle t}, représentant le temps), mais remplace le produit scalaire précédent par un pseudo-produit scalaire défini par la formulea⋅b=a1b1+a2b2+a3b3−c2a4b4{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-c^{2}a_{4}b_{4}}(oùc{\displaystyle c}est lavitesse de la lumière) et associé à uneforme quadratiquedesignature(+,+,+,−){\displaystyle (+,+,+,-)}; celle-ci modélise l'intervalle d'espace-temps. La géométrie de cet espace (si on interprète ce pseudo-produit scalaire comme un produit scalaire ordinaire) estnon euclidienne, et possède même des propriétés incompatibles avec les définitions usuelles, la distance entre deux points pouvant êtreimaginaire, ou le cosinus d'un angle être supérieur à 1.
En mathématiques pures, l'espace à quatre dimensions est le cadre naturel de la représentation et de l'étude dugraphedesfonctions de variable complexe. La plus importante de ses applications vient cependant sans doute de l'idée, due àBernhard Riemann, d'interpréter lescourbes algébriquescomme dessurfacesplongées dans leplan projectif complexe(qui s'identifie àR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}prolongé par despoints à l'infini) ; cette approche est encore féconde actuellement.
Dès le cours de mécanique deLagrangeen 1788, l'utilisation de plus de trois coordonnées est fréquente ; le temps est le plus souvent utilisé comme quatrième variable, mais des systèmes de représentation mécanique à six coordonnées, ajoutant lesangles d'Euleraux trois directions de déplacement, ont également été proposés. Cependant, il ne semble pas que cela ait été considéré comme autre chose qu'un artifice de calcul commode, sans signification géométrique.
Ce n'est qu'avec larelativité restreintequ’apparaît une vision de l'espace-tempscomme un véritable espace géométrique à quatre dimensions (où, en particulier, les repères en translation uniforme font « tourner » l'espace-temps, le temps n'étant donc plus vu comme une direction indépendante des trois autres) ; larelativité généraleamène même à considérer cet espace-temps commecourbe, ce qui ne peut se visualiser aisément, mais correspond à des effets physiques bien réels, le plus spectaculaire étant la formation detrous noirs. Lamécanique statistiqueet lathermodynamique, quant à elles, représentent parfois l'état d'un système (tel qu'un gaz) par un point d'un espace à un grand nombre de dimensions, l'espace des phases, mais ne s'intéressent qu'assez peu à la géométrie de cet espace; enfin, laphysique quantiqueutilise pour représenter les systèmes et les mesures qu'on peut faire sur eux (à l'aide en particulier desvecteurs d'état) un espace à un nombre infini de dimensions, l'espace de Hilbert.
À la fin duXXsiècle, des applications purement géométriques à lacristallographieont été découvertes, interprétant lesquasi-cristauxcomme des projections dans notre espace de réseaux réguliers d'un espace de dimension plus grande.
Il a longtemps été déclaré qu'une véritable perception de la quatrième dimension (au sens où, par exemple, on imaginerait ce que verrait un observateur quadridimensionnel, on se déplacerait dans cet espace en imagination,etc.) était impossible, ou demanderait des efforts démesurés. Cependant, avec la familiarisation des mathématiciens et des physiciens à ces idées, beaucoup ont tenté d'y parvenir, souvent avec succès, comme le fit par exempleJohn Horton Conway.
Des recherches récentes utilisant des techniques deréalité virtuelleont montré que, sans entraînement préalable, des volontaires pouvaient en quelques heures apprendre à s'orienter dans des labyrinthes simples en 4D, répondant par exemple sans erreur (et sans calcul) à la question de déterminer la direction de leur point de départ après plusieurs déplacements dans des directions orthogonales de cet espace.
Dans le langage courant, l'expression « quatrième dimension » renvoie souvent simplement à des phénomènes inexplicables, comme dans la célèbresérie télévisée portant ce nom. Lemarketingl'utilise pour insister sur l’ajout d’une qualité supplémentaire, comme pour lecinéma 4-Dou lesmontagnes russes quadridimensionnelles. Mais de véritables références à sa signification mathématique sont apparues dès la fin duXIXsiècle.
Les ouvrages deHintoninspirèrent peut-êtreEdwin Abbott Abbottà publierFlatlanden1884, où il montre comment notre espace pourrait être perçu par un Carré, habitant d'un monde à deux dimensions, lequel finit par suggérer (sans grand succès) à la Sphère qui est venue le visiter qu'une quatrième dimension spatiale serait possible ; Hinton à son tour publia en 1906 un chapitre additionnel deFlatland. Mais le plus souvent, la quatrième dimension est identifiée au temps, l'illustration la plus connue en étantLa Machine à explorer le tempsdeH. G. Wells, dont une traduction est publiée auMercure de Francedès 1899.
En 1912,Gaston de Pawlowskiest l’auteur d'un roman descience-fiction,Voyage au pays de la quatrième dimension, qui utilise véritablement une dimension spatiale supplémentaire ; de nombreux textes analogues suivront, par exemple la nouvelle deRobert Heinlein,La Maison biscornue, décrivant avec humour le repliement d'unpatrondetesseract.
Plusieurs ouvrages devulgarisationont popularisé certaines de ces idées auprès du grand public, depuis les exposés dePoincarédansLa Science et l'Hypothèsejusqu'aux livres deRudy Rucker; à partir des années 1990, les progrès de l'infographieont permis des réalisations plus abordables encore, telles que le filmDimensions... une promenade mathématique.
Les modèles d'objets à quatre dimensions (ou plus exactement de leurs projections dans notre espace) ont très tôt inspiré peintres et sculpteurs;Maurice Princeta même pu affirmer l'influence de certains croquis deJouffretsur des œuvrescubistestelles que leportrait d'Ambroise VollardparPicasso; plus explicitement,Salvador Dalí, dansCorpus hypercubus, a représenté unecrucifixionsur unpatrond'hypercube.
L'Arche de la Défensea été parfois vue comme une projection tridimensionnelle d'untesseract; lemonument à la Constitution de 1978, àMadrid, est plus délibérément construit à partir d'une telle projection. De nombreuses sculptures ont été également réalisées à partir de diverses représentations d'objets quadridimensionnels, combinant des objectifs esthétiques et pédagogiques.
L'idée d'une quatrième dimension habitée par des êtres supérieurs à nous ou des esprits (voire desfantômes) est assez fréquente dès le début duXXsiècle dans des textesésotériques, par exemple dans ceux dePiotr Ouspenski, ou encore dans un ensemble de conférences données parRudolf Steineren 1905, mélangeant des résultats mathématiques rigoureux à des interprétations mystiques, facilitées comme on l'a vu par la possibilité, en utilisant la quatrième dimension (si elle était physiquement accessible), d'opérer des miracles apparents. De même, les opérations dechirurgie psychiqueont été décrites dans les années 1960 comme relevant d'une « chirurgie de la quatrième dimension ».
Certaines propriétés de l'espace à quatre dimensions, par exemple la transformation enimage dans un miroirà la suite d'un simple déplacement, ont été exploitées par des auteurs defantastique, comme le faitLovecraftdansLa Maison de la sorcière; lemythe de Cthulhucontient d'ailleurs plusieurs autres références à des géométries incompréhensibles, comme la capacité deschiens de Tindalosà se déplacer en utilisant les angles du temps.
De nombreuxfilms fantastiqueset descience-fictionfont référence à la quatrième dimension, le plus souvent en la confondant avec le temps ; plus géométriquement,Cube 2etInterstellarutilisent untesseractcomme une sorte de labyrinthe permettant également un accès à d'autres époques, voire à desunivers parallèles.
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