Kerucut

Dalamgeometri,kerucutadalah sebuahlimasistimewa yang beralas lingkaran. Kerucut mempunyai 2 sisi, 1 rusuk, dan 1 titik sudut.
Sisi tegak kerucut tidak berupasegitigatapi berupabidang miringyang disebut selimut kerucut.
Keliling dasar kerucut disebut "directrix", dan masing-masing segmen garis antara directrix dan apex adalah "generatrix" atau "garis pembangkit" dari permukaan lateral. (Untuk hubungan antara pengertian istilah "directrix" dan directrix dari bagian kerucut, lihat Dandelin spheres .)
"Jari-jari dasar" dari kerucut lingkaran adalah jari - jari alasnya; sering kali ini hanya disebut jari-jari kerucut. The aperture kerucut melingkar tepat adalah sudut maksimum antara dua garis generatrix; jika generatrix membuat sudutθke sumbu, aperture adalah2 θ.
Sebuah kerucut dengan daerah termasuk puncaknya dipotong oleh pesawat disebut " kerucut terpotong "; jika bidang pemotongan sejajar dengan basis kerucut, itu disebutfrustum."Kerucut elips" adalah kerucut dengan dasar elips."Kerucut umum" adalah permukaan yang dibuat oleh sekumpulan garis yang melewati titik dan setiap titik pada batas (juga lihat lambung visual).
s=r2+t2{\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+t^{2}}}}
L=πr2{\displaystyle L=\pi r^{2}}
L=πrs{\displaystyle L=\pi rs}=πrr2+t2{\displaystyle =\pi r{\sqrt {r^{2}+t^{2}}}}
L=La+Ls{\displaystyle L=L_{a}+L_{s}}=πr2+πrs{\displaystyle =\pi r^{2}+\pi rs}, atau=πr⋅(r+s){\displaystyle =\pi r\cdot (r+s)}=πr⋅(r+r2+t2){\displaystyle =\pi r\cdot (r+{\sqrt {r^{2}+t^{2}}})}
Volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut
dimanar{\displaystyle r}danh{\displaystyle h}masing-masing melambangkanjari-jaridan tinggi kerucut.
Untuk membuktikan rumus volume kerucut di atas, berikut ini merupakan pembuktian di antaranya:
Misaly=rxh{\displaystyle y={\frac {rx}{h}}}(anggapr>0{\displaystyle r>0},h>0{\displaystyle h>0}), sumbu-x{\displaystyle x}, danx=h{\displaystyle x=h}adalah garis yang membatasi daerah. Daerah tersebut diputar di sumbu-x{\displaystyle x}. Untuk membuktikannya, kita cukup mengiriskan benda yang diputar. Aproksimasikan
lalu, mengintegrasikannya
Kerucut bundar padat yang tepat dengan tinggih{\displaystyle h}dan aperture2θ{\displaystyle 2\theta }, yang porosnya adalahz{\displaystyle z}sumbu koordinat dan yang puncaknya adalah asalnya, digambarkan secara parametrik sebagai
dimanas,t,u{\displaystyle s,t,u}berkisar[0,θ){\displaystyle [0,\theta )},[0,2π){\displaystyle [0,2\pi )}, dan[0,h]{\displaystyle [0,h]}, masing-masing.
Dalam bentuk tersirat , padatan yang sama didefinisikan oleh ketidaksetaraan
dimana
Lebih umum, kerucut melingkar kanan dengan titik pada asal, sumbu sejajar dengan vektor2θ{\displaystyle 2\theta }, diberikan oleh persamaanvektorimplisitF(u)=0{\displaystyle F(u)=0}dimana
dimanau=(x,y,z){\displaystyle u=(x,y,z)}, danu⋅d{\displaystyle u\cdot d}menunjukkan produk titik.
Dalamsistem koordinat Kartesius,sebuahkerucut elipsadalah lokus dari persamaan bentuk
Ini adalah sebuah gambar affine dari unit lingkaran kanan dengan persamaanx2+y2=z2.{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}Dari fakta, bahwa gambar affine dari bagian kerucut adalah bagian kerucut dari jenis yang sama (elips,parabola, ...) orang mendapat:
Jelas, setiap kerucut melingkar kanan berisi lingkaran. Ini juga benar, tetapi kurang jelas, dalam kasus umum
Representasi parameter kerucut dapat dijelaskan sebagai berikut. Dengan gambarP→{\displaystyle {\overrightarrow {P}}}koordinat kerucut dapat dikonversi menjadi Koordinat kartesius. Dengan gambarQ→{\displaystyle {\overrightarrow {Q}}}Koordinat kartesius dapat dikonversi menjadi koordinat kerucut.
P→(γ,φ,χ)=(xyz)=χ⋅(γcos⁡(φ)γsin⁡(φ)1)Q→(x,y,z)=(γφχ)=(1zx2+y2arctan⁡2(y,x)z){\displaystyle {\overrightarrow {P}}(\gamma ,\varphi ,\chi )={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\chi \cdot {\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}\quad \quad \quad {\overrightarrow {Q}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}\gamma \\\varphi \\\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\arctan 2(y,x)\\z\end{pmatrix}}}
Keliling segmen kerucut diberikan oleh (lihat ilustrasi di bawah):
Maka batasnya dapat dinyatakan dalam keliling kerucut sebagai berikut:
Keliling segmen kerucut padat karenanya berkisar:
Representasi keliling berikut ini berlaku untuk permukaan lateral yang sesuai dari segmen kerucut ini:
Vektor normal permukaan adalah ortogonal ke permukaan kerucut. Diperlukan untukB. melakukan perhitungan aliran melalui permukaan lateral.Luas permukaanlateral dapat dihitung sebagai integral ganda menggunakan norma vektor normal permukaan.n→=∂P→∂φ×∂P→∂χ=χγ⋅(cos⁡(φ)sin⁡(φ)−γ){\displaystyle {\overrightarrow {n}}={\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \varphi }}\times {\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \chi }}=\chi \gamma \cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\-\gamma \end{pmatrix}}}
Vektor satuan dalam komponen kartesius diperoleh dengan normalisasi pada vektor tangen dari parameterisasi tersebut.Vektortangen dihasilkan dari turunan parsial pertama menurut masing-masing variabel. Ketiga vektor satuan ini membentuk basis normal. Ini bukan basis ortonormal karena tidak semua vektor satuan ortogonal satu sama lain.eγ→=∂γP→‖∂γP→‖=(cos⁡(φ)sin⁡(φ)0)eφ→=∂φP→‖∂φP→‖=(−sin⁡(φ)cos⁡(φ)0)eχ→=∂χP→‖∂χP→‖=11+γ2(γcos⁡(φ)γsin⁡(φ)1){\displaystyle {\overrightarrow {e_{\gamma }}}={\frac {\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\varphi }}}={\frac {\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\chi }}}={\frac {\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}}
Matriks fungsional dan kebalikannya diperlukan untuk kemudian mengubah turunan parsial.Jf=∂(x,y,z)∂(γ,φ,χ)=(∂γx∂φx∂χx∂γy∂φy∂χy∂γz∂φz∂χz)=(χcos⁡(φ)−χγsin⁡(φ)γcos⁡(φ)χsin⁡(φ)χγcos⁡(φ)γsin⁡(φ)001){\displaystyle J_{f}={\frac {\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{\gamma }x&\partial _{\varphi }x&\partial _{\chi }x\\\partial _{\gamma }y&\partial _{\varphi }y&\partial _{\chi }y\\\partial _{\gamma }z&\partial _{\varphi }z&\partial _{\chi }z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\chi \cos(\varphi )&-\chi \gamma \sin(\varphi )&\gamma \cos(\varphi )\\\chi \sin(\varphi )&\chi \gamma \cos(\varphi )&\gamma \sin(\varphi )\\0&0&1\end{pmatrix}}}
Jf−1=∂(γ,φ,χ)∂(x,y,z)=(∂xγ∂yγ∂zγ∂xφ∂yφ∂zφ∂xχ∂yχ∂zχ)=(cos⁡(φ)χsin⁡(φ)χ−γχ−sin⁡(φ)χγcos⁡(φ)χγ0001){\displaystyle J_{f}^{-1}={\frac {\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{x}\gamma &\partial _{y}\gamma &\partial _{z}\gamma \\\partial _{x}\varphi &\partial _{y}\varphi &\partial _{z}\varphi \\\partial _{x}\chi &\partial _{y}\chi &\partial _{z}\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}&{\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}&-{\frac {\gamma }{\chi }}\\-{\frac {\sin(\varphi )}{\chi \gamma }}&{\frac {\cos(\varphi )}{\chi \gamma }}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
Matriks transformasi diperlukan untuk mentransformasikan unit vektor dan bidang vektor. Matriks ini terdiri dari vektor satuan dari parameterisasi sebagai vektor kolom. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di bawah artikelBasiswechsel.S=(eγ→eφ→eχ→)=(cos⁡(φ)−sin⁡(φ)γcos⁡(φ)1+γ2sin⁡(φ)cos⁡(φ)γsin⁡(φ)1+γ20011+γ2)S−1=(cos⁡(φ)sin⁡(φ)−γ−sin⁡(φ)cos⁡(φ)0001+γ2){\displaystyle S={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )&{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\0&0&{\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\end{pmatrix}}\quad \quad \quad \quad S^{-1}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )&-\gamma \\-\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&0\\0&0&{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\end{pmatrix}}}
Turunan parsial dapat ditransformasikan dengan matriks Jacobi terbalik
(∂∂x∂∂y∂∂z)T=(Jf−1)T⋅(∂∂γ∂∂φ∂∂χ)T{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}^{T}=(J_{f}^{-1})^{T}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial \chi }}\end{pmatrix}}^{T}}
Hasilnya adalah:
∂∂x=cos⁡(φ)χ∂∂γ−sin⁡(φ)γχ∂∂φ{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-{\frac {\sin(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}
∂∂y=sin⁡(φ)χ∂∂γ+cos⁡(φ)γχ∂∂φ{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}+{\frac {\cos(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}
∂∂z=∂∂χ−γχ∂∂γ{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}}
Vektor satuan dapat ditransformasikan dengan matriks transformasi terbalik.(ex→ey→ez→)=(eγ→eφ→eχ→)⋅S−1{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{x}}}&{\overrightarrow {e_{y}}}&{\overrightarrow {e_{z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}\cdot S^{-1}}
Hasilnya adalah:
ex→=cos⁡(φ)⋅eγ→−sin⁡(φ)⋅eφ→{\displaystyle {\overrightarrow {e_{x}}}=\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}-\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}}
ey→=sin⁡(φ)⋅eγ→+cos⁡(φ)⋅eφ→{\displaystyle {\overrightarrow {e_{y}}}=\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}}
ez→=1+γ2⋅eχ→−γ⋅eγ→{\displaystyle {\overrightarrow {e_{z}}}={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}-\gamma \cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}}
Bidang vektor dapat ditransformasikan oleh perkalian matriks dengan matriks transformasi.(FxFyFz)=S⋅(FγFφFχ){\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}F_{\gamma }\\F_{\varphi }\\F_{\chi }\end{pmatrix}}}
Hasilnya adalah:
Fx=cos⁡(φ)⋅Fγ−sin⁡(φ)⋅Fφ+γcos⁡(φ)1+γ2⋅Fχ{\displaystyle F_{x}=\cos(\varphi )\cdot F_{\gamma }-\sin(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}
Fy=sin⁡(φ)⋅Fγ+cos⁡(φ)⋅Fφ+γsin⁡(φ)1+γ2⋅Fχ{\displaystyle F_{y}=\sin(\varphi )\cdot F_{\gamma }+\cos(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}
Fz=11+γ2⋅Fχ{\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}
Diferensial volume dapat ditentukan menggunakan determinan dari matriks Jacobi. Ini menawarkan kemungkinan z. B. untuk menghitung volume kerucut menggunakan triple integral.dV=detJf⋅dγdχdφ=χ2γ⋅dγdχdφ{\displaystyle dV=\det J_{f}\cdot d\gamma d\chi d\varphi =\chi ^{2}\gamma \cdot d\gamma d\chi d\varphi }
Diferensial permukaan dapat ditentukan dengan norma dari vektor normal permukaan. Jadi kamu bisa z. B. tentukan luas permukaan lateral dengan integral ganda.dA=‖n→‖⋅dχdφ=χγ1+γ2⋅dχdφatauγ=const.{\displaystyle dA=\|{\overrightarrow {n}}\|\cdot d\chi d\varphi =\chi \gamma {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot d\chi d\varphi \quad {\text{atau}}\quad \gamma ={\text{const.}}}
RepresentasiOperator Nabladalam koordinat kerucut dapat diperoleh dengan memasukkan vektor satuan transformasi dan turunan parsial dalam operator kartesius Nabla:
Gradiendalam koordinat kerucut diperoleh dengan menerapkan transformasiOperator Nablake medan skalar dalam koordinat kerucut.
Operator untukdivergensi bidang vektordapat diperoleh dengan menerapkan operator Nabla ke bidang vektor dalam koordinat kerucut:
Definisikerucut dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi (lihat kerucut cembung ). Dalam hal ini, salah satu mengatakan bahwa cembung set C di nyata vektor ruangRnadalah kerucut (dengan puncaknya pada titik asal) jika untuk setiapvektorxdiCdan setiap non-negatif bilangan real a , vektor kapak diC.Dalam konteks ini, analog kerucut bundar biasanya tidak istimewa; bahkan orang sering tertarik pada kerucut polihedral.
Frustumadalah sebuah tabung besar dikurangi sebuah tabung kecil.
V=13⋅π(r2+rR+R2)⋅t{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi (r^{2}+rR+R^{2})\cdot t}
Bukti:
Andaikan sebuah tabung besar memiliki jari-jari r serta potongan tinggi t sedangkan kecil jari-jari R dan tinggi T.
untuk mencari h dengan membandingkan sbb:
lalu
untuk mencari T sbb:
dimanar3−R3=(r−R)(r2+rR+R2){\displaystyle r^{3}-R^{3}=(r-R)(r^{2}+rR+R^{2})}