ピタゴラスの定理

初等幾何学におけるピタゴラスの定理（、英:Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さをc, 他の2辺の長さをa,bとすると、
という等式の形で述べられる。
現在の日本では三平方の定理（）とも呼ばれている。戦前の日本では勾股弦の定理（）と呼ばれていた。「ピタゴラス」と冠しているが、発見を含めて、定理と何か関係があるのかから知られていない。
ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。例えば、2次元直交座標系において、座標が分かっている2点間の距離を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。
(a,b,c)で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。
直角三角形において、斜辺の長さをc、直角をはさむ 2辺の長さをa,bとすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：
ここでa,b,cはいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる：
この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。
「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの逸話が伝えられているが、実際にこの定理にピタゴラス自身が関わった事があるかから全く分かっていない。
ピタゴラスの定理の内容は歴史上の文献にいくつか著されているが、どれだけあるのかは議論がある。ピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていたと言われるものの、特にユークリッド原論によって数学が体系化されるよりも前の時代だと、定理のように一般化された形ではなく特定の直角三角形の性質に留まるものが多くなる。辺の長さの比が3:4:5のように特殊な直角三角形がピタゴラスの定理の式を満たす事が分かっていたとしても、全ての直角三角形で定理の式が成り立つと理解できていたかは別の話であり、この意味で、ピタゴラスの定理の真の発見者を特定するのは難しい。
判明しているもので最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる。
バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。
エジプト数学やバビロニア数学などにはピタゴラス数についての記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。ただし、直角を作図するために 3:4:5の直角三角形が作図上利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス"Berlin Papyrus 6619（英語版）" には定理に関わる部分が欠けている。
中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。
紀元前3世紀に書かれたユークリッド原論では、第1巻の命題47で言及されている。
インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。
「ピュタゴラス（ピタゴラス）の定理」という呼称が一般的になったのは、西洋においても少なくとも20世紀に入ってからである。
日本の和算でも、中国での呼称を用いて鉤股弦の法（）等と呼んでいた。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、a+b=c(a<b<c)としたときのa,b,cを表している。
日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。
現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである。
このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。
3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば4961+ 6480= 8161のようなもの）が出ている。
a+b=cを満たす自然数の組(a,b,c)をピタゴラス数(Pythagorean triple) という。特に、a,b,cが互いに素であるピタゴラス数(a,b,c)は原始ピタゴラス数(primitive Pythagorean triple)と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で(a,b,c)の正の整数倍(ka,kb,kc)で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。
ピタゴラス数(a,b,c)が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、c< 100で、a<bとすると次の通りである：
ピタゴラス数(a,b,c)には、次の性質がある。
自然数の組(a,b,c)が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数m,nが
を満たすとして、
であることが必要十分である。上記の(m,n)は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。
例えば
である。a<bを満たす原始ピタゴラス数をaの昇順に並べた一覧表は以下のようになる。
また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数(a,b,c)に対して、S=1/2ab（直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した。
1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した：
第二余弦定理
はピタゴラスの定理をC=π/2= 90° → cosC= 0の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。
指数の2の部分を一般化すると
となる。n= 2の場合、自明（つまりa,b,cの少なくとも1つが 0）や既知解（原始ピタゴラス数の定数倍）を除いても、整数解は実質無数に存在するが、n≥ 3の場合は非自明な整数解は存在しない。
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域Sの面積は、yz平面、zx平面、xy平面への射影の面積Sx,Sy,Szを用いて
と表される。これは高次元へ一般化できる。
この定理には数百通りもの異なる証明がある。
頂点Cから斜辺ABに下ろした垂線の足をHとする。△ABCと△ACHは相似である。ゆえに
であり、同様に
である。したがって
であるから、両辺にcを掛けて
を得る。
前節の証明は、三角比を用いると簡単に表記できる：
本証明を一般の三角形に拡張すると、第二余弦定理の証明が得られる。
△{\displaystyle \bigtriangleup }ABC{\displaystyle ABC}と△{\displaystyle \bigtriangleup }CDE{\displaystyle CDE}が合同になるように，図のようにD{\displaystyle D},E{\displaystyle E}を取る。
わかりやすいように整理すると、a{\displaystyle a}が隣辺、b{\displaystyle b}が対辺、c{\displaystyle c}が斜辺の長さを示す。
四角形ACBD{\displaystyle ACBD}の面積S{\displaystyle S}を二通りの方法で表す。
よって、
c22=12(a2+b2){\displaystyle {c^{2} \over 2}={1 \over 2}(a^{2}+b^{2})}
両辺に2{\displaystyle 2}をかけて
c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
以上2つの式より三平方の定理を得る。
∠C = 90°のとき、斜辺ABを直径とする円Oを描くことができる。
このとき点Cから直径ABに下ろした垂線の足をHとし、△CHOに対して三平方の定理を証明する。OA = OB = OC =c, CH =a, OH =bとする。
△AHC ∽ △BHCなので、
△ABCと合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺がa+bの正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺がcの正方形（以下「小正方形」）ができる。
である。大正方形の面積は(a+b), 小正方形の面積はc, 直角三角形1個の面積は12ab{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}である。これらを代入すると、
整理して
を得る。
△ABCにおいて、内接円の半径rを用いて面積Sを表すと
となるが、∠C = 90°より、
となるから、(1)に(2),(3)を代入すると
整理すると
が得られる。
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まずsinθ+ cosθ= 1が任意の複素数θに対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。
オイラーの公式より
または
もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
(1)の式はピタゴラスの基本三角関数公式(Fundamental Pythagorean trigonometric identity)と呼ばれている。
(1)の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角θの点の座標として定義した(cosθ, sinθ)と上記の冪級数による定義は一致するからである。
前提とした△ABCについて、∠A =θとおけば
(1),(2),(3)より
ゆえに
が得られる。
正弦および余弦関数を微分すれば
(1),(2)および微分公式より
したがって
ここでCは定数である。θ= 0を代入するとsin 0 = 0, cos 0 = 1であるので、C= 1が得られる。よって
が得られる。
あとは前節と同様にして
が得られる。
下記のように関数を定める。
上記を漸化式を利用して不定積分すると
である。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると
である。したがって
ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。
三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、
または
が得られる。
また、加法定理から導かれる半角公式を適用すると
したがって
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
が得られる。
三角関数は級数によって定義されているものとし、cosθとsinθの自乗をそれぞれ計算すると
となる。ここで二項定理より
である。したがって
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
が得られる。
平面において原点を中心とする角θの回転の表現行列は
であるが、このことも三平方の定理を用いないで証明が可能である。
R(θ)R(−θ) =I2（単位行列）であるが、この式の左辺を直接計算すると
となる。したがって
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
が得られる。
任意のz∈Cに対し
である。よって任意のθ∈Cに対して
が成り立つ。
あとはこれまでと同様にして
が得られる。
指数関数、三角関数はべき級数によって定義されているものとする。
[定義]
任意の0でない複素数zに対し、z/|z|∈Uだから
となる実数θが存在する。
このように絶対値c:= |z|と偏角 θ で表したものをzの「極表示」といい、cを円の半径または、動径の長さという。
このときz=b+aiとすれば
となる。
これが実変数θの関数としてのcosθ, sinθの幾何学的意味を表す。
即ちベクトルzのa軸（虚数軸）、b軸（実軸）への正射影が|z|sinθ, |z|cosθなのである。
複素数zの絶対値|z|は、複素数平面上において、原点O(0)とP(z)の距離OPに等しい。
複素数z=b+ai（a,bは実数）（iは虚数単位）の絶対値はピタゴラスの定理とは関係なく次の式で定義される。
[複素共役と絶対値の関係]
であるから
が得られる。
ピタゴラスの定理は、逆も真となる。すなわち、△ABCに対して
が成立すれば、△ABCは∠C =π/2の直角三角形となる。
△ABCがa+b=cを満たすとする。線分ABをb:aに内分する点をDとすると
である。これより
であるから2辺比夾角相等より△ACD∼△ABC{\displaystyle \triangle {\text{ACD}}\sim \triangle {\text{ABC}}}。
同様に
となるから
となる。
(1)より
一方
であるから、(2),(3)より
(1),(4)より
ゆえに△ABCは∠C =π/2の直角三角形である。
B'C' =a, A'C' =b，∠C' =π/2である直角三角形A'B'C'において、A'B' =c'とすれば、ピタゴラスの定理より
が成り立つ。
一方、仮定から△ABCにおいて
が成り立っている。(1),(2)より
c> 0,c'> 0より
したがって、3辺相等から
∴ ∠C = ∠C' =π/2。ゆえに△ABCは∠C =π/2の直角三角形である。
△ABCにおいて∠C ≠π/2であると仮定する。頂点Aから直線BCに下ろした垂線の足をDとし、AD =h, CD =dとする。
∠C <π/2の場合、直角三角形ABDにおいてピタゴラスの定理より
であり、同様に直角三角形ACDでは
である。よって
となる。
∠C >π/2の場合も同様に考えて
ゆえに
となる。
よっていずれの場合も
である。対偶を取って、a+b=cならば∠C =π/2である。
なお、この証明から分かるように、
という対応がある。
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。△ABCにおいて、a= BC,b= CA,c= AB,C= ∠ACBとおくと、余弦定理より
一方、仮定より
であるから
となる。三角形の内角の和はπであるから0 <C< πより、
ゆえに△ABCは∠C =π/2の直角三角形である。
△ABCにおいて
であり
である。
ここで
である。したがって
である。よって
である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。