Rotation (physique)

Encinématique, l'étude des corps enrotationest une branche fondamentale de laphysique du solideet particulièrement de ladynamique, y compris de ladynamique des fluides, qui complète celle dumouvement de translation. L'analyse du mouvement de rotation se prolonge y compris aux échelles atomiques, avec ladynamique moléculaireet l'étude de lafonction d'ondeenmécanique quantique.
Dans l'enseignement, l'étude physique du mouvement commence généralement par le cas « simple » du mouvement d'un point matériel,système physiquedont la taille « négligeable » (par rapport au problème étudié) permet de ne pas tenir compte de l'effet énergétique et dynamique de sa rotation. Tel est le cas, par exemple, de l'étude de la trajectoire d'une boule depétanque, ou dupendule de Newton. Dans le cas général, comme celui du mouvement d'ungyroscopeou d'unboomerang, l'effet de l'énergie de rotation sur la dynamique du système ne peut plus être négligé.
Le présent article se limite à un panorama introductif à l'approche physique de différentes problématiques liées à la rotation physique d'un système, le développement de ces problématiques étant laissé aux articles dédiés.
Dans la pensée des anciens grecs, les mouvements des planètes (au sens ancien, le mot planète inclut le Soleil et la Lune, mais pas la Terre) doivent être parfaits, donc seul le mouvement circulaire était autorisé, par opposition aux mouvements angulaires ou rectilinéaires qui étaient considérés comme forcés.
La théorie desépicyclescompose des mouvements de rotation : les planètes tournent sur des roues appelées épicycles ; lesquels tournent eux-mêmes sur une autre roue, appelée déférent, dont le centre est la Terre. La rotation simultanée des deux permettait d'obtenir un mouvement complexe, éventuellement rétrograde, et d'expliquer celui des planètes et de la Lune, en préservant en grande partie les présupposés philosophiques de l'époque : les mouvements des astres sont circulaires, centrés sur la terre et de vitesse uniforme.
L'orbite circulairen'est qu'une approximation dumouvement képlérien, lequel est bien mieux décrit par des trajectoires elliptiques — même si, après tout, la décomposition ensérie de Fouriermontre qu'à partir du moment où le mouvement est considéré comme périodique, il peut être décrit comme la superposition d'une série (infinie) de mouvements circulaires.
Pour la physique moderne, larotation dans l'espacereste un élément déterminant des grands principes gouvernant les lois de la physique, mais lemouvement circulaire uniformen'a plus de prééminence particulière.
Dans les grands principes desymétriegouvernant la physique, celui de l'isotropiede l'espace, veut que les lois de la physique ne dépendent pas du lieu de l'observation ni de l'orientation de l'observateur. Un principe plus fort, leprincipe cosmologique, suppose même que l'universlui-même est isotrope à suffisamment grande échelle, c'est-à-dire que le contenu observable n'y dépend ni de la position de l'observateur, ni de la direction d'observation.
Unespace homogènesignifie en particulier qu'il n'y a pas de direction absolue dans l'espace, et donc, que les lois de la physique sont invariantes par une rotation dans l'espace.
Cette invariance implique en particulier que lelagrangiend'un système physique est invariant en rotation. Lethéorème de Noether, qui dit que « à toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve », permet alors de montrer qu'une certainegrandeur physiqueest conservatoire pour un système isolé : c'est ainsi que laconservation du moment cinétiquepeut se démontrer à partir de l'invariance en rotation.
Quand un système physique isolé tourne, il le fait en permanence et sonmoment cinétiqueest invariant. Il n'y a donc aucune périodicité ni aucune variation intrinsèque dans un tel mouvement, par rapport à son moment cinétique. Et, en particulier, un mouvement enrotation uniformeest essentiellement uniforme, son « passage » sur un nombre de tours est un accident lié au repérage que l'on en fait dans unrepère galiléen; mais intrinsèquement, le fait d'avoir tourné de « un tour » n'est pas plus pertinent que le fait d'avoir tourné de « unradian» ou de « undegré» : ces jalons sont des non-événements pour lemouvement de rotation.
En dynamique du solide, l'étude première est celle de lamécanique du point, où l'on voit apparaître les concepts devitesse, deforce, demasse, et d'accélérationassociée. Dans toutes ces modélisations, on suppose que lesystème physiqueétudié est de taille « négligeable », c'est-à-dire, très exactement, non pas vraiment qu'il est ponctuel, mais plus exactement, que la variation de sa rotation n'intervient pas dans la description du système. L'étude dumouvement de rotationsuppose au contraire que le système physique est de taille notable, et que l'évolution de sa rotation dans l'espace est une donnée importante de la description.
Lemouvement de rotationdont l'étude est la plus simple est celui d'une rotation autour d'un axe fixe : c'est le mouvement d'un tourne-disque, d'un manège de fête foraine, ou d'un ventilateur à pales.
Dans un tel mouvement, un point du solide, repéré encoordonnées polairespar rapport à l'axe de rotation par un angle et sa distance, voit l'angle varier avec le temps, sans que la distance ne soit modifiée.
Il existe une similitude entre la descriptioncinématiqued'un mouvement linéaire et celle d'unmouvement de rotation:
Cependant, la simple lecture d'un angle ne suffit pas à caractériser une rotation : il faut également connaître la direction de l'axe de rotation pour pouvoir relier à une rotation définie l'écart constaté entre deux directions de l'espace tridimensionnel.
Lagrandeur physiquequi caractérise un corps en rotation est savitesse de rotation. Étant lavariation temporellede l'orientation, elle s'exprime comme une unité angulaire divisée par une unité de temps.
L'unité dusystème international d'unitésest leradian par seconde. D'autres unités sont d'usage courant, par exemple letour par minute, ledegréparheure...
Il est important de remarquer que le mouvement circulaire uniforme d'un corps solide est par essence uniforme, et que le fait qu'un des points du système physique ait parcouru « un tour » n'a pas plus de signification que de dire qu'il a parcouru « un degré » ou « un radian ». De ce fait, s'il est exact de dire que la position d'un point particulier varie périodiquement, et quecette positionpeut donc avoir unepériodeet unefréquencedéfinie, le mouvement de rotation par lui-même n'est pas unphénomène périodique, et n'a pas de fréquence.
La différence peut se noter dans l'unité associée à ces grandeurs différentes : lafréquenceest une grandeurscalairemesurée enhertz. Une rotation physique est au contraire une grandeur vectorielle (et plus exactement unpseudovecteur, ce qui sera détaillé plus loin), parce qu'elle est liée à une certaine orientation dans l'espace de son axe de rotation ; et elle s'exprime en radian par seconde. Il est évident qu'il existe une correspondance entre les deux : si une roue en rotation uniforme ω (en rad.s) est affectée d'unbalourd, la vibration qu'elle va provoquer aura effectivement une fréquence de 2πω (en hertz), mais il ne s'agit pas de la mêmegrandeur physique, parce que l'on ne peut pas confondre une rotation (intrinsèquement orientée) et une fréquence (scalaire intrinsèquement sans orientation). De fait, on voit parfois des vitesses de rotation être mesurées enhertz: il faut comprendre, dans ce cas, que l'unité sous-entendue dans la mesure est en réalité le nombre de tours par seconde.
Il existe une troisième unité qui a la dimension de l'inverse d'un temps, c'est lafréquence angulaire, une notion que l'on rencontre notamment avec lafonction d'ondede laphysique quantique, qui n'est pas vectorielle (donc, n'est pas unevitesse de rotation), mais n'est pas réellement une fréquence non plus (il s'agit d'unpseudoscalaire, distinct des deux précédents).
Dans un corps solide en rotation, chaque point a sa propre vitesse, qui d'un point à l'autre peut changer de direction ou d'intensité : les vitesses forment ce que l'on appelle unchamp vectoriel. Cependant, le corps étant « solide », la répartition des vitesses ne peut pas être quelconque, mais doit laisser invariante la distance entre deux points quelconques de ce solide.
Considérons le champ des vecteurs vitesse des points d'un solidev→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}}à un instant donné. Si l'on considère deux points A et B, le segment [AB] garde la même longueur, c'est-à-dire que :
Il en résulte que pour tout couple AB de points du solide, la projection surAB→{\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {AB}}}dev→(A){\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}(\mathrm {A} )}et dev→(B){\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}(\mathrm {B} )}sont identiques, le champ est ce que l'on appelle un «champ équiprojectif» :
Le champ des vitesses ayant la propriété d'être équiprojectif, c'est ce que l'on appelle untorseur. On peut montrer que dans ce cas, le champ des vitesses est entièrement défini par deux choses : sa valeur en un point (que l'on peut par exemple choisir comme lecentre de gravitédu système) ; et un vecteur que l'on appelle la « résultante » dutorseur, notée iciΩ→{\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {\Omega }}}. Connaissant la vitesse au point A, celle du point B est alors donnée par :
On montre de plus que l'ensemble des points où la vitesse ainsi calculée est colinéaire au vecteurΩ→{\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {\Omega }}}est une droite, qui est l'axe instantané de rotationdu système (qui dans le cas général peut varier avec le temps). On peut démontrer en outre que dans le cas d'un système isolé, cet axe de rotation (qui n'est généralement pas fixe, dans le cas demouvement à la Poinsot) passe par lecentre de gravitédu système en rotation.
Physiquement, donc, la simple donnée d'une vitesse de rotationscalairene permet pas de caractériser complètement lemouvement de rotationd'un solide entrois dimensions, parce que ce mouvement est intrinsèquement lié à une directionnalité, celle de l'axe de rotation. L'association d'un scalaire et d'une direction correspond à la notion devecteur, la définition complète du mouvement de rotation aura ainsi naturellement un caractère vectoriel.
Cependant, si la direction d'un axe de rotation est une donnée physique objective, cette direction n'est pas orientée, et elle n'impose pas le sens dans lequel une rotation doit être comptée. Suivant que l'on regarde le long de l'axe d'un côté ou de l'autre, la même rotation apparaîtra comme allant dans le sens des aiguilles d'une montre, ou dans le sens contraire, c'est-à-dire que la valeur de la rotation devra être comptée positivement ou négativement.
Par convention, la représentation d'une rotation sera un vecteurΩ→{\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {\Omega }}}porté par l'axe de rotation, de norme égale à la vitesse de rotationω{\displaystyle \scriptstyle \omega }, et dont le sens est donné par larègle de la main droite: suivant cette convention, si le pouce marque l'axe, il pointe dans le sens d'une rotation allant dans le sens de l'enroulement des doigts.
On peut noter qu'avec cette convention, le vecteurrotation de la Terreest dirigé vers lepôle nord. De même, la rotation de la Lune autour de la Terre, de celle-ci autour du Soleil, ainsi que de toutes les planètes et la plupart des lunes, est orientée vers le nord de lasphère céleste.
Comme souligné ci-dessus, une rotation est unegrandeur physiquequi présente un caractère d'orientation marqué, puisqu'elle est nécessairement associé à la direction d'unaxe de rotation. Étant défini par une norme et une direction, une rotationpeutêtre représentée par un vecteur. Mais ce n'est pas unvecteurvrai, au sens physique du terme, comme le sont un déplacement, une vitesse, ou unchamp électrique, lesquels sont entièrement déterminés par la physique du système.
Ici, l'axe de rotation donne bien une direction, mais laisse indéterminé le sens suivant lequel doit être compté le vecteur. Ce sens n'est pas donné par la physique du système, mais par une convention : celle de larègle de la main droite, qui gouverne le sens dans lequel doit être compté unproduit vectorielou une rotation. C'est pour cette raison que l'on dit que la rotation est unpseudovecteur, non un vecteur vrai.
Le caractère « non déterminé physiquement » d'un pseudovecteur transparaît dans ce qui se passe si le système physique est remplacé par son image dans un miroir ou par une symétrie centrale. Les règles de la physique sont normalement indépendantes du choix d'un repère pour les exprimer, et donc, pour tout ce qui est physiquement déterminé, on devrait avoir la même expression, que le repère (i, j, k) soit direct, c'est-à-dire corresponde à l'ordre des doigts de la main droite, ou indirect, c'est-à-dire l'image miroir (ou par une symétrie centrale) du précédent, qui reflète l'ordre de la main gauche.
Ce n'est pas le cas du sens de rotation : si l'on prend l'image dans un miroir d'une boucleItournant dans le sens direct et du vecteurB→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}}représentant cette rotation, l'image de la boucle tournera dans le sens inverse, et le vecteur représentant cette rotation devra d'une part subir la symétrie physique, mais de plus change de signe à cause de la convention d'orientation.
Cette convention sur lesens de rotationest celle du sens trigonométrique direct : si l'espace est repéré par un repère direct(i→,j→,k→){\displaystyle \scriptstyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}, une rotation dans le plan(i→,j→){\displaystyle \scriptstyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}qui amène le vecteuri→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {i}}}surj→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {j}}}est une rotation dite « directe », et son vecteur représentatif est dans le sens du vecteurk→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {k}}}. C'est également la même convention qui donne le sens d'unproduit vectoriel: si le repère(i→,j→,k→){\displaystyle \scriptstyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}est direct, donc représenté dans cet ordre par la main droite, le produit vectorieli→∧j→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {i}}\wedge {\vec {j}}}se représente dans la même direction que le vecteurk→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {k}}}.
De même que la mise en mouvement rectiligne d'un solide suppose l'existence d'uneForce, une mise en rotation suppose l'existence d'uncoupleproduisant unmomentM↪{\displaystyle \scriptstyle {\overset {\hookrightarrow }{\mathcal {M}}}}non nul. Comme le montre lethéorème du moment cinétique, la dérivée temporelle dumoment cinétiqueL↪O{\displaystyle \scriptstyle {\overset {\hookrightarrow }{L}}_{\mathrm {O} }}par rapport à un pointO(le plus souvent pris comme le centre de gravité du système) est alors égale au moment globalM↪{\displaystyle \scriptstyle {\overset {\hookrightarrow }{\mathcal {M}}}}, par rapport au même point, des forces appliquées :
Dans le domaine de la rotation, cette relation est l'analogue de celle disant que pour le mouvement du point matériel, la dérivée temporelle de laquantité de mouvementest égale à la somme des forces appliquées au système.
Lemoment cinétiqued'un solide idéal est relié à son vecteur rotationω→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\omega }}}à travers sontenseur d'inertie(oumoment d'inertie)I={\displaystyle \scriptstyle {\overset {=}{I}}}, par la relation matricielle :
Ici, lemoment d'inertiejoue dans le mouvement de rotation le même rôle que lamassedans le mouvement du point matériel. Il représente l'inertie qu'il faut vaincre pour mettre le système en mouvement de rotation, c'est-à-dire lui faire subir une accélération angulaire :
Letenseur d'inertieest une caractéristique propre du solide (S), et donne la répartition des masses en son sein. Il s'agit d'un tenseur symétrique. Du fait de son caractère symétrique, il est toujours possible de diagonaliser ce tenseur par un choix judicieux des axes, quisont appelésalors axes principaux d'inertie. Cependant il s'agit d'untenseur, ce qui signifie que dans le cas général, le vecteur instantané de rotationω→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\omega }}}n'est pascolinéaire au moment cinétique. C'est une propriété dumouvement à la Poinsotqui apparaît clairement dans l'effet Djanibekov, et que l'on peut reproduire à domicile en faisant tourner un paquet de cartes à jouer (dont les trois moments d'inertie sont différents) autour de l'axe d'inertie intermédiaire.
Dans le cas où l'on impose à un solide unaxe de rotation, ce qui est typiquement le cas d'une roue de voiture, unéquilibrageest nécessaire pour éviter que lemouvement de rotationde ce solide n'impose des efforts anormaux sur les paliers qui guident son mouvement en rotation et lui imposent unaxe de rotation. Cet équilibrage est l'une des préoccupations de lathéorie des machines tournantes.
Un premier équilibrage est assez évident, l'« équilibrage statique », qui consiste à aligner lecentre de gravitédu système mobile sur l'axe de rotation. Si en effet cet alignement n'est pas réalisé, la rotation dusystème physiqueimposée autour d'un axe qui ne contient pas soncentre de gravitéentraînera unbalourd. Physiquement, le maintien mécanique de l'axe de rotation sur un axe qui ne contient pas lecentre de gravitédu solide tournant nécessite une force compensatrice imposant la rotation de ce centre autour de l'axe, qui entraîne donc un effortpériodiquesur les paliers, se traduisant en particulier par unevibrationinduite par le mécanisme en rotation. Cet équilibrage n'est pas toujours possible si la vitesse de rotation doit être très élevée : à mille tours par seconde, un écart de 25 µm entre le centre de gravité et l'axe de rotation créé une force centrifuge tournante de dix fois le poids du rotor.
Après avoir ramené le centre de gravité sur l'axe, le deuxième équilibrage est plus subtil, et implique lethéorème du moment cinétique. Lorsque la roue tourne, elle a un certainmoment cinétique, qui se déduit de savitesse de rotationpar lemoment d'inertiedu système physique en rotation. Mais la roue n'est pas toujours parfaitement symétrique par rapport à son axe, et lemoment d'inertiedu système en rotation est dans le cas général untenseur d'inertie, ce qui implique que dans le cas général, le vecteurmoment cinétiquen’est pascolinéaire avec le vecteurvitesse de rotation, c'est-à-dire qu'il n'est pas sur l'axe de rotation.
Le moment d'inertie dépend de la répartition des masses dans le système tournant, et est donc lié à ce système. Quand la roue va tourner suivant un axe fixe, le moment cinétique désaxé tournera avec le système. Quand lethéorème du moment cinétiqueindique que la dérivée temporelle dumoment cinétiqueest égale aumomentdes forces appliquées, il faut alors prendre ce théorème dans l'autre sens, et dire que puisque le moment cinétique tourne, c'est qu'un moment est appliqué au système, qui compense le fait que l'axe de rotation a été imposé par les paliers. Ce moment, qui est donc proportionnel à la vitesse de rotation, correspond à des forces compensatoires que l'axe de rotation fait subir aux paliers.
La rotation de pièces mécaniques peut également concerner des pièces longilignes, comme desarbres, ou comme lesultracentrifugeusesutilisées pour l'enrichissement isotopique. Dans ce cas, le rotor couplé à ses paliers de fixationprésente des modes propres de flexion dont la fréquence peut être faible, de l'ordre de grandeur de la vitesse de rotation exprimée en tours par seconde.
Le rotor comporte toujours un certain balourd résiduel, qui entraîne un effort périodique des paliers lors de sa rotation, la fréquenceFde cette excitation se déduisant directement de la vitesse de rotation ω. Pour certaines vitesses de rotation, cette fréquence peut coïncider avec celle des modes propres du rotor. Si l'amortissement de tels modes est insuffisant, le rotor peut alors entrer enrésonance, ce qui peut entraîner une déformation de grande amplitude, et donc des efforts mécaniques anormaux sur l'arbre et les paliers pouvant entraîner leur destruction.
Ce problème de résonance peut imposer une vitesse limite à la rotation de l'arbre. Dans certains cas, cependant, comme pour lesturbo-alternateursà grande vitesse, il est nécessaire de faire fonctionner l'arbre au-delà de sa première vitesse critique, ce qui impose de franchir suffisamment rapidement cette vitesse critique pour que l'amplitude de la résonance reste limitée.
Lemouvement de rotationd'un solide est un mouvement, et il implique par conséquent uneénergie cinétique. Dans le cas d'unmouvement de translation, l'énergie cinétiqued'un point de massemest donnée par la formuleEk=12mv2{\displaystyle \scriptstyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}. Dans le cas d'une rotation d'un solide autour d'un axe fixe, il est possible de montrer l'énergie cinétique totale se met sous la formeEk=12IΔ.ω2{\displaystyle \scriptstyle E_{k}={\frac {1}{2}}I_{\Delta }.\omega ^{2}}, où le termeIΔ{\displaystyle \scriptstyle I_{\Delta }}est lemoment d'inertiepar rapport à l'axe de rotation. Le moment d'inertie par rapport à un axe de rotation d'un système solide de points matériels est par définition la somme des masses multipliées par le carré de la distance à l'axe :
À poids égal, et à encombrement donné, le moment d'inertie est donc maximal lorsque pratiquement toute la masse est concentrée à distance maximale de l'axe, ce qui est typiquement réalisé par untore. Le fonctionnement mécanique réel demande que ce tore soit relié à un axe de rotation, par des rayons ou par undisque mince. C'est la forme typique que prend la masse d'unvolant d'inertieou ungyroscope.
Unvolant d'inertieest un dispositif mécanique permettant de stocker de l'énergie cinétique sous forme d'énergie de rotation. Un volant typique d'une vingtaine dekilogrammeset d'un mètre de rayon aura un moment d'inertie de l'ordre de 20kg m, et sa mise en rotation à une vitesse relativement faible d'un tour par seconde correspond à une énergie de l'ordre de 60kJ, soit l'énergie nécessaire pour soulever la même masse sur une hauteur de trois mètres. Et si on multiplie cette vitesse par dix, l'énergie stockée est alors multipliée par cent.
Cette énergie peut être restituée si la charge le nécessite, ou s'il faut prendre le relai d'un couple moteur irrégulier. La variation de vitesse de rotation correspondant à la fourniture d'une énergie donnée est alors d'autant plus faible que la vitesse de rotation est importante. En effet :
L'effet d'un volant d'inertie est donc de lisser le fonctionnement lorsque le moteur ou la charge présentent de fortes irrégularités. La rotation sera donc d'autant plus stable que lemoment cinétiqueIΔ.ω{\displaystyle \scriptstyle I_{\Delta }.\omega }du système sera grand. Un volant d'inertie est cependant limité dans sa vitesse de rotation par la résistance du matériau dont il est constitué : une vitesse excessive peut conduire à son éclatement, et à la projection de fragments particulièrement meurtriers.
Comme signalé ci-dessus, lavariation temporelledumoment cinétiqueest égale aumomentglobal des forces appliquées au système en rotation. Lorsque ce moment appliqué est orthogonal au moment cinétique, ce qui est typiquement le cas de l'effort transmis par un axe sur un volant, il n'a pas d'effet sur la norme du moment cinétique, mais uniquement sur sa direction. Un rapide calcul montre que le moment cinétiqueLtourne alors dans la direction du momentMdans un mouvement appeléprécession, à une vitesse de rotation Ω donnée par :
Mais comme le montre l'exemple du volant d'inertie, unmoment cinétiquepeut prendre des valeurs importantes si la vitesse de rotation dusystème physiqueest grande. Dans ce cas, plus le moment cinétique sera grand, et plus il sera stable par rapport à de petites fluctuations desforces extérieuresau système.
C'est essentiellement cet effet qui stabilise uncerceaupar rapport aux irrégularités de la route, d'autant mieux qu'il roule plus vite. C'est également l'effet utilisé pour stabiliser l'attitude d'un système physique avec un gyroscope.
Au-delà de la stabilisation en direction, l'effet le plus spectaculaire d'une rotation rapide d'un volant est celui de laprécessiond'ungyroscope.
Un gyroscope en rotation rapide a un moment cinétiqueL↪{\displaystyle \scriptstyle {\overset {\hookrightarrow }{L}}}important et dirigé suivant son axe. Lorsqu'il est placé enporte-à-faux, son poids combiné à la réaction du support forment uncouple (physique), dont lemomentM↪{\displaystyle \scriptstyle {\overset {\hookrightarrow }{\mathcal {M}}}}est toujours horizontal et perpendiculaire à l'axe. Lethéorème du moment cinétiquedit que la dérivée du moment cinétique est égale au couple :
Ici, l'effet du couple est simplement de faire tourner le moment cinétique suivant un axe de précession vertical, c'est-à-dire sans faire varier l'angle que l'axe de rotation du gyroscope fait par rapport à l'horizontal — ce qui est évidemment paradoxal.
C'est le même effet de précession gyroscopique qui explique la précession des équinoxes, qui fait que l'axe de rotation de la terre tourne autour de l'axe de l'orbite terrestre, mais les forces en cause sont beaucoup moins visibles.
Tout d'abord, lorsque la Terre orbite autour du Soleil, elle est soumise à desforces de marée. Dans un référentiel lié au centre de la terre, en effet, l'attraction solaire (en 1/d) est équilibrée par la force centrifuge (en ωd), mais l'équilibre n'est exact que sur l'orbite terrestre. Les points plus proches du Soleil ont un excès d'attraction, qui tend à les rapprocher encore, et les points plus éloignés ont au contraire une attraction déficitaire qui tend à les éloigner. Globalement, donc, un corps en orbite autour du Soleil est soumis à un système de forces qui tend à l'étirer en direction de celui-ci.
Ensuite, la Terre étant en rotation sur elle-même, un point situé sur son équateur subit une force centrifuge qui tend à l'éloigner du centre de la Terre, alors qu'une telle force est absente au pôle. La surfaceéquipotentielleterrestre n'est donc pas sphérique, mais tend à être (très légèrement) aplatie et présente unbourrelet équatorial.
Enfin, l'axe de rotation de la Terre n'est pas perpendiculaire à son orbite (le plan de l'écliptique, mais présente un décalage de 23,45°. De ce fait, lorsque la Terre se présente inclinée par rapport au Soleil, le bourrelet équatorial est soumis au système de forces ci-dessus, qui entraîne un moment parallèle à l'orbite terrestre.
En moyenne annuelle, ce moment est perpendiculaire au moment cinétique terrestre, et lui impose donc une (très lente) rotation. L'axe de rotation terrestre tourne donc lentement, ce qui a pour effet de déplacer la direction dupôle célesteet de l'équateur terrestre(qui lui est perpendiculaire) par rapport au plan de l'écliptique, et donc de faire varier lentement la direction dupoint vernal, dont le franchissement par le Soleil marque l'équinoxe : c'est ce phénomène que l'on appelle laprécession des équinoxes.
La toupie est un jouet d'enfant, qui présente dans son mouvement de rotation un comportement un peu plus complexe que le gyroscope et sa « simple » précession. La toupie la plus simple comporte une tige permettant de la mettre en rotation rapide d'un claquement de doigts. Des formules plus complexes comportent une ficelle de lancement, qui permet d'atteindre des vitesses plus rapides, et donc, des comportements prolongés plus intéressants.
Au lancement, la toupie n'est jamais exactement verticale, et montre alors un mouvement de précession identique à celui du gyroscope. Cependant, la « pointe » sur laquelle repose la toupie n'est pas parfaitement pointue mais est plutôt assimilable à une petite sphère, dont le centre est situé près de la pointe. De ce fait, si la toupie est inclinée, son point de contact avec le sol n'est pas situé sur l'axe de rotation. Ce décalage fait que le point de contact glisse et entraîne une force de frottement horizontale, perpendiculaire au plan d'inclinaison de la toupie.
Le moment de cette force par rapport au centre de gravité de la toupie est alors perpendiculaire à son axe de rotation, et une analyse soignée du sens respectif des moments de cette force par rapport au moment d'inertie de la toupie montre que l'effort est dirigé de manière à redresser l'axe de rotation vers la direction verticale. Le système physique se redresse alors pour tourner verticalement sur sa pointe.
Une fois redressée, la toupie à tige verticale présente un autre comportement intéressant, lorsque sa tige est mise en contact avec un guide, par exemple une règle en bois. L'effet du contact sur la dynamique de la toupie est complexe, et peut se décomposer ainsi :
L'effet global est que la toupie en rotation semble attirée par la règle, et la contourne progressivement en roulant dessus.
L'effet de frottement peut également être utilisé pour réorienter ungyrocompassur l'axe de rotation de la Terre. Un gyrocompas est avant tout un gyroscope dont le mouvement est entretenu par un moteur électrique. Si un tel gyroscope est monté sur uncardanbien huilé, qui tourne librement et interdit d'imposer au gyroscope unmomentquelconque, lemoment cinétiquedu rotor restera constant y compris dans son orientation dans l'espace. De ce fait, il restera pointé dans la même directionpar rapport aux étoiles, et ne sera pas entraîné par la rotation terrestre.
Si au contraire les articulations de la suspension entraînent un frottement, l'effet de ce frottement sera un couple tendant à s'opposer à la rotation terrestre, donc orienté dans la même direction que la rotation terrestre. Ce couple tendra donc à redresser le gyroscope pour l'aligner progressivement sur le nord géographique.
Si le gyrocompas est suspendu de manière que son axe soit horizontal, seule la composante horizontale perpendiculaire à l'axe du moment s'opposant à la rotation terrestre peut avoir un effet, qui est de faire tourner horizontalement cet axe jusqu'à ce que la composante en question soit nulle. Cette suspension impose donc au gyroscope d'orienter son axe vers le nord géographique.
Lorsqu'un système physique est soumis à une rotation d'ensemble, comme l'est un manège forain ou encore la surface de la Terre, il peut être souhaitable d'en repérer les composants par un système de coordonnées attaché au système lui-même. Un pointPrepéré encoordonnées cylindriquespar sa hauteurh→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {h}}}et son rayonr→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}dans le plan perpendiculaire à l'axe (assimilable auplan complexe) aura alors en réalité comme coordonnées, par rapport à unréférentiel galiléen:
Si ce point est immobile par rapport au repère en rotation,h→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {h}}}etr→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}seront constants, et la vitesse et l'accélération de ce point seront donnés par :
On retrouve ici le fait qu'un point enmouvement circulaire uniformeà une distancerde son centre de rotation est soumis à uneaccélération centripète, dirigée vers ce centre de rotation et d'intensitéω2r{\displaystyle \scriptstyle \omega ^{2}r}. Si cepoint matérielest affecté d'unemasse, le fait qu'il reste immobile par rapport au système en rotation implique qu'il est soumis d'une manière ou d'une autre à uneforce centripètequi le maintient en place par rapport à ce repère. Cette force peut avoir n'importe laquelle des origines que l'on peut rencontrer enmécanique statique: tension d'un câble ou d'un ressort, poussée exercée par la pression d'un support,poussée d'Archimède, attraction gravitationnelle, etc.
Pour un observateur lié au repère, ce point qui paraît donc immobile apparaît comme soumis à une force physique réelle, et en même temps paraît immobile dans le repère. Si l'on considère que l'immobilité enmécanique statiquetraduit l'équilibre des forces en présence, il faut donc ajouter à ces forces physiques réelles uneforce centrifugequi ramène le bilan des forces à zéro.
Autrement dit, dans un repère en rotation, il y aura deux manières d'aborder un problème de statique (par rapport au repère) :
Ces deux descriptions sont mathématiquement équivalentes pour l'étude d'un problème « statique », sachant que la force centripète et la force centrifuge sont l'opposée l'une de l'autre.
Cependant, les forces physiques présentes dans le bilan sont souvent des forces de réaction, essentiellement dues à l'inertie. Du point de vue de lacausalité, il est alors plus naturel de parler d'uneforce d'inertiecausée par la rotation du système et entraînant une réaction du support, que de présenter la réaction du support comme une force « nécessaire pour » faire tourner le point avec son référentiel, ce qui pourrait être compris comme de latéléologie.
Dans une essoreuse à salade (ou un extracteur de miel), la rotation de lamanivelle, de l'ordre d'un tour par seconde, est démultipliée six ou sept fois par un engrenage, conduisant à une vitesse de rotation de l'ordre de l'ordre de 40rad set uneaccélération centrifugede 80m sà dix centimètres de l'axe, soit huit fois l'accélération de la pesanteurg. La force centrifuge qui varie comme le carré de la vitesse de rotation peut prendre des valeurs très importantes pour des vitesses de rotation élevées. Dans uneultracentrifugeusetournant à15 000tr min, l'accélération centrifugeà dix centimètres de l'axe est de l'ordre de 25 000g...
Dans un système physique complexe en rotation uniforme, un pointPrepéré en coordonnées cylindriques par sa hauteurh→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {h}}}et son rayonr→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}dans le plan perpendiculaire à l'axe (assimilable auplan complexe) aura donc comme coordonnées, par rapport à unréférentiel galiléen:
Si ce point se déplace par rapport au repère en rotation,h→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {h}}}etr→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}ne sont plus constants, et la vitesse et l'accélération de ce point seront donnés par :
Si l'on se place dans le repère en rotation pour décrire le mouvement de ce point matériel, on le verra donc apparemment soumis à l'accélération « réelle » représentée par la somme des forces physiques en présence (le premier terme entre parenthèses), à la force centrifuge précédente (le dernier terme), et à une force complémentaire. Cette force complémentaire est, d'une part, perpendiculaire et proportionnelle à la composante de la vitesse perpendiculaire à l'axe, et d'autre part, perpendiculaire et proportionnelle au vecteur rotation. Cette force est donc représentée par leproduit vectorielde la vitesse du point et du vecteur de rotation:
La prise en compte de cetteforce de Coriolisest importante pour l'étude des trajectoires dans le repère terrestre, parce que la terre a une vitesse de rotation faible (0,729µrad s) mais non négligeable pour des vitesses élevées, ou sur des durées longues. Ainsi, quand unedépressionaspire les vents vers son centre, la trajectoire est déviée vers la droite, et le système cyclonique devient principalement une rotation.
Pour un solide en rotation à vitesse ω autour de l'axe Oz, le champ des vitesses s'écrit :
Lerotationneld'un tel champ s'écrit alors :
On voit donc que pour un solide en rotation, le champ des vitesses a un rotationnel constant, et égal à deux fois le vecteur vitesse de rotation.
Pour un champ de vitesse quelconquev→r→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}_{\vec {r}}}fonction du pointr→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}, la variation de la vitesse dans l'espace autour de ce point se décrit comme:
Soit encore, en projetant sur les axes et sous forme matricielle :
La matrice(D)des dérivées partielles des composantes de la vitesse peut classiquement se mettre sous la forme de la somme d'une matrice antisymétrique(A)et d'une matrice symétrique(S), définies en fonction de(D)et de sa transposée(D):
Le produit de(dr→){\displaystyle \scriptstyle (\mathrm {d} {\vec {r}})}par cettematrice antisymétriquepeut se mettre sous la forme d'un produit vectoriel :
Et donc, par définition du rotationnel :
On voit qu'enmécanique des fluides, le rotationnel du champ s'interprète comme un vecteur rotation, mais dont la valeur dépend du point considéré : c'est la rotation élémentaire en ce point, un champ de rotation. C'est en fait cette propriété même qui donne son nom aurotationnel. De son côté, lamatrice symétriques'interprète physiquement comme la manière dont un élément de volume subit une dilatation au cours du transport matérialisé par le champ des vitesses, d'où son nom dedivergence.
Pour caractériser le mouvement d'un solide en rotation, il faut d'une manière générale trois nombres indépendants. C'est ainsi qu'une rotation peut être représentée par un vecteurω→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\omega }}}, la vitesse de la rotation étant alors la norme du vecteurω=||ω→||{\displaystyle \scriptstyle \omega =||{\vec {\omega }}||}, et direction de l'axe de rotation étant celle du vecteur unitaireu→=ω→/ω{\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}={\vec {\omega }}/\omega }.
La même représentation peut être utilisée pour décrire l'accélération angulaire, qui est simplement la dérivée du précédent vecteur, ainsi que pour représenter l'angle de rotation dont a tourné le système, qui en est au contraire l'intégrale.
On peut remarquer à ce propos que l'angle dont a tourné un système physique, par rapport à une position initiale de référence, n'est connu qu'à un nombre entier de tours près si l'on n'a pas accès à l'historique de la rotation. Il n'est donc pas possible de définir l'écart angulaire par la différence entre la position finale et la position initiale, contrairement au cas de la translation, où levecteur déplacementpeut être ainsi défini.
Cette différence montre bien que l'analogie entre rotation et translation est relativement formelle, et ne se retrouve pas au niveau des grandeurs physiques : dans le cas du mouvement de translation, l'élément fondamental est le déplacement et la vitesse s'en déduit ; dans le cas du mouvement de rotation, l'élément central est au contraire la vitesse de rotation, et l'écart angulaire n'est complètement défini qu'à travers l'intégrale de cette quantité.
Lesangles d'Eulerfournissent une méthode alternative pour représenter la position d'un solide par rapport à un référentiel initial, qui est particulièrement bien adaptée à l'étude du mouvement d'un gyroscope.
Par rapport à un référentiel initial défini par les trois axes(x, y, z), les angles d'Euler consistent à faire subir au référentiel trois rotations successives :
On voit que les deux premières rotations (la précession et la nutation) décrivent l'orientation de l'axe de rotation du système, alors que le troisième angle décrit la rotation proprement dite. On voit d'autre part que ces angles décrivent bien le mouvement du gyroscope : la précession se traduit par une vitesse constante de la précession, et les petites oscillations de l'axe par rapport à ce mouvement moyen se traduisent simplement par des écarts périodiques formant un mouvement circulaire entre la précession et la nutation.
Contrairement à la représentation précédente, où le vecteur pouvait représenter une vitesse angulaire, les trois nombres d'Euler sont des angles ; la vitesse de rotation étant la dérivée du troisième angle par rapport au temps.
Dans le cas simple d'une rotation dans le plan autour de l'origine, il est possible de représenter un pointPdu plan de coordonnées (a, b) par un nombre complexezP= a + ib, et une rotation d'angle α par un nombre complexezde norme unité :
La rotation du pointPse représente alors simplement par la multiplication du complexezPreprésentant le point par le complexezαreprésentant la rotation.
Lesquaternionssont une extension desnombres complexes, pour lesquels au lieu d'une seuleunité imaginaireion définit trois unités(i, j, k)telles que :
Les quaternions forment donc des nombres complexes dont la partie imaginaire est de dimension trois. Ces quaternions s'ajoutent et se multiplient comme d'autres nombres (associativitéde la multiplication et de l'addition,distributivitéde la multiplication sur l'addition, etc), en prenant garde cependant à ce que la multiplication n'est généralement pas commutative : elle est anticommutative si le résultat est imaginaire (ij = -ji), et commutative pour un facteur réel. Par ailleurs, ces trois unités définissent avec l'axe réel un espace à quatre dimensions.
Les quaternions permettent d'encoder simplement les rotations, et d'en combiner les effets. Une rotation est généralement définie par son angle θ et son sens défini par un vecteur unitaireu→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}}de coordonnées(x, y, z). Cette rotation peut alors être représentée par un quaternion généralisant laformule d'Euler:
Avec cette représentation, on montre alors que si l'on encode un vecteurP→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {P}}}de coordonnées(a, b, c)par le quaternion sans partie réellea.i + b.j + c.k, le quaternion représentant l'imageP→′{\displaystyle \scriptstyle {\vec {P}}'}d'un vecteurP→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {P}}}par une rotation d'angle θ et de directionu→{\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}}est donné par :
Grâce à cette identité, les opérations sur les combinaisons de rotations peuvent se traduire par des opérations algébriques équivalentes sur les quaternions, la composée de deux rotation étant le produit des quaternions associés.