폭 상태

양자역학에서폭 상태(영어:Fock state) 또는입자수 상태(영어:number state)는 잘 정의된입자수(또는양자)가 있는폭 공간의 원소인 양자 상태이다. 이 상태는소련물리학자블라디미르 포크의 이름을 따서 명명되었다. 폭 상태는 양자역학의두 번째 양자화공식화에서 중요한 역할을 한다.
입자 표현은보손의 경우폴 디랙에 의해,페르미온의 경우파스쿠알 요르단과유진 위그너에 의해 처음으로 자세히 다루어졌다.보손과 페르미온의 폭 상태는 폭 공간 생성 및 소멸 연산자와 관련하여 유용한 관계를 따른다.
N개의 단일 입자 상태의 텐서 곱의 합으로 상태를 작성하여 N개의 상호작용하지 않는 동일한 입자의 다중 입자 상태를 지정한다. 또한 입자스핀의 성질에 따라 텐서 곱은 기본 단일 입자힐베르트 공간의 반대칭 또는 대칭 곱이어야 한다. 구체적으로:
입자 수가 가변적이라면 각입자수에 대한 텐서 곱 힐베르트 공간의직합으로폭 공간을 구성한다. 폭 공간에서는 가능한 각 단일 입자 상태의 입자 수를 지정하여 새로운 표기법인 점유수 표기법으로 동일한 상태를 지정하는 것이 가능하다.
{ki}i∈I{\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}를 기본 단일 입자 힐베르트 공간에서 상태의정규 직교 기저라 하자. 이는 "점유수 기저"라고 불리는 폭 공간의 해당 기저를 유도한다. 폭 공간의 양자 상태가 점유수 기저의 원소인 경우폭 상태라고 한다.
폭 상태는 중요한 판별 기준을 충족한다. 각i에 대해 상태는 입자수 연산자Nki^{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}의 고유 상태이고i번째 기본 상태ki에 해당한다. 해당 고유값은 해당 상태의 입자 수를 나타낸다. 이 기준은 폭 상태를 거의 정의한다(추가로 페이즈 인자를 선택해야 함).
주어진 폭 상태는|nk1,nk2,..nki...⟩{\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }과 같이 표시된다. 이 표현에서,nki{\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}는 i번째 상태의 입자 수ki를 나타내고, i번째 상태에 대한 입자 수 연산자Nki^{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}는 다음과 같은 방식으로 폭 상태에 작용한다:
따라서 폭 상태는 고유값을 갖는 입자수 연산자의 고유상태nki{\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}이다.
폭 상태는 종종 폭 공간의 가장 편리한기저를 형성한다. 서로 다른입자수의 상태가중첩된(따라서 입자수 연산자의 고유 상태가 아닌) 폭 공간의 원소는 폭 상태가 아니다. 이러한 이유로 폭 공간의 모든 원소를 "폭 상태"라고 부르는 것은 아니다.
입자수 연산자N^{\textstyle {\widehat {N}}}를
로 정의하면 폭 상태의 정의는 측정의분산Var⁡(N^)=0{\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}을 보장한다. 즉, 폭 상태의 입자 수를 측정하면 항상 요동 없이 명확한 값이 반환된다.
임의의 마지막 상태|f⟩{\displaystyle |f\rangle },|1k1,1k2⟩{\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }로 주어진 동일한 두 입자들의 임의의 폭 상태, 임의의 연산자O^{\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}에 대해, 구별불가능성에 대한 다음 조건이 있다:
그래서
⟨f|O^|1k1,1k2⟩=eiδ⟨f|O^|1k2,1k1⟩{\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }
여기서보손에 대해eiδ=+1{\displaystyle e^{i\delta }=+1}페르미온에 대해eiδ=−1{\displaystyle e^{i\delta }=-1}.⟨f|{\displaystyle \langle f|}과O^{\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}는 임의적이므로,
입자수 연산자는 보손과 페르미온을 구별하지 않는다는 점에 유의하라. 실제로 대칭 유형에 관계없이 입자 수만 계산한다. 이들 사이의 차이점을 인식하려면 다른 연산자, 즉 생성 및 소멸 연산자가 필요하다.
정수 스핀을 갖는 입자인보손은 간단한 규칙을 따른다. 즉,교환 연산자에 의해 작동되는 합성 고유 상태는 대칭이다. 예를 들어, 텐서 곱 표현의 두 입자 시스템에서는P^|x1,x2⟩=|x2,x1⟩{\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }과 같다.
우리는 이 새로운 폭 공간 표현에서 동일한 대칭 속성을 표현할 수 있어야 한다. 이를 위해 우리는 비-에르미트 보손 생성 및 소멸 연산자b†{\displaystyle b^{\dagger }},b{\displaystyle b}를도입한다. 폭 상태에서 이러한 연산자의 작용은 다음 두 방정식으로 제공된다.
보손 폭 상태 생성 및 소멸 연산자는에르미트 연산자가 아니다.
증명
폭 상태|nk1,nk2,nk3…nkl,…⟩{\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }에 대해,⟨nk1,nk2,nk3…nkl−1,…|bkl|nk1,nk2,nk3…nkl,…⟩=nkl⟨nk1,nk2,nk3…nkl−1,…|nk1,nk2,nk3…nkl−1,…⟩(⟨nk1,nk2,nk3…nkl,…|bkl|nk1,nk2,nk3…nkl−1,…⟩)∗=⟨nk1,nk2,nk3…nkl−1…|bkl†|nk1,nk2,nk3…nkl,…⟩=nkl+1⟨nk1,nk2,nk3…nkl−1…|nk1,nk2,nk3…nkl+1…⟩{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}
따라서, 생성 (소멸) 연산자의 켤레는 자신이 아님이 명백하다. 즉, 이들은 에르미트 연산자가 아니다.
하지만 생성, 소멸 연산자는 서로의 켤레 연산자이다.
보손 시스템에서 생성 및 소멸 연산자의 교환 관계는 다음과 같다.
여기서[]{\displaystyle [\ \,\ \ ]}는 교환자이고δij{\displaystyle \delta _{ij}}크로네커 델타이다.
진공 상태—어떤 상태에 있는 어떠한 입자가 아예 없는-은|0k1,0k2,0k3...0kl,...⟩{\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }로 표현된다. 그러면,
이고,bkl|0k1,0k2,0k3...0kl,...⟩=0{\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}이다.  즉,l번째생성 연산자는l-번째 상태kl인 입자 하나를 생성하고, 이 진공 상태는 소멸시킬 연산자가 없다는 점에서 소멸 연산자의 고정점이다.
진공 상태에 적절한 수의 생성 연산자를 작용하여 임의의 폭 상태를 생성할 수 있다:
단일 상태 폭 상태|nk⟩{\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }에 대해,
보손 시스템에 대한 입자수 연산자Nkl^{\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}의 경우Nkl^=bkl†bkl{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}과 같이 주어진다. 여기서Nkl^|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }
입자수 연산자는 에르미트 연산자이다.
생성 연산자와 소멸 연산자의 교환 관계는 보손 폭 상태들이 입자 바꾸기에 대해 적절한 대칭적인 행동을 한다는 것을 보장한다. 여기서,l과m두 상태들 사이의 입자들의 교환은 )l상태에 있는 입자를 소멸시키고m상태에 있는 입자를 생성시키는 것으로 수행된다. 만약 폭 상태|ψ⟩=|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }에서 시작하고, 한 입자를kl{\displaystyle k_{l}}상태에서 to statekm{\displaystyle k_{m}}상태로 옮기고자 한다면, 폭 상태에bkm†bkl{\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}를 다음과 같이 작용한다:
교환 관계를 이용하면,bkm†.bkl=bkl.bkm†{\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}
따라서 보손 폭 상태는 교환 연산자의 작용에 따라 대칭으로 행동한다.
페르미온들의 반대칭 작용을 유지할 수 있도록 페르미온 폭 상태에 대해 페르미온 폭 상태|ψ⟩=|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩{\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }에 대해 정의된 비-에르미트 페르미온 생성 및 소멸 연산자를 도입한다:
이 두 가지 작용은 반대칭으로 수행되며 이에 대해서는 나중에 논의하겠다.
페르미온 시스템에서 생성 및 소멸 연산자의 반교환 관계는 다음과 같다.
여기서{}{\displaystyle {\{\,\ \}}}는 반교환자이고δij{\displaystyle \delta _{ij}}는크로네커 델타이다. 이러한 반교환 관계는페르미온 폭 상태의 반대칭 작용을 표시하는 데 사용될 수 있다.
페르미온에 대한 입자수 연산자Nkl^{\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}은Nkl^=ckl†.ckl{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}과 같이 주어진다.
입자수 연산자와 생성 및 소멸 연산자의 작용은 보존 연산자와 동일해 보일 수 있지만 실제 반전은 페르미온 폭 상태에서 각 상태의 최대 점유수에서 비롯된다. 위의 2입자 페르미온 예를 확장하면 먼저 페르미온 폭 상태|ψ⟩=|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }가 다음과 같이 고유켓의 텐서곱에 특정 순열 연산자들의 합을 적용하여 얻는다.
이 행렬식을 슬레이터 행렬식이라고 한다. 단일 입자 상태 중 하나가 동일한 경우 슬레이터 행렬식의 두 행은 동일하므로 행렬식은 0이 된다. 따라서 두 개의 동일한페르미온이 동일한 상태를 차지해서는 안 된다(파울리 배타 원리의 설명). 따라서 단일 상태의 점유수는 0 또는 1이다. 페르미온 폭 상태Nkl^{\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}와 관련된 고유값은  0 또는 1이어야 한다.
단일 모드 페르미온 폭 상태|0k⟩{\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }에 대해, 임의의 상태의 최대 점유수는 1이므로
이고ck†|1k⟩=0{\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}이다.
파울리 배타 원리에서 진술하듯, 페르미온은 오직 1개만 같은 상태를 점유 할 수 있다. 단일 모드 페르미온 폭 상태|1k⟩{\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }에 대해, 입자수는 0 미만이 될 수 없으므로,
이고ck|0k⟩=0{\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}이다. 다중모드 페르미온 폭 상태|nk1,nk2,...nkβ,nkα,...⟩{\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }에 대해,
여기서,(−1)∑β<αnβ{\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}는Jordan–Wigner string이라 불리며, 연관된 단일 입자 상태들의 순서에 의존하며, 모든 이전 상태들의 페르미온 점유수들을 더한다..
교환 연산자 하에서 페르미온 상태의 비대칭적 행동은 반교환 관계를 처리한다. 여기서 두 상태 사이의 입자 교환은 한 상태에서 하나의 입자를 소멸시키고 다른 상태에서 하나를 생성함으로써 이루어진다. 폭 상태|ψ⟩=|nk1,nk2,...nkm...nkl...⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }로 시작하면 상태kl{\displaystyle k_{l}}에서 상태km{\displaystyle k_{m}}로 입자를 이동하고 싶다. 그런 다음 폭 상태에ckm†.ckl{\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}를  다음과 같은 방법으로 작용한다.
반교환 관계를 사용하여
하지만,ckl.ckm†|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=−ckm†.ckl|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=−nkm+1nkl|nk1,nk2,....nkm+1...nkl−1...⟩{\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}따라서 페르미온 폭 상태는 입자 교환 연산자에 의해 작동되는 경우 반대칭이다.
이차 양자화이론에서 해밀토니언 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.
총해밀토니언은 다음과 같이 주어진다.
자유 슈뢰딩거 이론에서
그리고
그리고
여기서an{\displaystyle a_{n}}는 소멸 연산자이다.
상호작용하지 않는 입자에 대해서만H{\displaystyle {\mathfrak {H}}}와an{\displaystyle a_{n}}가 교환한다; 일반적으로는 교환하지 않는다. 상호작용하지 않는 입자의 경우,
교환하지 않는다면 해밀토니안은 위의 표현을 갖지 못할 것이다. 따라서 일반적으로 폭 상태는 시스템의 에너지 고유 상태가 아니다.
진공 상태 또는|0⟩{\displaystyle |0\rangle }는 가장 낮은 에너지 상태이고a{\displaystyle a}과a†{\displaystyle a^{\dagger }}의 기대값은 이 상태에서 0이다:
전기장, 자기장, 벡터 퍼텐셜은 동일한 일반 형식의 모드 확장을 갖는다.
따라서 이러한 장 연산자의 기대값이 진공 상태에서 사라지는 것을 쉽게 알 수 있다.
그러나 이러한 장 연산자의 제곱에 대한 기대값은 0이 아닌 것으로 표시될 수 있다. 따라서 제로 앙상블 평균에 대한 장에는 요동이 있다. 이러한 진공 요동은 양자 광학의램 이동을 비롯한 많은 흥미로운 현상의 원인이다.
다중 모드 장에서, 각 생성 및 소멸 연산자는 자신의 모드에만 작용한다. 그래서akl{\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}과akl†{\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}는|nkl⟩{\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }에만 작용한다. 서로 다른 모드에 해당하는 연산자는 힐베르트 공간의 서로 다른 부분 공간에서 작용하므로 전체 장는 모든 모드에 걸쳐|nkl⟩{\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }들의 직곱이다:
생성 및 소멸 연산자는 자체 모드의 입자수 상태만 높이거나 낮추는 방식으로 다중 모드 상태에서 작용한다.
또한 각 모드의 입자수 연산자의 합인 장에 대한 총 입자수 연산자를 정의한다.
다중 모드 폭 상태는 고유값이 모든 모드의 총 점유 수인 총 수 연산자의 고유 벡터이다.
상호 작용하지 않는 입자의 경우 입자수 연산자와 해밀토니언은 서로 교환하므로 다중 모드 폭 상태는 다중 모드 해밀토니언의 고유 상태가 된다.
단일 광자는 단일 방출체(원자, 이온, 분자,질소 공극 중심,양자점)를 사용하여 일상적으로 생성된다. 그러나 이러한 소스는 항상 아주 효율적인 것은 아니며 실제로 요청 시 단일 광자를 얻을 확률이 낮다. 실험실 환경에서는 복잡하고 부적합한 경우가 많다.
비결정적 작용을 희생하여 이러한 문제를 극복하는 다른 소스가 일반적으로 사용된다. 예고된 단일 광자 소스는 쌍이 분할되는 확률적 2광자 소스이며, 하나의 광자가 감지되면 나머지 하나의 존재를 알린다. 이러한 소스는 일반적으로 주기적으로 극성이 있는 니오브산 리튬 (자발적 매개변수 하향 변환) 또는 실리콘(자발적 4파장 혼합)과 같은 일부 재료의 광학적 비선형성에 의존한다.
폭 상태의글라우버-수다르샨표현은 이러한 상태가 순전히 양자 역학적이며 고전적인 대응이 없음을 보여준다. 이 표현에서 이러한 상태의φ(α){\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}는디랙 델타 함수의2n{\displaystyle 2n}'차 도함수이므로 고전적인 확률 분포가 아니다.