호모토피

대수적 위상수학에서호모토피(영어:homotopy) 또는연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤위상 공간을공역으로 하는 특정한연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.
위상 공간X{\displaystyle X},Y{\displaystyle Y}사이의 두연속 함수
사이의호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는연속 함수H:X×[0,1]→Y{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}이다.
두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로호모토픽(영어:homotopic) 또는연속 변형적(連續變形的)이라 하며f≃g{\displaystyle f\simeq g}와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는동치 관계를 이루며, 이에 대한동치류를호모토피류(homotopy類,영어:homotopy class)라고 한다.연속 함수f{\displaystyle f}의 호모토피류는 보통[f]{\displaystyle [f]}라고 쓴다.
상수 함수에 호모토픽한 함수를널호모토픽(null-homotopic) 또는영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를널호모토피(null-homotopy) 또는영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.
모든 위상 공간의 범주Top{\displaystyle \operatorname {Top} }는데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어,콤팩트 생성 공간의 범주CGTop{\displaystyle \operatorname {CGTop} }나콤팩트 생성약한 하우스도르프 공간CGWH{\displaystyle \operatorname {CGWH} }가 있다.)CGTop{\displaystyle \operatorname {CGTop} }에서는지수 대상의 법칙
이 성립한다. 여기서×{\displaystyle \times }는콤팩트 생성 공간의범주론적 곱이다.(−)(−){\displaystyle (-)^{(-)}}는콤팩트 생성 공간에서의지수 대상이며, 집합으로서 이는연속 함수의 집합이다. 따라서,CGTop{\displaystyle \operatorname {CGTop} }에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로동치이다.
위상 공간의 범주Top{\displaystyle \operatorname {Top} }는데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의풍성한 범주C{\displaystyle {\mathcal {C}}}가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상X,Y∈C{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}에 대하여, 그 사이의 사상 집합homC⁡(X,Y){\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}는 사실 단순한집합이 아니라,위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.
같은정의역과공역을 갖는 두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}이 주어졌다고 하자. 이는homC⁡(X,Y){\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}속의 두 점
을 이룬다. 이 경우,f{\displaystyle f}와g{\displaystyle g}사이의호모토피는f{\displaystyle f}와g{\displaystyle g}를 잇는,homC⁡(X,Y){\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}속의경로이다. 이는homC⁡(X,Y){\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}위의동치 관계를 이룬다.호모토피류는homC⁡(X,Y){\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}의경로 연결 성분이다.
고전적으로, 모든 위상 공간의 범주Top{\displaystyle \operatorname {Top} }는데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나CGTop{\displaystyle \operatorname {CGTop} }등위상 공간으로 구성된데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.
보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어단체 집합의 범주sSet{\displaystyle \operatorname {sSet} }를 사용할 수도 있다.
호모토피 이론은 추상적으로 임의의모형 범주위에서 전개될 수 있다.위상 공간의 범주(또는콤팩트 생성 공간의 범주 등)는모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.이 경우,왼쪽 호모토피(영어:left homotopy)와오른쪽 호모토피(영어:right homotopy)라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며공역이 올대상인 경우) 서로동치이다.
편의상, 올뭉치는↠{\displaystyle \twoheadrightarrow }로, 쌍대올뭉치는↪{\displaystyle \hookrightarrow }로, 약한 동치는→∼{\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}로 표기하자.
임의의유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은쌍대 대각 사상이 존재한다.
여기서⊔{\displaystyle \sqcup }은쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우분리합집합이다).모형 범주(C,W,F,C){\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}에서, 대상X{\displaystyle X}의기둥 대상(영어:cylinder object)Cyl⁡X{\displaystyle \operatorname {Cyl} X}는쌍대 대각 사상X⊔X→X{\displaystyle X\sqcup X\to X}의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥"X×[0,1]{\displaystyle X\times [0,1]}의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조(영어:Quillen model structure)를 준 경우X×[0,1]{\displaystyle X\times [0,1]}는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조(영어:Hurewicz model structure)에서X×[0,1]{\displaystyle X\times [0,1]}는 매우 좋은 기둥 대상이다.
두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}사이의왼쪽 호모토피(영어:left homotopy)는 어떤 기둥 대상Cyl⁡X{\displaystyle \operatorname {Cyl} X}에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상h:Cyl⁡X→Y{\displaystyle h\colon \operatorname {Cyl} X\to Y}이다.
이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를(매우) 좋은 왼쪽 호모토피(영어:(very) good left homotopy)라고 한다.
같은정의역과공역을 갖는 임의의 두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}에 대하여, 다음이 성립한다.
왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로동치 관계를 이루지 않는다.그러나 만약정의역X{\displaystyle X}가 쌍대올대상일 경우, 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는동치 관계를 이루며,이 경우 두 사상이 서로왼쪽 호모토픽(영어:left-homotopic)하다고 한다.
임의의유한 완비 범주에서, 다음과 같은대각 사상이 존재한다.
여기서×{\displaystyle \times }은범주론적 곱이다 (즉,위상 공간의 경우곱공간이며,콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다).모형 범주(C,W,F,C){\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}에서, 대상X{\displaystyle X}의경로 공간 대상(영어:path space object)Path⁡X{\displaystyle \operatorname {Path} X}는대각 사상X→X×X{\displaystyle X\to X\times X}의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의경로 공간X[0,1]{\displaystyle X^{[0,1]}}의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.
두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}사이의오른쪽 호모토피(영어:right homotopy)는 어떤 경로 공간 대상Path⁡X{\displaystyle \operatorname {Path} X}에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상h:X→Path⁡Y{\displaystyle h\colon X\to \operatorname {Path} Y}이다.
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를(매우) 좋은 오른쪽 호모토피(영어:(very) good right homotopy)라고 한다.
같은정의역과공역을 갖는 임의의 두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}에 대하여, 다음이 성립한다.
마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약공역Y{\displaystyle Y}가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는동치 관계를 이루며,이 경우 두 사상이 서로오른쪽 호모토픽(영어:right-homotopic)하다고 한다.
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}에 대하여, 다음이 성립한다.
따라서,정의역이 쌍대올대상이고공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로호모토픽하다고 한다.
또한, 주어진 쌍대올대상X{\displaystyle X}에 대하여, 임의의 올대상Y{\displaystyle Y}으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉,Y{\displaystyle Y}에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상Y{\displaystyle Y}에 대하여, 임의의 쌍대올대상X{\displaystyle X}에서Y{\displaystyle Y}로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉,X{\displaystyle X}에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상Path⁡Y{\displaystyle \operatorname {Path} Y}에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.
위상 공간의 범주 또는콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든CW 복합체는 쌍대올대상이다.
또한, 이 경우 고전적 기둥X×[0,1]{\displaystyle X\times [0,1]}은 (만약X{\displaystyle X}가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간X[0,1]{\displaystyle X^{[0,1]}}은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서,공역이CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.
다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.
위상 공간X{\displaystyle X},Y{\displaystyle Y}및X{\displaystyle X}의 부분 공간X′{\displaystyle X'}이 주어졌을 때, 두 연속 함수f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}사이의 호모토피H:X×[0,1]→Y{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}가 다음 조건을 만족시킨다면,H{\displaystyle H}를X′{\displaystyle X'}에서 고정된 호모토피(영어:homotopy relative toX′{\displaystyle X'})라고 한다.
f{\displaystyle f}와g{\displaystyle g}가X′{\displaystyle X'}을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.
부분 공간을 고정한 호모토피 역시동치 관계를 이루며, 이에 대한동치류역시 정의할 수 있다.
이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간Y{\displaystyle Y}위의경로f,g:[0,1]→Y{\displaystyle f,g\colon [0,1]\to Y}에 대하여,{0,1}⊂[0,1]{\displaystyle \{0,1\}\subset [0,1]}을 고정한 호모토피를경로 호모토피(영어:path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통≃p{\displaystyle \simeq _{\text{p}}}로 쓴다.
두 위상 공간X{\displaystyle X},Y{\displaystyle Y}사이의 두매장f,g:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}사이의 호모토피H:X×[0,1]→Y{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}가 다음 조건을 만족시킬 경우,H{\displaystyle H}를아이소토피(영어:isotopy) 또는동위(同位)라고 한다.