การแปลงฟูรีเย

การแปลงฟูรีเย(อังกฤษ:Fourier transform) ตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเยหมายถึงการแปลงเชิงปริพันธ์ โดยเป็นการเขียนแทนฟังก์ชันใด ๆ ในรูปผลบวก หรือปริพันธ์ ของฐาน ที่เป็นฟังก์ชันรูปคลื่น ไซน์หรือ โคไซน์
โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูรีเย" จะใช้หมายถึงการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันf(t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อนF(ω) ;
ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียนF(ω) ในรูปของf(t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียกคู่ของการแปลง(transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องภาคขยายของการแปลงนี้คือการแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม(fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใด ๆ
เมื่อf(t) เป็นฟังก์ชันคู่(ฟังก์ชันคี่) เทอมไซน์(โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่การแปลงโคไซน์และการแปลงไซน์ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อf(t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้F(−ω)  =F(ω)
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คืออนุกรมฟูรีเยซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด)f(x) (มีคาบ 2π) ด้วยอนุกรมของฟังก์ชันรูปคลื่น:
ซึ่งFn{\displaystyle F_{n}}เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:
โดยanและbnเป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย
สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่องx[n]{\displaystyle x[n]}บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง(discrete Fourier transform-DFT) ซึ่งเขียนแทนx[n]{\displaystyle x[n]}ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ
โดยที่X[k]{\displaystyle X[k]}คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O (N) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O (NlogN) โดยการใช้ขั้นตอนวิธีการแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว(fast Fourier transform-FFT)
DFTเป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของการแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง(discrete-time Fourier transform-DTFT) ซึ่งx[n]{\displaystyle x[n]}เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบDTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับอนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเย สามารถขยายความการแปลงบนอาบีเลียนโทโพโลยีกรุ๊ปใด ๆ ที่คอมแพคเฉพาะที่(locally compactabeliantopological group) เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังกรุ๊ปคู่ของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อในการวิเคราะห์ฮาร์โมนิก(harmonic analysis) ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของทฤษฎีการคอนโวลูชัน(en:convolution theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูรีเย และการคอนโวลูชันดูความเป็นคู่ของพอนเทรียกิน(en:Pontryagin duality) สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูรีเย
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ จุดเวลาใด ๆ คือการแปลง เวลา-ความถี่(Time-frequency transform) เช่นการแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น(short-time Fourier transform)การแปลงเวฟเลท(wavelet transform)การแปลงเชิพเลท(chirplet transform) และการแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม(fractional Fourier transform) เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อม ๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดยกฎความไม่แน่นอน(uncertainty principle)
ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูรีเย จะสังเกตเห็นว่าความต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความเป็นคาบหรือความไม่เป็นคาบในอีกโดเมนหนึ่ง นอกจากนั้นแล้วการมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความสมมาตรในอีกโดเมน
หมายเหตุ : เนื้อหาส่วนใหญ่ในส่วนนี้ถือตามซึ่งมีการอ้างอิงถึงเอกสารดั้งเดิมอย่างละเอียด และเนื้อหาอาจมีความแตกต่างจากแหล่งอื่น
ทฤษฎีการแปลงฟูรีเย มีจุดเริ่มต้นจากบทความของ ฟูรีเย ที่เขียนในปีค.ศ. 1807(ถูกปฏิเสธ) กับค.ศ. 1811(ตีพิมพ์ในปีค.ศ. 1824และค.ศ. 1826) และ หนังสือทฤษฎีการวิเคราะห์ความร้อนในปีค.ศ. 1822
เริ่มต้นจาก ฟูรีเย ได้ส่งบทความวิชาการของเขาในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ไปยังสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศสในวันที่21 ธันวาคมค.ศ. 1807ซึ่งในขณะนั้นเดอลอมเบรอเป็นเลขาธิการถาวร ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์เดอลอมเบรอมอบหมายให้ลากรองจ์ลาปลาสลาครัวซ์และมงจ์เป็นกรรมการตรวจสอบบทความ โดยที่มงจ์ให้การสนับสนุน ส่วนลาปลาสและลาครัวซ์ก็ให้ความเห็นชอบ แต่ลากรองจ์ไม่ยอมรับแนวความคิดของฟูรีเย เป็นผลให้บทความของฟูรีเยนั้นถูกปฏิเสธรับเพื่อตีพิมพ์ มีเพียงแต่บทวิจารณ์ในงานของฟูรีเยโดยปัวซงเท่านั้นที่ตีพิมพ์ออกเผยแพร่ ซึ่งบทวิจารณ์ของปัวซงก็ไม่ได้ให้ความสำคัญกับแนวความคิดของฟูรีเยแต่อย่างใด
หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล)ฟูรีเยนั้นเคยเรียนกับ ลากรองจ์ ลาปลาส และมงจ์ ที่เอกอล นอร์มาล(วิทยาลัยครู) ในปีค.ศ. 1795ซึ่งเปิดสอนได้ไม่กี่เดือนก็ต้องปิดไป ฟูรีเยย้ายไปที่เอกอล โปลีเทคนีค(วิทยาลัยโปลีเทคนิค) ซึ่งมงจ์เป็นผู้อำนวยการ แต่ไม่สามารถเข้าเป็นนักเรียนได้เนื่องจากมีอายุมากกว่าเกณฑ์คือ 20 ปี มงจ์จึงช่วยเหลือให้ฟูรีเยได้เป็นผู้ช่วยสอน
เหตุผลในการตอบปฏิเสธบทความของฟูรีเย นั้นมีหลายจุด แต่หลัก ๆ นั้นไม่เห็นด้วยกับอนุกรมฟูรีเยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการลู่เข้า ของอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ หลังจากนั้นฟูรีเยได้ส่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติการลู่เข้าไปหาลากรองจ์และ ในเดือนตุลาคมค.ศ. 1809ได้ส่งเอกสารเพิ่มเติม เกี่ยวกับข้อกังขาต่าง ๆ ของกรรมการที่มีต่อบทความในปีค.ศ. 1807ไปยังสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศสแต่บทความปีค.ศ. 1807ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์
เบิร์นฮาร์ด รีมันน์ได้กล่าวว่า เมื่อฟูรีเย ได้นำเสนอแนวความคิดของเขาในบทความ ปีค.ศ. 1807นั้น ผลลัพธ์เป็นที่น่าประหลาดใจมาก จนลากรองจ์ได้แสดงความเห็นว่าเป็นไปไม่ได้อย่างเด็ดขาด
เหตุผลที่ลากรองจ์ไม่เห็นด้วยกับบทความของฟูรีเย นั้นสามารถสืบย้อนกลับไปถึงปัญหาการสั่นของเชือก (wave equation)ดูบทความหลักสมการคลื่น
ซึ่งผู้ที่ทำการศึกษาและหาคำตอบทั่วไปในยุคแรก ๆ คือดาเลมแบร์ออยเลอร์และดานีเอล แบร์นูลี
ในปี ค.ศ. 1747ดาเลมแบร์ได้เสนอคำตอบในรูปฟังก์ชันนอลy(x,t)=f(x+att)+g(x−at){\displaystyle y(x,t)=f(x+att)+g(x-at)}และพิจารณาเงื่อนไขขอบ ถึงแม้ว่าฟังก์ชันในรูปที่ดาเลมแบร์พิจารณานั้นมีรูปแบบทั่วไป แต่เขาก็ยึดติดกับรูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มีอนุพันธ์ ในปีถัดมา ค.ศ. 1748 ออยเลอร์ ได้ยกปัญหาของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ เสนอแนวความคิดของการกำหนดฟังก์ชัน บนโดเมนที่แบ่งออกเป็นส่วน ๆ
การใช้อนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นรูปแบบคำตอบสมการคลื่น นั้นถูกนำเสนอเป็นครั้งแรกโดยดานีเอล แบร์นูลีในปีค.ศ. 1753ในรูป
แนวความคิดของดานีเอล แบร์นูลีไม่ได้มาจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่มาจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เห็นได้ชัด ของการซ้อนทับกันของการสั่นที่หลายความถี่
ในปีค.ศ. 1754เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ตั้งข้อโต้แย้งกับแนวความคิดการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าวของแบร์นูลีโดยได้บ่งชี้ถึงงานของเขา ในปี ค.ศ. 1748 ซึ่งได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่างออยเลอร์ได้ให้เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวความคิดของการใช้ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนฟังก์ชันใด ๆ ไว้ว่า ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์จำนวนนับไม่ถ้วน ในอนุกรมจะให้ความยืดหยุ่น ในการใช้อนุกรมแทนฟังก์ชันทั่วไป แต่เนื่องจากคุณสมบัติ ความเป็นคาบ และ ความเป็นฟังก์ชันคี่ ของไซน์ นั้นทำให้การใช้อนุกรมนี้แทนฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวนั้นเป็นไปไม่ได้
ในปีค.ศ. 1859ลากรองจ์ได้เขียนบทความเกี่ยวกับปัญหาการสั่นของเชือกนี้ลากรองจ์ยอมรับในหลักการทั่วไป และ รูปแบบคำตอบของออยเลอร์แต่ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการทำให้ได้มาซึ่งคำตอบ จากมุมมองที่แตกต่างจากออยเลอร์ลากรองจ์ได้เสนอแบบจำลองวัตถุnชิ้น (n-body model) และหาคำตอบที่จำนวนวัตถุnมีค่าเข้าสู่ อินฟินิตี้ ได้คำตอบในรูป
โดยที่Y (x)คือ ตำแหน่งเริ่มต้นของเชือก และV (x)คือความเร็วเริ่มต้น
สังเกตว่า สมการของลากรองจ์นี้ หากแทนค่า เวลาt = 0จะได้อนุกรมฟูรีเยถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุกรมฟูรีเยจากสมการของลากรองจ์ได้ แต่จุดประสงค์ของสมการนี้ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะนำไปสู่แนวความคิดนั้น โดยได้มีการตั้งข้อสังเกตการสลับตำแหน่งของs{\displaystyle {\mathcal {s}}}และΣโดยลากรองจ์นั้นสลับเอาΣไว้ภายในอินทิเกรต ซึ่งหากสมการอยู่ในรูปที่ขึ้นต้นด้วย ผลบวกจะทำให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ ซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เห็นด้วยถึงหลักการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนั้นแล้วยังมีข้อบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของลากรองจ์ในการหาคำตอบข้างต้น ซึ่งรูปคำตอบนั้นเป็นไปในแนวความคิดเดียวกับออยเลอร์ผู้ซึ่งได้แสดงความไม่เห็นด้วยกับแนวความคิดของดาเนียล เบอร์นูลลีในการใช้อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยเหตุผลของ ความเป็นคาบ และความเป็นฟังก์ชันคี่ดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความไม่เห็นด้วยของลากรองจ์ต่อแนวความคิดของฟูรีเย ก็อาจจะมาจากพื้นฐานเดียวกัน
ต่อมาสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศสได้ตั้งปัญหารางวัลกรังปรีซ์คณิตศาสตร์สำหรับปีค.ศ. 1812ในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ซึ่งฟูรีเยได้ส่งบทความบันทึกเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อนซึ่งเป็นบทความที่พัฒนาจากบทความปีค.ศ. 1807ของเขา เข้าชิงรางวัลในปลายปีค.ศ. 1811โดยมีลากรองจ์ลาปลัสและอาเดรียน-มารี เลอจองเดรอเป็นกรรมการตรวจสอบ ถึงแม้ว่าบทความของฟูรีเยจะชนะรางวัล แต่บทความของเขาก็โดนวิพากษ์วิจารณ์ ถึงวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์และพิสูจน์ และถูกเก็บดองไว้ไม่ได้ตีพิมพ์ในบันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ในขณะนั้น
หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล)ในวัยเยาว์ ฟูรีเยได้เข้าเรียนที่โรงเรียนการทหารในเมืองของเขา โดยมีเลอจองเดรอเป็นผู้อำนวยการโรงเรียน (ผู้ตรวจสอบ) ต่อมาเขาได้สมัครเข้าเรียนต่อที่โรงเรียนการวิศวกรรม และ ปีนใหญ่ โดยได้รับการสนับสนุนจากเลอจองเดรอแต่เขาถูกตอบปฏิเสธการรับเข้า
บทความของฟูรีเยในปีค.ศ. 1811นั้นได้ขยายความจากอนุกรมอนันต์ ออกไปครอบคลุมถึงรูปปริพันธ์ดูบทความหลักการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องถึงแม้ว่าจะไม่มีข้อมูลเด่นชัดถึงแรงบันดาลใจที่ฟูรีเยขยายความจากอนุกรมไปสู่รูปปริพันธ์ได้อย่างไร ได้มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลมาจากลาปลัสเนื่องจากในช่วงปีค.ศ. 1809นั้นฟูรีเยได้มีการติดต่อกับลาปลัสในเรื่องของปัญหาการแพร่ความร้อนที่เขาทำการศึกษา ซึ่งต่อมาลาปลัสได้นำเสนอคำตอบซึ่งอยู่ในรูปปริพันธ์ ถึงแม้ว่าจะมีแนวความคิดที่แตกต่างจากของฟูรีเย แต่ก็อาจจะเป็นจุดบันดาลใจให้ฟูรีเยได้คิด
ในปี ค.ศ. 1817ออกุสตัง หลุยส์ โคชีได้ตีพิมพ์บทความ ซึ่งมีการแปลงรูปปริพันธ์ของฟูรีเย ในบทความนั้นโคชีได้กล่าวว่าเขาได้ค้นพบรูปคำตอบใหม่ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ ฟูรีเยได้ทำการทักท้วง ซึ่งส่งผลให้ในบทความถัดมาของโคชีในปีค.ศ. 1818มีข้อความแสดงการยอมรับถึงการค้นพบก่อนหน้าเขาโดยฟูรีเย มีการตั้งข้อสังเกตว่า เนื่องจากในปีค.ศ. 1816นั้นโคชีได้รับตำแหน่งที่ว่างลงในราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ทำให้เขาอยู่ในตำแหน่งที่สามารถอ่านบทความในปีค.ศ. 1811ของฟูรีเยซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ได้ นอกจากนั้นในปีเดียวกันคือค.ศ. 1816ฟูรีเยได้พิมพ์บทคัดย่อของหนังสือที่เขาจะเขียนออกในปีค.ศ. 1822ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้มากที่โคชีได้อ่านบทความของฟูรีเยมาแล้ว
หลังจากที่ลากรองจ์เสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1813เมื่อเดอลอมเบรอได้เสียชีวิตในปีค.ศ. 1824ฟูรีเยได้รับเลือกให้ขึ้นดำรงตำแหน่งเลขาธิการถาวร ด้วยความคาใจฟูรีเยจึงได้ตีพิมพ์บทความในปีค.ศ. 1811ของเขาซึ่งยังไม่ได้รับการตึพิมพ์ ในลักษณะดั้งเดิมโดยไม่มีการแก้ไข โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตีพิมพ์ในบันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์แห่งสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศสในปีค.ศ. 1824และค.ศ. 1826
หลังจากนั้นในปีค.ศ. 1829โยฮันน์ ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอเจิน ดีริชเลต์นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้แสดงบทพิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นที่รู้จักกว้างขวางในปัจจุบัน
ถึงแม้ว่าทั้งสองจะได้นำเสนอรูปสมการที่เหมือน หรือ สามารถปรับให้เหมือนอนุกรมฟูรีเยได้ แต่วิธีของทั้งลากรองจ์และออยเลอร์นั้นไม่ได้นำไปสู่ แนวความคิดของการแทนฟังก์ชันใด ๆ ด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังได้แสดงความคิดเห็นที่คัดค้านต่อแนวความคิดดังกล่าว สมการของลากรองจ์นั้นมีจุดประสงค์เพียงต้องการใช้ยืนยันผลคำตอบตามแนวความคิดของออยเลอร์ ส่วนวิธีการข้างต้นของออยเลอร์นั้นนำเสนอเพื่อใช้กับ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้แน่นอน ไม่ได้ใช้สำหรับการแทนฟังก์ชันทั่วไป ดังนั้นจึงตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ฟูรีเย ผู้ซึ่งให้กำเนิดแนวความคิด
ฌอง กาสตง ดาบูซ์(Jean Gaston Darboux) ในการรวบรวมผลงานของฟูรีเย ในปี ค.ศ. 1888 เขาได้พบต้นฉบับบทความของฟูรีเยปี ค.ศ. 1807 ซึ่งสาบสูญไปหลังจากที่ฟูรีเยเสียชีวิตลงในปี ค.ศ. 1830 ที่ห้องสมุดของÉcole Nationale des Ponts et Chausséesในกรุงปารีสซึ่งดาบูซ์ได้ชี้ว่าในบทความนั้น ฟูรีเยได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม และวิธีการที่ฟูรีเยใช้จริง ๆ แล้วก็ไม่แตกต่างจากที่ดีริชเลต์ใช้ในการพิสูจน์ต่อมาในภายหลัง