Retículo (matemáticas)

Enmatemáticas, específicamente enálgebrayteoría del orden, unretículoes unaestructura algebraicaen unconjunto:A{\displaystyle A\,}con unarelación binaria:R{\displaystyle {\mathcal {R}}}que esconjunto parcialmente ordenadoy dosoperaciones binarias, con la propiedad fundamental de que toda parejaa,b∈A{\displaystyle a,b\in A}de elementos tiene un únicosupremo(o extremo superior) enA,sup(a,b)∈A{\displaystyle A,\;\sup(a,b)\in A}y un únicoínfimo(o extremo inferior) enA,inf(a,b)∈A{\displaystyle A,\;\inf(a,b)\in A}.​​​
El término «retículo» viene de la forma de losdiagramas de Hassede tales órdenes.​​​
Un ejemplo de retículo es el conjunto departicionesde unconjunto finito, ordenado por la relación deinclusión.
Enteoría de conjuntos, un retículo es unconjunto parcialmente ordenadoen el cual, para cada par de elementos, existen unsupremoy unínfimo, esto es:
Unconjunto parcialmente ordenado(L, ≤) se denomina retículo si satisface las siguientes propiedades:
El supremo y el ínfimo deaybse denotan pora∨b{\displaystyle a\lor b}ya∧b{\displaystyle a\land b}, respectivamente, lo que define a∨{\displaystyle \lor }y∧{\displaystyle \land }comooperaciones binarias. El primer axioma dice queLes unsemirretículosuperior; el segundo queLes unsemirretículoinferior. Ambas operaciones son monótonas con respecto al orden:a1≤a2yb1≤b2implica que a1∨{\displaystyle \lor }b1≤ a2∨{\displaystyle \lor }b2y a1∧{\displaystyle \land }b1≤ a2∧{\displaystyle \land }b2.
Se sigue porinducción matemáticaque para todo subconjunto finito no vacío de un retículo existen un supremo y un ínfimo.
Nótese que aún en unconjunto parcialmente ordenado(L, ≤) arbitrario, la existencia de algún supremo (o ínfimo)zpara un subconjunto finito no vacíoSdeLimplica que este supremo (o ínfimo)zes único, puesto que de existir dos o más cotas superiores (o inferiores) deSque sean incomparables entre sí, el supremo (o ínfimo) por definición no existe.
Enálgebra, en sentido inverso, un retículo es un conjuntoL, provisto de dosoperaciones binarias∧{\displaystyle \wedge }y∨{\displaystyle \vee }, tales que para cualesquieraa,b,cenLse cumplen
Si las dos operaciones satisfacen estas reglas algebraicas, entonces a su vez definen un orden parcial ≤ enLpor la regla siguiente:a≤bsi y solo sia∨{\displaystyle \vee }b=b, o, equivalentemente,a∧{\displaystyle \wedge }b=a.
L, junto con el orden parcial ≤ así definido, sería entonces un retículo en el sentido antedicho de lateoría del orden.
Inversamente, si se da un retículo (L, ≤) en términos de lateoría del orden, y escribimosa∨{\displaystyle \vee }bpara el supremo de {a,b} ya∧{\displaystyle \wedge }bpara el ínfimo de {a,b}, entonces (L,∧;∨{\displaystyle \wedge ;\vee }) satisface todos los axiomas de un retículo definido algebraicamente.
Por tantoLes unsemirretículocon respecto a cada operación por separado, es decir, unsemigrupoconmutativo, con idempotencia de cada uno de sus elementos. Las operaciones interactúan a través de las leyes deabsorción.
Al permutar las operaciones se obtiene elretículo dualdeL.
Laclasede todos los retículos forma unacategoríasi definimos un homomorfismo entre dos retículos (L,∧;∨{\displaystyle \wedge ;\vee }) y (N,∧;∨{\displaystyle \wedge ;\vee }) como unafunciónf:L→{\displaystyle \rightarrow }Ntal que:
para todoaybenL. Si es un homomorfismobiyectivo, entonces su inverso es también un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos. Los dos retículos implicados son entoncesisomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian solamente en la notación de sus elementos.
Cada homomorfismo es unafunción monótonaentre los dos retículos, pero no cada función monótona da un homomorfismo de retículo: además necesitamos la compatibilidad con supremos e ínfimos finitos.
En lo que sigue, por "retículoL" siempre nos referiremos a (L,∧{\displaystyle \wedge },∨{\displaystyle \vee }).
Un retículoLse denomina distributivo, si sus operaciones son doblementedistributivas:
Como estos dos juicios son equivalentes entre sí, basta exigir el cumplimiento de una de las dos leyes distributivas.
Un retículoLse denomina modular, si se cumple que:
Para un retículoLa su vez son equivalentes:
Todo retículo distributivo es modular, pero el juicio inverso no se cumple. Un retículo no modular siempre contiene al retículoN5{\displaystyle N_{5}}como subretículo.
En caso de que la operación∨{\displaystyle \vee }tenga unelemento neutro0,
a este se lo denomina el 'elemento cero' del retículo, es único y es el elemento menor con respecto al orden natural del retículo:
El retículo se denomina entonces retículocon cota inferior.
En caso de que la operación∧{\displaystyle \wedge }tenga unelemento neutro1,
a este se lo denomina el 'elemento uno' del retículo. Es único y es el elemento mayor con respecto al orden natural del retículo:
El retículo se denomina entonces retículocon cota superior.
El elemento neutral de una de las operaciones es entonces unelemento absorbentede la otra. Un retículo se denominaacotadosi tiene cota superior e inferior, es decir, si ambas operaciones tienenelemento neutro.
Para un elemento dadoade un retículo acotado, al elementobcon la propiedad
se lo denomina complemento dea.
Un retículo acotado, en el que cada uno sus elementos tiene complemento, se denominacomplementado.
Un retículo distributivo complementado se denominaálgebra de Booleo retículo de Boole; cuando en lugar del complemento solamente existe un así llamado pseudocomplemento relativo, se habla de unaálgebra de Heyting.
Un retículoLse denominacompletosi todo subconjunto (inclusive los subconjuntos vacío o posiblemente subconjuntosinfinitos) tiene un supremo y un ínfimo.
Para cada subconjuntoMbasta exigir la existencia del supremo, ya que
Un elementoade un retículo completoLse denominacompacto(según unapropiedad similarentopología), si todo subconjuntoMdeLcon
contiene un subconjunto finitoEtal que
Un retículoLse denominaalgebraico, si es completo y si todo elemento deLes un supremo de elementos compactos.
Todo retículo completoLes acotado, con
Todo retículo finito, no vacíoLes completo, por lo que también es acotado.
En un retículo distributivo y acotado, el complemento de un elementoaes único si existe, lo que suele denotarse comoa(particularmente en el caso de retículos de subconjuntos) o bien ¬a(particularmente en aplicaciones de lógica).
Sin embargo, si el retículo no es distributivo, pueden existir diversos complementos; va un ejemplo más adelante.
En un retículo distributivo acotado se verifica
Siatiene un complemento ¬a, entonces también ¬atiene un complemento, que es:
Para otras propiedades de losretículos booleanosvéase ese artículo.
Elteorema de Knaster-Tarskiestablece que el conjunto de puntos fijos de una función monótona en un retículo completo es asimismo un retículo completo.
El retículo de submódulos de un módulo y el retículo de lossubgruposnormales de un grupo tienen la propiedad especial quex∨{\displaystyle \vee }(y∧{\displaystyle \wedge }(x∨{\displaystyle \vee }z)) = (x∨{\displaystyle \vee }y)∧{\displaystyle \wedge }(x∨{\displaystyle \vee }z) para todox,yyzen el retículo. Un retículo con esta propiedad se llama un retículomodular. La condición de la modularidad puede también ser establecida como sigue: Six≤zentonces para todoytenemos la identidadx∨{\displaystyle \vee }(y∧{\displaystyle \wedge }z) = (x∨{\displaystyle \vee }y)∧{\displaystyle \wedge }z.
Un retículo se llamadistributivosi∧{\displaystyle \wedge }distribuyea∨{\displaystyle \vee }, es decir,x∧{\displaystyle \wedge }(y∨{\displaystyle \vee }z) = (x∧{\displaystyle \wedge }y)∨{\displaystyle \vee }(x∧{\displaystyle \wedge }z). equivalentemente,∨{\displaystyle \vee }distribuye∧{\displaystyle \wedge }. Todos los retículos distributivos son modulares. Dos tipos importantes de retículos distributivos son losconjuntos totalmente ordenadosy lasálgebras booleanas(como el retículo de todos los subconjuntos de un conjunto dado). El retículo de losnúmerosnaturales, ordenados por divisibilidad, es también distributivo. Otras leyes comunes de distributividad (especialmente la ley dedistributividad completa) se dan en el artículo sobredistributividad en teoría del orden.
Dos ejemplos fundamentales de retículos no distributivos son el pentágono,N5{\displaystyle N_{5}}yM3{\displaystyle M_{3}}que se obtiene de agregarle un elemento mínimo y un máximo a la anticadena de tres elementos. Obviamente si hacemos esto con una anticadena denelementos, obtendremos el retículoMn{\displaystyle M_{n}}que tampoco es distributivo. Los anteriores ejemplos son fundamentales en la medida en quecualquierretículo no distributivo está caracterizado por contener como subretículo a una copia deM3{\displaystyle M_{3}}o deN5{\displaystyle N_{5}}.
En lo siguiente, seaLun retículo. Definimos algunas nociones de la teoría del orden que son de importancia particular en teoría de retículos.
Un elementoxdeLse llama supremo-irreduciblesi y solo si
Cuando la primera condición se generaliza a supremos arbitrarios Vai,xse llamatotalmente supremo-irreducible. la noción dual se llamaínfimo-irreducibilidad. A veces uno también utiliza los términos∨{\displaystyle \vee }-irreducibles y∧{\displaystyle \wedge }-irreducibles, respectivamente.
Un elementoxdeLse llamasupremo-primosi y solo si
Una vez más esto se puede generalizar para obtener la nocióntotalmente supremo-primoy dualizar paraínfimo-primo. Cualquier elemento supremo-primo es también supremo-irreducible, y cualquier elemento ínfimo-primo es también ínfimo-irreducible. Si el retículo es distributivo el inverso es también verdad.
Otras nociones importantes en teoría de retículos sonidealy su noción dualfiltro. Ambos términos describen subconjuntos especiales de un retículo (o de cualquier conjunto parcialmente ordenado en general). Los detalles se pueden encontrar en los artículos respectivos.