Pi

Bilanganπ(/paɪ/; dieja "pi") adalahkonstanta matematikayang merepresentasikanrasioantarakelilingsebuahlingkarandengandiameternya. Nilaiπsecara mendekati adalah 3,14159. Sebagai bilangan yang istimewa,πbanyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu sepertimatematikadanfisika.πdikenal sebagaibilangan irasional, artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan duabilangan bulat. Meskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti227{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}seringdigunakan untuk mendekati nilai π. Keunikanπjuga terletak padadesimalnyayang tak pernah berakhir dantidak memiliki pola berulang. Selain itu,πmerupakanbilangan transenden. Hal ini berarti bahwaπtidak dapat menjadi solusi daripersamaanpolinomial apapun dengan koefisien bilangan bulat. Sifat transendental ini menjelaskan mengapa masalah kunomengkuadratkan lingkaranmenggunakanjangka dan penggaristidak mungkin diselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknyaterdistribusi secara acak.Meskipun demikian, hingga saat ini belum adapembuktian matematisyang mendukung anggapan tersebut.
Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajariπ. BangsaMesirdanBabilonia kuno,πdigunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM,ArchimedesdariYunanimemperkenalkan algoritma untuk menghitung nilaiπdengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M,matematikawan Tiongkokberhasil mendekati nilaiπhingga tujuh angka desimal, sementaramatematikawan Indiamencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuanderet tak hinggauntuk menghitungπmembuka babak baru dalam pemahaman nilai ini.Simbol Yunaniπpertama kali digunakan olehWilliam Jonespada tahun 1706.
Penemuankalkuluspada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilanganπhingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika danilmuwan komputermengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimalπhingga triliunan digit.Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru.Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerjasuperkomputerdan perangkat keras komputer konsumen.
Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran,πbanyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalamtrigonometriandgeometri. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, sepertikosmologi,fraktal,termodinamika,mekanika, danelektromagnetisme. Lebih jauh lagi,πmuncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, sepertiteori bilangandanstatistika. Dalamanalisis matematikamodern,πbahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri.πadalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalahhuruf Yunani"π". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagipimenggunakan huruf latin.Huruf kecilπ(atau π dalam gaya hurufsans-serif) berbeda dengan huruf besarΠ{\displaystyle \Pi }, yang mewakiliperkalian barisan.
Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagianPenggunaan simbol π
πumumnya didefinisikan sebagairasiokelilinglingkaranCdengandiameternyad:
RasioC/dbernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasioC/dakan tetap sama. Definisiπseperti ini secara implisit menggunakangeometri Euklides. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalamgeometri non-Euklides, namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumusπ=C/d.Terdapat pula definisiπlainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni:πadalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecilxyang manacos(x)sama dengan 0.
πadalahbilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat.Karenaπirasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwaπirasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknikreductio ad absurdum. Sejauh mana bilanganπdapat didekati menggunakanbilangan rasionaltidaklah diketahui.
πadalahbilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian daripolinomnon-konstan berkoefisienrasionalmanapun sepertix5120−x36+x=0.{\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0.}Transendensiπmempunyai dua konsekuensi penting. Pertama,πtidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional danakar kuadratataupunakar pangkat ke-nmanapun seperti313{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}}atau102.{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.}Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zamanera klasik.Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.
Digit-digitπtidak memiliki pola apapun dan telah melewati ujikeacakan statistismeliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.Hipotesis bahwaπadalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digitπtelah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik.Yasumasa Kanadatelah menganalisis secara detail digit-digit desimalπdan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.Walaupun digit-digitπtelah melewati uji keacakan statistik,πmengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnyatitik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762π.
Sama seperti semua bilangan irasional lainnya,πtidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasukπdapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagaipecahan kontinu:
Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatanπ; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadapπ. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untukπtidak memiliki pola-pola tertentu,matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:
Beberapapendekatanπmeliputi:
Suatubilangan kompleks, katakanz{\displaystyle z}, dapat dinyatakan menggunakan pasanganbilangan real. Dalamsistem koordinat polar, jari-jari (dilambangkanr{\displaystyle r}) digunakan untuk menyatakan jarakz{\displaystyle z}darititik pusatke pusatbidang kompleks, sedangkan sudut (dilambangkanφ{\displaystyle \varphi }) menyatakanputaranberlawanan arah jarum jam darigaris bilangan realpositif:
dengani{\displaystyle i}adalahunit imajinerdarii2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Kemunculan penggunaanπ{\displaystyle \pi }dalamanalisis kompleksdapat dihubungkan dengan perilakufungsi eksponensialvariabel kompleks, yang dijelaskan olehrumus Euler:
dengankonstantaeadalah basislogaritma natural. Rumus ini menghasilkan hubungan antarae{\displaystyle e}pangkat bilangan imajiner dan titik-titik padalingkaran satuanyang berpusat padatitik pusatdibidang kompleks. Substitusiφ=π{\displaystyle \varphi =\pi }dalam rumus Euler menghasilkanidentitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:
Sebanyakn{\displaystyle n}bilangan kompleksz{\displaystyle z}yang berbeda dalam persamaanzn=1{\displaystyle z^{n}=1}, disebut "akar satuanpangkat-n{\displaystyle n}".Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:
Piramida GizaMesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760kubitdan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah1760⁄280≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2π≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akanπdan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini.Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti lain apapun yang mendukungnya.
Pendekatan tertulis terhadap nilaiπpaling awal ditemukan di Mesir danBabilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikanπsebagai 25/8 = 3,1250.Di Mesir,Papirus Rhindyang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilaiπsebagai (16⁄9)≈ 3,1605.
Di India sekitar tahun 600 SM, catatanSutra Shulbadalam bahasaSanskertamemuat nilaiπsebesar (9785⁄5568)≈ 3,088.Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukanπsama dengan10{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}≈ 3,1622.
Dua ayat dalamalkitab Ibrani(yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalamBait Salomoyang berdiameter 10kubitdan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwaπadalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.Rabbi Nehemiahmenjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi NehemiahMishnat ha-Middotyang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilaiπsebesar tiga dan sepertujuh.
Algoritmapaling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilaiπadalah pendekatan geometri menggunakanpoligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan YunaniArchimedes.Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanyaπkadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".Archimedes menghitung batas atas dan bawahπdengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa223⁄71<π<22⁄7(3,1408 <π< 3,1429).Batas atas Archimedes sekitar22⁄7membuat banyak orang percaya bahwaπsama dengan22⁄7.Sekitar tahun 150,PtolemaeusdalamAlmagest-nya, memberikan nilaiπsebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dariApollonius dari Perga.Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digitπpada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.
Pada zaman Cina kuno, nilaiπadalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi),10{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}}(tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).Sekitar tahun 265, matematikawan dariKerajaan Wei,Liu Hui, menemukanalgoritma iteratif berbasis poligonyang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilaiπsebesar 3,1416.Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.Matematikawan CinaZu Chongzhisekitar tahun 480 menghitung bahwaπ≈355⁄113(pecahan ini dinamakan pecahanMilüdalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.
Astronom IndiaAryabhatamenggunakan nilai 3,1416 dalamĀryabhaṭīya(tahun 499).Fibonaccipada tahun  1220 menghitung nilaiπdan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.
Astronom PersiaJamshīd al-Kāshīmenghasilkan 16 digit nilaiπpada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2,. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.Matematikawan PrancisFrançois Viètepada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2.MatematikawanFlandriamencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.Pada tahun 1596, matematikawan BelandaLudolph van Ceulenmencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.Ilmuwan BelandaWillebrord Snelliusmencapai 34 digit pada tahun 1621,dan astronom AustriaChristoph Grienbergermencapai 38 digit pada tahun 1630,adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitunganmanualmenggunakan pendekatan poligon.
Perhitunganπdirevolusi oleh berkembangnya teknikderet takhinggapada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilaiπdengan presisi yang melebihi metodeArchimedes.Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilaiπ, pendekatan ini pertama kali ditemukan diIndiaantara tahun 1400 dan 1500.Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitungπterdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom IndiaNilakantha Somayajidalam bukuTantrasamgrahasekitar tahun 1500.Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalamYuktibhāṣāsekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan IndiaMadhava dari Sangamagramayang hidup antara tahun 1350 – c. 1425.Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagaideret Madhavaatauderet Gregory-Leibniz.Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilaiπsampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan PersiaJamshīd al-Kāshīpada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.
Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalahperkalian takhingga(daripadapenjumlahan takhingga), yang ditemukan oleh matematikawan PrancisFrançois Viètepada tahun 1593:
Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa olehJohn Wallispada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga.PenemuankalkulusolehIsaac NewtondanGottfried Wilhelm Leibnizpada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilaiπ. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitungπsampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.
Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan SkotlandiaJames Gregorypada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:
Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama denganπ/4{\displaystyle \scriptstyle \pi /4}ketika dievaluasi bersama denganz= 1.Pada tahun 1699, matematikawan InggrisAbraham Sharpmenggunakan deret ini untuk menghitungπsampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namunkonvergensangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitungπ.
Pada tahun 1706,John Machinmenggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:
Machin mencapai 100 digitπdengan rumus ini.Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digitπsecara suksesif.Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digitπyang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digitπterus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apapun.
Matematikawan BritaniaWilliam Shanksterkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilaiπsampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.
Beberapa deret takhingga untukπberkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.Deret tak terhingga untukπyang sederhana misalnyaderet Gregory-Leibniz:
akan perlahan-lahan mendekatiπ. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untukπ.
Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):
Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:
Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilaiπsebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitunganπ. Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputideret Machindanderet Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.
Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan denganπditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatanπ. Ketika Euler menyelesaikanmasalah Baselpada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antraπdenganbilangan primayang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenaifungsi zeta Riemann:
Ilmuwan SwissJohann Heinrich Lambertpada tahun 1761 membuktikan bahwaπadalahirasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.Matematikawan PrancisAdrien-Marie Legendrepada tahun 1794 membuktikan bahwaπjugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan JermanFerdinand von Lindemannmembuktikan bahwaπadalahtransendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat olehLegendredanEuler.
Huruf Yunaniπpaling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawanWilliam Jonesdalam karya tahun 1706"Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics".Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Peripheryπ" (1/2 kelilingπ) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbolπkarenaπadalah huruf pertama dari kata "keliling" dalambahasa Yunani.Namun ia menulis bahwa persamaan untukπtersebut berasal dari John Machin.Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri.William Oughtredmenggunakanπdan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.
Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunaniπini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai denganEuleryang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya,Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbolcataup.Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan hurufπmeluas dengan cepat.Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbolπdalam karyanyaIntroductio in analysin infinitorum(dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagaiπ; sehinggaπsama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaanπyang universal di Barat.
Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimalπ. Matematikawan AmerikaJohn Wrenchdan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.Dengan menggunakan deret tak terhinggainvers tangen(arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner danJohn von Neumannpada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputerENIACdengan lama perhitungan selama 70 jam.Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.
Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasiπ. Pertama, penemuanalgoritme iteratifbaru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuanalgoritme perkalian cepatyang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.Algoritme seperti ini contohnyaalgoritme Karatsuba,perkalian Toom–Cook, danmetode berbasis transformasi Fourier.
Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan AmerikaEugene Salamindan ilmuwan AustraliaRichard Brent.Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.
Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritme deret tak terhingga. Manakala algoritme deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritme Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984,JohndanPeter Borweinberhasil menemukan algoritme iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi.Metode iteratif digunakan oleh matematikawanYasumasa Kanadauntuk memecahkan beberapa rekor komputasiπantara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002.Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.
Dalam perhitungan numeris yang melibatkanπ, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimalπuntuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digitπsudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungankosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom.Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasiπsampai dengan ribuan dan jutaan digit.Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia.Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk mengujisuperkomputer, menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkupmatematika murnisendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digitπ.
Kalkulatorπmodern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit.Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan IndiaSrinivasa Ramanujanmempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untukπyang berkonvergen sangat cepat.Salah satu rumusnya yang didasarkan padapersamaan modularadalah sebagai berikut:
Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin.Bill Gosperadalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitungπdan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985.Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara danChudnovsky bersaudara.Rumus Chudnovskyyang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut
Rumus ini menghasilkan 14 digitπsetiap sukunya,dan telah digunakan dalam berbagai perhitunganπyang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 10digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×10) digit olehFabrice Bellardpada tahun 2009, dan 10 triliun (10) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.
Pada tahun 2006, matematikawan KanadaSimon Plouffemenggunakanalgoritme relasi integerPSLQuntuk menghasilkan beberapa rumus baru untukπ, yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:
denganq{\displaystyle {\mathit {q}}}adalahe(konstanta Gelfond),k{\displaystyle {\mathit {k}}}adalahbilangan ganjil, dana,b,c{\displaystyle {\mathit {a,b,c}}}adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.
Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasiπ.Jarum Buffonadalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjangℓdijatuhkannkali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesartsatuan, dan jika darixkali ia jatuh melintasi garis (x> 0), maka aproksimasiπdapat ditentukan berdasarkan perhitungan:
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitungπadalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama denganπ/4.
Metode Monte Carlo untuk memperkirakanπsangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakanπketika diperlukan kecepatan atau akurasi.
Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi risetπ. Algoritme ini dinamakanalgoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggalπyang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung.Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.
Matematikawan AmerikaStan Wagondan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.
Algoritme keran lainnya,algoritme ekstraksi digitBBPditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:
Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digitπheksadesimalindividu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.Digit-digit individuoktalmaupunbinerdapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat.Aplikasi penting dari algoritme ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasiπyang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritme ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digitπyang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar
Antara tahun 1998 dan 2000, proyekkomputasi terdistribusiPiHexmenggunakanrumus Bellard(modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-10)π, yang hasilnya adalah 0.Pada bulan September 2010, seorang karyawanYahoo!menggunakan aplikasiHadoopperusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256bitπpada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×10), yang hasilnya juga nol.
Karenaπberhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips.πjuga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.
πmuncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnyaelips,bola,kerucut, dantorus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkanπmisalnya:
πmuncul dalamintegral tertentuyang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:
Dalam integral tersebut, fungsi1−x2{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya∫−11{\displaystyle \scriptstyle \int _{-1}^{1}}menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbux.
Fungsi trigonometribergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut.πmemainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalamradian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2πradian.Hal ini berarti 180° sama denganπradian, dan 1° =π/180 radian.
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dariπ, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2π,sehingga untuk suautu sudutθdan suatu bilangan bulatk,sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk){\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}dancos⁡θ=cos⁡(θ+2πk).{\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}
Rumus integral Cauchymengelolafungsi integral kompleksdan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:
Keberadaanπdalamfraktalhimpunan Mandelbrotditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada(−0,75;0){\displaystyle (-0,75;0)}. Jika dianggap titik dengan koordinat(−0,75;ε){\displaystyle (-0,75;\varepsilon )}, denganε{\displaystyle \varepsilon }cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan denganε{\displaystyle \varepsilon }konvergen menujuπ. Titik(0,25;ε){\displaystyle (0,25;\varepsilon )}di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadratε{\displaystyle \varepsilon }cenderung mendekatiπ.
Fungsi gammamemperluas konsepfaktorial(biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisiπ; sebagai contoh
Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana sepertin!untuknbesar:
yang dikenal sebagaiaproksimasi Stirling.
Fungsi zeta Riemannζ(s)digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi padas= 2, fungsi ini dapat ditulis sebagai:
Menemukanpenyelesaian sederhanauntuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebutmasalah Basel.Leonhard Eulermemecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama denganπ26{\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}.Hasil Euler mengarah padateori bilanganyaitu probabilitas dua angka acak yangrelatif prima(tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan6π2{\textstyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}.Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarangdapat dibagidengan suatu bilangan primap{\displaystyle p}adalah1p{\textstyle {\frac {1}{p}}}(sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah1p2{\textstyle {\frac {1}{p^{2}}}}, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah1−1p2{\textstyle 1-{\frac {1}{p^{2}}}}. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:
Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengangenerator bilangan acakuntuk memperkirakanπmenggunakan pendekatan Monte Carlo.
Bidangprobabilitasdanstatistiksering kali menggunakandistribusi normalsebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.Fungsi Gauss(yang merupakanfungsi kepekatan probabilitasdistribusi normal) dengan rata-rataμdansimpangan bakuσ, pada dasarnya adalahπ:
Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalamintegral Gauss:
sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.
Meskipun bukankonstanta fisika,πhadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antaraπdengan lingkaran dan dengansistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidangmekanika klasikmemberikan aproksimasi periodeTpendulumsederhana dengan panjangL, yang mengayun dengan amplitudogadalahpercepatan gravitasi bumi):
Salah satu rumus kunci dalammekanika kuantumadalahPrinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δx) danmomentum(Δp) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (denganhadalahtetapan Planck):
Dalam ranahkosmologi,πmuncul dalampersamaan medan Einstein, suatu rumus fundamental yang menjadi dasarteori relativitas umumdan menjelaskaninteraksi fundamentalgravitasisebagai hasilpelengkunganruang waktuolehmateridanenergi:
denganRμν{\displaystyle R_{\mu \nu }}adalahtensor lengkungan Ricci,Radalahlengkungan skalar,gμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}adalahtensor metrik,Λadalahtetapan kosmologi,Gadalahtetapan gravitasi Newton,cadalahkecepatan cahayadalam ruang hampa, danTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}adalahtensor energi tegangan.
Hukum Coulomb, dari disiplin ilmuelektromagnetisme, menjelaskanmedan listrikantara duamuatan listrik(q1danq2) yang dipisahkan oleh jarakr(denganε0mewakilipermitivitas ruang hampa:
Fakta bahwa nilaiπmendekati 3 memainkan peran dalamortopositroniumdalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalamtetapan struktur halusαadalah
denganmadalah massa elektron.
πhadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumusbucklingyang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksialFmaksimum dengan panjang kolomL,elastisitas modulusE, danmomen inersia areaIdapat mengangkut tanpabuckling:
Bidangdinamika fluidamenyertakanπdalamhukum Stokes, yang mengaproksimasigaya friksiFyang muncul pada objeksferiskecil dengan radiusR, bergerak dengan kecepatanvdalamfluidayang mempunyaiviskositas dinamisη:
Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagaifungsidarifrekuensi, dikenal karenaspektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalamfisikadanrekayasa, terutama dalampemrosesan sinyal.
Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angkaπ, suatu praktik yang disebutpifilologi.Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digitπ: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan InggrisJames Jeans, adalahHow I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.Ketika sebuah puisi (poem) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagaipiem. Puisi untuk mengingatπtelah digubah dalam beberapa bahasa selainbahasa Inggris.
Rekor mengingat digitπ, yang dicatat olehGuinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015.Pada tahun 2006,Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyurJepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimalπ, tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi olehGuinness World Records.Peraturan rekor pengingatπbiasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka danmetode loci.
Beberapa penulis telah menggunakan digitπsebagai dasar bentuk barutulisan terbatas(bahasa Inggris:constrained writing), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digitπ.Cadaeic Cadenzamengandung 3.835 digit pertamaπ,dan satu buku penuh berjudulNot a Wakemengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digitπ.
Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag<ref>untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag<references group="lower-alpha"/>yang berkaitan