Bilangan kompleks

Bilangan kompleksdalammatematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleha+bi{\displaystyle a+bi\,}, di manaadanbadalahbilangan riil, daniadalah suatubilangan imajinerdi manai= −1. Bilangan riiladisebut jugabagian riildari bilangan kompleks, dan bilangan realbdisebutbagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilaibadalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan reala.
Sebagai contoh, 3 + 2iadalahbilangan kompleksdengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabarpolinomialmempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (sepertiteknik elektro, di manaidigunakan sebagai simbol untukarus listrik), bilangan kompleks ditulisa+bj.
Himpunanbilangan kompleks umumnya dinotasikan denganC, atauC{\displaystyle \mathbb {C} }. Bilangan real,R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunanCdengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:a=a+0i{\displaystyle a=a+0i}.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar sepertiasosiatif,komutatif, dandistributif, dan dengan persamaani= −1:
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.
Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh,analisis kompleks,matriks kompleks,polinomial kompleks, danaljabar Lie kompleks.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a,b) dengan operasi sebagai berikut:
Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan denganC.
Karena bilangan kompleksa+bimerupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a,b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakanbidang kompleks.
Bilangan riiladapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riilRmenjadi bagian dari himpunan bilangan kompleksC.
DalamC, berlaku sebagai berikut:
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
Dengan menganggap bahwa:
dan
maka
Untuk mempersingkat penulisan, bentukr(cos⁡θ+isin⁡θ){\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )}juga sering ditulis sebagaircisθ{\displaystyle r\,cis\theta }.
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakanbidang kompleksatauDiagram Argand.
Koordinat Kartesiusbilangan kompleks adalah bagian riilxdan bagian imajinery, sedangkan koordinat sirkulernya adalahr= |z|, yang disebutmodulus, dan φ = arg(z), yang disebut jugaargumen kompleksdariz(Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan denganRumus Euler, dapat diperoleh:
Kadang-kadang, notasircis φ dapat juga ditemui.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unikmodulo2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatanbilangan bulatdari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).
Dengan menggunakanidentitas trigonometridasar,
dapat diperoleh:
dan
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama sepertipenjumlahan vektordari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.
Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (π/2{\displaystyle \pi /2}radian). Secara geometris, persamaani= −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (π{\displaystyle \pi }radian).
William Rowan Hamiltonmemperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunanCdari bilangan komplekssebagai himpunanRpasangan order(a,b)dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:
Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan(a,b)sebagaia+bi.
Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabarClebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya,hukum distributif
harus memegang untuk tiga elemenx,ydanzdari sebuah lapangan. HimpunanRbilangan real memang membentuk bidang. Polinomialp(X)dengankoefisiennyata adalah ekspresi dari bentuk
Dimanaa0, ...,anadalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunanR[X]dari semua polinomial dengan strukturgelanggang. Gelanggang ini disebutgelanggang polinomialdi atas bilangan riil.
Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagaigelanggang hasil bagiR[X]/(X+ 1).Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari−1, yaitu (cosetdari)Xdan−X, masing-masing. (Koset dari)1danXmembentuk dasar dariR[X]/(X+ 1)sebagairuang vektornyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagaikombinasi linierdi kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan(a,b)dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karenaX+ 1adalahtak tersederhanakanberakhirR, sehingga ideal yang dihasilkan adalahmaksimal.
Rumus penjumlahan dan perkalian di ringR[X], modulo the relationX= −1, sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.
Bilangan kompleksa+bibisa juga diwakili oleh2 × 2matriksyang memiliki bentuk sebagai berikut:
Di sini entriadanbadalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah danperkaliandari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:
Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalammatriks rotasidengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengandeterminanmatriks tersebut:
Konjugasiz¯{\displaystyle {\overline {z}}}sesuai dengantransposdari matriks.
Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriksselain(0−110){\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}kuadrat itu ke negatif darimatriks identitas. Lihat artikel tentang2 × 2 matriks riiluntuk representasi lain dari bilangan kompleks.
Tiga poinnon-collinearu,v,w{\displaystyle u,v,w}di pesawat tentukan'bentuk'segitiga{u,v,w}{\displaystyle \{u,v,w\}}. Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmatika kompleks sebagai
BentukS{\displaystyle S}sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengantransformasi affin), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikankesamaan. Demikianlah setiap segitiga{u,v,w}{\displaystyle \{u,v,w\}}berada dalamkelas kesamaansegitiga dengan bentuk yang sama.
Himpunan Mandelbrotadalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasic{\displaystyle c}tempat melakukan iterasi urutanfc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}tidakmenyimpangketikaiterasitanpa batas. Demikian pula,himpunan Juliamemiliki aturan yang sama, kecuali di manac{\displaystyle c}tetap konstan.
Setiap segitiga memilikiSteiner inellipseunik sebuahelipsdi dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga.fokusdari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurutteorema Marden:Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagaia=xA+yAi,b=xB+yBi, andc=xC+yCi. Tulispersamaan kubik(x−a)(x−b)(x−c)=0{\displaystyle \scriptstyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}, ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol.Teorema Mardenmengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.
Templat:Bilangan kompleks