Универсальная алгебра

Универсальная алгебра— разделматематики, изучающий общие свойстваалгебраических систем, использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение междуматематической логикойиобщей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.
Центральное понятие — алгебраическая система➤, объект максимальной общности, объемлющий значительную часть вариантовалгебраических структур; над этим объектом могут быть построены понятия гомоморфизма и факторсистемы, обобщающие соответствующие конструкции из теорий групп, колец, решёток и так далее. Развитое направление в разделе — изучение классов аксиоматизируемых алгебраических систем, прежде всего таких, как задающихся тождествами многообразия (в том числесвободные алгебры), и определяющихся квазитождествамиквазимногообразия. ВМатематической предметной классификацииуниверсальной алгебре присвоен раздел верхнего уровня08.
Первое упоминание о разделе математики с таким наименованием относится кАльфреду Уайтхеду(его«Трактат об универсальной алгебре, с приложениями»выпущен в1898 году), однако появление выделенной дисциплины, изучающей алгебраические структуры как произвольные множества с произвольными наборами операций и соотношений связано с работамиГаррета Биркхофа1935 года, в рамках работы надтеорией решётокобратившего внимания на ряд параллельных конструкций, используемых втеории группиколец:гомоморфизмы,факторгруппыифакторкольца,нормальные подгруппыидвухсторонние идеалы. Наблюдения Биркхофа некоторое время не вызывали опубликованных откликов и развития, однако 1940-е годы отмечено распространение «математического фольклора», связанного таким универсальным подходом к алгебре, в частности, он излагался в лекциях конца 1940-х годов, прочитанныхФилипом Холлом(англ.Philip Hall) вКембриджском университете.
Следующим шагом к созданию универсальной алгебры как раздела математики отмечаются трудыАльфреда Тарскогопотеории моделейиКэндзиро Сёдыпо алгебрам сбинарными операциями, а также работыЛеона Генкина,Анатолия Мальцева,Абрахама Робинсона,Бьярни Йоунссона(исл.Bjarni Jónsson), применивших аппарат математической логики, используемый в рамках строящейся в те годытеории моделей, к исследованию алгебраических систем как структур, обобщающих модели и алгебры. При этом, работа Мальцева1941 годаотмечена как предвосхищающая логический подход к универсальной алгебре, но не получившая откликов и своевременного развития из-завойны, а лекция Тарского наМеждународном конгрессе математиковв1950 году— как отправная точка для второго периода развития раздела.
С конца 1950-х годов развитие получило направление, исследующеесвободные алгебры, прежде всего, благодаря работамЭдварда Марчевскогои последовавшей серии из более чем пятидесяти статей польских математиков в этом направлении. В середине 1950-х годовФилипом Хиггинсомвведены и изученымультиоператорные группыкак структуры, в которых может быть обобщено понятиекоммутантаи всякаяконгруэнцияпредставляется разложением на смежные классы поидеалам(по аналогии с соответствующими свойствами нормальной подгруппы и двухстороннего идеала кольца), позднее также изучены специальные классы мультиоператорных групп (мультиоператорные кольца и алгебры).
С начала 1960-х годов развивается теорияквазимногообразийи вопросы их связи с аксиоматизируемыми классами алгебраических систем (Мальцев,Горбунов), наиболее бурно развивающимся направлением начала — середины 1970-х годов стали исследованиямногообразий конгруэнций(Бьярни Йоунссон, Гретцер).
К 1968 году библиография по универсальной алгебре насчитывала более 1 тыс. статей, к 1980 году — более 5 тыс.; в период с 1976 по 1988 год опубликовано 2 тыс. работ.
Во второй половине 1970-х годов возникли приложения универсальной алгебры в информатике — теорииабстрактных типов данных, теориисистем управления базами данных; приложения в основном строятся вокруг понятиямногосортных алгебр. Среди основных направлений, наиболее активно развивавшиеся в 1980-е — 1990-е годы— теория квазимногообразий, теория коммутаторов для многообразий конгруэнций, теория естественной двойственности (англ.natural duality theory). В 2000-е годы получило интенсивное развитие отдельное направление —универсальная алгебраическая геометрия, обобщающаяклассическую алгебраическую геометрию, работающую салгебраическими полями, на более широкие классы алгебраических систем.
Базовый объект изучения раздела —алгебраическая система— произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений:A=⟨A,F,R⟩{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle },F=⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩{\displaystyle F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle },R=⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩{\displaystyle R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle }. МножествоA{\displaystyle A}в этом случае называетсяносителем(илиосновным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с ихарностями⟨F,R,⟨n1,…ni,…⟩,⟨m1…mi,…⟩⟩{\displaystyle \langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i},\;\ldots \rangle \rangle }— еёсигнатурой. Система с пустым множеством отношений называетсяуниверсальной алгеброй(в контексте предмета — чаще простоалгеброй), а с пустым множеством операций —модельюилисистемой отношений,реляционной системой.
В эту абстракцию вписываются все базовые общеалгебраические структуры, напримерчастично упорядоченное множество— реляционная система, наделённая бинарным отношением частичного порядка, агруппа— алгебра, снабжённая нульарной операцией, выделяющейнейтральный элемент,унарной операциейполученияобратного элементаибинарнойассоциативнойоперацией.
Благодаря тому, что любуюn{\displaystyle n}-арную операциюf:An→A{\displaystyle f\colon A^{n}\to A}можно представить как(n+1){\displaystyle (n+1)}-мерное отношениеrf={⟨a1,…,an,an+1⟩∣an+1=f(a1,…,an)}{\displaystyle \mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}=f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}}, любые алгебраические системы могут быть исследованы как модели,теоретико-модельныминструментарием.
Для алгебраических систем вводятся конструкции, характерные для всех базовых общеалгебраических структур:подсистема(подалгебра,подмодель), как подмножество носителя системы, замкнутое относительно всех операций и отношений,гомоморфизмасистем, как отображения между системами одного типа, сохраняющий основные операции и отношения,изоморфизма, как обратимого гомоморфизма,автоморфизмакак изоморфизма на себя. Введение понятияконгруэнциикак стабильного отношения эквивалентности на системе позволяет построить такую конструкцию, какфакторсистему(факторалгебру,фактормодель) — систему над классами эквивалентности. При этом доказана общая для всех алгебраических системтеорема о гомоморфизме, утверждающая, что для любого гомоморфизмаφ:A(A,Σ)→A′(A′,Σ){\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )}естественное отображение факторсистемы по ядерной конгурэнцииA/{(x,y)∈A×A′∣φ(x)=φ(y)}{\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\}}вA′{\displaystyle {\mathfrak {A}}'}являетсягомоморфизмом, а в случае алгебр —изоморфизмом.
Все подсистемы алгебраической системыSubA{\displaystyle \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}}образуютполную решётку, кроме того, любаяалгебраическая решётка(то есть решётка, каждый элемент которой представим как точная верхняя грань её компактных элементов) изоморфна решётке подалгебр некоторой универсальной алгебры. Исследованы группы автоморфизмов алгебраических системAutA{\displaystyle \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}}, решётки конгруэнцийConA{\displaystyle \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}. В частности, показано, что для любой группыG{\displaystyle G}ирешётокL0{\displaystyle L_{0}}иL1{\displaystyle L_{1}}существует такая универсальная алгебраA{\displaystyle {\mathfrak {A}}}, чтоG≅AutA{\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}},L0≅SubA{\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}},L1≅ConA{\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}.
Над семейством алгебраических систем одного типа определяетсяпрямое произведение∏i∈IAi(Ai,⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩,⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩){\displaystyle \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}}как система, операции и отношения которой покоординатно определены надекартовом произведенииносителей: то есть дляfk:(∏i∈IAi)nk→∏i∈IAi{\displaystyle f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}}—fk(⟨…ai,1…⟩,…,⟨…ai,nk…⟩)=⟨…,f(ai,1,…ai,nk),…⟩{\displaystyle f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k}}\ldots \rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle }, а дляrk⊆(∏i∈IAi)nk{\displaystyle r_{k}\subseteq (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}}—{⟨…,r(ai,1,…,ai,k),…⟩∣ai,j∈Ai,i∈I,1⩽j⩽k}{\displaystyle \{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{i,\;j}\in A_{i},\;i\in I,\;1\leqslant j\leqslant k\}}.Проекциямипрямого произведения являются естественныесюръективныегомоморфизмыπk:∏i∈IAi→Ak{\displaystyle \pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}}, восстанавливающие операции и отношения в компонентах произведения.Декартовой степеньюалгебраической системы называется прямое произведение с самой собой:An=∏i=1nAi{\displaystyle {\mathfrak {A}}^{n}=\prod _{i=1}^{n}{{\mathfrak {A}}_{i}}}; решётку конгруэнций алгебрыConA{\displaystyle \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}в этом смысле можно рассмотреть как входящую в решётку подалгебр её декартова квадратаSubA2{\displaystyle \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}}, притом установлено, что она является в нейполной подрешёткой.
Многообразие алгебраических систем (илиэквациональный класс) — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры,аксиоматизируемыйнабором тождеств, выраженных в термах сигнатуры, это понятие обобщает такие специальные аксиоматически заданные классы алгебр, как класс всех полугрупп, класс всех групп, класс всех колец. Основанием для изучения такой обобщённой конструкции как многообразия являетсятеорема Биркгофа, утверждающая, что для аксиоматизируемости тождествами непустого класса алгебраических системK{\displaystyle {\mathfrak {K}}}необходимо и достаточно, чтобы он содержал:
Третье условие эквивалентно замкнутости относительно факторсистем.
В исследованиях по универсальной алгебре подробно изучены структурные свойства многообразий, вопросы погружаемости систем одного многообразия в системы другого. Подмногообразия для заданного эквационального класса образуют решётку по включению, при этом свойства таких решёток многообразий различны, в частности решётка всех многообразий решётокдистрибутивнаи имеетмощность континуума, а решётка всех многообразий группмодулярна, но дистрибутивной не является.
Дополнительно к многообразиям изучены такие более общие классы систем, какпредмногообразия(реплично полные классы) — классы, замкнутые относительно подалгебр и декартовых произведений, содержащие одноэлементную систему иквазимногообразия— классы, аксиоматизируемые вместо набора тождеств набором квазитождеств (определённымидизъюнктами Хорна), а также конечно-замкнутные варианты многообразий и квазимногообразий —псевдомногообразияипсевдоквазимногообразия.