Curva del manjar blanco

Enmatemáticas, lacurva del manjar blancoes un tipo decurva autoafínconstruible por subdivisiones sucesivas aplicadas en los puntos medios de cada estado anterior. También se conoce como lacurva de Takagi, en honor aTeiji Takagi, quien la describió en 1901, o como lacurva de Takagi-Landsberg, una generalización de la curva que lleva el nombre de Takagi y deGeorg Landsberg.​ Su nombre proviene de su parecido con unmanjar blanco,​ un tipo de pudding de origen francés. Es un caso particular de lacurva de De Rham(véasecurva fractal).
La función manjar blanco se define en elintervalo unidadmediante
dondes(x){\displaystyle s(x)}es unaonda triangular, definida pors(x)=minn∈Z|x−n|{\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|},
es decir,s(x){\displaystyle s(x)}es la distancia dexalnúmero enteromás cercano.
La curva de Takagi-Landsberg es una ligera generalización, dada por
para un parámetrow{\displaystyle w}; por lo tanto, la curva del manjar blanco es el casow=1/2{\displaystyle w=1/2}. El valorH=−log2⁡w{\displaystyle H=-\log _{2}w}se conoce comoparámetro de Hurst.
La función se puede extender a toda la recta real: la aplicación de la definición dada arriba muestra que la función se repite en cadaintervalo unitario.
La función también podría estar definida por la serie en la secciónExpansión en series de Fourier.
La versión periódica de la curva de Takagi también se puede definir como lasolución limitada únicaT=Tw:R→R{\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }a la ecuación funcional
De hecho, la función del manjar blancoTw{\displaystyle T_{w}}ciertamente está acotada y resuelve la ecuación funcional, ya que
Por el contrario, siT:R→R{\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }es una solución acotada de la ecuación funcional, iterando la igualdad que se tiene para cualquierN
de dondeT=Tw{\displaystyle T=T_{w}}. Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas, no acotadas, como por ejemploTw(x)+c|x|−log2⁡w.{\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}
La curva del manjar blanco se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos. En las siguientes ilustraciones, las funciones triangulares progresivamente más finas (mostradas en rojo) se agregan a la curva en cada etapa.
La suma infinita que defineTw(x){\displaystyle T_{w}(x)}converge absolutamentepara todox{\displaystyle x}: desde0≤s(x)≤1/2{\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}para todox∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }, tiene:
Por lo tanto, la curva de Takagi de parámetrow{\displaystyle w}se define en el intervalo unitario (oR{\displaystyle \mathbb {R} }) si|w|<1{\displaystyle |w|<1}.
La función Takagi del parámetrow{\displaystyle w}escontinua.​ De hecho, las funcionesTw,n{\displaystyle T_{w,n}}definidas por las sumas parcialesTw,n(x)=∑k=0nwks(2kx){\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}son continuas yconverge uniformementehaciaTw{\displaystyle T_{w}}, ya que:
Este valor se puede hacer tan pequeño como se quiera seleccionando un valor suficientemente grande den. Por lo tanto, según elteorema del límite uniforme,Tw{\displaystyle T_{w}}es continua si |w| <1.
Dado que elvalor absolutoes unafunción subaditiva, también lo es la funcións(x)=minn∈Z|x−n|{\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}y sus dilatacioness(2kx){\displaystyle s(2^{k}x)}. Dado que las combinaciones lineales positivas y los límites puntuales de las funciones subaditivas son subaditivas, la función de Takagi es subaditiva para cualquier valor del parámetrow{\displaystyle w}.
Paraw=1/4{\displaystyle w=1/4}, se obtiene unaparábola. De hecho, la construcción de la parábola por subdivisión del punto medio ya fue descrita porArquímedes.​
Para los valores del parámetro0<w<1/2{\displaystyle 0<w<1/2}, la función de TakagiTw{\displaystyle T_{w}}es diferenciable en sentido clásico en cualquierx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }que no sea un númeroracional diádico.​ Precisamente, por derivación bajo el signo de la serie, para cualquierx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }racional no diádico que se desee
donde(xn)n∈Z∈{0,1}Z{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}es la secuencia de dígitos en laexpresión binariadex{\displaystyle x}, es decir,x=∑n∈Z2nxn{\displaystyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}. Además, para estos valores dew{\displaystyle w}, la funciónTw{\displaystyle T_{w}}eslipschitzianade constante11−2w{\displaystyle 1 \over 1-2w}. En particular para el valor especialw=1/4{\displaystyle w=1/4}, se tiene que para cualquierx∈[0,1]{\displaystyle x\in [0,1]}racional no diádicoT1/4′(x)=2−4x{\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}, de acuerdo con el mencionadoT1/4(x)=2x(1−x).{\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}
Paraw=1/2{\displaystyle w=1/2}, la función del manjar blancoTw{\displaystyle T_{w}}es devariación acotadaen cualquierconjunto abiertono vacío; ni siquiera es lipschitziana localmente, pero es casi-lipschitziana. De hecho, admite la funciónω(t):=t(|log2⁡t|+1/2){\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}comomódulo de continuidad.​
La función Takagi-Landsberg admite una expansión en series de Fourier absolutamente convergente:
cona0=1/4(1−w){\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}y, param≥1{\displaystyle m\geq 1}
donde2ν(m){\displaystyle 2^{\nu (m)}}es la potencia máxima de2{\displaystyle 2}que divide am{\displaystyle m}.
De hecho, laonda triangulars(x){\displaystyle s(x)}anterior posee una expansión en series de Fourier absolutamente convergente
Por convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente paraTw(x){\displaystyle T_{w}(x)}:
poniendom=2n(2k+1){\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}se genera laserie de Fourieranterior paraTw(x).{\displaystyle T_{w}(x).}
Ladefinición recursivapermite dar elmonoidede auto-simetrías de la curva. Este monoide viene dado por dos generadores,gyr, queactúanen la curva (restringida al intervalo unitario) como
y
Un elemento general del monoide tiene entonces la formaγ=ga1rga2r⋯rgan{\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}para algunos enterosa1,a2,⋯,an{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}queactúaen la curva como unafunción lineal:γ⋅Tw=a+bx+cTw{\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}para algunas constantesa,byc. Debido a que la acción es lineal, se puede describir en términos de unespacio vectorial, con labase:
En esterepresentación, la acción degyrviene dada por
y
Es decir, la acción de un elemento generalγ{\displaystyle \gamma }aplica la curva del manjar blanco en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo[m/2p,n/2p]{\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}para algunos enterosm,n,p. la aplicación viene dado exactamente por[γ⋅Tw](x)=a+bx+cTw(x){\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}donde los valores dea,bycse puede obtener directamente multiplicando las matrices anteriores. Es decir:
Téngase en cuenta que obtenerp=a1+a2+⋯+an{\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}es inmediato.
El monoide generado porgyra veces se denominamonoide diádico, un sub-monoide delgrupo modular. Cuando se habla del grupo modular, la notación más común paragyresTyS, pero esa notación entra en conflicto con los símbolos utilizados aquí.
La representación tridimensional anterior es solo una de las muchas representaciones que puede tener; muestra que la curva del manjar blanco es una posible realización de la acción. Es decir, hay representaciones para cualquier dimensión, no solo para 3, de forma que algunas de ellas generan lacurva de De Rham.
Dado que laintegraldeblanc(x){\displaystyle {\rm {blanc}}(x)}de 0 a 1 es 1/2, la identidadblanc(x)=blanc(2x)/2+s(x){\displaystyle {\rm {blanc}}(x)={\rm {blanc}}(2x)/2+s(x)}permite que la integral sobre cualquier intervalo sea calculada por la siguiente relación recursiva, con el tiempo de cálculo en elordendel logaritmo de la precisión requerida. Definiendo
se tiene que
La integral viene dado por:
Se puede obtener una expresión más general definiendo
lo que combinado con la representación en serie da
teniendo en cuenta que
Esta integral también es auto-semejante en el intervalo unitario, bajo una acción del monoide diádico descrito en la secciónAutosemejanza. Aquí, la representación es de 4 dimensiones y tiene la base{1,x,x2,I(x)}{\displaystyle \{1,x,x^{2},I(x)\}}. Reescribiendo lo anterior en el intervalo unitario para que la acción degsea más clara, se tiene que
A partir de esto, se pueden obtener inmediatamente losgeneradoresde la representación en cuatro dimensiones:
y
Las integrales repetidas se transforman bajo una representación de 5,6, ... dimensiones.
Sea
Definiendo la función de Kruskal-Katona
elteorema de Kruskal-Katonaestablece que este es el número mínimo de (t− 1)-simplex que son caras de un conjunto deNt-simplex.
A medida quetyNse acercan al infinito,κt(N)−N{\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}(adecuadamente normalizada) se aproxima a la curva del manjar blanco.