Dynamique holomorphe

Ladynamique holomorpheest un domaine de l'analyse complexeet dessystèmes dynamiquess'intéressant principalement à l'étude de l'itérationdes applicationsholomorphes.
La dynamique holomorphe provient initialement de l'étude de laméthode de Newtonfaite par le mathématicien allemandErnst Schröderdans les années 1870. Cette méthode, qui revient à itérer une certainefraction rationnelleparticulière, est ensuite généralisée à l'itération de fractions rationnelles quelconques. Cela motivait particulièrement Schröder pour résoudre certaineséquations fonctionnelles, notamment sonéquation de Schröder, qui permettent de comprendre le comportement local de la dynamique au voisinage de certains points particuliers. Cette étude locale fut poursuivie durant la fin duXIXsièclepar les mathématiciensGabriel Koenigs,Lucjan BöttcheretLéopold Leau. Cependant, la dynamique globale restait incomprise.
L'Académie des Sciences de Parisdécida de dédier sonGrand prix des Sciences Mathématiquesde 1918 à la compréhension du comportement global (appelé à l'époque "problème de l'itération"). Les françaisPierre FatouetGaston Juliadéposèrent deux manuscrits similaires qui révolutionnèrent le domaine, via l'utilisation de la théorie desfamilles normalesrécemment développée parPaul Montel. Pour des raisons inconnues, Fatou se retira de la compétition et Julia,gueule-casséeet figure patriotique, remporta le prix. Cependant, d'après plusieurs mathématiciens (Michèle Audin,John Milnor), ce sont les travaux de Fatou qui ont fait le plus avancer le domaine. Pour plus de précisions, on pourra lire le livre de Michèle Audin dédié au sujet.
Le domaine sombra dans l'oubli, jusqu'à sa redécouverte dans les années 1980. Les avancées de l'informatique permirent la visualisation des ensembles de Julia, ce qui popularisa beaucoup ce champ de recherche. Le domaine de recherche est très actif aujourd'hui, et est relié à de nombreux autres domaines des mathématiques.
L'étude de la dynamique desfonctions holomorphesà unevariableest de loin la plus développée.
Afin d'établir les propriétés concernant la famille de fonctions(f∘n)n∈N{\displaystyle (f^{\circ n})_{n\in \mathbb {N} }}itéréesde la fonction
holomorphef{\displaystyle f}définie sur unesurface de Riemann(c'est-à-dire unevariété complexede dimension un),
elle s'appuie sur les résultats de l'analyse complexe(principe du maximum,théorème des résidus,théorème de Montel, théorie des fonctions univalentes…), de latopologiegénérale, de lagéométrie complexe(théorème de l'application conformeetthéorème d'uniformisation de Riemann,hyperbolicité, théorie des applicationsquasi-conformeset de ladynamiquegénérale.
La dualitéfamille normale/comportement instable qui sépare le plan dynamique en deux sous-ensembles localement discriminés en est un des faits importants.
Cette dualité apparait grâce à la classification despoints périodiquesde la fonctionf{\displaystyle f}, c'est-à-dire les pointsz{\displaystyle z}dudomaine de définitionpour lesquels il existe un entierp{\displaystyle p}tel quef∘p(z)=z{\displaystyle f^{\circ p}(z)=z}.
Prenonsp(z){\displaystyle p(z)}unpolynômeà unevariable complexez{\displaystyle z}, c'est unefonction holomorphesurC{\displaystyle \mathbb {C} }(l'ensemble des nombres complexes). Alors, pour chaque point de départz0{\displaystyle z_{0}}dans l'ensemble des nombres complexes, on construit lasuite(zn)n{\displaystyle (z_{n})_{n}}des itérés définie par la formule derécurrence:
Une question naturelle est celle de laconvergencede la suite(zn)n{\displaystyle (z_{n})_{n}}, et plus généralement de son comportement (périodique, tendant vers l'infini…).
On peut s'attendre, justement, à ce que le comportement de la suite dépende de la valeur initialez0{\displaystyle z_{0}}.
Par exemple, il est facile de voir que pour le polynômep(z)=z2{\displaystyle p(z)=z^{2}}, si on prend une valeur initialez0{\displaystyle z_{0}}telle que|z0|>1{\displaystyle |z_{0}|>1}, alors la suite(zn)n{\displaystyle (z_{n})_{n}}, définie par la récurrencezn+1=p(zn)=(zn)2{\displaystyle z_{n+1}=p(z_{n})=(z_{n})^{2}}, tend vers l'infini (i.e.limn→∞|zn|=∞{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|z_{n}|=\infty }. De façon plus générale, on peut montrer que pour tout polynômep{\displaystyle p}, il existe un rayonR{\displaystyle R}tel que si|z0|>R{\displaystyle |z_{0}|>R}, alors la suite des itérés dep{\displaystyle p}issue dez0{\displaystyle z_{0}}tend vers l'infini.
L'ensemble des pointsz0∈C{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }tels que la suite des itérés dep{\displaystyle p}issue dez0{\displaystyle z_{0}}tend vers l'infini est appelébassin d'attraction de l'infini. Soncomplémentaire, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs initialesz0{\displaystyle z_{0}}pour lesquelles la suite(zn)n{\displaystyle (z_{n})_{n}}ne tend pas vers l'infini, est appeléensemble de Julia rempli.
Pour la fonction de l'exemple précédentp(z)=z2{\displaystyle p(z)=z^{2}}, l'ensemble de Julia rempli est le disque centré en zéro de rayon1{\displaystyle 1}et son complémentaire le bassin de l'infini.
L'ensemble de Juliaest alors le bord de l'ensemble de Julia rempli, c'est-à-dire safrontière topologique.
Pour ce qui est dez2{\displaystyle z^{2}}, son ensemble de Julia est simplement le cercle centré en zéro de rayon1{\displaystyle 1}, cependant la « forme » des ensembles de Julia dépend évidemment de la fonction que l'on considère et est souvent bien plus complexe.
Un autre exemple d'ensemble de Julia assez simple est celui du polynômez2−2{\displaystyle z^{2}-2}: c'est l'intervalle[−2,2]{\displaystyle [-2,2]}.
Dans la plupart des cas les ensembles de Julia ne sont pas desvariétés différentielles, comme les exemples d'ensembles de Juliaconnexessuivants (voir illustrations) :
Certaines applications peuvent avoir comme ensemble de Julia despoussières de Cantor(par exemple, le polynômez2+6i{\displaystyle z^{2}+6i}), destapis de Sierpinsky, etc.
Comme les exemples qui précèdent, les ensembles de Julia de la plupart des applications holomorphes sont desfractales.
Le complémentaire de l'ensemble de Julia d'une fonction holomorphef{\displaystyle f}(ici un polynôme) est unouvertF{\displaystyle F}, appeléensemble de Fatou. Cet ouvert est caractérisé par le fait que lasuite de fonctions(f∘n)n{\displaystyle (f^{\circ n})_{n}}, oùf∘n{\displaystyle f^{\circ n}}désigne len{\displaystyle n}ième itéré de la fonctionf{\displaystyle f}(i.e.f∘n=f∘⋯∘f{\displaystyle f^{\circ n}=f\circ \cdots \circ f}n{\displaystyle n}fois), admet, pour toutcompactK{\displaystyle K}inclus dansF{\displaystyle F}, dessous-suitesuniformément convergentes surK{\displaystyle K}. On dit alors que(f∘n)n{\displaystyle (f^{\circ n})_{n}}forme unefamille normalesurF{\displaystyle F}.