Frattale

Unfrattaleè un oggettogeometricodotato diomotetiainterna: si ripete nella sua forma allo stesso modo suscalediverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nelmoto brownianoe nellegalassie.
Questa caratteristica è spesso chiamataauto similaritàoppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 daBenoît MandelbrotnellibroLes Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimensionper descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latinofractus(rotto, spezzato), così come il terminefrazione; infatti le immagini frattali sono considerate dallamatematicaoggetti didimensioneanche non intera. Ad esempio, lacurva di Kochha dimensionelog⁡4log⁡3≈1,26186{\displaystyle {\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1{,}26186}.
I frattali compaiono spesso nello studio deisistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nellateoria del caose sono spesso descritti in modoricorsivoda algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio deinumeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme di Mandelbrotè la seguente:
dovean{\displaystyle a_{n}}eP0{\displaystyle P_{0}}sono numeri complessi.
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in unalbero, soprattutto nell'abete, ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in altri aspetti della natura, come nel profilo geomorfologico dellemontagne, nellenubi, neicristalli di ghiaccio, in alcunefoglieefiori.Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.
A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.
Una sostanziale differenza tra unoggettogeometricoeuclideoed un frattale è il modo in cui si costruisce. Infatti unacurva pianasi costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando unafunzionedel tipo:
che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempot{\displaystyle t}.
Invece la costruzione dei frattali non si basa su un'equazione, ma su unalgoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre l'algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: a ogni iterazione la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione) e, dopo un certo numero di iterazioni, l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche oppure l'hardwaredel computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti. Pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.
Alla base dell'auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamataomotetiache permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, dettaomotetia interna.
Ladimensione frattale, odimensione di Hausdorff, è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.
Mandelbrot nel suo libro intitolato "Gli oggetti frattali" pubblicato nel 1975 afferma l'esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente.
Si fa avanzare lungo la costa un compasso di apertura prescrittah{\displaystyle h}e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell'aperturah{\displaystyle h}moltiplicato per il numero di passi fornirà la lunghezza approssimativaL(h){\displaystyle L(h)}della costa; tuttavia rendendo l'apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l'apertura tenderà a zero e il numero dei passi tenderà all'infinito e la misura della lunghezza della costa tenderà all'esattezza.
Mandelbrot afferma che la costa è stata modellata nel corso del tempo da molteplici influenze. La situazione si presenta così complicata perché ingeomorfologianon si conoscono le leggi che governano queste influenze. Quindi si può affermare che il caso occupa un ruolo rilevante e tuttora l'unico strumento capace di fornire una soluzione al problema è la statistica.
Il caso può generare irregolarità ed è capace di generare un'irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle aspettative.
Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l'omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Pertanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto deisistemi dinamici caotici.
Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente. Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso. Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell'IBMdove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologoLewis Fry Richardson. Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria dellaturbolenza. Richardson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell'anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi.
Nel libro Richardson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune per quanto spaziassero tra discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l'apparente caos insito in essi.
Esistono diverse famiglie di frattali, suddivise in base al grado dei termini dell'equazione generatrice contenuti nell'algoritmo:
Ifrattali linearisono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine e quindi l'algoritmoè lineare.
Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: lafotocopiatrice a riduzioni, unamacchinametaforica ideata daJohn E. Hutchinson, un matematico della Australian National University aCanberra.
Questa macchina funziona più o meno come una normalefotocopiatricecon variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere piùlentidi riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.
Le lenti possono essere predisposte secondo diversifattori di riduzionee le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasiposizione. La figura può quindi essere spostata, allungata, accorciata, riflessa, ruotata o trasformata in tutti i modi, purché le varie trasformazioni risultino essere delleomotetiee isegmenti di rettadell'originale rimangano dunque segmenti di retta.
Esistono diversi tipi difrattali non lineari, la cuiequazionegeneratrice è di ordine superiore a1{\displaystyle 1}.
Uno di questi si basa sullatrasformazione quadraticaed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odiernateoria del caos.
La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico franceseGaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante laprima guerra mondiale. Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivalePierre Fatou, e basate sul comportamento della trasformazioneg(z)=z2+c{\displaystyle g(z)=z^{2}+c}, furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte diBenoît Mandelbrot.
L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità di astrazione.
I frattali finora esaminati sono deterministici. Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per un'altra classe di frattali, i cosiddettifrattali aleatori. Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con untriangologiacente su un piano arbitrario.
I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascunpunto medioè poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all'infinito. All'aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l'entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da unalegge di distribuzioneche può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.
Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo.
Per rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio latopografiadi unacatena montuosa, è meglio far diminuire di poco l'entità degli spostamenti a ogni iterazione.
Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell'erosionedel suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone difaglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.
L'insieme di Mandelbrotè l'insieme deic∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }tali che, postoz0=0{\displaystyle z_{0}=0}, la successionezn+1=zn2+c{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}è limitata.
Il lavoro di gran lunga più riuscito in questo campo è quello sul cosiddettopotenziale elettrostaticodell'insieme di Mandelbrot.
Si immagini che l'insieme sia dotato dicarica elettrica. Si potrebbe misurare ilpotenziale elettricocollocando una carica puntiforme all'esterno dell'insieme e misurando laforza elettrostaticaagente su quel punto. Risulta che il calcolo del potenziale è strettamente legato alla successione0,c,c2+c,(c2+c)2+c,…{\displaystyle 0,c,c^{2}+c,(c^{2}+c)^{2}+c,\dots }, usata per stabilire se unc{\displaystyle c}appartiene o no all'insieme di Mandelbrot.
La proprietà forse più affascinante dell'insieme di Mandelbrot è che esso può essere considerato un «deposito» di immagini di efficienza infinita: oltre a suddividere gli insiemi di Julia in connessi e non connessi, l'insieme di Mandelbrot funge anche da indice diretto e grafico di un numero infinito diinsiemi di Julia.
Ingrandendo l'insieme di Mandelbrot intorno a un puntoc{\displaystyle c}situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell'insieme di Julia corrispondente al puntoc{\displaystyle c}. Tuttavia questa scoperta non è stata ancora rivestita di tutto il necessario rigore matematico.
Tan Lei, ricercatore dell'Università di Lione, ha dimostrato che l'insieme di Mandelbrot si comporta in questo modo per la maggior parte dei valori del parametroc{\displaystyle c}situati esattamente sulla frontiera dell'insieme.
Di seguito sono elencati una serie di frattali generati con ilmetodo Mandelbrot, cioè iterandoz=zm+c{\displaystyle z=z^{m}+c}, per unm{\displaystyle m}fissato. Tutti i punti del piano complessoc=(cx,cy){\displaystyle c=(c_{x},c_{y})}vengono considerati e, se non diversamente specificato, tutte le iterazioni iniziano dal puntoz0=0{\displaystyle z_{0}=0}. Quando l'iterazione converge l'immagine è colorata di giallo pallido. La divergenza all'infinito è colorata con un colore che va dal nero al blu. Il casom=2{\displaystyle m=2}, cioèz=z2+c{\displaystyle z=z^{2}+c}è chiamatoinsieme di Mandelbrot.
Esempi dei frattali di tipo Mandelbrotz=zm+c{\displaystyle z=z^{m}+c}.
Esempi dei frattali di tipo Mandelbrotz=zm+1c{\displaystyle z=z^{m}+{\frac {1}{c}}}.
Altri frattali di Mandelbrot.