অবাস্তব সংখ্যা

একটিঅবাস্তব সংখ্যাহলোঅবাস্তব এককiদ্বারা গুণিত একটিবাস্তব সংখ্যা,সংখ্যাটিকেi= −1দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।অবাস্তব সংখ্যাbiএরবর্গহল−b। উদাহরণস্বরূপ,5iএকটি অবাস্তব সংখ্যা, এবং এর বর্গ হল−25। সংজ্ঞা অনুসারে,শূন্যকেবাস্তব এবং অবাস্তব উভয় সংখ্যা হিসেবেই গণ্য করা হয়।
মূলত ১৭ শতকের‍্যনে দেকার্তঅবাস্তব সংখ্যাকে একটি অবমাননাকর শব্দ হিসাবে তৈরি করেছিলেন এবং এটি তখন কাল্পনিক বা অকেজো বিষয় হিসাবে বিবেচিত হতো, পরবর্তীতে অবাস্তব সংখ্যার ধারণাটিলেওনার্ড অয়লার(১৮ শতকে) এবংওগ্যুস্তাঁ-লুই কোশিএবংকার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের(১৯ শতকের গোড়ার দিকে) কাজের অবদানের ফলে ব্যাপক গ্রহণযোগ্যতা লাভ করে।
একটি অবাস্তব সংখ্যাbiকে বাস্তব সংখ্যাa-এর সাথে যোগ করেa+biগঠনের একটি জটিল সংখ্যা তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে বাস্তব সংখ্যাaএবংbকে যথাক্রমে, জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ এবং অবাস্তব অংশ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
যদিও গ্রীকগণিতবিদএবংপ্রকৌশলীহিরো অব আলেকজান্দ্রিয়াকেঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের হিসাব নিকাশের প্রথম প্রবর্তক হিসেবে উল্লেখ করা হয়,রাফায়েল বোমবেল্লিইপ্রথম ১৫৭২ সালেজটিল সংখ্যারগুণের নিয়মকানুন নির্ধারণ করেছিলেন, তবে ধারণাটি ইতোপূর্বেজিরোলামো কার্দানোররচনায় মুদ্রিত হয়েছিল। সেই সময়ে, শূন্যের মতো অবাস্তব সংখ্যা এবং ঋণাত্মক সংখ্যাগুলির ধারণাও পরিষ্কার ছিলো না এবং কেউ কেউ এগুলোকে কাল্পনিক বা অকেজো হিসাবে বিবেচনা করতো। অন্যান্য অনেক গণিতবিদ ধীরে ধীরে অবাস্তব সংখ্যার ব্যবহার ও প্রয়োগ করতে শুরু করেছিলেন, যার মধ্যের‍্যনে দেকার্তওছিলেন, যিনি তারলা জিওমেট্রিগ্রন্থে এসম্পর্কে লিখেছিলেন এবং সেখানে কাল্পনিক/অবাস্তব শব্দটি অবমাননাকর শব্দ হিসেবে তৈরি করেছিলেন।লেওনার্ড অয়লার(১৭০৭-১৭৮৩) এবংকার্ল ফ্রেডরিখ গাউস(১৭৭৭-১৮৫৫)-এর গবেষণার আগ পর্যন্ত অবাস্তব সংখ্যার ব্যবহার ব্যাপকভাবে গৃহীত হয়নি। একটি সমতলে বিন্দু হিসাবে জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক তাৎপর্য প্রথম বর্ণনা করেছিলেনক্যাসপার ওয়েসেল(১৭৪৫-১৮১৮)।
১৮৪৩ সালে,উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনএকটি সমতলে অবাস্তব সংখ্যার অক্ষের ধারণাকেচতুর্মাত্রিক কল্পনারচার-মাত্রিক স্থান পর্যন্ত প্রসারিত করেন যেখানে উপস্থিত তিনটি মাত্রা জটিল ক্ষেত্রের অবাস্তব সংখ্যার ধারণার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।
জ্যামিতিকভাবে, কাল্পনিক সংখ্যাগুলোজটিল সংখ্যা সমতলেরউল্লম্ব অক্ষে পাওয়া যায়, যা তাদেরকে বাস্তব অক্ষের সাথে লম্বভাবে উপস্থাপন করার সুযোগ দেয়। কাল্পনিক সংখ্যাগুলো দেখার একটি উপায় হল একটি আদর্শসংখ্যা রেখাকেডানদিকে ধনাত্মকভাবে বৃদ্ধি এবং বাম দিকে ঋণাত্মকভাবে বৃদ্ধি হিসেবে বিবেচনা করে।x-অক্ষের উপর০, একটিy-অক্ষ আঁকা যেতে পারে যেটি "ধনাত্মক" দিকে উপরে অগ্রসর হয়; "ধনাত্মক" কাল্পনিক সংখ্যাগুলোর মান তখন উপরের দিকে বৃদ্ধি পেতে থাকে, এবং "ঋণাত্মক" কাল্পনিক সংখ্যাগুলোর মান নীচের দিকে বৃদ্ধি পায়। এই উল্লম্ব অক্ষকে প্রায়ই "অবাস্তব/কাল্পনিক অক্ষ"বলা হয়ে থাকে এবং এটিকেiR,{\displaystyle i\mathbb {R} ,}I,{\displaystyle \mathbb {I} ,}অথবাℑদিয়ে চিহ্নিত করা হয়।
এই উপস্থাপনায়,–1দ্বারা উৎস থেকে ১৮০ ডিগ্রীঘূর্ণনবুঝানো হয়, যা একটি অর্ধ বৃত্ত।iদ্বারা এটিকে গুন করলে উৎস থেকে ৯০ ডিগ্রিঘূর্ণনবুঝানো হয় যা একটি বৃত্তের এক চতুর্থাংশ। এই দুটি সংখ্যাই1{\displaystyle 1}এর বর্গমূলঃ(−1)2=1{\displaystyle (-1)^{2}=1},i4=1{\displaystyle i^{4}=1}। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে, প্রত্যেকn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }-এর জন্য,1{\displaystyle 1}-এর n-তম বর্গমূলφn{\displaystyle \varphi _{n}}রয়েছে, তার অর্থ হলোφnn=1{\displaystyle \varphi _{n}^{n}=1}, এটিকেঐক্যমূলবলা হয়। প্রথমn{\displaystyle n}-তম মূল দ্বারা এটিকে গুন করলে আমরা উৎস থেকে360n{\displaystyle {\frac {360}{n}}}ডিগ্রী ঘূর্ণন দেখতে পাই।
একটি জটিল সংখ্যা দ্বারা গুণ করা আর উৎস থেকে জটিল সংখ্যার আরগুমেন্টের সমান ঘূর্ণন এবং এটির মানের সমান স্কেলিং একই জিনিস।
অবাস্তব সংখ্যাগুলোকেঋণাত্মক সংখ্যারবর্গমূলেরমূল মানহিসেবে প্রকাশ করার সময় সাবধানতা অবলম্বন করা উচিতঃ
6=36=(−4)(−9)≠−4−9=(2i)(3i)=6i2=−6.{\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}
এটি কখনও কখনও এভাবেও লেখা হয়ঃ
−1=i2=−1−1=(fallacy)(−1)(−1)=1=1.{\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}
গাণিতিক ভেলকিঘটে যখনxy=xy{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}প্রমাণ করা যায়না যেখানে চলকগুলো সঠিকভাবে সীমাবদ্ধ থাকেনা। এক্ষেত্রে, সমতায় পৌঁছানো যায়না কারণ এখানে দুটি সংখ্যাই ঋণাত্মক, এটিকে এভাবে দেখানো যায়ঃ
−x−y=ixiy=i2xy=−xy≠xy,{\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}
যেখানেxএবংyউভয়ই ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
টেমপ্লেট:Number systems