Úplný svaz

Úplný svazjematematickýpojem z oboruteorie uspořádání.
Částečně uspořádaná množinaL{\displaystyle L}se nazývásvaz, pokud každá dvouprvková množinaA⊆L{\displaystyle A\subseteq L}má vL{\displaystyle L}supremum(tj.nejmenšímezihorními závorami) ainfimum, (největší horní závoru). Z tohoindukcíplyne, že mají suprema a infima všechny konečnéA⊆L{\displaystyle A\subseteq L}.
Svaz se nazýváúplný,  pokud toto platí pro všechny (i nekonečné) množinyA⊆L{\displaystyle A\subseteq L}.
MnožinuX{\displaystyle X\,\!}uspořádanourelacíR{\displaystyle R\,\!}nazveme úplným svazem, pokud pro každou svoupodmnožinuobsahuje i její supremum a infimum.(∀Y⊆X)(∃i,s∈X)(i=infR(Y)∧s=supR(Y)){\displaystyle (\forall Y\subseteq X)(\exists i,s\in X)(i=\inf \nolimits _{R}(Y)\land s=\sup \nolimits _{R}(Y))\,\!}
Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveňsvaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
Potenční algebra(tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.Pokud je tedyX=P(X0){\displaystyle X=\mathbb {P} (X_{0})\,\!}potenční množinaaY⊆X{\displaystyle Y\subseteq X\,\!}je nějakou množinou podmnožinX0{\displaystyle X_{0}\,\!}
Úplný svaz musí mítnejvětší prvekanejmenší prvek– musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množinyX{\displaystyle X\,\!}).
Z toho vyplvývá, že napříkladpřirozená číslaneboreálná číslapři běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příkladysvazu, který není úplným svazem.
Např. celá či reálná čísla jsou svazem, ale nikoli úplným svazem. Typičtějším příklad neúplného svazu jemnožina všech konečných množin celých číseluspořádaná obvyklou množinovouinkluzí.
Racionální čísla nejsou úplným svazem; supremum nemá např. množina racionálních čísel menších než zvolené iracionální číslo, např.π{\displaystyle \pi }neboEulerova konstanta. To úzce souvisí i s tím, že racionální čísla nejsouúplný metrický prostor.
Má-li suprema a infima každá podmnožinaA⊆P{\displaystyle A\subseteq P}, má je i celý svazA=P{\displaystyle A=P}, protože je sám sobě podmnožinou (P⊆P{\displaystyle P\subseteq P}). Proto má  každý úplný svaznejmenší a největší prvek. Svazem není např. žádnýotevřený intervalreálných čísel, protože nemá nejmenší prvek (ať už je dolní mezí nekonečno nebo konečné číslo) ani největší prvek.
Odstraněním nuly z uzavřeného intervalu⟨−1;1⟩{\displaystyle \langle -1;1\rangle }vznikne množina⟨−1;0)∪(0;1⟩{\displaystyle \langle -1;0)\cup (0;1\rangle }, která sice nejmenší prvek má, ale nemá je její podmnožina(0;1⟩{\displaystyle (0;1\rangle }; proto není svazem.
Důležitou vlastností reálných čísel je, že v nich má supremum a infimum každáomezená(tj. shora i zdola omezená) podmnožina kromě prázdné. MnožinaA⊆R{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }se nazýváshora omezená, pokud existuje reálné číslo větší než každý její prvek.
Supremum shora neomezené množiny reálných čísel se značí symbolem+∞{\displaystyle +\infty }(čteno „plus nekonečno“), infimum zdola neomezené pak−∞{\displaystyle -\infty }. Přidáním těchto dvou hodnot k reálným číslům (a zavedením vhodných operací, jako je sčítání a nerovnost, na této množině) vzniknourozšířená reálná čísla, která již úplným svazem jsou: