Věty o dimenzi

V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzích jádra a obrazu.
Nechť V {\displaystyle \scriptstyle V} je vektorový prostor nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} } . Dále nechť P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} jsou podprostory prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} konečných dimenzí, tj. P ⊂ V {\displaystyle \scriptstyle P\subset V} , dim ⁡ P < ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim P<\infty } a Q ⊂ V {\displaystyle \scriptstyle Q\subset V} , dim ⁡ Q < ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim Q<\infty } . Pak platí
Pro direktní součet podprostorů pak speciálně
Pokud je P {\displaystyle \scriptstyle P} podprostor prostoru Q {\displaystyle \scriptstyle Q} , tj. P ⊂ Q {\displaystyle \scriptstyle P\subset Q} , tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak Q = P + Q {\displaystyle \scriptstyle Q=P+Q} , P = P ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle P=P\cap Q} a dim ⁡ P = dim ⁡ ( P ∩ Q ) {\displaystyle \scriptstyle \dim P=\dim(P\cap Q)} , dim ⁡ Q = dim ⁡ ( P + Q ) {\displaystyle \scriptstyle \dim Q=\dim(P+Q)} . Totožně by se postupovalo, byl-li by Q {\displaystyle \scriptstyle Q} podprostorem P {\displaystyle \scriptstyle P} . Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik P ∩ Q = { 0 → } {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}} a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť dim ⁡ ( P ∩ Q ) = n < + ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim(P\cap Q)=n\ <\ +\infty } . V P ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q} tedy existuje n {\displaystyle \scriptstyle n} -členná báze { e → 1 , … , e → n } {\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}} . Nechť dim ⁡ P = p < + ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim P=p\ <\ +\infty } a dim ⁡ Q = q < + ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim Q=q\ <\ +\infty } . Je zřejmé, že n < p , n < q {\displaystyle \scriptstyle n<p,n<q} . Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože P ∩ Q ⊂ P {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q\subset P} a P ∩ Q ⊂ Q {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q\subset Q} , lze zřejmě doplnit bázi průniku P ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q} jednak na bázi prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} , jednak na bázi prostoru Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Označme bázi prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} a prostoru Q {\displaystyle \scriptstyle Q} po řadě
kde jsme vektory e → i P {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{P}} , resp. e → i Q {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{Q}} , doplnily bázi průniku na bázi prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} , resp. Q {\displaystyle \scriptstyle Q} .
Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů P + Q {\displaystyle \scriptstyle P+Q} (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů
je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor P + Q {\displaystyle \scriptstyle P+Q} a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor
Chceme ukázat, že všechny koeficienty α i , β i , γ i {\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i},\gamma _{i}} už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru
Na levé straně máme vektor z prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} , na druhé straně rovnosti pak vektor z Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku P ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q} . Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci
pro jisté koeficienty α ~ i {\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\alpha }}_{i}} . Dostáváme tak dvě rovnosti
které si můžeme zapsat způsobem
První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Máme tedy
Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina E {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {E}}} je bází prostoru P + Q {\displaystyle \scriptstyle P+Q} . Protože tato báze obsahuje n + ( p − n ) + ( q − n ) {\displaystyle \scriptstyle n+(p-n)+(q-n)} vektorů, máme dim ⁡ ( P + Q ) = p + q − n {\displaystyle \scriptstyle \dim(P+Q)=p+q-n} . Celkově
což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy P ∩ Q = { 0 → } {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}} . (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} je direktní.) Platí tedy dim ⁡ ( P ∩ Q ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle \dim(P\cap Q)=0} . Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že dim ⁡ ( P + Q ) = p + q = dim ⁡ P + dim ⁡ Q . {\displaystyle \scriptstyle \dim(P+Q)=p+q=\dim P+\dim Q.}
Uvažujme vektorový prostor R 5 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{5}} s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru
Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu P {\displaystyle \scriptstyle P} (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Z první věty o dimenzi plyne, že
Protože je ale součet P + Q {\displaystyle \scriptstyle P+Q} stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru R 5 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{5}} , nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik P ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle P\cap Q} je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v P {\displaystyle \scriptstyle P} a současně v Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} , aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.
Nechť P {\displaystyle \scriptstyle P} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem T {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {T} } a nechť A {\displaystyle \scriptstyle A} je lineární zobrazení prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} do prostoru Q {\displaystyle \scriptstyle Q} , tj. A ∈ L ( P , Q ) {\displaystyle \scriptstyle A\in {\mathcal {L}}(P,Q)} . Dále nechť P {\displaystyle \scriptstyle P} má konečnou dimenzi, tj. dim ⁡ P < ∞ {\displaystyle \scriptstyle \dim P<\infty } . Pak platí vztah
kde ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle \ker A} značí jádro zobrazení A a ran A {\displaystyle \scriptstyle {\text{ran}}\,A} jeho obor hodnot.
Označme si dim ⁡ P = n {\displaystyle \scriptstyle \dim P=n} . Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině A ( P ) {\displaystyle \scriptstyle A(P)} (tj. vzoru prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} při zobrazení A {\displaystyle \scriptstyle A} ) bylo více než n {\displaystyle \scriptstyle n} lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} , což je spor s tím, že dimenze P {\displaystyle \scriptstyle P} je n {\displaystyle \scriptstyle n} . Dimenze obrazu zobrazení A {\displaystyle \scriptstyle A} je tedy konečná a není větší než n {\displaystyle \scriptstyle n} . Označme si tuto dimenzi jako k {\displaystyle \scriptstyle k} . V A ( P ) {\displaystyle \scriptstyle A(P)} tedy existuje k {\displaystyle \scriptstyle k} -členná báze, označme si bazické vektory jako y → 1 , … , y → k {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{k}} . Vektory x → i {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{i}} z prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} takové, že ( ∀ i ∈ { 1 , … , k ) ( A x → i = y → i ) {\displaystyle \scriptstyle (\forall i\in \{1,\ldots ,k)(A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i})} (tj. vzory y → i {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}} při zobrazení A {\displaystyle \scriptstyle A} ) tvoří k {\displaystyle \scriptstyle k} -člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v P {\displaystyle \scriptstyle P} . Jejich lineární obal tedy tvoří k {\displaystyle \scriptstyle k} -rozměrný podprostor prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} , označme si ho jako Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Platí tedy Q ⊂⊂ P {\displaystyle \scriptstyle Q\subset \subset P} , kde
Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. ker ⁡ A ⊂⊂ P {\displaystyle \scriptstyle \ker A\subset \subset P} . Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru P {\displaystyle \scriptstyle P} a že tento součet je navíc direktní. Neboli
Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že ker ⁡ A + Q ⊂ P {\displaystyle \scriptstyle \ker A+Q\subset P} . To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor x → ∈ P {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in P} a najděme jeho rozklad do podprostorů ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle \ker A} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} . Hledáme tedy vektory q → ∈ Q {\displaystyle \scriptstyle {\vec {q}}\in Q} a r → ∈ ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}\in \ker A} takové, že x → = q → + r → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}={\vec {q}}+{\vec {r}}} . Protože r → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}} má ležet v jádru A {\displaystyle \scriptstyle A} , platí A x → = A q → ∈ A ( P ) {\displaystyle \scriptstyle A{\vec {x}}\ =\ A{\vec {q}}\ \in A(P)} . Existují tedy koeficienty z tělesa α 1 , … , α k {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}} takové, že
Navíc A x → i = y → i {\displaystyle \scriptstyle A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i}} , takže
Za vektor q → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {q}}} tedy můžeme zvolit
Vektor r → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}} pak vznikne jako rozdíl
Pro libovolný vektor x → ∈ P {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in P} jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle \ker A} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} .
Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle \ker A} a Q {\displaystyle \scriptstyle Q} leží jen nulový vektor, tj. ker ⁡ A ∩ Q = { 0 → } {\displaystyle \scriptstyle \ker A\cap Q=\{{\vec {0}}\}} . Vezměme tedy nějaký vektor x → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} z průniku ker ⁡ A ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle \ker A\cap Q} . Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože x → ∈ ker ⁡ A ∩ Q {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in \ker A\cap Q} , je určitě x → ∈ Q {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in Q} . Existuje tedy k {\displaystyle \scriptstyle k} -tice koeficientů β 1 , … , β k {\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}} z tělesa taková, že
Protože je x → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} současně z jádra ker ⁡ A {\displaystyle \scriptstyle \ker A} , tak
Neboť jsou vektory y → i {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}} lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty β i {\displaystyle \scriptstyle \beta _{i}} nulové a platí tedy x → = 0 → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\ =\ {\vec {0}}} .
Zatím jsme tedy dokázali rovnost
Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá
Podprostor Q {\displaystyle \scriptstyle Q} má ale stejnou dimenzi jako množina A ( P ) {\displaystyle \scriptstyle A(P)} . Dostali jsme tedy tvrzení věty.
Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} a k němu prostor duální, nechť dim ⁡ V = n {\displaystyle \scriptstyle \dim V=n} . Mějme f {\displaystyle \scriptstyle f} , funkcionál z duálního prostoru, a nechť x → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} je vektor takový, že f ( x → ) = 1 {\displaystyle \scriptstyle f({\vec {x}})=1} . Protože f {\displaystyle \scriptstyle f} je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } , což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, dim ⁡ R = 1 {\displaystyle \scriptstyle \dim \mathbb {R} =1} . Neboť je f {\displaystyle \scriptstyle f} zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu f {\displaystyle \scriptstyle f} je
Jádro zobrazení f {\displaystyle \scriptstyle f} tedy tvoří ( n − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (n-1)} -rozměrný podprostor prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} . Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které f {\displaystyle \scriptstyle f} nedá nulu, jsou násobky vektoru x → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} , neboli jeho lineární obal { x → } lin {\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}\}_{\text{lin}}} .