Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot

El método de Mandelbrot: este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado porBenoît Mandelbroten la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada puntocdel plano complejo, una sucesión de números complejoszn. Partiendo del puntoz0= 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmulazn+1=F(zn)+c, dondeFes una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al puntocdel plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al puntocun color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.
El fractal derivado por este método cuando se toma la funciónF(z)=zse llamaconjunto de Mandelbrot.
En lo que sigue, en lugar dezn+1=F(zn)+cse utilizará la notaciónZ=F(Z)+C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.
A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias deZ = Z+ C, según el método deMandelbrot.Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z+ C
Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos esL = m - 1
A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando elmicroscopiode altísima resolución que nos proporciona elcálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.​
Centro de coordenadas :Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686
Centro de coordenadas :Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704
Centro de coordenadas :Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125
Centro de coordenadas :Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !
Centro de coordenadas :Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...
Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.
Pero, ¿ qué pasa cuando hacemosZ = Z+ C?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos esL = (m - 1) * p
A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias deZ = Z+ Z + C, según el método deMandelbrot.
A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias deZ = Z- Z + C, según el método deMandelbrot.
También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuaciónZ = Z+ F(C). Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / CEjemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z+ 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z.Zo = (0,0i). El número de vértices esV = (m - 1)
Pero, qué pasa cuándoZ = Z+ (1 / C)?.
Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices esV = (m - 1) * p
La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.
También podemos añadir más sumandos a la función Z, combinando C, C, 1/C y 1/Cen grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos C, 1/C y 1/Cde 2,3 o 4 formas ..:
A continuación más combinaciones con otros exponentes:
Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a Z, veamos qué sucede:
Podemos sumar a Zpolinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:
Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de losnúmeros complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:Exp(Z)= [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]Sin(Z)= [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]Cos(Z)= [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]SinH(Z)= [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]CosH(Z)= [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]LN(Z)= [ 0.5 * Log(x * x + y * y) , Atn(y / x)i ]SQR(Z)= [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]ATN(Z)= [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2) i]
A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración deZ, pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:
Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria:Exp(Z)= [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:
Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:
Aparece un número de lóbulos centrales =m, y un número de aristas exteriores =p, siendom<p.
Aparecen un número de aristas =m.
Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria:Sin(Z)= [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:
Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria:' Cos(Z)= [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente
Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria:SinH(Z)= [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:
Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria:CosH(Z)= [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:
Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia.Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)