Conjunto de Mandelbrot

Elconjunto de Mandelbrotes el más estudiado de losfractales. Se conoce así en honor al matemáticoBenoît Mandelbrot(1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Esteconjuntose define en elplano complejofijando unnúmero complejoccualquiera. A partir dec, se construye unasucesiónporrecursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice quecpertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido.
Por ejemplo, sic= 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, sic= –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
A menudo se representa el conjunto mediante elalgoritmode tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si lospprimeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor depse mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir,x2+y2>4{\displaystyle x^{2}+y^{2}>4}no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2}para estar seguro de quecno está en el conjunto.
La teoría básica sobre laiteraciónde funciones complejas fue desarrollada porGaston JuliayPierre Fatouen los años 1910. La forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados con estas iteraciones se reveló en el momento en que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzados. Las primeras imágenes del conjunto, algo burdas, de Robert Brooks y Peter Matelski, datan de 1978.​
Benoit Mandelbrotestudió el espacio de parámetros depolinomioscuadráticos en un artículo aparecido en 1980 y despertó interés global.​
El estudio matemático riguroso de este conjunto realmente comenzó con el trabajo de los matemáticosAdrien DouadyyJohn H. Hubbard,​​ quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el conjunto en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es unconjunto conexoy formularon la conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo.
El trabajo de Douady y Hubbard coincidió con un enorme aumento del interés por la dinámica compleja y las matemáticas abstractas, y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. Una lista exhaustiva de todos los que han contribuido a la comprensión de este conjunto desde entonces es larga pero incluiría aJean-Christophe Yoccoz, Mitsuhiro Shishikura,Curtis T. McMullen,John MilnoryMikhail Lyubich.​​
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores decen elplano complejopara los que laórbitadelpunto críticoz=0{\textstyle z=0}bajoiteracióndel mapa cuadrático
permanece acotada.​ Así, unnúmero complejoces miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar conz0=0{\displaystyle z_{0}=0}y aplicar la iteración repetidamente, elvalor absolutodezn{\displaystyle z_{n}}permanece acotado para todon>0{\displaystyle n>0}.
Por ejemplo, parac= 1, lasecuenciaes 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tiende ainfinito, por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, parac=−1{\displaystyle c=-1}, la sucesión es 0, -1, 0, -1, 0, ..., que está acotada, por lo que -1 sí pertenece al conjunto.
El conjunto de Mandelbrot también puede definirse como ellugar de conectividadde la familia depolinomioscuadráticosf(z)=z2+c{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}, elsubconjuntodel espacio de parámetrosc{\displaystyle c}para el que elconjunto de Juliadel polinomio correspondiente forma unconjunto conexo. Del mismo modo, lafronteradel conjunto de Mandelbrot puede definirse como ellugar de bifurcaciónde esta familia cuadrática, el subconjunto de parámetros cerca del cual el comportamiento dinámico del polinomio (cuando esiteradarepetidamente) cambia drásticamente.
El conjunto de Mandelbrot es unconjunto compacto, ya que escerradoy está contenido en eldisco cerradode radio 2 alrededor delorigen. Más concretamente, un puntoc{\displaystyle c}pertenece al conjunto de Mandelbrot si y sólo si|zn|≤2{\displaystyle |z_{n}|\leq 2}para todon≥0{\displaystyle n\geq 0}. En otras palabras, elvalor absolutodezn{\displaystyle z_{n}}debe permanecer igual o por debajo de 2 para quec{\displaystyle c}esté en el conjunto de Mandelbrot,M{\displaystyle M}, y si ese valor absoluto supera 2, la sucesión escapará al infinito. Comoc=z1{\displaystyle c=z_{1}}, se deduce que|c|≤2{\displaystyle |c|\leq 2}, estableciendo quec{\displaystyle c}siempre estará en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen.
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LainterseccióndeM{\displaystyle M}con el eje real es precisamente el intervalo[−2,14]{\displaystyle [-2,{\frac {1}{4}}]}. Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia uno a uno con los delfamilia logísticareal,
la correspondencia viene dada por
De hecho, esto da una correspondencia entre todo elespacio de parámetrosde la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot.
Douady y Hubbard han demostrado que el conjunto de Mandelbrot esconectado. De hecho, construyeron unisomorfismo conformacionalexplícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento deldisco unitario cerrado. Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot esdesconectado. Esta conjetura se basaba en imágenes de ordenador generadas por programas incapaces de detectar los delgados filamentos que conectan las distintas partes deM{\displaystyle M}. Tras nuevos experimentos, revisó su conjetura, decidiendo queM{\displaystyle M}debería estar conectado. También existe una pruebatopológicade la conectividad que fue descubierta en 2001 porJeremy Kahn.​
La fórmula dinámica para launiformizacióndel complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la demostración de Douady y Hubbard de la conectividad deM{\displaystyle M}, da lugar arayos externosdel conjunto de Mandelbrot. Estos rayos pueden utilizarse para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y constituyen la columna vertebral delParapuzzle de Yoccoz.​
Como se ha mencionado anteriormente en el artículo, lafronteradel conjunto de Mandelbrot es ellugar de bifurcaciónde la familia de polinomios cuadráticos. En otras palabras, el límite del conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los parámetrosc{\displaystyle c}para los cuales la dinámica del mapa cuadráticozn=zn−12+c{\displaystyle z_{n}=z_{n-1}^{2}+c}exhibe una dependencia sensible dec,{\displaystyle c,}es decir, cambia bruscamente bajo cambios arbitrariamente pequeños dec.{\displaystyle c.}Puede construirse como el conjunto límite de una secuencia decurvas algebraicas planas, lascurvas de Mandelbrot, del tipo general conocido comolemniscatas polinómicas. Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendop0=z,pn+1=pn2+z{\displaystyle p_{0}=z,\ p_{n+1}=p_{n}^{2}+z}, y luego interpretando el conjunto de puntos|pn(z)|=2{\displaystyle |p_{n}(z)|=2}en el plano complejo como una curva en elplano cartesianoreal de grado2n+1{\displaystyle 2^{n+1}}enxey.​​ Cada curvan>0{\displaystyle n>0}es el mapeo de un círculo inicial de radio 2 bajopn{\displaystyle p_{n}}.  Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas mediante el "algoritmo del tiempo de escape" que se menciona más adelante.
Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran regióncardioideen el centro. Estacardioide principales la región de parámetrosc{\displaystyle c}para la cual el mapa
tiene unpunto fijo de atracción. Consiste en todos los parámetros de la forma
para algúnμ{\displaystyle \mu }en eldisco unitario abierto.
A la izquierda del cardioide principal, unido a él en el puntoc=−3/4{\displaystyle c=-3/4}, es visible unbulbocircular llamadobulbo de período-2. La razón del nombre es que el bulbo consiste precisamente en aquellos parámetrosc{\displaystyle c}para los quefc{\displaystyle f_{c}}tiene unciclo atractor de período 2. De hecho es el círculo relleno de radio 1/4 centrado en -1.
De forma más general, para cada entero positivoq>2{\displaystyle q>2}, existenϕ(q){\displaystyle \phi (q)}bulbos circulares tangentes a la cardioide principal llamadosbulbos de período-q(dondeϕ{\displaystyle \phi }denota lafunción phi de Euler), que consisten en parámetrosc{\displaystyle c}para los quefc{\displaystyle f_{c}}tiene un ciclo de atracción de períodoq{\displaystyle q}. Más concretamente, para cada raíz primitivaq{\displaystyle q}de la unidadr=e2πipq{\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}(donde0<pq<1{\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}), existe un bulbo de período-q llamado bulbopq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}, que es tangente a la cardioide principal en el parámetro
y que contiene parámetros conq{\displaystyle q}-ciclos que tienen número de rotación combinatoriapq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}. Más concretamente, lasq{\displaystyle q}componentes periódicasComponentes de Fatouque contienen el ciclo de atracción se tocan todas en un punto común (comúnmente llamado el punto fijoα{\displaystyle \alpha }). Si etiquetamos estas componentesU0,…,Uq−1{\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}con orientación antihoraria, entoncesfc{\displaystyle f_{c}}mapea la componenteUj{\displaystyle U_{j}}a la componenteUj+p(mod⁡q){\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}.
El cambio de comportamiento que se produce encpq{\displaystyle c_{\frac {p}{q}}}se conoce comobifurcación: el punto fijo de atracción "colisiona" con un ciclo período-qde repulsión. Al pasar por el parámetro de bifurcación en elpq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}-bulbo, el punto fijo de atracción se convierte en un punto fijo de repulsión (elpq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}-punto fijo), y el ciclo período-qse convierte en atracción.
Una propiedad fundamental de losfractaleses la invariabilidad total o parcial de ciertas características con relación a diversas escalas, en particular, al ampliar ciertas partes de la imagen de un fractal, reaparece una imagen similar a la inicial y así sucesivamente. A continuación se muestran las ampliaciones de la imagen principal:
Al agrandar elrecuadro verde, se aprecia:
Al agrandar elrecuadro grissituado en el extremo izquierdo de la imagen inicial, se tiene que su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces eligiendo bien la imagen a ampliar.
Al agrandar elrecuadro violetade la imagen principal, se tiene que la imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene aparentemente la misma forma que la imagen inicial.
Ahora, agrandemos elcuadro azul clarode la derecha del plano (imagen de la derecha):
Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen (a la izquierda):
Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendoisomorfaa la inicial. Y claro, alrededor de cadaclonde la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.
En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero laslíneas de nivel(que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia, en esta imagen es realmente|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2}, mientras que en las anteriores era|zn|>10{\displaystyle |z_{n}|>10}, por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.
Existe otra manera de definir este conjunto: es el conjunto de los complejoscpara los que elconjunto de Juliaasociado afc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}esconexo.
Hasta que no aparecieron los primeros ordenadores digitales no se pudo visualizar este fractal con toda su complejidad.
En la serie que se detalla debajo podemos ver cómo va mejorando la definición del fractal, a medida que incrementamos el número de iteraciones. Los puntos que convergen a un valor determinado aparecen de color amarillo pálido, y pertenecen propiamente al conjunto de Mandelbrot. Los puntos que presentan divergencia al infinito se han coloreado con una gama cromática que va desde el gris al negro, en función del número de iteraciones necesarias (algoritmo de lavelocidad de escape). Cuantas menos iteraciones son necesarias para divergir al infinito, se aplica un color más oscuro.
El conjunto de Mandelbrot escompacto,conexoy su complemento también es conexo. Suinterior, al igual que cualquier interior de un subconjunto deC{\displaystyle \mathbb {C} }no vacío, resulta ser de la cardinalidad deR{\displaystyle \mathbb {R} }, esto es una consecuencia directa de que la topología usual enC{\displaystyle \mathbb {C} }tiene una base de abiertos de cardinalidad no numerable =2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}.
Sufronteratienedimensión topológica1 perodimensión de Hausdorff2, la máxima posible al ser subconjunto del plano.