Kekisi dikomplemenkan

Dalammatematikadisiplinteori tatanan, sebuahkisi dikomplemenkanadalahkisidenganelemen terkecil0 danelemen terbesar1, dimana setiap elemenamemilikidikomplemenkan, yaitu elemenbmemuaskana∨b= 1 dana∧b= 0.
Dikomplemen tidak menggunakan sifat unik.
Sebuahkisi dikomplemenkan relatifadalah kisi sedemikian rupa untuk setiapinterval[c,d], dipandang sebagai kisi hingga sendiri, adalah kisi dikomplemenkan.
Sebuahortokomplementasipada kisi dikomplemenkan adalahinvolusiyang merupakantatanan inversdan memetakan setiap elemen menjadi pelengkap. Kisi ortokomplementasi yang memenuhi bentuk lemahhukum modulardisebutkisi ortomodular.
Dalamkisi distributif, komplemen bersifat unik. Setiap kisi distributif komplementer memiliki ortokomplementasi unik dan sebenarnya adalahaljabar Boolean.
Sebuahkisi dikomplemenkanadalah kisi terbatas denganelemen terkecil0 danelemen terbesar1, dimana setiap elemenamemilikidikomplemen, yaitu elemenbsedemikian rupa maka
Secara umum suatu elemen mungkin memiliki lebih dari satu komplemen. Namun, dalam sebuahkisi distributif(terbatas) setiap elemen akan memiliki paling banyak satu dikomplemen.Kisi dimana setiap elemen memiliki tepat satu pelengkap disebutkisi dikomplemenkan unik
Kisi dengan sifat yang dilengkapi setiap interval (dipandang sebagai sub kisi) disebutkisi dikomplemen relatif. Dengan kata lain, kisi dikomplemen relatif dicirikan dengan sifat bahwa untuk setiap elemenadalam interval [c,d] elemenbsedemikian rupa maka
Unsurbdisebut pelengkap dariarelatif terhadap interval.
Kisi distributif dikomplemenkan jika dan hanya jika dibatasi dan relatif komplekmen.Kisi subruang dari ruang vektor memberikan contoh kisi komplementer yang secara umum tidak distributif.
Sebuahortokomplementasikisi terbatas adalah fungsi yang memetakan setiap elemenasebagai "ortokomplemen"asedemikian rupa maka aksioma berikut dipenuhi:
Sebuahkisi ortokomplemenkanatauortokisiadalah kisi terbatas yang dilengkapi dengan ortokomplementasi. Kisi subruang dariruang hasilkali dalam, dan operasikomplemen ortogonal, memberikan contoh kisi ortokomplemenkan yang secara umum tidak distributif.
Aljabar Booleanadalah kasus khusus kisi ortokomplemenkan, yang gilirannya merupakan kasus khusus kisi dikomplemenkan dengan struktur ekstra. Ortokisi paling sering digunakan dilogika kuantum, dimanatertutupsubruangdaripisahanRuang Hilbertmewakili proposisi kuantum dan sebagai kisi ortokomplementasi.
Kisi ortokomplementer, seperti aljabar Boolean yang memenuhihukum de Morgan:
Sebuah kisi disebutmodularjika untuk semua elemena,bdancduimplikasikan sebagai
Ini lebih dari sifatdistributivitas, misalnya kisi yang ditunjukkan di atasM3bersifat modular, tetapi tidak distributif. Pelemahan alami lebih lanjut dari kondisi ini untuk kisi ortokomplementer yang diperlukan untuk aplikasi dalam logika kuantum, hanya memerlukannya dalam kasus khususb=a. Oleh karena itu, kisi ortomodular didefinisikan sebagai kisi ortokomemen sehingga untuk dua elemen apa pun implikasinya.
Bentuk kisi sangat penting untuk mempelajarilogika kuantum, karena ini bagian dari aksiomisasiruang Hilbertrumusmekanika kuantum.Garrett BirkhoffdanJohn von Neumannmengamati bahwa kalkulus proposisional dalam logika kuantum "secara formal tidak dapat dibedakan dari kalkulus subruang linear [dari ruang Hilbert] sehubungan dengan hasil himpunan, jumlah linear, dan ortogonal dikomplemenkan" sesuai dengan perandan,ataudantidakdalam kisi Boolean. Pernyataan ini telah memicu minat pada subruang tertutup dari ruang Hilbert yang membentuk kisi ortomodular.