Алгебра Гейтинга

Алгебра Гейтинга(псевдобулева алгебра) —импликативная решёткас наименьшим элементом0{\displaystyle 0}.
Наряду с другими подклассами импликативных решёток впервые отмеченыСкулемомв1919 году; широкое применение получили после того, какГейтингв1930 годупредложил их как модельинтуиционистского исчисления высказываний(так же, какбулева алгебраявляется моделью классического исчисления высказываний). С точки зрения логики высказываний,относительное псевдодополнениеa→b{\displaystyle a\rightarrow b}в решётке Гейтинга — слабейшее высказывание, для которого имеет правило выводаmodus ponens(то есть(a∧(a→b))⩽b{\displaystyle (a\land (a\rightarrow b))\leqslant b}.
Как и во всякой импликативной решётке в алгебре Гейтинга однозначно вводятся наибольший элемент:
и унарная операцияабсолютного псевдодополнения:
Булева алгебра— алгебра Гейтинга, в которой абсолютное псевдодополнение являетсяабсолютным дополнением:a∨¬a=1{\displaystyle a\lor \neg a=1}(исключённое третье) или, что эквивалентно,¬¬a=a{\displaystyle \neg \neg a=a}(двойное отрицание).
Класс алгебр Гейтинга может быть задан какмногообразие алгебраических системтипа⟨L;0,∧,∨,→⟩{\displaystyle \langle L;0,\land ,\lor ,\rightarrow \rangle }(ссигнатурой⟨0,2,2,2⟩{\displaystyle \langle 0,2,2,2\rangle }) конечным числом тождеств.
Пример алгебры Гейтинга — единичный отрезок[0,1]{\displaystyle [0,1]}с∨=max{\displaystyle \lor =\max }и∧=min{\displaystyle \land =\min }и относительным псевдодополнением, определяемым следующим образом:a→b=1{\displaystyle a\rightarrow b=1}, еслиa⩽b{\displaystyle a\leqslant b}иa→b=b{\displaystyle a\rightarrow b=b}в ином случае. Другой важный пример — семейство подмножеств заданного множестваM{\displaystyle M}, упорядоченное по включению, оно образуетполнуюалгебру Гейтинга; всякая её подалгебра будеттопологиейнаM{\displaystyle M}, кроме того, всякая топология наM{\displaystyle M}образует полную алгебру Гейтинга, в связи с этим полные алгебры Гейтинга играют ключевую роль вбесточечной топологии.
Внутренняя логикаэлементарного топосаоснована на гейтинговой алгебре подобъектовтерминального объекта1{\displaystyle 1}, упорядоченных по включению (или, эквивалентно, алгебреморфизмовиз1{\displaystyle 1}вклассификатор подобъектов).
В алгебрах Гейтинга выполняется свойство бесконечной дистрибутивности:
гдеB{\displaystyle B}— подмножество носителя алгебры, имеющее верхнюю грань. Еслидистрибутивнаярешёткаполна(то есть верхняя граньB{\displaystyle B}существует), то из выполнения свойства бесконечной дистрибутивности следует, что она является алгеброй Гейтинга. Каждая конечная дистрибутивная решётка полна, таким образом, является алгеброй Гейтинга.
Если в алгебре Гейтинга верхняя грань⋁A{\displaystyle \bigvee A}существует, то выполняется тождество:
Также имеет место соотношение:
при условии, что соответствующие грани существуют.
В алгебрах Гейтинга действуетзакон тройного отрицания:¬¬¬a=¬a{\displaystyle \neg \neg \neg a=\neg a}.Элемент, для которого снимается двойное отрицание (¬¬a=a{\displaystyle \neg \neg a=a}) называетсярегулярным; соответственно, алгебра Гейтинга, все элементы которой регулярны — булева.
В гейтинговых алгебрах имеет место одинзакон де Моргана:
вместо второго закона де Моргана выполняется более слабое соотношение:
Алгебра Гейтинга, в которой выполняются оба закона де Моргана, моделируетлогику Янкова— логику из классапромежуточных логик.
ПодрешёткаHg{\displaystyle H_{g}}алгебры ГейтингаH{\displaystyle H}, образованная всеми элементами, предшествующимиg{\displaystyle g}(Hg={a∣a⩽g}{\displaystyle H_{g}=\{a\mid a\leqslant g\}}) является алгеброй Гейтинга с абсолютным псведодополнением¬ga=g∧¬a{\displaystyle \neg _{g}a=g\land \neg a}и относительным псевдодополнениемa→gb=g∧(a→b){\displaystyle a\rightarrow _{g}b=g\land (a\rightarrow b)};a↦g∧a{\displaystyle a\mapsto g\land a}являетсягомоморфизмомизH→Hg{\displaystyle H\rightarrow H_{g}}, сохраняющим верхние и нижние грани (в том числе для бесконечных подмножеств).
Для всякой гейтинговой алгебрыH{\displaystyle H}существуетизоморфнаяей полная алгебра ГейтингаH⋆{\displaystyle H^{\star }}.