Sottospazio invariante

Inalgebra lineareunsottospazio invariantedi unoperatore lineareT:V→V{\displaystyle T:V\rightarrow V}, doveV{\displaystyle V}è unospazio vettoriale, è unsottospazio vettorialeW{\displaystyle W}diV{\displaystyle V}tale cheT(W)⊂W{\displaystyle T(W)\subset W}, ovvero tale che l'immagine rispetto aT{\displaystyle T}di ciascun elemento diW{\displaystyle W}è contenuta inW{\displaystyle W}stesso. Si dice anche cheW{\displaystyle W}èT{\displaystyle T}-invariante.
La caratteristica principale di un sottospazioT{\displaystyle T}-invariante è che è possibile restringereT{\displaystyle T}ad esso, ovvero definire l'operatore lineare:
Lo spazioV{\displaystyle V}e il sottospazio0{\displaystyle {0}}sono banalmente sottospazi invarianti per qualunque operatore lineare inV{\displaystyle V}. Per alcuni operatori lineari non esiste un sottospazio invariante non banale. Si consideri come esempio facilmente visualizzabile unarotazione(operatore lineare) di un angoloθ≠kπ{\displaystyle \theta \neq k\pi }, conk∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }, nello spazio bidimensionale reale.
Gli eventualiautospazidi un operatore sono, per definizione, sottospazi invarianti. L'esistenza di autovalori per l'operatore dunque garantisce l'esistenza di sottospazi invarianti non banali. Tornando all'esempio precedente, infatti, non esistono autovalori in una rotazione nello spazioR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, come si nota esaminando ilpolinomio caratteristicoassociato all'applicazione.
Inteoria dei gruppi, dato un gruppoG{\displaystyle G}conrappresentazionesu uno spazio vettorialeV{\displaystyle V}, la suaazione di gruppoè definita come una funzioneG×V→V{\displaystyle G\times V\to V}. Se un sottospazioW{\displaystyle W}diV{\displaystyle V}è invariante sotto l'azione di gruppo, questo viene dettosottorappresentazione.
SiaW{\displaystyle W}un sottospazio invariante perT:V→V{\displaystyle T:V\to V}. SiaC={v1,…,vk}{\displaystyle C=\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}una base diW{\displaystyle W}, e la sicompletiad una baseB{\displaystyle B}diV{\displaystyle V}. Allora lamatrice di trasformazionediT{\displaystyle T}rispetto a tale base ha la forma:
dove il bloccoT11{\displaystyle T_{11}}è la restrizione diT{\displaystyle T}aW{\displaystyle W}.
In altri termini, dato un sottospazio invarianteW{\displaystyle W}perT{\displaystyle T}, lo spazioV{\displaystyle V}può essere decomposto nellasomma diretta:
conT21:W→W{\displaystyle T_{21}:W\to W}che è nullo.
I sottospazi invarianti sono definiti in generale per insiemi di operatori come sottospazi invarianti rispetto all'azione di ogni operatore dell'insieme considerato. SiaL(V){\displaystyle L(V)}l'algebra delle trasformazioni lineari suV{\displaystyle V}. Dato un insieme non vuotoΣ⊂L(V)){\displaystyle \Sigma \subset L(V))}, i sottospazi invarianti rispetto ad un elementoT∈Σ{\displaystyle T\in \Sigma }formano unreticolodenotato spesso conLat(T){\displaystyle {\mbox{Lat}}(T)}(dall'ingleselattice). Si verifica:
Ad esempio, seΣ=L(V){\displaystyle \Sigma =L(V)}alloraLat(Σ)={{0},V}{\displaystyle {\mbox{Lat}}(\Sigma )=\{\{0\},V\}}.
Nel reticolo sono definite due operazioni,∧{\displaystyle \wedge }e∨{\displaystyle \vee }:
perΣ′⊂Σ{\displaystyle \Sigma '\subset \Sigma }. Un elemento minimale inLat(Σ){\displaystyle {\mbox{Lat}}(\Sigma )}è detto sottospazio invarianteminimale.
SiaV{\displaystyle V}uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita. Per ogni sottoalgebra propriaΣ{\displaystyle \Sigma }diL(V){\displaystyle L(V)}, il reticoloLat(Σ){\displaystyle {\mbox{Lat}}(\Sigma )}contiene elementi non banali. Si tratta di un risultato simile alteorema fondamentale dell'algebrache si applica ad algebre non commutative.
Una conseguenza del teorema è che ogni famiglia di elementi che commutano inL(V){\displaystyle L(V)}può essere simultaneamentetriangolarizzata superiormente. Un insieme non vuotoΣ⊂L(V){\displaystyle \Sigma \subset L(V)}è dettotriangolarizzabilese esiste una base{e1,…,en}{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}diV{\displaystyle V}tale che:
Ovvero,Σ{\displaystyle \Sigma }è triangolarizzabile se esiste una base in cui ogni elemento diΣ{\displaystyle \Sigma }èrappresentatoda una matrice triangolare superiore. Segue dal teorema di Burnside che ogni algebra commutativaΣ{\displaystyle \Sigma }inL(V){\displaystyle L(V)}è triangolarizzabile, e quindi ogni famiglia di elementi che commutano inL(V){\displaystyle L(V)}può essere simultaneamente triangolarizzata superiormente.