연속 원순서 집합

순서론에서연속 원순서 집합(連續原順序集合,영어:continuous preordered set)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는원순서 집합이다. 연속완비 격자는 흔히연속 격자(連續格子,영어:continuous lattice)로 불린다.
원순서 집합(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}의 두 원소a,b∈P{\displaystyle a,b\in P}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
이 경우,a{\displaystyle a}가b{\displaystyle b}를 근사한다(영어:a{\displaystyle a}approximatesb{\displaystyle b}) 또는a{\displaystyle a}가b{\displaystyle b}보다 훨씬 아래(영어:a{\displaystyle a}is way belowb{\displaystyle b})라고 하며, 이를
로 적는다.
근사 관계≪{\displaystyle \ll }는추이적 관계이며,P{\displaystyle P}가부분 순서 집합인 경우반대칭 관계이지만,원순서가 아닐 수 있다.≪{\displaystyle \ll }가원순서인 것은(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}의오름 사슬 조건과동치이다.
원순서 집합(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}의 임의의 원소a∈L{\displaystyle a\in L}에 대하여,
라고 하자. 이는 각각P{\displaystyle P}의상집합과하집합을 이룬다. 만약P{\displaystyle P}가이음 반격자라면,⇓⁡a{\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}는상향 집합이다. 그러나P{\displaystyle P}가만남 반격자이더라도⇑⁡a{\displaystyle \mathop {\Uparrow } a}는하향 집합이 아닐 수 있다.
원순서 집합(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}가 다음 조건을 만족시키면,연속 원순서 집합이라고 한다.
연속 원순서 집합(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}의 두 원소a,b∈P{\displaystyle a,b\in P}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
이를 사용하여, 연속 원순서 집합(P,≲){\displaystyle (P,\lesssim )}의 근사 관계≪{\displaystyle \ll }가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.
dcpo(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}의 두 원소a,b∈P{\displaystyle a,b\in P}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
따라서, 만약P{\displaystyle P}가 연속dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.
dcpo(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
구체적으로, 연속 dcpo(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}에 대하여,⋁:Ideal⁡(P)→P{\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}의왼쪽 수반 함자는
이다.
완비 격자L{\displaystyle L}의 두 원소a,b∈L{\displaystyle a,b\in L}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
완비 격자L{\displaystyle L}에 대하여, 다음 조건들이 서로동치이다.
연속완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
모든 연속 완비 분배 격자는국소 콤팩트 공간의열린집합격자와 순서 동형이다.
유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와동치이다. 유한 또는 무한 개의최소 원소를 갖는 연속 dcpo(Pi,≤)i∈I{\displaystyle (P_{i},\leq )_{i\in I}}들의 직접곱∏i∈IPi{\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}P_{i}}는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소a,b∈∏i∈IPi{\displaystyle \textstyle a,b\in \prod _{i\in I}P_{i}}에 대하여 다음 두 조건이 서로동치이다.
연속 dcpo의스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.
연속 완비 격자와스콧 연속 함수의범주는데카르트 닫힌 범주를 이룬다.
모든 유한원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로,오름 사슬 조건을 만족시키는 모든원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.
실수 폐구간[0,1]⊆R{\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }은 표준적인 순서에 의하여완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의x,y∈[0,1]{\displaystyle x,y\in [0,1]}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
따라서, 항상
이며,[0,1]{\displaystyle [0,1]}은 연속 완비 격자를 이룬다.
보다 일반적으로,전순서완비 격자L{\displaystyle L}의 임의의 두 원소a,b∈L{\displaystyle a,b\in L}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
따라서, 모든전순서완비 격자는 연속 완비 격자이다.
임의의집합X{\displaystyle X}에 대하여,멱집합(P(X),⊆){\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}는완비 격자를 이룬다. 이 경우A≪B{\displaystyle A\ll B}는A{\displaystyle A}가B{\displaystyle B}의 유한 부분 집합인 것과동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로,(P(X),⊆){\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}는 연속 완비 격자를 이룬다.
위상 공간X{\displaystyle X}의열린집합들은 포함 관계에 의하여완비 헤이팅 대수Open⁡(X){\displaystyle \operatorname {Open} (X)}를 이룬다. 임의의 두열린집합U,V∈Open⁡(X){\displaystyle U,V\in \operatorname {Open} (X)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
만약X{\displaystyle X}가국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이콤팩트국소 기저를 갖는위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이동치이다.
따라서, 임의의국소 콤팩트 공간X{\displaystyle X}의 열린집합 격자Open⁡(X){\displaystyle \operatorname {Open} (X)}는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로,위상 공간X{\displaystyle X}에 대하여, 다음 세 조건이 서로동치이며, 이를 만족시키는X{\displaystyle X}를핵콤팩트 공간(영어:core-compact space)이라고 한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
다음과 같은부분 순서 집합{⊥,⊤,a1,a2,a3,…,b}{\displaystyle \{\bot ,\top ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc ,b\}}을 생각하자.
이는완비 격자를 이룬다.
가상향 집합이므로,b≪̸b{\displaystyle b\not \ll b}임을 알 수 있다. 따라서
이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.
모든원자없는완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다.원자없는완비 불 대수B{\displaystyle B}의 두 원소a,b∈B{\displaystyle a,b\in B}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
환R{\displaystyle R}의아이디얼들은 포함 관계에 의하여완비 격자Ideal⁡(R){\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}를 이룬다. 임의의 두아이디얼I,J∈Ideal⁡(R){\displaystyle I,J\in \operatorname {Ideal} (R)}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로,Ideal⁡(R){\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}는 연속 완비 격자를 이룬다.