Conjunto multibrot

En matemáticas, unconjunto multibrotes el conjunto de valores en elplano complejocuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito en las iteraciones de un miembro de la familia general de lospolinomios mónicosde una variablerecursivos.​​​ El nombre es unapalabra catalejoformada a partir de los términos"múltiple"y"conjunto de Mandelbrot". El mismo principio se puede aplicar alconjunto de Juliapara obtener elconjunto multijulia.
donde "d" ≥ 2. El exponentedpuede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios.​
El caso de
es elconjunto de Mandelbrotclásico del que se deriva el nombre del conjunto
Los conjuntos para otros valores dedtambién muestran imágenes fractales​ cuando se trazan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de distintas potenciasdque se muestran a continuación se representan en la misma escala. Los valores decpertenecientes al conjunto re representan en color negro. Los valores decque tienen un valor ilimitado bajo el procedimiento recursivo, y por lo tanto no pertenecen al conjunto, se trazan en diferentes colores, que se muestran como contornos, dependiendo del número de recursiones que causaron que un valor exceda una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape.
El ejemplod= 2es el conjunto original de Mandelbrot. Los ejemplos ded> 2a menudo se denominan "conjuntos multibrot". Estos conjuntos incluyen el origen y poseen perímetros fractales, con simetría rotacional de(d−1)-lóbulos.
Cuandodes negativo, el conjunto rodea pero no incluye el origen. Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional de(1 −d)-lóbulos. Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo, esto es solo un efecto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos, que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
El aspecto de algunos conjuntos multibrot con exponente fraccionario se muestra en la imagen de la derecha.
Un método alternativo es representar el exponente en el eje vertical. Esto requiere fijar el valor real o imaginario y representar el valor restante en el eje horizontal. El conjunto resultante se eleva verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. La primera protuberancia o pico prominente se ve en un exponente de 2, la ubicación del conjunto tradicional de Mandelbrot en su sección transversal. La tercera imagen aquí se representa en un plano que se fija en un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario.​
Todas las imágenes anteriores se renderizan mediante un algoritmo de Tiempo de Escape que identifica puntos fuera del conjunto de forma sencilla. Se revela un detalle fractal mucho mayor al trazar elexponente de Lyapunov,​ como se muestra en el siguiente ejemplo. El exponente de Lyapunov es la tasa de crecimiento del error de una secuencia dada. Primero, calcular la secuencia de iteración conNiteraciones, y luego calcular el exponente como
y si el exponente es negativo, la secuencia es estable. Los píxeles blancos en la imagen son los parámetroscpara los cuales el exponente es positivo, también conocido como inestable. Los colores muestran los períodos de los ciclos que atraen las órbitas. Todos los puntos de color azul oscuro (exterior) son atraídos por un punto fijo, todos los puntos del medio (azul más claro) son atraídos por un ciclo de período 2 y así sucesivamente.
El valor complejoztiene coordenadas (x,y) en el plano complejo y se eleva a varias potencias dentro del ciclo de iteración mediante los códigos que se muestran en esta tabla. Las potencias que no se muestran en la tabla se pueden obtener concatenando los códigos mostrados.