Méthode de Boltzmann sur réseau

Laméthode de Boltzmann sur réseauest une méthode desimulation informatiqueendynamique des fluides(CFD). À la place deséquations de Navier-Stokes, l'équation discrète de Boltzmannest résolue pour simuler à une échelle mésoscopique le comportement defluides newtoniensetnon newtoniensà l'aide d'un schéma de collision-propagation. Par la simulation de ce procédé de collision et de propagation, il est possible de reproduire des comportements complexes de fluides.
La méthode de Boltzmann sur réseau (en anglaislattice Boltzmann methods, LBM)), relativement récente, permet de reproduire le comportement defluides complexeset suscite l’intérêt de nombreux chercheurs en physique numérique. Elle permet desimulerdesphénomènes physiquescomplexes par sa nature mésoscopique. Son importante capacité deparallélisationla rend également attractive afin de réaliser des simulations rapides sur du matériel parallèle. La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode de simulation d'écoulements de fluides alternative à la résolution deséquations de Navier-Stokes. Contrairement à cette dernière, elle consiste à discrétiser l'équation de Boltzmann, correspondant à une modélisationstatistiquede la dynamique des particules constituant le fluide. La méthode de Boltzmann sur réseau présente des avantages sur les méthodes conventionnelles, notamment pour le traitement de domaines de simulation complexes. Pour la méthode de Boltzmann sur réseau, la collision et la propagation des particules est décrite de la manière suivante, en utilisant l'opérateurBGK:
Collision :fi∗(x→,t+Δt)=fi(x→,t)+1τ(fieq−fi){\displaystyle f_{i}^{\ast }({\vec {x}},t+\Delta t)=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{eq}-f_{i})\,}
Propagation :fi(x→+v→iΔt,t+Δt)=fit(x→,t+Δt){\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {v}}_{i}\Delta t,t+\Delta t)=f_{i}^{t}({\vec {x}},t+\Delta t)\,}
Avecv→i=λe→i{\displaystyle {\vec {v}}_{i}=\lambda {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}}représentant les différents vecteurs vitesses élémentaires données aux particules du réseau. De plus,λ=ΔxΔt{\textstyle \lambda ={\frac {\Delta x}{\Delta t}}}est la vitesse du réseau ete→i{\displaystyle {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}}sont les différents vecteurs de direction élémentaires données aux particules du réseau. Les quantités macroscopiques du fluide sont alors définies de la manière suivante:ρ(x→,t)=∑ifi(x→,t),j→(x→,t)=ρ(x→,t)u→(x→,t)=∑iv→ifi(x→,t),{\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=\sum _{i}f_{i}({\vec {x}},t),\quad {\vec {j}}({\vec {x}},t)=\rho ({\vec {x}},t){\vec {u}}({\vec {x}},t)=\sum _{i}{\vec {v}}_{i}f_{i}({\vec {x}},t),}Ci-dessus, la densité du fluide et la vitesse macroscopique du fluide.
Une méthode de Boltzmann sur réseau peut être appliquée sur plusieurs types de maillage (ou réseau), généralement cubique ou triangulaire, avec une discrétisation plus ou moins fine des directions de propagation.
Une méthode populaire pour classifier les différentes méthodes par maillage est le schémaDnQm{\displaystyle D_{n}Q_{m}}. Dans ce cas,nintervient sur la dimension du domaine de simulation etmdéfinit le nombre de directions de propagation du ou des fluides considérés. Par exemple, un schéma D3Q19 est un schéma à3{\displaystyle 3}dimensions avec19{\displaystyle 19}directions de propagation du fluide. Les plus utilisés sont les suivants: D2Q9, D3Q15, D3Q19, D3Q27. Chaque direction est associée à un vecteure→i{\displaystyle {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}}. On donne ici les vecteurs associés aux schémas D2Q9, D3Q15, et D3Q19:e→i={(0,0)i=0(1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)i=1,2,3,4(1,1),(−1,1),(−1,−1),(1,−1)i=5,6,7,8,e→i={(0,0,0)i=0(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)i=1,...,6(±1,±1,±1)i=7,...,14,{\displaystyle {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}={\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5,6,7,8\\\end{cases}},\quad {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}={\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,...,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,...,14\\\end{cases}},}e→i={(0,0,0)i=0(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)i=1,…,6(±1,±1,0),(±1,0,±1),(0,±1,±1)i=7,...,18.{\displaystyle {\vec {\boldsymbol {e}}}_{i}={\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,\ldots ,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,...,18\\\end{cases}}.}
Le calibrage du réseau est une étape cruciale dans le développement d'une méthode de Boltzmann sur réseau de schémaDnQm{\displaystyle D_{n}Q_{m}}. Il est nécessaire que les calculs des moments hydrodynamiques d'ordren{\displaystyle n}, notésM(n){\displaystyle {\mathcal {M}}^{(n)}}soient égaux à leur version discrétisée. Pour ce faire, laméthode de la quadrature de Gaussest utilisée en injectant une distribution à l'équilibrefeq{\displaystyle f^{eq}}telle que ladistribution de Maxwell-Boltzmann.
M(n)=∫f⋅v→ndv→=∑i=1mωivi→nfi{\displaystyle {\mathcal {M}}^{(n)}=\int f\cdot {\vec {v}}^{n}d{\vec {v}}=\sum _{i=1}^{m}\omega _{i}{\vec {v_{i}}}^{n}f_{i}}
Dans l'exemple deD2Q9{\displaystyle D_{2}Q_{9}}etD3Q19{\displaystyle D_{3}Q_{19}}, les différents poids de pondérationωi{\displaystyle \omega _{i}}sont définis comme suit
ωi={4/9i=01/9i=1,2,3,41/36i=5,6,7,8,ωi={1/3i=02/36i=1,…,61/36i=7,…,18{\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}4/9&i=0\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\end{cases}},\quad \omega _{i}={\begin{cases}1/3&i=0\\2/36&i=1,\ldots ,6\\1/36&i=7,\ldots ,18\\\end{cases}}}
Il s'ensuit dans le calcul de ces facteurs de pondération, qu'un paramètrek{\displaystyle k}intervient. Il est déterminé par le rapport au carré de la vitesse du réseauλ{\displaystyle \lambda }avec celle du soncs{\displaystyle c_{s}}. Les différentes valeurs dek{\displaystyle k}varient en fonction des schémas.
En supposant que le fluide étudié est supposé êtreparfait, en découle une seconde expression de lavitesse du soncs{\displaystyle c_{s}}. En effet, d'après laloi des gaz parfaitspV=nRT{\displaystyle pV=nRT}, avecp{\displaystyle p}lapression,V{\displaystyle V}le volume du fluide,n{\displaystyle n}lenombre de molcomposant le fluide,R{\displaystyle R}laconstante universelle des gaz parfaitsetT{\displaystyle T}latempérature thermodynamique(en kelvins). La vitesse du son étant déterminée par la racine carré du gradient de pressionp{\displaystyle p}en fonction de lamasse volumiquedu fluideρ{\displaystyle \rho }, tout ceci àentropieS{\displaystyle S}constante, i.e :
cs=(∂p∂ρ)S{\displaystyle c_{s}={\sqrt {{\Bigg (}{\frac {\partial p}{\partial \rho }}{\Bigg )}_{S}}}}
Ainsi, en est déduit que la vitesse du soncs{\displaystyle c_{s}}vautR~T=RMT{\displaystyle {\sqrt {{\tilde {R}}T}}={\sqrt {{\frac {R}{M}}T}}}avecM{\displaystyle M}lamasse molairedu fluide eng.mol−1{\displaystyle g.mol^{-1}}.
La méthode de Boltzmann sur réseau est une technique complètement non dimensionnée. Cependant, réaliser des simulations physiques imposent des résultats aux unités réelles. Le pas d'espace, généralement notéΔx{\displaystyle \Delta x}et le pas de temps du réseau, généralement notéΔt{\displaystyle \Delta t}doivent être convertibles en unité réelle. Cette conversion se fait généralement par le biais de nombres non-dimensionnés conservés comme le nombre de Reynolds.
La méthode de Boltzmann est une méthode très attractive pour de nombreux chercheurs dans le monde. Cela a permis d'augmenter les possibilités de la méthode depuis quelques années. Voici quelques exemples d'améliorations :
La méthode de Boltzmann est une méthode attractive pour son importante capacité de parallélisation. De ce fait, les simulations sont accélérées par l'émergence desprocesseurs multi-cœurs. L'apparition de calculateurs hautes performances utilisant des accélérateurs graphiques (GPU) a également suscité l'intérêt des chercheurs.