davidanugraha/M4-RAG huggingface dataset:
Booleova algebra

Booleova algebrajealgebraická strukturase dvěmabinárnímia jednouunárníoperací, která zobecňuje vlastnostimnožinovýchalogickýchoperací. Je nazvána podle britského matematikaGeorge Boolea. Mimo oblastalgebryse pojem Booleova algebra zužuje nadvouprvkovouBooleovu algebrua používá se pro reprezentacipravdivostních hodnotalogických funkcí. Klíčový význam mají Booleovy algebry také pro metoduforsingu.
Booleova algebra je definována jakodistributivníkomplementárnísvaz.
Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra ješestice(A, ∧, ∨, −, 0, 1), kdeAje neprázdnámnožina, 0 ∈Ajenejmenší, 1 ∈Anejvětší prvek, − je unární operace (doplněk nebolikomplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsekaspojení) naA, splňující následujícíaxiomy.
Někdy se uvádí ještě axiom nedegenerovanosti:0≠1{\displaystyle 0\neq 1}. Při jeho zavedení pak triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou není Booleovou algebrou.
Pro Booleovu algebruAa každéx,y,z∈Aplatí:
Booleovy algebry musí splňovat více axiomů, než svazy, a proto je jejich struktura jednotnější. Například každá konečná Booleova algebra má2n{\displaystyle 2^{n}}prvků pro nějakén>0{\displaystyle n>0}a je izomorfní sdirektním součinemn{\displaystyle n}dvouprvkových Booleových algeber.
Dvouprvková algebra je algebra nad množinouA= {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1,průsek(infimum) je menší z operandů,spojení(supremum) je větší z operandů:
Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde ospor, nýbrž o dvojí značení jednohoprvku). Všechnyoperacedávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.
U množinových algeber je algebra definována nad množinou všech podmnožin (potenční množinou) libovolné množinyS, tzn.A= 2, nejmenším prvkem 0 jeprázdná množina, největším prvkem 1 je celá množinaSa operace odpovídajíprůniku,sjednoceníadoplňkudo množinyS.
Nekonečné Booleovy algebry mohou býtatomární, kdy pod každým nenulovým prvkemx{\displaystyle x}je atoma{\displaystyle a};atomje prvek, pod kterým již nic neleží, tj. neexistujey{\displaystyle y}takové, že0≺y≺a{\displaystyle 0\prec y\prec a}. Existují naopakbezatomárníalgebry, které nemají žádné atomy. Příkladem bezatomárních algeber jsouhustéBooleovy algebry, v nichž pro každéa≺b{\displaystyle a\prec b}existujex{\displaystyle x}takové, žea≺x≺b{\displaystyle a\prec x\prec b}.
Poznámka: Jako v každémsvazuse používá symbola⪯b{\displaystyle a\preceq b}proa∧b=a{\displaystyle a\land b=a}(nebo ekvivalentněa∨b=b{\displaystyle a\lor b=b}) a symbola≺b{\displaystyle a\prec b}proostré uspořádání, tj. relaci „a⪯b{\displaystyle a\preceq b}a zároveňa≠b{\displaystyle a\neq b}“.
Prakticky používanými příklady Booleových algeber jsou algebryvýroků(či obecnějiLindenbaumovy algebryformulí) a množinové algebry.
Retículo de subgrupos

Enmatemáticas, elretículo de subgruposde ungrupoG{\displaystyle G}es aquelretículocuyos elementos sonsubgruposdeG{\displaystyle G}, y larelacióndeorden parcialpertenece a unsubconjunto.
En este retículo, la unión de dos subgrupos es el subconjuntogeneradopor su conexión, y su punto de encuentro es laintersección.
La información teórica de retículos acerca del retículo de subgrupos algunas veces puede ser usada para deducir información acerca del grupo original, una idea que se remonta al trabajo deØystein Ore(1937, 1938). Por ejemplo, como lo demostró Ore, un grupo eslocalmente cíclicosi y solo si su retículo de subgrupos esdistributivo. Las caracterizaciones de retículo teórico de este tipo también existen paragrupos resolublesygrupos perfectos(Suzuki 1951).
Elgrupo diedralDih4tiene 10 subgrupos, contándose a sí mismo y algrupo trivial. Cinco de los ocho elementos de grupo generan subgrupos de orden dos, y otros dos generan el mismogrupo cíclicoC4. Por otra parte, hay dos grupos de tipoC2×C2, generados por pares de elementos de orden dos. El retículo formado por estos diez grupos son mostrados en la ilustración.
Este ejemplo también muestra que el retículo de todos los subgrupos de un grupo no es unretículo modularen general. En realidad este retículo en particular contiene el "pentágono" prohibidoN5con un subretículo.
Subgrupos con ciertas propiedades forman retículos, pero con otras propiedades no.
Sin embargo, ninguno de los subgrupos finitos ni los subgrupos de torsión forman un retículo: por ejemplo, elproducto libre de gruposZ/2Z∗Z/2Z{\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }es generado por dos elementos de torsión, pero es finito y contiene elementos de orden finito.
Retículo completo

Enmatemáticasyciencias de la computación, unretículo completoes unconjunto parcialmente ordenadoen quetodoslos subconjuntos tienen unsupremo(join) y unínfimo(meet). Siendo una instancia especial deretículos, son estudiados enteoría del ordenyálgebra universal.
Los retículos completos no deben ser confundidos conórdenes parciales completos, los cuales constituyen una clase estrictamente más general de conjuntos parcialmente ordenados. Retículos completos más específicos constituyenálgebras booleanas completasyálgebras de Heyting completas.
Retículo de Young

Enmatemáticas, elretículo de Younges unconjunto parcialmente ordenadoy unretículoque está formado por todas lasparticiones enteras. Su nombre se debe aAlfred Young, quien en una serie de artículos tituladosOn quantitative substitutional analysisdesarrolló lateoría de representación de grupos simétricos. El retículo de Young juega un rol importante enálgebra combinatoria, conformando el ejemplo más simple de un conjunto parcialmente ordenado diferencial, en el sentido deStanley (1988). Está además estrechamente conectado con lasbases de cristalparaálgebras de Lie afines.
Retícula

Laretículaes un elemento de composición que tiene todapublicación, es una regla invisible para el espectador, pero visible para quien diseña. Es una base sobre la que se puede trabajar y donde aplicar los elementos que componen la publicación: columnas, páginas, etc.
También la conocemos comomaqueta: es un instrumento de composición para el diseño de libros,periódicos,revistas... para todo lo que forma parte de los medios gráficos impresos. Es una estructura invisible.
Una retícula bien organizada debe tener un modo armónico con el formato y la orientación del papel. Por lo tanto, en la retícula es muy importante la división geométrica de un área, dividida en columnas, espacios, márgenes, etc. Tiene que estar dividida con precisión. Debe definir la posición de todos los elementos que aparecen en la página (dónde va el título, subtítulo, pie de foto, etc.). No es algo rígido y depende del medio para el que se utilice. Esa rigidez se rompe sobre todo en los periódicos.
Aunque esta herramienta nació​ en el movimiento moderno y juega un importante papel en eldiseño gráfico, en la actualidad también se aplica el sistema de retículas aldiseño web adaptable.
Son muy importantes los blancos, el saber elegir y proporcionar los blancos. Son más atractivos en lasrevistas. Son un elemento de atracción pero también una exageración de ellos puede hacer pensar que no se dispone de más información. Si hay pocos repele, pero si hay demasiados hace pensar que en falta de profesionalidad.
Otro elemento a tener en cuenta en la retícula es el folio, que puede ser numérico (sólo números) o explicativo.
La retícula está formada por una serie de elementos:​
Según como se combinen los elementos de una retícula, se crearán diferentes tipos:
Algunos de los libros más conocidos sobre las retículas:
Retículo vectorial topológico

En matemáticas, específicamente enanálisis funcionaly enteoría del orden, unretículo vectorial topológicoes unespacio vectorial topológico(EVT) deHausdorffX{\displaystyle X}que tiene unorden parcial≤{\displaystyle \,\leq \,}que lo convierte en unespacio de Rieszque posee una base de entornos en el origen que consta deconjuntos sólidos.​
Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes enteoría espectral.
SiX{\displaystyle X}es un retículo vectorial, entonces se denominanoperaciones de retículos vectorialesa las siguientes aplicaciones:
SiX{\displaystyle X}es un EVT sobre los números reales y un retículo vectorial, entoncesX{\displaystyle X}es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es uncono normaly (2) las operaciones del retículo vectorial son continuas.​
SiX{\displaystyle X}es un retículo vectorial y unespacio vectorial topológico ordenadoque también es unespacio de Frécheten el que el cono positivo es un cono normal, entonces las operaciones del retículo son continuas.​
SiX{\displaystyle X}es unespacio vectorial topológico(EVT) y unespacio vectorial ordenado, entoncesX{\displaystyle X}se denominalocalmente sólidosiX{\displaystyle X}posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.​
Unretículo vectorial topológicoes un EVT deHausdorffX{\displaystyle X}que tiene unorden parcial≤{\displaystyle \,\leq \,}que lo convierte en unespacio de Rieszque es localmente sólido.​
Cada retículo vectorial topológico tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es unespacio vectorial topológico ordenado.​
SeaB{\displaystyle {\mathcal {B}}}el conjunto de todos los subconjuntos acotados de un retículo vectorial topológico con cono positivoC{\displaystyle C}y, para cualquier subconjuntoS{\displaystyle S}, sea[S]C:=(S+C)∩(S−C){\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}la envolventeC{\displaystyle C}saturadodeS{\displaystyle S}.
Entonces, el cono positivoC{\displaystyle C}del retículo vectorial topológico es un conoB{\displaystyle {\mathcal {B}}}estricto,​ dondeC{\displaystyle C}es unconoB{\displaystyle {\mathcal {B}}}estrictosignifica que{[B]C:B∈B}{\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}es una subfamilia fundamental deB{\displaystyle {\mathcal {B}}}, es decir, cadaB∈B{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}está contenido como un subconjunto de algún elemento de{[B]C:B∈B}{\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}).​
Si un retículo vectorial topológicoX{\displaystyle X}poseeorden completo, entonces cada banda está cerrada enX{\displaystyle X}.​
Losespacios Lᵖ(1≤p≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }) sonretículos de Banachsegún su ordenamiento canónico.
Estos espacios son órdenes completos parap<∞{\displaystyle p<\infty }.
Ensemble ordonné filtrant

Enmathématiques, unensemble ordonné filtrantouensemble dirigéest unensemble ordonné(c'est-à-dire dans lequel on peut dire que certains éléments sont plus grands que d'autres) tel que pour toutepaired'éléments, il existe un élément qui est plus grand que chaque élément de la paire. Cela sous-entend en premier lieu que ce troisième élément peut être comparé aux deux premiers, ce qui n'est pas automatique dans un ensemble ordonné (implicitement partiellement ordonné, par opposition àtotalement ordonné).
Entopologie, cette notion est utilisée pour définir lessuites généraliséesoù au lieu d'être indexées parN{\displaystyle \mathbb {N} }, elles sont indexées par un ensemble ordonné filtrant. L'idée étant que pour exprimer que quelque chose « tend vers l'infini » il n'est pas nécessaire d'avoir un ordre total comme surN{\displaystyle \mathbb {N} }mais simplement que pour tout sous-ensemble fini, on puisse dire qu'il y a un élément plus grand que tous.
Enthéorie des domaines, undcpoest un ensemble ordonné dont tous les parties dirigées admettent une borne supérieure. Les dcpos peuvent fournir unesémantique dénotationnelleaux langages de programmation.
Un ensemble ordonné(I, ≤)est dit :
On peut généraliser les définitions ci-dessus aux relations depréordre.
Soit(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}un ensemble ordonné filtrant à droite. L'ensemble
LorsqueI{\displaystyle I}admet un plus grand élémentω{\displaystyle \omega }, ce filtre est le filtre principalFω{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }}.
Soit(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}un ensemble ordonné (filtrant ou pas) etJune partie deI. On dit queJestcofinale(en)si∀x∈I,∃y∈J,x≤y{\displaystyle \forall x\in I,\ \exists y\in J,\ x\leq y}.
Dans les différentes définitions de la limite, lalimite en analyseou lalimite inductiveouprojectiveen algèbre, on ne change pas la (ou parfois les) limite(s) en remplaçant un système filtrant par une partie cofinale.
On dit queJest unesuitecofinale si(J,≤){\displaystyle (J,\leq )}est isomorphe à(N,≤){\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}. L'avantage d'une suite cofinale est de revenir à une définition fondamentale de la limite.
Tout ensemble ordonné filtrant qui admet une partie cofinaledénombrableadmet une suite cofinale.En particulier, dans unespace topologique, si tout point admet unebase de voisinagesdénombrable, alors c'est unespace séquentiel, c'est-à-dire qu'on peut décrire complètement la topologie avec des suites.
Idéal (théorie des ordres)
Nawfal El Hage Hassan,Topologie générale et espaces normés,présentation en ligne
Plus petit commun multiple

Enmathématiques, et plus précisément enarithmétique, leplus petit commun multiple– en abrégéPPCM– (peut s'appeler aussiPPMC, soit «plus petit multiple commun») de deuxentiersnon nulsaetbest le plus petit entier strictement positif qui soitmultiplede ces deux nombres. On le notea∨bou PPCM(a,b), ou parfois simplement [a,b].
On peut également définir le PPCM deaetbcomme un multiple commun deaet debquidivisetous les autres. Cette seconde définition se généralise à unanneau commutatifquelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'unPPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans lesanneaux intègresfactorielsou même seulementà PGCD.
Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM denentiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de cesnentiers.
Soientaetbdeuxentiers relatifs:
Ladécomposition en facteurs premiersdu PPCM denentiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de cesnentiers, chacun affecté du plus grandexposant qui apparait dans celles-ci.
On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit denombres premiers.
Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsiPPCM(60, 168) = 2×3×5×7 = 840.
Dès que l'un des deux entiersaoubest non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisantleur plus grand commun diviseur(PGCD):
On en déduit aussi que l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. premièrepropriété ci-dessous— d'un multiple commun qui divise tous les autres :
Ainsi, l'algorithme d'Euclidepour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.
Soienta,b,ctrois entiers naturels.
Les trois propriétés suivantes constituent unecaractérisation fonctionnelledu PPCM:
Outil en ligne calculant le PPCM de deux nombres
Teorema di Knaster-Tarski

Ilteorema di Knaster-Tarskiè unteorema di punto fisso.
Unafunzione monotonain uninsieme ordinatocompletoammette almeno unpunto fisso.
Siaf:L→L{\displaystyle f\colon L\to L}una funzione monotona su un reticolo completoL{\displaystyle L}. L'insiemefix(f){\displaystyle fix(f)}dei punti fissi dif{\displaystyle f}è anch'esso un reticolo completo.
束 (位相幾何学)

数学において、束（そく、英:bundle）はファイバー束の一般化であり、局所的な積構造の条件が落ちている。局所的な積構造の条件は束が位相を持っているから定義できる。この条件がないために、より一般的な対象を束と考えることができる。例えば、EとBが集合であるときに束π:E→Bを考えることができる。ファイバー束のときにはファイバーはすべて同型（ベクトル束のとき）および同相でなければならなかったが、束においては逆像π(x)がすべて同じように見えるということはもはや、正しくない。
束とは、集合E,Bと写像p:E→Bからなる三つ組(E,p,B)である。
束のこの定義はかなり条件が弱い。例えば、空写像は束を定義する。それにも関わらず、基本的な用語を導入するために十分使うことができ、すべてのタイプの束は上記を満たす束にさらに条件を課したもので、通常さらなる構造を持つ。
各b∈Bに対して、p(b)は束のb上のファイバー(fiber, fibre) である。
束(E*,p*,B*)が(E,p,B)の部分束(subbundle) であるとは、B* ⊂B,E* ⊂Eかつp* =p|E*なることをいう。
断面(cross section) とは写像s:B→Eであって、各b∈Bに対してp(s(b)) =bすなわちs(b) ∈p(b)を満たすもののことである。
より一般に、束あるいは束対象(bundle object) は任意の圏において定義することができる。圏Cにおいて、束とは単にエピ射π:E→Bのことである。圏が具体圏（英語版）でなければ、写像の原像の概念は利用可能とは限らない。したがってこれらの束はファイバーを全く持たないかもしれないが、十分よく振る舞う圏ではそうならない。例えば、引き戻しと終対象1を持つ圏では、Bの点は射p: 1 →Bと同一視でき、pのファイバーはpとπの引き戻しとして得られる。B上の束の圏はB上の対象のスライス圏（英語版）(C↓B)の部分圏であり、一方固定された基底対象を持たない束の圏はコンマ圏(C↓C)の部分圏である。(C↓C)は関手圏C, すなわちCの射の圏でもある。
滑らかなベクトル束の圏は小さい圏の圏Catの滑らかな多様体の圏上の束対象である。各多様体をその接束に送る関手はこの束対象の断面の例である。
可補束

可補束（英:Complemented lattice）とは、束論において、0 を最小元、1 を最大元とし、各元xに補元yが定義され、以下が成り立つ有界束をいう。
一般に元xは1つ以上の補元を持つ。しかし、全てのx、y、zについて以下の分配法則が成り立つ「分配束」については、
各元xは最大でも1つしか補元を持たない。
この時、各元に対しその逆元を返す関数は順序を反転する対合になる。すなわち分配的な可補束は直交相補束でもある。
ブール代数は可補束であり、分配束であるため、逆元は必ず1つだけ存在する。
有界束L上に各元aをその直交補元aに写す写像が与えられ
をみたす時、Lとの組みを直交相補束という。
一つの束に入る直交相補束としての構造は一つとは限らないことに注意(実際、有限線形空間の部分空間から成る束には内積に対応する複数の直交相補束としての構造が入る)。
直交相補束はブール代数と同様に以下のド・モルガンの法則をみたす。
量子論理

量子論理（りょうしろんり、quantum logic）とは、量子論において見られる現象と相似するような形式論理の体系で、分配律が成り立たない無限多値の論理である。ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンの1936年の論文に始まり、1960年代に直交モジュラー束（orthomodular lattice）の研究と並行して多くの研究成果が出された。
フォン・ノイマンの『量子力学の数学的基礎』により、量子力学のいわゆる「波束の収縮」は、可分複素ヒルベルト空間の線形部分空間への射影と形式化された。そこで、論理における命題を量子力学における観測に対応させる、すなわち、命題を射影と同一視することを考えてみる。
古典力学では、観測可能な物理量は状態の関数であり、状態により一意的に決まる。しかし量子力学では、物理量（オブザーバブル）の決定には相互作用が必ずともなう。特に不確定性原理によりトレードオフの関係にあるものがあり、これは論理において古典論理の一部の法則に従わないものとなることを意味する。
（古典）命題論理がブール束に従う論理であるのに対して、量子論理はヒルベルト空間の閉部分空間の成す直交モジュラー束に従う論理である。Hをヒルベルト空間、L(H)をHの閉部分空間全体の集合とする。L(H)に集合の包含関係で順序を入れると、L(H)は完備な直交モジュラー束を成す。具体的には共通部分の成す部分線型空間が∧、和集合の張る部分空間の閉包が∨、直交補空間が¬に対応する。古典論理と大きく異なるのは分配律、すなわち
（p、q、rは命題を表す）
が必ずしも成り立たない点である。例えば一直線上を動く粒子を考え、次のようにおく。
すると命題"q∨r"は恒に真だから、pが真ならば
一方、pが真ならば不確定性原理により位置と運動量は同時には確定できないから、2つの命題"p∧q"と"p∧r"はいずれも偽である。ゆえに
となって、分配律は成り立たないことになる。
순서론

순서론(順序論,영어:order theory)은이항 관계들 중에서 '순서'의 개념을 확장한 것으로 볼 수 있는 것들을 다루는수학의 분야이다.
수학 및 이에 관련된컴퓨터 과학등의 분야에서 순서의 개념은 널리 사용된다. 가장 기본적인 순서로는자연수를 크기에 따라 순서대로 정렬하는 ≤가 있다. 또한, 사전에서 단어를 정렬할 때 쓰는사전식 순서도 일반적으로 알려진 순서의 예이다.
위의 두 순서는 임의의 두 원소를 언제나 서로 비교할 수 있다는 공통점이 있다. 즉, 두 자연수 a와 b는 언제나 a≤b 혹은 b≤a이며, 두 단어가 있을 때는 어느 쪽이 사전에서 앞에 위치하는지를 결정할 수 있다. 하지만 이 조건이 성립하지 않는 중요한 경우도 있는데, 대표적인 예로집합의부분 집합관계를 생각해 볼 수 있다. A와 B가 자연수 집합의 부분 집합일 때, A가 B의 모든 원소를 포함할 경우 "B는 A보다 작거나 같다"라고 말하기로 하자. 이때 A = {1,2,3}, B = {1,4}일 경우 어느 쪽도 상대방을 포함하지 않으므로 이 두 집합은 비교할 수 없다. 이를 두고 부분 집합 관계를부분 순서라고 하고, 임의의 원소를 서로 비교할 수 있는 순서를전순서라고 한다.
이 부분에서는집합론,산술및이항관계의 기초적인 개념을 이용해 순서론의 기본 개념들을 정의한다.
순서는이항 관계의 일종이다. P가 집합이고 ≤가 그 위의 이항관계라 하자. 이때 ≤가반대칭적이면서추이적이고 동시에반사적일 경우 이를부분 순서라 한다. 만약 이 부분 순서가완전성조건까지 만족할 경우 이를전순서라 한다. 부분 순서가 주어진 집합을부분 순서 집합, 전순서가 주어진 집합을전순서 집합이라 한다.
부분 순서 집합에서 자신을 제외한 어떤 원소보다도 큰 원소를최대 원소라 하고, 자신을 제외한 어떤 원소보다도 작은 원소를최소 원소라 한다. 또한, 어떤 원소보다도 작지 않은 원소를극대 원소라 하고, 어떤 원소보다도 크지 않은 원소를극소 원소라 한다.
예를 들어, 집합 {2,3,4,5,6} 상의약수관계(원소 a가 원소 b를 나눌 경우 "a는 b보다 작거나 같다"로 정의하는 관계)를 생각해 보자.
극대 원소의 존재를 증명할 때에는초른 보조정리가 중요하게 쓰인다.
부분 순서 집합의부분 집합에 포함된 어떤 원소보다도 같거나 큰 원소를 그 부분집합의상계라 하고, 어떤 원소보다도 작거나 같은 원소를 그 부분집합의하계라 한다. 상계 중에 가장 작은 원소를상한이라 하고, 하계 중에 가장 큰 원소를하한이라 한다.
예를 들어, 정수의 집합에서 −5와 −3은 둘 다 자연수 집합의 하계이며, 이 경우 상계는 존재하지 않는다. 여기에서 1은 자연수 집합의 최대 하계인데, 이것이 동시에 자연수 집합의 원소이므로 이는 최소 원소와 일치한다. 일반적으로 최대 하계가 존재한다고 해도 이것이 부분 집합 자체에 포함되어 있어야 할 필요는 없다.
바나흐 격자

수학에서, 특히함수해석학과순서론에서바나흐 격자(X,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\cdot \|)}는(X,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\cdot \|)}이 바나흐 공간이 되고 모든x,y∈X{\displaystyle x,y\in X}에 대해서|x|≤|y|⇒‖x‖≤‖y‖{\displaystyle |x|\leq |y|\Rightarrow \|x\|\leq \|y\|}가 작용하는 노름‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}를 가지는리스 공간이다. 이 때,|x|:=x∨−x{\displaystyle |x|:=x\vee -x}이다.
설명 논리

설명 논리또는디스크립션 로직(Description logic, DL)는 형식지식 표현언어들의 계열이다. 많은 DL은명제 논리보다 표현력이 뛰어나지만1차 논리보다는 표현력이 떨어진다. 후자와 달리 DL의 핵심 추론 문제는 (일반적으로)결정 가능하며 이러한 문제에 대해 효율적인 결정 절차가 설계 및 구현되었다. 일반, 공간, 시간, 시공간 및 퍼지 설명 논리가 있으며 각 설명 논리는 다양한 수학적 생성자 세트를 지원하여표현 능력과추론복잡성간의 서로 다른 균형을 유지하는 것이 특징이다.
DL은인공지능에서 응용 도메인의 관련 개념(용어 지식이라고 함)을 설명하고 추론하는 데 사용된다. 온톨로지와 시맨틱 웹에 대한 논리적 형식을 제공하는 것이 특히 중요하다.웹 온톨로지 언어(OWL)와 해당 프로필은 DL을 기반으로 한다. DL과 OWL의 가장 주목할만한 적용은 DL이 생물 의학 지식의 코드화를 지원하는생물의료정보학이다.
원자 (순서론)

순서론에서원자(原子,영어:atom)는최소 원소를 덮는 원소이다.
부분 순서 집합(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}의 임의의 두 원소a,b∈P{\displaystyle a,b\in P}에 대하여, 이항 관계<:{\displaystyle <:}를 다음과 같이 정의하자.
"a<:b{\displaystyle a<:b}는 "b{\displaystyle b}가a{\displaystyle a}를덮는다(영어:cover)"고 읽는다.
최소 원소를 갖는부분 순서 집합의원자는최소 원소를 덮는 원소이다.
부분 순서 집합(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}가 다음 조건들을 만족시키면,원자 집합(原子集合,영어:atomic set)이라고 한다.
부분 순서 집합(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}가 다음 조건들을 만족시키면,상대적 원자 집합(영어:relatively atomic set)이라고 한다.
부분 순서 집합(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}가 다음 조건들을 만족시키면,원자성 집합(영어:atomistic set)이라고 한다.
거꾸로최대 원소⊤{\displaystyle \top }을 가진 부분 순서 집합에 대해서는공원자(原子coatom)라는 개념 및 이에 따른 집합 개념들을 정의할 수 있다. 즉,부분 순서 집합(P,≤){\displaystyle (P,\leq )}의공원자는 반대 순서 집합Pop=(P,≥){\displaystyle P^{\operatorname {op} }=(P,\geq )}의 원자이다. 마찬가지로,공원자 집합(영어:coatomic set) ·상대적 공원자 집합(영어:relatively coatomic set) ·공원자성 집합(영어:coatomistic set)은 그 반대 순서 집합이 원자 집합 · 상대적 원자 집합 · 원자성 집합인 부분 순서 집합이다.
최소 원소를 갖는 상대적 원자 집합은 원자 집합이다. 모든유한부분 순서 집합은 상대적 원자 집합이며, 따라서최소 원소를 갖는 유한 부분 순서 집합은 원자 집합이다.
자연수(음이 아닌 정수)의전순서 집합(N,≤){\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}는최소 원소0을 가지며, 이 부분 순서 집합의 원자는 1밖에 없다. 이는 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 또한 원자성 집합이다. 보다 일반적으로, 모든정렬 집합은 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 원자성 집합이다.
양의 정수의약수관계∣{\displaystyle \mid }에 대한격자(Z+,∣){\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\mid )}는 최소 원소 0을 가지며, 원자는소수이다. 이 집합은 역시 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이지만 원자성 집합이 아니다. 예를 들어, 4는 원자들의 집합의 상한으로 나타낼 수 없다.
집합S{\displaystyle S}의멱집합(P(S),⊆){\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )}은 최소 원소∅{\displaystyle \varnothing }을 갖고, 원자들은 크기가 1인 부분 집합들이다. 이 역시 원자 집합이며, 상태적 원자 집합이며, 원자형 집합이다.
음이 아닌 실수의전순서 집합(R≥0,≤){\displaystyle (\mathbb {R} _{\geq 0},\leq )}은 최소 원소 0을 갖지만, 원자를 갖지 않는다.
월먼 콤팩트화

일반위상수학에서월먼 콤팩트화(영어:Wallman compactification)는 임의의T1공간을콤팩트T1공간으로 확장하는 방법이다. 대략,유한 교집합 성질을 만족시키는닫힌집합들의집합족의교집합이공집합인 경우, 새로운 점을 이 교집합의 원소로 추가해 준다.
T1공간X{\displaystyle X}의월먼 콤팩트화ωX{\displaystyle \omega X}는 집합으로서X{\displaystyle X}의닫힌집합들의부분 순서 집합C(X){\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}의극대 필터들의 집합이다. 이 위의 위상은 다음과 같은기저를 통해 주어진다.
이 경우,wX{\displaystyle wX}는콤팩트T1공간이며, 함수
는 위상수학적매장이다. 이 함수의상ι(X){\displaystyle \iota (X)}은ωX{\displaystyle \omega X}의조밀 집합이다. 또한, 임의의콤팩트하우스도르프 공간Y{\displaystyle Y}및연속 함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여,f~∘ι=f{\displaystyle {\tilde {f}}\circ \iota =f}인연속 함수f~:ωX→Y{\displaystyle {\tilde {f}}\colon \omega X\to Y}가 존재한다.
T1공간X{\displaystyle X}에 대하여, 다음 두 조건이 서로동치이다.
이에 따라,정규T1공간의 월먼 콤팩트화는스톤-체흐 콤팩트화와 일치한다.
Решётка (алгебра)

Решётка(ранее использовался терминструктура) —частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет какточную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Решётка может быть также определена какуниверсальная алгебрас двумябинарными операциями(они обозначаются∨{\displaystyle \vee }и∧{\displaystyle \wedge }или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам
Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:
и обратно. При этом для любых элементовa{\displaystyle a}иb{\displaystyle b}эквивалентны следующие утверждения:
Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольноеизотонное отображениерешёткиR{\displaystyle R}в решёткуR′{\displaystyle R'}не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.
Подрешётка― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций∨{\displaystyle \vee }и∧{\displaystyle \wedge }.
Примерами подрешёток являются всякое одноэлементное подмножество решётки,идеал,фильтр,интервал.
ПодрешёткаA{\displaystyle A}называетсявыпуклой, если изa,b∈A{\displaystyle a,b\in A}иa<c<b{\displaystyle a<c<b}вытекает,
чтоc∈A{\displaystyle c\in A}. Все подрешётки выше — выпуклые.
Любое подмножество элементовцепиявляется её подрешёткой (не обязательно выпуклой). Все подрешётки данной решётки, упорядоченные отношением включения, образуют решётку.
Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. Чётко его сформулировалР. Дедекиндв работах1894и1897 годов. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введёнБиркгофомв1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множестваидеаловкольцаи множестванормальных подгруппгруппы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теориидедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — этополные решётки,дистрибутивные решёткиибулевы алгебры.
Доступные бесплатно в интернете монографии:
Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:
Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:
Продвинутые монографии:
О свободных решётках:
Булева алгебра

Бу́левой а́лгебройназывается непустоемножествоAс двумябинарными операциями∧{\displaystyle \land }(аналогконъюнкции),∨{\displaystyle \lor }(аналогдизъюнкции), однойунарной операцией¬{\displaystyle \lnot }(аналоготрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любыхa,bиcиз множестваAверны следующиеаксиомы:
Первые три аксиомы означают, что (A,∧{\displaystyle \land },∨{\displaystyle \lor }) являетсярешёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена какдистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называетсяпсевдобулевой алгеброй.
Названа в честьДжорджа Буля.
Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬aлюбого элементаaоднозначно определено. Для всехaиbизAверны также следующие равенства:
В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.
Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:
В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.
Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.
Теорема Стоунаутверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-токомпактноговполне несвязногохаусдорфоватопологического пространства.
В1933 годуамериканский математикХантингтонпредложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:
Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.
Герберт Роббинспоставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?
Аксиоматизация алгебры Роббинса:
Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросомТарскогои его учеников.
В1996 годуВильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.
Общая алгебра

Общая алгебра(такжеабстрактная алгебра,высшая алгебра) — разделматематики, изучающийалгебраические системы(также иногда называемые алгебраическими структурами), такие какгруппы,кольца,поля,модули,решётки, а такжеотображениямежду такими структурами.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являютсяполугруппы,моноиды,группы,квазигруппы,полурешётки, с двумя бинарными операциями —кольца,почтикольца,поля,решётки. Более сложными примерами алгебраических структур являютсямодули над кольцами,векторные пространства,алгебры над кольцами,алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например,полиадические группы),многосортные алгебры.
Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятиягомоморфизмов,изоморфизмов,автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы,подкольца,подрешётки) ифакторсистемы(факторгруппы,факторкольца,факторрешётки).
Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры —универсальной алгеброй.Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и втопологии,логике,теории множеств.
Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики:
Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методыалгебраическая геометрия,алгебраическая теория чиселиалгебраическая топология.
Алгебра (универсальная алгебра)

Алгебра(универсальная алгебра) —множествоA{\displaystyle A}, называемоеносителем алгебры, снабжённое наборомn{\displaystyle n}-арныхалгебраических операцийнаA{\displaystyle A}, называемымсигнатурой, илиструктуройалгебры. Иными словами, универсальной алгеброй являетсяалгебраическая системаспустыммножествомотношений.
Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: еслиφ:A→A′{\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}—гомоморфизмалгебр, аθ{\displaystyle \theta }— ядернаяконгруэнцияφ{\displaystyle \varphi }(то естьθ={(x,y)∈A×A|φ(x)=φ(y)}{\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}), тофакторалгебраA/θ{\displaystyle A/\theta }изоморфнаA′{\displaystyle A'}.
Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группаавтоморфизмовAutA{\displaystyle \mathbf {Aut} A},моноидэндоморфизмовEndA{\displaystyle \mathbf {End} A},решёткаподалгебрSubA{\displaystyle \mathbf {Sub} A}, решёткаконгруэнцийConA{\displaystyle \mathbf {Con} A}, в частности, показано, что для любой группыG{\displaystyle G}и решётокL0{\displaystyle L_{0}}иL1{\displaystyle L_{1}}существует такая универсальная алгебраA{\displaystyle A}, чтоG≅AutA{\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A},L0≅SubA{\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A},L1≅ConA{\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}.
Универсальная алгебра с однойбинарнойалгебраической операцией называетсягруппоидом (магмой).
Модальная алгебра

Модальная алгебра— структура⟨A,∧,∨,−,0,1,◻⟩{\displaystyle \langle A,\land ,\lor ,-,0,1,\Box \rangle }, где:
Модальные алгебры являются моделямилогики высказываниймодальной логики, подобно тому, как булевы алгебры являются моделямиклассической логики. В частности,многообразиевсех модальных алгебр обеспечивает алгебраическую семантику модальной логикиK{\displaystyle \mathrm {K} }, арешёткаего подмногообразий дуальноизоморфнарешёткенормальных модальных логик.
Теорема Стоуна о представлении булевых алгебрможет быть обобщена додвойственности Йоунсcона — Тарского, согласно которой каждая модальная алгебра может быть представлена как алгебра допустимых множеств в модальномобщем фрейме.
Алгебра Магари(диагонализируемая алгебра) — модальная алгебра, удовлетворяющая условию◻(−◻x∨x)=◻x{\displaystyle \Box (-\Box x\lor x)=\Box x}; алгебры Магари соответствуютлогике доказуемости.
Алгебраическая система

Алгебраическая системавуниверсальной алгебре— непустоемножествоG{\displaystyle G}(носитель) с заданным на нём наборомоперацийиотношений(сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называетсяалгеброй, а система с пустым множеством операций —моделью.
n{\displaystyle n}-арная операция наG{\displaystyle G}— этоотображениепрямого произведенияn{\displaystyle n}экземпляров множества в само множествоGn→G{\displaystyle G^{n}\to G}. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваютсяунарныеибинарныеоперации, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждамитопологии,алгебры,комбинаторикипостепенно накапливается техника работы с операциями большейарности, здесь в качестве примера можно привести теориюоперад(клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).
Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различныхобщеалгебраическихструктур, таких какгруппы,кольца,решётки; в частности, таковы конструкцииподсистемы(обобщающей понятияподгруппы,подкольца,подрешёткисоответственно),гомоморфизма,изоморфизма,факторсистемы(обобщающей соответственно конструкциифактогруппы,факторкольца,факторрешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделеобщей алгебры—универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, таковатеорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений —алгебры— уточняется дотеорем об изоморфизме, известных ранее изтеории группитеории колец.
В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, уБурбакионо формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода —структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянутькоалгебры,биалгебры,алгебры Хопфаикомодулинад ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, какмодуля над кольцомилиалгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.
数学对象

數學物件（Mathematical object）是数学中的抽象概念。用數學的普通語言來說，對象是任何可以或已經用演绎推理和数学证明正式定義的物件。一般地，一個數學物件可以是一個能代入变数的值，從而可以用於公式裡。 經常遇到的數學物件包括数、集合、函数、表示式、几何形状、其他數學物件的变换和空间。數學物件可以非常複雜。比如說，定理、证明甚至理论在证明论中被視為數學物件。
數學物件的存在是數學哲學家進行大量研究和討論的對象。
数学分析

数学分析学，也稱分析数学、分析学或解析学（英語：Mathematical Analysis），是普遍存在於大学数学专业的一门基础课程。大致与非數學专业学生所學的高等数学課程内容相近，但內容更加深入，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。
数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓扑空间）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间），就可以用数学分析的方式進行分析。
在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了極限和收敛的概念。在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦羅第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理。
历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。
贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西通过引入柯西序列的概念将微积分建立在稳固的逻辑基础之上。他还开始了複分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。
19世纪中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并提出了极限的 (ε, δ) 定义（英语：(ε, δ)-definition of limit）。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。
在19世紀末時，也發現了許多病態函數，像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大卫·希尔伯特導入了希尔伯特空间來求解積分方程。賦範向量空間的概念已經提出，1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析。
數學中的度量空間是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定義。
大部份的數學分析都是針對特定的度量空間，最常見的是數線、複數平面、欧几里得空间、其他向量空間及整數。數學中沒有度量的分包括有量測理論（描述大小而不是距離）及泛函分析（研究不需要距離概念的拓撲向量空間）
度量空間是一個有序對(M,d){\displaystyle (M,d)}，其中M{\displaystyle M}是一集合，而d{\displaystyle d}為M{\displaystyle M}中的度量（也是函數）
使得針對任何的x,y,z∈M{\displaystyle x,y,z\in M}，以下的敘述都成立：
數列是一個有序的列表，數列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，數列有順序的概念，而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法，數列可以用定義域為全序關係可數集（例如自然數）的函數來定義。
數列最重要的性質是收斂，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義，一個無窮數列an，若在n非常大時接近一數值x，則稱此數列有極限，而其極限為x，因此極限也可以視為是數列趨向的數值。因此針對數列an，當n→ ∞時，an和x之間的距離會趨近於0：
数学分析在当前被分为以下几个分支领域：
数学分析的技巧可以用在其他以下的領域：
經典力學、相對論及量子力學中大部份的內容都是以数学分析及微分方程為基礎。其中重要的微分方程包括牛頓第二運動定律、薛定谔方程及愛因斯坦場方程。
泛函分析是量子力學中的一個重要主題。
信號處理可以用在許多不同信號的處理上，不論是聲音、無線電波、光波、地震波其至影像，傅立葉分析可以取出信號中特定的成份，可以進一步將信號加強或是移除。大部份的信號處理技術都包括了將信號進行傅立葉轉換、轉換後信號進行簡單的處理，再進行反轉換。
数学分析的技巧可以用在以下的數學領域中：
数学宇宙假说

数学宇宙假说（英語：Mathematical universe hypothesis，简称MUH），又称为终极系综理論（Ultimate ensemble theory），是美国宇宙学家、麻省理工学院教授马克斯·泰格马克提出的一种万有理论。
泰格马克认为，物理实在即是数学结构，一切数学结构都是物理存在的。对于那些足够复杂以至拥有自我意识子结构（self-aware substructures，简称SAS）的数学结构而言，这些子结构（如人类意识）能够主观地感知到自己存在于一个物理“真实”的世界中。
在泰格马克提出的四层多重宇宙論中，最高层（第四层）平行宇宙即是指拥有不同数学结构的平行宇宙，每种数学结构都对应着一个平行宇宙。
泰格馬克的數學宇宙假說認為：「物理的客觀現實是一種數學結構。」換句話說，宇宙中的物理不僅僅是用數學描述，而本身就是數學（具體來說，是数学结构）。數學上存在即為物理上存在。觀測者，包括人類，被稱作自我意識子結構（self-aware substructures，簡稱SAS）。在任何足夠複雜到能包含自我意識子結構的數學結構，那些自我意識子結構可以主觀的認為自己活在一個真實的物理世界。
這個數學宇宙假說提出了數學實體是存在的，因此可以被視作毕达哥拉斯主义和柏拉图主义的另一種形式；它也認為除了數學物件外不存在其他任何事物，因此可以被視作数学哲学的另一種形式；它也可以被視為本體結構現實主義（英语：Structuralism (philosophy of science)）形式上的表達。
泰格馬克聲稱這個假說不包含任何自由變數也不是排除可觀測性。因此，他認為數學宇宙假說比奥卡姆剃刀更好。泰格馬克也考慮過添加第二個假設，添加後的假說是可計算宇宙假說，它說物理的客觀現實的數學結構是被可计算函数定義的。
數學宇宙假說和泰格馬克提出的四層多重宇宙論有關。四層多重宇宙論假設平行宇宙有一個多樣性的層級，第一類是只有初始狀態不同，第二類增加了物理常數的不同，第三類是艾弗雷特的多世界詮釋，第四類是所有的物理定律皆不同。
倫敦伦敦帝国学院的安德烈亚斯·阿尔布雷克特認為數學宇宙假說是一些重要的物理問題的啟發性的解答。但他不敢說他相信數學宇宙假說，他補充說構造一個包含萬物的理論是很難的。
于尔根·施密德胡伯認為『雖然泰格馬克提出「……所有數學結構都是相同的統計權重」，但沒有方法能分配相同且不為0的機率到所有數學結構。』施密德胡伯提出另一個更嚴格的系綜，他認為宇宙只能夠只被数学构成主义描述，也就是，计算机程序。他明確地給出一個例子，宇宙的表現能被在有限時間中輸出會收斂的不停機程式描述，縱使時間本身的收斂性是不能被停機程式預測（停机问题中的不可判定问题）。
泰格馬克回覆說所有宇宙中的物理自由度、物理常數和定理等自由變量的變化的数学构成主义形式測量在弦論地景尚未被建構，因此這個不該被視為反駁的理由。
數學宇宙假說也被指出和哥德尔不完备定理不一致。在泰格馬克、他的同事皮特赫特和馬克阿爾弗德的三方辯論中，阿爾弗德提出「形式主義者的方法不能證明在足夠強大的系統中的所有理論……。數學是外在的這種想法和數學構成一個系統的想法是不相容的」
泰格馬克的回覆給出了一個新的假設，「只有歌德爾完備數學結構（完全可選擇的（英语：Decidability (logic)））是物理上存在。這個假設大幅地縮小了第四類多重宇宙，替複雜度給出了一個上界，並且可能能解釋我們宇宙為何相對的簡單。」泰格馬克繼續說明，雖然傳統的物理理論是歌德爾不可判定的，但真正解釋宇宙的數學結構仍然可以是歌德爾完備的，並且「理論上能夠包含觀測者，這些觀測者能思考歌德爾不完備數學，就像图灵机可以證明某些關於歌德爾不完備系統的定理，像是皮亚诺公理。」在中，他給出更仔細的回覆，他提出比數學宇宙假說更嚴謹的變化「可計算宇宙假說」，這個假說只包含那些足夠簡單的數學結構，簡單到歌德爾定理不需要它們去給出任何不可判定或不可計算的定理。泰格馬克承認這個方法是備受挑戰的，像是它排除了大部分的數學架構，理論本身的測量可能是不可計算的以及幾乎所有歷史上成功的定理都違反可計算宇宙假說。
斯托格、埃利斯和基爾徹提出在一個真正的多重宇宙理論中，不同宇宙是完全沒交集的，在不同宇宙發生的事件是完全沒連結的。這種缺乏因果關係的性質使得多重宇宙論沒有任何科學依據。埃利斯特別地批評了數學宇宙假說，指出儘管存在一些有希望的備註，但完全無關聯的宇宙的無限系綜是完全不可測試的。泰格馬克為了維持數學宇宙假說是可測試性，他提出了一些預測，1.物理研究會發現自然中的數學規律。2.假設我們活在一個數學結構中的多重宇宙中的典型宇宙，我們可以透過評估我們所在的宇宙是多典型來測試多重宇宙。
唐·佩吉曾經爭論說：「在最終層級中只存在唯一的宇宙，並且如果數學結構是寬廣到包含所有可能的世界或至少我們的世界，那麼一定存在一個唯一的數學結構能描述終極現實。所以我覺得在和其他數學結構共存的意義上去談論第四類多重宇宙是邏輯上無意義的。」這個的意思是只存在一個數學結構庫。泰格馬克回覆：「這個和第四類的不一致比感覺起來的要少，因為很多數學結構能分解成不相關的子結構，而且不同的結構能夠被統一。」
亚历山大·维连金評論說：「數學結構的數量會隨著複雜度的提升而提升，顯示典型的結構會非常大且繁瑣。這和描述我們宇宙的漂亮、簡潔的理論有衝突。」他繼續補充，泰格馬克對於這個問題的解答，分配給較複雜結構較少的權重看似隨機並且可能會邏輯上不一致（貌似會推論出額外的數學結構，但所有的數學結構應該皆存在於系統中）。
泰格馬克曾被批評為誤解了奧卡姆剃刀的本質和應用。馬西莫·皮戈里奇（英语：Massimo Pigliucci）提醒：「奥卡姆剃刀只是启发法，他不該被用來決定那些理論是對的。」
最小上界

最小上界，亦称上确界（英語：Supremum，记为sup S）是数学中序理论的一个重要概念，在格论和数学分析等领域有广泛应用。
给定偏序集合(T,≤)，对于S⊆T，S的上确界sup(S)定义为S的所有上界组成的集合的最小元（若有）。即sup(S)满足：
上确界也被称为最小上界、lub或LUB，在格论中也被称为并，在序理论中S的上确界也被记为∨{\displaystyle \vee }S。
在数学分析中，实数的集合S的上确界或最小上界记为 sup(S)，并被定义为大于或等于S中所有成员的最小实数。实数的一个重要性质是它的完备性：实数集合的所有非空子集是有上界的就是这个实数集合成员的上确界。
这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。
此外，如果我们定义在S是空集的时候 sup(S) = −∞ 和在S没有上界的时候 sup(S) = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。
如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。
要证明a= sup(S)，必须证明a是S的上界并且S的任何其他上界大于a；等价地，也可以证明a是S的上界并且小于a的任何数都不是S的上界。
شبكة برافيه

في الهندسةوعلم البلورات،شبكة تبلور برافيه(بالإنجليزية:Bravais lattice)‏ هي مجموعة نقاط منتظمة لا نهائية في الفراغ، يسهل وصفها عن طريق مسافات بينية متساوية أو إزاحات متماثلة في الطول وزاوية الإزاحة.يمكن وصف مجموعة النقاط المنتظمة بالعلاقة الآتية:
حيثni{\displaystyle n_{i}}عدد صحيح
وai{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}وحدة متجه في الاتجاه i.
وحدة متجه (يمين)، هي خطوة في اتجاه ما وليكن إلى اليمين. فإذا خطونا ثلاثة خطوات إلى اليمين، وصلنا إلة نقطة الشبكة الثالثة إلى اليمين.
وحدة متجه (أمام)، هي خطوة إلى الامام. فإذا خطونا سبعة خطوات إلى الأمام وصلنا إلى نقطة الشبكة السابعة في الأمام.
حتي الآن نستطيع وصف نقاط الشبكة في المستوي س، ص (أي يمين - يسار وأمام -خلف). ولوصف شبكة في الفراغ، لا بد من ادخال وحدة متجه (أعلى). وهذا هو مضمون المعادلة أعلاه، التي تصف توزيع نقاط الشبكة على المحاور الثلاثة: س، ص، ع.
قام العالمأوجوست برافيهعام 1850 بدراسة تلك الإزاحات المتساوية، وصاغ المعادلة أعلاه. وظهرت أهميتها من حيث دراسة البلورات، لأن البلورات الكبيرة العينية ماهي إلى تكرار لبلورات صغيرة لها نفس الشكل تسميوحدة خلية.
في البلورة العينية كما في معادلة بارفيه، تبدو الشبكة متشابهة تماما عند نهاية كل متجهRj{\displaystyle \mathbf {Rj} }.
تتكون البلورة منذرةأو أكثر تكرر نفسها على نقاط الشبكة البلورية. ولذلك تبدوالبلورةبنفس الشكل عند رؤيتها من أي نقطة على الشبكة.
ويختص شبكة برافيه بمجموعة أشكالمتناظرة. وعند قيامه بدراستها توصل إلى وجود 14 نوع من تلك الشبكات الفراغية. وقد توصل إلى ذلك على أساس تغيير كل من وحدة المتجه: يمين، أمام، أعلى. (مثلا وحدة متجه يمين: خطوة حصان، ووحدة متجه أمام: خطوة خروف، ووحدة متجه أعلى: خطوة عنز). ذلك بالإضافة إلى أخذه زاوية الإزاحة في الاعتبار.
تبين الجدول الآتي شبكات برافيه الأربعة عشر. وهي قائمة على 7 أنظمة لتلك الشبكات أو المحاور. وقد روعي ملء كل نقطة من نقاظ الشبكة بذرة واحدة. وأحيانا كما يوجد في طبيعة البلورات يمكن أن تشغل ذرة ثانية وسط الخلية Body centered أو أحد أوجه وحدة الخلية.
كيفية إشغال الخلية (بالذرات) كالآتي lattice centerings وينطبق ذلك على جميع الأنظمة أسفله:
يمكن حساب حجموحدة الخليةللسبعة أنظمة من الشبكات بواسطة العلاقة:
حيث:
a{\displaystyle \mathbf {a} }وb{\displaystyle \mathbf {b} }وc{\displaystyle \mathbf {c} }
هي وحدات المتجه (مقاييسوحدة الخلية)،
وتعطي القائمة أسفله حجم كل من وحدات الخلايا، طبقا لشبكة تبلور برافيه:
الدراسات التي تقوم بتعيين البناء البلوري للأملاح والمعادن تعتمد على طرق القياس الآتية:
كما يمكن تعيين البناء البلوري المغناطيسي بواسطةحيود النيوترونات.
أوغست برافيه

أوغست برافيه(بالفرنسية:Auguste Bravais)‏ (23 أغسطس1811-30 مارس1863)فيزيائيفرنسيمعروف بعمله فيعلم البلوراتومفهومشبكات برافيهوصياغةقانون برافايس.
درس برافيه أيضاالمغناطيسيةوالأضواء الشماليةوالأرصاد الجويةوالجغرافيا النباتيةوترتيب الأوراقوعلم الفلكوالهيدروغرافيا.
درس برافيه فيإعدادية ستانيسلاسفيباريسقبل أن يلتحقبالمدرسة المتعددة التكنولوجيةفي عام 1829.
تم إطلاق اسم برافيه على جبلبرافايسبرجيت، الواقع فيسفالبارد.
متوازي متعدد الوجوه

فيالهندسة،متوازي متعدد الوجوه(بالإنجليزية:Parallelohedron)‏ هومتعدد وجوهمحدب يمكنسحبهدون الحاجة إلى الدوران لملءالفضاء الإقليدي. يؤدي هذا إلى إنشاءمُنَخرَبةتلتقي فيه جميع نسخ متعدد الوجوه وجهًا لوجه. هناك خمسة أنواع من متوازيات نونيات الوجوه، تعرّف عليها أول مرةيفغراف فيدوروففي عام 1885 في دراساته للأنظمة البلورية:المكعب،والموشور السداسي، وواثنا عشري الوجوه المعينة،واثنا عشري الوجوه المُطال،وثماني الوجوه الأبتر.
كل متوازي متعدد الوجوه هومتعدد وجوه نطقيوتجاوري. ذلك النوع من المجسمات له تناظر مركزي، كما هو الحال مع وجوهها. يمكن تجميع حوافها في مجموعات فرعية من الحواف المتوازية المتساوية الطول؛ ومتوازي متعدد الوجوه نفسه هومجموع مينكوفسكيلمجموعة من القطع المستقيمة المُنتقاة عن طريق اختيار ممثل واحد من كل مجموعة فرعية موازية. يؤدي تعديل أطوال الحواف في أي من هذه المجموعات الفرعية، أو عمومًا إجراءتحويل تآلفيلمتوازي متعدد الوجوه، إلى إنشاء متوازي نوني وجوه آخر من نفس النوع التوافيقي. تُشكِّل مراكز الأرصاف في رَصَف الفضاء بواسطة متوازي متعدد الوجوهشبكة برافيه، ويمكن تشكيل كل شبكة برافيه بهذه الطريقة.
متوازيات متعددات الوجوه ثلاثية الأبعاد تشبهمتوازيات متعددات الأضلاعالثنائية الأبعاد ومتوازيات متعددات الوجوه المرتفعة الأبعاد.
شبكة (نظرية الزمر)

فيالرياضيات، وبشكل أكثر تحديدًا فيالهندسةونظرية الزمر،الشَبَكةأوالشَبِيكةفي فضاءRهومجموعة جزئيةمتقطعة من الفضاءRتقوم بتمديدالفضاء المتجهيالحقيقي.
جبن إدام

جبنن إدامإوإيدامأوالفلمنك(بالهولندية:Edammer)‏ هي جبنة شبه صلبة نشأت في هولندا، وسميت على اسم مدينةإدامفي مقاطعةشمال هولندا.تُباع إدام تقليديًا في كرات ذات نهايات مسطحة ذات لون داخلي أصفر باهت وطبقة أو قشرة منشمع البَرافينالأحمر. جبن الإدام يشيخ ويتحمل النقل جيدا ولا يفسد، بل تصلب فقط. هذه الصفات (من بين أشياء أخَر) جعلتها الجبن الأكثر شعبية في العالم بين القرنين الرابع عشر والثامن عشر، سواء في البحر أو في المستعمرات النائية.
معظم جبن إدام الفتي الذي يباع في المتاجر له مذاق خفيف جدًا مالحٌ قليلًا أو فستقي الطعم لا رائحة تقريبًا بالمقارنة مع أنواع الجبن الأُخَر.مع تقادم الجبن يزداد طعمه حدة ويصبح أكثر تماسكًا.قد يحتوي جبن إدام على نسبة قليلة من الدهون فيالمادة الجافةتصل إلى 28٪. يعد الإدام الحديث أكثر نعومة من أنواع الجبن الأخرمثلجبن الشدَّربسبب محتواه المنخفض من الدهون.
Bravaisova mřížka

Bravaisova mřížkaje v geometrii a krystalografii definovaná jako nekonečná soustava bodů vytvořená z daného bodu všemi jeho translacemi (posuny) určenými diskrétním bodem (vektorem) -r. V trojrozměrném prostoru platí:
r=n1a+n2b+n3c
kde
n1,n2,n3jsou celá čísla,
a, b, cnekomplanární vektory
Kromě popsaných Bravaisových trojrozměrných mřížek mohou být také jednorozměrné (lineární) nebo dvojrozměrné (rovinné).
Trojrozměrné Bravaisovy mřížky popisují prostorové krystalové strukturyminerálůpodle typu jejich elementární (základní) buňky. Mnohonásobným opakováním této buňky se beze zbytku vyplní prostorkrystalu. Elementární buňky se rozdělují na primitivní (čítající jeden mřížkový bod na buňku) a centrované (čítající více mřížkových bodů na buňku). Existuje celkem 14 možných uspořádání elementární buňky, tedy 14 Bravaisových mřížek. Základní vlastností Bravaisovy mřížky je, že při jakékoliv volbě směru se mřížka jeví přesně stejně z každého z bodů mřížky (mřížkových uzlů).
Bravaisova mřížka je pojmenovaná podle svého objevitele francouzského přírodovědceAugusta Bravaise(1811-1863), který kolem roku 1849 klasifikoval možné translační mřížky umístěním stejných rovnoběžnostěnů (elementárních buněk) ve všech směrech. Rohy buněk pak tvořily trojrozměrnou bodovou (krystalovou) mřížku.
Elementární (základní) buňka je rovnoběžnostěn a existuje pouze 14 jedinečných možností, jak jej v prostoru poskládat. Elementární buňka musí splňovat tato Bravaisova pravidla:
Elementární buňka je popsaná základními vektory (a, b, c), které definují hrany elementární buňky a jejich délky jsou základní periody mřížky. Společně se třemi úhly (α, β, γ), které základní vektory svírají, tvoří těchto šest hodnot mřížkové parametry.
Elementární buňky můžeme rozdělit na primitivní (čítající jeden mřížkový bod na buňku) a centrované (čítající více mřížkových bodů na buňku):
Primitivní (prostá, P) buňka má částice pouze ve vrcholech rovnoběžnostěnu.
1.S - bazálně centrovaná, částice jsou i ve středech dvourovnoběžných stěna dělí se na:
2. F- plošně centrovaná, částice ve středech všech stěn
3. I - prostorově centrovaná, jedna částice navíc v průsečíku tělesovýchúhlopříček
Poznámka: Zkratky pocházejí z anglických názvů krystalografických soustav a elementárních buněk.
V tomto článku byly použitypřekladytextů z článkůBravais latticena anglické Wikipedii aBravais-Gitterna německé Wikipedii.
Krystalová mřížka

Krystalová mřížkajemnožinaurčitých myšlených abstraktních bodů, pomocí nichž se popisuje strukturakrystaluneboli vzájemná poloha částic vkrystalu.
Krystalová mřížka znázorňuje jednotlivé částice (atomy,ionty,molekuly) bez ohledu na jejich velikost jako body a ty se nazývají uzly. Dva libovolné uzly v krystalové mřížce jsou spojeny přímkou, která se nazývá mřížkový vektor. Způsob uspořádání uzlů se nazývákrystalická strukturaa je to vlastně její idealizovaný geometrický obraz nebo model.
V každé krystalové mřížce můžeme určitrovnoběžnostěn, jehož uspořádání částic se pravidelně opakuje v celé mřížce. Tento rovnoběžnostěn se nazýváelementární buňkanebo také základní buňka. Každá elementární buňka je definována šesti mřížkovými parametry. Jsou to délky jejich stran (mřížkové vektory)a, b, ca úhlyα, β, γ, které tyto strany svírají.
V přírodě není možné dosáhnout ideální krystalové mřížky, jejíž struktura by byla zcela pravidelná a bez jakýchkolivkrystalových poruch.
Související informace naleznete také v článkuKrystalografická soustava.
Krystalové mřížky se od sebe odlišují tvarem elementární buňky, jejími rozměry, polohami částic a velikostmi úhlů. Podle těchto mřížkových parametrů (vektorůa, b, ca úhlů mezi nimiα, β, γ)se krystalové mřížky rozdělují na 7 základních typů:
K popisu krystalových struktur se běžně používají takéBravaisovymřížky, které mohou být jednorozměrné (lineární), dvojrozměrné (rovinné) a trojrozměrné (prostorové).
Krystalové strukturyminerálůpopisují trojrozměrné Bravaisovy mřížky, které se podle typu jejich elementární buňky rozdělují na primitivní a centrované.
Existuje pouze 14 jedinečných možností, jak v prostoru poskládat elementární buňky a tím vznikne14 prostorových Bravaisových mřížek. Elementární buňka musí splňovat tato Bravaisova pravidla:
Stejně jako u krystalové mřížky jsou základní vektory (a, b, c) definovány hranami elementární buňky a jejich délky jsou základní periody mřížky. Společně se třemi úhly (α, β, γ), které základní vektory svírají, tvoří těchto šest hodnot mřížkové parametry.
Související informace naleznete také v článkuKrystalová porucha.
Podobně jako ukrystalu, tak ani u krystalové mřížky není možné dosáhnout struktury, která by byla zcela pravidelná a bez jakýchkolivporuch. Plně zaplněná krystalová mřížka je ideální stav, ve skutečném světě mají krystaly poruchy mřížky, které lze rozdělit na:
V tomto článku byly použitypřekladytextů z článkůBravais latticena anglické Wikipedii aBravais-Gitterna německé Wikipedii.