曼德博集合

曼德博集合（英語：Mandelbrot set，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。
曼德博集合可以用複二次多项式来定义：
其中c{\displaystyle c}是一个复数參数。
从z=0{\displaystyle z=0}开始对fc(z){\displaystyle f_{c}(z)}进行迭代：
每次迭代的值依序如以下序列所示：
(0,fc(0),fc(fc(0)),fc(fc(fc(0))),…){\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}
不同的参数c{\displaystyle c}可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。
曼德博集合M{\displaystyle M}就是使序列不延伸至无限大的所有复数c{\displaystyle c}的集合。
若|c|≤14{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}，則c∈M{\displaystyle c\in {M}}
假設|c|≤14{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}為真
則|z1|=|c|≤14<12{\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}
當n=2{\displaystyle n=2\,}時
因為|c|≤14{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}
由以上可得知|z2|<12{\displaystyle |z_{2}|<{\frac {1}{2}}}
假設|zn|<12{\displaystyle |z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,}成立
由上式可得知|zn+1|<12{\displaystyle |z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}}
由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}皆比12{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}小。
當n趨近無限大時|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}依然沒有發散，所以c∈M{\displaystyle c\in {M}}，故得證。
若c∈M{\displaystyle c\in {M}}，則|c|≤2{\displaystyle |c|\leq {2}}
假設|c|>2{\displaystyle |c|>2\,}
則|z1|=|c|,|z1|>2{\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}
當n=2{\displaystyle n=2\,}時
由|c|>2{\displaystyle |c|>2\,}，左右同乘|c|{\displaystyle |c|\,}再減去|c|{\displaystyle |c|\,}可得到下式
由以上可得知|z2|>|c|{\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}
假設|zn|>|c|{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}成立，則|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}
因為|zn|>|c|{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
由|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}，左右同乘|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}再減去|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}可得到下式
由以上可得知|zn+1|>|zn|{\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}
由數學歸納法可得知2<|z1|<|z2|<...<|zn|<|zn+1|<|zn+2|{\displaystyle 2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,}，可看出隨著迭代次數增加|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}逐漸遞增並發散。
假如|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}不发散，则收敛于某个常数a>|c|>2{\displaystyle a>|c|>2},
由|zn+1|≥|zn|2−|c|{\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}再取极限得a≥a2−|c|{\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}即a2−a≤|c|{\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}。
又a2−a=a(a−1)≥a>|c|{\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}，矛盾，故|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}发散。
所以若|c|>2{\displaystyle |c|>2\,}，則c∉M{\displaystyle c\notin {M}}，故得證。
若c∈M{\displaystyle c\in {M}}，則|zn|≤2,(n=1,2,...){\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}
要證明若|zn|>2,(n=1,2,...){\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}，則c∉M{\displaystyle c\notin {M}}
首先分別探討|c|>2{\displaystyle |c|>2\,}與|c|≤2{\displaystyle |c|\leq 2}兩種情形
由定理二可知道|zn|>2,(n=1,2,...){\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}且|c|>2{\displaystyle |c|>2\,}時，c∉M{\displaystyle c\notin {M}}。
接著要證明|c|≤2{\displaystyle |c|\leq 2}時的情況：
假設|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}，因為|c|≤2{\displaystyle |c|\leq 2}，所以|zn|>|c|{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}，而
因為|zn|>|c|{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
由|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}，左右同乘|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}再減去|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}可得到下式
由以上可得知|zn+1|>|zn|{\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}
由數學歸納法可得知2<|zn|<|zn+1|<|zn+2|<...{\displaystyle 2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,}，可看出隨著迭代次數增加|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}逐漸遞增並發散。
所以在|zn|>2,(n=1,2,...){\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}且|c|≤2{\displaystyle |c|\leq 2}的情況下也是c∉M{\displaystyle c\notin {M}}。
綜合上述可得知不論|c|{\displaystyle |c|\,}為多少
若|zn|>2,(n=1,2,...){\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}，則c∉M{\displaystyle c\notin {M}}，故得證。
利用定理三可以在程式計算時快速地判斷|zn|{\displaystyle |z_{n}|\,}是否會發散。
曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。