Indici di Miller

Gliindici di Millersono un sistema di notazione utilizzato incristallografiaper descrivere i differenti piani e direzioni in unreticolo di Bravais.
In particolare, una famiglia dipiani reticolariè determinata da trenumeri interih,k, el, gliindici di Miller. Vengono indicati (hkl), e ciascun indice denota un piano ortogonale alla specifica direzione  nello spazio vettoriale definito dalle basi coincidenti con lecostanti reticolari. Per convenzione, gli interi negativi vengono riportati con una barra sopra, ad esempio3indica il valore -3. Gli interi sono solitamente scritti riportando i termini minori, vale a dire ilmassimo comun divisoredovrebbe essere 1. L'indice di Miller (100) rappresenta un pianoortogonalealla direzioneh, l'indice (010) rappresenta un piano ortogonale alla direzionek, e l'indice (001) rappresenta un piano ortogonale al.
Esistono anche diverse notazioni correlate:
Nel contesto delle direzioni in un cristallo (non piani), le corrispondenti notazioni sono:
Gli indici di Miller sono stati introdotti nel 1839 dal mineralogista britannicoWilliam Hallowes Miller. Il metodo era noto storicamente anche come Sistema Milleriano, e gli indici come Milleriani, sebbene questa terminologia sia adesso desueta.
Il significato preciso di questa notazione dipende dalla scelta dei vettori reticolari per il cristallo, come descritto sotto. Solitamente, vengono utilizzati tre vettori primitivi del reticolo. Tuttavia, per sistemi cristallini cubici, sono utilizzati vettori del reticolo cubico perfino quando non sono primitivi (come nei cristalli a corpo centrato e a facce centrate).
Ci sono due modi equivalenti per definire il significato degli indici di Miller:tramite unpuntonel reticolo reciproco, o tramite l'inversodelleintercettelungo i vettori del reticolo. Qui vengono date entrambe le definizioni. In ogni caso, è necessario scegliere i tre vettori del reticoloa1,a2, ea3come descritto in precedenza. Fatto ciò, vengono determinati anche i tre vettori primitivi del reticolo reciproco (denotatib1,b2, eb3).
Quindi, dati i tre indici di Miller h, k, l, (hkl) denota piani ortogonali al vettore del reticolo reciproco:
Vale a dire, (hkl) indica semplicemente una normale ai piani nella base dei vettori primitivi del reticolo reciproco. Siccome le coordinate sono numeri interi, questa normale è essa stessa sempre un vettore del reticolo reciproco. Il requisito dei termini minori significa che è il vettore del reticolo reciprocopiù cortonella direzione data.
In modo equivalente, (hkl) indica un piano che intercetta i tre puntia1/h,a2/k, ea3/l, o un multiplo di questi. Cioè, gli indici di Miller sono proporzionali agliinversidelle intercette del piano, nella base dei vettori del reticolo. Se uno degli indici è 0 significa che non intersecano quell'asse (l'intercetta è "a infinito").
Considerando solamente piani (hkl) che intersecano uno o più punti del reticolo (ipiani reticolari), la distanza perpendicolaredtra piani reticolari adiacenti è correlata al vettore del reticolo reciproco (più corto) ortogonale ai piani tramite la formula
La notazione collegata [hkl] denota ladirezione
Quest'ultima utilizza la base del reticolo diretto invece del reticolo reciproco. Notare che [hkl] generalmentenon ènormale ai piani (hkl), eccetto in un reticolo cubico come descritto sotto.
Per il caso speciale di cristalli cubici semplici, i vettori del reticolo sono ortogonali e di uguale lunghezza (solitamente indicataa); analogamente per il reticolo reciproco. Così, in questo caso comune, gli indici di Miller (hkl) e [hkl] denotano entrambi semplicemente direzioni normali incoordinate cartesiane.
Per cristalli cubici concostante di reticoloa, la distanzadtra piani reticolari adiacenti (hkl) è la seguente:
A causa della simmetria dei cristalli cubici, è possibile cambiare di posto e segno i numeri interi e avere direzioni e piani equivalenti:
Per reticolicubico a facce centrateecubico a corpo centrato, i vettori primitivi del reticolo non sono ortogonali. Tuttavia, in questi casi gli indici di Miller sono convenzionalmente definiti relativi ai vettori reticolari dellasupercellacubica e quindi sono ancora semplicemente direzioni cartesiane.
Con reticoli cristalliniesagonalieromboedrici, è possibile utilizzare l'indice di Bravais-Miller che possiede quattro numeri (hkil) doveh,k, elsono identici agli indici di Miller mentreiè un parametro ridondante definito dalla relazione
Questo schema a quattro indici utilizzato per indicare i piani in un reticolo esagonale rende evidente la permutazione delle simmetrie. Per esempio, la similitudine fra (110) ≡ (1120) e (120) ≡ (1210)  è più ovvia quando viene mostrato l'indice ridondante.
Nella figura a destra, il piano (001) possiede simmetria ternaria: esso resta invariato attraverso una rotazione di 1/3 (2π/3 rad, 120°). Le direzioni [100], [010] e [110] sono realmente simili. SeSè l'intercetta del piano con l'asse [110], quindi si ha
Esistono anche degli schemiad hoc(per esempio nella letteratura dellamicroscopia elettronica in trasmissione) per indicizzare ivettori reticolariesagonali (piuttosto che il vettore del reticolo reciproco o i piani) con quattro indici. Tuttavia essi non funzionano in modo simile aggiungendo un indice ridondante all'insieme regolare dei tre indici.
Per esempio, il vettore del reticolo reciproco (hkl) come suggerito in precedenza può essere scritto come ha*+kb*+lc* se i vettori della base del reticolo reciproco sonoa*,b*, ec*.  Per cristalli esagonali questo può essere espresso in termini di vettori della base del reticolo direttoa,beccome
Quindi gli indici di zona della direzione perpendicolare al piano (hkl) sono, in forma di terzetto normalizzato in modo opportuno, semplicemente [2h+k,h+2k,l(3/2)(a/c)]. Quando vengono utilizzati quattro indici per la zona normale al piano (hkl), tuttavia, la letteratura invece utilizza spesso [h,k,-h-k,l(3/2)(a/c)].
Le direzioni cristallografiche sonolineefittizie che collegano i nodi (atomi,ioni, omolecole) di un cristallo. Similmente, i piani cristallografici sono piani fittizi che collegano i nodi. Alcune direzioni e piani hanno una densità di nodi maggiore; questi piani densi influenzano il comportamento di un cristallo.
Per tutte queste ragioni, è importante determinare i piani e quindi avere un sistema di notazione.