Fraktal

Fraktaladalah bendageometrisyang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki strukturserupa diripada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam prosesrekursifatauiteratif.
Istilah "fraktal" diciptakan oleh ahli matematikaBenoît Mandelbrotpada tahun 1975.Mandelbrot mendasarkannya pada bahasa Latinfrāctus, yang berarti "rusak" atau "retak", dan menggunakannya untuk memperluas konsepdimensipecahan teoretis kepola geometris di alam.
Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-bendamatematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalamsains,teknologi, danseni karya komputer. Dulu ide-ide konseptual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisionalgeometri Euklidesdankalkulusgagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut.
Ada beberapa perbedaan pendapat di kalangan matematikawan tentang bagaimana konsep fraktal harus didefinisikan secara formal. Mandelbrot sendiri merangkumnya sebagai "indah, sangat sulit, semakin berguna. Itulah fraktal."Secara lebih formal, pada tahun 1982 Mandelbrot mendefinisikanfraktalsebagai berikut: "Fraktal menurut definisi adalah himpunan yangdimensi Hausdorff – Besicovitchmelebihidimensi topologi."Belakangan, karena menganggap hal ini terlalu membatasi, ia menyederhanakan dan memperluas definisinya menjadi: "Fraktal adalahbentuk geometriskasar atau terfragmentasi yang dapat dipecah menjadi beberapa bagian, yang masing-masing (setidaknya kira-kira) berukuran diperkecil salinan keseluruhannya."Belakangan, Mandelbrot mengusulkan "untuk menggunakanfraktaltanpa definisi yang berlebihan, untuk menggunakandimensi fraktalsebagai istilah umum yang berlaku untuksemuavarian".
Konsensus di kalangan ahli matematika adalah bahwa fraktal teoretis adalah konstruksi matematikayang berulangdan terperinci dengan kemiripan yang tak terhingga, yang banyakcontohnyatelah dirumuskan dan dipelajari.Fraktal tidak terbatas pada pola geometris, tetapi juga dapat menggambarkan proses dalam waktu.Pola fraktal dengan berbagai tingkat kemiripan diri telah dirender atau dipelajari dalam media visual, fisik, dan auraldan ditemukan dialam,teknologi,seni,danarsitektur.Fraktal memiliki relevansi khusus dalam bidangteori chaoskarena mereka muncul dalam penggambaran geometris dari sebagian besar proses chaos (biasanya sebagai penarik atau sebagai batas antara cekungan tarikan).
Dimulai pada abad ke-17 dengan gagasanrekursi, fraktal telah beralih melalui perlakuan matematis yang semakin ketat hingga mempelajari fungsikontinutetapi tidakterdiferensiasipada abad ke-19 oleh karya pentingBernard Bolzano,Bernhard Riemann, danKarl Weierstrass,dan hingga munculnya katafraktalpada abad ke-20 yang kemudian diikuti dengan berkembangnya minat terhadap fraktal dan pemodelan berbasis komputer pada abad ke-20.
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872Karl Theodor Wilhelm Weierstrassmenemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitukontinyudi manapun namun tidakterdiferensiasidi manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal pada masa sekarang. Pada tahun 1904Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebutbunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh olehPaul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernamakurva Lévy Cdalam tulisannya pada tahun 1938 berjudulPlane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantormemberi contoh tentang berbagaihimpunan bagiandari garis riil dengan sifat yang tidak wajar —himpunan Cantortersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi dibidang komplekstelah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 olehHenri Poincaré,Felix Klein,Pierre Fatou, danGaston Julia. Namun tanpa bantuangrafika komputermodern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor,matematikawansepertiConstantin CarathéodorydanFelix Hausdorffmenggeneralisasi konsep intuitifdimensiagar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakanteori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik padaruang Euclid. Definisidimensi Hausdorffsecara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas darianalisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasukBesicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besarteori himpunandeskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.
Pada tahun 1960-anBenoît Mandelbrotmulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya sepertiHow Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitianLewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Pada tahun 1975, Mandelbrot menggunakan katafractaluntuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan katafractaldari kata Latinfractusyang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Katafractalbukan diturunkan dari katafractional(pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang. Katafractionalsendiri juga diturunkan darifractus.
Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalahdinamika nonlinier,teori chaos, dankompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambarmetode Newtonsebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalahatraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untukkompresi datadan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.
Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:
Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal — misalnyagaris riil(garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tetapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi "fraktal" sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", namun juga benda-benda Euclid tradisional, karenabilangan irasionaldi garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.
Karena fraktal memiliki detail yang tak terhingga, tidak ada benda alami yang merupakan fraktal. Namun pada skala yang terbatas benda-benda alam bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.
Karakteristik fraktal, walau mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai "himpunan yangdimensi Hausdorff Besicovitchnyalebih besar daridimensi topologisnya". Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengandimensi Minkowsi Bouligandnya.
Masalah-masalah yang dihadapi saat mendefinisikan fraktal termasuk:
Pohondanpakisadalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakanalgoritmerekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tetapi mirip).
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar padaselang dasar[0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensidyang memenuhi 0 <d< 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkandigit7 dariekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri padaperbesaranlipat 10.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidakhalus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan olehgeometritradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detail yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan denganrekursi.
Sebagai perbandingan, ambil bendaEuklidbiasa, misalnyalingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensionalkurvatur, yang merupakanresiprokaldarijari-jarilingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detail yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalahhimpunan Mandelbrot,fraktal Lyapunov,himpunan Cantor,segitiga Sierpinski,karpet Sierpinski,spons Menger,kurva naga,kurva Peano, dankurva Koch. Fraktal bisadeterministikmaupunstokastik.Sistem dinamikal chaotissering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tesebut menunjukkan struktur frakral yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistempembuluh darah.
Harrison(Inggris)[1]Diarsipkan2012-04-20 diWayback Machine. meluaskan kalkulus Newtonian kedomain fraktal, termasuk teoremaGauss,Green, danStokes.
Fraktal biasanya digambar oleh komputer denganperangkat lunakfraktal. Lihat daftarnya di bawah.
Fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam. Contohnya adalah awan, gunung,turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan padakompresi gambar fraktaldan berbagai disiplin sains.
Fraktal banyak diaplikasikan(Inggris)[2]Diarsipkan2005-09-20 diWayback Machine. pada bidang: