Matematika

Matemátikáang larangan ngkaalamanna pangunahing nakatuon sa mga bilang, komputasyon, pormula, estraktura, hugis, espasyo, kantidad, at ang mga pagbabago nito. Dahil sa lawak ng saklaw ng larangan, wala itong napagkakasunduang isang tiyak na kahulugan, bagamat may mgamatematikoat akademikong nagsubok na bigyang-kahulugan ito sa kasaysayan. Ang modernong matematika ay nahahati sa mga pangunahing sangay na kinabibilangan ngteorya ng bilang,alhebra,heometriya, atpagsusuri. Itinuturing ito bilang isang napakahalagang larangan kung saan nakaangkla ang ibang mga larangan, tulad halimbawa nglikas na agham,inhinyera,medisina,pananalapi,agham pangkompyuter, atagham panlipunan. Bagamat ginagamit ang larangan sa pagmomodelo sa mga penomena, hiwalay sa mga maagham na teorya at eksperimento ang mga pangunahing katotohanan ng matematika. May ilang sangay na nadebelop upang magamit sa ibang mga larangan, tulad ngestadistikaatteorya ng laro, at madalas na ginugrupo sa ilalim ngmatematikang nalalapat. Samantala, may mga sangay naman na hiwalay na nadebelop nang walang gamit sa simula, at ginugrupo sa ilalim ngpurong matematika, bagamat kalauna'y nakahanap rin ang mga ito ng paggamit dahil sa samu't saring dahilan, tulad ng pag-usad ngteknolohiya.
Sentro sa mga gawain sa matematika ang paghahanap sa mga katangian ng mgabasal na bagay(Ingles:abstract objects) gamit angpagdadahilanupangpatunayanang mga ito. Madalas ito ay isang likas nakabasalan, o di kaya'y mga entidad na itinuturing na may mga partikular na katangian o mgaaksoma.Patunayang tawag sa mga resultang ginamitan ng sunod-sunod na paglalapat ng mgatuntuninsaimperensiyaupang masabing totoo nga ito. Kasama sa mga resultang ito ay ang mga napatunayan na'ngteorema, aksoma, at ilang mga panimulang katangian na kinilala bilang mga tunay na simulain sa paggawa ng teorya.
Mga Griyegoang nagpasimula sa paggamit ng mga patunay sa matematika. Pinakasikat sa mga patunay ngmatematikang GriyegoangMga ElementoniEuclides. Simula pa noon, hinahati na ang matematika sa dalawang sangay: heometriya ataritmetika. Nagbago ito simula noong ika-16 na siglo, nang sinama angalhebraatkalkulo. Mula sa puntong yon, naging madalas na ang paggamit ng matematika upang makagawa ng mgapagtuklassa agham. Naging sentro ng debate noong ika-19 na siglo ang mgahaligi ng matematika, na nagbigay-daan upang mabuo angsistemang aksomatiko. Sa modernong panahon, kasalukuyang kinilala ngMathematics Subject Classificationang 60 larangan bilang mga pangunahing sangay ng matematika.
Nagmula ang salitang "matematika" sawikang Kastilanamatemática,na nagmula naman mula sawikang Griyegonamathēmatiká(Griyego:μαθηματικά). Nagmula naman ito mula sasinaunang Griyegongmáthēma(Griyego:μάθημα,lit. na'mga bagay na nalalaman'), na nanganguhulugang "agham" o "pag-aaral", bagamat nagkaroon ito ng mas makitid na kahulugan pagsapit ngpanahong klasikalsaGresya.Angpang-urinito aymathēmatikós(Griyego:μαθηματικός), na nangangahulugang "mahilig mag-aral"; dito nanggaling ang salitang "matematikal".Mathēmatikoi(Griyego:μαθηματικοί) ang tawag noon sa mga estudyante, bagamat dito nanggaling ang salitang "matematiko". Ang mga tagasunod ngPitagorasismoang nagpakitid sa kahulugan nito upang tukuyin lamang angaritmetikaatheometriya. Pagsapit ng kapanahunan niAristoteles, ganito na ang kahulugan ng matematika.
Astrolohiya(o sa ibang kaso,astronomiya) ang karaniwang ibig sabihin ng matematika hanggang noong bago ang ika-16 na siglo. Nagbago ang kahulugan nito patungo sa modernong kahulugan nito pagsapit ng ika-19 na siglo. Nagresulta ang pagbabagong ito sa mga maling pagsasalin sa naturang salita; halimbawa, maling naisalin ang babala niSan Agustinsa mgaKristiyanosa kanyang kasulutan kontra sa mgamathematici. Astrologo ang ibig sabihin nito nung panahong niya, hindi matematiko, bagamat ginagamit pa rin ang pagkakamaling ito ng mga panatiko upang ikondena ang mga matematiko.
Sa wikang Kastila nagmula ang modernong salitang Tagalog na "matematika". Angmatemáticaay isangpangngalangisahan (Ingles:singular noun); ang maramihan nito aymatemáticas, na siyang opisyal na salin nito sa wikang Kastila.Ganito rin ang kaso sa ibangmga wikang Romanse, lalo na sawikang Inglesnamathematics. May mga teorya na dahil ito sa pagsalin sa sinaunang Griyego nata mathēmatiká(Griyego:τὰ μαθηματικά), na nangangahulugang "lahat ng mga may kinalaman sa matematika", bagamat posible rin na nagmula lang din ito sa pang-uri nito at ginaya ng mga mananalitang Ingles ang lohika ng mga salitangphysics(pisika) atmetaphysics(metapisika), na parehong nasa anyong maramihan kahit na isahan lang ito. Pinapaikli rin ang salita bilangmath, na popular na ginagamit din sa Pilipinas, omathssaBritanikong Ingles.
Samantala, isangneolohismoang salitang "sipnayan". Nagmula ito sa diksiyonaryongMaugnaying Talasalitaan(1969) bilang bahagi ng mga mungkahi ng paggawa ng mgasalitang Pilipinona kombinasyon ng mgawikang rehiyon ng Pilipinas. Sa salitang ito, nabuo ito mula sa pinagsamangsalitang Bisayanaisip("matematika") at hanayan. Tulad ng marami sa mga mungkahi ng diksiyonaryo, hindi ito madalas gamitin sa karaniwang diskurso.
Tinatayangnagbibilangna ang mgasinaunang taosimula pa noong 44000BKP.Kaya nilang magbilang ng parehong mga pisikal at abstraktong bagay tulad ng araw, buwan, taon, at panahon.Ganito nagsimula ang matematika hanggang noong 3000BKP, nang nagsimulang gamitin ng mga taga-BabyloniaatEhiptoang mga panimulang elemento ngaritmetika,heometriya, at magingalhebrasa kanilang mga gawain, tulad ngpagbubuwis,pera,konstruksiyon, atastronomiya.Tinatayang ginawa noong 2000BKPhanggang 1800BKPang mga pinakalumang tekstong pangmatematika saMesopotamiaat Ehipto. Marami sa mga ito ang nagpapahiwatig na alam na nila (o may ideya sila kahit papaano) ang konsepto ngteorema ni Pitagoras,a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. Samatematika ng Babyloniaunang lumitaw sa kasaysayan ang apat na pangunahing operasyon ngmababang aritmetika:pagdaragdag,pagbabawas,pagpaparami, atpaghahati. Gumamit din sila ngnotasyong posisyonalna nakaayon saseksahesimalna sistema ng bilang, na ginagamit pa rin sa modernong panahon para sa pagbibilang ng oras atanggulo.
Nagsimulang maging ganap na larangan angmatematika ng mga sinaunang Griyegopagsapit ng ika-6 na sigloBKP, at hinihiwalay na ito mula sa agham ng ilang mga Griyego tulad ng mga tagasunod niPitagoras.Bandang 300BKP, sinimulang kolektahin niEuclidesang kaalaman ng mga Griyego sa matematika sa pamamagitan ng paggawa ng mgapalagayat mga unang prinsipyo, na kalauna'y nagresulta upang mabuo angkaparaanang aksomatikona ginagamit sa matematika magpahanggang ngayon.Kinokonsidera ang kanyang aklat naMga Elementobilang isa sa mga pinakamatatagumpay na nalathalang aklat sa kasaysayan.SiArkimedesang itinuturing na pinakamahusay na matematiko ng sinaunang panahon dahil sa kanyang mga nagawa sa larangan,kabilang na ang mgasolido ng paglibot(Ingles:solid of revolution) at angparaang sapilitan(Ingles:method of exhaustion) upang makompyut angsukatng isangparabolagamit angsumasyon ng isang seryeng walang-hanggan, paraang di nalalayo sa modernong konsepto ngkalkulo.Bukod dito, ilan sa mga natatanging ambag ng mga sinaunang Griyego ay ang pag-aaral sa mgaapa(Ingles:conic),trigonometriya, at mga simulain ngalhebra.
Ang pinakaginagamit na sistema ng bilang ngayon,sistemang Hindu-Arabo, aynagsimula sa Indianoong unang milenyoKPat naipasa saKanluraning Mundosa pamamagitan ngmatematikang Islam.Bukod dito, sa India rin nagsimula ang modernong kahulugan at pagtataya sasine at cosine, gayundin sa isang sinaunang anyo ngseryeng walang-hanggan.
NoongGinintuang Panahon ng Islam, lalo na noong ika-9 at ika-10 siglo, nagkaroon ng mga mahahalagang pag-abante sa pag-aaral sa matematikang Griyego saGitnang Silangan. Pinakamahalaga sa mga ito ay ang pagdebelop saalhebra, gayundin satrigonometriyang pang-ispero(Ingles:spherical trigonometry) attuldok pandesimalsa sistema ng bilang.Nagmula sa Persia ang karamihan sa mga mahahalagang matematiko ng panahong ito, tulad ninaAl-Khwarizmi,Omar Khayyam, atSharaf al-Dīn al-Ṭūsī.Sinalin ang mga gawa nila gayundin ang mga gawa ng mga Griyego at Arabo sawikang Latin, na kalauna'y nakarating sa Europa noongGitnang Kapanahunan.
Bumilis ang pag-usad ng matematika sakanlurang Europapagsapit ngmaagang modernong panahon. Sa panahong ito lumitaw ang mgabaryableat notasyong simboliko na unang ginamit niFrançois Viète. Ginawa naman niJohn Napierang konsepto nglogaritmo, na nagpabilis sa mga kalkulasyon sa astronomiya atpaglalayag. SiRene Descartesang nagpakilala sa konsepto ngkoordinado, na nakatulong upang magamit ang alhebra saheometriya. Samantala, magkahiwalay namang naimbento nang sabay angkalkuloninaIsaac NewtonatGottfried Leibniz. SiLeonhard Eulernaman ang kinokonsidera bilang ang pinakamahalagang matematiko ng ika-18 siglo dahil sa kanyang paggawa ng isang pamantayang terminolohiya para sa mga larangang ito gayundin sa mga pagkumpleto niya sa mga ito sa pamamagitan ng pagtuklas at pagpapatunay sa samu't-saring mga teorema.
SiCarl Friedrich Gaussnaman ang kinokonsiderang pinakamahalagang matematiko ng ika-19 na siglo dahil sa kanyang mga ambag sa alhebra,pagsusuri,heometriyang deribatibo,matris,teorya ng bilang, atestadistika.Samantala, nilathala naman niKurt Gödelang kanyangmga teorema ng di-pagkakumpleto(Ingles:incompleteness theorems) na nagpabago sa matematika dahil sa ideya na may mga totoong proposisyon na hindi kailanman mapapatunayan sa isang konsistent na sistemang aksomatiko na kayang ilarawan angaritmetika.
Mabilis ang pag-usad ng matematika sa ika-20 siglo at papasok sa ika-21 siglo, lalo na sa tulong ng mga makabagong teknolohiya tulad ng mgakompyuteratsuperkompyuter. Noong 2006 halimbawa, nasa database ng dyornal naMathematical Reviewsang mahigit kumulang 1.9 milyong papeles at aklat simula noong unang isyu nito noong 1940, na nadadagdagan pa nang 75 libo kada taon, karamihan mga bagong teorema at ang kani-kanilang mga patunay.
Ginagamit angnotasyong pangmatematikasaaghamatinhinyerapara ipakita ang mga komplikadong konsepto at katangian sa paraang konsistent, tiyak, at tumpak. Gumagamit ang mga ito ng mga simbolo para sa mgaoperasyon, di-tiyak na bilang,relasyon, at ibang mga bagay sa matematika, kung saan pinagsasama sila sa isang ekspresyon o pormula.Baryableang tawag sa mga simbolong ginagamit para sa mga bilang at ibang mga bagay, na kadalasan nakasulat sasulat LatinoGriyego, at minsan aynakaangat(Ingles:superscript). Ipinapakita ang mga operasyon at relasyon gamit ang mga partikular na simbolo oglipo, such halimbawa ng + (pagdagdag),∫{\textstyle \int }(integral), at = (katumbas).
Nakabuo ang mga matematiko ng isang malawak na bokubularyo upang ilarawan nang tiyak at tumpak ang mga konsepto sa matematika. Nagdebelop rin sila ng mga pamantayang kahulugan upang magkaintindihan.Aksoma(Ingles:axiom) ang tawag sa mga pahayag na totoo at hindi na kailangan pangpatunayan.Konhetura(Ingles:conjecture) naman ang tawag sa mga pahayag na kailangan pa munang patunayan. Kung sakaling mapatunayan ito, magigingteorema(Ingles:theorem) ito.Lema(Ingles:lemma) ang tawag sa mga teoremang ginawa upang patunayan ang isa pang teorema.Korolaryo(Ingles:corrolary) naman ang tawag sa isang napatunayang bahagi ng mas malawak na teorema.
Neolohismoang marami sa mga salitang ginagamit sa matematika, tulad halimbawa ngpolinomialathomeomorpismo(parehong mula sawikang Kastila) obaskagan(Ingles:matrix). May ilan ding mga termino na iba nang bahagya ang kahulugan mula sa karaniwang paggamit.Minsan, ginagamit ang mga karaniwang salita sa isang teknikal na konteksto, na nagiging dahilan tuloy ng kalituhan sa mga wala sa larangan; halimbawa nito ay "lahat ngparangaysingsing" (Ingles:all fields are ring), na isang totoong pahayag saalhebra.
Dalawa ang pangunahing sangay ng matematika sa maagang kasaysayan nito:aritmetikaatheometriya. Bukod dito, kinonsidera din noon bilang mga sangay ng matematika angnumerolohiyaatastrolohiya, na ngayo'y itinuturing na'ng mgaseudosiyensiya.Pagsapit ngRenasimiyento, nadagdagan ito ng dalawa:alhebraatkalkulo. Ganito ang pagsasangay sa larangan hanggang sa dulo ng ika-19 na siglo,kung saan naging sangay din angkombinatorikagayundin angmekanika, na ngayo'y bahagi na ngpisika.
Sa ika-19 na siglo din unang pinagdebatehan angmga haligi ng matematika, na nagresulta sa isang pamantayangsistemang aksomatikoat ang paglitaw ng marami pang mga sangay.Noong 2020, hindi bababa sa 60 pangunahing sangay ang kinilala ngMathematics Subject Classification.
Teorya ng bilangang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula ng mgabilang—likas(N){\textstyle (\mathbb {N} )},buo(Z){\textstyle (\mathbb {Z} )}, atmakatuwiran(Q){\textstyle (\mathbb {Q} )}. Kilala rin ito sa tawag na "mataas na aritmetika" lalo na noon, bagamat mas ginagamit na ang terminong ito para tumukoy sapagsusuri.Unang lumitaw ang teorya ng bilang saBabyloniaat posibleng saTsinarin. SinaEuclidesatDiofanteang ilan sa mga unang nag-aral sa larangan.Ang modernong pag-aaral sa teorya ng bilang ay nagsimula kinaPierre de FermatatLeonhard Euler, at naging pormal itong sangay dahil sa mga ambag ninaCarl Friedrich GaussatAdrien-Marie Legendre.
Ilan sa mga sikat na mga halimbawa ng problema sa teorya ng bilang ay angHuling Teorema ni Fermat, na nagsasabing walang tatlong positibongbuumbilangnaa,b,c{\textstyle a,b,c}na magpapatotoo saekwasyongan+bn=cn{\textstyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}para san>2{\textstyle n>2}. Una itong ipinahayag noong 1637, ngunitnapatunayan lamangito niAndrew Wilesnoong 1994 sa pamamagitan ng mgaiskemamula saheometriyang alhebraiko, gayundin sateorya ng kategoryaatalhebrang homolohikal.Isa rin sa mga sikat na problema ay angkonhetura ni Goldbach, na nagsasabing lahat ng mgatukolna buumbilang na higit sa 2 ay angsumang dalawangpangunahing bilang. Una itong ipinahayag noong 1742, at di tulad ng naunang halimbawa, wala pa rin itong malinaw na solusyon.
Isa sa mga pinakamatandang sangay ng matematika angheometriya, na nakatuon sa mgahugis,linya,bilog, atanggulo. Nagmula ito sa pangangailangan saagrimensuraatinhinyera.
Sa heometriya nagsimula ang konsepto ngpagpapatunay, nang ginamit ito ng mgasinaunang Griyegongmatematiko upang tukuyin ang mga pahayag nasiguradong totoo. Sa sistemang ito, hindi sapat angpagsukatsa isang bagay; dapat patunayan kung magkapareho sila sa pamamagitan ng paggamit sa mga pahayag na napatunayan na noon. Maaari ring gamitin ang mga likas na pahayag (hal. "walang sulok ang bilog") at mga napagkasunduang mgaaksoma. Ang prosesong ito ay pormal na isinakodigo saMga ElementoniEuclidesnoong 300BKP.
Si Euclides din ang nagpasimula sa isang sangay ng heometriya na ipinangalan sa kanya, angheometriyang Euclides. Nakatuon ito sa mga hugis nanabuogamit ang mga linya at bilog na nasakalapagang Euclides(Ingles:Euclidean plane) o, sa kaso ngtatlong dimensiyon, sa isangespasyong Euclides.
Walang nagbago sa pag-aaral sa heometriya hanggang noong ipinakilala niRen Descartesang sistema ngkoordinadosa larangan. Imbes na ituring na mga sukat sa isanglinyang pambilangang mgatunay na bilang, ginawa na itong mga punto sa isang kalapagan sa anyong koordinado na(x,y){\textstyle (x,y)}. Dahil rito, nagawang magamit ng mga matematiko angalhebrasa pag-aaral, gayundin angkalkuloat iba pang mga larangan kalaunan, na nagresulta sa paghati sa heometriya sa dalawang pangunahing sangay:sintetikoo tradisyonal, atpasurio koordinado.
Sa heometriyang pasuri mapag-aaralan ang mgakurba, na maipapakita sa isanggrap ng punsiyon, na kalauna'y magiging sentro ng pag-aaral ngheometriyang deribatibo. Mabibigyang-kahulugan din sila gamit ang mgaekwasyong pahiwatig(Ingles:implicit equation), madalas mgaekwasyong polinomial; ito ang pinag-aaralan saheometriyang alhebraiko. Naging posible ring pag-aralan dahil sa heometriyang pasuri ang mga espasyong Euclides na higit sa tatlong dimensiyon.
Nadiskubre ng mga matematiko ang mgaheometriyang di-Euclides, na hindi sumusunod sapalagay ng pagkaayon(Ingles:parallel postulate). Nagresulta ito sakabalintunaan ni Russellat sa mas malawak nakrisis sa haligi ng matematika. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang sistematikong kaparaanang aksomatiko, at ipahayag na hindi isang problema sa matematika ang katotohanan ng mga piling aksoma.Dahil dito, pinayagan ng kaparaanang aksomatiko na mapag-aralan ang mga heometriyang nagagawa sa pamamagitan ng pagbago sa mga aksoma o sa pagkonsidera sa mga katangian nahindi nagbabagosa ilalim ng mga partikular na transpormasyon saespasyo.
Sa pinakasimpleng kahulugan,alhebraang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula sa mga ekwasyon at pormula. Pinasimulan ito ninaDiofanteatal-Khwarizmi.Niresolba ni Diofante ang ilang mga ekwasyon na may mga likas na bilang na hindi tukoy sa pamamagitan ng paghahanap sa mga relasyon hanggang sa makita niya ang solusyon.Samantala, gumawa naman si al-Khwarizmi ng mga sistematikong kaparaanan para baguhin ang mga ekwasyon, tulad halimbawa ng paglipat ng isang bahagi nito papunta sa kabila.Ang salitangalhebraay nagmula sa pamagat ng kanyang aklat,Al-Jabr, isinulat noong bandang 820KPsaBaghdad.
Naging isang ganap na sangay ng matematika ang alhebra noong ipinakilala niFrançois Vièteang paggamit sa mgabaryableupang kumatawan sa mga di-tukoy na mga halaga. Dahil dito, nagawang mailarawan ng mga matematiko ang mga operasyong gagawin sa mga bilang gamit ng mgapormula.
Hanggang noong ika-19 na siglo, limitado lang ang alhebra sa pag-aaral sa mgaekwasyong linyar(ngayo'y bahagi ngalhebrang linyar) at polinomial na maynag-iisang hindi alam na halaga(tinatawag noon na mgaekwasyong alhebraiko, bagamat hindi na ngayon ito ginagamit dahil sa pagiging malabo ng naturang salita). Pagsapit ng ika-19 na siglo, nagsimulang gumamit ang mga matematiko ng mga baryable upang kumatawan hindi lang sa mga bilang kundi sa ibang mga matematikal na bagay kagaya ngmatris, kung saan madalas tama ang mga operasyon saaritmetika.Dahil dito, ipinakilala sa alhebra ang konsepto ng estrakturang alhebraiko, na nagresulta kalaunan saalhebrang basalsa pangunguna niEmmy Noether.
Pinag-aaralan saalhebrang pangkalahatanatteorya ng kategoryaang mga estrakturang alhebraiko bilang mga bagay sa matematika.Hindi limitado ang teorya ng kategorya sa mga estraktura sa alhebra; magagamit ito sa lahat ng mga estraktura sa matematika. Una itong ipinakilala kasama ngalhebrang homolohikalupang mapag-aralan sa alhebra ang mga bagay na di-alhebraiko, tulad ng mgaespasyong topolohikal. Nagresulta ito sa pag-aaral natopolohiyang alhebraiko.
Kalkulo, sa pinakasimpleng paliwanag, ang pag-aaral sa relasyon ng mgabaryablengnakadepende sa isa't-isa. Magkahiwalay itong nadebelop noong ika-17 siglo ninaIsaac NewtonatGottfried Leibniz, na nagresulta sa isangpanandaliang kontrobersiya ukol sa sinong unang nakaimbento sa larangan.Pinalawak pa ito nang husto sa sumunod na siglo niLeonhard Eulerna nagpakilala sa konsepto ngpunsiyonat sa marami pang iba.Sa kasalukuyan, itinuturing ang kalkulo bilang ang mababang antas ng pag-aaral atpagsusuring matematikalang tawag sa mas mataas na pag-aaral sa larangan.
Nahahati rin ang pagsusuri sa dalawang sangay:pagsusuring tunay, na nakatuon sa pagsusuri sa mgatunay na bilang, atpagsusuring komplikado, na nakatuon naman sa mgakomplikadong bilang. Kaugnay rin sa pagsusuri angpagsusuring pambilang, na ginagamit madalas saagham pangkompyuter.
Sa pangkalahatang kahulugan,matematikang diskretoang pag-aaral sa mga indibidwal atmabibilangna mga bagay sa matematika, kagaya ngpangkatng lahat ng mgabuumbilang.Dahil diskreto ang mga bagay na pinag-aaralan dito, hindi magagamit ang mga kaparaanan sakalkuloatpagsusuri.Mahalaga sa sangay na ito ang mgaalgoritmo, lalo na ang kanilangimplementasyonatpagkakomplikado sa pagkompyut.
Angteorema ng apat na kulayat angoptimal na pagpapakete sa esperoang dalawa sa mga problema sa matematikang diskreto na nalutas pagsapit ng ika-20 siglo.Mahalaga din sa sangay angproblemang P o NP, isa sa mga pinakamahahalagang problemang di pa nalulutas, dahil malaki ang implikasyon ng magiging solusyon nito sa mga problema itinuring na mgamahirap makompyut, na madalas basehan sa modernongkriptograpiya.
Bagamat matagal na'ng pinag-aaralan anglohikaatteorya ng pangkat, naging pormal itong bahagi ng matematika pagsapit ng dulo ng ika-19 na siglo.Bago ito, hindi kinokonsiderang mga bagay sa matematika ang mgapangkat, at mas ginugrupo naman ang lohika sapilosopiya, bagamat ginagamit rin ito sa mga pagpapatunay sa matematika.
Bago pag-aralan niGeorg Cantorang mgawalang-hanggang pangkat, hindi tinatanggap ng mga matematiko ang ideya ng isang koleksyongtunay na walang-hanggan, at mas kumikiling sa ideya ngkawalang-hanggananbilang resulta ng walang katapusangenumerasyon.Kontrobersiyalang ideyang ito ni Cantor, dahil sa implikasyon na may iba't-ibang laki ang kawalang-hangganan na pinapatunayan ngargumentong pahalang ni Cantor.Sa panahon ding ito natukoy sa maraming sangay ng matematika na may mga bagay sa matematika na hindi sapat ang kahulugan upang masiguro angkahigpitan.Kalaunan, nagresulta ito sa isang krisis sa mga haligi ng matematika.
Naresolba rin ito kalaunan sa matematika sa pamamagitan ng pagsasagawa sa isang sistematikong kaparaanan ng paggawa ng mga aksoma sa loob ng isangpormalisadong teorya ng pangkat. Sa madaling salita, binibigyang-kahulugan ang bawat bagay sa matematika gamit ang pangkat ng lahat na magkakatulad na mga bagay at ang mga katangiang dapat meron ito.Halimbawa, saaritmetika ni Peano, binibigyang-kahulugan anglikas na bilangsa pahayag na "isang bilang angsero", "may natatanging susunod ang bawat bilang", "may natatanging nauna ang bawat bilang maliban sa sero", at ibang mga tuntunin.Nakaayon sa pilosopiya ngpormalismoniDavid Hilbertangkabasalan sa matematikamula sa realidad.
Nananatiling isang problema sa pilosopiya ang kalikasan ng matematika, bagamat may mga matematikong may opinyon patungkol rito. Dahil dito, kinonsidera ang mga lohika, pangkat, patunay, at iba pa bilang mga bagay sa matematika, upang mabigyan sila ng mga teorema magpapatunayan sa mga ito. Halimbawa, samga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel, sinasabi na sa bawatkonsistentnapormalisadong sistemana naglalaman ng mga likas na bilang, may mga teorema na totoo (na mapapatunayan sa isang mas malakas na sistema) na hindi mapapatunayan sa sistemang yon.
Estadistikaang sangay ng matematika na nakatuon sa pagkolekta at pagproseso sa mgadatos, gamit ang mga kaparaanang hango sa matematika, lalo saprobabilidad. Gumagawa ng mga datos ang mgaestadistikogamit ang naka-random nasampleoeksperimento.
Pinag-aaralan sateorya ng estadistikaangmga problema sa pagdedesisyontulad ng pagpapababa ngpanganib(inaasahang pagkalugi) sa isang gawain. Gumagamit sila ng isang proseso para rito:pagtatáya,pagte-test, atpagpili sa pinakatama. Sa tradisyonal na sangay na ito ngestadistikang pangmatematika, nagagawa ang isang problema sa pagdedesisyon sa pamamagitan ng pagpapababa sapunsiyon ng pagkalugio gastos sa ilalim ng ilang partikular na balakid. Halimbawa, madalas na napapababa ng mga sarbey ang gastos sa pagtatáya samedya(Ingles:mean) ng populasyon para sa isang partikular na antas ng pagkasigurado (Ingles:confidence level).Dahil gamit nito saoptimisasyon, madalas na kasama rin ang estadistika sa ibang mgaagham pandesisyon, tulad ngpananaliksik pang-operasyon,teorya ng kontrol, atmatematikang pang-ekonomika.
Matematikang komputasyonalang pag-aaral ng mga problema sa matematika na madalas malaki masyado para makompyut ng mga tao.Pinag-aaralan sapagsusuring pambilangang mga kaparaanang para sa mga problema sapagsusurigamit angpagsusuring punsiyonalatteorya ng pagtatáya.Nakatuon ito sapagtatáyaat pagdidiskreto na may pokus sa mgaerror sa pag-round. Ginagamitan madalas ang mga ito ngkompyuterosuperkompyuterupang makagawa ng mga patunay.
Ang sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan, na unang napansin niEugene Wigner, ay isang penomenang kung saan maraming teorya sa matematika, kahit maging mga teorya sa purong sangay nito, ay nakahanap ng gamit labas sa mga layunin nito.May mga teorya kasi na nagawa bago lumitaw ang teknolohiyang makakagamit nito.Halimbawa nito angpangunahing pagsasalik(Ingles:prime factorization) sa mga likas na bilang, na unang nadiskubre 2,000 taon na ang nakararaan at nagamit lang sa praktikal na paraan nang maimbento angkriptosistemang RSApara sa seguridad sainternet.Noong ika-19 na siglo, dumating kalaunan ang heometriya sa punto na natuklasan ng mga matematiko ang mgaheometriyang di-Euclides, mga dimensiyon na higit sa tatlo, at mgamanipoldo. Sa puntong ito ng kasaysayan, wala itong direktang gamit sa pisikal na realidad, hanggang noong nadebelop ni Albert Einstein ang kanyang teorya ng relatibidad na gumagamit sa tatlong konseptong ito; isang espasyong di-Euclides angespasyo-panahonna inilarawan sanatatanging relatibidadna may apat na dimensiyon, at ang espasyo-panahon naman ngpangkalahatang relatibidaday isang nakakurbang manipoldo na may apat na dimensiyon.
Sapisikanaman, ginagamit ang matematika upang makagawa ng mga hinuha ukol sa mga posibleng partikulo na meron sa kalikasan. Halimbawa nito ang pagkadiskubre sapositronatbaryon, na unang nailarawan sa teoryang matematikal bago natuklasan ang mga ito sa mga sumunod na taon sa pamamagitan ng mga eksperimento.
Ginagamit madalas ang matematika saaghamsapagmomodelong mga penomena upang makagawa ng mga prediksiyon base sa mga eksperimental na batas.Matuturing na nakadepende lamang ang katumpakan ng mga prediksiyong ito sa kakayahan ng modelo dahil sa kalayaan ng katotohanan sa matematika mula sa kahit anong mga pag-eeksperimento.Dahil dito, masasabing mali ang modelong ginagamit kung mali ang prediksiyon, imbes na mali ang mismong konseptong matematikal.Halimbawa,maipapaliwanaglamang angperihelyonngMerkuryosapangkalahatang relatibidadniAlbert Einstein, na pumalit sanaunang batassagrabidadniIsaac Newton.
Hanggang noong ika-19 na siglo, nakaangkla ang pag-aaral sa matematika dahil sa pangangailangan ngteknolohiyaat agham; walang malinaw na pagkakaiba angmatematikang puroatnalalapat.Halimbawa, ipinakilala ang mgalikas na bilangataritmetikadahil sa pangangailangan ngpagbibilang, atheometriyanaman ang resulta ngagrimensura,arkitektura, atastronomiya. Naipaliwanag ang paggalaw ng mgaplanetapagsapit ng pag-usbong ngkalkulo. Sa panahong ito, tipikal na siyentipiko rin ang mga matematiko, at kabaligtaran.Gayunpaman, sasinaunang Gresya, may hiwalay na pag-aaral para sa matematikang puro.Walang gamit labas sa matematika angpagsasalik sa buumbilang(Ingles:integer factorization), na unang inimbestigahan niEuclidesnoong 300BKP, hanggang noong naimbento angkriptosistemang RSAna ginagamit ngayon sa mganetwork ng kompyuter.
Noong ika-19 na siglo, nagsimulang mag-imbestiga nang malaliman ang mga matematiko tulad ninaKarl WeierstrassatRichard Dedekindsa mga problema ng matematika.Nahati ang matematika bilang resulta nito, sa dalawang sangay na puro at nalalapat. Bagamat magkahiwalay, madalas na walang malinaw na hangganan ang dalawang sangay na ito. Matapos ngIkalawang Digmaang Pandaigdig, mabilis na umusad ang pagdebelop sa matematikang nalalapat saEstados Unidosat ibang lugar. Marami sa mga teoryang nadebelop para magamit ay resulta ng interes ng mga matematikong purista, na kalaunan ay nakahanap din ng gamit labas sa matematika.
Itinuturing ang matematika bilang isang mahalagang kagamitan sapisika, at kabaligtaran.SaPisika, inilarawan niAristotelesang pagkakaiba ng dalawang larangan.Ang pananaw na wika ngkalikasanang matematika ay unang ipinahayag ngPitagorasismo, na nagsasabing "lahat ay bilang" at "bilang ang hari ng mundo".Sang-ayon siGalileo Galileisa pananaw na ito, na nagsabi na isinulat sa wika ng matematika ang aklat ng kalikasan.
Malapit ang kaugnayan ng larangan ng kompyuting sa matematika. Kinokonsidera angteoretikal na agham pangkompyuterbilang isang sangay ng matematika.Ginagamit naman samatematikang komputasyonalang mga sangay ng matematika, kagaya ng aritmetika, sakriptograpiyaatteorya ng kodigo. Ginagamit din saagham pangkompyuterangmatematikang diskretopara sa larangan nito tulad ng mgateorya ng pagkakomplikado,impormasyon, atgrap. Sa pagsapit ng paggamit sa mga malalakas nakompyuteratsuperkompyuter, nagsimula ring gamitin ng mga matematiko ang mga ito upang tulungan sila sa pagpapatunay sa mga teoryang mahirap patunayan nang mano-mano. Isa sa mga mahahalagang napatunayan na teorya gamit nito ay angkonhetura ni Keplerukol sapagpapakete sa isang espero(Ingles:sphere packing), na napatunayan noong 1998, at kalauna'y nakumpirma noong dekada 2010s.
Ginagamit sabiolohiyaangprobabilidadsa mga larangan kagaya ngekolohiyaatneurosiyensiya.Madalas rin itong ginagamit sa mga usapin ukol sakakayahang ebolusyonal(Ingles:evolutionary fitness).Ginagamit sa ekolohiya ang pagmomodelo upang mailarawan angdinamika ng populasyon,pag-aralan ang mgaekosistemaat ang sistema ng nakakain-kinakain (Ingles:predator-prey), pagsukat sapolusyon,at makakuhang datos ukol sapagbabago ng klima.Mailalarawan sa matematika ang dinamika ng populasyon gamit ang ilang mga ekwasyong deribatibo, kagaya ngmga ekwasyong Lotka-Volterra.
Ginagamit naman sapagsubok sa hinuhang pang-estadistikaang mga datos na nakukuha mula sa mgapagsubok klinikalupang malaman kung epektibo ba ang mga bagonggamot.Simula noong ika-20 siglo, nagsimulang gamitin sakimikaang mgakompyuterupang imodelo ang mgamolekulasatatlong dimensiyon.
Ginagamit ang matematika saheograpiyaatheolohiya, lalo na sa mga larangan ngheolohiyang estrakturalatklimatolohiyaupang makagawa ng mga modelong ginagamit sa prediksyon sa mgasakunasa hinaharap kagaya ng mgabagyo. Ganito rin ang kaso sa mga larangan ngmeteorolohiya,oseanograpiya, atagham pamplaneta.
Malawak ang paggamit saestadistikaatprobabilidad, gayunin sa mga ekwasyong deribatibo, sa mgaagham panlipunan, kagaya ng salingguwistika,ekonomika,sosyolohiya, atsikolohiya.
Mahalagang konsepto samatematikang pang-ekonomikaang ideya ng isang rasyonal na indibidwal na aktor, anghomo economicus(lit. na'tao ng ekonomiya').Sa modelong ito, palaging susundin ng indibidwalang kanyang interesat isesentro ang lahat ng mga gagawin niyang pagpili gamit angperpektong impormasyon.Sa ganitong pananaw napapadali ang paggamit ng matematika sa ekonomika. Maaaring mamodelo sa tulong nito ang mga mekanismong nagpapaandar sa ekonomiya. Hindi lahat ng mga ekonomista ay sang-ayon sa ideya nghomo economicus.
Simula noong ika-20 siglo, nagkaroon ng mga adhikain sa larangan upang mailarawan ang mga kilusan sakasaysayansa anyong matematikal. Noong 1922, ipinahayag niNikolai Kondratievang kanyang konsepto ng mgasiklong ipinangalan sa kanya, na nagpapaliwanag sa mga panahon ng pag-usad ng ekonomiya at ang mga krisis.Sa pagtatapos ng nakaraang siglo, nagsimulang gamitin ng mga matematiko ang matematika saheopolitika. Noong dekada 1990s, dinebelop niPeter Turchinangkliodinamika.
Hindi sa lahat ng pagkakataon ay magagamit ang matematika sa larangan. Sa kanilang kontrobersyal na aklat naFashionable Nonsense(1997), kumontra sinaAlan SokalatJean Bricmontsa abusadong paggamit ng mga terminolohiya sa agham, lalo na sa matematika at pisika, sa agham panlipunan.Gumagamit ng matematika ang pag-aaral sa mga sistemang komplikado. Gayunpaman, nananatili pa ring kontrobersyal ang paggamit nito para sa ilang mga kriteryon, kagaya ng sakawalang-trabaho.
Mgaastrologodin ang ilang mga matematiko, kagaya ninaPtolemeoatJohannes Kepler. NoongGitnang Kapanahunan, kinokonsidera bilang isang agham ang astrolohiya, na kinabibilangan ng matematika. Saensiklopedyangisinulat niTheodor Zwinger,astrolohiyaang "agham pangmatematika na nag-aaral sa aktibong paggalaw ng bawat bagay sa langit", at matematika naman ang "ginagamit upang makalkula ang probabilidad ng mga impluwensiya ng mgabituinupang malaman agad ang kanilang pagsalubong at paghihiwalay".Hindi na itinuturing na agham ang astrolohiya sa modernong panahon, at karaniwan na itong ginugrupo sa mgaseudosiyensiya.
Paksa na sa mga debate sapilosopiyaangkoneksyon ng matematika at ang materyal na realidadsimula pa noong panahon niPitagoras. Ayon kayPlaton, may mga sari-sariling realidad ang mga kabasalan na nagpapakita sa materyal na realidad na labas sa espasyo at panahon; ito ang pundasyon ngPlatonismong matematikal.Ibinuod niArmand Borelang ganitong pananaw sa matematika. Ayon sa kanya:
Gayunpaman, taliwas ito sapagiging sobra-sobrang pagkamabisang matematika sa ibang mga larangan.
Walang napagkakasunduang kahulugan para sa matematika, gayundin sa estado nito saepistemolohiya.Walang pake kadalasan ang mga matematiko sa kahulugan nito, o di kaya'y sinasabi na lang na wala itong kahulugan.Hindi rin malinaw kung sining o agham ba ang matematika.Madalas sabihin sa karaniwang diskurso ang katagang "matematika ang ginagawa ng mga matematiko", na bagamat isangpagdadahilang pabilog(Ingles:circular reasoning) ay maiintindihan pa rin, dahil madalas napapagkakasunduan kung alin ang itinuturing na matematika sa hindi.Marami sa mga mungkahing kahulugan ay kahulugan batay sa pinag-aaralan nito.
Ayon kayAristoteles, matematika ang "agham ngkantidad". Ang pananaw na ito ang nanatiling kahulugan ng matematika hanggang noong ika-18 siglo. Gayunpaman, binigyang-pansin din niya na hindi sapat ang kantidad upang maihiwalay ang matematika mula sa mga agham tulad ng pisika; ayon sa kanya, ang natatanging naghihiwalay sa matematika ay ang kabasalan at ang pag-aaral sa kantidad bilang katangian na hinihiwalay ng kaisipan mula sa realidad.Simula noong ika-19 na siglo, nang nagsimulang pag-aralan ng mga matematiko ang mgawalang-hanggang pangkat, na hindi makikita sa realidad, nagsimulang lumitaw ang mga bagong kahulugan sa larangan.Pagsapit ng ika-20 siglo, ang mabilis na pagdami ng mga bagong larangan ang naging dahilan upang ituring ng ilang mga matematiko na mahirap bigyang-kahulugan ang matematika.
Ginagamit ding kahulugan ang ideya na matematika na'ng maituturing ang isang larangan kung ginagamit nito ang mga kaparaanan sa matematika. Halimbawa nito ay ang pagpapatunay sa mga teorema, na nangangailangan nglohikasa pagdadahilan.Isa ring ginagamit na kahulugan ay angteorya ng aksomatikong pangkat(Ingles:axiomatic set theory), ang teoryang kinokonsidera na ngayon bilang haligi ng modernong pag-aaral sa matematika.
Kinakailangan angkahigpitansa matematika. Ibig sabihin, dapat malinaw ang mga kahulugan at maisusulat ang mgapatunaysa isang serye ng paggamit sa mgatuntunin sa imperensiyanang di agad gumagamit ng mga ebidensiyang empirikal okutob.Bagamat hindi lamang sa matematika isinasagawa ang kahigpitan, mataas ang antas ng pagkahigpit sa larangan. Kahit na may mga tiyak na kahulugan sa matematika, kadalasang umaabot ng daan-daang pahina upang maisulat ang mga patunay. Mas lalo pa itong pinalawak pagsapit ng pag-usbong ng mgakatulong na kompyuter sa pagpapatunay.Nagresulta ito sa pilosopiyangkwasi-empirisismo(Ingles:quasi-empiricism), na nagsasabing di kailanman masasabing tama ang isang patunay dahil may probabilidad na kaakibat ang mga ito.
Sa dulo ng ika-19 na siglo, humantong ang matematika sa puntong may mga kahulugan na hindi masyadong tiyak para maiwasan ang mgakabalintunaan(Ingles:paradox) atkontradiksiyon. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsama sa mga aksoma na may mgaapodiktikongtuntunin ng imperensiya sa mga teoremang matematikal.Tanging sa pamamagitan ng pagtanggap ng marami sa patunay bilang tama sa paglipas ng panahon ay maituturing ang teoremang ito bilang mapagkakatiwalaan. Dahil dito, ang tradisyonal na konsepto ng kahigpitan ay nawala,bagamat ginagamit pa rin ito para sa pagtuturo sa mga baguhan ukol sa pagpapatunay sa matematika.
Ayon sa arkeolohiya, itinuturo na ang matematika simula pa noong ikalawang milenyoBKPsaBabilonya.May mga nakita ring ebidensiya ng pagtuturo sasinaunang Malapit na Silanganat samundong Greko-Romanomula noong 300BKP.Ang pinakamatandang aklat ng matematika ay angpapiro ni Rhind, na tinatayang ginawa noong 1650BKPsaEhipto.Dahil sa kakulangan ng mga aklat, pinagpasa-pasahan ng mga matematiko sa sinaunang India ang kaalaman sa matematika sa pamamagitan ng pagkakabisado sa mgatradisyong pasalitasimula noongpanahon ng mga Veda.Noongdinastiyang Tangnaman saTsina, isinama ang matematika sa kurikulum para saimperyal na pagsusulitupang makasama sa burokrasya ng estado.
Matapos angMadilim na Panahonsa Europa, itinuro ang matematika sa mga paaralang panrehiliyon bilang bahagi ngquadrivium. Nagsimula naman ang pormal na pagtuturo sa pedagohiya sa mga paaralan ngmga Heswitanoong ika-16 at ika-17 siglo. Praktikal ang kurikulum ng matematika hanggang noong ika-19 na siglo, nang nagsimula itong seryosohin saAlemanyaatPransiya, kung saan itinatag ang unangakademikong dyornalpara sa pagtuturo ng matematika, angL'Enseignement Mathématique, na nagsimula noong 1899.Ang pag-usad ng agham at teknolohiya saKanluraning Mundoang nagpahantong sa pagtatatag sa mga sentralisadong sistema ng pagtuturo sa maraming mga bansa, kung saan kabilang ang matematika sa mga mahahalagang asignatura, dahil sa pangangailangan ng militar nung una.Bagamat iba-iba ang nilalaman ng kurikulum at kalidad ng pagtuturo, itinuturo ang matematika sa lahat ng mga bansa sa mundo sa kasalukuyang panahon.
Habang nag-aaral, may korelasyon ang kakayahan ng isang bata sa matematika sa magiging karera niya sa hinaharap. Nakakaimpluwensiya sa interes ng bata sa matematika ang mga panlabas na salik tulad ng motibasyon ng mga guro, magulang, at kaklase.Gayunpaman, maaari ring humantong ang ilan sa pagkatakot sa naturang asignatura, kilala sa tawag napagkabalisa sa matematika, na kinokonsidera bilang isa sa mga pinakanakakaapekto sa kahusayan sa klase ng isang mag-aaral. Maaaring madebelop ang pagkabalisa sa maraming paraan, partikular na ang ugali ng magulang o guro sa pagturo sa matematika, mga maling akala sa lipunan, at maging mga personal na dahilan. Upang maiwasan o maagapan ito, marami sa mga paaralan sa mundo ang nagbabago sa paraan ng pagtuturo sa matematika.
Nakasulat sa simplengrasyoang mganotana kinokonsiderang magandang pakinggan sa Kanluraning musika. Nirerepresenta nito ang mga tiyak na dalasan, kagaya ng pagdoble nito sa kada pagpalit ngoktaba(Ingles:octave), at angperpektong sangkalima(Ingles:perfect fifth) na nangyayari sa kada32{\textstyle {\frac {3}{2}}}bahagi.
Kinokonsiderang maganda rin ng mga tao ang pagkakapantay-pantay osimetriya.Sa matematika, bumubuo ngisang grupoang mga simetriya ng isang bagay.Halimbawa, ang grupo na may simetriyang nakasalamin (baligtaran) ay isanggrupong siklikong dalawang elemento,Z2Z{\textstyle {\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}}. Angpagsubok na Rorschachay isang pigurang di nababago ng simetriya.Magkakamukha namanang mga detalye ng isangpraktal(Ingles:fractal).
Matematikang popularang sangay ng matematika na nakatuon sa pagpapaliwanag sa mga konsepto sa matematika sa anyong maiintindihan ng marami.Dahil madalas ay malayo sa realidad ang marami sa mga konsepto sa matematika, madalas ding nahihirapan ang mga taong hindi aral sa paksa.Ipinapaliwanag ang mga ito kadalasan sa anyong nagagamit o nalalapat sa pang-araw-araw na buhay.
Ang pinakamataas na parangal sa matematika ay angMedalyang Fields,na unang ibinigay noong 1936 at binibigay kada apat na taon (maliban noongIkalawang Digmaang Pandaigdig) sa hanggang apat na tao.Ito ang kinokonsiderang katumbas ngGantimpalang Nobelsa matematika.
Pinagsama niDavid Hilbertang sikat na ngayo'y na 23 di pa nalulutas na problemang kilala ngayon sa tawag namga problema ni Hilbert.Sa kasalukuyang, depende sa interpretasyon, labintatlo sa mga ito ay nalutas na.
Samantala, inilathala naman noong 2000 ang pitong mahahalagang problema na kilala sa tawag naMga Problema ng Premyo ng Milenyo. Isa lamang sa mga ito, anghinuhang Riemann, ang nasa listahan din ni Hilbert. May kaakibat na premyong aabot ng$1 milyon(₱58.5 milyonsa 2024).Sa ngayon, isa pa lang sa mga ito ang nalutas na, angkonhetura ni Poincaré.