Conjunto de Julia

Losconjuntos de Julia, así llamados por elmatemáticoGaston Julia, son una familia de conjuntosfractalesque se obtienen al estudiar el comportamiento de losnúmeros complejosal ser iterados por unafunción holomorfa.
El conjunto de Julia de una función holomorfaf{\displaystyle f\,}está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración def{\displaystyle f\,}tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denotaJ(f){\displaystyle J(f)\,}.
En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor delmatemáticoPierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen un comportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una función holomorfaf{\displaystyle f\,}se denotaF(f){\displaystyle F(f)\,}y es el complemento deJ(f){\displaystyle J(f)\,}.
Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas simples:fc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}, dondec{\displaystyle c\,}es un número complejo. El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denotaJc{\displaystyle J_{c}\,}.
Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia defc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}es el siguiente:
Para todo complejoz{\displaystyle z\,}se construye por la siguientesucesión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice quez{\displaystyle z\,}pertenece al conjunto de Julia de parámetroc{\displaystyle c\,}, denotado porJc{\displaystyle J_{c}\,}; de lo contrario,z{\displaystyle z\,}queda excluido de éste.
En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge la sucesión (su módulo tiende a infinito): en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto; y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se pueden calcular infinitos valores, es preciso poner un límite, y decidir que si losn{\displaystyle n\,}primeros términos de la sucesión están acotados, el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor den{\displaystyle n\,}se mejora la precisión de la imagen.
Se puede demostrar que si|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}entonces la sucesión diverge y el puntoz{\displaystyle z}no pertenece al conjunto de Julia. Por lo tanto, basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2\,}para tener la certeza de quez{\displaystyle z\,}no está en el conjunto.
Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y elconjunto de Mandelbrotdenotado porM{\displaystyle M\,}, debido a la similitud de sus definiciones:
Se dice quec{\displaystyle c\,}pertenece aM{\displaystyle M\,}si y solo siJc{\displaystyle J_{c}\,}esconexo.
Los resultados más vistosos se obtienen al tomar el parámetroc{\displaystyle c\,}en la frontera deM{\displaystyle M\,}, pues sic{\displaystyle c\,}esta en el interior deM{\displaystyle M\,}resulta queJc{\displaystyle J_{c}\,}toma el aspecto de un objeto redondo, poco fractal, y solo el borde tiene la apariencia de fractal. Por ejemplo sic=0{\displaystyle c=0}resulta que el conjunto de Julia es la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas.
En las imágenes, se han tomado como valores dec: -1,3 + 0,00525·i; -0,72 – 0,196·i; -0,1 + 0,87·i y -0,51 – 0,601·i, por razones estéticas.
Se pueden generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción:zn+1=f(zn){\displaystyle z_{n+1}=f(z_{n})\,}con cualquier función complejaf{\displaystyle f\,}. Se puede también generalizar a cualquier dimensión, y emplear varias funciones en lugar de una sola.