Ensemble partiellement ordonné

Enmathématiques, unensemble partiellement ordonné(parfois appeléposetd'après l'anglaispartially ordered set) formalise et généralise la notion intuitive d'ordre ou d'arrangement entre les éléments d'unensemble. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble muni d'unerelation d'ordrequi indique que pour certains couples d'éléments, l'un est plus petit que l'autre. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables, contrairement au cas d'un ensemble muni d'unordre total.
Si l'ensemble est fini, on dispose d'une représentation graphique de l'ensemble partiellement ordonné, lediagramme de Hasse, ce qui peut permettre de travailler plus aisément dessus. Si l'ensemble est infini, on peut dessiner une partie de son diagramme de Hasse.
Un ordre (ou ordre partiel) est unerelation binairesur un ensemble P qui estréflexive,antisymétriqueettransitive. Elle se note ≤.
Les trois axiomes précédents se récrivent:
Ce n'est donc pas nécessairement unordre total.
Par exemple, on ne peut pas comparer 1 eti. Cet ordre n'est pas compatible avec la structure decorpsdeC{\displaystyle \mathbb {C} }.
Soit P un ensemble partiellement ordonné :
Exemple: considérons l’ensemble des entiers positifs, ordonné par la division. 1 est le plus petit élément. En revanche cet ensemble ne possède pas de plus grand élément. Si on excluait maintenant l’élément 1, l'ensemble partiellement ordonné n’aurait plus de plus petit élément mais une infinité d’éléments minimaux : lesnombres premiers.
Si E est un ensemble partiellement ordonné, il n'existe pas forcément de plus grand élément. Si E est un ensemble partiellement ordonné fini, il contiendra au moins un élément maximal. Si E est unensemble inductifinfini, on peut utiliser lelemme de Zornpour avoir l'existence d'un élément maximal.
Certaines conditions sur les plus grands éléments et plus petits éléments d'un ensemble partiellement ordonné conduisent à la définition d'untreillis.
Par le même raisonnement on obtient le plus petit élément, les éléments minimaux et la borne inférieure.
Si a ≤ b ou a≥{\displaystyle \geq }b, alors a et b sont comparables. Dans le diagramme de Hasse ci-dessus, {x} et {x,y,z} sont comparables, tandis que {x} et {y} ne le sont pas. Un ordre partiel dans lequel toute paire d’éléments est comparable est appelée unordre total, et l’ensemble est appelé unechaîne.Un ensemble dans lequel on ne peut trouver de paire comparable s’appelle uneantichaîne(par exemple l’ensemble {{x}, {y}, {z}} sur la figure ci-dessus)
On dit qu’un élément a est recouvert par un élément b, ce qui s’écrit a<:b, si a est strictement inférieur à b et qu’il n’existe pas d’élément c s’intercalant entre les deux. Par exemple, {x} est recouvert par {x,z} dans la figure ci-dessus mais pas par {x,y,z}.
Une classe importante decomplexes simpliciauxprovient d'ensembles partiellement ordonnés finis. On définit le complexe d'ordre D(P) d'un ensemble partiellement ordonné fini P comme étant l'ensemble deschaînesde P. Le complexe d'ordre est  trivialement un complexe simplicial.
L'étude du ensemble partiellement ordonné donne des informations sur son complexe d'ordre, et donc il est intéressant d'étudier un complexe simplicial comme le complexe d'ordre d'un ensemble partiellement ordonné.
Dans le but de supprimer la multiplicité des relations d'ordre possibles lors ensemble partiellement ordonné, on peut définir trois règles différentes:
Toutes ces règles s'appliquent également pour des produits de plus de deux ensembles partiellement ordonnés.
Un ensemble partiellement ordonné E est dit localement fini si pour tousx,y∈E{\displaystyle x,y\in E}, l'intervalle[x,y]{\displaystyle [x,y]}est fini. Cette hypothèse permet de généraliser laformule d'inversion de Möbius.
(en)Richard P.Stanley,Enumerative Combinatorics,vol.1[détail des éditions](présentation en ligne)