Supremum

Supremum(někdy téžspojení) jematematickýpojem z oboruteorie uspořádání, který je často používán především při zkoumání vlastnostíreálných čísel. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmunejvětší prvek, oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin – například omezenéotevřené intervalyreálných čísel na jedné straně nemajínejvětší prvek, na druhé straně však zároveň mají supremum.
Duálním pojmem(opakem) suprema jeinfimum.
Předpokládejme, že množinaX{\displaystyle X}jeuspořádánarelacíR{\displaystyle R}. O prvkua∈X{\displaystyle a\in X}řekneme, že jesupremumpodmnožinyY⊆X{\displaystyle Y\subseteq X}, pokud je tonejmenší prvekmnožiny všechhorních závormnožinyY{\displaystyle Y}. Tuto skutečnost značíme
Supremum má každáshora omezená množina, přestože ne každá mámaximum(největší prvek). Například otevřenýintervalI=(a,b){\displaystyle I=(a,b)}maximum nemá (pro každéc∈I{\displaystyle c\in I}můžeme naléztd:c<d<b{\displaystyle d:c<d<b}), ovšem jeho supremem je právěb{\displaystyle b}(jde o nejmenší horní závoru a jakékoliv větší číslo již nejmenší horní závorou není — lze argumentovat podobně jako u maxima).
Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený intervalI=(a,+∞){\displaystyle I=(a,+\infty )}nemá supremum v množiněR{\displaystyle \mathbb {R} }všech reálných čísel.
Pokud má množinamaximumM{\displaystyle M}má i supremumK{\displaystyle K}, pro které platí, žeK=M{\displaystyle K=M}.
Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. Naopak to však platit nemusí — prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel.
Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně — množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor — supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.
Uvažujme o množiněZ+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}všech kladných celých čísel a relaciR{\displaystyle R}danou vztahema≤Rb⇔a|b{\displaystyle a\leq _{R}b\Leftrightarrow a|b}(tj. čísloa{\displaystyle a}je menší nebo rovné číslub{\displaystyle b}podleR{\displaystyle R}, pokud čísloa{\displaystyle a}dělí číslob{\displaystyle b}).
Každá konečná podmnožinaZ+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}má supremum. Supremem je v tomto případěnejmenší společný násobek. Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek, například{4,6,8}⊆Z+{\displaystyle \{4,6,8\}\subseteq \mathbb {Z} ^{+}}nemá největší prvek, protože neplatí ani6≤R8{\displaystyle 6\leq _{R}8}, ani8≤R6{\displaystyle 8\leq _{R}6}. Přitom alesupR{4,6,8}=24{\displaystyle \sup _{R}\{4,6,8\}=24}.
Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množinaQ{\displaystyle \mathbb {Q} }racionálních číselje množině reálných čísel hodně podobná — je takéhustě uspořádanápodle velikosti. Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum.
Příkladem takové množiny je
Dá se poměrně snadno ověřit, že v množiněQ{\displaystyle \mathbb {Q} }nemá tato množina supremum. Pokud bychom uvažovali o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe — supremem by byla odmocnina ze dvou.
Uvažujme otříděOn{\displaystyle \mathbb {O} n}všechordinálních čísel. Ordinální čísla jsoudobře uspořádána— to znamená, že každápodmnožinamánejmenší prveka tím pádem iinfimum. Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídyOn{\displaystyle \mathbb {O} n}(shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek.
Například množina konečných ordinálních čísel{0,1,2,…}{\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}nemá největší prvek, ale platí:
Mějme prostor s mírou(X,Σ,μ){\displaystyle \scriptstyle (X,\Sigma ,\mu )}aμ{\displaystyle \scriptstyle \mu }-měřitelnou reálnou funkcif{\displaystyle \scriptstyle f}naX{\displaystyle \scriptstyle X}, tj.f:X→R{\displaystyle \scriptstyle f:X\to \mathbb {R} }.Esenciální supremumfunkcef{\displaystyle \scriptstyle f}na množiněX{\displaystyle \scriptstyle X}pak značímeess supXf{\displaystyle \scriptstyle {\text{ess sup}}_{X}f}a definujeme vztahem
Esenciální supremum je tedyinfimumze všech číselc{\displaystyle \scriptstyle c}takových, pro něž když vezmeme množinu všechx∈X{\displaystyle \scriptstyle x\in X}, v nichž nabývá funkcef{\displaystyle \scriptstyle f}hodnoty větší nežc{\displaystyle \scriptstyle c}, tak tato množina bude míry nula (podlemíryμ{\displaystyle \scriptstyle \mu }).