Lapangan (matematika)

Lapanganataumedan(juga disebutbidang) dalammatematikaadalah suatustruktur aljabardengan operasi sepertipenambahan,pengurangan,perkalian, danpembagianyang memenuhiaksiomatertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapanganbilangan riil, lapanganbilangan kompleksdanbilangan rasional.
Medan yang paling dikenal adalah medanbilangan rasional, bidangbilangan riildan medanbilangan kompleks. Terdapat medan lainnya, sepertimedan fungsi rasional,medan fungsi aljabar,medan bilangan aljabar, danMedanp-adikumumnya digunakan dan dipelajari dalam matematika, terutama dalam teori bilangan dangeometri aljabar. Sebagian besarprotokol kriptografimengandalkanMedan hingga, yaitu bidang dengan banyakelemen.
Relasi dua medan diekspresikan dengan gagasan tentangekstensi medan.Teori Galoisyang diprakarsai olehÉvariste Galoispada tahun 1830-an, dikhususkan untuk memahami kesimetrian perluasan medan. Di antara hasil lainnya, teori ini menunjukkan bahwasegitiga tiga sudutdanmengkuadratkan lingkarantidak dapat dilakukan dengankompas dan garis lurus. Selain itu, ini menunjukkan bahwapersamaan kuintik, secara umum, tidak berpenyelesaian secara aljabar.
Medan berfungsi sebagai gagasan dasar dalam beberapa ranah matematika. Ini mencakup berbagai cabanganalisis matematikayang didasarkan pada medan dengan struktur tambahan. Teorema dasar dalam analisis bergantung pada sifat struktural medan bilangan riil. Yang terpenting untuk tujuan aljabar, medan yang digunakan sebagaiskalaruntukruang vektor, yang merupakan konteks umum standar untukaljabar linear.Medan bilanganbagian dari medan bilangan rasional, dipelajari secara mendalam diteori bilangan.Medan fungsidapat membantu mendeskripsikan sifat objek geometris.
Contoh sebuah lapangan adalahhimpunanbilangan rasionalQ. DalamQterdapat empat operasi dasar:penjumlahanbersama denganpengurangan, danperkaliandenganpembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.
Sebuahlapanganadalah sebuahhimpunan, misalkan dinamakanF, bersama dengan duaoperasi biner, yang biasanya dinamakan sebagaipenambahandanperkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:
a+ (b+c) = (a+b) +cdana· (b·c) = (a·b) ·c.
a+b=b+adana·b=b·a.
a+ 0 =a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsuridentitas perkalianyang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semuaadalamF,a· 1 =a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.
a+ (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiapadalamFselain 0, terdapat anggotaainF,sehinggaa·a= 1. (Unsura+ (−b) dana·bmasing-masing dinamakana−banda/b) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.
a· (b+c) = (a·b) + (a·c).
Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan.
Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagaipecahana/b, dimanaadanbadalahbilangan bulat, danb≠ 0. Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah−a/b, dan pembalikan perkalian (asalkana≠ 0) adalahb/a, yang bisa dilihat sebagai berikut:
Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:
Bilangan riilR, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang.Bilangan kompleksCterdiri dari ekspresi
dimanaiadalahunit imajiner, yaitu bilangan (non-nyata) memuaskani= −1.
Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untukC. Misalnya, penegakan hukum distributif
Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalambidang. dengankoordinat kartesiusyang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.
Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengankompas dan garis lurus. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidangbilangan konstruksibel.Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakankompasdangaris lurus. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidangQof angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksiakar kuadratdari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnyaQ. Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmenAB,BD, dansetengah lingkaranberakhirAD(pusatkan dititik tengahC), yang memotong garistegak lurusmelaluiBpada satu titikF, pada jarak tepath=p{\displaystyle h={\sqrt {p}}}dariBjikaBDmemiliki panjang satu.
Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa23{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuahkubus dengan volume 2, masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.
Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebutO,I,A, danB. NotasiOmemainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,
Bidang ini disebutbidang hinggadengan empat elemen, dan dilambangkanF4orGF(4).Bagian terdiri dariOandI(disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagaibidang binerF2atauGF(2). Dalam konteksilmu komputerdanAljabar Boolean,OdanImasing-masing sering dilambangkan denganfalsedantrue, penambahan kemudian dilambangkanXOR(eksklusif atau), dan perkalian dilambangkanAND. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi denganbit.
Dalam bagian ini,Fmenunjukkan medan sembarang dana, sertabelemensembarang dariF.
Satu memilikia· 0 = 0dan−a= (−1) ·a. Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui–1.
Jikaab= 0kemudianaataubharus 0, karena, jikaa≠ 0, kemudianb= (aa)b=a(ab)  =a⋅0 = 0. Ini berarti bahwa setiap bidang adalahdomain integral.
Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemenadanb:
Aksioma sebuah medanFadalahgrup abeliandi bawah tambahan. Grup ini disebutgrup aditifpada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan(F, +)ketika hanya menandai sebagaiFyang hanya membingungkan.
Demikian pula, elemenbukan noldariFmembentuk grup abelian dalam perkalian yang disebutgrup perkalian, dan dilambangkan dengan(F\ {0}, ·)untukF\ {0}atauF.
Medan didefinisikan sebagai himpunanFdengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehinggaFadalah grup abelian dalam penjumlahan,F\ {0}adalah grup abelian dalam perkalian,dan perkalian adalahdistributifdi atas penjumlahan.Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umumgrup. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi−adanaditentukan secara unik oleha.
Persyaratan yang mengikuti1 ≠ 0, karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0.Jadi,gelanggang trivialyang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.
Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalahsiklik(lihatAkar kesatuan § Grup siklik).
Selain perkalian dua elemenF, dimungkinkan untuk mendefinisikan produkn⋅adari elemen arbitreradariFdenganbilangan bulatpositifnsebagai jumlah lipat-n
Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka
makaFdikatakan memilikikarakteristik0.Misalnya medan bilangan rasionalQmemiliki karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positifnadalah nol. Sebaliknya, jikaadalahbilangan bulat positifnyang memenuhi persamaan ini, bilangan bulat positif terkecil dapat ditampilkan sebagaibilangan prima. Biasanya dilambangkan denganpdan kemudian medan dikatakan memiliki karakteristikp.
Misalnya, medanF4memiliki karakteristik 2 dalamI + I = O.
JikaFmemiliki karakteristikp, makap⋅a=0untuk semuaadalamF. Ini menjelaskan
karena semuakoefisien binomiallainnya yang muncul dalamrumus binomialhabis dibagip. Maka,a:=a⋅a⋅ ... ⋅a(faktorp) adalah kuasa-p, yaitu, hasil kali lipat-pdari elemena. Oleh karena itu,peta Frobenius
kompatibel dengan penambahan dalamF(dan juga dengan perkalian), dan merupakan homomorfisme medan.Adanya homomorfisme ini membuat medan dengan karakteristikpsangat berbeda dengan bidang dengan karakteristik 0.
SebuahsubmedanEdari medanFadalah himpunan bagian dariFyang merupakan medan yang terkait dengan operasi medan dariF. Setara denganEadalah himpunan bagian dariFyang merupakan1, dan sebagai penutupan dengan penjumlahan, perkalian, aditif invers dan perkalian invers dari elemen bukan nol. Maka1 ∊E, untuk semuaa,b∊Ekeduaa+bdana·badalahE, dan untuk semuaa≠ 0dal5E, kedua–adan1/aadalahE.
Medan hingga(juga disebutmedan Galois) adalah medan dengan elemen hingga dimana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atasF4adalah medan dengan empat elemen. SubmedanF2adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda1 ≠ 0.
Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakanaritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetapn, aritmetika "modulon" artinya melakukan dengan angka
Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulatZ, membagi denganndan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jikanadalahbilangan prima. Misalnya mengambil bilangan priman= 2hasil di bidang yang disebutkan di atasF2. Untukn= 4dan secara lebih umum, untuk setiapbilangan komposit(yaitu, bilangan apa punnyang dapat diekspresikan sebagai produkn=r⋅sdari dua bilangan asli yang lebih kecil),Z/nZbukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karenar⋅s= 0padaZ/nZ, yang, seperti yang dijelaskandi atas, denganZ/nZdari menjadi lapangan. LapanganZ/pZdenganpelemen (pmenjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan denganFp.
Setiap bidang terbatas yang dimilikiFadalahq=pelemen, di manapadalah bilangan prima dann≥ 1. Pernyataan ini berlaku karenaFdapat dilihat sebagairuang vektordi atas bidang utamanya.dimensidari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlahn, yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.
Bidang denganq=pelemen dapat dibuat sebagaibidang pemisahdari polinomial
Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dariFpdi mana polinomialfmemilikiqnol. Ini berartifmemiliki angka nol sebanyak mungkin karenaderajatdarifadalahq. Untukq= 2= 4, itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennyaF4memenuhi persamaanx=x, jadi mereka adalah nolf. Sebaliknya, padaF2,fhanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadiftidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik.Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemenq, dilambangkan denganFqatauGF(q).
Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial,teori bilangan aljabar, dangeometri aljabar.Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 olehJoseph-Louis Lagrange, yang mengamati bahwa mengubah angka nolx1,x2,x3daripolinomial kubikdalam pernyataan tersebut
(denganωmenjadiakar persatuanketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasikScipione del FerrodanFrançois Viète, yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untukxyang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untukx.Bersama dengan pengamatan serupa untukpersamaan derajat 4, Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup.Vandermonde, juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas,Carl Friedrich Gauss, dalam karyanyaDisquisitiones Arithmeticae(1801), mempelajari persamaan
untuk bilangan primapdan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklikgrup Galois. Gauss menyimpulkan bahwaregularp-gondapat dibangun jikap= 2+ 1. Berdasarkan karya Lagrange,Paolo Ruffinimenyatakan (1799) bahwapersamaan kuintiks (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi olehNiels Henrik Abelpada tahun 1824.Évariste Galois, pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagaiteori Galois. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebutbidang angka aljabar, tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.
Pada tahun 1871Richard Dedekinddiperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmatika, kataJermanKörper, yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh (Moore 1893).
Pada tahun 1881Leopold Kroneckermendefinisikan apa yang dia sebut sebagaidomain rasionalitas, yang merupakan bidangpecahan rasionaldalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang sepertiQ(π)secara abstrak sebagai bidang fungsi rasionalQ(X). Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karyaJoseph Liouvillepada tahun 1844, sampaiCharles Hermite(1873) danFerdinand von Lindemann(1882) membuktikan transendensiedanπ.
Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.
MedanFdisebutmedan tatananjika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehinggax+y≥ 0danxy≥ 0denganx≥ 0dany≥ 0. Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa≥.Teorema Artin–Schreiermenyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalahmedan riil secara formal, yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun
hanya solusix1=x2= ⋅⋅⋅ =xn= 0.Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetapFisomorfik ke himpunangelanggang homomorfismedarigelanggang WittW(F)daribentuk kuadratberakhir denganF, sebagaiZ.
Sebuahmedan Archimedeanadalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga
yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakaninfinitesimal(elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dariR.
Bidang yang diurutkan adalahDedekind-completejika semuabatas atas,batas bawah(lihatkelengkapan Dedekind) dan batas. Secara lebih formal, setiaphimpunan bagian hinggadariFharus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean,karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya1/2, 1/3, 1/4, ..., setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.
Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu,Radalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme.Beberapa hasil dasar dalamkalkulusmengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.
HiperriilRmembentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasaranalisis non-standar.
Perbaikan lain dari pengertian bidang adalahmedan topologi, dimana himpunanFadalahruang topologi, maka semua operasi medan (penambahan, perkalian, petaa↦ −adana↦a) adalahpeta kontinusehubungan dengan topologi ruang.Topologi semua medan yang dibahas di bawah ini diinduksi darimetrik, yaitu fungsi
yang mengukurjarakantara dua elemenF.
PelengkapandariFadalah medan lain dimana "celah" di medan asliF. Misalnya,bilangan irasionalx, misalx=√2, adalah "celah" dalam rasioQdalam arti bahwa ini adalah bilangan riil yang didekati secara acak oleh bilangan rasionalp/q, dalam arti jarakxdanp/qdiberikannilai mutlak|x–p/q|.
Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh konstruksi ini. Kolom keempat menunjukkan contoh nolurutan, yaitu, urutan yang batasnya (untukn→ ∞) adalah nol.
Medan diferensialadalah medan yang dilengkapi denganturunan, yaitu, memungkinkan untuk mengambil turunan elemen di medan.Misalnya, medanR(X), dengan turunan standar polinomial membentuk medan diferensial. Medan ini adalah pusatteori Galois diferensial, varian dari teori Galois yang berhubungan denganpersamaan diferensial linear.
Selain struktur tambahan dengan menggunakan medan, medan menerima berbagai gagasan terkait lainnya. Karena dalam medan 0 ≠ 1, medan memiliki setidaknya dua elemen. Meskipun demikian, ada konsepmedan dengan satu elemenyang disarankan untuk menjadi batas medan hinggaFp, karenapcenderung 1.Selain gelanggang pembagian, ada berbagai yang lebih lemah lainnya, struktur aljabar yang terkait dengan medan sepertimedan kuasi,medan dekatdanmedan semimedan.
Ada jugakelas kesesuaidengan struktur medan, yang terkadang disebutMedan(atauField), dengan huruf besar M.Bilangan surriilmembentuk medan riil, dan akan menjadi medan kecuali fakta bahwa mereka adalah kelas yang tepat, bukan satu himpunan.Angkaadalah konsep dariteori permainan, untuk medan seperti itu juga.
Menjatuhkan satu atau beberapa aksioma dalam definisi medan mengarah ke struktur aljabar lainnya. Seperti disebutkan di atas, gelanggang komutatif memenuhi semua aksioma medan, kecuali untuk invers perkalian. Menjatuhkan kondisi bahwa perkalian bersifat komutatif mengarah ke konsepgelanggang pembagianataumedan miring.Gelanggang pembagian satu-satunya yang berdimensi-hingga vektor-RruangRsendiri,C(yang merupakan medan),kuaternionH(dimana perkalian tidak komutatif), danoktonionO(dimana perkalian tidak bersifat komutatif atau asosiatif). Fakta ini dibuktikan dengan menggunakan metodetopologi aljabarpada tahun 1958 olehMichel Kervaire,Raoul Bott, danJohn Milnor.Tidak adanya aljabar pembagian berdimensi ganjil lebih klasik. Ini dapat disimpulkan dariteorema bola berbuluyang diilustrasikan di sebelah kanan.
Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag<ref>untuk kelompok bernama "catatan", tapi tidak ditemukan tag<references group="catatan"/>yang berkaitan