Ensemble de Julia

Endynamique holomorphe, l'ensemble de Juliaet l'ensemble de Fatousont deuxensembles complémentairesl'un de l'autre, définis à partir du comportement d'une fonction (ou d'une application)holomorpheparcompositionitérée avec elle-même.
Alors que l'ensemble de Fatou est l'ensemble des points en lesquels un faible changement dupoint de départentraîne un faible changement sur la suite de l'itération (stabilité), l'ensemble de Julia est quant à lui, essentiellement caractérisé par le fait qu'une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite (chaos).
Les ensembles de Julia offrent de nombreux exemples d'ensembles fractals.
Ces deux ensembles ont été nommés en l'honneur des mathématiciens françaisPierre FatouetGaston Juliadont les travaux, au début duXXsiècle, sont à l'origine d'une nouvelle branche desmathématiques, la dynamique holomorphe.
Sifest la fonction engendrant lesystème dynamique, on a l'habitude de noterJ(f)etF(f)les ensembles de Julia et Fatou qui lui sont associés.
La définition fut initialement donnée pour lesfractions rationnellesmais on peut l'étendre à d'autres classes de fonctions holomorphes.
Lespolynômessont un cas particulier de fractions rationnelles. Pour ces derniers, une autre définition est souvent utilisée : l'ensemble de Julia est lafrontièredu bassin d'attraction de l'infini. L'équivalencedes deux définitions est unthéorème.
Soitf:S→S{\displaystyle f:S\to S}unefraction rationnelledéfinie sur lasphère de Riemann. L'ensemble de Fatou def{\displaystyle f}, notéF(f){\displaystyle F(f)}est l'ensemble des pointsz{\displaystyle z}deS{\displaystyle S}tels qu'il existe un voisinageU{\displaystyle U}dez{\displaystyle z}sur lequel la famille des itérées(f|U∘n)n∈N{\displaystyle (f_{|U}^{\circ n})_{n\in \mathbb {N} }}estnormale. L'ensemble de Julia est le complémentaire de l'ensemble de Fatou :J(f)=S∖F(f){\displaystyle J(f)=S\backslash F(f)}.
Cette définition peut s'étendre au cas oùf{\displaystyle f}est une fonction holomorphe définie sur une surface de RiemannS{\displaystyle S}quelconque.
Dans le cas où la surfaceS{\displaystyle S}esthyperbolique, l'ensemble de Julia est toujours vide, mais dans le cas oùS{\displaystyle S}esteuclidienne, la dynamique peut être compliquée. Dans cet article, on se restreindra au cas oùS{\displaystyle S}est sphérique.
Dans le cas oùf{\displaystyle f}est unpolynôme, lepoint à l'infiniest toujours unpoint fixesuper-attractif. Son bassin d'attraction est l'ensemble desz∈S{\displaystyle z\in S}tel quelimn→∞|f∘n(z)|=+∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f^{\circ n}(z)|=+\infty }.L'ensemble de Julia rempliest alors le complémentaire de ce bassin d'attraction ; autrement dit, ce sont les points dont l'orbite est bornée. C'est uncompact, dont lafrontièreest l'ensemble de Julia def{\displaystyle f}; et lorsqu'il est connexe, il estsimplement connexe.
Étant donnés deuxnombres complexes,cetz0, définissons lasuite(zn)par la relation de récurrence:zn+1=zn2+c.{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}
Pour une valeur donnée dec, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initialesz0pour lesquelles la suite estbornée.
En déplaçant le pointcsur le plan complexe, nous pouvons donc imaginer un film sur lequel nous verrions défiler les ensembles de Julia correspondant aux pointscparcourus.
La définition des ensembles de Julia dans ce cas particulier peut être associée à celle de l'ensemble de Mandelbrotqui est l'ensemble de toutes les valeurs decpour lesquelles la suite(zn)est bornée, en prenantz0= 0.
L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble de paramètrescayant une propriété particulière pour les ensembles de Julia : en effet, Julia et Fatou ont démontré que pour les pointscappartenant à l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia correspondant est d'« une seule pièce » c'est-à-dire topologiquementconnexe, et qu'inversement lorsque le pointctraverse la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia se brise en unepoussière de Cantorformée de points non connectés mais dont tout voisinage contient un autre point de l'ensemble. Il y a équivalence entre cette propriété et la définition précédente d'un ensemble de Mandelbrot.