Věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů

Věta o dimezích součtu a průniku podprostorů, též zvané věta o dimenzích spojení a průniku apod. je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí dvou podprostorů téhož vektorového prostoru.
Jde o analogii principu inkluze a exkluze pro dva vektorové prostory.
Nechť U {\displaystyle U} a V {\displaystyle V} jsou dva podprostory téhož prostoru W {\displaystyle W} a oba mají konečnou dimenzi. Pak platí:
přičemž součet U + V {\displaystyle U+V} značí podprostor W {\displaystyle W} určený množinou { u + v : u ∈ U , v ∈ V } {\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}:{\boldsymbol {u}}\in U,{\boldsymbol {v}}\in V\}} .
Jsou-li U {\displaystyle U} a V {\displaystyle V} dvě roviny procházející počátkem v třírozměrném euklidovském prostoru W = R 3 {\displaystyle W=\mathbb {R} ^{3}} , potom oba mají dimenzi 2, jejich průnikem je přímka, což je jednodimenzionální prostor a součtem U + V {\displaystyle U+V} je celý prostor W = R 3 {\displaystyle W=\mathbb {R} ^{3}} .
Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:
Pro další ukázku nechť U {\displaystyle U} a V {\displaystyle V} jsou dva třídimezionální podprostory prostoru W {\displaystyle W} dimenze 5. Součet U + V {\displaystyle U+V} je též podprostorem W {\displaystyle W} , a tak jeho dimenze nemůže přesáhnout hodnotu 5.
Rovnost uvedená ve větě vede na odhad:
z něhož vyplývá, že lze nalézt alespoň jeden nenulový vektor ležící v U {\displaystyle U} a současně ve V {\displaystyle V} . Tato skutečnost vyplývá čistě ze znalostí dimenzí podprostorů U {\displaystyle U} a V {\displaystyle V} , aniž by bylo třeba zkoumat jejich další vlastnosti.
Protože U ∩ V {\displaystyle U\cap V} je podprostorem prostoru W {\displaystyle W} , má nějakou bázi { u 1 , … , u k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}} , kde k = dim ⁡ ( U ∩ V ) {\displaystyle k=\dim(U\cap V)} .
Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů { u 1 , … , u k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}} o celkem l {\displaystyle l} lineárně nezávislých vektorů u k + 1 , … , u k + l {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l}} na bázi podprostoru U {\displaystyle U} . Podobně lze tutéž množinu { u 1 , … , u k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}} rozšířit o vektory v 1 , … , v m {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}} na bázi prostoru V {\displaystyle V} . Z konstrukce vyplývá, že dim ⁡ U = k + l {\displaystyle \dim U=k+l} a dim ⁡ V = k + m {\displaystyle \dim V=k+m} .
Zbývá ověřit, že množina B = { u 1 , … , u k + l , v 1 , … , v m } {\displaystyle B=\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}} je jednou z možných bází podprostoru U + V {\displaystyle U+V} .
Libovolné vektory u ∈ U {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in U} a v ∈ V {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V} jsou lineárními kombinacemi vektorů z B {\displaystyle B} , a proto tato množina generuje podprostor U + V {\displaystyle U+V} .
V hypotetické situaci, kdyby množina B {\displaystyle B} netvořila bázi a byla tudíž lineárně závislá, bylo by možné najít koeficienty a 1 , … , a k + l , b 1 , … , b m {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k+l},b_{1},\dots ,b_{m}} netriviální lineární kombinace takové, že:
Potom by vektor w {\displaystyle {\boldsymbol {w}}} , daný výrazem w = ∑ i = 1 k + l a i u i {\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{k+l}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}} , splňoval i w = ∑ i = 1 m b i v i {\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}} . Protože by v alespoň jedné z těchto rovností byl na pravé straně nenulový koeficient u alespoň jednoho z členů, a vektory v obou kombinacích jsou lineárně nezávislé, byl by vektor w {\displaystyle {\boldsymbol {w}}} nenulový. V důsledku by obě lineární kombinace byly netriviální.
Ovšem z první z kombinací vyplývá w ∈ U {\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in U} , z druhé w ∈ V {\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V} , v důsledku w ∈ U ∩ V {\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in U\cap V} , a tak jediné nenulové koeficienty mohou být z množiny a 1 , … , a k {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}} . V důsledku by druhá lineární kombinace byla triviální, čili w = ∑ i = 1 m b i v i = ∑ i = 1 m 0 v i = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}=\sum _{i=1}^{m}0{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {0}}} , což není možné.
Proto zkoumaný předpoklad, že by množina B {\displaystyle B} byla lineárně závislá, je sporný. Množina B {\displaystyle B} je ve skutečnosti lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru U + V {\displaystyle U+V} .
Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:
Dlužno podotknout, že v uvedené konstrukci mohou být jeden i více parametrů k , l , m {\displaystyle k,l,m} nulových, což pak odpovídá situaci, kdy prostory U {\displaystyle U} a V {\displaystyle V} jsou až na počátek disjuktní, nebo jsou v inkluzi, či se shodují.