دالة مستمرة

الدالة المستمرةأوالدالة المتصلةأوالدالة المتصلة بانتظام(بالإنجليزية:Continuous function)‏ هيدالة رياضيةتؤدي فيها تغييرات طفيفة فيمتغيّرالدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها. الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة). بشكل بديهي، فإنّ دالة ما هي مستمرّة إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.
يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة فيالطوبولوجيا. في هذه الصفحة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيمحقيقيّة.
على سبيل المثال، إذا كانت الدالّةh(t){\displaystyle h\left(t\right)}تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمنt{\displaystyle t}، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، فهنالك قول مأثور فيالفيزياء الكلاسيكيةيقضي بأنّكل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر). وإذا فرضنا أنّ الدالةm(t){\displaystyle m\left(t\right)}تمثّل ارتفاع رصيد حساب في البنك في الزمنt{\displaystyle t}، فإنّ قيمة الدالة «تقفز» كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.
لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّلأعدادًا حقيقيةإلى أعداد حقيقية، وأنّنطاقهاهومجال فاصلما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوالh{\displaystyle h}وm{\displaystyle m}. بالإمكان رسم دالة كهذه فينظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّةدالة مستمرةإذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون «ثغرات» أو «قفزات».
التعريف الأدق هو أنّ الدالةf{\displaystyle f}هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة،c{\displaystyle c}، إذا تحقّقت الشروط التالية:
وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة علىمجموعة جزئيةمن نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.
كثيرًا ما يستخدم التدوينC(Ω){\displaystyle C\left(\Omega \right)}أوC0(Ω){\displaystyle C^{0}\left(\Omega \right)}للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاقΩ{\displaystyle \Omega }. على هذا النمط، فينوّه التدوينC1(Ω){\displaystyle C^{1}\left(\Omega \right)}إلى مجموعة الدوال القابلةللمفاضلةوالتيمشتقّاتهاهي دوال مستمرّة، والتدوينC2(Ω){\displaystyle C^{2}\left(\Omega \right)}إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.
هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.
بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:
لننظر مجددًا إلى دالّةf{\displaystyle f}بمتغيّر واحدحقيقيقيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العددc{\displaystyle c}هو أحد عناصر نطاق الدالّةf{\displaystyle f}. تكون الدالّةf{\displaystyle f}هي دالة مستمرة في النقطةc{\displaystyle c}إذا تحقّق أنّ:لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}، مهما كان صغيرًا،يوجدعددδ>0{\displaystyle \delta >0}، بحيث أنّلكلx{\displaystyle x}في نطاق الدالّةf{\displaystyle f}الذي يحقّقc−δ<x<c+δ{\displaystyle c-\delta <x<c+\delta }، يتحقّق التالي بالنسبة لـf(x){\displaystyle f\left(x\right)}:
وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعاتI,D{\displaystyle I,D}، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة،R{\displaystyle \mathbb {R} }، فإنّ استمراريّة الدالّةf:I→D{\displaystyle f:I\to D}في النقطةc∈I{\displaystyle c\in I}تعني أنّهلكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}،هنالكδ>0{\displaystyle \delta >0}يحقّقلكلx∈I{\displaystyle x\in I}:
إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضيأوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوارε{\displaystyle \varepsilon }، مهما كان صغيرًا، لـf(c){\displaystyle f\left(c\right)}، فبالإمكان إيجاد جوارδ{\displaystyle \delta }لـc{\displaystyle c}بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.
أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضيالألمانيإدوارد هاينه.
لنفرض دالّتين مستمرّتين،f{\displaystyle f}وg{\displaystyle g}، إذًا:
خواص أخرى:
قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهّة واحدة فقط، أي من جهّة اليسار أو من جهّة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في نطاق الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهّة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة:
أي أنّ الشرط يتحقّق فقط لجميع النقاط في جوارδ{\displaystyle \delta }الذي يقع إلى يمين النقطةc{\displaystyle c}. وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:
وتكون الدالة مستمرّةإذا وفقط إذاكانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.
== مراجع ==\