불 대수

순서론과추상대수학,논리학에서불 대수(Boole代數,영어:Boolean algebra)는 고전명제 논리의 명제의격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는논리합과논리곱및부정의 연산이 정의된대수 구조이다.
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로동치이다.
직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로동치이며, 이를 만족시키는직교 여원 격자를불 대수라고 한다.
불 대수의준동형은 여원과⊤{\displaystyle \top }및⊥{\displaystyle \bot }을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의모임은대수 구조 다양체를 이룬다.
유계 격자L{\displaystyle L}에 대하여 다음 조건들이 서로동치이며, 이를 만족시키는격자를불 대수라고 한다.
여기서min(X∖{⊥}){\displaystyle \min(X\setminus \{\bot \})}는부분 순서 집합X∖{⊥}{\displaystyle X\setminus \{\bot \}}의극소 원소들의 집합이다.
헤이팅 대수H{\displaystyle H}에 대하여,
를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로동치이며, 이를 만족시키는헤이팅 대수를불 대수라고 한다.
이 경우,(H,¬){\displaystyle (H,\lnot )}은직교 여원 격자를 이룬다.
(단위원을 갖는)환R{\displaystyle R}에 대하여 다음 두 조건이 서로동치이며, 이를 만족시키는환을불 대수라고 한다.
특히,자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는κ=0{\displaystyle \kappa =0}에 해당한다.)
불 대수 준동형은 두 불 대수 사이의환 준동형이다.
스톤 공간(영어:Stone space)은콤팩트완전 분리하우스도르프 공간이다.스톤 공간과연속 함수의 범주를Stone{\displaystyle \operatorname {Stone} }이라고 쓰자.
스톤 공간의열린닫힌집합들의 족은유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의열린닫힌집합들의 족과 동형인유계 격자를불 대수라고 한다.
열린닫힌집합의연속 함수아래의원상은열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수B{\displaystyle B},B′{\displaystyle B'}에 대응하는 스톤 공간X{\displaystyle X},X′{\displaystyle X'}가 주어졌을 때,연속 함수f:X′→X{\displaystyle f\colon X'\to X}는 함수
를 유도한다. 두 불 대수 사이의불 대수 준동형은 이와 같이 스톤 공간 사이의연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.
이에 따라, 다음과 같은범주의 동치가 존재한다.
이 정의가 불 대수의 다른 정의들과동치라는 사실은스톤 표현 정리(영어:Stone representation theorem)라고 한다.
특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든가환환에 대하여,스펙트럼이라는위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는가환환의 범주CRing{\displaystyle \operatorname {CRing} }의반대 범주에서 위상 공간의 범주Top{\displaystyle \operatorname {Top} }로 가는함자
를 정의한다. 만약 이가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는범주의 동치를 이룬다.
불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의극대 아이디얼은 극대순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서,2{\displaystyle 2}가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은homBool⁡(B,2){\displaystyle \hom _{\operatorname {Bool} }(B,2)}이다. 이 위에 다음과 같은기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.
이는2{\displaystyle 2}에이산 위상을 부여하고,멱집합P(B)=2B{\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=2^{B}}에곱위상을 부여한 뒤,Spec⁡(B)⊂P(B){\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\subset {\mathcal {P}}(B)}에부분 공간위상을 부여한 것과 같다.
모든원순서 집합은작은얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우,부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은원순서 집합이며,헤이팅 대수는유한 완비 범주이자유한 쌍대 완비 범주이자데카르트 닫힌 범주인부분 순서 집합이다.
불 대수는 다음 조건을 만족시키는작은얇은 범주이다.
여기서×{\displaystyle \times }는범주론적 곱이며,⊔{\displaystyle \sqcup }는쌍대곱이며,0{\displaystyle 0}은시작 대상이며,AB{\displaystyle A^{B}}는지수 대상이다.
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
불 대수를가환환으로 여겼을 때, 그아이디얼은순서 아이디얼과 일치한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
임의의 불 대수B{\displaystyle B}는가환환이고표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서유한체F2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}위의결합 대수이다.
(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,다항식환F2[x]{\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}는x2≠x{\displaystyle x^{2}\neq x}이므로 불 대수가 아니다.)
불 대수의 임의의몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의부분환은 불 대수이다.
불 대수의스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든소 아이디얼은극대 아이디얼이다. 불 대수B{\displaystyle B}의 임의의극대 아이디얼p∈Spec⁡B{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} B}에 대한몫환은 크기 2의유한체이다.
불 대수는폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든가군은평탄 가군이다.
불 대수의 모든유한 생성 아이디얼은주 아이디얼이다. 구체적으로
이다.
불 대수의 모임은대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는완비 범주이자쌍대 완비 범주이며자유 대상을 갖는다.
임의의 집합S{\displaystyle S}의멱집합P(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}은 크기가2|S|{\displaystyle 2^{|S|}}인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와동형이다. 특히, 공집합의 멱집합P(∅)={∅}{\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}은 가장 작은 불 대수이며, 또한⊤=⊥{\displaystyle \top =\bot }인 유일한 불 대수이다.
집합S{\displaystyle S}에 대하여,멱집합P(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}에 대응하는 스톤 공간은S{\displaystyle S}의스톤-체흐 콤팩트화이다.
멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합S{\displaystyle S}및기수κ{\displaystyle \kappa }가 주어졌을 때,
로 정의하자. 만약κ=0{\displaystyle \kappa =0}이거나κ≥ℵ0{\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어,|S|=ℵ0{\displaystyle |S|=\aleph _{0}}일 경우,Pℵ0(S){\displaystyle {\mathcal {P}}_{\aleph _{0}}(S)}는 크기가ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}인 불 대수이며, 따라서멱집합과 동형일 수 없다.
불 대수는대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.
스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수κ{\displaystyle \kappa }에 대하여,κ{\displaystyle \kappa }개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은
이다. 여기서{0,1}{\displaystyle \{0,1\}}은 2개의 점을 가진이산 공간이며,{0,1}κ{\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}에는곱 위상을 준다. 이 경우,α{\displaystyle \alpha }번째 생성원은튜플의α{\displaystyle \alpha }번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된열린닫힌집합에 대응한다.
만약κ{\displaystyle \kappa }가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는22κ{\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}이며, 만약κ{\displaystyle \kappa }가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는κ{\displaystyle \kappa }이다.
스톤 공간을 이루는위상군은사유한군이라고 한다.
논리학에서, 불 대수는 고전명제 논리의모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신헤이팅 대수를 사용하여야 한다.
불 대수는디지털 회로설계에 응용된다. 디지털 회로는전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로조합 회로는 불 대수에 있는논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만,플립플롭등순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.
불 대수의 개념은 1847년에조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다.이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다.불은논리곱과배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.
이후 윌리엄 스탠리 제번스(영어:William Stanley Jevons, 1835~1882) ·찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(독일어:Ernst Schröder, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한배타적 논리합대신 (배타적이지 않은)논리합을 최초로 사용하였다.이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.
1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(영어:Henry Maurice Sheffer, 1882~1964)가 "불 대수"(영어:Boolean algebra불리언 앨지브라)라는 용어를 최초로 사용하였다.이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.
스톤 표현 정리는마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.