davidanugraha/M4-RAG huggingface dataset:
망델브로 집합

망델브로 집합(영어:Mandelbrot set)은브누아 망델브로가 고안한프랙탈의 일종이다.
망델브로 집합은 다음 점화식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는복소수c의 집합으로 정의된다.
이를 복소수를 사용하지 않고 정의하려면 모든 복소수를 실수부와 허수부로 나누면 된다. 만약 zn을 (xn,yn)로, c를 (a,b)로 바꾸면 위 식은 다음과 같이 된다.
가 된다.
이 집합의 이름은 이를 고안한 프랑스의 수학자브누아 망델브로의 이름을 따라서 만들었졌는데, 원래 독일어(또는 이디시어) 이름대로 '만델브로트' 집합이라 불리기도 한다. 또 다른 망델브로 집합 표기로 f(z) = z+ c라고 표기하기도 한다. 함수로 표현하면 f(z) = z+ c가 된다.
망델브로 집합을 실제로 그릴 때에는 점화식에 따라 zn을 계산하면서 수열이 발산하는지 그렇지 않은지를 대수적으로 검사하게 된다. zn의절댓값이 2보다 크다면(즉, xn+yn>2이라면) zn은 발산한다고 말할 수 있으며, 이 때의 c는 망델브로 집합에 속해 있지 않는다. 이 때의 2라는 값은 발산하는 수열의 계산을 미리 막아 주는 역할을 하며, 경계값이라고 부른다. 반면 망델브로 안에 속해 있는 점의 경우 zn은 발산하지 않으므로 무한히 계산해도 끝나지 않을 것이다. 이런 경우에는 적절한 n값 이후에 계산을 멈추어야만 한다. 무한히 계산하지 않는 한 우리는 이론적인 망델브로 집합이 아닌 이에 근사한 집합만 얻을 수밖에 없다.
수학적인 의미에서 망델브로 집합을 그린다면 집합 안의 부분과 밖의 부분 두 가지만 의미가 있으며 단 두 가지 색으로만 칠해져도 충분하다. 하지만 많은 프랙탈 생성 소프트웨어에서는 처음으로 경계값을 벗어난 zn의 n값에 따라 망델브로 집합 바깥의 영역을 다른 색으로 칠한다. 예를 들어 가장 빨리 발산하는 점은 어두운 녹색으로, 그리고 발산속도가 느려질수록 더욱더 밝은 녹색으로 칠하면 이론적으로 발산속도가 늦어질수록 그 c값은 망델브로 집합에 가깝다는 뜻이며 이를 시각적으로 알 수 있다.
망델브로 집합에 색을 입히는 방법에 따라서 예술적인 그림이 나올 수 있으며 이를 이용한프랙탈 예술도 있다.
망델브로 집합은 통계적인 자기 유사성을 지닌다.
망델브로 집합의 경계의하우스도르프 차원은 2차원이다. (망델브로 집합 자체도 물론 2차원이다.)
망델브로 집합은쥘리아 집합(Julia set)의 일종의 "지도"가 된다. 망델브로가 그려지는 복소 평면의 각 점이 쥘리아 집합의 초기값과 일대일 대응이 될 수 있는데, 망델브로 집합 내부의 점에 대응하는 쥘리아 집합은연결 공간인 반면, 바깥의 점들은 연결 공간이 아닌 쥘리아 집합에 대응하기 때문이다.
복소수의 다른 점화식으로 정의되는 다른 프랙탈의 경우도 망델브로 집합에 대응되는 것과 쥘리아 집합에 대응되는 것 두 종류가 있을 수 있으며 실제로도 종종 해당되는 프랙탈의 망델브로 집합과 쥘리아 집합이라고 불리기도 한다. 예를 들어 다음 식으로 정의되고 "피닉스 집합(phoenix set)"이라고 불리는 프랙탈의 경우,
우리는 x와 y의 초기치를 (x1,y1)=(x0,y0)=(0,0)으로 놓고 "피닉스의 망델브로 집합Mandel-type phoenix"을 그릴 수 있고 임의의 c값에 대해서 "피닉스의 쥘리아 집합Julia-type phoenix"을 그릴 수도 있다. 이렇게 만들어진 집합에서도 망델브로 집합은 쥘리아 집합의 "지도"가 되며 망델브로 집합의 안의 점에 대응되는 쥘리아 집합은 connected이며 바깥의 점에 대응되는 것은 disconnected인 성질이 보존된다.
한 개의 변수 c 대신 여러 개의 변수를 사용할 수도 있다. 이 때의 망델브로 집합은 쥘리아 집합의 완전한 지도가 되기 위해서 2차원 이상의 차원을 가져야 할 것이다.
L-system

L-system(엘 시스템, Lindenmayer system)은형식문법의 일종으로서, 식물의 성장 프로세스를 기초로 한 다양한 자연물의 구조를 기술하거나 표현을 가능케 하는알고리즘이다. 자연물 이외에도 망델브로 집합 반복함수계(Iterated Function System; IFS)와 같이 이른바 자기상사 도형이나프랙탈도형을 생성할 경우에도 사용된다. L-system은1968년,네덜란드위트레흐트 대학교대학의 이론생물학자이자 식물학자였던 아리스티드 린덴마이어(Aristid Lindenmayer)에 의해 제창되어 발전되었다.
생물학자였던 린덴마이어는효모와곰팡이, 그리고남세균류의Anabaena catenula와 같은조류등, 다양한 생물의 성장패턴을 연구했다. 이와 같이 L-system은단세포생물또는 단순한다세포생물의 성장식, 식물세포에 있어서 인접한 세포의 상호관계를 기술하기 위해 개발된 것이었다. 이후 L-system은 더욱 고도로 발달한 식물의 형태, 복잡한 분기구조를 기술하기 위한 도구로 발전하게 되었다.
L-system의 기본은 재귀성으로서, 자기상사도형, 프랙탈도형과 같은 형태를 단순히 기술하는 것이 가능하다. 식물과 그외의 형태가 자연스러운 생물구조도 함께 단순히 정의가 되어, 재귀호출의 회수를 늘려, 마치 구조가 성장, 복잡화되어가는 것처럼 보인다. L-system은인공생명의 생성에도 잘 쓰인다.
L-system의 문법은semi-Thue grammar와 닮았다.(→촘스키 위계) 현재, L-system은 아래와 같은튜플로 정의된 "파라메트릭 L-system"로서 일반에 알려져 있다.
위의 각 요소는 이하의 의미를 갖고 있다.
L-system의 재귀적인 반복계수가 진행해 갈 때, 무언가로 성장해 나가는 것은 이V의 요소에서부터 만들어지는 문자열이다.
치환전(치환대상)의 문자열과 치환후의 문자열의 조합에 의해 기술된다.
치환규칙P에 관해, 치환대상이 단독의 문자만일 경우, L-system은문맥자유언어이다. 한편, 치환규칙이 인접한 문자와의 상호관계까지 고려하는 것일 경우 L-system은문맥의존언어이다. 또한 치환규칙P가 문자에 대해 매번 확실히 적용될 경우 L-system은 "결정론적"이다 라고 불리어, D0L-system(deterministic context-free L-system)등으로 불린다. 반대로, 치환규칙의 적용이확률에 좌우될 경우엔 "확률론적" L-system라고 불린다.
L-system을 그래픽으로 응용하는 경우, L-system이 생성하는 문자열을, 무언가의 형태로 화면상의 도형으로 변환시키지 않으면 안 된다. 예를 들어FractInt라는 프로그램에서는로고와 같이 터틀을 이용하여 그래픽을 생성한다. 결국 프로그램이 L-system의 문자열을 터틀의 제어명령으로번역해서 도형을 그려지게 하는 것이다.
브누아 망델브로

브누아 망델브로(프랑스어:Benoît B. Mandelbrot,1924년11월 20일~2010년10월 14일)는폴란드태생프랑스와미국의수학자이다.프랙털 기하학분야를 연 중요한 사람 중 하나로 평가된다.예일 대학교의 명예 교수,IBM토머스 J. 왓슨 연구소의 명예 펠로이다.
바르샤바에 사는리투아니아유대인가족에서 태어났다. 1936년에 가족이 프랑스파리로 옮겼고, 브누아는 파리의 저명한 수학자였던 친삼촌 숄렘 만델브로이트(숄렘 망델브로이 Szolem Mandelbrojt)에게 수학을 배웠다.
제2차 세계 대전이 발발했을 때 망델브로 가족은튈로 옮겼다. 브누아 망델브로는 1944년에 다시 파리로 돌아가에콜 폴리테크니크에서가스통 쥘리아와폴 피에르 레비에게 가르침을 받았다. 1947년에 에콜 폴리테크니크를 졸업하고 나서 미국캘리포니아 공과대학교에서 2년 동안 항공학을 공부했다. 다시 프랑스로 돌아가 1952년에는파리 대학에서 수리과학에서 박사 학위를 받았다.
브누아 망델브로는 1949년부터 1957년까지 Centre National de la Recherche Scientifique의 연구원이었다. 그 사이에존 폰 노이만의 지원으로프린스턴 고등연구소에서 1년동안 있었다. 1955년에 Aliette Kagan과 결혼하여제네바에서 살다가 1958년에 미국으로 옮겼다.
미국에서 망델브로는 뉴욕주요크타운 하이츠에 있는IBM의토머스 J. 왓슨 연구소의 연구원으로 있었다. 그 뒤로 계속 IBM에 있는데,IBM 펠로, 그리고 그 뒤로 명예 펠로가 되었다.
1955년부터 망델브로는정보이론·경제학·유체 역학등 다양한 분야의 논문을 발표했다. 그는자기닮음구조가 실제 세계의 문제에도 통하고 있다고 믿게 되었다. 1975년에 망델브로는 이런 구조의 도형을 나타내는 말로 ‘프랙털’이라는 낱말을 만들어서 그의 생각을 〈Les objets fractals, forme, hasard et dimension〉(프랙털 - 형태, 우연성과 차원)이라는 논문으로 발표했다.
1979년에하버드 대학교에 교수로서 두 번째로 초빙되었을 때, 망델브로는가스통 쥘리아와피에르 파투(Pierre Fatou)가 전에 연구했던,복소평면위의 프랙털인쥘리아 집합을 연구했다. 그는 컴퓨터를 이용해 공식 z+ c에 의한 프랙털이 c 값에 의해 어떻게 달라지는지를 연구하다가망델브로 집합을 발견해 자신의 이름을 붙였다.
1982년에 망델브로는 《The Fractal Geometry of Nature》라는 책을 펴냈다. 이 책은 프랙털이 전문 수학과 대중 수학 모두에 퍼질 수 있도록 영향을 주었다.
1987년에 IBM에서 퇴직하고 나서 그는예일 대학교수리과학의 명예교수(Sterling Professor)로 재임했다. 2003년에일본 상을 받았다.
망델브로의 성은이디시어또는독일어로아몬드 빵을 뜻하는 Mandelbrot(‘만델브로트’)이다. 영어식 발음은 사전에 따라 다른데, Merriam-Webster Collegiate Dictionary와 Longman Pronouncing Dictionary에는[ˈmæn.dəlˌbɹoʊt](맨덜브로트), Bollard Pronouncing Dictionary of Proper Names에는[ˈmæn.dəlˌbɹɔː](맨덜브로), American Heritage Dictionary에는[ˈmɑːn.dəlˌbɹɑt](만덜브롯)이라고 나와있다.
한글 표기로는, 국립국어원 외래어 표기법 용례집에는 프랑스어식으로 "브누아 망델브로"로 표기한다.
부다브로

부다브로(buddhabrot)는망델브로 집합의 일종으로, 특수한렌더링이다.부다(buddha)는부처의 영어식 발음이며. 전통적으로동양에서 기원된부처와 생김새가 닮았고, 어떤 부분에서는 비율이 비슷하여 붙여진 이름이다.
부다브로 렌더링 기법은1993년멜린다 그린에 의해 발견되어유즈넷의 sci.fractal 뉴스그룹에 게재되었다.
이전의 연구원들은 부다브로와 비슷한 기법을 연구해왔다. 1988년에리나스 벱스타스는 유사한 이미지를클리프 피코버에게 전달했다. 그 이미지를 피코버가 출간 예정인컴퓨터,패턴,카오스와뷰티에 포함시키기 위해서였다. 그것은피코버 줄기의 발견에 직접적인 계기가 되었다. 이 연구원들은 빠져나오지 못하는 궤도들을 걸러내지 않았다. 그 궤도에는 일반적으로힌두예술을 연상시키는 귀신같은 형상을 필요로 했다.그린은 그녀의 인도인 동료가 "코끼리머리를 한 신인가네샤"를 떠오르게 한다고 하여, 처음에는 가네쉬(Ganesh)라고 정했다. 나중에로리 가우디가 "부다브로"(Buddhabrot)라는 새로운 단어를 만들어 냈다.
수학적으로망델브로 집합은수열을 반복적으로 정의함으로복소평면의 점 c의집합으로 구성된다.
부다브로는 첫 번째로계수기의 2차원 배열 생성으로 그려졌다. 각각의 계수기는 이미지의 마지막 화소와 들어맞고, 0 값으로 초기설정된다. 그리고 나서 c점들의 무작위 샘플링이망델브로의 함수로 반복된다. 반복의 선택된 수의 범위안에서 빠져나오는 점들은망델브로 집합이 아니기 때문에, 그 점들의 값은 다시 망델브로 함수로 보내지고, 이 때에 그 점들의 경로는 배열로 그려진다. c의 큰 값이 반복된 다음에, 그레이스케일 색상들은 배열에 기록된 값들을 기반으로 선택된다. 결과는 z값들이 무한대인 그 점들의 경로에 대부분의 시간을 소비한 부분들을 강조하는 밀도 플롯이다. 이것에서 (그 부분을 지나는 궤도에 있는) 높은 가능성이 있는 부분들에 상응하는 빛의 부분들과 (그 부분을 지나는 궤도에 있는) 낮은 가능성의 부분들의 분배 가능성 역시 염두에 두어야 한다.
부다브로렌더링은 각각의 샘플의 두배이상으로 반복할 가능성이 있으므로(한번의 테스트에서 점이 빠져나온다변, 그 점의 경로를 다시 그려야 하기 때문에), 망델브로의 렌더링 기술보다 더 철저한 계산이 요구된다. 여기에 덧붙여, 빠져나온 점을 바깥으로부터 안쪽으로 들어가도록 경로를 설정하는 것과 같이, 고배율로 확대한 부분까지도 더 계산하여 렌더링하여야 한다. 더 복잡한개연론에 의거한 기술들의 사용이 없다면,부다브로의 확대된 부분의 렌더링은 한낱 커다란 풀사이즈 그림의 다듬기에 지나지 않는다.
선택된 반복의 수는 이미제에 커다란 효과를 가져다 준다. 높은 값은 그 값의 점들이 더 눈에 잘띄는 결과로 인해, 빠져나오기 전에 큰 수의 픽셀들을 통과하는 몇개의 점들로, 밀도가 퍼진 더 자세히 표현된 모습을 나타내 준다. 만일 낮은 수의 반복이 사용된다면, 그 때에는 그 점들이 삐져나오지 않을 것이며, 모두다 빠져나오지 않는 것으로 간주될 것이다.
다른 수들의 반복들과 다른 색상들과 함께 세가지 이미지들을 합성 제작하는 것도 가능하다. 예를 들어, 2,000번 반복하는 적색 이미지와, 200번 반복하는 녹색 이미지를 조합하는 기술은 천문학자들이적외선화상을 만드는 방법과 비슷하다. 어떤 이미지들에는성운브로가성운과 매우 유사한 이미지 이미지의 결과라고 표기되어 있다.
망델브로 집합에서 c점들의 경로를 그리는데 고려되는 자연적인 다른 기술로는;반-부다브로정렬이 있다.
z+c의 반복에 의해 정의된 망델브로 집합과 λx(1-x)로 잘 알려진병참 본뜨기(logistic map)는 연관성이 있다. 이 두 가지는이차 변환으로 관련지을 수 있다.
cr=λ(2-λ)/4    
ci=0     
zr=-λ(2x-1)/2    
zi=0
이러한 연관성을 묘사하는 전통적인 방법은 cr과 λ의 관계를 통하여 로지스틱 본뜨기와 망델브로 집합을 일직선상에 놓고, 보통의 x-축과 다른 y-축을 사용하며, 1차원적인 연관성을 보여주고 있다.
멜린다 그린은 '우연히' 안티-부다브롯 패러다임이 로지스틱 본뜨기와 완전히 통합된다는 것을 발견했다. 둘다 (무작위적) 시작 점에서 반복되는, 삐져나오지 못하는 점들에서 시작하는 투사 경로들을 기반으로 하고 있으며, 반복 함수들은 위의 변환 공식들과 관련이 있다. 부여된 변환을 사용할 때, {cr,zr}인 평면에 간단하게 생성되는 병참 본뜨기, c=(random,0)과 z0=(0,0)로 경로들을 그리는, z+c의 안티-부다브로는 더 쉽게 볼 수 있다. 렌더링의 목적을 위해 우리는 z0=(random,0)의 공식을 사용한다. 병참 본뜨기의 모든 zr0의 공식은 결국 같은 경로를 생성한다는 것을 명심해야한다.
왜냐하면, 망델브로 집합과 로지스틱 본뜨기는 둘다 우리가 지금 보여줄 수 있는 연관성을 나타내는 3차원 축 {cr,ci,zr}을 사용하는 애니메이션에서 , 훌륭하게 3차원적으로 연관이 있는, 반-부다브로의 통합된 부분이기 때문이다. 이 애니메이션은 고전적인 반-부다브로를 보여주고, 이것은 {cr,ci} 평편에서의 2차원 망델브로 집합이며, c=(random,0)과 z0=(0,0)의 반-부다브롯이기도 하며, 이것은 2차원 병참 본뜨기이다. 우리는 {ci,zr} 평면을 cr-축을 중심으로 회전시켜서, 첫 번째로 {cr,ci}을 보여주고, 그 다음에는 {cr,zr}를 보여주기 위해서 90°회전하며, 그리고 나서 {cr,-ci}를 보여주기 위해 90°도를 더 회전한다. 우리는 남은 180°도를 더 회전해야 하지만, 이것은 cr-축을 중심으로 반사된 같은 이미지이다.
로지스틱 본뜨기의 안티-부다브로는 3차원 {cr,ci,zr}과 {cr,ci} 평면의 수직선상의 {cr,zr} (또는 ci=0) 평면에 놓여있다. 그러므로 그것은 사실상 고전적인 안티-부타브로의부분집합이다. 90°회전에서 간략히 나타내는 것으로, 우리는 ci가 0이 아닌 평면들의 투영에 의해서, '불안한' 것이 아닌, 오로지 0이 아닌 ci값의 계획된 평면만을 강조한다.
쥘리아 집합

쥘리아 집합(영어:Julia set)은가스통 쥘리아가 고안한프랙탈의 일종이다.
쥘리아 집합은 주어진복소수c에 대해서 다음 점화식에 따라 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는복소수z의 집합으로 정의된다.
위의 점화식은망델브로 집합의 것과 같지만,망델브로 집합은 z0=0+0i일 때 z를 발산하지 않게 하는 c의 집합이라는 점이 다르다. 즉, z와 c의 역할이 뒤바뀐 것이다.
쥘리아 집합은망델브로 집합과 동일하게 자기유사성을 가지며 가까운 두 점이 서로 다른 양상을 보이는 초기 조건의 민감성도 가진다.
수학의 미해결 문제 목록

르네상스이래 수학 문제에 대한 해답은 세기가 갈수록 이전 세기에 비해 증가해 왔다.그럼에도 불구하고 미해결된 수학의 크고 작은 문제들이 다수 존재한다. 미해결 문제는 여러 분야에서 나타나는데물리학,컴퓨터 과학,대수학,해석학,조합론,대수기하학, 이산기하학,유클리드 기하학,그래프 이론,모형이론,정수론,집합론,램지 이론,동역학계,편미분방정식등에 걸친다. 몇몇 문제는 수학 내에서도 두 개 이상의 소분야에 걸쳐있을 수 있으며, 각 소분야의 개념을 적용하여 연구할 수 있다. 장기간 미해결된 문제는 상이 걸려있는 경우가 많은데, 이로 인해밀레니엄 문제와 같은 목록들은 상당한 주목을 받는다.
지난 세기부터 유명 수학자나 기관이 몇가지 중요한 미해결 문제를 모은 목록들을 제시한 바 있다.
2000년에클레이 수학 연구소가 발표한 7개의밀레니엄 문제중 아래 6개는 2025년 현재 미해결이다.
7번째 문제인푸앵카레 추측은 2003년그리고리 페렐만에 의해 해결되었다.그러나 푸앵카레 추측을 일반화한 문제인 일반화 푸앵카레 추측은 아직 미해결이다.
장크리스토프 요코즈

장크리스토프 요코즈(Jean-Christophe Yoccoz,1957년5월 29일~2016년9월 3일)은프랑스의 수학자이다.1985년마이클 헤르만(Michael Herman)의 지도아래에서 박사학위를 받았다.1994년에는동역학계에서콜모고로프-아르놀트-모저 정리를 좀 더 수학적으로 일반화시킨 연구로필즈 메달을 수상하였다. 공식적으로 언급된 공로는 "동역학계에 관한 많은 연구 결과에 대해 더욱 단순한 증명을 도출, 일반적으로 확장한 것"이다. 요코즈는망델브로 집합에도 기여했다. 1985년 아드리엥 두아디와 존 허버드는 수렴하는 영역과 주기적인 변화가 결합된 듯한 독특한 집합의 영역이 "한 조각"(연결된 집합)임을 밝혔는데, 장크리스토프 요코즈는 이어 경계선상에 있지 않은 각각의 점은 한 덩어리로 된 집합으로 둘러싸여 있음을 증명한 것이다.1994년10월 24일에는 프랑스 과학 아카데미의 회원으로 선출되었으며,콜레주 드 프랑스의 교수였다.
자기유사성

수학에서자기 유사성(영어:self similarity)은 부분을 확대할 때 자신을 포함한 전체와닮은 모습을 보여주는 성질이다.해안선같은 현실의 많은 물체들은 통계적으로 자기유사적이다: 그 물체의 일부가 여러 측면에서 같은 통계적 특성이 나타난다.자기 유사성은 인공적인프랙탈의 전형적인 특성이다.크기변환 불변성은 어느 정도로 확대하더라도 전체와닮은작은 조각이 있다는 점에서 자기유사성과 정확히 같은 형태이다. 예를 들어,코흐 눈송이의 옆면은 대칭이면서 크기변환 불변으로 모양이 바뀌지 않으면서 계속해서 3배씩 확대할 수 있다. 프랙탈에서 자명하지 않은 유사성은 자신의 세부 구조나 임의의 작은 크기의 세부사항에 의해 구분된다. 그반례로,직선의 어떤 부분도 전체와 유사하지만, 세부사항은 나타나지 않는다.
시간 의존적 현상은 다른 시간에 측정한 특정 관측 가능한 양의 수치적 값f(x,t){\displaystyle f(x,t)}이 다르지만 대응하는 무차원 양x/tz{\displaystyle x/t^{z}}이 불변일 때 자기유사성이 나타난다고 할 수 있다.f(x,t){\displaystyle f(x,t)}가동적 스케일링을 나타낼 경우에 일어난다. 이 아이디어는 단순히 두 삼각형의 닮음에 관한 아이디어의 확장이다.두 삼각형의 세 변의 길이가 수치적으로는 다르지만 각 같은 대응하는 무차원 양이 같으면 닮았다는 것을 참고하라.
수학에서자기 아핀성(영어:self-affinity)은 조각이 x와 y 방향으로 서로 다른 양으로크기 변환된프랙탈의 특징이다. 다시말해, 이 프랙탈 물체가 자기유사성을 갖도록 조정하려면비등방아핀 변환을 사용해서 크기 재조절을 해야 한다는 것을 의미한다.
콤팩트위상 공간X는 다음을 만족하는 비전사위상동형사상{fs:s∈S}{\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}을 가리키는유한 집합S가 존재하면 자기유사하다:
X⊂Y{\displaystyle X\subset Y}이면,X가{fs:s∈S}{\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}에 대한 위의 식을 만족하는Y의 유일한공집합이 아닌부분집합이면X는 자기유사하다. 그리고 다음을자기유사 구조라고 부른다:
위상동형사상은반복 함수일 수 있어서, 그럴 경우에는반복 함수 계가 된다. 함수의 구성은모노이드의 대수적 구성을 만든다. 집합S의 원소가 두 개 밖에 없을 경우, 이 모노이드는이진 모노이드로 알려져 있다. 이진 모노이드는 무한이진 트리를 통해서 시각화 할 수 있다. 더 일반적으로, 집합S의 원소가p개 있으면, 그 모노이드는p진트리로 표현할 수 있다.
이진 모노이드의자기 동형 사상은모듈러 군이다. 자기 동형 사상은 이진 트리의쌍곡 회전으로 볼 수 있다.
자기유사성 보다 더 일반적인 표기법은 자기 아핀성이다.
망델브로 집합은Misiurewicz 점주변에서도 자기유사하다.
자기유사성은 컴퓨터 네트워크의 디자인에 전형적인 네트워크 트래픽이 자기유사 속성을 가지기 때문에 중요하다. 예를 들어,텔레트래픽 공학에서,패킷 교환된 데이터 트래픽 패턴은 통계적으로 자기유사적으로 나타난다.이 특성은푸아송 분포를 사용하는 단순한 모델은 부정확하고 자기유사성을 적용하지 않은 네트워크는 예상하지 못한 방향으로 작동한다는 의미이다.
비슷하게,주식 시장의 동향은 자기 아핀성을 나타내는 것으로 설명된다. 즉, 이 동향이 나타난 세부 사항에 적절한아핀 변환을 하면 자기유사하게 나타난다는 의미이다.앤드류 로는 주식 시장 기록은계량경제학에서 자기유사성으로 복귀한다는 것을 설명했다.
유한 세분 규칙은칸토어 집합이나시에르핀스키 삼각형을 포함하는 자기 유사 집합을 만드는 강력한 기술이다.
자기유사성은 자연에서도 찾을 수 있다. 오른쪽은 수학적으로 생성된 자연적인 양치류와 닮은 완벽한 자기유사적인양치류의 이미지이다.로마네스코 브로콜리같은 다른 식물도 강한 자기유사성을 나타낸다.
아이팟리눅스

아이팟리눅스(iPodLinux)는애플의아이팟에서 동작하도록 설계된μClinux기반의리눅스 배포판이다. 아이팟리눅스커널이시동되면 애플의 아이팟 운영 체제로 대체하여 자동으로 팟질라(Podzilla,비디오 플레이어,이미지 뷰어,명령 셸,오락,비디오 게임 콘솔용에뮬레이터,프로그래밍데모, 기타 실험적이거나 미완성된소프트웨어가 포함된GUI및 런처)를 호출한다.
2011년 기준으로 이 프로젝트는 여러 해에 걸쳐 활성화되지 못했으며 해당 웹사이트 또한 더 이상 관리되지 않고 있다. 애플 아이팟의 오픈 소스 소프트웨어의 차후 개발은락박스 프로젝트와FreeMyIpod.org에서 계속되고 있다.
Оболочка Мандельброта

Оболочка Мандельброта— трёхмерныйфрактал, аналогмножества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованиемгиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрииБенуа Мандельброта.
Формула дляn-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа⟨x,y,z⟩{\displaystyle \langle x,y,z\rangle }следующая:
где
Была использована итерацияz↦zn+c{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}, гдеzиc— трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше.
Дляn> 3 результатом является трёхмерный фрактал.Чаще всего используется восьмая степень.
Связное пространство

Связное пространство—топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустыхоткрытыхподмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятиелинейной связности.
Непустое топологическое пространство называетсянесвязным, если его можно представить в видеобъединениядвух непустых непересекающихсяоткрытыхподмножеств.Связноепространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.
Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.
Говорят, что подмножество топологического пространства являетсясвязным, если оно связано как пространство синдуцированной топологией.
ПустьX{\displaystyle X}— топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
Фрактальная гомогенность

Фрактальная гомогенность- это такое свойство распределениямассы, 
когда любые две геометрически одинаковые части распределения обладают одинаковыми массами.
Концепция фрактальной гомогенности в общем случае может рассматриваться гораздо шире.
Она применима к любомуфракталу, для которого положительна и конечнахаусдорфова мерав размерности D.
Фрактальная гомогенность означает, что масса, содержащаяся в множестве, 
пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества.
(Мандельброт, раздел III.9. стр.132)
Мандельброт Б.  Фрактальная геометрия природы. М.: ИКИ, 2002. 656с.
Хаос. Создание новой науки

Хаос. Создание новой науки— дебютная научно-популярная книгаДжеймса Глейка, ставшая финалистом Национальной книжной премиии Пулитцеровской премии, и включенная в шорт-лист на премию «Научная книга». Опубликованая 29 октября 1987 года, книга впервые рассказала широкой публике об основах и развитиитеории хаоса, популяризовала такие понятия, какфрактал,бифуркация,аттрактор.
Став первой популярной книгой о теории хаоса, она описываетмножество Мандельброта,ЖюлиаиАттракторы Лоренцадоступным языком, не требующим глубокого знания математического аппарата или специального образования.Глейксобрал результаты работ десятков ученых с наибольшим вкладом в активно развивающуюся теорию хаоса. Несмотря на простой язык и нацеленность на широкие читательские массы, книга часто цитируется ведущими учеными, в частности, американским нейрофизиологом и приматологомРобертом Сапольски.
เซตม็องแดลโบรต

เซตม็องแดลโบรต(อังกฤษ:Mandelbrot set) คือ เซตของจุดในระนาบเชิงซ้อนที่เรียงตัวเป็นแฟร็กทัลในทางคณิตศาสตร์นิยามเซตม็องแดลโบรต คือ เซตของค่าจำนวนเชิงซ้อน c ซึ่งให้ทางเดินของ 0 ภายใต้การส่งวนซ้ำของฟ้งก์ชันกำลังสอง(quadratic function)z+cมีค่าจำกัด
นอกจากแวดวงคณิตศาสตร์แล้ว เซตม็องแดลโบรตก็เป็นที่รู้จักแพร่หลาย เนื่องมาจากความสวยงามของมัน และโครงสร้างที่ซับซ้อน อันเกิดจากนิยามที่มีรูปแบบง่าย ๆ นักคณิตศาสตร์เบอนัว ม็องแดลโบรตและนักคณิตศาสตร์อื่นอีกหลายท่าน ได้พยายามนำคณิตศาสตร์แขนงนี้มาเผยแพร่ให้เป็นที่รู้จักในวงกว้าง
เซตมาตัดบรอถูกจัดอยู่ในหัวข้อพลศาสตร์เชิงซ้อนซึ่งเป็นสาขาที่เริ่มศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ ฟาตูและกาสตง จูเลียในช่วงต้นของศตวรรษที่ 20  โรเบิรต์ บรูค และ ปีเตอร์ มาเทลสกี เป็นผู้วาดรูปเซตนี้เป็นครั้งแรกในการศึกษากรุปไคลน์ในปี ค.ศ. 1978
เซตม็องแดลโบรตM{\displaystyle M}นิยามโดยควาดราติกโพลิโนเมียลเชิงซ้อน
ที่กำหนดโดย
โดยที่c{\displaystyle c}เป็นตัวเลขเชิงซ้อน สำหรับc{\displaystyle c}แต่ละค่า พิจารณาพฤติกรรมของลำดับ(0,fc(0),fc(fc(0)),fc(fc(fc(0))),…){\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}โดยการ วนซ้ำฟังก์ชันfc(z){\displaystyle f_{c}(z)}เริ่มต้นที่z=0{\displaystyle z=0}ซึ่งเป็นได้สองกรณีคืออาจมีค่าสู่อนันต์ หรือ มีค่าจำกัดภายในวงกลมรัศมีหนึ่ง ๆ เซตม็องแดลโบรต คือเซตของจุดc{\displaystyle c}ทุกจุดที่ไม่เข้าสู่อนันต์
นิยามอย่างเป็นทางการหนึ่งคือ ถ้าfcn(z){\displaystyle f_{c}^{n}(z)}คือไอเทอเรทที่nของฟังก์ชันfc(z){\displaystyle f_{c}(z)}(หมายถึงคอมโพสิทฟังก์ชันfc(z){\displaystyle f_{c}(z)}ของตัวมันเองnครั้ง) เซตม็องแดลโบรตเป็นซับเซตของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดโดย
ในทางคณิตศาสตร์ เซตม็องแดลโบรตเป็นเพียงเซตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนc{\displaystyle c}จะอยู่ในเซตM{\displaystyle M}หรือไม่อยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง ภาพของเซตม็องแดลโบรตสามารถสร้างได้โดยกำหนดc{\displaystyle c}ที่อยู่ในM{\displaystyle M}ให้เป็นสีดำ นอกนั้นเป็นสีขาว ภาพที่มีสีสันสวยงามขึ้นที่พบเห็นบ่อย ๆ สร้างโดยการกำหนดสีต่าง ๆ แทนอัตราเร็วที่จุดมีค่าเข้าสู่อนันต์
เซตจูเลีย

เซตจูเลีย(อังกฤษ:Julia set) เป็นเซตในการวิเคราะห์ระบบพลวัตเชิงซ้อนเซตจูเลียของฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิกf{\displaystyle f}เขียนแทนด้วยJ(f){\displaystyle J(f)\,}ประกอบด้วยจุดเริ่มต้นซึ่งเมื่อวนซ้ำ (iterate) ฟังก์ชันf{\displaystyle f}ไปเรื่อย ๆ แล้วจะพบว่าเมื่อจุดเริ่มต้นเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย ค่าที่ได้กลับต่างกันได้มาก เซตจูเลียมีคุณสมบัติอลวน
ส่วนเซตที่เป็นส่วนเติมเต็มของเซตจูเลีย เรียกเซตฟาตู(อังกฤษ: Fatou set) ใช้สัญลักษณ์F(f){\displaystyle F(f)\,}
ชื่อของเซตทั้งสองตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส คือปิแอร์ ฟาตูและกาสตง จูเลีย
ระบบพลวัติที่นิยมศึกษากันมากได้แก่ โพลิโนเมียลกำลังสอง ซึ่งเขียนได้ในรูปของ
โดยที่c{\displaystyle c\,}เป็นค่าคงที่จำนวนเชิงซ้อน
สำหรับภาพข้างล่างนี้เป็นเซตจูเลียสำหรับfc(z){\displaystyle f_{c}(z)}ที่ค่าc{\displaystyle c\,}ต่าง ๆ กัน
แต่ถ้าเปลี่ยนค่าc{\displaystyle c\,}จากค่าคงที่มาเป็นตัวแปรที่สนใจและเขียนกราฟของc{\displaystyle c\,}เมื่อค่าเริ่มต้นของz{\displaystyle z\,}เป็นศูนย์ ผลที่ได้จะเป็นเซตม็องแดลโบรตแทน
เดสมอส

เดสมอส(Desmos) เป็นเครื่องคิดเลขกราฟขั้นสูงในรูปของโปรแกรมประยุกต์บนเว็บและแอปพลิเคชันมือถือที่เขียนด้วยTypeScriptและJavaScript
คำว่า เดสมอส มาจากคำภาษากรีกδεσμόςซึ่งหมายถึงความผูกพันหรือการผูกมัด
นอกเหนือจากการสร้างกราฟทั้งสมการและอสมการแล้ว เดสมอสยังมีรายการ, การพล็อต, การถดถอย, ตัวแปรเชิงโต้ตอบ, การจำกัดกราฟ, การสร้างกราฟพร้อมกัน, การสร้างกราฟฟังก์ชันแบบชิ้นส่วน, กราฟฟังก์ชันเชิงขั้ว, ตารางกราฟสองประเภท และอื่นๆ ที่เป็นคุณสมบัติการคำนวณที่พบได้ทั่วไปในเครื่องคิดเลขแบบตั้งโปรแกรมได้นอกจากนี้ยังสามารถใช้งานได้หลายภาษา รวมไปถึงภาษาไทยการดำเนินการแคลคูลัส เช่นอนุพันธ์และปริพันธ์ก็สามารถใช้ได้เช่นกัน แม้ว่าปัจจุบันจะไม่มีลิมิตโดยตรงก็ตาม การหาปริพันธ์ของอนันต์บวกและลบก็สามารถทำได้ และอนุกรมยังสามารถยกให้มีการวนซ้ำสูงเพียงพอได้ฟังก์ชันอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันอดิศัยฟังก์ชันข้อผิดพลาดแฟกทอเรียลการดำเนินการทางสถิติ เช่นการแจกแจงแบบปกติ, chi-squared, การถดถอยที่กล่าวมาข้างต้น และฟังก์ชันสุ่ม ก็มีให้ใช้งานตั้งแต่ปี 2020
ผู้ใช้สามารถสร้างบัญชีและบันทึกกราฟและแปลงที่พวกเขาสร้างขึ้นได้ จากนั้นสามารถสร้างลิงก์ถาวรเพื่อให้ผู้ใช้สามารถแชร์กราฟของตนและเลือกให้ได้รับการพิจารณาคัดเลือกจากพนักงานได้ เครื่องมือนี้มาพร้อมกับกราฟตัวอย่างที่แตกต่างกัน 36 รายการที่ตั้งโปรแกรมไว้ล่วงหน้าเพื่อจุดประสงค์ในการสอนผู้ใช้ใหม่เกี่ยวกับเครื่องมือและคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
วิธีใช้เครื่องคิดเลขที่เป็นที่นิยมอีกประการหนึ่งคือการสร้างภาพศิลปะโดยใช้สมการและอสมการเครื่องคิดเลขยังมีฟังก์ชัน Audiotrace ซึ่งสามารถใช้สร้างเพลงได้ ในเดือนเมษายน 2017 เดสมอสยังได้เปิดตัวเครื่องมือเรขาคณิตเชิงโต้ตอบ2 มิติบนเบราว์เซอร์ พร้อมฟีเจอร์ที่รองรับ เช่น การพล็อตจุด เส้น วงกลม และรูปหลายเหลี่ยมในเดือนพฤษภาคม ปี 2023 เดสมอสได้เปิดตัวเครื่องคิดเลขเรขาคณิตตัวที่สองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นรุ่นเบต้าโปรเจ็กต์เหล่านี้บางโปรเจ็กต์ได้รวมคุณสมบัติต่างๆ เช่น การจำลองสามมิติผ่านการกำหนดพารามิเตอร์ และด้วยการใช้การระบายสี RGB และ HSV ที่เปิดตัวในปลายปี 2020งานศิลปะที่มีการระบายสีแบบกำหนดเอง รวมถึงการระบายสีโดเมนของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอัปเดตประสิทธิภาพใหม่ทำให้สามารถสร้างกราฟ เช่นเซตม็องแดลโบรตและ แฟรกทัลของดักส์ (Ducks fractals) ในเดสมอสได้ คุณสมบัติเช่นการจำลองและสัญลักษณ์ยังช่วยให้ผู้ใช้สามารถสร้างเกมแบบโต้ตอบที่ใช้งานได้ การใช้งานคุณสมบัติเหล่านี้สามารถพบได้ในการประกวดงานศิลปะประจำปีของเดสมอส
พาย (ค่าคงตัว)

พายหรือไพ(อักษรกรีก:πภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์,ฟิสิกส์และวิศวกรรมπ เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละตินมีชื่อว่า "pi" (อ่านว่าพายในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่าพีในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่าค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส(Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ(Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)
ในเรขาคณิตแบบยุคลิดπ มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่น π คือจำนวนบวกxที่น้อยสุดที่ทำให้sin(x) = 0
ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ
แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ตคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่
π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น
แม้ว่าπจะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของπกับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลมจากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิมเช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็นTของลูกตุ้มที่มีความยาวLแกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก (gคือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)
หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์กซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δx) และโมเมนตัม(Δp) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อhเป็นค่าคงตัวของพลังค์)
ความจริงที่ว่าπมีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียดαคือ
เมื่อmคือมวลของอิเล็กตรอน
本華·曼德博

本華·曼德博（法語：Benoît B. Mandelbrot，1924年11月20日—2010年10月14日）又译伯努瓦·曼德勃罗、曼德布洛特，生於波蘭華沙，法国、美国数学家。幼年随全家移居法國巴黎，大半生均在美国度过，擁有法國和美國的雙重國籍。曼德博的研究范围广泛，从数学物理到金融数学，但他最大的成就则是创立了分形几何。他创造了“碎形”这个名词，并且描述了曼德博集合。他也致力于向大众介绍自己的理论，通过面向普通公众的著作和演讲，使他的研究成果广为人知。
本華·曼德博是他所用的中文名，在他的耶魯大學個人網頁首頁可以見到。
1924年，曼德博生于波兰华沙的一个犹太人家庭。他们家有着浓厚的学术气氛，母亲是一位牙科医生，父亲则是一名服装商人，而曼德博的数学启蒙则是得益于他的数学家叔叔，居于巴黎的佐列姆·芒德勃罗伊（Szolem Mandelbrojt）。1936年，曼德博11岁时，因纳粹德国对犹太人的威胁日益加剧，随全家移居法国巴黎。曼德博就读于巴黎 Rolin 中学，第二次世界大战爆发后，全家再次逃往法国蒂勒。在那里，他受到了居于布里夫拉盖亚尔德的拉比David Feuerwerker 的资助，得以继续他的学业。1944年，曼德博一家回到了巴黎。他在里昂的昂勒帕克中学学习了一段时间之后，于1945年考取了巴黎综合理工学院，于数学家加斯顿·儒利雅和保罗·皮埃尔·莱维门下学习。1947年曼德博来到加州理工学院，并于1949年获得航空学硕士学位。曼德博回到法国后，于1952年在巴黎大学获得数学科学博士学位。
1949年到1958年间，曼德博供职于法国国家科学研究中心，在这期间，受约翰·冯·诺伊曼邀请，在新泽西州普林斯顿的普林斯顿高等研究院访问了一年时间。1955年，他与阿雷特·卡甘结婚，并迁居到瑞士日内瓦，之后则于里尔大学工作。1958年，曼德博夫妇移居美国，进入了位于纽约州约克镇的IBM 公司托马斯·J·沃森研究中心（英语：Thomas J. Watson Research Center）。他在 IBM 公司担任 IBM 研究员长达35年之久，并于之后成为了荣誉研究员。
1951年后，曼德博的研究范围不仅限于数学理论，更扩展到了信息理论、经济学、流体力学等应用领域。他坚信，重尾现象和自相似性结构作为两大关键词，能够解决这些领域中的很多问题。
曼德博发现，金融市场中的价格分布并不服从正态分布，而是服从理论上方差无穷大的稳定分布：例如，相对于α=2{\displaystyle \alpha =2}（即为正态分布），棉花价格更接近α=1.7{\displaystyle \alpha =1.7}的稳定分布。“稳定”分布的性质之一就是n个服从稳定分布的独立同分布的随机变量之和服从尺度参数更大的稳定分布。
曼德博对宇宙学领域亦有贡献。1974年，他从碎形学角度提出了奧伯斯佯谬（夜黑佯谬）的一种新的充分但不必要的解释。他认为，假定宇宙中恒星的分布是分形集（如康托尘埃），那么奥伯斯佯谬的解释就不必依赖大爆炸理论。他的模型没有把大爆炸理论完全排除在外，但即使大爆炸没有发生过，仍然可以解释夜黑现象。
1975年，曼德博提出了“碎形”一词用于描述这类结构，并在著作《碎形学：形态，概率和维度》（原书《Les objets fractals, forme, hasard et dimension》，1975年出版；英译本《Fractals: Form, Chance and Dimension》，1977年出版）阐述了他的观点，同时发展了捷克地理学家、人口学家、统计学家Jaromír Korčák在1938年发表的论文《两种类型的统计分布》（原文《Deux types fondamentaux de distribution statistique》，英译版《Two Basic Types of Statistical Distribution》）中的思想。
1979年，在哈佛大学作为访问学者的期间，曼德博开始研究碎形集之一——在复平面上一定变换下具有不变性的朱利亚集合。在加斯顿·朱利亚和皮埃尔·法图学术成果的基础上，曼德博利用公式fc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}反复迭代，在计算机上作出了朱利亚集合的图形。在研究朱利亚集合的拓扑结构是怎样依赖于复参数μ{\displaystyle \mu }的同时，他还提出了后来以他的名字命名的曼德博集合（曼德博集合今天常常由z2+c{\displaystyle z^{2}+c}定义，因此曼德博早期以μ{\displaystyle \mu }为参数所作的图像与后来以c{\displaystyle c}为参数所得图像恰如镜面反射般左右对称）。
1982年，曼德博在《大自然的碎形几何学》一书中发展并更新了他的理论。此书影响巨大，不但使碎形几何学得以进入主流数学研究范畴，而且深受业余读者的欢迎，更使得之前视碎形学为“人工制造”的批评界哑口无言。
1987年，曼德博离开了工作35年又12天的IBM——因为公司决定停止他所在部门的纯理论研究。随后他去了耶鲁大学，并于1999年获得了他的第一个终身教职，时年75岁。2005年退休时，曼德博已经是耶鲁大学的斯特林数学教授。
虽然曼德博提出了碎形这个新名词，然而在他的《大自然的分形几何学》问世之前，就曾有其他数学家对其中引进的一些数学对象做过描述：它们被认为是稀有的、奇特的，与彼时存在的学术领域几乎没什么联系，且具有非自然、非本能的特性。曼德博前无古人地分析了这些现象的共同性质——比如自相似性（线性，非线性，抑或统计学意义上的），尺度不变性，以及（通常的）非整数豪斯多夫维数——将它们聚为同类并抽象为可用的基本工具，从而大大拓宽了科学理论对“不光滑”的真实世界的应用。
曼德博还强调了碎形思想可用于构造实际可行的模型，来模拟真实世界中的很多“粗糙的”现象。自然界中的分形集有山脉，海岸线，河流流域的形状；植物，血管和肺部的结构；星系团；还有布朗运动。碎形几何在人类艺术和娱乐中亦有出现，如音乐，艺术，建筑和股票市场的价格走势。曼德博相信，碎形几何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人类创造出的欧氏几何中各种光滑的研究对象更加直观和自然：
曼德博曾被视为一个空想家和标新立异者。他不拘形式热情洋溢的文风以及对视觉和几何直观的看重（大量插图的使用）使得《大自然的碎形几何学》对于非专业读者也有相当可读性。这本书广泛激发了人们对碎形学的兴趣，同时对混沌理论以及科学和数学的其他领域也有贡献。
2010年10月14日，曼德博因胰腺癌在马萨诸塞州剑桥的临终病人安养所逝世，享年85岁。他离世之后，数学家海因茨·奥托·佩特根说：“如果要论对数学和科学应用的影响，曼德博实在是50年内最重要的人物之一。”克里斯·安德森称他为“改变人类对世界认识的里程碑式人物”。法国总统萨科齐称曼德博具有“从不被革新性的、惊世骇俗的猜想所吓退的强大而富有独创性的头脑”。萨科齐还说，“他的研究完全在主流领域之外发展，却形成了现代信息理论的雏形”。经济学人所发曼德博的讣告指出，他是一位“超越学术界的名人”，并将他誉为“碎形学之父”。
以下是本华·曼德博获得的各种荣誉的一个不完全的清单：
曼德尔球

曼德尔球（Mandelbulb）是一个三维的曼德博集合的模拟，由丹尼尔·怀特和保罗·尼兰德采用球坐标构造。
因为没有复数的二维空间的三维类似物，因此不存在规范的三维曼德博集合。可以使用四元数的4个维度构建曼德博集合。然而，这样构建的集合不能和二维的那样在所有尺度上表现细节。
怀特和尼兰德关于三维矢量⟨x,y,z⟩{\displaystyle \langle x,y,z\rangle }的n{\displaystyle n}次方公式为
⟨x,y,z⟩n=rn⟨sin⁡(nθ)cos⁡(nϕ),sin⁡(nθ)sin⁡(nϕ),cos⁡(nθ)⟩{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle }
其中
r=x2+y2+z2ϕ=arctan⁡(y/x)=arg⁡(x+yi)andθ=arctan⁡(x2+y2/z)=arccos⁡(z/r).{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\phi &=\arctan(y/x)=\arg(x+yi)\\{\rm {and\ }}\theta &=\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r).\end{aligned}}}
他们使用迭代z↦zn+c{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}，其中“zn{\displaystyle z^{n}}”定义如上，“+{\displaystyle +}”是矢量相加。当n>3{\displaystyle n>3}，其结果是一个三维的球状物，有分形的表面和由参数n{\displaystyle n}控制的叶子。他们的很多图形表现采用n=8{\displaystyle n=8}的设置。
R语言

R语言是一種自由軟體程式語言與操作環境，主要用于统计分析、绘图以及数据挖掘。R由新西蘭奧克蘭大學的统计学家罗斯·伊哈卡和罗伯特·杰特曼開發，現在由R核心小组負責開發，同时也有其他用户编写了诸多外挂的软件包。R以S语言为基础，其词法作用域语义來自Scheme。R的后台程序大多由C语言、FORTRAN语言和R自己写成。
R语言是GNU計劃的一个项目，所以其原始碼可自由下載使用。R也有已編譯的執行檔版本可以下載，可在多种平台下运行，包括UNIX（也包括FreeBSD和Linux）、Windows和MacOS。R可以以命令行操作，同時有人開發了幾種圖形用戶界面，其中包括RStudio与Jupyter。
在TIOBE2022年1月对编程语言人气的排名中，R排名第12。
R语言以S语言为基础，增加了Scheme语言中词法作用域这一机制，使程序员得以将代码中某一对象的适用范围限制到一小段代码之中。S由里克·贝克尔、约翰·钱伯斯、道格·邓恩、琼·麦克雷、以及朱迪·席林于1976年前后于贝尔实验室发明。S是一种用于数据分析的解释型语言，无需编译器即可运行。通常用S语言编写的代码都可以不作修改地在R环境下运行。Scheme是Lisp语言的一个分支，由杰拉尔德·J·萨斯曼和小盖伊·L·斯蒂尔于1975年前后在麻省理工学院发明。
1991年，新西兰奥克兰大学的统计学家罗斯·伊哈卡和罗伯特·杰特曼开始对S语言的一个新版本进行开发。伊哈卡与杰特曼两人名字首字母都是R，R语言因此得名。同时，R这个单一字母的名字也表明R语言与S语言一脉相承。1993年8月，伊哈卡与杰特曼在数据平台StatLib和邮件列表s-news中发布了R的早期版本。1995年，在统计学家马丁·梅克勒的建议下，伊哈卡与杰特曼通过GNU通用公共许可证把R做成了一款免费开源软件。软件于1995年6月进行了首次官方发布。首个稳定测试版本（1.0）于2000年2月29日发布。
R综合档案网（Comprehensive R Archive Network；CRAN）于1997年4月23日正式上线。CRAN除了收藏了R的執行檔下載版、原始碼和說明文件，也收錄了各種用戶撰寫的R軟件包。CRAN最早有3个镜像以及12个软件包。截止2022年1月，CRAN有101個鏡像站以及18728个软件包。
同样在1997年，R核心小组正式成立，以进一步对R语言进行开发。截止2022年1月，小组成员包括伊哈卡、杰特曼、钱伯斯以及梅克勒，同时也包括了统计学家库尔特·奥尔尼克（英语：Kurt Hornik）、道格拉斯·贝茨、彼得·达尔高（英语：Peter Dalgaard）、卢克·蒂尔尼（英语：Luke Tierney）、弗里德里希·莱施、托马斯·拉姆利（英语：Thomas Lumley）、邓肯·坦普尔·朗、迈克尔·劳伦斯、乌韦·利格斯、布莱恩·里普利、塞巴斯蒂安·迈耶、保罗·默雷尔、马丁·普卢默、迪伊潘·萨卡尔、西蒙·乌尔巴内克以及计算机科学家托马斯·卡利贝拉。小组过去的成员包括塞思·福尔肯、圭多·马萨罗托、邓肯·默多克、马丁·摩根、海纳·施瓦特以及斯特凡诺·雅各斯。2003年4月，一个名为R基金会的非盈利组织正式成立，为的是更好地对R语言的开发提供支持。
R主要用于数据分析。在R语言中，用于信息存储的数据结构包括向量、数组、列表以及数据框。向量指一组带有固定顺序,数据类型唯一的字串或数值，其内容可以填写到一维或多维的数组之中。二维数组也叫做矩阵。R支持各种数组运算，与自由软件GNU Octave和商業軟件MATLAB的功能有所重叠。列表指一组数据类型可能有所不同的对象。一个字串向量与数值向量合在一起就可以成为一个列表。数据框本质上是一个列表，里面包含了一个或多个长度相同的向量。数据框将这些向量合并成表格，每一纵列都有一个单一的名称。标量这一数据类型在R语言中并不存在，所谓的标量就是一个长度为一的向量。
用户可以用R来进行一些基本的统计检验，构建线性及非线性的模型，对时间序列加以分析，或对数据进行分类与聚类分析。R的另一強項是繪圖功能，画出的图表能够达到专业出版物的要求，也可加入數學符號。计算强度较大时，用户可在程序中嵌入C、C++以及FORTRAN语言以帮助运算。
因為S的血緣，R比其他統計學或數學專用的編程語言有更強的物件導向（面向对象程序设计, S3, S4等）功能。
R的功能能夠透過由用戶撰寫的套件（Packages）增強。增加的功能有特殊的統計技術、繪圖功能，以及編程介面和數據輸出／輸入功能。這些軟件包是由R語言、LaTeX、Java及最常用C語言和Fortran撰寫。下載的執行檔版本會連同一批核心功能的軟件包，而根據CRAN紀錄有一萬多種不同的軟件包。其中有幾款較為常用，例如用於經濟計量、財經分析、人文科學與社會科學研究以及人工智能。
生物信息学社群時常使用R進行分子生物學數據分析。Bioconductor計劃就是讓R作為基因圖譜分析工具。Gnumeric開發者正和R開發者合作，改善Gnumeric計算結果的精確度。
《R新聞雜誌》（R Newsletter）每年會出版兩至三次，為一份免費的電子雜誌，內容有關統計學軟件發展及R語言開發資訊。第一期在2001年一月出版。从2008年开始，被R Journal替代。
下面的例子展示基本的语言语法和命令行界面使用。在R语言中，一般偏好采用两字符合成箭头的赋值算符<-，但是在某些情况也可以使用=。
R语言的力量之一是易于创建新函数。在函数体内的对象保持局部于这个函数，而且可以返回任何数据类型。例如：
R语言对数据建模和图形有内建支持。下列例子展示R语言如何轻易的生成并绘制带有残差的线性回归模型。
通过对方程z=z+c的前20次迭代计算曼德博集合的简短R代码，它针对不同的复数常量c而绘图。这个例子展示了：
心脏线

心脏线，又稱心形綫，是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。
曼德博集合中间的图形是心脏线。
在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：
其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。
在极坐标系中的方程为：
这是四个朝着不同方向的心脏线。
方程为
的心脏线的面积为：
数学领域

随着数学史的推移，数学已成为一个极广泛的主题，因此有必要对不同的数学领域进行分类。许多不同的分类方案已经出现，有相同点也有不同点，差异的原因主要是它们使用的目的不同。此外，随着数学的发展，这些分类方案也必须随之发展，以解释新创建的领域或者新发现的不同领域间的联系。分类通常是困难的，对于那些最活跃的，跨越不同领域边界的主题往往更加困难。
数学的传统分支被分类到纯数学，主要研究其内在的逻辑性；而应用数学可以直接应用以解决现实问题。这种分类方法并不十分清晰，许多主题是按照纯数学发展的，但后来就发现了意想不到的应用。宽泛的分类方法，例如离散数学和计算数学，就是最近才出现的。
几何学处理空间关系，使用基本性质或公理。这些公理可以与点，直线，曲线，曲面和实体的数学定义一起使用以得出逻辑结论。另见几何学主题列表（英语：List of geometry topics）。
外摆线

外摆线是所有形式为
的曲线，其中n为正实数。
假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的1n−1{\displaystyle {\frac {1}{n-1}}}倍的圆在上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。
心脏线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：
r= 1 + cosθ
这样的心脏线的周界为8，围得的面积为32π{\displaystyle {3 \over 2}\pi }。
心脏线亦为蚶线的一种。
在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。
心脏线的英文名称「Cardioid」是de Castillon在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为「像心脏的」。
肾形线亦是外摆线的一种，其n为3。
複分析

複分析（英語：Complex analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。
複变函数，是自变量和因变量皆为複数的函数。更确切的说，複變函数的值域与定义域都是複數平面的子集。在複變分析中，自变量又称为函数的“宗量”。
对于複變函数，自变量和应变量可分成实部和虚部:
用另一句话说，就是函数f(z){\displaystyle f(z)}的成分,
可以理解成变量x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}的二元实函数。
全纯函数（holomorphic function）是定义在複數平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的开子集上的，在複數平面C{\displaystyle \mathbb {C} }中取值的，在每点上皆可微的函数。
复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程：
和
通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。
柯西积分定理指出，如果全纯函数的封閉积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。
假设U{\displaystyle U}是複數平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一个开子集，f:U→C{\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }是一个在闭圆盘D{\displaystyle D}上複可微的方程，并且闭圆盘D={z:|z−z0|≤r}{\displaystyle D=\left\{z:\left\vert z-z_{0}\right\vert \leq r\right\}}是U{\displaystyle U}的子集。 设C{\displaystyle C}为D{\displaystyle D}的边界。则可以推得每个在D{\displaystyle D}内部的点a{\displaystyle a}：
其中的积分为逆时针方向沿着C{\displaystyle C}的积分。
在複變分析中，一个複數平面的开子集D{\displaystyle D}上的亚纯函数是一个在D{\displaystyle D}上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。
複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示：
特別地，全纯函數都是無限次可微的，性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全纯函數。常用的方法有泰勒级数展开等。
复变函数f(z){\displaystyle f(z)}的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。
对于复变函数的孤立奇点，有如下三类。
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在无穷个负幂项，那么这个点称为“本质奇点”。
对复平面C{\displaystyle C}上的给定的开子集U{\displaystyle U}，以及U{\displaystyle U}中的一点a{\displaystyle a}，亚纯函数f:U∖{a}→C{\displaystyle f:U\setminus \left\{a\right\}\rightarrow C}在a{\displaystyle a}处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在有限个负幂项，那么这个点称为“极点”。
亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同z−a=0{\displaystyle z-a=0}时1(z−a)n{\displaystyle {\frac {1}{\left(z-a\right)^{n}}}}的奇点。这就是说，如果当z{\displaystyle z}趋于a{\displaystyle a}时，函数f(z){\displaystyle f(z)}趋于无穷大，那么f(z){\displaystyle f(z)}在z=a{\displaystyle z=a}处便具有极点。
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果没有负幂项，那么这个点称为“可去奇点”。
如果U{\displaystyle U}是复平面C{\displaystyle C}的一个开集，a{\displaystyle a}是U{\displaystyle U}中一点，f:U−{a}→C{\displaystyle f:U-\left\{a\right\}\rightarrow C}是一个全纯函数，如果存在一个在U−{a}{\displaystyle U-\left\{a\right\}}与f{\displaystyle f}相等的全纯函数g:U→C{\displaystyle g:U\rightarrow C}，则a{\displaystyle a}称为f{\displaystyle f}的一个可去奇点。如果这样的g{\displaystyle g}存在，我们说f{\displaystyle f}在a{\displaystyle a}是可全纯延拓的。
在复分析中，留数是一个复数，描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。
亚纯函数f{\displaystyle f}在孤立奇点a{\displaystyle a}的留数，通常记为Res(f,a){\displaystyle Res(f,a)}，是使
在圆盘0<|z−a|<δ{\displaystyle 0<|z-a|<\delta }内具有解析原函数的唯一值R{\displaystyle R}
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
假设U是复平面上的一个单连通开子集，a1、……、an是复平面上有限个点，f是定义在U\ {a1、……、an}的全纯函数。如果γ是一条把a1、……、an包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个ak，并且其起点与终点重合，那么：
一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然后利用留数定理来进行计算。
演算法熵

演算法熵（粵拼：jin2syun3faat3soeng1），又叫柯爾莫哥洛夫複雜性（Kolmogorov complexity），數學符號係K{\displaystyle K}，係理論電腦科學同相關領域上用嚟量度一件物件嘅複雜性嘅一個指標，一件物件嘅演算法熵係指要產生嗰件物件嘅程式嘅最短可能長度。
演算法熵以攞嚟比較唔同物件嘅複雜度。舉兩個簡單嘅例子說明，想像以下呢兩串符號：
呢兩串符號長度一樣，但喺複雜度上唔同：串 1 可以描述為「將『ab』寫 16 次」，即係write ab 16 times噉嘅碼－段碼淨係用咗 17 個符號；相比之下，串 2 冇乜明顯嘅規律，唔能夠用一句嘢簡單噉描述嗮，所以要部電腦死記住write 4c1j5b2p0cv4w1x8rx2y39umgw5q85s7嘅碼－段碼有成 38 個符號。所以如果用演算法熵做準則嘅話，串 1 簡單過串 2。
好似係文頭幅附圖噉。幅圖像係用曼德博集合（Mandelbrot set）所產生嘅一幅碎形（fractal）。如果想要一部電腦記住呢幅圖，可以有兩個方法：一係要部電腦好似傳統嘅點陣圖噉，死記住幅圖每一點係乜嘢色，如果用 24-位元色嚟記嘅話，成幅圖需要用成 1,620,000 個位元組先至記得到；另一方面，部電腦又可以齋靠記住產生幅圖嘅算式，並且喺用家想睇幅圖嗰陣即場用記住嘅算式砌返幅圖出嚟（睇埋向量圖像），而呢個做法花嘅位元組數目會細好多－呢幅圖嘅演算法熵會遠遠細過 1,620,000 個位元組。
Julia

Julia係進階通用動態程式語言，佢最初係為咗滿足高效能數值分析同計算科學嘅需要而設計，唔需要分別編譯速度快，都可用喺用戶端同伺服器嘅Web用途、低階系統程式設計或用作規約語言。
Julia設計獨特之處有參數多型嘅型別系統、完全動態語言中嘅類型同埋佢多分派嘅核心程式設計法。佢容許並行、平行同分散式計算，並直接呼叫C同Fortran庫而唔用黏合程式碼。
Julia有垃圾回收機制，使用及早求值，包含咗用喺浮點計算、線性代數、亂數生成同正規表示式符合嘅高效庫。有好多庫可用，其中啲（如用喺快速傅立葉變換嘅庫）已經預先捆綁喺Julia裏面。
呢個專案大概喺2009年中開始。
主要用喺數值計算。
曼德博集合：
隨機矩陣統計
碎形

碎形（粵拼：seoi3jing4）通常係指「一個粗糙或者零碎嘅幾何形狀，可以分成幾個部分，而且每個部分都（至少要類似）係整體縮細之後嘅形狀」，係有自相似（自我相似，即係話佢同佢本身一部分完全或者幾乎相似）嘅性質。
雖然碎形係一個數學構造，但佢哋同樣可以喺自然界入面搵到，因為咁，碎形屬於藝術作品嘅範疇。碎形喺醫學、土力學、地震學同技術分析入面都有用到。
喺維度上講，碎形入面嘅維度唔一定係整數，而可能會係一哋有理數或者無理數。
碎形一般有以下特質：
因為碎形放到幾大或者縮到幾細都好似，所以通常俾人覺得係無限複雜嘅。自然界入面某程度上似碎形嘅嘢有雲、山、閃電、海岸線、雪片、植物嘅根、蔬菜（好似椰菜花同西蘭花同埋動物毛皮嘅圖案等等。不過，並唔係所有自相似吼嘅嘢都係碎形，好似實直線雖然喺形式上係自相似嘅，但係唔符合碎形嘅其他特質，比如話佢可以俾傳統嘅歐氏幾何語言嚟描述。
碎形嘅圖像可以用碎形產生軟件整出嚟。雖然用呢啲軟件整出嚟嘅圖像冇上面碎形嘅特徵，比如話某哋地方放大之後冇上面所講嘅特徵，但係呢啲圖像通常都算係碎形。而且呢哋圖像可能會有計算或者顯示造成嘅人為偏差​——​一啲唔屬於碎形嘅特徵。
يوجين فاما

يوجين فاما(بالإنجليزية:Eugene Fama)‏ (ولد في14 فبراير1939م) هو عالماقتصادأمريكي حاصل علىجائزة نوبل. اشتُهر بأبحاثه النظرية والتجريبية في نظرية المحفظة وتسعير الأصول. حصل على شهادة جامعية فياللغة الفرنسيةمنجامعة تافتسفي عام 1960 م ومن ثم ماجستير في إدارة الأعمال ودكتوراة في الاقتصاد والتمويل منجامعة شيكاغوحيث أصبح عضواً في هيئة التدريس.
أكثر ما عرف عنه هو تطويرهلفرضية كفاءة السوق. يوجين فاما هو أول فائز بجائزة المالية والاقتصاد مندويتشه بنكو التي مُنحت له في عام 2005 م. كما حصل على جائزة نوبل للاقتصاد عام 2013. نشأ وما زال فاما مسيحي كاثوليكي.
ميدالية برنارد للخدمة الجليلة للعلوم

أُطلقتميدالية برنارد للخدمة الجليلة للعلومعام 1889 بناء على وصية الرئيس العاشرلجامعة كولومبيافريدريك أغسطس بورتر بارنارد، وتمنحهاجامعة كولومبياوفقاً لتوصياتالأكاديمية الوطنية للعلومكل 5 سنوات منذ العام 1895.ويجب التمييز بين هذه الميدالية وميدالية برنارد للتميز.
بناء على وصية الرئيس العاشر لجامعة كولومبيافريدريك أغسطس بورتر بارنارد(مواليد 25 مايو 1809- وفاة 27 أبريل 1889)، أٌنشئت الجائزة. وتنص الوصية على:
قال بتلر رئيس جامعة كولومبيا في منح ميدالية بارنارد في عام 1910:
صُممت الميدالية من شركةتيفاني أند كومبانيفينيويوركعام1894. بتصميم دائري ذو قطر 75 ملم. مرسوماً عليهاكولومبيامن الأمام، معإكليل الغارومصباح للزيت، ويحيط بها إلهان من المعبودات النهرية.يحمل الوجه الأمامي النقش الذي طلبه برنارد في وصيته:"Magna est veritas" (الحقيقة عظيمة) وعلى الوجه الخلفي:"Deo optimo maximo ،gloria in excelsis." (بالعربية «إلى الله العظيم، المجد إلى العلي»).
Benua Mandelbrot

Benua Mandelbrot(fr.Benoît B. Mandelbrot;20 noyabr1924,Varşava,Polşa Respublikası–14 oktyabr2010,Kembric,Massaçusets) — fransız və amerikan riyaziyyatçısı,fraktalhəndəsənin yaradıcısı, fizika üzrəVolf mükafatı(1993) laureatı.
Benua Mandelbrot 1924-cü ildə VarşavadaLitvayəhudilərininailəsində anadan olmuşdur.Onun anası Bella Lurye həkim, atası Karl Mandelbrot isə xırvatçı olmuşdur. Amma onun əmisiŞolem MandelbroytFransada yaşamış və kifayət qədər tanınmış riyaziyyatçı olmuşdur. Şolem Mandelbrot məşhur "Nikola Burbake" ləqəbli riyaziyyatçılar qrupunun üzvü olmuşdur. Benua 12 yaşı olanda ailəsi ilə birlikdəParisəemiqrasiya edir.
Müharibənin başlamasından sonra Mandelbrotlar ailəsi alman işğalından azad olan Fransanın cənubundakı Tulle şəhərciyinə qaçırlar. Benua orada məktəbə getsə də, tezliklə oxumağa marağını itirmişdir.
Amma Benua Mandelbrot özündəki qeyri-adi riyaziyyat vergisini kəşf edir, o müharibədən dərhal sonra Paris Politexnik məktəbinin tələbəsi olur. Məlum olur ki, Benua əla fəza təxəyyülünə malikdir. O, hətta cəbri məsələləri həndəsi üsulla həll edirdi. Onun etdiyi həllərin qəribəliyi ona universitetə daxil olmağa imkan vermişdir.
Universiteti bitirəndən sonra, MandelbrotABŞ-yə gedərəkKaliforniya Texnologiya İnstitutunubitirmişdir. MandelbrotFransayaqayıtdıqdan sonra, 1952-ci ildəParis Universitetinindoktorluq dərəcəsini almışdır.1955-ci ildə Aliyet Kaqanla evlənərəkCenevrəyəyollanmışdır.
1958-ci ildə Mandelbrot qəti surətdə ABŞ-də məskunlaşaraq, YorktaundaİBM-in elmi-tədqiqat mərkəzində işə başlamışdır.
O,İBM-dəlinqvistika,oyunlar nəzəriyyəsi,iqtisadiyyat,aeronavtika,coğrafiya,fiziologiya,astronomiya,fizikasahələrində çalışmışdır. O, bir mövzudan digərinə keçməyi, müxtəlif istiqamətləri araşdırmağı xoşlayırdı.
Benua Mandelbrot böyük zaman müddəti ərzində (100 ildən çox) pambığın qiymətlər statistikasının öyrənilməsi ilə məşğul olmuşdur. Qiymətlərin gün ərzində dəyişməsi təsadüfi olsa da, Mandelbrot onların dəyişmə tendensiyasını öyrənə bilmişdir. O, uzun və qısa müddətli qiymət dalğalanmalarındakı simmetriyanı izlədi. Bu tapıntı iqtisadçılar üçün gözlənilməz olmuşdur.
Benua bu problemin həlli üçün öz fraktal metodunun rüşeymlərindən istifadə etmişdir.
"Fraktal" anlayışını Mandelbrot özü icad etmişdir (lat.fractus, "sındırılmış, sınıq" mənasını verir). 1975 ci ildə Mandelbrot fraktallara aid ilk tədqiqat işini —Böyük Britaniya sahillərinin uzunluğu nə qədərdir?əsərini nəşr etdirdi.Mandelbrot əlində olan IBM kompüterlərindən istifadə edərək Mandelbrot çoxluğundan ibarət qrafik təsvirlər yaratdı. Riyaziyyatçının sözlərinə görə, ondan əvvəl heç kimin belə bir şeyi yaratmamasına baxmayaraq, o, özünü ixtiraçı kimi hiss etməyib.
O, 2010-cu il 14 dekabrdaKembricdə(Massaçusest,ABŞ) 85 yaşındamədəaltı vəzin xərçəngindəndünyasını dəyişmişdir.
Fraktal

Riyaziyyatın əsas qolu olanhəndəsəinsanın yaşadığı dünyanı öyrənməsi üçün vacibdir. Ancaq kainatın mükəmməl görünüşüEvklid həndəsəsivə ya klassik həndəsə ilə açıqlanmayacaq qədər mürəkkəbdir. Çünki klassik həndəsədəki formalardüz xətt, müstəvi, üçbucaq və konuslardan ibarətdir və dünyanın mürəkkəb quruluşunu anlamaq və modelləşdirmək üçün bu formalar kifayət etmir. Latın dilində "fraktus" (sınmış, qırılmış) sözündən əmələ gələn və fransız riyaziyyatçı Benua Mandelbrot tərəfindən 1975-ci ildə əsası qoyulmuş həndəsənin bu yeni sahəsi qarışıq, ancaq mükəmməl uyğunluq və gözəllikdəki dünyanın qüsursuz quruluşunu öyrənir.
Fraktal həndəsənin əsasını təşkil edən başlıca xüsusiyyətlər Allah’ın yaratdığı varlıqlardakı ölçünü və dəqiq hesablamanı göstərir.
Başlanğıc forma.Cismin forması, əslində, bir formanın iç-içə keçmiş kiçik surətləri şəklində ardıcıl təkrar olunur. Ölçüləri kiçilən və bir-birini izləyən formalar zəncirvarı şəkildə davam edir. Ancaq bu formalar çox simmetrik düzülürlər. Buna ən yaxşı misal qar dənəcikləri və ilbiz qabığıdır.
Möhtəşəm nizam.Təbiətdə gördüyünüz bütün cisimlər, hətta orqanizminizdəki sistemlər belə çoxlu mürəkkəb formadan təşkil olunmuş kimi görünsə də, əslində, müəyyən nizamla yerləşiblər.
Bu xüsusiyyətlər mürəkkəb göründüyü halda, əslində, çox simmetrik şəkildə təkrarlanan naxışların varlığını göstərir.
Fraktal həndəsəyə misallar
Öz orqanizmimizdən nəfəs borusunu misal çəkək. Nəfəs borumuz iki yerə ayrılaraq iki bronx əmələ gətirir. Bunu başlanğıc forma qəbul edək. Bu iki qolun hər biri başlanğıc forma görünüşündə yenidən iki yerə ayrılır və borucuqlar ağciyər kisələrinin içində də getdikcə ölçüsü kiçilərək, lakin başlanğıc forma şəklində şaxələnməkdə davam edir. Bu nümunəni dünyadakı bir çox cisimdə görmək mümkündür.
Bir-birinin içinə keçmiş əzələ lifləri, ağacların budaqları, aortadan kapillyarlara qədər bütün qan damarları, qasırğa kimi güclü küləklərdən yerdəki yarpaqları tərpədən mehlərə qədər azalan hava axınlarının düzülüşü, uzaqdan baxdıqda görünməyən, lakin yaxından baxdıqda insanı heyrətə salan naxışlı qar dənəcikləri, hətta normal ürək döyüntüsü ritminin belə ürək əzələlərindəki sinir liflərinin fraktal quruluşuna uyğun olması Allah’ın fraktal həndəsə elmindəki üstün yaratma sənətinin dəlillərindəndir.
Fraktal sıxılma

Görüntüdə fraktal rəsmlərin axtarıb tapılması artıq çox hesablamaların aparılmasını tələb edir. Bununla belə, fraktal sıxılma itkilərlə müşayiət olunur, çünki fraktalların müqayisəsi prosesi dəqiq uyğunluğun tapılmasını nəzərdə tutmur. Bunun əvəzinə kodlaşdırma vaxtına, keyfiyyətcə orijinala uyğunluğu və alınmış verilənlərin ölçüsünə görə, mümkün variantlardan ən yaxşısı axtarılır. Bir qayda olaraq, nəticənin "gözəyarı", praktik olaraq orijinaldan fərqlənməməsi tələb olunur.    
Ancaq nəticələri böyük səmərə verir. Fraktal sıxılmış görüntünün qablaşdırmadan açılmasına sərf olunan vaxt, qablaşdırmaq üçün sərf olunan vaxtdan qat-qat azdır. Bəzən fraktal təsvir yaddaşda öz orijinalının 100 və daha çox dəfə az yer tutur. Bundan başqa fraktalları detalların itkisi olmadan və əlavə detallar (artefaktlar) olmadan çox asan miqyaslaşdırmaq olur.  Lakin həmişə olduğu kimi, əksərfraktalsıxılma alqoritmləri patentləşdirilib və onlardan proqramlarda sərbəst istifadəyə icazə verilmir.
Yucin Fama

Yucin Fama(ing.Eugene Francis "Gene" Fama;14 fevral1939,Boston) — amerikalıiqtisadçı. 2013-cü ildəİqtisadiyyat üzrə Nobel mükafatınalayiq görülmüşdür. Xüsusilə portfel nəzəriyyəsi və varlıq qiymətləri mövzusunda olan tədqiqatları ilə tanınır. Yucin Fama çağdaşmaliyyəninatası hesab olunur.
İqtisadiyyat üzrə Nobel mükafatınavarlıq qiymətləri mövzusundakı təcrübi analizlərlə bağlı tədqiqatlarına görə layiq görülmüşdür.Yucin Fama yeni məlumatların tez-tez daxil olduğunu söyləyərək,səhmqiymətlərini qısamüddətli dövrdə təxmin etmənin olduqca çətin olduğunu ifadə etmişdir.
বনোয়া মঁদেলব্রো

বনোয়া মঁদেলব্রো(ফরাসি:Benoit Mandelbrot) একজন পোলীয়-বংশোদ্ভূতফরাসিগণিতবিদ। তিনিগণিতেরএকটি আলাদা শাখা হিসেবেফ্র‌্যাক্টাল জ্যামিতিরউন্নয়ন সাধন করেন। মঁদেলব্রো ১৯২৪ সালেপোল্যান্ডেরওয়ারস'-তে জন্মগ্রহণ করেন। তিনিফ্রান্সওমার্কিন যুক্তরাষ্ট্রেপড়াশোনা করেন। তিনি ১৯৫২ সালেপ্যারিস বিশ্ববিদ্যালয়থেকে গণিতে ডক্টরেট অর্জন করেন। তিনিহার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়েঅর্থনীতি,ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়েপ্রকৌশলবিদ্যা,আলবার্ট আইনস্টাইন চিকিৎসা বিশ্ববিদ্যালয়েশারীরবিদ্যাএবং প্যারিস ওজেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়েগণিতের অধ্যাপনা করেছেন। ১৯৫৮ সাল থেকে তিনিনিউ ইয়র্কঅঙ্গরাজ্যেআইবিএম-এরটি জে ওয়াটসন গবেষণা কেন্দ্রেএকজন ফেলো হিসেবে কর্মরত আছেন। প্রথাগত জ্যামিতির তুলনায় ফ্র‌্যাক্টাল জ্যামিতিতে মাত্রাকে অধিকতর বিমূর্ত দৃষ্টিভঙ্গিতে বিবেচনা করা হয়। বর্তমানে বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির নানা ক্ষেত্রে এটি প্রযুক্ত হচ্ছে।
বিজ্ঞানে মেধাবী কৃতিত্বের জন্য বার্নার্ড পদক

বার্নার্ড মেডেল ফর মেরিটোরিয়াস সার্ভিস টু সায়েন্স১৮৮৯ সালে কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের সভাপতিফ্রেডেরিক এ পি বার্নার্ডেরইচ্ছায় প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল এবং ১৮৯৯ সাল থেকে প্রতি ৫ বছর অন্তরন্যাশনাল অ্যাকাডেমি অফ সায়েন্সেরসুপারিশের ভিত্তিতেকলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়কর্তৃক প্রদান করা হয়।এটিবার্নার্ড মেডেল অব ডিস্টিঙ্কশনেরসাথে বিভ্রান্তি হতে পারে, যা অন্য বিষয়কে নির্দেশ করে।
১৯১০ সালে বার্নার্ড মেডেল প্রদানের সময়কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়েরপ্রেসিডেন্ট বাটলার বলেন   :
নসীম নিকোলা তালেব

নসীম নিকোলা তালেব(আরবি:نسيم نقولا طالب,ইংরেজি:Nassim Nicholas Taleb; জন্ম ১২ সেপ্টেম্বর ১৯৬০) একজন লেবাননীয়–মার্কিনপ্রাবন্ধিক,পণ্ডিত,গাণিতিক পরিসংখ্যানবিদ, সাবেকবিকল্প বাণিজ্যিক,ঝুঁকি বিশ্লেষকও প্রবচক।তিনিযদৃচ্ছতা,সম্ভাবনাওঅনিশ্চয়তানিয়ে কাজ করে থাকেন।দ্য সানডে টাইমসতাঁর ২০০৭ সালে প্রকাশিত বইদ্য ব্ল্যাক সোয়ানকেদ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধোত্তরসবচেয়ে প্রভাবশালী বারোটি বইয়ের অন্যতম বলে অবিহিত করেছে।
তালেব ২০০১ থেকে ২০১৮ সালের মধ্যে প্রকাশিত অনিশ্চয়তার উপর একটি পাঁচ খণ্ডের দার্শনিক প্রবন্ধসমগ্রইনসার্টোর লেখক (যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত বই হলদ্য ব্ল্যাক সোয়ানওঅ্যান্টিফ্র‍্যাজাইল)। তিনি বেশ কয়েকটি বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যাপক ছিলেন, ২০০৮ সালের সেপ্টেম্বর থেকে নিউ ইয়র্ক ইউনিভার্সিটি ট্যান্ডন স্কুল অব ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে ঝুঁকি প্রকৌশলের বিশিষ্ট অধ্যাপক হিসেবে কাজ করছেন।তিনি ২০১৪ সালের সেপ্টেম্বর থেকেরিস্ক অ্যান্ড ডিসিশন অ্যানালাইসিসঅ্যাকাডেমিক জার্নালের সহ-সম্পাদক-ইন-চিফ। এছাড়াও তিনিগাণিতিক অর্থসংস্থানেরএকজন অনুশীলনকারী, হেজ তহবিল ম্যানেজার ও ব্যুৎপাদক বণিক এবং বর্তমানে ইউনিভার্সা ইনভেস্টমেন্টে একজন বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা হিসেবে তালিকাভুক্ত হয়েছেন।
তালেবলেবাননেরআমিউনেক্যান্সার বিশেষজ্ঞ মিনেরওয়া গোসন ও নৃবিজ্ঞানী নগীব তালেবের ঘরে জন্মগ্রহণ করেন।তার বাবা-মা ছিলেনআন্তিয়খীয় গ্রীক খ্রীষ্টানবংশোদ্ভূতএবংফরাসিনাগরিকত্বধারী। তার নানা ফুয়াদ নিকোলা গোসন এবং তার প্রমাতামহ নিকোলা গোসন, দুজনই ১৯৪০ ও ১৯৭০-এর দশকেলেবাননের উপরাষ্ট্রপতিছিলেন। তার দাদা নসীম তালেব ছিলেন লেবানীয় সুপ্রিম কোর্টের বিচারপতি এবং তার প্র-প্র-প্র-প্রপিতামহ ইব্রাহীম তালেব ১৮৬৬ সালে মাউন্ট লেবানন অঞ্চলের গভর্নর ছিলেন।তালেব বৈরুতে গ্রঁ লিসে ফ্রঁকো-লিবোন্যা নামক একটি ফরাসি বিদ্যালয়ে করেছেন।তার পরিবার ১৯৭৫ সালে শুরু হওয়া লেবাননীয় গৃহযুদ্ধের কারণে দেশটির রাজনৈতিক প্রসিদ্ধতা ও সম্পদ হ্রাস প্রত্যক্ষ করে।তিনি একজনগ্রীক অর্থোডক্স খ্রীষ্টান।
জাপান পুরস্কার

জাপান পুরস্কার(日本国際賞,Nihon-kokusai-shō, আক্ষরিক অর্থে "জাপানের আন্তর্জাতিক পুরস্কার")বিশ্বের সকল দেশের নাগরিকদের মধ্য থেকে যারা "বিজ্ঞান ও প্রযুক্তিতে মৌলিক ও অসামান্য অর্জনের মাধ্যমে জ্ঞানের ভাণ্ডারে একদিকে যেমন নতুনত্ব যোগ করেছেন, সেইসঙ্গে মানবজাতির  শান্তি ও সমৃদ্ধিতেও অবদান রেখেছেন" এমন ব্যাক্তিদের এই পুরস্কারটিতে ভূষিত করা হয়। জাপান প্রাইজ ফাউন্ডেশন নামের একটি সংস্থা পুরস্কারটি প্রদান করে। উক্ত ফাউন্ডেশন ১৯৮৫ সাল থেকে শুরু হওয়া পুরস্কারটির মাধ্যমে এযাবতকাল পর্যন্ত ১৩টি দেশের ৮১জন গুনীজনকে সম্মাননা প্রদান করেছে।
জাপান পুরস্কারটির মধ্যে রয়েছে একটি সনদপত্র, একটি স্মারক পদক এবং জাপানি ইয়েন মুদ্রায় ৫ কোটি নগদ অর্থ। জাতীয়তা, পেশা, জাতি কিংবা লিঙ্গ নির্বিশেষে পুরস্কারটি প্রদান করা হয়। কেবল জীবিত ব্যাক্তিদেরই পুরস্কারটির জন্য মনোনীত করা হয়।   জাপান প্রাইজ ফাউন্ডেশনবিজ্ঞানওপ্রযুক্তিরবর্তমান পরিস্থিতি ও অভিমুখ অনুযায়ী পুরস্কারের জন্য দুটি ক্ষেত্র নির্বাচন করে। প্রায় এক বছর সময় নিয়ে মনোনয়ন এবং বাঁছাই প্রক্রিয়া সম্পন্ন করা হয়। নির্বাচিত ক্ষেত্র দুটি থেকে একজন করে বিজয়ীর নাম জানুয়ারিতে ঘোষণা করা হয়।
জাপানেরসম্রাটএবং সম্রাজ্ঞীর উপস্থিতিতে আনুষ্ঠানিকভাবে এই মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কারটি প্রদান করা হয়। ১৯৯৩ সালেরসায়নে নোবেল বিজয়ী,ক্যারি মুলিস, একই বছরপলিমারেজ শৃঙ্খল বিক্রিয়ায়অবদানের জাপান পুরস্কারটিও লাভ করেন। তার বইড্যান্সিং নেকেড ইন দ্য মাইন্ড ফিল্ডঅনুসারে,পুরস্কারটি গ্রহণের সময় সম্রাজ্ঞী মিচিকোকে তিনিসুইটিবলে সম্বোধন করেছিলেন। প্রতি বছর অনুষ্ঠানটিতে জাপানেরপ্রধানমন্ত্রী, হাউস অব রিপ্রেজেন্টেটিভের স্পিকার,কাউন্সিলর হাউসের প্রেসিডেন্ট, সুপ্রিম কোর্টের প্রধান বিচারপতি, জাপানে নিযুক্ত বিভিন্ন বিদেশি রাষ্ট্রদূত এবং প্রায় সহস্রাধিক  বিশিষ্ট শিক্ষাবিদ, গবেষক, রাজনৈতিক ব্যাক্তিবর্গ, ব্যবসায়িক মহল এবং গণমাধ্যমের স্বনামধন্য প্রতিনিধিএবং অন্যান্য বিশিষ্ট অতিথিরা উপস্থিত থাকেন। ২০১৪ সালের জাপান পুরস্কার প্রদান অনুষ্ঠানটি ২৩ এপ্রিল টোকিওর ন্যাশনাল থিয়েটারে অনুষ্ঠিত হয়েছিল।
বর্তমানেনোবেল পুরস্কারেরপর এই আন্তর্জাতিক পুরস্কারটিকে বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি ক্ষেত্রে সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কার হিসেবে বিবেচনা করা হয়। বিজ্ঞান বিষয়ক সাময়িকীনেচার ইমিউনোলজিরএকটি নিবন্ধ অনুসারে,নোবেল পুরস্কার, সুইডেন (১৯০১ সাল থেকে), অ্যালবার্ট লাস্কার বেসিক মেডিকেল রিসার্চ অ্যাওয়ার্ড, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র (১৯৪৬ সাল থেকে), পল এহরলিচ এবং লুডউইগ ডার্মস্টাডেটার পুরস্কার, জার্মানি (১৯৫২ সাল থেকে), কানাডা গাইর্ডনার ইন্টারন্যাশনাল অ্যাওয়ার্ড, কানাডা (১৯৫৯ সাল থেকে), উলফ প্রাইজ, ইসরাইল (১৯৭৮সাল থেকে), এবং ক্রাফুর্ড পুরস্কার, সুইডেন (১৯৮০ সাল থেকে) ইত্যাদির পাশাপাশি স্বনামধন্য জাপান পুরস্কারটিও ইমিউনোলজি বিষয়ক বিশেষ অবদানকে স্বীকৃতি দেয়।
আন্তর্জাতিক সমাজের প্রতি জাপানের কৃতজ্ঞতা জ্ঞাপনেরর আকাঙ্খায় জাপান পুরস্কারের প্রবর্তন করা হয়েছে।প্যানাসনিক কর্পোরেশনেরপ্রতিষ্ঠাতাকোনসুকে মাতসুশিতার দান করা তহবিল পরিকল্পনাটিকে পৃষ্ঠপোষণ করেছে। তিনি জাপান পুরস্কার প্রস্তুতি ফাউন্ডেশনের প্রথম সভাপতি ছিলেন।
১৯৮২ সালে জাপান পুরস্কার প্রস্তুতি ফাউন্ডেশন প্রতিষ্ঠিত হয় এবং পরবর্তীতে দেশটির মন্ত্রীসভা থেকে অনুমোদন লাভ করে। ১৯৮৫ সালে টোকিওতে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রথম জাপান পুরস্কার প্রদান করা হয়।
Japonská cena

Japonská cena(japonsky: 日本国際賞) jeocenění, udílené lidem z celého světa, jejichž „originální a vynikající úspěchy v oblastivědyatechnologiejsou uznávány pro posunutí hranice lidských znalostí a slouží míru a prosperitě lidstva.“Cena je udílena každoročně, a to v kategorii věda a technologie. Laureát získácertifikáto získání ocenění, pamětnímedailia finanční ohodnocení ve výši 50 milionůjenů.
Mezi její nositele patří napříkladVint Cerf,Efrajim Kacir,Albert Fert,Peter Grünberg,Benoît MandelbrotčiTim Berners-Lee.
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Eugene Fama

Eugene Francis „Gene“ Fama(*14. února1939Boston,Massachusetts) jeamerickýekonom, nositelNobelovy ceny za ekonomii.
Narodil se vBostonuv americkém státěMassachusetts. Jeho prarodiče byli všichniimigrantizItálie.
Titulbakalářezískal naTufts Universitya titulPh.D.v oborechekonomieafinancíobhájil naUniversity of Chicago. Vedoucími jeho doktorandské práce byliMerton Millera Harry Roberts, přičemž vliv na jeho práci měl takéBenoît Mandelbrot. Na chicagské univerzitě strávil rovněž celou svoupedagogickoukariéru.
V roce2013byl oceněnNobelovou cenou za ekonomii, společně sR. J. ShilleremaL. P. Hansenem.
Univerzita v Lille

Univerzita vLille(francouzskyUniversité Lille Nord de France) byla založena v roce 1562.
Charles Barrois,Émile Borel,Pierre Bourdieu,Joseph Boussinesq,Albert Calmette,René Cassin,Henri Cartan,Albert Châtelet,Jean Delannoy,Paul Dubreil,Camille Guérin,Étienne Gilson,Vladimir Jankélévitch,Pierre Macherey,Szolem Mandelbrojt,Benoît Mandelbrot,Henri Padé,Paul Painlevé,Louis Pasteur,Ernest Vessiot.