Reticolo di Bravais

Ingeometriae incristallografia, unreticolo cristallino(o "reticolo di Bravais", dal franceseAuguste Bravaische per primo lo descrisse nel 1848) è un insieme infinito di punti discreti aventi disposizione geometrica sempre uguale in tutto lospazio. I punti del reticolo sono costituiti da una "base" (racchiusa all'interno di unacella unitaria), cioè da un insieme di uno o piùentità molecolari(atomi,molecoleoioni), per cui la struttura atomica deicristalliè definita dal reticolo e dalla base del reticolo.
Lateoria dei gruppipermette di definire il numero di reticoli di Bravais possibili per ognidimensionedello spazio.
Si ponga l'origine degliassi cartesianisu un qualsiasi punto del reticolo, ogni punto è individuato da unvettore. Un reticolo di Bravais è generato da operazioni ditraslazionenello spazio di un insieme di vettori, dettivettori primitivi. I vettori primitivi sonolinearmente indipendentie la loro scelta non è univoca.
La definizione generale di reticolo di BravaisR{\displaystyle \mathbf {R} }ind{\displaystyle d}dimensioniè:
doveni{\displaystyle n_{i}}sononumeri interieai{\displaystyle \mathbf {a} _{i}}i vettori primitivi del reticolo.
Il reticolo in una dimensione è unico e definito dall'equazione:
In due dimensioni il reticolo viene definito dall'equazione:
cona1{\displaystyle \mathbf {a} _{1}}ea2{\displaystyle \mathbf {a} _{2}}, i vettori primitivi, che non sonoparalleli. In due dimensioni esistono cinque reticoli di Bravais: obliquo, rettangolare, rettangolare centrato, esagonale e quadrato. In realtà vi sono quattrosistemi cristallini, in quanto il rettangolare e il rettangolare centrato appartengono allo stesso sistema cristallino.
Il reticolo in tre dimensioni viene definito dall'equazione:
cona1{\displaystyle \mathbf {a} _{1}},a2{\displaystyle \mathbf {a} _{2}}ea3{\displaystyle \mathbf {a} _{3}}i vettori primitivi, che non sonocomplanari.
Si definisce cella primitiva unitaria di un reticolo un volume di spazio che, traslato attraverso tutti i vettori di un reticolo di Bravais, riempie completamente il reticolo senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi vuoti. Una cella primitiva contiene un solo punto del reticolo, e ha stessa simmetria del reticolo.
Nel caso tridimensionale, conoscendo il volume, è possibile determinare la densità del solido:
Dovem{\displaystyle m}è la massa della base eV{\displaystyle V\ }è il volume della cella unitaria. Da un punto di vista geometrico si dimostra che, dettia1{\displaystyle \mathbf {a} _{1}},a2{\displaystyle \mathbf {a} _{2}},a3{\displaystyle \mathbf {a} _{3}}i vettori primitivi, il volume della cella unitaria risulta:
Nel caso tridimensionale per un reticolosc{\displaystyle sc}la scelta più banale è quella di un cubo di latoa{\displaystyle a}.
Tutto lo spazio di un reticolo può essere riempito con celle convenzionali senza sovrapposizioni quando viene traslato attraverso un sottoinsieme dei vettori del reticolo di Bravais.
La cella di Wigner-Seitz attorno a un punto di un reticolo di Bravais è lacella primitivache gode di tutte le proprietà di simmetria della struttura.
Consideriamo un set di puntiR{\displaystyle \mathbf {R} }che costituiscono un reticolo di Bravais e un'onda piana, definita daeik⋅r{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}. Tale onda, per alcuni valori dik{\displaystyle \mathbf {k} }, ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'ondaK{\displaystyle \mathbf {K} }che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:
Dovendo tale relazione valere per qualsiasir{\displaystyle \mathbf {r} }segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:
per tutti i puntiR{\displaystyle \mathbf {R} }del reticolo di Bravais.
I reticoli di Bravais si classificano in base alla forma della cella convenzionale, dove ciascuna forma corrisponde a uno dei settesistemi cristallini, e alla presenza o meno di punti del reticolo al centro del corpo o delle facce di questa.
I sette sistemi cristallini sono:
e la centratura del reticolo può essere:
Non tutte le combinazioni sistema cristallino-centratura danno però luogo a differenti tipi di reticolo, in quanto alcune di queste sono equivalenti: ad esempio, un reticolo monoclino I è equivalente a un reticolo monoclino C cambiando la scelta dei vettori di base.
In tre dimensioni vi sono 14 tipi di reticolo di Bravais,riportati di seguito. Per quanto riguarda la sigla con cui vengono identificati si usa normalmente la notazione che deriva dall'inglese.
Si chiamano primi vicini i punti del reticolo più vicini a un dato punto del reticolo stesso. A causa della natura periodica del reticolo di Bravais ogni punto ha lo stesso numero di primi vicini. Si chiamanumero di coordinazioneil numero di primi vicini, tale grandezza è una proprietà fondamentale del reticolo. In tabella sono dati i numeri di coordinazione dei tre reticoli cubici assieme ad altre proprietà di tale reticoli.
Nella tabella sono riportati i tipi di struttura cristallina per gli elementi metallici più importanti. La distanza interatomica si riferisce alla distanza fra due atomi dello stesso elemento misurata con l'aiuto delladiffrazione a raggi X.