Кристаллографическая группа

Кристаллографическая группа(фёдоровская группа) —дискретнаягруппадвиженийn{\displaystyle n}-мерногоевклидова пространства, имеющая ограниченнуюфундаментальную область.
Две кристаллографические группы считаются эквивалентными,
если они сопряжены в группеаффинных преобразованийевклидова пространства.
Теоремы Бибербаха
Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп:
ПустьL{\displaystyle L}— совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группеΓ{\displaystyle \Gamma }.
ТогдаL{\displaystyle L}—нормальная подгруппаконечного индекса, изоморфнаяZn{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}и совпадающая со своимцентрализаторомвΓ{\displaystyle \Gamma }.
Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группеΓ{\displaystyle \Gamma }является и достаточным условием того, чтобы группаΓ{\displaystyle \Gamma }была изоморфна кристаллографической группе.
ГруппаG{\displaystyle G}линейных частей кристаллографической группыΓ{\displaystyle \Gamma }сохраняет решёткуL{\displaystyle L}; иными словами, в базисе решеткиL{\displaystyle L}преобразования изG{\displaystyle G}записываются целочисленными матрицами.
Число кристаллографических группn{\displaystyle n}-мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностямиA004029иA006227.
С точностью до эквивалентности имеется
Элементы симметрии конечных фигур, которые оставляют неподвижной хотя бы одну точку.
Поворотные оси симметрии, зеркальная плоскость симметрии, центр инверсии (центр симметрии) и несобственные вращения — инверсионные оси и зеркально-поворотные оси. Несобственные вращения определяются как последовательное выполнение поворота и инверсии (или отражения в перпендикулярной плоскости). Любую зеркально-поворотную ось можно заменить инверсионной осью и наоборот. При описании пространственных групп предпочтение обычно отдаётся инверсионным осям (в то время как в символике Шёнфлиса используются зеркально-поворотные оси).
В 2-мерных и 3-мерных кристаллографических группах могут присутствовать только повороты вокругосей симметриина углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка) и 60° (6-го порядка). Оси симметрии в символике Браве обозначаются буквойLс нижним цифровым индексомn, соответствующим порядку оси (Ln{\displaystyle L_{n}}), в международной символике (символике Германа — Могена), арабскими цифрами, указывающими на порядок оси (например,L2{\displaystyle L_{2}}= 2,L3{\displaystyle L_{3}}= 3 иL4{\displaystyle L_{4}}= 4). Инверсионные оси в символике Браве обозначаются буквойŁс нижним цифровым индексомn, соответствующим порядку поворотной оси (Łn), в международной символике — цифровым индексом с чёрточкой сверхуn(например,Ł3=3,Ł4=4,Ł6=6). Подробнее о несобственных вращениях и их обозначениях написаноздесь. Оси симметрииL3,L4,L6называются осями симметрии высшего порядка. Зеркальная плоскость симметрии обозначаетсяPпо Браве иmв международной символике. Центр инверсии обозначаетсяCпо Браве и1в международной символике.
Все возможные комбинации точечных элементов симметрии приводят к 10 точеным группам симметрии в 2-мерном пространстве и32 точечным группамв 3-мерном пространстве.
В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии — двойные вращения в двухабсолютно перпендикулярных плоскостях. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на −90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).
В 6-мерном и 7-мерном пространствах в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 и 30. См. такжеen:Crystallographic restriction theorem.
В кристаллографических группах всегда присутствуют трансляции —параллельные переносы, при сдвиге на которые кристаллическая структура совместится сама с собой.Трансляционная симметриякристалла характеризуетсярешёткой Браве. В 3-мерном случае всего возможно 14 типов решёток Браве. В размерностях 4, 5 и 6 число типов решёток Браве равно 64, 189 и 841, соответственно. С точки зрения теории групп, группа трансляций являетсянормальнойабелевойподгруппой пространственной группы, а пространственная группа являетсярасширениемсвоей подгруппы трансляций.Факторгруппойпространственной группы по подгруппе трансляций является одна из точечных групп.
Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 21(поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 31(поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 32(поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 41(поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 42(поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 43(поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 61, 62, 63, 64, 65(поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 32, 43, 64, и 65энантиоморфны осям 31, 41, 62, и 61, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп - в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.
Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквойa,bилиc. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквойnв случае скольжения равного половине диагонали, илиdв случае скольжения равного четверти диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскостиnиdтакже называются клиноплоскостями.dплоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ.diamond- алмаз).
В некоторых пространственных группах присутствуют плоскости, где скольжение происходит как вдоль одной оси, так и вдоль второй оси ячейки (то есть плоскость является одновременноaиbилиaиcилиbиc). Это происходит за счёт центрировки грани, параллельной плоскости скольжения. В 1992 году для таких плоскостей был введён символe.Николай Васильевич Беловпредлагал также ввести обозначениеrдля плоскостей со скольжением вдоль пространственной диагонали в ромбоэдрической ячейке. Однакоrплоскости всегда совпадают с обычными зеркальными плоскостями, и термин не прижился.
Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элементами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ.International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.
Символ пространственной группы содержит символрешётки Браве(заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы.
Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка;
A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке.
Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например,2/c— ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направленииc). Под основными направлениями понимают:
Символы Германа — Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411.
Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяютC2m2m2m{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}наCmmm{\displaystyle Cmmm}.
Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).
nможет равняться 1, 2, 3, 4, 6.
Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (n=2{\displaystyle n=2}) и кристаллических структур (n=3{\displaystyle n=3}).
Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимоФёдоровым(1885),Шёнфлисом(1891) иБарлоу(1894).
Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были полученыБибербахом.