Insieme di Mandelbrot

L'insieme di Mandelbrotofrattale di Mandelbrotè uno deifrattalipiù popolari, conosciuto anche al di fuori dell'ambitomatematicoper le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.
È l'insiemedeinumeri complessic{\displaystyle c}per i quali lasuccessionedefinita da:
èlimitata.Nonostante la semplicità della definizione, l'insieme ha una forma complessa il cuicontornoè un frattale. Solo con l'avvento delcomputerè stato possibile visualizzarlo.
L'insiemeprende il nome daBenoît Mandelbrot, colui che nel suolibroLes Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension(1975) rese popolari i frattali.
L'insiemedi Mandelbrot si colloca nel campo delladinamica complessa, il cui studio inizia con imatematicifrancesiPierre FatoueGaston Juliaall'inizio delXX secolo. I primi disegni dell'insieme di Mandelbrot risalgono al1978e fanno parte di uno studio diRobert BrooksePeter Matelskiriguardante igruppi kleiniani;èBenoît Mandelbrotnel1980a visualizzare per primo la forma che oggi porta il suo nome e a riconoscere che si tratta di un frattale.
Lo studio approfondito di questo insieme comincia nel1984con il lavoro dei matematiciAdrien DouadyeJohn H. Hubbard, che ne scoprono molte fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot.
L'articolo di copertina del numero diScientific Americandell'agosto1985, tradotto initalianosuLe Scienzenell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot,Heinz-Otto Peitgene John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico.I matematici Heinz-Otto Peitgen ePeter Richterdiventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini.
Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi postiMikhail Lyubich,Curt McMullen,John Milnor,Mitsuhiro ShishikuraeJean-Christophe Yoccoz.
L'insieme di MandelbrotM{\displaystyle M}è definito a partire da una famiglia dipolinomi quadratici complessi:
nella forma:
dovec{\displaystyle c}è un parametro complesso.
Per ognic{\displaystyle c}si considera il comportamento dellasuccessione
(0,fc(0),fc(fc(0)),fc(fc(fc(0))),…){\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}
ottenuta iterandofc(z){\displaystyle f_{c}(z)}a partire dal puntoz=0{\displaystyle z=0}; questa può o divergere all'infinito oppure essere limitata. L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei puntic{\displaystyle c}tali che la corrispondente successione è limitata.
Più formalmente, sefcn(z){\displaystyle f_{c}^{n}(z)}indica l'n-esima iterata difc(z){\displaystyle f_{c}(z)}(cioèfc(z){\displaystyle f_{c}(z)}compostacon sé stessanvolte), l'insieme di Mandelbrot è ilsottoinsiemedelpiano complessodato da:
Si puòdimostrareche se ilmodulodizn{\displaystyle z_{n}}è maggiore di2{\displaystyle 2}allora la successione divergerà e quindi il puntoc{\displaystyle c}sarà esterno all'insieme di Mandelbrot.
Dal punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è semplicemente uninsiemedi numeri complessi. Ogni numero complessoc{\displaystyle c}può appartenere aM{\displaystyle M}oppure no. Una rappresentazione grafica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot si ottiene colorando tutti i puntic{\displaystyle c}che appartengono aM{\displaystyle M}di nero e gli altri di bianco.
Le immagini multicolori che si vedono sono generate colorando i punti esterni all'insieme in dipendenza di "quanto velocemente" la sequenza|fcn(0)|{\displaystyle |f_{c}^{n}(0)|}diverge all'infinito. Il minimo valore din{\displaystyle n}per cui|zn|>2{\displaystyle |z_{n}|>2}è un indice di quanto "lontano dal contorno" si trova un punto e viene utilizzato per la rappresentazione "a colori". Paradossalmente, i punti colorati che conferiscono il fascino al frattale di Mandelbrot sono proprio quelli chenonappartengono all'insieme.
L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gliinsiemi di Julia. Ad ognipuntodelpiano complessocorrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme èconnessose il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.
Intuitivamente, gli insiemi di Julia piùinteressanti(ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino albordodell'insieme di Mandelbrot; punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici, mentre i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi non connessi.
L’insieme di Mandelbrot può essere generalizzato dagli esponentid{\displaystyle d}superiori a 2 perz{\displaystyle z}↦zd+c{\displaystyle z^{d}+c}. Queste generalizzazioni si chiamano « Multibrot ».