격자 (순서론)

순서론에서격자(格子,영어:lattice)는 두 원소의상한(이음,영어:join조인)과하한(만남,영어:meet미트)이 항상 존재하는부분 순서 집합이다.
(유계) 격자의 개념은추상대수학적으로,순서론적으로, 또는범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로동치이다.
유계 격자(有界格子,영어:bounded lattice)(L,∨,∧,⊥,⊤){\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )}는 두 개의 이항 연산∧,∨:L2→L{\displaystyle \land ,\lor \colon L^{2}\to L}및 두 상수⊥,⊤∈L{\displaystyle \bot ,\top \in L}가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는대수 구조이다.
이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.
여기서 이항 연산∨{\displaystyle \vee }를이음,∧{\displaystyle \wedge }를만남이라고 하며,⊤{\displaystyle \top }은최대 원소,⊥{\displaystyle \bot }은최소 원소라고 한다.
유계 격자의 정의에서모노이드를반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면)격자의 개념을 얻는다. 즉,격자(L,∨,∧){\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}는 다음 세 공리들을 만족시키는이항 연산∨,∧:L×L→L{\displaystyle \vee ,\wedge \colon L\times L\to L}이 주어진대수 구조이다. 모든a,b,c∈L{\displaystyle a,b,c\in L}에 대하여, 다음이 성립한다.
이로부터 다음을 증명할 수 있다.
격자(L,∨,∧){\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}에 다음과 같은부분 순서≤{\displaystyle \leq }를 줄 수 있다.
(이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.)
원순서 집합(L,≲){\displaystyle (L,\lesssim )}이 다음 조건을 만족시킨다면,유계 원격자(有界原格子,영어:bounded prelattice)라고 한다.
원순서 집합(L,≲){\displaystyle (L,\lesssim )}이 다음 조건을 만족시킨다면,원격자(原格子,영어:prelattice)라고 한다.
(유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로,원순서 집합대신부분 순서 집합을 사용하면(유계) 격자(영어:(bounded) lattice)의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인부분 순서 집합을(유계) 격자라고 한다.
원순서 집합은작은얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를범주론의 언어로 재해석할 수 있다.
원순서 집합(작은얇은 범주)(L,≲){\displaystyle (L,\lesssim )}가 다음 두 조건을 만족시키면,원격자(原格子,영어:prelattice)라고 한다.
원순서 집합(작은얇은 범주)(L,≲){\displaystyle (L,\lesssim )}가 다음 두 조건을 만족시키면,유계 원격자(有界原格子,영어:bounded prelattice)라고 한다.
(유계) 원격자(L,≲){\displaystyle (L,\lesssim )}속에서, 만약 서로동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를(유계) 격자라고 한다.
이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다.
두 유계 격자L,L′{\displaystyle L,L'}사이의유계 격자 준동형(영어:bounded lattice homomorphism)은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수ϕ:L→L′{\displaystyle \phi \colon L\to L'}이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합S∈L{\displaystyle S\in L}에 대하여,
이 경우, 만약a≤b{\displaystyle a\leq b}라면 마찬가지로ϕ(a)≤ϕ(b){\displaystyle \phi (a)\leq \phi (b)}임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다.
두 격자L,L′{\displaystyle L,L'}사이의격자 준동형(영어:lattice homomorphism)은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수ϕ:L→L′{\displaystyle \phi \colon L\to L'}이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합S∈L{\displaystyle S\in L}에 대하여, 만약S{\displaystyle S}가공집합이 아니라면,
모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
주어진 격자(L,≤L,∧L,∨L){\displaystyle (L,\leq _{L},\wedge _{L},\vee _{L})}에 대하여, 그반대 격자(영어:opposite lattice)Lop{\displaystyle L^{\operatorname {op} }}는 집합L{\displaystyle L}에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든a,b∈L{\displaystyle a,b\in L}에 대하여,
즉,부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다.
전순서 집합(T,≤){\displaystyle (T,\leq )}은 격자를 이룬다. 이 경우
이다.
집합S{\displaystyle S}의멱집합P(S)={A⊂S}{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{A\subset S\}}은 부분 집합 관계⊂{\displaystyle \subset }을 통해부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합S{\displaystyle S}의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의합집합과교집합이다.
마찬가지로,S{\displaystyle S}의 유한 부분 집합들의 집합{A⊂S:|A|<ℵ0}{\displaystyle \{A\subset S\colon |A|<\aleph _{0}\}}또한 격자를 이룬다.
양의 정수n{\displaystyle n}에 대하여,n{\displaystyle n}의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자Z+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다.
이는 환Z/n{\displaystyle \mathbb {Z} /n}또는Z{\displaystyle \mathbb {Z} }의아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다.
집합S{\displaystyle S}의분할P⊂P(S){\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(S)}들의 집합은 격자를 이룬다.
위상 공간X{\displaystyle X}의열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는완비헤이팅 대수이다.
군G{\displaystyle G}의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다.
마찬가지로, 주어진 군의정규 부분군들 역시완비모듈러 격자를 이룬다.
유사환R{\displaystyle R}의아이디얼들의 집합Ideal⁡(R){\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}은 유계완비 격자를 이룬다.
벡터 공간V{\displaystyle V}의 부분 벡터 공간들의 집합은완비 격자를 이룬다. 이 격자는양자 논리의 기반을 이룬다.
19세기에조지 불은명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인불 대수를 도입하였다.이와 독자적으로,리하르트 데데킨트는 19세기 말에대수적 수론에서 "쌍대군"(독일어:Dualgruppe두알그루페)의 개념을 도입하였으며,이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.
이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(독일어:Fritz Klein-Barmen, 1892~1961)은 이 개념을독일어:Verband페르반트(조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고,이 용어는 오늘날독일어에서 사용되고 있다.개릿 버코프(1911~1996)는 이를추상대수학에 응용하였고,영어:lattice래티스)(격자)라는 용어를 도입하였다.프랑스어 용어프랑스어:treillis트레이(창살,전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(프랑스어:Marcel-Paul Schützenberger, 1920~1996)가 도입하였다.