Semikekisi

Dalammatematika,sambungan-semikekisi(atausemikekisi atas) adalahhimpunan terurut parsialyang memilikisambungan(batasatas terkecil) untukhimpunan bagianhinggatidak kosong.Dualitas,pertemuan-semikekisi(atausemikekisi bawah) adalah himpunan terurut parsial yang memilikipertemuan(ataubatas bawah terbesar) untuk himpunan bagian hingga yang tidak kosong. Setiap sambungan-semikekisi adalah pertemuan-semikekisi dalamtatanan inversdan sebaliknya.
Semikekisi didefinisikan secaraaljabar: sambungan dan pertemuan adalahoperasi binerasosiatif,komutatif,idempoten, dan setiap operasi menginduksi urutan parsial (dan urutan invers masing-masing) sehingga hasil operasi untuk dua elemen adalah batas atas terkecil (atau batas bawah terbesar) elemen yang terkait dengan urutan parsial ini.
Kekisiadalah himpunan berurutan sebagian yang merupakan pertemuan dan sambungan semiksi dengan urutan parsial. Secara aljabar,kekisi adalah himpunan dengan dua operasi biner idempoten komutatif asosiatif yang ditautkan olehhukum serapan.
HimpunanS yangdiurutkan sebagianolehrelasi biner≤ adalahsemikekisi-pertemuanjika
Batas bawah terbesar dari himpunan {x, y } disebutpertemuandarixdany, dilambangkan denganx∧y.
Mengganti "batas bawah terbesar" dengan "batas atas terkecil" menghasilkan konsep ganda darisemikekisi-sambungan. Batas atas terkecil dari {x,y} disebutsambungandarixdany, dilambangkan denganx∨y. Pertemuan dan sambungan adalahoperasi binerdiS.argumen induksisederhana menunjukkan bahwa keberadaan semua suprema berpasangan (infima), sesuai definisi, menyiratkan keberadaan semua suprema hingga (infima) yang tidak kosong.
Semikekisi-sambungan adalah terbatas jikaelemen terkecil, sambungan dari himpunan kosong.Secara ganda,batassemikekisi-pertemuan jika memilikielemen terbesardi pertemuan himpunan kosong.
Sifat lain dapat diasumsikan; lihat artikel tentanglengkap dalam teori orderuntuk pembahasan lebih lanjut tentang subjek ini. Artikel tersebut membahas bagaimana kita dapat mengubah definisi di atas dalam hal keberadaanhubungan Galoisdengan poset terkait pendekatan minat khusus untukpenyelidikan teori kategoridari konsep tersebut.
Semikekisi-pertemuanadalahstruktur aljabar⟨S,∧⟩{\displaystyle \langle S,\land \rangle }terdiri darihimpunanSdenganoperasi biner∧, disebutpertemuan, sehingga untuk anggotax,y, danzdariS, identitasberikut ini:
Sebuahsemikekisi-pertemuan⟨S,∧⟩{\displaystyle \langle S,\land \rangle }batasjikaSmenyertakanelemen identitas1 sehinggax∧ 1 =xuntuk semuaxdiS.
Jika simbol ∨, disebutsambungan, menggantikan ∧ dalam definisi yang baru saja diberikan, strukturnya disebutsemikekisi-sambungan. Ambivalen tentang pilihan simbol tertentu untuk operasi tersebut, dan berbicara secara sederhana tentangsemikekisi.
Semikekisi adalahsemigrupkomutatif,idempoten; yaitu,pitakomutatif. Batas semikekisi adalahmonoidkomutatif idempoten.
Urutan parsial sebagai induksi pada semikekisi-pertemuan dengan mengaturx≤ysetiap kalix∧y=x. Untuk semikekisi-sambungan, urutannya diinduksi dengan mengaturx≤ysetiap kalix∨y=y. Dalam semikekisi-pertemuan himgga, identitas 1 adalah elemen terbesar dariS.Demikian pula, elemen identitas dalam semikekisi sambungan adalah elemen terkecil.
Teoritis semikekisi-pertemuan⟨S, ≤⟩sebuahoperasi biner∧ sehingga⟨S, ∧⟩adalah aljabar semikekisi-pertemuan. Sebaliknya, semikekisi-pertemuan⟨S, ∧⟩suaturelasi biner≤ bahwa sebagianSdengan cara berikut: untuk semua elemenxdanydalamS,x≤yjika dan hanya jikax=x∧y.
Relasi ≤ yang diperkenalkan dengan mendefinisikan urutan parsial terdiri dari operasi biner ∧ dapat dipulihkan. Sebaliknya, semikekisi didefinisikan aljabar⟨S, ∧⟩bertepatan dengan ≤.
Oleh karena itu, kedua definisi tersebut dapat digunakan secara bergantian, tergantung mana yang lebih sesuai untuk tujuan tertentu. Kesimpulan serupa berlaku untuk semikekisi-sambungan dan urutan ganda ≥.
Semikekisi digunakan untuk struktur tatanan lain, atau dalam konjungasi dengan sifat lengkap lainnya.
Komutatifitas dan asosiatif ∧ memastikan (1)idempoten(2). semikekisi tersebut adalah semikekisibebasdi atasL.Itu tidak dibatasi olehL, karena himpunan bukan anggota sendiri.
Definisi aljabar di atas dari semikekisi menunjukkan gagasanmorfismeantara dua semikekisi. Diberikan dua semikekisi-sambungan(S, ∨)dan(T, ∨),homomorfismedari semikekisi (-gabunagn) adalah fungsif:S→Tsehingga
Oleh karena itufhanyalah homomorfisme dari duasemigrupterkait dengan setiap semikekisi. JikaSdanTkeduanya menyertakan elemen terkecil 0, makafjuga menjadihomomorfisme monoid, yaitu
Dalam perumusan teori tatanan, kondisi ini hanya menyatakan bahwa homomorfisme semikekisi-sambungan adalah fungsi yangmempertahankansambungan biner dan elemen terkecil. Ganda mengganti ∧ dengan ∨ dan 0 dengan 1 mengubah definisi homomorfisme semikekisi-sambungan menjadi padanan semikekisi-pertemuan.
Perhatikan bahwa homomorfisme semikekisimonotonsehubungan dengan relasi order yang terkait penjelasan, lihatpelestarianentri batas.
Persamaanterkenal di antara kategori tersebutS{\displaystyle {\mathcal {S}}}dari semikekisi-sambungan dengan nol dengan homomorfisme-(∨,0){\displaystyle (\vee ,0)}dan kategoriA{\displaystyle {\mathcal {A}}}dari kekisialjabardenganelemen kompaksemikekisi-sambungan lengkap, sebagai berikut. Dengan semikekisi-sambunganS{\displaystyle S}dengan nol, mengaitkan kekisi idealId⁡S{\displaystyle \operatorname {Id} \ S}. Dengan homomorfisme-(∨,0){\displaystyle (\vee ,0)},f:S→T{\displaystyle f\colon S\to T}dari semikekisi-(∨,0){\displaystyle (\vee ,0)}, kita menghubungkan petaId⁡f:Id⁡S→Id⁡T{\displaystyle \operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T}dengan idealI{\displaystyle I}dariS{\displaystyle S}menghubungkan idealT{\displaystyle T}dihasilkan olehf(I){\displaystyle f(I)}. Mendefinisikan sebuah funktorId:S→A{\displaystyle \operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}}. Sebaliknya, dengan setiapkekisi aljabarA{\displaystyle A}menghubungkan semikekisi-(∨,0){\displaystyle (\vee ,0)}untukK(A){\displaystyle K(A)}dari semuaelemen kompakA{\displaystyle A}, dan dengan setiap sambungan homomorfisme lengkap yang melestarikan kekompakanf:A→B{\displaystyle f\colon A\to B}antarakekisi aljabar menghubungkan batasan tersebutK(f):K(A)→K(B){\displaystyle K(f)\colon K(A)\to K(B)}. Mendefinisikan sebuah funktorK:A→S{\displaystyle K\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {S}}}. Pasangan(Id,K){\displaystyle (\operatorname {Id} ,K)}mendefinisikan ekuivalen kategori antaraS{\displaystyle {\mathcal {S}}}danA{\displaystyle {\mathcal {A}}}.
Anehnya, gagasan tentang "distributivitas" yang dapat diterapkan pada semikekisi, meskipun distributivitas secara konvensional memerlukan interaksi dua operasi biner. Gagasan tersebut hanya membutuhkan satu operasi, dan menggeneralisasi kondisi distribusikekisi. Suatu semikekisi-sambungan bersifatdistributifjika untuk semuaa,b, danxdenganx≤a∨bterdapata'≤adanb'≤bsehingga x = a' ∨ b' . Pertemuan distributif didefinisikan setiap dua kali. Definisi ini dibenarkan oleh fakta bahwa setiap semikekisi-sambungan distributif tempat pertemuan biner ada merupakan kekisi distributif. Lihatdistribusi (teori urutan).
Semikekisi-sambungan bersifat distributif jika dan hanya jika kekisiideal(dalam penyertaan) bersifat distributif.
Saat ini, istilah "semikekisi lengkap" tidak memiliki arti yang diterima secara umum, dan terdapat berbagai definisi yang saling tidak konsisten. Jika kelengkapan dianggap membutuhkan keberadaan semua sambungan tak hingga, atau semua pertemuan tak hingga, apapun masalahnya, serta yang hingga, mengarah ke tatanan parsial yang sebenarnya adalah kekisilengkap. Untuk mengapa keberadaan semua kemungkinan sambungan tak hingga mensyaratkan keberadaan semua kemungkinan pertemuan tak hingga (dan sebaliknya), lihatkelengkapan (teori tatanan).
Namun demikian, literatur kadang-kadang masih membutuhkan semikekisi-sambungan atau -pertemuan untuk menjadi kekisi lengkap. Dalam hal ini, "kelengkapan" menunjukkan batasan pada ruang lingkuphomomorfisme. Secara khusus, semikekisi-sambungan lengkap memerlukan bahwa homomorfisme mempertahankan semua sambungan, tetapi bertentangan dengan situasi yang ditemukan untuk sifat kelengkapan, tidak memerlukan homomorfisme mempertahankan semua sambungan. Di sisi lain, kita simpulkan bahwa setiap pemetaan tersebut adalah adjoin yang lebih rendah dari beberapakoneksi Galois. Adjoin atas (unik) kemudian menjadi homomorfisme dari semikekisi-pertemuan lengkap. Hal ini menimbulkan sejumlahdualitas kategoriyang berguna antara kategori semua semikekisi lengkap dengan morfisme yang melestarikan semua pertemuan atau sambungan.
Gagasan yang dibatasi kardinalitas tentang kelengkapan untuk semikekisi jarang dipertimbangkan dalam literatur.
Bagian ini mengandaikan beberapa pengetahuan tentangteori kategori. Dalam berbagai situasi, terdapat semikekisibebas. Misalnya,funktor fogetfuldari kategori semikekisi-sambungan (dan homomorfisme mereka) kekategorihimpunan (dan fungsi)adjoin kiri. Oleh karena itu, semikekisi-sambunganF(H) di atas himpunanSdibangun dengan himpunan dari semuahimpunan bagianhingga yang tidak kosongdariH, diurutkan oleh penyertaan himpunan bagian. Jelas,Hdapat ditanamkan keF(H)olehepemetaan yang diambil setiap elemendalamHdengan tunggal himpunan{h}.Kemudian setiap fungsifdariSke semikekisi-sambunganT(lebih formal, ke himpunanT yangmendasari) induksi homomorfisme unikf'antara semikekisi-sambunganF(H) danT, sehinggaf=f'oe. Secara eksplisit,f'diberikan olehf'(A) =∨{\displaystyle \vee }{f(h)|hdiA}. Sekarang keunikan yang jelas darif'cukup untuk mendapatkan tambahan yang diperlukan bagian morfisme dari fungsiFdapat diturunkan dari pertimbangan umum (lihatfungsi tambahan). Kasus semikekisi-pertemuan bebas bersifat ganda, menggunakan penyertaan himpunan bagian yang berlawanan sebagai tatanan. Untuk semikekisi-sambungan dengan yang bawah, kita hanya menambahkan himpunan kosong ke himpunan bagian di atas.
Selain itu, semikekisi sering berfungsi sebagai generator untuk objek bebas dalam kategori lain. Khususnya, kedua funktor adjoin dari kategorikerangkadan kerangka-homomorfisme, dan dari kategori kekisi distributif dan kekisi-homomorfisme, memiliki adjoin kiri.
Seringkali kasus perlakuan standar teori kekisi mendefinisikan semikekisi, jika demikian, dan kemudian tidak lagi. Lihat referensi dalamteori tatananentri danteori kekisi. Selain itu, tidak ada bacaan mengenai semikekisi yang besarnya sebanding dengan yang ada disemigrup.