Алгебра

А́лгебра(отараб.اَلْجَبْرُ‎аль-джабр— «восстановление (разрозненных) частей, восстановление равенства, уравнение, восполнение») — разделматематики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширениеарифметики; в этом разделе числа и другиематематические объектыобозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется вобщей алгебрев названиях различныхалгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучениюоперацийнад элементамимножествпроизвольной природы, обобщающий обычные операциисложенияиумножениячисел.
Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.
Элементарная алгебра— раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятийарифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются напеременные(a,b,c,x,y{\displaystyle a,b,c,x,y}и так далее). Такой подход полезен, потому что:
Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы,векторные, или линейные пространства,линейные отображенияисистемы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теориюопределителей, теориюматриц, теорию форм (например,квадратичных), теорию инвариантов (частично),тензорное исчисление(частично). Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств.
Линейное, иливекторное пространствоV(F){\displaystyle V\left(F\right)}надполемF{\displaystyle F}— это упорядоченная четвёрка(V,F,+,⋅){\displaystyle (V,F,+,\cdot )}, где
причём заданныеоперацииудовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:
Евклидовы пространства,аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые вгеометрии, определяются на основе векторного пространства.Автоморфизмывекторного пространства надполемобразуют группу относительно умножения,изоморфнуюгруппе невырожденныхквадратных матриц, что связывает линейную алгебру стеорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп.
Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств кбесконечномерным линейным пространствамнашёл своё отражение в некоторых разделахфункционального анализа. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольногокольца. Длямодулянад произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются валгебраической К-теории.
Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре.
Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерныхалгебр Ли.
Непустое множествоG{\displaystyle G}с заданной на нёмбинарной операцией∗:G×G→G{\displaystyle *\,\colon G\times G\to G}называетсягруппой(G,∗){\displaystyle (G,*)}, если выполнены следующие аксиомы:
Понятиегруппывозникло в результате формального описаниясимметриии эквивалентности геометрических объектов. Втеории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторогополиномиального уравнения. Группы повсеместно используются вматематикеи естественных науках, часто для обнаружения внутреннейсимметрииобъектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.
Кольцо—множествоR, на котором заданы двебинарные операции: + и × (называемыесложениеиумножение), со следующими свойствами:
Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств.Алгебраическая системапредставляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений:A=⟨A,F,R⟩{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle },F=⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩{\displaystyle F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle },R=⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩{\displaystyle R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle }. МножествоA{\displaystyle A}в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с ихарностями⟨F,R,⟨n1,…ni,…⟩,⟨m1…mi,…⟩⟩{\displaystyle \langle F,R,\langle n_{1},\dots n_{i},\dots \rangle ,\langle m_{1}\dots m_{i},\dots \rangle \rangle }— еёсигнатурой. Система с пустым множеством отношений называетсяуниверсальной алгеброй(в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.
В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — этоуниверсальная алгебра(R,+,×){\displaystyle \left(R,+,\times \right)}, такая, что алгебра(R,+){\displaystyle \left(R,+\right)}—абелева группа, и операция+{\displaystyle +}дистрибутивнаслева и справа относительно×{\displaystyle \times }. Кольцо называетсяассоциативным, если мультипликативныйгруппоидявляетсяполугруппой.
Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмовEndA{\displaystyle \mathbf {End} {\mathfrak {A}}}, группа всех автоморфизмовAutA{\displaystyle \mathbf {Aut} {\mathfrak {A}}}, решётки всех подалгебрSubA{\displaystyle \mathbf {Sub} {\mathfrak {A}}}и всех конгруэнцийConA{\displaystyle \mathbf {Con} {\mathfrak {A}}}.
Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры.
Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия наднатуральными числамиидробями— простейшиеалгебраические операции— встречаются в ранних математических текстах. Ещё в 1650 году до н. э.египетскиеписцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 изпапируса Риндаи задача 6 изМосковского папируса(так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано направиле ложного положения. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне.
Вавилонские математикиумели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям вВавилонезнали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовалисьшумерские клинописные знакидля обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовалсяаккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами.
За 2000 лет до нашего временикитайские учёныерешали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см.Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. Наряду синдийскимииисламскими математиками, китайские математики открыли «треугольник Паскаля» задолго до европейцев.
После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата,греческая математикапереживала кризис, разрешению которого способствовал выборгеометриикак основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин.Геометрической алгебрепосвящена вторая книга «Начал»Евклида, работыАрхимедаиАполлония. С использованиемотрезков,прямоугольниковипараллелепипедовбыли определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированныепифагорейцамизадачи обудвоении кубаитрисекции угла, построение правильных многоугольников. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнениеx3+ax+b=0{\displaystyle x^{3}+ax+b=0}. Отдельные задачи решались с помощьюконических сечений.
Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работахДиофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работыФермаиВиета. Идеи Диофанта можно заметить также в работахЭйлера,Якоби,Пуанкареи других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить калгебраической геометрии.
Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёногоаль-Хорезми«Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» (ок.825 года). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной частиуравненияв другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение». «Аль-мукабала» означало отбрасывание в обеих частях равенства равных членов (противоположение).
«Аль-джабр» при переводе на латинский язык превратилось в «algebra», а аль-мукабала была отброшена: так появилось название «алгебра». Аль-Хорезми разработал системный подход к решению линейных и квадратных уравнений, заложив основу этой математической дисциплины.
В X–XI веках алгебру расширилиАбу Камилиаль-Караджи, введяиррациональные числа, систематизировав операции смногочленамии заложив основыматематической индукции. XII век ознаменовался работамиОмара Хайяма, который развил геометрическое решениекубических уравненийи дал первое определение алгебры как науки.Аль-Самуалввёл правила умноженияодночленовлюбых целых степеней и правиладеления многочленов, аШараф ад-Дин Ат-Тусииспользовал понятияфункцииидискриминантакубического уравнения. Постепенно алгебра перешла от словесных описаний к символическому выражению, что стало важным шагом в её развитии.
Перевод трудааль-Хорезмина латинский язык способствовал распространению алгебры в Европе и её дальнейшему совершенствованию. В XVI веке в Европе были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. В XIX веке было доказано, что любое уравнение 5 степени и выше нельзя решить алгебраическим способом. Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решениемалгебраических уравненийисистем уравненийс несколькими переменными.
Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появилисьэлектронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачиинформации, системы наблюдения типарадара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так,электронно-вычислительные машиныустроены по принципуконечных автоматов. Для проектированияэлектронно-вычислительных машини электронных схем используются методыбулевой алгебры. Современные языки программирования дляЭВМоснованы на принципахтеории алгоритмов.Теория множествиспользуется в системах компьютерного поиска и храненияинформации.Теория категорийиспользуется в задачахраспознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах.Кодирование и декодирование информациипроизводится методамитеории групп. Теориярекуррентных последовательностейиспользуется в работерадаров.Экономическиерасчёты невозможны без использованиятеории графов.Математическое моделированиешироко использует все разделы алгебры.
Титул «отца алгебры» часто приписываюталь-Хорезми. Среди прочих, эту точку зрения поддерживают такие историки математики, какСоломон Гандз,Карл Бенджамин БойериБартель Леендерт ван дер Варден. Впрочем, иногда данное звание приписывают иДиофанту. Его сторонники указывают, что уравнения, изложенные в «Арифметике», используют некоторые символьные обозначения, тогда как в «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» уравнения и их решения передаются исключительно словами. Однако историк математикиКурт Фогельоднозначно выступает против того, чтобы Диофант носил этот титул, поскольку его арифметика была не намного более алгебраической, чемматематика древних вавилонян.
Сторонники аль-Хорезми указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее и систематическое объяснение алгебраического решенияквадратных уравненийс положительными корнями. Он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме ради самой этой дисциплины, в то время как Диофант в первую очередь занималсятеорией чисел. Другие его сторонники добавляют, что в отличие от вавилонских табличек и от «Арифметики» Диофанта его алгебра больше не была связана с рядом задач, которые нужно решить, но с изложением, которое начинается с примитивных терминов, комбинации которых должны дать все возможные виды уравнений, отныне явно становящихся истинным объектом исследования.Виктор Джозеф Кацтакже считает «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» первым настоящим текстом по алгебре, сохранившимся до наших дней.