Legge di Zipf

Viene dettalegge di Zipfunalegge empiricache descrive lafrequenzadi un eventoPi{\displaystyle P_{i}}facente parte di un insieme, in funzione della posizionei{\displaystyle i}(dettarango) nell'ordinamento decrescente rispetto allafrequenzastessa di tale evento.
dove:
IllinguistaGeorge Kingsley Zipfla descrisse nel1949inHuman Behaviour and the Principle of Least-Effort(Comportamento umano e il principio del minimo sforzo).
I campi di applicabilità della legge di Zipf sono svariati, e sono anche esistite tendenze di pensiero che l'hanno addirittura proposta come la controparte delladistribuzione gaussiananell'ambito dellescienze sociali. In realtà come le distribuzioni nellescienze naturalinon seguono sempre un andamento gaussiano, tanto meno le distribuzioni dellescienze socialio degli eventi correlati all'attività umana possono essere precisamente inquadrate negli andamenti iperbolici della legge di Zipf. Esistono tuttavia casi in cui i risultati previsti dalla legge di Zipf sono fortemente verificati dai dati osservati; fra i più famosi senz'altro vi sono quelli che considerano lefrequenzedelle parole negli scritti, o quelli che analizzano ladistribuzionedellapopolazionenelle variecittàdi unostato. Questi ultimi esempi sono stati approfonditamente analizzati e documentati dallo stesso Zipf nei suoi più famosi scritti. In campo economico la legge di Zipf si adatta
bene a rappresentare la situazione di produttività delle varie compagnie che operano in un medesimo settore. Se si rappresenta la produttività di unaaziendain funzione della sua posizione di classifica si ottiene l'andamento iperbolico della legge di Zipf. Questo fatto era stato, del resto, già osservato alla fine dell'Ottocento dall'economistaVilfredo Pareto.
Più in generale la legge di Zipf può essere riformulata come:
conθ{\displaystyle \theta }costante positiva prossima a 0 (perθ=1{\displaystyle \theta =1}si rientrerebbe nella distribuzione casuale, cioè nell'equiprobabilità)
Usando la legge di Zipf più generale il termine
è lafunzione zeta di Riemannζ(a){\displaystyle \zeta (a)}
Benoît Mandelbrotdimostrò neglianni cinquantache simili leggi possono essere dedotte a partire dallateoria dell'informazionediClaude Shannon.
La legge dinamica indica come massimizzare l'utilità di un canale massimizzando l'entropia, utilizzando preferibilmente i simboli meno costosi. Ad esempio, nelcodice morsela frequente letteraeè codificata con un singolo punto (.), mentre la meno frequente letteraxè rappresentata da una linea, due punti e una linea (-..-).Ilcodice di Huffmanapplica tale legge dinamica.
Mandelbrot fa l'ipotesi che il costo di utilizzo sia direttamente proporzionale al costo di memorizzazione, dopo averlo constatato su tutti i dispositivi che ha osservato, dallascrittura contabilefino ai computer.
Eliminando il costo tra le due equazioni si ritrova una famiglia di equazioni che legano la frequenza di una parola al suo rango affinché il canale venga utilizzato in maniera ottimale. Questa ulteriore generalizzazione, detta pure 'legge di Mandelbrotè data da
È stato osservato come nella maggior parte delle lingue esistenti il parametro all'esponenteasia prossimo a 1,1 e 1,2, mentre nel linguaggio dei bambini si approssima a 1,6.
Rappresentando le leggi di Zipf e di Mandelbrot in un sistema cartesiano con le coordinate log-log, allora la legge di Zipf corrisponde ad unaretta, mentre la legge di Mandelbrot mostra una gobba.
Una interpretazione della legge di Zipf comevariabile casualeè data dallavariabile casuale Zeta, per questo motivo detta purevariabile casuale di Zipf. L'equivalentecontinuoè lavariabile casuale paretiana.
Casi simili sono considerati lalegge di Bradford, lavariabile casuale di Yulee lalegge di Benford.
Il rapporto esistente tra le leggi di Zipf e di Mandelbrot è simile a quello esistente tra lalegge di Mariottee quella divan der Waals, considerato che in entrambi i casi un fattore di correzione (il parametroanel caso della legge di Mandelbrot) permette di approssimare i dati osservati con i valori teorici, rappresentando un qualche cosa di "incomprimibile".