Geometrické místo bodů

Geometrické místo bodů(anglickylocus, množné číslolociz latinského „místo“, „umístění“) je vgeometriimnožinavšech bodů (obvyklepřímka,úsečka,křivkaneboplocha), jejichž umístění vyhovuje nebo je určeno jednou nebo více zadanými podmínkami.
Jinými slovy, množina bodů, které vyhovují nějaké vlastnosti, se často nazývágeometrické místo bodůvyhovujících této vlastnosti. Použití jednotného čísla v této formulaci je svědkem toho, že až do konce 19. století matematikové neuvažovalinekonečné množiny. Místo toho, aby chápali úsečky nebo křivky jako množiny bodů, viděli je jako místa, kde může býtumístěnbod nebo kam se může posunout.
Do začátku 20. století nebyly geometrické útvary (například křivky) považovány za nekonečné množiny bodů, ale spíše za entity, na nichž může být bod umístěn, nebo po nichž se může pohybovat. TedykružnicevEukleidovské roviněbyla definována jakogeometrické místo bodů, které jsou v dané vzdálenosti od jistého bodu, středu kružnice. V moderní matematice jsou podobné koncepty obvykle formulovány tak, že popisují útvary jako množiny; například říkáme, že kružnice je množina bodů, které jsou v dané vzdálenosti od středu.
Oproti množinově-teoretickému přístupu se staré formulace vyhýbají uvažování nekonečných kolekcí, čímž se zabránilo manipulaci saktuálním nekonečnem, což byla důležitá filozofická pozice dřívějších matematiků.
Jakmile seteorie množinstala univerzálním základem, na němž je vybudována celá matematika,termín geometrické místo bodů se stal poněkud zastaralým.Užívá se ale stále, především pro přesné formulace, jako například:
Později se techniky jako teorieschémata použitíteorie kategoriímístoteorie množin, aby dávala základy na matematiky, vrátily k pojmům více jako původní definice geometrické místo bodů jako objekt v samotný místo jako sada bodů.
K příkladům geometrických míst bodů v rovinné geometrii patří:
V různých oblastech matematiky se objevují další příklady geometrických míst bodů. Například vkomplexní dynamiceMandelbrotova množinaje podmnožinoukomplexní roviny, kterou je možné charakterizovat jakogeometrické místo bodů souvislostirodiny polynomiálních zobrazení.
Důkaz, že geometrický útvar odpovídá geometrickému místu bodů dané množiny podmínek, má obecně dvě části:
Najděte geometrické místo bodů bodůP, které mají daný poměr vzdálenostík=d1/d2od dvou daných bodů.
V tomto příkladě jsouk= 3,A(−1, 0) aB(0, 2) pevně zvolené.
Tato rovnice reprezentuje akružnicese středem (1/8, 9/4) a poloměrem385{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}. jeApolloniova kružnicedefinovaná vztahem těchto hodnotk,AaB.
TrojúhelníkABCmá pevnou stranu [AB] s délkouc.
Stanovte geometrické místo bodů třetíhovrcholuCtak, žeTěžniceAaCjsou navzájemkolmé.
Zvolímeortonormálnísouřadný systémtak, žeA(−c/2, 0),B(c/2, 0).C(x,y) je proměnná třetí vrchol. Střed [BC] jeM((2x+c)/4,y/2). Těžnice z vrcholuCmá směrniciy/x. TěžniceAMmásměrnici2y/(2x+ 3c).
Geometrické místo vrcholuCje kružnice se středem (−3c/4, 0) a poloměrem 3c/4.
Geometrické místo bodů může být také definováno vztahem dvou křivek, které závisejí na společnémparametru. Když se parametr mění, průsečíky křivek definují geometrické místo bodů.
Na obrázku jsouKaLpevné bodyna dané přímcem. Přímkakje a proměnná přímka procházející bodemK. Přímkalprocházející bodemLjekolmicínak. Úhelα{\displaystyle \alpha }sevřenýkamje parametr.
Obě přímkykalzavisejí na společném parametru. Množina jejich průsečíkůSje kružnice. Tato kružnice je geometrickým místem průsečíků obou úseček.
Geometrické místo bodů bodů nemusí být jen jednorozměrné (jako kružnice, přímka, atd.). Napříkladgeometrické místo bodů nerovnosti2x+ 3y– 6 < 0je část roviny, která leží pod přímkou s rovnicí2x+ 3y– 6 = 0.
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuLocus (mathematics)na anglické Wikipedii.