Множество Жюлиа

Множество Жюлиа́— множествоJ(f){\displaystyle J(f)}, определяемое для рационального отображенияf:CP1→CP1{\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}как совокупность точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, еслиf{\displaystyle f}— многочлен, рассматривают такжезаполненное множество Жюлиа— множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является егограницей.
Множество ФатуF(f){\displaystyle F(f)}— дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерированияf{\displaystyle f}наF(f){\displaystyle F(f)}регулярна, а наJ(f){\displaystyle J(f)}хаотична.
Дополняетбольшую теорему Пикарао «поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки».
Эти множества названы по именам французских математиковГастона ЖюлиаиПьера Фату, положивших начало исследованиюголоморфной динамикив начале XX века.
Пустьf:CP1→CP1{\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}— рациональное отображение. Множество Фату состоит из точекz{\displaystyle z}, таких, что в ограничении на достаточно малую окрестностьz{\displaystyle z}последовательность итераций:
образуетнормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа — дополнение к множеству Фату.
Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которыхустойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует изтеоремы Монтеля.)
Как следует из определений, множество Жюлиа всегдазамкнуто, а множество Фатуоткрыто.
Множество Жюлиа для отображениястепени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всейсферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображениеz↦2z(modZ[i]){\displaystyle z\mapsto 2z(mod\,\mathbb {Z} [i])}удвоения на тореC/Z[i]{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]}(динамика которого везде хаотична) и пропустив его через℘{\displaystyle \wp }-функцию Вейерштрасса℘:C/Z[i]→CP1{\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1}}.
Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.
Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действиемf{\displaystyle f}, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:
Множество ЖюлиаJ(F){\displaystyle J(F)}является границей (полного)бассейна притяжениялюбой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, чтоJ(F){\displaystyle J(F)}это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность — суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.
Если открытое множествоU{\displaystyle U}пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большогоn{\displaystyle n}, образfn(U∩J)=fn(U)∩J{\displaystyle f^{n}(U\cap J)=f^{n}(U)\cap J}совпадает со всем множеством ЖюлиаJ{\displaystyle J}. Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа. Поскольку такое растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображенияконформны, а множество Жюлиаинвариантноотносительно динамики — оно оказывается имеющимфрактальную структуру: его маленькие части похожи на большие.
Если множество Жюлиа отлично от всейсферы Римана, то оно не имеетвнутренних точек.
Для всех точекz{\displaystyle z}сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразовf−n(z){\displaystyle f^{-n}(z)}есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.
Теорема Салливанаутверждает, что любаякомпонента связностимножества Фату предпериодична. В свою очередь, теорема о классификации периодических компонент множества Фату утверждает, что периодические компоненты бывают одного из четырёх типов:бассейн притяженияпритягивающей или суперпритягивающейнеподвижнойилипериодическойточки,лепесток Фатупараболической точки,диск Зигеляикольцо Эрмана.
Квадратичное отображениеz↦P2(z){\displaystyle z\mapsto P_{2}(z)}заменой координат всегда приводится к видуz↦z2+c{\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}. Оказывается, что множество Жюлиа будетсвязным, тогда и только тогда, когда критическая точкаz=0(или, что то же самое, её образz=c{\displaystyle z=c}) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству иимеет меру ноль. В этом случае его называютпылью Фату(это именно множество Жюлиа — множество хаотической динамики).
Множество параметровc{\displaystyle c}, при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называетсямножеством Мандельброта. Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).
Если функцияf{\displaystyle f}имеет несколько аттракторов (неподвижных или периодических притягивающих точек), множество Жюлиа является границей бассейна притяжения любого из них. На этом свойстве основан алгоритм построения изображения множества Жюлиа, названный «методом сканирования границы» (BSM,англ.boundary scanning method): в нём рассматривается сетка из прямоугольных пикселей, чтобы определить, следует ли закрашивать пиксель как принадлежащий множеству Жюлиа, вычисляется образ каждого из его «углов» под действием большого числа итерацийf{\displaystyle f}. Если образы далеки друг от друга, значит, углы принадлежат бассейнам разных аттракторов. Из этого следует, что граница между бассейнами проходит через данный пиксель, и он закрашивается. Перебирая все пиксели, получается изображение, приближающее множество Жюлиа.
Этот метод также можно использовать и в случае, когда двух аттракторов нет, но естьдиски Зигеля,кольца Эрманаили параболические бассейны. (Если две близкие точки остаются близкими, значит, их орбиты устойчивы по Ляпунову, и небольшая окрестность этих точек принадлежит области Фату; иначе вблизи них имеются точки множества Жюлиа.) В то же время, данный метод не работает, когда отображение имеет лишь один аттрактор, и почти вся сфера Римана является его бассейном притяжения. (Например,z↦z2+i{\displaystyle z\mapsto z^{2}+i}.)
Множество Жюлиа является замыканием объединения всех полных прообразов любой отталкивающей неподвижной точки. Таким образом, если имеется эффективный алгоритм вычисления обратного отображенияf−1{\displaystyle f^{-1}}, и известна хотя бы одна отталкивающая неподвижная точка, для построения множества Жюлиа можно последовательно вычислять её обратные образы. На каждом шаге у каждой точки имеется столько же прообразов, какова степеньf{\displaystyle f}, поэтому общее число прообразов растет экспоненциально, и хранение их координат требует больших объёмов памяти. На практике также используется следующая модификация: на каждом шаге выбирается один случайный прообраз. При этом, однако, нужно учитывать, что такой алгоритм обходит множество Жюлиа не равномерно: в некоторые области может попасть только за очень большое (практически недостижимое) время, и они не будут изображены на получающемся графике.