Dimenze vektorového prostoru

Vektorový prostor je poněkud abstraktní pojem, který může být realizován prostřednictvím nejrůznějších matematických objektů. Abychom lépe pochopili strukturu každého takového vektorového prostoru a jejich vzájemné vztahy, je užitečné si zavést pojem dimenze vektorového prostoru (krátce jen dimenze neboli rozměr, angl. dimension). Zjednodušeně řečeno, dimenze označuje počet parametrů, kterými jsme schopni každý vektor daného vektorového prostoru jednoznačně popsat. Pokud například máme vektorový prostor všech uspořádaných dvojic čísel, tak nám k jednoznačnému popisu konkrétní dvojice stačí uvést její dvě složky. Neboli pro identifikaci každého prvku prostoru všech uspořádaných dvojic čísel máme dva parametry a dimenze tohoto prostoru je tedy dva. Podobně, dimenze prostoru všech uspořádaných trojic je tři atd. Ačkoli je v tomto příkladě určení počtu nutných parametrů snadné, nemusí tomu tak být v případě jiných vektorových prostorů.
Dimenzi vektorového prostoru lze zavést pomocí pojmu lineární nezávislosti a to postupem, který si právě nastíníme. V dalším pro jednoduchost předpokládejme, že pracujeme s vektorovým prostorem V {\displaystyle \scriptstyle V} definovaným nad číselným tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} . V každém netriviálním vektorovém prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} jsme schopni nalézt lineárně nezávislý soubor vektorů. Konkrétně řekněme, že jsme ve V {\displaystyle \scriptstyle V} nalezli n {\displaystyle \scriptstyle n} vektorů x → 1 , … , x → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} , které jsou lineárně nezávislé, kde n {\displaystyle \scriptstyle n} je přirozené číslo větší nebo rovno jedné. Ptejme se nyní, zda jsme schopni ve stejném prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} nalézt n + 1 {\displaystyle \scriptstyle n+1} lineárně nezávislých vektorů.
Formalizací dosavadních úvah dospějeme k matematické definici dimenze vektorového prostoru.
Nechť V {\displaystyle \scriptstyle V} je vektorový prostor a uvažujme podmnožinu množiny přirozených čísel, kterou označíme N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} a definujeme vztahem
Jestliže je množina N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} neprázdná, tak říkáme, že vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} má konečnou dimenzi, která je rovna číslu min N 0 {\displaystyle \scriptstyle \min N_{0}} . Značíme,
Pokud je množina N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} prázdná, tj. N 0 = ∅ {\displaystyle \scriptstyle N_{0}=\emptyset } , tak říkáme, že vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} má nekonečnou dimenzi a píšeme
Vektorový prostor mající konečnou dimenzi též označujeme jako konečněrozměrný nebo konečnědimenzionální. Vektorový prostor s nekonečnou dimenzí pak můžeme označovat i jako nekonečněrozměrný či nekonečnědimenzionální. Pokud je dimenze vektorového prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} konečná a rovná číslu n, tj. dim ⁡ V = n {\displaystyle \scriptstyle \dim V=n} , tak vektorový prostor občas zapisujeme jako V n {\displaystyle \scriptstyle V_{n}} a nazýváme ho n-rozměrný či n-dimenzionální vektorový prostor. Občas se ve značení dává symbol pro vektorový prostor do závorek. tj. dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ V {\displaystyle \scriptstyle \dim(V)=\dim V} . Triviální vektorový prostor, tj. prostor V = { 0 → } {\displaystyle \scriptstyle V=\{{\vec {0}}\}} , má podle této definice dimenzi rovnou nule. Pro ozřejmění právě uvedené definice viz oddíl Definiční vlastnosti níže.
Pokud si předem zavedeme pojem báze vektorového prostoru, tak můžeme říct, že dimenze vektorového prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} je rovna kardinalitě jeho libovolné báze. Předpokládáme-li totiž platnost axiomu výběru, tak má každý vektorový prostor bázi. Pokud je počet prvků báze pro daný prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} konečný, pak výše uvedené tvrzení neznamená nic jiného, než že dimenze prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} je rovna počtu prvků jeho libovolné báze. Pro triviální vektorový prostor, který nemá bázi, pak dodefinováváme nulovou dimenzi.
Prvně uvedená definice má výhodu v tom, že nepotřebuje pomocného pojmu báze. Naproti tomu je však druhá uvedená definice praktičtější v tom, že v konkrétních příkladech vektorových prostorů stačí nalézt bázi a z ní rovnou vyvodíme dimenzi daného prostoru. Tohoto postupu je využito ve všech příkladech oddílu Příklady níže.
Uvažujme vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} definovaný nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} . Podle druhé definice výše, využívající pojmu báze, bylo dodefinováno, že triviální vektorový prostor má dimenzi rovnou nule. Ukažme si nejprve, že totéž platí i pro prvně uvedenou definici.
Abychom si lépe uvědomili vztah mezi postupem uvedeným v Motivaci a definicí množiny N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} výše, je vhodné uvést dvě následující tvrzení.
Pokud tedy v prostoru V ~ {\displaystyle \scriptstyle {\tilde {V}}} existuje n lineárně nezávislých vektorů a každý soubor o n+1 a více vektorech je lineárně závislý, tak množina N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} obsahuje čísla n, n+1, n+2, ..., protože všechna tato zřejmě splňují definiční podmínky množiny N 0 {\displaystyle \scriptstyle N_{0}} . Abychom tedy dostali námi očekávanou hodnotu n, musíme vzít minimum této množiny. Pokud využijeme předchozích dvou dokázaných tvrzení, tak rovnost dim ⁡ V ~ = n {\displaystyle \scriptstyle \dim {\tilde {V}}=n} plyne ihned.
Jak již bylo výše zmíněno, v praxi je výhodnější používat tvrzení, že dimenze netriviálního vektorového prostoru je rovna počtu prvků jeho báze, které si nyní dokážeme v podobě následujících dvou tvrzení. Dokážeme nyní tedy ekvivalenci obou výše podaných definic dimenze pro konečněrozměrné prostory. ( N = { 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}} )
Mějme vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} . Pokud ponecháme množinu V {\displaystyle \scriptstyle V} a přitom změníme těleso, tak můžeme obdržet vektorový prostor o odlišné dimenzi, než měl ten původní. Konkrétně mějme množinu V {\displaystyle \scriptstyle V} , těleso K {\displaystyle \scriptstyle K} a jeho rozšíření F {\displaystyle \scriptstyle F} . Těleso F {\displaystyle \scriptstyle F} lze chápat jako vektorový prostor nad tělesem K {\displaystyle \scriptstyle K} . Pokud navíc máme vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} definovaný nad tělesem F {\displaystyle \scriptstyle F} , tak je tento současně i vektorovým prostorem nad tělesem K {\displaystyle \scriptstyle K} . Mezi těmito různými vektorovými prostory platí vztahy
kde dim K ⁡ ( V ) {\displaystyle \scriptstyle \dim _{K}(V)} a dim F ⁡ ( V ) {\displaystyle \scriptstyle \dim _{F}(V)} označuje po řadě dimenze množiny V {\displaystyle \scriptstyle V} coby vektorového prostoru nad tělesem K {\displaystyle \scriptstyle K} a nad tělesem F {\displaystyle \scriptstyle F} a dim K ⁡ ( F ) {\displaystyle \scriptstyle \dim _{K}(F)} označuje dimenzi tělesa F {\displaystyle \scriptstyle F} coby vektorového prostoru nad tělesem K {\displaystyle \scriptstyle K} .
Příkladem právě uvedené situace je případ reálného a komplexního tělesa. Platí totiž, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze n {\displaystyle \scriptstyle n} je současně reálným vektorovým prostorem dimenze 2 n {\displaystyle \scriptstyle 2n} , jak se lze jednoduše přesvědčit dosazením odpovídajících dimenzí do vzorce výše. Viz též Příklad 2 níže.
Zabývejme se nyní počtem všech možných vektorů daného vektorového prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} definovaného nad tělesem F {\displaystyle \scriptstyle F} , tj. jeho mohutností. Pro tuto lze odvodit následující vztahy:
Svislice kolem označení množin zde označení mohutnosti těchto množin.
Velmi často používanými vektorovými prostory jsou konečnědimenzionální vektorové prostory definované nad číselnými tělesy. Velkou výhodou prostorů konečné dimenze je to, že v nich lze snadno zavést bázi. Každý vektor tak lze popsat pomocí jeho souřadnic v této bázi. Souřadnice přitom tvoří n-tice čísel, kde n je dimenze daného prostoru. Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru se tak stačí omezit na studium prostoru n-tic čísel, to jest aritmetických vektorů. Obecněji lze právě uvedené tvrzení vyjádřit následovně:
Izomorfismus je v tomto kontextu lineární zobrazení, které bijektivně zobrazuje jeden vektorový prostor na prostor druhý. Díky tomuto zobrazení jsme schopni ztotožnit strukturu obou uvažovaných konečněrozměrných vektorových prostorů. Dokažme si toto důležité tvrzení. Mějme pro konkrétnost vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} a vektorový prostor W {\displaystyle \scriptstyle W} , oba definované nad tímtéž (libovolným) tělesem. Nechť jsou oba vektorové prostory konečněrozměrné a jejich dimenze jsou si rovny. Označme dim ⁡ V = dim ⁡ W = n ∈ N {\displaystyle \scriptstyle \dim V=\dim W=n\in \mathbb {N} } . (Můžeme rovnou uvažovat n ≥ 1 {\displaystyle \scriptstyle n\geq 1} , neboť nulovou dimenzi má pouze triviální vektorový prostor.) Označme si bázi vektorového prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} jako x → 1 , … , x → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} a podobně bázi vektorového prostoru W {\displaystyle \scriptstyle W} jako y → 1 , … , y → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}} . Pak definujeme lineární zobrazení L : V → W {\displaystyle \scriptstyle L:V\to W} vztahy
Protože je L {\displaystyle \scriptstyle L} lineární, tak jeho působení na bazických vektorech výchozího vektorového prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} plně určuje jeho vlastnosti a hodnoty pro další vektory. Jedná se tedy prakticky o předpis, kterým přiřadíme bazické vektory jednoho prostoru bazickým vektorům druhého prostoru. Dokažme nyní, že se jedná o bijekci. Mějme libovolný vektor x → = ∑ i = 1 n α i x → i {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}} z prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} a zkoumejme působení lineárního zobrazení L {\displaystyle \scriptstyle L} na tomto vektoru:
Každému vektoru x → ∈ V {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in V} , který má v bázi prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} souřadnice ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle \scriptstyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} , jsme tak přiřadili vektor y → ∈ W {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}\in W} , který má stejné souřadnice, tentokrát ale v bázi prostoru W {\displaystyle \scriptstyle W} . Inverzní zobrazení L − 1 {\displaystyle \scriptstyle L^{-1}} k zobrazení L {\displaystyle \scriptstyle L} , které vektoru y → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}} přiřazuje vektor x → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}} očividně splňuje vztahy
Nalezli jsme tak lineární bijekci mezi vektorovými prostory V {\displaystyle \scriptstyle V} a W {\displaystyle \scriptstyle W} .
Všechny vektorové prostory definované nad tímtéž tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} , které mají stejnou (a konečnou) dimenzi n ∈ N {\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} } , můžeme pomocí izomorfizmů ztotožnit s vektorovým prostorem n-tic, prostorem T n {\displaystyle \scriptstyle T^{n}} . Máme-li vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} dimenze n {\displaystyle \scriptstyle n} , tak v něm můžeme zavést bázi x → 1 , … , x → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} . Pomocí izomorfizmu L {\displaystyle \scriptstyle L} výše (kde položíme W = T n {\displaystyle \scriptstyle W=T^{n}} ) se pak z tohoto prostoru přeneseme do prostoru T n {\displaystyle \scriptstyle T^{n}} . V tomto prostoru můžeme s vektory provádět veškeré operace. Když dojdeme při práci s těmito vektory v prostoru T n {\displaystyle \scriptstyle T^{n}} k cíli, tak se můžeme nakonec zpátky přenést pomocí zobrazení L − 1 {\displaystyle \scriptstyle L^{-1}} zpět do prostoru V {\displaystyle \scriptstyle V} . Je tedy vidět, že při zkoumání vlastností konečněrozměrných prostorů se stačí omezit na vyšetřování vlastností prostorů T n {\displaystyle \scriptstyle T^{n}} . Pokud je T {\displaystyle \scriptstyle T} číselné těleso, pak se jedná o prostory aritmetických vektorů. Více viz Příklad 6 níže.
Jako první příklad si uveďme prostory aritmetických vektorů, tj. n-tic čísel. Začněme u případu dvojic reálných čísel. Množinu všech takovýchto dvojic můžeme chápat jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel. Každou dvojici reálných čísel dokážeme vyjádřit způsobem
Položíme-li
můžeme shrnout, že vektory e → 0 , e → 1 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1}} zjevně tvoří bázi prostoru R 2 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}} a tento prostor má tedy dimenzi rovnou dvěma. Každou dvojici jsme totiž jednoznačně vyjádřili jako lineární kombinaci vektorů e → 0 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{0}} a e → 1 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{1}} . Podobně pro R 3 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}} dostáváme
kde
tvoří bázi prostoru R 3 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}} . Platí tedy, že dim ⁡ R 3 = 3 {\displaystyle \scriptstyle \dim \mathbb {R} ^{3}=3} . Zcela analogicky bychom pro obecné n ∈ N {\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} } obdrželi vztah
Ilustrujme si nyní závislost dimenze vektorového prostoru na zvoleném tělese, jak je diskutováno výše v oddíle Různá tělesa. Berme nejprve množinu komplexních čísel C {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel. V takovém případě je zjevně dimenze tohoto prostoru
Pokud však chápeme tutéž množinu vektorů C {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel, tak dimenze tohoto prostoru je
Obecné komplexní číslo totiž můžeme zapisovat ve tvaru a + i b {\displaystyle \scriptstyle a+\mathrm {i} b} , kde a {\displaystyle \scriptstyle a} a b {\displaystyle \scriptstyle b} jsou reálná čísla. Z tohoto pohledu tedy můžeme komplexní čísla chápat jako uspořádané dvojice reálných čísel. Neboli
Pro kartézské součiny n {\displaystyle \scriptstyle n} množin komplexních čísel dostáváme obdobně
Množina reálných matic chápaná jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel je do značné míry podobná množině reálných aritmetických vektorů. Například matice 2 × 3 {\displaystyle \scriptstyle 2\times 3} lze vyjádřit způsobem
Můžeme tedy opět zavést bázi
Jak vidno, dimenze prostoru matic 2 × 3 {\displaystyle \scriptstyle 2\times 3} , tj. prostoru R 2 × 3 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2\times 3}} je rovna 2 ⋅ 3 = 6 {\displaystyle \scriptstyle 2\cdot 3=6} . Postupem analogickým tomu v příkladu 1 bychom ukázali, že pro obecné rozměry matice n × m {\displaystyle \scriptstyle n\times m} platí
Vektorový prostor P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} polynomů s reálnými koeficienty má bázi
Tato množina má nekonečně mnoho prvků a dimenze prostoru P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} je tedy nekonečná, označuje se ℵ 0 {\displaystyle \scriptstyle \aleph _{0}} (alef 0).
Podobně jako v předchozím příkladu uvažujme prostor všech polynomů s reálnými koeficienty. Tentokrát v něm ale vezměme jeho podmnožinu tvořenou polynomy, jejichž stupeň je menší nebo roven číslu n ∈ N ∪ { 0 } {\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\}} . To znamená, mějme množinu
Báze tohoto prostoru je podobně jako v předchozím případě tvaru
Nyní je ale báze konečná, má n + 1 {\displaystyle \scriptstyle n+1} prvků. Platí tedy dim ⁡ P n + 1 = n + 1 {\displaystyle \scriptstyle \dim {\mathcal {P}}_{n+1}=n+1} , tj.
V předchozím příkladě jsme představili jeden z konečnědimenzionálních vektorových prostorů. Ilustrujme si nyní konstrukci izomorfizmu z oddílu Konečněrozměrné vektorové prostory výše. Konkrétně zkonstruujeme izomorfizmus mezi prostorem P n {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}_{n}} a prostorem reálných uspořádaných n-tic, tj. aritmetickým prostorem R n {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} . Za bázi aritmetického vektorového prostoru můžeme zvolit tu z příkladu 1, tj. e → 1 , … , e → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}} . Za bázi prostoru P n {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}_{n}} pak vezmeme tu z předchozího příkladu. Definujeme nyní lineární zobrazení L : P n → R n {\displaystyle \scriptstyle L:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R} ^{n}} vztahem
kde chápeme 1 = x 0 {\displaystyle \scriptstyle 1=x^{0}} .
Uvažujme nyní pro jednoduchost n = 6 {\displaystyle \scriptstyle n=6} . Aplikace zobrazení L {\displaystyle \scriptstyle L} na konkrétní polynom p ( x ) = 6 x 4 + 2 x 2 − 3 x + 5 {\displaystyle \scriptstyle p(x)=6x^{4}+2x^{2}-3x+5} tedy vypadá následovně:
Když explicitně vypíšeme bazické vektory e → i {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{i}} , tak můžeme psát
Polynomu stupně nejvýše 6 jsme tedy přiřadili šestici reálných čísel. Ukažme si nyní na dalším konkrétním příkladě, jak probíhá práce s polynomy a jak probíhá práce s šesticemi čísel. Uvidíme, že v obou případech budeme postupovat naprosto analogicky, práce s šesticemi čísel je však mnohem úspornější a rychlejší. Mějme tři polynomy
Chtěli bychom spočíst jejich lineární kombinaci 2 p 1 + 5 p 2 − 10 p 3 {\displaystyle \scriptstyle 2p_{1}+5p_{2}-10p_{3}} . Po dosazení tedy
Dospěli jsme tak k závěru, že daná lineární kombinace je rovna
Spočtěme nyní tutéž věc s využitím izomorfizmu výše. Nejprve si vyjádříme obrazy všech tří polynomů při zobrazení L {\displaystyle \scriptstyle L} následovně
Spočtěme nyní lineární kombinaci 2 L ( p 1 ) + 5 L ( p 2 ) − 10 L ( p 3 ) {\displaystyle \scriptstyle 2L(p_{1})+5L(p_{2})-10L(p_{3})} :
Nyní se můžeme inverzním zobrazení L − 1 {\displaystyle \scriptstyle L^{-1}} vrátit zpět do původního prostoru polynomů, abychom získali
Obdrželi jsme tak tentýž výsledek s postupem výše. Ač se to na tomto příkladu nemusí zdát patrné, při výpočtech rukou na papíře se druhý způsob projevuje jako rychlejší a přehlednější způsob zápisu polynomů. Počtář se totiž nemusí obtěžovat s vypisováním jednotlivých mocnin polynomů, což zpřehledňuje zápis a snižuje pravděpodobnost chyby.