Kekisi (tatanan)

Kisiadalah struktur abstrak digunakan dalam subdisiplinmatematikadariteori orderdanaljabar abstrak.Himpunan terurut sebagiandi mana dua elemen memilikisupremum(juga disebut batas atas terkecil ataugabung) daninfimum(juga disebut batas bawah terbesar ataubertemu). Contoh daribilangan asli, dengan diurutkan olehpembagian, dimana supremum adalahkelipatan persekutuan terkecildan infimum adalahpembagi persekutuan terbesar.
Kisi dikarakterisasi sebagaistruktur aljabarmenggunakanaksiomaatikidentitas. Karena kedua definisi tersebut ekuivalen, teori kisi yang menggunakanteori urutandanaljabar universal.Semikisisalah satu bagian kisi adalah aljabarHeytingdanBoolean. Struktur "kisi" digunakanteori-urutanserta deskripsi aljabar.
Jika(L, ≤)adalahhimpunan berurutan sebagian(pohimpunan), danS⊆Ladalah himpunan bagian arbitrer, maka elemenu∈Ladalah sebagaibatas atasdariSjikas≤uuntuks∈S. Batas atasudariSsebagaibatas bagian atas, ataugabung,supremum, jikau≤xuntuk batas atasxdariS. Satu himpunan dari batad atas terkecil, tidak lebih dari satu.Dualitasl∈Lsebagaibatas bawahdariSjikal≤suntuks∈S. Batad bawahldariSsebagaibatas bawah terbesar, ataubertemu,minimal, jikax≤luntuk batad bawahxdariS.
Rangkaian urutan sebagian(L, ≤)disebutgabung-semikisijika himpunan bagian dua elemen{a,b} ⊆Lmemiliki gabungan (yaitu batas atas terkecil), dan disebutbertemu-semikisijika himpunan bagian dua elemen memiliki pertemuan (yaitu batas bawah terbesar), dilambangkan dengana∨bdana∧b.(L, ≤)disebutkisijika gabungan dan bertemu-semikisi. 
Definisi ∨ dan ∧ adalahoperasi biner. Kedua operasi tersebut monoton dengan urutan:a1≤a2danb1≤b2dengana1∨b1≤a2∨b2dana1∧b1≤a2∧b2.
Argumeninduksibahwa himpunan bagian hingga tidak kosong dari kisi memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Dengan asumsi tambahan, kesimpulan lebih lanjut dimungkinkan;lihatKompleknes (teori order)untuk diskusi lebih lanjut tentang subjek ini. Bagaimana dapat mengubah definisi di atas dalam kaitannya dengan keberadaankoneksi Galoisdiantara himpunan terurut sebagian terkait, pendekatan khusus untukteori kategoripendekatan kisi, dan untukanalisis konsep formal.
Batas kisiadalah kisi dengan elementerbesar(juga disebut elemenmaksimum, atauatas, dan dilambangkan dengan 1, atau dengan⊤{\displaystyle \top }) dan elementerkecil(juga disebutminimum, ataubawah, dilambangkan dengan 0 atau dengan⊥{\displaystyle \bot }), yaitu
Kisi dibatasi dengan menambahkan elemen buatan terbesar dan terkecil, dan kisi hingga tidak kosong dibatasi, dengan gabungan (berurutan dengan gabung dan bertemu) dari semua elemen, dilambangkan dengan⋁L=a1∨⋯∨an{\displaystyle \bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}}(berurutan⋀L=a1∧⋯∧an{\displaystyle \bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}}) dimanaL={a1,…,an}{\displaystyle L=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}.
Himpunan berurutan sebagian adalah kisi hingga jika dan hanya jika himpunan elemen hingga (termasukhimpunan kosong) yaitu gabungan dan pertemuan. Untuk elemenxdari sebuah poset tirivial (adalahprinsip vacuous)∀a∈∅:x≤a{\displaystyle \forall a\in \varnothing :x\leq a}dan∀a∈∅:a≤x{\displaystyle \forall a\in \varnothing :a\leq x}, dan elemen poset adalah batas atas dan batas bawah dari himpunan kosong. Gabungan dari himpunan kosong adalah elemen terkecil⋁∅=0{\displaystyle \bigvee \varnothing =0}, dan bertemu himpunan kosong adalah elemen terbesar⋀∅=1{\displaystyle \bigwedge \varnothing =1}. Asosiatif dan komutatifitas bertemu dan gabungan: gabungan dari gabungan himpunan berhingga sama dengan gabungan himpunan, dan dua kali, pertemuan gabunganhimpunan hinggasama dengan pertemuan pertemuan himpunan, yaitu, untuk himpunan bagian hinggaAdanBdari posetL,
dan
Badalah himpunan kosong,
dan
konsisten denganA∪∅=A{\displaystyle A\cup \emptyset =A}.
Elemen kisiydengan elemenpenutupx, jikay>x, makazadalahy>z>x.
Struktur aljabar(L,∨,∧){\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}, dari himpunanL{\displaystyle L}dan dua biner,operasikomutatif dan asosiatif∨{\displaystyle \vee }, dan∧{\displaystyle \wedge },L{\displaystyle L}adalahkisijika identitas aksiomatik berikut untuk elemena,b∈L{\displaystyle a,b\in L}disebuthukum absorpsi.
Dua identitas berikut sebagai aksioma, keduanya menggunakan dua hukum absorpsi.Maka ini disebuthukum idempoten.
Aksioma menggunakan(L,∨){\displaystyle (L,\vee )}dan(L,∧){\displaystyle (L,\wedge )}adalahsemikisi. Hukum absorpsi, dari aksioma di atas di mana keduanya bertemu dan bergabung, membedakan kisi dari sembarang struktur semikisi dan memastikan bahwa dua semikisi berinteraksi dengan tepat. Secara khusus, setiap semikisi adalahdualitasdari yang lain.
Kisi hinggaadalah struktur aljabar dengan bentuk(L,∨,∧,0,1){\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,0,1)}dan(L,∨,∧){\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}adalah kisi0{\displaystyle 0}(kisi bawah) darielemen identitasuntuk operasi penggabungan∨{\displaystyle \vee }, dan1{\displaystyle 1}(bagian atas kisi) adalah elemen identitas untuk operasi meet∧{\displaystyle \wedge }.
Lihatsemikisiuntuk informasi lebih lanjut.
Kisi memiliki beberapa koneksi ke relasistruktur aljabar grup. Karena bertemu dan bergabung dengan komute dan asosiasi, kisi dapat dianggap terdiri dari dua komutatifsemigrupyang memiliki domain yang sama. Untuk kisi hingga, semigrup sebenarnya adalah komutatifmonoid.Hukum absorpsiadalah identitas penentu dalam teori kisi.
Dengan komutatifitas, asosiatif, dan idempotensi, gabung dan bertemu sebagai operasi pada himpunan hingga tidak kosong, bukan pada relasi elemen. Dalam kisi hingga, gabungan dan pertemuan dari himpunan kosong juga mendefinisikan (sebagai0{\displaystyle 0}dan1{\displaystyle 1}). Hal ini membuat kisi hingga dari kisi umum, dan banyak penulis mengharuskan semua kisi menggunakan batas.
Interpretasi aljabar kisi antara peran penting dalamaljabar universal.
Kisi teori-orde antara dua operasi biner ∨ dan ∧. Karena hukum komutatif, asosiatif dan absorpsi dengan diverifikasi untuk operasi, maka(L, ∨, ∧)dalam kisi dalam arti aljabar.
Kebalikannya, dengan kisi  ditentukan aljabar(L, ∨, ∧), satu menentukan urutan parsial ≤ diLdengan
untuk elemenadanbdariL. Hukum absorpsi bahwa kedua definisi adalah ekuivalen:
a=a∧bdenganb=b∨ (b∧a) = (a∧b) ∨b=a∨b
dan dualitas untuk arah lain.
Relasi ≤ digunakan untuk mendefinisikan urutan parsial di mana biner bertemu dan bergabung diberikan melalui operasi asli ∨ dan ∧.
Karena dua definisi kisi adalah ekuivalen, dengan menggunakan aspek dari kedua definisi tersebut dengan tujuan digunakan.
Contoh kisi lebih lanjut untuk sifat tambahan yang dibahas di bawah ini.
Sebagian besar rangkaian yang diurutkan sebagian bukanlah kisi, termasuk berikut ini.
Gagasan tentangmorfismeantara dua kisi mengalir dengan mudah dari definisi aljabaratas. Maka dua kisi(L, ∨L, ∧L)dan(M, ∨M, ∧M),kisi homomorfismedariLmenjadiMadalah fungsif:L→Muntuka,b∈L:
Jadifadalahhomomorfismedari duasemikisi. Jika kisi dengan struktur. Secara khusus,homomorfisme kisi berbatas(biasanya disebut "homomorfisme kisi")fantara dua kisi berbatasLdanMmemiliki sifat berikut:
Dalam rumus teori-ordo, bahwa homomorfisme kisi adalah fungsipengawetanpertemuan dan penggabungan biner. Untuk kisi berbatas, penggunaan elemen terkecil dan terbesar gabungan dan pertemuan himpunan kosong.
Homomorfisme kisimonotondengan relasi keteraturan terkait; lihatFungsi pemeliharaan batas. Kebalikannya tidak benar: monotonisitas tidak menggunakan untuk bertemu dan bergabung (lihat Gambar 9), meskipunpemelihara orderbijeksiadalah homomorfisme dari fungsipembalikan.
MakaL{\displaystyle \mathbb {L} }danL′{\displaystyle \mathbb {L} '}antara dua kisi dengan0dan1. Homomorfisme dariL{\displaystyle \mathbb {L} }keL′{\displaystyle \mathbb {L} '}disebutseparating-0,1jika dan hanya jikaf−1{f(0)}={0}{\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}(f{\displaystyle f}yaitu0) danf−1{f(1)}={1}{\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}(f{\displaystyle f}yaitu 1).
Perhatikan bahwa dalam banyak aplikasi, set hanya berupa kisi parsial: tidak elemen memiliki pertemuan atau penggabungan.
Monographs available free online:
Elementary texts recommended for those with limitedmathematical maturity:
The standard contemporary introductory text, somewhat harder than the above:
Advanced monographs:
On free lattices:
On the history of lattice theory:
On applications of lattice theory: