Решётка (геометрия)

Решётка— набор векторовевклидова пространстваRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, образующий дискретнуюгруппупо сложению.
Линейно независимаясистема векторов,порождающаярешётку, называется еёбазисом. Два набора векторов порождают одну и ту жеn{\displaystyle n}-мерную решётку тогда и только тогда, когда матрицыB1{\displaystyle B_{1}}иB2{\displaystyle B_{2}}, составленные из вектор-столбцов координат векторов этих наборов, связаны домножением справа наунимодулярную матрицу:B1=B2U{\displaystyle B_{1}=B_{2}U},U∈GLn(Z){\displaystyle U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}. Поэтому можно сопоставить решётки максимального ранга вn{\displaystyle n}-мерном пространствеклассам смежностиGLn(R)/GLn(Z){\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}.
Определителемрешётки называетсяопределитель матрицы, составленной из координат порождающих её векторов. Он равен объёму еёфундаментальной области, представляющей собойпараллелепипед, и также называется кообъёмом решётки.
Нормойвектораv{\displaystyle v}в теории решёток в евклидовом пространстве принято называть не длину вектора, а её квадрат‖v‖2{\displaystyle \|v\|^{2}}.
РешёткаΓ⊂Rn{\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{n}}называется:
Примитивнымназывается ненулевой вектор решётки, не коллинеарный никакому более короткому ненулевому вектору этой решётки.
Примитивный вектор решётки, относительно отражения вдоль которого решётка инвариантна, называетсякорнемрешётки. Множество корней решётки образуютсистему корней. Каждая решётка, порождённая своими корнями, подобна решётке, порождённой векторами с нормами 1 или 2. Такая решётка называетсярешёткой корней.
Двойственнойрешёткой к решёткеΓ{\displaystyle \Gamma }называется решётка, которая обозначаетсяΓ∗{\displaystyle \Gamma ^{*}}илиΓ∨{\displaystyle \Gamma ^{\vee }}и определяется как
Решётка называетсясамодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.
Подрешётка— подгруппа решётки.
Можно определить объект, аналогичный решётке, ваффинном пространстве— аффинную решётку; этоорбитаточки аффинного пространства под действиемсдвиговна векторы решётки.
В физике решётки в трёхмерном пространстве, классифицированные по их симметриям, называютсярешётками Браве, двойственная решётка —обратная решётка, фундаментальный параллелепипед — (примитивная)элементарная ячейка.
Граф Кэлирешётки тоже называютрешёткой(бесконечной).
Решётки, как и другие геометрические объекты, нередко рассматривают с точностью додвижений(изометрий в себя) объемлющего евклидова пространства — поворотов вокруг начала координат и отражений относительно проходящих через него плоскостей. Такое преобразование действует на матрицу, составленную из координат базиса решётки, как домножение слева наортогональную матрицу. Поэтому классы изометрий решёток —классы эквивалентностирешёток относительно изометрий — можно сопоставить двусторонним классам смежностигруппы обратимых матриц:On(R)∖GLn(R)/GLn(Z){\displaystyle \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}.
Также в некоторых задачах решётки рассматривают с точностью доподобия; на матрицу такие преобразования действуют как домножение на элементыR∗{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}(множества ненулевых действительных чисел). Классы подобия решёток соответствуют классам смежностиR∗On(R)∖GLn(R)/GLn(Z){\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}.
Близкое, «теоретико-числовое» определение решётки — абстрактнаясвободная абелева группаконечного ранга (то есть изоморфнаяZn{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}) с положительно определённой симметричнойбилинейной формойна ней; вместо билинейной формы можно задатьквадратичную. Чтобы это определение было равносильно приведённому выше, «геометрическому» определению решёток (точнее, их классов изометрий), нужно рассматривать квадратичные формы с точностью до определённого отношения эквивалентности.
Если заданы решётка и её базис, то матрица соответствующей квадратичной формы —матрица Грамаэтого базиса. Положительно определённая квадратичная форма какфункционалнаRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}может быть задана какv↦‖Av‖2{\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2}},A∈GLn(R){\displaystyle A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}(тогда матрица квадратичной формы равнаQ=ATA{\displaystyle Q=A^{\mathrm {T} }A}), и она не меняется, если векторAv{\displaystyle Av}подвергнуть ортогональному преобразованию, поэтому положительно определённые квадратичные формы находятся во взаимно однозначном соответствии с классами смежностиOn(R)∖GLn(R){\displaystyle \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}. Если считать эквивалентными формы, матрицы которыхQ1{\displaystyle Q_{1}}иQ2{\displaystyle Q_{2}}связаны через унимодулярную матрицуU{\displaystyle U}какUTQ1U=Q2{\displaystyle U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2}}, то классы эквивалентности квадратичных форм оказываются во взаимно однозначном соответствии с классами смежностиOn(R)∖GLn(R)/GLn(Z){\displaystyle \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}— и таким образом и с классами изометрии решёток.
В двумерном случае можно отождествить объемлющее евклидово пространство скомплексной плоскостью, а векторы решётки — с комплексными числами. Если положительно ориентированный базис решётки представлен парой комплексных чисел(ω1,ω2){\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}, то преобразованием подобия можно перейти к решётке с базисом(1,ω2/ω1){\displaystyle (1,\omega _{2}/\omega _{1})}, после чего смена базиса в решётке с сохранением ориентации будет соответствовать дробно-линейному преобразованиюверхней полуплоскости— элементумодулярной группы.
С решётками связаны различные геометрические задачи, такие какплотная упаковка равных сфер. Также на решётках основываются коды дляпомехоустойчивого кодирования. Многиезадачи теории решётоклежат в основекриптографии на решётках.