Fractale

Une figurefractaleest unobjet mathématiquequi présente une structure similaire à toutes leséchelles.
C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « autosimilaire ».
Les fractales sont définies de manière paradoxale, un peu à l'image despoupées russesqui renferment  une figurine plus ou moins identique à l'échelle près : les objets fractals peuvent être envisagés comme des structuresgigognesen tout point – et pas seulement en un certain nombre de points. Cette conceptionhologigogne(gigogne en tout point) des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire).
De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l'aspect duchou romanesco– possèdent des formes fractales approximatives.
De nombreux exemples de fractales, comme leflocon de Kochou letapis de Sierpińskiont été découverts à la fin du19siècle, mais c'estBenoît Mandelbrotqui, en 1975, a attiré l'attention sur ces objets et leur omniprésence dans la nature, créant à cette occasion l'adjectif « fractal » à partir de la racine latinefractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence « -al » présente dans les adjectifs « naval » et « banal » (pluriels : navals, banals, fractals) ; l'usage a ensuite imposé le substantifune fractalepour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale.
Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :
Les figures fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de MandelbrotLes Objets fractalsen donne une grande variété d'exemples). La taille desalvéolesdu poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.
La dimension utilisée est celle deHausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.
Des exemples de figures fractales sont fournis par les ensembles deJulia, de Fatouet deMandelbrot, lafractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor, letapis de Sierpinski, letriangle de Sierpinski, lacourbe de Peanoou leflocon de Koch. Les figures fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude dessystèmes chaotiques.
Les figures fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :
De toutes ces figures fractales, seules celles construites par des systèmes de fonctions itérées affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.
Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, lesturbulencesde liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans lacompression fractaled'images, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.
La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixés une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Ce nombre est négatif s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.
La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.
Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de ladimension de Hausdorff.
Quand la fractale est formée de répliques d'elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :
où la fractale de départ est formée denexemplaires dont la taille a été réduite d'un facteurh(pourhomothétie).
Quelques exemples :
d=ln⁡(4)ln⁡(3)≈1,2618595…{\displaystyle d={\frac {\ln(4)}{\ln(3)}}\approx 1,2618595\ldots }
d=ln⁡(3)ln⁡(2)≈1,5849625…{\displaystyle d={\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}\approx 1,5849625\ldots }
d=ln⁡(8)ln⁡(3)≈1,892789…{\displaystyle d={\frac {\ln(8)}{\ln(3)}}\approx 1,892789\ldots }
Une liste beaucoup plus longue se trouve sous :Liste de fractales par dimension de Hausdorff.
Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans lanature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : lesnuages, lesflocons de neige, lesmontagnes, les réseaux derivières, lechou-fleurou lebrocoli, et lesvaisseaux sanguins.
Lesarbreset lesfougèressont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithmes récursifs comme lesL-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de forme similaire.
Spectaculaire est la géométrie proprement fractale desplantes à cyme n-pare: de chaque nœud de la plante partent invariablement un axe floral principal terminé par une fleur et n axes secondaires qui chacun, à leur nœud suivant, reproduiront en plus petit le même schéma de construction. Ainsi, si la plante poussait à l'infini, elle serait à partir de chaque nœud une réplique exacte, à échelle décroissante, du pied entier.
La surface d'une montagne peut être modélisée surordinateuren utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithmegarantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.
Enfin, certainsastrophysiciensont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Universà six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.
Les domaines d'application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier:
Tous ces domaines - et bien d'autres - peuvent bénéficier de la description et d'une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.
Surface spécifiquede Blaine : la finesse de broyage d'uncimentest exprimée en termes de surface spécifique (cm²/g) et mesurée par laméthode de Blaine, dite deperméabilitéà l'air, utilisant laloi de Darcy, et laloi de Kozeny-Carmanqui établit que la traversée d'un lit degranulespar un fluide est affectée par la surface spécifique des granules.
Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante.
Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimensionnde mesure finie, borné par une frontière de dimensionn-1, de mesure tendant vers l'infini).
Méthodes informatiques de calcul