Retículo modular

Unretículo modularen el sentido de lateoría del ordenes unretículoque cumple la siguiente condición auto-dual (modularidad):
Los retículos modulares ocurren enálgebray en numerosas otras áreas de las matemáticas. Así, por ejemplo, los subespacios de unespacio vectorial(y, más en general, los submódulos de unmódulo sobre un anillo) forman un retículo modular.
Todoretículo distributivoes modular.
Sin embargo, aún en un retículo no modular pueden existir elementosbque cumplan con la condición de modularidad en relación con elementos arbitrariosayx(siendox≤b). Un elementobtal se denominaelemento modular. En términos aún más generales, pueden considerarse pares (a,b) de elementos, que cumplan con la condición de modularidad con respecto a todo elementox. Un par de este tipo se denominapar modulary sobre la base de esta noción existen varias generalizaciones del concepto de modularidad relacionadas con el desemimodularidad.
La propiedad de modularidad puede considerarse como unapropiedad asociativarestringida, por la que ambas operaciones reticulares se combinan de manera similar a como la propiedad asociativa λ(μx) = (λμ)xpara espacios vectoriales combina la multiplicación en un cuerpo con lamultiplicación escalar. La restricciónx≤bse hace necesaria porque se sigue dex∨ (a∧b) = (x∨a) ∧b.
Es fácil comprobar que, en todo retículo, dex≤bse siguex∨ (a∧b) ≤ (x∨a) ∧b. Por eso la propiedad de modularidad también puede formularse como sigue:
Reemplazandoxpor el términox∧b, la propiedad de modularidad puede expresarse por medio de la siguiente ecuación, que deberá cumplirse sin másprecondiciones:
Esto muestra (usando conceptos deálgebra universal), que los retículos modulares conforman una subvariedad de la variedad de los retículos. De allí que todas las imágenes homomorfas,subretículosy productos directos de retículos modulares sean a su vez modulares.
El retículo no modular más simple es el "retículo pentagonal"N5, que consiste en los cinco elementos 0,1,x,a,b, de modo que  0 <x<b< 1, 0 <a< 1, siendoaincomparable conxy conb. En este retículo se cumple quex∨ (a∧b) =x∨ 0 =x<b= 1 ∧b= (x∨a) ∧b, en contradicción con la propiedad de modularidad. Todo retículo no modular contiene un subretículo coincidente conN5.
Aludiendo aRichard Dedekind, descubridor de la propiedad de modularidad, los retículos modulares aún hoy siguen denominándoseretículos de Dedekind.
Para cada par de elementosa,bde un retículo modular se pueden considerar los intervalos [a∧b,b] y [a,a∨b]. Entre estos intervalos existe las aplicaciones monótonas
definidas por φ(x) =x∨ay    ψ(x) =x∧b.
La composición ψφ es una aplicación monótona del intervalo [a∧b,b] sobre sí mismo, que además cumple lainecuaciónψ(φ(x)) = (x∨a) ∧b≥x. El ejemplo muestra que en el caso general no puede tratarse de una ecuación. En cambio, en el caso de un retículo modular siempre rige la ecuación. Como el retículo dual de un retículo modular tiene a su vez a este último como retículo dual, φψ es del mismo modo la aplicación de identidad sobre [a,a∨b]; por tanto φ y ψ son isomorfismos entre estos dos intervalos. Este resultado a veces se denominateorema del subretículo isomorfo al retículo diamantepara retículos modulares. Un retículo es modular si y solo si esta propiedad rige para cada par de elementos.
El teorema del subretículo isomorfo al retículo diamante para retículos modulares es análogo al tercerteorema de isomorfíadel álgebra, además de una generalización delteorema del retículo.
En un retículo cualquiera, se entiende porpar modularun par (a, b) de elementos tales, que para todo elementox, que cumplaa∧b≤x≤b, se cumpla la ecuación (x∨a) ∧b=x. Dicho de otro modo,son pares modulares aquellos pares, para los que rige una mitad del teorema del subretículo isomorfo al retículo diamante. Enfrancés, un "par modular" se denominacouple modulaire. Un par (a, b) se denomina en francéspaire modulairecuando tanto (a, b) como también (b, a) son pares modulares. Un elementobde un retículo se denominaelemento modular (por la derecha)su para todo elementoael par  (a, b) es un par modular.
Algunos retículos tienen la propiedad de que junto a todo par modular (a, b) el par (b, a) también lo es. Un retículo de este tipo se denominaretículo M-simétrico. Algunos autores, como por ejemplo Fofanova, llamanretículos semimodularesa los retículos de este tipo. Como todo retículo M-Simétrico essemimodulary como para los retículos finitos también rige el juicio inverso, la posible confusión se limita a ciertos casos de retículos infinitos. Dado que un retículo es modular si y solo si todo par de entre sus elementos es par modular, todo retículo modular es M-simétrico. En el retículoN5descrito más arriba, el par  (b, a) es modular, mientras que el par (a, b) no lo es. Por tantoN5no es M-simétrico. El retículo hexagonal con centroS7es M-simétrico, pero no es modular. ComoN5es subretículo deS7, los retículos M-simétricos no conforman una subvariedad de la variedad de los retículos.
La M-simetría no es un concepto autodual. Unpar dualmente modulares un par que es modular en el retículo dual y un retículo se llama dualmente M-simétrico oM-simétricosi su retículo dual es M-simétrico. Se puede demostrar que un retículo finito es modular si y solo si es M-simétrico y M-simétrico. Esta misma equivalencia rigen también para retículos infinitos que cumplan lacondición de la cadena ascendente(o descendente).
En estrecha relación a lo anterior surgen algunos conceptos de menos importancia. Un retículo se denominasimétrico cruzado, si para todo par modular (a, b) el par (b, a) resulta ser dualmente modular. La simetría cruzada implica M-simetría, pero no M-simetría. Por tanto la simetría cruzada no equivale a la simetría cruzada dual. Un retículo con elemento ínfimo 0 se llama⊥-simétricosi para todo par modular  (a, b) que cumplaa∧b= 0 , el par (b, a) es también modular.