Réseau de Bravais

Encristallographie, unréseau deBravaisest une distribution régulière de points – appelés nœuds – dans l’espace qui représente la périodicité de la distributionatomiqued’uncristal. Les nœuds peuvent être imaginés comme les sommets desmailles, c'est-à-dire des portions de l'espace dans lesquelles lastructure cristallinepeut être divisée. La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille. La donnée d'un réseau de Bravais n'est pas suffisante pour caractériser un cristal : d'une part le cristal est constitué d'atomes et non de nœuds, et d'autre part la maille peut contenir plusieurs atomes, ce qui fait que certaines symétries du réseau ne sont pas forcément des symétries de la structure cristalline : c'est le cas des cristaux mérièdres. Lorsque la symétrie complète du réseau de Bravais est réalisée aussi dans la structure cristalline on parle de cristaux holoèdres.
Formellement, un réseau de Bravais en dimensionnest défini comme l'ensemble des vecteurs {m1a1+m2a2+ ... +mnan}, oùm1, ...,mnappartiennent à Z et où les vecteurs de base du réseau a1, ..., ansontnvecteurslinéairement indépendants. Les paramètres du réseau sont constitués des longueursa1, ...,anet des angles entre les vecteurs de base du réseau.
La périodicité engendre ungroupe de symétrieconstitué des opérations detranslationet derotationlaissant le réseau de Bravais invariant. Si le nombre de réseaux est infini, puisqu'à chaque valeur des paramètres il correspond un réseau différent, le nombre de « types » de réseaux (appelés des « modes » de réseau) est fini, le type d'un réseau étant défini par son groupe de symétrie. On dénombre ainsi 5 types de réseau de Bravais dans l'espace bidimensionnel et 14 types dans l'espace tridimensionnel.
Lorsqu'il existe dans uncristalune invariance par rotation, on dit qu'il existe un axe de symétrie d'ordre 2, 3, 4 ou 6, selon que la rotation en question correspond respectivement à un angle de ± 180°, ± 120°, ± 90° ou ± 60°. L'étude des réseaux de Bravais à l'aide de la théorie des groupes a montré que dans les espaces bidimensionnel et tridimensionnel il n'existe pas de cristal ayant un axe de symétrie d'ordre 5. Ceci n'est plus vrai si la distribution atomique n'est pas périodique, comme c'est le cas dans unquasi-cristal: la distribution atomique observée peut alors être interprétée mathématiquement comme la projection sur l'espace tridimensionnel d'une coupe irrationnelle d'une structure périodique de dimension supérieure (4, 5 ou 6).
Un réseau étant infini, il est décrit par unemaille, qui représente l’unité par répétition infinie de laquelle le réseau est obtenu. Le choix de la maille n’est pas unique, chaque réseau pouvant en principe être décrit par une infinité de mailles différentes ; ainsi, l'expression paramètres du réseau indique en réalité les paramètres de maille. Deux types de mailles sont utilisés le plus souvent : lamaille primitive(ou élémentaire) et lamaille conventionnelle: dans chaquefamille cristallineil existe un réseau dont la maille conventionnelle est primitive. Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume de la maille, appartiennent à la mêmefamille cristalline.
Un réseau de Bravais correspond à une question d'ordre mathématique. Il est associé à l'étude d'unquasiespace vectoriel, la différence entre un espace vectoriel et un réseau étant que dans ce dernier lesscalairessont desentierset non plus des nombres inversibles (à l'exception de 0) comme lesréelsou lescomplexes. Pour bénéficier d'unegéométrieaisément préhensible, le réseau est plongé dans unespace vectoriel euclidiendedimensionminimale. Cet espace est, par définition d'un réseau, de dimension finie. Enfin, le réseau peut également être vu comme unespace affine.
Une des premières propriétés est le fait que, à l'image de la structure d'espace vectoriel, il existe unebaseet, si une telle base n'est pas unique, son volume l'est. Ledomaine fondamentald'une base est formé par l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées dans la base sont dans l'intervalle [0,1[, ce que le cristallographe appelle la maille primitive. La figure de droite illustre deux domaines fondamentaux, en vert et en rouge, nécessairement de même volume.
Plusieursgroupesapparaissent naturellement dans l'étude des réseaux de Bravais. Tout d'abord, comme dans un espace vectoriel, le réseau forme un groupe pour l'addition des vecteurs. Ce groupe est isomorphe au groupe des translations laissant le réseau invariant. Ensuite, une question importante est celle dugroupe orthogonal, appelé parfoisgroupe ponctuel de symétrie. Il est composé desapplications linéairesqui conservent les distances et les angles, à l'image d'unerotationou d'uneréflexiondans un miroir. Ces transformations forment lesisométriesvectorielles du réseau. Dans un réseau, le groupe orthogonal est toujours fini et dispose d'une structure degroupe. C'est-à-dire qu'il existe unélément neutre, celui qui ne bouge aucun point du réseau, que l'application réciproque d'une isométrie est encore une isométrie et que laloi de compositiondes applications linéaires estassociative. Enfin, en combinant les deux groupes précédents, on peut former un autre groupe : legroupe d'espacedu réseau.
Contrairement au cas des espaces vectoriels, les groupes orthogonaux de deux réseaux de même dimension ne sont pas forcémentisomorphes. Élucider la structure du groupe orthogonal d'un réseau de dimension 2 est relativement aisé. Il n'existe que 4 groupes finis possibles et ils sont tous de petitscardinaux: 2, 4, 8 ou 12. Aucun outil sophistiqué n'est nécessaire, il suffit d'utiliser quelquesmatrices2x2 pour arriver à ses fins. En dimension 3, la question se corse un petit peu. Le groupe le plus vaste contient 48 éléments. Pour expliciter la structure d'un groupe, il est plus simple de faire appel à la théorie desreprésentations d'un groupe fini. Un outil un peu abstrait, lecaractèrepermet de résoudre rapidement des questions, d'apparence délicate.
L'article détailléRéseau (géométrie)fait usage de l'algèbre linéairepour construire les groupes orthogonaux des réseaux de dimension 2 et de la représentation d'un groupe pour la dimension 3.
Dans l’espace à une dimension, il ne peut exister qu’un seul type de réseau, qui consiste en une répétition périodique de nœuds le long de la seule direction existante, indiquée comme axe a. La distance entre deux nœuds est le paramètrea.
Dans l’espace à deux dimensions, lamaille conventionnellepeut être primitive (p) ou centrée (c). Les axes sont indiqués par les lettres a et b, l’angle inter-axial est appelé γ. Cinq types de réseaux existent dans cet espace, qui sont indiqués par la lettre correspondant à la famille cristalline, suivie par le mode de réseau (en minuscule).
Dans la famille cristalline monoclinique, il n’existe aucune restriction sur les paramètres. Un seul type de réseau existe dans cette famille :mp(monoclinique primitif).
Dans la famille cristalline orthorhombique, γ = 90°. Deux types de réseau existent : le réseauop(orthorhombique primitif) et le réseauoc(orthorhombique centré). Dans la figure qui montre lamaille conventionnelledu réseauoc(rouge), quatre mailles primitives sont aussi visibles (noires).
Dans la famille cristalline tétragonalea=bet γ = 90°. Un seul type de réseau existe dans cette famille :tp(tétragonal primitif).
Dans la famille cristalline hexagonalea=bet γ = 120°. Un seul type de réseau existe dans cette famille :hp(hexagonal primitif).
Les réseaux de l’espace tridimensionnel peuvent être obtenus à partir de ceux de l’espace bidimensionnel en ajoutant une troisième direction non-coplanaire. Les axes sont indiqués par a, b et c, les angles par α (entre b et c), β (entre a et c) et γ (entre a et b). Sept modes de réseau sont possibles, indiqués par une lettre majuscule :
La lettreS(uneSeule paire de faces centrées) est aussi utilisée pour indiquer de manière collective les réseaux à une face centrée qui peuvent être transformés entre eux à la suite d'un changement d’axes.
Quatorze types de réseaux existent dans cet espace, qui sont indiqués par la lettre correspondant à la famille cristalline suivie par le mode de réseau (en majuscule).
Dans la famille cristalline triclinique il n’existe aucune restriction sur les paramètres. Un seul type de réseau existe dans cette famille :aP(anortique primitif). La lettretétant réservée à la famille cristalline tétragonale, on utilisea(anortique, synonyme de triclinique).
Dans la famille cristalline monoclinique deux angles sur trois (normalement choisis comme α et γ) sont droits. Deux types de réseau existent dans cette famille :mPetmC. La maillemCpeut être transformée enmIavec un choix différent des axes.
Dans la famille cristalline orthorhombique les trois angles sont droits. Quatre types de réseaux existent dans cette famille :oP,oS,oIetoF. Comme la symétrie de la maille conventionnelle n’impose aucune priorité sur les axes, les trois réseauxoA,oBetoCsont équivalents à la suite d'un changement des axes et sont indiqués collectivement commeoS.
Dans la famille cristalline tétragonalea=b, α = β = γ = 90°. Deux types de réseau existent dans cette famille :tP(équivalent àtC) ettI(équivalent àtF).
Dans la famille cristalline hexagonalea=b, α = β  = 90°, γ = 120°. Deux modes de réseau existent dans cette famille :hPethR.
Dans la famille cristalline cubiquea=b=c, α = β = γ = 90°. Trois modes de réseau existent dans cette famille :cP,cIetcF.
Un réseau, étant une distribution régulière de nœuds dans l’espace, n'est ni primitif ni centré. L’expression « réseau primitif / réseau centré » est en effet unabus de langagepour « réseau dont lamaille conventionnelleest primitive / centrée ».
Les réseaux de l’espace tridimensionnel furent déterminés parMoritz Ludwig Frankenheim(en)en 1842, qui ne reconnut pas l’équivalence des réseauxmCetmI.Auguste Bravaisen 1848 corrigea l’erreur, en fixant à 14 le nombre correct.