Бесконечность

Бесконе́чность— категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел. Систематически исследуется вматематике➤,логике➤ифилософии➤, также изучаются вопросы о восприятии, статусе и природе бесконечности впсихологии,теологии,физике➤соответственно. Бесконечность обозначаетсясимволом∞{\displaystyle \infty }.
Исторически первые проблемы бесконечности — вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире, более сложные проблемы — возможность бесконечного деленияконтинуума➤, возможность оперирования с бесконечными объектами (проблемаактуальной бесконечности➤), природа и поведение бесконечно малых величин — инфинитезималей➤, наличие различных типов бесконечности и соотношение между ними. Наиболее глубокое исследование бесконечности предпринято в математическойтеории множеств➤, в которой построено несколько систем измерений различных видов бесконечных объектов, однако без дополнительных искусственных ограничений такие построения вызываютмногочисленные парадоксы➤, пути их преодоления, статус теоретико-множественных построений, их обобщений и альтернатив являются основным направлением исследований бесконечности у философов современности➤.
Бесконечность может рассматриваться как неограниченность некоторого процесса, например, когда вовтором постулате Евклидаутверждается возможность продолжить бесконечно и непрерывно любую прямую, то имеется в виду, что процесс можно непрерывно продолжать, но существование такого самостоятельного объекта, как бесконечная прямая, из него не следует. Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют какпотенциальную бесконечность(всхоластикеиспользуется термин «синкатегорематическая бесконечность»), потенциально бесконечное не подразумевает целостных бесконечных предметов и явлений, в каждой фазе бесконечного процесса рассматриваются лишь конечные сущности, то есть является лишь частичным отрицанием конечного.
Альтернативой является понятиеактуальной бесконечности(в схоластике — «категорематическая бесконечность»), которая означает рассмотрение конечно неизмеримых объектов как данность, как реально существующих, но при этом как единых и целостных, с которыми возможно оперировать. В таком ключе актуально бесконечное — как прямое и полное отрицание конечного — используют мистики для характеризации различных божественных категорий, математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами➤и актуально бесконечномерными пространствами➤. Представления о допустимости и содержании актуальной бесконечности в философии, теологии, логике, математике, естествознании существенно менялись на протяжении всего времени рассмотрения вопроса.
Качественная бесконечность — категория, определяющая всеобщий, неиссякаемый, универсальный характер связей объектов и явлений, как качественно бесконечные рассматриваются в различные времена в различных философских школах такие категории, какАбсолют,Космос,Бог,Уми другие.
Количественная бесконечность характеризует процессы и объекты, измерение которых невозможно конечными величинами, с количественной бесконечностью оперируют математики, изучая, например, свойства бесконечных рядов, бесконечномерные пространства, множества из бесконечного количества элементов; в логике и философии исследуются возможности и ограничения такой работы с количественной бесконечностью.
Континуум(лат.continuum) — форма бесконечности, относящаяся к идее о непрерывности, целостности объектов в смысле возможности бесконечного их разделения на составные части и потенциальной бесконечности этого процесса. Континуальность противопоставляетсядискретности, прерывистости, наличию неделимых (атомарных) составляющих. Континуумом представляются отрезки числовой оси (континуум в теории множеств), определённый вид ограниченных иотделимыхпространств, в некотором смысле сходных с отрезками числовой оси (континуум в топологии), на основе исследования свойств бесконечной делимости континуума в математике сформировано понятиенепрерывности. Вопросы обонтологическойприроде континуума, статусе континуума вестествознаниинашли отражение во многих трудах философов, начиная со времёнантичности.
Инфинитезимали — бесконечно малые величины, фигурирующие в потенциально бесконечных процессах, характеризующихся последовательным убыванием величин, в частности, при разделении континуума на составные части, в убывающих числовых последовательностях, иногда — в представлении об атомарной структуре мироздания или сознания. Математическое описание инфинитезималей, созданноеНьютономиЛейбницемв исчислении бесконечно малых➤, стало базисомматематического анализа.
Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности былинатуральные числаи потенциальная бесконечностьнатурального ряда. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считаетсядоказательство от противногобесконечности множествапростых чиселв «Началах»Евклида: если предположить конечность множества простых чисел, то число, равное суммеединицыи произведения всех чисел из этого множества, не делится ни на одно из них, но при этом или само является простым, или делится на некоторое простое число, не входящее в исходное множество; и то, и другое противоречит исходной посылке. Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляетпарадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен егоквадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел.
В теории чисел не требуется применение какой-либо абстракции актуальной бесконечности, тем не менее, многие её задачи связаны с формулировкой условий бесконечности, например, по состоянию на 2019 год являютсяоткрытыми проблемамивопросы о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число являетсяпервообразным корнем(гипотеза Артина), бесконечности множествапростых чисел-близнецов, бесконечности для всякого чётного числа множества пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ему (гипотеза Полиньяка), бесконечности множествасовершенных чисел.
Первое свидетельство применения бесконечногорядаобнаруживается уАрхимедав «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого междупрямойипараболой, итреугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, онсуммирует бесконечный ряд:
и затем перепроверяет результатметодом от противного.
В 1340-е годыСуайнсхедвпервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающейгеометрической прогрессией:
Также в XIV веке с бесконечными рядами работаетОрем, используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии идоказываетрасходимостьгармонического ряда.
В XVI веке, используя результаты Орема,Томашнаходит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами. В Индии в XV веке были получены разложениятригонометрических функцийвбесконечные степенные ряды, наиболее значительный вклад внёсМадхава из Сангамаграмы.
Менголив трактате, опубликованном в1650 годуустанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда.Меркаторв1668 годуоткрывает разложениелогарифмическойфункции встепенной ряд, а в1667 годуГрегори— разложениятригонометрических функций, и, наконец,Тейлор, обобщая результаты Меркатора, Грегори, а такжеНьютона, в1715 годупоказывает возможность разложить в бесконечный ряд любуюаналитическую функциюв заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.
Хотяметод исчерпывания, известный со времён античности, иметод неделимых, сформулированныйКавальерив 1635 году, в той или иной мере используют сведение к бесконечно малым величинам, первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаныВаллисом,БарроуиГрегорив середине XVII века, в явном видематематическая абстракцияинфинитезималей была создана в 1680-е годы практически одновременно Ньютоном в его «методе флюксий» (бесконечно малыхприращений) и Лейбницем (определившимдифференциал).
Строгие определения бесконечно малых с использованием понятийпредела,сходимостиинепрерывностиданы в XIX векеКошииВейерштрассом, наиболее традиционной в этих определениях стала так называемая(ε,δ){\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}-формулировка(например,α{\displaystyle \alpha }считается пределом по Коши функцииf{\displaystyle f}в точкеx0{\displaystyle x_{0}}, если для любогоε>0{\displaystyle \varepsilon >0}найдётсяδ>0{\displaystyle \delta >0}, что при любыхx{\displaystyle x}, удовлетворяющих условию0<|x−x0|<δ{\displaystyle 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta }, выполнено|f(x)−α|<ε{\displaystyle \left|f\left(x\right)-\alpha \right|<\varepsilon }). В более поздних определениях бесконечно малых используется техникаокрестностей— открытых подмножествR{\displaystyle \mathbb {R} }(Гейне), которые естественным образом обобщены вобщей топологии(абстрагирующей понятиеоткрытого множества).
Внестандартном анализеРобинсона(1960-е годы) бесконечно малые вводятся как вид обобщённых чисел, не превосходящих1/n{\displaystyle 1/n}для любогоn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }, класс всех таких чисел актуализируется «монадой нуля»μ(0){\displaystyle \mu (0)}.
Вматематическом анализе, созданном на фундаменте исчисления бесконечно малых➤, вводится явно и абстракциябесконечно больших величин: ко множествудействительных чиселдобавляются символыбесконечно удалённых точек+∞{\displaystyle +\infty }и−∞{\displaystyle -\infty }(строитсярасширенная числовая прямаяR¯={−∞}∪R∪{+∞}{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}), применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. С символами возможно оперировать (здесьα{\displaystyle \alpha }— действительное число):
однако с некоторыми ограничениями: при возникновении неопределённых ситуаций
применяются правилараскрытия неопределённостей(например,правило Лопиталя) по принципу выяснения содержания предельного выражения, приведшего к появлению бесконечности, то есть, в этом смысле в анализе символы±∞{\displaystyle \pm \infty }используются как обобщённое сокращение для записи предельных выражений, но не как полноценный объект (в некоторых дидактических материалах используется одна бесконечно удалённая точка±∞{\displaystyle \pm \infty }, не связанная соотношением порядка с действительными числами).
Внестандартном анализеРобинсона бесконечно большие и бесконечно малые величины актуализируются с привлечениемтеоретико-модельныхсредств, причём выразительные средства и методы доказательств благодаря этому в нестандартном анализе во многих случаях выигрывают перед классическими, и получен ряд новых результатов, которые могли бы быть получены и в классическом анализе, но не были обнаружены из-за недостатка наглядности.
Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало созданиеПонселев1822 годупроективной геометрии, одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространствеR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}в проективную плоскостьRP2{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}необходимо для каждого класса параллельных прямых добавитьидеальную точку, и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются видеальную прямую.Действительнаяпроективная прямаяв этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой (RP1=R∪{∞}{\displaystyle \mathbb {R} P^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}).
Так же, как и в анализе➤, с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака,α∈R{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }):
но при этом выражения∞+∞,∞−∞,∞⋅0,∞/∞,0/0{\displaystyle \infty +\infty ,\,\infty -\infty ,\,\infty \cdot 0,\,\infty /\infty ,\,0/0}не определены.
Создавая геометрическую интерпретациюкомплексных чисел,Риманв1851 годувоспользовался средствами проективной геометрии, и длякомплексной плоскостиC{\displaystyle \mathbb {C} }построил проективное пространствоCP1{\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}— комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное каксфера Римана: полюсы сферы — точки0{\displaystyle 0}и∞{\displaystyle \infty }, астереографическая проекция(с выколотой точкой∞{\displaystyle \infty }) переводит её вкомплексную плоскость. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, вкомплексном анализеиспользуется именно проективная форма бесконечности (C∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}).
Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесёнтеорией множеств: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.
Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятиемощности(кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принципбиекции: если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. Так, оказывается, что множество натуральных чиселN{\displaystyle \mathbb {N} }равномощно множествам целых чисел (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел (Q{\displaystyle \mathbb {Q} }), а отрезок числовой прямой (I=[0,1]{\displaystyle \mathbb {I} =[0,1]}, континуум➤) оказывается в биективном соответствии со всей числовой прямой (R{\displaystyle \mathbb {R} }), а также сn{\displaystyle n}-мернымевклидовым пространством(Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}). Мощность множества натуральных чисел и равномощных ему (счётных множеств)➤обозначаетсяℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}, а мощность континуума —c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}. Далее, установлено, что между множеством всех подмножеств натуральных чисел (2N{\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}) и континуумом есть взаимно-однозначное соответствие, таким образом,c=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}, и что счётное множество — наименьшее по мощности из всех бесконечных множеств. Согласноконтинуум-гипотезе, междуℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}иc{\displaystyle {\mathfrak {c}}}нет промежуточных мощностей (c=ℵ1{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}), притом, как показалКоэнв1962 году, ни она, ни её отрицание недоказуемы в основныхаксиоматиках теории множеств.Обобщённая континуум-гипотезапредполагает, что все кардинальные числа подчиняются соотношению2ℵα=ℵα+1{\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}, иными словами, все возможные бесконечные кардинальные числа в точности представляют мощности последовательного взятиябулеанаот множества натуральных чисел:#N,#P(N),#P(P(N)),…{\displaystyle \#\mathbb {N} ,\#{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\#{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\dots }.
Другой вид бесконечностей, введённый теорией множеств —порядковые числа(ординалы), наряду со связанным с ними принципомтрансфинитной индукцииони вызвали наибольшие дискуссии в среде математиков, логиков и философов. Если кардинальные числа характеризуют класс эквивалентности относительно взаимно-однозначного соответствия, то порядковое число возникает как характеристика класса эквивалентности надвполне упорядоченными множествами, относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Для конечных множеств ординал и кардинал совпадают, но для бесконечных множеств это не всегда так, все множества одного порядкового числа равномощны, но обратное, в общем случае, неверно. Конструируются ординалы таким образом, чтобы последовательно продолжить натуральный ряд за пределы бесконечности:
после чего, рассмотрев множество всех конечных порядковых чисел какω{\displaystyle \omega }, вводитсяарифметика порядковых чиселна базе операций сложения упорядоченных множеств (введением порядка над раздельным объединением последовательно по элементам первого слагаемого множества, потом второго) и произведения (над декартовым произведением вполне упорядоченных множеств с использованиемлексикографического порядка), и продолжается процесс:
Далее строитсяω2=ω⋅ω{\displaystyle \omega ^{2}=\omega \cdot \omega }, далее —ω3,…,ωω,…,ωωω,⋯,{\displaystyle \omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\cdots ,}, далее —ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}-числа:
Доказано, что множество всех счётных ординалов (всехω{\displaystyle \omega }иε{\displaystyle \varepsilon }) обладает мощностьюℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}— следующей за мощностью счётного множестваℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}, далее строятся ординалы высших порядков.Трансфинитная индукция— обобщение принципаматематической индукции, позволяющий доказывать утверждения относительно любого вполне упорядоченного множества с использованием идеи порядковых чисел.Парадокс Бурали-Фортипоказывает, что множество всех порядковых чисел противоречиво, но во многих аксиоматизациях теории множеств построение такого множества запрещено.
Машинная бесконечность— конструкция для представления бесконечных числовых значений вязыкахи системах программирования и операций с ними. Стандартнаяарифметика с плавающей запятой(IEEE 754-2008) содержит особые значения для +∞ и −∞ : порядок состоит из одних единиц (11…11), мантисса из одних нулей (00…00). Положительная бесконечность больше любого конечного числа, отрицательная — меньше любого. Операции с бесконечностью определяются особо: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ =NaN,log(+∞) = +∞,sin(+∞) =NaNи так далее.
Ряд языков программирования позволяет работать с потенциально бесконечнымиструктурами данных; например, в языкеHaskellможно объявить бесконечныйсписоки манипулировать им:
, при этом всреде выполнениябудут вычисляться только те элементы бесконечной структуры, для которых запрошен непосредственный вывод (с использованием стратегииленивых вычисленийи применениемрекурсии).
Особым проявлением бесконечности в программировании в смысле потенциальной вечности процесса выполнения являетсябесконечный цикл: техника их применения используется как сознательно (для возможности прерывания программы только внешним воздействием), так и возникает как ошибка (отсутствие или невыполнимость условия выхода из цикла: «программа зациклилась»).
Апории Зенона— серияапорий, относимых кЗенону Элейскому(вторая половина V века до н. э.) и дошедших в основном в изложенииАристотеля, будучи одними из первых примеров логических сложностей в оперировании с бесконечными объектами (хотя, прежде всего, с проблемамидискретногоинепрерывного). Сформулированы апории таким образом, что многие из них являются предметом дискуссий и интерпретаций в течение всего времени существования логики, включая современностьи считаются первой постановкой проблемы использования бесконечности в научном контексте. В апории «Ахиллес и черепаха» демонстрируется трудность суммирования убывающих бесконечно малых величин, притом эта антиномия не так проста, как иногда интерпретируется: как отмечаютГильбертиБернайсв «Основаниях математики», для разрешения парадокса необходимо актуализировать бесконечную последовательность событий таким образом, чтобы принять её всё-таки завершаемой. «Дихотомия», хотя может быть разрешена представлением о пределе сходящейся последовательности1/2+1/4+1/8+…{\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots }, но для неёВейльпредлагает современную интерпретацию: если вычислительная машина сконструирована таким образом, чтобы выполнять первую операцию за 0,5 мин, вторую — за 0,25 мин, третью — за 0,125 мин и так далее, то за минуту она могла бы пересчитать весь натуральный ряд.
В «Иша-упанишаде», относимой к IV—III веках до нашей эры обнаруживается представление о том, что добавление или удаление части из бесконечного объекта оставляет его бесконечным. ВджайнистскомтрактатеСурья-праджнапти-сутра(англ.Sūryaprajñapti), относимом к400-м годам до н. э., все величины разделены на три категории и три подкатегории — перечислимые (малые, средние и большие), неперечислимые («почти неперечислимые», «истинно неперечислимые» и «неперечислимо неперечислимые») и бесконечные («почти бесконечные», «истинно бесконечные» и «бесконечно бесконечные»), это разделение было по-видимому первой попыткой не просто различить виды бесконечного, но и измерить соотношение между ними, а идея выделять подкатегории бесконечных величин и упорядочивать их близка к концепциитрансфинитных чиселКантора.
Удревнегреческих философовбесконечное обычно фигурирует как нечто неоформленное, несовершенное, близкое кхаосуили даже с ним отождествляемое, так, впифагорейском списке противоположностейбесконечность отнесена к стороне зла. Среди древнегреческих философов, позитивно использующих категорию бесконечного выделяютсяАнаксимандр, вводящийкосмологическоеначало как бесконечное вместилище —апейрон(др.-греч.ἄπειρον), иатомисты(Демокрит,Левкипп), согласно которым существует бесконечное число миров, образованных из бесконечного числа атомов, содержащихся в бесконечном пустом пространстве. При этом атомистская концепция оппонировала континуалистскому подходу, в котором пространство и время считались бесконечно делимыми, тогда как у атомистов постулировались первичные неделимые элементы, аапории Зенона➤были призваны показать логическую несостоятельность обоих подходов.
Но господствующим мнением в древнегреческой философии было отрицание актуальной бесконечности, наиболее характерное отражение этих воззрений представлено уАристотеляв «Физике», где он отказывает в бесконечности космосу, бесконечности последовательности причин, говоря о возможности бесконечного прироста натурального ряда и бесконечности деления отрезка на малые составляющие только как о потенциальной бесконечности➤. Аристотелю же принадлежит классификация бесконечности наэкстенсивную— возникающую при неограниченном добавлении предметов в совокупность, иинтенсивную— появляющуюся при неограниченном углублении в строение объектаНа позициях отрицания актуальной бесконечности и оперирования только с потенциальной бесконечностью стоят и античные геометры, в частности, уЕвклидав «Началах» второй постулат утверждает возможность произвольно долго продолжать прямую, но сами прямые и плоскости рассматриваются как конечные, хоть и почти неограниченно «большие».
В работахнеоплатоников, прежде всего, уПлотина, в связи с проникновением представлений восточной мистики и во многом под влиянием работФилона Александрийского, давшего эллинистическую интерпретациюхристианского Бога, формируется представление об актуальной бесконечностиУмакак бесконечно могущественного и единого, и потенциальной бесконечности безграничной материи.
В раннехристианской и раннесредневековой философии (Ориген,Августин,Альберт Великий,Фома Аквинский) унаследовано от Аристотеля отрицание актуальной бесконечности в мире, при признании в том или ином виде захристианским Богомактуально бесконечного.
В трудахсхоластовXIII—XIV веков (Уильяма из Шервуда,Хейтсбери,Григория из Римини) явно обозначается различие между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности (в ранних сочинениях потенциальную и актуальную бесконечность называютсинкатегорематическойикатегорематическойбесконечностями соответственно), но сохраняется отношение к актуально бесконечному как божественному, либо постулируется полное отрицание актуальной бесконечности (лат.infinitum actu non datur). Однако ужеОккамобращает внимание на возможность признания существованияконтинуумаи его частей как актуально существующих при сохранении за ними свойств бесконечного — возможности бесконечного деления на составляющие части, аСуайнсхедв подтверждение своим рассуждениям о бесконечной делимости континуума математически доказывает утверждение о сумме бесконечного числового ряда➤.Орем, развивая построения Суайнсхеда, выстраивает систему геометрических доказательств сходимости бесконечных рядов, строит пример плоской фигуры, бесконечной по протяжённости, но с конечной площадью.
В XV векеНиколай Кузанскийсоздаёт учение об «абсолютном максимуме», который он считает бесконечной мерой всех конечных вещей, тем самым давая представление, совершенно не совпадающее с античным: всё конечное рассматривается как ограничение актуально существующей божественной бесконечности (лат.possest), в противоположность господствовавшему представлению о существовании конечных вещей и потенциальности бесконечного.
Представления Николая Кузанского развиты уСпинозы, согласно которому вещи получают своё бытие внутри бесконечной божественной субстанции посредством самоопределения через отрицание. От этих представлений идёт и признание в XVI—XVII веках идеи о бесконечностиВселенной, которые утвердились благодарягелиоцентрической системеКоперника, просветительской работеБруно, исследованиямКеплераиГалилея. Кеплер и Галилей начинают использовать методы бесконечного в математической практике, так, Кеплер, опираясь на идеи Николая Кузанского, аппроксимирует окружность правильным многоугольником со стремящимся к бесконечности числом сторон, а Галилей, обращая внимание на соответствии между числами и ихквадратами, отмечает невозможность применения тезиса «целое больше части» к бесконечным объектам.
Значительная роль в представлении о природе непрерывного и сущности континуума привнесена учеником ГалилеяКавальери, который в трактате «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635) рассматривалплоские фигурыкак бесконечные множества заполняющих их отрезков, аобъёмные тела— как состоящие из бесконечного числа параллельных плоских фигур, используя такие метафоры: линия состоит из точек также, как и ожерелье из жемчужин, плоская фигура из линий, также как и ткань из нитей, тело из плоскостей — как книга из страниц; с использованием этого «метода неделимых» Кавальери получил значительные математические результаты.
Декартневозможность познания Бога из бытия сотворённого им мира аргументирует несоизмеримостью конечного и актуально бесконечного, непостижимость которого, по его представлению, заключена уже в самом формальном определении бесконечности. Соответственно, подлинно бесконечным Декарт признаёт лишь всемогущего Бога, а такие проявления бесконечности, как «бесконечность человеческой воли», считает проявлениями божественного образа в существе человека.
Наиболее последовательным сторонником существования актуальной бесконечности былЛейбниц, в «Монадологии» он последовательно проводит идею бесконечностимонадв универсуме, в каждой его части, выраженной в форме материи, обуславливая устойчивость этих частей законом предопределённой гармонии и особыми принципами подчинения монад, при этом рассматривая и монады, в свою очередь, как бесконечный в пространстве и времени универсум. Эти представления Лейбница нашли отражение в его фундаментальных трудах по исчислению бесконечно малых, представляя инфинитезимали как монады➤. Созданное Ньютоном и Лейбницемдифференциальное исчисление, явно актуализировавшее инфинитезимали, вызвало широкую и длительную дискуссию среди философов XVII—XVIII веков, наиболее последовательным противником методов, использующих бесконечно малые величины, былБеркли, эти дискуссии получили отражение в культуре в фабулах «Путешествий Гулливера»Свифтаи «Микромегаса»Вольтера.
Кантв «Критике чистого разума» отказывает в возможности рассмотрения как бесконечных чисел, так и бесконечных величин; на основе анализаантиномийчистого разума Кант характеризует мир ни как конечный, ни как бесконечный, а как «неопределённый».
Гегельразвивает идею теснейшей связи, почти тождества, бесконечного и абсолютного, особо рассматривает «дурную бесконечность» как отрицание конечного и какдиалектическоепреодоление антагонизма вводит «истинную бесконечность»; истинно бесконечен по Гегелю толькоАбсолютный дух. В философиидиалектического материализмаподчёркивается представление о бесконечном, как о диалектическом процессе, само понятие бесконечного в ней имеет различные смыслы: простейшая, практическая бесконечность; бесконечность, как абсолютность, всеобщность, завершённость; бесконечность интеллектуального мира; реальная бесконечность. Бесконечность пространства и времени Энгельс рассматривает как пример «дурной бесконечности».
Наиболее значительным трудом XIX века о бесконечности, в большей степени философским, чем математическим стала монографияБольцано«Парадоксы бесконечного»(опубликована в1851 году, уже после смерти автора), в ней систематически изучаются бесконечные множества чисел, приводятся логические и математические доводы в пользу рассмотрения актуальной бесконечности и предлагается инструментарий для исследования родов бесконечности с использованием понятиявзаимно-однозначного соответствия.
На идейной основе работы Больцано и создана в конце XIX века в трудахКанторасо значительным участиемДедекиндатеория множеств➤(сам термин «множество» —нем.menge, в качестве обозначения актуально бесконечного объекта впервые использован у Больцано), именно в теории множеств впервые мотивированно рассмотрено соотношение разных видов бесконечного, в частности, средствами понятия омощностиустановлено соотношение между количеством элементов натурального ряда (счётного множества,ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}в обозначениях Кантора) и количеством точек континуума (c=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}), сформулирован принциптрансфинитной индукции. Кантор при этом пытался дать и философское обоснование своих построений, вводя в дополнение к трансфинитным числам, постижимым сознанием ещё и непостижимое «бесконечное в Боге». Особую роль в осознании бесконечного в рамках работ по созданию теории множеств сыграло определение бесконечного множества в книге Дедекинда «Что такое числа и для чего они служат?»как взаимно-однозначное с частью себя, тогда как все предыдущие определения бесконечного носили негативный характер. К концу XIX века (прежде всего, благодаря организованной серии докладов наПервом международном конгрессе математиковв 1897 году) теория множеств получила широкое признание и практическое применение в среде математиков, но в среде теологов и философов относительно идей об актуальной бесконечности и количественных различиях её видов развернулась серьёзная дискуссия.
В философии XX века основное содержание исследований вопросов, связанных с бесконечностью, тесно стыкуется соснованиями математики, и прежде всего, проблемами теории множеств.
Рассел, в системе которую он построил совместно сУайтхедомвPrincipia Mathematicaв преодоление парадоксов теории множеств➤, постулировал существование бесконечности посредством введенияаксиомы бесконечности, притом в ней не допускается в возможности выведения бесконечности из другихаприорныхпонятий, не считается выводимым понятие бесконечности сугубо аналитически из принципа недопущения противоречий. Также Рассел не считал возможным изыскатьапостериорноеобоснование бесконечности, основываясь на здравом смысле и опыте, особо отмечая, что нет никаких оснований веры в бесконечность пространства, бесконечность времени или бесконечную делимость предметов. Таким образом, бесконечность по Расселу —гипотетический императив, которым в разных системах можно пользоваться или нет, но который невозможно обосновать или опровергнуть.
Реализуя программу по преодолению парадоксов теории множеств,ГильбертиБернайссформировали принципы, идентифицируемые как «гильбертов финитизм», согласно которым утверждения о свойствах, сформулированных для всех элементов бесконечной совокупности возможны только при условии их воспроизводимости для каждого конкретного элемента, при этом, не ограничивая возможные абстракции бесконечного, в том числе, итрансфинитную индукцию.Витгенштейн, наиболее радикально развивший концепциюфинитизмаваналитической философии, считал возможным рассматривать бесконечное только как записьрекурсивногопроцесса и принципиально отвергал возможность рассмотрения разных классов бесконечности.
В школах, исходящих изнеокантианстваифеноменологиитакже исследовались вопросы бесконечного, так,КассирервдискуссиисХайдеггером(«Давосская дискуссия», 1929) вводитимманентную бесконечность, возникающую как объективизация сферы переживаний, в 1950-е — 1960-е годы программные работы, посвящённые бесконечному, написаныКойреиЛевинасом.
Индукция—классический логическийметод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, в том числе, относительно бесконечного множества объектов. Индукция относительно натурального ряда без какой-либо формализации отмечается ещё уПроклаиЕвклида, тогда как осознание её какметода математической индукцииотносят кПаскалюиГерсониду. В современных обозначениях математическая индукция заключается в силлогизме:
то есть, выводе свойстваP{\displaystyle P}для всего множества натуральных чисел из факта его выполнения для единицы и выводимости для каждого последующего числа на основании выполнения свойства для предыдущего.
Метод математической индукции считается надёжным, но распространить его можно только на счётные вполне упорядоченные множества. Попыткой распространить индукцию на произвольные вполне упорядоченные множества было создание методатрансфинитной индукцииКантором в рамках теории множеств➤, использующего идею трансфинитных (порядковых) чисел.
Винтуиционистской логикедля применения индуктивного рассуждения на несчётные совокупности (описываемые в интуиционизме какпотоки) применяетсябар-индукция.
Символ бесконечности∞{\displaystyle \infty }впервые появился в опубликованном в 1655 году трактате английского математикаДжона Валлиса«О конических сечениях» (лат.De sectionibus conicis, страница 5). Предполагается, что символ имеет более древнее происхождение, и связан суроборосом— змеёй, кусающей свой хвост; подобные символы были найдены среди тибетских наскальных гравюр. ВЮникодебесконечность обозначена символом ∞ (U+221E).
Символы бесконечности, используемые длякардинальных чисел—ℵ0,ℵ1,…{\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }— основаны на первой букве еврейского алфавитаалефс нижним индексом. См.Иерархия алефов. Систему алефов ввёлКанторв1893 году, считая, что все греческие и латинские символы уже заняты, а еврейский алеф ещё и является символом числа 1; при этом еврейский алфавит был доступен в наборах во многих типографиях Германии того времени. В Юникоде алеф выведен символом א (U+05D0).