Retículo vectorial localmente convexo

En matemáticas, específicamente enteoría del ordeny enanálisis funcional, unretículo vectorial localmente convexoes unretículo vectorial topológicoque también es unespacio localmente convexo.​
Estos retículos son importantes en la teoría de losretículos vectoriales topológicos.
Elfuncional de Minkowskide un conjunto convexo,absorbenteysólidose denomina 'seminorma del retículo.
De manera equivalente, es unaseminormap{\displaystyle p}tal que|y|≤|x|{\displaystyle |y|\leq |x|}implica quep(y)≤p(x).{\displaystyle p(y)\leq p(x).}La topología de un retículo vectorial localmente convexo es generada por la familia de todas las seminormas de retículos continuos.​
Cada retículo vectorial localmente convexo posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntosconvexos,equilibrados,sólidosyabsorbentes.​
El dual fuerte de un retículo vectorial localmente convexoX{\displaystyle X}es un retículo vectorial localmente convexo deorden completo(bajo su orden canónico) y es un subespaciosólidodelorden dualdeX{\displaystyle X}.
Además, siX{\displaystyle X}es unespacio barrilado, entonces el espacio dual continuo deX{\displaystyle X}es una banda en el orden dual deX{\displaystyle X}y el dual fuerte deX{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo y completo.​
Si un retículo vectorial localmente convexo esbarrilado, entonces su espacio dual fuerte está completo (esto no es necesariamente cierto si el espacio es simplemente un espacio barrilado localmente convexo, pero no un retículo vectorial localmente convexo).​
Si un retículo vectorial localmente convexoX{\displaystyle X}essemirreflexivo, entonces tiene el orden completo yXb{\displaystyle X_{b}}(es decir,(X,b(X,X′)){\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}) es un EVT completo. Además, si todo funcional lineal positivo enX{\displaystyle X}es continuo, entoncesX{\displaystyle X}es detipo mínimo, latopología de ordenτO{\displaystyle \tau _{\operatorname {O} }}enX{\displaystyle X}es igual a latopología de Mackeyτ(X,X′),{\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right),}y(X,τO){\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {O} }\right)}esreflexivo.​
Cada retículo vectorial localmente convexoreflexivoposeeorden completoy un EVT localmente convexo completo cuyo dual fuerte es un EVT localmente convexo reflexivobarriladoque se puede identificar en la aplicación de evaluación canónica con el bidual fuerte (es decir, el dual fuerte del dual fuerte).​
Si un retículo vectorial localmente convexoX{\displaystyle X}es un EVTinfrabarrilado, entonces se puede identificar en la aplicación de evaluación con un subretículo vectorial topológico de su bidual fuerte, que es una retículo vectorial localmente convexo de orden completo según su orden canónico.​
SiX{\displaystyle X}es unespacio vectorial topológico ordenadolocalmente convexo,metrizableyseparablecuyo cono positivoC{\displaystyle C}es un subconjunto completo y total deX,{\displaystyle X,}entonces el conjunto depuntos cuasi interioresdeC{\displaystyle C}es denso enC.{\displaystyle C.}​
Si(X,τ){\displaystyle (X,\tau )}es un retículo vectorial localmente convexo que esbornológicoysecuencialmente completo, entonces existe una familia de espacios compactos(Xα)α∈A{\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}y una familia de inclusiones de retículos vectoriales indexadosA{\displaystyle A}fα:CR(Kα)→X{\displaystyle f_{\alpha }:C_{\mathbb {R} }\left(K_{\alpha }\right)\to X}de modo queτ{\displaystyle \tau }es la topología localmente convexa más fina enX{\displaystyle X}, lo que hace que cadafα{\displaystyle f_{\alpha }}sea continuo.​