Théorie des systèmes dynamiques

Lathéorie des systèmes dynamiquesdésigne couramment la branche desmathématiquesqui s'efforce d'étudier les propriétés d'unsystème dynamique. Cette recherche active se développe à la frontière de latopologie, de l'analyse, de lagéométrie, de lathéorie de la mesureet desprobabilités. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes).
Historiquement, les premières questions relevant des systèmes dynamiques concernaient lamécaniqueà une époque où elle était incluse dans l'enseignement des mathématiques. Une des questions majeures qui ont motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité dusystème solaire. Les travaux deLagrangesur le sujet consistèrent à interpréter l'influence des corps autres que le Soleil sur une planète comme une succession de chocs infinitésimaux : ces travaux retrouvent des échos dans lethéorème KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser).
Les systèmes dynamiques se sont développés et spécialisés au cours duXIXsiècle. Ils concernaient en premier lieu l'itération desapplications continueset la stabilité deséquations différentielles. Mais progressivement, au fur et à mesure de la diversification des mathématiques, les systèmes dynamiques se sont considérablement élargis. Ils comprennent aujourd'hui l'étude desactions continues de groupes, dont l'intérêt réside dans ses applications engéométrie, et lathéorie ergodique, née de l'avènement de lathéorie de la mesureet qui trouve ses échos enprobabilités.
L'étude du comportement des équations différentielles est à l'origine des systèmes dynamiques. Les questions qui surgissent sont de plusieurs natures. Elles concernent :
Le cas particulier des équations différentielles homogènes d'ordre 1 semble relativement simple. Elles se résument à la donnée d'unchamp de vecteurssur un ouvert d'un espace vectoriel réel, dont on cherche les courbes dites intégrales. L'étude des champs de vecteurs a un impact engéométrie différentielle.
L'itération consiste à considérer lescomposéessuccessivesfn{\displaystyle f^{n}}d'une certaine application continuef{\displaystyle f}. Les puissances sont en général positives, mais peuvent être négatives lorsque l'inverse def{\displaystyle f}est défini. L'étude porte essentiellement sur ses propriétés limites.
C'est à la suite des travaux d'Henri Poincarésur la stabilité du Système Solaire qu'un intérêt à l'itération d'applications continues s'est développé. À cette occasion, l'application de premier retour de Poincaréa été introduite. L'application de retour de Poincaré et son opération inverse, connue sous le nom de suspension, permettent de passer d'un champ de vecteurs au problème de l'itération d'une application et inversement.
On distingue habituellement :
Le cas échéant, on accole l'adjectifcompactpour signaler queXest supposé compact. L'étude d'un système dynamique différentiable et de ses particularités s'appelle ladynamique différentiableet l'étude d'un système dynamique holomorphe ladynamique holomorphe.
Si leshoméomorphismesducerclesemblent être un cas d'étude simple, ils montrent bien au contraire la complexité des questions qui se posent. La classification desC1{\displaystyle C^{1}}-difféomorphismes dont la dérivée est àvariation bornéeest déterminée par un invariant appelé lenombre de rotation. Une recherche actuelle tend à généraliser ces résultats en dimension supérieure.
La théorie ergodique concerne l'étude des applications mesurables préservant unemesuredonnée et de leur itération. Trouvant ses origines dans les interrogations du physicienLudwig Boltzmannen1871, elle s'est constituée véritablement comme domaine de recherche mathématique dans le tournant duXXsiècle. L'introduction de la théorie de la mesure parHenri-Léon Lebesguea permis d'introduire un cadre d'étude et d'élargir le domaine de questions d'analyse à des questions probabilistes. L'un des premiers grands théorèmes est lethéorème ergodique de Birkhoff: sous de bonnes hypothèses, la moyenne dite spatiale d'un flot est égale à la moyenne dite temporelle le long d'une orbite donnée.
La théorie ergodique trouve des applications notamment enphysique statistique, domaine actif de la recherche physique né des travaux de Boltzman sur lesgaz classiques cinétiques.
On a coutume de distinguer :
Lesactions continuesd'un groupe topologique sur un espace topologique peuvent être vues comme une généralisation des flots continus. Dans ce langage, un flot continu est une action continue du groupe additifR.
Pour les groupes topologiques localement compacts, l'existence d'unemesure de Haarpermet d'inclure des méthodes de la théorie de la mesure. En particulier ont été formalisées des notions de moyennabilité.
En géométrie différentielle, l'intérêt porte sur l'étude des actions différentiables desgroupes de Liesur les variétés différentielles.
Malgré la diversification de son champ d'action, ce domaine mathématique garde une unité tant dans les questions posées que dans la description des objets étudiés.
Quelle que soit sa nature (topologique, différentiable, mesurable, mesuré…), un système dynamique est la donnée conjointe :
La notion de stabilité a pour but de formaliser la propriété d'un système dynamique tel que le système reste proche d'un état dit d'équilibre (dans un sens à préciser et à quantifier).
Il existe des dizaines de types de stabilités différentes pour caractériser l'évolution d'un point vers son état stable. Les principaux types de stabilité sont abordés ici.
Soit un système autonomex˙=f(x){\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}oùf:D→Rn{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}}est une application supposée localementlipschitziennesurD⊂Rn{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}. On suppose que l'originex=0{\displaystyle x=0}est un point d'équilibre du système qui satisfaitf(0)=0⇒x=0⊂D{\displaystyle f(0)=0\Rightarrow x=0\subset D}.
Le point d'équilibre0{\displaystyle 0}du systèmex˙=f(x){\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}est :
Un certain nombre de résultats des systèmes dynamiques ont eu un impact non négligeable dans laculture populaire. En particulier, lathéorie du chaospour les systèmes dynamiques continus et lesensembles de Mandelbrotendynamique holomorpheont eu un impact dans les domaines artistiques.
La théorie du chaos est un ensemble de méthodes mathématiques apparaissant et dans les itérations d'applications continues et dans les questions de stabilité des équations différentielles, qui tend à mettre en valeur une sensibilité en la ou en les conditions initiales.
Lasuite logistiqueet lechat d'Arnoldfigurent parmi les exemples classiques relevant de la théorie du chaos. Cependant, l'exemple dessystèmes dynamiques hyperboliquesest plus représentatif des phénomènes chaotiques. Un modèle simple mais déjà présentant une dynamique assez riche est celui desdifféomorphismes hyperboliques du tore(en toute dimension).
Les systèmes chaotiques présentent en général une très grandestabilité structurelle(en). Dit informellement, une perturbation portant non plus sur des conditions initiales mais sur la loi de transformation ne modifie pas en général la dynamique globale. C'est le cas par exemple des systèmes dynamiques hyperboliques.
Un outil central pour prouver qu'un système dynamique est chaotique est de faire usage des méthodes dites decodageou departitions de Markov(en).
Dans la culture populaire, la théorie du chaos se dit de toute structure sociale ou phénomène social dont on ne maitrise pas les causes ou le développement.
Dans les romansJurassic ParketLe Monde perdudeMichael Crichton, c'est ce point de vue populaire qui est présenté par le mathématicien fictifIan Malcolm.