Modèle Black-Scholes

Lemodèle de Black-Scholesest utilisé pour désigner deux concepts très proches :
Robert C. Mertona été le premier à publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'optionen citant les travaux deFischer Blacket deMyron Scholes. Ceux-ci, publiés en1973, se fondent sur les développements de théoriciens commeLouis Bachelierou encorePaul Samuelson. L'apport fondamental du modèle de Black et Scholes est de mettre en rapport le prix implicite de l'optionet les variations de prix de l'actif sous-jacent.
Robert Merton et Myron Scholes reçurent en1997leprix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobelpour leurs travaux. Fischer Black, décédé en1995et donc inéligible, a été cité comme contributeur.
Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre de conditions :
Chacune de ces hypothèses est nécessaire à la démonstration de la formule.
Lorsque toutes ces hypothèses sont remplies, on parle alors de modèle de Black-Scholes, ou on dit qu'on est dans le cas Black-Scholes. Le modèle, par ses hypothèses, ne correspond pas à la réalité des marchés financiers. Mais la généralisation de l'utilisation de ce modèle renvoie à la notion de « mimétismes rationnels » (ou, précisément, dans ce cas « irrationnels ») ce qui provoque le phénomène de prises de décisions « auto-réalisatrices ». Par exemple, quand le berger d'un troupeau se jette à l'eau et que ses moutons le suivent, nous pouvons anticiper et conclure que le troupeau et le berger vont être mouillés. Le résultat final est pertinent mais l'hypothèse de départ l'est moins.
La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'uneoptioneuropéenne à partir des cinq données suivantes :
Si les quatre premières données sont évidentes, la volatilitéσ{\displaystyle {\mathcal {}}\sigma }de l'actif est difficile à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente sur la valeur deσ{\displaystyle {\mathcal {}}\sigma }à choisir.
Le prix théorique d'uneoption d'achat, qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par sonpayoff:(ST−K)+=max(ST−K;0){\displaystyle ({\mathcal {S}}_{T}-K)^{+}=\max(S_{T}-K;0)}
Il est donné par l'espérancesous probabilité risque neutre dupayoffterminal actualisé
soit la formule de Black-Scholes :
C(S0,K,r,T,σ)=S0N(d1)−Ke−rTN(d2){\displaystyle C(S_{0},K,r,T,\sigma )=S_{0}{\mathcal {N}}(d_{1})-K\mathrm {e} ^{-rT}{\mathcal {N}}(d_{2})}
De même, le prix théorique d'uneoption de vente, depayoff(K−ST)+=max(K−ST;0){\displaystyle (K-{\mathcal {S}}_{T})^{+}=\max(K-S_{T};0)}est donné par :
P(S0,K,r,T,σ)=−S0N(−d1)+Ke−rTN(−d2){\displaystyle P(S_{0},K,r,T,\sigma )=-S_{0}{\mathcal {N}}(-d_{1})+K\mathrm {e} ^{-rT}{\mathcal {N}}(-d_{2})}
avec
On peut également appliquer la formule à l'inverse. Étant donné le prix de l'option qui est coté dans les marchés, quelle valeur deσ{\displaystyle {\mathcal {}}\sigma }doit être choisie pour que la formule Black-Scholes donne exactement ce prix ? On obtient ainsi lavolatilité implicitequi a un grand intérêt pratique et théorique.
Le mathématicienBenoît Mandelbrotà travers ses nombreux travaux sur le sujet remet totalement en question la validité de la théorie deHarry Markowitzet de ses corollaires leMEDAF, développé parWilliam F. Sharpeet la formule de Black-Scholes. Il considère que ces théories, si belles soient-elles en apparence et si simples dans leur application, sont totalement déconnectées de la réalité des marchés financiers. Lacritique de Roll(en)pose comme tautologique ou impossible à observer le portefeuille de marché. Les conclusions du modèle ont été maintes fois remises en cause lors, notamment, des différents krachs boursiers. Elles ont conduit à des politiques de gestion des risques pouvant être qualifiées d'irresponsables de la part des institutions financières.
L'une des critiques qui revient souvent est le fait que ces théories sont fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou « courbe en cloche »), qui sous-estime très fortement les événements « improbables » comme les crises ou les krachs alors qu'ils sont finalement beaucoup moins rares que cette loi ne le prévoit. Toutefois, il est facile de corriger ce problème par la prise en compte d'une volatilité adaptée (voirsmile de volatilité). Autre problème : les hypothèses sur lesquelles sont fondées ces théories sont très peu réalistes (la rationalité des investisseurs notamment...).
Malgré toutes ces critiques, le modèle de Black et Scholes demeure la référence auprès des professionnels et universitaires du fait de son caractère (relativement) simple et pratique.
Les lettres grecques utilisées par le modèle Black-Scholes sont les suivantes :
Il fut publié en1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés parPaul SamuelsonetRobert Merton. Le mathématicien françaisLouis Bachelieravait inauguré l'étude du sujet en1900. L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très rapidement une influence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés financiers. Dès1977,Oldrich Vasiceks'en inspirait pour fonder la théorie moderne destaux d'intérêt.
La thèse fondamentale du modèle de Black et Scholes était que le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés.
L'utilisation du modèle et de la formule Black-Scholes est très répandue sur les marchés financiers, à tel point que certaines cotations se donnent en niveau de volatilité plutôt qu'en prix absolu. En effet, les autres paramètres du modèle (durée à l'échéance, prix d'exercice, taux d'intérêt sans risque et prix du sous-jacent) sont facilement observables sur les marchés.
Cependant, le modèle de Black et Scholes ne permet pas de modéliser précisément le monde réel. L'expérience montre qu'en réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité.
En pratique, lasurface de volatilité(la volatilité implicite en fonction du prix d'exercice et de la maturité) n'est pas plate. Souvent, pour une maturité donnée, la volatilité implicite par rapport au prix d'exercice a une forme de sourire (appelé lesmilede volatilité) : à la monnaie, la volatilité implicite est la plus basse et plus on s'éloigne de la monnaie, plus elle est élevée. On constate par ailleurs que lesmilen'est souvent pas symétrique sur le marché des actions : plus haut du côtéputque du côtécall. Cela est dû au fait que les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse qu'au risque de hausse de l'action.
Pour un prix d'exercice donné, la différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie s'appelle leskew.
La surface de volatilité d’un sous-jacent évolue également dans le temps. Les acteurs du marché la réévaluent sans cesse, modifiant leur anticipation de la probabilité, pour chaque prix d'exercice et maturité, qu'une option ne finisse dans la monnaie courante.
La formule ci-dessus n'est pas exempte de critiques : elle ne permet pas de supporter des taux et volatilités non constantes ou depricerles options européennes payant desdividendes.
Ainsi, avant le krach de 1987, on pouvait observer que les options sur les actions du S&P500 avaient une volatilité implicite constante mais depuis ce krach, la volatilité implicite présente un « smile ».
Cependant, le modèle peut facilement être modifié pour supporter des taux et volatilités non constantes.
Ainsi de nombreuses publications scientifiques dans des revues de mathématiques financières à comité de lecture critiquent cette formule et proposent de l'étendre, de la corriger, d'expliquer les écarts ou proposent des solutions alternatives.
Il peut également être étendu pour les options européennes payant des dividendes. Pour les options sur des indices (tels que leFTSE 100ou leCAC 40) où chacune des entreprises entrant dans son calcul peut payer un dividende une ou deux fois par an, il est raisonnable de supposer que les dividendes sont payés sans interruption.
Le paiement des dividendes au cours d'une période de temps[t,t+δt]{\displaystyle \left[t,t+\delta t\right]}est alors noté :
pour unq{\displaystyle q}constant. Sous cette formulation le prix arbitrage libre selon le modèle Black-Scholes peut être montré comme étant :
où maintenant :
est le prix modifié en avance qui se produit aux termesd1{\displaystyle d_{1}}etd2{\displaystyle d_{2}}. Cette formule est généralement connue commeBlack-Scholes-Merton.
La même formule est employée pour évaluer des options sur des taux de devises étrangères, sauf que maintenantq{\displaystyle q}prend le rôle du taux d'intérêt sans risque étranger etS{\displaystyle S}le taux de change immédiat. C'est lemodèle de Garman-Kohlhagen(1983).
Il est également possible d’étendre le cadre Black-Scholes aux options sur des instruments payant des dividendes discrets. C'est utile quand l'option est basée sur des actions simples.
Un modèle typique doit supposer qu'une proportionδ{\displaystyle \delta }du prix (cours) d'actions est payée comme dividende aux dates prédéterminéesT1,T2...{\displaystyle T_{1},T_{2}...}
Le prix des actions est alors modélisé par :St=S0(1−δ)n(t)eσWt+μt{\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{\sigma W_{t}+\mu t}}
oùn(t){\displaystyle n(t)}est le nombre de dividendes qui ont été payés au tempst{\displaystyle t}.
Le prix d'une option d'achat sur de telles actions est encore :
où maintenant :
est le prix en avance des actions payant un dividende.
Il est plus difficile d’évaluer les options américaines. Un exemple de modèle est celui de Whaley qui donne une formule analytique explicite ; le modèle de Cox Ross et Rubinstein, lui, simule les événements sur le prix du sous-jacent (sauts, dividendes...) à l'aide d'un arbre binomial où chaque nœud est associé à une probabilité.
Enfin, il faut citer que les développements en termes d'extension du modèle sont partis dans les quatre directions suivantes :