عدد مركب

العدد المُرَكَّبأوالعدد العُقَديّأوالعدد العُقْديّ(بالإنجليزية:Complex number)‏ هو أيعدديكتب على الصورةa+bi{\displaystyle a+bi\,}حيثa{\displaystyle a}وb{\displaystyle b}عددان حقيقيانوi{\displaystyle i}عدد تخيلي مربعه يساوي 1- (أي أنi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}) ويسمىوحدة تخيلية. ويسمى العدد الحقيقيa{\displaystyle a}بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقيb{\displaystyle b}بالجزء التخيلي. فمثلا،3+2iهو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون "b{\displaystyle b}" (أي الجزء التخيلي) مساويا ل 0، فإن قيمة العدد المركب تساوي قيمة الجزء الحقيقي "a{\displaystyle a}" فقط، ويسمي العدد عددا حقيقيـا صرفا. وعندما يكون "a{\displaystyle a}" (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـا صرفـا.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصة في عملية القسمة. ولكنها أيضـا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
عندما وجد الرياضيون أن المعادلة (x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هوالعدد التخيليi. وتعريف العددiهو الجذر التربيعي للعدد 1-.
وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد 1- جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد 5- فيالأعداد الطبيعيةولكنه موجود فيالأعداد الصحيحة(والحال نفسه بالنسبة للعددi{\displaystyle i}) فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية : المعادلة
لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربععدد حقيقيإما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد المركبة تمنح حلاً لهذه المعضلة. الفكرة هيتمديدالأعداد الحقيقيةبالوحدة التخيليةi حيثi2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}, مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة. في هذه المعادلة الحل هو−1 ± 3i. هكذا، ليس فقط تصبح جميعالمعادلات التربيعيةذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة، بل أيضا، تصبح جميعالمعادلات الحدوديةذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة باستعمال الأعداد العقدية.
عدد مركب هو عدد يُكتب على الشكل التالي :
حيث a و b عددان حقيقيان و i هيالوحدة التخيلية, وتحققi= −1. على سبيل المثال،−3.5+2i{\displaystyle -3.5+2i\ }هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقديa+0i{\displaystyle a+0i\ }ب a وإلى العدد العقدي0+bi{\displaystyle 0+bi\ }بbi{\displaystyle bi\ }. بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكلa−bi{\displaystyle a-bi\ }حيث b موجب بدلا منa+(−b)i{\displaystyle a+(-b)i\ }. على سبيل المثال، يُكتب3−4i{\displaystyle 3-4i\ }بدلا من3+(−4)i{\displaystyle 3+(-4)i\ }.
رمزمجموعةالأعداد العقدية هوC{\displaystyle \mathbf {C} }أوC{\displaystyle \mathbb {C} }.
العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z = a+ bi يسمىالجزء الحقيقيل z، بينما يسمى bالجزء التخيليل z. هكذا،الجزء التخيليلعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) : الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (ℜ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (ℑ(z. على سبيل المثال،,
أحيانـًا، يُكتب العدد المركب z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجالالهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمزالتيار الكهربي)
يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أومتجهينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أورسم أرغند البياني, المسمى هكذا نسبة إلىجون روبرت أرغند. عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المحور العمودي.
أول إشارة سريعة إلىالجذور المربعةللأعداد السالبةقد تعود إلى أعمالعالم الرياضيات الإغريقيهيرو السكندري، الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.
يرجع أول ظهور للأعداد المركبة إلى عام 1545 حينما نشر عالم الرياضيات الإيطاليجيرولامو كاردانوحلحلة للمعادلات من الدرجة الثالثة.
ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا. فيما بعد عمل عالم الرياضياترافائيل بومبيليفي هذا المجال.
في عام 1748، ذهبليونهارت أويلرإلى أبعد من ذلك مطورالصيغة أويلرفيالتحليل العقدي:
فيما بعد، عمل على هذا الموضوع كل منريتشارد ديدكايندوأوتو هولدروفيليكس كلاينوهنري بوانكاريهوهيرمان شفارزوكارل فايرشتراسوآخرون.
انظر إلىالمبرهنة الأساسية في الجبر.
نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقةR{\displaystyle \mathbb {R} }يمكن تطبيقها على الأعداد المركبة. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:
مرافق العدد المركبx+yi{\displaystyle x+yi\,}هو العدد المركبx−yi{\displaystyle x-yi\,}. يُرمز لمرافق العدد المركبz{\displaystyle z}بالرمزz¯{\displaystyle {\bar {z}}}. هندسيا،z¯{\displaystyle {\bar {z}}}هو انعكاسz{\displaystyle z}حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته :z¯¯=z{\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}.
يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد مركب ما، كما تبين المعادلتان التاليتان :
بالإضافة إلى ذلك، فإن عددا مركبا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه.
البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية:
مقلوبعدد مركب ما مختلف عن الصفرz=x+yi{\displaystyle z=x+yi\,}، هو :
لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من
البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.
الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يسمىمعيار العدد المركب.
تتم عملية الجمع كما يلي:(a+bi)+(a′+b′i)=(a+a′)+(b+b′)i{\displaystyle (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i\,}
وكذلك عملية الطرح كما يلي:(a+bi)−(a′+b′i)=(a−a′)+(b−b′)i{\displaystyle (a+bi)-(a'+b'i)=(a-a')+(b-b')i\,}
يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.
تتم عملية الضرب كما يلي:
(a+bi)(a′+b′i)=(aa′−bb′)+(ab′+a′b)i{\displaystyle (a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i\,}
تتم عملية القسمة كما يلي:
بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.
a+bia′+b′i=(aa′+bb′)+i(a′b−ab′)a′2+b′2{\displaystyle {\frac {a+bi}{a'+b'i}}={\frac {(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^{2}+b'^{2}}}\,}
انظر أيضاالجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية
الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (معb≠ 0) هما±(γ+δi){\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}حيث :
و
حيث sgn هيدالة الإشارة.
إذا كان z عددا مركبا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:
الشكل الجبري للأعداد المركبة هوz=a+bi{\displaystyle z=a+bi}لذا فكل عدد مركب هو زوج مرتب(a,b){\displaystyle (a,b)}في محور الأعداد، وكل زوج كهذا يمكن حساب إحداثياته بواسطة الزاوية المتكونة من التقاء محورx{\displaystyle x}مع الخط المستقيم الخارج من نقطة الأصل ويمر في الزوج(a,b){\displaystyle (a,b)}, وأيضا بواسطة طول الخط المحصور بين(a,b){\displaystyle (a,b)}و-(0,0){\displaystyle (0,0)}. هذه الإمكانية تسمح بصياغة العدد المركب بالشكل التالي :
حيث:
يكتب العدد على شكل
حيث:
ليكنa0, …,anأعدادا مركبة (تسمىمعاملات). للمعادلة
حل واحد على الأقل z، إذا افتُرض أنه على الأقل أحد الأعداد ذات الدرجات الأعلى،a1, …,anغير مساو للصفر. هذا هو نصالمبرهنة الأساسية في الجبر. لهذا السبب، يُقال عن المجموعة C أنهاحقل مغلق جبريا. هذه الخاصية ليست متوفرة فيحقل الأعداد الجذريةQ (ليس لمتعددة الحدودx− 2من جذر كسري بما أن حلها هو√2و هوعدد غير كسري). مجموعةالأعداد الحقيقيةR لا تمتلك هي أيضا هذه الخاصية (ليس لمتعددة الحدودx+aمن جذر حقيقي عندما يكون a موجبا قطعا).
انظر إلىمبرهنة ليوفيلوإلىطوبولوجياوإلىنظرية غالواوإلىمصفوفة مربعةوإلىالقيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
دراسة الدوال اللائي متغيراتها أعداد مركبة، تسمىالتحليل العقدي، وله تطبيقات هائلة فيالرياضيات التطبيقيةكما في باقي فروع الرياضيات. عادة، البراهين الأكثر بساطة فيالتحليل الحقيقيوحتى فينظرية الأعدادتستعمل تقنيات مستمدة من التحليل العقدي (انظرمبرهنة الأعداد الأوليةعلى سبيل المثال).
يقال عن دالةf:C→Cأنهادالة تامة الشكلإذا حققتمعادلات كوشي-ريمان. على سبيل المثال، كل تحويل خطيC→Cيكتب على الشكل :
حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكلإذا وفقط إذاكان b مساويا للصفر.
المستوىP{\displaystyle {\mathcal {P}}}منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم)(O;u→,v→){\displaystyle (O;{\vec {u}},{\vec {v}})}، التطبيق الذي يربط كل عدد مركبz{\displaystyle z\,}جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطةMالتي زوج احداثياتها(a,b){\displaystyle (a,b)\,}منP{\displaystyle {\mathcal {P}}}، هو تطبيق تقابلي والعدد المركبa+bi{\displaystyle a+bi\,}يسمى 'لحق' النقطةMويرمز له بالرمزAff(M){\displaystyle \mathrm {Aff} (M)\,}
التطبيق الذي يربط كل عدد مركب جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهةu→{\displaystyle {\vec {u}}}منV{\displaystyle {\mathcal {V}}}التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد المركبa+bi{\displaystyle a+bi\,}يسمى 'لحق' المتجهةu→{\displaystyle {\vec {u}}}.
نظرية التحكم
انظر إلىجريان الموائع.
تستعمل الأعداد المركبة فيمعالجة الإشارة.
عد منالكسيرياتيرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثالمجموعة ماندلبروومجموعات جوليا.
انظر إلىمبرهنة ماردنوإلىدالة تكعيبية.
لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات مركبة، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمىأعداد جبرية. تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي فيالنظرية الجبرية للأعداد.
انظر إلىحقل (رياضيات)وإلىحقل الأعداد الجبريةوإلىجذور الوحدة (تحليل عقدي)وإلىتساعي (مضلع)وإلىإنشاءات الفرجار والمسطرةوإلىعدد طبيعي غاوسيوإلىمبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.
تدرسنظرية الأعداد التحليليةالأعداد الطبيعية والجذرية، مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبطدالة زيتا لريمانζ(s)بتوزيعالأعداد الأولية.