davidanugraha/M4-RAG huggingface dataset:
Elementární buňka

Elementární (základní nebo jednotková) buňkaje nejmenší částkrystalické struktury. Je torovnoběžnostěn, který je jednoznačně určen třemitranslačnímivektoryaúhlyjimi sevřenými. Mnohonásobným opakováním této buňky se beze zbytku vyplní prostorkrystalu. Podle obsazení částicemi (atomy,iontynebomolekulami) se elementární buňky rozdělují na primitivní (prosté) a složené (centrované).
V pevných látkách vytváří opakující se elementární buňkakrystalové mřížky. Krystalová mřížka je pak charakterizována geometrií její elementární buňky. Elementární buňka krystalové mřížky je libovolný rovnoběžnostěn, jehož vrcholy jsou mřížkové uzly. Tato buňka je určena velikostí mřížkových vektorů umístěných do hran rovnoběžnostěnu a třemi úhly, které tyto vektory svírají. Tyto hodnoty (délka hrana, b, c, velikost úhlů α, β, γ)se označují jako parametry buňky. Jsou uspořádány podle pravotočivé vektorové soustavy, takže úhelαje mezibac, úhelβmeziaaca úhelγmeziaab.
Podle obsazení částicemi (atomy,iontynebomolekulami) se elementární buňky rozdělují na primitivní (prosté) a složené (centrované). Primitivní buňky jsou označované P a obsahují jeden mřížkový bod na buňku. Složené buňky obsahují více mřížkových bodů na buňku.
Všechny typy elementárních buněk a z nich vytvořených krystalových mřížek popisují prostorovéBravaisovymřížky. Tyto mřížky reprezentují 14 jedině možných způsobů, jak je možné vyplnit prostor uzlovými body při zachování periodického uspořádání. Dělí se na 7 primitivních a 7 složených mřížek (buněk). Všechny krystalické látky mají za základ jednu z těchto mřížek. Každá krystalová struktura může mít pouze jednu Bravaisovu mřížku.
Částice jsou pouze ve vrcholech rovnoběžnostěnu.
1.A, B, C - bazálně centrovaná, částice jsou i ve středech dvourovnoběžných stěna dělí se na:
2. F- plošně centrovaná, částice ve středech všech stěn
3. I - prostorově centrovaná, jedna částice navíc v průsečíku tělesovýchúhlopříček
Existuje pouze 14 jedinečných možností, jak v prostoru poskládat elementární buňky a tím vznikne 14 prostorových Bravaisových mřížek. Dělí se na 7 primitivních a 7 složených mřížek (buněk). Elementární buňka musí splňovat tatoBravaisovapravidla:
Každá Bravaisova mřížka je popsána šesti základními mřížkovými parametry:
Na základě vzájemného vztahu základních vektorů, můžeme vyčlenit sedm osních systémů, které odpovídají sedmi možným primitivním Bravaisovým mřížkám (buňkám). Tyto osní systémy se nazývajíkrystalografické soustavy. Všechny krystalické struktury, které mohou být definovány stejnýmsystémem souřadných os, patří k téže krystalografické soustavě.
Rozlišuje se následujících sedm krystalografických soustav:
Hexagonální a trigonální soustava mají sice stejný osní systém, ale zpravidla se vyčleňují zvlášť. Pro hexagonální soustavu je charakteristická přítomnost šestičetných rotačních a inverzních os symetrie, pro trigonální soustavu jsou charakteristické osy trojčetné a trojčetné inverzní.
V tomto článku byly použitypřekladytextů z článkůElementarzellena německé Wikipedii aUnit cellna anglické Wikipedii.
Šesterečná soustava

Šesterečná,hexagonálnísoustava je jedna ze sedmikrystalografických soustav. Možné prvky souměrnosti jsou: šestinásobnáosa souměrnosti(symbol6), trojnásobná osa (3), maximálně šest dvojnásobných os (2), maximálně sedmrovin souměrnosti(m), střed souměrnosti (1) jako i jejich kombinace. JakoBravaisova mřížkavystupuje pouze jedna. Existuje však nejednoznačnost v označení centrování, někdy se označuje jakobazicky centrovaná(C) a někdy jakoprimitivní(P). Za elementární oblast se totiž považuje pouze kosočtverečný hranol v podstatě jakoby 1/3 bazálně centrovaný.
Tato mřížka se většinou označuje za primitivní, i když je určitým způsobem centrovaná. V skutečnosti je elementární mřížkou modrý kosočtverečný hranol. Mřížka, která by neměla určitým způsobem centrování nemůže existovat. Jak by byl v středu šestiúhelníku vynechaný uzel tak výsledná mřížka by nebyla mřížkou. Jednotlivé uzly by neměly totožné okolí - co je nepřípustné.
Jako vertikála souřadnicové osy Z se vybírá šestinásobná osa (6), případně inverzní šestinásobná osa souměrnosti (6). Jak jsou na ni kolmé dvojnásobné osy, potom trojice z nich definuje souřadnicové osy X1, X2a X3, případně je možnost vybrat tyto osy v směru rovin souměrnosti, nebo v směru chybějících dvojnásobných os souměrnosti a při nízké souměrnosti ne je výběr těchto os ničím vázaný.
V jednotlivýchgrupáchjsou možné další tvary:
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuHexagonálna sústavana slovenské Wikipedii.
Krystalový tvarna webu mineralogie.sci.muni.cz (Václav Vávra, Zdeněk Losos; Ústav geologických věd, Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno)
Klencová soustava

Klencová,trigonálníneboliromboedrickásoustava je jedna ze sedmikrystalografických soustav. Možné prvkysouměrnostijsou: trojnásobnáosa souměrnosti(symbol3), tři dvojnásobné osy (2), třiroviny souměrnosti(m), střed souměrnosti (1) jakož i jejich kombinace. Romboedrickázákladní buňkanemůže mít rovinu souměrnosti kolmou na trojnásobní osa souměrnosti, proto jsou grupy3/mma3/muváděné vhexagonální soustavějako6m2a6.Bravaisova mřížkaje zastoupená jedna: speciálníromboedrická(R).
Pro morfologické studium se využívají hexagonální souřadnicové osy. Jsou-li na trojnásobnou osu souměrnosti kolmé dvojnásobné osy, potom definují souřadnicové osy X1, X2a X3. Pokud dvojnásobné osy chybějí, je možnost vybrat souřadnicové osy X1až X3v jejich předpokládaném směru, nebo v rovinách souměrnosti. V případě nízké souměrnosti není výběr těchto os ničím vázaný.
V jednotlivýchgrupáchjsou možné další tvary:
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuTrigonálna sústavana slovenské Wikipedii.
Krystalový tvarna webu mineralogie.sci.muni.cz (Václav Vávra, Zdeněk Losos; Ústav geologických věd, Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno)
Auguste Bravais

Auguste Bravais[ogyst bʁavɛ]IPA(23. srpna1811Annonay,Ardèche–30. března1863Le Chesnay, Francie) byl francouzský přírodovědec, známý svými pracemi z oborukrystalografie(Bravaisovy mřížky). Dále se Bravais zabývalmagnetizmemapolárními zářemi,meteorologií,geobotanikou,fylotaxiíahydrografií.
Studoval naCollège StanislasvPaříži, od roku1829naÉcole Polytechnique. Po svých studiích se stal námořním důstojníkem. Byl velký dobrodruh, v roce1832se nalodil naFinistere, poté se plavil naLoireta pracoval na vodopisualžírskéhopobřeží. Spolupracoval na expediciRecherchea byl vyslán naŠpicberkya doLaponska, aby pomáhal expediciLilloise.
Od roku1840učil aplikovanou matematiku pro astronomy na přírodovědecké fakultě vLyonu. Poté převzal poLe Chevalierovikatedru fyziky na École Polytechnique, kde působil mezi lety1845a1856, kdy ho vystřídalHenri Hureau de Senarmont.
Je znám odvozením 14 topologicky odlišných mřížek (1845) –Bravaisovy mřížky. V roce1847publikoval práci okrystalografii. Je spoluzakladatelSociété météorologique de France. Od roku1854byl členemFrancouzské akademie věd.
Bravais se zabýval teorií chyb, kde je známa jeho práce z roku1846Analyse mathématique sur les probabilités des erreurs de situation d'un point.
Kosočtverečná soustava

Kosočtverečná,rombická, neboliortorombickásoustava je jedna ze sedmikrystalografických soustav. Možné prvky souměrnosti jsou: maximálně tři dvojnásobnéosy souměrnosti(symbol2), maximálně třiroviny souměrnosti(m),střed souměrnosti(1) a jejich kombinace (tři dvojnásobné osy + střed souměrnosti a jedna dvojnásobná osa + dvě roviny souměrnosti).Bravaisovy mřížkyjsou zastoupené všechny čtyři:primitivní(P),bazicky centrovaná(C),prostorově centrovaná(I) aplošně centrovaná(F).
Logický je výběr souřadnicových os totožných s krystalografickými, nebo ležících v rovinách souměrnosti. Označování jednotlivých souřadnicových os se volí podle velikosti jednotlivých vektorů na nich, podle pravidla b > a > c.
V jednotlivýchgrupáchjsou možné další tvary:
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuRombická sústavana slovenské Wikipedii.
Krystalový tvarna webu mineralogie.sci.muni.cz (Václav Vávra, Zdeněk Losos; Ústav geologických věd, Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno)
Krystalická struktura

Krystalická strukturanebolistruktura krystaluje konkrétní způsob rozmístění základních stavebních částic (atomů,iontůnebomolekul) vkrystalu. Krystalické struktury vznikají z vnitřní povahy částic, které tvoří symetrické vzory nebo přesněji rovnoběžnostěny opakující se podél hlavních směrů trojrozměrného prostoru.
Nejmenší skupinou částic, která tvoří tento opakující se vzor a obsahuje všechny informace potřebné k popisu krystalu, jeelementární (jednotková nebo základní) buňkastruktury. Mnohonásobným opakováním této buňky se beze zbytku vyplní prostorkrystalu. Délky hlavních os, hran a úhly mezi nimi v elementární buňce se nazývají mřížkové konstanty a určují symetrii buňky.
Elementární buňka je podjednotkoukrystalové mřížky, která je vytvořena plynulým spojením stejných elementárních buněk ve všech třech rozměrech prostoru. Podle svých parametrů nebo přesněji podle mřížkových konstant se krystalové mřížky dělí na 7 základních typů - trojklonná (triklinická), jednoklonná (monoklinická), kosočtverečná (ortorombická), čtverečná (tetragonální), šesterečná (hexagonální), klencová (trigonální) a krychlová (kubická). Všechny možnosti mřížky popisuje 14 bravaisových mřížek.
Uspořádání atomů v krystalu má za následek specifické fyzikální a chemické vlastnosti minerálů jako napříkladvodivost,tvrdostčihustotu. Krystalová struktura a symetrie tak hrají zásadní roli při určování mnoha fyzikálních vlastností látek, jako je štěpení, struktura elektronického pásu a optická průhlednost. Podle typu stavebních částic v krystalické struktuře rozlišujeme tyto krystaly:
V každé krystalické struktuře můžeme určitrovnoběžnostěn, kde je takové uspořádáníčástic, které se pravidelně opakuje v celém krystalu. Tato nejmenší část krystalické struktury se nazýváelementární buňka.Geometrieelementární buňky je definována jako rovnoběžnostěn, který je popsán jako šest parametrů mřížky - délky okrajů buněk (a, b, c)aúhly mezi nimi (α, β, γ).
Elementární buňka je podjednotkou krystalické mřížky a obsahuje všechny informace potřebné k popisu krystalu. Mřížka je vytvořena plynulým translačně symetrickým spojením stejné elementární buňky ve všech třech rozměrech prostoru. Všechny možnosti  popisuje 14 bravaisových mřížek.
Související informace naleznete také v článkuKrystalografická soustava.
Zjednodušený nákres krystalické struktury, jehož základem je elementární buňka se nazývákrystalická mřížka. Krystalické mřížky se od sebe odlišují tvarem elementární buňky, jejími rozměry a velikostmi úhlů. Podle těchto parametrů se dělí na 7 základních typů:
Související informace naleznete také v článkuKrystalová porucha.
Plně zaplněná krystalická mřížka je ideální stav, ten je však nereálný ve skutečném světě, kde krystaly mají poruchy mřížky:
V tomto článku byly použitypřekladytextů z článkůCrystal structurena anglické Wikipedii aKristallstrukturna německé Wikipedii.
Krychlová soustava

Krychlová,kubická(neboizometrická) krystalová soustava je jedna ze sedmikrystalových soustav. Je to soustava s nejvyšší symetrií, charakteristická je přítomnost čtyř trojnásobnýchos souměrnosti, dalších tělesovéúhlopříčky. Možné prvky souměrnosti jsou: tři čtyřnásobné osy souměrnosti (symbol4), čtyři trojnásobné osy (3), šest dvojnásobných os (2), maximálně devětrovin souměrnosti(m), střed souměrnosti (1) a jejich kombinace.Bravaisovy mřížkyjsou zastoupené tři:primitivní(P) aprostorově centrovaná(I) aplošně centrovaná(F).
Jako krystalografické osy lze vybrat libovolnou ze tří os souměrnosti (4,4, nebo 2).
V jednotlivýchgrupáchjsou možné další tvary:
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuKubická sústavana slovenské Wikipedii.
Auguste Bravais

Auguste Bravais(Annonay, 23 de agosto de 1811-Le Chesnay, 30 de marzo de 1863) fue unfísico,cristalógrafoymeteorólogofrancés.
Es célebre por haber descrito las 14 posibles disposiciones de puntos en el espacio para formar celdas elementales de unaestructura cristalinaen sistemas tridimensionales, figuras que hoy se conocen comoredes de Bravais. También trabajó en campos como elmagnetismo, la meteorología, laestadísticay la geometría botánica.​​
Estudió en elCollège Stanislasde París y accedió a laÉcole Polytechniqueen 1829. Al término de sus estudios se hizo oficial de marina. Gran aventurero, se embarcó en elFinistèreen 1832, y más tarde en elLoiret. Trabajó en levantamientoshidrográficosa lo largo de la costaargelina. También participó en la expedición deLa Recherche, enviada a la isla deSpitsbergeny aLaponiapara realizar mediciones meteorológicas y rescatar alLilloise.​​​
A partir de 1840 impartió clases de matemáticas aplicadas a la astronomía en la Facultad de Ciencias de laUniversidad de Lyon, y sucedió a Victor Le Chevalier como profesor de física en laÉcole Polytechniqueentre 1845 y 1856, cuando fue sustituido porHenri Hureau de Sénarmont.​
En 1844 publicó un artículo sobre el concepto estadístico decorrelación, y llegó a una definición delcoeficiente de correlaciónantes queKarl Pearson. En 1848 planteó la hipótesis de unaestructurareticular de loscristales.​ Aplicando los principios de la geometría, identificó catorce tipos diferentes de redes cristalinas. Las famosasredes de Bravais, propuestas para explicar las propiedades deanisotropíaysimetríaobservables en los medios cristalinos sólidos, fueron verificadas en 1912 porMax von Laue, utilizando por primera vez ladifracción de rayos X.
Cofundador de la Sociedad Meteorológica de Francia, en 1854 sucedió aAlbin Reine Roussinen laAcademia de Ciencias de Francia.​
Celda unidad

Se define comocelda unitariaa la unidad estructural fundamental de laestructura cristalina, determinada por la geometría y la posición de los átomos dentro de la celda.​ Todos los materiales cristalinos adoptan una distribución regular deátomosoionesen el espacio.
Se trata de un arreglo espacial deátomosque se repite en el espacio tridimensional definiendo laestructura del cristal. Se caracteriza por tresvectoresque definen las tres direcciones independientes del sistema de coordenadas de la celda. Esto se traduce en seisparámetros de red, que son losmódulos,a{\displaystyle a},b{\displaystyle b}yc{\displaystyle c}, de los tres vectores, y los ángulosα{\displaystyle \alpha },β{\displaystyle \beta }yγ{\displaystyle \gamma }que forman entre sí.​ Estos tres vectores forman unabasedel espacio tridimensional, de tal manera que lascoordenadasde cada uno de los puntos de la red se pueden obtener a partir de ellos porcombinación linealcon los coeficientes enteros.
La posición de un átomo dentro de la celda unidad se describe normalmente usandocoordenadas fraccionarias. Lasimetría traslacionalde una estructura cristalina se caracteriza mediante lared de Bravais, existen 14 redes de Bravais diferentes y todas las estructuras cristalinasmineralesconocidas encajan en una de esas 14 disposiciones.​ Estas redes pueden ser:
Además de la simetría traslacional descrita en una red cristalina existen elementos de simetría. Estos elementos son:
Los elementos de simetría anteriores pueden coexistir en una estructura cristalina dando lugar a lo que se conoce comogrupo puntual de simetría. Existen 32 grupos puntuales de simetría y el nombre alude a que las operaciones asociadas forman ungrupo matemáticoy los elementos tienen un punto en común que no se mueve al realizar las operaciones.
Cuando se acoplan traslación con los ejes de rotación y planos de simetría surgen nuevos elementos de simetría: ejes helicoidales y planos de deslizamiento.
Cuando se combinan los 32 grupos puntuales de simetría con los elementos de simetría traslacional y las 14 redes de Bravais se obtienen los 230 grupos espaciales de simetría posibles. Estos grupos determinan los tipos y posiciones de los elementos de simetría que son posibles para una estructura cristalina.
Los puntos de red que muestran la simetría traslacional de una estructura pueden ser conectados mediante losplanos de red. Cada plano pertenece a un conjunto de planos equiespaciados que contienen todos los puntos de red. Estos planos se nombran usando losíndices de Miller. Estos índices se designan convencionalmente h, k, y l, se escriben entre paréntesis (h,k,l) y son enteros positivos, negativos o cero. La separación de losplanosse conoce con el término de espaciado dhkl. La relación entre el espaciado d y los parámetros de red puede determinarse geométricamente y depende del sistema cristalino.
Símbolo de Pearson

Elsímbolo de Pearson, onotación de Pearson, es usado encristalografíacomo un medio para describir unaestructura cristalina, y fue originado por W.B. Pearson.​ El símbolo está constituido de dos letras seguidas por un número. Por ejemplo:
Las dos letras (en cursiva) especifican lared de Bravais. La letra minúscula especifica la clase de cristal, y la letra mayúscula el tipo de red. La figura da el número de los átomos en la celda unitaria.​
Las catorce posibles redes de Bravais son identificadas por las primeras dos letras:
El símbolo de Pearson no identifica de manera única elgrupo espacialde una estructura cristalina, por ejemplo tanto la estructura del NaCl, (grupo espacial Fm3m) y el diamante (grupo espacial Fd3m) tienen el mismo símbolo de PearsoncF8.
Parámetro de red

Unparámetro de redes una distancia o un ángulo que define geométricamente a lacelda unitariacon respecto a su estructura cristalina. La celda unitaria queda definida por seis parámetros: la longitud de tres aristas a, b y c; y tres ángulos interaxiales α, β y γ.​ Los parámetros de red pueden ser medidos mediantedifracciónporrayos X.
En elcrecimiento epitaxial, el parámetro de red es una medición de la compatibilidad estructural entre diferentes materiales.
La coincidencia de parámetros de red es importante para hacer crecer capas finas de unos materiales sobre otros; cuando estos parámetros son diferentes se forman irregularidades en la capa y se hace imposible hacer crecer nuevas capas sin defectos.
La coincidencia de parámetros de red entre dos materiales semiconductores permite formar una región con un ancho de banda prohibida distinto sin variar la red cristalina. De este modo se construyenLEDsydiodos láser.
Por ejemplo, elGaAs, elAlGaAsy elAlAstienen parámetros de red casi idénticos, haciendo posible crecer capas de cualquier grosor unas encima de otras.
Singonía

Lasredes de Bravaisposeen unasimetríadeterminada respecto a los giros y las reflexiones. Para todared de Bravaisexiste un grupo puntualK'de transformaciones que convierten unvectorde la red en otro vector de la red. Marcamos las transformaciones ortogonales del espacio tridimensional,  pertenecientes al grupok,  medianteR. Hay siete sistemas de redes cristalinas -singonías- que se diferencian por sus grupos puntualesK. Se advierte que no todo grupo puntual puede ser grupo de simetría de una red. La exigencia de que tanto los vectoresacomo losRasean al mismo tiempo vectores de de la red recorta la variedad de grupos puntuales aceptables.
Indiquemos cuáles son los casos de recortamiento. Ante todo, resaltemos que el grupoKdebe contener la operación inversión: además latraslaciónen el vectora. El grupoTa{\displaystyle T_{a}}siempre contiene la traslación en el vector−a{\displaystyle -a}.​
Réseau réciproque

Encristallographie, leréseau réciproqued'unréseau de Bravaisest l'ensemble desvecteursK→{\displaystyle {\vec {K}}}tels que :
pour tous lesvecteurs positionR→{\displaystyle {\vec {R}}}du réseau de Bravais. Ce réseau réciproque est lui-même un réseau de Bravais, et son réseau réciproque est le réseau de Bravais de départ.
Uncristalpeut se décrire comme unréseauaux nœuds duquel se trouvent des motifs :atome,ion,molécule.
Si l'on appelle(e1→,e2→,e3→){\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})}les vecteurs définissant lamaille élémentaire, ces vecteurs définissent unebasede l'espace. On peut définir unebase réciproquepar(e1∗→,e2∗→,e3∗→){\displaystyle ({\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})}vérifiant
ce qui donne :
oùV{\displaystyle V}est levolume de la mailledu réseau direct (calculé à l'aide duproduit mixtedes vecteurs de la maille) :
Les points ayant des coordonnées entières dans lerepère(O,e1∗→,e2∗→,e3∗→){\displaystyle (O,{\vec {e_{1}^{*}}},{\vec {e_{2}^{*}}},{\vec {e_{3}^{*}}})}forment un réseau appeléréseau réciproque.
L'étude des cristaux se fait en général pardiffractiond'un rayonnement ayant unelongueur d'ondede l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure ducristal.
Si l'on appelle :
alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par lethéorème de Bloch:
Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer lamailleprimitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme lecubique centré(2 nœuds par maille) et lecubique à faces centrées(4 nœuds par maille).
Ici on a poséa∗→⋅a→=2π.{\displaystyle {\vec {a^{*}}}\cdot {\vec {a}}=2\pi .}
Système cristallin monoclinique

Encristallographie, lesystème cristallinmonocliniqueest l'une des sept catégories de classement descristauxdans l'espace tridimensionnel sur la base de leurs symétries morphologiques et de leurs propriétés physiques. Il regroupe les cristaux desymétries2,met2/m, selon lanotation d'Hermann-Mauguin, et repose sur lesystème réticulaire monoclinique, dont lamaillea desparamètres cristallinsa≠b≠ccomme dans lesystème triclinique, mais avec lesanglesα=γ= 90°etβ≠ 90°.
Un cristal monoclinique se distingue :
Il n'existe qu'une seule direction de symétrie dans le cristal monoclinique, qui est parallèle à l'axe ou perpendiculaire au plan de symétrie. La symétrie impose que leréseau de Bravaisd'un cristal monoclinique ait au moins deux angles droits ; toute autre spécialisation métrique n'est pas imposée par la symétrie mais peut se réaliser dans certains intervalles detempératureetpression.
Lesgroupes ponctuels de symétrieappartenant au système monoclinique sont 2,met 2/m.
Le tableau ci-dessous donne les numéros des groupes d'espace des tables internationales de cristallographiedusystème cristallin monoclinique, les noms des classes cristallines, les notationsSchönflies,internationales,orbifold(en)etCoxeter(en)desgroupes ponctuels, des exemples, le type et lesgroupes d'espace.
Système réticulaire orthorhombique

Encristallographie, lesystème réticulaireorthorhombiqueest l'une des sept catégories de classement descristauxdans l'espace tridimensionnel à partir de lamaille élémentairede leurréseau de Bravais. Il est sous-jacent ausystème cristallin orthorhombiqueet regroupe les réseaux dont lamaille conventionnelleest unparallélépipède rectangle(a≠b≠cavecα=β=γ= 90°). Lesréseauxorthorhombiques s'obtiennent en déformant unréseau cubiquele long de deux de ses vecteurs orthogonaux par des coefficients différents, donnant unprismerectangulaire avec unebaserectangulaire (aparb) et une hauteur (c), tels quea,betcsont différents. Les trois bases se coupent à angle droit. Les trois vecteurs de réseaux restent mutuellementorthogonaux.
Il existe quatreréseaux de Bravaisorthorhombiques : orthorhombique primitif (P), orthorhombique centré (I), orthorhombique à base centrée (S=A=B=C) et orthorhombique à faces centrées (F).
En chimie, on peut à partir de la phase orthorhombique d’unepérovskiteobtenir une transformationtétragonalepuis cubique par chauffage dans des conditions spécifiques.
Système réticulaire rhomboédrique

Encristallographie, lesystème réticulairerhomboédriqueest l'une des sept catégories de classement descristauxdans l'espace tridimensionnel à partir de lamaille élémentairede leurréseau de Bravais. Il regroupe les réseaux dont lamaille conventionnelleest untrapézoèdre trigonal(a=b=cavecα=β=γ≠ 90°)et est sous-jacent ausystème cristallin trigonalqui forme, avec lesystème cristallin hexagonal, lafamille cristallinehexagonale. Leréseaurhomboédrique s'obtient en déformant un réseau cubique le long de l'une de ses diagonales de volume, de telle sorte que lecubedevient unrhomboèdre, et plus précisément untrapézoèdre trigonal.
Le réseau rhomboédrique est communément décrit soit par unemaille primitiveen forme de rhomboèdre, soit par une maille hexagonale triple, qui contient deux nœuds le long de la grande diagonale.
Kisi Bravais

Dalamgeometridankristalografi, suatukisi Bravais, dipelajari olehAuguste Bravais(1850),adalah suatu susunan tak hingga dari titik diskret dalam ruang tiga dimensi yang dihasilkan oleh satu himpunan operasitranslasi diskretyang dijelaskan melalui persamaan:
denganniadalah bilangan bulataidikenal sebagai vektor primitif yang terletak pada arah yang berbeda dan membentang pada kisi. Rangkaian vektor diskret ini harus ditutup dengan penambahan dan pengurangan vektor. Untuk pilihan vektor posisiR, kisi-kisi itu terlihat persis sama.
Bila titik diskretnya adalahatom,ion, atau rangkaianpolimerdarimateri padat, konsep kisi Bravais digunakan untuk mendefinisikanpengaturan kristalsecara formal dan batas-batasnya yang terbatas. Sebuahkristalterdiri dari susunan periodik satu atau lebih atom (basis) yang diulang pada setiap titik kisi. Akibatnya, kristal terlihat sama bila dilihat dari titik kisi yang setara, yaitu yang dipisahkan dengan translasi satu satuan sel (motif).
Dua kisi Bravais sering dianggap setara jika mereka memiliki kelompok simetri isomorfik. Dalam pengertian ini, ada 14 kemungkinan kisi-kisi Bravais dalam ruang tiga dimensi. Empat belas kelompok simetri yang mungkin dari kisi Bravais adalah 14 dari 230grup ruang.
Dalam ruang dua dimensi, terdapat 5 kisi Bravais,yang dikelompokkan dalam empat keluarga kristal.
Sel satuan ditentukan sesuai dengan panjang relatif tepi selnya (adanb) serta sudut di antara keduanya (θ). Luas sel satuan dapat dihitung dengan menghitunga×b, denganadanbadalah vektor kisi. Sifat-sifat keluarga kristal diberikan di bawah ini:
Dalam ruang tiga dimensi, terdapat 14 kisi Bravais. Hal ini diperoleh dengan menggabungkan salah satusistem kisidengan salah satu tipe keterpusatan. Jenis keterpusatan mengidentifikasi lokasi titik kisi dalam sel satuan sebagai berikut:
Tidak semua kombinasi sistem kisi dan tipe keterpusatan diperlukan untuk menggambarkan semua kisi yang mungkin, karena dapat ditunjukkan bahwa beberapa di antaranya sebenarnya setara satu sama lain. Sebagai contoh, kisi monoklinik dapat digambarkan oleh kisi C monoklinik dengan pilihan sumbu kristal yang berbeda. Demikian pula, semua kisi yang berpusat-A atau -B dapat digambarkan baik oleh pemetaan berpusat-C atau -P. Hal ini mengurangi jumlah kombinasi menjadi 14 kisi Bravais konvensional, yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.
Sel satuan ditentukan sesuai dengan panjang relatif tepi sel (a,b,c) dan sudut di antara ketiganya (α,β,γ). Volume sel satuan dapat dihitung dengan mengevaluasi perkalian ketiganyaa· (b×c), dengana,b, dancadalah vektor kisi. Sifat-sifat sistem kisi diberikan di bawah ini:
Dalam empat dimensi, terdapat 64 kisi Bravais. Dari jumlah tersebut, 23 merupakan primitif dan 41 terpusat. Sepuluh kisi Bravais terpecah menjadi pasanganenansiomorfis.
Keluarga kristal heksagonal

Dalamkristalografi,keluarga kristal heksagonaladalah salah satu dari 7keluarga kristal, yang mencakup dua sistem kristal (heksagonal dantrigonal) dan dua sistem kisi (heksagonal danrombohedral). Meskipun sering disalahartikan, sistem kristal trigonal dan sistem kisi rombohedral tidaklah setara (lihatbagian sistem kristaldi bawah).Secara khusus, terdapat beberapa kristal yang memiliki simetri trigonal tetapi termasuk dalam kisi heksagonal (seperti α-kuarsa).
Keluarga kristal heksagonal terdiri dari 12 grup titik sedemikian rupa sehingga setidaknya salah satu grup ruangnya memiliki kisi heksagonal sebagai kisi yang mendasarinya, dan merupakan gabungan dari sistem kristal heksagonal dan sistem kristal trigonal.Terdapat 52 grup ruang yang terkait dengannya, yang merupakan grup ruang yangkisi Bravais-nya berbentuk heksagonal atau rombohedral.
Hanya terdapat satu kisi Bravais heksagonal dalam dimensi dua: kisi heksagonal.
Auguste Bravais

Auguste Bravais(pengucapan bahasa Prancis:[oɡystbʁavɛ]; 23 Agustus 1811,Annonay, Ardèche – 30 Maret 1863,Le Chesnay, Prancis) adalah seorang fisikawan Prancis yang dikenal berkat karyanya dalamkristalografi, konsepkisi Bravais, dan formulasihukum Bravais. Bravais juga mempelajarikemagnetan,cahaya di utara,meteorologi, geobotani, filotaksis,astronomi, danhidrografi.
GunungBravaisberget, diSvalbard, dinamai dari Bravais.
Bravais belajar diCollège Stanislasdi Paris sebelum bergabung denganÉcole Polytechniquepada tahun 1829, di mana dia adalah teman sekelas matematikawan yang inovatifEvariste Galois.Menjelang akhir studinya, dia menjadi perwira angkatan laut, dan berlayar diFinisterepada tahun 1832 dan jugaLoiretsesudahnya. Dia mengambil bagian dalam pekerjaan hidrografi di sepanjang tanjungAljazair. Dia berpartisipasi dalam ekspedisiRecherchedan membantuLilloisediSpitzbergendanLaplandia.
Bravais mengajarkan kursus matematika terapan untuk astronomi di Fakultas Ilmu Pengetahuan diLyon, dimulai pada tahun 1840. Dia menggantikan Victor Le Chevalier sebagai Ketua Fisika di École Polytechnique antara tahun 1845 dan 1856, setelah itu dia digantikan olehHenri Hureau de Sénarmont.
Bravais paling diingat untuk penemuannya mengenaikisi Bravais; Penemuannya pada tahun 1848 bahwa ada 14 kisi unik dalam sistemkristaltiga dimensi, memperbaiki skema sebelumnya, dengan 15 kisi, diajukan oleh Frankenheim tiga tahun sebelumnya.
Bravais menerbitkan sebuah memoar tentang kristalografi pada tahun 1847. Sebagai pendiri dariSociété météorologique de France, ia bergabung denganAkademi Sains Prancispada tahun 1854. Bravais juga mengerjakan teorigalat pengamatan, bidang di mana dia terkenal dengan makalahnya "Analisis matematis tentang probabilitas kesalahan suatu titik" tahun 1846.
Simbol Pearson

Simbol Pearson, ataunotasi Pearson, digunakan dalamkristalografiuntuk menggambarkanstruktur kristal, dan berasal dari W.B. Pearson.Simbol ini terdiri dari dua huruf yang diikuti oleh sebuah angka. Sebagai contoh:
Kedua huruf (huruf miring) pada contoh di atas menentukankisi Bravais. Huruf huruf kecil menentukan keluargakristal, dan huruf besar menunjukkan tipe keterpusatan. Angka pada akhir simbol Pearson memberi jumlahatompada sel satuan.
Huruf A, B dan C awalnya digunakan sebelum S. Saat pusat muka memotong sumbu-X, kisi Bravaisnya disebut berpusat-A. Dalam anologi tersebut, jika pusat muka memotong sumbu-Y atau -Z, akan didapat kisi Bravais berpusat-B atau -C, berturut-turut.
Keempat belas kisi Bravais yang mungkin diidentifikasi oleh dua huruf pertama:
Simbol Pearson tidak secara unik mengidentifikasigrup ruangdari struktur kristal, misalnya strukturNaCl, (kelompok ruang Fm3m) danintan(kelompok ruang Fd3m) memiliki simbol Pearson yang samacF8.
Kebingungan juga muncul dalam kisi rombohedral yang secara alternatif digambarkan dalam heksagonal terpusat (a = b, c, α = β = 90º, γ = 120º) atau pengaturan rombohedral primitif. (a=b=c, α=β=γ) setting. Pengaturan heksagonal yang lebih umum digunakan memiliki 3 terjemahan titik ekivalen per satuan sel. Simbol Pearson mengacu pada pengaturan heksagonal dalam kode hurufnya (hR) namun gambar berikut memberikan jumlah terjemahan titik ekivalen dalam pengaturan rombohedral primitif. Sebagai contoh:hR1 danhR2 digunakan untuk menentukan strukturHgdanBimasing-masing.
Simbol Pearson hanya boleh digunakan untuk menunjukkan struktur sederhana (elemen, beberapa senyawa biner) di mana jumlahatomper satuan selnya sama, idealnya, adalah jumlah terjemahan titik ekivalen.
Sistem kristal kubik

Dalamkristalografi,sistem kristal kubik(atauisometrik) adalahsistem kristaldi manasel satuanberada dalam sebuah bentukkubus. Sistem ini merupakan sistem yang paling sederhana dan paling umum yang ditemukan padakristaldanmineral.
Ada 3 macam kristal kubik yang umum ditemui, yaitu:
Setiap kristal dibagi menjadi varian lain seperti di bawah ini.
Terdapat tigakisi Bravaisyang membentuk sistem kristal kubik:
Sistem kubus sederhana terdiri dari titik kisi pada setiap sudut kubusnya. Setiap atom pada titik kisi kemudian dibagi rata ke 8 kubus lainnya sehingga hanya ada⅛bagian atom pada setiap titik kisi. Dengan ini, setiap sel satuannya memiliki 1 atom (⅛× 8).
Sistem kubus berpusat-badan mempunyai 1 titik kisi pada pusat sel satuan ditambah 8 pada sudut-sudut kubus. Dengan ini, setiap sel satuannya memiliki 2 atom (⅛× 8 + 1).
Sistem kubus berpusat-muka mempunyai titik kisi pada muka (sisi) kubus, setiap titik kisi berisi setengah bagian atom, ditambah titik kisi pada setiap sudut kubus tersebut. Dengan ini, setiap sel satuannya memiliki 4 atom (⅛× 8 dari sudut ditambah½× 6 dari muka).
Bidang kisi

Dalamkristalografi,bidang kisidarikisi-kisi Bravaisadalah sebuah bidang (atau sekeluarga bidang paralel) yang memiliki perpotongan dengan kisi-kisi atau struktur kristalin dari kisi tersebut (dijelaskan oleh kisi Bravais 2d) yang periodik dan berpotongankisi-kisi Bravais; sementara, bidang kisi adalah bidang yang mengandung setidaknya tiga titik kisi Bravais nonkolinear.Seluruh bidang kisi dapat dijelaskan oleh satu set bilangan bulat indeks Miller, dan sebaliknya (semua bilangan bulat indeks Miller mendefinisikan bidang kisi).
Sebaliknya, bidang-bidang yangbukanmerupakan bidang kisi memiliki persimpanganaperiodikdengan kisi-kisi yang disebutkuasikristal; hal ini dikenal juga sebagai konstruksi "potong-dan-proyeksi" dari kuasikristal (juga umum untuk dimensi yang lebih tinggi).
Grup ruang

Grup ruangsebuahkristaladalah deskripsi matematis dari simetri dalam struktur. Kata 'grup' dalam istilah ini berasal dariistilah matematika grup, yang digunakan untuk membangun set grup ruang.
Seluruh 230 set grup ruang diperoleh dari kombinasi 32grup titik kristalografidengan 14kisi Bravaisyang termasuk dalam salah satu dari 7sistem kristal. Hasil ini dalam grup ruang yang adalah kombinasi dari sebuahsel unitdengan beberapa bentuk dari pemusatan motif, bersamaan dengan operasi – operasi titik pencerminan, rotasi, dan improper rotation. Selain itu, terdapat juga elemen simetri translasi. Translasi dasar diperoleh dari tipe kisi, menyisakan kombinasi pencerminan dan rotasi dengan translasi:
Sumbur mur: Sebuah rotasi pada suatu sumbu, diikuti dengan translasi sepanjang arah sumbu. Sumbu ini diberi angka, n, untuk mendeskripsikan derajat rotasi, dan angka yang diberikan menunjukkan berapa banyak operasi yang harus dilakukan untuk menyelesaikan satu putaran penuh (sebagai contoh, 3 berarti setiap kali rotasi dilakukan 1/3 keliling sumbu). Derajat translasi kemudian ditambahkan sebagai subskrip untuk menunjukkan seberapa jauh translasi sepanjang sumbu dilakukan, sebagai bagian dari vektor kisi paralel. Jadi, 21adalah rotasi lipat dua yang diikuti oleh translasi sebesar 1/2 dari vektor kisi.
Bidang geser: Sebuah pencerminan pada bidang, diikuti oleh translasi yang paralel terhadap bidang tersebut. Hal ini ditandai oleh a, b, atau c, bergantung pada sumbu mana dilakukan penggeseran. Terdapat juga geseran n, yaitu geseran sepanjang setengan diagonal muka, dan geseran d, yaitu geseran sepanjang 1/4 diagonal muka sel unit.
Sangat mudah ditemukan bahwa tidak semua kombinasi yang mungkin darikisi-kisi Bravais,sistem-sistem kristaldangrup-grup titikmuncul pada grup ruang (32*14=448>230). Hal ini disebabkan oleh adanya beberapa kombinasi berbeda yang isomorfik satu dengan lainnya (yaitu mereka ternyata adalah hal yang sama). Hal ini dibuktikan menggunakan teori grup, dan adalah sumber dari kata 'grup' pada judul.
Terdapat beberapa metode untuk menguidentifikasi grup ruang. International Union of Chrystallography menerbitkan sebuah tabel (lebih tepatnya, sebuah kitab tabel – tabel) untuk semua grup ruang, dan memberikan nomor yang unik untuk masing – masing grup ruang. Selain cara penomoran, ada dua bentuk notasi utama, notasi Patterson dan Scoenflies.
Notasi Patterson terdiri atas satu set empat simbol. Yang pertama menjelaskan pemusatankisi Bravais(P, C, I atau F). Tiga angka selanjutnya menunjukkan operasi simetri yang paling jelas terlihat ketika diproyeksikan secara berurutan dari muka a, b, dan c. Simbol – simbol ini adalah sama dengan yang digunakan padagrup titik, ditambah bidang geser dan sumbu mur, yang dijelaskan di atas. Sebagai contoh, grup ruang untukkwarsaadalah P3121, yang menunjukkan pemusatan motif sederhana (misal sekali per sel unit), dengan sumbu mur lipat tiga pada satu sisi dan sumbu rotasi lipat dua pada yang lain. Perlu diperhatikan bahwa notasi ini tidak secara eksplisit mengandungsistem kristal, walaupun notasi ini adalah unik untuk setiap grup ruang ( dalam hal P3121, P3121 adalah trigonal).
Sel unit

Dalamgeometri,biologi,mineralogidanfisika benda padat,sel unitatausel satuanadalah unit berulang yang dibentuk oleh vektor yang menjangkau titik-titik suatu kisi.Terlepas dari namanya yang sugestif, sel unit (tidak seperti vektor unit, misalnya) tidak selalu memiliki ukuran unit, atau bahkan ukuran tertentu sama sekali. Sebaliknya, sel primitif adalahanalogiyang paling dekat dengan vektor unit, karena sel primitif memiliki ukuran yang ditentukan untuk kisi yang diberikan dan merupakan blok bangunan dasar tempat sel yang lebih besar dibangun.
Konsep ini digunakan terutama dalam menggambarkanstruktur kristaldalam dimensi dua dan tiga, meskipun masuk akal dalam semua dimensi. Suatu kisi dapat dicirikan oleh geometri sel unitnya, yang merupakan bagian dari pengubinan (jajar genjangataubalok jajar genjang) yang menghasilkan seluruh pengubinan hanya dengan menggunakan translasi.
Terdapat dua kasus khusus dari sel unit:sel primitifdansel konvensional. Sel primitif adalah sel unit yang berhubungan dengan satutitik kisi, sel ini merupakan sel unit terkecil.Dalam beberapa kasus, simetri penuh dari suatu struktur kristal tidak terlihat jelas dari sel primitif, sehingga dalam hal ini sel konvensional dapat digunakan. Sel konvensional (yang mungkin atau mungkin tidak primitif) adalah sel unit dengan simetri penuh dari suatu kisi dan dapat mencakup lebih dari satu titik kisi. Sel unit konvensional adalahparalelotopdalam dimensin.
Cella primitiva

Lacella primitiva(oelementare) di unreticoloè definita come il volume che traslato attraverso ivettoriche generano il reticolo riempie tutto lo spazio. La cella primitiva è la figura composta da vettori base che contiene un solo punto del reticolo.
Infisica dello stato solidola cella primitiva è la più piccola parte delsolido cristallinoche, ripetuta nello spazio attraverso traslazioni di tutti i vettori delreticolo di Bravais, forma l'intero cristallo..
La cella unitaria è l'unità più piccola di un minerale che possiede ancora le proprietà caratteristiche del minerale stesso.
Questi atomi (tipicamente da quattro a 1000) hanno una posizione reciprocamente definita. Gli atomi, infatti, sono organizzati in "celle" con i lati paralleli denominate celle unitarie, la cui semplice ripetizione crea un cristallo.
Gli atomi possono essere sugli angoli, sui lati o sulle facce o anche all'interno della cella, e tutte le celle del cristallo sono identiche. Questo è quello che si chiama una "organizzazione interna ordinata", è specifica di ciascun minerale e determina le proprietà del cristallo.
La cella primitiva è un volume di spazio che se traslato attraverso i vettori del reticolo di Bravais riempie completamente tutto lo spazio. Possono essere operate differenti scelte dei tre vettori generatori del reticolo, e quindi esistono diverse possibili celle primitive. Nel caso tali vettori siano ortogonali, la cella primitiva è il parallelepipedo formato da tali vettori. Nel caso la cella primitiva assuma una forma complessa, per conservare la simmetria si introduce lacella unitaria, un multiplo della cella primitiva che possiede le proprietà di simmetria del reticolo.
La cella di Wigner-Seitz è la cella primitiva che mantiene la simmetria delreticolo di Bravais. Essa caratterizza icristalli, che hanno una strutturasimmetricapertraslazione,rotazioneeriflessione. Il solido cristallino è infatti un insieme di punti, generalmente occupati da un atomo o da una molecola, che si estende all'infinito nello spazio con una periodicità definita.
Una volta definiti tre vettori non complanari, detti vettori delle traslazioni fondamentali o generatori del reticolo,a1,a2,a3,{\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} ,}, è possibile definire i punti o nodi dell'intero reticolo di Bravais con la formula:
dove
Reticolo cubico a facce centrate

Ilreticolo cubico a facce centrate(oreticolo CFC) è uno dei 14reticoli di Bravais, appartenente alsistema cubico.
Il sistema presenta 4 atomi per cella enumero di coordinazionepari a 12, risulta quindi unfattore d'impacchettamento atomico(FCA) uguale a 0.74, molto compatto. Nel rimanente spazio vuoto (26%) potranno formarsidifetti interstiziali: 8 di tipo tetraedrico e una di tipo ottaedrico appartenenti alla singola cella, non ci sono lacune tetraedriche in condivisione con altre celle invece per le ottaedriche ne sono presenti 12.
Il reticolo cubico a facce centrate è la struttura presente nelferro-γ (austenite). Una delle peculiarità di tale struttura è la presenza di piani di massima densità che giustificano alcune caratteristiche dei materiali che la adottano.
Altri metalli che presentano struttura CFC sonoalluminio,argento,nichel,oro,piombo,platinoerame.
Costante di reticolo

Lacostante di reticolo(oparametro di reticolooparametro di cellaocostante cristallografica) è un valore costante che definisce la distanza tra celle unitarie in unreticolo cristallino. I reticoli nelle tre dimensioni hanno generalmente tre costanti, indicate con le letterea{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ec{\displaystyle c}. Tuttavia, nel caso speciale di strutture cristallinecubiche, tutte le costanti sono uguali e si è soliti riferirsi solo ada{\displaystyle a}. Similmente, in strutture cristallineesagonali, le costantia{\displaystyle a}eb{\displaystyle b}sono uguali, e ci si riferisce solamente alle costantia{\displaystyle a}ec{\displaystyle c}.
I tre parametria{\displaystyle a},b{\displaystyle b}ec{\displaystyle c}sono sufficienti a definire le caratteristiche geometriche di una cella, tuttavia tra le costanti del reticolo vengono considerati anche i valori dei tre angoli ad essi associati (α{\displaystyle \alpha },β{\displaystyle \beta }, eγ{\displaystyle \gamma }), in modo da averne una descrizione completa.
Nel caso dileghela costante reticolare può essere calcolata con lalegge di Vegard.
NelSistema Internazionalele costanti di reticolo sono misurate inmetri, mentre valori tipici sono dell'ordine di diversiÅngström(10m), per cui per comodità si ritrovano spesso espresse in Ångström. Le costanti di reticolo possono essere determinate sperimentalmente utilizzando ladiffrazione dei raggi Xe lamicroscopia a forza atomica.
Zona di Brillouin

Infisica dello stato solido, si chiama  primazona di Brillouinlacella di Wigner-Seitzdelreticolo reciproco.Preso un qualsiasi punto delreticolo di Bravaiscome in figura, il contorno della zona di Brillouin si ottiene tracciando la bisettrice delle linee congiungenti i primi vicini nel reticolo reciproco. In tre dimensioni alle rette bisettrici si sostituiscono i piani bisettori.
La zona di Brillouin può anche essere definita come la regione di spaziokche può essere raggiunta dall'origine non attraversando nessuno dei piani definiti dallalegge di Bragg.
Si definiscono inoltre la seconda, la terza e le successive zone di Brillouin, corrispondenti ad una sequenza di zone nello spazio reciproco non sovrapposte ed a maggior distanza dall'origine: lan-sima zona di Brillouin consiste nella regione di spazio che si ottiene attraversandon− 1 piani definiti dallalegge di Bragg. Tali zone hanno un interesse minore, per questa ragione con "zona di Brillouin" si identifica la prima.
L'importanza della prima zona di Brillouin dipende dalla descrizione mediantefunzioni di Blochdelle onde in un mezzo periodico, in tale rappresentazione si trova che le soluzioni possono essere completamente caratterizzate dal loro comportamento in una sola zona di Brillouin.
Essendo il reticolo reciproco di un reticolo cubico semplice ancora un reticolo cubico, la zona di Brillouin di un reticolo cubico è un cubo. Al contrario essendo il reticolo reciproco delcubico a corpo centratounreticolo cubico a facce centratela prima zona di Brilluoin è undodecaedro rombico. Mentre per unreticolo cubico a facce centrateil reticolo reciproco ècubico a corpo centratoquindi la prima zona di Brillouin è unottaedro tronco.
Molti punti di elevata simmetria nella prima zona di Brillouin sono di particolare interesse, tali punti sono detti punti critici. Sono nel seguito indicati i simboli con cui vengono convenzionalmente identificati.
Reticolo reciproco

Ingeometriae incristallografiailreticolo reciprocodelreticolo di Bravaisè un insieme di vettorik{\displaystyle \mathbf {k} }che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda pianail cuivettore d'ondasiak{\displaystyle \mathbf {k} }ha la stessaperiodicitàdel reticolo di partenza.
Consideriamo un set di puntiR{\displaystyle \mathbf {R} \ }che costituiscono unreticolo di Bravaised un'onda pianadefinita daeik⋅r{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\ }. Tale onda piana per alcuni valori dik{\displaystyle \mathbf {k} \ }ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'ondaK{\displaystyle \mathbf {K} \ }che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:
Dovendo tale relazione valere per qualsiasir{\displaystyle \mathbf {r} \ }segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:
per tutti i puntiRdel reticolo di Bravais.
Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamatoreticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.
Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:
dovemi{\displaystyle m_{i}\ }sononumeri interiebi{\displaystyle \mathbf {b} _{i}\ }sono i vettori primitivi del reticolo reciproco.
I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di unalunghezza−1{\displaystyle {\text{lunghezza}}^{-1}\ }.
Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi(a1,a2,a3){\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}, (che non sono univoci) esiste unalgoritmosemplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:
I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie dipiani reticolari.
Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto
Allora essendo:
i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:
Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare2π/a{\displaystyle 2\pi /a\ }.
Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):
in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:
Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:
in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:
Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare4π/a{\displaystyle 4\pi /a\ }.