Ensemble de Mandelbrot

Enmathématiques, l'ensemble de Mandelbrotest unefractaledéfinie comme l'ensembledes pointscduplan complexepour lesquels lasuitedenombres complexesdéfinie par récurrencepar :
estbornée.
L'ensemble de Mandelbrot a été découvert parGaston JuliaetPierre Fatouavant laPremière Guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont dus àAdrien Douady, en hommage aux représentations qu'en a réaliséesBenoît Mandelbrotdans lesannées 1980. Cet ensemble permet d'indicer lesensembles de Juliaassociés à la suite : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Juliaconnexes. Cet ensemble est donc intimement lié aux ensembles de Julia, ils produisent d'ailleurs des formes similairement complexes.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot sont réalisées en parcourant les nombres complexes sur une région carrée duplan complexeet en déterminant pour chacun d'eux si le résultat tend vers l'infini ou pas lorsqu'on y itère uneopération mathématique. On considère la partie réelle et imaginaire de chaque nombre complexe comme des coordonnées et chaquepixelest coloré selon la rapidité dedivergence, ou si elle ne diverge pas.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot exposent une limite élaborée qui révèle progressivement des détails récursifs toujours plus fins en augmentant le grossissement. La limite de l'ensemble est constituée de plus petites versions de la forme principale, donc la propriétéfractalede l'autosimilarités'applique à l'ensemble tout entier (et pas simplement à certaines parties).
L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus devisualisation mathématique.
L'ensemble de Mandelbrot tire ses origines de ladynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens françaisPierre FatouetGaston Juliaau début duXXsiècle.
La première représentation de cet ensemble apparaît en 1978 dans un article deRobert W. Brookset Peter Matelski. Le1mars 1980, aucentre Thomas J. Watsonderecherche IBM(dans l'État de New York),Benoît Mandelbrotobtient pour la première fois, une visualisation par ordinateur de cet ensemble. Mandelbrot étudie l'espace des paramètres despolynômes quadratiquescomplexes dans un article publié en 1980.
En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'Adrien Douadyet deJohn H. Hubbard, qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot.
En 1985, les mathématiciensHeinz-Otto Peitgen(en)et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité qui frappent les esprits. Dans le numéro d'août 1985 du magazineScientific American, l'ensemble de Mandelbrot est présenté au grand public comme« l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert »et présente l'algorithme qui permet de le tracer soi-même. La couverture de ce numéro reprend une image créée par Peitgen.
Les travaux de Douady et Hubbard coïncidaient avec un intérêt considérable pour la dynamique complexe et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été le centre d'attention de ce domaine depuis. Parmi les mathématiciens qui apportèrent une contribution significative à l'étude de cet ensemble, il faut citerTan Lei,Mikhail Lyubich,Curtis Tracy McMullen,John Milnor,Mitsuhiro Shishikura(en)etJean-Christophe Yoccoz.
La théorie générale, développée parPierre FatouetGaston Juliaau début duXXsiècle, associe à toute fonction (suffisammentrégulière)f(z,c) (à arguments et valeurscomplexes) lesensembles de JuliaJc, définis (pour uncfixé) comme lafrontièrede l'ensemble desacomplexes tels que la suite définie parz0=aetzn+1=f(zn,c) restebornée(enmodule) ; pour la fonction particulièref(z,c) =z+c,on définit l'ensemble de MandelbrotMcomme l'ensemble descpour lequelJcestconnexe. Fatou et Julia ont démontréque cette définition est équivalente à celle donnée dans l'introduction, c'est-à-dire quecappartient àMsi et seulement si la suite (zn) définie parz0= 0 etzn+1=zn+creste bornée (en module) ; restant dans lesréels, il s'agit donc des points de coordonnées (a,b) tels que les deux suites (xn) et (yn) définies par la récurrencex0=y0= 0 etxn+1=xn–yn+a;yn+1= 2xnyn+ brestent bornées.
Si la suite desmodulesdesznest strictement supérieure à 2 pour un certain indice alors, cette suite estcroissanteà partir de cet indice, et elletend vers l'infini.
Pour que la suite (zn) soit bornée, ilsuffitdonc qu'elle ne tende pas vers l'infini, et ilfautqu'elle reste bornée par 2 (en module). Ceci fournit deux définitions de l'ensemble de Mandelbrot équivalentes à celle donnée en introduction, et prouve de plus que cet ensemble est inclus dans ledisque ferméde centre 0 et de rayon 2.
L'ensembleMde Mandelbrot estcompact, symétrique par rapport à l'axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.
Son intersection avec l'axe réel est lesegment[–2, 1/4].
Sonaireest estimée autour de1,50659177±0,00000008.
Soncentre de gravitéest estimé à la position réelle –0,286 768 3 ± 0,000 000 1.
La principale structure remarquable est lacardioïdecentrale, de centreA(14,0){\displaystyle A\left({\frac {1}{4}},0\right)}et d'équation polaireρ(θ)=12(1−cos⁡θ){\displaystyle \rho (\theta )={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \theta \right)}. On peut aussi citer ledisquede centreB(−1,0){\displaystyle B(-1,0)}et de rayon1/4{\displaystyle 1/4}.
Douady et Hubbard ont montré, en 1985, que l'ensemble estsimplement connexe. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot estconformément isomorpheau complémentaire dansℂdudisque unité.
Onconjectureque l'ensemble de Mandelbrot estlocalement connexe.
L'ensemble de Mandelbrot estautosimilairedans levoisinagedespoints de Misiurewicz. Ces points sont denses sur toute lafrontièrede l'ensemble. On conjecture qu'il est également autosimilaire, à la limite, autour despoints de Feigenbaum(ex. : −1,401 155 ou −0,152 8 + 1,039 7 i).
Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences, mais l'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement autosimilaire.
L'ensemble de MandelbrotMa un caractère universel pour de nombreusesfonctions holomorphes. Des copies deMsont visibles sur les frontières de leursbassins d'attraction, c'est-à-dire des ensembles descpour lesquels les itérésf(f(…f(z)))) convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec desfonctions transcendantes:
On retrouve égalementMlors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles quez↦z3+(λ−1)z−λ{\displaystyle z\mapsto z^{3}+(\lambda -1)z-\lambda }, par laméthode de Newton. L'ensemble des pointsλ{\displaystyle \lambda }ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme deM.
Là encore, l'autosimilarité n'est pas stricte (il n’y a pas desimilitudeexacte avecM), mais il existe une déformation de faible amplitude entreMet ces copies.
Ladimension de Hausdorffde la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura. On ne sait pas si cette frontière a uneaire(définie par lamesure de Lebesgue) positive.
Les paramètres deM, dans l'intervalle réel [–2, 1/4], peuvent être mis en correspondance bijective avec ceux de l'équation logistique:z↦λz(1−z),λ∈[1,4],{\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z),\quad \lambda \in [1,4],}la correspondance étant donnée par :c=λ2(1−λ2).{\displaystyle c={\frac {\lambda }{2}}\left(1-{\frac {\lambda }{2}}\right).}
L'ensemble de MandelbrotMpeut être défini comme l'ensemble des complexescpour lesquels l'ensemble de Juliacorrespondant,Jc, est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entreJcetMau voisinage dec, lorsquecappartient à la frontière deM. Ainsi, il y a une correspondance proche entre la géométrie de l'ensemble de Mandelbrot à un point donné et la structure de l'ensemble de Julia lui correspondant. Par exemple, un point est dans l'ensemble de Mandelbrot exactement là où l'ensemble de Julia correspondant estconnexe.
Ce principe est exploité dans beaucoup de preuves et découvertes profondes sur l'ensemble de Mandelbrot. Par exemple, Mitsuhiro Shishikura a prouvé que la frontière de l'ensemble de Mandelbrot possède unedimension de Hausdorffégale à 2 et que l'ensemble de Julia correspondant à un point de cette frontière a aussi une dimension égale à 2.
Jean-Christophe Yoccoza prouvé que l'ensemble de Julia est unespace localement connexepour certains paramètres, avant de l'établir également pour l'ensemble de Mandelbrot aux points correspondant à ces paramètres(mais la connexité locale deMen tout point reste une conjecture ouverte en 2024).
L'ensemble de Mandelbrot fait apparaître nombre de structures en forme de bourgeons entourant une structure principale en forme decardioïde.
Les bourgeons sont également surmontés de filaments en forme d'antenne. Le nombre d'antennes est directement lié à la périodicité du bourgeon. Ainsi, compter le nombre d'antennes permet de déterminer la périodicité du bourgeon.
On a vu plus haut que dès que le module d'unznest strictement plus grand que 2, la suite diverge vers l'infini, et donccest en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à 2 et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme.
Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.
Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentescouleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à 2).
Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées des points c pour lesquels la suite (zn) tend « plus rapidement » vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.
Le nombre maximum d'itérations influe donc fortement sur la représentation de l'ensemble de Mandelbrot. En effet si la forme de base de l'ensemble ne varie pas outre mesure à partir de 100 itérations il n'en est pas de même pour tous les centres et tous les zooms de cet ensemble.
Un moyen de limiter les calculs est de trouver au préalable les points appartenant à la cardioïde et au bourgeon principal, c'est-à-dire au disque de centre (–1, 0) et de rayon 1/4. Ces points coûtent particulièrement cher en calculs, puisqu'ils appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot, et nécessitent donc d'aller jusqu'au maximum d'itérations. Avant de passer un point de coordonnéesx+iy{\displaystyle x+iy}dans l’algorithme itératif, il faut donc vérifier :
Les autres bourgeons n'ont pas de test équivalent, puisqu'ils ne sont pas parfaitement circulaires. Il est néanmoins possible de vérifier si un point appartient à un cercle que l'on sait inscrit dans un de ces bourgeons, permettant à la plupart des points de ces derniers de ne pas lancer l'algorithme itératif.
Il est possible de reformuler l'équation principale, de manière à raisonner sur la différence d'évolution par rapport à un point voisin. Cette méthode permet de ramener ces différencesΔn{\displaystyle \Delta _{n}}à une faible précision (vingtaine de chiffres significatifs), dans le domaine desunités de calcul en virgule flottantematérielles de l'ordinateur, qui sont beaucoup plus rapides que les bibliothèques d'arithmétique multiprécisionqui ne sont pas autant accélérées matériellement. L'ensemble est ainsi calculé à partir d'un (ou plusieurs) points de référence, calculés de manière absolue.
Si on raisonne en absolu, les nombres mis en œuvre pour le calcul de l'ensemble peuvent atteindre des milliers de chiffres significatifs pour des grands niveaux de zoom, et s'accroissant davantage avec le zoom. Avec cet algorithme, la vitesse de calcul reste relativement constante selon le niveau de zoom, la vitesse de calcul dépendant plus de la complexité de la scène.
Cet algorithme est à la base d'un des programmes de calcul le plus rapide de l'ensemble de Mandelbrot en2017:Kalles Fraktaler.
Principe:
Xn+1=Xn2+X0{\displaystyle X_{n+1}=X_{n}^{2}+X_{0}}
Yn+1=Yn2+Y0{\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}^{2}+Y_{0}}
Δn=Yn−Xn{\displaystyle \Delta _{n}=Y_{n}-X_{n}}
Δn+1=Yn+1−Xn+1=(Yn2+Y0)−(Xn2+X0)=((Xn+Δn)2+X0+Δ0)−(Xn2+X0)=(Xn2+2XnΔn+Δn2+X0+Δ0)−(Xn2+X0)=2XnΔn+Δn2+Δ0{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{n+1}=Y_{n+1}-X_{n+1}&=(Y_{n}^{2}+Y_{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=((X_{n}+\Delta _{n})^{2}+X_{0}+\Delta _{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=(X_{n}^{2}+2X_{n}\Delta _{n}+\Delta _{n}^{2}+X_{0}+\Delta _{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=2X_{n}\Delta _{n}+\Delta _{n}^{2}+\Delta _{0}\end{aligned}}}
Tous lesΔn{\displaystyle \Delta _{n}}, calculés à partir desXn{\displaystyle X_{n}}de référence mémorisés, ont une faible précision, permettant d'utiliser les unités de calcul en virgule flottante matérielles de l'ordinateur pour les opérations les plus nombreuses et coûteuses.
Le calcul peut encore être davantage optimisé en exprimantΔn{\displaystyle \Delta _{n}}en utilisant l'approximation:
Δn=AnΔ0+BnΔ02+CnΔ03+o(Δ04){\displaystyle \Delta _{n}=A_{n}\Delta _{0}+B_{n}\Delta _{0}^{2}+C_{n}\Delta _{0}^{3}+o(\Delta _{0}^{4})}
avecAn,Bn,Cn{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}ne dépendant pas deΔn{\displaystyle \Delta _{n}}, mais seulement deXn{\displaystyle X_{n}}(série du point de référence à partir duquel on calcule les perturbations).
Donc, une fois calculés et mémorisés tous lesAn,Bn,Cn{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}pour le point de référence (Δ0=0{\displaystyle \Delta _{0}=0}), on peut rechercher directement pour tout point voisin (en faisant varierΔ0{\displaystyle \Delta _{0}}), parrecherche dichotomique, leΔn{\displaystyle \Delta _{n}}qui provoque la divergence de la suite (puisqu'on n'a pas besoin duΔn−1{\displaystyle \Delta _{n-1}}pour calculerΔn{\displaystyle \Delta _{n}}) et le calcul d'un point se fait avec unecomplexité en tempsO(log⁡N){\displaystyle O(\log {N})}au lieu deO(N){\displaystyle O(N)},N{\displaystyle N}étant le nombre maximum d'itérations.
L'ensemble de Mandelbrot doit beaucoup sa popularité à la variété et la beauté de ses structures et à la profondeur infinie de ses détails, mais aussi à la possibilité de l'explorer soi-même à l'aide des nombreux logiciels aujourd'hui disponibles.
La séquence d'exploration commentée ci-dessous est un zoom profond vers la valeur de c = –0,743643887037151 + 0,13182590420533i, à travers nombre de motifs caractéristiques. Le rapport de grossissement entre la dernière et la première image est d'environ60milliards(si la dernière image était en taille réelle, la première ferait une petite dizaine de fois la distance Terre-Lune).
La séquence entière (et sa suite jusqu'à un grossissement d'environ 10) peut être visionnée sur l'animation ci-contre.
L'ensemble de Mandelbrot peut être généralisé pour des puissancesdréelles supérieures à 2 pourz↦z+ c. Ces généralisations sont parfois appelées «multibrot», mais pour certains auteurs (comme McMullen), le terme « ensemble de Mandelbrot » doit également désigner ces généralisations.
Une modification de la méthode de traçage, proposée par Melinda Green en 1993, mène à une variante baptisée «Buddhabrot». On y voit la densité des points visités par lesorbitescorrespondant aux valeurs decqui divergent, donc choisies à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot.
En3 dimensions, il n'existe pas de structure de corps comparable à celle des nombres complexes, donc pas d'extension « naturelle ». Notons toutefois l'extension de Daniel White, réalisée en 2009, baptisée «Mandelbulb. »
En4 dimensions, l'extension naturelle aucorpsdesquaternionsa été étudiée par John Holbrook en 1987. D'autres résultats théoriques ont été traités pour l'ensemble de Mandelbrot quaternionique(voirvidéo) défini avec un polynôme quadratique de la formeq2+c{\displaystyle q^{2}+c}.
En 2000, Dominic Rochon a utilisél’anneau commutatifdesnombres bicomplexespour donner une nouvelle version de l’ensemble de Mandelbrot en dimension trois et quatre. De ses travaux émerge le« Tétrabrot ».
Il est aussi possible de généraliser encore, et de considérer plutôt des itérations quelconqueszn+1=f(zn,c){\displaystyle z_{n+1}=f(z_{n},c)}.
L'ensemble de Mandelbrot est l'un des objets mathématiques les plus populaires et les plus connus. Il est évoqué par divers artistes, dans des livres ou des musiques notamment :