格 (数学)

在数学中，格（英語：Lattice）是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。
需要注意的是，本条目介绍的是序理论中的“格”，并非几何与群论中的“格（群论）”（点阵），两者的英文均为“lattice”。虽然在继承自平面的次序中，每个点阵都是格，但是许多格不是点阵。
考虑任意一个偏序集合（L,≤），如果对集合L中的任意元素a,b，使得a,b在L中存在最大下界和最小上界，则(L,≤)是一个格。(從此定義可看出，其並不要求如全序集合般的每二元素可比性，但仍要求每二元素有最大下界和最小上界）
这里对于取a,b的最大下界的操作用a∧b{\displaystyle a\wedge b}表示；
对于取a,b的最小上界操作用a∨b{\displaystyle a\vee b}表示。
有界格有一个最大元素和一个最小元素，按惯例分别指示为1和0（也叫做顶和底）。任何格都可以通过增加一个最大元素和最小元素而转换成有界格。
使用容易的归纳论证，你可以演绎出任何格的所有非空有限子集的上确界（并）和下确界（交）的存在。一个很重要的格的种类是完全格。一个格是完全的，如果它的所有子集都有一个交和一个并，这对比于上述格的定义，这里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。
另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构。一个格是一个代数结构(L,∨,∧){\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}，其中∨{\displaystyle \vee }和∧{\displaystyle \wedge }是定义在集合L{\displaystyle L}上的二元运算，且对于所有的a,b,c∈L{\displaystyle a,b,c\in L}满足：
从上述三个公理恒等式可以得出重要的：
这些公理断言了(L,∨{\displaystyle \vee })和(L,∧{\displaystyle \wedge })都是半格。吸收律是唯一交和并都出现了的公理，把格同一对半格区别开来并确保这两个半格正确的交互。特别是，每个半格都是另一个半格的对偶。“有界格”要求交和并都有一个零（neutral）元素，分别习惯叫做1和0。参见半格条目。
格与广群家族有一些联系。因为交和并都符合交换律和结合律。格可以看作由有相同的承载者的两个交换半群组成的。如果格是有界的，这些半群也是交换幺半群。吸收律是特定于格理论的唯一定义恒等式。
L闭包于交和并之下，通过归纳，蕴涵了L的任何有限子集的交和并的存在性，有着一个例外：空集的交和并分别是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的条件下包含所有有限（包含空）交和并。为此有些作者定义格的时候要求0和1是L的成员。而以这种方式定义格不损失一般性，因为任何格都可以被嵌入一个有界格中，这里不接受这种定义。
格的代数解释在泛代数中扮演根本性角色。
格的代数定义蕴涵了序理论的定义，反之亦然。
明显的，序理论的格引发了两个二元运算∨{\displaystyle \vee }和∧{\displaystyle \wedge }。容易看出这些运算使(L,∨{\displaystyle \vee },∧{\displaystyle \wedge })变成代数意义上的格。反之亦真：考虑代数定义的格(M,∨{\displaystyle \vee },∧{\displaystyle \wedge })。现在定义在M上的偏序≤如下，对于M中的元素x和y
或等价的
吸收律确保了两个定义实际上是等价的。你现在可以检查以这种方式介入的关系≤定义了在其中二元交和并是通过最初运算∨{\displaystyle \vee }和∧{\displaystyle \wedge }而给出的一个偏序。反过来，由得出自上述序理论公式的代数定义的格（L,∨{\displaystyle \vee },∧{\displaystyle \wedge }）引发的次序一致于L的最初次序。
因为格的两个定义是等价的，你可以随意调用任何定义的适合你用的方面。
在两个格之间的适当的态射概念可以轻易的同上述代数定义得出。给定两个格（L,∨{\displaystyle \vee },∧{\displaystyle \wedge }）和（M,∪{\displaystyle \cup },∩{\displaystyle \cap }），格的同态是一个函数f:L→M使得
所以f是两个底层半格的同态。当考虑带有更多结构的格的时候，这个态射也应当注意这个额外结构。所以在两个有界格L和M之间的态射f还有下列性质：
在序理论公式中，这些条件只声称格的同态是保持二元交和并的一个函数。对于有界格，最小和最大元素的保持只是空集的并和交的保持。
格的任何同态必然关于相关的次序关系是单调的；参见极限的保持。反过来当然不是真的：单调性决不蕴涵要求的保持性质。
假定同构作为可逆态射的标准定义，格的同构就是双射格同态。格和它们的态射形成了一个范畴。
格L的子格是L的非空子集，它是带有同L一样的交和并运算的格。就是说，如果L是一个格，而M≠∅{\displaystyle \not =\varnothing }是L的子集使得对于M中的所有元素对a,b有a∧{\displaystyle \wedge }b和a∨{\displaystyle \vee }b在M中，则M是L的子格。
格L的子格M是L的凸子格，如果x ≤ z ≤ y和x,y在M中蕴涵了z属于M，对于在L中的所有元素x, y, z。
设f{\displaystyle f}是含有格中的元素以及符号=,≤,≥,∨,∧{\displaystyle =,\leq ,\geq ,\vee ,\wedge }的逻辑命题，令f∗{\displaystyle f^{*}}是将f{\displaystyle f}中的≤{\displaystyle \leq }替换为≥{\displaystyle \geq }，将≥{\displaystyle \geq }替换为≤{\displaystyle \leq }，将∨{\displaystyle \vee }替换为∧{\displaystyle \wedge }，将∧{\displaystyle \wedge }替换为∨{\displaystyle \vee }后所得到的命题。则称f∗{\displaystyle f^{*}}是f{\displaystyle f}的对偶命题。
设f{\displaystyle f}是含有格中的元素以及符号=,≤,≥,∨,∧{\displaystyle =,\leq ,\geq ,\vee ,\wedge }的逻辑命题，若f{\displaystyle f}对于一切格为真，则f{\displaystyle f}的对偶命题f∗{\displaystyle f^{*}}也对于一切格为真。
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Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory:
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