محيط (هندسة رياضية)

المحيطبالنسبةلشكلمستوٍهوالطولالمقدر لأطراف هذا الشكل. يسمح حساب المحيط على سبيل المثال بتحديد مقدار السياج اللازم لتطويق الحقل.
بالنسبة لأيمضلعفإن المحيط يساويمجموعأطوال أضلاعه. وهناكصيغبسيطة لحساب محيط الأشكال الأساسية، لكن المسألة تصبح أكثر صعوبة بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا : حيث يلجأ لحسابتكاملاتأونهايات. في هذه الحالة تستعمل طريقة تقريبية تعوض بالشكل المعقد آخر أبسط وأكثر شهرة، للحصول علىتقريبللمحيط المطلوب.
طرحت مسألة البحث عنالمساحةالقصوى لسطح يعرف طول محيطه، (أو تباين المساحات وتساوي المحيط) في وقت مبكر جدًا ولم تُوضع إجابة لها إلا في القرن 19.
تعتبرالمضلعاتحالة أساسية ليس فقط لبساطتها، ولكن أيضًا لأن العديد من الأشكال تُحسب محيطاتها بصورة تقريبية من خلال سلسلة من المضلعات تقترب من هذه المنحنيات. كانأرخميدسأول عالم رياضيات معروف استخدم هذا المنطق، والذي قارب في تقدير محيط الدائرة بإحاطتهابمضلعات منتظمة.
محيط المضلع يساويمجموعأطوال أضلاعه.
إذا كانت أبعادالمستطيلعلى وجه الخصوص هي a و b فإن محيطه يساوي2 (a+b).المضلع متساوي الأضلاعهو مضلع كل أضلاعه متساوية الطول (المعينهو مضلع متساوي الأضلاع بأربعة جوانب). لحساب محيطمضلع متساوي الأضلاعنضرب هذا الطول في عدد الأضلاع.
غالبًا ما يعرفالمضلع المنتظمبعدد أضلاعه ونصف قطره أي المسافة الثابتة التي تفصل مركزه عن كل رأس من رؤوسه. من الممكن حساب طول الضلع بمنطق حسابالمثلثات. إذا كانRهو نصف قطر مضلع منتظم وnعدد أضلاعه، فإن محيطه يكون:
تلخص هذه الطرق في الجدول أدناه.
محيطالدائرةهو الطول الذي يحدده حافتها. وهو مقدار يتناسب مع قطرها. باستعمال الثابت π، فإن أي دائرة قطرهاDيحسب محيطهاPوفق :
استخدامالفرجارساهم في تفضيل استخدام نصف قطر الدائرةRبدلاً من قطرها، لتصبح الصيغة :
هاتان الصيغتان متساويتان تمامًا، لأنه في أي دائرة فإن :D= 2R.
يكفي لحساب محيط الدائرة معرفة نصف قطرها أو قطرها والرقمπ. تكمن المشكلة في أن هذا الرقم الأخير ليس كسريا (لا يمكن كتابته كحاصل قسمة عددين صحيحين) ولا حتىجبريًا(لإنه ليس جذر كثير الحدود مع معاملات صحيحة). وبالتالي، فإن الحصول على قيمة تقريبية لـ π بالدقة المطلوبة ليس بالأمر السهل. هذا الأمر حشد معارف فيالتحليلوالخوارزمياتوعلومالحاسوب.
يُعد المحيط، جنبًا إلى جنب معالمساحة، أحد القياسين الرئيسيين للأشكال الهندسية. ومن الشائع الخلط بين هذين المفهومينأو الاعتقاد بأنه كلما كان أحدهما أكبر، زاد الآخر أيضًا. في الواقع، يؤدي تكبير (أو تصغير) الشكل الهندسي إلى زيادة (أو نقصان) مساحته ومحيطه في نفس الوقت. على سبيل المثال، إذا صورت الأرض في خريطةبمقياس1: 10 000، فيمكن حساب المحيط الفعلي للأرض بضرب محيط الصورة في 10 000 والمساحة بضرب محيط الصورة في 10 000. ومع ذلك، لا يوجد رابط مباشر بين المساحة ومحيط شكل ما. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لمستطيل، تبلغ مساحتهمترًا مربعًا، عدة أبعاد ممكنة. مثلا : 0.5م و 2م (وبالتالي فالمحيط يساوي 5م) أو 0.001م و 1000م (وبالتالي فالمحيط يزيد عن 2000م). ذكربروكلوس(في القرن الخامس) واقعة تقاسم فلاحين يونانيين « بتساوي » حقولا بناءا على محيطها ولكن بمساحات مختلفة,.رغم أن، إنتاج الحقل يتناسب مع مساحة وليس محيطه : فحصل بعض الفلاحين السذج على حقول بمحيط طويل، ولكن بمساحة (وبالتالي حصاد) متواضعة.
عندما يزال جزء من الشكل، فإن مساحته تقل (فقد « أزلنا » جزءا من المساحة). لكن الأمر قد يختلف مع المحيط. في حالة شكل « بانقطاعات كثيرة »، يضاف إلى الخلط الواقع بين "المساحة و المحيط"، ارتباك حولغلاف الشكل المحدببدلاً من دوره بالمعنى الدقيق للكلمة.فالغلاف المحدب للشكل يشبه الشريط المطاطي الذي يحيط بالشكل. في الرسم المتحرك على اليسار، كل الأشكال لها نفس الغلاف المحدب : الشكلالسداسيالكبير الأولي.
يهتم تخصص "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" (Isoperimetric inequality)، على وجه الخصوص، بمسألة إيجاد أكبر سطح ممكن لنفس المحيط. الجواب بديهي، إنهالقرص.وهذا ما يفسر، على وجه الخصوص، لماذا يكون للفقاعات الدهنية على سطح المرق شكل دائري.
هذه المسألة، التي قد تبدو بسيطة، تستلزم نظريات معقدة للحصول على إثبات صارم. يتم أحيانًا تبسيط مشكلة القياس المتساوي عن طريق الحد من الأسطح المسموح بها. على سبيل المثال، نحن نبحث عنالرباعيأوالمثلثذي أكبر مساحة ممكنة، دائمًا لمحيط معين. الحل هومربعومثلثمتساويا الأضلاع. بشكل عام، تكون مساحةلمضلع(بعدد من الرؤوس) هي الأكبر بمحيط معين، إذا كان شكله الأقرب إلىالدائرة، وهوالمضلع المنتظم.
في "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" يجري البحث أيضًا عن أكبر مساحة ممكنة لمحيط معين، بهندسات مختلفة. على سبيل المثال، في حالة نصف المستوى، تكون الإجابة هي نصف القرص.
أدى هذا المفهوم إلى ظهور عائلة من النظريات، تسمىisoperimetric، بتسقيفات (حدود عليا) وكذلك نسبة تسمىحاصل isoperimetric. تنص المتباينة على أن السطح الذي طول محيطهpومساحتهaيفي بالسقف التالي :
المصطلح الموجود على اليسار يسمى حاصل المتباينة، وهو يساوي 1 إذا وفقط إذا كان السطح عبارة عن قرص.
إذا كان أصل هذا السؤال يعود إلى ما لا يقل عن 2 900 عام، فإن جوابه لم يكن حتى عام 1895، باستخدام أساليب مشتقة مننظرية مينكوفسكيبحل نهائيًا في شكل السؤال القديم.هذه الأساليب تجعل من الممكن إثباتمتباينة المحيط الثابتوتعميمها علىأبعادأكبر منالهندسة الإقليدية.
المقالات
عدا حالات المضلعات والدوائر فإنه يصعب حساب محيط معظم الأسطح، ويستعملالتكاملولكن لدوال بسيطة مثل الدوال الأولية (كثيرات الحدود، الجيب، إلخ..).
قد يبدوالقطع الناقصبسيطًا، فما هو (للبعض) إلا "دائرة مضغوطة".
في قطع ناقص بمحور أكبر a ومحور أصغر b، حساب المساحة بسيط:πab{\displaystyle \pi ab}.
ولكن حساب المحيطPلقطع ناقص يتطلب استخدامتكامل إهليلجي:
والذي يصاغكسلسلة:
حيثe{\displaystyle e}يمثلالانحراف المركزيللقطع الناقص (عبارة JH Lambert (1772))
أدت صعوبة وتعقيد هذه العبارات إلى تطوير حسابات تقريبية. الاقتراح الثاني والأكثر دقة، هو عملرامانوجان:
تصبح مسألة قياس المحيط أكثر صعوبة إذا كانت الحدودمنحنيةوليست متعددة الأضلاع.
من الممكن دائمًا تقريب طول المنحنىبطول المضلع الأكثر قربا. طول مضلع التقريب هو مجموع أطوال أضلاعه. عندما تقارب الخطوة الصفر أي المسافة القصوى ما بين متتاليين من المضلع، فإن الحد الأعلى لطول المضلع يميل نحو طول المنحنى. وإذا كان طول المنحنى محدودًا، فيُقالإنه قابل للتصحيح. هذا المنطق يجعل من الممكن حساب القيم التقريبية للعديد من المنحنيات.
يكون الحصول على قيمة دقيقة ممكنة في حال كان المنحنى محددا بدالة قابلة للتفاضل باستمرار. حينها يكون المنحنى قابلاً للتصحيح. إذا كان المنحنى عبارة عن قوس محددا بدالةfمُعرَّفة على فاصل زمني [c؛d]، فإن طوله معرف بالعبارة:
خصوصا إذا كانتf(t) = (x(t),y(t)) وجرى التعبير عن الإحداثيات علىأساس متعامد، فإن الطولLللمنحنى معرف بالعبارة:
تتيح هذه الصيغة إيجاد المعادلة الموضحة أعلاه لمحيط قطع ناقص معرف بـالعبارة (x(t) =a cos t،y(t) =b sin t،I=] 0، π/4 [).
من الممكن أيضًا استخدامالإحداثيات القطبية(θ،r(θ)) حيثrهي دالة قابلة للتفاضل باستمرار لـمتغير θ معرف في المجال [θ1؛ θ2]. في هذه الحالة:
ترسمندفة الثلج لكوخمن خلال سلسلة من المضلعات التي تتميز بالبساطة الشديدة ولها خصائص مدهشة.
في كل تكرار يصبح محيط المضلع مساويا لـ⁄3من قيمته السابقة،متتاليةالمحيطات التي تم الحصول عليها تميل نحواللانهاية. ومع ذلك تبقى كل هذه المضلعات محاطة بنفس الدائرة التي كانت تحيط بالمثلث الأول، ولها مساحة محدودة لم تتغير.
إذا كان للعديد من الأسطح محيطات لانهائية فمن الممكن أن يكون لبعض الأسطح « أطول محيط » مقارنة بالآخرين.يسمحبعد هوسدورف، الذي قدم في عام 1918، بمقارنتها من خلال توسيع مفهوم الطول، وبالتالي المحيط.
فيخرائط-رسمت على ألواح طينية يعود تاريخها إلىسلالة أور الثالثة(أواخر الألفية الثالثة قبل الميلاد)- ذكر لأطوال الأراضي، والتي قطعت إلى مثلثات ورباعية الأطراف لتسهيل العمليات الحسابية. لكن مساحات المضلعات -وخاصة مساحة الحقول- تم حسابها اعتمادا على المحيط، ولو بدا أن بعض الكتبة أدركوا أن هذه الاستدلالات قد تكون خاطئة.استخدم هذه الطريقة في قياس المدن أو المناطق حسب محيطها كل منهوميروسفيطروادةوهيرودوت.
بداية من عام 1800 ق.م أثبتت المشاكلالهندسيةحول المحيطات. وعثر في العديد من الألواح على المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في إيجاد أبعاد مستطيل بناءا على معرفة مسبقة لمساحته ومحيطه:
تقول الأسطورة بأنعليسةكانت تبحث عن أرض لتأسيس مدينة جديدة لشعبها حوالي سنة 800 ق.م، فحصلت على تنازل من ملك لقطعة أرض «لا تتجاوز مساحتها ما يغطيه جلد ثور»، فقطعت عليسة جلد الثور إلى شرائح رفيعة جدًا واختارتشبه جزيرة، وباستخدام الأشرطة فصلت شبه الجزيرة عن القارة، وبالتالي تمكنت من تحديد مساحة شاسعة، وهكذا ولدتقرطاج. قد يكون لأسطورة عليسة أصلا تعليميا، لأنها تُظهر أن المساحة والمحيط غير مرتبطين، وهي أيضًا من أوائل المقاربات لمشكلة قياس التوازن.
ارتبط أيضاتأسيس رومابمسألة حساب المحيط: حيث خط رومولوس بمحراثه المحيط الدائري لمدينته المستقبلية. إن الكلمةاللاتينيةUrbs(المدينة) قد تكون تحريفًا لعبارة تعني «ارسم المحيط».
مسألة تباين المساحات وتساوي المحيط قديمة جدًا، كما تشهد أسطورة عليسة، والإجابات المختلفة (مضلع منتظم، نصف قرص في نصف مستوٍ، دائرة) كانت معروفة من العصور اليونانية القديمة، على الرغم من ذلك فإنه توجب انتظار القرن 19 للحصول على برهان صارم.
ربط البابليون بين المساحة A والمحيط P في الدائرة وفقخوارزميةحسابية مكافئة للصيغةA=P212{\displaystyle A={\frac {P^{2}}{12}}}والذي ينتج عنه تقريبًالـ π يساوي 3. وحتى عندما عرفوا قطر الدائرة كان الكتبة دائمًا يمرون بحساب محيطها (بضرب القطر في 3) للحصول على مساحتها. كان البعد المعتاد للدائرة هو محيطها، وليس قطرها أو نصف قطرها مطلقًا. هذا الأمر يوضح أنه -بالنسبة للقدماء- كان يُنظر إلى الدائرة على أنهامحيطبدلاً من منحنٍ محدد بمركز ونصف قطر.
تقريب π بالعدد 3 مستخدم أيضًا فيالكتاب المقدس:
والتلمود:
ذكرأرخميدسوأوضح في أطروحتهعن قياس الدائرة:
تقريب أرخميدس لقيمة π: قسمة طول محيط دائرة على قطرها أصغر من 3 + 10/70 وأكبر من 3 + 10/71.
وهو ما يعطي تأطيرًا لقيمة π (وهوحاصل قسمة محيط أي دائرة بقطرها). لتحقيق هذه النتيجة وضع أرخميدس إطارًا للدائرة بمضلعين منتظمين حسب طول محيطهما. استخدم مضلعات منتظمة ذات 96 ضلعا.
في عام 1424 قامالكاشي-فيرسالته حول الدائرة- بحساب قيمة تقريبية لـ π عن طريق تأطير الدائرة بين مضلعين منتظمين مع ستة عشر خانةً عشريةً دقيقةً. كان هدفه تحديد قيمة تقريبية لـ π دقيقة بما يكفي ليكون قادرًا على حساب ليس فقط محيط الأرض، ولكن أيضًا محيط الكون.
اعتمد طريقة أرخميدسكل منفرانسوا فييتفي 1579 وأدريان رومان في 1593 لضبط من اثني عشر إلى خمسة عشر خانةً عشريةً لـ π.
قام علماء رياضيات آخرون بحساب القيم التقريبية لـ π باستخدام حساباتالمساحة، ثم وبداية من القرن 17 استخدمت تقاناتحساب التفاضل والتكامل متناهية الصغر.
سميت مسألة حساب الطول المطوَّر للمنحنى، في القرن 17 باسم"تصحيحمنحنى". واعتبرت إمكانية حلها بشكل عام مستحيلة، وهو ما يعبر عنهديكارت: «النسبة بين الخطوط والمنحنيات غير معروفة، وأعتقد بأن الإنسان لا يستطيع معرفتها».
أدى اختراعحساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغرفي القرن 17 إلى تفسير حساب الطول المطوَّر لمنحنى على أنه طول متكاملوفقًا للصيغة الموضحة أعلاه (انظر مثال القطع الناقص).
في القرن 19 قدمكميل جوردانتعريفًا جديدًا للطول المطور لمنحنىيقترب من تعريفأرخميدسولكن باستخدام الأدوات الحديثة (بما في ذلك حسابحدالتسلسل): قرب طول منحنى بطولمضلعتكون رؤوسه نقاط هذا المنحنى. عندما يميل عدد هذه النقاط نحو اللانهاية، فإن الحد الأعلى لتسلسل أطوال المضلعات التي تم الحصول عليها -إذا تم تسقيفها- هو الطول المطوَّر لهذا المنحنى. هذا التعريفللمنحنى القابل للتصحيحيشمل ويمدد التعريف السابق الذي يستخدمالتكامل.
خلال القرنين 19 و20 اكتشف علماء الرياضيات العديد من المنحنيات «الغريبة» مثل منحنى فون كوخ الذي لا يمكن تصحيحه.وبداية من عام 1967 قامبينوا ماندلبروتبتعريف ودراسةالكسيراتبناءا على سؤال يبدو بسيطًا للغاية؛ ما هو طول منطقةبريطانية الفرنسية؟
يشرح ماندلبروت بأنه كلما سعينا إلى تحديد القياس كلما زاد حجمه، وأصبح في النهاية غير محدود.في الواقع إذا قمنا بقياس محيطبريطانية الفرنسيةتقريبًا (أو أي دولة) على الخريطة، فسنحصل على مضلع، ولكن كلما زادت دقة الخريطة، زادت قطع المضلع وبالتالي سينمو محيطه، وإذا بحثنا عن المحيط «الحقيقي» لبريطانية، فسيكون من الضروري الذهاب إلى الموقع لقياس كل حصاة، كل جرف من الصخور، وحتى كلذرةمن هذه المكونات. تتجاوز دراسة هذه الأشياء نطاق حساب المحيط.