Redes de Bravais

Engeometríaycristalografía,lasredes de Bravaisson una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo ciertogrupodetraslaciones. En la mayoría de casos, también se da una invariancia bajorotacionesosimetríarotacional. Estas propiedades hacen que desde todos los nodos de una red de Bravais se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red de Bravais son equivalentes.
Medianteteoría de gruposse ha demostrado que solo existe una única red de Bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales.
La red unidimensional es elemental siendo esta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. Endosotres dimensioneslas cosas se complican más y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrón para trabajar cómodamente con las redes.
Para generar estas normalmente se usa el concepto decelda primitiva. Las celdas unitarias, sonparalelogramos(2D) oparalelepípedos(3D) que constituyen la menor subdivisión de una red cristalina que conserva las características generales de toda la retícula, de modo que por simple traslación de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto.
Una red típicaRenRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}tiene la forma:
donde {a1,...,an} es una base en el espacioR. Puede haber diferentes bases que generen la misma red pero elvalor absolutodeldeterminantede losvectoresaivendrá siempre determinado por la red por lo que se lo puede representar como d(R).
Lasceldas unitariasse pueden definir de forma muy simple a partir de dos vectores (2D) o tres vectores (3D). La construcción de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualización de la red ya que posee la misma simetría que la red, es lacelda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un único nodo de la red de ahí el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo.
En ocasiones resulta más sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominanceldas convencionales. Estas tienen, a su vez, sus propios parámetros de red y un volumen determinado.
Todas estas celdas se consideranceldas primitivasya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus diferencias o características son las siguientes:
Empaquetamiento compacto:Esto es cuando losátomosde la celda están en contacto unos con otros. No siempre será así y en muchos casos mediará una distancia mínima entre lasnubes electrónicasde los diferentes átomos.
Parámetro de red:Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres parámetros de red distintos dependiendo del tipo de red de Bravais que tratemos. En las estructuras más comunes se representa con la letraay con lacen caso de haber dos.
Nodos o átomos por celda:Tal y como dice el nombre es el número de nodos o átomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, poseerá un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas más. De hecho si una celda posee más de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee más de un átomo por celda pudiera ser que estuviésemos en una celda unitaria pero con una base atómica de más de un átomo.
Número de coordinación:Es el número de puntos de la red más cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el número de coordinación será el número de átomos en contacto con otro. El máximo es 12.
Factor de empaquetamiento atómico: Fracción del espacio de la celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo que estos son esferas sólidas.
f=n⋅vVc{\displaystyle f={\frac {n\cdot v}{V_{c}}}}
Dondefes el factor de empaquetamiento o fracción de volumen ocupado,nel número de átomos por celda, v el volumen del átomo y Vcel volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de átomos que posee cada estructura cristalina. En este caso los átomos se tratan comoesferasrígidas en contacto con sus vecinos más cercanos.
Densidad: A partir de las características de la red, puede obtenerse la densidad teórica del material que conforma la red mediante la siguiente expresión.
ρ=n⋅mNA⋅Vc{\displaystyle \rho ={\frac {n\cdot m}{N_{A}\cdot V_{c}}}}
Donde ρ es la densidad,NAelnúmero de Avogadroymla masa atómica.
Volumen de la celda unitaria primitiva:Toda celda unitaria tiene el mismo volumen representado por la siguiente fórmula.vcup=|a→1(a→2×a→3)|{\displaystyle v_{cup}=|{\vec {a}}_{1}({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})|}Dondeason los vectores de la base de la red.
Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.
En función de los parámetros de lacelda unitaria, longitudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7sistemas cristalinos.
Para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de losátomosomoléculasque forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes:
Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposiciones de los puntos de red mencionados, se obtendrían 28 redes cristalinas posibles. En realidad, como puede demostrarse, solo existen 14 configuraciones básicas, pudiéndose obtener el resto a partir de ellas. Estas estructuras se denominanredes de Bravais.
En el caso más sencillo, a cada punto de red le corresponderá un átomo, pero en estructuras más complicadas, como materiales cerámicos y compuestos, cientos de átomos pueden estar asociados a cada punto de red formando celdas unitarias extremadamente complejas. La distribución de estos átomos o moléculas adicionales se denominabase atómicay esta nos da su distribución dentro de la celda unitaria.
Existen dos casos típicos de bases atómicas. La estructura deldiamantey lahexagonal compacta. Para redes bidimensionales un caso ejemplar sería elgrafitocuya estructura sigue un patrón de red en panal.
Los nombres (BCC, HCP, FCC) están en nomenclatura internacional o inglesa.