Conejo de Douady

Se denominaconejo de Douady​ a un tipo particular defractalesque sonconjuntos de Julia llenos, asociados con unparámetrocercano a los valores delperiodo central 3 de brotesde unconjunto de Mandelbrotgenerado por unafunción cuadrática compleja.
El conejo de Douady recibe su nombre del matemático francésAdrien Douady.​
Elconejo gordooconejo regordetetiene c en la raíz del 1/3-limbodelconjunto de Mandelbrot. Posee unpunto fijo parabólicocon 3 pétalos.​
Hay dosformascomunes de la función cuadrática complejaM{\displaystyle {\mathcal {M}}}. La primera, también llamadacomplejologístico, se escribe como
dondez{\displaystyle z}es una variable compleja yγ{\displaystyle \gamma }es un parámetro complejo. La segunda forma común es
Aquíw{\displaystyle w}es una variable compleja yμ{\displaystyle \mu }es un parámetro complejo. Las variablesz{\displaystyle z}yw{\displaystyle w}están relacionadas por la ecuación
y los parámetrosγ{\displaystyle \gamma }yμ{\displaystyle \mu }están relacionados por las ecuaciones
Debe tenerse en cuenta queμ{\displaystyle \mu }es invariante bajo la sustituciónγ→2−γ{\displaystyle \gamma \to 2-\gamma }.
Hay dos planos asociados conM{\displaystyle {\mathcal {M}}}. Uno de estos, el planoz{\displaystyle z}(ow{\displaystyle w}), se denomina "plano resultante", ya queM{\displaystyle {\mathcal {M}}}envía este plano sobre sí mismo. El otro, el planoγ{\displaystyle \gamma }(oμ{\displaystyle \mu }), se denominará "plano de control".
La naturaleza de lo que sucede en el plano resultante bajo la aplicación repetida deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}depende de dónde estéγ{\displaystyle \gamma }(oμ{\displaystyle \mu }) en el plano de control. Elconjunto de Julia llenoconsta de todos los puntos en el plano resultante cuyas imágenes permanecen delimitadas bajo aplicaciones deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}repetidas indefinidamente. Elconjunto de Mandelbrotconsiste en aquellos puntos en el plano de control de manera que el conjunto de Julia relleno asociado en el plano resultante sea conexo.
La Figura 1 muestra el conjunto de Mandelbrot cuandoγ{\displaystyle \gamma }es el parámetro de control, y la Figura 2 muestra el conjunto de Mandelbrot cuandoμ{\displaystyle \mu }es el parámetro de control. Dado quez{\displaystyle z}yw{\displaystyle w}sonafinesentre sí (una transformación lineal más una traslación), los conjuntos de Julia llenos presentan formas muy parecidas en los planosz{\displaystyle z}ow{\displaystyle w}.
El conejo de Douady se describe más fácilmente en términos del conjunto de Mandelbrot como se muestra en la Figura 1 (arriba). En esta figura, el conjunto de Mandelbrot, al menos cuando se ve desde la distancia, aparece como dos discos unidad con brotes y espalda con espalda. Considérense los brotes en las posiciones horarias (las de la esfera de un reloj de agujas) de launay lascincoen el disco derecho o los brotes en las posiciones de lassietey lasonceen el disco izquierdo. Cuandoγ{\displaystyle \gamma }está dentro de uno de estos cuatro brotes, el conjunto de Julia relleno asociado en el plano de aplicación es un conejo de Douady. Para estos valores deγ{\displaystyle \gamma }, se puede demostrar queM{\displaystyle {\mathcal {M}}}tienez=0{\displaystyle z=0}y otro punto como puntos fijos inestables (repelentes) yz=∞{\displaystyle z=\infty }como un punto fijo atrayente (atractor). Además, el mapaM3{\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}tiene tres puntos fijos de atracción. El conejo de Douady consta de los tres puntos fijos de atracciónz1{\displaystyle z_{1}},z2{\displaystyle z_{2}}yz3{\displaystyle z_{3}}y sus cuencas de atracción.
Por ejemplo, la Figura 3 muestra el conejo de Douady en el planoz{\displaystyle z}cuandoγ=γD=2.55268−0.959456i{\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}, un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho.
Para este valor deγ{\displaystyle \gamma }, la aplicaciónM{\displaystyle {\mathcal {M}}}tiene los puntos fijos repelentesz=0{\displaystyle z=0}yz=.656747−.129015i{\displaystyle z=.656747-.129015i}. Los tres puntos fijos de atracción deM3{\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}(también llamados puntos fijos de período tres) tienen las ubicaciones
Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en las cuencasB(z1){\displaystyle B(z^{1})},B(z2){\displaystyle B(z^{2})}yB(z3){\displaystyle B(z^{3})}deM3{\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}, respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuencaB(∞){\displaystyle B(\infty )}deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}.
La acción deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}sobre estos puntos fijos está dada por las relaciones
Correspondiendo a estas relaciones están los resultados
Nótese la maravillosa estructura fractal en los límites de la cuenca.
Como segundo ejemplo, la Figura 4 muestra un conejo de Douady cuandoγ=2−γD=−.55268+.959456i{\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}, un punto en el brote de lasonceen el disco izquierdo (como se señaló anteriormente,μ{\displaystyle \mu }es invariante bajo esta transformación). El conejo ahora se dispone más simétricamente en la página. Los tres puntos fijos del período se encuentran en
Los puntos fijos repelentes deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}en sí están ubicados enz=0{\displaystyle z=0}yz=1.450795+0.7825835i{\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}. Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen el período, tres puntos fijosz1{\displaystyle z^{1}},z2{\displaystyle z^{2}}yz3{\displaystyle z^{3}}, se encuentran en el punto fijoz=0{\displaystyle z=0}, y sus recíprocos de la derecha se encuentran en el puntoz=1{\displaystyle z=1}. Se puede demostrar que el efecto deM{\displaystyle {\mathcal {M}}}en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario sobre el origen dearg⁡(γ){\displaystyle \arg(\gamma )}, o muy cerca de120∘{\displaystyle 120^{\circ }}, seguida de escalado (dilatación) por un factor de|γ|=1.1072538{\displaystyle |\gamma |=1.1072538}.