Mandelbulb

UnMandelbulbrésulte de la tentative de créer unensemble de Mandelbrotentrois dimensions, sans être unefractalecomme ce dernier. La possibilité d'obtenir un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions reste incertaine.
L'idée de sa réalisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l'ensemble de Mandelbrot, à l'aide d'une algèbre denombres hypercomplexeset de transformations écrites encoordonnées sphériques. White et Nylander donnent la formule suivante :
⟨x,y,z⟩n=rn⟨cos⁡(nθ)cos⁡(nϕ),sin⁡(nθ)cos⁡(nϕ),sin⁡(nϕ)⟩{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle }
où
{r=x2+y2+z2θ=arctan⁡(y/x)etϕ=arctan⁡(z/x2+y2)=arcsin⁡(z/r){\displaystyle {\begin{cases}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {et\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r)\end{cases}}}
pour la npuissance dunombre hypercomplexe3D. Ils utilisent alors, de même que pour le plan de l'ensemble de Mandelbrot, les domaines de convergences des suites obtenues paritérationdez↦zn+c{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}oùzetcsont des nombres hypercomplexes dans un espace de dimension 3 et
Le Mandelbulb est ensuite défini comme l'ensemble descen ℝpour lesquels l'orbite de⟨0,0,0⟩{\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }sous l'itérationv↦vn+c{\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c} }}est bornée. Pour n > 3, le résultat est une structure en forme de bulbe tridimensionnelle avec une surfacefractaleet un certain nombre de "lobes" dépendants den. La plupart des rendus graphiques utilisentn= 8. Néanmoins, l'équation peut être simplifiée en polynômes rationnels lorsquenest impair. Par exemple, dans le cas den= 3, la troisième puissance peut être simplifiée en une formeplus élégante:
D'autres formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :
On peut voir cela comme une manière d'élever au carré un trio de nombres pour que le module soit élevé au carré. Cela donne, par exemple :
ou d'autre permutations variées. Cette formule 'quadratique' peut être appliquée plusieurs fois pour obtenir plusieurs formules de puissance 2.
D'autre formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :
On peut voir cela comme une manière d'élever au cube un trio de nombres pour que le module soit élevé au cube. Cela donne, par exemple :
ou d'autre permutations, par exemple :
Cela réduit la formule à la fractale complexew→w3+w0{\displaystyle w\rightarrow w^{3}+w_{0}}lorsque z=0 etw→w¯3+w0{\displaystyle w\rightarrow {\overline {w}}^{3}+w_{0}}lorsque y=0.
Il y a plusieurs manières de combiner deux transformations cubiques comme celles-ci pour obtenir une transformation de puissance 9 qui a une structure plus volumineuse.
Une autre manière de créer des Mandelbulbs de symétrie cubique est en prenant la formule d'itération complexez→z4m+1+z0{\displaystyle z\rightarrow z^{4m+1}+z_{0}}pour un entier m et ajouter les termes pour rendre la structure symétrique en 3 dimensions mais en gardant la section transversale la même fractale bidimensionnelle (le 4 vient du fait quei4=1{\displaystyle i^{4}=1}). Par exemple, prenons le cas dez→z5+z0{\displaystyle z\rightarrow z^{5}+z_{0}}. En deux dimensions oùz=x+iy{\displaystyle z=x+iy}, c'est :
Cela peut être prolongé à trois dimensions pour donner :
pour les constantes arbitraires A,B,C et D (la plupart du temps fixée à 0) qui donnent différents Mandelbulbs. Le cas dez→z9{\displaystyle z\rightarrow z^{9}}donne un Mandelbulb assez similaire au premier exemple où n=9. Un résultat plus plaisant pour la cinquième puissance est obtenu en basant la fractale sur la formule :z→−z5+z0{\displaystyle z\rightarrow -z^{5}+z_{0}}.
Cette fractale a des sections transversales de la fractale de Mandelbrot de puissance 9. Elle a 32 petits bulbes émergeant de la sphère principale. Il est défini par, par exemple :
Ces formules peuvent être écrites de manière plus simple :
et également pour les autres coordonnées.
Une formule sphérique parfaite peut être définie par la formule :
où
où f, g et g sont desnièmes puissances de trinômes rationnels et n est un entier. La fractale cubique ci-dessus en est un exemple.