Dimensi fraktal

Dalammatematika, khususnya dalamgeometri fraktal,dimensi fraktaladalah rasio yang memberikankompleksitasindeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalampolafraktalberubahskalanyapada saat diukur. Hal ini juga telah dikarakteristikkan sebagai ukuran dari kapasitaskurva space-fillingdari sebuah pola yang memperlihatkan bagaimana skala fraktal berbeda denganruangyang melekat pada pola tersebut; dimensi fraktal tidak harus berupa bilangan bulat.
Gagasan penting mengenaidimensiyang "fraktur" ("patah") memiliki sejarah yang panjang dalam matematika, tetapi istilah itu sendiri diangkat ke permukaan olehBenoit Mandelbrotberdasarkanmakalahnya tahun 1967mengenaikemiripan-diriyang membahas soaldimensi fraksional.Dalam makalah tersebut, Mandelbrot mengutip karyaLewis Fry Richardsonsebelumnya yang menjelaskan gagasan kontra-intuitif bahwa panjang garis pantai yang diukur berubah seiring dengan panjang tongkat pengukur yang digunakan. Dalam pengertian tersebut, dimensi fraktal garis pantai mengkuantifikasi berapa banyak tongkat pengukur berskala yang diperlukan untuk mengukur garis pantai berubah seiring dengan skala yang diterapkan pada tongkat tersebut.
Polafraktalberubah seiring denganskalapengukurannya. Ini juga merupakan ukuran kapasitaspengisian ruangsuatu pola, dan ini menunjukkan bagaimana skala fraktal berbeda, dalam dimensi fraktal (non-integer).
Pada akhirnya, istilahdimensi fraktalmenjadi ungkapan yang paling nyaman bagi Mandelbrot sendiri sehubungan dengan merangkum arti katafraktal, sebuah istilah yang ia ciptakan. Setelah beberapa kali pengulangan selama bertahun-tahun, Mandelbrot memutuskan penggunaan bahasa ini: "... menggunakanfraktaltanpa definisi yang berlebihan, menggunakandimensi fraktalsebagai istilah umum yang berlaku untuksemuavarian."
Salah satu contoh yang tidak sepele adalah dimensi fraktalkepingan salju Koch. Ia mempunyaidimensi topologi1, namun sama sekali tidakdapat diperbaiki: panjang kurva antara dua titik pada kepingan salju Kochtidak terhingga. Tidak ada bagian kecil darinya yang berbentuk garis, melainkan terdiri dari segmen-segmen yang jumlahnya tak terhingga yang disatukan pada sudut yang berbeda-beda. Dimensi fraktal suatu kurva dapat dijelaskan secara intuitif dengan menganggap garis fraktal sebagai objek yang terlalu detail untuk menjadi satu dimensi, namun terlalu sederhana untuk menjadi dua dimensi.Oleh karena itu, dimensinya paling baik dijelaskan bukan dengan dimensi topologi biasa yaitu 1 tetapi dengan dimensi fraktalnya, yang sering kali berupa angka antara satu dan dua; dalam kasus kepingan salju Koch, nilainya kira-kira 1,2619.
Istilahdimensi fraktaldanfraktaldiciptakan oleh Mandelbrot pada tahun 1975,sekitar satu dekade setelah ia menerbitkan makalahnya tentang kesamaan diri di garis pantai Inggris. Berbagai otoritas sejarah memuji dia karena juga mensintesis karya matematika dan teknik teoretis yang rumit selama berabad-abad dan menerapkannya dengan cara baru untuk mempelajari geometri kompleks yang tidak dapat dijelaskan dalam istilah linier biasa.Akar paling awal dari apa yang disintesis Mandelbrot sebagai dimensi fraktal telah ditelusuri dengan jelas kembali ke tulisan-tulisan tentang fungsi-fungsi yang tak terdiferensiasi dan serupa-diri, yang penting dalam definisi matematis fraktal, sekitar waktukalkulusditemukan pada pertengahan tahun 1600-an.Terdapat jeda dalam penerbitan karya mengenai fungsi-fungsi tersebut beberapa saat setelah itu, kemudian pembaruan dimulai pada akhir tahun 1800-an dengan penerbitan fungsi dan himpunan matematika yang sekarang disebut fraktal kanonik (seperti karya eponymousvon Koch,Sierpiński, danJulia), tetapi pada saat perumusannya sering dianggap sebagai "monster" matematika yang bertentangan.Karya-karya ini mungkin disertai dengan poin paling penting dalam pengembangan konsep dimensi fraktal melalui karyaHausdorffdi awal tahun 1900-an yang mendefinisikandimensi"fraksional" yang kemudian dinamai menurut namanya dan sering digunakan dalam mendefinisikanfraktalmodern.