समिश्र संख्या

गणितमेंसमिश्र संख्याएँ(complex number)वास्तविक संख्याओंका विस्तार है। किसी वास्तविक संख्या में एककाल्पनिक भागजोड़ देने से समिश्र संख्या बनती है। समिश्र संख्या के काल्पनिक भाग के साथiजुड़ा होता है जो निम्नलिखित सम्बन्ध को संतुष्ट करती है:
किसी भी समिश्र संख्या कोa+bi, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमेंaऔरbदोनो ही वास्तविक संख्याएं हैं।a+biमेंaको वास्तविक भाग तथाbको काल्पनिक भाग कहते हैं।उदाहरण:3+4iएक समिश्र संख्या है।
समिश्र संख्या कोa+biके रूप में दर्शाने को समिश्र संख्या का कार्तीय स्वरूप (Cartesian Form) कहते है।
समिश्र संख्याz=x+iyको ध्रुवीय निर्देशांकों के रूप में भी निरूपित कर सकते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकr= |z| ≥ 0, को समिश्र संख्या कानिरपेक्ष मान(absolute value) यामापांक(modulus) कहते हैं। इसी प्रकारφ= arg(z) कोzकाकोणांक(argument) कहते हैं।
जहाँ:atan2⁡(y,x)={arctan⁡(yx)ifx>0arctan⁡(yx)+πifx<0andy≥0arctan⁡(yx)−πifxandy<0π2ifx=0andy>0−π2ifx=0andy<0undefinedifx=0andy=0.{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x{and}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
कोणांकφ= कोणांक मुख्य मान (−π, +π] के बीच देता है। किन्तु यदिφका ऋणात्मक मान नहिं चाहिये बल्कि [0, 2π) के बीच में चाहिये तो उस ऋणात्मक मान में 2π जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।
निम्नलिखित रूपध्रुवीय स्वरूपकहलाता है:
इसेcis φसे भी निरुपित करते हैं जो cosφ+isinφका संक्षिप्त रूप है।
यूलर का सूत्र(Euler's formula) का प्रयोग करके इसे निम्नलिखित तरीके से भी लिख सकते हैं:
इस स्वरूप कोइक्सपोनेंशियल रूप'(exponential form) कहते हैं।
एलेक्ट्रॉनिकीमें किसीफेजर(phasor) के लिये समिश्र संख्या के कोणीय निरूपण का बहुधा प्रयोग होता है। जिसमेंAआयाम एवंθकला(फेज) है।
ध्यान रहे कि एलेक्ट्रॉनिकी और विद्युत अभियांत्रिकी मेंiके बजायjका प्रयोग किया जाता है क्योंकिiके द्वाराविद्युत धाराका निरुपण किया जाता है।
Theabsolute value(ormodulusormagnitude) of a complex numberz=reiϕ{\displaystyle z=re^{i\phi }}is defined as|z|=r{\displaystyle |z|=r}. Algebraically, ifz=x+yi{\displaystyle z=x+yi}, then|z|=x2+y2.{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
The absolute value has three important properties:
for all complex numberszandw. These imply that|1|=1{\displaystyle |1|=1}and|z/w|=|z|/|w|{\displaystyle |z/w|=|z|/|w|}. By defining thedistancefunctiond(z,w)=|z−w|{\displaystyle d(z,w)=|z-w|}, we turn the set of complex numbers into ametric spaceand we can therefore talk aboutlimitsandcontinuity.
Thecomplex conjugateof the complex numberz=x+yi{\displaystyle z=x+yi}is defined to bex−yi{\displaystyle x-yi}, written asz¯{\displaystyle {\bar {z}}}orz∗{\displaystyle z^{*}\,}. As seen in the figure,z¯{\displaystyle {\bar {z}}}is the "reflection" ofzabout the real axis, and so bothz+z¯{\displaystyle z+{\bar {z}}}andz⋅z¯{\displaystyle z\cdot {\bar {z}}}are real numbers. Many identities relate complex numbers and their conjugates:
c+di≠0{\displaystyle c+d\,\mathrm {i} \neq 0}
योग:
घटाना:
गुणा:
भाग:
z=reiφ{\displaystyle z=re^{\mathrm {i} \varphi }}काn{\displaystyle n}वाँ घात इस प्रकार निकाला जाता है
या कार्तीय रूपz=a+bi{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }के लिये
किसी समिश्र आधार पर समिश्र घातांक के लिये सामान्य सूत्र है:
यहाँln⁡(z){\displaystyle \ln(z)}समिश्र लघुगणक का मुख्य मान लिया जायेगा।
यहाँ बहुत सावधानी की जरूरत होती है; देखिये -
निम्नलिखित सूत्र समिश्र संख्याz=reiϕ{\displaystyle z=re^{\mathrm {i} \phi }}काn{\displaystyle n}वाँ मूल निकालने के लिये प्रयुक्त होता है:
जहाँk{\displaystyle k}का मान0,1,…,n−1{\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}। इस प्रकार किसी संख्या केn{\displaystyle n}वें मूलों की कुल संख्याn{\displaystyle n}होती है।
समिश्र संख्याz=reiϕ{\displaystyle z=re^{i\phi }}के प्राकृतिक लघुगणक का मुख्य मान होगा:
अन्तिम वाला सूत्र किसी समिश्र संख्या का व्युत्क्रम (इन्वर्स) निकालने के लिये बहुत उपयोगी है, यदि वह संख्या कार्तीय रूप में दी गयी है।