Monoid

Dalamaljabar abstrak, cabangmatematika,monoidadalah himpunan kompleks denganasosiatifoperasi binerdanelemen identitas
Monoid adalahsemigrupdengan identitas.Struktur aljabarterjadi di beberapa cabang matematika.
Misal, fungsi dari suatu himpunan membentuk monoid dengan komposisi fungsi. Secara lebih umum, dalamteori kategori, morfisme dari sebuahobjekdengan membentuk sebuah monoid, dan, sebaliknya, sebuah monoid dapat dipandang sebagai kategori dengan satu objek.
Dalamilmu komputerdanpemrograman komputer, himpunanstringdari himpunankarakteradalahmonoid bebas.Transisi monoiddanmonoid sintaktikdigunakan untuk mendeskripsikanmesin keadaan hingga.Jejak monoiddansejarah monoidmemberikan dasar untukproses batedankomputasi bersamaan.
Dalamilmu komputer teoretis, studi tentang monoid sangat penting untukteori automata(teori Krohn–Rhodes), danteori bahasa formal(masalah ketinggian bintang) .
Lihatsemigrupuntuk sejarah subjek, dan beberapa sifat umum monoid lainnya.
MisalnyaSadalahhimpunandan • adalah beberapaoperasi binerS×S→S, makaSdengan • adalahmonoidjika memenuhi dua aksioma berikut:
Dengan kata lain, monoid adalahsemigrupdenganelemen identitas. Monoid disebut sebagaimagmadengan asosiasi dan identitas.Untuk alasan identitas sebagaikonstanta, yaitu operasi 0-ari (atau nullari). Oleh karena itu, monoid diartikan sebagai spesifikasirangkap(S, • ,e).
Bergantung pada konteksnya, simbol untuk operasi biner dapat dihilangkan, maka operasi tersebut dilambangkan dengan penjajaran; misalnya, aksioma monoid ditulis sebagai(ab)c=a(bc){\displaystyle (ab)c=a(bc)}danea=ae=a{\displaystyle ea=ae=a}. Notasi tersebut tidak menyiratkan bahwa bilangan yang dikalikan.
Monoid setiap elemen menggunakaninversadalahgrup.
Submonoiddari sebuah monoid(M, •)adalahhimpunan bagianNdariMdibawah operasi monoid dan elemen identitasedariM.Secara simbolis,Nadalah submonoid dariMjikaN⊆M,x•y∈Ndimanax,y∈N, dane∈N.Ndengan monoid dibawah operasi biner yang digunakan dariM.
Himpunan bagianSdariMsebagaigeneratordariMjikaMadalah himpunan terkecilSyaitupenutupandibawah operasi monoid, atauMadalah hasil dari penerapanoperasi penutupan keuangankeS. Jika generator dariMkardinalitas hingga, makaMsebagaidihasilkan secara hingga. Tidak setiap himpunanSakan menghasilkan monoid, karena struktur yang dihasilkan tidak memiliki elemen identitas.
Monoid dimana operasikomutatifdisebutmonoid komutatif(atauabelian monoid). Monoid komutatif ditulis secara aditif. Setiap monoid komutatif denganaljabarpreorder≤ditentukan darix≤ydanzadalahx+z=y.unit-orderdari monoid komutatifMadalah elemenudariMmaka untuk setiap elemenxdariM,vdalam himpunan yang dihasilkan olehuadalahx≤v. JikaMadalahkerucut positifdariterurut sebagianuntulgrup abelianG, dalamuadalah unit orderG.
Monoid dimana operasinya bersifat komutatif untuk semua elemennya adalahjejak monoid; jejak monoid biasanya terjadi dalam teorikomputasi bersamaan.
MisalkanMbentuk dari monoid, dengan operasi biner dilambangkan dengan • dan elemen identitas dan dilambangkan dengane. Maka (kiri)M-ari(atau aksi kiri diatasM) adalah satu himpunanXdengan operasi⋅ :M×X→Xyang kompatibel dengan struktur monoid sebagai berikut:
Ini adalah analogi dalam teori monoid (kiri)grup aksi. Baik aksiMdidefinisikan dengan cara biasa. Monoid dengan suatu aksi dikenal sebagaioperasi monoid. Contoh yang termasuksistem transisidarisemiautomata.Transformasi semigrupdapat dibuat menjadi operasi monoid dengan menggabungkan transformasi identitas.
Bilangan riiladalahgelanggangyang menggunakan penembahab dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2matriksmerupakan gelanggang, dibawahpenambahan matriksdanperkalian matriks. Jika mendefinisikan fungsi antara gelanggang, sebagai berikut:
dimanaradalah bilangan riil, makafadalah homomorfisme gelanggang, karenafmempertahankan dua penambahan:
dan perkalian:
Untuk contoh lain, bukan-nol untukbilangan kompleksmembentukgrupdibawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. Nol dihilangkan dari kedua grup karena tidak memilikiinvers perkalian, yang diperlukan untuk elemen grup.  Tentukan fungsif{\displaystyle f}dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan riil bukan nol dengan
Artinya,f{\displaystyle f}adalahnilai mutlak(atau modulus) dari bilangan kompleksz{\displaystyle z}. Makaf{\displaystyle f}adalah homomorfisme grup, karena perkalian:
Perhatikan bahwaftidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan riil), karena tidak termasuk penambahan:
Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoidf{\displaystyle f}dari monoid(N,+,0){\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}ke monoid(N,×,1){\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi olehf{\displaystyle f}dihasilkan sebagaif(x+y)=f(x)×f(y){\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}danf(0)=1{\displaystyle f(0)=1}.
Komposisi aljabarA{\displaystyle A}diatas bidangF{\displaystyle F}menggunakanbentuk kuadrat, yang disebutnorma,N:A→F{\displaystyle N:A\to F}, yang merupakan homomorfisme grup darigrup perkaliandariA{\displaystyle A}ke grup perkalian dariF{\displaystyle F}.
Monoid dapat diberikanpresentasi, dengan cara yang sama seperti grup dapat ditentukan melaluipresentasi grup. Seseorang melakukan ini dengan menentukan satu set generator Σ, dan satu set relasi padamonoid bebasΣ. Seseorang melakukannya dengan memperluas (finite)relasi binerpada Σke kongruensi monoid, dan kemudian membangun monoid hasil bagi, seperti di atas.
Diberikan relasi binerR⊂ Σ× Σ, satu mendefinisikan penutupan simetrisnya sebagaiR∪R. Ini dapat diperluas ke hubungan simetrisE⊂ Σ× Σdengan mendefinisikanx~Eyjika dan hanya jikax=sutdany=svtuntuk beberapa pitau,v,s,t∈ Σdengan(u,v) ∈R∪R. Akhirnya, seseorang mengambil penutupan refleksif dan transitif dariE, yang kemudian merupakan kongruensi monoid.
Dalam situasi tipikal, relasiRhanya diberikan sebagai sekumpulan persamaan, sehinggaR={u1=v1,⋯,un=vn}{\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\cdots ,u_{n}=v_{n}\}}. Thus, for example,
adalah presentasi persamaan untukmonoid bisiklik, dan
adalahmonoid plaktikderajat 2 (memiliki urutan tak terhingga). Elemen monoid plastik ini dapat ditulis sebagaiaibj(ba)k{\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}untuk integeri,j,k, karena hubungan menunjukkan bahwababolak-balik denganadanb.
Monoid dapat dipandang sebagai kelas khususkategori. Memang, aksioma yang diperlukan dari operasi monoid persis seperti yang diperlukan dari komposisimorfismeketika dibatasi pada himpunan semua morfisme yang sumber dan targetnya adalah objek tertentu.adalah,
Lebih tepatnya, diberi monoid(M, •), seseorang dapat membuat kategori kecil dengan hanya satu objek dan yang morfismenya adalah elemen dariM. Komposisi morfisme diberikan oleh operasi monoid •.
Demikian juga, homomorfisme monoid hanyalahfunktorantara kategori objek tunggal.Jadi konstruksi ini memberikankesetaraanantarakategori monoid (kecil)Mondan subkategori lengkap kategori kategori (kecil)Cat. Demikian pula,kategori grupsetara dengan subkategori lengkap lainnyaCat.
Dalam pengertian ini, teori kategori dapat dianggap sebagai perluasan dari konsep monoid. Banyak definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan ke kategori kecil dengan lebih dari satu objek. Misalnya, hasil bagi dari kategori dengan satu objek hanyalah hasil bagi monoid.
Monoid, seperti struktur aljabar lainnya, juga membentuk kategorinya sendiri,Mon, yang objeknya monoid dan morfisme homomorfisme monoid.
Ada pula pengertianobjek monoidyang merupakan definisi abstrak dari apa yang dimaksud dengan monoid dalam suatu kategori. Objek monoid dalam 'Set'hanyalah sebuah monoid.
Dalam ilmu komputer, banyaktipe data abstrakdapat diberkahi dengan struktur monoid. Dalam pola yang sama, Sebuahurutanelemen monoid adalah "dilipat" atau "terakumulasi" untuk menghasilkan nilai akhir. Misalnya, banyak algoritme iteratif perlu memperbarui beberapa jenis "menjalankan total" pada setiap iterasi; pola ini dapat diekspresikan secara elegan dengan operasi monoid. Alternatifnya, asosiasi operasi monoid memastikan bahwa operasi dapatparaleldengan menggunakanjumlah awalanatau algoritma serupa, untuk memanfaatkan banyak inti atau prosesor secara efisien.
Diberikan urutan nilai tipeMdengan elemen identitasε{\displaystyle \varepsilon }dan operasi asosiatif∙{\displaystyle \bullet }, operasilipatdidefinisikan sebagai berikut:
Selain itu,struktur dataapa pun dapat 'dilipat' dengan cara yang sama, mengingat serialisasi elemennya. Misalnya, hasil dari "melipat" sebuahpohon binermungkin berbeda tergantung pada pemesanan di muka vs. setelah pesanantraversal pohon.
Sebuahmonoid lengkapadalah monoid komutatif yang dilengkapi dengan operasi jumlahinfiniterΣI{\displaystyle \Sigma _{I}}untukhimpunan indeksIapa pun yang:
dan
monoid kontinuadalah monoid komutatif terurut di mana setiaphimpunan terarahmemilikibatas atas terkecilyang kompatibel dengan operasi monoid:
Kedua konsep ini terkait erat: monoid kontinu adalah monoid lengkap di mana jumlah infiniter dapat didefinisikan sebagai
di mana supremum di sebelah kanan berjalan di atas semua himpunan bagian terbatasEdariIdan setiap jumlah di sebelah kanan adalah jumlah yang terbatas di monoid.