Фрактал

Фракта́л(лат.fractus— дроблёный, сломанный, разбитый) —множество, обладающее свойствомсамоподобия(объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталамипонимают множестваточек вевклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смыслеМинковскогоилиХаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную оттопологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например,функция Больцано,функция Вейерштрасса,множество Кантора). Термин «фрактал» введёнБенуа Мандельбротомв 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектновизуализироватьэти структуры.
Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например:побережья,облака,кроны деревьев,снежинки,брокколи,система кровообращения,альвеолы.
Термин «фрактал» был введён математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Мандельброт описал введение термина следующим образом:
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
Существует простаярекурсивнаяпроцедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
С помощью похожей процедуры получаетсядерево Пифагора.
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пустьψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}—сжимающие отображенияплоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всехкомпактных(замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}
Можно показать, что отображениеΨ{\displaystyle \Psi }является сжимающим отображением на множествекомпактовсметрикой Хаусдорфа. Следовательно, потеореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображенияψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}— отображения подобия, аn{\displaystyle n}— число звеньев генератора.
Длятреугольника Серпинскогоn=3{\displaystyle n=3}и отображенияψ1{\displaystyle \psi _{1}},ψ2{\displaystyle \psi _{2}},ψ3{\displaystyle \psi _{3}}—гомотетиис центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображенииΨ{\displaystyle \Psi }.
В случае, когда отображенияψi{\displaystyle \psi _{i}}— преобразования подобия с коэффициентамиri>0{\displaystyle r_{i}>0},размерностьs{\displaystyle s}фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравненияr1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, длятреугольника Серпинскогополучаемs=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.
По той жетеореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображенияΨ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейныхдинамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациямимногочленаилиголоморфной функции комплексной переменнойна плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
ПустьF(z){\displaystyle F(z)}— многочлен,z0{\displaystyle z_{0}}—комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность:z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),...{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}
Нас интересует поведение этой последовательности при стремленииn{\displaystyle n}к бесконечности. Эта последовательность может:
Множества значенийz0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множестваточек бифуркациимежду различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.
Так,множество Жюлиа— множество точек бифуркации для многочленаF(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c}(или другой похожей функции), то есть тех значенийz0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательностиzn{\displaystyle z_{n}}может резко меняться при сколь угодно малых измененияхz0{\displaystyle z_{0}}.
Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочленF(z){\displaystyle F(z)}и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательностьzn{\displaystyle z_{n}}демонстрирует определённое поведение при фиксированномz0{\displaystyle z_{0}}. Так,множество Мандельброта— это множество всехc∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которыхzn{\displaystyle z_{n}}дляF(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c}иz0{\displaystyle z_{0}}не стремится к бесконечности.
Ещё один известный пример такого рода —бассейны Ньютона.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремленияzn{\displaystyle z_{n}}к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номерn{\displaystyle n}, при котором|zn|{\displaystyle |z_{n}|}превысит фиксированную большую величинуA{\displaystyle A}).
Биоморфы— фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений,кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерамиживой клеткии, в конечном итоге, размерамимолекул.
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких кактурбулентноетечение жидкости, сложные процессыдиффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После созданиякривой Кохабыло предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
Использование фрактальной геометрии при проектированииантенных устройствбыло впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал изалюминиевойфольги фигуру в формекривой Кохаи наклеил её на лист бумаги, затем присоединил кприёмнику.
Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранитьсжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) являетсянеподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использованфирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
Фракталы широко применяются вкомпьютерной графикедля построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см.Генератор фракталов (программа).
Система назначения IP-адресов в сетиNetsukukuиспользует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сетиNetsukukuхранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачиIP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.