Какова длина побережья Великобритании?

«Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность» (англ.How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension) — статья французско-американского математикаБенуа Мандельброта, впервые опубликованная в журналеScienceв 1967 году. В этой статье Мандельброт рассматриваетсамоподобныекривые, которые имеютразмерность Хаусдорфамежду 1 и 2. Эти кривые представляют собойфракталы, хотя сам термин «фрактал» Мандельброт ввёл в употребление лишь в 1975 году. Статья Мандельброта является одной из первых его публикаций по тематике фракталов.
Статья рассматриваетпарадокс береговой линии— свойство береговой линии, заключающееся в том, что её длина зависит от способа её измерения. Если оценка длины границы или береговой линии осуществляется путём наложенияNравных отрезков длинойlна карту, то эмпирические данные свидетельствуют о том, что чем меньше длина отрезка измерений, тем больше становится конечная измеряемая длина. При этом в случае стремления длины отрезка измерений к нулю значение длины береговой линии возрастает до бесконечности. Таким образом, говорить о длине береговой линии в привычном понимании бессмысленно, нужны какие-то другие средства количественной оценки береговых линий. Мандельброт рассматривает эмпирический закон, выведенныйЛьюисом Ричардсоном, который отметил, что измеренная длинаL(G) различных географических границ является функцией шкалы измеренияG. Собрав эмпирические данные из нескольких различных примеров, Ричардсон высказал предположение, чтоL(G) может быть аппроксимирована функцией вида
гдеMявляется положительной константой, аDявляется константой, называемой размерностью, большей или равной 1. При этом береговая линия, если она выглядит гладкой, должна иметь размерность, близкую к 1, а чем более изрезанной она является, то тем ближе её размерность к значению 2. Ричардсон приводит в своих исследованиях в качестве примера размерность 1,02 для побережьяЮжной Африкии 1,25 — для западного побережья Великобритании.
Далее Мандельброт описывает различные математические кривые, связанные соснежинкой Коха, которые определяются как строго самоподобные. Мандельброт показывает, как вычислить размерность Хаусдорфа для кривых, имеющих размерность между 1 и 2 (а также упоминает, но без подробностей, заполняющую пространствокривую Пеано, которая имеет размерность ровно 2). Он отмечает, что аппроксимация длины кривых через отрезки длиныGимеет видG1−D{\displaystyle G^{1-D}}, аналогично закономерности, выведенной Ричардсоном. При этом Мандельброт не утверждает, что любая береговая линия или географическая граница на самом деле имеют дробную размерность. Вместо этого он отмечает, что эмпирический закон Ричардсона совместим с идеей, что географические кривые, такие как береговые линии, могут быть смоделированы с помощью случайных самоподобных фигур дробной размерности.
В конце статьи Мандельброт кратко упоминает, как можно было бы подойти к изучению фракталоподобных объектов в природе, которые являются главным образом случайными. Для этого он определяет статистически самоподобные фигуры и отмечает, что они встречаются в природе.
Статья Мандельброта является отправной точкой в цикле его работ по теории фракталов.