Analisis kompleks

Dalammatematika,analisis kompleks(bahasa Inggris:complex analysis), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi daribilangan kompleks(yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yaknibilangan riildanbilangan imajiner).
Analisis kompleks biasanya dikenal sebagaiteori fungsi variabel kompleksatauteori fungsi peubah kompleks.
Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya
Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yaknibilangan riildanimajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkanz{\displaystyle z}adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan
serta himpunannya didefinisikan sebagai
dimanaa{\displaystyle a}adalahbagian riil, dinotasikanℜ(z){\displaystyle \Re (z)}danbi{\displaystyle bi}adalahbagian imajiner, dinotasikanℑ(z){\displaystyle \Im (z)},atauRe⁡(z){\displaystyle \operatorname {Re} (z)}danIm⁡(z){\displaystyle \operatorname {Im} (z)}.
Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yaknifungsi suku banyak,fungsi rasional,fungsi eksponensial,fungsi trigonometri,fungsi hiperbolik,fungsi logaritma(beserta inversnya), danfungsi aljabar dan transenden.
Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai
dimanaa0≠0{\displaystyle a_{0}\neq 0},a1,…,an{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}adalah konstanta kompleks dann{\displaystyle n}adalahbilangan bulat positifyang dinamakan derajat suku polinomP(z){\displaystyle P(z)}.Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupafungsi polinomial. MisalkanP{\displaystyle P}danQ{\displaystyle Q}adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga
adalah fungsi rasional bilangan kompleks,dengan kasus khusus diperoleh
adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.
Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluasderet kuasafungsi eksponensialdari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riilθ{\displaystyle \theta },
Karenacos⁡x=∑n=0∞(−1)n⋅x2n(2n)!{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n}}{(2n)!}}}dansin⁡x=∑n=0∞(−1)n⋅x2n+1(2n+1)!{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}(lihat disinimengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka
Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagairumus Euler.
Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunanrumus Euler, sehingga didapati
Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik(beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.
Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasilogaritma alamiterhadapbilangan kompleksbukan nol. Misalkanw=log⁡z{\displaystyle w=\log z}, dimanaz=ea+bi=ea⋅ebi{\displaystyle z=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}}dan persamaan ini ekuivalen dengan
Dengan substitusi, maka diperoleh
dimanab=arg⁡w{\displaystyle b=\arg w}.
Suatu fungsif(z){\displaystyle f(z)}terdefinisi atau mempunyai limitL{\displaystyle L}untukz{\displaystyle z}mendekatiz0{\displaystyle z_{0}}dituliskan sebagai
Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakandefinsi limit (ε,δ).
Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggapz{\displaystyle z}adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan diz0{\displaystyle z_{0}}, maka turunanf{\displaystyle f}dirumuskan
Dalam analisis kompleks, integral mirip dengananalisis riil(termasuk juga dengankalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkanf(t){\displaystyle f(t)}adalah fungsi kompleks dengan variabel riilt{\displaystyle t}dimanaf(t)=u(t)+i⋅v(t){\displaystyle f(t)=u(t)+i\cdot v(t)}sehinggau(t){\displaystyle u(t)}danv(t){\displaystyle v(t)}kontinudi interval[a,b]{\displaystyle [a,b]}. Kita dapat menuliskannya sebagai
Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:
Residudalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagaiRes⁡(f,c){\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}atauResc⁡f{\displaystyle \operatorname {Res} _{c}f}. Misalf{\displaystyle f}adalah fungsi yang analitik di titikz0{\displaystyle z_{0}}, yang dapat diekspansi ke dalamderet Laurentyang berbentuk
Pada koefisiena−1{\displaystyle a_{-1}}, terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk1z−z0{\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}}dinamakan residuf{\displaystyle f}padaz0{\displaystyle z_{0}}. Ini ditulis dengan
Teorema residu(kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. DiberikanC{\displaystyle C}adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titikz1,…,zn{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}yang masing-masing merupakan singularitas terasingf{\displaystyle f}. Maka,
atau kita tuliskan sebagai
Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arahsudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.
Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan,w=f(z)=f(x+iy){\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}, beserta sebarang dua kurvaC1{\displaystyle C_{1}},C2{\displaystyle C_{2}}pada bidangz{\displaystyle z}berpotongan pada titik(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}dipetakan berturut-turut sebagai kurvaC1{\displaystyle C_{1}}danC2{\displaystyle C_{2}}pada bidangw{\displaystyle w}yang berpotongan di(u0,v0){\displaystyle (u_{0},v_{0})}antara kurvaC1{\displaystyle C_{1}}danC2{\displaystyle C_{2}}, maka pemetaanw=f(z)=f(x+iy){\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}konformal pada(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}.
Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikankompleksitasindeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalampolafraktalberubahskalanyapada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalahhimpunan Juliadanhimpunan Mandelbrot.
Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis,Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah
Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat denganhimpunan Mandelbrot.
Himpunan Mandelbrot, dinamai dariBenoît Mandelbrot(matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titikc{\displaystyle c}pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsizn+1=zn2+c{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}dengan nilai awalz{\displaystyle z}bernilai0{\displaystyle 0}.
Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya:geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitugeometri kompleks;teori bilangan, salah satunyahipotesis Riemann, berasal dariMasalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dankombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, sepertideret Taylor,deret Laurent, danteorema binomial.
Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya:hidrodinamikaataudinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.;termodinamika, dimanahipotesis Riemannberhubungan denganmekanika statistik, lihatgas Riemann bebas(en); danmekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucingSchrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.