Grupo espacial

Enmatemáticasyfísica, ungrupo espaciales elgrupo simétricode una configuración en el espacio, generalmente entres dimensiones. En tres dimensiones, existen 219 tipos distintos, o bien 230 si se consideran distintas las copias quirales. Los grupos espaciales estudiados en más de 3 dimensiones se denominanGrupos de Bieberbach, (porLudwig Bieberbach) y son grupos discretos compactos de isometrías de un espacio euclídeo orientado.
Encristalografía, los grupos espaciales también se suelen denominargrupos de Fedorovo cristalográficos, y representan la descripción de lasimetríadel cristal. Una fuente bibliográfica representativa de los grupos espaciales tridimensionales es elInternational Tables for Crystallography(Hann (2002)).
Los grupos espaciales en 2 dimensiones son 17 grupos de simetría plana los cuales se conocen desde hace siglos aunque la prueba de que la lista estaba completa no se dio hasta 1891, después de que se hubieran considerado casos más complejos de grupos espaciales.
En 1879Leonhard Sohnckeenumeró los 65 grupos espaciales (en ocasiones llamados Grupos espaciales de Sohncke o Grupos espaciales quirales) cuyos elementos preservaban la orientación. Más detalladamente, listó 66 grupos, peroYevgraf Stepánovich FiódorovyArthur Moritz Schönfliesadvirtieron que en realidad dos de ellos eran el mismo. Los grupos espaciales en 3 dimensiones fueron enumerados por primera vez por Fiódorov (1891) (cuya lista tenía dos omisiones (I43d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después fueron enumerados de forma independiente por Schönflies (1891) (cuya lista tenía cuatro omisiones (I43d, Pc, Cc, ?) y una duplicación (P421m)). La lista correcta de los 230 grupos espaciales fue descubierta en 1892 durante la correspondencia entre Fiódorov y Schönflies. Más tardeWilliam Barlow(1894) enumeró los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I42d, P421d, yP421c) incluso cuando ya tenía la lista correcta de los 230 grupos creada por Fiódorov y Schönflies.
Burckhardt(1967) describe en detalle la historia del descubrimiento de los grupos espaciales.
Los grupos espaciales en tres dimensiones están formados por combinaciones de los 32grupos de puntos cristalográficoscon las 14redes de Bravais, y cada una de estas pertenece a uno de los 7sistemas de redes. Este resultado exprime que cada grupo espacial es una combinación de la simetría de traslación de una celda unitaria incluyendo el centro de redes, las operaciones de simetría del grupo de puntos de reflexión, rotación y/o rotación impropia (también llamada rotoreflexión), y el eje helicoidal y el plano de deslizamiento de operaciones simétricas. La combinación de todas estas operaciones de simetría dan lugar a un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las posibles simetrías cristalinas.
Los elementos de los grupos espaciales que permiten fijar un punto del espacio son rotaciones, reflexiones, el elemento de identidad y la rotación impropia
Lastraslacionesforman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamadored de Bravais. Hay 14 posibles tipos de redes de Bravais. El cociente entre grupos espaciales y la red de Bravais da como resultado un grupo finito que será uno de los 32 posiblesgrupos puntuales. La traslación se define como el movimiento de un punto de un lado a otro de la cara.
Unplano de deslizamientoes una reflexión en un plano, seguida por una traslación paralela con ese mismo plano. Se denotaa,b,c, dependiendo del eje de deslizamiento sobre el que se produce. Existe también eldeslizamiento n, que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de la diagonal de una cara; y eldeslizamiento d, que es un deslizamiento a lo largo de un cuarto del camino de cualquier cara o espacio diagonal de una celda unitaria. Se conoce también como plano de deslizamiento del diamante al aparecer en la estructura deldiamante.
Uneje helicoidales una rotación sobre un eje, seguida de una traslación a lo largo de la dirección del eje. Se denotan con un número,n, que describe el grado de rotación ya que es el número de operaciones que se necesita aplicar para obtener una rotación total. El grado de traslación se añade como subíndice mostrando cuán lejos en el eje se produce la traslación, como una porción del vector de red paralelo. Por ejemplo, 21es una rotación doble seguida de una traslación de ½ del vector de red.
La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial esy = M • x + DdondeMes la matriz,Des el vector, y las transformaciones elementales transforman el puntoxen el puntoy. En general,D = D(red) + D(M), dondeD(M)es una función única deMque se hace cero cuandoMes la identidad. Las matricesMforman un grupo puntual que es la base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo puntual.
La dimensión de la red puede ser menor que la dimensión total, dando lugar a un grupo espacial “subperiódico”. Para (dimensión total, dimensión de la red):
Tabla de la simetría plana utilizando la clasificación de grupos espaciales tridimensionales:
Para cada clasificación geométrica, las posibles clases aritméticas son:
Nota. Un planoees un doble plano de deslizamiento, al tener deslizamientos en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, grupos espaciales cinco tetragonales y grupos espaciales cinco cúbicos, todos con su centro de red. El uso del símboloese hizo oficial conHahn (2202).
Si el sistema cristalino no es trigonal entonces el sistema de red es del mismo tipo. Si es sistema cristalino sí es trigonal entonces el sistema de red es hexagonal a no ser que el grupo espacial sea uno de los 7sistemas de red romboédricosconsistentes en 7 grupos espaciales trigonales en la tabla superior cuyo nombre comienza con R. Elsistema de red hexagonales mayor que el sistema cristalino hexagonal, y consiste en sistemas cristalinos hexagonales con 18 grupos de sistemas cristalinos trigonales además de los siete cuyo nombre empieza por R.
Lared de Bravaisde un grupo espacial viene determinada por el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, la cual para los grupos no romboédricos es P, I, F o C que corresponden a principal, centrado en el cuerpo, centrado en la cara, o centrado en la cara C.