Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množinaje množina bodůkomplexní roviny, které jsou odvozeny odrekurzivníchprocesů skomplexními číslypatřícími tétomnožiněa jejímu okolí. Mandelbrotova množina je jeden z nejznámějšíchfraktálů, přesněji řečeno fraktálem je její okraj. K jejímu určení se používázobrazení, které každému komplexnímu čísluc{\displaystyle c}přiřazuje určitouposloupnostkomplexních číselzn{\displaystyle z_{n}}. Tato posloupnost je určena následujícím rekurzivním předpisem:
Mandelbrotova množina je pak definována jako množina komplexních číselc{\displaystyle c}, pro která je posloupnostz0,z1,z2,…{\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},\dots }omezená, tj. splňuje následující podmínku:
Lze dokázat, že překročí-liabsolutní hodnotaněkterého členu posloupnostizn{\displaystyle z_{n}}hodnotu 2, pak tato posloupnost není omezená (jde donekonečna). Odtud je zřejmé, že lze ve výše uvedené definici položitm=2{\displaystyle m=2}, aniž by tím došlo ke změně jejího významu.
Nejprve se pro každý určený bod komplexní roviny postupně vyčíslují členy posloupnostizn{\displaystyle z_{n}}a zjišťuje se, jestli splňují podmínku|zn|≤2{\displaystyle |z_{n}|\leq 2}(výhodněji její druhou mocninu). V případě, že tato podmínka není splněna, bod nepatří do Mandelbrotovy množiny. Při zobrazování se často podle hodnotyn{\displaystyle n}, při níž došlo k nesplnění podmínky, zvolí barva, kterou bude bod zobrazen. Pro dosažení dobrého vzhledu se pro blízká „vyřazovací“n{\displaystyle n}volí podobné barvy. Pokud po vhodně zvoleném počtuiteracízůstává uvedená podmínka splněna, je bod považován za součást Mandelbrotovy množiny (zobrazuje se obvykle černou barvou). Nastavení této hranice ovlivňuje výsledný obrázek: pro příliš malou hodnotu budou některé body chybně označeny jako patřící do množiny, ale velký počet iterací vyžaduje delší čas výpočtu.
Výpočet je možno zrychlit tím, že se rychle detekují body, které do množiny evidentně patří, protože se nacházejí uvnitř hlavních částí množiny – kružnice a kardioidy.
Množinu jako první definoval v roce 1905francouzskýmatematikPierre Fatou, který studoval rekurzivní procesy jako např.
Pokud se taková operace opakovaně provádí z nějaké počáteční hodnotyz0{\displaystyle z_{0}}, vznikne tím posloupnost bodů, která se označuje jako orbit boduz0{\displaystyle z_{0}}vůči danétransformaci. Fatou si uvědomil, že o chování podobných systémů dobře vypovídá studium orbitu boduz0=0{\displaystyle z_{0}=0}. Takových systémů existuje nekonečně mnoho (jeden pro každou hodnotuc{\displaystyle c}). Jelikož Fatou neměl k dispozici počítač, pokusil se vytvořit orbity několika takových funkcí ručně, přičemž nalezl již zmiňovanou hranici 2, po překročení které bude orbita zaručeně utíkat do nekonečna.
Ruční výpočty byly pochopitelně velice náročné, takže Fatou nikdy to, co se dnes označuje jako Mandelbrotova množina, na vlastní oči nespatřil. Prvním, kdo tuto množinu nechal vykreslit počítačem, bylBenoît Mandelbrot, podle kterého je také pojmenována.
Mandelbrot tuto množinu a vůbec pojemfraktálpopularizoval ve své knize z roku1975,Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension.
Při změně počáteční podmínky u definujícího předpisu je výsledkem nesouvislá množina. Takovému znetvoření se anglicky říkátilt(naražení, zvrhnutí).
Mandelbrotova množina má těsný vztah kJuliovým množinám; dokonce obsahuje místa, která vzhledem připomínají Juliovy množiny. Pokud bychom následovali povrch Mandelbrotovy množiny, zobrazovaly by se nám odpovídající Juliovy množiny. Každému bodu komplexní roviny odpovídá Juliova množina (s parametrem daným souřadnicemi daného bodu), přičemž bodům uvnitř Mandelbrotovy množiny odpovídají souvislé Juliovy množiny, bodům mimo pak nesouvislé. Z toho vyplývá, že Juliovy množiny jsouatraktory. Vizuálně nejzajímavější Juliovy množiny odpovídají bodům poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, neboť bodům hluboko uvnitř odpovídají jednoduché geometrické tvary, bodům daleko vně pak jen několik roztroušených bodů (okolí boduc{\displaystyle c}připomíná střed Juliovy množiny s parametremc{\displaystyle c}).
Přes složitost Juliovy a Mandelbrotovy množiny to lze snadno popsat následujícím pseudokódem, kde je vidět i rozdíl mezialgoritmypro Juliovu a Mandelbrotovu množinu:
Od Juliových množin se k Mandelbrotově množině poprvé dostali Robert Brooks a Peter Matelski v roce 1978 zeState university of New Yorkpomocí školního počítače.Do grafu vynesli středové body všech Juliových množin v komplexní rovině. Monitory tehdejších počítačů zvládaly jen jednoduché grafické zpracování a výsledek jim byl proto zobrazen jen pomocíhvězdiček.
Pro alespoň základní orientaci na tzv. Mandelbrotově mapě, tedy vyobrazení i hranic a blízkého okolí Mandelbrotovy množiny sahající i mimo plochu, kde jsou Juliovy množiny souvislé (místa běžně označována černě), používáme značení primárně pro laloky a axony/synapse.
Využíváme značení laloků pomocí vnitřního úhlu,využívající takéFareyovy zlomky, se kterými se můžeme setkat i u značení Fordových kružnic.Existuje více typů analytických pojmenovávacích systémů,tento je však nejpřehlednější. Začněme však jiným, zjednodušeným značením, kde se hlavní lalok (kardioidu) značí číslem 1. Protože je Mandelbrotova množina zrcadlově symetrická podle reálné osy, zápornou polovina je pojmenována (touto zjednodušenou verzí) identicky. Laloky, které z něj dále vycházejí, jsou dále pojmenovány ve směru hodinových ručiček podle sestupné velikosti, tedy největší připojený lalok k laloku 1 je lalok 2, následně nalevo je lalok,3,4,5,6 atd. Lalok 2 by měl být správně značen 1:2 (":" značí "je připojen k"), ale protože tuto návaznost mají úplně všechny laloky, je toto pomíjeno. Kdybychom následovali reálnou osu od 0 do záporných čísel, laloky ležící na této ose by byly pojmenovány postupně 2, 2:2, 2:2:2, 2:2:2:2 a tak dále.
S využitím Fareyových zlomkůlze Mandelbrotovu množinu značit ještě přesněji pomocí metody vnitřního úhlu, z názvu laloku lze totiž odvodit, kde se přibližně nachází. Na stejném principu vyvinul matematik Robert Munafoanalytický pojmenovávací systém s názvem R2.Stejně jako u Fordových kružnic, vrchní polovina hlavního kardioidu rozdělené reálnou osou (zjednodušeně značeno jako lalok 1, nyní se však jedná jen o horní polovinu rozdělenou reálnou osou) by byla značena(01){\displaystyle \left({\frac {0}{1}}\right)}a dolní(11){\displaystyle \left({\frac {1}{1}}\right)}. Druhý největší lalok, zjednodušeně značený jako lalok 2, má značení(12){\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}, zjednodušeně značený lalok 3 je(13){\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}a jeho zrcadlový protějšek pod reálnou osou(23){\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)}.  V čitateli je velikost koku a ve jmenovateli periodicita. Je to tedy Fareyův součet předchozích dvou Fareyových zlomků laloků.