Věta o dimenzích jádra a obrazu

Věta o dimenzích jádra a obrazu též zvaná věta o hodnosti a defektu či věta o hodnosti a nulitě je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí jistých podprostorů vektorového prostoru.
Větu lze zformulovat pro lineární zobrazení:
a analogicky i pro matice:
V důsledku pak platí, že lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je izomorfismem, právě když je prosté (injektivní) nebo je na (surjektivní).
Nechť f : V → W {\displaystyle f:V\to W} je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor V {\displaystyle V} má konečnou dimenzi. Pak platí:
kde ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {ker} (f)} značí jádro zobrazení f {\displaystyle f} a symbol f ( V ) {\displaystyle f(V)} značí podprostor prostoru W {\displaystyle W} shodný s oborem hodnot zobrazení f {\displaystyle f} .
Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} typu m × n {\displaystyle m\times n} nad tělesem T {\displaystyle T} odpovídá lineárnímu zobrazení f : T n → T m {\displaystyle f:T^{n}\to T^{m}} danému předpisem f ( x ) = A x {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}} . Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení f : T n → T m {\displaystyle f:T^{n}\to T^{m}} lze nalézt matici A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} , aby platilo totéž.
Dimenze definičního oboru zobrazení f {\displaystyle f} je n {\displaystyle n} , což je počet sloupců matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} a věta o hodnosti a nulitě pro matici A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} odpovídá vzathu:
Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech: prostory V {\displaystyle V} a W {\displaystyle W} nemusí být aritmetické T n {\displaystyle T^{n}} , resp. T m {\displaystyle T^{m}} , a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí W {\displaystyle W} být konečná.
Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot f ( V ) {\displaystyle f(V)} je ve W {\displaystyle W} podprostorem konečné dimenze. Pro V {\displaystyle V} i f ( V ) {\displaystyle f(V)} lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní T n {\displaystyle T^{n}} a T m {\displaystyle T^{m}} , a pak zobrazení f {\displaystyle f} reprezentovat maticí A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} . Volba báze prostoru V {\displaystyle V} udává i izomorfismus mezi jádry ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} a ker ⁡ A {\displaystyle \ker {\boldsymbol {A}}} , a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.
Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.
Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:
Zmíněnému zobrazení f : R 3 → R 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}} odpovídá matice
Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru ( 0 , 0 , 1 ) T {\displaystyle (0,0,1)^{\mathrm {T} }} , což je podprostor prostoru R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dimenze 1.
Maticová verze věty odpovídá rovnosti:
přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} .
Hodnost matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců. Její jádro je tvořeno množinou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic A x = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}} .
Z výpočtu hodnosti i z řešení Gaussovou eliminací vyplývá, že hodnost odpovídá počtu bázických proměnných, zatímco dimenze jádra počtu volných proměnných. Každá proměnná odpovídá jednomu sloupci matice.
Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.
Nechť V , W {\displaystyle V,W} jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem T {\displaystyle T} , kde dim ⁡ V = n {\displaystyle \dim V=n} , a nechť f {\displaystyle f} je lineární zobrazení z V {\displaystyle V} do W {\displaystyle W} .
Protože ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {ker} f} je podprostorem prostoru V {\displaystyle V} , má nějakou bázi { v 1 , … , v k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}} , kde k = dim ⁡ ker ⁡ f {\displaystyle k=\dim \operatorname {ker} f} .
Pomocí Steinitzova lemmatu o výměně lze rozšířit množinu vektorů { v 1 , … , v k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}} o celkem n − k {\displaystyle n-k} lineárně nezávislých vektorů v k + 1 , … , v n {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}} na bázi prostoru V {\displaystyle V} .
Zbývá ověřit, že množina { f ( v k + 1 ) , … , f ( v n ) } {\displaystyle \{f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})\}} je jednou z možných bází prostoru f ( V ) {\displaystyle f(V)} .
Pro libovolný vektor w ∈ f ( V ) {\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in f(V)} existuje alespoň jeden vektor u ∈ V {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V} takový, že f ( u ) = w {\displaystyle f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {w}}} . Vektor u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze { v 1 , … , v n } {\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}} s koeficienty a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} :
Protože f {\displaystyle f} je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor w {\displaystyle {\boldsymbol {w}}} vyjádřit výrazem:
a tak vektory f ( v k + 1 ) , … , f ( v n ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})} generují prostor f ( V ) {\displaystyle f(V)} .
Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory v 1 , … , v k {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}} tvoří bázi jádra ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {ker} f} :
V hypotetické situaci, kdyby vektory f ( v k + 1 ) , … , f ( v n ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})} netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty b k + 1 , … , b n {\displaystyle b_{k+1},\dots ,b_{n}} netriviální lineární kombinace takové, že:
Potom by vektor u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} , daný výrazem u = ∑ i = k + 1 n b i v i {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}} , byl netriviálním prvkem jádra, protože:
Ovšem u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra u = ∑ i = 1 k b i v i {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}} . V důsledku by vektory v 1 , … , v n {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}} netvořily bázi prostoru V {\displaystyle V} , protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:
Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory f ( v k + 1 ) , … , f ( v n ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})} byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru f ( V ) {\displaystyle f(V)} .
Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rank–nullity theorem na anglické Wikipedii.