كسيرة

الكُسيرياتأوالفراكتلات(بالإنجليزية:Fractals)‏ هي أشكال هندسية تختلف عن الأشكال الهندسية الأخرى بسبب الطريقة التي تتدرج بها زيادة أو نقصاناً. مضاعفة أطوال حافةمضلعمرتين يضاعفمساحتهأربع مرات، أي اثنان (النسبة بين الطول الجديد إلى طول الجانب القديم) مرفوعاً للقوة (أس) اثنين (مساحة المضلع).
وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر الكرة، فإنحجمالكرة يقفز إلى ثمانية أضعاف، والذي هو اثنان (نسبة القطر الجديد إلى القديم) مرفوعاً إلى القوة ثلاثة (المساحة التي تشغلها الكرة). ولكن إذا تمت مضاعفة الأطوال الفراكتلية (التي يفترض أنها ذات بعد واحد) مرتين، فإن مساحة الشكل الكسوري لا تساوي تغير الطول قوة اثنين كما في الأشكال النموذجية بل ليس من الضروري أن تكون القوةعدداً صحيحاً.وتسمى هذه القوةالبعد الكسيريللفراكتل، وعادة ما يتجاوز البعد الطوبوغرافيالكسوري.
مثل المعادلات الرياضية، فإن الفراكتلات عادة ما تكونقابلة للاشتقاقأي مكان.ويمكن تصور المنحنى الكسوري اللانهائي بأنه يكون ملتفاً عبر الفضاء بشكل مختلف عن الخط العادي، لا يزال للطول الفراكتلي ذي البعد الواحد (الخط) بعد كسوري مشيراً إلى أنه ليس مجرد خط أحادي البعد بل يشبه السطح أيضاً.
جذور فكرةرياضية تم الرجوع إلى مفهوم الفركتلات على مر السنين كمسار رسمي من المصنفات المنشورة، بدءاً من القرن السابع عشر مع مفاهيماستدعاء ذاتي، ثم تتحرك من خلال معالجة رياضية صارمة لمفهوم دراسةمتواصلةولكن ليستدالة قابلة للاشتقاقفي القرن التاسع عشر، وإلى صياغة للكلمةكسوريةفي القرن العشرين مع ازدهار لاحق من الاهتمام في الفراكتلات والنمذجة القائمة على الحاسوب في القرن الواحد والعشرين.
وقد استخدم مصطلح «كسورية» أول مرة من قبل عالم الرياضياتبونوا ماندلبروفي عام 1975. ماندلبروت قام باشتقاقهامناللاتينيةfrāctusتعني «كسر» أو «متشظية»، وتستخدم لتوسيع المفهوم النضريكسورالبعدإلىأنماط هندسية في الطبيعة.
تدرسالهندسة الكسيرية(بالإنجليزية:Fractal Geometry أو Fractals)‏ البنى الهندسية المؤلفة منكسيرياتوهو مجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بأنها جزءهندسيصغير جداً غير منتظم ذو أبعاد لامتناهية بالصغر، يمكن أن يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مشابهة للجزء الأم.
يمكن تعريف الكسيرية إذاً على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات، ويمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي. تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية وتتميز بخاصية التشابه الذاتي أي أن مكوناتها مشابهة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير.
غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات أوخوارزمياتمتكررة: مثلالعمليات الذاتية الاستدعاءأوالتكرارية.
الكسيرية هيمجموعةلهابُعد كسيريعادة ما يتجاوزبعدها الطوبولوجي.
تمت صياغة مصطلحكسيرية(fractal) من قبلبونوا ماندلبرو، مناللاتينيةfractusبمعنى مكسور. كان ذلك عام 1975. قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هوندفة الثلج لكوخ.
تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات وتصف العديد من الأوضاع والبنى التي لا يمكن تفسيرها أو دراستهابالهندسة الرياضيةالكلاسيكية، إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا والفنونالحاسوبية.
الكسيريةكائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على كل المقاييس، ولهذا يبدو في جوهره وكأنه 'مكسور'. ببساطة، يمكن تعريف الكسيريات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، كل منها يبدو مماثلاً للأصل. تحتوي الكسيريات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على كل المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الكسيريات من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أو تكراري. قبل أن يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندفة الثلج لكوخ مثلاً) هو المنحنى الغريب monster curve.
تمت دراسة العديد من أنواع الكسيريات على أنها كائناترياضية. تشكل الهندسة الكسيرية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الكسيريات، كما تصف الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً. إن تتبع الجذور المفاهيمية للكسيريات يقود إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.
لقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً كسيريات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسمية عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوفلايبنتزالذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض. في عام 1872، أوجدكارل ويرستراسمثالاُ لدالة ذات خاصية غريبة، ذلك أنها تستمر في كل مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إن مخطط هذه الدالة يدعى حالياً كسيرية. في عام 1904، اختلفهيلغ فون كوخمع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذا مضمون هندسي أكثر لدالة مشابهة تدعى حالياًندفة الثلج لكوخ. إن فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبلباول بيير ليفيوالذي شرح عام 1938 في ورقة بحثهالسطوح والمنحنيات المستوية أو الفراغية التي تشكل أجزاءً مشابهة للأصلمنحنى كسيريا جديدا يدعى كسيرية ليفي. كما قدمجورج كانتورأمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعاتكانتورهذه تصنف حالياً ضمن الكسيريات. تمت دراسة التوابع التكرارية فيالمستوى العقديفي أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبلهنري بوانكاريهوفيليكس كلاينوبيير فاتووغاستون جوليا. لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك العلماء من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.
في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الرياضيون من أمثالكونسستانتين كاراثيودوريوفيليكس هاوسدورفإلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد حيث يتضمن قيماً غير صحيحة. كانت هذه الخطوة جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إن تعريفبُعد هاوسدروفذو طبيعة هندسية، ولو أنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عملبيزيكوفيتشفي هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.
عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثلكم طول ساحلبريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسيري، وقد بنى عمله على الأعمال السابقةللويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت غير مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت كلمةكسيريةأو 'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق كلمة كسيرية من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو 'غير نظامي'، وليس من كلمة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع العلم أن هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من كلمة fractus اللاتينية.
لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت العديد من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقولالديناميكية اللاخطية،نظرية الشواش(علماً أن البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للكلمة)والتعقيد. فعلى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل كسيري أن الحدود بين الحلول المختلفة هي ذات طبيعة كسيرية، كما أظهرت أن الحلول بحد ذاتها هي جواذب غريبة.
تستخدم الهندسة الكسيرية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نمو الأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك.
وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظرياتغاوسوغرينوستوكس.
إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من الخطوات L هو الجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك أن L لامتناهية في الصغر، إن هذا غير مقبول، فكما أن ندف ثلج كوخ المختلفة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هو بالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدةالمترمرفوعة إلى قوة على الشكل m. وبالتالي: 4N(L/3)=NL، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول الخطوة لثلاثة أمثال يتطلب أربعة أمثال عدد الخطوات، إن حل المعادلة السابقة يعطيx= (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m,
لعل أكثر خواص الكسيريات إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إن هذا يعني أن الكسيريات تنحو باتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المختلفة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الكسيريات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعرف مجموعات كهذه تعاودياً.
إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يبدو أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المستحيل التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أو خط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الكسيريات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المستحيل اعتمادها لغياب التقييس، في حين أن زيادة تكبير الكسيريات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً.
مثلما تظهر العديد من الصفات المميزة الخاصة بالكسيريات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عرف ماندلبروت الفركتل على أنه «مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي». فمن أجل شكل كسيري ذو تشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلىبعد مينكوفسكي بوليجاند.
من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات:
يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية. تصنف هذه المجموعات الكسيريات اعتماداً على طرق توليدها أو تعريفها:
يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:
إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أو الفركتلي مثلاً هو قياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إن الكسيريات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أو ظاهري.
من الجدير بالملاحظة أنه ليست كل الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذو تماثل ذاتي تام، إلا أن الادعاء بأن كامل الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت أن تعريف الكسيرية لا يجب أن يتضمن الكسيريات «الحقيقية» فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة.
طالما أن البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على كل الأحوال، يمكن أن تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مشابهة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.
تتضمن الأمثلة الشائعة للكسيرياتمجموعة ماندلبروتوكسيرية ليابونوفومجموعة كانتوروحشية سربنسكيوسجادة سربنسكيواسفنجة مينجرومنحني التنينومنحني بيانو، والمجموعات المحدودةمجموعة كلاينايان،ومنحنى كوخ.
قد تكون الكسيريات محددة أو مختارة بشكل عشوائي.الأنظمة الديناميكية الشواشيةغالباً (إن ليس دائماً) تربط بالكسيريات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك أن الذي يفاجئ بشكل كبير هو أن بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هو أيضاً 2.
مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تترك مجموعات من الممكن (وقد يكون من غير الممكن) أن تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أو لا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و 1. كتطبيق بسيط يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقم 7 من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لو قمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)
من الممكن مصادفة أشباه الكسيريات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الكسيريات التي تتولد طبيعياً (الغيوموالجبالوشبكات الأنهاروأنظمة الأوعية الدموية) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الكسيريات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فجاءت متأخرة قليلاً.
إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدامخوارزميات تعاودية. تبدو الطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أو ورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.
غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب. يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكن من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها أن تقوم بتوليدها:
يمكن وصف الهندسة الكسيرية بأنها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الأنظمة الرياضية المعقدة في شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الأولى أنها بلا نظامية إلا أنها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات. للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لوصف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوموالجبالوالاضطرابات والخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الكسيرية أيضاً في مجالضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى العديد من المجالات العلمية الأخرى.
هناك العديد من التطبيقات للكسيريات في الحقول التالية: