davidanugraha/M4-RAG huggingface dataset:
Pastry puff

Puff pastry, uga dikenal minangkapâte feuilletée, yaikukue-kueringan sing digawe sakaadonan laminasi singdigawe adonan (détrempe) lan mentega utawa lemak padhet liyane (beurrage). Mentega dilebokake ing adonan (utawa kosok baline), nggawepatonsing bola-bali dilipat lan diluncurake sadurungedipanggang.
Produksi adonan roti puff bisa dadi akeh wektu, amarga kudu disimpen ing suhu udakara 16 ° C (60 ° F) supaya ora kecepetan, lan kudu tetep ana ing antarane lipatan supaya wektu lem gluten bisa nyambung lan banjur njaga lapisan.
Pizza puff

Puff pizzayaikukanthong adonan goreng singdiisi keju, saos tomat, lanbahan pizzaliyane kayata sosis utawa pepperoni.  Pribumi ingChicago,Amérika Sarékat, puff pizza bisa ditemokake ing restoran makan santai ing kana.
Puffs pizza padha karopanzerotti. Dheweke uga kayacalzones, nanging calzones dipanggang tinimbang digoreng, lan ora mesthi kalebu saus pizza.
Sawetara restoran Italia lan perusahaan makan santai nggawe puff ing pizza dhewe. Puffs pizza iki nduweni bungkus adonan pizza, lan cenderung luwih gedhe tinimbang sing wis digawe.
Kéju puff

Kéjupuff ya iku salah sawijiningjajananjagungsingdibumboni, dilapisi karo campurankejuutawawêdakakênarasakeju. Padha diprodhuksi deningextruksiadonanjagung digawe panas liwat die sing mbentuk wangun tartamtu. Bisa dadi bal, kriting ("keju ikal"), lurus, utawa ora teratur. Puffcorn minangka panganan sing padha, tanpa rasa keju.
Chin chin

Chin chinminangka cemilan goreng ingAfrika Kulon.
Iku padha karo Scandinavian cemilan klenat, kayadonutpanggang utawa gorengadonansaka glepung gandum, lan baking item umume liyane. Uwang dagu bisa uga ngemot cowpeas .Akeh wong sing manggang nganggopalakanggo nambahi rasa
Creme Puff

Creme Puff(3 Agustus 1967 – 6 Agustus 2005) iku kucing blasteran Tabby, darbèné Jake Perry saka Austin, Texas, AS. Kucing wadon iki kucing tuwa dhéwé sing tau kacathet, miturut édhisi 2010Guinness World Records. Dhèwèké mati nalika umuré 38 taun lan telung dina.
Perry ya nduwé kucing liya, Granpa Rex Allen, sing miturut pituturé lair ing Paris, Texas, tanggal 1 Fébruari 1964 lan mati umur 34 taun lan 59 dina ing tanggal 1 April 1998. Granpa iku kucing tuwa dhéwé nomer enem. Granpa diwèhi gelar "Kucing Tahun 1999" kanthi anumreta déning kalawerti Cats & Kittens magazine. Dhèwèké tau dimot ing édhisi luwih awalGuinness World Recordsminangka kucing sing tuwa dhéwé.
Puff jagung

Puffcornutawacorn puffsyaiku jajanan jagung singdikembangakeutawadiekstrusising digawe karo tepung jagung, lan dipanggang.
Puffcorn minangka cemilan jagung puffed extruded sing kalebu ing produk kelompok cemilan sing digawe saka bubur jagung, beras, gandum, utawa sereal liyane. Puffcorn asring dibumbui karokeju, karamel, lenga, cabe, bawang, utawa bubuk bawang putih, lan akeh rempah-rempah liyane.Jinis puffcorn bisa beda-beda ing dawa, Kapadhetan, atose, springiness, gumminess, chewiness, lan tingkat redness lan yellowness, utamané nalika nggunakake beda persentasi saka glepung gandum.Sawetara produk sing didol minangka puffcorn katon kayabrondong, sanajan ora digawe saka biji-bijian kaya brondong.
Puffcorn umume dikenal minangka sereal sarapan fungsional siap-dipangan utawa cemilan fungsional sing diekstrusi.Sawetara puffcorn digawe saka glepung oat, flaxseed lanchia corn.Amarga mupangat kesehatan, minat ngembangake produk panganan fungsional sing ngemot chia.Ekstrusi wis ditampilake minangka cara sing efektif kanggo nggabungake bahan fungsional liyane menyang produk panganan.
Atribut tekstur saka ekstrudat iki asring digandhengake karo prilaku mekanike, lan ana hubungane karo penampilan lan sifat rasa.Crispness lan leleh saka extrudates dipengaruhi dening suhu extrusion. Temperatur ekstrusi sing luwih dhuwur nambahake rasa garing lan leleh saka ekstrudat. Isi Kelembapan feed nyuda crunchiness lan crispness nalika nambah atose (Kapadhetan) prodhuk. Kekerasan nambah rasa mealy sing dirasakake, lan ana hubungane negatif karo rasa garing, leleh lan obaran.
Oliebol

Anoliebol( Dutch pronunciation: [ˈOːlibɔl],oliebollenjamak, West Frisian   ) yaiku salah sawijining olahan jinisbeignettradisional Bèlgi lanWalanda. Padha disebutoliebollen(secara harfiah:bal lenga)utawasmoutballen(secara harfiah:lardbal)ingWalanda,smoutebollen(secara harfiah:lardbal)ing Flanders lancroustillons(kahanan:crispies)ing Wallonia,Schmalzkugeln(makna padha ing Bèlgi Walandasmoutebollen) ing Bèlgi Wétan Jerman. Ing Prancis, kanthicroustillonsuga umume diaranirapide beignet(secara harfiah:beignetcepet) lanhollandais croustillons(longgar:crispy Walanda, sanajan dudu Walanda). Ing basa Jerman sing metu saka Bèlgi, dhèwèké diaraniÖlkugel(tegese padha karooliebollenWalanda),Püpperchen(ora resmi kanggobonekautawabayi) lanPupperle(tegese padha, utamane digunakake ingAlsacekanggo iki),Silvesterfutschen(ngeculke:Saint Sylvesters sing bajingan) ing Jerman Lor, lanGebackene Mäuse(bebas: mousgorengutawamuse panggang) ing basa Jerman Ostenrik . Ing basa Inggris, umume luwih dikenal minangkadonat WalandautawaWalanda(saka basa Prancis sing salah). Ing wilayah Istria, sing dituduhake karo negara-negaraItalia,KroasialanSlowén, variasi sajian iki diaranifritole,fritulelanblinci. IngSerbiadiarani krofne. IngIndonesia, lokal dikenal minangkaroti goreng.Uga, ingGhana,Afrika Kulon, dhèwèké dikenal kanthi lokal minangka bofrot utawabofflot, lan ing sisih kidulBénin, ing basa Fon minangkayovodocon, yaiku "pangsit wong kulit putih". IngNigeria, dhèwèké dikenal minangka 'puff puff'.
আমেরিকান ইসলাম (পরিভাষা)

আমেরিকান ইসলামহল একটি নিন্দনীয় রাজনৈতিক শব্দ যারাজনৈতিক ইসলামেরপ্রবক্তাদের দ্বারা ব্যবহৃত ইসলামের একটি কথিত অপ্রমাণিক রূপ বর্ণনা করার জন্য যেটি ধর্ম ও রাষ্ট্রের বিচ্ছিন্নতা এবংআমেরিকা বিরোধীতারঅভাব রয়েছে। এই শব্দটি সর্বপ্রথম ১৯৫২ সালেসাইয়্যেদ কুতুবব্যবহার করেন, যিনি একজনইসলামপন্থীএবংমুসলিম ব্রাদারহুডেরবিশিষ্ট সদস্য।এটি ইরানের ইসলামী প্রজাতন্ত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যেখানে এর সমালোচকরা এটিকে এক ধরনের ইসলাম হিসাবে বর্ণনা করে যা অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে, নিপীড়ন, বাড়াবাড়ি, নিপীড়িতদের অধিকারের উপর অত্যাচারের প্রতি উদাসীন, যা অত্যাচারী এবং শক্তিশালীদের সাহায্য করে এবং আনুষ্ঠানিক ইসলামের উপর জোর দেয়।
ইসলামি প্রজাতন্ত্রের নেতা ও প্রতিষ্ঠাতারুহুল্লাহ খোমেনিশব্দটি ব্যবহার করেছেনএবং এটিকে "ভুয়া ইসলাম" হিসেবে বর্ণনা করেছেন,মুসলমানদেরকে ধোঁকা দেওয়ার উদ্দেশ্যে, প্রচারের উদ্দেশ্যে। রাষ্ট্র ও ধর্মের বিচ্ছেদ,যা "বিশুদ্ধ মোহামেডান ইসলাম" এর বিরোধিতা করে।ইরানের বর্তমানসর্বোচ্চ নেতাসাইয়্যেদ আলী খামেনি(২০১০ সালে বক্তৃতা) এর মতে, "আমেরিকান ইসলাম মানে আনুষ্ঠানিক ইসলাম, একটি ইসলাম যা নিপীড়নের মুখে উদাসীন।"
অন্ততইরানিফারস নিউজ এজেন্সির মতে, সাইয়িদ কুতুব, (মিশরীয়লেখক, ইসলামি তাত্ত্বিক), আমেরিকান ইসলাম শব্দটি ব্যবহার করেন প্রথম ব্যক্তি।
এই বাগধারাটি ("আমেরিকান ইসলাম") ছাড়াও,ইরানের প্রথম সর্বোচ্চ নেতারুহুল্লাহ খোমেনি"আমেরিকান-ধর্ম" নামে একটি অনুরূপ বাগধারা ব্যবহার করেছেন; ১৯৮৯-এ তিনিমিখাইল গর্বাচেভকেএকটি চিঠি লেখেন (মিখাইল গর্বাচেভকে খোমেনির চিঠি নামে পরিচিত)। সেখানে খোমেনি "আমেরিকান ধর্ম" এর অভিব্যক্তি উল্লেখ করেছেন এবং এটিকে "অবাস্তব ধর্ম" বলেছেন।
অন্যদিকে খোমেনি বেশিরভাগই "বিশুদ্ধ এবং খাঁটি মুহাম্মাদান ইসলাম" উল্লেখ করেছেন যা "আমেরিকান ইসলাম" এর তীব্র দ্বন্দ্বে দাঁড়িয়েছে। তার উপলব্ধিতে "আমেরিকান-ইসলাম" বলা হয় "ধর্ম ও রাজনীতি" বিচ্ছেদের জন্য।
সাইয়েদ রুহুল্লাহ খোমেনীআমেরিকান ইসলাম বলেছেন:
সাইয়েদ আলী খামেনিরমতে:
Zipf–Mandelbrot law

Inprobability theoryandstatistics, theZipf–Mandelbrot lawis adiscrete probability distribution. Also known as thePareto–Zipf law, it is apower-lawdistribution onranked data, named after thelinguistGeorge Kingsley Zipf, who suggested a simpler distribution calledZipf's law, and the mathematicianBenoit Mandelbrot, who subsequently generalized it.
Theprobability mass functionis given by
whereHN,q,s{\displaystyle H_{N,q,s}}is given by
which may be thought of as a generalization of aharmonic number. In the formula,k{\displaystyle k}is the rank of the data, andq{\displaystyle q}ands{\displaystyle s}are parameters of the distribution. In the limit asN{\displaystyle N}approaches infinity, this becomes theHurwitz zeta functionζ(s,q){\displaystyle \zeta (s,q)}. For finiteN{\displaystyle N}andq=0{\displaystyle q=0}the Zipf–Mandelbrot law becomesZipf's law. For infiniteN{\displaystyle N}andq=0{\displaystyle q=0}it becomes azeta distribution.
The distribution of words ranked by theirfrequencyin a randomtext corpusis approximated by apower-lawdistribution, known asZipf's law.
If one plots the frequency rank of words contained in a moderately sized corpus of text data versus the number of occurrences or actual frequencies, one obtains apower-lawdistribution, withexponentclose to one (but see Powers, 1998 and Gelbukh & Sidorov, 2001). Zipf's law implicitly assumes a fixed vocabulary size, but theHarmonic serieswiths= 1 does not converge, while the Zipf–Mandelbrot generalization withs> 1 does. Furthermore, there is evidence that the closed class of functional words that define a language obeys a Zipf–Mandelbrot distribution with different parameters from the open classes of contentive words that vary by topic, field and register.
In ecological field studies, therelative abundance distribution(i.e. the graph of the number of species observed as a function of their abundance) is often found to conform to a Zipf–Mandelbrot law.
Within music, many metrics of measuring "pleasing" music conform to Zipf–Mandelbrot distributions.
Mandelbrot Competition

Named in honor ofBenoit Mandelbrot, theMandelbrot Competitionwas amathematics competitionfounded bySam Vandervelde,Richard Rusczykand Sandor Lehoczky that operated from 1990 to 2019. It allowed high school students to compete individually and in four-person teams.
The Mandelbrot was a "correspondence competition," meaning that the competition was sent to a school's coach and students competed at their own school on a predetermined date.Individual results and team answers were then sent back to the contest coordinators.  The most notable aspects of the Mandelbrot competition were the difficulty of the problems (much like theAmerican Mathematics Competitionand harderAmerican Invitational Mathematics Examinationproblems) and the proof-based team round.Many past medalists at theInternational Mathematics Olympiadfirst tried their skills on the Mandelbrot Competition.
The Mandelbrot Competition was started bySam Vandervelde,Richard Rusczyk, and Sandor Lehoczky while they were undergraduates in the early 1990s. Vandervelde ran the competition until its completion in 2019.  Rusczyk now managesArt of Problem Solving Inc.and Lehoczky enjoys a successful career onWall Street.
The individual competition consisted of seven questions of varying value, worth a total of 14 points, that students had 40 minutes to answer.  The team competition was a proof-based competition, where many questions were asked about a particular situation, and a team of four students was given 60 minutes to answer.
The Mandelbrot Competition had two divisions, referred to asNationalandRegional.Questions at the National level were more difficult than those at the Regional level, but generally had overlap or concerned similar topics.  For example, in the individual competition, the National competition would remove some of the easier Regional questions, and add some harder questions.  In the team competition, the topic would be the same but the National level would be given fewer hints.
Results would be published after each annual iteration of the contest, and in its final iteration, the results were published online with School leaderboards and Individual leaderboards divided by region and national. However, since mandelbrot.org is not maintained any more, it can only be visitedhere.
Romanesco broccoli

Romanesco broccoli(also known asbroccolo romanesco,romanesque cauliflower,  or simplyromanesco) is in fact a cultivar of the cauliflower (Brassica oleraceavar.botrytis), not broccoli (Brassica oleraceavar.italica).It is one of two types ofbroccoflower. It is an edible flower bud of the speciesBrassica oleracea, which also includes regularbroccoliandcauliflower. It ischartreusein color and has a striking form that naturally approximates afractal.Romanesco has a nutty flavor and a firmer texture than white cauliflower or broccoli when cooked.
Romanesco superficially resembles a cauliflower, but it is chartreuse in color, with the form of a naturalfractal. Nutritionally, romanesco is rich invitamin C,vitamin K,dietary fiber, andcarotenoids.
Theinflorescence(the bud) isself-similarin character, with the branchedmeristemsmaking up alogarithmic spiral, giving a form approximating a natural fractal; each bud is composed of a series of smaller buds, all arranged in yet another logarithmic spiral. This self-similar pattern continues at smaller levels. The pattern is only an approximate fractal since the pattern eventually terminates when the feature size becomes sufficiently small. The number of spirals on the head of Romanesco broccoli is aFibonacci number.
The causes of its differences in appearance from the normalcauliflowerandbroccolihave been modeled as an extension of the preinfloresence stage of bud growth.A 2021 paper has ascribed this phenomenon to perturbations of floralgene networksthat causes the development ofmeristemsinto flowers to fail, but instead to repeat itself in a self-similar way.
مجموعة ماندلبرو

مجموعة ماندلبرو(بالإنجليزية:Mandelbrot set)‏ هيشكل كسيريمشهور بشكل واسع حتى خارج مجالالرياضياتلتداخلها مع ما يدعىالفن الكسيريحيث تقدم صورا فنية تتميز بالجمال والتجريدية. ما يميز مجموعة ماندلبرو هو البنية المعقدة التي تقدمها رغم بساطة تعريفها. ترتبط مجموعة ماندلبرو ارتباطا وثيقابمجموعات جوليا(اللائي يحتوين على أشكال شبيهة من حيث التعقد). سميت هذه المجموعة بهذا الإسم  نسبة إلىبونوا ماندلبروالذي درسها وأشهرها .
لمجموعة ماندلبرو مكانها فيالديناميكا العقدية, وهو مجال بُحث فيه لأول مرة من طرف عالمي الرياضيات الفرنسيينبيير فاتووغاستون جوليافي بداية القرن العشرين. أول صورة لهاته الكسيرية رُسمت من طرفروبرت وولف بروكسوبيتر ماتلسكي، وكان ذلك في عام 1978, كجزء من دراسةللزمر الكلاينية.في أول يوم من مارس عام 1980، رأى ماندلبرو رسما للمجموعة لأول مرة, وكان ذلك في مختبر ينتمى إلىآي بي إميقع في نيويورك في الولايات المتحدة.
درس ماندلبرو فضاء البارمتراتلمتعددات الحدود التربيعيةفي مقالة ظهرت عام1980.
لكن الدراسة الرياضية الحقيقية لمجموعة ماندلبرو بدأت مع عمل كل منأدريان دواديوجون ه. هوباردJohn H. Hubbardاللذان قاما بتأسيس وإيضاح العديد من خواصM{\displaystyle M}، وأسمياهامجموعة ماندلبروتكريما لماندلبرو.
تُعرف مجموعة ماندلبرو بواسطة مجموعةمتعددات الحدود التربيعية العقدية
حيث
و c وسيطعقدي. بالنسبة لقيمة معينة للوسيط c، يُنظر إلى تصرف المتتالية التالية
التي يُحصل عليها عندما تُحسبPc(z){\displaystyle P_{c}(z)}بشكل متكرر ابتداء منالنقطة الحرجةz=0{\displaystyle z=0}. لهاته المتتالية إمكانيتان أولاهما التباعد إلى ما لا نهاية له, ثانيتهما البقاء داخل قرص مركزه هو مركز المعلم وشعاعه هو عدد معين.
مجموعة ماندلبرو هيمجموعة مضغوطة, محتوية داخلالقرصذي الشعاع المساوي لاثنين والمتمركز في أصل المَعلم. هكذا، نقطة ماc{\displaystyle c}تنتمي إلى مجوعة ماندلبروإذا وفقط إذاتوفر ما يلي:
وبتعبير آخر، إذا وُجدت قيمة ما ل n حيثالقيمة المطلقةلPcn(0){\displaystyle P_{c}^{n}(0)}تكون أكبر من اثنين، فإن المتتالية تؤول إلى ما لا نهاية له.
تقاطعM مع محور الأعداد الحقيقية هو بالتحديد المجال [-2, 0.25].
انظر إلىمتتالية لوجستية.
تُقدر مساحة مجموعة ماندلبرو ب1.50659177±0.00000008.
بينوا ماندلبروت

بنوا ماندلبروت(بالفرنسية:Benoît B. Mandelbrot)‏ (20 نوفمبر1924-14 أكتوبر2010)رياضياتيفرنسي - أمريكي. عمل بالعديد من الحقول الرياضياتية مثلالفيزياء الرياضيةوالرياضيات المالية، ولكن أكثر ما يعرف به هو انه مؤسس علمالهندسة الكسيريةحيث ابتكرمجموعة ماندلبرو.
ماندلبروت
تحليل مركب

التحليل المركبأوالتحليل العقدي(بالإنجليزية:Complex analysis)‏ هو أحد فروع الرياضيات التي تبحث في توابع (دوال)الأعداد المركبةوالتي تعرف أيضا بالعقدية، للتحليل المركب استخدامات واسعة فيالرياضيات التطبيقيةوفي فروع متعددة من الرياضيات.الاهتمام الأساسي للتحليل المركب هوالدوال التحليليةذات المتغيرات المركبة، أو ما يعرفبالدوال تامة الشكل.
وصفموراي رالف شبيغلالتحليل العقدي بأنه من أجمل فروع الرياضيات وأكثرها نفعا.
بسبب حتمية تحقيقمعادلة لابلاسمن طرف الجزئين الحقيقي والتخيلي لأية دالة تحليلية، فإن التحليل العقدي مستعمل بشكل مكثف في المعضلات ذات البعدين الاثنين فيالفيزياء.
التحليل العقدي هو واحد من الفروع الاعتيادية للرياضيات، تعود جذوره إلى قبيل بداية القرن التاسع عشر. من أهم أسمائهأويلروغاوسوريمانوكوشيوفايرشتراسوغيرهم كثير في القرن العشرين. مجال آخر مهم يستعمل فيه التحليل العقدي هونظرية الأوتار. في العصر الحالي، صار التحليل المركب شعبيا جدا بسبب استعماله في إطارالتحليل الديناميكيوفيالكسيرياتاللائي هن مجرد تكرارٌلدوال تامة الشكل.
دالة مركبة هي دالة لها متغير وهوعدد مركبوقيمها هي أعداد مركبة أيضا. وبصيغة أخرى، دالة مركبة هي دالةمجموعة انطلاقهاومجموعة وصولهاهما ضمنالمستوى العقدي.
عادة، تُقدم المفاهيم الأساسية للتحليل المركب من خلال تمديدالدوال الحقيقيةالأساسية إلى مجموعة الأعداد المركبة.الدوال الأسيةوالدوال اللوغاريتميةوالدوال المثلثيةكلها أمثلة على ذلك.
فيالرياضيات، تعد الدوال التامة الشكل مركزية في دراسة التحليل العقدي.دالة تامة الشكل(بالإنجليزية:Holomorphic function)‏ هيدالةعقديةمعرفة فيC{\displaystyle \mathbb {C} }، يشترط فيها أن تكون قابلة للتفاضل في جوار ما لأي نقطة من مجموعة انطلاقها.
انظر إلى:
دارة أويلرية

مسار اويلري(بالإنجليزية:Eulerian path)‏، فينظرية المخططات، هو مسار يربط بين نقاط علىرسم بيانيحيث يمر هذا المسار بكل حافة مرة واحدة، لا أكثر ولا أقل.اُكتُشِفت هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات السويسريليونهارت أويلرخلال محاولته حل مسألةجسور كونيغسبرغ السبعةالشهيرة.
حلقة أويليرية هي مسار أويليري نقطة البداية فيه نفسها نقطة النهاية. بعبارة أخرى: تبدأ الحلقة بنقطة معينة وتمر بجميع النقاط الأخرى ثم تعود إلى نقطة البداية.
تشابه ذاتي

تشابه ذاتي(بالإنجليزية:Self-similarity)‏ هو شكلمشابهأو شبه مشابه لجزء من ذاته، هناك العديد من الأمثلة في العالم الحقيقي، مثلالسواحل.التشابه الذاتي هو خاصية نموذجيةللهندسة الكسيرية.مقياس الثباتهو شكل دقيق من التشابه الذاتي على سبيل المثال، جانب منندفة الثلج لكوخمتماثلة وغير ثابتة. يمكن تكبيره باستمرار 3 مرات دون أن يتغير الشكل. يتميز التشابه الواضح في الهندسة الكسيرية بهيكلها الناعم، أو بالتفصيل على المقاييس الصغيرة،في المقابل، أن أي جزء منالخط المستقيمقد يشبه الكل، لا يتم الكشف عن المزيد من التفاصيل.
يقال إن الظاهرة المتغيرة زمنيًا تُظهر تشابهًا ذاتيًا إذا كانت القيمة العددية لكمية ملحوظة معينةf(x,t) مختلفة عند قياسها في أوقات مختلفة، مع بقاء الكمية المقابلة اللابعدية عند قيمة معينة x/tz ثابتة، ويحدث ذلك إذا كانت الكمية f(x,t) تبدي ارتقاءً ديناميكيًا (وهو اختبار يثبت أن منظومة ما تبدي تشابهًا ذاتيَا)، الفكرة هي مجرد امتداد لفكرة التشابه بين مثلثين، إذ يمكنك ملاحظة أن أي مثلثين يعتبران متشابهين إذا كانت القيم العددية لأضلاعهما مختلفة، لكن القيم المقابلة غير البعدية -مثل الزوايا- متطابقة.
يعتبر التقارب الذاتي فيالرياضياتمن إحدى سماتالهندسة الكسيريةالتي يتم قياس قطعها بكميات مختلفة في الاتجاهين x و y، ولتقدير التشابه الذاتي لهذه الأشكال الكسيرية، يجب إعادة قياسها باستخدامتحويل تآلفيمتباين الخواص.
يكونالفضاء الطوبولوجيالمتراص X متشابه ذاتيًا، إذا تواجدت مجموعة منتهية S تُرَمِّز دالات غير شمولية هوميومرفية{fs:s∈S}{\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}بحيث يكون:
إذا كانX⊂Y{\displaystyle X\subset Y}نقول عن X أنها متشابهة ذاتيًا إذا كانت المجموعة الجزئية الوحيدة وغير الخالية من Y كما في المعادلة أعلاه{fs:s∈S}{\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}، ونقول أن
يمكن تكرار الأشكال المتشابهة طوبولوجيًا مما يؤدي إلى نظام دالة متكرر، يشكل تركيب الدالات بنية جبرية تدعى مونويد، وفي حال احتوت المجموعة S على عنصرين فقط تدعى ثنائية المونويد، ويمكن تصوير هذه الأخيرة على أنها شجرة ثنائية لانهائية، وبشكل عام إذا كانت المجموعة S تحتوي على عناصر p فقد يتم تمثيل المونويد كشجرة بنظام p-adic.
التماثلات الذاتية لثنائية المونويد هي المجموعة القياسية، ويمكن أن يتم تصويرها على أنها دوران قطعي زائدي للشجرة الثنائية، والفكرة الأكثر عمومية من التشابه الذاتي هي التقارب الذاتي.
مجموعة ماندلبروهي أيضًا متشابهة ذاتيًا حول نقاط ميسيورفيتش (Misiurewicz points).
للتشابه الذاتي نتائج مهمة بالنسبة لتصميم شبكات الكمبيوتر، حيث تتميز حركة الشبكة النموذجية بخصائص متشابهة، وعلى سبيل المثال؛ يبدو فيهندسة الاتصالاتعن بعد أن أنماط حركة بيانات تحويل الرزم متشابهة ذاتيًا من الناحية الإحصائية، وتعني هذه الخاصية أن النماذج البسيطة التي تستخدم توزيع بواسون غير دقيقة، وأن الشبكات المصممة دون مراعاة التشابه الذاتي من المحتمل أن تعمل بطرق غير متوقعة.
وبالمثل، توصف حركات سوق الأوراق المالية بأنها تظهر تقاربًا ذاتيًا، أي أنها تبدو متقاربة ذاتيًا عندما يتم تحويلها عن طريق تحويل تآلفي مناسب لمستوى يظهر التفاصيل.، ويصف أندرو لو التشابه الذاتي لعائدات سجل سوق الأسهم في الاقتصاد القياسي.
قواعد التقسيمات المحددة هي تقنية قوية لبناء مجموعات مماثلة لذاتها، بما في ذلك مجموعة كانتور ومثلث سيربنسكي.
يعد نموذج النظام القابل للتطبيق لستافورد بيير، نموذجًا تنظيميًا ذو تسلسل هرمي متشابه ذاتيًا
يمكن العثور على التشابه الذاتي في الطبيعة أيضًا، وإلى الجانب صورة متشابهة ذاتيًا تم إنشاؤها رياضيًاللسرخس، وتبدي تمثيل ملحوظ للسراخس الطبيعية، وكذلك نباتات أخرى -مثل البروكلي الرومانسكي- تُظهر تشابهًا ذاتيًا قويًا.
Juliova množina

Juliova množinaje pojem zkomplexní dynamiky. Komplexní dynamika studujedynamické systémydefinované pomocí iterací funkcí na komplexní rovině. Jedná se o doplněk Fatuovy množiny. Neformálně se jedná o takové body komplexní roviny, které vykazují chaotické chování – i malá perturbace drasticky změní chování takového bodu při iteraci. Naopak, Fatuova množina obsahuje takové body, které se chovají během iterací podobně – chovají se 'regulárně'. Hranice takovéto množiny často tvořífraktál. Poprvé byly tyto množiny popsányfrancouzskýmimatematikyGastonem JuliouaPierrem Fatou. Juliova množina funkcefse typicky značí jakoJ(f)a Fatouva množina jakoF(f).
Dá se ukázat, že pro komplexní polynompřádu alespoň 2 platí následující:
Juliovy množiny vznikají velice snadno. Zvolíme jedno libovolnékomplexní čísloc, které bude charakterizovatmnožinu. A nyní pro každý bodkomplexní rovinyzzjistíme, zda neustálýmmocněnímza přičítánímkonstantycdiverguje.
Pokud nediverguje, patří bod do množiny. V praxi vypadá výpočet velmi snadno: Zkoumané číslozje umocněno a je k němu přičtenakonstantac. Pokud je výsledek vabsolutní hodnotěvětší než 2, bod nepatří do množiny. Pokud je menší, zopakuje se výpočet. Jestliže ani po několikaiteracíchnepřesáhne výsledek hodnotu 2, patří bod do Juliovy množiny. Na počtu provedených iterací (v ideálním případěnekonečno) závisí ostrost detailů zobrazené množiny. Podle počtu iterací, po kterých absolutní hodnota boduzpřekročí 2, lze danému bodu přiřadit barvu a získat tak různé barevné přechody, přestože správně by graf Juliovy množiny měl být pouze dvoubarevný (patří/nepatří).
Fraktál

Fraktálje podle původní Mandelbrotovy definice množina, jejížHausdorffova dimenzeje větší neždimenze topologická. Lze jej také definovat poněkud jednodušeji (méně obecně) jakogeometrickýobjekt, který má následující vlastnosti:
Fraktály se jeví coby nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá, mají však často překvapivě jednoduchou matematickou strukturu.
Termín fraktál použil poprvé matematikBenoît Mandelbrotv roce1975. Pochází z latinskéhofractus– rozbitý. Podobné objekty byly známy v matematice již dlouho předtím (např.Kochova křivka). B. Mandelbrot navázal na článekDeux types fondamentaux de distribution statistique(vyšlo česky v roce 1941 ve Statistickém obzoru, r. 22, str. 171-222, pod názvemPřírodní dualita statistického rozložení) českéhogeografa,demografaastatistikaJaromíra Korčákaz roku 1938.
Jsou známy tyto druhy fraktálních útvarů:
Mnoho přírodních tvarů je možné modelovat fraktální geometrií, napříkladhory,mraky,sněhové vločky,stromy,řekya nebocévní systém. Dobrým příkladem organického fraktálu jeromanesko(druh květáku).
Často se tvarystromůakapradinyv přírodě modelují na počítačích použitímrekurzivníchalgoritmů.
Fraktály mohou být jednoduše generovány na počítačích. Existuje spoustasoftwarů, které umožňují generování fraktálních útvarů.
CS-Disk

CS-Diskje řadič disketových jednotek pro počítačeSinclair ZX SpectrumvyráběnýdánskouspolečnostíCircuit Designod roku1985. Jeho operační systém je založený naCP/Ma umožňuje připojit až čtyři disketové jednotky.
Po připojení CS-Disku k počítači je nutné ho nejprve inicializovat pomocí příkazuRANDOMIZE USR 15360. Tím je CS-Disk připojen na linku #4 a řadič je tak možné ovládat pomocí příkazové konstrukcePRINT #4: příkazneboPRINT #4;"příkaz". Druhý způsob je určený pro volání funkcí operačního systému CP/M a je tak možné spouštět i vnější příkazy operačního systému a jakékoliv jiné programy pro CP/M. PříkazPRINT #4;""spustí příkazový řádek operačního systému CP/M, k návratu do editoruBasicuje nutné stisknout klávesubreak.
XaoS

XaoSje interaktivní program pro zobrazovánífraktálů. Umožňuje uživateli spojitě přibližovat a oddalovat zobrazený fraktál v reálném čase.
XaoS je licencován podGPL. Program jevíceplatformní, a dostupný pro různéoperační systémy, včetněGNU/Linuxu,Windows,Mac OS X,BeOSa dalších.
XaoS umí zobrazitMandelbrotovu množinu(s mocninou 2, 3, 4, 5 a 6), Octo fraktál, tři typyBarnselyho fraktálů,fraktál Newton(řádu 3 a 4),fraktál Phoenixa Magnet (1 a 2). XaoS může zobrazitJuliovu množinuz vybraných částí fraktálu a také umožňuje zadání vlastních vzorců.
XaoS je schopen zobrazovat fraktály jakoASCII artpomocí knihovnyAAlibcož, v kombinaci s nástroji pro sestavování softwaru odGNU, umožňuje ho provozovat téměř kdekoli.
V balíčku je zahrnuta interaktivní nápověda a animovaný úvod do problematiky fraktálů. Úvod je rozdělen do desíti kapitol podle dostupných vzorců a jejich vlastností.
V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuXaoSna anglické Wikipedii.
Udo de Aquisgrán

Udo deAquisgrán(1200-1270) es unmonjeficticio, creación del escritorbritánicoRay Girvan, quien lo presentó como una bromacientíficaen un artículo con imágenes supuestamente antiguas, el día del «Pescado de abril» de 1999.
Según el artículo, Udo fue un místico y poeta cuya obra se musicalizó en el famosoO FortunadelCarmina BuranadeCarl Orff, en realidad labor de variosgoliardositinerantes, y hallada  en el monasteriobenedictinoalemánde la abadía deBura Sancti Benedicti(Kloster Benediktbeuern).
Udo también era, según la broma, un ilustrador yteólogoque supuestamente descubrió losconjuntos de Mandelbrotunos 700 años antes del nacimiento deBenoît Mandelbrot, ingeniero enIBM, que descubrió los conjuntos en 1976. Sus obras fueron presuntamente redescubiertas por el también ficticio Bob Schipke, matemático deHarvard, que vio una imagen del conjunto de Mandelbrot en unaminiaturade un cancioneronavideñodel sigloXIII.
El supuesto hallazgo del monje fue presentado con presunción de credibilidad, porque a menudo los monjes medievales, como casi únicos poseedores del saber, descubrieron algunas teorías científicas y matemáticas, pero las ocultaron o dejaron de lado debido a la persecución. Además, su difusión, antes de la invención de laimprentaera difícil. Ray Girvan intenta legitimar estas sugerencias asociando a Udo con otros descubrimientos más legítimos cuyo autor era un adelantado a su tiempo en términos de una teoría científica.
Otro aspecto del engaño es la afirmación de que era muy común que los matemáticos anteriores al sigloXXgastasen increíbles cantidades de tiempo en cálculos manuales, como una tabla delogaritmoso de lasfunciones trigonométricas. El cálculo de todos los puntos de un conjunto de Mandelbrot es una actividad comparable en tediosidad, pero podría ser rutinaria para las personas de la época. Muchos monjes del sigloXIIIpasaban gran parte de su tiempo haciendo algunos cálculos aparentemente sin sentido. Mientras la broma se consideró real, este hecho aumentó la confianza en la exactitud de la historia.
La broma de Udo es considerado un ejemplo deparadigmade fraude científico, al mostrar un artículo perfectamente coherente y formateado, con visos de verdad, pero tan falso como«encontrar una referencia aBill Gatesen losmanuscritos del Mar Muerto».​ El caso se suele presentar como ejemplo a los estudiantes de que la presencia debibliografíano es ninguna garantía indiscutible de veracidad, pues esta puede ser también un fraude.​
Tallo de Pickover

Lostallos de pickover(nombre original en inglés:Pickover Stalks) son ciertos tipos de detalles que se encuentran empíricamente en elconjunto de Mandelbrot, como parte del estudio defractales.​ Llevan el nombre del investigadorClifford Pickover, cuyo método de "cruz épsilon" fue fundamental para su descubrimiento. Una "cruz épsilon" es unatrampa orbitalen forma de cruz.
Según Vepstas (1997) "Pickover dio con el concepto novedoso de observar cuánto se acercan las órbitas de lospuntos interioresa los ejes x e y. En estas imágenes, cuanto más se acerca un punto, más alta se sitúa en la escala de color, con el rojo indicando el mayor acercamiento. Se toma el logaritmo de la distancia para acentuar los detalles".​
Los biomorfos son tallos de Pickover de aspecto biológico.​ A finales de la década de 1980, Pickover desarrolló organismos de retroalimentación biológica similares a los que aparecen en elconjunto de Juliay en elconjunto de Mandelbrot.​ Según declaró resumidamente el propio Pickover (1999), "describió un algoritmo que podría usarse para la creación de formas diversas y complicadas que se asemejan a organismos invertebrados. Las formas son complicadas y difíciles de predecir antes de experimentar realmente con los gráficos. Esperaba que estas técnicas animarían a otros a explorar más y descubrir nuevas formas, por accidente, que están en el límite entre la ciencia y el arte".​
Pickover desarrolló un algoritmo (que no utiliza perturbaciones aleatorias ni leyes naturales) para crear formas muy complicadas que se asemejan a organismos invertebrados. La iteración o recursión de transformaciones matemáticas se utiliza para generar morfologías biológicas. Los llamó "biomorfos". Al mismo tiempo que acuñó el término "biomorfo" para estos patrones, el famoso biólogo evolutivoRichard Dawkinsusó la palabra para referirse a su propio conjunto de formas biológicas a las que se llegó mediante un procedimiento muy diferente. Más rigurosamente, los "biomorfos" de Pickover abarcan la clase de morfologías orgánicas creadas por pequeños cambios en las pruebas de convergencia tradicionales en el campo de la teoría del "conjunto de Julia".​
Los biomorfos de Pickover muestran una auto-similitud en diferentes escalas, una característica común de lossistema dinámicoscon retroalimentación. Los sistemas reales, como las costas y las cadenas montañosas, también muestran auto-similitud en algunas escalas. Un sistema 0L paramétrico bidimensional puede "parecerse" a los biomorfos de Pickover.​
El siguiente ejemplo, escrito enpseudocódigo, muestra unconjunto de Mandelbrotcoloreado usando un tallo de Pickover con un vector de transformación y un dividendo de color.
El vector de transformación se utiliza para compensar la posición (x, y) al muestrear la distancia del punto a los ejes horizontal y vertical.
El dividendo de color es un valor flotante que se utiliza para determinar el grosor del tallo cuando se renderiza.
Benoît Mandelbrot

Benoît B. Mandelbrot(20 November 1924 – 14 Oktober 2010) adalah seorangmatematikawanberkebangsaanPrancisdanAmerika Serikat. Namanya dikenal sebagai penggagasHimpunan Mandelbrotdan dianggap sebagai "BapakGeometri Fraktal" karena memperkenalkan dan memopulerkan istilah "fraktal".
Ia dilahirkan diWarsawa,Polandia, dari keluargaYahudi, tetapi kemudian bermigrasi ke Prancis.
Teori kekacauan

Teori kekacauan, dalammatematikadanfisika, berhadapan dengan sifat darisistem dinamikataklinear tertentu yang (dalam kondisi tertentu) menunjukkan fenomena yang dikenal sebagaikekacauan, terkenal dengan sifat sensitivitas pada kondisi awal (lihatefek kupu-kupu). Contoh sistem ini adalahatmosfer,tata surya,lempeng tektonik,turbulensifluida, ekonomi, dan pertumbuhan populasi.
Sistem yang menunjukan kekacauan matematika adalahdeterministikdan berurutan dalam arti tertentu; teknik yang menggunakan kata kekacauan yang terdapat keanehan dengan bahasa umumnya, mengusulkan ketiadaan pengurutan keseluruhan. Ketika kita mengatakan teori kekacauan mempelajari sistem deterministik, perlu disebut bidang fisika yang berhubungan disebut teorikekacauan kuantumyang mempelajari sistem takdeterministik mengikuti hukummekanika kuantum.
Di dalammatematikadanfisika,dinamika nonlinieratauteori chaosmendeskripsikan perilakusistem dinamikanonliniertertentu yang mungkin menunjukkan dinamika yang sangat sensitif terhadap kondisi awal (secara populer dirujuk sebagaiefek kupu-kupu).
Sebagai hasil dari sensitivitas ini, yang mewujudkan diri sebagai pertumbuhan eksponensialusikan(perturbasi) di kondisi awal, perilaku sistem chaotic muncul secaraacak(random).
Hal ini terjadi meskipun sistem ini adalahsistem deterministik, yang bermakna bahwa dinamika masa depan secara penuh ditentukan oleh kondisi awal, tanpa elemen acak yang terlibat. Perilaku ini dikenal sebagai chaos deterministik, atau sederhananyachaos.
Perilaku chaotic telah diamati di laboratorium dalam berbagai sistem mencangkuprangkaian listrik,laser,reaksi kimiaberosilasi,dinamika fluida, dan perangkat magneto-mekanis dan mekanis.
Pengamatan perilaku chaotic di alam mencangkup dinamika satelit dalamsistem tata surya, evolusi waktumedan magnetik benda langit,dinamika populasidalamekologi, dinamikapotensial aksidi neuron, danvibrasi molekuler.
Contoh tiap hari sistem chaotic mencangkupiklimdancuaca meteorologi.
Spiral logaritmik

Spiral logaritmikmerupakankurvaberbentukspiralyang memilikikemiripan terhadap dirinya sendiri. Spiral ini acapkali ditemukan pada pola-pola dialam. Spiral logaritmik pertama kali dijelaskan olehAlbrecht Dürer, yang disebut sebagai "garis abadi" (bahasa Jerman:ewige lini).
Spiral logaritmik dapat dibedakan denganspiral Archimedes. Yang membuatnya berbeda adalah bahwa jarak antara putaran spiral logaritmik menaik dalambarisan geometrik, sedangkan jarak antara putaran spiral Archimedes bernilai konstan.
Matematika dan seni

Matematika dan senimemiliki banyak hubungan dalam beberapa cara.Matematikasendiri dideskripsikan sebagaiseni yang dimotivasi oleh keindahan. Matematika dapat terlihat di dalam seni, sepertimusik,menari,melukis,arsitektur,patung, dantekstil. Artikel ini sendiri berfokus pada matematika dalam seni rupa.
Matematika dan seni memiliki hubungan sejarah yang panjang.Artis telah menggunakan matematikasejak abad ke-4 SM saat pematung YunaniPolykleitosmenulisCanon, menulis resep proporsi berdasarkan rasio 1:√2 terhadap pria telanjang ideal. Klaim gigih yang populer pun telah dibuat untuk pemakaianrasio emasdalam seni purba dan arsitektur, tanpa bukti yang dapat diandalkan. DalamRenaisansItalia,Luca Paciolimenulis risalah berpengaruhDe Divina Proportione(1509), berilustrasikan ukiran kayu olehLeonardo da Vinci, dengan menggunakan golden ratio di seni. Pelukis Italia lainnya,Piero della Francesca, mengembangkan ide-deEuklidestentang perspektif dalam risalah sepertiDe Prospectiva Pingendi, dan dalam lukisannya. PengukirAlbrecht Durermembuat banyak referensi ke matematika dalam karyanyaMelencolia I. Di zaman modern,desainer grafisM.C. Eschermembuat pemakaian intensifteselasidangoemetri hiperbolik, dengan bantuan matematikawanH.S. M. Coxeter, sementara gerakanDe Stijlyang dipimpin olehTheo van DoesburgdanPiet Mondriansecara eksplisit menganut bentuk geometris. Matematika banyak menginspirasi senitekstilsepertiquilting,knitting,cross-stitch,crochet,embroidery,weaving,Turkishdan berbagai pembuatankarpet, sepertikilim. Dalamseni rupa Islami, simetris adalah bukti dalam bentuk bervariasi sebagaimanagirihPersia danzelligetilework,Mughaljali, dan kubahmuqarnas.
Matematika secara langsung mempengaruhi seni dengan berbagai alat konseptual sepertiperspektif linear, analisissimetri, dan objek matematis sepertipolihedrondanpita Möbius. Magnus Wenninger membuatpolihedron terstilasipenuh warna, yang awalnya sebagai model untuk belajar. Konsep matematika sepertirekursidan paradox logis yang bisa dilihat dari lukisanRene Magrittedan dalam ukiran oleh M.C. Escher.Seni komputersering membuat pemakaianfraktaltermasukhimpunan Mandelbrot, dan sering kali menyelidiki berbagai objek matematika sepertiautomata seluler. Secara kontroversial, senimanDavid Hockneyberpendapat bahwasenimandari zaman Renaisans dan seterusnya menggunakankamera lucidauntuk menggambar representasi adegan yang tepat; arsitek Philip Steadman juga berpendapat bahwaVermeermenggunakankamera obscuradalam lukisan-lukisannya yang diamati secara khusus.
Hubungan lainnya yang termasuk dalam analisis agoritmik adalahspektroskopi fluoresensi sinar-X, adanya dimensi fraktal padabatiktradisionalJawa, dan rangsangan terhadap penelitian matematis, terutama teori pandanganFilippo Brunelleschi, yang akhirnya mengarah kepadageometri proyektifGirard Desargues. Pandangan gigi yang berdasarkan pada gagasanPythagorastentang harmoni dalam musik, menyatakan bahwa segala sesuatu diatur oleh angka, bahwa Tuhan adalah geometer dunia, dan oleh karena itugeometri dunia itu sakralseperti terlihat dalam karya seniWilliam Blake,Ancient of Days.
Insieme di Julia

Inanalisi complessa, l'insieme di Juliadi unafunzione olomorfaconsiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione ècaotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.
Il complementare dell'insieme di Julia nelpiano complessosi chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.
I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesiGaston JuliaePierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio delXX secolo, considerando il caso delle iterazioni difunzioni razionali.
Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complessoc{\displaystyle c}:
L'insieme di tutti i valoric{\displaystyle c}per cui l'insieme di Julia difc{\displaystyle f_{c}}è connesso forma il celebreinsieme di Mandelbrot. Sec{\displaystyle c}è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essereomeomorfoall'insieme di Cantor.
Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni.
Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazionez→z2+c{\displaystyle z\rightarrow z^{2}+c}per i valori:
e quindi per:
Burning ship

Il frattaleBurning Shipfu creato e descritto per la prima volta da Michael Michelitsch e Otto E. Rössler nel 1992. Il frattale è definito come l'insieme dei punti inC{\displaystyle \mathbb {C} }tale che la seguente successione per ricorrenza:
èlimitata. 
L'unica differenza fra questo frattale e l'Insieme di Mandelbrotè che alla componente reale e a quella immaginaria sono attribuiti i loro rispettivi valori assoluti prima di ogni iterazione. La mappa non è analitica perché la sua parte reale e immaginaria non obbediscono alleequazioni di Cauchy-Riemann.
Teoria delle biforcazioni

Lateoria delle biforcazioniè unateoriamatematicache si occupa dello studio dei cambiamenti qualitativi o della strutturatopologicadiintegralidi uncampo vettorialeo, equivalentemente, dalla soluzione di un'equazione differenziale.
Usate soprattutto nello studio deisistemi dinamici, nonché neisistemi complessi, si dice che si ha unabiforcazionequando una piccola variazione dei valori dei parametri (i parametri di biforcazione) causa un cambiamento 'qualitativo' o topologico del sistema, ovvero un cambiamento del numero dipunti di equilibrioo della loro natura. Tali cambiamenti possono anche portare ad unacatastrofe. I valori per cui si hanno modifiche qualitative al sistema sono detti 'valori critici'. Le biforcazioni si hanno sia nei sistemi continui, sia in quelli discreti. Normalmente, inoltre, si divide lo studio delle biforcazioni in due classi principali:
L'obiettivo è quello di capire come al variare di un parametro si modifichino i punti di equilibrio e la loro stabilità. Tipicamente si procede linearizzando il sistema e studiando come si modificano gliautovaloridellamatrice Jacobianaal variare del parametro suddetto, di particolare interesse è il cambio del segno dellaparte realedegli autovalori stessi. Indice che le caratteristiche degli equilibri del sistema sono cambiate e che quindi si è verificata una biforcazione, a tal punto è necessario studiare il campo vettoriale (tipicamente a mezzo dello sviluppo inserie di Taylor) per trovare un'analogia con le biforcazioni locali note (nodo sella, a forcone, ...).
マンデルブロ集合

数学、特に複素力学系におけるマンデルブロ集合（マンデルブロしゅうごう、英:Mandelbrot set）は、充填ジュリア集合に対する指標として提唱された集合である。数学者ブノワ・マンデルブロの名に因む。
次の漸化式
で定義される複素数列{zn}n∈N∪{0}がn→ ∞ の極限で無限大に発散しないという条件を満たす複素数c全体が作る集合がマンデルブロ集合である。
複素数cを複素平面上の点として（あるいは同じことだがc=a+ibと表してcをxy-平面上の点 (a,b) として）表すと、この平面上でマンデルブロ集合はフラクタル図形として表される。右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は発散する速さを表している。
複素平面上においてマンデルブロ集合の大半の面積を占めるのは、原点を含むカージオイドに無数の円が外接し、その円にさらに無数の小さい円が外接することを無限に繰り返してできるフラクタル図形である。さらに、周囲を拡大すると、このフラクタル図形に類似した「飛び地」のような図形（図左上など）が無数に見られる。また、これらの図形を包含する、発散の遅い領域もやはりフラクタルの特徴を有しており、螺旋・相似等の多様な図形要素を構成する（#拡大イメージ参照）。マンデルブロ集合全体は、「飛び地」を含め、連結であることが証明されている。
マンデルブロ集合の周を拡大すると繰り返し現れる「飛び地」はマンデルブロ集合全体に良く似ているものの、互いに異なっている。つまりマンデルブロ集合の周は自己相似ではないフラクタルの一種であり、その相似次元は平面内の曲線としては最大の2次元である。このことはマンデルブロの予想と呼ばれ未解決問題の一つだったが、宍倉光広によって肯定的に証明された。
なお、上式でz0を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合の周が変形し、ジュリア集合に似たフラクタル状の曲線が現れる。
マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、znを点 (xn,yn) に、cを点 (a,b) にそれぞれ置き代えて、
とすればよい。
マンデルブロ集合を高解像度で描画しようとするほど、膨大な計算時間を必要とするようになっていくことから、コンピュータのベンチマークテストとして利用されることがある。また、描き出される図形の幾何学的な美しさから鑑賞を目的として美麗な描画を行うプログラムもある。
ブノワ・マンデルブロ

ブノワ・マンデルブロ（仏:Benoît B. Mandelbrot、1924年11月20日-2010年10月14日）は、フランスの数学者、経済学者。パシフィック・ノースウェスト国立研究所フェロー、IBM・トーマス・J・ワトソン研究所名誉フェロー、イェール大学名誉教授。フラクタルを導入したことで著名である。本人は[bənwa mɑ̃dɛlbʁot]（ブヌワ・マンデルブロット）と発音していたが、日本では文献によりベンワまたはマンデルブロと書いているところも多い。
マンデルブロはポーランドのワルシャワで、リトアニア系ユダヤ人の家庭に生まれた。家系はリトアニアからの移民であった。ブノワが11歳の時、ポーランドの政治的背景から一家はフランスに移住した。戦争が近づく中、一家はブノワの教育課程が修了するまでフランスに留まった。ブノワの家庭は大変教育熱心で、彼は医師である母の2人の伯父から数学の教育を受けた。伯父シューレム・マンデルブロはパリで著名な数学者であった。父は衣服の流通で生計を立てていた。
マンデルブロは第二次世界大戦開戦前に一家でチュールに引っ越すまで、パリのリセ・ロランに通学していた。1944年彼は再びパリに戻り、1945年から1947年にかけ高等教育機関エコール・ポリテクニークに在籍、ガストン・ジュリアとポール・レヴィに師事した。その後2年間はアメリカ合衆国のカリフォルニア工科大学にて航空工学を学んだ。その後再びフランスに戻り、1952年にパリ大学にて数学の博士号を取得した。
1949年から1957年にかけてはフランス国立科学研究センターの研究員として働いた。この間、彼はジョン・フォン・ノイマンに後援され、ニュージャージー州のプリンストン高等研究所に在籍した。1955年、マンデルブロは結婚しジュネーヴに転居、更にリールに引っ越した。
1958年、夫妻はアメリカ合衆国に移住、ニューヨーク州ヨークタウン・ハイツにあるIBMのトーマス・J・ワトソン研究所に研究員として就職した。その後IBMで32年間働き、後にフェロー、更に名誉フェローになった。
1951年からマンデルブロは数学だけでなく、経済学、流体力学や情報理論の研究と論文発表を行なった。これらの研究の結果、彼は長距離秩序と自己相似という2つの研究テーマを選んだ。マンデルブロは金融市場の価格変動が正規分布ではなく、理論的には分散が無限大である安定分布に従っている事を発見した。彼は一例として、綿花の価格はパラメータが2の正規分布よりも、パラメータαが1.7の安定分布に従うことを突き止めた。
1975年、マンデルブロは一連の図形を表現するためにフラクタルという概念を考案し、1977年に 『Les objets fractals: forme, hasard et dimension』 という論文で発表した。
1979年、ハーバード大学数学科の客員教授として勤務している間、マンデルブロは充填ジュリア集合についての研究を始めた。マンデルブロはコンピュータを使って数式z− μ のイメージを得た。充填ジュリア集合の位相が複素パラメータ μ にどう依存するかを調べる過程で、後に彼に因んで名前が付けられる事となるマンデルブロ集合について研究した。
1982年、マンデルブロは自身の理論を拡張し、『フラクタル幾何学』として発表した。この論文の影響により、マンデルブロの理論は一般的な数学と専門的な分野の両方で主流となった。
1987年にはIBMを退職、マンデルブロはイェール大学の数学科に加わった。2005年にはこの職を退職、同時に数学科の名誉教授となった。
2010年10月14日膵癌のために療養中のケンブリッジのホスピスで死去。85歳没。
フラクタル

フラクタル（仏:fractale,英:fractal）は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語の fractus から。図形の部分と全体が自己相似（再帰）になっているものなどをいう。なお、マンデルブロが導入する以前から以下で述べるような性質を持つ形状などはよく考えられてきたものであり、また、そういった図形の一つである高木曲線は幾何ではなく解析学上の興味によるものである。
フラクタルの特徴は直感的には理解できるものの、数学的に厳密に定義するのは非常に難しい。マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」と定義した。完全に自己相似なフラクタルにおいては、ハウスドルフ次元はミンコフスキー次元（英語版）と等しくなる。
フラクタルを定義する際の問題には次のようなものがある。
フラクタルの具体的な例としては、海岸線の形などが挙げられる。一般的な図形は複雑に入り組んだ形状をしていても、拡大するに従ってその細部は変化が少なくなり、滑らかな形状になっていく。これに対して海岸線は、どれだけ拡大しても同じように複雑に入り組んだ形状が現れる。
そして海岸線の長さを測ろうとする場合、より小さい物差しで測れば測るほど大きな物差しでは無視されていた微細な凹凸が測定されるようになり、その測定値は長くなっていく。したがって、このような図形の長さは無限大であると考えられる。これは、実際問題としては分子の大きさ程度よりも小さい物差しを用いることは不可能だが、理論的な極限としては測定値が無限大になるということである。つまり、無限の精度を要求されれば測り終えることはないということである（海岸線のパラドックス）。
この様な図形を評価するために導入されたのが、整数以外の値にもなるフラクタル次元である。フラクタル次元は数学的に定義された図形などでは厳密な値が算出できることもあるが、前述の海岸線などの場合はフラクタル次元自体が測定値になる。つまり、比較的滑らかな海岸線ではフラクタル次元は線の次元である1に近い値となり、リアス式海岸などの複雑な海岸線ではそれよりは大きな値となり、その値により図形の複雑さが分かる。なお、実際の海岸線のフラクタル次元は1.1 – 1.4程度である。
海岸線の形、山の形、枝分かれした樹木の形などの3次元空間内に存在するもののフラクタル次元は0以上3以下の値になるが、数学的には更に高次の次元を持つものも考えられる。この様な図形の殆どは分数の次元を持ったフラクタルな図形と呼ばれるが、実際には分数になるというよりは無理数になる。また、中には整数の次元を持つものもある。例えばマンデルブロ集合の周は、曲線でありながら2次元である。
始まりは、イギリスの気象学者ルイス・フライ・リチャードソンの国境線に関する検討である。国境を接するスペインとポルトガルは、国境線の長さとしてそれぞれ 987 km と 1214 km と別の値を主張していた。リチャードソンは、国境線の長さは用いる地図の縮尺によって変化し、縮尺と国境線の長さがそれぞれ対数を取ると直線状に相関することを発見した。このような特徴をフラクタルと名付けて一般化したのがマンデルブロである。
また、次節で挙げられている例のうち、高木曲線などいくつかは、概念がまとめられてフラクタルという名がつくより以前に示されたものである。
フラクタルの研究者高安秀樹によると、マンデルブロは株価チャートを見ていてフラクタルの着想を得たという。
近似的なフラクタルな図形は、自然界のあらゆる場面で出現されるとされ、自然科学の新たなアプローチ手法となった。逆に、コンピュータグラフィックスにおける地形や植生などの自然物形状の自動生成のアルゴリズムとして用いられることも多い。
また、自然界で多くみられる一見不規則な変動（カオス）をグラフにプロットするとそのグラフはフラクタルな性質を示すことが知られ、カオスアトラクターと呼ばれる。
その他、自然界の現象においては、結晶成長パターンもフラクタルの性質を示すものとして知られている。
株価の動向など社会的な現象もフラクタルな性質を持っている。
当然、厳密には無限大（∞）を含むため自然界でフラクタルは成立しえず、近似である。
血管の分岐構造や腸の内壁などはフラクタル構造であるが、それにはいくつかの理由があると考えられている。
例えば血管の配置を考えたとき、生物において体積は有限であり貴重なリソースであると言えるので、血管が占有する体積は可能な限り小さいことが望ましい。一方、ガス交換等に使える血管表面積は可能な限り大きく取れる方が良い。この場合、有限の体積の中に無限の表面積を包含できるフラクタル構造は非常に合理的かつ効率的である。さらに、このような構造を生成するために必要な設計情報も、比較的単純な手続きの再帰的な適用で済まされるので、遺伝情報に占める割合もごく少量で済むものと考えられる。
図形の一覧

図形とは、様々な形を表現したものである。
ここでは図形を次元で分類するが、まず埋め込み可能なユークリッド空間の次元で分類し、次に位相次元で分類する。たとえば、球面は3次元図形で位相次元は2、コッホ曲線は2次元図形で位相次元は1である。最後に、フラクタル図形を別扱いにし、ハウスドルフ次元（フラクタル次元） dimHを併記する。ハウスドルフ次元は、フラクタル図形では位相次元より大きく、それ以外では位相次元に等しい。主な図形は以下の通り。
0次元の空間は点であり広がりを持たないため、図形は（空集合を別にすれば）点のみしか作れない。
集合 (音楽)

音楽における集合（しゅうごう）とは、音楽の一要素をひとまとめにしたものである。
音楽業界内で「集合」というものが真剣に提唱されたのはヨーロッパではダルムシュタット講習会から、アメリカではミルトン・バビットの博士論文以降になる。実は「音の集合」を世界で最も初めに開発したのはヨーゼフ・マティアス・ハウアーであり、その概念は「トローペ」に纏められた。12音列は数十のパターンにまとめられることを世界で初めて発見し、その音列を易経を用いて自由に連結した彼の態度は戦後まもなく忘却されたが、現在では集合の開祖としての評価が確立している。集合の萌芽は、まずピッチから始められた。
第二次大戦終了後、ほどなくしてヴォルフガング・フォルトナー、ルネ・レイボヴィッツが十二音技法の講座を持ったものの、本格的なセリーの受容はオリヴィエ・メシアンの「音価と強度のモード」からになる。その全面セリーの運用から「群作法」をシュトックハウゼンがピアノ曲Iで提唱し、数学の厳密な集合論を適用するのがクセナキスの「ヘルマ」である。1960年代には「リズム集合」や「音集合」など集合に関する音楽理論が花開いた。松下眞一もピアノのためのスペクトラ第二番で群論を用いている。
このころには集合はピッチだけにはとどまらず、リズムや形式にまで適用されることが多くなっていった。リズム集合はオリヴィエ・メシアンのクロノクロミー、ルイジ・ノーノのカノン風変奏曲で一部導入されている。
1970年代に入ると前衛音楽の終焉から音楽言語の難解さに疑問が付されたため、全体的には「集合」で音楽を考えられることはなくなった。しかし、ジェイムズ・テニーはmeta-hodos, meta-meta-hodosで数学を援用した過去の音楽理論の読み替えを行っており、チャールズ・ウォリネンはピッチクラス・セット理論からさらに飛躍したマンデルブロ集合を含むフラクタル幾何学の公式を音楽に援用するなど、数学の諸理論を音楽に適用させようとする音楽家は後を絶たない。
三つの音名を12数列に対応させたものが「セット」の規程構造である。詳しくは英語版（en:Set theory (music)）を参照。Cから順番に1,2,3と番号を振るため、B B♭ D E♭ G F♯ G♯ E F C C♯ Aは0 11 3 4 8 7 9 5 6 1 2 10へ置換される。12音列内の音程の関係性が極端にシンメトリカルである音列の使用は、すでにアントン・フォン・ウェーベルンの世代から検討されている。
充填ジュリア集合

複素力学系における充填ジュリア集合（じゅうてんジュリアしゅうごう、英:filled Julia setまたは 英:filled-in Julia set）は、多項式の複素函数を繰り返し適用したときに無限に発散しない複素数の集合である。反復する複素函数が2次函数のような簡単な場合でも、充填ジュリア集合は複素平面上に複雑で多様な構造を持ったものとして現れる。
コンピュータを使えば複素平面上の充填ジュリア集合を近似的に描くことができる。充填ジュリア集合の境界は大抵の場合でフラクタルと呼ばれる自己相似形状となっており、ジュリア集合と呼ばれる。複素定数を持つ2次函数を考え、その充填ジュリア集合が連結した集合になるような定数の集まりは、マンデルブロ集合の名で知られる。
zを複素数、ℂを複素平面、P: ℂ → ℂを2次以上の複素多項式函数、PをP(z) =z,P(z) =P(z),P(z) =P(P(z)), …,P(z) =P(P(z))で定まるPのn回反復合成とする 。この反復合成を使って
というような無限に続く複素数列（複素平面上の点列）を考えるとき、与えるzに依存して点列は様々なものになる。与えるzによっては、点列は原点から限りなく遠ざかっていく（つまり絶対値|P(z)|が限りなく大きくなっていく）。点列{zn}が無限大へ発散しないzを全て集めた集合が、充填ジュリア集合である。
定式化すると、充填ジュリア集合（英:filled Julia setまたは 英:filled-in Julia set）とは
で定義される集合KPである。もし任意のnについて|P(z)|がある有限値未満であるとき、点列{zn}は有界であるという。言い換えると、充填ジュリア集合とは、有界な点列を与えるzの集合である。一般に、函数fの充填ジュリア集合はKfやK(f)と書かれる。
充填ジュリア集合は、次で定義される発散点集合
とは補集合の関係KP= ℂ −IPにある。また、充填ジュリア集合の境界BdKPをジュリア集合という。
簡単な例で言うと、P(z) =zの場合は
なので、原点を中心とする単位円板{|z| ≤ 1}が充填ジュリア集合になっている。加えて、{|z| > 1}が発散点集合、{|z| = 1}がジュリア集合である。
2次以上の多項式函数Pでは、あるm≥ 0で|P(z)| ≥rならばn→ ∞で|P(z)| → ∞となるような数rの存在が保証されている。 このため、2次以上のPでは充填ジュリア集合KPは空集合ではない有界な集合であることが分かる。c∈ ℂを定数とする2次函数P(z) =z+cの例では、|c|と2いずれかの大きな方がrに相当する。a,b∈ ℂを定数とする3次函数P(z) =z+az+bの例では、|b|と√|a| + 2いずれかの大きな方がrに相当する。
以上のことから、Dを原点を中心とする半径rの閉円板とすると、
が成り立つ。ここで、PはPの逆像、つまりP(D) = {z∈ ℂ |P(z) ∈D}を意味する。
その他の基本的な性質としては、KPは閉集合である。よってKPはコンパクト集合である。さらにKPは完全集合であり、孤立点を含まない。また、KPは完全不変集合で、P(KP) =P(KP) =KPが成り立つ。
KPが内部IntKPを持つとき、内部の各連結成分は単連結である。IntKPは吸引的な不動点や吸引的な周期点といったアトラクターの吸引領域となっている。Pによっては相異なるアトラクターと吸引領域が併存し、KPはそれら吸引領域と境界の和集合になる。
充填ジュリア集合の境界BdKPすなわちジュリア集合上も完全不変で、境界の点は反復合成を続けても境界に留まり続ける。境界（ジュリア集合）上の点はカオス的に振るまう。大抵のジュリア集合はフラクタルと呼ばれる自己相似形状となる。P(z) =z+cのような単純な多項式関数であっても、大変複雑で多種多様な構造の充填ジュリア集合が出現し得る。
dP/dz(z) = 0を満たすzを臨界点という。KPが全ての（有限な）臨界点を含むとき、KPは連結である。逆にKPが臨界点を1つも含まないとき、KPは全不連結である。また、KPが全不連結のとき、KPはカントール集合と同相で、なおかつジュリア集合と一致する。P(z) =z+cではz= 0が臨界点になる。この2次函数の充填ジュリア集合が連結であるような定数cの集合を、また同値なことだが充填ジュリア集合がz= 0を含まないような定数cの集合をマンデルブロ集合という。
コンピュータを用いると、充填ジュリア集合を描くことは比較的簡単である。描写は、充填ジュリア集合の定義そのものを使って行える。与えた点の反復合成が無限大へ発散するかどうかを判別し、無限大へ発散しない点と発散する点を塗り分ければ、前者で塗った範囲が近似的な充填ジュリア集合になる。P(z) =z+cの例では、反復した数値が|c|と2いずれかの大きな数値を超えれば無限大に発散すると判別できる。実際の処理手順では、これらの数値を超えるか否か（以下、逃走判断規準と呼ぶ）を有限回の反復回数で判断する。すなわち、最大反復回数をNとして、N回目までの反復計算で逃走判断規準を満たしたら無限大へ発散する点、N回目までの反復計算で逃走判断規準を満たさなければ充填ジュリア集合に属する点と判断する。
ただし、無限大への発散を有限の反復回数で判断する点は、不正確な描写の原因にもなりうる。通常は打ち切りの反復回数を30回から40回としても十分だが、拡大した図を得るには反復回数を増やす必要がある。また、充填ジュリア集合が全不連結のときはうまく働かないこともある。
充填ジュリア集合のカラフルな描写を行うときは、充填ジュリア集合の外側の点を逃げていく速さで色付けすることがある。つまり、逃走判断基準に達したときの反復回数が
などのように充填ジュリア集合の外側の領域を色付けする。
バーニングシップ・フラクタル

バーニングシップ・フラクタル（英:Burning Ship fractal）とは、1992年、ミヒャエル・ミヒェリッチュ（Michael Michelitsch）とOtto E. Rösslerが生み出したフラクタルである。以下の関数を複素c-平面で繰り返して（初期値はz= 0）、この計算が収束するか発散するかを調べる。
この計算とマンデルブロ集合との違いは、繰り返しの度に実数部と虚数部の二乗を計算する前にそれらの絶対値をとっている点である。この実部と虚部はコーシー・リーマン方程式に従わないので、この写像は非解析的である。