Обратная решётка

Обратная решётка— точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описаниядифракциирентгеновских лучей,нейтроновиэлектроновна кристалле. Обратная решётка (обратное пространство,импульсное пространство) являетсяФурье-образомпрямойкристаллической решётки(прямого пространства).
Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки:кристаллическая решёткаи обратная решётка. Можно определитьвекторыпрямойa1,a2,a3{\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} }и обратнойb1,b2,b3{\displaystyle \mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} }решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]. Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространствеФурье.
Вкристаллографииобратная решёткасостоит из множества векторовK, таких, что
для всех векторовR, указывающих на положение узлов кристаллической решётки.
Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами(a1,a2,a3){\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}, её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки(b1,b2,b3){\displaystyle (\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )}, связанных с базисными векторами прямой решётки соотношениемaj⋅bk=bk⋅aj=2πδjk={2π,j=k0,j≠k{\displaystyle \mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk}=\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.}и вычисленных по формулам
Вышеупомянутое определение называютфизическимопределением, так как множитель2πвозникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентноекристаллографическоеопределение возникает, если вектора обратной решётки подчиняются следующему соотношениюe2πiK⋅R=1{\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1},
которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:
и аналогично для других векторов.
Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяетb1{\displaystyle \mathbf {b_{1}} }как обратную величинуa1{\displaystyle \mathbf {a_{1}} }в направленииa2×a3{\displaystyle \mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }, без множителя2π. Это может упростить определённые математические манипуляции и выражает взаимные измерения решётки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки использовать, конечно не смешивая их.
Другими словами, каждую систему плоскостей можно полностью задать вектором обратной решёткиb, который перпендикулярен плоскостям и равен по величинеb= 2π/d, гдеd— межплоскостное расстояние. Это можно считать определением векторов обратной решётки.
Кристаллографическое определение базиса ввекторнойалгебре называетсявзаимным базисоми используется для доказательства некоторых утверждений, связанных с углами между векторами исмешанным произведением.
Обратная решётка используется для определенияиндексов плоскости. Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решётки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решётки являются индексами плоскости.