Теория хаоса

Тео́рия ха́оса— математический аппарат, описывающий поведение некоторыхнелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному какхаос(динамический хаос,детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, являетсядетерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать названиетеория динамического хаоса.
Примерами подобных систем являютсяатмосфера,турбулентные потоки, некоторые видыаритмий сердца,биологические популяции,обществокак система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интеркультуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождаетсяматематическим моделированием.
Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.
Теория хаоса подразумевает, что сложные детерминированные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий: небольшие изменения в окружающей среде могут привести к существенно различным последствиям, что делает предсказания их поведения крайне затруднительными.
Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются строгим законам, и обладают определённым порядком. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Отдельная область физики — теория квантового хаоса — изучает квантовые системы, которые демонстрируют хаотическое поведение, схожее с классическими аналогами.
Основоположниками теории хаоса считаются французский математик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, а также немецкий математик Ю. К. Мозер, создавшие теорию устойчивости КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера). КАМ-теория изучает инвариантные торы в интегрируемых системах при малых возмущениях.
Теория хаоса вводит понятия аттракторов, включая странные аттракторы, обладающие самоподобной структурой и демонстрирующие сложную динамику.
В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательноехаотическийопределено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:
Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:
Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этомфрактальная размерностьсистемы должна быть не менее 1,5.
Линейные системыникогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. Потеореме Пуанкаре — Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёхизмеренийилинеевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерномпространстве.
Чувствительность к начальным условиям в такойсистемеозначает, что существуетδ>0{\displaystyle \delta >0}такое, что для любой точкиx{\displaystyle x}и любой ее окрестностиUx{\displaystyle U_{x}}найдутся точкаy∈Ux{\displaystyle y\in U_{x}}и числоn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }такие, что||fn(x)−fn(y)||>δ{\displaystyle ||f^{n}(x)-f^{n}(y)||>\delta }. Чувствительность к начальным условиям отличается отэкспансивности.
Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).
Чувствительность к начальным условиям более известна как «эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которуюЭдвард Лоренцв 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» вВашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям.
Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание» как пример хаотической системы соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей.
В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателейизмеренияи определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простуюдинамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию кбесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.
Даже для закрытых систем чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотримтор, заданный паройуглов(x,y) со значениями от 0 до2π. Отображение любойточки(x,y) определяется как (2x,y+a), где значениеa/2π являетсяиррациональным. Удвоение первойкоординатыв отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никакихпериодическихорбит— следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.
Примером системы, не чувствительной к начальным условиям, но обладающей свойством топологического смешивания, являетсяповорот единичной окружности на иррациональный угол.
Аттра́ктор(отангл.attract— привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точекфазового пространства)динамической системы, к которым она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче омаятникес трением) и периодическаятраектория(пример — самовозбуждающиесяколебаниявконтурес положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.
Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когдапараметрыдинамической системы принадлежат к некоторому специальномуподпространству.
Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению наорбитахаттрактора.
Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составитьграфикего последующей орбиты. Из-за состояния топологическойтранзитивностиэто похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.
Например, в системе, описывающеймаятник,пространстводвумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а одинпериод колебанийбудет выглядеть на графике как простая замкнутаякривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой.Маятникимеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенныхэллипсов.
Большинство типовдвиженияописывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют многопараметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известныматтрактором Лоренца— одной из самых известныхдиаграммхаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором являетсяаттрактор Рёсслера, которая имеет двойнойпериод, подобнологистическому отображению.
В отличие от аттракторов с неподвижной точкой и предельных циклов, аттракторы, возникающие из хаотических систем, известных как странные аттракторы, имеют значительную детализацию и сложность. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких какотображение Эно). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемуюмножеством Жюлиа, которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Множества Жюлиа можно рассматривать как странные репеллеры. И странные аттракторы, и множества Жюлиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.
Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или большеизмерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы.Движение трёх или большего количества тел, испытывающихгравитационное притяжениепри некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.
Хаотическими могут быть и простыесистемыбездифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение являетсяполиномиальнымотображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простыхнелинейныхдинамическихуравнений. Ещё один пример — этомодель Рикера, которая также описывает динамику населения.
Клеточный автомат— это набор клеток, образующих некоторую периодическую решётку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей.Эволюциядаже простыхдискретных систем, таких как клеточные автоматы, может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работахСтивена Вольфрама.
Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» являетсямодельютора, которую В. И. Арнольд продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.
Показать хаос для соответствующих значенийпараметраможет даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или большеизмерений.Теорема Пуанкаре — Бендиксонаутверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Трёхмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям и поэтому представляют собой стабильные решения.
Цепь Чуаявляется одной из простейших электрических цепей, генерирующих хаотические колебания.
Теорема Шарковского— это основа доказательства Ли и Йорке (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройнымпериодомцикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотическихорбит.
Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивноеизмерениеаттрактора,экспонентыЛяпунова, графикирекуррентногосоотношения,отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения иоператорсдвига.
Первым исследователем хаоса былАнри Пуанкаре. В 1880-х годах, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут существовать непериодическиеорбиты, которые постоянно и не удаляются, и не приближаются к конкретной точке. В 1898 годуЖак Адамариздал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей безтренияпо поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что всетраекториинепостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентойЛяпунова.
Почти вся более ранняя теория, под названиемэргодическаятеория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучалиБиргхоф,A. Колмогоров, M. Каретник,Дж. Литлвуди Стивен Смэйл. Кроме Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика:поведение трёх телв случае с Биргхофом,турбулентностьи астрономические исследования в случае с Колмогоровым,радиотехникав случае с Каретником и Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью течения жидкости и непериодическимиколебаниямив радиосхемах, не имея достаточной теории, чтобы это объяснить.
Несмотря на попытки понять хаос в первой половине 20 века, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении, простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы.
Основнымкатализаторомдля развития теории хаоса сталаэлектронно-вычислительная машина. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторнуюитерациюпростых математических формул, которые делать вручную весьма трудоёмко. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.
Одним из пионеров в теории хаоса былЭдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. ПогодноемоделированиеЛоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, то, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса, введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.
К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0,506127 было напечатано как 0,506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, чтометеорологияне может точно предсказать погоду на период более недели.
Годом ранее,Бенуа Мандельбротнашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что структура помех подобнанабору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них былапостоянной— значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффектИосифа» в котором значения постоянны некоторое время, но всё же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 году он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях», доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечёвки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.
Объект, изображения которого являются постоянными в различныхмасштабах(«самоподобие») являетсяфракталом(напримеркривая Коха, или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.
Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 годуВан дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 года Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее, его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года.
В декабре 1977 годаНью-Йоркская академия наукорганизовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл,Роберт Мей, Джеймс А. Иорк,Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеорологЭдвард Лоренц.
В следующем годуМитчелл Фейгенбаумиздал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Фейгенбаум применил рекурсивнуюгеометриюк изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям.
В 1979 году Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведёт к хаосу. Его наградилипремией Вольфав физике совместно с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 году «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу вдинамических системах».
Тогда же в 1986 году Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности средишизофреников. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х годах, например, в изучении патологиисердечных циклов.
В 1987 году Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическуюэволюцию.
Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, не странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.
В том же году Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепциюТомаса Кунаосмене парадигм, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.
Доступность более дешёвых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика,топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т. д.).
Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.
В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например,электрические схемы,лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движенииспутниковсолнечной системы, эволюциимагнитного поляастрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов внейронахимолекулярныхколебаниях. Есть существенные основания полагать о существовании динамики хаоса втектонике плити в экономике.
Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы, похожие на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности.
В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изученииэпилепсиидля предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.
Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом иквантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законамобщей теории относительности.
Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого «сигнала» отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.
Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс надетерминизмнеобходимо:
Погрешностьопределяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат), или она будет увеличиваться поэкспонентесо временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределённую погрешность.
По существу, все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к тестируемому (то есть, измерениюкорреляции, экспоненты Ляпунова, и т. д.). Чтобы определить состояние системы, обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность.
Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений, чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.
Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, еётраекторияпостоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности, и система показывает полностью новые динамические свойства.Статистическиеиспытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами появляетсядинамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.