Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrotadalahhimpunandaribilangan kompleksc{\displaystyle c}yang digunakan sebagai fungsifc(z)=z2+c{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}tidakmenyimpangketikaiterasidariz=0{\displaystyle z=0}, yaitu, urutan darifc(0){\displaystyle f_{c}(0)},fc(fc(0)){\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}, dll, tetap dibatasi dalam nilai absolut.
Definisinya dikreditkan keAdrien Douadyyang menamakannya sebagai penghormatan kepadamatematikawanBenoit Mandelbrot.Himpunan tersebut terhubung ke sebuahhimpunan Julia, dan himpunan Julia terkait menghasilkan bentukfraktalyang kompleks serupa.
Gambar set Mandelbrot dapat dibuat dengan mengambil sampel bilangan kompleks dan pengujian, untuk setiap titik sampelc{\displaystyle c}, apakah urutan darkfc(0),fc(fc(0)),…{\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }pergi ke tak terhingga(dalam praktik apakah itu meninggalkan beberapa lingkungan nilai yang telah ditentukan sebelumnya dari 0 setelah jumlah iterasi yang telah ditentukan). Bilabilangan riildanbagian imajinerdaric{\displaystyle c}sebagaikoordinat gambarpadabidang kompleks, piksel kemudian dapat diwarnai sesuai dengan seberapa cepat urutan dari|fc(0)|,|fc(fc(0))|,…{\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }melintasi ambang yang dipilih secara sewenang-wenang, dengan warna khusus (hitam) digunakan untuk nilaic{\displaystyle c}yang urutannya belum melewati ambang setelah jumlah iterasi yang ditentukan sebelumnya (ini diperlukan untuk membedakan dengan jelas gambar set Mandelbrot dari gambar pelengkap). Bilac{\displaystyle c}dipertahankan konstan dan nilai awal nilaiz{\displaystyle z}dinotasikan denganz0{\displaystyle z_{0}}sebagai gantinya, variabel ini memperolehnilai himpunan Juliauntuk setiap titikc{\displaystyle c}diparameter spasidari fungsinya.
Gambar dari himpunan Mandelbrot menunjukkanbatasyang rumit dan sangat rumit yang mengungkapkan detailrekursifyang semakin halus pada perbesaran yang meningkat. Dengan kata lain, batas himpunan Mandelbrot adalahkurva fraktal. "Gaya" dari detail berulang ini bergantung pada wilayah himpunan yang sedang diperiksa. Batas himpunan juga menggabungkan versi yang lebih kecil dari bentuk utama, sehingga propertifraktaldarikemiripan diriberlaku untuk seluruh himpunan, dan tidak hanya untuk bagian-bagiannya.
Himpunan Mandelbrot telah menjadi populer di luarmatematikabaik karena daya tarik estetikanya maupun sebagai contoh struktur kompleks yang timbul dari penerapan aturan sederhana. Ini adalah salah satu contoh paling terkenal darivisualisasi matematikadankeindahan matematika.
Himpunan Mandelbrot berawal daridinamika kompleks, bidang yang pertama kali diselidiki olehmatematikawan PrancisPierre FatoudanGaston Juliapada awal abad ke 20. Fraktal ini pertama kali didefinisikan dan digambar pada tahun 1978 olehRobert W. Brooksdan Peter Matelski sebagai bagian dari studikelompok Kleinian..Pada tanggal 1 Maret 1980, diIBMPusat Penelitian Thomas J. WatsondiYorktown Heights,New York,Benoit Mandelbrotpertama kali melihat visualisasi.
Mandelbrot mempelajariparameter spacedaripolinomial kuadratdalam sebuah artikel yang muncul pada tahun 1980.Studi matematis himpunan Mandelbrot benar-benar dimulai dengan karya ahli matematikaAdrien DouadydanJohn H. Hubbard(1985),yang menetapkan banyak properti fundamentalnya dan menamai himpunan tersebut untuk menghormati Mandelbrot atas karyanya yang berpengaruh digeometri fraktal.
MatematikawanHeinz-Otto PeitgendanPeter Richtermenjadi terkenal karena mempromosikan set dengan foto, buku (1986),dan pameran tur internasionalGoethe-InstitutJerman (1985).
Artikel sampul pada Agustus 1985Scientific Americanmemperkenalkanalgoritmakepada khalayak luas untuk menghitung himpunan Mandelbrot. Sampulnya menampilkan gambar yang terletak di−0.909 + −0.275idan diciptakan oleh Peitgen et al.Set Mandelbrot menjadi terkenal pada pertengahan 1980 an sebagai komputerdemo grafis, ketikakomputer pribadimenjadi cukup kuat untuk memplot dan menampilkan set dalam resolusi tinggi.
Karya Douady dan Hubbard bertepatan dengan peningkatan besar minat dalam dinamika kompleks danmatematika abstrak, dan studi tentang himpunan Mandelbrot telah menjadi pusat perhatian bidang ini. Daftar lengkap dari semua orang yang telah berkontribusi pada pemahaman himpunan ini sejak saat itu masih panjang, tetapi akan mencakupMikhail Lyubich,Curt McMullen,John Milnor,Mitsuhiro ShishikuradanJean-Christophe Yoccoz.
Himpunan Mandelbrot adalah himpunan nilaicdibidang kompleksyangorbitdarinilai kritikalz = 0 di bawahIteratal Kuadrat
tetapdibatasi.Jadi, bilangan komplekscadalah anggota himpunan Mandelbrot bila, saat dimulai denganz0= 0 dan menerapkan iterasi berulang kali,nilai absolutdarizntetap terikat untuk semuan> 0.
Contohnya, untukc= 1, urutannya adalah 0, 1, 2, 5, 26, ..., yang cenderungtak terhingga, jadi 1 bukan merupakan elemen himpunan Mandelbrot. Sebaliknya, untukc=−1, urutannya adalah 0, −1, 0, −1, 0, ..., yang dibatasi, jadi −1 memang termasuk dalam himpunan.
Set Mandelbrot juga bisa didefinisikan sebagailokus keterhubungandari keluargapolinomial.
Representasi grafis dari himpunan Mandelbrot dan strukturnya di area tepi hanya mungkin menggunakankomputermenggunakan apa yang disebutgenerator fraktal. Setiap piksel sesuai dengan nilaic{\displaystyle c}bidang kompleks. Untuk setiap piksel, komputer menentukan apakah urutan terkait divergen atau tidak. Begitu jumlahnya|zn|{\displaystyle |z_{n}|}eines Anggota berurutan nilais=2{\displaystyle s=2}melebihi, jelas bahwa hasilnya divergen. Nomorn{\displaystyle n}langkahiterasisampai saat itu dapat berfungsi sebagai ukuran derajat divergensi. Pixel diberi warna sesuai dengan tabel warna yang telah ditentukan sebelumnya yang sesuai dengan setiap nilain{\displaystyle n}memberikan warna.
Untuk mencapai batas yang harmonis antara warna-warna yang berurutan dari sudut pandang estetika, batas tersebut digunakan dalam praktiknyas{\displaystyle s}bukan nilai sekecil mungkins=2{\displaystyle s=2}dipilih, tetapi nilai secara signifikan lebih besar dari2{\displaystyle 2}, jika tidak, lebar garis warna akan berosilasi. Semakin besar nilai ini dipilih, semakin baik batas warna yang sesuai dengangaris ekuipotensial, yang dihasilkan ketika himpunan Mandelbrot diinterpretasikan sebagaibermuatan listrikkonduktor. Untuk gradien warna kontinu, Seperti pada rangkaian gambar zoom di atas, evaluasi faktor diperlukan di manas{\displaystyle s}terlampaui saat nilainya dilampaui untuk pertama kalinya.
Karena jumlah langkah iterasin{\displaystyle n}, setelah itu batasnyas{\displaystyle s}terlampaui, dapat berukuran berapa pun, kriteria penghentian dalam bentuk jumlah langkah iterasi maksimum harus ditentukan. Nilaic{\displaystyle c}, konsekuensi yang belum melebihi batass{\displaystyle s}setelahnya menjadiM{\displaystyle \mathbb {M} }diharapkan. Semakin kecil jarakc{\displaystyle c}zuM{\displaystyle \mathbb {M} }adalah, semakin besar angkan{\displaystyle n}biasanya setelahs{\displaystyle s}terlampaui. Semakin besar pembesaran tepiM{\displaystyle \mathbb {M} }ditampilkan, semakin besar jumlah maksimum langkah iterasi yang harus dipilih, dan semakin banyak waktu komputasi yang diperlukan. Dapat dilihat bahwa urutan nilai awalc{\displaystyle c}konvergen, perhitungan urutannya bisa diakhiri lebih awal.
Representasi tepi secara grafis sangat menarikM{\displaystyle \mathbb {M} }dengan kekayaan bentuknya. Semakin besar perbesaran yang dipilih, struktur yang lebih kompleks dapat ditemukan di sana. Denganprogram komputeryang sesuai, tepi ini dapat ditampilkan seperti padamikroskopdengan perbesaran apa pun. Hanya dua kebebasan artistik yang ada adalah pemilihan bagian gambar dan penetapan warna pada tingkat divergensi.
Perbesaran sering kali diperlukan untuk memeriksa struktur yang diinginkan, yang tidak dapat dihitung dengan tipe data yang didukung perangkat keras karena keakuratannya yang terbatas. Oleh karena itu, beberapa program berisi tipe data bilangan panjangaritmatikadengan presisi yang dapat dipilih secara sewenang-wenang. Ini berarti bahwa (hampir) semua faktor pembesaran dimungkinkan.
Himpunan Mandelbrot adalahhimpunan kompak, karena iatertutupdan terkandung dalamdisk tertutupdengan radius 2 di sekitarasal. Lebih khusus lagi, satu poinc{\displaystyle c}termasuk dalam kumpulan Mandelbrot jika dan hanya jika
Dengan kata lain,nilai absolutdariPcn(0){\displaystyle P_{c}^{n}(0)}harus tetap pada atau di bawah 2 untukc{\displaystyle c}berada di himpunan Mandelbrot, seolah-olah nilai absolut itu melebihi 2, urutannya akan lolos hingga tak terbatas.
persimpangandariM{\displaystyle M}dengan sumbu nyata tepatnya adalah interval [−2, 1/4]. Parameter sepanjang interval ini dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan yang ada dikeluarga logistikyang sebenarnya,
Korespondensi diberikan oleh
Faktanya, ini memberikan korespondensi antara seluruhruang parameterdari keluarga logistik dan yang ada di himpunan Mandelbrot.
Douady dan Hubbard telah menunjukkan bahwa set Mandelbrot adalahterhubung. Faktanya, mereka membangun sebuahisomorfisma konformalantara komplemen himpunan Mandelbrot dan komplemendisk unit tertutup. Mandelbrot awalnya menduga bahwa set Mandelbrot adalahterputus. Dugaan ini didasarkan pada gambar komputer yang dihasilkan oleh program yang tidak dapat mendeteksi filamen tipis yang menghubungkan berbagai bagianM{\displaystyle M}. Setelah percobaan lebih lanjut, dia merevisi dugaannya, memutuskan ituM{\displaystyle M}harus terhubung. Ada juga buktitopologiuntuk keterhubungan yang ditemukan pada tahun 2001 olehJeremy Kahn.
Rumus dinamis untukpenyeragamandari pelengkap himpunan Mandelbrot, yang muncul dari bukti Douady dan Hubbard tentang keterkaitanM{\displaystyle M}, memunculkansinar eksternaldari himpunan Mandelbrot. Sinar ini dapat digunakan untuk mempelajari himpunan Mandelbrot dalam istilah kombinatorial dan membentuk tulang punggungJean-Christophe Yoccoz#pekerjaan Matematika.
batasdari himpunan Mandelbrot persislokus percabangandari keluarga kuadrat; yaitu, kumpulan parameterc{\displaystyle c}di mana dinamika berubah secara tiba-tiba di bawah perubahan kecilc.{\displaystyle c.}Itu dapat dibangun sebagai himpunan batas dari urutanbidang kurva aljabar, yangkurva Mandelbrot, dari tipe umum yang dikenal sebagailemniskat polinomial. Kurva Mandelbrot ditentukan oleh pengaturanp0=z,pn+1=pn+z, dan kemudian menafsirkan kumpulan poin |pn(z)| = 2 dalam bidang kompleks sebagai kurva dalambidang Cartesianderajat 2inxandy. Kurva aljabar ini muncul dalam gambar set Mandelbrot yang dihitung menggunakan "algoritme waktu melarikan diri" yang disebutkan di bawah.
Berbagai elemen strukturalM{\displaystyle \mathbb {M} }terkait erat dengan perilaku tertentu dari urutan angka, ituM{\displaystyle \mathbb {M} }yang mendasari. Bergantung pada nilaic{\displaystyle c}, ada empat kemungkinan:
Semuac{\displaystyle c}nilai yangtidakpasti dimiliki secara berbedaM{\displaystyle \mathbb {M} }.
Tabel berikut menunjukkan contoh dari empat perilaku batas iterasi nilaizn+1=zn2+c{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}dariz0=0{\displaystyle z_{0}=0}:
Konvergensi terjadi tepat untuk nilaic{\displaystyle c}yang menyusun interiorkardioid, "tubuh" dariM{\displaystyle \mathbb {M} }, serta untuk banyak titik batas mereka yang tak terhitung banyaknya. Siklus batas periodik dapat ditemukan pada (kurang lebih) "rintisan" dari nilai melingkar seperti pada "kepala", di kardioid satelit serta di banyak titik tepi komponen ini. Sebuahdugaanfundamental mengatakan bahwa ada siklus batas untuk semua titik dalam himpunan Mandelbrot. Urutannya benar-benar pra-periodik untuk banyak parameter yang tak terhitung banyaknya, yang sering disebutTitik Misiurewicz-Thurston(setelahMichał MisiurewiczdanWilliam Thurston). Ini termasuk "ujung antena" seperti titikz=−2{\displaystyle z=-2}paling kiri dan titik cabang himpunan Mandelbrot.
Dalam banyak titik lain dari himpunan Mandelbrot yang tak terhitung banyaknya, urutan dapat berperilaku dalam berbagai cara, yang masing-masing menghasilkan sistem dinamis yang sangat berbeda dan sebagian menjadi subjek penelitian intensif. Je menurut definisi kata tersebut, perilaku "kacau" dapat ditemukan.
Kardioid mempunyai periode 1. Lingkaran mempunyai periode selain 1, kecuali mini mandelbrot yang ada di c = -1,75.
Himpunan Multibrotadalah himpunan berbatas yang ditemukan di bidang kompleks untuk anggota famili rekursi monik univariatpolinomialumum
Untuk integer d, himpunan ini adalah lokus keterhubungan untuk himpunan Julia yang dibangun dari rumus yang sama. Lokus keterhubungan kubik penuh juga telah dipelajari; di sini orang menganggap dua parameter berulangz↦z3+3kz+c{\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}, yang duatitik kritikaladalahakar kuadrat kompleksdari parameterk. Parameter berada dalam lokus keterhubungan kubik jika kedua titik kritis stabil.Untuk famili umumholomorphic function,boundarydari himpunan Mandelbrot digeneralisasikan kelokus percabangan, yang merupakan objek alami untuk dipelajari bahkan ketika lokus keterhubungan tidak berguna.
Templat:Perangkat lunak fraktal