Centru (geometrie)

În geometrie centrul (din greacă κέντρον) unui obiect este un punct în raport cu care punctele unei figuri se asociază în perechi simetrice. Unele obiecte ar putea să nu aibă centru. Dacă geometria este considerată ca fiind studiul grupurilor de izometrie atunci un centru este un punct fix al tuturor izometriilor care aplică obiectul pe el însuși.
Centrul unui cerc este punctul echidistant de la punctele de pe frontieră. Similar, centrul unei sfere este punctul echidistant de punctele de pe suprafață, iar centrul unui segment de dreaptă este punctul de mijloc dintre cele două capete.
Pentru obiectele cu mai multe simetrii, centrul de simetrie este punctul lăsat neschimbat de acțiunile simetriilor. Deci, centrul unui pătrat, dreptunghi, romb sau paralelogram este locul în care diagonalele se intersectează, acesta fiind (printre alte proprietăți) punctul fix al simetriei de rotație. Similar, centrul unei elipse sau al unei hiperbole este locul în care se intersectează axele.
Mai multe puncte particulare ale unui triunghi sunt descrise ca „centre ale triunghiului”:
La un triunghi echilateral acestea se suprapun în același punct, care se află la intersecția celor trei axe de simetrie ale triunghiului, la o treime din distanța de la baza sa la apexul său.
O definiție strictă a unui centru al triunghiului este un punct ale cărui coordonate triliniare sunt f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b) unde f este o funcție de lungimile celor trei laturi ale triunghiului a, b, c astfel încât:
Această definiție strictă exclude perechile de puncte bicentrice, cum ar fi punctele Brocard (care se schimbă la o reflexie a imaginii oglindă).
Un poligon tangențial are fiecare dintre laturile sale tangentă la cercul înscris. Centrul cercului înscris poate fi considerat un centru al poligonului.
Un poligon înscris într-un cerc are fiecare vârf pe un anumit cerc, numit cerc circumscris. Centrul cercului circumscris poate fi considerat un centru al poligonului.
Dacă un poligon este atât tangențial cât și înscris, se numește bicentric. (De exemplu toate triunghiurile sunt bicentrice.) Centrele cercurilor înscris și circumscris în general nu se suprapun.
Centrul unui poligon oarecare poate fi definit în mai multe feluri. „Centroidul vârfurilor” vine din considerarea poligonului ca fiind gol, dar având mase egale în vârfurile sale. „Centroidul laturilor” vine din considerarea laturilor ca având o masă constantă pe unitate de lungime. Centrul obișnuit, numit doar centroid (baricentru), este punctul de sprijin în care de poligonul este în echilibru considerând suprafața poligonului ca având o masă constantă (de fapt greutate constantă, căci termenul de „echilibru” se referă la echilibrul forțelor) pe unitatea de suprafață. Aceste trei puncte în general nu se suprapun în același punct.
În geometria proiectivă orice dreaptă are un punct de la infinit sau „punct figurativ” unde se intersectează toate dreptele care sunt paralele cu aceasta. Tot în geometria proiectivă, elipsa, parabola și hiperbola geometriei euclidiene sunt numite conice și pot fi construite drept conice Steiner dintr-o proiectivitate care nu este o perspectivă. O simetrie a planului proiectiv cu o conică dată raportează fiecare punct sau pol la o dreaptă numită polară. Conceptul de centru în geometria proiectivă folosește această relație. Următoarele afirmații sunt de la G. B. Halsted: