Produk karangan bunga

Dalam teori grup, hasilkali karangan bunga atau darab karangan bunga (bahasa Inggris: Wreath product) adalah hasil kali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.
Diberikan dua grup A {\displaystyle A} dan H {\displaystyle H} , terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: hasilkali karangan bunga takterbatas A Wr ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} H} (juga ditulis A ≀ H {\displaystyle A\wr H} dengan simbol LaTeX \wr) dan hasilkali karangan bunga terbatas A wr ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} H} . Diberikan himpunan Ω dengan tindakan- H {\displaystyle H} , terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} atau A wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H} .
Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.
Misalkan A {\displaystyle A} dan H {\displaystyle H} menjadi grup dan Ω {\displaystyle \Omega } satu himpunan dengan H {\displaystyle H} bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan K {\displaystyle K} menjadi hasilkali grup langsung
dari salinan A ω := A {\displaystyle A_{\omega }:=A} diindeks oleh himpunan Ω {\displaystyle \Omega } . Elemen K {\displaystyle K} dapat dilihat sebagai sembarang urutan ( a ω ) {\displaystyle (a_{\omega })} dari elemen A {\displaystyle A} diindeks oleh Ω {\displaystyle \Omega } dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan H {\displaystyle H} pada Ω {\displaystyle \Omega } meluas secara alami menjadi tindakan H {\displaystyle H} pada grup K {\displaystyle K} oleh
Kemudian hasilkali karangan bunga takterbatas A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} dari A {\displaystyle A} oleh H {\displaystyle H} adalah hasilkali setengah langsung K ⋊ H {\displaystyle K\rtimes H} . Subgrup K {\displaystyle K} dari A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} disebut basis dari hasilkali karangan bunga.
Hasilkali karangan bunga terbatas A wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H} dibuat dengan cara yang sama seperti hasil kali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung
sebagai dasar hasil kali karangan bunga. Dalam hal ini elemen K {\displaystyle K} adalah urutan ( a ω ) {\displaystyle (a_{\omega })} elemen di A {\displaystyle A} diindeks oleh Ω {\displaystyle \Omega } yang semuanya kecuali banyak a ω {\displaystyle a_{\omega }} adalah elemen identitas dari A {\displaystyle A} .
Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan Ω := H {\displaystyle \Omega :=H} , di mana H {\displaystyle H} bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasil kali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan A Wr ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} H} dan A wr ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} H} . Ini disebut hasil kali karangan bunga beraturan.
Struktur hasil kali karangan bunga dari A {\displaystyle A} oleh H {\displaystyle H} bergantung pada himpunan H {\displaystyle H} dari Ω {\displaystyle \Omega } dan jika Ω {\displaystyle \Omega } tak terbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasil kali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.
Karena hasil kali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasi lkali karangan bunga tak terbatas A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} dan terbatas A wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H} setuju jika himpunan- H {\displaystyle H} dari Ω {\displaystyle \Omega } terbatas. Khususnya, ini benar ketika Ω = H {\displaystyle \Omega =H} .
A wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {wr} _{\Omega }H} selalu merupakan subgrup dari A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} .
Jika A {\displaystyle A} , H {\displaystyle H} dan Ω {\displaystyle \Omega } adalah terhingga, maka
| A ≀ Ω H | = | A | | Ω | | H | {\displaystyle \left|A\wr _{\Omega }H\right|=\left|A\right|^{\left|\Omega \right|}\left|H\right|} .
Jika G {\displaystyle G} adalah ekstensi dari A {\displaystyle A} oleh H {\displaystyle H} , maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas A ≀ H {\displaystyle A\wr H} yang isomorfik dengan G {\displaystyle G} . Ini juga dikenal sebagai teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.
Jika grup A {\displaystyle A} bertindak pada himpunan Λ {\displaystyle \Lambda } , maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari Ω {\displaystyle \Omega } dan Λ {\displaystyle \Lambda } yang mana A Wr Ω ⁡ H {\displaystyle A\operatorname {Wr} _{\Omega }H} (and therefore also A wrΩ H) can act.