Interior (topología)

Sea ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} un espacio topológico, y A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} . Se define el interior de A {\displaystyle A} (notado int ( A ) {\displaystyle {\text{int}}(A)} , A ∘ {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}} , o A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} ) como la unión de todos los abiertos contenidos en A {\displaystyle A} .​ Es decir, V = int ( A ) {\displaystyle V={\mbox{int}}(A)} si y solo si V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en V {\displaystyle V} (ver #Ejemplos).
Constructivamente, se define int ( A ) = ⋃ { V ∈ T : V ⊂ A } {\displaystyle {\mbox{int}}(A)=\bigcup \{V\in {\mathcal {T}}:V\subset A\}} . Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.
El interior topológico se puede caracterizar en el caso general por medio de entornos de la siguiente manera:
Si ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} consiste en un espacio métrico, se puede desarrollar aún más:
En este caso, un punto a ∈ A {\displaystyle a\in A} es parte del interior de A {\displaystyle A} solamente si existe una bola abierta contenida en A {\displaystyle A} , centrada en el punto a {\displaystyle a} con radio ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , o sea, radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).
Las siguientes son las principales propiedades del interior:
Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales I {\displaystyle \mathbb {I} } y los racionales Q {\displaystyle \mathbb {Q} } en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.​
El interior del conjunto en forma de intervalo I = [ a , b ) {\displaystyle I=[a,b)} es precisamente int ( I ) = ( a , b ) {\displaystyle {\text{int}}(I)=(a,b)} , se puede ver que ese conjunto es abierto y contenido en I, por tanto la unión de cualquier colección numerable de subintervalos abiertos de I de la forma ( a i , b i ) {\displaystyle (a_{i},b_{i})} con a i > a , b i < b {\displaystyle a_{i}>a,b_{i}<b} será de la forma:
Dado que todos ellos están incluidos en int ( I ) = ( a , b ) {\displaystyle {\text{int}}(I)=(a,b)} , por otra parte el conjunto [ a , b ) = ( a , b ) ∪ { a } {\displaystyle [a,b)=(a,b)\cup \{a\}} no es abierto, y por esa razón el mayor conjunto abierto posible contenido en él es ( a , b ) = int ( I ) {\displaystyle (a,b)={\text{int}}(I)} . Para completar los detalles de la prueba habría que ver que cualquier subconjunto abierto de I = [ a , b ) {\displaystyle I=[a,b)} está contenido en ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , cosa que es sencilla probando que cualquier conjunto abierto contenido en el conjunto [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} es una unión de intervalos de la forma ( a i , b i ) {\displaystyle (a_{i},b_{i})} (con la condición de que a i > a , b i < b {\displaystyle a_{i}>a,b_{i}<b} ).
De manera similar se puede demostrar que int [ a , b ] = ( a , b ) {\displaystyle {\text{int}}[a,b]=(a,b)} , que int ( a , b ] = ( a , b ) {\displaystyle {\text{int}}(a,b]=(a,b)} o que int ( a , b ) = ( a , b ) {\displaystyle {\text{int}}(a,b)=(a,b)} (en este caso el propio conjunto es su interior).
La circunferencia unidad S tiene interior vacío. Es decir
Este caso es bastante claro si uno se da cuenta de que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia. Si consideramos los puntos en el círculo cerrado D
entonces notamos que int ( D 1 ) = B 1 ( ( 0 , 0 ) ) ≡ B 1 ( 0 ) {\displaystyle {\text{int}}(D^{1})=B_{1}((0,0))\equiv B_{1}(0)} . Podemos construir este caso fácilmente:
Usando ambas proposiciones podemos concluir que B 1 ( 0 ) = int ( D 1 ) {\displaystyle B_{1}(0)={\text{int}}(D^{1})} que es lo que buscábamos comprobar.