Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802–1829) var en norsk matematiker. Han tok opp og løste problemer som andre hadde strevd med i hundrevis av år, gjorde nye oppdagelser og formulerte spørsmål som den dag i dag er sentrale i moderne matematikk.
Abel ble først kjent for å ha bevist at den generelle femtegradsligningen i alminnelighet ikke kan løses med de elementære regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning. Ved å skrive om elliptiske integral på en helt ny måte, oppdaget han elliptiske funksjoner som har fått en sentral plass i teorien om komplekse funksjoner. I denne sammenhengen beviste han også sitt fundamentale addisjonsteorem som spiller en viktig rolle i algebraisk geometri og danner grunnlaget for de mer abstrakte, abelske funksjoner. Alt dette ble gjort i løpet av fem-seks år. Da han døde bare 26 år gammel, var han fremdeles lite kjent i utlandet. Internasjonalt tilhører han i dag de mest berømte matematikere som har levd de siste 200 år. I Norge regnes Abel som den fremste matematiker gjennom alle tider, ofte sammen med Sophus Lie.
I forbindelse med markeringen av 200-årsdagen for Abels fødsel, etablerte Stortinget i 2002 Abelprisen. Da det ikke er noen nobelpris i matematikk, ble en slik pris foreslått i 1899 av Sophus Lie. Betydningen av Abels matematiske gjennombrudd var da blitt ubestridelig. Likevel tok det hundre år før prisen ble virkeliggjort.
Far til Niels Henrik var Søren Georg Abel, utdannet til prest, og stammet fra en familie som opprinnelig kom fra Schleswig-Holstein. Han hadde vokst opp på Gjerstad nord for Risør hvor hans far var sogneprest. Med en utadvendt personlighet, og positiv innstilling til det moderne, forkynte han troen på menneskets evne til å løse alle livets gåter ved hjelp av fornuften.
I det livlige selskapslivet i Risør traff han Anne Marie Simonsen, som var datter til en rik skipsreder i byen. De giftet seg i 1800 og flyttet til Finnøy i Rogaland, hvor mannen hadde fått sitt eget embete som sogneprest. Der ble han godt mottatt og etablerte seg raskt som en respektert og fremtredende mann i samfunnslivet. Ekteparet Abel fikk to sønner, Hans Mathias og Niels Henrik, mens de bodde på Finnøy. Niels Henrik ble sannsynligvis født i nabosoknet Nedstrand mens foreldrene var på besøk hos sorenskriveren. Da hans far døde i 1804, flyttet familien til Gjerstad hvor Søren Abel fortsatte som sogneprest etter sin far. Niels Henrik var da to år gammel.
Abel vokste opp på Gjerstad prestegård sammen med sin eldre bror, tre yngre brødre og en søster. Hans skolegang foregikk hjemme og ble besørget av faren, som tidligere hadde skrevet en ny katekisme som ble utgitt i 1806. I tillegg hadde han skrevet en lærebok til eget bruk som tok opp mål og vekt, de fire regningsartene, grammatikk, litt geografi og historie. Hans kone var mindre opptatt med barna og brukte stadig mer tid på festlige arrangementer og et levnet som bygdens folk fant lite passende.
Fra tiden på Finnøy var faren blitt en god venn med Peder Mandrup Tuxen. Han var dansk marineløytnant og stasjonert i Norge i forbindelse med krigen mot England og den resulterende fastlandssperringen. Etter å ha flyttet til Gjerstad forble han en fast gjest i prestegården. Med sin bakgrunn i navigasjon og matematikk hadde han sannsynligvis en stimulerende innflytelse på den unge Niels Henrik. Der møtte han også prestefruens yngre søster Marie Elisabeth Simonsen som han senere giftet seg med. Tuxen var blant annet dyktig til å lage skyggemalerier eller silhuetter av folk han kjente.
Den anseelse far til Niels Henrik tidligere hadde hatt, hadde avtatt etterhvert. En del av skylden for dette kan føres tilbake til det vellevnet bygdens folk så på prestegården, hvor mange mente at både sognepresten og hans kone led under drukkenskap. Likevel ble Søren Abel høsten 1814 valgt inn på Stortinget. Han var med i forhandlingene om den nye unionen med Sverige, hvor han gjorde seg bemerket.
I 1815 ble Niels Henrik sendt hjemmefra for å begynne på katedralskolen i Christiania. Familien hadde dårlig råd og moren var stadig oftere syk. Heldigvis fikk han etterhvert noen mindre stipend. Etter et år begynte også hans eldre bror Hans Mathias på skolen, og begge fikk friplass. Skolens viktigste fag var latin, som inngikk sammen med undervisning i religion, gresk, historie og geografi, samt språk som tysk og fransk. Niels Henrik skulle ikke bli prest, så han slapp hebraisk og tok i stedet engelsk. I matematikk ble det undervist tre timer i uken. Faren må ha gitt de to guttene en god bakgrunn, da ingen av dem hadde noe problem med å følge med. Niels Henrik fikk gode karakterer uten å utmerke seg spesielt.
Skolens tidligere matematikklærer Søren Rasmusen var nylig sluttet og hadde tatt en stilling som professor på det nyopprettete Kongelige Frederiks Universitet. På katedralskolen hadde Hans Peter Bader overtatt undervisningen. Han underviste på gamlemåten og var kjent for å være ganske brutal. Hvis en elev hadde gjort noe galt gikk han ikke av veien for fysiske avstraffelser. Dette opplevde også Niels Henrik på tross av at han ikke hadde noe problem med matematikken. Sosialt deltok han aktivt sammen med de andre elevene og likte ikke å være alene. På den tiden fikk han også sansen for å gå i teatret.
I mellomtiden var faren blitt stadig mer kontroversiell. Han ble først anklaget for å ha ledet tusener inn i fordervelsen med sin katekismebok. I tillegg deltok han i andre diskusjoner som gjorde ham enda mer omstridt. Dette må den unge Niels Henrik ha opplevd som vanskelig. Hans karakterer på skolen ble dårligere slik at han endte opp med å bli oppflyttet «på prøve» i 1817. I september samme høst ble han konfirmert i Vår Frelsers kirke, 15 år gammel.
I november 1817 ble Bader fjernet fra stillingen som matematikklærer. Han hadde då slått en elev så mye at han døde noen dager senere. Stillingen ble like før jul overtatt av den unge Bernt Michael Holmboe som dermed ble Abels matematikklærer. Holmboe var svært kunnskapsrik og dyktig. Før han fikk stillingen på katedralskolen, hadde han vært assistent for professor Christopher Hansteen ved universitetet. Undervisningen til Holmboe var ganske forskjellig fra den gamle lærerens. Han begynte blant annet å gi elevene selvstendige oppgaver, noe som ikke var så vanlig på den tiden. Dette ser ut til å ha vært noe som gav gnisten til Abels interesse for matematikk, og etter kort tid oppdaget Holmboe at den unge studenten hadde enestående matematiske evner.
Holmboe ga deretter Niels Henrik privatundervisning og rettledet ham i den matematiske litteraturen. Niels Henrik fikk låne Holmboes matematikkbøker fra universitetet, og han studerte dem ivrig. En av bøkene som hadde stor påvirkning på ham var Leonhard Eulers innføringsbøker i matematisk analyse som omhandlet integral- og differensialregning. Nå var det slutt med å låne skjønnlitteratur på skolebiblioteket. I stedet ble det lest mer og mer verk av de store matematikere som Isaac Newton, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange og Gauss samt innslag av moderne mekanikk og astronomi. Han gjorde seg kjent med løsningen av tredjegrads- og fjerdegradsligningen og begynte snart med sine egne utregninger og betraktninger i sine arbeidsnotater Matematiske Utarbeidelser. Uten påvirkningen til Bernt Michael Holmboe er det ikke sikkert at Abel hadde blitt den store matematiker som han nå snart skulle bli.
I begynnelsen av 1818 var faren tilbake i Christiania som nyinnvalgt stortingspolitiker. Igjen var han i sentrum av forskjellige aktiviteter og opplevde både noen seire, men kanskje mest motgang etter forskjellige utspill. Mange mente han drakk for mye. Holmboe ble raskt imponert over Niels Henrik og spådde ham en fremtid som en stor matematiker. Han ga i tillegg denne spesielle eleven privatundervisning, og snart ble han også kjent blant professorene på universitet. Spesielt ville Christopher Hansteen og hans familie bety mye for den unge Abel. Høsten 1819 startet han i øverste klasse ved katedralskolen på tross av at karakterene ikke var de beste, bortsett fra i matematikk. Hans bror hadde derimot gått skoletrett og reiste hjem ved juletider. Deres far var blitt syk og døde våren 1820. Niels Henrik var ikke i begravelsen hvor moren gjorde skandale med sin drukkenskap. Hun måtte flytte fra prestegården og hadde økonomiske problemer. Niels Henrik følte han hadde et ansvar for henne og sine søsken.
I det siste året på katedralskolen mente Abel å ha funnet en algebraisk løsning av femtegradsligningen. Holmboe kunne ikke finne noen feil i beregningen, heller ikke Rasmusen eller Hansteen ved universitetet. De var professorer i henholdsvis ren og anvendt matematikk. Hansteen hadde gode kontakter i utlandet og sendte arbeidet til professor Carl Ferdinand Degen i København som var den mest kjente matematiker i Skandinavia. Håpet var at løsningen til Abel kunne publiseres av Videnskapsselskapet der. Degen kunne ikke finne noe galt med beregningen, noe som han skrev i et brev til Hansteen våren 1821, men han ville gjerne se hvordan løsningen kunne brukes i et praktisk eksempel. Han forslo ligningen x - 2x + 3x - 4x + 5 = 0. Som avslutning føydde han til at Abel hadde et meget godt talent for matematikk, men at han heller burde bruke sin begavelse på et mer fruktbart problem. Han foreslo en undersøkelse av de elliptiske integral som Legendre hadde gjort kjent. Dette viste seg å være et meget godt råd, men Abel la likevel ikke helt bort problemet med femtegradsligningen.
Sommeren 1821 avla han examen artium med toppkarakterer i aritmetikk og geometri, men ellers med ganske middelmådige resultat. Dette var neppe godt nok til å fortsette på et lukket studium, men lot han fortsette som student ved universitetet samme høst.
Abel og hans familie var nå omtrent uten økonomiske midler slik at den nye studenten slapp utgifter til innkvartering etter at han kunne flytte inn på Regensen. Den lå i samme bygg hvor universitetet avholdt forelesningene og besto av noen rom som var disponert til studentboliger. Her ble han boende i fire år til han forlot byen i 1825. Han delte rom med sin yngre bror Peder.
Etter et år avla han examen philosophicum hvor han igjen kun utmerket seg i de matematiske fagene. Det fantes ikke noen videregående studier i realfag ved universitetet så tidlig etter dets start i 1813 slik at det ikke var så mye mer for ham å lære der hvis han ikke skulle følge de vanlige embetsstudiene. På den tiden hadde han sannsynligvis større kunnskaper i matematikk enn noen andre i Norge. Han måtte derfor studere på egen hånd, noe som bekreftes av hans utlån av vitenskapelige verker fra biblioteket. Det var nå han begynte å gjøre sine egne oppdagelser i matematikkens vidunderlige verden og dermed startet sin løpebane mot berømmelse.
Vinteren 1823 startet Hansteen sammen med noen kollegaer ved universitetet Norges første tidsskrift for naturvitenskap. Det hadde navnet Magazin for Naturvidenskaberne og skulle styrke faget i landet. I det første nummeret hadde Abel sitt første arbeid på trykk. Det bar tittelen Alminnelig Methode til at finde Funktioner af een variabel Størrelse, naar en Egenskab af disse Functioner er udtrykt ved en Ligning imellem to Variable. Neppe mange kunne forstå hva som her ble presentert, og Hansteen måtte gå ut å forsvare matematikkens betydning innen naturvitenskapen. Abel publiserte flere mindre arbeid i tidsskriftet i de neste utgavene, blant annen et om månens innflytelse på en svingende pendel. Dette arbeidet er hans første i mer anvendt matematikk og omhandler et fysisk problem som sannsynligvis var oppstått i diskusjoner med Hansteen. Han var på den tiden i gang med å innføre mer presise enheter for mål og vekt i Norge som han beskrev i det første nummeret av magasinet. Her skulle enheten for lengde være definert ut fra en pendel med svingetid på et sekund. På sikt skulle det vise seg at både Hansteens nye tidsskrift og hans anbefalte måleenheter ikke ble noen suksess.
Våren samme år leverte Abel inn et nytt manuskript til kollegiet ved universitetet med en søknad om midler for å få det trykt. Dette var skrevet på fransk og han vurderte det sannsynligvis av så stor betydning at han ville la et større, utenlandsk publikum bli kjent med resultatene. I sakspapirene rapporteres det at manuskriptet gir en fremstilling av muligheten til å integrere alle mulige differensialformler. Professorene Hansteen og Rasmusen fikk i oppdrag å vurdere det. Under den videre behandling av søknaden forsvant manuskriptet, men det er ikke umulig at det inneholder de første spirene til hans store addisjonsteorem.
På denne tiden var det blitt klart at Abel måtte utenlands for å lære mer. Sommeren 1823 fikk han et privat stipend fra Rasmusen på 100 spesidaler for å reise til København og besøke matematikere ved universitetet der, i første rekke Degen. Abel ble godt mottatt og bodde hos marineløytnant Tuxen som nå var blitt hans onkel. Det var under dette oppholdet Abel begynte studiene av elliptiske funksjoner som han senere skulle bli så kjent for. Også problemene rundt femtegradsligningen og Fermats gikk han nå løs på. Under dette oppholdet møtte han også Christine Kemp som han ble begeistret for.
Abel var tilbake i Christiania tidlig på høsten samme år etter et inspirerende utenlandsopphold. Han mente nå å ha funnet et bevis for at femtegradsligningen i alminnelighet ikke kunne løses algebraisk. Dette mente han var så viktig at han skrev det på fransk og ville få det her i landet trykt slik at det kunne leses i utlandet. Han ga det tittelen Mémoire sur les équations algébriques, oǜ on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cincquième degré og forkortet det ned til seks sider for å spare på trykkeutgiftene. Arbeidet kom ut våren 1824 og synes å ha vakt mindre oppmerksomhet enn hva Abel hadde håpet på. En grunn kan være at Hansteen hadde sendt arbeidet om pendelens bevegelse til Schumacher som redigerte det tyske tidsskriftet Astronomische Nachrichten. Og denne hadde påvist en alvorlig feil i arbeidet som skyldes at Abel i beregningen hadde antatt at Jorden var i ro. Dette kan ha bidratt til at Abels anseelse ikke var den beste i de kretser da Schumacher var i jevnlig kontakt med Gauss i Göttingen.
På denne tid hadde Abel fått vite at hans søknad til kollegiet ved universitetet var blitt behandlet og at han ville bli bevilget et større stipend slik at han kunne reise til utlandet og treffe de største matematikere. Men han ble samtidig anbefalt å vente to år med reisen for å kunne forbedre seg i blant annet fremmede språk. Senere samme år kom Christine Kemp til Norge hvor hun hadde fått en stilling som guvernante i Son. Der var Abel privatlærer i matematikk for sønnen til den lokale overtollbetjenten. Han omtalte sin danske venninne nå som «Crelly». Julen 1824 forlovet de seg.
I løpet av 1825 ble Abel mer og mer utålmodig med å komme seg til utlandet. Om sommeren sender han et brev direkte til den norsk-svenske kongen Karl Johan om midler til å kunne reise med en gang. Denne søknaden blir raskt innvilget, og i september samme år setter han igjen kursen for København og det europeiske kontinentet sammen med to medstudenter, fysiologen Christian Boeck og geologen Nicolai Møller.
Planen var at Abel skulle reise til Göttingen for å besøke Gauss og deretter reise videre til Paris. I København ble han bare en uke etter at hans studentvenner fikk han overtalt til å bli med til Berlin. Han fikk med seg derfra et anbefalingsbrev for å møte Geheimrat August Leopold Crelle som var en matematikkinteressert ingeniør i Berlin. På veien dit stoppet de i Hamburg hvor Abel møtte astronomen Schumacher som tok vennlig mot ham. som var studievenner. De ønsket å dra til Berlin, og Abel lot seg lett overtale.
I Berlin hadde en annen studievenn leid noen rom for dem i sentrum av byen. De norske studentene fant seg godt til rette, og takket være Crelle kom Abel raskt i kontakt med matematikkmiljøet og det sosiale liv i byen. I Am Kupfergraben 4a rakk han å rangle så høylytt at naboen over, filosofen Hegel, klaget. Abel døde fire år senere, Hegel to år etter ham igjen. Nr 4a ble ødelagt under andre verdenskrig, og minnetavlen over Hegel plassert på nr 5, mens minnetavlen over Abel er på det nybygde 4a.
Crelle hadde lenge ønsket å gi ut et matematisk tidsskrift som kunne ta opp kampen med de veletablerte franske, og møtet med Abel gjorde at dette ble til virkelighet. Det fikk navnet Journal für die reine und angewandte Mathematik, og ble snart omtalt som Crelles Journal. Allerede et par måneder etter ankomsten hadde Abel ferdig tre artikler som skulle publiseres her. En av dem var en utvidet og forbedret versjon av hans bevis for at en generell femtegradsligning ikke kan løses ved rotutdragning med tittel Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré. Den ble oversatt til tysk og trykt i journalens første nummer som utkom våren 1826. Her skulle Abel publisere det meste av det han skrev, og det var mye på grunn av artiklene til Abel at tidsskriftet raskt fikk ry som ett av Europas ledende.
I mellomtiden hadde Søren Rasmusen fratrådt sitt professorat i Christiania for å bli Zahlkasserer. Både Abel og Holmboe var aktuelle for å overta stillingen. I desember 1825 ble det bestemt at den skulle gå til Holmboe. Dette var primært basert på at Abel ennå var så ung og kanskje ville ha problemer med å undervise mer elementær matematikk på en forståelig måte. Dette var selvsagt en stor skuffelse for Abel som ikke hadde noen stilling i Norge å gå tilbake til etter utenlandsoppholdet.
På nyåret 1826 fikk de norske studentene i Berlin besøk av Mathias Keilhau som studerte bergvitenskap i Freiberg i Sachsen. Etter en måned sammen der bestemte de seg for å gjennomføre en større reise gjennom Sentral-Europa og ned til Nord-Italia. Abel måtte skrive til Hansteen for å unnskylde avviket fra den fastsatte reiseplanen. Han forklarte det med at Gauss var lite tilgjengelig, men at han ville prøve senere. Abel og Keilhau reiste først og ankom Freiberg i slutten av februar. Abel ble der en måned og fikk videreført sine forskjellige, matematiske undersøkelser.
Etter å ha møttes igjen i Dresden, begynte de fem studentene sin reise med Wien som første mål. Der ble de i seks uker etter et kort opphold i Prag. Derfra fortsatte de via Graz og Trieste til Venezia hvor de ankom i begynnelsen av juni måned. Abel begynte å bli utålmodig etter å komme seg til Paris som var grunnen for stipendiet han hadde fått. Reisen videre gikk via Padova og Verona til Bolzano, hvor gruppen splittet opp. I midten av juli måned kom Abel til Paris etter en reise via Innsbruck og sentrale deler av Sveits. Husly fant han med hjelp av maleren Johan Gørbitz som også lagde det eneste, kjente portrettet av den norske matematikeren i løpet av året 1827.
På Abels tid representerte Paris det viktigste matematiske miljøet i verden. Her virket store matematikere som Cauchy, Poisson, Legendre og Fourier. Laplace var ikke lenger aktiv, men Abel hadde studert arbeidene hans og hadde stor respekt for ham. Men det viste seg snart at det ikke var lett å komme i kontakt med disse matematikerne. Abel var utålmodig etter den lange reisen med å komme i gang igjen med sine matematiske arbeid. Han hadde stor tro på at hans snart ferdigskrevne avhandling om addisjonsteoremet for elliptiske integral og dets generaliseringer, ville kunne åpne mange dører. I tillegg ville han samle alle sine resultat om elliptiske funksjoner i et større verk som kanskje Crelle kunne utgi som egen bok.
I midten av august kom Keilhau til Paris og ble der i to måneder. Dette virket oppmuntrende på Abel og vennskapet dem imellom ble styrket. Den 30. oktober ble avhandlingen Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes om addisjonsteoremet presentert for Vitenskapsakademiet i Paris. Legendre og Cauchy ble oppnevnt som sakkyndige for å vurdere den. Avhandlingen var på nesten sytti sider og var matematisk meget krevende. Abel hørte ikke noe mer fra akademiet etter denne fremleggelsen. I ettertid viste det seg at denne «Paris-avhandlingen» inneholdt hans største resultat og viktigste innsikter, men var tilsynelatende blitt oversett og henlagt. Den ble endelig trykt først i 1841, lenge etter Abels død.
I tillegg var han blitt syk, og han følte seg spesielt dårlig etter at Keilhau var reist. Oppholdet i Paris ble en skuffelse for Abel. Han opplevde den store Cauchy som både sær og arrogant, og Poisson, Fourier og andre av matematikerne fra Paris jobbet stort sett nesten bare med mer anvendt matematikk. Men likevel fortsatte han sitt arbeid og begynte å skrive sammen sine resultat om elliptiske funksjoner. I denne forbindelsen viser han hvordan lemniskaten kan deles med kun bruk av passer og linjal i like lange buelengder på samme måte som Gauss tidligere hadde delt sirkelen.
Crelle hadde hele støttet og oppmuntret Abel. Han var klar over at Abel var en sjelden matematisk begavelse som snart kunne stå uten penger og fast stilling i Norge. Han begynte derfor nå å undersøke mulighetene for at Abel kunne få hjelp fra miljøet i Berlin. Blant annet prøvde han å ta kontakt med Alexander Humboldt som øvde stor innflytelse i slike saker. Men dette ble det ikke noe av.
Ved årsskiftet 1826/1827 reiste Abel tilbake til Berlin via Aachen, Köln, Kassel og Magdeburg uten å ta kontakt med Gauss. Det norske stipendiet gikk nå mot slutten, og han sto snart uten penger. I Berlin fikk han tilbud om å bli redaktør av Crelles Journal, men på grunn av hjemlengsel takket han nei. Crelle på sin side fortsatte å arbeide for å gi Abel en sikker stilling der i byen. Han skrev ferdig første del at sitt store og elegante verk Recherches sur les fonctions elliptiques om elliptiske funksjoner. I tillegg fortsatte han arbeidet med polynomligninger. Han visste at når de har grad større enn fire, lar de seg i alminnelighet ikke løse algebraisk. Men det finnes unntak, og Abel ville finne ut hva som karakteriserte slike løsbare ligninger.
I begynnelsen av mai, 1827 er Abel tilbake i Christiania etter noen dager i København. Der hadde han møtt sin forlovede som var flyttet til sin søster i Aalborg. Sammen med sin onkel Tuxen ble det lagd planer om å finne en ny stilling for henne som guvernante i Norge. For at han skal kunne forsørge seg selv og kunne gifte seg, måtte han ha en fast stilling. Ingen i Christiania kunne love han noe sånt, noe som kan skyldes at resultatet av utenlandsoppholdet ikke ble vurdert som spesielt vellykket. Ikke hadde han truffet den store Gauss, og hans arbeid var publisert i en ny journal som få visste om. Men likevel bevilget kollegiet 200 spesidaler for året som fulgte.
Høsten 1827 hadde Christine Kemp fått seg en ny stilling ved Frolands verk. Abel arbeidet videre på andre delen av den store avhandlingen om elliptiske funksjoner hvor han beskrev deres transformasjoner og lemniskatens deling. Han hadde nå oppgitt tanken på å utgi dette som en bok og ville i stedet publisere innholdet i mindre artikler. Parallelt med dette fortsatte han arbeidet med ligningsteori. Gjennom sine publikasjoner i Crelles Journal begynte han å oppnå berømmelse og anerkjennelse i utlandet. Men hjemme i Norge levde han stadig i trange økonomiske kår etter de store utleggene han hadde hatt på Europa-reisen. Han måtte ta opp nye lån og søkte arbeid som privatlærer. Heldigvis ble det klart på denne tiden at Hansteen ville behøve en vikar i forbindelse med sin forskningsreise til Sibir. Abel skulle ta over undervisningen ved universitetet og på den militære høyskolen hvor han skulle forelese mekanikk og astronomi. Da han begynte med dette i begynnelsen av 1828, hadde han utsikt til en samlet årslønn på omtrent 500 spesidaler. Men han var nå merket av sykdommen som han hadde lidd av siden oppholdet i Paris. Det viste seg å være tuberkulose.
Andre del av verket om elliptiske funksjoner var ferdig i februar, 1828. Men da var han blitt klar over at Carl Gustav Jacobi hadde publisert et arbeid i Astronomische Nachricthen som omhandlet transformasjoner av elliptiske integral. Abel klarte å få med en kommentar til dette i sin egen artikkel hvor han påpeker at Jacobis resultat lett kan utledes fra hans egne transformasjonsformler. Men noen uker senere får Abel virkelig et sjokk da han blir kjent med et nytt arbeid av Jacobi hvor han benytter elliptiske funksjoner som Abel allerede hadde oppdaget, uten å referere til dette arbeidet. Abel ble ganske bleeg og måtte ta en bitter snaps. Men snart har han ferdig en kommentar til Jacobis arbeid som blir sendt til Schumacher i Hamburg på slutten av mai måned. Spøkefullt omtalte Abel dette arbeidet som «min dødelse av Jacobi». Midt oppi denne kontroversen gjør han et nytt verk ferdig om ligningsteori som Crelle vil trykke. Her undersøkte han nærmere det som mange år senere blir omtalt som «Abelske ligninger».
Sommeren 1828 fikk Abel vite fra Crelle at han kunne få en stilling der som «privatdosent». Men Abel hadde liten lyst å forlate Christiania selv om han der fremdeles var i stadige vanskeligheter grunnet sin dårlige økonomi. Han måtte i stor grad også forsørge moren og flere av sine søsken. Etter et ferieopphold på Froland med sin forlovede, fikk han overraskende kontrabeskjed fra Crelle at det likevel ikke ble noe av stillingen i Berlin. Dette var på tross av at Abel nå var blitt berømt ved europeiske læresteder på grunn av kappestriden med Jacobi og den nye matematikken han hadde utviklet. Han innså det nå nødvendig å bekjentgjøre sitt store addisjonsteorem da han ennå ikke hadde hørt noe fra Paris. Tidlig på høsten har han derfor skrevet ferdig en kortere artikkel Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes som han igjen sender til Crelle. Her bruker han teoremet på det spesielle tilfellet med hyperelliptiske integral og hvor for første gang det begrepet oppstår som mange år senere vil ble kalt genus til en algebraisk kurve.
Abel fortsatte intenst med sine arbeider, men ble stadig mer svekket av sykdommen. Mens Jacobi skrev sammen sin resultater om elliptiske funksjoner Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum som han ville få trykt som bok for egen regning, bestemte Abel om å gjøre det samme i et større verk Précis d’une théorie des fonctions elliptiques som Crelle lovet å trykke uten at det ville koste Abel noe. I utlandet var det blitt kjent under hvilke vanskelige forhold Abel arbeidet, og i september 1828 sendte Legendre, Poisson, Lacroix og Baron de Maurice et brev til kong Karl Johan om situasjonen til Abel. Målet var å få opprettet en stilling for Abel ved vitenskapsakademiet i Stockholm. Samtidig arbeidet Crelle på nytt for å få skaffe Abel noe lignende i Berlin. Den store Paris-avhandlingen var fremdeles forsvunnet. Uten å nevne denne, tar Abel kontakt med Legendre i Paris. Fra deres korrespondanse går det klart frem at Legendre ser på Abel og hans arbeid med stor beundring.
Julen 1828 tilbrakte Abel sammen med sin Crelly på Froland verk. Han var stadig mer preget av sykdommen og da julefeiringen var over, klarte han ikke å returnere til Christiania. Da han forsto at det begynte å gå mot slutten, skrev han ned et elegant bevis Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendentes på to sider for det som nå kalles Abels addisjonsteorem slik at det ikke skulle gå tapt. Dette ble sendt til igjen sendt til Crelle. Den 6. april 1829 endte Abel sine dager i sykdom og fattigdom på Froland verk, bare 26 år og 7 måneder gammel. Kun få dager senere og ennå uvitende, sendte Crelle ham et brev der han kunne meddele at nå var Abel sikret fast stilling og en lysende framtid i Berlin.
Abel ble begravet på Froland kirkegård. Før han døde hadde han skrevet til sin gode venn Mathias Keilhau og bedt han ta vare på sin forlovede. Senere giftet de seg og levde tilsynelatende lykkelige i et barnløst ekteskap.
For mange så er det nok femtegradsligningen som forbindes med Niels Henrik Abel, men Abel har satt store spor etter seg i matematikken på flere områder. Arbeidene hans har nok hatt størst innvirkning på tre hovedområder: ligningsteori, teoriene om elliptiske funksjoner og uendelige rekker.
De gamle babylonerne kunne løse andregradsligninger, mens italienske regnemestere som Cardano, Tartaglia og Ferrari fant metoder for å løse ligninger av tredje og fjerde grad. På Abels tid var en av de største utfordringene å finne en metode for å løse femtegradsligninger på samme måte som en kan løse ligninger av andre, tredje og fjerde grad. Man ønsket altså å finne en metode for å finne røttene av en generell femtegradsligning av typen:
Allerede mens Abel var elev ved Katedralskolen hadde han funnet en formel for å løse slike femtegradsligninger, og hverken Abel eller noen andre matematikere i Norge klarte å finne noen feil i formelen. Men etter at Ferdinand Degen i København hadde stilt seg skeptisk til dette, ble Abel han mer og mer overbevist om at det ikke fantes noen slik generell løsning, og at femtegradsligninger ikke kunne løses ved hjelp av en slik generell formel. På den tiden visste ikke Abel at italieneren Paolo Ruffini hadde levert et bevis for dette omtrent 25 år før, men etterhvert fant Abel ut at hverken Ruffinis bevis eller hans eget første forsøk på et slikt bevis var holdbare. Abel leverte etter hvert to helt fullstendige beviser for dette, og setningen kalles i dag Abel-Ruffinis teorem.
Det er derimot viktig å være klar over at Abel-Ruffinis teorem ikke sier at generelle femtegradsligninger er uløselig. Det setningen viser er at de ikke lar seg løse ved rotutdragning, slik tilfellet er for andre-, tredje- og fjerdegradsligninger. I algebraens fundamentalteorem viste Gauss lenge før Abels tid at alle slike ligninger har en løsning uttrykt ved komplekse tall. Abel prøvde å finne betingelsene som en slik ligning må oppfylle for at den skal ha en algebraisk løsning. Kan denne uttrykkes kun ved kvadratrøtter, kan den konstrueres ved bruk av passer og linjal.
Elliptiske funksjoner kan sees på som en generalisering av trigonometriske funksjoner (som for eksempel sinus- og cosinus-funksjonene). De oppstår for eksempel i forbindelse med beregning av buelengden til ellipser eller svingetiden for en pendel. Resultatet kan da uttrykkes ved bestemte, elliptiske integral som først var blitt grundig studert av Adrien-Marie Legendre. Etter reisen til København i 1823 arbeidet Abel mye med disse integralene. Abels genistrek var å betrakte dem på en helt annen måte enn det som var blitt gjort til da. I stedet for å studere selve integralene, så han på de omvendte eller inverse funksjonene. Dette fortalte han i et brev til Holmboe allerede i 1823. Året etter i et brev til Degen kunne han fortelle at disse funksjonene har to perioder. Men først i 1827 publiserte han det første arbeidet om elliptiske funksjoner.
Den tyske matematikeren Carl Gustav Jacobi publiserte sitt første arbeid om lignende funksjoner senere samme år. Det utviklet seg snart et slags kappløp mellom ham og Abel, særlig fordi han i begynnelsen synes å ha oversett Abels arbeid. Abel brukte derfor mye av sin energi gjennom sine to siste leveår for å unngå at Jacobi skulle ta for mye av æren for oppdagelsen av disse funksjonene. Det er i dag alminnelig enighet at Abel var først ute med å finne disse funksjonene selv om han ventet lenge med å publisere sine resultat.
I matematikken er en rekke en sum av en endelig eller uendelig følge av tall. En endelig rekke kan behandles med verktøy fra elementær algebra, mens en uendelig rekke krever verktøy fra matematisk analyse.
To av de mest anerkjente matematikerne på Abels tid var Gauss og Cauchy, og de hadde ledet an i prosessen om å gjenopprette logisk stringens i matematikken. Abel var også opptatt av at matematiske setninger skulle ha strenge bevis. Ett av de områdene Abel kritiserte for mangel på stringente bevis dreide seg om uendelige rekker, og spesielt divergente rekker. I en avhandling om binomialformelen, som Abel mente ennå ikke var blitt bevist på en ordentlig måte, viste han hvordan uendelige rekker kunne behandles på en stringent måte. Dette blir nå kalt for Abels konvergensteorem. Dermed lyktes han å bevise at binomialformelen også er gyldig for komplekse eksponenter. Gjennom denne avhandlingen ga dermed Abel et viktig bidrag til formaliseringen av teoriene om uendelige rekker.
Selv om Abels opphold i Paris ble en stor skuffelse, var det en periode hvor han var svært kreativ og produktiv. Det var her han skrev sin store avhandling om integraler av elliptiske funksjoner. Da han leverte den inn i slutten av oktober 1826 skrev han i et brev hjem: «Jeg tør uden Bram sige at den er god. Jeg er nysgjerrig efter at høre Institutets Dom.» I denne avhandlingen viste han sammenhenger mellom algebra, matematisk analyse og geometri som ingen tidligere hadde sett.
Det var den store Cauchy som fikk i oppdrag å bedømme Abels avhandling ved vitenskapsakademiet. Cauchy var derimot langt mer opptatt av egne ideer, og avhandlingen ble lagt til side og glemt. Like etter Abels død ble avhandlingen funnet igjen i Paris. Det franske akademiet bestemte da at den skulle trykkes, og at Abel skulle få akademiets store pris. Så ble avhandlingen borte igjen, og da Holmboe skulle gi ut Abels samlede verker i 1839 var det ikke mulig å få tak i den. Endelig ble den funnet igjen i 1841, og da ble den til slutt trykket. Kort tid etter dette ble avhandlinga sporløst borte igjen. Den ble ikke funnet før i 1959, da den norske matematikeren Viggo Brun til slutt klarte å spore den opp i Firenze.
I 1841 ble Abels store Paris-avhandling trykt, og denne er også med i Abels samlede verker, som kom i 1881. Denne store tobinds-utgaven ble redigert og kommentert av to andre av Norges store matematikere, Sophus Lie og Ludvig Sylow.
Ved Abels hundreårsdag i 1902 var det planlagt en stor minnefest i Oslo, det skulle reises et monument, og det var snakk om å opprette en Abel-pris. Abel-festen ble avholdt i september 1902. I anledningen ble det skrevet dikt og kantater, og det ble arrangert fakkeltog til minne om matematikeren. I 1908 ble Gustav Vigelands Abel-monument reist i Slottsparken, på det som nå kalles for Abelhaugen. Planene om en Abel-pris ble skrinlagt av ulike grunner. Først i forbindelse med markeringen av Abels 200-årsjubileum ble ideen om en slik pris realisert, og nå er Abelprisen opprettet til minne om Niels Henrik Abel.
Flere matematiske begreper bærer hans navn, som abelske grupper og abelske kategorier.
Superdatamaskinen Abel, tilhørende Universitetet i Oslo, er også oppkalt etter ham.
Abel er kanskje tidenes best kjente norske matematiker, og rundt om i verden er det flere steder som er oppkalt etter ham. Alle de største byene i Norge har gater eller plasser oppkalt etter Abel. Oslo har sin Niels Henrik Abels vei samt Abelhaugen, Bergen har en Abelsgate, Trondheim har en allé/gate oppkalt etter Abel, mens Stavanger har både Niels Abels gate og Abelstrappa. Berlin var en av de byene Abel tilbragte mest tid i på sine utenlandsopphold, og her finnes også en Abelstrasse. I Paris finnes det en gate kalt Rue Abel, som også er oppkalt etter Abel.
Det er også flere bygninger som er oppkalt etter Abel, blant annet Niels Henrik Abels hus ved Universitetet i Oslo og Niels Henrik Abels hus ved Universitetet i Agder. På Blindern ved universitetet finnes dessuten en liten bydelskafe: Cafe Abel.
I Sandnes har Jærmuseets avdeling Vitenfabrikken en egen utstilling som har fått navnet Abelloftet. Dette er en utstilling som har fokus på matematikk i ulike former.
Gjerstad hvor Abel vokste opp har sin Niels Henrik Abels vei, som går fra Gjerstad togstasjon til Gjerstad kirke. Holmen Gård i Gjerstad har en egen overnattingsfløy oppkalt etter Abel og hvor alle overnattingsrommene har fått sine egne navn, oppkalt etter Abel, hans verker, viktige personer rundt Abel og viktige steder i Abels liv.
Asteroiden 8525 Nielsabel er også oppkalt etter ham.
I 1902 ble det utlyst en konkurranse om et monument over Abel. Ingebrigt Vik vant konkurransen, men det viste seg etterhvert at det ble Gustav Vigelands bidrag som fikk oppgaven som det offisielle minnesmerket. Hans Abelstatue i Slottsparken ble først vist offentlig på Høstutstillingen i 1904, og en ferdig utgave ble avduket i 1908. Vigeland var også involvert i utsmykkingen av Abels bautaen ved Froland verk i 1905.
Ingebrikt Viks bidrag til konkurransen ble ikke støpt før i 1966/67, og står nå foran Niels Henrik Abels Hus ved Universitetet i Oslo, og på Vikmuseet i Øystese. Gustav Lærum har skapt en statue i gips, og denne står nå på Froland verk. Ved Gjerstad kirke, like ved prestegården i Gjerstad står det en byste av Abel og minnesmerket "Paraskatellipse" som er laget av kunstneren Knut Odden, og på Brokelandsheia, utenfor Abelsenteret i Gjerstad står minnesmerket Abelstolen laget av kunstneren Oskar Tore Brendalsmo. På Abels fødested Finnøy står det også et minnesmerke over den store matematikeren.
Den 6. april 1929, nøyaktig hundre år etter sin død, prydet Abel fire norske frimerker. Frimerkene var gravert av Professor Schirnböck i Wien og kom i fire valører
Abel var dermed den andre ikke-kongelige som var blitt portrettert på norske frimerker, bare Henrik Ibsen kom før ham, i 1928.
Den 5. juni 2002, to hundre år etter sin fødsel, ble Abel igjen hedret på norske frimerker. Da med ett frimerke med valør 5,50 (NK1469) og ett med valør 22,00 (NK1470).
Abel var portrettert på den norske 500-kroneseddel utgitt 1948–76. Portrettet var etter tegning av Johan Gørbitz.
Den 6. april 2016 ble det avdekket en minnetavle ved det huset Abel bodde i under sitt første opphold i Berlin 1825-1826.
Abels samlete verker ble redigert, utvidet og utgitt for andre gang i 1881 av Ludvig Sylow og Sophus Lie. Arbeid som opprinnelig var skrevet på norsk eller tysk, ble oversatt til fransk. Denne samlingen sammen med den første som Bernt Holmboe lagde i 1839, ligger på Abelprisens nettside. Sylow skrev også noen kommentarer til de forskjellige arbeidene.