Toro (geometría)

En geometría, un toro es un tipo concreto de toroide cuya superficie de revolución es generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta)​ o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín torus, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín sterno y griego στορέννυμι, romanizado storénnymi) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.​ Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: una rosquilla, una cámara de neumático, etc.
Geométricamente, se define el toro como el subespacio de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} definido por las ecuaciones paramétricas
donde R {\displaystyle R} es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, r {\displaystyle r} es el radio del conducto, ambas constantes con r < R {\displaystyle r<R} y donde θ , φ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )} son ángulos que determinan el círculo completo. Puede demostrarse mediante el uso de cartas que el toro es una superficie regular.
La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es
La superficie A y el volumen V del toro pueden hallarse empleando el teorema de Papus de Alejandría. Los resultados son:
Topológicamente, el toro, que denotamos por T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} , es el espacio topológico definido como el producto cartesiano de dos circunferencias con la topología producto, esto es S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} . Se puede comprobar que este espacio resulta ser una superficie, y que además esta resulta ser cerrada. En topología hablamos de «el» toro y «un» toro de forma intercambiable, al igual que suele hacerse con espacios topológicos cotidianos; pues consideramos que siempre que estemos hablando de un espacio homeomorfo a S 1 × S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}} , estaremos hablando del toro. Es por tanto importante notar que, salvo homeomorfismo, existen varias formas distintas y equivalentes de definir el toro. Se cumple por supuesto que el toro definido geométricamente (definido por ecuaciones paramétricas), entendido como subespacio topológico de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , es homeomorfo a T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} .
Además, puede obtiene gracias al teorema de clasificación de superficies cerradas, que el toro T 2 {\displaystyle \mathbb {T} ^{2}} es la superficie cerrada orientable de género 1, por lo que es un superficie de notable importancia en la topología.
El toro puede también describirse como un cociente del plano euclídeo bajo la identificación
( x , y ) ∼ ( x + 1 , y ) ∼ ( x , y + 1 ) {\displaystyle (x,y)\sim (x+1,\ y)\sim (x,\ y+1)}
También equivalentemente, el toro puede ser definido como el cociente del cuadrado unidad (esto es la región convexa del plano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1)) generado mediante una identificación específica de los bordes opuestos. Esta identificación es, descrita como su polígono fundamental, A B A − 1 B − 1 {\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}} .
El grupo fundamental del toro es, por las propiedades del grupo fundamental, precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma, es decir, se tiene:
Intuitivamente, el que este grupo sea abeliano significa que un lazo que rodea primero el «agujero» y luego el «cuerpo» del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que recorra primero el «cuerpo» y luego el «agujero». Es decir, los caminos estrictamente meridionales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.
El primer grupo de homología del toro es isomorfo a su grupo fundamental; puesto que dicho grupo fundamental es abeliano.
Análogamente al toro, se define el toro sólido como el espacio topológico tridimensional obtenido mediante el producto cartesiano de un disco y una circunferencia: D 2 × S 1 {\displaystyle D^{2}\times \mathbb {S} ^{1}} .
Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como cociente, R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} /L, donde L es un subgrupo discreto de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} isomorfo a Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} . Esto le da al cociente la estructura de una variedad de Riemann. Quizás el ejemplo más simple de esto sea cuando L= Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} : R 2 / Z 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}} , que también puede describirse como un sistema de coordenadas cartesianas bajo las identificaciones (x, y) ~ (x + 1, y) ~ (x, y + 1). Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como toro plano cuadrado.
Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toro en espacios euclídeos de 4 o más dimensiones. Su superficie tiene curvatura de Gauss cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, véase más abajo).
Un embebido euclídeo simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es el siguiente:
donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomórfico para un toro normal, pero no isométrico. No se puede incrustar analíticamente (mediante una función suave de clase C, 2 ≤ k ≤ ∞) en el espacio tridimensional euclidiano. Una aplicación en el espacio tridimensional requiere que la figura se estire, en cuyo caso se parece a un toroide normal. Por ejemplo, en la siguiente aplicación:
Si R y P en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario (R, P)= (cos(η), sin(η)), entonces u, v y 0 < η < π/2 parametrizan la 3-esfera unidad como un sistema de coordenadas de Hopf. En particular, para ciertas opciones muy específicas de un toro plano cuadrado en la 3-esfera S, donde η= π/4 como arriba, el toro dividirá la 3-esfera en dos subconjuntos de toros sólidos congruentes con la superficie del toro plano antes mencionada como su frontera común. Un ejemplo es el toro T definido por
Otros toros en S que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma Q⋅T', donde Q es una rotación del espacio de 4 dimensiones R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , o en otras palabras, Q es miembro del grupo de Lie SO(4).
Se sabe que no existe ninguna incrustación C (dos veces diferenciable continuamente) de un toro plano en el 3-espacio (la idea de la demostración es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez). Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, dado que tiene curvatura cero en todas partes, debe quedar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción. Por otro lado, según el teorema de Nash-Kuiper, que fue probado en la década de 1950, existe un embebido isométrico C. Esto es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incorporación.
En abril de 2012, se encontró un embebido explícito C (continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio euclídeo tridimensional R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .​​​​ Es un toro plano en el sentido de que, como espacios métricos, es isométrico a un toro cuadrado plano. Tiene una estructura similar a un fractal, ya que se construye corrugando repetidamente un toro común. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene definidas las normales a la supoerficie, lo que produce el llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es hacer que las amplitudes de las corrugaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda".​ Estas corrugaciones infinitamente recursivas se utilizan solo para incrustaciones en tres dimensiones, y no son una característica intrínseca del toro plano. Esta es la primera vez que dicha incrustación se define mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora.
En el estudio de superficies de Riemann, se dice que dos superficies geométricas compactas y lisas son "conformemente equivalentes" cuando existe un homeomorfismo suave entre ellas que preserva el ángulo y la orientación. El teorema de uniformización garantiza que cada superficie de Riemann es conformemente equivalente a una que tiene curvatura gaussiana constante. En el caso de un toro, la curvatura constante debe ser cero. Luego se define el "espacio de módulos" del toro para que contenga un punto para cada clase de equivalencia conforme, con la topología adecuada. Resulta que este espacio de módulos M puede identificarse con una esfera perforada que es lisa excepto por dos puntos que tienen un ángulo menor que 2π (radianes) a su alrededor: uno tiene π y el otro tiene 2π/3.
M puede convertirse en un espacio compacto M* añadiendo un punto adicional que represente el caso límite cuando un toro rectangular se aproxima a una relación de aspecto de 0 en el límite. El resultado es que este espacio de módulos compactado es una esfera con «tres picos», cada uno de los cuales tiene un ángulo inferior a 2π alrededor de ellos (dichos «picos» se denominan cúspides). Este punto adicional tendrá un ángulo cero a su alrededor. Debido a la simetría, M* se puede construir pegando dos triángulos geodésicos congruentes en el plano hiperbólico en sus límites (idénticos), donde cada triángulo tiene ángulos de π/2, π/3 y 0. Como resultado, el área de cada triángulo se puede calcular como π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, por lo que se deduce que el espacio de módulos compactados M* tiene un área igual a π/3.
Las otras dos cúspides se localizan en los puntos correspondientes en M* a a) el toro cuadrado (π) y b) el toro hexagonal (2π/3). Estas son las únicas clases de equivalencia conforme de toros planos que tienen automorfismos conformes distintos de los generados por traslaciones y negación.
Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un toro n dimensional o más comúnmente n-toro, denotado por T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} , se define como el producto de n circunferencias:
El n-toro es R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} módulo la acción del grupo enrejado Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el n-toro se obtiene a partir del n-cubo pegando las caras opuestas.
Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.
El grupo fundamental del n-toro es siempre un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo de homología de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango ( n k ) {\displaystyle n \choose {k}} . De esto se deduce que la característica de Euler del n-toro es 0 para cualquier n. El anillo homológico H ∗ ( T n , Z ) {\displaystyle {\text{H}}^{*}(\mathbb {T} ^{n},\ \mathbb {Z} )} puede identificarse con el álgebra exterior sobre Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -módulo Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia n.
Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura.
Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el teorema de los cuatro colores se convierte en teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.
En magnetismo, se enrolla una bobina con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un campo magnético dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un imán; se coloca un material ferromagnético en el entrehierro y se imprime una corriente eléctrica por la bobina. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y este queda magnetizado, formando un imán.
Uno de los sistemas más promisorios para obtener electricidad a partir de la fusión nuclear controlada se basa en el confinamiento magnético del plasma a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el tokamak o el Thorus, también muchos aceleradores de partículas recurren a una forma cuasi toroidal.
En el campo de la óptica, se usa la lente tórica para corregir el astigmatismo tienen una superficie tórica, que presenta dos curvaturas en orientaciones perpendiculares entre sí.
En el mundo de los videojuegos de estrategia es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el norte reaparecen en el sur, como si le hubiesen dado la vuelta al mundo. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el oriente, reaparecen en el occidente y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudoimpresión de un mundo esférico aunque el terreno de juego este pensado como un plano rectangular.