Notația orbifold

În geometrie notația orbifold (sau semnătura orbifold) este un sistem inventat de matematicianul William Thurston și promovat de John Conway pentru reprezentarea tipurilor de grupuri de simetrie în spații bidimensionale de curbură constantă. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui orbifold obținut prin aplicarea topologică a spațiului euclidian pe grupul luat în considerare.
Grupurile reprezentabile în această notație cuprind grupurile punctuale de pe sferă ( S 2 {\displaystyle S^{2}} ), grupurile de friză și grupurile de tapet ale planului euclidian ( E 2 {\displaystyle E^{2}} ) și analogii lor din planul hiperbolic ( H 2 {\displaystyle H^{2}} ).
Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene:
Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.
Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri:
Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.
Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte:
Despre un simbol orbifold se spune că e bun dacă nu este unul dintre următoarele: p, pq, *p, *pq, pentru p, q ≥ 2 și p ≠ q.
Un obiect este chiral dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește achiral. Orbifoldul corespunzător este orientabil în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.
Caracteristica Euler a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare:
Se face suma valorilor acestor caracteristici.
Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.
Următoarele grupuri sunt izomorfe:
Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).
Simetria unui obiect bidimensional fără simetrie de translație poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține n• și *n•. • se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold digonal cu n poziții și sunt reprezentate drept nn și *nn.)
Similar, o imagine unidimensională poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *•, *1•, ∞• și *∞•.
O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin produsul cartezian dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.
Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt: