Geometri

Geometri (Tulisan Jawi: ڬيوميتري; daripada perkataan Yunani: γεωμετρία; geo = bumi, metria = ukuran) adalah sebahagian dari matematik yang mengambil berat persoalan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan isi padu, tetapi pada abad ketiga S.M. geometri telah diletakkan di dalam bentuk aksiom oleh Euclid membentuk Geometri Euclid, yang hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Bidang astronomi, khususnya memetakan bintang-bintang dan planet-planet pada sfera cakerawala, bertindak sebagai sumber-sumber geometri terpenting dari semasa satu setengah alaf berikutnya.
Pengenalan kepada koordinat oleh Descartes dan perkembangan sejajar kepada algebra menandakan peringkat baru untuk geometri, sejak rajah-rajah geometri, seperti lengkungan datar, kini boleh dipersembahkan secara analitik. Ini memberikan peranan yang penting kepada kemunculan kalkulus pada abad ke tujuh belas. Tambahan pula, teori perspektif menunjukkan bahawa terdapat lebih banyak geometri daripada hanya sifat-sifat metrik (pengukuran) kepada rajah. Subjek dari geometri telah kemudiannya diperkayakan oleh pembelajaran struktur intrinsik dari objek geometrik yang berasal dengan Euler dan Gauss telah membawa kepada penciptaan topologi dan pembezaan geometri.
Sejak penemuan abad kesembilan-belas dari geometri bukan Euclid, konsep dari ruang telah mengalami perubahan yang besar. Geometri kontemporari menganggap berganda, ruang yang amat lebih abstrak dari ruang Euclid yang lazim, iaitu mereka hanya beranggaran menyerupai pada skala kecil. Ruang ini mungkin dikurniai dengan struktur tambahan, membenarkan seorang untuk bertutur tentang jarak. geometri moden mempunyai ikatan kuat berganda dengan fizik, dicontohi oleh ikatan antara geometri Riemann dan kerelatifan am. Salah satu dari teori fizikal termuda, teori tali, juga amat geometrik dalam intipatinya.
Satu sifat penglihatan dari geometri membuatkan ia pada mulaanya lebih mudah dikira berbanding dari bahagian lain matematik, seperti algebra atau teori nombor. Bagaimanapun, bahasa geometri juga digunakan dalam konteks bahawa mereka dikeluarkan jauh dari tradisi, tempat asal Euclidnya, contohnya, dalam geometri pecahan, dan khususnya dalam geometri algebra.
Permulaan geometri terawal yang direkodkan boleh dijejak ke Mesopotamia purba, Mesir, dan Lembah Indus dari sekitar 3000 SM. Geometri awal adalah koleksi dari empirikal yang dijumpai yang mengambil berat jarak, sudut, luas, dan isi padu, yang telah berkembang untuk menemukan sesetengah keperluan praktikal dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan berbagai kraf. Teks terawal yang dikenali pada geometri ialah Papirus Papirus Mesir, dan Papirus Moscow , Batu bersurat tanah liat Babylonia, dan Shulba Sutras India, manakala orang Cina mempunyai karya Mozi, Zhang Heng, dan Sembilan Bab pada Seni Matematik, ditulis oleh Liu Hui.
Elemen Geometri Euclid (c. 300 SM) merupakan salah satu dari teks awal yang terpenting pada geometri, dia persembahkan geometri dalam bentuk aksiomatik yang ideal, yang dikenali sebagai geometri Euclid. Treatis ialah bukan, seperti yang kadangkala diingatkan, satu ringkasan dari semua ahli matematik Hellenistik yang seumpama mengetahui tentang geometri pada masa itu; berbanding, ia adalah pengenalan elementari kepadanya; Euclid sendiri menulis lapan lagi buku canggih pada geometri. Kami mengetahui dari rujukan lain bahawa Euclid ialah bukan buku teks elementari geometri pertama, tetapi yang lain jatuh pada tidak dalam kegunaan dan telah hilang.
Pada Zaman Pertengahan, Ahli matematik Muslim menyumbangkan kepada perkembangan geometri, terutamanya geometri algebra dan algebra geometri. Al-Mahani (l. 853) mendapat idea mengurangkan masalah geometrikal seperti menyalin kubus kepada masalah dalam algebra. Thābit ibn Qurra (dikenali sebagai Thebit dalam Latin) (836-901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantiti geometrikal, dan menyumbangkan kepada perkembangan geometri analitik. Omar Khayyám (1048-1131) menemui penyelesaian geometrik kepada persamaan kubik, dan penyelidikan besarannya dari penganggapan sejajar menyumbang kepada perkembangan geometri bukan Euclid.
Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Perkembangan yang pertama dan yang terpenting, ialah penciptaan geometri analitik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh René Descartes (1596–1650) dan Pierre de Fermat (1601–1665). Ini adalah prakursor diperlukan kepada perkembangan kalkulus dan sains kuantitatif tepat daripada fizik. Perkembangan geometrik kedua dari tempoh kedua ini adalah penyelidikan sistematik dari geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana titik selari dengan satu sama lain.
Dua perkembangan dalam geometri pada abad kesembilanbelas mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari geometer tuan pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja utamanya dengan alatan dari analisis matematik, dan memperkenalkan permukaan Riemann, dan Henri Poincaré, pengasas topologi algebraik dan teori geometrik daripada sistem dinamik.
Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeza, dan latarbelakang semulajadi untuk teori seperti berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasik. Jenis tradisional geometri telah dikenalpasti seperti dari ruang homogeneous, iaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari titik ke titik mereka kelihatan sama.
Perkembangan direkodkan dari geometri merentangi lebih dua alaf. Ia sukarnya terkejut yakni persepsi dari apa yang menjadikan geometri berkembang sepanjang zaman. Paradigma geometrik yang dipersembahkan di bawah patut dilihat sebagai 'Gambar pada pameran' seumpama: mereka tidak memenatkan subjek geometri tetapi hanya memantulkan sesetengah dari tema bertaksirnya.
Terdapat sedikit ragu-ragu bahawa geometri berasal sebagai sains praktikal, mengambil berat tinjauan, ukuran, luas, dan isi padu. Dikalangan perlaksanaan penting seorang mencari formula jarak, luas dan isi padu, seperti teorem Pythagoras, lilitan dan luas bulatan, luas segitiga, isi padu dari silinder, sfera, dan piramid. Perkembangan astronomi membawa kepada kemunculan trigonometri dan trigonometri sferikal, bersama dengan pelayan teknik komputasi.
Cara komputingkan sesetengah jarak atau ketinggian yang tak boleh dimasuki adalah berdasarkan pada persamaan dari tokoh geometrik dan disifatkan ke Thales menandakan pendekatan lebih abstrak kepada geometri yang diambil oleh Euclid dalam Elemennya, salah satu dari buku paling berpengaruh yang pernah ditulis. Euclid memperkenalkan sesetengah aksiom atau penganggapan, meluahkan utamanya atau sifat bukti-sendiri dari titik, garis, dan datar. Dia meneruskan kepada berkerasnya mengurangkan sifat lain dengan alasan matematikal. Pada abad keduapuluh, Dabid Hilbert memberikan alasan aksiomatik dalam cubaannya untuk mengemaskinikan Euclid dan memberikan asas moden dari geometri.
Saintis purba diberikan perhatian istimewa dalam membinakan objek geometrik yang telah dihuraikan dalam sesetengah cara lain. Alatan klasikal yang membenarkan pembinaan geometrik ialah kompas dan baris sisi. Bagaimanapun, sesetengah masalah sebenarnya sukar atau mustahil untuk diselesaikan dengan cara ini sendiri, dan kepandaian pembinaan kepada masalah geometrik dengan geometrik atau cara mekanikal adalah dikenali sebagai geometri Sintetik.
Peranan Pythagoras memang sudah dianggap dari nombor dalam geometri. Bagaimanapun, penemuan ketidakbolehbandingan jarak, yang bercanggah dengan pandangan falsafah mereka, membuatkan mereka tinggalkan nombor (abstrak) dengan menggemarkan kuantiti geometrik (konkrit), seperti jarak dan luas rajah. Nombor telah diperkenalkan semula kepada geometri dalam bentuk koordinat oleh Descartes, dan menyedari bahawa penyelidikan bentuk geometrik boleh dimudahkan oleh persembahan algebraik mereka. geometri Analitik memberikan cara algebra kepada soalan geometrik, biasanya dengan menghubungkait lengkung geometrik dan persamaan algebraik. Idea ini memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus pada abad ketujuhbelas dan membawa kepada penemuan banyak sifat baru dari datar lengkung. Geometri algebra moden pertimbangkan soalan sama pada yang meluasnya peringkat lebih abstrak.
Malah pada zaman purba, geometer pertimbangkan soalan dari posisi relatif atau hubungan spatial dari rajah geometrik dan bentuk. Sesetengah contoh diberikan dengan diukir dan dan bulatan poligon yang digaris lilitkan, garis yang disilangkan dan tangen ke seksyen konik, titik dan garis tatarajah Pappus dan Menelaus. Pada Zaman Pertengahan soalan yang lebih baru dan rumit dari jenis ini telah dipertimbangkan: Apakah bilangan maksimum dari sfera serentaknya menyentuh sfera yang diberikan dari radius yang sama (masalah ciumkan nombor)? Apakah yang terpadat bungkusan dari sfera dari saiz sama dalam ruang (tekaan Kepler)? Kebanyakan soalan ini melibatkan bentuk geometrikal yang 'tegar', seperti garis atau sfera. Geometri Projektif, cembung dan berasingan merupakan tiga subdisiplin di dalam geometri masa kini yang mengendalikan dengan soalan berkaitan ini.
Bab baru dalam Geometria situs telah dibuka oleh Leonhard Euler, yang beraninya tebarkan keluar sifat metrik dari rajah geometrik dan dianggap struktur geometrikal paling fundamental yang berdasarkan hanya pada bentuk. Topologi, yang bercambah dari geometri, tetapi dijadikan kepada disiplin bebas besar, tidak membezakan antara objek yang boleh berterusan dicacatkan kepada satu sama lain. Objek ini namun begitu mungkin mengekalkan sesetengah geometri, seperti pada kes dari ikatan hiperbolik.
Selama hampir dua ribu tahun sejak Euclid, manakala berderetan dari soalan geometrikal disoal dan dijawab yang tak boleh dielakkan berkembang, pemahaman asas dari ruang tinggal pada dasarnya sama. Immanuel Kant menyatakan bahawa terdapat hanya satu, geometri, mutlak, yang dikenali menjadi a priori yang sebenar oleh fakulti minda dalaman: Geometri Euclid adalah sintetik a priori. Pandangan dominan ini telah diterbalikkan oleh penemuan berevolusi dari geometri bukan Euclid dalam karya dari Gauss (yang tak pernah menerbitkan teorinya), Bolyai, dan Lobachevsky, yang mempamerkan bahawa ruang Euclid biasa hanyalah satu-satunya kemungkinan besar untuk perkembangan geometri. Wawasan luas dari subjek geometri telah kemudian diluahkan oleh Riemann dalam syarahan rasminya Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Pada hipotesis yang diasaskan geometri), diterbitkan hanya selepas kematiannya. Idea Riemann baru dari ruang dibuktikan penting dalam teori kerelatifan am Einstein dan geometri Riemann, yang dianggap ruang yang amat umum iaitu pengertian jarak ditaksirkan, merupakan sokongan dari geometri moden.
Tema dari simetri dalam geometri hampir setua seperti sains dari geometri itu sendri. Bulatan, poligon malar dan platonik padat dipegang kepentingan yang mendalam untuk ramai ahli falsafah purba dan telah disiasat secara terperinci pada zaman Euclid. Corak simetrik berlaku dalam sifat dan telah artistiknya dijadikan dalam berbagai bentuk, termasuk grafik membingungkan dari M. C. Escher. Namun begitu, ia tidak hingga separuh kedua dari abad ke-19 bahawa peranan bersatu dari simetri dalam asas geometri telah diakui. Program Erlangen Felix Klein mengisytiharkan bahawa, dalam akal yang amat tepat, menentukan apakah geometri adalah. Simetri dalam geometri Euclid klasikal dipersembahkan oleh gerakan yang sepadan dan tegar, manakala dalam geometri projektif peranan analogus dimainkan oleh kolineasi, perubahan geometrik yang mengambil garis lurus ke garis lurus. Bagaimanapun, ianya dalam geometrik baru dari Bolyai and Lobachevsky, Riemann, Clifford dan Klein, dan Sophus Lie bahawa idea Klein untuk 'mentaksirkan geometri via kumpulan simetrinya' dibuktikan paling berpengaruh. Kedua-dua simetri berasingan dan berterusan memainkan peranan penting dalam geometri, dahulunya dalam topologi dan teori kumpulan geometrik, yang terkemudian dalam teori Lie dan geometri Riemann.
Geometri moden merupakan judul dari buku teks popular oleh Dubrovin, Novikov, dan Fomenko pertama diterbitkan pada 1979 (dalam B. Rusia). Pada hampir 1000 m/s, buku ini mempunyai satu benang utama: struktur geometrik dari berbagai jenis pada berganda dan applikasi mereka dalam fizik teoretikal berkotemporari. Sesuku abad selepas penerbitannya, geometri pembezaan, geometri algebra geometri simpletik, dan teori Lie yang dipersembahkan dalam buku tinggal dikalangan kawasan paling kelihatan dari geometri moden, dengan perhubungan berganda dengan bahagian dari matematik dan fizik yang lain.
Sesetengah dari tokoh perwakilan terkemuka dalam sejarah geometri ialah Michael Atiyah, Mikhail Gromov, dan William Thurston. Ciri-ciri lazim dalam kerja mereka ialah kegunaan berganda selesa sebagai idea asas ruang; mereka dalam hal lain mempunyai daripada arah dan faedah yang berlainan. Geometri kini, pada bahagian besar, penyelidikan struktur pada berganda yang mempunyai makna geometri, pada akal dari prinsip kovariansi yang berada pada akar dari teori kerelatifan am dalam fizik teoretikal. (Lihat Kategori:Struktur pada berganda untuk tinjauan.)
Banyak dari teori ini berhung kepada teori dari simetri berterusan, atau bak kata lain kumpulan Lie. Dari sudut pandangan asasan, pada berganda dan struktur geometrikal mereka, kepentingan merupakan konsep dari kumpulan pseudo, ditaksirkan rasminya oleh Shiing-shen Chern dalam mengejar idea yang diperkenalkan oleh Élie Cartan. Kumpulan pseudo boleh memainkan peranan dari kumpulan Lie dari dimensi tak terbatas.
Geometri tradisional membenarkan dimensi 1 (1 garis), 2 (datar) dan 3 (Persekitaran dunia kita difikirkan sebagai ruang tiga-dimensi), ahli matematik telah menggunakan dimensi lebih tinggi selama hampir dua abad. Dimensi telah melalui peringkat menjadi sebarang nombor semulajadi n, kemungkinan besar tak terbatas dengan pengenalan ruang Hilbert, dan sebarang nombor positif sebenar dalam geometri fraktal. Teori dimensi adalah kawasan teknikal, mulaannya didalam topologi umum, yang membincangkan definisi; dalam kelaziman dengan kebanyakan idea matematik, dimensi kini ditaksirkan berbanding dari intuisi. Menghubungkan topologikal berganda mempunyai dimensi yang ditaksir-baik; ini merupakan (domain invarian) berbanding dari sebarang a priori.
Isu dimensi masih penting kepada geometri, dalam ketidakhadiran dari jawapan lengkap kepada soalan klasik. Dimensi 3 daru ruang dan 4 dari masa-ruang ialah kes istimewa dalam topologi geometrik. Dimensi 10 atau 11 adalah nombor kunci dalam teori string. Secara tepatnya mengapa sesuatu penyelidikan mungkin membawa kepuasan jawapan geometrik.
Penyelidikan dari geometri Euclid tradisional dalam hal lain mati. Ia kini biasanya dipersembahkan sebagai geometri dari ruang Euclid dari sebarang dimensi, dan dari kumpulan Euclid dari gerakan tegar. Formula fundamental dari geometri, seperti teorem Pythagoras, boleh dipersembahkan dalam cara ini untuk produk ruang dalaman umum.
Geometri Euclid telah menjadi rapat berhubung dengan geometri komputasi, grafik komputer, geometri konveks, geometri berasingan, dan sesetengah kawasan dari kombinatorik. Momentum telah diberikan kepada kerja lanjut pada geometri Euclid dan kumpulan Euclid oleh kristalografi dan kerja dari H. S. M. Coxeter, dan boleh dilihat dlam teori dari kumpulan Coxeter dan politop. Kumpulan teori geometrik merupakan kawasan berkembang dari teori dari kumpulan berasingan lebih umum, melakarkan model geometrik dan teknik algebraik.
Bidang dari geometri algebra merupakan kelahiran semula moden dari koordinat Geometri Cartes. Selepas tempoh pergolakan dari aksiomatisasi, asasnya berada dalam abad ke-21 pada dasar stabil. Samada satu pelajari kes 'klasikal' iaitu ruang ialah berganda kompleks yang boleh dihuraikan oleh persamaan algebra; atau teori skim memberikan teori berteknikal canggih yang berdasarkan pada gelang komutatif.
Gaya geometri secara tradisinya dipanggil sekolah Itali kini dikenali sebagai geometri birasional. Ia telah membuat kemajuan dalam bidang dari tiga rangkap, teori seorang dan ruang modali, baik juga seperti mengembalikan dan memperbetulkan saiz dari keputusan yang lebih tua. Objek dari geometri algebra kini lazimnya diberikan dalam teori string, baik juga seperti geometri diofantin.
Cara dari geometri algebra bergantung kuat pada teori serumpun dan bahagian lain dari algebra hologikal. Tekaan Hodge merupakan masalah terbuka yang telah beransur mengambil tempatnya sebagai salah satu dari soalan utama untuk matematik. Untuk applikasi praktikal, teori dasar Gröbner dan geometri algebra sebenar merupakan subbidang utama.
Geometri kebezaan dalam istilah mudah adalah geometri kelengkungan, telah menjadi kepentingan yang semakin bertambah kepada fizik matematik sejak perkembangan pendapat bahawa ruang bukan ruang leper. Goemetri kebezaan kontemporari ialah intrinsik, bermaksud bahawa ruang merupakan berganda dan struktur diberikan oleh metrik Riemann, atau analog, secara tempatan menentukan geometri yang berubah dari titik ke titik.
Pendekatan ini berbeza dengan sudut pandangan ekstrinsik, iaitu kelengkungan bermakna cara ruang membengkok didalam ruang lebih besar. Idea dari ruang 'lebih besar' telah dibuang, dan sebaliknya berganda membawa bungkus vektor. Fundamental kepada pendekatan ini adalah hubungan antara kelengkungan dan kelasan ciri-ciri, seperti dicontohi oleh teorem Gauss-Bonnet yang disimpulkan.
Bidang dari topologi, yang dilihat oleh perkembangan besar pada abad ke-20, merupakan dalam akal teknikal sejenis geometri penjelmaan iaitu penjelmaan ialah homeomorfisme. Ini telah selalu diluahkan dalam bentuk dari diktum 'topologi ialah geometri kepingan-getah'. Topologi geometrik kontemporari dan topologi kebezaan, dan subbidang khusus seperti toeri Morse, akan dihitung oleh kebanyakan ahli matematik sebagai sebahagian dari geometri. Topologi algebraik dan topologi umum telah melalui cara mereka sendiri.
Model dari Elemen Euclid, satu perkembangan dihubung dari geometri sebagai sistem aksiomatik, ialah dalam tegang dengan René Descartes dari pengurangan geometri ke algebra dengan cara sistem koordinat. Terdapat banyak juara dari geometri sintetik, perkembangan gaya Euclid dari geometri projektif, pada abad ke-19, Jakob Steiner seorang khususnya tokoh bijaksana. Dalam perbezaan kepada pendekatan seumpama ke geometri sebagai sistem tertutup, memuncak dalam aksiom Hilbert dan dianggap sebaga nilai pedagogik penting, kebanyakan geometri kontemporari ialah dari perkara gaya. Geometri sintetik komputasi kini merupakan rumpun algebra komputer.
Pendekatan Cartesia sedang berpradominan, dengan soalan geometrik diasak oleh alatan dari bahagian lain matematik, dan teori geometrik menjadi sama sekali terbuka dan diintegrasikan. Ini adalah untuk dilihat dalam konteks dari aksiomatisasi dari seluruh matematik tulen, yang terus berlalu pada tempoh c.1900–c.1950: dalam prinsip semua cara ialah pada kakian aksiomatik lazim. Pendekatan berkurang ini mempunyai beberapa kesan. Terdapat trend taksonomik yang mengikuti Klein dan program Erlangennya (satu taksonomi berdasarkan pada konsep subkumpulan) menyusunkan teori menurut pada kesimpulan umum dan keistimewaan. Contohnya goemetri afin ialah lebih umum berbanding geometri Euclid, dan lebih istimewa dari geometri projektif. Seluruh teori dari kumpulan klasikal yang demikian menjadi aspek geometri. Teori invarian, pada satu titik pada abad ke-19 diambil menjadi tuan prospektif teori geometri, ialah cuma satu aspek dari teori persembahan umum dari kumpulan Lie. Menggunakan bidang terbatas, kumpulan klasikal memberi kebangkitan pada kumpulan terbatas, intensifnya dipelajari dalam hubungan kepada kumpulan terbatas mudah; dan geometri terbatas bersekutu, yang mempunyai kedua-dua bahagian penggabung (sintetik) dan algebro-geometrik (Cartesia).
Suatu contoh dari dekad kebelakangan adalah teori twistor dari Roger Penrose, mulaannya suatu teori intuitif dari sintetik, kemudian berikutnya ditunjukkan menjadi aspek dari teori serumpun pada berganda kompleks. Dalam perbezaan, geometri bukan komutatif dari Alain Connes ialah kegunaan sedar dari bahasa geometrik untuk meluahkan fenomena dari teori algebra von Neumann, dan untuk mengembangkan geometri kepada domain teori gelang iaitu hukum komutatif dari pergandaan tidak diandaikan.
Satu lagi akibat dari pendekatan kontemporari, disifatkan dalam ukuran besar kepada dasar Procrustean dipersembahkan oleh aksiomatisasi Bourbakiste mencuba untuk melengkapkan kerja dari David Hilbert, ialah untuk mencipta pemenang dan pengalah. Ausdehnungslehre (kalkulus berkembang) dari Hermann Grassmann ialah untuk kebanyakan tahun suatu kemunduran matematikal, bersaing dalam tiga dimensi terhadap teori popular lain dalam kawasan algebra luaran, ia menjadi kefaedaan dari persembahan Bourbaki dari algebra multilinear, dan dari 1950 seterusnya telah didapati dimana-mana. Banyak dari cara sama, algebra Clifford menjadi popular, dibantu oleh buku 1957, Geometri Algebra oleh Emil Artin. Sejarah dari cara geometrik yang hilang, sebagai contoh, tak terbatasnya titik dekat, yang telah menjunam sejak mereka tidak sesuai kepada matematikal tulen dunia dahulu-Principia Mathematica, belum lagi ditulis. Situasi adalah setanding kepada pengusiran infinitesimal dari kalkulus kebezaan. Laksana pada kes itu, konsep ini mungkin dikembalikan oleh pendekatan dan definisi segar. Ini mungkin tak unik: geometri sintetik kebezaan merupakan pendekatan kepada infinitesimal dari bahagian logik kategorial, laksana analisis bukan piawai ialah dengan cara dari teori model.