Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла, то есть как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n {\displaystyle n} -мерной геометрии аналогом треугольника является n {\displaystyle n} -й мерный симплекс.
Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.
Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C , {\displaystyle A,\ B,\ C,} а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} обозначается как Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: A B = c {\displaystyle AB=c} , B C = a {\displaystyle BC=a} , C A = b {\displaystyle CA=b} .
Треугольник Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} имеет следующие углы:
Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами ( α , {\displaystyle \alpha ,} β , {\displaystyle \beta ,} γ {\displaystyle \gamma } ).
Внешним углом D C A {\displaystyle DCA} плоского треугольника A B C {\displaystyle ABC} при данной вершине C {\displaystyle C} называется угол, смежный внутреннему углу A C B {\displaystyle ACB} треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0 {\displaystyle 0} до 180 ∘ . {\displaystyle 180^{\circ }.}
Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.
Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180 ∘ , {\displaystyle 180^{\circ },} то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ). Выделяют следующие виды треугольников.
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы m c , {\displaystyle m_{c},} опущенной на сторону c , {\displaystyle c,} можно найти по формулам:
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
Длину высоты h c , {\displaystyle h_{c},} опущенной на сторону c , {\displaystyle c,} можно найти по формулам:
Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:
Биссектрисой (биссе́ктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам.
Длину биссектрисы l c , {\displaystyle l_{c},} опущенной на сторону c , {\displaystyle c,} можно найти по одной из формул:
Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр находится в точке пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника.
Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной R {\displaystyle R} и вписанной r {\displaystyle r} окружностей:
Ещё два полезных соотношения:
Существует также формула Карно:
Расстояние от центра описанной окружности например до стороны a {\displaystyle a} треугольника равно:
расстояние от ортоцентра например до вершины A {\displaystyle A} треугольника равно:
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Дополнительные признаки: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон, треугольники равны, если у них равны две стороны и угол не между ними, если этот угол прямой или тупой.
Если в треугольниках A B C {\displaystyle {\mathcal {ABC}}} и A 1 B 1 C 1 {\displaystyle {\mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}} имеют место равенства A B = A 1 B 1 , {\displaystyle {\mathcal {AB}}={\mathcal {A_{1}B_{1}}},} A C = A 1 C 1 , {\displaystyle {\mathcal {AC}}={\mathcal {A_{1}C_{1}}},} ∠ A B C = ∠ A 1 B 1 C 1 , {\displaystyle \angle {\mathcal {ABC}}=\angle {\mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}},} причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны.
В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского треугольники равны если равны их три угла.
Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы.
Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.
В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:
Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:
В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.
Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.
Источник: :
Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.
для угла α ≠ 90 ∘ . {\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ }.}
Для площади справедливы неравенства:
где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).
Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.
Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп Александрийский.
В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.
В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).
Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника.
Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.
В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10». Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.
Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).
В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математики.
Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он ввел n {\displaystyle n} -сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем виде.
С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости.
Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.
Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.
Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.
При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.
Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.
(первое тождество для тангенсов)
Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).
(второе тождество для тангенсов)
(первое тождество для синусов)
(второе тождество для синусов)
(тождество для косинусов)
(тождество для отношения радиусов)
Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение tg ⁡ α 2 tg ⁡ β 2 tg ⁡ γ 2 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}} получается тождество для котангенсов:
по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.
Метрические соотношения в треугольнике приведены для △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} :
Где:
= | x A ( y B − y C ) + x B ( y C − y A ) + x C ( y A − y B ) | 2 = {\displaystyle {}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=} = | ( x B − x A ) ( y C − y A ) − ( x C − x A ) ( y B − y A ) | 2 . {\displaystyle {}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}.}
В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде 1⁄2 от абсолютного значения определителя:
Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula), или формулой площади Гаусса.
Пусть вершины треугольника находятся в точках r A ( x A , y A , z A ) , {\displaystyle \ \mathbf {r} _{A}(x_{A},\ y_{A},\ z_{A}),} r B ( x B , y B , z B ) , {\displaystyle \ \mathbf {r} _{B}(x_{B},\ y_{B},\ z_{B}),} r C ( x C , y C , z C ) . {\displaystyle \ \mathbf {r} _{C}(x_{C},\ y_{C},\ z_{C}).}
Введём вектор площади S = 1 2 [ r B − r A , r C − r A ] . {\displaystyle \ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r} _{A}].} Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:
Положим S = S x i + S y j + S z k , {\displaystyle \mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k} ,} где S x , {\displaystyle S_{x},} S y , {\displaystyle S_{y},} S z {\displaystyle S_{z}} — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом:
и аналогично:
Площадь треугольника равна S = S x 2 + S y 2 + S z 2 . {\displaystyle S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}}}.}
Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.
Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через a = x A + y A i , {\displaystyle a=x_{A}+y_{A}i,} b = x B + y B i {\displaystyle b=x_{B}+y_{B}i} и c = x C + y C i {\displaystyle c=x_{C}+y_{C}i} и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через a ¯ , {\displaystyle {\bar {a}},} b ¯ {\displaystyle {\bar {b}}} и c ¯ {\displaystyle {\bar {c}}} , тогда получим формулу:
что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula), или формуле площади Гаусса.
В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), то площадь может быть вычислена по формуле
Свойства треугольника со сторонами a , {\displaystyle a,} b , {\displaystyle b,} c {\displaystyle c} и углами A , {\displaystyle A,} B , {\displaystyle B,} C . {\displaystyle C.}
Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше 180 ∘ . {\displaystyle 180^{\circ }.}
Любые подобные треугольники равны.
Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):
Теоремы косинусов:
Для треугольника со сторонами a {\displaystyle a} , b , {\displaystyle b,} c {\displaystyle c} и углами A , {\displaystyle A,} B , {\displaystyle B,} C . {\displaystyle C.}
Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше 180 ∘ . {\displaystyle 180^{\circ }.}
Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.
Теорема синусов:
Теоремы косинусов:
Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне:
В случае треугольника эйлерова характеристика χ = 1. {\displaystyle \chi =1.} Углы φ i {\displaystyle \varphi _{i}} — это внешние углы треугольника. Значение величины K {\displaystyle K} (гауссовой кривизны) — это K = 0 {\displaystyle K=0} для евклидовой геометрии, K = 1 {\displaystyle K=1} для сферы, K = − 1 {\displaystyle K=-1} для плоскости Лобачевского.
Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях: