ज्यामिति का इतिहास

साँचा:HistOfScience ज्यामिति (यूनानी भाषा γεωμετρία ; जियो = पृथ्वी, मेट्रिया = माप) शब्द, त्रिविम संबंधों के बारे में बताने वाले ज्ञान के क्षेत्र के रूप में उभरा था। ज्यामिति पूर्व-आधुनिक गणित के दो क्षेत्रों में से एक था; और दूसरा क्षेत्र संख्याओं के अध्ययन से संबंधित था।
परंपरागत ज्यामिति कम्पास और स्ट्रेटएज संरचनाओं पर केंद्रित थी। ज्यामिति में क्रांतिकारी बदलाव यूक्लिड द्वारा किया गया जिन्होंने गणितीय रिगर (rigor) और स्वयंसिद्ध विधि (axiomatic method) को पेश किया था जो आज भी प्रयोग में है। उनकी पुस्तक द एलिमेंट्स को बड़े पैमाने पर अभी तक की सबसे प्रभावशाली पाठ्य-पुस्तक माना जाता है और 20वीं सदी के मध्य तक पश्चिम में सभी शिक्षित लोगों को इसकी जानकारी रहती थी।
आधुनिक समय में ज्यामितीय अवधारणाओं को काल्पनिकता और जटिलता के एक उच्च स्तर तक सामान्यीकृत कर दिया गया है और इनमें कैलकुलस एवं काल्पनिक बीजगणित की विधियों का इस हद तक इस्तेमाल किया गया है कि इस क्षेत्र की कई आधुनिक शाखाएं प्रारंभिक ज्यामिति की संततियों के रूप में बमुश्किल ही पहचानी जाती हैं। देखें बीजगणितीय ज्यामिति और गणित के क्षेत्र.
ज्यामिति की सबसे पहले दर्ज की गयी शुरुआत का पता आदिकालीन लोगों - जिन्होंने प्राचीन सिंधु घाटी (देखें हड़प्पाई गणित) में नोकरहित त्रिकोणों की खोज की थी और 3000 ईसा पूर्व के आस-पास प्राचीन बेबिलोनिया (देखें बेबिलोनियाई गणित) - के समय तक जाकर लगाया जा सकता है। प्रारंभिक ज्यामिति लंबाइयों, कोणों, क्षेत्रफलों और आयतनों से संबंधित आनुभविक रूप से आविष्कृत सिद्धांतों का एक संग्रह था जिन्हें सर्वेक्षण, निर्माण, खगोल विद्या और विभिन्न शिल्पों में कुछ व्यावहारिक जरूरतों को पूरा करने के लिए विकसित किया गया था। इनमें से कुछ सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से जटिल थे और एक आधुनिक गणितज्ञ के लिए कैलकुलस के प्रयोग के बिना उनमें से कुछ सिद्धांतो का उपयोग करना मुश्किल साबित हो सकता है। उदाहरण के लिए, मिस्रवासी और बेबिलोनियाई दोनों पाइथागोरस प्रमेय के संस्करणों से पाइथागोरस से लगभग 1500 साल पहले से ही परिचित थे; मिस्त्र वासियों के पास एक वर्गाकार पिरामिड के फ्रस्टम के आयतन के लिए एक सही फॉर्मूला मौजूद था; बेबिलोनियाई लोगों के पास एक त्रिकोणमिति की तालिका मौजूद थी।
प्राचीन मिस्र के लोग यह जानते थे कि वे एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान निम्नलिखित प्रकार से लगा सकते हैं:
आमेस पेपिरस की समस्या 50 में एक ऐसे नियम के अनुसार कि क्षेत्रफल वृत्त के व्यास के 8/9 के वर्ग के बराबर होता है, एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना के लिए इन विधियों का उपयोग किया जाता है। इसमें माना जाता है कि π का मान 0.63 प्रतिशत से कुछ अधिक की त्रुटि के साथ 4×(8/9)² (या 3.160493...) है। यह मान बेबिलोनियाई गणना से कुछ कम सही था (25/8 = 3.125, 0.53 प्रतिशत के अंदर) लेकिन अन्यथा यह आर्कमिडीज के 211875/67441 = 3.14163 के लगभग सही अनुमान से आगे नहीं निकल पाया था जिसमें 10,000 में सिर्फ 1 से अधिक की त्रुटि थी)।
दिलचस्प बात यह है कि आमेस पाई (pi) के लिए आधुनिक 22/7 के एक लगभग सही अनुमान से परिचित थे और उन्होंने एक हेकट (hekat) को विभाजित करने के लिए इसका उपयोग किया था, हेकट x 22/x x 7/22 = हेकट; हालांकि आमेस एक सिलेंडर में पाए जाने वाले अपने हेकट आयतन की गणना के लिए पाई (pi) के परंपरागत मान 256/81 का उपयोग करना जारी रखा।
समस्या 48 में किनारे की 9 इकाइयों के साथ एक वर्ग का उपयोग करना शामिल था। इस वर्ग को एक 3x3 के ग्रिड में काट दिया गया था। कोने के वर्गों के विकर्ण को 63 इकाइयों के एक क्षेत्रफल के साथ एक अनियमित अष्टकोण बनाने के लिए इस्तेमाल किया गया था। इसने π के लिए एक दूसरा मान 3.111... दिया।
दोनों समस्याएं एक साथ पाई (Pi) के लिए 3.11 और 3.16 के बीच के मानों के एक विस्तार को निर्देशित करती हैं।
मास्को गणितीय पेपिरस में समस्या 14 एक पिरामिड के फ्रस्टम का आयतन निकालने के लिए एकमात्र प्राचीन उदाहरण देती है, जिसका सही फॉर्मूला इस प्रकार है:
बेबीलोन के लोग संभवतः क्षेत्रफलों और आयतनों की माप के लिए सामान्य नियमों को जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि की माप को व्यास के तीन गुना के रूप में और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के बारहवें हिस्से के रूप में मापा था जो उस स्थिति में सही होता जब π का मान 3 माना जाता. एक सिलेंडर के आयतन को आधार और उंचाई के एक प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था, हालांकि एक शंकु के फ्रस्टम (छित्रक) का आयतन या एक पिरामिड के वर्ग को गलत तरीके से उंचाई और आधारों के जोड़ के आधे के प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय के बारे में बेबीलोन के लोगों को भी जानकारी थी। इसके अलावा हाल ही की एक खोज में एक टेबलेट में π के मान को 3 और 1/8 के रूप में उपयोग किया गया था। बेबीलोन के लोग बेबिलोनियाई मील के लिए भी जाने जाते हैं जो आज के लगभग सात मील की दूरी के बराबर दूरी की एक माप थी। दूरियों के लिए इस माप को अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए टाइम-माइल में बदल दिया गया था और इसलिए यह समय का प्रतिनिधित्व करता है।
प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के लिए ज्यामिति उनके विज्ञानों के मुकुट का मोती था, जो पद्धति की एक ऐसी पूर्णता और सटीकता तक पहुंच गया था जिसे उनके ज्ञान की किसी भी अन्य शाखा ने हासिल नहीं किया था। उन्होंने ज्यामिति की श्रृंखला को कई नए प्रकार के आंकड़ों, मोड़ों, सतहों और ठोसों में विस्तारित किया; उन्होंने इसकी प्रणाली को ट्रायल-एंड-एरर से तार्किक कटौती में बदल दिया; उन्होंने यह स्वीकार किया कि ज्यामिति "अपरिवर्तनशील स्वरूपों" या अमूर्तता का अध्ययन करती है जिसके लिए भौतिक वस्तुएं केवल अनुमान हैं; और उन्होंने "स्वयंसिद्ध विधि" के विचार को विकसित किया जो आज भी उपयोग में है।
मिलेटस (जो अब दक्षिण-पश्चिमी तुर्की में है) के थेल्स (635-543 ईसा पूर्व) पहले व्यक्ति थे जिन्हें गणित में घटाव (कटौती) के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। ऐसे पाँच ज्यामितीय प्रस्ताव हैं जिसके लिए उन्होंने घटाव संबंधी प्रमाण दिए, हालांकि उनके प्रमाण बच नहीं पाए. आयोनिया और बाद में इटली, जहाँ उस समय यूनानी लोग बसे हुए थे, वहाँ के पाइथागोरस (582-496 ई.पू.) संभवतः थेल्स के एक छात्र थे और उन्होंने बेबीलोन एवं इजिप्त (मिस्र) की यात्रा की थी। वह प्रमेय जो उनके नाम से है संभवतः यह उनकी खोज नहीं रही होगी, लेकिन शायद वे इसके लिए घटाव संबंधी प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने गणित, संगीत और दर्शन का अध्ययन करने के लिए अपने आस-पास छात्रों के एक समूह को एकत्र किया और एक साथ मिलकर उन्होंने उनमें से ज्यादातर चीजों की खोज की, जिन्हें आज हाई स्कूल के छात्र अपने ज्यामिति के पाठ्यक्रमों में पढ़ते हैं। इसके अलावा उन्होंने अतुलनीय लंबाइयों और अतार्किक संख्याओं की गहन खोज की। (इसका कोई प्रमाण नहीं है कि थेल्स ने कोई निगमनात्मक (डिडक्टिव) प्रमाण प्रस्तुत किये थे और वास्तव में निगमनात्मक गणितीय साक्ष्य पार्मेमाइड्स के बाद तक दिखाई नहीं दिए थे। सबसे बड़ी बात है कि थेल्स के बारे में हम कुल मिलाकर यही कह सकते हैं कि उन्होंने यूनानियों के सामने विभिन्न ज्यामितीय प्रमेयों की शुरुआत की। यह विचार कि गणित अपनी शुरुआत के समय से ही निगमनात्मक (डिडक्टिव) था, यह गलत है। थेल्स के समय गणित विवेचनात्मक था। इसका मतलब यह है कि थेल्स ने अनुभवजन्य और प्रत्यक्ष प्रमाण "प्रस्तुत" किया होगा, लेकिन निगमनात्मक प्रमाण नहीं)।
दार्शनिक प्लेटो (427-347 ई.पू.) यूनानियों के लिए सबसे सम्मानित हस्ती थे जिन्होंने अपने सुप्रसिद्ध स्कूल के प्रवेश द्वार के ऊपर लिखा था, "यहाँ आकर कोई भी ज्यामिति से अनभिज्ञ नहीं रहेगा." हालांकि वे स्वयं एक गणितज्ञ नहीं थे लेकिन गणित के बारे में उनके विचारों का काफी प्रभाव था। इसलिए गणितज्ञों ने उनकी इस धारणा को स्वीकार किया कि ज्यामिति को कम्पास और स्ट्रेटएज के अतिरिक्त किसी भी उपकरण का इस्तेमाल नहीं करना चाहिए - मापक उपकरणों जैसे कि एक चिह्नित रूलर या एक कोणमापक का कभी नहीं, क्योंकि ये कर्मकारों के उपकरण होते हैं, किसी विद्वान के लायक नहीं। यह उक्ति संभावित कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माणों और तीन परंपरागत निर्माण संबंधी समस्याओं के गहन अध्ययन का कारण बनी: किसी कोण को तीन भागों में बांटने, किसी दिए गए घन के आयतन का दोगुना घन का निर्माण करने और किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर एक वर्ग का निर्माण करने में इन उपकरणों का उपयोग कैसे करें। इन निर्माणों की असंभवता के प्रमाणों को अंततः 19वीं सदी में हासिल कर लिया गया जिससे वास्तविक संख्या प्रणाली की गहरी संरचना के संदर्भ में महत्वपूर्ण सिद्धांतों का विकास हुआ। प्लेटो के सबसे बड़े शिष्य अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने उन निगमनात्मक प्रमाणों में उपयोग किये गए तर्क के तरीकों पर एक ग्रंथ लिखा था (देखें लॉजिक) जिनमें 19वीं सदी तक काफी सुधार नहीं किया गया था।
यूक्लिड (सी. 325-265 ई.पू.), जिनका संबंध एलेग्जेंड्रिया से था, संभवतः प्लेटो के छात्रों में से किसी एक के छात्र थे, उन्होंने द एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री शीर्षक से 13 पुस्तकों (अध्यायों) में एक ग्रंथ लिखा था, जिसमें उन्होंने ज्यामिति को एक आदर्श स्वयंसिद्ध स्वरूप में प्रस्तुत किया था, जिसे यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में जाना गया। यह ग्रंथ उस समय के हेलेनिस्टिक गणितज्ञों को ज्यामिति के बारे में ज्ञात समस्त जानकारियों का एक संग्रह नहीं है; यूक्लिड ने स्वयं ज्यामिति पर आठ और अधिक उन्नत पुस्तकों की रचना की थी। हम दूसरे संदर्भों से यह जानते हैं कि यूक्लिड की पुस्तक ज्यामिति की पहली प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक नहीं थी बल्कि यह इतनी अधिक उत्कृष्ट थी कि दूसरों ने इसका उपयोग नहीं किया और अंततः इसे खो दिया। उन्हें इजिप्त (मिस्र) के राजा टोलेमी प्रथम द्वारा एलेग्जेंड्रिया विश्वविद्यालय में लाया गया था।
द एलिमेंट्स की शुरुआत शब्दों, मौलिक ज्यामितीय सिद्धांतों (जिन्हें एग्जियोम्स या पोसुलेट्स कहा गया) और सामान्य मात्रात्मक सिद्धांतों (जिन्हें कॉमन नोशंस कहा गया) की परिभाषाओं के साथ हुई जिनसे बाकी सभी ज्यामिति की उत्पत्ति का तार्किक रूप से पता लगाया जा सकता है। उनकी पाँच सूक्तियां (एग्जिओम्स) निम्नलिखित हैं, जिनकी सविस्तार व्याख्या कुछ हद तक अंग्रेजी को पढ़ने में आसान बनाने के लिए की गयी है।
(जिसे समानांतर अभिधारणा भी कहते हैं)।
साइराक्यूज, सिसिली, जब यह एक ग्रीक शहर-राज्य था, यहाँ के निवासी आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) को अक्सर यूनानी गणितज्ञों में सबसे महान माना जाता है और यहाँ तक कि कभी-कभी उन्हें अभी तक के तीन सबसे महान गणितज्ञों में से एक (आइजैक न्यूटन और कार्ल फ्रेडरिक गॉस के साथ) कहा जाता है। अगर वे एक गणितज्ञ नहीं होते, फिर भी उन्हें एक महान भौतिक विज्ञानी, इंजीनियर और आविष्कारक के रूप में याद किया जाता. अपने गणित में उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समन्वय प्रणालियों के काफी समान विधियों और इंटीग्रल कैलकुलस की प्रतिबंधक प्रक्रिया को विकसित किया था। इन क्षेत्रों की रचना में केवल एक ही तत्त्व की कमी, एक प्रभावी बीजगणितीय संकेत की थी, जिसमें उनकी अवधारणाओं को व्यक्त किया जा सकता था।
आर्किमिडीज के बाद हेलेनिस्टिक गणित में गिरावट आनी शुरू हो गयी। हालांकि कुछ छोटी हस्तियों का आना अभी बाकी था लेकिन ज्यामिति का स्वर्ण युग समाप्त हो गया था। कमेंट्री ऑन द फर्स्ट बुक ऑफ यूक्लिड के लेखक (प्रोक्लस (410-485) हेलेनिस्टिक ज्यामिति की अंतिम महत्वपूर्ण हस्तियों में से एक थे। वे एक निपुण ज्यामितिकार थे लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि वे अपने से पहले किये गए कार्यों के बेहतरीन टीकाकार थे। उन कार्यों में से ज्यादातर आधुनिक समय तक अस्तित्व में नहीं बचे हैं और उनके बारे में जानकारी हमें इनकी टिप्पणी के माध्यम से मिलती है। ग्रीक शहर-राज्यों के उत्तराधिकारी और इन पर अधिपत्य कायम करने वाले रोमन गणराज्य और साम्राज्य ने उत्कृष्ट इंजीनियरों को तैयार किया लेकिन इनमें से कोई भी उल्लेखनीय गणितज्ञ नहीं थे।
एलेग्जेंड्रिया के विशाल पुस्तकालय को बाद में जला दिया गया था। इतिहासकारों के बीच एक आम सहमति बढ़ रही है कि एलेक्जेंड्रिया के पुस्तकालय को संभवतः कई विनाशकारी घटनाओं का सामना करना पड़ा था, लेकिन यह कि चौथी सदी में एलेक्जेंड्रिया के पगान (मूर्तिपूजक) मंदिरों को नष्ट किया जाना शायद सबसे विनाशकारी और अंतिम घटना थी। उस विनाश के प्रमाण सबसे अधिक निश्चित और सुरक्षित हैं। कैसर का आक्रमण भी बंदरगाह से सटे एक गोदाम में मौजूद तकरीबन 40,000-70,000 स्क्रॉलों के नष्ट होने का कारण बना था (जैसा कि ल्युसियानो कैनाफोरा का तर्क है, ये निर्यात के इरादे से पुस्तकालय द्वारा तैयार की गयी संभावित प्रतियां थीं) लेकिन यह संभव नहीं है कि उन्होंने पुस्तकालय या संग्रहालय को प्रभावित किया था, यह देखते हुए कि दोनों के बाद में अस्तित्व में होने के पर्याप्त सबूत मौजूद हैं।
गृह युद्ध, रख-रखाव में घटता निवेश और नए स्क्रॉलों का अधिग्रहण और गैर-धार्मिक गतिविधियों में आम तौर पर कम होती दिलचस्पी ने संभवतः पुस्तकालय में, विशेष तौर पर चौथी सदी में उपलब्ध सामग्री के ढांचे में गिरावट में योगदान दिया था। सिरेपियम को निश्चित रूप से थियोफिलस द्वारा वर्ष 391 में नष्ट कर दिया गया था और संग्रहालय एवं पुस्तकालय भी संभवतः उसी अभियान का शिकार बन गया था।
शतपथ ब्राह्मण (9वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सुल्ब सूत्र की तरह धार्मिक ज्यामितीय निर्माण के लिए नियमों को शामिल किया गया है।
सुल्ब सूत्र (वैदिक संस्कृत में शाब्दिक रूप से, "स्वरों की सूक्तियां - एफोरिज्म्स ऑफ द कॉर्ड") (सी. 700-400 ईसा पूर्व) में यज्ञाग्नि की वेदियों के निर्माण के नियमों की सूची दी गयी है। सुल्ब सूत्र में शामिल ज्यादातर गणितीय समस्याएं "एक एकल धार्मिक आवश्यकता" से निकली हैं जो विभिन्न आकार की लेकिन एक सामान स्थान लेने वाली अग्नि की वेदियों के निर्माण से संबंधित हैं। वेदियों को पकी हुई ईंट की पाँच परतों में बनाए जाने की आवश्यकता थी, जिसमें आगे यह शर्त थी कि प्रत्येक परत 200 ईंटों की हो और किसी भी दो सटी हुई परतों में ईंटों की समनुरूप व्यवस्था नहीं की गयी हो।
(Hayashi 2005, p. 363) के अनुसार, सुल्ब सूत्र में "दुनिया में पाइथागोरस के प्रमेय की सबसे प्रारंभिक प्रचलित मौखिक व्याख्या शामिल है, हालांकि इसके बारे में प्राचीन बेबीलोन वासियों को पहले से ही जानकारी थी।"
चूंकि कथन एक सूत्र (sūtra) है, यह आवश्यक रूप से संपीड़ित है और सूत्रों (रस्सी) द्वारा जो प्राप्त होता है उसकी व्याख्या नहीं की गयी है, लेकिन संदर्भ स्पष्ट रूप से उनकी लंबाइयों पर निर्मित वर्ग क्षेत्र को बताता है और इसे संभवतः एक शिक्षक द्वारा छात्र को समझाया गया होगा।
इनमें पाइथागोरस के ट्रिपल्स की सूचियां शामिल हैं जो डायोफेंटाइन समीकरणों के विशेष मामले हैं। इनमें वृत्त को वर्ग में बदलने और "वर्ग को वृत्त में बदलने" के बारे में कथन (जिनके लगभग होने के बारे में हम परोक्ष रूप से जानते हैं) भी मौजूद हैं।
बौधायन (सी. 8वीं सदी ईसा पूर्व) ने सबसे प्रसिद्ध सुल्ब सूत्र, बौधायन सुल्ब सूत्र की रचना की थी जिसमें सरल पाइथागोरस संबंधी ट्रिपल्स के उदाहरण जैसे कि: ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} , ( 5 , 12 , 13 ) {\displaystyle (5,12,13)} , ( 8 , 15 , 17 ) {\displaystyle (8,15,17)} , ( 7 , 24 , 25 ) {\displaystyle (7,24,25)} और ( 12 , 35 , 37 ) {\displaystyle (12,35,37)} शामिल हैं, इसके साथ-साथ एक वर्ग के किनारों के लिए पाइथागोरस संबंधी प्रमेय का एक कथन भी है: "वह डोरी जो एक वर्ग के विकर्ण के साथ-साथ खींची जाती है वह वास्तविक वर्ग के आकार का दोगुना क्षेत्रफल देती है।" इसमें पाइथागोरस प्रमेय (आयत के किनारों के लिए) का सामान्य कथन भी शामिल है: "एक आयत के विकर्ण की लम्बाई के साथ-साथ खींची गयी डोरी वह क्षेत्रफल बनाती है जो ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज किनारे साथ मिलकर बनाते हैं।"
गणितज्ञ एस.जी. डानी के अनुसार सीए. 1850 ईसा पूर्व में लिखे गए बेबीलोनियाई क्यूनीफॉर्म टेबलेट प्लिम्पटन 322 में 1850 बीसीई (BCE) में कुछ बड़ी प्रविष्टियों के साथ (13500, 12709, 18541), जो एक आदिकालिक ट्रिपल है, पंद्रह पाइथागोरस ट्रिपल्स शामिल हैं जो विशेष रूप से यह संकेत देते हैं कि इस विषय पर 1850 बीसीई (BCE) में मेसोपोटामिया में एक परिष्कृत समझ कायम थी।"चूंकि ये टेबलेट सुल्ब सूत्र काल से कई सदियों पहले के हैं, कुछ ट्रिपल्स के प्रासंगिक स्वरूप को ध्यान में रखकर यह उम्मीद करना जायज है कि इसी तरह की समझ भारत में भी रही होगी. डानी इससे आगे कहते हैं:
कुल मिलाकर तीन सुल्ब सूत्रों की रचना की गयी थी। मानव (एफएल. 750-650 ईसा पूर्व) द्वारा रचित शेष दो मानव सुल्ब सूत्र और अपस्तंब (सी. 600 ईसा पूर्व) द्वारा रचित अपस्तंब सुल्ब सूत्र में बौधायन सूत्र सुल्ब के समान परिणाम .
बखशाली पांडुलिपि में कुछ गिनी-चुनी ज्यामितिक समस्याएं (अनियमित ठोस पदार्थों की मात्रा से संबंधित समस्याओं सहित) मौजूद हैं। बखशाली पांडुलिपि भी "शून्य के लिए एक बिंदु के साथ एक दशमलव स्थान की मूल्य प्रणाली का प्रयोग करती है।" आर्यभट्ट की आर्यभटीय (499 सीई) में भी क्षेत्रफलों और मात्राओं की गणना शामिल है।
ब्रह्मगुप्त ने 628 सीई (CE)। में अपनी खगोलीय पुस्तकस्क्रिप्ट त्रुटि: "transl" फंक्शन मौजूद नहीं है। की रचना की थी जिसके अध्याय 12 में 66 संस्कृत के पद्य शामिल हैं जिन्हें दो खण्डों में बांटा गया था: "मौलिक ऑपरेशन" (घनमूल, भिन्न, परिमाण एवं अनुपात और विनिमय सहित) और "व्यावहारिक गणित" (मिश्रण, गणितीय श्रृंखलाएं, साधारण आंकड़े, ईंटों का ढ़ेर लगाना, लकड़ी काटना और अनाज इकट्ठा करना सहित)। दूसरे खंड में उन्होंने एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण पर अपने प्रसिद्ध प्रमेय का उल्लेख किया था।
ब्रह्मगुप्त का प्रमेय: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज में ऐसे विकर्ण मौजूद होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत हो, तो चतुर्भुज के किसी भी पक्ष के विकर्णों को आपस में काटने वाले बिंदु से खींची गयी लम्ब रेखा विपरीत पक्षों को हमेशा दो भागों में बांटती है।
अध्याय 12 में भी चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र (हेरोन के सूत्र का एक सामान्यीकरण) के साथ-साथ तर्कसंगत (रेशनल) त्रिकोणों (यानी तर्कसंगत (रेशनल) पक्षों और तर्कसंगत (रेशनल) क्षेत्रफलों वाले त्रिकोणों) के एक संपूर्ण विवरण को शामिल किया गया है।
ब्रह्मगुप्त का सूत्र: क्रमशः ए, बी, सी और डी लंबाइयों के पक्षों वाले एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ए इस प्रकार दिया गया है
जहाँ अर्द्धपरिमाप, एस का मान इस प्रकार है: s = a + b + c + d 2 . {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
तर्कसंगत त्रिकोणों पर ब्रह्मगुप्त का प्रमेय: a , b , c {\displaystyle a,b,c} तर्कसंगत पक्षों वाला एक त्रिकोण और तर्कसंगत क्षेत्रफल निम्नलिखित स्वरूप का होता है:
कुछ तर्कसंगत संख्याओं u , v , {\displaystyle u,v,} और w {\displaystyle w} के लिए।
चीन में पहली निर्णायक ज्यामितीय रचना (या कम से कम सबसे पुरानी मौजूद रचना) प्रारंभिक उपयोगितावादी दार्शनिक मोजी (470 ई.पू.-390 ई.पू.) के मोहिस्ट सिद्धांत, मो जिंग के रूप में थी। इसे उनकी मृत्यु के वर्षों बाद उनके परवर्ती अनुयायियों द्वारा 330 ई.पू. के आस-पास संकलित किया गया था। हालांकि मो जिंग चीन में ज्यामिति पर लिखी गयी सबसे पुरानी मौजूदा पुस्तक है, इस बात की भी संभावना है कि इससे पुरानी लिखित सामग्री अस्तित्व में है। हालांकि 'किन (Qin)' राजवंश के शासक किन (Qin) शि हुआंग (आर. 221 ई.पू.-210 ई.पू.) की राजनीतिक युक्ति में पुस्तकों को जलाए जाने की कुख्यात घटना के कारण उनके समय के परिष्कृत होने से पहले बड़ी संख्या में लिखित साहित्य की रचना की गयी थी। इसके अलावा मो जिंग गणित में उन ज्यामितीय अवधारणाओं को प्रस्तुत करता है जो शायद इतना अधित उन्नत थे कि उनका कोई पिछला ज्यामितीय आधार नहीं था या गणितीय पृष्ठभूमि नहीं थी जिस पर कार्य किया जा सके।
मो जिंग में भौतिक विज्ञान से जुड़े कई क्षेत्रों के विभिन्न पहलुओं का वर्णन किया गया था और साथ ही यह गणित पर सूचनाओं का एक छोटा सा संग्रह भी प्रस्तुत करता था। इसने ज्यामितीय बिंदु की एक 'परमाण्विक' परिभाषा इस प्रकार से दी थी कि एक रेखा को कई भागों में अलग-अलग किया जा सकता है और जिस भाग का कोई शेष भाग नहीं होगा (यानी इसे और छोटे-छोटे भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है) और इस प्रकार उस रेखा का अंतिम सिरा एक बिंदु के रूप में होगा। बहुत हद तक यूक्लिड की पहली और तीसरी परिभाषाओं और प्लेटो की 'एक रेखा की शुरुआत' की तरह मो जिंग ने कहा था कि "एक बिंदु प्रसव के दौरान सिर के दिखाई देने की तरह (लाइन के) अंतिम सिरे पर या इसकी शुरुआत में मौजूद होती है। (इसकी अदृश्यता की तरह) इसमें कोई भी समानता नहीं है।" डेमोक्रिटस के परमाणुविदों की तरह मो जिंग ने कहा था कि बिंदु एक सबसे छोटी इकाई है और इसे दो भागों में नहीं काटा जा सकता है, क्योंकि "शून्य" के दो तुकडे नहीं किये जा सकते है। खाली स्थान और घिरे हुए स्थान के सिद्धांतों के साथ-साथ समानांतर रेखाओं के लिए और लंबाइयों की तुलना के लिए परिभाषाएं देते हुए, इसमें कहा गया था कि समान लंबाई की दो रेखाएं हमेशा एक ही स्थान पर समाप्त होंगी. इसमें इस तथ्य का भी वर्णन किया गया था कि मोटाई की गुणवत्ता के बगैर समतलों को बढ़ाया नहीं जा सकता है क्योंकि वे आपस में एक दूसरे को स्पर्श नहीं कर सकते हैं। इस पुस्तक में मात्रा (आयतन) की परिभाषा के साथ-साथ परिधि, व्यास और त्रिज्या की परिभाषाएं दी गयी थीं।
चीन में हान राजवंश (202 ई.पू.-220 ई.) की अवधि में गणित का एक नया उत्कर्ष देखा गया। ज्यामितीय प्रगति को प्रस्तुत करने वाले सबसे पुराने चीनी गणितीय ग्रंथों में से एक पश्चिमी हान युग के दौरान 186 ई.पू. का शुआन शू शू (Suàn shù shū) था। गणितज्ञ, आविष्कारक और खगोल विज्ञानी झांग हेंग (78-139 ई.) ने गणितीय समस्याओं को सुलझाने के लिए ज्यामितीय सूत्रों का इस्तेमाल किया था। हालांकि मोटे तौर पर पाई (π) के अनुमान झाऊ ली (ईसा पूर्व दूसरी सदी में संकलित) में दिए गए थे, वह झांग हेंग ही थे जिन्होंने पाई के लिए एक कहीं अधिक सटीक सूत्र तैयार करने में सबसे पहले एक संयुक्त प्रयास किया था। बदले में इसे झू चोंगझी (429-500 ई.) जैसे बाद के चीनियों द्वारा कहीं अधिक सटीक बनाया गया होगा। झांग हेंग ने पाई (pi) का लगभग समीप का अनुमान 730/232 (या लगभग 3.1466) के रूप में लगाया था, हालांकि उन्होंने एक गोले का आयतन निकालने के लिए इसकी बजाय 10 के वर्गमूल (या लगभग 3.162) का उपयोग कर पाई के एक अन्य सूत्र का प्रयोग किया था। झू चोंगझी का सर्वोत्तम अनुमान 3.1415926 और 3.1415927 के बीच का था जिसमें /113 (密率, मिलु (Milü), विस्तृत अनुमान) और /7 (约率, युलू (Yuelü), मोटे तौर पर अनुमान) एक अन्य उल्लेखनीय अनुमान था। बाद की रचनाओं की तुलना में फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांसिस्कस विएटा (1540-1603) द्वारा दिया गया पाई का सूत्र झू के अनुमानों के मध्य का था।
नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कला के नौ अध्याय), जिसका शीर्षक पहली बार 179 ई. में एक कांस्य शिलालेख पर देखा गया था, इस पर काओ वेई साम्राज्य के तीसरी सदी के गणितज्ञ लियु हुई द्वारा संपादन और टिपण्णी की गयी थी। इस पुस्तक में की ऐसी समस्याएं शामिल की गयी थी जहाँ ज्यामिति का प्रयोग किया गया था, जैसे कि वर्गों और वृत्तों की सतह का क्षेत्रफल निकालना, विभिन्न त्रिविमीय आकृतियों में ठोस पदार्थों का आयतन निकालना और साथ ही पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग भी इसमें शामिल था। इस पुस्तक में पाइथागोरस प्रमेय के लिए सचित्र प्रमाण प्रस्तुत किये गए थे, साथ ही समकोण त्रिभुज के गुणों पर झाऊ के पूर्व ड्यूक और शांग गाओ के बीच एक लिखित संवाद और पाइथागोरस प्रमेय भी संलग्न था। संपादक लियु हुई ने एक 192 पक्षीय बहुभुज का उपयोग कर पाई को 3.141014 के रूप में सूचीबद्ध किया था और उसके बाद 3072 पक्षीय बहुभुज का उपयोग कर पाई की गणना 3.14159 के रूप में की थी। यह लियु हुई के समकालीन ईस्टर्न वू के गणितज्ञ और खगोल शास्त्री, वांग फैन की तुलना में कहीं अधिक सटीक था जिसमें /45 का उपयोग कर पाई को 3.1555 पर रखा गया था। लियू हुई ने गहराई, ऊँचाई, चौड़ाई और सतह के क्षेत्रफल की दूरी की मापों की गणना के लिए गणितीय सर्वेक्षण के बारे में भी लिखा था। ठोस ज्यामिति के संदर्भ में उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि आयताकार आधार वाली एक खूंटी (वेज) और इसके दोनों ढालू पक्षों को एक पिरामिड और चार पक्षों वाली एक खूंटी के रूप में तोड़ा जा सकता है। उन्होंने यह भी पता लगाया कि समलंब आधार और दोनों ढालू पक्षों वाली एक खूंटी को एक पिरामिड द्वारा चार पक्षों वाली दो खूंटियों में अलग किया जा सकता है। इसके अलावा लियू हुई ने आयतन पर कैवेलियरी के सिद्धांत के साथ-साथ गाऊसी के एलिमिनेशन का भी वर्णन किया था। नौ अध्यायों (नाइन चैप्टर्स से, इसने निम्नलिखित ज्यामितीय सूत्रों को सूचीबद्ध किया था जिनकी जानकारी पूर्व हान राजवंश (202 बीसीई-9 सीई) के समय तक थी।
निम्न के लिए क्षेत्रफल