Matematika

Matemátiká ang larangan ng kaalaman na pangunahing nakatuon sa mga bilang, komputasyon, pormula, estraktura, hugis, espasyo, kantidad, at ang mga pagbabago nito. Dahil sa lawak ng saklaw ng larangan, wala itong napagkakasunduang isang tiyak na kahulugan, bagamat may mga matematiko at akademikong nagsubok na bigyang-kahulugan ito sa kasaysayan. Ang modernong matematika ay nahahati sa mga pangunahing sangay na kinabibilangan ng teorya ng bilang, alhebra, heometriya, at pagsusuri. Itinuturing ito bilang isang napakahalagang larangan kung saan nakaangkla ang ibang mga larangan, tulad halimbawa ng likas na agham, inhinyera, medisina, pananalapi, agham pangkompyuter, at agham panlipunan. Bagamat ginagamit ang larangan sa pagmomodelo sa mga penomena, hiwalay sa mga maagham na teorya at eksperimento ang mga pangunahing katotohanan ng matematika. May ilang sangay na nadebelop upang magamit sa ibang mga larangan, tulad ng estadistika at teorya ng laro, at madalas na ginugrupo sa ilalim ng matematikang nalalapat. Samantala, may mga sangay naman na hiwalay na nadebelop nang walang gamit sa simula, at ginugrupo sa ilalim ng purong matematika, bagamat kalauna'y nakahanap rin ang mga ito ng paggamit dahil sa samu't saring dahilan, tulad ng pag-usad ng teknolohiya.
Sentro sa mga gawain sa matematika ang paghahanap sa mga katangian ng mga basal na bagay (Ingles: abstract objects) gamit ang pagdadahilan upang patunayan ang mga ito. Madalas ito ay isang likas na kabasalan, o di kaya'y mga entidad na itinuturing na may mga partikular na katangian o mga aksoma. Patunay ang tawag sa mga resultang ginamitan ng sunod-sunod na paglalapat ng mga tuntunin sa imperensiya upang masabing totoo nga ito. Kasama sa mga resultang ito ay ang mga napatunayan na'ng teorema, aksoma, at ilang mga panimulang katangian na kinilala bilang mga tunay na simulain sa paggawa ng teorya.
Mga Griyego ang nagpasimula sa paggamit ng mga patunay sa matematika. Pinakasikat sa mga patunay ng matematikang Griyego ang Mga Elemento ni Euclides. Simula pa noon, hinahati na ang matematika sa dalawang sangay: heometriya at aritmetika. Nagbago ito simula noong ika-16 na siglo, nang sinama ang alhebra at kalkulo. Mula sa puntong yon, naging madalas na ang paggamit ng matematika upang makagawa ng mga pagtuklas sa agham. Naging sentro ng debate noong ika-19 na siglo ang mga haligi ng matematika, na nagbigay-daan upang mabuo ang sistemang aksomatiko. Sa modernong panahon, kasalukuyang kinilala ng Mathematics Subject Classification ang 60 larangan bilang mga pangunahing sangay ng matematika.
Nagmula ang salitang "matematika" sa wikang Kastila na matemática, na nagmula naman mula sa wikang Griyego na mathēmatiká (Greek: μαθηματικά). Nagmula naman ito mula sa sinaunang Griyegong máthēma (Greek: μάθημα, lit. na 'mga bagay na nalalaman'), na nanganguhulugang "agham" o "pag-aaral", bagamat nagkaroon ito ng mas makitid na kahulugan pagsapit ng panahong klasikal sa Gresya. Ang pang-uri nito ay mathēmatikós (Greek: μαθηματικός), na nangangahulugang "mahilig mag-aral"; dito nanggaling ang salitang "matematikal". Mathēmatikoi (Greek: μαθηματικοί) ang tawag noon sa mga estudyante, bagamat dito nanggaling ang salitang "matematiko". Ang mga tagasunod ng Pitagorasismo ang nagpakitid sa kahulugan nito upang tukuyin lamang ang aritmetika at heometriya. Pagsapit ng kapanahunan ni Aristoteles, ganito na ang kahulugan ng matematika.
Astrolohiya (o sa ibang kaso, astronomiya) ang karaniwang ibig sabihin ng matematika hanggang noong bago ang ika-16 na siglo. Nagbago ang kahulugan nito patungo sa modernong kahulugan nito pagsapit ng ika-19 na siglo. Nagresulta ang pagbabagong ito sa mga maling pagsasalin sa naturang salita; halimbawa, maling naisalin ang babala ni San Agustin sa mga Kristiyano sa kanyang kasulutan kontra sa mga mathematici. Astrologo ang ibig sabihin nito nung panahong niya, hindi matematiko, bagamat ginagamit pa rin ang pagkakamaling ito ng mga panatiko upang ikondena ang mga matematiko.
Sa wikang Kastila nagmula ang modernong salitang Tagalog na "matematika". Ang matemática ay isang pangngalang isahan (Ingles: singular noun); ang maramihan nito ay matemáticas, na siyang opisyal na salin nito sa wikang Kastila. Ganito rin ang kaso sa ibang mga wikang Romanse, lalo na sa wikang Ingles na mathematics. May mga teorya na dahil ito sa pagsalin sa sinaunang Griyego na ta mathēmatiká (Greek: τὰ μαθηματικά), na nangangahulugang "lahat ng mga may kinalaman sa matematika", bagamat posible rin na nagmula lang din ito sa pang-uri nito at ginaya ng mga mananalitang Ingles ang lohika ng mga salitang physics (pisika) at metaphysics (metapisika), na parehong nasa anyong maramihan kahit na isahan lang ito. Pinapaikli rin ang salita bilang math, na popular na ginagamit din sa Pilipinas, o maths sa Britanikong Ingles.
Samantala, isang neolohismo ang salitang "sipnayan". Nagmula ito sa diksiyonaryong Maugnaying Talasalitaan (1969) bilang bahagi ng mga mungkahi ng paggawa ng mga salitang Pilipino na kombinasyon ng mga wikang rehiyon ng Pilipinas. Sa salitang ito, nabuo ito mula sa pinagsamang salitang Bisaya na isip ("matematika") at hanayan. Tulad ng marami sa mga mungkahi ng diksiyonaryo, hindi ito madalas gamitin sa karaniwang diskurso.
Tinatayang nagbibilang na ang mga sinaunang tao simula pa noong 44000 BKP. Kaya nilang magbilang ng parehong mga pisikal at abstraktong bagay tulad ng araw, buwan, taon, at panahon. Ganito nagsimula ang matematika hanggang noong 3000 BKP, nang nagsimulang gamitin ng mga taga-Babylonia at Ehipto ang mga panimulang elemento ng aritmetika, heometriya, at maging alhebra sa kanilang mga gawain, tulad ng pagbubuwis, pera, konstruksiyon, at astronomiya. Tinatayang ginawa noong 2000 BKP hanggang 1800 BKP ang mga pinakalumang tekstong pangmatematika sa Mesopotamia at Ehipto. Marami sa mga ito ang nagpapahiwatig na alam na nila (o may ideya sila kahit papaano) ang konsepto ng teorema ni Pitagoras, a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Sa matematika ng Babylonia unang lumitaw sa kasaysayan ang apat na pangunahing operasyon ng mababang aritmetika: pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Gumamit din sila ng notasyong posisyonal na nakaayon sa seksahesimal na sistema ng bilang, na ginagamit pa rin sa modernong panahon para sa pagbibilang ng oras at anggulo.
Nagsimulang maging ganap na larangan ang matematika ng mga sinaunang Griyego pagsapit ng ika-6 na siglo BKP, at hinihiwalay na ito mula sa agham ng ilang mga Griyego tulad ng mga tagasunod ni Pitagoras. Bandang 300 BKP, sinimulang kolektahin ni Euclides ang kaalaman ng mga Griyego sa matematika sa pamamagitan ng paggawa ng mga palagay at mga unang prinsipyo, na kalauna'y nagresulta upang mabuo ang kaparaanang aksomatiko na ginagamit sa matematika magpahanggang ngayon. Kinokonsidera ang kanyang aklat na Mga Elemento bilang isa sa mga pinakamatatagumpay na nalathalang aklat sa kasaysayan. Si Arkimedes ang itinuturing na pinakamahusay na matematiko ng sinaunang panahon dahil sa kanyang mga nagawa sa larangan, kabilang na ang mga solido ng paglibot (Ingles: solid of revolution) at ang paraang sapilitan (Ingles: method of exhaustion) upang makompyut ang sukat ng isang parabola gamit ang sumasyon ng isang seryeng walang-hanggan, paraang di nalalayo sa modernong konsepto ng kalkulo. Bukod dito, ilan sa mga natatanging ambag ng mga sinaunang Griyego ay ang pag-aaral sa mga apa (Ingles: conic), trigonometriya, at mga simulain ng alhebra.
Ang pinakaginagamit na sistema ng bilang ngayon, sistemang Hindu-Arabo, ay nagsimula sa India noong unang milenyo KP at naipasa sa Kanluraning Mundo sa pamamagitan ng matematikang Islam. Bukod dito, sa India rin nagsimula ang modernong kahulugan at pagtataya sa sine at cosine, gayundin sa isang sinaunang anyo ng seryeng walang-hanggan.
Noong Ginintuang Panahon ng Islam, lalo na noong ika-9 at ika-10 siglo, nagkaroon ng mga mahahalagang pag-abante sa pag-aaral sa matematikang Griyego sa Gitnang Silangan. Pinakamahalaga sa mga ito ay ang pagdebelop sa alhebra, gayundin sa trigonometriyang pang-ispero (Ingles: spherical trigonometry) at tuldok pandesimal sa sistema ng bilang. Nagmula sa Persia ang karamihan sa mga mahahalagang matematiko ng panahong ito, tulad nina Al-Khwarizmi, Omar Khayyam, at Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Sinalin ang mga gawa nila gayundin ang mga gawa ng mga Griyego at Arabo sa wikang Latin, na kalauna'y nakarating sa Europa noong Gitnang Kapanahunan.
Bumilis ang pag-usad ng matematika sa kanlurang Europa pagsapit ng maagang modernong panahon. Sa panahong ito lumitaw ang mga baryable at notasyong simboliko na unang ginamit ni François Viète. Ginawa naman ni John Napier ang konsepto ng logaritmo, na nagpabilis sa mga kalkulasyon sa astronomiya at paglalayag. Si Rene Descartes ang nagpakilala sa konsepto ng koordinado, na nakatulong upang magamit ang alhebra sa heometriya. Samantala, magkahiwalay namang naimbento nang sabay ang kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Leibniz. Si Leonhard Euler naman ang kinokonsidera bilang ang pinakamahalagang matematiko ng ika-18 siglo dahil sa kanyang paggawa ng isang pamantayang terminolohiya para sa mga larangang ito gayundin sa mga pagkumpleto niya sa mga ito sa pamamagitan ng pagtuklas at pagpapatunay sa samu't-saring mga teorema.
Si Carl Friedrich Gauss naman ang kinokonsiderang pinakamahalagang matematiko ng ika-19 na siglo dahil sa kanyang mga ambag sa alhebra, pagsusuri, heometriyang deribatibo, matris, teorya ng bilang, at estadistika. Samantala, nilathala naman ni Kurt Gödel ang kanyang mga teorema ng di-pagkakumpleto (Ingles: incompleteness theorems) na nagpabago sa matematika dahil sa ideya na may mga totoong proposisyon na hindi kailanman mapapatunayan sa isang konsistent na sistemang aksomatiko na kayang ilarawan ang aritmetika.
Mabilis ang pag-usad ng matematika sa ika-20 siglo at papasok sa ika-21 siglo, lalo na sa tulong ng mga makabagong teknolohiya tulad ng mga kompyuter at superkompyuter. Noong 2006 halimbawa, nasa database ng dyornal na Mathematical Reviews ang mahigit kumulang 1.9 milyong papeles at aklat simula noong unang isyu nito noong 1940, na nadadagdagan pa nang 75 libo kada taon, karamihan mga bagong teorema at ang kani-kanilang mga patunay.
Ginagamit ang notasyong pangmatematika sa agham at inhinyera para ipakita ang mga komplikadong konsepto at katangian sa paraang konsistent, tiyak, at tumpak. Gumagamit ang mga ito ng mga simbolo para sa mga operasyon, di-tiyak na bilang, relasyon, at ibang mga bagay sa matematika, kung saan pinagsasama sila sa isang ekspresyon o pormula. Baryable ang tawag sa mga simbolong ginagamit para sa mga bilang at ibang mga bagay, na kadalasan nakasulat sa sulat Latin o Griyego, at minsan ay nakaangat (Ingles: superscript). Ipinapakita ang mga operasyon at relasyon gamit ang mga partikular na simbolo o glipo, such halimbawa ng + (pagdagdag), ∫ {\textstyle \int } (integral), at = (katumbas).
Nakabuo ang mga matematiko ng isang malawak na bokubularyo upang ilarawan nang tiyak at tumpak ang mga konsepto sa matematika. Nagdebelop rin sila ng mga pamantayang kahulugan upang magkaintindihan. Aksoma (Ingles: axiom) ang tawag sa mga pahayag na totoo at hindi na kailangan pang patunayan. Konhetura (Ingles: conjecture) naman ang tawag sa mga pahayag na kailangan pa munang patunayan. Kung sakaling mapatunayan ito, magiging teorema (Ingles: theorem) ito. Lema (Ingles: lemma) ang tawag sa mga teoremang ginawa upang patunayan ang isa pang teorema. Korolaryo (Ingles: corrolary) naman ang tawag sa isang napatunayang bahagi ng mas malawak na teorema.
Neolohismo ang marami sa mga salitang ginagamit sa matematika, tulad halimbawa ng polinomial at homeomorpismo (parehong mula sa wikang Kastila) o baskagan (Ingles: matrix). May ilan ding mga termino na iba nang bahagya ang kahulugan mula sa karaniwang paggamit. Minsan, ginagamit ang mga karaniwang salita sa isang teknikal na konteksto, na nagiging dahilan tuloy ng kalituhan sa mga wala sa larangan; halimbawa nito ay "lahat ng parang ay singsing" (Ingles: all fields are ring), na isang totoong pahayag sa alhebra.
Dalawa ang pangunahing sangay ng matematika sa maagang kasaysayan nito: aritmetika at heometriya. Bukod dito, kinonsidera din noon bilang mga sangay ng matematika ang numerolohiya at astrolohiya, na ngayo'y itinuturing na'ng mga seudosiyensiya. Pagsapit ng Renasimiyento, nadagdagan ito ng dalawa: alhebra at kalkulo. Ganito ang pagsasangay sa larangan hanggang sa dulo ng ika-19 na siglo, kung saan naging sangay din ang kombinatorika gayundin ang mekanika, na ngayo'y bahagi na ng pisika.
Sa ika-19 na siglo din unang pinagdebatehan ang mga haligi ng matematika, na nagresulta sa isang pamantayang sistemang aksomatiko at ang paglitaw ng marami pang mga sangay. Noong 2020, hindi bababa sa 60 pangunahing sangay ang kinilala ng Mathematics Subject Classification.
Teorya ng bilang ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula ng mga bilang—likas ( N ) {\textstyle (\mathbb {N} )} , buo ( Z ) {\textstyle (\mathbb {Z} )} , at makatuwiran ( Q ) {\textstyle (\mathbb {Q} )} . Kilala rin ito sa tawag na "mataas na aritmetika" lalo na noon, bagamat mas ginagamit na ang terminong ito para tumukoy sa pagsusuri. Unang lumitaw ang teorya ng bilang sa Babylonia at posibleng sa Tsina rin. Sina Euclides at Diofante ang ilan sa mga unang nag-aral sa larangan. Ang modernong pag-aaral sa teorya ng bilang ay nagsimula kina Pierre de Fermat at Leonhard Euler, at naging pormal itong sangay dahil sa mga ambag nina Carl Friedrich Gauss at Adrien-Marie Legendre.
Ilan sa mga sikat na mga halimbawa ng problema sa teorya ng bilang ay ang Huling Teorema ni Fermat, na nagsasabing walang tatlong positibong buumbilang na a , b , c {\textstyle a,b,c} na magpapatotoo sa ekwasyong a n + b n = c n {\textstyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} para sa n > 2 {\textstyle n>2} . Una itong ipinahayag noong 1637, ngunit napatunayan lamang ito ni Andrew Wiles noong 1994 sa pamamagitan ng mga iskema mula sa heometriyang alhebraiko, gayundin sa teorya ng kategorya at alhebrang homolohikal. Isa rin sa mga sikat na problema ay ang konhetura ni Goldbach, na nagsasabing lahat ng mga tukol na buumbilang na higit sa 2 ay ang suma ng dalawang pangunahing bilang. Una itong ipinahayag noong 1742, at di tulad ng naunang halimbawa, wala pa rin itong malinaw na solusyon.
Isa sa mga pinakamatandang sangay ng matematika ang heometriya, na nakatuon sa mga hugis, linya, bilog, at anggulo. Nagmula ito sa pangangailangan sa agrimensura at inhinyera.
Sa heometriya nagsimula ang konsepto ng pagpapatunay, nang ginamit ito ng mga sinaunang Griyegong matematiko upang tukuyin ang mga pahayag na siguradong totoo. Sa sistemang ito, hindi sapat ang pagsukat sa isang bagay; dapat patunayan kung magkapareho sila sa pamamagitan ng paggamit sa mga pahayag na napatunayan na noon. Maaari ring gamitin ang mga likas na pahayag (hal. "walang sulok ang bilog") at mga napagkasunduang mga aksoma. Ang prosesong ito ay pormal na isinakodigo sa Mga Elemento ni Euclides noong 300 BKP.
Si Euclides din ang nagpasimula sa isang sangay ng heometriya na ipinangalan sa kanya, ang heometriyang Euclides. Nakatuon ito sa mga hugis na nabuo gamit ang mga linya at bilog na nasa kalapagang Euclides (Ingles: Euclidean plane) o, sa kaso ng tatlong dimensiyon, sa isang espasyong Euclides.
Walang nagbago sa pag-aaral sa heometriya hanggang noong ipinakilala ni Ren Descartes ang sistema ng koordinado sa larangan. Imbes na ituring na mga sukat sa isang linyang pambilang ang mga tunay na bilang, ginawa na itong mga punto sa isang kalapagan sa anyong koordinado na ( x , y ) {\textstyle (x,y)} . Dahil rito, nagawang magamit ng mga matematiko ang alhebra sa pag-aaral, gayundin ang kalkulo at iba pang mga larangan kalaunan, na nagresulta sa paghati sa heometriya sa dalawang pangunahing sangay: sintetiko o tradisyonal, at pasuri o koordinado.
Sa heometriyang pasuri mapag-aaralan ang mga kurba, na maipapakita sa isang grap ng punsiyon, na kalauna'y magiging sentro ng pag-aaral ng heometriyang deribatibo. Mabibigyang-kahulugan din sila gamit ang mga ekwasyong pahiwatig (Ingles: implicit equation), madalas mga ekwasyong polinomial; ito ang pinag-aaralan sa heometriyang alhebraiko. Naging posible ring pag-aralan dahil sa heometriyang pasuri ang mga espasyong Euclides na higit sa tatlong dimensiyon.
Nadiskubre ng mga matematiko ang mga heometriyang di-Euclides, na hindi sumusunod sa palagay ng pagkaayon (Ingles: parallel postulate). Nagresulta ito sa kabalintunaan ni Russell at sa mas malawak na krisis sa haligi ng matematika. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang sistematikong kaparaanang aksomatiko, at ipahayag na hindi isang problema sa matematika ang katotohanan ng mga piling aksoma. Dahil dito, pinayagan ng kaparaanang aksomatiko na mapag-aralan ang mga heometriyang nagagawa sa pamamagitan ng pagbago sa mga aksoma o sa pagkonsidera sa mga katangian na hindi nagbabago sa ilalim ng mga partikular na transpormasyon sa espasyo.
Sa pinakasimpleng kahulugan, alhebra ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula sa mga ekwasyon at pormula. Pinasimulan ito nina Diofante at al-Khwarizmi. Niresolba ni Diofante ang ilang mga ekwasyon na may mga likas na bilang na hindi tukoy sa pamamagitan ng paghahanap sa mga relasyon hanggang sa makita niya ang solusyon. Samantala, gumawa naman si al-Khwarizmi ng mga sistematikong kaparaanan para baguhin ang mga ekwasyon, tulad halimbawa ng paglipat ng isang bahagi nito papunta sa kabila. Ang salitang alhebra ay nagmula sa pamagat ng kanyang aklat, Al-Jabr, isinulat noong bandang 820 KP sa Baghdad.
Naging isang ganap na sangay ng matematika ang alhebra noong ipinakilala ni François Viète ang paggamit sa mga baryable upang kumatawan sa mga di-tukoy na mga halaga. Dahil dito, nagawang mailarawan ng mga matematiko ang mga operasyong gagawin sa mga bilang gamit ng mga pormula.
Hanggang noong ika-19 na siglo, limitado lang ang alhebra sa pag-aaral sa mga ekwasyong linyar (ngayo'y bahagi ng alhebrang linyar) at polinomial na may nag-iisang hindi alam na halaga (tinatawag noon na mga ekwasyong alhebraiko, bagamat hindi na ngayon ito ginagamit dahil sa pagiging malabo ng naturang salita). Pagsapit ng ika-19 na siglo, nagsimulang gumamit ang mga matematiko ng mga baryable upang kumatawan hindi lang sa mga bilang kundi sa ibang mga matematikal na bagay kagaya ng matris, kung saan madalas tama ang mga operasyon sa aritmetika. Dahil dito, ipinakilala sa alhebra ang konsepto ng estrakturang alhebraiko, na nagresulta kalaunan sa alhebrang basal sa pangunguna ni Emmy Noether.
Pinag-aaralan sa alhebrang pangkalahatan at teorya ng kategorya ang mga estrakturang alhebraiko bilang mga bagay sa matematika. Hindi limitado ang teorya ng kategorya sa mga estraktura sa alhebra; magagamit ito sa lahat ng mga estraktura sa matematika. Una itong ipinakilala kasama ng alhebrang homolohikal upang mapag-aralan sa alhebra ang mga bagay na di-alhebraiko, tulad ng mga espasyong topolohikal. Nagresulta ito sa pag-aaral na topolohiyang alhebraiko.
Kalkulo, sa pinakasimpleng paliwanag, ang pag-aaral sa relasyon ng mga baryableng nakadepende sa isa't-isa. Magkahiwalay itong nadebelop noong ika-17 siglo nina Isaac Newton at Gottfried Leibniz, na nagresulta sa isang panandaliang kontrobersiya ukol sa sinong unang nakaimbento sa larangan. Pinalawak pa ito nang husto sa sumunod na siglo ni Leonhard Euler na nagpakilala sa konsepto ng punsiyon at sa marami pang iba. Sa kasalukuyan, itinuturing ang kalkulo bilang ang mababang antas ng pag-aaral at pagsusuring matematikal ang tawag sa mas mataas na pag-aaral sa larangan.
Nahahati rin ang pagsusuri sa dalawang sangay: pagsusuring tunay, na nakatuon sa pagsusuri sa mga tunay na bilang, at pagsusuring komplikado, na nakatuon naman sa mga komplikadong bilang. Kaugnay rin sa pagsusuri ang pagsusuring pambilang, na ginagamit madalas sa agham pangkompyuter.
Sa pangkalahatang kahulugan, matematikang diskreto ang pag-aaral sa mga indibidwal at mabibilang na mga bagay sa matematika, kagaya ng pangkat ng lahat ng mga buumbilang. Dahil diskreto ang mga bagay na pinag-aaralan dito, hindi magagamit ang mga kaparaanan sa kalkulo at pagsusuri. Mahalaga sa sangay na ito ang mga algoritmo, lalo na ang kanilang implementasyon at pagkakomplikado sa pagkompyut.
Ang teorema ng apat na kulay at ang optimal na pagpapakete sa espero ang dalawa sa mga problema sa matematikang diskreto na nalutas pagsapit ng ika-20 siglo. Mahalaga din sa sangay ang problemang P o NP, isa sa mga pinakamahahalagang problemang di pa nalulutas, dahil malaki ang implikasyon ng magiging solusyon nito sa mga problema itinuring na mga mahirap makompyut, na madalas basehan sa modernong kriptograpiya.
Bagamat matagal na'ng pinag-aaralan ang lohika at teorya ng pangkat, naging pormal itong bahagi ng matematika pagsapit ng dulo ng ika-19 na siglo. Bago ito, hindi kinokonsiderang mga bagay sa matematika ang mga pangkat, at mas ginugrupo naman ang lohika sa pilosopiya, bagamat ginagamit rin ito sa mga pagpapatunay sa matematika.
Bago pag-aralan ni Georg Cantor ang mga walang-hanggang pangkat, hindi tinatanggap ng mga matematiko ang ideya ng isang koleksyong tunay na walang-hanggan, at mas kumikiling sa ideya ng kawalang-hangganan bilang resulta ng walang katapusang enumerasyon. Kontrobersiyal ang ideyang ito ni Cantor, dahil sa implikasyon na may iba't-ibang laki ang kawalang-hangganan na pinapatunayan ng argumentong pahalang ni Cantor. Sa panahon ding ito natukoy sa maraming sangay ng matematika na may mga bagay sa matematika na hindi sapat ang kahulugan upang masiguro ang kahigpitan. Kalaunan, nagresulta ito sa isang krisis sa mga haligi ng matematika.
Naresolba rin ito kalaunan sa matematika sa pamamagitan ng pagsasagawa sa isang sistematikong kaparaanan ng paggawa ng mga aksoma sa loob ng isang pormalisadong teorya ng pangkat. Sa madaling salita, binibigyang-kahulugan ang bawat bagay sa matematika gamit ang pangkat ng lahat na magkakatulad na mga bagay at ang mga katangiang dapat meron ito. Halimbawa, sa aritmetika ni Peano, binibigyang-kahulugan ang likas na bilang sa pahayag na "isang bilang ang sero", "may natatanging susunod ang bawat bilang", "may natatanging nauna ang bawat bilang maliban sa sero", at ibang mga tuntunin. Nakaayon sa pilosopiya ng pormalismo ni David Hilbert ang kabasalan sa matematika mula sa realidad.
Nananatiling isang problema sa pilosopiya ang kalikasan ng matematika, bagamat may mga matematikong may opinyon patungkol rito. Dahil dito, kinonsidera ang mga lohika, pangkat, patunay, at iba pa bilang mga bagay sa matematika, upang mabigyan sila ng mga teorema magpapatunayan sa mga ito. Halimbawa, sa mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel, sinasabi na sa bawat konsistent na pormalisadong sistema na naglalaman ng mga likas na bilang, may mga teorema na totoo (na mapapatunayan sa isang mas malakas na sistema) na hindi mapapatunayan sa sistemang yon.
Estadistika ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagkolekta at pagproseso sa mga datos, gamit ang mga kaparaanang hango sa matematika, lalo sa probabilidad. Gumagawa ng mga datos ang mga estadistiko gamit ang naka-random na sample o eksperimento.
Pinag-aaralan sa teorya ng estadistika ang mga problema sa pagdedesisyon tulad ng pagpapababa ng panganib (inaasahang pagkalugi) sa isang gawain. Gumagamit sila ng isang proseso para rito: pagtatáya, pagte-test, at pagpili sa pinakatama. Sa tradisyonal na sangay na ito ng estadistikang pangmatematika, nagagawa ang isang problema sa pagdedesisyon sa pamamagitan ng pagpapababa sa punsiyon ng pagkalugi o gastos sa ilalim ng ilang partikular na balakid. Halimbawa, madalas na napapababa ng mga sarbey ang gastos sa pagtatáya sa medya (Ingles: mean) ng populasyon para sa isang partikular na antas ng pagkasigurado (Ingles: confidence level). Dahil gamit nito sa optimisasyon, madalas na kasama rin ang estadistika sa ibang mga agham pandesisyon, tulad ng pananaliksik pang-operasyon, teorya ng kontrol, at matematikang pang-ekonomika.
Matematikang komputasyonal ang pag-aaral ng mga problema sa matematika na madalas malaki masyado para makompyut ng mga tao. Pinag-aaralan sa pagsusuring pambilang ang mga kaparaanang para sa mga problema sa pagsusuri gamit ang pagsusuring punsiyonal at teorya ng pagtatáya. Nakatuon ito sa pagtatáya at pagdidiskreto na may pokus sa mga error sa pag-round. Ginagamitan madalas ang mga ito ng kompyuter o superkompyuter upang makagawa ng mga patunay.
Ang sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan, na unang napansin ni Eugene Wigner, ay isang penomenang kung saan maraming teorya sa matematika, kahit maging mga teorya sa purong sangay nito, ay nakahanap ng gamit labas sa mga layunin nito. May mga teorya kasi na nagawa bago lumitaw ang teknolohiyang makakagamit nito. Halimbawa nito ang pangunahing pagsasalik (Ingles: prime factorization) sa mga likas na bilang, na unang nadiskubre 2,000 taon na ang nakararaan at nagamit lang sa praktikal na paraan nang maimbento ang kriptosistemang RSA para sa seguridad sa internet. Noong ika-19 na siglo, dumating kalaunan ang heometriya sa punto na natuklasan ng mga matematiko ang mga heometriyang di-Euclides, mga dimensiyon na higit sa tatlo, at mga manipoldo. Sa puntong ito ng kasaysayan, wala itong direktang gamit sa pisikal na realidad, hanggang noong nadebelop ni Albert Einstein ang kanyang teorya ng relatibidad na gumagamit sa tatlong konseptong ito; isang espasyong di-Euclides ang espasyo-panahon na inilarawan sa natatanging relatibidad na may apat na dimensiyon, at ang espasyo-panahon naman ng pangkalahatang relatibidad ay isang nakakurbang manipoldo na may apat na dimensiyon.
Sa pisika naman, ginagamit ang matematika upang makagawa ng mga hinuha ukol sa mga posibleng partikulo na meron sa kalikasan. Halimbawa nito ang pagkadiskubre sa positron at baryon, na unang nailarawan sa teoryang matematikal bago natuklasan ang mga ito sa mga sumunod na taon sa pamamagitan ng mga eksperimento.
Ginagamit madalas ang matematika sa agham sa pagmomodelo ng mga penomena upang makagawa ng mga prediksiyon base sa mga eksperimental na batas. Matuturing na nakadepende lamang ang katumpakan ng mga prediksiyong ito sa kakayahan ng modelo dahil sa kalayaan ng katotohanan sa matematika mula sa kahit anong mga pag-eeksperimento. Dahil dito, masasabing mali ang modelong ginagamit kung mali ang prediksiyon, imbes na mali ang mismong konseptong matematikal. Halimbawa, maipapaliwanag lamang ang perihelyon ng Merkuryo sa pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein, na pumalit sa naunang batas sa grabidad ni Isaac Newton.
Hanggang noong ika-19 na siglo, nakaangkla ang pag-aaral sa matematika dahil sa pangangailangan ng teknolohiya at agham; walang malinaw na pagkakaiba ang matematikang puro at nalalapat. Halimbawa, ipinakilala ang mga likas na bilang at aritmetika dahil sa pangangailangan ng pagbibilang, at heometriya naman ang resulta ng agrimensura, arkitektura, at astronomiya. Naipaliwanag ang paggalaw ng mga planeta pagsapit ng pag-usbong ng kalkulo. Sa panahong ito, tipikal na siyentipiko rin ang mga matematiko, at kabaligtaran. Gayunpaman, sa sinaunang Gresya, may hiwalay na pag-aaral para sa matematikang puro. Walang gamit labas sa matematika ang pagsasalik sa buumbilang (Ingles: integer factorization), na unang inimbestigahan ni Euclides noong 300 BKP, hanggang noong naimbento ang kriptosistemang RSA na ginagamit ngayon sa mga network ng kompyuter.
Noong ika-19 na siglo, nagsimulang mag-imbestiga nang malaliman ang mga matematiko tulad nina Karl Weierstrass at Richard Dedekind sa mga problema ng matematika. Nahati ang matematika bilang resulta nito, sa dalawang sangay na puro at nalalapat. Bagamat magkahiwalay, madalas na walang malinaw na hangganan ang dalawang sangay na ito. Matapos ng Ikalawang Digmaang Pandaigdig, mabilis na umusad ang pagdebelop sa matematikang nalalapat sa Estados Unidos at ibang lugar. Marami sa mga teoryang nadebelop para magamit ay resulta ng interes ng mga matematikong purista, na kalaunan ay nakahanap din ng gamit labas sa matematika.
Itinuturing ang matematika bilang isang mahalagang kagamitan sa pisika, at kabaligtaran. Sa Pisika, inilarawan ni Aristoteles ang pagkakaiba ng dalawang larangan. Ang pananaw na wika ng kalikasan ang matematika ay unang ipinahayag ng Pitagorasismo, na nagsasabing "lahat ay bilang" at "bilang ang hari ng mundo". Sang-ayon si Galileo Galilei sa pananaw na ito, na nagsabi na isinulat sa wika ng matematika ang aklat ng kalikasan.
Malapit ang kaugnayan ng larangan ng kompyuting sa matematika. Kinokonsidera ang teoretikal na agham pangkompyuter bilang isang sangay ng matematika. Ginagamit naman sa matematikang komputasyonal ang mga sangay ng matematika, kagaya ng aritmetika, sa kriptograpiya at teorya ng kodigo. Ginagamit din sa agham pangkompyuter ang matematikang diskreto para sa larangan nito tulad ng mga teorya ng pagkakomplikado, impormasyon, at grap. Sa pagsapit ng paggamit sa mga malalakas na kompyuter at superkompyuter, nagsimula ring gamitin ng mga matematiko ang mga ito upang tulungan sila sa pagpapatunay sa mga teoryang mahirap patunayan nang mano-mano. Isa sa mga mahahalagang napatunayan na teorya gamit nito ay ang konhetura ni Kepler ukol sa pagpapakete sa isang espero (Ingles: sphere packing), na napatunayan noong 1998, at kalauna'y nakumpirma noong dekada 2010s.
Ginagamit sa biolohiya ang probabilidad sa mga larangan kagaya ng ekolohiya at neurosiyensiya. Madalas rin itong ginagamit sa mga usapin ukol sa kakayahang ebolusyonal (Ingles: evolutionary fitness). Ginagamit sa ekolohiya ang pagmomodelo upang mailarawan ang dinamika ng populasyon, pag-aralan ang mga ekosistema at ang sistema ng nakakain-kinakain (Ingles: predator-prey), pagsukat sa polusyon, at makakuhang datos ukol sa pagbabago ng klima. Mailalarawan sa matematika ang dinamika ng populasyon gamit ang ilang mga ekwasyong deribatibo, kagaya ng mga ekwasyong Lotka-Volterra.
Ginagamit naman sa pagsubok sa hinuhang pang-estadistika ang mga datos na nakukuha mula sa mga pagsubok klinikal upang malaman kung epektibo ba ang mga bagong gamot. Simula noong ika-20 siglo, nagsimulang gamitin sa kimika ang mga kompyuter upang imodelo ang mga molekula sa tatlong dimensiyon.
Ginagamit ang matematika sa heograpiya at heolohiya, lalo na sa mga larangan ng heolohiyang estraktural at klimatolohiya upang makagawa ng mga modelong ginagamit sa prediksyon sa mga sakuna sa hinaharap kagaya ng mga bagyo. Ganito rin ang kaso sa mga larangan ng meteorolohiya, oseanograpiya, at agham pamplaneta.
Malawak ang paggamit sa estadistika at probabilidad, gayunin sa mga ekwasyong deribatibo, sa mga agham panlipunan, kagaya ng sa lingguwistika, ekonomika, sosyolohiya, at sikolohiya.
Mahalagang konsepto sa matematikang pang-ekonomika ang ideya ng isang rasyonal na indibidwal na aktor, ang homo economicus (lit. na 'tao ng ekonomiya'). Sa modelong ito, palaging susundin ng indibidwal ang kanyang interes at isesentro ang lahat ng mga gagawin niyang pagpili gamit ang perpektong impormasyon. Sa ganitong pananaw napapadali ang paggamit ng matematika sa ekonomika. Maaaring mamodelo sa tulong nito ang mga mekanismong nagpapaandar sa ekonomiya. Hindi lahat ng mga ekonomista ay sang-ayon sa ideya ng homo economicus.
Simula noong ika-20 siglo, nagkaroon ng mga adhikain sa larangan upang mailarawan ang mga kilusan sa kasaysayan sa anyong matematikal. Noong 1922, ipinahayag ni Nikolai Kondratiev ang kanyang konsepto ng mga siklong ipinangalan sa kanya, na nagpapaliwanag sa mga panahon ng pag-usad ng ekonomiya at ang mga krisis. Sa pagtatapos ng nakaraang siglo, nagsimulang gamitin ng mga matematiko ang matematika sa heopolitika. Noong dekada 1990s, dinebelop ni Peter Turchin ang kliodinamika.
Hindi sa lahat ng pagkakataon ay magagamit ang matematika sa larangan. Sa kanilang kontrobersyal na aklat na Fashionable Nonsense (1997), kumontra sina Alan Sokal at Jean Bricmont sa abusadong paggamit ng mga terminolohiya sa agham, lalo na sa matematika at pisika, sa agham panlipunan. Gumagamit ng matematika ang pag-aaral sa mga sistemang komplikado. Gayunpaman, nananatili pa ring kontrobersyal ang paggamit nito para sa ilang mga kriteryon, kagaya ng sa kawalang-trabaho.
Mga astrologo din ang ilang mga matematiko, kagaya nina Ptolemeo at Johannes Kepler. Noong Gitnang Kapanahunan, kinokonsidera bilang isang agham ang astrolohiya, na kinabibilangan ng matematika. Sa ensiklopedyang isinulat ni Theodor Zwinger, astrolohiya ang "agham pangmatematika na nag-aaral sa aktibong paggalaw ng bawat bagay sa langit", at matematika naman ang "ginagamit upang makalkula ang probabilidad ng mga impluwensiya ng mga bituin upang malaman agad ang kanilang pagsalubong at paghihiwalay". Hindi na itinuturing na agham ang astrolohiya sa modernong panahon, at karaniwan na itong ginugrupo sa mga seudosiyensiya.
Paksa na sa mga debate sa pilosopiya ang koneksyon ng matematika at ang materyal na realidad simula pa noong panahon ni Pitagoras. Ayon kay Platon, may mga sari-sariling realidad ang mga kabasalan na nagpapakita sa materyal na realidad na labas sa espasyo at panahon; ito ang pundasyon ng Platonismong matematikal. Ibinuod ni Armand Borel ang ganitong pananaw sa matematika. Ayon sa kanya:
Gayunpaman, taliwas ito sa pagiging sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan.
Walang napagkakasunduang kahulugan para sa matematika, gayundin sa estado nito sa epistemolohiya. Walang pake kadalasan ang mga matematiko sa kahulugan nito, o di kaya'y sinasabi na lang na wala itong kahulugan. Hindi rin malinaw kung sining o agham ba ang matematika. Madalas sabihin sa karaniwang diskurso ang katagang "matematika ang ginagawa ng mga matematiko", na bagamat isang pagdadahilang pabilog (Ingles: circular reasoning) ay maiintindihan pa rin, dahil madalas napapagkakasunduan kung alin ang itinuturing na matematika sa hindi. Marami sa mga mungkahing kahulugan ay kahulugan batay sa pinag-aaralan nito.
Ayon kay Aristoteles, matematika ang "agham ng kantidad". Ang pananaw na ito ang nanatiling kahulugan ng matematika hanggang noong ika-18 siglo. Gayunpaman, binigyang-pansin din niya na hindi sapat ang kantidad upang maihiwalay ang matematika mula sa mga agham tulad ng pisika; ayon sa kanya, ang natatanging naghihiwalay sa matematika ay ang kabasalan at ang pag-aaral sa kantidad bilang katangian na hinihiwalay ng kaisipan mula sa realidad. Simula noong ika-19 na siglo, nang nagsimulang pag-aralan ng mga matematiko ang mga walang-hanggang pangkat, na hindi makikita sa realidad, nagsimulang lumitaw ang mga bagong kahulugan sa larangan. Pagsapit ng ika-20 siglo, ang mabilis na pagdami ng mga bagong larangan ang naging dahilan upang ituring ng ilang mga matematiko na mahirap bigyang-kahulugan ang matematika.
Ginagamit ding kahulugan ang ideya na matematika na'ng maituturing ang isang larangan kung ginagamit nito ang mga kaparaanan sa matematika. Halimbawa nito ay ang pagpapatunay sa mga teorema, na nangangailangan ng lohika sa pagdadahilan. Isa ring ginagamit na kahulugan ay ang teorya ng aksomatikong pangkat (Ingles: axiomatic set theory), ang teoryang kinokonsidera na ngayon bilang haligi ng modernong pag-aaral sa matematika.
Kinakailangan ang kahigpitan sa matematika. Ibig sabihin, dapat malinaw ang mga kahulugan at maisusulat ang mga patunay sa isang serye ng paggamit sa mga tuntunin sa imperensiya nang di agad gumagamit ng mga ebidensiyang empirikal o kutob. Bagamat hindi lamang sa matematika isinasagawa ang kahigpitan, mataas ang antas ng pagkahigpit sa larangan. Kahit na may mga tiyak na kahulugan sa matematika, kadalasang umaabot ng daan-daang pahina upang maisulat ang mga patunay. Mas lalo pa itong pinalawak pagsapit ng pag-usbong ng mga katulong na kompyuter sa pagpapatunay. Nagresulta ito sa pilosopiyang kwasi-empirisismo (Ingles: quasi-empiricism), na nagsasabing di kailanman masasabing tama ang isang patunay dahil may probabilidad na kaakibat ang mga ito.
Sa dulo ng ika-19 na siglo, humantong ang matematika sa puntong may mga kahulugan na hindi masyadong tiyak para maiwasan ang mga kabalintunaan (Ingles: paradox) at kontradiksiyon. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsama sa mga aksoma na may mga apodiktikong tuntunin ng imperensiya sa mga teoremang matematikal. Tanging sa pamamagitan ng pagtanggap ng marami sa patunay bilang tama sa paglipas ng panahon ay maituturing ang teoremang ito bilang mapagkakatiwalaan. Dahil dito, ang tradisyonal na konsepto ng kahigpitan ay nawala, bagamat ginagamit pa rin ito para sa pagtuturo sa mga baguhan ukol sa pagpapatunay sa matematika.
Ayon sa arkeolohiya, itinuturo na ang matematika simula pa noong ikalawang milenyo BKP sa Babilonya. May mga nakita ring ebidensiya ng pagtuturo sa sinaunang Malapit na Silangan at sa mundong Greko-Romano mula noong 300 BKP. Ang pinakamatandang aklat ng matematika ay ang papiro ni Rhind, na tinatayang ginawa noong 1650 BKP sa Ehipto. Dahil sa kakulangan ng mga aklat, pinagpasa-pasahan ng mga matematiko sa sinaunang India ang kaalaman sa matematika sa pamamagitan ng pagkakabisado sa mga tradisyong pasalita simula noong panahon ng mga Veda. Noong dinastiyang Tang naman sa Tsina, isinama ang matematika sa kurikulum para sa imperyal na pagsusulit upang makasama sa burokrasya ng estado.
Matapos ang Madilim na Panahon sa Europa, itinuro ang matematika sa mga paaralang panrehiliyon bilang bahagi ng quadrivium. Nagsimula naman ang pormal na pagtuturo sa pedagohiya sa mga paaralan ng mga Heswita noong ika-16 at ika-17 siglo. Praktikal ang kurikulum ng matematika hanggang noong ika-19 na siglo, nang nagsimula itong seryosohin sa Alemanya at Pransiya, kung saan itinatag ang unang akademikong dyornal para sa pagtuturo ng matematika, ang L'Enseignement Mathématique, na nagsimula noong 1899. Ang pag-usad ng agham at teknolohiya sa Kanluraning Mundo ang nagpahantong sa pagtatatag sa mga sentralisadong sistema ng pagtuturo sa maraming mga bansa, kung saan kabilang ang matematika sa mga mahahalagang asignatura, dahil sa pangangailangan ng militar nung una. Bagamat iba-iba ang nilalaman ng kurikulum at kalidad ng pagtuturo, itinuturo ang matematika sa lahat ng mga bansa sa mundo sa kasalukuyang panahon.
Habang nag-aaral, may korelasyon ang kakayahan ng isang bata sa matematika sa magiging karera niya sa hinaharap. Nakakaimpluwensiya sa interes ng bata sa matematika ang mga panlabas na salik tulad ng motibasyon ng mga guro, magulang, at kaklase. Gayunpaman, maaari ring humantong ang ilan sa pagkatakot sa naturang asignatura, kilala sa tawag na pagkabalisa sa matematika, na kinokonsidera bilang isa sa mga pinakanakakaapekto sa kahusayan sa klase ng isang mag-aaral. Maaaring madebelop ang pagkabalisa sa maraming paraan, partikular na ang ugali ng magulang o guro sa pagturo sa matematika, mga maling akala sa lipunan, at maging mga personal na dahilan. Upang maiwasan o maagapan ito, marami sa mga paaralan sa mundo ang nagbabago sa paraan ng pagtuturo sa matematika.
Nakasulat sa simpleng rasyo ang mga nota na kinokonsiderang magandang pakinggan sa Kanluraning musika. Nirerepresenta nito ang mga tiyak na dalasan, kagaya ng pagdoble nito sa kada pagpalit ng oktaba (Ingles: octave), at ang perpektong sangkalima (Ingles: perfect fifth) na nangyayari sa kada 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} bahagi.
Kinokonsiderang maganda rin ng mga tao ang pagkakapantay-pantay o simetriya. Sa matematika, bumubuo ng isang grupo ang mga simetriya ng isang bagay. Halimbawa, ang grupo na may simetriyang nakasalamin (baligtaran) ay isang grupong sikliko ng dalawang elemento, Z 2 Z {\textstyle {\frac {\mathbb {Z} }{2\mathbb {Z} }}} . Ang pagsubok na Rorschach ay isang pigurang di nababago ng simetriya. Magkakamukha naman ang mga detalye ng isang praktal (Ingles: fractal).
Matematikang popular ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagpapaliwanag sa mga konsepto sa matematika sa anyong maiintindihan ng marami. Dahil madalas ay malayo sa realidad ang marami sa mga konsepto sa matematika, madalas ding nahihirapan ang mga taong hindi aral sa paksa. Ipinapaliwanag ang mga ito kadalasan sa anyong nagagamit o nalalapat sa pang-araw-araw na buhay.
Ang pinakamataas na parangal sa matematika ay ang Medalyang Fields, na unang ibinigay noong 1936 at binibigay kada apat na taon (maliban noong Ikalawang Digmaang Pandaigdig) sa hanggang apat na tao. Ito ang kinokonsiderang katumbas ng Gantimpalang Nobel sa matematika.
Pinagsama ni David Hilbert ang sikat na ngayo'y na 23 di pa nalulutas na problemang kilala ngayon sa tawag na mga problema ni Hilbert. Sa kasalukuyang, depende sa interpretasyon, labintatlo sa mga ito ay nalutas na.
Samantala, inilathala naman noong 2000 ang pitong mahahalagang problema na kilala sa tawag na Mga Problema ng Premyo ng Milenyo. Isa lamang sa mga ito, ang hinuhang Riemann, ang nasa listahan din ni Hilbert. May kaakibat na premyong aabot ng $1 milyon (₱58.5 milyon sa 2024). Sa ngayon, isa pa lang sa mga ito ang nalutas na, ang konhetura ni Poincaré.