Stokastisk variabel

Innen sannsynlighet og statistikk er en tilfeldig variabel, aleatorisk variabel eller stokastisk variabel en variabel med verdien som et utfall av en tilfeldig hendelse. Som en funksjon må den tilfeldige variabelen være målbar, som utelukker visse patologiske tilfeller hvor den tilfeldige variabelens mengde er uendelig sensitiv til små endringer i utfallet.
Det er vanlig at disse utfallene er avhengige av en fysisk variabel som ikke er forståelig. For eksempel ved et myntkast vil utfallet kron eller mynt være avhengig av uviss fysikk. Hvilket utfall som vil bli observert er usikkert. Mynten kunne blitt fanget av en sprekk i gulvet, men slike muligheter er ekskludert fra betraktningen. Definisjonsmengden til en variabel er et sett av mulige utfall. Ved myntkast er det kun to mulige utfall - kron eller mynt. Siden ett av disse utfallene må skje må hver av mulighetene ha en sannsynlighet større enn null.
En tilfeldig variabel er definert som en funksjon som kartlegger numeriske kvantiteters utfall, vanligvis reelle tall. I den forstand er det en prosedyre for å tilegne en numerisk mengde til hvert fysiske utfall, og selve prosedyren er hverken tilfeldig eller variabel, i kontrast til sitt navn. Det tilfeldige er den ustabile fysikken som beskriver hvordan mynten lander, og usikkerheten om hvilket utfall som faktisk vil bli observert.
En tilfeldig variabels mulige verdier kan representere de mulige utfallene av et eksperiment som ennå ikke er utført, eller de mulige utfallene av et allerede utført eksperiment med eksisterende verdier som ennå er usikre (for eksempel på grunn av upresise målinger eller uskarphetsrelasjoner). De kan også konseptuelt representere enten resultatet av en "objektivt" tilfeldig prosess som å trille en terning, eller en "subjektiv" tilfeldighet som et resultat fra utilstrekkelig kunnskap om en mengde. Meningen bak de tilegnede sannsynlighetene til de potensielle verdiene av en tilfeldig variabel er ikke del av sannsynlighetsteorien i seg selv, men er heller relatert til filosofiske argumenter over sannsynlighetsfortolkning. Matematikken fungerer på samme måte uavhengig av hvilken fortolkning en måtte bruke.
En tilfeldig variabel har en sannsynlighetsfordeling som spesifiserer sannsynligheten for at verdien skal falle i et gitt intervall. Tilfeldige variabler kan være diskrete, som er en spesifisert avgrenset eller tellbar liste med verdier, tilegnet en sannsynlighetsmassefunksjons karakteristikk av den tilfeldige variabelens sannsynlighetsfordeling; eller kontinuerlig, å ta hvilken som helst numerisk verdi i et intervall eller samling av intervaller, via en tetthetsfunksjon som er karakteristisk for den tilfeldige variabelens sannsynlighetsfordeling; eller en blanding av begge typene. To tilfeldige variabler med den samme sannsynlighetsfordelingen kan fortsatt være ulike i form av assiosasjoner med, eller uavhengighet fra, andre tilfeldige variabler. En tilfeldig variabels realisering, altså resultatet av å tilfeldig velge verdier i henhold til variabelens tetthetsfunksjon, er kalt tilfeldige varianter.
Den formelle matematiske behandlingen av tilfeldige variabler er et emne innen sannsynlighetsteori. I denne konteksten er en tilfeldig variabel forstått som en funksjon definert i et utfallsrom som produserer numeriske verdier.
En tilfeldig variabel X : Ω → E {\displaystyle X\colon \Omega \to E} er en målbar funksjon fra et sett mulige utfall Ω {\displaystyle \Omega } til et målbart rom E . {\displaystyle E.} Den tekniske axiomatiske definisjonen krever Ω {\displaystyle \Omega } å være et utfallsrom it en sannsynlighetstrippel. Vanligvis er X {\displaystyle X} en reell verdi (i.e. E = R {\displaystyle E=\mathbb {R} } ).
Sannsynligheten at X {\displaystyle X} tar en verdi i et målbart sett S ⊆ E {\displaystyle S\subseteq {E}} er notert: P r ( X ∈ S ) = P ( { ω ∈ Ω | X ( ω ) ∈ S } ) {\displaystyle Pr(X\in S)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in S\})} hvor P {\displaystyle P} er sannsynlighetsmålet utstyrt med Ω {\displaystyle \Omega } .
I mange tilfeller E = R {\displaystyle E=\mathbb {R} } . I noen kontester er termen tilfeldig element brukt til å betegne en tilfeldig variabel i en annet form.
Når verdimengden (eller området) til X {\displaystyle X} er avgrenset eller tellbar, er den tilfeldige variabelen kalt en diskret stokastisk variabel og dens distribusjon kan bli beskrevet av en sannsynlighetsmassefunksjon som tilegner en sannsynlighet i verdimengden til X {\displaystyle X} . Hvis verdimengden er utellelig er X {\displaystyle X} kalt en kontinuerlig stokastisk variabel. I det spesielle tilfellet der variabelen er absolutt kontinuerlig kan fordelingen bli beskrevet av en tetthetsfunksjon, som tilegner sannsynligheter til intervaller; nærmere bestemt må hvert individuelle punkt nødvendigvis ha ingen sannsynlighet for en absolutt kontinuerlig stokastisk variabel. Ikke alle kontinuerlig stokastiske variabler er absolutt kontinuerlig, for eksempel i en blandet fordeling. Slike tilfeldige variabler kan ikke bli beskrevet av en tetthets- eller sannsynlighetsmassefordeling.
Hvilken som helst tilfeldig variabel kan bli beskrevet av dens kumulative fordelingsfunksjon, som beskriver sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen vil være mindre eller lik en bestemt verdi.
Begrepet tilfeldig variabel innen statistikk er tradisjonelt begrenset til tilfellet med reelle verdier ( E = R ) {\displaystyle (E=\mathbb {R} )} . Her gjør de reelle tallenes struktur det mulig å definere mengder som forventet verdi og varians til den tilfeldige variabelen, den kumulative forelingsfunksjonen og momentene til dens fordeling.
Denne definisjonen er gylding for alle verdier i det målbare rommet E {\displaystyle E} . Dermed kan en vudere andre setts E {\displaystyle E} tilfeldige elementer, slik som tilfeldige boolske variabler, kategoriske verdier, komplekse tall, vektorer, matriser, sekvenser, trær, sett, figurer, mangfoldighet og funksjoner. Man kan da referere spesifikt til en tilfeldig variabel av type E {\displaystyle E} .
Det mer generelle konseptet om et tilfeldig element er særlig nyttig innen fag som grafteori, maskinlære, naturlig språkbehandling og andre områder i diskret matematikk og informatikk, hvor en er ofte interessert i å modellere ikke-numerisk datastrukturers tilfeldige variasjon. I noen tilfeller er det uansett praktisk å representerer hvert av elementene til E {\displaystyle E} ved å bruke et eller flere reelle tall. I denne tilfellet kan et tilfeldig element valgfritt bli representert som en vektor av tilfeldige variabler med en reell verdi, hvor alle er definert på det samme underliggende sannsynlighetsrommet Ω {\displaystyle \Omega } , som tillater ulike tilfeldige variabler å samvariere. For eksempel:
Hvis en tilfeldig variabel X : Ω → R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } er definert på sannsynlighetsrommet ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} er gitt, kan vi stille spørsmål som "Hvor sannsynlig er det at verdien X {\displaystyle X} er lik 2?". Dette er det samme som sannsynligheten for hendelsen { ω : X ( ω ) = 2 } {\displaystyle \{\omega \colon X(\omega )=2\}} som er ofte skrevet P ( X = 2 ) {\displaystyle P(X=2)} eller forkortet til p X ( 2 ) {\displaystyle p_{X}(2)} .
Å skrive ned alle disse sannsynlighetene til en tilfeldig variabel X {\displaystyle X} med en reell verdi gir sannsynlighetsfordelingen til X {\textstyle X} .Sannsynlighetsfordelingen "glemmer" det bestemte sannsynlighetsrommet som er brukt til å definere X {\displaystyle X} og husker kun sannsynlighetene for ulike verdier tilknyttet X {\displaystyle X} . En slik sannsynlighetsfordeling kan alltid bli samlet av dens kumulative fordelingsfunksjon F X ( x ) = P ⁡ ( X ≤ x ) {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
og noen ganger også ved å bruke en tetthetsfunksjon, p X {\displaystyle p_{X}} . Innen målteori bruker vi den tilfeldige variabelen X {\displaystyle X} for å "dytte frem" målet P {\displaystyle P} på Ω {\displaystyle \Omega } til en måling p X {\displaystyle p_{X}} på R {\displaystyle \mathbb {R} } . Det underliggende sannsynlighetsrommet Ω {\displaystyle \Omega } er en teknisk enhet som er brukt til å garantere tilfeldige variablers eksistens, noen ganger for å lage dem og å definere forestillinger som korrelasjon og avhengighet eller uavhengighet basert på en fellesfordeling bestående av to eller flere tilfeldige variabler i det samme sannsynlighetsrommet. I praksis disponerer en ofte hele rommet Ω {\displaystyle \Omega } og putter kun et mål på R {\displaystyle \mathbb {R} } som tilegner målet 1 til den hele reelle linjen, i.e., man arbeider med sannsynlighetsfordelinger istedenfor tilfeldige variabler.
I et eksperiment kan en person bli valgt tilfeldig, og en tilfedlig variabel kan være personens høyde. Matematisk er den tilfeldige variablen tolket som en funksjon som hefter en person til den personens høyde. Assosiert med den tilfeldige variablen er en sannsynlighetsfordeling som tillater utregningen av sannsynligheten for at høyden er en mulig verdi i en undergruppe, slik som at sannsynligheten for at høyden er mellom 180 og 190 centimenter, eller sannsynligheten for at høyden er enten mindre enn 150 eller mer enn 200 cm.
En annen tilfeldig variable kan være hvor mange barn en person har; dette er en diskret stokastisk variabel med kun positive heltall som verdier. Det tillater utregningen av sannsynligheter for individuelle heltallsverdier, sannsynlighetsmassefunksjonen (SMF), eller for verdiers sett, inklusive uendelige sett. For eksempel kan det man er interessert i å undersøke være sannsynligheten for å ha et jevnt antall barn. For både avgrensede og uendelige hendelsessett kan sannsynligheten bli funnet ved å addere alle elementers SMF; altså sannsynligheten for et jevnt antall barn er den uendelige summen P M F ( 0 ) + P M F ( 2 ) + P M F ( 4 ) + ⋯ {\displaystyle PMF(0)+PMF(2)+PMF(4)+\cdots } .
I slike eksempler er utvalgsrommet (settet bestående av alle mulige personer) ofte undertrykt siden det er vanskelig å beskrive matematisk, og de tilfeldige variablenes positive verdier er så ansett som et utvalgsrom. Men når to tilfeldige variabler er målt på det samme utfalls utvalgsrom, slik som at høyde og antall barn blir kalkulert på de samme tilfeldige personene, er det lettere å spore deres forhold dersom det er anerkjent at både høyde og antall barn kommer fra den samme tilfeldige personen, for eksempel slik at spørsmål om at slike tilfeldige variabler er korrelert eller ikke kan bli stilt.
De mulige utfallene for et myntkast kan bli beskrevet av utvalgsrommet Ω = { k r o n , m y n t } {\displaystyle \Omega =\{kron,mynt\}} . Vi kan introdusere en tilfeldig variabel Y {\displaystyle Y} med reell verdi som modellerer en 1,- gevinst for et veddemål på kron som følger: Y ( ω ) = { 1 , hvis ω = kron , 0 , hvis ω = mynt . {\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{hvis }}\omega ={\text{kron}},\\[6pt]0,&{\text{hvis }}\omega ={\text{mynt}}.\end{cases}}} Dersom mynten er et fair kast har Y sannsynlighetsmassefunksjonen f Y {\displaystyle f_{Y}} gitt av: f Y ( y ) = { 1 2 , if y = 1 , 1 2 , if y = 0 , {\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0,\end{cases}}}
En tilfeldig variabel kan også bli brukt til å beskrive et terningkasts prosess og de mulige utfall. Den mest åpenbare representasjonen for situasjonen med to terninger er å ta parsettene i numrene n 1 {\displaystyle n_{1}} og n 2 {\displaystyle n_{2}} med { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} som utvalgsrommet. Det totale antallet som er rullet (summen av øynene i hvert par) er så en tilfeldig variabel X {\displaystyle X} gitt av funksjonen som hefter parene til summen: X ( ( n 1 , n 2 ) ) = n 1 + n 2 {\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}} og, dersom kastet er fair, har en sannsynlighetsmassefunksjon f X {\displaystyle f_{X}} gitt: f X ( S ) = min ( S − 1 , 13 − S ) 36 , for S ∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } {\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}} .
Et eksempel på en kontinuerlig stokastisk variabel kan være en basert på en spinner som kan velge en horisontal retning. Den tilfeldige variablens verdier som blir tatt da er retninger. Vi kan representere disse retningene med nord, vest, øst, sør, sørøst, etc. Det er vanligvis mer praktisk å hefte utvalgsområdet til en tilfeldig variabel som tar reelle tall som verdier. Dette kan bli gjort, for eksempel, ved å hefte en retning til en gradvis peiling med klokken fra nord. Den tilfeldige variabelen tar så verdier som er reelle tall fra intervallet [0, 360), med alle punkter i spekteret som "like sannsynlige". I dette tilfellet er X = {\displaystyle X=} den peilede vinkelen. Hvilket som helt reelt tall har muligheten null til å bli valgt, men en positiv sannsynlighet kan bli tilegnet til et intervall med verdier. For eksempel er sannsynligheten for å velge et nummer i [0, 180] lik 0,5. Istedenfor å snakke om en sannsynlighetsmassefunksjon sier vi at sannsynlighetsfordelingen til X {\displaystyle X} er 1/360. Sannsynligheten for at en undergruppe i [0, 360) kan bli regnet ut er ved å multiplisere et setts mål med 1/360. Vanligvis er sannsynligheten for en gitt kontinuerlig stokastisk variabels sett kan bli utregnet ved å integrere tettheten over det gitte settet.
Et eksempel på en blandet tilfeldig variabel kan være basert på et eksperiment hvor en mynt er kastet og en spinner kun er spunnet dersom myntkastet resulterer i kron. Dersom resultatet er mynt, X = − 1 {\displaystyle X=-1} ; ellers X = {\displaystyle X=} spinnerens verdi som i det foregående eksempelet. Det er ensannsynlighet på 0,5 for at denne tilfeldige variabelen vil ha verdien -1. Andre verdiers sekvenser vil ha halvparten av sannsynligheten av det i det foregående eksempelet.
Den mest formelle, aksiomatiske definisjonen av en tilfeldig variabel involverer målteori. Kontinuerlige stokastiske variabler er definert i form av sett med tall, sammen med funksjoner som hefter slike sett til sannsynligheter. Grunnet ulike vanskeligheter (e.g. Banach-Tarski paradokset) som kan oppstå dersom slike sett er utilstrekkelig avgrenset, er det nødvendig å introdusere det som er betegnet som en σ-algebra for å avgrense mulige sett hvor sannsynligheter kan bli definert. Vanligvis er en bestemt σ-algebra brukt, Borels σ-algebra, som tillater sannsynligheter å bli definert over hvilket som helst sett som kan bli utledet enten direkte fra kontinuerlige nummerintervaller eller fra avgrensede eller tellbare uendelige tall fra unioner og/eller slike intervallers interseksjoner.
Den målings-teoretiske definisjonen er som følger.
La ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} være et sannsynlighetsrom og ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} et målbart rom. En tilfeldig variabel med verdi ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} vil så være en målbar funksjon X : Ω → E , {\displaystyle X\colon \Omega \to E,} som betyr at, for hver undergruppe B ∈ E {\displaystyle B\in {\mathcal {E}}} , dens inverse verdien X − 1 ( B ) ∈ F {\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}} hvor X − 1 ( B ) = { ω : X ( ω ) ∈ B } {\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}} . Denne definisjonen tillater oss å måle hvilken som helst undergruppe B ∈ E {\displaystyle B\in {\mathcal {E}}} i målrommet ved å se på dens inverse verdi, som er antatt målbar.
I mer intuitive begreper er et medlem i Ω {\displaystyle \Omega } et mulig utfall, et medlem i F {\displaystyle {\mathcal {F}}} er et mulig utfalls målbare undergruppe, funksjonen P {\displaystyle P} gir sannsynligheten for hvert en slik undergruppe, E {\displaystyle E} representerer settet med verdier som den tilfeldige variabelen kan ta (som settet med reelle tall), og et medlem i E {\displaystyle {\mathcal {E}}} er en "veloppdragen" undergruppe i E {\displaystyle E} (for de med en bestemt sannsynlighet). Den tilfeldige variabelen er da en funksjon fra hvilken som helst mengdes utfall, slik at utfallet som fører til en brukbar mengdes undergruppe for den tilfeldige variabelen har en godt definert sannsynlighet.
Når E {\displaystyle E} er et topologisk rom er det mest vanlige valget for σ-algebraet E {\displaystyle {\mathcal {E}}} Borels σ-algebra B ( E ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(E)} , som er σ-algebraet generert av samlingen av alle åpnet sett i E {\displaystyle E} . I slike tilfeller er den tilfeldige variabelen med verdi ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} kalt den tilfeldige variabelen med verdi E {\displaystyle E} . Dessuten, når rommet E {\displaystyle E} er den reelle linjen R {\displaystyle \mathbb {R} } , er en slik tilfeldig variabel med reell verdi simpelthen kalt den tilfeldige variabelen.
I dette tilfellet er observasjonsrommet et sett bestående av reelle tall. Husk at ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} er sannsynlighetsrommet. For reelt observasjonsrom er funksjonen X : Ω → R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } en tilfeldig variabel med reell verdi dersom { ω : X ( ω ) ≤ r } ∈ F ∀ r ∈ R . {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .} Denne definisjonen er et spesielt tilfelle av det overstående fordi settet { ( − ∞ , r ] : r ∈ R } {\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}} generer Borels σ-algebra på de reelle tallenes sett, og det er tilstrekkelig å sjekke målbarhet på hvilket som helst genererende sett. Her kan vi bevise målbarheten på dette genererende settet ved å bruke det faktum at { ω : X ( ω ) ≤ r } = X − 1 ( ( − ∞ , r ] ) {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])} .
En tilfeldig variabels sannsynlighetsfordeling er ofte karakterisert av et lite antall parametere, som også har en praktisk tolkning. For eksempel er det ofte nok å vite hva dens "gjennomsnittlige verdi" er. Dette er fanget av det matematiske konseptet forventet verdi til en tilfeldig variabel, skrevet E ⁡ [ X ] {\displaystyle \operatorname {E} [X]} , og er også kalt de første momentet. Vanligvis er ikke E ⁡ [ f ( X ) ] {\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]} lik f ( E ⁡ [ X ] ) {\displaystyle f(\operatorname {E} [X])} . Først når den "gjennomsnittlige verdien" er kjent kan man spørre hvor langt fra denne verdien verdiene til X {\displaystyle X} vanligvis befinner seg, et spørsmål som blir besvart av variansen og sandardavviket til den tilfeldige variabelen. E ⁡ [ X ] {\displaystyle \operatorname {E} [X]} kan intuitivt bli sett som et gjennomsnitt hentet fra en begrenset populasjon hvor medlemmene er bestemte evalueringer av X {\displaystyle X} .
Matematisk er dette kjent som momentenes problem: for en gitt tilfeldig variabel X {\displaystyle X} ' klasse, finn en samling { f i } {\displaystyle \{f_{i}\}} med funksjoner slik at de forventede verdiene E ⁡ [ f i ( X ) ] {\displaystyle \operatorname {E} [f_{i}(X)]} fullt karakteriserer den tilfeldige variabelen X {\displaystyle X} ' fordeling.
Momenter kan kun bli definert for tilfeldige variablers funksjoner med reelle tall (eller komplekse etc.). Hvis den tilfeldige variabelen er i seg selv reell, så kan dens momenter bli tatt, som er tilsvarende momentene til den tilfeldige variabelens identitetsfunksjon f ( X ) = X {\displaystyle f(X)=X} . Selv for ikke-reelle tilfeldige variabler kan derimot momentene bli hentet fra reelle funksjoner av disse variablene. For eksempel, for en kategorisk tilfeldig variabel X {\displaystyle X} som kan ta de nominelle verdiene "rød", "blå" eller "grønn", kan den reelle funksjonen [ X = grønn ] {\displaystyle [X={\text{grønn}}]} bli konstruert; dette bruker Iverssonsklammer og har verdien 1 dersom X {\displaystyle X} har verdien "grønn", ellers 0. Dermed kan denne funksjonens forventede verdi og andre momenter bli bestemt.
En ny tilfeldig variabel Y kan bli definert ved å tillegne en reell målbar funksjon g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } til utfallene av en reell tilfeldig variabel X {\displaystyle X} , slik at Y = g ( x ) {\displaystyle Y=g(x)} . Den kumulative fordelingsfunksjonen til Y {\displaystyle Y} er da
Dersom funksjon g {\displaystyle g} er invertibel (i.e., g − 1 {\displaystyle g^{-1}} eksisterer) og er hverken økende eller synkende, så kan den forrige relasjonen bli utvidet til å få
F Y ( y ) = P ⁡ ( g ( X ) ≤ y ) = { P ⁡ ( X ≤ g − 1 ( y ) ) = F X ( g − 1 ( y ) ) , hvis g − 1 økende , P ⁡ ( X ≥ g − 1 ( y ) ) = 1 − F X ( g − 1 ( y ) ) , hvis g − 1 synkende . {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y)),&{\text{hvis }}g^{-1}{\text{ økende}},\\\\\operatorname {P} (X\geq g^{-1}(y))=1-F_{X}(g^{-1}(y)),&{\text{hvis }}g^{-1}{\text{ synkende}}.\end{cases}}}
Med den samme inverseringshypotesen til g {\displaystyle g} , også ved å anta deriverbarhet, kan relasjonen mellom tetthetsfunksjonene bli funnet ved å derivere begge sider på funksjonen over med hensyn til y {\displaystyle y} for å få
Dersom g {\displaystyle g} ikke kan inverteres, men hver y {\displaystyle y} antyder at på det meste et tellbart antall røtter (i.e., et avgrenset, eller tellbart uendelig, nummer x i {\displaystyle x_{i}} slik at y = g ( x i ) {\displaystyle y=g(x_{i})} ), så kan den forrige relasjonen mellom tetthetsfunksjonene bli generalisert med
hvor x i = g i − 1 ( y ) {\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)} . Tetthetsformlene krever ikke at g {\displaystyle g} øker.
Innen det målings-teoretiske er en aksiomatisk tilnærming til sannsynlighet dersom en tilfeldig variabel X {\displaystyle X} på Ω {\displaystyle \Omega } og en målbar funksjon g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } , så vil også Y = g ( X ) {\displaystyle Y=g(X)} være en tilfeldig variabel på Ω {\displaystyle \Omega } , siden de målbare funksjonenes komposisjon er også målbar. (Det er et unntak dersom g {\displaystyle g} er et Lebesguemålbar.) Den samme prosedyren som tillater en til å få fra et sannsynlighetsrom ( Ω , P ) {\displaystyle (\Omega ,P)} til ( R , d F X ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})} kan bli brukt til å få distribusjonen til Y {\displaystyle Y} .
La X {\displaystyle X} være en reell, kontinuerlig stokastisk variabel og la Y = X 2 {\displaystyle Y=X^{2}} .
Hvis y < 0 {\displaystyle y<0} , så P ( X 2 ≤ y ) = 0 {\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0} , så
Hvis y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} , så
så
Anta at X {\displaystyle X} er en tilfeldig variabel med en kumulativ fordeling
hvor θ > 0 {\displaystyle \theta >0} er et satt parameter. Vurder den tilfeldige variabelen Y = l o g ( 1 + e − X ) . {\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).} Så,
Det siste uttrykket kan bli utregnet i form av den kumulative distribusjonen til X {\displaystyle X} , så
som er den kumulative fordelingsfunksjonen (cdf) til en eksponensialfordeling.
Anta at X {\displaystyle X} er en tilfeldig variabel med en standard normalfordeling med tetthet
Vurder den tilfeldige variabelen Y = X 2 {\displaystyle Y=X^{2}} . Vi kan finne tettheten ved å bruke formelen over for å endre variablene:
I dette tilfellet er ikke endringen monotonisk, fordi for hver verdi av Y {\displaystyle Y} er det to korresponderende verdier av X {\displaystyle X} (en positiv og negativ). Dessuten, på grunn av symmetri, vil begge halvparter transformeres identisk i.e.,
Den inverse transformasjonen er
og dens derivat er
Så,
Dette er en kjikvadratfordeling med én frihetsgrad.
Det er flere uliker måter tilfeldige variabler kan bli ansett å være ekvivalente. To tilfeldige variabler kan være like, nesten sikker likhet, eller like i fordeling.
I økende styrkegrad er den presise forestillingen av ekvivalens gitt under.
Hvis utvalgsrommet er en undergruppe av den reelle linjen er de tilfeldige variablene X og Y like i fordeling (skrevet X = d Y {\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y} ) hvis de har de samme fordelingsfunksjonene:
For å være like i fordeling trenger ikke de tilfeldige variablene å bli definert på det samme sannsynlighetsrommet. To tilfeldige variabler som har lik momentgenererende funksjon har den samme fordelingen. Dette gir, for eksempel, en nyttig metode for å sjekke visse funksjoners likhet til tilfeldige variabler som er i.i.d.. Dessuten eksisterer den momentgenererende funksjonen kun for fordelinger som har en definert Laplacetransformasjon.
To tilfeldige variabler X og Y er nesten sikkert like (skrevet X = a . s . Y {\displaystyle X{\stackrel {a.s.}{=}}Y} ) dersom, og kun dersom, sannsynligheten for at de er ulike er null:
For alle praktiske årsaker i sannsynlighetsteori er denne forestillingen av ekvivalens like sterk som faktisk likhet. Den er assosiert med den følgene avstanden:
hvor "ves sup" representerer det vesentlige supremum i målteoretisk forstand.
Til sist er de to tilfeldige variablene X og Y like dersom de er like som funksjoner på deres målbare rom:
Et viktig tema innen matematisk statistikk består av å få konvergensresultater for visse tilfeldige variablers sekvenser; for eksempel store talls lov eller sentralgrenseteoremet.