거듭제곱

수학에서 거듭제곱(영어: exponentiation) 또는 승멱(乘冪) 또는 멱(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는 이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 밑(영어: base)이라고 하고, 곱하는 횟수를 지수(指數, 문화어: 어깨수, 영어: exponent, power)라고 한다. 밑이 a {\displaystyle a} , 지수가 n {\displaystyle n} 인 거듭제곱을 a {\displaystyle a} 의 n {\displaystyle n} 제곱이라고 하고, 그 기호는 a n {\displaystyle a^{n}} 이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.
실수 a {\displaystyle a} 및 자연수 n {\displaystyle n} 에 대하여, a {\displaystyle a} 의 n {\displaystyle n} 제곱은 다음과 같다.
즉, a {\displaystyle a} 를 n {\displaystyle n} 번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의와 동치이다.
0이 아닌 실수 a {\displaystyle a} 에 대하여, a {\displaystyle a} 의 0제곱은 다음과 같다.
즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 0은 정의하지 않는다.
0이 아닌 실수 a {\displaystyle a} 및 음의 정수 − n {\displaystyle -n} (즉, n {\displaystyle n} 은 양의 정수)에 대하여, a {\displaystyle a} 의 − n {\displaystyle -n} 제곱은 다음과 같다.
즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.
지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 a {\displaystyle a} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 를 정의하자. 이를 위해 방정식 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 의 근을 생각하자. 자명하게, a {\displaystyle a} 가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 x = 0 {\displaystyle x=0} 뿐이며, 그 중복도는 n {\displaystyle n} 이다. a {\displaystyle a} 가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 n {\displaystyle n} 개 존재한다. n {\displaystyle n} 이 홀수일 경우나, n {\displaystyle n} 이 짝수이며 a {\displaystyle a} 가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 라 정의한다. n {\displaystyle n} 이 짝수이며 a {\displaystyle a} 가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 를 정의하지 않는다.
이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를
라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.
즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 n {\displaystyle n} 이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 a {\displaystyle a} 에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 a {\displaystyle a} 에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.
다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}} 은 단지 방정식 x n = a m {\displaystyle x^{n}=a^{m}} 의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 x n = a m {\displaystyle x^{n}=a^{m}} 의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 a {\displaystyle a} 에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 n {\displaystyle n} 개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.
거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.
양의 실수 a {\displaystyle a} 와 x {\displaystyle x} 에 대하여, a {\displaystyle a} 의 x {\displaystyle x} 제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.
즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.
즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.
양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.
또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.
이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 a {\displaystyle a} 와 실수 x {\displaystyle x} 에 대하여, a {\displaystyle a} 의 x {\displaystyle x} 제곱은 다음과 같다.
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수
는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.
실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식
과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.
그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 z {\displaystyle z} 와 복소수 w {\displaystyle w} 에 대하여, z {\displaystyle z} 의 w {\displaystyle w} 제곱은 다음과 같다.
복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)
자연수 n {\displaystyle n} 에 대해, 거듭제곱 a n {\displaystyle a^{n}} (a는 실수)은 다음과 같이 정의된다.
이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다.
거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.