خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)

خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔
ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)
اقلیدسی فضا R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} میں کسی طاقم کو تحیط کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ طاقم سما جائے (تصویر 1)۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو طاقم "لاتحیط" کہلائے گا۔
اقلیدسی فضا R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} میں اگر طاقم کا احاطہ بھی طاقم میں شامل ہو تو اسے بند طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
اقلیدسی فضا R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} میں اگر طاقم کا احاطہ کو طاقم کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
اگر ایک طاقم کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے طاقم میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں طاقم جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین طاقم جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔
اگر دو طاقم جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو تراکب کہا جاتا ہے، ورنہ ناتراکب۔ مثال تصویر 3 میں تراکب مجموعات دکھائے ہیں اور تصویر 4 میں ناتراکب مجموعات۔
اگر T : R 2 → R 2 {\displaystyle \ T:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} ایسا لکیری استحالہ ہو، جو طاقم کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر 0 < s < 1 {\displaystyle \ 0<s<1} تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5) اور اگر s > 1 {\displaystyle \ s>1} تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے طاقم کو سکیڑ کر سرخ طاقم بنتا دکھایا گیا ہے۔
ایک بند اور تحیط طاقم (جو R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} کا ذیلی طاقم ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس طاقم S کو یوں لکھا جا سکے
جہاں S 1 , S 2 , ⋯ , S n {\displaystyle S_{1},S_{2},\cdots ,S_{n}} ناتراکب مجموعات ہیں اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد 0 < s < 1 {\displaystyle \ 0<s<1} ہے)۔ یہاں علامت ∪ {\displaystyle \cup } اتحاد کے لیے استعمال ہوئی ہے۔
تصویر 6 میں طاقم S کو چار مجموعات S 1 , S 2 , S 3 , S 4 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} کے اتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد s = 1 2 {\displaystyle s={\frac {1}{2}}} ہے۔ ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے ذریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:
جہاں مماثلتیہ یہ ہیں
اگر نیچے دی تین مماثلتیہ ایکی مربع پر استعمال کی جائیں،
تو تین ناتراکب مربع T 1 ( U ) , T 2 ( U ) , T 3 ( U ) {\displaystyle \ T_{1}(U),T_{2}(U),T_{3}(U)} بنتے ہیں (تصویر 7)۔ اب ان تین مربع پر (علاحدہ علاحدہ) یہ تین مماثلتیہ استعمال کیے جائیں، تو تصویر 8 حاصل ہو گی۔ اسی طرح یہ عمل جاری رکھا جائے تو تصویر 9 حاصل ہوتی ہے، جو مشہور سیرپنسکی تکون ہے۔ (تصویر 9 میں سیرپنسکی تکون سفید رنگ میں دکھائ ہے۔)
غور کرو کہ تصویر 7 میں مربع U اقلیدسی فضا R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (مستوی) میں ہے، اس لیے اس کا بُعد 2 ہے۔ اس مربع کا رقبہ 1 ہے۔ مماثلتیہ کے استعمال کے بعد جو تین مربع کا خاکہ بنتا ہے (نیلے) اس کا کل رقبہ 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} ہے۔ ہر نیلے مربع پر مماثلتیہ کے استعمال سے تصویر 8 ملتی ہے اور اب ہمارے خاکہ کا رقبہ ( 3 4 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}} ہے۔ مماثلتیہ کے n بار استعمال کے بعد بننے والے خاکہ کا رقبہ ( 3 4 ) n {\displaystyle \left({\frac {3}{4}}\right)^{n}} ہو گا اور
یعنی تصویر 9 میں خاکہ (سیرپنسکی تکون، سفید رنگ میں) کا رقبہ صفر (0) ہو گا۔ یاد رہے کہ ایک لکیر، جس کا بُعد 1 ہوتا ہے، کا رقبہ صفر ہوتا ہے۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ سیرپنسکی تکون کا بُعد 1 ہے۔ اگرچہ سیرپنسکی تکون R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} میں نظر آتی ہے، مگر اس میں سوراخ اتنے ہیں کہ یہ ایک لکیر کی ماند ہے (جس کا بُعد 1 ہوتا ہے)۔ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے۔
یہ تصویر بنانے کا سائیلیب سکرپت یہاں ہے۔
یہاں یہ واضح کر دیں کہ تصویر 9 ایک حد تک تفصیل میں دکھائی جا سکتی ہے۔ بہت چھوٹی تفصیل واضح ہونا تصویر میں ممکن نہیں۔
یہ واضح کرنے کے لیے کہ شیرپنسکی تکون، "خود مشابہ طاقم" کی تعریف پر پورا اترتی ہے، ہم نے تصویر 10 مین جان بوجھ کر اسے تین حصوں S 1 , S 2 , S 3 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}} میں بانٹ کر دکھایا ہے، اس طرح کہ ہر حصہ بڑے سیرپنسکی تکون S (تصویر 9) پر ایک مماثلتیہ T 1 , T 2 , T 3 {\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}} کے عمل سے بنا ہے اور
یاد رہے کہ ان تین حصوں S 1 , S 2 , S 3 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}} میں سے ہر حصہ بھی "خود مشابہ" ہے اور یہ بات ان حصوں کے اس طرح مزید حصے کرنے پر بھی برحق ہے (کیونکہ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے)۔
اگر T 1 , T 2 , ⋯ , T n {\displaystyle T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}} سکڑنے والی مماثلتیہ ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند اور محیط طاقم S ہو گا، جبکہ
اور اگر مجموعات T 1 ( S ) , T 2 ( S ) , ⋯ , T n ( S ) {\displaystyle \ T_{1}(S),T_{2}(S),\cdots ,T_{n}(S)} ناتراکب ہوں، تو طاقم S خود مشابہ ہو گا۔
یہ مسلئہ اثباتی اس طاقم کو نکالنے کا کوئی طریقہ نہیں بتاتا۔ اگر مسلئہ اثباتی کی عبارت کے مطابق T 1 , T 2 , ⋯ , T n {\displaystyle T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}} مماثلتیہ ہوں اور ایک "خود مشابہ طاقم" S کو جنم دیتے ہوں، تو یہ طاقم نکالنے کے لیے ایک تصادفی الخوارزم نیچے دیا ہے:
تصویر 9 بنانے کے لیے یہ الخوارزم استعمال کیا گیا ہے۔