Архимед

Архиме́д (др.-греч. Ἀρχιμήδης; 287—212 годы до н. э.) — древнегреческий учёный и инженер, самый известный математик Античности. Родился и бо́льшую часть жизни прожил в городе Сиракузы на Сицилии.
Сделал множество открытий в области геометрии, предвосхитил многие идеи математического анализа. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. С именем Архимеда связаны многие математические понятия. Наиболее известно приближение числа π (22/7), которое называется Архимедовым числом. Кроме того, его имя носят граф, ещё одно число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие.
Работы учёного использовали в своих сочинениях всемирно известные математики и физики XVI—XVII веков, такие как Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Рене Декарт и Пьер Ферма. Согласно современным оценкам, открытия Архимеда стали основой для дальнейшего развития математики в 1550—1650-х годах.
С жизнью Архимеда связаны несколько легенд. Широкую известность получил рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона полностью из золота, выданного царём для этого заказа, или нанятый ювелир сжульничал, подмешав в расплав серебро. Размышляя о поставленной задаче, Архимед пришёл в баню и, погружаясь в ванну, обратил внимание на поведение уровня воды. В этот момент его осенила идея о приложении вытесняемого объёма к весу, которая легла в основу гидростатики. С криком «Эврика!» Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Сравнив объёмы воды, вытесненные короной и слитком золота равного с ней веса, учёный доказал обман ювелира. Согласно другой легенде, благодаря открытию теории рычага и созданию полиспаста Архимед смог в одиночку сдвинуть с места огромный корабль при перевозке его по суше на катках. Ошеломлённым соотечественникам учёный сказал, что, будь у него точка опоры, он бы перевернул Землю.
Во время штурма Сиракуз римлянами созданные Архимедом устройства привели к поражению целой армии, которая атаковала город с моря и суши. Римляне, надеявшиеся быстро захватить город, были вынуждены отказаться от первоначального плана и перешли к осаде. Через два года город захватили благодаря изменнику. Во время штурма Архимед был убит.
Сведения о жизни Архимеда оставили нам Полибий, Тит Ливий, Цицерон, Плутарх, Витрувий, Диодор Сицилийский и другие. Почти все они жили на много лет позже описываемых событий, и достоверность этих сведений оценить трудно.
Впервые биография Архимеда была описана неким Гераклидом, вероятно, его учеником. Она существовала ещё в VI веке н. э., так как её упоминает математик Евтокий Аскалонский в комментариях к работам античного учёного. Наиболее ранние из дошедших до современников сведения об Архимеде содержатся в «Истории» Полибия (200—120 годы до н. э.). Этот историк подробно рассказывает о созданных сиракузским учёным машинах.
Историк I века до н. э. Диодор Сицилийский описывает архимедов винт, который был изобретён учёным во время пребывания в Египте. О том, что Архимед учился математике в Александрии и не порывал связи с тамошними учёными, написано в его работах. Римский писатель Тит Ливий характеризует Архимеда как астронома и гениального конструктора и инженера. Имя сиракузского учёного упоминает оратор и политик Цицерон, который, по собственным словам, обнаружил могилу учёного. Неоднократно Архимеда упоминает римский архитектор и механик Марк Витрувий Поллион. Он пишет о сиракузянине как о знатоке законов течения воды в трубах, авторе руководств по строительной механике, которые не сохранились, ссылается на работу «О плавающих телах». Наиболее поздним автором, который приводит ранее не опубликованные из дошедших до наших дней источников данные об Архимеде, является Плутарх. В биографии римского полководца Марцелла Архимеду посвящено несколько страниц. Этим, собственно, и исчерпываются свидетельства античных авторов о сиракузском учёном.
Архимед родился в Сиракузах — греческой колонии на острове Сицилия в 287 году до н. э. Отцом Архимеда предположительно был математик и астроном Фидий. По мнению историка С. Я. Лурье, семья Архимеда на момент его рождения была небогатой. Отец не смог обеспечить сыну всестороннее образование, в основе которого в то время были занятия философией и литературой. Фидий смог обучить Архимеда только тому, что знал сам, а именно математическим наукам. По сообщению Плутарха, Архимед был родственником будущего тирана, а затем и царя Сиракуз, Гиерона, который в то время был одним из граждан города.
Гиерон участвовал в Пирровой войне (280—275 годы до н. э.), на стороне греков против римлян. Во время боевых действий он отличился, стал одним из военачальников, и, вскоре после ухода Пирра в Грецию, смог захватить власть в Сиракузах. Это отразилось и на материальном благополучии семьи Гиерона. Молодой Архимед получил возможность отправиться в один из главных научных центров Античности — Александрию.
Учёные, к кругу которых примкнул Архимед, группировались вокруг Александрийского мусейона. В состав мусейона входила знаменитая Александрийская библиотека, в которой было собрано более 700 тысяч рукописей. По-видимому, именно здесь Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других геометров, о которых он упоминал в своих сочинениях.
В Александрии Архимед познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом, разносторонним учёным Эратосфеном из Кирены, с которыми потом переписывался до конца их жизни. Архимед называл Конона своим другом, а две свои работы «Метод механических теорем» и «Задача о быках» снабдил введениями, адресованными Эратосфену. После смерти Конона (ок. 220 года до н. э.) Архимед активно продолжал переписываться с его учеником Досифеем, и многие трактаты Архимеда последних лет начинаются словами: «Архимед приветствует Досифея».
По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию. Молодой учёный не имел желания делать карьеру придворного. Как родственнику сиракузского царя ему были обеспечены соответствующие условия жизни. Гиерон лояльно относился к «чудачествам» своего родственника. В отличие от Архимеда, которого интересовала наука как таковая, царь Сиракуз искал возможности её практического применения. Именно он, возможно играя на честолюбии Архимеда, убедил того создать механизмы и машины, работа которых завораживала современников и во многом принесла всемирную славу своему создателю. Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.
Широкую известность получил рассказ, описанный у Витрувия, о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота, или ювелир подмешал туда значительное количество серебра. По весу корона соответствовала количеству отпущенного на её изготовление благородного металла. После доноса о том, что часть золота заменили серебром, царь приказал Архимеду определить истину. Учёный как-то случайно пришёл в баню, опустился в ванну и увидел, как из неё вытекает вода. Согласно легенде в этот момент его осенила идея, лёгшая в основу гидростатики. С криком «Эврика!» Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Автор легенды не учёл, что Гиерон II жил в укреплённой резиденции на острове Ортигия вне Сиракуз и, соответственно, Архимед физически не мог прибежать к нему из городской бани. Архимед попросил сделать два слитка из серебра и золота, равных по весу короне. Затем он наполнил водой до краёв некую ёмкость, в которую последовательно погружал слитки и корону. Вынимая предмет из воды, он доливал в ёмкость определённое количество жидкости из мерного сосуда. Корона вытеснила больший объём воды, чем равный ей по весу золотой слиток. Таким образом Архимед доказал обман ювелира. Учёные подчёркивают, что решение задачи определения удельного веса тел, путём измерения их объёма погружением в жидкость, не требовало открытия принципов гидростатики, вошедших в науку под названием «закона Архимеда».
Согласно другой легенде, приведённой у Плутарха, Архимед написал Гиерону, что сможет сдвинуть любой груз. Также он добавил, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места и нашу. Для проверки утверждений Архимеда на берег вытащили трёхмачтовое грузовое судно. Его трюм наполнили кладью и посадили на корму команду матросов. Архимед сел поодаль и начал вытягивать пропущенный через систему блоков (полиспаст) и прикреплённый к кораблю канат. Судно начало двигаться, «так ровно и медленно, словно плыло по морю». По другой, описанной у Афинея, версии речь шла о корабле «Сиракузия», который впоследствии подарили египетскому фараону Птолемею III Эвергету. Когда огромное по античным меркам судно было построено, царь распорядился спустить его на воду, чтобы там завершить остальные работы. О том, как это сделать, было много споров. Задачу решил Архимед, который вместе с немногочисленными помощниками сумел сдвинуть огромный корабль с места, изготовив систему сложных блоков с лебёдками. В современных интерпретациях крылатая фраза Архимеда звучала, как др.-греч. Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω («Дай мне, где стать, и Землю поверну», в другом варианте: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю»).
Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 214—212 годах до н. э. в ходе Второй Пунической войны. Городом с 215 года до н. э. правил Гиероним, внук Гиерона II. Он поддержал в войне Карфаген, и римские войска двинулись на Сиракузы. Гиеронима свергли через 13 месяцев после прихода к власти. Пришедшие ему на смену военачальники продолжили войну с Римом. Подробное описание осады Сиракуз римским полководцем Марцеллом и участия Архимеда в обороне содержится в сочинениях Плутарха и Диодора Сицилийского.
После того, как римская армия подошла к Сиракузам, ими был выработан следующий план штурма города. Аппию Клавдию Пульхру было поручено наступление на суше. Его войску следовало подойти к крепостной стене, которая окружала «большие Сиракузы» вместе с предместьями, именуемыми Эпиполами. Одновременно римский флот под командованием Марка Клавдия Марцелла должен был напасть на нижнюю часть города — Акрадину. Римляне предполагали быстро занять Сиракузы.
Когда римляне напали на город с двух сторон, жители Сиракуз растерялись. В этот момент в ход пустили сконструированные Архимедом машины. Они забрасывали римские войска на суше тяжёлыми камнями. На вражеские суда стали опускаться укреплённые на стенах брусья. Они либо топили корабли силой своего толчка, либо захватывали их крючьями и поднимали за нос над водой. Затем «когти Архимеда» раскручивали римские галеры и швыряли их об утёсы у подножья городской стены. «Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесёнными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались». Римский полководец предполагал, что восемь судов, несущие высокую башню «самбуку», смогут подойти к стенам. Затем, согласно плану Марцелла, легионеры по башне должны были проникнуть в город. Однако несколько удачно выпущенных катапультами камней «весом в десять талантов» (около 250 кг) смогли её разрушить. После этого Марцелл приказал отступить. На военном совете римляне предположили, что защитные орудия Сиракуз действуют только на дальние расстояние, а вблизи неэффективны. Ночью римляне совершили ещё одну неудачную попытку захватить город. Незаметно они проникли под городские стены, где были встречены скорпионами и другими машинами, разящими короткими стрелами через предварительно приготовленные в городской стене отверстия. В 2005 году были проведены несколько экспериментов с целью проверить правдивость описания этого «сверхоружия древности», получившего название «коготь Архимеда»; построенная конструкция показала свою полную работоспособность.
Римляне вынуждены были отказаться от мысли взять город штурмом и перешли к осаде. Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело… римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Но так как этот один был среди сиракузян, они не дерзали нападать на город».
По одной из легенд, впервые описанной у Диодора Сицилийского, когда римский флот, потерпев поражение, отошёл на безопасное и недосягаемое для камней катапульт расстояние, Архимед задействовал ещё одно из своих изобретений — «Зеркала Архимеда». Он установил большое зеркало, в которое направил лучи из других зеркал поменьше. Отражённый луч смог поджечь и уничтожить римские корабли. Достоверность данной легенды больше занимала физиков, нежели историков. Рене Декарт и Иоганн Кеплер отвергали возможность поджога при помощи солнечного луча на большом расстоянии. Эксперименты для проверки легенды неоднократно проводили и в Новейшее время.
Осенью 212 года до н. э. Сиракузы были взяты римлянами. Это произошло во время праздника Артемиды, когда охранники были пьяны. Один из охранников открыл врагу потайной ход в стене. Во время штурма города Архимед был убит. Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян в античных источниках существует в нескольких версиях. Римские авторы Тит Ливий и Плиний Старший, признавая злодеяние, совершённое соотечественниками, пишут о том, что это произошло случайно и в суматохе. Также они подчёркивают недовольство Марцелла, который якобы приказал не убивать Архимеда во время штурма.
Греки по национальности Диодор Сицилийский и Плутарх, жившие во времена владычества Рима, представляют захватчиков Сиракуз необразованными, далёкими от науки и даже трусливыми солдатами, занятыми грабежом. Жестокость войск Марцелла даже разбирали в сенате, на котором военачальника оправдали. Когда через 2 года Марцеллу поручили вновь поехать в Сицилию, присутствовавшие в Риме жители острова облачились в траурные одежды и стали ходить по домам сенаторов, говоря, что если Марцелл вернётся на их родной остров, то все островитяне покинут свои дома. Согласно Диодору Сицилийскому, некий легионер схватил Архимеда. Тогда учёный воскликнул: «Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!» Римский солдат испугался, решив, что относительно него хотят применить какое-то очередное открытие Архимеда, и зарубил 75-летнего старика мечом. Плутарх приводит три существовавших версии о гибели сиракузского учёного. По одной из них римский солдат, согласно приказу, схватил Архимеда и хотел отвести его к Марцеллу. Однако пленник наотрез отказывался следовать к главнокомандующему римской армией, так как должен был решить некую математическую задачу. Тогда возмущённый солдат убил Архимеда. По другой, описанной у Плутарха, версии Архимед перед гибелью просил солдата немного обождать, чтобы задача, которой он был на тот момент занят, получила решение. И по третьей плутарховой версии Архимед сам отправился к Марцеллу со своими математическими приборами. Легионеры решили, что старик несёт что-то ценное, и убили его с целью грабежа. Оба автора подчёркивают, что главнокомандующий римской армией Марцелл был опечален случившимся.
Ещё одну версию приводит византийский филолог XII века Иоанн Цец (Chiliad, книга II). В разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: «Не тронь моих чертежей!» (по другой версии «кругов»). Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.
Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., писал в «Тускуланских беседах», что ему спустя 137 лет после смерти Архимеда удалось обнаружить полуразрушенную могилу учёного. На ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.
Подлинные обстоятельства смерти Архимеда, а также истинная реакция Марцелла на это событие остаются невыясненными. Приведённые легенды античных авторов однозначно свидетельствуют, что учёного убили во время волны грабежей и убийств сразу после взятия Сиракуз римлянами. Не исключено, что Марцелл демонстрировал скорбь и даже распорядился отдать почести убитому. Римляне нуждались в поддержке греков, и им было крайне невыгодно предстать в роли убийц и насильников, истребляющих лучших представителей эллинской цивилизации. Как бы то ни было, первое время в Сиракузах было небезопасно вспоминать своего гениального соотечественника.
Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида x 2 ( a ± x ) = b {\displaystyle x^{2}(a\pm x)=b} , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать.
Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем») он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.
В сочинении «Квадратура параболы» Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:
Каждое слагаемое ряда — это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.
В математике, естественных науках и технике очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин — их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.
Архимед сумел установить, что объёмы конуса и шара, вписанных в цилиндр, и самого цилиндра соотносятся как 1:2:3. Лучшим своим достижением он, согласно Цицерону, считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.
Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда», определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.
Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? Первый общий метод решения этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.
Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближение для числа π {\displaystyle \pi } : «архимедово число» 3 1 7 {\displaystyle 3{\frac {1}{7}}} . Более того, он сумел оценить точность этого приближения: 3 10 71 < π < 3 1 7 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}} . Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон. Он также доказал, что площадь круга равна π {\displaystyle \pi } (числу пи), умноженному на квадрат радиуса круга ( π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} ).
В работе «О шаре и цилиндре» Архимед постулирует, что любая величина при её добавлении к себе достаточное число раз превысит любую заданную величину. Это свойство — аксиома Архимеда, включаемая сейчас в аксиоматику вещественных чисел. Она утверждает следующее:
Если имеются две величины, a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , и a {\displaystyle a} меньше b {\displaystyle b} , то, взяв a {\displaystyle a} слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b {\displaystyle b} :
В не дошедшем до нас «послании к Зевксиппу» Архимедом была предложена система именования больших чисел, для которых греческая система счисления была не приспособлена. Система Архимеда позволяла давать имена числам вплоть до числа 10 8 ⋅ 10 16 {\displaystyle 10^{8\cdot 10^{16}}} .
Эту систему он использует в трактате Псаммит, где он опровергал мнение, что песчинок в мире больше, чем самое большое число, которое может быть названо. Архимед, предположив, что маковое зёрнышко может содержать не больше одной мириады песчинок, показал, что если под «миром» понимать сферу с центром в Земле и радиусом до Солнца, как было принято в геоцентрической модели того времени, то в мире не может поместиться более 10 51 {\displaystyle 10^{51}} песчинок. Если же принять гелиоцентрическую модель его современника Аристарха и считать «миром» сферу неподвижных звёзд (радиус которой, как предположил Архимед, превышает расстояние до Солнца, во столько же раз, во сколько расстояние до Солнца превышает радиус Земли), то число песчинок будет не более чем 10 63 {\displaystyle 10^{63}} . Это гораздо меньше самого большого числа, которое можно назвать в системе Архимеда.
Альтернативную систему наименования больших чисел предложил Аполлоний Пергский в своей работе «Быстросчёт» (др.-греч. Ὠκυτόκιον). Вероятно, в связи с полемикой Архимеда с Аполлонием (или Эратосфеном) появилась «Задача о быках», в решении которой встречаются большие числа.
В течение многих веков основой механики была изложенная в труде Архимеда «О равновесии плоских фигур» теория рычага. В основе этой теории лежат следующие постулаты:
На основании этих постулатов Архимед сформулировал закон рычага следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям. Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам».
В том же труде центр тяжести тела определяется Архимедом как «некоторая расположенная внутри него [тела] точка — такая, что если за неё мысленно подвесить тело, то оно остаётся в покое и сохраняет первоначальное положение». Также им были описаны принципы расчёта центра тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, сегмента параболы, криволинейной трапеции, боковые стороны которой являются дугами парабол.
Изложенные Архимедом принципы работы рычагов и понятие центра тяжести практически в неизменном виде используются и сегодня.
Архимед прославился многими механическими конструкциями. Рычаг был известен и до него, но лишь Архимед изложил его полную теорию и успешно её применял на практике. Плутарх сообщает, что Архимед построил в порту Сиракуз немало блочно-рычажных механизмов для облегчения подъёма и транспортировки тяжёлых грузов. В легенде о том, как Архимед движением руки начал двигать корабль, современники видят работу не рычага, а полиспаста или многоступенчатого редуктора, которые сумел создать древнегреческий сиракузский учёный.
Большая часть открытий Архимеда связана с потребностями его родного города Сиракузы. Древнегреческий писатель Афиней (II—III века н. э.) описал, как царь Гиерон II поручил учёному спроектировать громадный по античным меркам корабль «Сиракузия». Судно предполагали использовать во время увеселительных путешествий, а также для перевозки грузов и солдат. По современным оценкам роскошный корабль, отделанный драгоценными камнями и слоновой костью, имел длину около 100 метров и мог перевозить до 5 тысяч человек.
Согласно Афинею, на корабле были сад, гимнасий и даже посвящённый Афродите храм. Предполагалось, что такое судно будет давать течь. Разработанный Архимедом винт позволял выкачивать воду всего лишь одному человеку.
Это устройство представляло собой вращающийся внутри цилиндра винт с косым направлением витков резьбы, что представлено на анимационной картинке. Строение архимедова винта дошло до нас из трудов римского архитектора и механика I века до н. э. Витрувия. Несмотря на кажущуюся простоту, данное изобретение позволило решить поставленную перед учёным проблему. Его впоследствии стали применять в самых различных отраслях народного хозяйства и промышленности, в том числе и для перекачки жидкостей и сыпучих твёрдых веществ, таких как уголь и зерно. Первенство Архимеда в его открытии оспаривается. Возможно, архимедов винт представляет собой несколько модифицированную систему водяного насоса, который использовали при орошении построенных задолго до корабля «Сиракузия» висячих садов Семирамиды в Вавилоне.
Родной город Архимеда Сиракузы был портовым. Вопросы плавучести тел в нём ежедневно решались на практике судостроителями и мореплавателями. Существует легенда о том, что закон Архимеда был открыт благодаря практической задаче о содержании примесей в золоте, из которого изготовили корону Гиерона II. Однако задача, поставленная царём Сиракуз, требовала лишь знания объёмов короны и золота того же веса. Использование закона гидростатики, получившего название «закона Архимеда», при её решении не требовалось.
Сочинение «О плавающих телах» состоит из двух частей. В первой, вступительной, даётся описание основных положений, во второй рассматриваются вопросы равновесия плавающего в жидкости тела (на примере параболоида вращения).
Аксиома, из которой выводятся остальные умозаключения в сочинении Архимеда, звучала следующим образом: «жидкость имеет такую природу, что из её частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается чем-нибудь другим». Далее он формулирует утверждение «Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли». Таким образом античный учёный считал Землю шаром, а поверхность Мирового океана сферической.
Путём логических рассуждений, а также на основе их подтверждения в экспериментах, Архимед пришёл к выводам, что более лёгкое относительно воды тело погружается до тех пор, пока вес жидкости в объёме погрузившейся части не станет равным весу всего тела. Исходя из этого, он пишет утверждения, содержащие формулировки названного в его честь закона гидростатики: «Тела более лёгкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объём с телом, будет тяжелее этого тела» и «Тела более тяжёлые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объёме, равном объёму погружённого тела».
В Большой российской энциклопедии закон Архимеда звучит следующим образом: «На всякое тело, погружённое в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) поддерживающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и проходящая через центр тяжести вытесненной жидкости».
Кроме математики и механики Архимед уделял внимание и оптике. Он написал объёмный труд «Катоптрика», который до сегодняшнего дня не сохранился. В позднем пересказе из сочинения уцелела единственная теорема, в которой учёный доказывал, что при отражении луча угол отражения света равен углу его падения на зеркало.
Из отрывков трудов античных авторов можно сделать вывод о том, что Архимед хорошо знал зажигательные свойства вогнутых зеркал, проводил опыты по преломлению света, исследовал свойства изображений в вогнутых, плоских и выпуклых зеркалах.
С научными работами Архимеда по оптике связана легенда о поджоге римского флота во время осады Сиракуз.
До сегодняшнего дня дошли сведения о трёх астрономических работах учёного. В сочинении «Псаммит» Архимед задался вопросом о размере Вселенной. Ипполит Римский (170—230-е годы н. э.) в приписываемом ему трактате «Обличение всех ересей» приводит расстояния между планетами, взятые из какой-то из утерянных ныне работ Архимеда. Также сохранились четыре упоминания о своеобразном планетарии или «небесном глобусе», сконструированном Архимедом.
В «Псаммите» он экспериментальным путём нашёл угловой диаметр Солнца — от 27′ до 32′55′′. Истинное значение показателя составляет 31′28′′—32′37′′. То есть, как подчёркивают современные авторы, Архимеду удалось впервые определить данную величину.
Архимед построил планетарий или «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Занимался проблемой определения расстояний до планет; предположительно в основе его вычислений лежала система мира с центром в Земле, но планетами Меркурием, Венерой и Марсом, обращающимися вокруг Солнца и вместе с ним — вокруг Земли. В своём сочинении «Псаммит» донёс информацию о гелиоцентрической системе мира Аристарха Самосского.
Сведения о некоем «небесном глобусе», который наглядно изображал систему мира с Землёй в центре, вокруг которой вращаются Солнце, Луна и планеты, содержатся в нескольких античных источниках. Цицерон, в пересказе, передаёт слова Гая Сульпиция Галла, который якобы видел в доме Марцелла устройство, сконструированное Архимедом, и привезённое завоевателем Сиракуз в качестве трофея. Одновременно он говорит о более известной «другой сфере Архимеда», которую Марцелл передал в храм Доблести. Это устройство упоминали Овидий, Лактанций и Клавдий Клавдиан.
Обращает на себя внимание, что Клавдиан описывает работу «небесного глобуса» через 6 веков после смерти Архимеда. Все из перечисленных авторов изумлены и восхищены данным устройством. «Если в мире это [движение планет] не может совершиться без бога, то и в сфере своей Архимед не мог бы воспроизвести это без божественного вдохновения», — резюмирует описание архимедова шара Цицерон.
Архимед за свою жизнь написал множество научных трудов. В период античности не было создано «Корпуса работ Архимеда». Оставшиеся после него сочинения были частично утрачены в Средние века, некоторые дошли до наших дней благодаря арабским переводам. Изучение наследия сиракузского учёного продолжается и в XXI веке. Так, пергаментный кодекс «палимпсест Архимеда» был обнаружен лишь в XX веке и содержал неизвестные науке ранее труды. О существовании некоторых работ возможно судить исключительно из научных трудов античных и средневековых авторов, живших значительно позднее Архимеда.
Наиболее полное собрание сочинений сохранившихся на 1970-е годы работ Архимеда включает 19 трактатов. Их перечисление, в том числе и не вошедшего в собрание, приведено в том порядке, в котором они расположены в указанном источнике:
В связи с масштабами и новаторством достижений Архимеда в математике, влияние его работ на развитие науки в Античности оказалось скромным. Современники Архимеда использовали лишь наиболее простые для понимания результаты его трудов, как то: формулы для вычисления окружности и площади круга, объёма шара с применением приближения Архимеда для числа π, равного /7.
Человечество дважды вновь «открывало» Архимеда, и дважды учёные делали попытки продвинуться в своих открытиях дальше. Первый раз это произошло на арабском Востоке. В Средние века часть трактатов Архимеда перевели на арабский язык. Достижения античного учёного оказали влияние на развитие математики исламского Средневековья, в частности на определение объёмов тел вращения, центров тяжести сложных геометрических конструкций. Несмотря на то, что Сабит ибн Курра, Ибн аль-Хайсам и учёные их школ овладели методом верхних и нижних сумм и даже вычислили несколько новых интегралов, далеко они не продвинулись. Их достижения лишь несколько дополнили открытия Архимеда.
Но наибольшее влияние работы Архимеда оказали на математиков Европы в XVI—XVII веках. Результаты его работ использовали в своих сочинениях такие всемирно известные математики и физики, как Иоганн Кеплер (1571—1630), Галилео Галилей (1564—1642), Рене Декарт (1596—1650), Пьер Ферма (1601—1665), Исаак Ньютон (1642—1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) и др.
Первые печатные издания сборников уцелевших трудов Архимеда датированы XVI веком. Они представляют собой перепечатку манускрипта, который по имени владельца в XV столетии носит название «манускрипта Валла». В нём были записаны лишь 7 (в списке сочинений с первого по седьмой) произведений Архимеда. В 1544 году в Базеле опубликовали Editio Princeps, содержавшие архимедовы трактаты на древнегреческом. В 1558 году появились печатные латинские переводы Федерико Командино. Именно их использовали Иоганн Кеплер и Галилео Галилей. Рене Декарт и Пьер Ферма при написании своих работ брали сведения из другого перевода трактатов Архимеда на латынь 1615 года, выполненного Давидом Риво.
В 1675 году в Лондоне увидел свет латинский перевод трудов Архимеда, выполненный И. Барроу. Его особенностью стали вольные трактовки. Переводчик посчитал возможным, не придерживаясь оригинала, излагать положения трудов античного учёного своими словами, сокращать либо заменять своими приводимые доказательства.
В 1676 году Джон Валлис опубликовал подлинный греческий текст «Псаммита» и «Измерения круга» с комментариями Евдокия, новым латинским переводом и своими примечаниями. Этот английский математик так охарактеризовал важность и значение трудов Архимеда: «Муж поразительной проницательности, он заложил первоосновы почти всех открытий, развитием которых гордится наш век». Одновременно он предугадал, что у Архимеда был метод решений, который тот скрыл от потомков. С его точки зрения, значительно большую пользу для развития науки принесло бы описание метода решений, а не описание самих решений. В то время, когда Валлис «выговаривал» Архимеду, не был найден «Эфод», в котором сиракузский учёный писал: «Я счёл уместным в этой книге изложить мой метод… полезный и для доказательства теорем… Легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена ориентировка в вопросах… Теоремы, которые я сейчас публикую, я нашёл прежде при помощи этого метода, и я решил письменно изложить его… потому что, как я убеждён, я оказываю этим немаловажную услугу математике: многие из моих современников или последователей, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить новые теоремы, до которых я ещё не додумался». К сожалению, «Эфод» был обнаружен лишь в начале XX века, когда изложенные в нём сведения для развития математической науки стали неактуальными, а представляли лишь исторический интерес.
На русский язык сочинения Архимеда впервые перевели в 1823 году.
Имя великого мыслителя получила философская метафора архимедова точка — точка зрения «снаружи», из которой можно увидеть, возможно, объективную или «истинную» картину чего-либо. Может иметься ввиду взгляд на время извне времени, взгляд на науку с какой-то другой позиции, взгляд на пространственную реальность из ниоткуда. Рене Декарт в «Размышлениях о первой философии» писал:
С именем Архимеда связаны многие математические понятия, некоторые из них устарели, другие используются по сегодняшний день.
Например, существуют архимедовы граф, число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие.
Лейбниц писал: «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь удивляться всем новым открытиям геометров».
Открытый в 2004 году музей математики во Флоренции получил название «Сад Архимеда» (итал. Il Giardino Di Archimede).
Именем Архимеда назвали один из первых винтовых пароходов «Архимед», заложенный в 1838 году и спущенный на воду в 1839 году в Великобритании. Также в 1848 году на воду спустили первый русский винтовой пароход «Архимед». Его судьба оказалась печальной. Осенью 1850 года он разбился у датского острова Борнхольм. Кроме ряда объектов, а также компьютерных программ, названных в честь Архимеда, в профессиональной среде инженеров обсуждается идея «Клятвы Архимеда». Предполагается, что её следует приносить молодым инженерам по окончании учебного заведения и перед получением диплома.
В честь Архимеда названы: