Брахмагупта

Брахмагупта (на санскрит: ब्रह्मगुप्त) е индийски математик и астроном.
Автор е на 2 значими книги в тези области – теоретичния трактат „Брахмаспхутасидханта“ и по-практически ориентираната „Кхандакхадяка“. Те са съставени в елиптични стихове, според обичайната практика на индийската математика от онова време. Той е първият автор, дефинирал правилата за смятане с числото нула.
Сведенията за живота на Брахмагупта са оскъдни и идват най-вече от собствените му книги. В стихове 7 и 8 на глава XXIV на „Брахмаспхутасидханта“ се казва, че текстът е съставен от него, когато е тридесетгодишен, през 628 година при управлението на владетеля Вяграмукха, от което следва, че Брахмагупта е роден около 598 година.
Коментаторите на Брахмагупта често го наричат велик учен от Бхиламала (днешен Бхинмал), град в днешен Раджастан, северозападна Индия, който по това време е столица на владетелите на Гурджара-Пратихара. Известно е, че името на баща му е Диснугупта.
Не е сигурно дали той е роден в Бхиламала или само прекарва голяма част от живота си там, покровителстван от владетеля Ваграмукха. Известно време той ръководи астрономическата обсерватория в Уджейн, като през този период пише четири книги – „Кадамекела“ (624), „Брахмаспхутасидханта“ (628), „Кхандакхадяка“ (665) и „Дуркеаминарда“ (672).
В 18-а глава на „Брахмаспхутасидханта“ Брахмагупта дава решение на обобщеното линейно уравнение:
Това е решение на уравнението b x + c = d x + e {\displaystyle bx+c=dx+e} , еквивалентно на x = e − c b − d {\displaystyle x={\tfrac {e-c}{b-d}}} , а рупи са наречени константите c и e.
По-нататък в същата глава Брахмагупта дава две еквивалентни решения на общото квадратно уравнение:
Тези 2 текста са решения на уравнението a x 2 + b x = c {\displaystyle ax^{2}+bx=c} , съответно:
и
След това Брахмагупта дава решения на системи от уравнения с няколко неизвестни, в които първо желаната променлива трябва да бъде изолирана, след което уравнението да се раздели на нейния коефициент. Той нарича тази техника „стриване“:
Подобно на алгебрата на Диофант, и тази на Брахмагупта е синкопирана. Събирането се означава с поставяне на числата едно до друго, изваждането – с поставяне на точка над умалителя, а делението – с поставяне на делителя под делимото, както и в съвременната нотация, но без дробна черта. Умножението, коренуването и неизвестните величини се означават със съкращения на съответните термини. Не е ясно до каква степен тази нотация е повлияна от елинистичната и дали двете системи нямат общ вавилонски първоизточник.
Четирите основни аритметични действия – събиране, изваждане, умножение и деление – са известни на много култури дълго преди Брахмагупта, но неговата книга „Брахмаспхутасидханта“ изиграва важна роля за популяризирането в ислямския свят, а оттам и в Европа, на съвременната десетична бройна система с арабски цифри.
Брахмагупта описва умножението така:
В началото на 12-а глава на „Брахмаспхутасидханта“, озаглавена „Пресмятане“, Брахмагупта описва подробно действията с дроби. Очаква се, че читателят познава основните аритметични действия, включително извличането на квадратен корен, макар че книгата обяснява изчисляването на кубове и кубични корени на цели числа, а след това и правила за улесняване на изчисляването на квадрати и квадратни корени. Описани са правила за работа с пет вида комбинации от дроби: a c + b c {\displaystyle {\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{c}}} , a c ⋅ b d {\displaystyle {\tfrac {a}{c}}\cdot {\tfrac {b}{d}}} , a 1 + b d {\displaystyle {\tfrac {a}{1}}+{\tfrac {b}{d}}} , a c + b d ⋅ a c = a ( d + b ) c d {\displaystyle {\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{d}}\cdot {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a(d+b)}{cd}}} и a c − b d ⋅ a c = a ( d − b ) c d {\displaystyle {\tfrac {a}{c}}-{\tfrac {b}{d}}\cdot {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a(d-b)}{cd}}} .
Брахмагупта дава и решения за сбора на крайни редици от квадрати и кубове.
Резултатът на Брахмагупта е изразен чрез сбора на първите n цели числа, а не със самия брой n, както е обичайно днес: сборът на квадратите на първите n естествени числа като n(n+1)(2n+1)/6, а сборът на кубовете им като (n(n+1)/2)².
„Брахмаспхутасидханта“ е най-старата известна книга, която споменава числото нула, поради което на Брахмагупта често се приписва въвеждането на концепцията за него. Дотогава нулата е използвана само като цифра или за обозначаване на отсъствие на количество, без да се извършват математически действия с нея, докато Брахмагупта излага правила за използването на нулата в аритметични действия.
В „Брахмаспхутасидханта“ са дефинирани основните действия с нула и с положителни и отрицателни числа:
Единствено дефиницията на Брахмагупта за деление на нула се отличава от съвременното разбиране:
Тук Брахмагупта казва, че 0 0 = 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}=0} , а по въпроса за a 0 {\displaystyle {\tfrac {a}{0}}} , където a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , не взима ясно становище. Неговите правила за аритметически действия с нула и с отрицателни числа са близки до използваните в наши дни, с изключение на делението на нула, резултатът от което в съвременната математика е оставен неопределен.
Основният труд на Брахмагупта „Усъвършенствано учение на Брахма“ („Брахма-спхута-сидханта“) съдържа 25 раздела:
Втората работа на Брахмагупта, „Кхандакхадяка“ е фундаментален труд по астрономия.