Grupo del papel pintado

Un grupo del papel pintado (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional, basado en las simetrías de cada patrón. Tales patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y las artes decorativas, especialmente en textiles y azulejos, así como en el papel pintado.
En 1891, Yevgraf Fiódorov fue el primero en demostrar que solo hay 17 grupos distintos de patrones posibles,​ y posteriormente George Pólya lo hizo de forma independiente en 1924.​ La prueba de que la lista de estos grupos estaba completa solo llegó después de que se hubiera resuelto el caso mucho más difícil de los grupos espaciales. Los diecisiete posibles grupos del pintado se enumeran a continuación en el epígrafe titulado Los diecisiete grupos.
Los grupos del papel pintado son grupos de simetría bidimensionales, de complejidad intermedia entre los grupos de frisos más simples y los grupos espaciales tridimensionales. Estos grupos clasifican los patrones por sus simetrías. Diferencias sutiles pueden colocar patrones similares en diferentes grupos, mientras que patrones que son muy diferentes en estilo, color, escala u orientación pueden pertenecer al mismo grupo.
Considérense los siguientes ejemplos:
Los ejemplos A y B pertenecen al mismo grupo del papel pintado; se llama p4m en la notación IUC y *442 en la notación orbifold. El ejemplo C pertenece a un grupo diferente, llamado p4g o 4*2. El hecho de que A y B sean del mismo grupo significa que tienen las mismas simetrías, independientemente de los detalles de los diseños, mientras que C tiene un conjunto diferente de simetrías a pesar de las similitudes superficiales.
La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que se vea exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón puede trasladarse (desplazarse) a cierta distancia finita y aparecer sin cambios. Piénsese en cambiar un conjunto de franjas verticales por una franja . El patrón no ha cambiado. Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de solo cinco bandas, por ejemplo, no tiene simetría traslacional: cuando se desplaza, la banda en un extremo "desaparece" y una nueva banda se "agrega" en el otro extremo. En la práctica, sin embargo, la clasificación se aplica a patrones finitos y se pueden ignorar pequeñas imperfecciones.
A veces, dos categorizaciones son significativas, una basada solo en formas y otra que incluya colores. Cuando se ignoran los colores puede haber más simetría. En blanco y negro también hay 17 grupos del papel pintado; por ejemplo, un mosaico coloreado es equivalente a uno en blanco y negro con los colores codificados radialmente en un "código de barras" simétrico circular en el centro de masa de cada mosaico.
Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclídeo. Por ejemplo:
Otra transformación es una "reflexión deslizada", una combinación de reflexión y de traslación paralela a la línea de reflexión.
Matemáticamente, un grupo del papel pintado o grupo cristalográfico del plano, es un tipo de grupo de isometrías topológicamente discretas del plano euclídeo que contiene dos traslaciones linealmente independientes.
Dos de estos grupos de isometría son del mismo tipo (del mismo grupo del papel pintado) si son iguales hasta una transformación afín del plano. Así, por ejemplo, una traslación del plano (por lo tanto, una traslación de las simetrías de reflexión y centros de rotación) no afecta al grupo. Lo mismo se aplica a un cambio de ángulo entre los vectores de traslación, siempre que no agregue ni elimine ninguna simetría (este es solo el caso si no hay simetrías de reflexión ni reflexiones deslizadas, y la simetría rotacional es, como máximo, de orden 2).
A diferencia del caso tridimensional, se pueden restringir de manera equivalente las transformaciones afines a aquellas que conservan la orientación.
Del teorema de Bieberbach se deduce que todos los grupos del papel pintado son diferentes, incluso como grupos abstractos (en oposición a, por ejemplo, los grupos de friso, de los que dos son isomorfos con Z).
Los patrones 2D con simetría traslacional doble se pueden clasificar de acuerdo con su tipo de grupo de simetría.
Las isometrías del plano euclídeo se dividen en cuatro categorías (consúltese el artículo isometría del plano euclídeo para obtener más información).
La condición de las traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R) de modo que el grupo contiene Tv y Tw.
El propósito de esta condición es distinguir los grupos del papel pintado de los grupos del friso, que poseen una traslación (pero no dos) linealmente independientes, y de los grupos de puntos discretos bidimensionales, que no poseen ninguna simetría traslacional. En otras palabras, los grupos del papel pintado representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos del friso, que solo se repiten en un solo eje.
Es posible generalizar esta situación. Se podría, por ejemplo, estudiar grupos discretos de isometrías de R con m traslaciones linealmente independientes, donde m es cualquier número entero en el rango 0 ≤ m ≤ n.
La condición de discreción significa que hay un número real positivo ε, de modo que para cada traslación Tv en el grupo, el vector v tiene una longitud de al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v sea el vector cero).
El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tenga un dominio fundamental compacto, o en otras palabras, una "celda" de área finita distinta de cero, que se repite a través del plano. Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traslación Tx para cada número racional x, que no correspondería a ningún patrón del papel pintado razonable.
Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traslación independiente es que el grupo solo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación en el grupo debe ser una rotación de 180°, 120°, 90° o 60°. Este hecho se conoce como el teorema de restricción cristalográfica y puede generalizarse a casos de dimensiones superiores.
La cristalografía dispone de 230 grupos espaciales distintos, muchos más que los 17 grupos del papel pintado, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por lo tanto, se puede usar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y Charles-Victor Mauguin. Un ejemplo del nombre completo de un elemento del grupo del papel pintado en estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUC) es p31m, con cuatro letras o dígitos, aunque lo más habitual es utilizar un nombre abreviado como cmm o pg.
Para los grupos del papel pintado, la notación completa comienza con p o c, según disponga de una celda primitiva o de una celda centrada en la cara (conceptos que se explican a continuación). La letra es seguida por un dígito, n, que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1 (ninguno vez), 2 veces, 3 veces, 4 veces o 6 veces. Los siguientes dos símbolos indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado "principal"; si existe una simetría especular con su eje perpendicular a un eje de traslación, se elige ese eje como el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m, g o 1, para la simetría especular (m de "mirror", espejo en inglés), reflexión deslizada, o ninguno. El eje del espejo o la reflexión de deslizamiento es perpendicular al eje principal de la primera letra, y puede ser paralelo o inclinado 180°/n (cuando n > 2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías relacionadas con las ya descritas. La notación corta elimina dígitos o una m que se pueden deducir, siempre que no se cree confusión con otro elemento.
Una celda primitiva es una región mínima repetida por traslaciones reticulares. Todos menos dos grupos de simetría del papel pintado se articulan con respecto a los ejes celulares primitivos, una base de coordenadas que utiliza los vectores de traslación de la red. En los dos casos restantes, la descripción de simetría es con respecto a las celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, tienen repetición interna; las direcciones de sus lados son diferentes de las de los vectores de traslación que abarcan una celda primitiva. La notación cristalográfica de Hermann-Mauguin para los grupos espaciales utiliza tipos de celdas adicionales.
Aquí están todos los nombres que difieren en notación corta y completa.
Los nombres restantes son p1, p2, p3, p3m1, p31m, p4, y p6.
La notación orbifold para grupos del papel pintado, ideada por John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), no se basa en la cristalografía, sino en la topología. Se reduce el mosaico periódico infinito del plano a su esencia, un orbifold, que se describe mediante algunos símbolos.
Considérese el grupo denotado en notación cristalográfica por cmm; en la notación de Conway, tomaría la forma 2*22. El 2 antes del * indica que existe un centro de rotación de 2 veces sin reflexión a través de él. El * en sí mismo indica que se tiene una reflexión especular. Los primeros 2 después del * indican que se tiene un centro de rotación de 2 veces en un espejo. El 2 final indica que se tiene un segundo centro de rotación doble independiente en una simetría especular, uno que no es un duplicado del primero bajo simetrías.
El grupo denotado por pgg será 22×. Se tienen dos centros de rotación pura de 2 lóbulos y un eje de reflexión de deslizamiento. Compárese esto con pmg, según Conway 22*, donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero uno que está implícito en las otras simetrías del orbifold.
También se incluye la notación de corchetes de Coxeter, basada en grupos de Coxeter reflexivos, y modificada con superíndices que representan rotaciones, rotaciones impropias y traslaciones.
Un orbifold se puede ver como un polígono con cara, lados y vértices, que se pueden desplegar para formar un conjunto que puede ser infinito de polígonos que enlosan la esfera, el plano o el plano hiperbólico. Cuando enlosa el plano, dará un grupo del papel pintado y cuando enlosa la esfera o el plano hiperbólico, da un grupo de simetría esférica o un grupo de simetría hiperbólica. El tipo de espacio del mosaico de polígonos se puede encontrar calculando la característica de Euler, χ = V - E + F, donde V es el número de esquinas (vértices), E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, entonces el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, entonces tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo del papel pintado; y si es negativo tendrá una estructura hiperbólica. Si se enumera el conjunto completo de orbifolds posibles, se descubre que solo 17 tienen la característica de Euler 0.
Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser consistentes con la característica de Euler. Al invertir el proceso, se pueden asignar números a las características del orbifold, pero usando fracciones en lugar de números enteros. Debido a que el orbifold mismo es un cociente de la superficie completa del grupo de simetría, la característica de Euler del orbifold es un cociente de la característica de Euler de la superficie por el orden del grupo de simetría.
La característica de Euler del orbifold es 2 menos la suma de los valores de las características, asignados de la siguiente manera:
Para un grupo del papel pintado, la suma de la característica debe ser cero; por lo tanto, la suma de características debe ser 2)
Ahora la enumeración de todos los grupos del papel pintado se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características con valores que suman 2.
Las cadenas de características con otras sumas no tienen sentido; implican teselados no planos, no discutidos aquí. Cuando la característica orbifold de Euler es negativa, el mosaico es hiperbólico; cuando es positiva, se denomina esférica o mala.
Para determinar qué grupo del papel pintado corresponde a un diseño dado, se puede usar la siguiente tabla:​
Véase también esta descripción general con diagramas.
Cada uno de los grupos en esta sección tiene dos diagramas de estructura celular, que deben interpretarse de la siguiente manera (es la forma lo que es significativo, no el color):
En los diagramas del lado derecho, diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría se colorean (y giran) de manera diferente.
El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental, es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.
Los diagramas de la derecha muestran la celda de la red correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área más grande.
(Los primeros tres tienen un eje de simetría vertical, y los dos últimos tienen uno diagonal diferente)
Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag, el tapete es pmg con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg.
Ignorando los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento es pgg.
La simetría rotacional de orden 2 con centros de rotación en los centros de los lados del rombo es una consecuencia de las otras propiedades.
El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:
Un patrón p4 puede considerarse como una repetición en filas y columnas de mosaicos cuadrados iguales con simetría rotacional de 4 pliegues. También se puede considerar como un patrón de tablero de ajedrez de dos de estos mosaicos, un factor 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} más pequeño y girado 45°.
Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales, con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez de dos de tales cuadrados.
Ejemplos mostrados con las traslaciones más pequeñas horizontales y verticales (como en el diagrama):
Ejemplos mostrados con la diagonal de traslación más pequeña:
Imagínese una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos aparecen en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de fondo de pantalla corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, pero los dos no son iguales, ni la imagen especular del otro, ni ambos simétricos (si los dos son iguales) tenemos p6, si son la imagen especular del otro se tiene p31m, si ambos son simétricos se tiene p3m1; si dos de los tres se aplican, el tercero también, y se tiene p6m). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices, es decir, para cualquier teselación son posibles dos cambios. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
De manera equivalente, imagínese una teselación del plano con hexágonos regulares, con lados iguales a la distancia de traslación más pequeña dividida por √3. Entonces este grupo del papel pintado corresponde al caso de que todos los hexágonos son iguales (y con la misma orientación) y tienen simetría rotacional de orden tres, mientras que no poseen simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis se trata de p6, si son simétricos con respecto a las diagonales principales corresponde a p31m, si son simétricos con respecto a las líneas perpendiculares a los lados se tiene p3m1; si dos de los tres se aplican, el tercero también, y se tiene p6m). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con un tercio de los centros de rotación como centros de los hexágonos. En términos de la imagen: los centros de los hexágonos pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Al igual que para p3, imagínese una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo del papel pintado corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, y ambos son simétricos, pero los dos no son iguales y no son la imagen especular del otro. Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul oscuro o verde.
Al igual que para p3 y p3m1, imagine una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo del papel pintado corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres y son la imagen especular del otro, pero no son simétricos y no son iguales. Para una imagen dada, solo es posible una de estas teselaciones. En términos de la imagen: los vértices no pueden ser triángulos azul oscuro.
Un patrón con esta simetría se puede considerar como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría C3, o de manera equivalente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría C6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón).
Un patrón con esta simetría puede considerarse como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría D3, o de manera equivalente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría D6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón). Así, los ejemplos más simples son una retícula triangular con o sin líneas de conexión, y un mosaico hexagonal con un color para delinear los hexágonos y otro para el fondo.
Hay cinco tipos de celosía o celosías de Bravais, que corresponden a los cinco posibles grupos del papel pintado de la propia celosía. El grupo del papel pintado de un patrón con esta red de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la red misma.
El grupo de simetría real debe distinguirse del grupo del papel pintado, que son colecciones de grupos de simetría. Hay 17 de estas colecciones, pero para cada colección hay infinitos grupos de simetría, en el sentido de grupos reales de isometrías. Estos dependen, además del grupo del papel pintado, de una serie de parámetros para los vectores de traslación, la orientación y la posición de los ejes de reflexión y los centros de rotación.
Los números de grados de libertad son:
Sin embargo, dentro de cada grupo del papel pintado, todos los grupos de simetría son algebraicamente isomorfos.
Algunos isomorfismos de grupo de simetría:
Téngase en cuenta que cuando una transformación disminuye la simetría, una transformación del mismo tipo (la inversa) obviamente para algunos patrones aumenta la simetría. Tal propiedad especial de un patrón (por ejemplo, la expansión en una dirección produce un patrón con simetría de 4 pliegues) no se cuenta como una forma de simetría adicional.
El cambio de colores no afecta al grupo del papel pintado si dos puntos que tienen el mismo color antes del cambio, también tienen el mismo color después del cambio, y dos puntos que tienen colores diferentes antes del cambio, también tienen colores diferentes después del cambio.
Si se aplica lo primero, pero no lo segundo, como cuando se convierte una imagen en color a una en blanco y negro, se conservan las simetrías, pero pueden aumentar, de modo que el grupo del papel pintado puede cambiar.
Varias herramientas gráficas de software permiten crear patrones 2D utilizando grupos de simetría del papel pintado. Por lo general, se puede editar el mosaico original, y sus copias en todo el patrón se actualizan automáticamente.