Interior (topologie)

În matematică, În matematică, în special în topologie, interiorul unei submulțimi S a unui spațiu topologic X este reuniunea tuturor submulțimilor lui S care sunt deschise în X. Un punct care se află în interiorul lui S este un punct interior al lui S.
Interiorul lui S este complementul (absolut) al închiderii complementului lui S. În acest sens interiorul și închiderea sunt noțiuni duale.
Exteriorul unei mulțimi S este complementul închiderii lui S; el este format din punctele care nu sunt în S, nici în interiorul său, nici pe frontiera sa.
Interiorul, frontiera și exteriorul unei submulțimi împart împreună întregul spațiu în trei zone (sau mai puțin atunci când una sau mai multe dintre acestea sunt vide). Interiorul și exteriorul sunt întotdeauna deschise, în timp ce frobtiera este întotdeauna închisă. Mulțimile cu interior vid au fost numite mulțimi de frontieră.
Dacă S este o submulțime a unui spațiu euclidian, atunci x este un punct interior al lui S dacă există o bilă deschisă cu centrul în x care este complet inclusă în S. (Acest lucru este ilustrat în imaginea din introducerea acestui articol.)
Această definiție se generalizează la orice submulțime S a unui spațiu metric X cu metrică d: x este un punct interior al lui S dacă există r > 0 {\displaystyle r>0\,} astfel încât y este inclus în S ori de câte ori distanța d(x, y) < r.
Această definiție se generalizează în spațiile topologice prin înlocuirea „bilei deschise” cu „mulțime deschisă”. Fie S o submulțime a unui spațiu topologic X. Atunci x este un punct interior al lui S dacă x este inclus într-o submulțime deschisă a lui X care este complet inclus în S. (În mod echivalent, x este un punct interior al lui S dacă S este o vecinătate a lui x.)
Interiorul unei submulțimi S a unui spațiu topologic X, notat cu Int S sau cu S° poate fi definit în oricare dintre următoarele moduri echivalente:
Pe mulțimea numerelor reale se pot pune mai degrabă alte topologii decât cea standard.
Aceste exemple arată că interiorul unei mulțimi depinde de topologia spațiului subiacent. Ultimele două exemple sunt cazuri particulare ale următoarelor.
Fie X un spațiu topologic și S și T submulțimi ale lui X.
Afirmațiile de mai sus vor rămâne adevărate dacă toate aparițiile simbolurilor / cuvintelor
sunt înlocuite respectiv cu
Iar următoarele simboluri sunt întoarse:
Alte proprietăți:
Operatorul „interior”' este dualul operatorului „închidere” , în sensul că
și
unde X este spațiul topologic care include S, iar bara oblică inversă se referă la complementul relativ (diferența lor).
Prin urmare, teoria abstractă a operatorilor de închidere și axiomele de închidere Kuratowski pot fi ușor transpuse în limbjul operatorilor „interior”, prin înlocuirea mulțimilor cu complementele lor.
În general operatorul „interior” nu este comutativ pe reuniuni. Totuși, într-un spațiu metric complet următorul rezultat este valabil:
Două forme a și b se spune că sunt interior-disjuncte dacă intersecția interioarelor lor este vidă. Formele interior-disjuncte se pot intersecta sau nu pe frontierele lor.
Exteriorul unei submulțimi S a unui spațiu topologic X, notat ext S sau Ext S este interiorul int(X \ S) complementului său relativ. Alternativ, poate fi definit ca X \ S, complementul închiderii lui S. Multe proprietăți rezultă direct din cele ale operatorului „interior”, cum ar fi următoarele.
Diferit de operatorul „interior”, operatorul „exterior” nu este idempotent, dar este valabilă afirmația: