dancinlab/anima-corpus-5lang-unified huggingface dataset:
이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가  인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.
상수 개정 
역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.
 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다.
 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다.
 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다.
 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다.
 2018년에 6.626 070 15로 정의되었다.
막스 카를 에른스트 루트비히 플랑크 왕립학회 외국인 회원 (, ; , 1858년 4월 23일 - 1947년 10월 4일)는 독일의 이론물리학자로 에너지 양자의 발견으로 1918년 노벨 물리학상을 수상한 과학자이다.
생애와 경력 
플랑크는 전통적이고 지적인 가족 출신이다. 그의 부계 증조부와 할아버지는 모두 괴팅겐의 신학 교수였다. 그의 아버지는 킬 대학교와 뮌헨 대학교의 법학 교수였다. 그의 삼촌 중 한 명은 판사였다.
플랑크는 1858년 홀슈타인의 킬에서 요한 율리우스 빌헬름 플랑크Johann Julius Wilhelm Planck와 그의 두 번째 부인 엠마 파치히Emma Patzig 사이에서 태어났다. 그는 카를 에른스트 루트비히 마르크스 플랑크Karl Ernst Ludwig Marx Planck라는 이름으로 세례를 받았다. 그의 이름 중 마르크스Marx(지금은 사용되지 않는 마르쿠스Markus의 변형이거나 실제로 막시밀리안Maximilian의 약자인 막스Max의 오류일 수 있음)는 "명칭 이름(appellation name)"으로 표시되었다. 그러나 10살이 되었을 때 그는 막스Max라는 이름으로 서명하고 그후 이것을 평생동안 사용했다.
그의 형제 중 두 명이 아버지의 첫 번째 결혼에서 태어났지만 그는 가족의 6번째였다. 전쟁은 플랑크의 초기 몇 년 동안 일반적이었고 그의 가장 초기 기억 중 하나는 1864년 제2차 슐레스비히 전쟁 동안 킬로의 프로이센과 오스트리아 군대의 행군이었다. 1867년 가족은 뮌헨으로 이사했고 플랑크는 막시밀리안 김나지움(Maximilians gymnasium)에 등록했고 그곳에서 그는 젊은이들에게 관심을 가진 수학자  헤르만 뮐러Hermann Müller는 그에게 수학뿐만 아니라 천문학과 역학을 가르쳤다. 플랑크가 에너지 보존의 원리를 처음 배운 것은 뮐러로부터였다. 플랑크는 17세에 일찍 졸업했다. 이것이 플랑크가 물리학 분야와 처음 접한 방법이다.
교육 경력 
그의 하빌리타치온 논문이 완성되자 플랑크는 뮌헨에서 무급 프리바트도첸트(Privatdozent)(독일 대학에서 강사/조교수에 해당하는 지위)가 되어 학업 제안을 받을 때까지 기다렸다. 처음에는 학계에서 무시 당했지만 열 이론 분야에서 그의 작업을 더욱 발전시켜 기브스와 같은 열역학적 형식론을 자신도 모르게 차례로 발견했다. 엔트로피에 대한 클라우지우스의 아이디어는 그의 작업에서 중심적인 역할을 했다.
1889년에 그는 베를린 프리드리히-빌헬름스-대학교에서 키르히호프의 직위를 계승하는 사람으로 임명되었으며 - 아마도 헬름홀츠의 중재 덕분에 - 1892년에는 정교수가 되었다. 1907년, 플랑크는 빈에서 볼츠만의 자리를 제안받았으나 베를린에 남으려고 거절했다. 1909년에 베를린 대학교 교수로 재직하면서 뉴욕시 컬럼비아 대학교 이론물리학의 어니스트 켐프턴 아담스 강사(Ernest Kempton Adams Lecturer)로 초빙되었다.  그의 강의 시리즈는 컬럼비아 대학교 교수 A. P. 윌리스<sub>A. P. Wills에 의해 번역 및 공동 출판되었다. 그는 1914년 미국국립과학원 회원으로 선출되었다. 1926년 1월 10일 베를린에서 은퇴했고, 에르빈 슈뢰딩거가 그의 뒤를 이었다. 그는 1926년 미국국립과학원 회원으로, 1933년 미국 철학 협회 회원으로 선출되었다.
가족 
1887년 3월 플랑크는 학교 친구의 여동생인 마리 머르크Marie Merck(1861-1909)와 결혼하여 키엘에 있는 작은 아파트로 이사했다. 그들은 카를Karl(1888~1916), 쌍둥이 엠마Emma(1889~1919)와 그레테Grete(1889~1917), 에르빈Erwin(1893~1945) 등 5명의 자녀를 두었다.
베를린에 있는 아파트 이후, 플랑크 가족은 반겐하임 거리(Wangenheimstrasse) 21의
베를린-그루네발트(Berlin-Grunewald)에 있는 빌라에서 살았다. 베를린 대학교의 다른 여러 교수가 근처에 살았으며 그 중에는 플랑크의 절친한 친구가 된 신학자 아돌프 폰 하르낙Adolf von Harnack도 있었다. 곧 플랑크의 집은 사회적, 문화적 중심지가 되었다. 알베르트 아인슈타인, 오토 한, 리제 마이트너와 같은 수많은 저명한 과학자들이 자주 방문했다. 공동 연주 음악의 전통은 이미 헬름홀츠의 고향에서 확립되었다.
베를린 대학교의 교수 
베를린의 프리드리히 빌헬름스 대학교(Friedrich-Wilhelms-Universität) 교수로서 플랑크는 지역 물리학회에 가입했다. 그는 나중에 이 시기에 대해 쓰기를: "그 당시에 나는 본질적으로 그곳에서 유일한 이론 물리학자였으며, 엔트로피에 대해 언급하기 시작했기 때문에 일이 그렇게 쉽지는 않았는데, 이것은 수학적인 유령으로 간주되었기 때문에 그다지 유행하지 않았다." 그의 이니셔티브 덕분에 독일의 다양한 지역 물리 학회들이 1898년에 통합되어 독일 물리학회(Deutsche Physikalische Gesellschaft, DPG)를 형성했으며; 1905년부터 1909년까지 플랑크는 회장이었다.
1897 막스 아브라함 (1875–1922)
 1903 막스 폰 라우에 (1879–1960)
 1904 모리츠 슐리크 (1882–1936)
 1906 발터 마이스너 (1882–1974)
 1907 프리츠 라이헤Fritz Reiche (1883–1960)
 1912 발터 쇼트키Walter Schottky (1886–1976)
 1914 발터 보테 (1891–1957)
흑체 복사 
1894년 플랑크는 흑체 복사 문제에 관심을 돌렸다. 문제는 1859년 키르히호프에 의해 언급되었다. "흑체(완벽한 흡수체, 공동 복사체라고도 함)에서 방출되는 전자기 복사의 강도는 복사의 주파수 (즉, 빛의 색깔)와 그 물체의 온도에 의존하는가?"라는 질문은 실험적으로 탐구되었지만 실험 값과 일치하는 이론적 취급은 없었다. 빌헬름 빈은 빈의 법칙을 제안했는데, 이는 고주파에서는 거동을 정확하게 예측했지만 저주파에서는 실패했다. 문제에 대한 또 다른 접근 방식인 레일리–진스 법칙은 저주파에서의 실험 결과에 일치했지만 나중에 고주파에서 "자외선 파탄"으로 알려진 현상을 만들었다. 그러나 많은 교과서와 달리, 이것이 플랑크를 위한 동기는 아니었다.
여기서 h는 플랑크 상수이며 플랑크의 작용 양자라고도 하며 (1899년에 이미 도입됨), ν는 복사의 주파수이다. 여기서 논의된 에너지의 기본 단위는 단순히 ν 가 아니라 hν 로 표시된다. 물리학자들은 이제 이러한 양자 광자를 부르고 주파수 ν의 광자는 고유한 에너지를 갖는다. 그러면 해당 주파수의 총 에너지는 해당 주파수의 광자 수를 곱한 hν 와 같다.
아인슈타인과 상대성 이론 
1905년 알베르트 아인슈타인의 세 편의 획기적인 논문이 《물리학 연보》 저널에 발표되었다. 플랑크는 특수 상대성이론의 중요성을 즉시 인식한 몇 안 되는 사람 중 하나였다. 그의 영향 덕분에 이 이론은 곧 독일에서 널리 받아들여졌다. 플랑크는 또한 특수 상대성이론을 확장하는 데 상당한 기여를 했다. 예를 들어, 그는 고전적 작용의 관점에서 이론을 재구성한다.
제1차 세계대전 
제1차 세계대전이 시작되자 플랑크는 대중의 일반적인 흥분을 다음과 같이 썼다. "끔찍한 것 외에도 예기치 않게 위대하고 아름다운 것, 모든 정당의 통합(그리고) ... 선하고 고귀한 모든 것에 대한 찬사와 같은 것도 많다." 플랑크는 또한 논쟁적인 전쟁 선전의 소책자인 악명 높은 "93인의 성명서"에 서명했다 (반면에 아인슈타인은 엄격한 평화주의적 태도를 유지하여 거의 투옥에 이르게 되었으나, 그의 스위스 시민권 덕분에 면책되었다).
양자역학 
1920년대 말 보어, 하이젠베르크와 파울리는 양자역학에 대한 코펜하겐 해석을 수행했지만 플랑크와 슈뢰딩거, 라우에, 아인슈타인도 이를 거부했다. 플랑크는 파동역학이 곧 양자 이론-자신의 아이-을 불필요하게 만들 것이라고 예상했다. 그러나 이것은 사실이 아니었다. 그와 아인슈타인의 철학적 반감에도 불구하고 더 이상의 작업은 양자 이론을 확고히 했을 뿐이다. 플랑크는 젊은 시절에 오래된 견해와 투쟁하면서 "새로운 과학적 진리는 반대자를 설득하고 빛을 보게 함으로써 승리하는 것이 아니라, 반대자가 결국 죽기 때문에 승리한다. 새로운 세대는 그것에 익숙하게 자란다."는 자신의 초기 관찰의 진리를 경험했다.
나치 독재와 제2차 세계대전 
1933년 나치가 집권했을 때 플랑크는 74세였다. 그는 많은 유대인 친구와 동료들이 직위에서 추방되어 굴욕을 당하는 것을 목격했으며 수백 명의 과학자들이 나치 독일에서 이주하는 것을 목격했다. 그는 다시 "인내하고 계속 일하려고" 노력했고, 이민을 고려하고 있는 과학자들에게 독일에 남을 것을 요청했다. 그럼에도 불구하고 그는 조카인 경제학자 헤르만 크라놀트Hermann Kranold가 체포된 후 런던으로 이주하는 것을 도왔다. 그는 위기가 곧 진정되고 정치적 상황이 개선되기를 희망했다.
종교적 견해 
플랑크는 독일 루터교 교인이었다. 그는 대안적인 견해와 종교에 대해 매우 관대했다. 1937년 "종교와 자연과학(Religion und Naturwissenchaft)"이라는 제목의 강의에서 그는 이러한 상징과 의식의 중요성은 신자가 하나님을 예배할 수 있는 능력과 직접적으로 관련되나, 상징은 신성의 불완전성을 제공한다는 점을 명심해야 한다고 제안했다. 그는 무신론이 그러한 상징에 대한 조롱에 초점을 맞추고 있다고 비판했으며, 한편 신자들이 그러한 상징의 중요성을 과대 평가한다고 경고했다.
나아가 플랑크는 이렇게 썼다.
..."믿는다"는 것은 "진리로 인식하는" 것을 의미하며, 의심의 여지 없이 안전한 길로 계속하여 발전하는 자연에 대한 지식은, 자연 과학에 대하여 어느 정도 훈련을 받은 사람이, 자연의 법칙과 모순되는 이례적인 사건과, 종교적 교리에 대한 필수적인 뒷받침과  확인으로 여전히 일반적으로 간주되며 이전에는 의심이나 비판 없이 순수하고 단순한 사실로 받아들여졌던 기적에 관한 다수의 보고가, 사실에 기초한 것으로 인정하는 것을 절대적으로 불가능하게 만들었다. 기적에 대한 믿음은 중단없이 믿음직스럽게 진보하는 과학 앞에서 점차적으로 물러나야 하며, 우리는 이것이 조만간 완전히 사라질 것이라는 것을 의심할 수 없다.
Translated in
같이 보기 
 막스 플랑크의 이름을 딴 것들의 목록(List of things named after Max Planck)
 독일 발명가 맟 발견자들의 목록(German inventors and discoverers)
 광자 편광(Photon polarization)
 막스 플랑크의 조각상(Statue of Max Planck)
 영점 에너지
각주
출처 
 Aczel, Amir D. Entanglement, Chapter 4. Penguin, 2003.
 Heilbron, J. L. The Dilemmas of an Upright Man: Max Planck and the Fortunes of German Science. Harvard University Press, 2000.
 Clifford A. Pickover Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press, 2008.
 Medawar, Jean; Pyke, David (2012). Hitler's Gift: The True Story of the Scientists Expelled by the Nazi Regime. Arcade Publishing, 2012.
 Rosenthal-Schneider, Ilse Reality and Scientific Truth: Discussions with Einstein, von Laue, and Planck. Wayne State University, 1980.
Annotated bibliography for Max Planck from the Alsos Digital Library for Nuclear Issues
 Max Planck – Encyclopædia Britannica article
 Max Planck Biography – www.nobel-prize-winners.com
 Max Planck Institutes of Natural Science and Astrophysics
 Max Planck – Selbstdarstellung im Filmportrait (1942), [Cinematic self-portrait of Max Planck], Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften, 1942
  including the Nobel Lecture, 2 June 1920 The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory
 Life–Work–Personality – Exhibition on the 50th anniversary of Planck's death
1858년 출생
1947년 사망
19세기 독일 사람
20세기 독일 사람
19세기 물리학자
20세기 물리학자
독일의 물리학자
독일의 대학 교수
양자물리학자
이론물리학자
열역학자
이신론자
독일의 노벨상 수상자
노벨 물리학상 수상자
코플리 메달 수상자
막스 플랑크 메달 수상자
푸르 르 메리트 민사훈장 수훈자
프로이센 과학 아카데미의 회원
교황청 과학원의 회원
네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미 회원
킬 출신
뮌헨 대학교 동문
베를린 훔볼트 대학교 동문
베를린 훔볼트 대학교 교수
루터교 이탈자
CGS 단위계에서는  대신 를 쓴다.
성질 
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.
포인팅 정리 
포인팅 정리()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
미세 구조 상수(微細構造常數, , 기호 α) 또는 조머펠트 미세 구조 상수(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.
여기서 는 기본 전하, 는 원주율, 는 디랙 상수, 는 빛의 속도, 은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 (전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 의 비로 해석할 수 있다.
는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
  =0.007 292 31
  = 137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
  =0.007 297 352 5698(24)
  = 137.035 999 074(44)
선형대수학에서 크라메르 법칙(Cramer法則, ) 또는 크라메르 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
응용
미분기하학 
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다.
여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
이것은 두 개의 야코비안 항이다.
유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다.
역사 
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.
즉, 행렬 은 행벡터 의 튜플 으로 여기자.
가환환  위의  정사각 행렬의 -가군  위의 행렬식 는 단위 행렬에서의 값이 1인 유일한 교대 -다중 선형 형식이다. 즉, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수이다.
 ㈀ -다중 선형 형식이다. 즉, 임의의  및 행벡터  및 스칼라 에 대하여, 
 ㈁ 교대 -다중 선형 형식이다. 즉, 임의의  및 행벡터 에 대하여, 만약 를 만족하는 가 존재한다면, 
 ㈂ 단위 행렬 의 행렬식은 이다.
조건 ㈀ 아래, 조건 ㈁은 다음 조건을 함의하며, 만약 가 표수가 2가 아닌 체일 경우 조건 ㈁은 이 조건과 동치이다.
 ㈁’ 임의의  및 행벡터 에 대하여, 이다. 즉, 1회 열 교환을 한 행렬의 행렬식은 부호가 바뀐다.
조건 ㈁’은  대신  ()를 사용한 조건과 동치이다. 또한, 조건 ㈁ 아래, 조건 ㈀은 그 인 경우와 동치이다.
여기서
 은 의 순열의 집합이다.
 는 순열의 부호수이다. 즉, 가 짝순열일 경우 1, 홀순열일 경우 −1이다.
등식의 우변은 개 항을 갖는 차 동차 다항식이며, 일 경우 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.
가환환  위의 정사각 행렬 의 행렬식은 다음과 같다.
이는 모든 행 에 대하여 같은 함수를 정의하며, 다른 정의들과 동치이다. 마찬가지로, 열 에 대한 라플라스 전개를 사용하여 정의할 수도 있다.
성질
항등식 
가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.
마찬가지로, 열의 집합 에 대한 점화식은 다음과 같다.
다중선형대수학 
가환환 에 대하여, 교대 다중 선형 형식 의 집합은 1차원 -자유 가군을 이루며, 행렬식은 이 -자유 가군의 한 기저를 이룬다. 즉, 모든 교대 다중 선형 형식 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
가역성과의 관계 
가환환  위의  정사각 행렬 에 대하여, 가역 행렬은 행렬식이 의 가역원인 것과 동치이다. 특히, 만약 가 체일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다.
크라메르 공식 
가환환  위의  정사각 행렬 에 대하여, 연립 일차 방정식 의 해 은
을 만족시킨다. (여기서 는 의 번째 열이다.) 특히, 만약 이 가역 행렬일 경우, 그 유일한 해는
가 가측 집합 의 초부피를 확대시키는 배수는 행렬식의 절댓값 이다.
보다 일반적으로, 실수 행렬 에 대하여, 실수 선형 변환
가 가측 집합 의 차원 초부피를 확대시키는 배수는
이다.
예
작은 크기의 행렬 
0×0, 1×1, 2×2, 3×3, 4×4 행렬의 행렬식은 각각 1, 1, 2, 6, 24개의 항을 갖는 다항식으로 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.
특히, 대각 행렬의 행렬식은 대각 성분들의 곱이다.
방데르몽드 행렬 
가환환  위의 방데르몽드 행렬
의 행렬식은
이다.
역사 
역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"()는 "디터민"()(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기에 지롤라모 카르다노가  행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 행렬식의 크기를 정의하였다.
외부 링크 
 Determinant Interactive Program and Tutorial
 Linear algebra: determinants.  Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
 Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
 Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course. 
 Instructional Video on taking the determinant of an nxn matrix (Khan Academy)
정수론에서 리만 제타 함수() 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.
이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.
; ()
 ; 이것은 조화급수이다.
 ; () 보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.
 ; () 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.
 ; () 이것은 아페리 상수이다.
 () 이것은 플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.
현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수()인 실수에서는 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.
위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉
따라서,
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.
즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.
이고, 양변에 를 곱하고나서
 를 곱하기 전의 식과 곱하고 나서의 식을 서로  빼주면,
 과 같이
우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,
위와
동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.
영점 
함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점()이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 임계 구역()에 존재한다.
임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 임계 직선()이라고 한다.
임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.
이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다.
참고 문헌
같이 보기 
 리만 가설
 소수 정리
 베른하르트 리만
 레온하르트 오일러
 소수와 오일러의 곱셈공식
 바젤 문제
 니븐 상수
 제타 함수
 L-함수
좌표계(座標系, coordinate system) 혹은 자리표계는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 좌표를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 스칼라는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 직교좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 직교좌표계를 발명해 냈다고 한다.
대표적인 좌표계 
 수직선
 직교 좌표계
 복소평면
 극좌표
 원통 좌표계
 구면 좌표계
 지리 좌표계
 천구 좌표계
 지평 좌표계
 은하 좌표계
 적도 좌표계
 황도 좌표계
 관성 좌표계
기하학적 객체의 좌표
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.
정의 
가  또는 라고 하자. -힐베르트 공간 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.
이 경우, 내적 구조는
가 된다.
분류 
힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
 모든 에 대하여,
 다음 집합은  속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 이라고 한다.
일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.
두 -힐베르트 공간 ,  사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 와  사이에 유니터리 변환 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 분해 가능 공간이다.
 이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.
만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면
이며, 함수
는 의 정규 직교 기저를 이룬다.
만약 가 분해가능 시그마 대수(로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.
응용 
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.
역사 
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.
양자역학(量子力學, )은 분자, 원자, 전자, 소립자 등 미시적인 계의 현상을 다루는 즉, 작은 크기를 갖는 계의 현상을 연구하는 물리학의 분야이다. 또는 아원자 입자 및 입자 집단을 다루는 현대 물리학의 기초 이론이다. '아무리 기이하고 터무니없는 사건이라 해도, 발생 확률이 0이 아닌 이상 반드시 일어난다'는 물리학적 아이디어에 기초한다. 양자역학의 양자는 물리량에 기본 단위가 있으며,  그 기본 단위에 정수배만 존재한다는 뜻을 담고 있다. 현대 물리학의 기초인 양자역학은 컴퓨터의 주요 부품인 반도체의 원리를 설명해 주고, "물질의 운동이 본질적으로 비결정론적인가?" 라는 의문을 제기하며 과학기술, 철학, 문학, 예술 등 다방면에 중요한 영향을 미쳐 20세기 과학사에서 빼놓을 수 없는 중요한 이론으로 평가된다.
미시세계를 탐구하는 양자역학에서 물리량은 기본적으로 불연속적이다. 이와는 반대로 거시세계를 탐구하는 고전역학에서 물리량은 연속적이였다.  다루는 이는 관찰 기준의 차이이다. 이해를 돕기 위한 간단한 비유로 우리가 모래사장을 멀리서 바라본다고 하면 이는 우리가 물리현상을 거시세계에서 보는 것이라고 할 수 있다. 이 관찰에서 모래사장의 표면은 연속적으로 보인다. 이는 거시세계에서 우리가 관찰하는 물리현상에서 물리량이 연속적으로 관찰된다는 것에 비유된다. 만약 우리가 점점 모래사장에 가까이 다가가 모래사장을 관찰한다면 이는 거시세계에서 미시세계로 관찰의 단위를 줄인 것이다. 모래사장 가까이서 모래사장을 관찰한다면 모래사장의 표면은 불연속적으로 관찰 될 것이다. 이는 미시세계에서 물리현상에 물리량이 불연속적으로 관찰 된다는 것과 비슷하다.
즉, 거시세계에서 특정 물리량을 관찰하면 그 물리량의 불연속성이 미시세계의 관찰 기준에 비해 너무 미세해 마치 그것이 연속적인 것처럼 보이지만, 관찰 단위가 거시세계보다 작은 미시세계에서 대상을 관찰하면 그 불연속성이 보이더라'라는 것이다.
양자역학이란 말을 이해하려면 ‘양자’와 ‘역학’을 각각 살펴보는 것이 좋다. ‘양자(量子)’로 번역된 영어의 quantum은 양을 의미하는 quantity에서 온 말로, 무엇인가 띄엄띄엄 떨어진 양으로 있는 것을 가리키는 말이다. ‘역학(力學)’은 말 그대로는 ‘힘의 학문’이지만, 실제로는 ‘이러저러한 힘을 받는 물체가 어떤 운동을 하게 되는지 밝히는 물리학의 한 이론’이라고 할 수 있다. 간단히 말해 ‘힘과 운동’의 이론이다. 이렇듯 양자역학이란 띄엄띄엄 떨어진 양으로 있는 것이 이러저러한 힘을 받으면 어떤 운동을 하게 되는지 밝히는 이론이라고 할 수 있다.
역사
연혁 
 1900년 실험으로 알고 있는 흑체 복사의 자외선 파탄을 해결하여 에너지 밀도의 주파수에 대한 함수를 도출하기 위해 플랑크가 에너지 양자(양자화)의 개념을 도입했다. 양자역학의 기본 상수 중 하나인 플랑크상수(Planck constant)가 h라는 표시로 등장하였다.
 1905년 아인슈타인은 빛의 에너지가 양자(광자)로 구성되었다는 가설을 세우고, 이로써 광전 효과를 설명하였다.
 1907년 아인슈타인은 양자 가설을 사용하여 고체 비열의 온도 의존성을 설명하였다 (아인슈타인 모형).
 1912년 앙리 푸앵카레가 "양자론의 측면에서(Sur la théorie des quanta)"라는 논문에서 양자화의 엄밀한 정의를 논의 하였다.
 1913년에는 보어가 고전 역학으로는 설명할 수 없었던 수소의 불연속적인 스펙트럼을 양자화를 이용해 설명하는 이론을 세상에 내놓았다.
 1924년에 드브로이는 드브로이파(물질파)의 개념을 주장했다.
 1926년경엔 양자역학의 수학적 기초가 슈뢰딩거와 하이젠베르크에 의해 파동역학과 행렬역학이라는 두 가지 형식이 제안되었고, 슈뢰딩거는 이 두 형식이 동일한 물리학의 다른 표현임을 보였다.
 1927년 하이젠베르크는 불확정성 원리를 도입하였고, 거의 같은 시기에 보른에 의해 파동함수가 명확하게 해석되었다. 이즈음, 디랙은 양자역학과 특수상대성이론을 통합하여 디랙 방정식을 만들었고, 또 브라-켓 표기법을 도입하였다.
 1932년 폰노이만은 양자역학의 수학적 공식화를 하였다.
 1940년대엔 파인먼, 다이슨, 슈윙거, 도모나가에 의해 양자전기역학이 성립되었다. 비슷한 시기에, 폴링의 양자화학을 필두로 양자역학이 여러 실용적인 문제와 미시계의 시뮬레이션에 활용되기 시작했다. 이는 코펜하겐 해석의 완성자인 폴링, 원자 폭탄의 아버지인 오펜하이머 등의 학자들의 노력으로 발전하였다. 최근 밀도범함수이론이 발전하여, 슈뢰딩거의 방정식과는 다른 각도에서 문제를 근사적으로 풀이할 수 있게 되면서, 양자역학의 미시계 모사는 성공적으로 자리잡았다.
 양자 색역학의 역사는 1960년대 초부터 시작했다. 현재 알려진 것과 같은 이론은 폴리처, 그로스, 윌첵과 같은 사람들에 의해 1975년에 완성되었다. 슈윙거, 힉스, 골드스톤 등과 다른 많이 선구적인 연구에 기초해서, 글래쇼, 와인버그, 살람 등은 약한 핵력과 양자전기역학이 하나의 전기·약 작용으로 나타나는 것을 각각 증명했다.
형성기 
제1차 세계 대전의 종료와 평화의 회복과 더불어 물리학의 발전이 시작되었다. 1918년도의 노벨상은 패전국 독일의 물리학자인 막스 플랑크에게 수여되었으며(알베르트 아인슈타인 1921년, 닐스 보어 1922년), 독일을 중심으로 하여 양자론이 진전되었다. 그 주요 중심지는 1921년 이론물리학 연구소가 개설된 코펜하겐(닐스 보어)을 비롯하여 뮌헨(아르놀트 조머펠트), 괴팅겐(막스 보른, 막스 플랑크), 레이던(파울 에렌페스트)이며, 그 밖에 취리히의 에르빈 슈뢰딩거, 베를린의 알베르트 아인슈타인이 가담하였다. 이 형성기는 또한 젊은 세대의 활약이 특징적이었다.
성립기 
행렬역학과 파동역학은 다른 관점에서 출발하였고, 전혀 다른 형태를 갖추고 형성되었으나, 그 이룩한 결과는 일치했다. 이것을 우연이 아니라고 생각한 에르빈 슈뢰딩거는 파동역학에서 행렬역학의 유도를 시도하여 양자의 동등성(同等性)을 증명하는 데 성공하였다. 폴 디랙과 파스쿠알 요르단()은 변환이론(變換理論)을 수립하였으며, 이것으로 두 개의 이론은 하나로 통합되어 1926년경에는 양자역학이 성립되었다.
철학적 함의 
양자역학(量子力學)의 결론들은 당시 과학자(및 일반인)들이 가진 고전역학적 직관으로는 이해하기 힘든 것이었기에, 이 이론이 실재에 대해서 무엇을 말해주는지에 대해 많은 해석과 철학적 논쟁이 있었다.
숨은 변수 이론 이 해석은 아인슈타인이 주장한 것이었는데, 후에 실험을 통해 완벽히 반박되었다.
 봄 해석 (Bohm interpretation)
 다세계 해석 이 해석은 (제한적 의미에서) 국소적이지만 조건법적 명확성을 포기한다.
파동함수·불확정성 원리 등장- 앎의 한계 지적
양자역학이라는 새 이론은 원자와 관련된 거의 모든 것을 설명할 수 있는 탁월한 이론이었다. 학자들은 이 이론을 토대로 점점 더 많은 문제들을 풀어나갔다. 하지만 또 한편으로 이 새로운 이론은 ‘우리가 안다는 것은 도대체 무엇인가’라는 아주 근본적이고 철학적인 문제를 새로 꺼내기 시작했다.
원자와 관련된 것을 설명하기 위해 양자역학은 ‘파동함수’라고도 하고 ‘상태함수’라고도 하는 수학적인 장치를 사용한다. 파동함수는 우리가 알고자 하는 양자역학적 계의 모든 양자역학적 정보를 담고 있다. 양자역학이 제안된 초창기부터 많은 물리학자들은 파동함수의 의미를 둘러싸고 논쟁을 벌였다. 이로 인해 파동함수가 정확히 무엇인지 도무지 알 수 없는 상황이 돼 버렸다. 다시 말하면, 파동함수가 우리가 가진 거시세계에 대한 직관 중 어떤 것에 대응하는지 알 수가 없다. 그전까지 물리학에서는 대체로 수학을 이용해 물리학 방정식이나 공식을 만들면, 그 의미는 인간이 경험하는 거시계로부터 얻은 직관과 잘 대응된다고 생각해 왔다.  그런데 양자역학에서는 가장 핵심이 되는 파동함수가 정확히 무엇인지 아무도 제대로 대답할 수 없는 듯 보였다. 게다가 하이젠베르크는 이 양자역학이라는 이론 안에 소위 ‘불확정성 원리’가 있음을 밝혔는데, 이는 입자가 어떤 속도로 어디에서 움직이고 있는가, 특정 시간에 얼마나 많은 에너지를 가지고 있는가 등을   안다는 것에 근본적인 한계가 있음을 말해 주었다. 실용적으로 물리현상을 아주 잘 설명해 주는 이론이 있는데, 정작 그 이론은 고전적으로 통용되던 우리가 안다는 것에 대해 회의적인 관점을 제시하고 있었던 셈이었다. 그보다 불과 100여 년 전에 프랑스의 수학자 피에르 시몽 라플라스(Pierre Simon de Laplace, 1749~1827)는 라플라스의 악마라는 개념을 통해, 원칙적으로는 물리학을 통해 물질계의 모든 것을 예측 할 수 있다고 제안했지만, 파동함수와 불확정성 원리의 등장으로 인해 우리가 원자에 대해 무엇을 알고 있는지, 그 개념마저 흔들리기 시작했다.
양자역학의 영향 
플랑크와 보어의 초기 양자역학은 전자의 궤도가 점프하는 현상을 강조한 반면 후기의 슈뢰딩거, 하이젠베르크의 이론은 전자의 위치가 확률적 분포로밖에 알 수 없다는 점을 강조했다고 볼 수 있다. 초기의 양자역학은 원자폭탄, 반도체 등에 이론적 배경을 제공했고 후기의 양자역학은 물질에 대한 인간의 인식에 큰 변화를 주었다는 것에 큰 의의가 있다. 특히 후기 양자역학은 인간의 인식의 한계성을 인정함으로써 현대철학에도 큰 영향을 주었다.
공개토크쇼 과학같은 소리하네 10 함 찔러보는 양자역학. 파토의 과학하고 앉아있네. 2014년 4월 13일.
 공개토크쇼 과학같은 소리하네 13-1 좀 더 찔러보는 양자역학. 파토의 과학하고 앉아있네. 2014년 7월 27일.  공개토크쇼 과학같은 소리하네 13-2 좀 더 찔러보는 양자역학. 파토의 과학하고 앉아있네. 2014년 7월 27일.
 (원종우의 과학같은 소리하네)갑자기 친숙해진 나라 덴마크의 여전히 안 친숙한 양자역학 - 원종우 대표(과학과 사람들). 김어준의 뉴스공장. 2017년 1월 4일.
여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.
계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 의 1차원 부분공간 으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 상태 벡터()라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반() 선형 연산자 로 나타낸다. 여기서  (의 정의역)는 힐베르트 공간 의 조밀 선형 부분공간이다.
 계 와 관측가능량 가 주어지면, 그 기댓값은 이다. 대신 밀도 연산자 로는 이다.
 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.
어린 시절과 학업
어린 시절 
베르너 하이젠베르크는 독일 뷔르츠부르크에서 카스파 에른스트 아우구스트 하이젠베르크Kaspar Ernst August Heisenberg와 아내인 애니 베클레인Annie Wecklein 사이에서 태어났다. 그의 아버지는 대학 시스템에서 중세와 현대 그리스어 연구에 대한 독일의 유일한 오르덴틀리헤르ordentlicher 교수 (일반 교수)가 된 고전 언어의 중등학교 교사였다.
대학교 학업 
1920년부터 1923년까지 그는 루트비히-막시밀리안 뮌헨 대학교에서 아르놀트 조머펠트와 빌헬름 빈에게, 게오르그-아우구스트 괴팅겐 대학교에서 막스 보른과 제임스 프랑크에게 물리학과 수학을 그리고 다비트 힐베르트에게 수학을 공부했다. 1923년 뮌헨에서 좀머펠트 밑에서 박사학위를 받았다.
개인적 생활 
하이젠베르크는 클래식 음악을 즐겼고 뛰어난 피아니스트였다. 음악에 대한 그의 관심은 미래의 아내를 만나는 것으로 이어졌다. 1937년 1월, 하이젠베르크는 개인 음악 발표회에서 엘리자베스 슈마허Elisabeth Schumacher (1914–1998)를 만났다. 엘리자베트는 유명한 베를린 경제학 교수의 딸이었고, 그녀의 오빠는 《작은 것이 아름답다》의 저자인 경제학자 에른스트 프리드리히 슈마허였다. 하이젠베르크는 4월 29일 그녀와 결혼했다. 1938년 1월에 이란성 쌍둥이 마리아Maria와 볼프강Wolfgang이 태어났으며, 이에 따라 볼프강 파울리는 하이젠베르크의 "쌍 창조"-기본 입자 물리학에서 쌍생성의 과정에 대한 단어 놀이-를 축하했다. 그들은 이후 12년 동안 다섯 명의 자녀를 더 두었다; 바바라Barbara, 크리스틴Christine, 요헨Jochen, 마르틴Martin, 베레나Verena. 1936년 그는 독일 남부 우르펠트 암 발첸제(Urfeld am Walchensee)에 가족을 위한 여름 별장을 구입했다.
교육 경력
괴팅겐, 코펜하겐, 라이프치히 
하이젠베르크는 1924년부터 1927년까지 괴팅겐의 프리바트도젠트(Privatdogent)였는데, 이것은 그가 교수직이 없이 독립적으로 가르칠 자격이 있다는 것을 의미한다. 1924년 9월 17일부터 1925년 5월 1일까지, 국제 교육 위원회 록펠러 재단 연구비로써, 그는 코펜하겐 대학교의 이론물리학 연구소 소장인 닐스 보어와 연구하러 갔다. 1925년 9월 그의 세미나 논문인 "운동학과 역학 관계의 양자 이론적인 재해석(Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen)"이 출판되었다. 그는 괴팅겐으로 돌아와 막스 보른과 파스쿠알 요르단과 함께 약 6개월에 걸쳐 양자역학의 행렬 역학을 개발했다. 1926년 5월 1일, 하이젠베르크는 코펜하겐에서 대학 강사와 보어의 조교가 되었다. 1927년 코펜하겐에서 하이젠베르크는 양자역학의 수학적 기초를 연구하면서 불확정성 원리를 발전시켰다. 2월 23일, 하이젠베르크는 동료 물리학자 볼프강 파울리에게 편지를 써서 처음으로 그의 새로운 원리를 설명했다. 하이젠베르크는 그 원리에 관한 논문에서, 불확정성이 아닌 "부정확성(Ungenauigkeit)"이라는 단어를 사용했다.
재임 기간 동안, 그와 함께 공부하고 일했던 박사과정 학생들과 대학원생 맟 연구 동료들의 높은 자질은 후에 찬사를 받는다. 여러 기간 동안에 그들은 에리히 바게Erich Bagge, 펠릭스 블로흐, 우고 파노Ugo Fano, 지그프리드 플뤼게Siegfried Flügge, 윌리엄 버밀리언 휴스턴William Vermillion Houston, 프리드리히 훈트, 로버트 멀리컨, 루돌프 파이얼스, 조지 플라제크George Placzek, 이지도어 아이작 라비, 프리츠 자우터Fritz Sauter, 존 C. 슬레이터John C. Slater, 에드워드 텔러, 존 해즈브룩 밴블렉, 빅토어 바이스코프, 카를 프리드리히 폰 바이츠제커, 그레고르 벤첼Gregor Wentzel, 그리고 클라렌스 제너Clarence Zener 등을 포함했다.
1929년 초, 하이젠베르크와 파울리는 상대론적 양자장론의 기초를 닦는 두 논문 중 첫 번째 논문을 제출했다. 또한 1929년에 하이젠르크는 중국, 일본, 인도, 미국을 순회 강연했다. 1929년 봄, 그는 시카고 대학교의 객원강사으며, 거기서 양자역학을 강의했다.
행렬 역학과 노벨상 
양자역학을 확립한 하이젠베르크의 논문은 물리학자와 역사가들에게는 수수께끼였다. 그의 방법은 독자가 크라머르스-하이젠베르크 전이 확률 계산에 친숙하다고 가정한다. 주요 새로운 아이디어인 비가환 행렬은 관찰할 수 없는 양을 거부함으로써 정당화된다. 그가 당시에 행렬 수학적 이론에 익숙하지 않았음에도 불구하고, 대응 원리에 기초한 물리적 추론에 의한 행렬의 '비가환 곱셈'을 도입한다. 이러한 결과로 이어지는 경로는 1977년 매키논MacKinnon에서 재구성되었으며, 자세한 계산은 아이치슨Aitchison 등에서 수행되었다.
양자 이론의 해석 
양자역학의 발전과 무엇이 "실재"인지에 대한 명백한 모순적 함의는 과학적 관찰이 진정으로 의미하는 바를 포함하여 심오한 철학적 함의를 가졌다. 알베르트 아인슈타인과 루이 드 브로이는 입자가 항상 객관적으로 참된 운동량과 위치를 가지고 있다고 믿었던 실재론자들이었으나 (둘 다 측정할 수는 없더라도), 하이젠베르크는 "실재"의 직접적인 지식은 과학의 범위를 벗어난다는 반실재론자(anti-realist)였다. 하이젠베르크는 그의 《책 물리학자의 자연 개념(The Physicist's Conception of Nature)》에서 쓰기를, 궁극적으로 우리는 입자에 대한 무엇인가(something)를 기술하지만 입자 자체에 대한 "진정한" 접근은 결코 가질 수 없는 '지식'(표에서의 숫자)에 대해서만 말할 수 있다고 주장하기를:
우리는 더 이상 관찰 과정과 독립적으로 입자의 거동에 대해 말할 수 없다. 최종 결과로 양자 이론에서 수학적으로 공식화된 자연 법칙은 더 이상 기본 입자 자체가 아니라 기본 입자에 대한 우리의 지식을 다루고 있다. 이 입자들이 시공간에 존재하는지 객관적으로 묻는 것도 더 이상 불가능하다... 우리 시대의 엄밀한 과학에서 자연의 그림을 말할 때 우리는 자연의 그림을 말하는 것이 아니라 '자연과 우리의 관계의 그림'을 말한다. ... 과학은 더 이상 객관적인 관찰자로서 자연을 대면하지 않고 인간과 자연 사이의 이러한 상호 작용에서 스스로를 행위자로 본다. 분석하고, 설명하고 및 분류하는 과학적 방법은 개입에 의해 조사 대상을 변경하고 재창조한다는 사실에서 발생하는 한계를 인식하게 되었다. 다른 말로, 방법과 객체는 더 이상 분리될 수 없다.Heisenberg, Werner (1958). The Physicist's Conception of Nature. Harcourt, Brace. pp. 15, 28–29.
친위대(SS) 조사 
1932년 제임스 채드윅이 중성자를 발견한 직후, 하이젠베르크는 핵의 중성자-양성자 모형에 대한 세 개의 논문 중 첫 번째 논문을 제출했다. 1933년 아돌프 히틀러가 집권한 후 하이젠베르크는 언론에서 "백인 유대인"이라는 공격을 받았다. 도이체 물리학(Deutsche Physik) 또는 독일 물리학(또한 아리안 물리학(Aryan Physics)으로 알려짐)의 지지자들은 아르놀트 조머펠트와 하이젠베르크를 포함한 주요 이론 물리학자들에 대한 악의적인 공격을 시작했다. 1930년대 초반부터 반유대주의 및 반이론물리학 운동인 도이체 물리학은 양자역학과 상대성이론에 관심을 기울였다. 대학 환경에서 적용되었듯이, 가장 두드러진 두 지지자가 노벨 물리학상 수상자 필리프 레나르트와 요하네스 슈타르크였음에도 불구하고 정치적 요인이 학문적 능력보다 우선했다.
하이젠베르크를 많은 독일 대학의 교수로 임명하려는 시도는 여러 번 실패했다. 아르놀트 조머펠트의 후계자로 임명받으려는 그의 시도는 도이체 물리학 운동의 반대 때문에 실패했다. 1935년 4월 1일, 루트비히-막시밀리안 뮌헨 대학교에서 하이젠베르크의 박사학위 고문인 저명한 이론 물리학자 조머펠트는 명예교수(emeritus) 지위를 취득했다. 그렇지만, 조머펠트는 1939년 12월 1일까지 걸린 후임자 선출 과정 동안 그의 자리를 유지했다. 뮌헨 교수단의 선택과 독일 교육부와 도이체 물리학의 지지자들 사이의 학문적, 정치적 차이로 인해서 그 과정은 오래 걸렸다.
1935년 뮌헨 교수단 이론물리학의 일반 교수이자 뮌헨 대학의 이론물리학 연구소 소장인 조머펠트를 대신할 후보자 목록을 작성했다. 세 명의 후보자는 모두 조머펠트의 이전 학생이었는데: 노벨 물리학상을 수상한 하이젠베르크; 1936년 노벨 화학상을 수상한 피터 디바이; 그리고 리처드 베커Richard Becker였다. 뮌헨 교수단은 이 후보자들을 확고하게 지원했으며 하이젠베르크가 첫 선택이었다. 그러나 도이체 물리학의 지지자들과 교육부(REM)의 요원들은 그들만의 후보자 목록을 가지고 있었고, 그 싸움은 4년 이상 계속되었다. 이 시기에 하이젠베르크는 도이체 물리학의 지지자들의 맹렬한 공격을 받았다. 한 공격은 하인리히 힘러가 이끄는 친위대(SS)의 신문인 《검은 군단(The Black Corps)》에 실렸다. 여기서 하이젠베르크는 "사라져야" 마땅한 "백인 유대인"(즉, 유태인처럼 행동하는 아리아인)이라고 불렸다. 유대인들이 폭력적인 공격을 받고 투옥됨에 따라서 이러한 공격은 심각하게 받아들여졌다. 하이젠베르크는 문제를 해결하고 명예를 되찾기 위해 한 사설과 힘러에게 보내는 편지와 더불어 반격했다.