룽게-쿠타 방법 은 다음 상미분방정식의 수치해법이다 이 수치해법은 다음의 형태를 가진다. 이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다 명시적 방법은 행렬 이 하삼각행렬인 방법이다. 오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다. (명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라) 호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다) 랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다 "원조" 룽게-쿠타 방법이다. 이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901). 내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다. 낮은차수의 단계는 다음과 같다 이때 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다 이 오차는 . 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다 추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다. 펠버그 방법은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다 0 1/2 1/2 1 1/256 255/256 1/256 255/256 0 1/512 255/256 1/512 b 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다. 보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다 0 1/2 1/2 3/4 0 3/4 1 2/9 1/3 4/9 2/9 1/3 4/9 0 7/24 1/4 1/3 1/8 b 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다. 룽게-쿠타-펠버그 방법은 오차와 사차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다 0 1/4 1/4 3/8 3/32 9/32 12/13 1932/2197 −7200/2197 7296/2197 1 439/216 −8 3680/513 −845/4104 1/2 -8/27 2 −3544/2565 1859/4104 −11/40 16/135 0 6656/12825 28561/56430 −9/50 2/55 25/216 0 1408/2565 2197/4104 −1/5 0 b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다. 캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다 0 1/5 1/5 3/10 3/40 9/40 3/5 3/10 −9/10 6/5 1 −11/54 5/2 −70/27 35/27 7/8 1631/55296 175/512 575/13824 44275/110592 253/4096 37/378 0 250/621 125/594 0 512/1771 2825/27648 0 18575/48384 13525/55296 277/14336 1/4 b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다. 도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다 0 1/5 1/5 3/10 3/40 9/40 4/5 44/45 −56/15 32/9 8/9 19372/6561 −25360/2187 64448/6561 −212/729 1 9017/3168 −355/33 46732/5247 49/176 −5103/18656 1 35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84 35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84 0 5179/57600 0 7571/16695 393/640 −92097/339200 187/2100 1/40 b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다. 역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다. 암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다. 이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다 6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다 로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2 s- 2차 방법이며, 모두 c 1 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다. 로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다 4차 방법은 다음과 같다 이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다. 로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다 4차 방법은 다음과 같다 로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다. 로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다 4차 방법은 다음과 같다 이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다. 로바토 IIIC 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다. 아차 방법은 다음과 같다 4차 방법은 다음과 같다 이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. . 다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수 , 여기서, . 예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다 그리고 이 방법은 , , , 그리고 . 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다. 라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 A 는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 s 단계에 2 s -1차 이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다. 일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다 삼차 방법은 다음과 같다 5차 방법은 다음과 같다 이 방법의 c i는 다음의 근이다 . 삼차 방법은 다음과 같다 5차 방법은 다음과 같다 . . . 분류:수학에 관한 목록 분류:수치미분방정식 분류:룽게-쿠타 방법