미분위상수학에서, 모스 이론 (Morse理論은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지 라고 한다. 이 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 이 있다고 하자. 의 임계점 들은 의 기울기가 0인 의 부분 집합이다. 이를 로 표기하자. 에 속하는 의 부분 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 접다발을 어떤 임의의 리만 계량을 사용하여 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다. (물론, 만약 가 한원소 공간일 경우, 이며 이다.) 이 경우, 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬 을 정의할 수 있으며, 이를 에 제한할 수 있다. 이 경우, 의 에 대한 모스-보트 지표 (Morse-Bott指標 는 의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 인 경우, 는 단순히 헤세 행렬 의 음의 고윳값의 수이다. 이를 \operatorname{ind}_f(x)라고 쓰며, 의 에서의 모스 지표 (Morse指標라고 한다. 매끄러운 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 를 모스-보트 함수 (Morse-Bott函數라고 한다. 는 의 부분 다양체들의 합집합이다. (각 연결 성분들은 서로 다른 차원을 가질 수 있으나, 이들은 맞닿을 수 없다.) 의 임의의 연결 성분 를 골랐을 때, 모든 에 대하여 제한된 헤세 행렬 는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이 경우, 의 모스-보트 지표 (Morse-Bott指標 는 의 음의 고윳값의 수이다. (이는 에 의존하지 않는다.) 이 경우, 각 를 의 임계 부분 다양체 (臨界部分多樣體라고 한다. 또한, 매끄러운 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 모스 함수 라고 한다. 모스 함수 (Morse函數는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 비퇴화 쌍선형 형식인 함수다. 즉, 헤세 행렬이 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 의 모든 연결 성분이 0차원인 모스-보트 함수이다. 매끄러운 함수 의 공간 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다. 이 프레셰 위상을 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 의 조밀 집합을 이룬다. 다음이 주어졌다고 하자. 콤팩트 매끄러운 다양체 위의 모스 함수 그렇다면, 각 에 대하여 부분 공간 을 정의할 수 있다. 이는 사실 경계다양체를 이룬다. 그렇다면, 임의의 , 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 이 의 임계점을 포함하지 않는다면, 와 는 서로 미분 동형이다. 만약 이 의 임계점 가운데 하나 를 포함하며, 또한 가 이외의 다른 임계점을 포함하지 않는다면, 는 에 차 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다. 따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 의 값이 항상 서로 다르다면, 는 모스 함수 는 다양체 와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 인 특이점은 차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다. 모스 이론 세포 복합체 모스 함수의 임계점 세포 모스 함수의 임계점의 모스 지표 세포의 차수 (는 임계값이 아님) 인 임계점들 에 대응하는 세포들로 구성된 뼈대 매끄러운 다양체 위의 모스-보트 함수 가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 모스-보트 다항식 ()을 정의할 수 있다. 이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 가 모스 함수일 경우, 이를 모스 다항식 ()이라고 한다. 이제, 이 콤팩트 가향 다양체이며, 각 또한 모두 가향 다양체라고 하자. (만약 가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, 모스-보트 부등식 에 따르면, 가 되는, 자연수(음이 아닌 정수) 계수의 다항식 이 존재한다. 여기서 는 의 푸앵카레 다항식이다. 특히, 만약 일 경우 이 된다. 여기서 은 오일러 지표이다. (만약 가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.) 가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면, 이다. 즉, 차 임계점의 수는 차 베티 수의 상계를 이룬다. (이 역시 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.) 차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) 차원 초구 를 생각하자. 이 경우, 높이 는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점 을 가지며, 는 북극, 는 남극에 해당한다. 이 경우, 의 모스 지표는 이며, 의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다. 2차원 원환면 을 3차원 유클리드 공간에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다. :파일:UprightTorusFlowLines.png 이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선, 이다. 임의의 두 점 을 골랐을 때, 는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다. 보다 일반적으로, 종수 의 콤팩트 가향 곡면 를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 라고 할 때, 이다. 이것이 정의하는 세포 복합체 구조에서, 는 의 표준적 기저에 해당한다. 반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 가 존재한다. 이 경우 는 “남극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 0이다. 는 “북극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 1이다. 원의 푸앵카레 대항식은 이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은 이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은 이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, 이다). 1차원 이상의 매끄러운 다양체 위에서, 상수 함수를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, 이산 공간)의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.) 임의의 다양체 , 및 위의 함수 에 대하여, 위에 를 정의할 수 있다. 만약 이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 가 모스 함수라면 는 모스-보트 함수를 이룬다. 마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리 와 제임스 클러크 맥스웰 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다. 마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다. 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다. 이후 스티븐 스메일 · 라울 보트 · 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다. 분류:미분위상수학 분류:매끄러운 함수 분류:보조정리