+ 지붕의 집합 Pentagonal cupola오각지붕 (예시) 슐레플리 기호 { n } t{ n } 면 정삼각형 n 개,정사각형 n 개, n 각형 1개,2 n 각형 1개 모서리 5 n 꼭짓점 3 n 대칭군 C n v, 1, n , ( nn ), 2n차 회전군 C n , 1, n +, ( nn ), n차 쌍대 Trapyramids 특성 볼록 기하학에서, 지붕 은 하나는 (밑면) 다른 것의 변의 두 배를 가진 두 다각형을 이등변삼각형과 직사각형이 번갈아 나타나는 띠로 연결한 다면체이다. 삼각형이 정삼각형이고, 사각형이 정사각형일 때, 밑면과 그 반대면이 정다각형이라면, 삼각, 사각, 그리고 오각지붕은 모두 존슨의 다면체로 계수되고, 각각 육팔면체, 마름모육팔면체, 그리고 마름모십이이십면체의 일부로 만들어진다. 지붕은 한 쪽 다각형이 교대 꼭짓점을 병합해서 절반으로 만든 각기둥으로 볼 수 있다. 지붕은 확장된 슐레플리 기호로 { n } t{ n }로 주어질 수 있으며, 정다각형 {n}이 평행한 그 깎은 형태, t{n} 또는 {2n}과 결합한 것을 나타낸다. 지붕은 기둥형 다면체의 부분그룹이다. 3464.svg|섬네일|마름모삼육각형 타일링에서 평면 "육각지붕"이다. 위에서 언급된 세 다면체는 유일한 정다각형 면을 가지는 자명하지 않은 볼록한 지붕이다. "육각지붕"은 평면 도형이다. 하지만, 높은 차수의 지붕은 비정다각형 삼각형과 직사각형 면으로 만들어질 수 있다. 다음은 지붕과 관련된 고른 다면체이다. 이각지붕과 관련된 고른 다면체:정삼각기둥(그대로) 삼각지붕과 관련된 고른 다면체:육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임) 사각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음) 오각지붕과 관련된 고른 다면체:마름모십이이십면체 육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링:마름모삼육각형 타일링 이등변삼각형 (파란색) 40개, 직사각형 (노란색) 40개, 상부의 정사십각형 (빨간색)과 하부의 정팔십각형 (가려짐)을 가진다. 지붕의 정의는 밑면(또는 윗면이라고 불리는 밑면의 반대면)이 정다각형일 필요는 없지만, 지붕이 최대의 대칭 C n v를 가질 때는 정다각형으로 고려하는 것이 편리하다. 이 경우에는, 윗면은 정 n 각형이고 밑면이 정2 n 각형이거나 두 다른 길이가 교대로 나타나고 정2 n 각형과 각이 같은 2 n 각형이다. 좌표계를 이동시켜서 밑면이 xy 평면에 놓이고, 윗면을 xy 평면에 평행하게 하는 것이 편리하다. z 축은 n -fold 축이고 거울면은 z 축을 지나면서 밑면의 변을 이등분한다. 이것은 또한 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다. ( n 이 짝수일 때, 거울면의 절반은 윗면의 변을 이등분하고 나머지 절반은 각을 이등분하고, n 이 홀수이면, 모든 거울면은 한쪽은 윗면의 변을, 한쪽은 각을 이등분 한다.) 밑면의 꼭짓점은 V1에서 V2 n 까지 지정할 수 있고, 윗면의 꼭짓점은 V2 n +1에서 V3 n 까지 지정할 수 있다. 이 정의로, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다 V 2 j −1 ( rb cos2π( j − 1) / n + α, rb sin2π( j − 1) / n + α, 0) V 2 j ( rb cos(2π j / n − α), rb sin(2π j / n − α), 0) V 2 n + j ( rt cos(π j / n ), rt sin(π j / n ), h ) 이때 j = 1, 2, ..., n 이다. 또 다각형 V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1,등은 직사각형이기때문에, 이것은 rb , rt , 그리고 α의 값에 제약을 준다. V 1 V 2의 길이는 다음과 같다 rb {cos(2π / n − α) − cos α2 + sin(2π / n − α) − sin α2} := rb {cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α + sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α} := rb {21 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α} := rb {21 − cos(2π / n − 2α)} 그리고 V 2 n +1 V 2 n +2의 길이는 다음과 같다 rt {cos(π / n ) − 12 + sin2(π / n )} := rt {cos2(π / n ) − 2cos(π / n ) + 1 + sin2(π / n )} := rt {21 − cos(π / n )}. 이것들은 같으며, 공통 모서리는 s 로 표시된다, rb = s / {21 − cos(2π / n − 2α)} :rt = s / {21 − cos(π / n )} 이 값들은 먼저 주어진 꼭짓점의 좌표 공식에 대입할 수 있다. 별 지붕은 6/5 n / d 2일 때, 삼각형과 사각형은 밑면 전체를 덮지 않고, 작은 막은 단순히 빈 공간을 덮기 위해 밑면에 남는다. 따라서 위에서 나타낸 {5/2}와 {7/2} 기둥형 다면체는 (채워지지 않은) 막을 가진다. 반면에 위에서 나타낸 {5/4}와 {7/4} 기둥형 다면체는 막을 가지지 않는다. { n / d }지붕의 높이 h 는 다음의 공식으로 주어진다 . 특히, n / d 6/5에서 극한적으로 h 2에서 (삼각기둥,삼각형이 직립일 때) h 는 최대화된다. 위의 그림에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다 밑면 n / d 각형은 빨간색, 밑면 2 n / d 각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것 처럼 n / d 각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다. + 역지붕의 집합 역오각지붕오각형 예시 슐레플리 기호 s{ n } t{ n } 면 삼각형 3 n 개 n 각형 1개,2 n 각형 1개 모서리 6 n 꼭짓점 3 n 대칭군 C n v, 1, n , ( nn ), 2 n 차 회전군 C n , 1, n +, ( nn ), n 차 쌍대 ? 특성 볼록 n 각 역지붕 은 정2 n 각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3 n 개와, 정 n 각형 윗면으로 이루어져있다. n =2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 낮은 다각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C n v, 2 n 차이다. 역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. n 각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2 n 각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, n =6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 다듬은 정육각형 타일링의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다. 역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 맞붙인 역지붕을 만들 수 있다. + 볼록 역지붕족 n 2 3 4 5 6... 이름 s{2} t{2} s{3} t{3} s{4} t{4} s{5} t{5} s{6} t{6} 그림 80px이각 80px삼각 80px사각 80px오각 80px육각 투명 70px 80px 80px 80px 80px 전개도 80px 80px 80px 80px 80px 초지붕 또는 다면체 지붕 은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족이고, 지붕과 유사하다. 각각의 밑면은 플라톤의 다면체와 그 확장이다. 이름 정사면체 지붕 정육면체 지붕 정팔면체 지붕 정십이면체 지붕 정육각형 타일링 지붕 슐레플리 기호 {3,3} rr{3,3} {4,3} rr{4,3} {3,4} rr{3,4} {5,3} rr{5,3} {6,3} rr{6,3} Segmentochora지표 K4.23 K4.71 K4.107 K4.152 외접반지름 1 sqrt((3+sqrt(2))/2)= 1.485634 sqrt(2+sqrt(2))= 1.847759 3+sqrt(5)= 5.236068 그림 150px 150px 150px 150px 덮개 세포 60px60px 60px60px 60px60px 60px60px 60px60px 꼭짓점 16 32 30 80 ∞ 모서리 42 84 84 210 ∞ 면 42 24 {3} + 18 {4} 80 32 {3} + 48 {4} 82 40 {3} + 42 {4} 194 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} ∞ 세포 16 정사면체 1개삼각기둥 4개삼각기둥 6개삼각뿔 4개육팔면체 1개 28 정육면체 1개사각기둥 6개삼각기둥 12개삼각뿔 8개마름모육팔면체 1개 28 정팔면체 1개삼각기둥 8개삼각기둥 12개사각뿔 6개마름모육팔면체 1개 64 정십이면체 1개오각기둥 12개삼각기둥 30개삼각뿔 20개마름모십이이십면체 1개 ∞ 정육각형 타일링 1개육각기둥 ∞개삼각기둥 ∞개삼각뿔 ∞개마름모삼육각형 타일링 1개 관련고른4차원다포체 runcinated 정오포체 runcinated 정팔포체 runcinated 정이십사포체 runcinated 정백이십포체 runcinated 정육각형 타일링 벌집 붙인 지붕 둥근지붕 붙인 둥근지붕 *각뿔 *쌍각뿔 *뿔/지붕형 다면체와 이에 관련된 고른 다면체의 목록 *Johnson, N.W. Convex Polyhedra with Regular Faces. Canad. J. Math. 18, 169–200, 1966. Segmentotopes 분류:다면체 분류:기둥형 다면체 분류:존슨의 다면체