범주론에서, 단사 대상 (單射對象은 이 대상을 공역으로 삼는 사상의 정의역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. 단사 가군의 개념을 일반화한 개념이다. 마찬가지로, 이에 대한 쌍대 개념인 사영 대상 (射影對象은 이 대상을 정의역으로 삼는 사상의 공역을 임의로 축소할 수 있는 대상이다. 범주 의 단사 대상 은 다음 성질을 만족하는 대상 이다. 모든 사상 와 단사 사상 에 대하여, 인 사상 가 존재한다. * 만약 가 끝 대상 을 가진다면, 단사 대상 는 유일한 사상 이 모든 단사 사상에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 마찬가지로, 범주 의 사영 대상 은 다음 성질을 만족하는 대상 이다. 모든 사상 와 전사 사상 에 대하여, 인 사상 가 존재한다. * 만약 가 시작 대상 을 가진다면, 사영 대상 는 유일한 사상 이 모든 전사 사상에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다. 만약 속의 임의의 대상 에 대하여, 에서 어떤 단사 대상으로 가는 단사 사상이 존재한다면, 를 단사 대상을 충분히 가지는 범주 (單射對象을 充分히 가지는 範疇라고 한다. 마찬가지로, 만약 속의 임의의 대상 에 대하여, 어떤 사영 대상에서 로 가는 전사 사상이 존재한다면, 를 사영 대상을 충분히 가지는 범주 (射影對象을 充分히 가지는 範疇라고 한다. 보다 일반적으로, 단사 사상 또는 전사 사상 대신 다른 종류의 사상 로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 -단사 대상() 및 -사영 대상()이라고 한다. 단사 대상을 충분히 가지는 범주 에서, 대상 의 단사 껍질 () 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 는 단사 대상이다. 는 본질적 단사 사상이다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 에서, 대상 의 사영 덮개 는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 는 사영 대상이다. 는 잉여적 전사 사상이다. 국소적으로 작은 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 단사 대상이다. 표현 가능 함자 는 전사 사상을 보존한다. 즉, 의 전사 사상 (=의 단사 사상)은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다. 국소적으로 작은 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 사영 대상이다. 표현 가능 함자 는 전사 사상을 보존한다. 즉, 의 전사 사상은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다. 아벨 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 단사 대상이다. 함자 는 완전 함자이다. 아벨 범주 속의 대상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 사영 대상이다. 함자 는 완전 함자이다. 아벨 범주 속의 짧은 완전열 이 주어졌다고 하자. 만약 가 단사 대상이라면, * 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. * 와 둘 다 단사 대상이거나 둘 다 단사 대상이 아니다. (이는 이기 때문이다.) 만약 가 사영 대상이라면, 이는 분할 완전열이다. * 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다. * 와 둘 다 사영 대상이거나 둘 다 사영 대상이 아니다. (이는 이기 때문이다.) 임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 증명 단사 대상 및 단사 사상 에 대하여, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자. 단사 대상의 정의에 의하여 의 왼쪽 역사상 이 존재하며, 따라서 는 분할 단사 사상이다. 사영 대상의 경우도 마찬가지로 증명된다. 다시 말해, 어떤 대상의 부분 대상이 단사 대상이라면 이는 항상 분할 부분 대상이며, 어떤 대상의 몫 대상이 사영 대상이라면 이는 항상 분할 몫 대상이다. 아벨 범주 에서 대상 및 두 완전열 이 주어졌으며, 다음이 성립한다고 하자. 은 사영 대상이다. 역시 사영 대상이다. 그렇다면, 섀뉴얼 보조정리 ()에 따르면 다음이 성립한다. 만약 이 짝수라면, * 만약 이 홀수라면, * 증명 수학적 귀납법을 사용한다. 우선, 인 경우는 자명하다. 일 경우 에서, 다음과 같은 동등자를 정의하자. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다. (특히, 의 정의에 따라 이다.) 위 그림에서, 전사 사상 은 사영 대상을 공역으로 하므로 분할 전사 사상이며, 따라서 다음이 성립한다. 인 경우 에 대하여 섀뉴얼 보조정리가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 를 다음과 같이 더 짧은 길이의 완전열들로 분해하자. 그렇다면, 만약 를 정의한다면, 귀납 가정에 의하여 이며, 따라서 다음과 같은 두 짧은 완전열들을 얻는다. 사영 대상들의 직합은 사영 대상이므로, 따라서 귀납 가정에 의하여 이다. 마찬가지로, 대상 및 두 완전열 이 주어졌을 때, 만약 및 이 단사 대상이라면, 다음이 성립한다. 만약 이 짝수라면, * 만약 이 홀수라면, * 일부 범주에서 단사 대상 및 사영 대상들은 다음과 같다. (이 가운데 일부는 선택 공리를 필요로 한다.) 범주 아벨 범주? 단사 대상을 충분히 가짐? 단사 대상 사영 대상을 충분히 가짐? 사영 대상 아벨 군의 범주 예 예 나눗셈군 예 자유 아벨 군 유한 아벨 군의 범주 예 아니오 자명군 아니오 자명군 유한 생성 아벨 군의 범주 예 아니오 자명군 예 유한 생성 자유 아벨 군 환 에 대한 왼쪽 가군들의 범주 예 예 단사 가군 예 사영 가군 환 에 대한 왼쪽 유한 생성 가군들의 범주 예 아닐 수 있음 유한 생성 단사 가군 예 유한 생성 사영 가군 체 위의 벡터 공간의 범주 예 예 모든 벡터 공간 예 모든 벡터 공간 작은 위치 위의 아벨 군 값을 갖는 층의 범주 예 예 단사층 아닐 수 있음 (이름이 없음) 환 달린 공간 위의 가군층의 범주 예 예 단사 가군층 아닐 수 있음 (이름이 없음) 대수다양체 위의 준연접층의 범주 예 예 단사 가군층인 준연접층 아닐 수 있음 (이름이 없음) 대수다양체 위의 연접층의 범주 예 아닐 수 있음 단사 연접층 아닐 수 있음 (이름이 없음) 집합의 범주 아니오 예 공집합이 아닌 집합 예 모든 집합 유한 집합의 범주 아니오 예 공집합이 아닌 유한 집합 예 모든 유한 집합 군의 범주 아니오 아니오 자명군 예 자유군 국소 연결 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 사영 대상을 충분히 가진다. 는 알렉산드로프 공간이다. 즉, (무한 개일 수 있는) 임의의 수의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다. 고립점이 없는 국소 연결 하우스도르프 공간 위의, 아벨 군 값의 층 가운데 사영 대상인 것은 자명군 상수층 밖에 없다. 모든 토포스는 단사 대상을 충분히 가진다. 토포스에서 임의의 대상 의 멱대상 는 단사 대상이며, 단사 사상 이 존재한다. 섀뉴얼 정리는 스티븐 섀뉴얼이 증명하였다. 이에 대하여 어빙 커플랜스키는 다음과 같이 적었다. 분류:범주론 분류:호몰로지 대수학