gradient illustration.svg|right|thumb| 최적 단계를 갖는 경사 하강법(초록색)과 주어진 선형 계에 관한 이차함수를 최소화 하는 켤레기울기법(붉은색)의 비교. 정확한 계산이 이루어졌다고 가정하면, 켤레기울기법은 그 계의 행렬의 크기가 n에 대하여 최대로 n단계내에 수렴한다. (여기서, n=2) 켤레기울기법 또는 공역기울기법 (이란 수학에서 대칭인 양의 준정부호행렬(陽-準定符號行列, 영어 positive-semidefinite matrix)을 갖는 선형계의 해를 구하는 수치 알고리즘이다. 이는 보통 반복알고리즘으로 풀리고, 따라서 촐스키 분해와 같은 방법이나 직접 풀기에 너무 큰 계가 갖는 희소행렬 등에 사용하기 적합하다. 그러한 계는 편미분 방정식들이나 최적화 문제들을 수치적으로 풀 때 자주 등장한다. 켤레기울기법은 또한 에너지 최소화같은 제약조건이 없는 최적화문제를 풀 수 있다. 이것은 Magnus Hestenes와 Eduard Stiefel에 의해 개발 되었다. 우리는 다음과 같은 선형 계의 방정식을 풀기 원한다고 가정하자. Ax = b A 는 n x n 대칭행렬이고 (i.e. A T = A ), 양의 준정부호행렬 positive definite (i.e. R n 에서 모두 0이 아닌 벡터들 x 에 관하여 x T Ax > 0 )이고, 실수이고, x, b는 n x 1 실수 인 열벡터이다. 여기서 우리는 이 계의 유일한 해를 라고 하자. 다음과 같이 일 때, 두개의 영이 아닌 벡터들을 u 과 v 를 켤레라고 하자. ( A 에 대하여) A 는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다. 만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다. 켤레가 되는것은 대칭관계이다 만일 u 가 v 에 켤레이면 v 가 u 에 켤레이다. 는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자. 그러면 는 의 기저이고, 그래서 내에서 우리는 그 해 의 를 확장시킬 수 있다 그리고 우리가 보면 어떤 에 관하여, (왜냐하면 는 상호적인 켤레이기 때문에) 이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다. 이것은 Ax = b 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들 을 계산한다. 만일 우리가 켤레 벡터들을 p k 신중하게 선택하고, 우리는 그 해 의 좋은 근사 값을 얻기 위해서 그들의 모두가 필요하지 않을 수 있다. 그래서 우리는 반복적인 방법으로서 공역 구배법을 보기를 원한다. n 이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다. 의 초기 추측값을 x 0라고 하자. 우리는 일반성을 잃지않고 x 0 b − Ax 0 ) 라고 가정할 수 있다. x 0와 함께 시작하여 우리는 그 해를 찾고, 각각의 반복에서 우리는 그 해 (우리에게 잘알려지지 않은 해) 에 근접한게 무엇인지 알려주는 측도가 필요하다. 이 측도는 그 해 가 또한 다음의 이차함수의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다. 그래서 만일 f( x )가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가 에 가까이 간다는 것을 의미한다. x = x 0에서 f 의 구배(영어:gradient)의 음의 값이 되도록 처음 기저 p 0를 잡는다. 그 f 의 구배(영어:gradient)가 Ax − b 와 같고, 추측 해 x 0를 가지고 시작한다. (우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면 가 0 이고 그 집합을 x 0 0 으로 항상 추측할 수 있다. ) 이것을 p 0 = b − Ax 0라고 두자. 그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다. 그래서 이 방법의 이름이 공역 구배법 (영어 conjugate gradient method )이다. 우선 k 번째 단계에서 r k 를 유수 (영어:residue)라고 하자 r k 는 x = x k 에서 음의 f 의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고, 그래서 경사 하강법은 r k 방향에서 움직일 것이다. 여기, 우리는 그 방향들 p k 이 각각 다른것과 켤레라고 주장한다. 이 시행은 충분히 합리적인데, 우리는 또한 다음 찾는 방향은 최근의 유수와 이전의 모든 검색방향들에 의해서 정하게 한다. 그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 그램 -슈미트 와 유사하다. 이것은 다음의 표현과 같다 (수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조) 이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다. 를 포함함 ( p k 와 x k-1 가 켤레이기 때문에 마지막 등식이 성립한다.) 그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다. 일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라 많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다. 그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다. 모든 i k+1 는 p i 과 켤레이다. (예를 들어 귀납법에 의해 증명될 수 있다) 그러므로 오직 r k , p k , 그리고 x k 이 r k+1 , p k+1 , 그리고 x k+1 를 세우는데 필요로 한다. 게다가 오직 하나의 행렬-벡터 곱셈이 각각의 반복적인 계산마다 필요하다. 실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 A 에 관하여 Ax = b 를 푸는 알고리즘 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다. 그 입력 벡터 x 0는 거의 정확한 초기 해나 0 이 될 수 있다. 이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다. 이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은은 비선형 공역 구배법인 플레처 리브스에서 또한 사용된다. 알고리즘에서, 는 가 에 직교가 되도록 선택된다. 그 분모는 다음과 같이 단순화된다. 때문에 그 는 가 에 켤레가 되도록 선택된다. 처음에, 는 를 이용하고, 마찬가지로 , 의 분자는 다음과 같이 다시 쓰면, 과 처음 구상에 의해 직교이기 때문에 그분모는 다음과 같이 다시 쓰면, 검색 방향들 은 켤레이고 다시 그 유수들과 직교라는 사실을 이용하여 이 알고리즘에서 를 제거한 후를 얻는다. function x = conjgrad(A,b,x) r=b-A*x; p=r; rsold=r *r; for i=1:1e6 Ap=A*p; alpha=rsold/(p *Ap); x=x+alpha*p; r=r-alpha*Ap; rsnew=r *r; if sqrt(rsnew) 공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다. 다음과 같은 선형 계인 Ax = b 을 고려하면 : 그 계의 거의 정확한 해를 찾기 위해서 우리는 초기 추측값을 설정하여 공역 구배법의 두 단계만에 수행할 것이다. : 참고에 따르면 정확한 해는 : 우리의 첫번째 단계는 x 0과 연관된 유수 벡터 r 0를 계산 하는 것이다. 이 유수는 식 r 0 = b - Ax 0으로 부터 계산 되고, 그리고 우리에 경우에는 다음과 같다. : 이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향 p 0 으로써 유수 벡터 r 0 를 사용할 것이다. 앞으로의 반복 계산에서 p k를 선택하는 방법은 변할 것이다. 우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α0를 계산한다. : 우리는 그 식을 이용하여 x 1을 계산 할 수 있다. : 이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해 x 1가 된다. 우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 r 1를 계산할 것이다. : 그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 p 1를 결정하는데 결과적으로 사용될 스칼라 β0를 계산하는 것이다. : 이제, 이 스칼라 β0를 이용하여, 우리는 그 관계를 이용하여 다음 검색 방향 p 1을 계산 할 수 있다. : 우리는 α0에서 사용했던 같은 방식으로 새로 얻은 p 1를 이용하여 이제 스칼라 α1를 계산 할 수 있다. : 마지막으로, 우리는 x 1을 찾았던 같은 방법으로 x 2를 찾는다. : 그 결과, x 2는 그 계의 해에 x 1 과 x 0보다 "더나은" 근사치가 된다. 만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 n =2 반복수행 후 도달 할 것이다. ( n 은 그 계의 크기임). 분류:수치선형대수학 분류:최적화 알고리즘