군론에서, 콕서터 군 (Coxeter群은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 리 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다. 콕서터 군 은 다음과 같이 표시될 수 있는 군이다. 여기서 행렬 는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. (). 여기서 인 경우는 의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다. 이 행렬 을 콕서터 군의 콕서터 행렬 (Coxeter行列이라고 하고, 을 콕서터 군의 계수 (階數라고 한다. 순서쌍 을 콕서터 계 (Coxeter系라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다. 콕서터 군의 콕서터 행렬 은 다른 방법으로 표기할 수 있다. 콕서터 도표 (Coxeter圖表은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 가 붙은 그래프이다. 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다. 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다. * 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다. * 인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 인 경우에는 변을 그리되, 를 통상적으로 생략한다. * 인 경우 통상적으로 변 및 의 값을 생략하지 않는다. 콕서터 행렬 에 대응하는 슐레플리 행렬 () 의 성분은 다음과 같다. 즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 의 분모 를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다. 예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다. + 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예 콕서터 군 A1×A1 A2 Ĩ1 A3 BC3 D4 Ã3 콕서터 도표 콕서터 행렬 슐레플리 행렬 슐레플리 행렬의 고윳값 2, 2 1, 3 0, 4 2, 2±√2 2, 2±√3 2, 2, 2±√3 0, 2, 2, 4 분류 유한 유한 아핀 유한 유한 유한 아핀 콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 의 고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다. 유한 콕서터 군 () 의 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 이 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 쪽매맞춤)의 대칭군과 관련있다. 아핀 콕서터 군 () 의 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 쪽매맞춤의 대칭군과 관련있다. 쌍곡선 콕서터 군 () 는 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 이 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 쪽매맞춤의 대칭군과 관련있다. 유한 콕서터 군의 크기 는 그 콕서터 수 와 다음과 같이 관계있다. p 2h/gp = 1 p,q 8/gp,q = 2/p + 2/q -1 p,q,r 64h/gp,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r p,q,r,s 16/gp,q,r,s = 8/gp,q,r + 8/gq,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1 콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다. 계수 의 유한 콕서터 군 는 차원 (실수) 벡터 공간 위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, 의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 을 생각할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 의 생성원들의 수는 군의 계수 이며, 불변량 대수의 생성원( 기본 불변량 )들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다. 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 이며, 최솟값은 2이다. 차수 의 생성원이 존재한다면, 차수 의 생성원 역시 존재한다. 반사 으로 생성되는 콕서터 군 의 콕서터 원소 는 다음과 같은 꼴의 원소이다. 물론, 이는 순열 에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군 의 콕서터 수 (Coxeter數라고 한다. 콕서터 군 G 위에는 다음과 같은 콕서터 길이 함수 가 존재한다. 이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 이 길이 함수를 사용하여 위에 여려 부분 순서를 존재할 수 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다. 유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다. 기호 다른 기호 콕서터 표기법 콕서터 도표 크기 콕서터 수 h 관련 폴리토프 기본 불변량들의 차수 A n A n 3n-1 ( n + 1)! n + 1 n -단체 2, 3, 4, …, n + 1 BC n C n 4,3n-2 2 n n ! 2 n n -초입방체 / n -cross-polytope 2, 4, 6, …, 2 n D n B n 3n-3,1,1 2 n −1 n ! 2 n − 2 n -demihypercube 2, 4, 6, …, 2 n − 2 E 6 E 6 32,2,1 72×6! 12 221, 122 2, 5, 6, 8, 9, 12 E 7 E 7 33,2,1 72×8! 18 321, 231, 132 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 E 8 E 8 34,2,1 192×10! 30 421, 241, 142 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 F 4 F 4 3,4,3 1152 12 24-cell 2, 6, 8, 12 H 3 G 3 3,5 120 10 정이십면체 / 정십이면체 2, 6, 10 H 4 G 4 3,3,5 14400 30 120-cell / 600-cell 2, 12, 20, 30 I 2( p ) D 2 p p 2 p p 정 p 각형 2, p 위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다. 또한, 및 을 작은 에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다. 바일 군 은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건 (結晶條件을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, 또는 인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다. . 이들은 리 군 및 의 바일 군이다. , , . 이는 의 바일 군이다. 유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다. :파일:Finite coxeter.svg 아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다. 기호 비트 기호 콕서터 기호 관련 쪽매맞춤 콕서터 도표 P n+1 3 n 단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb) S n+1 4,3n-3,31,1 반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤 R n+1 4,3 n −2,4 하이퍼큐브 쪽매맞춤 Q n+1 31,1,3 n −4,31,1 demihypercubic honeycomb T 7 32,2,2 222 T 8 33,3,1 331, 133 T 9 35,2,1 521, 251, 152 U 5 3,4,3,3 16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤 V 3 6,3 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤 W 2 ∞ 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤 아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다. :파일:Affine_coxeter.svg 쌍곡선 콕서터 군 ()의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다. 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다. 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다. 바일 군 근계 정다면체 쪽매맞춤 아핀 리 대수 분류:이산군 분류:다포체