조합론과 표현론에서, 영 타블로 ()는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다. 페러스 그림 ()은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다. 페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다. 영 타블로 ()는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다. 영 타블로의 예. 표준 영 타블로 ()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 준표준 영 타블로 ()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다. 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다. 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다. 주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 고리 길이 () 는 또는 인 칸 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다. 페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들 대칭군 의 복소수 기약 표현은 총 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다. 각 칸의 숫자는 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다. 이 경우, 기약 표현의 차원은 다음과 같다. 예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다. 페러스 그림 고리 길이 S4 표현 차원 □□□□ 4321 1 □□□□ 4211 3 □□□□ 3221 2 □□□□ 4121 3 □□□□ 4321 1 일반선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 각 열의 길이는 이하다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다. 각 칸의 숫자는 가운데 하나다. 이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다. 특수선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 각 열의 길이는 미만이다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다. 특수 유니터리 군 의 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다. 페러스 그림 고리 길이 SU( n ) 표현 차원 · · 1 □ 1 □□ 21 □□ 21 □□□ 321 □□□ 311 □□□ 321 이들 표현들은 N 차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N 차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다. 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 꼴의 텐서에 대응한다. 이는 의 꼴의 (반)대칭성을 가진다. SO( n )의 경우, 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO( n )의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 각 열의 길이가 만약 이 짝수이고, 길이가 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(, SD) 및 반자기쌍대(, ASD)로 일컬어진다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 SO( n ) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 번째 열의 길이를 , 번째 행의 길이를 라고 하자 (). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수 ()을 정의하자. 그렇다면 SO( n ) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 만약 이 짝수이며 길이가 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다. 영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 꼴의 텐서에 대응하며, 꼴의 (반)대칭성을 가진다. SO( n )의 경우, SU( n )과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자. 페러스 그림 고리 길이 내용 SO( n ) 표현 차원 페러스 그림 Spin( n ) 표현 차원 () · · · 1 · (s) □ 1 +0 □ (s) □□ 21 +2 −1 □□ (s) □□ 21 +0−1 □ (s)□ □□□ 321 +4 −1 +0 □□□ (s) □□□ 311 +2 −2+0 □□ (s)□ □□□ 321 +0−1−2 □ (s)□□ 예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 스핀 0 ½ 1 1½ 2 2½ 3 3½ 차원 1 2 3 4 5 6 7 8 SU(2) 영 타블로 · □ □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□□ SO(3) 영 타블로 · · (s) □ □ (s) □□ □□ (s) □□□ □□□ (s) 마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 차원 1 4 6 10 SU(4) 영 타블로 · □ □□□ □□ □□ □□□□□□ SO(6) 영 타블로 · · (s) · () □ □ (SD)□□ □ (ASD)□□ 마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다. 스핀 (0, 0) (½, 0) (0, ½) (½, ½) (1, 0) (0, 1) (1, ½) (½, 1) (1½, 0) (0, 1½) (1, 1) (1½, ½) (½, 1½) (2, 0) (0, 2) SU(2) 영 타블로 (·, ·) (□, ·) (·, □) (□, □) (□□, ·) (·, □□) (□□, □) (□, □□) (□□□, ·) (·, □□□) (□□, □□) (□□□, □) (□, □□□) (□□□□, ·) (·, □□□□) SO(4) 영 타블로 · s □ □ (SD)□ □ (ASD)□ □ (s) □ () □ (s)□ □ ()□ □□ □□ (SD) □ □□ (ASD) □ □□ (SD) □□ □□ (ASD) □□ 짝수 에 대하여, USp( n )의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우 을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp( n )의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 각 열의 길이가 이하이다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp( n ) 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 의 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수 ()를 정의하자. 그렇다면 USp( n ) 표현의 차원은 다음과 같다. 영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 에 의한 축약이 모두 0이다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 의 꼴의 영 타블로는 꼴의 텐서에 대응하며, 꼴의 (반)대칭성을 가진다. 페러스 그림 고리 길이 내용 USp( n ) 표현 차원 · 1 □ 1 0 □□ 21 +0 +1 □□ 21 −2+1 □□□ 321 +0 +1 +2 □□□ 311 −2 +0+2 □□□ 321 −4+0+1 예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다. 차원 1 4 5 10 14 16 SO(5) 영 타블로 · · (s) □ □□ □□ □ (s) USp(4) 영 타블로 · □ □□ □□ □□□□ □□□ 영국의 수학자 앨프리드 영()이 1900년에 도입하였다. 분류:조합론 분류:표현론 분류:대칭함수