톰–쿡 알고리즘 은 안드레이 톰과 스테픈 쿡이 제안한 곱셈 알고리즘으로 큰 두 정수를 곱할 때 사용된다. 톰-쿡 알고리즘에서는 큰 정수 a 와 b 를 곱하기 위해, 두 수를 작은 조각으로 나눈다. 조각의 수를 k 라고 할때, k 가 커질수록 곱셈의 내부 연산법은 복잡해지지만, 전체 시간 복잡도는 낮아진다. 이 곱셈 방법은 나눠진 각각의 조각에 대해서도 다시 적용할 수 있기 때문에, 조각이 작아질때까지 재귀적으로 사용할 수 있다. 톰-3 알고리즘은 k 가 3일 경우를 가리키며, 9번의 곱셈을 5번으로 단축시켜, Θ( n log(5)/log(3)), 즉 Θ( n 1.465) 시간 안에 곱셈을 완료한다. 일반적으로 톰- k 알고리즘은 Θ( c ( k ) ne ) 시간에 수행될 수 있다. 여기서 e = log(2 k − 1) / log( k ), ne 은 조각들 간의 곱셈에 걸리는 시간, c 는 덧셈이나 뺄셈, 혹은 작은 상수와의 곱셈에 걸리는 시간을 뜻한다. 카라슈바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘에서 k 가 2인 특별한 경우로, 4번의 곱셈을 3번으로 줄여 Θ( n log(3)/log(2)) 시간 안에 수행된다. k 가 1인 경우는 일반적인 곱셈 알고리즘과 동일해지며 시간 복잡도는 Θ( n 2)가 된다. k 값을 증가시켜서 e 값을 거의 1에 가깝게 낮출수 있지만, 이 경우 c 의 값이 급속하게 커져 소용이 없다. 이런 부가적인 연산 때문에 톰-쿡 알고리즘은 작은 정수의 곱셈에 적용하면 일반 곱셈법보다 느려지기에 이 알고리즘은 적당히 큰 정수에 사용되며, 정수 크기가 훨씬 더 커질 경우는 시간복잡도가 Θ( n log n log log n )인 쇤하게-슈트라센 알고리즘이더빠 르게 된다. 톰은 1963년에 처음 이 알고리즘을 제시하였고, 쿡은 1966년에 그의 박사 논문에서 이 알고리즘을 개량시켰다. 이 단락은 톰- k 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 간략하게 설명한다. 알고리즘은 크게 5단계를 거쳐 완료된다. # 분할 # 평가 # 점별 곱셈 # 보간 # 합성 큰 정수를 구현하는데 있어서, 대개 위치 기수법으로 각 자리의 정수를 표현하는 방법이 자주 사용된다. 이 때의 밑을 b 라고 하자. 이 예시에서는 b = 10000을 사용할 것이므로, 한 자리에는 4개의 10진 정수가 들어가게 된다. (실제 컴퓨터 구현에서는 연산의 효율성을 위해 b 값으로 2의 거듭제곱이 사용된다.) 두 큰 정수를 다음과 같다고 하자. m = 12 3456 7890 1234 5678 9012 n = 9 8765 4321 9876 5432 1098. 물론 이 정수들은 톰-쿡 알고리즘을 사용하기엔 작아서, 그냥 일반 곱셈법이 훨씬 빠르다. 하지만 설명을 위해 이 값을 사용하도록 한다. 첫번째 단계는 정수를 k 개의 조각으로 자르기 위한 적절한 단위인 B = b i 를 찾는 것이다. 일반적으로 i 는 다음과 같이 구할 수 있다. 이 예제에서는 톰-3 알고리즘을 사용할 것이므로, B 108가 된다. 이 B값을 단위로 m 과 n 을 자르면 m i , n i 는 다음과 같이 될 것이다. 우리는 이 수를 계수로 하는 k −1차 다항식을 만들것이다. 다항식을 이렇게 정의하면 p ( B ) n 이 된다. 이렇게 정의한 목적은 두 다항식의 곱인 r ( x ) = p ( x ) q ( x )를 구하기 위해서이다. 즉 우리가 구하고자 하는 결과는 이 다항식에 B 를 대입함으로써 얻을 수 있다. r ( B ) = m × n m 과 n 을 일반적인 곱셈법으로 곱하면 (여기서는 3 조각으로 나누었으므로), 조각 간의 곱셈이 9번 필요하다. 하지만, r ( x )는 2( k −1)차 다항식( k 가 3이므로 4차 다항식)이므로, 2 k −1개의 미지 계수를 구하기 위해서는 2 k -1개의 방정식만 있으면 된다. 이 방정식은 선형 대수를 이용하여 간단한 방법으로 풀어낼 수 있으므로, 결과적으로 일반 곱셈법보다 적은 수의 곱셈을 사용하여 결과를 얻을 수 있게 된다. 만약 곱하는 두 수의 자리수가 다를 경우 k 값을 m 과 n 에 따라 다르게 주는 것이 유용하다. 톰-2.5 알고리즘에서는 k m 2 와 같은 값을 사용한다. 이 때의 i 는 다음과 같이 구할 수 있다. 앞서 언급했듯, 톰-쿡 알고리즘에서는 r ( B )를 구하기 위해 r ( x )의 각 계수를 구한다. 이 계수를 구하기 위해 적당한 x 를 선정하여 p ( x )와 q ( x )의 값을 구한다. ( k 가 3인 경우 r ( x )는 4차식이 되고, 미지계수는 5개이므로 총 5개의 지점을 구해야한다.) 간단한 계산을 위해 대개 x 는 0이나 1, 2, &minus1, &minus2 등의 값을 넣는다. 특별한 지점으로 흔히 무한대로 표기하는 값이 있는데, 이는 극한 표기를 간단하게 적은 것으로 최고 차항의 계수를 뜻한다. 이 예제에서는 x 에 0, 1, −1, −2, ∞을 넣어 계산해볼 것이다 q 에 대해서도 마찬가지. 예시의 값을 실제로 대입하면 다음과 같다 p (0) = m 0 = 56789012 = 56789012 p (1) = m 0 + m 1 + m 2 = 56789012 + 78901234 + 123456 = 135813702 p (−1) = m 0 − m 1 + m 2 = 56789012 − 78901234 + 123456 = −21988766 p (−2) = m 0 − 2 m 1 + 4 m 2 = 56789012 − 2×78901234 + 4×123456 = −100519632 p (∞) = m 2 = 123456 = 123456 q (0) = n 0 = 54321098 = 54321098 q (1) = n 0 + n 1 + n 2 = 54321098 + 43219876 + 98765 = 97639739 q (−1) = n 0 − n 1 + n 2 = 54321098 − 43219876 + 98765 = 11199987 q (−2) = n 0 − 2 n 1 + 4 n 2 = 54321098 − 2×43219876 + 4×98765 = −31723594 q (∞) = n 2 = 98765 = 98765. 위에 보이는대로 결과값이 음수가 될 수도 있다. 다음과 같이 행렬로 간단하게 표현할 수 있다. 이 표현은 보간 과정에서도 유용하게 쓸 수 있다. 평가 시 각 지점에서 중복되는 연산을 줄여 더 빠르게 계산하는 방법이 있다. 이 방법을 사용할 경우 덧셈/뺄셈의 수를 줄일 수 있다. 여기에서는 톰-3의 경우만 제시한다. p 0 ← m 0 + m 2 = 56789012 + 123456 = 56912468 p (0) = m 0 = 56789012 = 56789012 p (1) = p 0 + m 1 = 56912468 + 78901234 = 135813702 p (−1) = p 0 − m 1 = 56912468 − 78901234 = −21988766 p (−2) = ( p (−1) + m 2)×2 − m 0 = (− 21988766 + 123456 )×2 − 56789012 = − 100519632 p (∞) = m 2 = 123456 = 123456. 이 과정은 오직 5번의 덧셈/뺄셈이 필요하다. 이는 단순 계산보다 1회 적은것이다. 두 다항식 p ( x )와 q ( x )를 통째로 곱하는 대신, 앞에서 구한 여러 개의 지점에 대해서 p ( a ) q ( a )를 구한다. 이는 원래 목표였던 큰 정수끼리의 곱셈보다 훨씬 작은 수끼리의 연산이 된다. 게다가 점별 곱셈 과정에 톰-쿡 알고리즘을 재귀적으로 사용하여 실제로 곱하게 되는 수를 일반 곱셈법으로도 충분히 빠르게 곱할 수 있는 크기로 줄일 수 있다. 이 예시의 결과물은 다음과 같을 것이다. r (0) = p (0) q (0) = 56789012 × 54321098 = 3084841486175176 r (1) = p (1) q (1) = 135813702 × 97639739 = 13260814415903778 r (−1) = p (−1) q (−1) = −21988766 × 11199987 = −246273893346042 r (−2) = p (−2) q (−2) = −100519632 × −31723594 = 3188843994597408 r (∞) = p (∞) q (∞) = 123456 × 98765 = 12193131840. 이 과정이 가장 시간을 오래 잡아먹는 부분이다. 나머지 과정은 m 과 n 의 크기와 선형의 시간복잡도를 갖기만, 오직 이 과정만 그보다 큰 시간복잡도를 갖는다. 이 과정은 전체 과정 중 가장 복잡한 과정으로, 위에서 구한 점별 곱셈 결과를 이용하여 다항식 r ( x )의 미지계수를 구하는 과정이다. 이 행렬은 평가 과정에서 만들었던 행렬과 같은 방식으로 만들어진 것이다. 가우스 소거법을 통해 이 행렬의 역행렬을 구할수도 있지만, 이는 너무 느리다. 하지만 우리가 앞서 고른 지점이 0, 1, &minus1, 2, &minus2 등으로 단순하므로 복잡한 계산과정 없이 행렬을 풀어낼 수 있다. 이제 남은 과정들은 모두 행렬-벡터 간의 곱셈이다. 행렬에 분수가 들어있지만, 그 결과는 정수로 나온다. 그렇기에 이 과정은 정수 간의 덧셈/뺄셈과 작은 상수를 곱하고 나누는 연산만 가지고 수행할 수 있다. 하지만 이 과정을 효율적으로 짜는 것은 쉽지 않은 일이다. 여기에서는 톰-3 알고리즘의 효율적인 방법을 소개한다. r 0 ← r (0) = 3084841486175176 r 4 ← r (∞) = 12193131840 r 3 ← ( r (−2) − r (1))/3 = (3188843994597408 − 13260814415903778)/3 = −3357323473768790 r 1 ← ( r (1) − r (−1))/2 = (13260814415903778 − (−246273893346042))/2 = 6753544154624910 r 2 ← r (−1) − r (0) = −246273893346042 − 3084841486175176 = −3331115379521218 r 3 ← ( r 2 − r 3)/2 + 2 r (∞) = (−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 + 2×12193131840 = 13128433387466 r 2 ← r 2 + r 1 − r 4 = −3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840 = 3422416581971852 r 1 ← r 1 − r 3 = 6753544154624910 − 13128433387466 = 6740415721237444. 이제 다항식 r ( x )의 모든 계수를 알게 되었다 만약 두 정수의 크기가 다르거나, 평가 지점이 다르다면 이 행렬 계산식 역시 달라질 것이다. 하지만 이는 사전에 계산될 수 있는 부분이므로 미리 효율적으로 작성해 둘 수 있다. 최종적으로 다항식 r ( x )에 B 를 대입하여 결과를 얻어낼 수 있다. 여기서 b 108이다. 3084 8414 8617 5176 6740 4157 2123 7444 3422 4165 8197 1852 13 1284 3338 7466 + 121 9313 1840 121 9326 3124 6761 1632 4937 6009 5208 5858 8617 5176 위 결과가 1234567890123456789012와 987654321987654321098의 곱이다. k 값에 따른 보간 행렬을 몇 가지 정리해두었다. 톰-1 ( k m 1)은 1개의 지점만을 필요로 한다. 여기서는 0을 잡았다. 사실 이는 일반 곱셈알고리즘과 동일하다 톰-1.5 ( k m 1)는 2개의 지점을 필요로 한다. 여기서는 0과 ∞를 잡았다. 보간 행렬은 단위행렬과 동일하다 톰-2 ( k m 2)은 3개의 지점을 필요로 하고, 대개 0, 1, ∞를 잡는다. 이는 카라슈바 알고리즘과 동일하다 톰-2.5 ( k m 2)는 4개의 평가지점을 필요로 한다. 여기에서는 0, 1, -1, ∞를 잡았다 커누스. 컴퓨터 프로그래밍의 예술 , 제 2권. 1997. 섹션 4.3.3.A Digital methods, 294쪽. R. Crandall & C. Pomerance. Prime Numbers – A Computational Perspective . Second Edition, Springer, 2005. Section 9.5.1 Karatsuba and Toom–Cook methods, 473쪽. M. Bodrato. Toward Optimal Toom–Cook Multiplication... . In WAIFI 07, Springer, 2007. 톰-쿡 알고리즘에 관한 GMP의 문서 톰-쿡 알고리즘에 대한 간략한 설명 분류:컴퓨터 산술 알고리즘 분류:곱셈