색의 벡터, v ,가 3차원의 일반적 곡선 좌표들 에서, 검은 색의 좌표 곡선들 에 대한 오렌지 색의 탄젠트기저 e1, e2, e3 (왼쪽), 회색의 좌표 곡면들 에 대한 파란 색의 이중 기저, 코벡터 기저, 또는 레시프로칼 기저 e1, e2, e3 (오른쪽)을 통해 표현되었다. 여기서 은 위치 공간에서의 한 점을 정의하는 세벌의 숫자들이다. 기저와 코기저(basis and cobasis)는 기저가 직교(orthogonal)할 때 일치한다는 것을 주목할 것. 다중 선형 대수학 및 텐서 해석에서는, 공변성 및 반변성은 어떤 기하학적 또는 물리적 존재자들에 대한 정량적 기술이 기저(basis)의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 기술한다. 물리학에서, 기저는 기준 축들의 집합(a set of reference axes)으로 생각된다. 기준 축들에 대해 이루어지는 스케일의 변화는 해당 문제에서의 단위들의 변화에 해당한다. 예를 들면, 미터에서 센티미터로 스케일을 변경하면(즉, 기준 축들의 스케일을 100으로 나누면), 측정된 속도 벡터의 성분들은 100 만큼 곱해져야 할 것이다. 벡터들은, 기준 축에 대한 스케일에서의 변화에 대해, 반대로 스케일을 변화시키는, 거동을 보인다 즉, 벡터들은 반변적(contravariant) 이다 . 그 결과, 벡터들은 종종 거리 또는 거리와 (속도 같은) 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위들을 갖는다. 이와 달리, 코벡터(또는 이중 벡터 라고 불림)는 일반적으로 거리의 역수 또는 거리의 역수와 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위들을 갖는다. 이러한 코벡터의 예는, 공간 도함수(spatial derivative)의 단위를 갖거나 거리의 역수의 단위를 갖는, 기울기(gradient)이다. 코벡터들의 성분들은 기준 축에서의 스케일 변화와 동일한 방식으로 변한다 즉, 코벡터들은 공변적(covariant) 이다 . 보다 일반적인 기저 변화 아래에서 *기저-독립적인 (방향 벡터 또는 속도 벡터와 같은) 벡터의 경우, 벡터의 성분들은 기저의 변화를 상쇄하도록 반대로 변해야 한다. 즉, 벡터 성분들을 변환시키는 행렬은 기저 벡터들을 변환시키는 행렬의 역이어야 한다. 벡터들의 성분들(코벡터의 성분들과 반대로)은 반변적 이라고 말하여 진다. 반변적 성분들을 갖는 벡터들의 예들로는, 관찰자에 대한 대상의 위치 또는 (속도, 가속도, 및 저크 등과 같은) 시간에 대한 위치의 도함수가 있다. 아인슈타인 표기법이 사용되는 경우, 반변적 성분들은, 아래와 같이, 위 첨자들을 사용하여 표기된다. * 기저-독립적인 코벡터의 경우, 그 성분들은 동일한 코벡터를 그대로 나타내기 위해 기저의 변화와 함께 변해야 한다. 즉, 그러한 성분들은 기저 행렬의 변화와 동일한 행렬에 의해 변환돼야 한다. 코벡터들의 성분들(벡터들의 성분들과 반대로)은 공변적 이라고 말하여진다. 공변 벡터들의 예들은 일반적으로 어떤 함수의 그래디언트를 취할 때 나타난다. 아인슈타인 표기법이 사용되는 경우, 공변적 성분들은, 아래와 같이, 아래 첨자를 사용하여 표기된다. * 원통 또는 구 좌표와 같은 곡선 좌표계들은 물리적 및 기하학적 문제에서 자주 사용된다. 좌표계는, 공간 상의 각 점에서의 벡터를 위한, 좌표 기저의 자연스러운 선택과 연관되며, 공변성과 반변성은 하나의 벡터에 대한 좌표 기술이, 하나의 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때, 어떻게 변하는지를 이해하는데 있어서 특히 중요하다. 텐서는, 공변성 및 반변성의 특성들을 모두 갖는, 다중 선형 대수학에서의 대상이다. 물리학에서, 벡터는, 일반적으로, 측정 또는 일련의 측정의 결과로서, 다음과 같은 숫자의 목록(또는 튜플)으로 표현된다. 위 목록에서 숫자들은 좌표계의 선택에 의존적이다. 예를 들어, 벡터가 관찰자에 대한 위치를 나타내는 경우(즉, 위치 벡터인 경우), 좌표계는 (그것들을 따라 성분들 v1, v2 및 v3이 측정되는) 강체 막대들 (즉, 기준 축들)의 시스템으로부터 얻어질 수 있다. 기하학적 대상을 나타내는 벡터의 경우, 그것이 임의의 다른 좌표계에서 어떻게 보이는지를 기술하는 것이 가능해야 한다 . 즉, 벡터들의 성분들은 특정 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 특정한 방식으로 변환하게 된다. 반변 벡터는, (회전 및 팽창을 포함하는) 좌표들의 변화 아래에서 (반대로 말하자면, 기준 축들의 변환에 대해), "좌표들처럼 변환" 하게 되는 성분들을 갖는다. 벡터 그 자체는 이러한 과정 아래에서 변하지 않는다 . 대신, 벡터의 성분들은, 좌표들이 변하는 것과 동일한 방식으로, 공간 축에서의 변화를 없애는 방식으로 변한다. 즉, 기준 축이 한 방향으로 회전하면, 벡터의 성분 표현은 정확히 반대 방식으로 회전한다. 유사하게, 기준 축이 어떤 방향으로 늘려지면, 벡터의 구성 요소들은, 좌표와 마찬가지로, 정확히 상쇄시키는 방식으로 감소한다 . 수학적으로 말하자면, 가역 행렬에 의해 기술된 변환이 좌표계에 적용되어, 좌표 벡터 x 가 로 변환되면, 반변 벡터 v 는 을 통해 유사하게 변환돼야 한다. 이 요구 사항은, 반변 벡터를 어떤 다른 세개의 (물리적으로 의미가 있는) 양들로부터 구별시키는 중요한 그 무었이다 . 예를 들면, v가 속도의 x, y, 및 z 성분들로 구성된다면, v는 반변 벡터이다. 공간의 좌표들이 늘려지거나, 회전하거나, 꼬이게 된다면, 상기 속도의 성분들은 동일한 방식으로 변환된다. 반변 벡터들의 예들로는, 변이(displacement), 속도, 및 가속도가 있다. 이와 달리, 예를 들어, 직사각형 상자의 길이, 폭, 및 높이로 구성되는 세가지 숫자들은 어떤 추상적 벡터의 세가지 성분들을 구성할 수 있지만, 공간 상의 좌표들의 변화가 그 상자의 길이, 폭, 및 높이를 변화시키는 것은 아니기 때문에, 이러한 벡터은 반변적이지 않다 대신, 이들은 스칼라들이다. 반면, 공변 벡터 는 좌표들에 반대로 변하는, 달리 말하면, 기준 축들처럼 변환하는, 성분들을 갖는다. 예를 들면, 아래와 같이, 함수의 그레디언트 벡터의 성분들은 기준 축들처럼 변환한다. 공변성 및 반변성의 일반적인 수식화는, 기저가 변할 때(수동 변환), 좌표 벡터의 성분들이 어떻게 변환하는지와 관련된다. 예를 들면, V를 스칼라 장 S 상에서의 n-차원 벡터 공간이라 하고, 및 각각을 V의 기저라고 하자. 또한, 원소들 을 갖는 어떤 가역적 n × n 행렬 A에 대해, f 에서 f′ 로의 기저의 변화가, 아래와 같이 주어진다고 하자. 여기에서, 기저 f 에서의 벡터 Y j 각각은, 아래와 같이, 기저 f 에서의 벡터들 X i 의 선형 조합이다. V 에서 벡터 는, 아래와 같이, 기저 f 에 대한 원소들의 선형 조합으로 일의적으로 표현되며, 여기서, 는 S 에서의 스칼라들로서 기저 f 에서의 의 성분들 이다. 의 성분들의 열 벡터는, 아래와 같이, v f 로 표기하자 그래서, 식 ()는 행렬 곱으로서 아래와 같이 다시 쓰여질 수 있다 마찬가지로, 벡터 는 기저 f ′를 통해서도, 아래와 같이, 표현될 수 있다 하지만, 벡터 그 자체는 기저의 선택에 대해 불변적이다. 즉, f 와 f ′ 사이의 관계 ()를 통해 결합된 의 불변성은 아래의 결과를 함축하며 이 결과로부터, 우리는 아래의 변환 규칙을 얻을 수 있다성분들을 통해 표현하면, 여기서, 계수들 은 A의 역행렬의 원소들이다. 벡터 의 성분들이 행렬 A의 역행렬을 통해 변환하기 때문에, 이러한 성분들은 기저의 변화 아래에서 반변적으로 변환한다 고 말하여진다. A를 상기 두 쌍들과 연관시키는 방법은 화살표를 사용하는 아래의 도식에 표현되었다. 반대 방향의 화살표는 반변적 변화를 나타낸다. 공변 변환 V 상에서 선형 범함수(linear functional) α 는 기저 f 에서 (S에서 스칼라들인) 그 성분들 을 통해 아래와 같이 일의적으로 표현된다. 이러한 성분들은 기저 f 의 기저 벡터들 X i 에 대한 α 의 작용이다(the action of α on the basis vectors X i of the f basis). f 에서 f ′ 로의 기저의 변화()가 있을 때, 성분들은 아래와 같이 변환한다 α 의 성분들의 행 벡터는, 아래와 같이, α f 로 표기하자 그러면, 식 ()은 아래와 같이 행렬 곱으로서 다시 쓰여질 수 있다 선형 범함수 α의 성분들은 행렬 A를 통해 변환하기 때문에, 이러한 성분들은 기저의 변화 아래에서 공변적으로 변환한다 고 말하여진다. A를 상기 두 쌍들과 연관시키는 방법이 화살표를 사용하는 아래의 도식에 표현되었다. 화살표들이 같은 방향이므로, 아래는 공변적 관계를 표현한다. 열 벡터가 대신 사용되었다면, 변환 법칙은 아래와 같이 전치(transpose)일 것이다. 기저 f 가 벡터 공간 V 상에서 선택되면, 아래의 식을 통해, V 상에서의 좌표 함수들의 집합가 일의적으로 정의된다. 벡터 공간 V 상에서의 좌표들은, 아래의 관계에 의해 반변적이다. 거꾸로 말해, V 상에서 좌표들 x i 처럼 변환하는 n개의 양들 v i 의 시스템은 반변 벡터를 정의한다. 반변성과 공변성에 대한 이러한 수식화는, 벡터들이 탄젠트 벡터들 또는 코탄젠트 벡터들로 존재하는 좌표 공간(다양체)을 갖는, 응용 문제들에서 종종 보다 자연스럽다. 다양체 상의 국소 좌표계 x i 가 주어질 때, 그 좌표계를 위한 기준 축들은 아래의 벡터장들이다. 이는 좌표 조각(coordinate patch)의 모든 점들에서 프레임 을 발생시킨다. 만일 y i 가 다른 좌표계라면 그리고, 이라면, 프레임 f 은, 아래의, 좌표 전이의 야코비 행렬의 역을 통해 프레임 f 와 연관되게 된다:인덱스로 표현하면, 탄젠트 벡터는, 정의에 의해, 좌표 편미분 의 선형 조합이다. 따라서, 탄젠트 벡터는 아래와 같이 정의된다 그러한 벡터는 프레임의 변화에 대해 반변적이다. 좌표계에서의 변화 아래에서, 아래와 같다. 따라서, 탄젠트 벡터의 성분들은 아래의 식을 통해 변환한다. 이에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 이러한 방식으로 변환하는 좌표들에 의존적인, n개의 양들 v i 의 시스템은 반변 벡터라고 불린다. == Covariant and contravariant components of a vector with a metric == (메트릭 텐서로 언급될) 대칭적 쌍선형 형식을 갖는 장 K () 상에서의 유한-차원 벡터 공간에서는, 공변 및 반변 벡터들은 거의 구별되지 않는다. 왜냐하면, 쌍선형 형식에 의해, 코벡터들은 벡터들과 동일하기 때문이다. 즉, 벡터 v 는, 아래의 식을 통해, 모든 벡터 w 에 대해 일의적으로 코벡터를 결정한다. . 바꿔 말하자면, 각 코벡터 α 는 위 방정식을 통해 유일한 하나의 벡터 v를 결정한다. 벡터들과 코벡터들 사이의 이러한 일치 때문에, 사람들은 한 벡터의 공변 성분들 또는 반변 성분들을 말할 수 있다. 즉, 그들은, 그저, 레시프로칼 기저를 사용하는 동일한 벡터의 서로 다른 표현들일 뿐이다. V의 기저 가 주어지면, 아래의 크로네크 델타의 조건을 요구함으로써 결정되는, V의 유일한 레시프로칼 기저 가 존재한다. 이러한 기저를 통해 표현하면, 임의의 벡터 v 는 아래의 두가지 방식으로 쓰여질 수 있다 성분들 v i f은 기저 f 에서의 벡터 v 의 반변 성분들 이고 , 성분들 vi f 은 기저 f 에서의 벡터 v 의 공변 성분들 이다. 이러한 용어법은 기저의 변화 아래에서, 아래와 같기 때문에, 정당화된다. 벡터의 (붉은 색의) 반변 성분들은 (오렌지 색의) 좌표 축들로 투영함으로써 얻어진다. 공변 성분들은 (파란 색의) 좌표 초평면들로 투영함으로써 얻어진다. 유클리드 평면에서, 내적은 벡터들이 코벡터들과 동일시되는 것을 허락한다. 만일 가 기저라면, 듀얼 기저 는 아래 관계들을 만족한다. 따라서, e1 과 e 2 는 서로 수직하고, e 2 과 e 1는 서로 수직하고, e 1 과 e 2 의 길이들은 각각 e 1 및 e 2에 대해 정규화된다. 예를 들어, 서로에 대해 45° 각도를 이루는 한 쌍의 벡터들로 구성되는, 기저 e 1, e 2가 주어지되, e 1 은 길이 2를 갖고, e 2 는 길이 1을 갖는다고 하자. 그러면, 이중 기저 벡터들은 아래와 같이 주어진다 e 2 는 e 1 를 ( e 1 및 e 2 의 쌍들이 양의 방향으로 향한다고 가정하여 측정한) 90° 의 각도로 회전시킨 후 가 유효해지도록 스케일을 재조정한 결과물이다. e 1 은 e2 를 90° 의 각도로 회전시킨 후 가 유효해지도록 스케일을 재조정한 결과물이다. 이러한 규칙들을 적용하면, 아래를 얻을 수 있다. 그리고 따라서, 원래 기저에서 레시프로칼 기저로 가는데 있어 기저 행렬의 변화(??) 는, 아래와 같다.왜냐하면, 예를 들어, 벡터 는 아래의 반변 성분들을 갖는 벡터이다 공변 성분들은 상기 벡터 v에 대한 두가지 표현들을 같다고 놓음으로써 얻어진다 . 그래서, 보다 일반적으로, n -차원의 유클리드 공간 V 에서, 기저가 아래와 같다면, 레시프로칼 기저는 아래의 식으로 주어진다(여기서 반복된 인덱스들은 섬(summed)된다), 위 식에서, 계수들 g ij 은 아래의 역행렬의 원소들이다. Indeed, we then have 임의의 벡터의 공변 및 반변 성분들 은 아래의 식들에 의해 위에서와 같이 연관지어질 수 있다 및 물리학 분야에서, 형용사 "공변"은 "불변"에 대한 유사 표현으로 비공식적으로 사용되곤 한다. 예를 들면, 슈뢰딩거 방정식은 특수상대론의 좌표 변환 아래에서 그 형태를 유지하지 못한다. 따라서, 물리학자들은 슈뢰딩거 방정식은 공변적이지 않다고 말한다. 반면, 클라인-고든 방정식 및 디랙 방정식은 그러한 좌표 변환 아래에서 그 형태를 유지한다. 따라서, 물리학자들은 이들을 공변적이라고 말한다. "공변적"에 대한 이러한 사용에도 불구하고, 클라인-고든 및 디랙 방정식들은 불변적이라고 말하고 슈뢰딩거 방정식은 불변적이지 않다고 말하는 것이 보다 정확하다. 추가적으로, 애매함을 없애기 위해, 그러한 불변성이 평가되는 변환이 명시돼야 한다. 벡터들의 성분들은 반변적이고 코벡터들의 성분들은 공변적이기 때문에, 종종, 벡터들은 그 자체로 반변적이라 언급되고, 코벡터들은 공변적이라고 언급된다. 공변성과 반변성 사이의 구별은 (종종 혼합된 가변성( mixed variance )을 갖는) 텐서들을 사용하는 계산에서 특히 중요하다. 이는 그들이 공변 및 반변 성분들을 모두 갖는다는 것을 또는 벡터 및 코벡터 성분들을 모두 갖는다는 것을 의미한다. 텐서의 가변성은 가변적 및 공변적 항들의 수이며, 아인슈타인 표기법에서는, 공변 성분들은 아래 첨자들을 갖는 반면, 반변 성분들은 위 첨자들을 갖는다. 비록, 현대 미분 기하학은 텐서를 나타내기 위해 보다 정교한 무-인덱스 방법을 사용하기는 하지만, 공변성과 반변성 사이의 이중성은 벡터 또는 텐서 양이 그것의 성분들에 의해 표현될 때마다 개재된다. 텐서 해석에 있어서, 공변 벡트는 상응하는 반변 벡터에 대해 다소 다르게 변한다. 벡터 공간에 있는 대상들의 길이들, 면적들, 및 부피들에 대한 표현들은 공변 및 반변 인덱스들을 갖는 텐서들을 통해 주어질 수 있다. 좌표들의 단순한 팽창 및 수축 아래에서, 역(reciprocity)은 정확하다. 아핀 변환들(affine transformations) 아래에서, 벡터의 성분들은 공변 및 반변적 표현들 사이에 섞인다. 다양체 상에서, 텐서 필드는 일반적으로, 아인슈타인 표기법이 사용되는, 다중, 위, 아래 첨자들을 갖는다. 메트릭이 다양체에 제공되면, 공변 및 반변 인덱스들은 서로 아주 밀접하게 관련지어진다. 반변 인덱스들은 메트릭 텐서를 사용하는 축약(contracting)을 통해 공변 인덱스들로 변환될 수 있다. 역 과정은 메트릭 텐서의 (행렬) 역을 사용하는 축약을 통해 가능하다. 일반적으로 메트릭 텐서가 부여되지 않은 공간에는 그러한 관계가 존재하지 않는다 것은 유념할 것. 더 나아가, 보다 추상적 인 관점에서 볼 때, 텐서는 단순히 "거기에" 있는 것이며, 성분들은 단지, 그것의 값들이 선택된 좌표에 의존하는, 계산 상의 인공물들이다. 기하학적 용어로서 설명하자면, "일반적인 텐서는, 탄젠트 번들(tangent bundle) 뿐만이 아니라 코탄젠트 번들(cotangent bundle)에 살고 있는 부분들을 갖기 때문에, 반변 인덱스들 뿐만이 아니라 공변 인덱스들을 갖는다." 반변 벡터는 처럼 변환하는 것이다(여기서 는 고유 시간 에 입자의 좌표들이다). 공변 벡터는 처럼 변환하는 것이다(여기서, 는 스칼라 장이다). 분류:미분기하학 분류:리만 기하학 분류:텐서 분류:벡터