이론물리학에서, 트위스터 공간 (twistor空間은 4차원 민코프스키 공간의 등각 대칭을 자명하게 드러내는 한 방법이다. 트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 * 물리학에서는 또는 인 경우에 해당한다. 2차원 -벡터 공간 , * 물리학에서, 이는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 (인 경우) 또는 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너(인 경우)에 해당한다. 그렇다면, 4차원 -벡터 공간 을 정의할 수 있다. (물리학적으로, 이는 복소화한 시공간에 해당한다.) 그 위에는 비퇴화 이차 형식 이 존재한다. (인 경우 이는 부호수 (2,2)를 가진다.) 위에는 가 작용하며, 이 가운데 의 작용은 를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상 을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간 를 이렇게 2차원 벡터 공간의 텐서곱으로 나타내는 구조는 위의 선형 등각 구조와 동치이다. 설명 구체적으로, 에 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식 을 정의할 수 있다. 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류 는 잘 정의된다. 반대로, 위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군 을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여 의 4차원 표현 는 두 바일 스피너 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이 에 해당한다. 이제, 다음과 같은 공간을 생각하자. 이 5차원 비특이 대수다양체 를 대응 공간 (對應空間이라고 한다. 그 국소 좌표는 로 쓸 수 있다. 여기서 는 의 지표이며, 는 의 지표이다. 그렇다면, 와 그 쌍대 공간 사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다. 이 함수는 전사 함수가 아니며, 그 상은 다음과 같다. 이는 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루며, 그 여집합은 이다. 즉, 는 3차원 준사영 대수다양체를 이룬다. 이를 트위스터 공간 이라고 하며, 그 속의 임의의 원소 를 트위스터 ()라고 한다. 이는 사영 사상 을 가지며, 이 사영 아래 는 위의 2차원 벡터 다발 의 전체 공간과 동형이다. 즉, 대응 공간 는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다. 왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 앰비트위스터 공간 ()이라고 한다. 구체적으로, 대응 공간 을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상 을 정의한다. 그 상은 를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면 를 앰비트위스터 공간 이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 물론 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간 으로의 사영 사상 을 갖는다. 또한, 이로부터 다음과 같은 사영 사상이 존재한다. 그 상은 4차원 사영 공간 속에서 으로 정의되는 3차원 이차 초곡면이다. 이 는 초평면 트위스터 공간 ()이라고 한다. 이는 세그레 사상 을 통하여, 사실 위의 선다발 의 전체 공간과 같다. 다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자. 체 4차원 -벡터 공간 (6차원 마요라나-바일 스피너) 그렇다면 를 정의하면, 위에는 가 작용한다. 위에는 비퇴화 이차 형식 이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서 은 레비치비타 기호이다. 일 때 이는 부호수 (3,3)를 가진다.) 이는 동형 사상 에서 유래한다. 이 경우, 마찬가지로 공간 은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다. 이는 마찬가지로 의 부분 집합이다. 그런데 이므로, 그 상은 이다. 이는 6차원 준사영 대수다양체이다. 이 공간 를 6차원 공간의 트위스터 공간 이라고 하며, 그 원소 를 트위스터 라고 한다. 는 3차원 사영 공간 위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발 의 부분 다발이며, 짧은 완전열 을 따른다. 3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 미니트위스터 공간 ()라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 체 2차원 -벡터 공간 (3차원 마요라나-바일 스피너의 공간) 그렇다면 3차원 벡터 공간 를 정의할 수 있다. 이므로, 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 를 고른다면, 는 딸림표현 와 동형이며, 이는 킬링 형식을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 행렬식에 비례한다. (일 때, 위의 이차 형식의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상 을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를 와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다. 이 경우, 대응 공간 으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다. 여기서 는 1등급 성분이 이며 2등급 성분이 인 등급 벡터 공간이며, 이에 대하여 가중 사영 공간을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 트위스터 공간 라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다. 즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상 에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면 는 에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발 에 해당한다. 이는 사실 사영 직선 위의 접다발에 해당한다. 즉, 이다. 가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다. 즉, 는 4차원 사영 공간 속의 2차원 준사영 대수다양체이다. 4차원 트위스터 공간 을 생각하자. 이 경우, 시공간 와 트위스터 공간 사이에 다음과 같은 대응이 존재한다. 시공간 트위스터 공간 대응에 대한 설명 점 복소수 사영 직선 설명 복소화 시공간의 임의의 점 에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 는 다음과 같다. 이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 에 해당한다. 즉, 시공간의 점은 트위스터 공간에서의 직선에 대응한다. 영평면 점 설명 복소화 시공간의 임의의 두 점 이 트위스터 공간의 같은 점 에 대응된다고 하자. 그렇다면 이다. 이므로, 이것이 성립할 필요 충분 조건은 어떤 에 대하여 인 것이다. 즉, 에 대응하는 시공간의 점들은 의 꼴이다. 이는 (2차원) 평면을 이루며, 정의에 따라서 이는 영평면이다. 등각 구조 (빛원뿔 집합) 복소구조 (사영 직선의 집합) 와 의 차의 노름이 0 두 사영 직선이 서로 교차 설명 시공간의 두 점 에 대응하는 직선이 서로 교차할 필요 충분 조건은 이다. 그런데 이 되려면, 가 되어야 함을 보일 수 있다. 이 조건은 사실 인 것과 동치이다. 물리학적으로, 이는 가 (적절한 실수 조건을 가했을 때) 의 빛원뿔 위에 위치함을 뜻한다. 위 표에서 영평면 (零平面이란 (원점을 지나지 않을 수 있는) 2차원 평면 가운데, 임의의 두 점 에 대하여 인 것이다. 사실, 이는 근본적으로 다음과 같은 성질에서 기인한다. 우선, 4차원 벡터 공간 속의 2차원 그라스만 다양체 를 생각하자. 그 속의 닫힌점은 사영 공간 속의 사영 직선에 대응한다. 즉, 는 속의 사영 직선의 모듈러스 공간이다. 이제, 계수를 복소수체로 잡으면, 복소다양체 에 적절한 ‘실수 형식’을 주면, 이는 4차원 초구 가 된다. 즉, 의 점은 트위스터 공간 속의 직선을 정의한다. 여기서 포함 사상은 의 선택에 의하여 유도되는 포함 관계 이다. (여기서 는 사원수 대수이다.) 3차원 트위스터 공간 을 생각하자. 복소화 시공간의 임의의 점 에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 는 다음과 같다. 이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 에 해당한다. 또한, 이는 사영 사상 아래 각 에 대하여 정확히 하나의 점을 포함하므로, 이는 의 단면을 이룬다. 즉, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다. 물론, 우변은 리만-로흐 정리를 통해 3차원임을 쉽게 계산할 수 있다. 임의의 두 점 에 대응되는 단면 이 주어졌을 때, 이를 의 전체 공간의 부분 공간으로 간주할 때, 이는 정확히 두 개의 점에서 교차한다. 이것이 위에 있다고 하자. 그렇다면 이 된다. 이것이 가능할 필요 충분 조건은 이다. 즉, (4차원과 달리) 3차원에서는 임의의 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히, 일 필요 충분 조건은 인 것이다. 트위스터 공간의 한 점 에 대응되는 두 시공간의 점 에 대하여, 이다. 즉 이다. 이는 3개의 변수에 대하여 하나의 방정식이므로, 3차원 시공간 속의 어떤 평면을 정의한다. 또한, 는 위의 계량을 정의하는 것으로 여기면, 는 그 영벡터를 이루며, 따라서 \lambda를 포함하는 \Delta^\vee의 어떤 기저에 대하여 의 꼴이다. 즉, 이 평면을 정의하는 두 선형 독립 접벡터는 다음과 같다. 여기서 첫 벡터는 노름이 0이며, 둘째 벡터는 첫째 벡터와 직교한다(즉, 첫째 벡터와의 내적이 0이다). 이러한 평면을 영평면 ()이라고 한다. 물리학적으로, 이는 빛원뿔과 접하는 평면으로 해석할 수 있다. 3차원 시공간 미니트위스터 공간 점 사영 직선 위의 대수적 벡터장 빛원뿔과 접하는 평면 점 벡터의 스피너로의 분해 두 벡터장이 같은 점을 갖게 되는 두 점 노름이 0인 벡터 같은 점을 갖게 되는 점이 이중점 라고 하자. 위에서, 매끄러운 함수 에 대하여 다음과 같은 선형 편미분 방정식을 정의할 수 있다. 이 선형 1차 편미분 방정식의 해를 나선도 의 영질량장 ()이라고 한다. 마찬가지로, 매끄러운 함수 에 대하여 선형 1차 편미분 방정식 의 해를 나선도 의 영질량장 ()이라고 한다. 일 때는, 우선 에 각각 심플렉틱 벡터 공간 구조 , 를 부여하자. 그렇다면 2차 미분 연산자 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 나선도 0의 영질량장 은 매끄러운 함수 가운데 을 따르는 것이다. 2차원 벡터 공간 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례하므로, 만약 다른 심플렉틱 벡터 공간 구조를 사용하더라도 나선도 0의 영질량장의 개념은 잘 정의된다. 나선도 의 영질량장의 -벡터 공간을 라고 하자. 이제, 4차원 트위스터 공간 을 생각하자. 임의의 열린집합 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다. 즉, 트위스터 공간 위의 차 선다발의 정칙 단면은 시공간 위의, 나선도 의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 펜로즈 변환 ()이라고 한다. 임의의 콤팩트 반단순 리 군 에 대하여, 4차원 유클리드 공간 위의 -양-밀스 이론의 순간자 를 생각하자. 이 경우, 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간 을 취할 수 있다. 이 경우에도 자기 쌍대성 조건은 여전히 유효하다. 이 경우, 위의 순간자의 모듈러스 공간은 순간자 공간 위의 정칙 -주다발 가운데 ① 위상적으로 자명하며 ② 임의의 포함 사상 에 제한하였을 때 정칙적으로 자명한 것들의 모듈러스 공간과 표준적으로 동형이다. 이 대응을 펜로즈-워드 변환 ()이라고 한다. 구체적으로, 사영 직선 는 두 개의 아핀 직선으로 구성된 열린 덮개를 가지며, 따라서 그 위의 벡터 다발 는 두 개의 3차원 아핀 공간 , 로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 위의 조건들을 따르는 -주다발 는 따라서 전이 함수 로 주어진다. 사영 사상 아래, 와 는 의 열린 덮개를 이룬다. 가 의 열린 덮개를 이루므로, 항상 으로 표현될 수 있다. 위에는 표준적인 벡터장 이 존재하며, 이에 따라 는 를 따른다. 즉, 이다. 이를 짜깁기하여 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 는 에 비례하며, 는 에 비례하므로, 위의 값의 1차 미분 형식 을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는 위의 순간자를 정의하는 주접속을 이룬다. 1967년에 로저 펜로즈가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하였다. 이후 펜로즈는 파동 방정식의 해와 트위스터 공간 위의 선다발의 층 코호몰로지 사의 펜로즈 변환을 발견하였다. 1977년에 리처드 새뮤얼 워드(, 1951〜)가 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환을 발견하였다. 분류:양자장론 분류:끈 이론 분류:복소다양체