조합론에서, 결합 도식 (結合圖式 또는 일관 구조 (一貫構造는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수 (बसु-Mesner代數가 존재한다. 결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다. 결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 집합 의, 개의 부분 집합들 , 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉠ 는 의 분할을 이룬다. 즉, 이며 이라면 이며, 또한 이다. ㉡ 인 부분 집합 가 존재한다. ㉢ ㉣ 임의의 에 대하여, ㉤ 임의의 및 에 대하여, 는 에 의존하지 않는다. 여기서 에 대하여, x\sim_Ry는 를 뜻한다. 는 의 반대 이항 관계이다. 흔히, 의 원소는 으로 표기되며, 이 경우 이다. 또한, 는 결합 도식의 구조 상수 (構造常數라고 한다. 결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 집합 자연수 개의, 모든 성분이 0 또는 1인 정사각 행렬들의 족 . 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉠ 는 모든 성분이 1인 정사각 행렬이다. ㉡ 인 가 존재한다. ㉢ . ㉣ 임의의 A\in\mathcal A에 대하여, ㉤ 임의의 에 대하여, 그 곱 는 의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 에 대하여, 인 자연수 가 존재한다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 를 대신 정사각 행렬 로 치환하면 된다. 결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다. 결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 유한 집합 유한 집합 함수 . 이는 거리 함수 (距離函數라고 한다. 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다. ㉡ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다. ㉢ 은 전사 함수이다. ㉣ 임의의 에 대하여, 라면 ㉤ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이자 가 되는 전단사 함수 가 존재한다. 이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 에 대하여 이항 관계 를 대응시키면 된다. 같은 집합 위의 두 결합 도식 및 에 대하여, 만약 이라면, 를 의 부분 결합 도식 (部分結合圖式이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자. 유한 집합 위의 결합 도식 (X,\mathcal R) 유한 집합 위의 결합 도식 (X ,\mathcal R ) 그렇다면, 결합 도식 사상 () 은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 함수 함수 g\colon \mathcal R\to\mathcal R 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :임의의 및 R\in\mathcal R에 대하여, 만약 라면, 이다. 이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다. 결합 도식 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식 (對稱結合圖式이라고 한다. 조합론적 정의 에서, 의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 라면, 이다. 행렬을 통한 정의 에서, 모든 A\in\mathcal A는 대칭 행렬이다. 기하학적 정의 에서, 임의의 x,y\in X에 대하여 이다. 결합 도식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식 (可換結合圖式,)이라고 한다. 그 보스-메스너 대수가 가환환이다. 조합론적 정의에서, 임의의 R,R ,R \in\mathcal R 및 에 대하여, 행렬을 통한 정의 에서, 임의의 A,B\in\mathcal A에 대하여 이다. 기하학적 정의 에서, 임의의 에 대하여, 가 되는 자기 전단사 함수 가 존재한다. 결합 도식 이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식 (均等結合圖式이라고 한다. 조합론적 정의 에서, 이다. 행렬을 통한 정의 에서, 이다. 기하학적 정의 에서, 이다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식 결합 도식 이 주어졌을 때, 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. 이 동치 관계에 대한 동치류를 의 올 ()이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 로 표기할 때, 다음이 성립한다. 증명 임의의 가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여 이라고 가정하자. 그렇다면, 이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다. 이에 따라, 결합 도식 의 임의의 올 이 주어졌을 때, 는 균등 결합 도식을 이룬다. 유한 개의 결합 도식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 위에 이항 관계 를 줄 수 있다. 그렇다면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 (X_i,\mathcal R_i)_{i\in I}의 직접곱 (直接곱이라고 한다. 이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다. 임의의 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다. 만약 일 때, 다음이 성립한다. 균등 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다. (여기서 는 크로네커 델타이다.) 대칭 결합 도식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 위에, 의 원소를 색으로 하는 변 색칠 을 정의할 수 있다. 이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다. (행렬을 통한 정의의) 결합 도식 이 주어졌을 때, 의 선형 생성 은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 에 대응하는 보스-메스너 대수 라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다). 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다. 이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원 들을 정의할 수 있으며, 이들은 를 만족시킨다 (는 크로네커 델타). 또한, 편의상 로 놓는다. 여기서 는 모든 성분이 1인 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다. 특히, 를 로 전개하였을 때의 계수 를 정의할 수 있다. 가환 결합 도식 의 경우, 최소 멱등원의 수는 와 같으며, 멱영원들 은 보스-메스너 대수 의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다. 또한, 들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, 들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수 를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 이다.) 이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다. 이항 연산 아다마르 곱 행렬의 곱 기저 기저의 직교성 멱등원 조건 의 모든 성분은 0 또는 1 (아다마르 곱의 멱등원) 의 모든 고윳값은 0 또는 1 (행렬곱의 멱등원) 항등원 기저 원소의 쌍대성 (각 성분의 복소켤레) 기저의 합 차수 차수의 합 구조 상수 기저 변환 이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다. 이에 따라, 만약 두 결합 도식 , 의 복소수 계수 보스-메스너 대수 , 가 각각 라면, 서로 쌍대 ()라고 한다. 즉, 반선형 변환() 를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다. 아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다. 특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다. 다음은 인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 이다. A B C D E F A 0 1 1 2 3 3 B 1 0 1 3 2 3 C 1 1 0 3 3 2 D 2 3 3 0 1 1 E 3 2 3 1 0 1 F 3 3 2 1 1 0 그 구조 상수는 다음과 같다. 여기서 가 수록되었다면 는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다. 크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 위에 을 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식 (自明-結合圖式이라고 한다. 그 구조 상수는 다음과 같다. 이는 사실 인 해밍 결합 도식과 같다. 임의의 유한 집합 위에, 를 정의하면, 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식 (離散結合圖式이라고 한다. 그러나 일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다. 크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다. A A 0 크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다. + (가) A B A 0 1 B 1 0 + (나) A B A 0 2 B 3 1 (가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다. 주어진 집합 X 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다. 균등 결합 도식의 수 대칭 결합 도식의 수 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 4 3 5 3 2 6 8 4 7 4 2 8 21 10 9 12 6 10 13 8 11 4 2 12 59 21 임의의 곱집합 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식 이라고 한다. 특히, 일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식 이라고 한다. 유한군 의, 유한 집합 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, 이다.) 그렇다면, 를 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는 이다. 이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환 과 동형이다. 또한, 에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 가 아벨 군인 것이다. 유한군 의, 유한 집합 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 위에 다음과 같이 작용한다. 그렇다면, 의 작용에 대한 궤도들은 의 분할 을 정의한다. 이 경우, 는 결합 도식을 이룬다. 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다. 결합 도식 군의 작용 올 위의 -작용의 궤도 균등 결합 도식 가 추이적 작용 대칭 결합 도식 임의의 에 대하여, 가 되는 가 존재 자명 결합 도식 가 2-추이적 작용 이산 결합 도식 가 자명한 작용 (즉 1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”()이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다. 1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너()는 보스-메스너 대수를 도입하였다. 이후 도널드 고든 히그먼(, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”()라고 불렀다. 분류:분산분석 분류:실험 설계 분류:조합론