함수해석학에서, 바나흐 공간 (Banach空間은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다. 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -노름 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 -노름 공간을 -바나흐 공간 이라고 한다. (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다. 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 에 대하여, 만약 라면, 급수 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다. 체 를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.) -바나흐 공간 의 부분 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 가 닫힌집합이라면 는 역시 바나흐 공간을 이룬다. 만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 가 존재한다면, 를 여공간을 가지는 부분 공간 ()라고 한다. 는 전사 함수이다. 는 (로의) 사영이다. 즉, 이다. 는 유계 작용소이다. 여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. :여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간 여분 부분 공간 가 주어졌을 때, 바나흐 공간 를 다음과 같이 분해할 수 있다. 그러나 이러한 P는 유일하지 않을 수 있다. -노름 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 -바나흐 공간 및 등거리 선형 변환 가 존재한다. 상 는 의 조밀 집합이다. 또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 -바나흐 공간 및 등거리 선형 변환 j\colon V\to W에 대하여, 만약 j(V)가 조밀 집합이라면, 인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) 가 존재한다. 는 거리 공간으로서 의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 가 이미 바나흐 공간이라면 \iota는 바나흐 공간 동형 사상이다. -바나흐 공간 의 -부분 벡터 공간 에 제한 노름 를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 는 -바나흐 공간을 이룬다. 는 닫힌집합이다. 또한, 닫힌 부분 벡터 공간 에 대한 몫공간 위에 으로 노름을 주자. 그렇다면 역시 -바나흐 공간을 이룬다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. -바나흐 공간 -노름 공간 연속 열린 -선형 변환 그렇다면, 는 -바나흐 공간이다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자. -노름 공간의 집합 확장된 실수 그렇다면, 직합 위에 다음과 같은 노름을 정의하자. 그렇다면, 는 -내적 공간을 이룬다. 만약 가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 모든 에 대하여 가 바나흐 공간이다. 는 바나흐 공간이다. 이 경우, 의 (-노름으로 정의되는) 위상은 에 의존하지 않는다. 그러나 만약 가 무한 집합이라면, 가 모두 바나흐 공간이라도 \tilde V가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 의 완비화 를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 에 따라 다르다. 힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱 ()과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱 ()이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다. 바나흐-샤우데르 정리 (-定理 또는 열린 사상 정리 (-寫像定理에 따르면, 임의의 두 -바나흐 공간 , 사이의 전사 유계 작용소 는 열린 함수이다. 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.) 이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다. 증명 속의 단위 열린 공의 상 이 의 근방임을 증명하면 족하다. 우선, 는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다. 가 전사 함수이므로 이다. 베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서, 인 양의 정수 및 및 양의 실수 가 존재한다. (는 열린 공을 뜻한다.) 즉, 이다. 이제, 를 증명하자. 우선, 이므로, 임의의 에 대하여, 이며, 는 볼록 집합이므로 이다. 이제 를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 에 대하여, 인 를 찾으면 족하다. 다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 을 재귀적으로 고를 수 있다. (이는 의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로, 를 정의할 수 있다. 가 연속 함수이므로 이다. 특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다. 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리 ()에 따르면, 두 -바나흐 공간 , 사이의 -선형 변환 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 연속 함수이다. 유계 작용소이다. 는 (곱위상을 부여한) 속의 닫힌집합이다. 증명 연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다. 가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 는 (임의의 에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수 는 정의에 따라 연속 함수이다. 는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 는 위상 동형 사상이다. 따라서 역시 연속 함수이다. 즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다. 닫힌 그래프 선형 변환 ⇕ 연속 선형 변환 ⇕ 유계 작용소 ⇐ 전사 유계 작용소 ⇒ 열린 유계 작용소 ⇑ ⇑ 단사 유계 작용소 ⇐ 전단사 유계 작용소 ⇒ 닫힌 유계 작용소 ⇕ 위상 동형 유계 작용소 이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리 가 성립한다. 다음과 같은 함의 관계가 성립한다. -힐베르트 공간 ⇒ -반사 바나흐 공간 ⇒ -바나흐 공간 ⇓ ⇓ -내적 공간 ⟹ -노름 공간 벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저 라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다. 바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수 라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다. 분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다. 모든 분해 가능 -바나흐 공간은 르베그 공간 의 몫공간이다. 즉, 에 닫힌 -부분 벡터 공간 이 존재하여, 이다. 바나흐-마주르 정리 (Banach-Mazur定理에 따르면, 임의의 -바나흐 공간 에 대하여 다음이 성립한다. 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 K 및 등거리 -선형 변환 가 존재한다. 만약 가 분해 가능 공간이라면, 등거리 -선형 변환 가 존재한다. 여기서 는 \mathbb K값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은 이다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 의 단위 닫힌 공 을 생각하고, 그 위에 약한- 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한- 위상의 정의에 따라, 임의의 에 대하여 연속 함수 는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수 를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다. 만약 가 추가로 분해 가능 공간이라면, 는 의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다. 바나흐-마주르 콤팩트 공간 ()이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈러스 공간이 존재한다. 자연수 및 및 두 차원 실수 바나흐 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 -선형 변환들의 공간 을 생각할 수 있다. 이 경우, 와 사이의 바나흐-마주르 거리 ()는 다음과 같다. 여기서 는 작용소 노름이다. 이는 삼각 부등식을 만족시킨다. 차원 -바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간 이라고 한다. 자연수 에 대하여, 유한 차원 -벡터 공간 위에 노름 를 부여하면, 이는 -바나흐 공간을 이룬다. 임의의 측도 공간 및 확장된 실수 에 대하여, 르베그 공간 는 -바나흐 공간을 이룬다. 수렴 수열 공간 과 영 수렴 수열 공간 은 둘 다 -바나흐 공간을 이룬다. 임의의 -힐베르트 공간 에 대하여, 로 노름을 정의하면 이는 -바나흐 공간을 이룬다. 콤팩트 하우스도르프 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의, \mathbb K값의 연속 함수들의 -벡터 공간 에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다. 이는 -바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 -바나흐 대수를 이룬다. 스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다. 바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고, 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.