해석학에서, 횔더 부등식 ()은 르베그 적분과 L p 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다. S , Σ , μ 가 측도 공간이고, p , q ∈ R 가 1 ≤ p , q ≤ ∞ 이고 1/ p + 1/ q = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 S 에서 가측 함수 f , g 에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다. 부등식은 fg 1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 f ∈ L p ( μ ) , g ∈ L q ( μ )일 때, fg ∈ L1( μ )가 성립한다. 1 p ( μ ) and g ∈ L q ( μ )일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 | f | p 과 | g | q 이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, α , β ≥ 0 인 α , β 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 α | f | p = β | g | q 가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다. ( f p 0이다. g q 0이다.) 이때 p 와 q 는 횔더 켤레 ( Hölder conjugates )이다. p 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다. 횔더 부등식은 L p ( μ )에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L p ( μ )의 쌍대공간 L q ( μ )를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ q p , g q 는 다음과 같이 정의한다. : and 만약 p = ∞ 이면, f 의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 g ∞도 정의한다. 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0 는 0으로 약속한다. r ∈ (0,∞) 이고 p 1, …, pn ∈ (0,∞이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자. 이때, S 에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f 1, …, fn 에 대하여, 가 성립한다. 또한, 다음도 성립한다. 주의 r ∈ (0,1)에 대해, . r 는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다. p ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 ( S , Σ , μ )이 μ ( S ) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, S 에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f , g (이때, g ( s ) ≠ 0 측도 μ 값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 s ∈ S )에 대하여 다음이 성립한다. 만약, fg 1 −1/( p −1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 α ≥ 0 에 대해 이 측도 μ 값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다. 주의 f 1/ p 와 g −1/( p −1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다. , 를 확률 공간이라 하고, 를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 p , q ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 X , Y 에 대하여 다음이 성립한다. 특이 사항 만약 음이 아닌 확률변수 Z 가 기댓값이 무한이라면, 이때 Z 의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다. : 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. a > 0 에 ∞ 를 곱해도 ∞으로 생각한다. p 와 q 가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자. n 차원 유클리드 공간의 집합 S = {1, …, n } 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다. : 만약 이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다. : 만약 S 가 르베그 측도를 측도로 갖는 R n 의 가측 집합일 때, f , g 는 S 에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다. : 확률 공간 에서 , 를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 X 와 Y 에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다. : :0 r 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다. : s 의 절대 모멘트가 유한할 때, r 의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.) 횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다. 만약 f p = 0 이라면, f 는 측도 μ 값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 fg 도 μ 값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. g q = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, f p > 0 , g q > 0 이라고 가정할 수 있다. 만약 f p = ∞ 또는 g q = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 f p , g q 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다. 만약 p 1이면, 거의 모든 점에서 | fg | ≤ f 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, p ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 p , q ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다. 아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 a , b 에 대하여 ap = bq 일 때이다. 이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 를 대입하면 주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 f p 와 g q 는 상수 취급을 받는다. 이때, 가정에서 p , q ∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , f p and g q 의 정의에 의해, 이므로, 그리고, 양변에 f p g q 을 곱하면 증명이 끝난다. 등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 가 성립할 때이다. 횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. n − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 p 1 ≤ … ≤ pn라 가정할 수 있다. 1 pn = ∞ 일 때, 가정과 | fn |의 본질적 상한을 사용하면, 을 얻을 수 있다. 2 pn n 이고, 이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다. p 와 가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면, 양변을 p 제곱하여, fg 1 에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다. g 가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 | fg | = α | g |− q / p 를 만족하는 상수 α ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다. 확률변수를 다음과 같이 정의하자. 이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때 집합 { U = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) | X | 0}에서 거의 확실하게 | Y | = 0 이다. 따라서, 이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다. 우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다. 집합 에서 거의 확실하게 성립. 이제 임의의 집합 에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다. U , V , 1 G 가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다. 분류:부등식 분류:대수학 분류:함수해석학 분류:해석학 (수학) 분류:바나흐 공간 분류:확률부등식 분류:함수해석학 정리