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물리 상수 (物理常數는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분이 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다. 물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 수 등이 있다. 물리 상수는 여러가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다. 유효자리는 굵게 표시했다. 양 기호 값 출처 진공에서의 광속 c 299 792 458 m·s-1 (정의) a 진공의 투자율 (磁 透過性, magnetic permeability) μ0 4π × 10-7 N A-2 (정의)= 12.566 370 614... × 10-7 N A-2 a 진공의 유전율 (誘電率, permittivity) ε0 = 1/(μ0c2) 8.854 187 817 ... × 10-12 F·m-1 a 진공의 온저항 (阻抗, impedance) Z 0 = μ0c 376.730 313 461... Ω (정의) a 중력상수 G 6.67 2 59(85) × 10-11 m3·kg-1·s-2 ? 플랑크 상수 h 6.626 070 040(81) × 10-34 J·s a 디랙 상수 (Dirac s constant) = h / (2π) 1.054 571 596(82) × 10-34 J·s a 플랑크 질량 m p = ( / G )1/2 2.17 67(16) × 10-8 kg a 플랑크 길이 l p= ( G / c 3)1/2 1.61 60(12) × 10-35 m a 플랑크 시간 t p = ( G / c 5)1/2 5.3 906(40) × 10-44 s a 기본 전하 e 1.602 176 462(63) × 10-19 C a 전자의 불변 질량 m e 9.109 38 1 88(72) × 10-31 kg a 양성자의 불변 질량 m p 1.672 621 58(13) × 10-27 kg a 중성자의 불변 질량 m n 1.674 92 7 16(13) × 10-27 kg a 원자 질량 단위 (原子 重量 常數, unified atomic mass unit) m u = 1 u 1.660 538 73(13) × 10-27 kg a 아보가드로 수 L , N A 6.022 14 1 99(47) × 1023 mol-1 a 볼츠만 상수 k 1.380 6 503(24) × 10-23 J·K-1 a 패러데이 상수 F 9.648 53 4 15(39) × 104 C·mol-1 a 기체 상수 R 8.314 4 72(15) J·K-1·mol-1 a 섭씨 영점 273.15 K (정의) ? 이상 기체의 몰부피, p 00C 22.710 981(40) L·mol-1 a 표준 기압 (標準 氣壓, standard atmosphere) atm 101 325 Pa (정의) a 미세 구조 상수 α = μ0 e 2 c / (2 h ) 7.297 352 533(27) × 10-3 a α-1 137.035 99 9 76(50) a 보어 반지름 a 0 5.291 772 083(19) × 10-11 m a 하트리 에너지 E h 4.359 74 3 81(34) × 10-18 J a 뤼드베리 상수 R ∞ 1.097 373 156 8 549(83) × 107m-1 a 보어 자기자(Bohr magneton) μB 9.274 00 8 99(37) × 10-24 J·T-1 a 전자의 자기 모멘트 (electron magnetic moment) μe -9.284 763 62(37) × 10-24 J·T-1 a 자유 전자 상수 g e 2.002 319 304 386(20) ? 핵 자기자(nuclear magneton) μN 5.050 78 66(17) × 10-27 J·T-1 ? 양성자 자기 모멘트 (proton magnetic moment) μp 1.410 60 7 61(47) × 10-26 J·T-1 ? 양성자의 자기회전비 γp 2.675 22 1 28(81) × 108 s-1·T-1 ? H20에서의 자기 극자 모멘트, μ p μ p / μB 1.520 993 1 29(17) × 10-3 ? H20에서의 양성자 자기 공명 주파수 γ p / (2π) 42.576 3 75 (13) M·Hz·T-1 ? 슈테판-볼츠만 상수 σ 5.670 400(40) × 10-8 W·m-2·K-4 a 제1 복사 상수 c1 3.741 77 49(22) × 10-16 W·m2 ? 제2 복사 상수 c2 1.438 7 69 (12) × 10-2 m·K ? 표준 중력 가속도 (지구에서) g n 9.80665 m·s-2 (정의) ? aPeter J. Mohr and Barry N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No. 6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000. 분류:과학 법칙 분류:측정
대수학의 기본 정리 (代數學의 基本 定理 fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소계수 다항식 에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. 이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫힌 체임을 뜻한다. 수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 다음은 복소해석학을 이용한 증명이다. 복소 다항식 가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여 를 얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면 이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식 이 성립하므로 식 (a)로부터 을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 는 상수가 아니라고 하였으므로 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. 대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리 를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. ---- 모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식 에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 이 존재하여 와 같이 쓸 수 있다. 대수학의 기본 정리에 의해 인 점 이 존재하므로 와 같이 쓸 수 있다. 그런데 은 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다. 실계수 차 다항식 의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 개의 근을 갖지 않을 수도 있다. 실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은 와 같이 (는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다. 만일가 실계수 다항식 의 복소수 근이면 즉, 이면 이다. 복소켤레 연산의 성질에 의해 : : : 이다. 대수학의 기본정리에 의해 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다. 네이버 캐스트 - 대수학의 기본 정리 분류:기본정리 분류:체론 분류:대수학 정리 분류:복소해석학 정리
확률론과 통계학에서, 정규 분포 (正規 分布 또는 가우시안 분포 (Gauß 分布는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다. 정규분포는 2개의 매개 변수 평균 과 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 표준 정규 분포 (standard normal distribution)라고 한다. 정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다. 라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다. 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다. 위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다. 정규분포는 절대근사한다. 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다. 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다. 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다. 정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X를 Z로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다. z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z-검정(z-test)이라고 한다. 에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 불확실성 (uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차 (probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다. 가우스 함수 표본 크기 F 분포 분류:연속분포
right 공각기동대 (攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 만화에서 만들어진 같은 세계관을 공유하는 한 무리의 작품들을 가리킨다. 공각기동대는 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다. 공각기동대 최초의 작품. 공각기동대 1.5 Human Error Processor 셋째 만화. 공각기동대 2 ManMachine Interface 둘째 만화. 속편. 공각기동대 시로 마사무네의 만화를 바탕으로 1995년에 만들어진 영화. 이노센스 2004년에 만들어진 영화. 공각기동대 ARISE 공각기동대 신극장판 공각기동대 Stand Alone Complex (SAC) 첫 TV 시리즈. 공각기동대 S.A.C. 2nd GIG SAC의 둘째 시즌. 공각기동대 S.A.C. Solid State Society SAC의 셋째 작품. TV 시리즈가 아닌 OVA 한 편으로 제작되었다. 공각기동대 ARISE ALTERNATIVE ARCHITECTURE ARISE를 TV 시리즈 형식으로 재편집한 것. 공각기동대 고스트 인 더 쉘 공각기동대 - 미만부 분류:미디어 믹스 분류:사이버펑크
수론에서의 뫼비우스 반전 공식 (Möbius inversion formula)은 19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다. g ( n ) 과 f ( n )이 수론적 함수(arithmetic function)이며 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다고 하자. 이 때, 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다. 여기서 는 뫼비우스 함수(Möbius function)이고, 덧셈은 n 의 양의 약수 d 전체에 대해 이루어진다. 수론적 함수 는 의 누적으로 이루어지는데, 역으로 를 통해 를 꺼내는 공식이므로 반전 공식이라 불린다. f 와 g 가 자연수에서 어떤 아벨 군으로의 함수일 때에도 공식은 성립한다. 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다. 여기서 는 디리클레 합성곱이고, 1은 모든 에 대해 항상 1인 수론적 함수이다. 이 경우, 가 성립한다. 즉, 뫼비우스 함수는 모든 함수값이 1인 수론적 함수의 역원이기 때문이다. 당연하게도 이 성립한다. 여기서 은 일 때만 1이고 나머지는 모두 0인 수론적 함수이다. 다양한 수론적 함수의 계산의 예는 Apostol의 책을 참조하면 좋다. 조합론(combinatorics)에서 자주 쓰이는 동치의 진술은 다음과 같다. F ( x )와 G ( x )가 구간 1,∞)에서 복소수로의 함수이고, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해 을 만족하면, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해 이 성립한다. 여기서 합은 x 보다 작거나 같은 모든 양의 정수 n 에 대해서 이루어진다. 분류:수론적 함수 분류:조합론 분류:수론 정리 분류:수학 정리
수학에서, 푸리에 급수 (Fourier級數는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다. 함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호처리와 화상처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 주파수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다. 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉, 라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간()에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여, 가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 푸리에 계수 () 을 다음과 같이 정의한다. 그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다. :. 만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다. * 재판 * 영역 (역자 Alexander Freeman) Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlin, 1928. * 영역 Development of mathematics in the 19th century . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman) 푸리에 변환 조화 해석학 장 밥티스트 조제프 푸리에 분류:푸리에 해석학 분류:급수 분류:디지털 신호 처리
실수축 위에서 감마 함수의 그래프 수학에서, 감마 함수 (Γ函數는 계승 함수의 해석적 연속이다. 감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다. 양의 정수 n에 대하여 이 성립한다. gamma.jpg|섬네일|300px|right|복소평면에서의 감마 함수 감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다. 감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분 이라고 한다. 오일러 적분은 상반평면 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수 라 부른다. 이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태 라고도 불리기도 한다. 여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태 라고도 불리기도 한다. 만약 감마함수를 자연수 에 대해 을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어 또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다. 감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다. abs.png|섬네일|300px|감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다. 감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다. 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 는 전해석 함수이다. 감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 두 번째 공식은 오일러 반사 공식 ()이라고 불린다. 곱의 정리 특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다. 감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다. 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다. 일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다. 감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다. 반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n 에 대하여, 이 공식들은 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다. 몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다. 가우스 상수 감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다. 반지름이 인 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다. 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다. 여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다. 큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다. 구간 예약 큐-포흐하머 기호 ::: 불완전 감마 함수 베타 함수 *가우스 적분 *가우스 상수 *블로흐 상수 *란다우 상수 분류:특수 함수
광자 (光子, photon)는 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다. 광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수(h)에 빛의 진동수(v)를 곱한 값, 즉 hv이고, 운동량은 hv/c(c는 광속)이다. 아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화 되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화 되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다. 네이버 캐스트 - 광자는 홍길동 네이버 캐스트 - 빛의 이중성 분류:광학 분류:보손 분류:광자학 분류:물리학의 기본 개념 분류:게이지 보손 분류:기본 입자
보손 ()는 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 보손 , 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다. 예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다. 현재 알려진 기본 입자 가운데 보손은 다음과 같다. 게이지 보손은 양-밀스 이론에 등장하는 스핀 1의 입자이다. 이들은 게이지 상호작용을 매개시킨다. * 광자는 전자기파의 양자이다. 질량과 전하가 0이다. * 글루온은 강한 핵력의 양자이다. 색가둠에 따라 독립적으로 존재하지 않고, 쿼크와 함께 강입자를 이루거나 아니면 글루볼로 존재한다. 다만 아직 글루볼은 실험적으로 관측되지 못하고 있다. * W와 Z보손은 약한 핵력을 매개하는 게이지 보손이다. 힉스 메커니즘에 따라 이들은 매우 큰 질량을 가지며, 따라서 약한 핵력은 단거리에서만 작용한다. 힉스 보손은 힉스 메커니즘을 매개하는 스핀 0의 입자이다. 이는 최근에 발견되었다. 중력자는 중력자의 양자이며, 중력을 매개하는 스핀 2의 입자이다. 다만, 실험에서는 중력자의 존재는 중력파로 인한 효과로 간접적으로만 확인되었다. 초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다. 짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다. 양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 벡터 보손 , 스핀 0인 입자는 스칼라 보손 으로 불린다. 페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다. 분류:물리학의 기본 개념 분류:양자장론 분류:원자물리학 분류:통계역학
디리클레 합성곱 (Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬 은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다. f , g 가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f , g 의 디리클레 포갬 f g 는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다. 여기서 덧셈은 n 의 모든 양의 약수 d 에 대해 이루어진다. 이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면 닫혀있다 f와 g가 모두 곱셈적이라면, f g도 곱셈적이다. (주의 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.) 교환법칙 f g = g f 결합법칙 ( f g ) h = f ( g h ) 분배법칙 f ( g + h ) = f g + f h 항등원 f ε 1 에서 ε( n ) 0 으로 정의되는 함수. 역원 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f g = ε 를 만족한다. 덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환 (dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f (1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다. 나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다. 주어진 수론적 함수 에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다. 그리고 일 경우는 다음과 같다. 예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다. f 가 수론적 함수이면, L-급수 (L-series)는 다음과 같이 정의된다. 급수가 수렴하는 복소수 s에 대해, L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해, 위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다. 물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다. 주어진 산술함수 의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다. 예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수 이 있다고 할 때, 관계식 때문에 다음이 성립한다 위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다. 분류:수론 분류:수론적 함수
수학에서, 동치관계 (同値關係는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다. 집합 위의 동치관계 는 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계인 이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다. (반사관계) 임의의 에 대하여, (대칭관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면, (추이관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면 집합 위에 동치관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 동치관계 에 대한 동치류 (同値類 는 그 원소와 동치인 원소들의 집합이다 즉, 집합 의 에 대한 몫집합 (-集合 은 에 대한 동치류들의 집합이다. 즉, 임의의 집합 위의 등호 관계 도형 집합 위의 닮음 관계 사람들의 집합 위의, 같은 생일을 갖는 관계 공집합이 아닌 집합 위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다. 실수 집합 위의 순서 관계 는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다. 실수 집합 위의 이항관계 은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다. 집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합 위의 동치관계 에 대하여, 함수 를 표준사상 이라고 한다. 반대로, 전사함수 에 대하여, 이항관계 는 동치관계이며, 그 몫집합은 이다. 집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다. 집합 위의 동치관계 에 대하여, 그 몫집합 은 의 분할이다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다. 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다. 반대로, 집합 의 분할 에 대하여, 이항관계 는 동치관계이다. 집합의 분할 분류:관계 (수학)
Schrödinger (1933).jpg|180px|섬네일|에르빈 슈뢰딩거 슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger方程式은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다. 파동 함수 에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. 해밀토니언 연산자 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.) 해밀토니언 연산자 는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다. 즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다. 여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다. 이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다. 1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를 : 로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해 : 의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다. 위 식들을 각진동수 와 파수 및 를 이용해 표현하면, : 및 p 와 k 를 벡터로 표현하면 : 에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다. 그리고 그는 이므로 이며, 마찬가지로 이므로 이고, 따라서 및 각 방향의 부분들을 더하면 이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식 (단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것) 에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다. 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다. 또한, 슈뢰딩거 방정식에 비선형적인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다. 분류:편미분방정식 분류:양자역학 분류:사람 이름을 딴 낱말 분류:오스트리아의 발명품 분류:물리학의 기본 개념 분류:에르빈 슈뢰딩거 분류:물리학 방정식
라플라스 방정식 (Laplace s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수 라고 한다. 차원 리만 다양체에서 가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식 은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다. :. 3차원 유클리드 공간에서는 이므로, 이 된다. 우변을 주어진 함수 로 바꾼 경우 는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 인 푸아송 방정식의 특수한 경우다. 우변을 다음과 같이 바꾸면 헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 인 경우다. 코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.) 라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다. 라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다. 2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수 의 형태로 나타난다. 는 격자크기(mesh size) 푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다. 복소 범위의 해석적 함수 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. 이고 라 하자. 가 해석적이려면 를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서 이다. 따라서 는 라플라스 방정식을 만족한다. 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다. 극좌표계 에서 라플라스 연산자는 다음과 같다. :. 따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다. :. 이는 함수 의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는 으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다. 3차원 공간에서, 구면좌표계 에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다. :. 여기서 는 구면 조화 함수이고, 와 은 임의의 계수다. 물론, 가 원점에서 연속적이려면 이다. 분류:방정식 분류:조화해석학 분류:타원 편미분 방정식 분류:푸리에 해석학 분류:피에르시몽 라플라스
사인 함수와 코사인 함수 수학에서, 삼각함수 (三角函數는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다. 삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인 (, 기호 sin) · 코사인 ( , 기호 cos) · 탄젠트 (, 기호 tan)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트 (, 기호 csc) · 시컨트 (, 기호 sec) · 코탄젠트 (, 기호 cot)라고 한다. 직각 삼각형 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 라고 할 때, 사인 , 코사인 , 탄젠트 의 정의는 다음과 같다. :사인 :코사인 :탄젠트 또한, 코시컨트 , 시컨트 , 코탄젠트 는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다. :코시컨트 :시컨트 :코탄젠트 삼각 함수 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A 에 대해, 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 라고 하면, 다음과 같이 정의한다. 동경선이 역방향으로 움직이면 값을 갖는다. 150px200px :특수각일때, 오일러의 공식 에 를 대입하면, 를 대입하면, 연립하여 풀면, 쌍곡선함수, 사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여, 탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여, 사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 에서 본질적 특이점을 갖는다. 탄젠트는 실수선의 ()에서 정의되지 않는다. 350px 350px 350px 사인과 코사인의 그래프 탄젠트 그래프 코시컨트 그래프 단위원 위의 각 점의 좌표 특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다. :(라디안) 특수각 사인 코사인 탄젠트 (0˚) (30˚) (45˚) (60˚) (90˚) 0º , 90º sin, cos, tan :탄젠트 0˚= :탄젠트 90˚= 각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다. 사분면 sin과 csc cos과 sec tan와 cot I + + + II + − − III − − + IV − + − 삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식 으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 인 빗변이고 밑변이 각 의 대변인 높이 에 대하여 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다. 이것은 다음과 같다. 따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다. 서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리 이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다. (복부호 동순) 두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다. 모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. sin cos tan cot sec csc sin cos tan cot sec csc 다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다. 함수 도함수 부정적분 사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A , B , C 의 대변 a , b , c 에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다. 마찬가지로, 도 성립한다. 여기서 R 은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다. 코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다. 코사인 제 1 법칙 에 따르면, 양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다. 코사인 제 2 법칙 은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다. 가 성립하고, 위의 식을 변형하면 와 같이 나타낼 수 있다. 코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다. 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A , B 의 대변 a , b 에 다음과 같은 식을 만족시킨다. 기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다. 현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다. 독일의 선교사이자 과학자인 요한 슈렉이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 정현 (正弦)· 여현 (餘弦)· 정절 (正切)이라고 번역했다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다. 라디안 삼각함수 항등식- 배각 공식이나 반각 공식 등의 내용이 있다. 오일러의 공식 쌍곡선 함수 싱크함수 e 테일러 급수 오일러의 등식 원뿔 *헤론의 공식 *삼각함수의 덧셈정리 Visionlearning Module on Wave Mathematics GonioLab Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions Dave s draggable diagram. (Requires java browser plugin) sinusoidal wave shape 분류:초등 특수 함수
르장드르 다항식 () 는 르장드르 미분 방정식 ()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다. 스튀름-리우빌 형식으로 쓰면, 이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다. 구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 인 경우의 구간 -1,1사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다. center 르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다. 이 홀수이면 이 짝수이면 르장드르 다항식 끼리 구간 -1,1 에서 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다. :. 여기서 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 -1,1에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다. 여기서 고윳값 이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.) 르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다. 로드리게스 공식 ()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다. 르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다. 르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다. :. 르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다. 여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다. 분류:직교 다항식 분류:다항식
소수 에는 다음과 같은 뜻이 있다. 소수 (素數, 소쑤)는 수학에서 1과 그수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는, 1보다 큰 자연수이다. 소수 (小數, 소수) 수학에서 소수점을 찍어 나타낸 실수이다. 소수 (小數)는 수학에서 0보다 크고 1보다 작은 수이다. 소수 (少守)는 신라의 관직이다. 소수 (瀟水)는 중국의 강이다. 소수 (疏受, ? ~ ?)는 전한 후기의 관료·유학자이다. 소수 (蕭秀, 475 ~ 518)는 양나라의 황족이다. 소수 (蘇遂, 1517 ~ 1592)는 조선 중기의 문신이다.
깊은 생각 ()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다. 소설 속에서 깊은 생각은 삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답 을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다. 원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다. 체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다. 분류:은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서
쿼크 ()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다. 경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다. 중입자와 중간자를 이룬다. 이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 쿼크 (quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야 》 12장 신부선(新婦船)과 갈매기 에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다. 우연의 일치로, 우주 속의 입자들을 구성하는 쿼크는 세 개씩 같이 다닌다. 쿼크는 총 6가지의 종류(type)이 있으며, 다음과 같다. 이름 영명 기호 전하량 정지 질량 (MeV/ c 2) up u +⅔ 1.5 - 5 down d −⅓ 17 - 25 charm c +⅔ 1100 - 1400 strange s −⅓ 60 - 170 top t +⅔ 165000 - 180000 bottom b −⅓ 4100 - 4400 각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 반쿼크 ()가 존재한다. 반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다. 각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다. 쿼크는 3세대가 있는데 1세대는 위·아래(up·down) 쿼크, 2세대에 맵시·기묘(charm·strange) 쿼크, 3세대에 꼭대기·바닥(top·bottom) 쿼크로 나눈다. 쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다. 기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다. 전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷란 물리량을 갖는데, 이 양은 빨강 , 초록 , 혹은 파랑 으로 나타낸다. 이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 무색 이어야 한다고 말한다. 반쿼크는 반빨강 , 반초록 , 반파랑 의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.) 양자 색역학의 색가둠 현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다. 중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다. 중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다. 이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다. 쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다. "쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다. 마크 왕을 위해 세 번 쿼크! 물론 그는 변변한 돛단배가 없고 물론 있긴 있는 것도 다 얼토당토않다네. 여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다. 쿼크란 무엇인가? - 입자물리학자 이강영 교수. YTN 사이언스. 2014년 7월 2일. CosmicVoyage 초은하단에서 쿼크까지. 2015년 7월 2일. 빛의 물리학 6부 빛과 끈 #003 쿼크와 랩톤 그리고 끈이론. 2015년 6월 10일. 분류:페르미 입자 분류:양자색역학 분류:표준 모형 분류:물리학의 기본 개념 분류:기본 입자
중력 상수 (重力常數, , 기호 G ), 만유인력 상수 또는 뉴턴 상수 는 중력의 세기를 나타내는 기초 물리 상수다. 중력을 다루는 모든 이론, 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 등장한다. 과학 기술 데이터 위원회 2010년 자료 에 따르면, 국제단위계에서의 값은 다음과 같다. = (6.673 84 ± 0.000 0080) N m2 kg−2 = (6.673 84 ± 0.000 0080) m3 kg−1 s−2 그 밖에 국제 천문 연맹에서 제공하는 자료도 권위도 있다. 300px 만유인력의 법칙에 따르면, 두 물체 사이의 중력적 인력은 그 두 질량의 곱에 비례하며 거리의 제곱에 반비례한다. 식으로 쓰면 다음과 같다. 이 식에서 비례 상수 를 중력 상수 라고 일컫는다. 중력은 자연의 다른 세 상호작용보다 상대적으로 약하다. 예를 들어 두 대의 3000 kg의 자동차가 각각의 질량 중심에 대해 3 m 떨어져 있을 때 두 자동차에 작용하는 중력은 약 67 µN밖에 되지 않는다. 이는 모래 알갱이의 무게 정도의 힘에 해당한다. 중력 상수는 헨리 캐번디시가 처음으로 측정하였다. 실험을 위해 막대의 양 끝에 납으로 된 공을 매달고 이를 줄에 매달아 수평 방향으로만 회전하게 한다. 막대의 관성 모멘트는 막대가 복원력에 의해 진동하는 주기를 측정하여 알아낼 수 있다. 막대의 한쪽 끝에 다른 공을 가까이 대면 중력에 의해 서로 끌어당기게 되고 막대가 회전한 각도를 측정하여 이 힘을 알아낼 수 있다. (캐번디시의 실험의 본 목적은 중력 상수의 측정이 아니라, 지구의 질량을 측정하는 것이었다. 지구 표면의 중력장은 쉽게 측정할 수 있기 때문에, 지구의 크기와 중력 상수를 알면 지구의 질량을 계산할 수 있다.) 중력 상수의 측정은 캐번디시의 실험 이후로 점차 정확도가 향상되어 왔다. 중력이 다른 기본 상호 작용에 대해 매우 약하고, 다른 물체의 영향을 없애기 어렵기 때문에 중력 상수 를 측정하는 것은 여러 모로 어렵다. 게다가 중력과 다른 상호 작용 사이에 알려진 상관 관계가 없기 때문에 간접적으로 이를 측정할 수 없다. 최근의 리뷰(Gilles, 1997)에 따르면, 중력 상수의 측정값은 크게 변해 왔고, 최근의 몇몇 측정값은 실제로는 서로 배타적이라고 한다. 곱 또는 표준 중력 변수는 여러가지 중력과 관계된 수식을 간단히 표현하는 데 자주 활용된다. 특히 태양계에 대해 중력 법칙을 이용할 때 매우 높은 정확도로 측정할 수 있기 때문에 빈번하게 사용된다. 중력 상수의 정확도가 높지 않은 데 반해 행성의 위치나 중력 가속도와 같은 양은 매우 정확하게 측정할 수 있다. 따라서 중력 상수와 질량의 곱은 매우 정확하게 알아낼 수 있다(따라서 지구나 태양의 질량의 측정값의 정확도는 중력 상수의 정확도에 의존한다.). 태양계에서의 중력을 계산할 때 거의 대부분의 계산에서 GM 값이 함께 붙어서 나오며, 대부분의 계산에서 이 둘을 따로 대입할 필요가 없어 정확도를 높일 수 있다. 표준 중력 변수의 값은 로도 표시하며 국제단위계에서 다음과 같은 값을 갖는다. 천체 역학에서는 주로 국제단위계의 킬로그램보다 태양 질량을 기준으로 한 단위계를 사용하는 것이 계산에 편하다. 이 단위계로 쓴 중력 상수를 가우스 중력 상수 () 라 부르며,그 값은 다음과 같다. 여기서 는 천문 단위, 는 평균 태양일, 그리고 는 태양의 질량이다. 중력 상수를 플랑크 상수와 광속을 이용하여, 임의적인 기본 단위가 전혀 없는 단위계를 만들 수 있다. 이를 막스 플랑크의 이름을 따 플랑크 단위계라고 부른다. 플랑크 단위계에서 중력 상수는 플랑크 상수와 진공에서의 빛의 속도와 함께 모두 1로 맞추어진다. 분류:중력 분류:물리 상수
응력의 일반적인 개념을 그림으로 나타낸 것. 오른쪽 직육면체는 응력 텐서를 표현한다. 변형력 (變形力은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. 응력 (應力)이라고도 한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다. 사실상 응력의 개념은 연속체(Continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 가상의 힘 은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다. 응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다. 일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다 라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉, 실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다. 이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr s Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다. 분류:연속체역학 분류:고전역학 분류:텐서
대수학 (代數學은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다. 기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다. algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《알 자브르 왈 무카발라》라는 책 제목에 그 기원을 두고 있는데, 이 책에서 그는 대수적 방법들의 근거에 대해서 설명하고 있으며, 책의 제목은 "이항과 약분"으로 번역되기도 한다. 대수학은 대수(代數, 수를 대신함)라는 명칭 그대로, 수를 대신해서 문자를 사용하는 방법으로, 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문에서 시작되었다. 대수(algebra)의 어원은 9세기의 페르시아의 수학자 콰리즈미의 저서인 《약분·소거 계산론》(, 820년)에서 비롯되었다. 이 책의 원 제목에 있는 는 (흩어진 것을) 묶음을 의미하며, 방정식에서 항들을 묶어서 소거함을 뜻한다. 이 책은 체스터의 로버트 또는 배스의 아델라드( Adelard_of_Bath)가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역하여, 이후 500년 간에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다. 19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다. 군론 환론 체론 정수론 대수기하학 추상대수학 선형대수학 *대수 구조 *대수학의 기본 정리 *수학
200px 군론 (群論은 군에 대해 연구하는 대수학의 한 분야이다. 수학의 여러 분야의 기초가 되며, 대칭성을 다루는 특성 탓에 물리학이나 화학 분야에서도 응용된다. 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다. 아벨 군 (또는 가환군) 리 군(연속군) * 로런츠 군 공간군 격자군 자기공간군 자기점군 회색군 수학 대수학 물성물리
양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동 한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동 물리학과 수학에서, 파동 방정식 (波動方程式은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다. 파동 방정식은 에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다. 여기서 는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 는 다양한 값을 가질 수 있다. 는 시각 , 위치 에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. 는 위치 에 대한 라플라스 연산자이다. 기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다. 축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다. 2차원에선 다음과 같다. 식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다. 현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다. 분류:편미분방정식 분류:파동 분류:물리학의 기본 개념
비오-사바르 법칙 (Biot-Savart法則은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다. 원점 에 전류 가 무한소의 길이의 전선 을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 은 다음과 같다. :. 여기서 은 의 방향의 단위벡터이고, 은 진공의 투자율이다. 유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다. 직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다. 원형 도선 중심에서의 자기장 453x453픽셀 원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다. r2=x2+R2이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다. 1번.PNG 원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다. 3번.PNG이므로 x=0일 때 가 된다. 쿨롱 법칙 앙페르 회로 법칙 자기 소용돌이도 Science World - Biot-Savart Law 분류:공기역학 분류:전자기학 분류:사람 이름을 딴 낱말
구골 (Googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉, 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다. :1 googol 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 이 수의 이름은 1938년 미국의 수학자 에드워스 카스너(Edward Kasner)의 9살짜리 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에 의해 지어졌다. 카스너는 이 개념을 저서 수학과 상상(Mathematics and the Imagination)에 수록했다. 이 수의 학문적인 중요성은 그리 크지 않고, 다만 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 카스너는 이 수를 매우 큰 수와 무한대의 차이를 보이기 위해 고안했다. 이것은, "무한대와 구골의 차이는 무한대와 1의 차이와 같다"라는 칼 세이건의 말에서도 잘 드러난다. 구골은 우주의 모든 원자의 수보다 많은 상당히 큰 수이다. 지금으로부터 1구골년 후 우주는 마지막남은 유일한 블랙홀이 호킹 복사에 의하여 증발한다 구골플렉스(googolplex) 10의 구골 제곱이다. :1 구골플렉스 1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 구골플렉시안(googolplexian) 10의 구골플렉스제곱(10구골플렉스)이다. 1 다음에 0이 구골플렉스개 붙는다.() 여담으로 인터넷 검색엔진 업체 구글(Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다. 마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다. 구골플렉스 그레이엄 수 수학적 의미가 있는 수 중에서 가장 큰 수. 너무 거대해서 지수표기로 나타낼 수 없다. 분류:큰 수
코리올리 효과 (Coriolis effect)는 전향력 또는 코리올리 힘 (Coriolis force)라고도 하며, 회전하는 계에서 느껴지는 관성력으로, 1835년 프랑스의 과학자 코리올리가 처음 설명해 냈다. 굵은 글꼴은 그 물리량이 벡터라는 점을 나타내고, m은 질량, v 는 물체의 계에서의 속도를, Ω 는 계가 돌고 있는 각속도를 나타낸다. 그림 1:각운동량 보존법칙에 의해 회전판의 붉은 점에서 보았을 때 물체는 진행방향의 왼쪽으로 움직이는 것처럼 보인다. 코리올리 힘의 발생원인은 각운동량 보존법칙에 의해 발생한다. 각운동량 보존법칙은 각운동량이 시간에 대해 일정하다는 것을 말한다. 만약 어떤 원점을 기준으로 계에 돌림힘이 작용하지 않으면 이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 각운동량 보존법칙 또는 간단히 각운동량보존 이라고 부른다. 회전하는 좌표계 내에서 물체가 운동을 하는 경우 회전축에 대해 반지름이 줄어드는 경우에는 줄어드는 반지름에 대해 속도가 변화하게 된다. 이 결과 회전좌표계는 코리올리힘과, 가로힘이 발생한다. 좌표계 x, y, z와 좌표계 x , y , z 을 보자 두 좌표계의 원점은 같다. 각각의 경우에 대해 벡터 .은 두 좌표계에서 다음과 같이 표시된다. . (x, y, z 좌표) . (x , y , z 좌표계) 벡터의 내적을 이용해 x, y, z를 (.), (.), (.) 으로 표현할 수 있다. 내적의 방법은 다음과 같다. . . . 으로 표현되는 것을 확인할 수 있다. 그림 회전하는 좌표계에서 벡터. 벡터 .가 축 ox를 기준으로 .의 각속도로 회전하고 있다고 하자. 그런경우 벡터 .의 속도 . 는 다음과 같이 표현된다. 회전좌표계의 경우에는 원점을 기준으로 좌표축 x , y , z 이 회전하는 것으로 생각할 수 있다. 좌표계가 서로 다른 경우 두 좌표계에서 상대적인 속도는 다음과 같다. : : 이를 바탕으로 회전좌표계에서 x , y , z 의 단위벡터의 회전을 적용하여 표현하면 다음과 같다. : : 축의 회전에 따른 속도는 이다. 이를 한번 더 시간에 대해 미분을 하면 다음과 같다. : : : 뉴턴의 운동방정식이 x, y, z 좌표계에서 성립한다고 가정하면 x , y , z 좌표계에서 아래의 식을 만족한다. 우변의 둘째, 셋째 그리고 넷째 항을 왼쪽으로 옮기면 뉴턴의 운동 방정식과 비슷한 꼴의 운동방정식이 된다. 오른쪽 둘째 항은 코리올리 힘이라고 부른다. 그리고 오른쪽 셋째 항은 원심력이라고 한다. 마지막 항은 특별한 이름이 없는데 회전 각속도가 일정하지 않은 경우에만 나타난다. 원심력과 코리올리 힘을 도입한다면, 회전하고 있는 좌표계에 대한 운동방정식은 고정된 좌표계에 대해서 같다. 그리고 원심력과 코리올리 힘은 실제 힘이 아니라 회전하고 있는 좌표계에서 나타나는 힘이다. 그림 3 북반구에서 저기압의 경우 코리올리 힘에 의해 바람은 진행방향에 대해 오른쪽으로 편향하게 되고 이로 인해 저기압에서는 반시계방향으로 토크가 발생하게 된다. 이 때문에 저기압에서 바람은 반시계방향으로 불게 된다. 그림4 북반구 저기압에서의 바람 방향은 반시계방향이다. 적도에서 북풍이 부는 경우에도 바람은 코리올리 힘을 받게 된다. 코리올리 힘은 다음과 같은 공식에 의해 계산된다. : 지구는 자전축을 중심으로 의 각속도로 회전하고 있고, 바람은 북쪽으로 이동한다고 할 수 있지만 실제 지구는 둥글기 때문에 기울어져서 고위도쪽을 향하게 된다. 이때 코리올리 정리를 통해 바람이 받는 힘의 방향을 알 수 있다. 이 때의 코리올리 힘의 방향은 동쪽을 향하게 된다. 즉 운동방향에 대해 오른쪽으로 편향하게 된다는 것을 확인할 수 있다. 수식의 결과가 아니라 각운동량 보존법칙을 적용해보아도 쉽게 우측편향된다는 것을 확인할 수 있다. 적도를 중심으로 바람이 고위도 쪽으로 바람이 부는 경우 지구가 타원형이기 때문에 고위도쪽으로 이동할 수록 자전축에 대해 거리가 줄어들게 된다. 이 때에도 각운동량은 보존되어야 한다. 회전축을 중심으로 거리가 줄어들었기 때문에 각속도가 그만큼 증가해야 할 것이다. 이렇게 생각한다면 고위도로 바람이 불면 불수록 반지름이 더더욱 줄어들기 때문에 상대적으로 각속도는 증가하게 된다. 그결과 바람은 우측편향하여 불게 된다. 푸코의 진자.각속도(푸코진자의 수평방향 각속도)로 회전하는 계에서 보았을 때 진자는 단순히 단진자 운동을 하는 것을 알 수 있다. 코리올리의 힘이 적용되는 또 다른 예는 푸코의 진자이다. 푸코의 진자는 어떤 수직면에서 자유롭게 흔들리는 줄에 매단 추이다. 진자는 정확한 수직면에서 흔들리기 시작하는데, 진동하는 수직축에 대해 몇 시간의 주기 동안 천천히 옆돌기를 한다. 진자가 긴 시간의 주기동안에 자유로이 계속하여 흔들릴 수 있도록, 추는 무거운 것으로 하고 줄은 아주 길게 한다. 질량 m인 흔들이 추의 운동의 중심을 원점으로 택하고, 이때 벡터 은 진자의 작은 진동에 대해 거의 수평이다. 북반구에서 는 수직과 예각을 이룬다. 줄의 장력을 라고 쓰고, 회전좌표계에서 발생하는 원심력과 중력을 라고 생각하면 추의 운동방정식은 다음과 같이 전개 된다. : 코리올리 힘에 의해 진자는 수평방향으로 일정한 각속도로 진동을 하게 된다. 그리고 을 회전축을 삼고, 로 회전하는 좌표계를 새로 도입하면 이 계에 대한 시간 도함수는 로 나타날 것이다. 그러므로 를 로 나타낸 것은 다음과 같다. : : 이를 추의 운동방정식에 적용하면 다음과 같은 식이 된다. 각속도로 회전을 하는 좌표계를 중심으로 나타내면 다음과 같다. : : 위의 식에서 오른쪽에 있는 모든 벡터는 마지막 항을 빼고는 진자가 있는 수직면에 있다. 하지만 작은 진동에 대해 이 실제로 수평이므로, 를 수평으로 만들어 마지막 항도 이 수직면에 있도록 할 수 있다. : : 는 돌고있는 지구의 각속도이고, 는 지구에 대해 돌고있는 좌표계의 각속도이다. 는 지구 축과 수직사이의 각이다. 수직은 방향을 따른다. 위의 식을 보면 결과적으로 지구에서 푸코의 진자는 각속도 로 옆으로 회전한다는 것을 말한다. 북반구에서 내려다 볼 때 그 회전은 시계방향이 된다. 세차운동 관성력 고전역학 Marion, B. Stephen Thornton. 『고전 동역학』. 전일동 역. 서울 홍릉과학출판사, 2002. Symon. 『역학』 안동환 외 역. 서울 대웅출판사, 1999. 문태희. 『고전역학』. 서울 서울대학교출판부, 2006. 분류:지구물리학 분류:고전역학 분류:힘 분류:회전
선형대수학에서, 벡터곱 (vector곱 또는 가위곱 ()은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘등의 공식에 등장한다. 두 벡터 와 의 벡터곱은 라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다. 식에서 는 와 가 이루는 각을 나타내며, 은 와 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다. 위 정의에서의 문제점은 와 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, 이 수직이면, 도 수직이다. 어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향 ()에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 는, 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 또한 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다.) 벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다. 벡터곱의 정의 a , b , c ∈ R 3, α ∈ R 이라 하자. 반대칭성 a × b = - b × a :교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자. 스칼라곱에 대한 선형성 (α a )× b α( a × b ). 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙 a ×( b + c ) = a × b + a × c 스칼라 삼중곱 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식 a ×( b × c ) = b ( a ∙ c )- c ( a ∙ b ) 벡터곱의 크기 a × b 2 = ( a · a )( b · b )-( a · b )2 a × b = a b sin θ 여기서 θ는 a 로부터 b 까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다. 야코비 항등식 a ×( b × c ) + b ×( c × a ) + c ×( a × b ) = 0 수직성 a × b ⊥ a 이고 a × b ⊥ b 이다. 두 벡터의 평행성 확인 a 와 b 가 모두 0벡터가 아닐 때, a × b = 0 인 것은 a 와 b 가 서로 평행인 것과 동치이다. 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱 유클리드 공간의 단위벡터 i , j , k 는 주어진 직교좌표계에서 다음 관계를 만족한다. : i × j i , k × i = j :이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다. : : :로 표기할 때, : :위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다. : :따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다. ::det( a , b , c ) = a ·( b × c ). *사원수와 벡터곱 벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i , j , k 에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i , j , k 가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 가 사원수 를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.) 리 대수 :분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R 3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 이다. 벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다. 7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다. 7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다. 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다. : x ×( a y + b z ) = a x × y + b x × z and ( a y + b z ) × x = a y × x + b z × x 반가환성 (anti-commutative) : x × y + y × x = 0 x 와 y 모두에 수직 : x ·( x × y ) 0 야코비 항등식이 성립한다. : x ×( y × z ) + y ×( z × x ) + z ×( x × y ) = 0 x × y 2 = x 2 y 2-( x · y )2 오른손 법칙 스칼라곱 분류:선형대수학 분류:이항연산 분류:해석기하학
무리수 (無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다. 유리수의 집합은 로 정의하고, 무리수의 집합은 로 정의한다. 무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다. 무리수는 다시 와 같은 대수적 수인 무리수와 등의 초월수로 나뉜다. 무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다. 에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는()’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는()’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다. 가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다 을 유리수라 하자. 그러면, 어떤 자연수 에 대해, 을 만족한다. 따라서, 이 되고. 변형하면, 이다. 그런데, 은 짝수이고, 은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다. 따라서, 가정이 틀렸다. 즉, 은 무리수이다. 무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다. 이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다. # 가 유리수라 하자. # 그러면, 는 기약분수 로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 에 대해, . # 위 식을 풀면 # # # 따라서, 은 짝수. # 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, 는 짝수여야 한다. # 따라서, 는 4의 배수. # 즉, 는 짝수. # (3)에서, 이다. # (7)과 (8)로부터, 가 짝수임을 알 수 있다. # (4), (5)과 같은 방법으로, 는 짝수. # (5)와 (10)에 의해, 와 는 모두 짝수. 이는 가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배. # 모순에 의해 (1)의 가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다. 이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다. # 을 유리수라 가정하자. # 위의 식이 유리수라면 를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다. # 두 번째 식에서 3을 이항시키면 이 된다. # 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다. # 위의 소제목에서 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 이 유리수라는 가정과 위배된다. # 모순에 의해 이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 소수점 표기 분수 (수학)
플랑크 상수 (Planck常數, , 기호 h )는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 ()이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 ""이다. 유니코드 기호 ()가 있다. 실험값은 다음과 같다. 2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의 되었다. 새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효된다. 외에, 다음과 같이 정의되는 가 대신 쓰이기도 한다. (양자역학에서 보다 더 많이 사용되는 형태이다) 식에서 는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 ( 에이치 바) , 독일어에서는 )(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 는 폴 디랙의 이름을 따 디랙 상수 (Dirac s constant)라고 부른다. 유니코드 기호 가 있다. 는 각운동량의 양자이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 의 정수배의 값으로 양자화한다. 는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다. 그래서 가 보다 더 기본적이라고 주장하기도 한다. 그밖에, 는 플랑크 단위의 정의에 사용된다. 처음에는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였던 고전물리-막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다- 는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다. 어떤 아주 잘 밀폐된 용기 안에(외부와 에너지 교류가 없는) 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 에너지는 주파수에 비례한다 라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다. 역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다. 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다. 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다. 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다. 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다. 2018년에 6.626 070 15로 정의 되었다. 슈뢰딩거 방정식 불확정성 원리 플랑크 단위 분류:양자역학 분류:물리 상수 분류:막스 플랑크 분류:플랑크 단위계
막스 카를 에른스트 루트비히 플랑크 (, 1858년 4월 23일 ~ 1947년 10월 4일)는 양자역학의 성립에 핵심적 기여를 한 독일의 물리학자이다. 독일의 킬에서 태어난 플랑크는 1874년 뮌헨에서 물리학 공부를 시작했고, 1879년 베를린에서 졸업했다. 1880년 뮌헨으로 돌아와 학생들을 가르치기 시작했고, 1885년에 고향 킬로 돌아가 1886년에는 마리 메르크와 결혼한다. 1889년에는 베를린으로 가 이론 물리학과장을 맡는다. 1899년 새로운 기본 상수인 플랑크 상수를 발견한다. 일 년 후 플랑크의 복사 법칙이라 불리는 열 복사 법칙을 발견한다. 이 법칙을 설명하면서 그는 최초로 "양자"의 개념을 주창하였고, 이는 양자역학의 단초가 된다. 1905년에서 1909년 사이 플랑크는 독일 물리학회의 회장으로 활동한다. 1909년 첫 아내가 죽고, 1년 후 마르가 폰 회슬린(Marga von Hoesslin)과 재혼한다. 1913년엔 베를린 대학교의 학장이 된다. 1918년에 양자역학의 기초를 마련한 공로로 노벨 물리학상을 수상한다. 1930년부터 1937년까지, 카이저 빌헬름 학회(Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften)의 회장을 맡는다. 제2차 세계 대전 중엔, 아돌프 히틀러에게 유대인 과학자들을 차별하지 말아야 한다고 설득하려 했다. 플랑크의 아들 에르빈(Erwin)은 1944년 6월 20일의 히틀러 암살 기도와 관련되어 처형되었다. 괴팅겐 (Göttingen)에서 그가 사망한 후, 카이저 빌헬름 학회는 그의 이름을 따 막스 플랑크 연구소(Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften; MPG)로 개명하였다. 막스 플랑크 자신은 2차 대전이 끝난 후에도 생존하였으나, 둘째 아들 에르빈 플랑크는 언급한 대로 2차 대전 중 처형당했고, 첫째 아들 카를 플랑크는 1차 대전 중 서부 전선에서 전사하였다. 한편 그의 딸이 출산 중 사망하고, 그가 아끼는 많은 후배 과학자들이 유대인 박해 때문에 고초를 입거나 이를 피해 망명하는 등, 두 차례의 세계 대전이 일어나는 동안 그의 개인사는 고통으로 점철되어 있었다. 플랑크는 스위스의 아마추어 과학자에 불과하던 알베르트 아인슈타인을 발굴한 사람이며, 1차 대전 기간 중 과학계의 교류가 완전히 중단되는 것을 막고자 끝까지 노력하였다. 플랑크는 인격적으로 많은 동료와 후배들의 존경을 받았으며, 독일 민족주의와 나치즘 사이에서 최후까지 균형을 유지하고자 애쓴 원로 중 한 사람이었다. 플랑크는 양자역학의 창시자로 위대한 과학자인 동시에, 독일 과학계의 수장으로 후배 과학자 발굴과 과학계의 지도자 역할을 수행하는 데 큰 공을 세웠으며, 이는 20세기 독일 과학계의 눈부신 성과에 한 원인이 되었다. 하지만 그는 자신이 핵심적인 기여를 한 양자역학에 의구심을 품었으며 양자역학을 수용하지 않고 부정하는 태도를 지녔다. 플랑크의 복사 법칙 플랑크 단위 * 플랑크 길이, 플랑크 시간, 플랑크 질량, 플랑크 전하, 플랑크 온도 플랑크 유도 단위 * 플랑크 에너지, 플랑크 힘, 플랑크 일률, 플랑크 밀도, 플랑크 각진동수, 플랑크 압력, 플랑크 전류, 플랑크 전압, 플랑크 임피던스, 플랑크 운동량 플랑크 벽(Planck wall) 헤르만 민코프스키 아르놀트 조머펠트 막스 플랑크 전기 from the Alsos Digital Library for Nuclear Issues 막스 플랑크 - Encyclopaedia Britannica article 막스 플랑크 전기 – www.nobel-prize-winners.com 노벨 재단 전기 분류:1858년 태어남 분류:1947년 죽음 분류:독일의 물리학자 분류:독일의 대학 교수 분류:이론물리학자 분류:열역학자 분류:이신론자 분류:킬 출신 분류:뮌헨 대학교 동문 분류:베를린 훔볼트 대학교 동문 분류:베를린 훔볼트 대학교 교수 분류:노벨 물리학상 수상자 분류:독일의 노벨상 수상자 분류:코플리 메달 수상자 분류:프로이센 과학 아카데미의 회원 분류:교황청 과학원의 회원 분류:푸르 르 메리트 민사훈장 수훈자 분류:양자물리학자 분류:19세기 물리학자 분류:20세기 물리학자
포인팅 벡터 ()는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다. 영국의 존 헨리 포인팅()이 1883년에 유도하였다. 포인팅 벡터 S 는 국제단위계에서 다음과 같다. CGS 단위계에서는 대신 를 쓴다. 포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다. 포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 와 각운동량 과도 다음과 같이 연관되어 있다. 포인팅 정리 ()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다. 우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다. 역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다. 분류:전자기학
미세 구조 상수 (微細構造常數, , 기호 α ) 또는 조머펠트 미세 구조 상수 (Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다. 미세 구조 상수 는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다. 여기서 는 기본 전하, 는 원주율, 는 디랙 상수, 는 빛의 속도, 은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 (전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 의 비로 해석할 수 있다. CGS 단위계에서는 인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다. 는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면 =0.007 292 31 = 137.131 이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다. =0.007 297 352 5698(24) = 137.035 999 074(44) CODATA 미세 구조 상수 권장값 Eric Weisstein s World of Physics — Fine Structure Constant 분류:물리 상수 분류:물리학의 기본 개념
선형대수학에서, 크라메르 공식 (Cramer公式 또는 크래머 공식 은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 공식에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다. 연립 일차 방정식 에서, 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 공식 이라고 한다. 여기서 는 의 번째 열을 로 대신하여 얻는 행렬이다. 연립 일차 방정식 의 계수 행렬 의 -여인자를 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다. 이에 따라, 각 번째 방정식에 을 곱한 뒤 모두 합하면 를 얻는다. 이므로, 양변을 로 나누면 를 얻는다. 연립 일차 방정식 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. 연립 일차 방정식 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. 크라메르 공식은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다. 여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 공식으로 해결할 수 있다. 먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다. dF, dG에 dx와 dy를 대입하면 u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. 따라서, 크라메르 공식을 적용하면 다음과 같다. 이것은 두 개의 야코비안 항이다. 유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다. 스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다. 사다리꼴 행렬 분류:선형대수학 정리 분류:행렬식 분류:대수학 정리
선형대수학에서, 행렬식 (行列式은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다. 역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"()는 "디터민"()(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기에 지롤라모 카르다노가 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다. 체 위의 정사각행렬 의 행렬식은 또는 와 같이 표기할 수 있으며, 다음과 같은 세 방법을 통해 정의할 수 있다. 체 위의 정사각행렬의 집합을 로 쓰자. 그렇다면, 행렬식 은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 이다. 각 행에 대하여 선형적이다. 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다. 단위 행렬의 행렬식은 1이다. 즉, 행렬식은 표준화된 교대 다중 선형 형식이다. 행렬식은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다. 다른 조건을 그대로 두고, 첫번째 조건을 "첫 행에 대하여 선형적이다"로 약화할 수 있다. 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 "이웃하는 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다"로 약화할 수 있다. 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 앞부분만 취할 수 있다. 즉, 앞부분은 뒷부분을 함의한다. 유리수 · 실수 · 복소수 체를 비롯한, 체의 표수가 0인 경우, 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 뒷부분만 취할 수 있다. 그러나, 일반적으로 뒷부분은 앞부분보다 약한 조건이다. 행렬식 는 에 대하여 재귀적으로 정의할 수 있다. 행렬식은 라이프니츠 공식 ()으로 정의할 수 있다. 즉, 의 행렬식은 다음과 같다. 여기서, 은 치환 의 집합이다. 는 치환의 부호이다. 즉, 가 짝치환이면 1, 홀치환이면 -1이다. 이에 따라, 우변은 개 항을 갖는 차 동차 다항식이다. 인 경우, 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다. 0 × 0 행렬의 행렬식은 1이다. 1 × 1 행렬의 행렬식은 그 유일한 항이다. 2 × 2 행렬의 행렬식은 다음과 같다. 사뤼스 도식. 세 실선은 더하는 항, 세 점선은 빼는 항에 대응한다. 3 x 3 행렬의 방향성과 입체성 3 × 3 행렬의 행렬식은 다음과 같다. 3 × 3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스의 도식()으로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같은 과정을 거쳐 계산한다. # 첫번째 및 두번째 열을 행렬 오른쪽에 옮겨 적는다. # 첫번째 행의 세 항으로부터, 실선 대각선을 내려 긋는다. # 마지막 행의 세 항으로부터, 점선 대각선을 올려 긋는다. # 각 실선 대각선에 놓인 항을 곱하여 더한다. # 각 점선 대각선에 놓인 항을 곱하여 뺀다. 그러나 이는 더 큰 행렬에 대해 확장할 수 없다. 3 × 3 실수 행렬의 행렬식은 은 스칼라 삼중곱의 표현이기도 하다. 즉, 3차원 벡터의 스칼라 삼중곱은 정규 직교 기저 아래 벡터 좌표 성분에 대한 3 × 3 행렬식으로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 실수 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱의 절댓값은 둘 다 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 나타낸다. 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱은 둘 다 치환 아래 특별한 대칭성을 갖는 데 주의하자. 즉, 이들의 부호는 세 3차원 벡터의 방향의 개념과 일치한다. 이 기하 직관은 높은 차원으로 확장할 수 있다. 4 × 4 행렬의 행렬식은 다음과 같다. 행렬식의 필산 기법 또는 계산 알고리즘에는 가우스 소거법, 라플라스 전개 등이 있다. 가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다. 라플라스 전개는 행렬식을 소행렬식의 선형 결합으로 전개한다. 따라서 위 예시에서도 알 수 있듯, 라플라스 전개는 큰 행렬의 복잡한 행렬식을 작은 행렬의 간단한 행렬식으로 귀결시킨다. 행렬식 는 다음과 같은 성질을 갖는다. . 즉, 단위 행렬의 행렬식은 1이다. . 즉, 행렬식은 행렬 곱셈을 보존한다. * 특히, 이다. . 즉, 행렬식은 역행렬을 보존한다. . 즉, 서로 전치 행렬의 행렬식은 서로 같다. 라플라스 전개에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 더 작은 행렬식의 결합으로 표현된다. 여기서 는 의 여인자이다. 라이프니츠 공식에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 행렬식이 0인지 여부는 가역 행렬를 판단하는 필요 충분 조건이다. 크라메르 공식은 연립일차방정식의 해를 행렬식을 통해 표현한다. 행렬의 특성 다항식은 행렬식을 통해 정의된다. 실수 정사각행렬을 각 열벡터에 대한 순서 있는 나열로 볼 때, 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저의 방향을 정의한다. 행렬식은 벡터 미적분학에서 부피를 계산하는 데 쓰인다. 실수 벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과, 선형 변환 과 가측 집합 에 대하여, 의 부피는 항상 의 부피의 배이다. 보다 일반적으로, 선형 사상 과 가측 집합 에 대하여, 의 차원 부피는 의 부피의 배로 주어진다. *가우스 소거법 퍼머넌트 파피안 단위행렬 *영행렬 소행렬식 크라메르 공식 판별식 *역행렬 분류:행렬론 분류:행렬 방정식 분류:선형대수학 분류:동차다항식 분류:대수학
zeta.jpg|섬네일|right|복소평면에서의 리만 제타 함수. 색이 짙을수록 절댓값이 작으며, 옅을수록 절댓값이 크다. 색상은 편각을 나타내며, 적색은 양의 실수, 연두색은 양의 허수, 옥색은 음의 실수, 남색은 음의 허수를 나타낸다. 수론에서, 리만 제타 함수 () 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다. 실수 s >1에 대한 리만 제타 함수의 그래프 리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다. 이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다. 야코비 세타 함수 를 쓰자. 이므로, 자이 함수( function)를 얻을 수 있다. 오른쪽의 적분은 모든 복소수 에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 에 대하여 수렴한다. 한편 여기서 세타 함수의 성질 를 사용하면, 를 보일 수 있다. 이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식 를 얻는다. 다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다. () 이것은 조화급수이다. () 보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다. () 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다. () 이것은 아페리 상수이다. () 현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수()인 실수에서는 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다. 레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다. 위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면 특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고 마지막에는 1만이 남는다. 즉 위에서 제시되는, 는, 이다. 이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다. 따라서, 리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다. 즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다.↵그 간단한 증명은 다음과 같다. 이고, 양변에 를 곱하고나서 를 곱하기 전의 식과 곱하고 나서의 식을 서로 빼주면, 과 같이 우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면, 위와 동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다. 함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점 ()이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 임계 구역 ()에 존재한다. 임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 임계 직선 ()이라고 한다. 임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설 로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다. 리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다. 리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다. 이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다. 리만 가설 소수 정리 *베른하르트 리만 *레온하르트 오일러 *소수와 오일러의 곱셈공식 *니븐 상수 *제타 함수 *L-함수 분류:특수 함수 분류:소수 분류:해석적 수론 분류:베른하르트 리만