함수를 상자에 비유한 그림. 수학에서, 함수 (函數 또는 사상 (寫像은 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다. 함수의 정의역 X , 공역 Y , 치역 f ( X ) 함수 는 다음과 같은 튜플 이다. 는 집합이며, 의 정의역 이라고 한다. 는 집합이며, 의 공역 이라고 한다. 는 곱집합 의 부분 집합이며, 의 그래프 라고 한다. 이 튜플이 다음 공리들을 만족시켜야지만 함수라고 한다. 임의의 에 대하여, 인 가 유일하게 존재한다. 다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다. 이러한 를 라고 쓰며, 이러한 들의 집합을 치역 이라고 한다. 치역은 공역의 부분 집합이나, 공역보다 작을 수 있다. 사상 은 보통 함수의 동의어로 쓰이나, 추상대수학에서는 더 좁은, 범주론에서는 더 넓은 뜻을 갖는다. 표기 는 가 정의역 , 공역 를 갖는 함수라는 뜻이다. 표기 는 와 같은 뜻이다. 함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다. 구체적인 함수를 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 정의역의 원소가 유한 개일 경우, 각 원소가 공역의 어느 원소와 대응하는지를 표 따위에 열거하여 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하는 공식이나 알고리즘이 존재한다면, 이를 통해 나타낼 수도 있다. 함수의 정의역과 공역이 모두 실수 집합이나 복소수 집합의 부분 집합이라면, 함수의 그래프를 통해 나타낼 수도 있는데, 직관적인 반면 정확성이 떨어질 수 있다. 어떤 가족의 구성원들의 집합을 정의역, 날짜의 집합을 공역으로 하며, 각 구성원 를 그 생년월일 로 대응시키는 관계 는 함수이다. 모든 구성원은 어느 날엔가 태어났으며, 동시에 두 다른 날에 태어났을 수 없기 때문이다. 정의역이 , 공역이 이며, 대응 규칙 , , 을 따르는 대응 관계는 함수이다. 실수 집합을 로 쓰자. 그렇다면, 모든 실수를 그 제곱으로 대응시키는 대응 관계 , 는 함수이다. 공집합을 로 쓰자. 그렇다면, 임의의 집합 에 대하여, 는 함수이며, 여기에는 아무런 대응 규칙이 필요하지 않다. 이러한 함수를 공함수 (空函數라고 한다. 는 공역이 공집합인 유일한 함수이다. 단사 함수 전사 함수 전단사 함수 정의역이 , 공역이 인 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, 를 단사 함수 또는 일대일 함수 라고 한다. 예를 들어, 함수 는 단사 함수이다. 그러나 각 자연수가 이를 2로 나눈 나머지로 대응되는 함수는 단사 함수가 아니다. 모든 홀수를 1, 모든 짝수를 0으로 대응시키기 때문이다. 만약 가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) 를 전사 함수 또는 위로의 함수 라고 한다. 예를 들어, 함수 는 전사 함수이다. 만약 가 동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, 를 전단사 함수 또는 일대일 대응 이라고 한다. 예를 들어, 함수 는 전단사 함수이다. 단사 함수와 전사 함수 사이에는 특별한 함의 관계가 존재하지 않는다. 예를 들어, 상술 는 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다. 또한, 상술 는 전사 함수이지만, 단사 함수가 아니다. gamma.jpg|섬네일|복소 감마 함수의 그래프 정의역이 실수 집합 인 함수 를 실변수 함수 (實變數函數라고 한다. 공역이 실수 집합 인 함수 를 실숫값 함수 (實數-函數 또는 실함수 (實函數라고 한다. 실변수 실숫값 함수에 대하여, 단조함수 · 홀함수와 짝함수 · 주기 함수 등의 개념을 정의할 수 있다. 단조함수는 대략 그래프가 오른쪽으로 갈수록 줄곧 상승하거나 줄곧 하강하는 함수이다. 전자를 단조 증가 함수, 후자를 단조 감소 함수라고 한다. 예를 들어, 는 단조 증가 함수이며, 는 단조 감소 함수이다. 홀함수는 그래프가 원점에 의하여 중심 대칭인 함수, 짝함수는 그래프가 y축에 의하여 반사 대칭인 함수이다. 예를 들어, 는 홀함수, 은 짝함수이다. 주기함수는 대략 그래프가 x축의 방향의 벡터에 의한 평행 이동 대칭을 갖는 함수이다. 삼각 함수가 대표적이다. 정의역이 복소수 집합 인 함수 를 복소변수 함수 (複素變數函數라고 한다. 공역이 복소수 집합 인 함수 를 복소값 함수 (複素-函數 또는 복소함수 (複素函數라고 한다. 복소변수 복소값 함수에 대해서도 주기 함수의 개념이 존재한다. semi.svg|섬네일|이 함수를 나타내는 공식은 -∞, x 0)와 x 0, ∞)에서 다르다. 함숫값은 유한 가지의 서로 다른 경우에 서로 다른 공식으로 나타내야 할 수 있는데, 이러한 함수를 조각마다 정의된 함수 (-定義-函數라고 한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수는 조각마다 정의되었다. 일반적으로, 매끄러운 다양체 사이의 함수 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 정의역의 분할 이 존재한다면, 를 조각마다 ~ 함수 라고 한다. 임의의 에 대하여, 인 영역 가 존재한다. 임의의 에 대하여, 는 ~ 함수이다. 예를 들어, 정의역이 실수 구간인 경우, 정의역의 분할은 구간 분할이어야 한다. 예를 들어, 의 분할의 한 가지 예는 다음과 같다. ~ 에 여러 가지 함수의 성질을 대입할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다. ~ 함수 조각마다 ~ 함수 조각마다 ~ 함수의 예 연속 함수 조각마다 연속 함수(-連續函數 매끄러운 함수 조각마다 매끄러운 함수(-函數 선형 함수 조각마다 선형 함수(-線型函數 절댓값 함수 상수 함수 조각마다 상수 함수 부호 함수 함수가 아니지만 함수 라는 이름이 붙은 부분 정의 함수와 다가 함수의 개념이 존재한다. 함수의 정의역의 모든 원소는 그에 대응하는 상을 반드시 가져야 한다. 예를 들어, 각 실수 를 또 다른 실수 에 대응시키는 관계 는 와 사이의 함수가 아니다. 1의 상이 정의되지 않았기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 정의역 을 갖는 함수 로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 와 사이의 부분 정의 함수는 의 어떤 부분 집합 를 정의역으로 하며, 를 공역으로 하는 함수 로 정의된다. 이 경우, 상술 는 와 사이의 부분 정의 함수이지만, 와 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 전함수 (全函數라고 불러 부분 정의 함수와 구별하기도 한다. 함수의 정의역의 원소에 대응하는 상은 반드시 유일해야 한다. 예를 들어, 절댓값이 1 이하인 실수 를 방정식 의 해 로 대응시키는 관계 는 와 사이의 함수가 아니다. 모든 은 두 개의 상 에 대응하기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 공역 을 갖는 함수 로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 와 사이의 다가 함수는 를 정의역, 의 멱집합 를 공역으로 하는 함수 로 정의된다. 이 경우, 상술 는 와 사이의 다가 함수이지만, 와 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 일가 함수 (一價函數라고 불러 다가 함수와 구별하기도 한다. 집합 및 함수 에 대하여, 를 의 상 이라고 하며, 로 쓴다. 집합 및 함수 에 대하여, 를 의 원상 이라고 하며, 로 쓴다. 치역은 곧 정의역의 상 이다. 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 임의의 에 대하여, 인 가 유일하게 존재한다. 를 만족한다면, 이에 따른, 정의역과 공역은 뒤바뀌고, 대응 관계는 방향만 뒤바뀐 함수 가 존재한다. 이를 의 역함수 이라고 한다. 역이 존재하는 함수를 가역 함수 라고 한다. 어떤 함수가 가역 함수일 필요 충분 조건은, 전단사 함수라는 것이다. 예를 들어, 지수 함수는 가역 함수이며, 그 역함수는 로그 함수이다. 함수 의 공역과 함수 의 정의역이 같다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 를 두 함수 와 의 합성 이라고 한다. 즉, 먼저 의 원소를 에 따라, 의 공역이자 의 정의역인 의 원소에 대응시키고, 다시 이를 에 따라 의 원소로 대응시킨다. 예를 들어, 와 의 합성은 이다. 함수 및 정의역의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 를 의 로의 제한 (制限이라고 한다. 즉, 원래 대응 방식을 유지하되, 정의역을 로 줄인 함수이다. 두 함수 와 가 다음 두 조건을 만족시키면, 가 의 제한 이라고 하며, 가 의 확장 이라고 한다. . 즉, 임의의 에 대하여, 두 함수 와 가 다음 조건을 만족시키면, 서로 일치 한다고 한다. . 즉, 임의의 에 대하여, 두 함수 와 가 서로 일치한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 를 와 의 합집합 이라고 한다. 마찬가지로, 쌍마다 일치 함수족 의 합집합을 다음과 같이 정의할 수 있다. 물론, 함수의 합집합은 서로 일치하지 않는 경우에도 이항 관계로서 정의할 수 있으며, 이 이항 관계가 함수일 필요충분조건은 일치성이다. 정의역과 공역이 같은 함수들에 대한 점별 연산 을 공역 위의 연산으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 두 실숫값 함수 의 점별 합 (點別合 은 다음과 같은 함수이다. 마찬가지로, 점별 곱 (點別- 은 다음과 같은 함수이다. 삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학 교수이자 코페르니쿠스의 《천구의 회전에 관하여》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 《팔라티누스 삼각형 서(書)》()에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다. 그러나 당시의 연구는 현재의 함수 정의에 확립되어 있는 관계에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트는 직교좌표계를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식을 그래프로 표현하는 방법을 제시하였다. 17세기에 도입한 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리()는 논문 《원과 쌍곡선의 구적법에 대하여》()에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 "플루언트"()라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 오늘날 쓰이는 용어인 "펑크션"()을 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 《역사》()에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 여태 미분 가능한 함수만을 다루었다. 레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 《무한 해석 도입》()에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 도입》()에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다. 1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아()는 저서 《미분과 적분에 대하여》()에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주는 저서 《역학 해석》()에서 "함수"라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다. 조제프 푸리에는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나, 그는 여태 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다. 1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레는 논문 《완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여》()에서, 가 의 함수라는 것을 의 주어진 구간에서의 임의의 값에 의 유일한 값이 대응하는 것으로 정의하였으며, 가 에 따라 어떤 법칙을 통해 결정되거나, 수학 공식으로 표현될 필요는 없다고 설명하였다. 이는 오늘날에도 사용되는 정의이다. 함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다. 이선란은 저서 《대수학》()에서 오늘날 한국어 및 중국어에서 쓰이는 용어인 "함수"()를 최초로 사용하였다. 일본어에서는 "" 글자가 1946년 상용 한자 목록에 포함되지 않았으므로, 일본어에서 같은 음을 갖는 글자 "関"를 사용하여 "칸스우"()로 표기하게 되었다. 이선란은 《대수학》에서 함수를 변수를 포함하는 변수로 정의하며, 여기서 "함"()은 "포함"(包含)을 뜻한다. 즉, 분류:집합론의 기본 개념 분류:초등 수학