실수의 무한수열 수학에서, 수열 (數列) 또는 열 (列은 수 또는 다른 대상의 순서있는 나열이다. 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 홀수의 크기 순 나열 1, 3, 5, 7, ...은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다. 수열을 이루는 구성원을 수열의 항 () 또는 원소 ()라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 첫째항 () 또는 첫항 , 초항 이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째, ...로 오는 항을 둘째항 , 셋째항 , 넷째항 , ..., 다르게는 제2항 , 제3항 , 제4항 , ...이라고 부른다. 수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 길이 ()라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 유한수열 (), 무한하면 무한수열 ()이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 끝항 () 또는 마지막항 , 말항 이라고 부른다. 특정되지 않은 일반적인 제 n 항 ()을 수열의 일반항 이라고 한다. 많은 경우에 n 과 제 n 항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 수열 1, 3, 5, ...의 일반항은 이다. 여기의 n 에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다. 자연수는 일부 문헌에서는 1부터, 일부 문헌에서는 0부터 시작한다. 만약 0부터 시작한다고 정할 경우 수열에서 처음 오는 항은 제0항 이 된다. 수열의 원소를 순서대로 나열하는 것은 수열의 한 가지 표현법이다. 홀수열은 1, 3, 5, ...와 같이 표현할 수 있다. 또는 처럼 괄호를 씌워도 된다. 구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타내어 (무한수열의 예를 들면) , 또는 , 와 같이 표현된다. 이때 수열의 일반항은 이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 조건제시법과 유사하게) 또는 으로 표현할 수 있다. 첨자의 범위를 명시하기 위해 또는 등으로 표현하기도 한다. 일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 과 같이도 표현한다. 일반항에 관한 공식 이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다. 수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 n 개의 집합을 정의역으로 하는 함수 으로 정의된다. 즉, 각 자연수 의 함수값을 수열의 제 n 항 으로 정의한 함수이다. 실수열의 예를 들면, 수열 1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , ...은 곧 함수 와 같다. 구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 an 과 n 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 an 을 a 1부터 a n - 1까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다. 피보나치 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉, 피보나치 수열의 일반항 공식 은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다. 수열의 귀납적 정의의 유효성은 자연수 위의 귀납 정리가 보장한다. 다음 두 (유한) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ 다음 두 (무한) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 다음은 몇 가지 정수열의 예이다. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 양의 짝수열. 각 항 간의 차가 일정하다. (등차수열) 3, 9, 27, 81, 243, ... 3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 비가 일정하다. (등비수열) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 소수열. 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... " an = (7 n 의 일의 자리의 숫자)"로 정의되는 수열. 3, 7, 5, 4, -1, ... 규칙이 뚜렷하지 않은 수열. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... 사각수열, 즉 an = n 2 0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ... an = n ( n - 1)( n - 2)( n - 3)로 정의되는 수열. 다음은 주로 실수열의 예를 들어 설명한, 수열의 여러 속성들이다. 실수열 이 모든 인 두 자연수 에 대해 을 만족시킬 때, 을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 인 두 자연수 에 대해 을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 또는 이 모든 자연수 에 대해 성립한다는 것이다. 홀수열 은 단조증가수열의 예이다 순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다. 수열의 단조성은, 실수 이외에도 순서구조가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다. 실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열 의 모든 항이 어떤 일정한 값(상계라 부른다)보다 작을 때, 즉 이어서 에 대해 일 때, 이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다. 수열 은 유계수열의 예이다. 이 모든 자연수 에 대해 성립하기에 그렇다. 실수열 이 이 한없이 커질때, 그 일반항 이 어떤 상수 에 한없이 가까워질 때, 수열 이 극한 로 수렴한다 라고 한다. 기호로는 과 같이 나타낸다. 수열 이 수렴하지 않을 때 수열 이 발산한다 고 한다. 이는 다음과 같은 경우로 나뉜다. 양의 무한대로 발산, 즉 이 커짐에 따라 이 한없이 커짐. 로 표기. 음의 무한대로 발산, 즉 이 커짐에 따라 이 한없이 작아짐. 로 표기. 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음. 수열 은 수렴수열의 예이다. 수열 의 부분수열은, 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는 (는 순증가 자연수열) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 소수열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다. 수열 의 계차수열 은 제 n 항을 바로 다음 항에서부터 뺀 차 를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열 을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4, ...계차수열이 정의된다. 수열 의 계차수열은 , 2, 3계차수열은 , 이다. 수열 의 제1항부터 제 n 항까지의 합 은, n = 1, 2, 3, ...를 취할 때 새로운 수열 을 이룬다. 이를 때로는 부분합 수열 이라고 한다. 계차수열이 쉽게 구해지는 것과 다르게, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 요구된다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 n 까지의 자연수의 합 공식이 있다. 부분합 수열 이 수열로서 상수 로 수렴할 때, 무한급수 이 로 수렴한다고 하고 이를 과 같이 나타낸다. 등차수열 등비수열 계차수열 점화식 급수 차분 그물 (수학) 필터 (수학) 순열 온라인 정수열 사전 수열 슬라이드 자료 (위키버시티) 분류:초등 수학