상수 는 탄젠트 곡선의 기울기에서 유도되는 특정한 실수로 무리수이자 초월수이다. 정식 용어는 자연로그의 밑 이지만 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수 로도 불리며, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 네이피어 상수 라고도 한다. 는 π, 1, 0, i 등과 함께 수학의 중요한 상수로 취급된다. 예컨대,오일러의 공식에서 그렇다. e 는 다음의 극한식으로 표현되는 값이다. e 는 다음과 같이 표현할 수도 있다. 이 식은 테일러 급수와 이항정리로 증명할 수 있다. :은 에서 인 이다. e 는 무리수이기 때문에 십진법으로 표현할 수 없고 근삿값만을 추정할 수 있다. 소수로 나타낸 e 의 근삿값은 대략 다음과 같다. e 가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 e 를 상수로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는 인 로그함수 이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 e 의 역수인 와 매우 가까운 근삿값이다. 후일 윌리엄 오트리드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 e 를 특별한 상수로 취급하지는 않았다. e 가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다. 베르누이는 위의 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 e 이다. 베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 e 로 표현하여 사용하기 시작하였다. e 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 e 로 표기하는 것이 관례가 되었다. 복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다. 원리 합계 = 원금 X (1 + 이율)기간 예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다. 기간 3% 4% 5% 6% 1년 1,030 1,040 1,050 1,060 2년 1,061 1,081 1,102 1,123 3년 1,093 1,124 1,157 1,191 4년 1,126 1,169 1,215 1,262 5년 1,159 1,216 1,276 1,338 6년 1,194 1,265 1,340 1,418 위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다. 또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다. 베르누이는 기간이 n 일때 이율을 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 점근한다는 것을 발견하였다. s formula.svg|섬네일|오일러 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타낸다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다. 1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다. 이를 오일러의 공식이라 한다. 오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터 였다. 오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다. 절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다. (단, |x| 2= -1) 위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면 가 된다. 위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다. 이 때, x 에 π 를 대입하면 이 되고, 이를 오일러의 등식이라 한다. e 는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수이다. 1873년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트에 의해 e 가 초월수임이 증명되었다. e 가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법에 의한 것으로 만일 e 가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다. 또한 e 는 무리수이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다. 먼저 e 의 테일러 전개는 ::이때 n까지의 부분합을 Xn라 하면, 이고, : 이 성립한다. 이제 e 를 유리수라 가정하면 양의 정수 p , q 에 대해 가 되어야 한다. 따라서, 이어야 하고 이 부등식의 각 변에 를 곱하면 이 된다. 한편, e = 라 가정하였으므로 이 된다. 이에 따라 q ! e 와 q ! X q 는 양의 정수가 되어야 하므로 역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 e 는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다. e 의 근삿값은 다음과 같은 연분수의 전개를 통하여 계산할 수 있다. 테일러 전개를 이용한 의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다. 를 사용하여 8차항까지 더하면 : :: ::: 위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다. 한편 인 지수함수의 테일러 급수는 이다. e 는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. e 에 대한 임의 차원의 지수함수인 는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 에 대한 에서 까지 아래 넓이는 e 이다. 먼저 의 미분을 보면, 이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다. ::이때, :::따라서, 한편 오른쪽 그림과 같은 의 그래프에서 에서 까지 아래 넓이는, e 를 밑으로 하는 로그인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 는 자연로그를 뜻했다. 하지만 상용로그와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 로 표기한다. 로그함수 의 도함수는 이다. 즉, 이고, 이다. 이는 e 를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다. e 를 밑으로 하는 자연로그는 여러가지 증정도과 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서 부터 주어진 수까지의 소수의 개수는 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레 푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다. 이외에도 자연로그는 물리와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다. 루트비히 볼츠만은 엔트로피 S 와 다중도 g 의 자연로그 값이 비례함을 보였다. 두 화학 물질의 1차 반응 속도에 따른 농도의 변화량은 다음의 식으로 표현된다. :0 A 0 - 초기 농도, k - 반응 계수, t - 시간, A - 해당 시간에 따른 잔여 물질의 농도 e 와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다. e 의 소수 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리) 2. 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 *삼각함수 수학 상수 자연로그 레온하르트 오일러 야코프 베르누이 존 네이피어 분류:수학 상수 분류:초월수 분류:무리수 분류:레온하르트 오일러