크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다. *Zn 크기가 인 순환군. Cn이나 Z /n Z 로 표기하기도 한다. *Dihn 크기가 인 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다. *Sn 크기가 인 대칭군. *An 크기가 인 교대군. *Dicn 크기가 4n의 쌍순환군. G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다. 두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다. 유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다. 크기 군 부분군 성질 마디 그래프 1 자명군 A 2 - 여러 가지 성질들이 자명하게 성립 center 2 Z2 Dih1 - 단순군 center 3 Z3 = A 3 - 단순군 center 4 Z4 Z2 center 클라인 4원군 Dih2 Z2 (3) 가장 작은 비순환군 center 5 Z5 - 단순군 center 6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2 center 7 Z7 - 단순군 center 8 Z8 Z4 , Z2 center Z4 ×Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3) center Z23 Z22 (7) , Z2 (7) 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응 center 9 Z9 Z3 center Z32 Z3 (4) center 10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2 center 11 Z11 - 단순군 center 12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2 center Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (2), Z3, Z2 (3) center 13 Z13 - 단순군 center 14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2 center 15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3 center 16 Z16 Z8 , Z4 , Z2 center Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) center Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6) center Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 center Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) center 17 Z17 순환군, 단순군 center 18 Z18 = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 순환군 center Z6 × Z3 = Z32 × Z2 Z6, Z3, Z2 center 19 Z19 순환군, 단순군 center 20 Z20 = Z5 × Z4 Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 순환군 center Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 center 21 Z21 = Z7 × Z3 Z7, Z3 순환군 center 22 Z22 = Z11 × Z2 Z11, Z2 순환군 center 23 Z23 – 순환군, 단순군 center 24 Z24 = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 순환군 center Z12 × Z2 Z4 × Z3 × Z2 Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 Z6 × Z22 Z6, Z3, Z2 25 Z25 Z5 순환군 Z52 Z5 26 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 순환군 27 Z27 Z9, Z3 순환군 Z9×Z3 Z9, Z3 Z33 Z3 28 Z28 = Z7 × Z4 Z14, Z7, Z4, Z2 순환군 Z14 × Z2 = Z7 × Z22 Z14, Z7, Z4, Z2 29 Z29 – 순환군, 단순군 30 Z30 Z5 × Z3 × Z2 Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 순환군 31 Z31 – 순환군, 단순군 크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다. 크기 군 부분군 성질 마디 그래프 6 S 3 = Dih3 Z3 , Z2 (3) 가장 작은 비아벨 군 center 8 Dih4 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) center 사원수군, Q 8 = Dic2 Z4 (3), Z2 가장 작은 데데킨트 군 center 10 D5 Z5 , Z2 (5) center 12 D6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) center A 4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리, 쉴로브의 정리 참조) center Dic3 = Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6 center 14 Dih7 Z7, Z2 (7) center 16 Dih8 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) center Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11) center Q 16 = Dic4 center Q 8 × Z2 데데킨트 군 center 준정이면체군(quasidihedral group) center 크기 16의 이와사와 군 center Z4 ⋊ Z4 center 파울리 행렬로 생성되는 군 center G 4,4 = Z22 ⋊ Z4 center 18 Dih9 정이면체군 center S3×Z3 center (Z3 × Z3)⋊ Z2 center 20 Q20 center Z5 ⋊ Z4 center Dih10 = Dih5 × Z2 center 21 Z7 ⋊ Z3 홀수 크기의 가장 작은 비아벨군 22 Dih11 24 Z3 ⋊ Z8 SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3 center Q24 Z3 ⋊ Q8 center Z4 × S3 Dih12 Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4) (Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4 Dih4 × Z3 멱영군 Q8 × Z3 멱영군 S4 쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음 center A4 × Z2 center D12× Z2 26 Dih13 27 Z32 ⋊ Z3 멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3 Z9 ⋊ Z3 멱영군 28 Dic7 = Z7 ⋊ Z4 Dih14 30 Z5 × S3 Dih15 Z3 × Dih5 분류:수학에 관한 목록 분류:유한군