는 유클리드 평면의 연결 부분 공간이며, 는 비연결 부분 공간이다. 일반위상수학에서, 연결 공간 (連結空間은 공집합이 아닌 두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다. 위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 연결 공간 이라고 한다. 의 두 열린집합 에 대하여, 이며 이라면, 와 가운데 정확히 하나가 공집합이다. 의 두 닫힌집합 에 대하여, 이며 이라면, 와 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.) 만약 이며 이라면, 과 가운데 정확히 하나가 공집합이다. 의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 와 이다.) 공집합이 아니며, 모든 연속 함수 은 상수 함수이다. 여기서 은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다. 연결 공간이 아닌 공간을 비연결 공간 (非連結空間이라고 한다. 임의의 위상 공간 에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 의 연결 성분 (連結成分이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, 는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다. 연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 실수에 하극한 위상이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일뿐이다 위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다. 위상 공간 에 대하여, 임의의 두 점 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 가 존재할 경우, 를 경로 연결 공간 (經路連結空間이라 한다. 이며 이다. 이러한 조건을 만족시키는 함수를 와 사이의 경로 라고 한다. 두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 경로 연결 성분 (經路連結成分이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다. 위상 공간 에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 가 존재할 경우, 를 호 연결 공간 (弧連結空間이라 한다. 이며 이다. 는 매장이다. 즉, 는 과 사이의 위상 동형이다. 이러한 조건을 만족시키는 함수를 와 사이의 호 (弧라고 한다. 모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. 는 경로 연결 공간이다. 는 호 연결 공간이다. 그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T1 공간이 존재한다. 유한 개의 점을 갖는 위상 공간 의 경우 다음이 서로 동치이다. 는 연결 공간이다. 는 경로 연결 공간이다. (두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.) 국소 경로 연결 공간 의 경우, 다음이 서로 동치이다. 는 연결 공간이다. 는 경로 연결 공간이다. 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 의 경우, 다음이 서로 동치이다. 는 연결 공간이다. 는 경로 연결 공간이다. 는 호 연결 공간이다. 특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다. 두 위상 공간 , 사이의 연속 함수 에 대하여, 다음이 성립한다. 만약 가 연결 공간이라면 의 상 또한 연결 공간이다. 만약 가 경로 연결 공간이라면 의 상 또한 경로 연결 공간이다. 연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다. 공집합은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다. 한원소 공간 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다. 실직선 은 연결 공간이다. 연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다. 이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 이며, 그 기저는 이다. 이는 연결 공간이다. 비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다. 유리수의 집합 , 무리수의 집합 , 및 (순서 위상을 부여한) 초실수의 집합 는 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. 크기가 2 이상인 이산 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. 일반선형군 은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 행렬식이 양수·음수인 가역 행렬들로 구성된다. 모든 크기의 비이산 공간은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다. 긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다. 크기가 인 경로 연결 공간 는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 비이산 위상을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다. 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 T1 공간의 예로, 전순서 집합 에 원소 을 다음과 같이 추가하여 부분 순서 집합으로 만들자. 여기에 순서 위상을 준 공간은 T1 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 과 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다. (단위원을 갖는) 가환환 에 대하여, 다음이 서로 동치이다. 의 스펙트럼 는 연결 공간이다. 의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수()를 갖는다. 모든 에 대하여, 만약 라면, 이거나 이다. 만약 인 가환환 , 가 존재한다면, 또는 는 자명환이다. 실직선 의 부분 집합 의 경우 다음이 서로 동치이다. 는 연결 공간이다. 는 경로 연결 공간이다. 는 호 연결 공간이다. 는 구간이다. 즉, 이며 인 가 존재한다. (공집합은 인 구간으로 간주한다.) 연결 공간은 대역적인 개념이다. 만약 연결 공간의 개념을 국소화한다면 (즉, 모든 점이 연결 공간인 근방을 갖는다면), 국소 연결 공간 의 개념을 얻는다. 연결 공간은 또한 0차 베티 수가 1인 공간으로 볼 수 있다. 이 조건을 1차 베티 수에도 적용시키면 단일 연결 공간 의 개념을 얻으며, 보다 일반적으로 모든 호모토피 불변량이 자명하다면 축약 가능 공간 의 개념을 얻는다. 연결 공간의 조건에서, 열린집합을 닫힌집합으로 바꾸고, 서로소인 조건을 없애면 기약 공간 의 개념을 얻는다. 이는 매우 강한 조건으로서, 하우스도르프 공간의 조건과 호환되지 않는다. 분류:위상 공간의 성질 분류:대수적 위상수학