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수학에서 상수 란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다. 수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다. 특정 수학 상수, 예를 들면 골롬-딕맨 상수, 프랑세즈-로빈슨 상수, , 레비 상수같은 상수는 다른 수학상수 또는 함수와 약한 상관관계 또는 강한 상관관계를 갖는다. 기호 값 이름 분류 N 알려진 때 알려진 소수점 자릿수 1 1 일 , 하나 일반 정수 고대 ? ∞ 0 0 영 일반 대수적 수 고대 BC500년경 ∞ i 허수 단위 , 아이() 일반 복소수 1500년경 ∞ π ≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 원주율 일반 초월수 고대 1,241,177,300,000 e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 네이피어 수, 자연로그의 밑 일반 초월수 1618년 12,884,901,000 ≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 2의 제곱근,닮음비 일반 대수적 수, 무리수 고대 137,438,953,444 γ ≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 오일러-마스케로니 상수 일반 , 수론 ? 1735년 108,000,000 φ ≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 황금비 일반 ,피보나치 수열 대수적 수, 무리수 고대 3,141,000,000 β ≈ 0.70258 엠브리-트레페텐 상수 수론 ? ? ? δ ≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 파이겐바움 상수 혼돈 이론 ? 1975년 ? α ≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 파이겐바움 상수 혼돈 이론 ? ? ? C2 ≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577 쌍둥이 소수 상수 수론 ? ? 5,020 M1 ≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585 메이쎌-메르텐스 상수 (Meissel-Mertens constant) 수론 ? 1866년1874년 8,010 B2 ≈ 1.90216 05782 4 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수 (Brun s constant) 수론 ? 1919년 11 B4 ≈ 0.87058 83800 소수 쿼드러플릿 (prime quadruplet)에 대한 브룬상수 (Brun s constant) 수론 ? ? ? Λ – 2.7 · 10-9 드 브루인-뉴먼 상수 (de Bruijn-Newman constant) 수론 ? 1950년? ? G ≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 카탈란 상수 (Catalan s constant) 조합론 ? ? 15,510,000,000 K ≈ 0.76422 36535 89220 66 란다우-라마누잔 상수 수론 무리수 ( ? ) ? 30,010 K ≈ 1.13198 82487 943 비슈바나트 상수(Viswanath s constant 1 ) 수론 ? ? 13 L ≈0.54325 89653 42976 70695 27282 95300 61323 란다우 상수 (Landau s constant) 해석학 ? ? >1,000 B´L ≈ 1.08366 르장드르 상수 (Legendre s constant) 수론 ? ? ? μ ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027 라마누잔-솔드너 상수 (Ramanujan-Soldner s constant), 솔드너 상수(Soldner s constant) 수론 ? ? 75,500 EB ≈ 1.60669 51524 15291 763 에르되시-보어와인 상수 (Erdös-Borwein s constant) 수론 무리수 ? ? ≈ 렝겔 상수 (Lengyel s Constant) 수론 ? 1992년 ? ≈ 알라디-그린스테드 상수 (Alladi–Grinstead constant) 조합론 ? ? ? *레비 상수 *라플라스 극한 *알라디-그린스테드 상수 *뤼로스 상수 *오일러-마스케로니 상수 *프랑세즈-로빈슨 상수 *번스타인 상수 *아페리 상수 *시에르핀스키 상수 *가우스 상수 *란다우 상수 *브룬 상수 *밀스 상수 *골롬-딕맨 상수 *빽하우스 상수 *니븐 상수 *로크스 상수 *르장드르 상수 *해프너-사낙크-맥컬리 상수 *에르되시-보어와인 상수 *마이셀-메르텐스 상수 *쌍둥이 소수 상수 *알틴 상수 *드 브루인-뉴먼 상수 *글레이셔-킨켈린 상수 *포터 상수 *가우스-쿠즈민-비어징 상수 *킨친 상수 *뤼카 수 *역 피보나치 상수(Reciprocal Fibonacci constant) *비슈바나트 상수 *엠브리-트레페텐 상수 *플라스틱 수 *콘웨이 상수 *바르가 상수(Varga constant) *체비쇼프 상수 *카앵 상수(Cahen s constant) *오메가 상수(Omega constant) *립의 4각 얼음 상수 *유니버설 파라볼릭 상수(Universal parabolic constant) *함수 *수학 기호 *오일러의 곱셈 공식
250px 체첸 공화국 (, , 또는 줄여서 체첸 (, 은 러시아의 공화국이다. 체첸에서 사용되는 언어는 체첸어와 러시아어이다. 체첸어는 캅카스제어 중, 북동 캅카스제어로 불리는 그룹에 속하는데 인구시어와 매우 밀접한 관계에 있다. 거의 대부분이 체첸인이다. 일부는 러시아인, 인구시인과 기타 북코카서스계 민족도 섞여있다. 1989년에 행해진 체첸-인구시 자치공화국의 통계에서는 체첸인이 956,879명, 인구시인이 237,438명으로, 269,000명의 러시아인은 인구의 약 23%로 소수 민족이었다. 그 후 서부가 잉구슈 공화국으로 분리되었기 때문에 인구시인들의 수가 절반 가까이 감소하고, 내전과 사회불안으로 대부분의 러시아인은 체첸공화국에서 대부분 떠났다. 1990년대 체첸 공화국에 남아 있던 러시아인은 약 6만 명이었다. 체첸 공화국은 일반적으로 러시아 연방 중에서도 젊은 층이 가장 많은 인구 구성을 가진다. 1990년대에는 몇몇 지방에서 인구증가가 있었다. 민족 2010년의 인구 수 체첸인 1,206,551 (95.3 %) 러시아인 24,382 (1.9 %) 쿠미크인 12,221 (1.0 %) 아바르인 4,764 (0.4 %) 노가이인 3,444 (0.3 %) 인구시인 1,296 (0.1 %) 기타 13,716 (1.1 %) # 나우르스키 군 (Наурский) # 셸콥스코이 군 (Шелковской) # 낫테레치니 군 (Надтеречный) # 그조젠스키 군 (Грозненский) # 구데르메스키 군 (Гудермесский) # 순젠스키 군 (Сунженский) # 아치호이마르타놉스키 군 (Ачхой-Мартановский) # 우루스마르타놉스키 군 (Урус-Мартановский) # 샬린스키 군 (Шалинский) # 쿠르찰로예프스키 군 (Курчалоевский) # 이툼칼린스키 군 (Итум-Калинский) # 샤토이스키 군 (Шатойский) # 베덴스키 군 (Веденский) # 노자이유르토프스키 군 (Ножай-Юртовский) # 샤로이스키 군 (Шаройский) # 알 쿼틸라 군 다게스탄 지역을 통해 16세기에서 19세기를 기점으로, 체첸인들은 대다수가 수니파 이슬람교를 믿으며 러시아 정교회도 소수 존재한다. 구데르메스 즈나멘스코예 나우르스카야 아치호이마르탄 우루스마르탄 샬리 이툼-샬레 샤토이 베데오 노자이유르트 1830년에서 1859년에 이르는 동안, 러시아 군은 오스만 투르크 제국과의 접경지역 안보를 이유로 체첸에 진주했다. 체첸은 1859년 러시아 제국에 병합됐다. 제2차 세계 대전 동안 소비에트 정부는 체첸이 나치군과 협력했다고 맹비난하였다. 스탈린은 체첸 국민 전체에게 카자흐스탄으로의 강제이주를 명령했다. 그 후 스탈린이 사망한 지 4년 후인 1957년에 이르러서야 체첸인의 귀환이 허용되었다. 그리고 체첸전쟁때 러시아의 엄청난 공세로 인해 체첸 전역은 초토화 되었다. 체첸 공화국 정부 홈페이지 체첸 공화국 정보 분류:분단된 지역
초월수 (超越數는 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이다. 다항 방정식의 해가 될 수 있는 수인 대수적 수와 반대 개념이다. 실수인 초월수는 모두 무리수이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 는 무리수이지만 다음 이차방정식 의 해이므로 초월수가 아니다. 대수적 수의 집합이 가산 집합인 데 비하여 복소수의 집합은 비가산 집합이다. 따라서 초월수의 집합은 비가산 집합이 된다. 이것은 대수적 수의 개수보다 초월수의 개수가 많다는 것을 뜻한다. 하지만 지금까지 알려진 초월수는 많지 않고, 어떤 특정한 수가 초월수임을 증명하는 것은 매우 어렵다. 초월수의 존재는 레온하르트 오일러가 예상하였으나, 최초의 초월수는 1844년에 조제프 리우빌이 발견하였다. 그는 초월수의 예로서 다음과 같이 정의되는 리우빌 상수를 제시하였다. 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수가 아닌 수 중에서 처음으로 초월수임이 증명된 수는 상수 e로, 샤를 에르미트가 1873년에 증명하였다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 또한 초월수임을 증명하였다. 이것은 고대 그리스 시대부터의 난제였던 원적문제가 불가능함을 보여주는 결과였다. 1874년에 게오르크 칸토어는 구체적인 초월수를 제시하는 대신, 앞에 설명된 가산 집합과 비가산 집합의 논리를 이용하여 초월수가 존재함을 보였다. 1900년에 다비트 힐베르트는 힐베르트의 23 문제 가운데 7번째 문제로 초월수에 대하여 다음과 같은 문제를 제시하였다. :는 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 는 무리수이면서 대수적 수일 때, 는 초월수인가? 힐베르트는 이 문제의 구체적인 예로 를 들었다. 이 문제는 1934년에 겔폰드-슈나이더 정리에 의해 참임이 밝혀졌다. 이 결과는 1960년에 앨런 베이커에 의해 확장되었다. () 원주율 0이 아닌 유리수 에 대하여 1이 아닌 양의 유리수 에 대하여 가 초월수임을 증명한 것 가 초월수임을 증명한 것 (PDF) 가 초월수임을 증명한 것 (PDF)
음계 (音階)는 음악에서 음높이(pitch) 순서로 된 음의 집합을 말한다. 악곡을 주로 구성하는 음을 나타낸 것이며 음계의 종류에 따라 곡의 분위기가 달라진다. 음계의 각각의 음에는 위치에 따라 도수가 붙는다. 음계는, 음계가 포함하고 있는 음정(interval)에 따라서 이름을 붙일 수 있다. 예시 온음계, 반음계, 온음음계 또는 음계가 포함하고 있는 서로 다른 피치 클래스의 수에 따라서 이름을 붙일 수 있다. 팔음 음계 칠음 음계 육음 음계와 오음 음계 사음 음계, 삼음 음계와 이음 음계 모노토닉 음계 "음계의 음정(interval) 뿐만 아니라 음계를 만드는 음(note)의 수가, 한 문화권의 음악에 독특한 음악적 특징을 지니게 한다" "어떤 음계의 음의 수보다, 음의 거리(interval, pitch distance)가 음악의 소리에 대해서 더 많은 것을 알려준다." 온음계와 반음계(半音階)는 서양 음악에서 쓰이는 용어이다. 자체로는 음계에 관한 말이지만, 온음계적·반음계적인 선율, 화음, 화성 진행 등의 표현으로도 쓰인다. 대부분의 경우 온음계는 7개 음으로 이루어진 장음계를 말한다. 20세기 음악론에서는 반음계가 아닌 모든 음계(이를테면 팔음음계)를 말할 때 쓰이기도 한다. 반음계는 12개의 반음으로 이루어진 음계를 말한다. 계이름은 음계를 기준으로 한 음의 이름이다. 장음계를 이루는 음의 계이름은 으뜸음부터 위로 올라가면서 각각 도, 레, 미, 파, 솔(), 라, 시(), 도가 된다. 서양 음악에서는 도·레·미·파·솔·라·시로 된 7음계가 많이 쓰이지만 한국 전통 음악에는 황종(黃鍾)-미♭·태주(太蔟)-파·중려(仲呂)-라♭·임종(林鍾)-시♭·무역(無射)-레♭으로 된 5음계가 많이 쓰이고, 중국 전통 음악에는 궁-도·상-레·각-미·변치(變徵)-올림화(Fa )·치-솔·우-라·변궁(變宮)-시로 7음계를 많이 쓴다. 한국 전통 음악에서는 5음계 외에도 3음계 또는 악계통에서는 7음계 등이 쓰인다.
12월 19일 은 그레고리력으로 353번째(윤년일 경우 354번째) 날에 해당한다. 1963년 - 잔지바르가 독립했다. 2002년 - 대한민국 제16대 대통령 선거에서 노무현 후보가 당선되다. 2007년 - 대한민국 제17대 대통령 선거에서 이명박 후보가 당선되다. 2011년 - 조선민주주의인민공화국의 김정일 국방위원장이 이틀 전(12월 17일) 사망했다는 소식이 보도되었다. 2012년 - 대한민국 제18대 대통령 선거에서 박근혜 후보가 당선되다. 2014년 - 헌법재판소가 법무부의 청구를 받아들여 통합진보당 해산을 선고했고, 통합진보당 소속 지역구 의원 3명과 비례대표 의원 2명의 의원직도 모두 박탈되었다. 1843년 - 영국의 소설가 찰스 디킨스, 《크리스마스 캐럴》 출간. 1909년 - 독일의 축구 클럽 보루시아 도르트문트 창단. 2009년 - 소녀시대가 《Into The New World》라는 타이틀로 첫 번째 단독 콘서트를 개최함 2015년 - 서해안고속도로 서해대교 송악 나들목 ~ 서평택 나들목 구간이 개통되었다. 1683년 - 스페인 부르봉 왕가의 초대 국왕 펠리페 5세 1742년 - 스웨덴의 화학자 칼 빌헬름 셸레 1778년 - 루이 16세의 딸 마리 테레즈 샤를로트 1899년 - 미국의 인권 운동가 마틴 루터 킹 1세 1906년 - 소련의 정치인 레오니트 브레즈네프 1915년 - 프랑스의 작곡가이자 샹송가 에디트 피아프 1922년 - 네덜란드의 정치인 크리스 판 베인 1936년 - 대한민국의 기업가 김우중 1941년 - 대한민국의 제17대 대통령 이명박 1944년 - 미국의 수리물리학자 미첼 파이겐바움 1965년 - 대한민국의 경찰 공무원, 제21대 경찰청장 민갑룡 1970년 - 일본의 소설가 타니가와 나가루 1974년 - 대한민국의 배우 오만석 1985년 - 한국계 일본의 축구선수 이충성 1987년 - 프랑스의 축구선수 카림 벤제마 1988년 * 칠레의 축구 선수 알렉시스 산체스. * 스웨덴의 축구 선수 엠마 베릴룬드. 1989년 - 대한민국의 래퍼 용준형 (비스트, 하이라이트). 1990년 * 대한민국의 쇼트트랙선수 김성일 * 대한민국의 레이싱 모델 이지민 1991년 - 일본의 여성 성우 우에사카 스미레 1993년 - 대한민국의 밴드 데이식스 멤버인 가수 Young K 1370년 - 교황 우르바노 5세, 200대 로마 교황. 1741년 - 덴마크 출신 러시아의 항해사이자 탐험가 비투스 베링 1848년 - 영국의 소설가 에밀리 브론테. 1741년 - 러시아의 탐험가, 항해사 비투스 베링. 1882년 - 일본 군인 겸 귀족 정치가 나카야마 다다요시. 1932년 - 한국의 독립운동가 윤봉길, 총살형 집행됨. 2012년 - 맨발의 겐의 저자 나카자와 케이지, 폐암으로 사망 2015년 - 독일의 지휘자 쿠르트 마주어 남남 협력의 날 해방의 날(Liberation day) 인도 고아 주 성 니콜라스 데이(Saint Nicholas Day) 동방 기독교 전날 12월 18일 다음날 12월 20일 - 전달 11월 19일 다음달 1월 19일 음력 12월 19일 모두 보기
5월 31일 은 그레고리력으로 151번째(윤년일 경우 152번째) 날에 해당한다. 1945년 - 타이베이 대공습. 2004년 - 대한민국의 무역인 김선일이 피랍됐다. 2005년 - 마크 펠트가 자신이 딥 스로트임을 언론과 인터뷰에서 밝혔다. 2006년 - 대한민국 제4회 지방 선거가 치러졌다. 2014년 - 경상북도 의성군에서 중앙선 청량리역기점 281km 지점에서 영주역에서 출발해 괴동역으로 가는 화물열차가 탈선하였으나 인명 피해는 없었다. 1935년 - 미국 캘리포니아주에서 20세기 폭스가 설립되었다. 1996년 - FIFA는 2002년 축구 월드컵을 대한민국과 일본에서 공동 개최하도록 결정했다. 1996년 - 1998년 FIFA 월드컵 예선 경기에서 부르키나파소가 모리타니와 0대 0으로 비겼다. 2002년 * 2002년 FIFA 월드컵이 서울 월드컵 경기장에서 개막했다. 그리고 여기서 치러진 개막전에서 처녀 출전국인 세네갈이 전 대회 우승국인 프랑스를 1:0으로 꺾는 파란을 일으켰다. * 대한민국에서 제주국제자유도시방송(JIBS) 텔레비전이 개국하다. 2017년 * 수도권에서 지상파 UHD 방송이 개시되었다. * 서울메트로와 서울특별시 도시철도공사가 서울교통공사로 통합 출범하였다. 1162년 - 칭기즈 칸, 몽골 제국 초대 대칸. 1469년 - 포르투갈왕 마누엘 1세 1773년 - 독일의 시인 겸 소설가 요한 루트비히 티크 1819년 - 미국의 시인 겸 수필가 월트 휘트먼 1835년 - 일본 막부 말기 신센구미 부장 히지카타 도시조 1857년 - 교황 비오 11세, 259대 로마 교황 1887년 - 프랑스의 외교관 겸 시인 생존 페르스 (노벨문학상 수상자) 1892년 - 나치 독일의 정치가 그레고어 슈트라서 1923년 - 모나코의 레니에 3세 1923년 - 모나코 공국의 레니에 3세 1930년 - 미국의 배우 클린트 이스트우드 1936년 - 대한민국의 작곡가·가야금 연주자 황병기 1967년 - 일본의 가수 타무라 아키히로 (스피츠) 1973년 * 한화 이글스의 작전수비 코치 임수민 * 대한민국의 방송기자 김명우 1976년 - 아일랜드의 배우 콜린 패럴 1984년 * 대한민국의 아나운서 유혜영 * 대한민국의 야구선수 김종호 1987년 - 대한민국의 야구 선수 차우찬 1988년 - 대한민국의 모델 이수혁 1989년 * 대한민국의 축구 선수 조영철 (경남 FC). * 독일의 축구 선수 마르코 로이스 (보루시아 도르트문트). * 네덜란드의 축구 선수 바스 도스트. 1990년 - 일본의 가수 오가와 토모미 1992년 - 대한민국 이재연 1994년 - 대한민국의 배우 심은경 1997년 - 대한민국의 가수 정세운 1408년 - 일본 무로마치 막부의 3대 쇼군 아시카가 요시미쓰 1607년 - 조선 중기의 관료, 인문학자, 의학자, 저술가 류성룡. 1801년 - 중국인 천주교 신부, 조선 천주교 순교자 주문모. 1809년 - 오스트리아 작곡가 요제프 하이든 1832년 - 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아. 1960년 - 나치 전범 발터 풍크 1977년 - 브라질의 축구 선수, 축구 감독 네쿠. 1978년 - 헝가리의 축구 선수, 축구 감독 보지크 요세프. 바다의 날 (대한민국) 세계 금연의 날 카스티야 라만차 데이(Castile–La Mancha Day) 스페인 카스티야라만차 지방 로얄 브루나이말레이 연대의 기념일 브루나이 마리아의 엘리사벳 방문 전날 5월 30일 다음날 6월 1일 - 전달 4월 30일 다음달 6월 30일 모두 보기
6월 30일 은 그레고리력으로 181번째(윤년일 경우 182번째) 날에 해당하며, 6월의 마지막 날이다. 350년 - 게르만족 출신의 마그넨티우스가 네포티아누스의 봉기를 진압해서 죽이고 로마의 황제가 되었다. 763년 - 안키알루스 전투 비잔티움 제국의 콘스탄티누스 5세가 불가르족의 텔레츠 칸과 싸워서 이겼다. 1521년 - 프랑스의 왕 앙리 2세가 왕실의 결혼을 축하하는 마상 창시합에서 몽고메리 백작 가브리엘의 창에 치명적인 부상을 당하다. 1862년 - 조지 매클렐런 장군의 북부 동맹군이 화이트오크 스웜프(White Oak Swamp) 남쪽에 도착하다. 미국 남북 전쟁 칠일 전투 중 여섯 번째인 글렌데일 전투가 벌어지다. 1863년 - 미국 남북전쟁 중 게티즈버그 전역 하노버 전투 1908년 - 퉁구스카 폭발사건이 일어나다. 1936년 - 마거릿 미첼의 소설 바람과 함께 사라지다가 출판되다. 1950년 - 한국 전쟁으로 영등포역 역사 소실. 1960년 - 민주 콩고가 독립했다. 1989년 - 임수경이 세계청년학생축전에 참가하기 위해 평양을 방문하다. 1991년 - 안기부에서 노동운동을 거부한다는 이유로 고문했던 노동운동가 박창수가 사망했다. 1997년 - 영국이 156년간 다스렸던 홍콩을 중화인민공화국이 반환받다. 1999년 - 씨랜드 청소년수련원 화재 사건이 일어나다. 2014년 - 투애니원(2NE1)의 멤버 박봄의 마약 밀수입 논란. 1983년 - KBS 1TV에서 이산가족을 찾기 위한 특별 생방송 이산가족을 찾습니다 가 처음으로 방영되었다. 1997년 - SBS TV에서 1시간 빠른 SBS 8 뉴스 첫 방송. 2002년 - 2002년 FIFA 월드컵이 폐막되었다. 결승전에서 브라질이 독일을 2-0 으로 꺾고 다섯 번째 우승을 차지한다. 2003년 - iFM 경인방송 경인방송 FM라디오 개국. 2004년 - 마이크로소프트에서 윈도우 NT 4.0과 인터넷 익스플로러 3의 모든 지원을 종료하였고, 서비스팩이 설치되지 않은 윈도우 2000에 대한 지원을 종료하였으며, 이와 동시에 마이크로소프트 오피스 2000의 메인스트림 지원을 종료했다. 2006년 - 서울외곽순환고속도로 송추 나들목 ~ 일산 나들목, 퇴계원 나들목 ~ 의정부 나들목 구간 개통. 2008년 - 유로2008 결승전에서 스페인이 독일을 1:0 으로 꺾고 44년만에 유럽최강의 자리에 올랐다. 2008년 - 울산불교방송 개국. 2010년 - 만화 "신의 탑", 네이버 웹툰 에서 연재 시작. 2012년 - 수인선이 복선 전철 수도권 전철로 운행 재개되다.(오이도 - 송도 구간) 2014년 - 인천국제공항역을 바로 잇는 KTX 노선이 개통되었다. 2015년 - 평택제천고속도로 동충주 나들목 ~ 제천 분기점 구간이 개통되었다. 2016년 - 동해고속도로 남경주 나들목 ~ 동경주 나들목 구간이 개통되었다. 1470년 - 프랑스의 왕 샤를 8세. 1884년 - 독일 군인 프란츠 할더. 1913년 - 미국의 사회주의 운동가 리처드 S. 프레이저. 1952년 - 대한민국의 물리학 교수 이성익. 1965년 - 대한민국의 배우 조재현. 1966년 - 미국의 권투선수 마이크 타이슨. 1976년 - 대한민국의 전 축구 선수 김영철. 1981년 - 대한민국의 미스코리아 · 아나운서 김주희. 1983년 - 영국의 배우 구구 음바타로. 1985년 - 미국의 올림픽 최초 7관왕, 수영선수 마이클 펠프스 1986년 - 대한민국의 배우 홍수아. 1989년 - 스웨덴의 축구 선수 율리아 스페츠마르크. 1990년 - 대한민국의 가수 엔 (빅스). 1991년 - 일본의 영화 배우, 모델 카호. 1994년 - 대한민국의 배우 송세현. 1670년 - 오를레앙 공작부인 헨리에타 앤 1913년 - 대한제국의 기업인 서상돈. 1919년 - 영국의 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리. 1930년 - 대한민국의 독립지사 장진홍. 1986년 - 헝가리의 추기경 레커이 라슬로. 1991년 - 대한민국의 노동운동가 박창수. 1996년 - 대한민국의 작곡가 박시춘. 2001년 - 미국의 음악가 쳇 앳킨스. 2010년 - 대한민국의 배우 박용하. 2017년 - 프랑스의 정치인 시몬 베유. 세계 소행성의 날(World Asteroid Day) 국군의 날(Día del Ejército) 과테말라 독립기념일 콩고 민주 공화국 필리핀-스페인 우정의 날 필리핀 기도의 날(General Prayer Day) 중앙아프리카 공화국 전날 6월 29일 다음날 7월 1일 - 전달 5월 30일 다음달 7월 30일 음력 6월 30일 모두 보기
가위. 가위 ()는 손으로 잡아 종이 등을 쉽게 자를 수 있게 하는 도구이다. 두 장의 얇은 금속 날을 결리지 않도록 엇갈리게 나사로 엮어, 그 두 날이 지레의 원리로 움직이면서 서로 부딪치면 절단력이 발생한다. 플라스틱 판, 얇은 철판, 머리카락, 끈, 종이, 옷감, 강삭 등을 자를 때 쓰인다. 핑킹가위. 핑킹가위는 무늬를 내며 자를 때 사용하는 가위이다. 무늬의 종류는 여러가지이며 물결무늬 지그재그 톱니모양 등이 있다. 지렛대의 원리에 바탕을 둔 것으로 지레의 작용점 · 받침점 · 힘점의 상호관계에 의하여, 힘점이 작용점과 받침점 사이에 있는 원지점식(元支點式), 지레의 받침점이 힘점과 작용점의 사이에 있는 중간지점식, 작용점이 힘점과 받침점 사이에 있는 선(先)지점식의 3가지로 구별된다. 따라서 이것을 응용한 가위도 3종으로 대별된다. 원지점식에 속하는 것으로서 손자수용 가위 ·잎따기가위 ·망(綱)베기가위 등이 있고, 중간지점식에 속하는 것으로는 재단가위 ·꽃가위 ·전정가위 ·전지가위 ·잔디가위 ·양철가위 ·버튼홀가위 ·의료가위 ·이용(理容)가위 등이 있다. 선지점식에 속하는 것은 눌러서 자르는 가위와 과일따기 가위 등이 있다. 지금까지 발견된 세상에서 가장 오래된 가위는 양모를 깎는데 사용했다고 전해지는 기원전 1000년경 그리스에서 만들어진 철쇠로 만든 가위이다. 청동가위는 보기가 힘들다. 특히 로마 시대의 유물로 가위가 많이 발견되었으며, 이 시대 가위는 라틴 문화 중기에 중부 및 북유럽 등으로 전해졌다. 라틴 문화의 가위는 남자의 무덤에 부장되어 있는 것으로 보아, 알려져있던 양모를 깎기 위한 것이 아니고 수염을 깎는 데 쓰인 것으로 추측된다. 그리고 로마 시대의 유물에서 발견된 날이 짧고 튼튼하게 만들어진 가위는 철사나 튼튼한 실, 얇은 철판등을 자르는 데 사용된 것으로 보인다. 한국에서는 경주 분황사 모전석탑에서 발견된 신라 시대가 위가 가장 오래된 것이며, 모양이나 쓰임새가 중국에서 발견된 것과 같은 걸로 보아 가위는 중국 에서 건너왔을 것이라고 학자들은 말한다. 전 세계에서 발견된 유물을 비교해볼 때 가위는 서양에서 처음 만들어져 사용되다가 중국에 전해졌을 거라고 추측할 수 있다. 가위 바위 보 분류:손 도구 분류:공구
230px 지구과학 (地球科學은 행성인 지구를 대상으로 연구하는 학문들을 묶어 부르는 이름이다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학 등이 있다. 지구과학에는 많은 전문 분야가 포괄되지만 대체로 여섯 가지로 나뉜다. # 지표면과 지표면 위에 있는 물과 공기 연구 # 지구의 조성에 대한 연구 # 지형 연구 # 지구의 역사에 관련된 연구 # 외계의 지질 연구 # 응용 분야 자연지리학 (physical geography) 지형학 (geomorphology, topography) 수문학 (hydrology) 기후학 (climatology) 지역지리학 측지학 (geodesy) 토양학 (pedology, soil science) 지질학 (geology) 지사학 (historical geology) 고생물학 (paleontology) 층서학 (층위학, stratigraphy) 퇴적학 (sedimentology) 구조지질학 (structural geology) 암석학 (petrology) 광물학 (mineralogy) 광상학 (economic geology, science of mineral deposit) 지구화학 (geochemistry) 지구물리학 (geophysics) 지구전자기학 지진학 (seismology) 화산학 (volcanology) 해양학 (oceanography) 물리해양학 (physical oceanography) 해양화학 (chemical oceanography) 해양생물학 (biological oceanography, marine biology) 해양지질학 (marine geology) 기상학 (meteorology) 대기물리학 대기화학 설빙학 (glaciology) 지구환경과학 지구공학 행성과학 천문학 (astronomy) - 우주 물리학(천체 물리학,astrophysics) - 우주 과학 (space science) 토목공학 (civil engineering) 한국지질자원연구원 자원용어사전 광물자원용어사전 분류:자연과학
아오조라 문고 로고 아오조라 문고 ()는 ‘일본어판 구텐베르크 프로젝트’로 불리는 일본의 인터넷 전자도서관으로, 저작권이 풀린 문학작품을 수집, 전자문서화해서 인터넷에 공개하고 있다. 저자 사후 50년이 지난 메이지, 쇼와 시대 초기의 일본 문학 작품이 그 대부분을 차지하고 있고, 일본어 외 문학 작품의 일본어 번역 작품도 다수 있다. 1997년 2월 도미타 미치오, 노구치 에이치, 야마키 미에, 란무로 사테이 등 4명이 창설하여 시작되었다. 2016년 연간 방문객수는 940만 건 이상이다. 아오조라 문고에 수록된 작품은 JIS X 0208에 해당되는 한자 범위 내에서 자원봉사자에 의해 아오조라 문고 형식 텍스트파일이나 HTML 파일로 전자화된다. 또 아오조라 문고 수록파일 취급기준에 따라 자유롭게 이용할 수 있기 때문에, 수록된 작품을 PC는 물론 PDA와 휴대전화로도 볼 수 있다. 텍스트 파일을 큰 글자로 인쇄하거나 전용 소프트웨어에 불러들여 시각장애인용으로 이용하는 방안도 기대되고 있다. 아오조라 문고의 열람 소프트웨어는 따로 개발 및 제공되고 있는 것은 없지만, 전자사전이나 아이폰용 어플리케이션 등은 타사에서 개발하여 출시되어 있다. 저자 사망 이후 50년이 지나 저작권이 소멸한 메이지 시대부터 쇼와 시대 초기까지의 서적 대부분이 존재한다. 외국 번역작품이나 저자가 무료보기를 인정한 현대작품도 포함된다. 장르는 정치부터 취미까지 다양하지만, 비교적 문학작품(시대소설, 추리소설등의 오락작품 포함)이 많다. 유명작가의 작품이 모두 갖춰져있진 않지만 그래도 일본어작품에 관련해서는 충실하게 갖춰진 편이다. (번역작품의 경우 번역저작권을 문제로 수가 많지 않다.) 잘 알려지지 않은 작품을 보존, 소개하는 장점도 있다. 작품 텍스트화는 지금도 현재진행형이며 2011년 3월 15일 현재 등록작품수가 1만권이 넘었다. 고전작가인 모리 오가이, 나츠메 소세키, 아쿠타가와 류노스케, 최근의 작가로는 나카지마 아츠시, 다자이 오사무, 하야시 후미코, 미야모토 유리코, 호리 다쓰오, 사카구치 안고, 다카무라 고타로, 나가이 가후, 요시카와 에이지 등 인물의 작품이 있다. 아오조라 문고는 자원봉사로 운영되며 열람 역시 무료이다. 서비스 개시 초반에는 보이저 사에서 서버를 제공하였다. 1998년부터 1999년까지는 토미타가 작업 수칙과 매뉴얼을 만들었다. 자원봉사로 운영되기 때문에 작품의 입력과 교정 역시 자원봉사자가 한다. 입력은 원본을 보면서 타자입력이나 스캐너로 입력하는 방법으로 이뤄진다. 또 작품을 입력하는 입력자 와 입력된 작품을 교정하는 교정자 는 별도의 자원봉사자가 담당한다. 따라서 작품이 공개되기 전까지는 작품을 입력한 뒤 교정자가 교정을 예약할 때까지 교정대기 (校正待ち)가 되고, 작업을 멈추게 된다. 즉, 입력하는 자원봉사자가 작품을 입력해 교정을 맡은 자원봉사자가 교정예약을 해서, 교정작업을 완료하기 전까지는 작품을 공개할 수 없다. 때문에 입력이 완료되어도 작업 상태가 교정대기 상태인 작품이 증가하고 있다. 이는 입력에 비해 교정 작업이 부족하기 때문으로, 아오조라 문고 출범 당시부터 안고 있는 문제점이기도 하다. 이 문제에 대해서는 작품의 교정작업을 하지 않고 공개하는 방안과 입력자가 교정한 것도 인정하자는 방안이 제기된 적이 있지만 현재까지도 이 방안은 채택되지 못하고 있다. 대신 2011년 12월 16일 공개분부터는 기부금을 재원으로 삼은 유상교정 서비스가 진행되고 있다. 2013년 8월 아오조라 문고의 설립자인 토미타가 사망한 것을 계기로, 아오조라 문고에 지속적인 지원을 해줄 책의 미래 기금 (本の未来基金)이 설립됐다. 하지만 2015년부터는 엔지니어가 없는 상태로 서버를 강제로 돌리고 있으며, 서버 자체도 노후화되고 있다는 점이 문제되고 있다. 이 때문에 2015년 5월 " Code for 아오조라 문고 아이디어 송"이 개최되어 향후 시스템 운용에 대한 의견 교환이 이뤄졌다. 그 이후에는 해당 모임을 바탕으로 시스템 관리와 코드수정 등을 맡는 aozorahack 프로젝트가 진행되고 있다. 텍스트 파일을 아오조라 문고에 수록할 때, 텍스트 파일이 갖추어야 할 서식을 아오조라 문고 형식이라 부른다. 아오조라 문고 형식은 텍스트 파일로서 많은 환경에서 읽을 수 있도록 규격화되어있다. 때문에 가능한 한 원본의 충실한 재현을 목표로 삼고 있지만, 줄 바꿈이나 삽화 등의 정보는 원칙적으로 포함되지 않는다. 아오조라 문고 형식에 대응하는 텍스트 뷰어와 텍스트 편집기도 존재하며, 올림문자와 방점 등도 재현할 수 있다. 또 이러한 텍스트 뷰어에서는 본래 아오조라 문고 형식에 포함되지 않았던 삽화 정보를 삽입하거나 세로쓰기로 표시할 수 있으며, 텍스트를 읽기 쉽도록 만드는 다양한 기능이 포함되어 있다. 이러한 소프트웨어는 유료와 무료를 불문하고 종류가 다양하다. 일본어 표기에 많이 쓰이는 올림문자 (후리가나)는 그대로 올려쓰지 않고 ｜ 나 《》 로 표시한다. 올림문자를 《》 로 묶거나 ｜로 올릴 문자열을 특정하는 방식은 일본 시각장애인 독서지원협회 (BBA)의 원문입력 수칙에 따른 것이다. 이 같은 방식을 예시로 들자면 다음과 같다. :青空｜文庫《ぶんこ》 라고 표기했다면 ぶんこ (분코)라는 올림표기가 文庫 부분에 걸려 있는 것이다. 다만, :本日は晴天《せいてん》なり。 처럼 올림표기를 쓸 한자가 가나로 충분히 구분된다면 ｜를 써서 분리할 필요가 없으므로 쓰지 않는다. 또한, :｜ブルースカイ《青空》 처럼 가나에 올림표기를 강제로 쓰는 것도 가능하다. https://www.aozora.gr.jp/ https://www.aozora.gr.jp/aozorablog/ 분류:전자 도서관
프로젝트 구텐베르크 (Project Gutenberg,PG)는 인류의 자료를 모아서 전자정보로 저장하고 배포하는 프로젝트로, 1971년 미국인 마이클 하트(Michael Hart)가 시작했다. 인쇄술을 발명하여 지식의 전달을 급속도로 확장시킨 요하네스 구텐베르크의 이름에서 따온 것으로, 인터넷에 전자화된 문서(e-text)를 저장해 놓고 누구나 무료로 책을 받아 읽을 수 있는 가상 도서관을 만드는 것을 목표로 한다. 수많은 자원봉사자들이 인터넷을 이용해 기여하여 만들어지는 프로젝트로 수많은 고전의 원문이 모여 있다. 2006년 3월 프로젝트 구텐베르크 발표에 따르면, 프로젝트는 18,000개 항목 이상의 전자문서를 보유하고 있으며, 매주 50여개의 새로운 전자책이 새롭게 등록되고 있다고 한다. 프로젝트에 등록된 전자책은 대부분이 서구의 문학작품으로 이루어져 있다. 소설, 시, 단편소설, 드라마 등의 문학작품 외에 요리책, 사전류, 정기간행물이 포함되어 있다. 또한 일부 오디오 파일과 음악 악보 파일도 갖고 있다. 대부분은 영문 서적이지만, 독일어, 프랑스어, 이탈리아어, 에스파냐어, 네덜란드어, 핀란드어, 중국어, 포르투갈어, 라틴어, 스웨덴어, 라틴어, 에스페란토로 된 책도 있으며, 여타 언어 문서도 꾸준히 증가하고 있다. 문서는 주로 아스키 문자 집합, 때때로 ISO-8859-1 문자 집합으로 인코딩된 텍스트문서를 언제나 내려받을 수 있으며, HTML등의 다른 형식의 문서도 받을 수 있다. 편집이 어려운 PDF등의 문서형식은 프로젝트가 지향하는 바와 맞지 않는 것으로 여겨지지만, PDF형식을 이용할 수 있는 문서도 있다. 최근 수년동안 XML형식을 도입할지에 대한 토론이 있었지만, 토론은 지지부진하다. 1990년대 들어 스캐닝과 OCR기술에 힘입어 마이클 하트는 컴퓨터 제조회사에서 스캐닝장비를 기증받아 문서를 스캐닝한후 OCR소프트웨어로 이를 텍스트화하는 작업을 구축하였다. 이러한 형태의 발전된 프로세스는 현재 주요한 작업기술이다. 한편 PG는 다중원본제공을 지원하며 또한 사용자 제공 콘텐츠 절차를 지원한다. 이는 셀프 출판을 의미한다. 프로젝트 구텐베르크 라이선스(The Project Gutenberg License,PGL)는 아래와 같은 2개의 큰 맥락을 갖는다. 1. 구텐베르크 프로젝트에 영구적, 전 세계적, 비 독점, 철회 불가능한 저작권 라이선스를 부여하고, 무 제한적인 재배포를 허용함. 2. 작품은 플레인 텍스트 또는 HTML버전, 또는 두 가지 버전으로 제공되어야 함. 이러한 프로젝트 구텐베르크 라이선스는 이후 몇몇 추가된 라이선스를 도입했으며 이전의 라이선스와 추가변형된 라이선스는 프로젝트 구텐베르크 의 공식웹사이트에서 전문을 확인할수있다. 직지 프로젝트 - 대한민국에서 프로젝트 구텐베르크의 모티브를 얻어 진행되는 프로젝트. 아오조라 문고 분류:1971년 설립 분류:전자 도서관
제5첩 〈와카무라사키(若紫)〉의 한 장면. 미쓰오키 도사(1617년 ~ 1691년) 작. 《 겐지 이야기 》()는 일본 헤이안 시대 중기(11세기)에 지어진 소설이다. 작가는 무라사키 시키부라고 여겨지지만. 54첩에 달하는 장편으로 800여 수의 와카(和歌)가 들어있다. 고대의 일본 문학의 최고 걸작이라는 의견도 있다. 이야기는 헤이안 시대를 배경으로 천황의 황자로 태어나 신하 계급으로 떨어진 히카루 겐지(光源氏)와 그의 아들 세대까지의 이야기를 그리고 있다. 본격적인 소설로서는 세계최고에서, 세계최장의 작품이다. 등장인물은 500명에 가깝고 4대의 임금 70여 년에 걸친 장편이다. 작자는 궁정 귀족사회의 진상을 포착하고, 인간의 운명을 깊고 예리하게 응시하고 있다. 성격묘사라든지 자연묘사에서 세세한 부분에까지 빛을 발하는 완성도가 높은 작품이다. 히카루 겐지 :제1부·제2부의 주인공. 기리쓰보 천황과 기리쓰보 갱의 사이의 아들로 천황의 제2황태자. 신적 강하하여 겐지 성을 받는다. 아내는 아오이노 우에, 온나산노미야이며 사실상의 정실부인은 무라사키노우에이다. 아들로는 유기리(어머니는 아오이노우에),레제인(어머니는 후지쓰보 중궁, 공식상은 기리쓰보 천황의 아이), 아카시 중궁(긴조 천황의 중궁.어머니는 아카시노기미). 그외 양녀로는 아키코노무 중궁(레이제이 천황의 후궁이자 로쿠조노 미야스도코로의 딸) 법적인 아들인 가오루(가시와기와 온나산노미야의 아이)이 있다. 기리쓰보 천황 :히카루 겐지의 아버지. 총애했던 기리쓰보 갱의의 아들 겐지의 장래를 위해 그를 신하의 신분을 만들었다. 기리쓰보 천황의 막내아이라고 알려진 레이제이 천황은 사실 겐지의 아들이다. 기리쓰보 갱의 :기리쓰보 천황의 후궁. 천황의 후궁을 한몸에 받았지만 그로 인해 다른 후궁들의 질투와 시기를 샀고, 마음의 병을 얻어 겐지가 세 살 때 요절한다. 후지쓰보 중궁 :선황의 황녀. 기리쓰보노 갱의를 빼닮은 외모 때문에 후궁이 되었으나 겐지와 밀통해 레이제이를 낳는다. 아오이노우에 :태정관의 딸로 겐지의 첫 번째 정실부인로 겐지보다 연상이다. 오랫동안 부부 사이가 화목하지 않았지만 회임하여 유기리를 낳는다. 로쿠조노 미야스도코로에게 원한을 사 생령에게 빙의되어 죽는다. 도노추조 (내대신) :태정관의 아들이며 아오이노우에의 동복형제. 겐지의 친구이자 라이벌로 연애·승진등에서 항상 겐지에 앞선다. 로쿠조노 미야스도코로 :前동궁(기리쓰보 천황의 형)의 미야스도코로(후궁)이자 겐지의 애인. 겐지에게 강한 집착을 보이고 그의 냉담함을 원망하여 아오이노 우에를 죽이기에 이른다. 전남편과의 사이에서 태어난 딸은 후에 겐지의 양녀가 되어 레이제이의 후궁에 들어가, 아키요시 중궁이 된다. 겐지는 미야스도코로의 사후, 그 저택을 물려받아 장대하게 개축한다. (로쿠조인의 명칭은 여기에서 나왔다.). 무라사키노우에 :후지쓰보 중궁의 조카딸. 소녀 시절부터 겐지에게 양육되었고 아오이노우에가 죽은 후 사실상의 정실이 된다. 겐지와의 사이에 아이가 없어 아카시 중궁을 양녀로 삼는다. 온나산노미야와 겐지의 결혼으로 인생무상을 느낀게 된다. 아카시노기미 :겐지의 애인이며 아카시 중궁을 낳는다. 본의 아니게 딸을 무라사키노우에의 양녀로 보내지만, 입궁후 다시 만나 그녀의 후견인이 된다. 스에쓰무하나 :히타치노미야의 딸. 겐지의 애인이 되지만, 심하게 야윈데다가 길고 붉은 코를 가진 추녀. 작품 중 가장 보기 흉하게 그려져 있다. ---- 온나산노미야 :겐지의 이복형 스쟈쿠인의 제3황녀로 겐지의 조카딸이다. 스쟈쿠인의 바램도 있어 겐지 만년의 두 번째 정실이 된다. 유약한 성격으로 가시와기와 정을 통하여 가오루를 낳는다. 가시와기 :내대신의 장남. 겐지와 결혼한 온나산노미야와 밀통한다. 이후 사실이 드러날 것을 두려워하다가 그 걱정으로 인하여 병사한다. 유기리 :겐지의 장남. 어머니는 아오이노우에. 2살 연상의 사촌인 내대신의 딸인 구모이노 카리를 아내로 맞는다. 가시와기의 미망인인 오치바노미야를 사랑하게 되어 억지로 제2부인으로 맞는다. ---- 가오루 :제3부의 주인공. 겐지(친부는 가시와기)와 온나산노미야의 아이. 선천적으로 몸에서 좋은 향기가 나서 가오루라는 별명을 얻었다. 우지에 사는 하치노미야의 장녀 오이기미를 사랑했고, 그녀의 죽음 후에는 우키후네를 사모하게 된다. 니오노미야 :긴조 천황과 아카시 중궁의 아들. 제3 황태자라는 신분을 내세워 방탕하게 생활한다. 가오루에 대한 경쟁심으로 향에 열중하였기 때문에 니오노미야라고 불린다. 우지에 사는 하치노미야의 딸 나카노기미를 주위의 반대를 무릅쓰고 아내로 삼지만 아내의 이복여동생인 우키후네에게도 관심을 나타보여 가오루의 집착을 알면서도 빼앗는다. 우키후네 :오이기미와 나카노기미의 이복여동생. 가오루와 니오노미야와 사이에서 고민하다가 자살을 시도하지만 요코와의 승려에게 구조받는다. 겐지 이야기를 읽는 요령 김현정 교수의 겐지 이야기 분류:무라사키 시키부 분류:11세기 책 분류:11세기 소설 분류:일본의 로맨스 소설 분류:왕자를 주인공으로 한 작품 분류:교토부를 배경으로 한 작품 분류:교토시를 배경으로 한 작품 분류:효고현을 배경으로 한 작품 분류:고베시를 배경으로 한 작품 분류:긴키 지방을 배경으로 한 작품 분류:친족 연애를 다룬 작품
귄터 그라스 귄터 그라스 (, 1927년 10월 16일 ~ 2015년 4월 13일)는 독일의 소설가이자 극작가다. 독일 단치히 자유시(오늘날 폴란드의 그단스크)에서 식료품 상인이었던 독일계 아버지와 슬라브계 어머니 사이에서 태어났다. 하버드 대학에서 명예박사학위를 받았다. 1999년에 노벨 문학상을 수상하였다. 제2차 세계 대전 당시 독일 제국노동봉사대(RAD)에서 근무하던 중, 1944년에 무장친위대에 입대하여 10 SS기갑사단 프른즈베르크로 발령받아 참전했다. 징집당한 것이라는 얘기도 있으나, 당시 친위대의 독일인 대원들은 징집 대상이 아니라 자원 입대가 기본이었다(국방군 육군은 징병제였다). 종전후 부상당한 채 미군 포로로 잡혀 1946년까지 포로 수용소에 수감되었다. 이런 사실은 그라스 자신이 최근 발간한 자서전에서 인정했다. 전후 1947~48년에는 광산에서 일하며 석공 기술 과정을 마친다. 이어 1948년부터 1952년까지는 뒤셀도르프 미술대학에서 그래픽과 조각을, 1953년부터 1956년까지는 베를린 예술대학에서 조각을 배웠다. 1955년 슈투트가르트 방송국의 서정시 경연대회에 입상하고, 1956~57년에 예술 작품 전시와 별도로 작가 활동을 시작했다. 1958년까지 단문, 시, 희곡 등을 발표한다. 1954년에 결혼을 하고, 1960년부터 계속 베를린에 산다. 1959년에 매우 묘사적인 언어로 나중에 영화화 되기까지 한 《양철북》을 발표했다. 이 작품으로 그는 제2차 세계 대전 후 처음으로 세계 문학계에 이름을 날린 독일 작가가 된다. 이어 에서도 전쟁 전과 전쟁 후에 걸친 시대의 과오와 대결하고 있으며, 무대는 다같이 단치히이다. 이밖의 작품에 등이 있다. 1996년 유럽문화공로상을 받았다. 그는 소설가로 활약하는 한편, 부조리극적인 소품(小品)인 등을 발표한 바 있는데, 현대정치에도 직접 행동으로 참가하여 동·서 독일의 분열이라는 가장 현실적인 문제에 대담하게 도전한 (1965)을 발표했다. 1953년 동독의 폭동 당시 브레히트를 모델로 하여 예술과 정치의 관련을 추구한 작품으로 이 있다. 단치히 삼부작(Danziger Trilogie) * 《양철북》( Die Blechtrommel , 1959년) * 《고양이와 쥐》( Katz und Maus , 1961년) * 《개들의 시절》( Hundejahre , 1963년) 《넙치》( Der Butt , 1979년) 《암쥐》( Die Rättin , 1986년) 《광야》( Ein weites Feld , 1995년) 《게 걸음으로 가다》( Im Krebsgang , 2002년) 그라스는 전후 독일 사회민주당의 주요 지지자가 되어 외국인 혐오증, 신나치주의 등에 반대하는 사회활동에 적극 참여하였다. 분류:1927년 태어남 분류:2015년 죽음 분류:노벨 문학상 수상자 분류:독일의 소설가 분류:독일의 극작가 분류:무장친위대원 분류:독일의 노벨상 수상자 분류:쿤스트아카데미 뒤셀도르프 동문 분류:독일의 자서전 작가 분류:독일의 회고록 작가 분류:독일의 사회주의자 분류:독일의 로마 가톨릭교도 분류:20세기 시인 분류:21세기 시인 분류:20세기 조각가 분류:독일의 수필가 분류:독일의 조각가
아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대한 논문 원고 일반 상대성이론 (一般相對性理論, 또는 일반상대론 (一般相對論은 알베르트 아인슈타인이 1915년에 발표한, 중력을 상대론적으로 다루는 물리 이론이다. 현재까지 알려진, 중력을 다루는 이론 가운데 가장 정확하게 실험적으로 검증되었다. 일반 상대성 이론은 중력을 시공간의 곡률이라는, 기하학적 언어로 기술한다. 시공의 곡률(아인슈타인 텐서)은 (우주 상수를 무시하면) 4차원 운동량 밀도에 비례하는데, 이를 아인슈타인 방정식이라고 한다. 일반 상대성 이론에서는 관성계뿐만 아니라 비관성계를 포함한 임의의 좌표계에 대해 물리 법칙이 동등한 형태를 유지하여야 한다. 자유낙하하는 승강기와 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 쏘여진 빛을 떠올려보자. 승강기 안에서 승강기와 같이 자유낙하하는 관찰자는 빛에서 어떠한 도플러 효과도 보지 못할 것이다. 왜냐하면 등가원리를 따르면, 중력장 내에서 자유낙하하는 관찰자는 중력장이 없는 관성계의 관찰자와 같으며, 중력장이 없는 관성계에서는 빛에 어떠한 변형도 일어나지 않기 때문이다. 따라서 자유낙하하는 관찰자는 승강기 천장에 설치된 빛 감지기에서 어떠한 도플러 효과도 나타나지 않을 것이라고 결론짓는다. 하지만 승강기 밖에서 땅 위에 서있는 관찰자는 빛에서 도플러 효과를 기대한다. 왜냐하면, 승강기가 자유낙하를 시작할 때 빛이 출발했다고 가정하면, 빛이 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 가는 시간 동안 승강기 천장은 만큼 빠르게 되고, 이 속도에 따라 빛에 대한 청색편이를 감지해야 하기 때문이다. 여기서 청색편이는 느린 속도 근사식 만큼 일어났다고 가정한다. 감지기가 어떤 관찰자에게는 도플러 효과가 없다고 감지하고, 어떤 관찰자에게는 청색편이의 도플러 효과가 있다고 감지할 수는 없으므로, 우리는 청색편이의 결과를 상쇄시켜 자유낙하하는 관찰자의 결과와 일치시킬 어떤 것을 필요로 한다. 다행히, 중력장이란 존재가 있으므로, 중력장이 청색편이를 상쇄시키는 적색편이를 일으켰다고 할 수 있다. 중력 적색편이는 만큼 일어나며, 여기에 빛이 감지되었을 때의 승강기 천장의 속도와, 빛이 승강기 천장으로 가는 시간을 대입하면 라는, 중력 퍼텐셜의 차이 에 따른 적색편이의 식을 얻을 수 있다. 그러므로 승강기에서처럼 빛 방출기와 빛 감지기가 서로 상대적인 운동에 있는 상황이 아니라, 서로에 대해서 정지해있는 상황이라면, 빛의 감지기는 청색편이로 상쇄되지 않는 중력 적색편이를 감지할 것이다. 빛의 감지기가 빛의 방출기에 대해서 정적인 상황에서, 어떻게 서로 다른 진동수를 얻을 수 있을까? 다시 말해, 빛의 감지기와 빛의 방출기가 단위 시간 당 서로 다른 개수의 파면을 받아들일까? 아인슈타인은 여기에 대해서 파면의 개수는 동일하지만, 빛의 감지기와 빛의 방출기가 서로 다른 시간 단위를 갖는다고 지적했다. 즉, 서로 다른 중력 퍼텐셜에 위치한 시계에서는 서로 다른 빠르기로 시침이 움직인다는 뜻이다. 진동수는 그 곳의 고유 시간에 반비례 하므로, 이며, 이를 중력 적색편이 식에 집어넣으면, 의 식을 얻을 수 있다. 일반 상대성 이론에서는 시공을 특수 상대성 이론의 민코프스키 공간에서 임의의 (로런츠 계량 부호수 −+++를 가진) 준 리만 다양체로 확장한다. 다양체의 계량 텐서 로서 시공간의 곡률을 정의하고, 이 곡률을 중력으로 재해석한다. 뉴턴 역학에서 중력은 (중력적) 질량의 밀도에 의하여 결정된다. 질량의 밀도를 자연스럽게 상대화하면 에너지-운동량 텐서를 얻는다. 아인슈타인과 다비트 힐베르트는 아인슈타인-힐베르트 작용 을 통해 다음과 같은 장 방정식을 얻었으며, 이는 오늘날 아인슈타인 방정식으로 알려져 있다. 여기서 기호는 다음과 같다. 에너지-운동량 텐서 아인슈타인 텐서 = 리치 텐서 스칼라 곡률 우주 상수 이 식으로부터, 중력장이 약하다고 가정하면 뉴턴의 역제곱 법칙을 비상대론적 극한으로 얻는다. 공간 좌표를 으로 하고 시간 좌표를 로 하면, 세계선의 선소 는 로 표시된다. 와 는 시간과 공간의 좌표를 나타내는 인덱스로 0은 시간, 1,2,3은 공간 성분을 표시한다. 는 시공간 사이의 변환을 나타내는 계량 텐서이다. 예를 들어 가장 평탄한 시공간을 나타내는 민코프스키 계량 텐서의 경우 이다. 일반 상대성 이론에서, 중력 밖의 다른 힘이 작용하지 않고, 그 무게가 무시할 만큼 작은 입자는 시공간의 측지선을 따라 움직인다. 측지선은 시공에서 고유 시간을 극대화하는 경로이다. 즉, 이다. 일반 상대성 이론은 실험적으로 성공적이나, 이를 주로 양자장론과 관련하여 여러 가지로 확장할 수 있다. 일반상대론에 비틀림을 더한 이론은 아인슈타인-카르탕 이론이고, 중력상수를 스칼라장으로 승진시키면 브랜스-딕 이론을 얻는다. 일반 상대성 이론에 추가 차원을 도입하여 다른 상호작용을 포함시키는 이론은 칼루차-클라인 이론이며, 초대칭을 도입하면 초중력 이론을 얻는다. 또한 초끈이론 에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 자연스럽게 얻을 수 있으며, 고리 양자 중력에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 가지고 이를 양자화 한다는 것에서 시작한다. (점입자는 측지선을 따라 움직임) (수성의 세차 운동의 설명) (아인슈타인 방정식) 상대성 이론 특수 상대성 이론 아인슈타인 방정식 필바인 칼루차-클라인 이론 중력 중력장 분류:중력 분류:물리학의 기본 개념 분류:알베르트 아인슈타인
데니스 매캘리스테어 리치 (1941년 9월 9일 ~ 2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 전산학자이자 현대 컴퓨터의 선구자이다. C와 유닉스로 알려져있다. 미국의 뉴욕 주 브롱스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1967년 하버드 대학교에서 물리학과 응용수학 학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지 주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다 (향년 71세). 켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer s Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다. ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다. 1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다. 미국의 경제 전문지 비즈니스 인사이더 에서는 현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다 이라며 그의 업적을 평가했다. 현재 애플 매킨토시의 OS X와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다. 〈C 프로그래밍 언어〉 (The C Programming Language) (1978년 브라이언 커니핸과 공저) 〈Unix Programmer s Manual〉 (1971년) 분류:1941년 태어남 분류:2011년 죽음 분류:미국의 컴퓨터 과학자 분류:튜링상 수상자 분류:하버드 대학교 동문 분류:뉴욕주 출신 분류:컴퓨터 선구자 분류:프로그래밍 언어 설계자 분류:유닉스 관계자 분류:서밋 (뉴저지주) 출신
표준 주기율표 주기율표 (週期律表, 또는 주기표 (週期表)는 원소를 구분하기 쉽게 성질에 따라 배열한 표로, 러시아의 드미트리 멘델레예프가 처음 제안했다. 1913년 헨리 모즐리는 멘델레예프의 주기율표를 개량시켜서 원자번호순으로 배열했는데, 이는 현대의 원소 주기율표와 유사하다. 가장 많이 쓰이는 주기율표에는 단주기형과 장주기형이 있다. 단주기형 주기율표는 1주기와 3주기를 기준으로 하고, 4주기 아래로는 전형원소와 전이원소가 같은 칸에 있다. 이 단주기형 주기율표는 초기에 쓴 모델로 원자가 많이 알려지지 않았을 때 많이 사용하였다. 장주기형 주기율표는 현재 가장 많이 쓰고 있는 주기율표이다. 주기율표의 역사는 요한 볼프강 되베라이너의 "세쌍원소"로부터 시작된다. 그는 실험을 통해 세 개의 원소로 이루어진 무리 중 어떤 원소들은 첫 번째 원소와 세 번째 원소의 물리량 평균이 두 번째 원소의 물리량과 같음을 확인했다. 그 구체적인 예로는 칼슘(Ca), 스트론튬(Sr), 바륨(Ba) 의 세 원소가 있는데 여기서 스트론튬(Sr) 의 물리량은 칼슘(Ca)과 바륨(Ba) 원소의 물리량을 합하여 2로 나눈 평균값과 비슷하거나 같다. 되베라이너는 이들을 세쌍의 원소 라고 불렀다. 이러한 세 쌍 원소 관계를 만족하는 원소들은 칼슘-스트론튬-바륨, 염소-브로민-아이오딘, 그리고 리튬-나트륨-칼륨이 대표적인데 이를 만족하는 원소수가 적어 인정받지 못하였다. 영국의 과학자 존 뉴랜즈는 원소들을 원자량의 순으로 배열하면 8번째 원소마다 비슷한 성질의 원소가 나타나는 것을 발견하였고, 이를 피아노의 개념에 대입하여 옥타브 법칙을 세웠다. 하지만 이 대응성은 3번째 줄에서부터 어긋나기 시작했고, 처음 이 이론이 발표되었을 때만 해도 그는 웃음거리가 되었으나 이후 여러가지 실험이 뉴랜즈의 법칙의 중요성을 보였다. 현재는 비활성 기체가 발견되었으므로 원소들은 9번째마다 비슷한 성질이 나타난다. 멘델레예프는 화학 교수였다. 멘델레예프는 원소의 규칙을 밝히기 위해 이런저런 시도를 하다가 결국 원소들을 원자량순으로 나열하면 되베라이너의 세쌍원소, 뉴랜즈의 옥타브 법칙을 만족하게 된다는 것을 알게 되었다. 그는 원소가 어떤 함수의 결과라는 것을 확실히 믿었지만 비활성 기체가 발견되면서 그의 주기율표는 바뀌기 시작했다. 멘델레예프의 문제는 영국의 모즐리에 의해 풀렸다. 그는 음극선관을 이용하여 생성되는 X선의 파장을 연구하여 양성자 수에 따라 화학적 성질이 달라진다는 것을 밝혀냈다. 이를 모즐리의 법칙이라하며, 이것을 기본으로 현대적 의미의 주기율표가 탄생하였다. 최근, 수소와 헬륨의 위치에 대한 논쟁이 이어지고 있다. 현재의 주기율표에서는 수소를 수소와 마찬가지로 가장 바깥쪽 껍질에 전자를 하나 가진 리튬 위에 배열한다. 그러나 일부에서는 수소는 금속 원소가 아니며 수소가 전자의 구조 면에서는 알칼리 금속이 아닌 할로겐에게 가깝고 할로젠 원소와 성질이 비슷하다고 주장하며, 수소의 위치를 17족 원소로 옮겨야 한다고 주장한다. 마찬가지로 생각해서, 수소가 1족 원소라면 헬륨도 베릴륨 위에 2족 원소로 배치해야 한다는 설이 있다. 그러나 헬륨은 비활성 기체이므로 현재처럼 네온 위인 18족 원소가 가장 적당하다고 한다. 주기율표 (표준) 확장 주기율표 원소 IUPAC 웹사이트의 주기율표 대한화학회 웹사이트의 주기율표 분류:러시아의 발명품 분류:1869년 작품
아미노산 (영어 amino acid)은 생물의 몸을 구성하는 단백질의 기본 구성단위이다. 단백질을 완전히 가수분해하면 암모니아와 아미노산이 생성되는데, 아미노산은 아미노기와 카복시기를 포함한 모든 분자를 지칭한다. 화학식은 NH2CHRnCOOH(단, n=1~20)이다 생화학에선 흔히 α-아미노산을 간단히 아미노산 이라 부른다. α-아미노산은 아미노기와 카복시기가 하나의 탄소(α-탄소라 부른다.)에 붙어있다. 프롤린(proline)은 실제로는 아미노기를 포함하지 않기 때문에, 엄밀하게 말해서 아미노산이 아니라, 이미노산 (amino acid)이다. 그러나, 생화학적으로 다른 진짜 아미노산과 비슷한 기능을 수행하기 때문에, 아미노산으로 분류한다. α-아미노산의 일반 구조 일반적인 α-아미노산의 구조는 오른쪽 그림과 같다. 아미노기와 카복시기를 모두 포함하고 있어, 아미노산은 중성에서 쯔비터 이온(또는 양극성 이온이라고도 함.)으로 존재하며, 공명 안정화를 취한다. 여기서 "R"은 나머지라는 뜻의 "Residue" 혹은 "Remainder"의 머릿글자로 곁사슬(side chain)을 나타내고, 곁사슬에 따라 무슨 아미노산인지가 결정된다. 아미노산은 곁사슬의 성질에 따라 산성, 염기성, 친수성(극성), 소수성(비극성)의 네 가지 종류로 구분된다. 곁사슬 수소원자뿐인 글라이신(glycine)을 제외하고, 다른 아미노산은 모두 두가지 광학 활성을 가져, D형과 L형으로 구분된다. 단백질(protein)을 구성하는 아미노산의 거의 대부분은 L-아미노산 형태로 존재한다. 청자고둥(cone snail)같은 일부 특이한 바다생물에서 D-아미노산이 발견되기도 했다. 단백질은 아미노산의 축합중합을 통해 만들어진다. 다음 표는 22가지 아미노산의 종류, 기호와 약자, 화학적 성질의 목록이다. X 기호는 정해지지 않은 임의의 아미노산을 나타낸다. B 또는 Asx는 아스파라긴이나 아스파르트산 중 하나를 나타낸다. Z나 Glx는 글루타민이나 글루탐산 중 하나를 나타낸다. J 또는 Xle는 류신이나 아이소류신을 나타낸다. IUPAC/IUBMB은 셀레노시스테인은 U와 Sec, 피롤라이신은 O나 Ply로 나타내도록 추천하고 있다. 아미노산 영어 이름 기호 약자 질량 (amu) 등전점 pK1(α-COOH) pK2(α-NH3+) 알라닌 Alanine A Ala 89.09404 6.01 2.35 9.87 시스테인 Cysteine C Cys 121.15404 5.05 1.92 10.70 아스파르트산 Aspartic acid D Asp 133.10384 2.85 1.99 9.90 글루탐산 Glutamic acid E Glu 147.13074 3.15 2.10 9.47 페닐알라닌 Phenylalanine F Phe 165.19184 5.49 2.20 9.31 글라이신 Glycine G Gly 75.06714 6.06 2.35 9.78 히스티딘 Histidine H His 155.15634 7.60 1.80 9.33 아이소류신 Isoleucine I Ile 131.17464 6.05 2.32 9.76 라이신 Lysine K Lys 146.18934 9.60 2.16 9.06 류신 Leucine L Leu 131.17464 6.01 2.33 9.74 메티오닌 Methionine M Met 149.20784 5.74 2.13 9.28 아스파라긴 Asparagine N Asn 132.11904 5.41 2.14 8.72 피롤라이신 Pyrrolysine O Pyl 프롤린 Proline P Pro 115.13194 6.30 1.95 10.64 글루타민 Glutamine Q Gln 146.14594 5.65 2.17 9.13 아르기닌 Arginine R Arg 174.20274 10.76 1.82 8.99 세린 Serine S Ser 105.09344 5.68 2.19 9.21 트레오닌 Threonine T Thr 119.12034 5.60 2.09 9.10 셀레노시스테인 Selenocysteine U Sec 169.06 5.50 발린 Valine V Val 117.14784 6.00 2.39 9.74 트립토판 Tryptophan W Trp 204.22844 5.89 2.46 9.41 타이로신 Tyrosine Y Tyr 181.19124 5.64 2.20 9.21 네이버 캐스트 - 아미노산 분류:질소 대사 분류:영양소
히라가나 (는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나중 하나이다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰이고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓰인다. 동사의 활용 어미, 조사, 조동사 일본 고유어로서 해당 한자가 없는 단어, 또는 해당하는 한자가 잘 쓰이지 않는 어려운 글자일 경우. 어린이가 사용하는 일본어의 뉘앙스를 보여 주고 싶을 때 히라가나는 여성이 많이 썼다고 한다. 그래서 온나데(; )라고 불린 적도 있다. 이런 이유로 히라가나는 여자들만 쓰는 글이라 하여, 오랫동안 일본의 공용 문서에선 가타카나와 한자(칸지)만이 사용되었다. 현재 일본 철도의 역명판에는 히라가나와 칸지가 적혀 있다. 히라가나는 헤이안 시대부터 쓰인 것으로 알려져 있다. 일본의 유아들도 가나를 배울 때는 히라가나를 먼저 배우고 가타카나를 나중에 배우기 때문에 유아용 그림책 등에는 가타카나로 쓰인 단어 위에 히라가나를 후리가나로 덧붙이기도 한다. あ a 아 い i 이 う u 우 え e 에 お o 오 -ゃ ya 야 -ゅ yu 유 -ょ yo 요 か ka 카 き ki 키 く ku 쿠 け ke 케 こ ko 코 きゃ kya 캬 きゅ kyu 큐 きょ kyo 쿄 さ sa 사 し shi 시 す su 스 せ se 세 そ so 소 しゃ sha 샤 しゅ shu 슈 しょ sho 쇼 た ta 타 ち chi 치 つ tsu 쓰 て te 테 と to 토 ちゃ cha 차 ちゅ chu 추 ちょ cho 초 な na 나 に ni 니 ぬ nu 누 ね ne 네 の no 노 にゃ nya 냐 にゅ nyu 뉴 にょ nyo 뇨 は ha 하 ひ hi 히 ふ fu 후 へ he 헤 ほ ho 호 ひゃ hya 햐 ひゅ hyu 휴 ひょ hyo 효 ま ma 마 み mi 미 む mu 무 め me 메 も mo 모 みゃ mya 먀 みゅ myu 뮤 みょ myo 묘 や ya 야 ゆ yu 유 よ yo 요 ら ra 라 り ri 리 る ru 루 れ re 레 ろ ro 로 りゃ rya 랴 りゅ ryu 류 りょ ryo 료 わ wa 와 ゐ wi 이 ゑ we 에 を wo(o) 오 (わ행의 を는 조사에만 쓰이며 단어 구성은 불가능하다.) ん n/nn -ㄴ が ga 가 ぎ gi 기 ぐ gu 구 げ ge 게 ご go 고 ぎゃ gya 갸 ぎゅ gyu 규 ぎょ gyo 교 ざ za 자 じ ji 지 ず zu 즈 ぜ ze 제 ぞ zo 조 じゃ ja 자 じゅ ju 주 じょ jo 조 だ da 다 ぢ ji 지 づ zu 즈 で de 데 ど do 도 ぢゃ ja 자 ぢゅ ju 주 ぢょ jo 조 ば ba 바 び bi 비 ぶ bu 부 べ be 베 ぼ bo 보 びゃ bya 뱌 びゅ byu 뷰 びょ byo 뵤 ぱ pa 파 ぴ pi 피 ぷ pu 푸 ぺ pe 페 ぽ po 포 ぴゃ pya 퍄 ぴゅ pyu 퓨 ぴょ pyo 표 *로마자 표기는 헵번 방식을, 한글 표기는 국립국어원 외래어 표기법의 어중/어말 표기법을 따랐다. *붉은 색으로 표시한 와 는 현대 일본어에서는 고유명사 등을 제외하면 사용되지 않는다. *은 한글의 받침 ㅇ, ㅁ, ㄴ 등에 해당한다. 히라가나는 만요가나에서 왔다. 495px 메이지 시대 이전에는 히라가나의 모양이 확실히 정해지지 않고, 여러 형태의 문자가 사용되었다. 메이지 시대의 학제 시행 후에야 위와 같은 자형이 표준화되어 쓰이기 시작했다. 위 이외의 구식 자형은 헨타이가나(変体仮名)라고 부른다. 가타카나 초서 히라가나 듣기 테스트 일본어 히라가나 - 50음도 히라가나 유니코드 차트 히라가나 분류:한자파생문자
나라 이름순 수도 목록 (국가명 가나다순)은 나라 이름순으로 정렬된 수도 목록이다. 가나 - 아크라 가봉 - 리브르빌 가이아나 - 조지타운 감비아 - 반줄 괌 - 하갓냐 과테말라 - 과테말라 그레나다 - 세인트조지스 그리스 - 아테네 기니 - 코나크리 기니비사우 - 비사우 나미비아 - 빈트후크 나우루 - 야렌 나이지리아 - 아부자 남수단 - 주바 남아프리카 공화국 - 프리토리아(행정), 블룸폰테인(사법), 케이프타운(입법) 남오세티야 - 츠힌발리 네덜란드 - 암스테르담 네팔 - 카트만두 노르웨이 - 오슬로 뉴질랜드 - 웰링턴 니우에 - 알로피 니제르 - 니아메 니카라과 - 마나과 대한민국 - 서울 덴마크 - 코펜하겐 도미니카 - 로조 도미니카 공화국 - 산토도밍고 독일 - 베를린 동티모르 - 딜리 라오스 - 비엔티안 라이베리아 - 몬로비아 라트비아 - 리가 러시아 - 모스크바 레바논 - 베이루트 레소토 - 마세루 루마니아 - 부쿠레슈티 룩셈부르크 - 룩셈부르크 르완다 - 키갈리 리비아 - 트리폴리 리투아니아 - 빌뉴스 리히텐슈타인 - 파두츠 마다가스카르 - 안타나나리보 마셜 제도 - 마주로 마카오 - 마카오 마케도니아 공화국 - 스코페 말라위 - 릴롱궤 말레이시아 - 쿠알라룸푸르 말리 - 바마코 멕시코 - 멕시코시티 모나코 - 모나코 모로코 - 라바트(입법), 카사블랑카(행정) 모리셔스 - 포트루이스 모리타니 - 누악쇼트 모잠비크 - 마푸투 몬테네그로 - 포드고리차 몰도바 - 키시너우 몰디브 - 말레 몰타 - 발레타 몽골 - 울란바토르 미국 - 워싱턴 D.C. 미얀마 - 네피도 미크로네시아 연방 - 팔리키르 바누아투 - 포트빌라 바레인 - 마나마 바베이도스 - 브리지타운 바티칸 시국 - 바티칸 바하마 - 나소 방글라데시 - 다카 베냉 - 포르토노보 베네수엘라 - 카라카스 베트남 - 하노이 벨기에 - 브뤼셀 벨라루스 - 민스크 벨리즈 - 벨모판(행정), 벨리즈시티(사실상) 보스니아 헤르체고비나 - 사라예보 보츠와나 - 가보로네 볼리비아 - 수크레(헌법 상), 라파스(행정) 부룬디 - 부줌부라 부르키나파소 - 와가두구 부탄 - 팀푸 북마리아나 제도 - 사이판 섬(주장) 북키프로스 - 니코시아 불가리아 - 소피아 브라질 - 브라질리아 브루나이 - 반다르스리브가완 사모아 - 아피아 사우디아라비아 - 리야드 사하라 아랍 민주 공화국 - 엘아이운(법상), 티파리티 및 사하라 난민 캠프(사실상) 산마리노 - 산마리노 상투메 프린시페 - 상투메 세네갈 - 다카르 세르비아 - 베오그라드 세이셸 - 빅토리아 세인트루시아 - 캐스트리스 세인트빈센트 그레나딘 - 킹스타운 세인트키츠 네비스 - 바스테르 소말리아 - 모가디슈 소말릴란드 - 하르게이사 솔로몬 제도 - 호니아라 수단 - 하르툼 수리남 - 파라마리보 스리랑카 - 스리자야와르데네푸라코테(사실상), 콜롬보(행정) 스웨덴 - 스톡홀름 스위스 - 베른 스페인 - 마드리드 슬로바키아 - 브라티슬라바 슬로베니아 - 류블랴나 시리아 - 다마스쿠스 시에라리온 - 프리타운 싱가포르 - 싱가포르 아랍에미리트 - 아부다비(입법), 두바이(행정) 아르메니아 - 예레반 아르차흐 공화국 - 스테파나케르트 아르헨티나 - 부에노스아이레스 아이슬란드 - 레이캬비크 아이티 - 포르토프랭스 아일랜드 - 더블린 아제르바이잔 - 바쿠 아프가니스탄 - 카불 안도라 - 안도라라베야 알바니아 - 티라나 알제리 - 알제 압하지야 - 수후미 앙골라 - 루안다 앤티가 바부다 - 세인트존스 에리트레아 - 아스마라 에스와티니 - 음바바네(행정), 로밤바(입법) 에스토니아 - 탈린 에콰도르 - 키토(행정), 과야킬(입법) 에티오피아 - 아디스아바바 엘살바도르 - 산살바도르 영국 - 런던 예멘 - 사나 오만 - 무스카트 오스트레일리아 - 캔버라 오스트리아 - 비엔나 온두라스 - 테구시갈파 요르단 - 암만 우간다 - 캄팔라 우루과이 - 몬테비데오 우즈베키스탄 - 타슈켄트 우크라이나 - 키예프 웨일즈 - 카디프 이라크 - 바그다드 이란 - 테헤란 이스라엘 - 예루살렘(행정), 텔아비브(입법) 이집트 - 카이로 이탈리아 - 로마 인도 - 뉴델리(입법), 뭄바이(행정) 인도네시아 - 자카르타 일본 - 도쿄 자메이카 - 킹스턴 잠비아 - 루사카 적도 기니 - 말라보 조선민주주의인민공화국 - 평양 조지아 - 트빌리시 중앙아프리카 공화국 - 방기 중화민국 - 타이베이 중화인민공화국 - 베이징 지부티 - 지부티 짐바브웨 - 하라레 차드 - 은자메나 체코 - 프라하 칠레 - 산티아고 카메룬 - 야운데 카보베르데 - 프라이아 카자흐스탄 - 누르술탄 카타르 - 도하 캄보디아 - 프놈펜 캐나다 - 오타와 케냐 - 나이로비 코모로 - 모로니 코소보 - 프리슈티나 코스타리카 - 산호세 코트디부아르 - 야무수크로 콜롬비아 - 보고타 콩고 공화국 - 브라자빌 콩고 민주 공화국 - 킨샤사 쿠바 - 아바나 쿠웨이트 - 쿠웨이트 크로아티아 - 자그레브 키르기스스탄 - 비슈케크 키리바시 - 타라와 키프로스 - 니코시아 타지키스탄 - 두샨베 탄자니아 - 도도마 태국 - 방콕 터키 - 앙카라 토고 - 로메 통가 - 누쿠알로파 투르크메니스탄 - 아슈하바트 투발루 - 푸나푸티 튀니지 - 튀니스 트란스니스트리아 - 티라스폴 트리니다드 토바고 - 포트오브스페인 파나마 - 파나마 파라과이 - 아순시온 파키스탄 - 이슬라마바드 파푸아뉴기니 - 포트모르즈비 팔라우 - 멜레케오크 팔레스타인 - 라말라(사실상) / 예루살렘(주장), 요르단 강 서안 지구 / 가자 지구 페루 - 리마 포르투갈 - 리스본 폴란드 - 바르샤바 프랑스 - 파리 피지 - 수바 핀란드 - 헬싱키 필리핀 - 마닐라 헝가리 - 부다페스트 홍콩 - 중시 구 수도 이름순 수도 목록 분류:나라 목록 분류:수도 목록
하인리히 뵐 (Heinrich Böll , 쾰른, 1917년 12월 21일 - 랑엔브로이히(Langenbroich) 1985년 7월 16일)은 독일의 소설가다. 1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다. 1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 47그룹 문학상 을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 게오르크 뷔흐너 상 을 수상했다. 1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다. 그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 하인리히 뵐 연구소 라고 짓기로 결정하였다. 열차는 정확했다 (Der Zug war pünktlich) (1947) 유언(Das Vermächtnis) (1948) 방랑자여, 그대 스파르타로 가거든…… (Wanderer, kommst du nach Spa…) (1950) 검은 양들 (Die schwarzen Schafe) (1951) 아담, 너는 어디 있었는가? (Wo warst du, Adam?) (1951) 천사는 말이 없었다 (Der Engel schwieg) (1952) 성탄절 시기에는 안 된다 (Nicht zur Weihnachtszeit) (1952) 그리고 아무 말도 하지 않았다 (Und sagte kein einziges Wort) (1953) 문지기 없는 건물 (Haus ohne Hüter) (1954) 어린시절의 빵 (Das Brot der frühen Jahre) (1955) 아일랜드의 일기 (Irisches Tagebuch) (1957) 흔적 없이 사라진 사람들 (Die Spurlosen) (1957) 무르케 박사의 누적된 침묵과 기타 풍자적 이야기들 (Dr. Murke s gesammeltes Schweigen und andere Satire) (1958) 9시 반의 당구 (Billard um halb zehn) (1959) 한 움큼의 흙 (Ein Schluck Erde) (1962) 어느 어릿 광대의 견해 (Ansichten eines Clowns) (1963) 군대에서부터의 이탈 (Entfernung von der Truppe) (1964) 어떤 공무여행의 끝 (Ende einer Dienstfahrt) (1966) 여인과 군상 (Gruppenbild mit Dame) (1971) 카타리나 블룸의 잃어버린 명예 (Die verlorene Ehre der Katharina Blum) (1974) 사려깊은 포위 (Fürsorgliche Belagerung) (1979) 그 소년이 어떻게 될 것인가?：책들과 관계 있는 어떤 것 (Was soll aus dem Jungen bloss werden? Oder Irgendwas mit Büchern) (1981) 지뢰밭 (Vermintes Gelände) (1982) 치명적 부상 (Die Verwundung) (1983) 강 풍경을 마주보고 있는 여인 (Frauen vor Flusslandschaft) 1985 (사후 출간) (1985) 하인리히 뵐 재단 한국 하인리히 뵐 학회 분류:1917년 태어남 분류:1985년 죽음 분류:독일의 소설가 분류:노벨 문학상 수상자 분류:쾰른 대학교 동문 분류:독일의 노벨상 수상자 분류:쾰른 출신 분류:독일의 로마 가톨릭교도
방정식 (方程式은 미지수가 포함된 식에서, 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 전자의 경우는 불능이라고 하고, 중자의 경우는 방정식 , 후자의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 부정방정식은 해가 무수히 많지만, 항등식은 아니다. 예를 들어 은 문자 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식인 반면, 은 방정식이고, 그 해는 와 이다. 또한, :은 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로, 이 경우는 방정식 중에서도 불능의 경우이다. 방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다. 방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통 를 사용한다. 미지수로 알파벳의 뒤쪽 문자 를 사용하는 것은 프랑스의 수학자겸 철학자인 데카르트로부터 비롯되었다. 다항 방정식과 분수 방정식을 통틀어 유리 방정식이라 한다. 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다. 다항 방정식 (多項方程式)은 과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말한다.(는 변수, 는 상수) 이 때, 이면 이를 n차 방정식이라 한다. 일반적으로 다항 방정식 의 해는 다음과 같이 구한다. 를 인수 분해하여 와 같은 꼴로 만든다. 의 해집합은 이므로, 위 방정식의 해도 이와 같다. 일차 방정식 그래프의 예시 일차 방정식 (一次方程式)은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 선형방정식으로도 불린다. 일차방정식의 풀이 일차방정식은 등식의 성질을 이용하여 풀 수 있다. 이차 방정식 이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은 (단, 와 같고, 여기에서 와는 각각 의 계수라고 한다. 는 상수항이라고 부른다. 복소수 범위에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근 이라고 한다. 이차방정식의 풀이 이차 방정식은 인수 분해, 완전제곱식, 근의 공식을 이용하여 풀 수 있다. 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어진 방정식을 분수방정식이라 한다. 방정식에서 모든 항을 좌변으로 이항하여 과 같은 꼴로 정리하였을 때, 등과 같이 가 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 분수방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 분모를 으로 만드는 근을 무연근이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다. 방정식의 항에 무리수(루트)를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다. 인수분해하면, 그러나, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로, 위의 두 근인 을 원래의 식인 에 대입해보면, 우선 양변으로 놓으면, 이어서, 일때, :이므로 방정식이 성립되므로, 무연근이 아니고, :일때, :은 무연근이다. 따라서, 방정식의 근은 이 되겠다. 삼차방정식과 사차방정식 그리고 그 이상을 고차방정식이라고 한다. 인수 분해를 해서 해를 구한다. 오차 이상의 일반적 방정식은 대수적 해법이 존재하지 않는다. 이는 아벨이 증명하였다. 부등식 A가 B보다 크다고 하면 A>B, A가 B보다 작다고 하면 A<B, 이와 같이 두 수, 두 식 등의 크기를 어떠한 기호를 통해 비교하는 것을 부등식이라하고 그 어떠한 기호는 부등호라고 한다. 이 부등식에서 크기를 비교하는 기호인 부등호에는 ＞ , ＜ , ≥ , ≤ 등이 있다. 부등식은 평균값 부등식, 코시-슈바르츠 부등식, 재배열 부등식 , ﻿베르누이의 부등식 , 슈르 부등식, 홀더 부등식 , 민코스키 삼각부등식 등 여러 종류가 있다. 삼각함수 항등식 연립 방정식 연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 일차 연립 방정식, 이차 연립 방정식 등으로 나뉜다. 일차 연립 방정식에선 y=ax+b와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다. 방정식은 2x+3=0과 같이 x(미지수)의 값에 따라 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 방정식은 중국의 구장산술이라는 산학서에서부터 유래되었다고 한다. 이 방정식에도 원 방정식, 직선의 방정식, 미분 방정식 등 여러가지가 있고, 또, 미지수의 차수에 따라 일차 방정식, 이차 방정식, 삼차 방정식, 고차 방정식... 등으로 나뉜다. 특히 이차 방정식에는 미지수의 값을 구하는 근의 공식이라는 식이 있다. 이차방정식 ax^2+bx+c=0(a≠0) 의 근의 공식은 -b±√b^2-4ac/2a 이고, ax^2+2b x+c=0(a≠0) 의 근의 공식은 -b ±√b ^2-ac/a 이다. 삼차 방정식과 사차 방정식은 특수한 경우에 성립하는 근의 공식이 있다. 오차 방정식부턴 근의 공식이 존재하지 않는다. (아벨이 증명) 이항방정식 디오판토스 방정식 다항식 수식 항등식 부등식 가우스 소거법 분류:초등대수학
수학에서, 삼각함수 항등식 (三角函數恒等式은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다. 참고로 아래에서 , 등의 함수는 와 같이 정의된다. 다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. 다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다. 다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다. 다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다. 또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다. 여기서 다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다. 다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다. ::(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임) 여기서 다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다. 아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다. 아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다. 이 번째 체비쇼프 다항식일 때, 드무아브르의 공식 디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. 디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다. n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다. 두배각 공식의 코사인 공식을 과 으로 푼다. 차수 줄이기 이차식 공식에서 에 을 대입하고, 과 으로 푼다. 또한, 는 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다. 우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다. 위 식의 를 로, 를 로 바꾼다. 그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다. 역삼각함수라고도 한다. 이면 만약 이면, 등식 우변이 가 된다. 피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다. 리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다. 그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.) 다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다. 21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자. 1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.) 미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선 과 을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다. 적분식은 적분표를 참고하라. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York Dover Publications, 분류:미적분학 분류:기하학 분류:삼각법 분류:항등식
수론에서, 곱셈적 함수 (-的函數 또는 곱산술 함수 (-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다. 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수 라고 한다. 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다. 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수 (完全-的函數라고 한다. 임의의 에 대하여, 이다. (완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다. 곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다. 곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가 일 경우, 다음이 성립한다. 만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. 즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다. 곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. 여기서 는 뫼비우스 함수이다. 곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면, 이다. 곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱 와 디리클레 역원 은 곱셈적 함수이다. 곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가 일 경우, 다음이 성립한다. 만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다. 다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다. (는 음이 아닌 정수) 거듭제곱 함수 * 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다. * 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다. 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다. (는 소수) 르장드르 기호. 이 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, 의 배수일 경우 0을 취한다. 다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다. 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다. (는 음이 아닌 정수) 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합 * 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다. * 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다. 양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수 는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다. 즉, 이다. 폰 망골트 함수 는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다. 이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다. 분류:수론적 함수
수학에서, 체비쇼프 다항식 (Чебышёв多項式은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다. (실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.) 실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식 이라고 한다. (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다. (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다. 은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다. (최소 상한 노름) 드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다. 체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다. 즉, 다음이 성립한다. 짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다. 차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간 속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다. 체비쇼프 다항식을 복소수 함수 로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다. 분지점에서의 값들은 모두 또는 이다. 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.) 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.) 예를 들어, 의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은 및 이다. 마찬가지로, 의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각 및 이다. 이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다. :346px 낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다. 체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T n 는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다. 분류:직교 다항식
pie2.jpg|섬네일|200px|right|파이의 날 기념 파이 파이의 날 (Pi Day) 일명 황금비 의 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 3.14을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이기도 하다. 또한 스티븐 호킹의 기일이다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 분수 7분의 22가 π의 근사값이므로 파이 근삿값 날 은 7월 22일이다. 몰의 날 타우의 날 Exploratorium s Pi Day Web Site Pi Day Professor Lesser s Pi Day page Pi Day in France 분류:원주율 분류:비공식 기념일 분류:3월의 기념일 분류:수학과 문화
기하학에서, 사인 법칙 (-法則은 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다. 삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙 에 따르면 다음이 성립한다. 여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙의 증명 삼각형 의 변 위의 높이를 라고 하자. 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다. 자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다. 양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다. 삼각형 의 외접원을 그리자. 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다. 만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다. 세 각의 사인 값이 모두 양수이므로 사인 법칙의 제곱을 증명하는 것으로 족하다. 코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. 결과가 에 대하여 대칭적이므로 사인 법칙이 성립한다. 단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙 (球面-法則에 따르면 다음이 성립한다. 구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다. 남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다. 구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다. 따라서 다음이 성립한다. 여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다. 제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다. 가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙 (雙曲-法則에 따르면 다음이 성립한다. 여기서 는 쌍곡 사인이다. 제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다. 코사인 법칙 탄젠트 법칙 코탄젠트 법칙 분류:삼각법 분류:각 분류:평면기하학 정리
펜로즈 삼각형 펜로즈 삼각형 ( 또는 )는 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 뒤 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다. 이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다. 이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다. square.svg|펜로즈 사각형 pentagon.svg|펜로즈 오각형 hexagon.svg|펜로즈 육각형 octagon.svg|펜로즈 팔각형 펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다. Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|베를린의 독일 기술 박물관에 설치된 펜로즈 삼각형 Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG|다른 각도에서 본 모습 로저 펜로즈 착시 분류:착시 분류:위상수학 분류:기하학 분류:불가능한 물체
정수론에서 수론적 함수 (數論的函數는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다. 중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다. 곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다. c 4( n ) - n 을 음수가 아닌 정수로 표현하는 방법의 가지수. 덧셈의 순서도 구분한다. 예를 들어 다음과 같다. ::1 02+02+12+02 = 02+02+02+12, :그러므로 c 4(1)=4. P ( n ), 분할수 - n 을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, P (2 · 5) 42 그리고 P (2) P (5) 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님. π ( n ), 소수 계량 함수 - 주어진 n 과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7). a 0( n ) - n 을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr( n )( S um o f the p rime f actors with r epetition)라고도 불림. a 0(20) 9. a 1( n ) - n 의 서로 다른 소인수의 합. sopf( n )라고도 불림. a 1(1) 7. 폰 망골트 함수