수학에서 점화식 (漸化式) 또는 재귀식 (再歸式이란 인접한 항들 사이의 관계식을 말한다. 즉, 수열 의 각 항 이 함수 f 를 이용해서 처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f 를 수열 의 점화식 이라고 하며, 또한, 수열 은 점화식 f 로 정의된다고 한다. 점화식을 푼다 는 것은 귀납적으로 주어진 수열 의 일반항 을 n 의 명시적인 식(explicit formula)으로 나타내는 것을 말한다. 수열{ a n } 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f 에 의해서 a n +1 = f ( a n ) 로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다. 인접 2항간 점화식중 f 가 일차식 a n +1 = p ( n ) · a n + q ( n ) ( p , q 는 n 의 함수) 일 때, 선형이라고 한다. 계수 p , q 가 상수인 2항간 점화식, 즉, a n +1 = p · a n + q (p, q 는 n 에 관계하지 않는 상수) 라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.： p a n + q 이며, 이것은 등차수열을 나타낸다. p ≠ 1 일 때, 점화식 a n +1 = p · a n + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은 a n +1 - α = p ( a n - α) 으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 b n = a n - α 로 정의되는 수열{ b n } 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, b n 을 n 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, a n = b n + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다. 유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다. 개의 원판을 이동하는 회수를 수열 으로 정의하자. 개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다. 선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 임을 알 수 있다. 등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉, a n +1 = a n + d (d 는 상수) 와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차( 공통적인 차이 )이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 a n = a 1 + ( n - 1) d 이 된다. 마찬가지로 a n +1 = r · a n (r 는 상수) 이 등비수열의ff,상수 r 이 공비( 공통적인 비율 )이다. 이 점화식을 풀면 a n = r n -1 · a 1 이란 일반항을 얻을 수 있다. 이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다. 이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다. 이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다. 이 경우 인 경우와 마찬가지로 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다. 점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다. 그러면 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 의 합을 이용하여 일반항을 구한다. 점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면, 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 수열 { a n } 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f 에 의해서 a n +2 = f ( a n +1, a n ) 로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다. 인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식 :（ p , q , r 은 n 의 함수） 일 경우 선형이라고 한다. 상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자. :（ p , q 는 n 에 무관한 상수） 이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) x 2 = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다. 즉, 특성 방정식 의 두 해를 라고 하면, 일반항이 인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 를 결정하면 된다. 이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 제차 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.) 피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다. 이차 방정식 의 두 해는 이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다. 계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다. 완전순열 혹은 교란순열(Derangement)이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다. 이 식은 다음과 같이 변형된다. 그러므로 을 새로운 수열 으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다. 의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다. 이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 으로 나누면, 일반항이 인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 의 일반항도 쉽게 유도된다. p = - q - 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다. 그러므로 그 계차수열이 공비가 - q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 의 일반항을 이끌어낼 수 있다. 점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식 의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다. 다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자. 이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다. 만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다. 피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다. 그러므로 일반항은 다음과 같이 된다. 이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 의 두 해를 라고 두면, 이 두 값이 고윳값이므로 그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다. Z 변환 페이지 참조. 점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어, 점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다. 수열 의 째 항까지의 총합이 인 경우, 임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다. 비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다. 점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 으로 나누면 수열 {1/}이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다. 점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 와 같이 변형되어 수열 {}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다. 점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다. 십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉, :4, 44, 444, 4444, 44444, ..... 이 경우 일반항은 다음과 같다. 기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다. 점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉, 이 세 수가 반복되어 나타난다. 생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다. 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자. 이 수열을 계수로 갖는 다항식 은 다음 등식을 만족해야 한다. 그러므로 를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다. 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자. 그런데 이라는 사실을 이용하여 임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다. 마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다. 번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다. 방정식 의 두 근을 라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다. 이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다. 미분 방정식 *(정보통신기술용어해설)http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=1364 *(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Difference-DifferentialEquation.html 분류:재귀 분류:대수학