Понятие сходящейся последовательности

Определение. Говорят, что последовательность
{
x
n
}
{\displaystyle \{{ x_n \}}}
является сходящейся, если
∃
{\displaystyle \exists}
a
{\displaystyle a}
:
{
x
n
−
a
}
{\displaystyle \{{ x_n - a \}}}
- бесконечно малая последовательность. Число
a
{\displaystyle a}
в этом случае называется пределом последовательности
{
x
n
}
{\displaystyle \{{ x_n \}}}
.

lim
n
→
∞
{\displaystyle \lim_{n \to \infty}}
=
{\displaystyle =}
0
{\displaystyle 0}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow}
∀
{\displaystyle \forall}
ε
{\displaystyle \varepsilon}
>
{\displaystyle > }
0
{\displaystyle 0}
∃
{\displaystyle \exists}
N
{\displaystyle N}
(
ε
)
{\displaystyle (\varepsilon)}
:
∀
{\displaystyle \forall}
n
{\displaystyle n}
>
{\displaystyle > }
N
{\displaystyle N}
(
ε
)
{\displaystyle (\varepsilon)}
∣
{\displaystyle \mid}
x
n
{\displaystyle x_n}
−
{\displaystyle -}
a
{\displaystyle a}
∣
{\displaystyle \mid}
<
{\displaystyle < }
ε
{\displaystyle \varepsilon}
.

Теорема. Сходящиеся последовательности имеют ! предел.

Доказательство. Пусть
lim
n
→
∞
{\displaystyle \lim_{n \to \infty}}
=
{\displaystyle =}
a
{\displaystyle a}
(
x
n
→
a
{\displaystyle (x_n \to a}
при
n
→
∞
)
{\displaystyle n \to \infty)}

{
x
n
−
a
}
{\displaystyle \{{ x_n - a \}}}
- бесконечно малая последовательность. Положим
x
n
{\displaystyle x_n}
−
{\displaystyle -}
a
{\displaystyle a}
=
{\displaystyle =}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
,
x
n
{\displaystyle x_n}
=
{\displaystyle =}
a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
,
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
- бесконечно малая последовательность.

Предположим, что
x
n
{\displaystyle x_n}
=
{\displaystyle =}
b
{\displaystyle b}
+
{\displaystyle +}
β
n
{\displaystyle \beta_n}
, где
β
n
{\displaystyle \beta_n}
- бесконечно малая последовательность.

a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
=
{\displaystyle =}
b
{\displaystyle b}
+
{\displaystyle +}
β
n
{\displaystyle \beta_n}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow}
b
{\displaystyle b}
−
{\displaystyle -}
a
{\displaystyle a}
=
{\displaystyle =}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
−
{\displaystyle -}
β
n
{\displaystyle \beta_n}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow}
b
{\displaystyle b}
−
{\displaystyle -}
a
{\displaystyle a}
=
{\displaystyle =}
0
{\displaystyle 0}
,
b
{\displaystyle b}
=
{\displaystyle =}
a
{\displaystyle a}
.

Теорема доказана.

Теорема. Сходящиеся последовательности ограничены.
Доказательство. Пусть
x
n
→
a
{\displaystyle x_n \to a}
при
n
→
∞
{\displaystyle n \to \infty}

x
n
{\displaystyle x_n}
=
{\displaystyle =}
a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
,
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
- бесконечно малая последовательность.

∣
{\displaystyle \mid}
x
n
{\displaystyle x_n}
∣
{\displaystyle \mid}
=
{\displaystyle =}
∣
{\displaystyle \mid}
a
{\displaystyle a}
+
{\displaystyle +}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
∣
{\displaystyle \mid}
<
{\displaystyle < }
∣
{\displaystyle \mid}
a
{\displaystyle a}
∣
{\displaystyle \mid}
+
{\displaystyle +}
∣
{\displaystyle \mid}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
∣
{\displaystyle \mid}
<
{\displaystyle < }
∣
{\displaystyle \mid}
a
{\displaystyle a}
∣
{\displaystyle \mid}
+
{\displaystyle +}
c
{\displaystyle c}
, где
∣
{\displaystyle \mid}
α
n
{\displaystyle \alpha_n}
∣
{\displaystyle \mid}
≤
{\displaystyle \le}
c
{\displaystyle c}
,
∀
{\displaystyle \forall}
n
{\displaystyle n}
.

Теорема доказана.