Графен/Уравнение Дирака

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и описываются уравнением Дирака [1] .

Вывод [ ]
Зонная структура [ ]
Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон , то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

H
=
−
t
∑
i
∈
Λ
A
∑
j
=
1
3
a
†
(
r
i
)
b
(
r
i
+
u
j
)
−
t
∑
i
∈
Λ
B
∑
j
=
1
3
b
†
(
r
i
)
a
(
r
i
+
v
j
)
,
(
1.1
)
{\displaystyle
H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}(\textbf{r}_i)a(\textbf{r}_i+\textbf{v}_j),\qquad (1.1)
}
где
t
{\displaystyle t}
— интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы
a
†
(
r
i
)
{\displaystyle a^{\dagger}(\textbf{r}_i)}
и
b
†
(
r
i
)
{\displaystyle b^{\dagger}(\textbf{r}_i)}
операторы рождения действующие на треугольных подрешётках кристалла
Λ
A
{\displaystyle \Lambda_A}
и
Λ
B
{\displaystyle \Lambda_B}
соответственно,
a
(
r
i
)
{\displaystyle a(\textbf{r}_i)}
и
b
(
r
i
)
{\displaystyle b(\textbf{r}_i)}
— операторы уничтожения . Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов :

[
a
(
r
i
)
,
a
†
(
r
i
′
)
]
+
=
[
b
(
r
i
)
,
b
†
(
r
i
′
)
]
+
=
δ
i
i
′
.
(
1.2
)
{\displaystyle
[a(\textbf{r}_i),a^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=[b(\textbf{r}_i),b^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad (1.2)
}
Шесть векторов
u
i
{\displaystyle \textbf{u}_i}
и
v
i
{\displaystyle \textbf{v}_i}
указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

u
1
=
(
−
d
,
0
)
,
u
2
=
(
1
2
d
,
3
2
d
)
,
u
3
=
(
1
2
d
,
−
3
2
d
)
,
(
1.3
)
{\displaystyle
\textbf{u}_1=(-d,0),\,\textbf{u}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{u}_3=\left(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\qquad (1.3)
}
v
1
=
(
d
,
0
)
,
v
2
=
(
−
1
2
d
,
−
3
2
d
)
,
v
3
=
(
−
1
2
d
,
3
2
d
)
.
(
1.4
)
{\displaystyle
\textbf{v}_1=(d,0),\,\textbf{v}_2=\left(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{v}_3=\left(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).\qquad (1.4)
}
Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

a
(
r
i
)
=
∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
e
i
k
r
i
a
~
(
k
)
,
b
(
r
i
)
=
∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
e
i
k
r
i
b
~
(
k
)
,
(
1.5
)
{\displaystyle
a(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a}(\textbf{k}),b(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b}(\textbf{k}),\qquad (1.5)
}
где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна , позволяет записать гамильтониан в виде

H
=
∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
ψ
~
†
(
k
)
H
~
ψ
~
(
k
)
,
(
1.6
)
{\displaystyle
H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})\tilde{H}\tilde{\psi}(\textbf{k}),\qquad (1.6)
}
где приняты следующие обозначения:

ψ
~
(
k
)
=
(
a
~
(
k
)
,
b
~
(
k
)
)
T
,
ψ
~
†
(
k
)
=
(
a
~
†
(
k
)
,
b
~
†
(
k
)
)
,
(
1.7
)
{\displaystyle
\tilde{\psi}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}(\textbf{k}),\tilde{b}(\textbf{k})\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}^{\dagger}(\textbf{k}),\tilde{b}^{\dagger}(\textbf{k})\right),\qquad (1.7)
}
и

H
~
=
(
0
−
t
∑
j
=
1
3
e
i
k
u
j
−
t
∑
j
=
1
3
e
i
k
v
j
0
)
.
(
1.8
)
{\displaystyle
\tilde{H}=\left(
\begin{array}{cc}
0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\
-t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\
\end{array}
\right). \qquad (1.8)
}
Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму

∑
i
∈
Λ
A
∑
j
=
1
3
a
†
(
r
i
)
b
(
r
i
+
u
j
)
,
(
1.9
)
{\displaystyle
\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j),\qquad (1.9)
}
которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде

∑
i
∈
Λ
A
∑
j
=
1
3
∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
e
−
i
k
r
i
a
†
~
(
k
)
∫
B
Z
d
2
k
′
(
2
π
)
2
e
i
k
′
(
r
i
+
u
j
)
b
~
(
k
′
)
,
(
1.10
)
{\displaystyle
\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}^{'}(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}),\qquad (1.10)
}
или

∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
a
†
~
(
k
)
∫
B
Z
d
2
k
′
(
2
π
)
2
∑
i
∈
Λ
A
e
−
i
k
r
i
+
i
k
′
r
i
∑
j
=
1
3
e
i
k
′
u
j
b
~
(
k
′
)
.
(
1.11
)
{\displaystyle
\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}).\qquad (1.11)
}
Используя соотношение

∑
i
∈
Λ
A
e
−
i
k
r
i
+
i
k
′
r
i
=
(
2
π
)
2
δ
(
k
′
−
k
)
,
(
1.12
)
{\displaystyle
\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=(2\pi)^2\delta\left(\textbf{k}^{'}-\textbf{k}\right),\qquad (1.12)
}
получим после интегрирования по
k
′
{\displaystyle \textbf{k}^{'}}
выражение

∫
B
Z
d
2
k
(
2
π
)
2
a
†
~
(
k
)
∑
j
=
1
3
e
i
k
u
j
b
~
(
k
)
.
(
1.13
)
{\displaystyle
\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}).\qquad (1.13)
}
Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения

E
=
±
t
∑
j
=
1
3
e
i
k
u
j
∑
j
′
=
1
3
e
i
k
v
j
′
=
±
t
(
e
−
i
k
x
d
+
2
e
i
k
x
d
/
2
cos
3
2
d
k
y
)
(
e
i
k
x
d
+
2
e
−
i
k
x
d
/
2
cos
3
2
d
k
y
)
=
{\displaystyle
E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left(e^{-ik_xd}+2e^{ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(e^{ik_xd}+2e^{-ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=
}
±
t
(
1
+
2
e
i
3
k
x
d
/
2
cos
3
2
d
k
y
)
(
1
+
2
e
−
i
3
k
x
d
/
2
cos
3
2
d
k
y
)
=
±
t
1
+
4
cos
(
3
2
k
y
d
)
[
cos
(
3
2
k
x
d
)
+
cos
(
3
2
k
y
d
)
]
,
(
1.14
)
{\displaystyle
\pm t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(1+2e^{-i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_xd\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\right]},\qquad (1.14)
}
которые определяют зонную структуру графена.[2]

Низкоэнергетическое приближение [ ]
Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов ) и с отрицательной энергией (дырок ) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

(
0
,
4
π
3
3
d
)
,
(
0
,
−
4
π
3
3
d
)
,
(
2
π
3
d
,
2
π
3
3
d
)
,
(
2
π
3
d
,
−
2
π
3
3
d
)
,
(
−
2
π
3
d
,
2
π
3
3
d
)
,
(
−
2
π
3
d
,
−
2
π
3
3
d
)
.
(
2.1
)
{\displaystyle
\left(0,\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(0,-\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.1)
}
Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

K
±
=
(
0
,
±
4
π
3
3
d
)
.
(
2.2
)
{\displaystyle
\textbf{K}^{\pm}=\left(0,\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.2)
}
Рассмотрим недиагональный элемент
H
~
12
{\displaystyle \tilde{H}_{12}}
гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d

lim
d
→
0
d
−
1
H
~
12
|
k
=
K
±
+
κ
=
−
t
lim
d
→
0
d
−
1
(
e
−
i
κ
x
d
+
2
e
i
κ
x
d
/
2
cos
3
d
2
(
±
4
π
3
3
d
+
κ
y
)
)
=
3
t
2
(
i
κ
x
±
κ
y
)
.
(
2.3
)
{\displaystyle
\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa_xd}+2e^{i\kappa_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}d}{2}}\left(\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}+\kappa_y\right)\right)=\frac{3t}{2 }(i\kappa_x\pm\kappa_y).\qquad (2.3)
}
Для
H
~
21
{\displaystyle \tilde{H}_{21}}
разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

(
H
+
0
0
H
−
)
=
ℏ
v
F
(
α
1
κ
x
+
α
2
κ
y
)
,
(
2.4
)
{\displaystyle
\left(
\begin{array}{cc}
H^{+} & 0 \\
0 & H^{-} \\
\end{array}
\right)=\hbar v_F(\alpha^1\kappa_x+\alpha^2\kappa_y), \qquad (2.4)
}
где фермиевская скорость
v
F
=
3
t
d
ℏ
−
1
/
2
{\displaystyle v_F=3td\hbar^{-1}/2}
и

α
1
=
−
(
σ
2
0
0
σ
2
)
,
α
2
=
(
σ
1
0
0
−
σ
1
)
.
(
2.5
)
{\displaystyle
\alpha^1=-\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^2 & 0 \\
0 & \sigma^2 \\
\end{array}
\right),\,\alpha^2=\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^1 & 0 \\
0 & -\sigma^1 \\
\end{array}
\right). \qquad (2.5)
}
Здесь
σ
1
{\displaystyle \sigma^1}
и
σ
2
{\displaystyle \sigma^2}
— матрицы Паули .

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

H
=
−
i
ℏ
v
F
(
α
1
∂
x
+
α
2
∂
y
)
.
(
2.6
)
{\displaystyle
H=-i\hbar v_F(\alpha^1\partial_x+\alpha^2\partial_y). \qquad (2.6)
}
Решением уравнени Дирака для графена
H
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle
H\psi = E\psi
}
будет четырёхкомпонентный столбец вида

ψ
=
(
ψ
A
+
,
ψ
B
+
,
ψ
A
−
,
ψ
B
−
)
T
,
(
2.7
)
{\displaystyle
\psi=(\psi_A^{+},\psi_B^{+},\psi_A^{-},\psi_B^{-})^{T}, \qquad (2.7)
}
где индексы
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.[2]

Произвольный поворот системы координат [ ]
Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол
α
{\displaystyle \alpha}
системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида[3]

H
±
=
−
i
ℏ
v
(
0
e
±
i
α
(
i
∂
x
±
∂
y
)
e
∓
i
α
(
−
i
∂
x
±
∂
y
)
0
)
,
(
3.1
)
{\displaystyle
H_{\pm}=-i\hbar v
\left(
\begin{array}{cc}
0 & e^{\pm i\alpha}(i\partial_x\pm \partial_y) \\
e^{\mp i\alpha}(-i\partial_x\pm \partial_y) & 0 \\
\end{array}
\right),\qquad (3.1)}
из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде[4]

H
±
=
−
i
ℏ
v
(
0
±
∂
x
−
i
∂
y
±
∂
x
+
i
∂
y
0
)
,
(
3.2
)
{\displaystyle
H_{\pm}=-i\hbar v
\left(
\begin{array}{cc}
0 & \pm\partial_x-i\partial_y \\
\pm\partial_x+i\partial_y & 0 \\
\end{array}
\right),\qquad (3.2)}
который получается из (3.1) если взять угол
α
=
−
π
/
2
{\displaystyle \alpha=-\pi/2}
.

Решение уравнения Дирака [ ]
Рассмотрим гамильтониан для одной долины

H
+
=
−
i
ℏ
v
(
0
i
∂
∂
x
+
∂
∂
y
−
i
∂
∂
x
+
∂
∂
y
0
)
.
(
4.1
)
{\displaystyle H_{+}=-i\hbar v\begin{pmatrix} 0 & i\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y}\\ -i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}.\qquad (4.1)}
Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

Ψ
=
(
ϕ
χ
)
.
(
4.2
)
{\displaystyle \Psi=\begin{pmatrix} \phi\\ \chi\end{pmatrix}.\qquad (4.2)}
Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

{
−
i
ℏ
v
(
i
∂
χ
∂
x
+
∂
χ
∂
y
)
=
E
ϕ
−
i
ℏ
v
(
−
i
∂
ϕ
∂
x
+
∂
ϕ
∂
y
)
=
E
χ
(
4.3
)
{\displaystyle \left\{\begin{matrix} -i\hbar v\left(i\frac{\partial\chi}{\partial x}+\frac{\partial\chi}{\partial y}\right)=E\phi & \\ -i\hbar v\left(-i\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)=E\chi & \end{matrix}\right.\qquad (4.3)}
Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
=
−
E
2
ℏ
2
v
2
ϕ
,
(
4.4
)
{\displaystyle \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2v^2}\phi,\qquad (4.4)}
решением которого будет плоская волна

ϕ
=
1
2
e
i
k
x
x
+
i
k
y
y
.
(
4.5
)
{\displaystyle \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.5)}
Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

E
=
±
ℏ
v
k
F
=
±
ℏ
v
k
x
2
+
k
y
2
.
(
4.6
)
{\displaystyle E=\pm\hbar vk_F=\pm\hbar v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.\qquad (4.6)}
Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

χ
=
−
i
ℏ
v
(
k
x
+
i
k
y
)
E
1
2
e
i
k
x
x
+
i
k
y
y
=
−
i
e
i
θ
ℏ
v
k
F
E
1
2
e
i
k
x
x
+
i
k
y
y
.
(
4.7
)
{\displaystyle \chi=-i\frac{\hbar v \left(k_x+ik_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}=-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F }{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.7)}
Поэтому волновая функция для
K
+
{\displaystyle K^+}
долины запишется в виде

Ψ
=
1
2
(
1
−
i
e
i
θ
ℏ
v
k
F
E
)
e
i
k
x
x
+
i
k
y
y
.
(
4.8
)
{\displaystyle \Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F}{E}\end{pmatrix}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.8)}
Сноски [ ]
Шаблон:Reflist

↑ Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438 , 197 (2005) doi :10.1038/nature04233
↑ 2,0 2,1 Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787 , 241 (2007) doi :10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Препринт
↑ Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi :10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21 , 4611 (2007) doi :10.1142/S0217979207038022