Математический анализ

*Я уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком,
*

но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точность, ясностью и определённостью;

а потом уже утверждаться упражнением,
чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти

и с лёгкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях.

## История математического анализа

## Вещественные (действительные) числа

Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.

Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.

Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.

Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.

Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.

## Предел последовательности

Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.

Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

## Функции

Функция. Композиция функций. Обратная функция.

### Предел функции

Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.

### Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.

## Дифференциальное исчисление

### Производные, дифференциалы

Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

## Интегральное исчисление

### Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.

### Определённый интеграл

Интегральная сумма, определённый интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

### Геометрические и физические приложения определённого интеграла

Длина дуги кривой. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Площадь поверхности.

Некоторые физические приложения определённого интеграла.

## Числовые ряды

Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.

Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.

### Функциональные последовательности и ряды

Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.

### Ряды и интеграл Фурье

Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.

## Гильбертово пространство

## Рекомендуемая литература

В данном разделе указаны печатные издания и интернет-ресурсы.