d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
В прямоугольнике 4 × 7, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
(А) 8
(Б) 9
(В) 10
(Г) 11
(Д) 12

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Ведро, полное воды, весит 7 кг, а наполовину наполненное весит как четыре пустых ведра. Сколько весит ведро?

Ответ: 1 кг.
Решение:
Из условия следует, что половина воды весит столько же, сколько 3 пустых ведра, вся вода — как 6 пустых вёдер, а ведро, полное воды, весит как 7 пустых вёдер, и этот вес равен 7 кг.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Какие четыре цифры надо вычеркнуть из числа 4 921 508, чтобы получившееся трёхзначное число было как можно меньше?
(А) 4, 9, 2, 1
(Б) 4, 2, 1, 0
(В) 1, 5, 0, 8
(Г) 4, 9, 2, 5
(Д) 4, 9, 5, 8

Ответ: (Г) 4, 9, 2, 5
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
Первого сентября в школе начались занятия кружков пения, рисования, по математике и по физике. Кружок пения проходит через два дня на третий, рисования – каждый 4-й день, кружок по математике – каждый 5-й день и по физике – каждый 6-й день. Кружки ведутся и в выходные, и в каникулы.
1. Сколько было осенью дней, когда собирались все четыре кружка?
2. Сколько занятий кружка по математике было осенью?


Ответ: а) два; б) 16.
Решение:
Осенью (с 1 сентября по 30 ноября) 91 день. Кружок математики проходит один раз в 6 дней. 91 = 6х15 + 1. Поскольку 1 сентября занятия тоже были, то в оставшиеся 90 дней было ровно 15 занятий. Чтобы все четыре кружка после 1 сентября снова были в один день, нужно, чтобы прошло НОК(3;4;5;6) = 60 дней. Второй раз (когда пройдёт ещё 60 дней) это случится уже после ноября.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Каждая пара вершин куба соединена отрезком. Сколько различных середин у всех этих отрезков?
(А) 8
(Б) 12
(В) 18
(Г) 19
(Д) 28

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Часовая стрелка часов имеет длину 4 см, а минутная — 8 см. Каково отношение расстояний, проходимых концами стрелок от 2 до 5 часов дня?
(А) 1 : 2
(Б) 1 : 4
(В) 1 : 6
(Г) 1 : 12
(Д) 1 : 24

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Можно ли разбить куб со стороной 6 на 90 кубиков с целыми сторонами (не обязательно равных)?

Ответ: Да, можно.
Решение:
Выделим в нижней половине 9 кубиков со стороной 2. Следующий слой опять разобьём на 9 кубиков со стороной 2. Каждый из двух следующих слоёв разобьём на 36 кубиков со стороной 1. Получим 9 + 9 + 36 + 36 = 90 кубиков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
По определению, n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! ⋅ 2! ⋅ 3! ⋅ 4! ⋅ …⋅ 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
(А) 20!
(Б) 19!
(В) 10!
(Г) 5!
(Д) это невозможно

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
На какую наибольшую степень числа 2 делится число 10^2005 − 2^2005 ?
(А) 2004
(Б) 2005
(В) 2006
(Г) 2007
(Д) 2008

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Известно, что для положительных чисел $a$ и $b$ при некотором натуральном $n \geq 2$ выполняются соотношения
$$ a^n = a + 1$$
$$b^{2 n} = 3 a + b $$
Можно ли определить, какое из чисел $a$ и $b$ больше другого?

Ответ: Да, $a$ > $b$.
Решение:
Заметим, что $a^n > 1$, а значит, и $a > 1$.
Возведём в квадрат первое уравнение, перенося члены, получим $a^{2 n} − a = a^2 + a + 1$. Поскольку $a^2 − 2a + 1 > 0$, $a^2 + a + 1 > 3a$. По условию $3a = b^{2 n} − b$, значит, $a^{2 n} − a = a^2 + a + 1 > b^{2 n} − b$.
Запишем это как $a\left(a^{2 n − 1} − 1\right) > b\left(b^{2 n − 1} − 1\right)$. Заметим, что отсюда следует $a \neq b$. Пусть $a < b$. Поскольку $a > 1$, то и $b > 1$, и $b^{2 n − 1} > a^{2 n − 1}$. Тогда $b\left(b^{2 n − 1} − 1\right) > a\left(a^{2 n − 1} − 1\right)$, получили противоречие.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2024 год

Задача:
Катя написала на доске трёхзначное число. Затем Лёша дописал к нему ещё одну цифру справа. Он сказал: «Смотри! Твоё число увеличилось на 2024». Какую цифру написал Лёша?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Г
Решение:
Катя написала число abc. Лёша дописал цифру d, и получилось число abcd. Тогда abcd − abc = 2024. Чтобы после вычитания на первом месте стояло 2, а должно иметь значение 2. Тогда, чтобы получился 0, b тоже должно быть равно 2. Далее чтобы получилось 2 на месте десятков, с должно быть 4. И чтобы на месте единиц получить 4, d должно быть 8. Получаем: 2248 − 224 = 2024. Также может быть вариант, что на месте а стоит 3, а вычитание в разряде сотен происходит с забором 1 из разряда тысяч (чтобы получить после вычитания в разряде тысяч 2). Однако нет такого b, чтобы при вычитании из него 3 получить 0, взяв 1 из разряда тысяч. Значит, такой вариант невозможен.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
В Месопотамии за 2500 лет до нашей эры единицы обозначали значком ∆ , десятки – значком ◄, а число шестьдесят – значком ▼. Как записывалось число 124?
(А) ◄▼▼∆∆∆∆
(Б) ▼▼◄◄∆∆∆∆
(В) ▼◄◄∆∆∆∆
(Г) ▼∆∆∆◄◄▼
(Д) ▼▼∆∆∆∆

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В числовом ребусе СФУ + СФУ + СФУ = УДАР одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Какое наименьшее число может соответствовать слову УДАР?

Ответ: 1623.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Царь Кащей подобрел и решил потратить 50 золотых монет на подарки детям. В сундуке у него хранится 5 ларцов, в каждом ларце по 3 шкатулки, а в каждой шкатулке по 10 золотых монет. Сундук, ларцы и шкатулки заперты на замки. Какое наименьшее число замков потребуется открыть Кащею, чтобы достать 50 монет?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Бабушка раздала 10 пирожков своим пяти внукам. Каждому досталось не меньше одного пирожка. Что может быть верно?
(А) Кто-то получил 6 пирожков, а кто-то – 2.
(Б) Три внука получили по 3 пирожка.
(В) Два внука получили по 4 пирожка.
(Г) Четыре внука получили по одному пирожку.
(Д) Ровно четыре внука получили по 2 пирожка.

Ответ: четыре внука получили по одному пирожку
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Маша загадала натуральное число и выписала в строчку подряд в порядке возрастания все его делители, кроме самого этого числа (например, для числа 14 она написала бы число 127). Какое число при этом не могло получиться?
(А) 1237
(Б) 12346
(В) 123612
(Г) 124816
(Д) 111121

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В числовом ребусе $\overline{ABC}$ + $\overline{DEC}$ = $\overline{EFC}$ одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Какое наименьшее число может соответствовать слову $\overline{EFC}$?

Ответ: 370.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
Ковровая дорожка покрывает лестницу длиной 100 м и высотой 20 м. Какова длина дорожки?

Ответ: 120 метров.
Решение:
Заметим, что длина дорожки складывается из суммы длин ступенек и суммы высот ступенек. Сумма длин ступенек – это длина лестницы, сумма высот – высота лестницы.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Сумма нескольких натуральных чисел равна 2022. Арина поделила каждое чётное число на два, а каждое нечётное умножила на три. Могла ли сумма чисел не измениться?

Ответ: Нет.
Решение:
Пусть сумма чётных чисел равна А, а сумма нечётных чисел равна В. Тогда А + В = А/2 + 3В, откуда А = 2В и вся сумма равна 5В. Но 2022 не делится на 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
В десятичной записи числа 79865 использованы 5 последовательных цифр. Чему равна третья цифра следующего пятизначного числа, обладающего таким же свойством?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) другой ответ

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
В слове КЕНГУРУ стёрли 4 буквы (может быть, среди них были одинаковые). Оставшиеся буквы переписали в обратном порядке. Что могло получиться?
(А) РУГУ
(Б) УГУ
(В) РКУ
(Г) РУН
(Д) ГЕН

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Найдите остаток при делении на 5 значения выражения:
3^2020 + 5^2020 + 7^2020.

Ответ: 2.
Решение:
Последние цифры значений степеней числа 3: 3, 9, 7, 1, ...; повторяются четыре цифры 3, 9, 7, 1, ...
3^2020 – значение степени оканчивается на цифру 1.
Последние цифры значений степеней числа 5: 5, 5, 5, 5, ...;
5^2020 – значение степени оканчивается на цифру 5.
Последние цифры значений степеней числа 7: 7, 9, 3, 1, ...; повторяются четыре цифры 7, 9, 3, 1, ...
7^2020 – значение степени оканчивается на цифру 1.
...1 + ...5 + ...1 = ...7 – остаток при делении на 5 равен 2.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Каждое из 4 чисел больше 5 и меньше 9. Тогда их сумма может равняться
(А) 15
(Б) 18
(В) 20
(Г) 30
(Д) 45

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Кенгуру складывает двести сотен и один. Подскажите правильный ответ.
(А) 201
(Б) 1201
(В) 2001
(Г) 20001
(Д) 200001

Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2022 год

Задача:
На уроке физкультуры в шеренгу встали 25 учеников 5«Б» класса. Каждый из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда врёт.
Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ: 12.
Решение:
Заметим, что ученики на местах 7–12 — хулиганы, так как между каждым из них и Владом меньше 6 человек. Значит, ученик с номером 6 — отличник. То же самое можно сказать про ученика на 5-м месте, затем про 4-е, про 3-е, про 2-е и про 1-е.
Получается, что первые шесть мест занимают отличники, следующие шесть мест занимают хулиганы, а уже на месте 13 стоит Влад. Аналогичное рассуждение можно провести для учеников на местах 14–25. Таким образом, в шеренге ровно 6 + 6 = 12 хулиганов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Пусть N — наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 2, 3, 4, 5 и 6 различны. Какой остаток оно даёт при делении на 5?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: (А) 0
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2021 год

Задача:
Окружность передних колёс экипажа и окружность задних колёса этого же экипажа составляют целое количество футов каждая. Если окружность переднего колёса уменьшить на 2 фута, а заднего увеличить на 1 фут, то на расстоянии 120 футов переднее колесо сделает на 20 оборотов меньше заднего. Найти длину окружности переднего колёса. Нужно найти все возможные варианты.

Пусть $p$ футов - длина окружности переднего колёса, а $z$ футов заднего. Тогда имеем уравнение
$$ \frac{120}{p-2}+20=\frac{120}{z+1} $$
Домножив его на $(p-2)(z+1) / 20$, получаем
$$ 6(z+1)+(p-2)(z+1)=6(p-2) $$
что равносильно
$$ p z+4 z-5 p+16=0 $$
что равносильно
$$ (p+4)(z-5)=-36 $$
Учитывая, что $p>0$ и $z>0$, получаем следующие 4 варианта:
- $z=1$ и $p=5$
- $z=2$ и $p=8$
- $z=3$ и $p=14$
- $z=4$ и $p=32$

Ответ: 5, 8, 14 или 32 фута.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Вася утверждает, что существует такое четырёхзначное число $\overline{abcd}$, в записи которого используются различные ненулевые цифры, что сумма $\overline{abcd}$ + $\overline{dcba}$ делится на 101. Прав ли Вася?

Ответ: Прав.
Решение:
Подойдет, например, число 1234. Действительно, 1234 + 4321 = 5555 = 101 ⋅ 55. Можно заметить, что число $\overline{abcd}$ с различными ненулевыми цифрами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда $a$ + $d$ = $b$ + $c$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Круглая клумба в нашем саду имеет диаметр 1,2 м. В соседнем саду круглая клумба имеет площадь в 4 раза больше нашей. Каков её диаметр?
(А) 2,4 м
(Б) 3,6 м
(В) 4,8 м
(Г) 6,4 м
(Д) 9,6 м

Ответ: А
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал 20 метров, Ёжик пробежал всего 16 метров. А когда Крошу оставалось 30 метров, Ёжику оставалось 60 метров. Сколько метров составляет длина дороги от домика Копатыча до домика Лосяша? (Крош и Ёжик выбежали одновременно, каждый из них бежал со своей постоянной скоростью.)

Ответ: 180 метров.
Решение:
Когда Крош пробежал 20 метров, Ёжик пробежал всего 16 метров, поэтому их скорости относятся как 5 ∶ 4.
Когда Крошу оставалось пробежать 30 метров, пусть он уже пробежал 5𝑥 метров (𝑥 — не обязательно целое число). Тогда к этому моменту Ёжик пробежал 4𝑥 метров. Значит, общая длина всей дороги в метрах с одной стороны равна 5𝑥 + 30, а с другой стороны — 4𝑥 + 60. Получаем уравнение 5𝑥 + 30 = 4𝑥 + 60, из которого находим 𝑥 = 30.
Следовательно, искомая длина составляет 5 ⋅ 30 + 30 = 180 метров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Сандра бегает в два раза быстрее, чем Бренда, а Бренда — в два раза быстрее, чем Николь. Девочки одновременно стартовали из одной точки кольцевой дорожки: Сандра побежала в одну сторону, а Бренда и Николь — в другую. Сначала Сандра встретила Бренду, а через 200 метров — Николь. Чему равна длина дорожки?
(А) 800 м
(Б) 1000 м
(В) 1500 м
(Г) 2000 м
(Д) невозможно определить

Ответ: (В) 1500 м
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ТЕРМИН» так, чтобы в нём гласные не стояли рядом и согласные тоже не стояли рядом?

Ответ: 0 способов.
Решение:
Будем выставлять буквы слева по порядку. На первое место можно поставить любую букву. Поставим гласную (2 варианта), тогда на второе место идёт согласная (4 варианта), на третье — оставшаяся гласная (1 вариант), затем — любая из оставшихся согласных (3 варианта), дальше гласная, но вариантов выбрать гласную больше не осталось. Получаем, что таких расстановок нет. Также невозможен и случай, если на первое место поставить согласную.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $B$ известно, что $BC$ = 5 ($BC$ < $AB$), На гипотенузе $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP$ = $AB$, а на катете $AB$ отмечена точка $Q$ так, что $PQ$ = $AQ$ = 6, Чему равен периметр четырёхугольника $CPQB$?

Ответ: 17.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Дима ввёл новую операцию: a ⊗ b = a^b. Если (5 ⊗ 2) ⊗ 6 = (5 ⊗ 3) ⊗ k, то k равно
(А) 3
(Б) 4
(В) 6
(Г) 8
(Д) 12

Ответ: (Б) 4
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 2 класс, 2023 год

Задача:
Кот Василий сумел стащить треть сосисок из пачки и поделился с Барсиком и Мурзиком, которые тоже участвовали в операции. Каждый получил свою треть добычи, и Василию досталось 2 сосиски. Сколько сосисок было в пачке?

Ответ: 18 сосисок.
Решение:
Василию досталась треть от украденного, то есть он украл 2 ⋅ 3 = 6 сосисок. Эти сосиски составляли треть от всей пачки, поэтому всего сосисок было 6 ⋅ 3 = 18.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2015 год

Задача:
Вася, Гриша и Дима играли в гонки трёмя машинками: синей, красной и жёлтой. Димина машинка пришла к финишу сразу после жёлтой машинки, а красная машинка – сразу после Васиной машинки. Чья машинка и какого цвета пришла первой, если это не Гришина машинка?

Ответ: Первой финишировала жёлтая Васина машинка.
Решение:
Во фразах «Димина машина сразу после жёлтой» и «Красная машинка сразу после Васиной» не может идти речь о 4 разных машинках. Значит, либо Димина машинка красная, либо Васина жёлтая. Но если Димина – красная, то она сразу после Васиной и, значит, Васина жёлтая. Аналогично, если рассматривать случай, что Васина машинка жёлтая. Поэтому в любом случае эти две машинки приехали друг за другом: жёлтая Васина и красная Димина. Значит, Гришина синяя. И она приехала либо перед жёлтой и красной, либо после них. По условию Гришина машинка не могла быть первой. Значит, первая – жёлтая Васина машинка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Слева направо на прямой отмечены 6 точек: А, В, С, D, E, F. Известно, что AD = CF и BD = DF. Тогда обязательно
(А) АВ = ВС
(Б) ВС = DE
(В) BD = EF
(Г) АВ = CD
(Д) CD = EF

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Сколько нулей нужно написать вместо ∗ в десятичной дроби 1.∗1, чтобы получить число, лежащее между $\displaystyle \frac{209}{208}$ и $\displaystyle \frac{2009}{2008}$ ?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2010 год

Задача:
Крош, Ёжик и Бараш зарыли секретики.
- Крош сказал: «Я зарыл синий секретик!».
- Ёжик сказал: «Нет, это Бараш зарыл синий секретик!».
- А Бараш промолчал.

Кто зарыл синий секретик, если синий секретик только один и все сказали неправду?

Ответ: синий секретик зарыл Ёжик.
Решение:
Крош сказал неправду, следовательно, это не он зарыл секретик. Ёжик сказал неправду, следовательно, Бараш не зарывал синего секретика. Значит, зарыл синий секретик Ёжик.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Числа 1, 2, …, 12 расставлены по кругу так, что любые два соседних числа различаются либо на 2, либо на 3. Какие два числа стоят рядом?
(А) 6 и 8
(Б) 3 и 5
(В) 7 и 9
(Г) 5 и 8
(Д) так расставить числа нельзя

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Старый гном разложил свои сокровища в 3 разноцветных сундука, стоящих у стены. В один — драгоценные камни, в другой — золотые монеты, а в третий — магические книги. Он помнит, что:
- красный сундук правее, чем драгоценные камни
- магические книги правее, чем красный сундук

В каком сундуке лежат магические книги, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?
(А) в синем
(Б) в зелёном
(В) в красном
(Г) нельзя определить
(Д) гном что-то запомнил неверно

Ответ: в синем
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Скучая на уроке, отличник Петя заметил, что муха ползёт по столу со скоростью 10000 миллиаршин в килосекунду. Один аршин равен 71 сантиметру. Определите скорость мухи в метрах в секунду.
(А) 7,1
(Б) 0,71
(В) 0,071
(Г) 0,0071
(Д) 0,00071

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Расшифруйте запись:
5AB − AB5 = 369
Одинаковые буквы — это одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.

Ответ: 514 − 145 = 369
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
В трёх играх футбольный клуб «Кенга» пропустил 1 мяч в свои ворота и забил 3 мяча в ворота противников. Одну игру клуб выиграл, одну игру проиграл и одну игру закончил вничью. Какой был счёт в матче, который клуб «Кенга» выиграл?
(А) 2 : 0
(Б) 3 : 0
(В) 1 : 0
(Г) 4 : 1
(Д) 0 : 1

Ответ: (Б) 3 : 0
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Какое наименьшее количество букв нужно вычеркнуть из фразы УРА КЕНГУРУ, чтобы оставшиеся буквы были различны и шли слева направо в алфавитном порядке?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Заканчивается 2021 год. Для его записи потребовалось четыре цифры: 2, 0, 2, 1. Сколько вообще было или будет лет, записывающихся этими четырьмя цифрами?

Ответ: 9.
Решение:
аккуратный перебор. На первом месте может быть 1 или 2. Для 1 варианты: 1022, 1202, 1220. Если на первом месте 2, то оставшиеся три цифры можно расставить 6 способами: 2012, 2021, 2102, 2120, 2201, 2210. Итого 9 лет.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Два бельчонка, чёрный и рыжий, 27 дней собирали шишки, и каждый записывал, сколько шишек он собрал за день. В первые несколько дней все числа, записанные чёрным бельчонком, оканчивались на 4, а все числа, записанные в эти дни рыжим бельчонком, оканчивались на 5. В остальные дни числа чёрного бельчонка оканчивались на 5, а числа рыжего бельчонка оканчивались на 2. Могло ли быть так, что за 27 дней чёрный и рыжий бельчата собрали одинаковое количество шишек?

Ответ: Нет.
Решение:
У каждого бельчонка записано 27 чисел. Пусть у чёрного бельчонка чётное количество чисел, оканчивающихся на 4 (чётных), тогда у него нечётное количество чисел, оканчивающихся на 5 (нечётных). Сумма всех чисел нечётна. У рыжего бельчонка тогда чётное количество чисел, оканчивающихся на 5 (нечётных), и нечётное количество чисел, оканчивающихся на 2 (чётных). Сумма всех чисел чётна.
Если же у чёрного бельчонка нечётное количество чисел, оканчивающихся на 4 (чётных), тогда у него чётное количество чисел, оканчивающихся на 5 (нечётных). Сумма всех чисел чётна. У рыжего бельчонка тогда нечётное количество чисел, оканчивающихся на 5 (нечётных), и чётное количество чисел, оканчивающихся на 2 (чётных). Сумма всех чисел нечётна. Четное и нечётное числа не могут быть равны, поэтому суммы не могут быть равны.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Миша выбирает несколько чисел из набора 1, 2, …, 10 так, чтобы ни одно выбранное число не было в два раза больше другого. Какова наибольшая возможная сумма таких чисел?
(А) 37
(Б) 39
(В) 41
(Г) 42
(Д) 45

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2020 год, первая лига

Задача:
Братья-снегири Коля, Миша, Олеги Саня прилетели на забор из вертикальных досок. Олег левее Коли, и между ними 9 досок. Миша левее Олега, и между ними 7 досок. Саня правее Миши, и между ними 10 досок. Сколько досок между Саней и Колей?

Ответ: 6
Рисуем снегирей (1 - это пустая доска):
М11111110111111111К
Теперь добавим Саню:
М1111111011С111111К
Теперь видно, что между Саней и Колей 6 досок.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Найдите сумму корней уравнения: |2|х| − 1| = 3.

Ответ: 0.
Решение:
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1. 2|х| − 1 = 3; 2|х| = 4; корни уравнения: 2; −2;
2. 2|х| − 1 = −3; 2|х| = −2; корней нет.

Корни уравнения: 2; −2.
Сумма корней уравнения: 2 + (−2) = 0.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Все углы шестиугольника ABCDEF равны 120°. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите DE + AF .
(А) 8
(Б) 10
(В) 13
(Г) 14
(Д) 15

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На тарелке лежали сливы. Ваня съел половину всех слив, ещё 1 сливу, а затем половину остатка. На тарелке осталось 2 сливы. Сколько слив съел Ваня?

Ответ: 8.
Решение:
2 + 2 = 4 (сливы) − это остаток
4 + 1 = 5 (слив) − это половина всех слив
5 + 1 + 2 = 8 (слив) − съел Ваня
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Анна, Бетти и Селина родились в одном году, их дни рождения пришлись на одно и то же число в разных месяцах. Бетти на 6 месяцев старше, чем Селина, и на 5 месяцев младше, чем Анна. В каком месяце родилась Бетти?
(А) в апреле
(Б) в мае
(В) в июне
(Г) в июле
(Д) в августе

Ответ: в июне
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Квадрат со стороной 7 см разрезали по прямой на два прямоугольника. Периметр одного из этих прямоугольников равен 18 см. Чему равен периметр другого? Дайте ответ в сантиметрах.

Ответ: 24 см.
Решение:
Стороны одного прямоугольника: ширина 2 см; длина 7 см.
Стороны другого прямоугольника: ширина 5 см; длина 7 см.
Периметр другого прямоугольника: 5 см + 7 см +5 см + 7 см = 24 см.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Петя разрезал торт на несколько кусков, 7 кусков получились маленькими, а другие — большими. Потом каждый большой кусок он разделил на 4 куска. Теперь торт стал разделён на 39 кусков. На сколько кусков Петя в первый раз разрезал торт?

Ответ: 15 кусков.
Решение:
После второго разрезания добавилось 39 − 7 = 32 куска. Эти 32 куска получаются, если поделить 32 : 4 = 8 частей, это и есть число больших кусков. Всего кусков 7 + 8 = 15.