d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2019 год

Задача:
Юля задумала число. Даша прибавила к числу Юли 1, а Аня прибавила к числу Юли 13. Оказалось, что число, полученное Аней, в 4 раза больше числа, полученного Дашей. Какое число задумала Юля?

Ответ: 3.
Решение:
Заметим, что раз число Ани в 4 раза больше числа Даши, то разность этих чисел в 3 раза больше числа Даши. Таким образом, число Даши равно (13 − 1) : 3 = 4. Следовательно, Юля задумала число 3.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
В слове КЕНГУРУ убрали две буквы, а потом две другие буквы поменяли местами. Что могло получиться?
(А) КУНГЕР
(Б) КЕНГР
(В) УГНЕ
(Г) КУГРЕ
(Д) КУНЕРУ

Ответ: Г
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
Встретились как-то на базаре трое: каждый из них либо крестьянин (всегда говорящий правду), либо купец (всегда лгущий). Каждый из них сказал остальным двоим: «Среди вас ровно один купец.»
Сколько могло быть среди них крестьян? Укажите все возможные варианты!

Ответ: 0 или 2 крестьян.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2014 год

Задача:
Число $a$ на 1 больше числа $b$ (числа $a$ и $b$ необязательно целые). Могут ли числа $a^2$ и $b^2$ быть равными?

Ответ: Могут.
Решение:
Если $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $\displaystyle b = − \frac{1}{2}$, то $a = b + 1$ и $a^2 = b^2$.
Также можно решить систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}a^2 = b^2,\\a = b + 1\end{array}\right.$
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Коля выписал числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и подчеркнул 3 нечётных числа. После этого он подчеркнул 2 других числа, каждое из которых делится на 3. Наконец, он сложил все 5 подчёркнутых чисел. Какую самую маленькую сумму он мог получить?
(А) 18
(Б) 20
(В) 22
(Г) 24
(Д) 25

Ответ: В
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2021 год

Задача:
Разумный школьник при подготовке к олимпиаде каждый день смотрел 3 или 4 ролика с разборами задач, читал 2 или 3 статьи в журнале «Квантик», а также сам решал не меньше 5 задач. Всего за время подготовки он:
- просмотрел не меньше 11 и не больше 19 роликов с видеоразборами
- прочитал не меньше 4 и не больше 9 статей
- решил не больше 17 задач

Сколько дней мог готовиться к олимпиаде школьник?

Рассматривая ролики, приходим к выводу, что он готовился не меньше трёх и не больше шести дней, т.к. 4 ⋅ 2 < 11, а 3 ⋅ 7 > 17.
Рассматривая статьи, приходим к выводу, что он готовился не меньше 2 дней и не больше четырёх дней, т.к. 3 ⋅ 1 < 4, а 2 ⋅ 5 > 9.
Рассматривая решенные задачи, приходим к выводу, что школьник не мог готовиться больше трёх дней, т.к. 5 ⋅ 4 > 17.
Итого, возможным вариантом, удовлетворяющими всем условиям, остаются только 3 дня. На этот вариант строится пример.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2022 год

Задача:
У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухрублёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше 20). Сколькими способами Денис сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью 16 рублей? Не обязательно использовать монеты каждого вида.

Ответ: 13.
Решение:
Если Денис будет использовать десятирублёвую монету, то ему останется набрать 6 рублей двухрублёвыми и однорублёвыми монетами. Есть 4 способа это сделать: использовав от 0 до 3 двухрублёвых монет.
Если Денис не будет использовать десятирублёвую монету, то ему потребуется набрать 16 рублей двухрублёвыми и однорублёвыми монетами. Есть 9 способов это сделать, использовав от 0 до 8 двухрублёвых монет.
Итого способов 4 + 9 = 13.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Если 3f(x) + f(−x) = x^2 + 2x для всех x, то число f(2) равно
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
На окне своей комнаты первоклассник Вася написал: «НОВОГОДНЯЯ ОЛИМПИАДА». Сколько из этих 19 букв выглядят одинаково с той и с другой стороны окна?

Так же выглядят буквы Н — 2 раза, О — 4 раза, Д — 2 раза, Л — 1 раз, М — 1 раз, П — 1 раз, А — 2 раза. Итого 13 букв.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Эльза угощает гостей лимонадом. Каждый гость выпивает три стакана лимонада. Два кувшина лимонада — это половина ведёрка, а три стакана — это половина кувшина. Сколько гостей можно напоить двумя ведёрками лимонада?

Ответ: 16 гостей.
Решение:
В целом ведёрке 2 х 2 = 4 кувшина. В кувшине З х 2 = 6 стаканов, значит, в ведёрке 6 х 4 = 24 стакана, следовательно, одним ведёрком можно напоить 24 : 3 = 8 гостей, а двумя ведёрками — 8 х 2 = 16 гостей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Произведение двух натуральных чисел равно 2^4 ⋅ 3^2 ⋅ 5 ⋅ 7^3 ⋅ 11. Тогда их сумма может
(А) делиться на 5
(Б) делиться на 49
(В) делиться на 9
(Г) делиться на 8
(Д) ни одно из свойств А-Г невозможно

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
У флориста (составителя букетов) имеются розы: 42 красные, 24 белые и 36 жёлтых. Какое наибольшее количество одинаковых букетов он может составить, если хочет использовать все имеющиеся розы?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: Б
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Математик печёт блины и выкладывает их в стопку по определённому закону: когда блин испекается, то кладётся на вершину стопки, далее вся стопка переворачивается. Каким по счёту сверху в получившейся стопке будет первый испечённый блин, если математик увлёкся и испёк 36 блинов?

Ответ: 18 блинов.
Решение:
Блины выстроятся следующим порядком: сначала все нечётные (35, 33, 31, 29, 27, …, 1), далее чётные по возрастанию (2, 4, 6, 8, …, 36). Первый испечённый блин будет 18 сверху, так как в ряду от 1 до 36 ровно по 18 чётных и нечётных чисел.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: «Это число 9». Роман: «Это простое число». Катя: «Это чётное число». А Наташа сказала, что это число — 15. Назовите правильный ответ, если и мальчики, и девочки ошиблись ровно по одному разу.
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 9
(Д) 15

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
В Тридевятом царстве живут рыцари и лжецы. Каждая фраза рыцаря является истинной, а каждая фраза лжеца — ложной. Однажды несколько жителей царства сидели в комнате, и трое из них произнесли следующее.
- Первый: «В комнате не более 3 человек. Все они лжецы».
- Второй: «В комнате не более 4 человек. Не все из них лжецы».
- Третий: «В комнате ровно 5 человек.

Ровно трое из них — лжецы». Сколько в комнате лжецов?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) невозможно определить

Ответ: (Б) 2
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок Вася ест 10 орехов в день, если утром идёт дождь, и 5 орехов в день, если утром не идёт дождь. Он съел 60 орехов за 9 дней. Какое количество раз за эти 9 дней утром шёл дождь?

Ответ: 3 раза.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Что не равно семи?
(А) число дней в неделе
(Б) число букв в слове КЕНГУРУ
(В) полдюжины
(Г) номер этой задачи
(Д) число цветов радуги

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В Сибирском федеральном университете в детском научном клубе эксперимент-шоу проводится по понедельникам, вторникам и четвергам. В летние каникулы Лена решила ходить в научный клуб 9 дней подряд. В какой день недели ей нужно пойти в научный клуб в первый раз, если она хочет смотреть эксперимент-шоу как можно больше?

Ответ: Понедельник.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2019 год

Задача:
Мерлин решил взвесить короля Артура на заколдованных весах, которые всегда ошибаются на один и тот же вес в одну и ту же сторону. Когда Мерлин взвесил Артура, они показали вес 19 стоунов. Затем Мерлин взвесил королевского коня и получил вес 101 стоун. Наконец, Мерлин взвесил Артура на коне, и весы показали 114 стоунов. Сколько стоунов весит король Артур на самом деле?

Ответ: 13 стоунов.
Решение:
Заметим, что если сложить 19 стоунов и 101 стоун, мы получим суммарный вес Артура и коня, к которому дважды добавили (или вычли) ошибку весов. При этом 114 стоуна — суммарный вес Артура и коня, к которому ошибку весов добавили лишь один раз. Тогда ошибка весов равна 19 + 101 − 114 = 6. Значит, король Артур весит 19 − 6 = 13 стоунов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
На ферме у Яна живут куры и свиньи, причём тех и других поровну. Сколько ног может быть у всех этих животных вместе?
(А) 16
(Б) 22
(В) 26
(Г) 48
(Д) 52

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Известно, что $a$ ≠ 0, $a$ ≠ 1, $a$ ≠ −1. Какое число из (А)-(Д) не может быть самым большим в этом наборе?
(А) $\displaystyle \frac{1}{a}$
(Б) $\sqrt[3]{a^2}$
(В) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$
(Г) $a^2$
(Д) $a^3$

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2019 год, 1 этап

Задача:
Задуманное число уменьшили на 4 и ещё на 3, получили 12. Какое число было задумано?

Ответ: 19.
Решение:
12 + 4 + 3 = 19
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
На поляне в лесу за круглым столом собрались 60 бельчат. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый за столом сказал: «Оба моих соседа лжецы». Через некоторое время бельчата пересели и каждый сказал: «Оба моих соседа такие же, как и до пересадки». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть за столом?

Ответ: 20 рыцарей.
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Авдотья решила проведать подвал. Там стояли пустые банки (не менее двух штук), но с момента прошлой ревизии в этих банках завелись пауки. Авдотья выгнала всех пауков, а ещё про себя заметила следующее:
- больших пауков во всех банках было поровну, а всего больше 4, но меньше 8
- средних пауков во всех банках тоже было поровну, а всего больше 9, но меньше 14
- и маленьких паучков во всех банках было поровну, причём больше нуля
- а всего пауков было меньше 24

Сколько банок могло стоять в подвале? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 2, 3 или 5 банок.
Решение:
Проведём перебор по количеству больших пауков.
Если их было 5, то банок в подвале 5. При этом могло быть 10 средних пауков (по 2 в банке) и 5 маленьких паучков (по одному в банке).
Если их было 6, то банок в подвале 2, 3 или 6:
- в первом случае могло быть 10 средних пауков (по 5 в банке) и 2 маленьких паучка
- во втором случае могло быть 12 средних пауков (по 4 в банке) и 3 маленьких паучка
- а вот в третьем случае средних пауков обязательно 12 (по 2 в банке), а маленьких — не менее 6; итого не менее 24 пауков, что противоречит условию.

Если больших пауков 7, то банок тоже 7, но ни одно возможное количество средних пауков на 7 не делится.
Поэтому возможные количества банок: 2, 3 или 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Число B записывается одними единицами – всего 2003 цифр. Сколько цифр содержит произведение числа B на 2003?
(А) 2003
(Б) 2004
(В) 2006
(Г) 4006
(Д) 2003^2

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2020 год, 2 тур

Задача:
Коля положил на стол несколько кубиков белого, синего, красного, зелёного и чёрного цвета в ряд. Оказалось, что для любых двух цветов найдётся пара кубиков этих цветов, которые лежат рядом. То есть есть белый и красный кубики, лежащие рядом, зелёный и белый кубики, лежащие рядом, а так для любой пары цветов. Какое минимальное количество кубиков может лежать на столе?

Ответ: 11 кубиков
Решение:
Поскольку каждый цвет должен образовывать хотя бы 4 пары с 4 остальными цветами, а кубик в середине ряда образует не более 2 пар, то кубиков каждого цвета не менее 4 : 2 = 2, при этом есть крайние кубики в ряде, которые образовывают только по 1 паре. Значит, 2 кубиков каждого цвета не хватит для того, чтобы все возможные пары встречались, ведь мы считали в предположении, что любой кубик образует две пары, то есть находился в середине ряда. Значит, кубиков как минимум 5 × 2 + 1 = 11. Осталось привести пример на 11 кубиков. Например, так: БСКЗЧБКЧСЗБ
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
40 мальчиков и 28 девочек встали в круг. Ровно у 18 мальчиков соседка справа — девочка. У скольких мальчиков соседка слева — девочка?
(А) 10
(Б) 18
(В) 22
(Г) 28
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2010 год

Задача:
Домовой нашёл стопку бумаги и на каждом 3-м листе нарисовал Маленькую Машу. Маленькая Маша нашла эту стопку и на каждом 4-м листе нарисовала Домового. Тогда ту же стопку взял Барабошка и на каждом 5-м листе нарисовал автопортрет. Вечером мама увидела 17 портретов Домового, 22 портрета Маленькой Маши и 13 портретов Барабошки. Сколько было бумаги в стопке?

Ответ: 68 листов.
Решение:
Домовой нарисовал 22 портрета, значит, листов не менее 22 ⋅ 3, но менее 23 ⋅ 3. То есть от 66 до 68. Маша нарисовала 17 портретов, значит, листов не менее 17 ⋅ 4, но менее 18 ⋅ 4. То есть от 68 до 71. Барабошка нарисовал 13 портретов, значит, листов не менее 13 ⋅ 5, но менее 14 ⋅ 5. То есть от 65 до 69. Единственное число, подходящее под все эти условия это 68 листов.
Замечание: Решение вида: «Нужное число листов при делении на 3 должно давать в частном 22, при делении на 4 в частном 17 и при делении на 5 в частном 13 (возможно с остатком). Поэтому искомое число 68» не является полным решением, поскольку не обосновано, что других чисел нет.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2015 год

Задача:
В числе 16798 все цифры разные. Какое число, ближайшее к этому, обладает тем же свойством?

Ответ: 16795.
Решение:
Рассмотрим ближайшие числа, большие 16798: 16799, 16800, 16801, 16802. Подходящее число с разными цифрами – 16802. Рассмотрим числа. Меньшие 16798: 16797, 16796, 16795. Подходящее число – 16795. Так как 16802 отличается от 16798 на 4, а 16795– на 3, то искомое число 16795.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
При вычислении площади круга по формуле S = πr^2 Каролина перепутала радиус с диаметром. Что ей теперь нужно сделать со своим результатом, чтобы получить правильный ответ?
(А) разделить на 4
(Б) разделить на 2
(В) разделить на π
(Г) умножить на 2
(Д) умножить на 4

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Два ковша воды – это половина ведёрка, а три чашки – это половина ковша. Тогда два ведёрка – это:
(А) 24 чашки
(Б) 48 чашек
(В) 12 чашек
(Г) 36 чашек
(Д) 72 чашки

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
В Волшебной стране каждому дождливому дню обязательно предшествуют три солнечных дня, а через неделю после каждого солнечного дня снова наступает солнечный день. На какое наибольшее число дней вперёд можно предсказать погоду в дождливый день?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: (Г) 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
В числовом ребусе KAN + GA = ROO разные буквы обозначают разные цифры. Чему равна разность RN − KG?
(А) 10
(Б) 11
(В) 12
(Г) 21
(Д) 22

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Прибавив 17 к самому маленькому двузначному числу и разделив эту сумму на самое большое однозначное число, мы получим
(А) 3
(Б) 6
(В) 9
(Г) 11
(Д) 27

Ответ: 3
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2017 год

Задача:
Петя считает количество квартир в своём подъезде: 1, 2, 3, … Если номер квартиры делится на 11, Петя чихает, а если номер этажа делится на 4, Петя кашляет. Этаж, на котором Петя впервые одновременно чихнул и закашлял был предпоследним. Сколько этажей в подъезде Пети, если на каждом этаже в его подъезде (включая первый этаж) по 4 квартиры?

Ответ: 21.
Решение:
Заметим, что на этажах 4 (13−16), 8 (29−32), 12 (45−48), 16 (61−64) Петя кашляет, но не чихает, а вот на этаже 20 (77−80) Петя ещё и чихнёт, так как число 77 делится нацело на 11. Поэтому всего в подъезде Пети 21 этаж.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2020 год

Задача:
Антон загадал трёхзначное число, а Лёша пытается его угадать. Лёша по очереди назвал числа 109, 704 и 124. Антон заметил, что каждое из этих чисел совпадает с загаданным числом ровно в одном разряде. Какое число загадал Антон?

Ответ: 729.
Решение:
Заметим, что первое и третье число имеют общую цифру сотен 1, первое и второе имеют общую цифру десятков 0, второе и третье имеют общую цифру единиц 4.
Предположим, первая цифра загаданного числа 1. Тогда первое и третье число больше не имеют общих цифр с загаданным в одних и тех же разрядах, поэтому вторая цифра не 0 и не 2, а третья — не 4 и не 9. Но тогда второе число с загаданным общих цифр в одном и том же разряде иметь не может. Получили противоречие, поэтому первая цифра не равна 1.
Рассуждая аналогично, получим, что вторая цифра не равна 0 (иначе третье число не будет иметь с загаданным общих цифр в одном и том же разряде), а третья цифра не равна 4 (иначе первое число не будет иметь с загаданным общих цифр в одном и том же разряде).
Итак, второе число с загаданным может иметь только общую цифру сотен 7, третье — цифру десятков 2, первое — цифру единиц 9, т.е. загаданное число равно 729.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
В ряд выписали 11 натуральных чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел равна 21. На первом месте стоит число 7, а на девятом – 6. Какое число стоит на втором месте?
(А) 7
(Б) 8
(В) 6
(Г) 10
(Д) 21

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Сколько трёхзначных чисел имеют ровно две различные цифры?
(А) 360
(Б) 243
(В) 225
(Г) 216
(Д) 98

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Если $\left(3^3\right)^x$ = 9^9, то x равен
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 6
(Д) 9

Ответ: Г
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 4 тур

Задача:
Три спортсмена стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Через некоторое время они вновь одновременно оказались в точке старта. Известно, что за это время самый быстрый спортсмен обгонял самого медленного 15 раз (обгон в момент старта учитываем, а встречу на финише не учитываем). Сколько всего за это время было случаев, когда один из спортсменов обгонял другого? Спортсмены бегут равномерно (с разными скоростями).

Ответ: 30 обгонов.
Решение:
Пусть спортсмены бежали x < y < z кругов соответственно. Рассмотрим двух спортсменов, которые пробежали x и y кругов соответственно. Тогда обгонов, с учётом обгона на старте, было ровно y − x. Соответственно, всего обгонов было (y − x) + (z − x) + (z − y) = 2z − 2x. Нам известно по условию, что z − x = 15. Отсюда немедленно получаем ответ.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Во время Зимней универсиады из международного аэропорта «Красноярск» на автовокзал через каждые 4 минуты отправляется шаттл, который едет 1 час. Через 3 минуты после отправления шаттла из аэропорта выехал автомобиль и ехал до автовокзала 40 минут. Сколько шаттлов обогнал автомобиль?

Ответ: 5 шаттлов.
Решение:
Пусть автомобиль выехал в 16:00, тогда он приехал в 16:40. Обогнал он те шаттлы, которые выехали раньше него, а приедут позже. Так как шаттл едет ровно час, то нам надо подсчитать количество шаттлов, которые отправились из аэропорта позже 15:40, но раньше 16:00. Последний из этих шаттлов выехал за три минуты до автомобиля, то есть в 15:57. К этому моменту с 15:40 прошло 17 минут, но 17 = 4 ⋅ 4 + 1, следовательно, кроме этого последнего шаттла автомобиль обгонит ещё четыре (самый ранний из них выехал в 15:41).
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2015 год

Задача:
Сейчас Тане, Мане и Ане в сумме 12 лет. Сколько лет в сумме им будет через 2 года?

Ответ: 18.
Решение:
Через 2 года каждая девочка будет на 2 года старше. Поэтому к общей сумме прибавится 2 + 2 + 2 = 6 лет.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
Мама для украшения ёлки купила шары трёх видов: большие, средние и маленькие (каждого типа хотя бы по 1 штуке). Каждый большой шар стоил 4 рубля, средний — 2 рубля и маленький — 1 рубль. За 10 шаров мама заплатила 16 рублей. Сколько средних шаров она купила?

Если бы было хотя бы 2 больших шара, то эти 2 шара стоили уже 8 рублей. Тогда на остальные 8 шаров остаётся всего 8 рублей, значит, они все должны быть маленькие. И тогда средних не будет. Значит, большой шар всего 1. Он стоит 4 рубля, и на оставшиеся 9 шаров остаётся 12 рублей. Если бы все эти 9 шаров были бы маленькие, то они бы стоили 9 рублей, а унас 12 р. — на 3 рубля больше. Значит, средних должно быть 3, так как замена одного среднего шара на маленький увеличивает сумму на 1 рубль. Итого у нас 1 большой шар, 3 средних и 6 маленьких.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
На Турнир Мёбиуса приехало 64 школьника, их расселили по 13 комнатам и на двери каждой комнаты написали количество школьников, которые в ней проживают. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

Предположим, что так могло случиться. Тогда в каждой комнате проживает нечётное число школьников (если хоть в одной комнате будет чётное количество, то и произведение будет чётным). Но сумма 13-ти нечётных чисел нечётна, то есть не равна 64. Противоречие.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2010 год

Задача:
Ёжик и Крош зарыли секретики.
- Крош: Я зарыл больше секретиков, чем Ёжик!
- Ёжик: Вообще-то ты зарыл меньше меня.
- Бараш: Ну один-то секретик кто-то из вас зарыл!

Кар-Карыч установил, что правду сказал только один из троих. Кто зарыл больше секретиков, Крош или Ёжик?

Решение:
Предположим, что Бараш солгал. Это означает, что ни Крош, ни Ёжик ничего не зарыли. Но тогда как слова Кроша, так и слова Ёжика ложны. То есть получается, что солгали все трое, но это, как мы знаем, не так. Значит Бараш не мог солгать. Значит, он сказал правду. Следовательно, Крош и Ёжик солгали (ибо правду сказал только один). Но это означает, что Крош и Ёжик зарыли секретиков поровну.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Пятачок съедает горшочек мёда за 10 минут, миску малины — за 13 минут и выпивает банку сгущенного молока за 14 минут. Винни-Пух съедает горшочек мёда за 6 минут, миску малины — тоже за 6 минут и выпивает банку сгущенного молока за 7 минут. За какое наименьшее время Винни-Пух и Пятачок могут управиться с завтраком, состоящим из горшочка мёда, миски малины и банки сгущенного молока?
(А) 11 мин
(Б) 12 мин
(В) 12$\displaystyle \frac{1}{19}$ мин
(Г) 13 мин
(Д) 14 мин

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Клетки таблицы 50 × 50 раскрашены в 𝑛 цветов так, что для любой клетки в объединении её строки и столбца встречаются клетки всех 𝑛 цветов. Найдите наибольшее возможное количество клеток синего цвета, если
1. 𝑛 = 2;
2. 𝑛 = 25.


Ответ: а) 2450. б) 1300.
Решение:
Докажем, что клеток любого цвета 𝐴, встречающегося в раскраске, не меньше 50. Предположим, это не так, и клеток цвета 𝐴 не больше 49. Тогда найдётся строка без клеток цвета 𝐴, а также найдётся столбец без клеток цвета 𝐴. Но тогда для клетки в пересечении этих строки и столбца условие не выполняется, противоречие. Следовательно, клеток любого цвета 𝐴 не меньше 50.
а) Поскольку клеток не синего цвета не меньше 50, то клеток синего цвета не больше 50 ⋅ 50 − 50 = 2450. Ровно 2450 клеток синего цвета может быть, например, если в нижней строке все клетки — красные, а все остальные клетки таблицы — синие.
б) Поскольку клеток любого не синего цвета не меньше 50, то клеток синего цвета не больше 50 ⋅ 50 − 24 ⋅ 50 = 1300. Ровно 1300 клеток синего цвета может быть, например, если в первых 26 строках таблицы все клетки — синие, а каждая из остальных 24 строк состоит из клеток какого-то одного цвета, причём цвета этих 24 строк различны.