d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Соня, Алина, Галя и Ева сидели за круглым столом, и каждая ела своё любимое мороженое. Ева и Соня не любят пломбир. Девочка, которая ела крем-брюле, сидела между девочкой, которая ела фруктовое, и Евой. Девочка, которая ела пломбир, сидела между девочкой, которая ела шоколадное мороженое, и Алиной. Напишите, кто какое мороженое ел, и нарисуйте схему, как они сидели.

Ответ: Ева — шоколадное, Соня — крем-брюле, Алина — фруктовое, Галя — пломбир.
Решение:
Пломбир не у Алины, не у Евы, не у Сони, значит, он у Гали. У Евы не фруктовое и не крем-брюле, значит шоколадное. Галя и Алина сидят рядом, рядом с Галей сидит Ева. Девочка, которая ела крем-брюле, сидит рядом с Евой, значит, это Соня. Алине осталось фруктовое мороженое. Расположение: Ева — шоколадное, Соня — крем-брюле, Алина — фруктовое, Галя — пломбир.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Назовите сумму пропущенных цифр четырёхзначного числа 34**, если известно, что это число делится и на 6, и на 8, и на 15.

Ответ: 8.
Решение:
Применить признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 8.
Это число: 3480.
Сумма пропущенных цифр: 8 + 0 = 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Для украшения класса к празднику 8 Марта купили воздушные шарики: синие, красные и зелёные. Некоторые из них длинные, а некоторые – круглые. Все зелёные шарики – круглые, а все длинные – красные. Тогда обязательно
(А) все красные шарики – длинные
(Б) некоторые длинные шарики – синие
(В) все круглые шарики – зелёные
(Г) все синие шарики – круглые
(Д) некоторые синие шарики – длинные

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Чему равен куб периметра квадрата площади 4?
(А) 4
(Б) 8
(В) 64
(Г) 512
(Д) 1024

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 1 тур

Задача:
В комнате сидело 11 человек – жителей острова рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут)
- Первый сказал : «Среди нас есть лжец»
- Второй: «Среди нас есть рыцарь»
- Третий: «Среди нас есть 2 лжеца»
- Четвёртый: «Среди нас есть 2 рыцаря»
- ... и так далее,
- Десятый: «Среди нас есть 5 рыцарей»
- Последний промолчал.

Сколько на самом деле в комнате могло быть лжецов?

Ответ: 3
Решение:
Заметим, что если какие-то утверждение про N рыцарей (или лжецов) верно, то верны и все утверждения про меньшее количество лжецов (или рыцарей соответственно) Первый обязательно рыцарь, иначе лжец сказал бы правду. Тогда второй тоже сказал правду. Следовательно, правду сказал четвёртый, а затем и шестой, восьмой и десятый. То есть рыцарей не меньше 6. Следовательно, девятый лжёт. Если седьмой говорит правду, то правду должны говорить третий и пятый, получим противоречие с количеством лжецов. Значит, седьмой лжёт и лжецов как минимум 2. Но тогда третий говорит правду. Предположим, что 5й лжёт, тогда лжецов как минимум 3 (5,7,9) и он говорит правду – противоречие. Значит, 5й говорит правду. Но тогда лжецов должно быть не менее трёх и, значит, 11й – лжец. В этом случае все подходит.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
В дате 29 января Коля заменил все буквы числами − номером буквы в русском алфавите − и получил число 293315311833. Вычеркните в этом числе 5 цифр так, чтобы получилось:
1. наибольшее из возможных семизначных чисел;
2. наименьшее из возможных семизначных чисел.


Ответ: а) 9531833; б) 1311833
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Где ошибка?
(А) 2 + 0 + 0 + 5 = 5 + 0 + 0 + 2
(Б) 2 − (0 − 0 − 5) = 2 + (0 + 0) + 5
(В) 2 + 0 − 0 + 5 = 5 − 0 − 0 − 2
(Г) 2 + (0 + 0 + 5) = (2 + 0 + 0) + 5
(Д) (2 − 0) − (0 − 5) = (2 + 0) + (0 + 5)

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2010 год

Задача:
У Вовы были три пары носков: одна красная, одна синяя и одна зелёная. Барабашка стащил у него два носка разного цвета. Сколько одноцветных пар носков осталось у Вовы?

Ответ: одна пара.
Решение:
Всего было 3 одноцветных пары носков. Так как Барабашка взял разноцветные носки – он испортил 2 разные пары носков, значит нетронутой осталась только одна одноцветная пара.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Ордината вершины параболы y = x^2 + bx + c равна −7. Известно, что c < 0. Какое из чисел не может лежать между корнями уравнения x^2 + bx + c = 0 ?
(А) −5
(Б) −3
(В) 1
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Длинную нитку сложили вдвое, ещё раз вдвое и ещё раз вдвое. Получившуюся толстую «нитку» разрезали на две части и разобрали обратно на тонкие ниточки. Оказалось, что две из этих ниточек имеют длины 4 см и 9 см. Какова наибольшая возможная длина исходной нитки?
(А) 48
(Б) 52
(В) 68
(Г) 88
(Д) 90

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2022 год

Задача:
На мельнице муку засыпали в 5 больших и 5 маленьких мешков. За мукой приехали машины. Если в машину положить 2 больших, то ещё большой не поместится. Если положить 5 маленьких, то больше ничего не поместится. Как увезти всю муку на 3 машинах, если большой мешок занимает столько же места, сколько и 2 маленьких?

Ответ: 1 машина: 3 маленьких и 1 большой мешки, 2 и 3 машины: 2 больших и 1 маленький мешки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
В зоопарке родились три львёнка и четыре орлёнка. Сколько лап добавилось при этом в зоопарке?
(А) 36
(Б) 32
(В) 28
(Г) 24
(Д) 20

Ответ: 20
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
В каком-то году 1 января было воскресенье. При этом старый Леший сказал, что в лесу много снега, значит, холодных дней в году будет в пять раз меньше, чем тёплых. В какой день недели в этом году будет 8 марта?
Комментарий: Лешие никогда не ошибаются, говоря про погоду.

Ответ: 8 марта — четверг.
Решение:
если холодных дней в 5 раза меньше, чем тёплых, значит, все дни делятся на 6, следовательно, в году 366 дней и год високосный. Тогда нетрудно по универсальному календарю определить, что 31.01 — вторник, а 01.02 — среда, тогда 29.02 тоже среда, а 1.03 — четверг и 8.03 — четверг.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
Костя мечтает: «Если бы у меня было конфет в три раза больше, чем сейчас, то у меня было бы на 12 конфет больше». Сколько конфет у Кости?

Ответ: 6 конфет.
Решение:
Если конфет будет в три раза больше, то 12 конфет составляют две трети от того, что было бы, значит одна треть равна 6.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Какой ученый дал своё имя системе координат на плоскости?
(А) Пифагор
(Б) Евклид
(В) Архимед
(Г) Виет
(Д) Декарт

Ответ: (Д) Декарт
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Из набора чисел 1, 2, …, 17 вычеркнуты все чётные числа, а также все такие числа 𝑥, что 17 − 𝑥 делится на 3. Сколько чисел осталось?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Петя придумал две новые операции: $\displaystyle a\circ b = \frac{a^2 + b^2}{2}$ и $\displaystyle a\star b = \frac{a^2 − b^2}{2}$. Чему равно $(a\circ b)\star(ab)$ ?
(А) $\displaystyle \frac{\left(a^2 + b^2\right)^2}{8}$
(Б) $\displaystyle \frac{a^4 + b^4}{8}$
(В) $\displaystyle \frac{a^4 − b^4}{8}$
(Г) $\displaystyle \frac{\left(a^2 − b^2\right)^2}{8}$
(Д) 0

Ответ: (Г) $\displaystyle \frac{\left(a^2 − b^2\right)^2}{8}$
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Числа a, b, c и d таковы, что (a + b)^2 + (c + d)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2). Тогда обязательно
(А) a = c и b = d
(Б) a = b и c = d
(В) a = d и b = c
(Г) a = b = c = d
(Д) a + b = c + d

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
На какую цифру оканчивается сумма кубов натуральных чисел от 1 до 999 включительно?

Ответ: 0.
Решение:
Кубы чисел от 1 до 10 оканчиваются на 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0.
1 + 9 = 10
8 + 2 = 10
7 + 3 = 10
4 + 6 = 10
Такая же закономерность для кубов всех последующих чисел.
Чисел, оканчивающихся на 5, от 1 до 999 — 100, их сумма будет оканчиваться на 0.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Теперь он выписывает словами натуральные числа и считает, сколько букв (возможно, повторяющихся) использовано для каждого числа. Например, для записи числа 21 («двадцать один») использовано 12 букв. Он заметил, что некоторые числа равны количеству букв, использованных для их записи. Сколько существует таких чисел?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) больше 3

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
В доме 20 квартир с номерами от 1 до 20 (сумма всех этих номеров равна 210). Однажды шутники заменили часть табличек с номерами квартир на другие (из этого же списка). В результате сумма всех номеров стала равной 135. Какое самое маленькое число номеров могло быть заменено?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: (Г) 5
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 2 тур

Задача:
В классе учится меньше, чем 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

Ответ: одна.
Решение:
Поскольку седьмая часть учеников получила пятёрки, то количество учеников в классе делится на 7. Аналогично, оно делится на 3 и на 2. Наименьшее число, делящееся на 2, 3 и 7 это 42 (это НОК(2,3,7)). Следующее число уже больше 50. Значит в классе 42 ученика. Из них 42:7=6 получили «5», 42:3=14 получили «4», 42:2=21 – «3». Осталось 42 − 6 − 14 − 21 = 1 ученик получил «2»
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
На прямой отметили n точек. Среди попарных расстояний между этими точками встречаются 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см, 7 см, 8 см и 9 см. Каково наименьшее из возможных значений n?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Чему равно значение выражения $\displaystyle \frac{20\times24}{2\times0 + 2\times4}$ ?
(А) 12
(Б) 30
(В) 48
(Г) 60
(Д) 120

Ответ: Г
Решение:
(20 ⋅ 24) / (2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 4) = (20 ⋅ 24) / (0 + 8) = 20 ⋅ 3 = 60
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2018 год, 1 вариант

Задача:
Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой — 195. Какова последняя цифра этой суммы? (Ответ нужно обосновать.)

Ответ: 4.
Решение:
Пусть Маша написала число 100$x$ + 10$y$ + $z$. Тогда Вера написала число 100$x$ + 10$z$ + $y$, и сумма этих чисел равна 200$x$ + 11$y$ + 11$z$ . При x ≤ 8 это выражение не превышает 1798, а значит, начинаться на 195 не может.
Таким образом, $x$ = 9. Тогда 11($y$ + $z$) — трёхзначное число, начинающееся на 15. Из трёхзначных чисел, начинающихся на 15, на 11 делится только 154, значит, последняя цифра суммы — 4.
Замечание: Машей могли быть написаны числа 959, 968, 977, 986 или 995.
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2022 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Кенга и Крошка Ру прыгают по одной и той же прямой, а Тигра бежит им навстречу:
- прыжок Кенги составляет 380 см
- прыжок Крошки Ру составляет 120 см
- Тигра бежит со скоростью 300 метров в минуту
- начали прыгать Кенга и Крошка Ру одновременно из одного и того же места
- через минуту после начала движения они в первый раз за время движения приземлились одновременно в одно и то же место

Встретились с Тигрой Кенга и Крошка Ру в тот момент, когда они в пятый раз приземлились в одно и то же место.
На каком расстоянии изначально находился Тигра от Кенги и Крошки Ру?

Ответ: 1614 метров.
Решение:
Места, в которые могут приземлиться как Кенга, так и Крошка Ру, находятся от точки начала их движения на расстоянии, кратном НОК 380 см и 120 см, которое равно 2280 см. Назовем такие места «хорошими».
При этом через минуту Кенга и Крошка Ру должны попасть именно в точку, удалённую от точки старта на 2280 см, а не в более удалённую: если бы они попали в k-ю по счёту «хорошую» точку, то, сделав в k раз меньше прыжков, они бы попали в первую из таких точек ранее, чем через минуту после начала движения.
Через 5 минут после начала движения Кенга и Крошка Ру попадут в пятую «хорошую» точку, находящуюся на расстоянии 114 метров от точки старта. Тигра к этому моменту пробежал 1500 метров. Поэтому изначально он находился на расстоянии 114 + 1500 = 1614 метров от Кенги и Крошки Ру.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Кирилл написал на доске всевозможные 9-значные числа, в записи которых встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по одному разу. Мефодий выбрал из них самое большое и самое маленькое и стёр их. Потом он выбрал самое большое и самое маленькое из оставшихся чисел и тоже их стёр. Мефодий повторял свои действия до тех пор, пока на доске не осталось два числа. Какие это числа?

Чисел, начинающихся на 1 и на 9, на 2 и на 8, на 3 и на 7, на 4 и на 6 поровну (каждого вида по 8!). Значит сначала сотрут все числа начинающиеся на 1 и 9, потом все числа начинающиеся на 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6 и останутся числа начинающееся на 5. Чисел начинающихся на 5 и со вторым разрядом 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6 поровну (по 7! каждого вида). Значит в конце остались числа начинающееся на 54 и 56 причём первое наибольшее среди начинающихся на 54, а второе наименьшее среди начинающихся на 56 — 549876321 и 561234789.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок насушил грибов: 85% белых грибов, а остальные рыжики. Потом он съел часть белых грибов, теперь рыжики составляли 30% оставшихся грибов. Какую часть грибов съел бельчонок?

Ответ: 1/2.
Решение:
Рыжики составляли 15% грибов, потом процент рыжиков увеличился в 2 раза, значит, число грибов уменьшилось в 2 раза.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
На трёх полках стояли книги. На нижней полке было в 2 раза меньше, чем на остальных двух, на средней полке — в 3 раза меньше, чем на остальных двух, а на верхней — 30 книг. Сколько книг всего на трёх полках?

Ответ: 72 книги.
Решение:
1 способ.
Пусть х книг на нижней полке, у книг на средней полке.
Составим и решим систему из двух уравнений:
2х = у + 30;
3у = х + 30.
Получаем х = 24; у = 18.
Всего на трёх полках: 24 + 18 + 30 = 72 книги.
2 способ.
Число книг на нижней полке примем за 1, тогда на двух остальных — 2 единицы, а на трёх — 3 единицы. Значит, на нижней полке 1/3 всех книг, на средней 1/4, а на верхней 5/12, что составляет 30 книг.
Значит, всего: 30 : 5 ⋅ 12 = 72 книги.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2017 год

Задача:
Места в единственном вагоне Паровозика из Ромашкова решили пронумеровать, для чего изготовили карточки с цифрами. Оказалось, что карточек с цифрой 1 потребовалось на 11 штук больше, чем карточек с цифрой 0. Какое наименьшее количество мест может быть в этом вагоне?

Ответ: 19.
Решение:
Заметим, что в записи чисел от 1 до 10 две единицы и один нуль. Среди чисел от 11 до 19 – нет нулей и 10 единиц (две единицы у числа 11 и по одной у каждого следующего). Таким образом, при появлении числа 19 количество единиц впервые превысит количество нулей на 11.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У бельчонка был запас кедровых и еловых шишек, кедровые составляли 60%. В августе он набрал ещё еловых шишек, теперь кедровые составляли 20%. В сентябре бельчонок набрал ещё кедровых шишек, теперь кедровые шишки составляли 80%. Во сколько раз увеличилось общее число шишек за два месяца?

Ответ: 12 раз.
Решение:
В августе процент кедровых шишек уменьшился в 3 раза, значит, общее число шишек увеличилось в 3 раза. В сентябре процент еловых шишек уменьшился с 80% до 20%, значит, общее число шишек увеличилось в 4 раза. Всего за два месяца общее число шишек увеличилось в 3 ⋅ 4 = 12 раз.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
У бельчонка Васи есть 18 одинаковых на вид орехов общей массой 214 г. Из них 17 орехов весят одинаково, и один орех легче остальных. Как-то раз друг Васи бельчонок Петя съел два каких-то ореха, и теперь все оставшиеся орехи весят вместе 190 г. Сколько граммов весил самый лёгкий орех?

Ответ: 10 граммов.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
Лесорубы умеют распиливать бревно на две части за 2 минуты. У них есть 5 брёвен длиной 10 метров. За какое время они распилят все бревна на чурбаки длиной 1 метр?

Ответ: 90 минут.
Решение:
Первоначально было 5 брёвен или 5 частей. После того, как лесорубы завершат свою работу, частей должно оказаться 50. То есть количество частей увеличится на 45. Один распил увеличивает количество частей на один. Значит, распилов будет 45.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Виталик написал на доске 10 двоек. Потом он делал следующее: стирал два числа и вместо них записывал сумму или произведение этих чисел. Могло ли на доске остаться только число 301?

Нет, не могло, т. к. все получившиеся числа должны быть чётными.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Каждый из детей одной семьи заявил, что у него поровну братьев и сестёр. При этом 5 человек ошиблись.
1. Сколько в семье может быть братьев?
2. Сколько в семье может быть детей?


Ответ: а) шестеро или пятеро; б) 11 детей.
Решение:
Истинные заявления детей разного пола должны отличаться, а одного – совпадать. Поэтому ошиблись либо все мальчики, либо все девочки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Сёма выписал все трёхзначные числа, у которых средняя цифра равна 5, а сумма первой и последней равна 7. Сколько чисел он выписал?
(А) 2
(Б) 4
(В) 7
(Г) 8
(Д) 10

Ответ: (В) 7
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Один странный мальчик по средам и четвергам говорит только правду, по понедельникам всегда лжёт, а в остальные дни недели может и соврать, и сказать правду. Шесть дней подряд его спрашивали, как его зовут, и получили такие ответы: Джон, Боб, Джон, Боб, Пит, Боб. Как он ответит на этот вопрос на следующий день?
(А) Пит
(Б) Боб
(В) Джон
(Г) Вася
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Снегопад в санатории «Зелёный городок» начался в полночь и продолжался ровно 10 000 минут. Могло ли случиться, что после этого сразу выглянуло солнце?

10 000 минут равны 166 часам и 40 минутам, а это 6 суток 22 часа и 40 минут. Снегопад закончился в 22 часа 40 минут. Если не забывать, что турнир проходит в Ивановской области, то солнца вряд ли стоит ожидать.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 21 шишка, 21 гриб и 21 ягода. Бельчонку требуется выбрать 21 из 63 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?

Ответ: 330 баллов.
Решение:
Обозначим количества взятых бельчонком шишек, грибов и ягод за $x$, $y$ и $z$ соответственно. Число баллов, которое получит бельчонок, выражается формулой $x + 2xy + 3yz = x\cdot(2y + 1) + 3yz$. Если $y$ = 0, то бельчонок получит баллы только за шишки, то есть не более 21. Если же $y\geq1$, то $2y + 1\leq3y$, и, как видно из формулы выше, после замены всех шишек на ягоды количество баллов, набранных бельчонком, не уменьшится. Тем самым можно считать, что бельчонок выбрал только ягоды и грибы, и тогда $y + z = 21$. Общая сумма набранных баллов вычисляется по формуле $3y\cdot(21 − y)$. Рассмотрим параболу $f(t) = 3t(21 − t)$. Максимальное значение в целочисленной точке достигается, когда эта точка ближе всех к вершине параболы, то есть при $t$ = 10 или $t$ = 11. Количество очков при этом равно $3\cdot10\cdot11 = 330$.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2018 год, 2 этап

Задача:
Есть 10 одинаковых бассейнов и два шланга с разным напором. Известно, что первый шланг наполняет бассейн в 5 раз быстрее, чем второй. Петя и Вася начали заполнять каждый по 5 бассейнов, Петя первым шлангом, а Вася — вторым. Известно, что Петя закончил на час раньше. За какое время Вася заполнил свои 5 бассейнов?

Ответ: 1 час 15 минут.
Решение:
Пусть Петя заполняет один бассейн за время $x$, тогда Вася заполняет один бассейн за время 5$x$ (так как второй шланг в пять раз медленнее заполняет один бассейн).
Тогда свои пять бассейнов Петя заполнит за время 5$x$, а Вася свои — за 25$x$.
Получаем уравнение 25$x$ − 5$x$ = 1 (час), откуда $x$ = 3 мин. Тогда Вася заполнит свои бассейны за 25$x$ = 25 · 3 = 75 мин = 1 ч 15 мин.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Напишите наибольшее число с разными цифрами, у которого соседние цифры отличаются не менее, чем на 2.

Ответ: 9758642031
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Миллион миллиграммов равен:
(А) 0,1 кг
(Б) 1 кг
(В) 10 кг
(Г) 100 кг
(Д) 1 000 кг

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Васиного отца зовут Иван Николаевич, а дедушку — Семён Петрович. Каково отчество Васиной мамы?
(А) Ивановна
(Б) Николаевна
(В) Семеновна
(Г) Петровна
(Д) Васильевна

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В пенале лежат 7 красных ручек, 15 чёрных ручек, 19 красных карандашей и 8 чёрных карандашей. Какое минимальное количество предметов нужно вынуть из пенала не глядя, чтобы среди них наверняка оказались ручка и карандаш одинакового цвета?

Ответ: 35 предметов.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 6 тур

Задача:
Можно ли отметить на плоскости по 5 оранжевых, 5 фиолетовых и 5 салатовых точек, все расстояния между которыми различны, так, чтобы для каждой оранжевой точки ближайшая к ней цветная была фиолетового цвета, для каждой фиолетовой точки — ближайшая салатового цвета, а для каждой салатовой точки — ближайшая оранжевого цвета?

Посмотрим на расстояния между точками и выберем самое маленькое из них. Пусть эти точки цвета 1 и цвета 2 (может, они одного цвета). Но такого не может быть, ведь если точка цвета 2 – это ближайшая к точке цвета 1, то ближайшая к точке цвета 2 – точка цвета 3, но не цвета 1. Противоречие.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
В 9-00 большой старый будильник поставили правильно. Но он отстает на 1 минуту в час. Тогда
(А) в 10-00 он покажет 9-59
(Б) в 10-00 он покажет 10-01
(В) в 9-59 он покажет 10-00
(Г) в 11-00 он покажет 10-59
(Д) в 10-10 он покажет 10-09

Ответ: (А) в 10-00 он покажет 9-59
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Гусеница выползла из домика в полдень и ползёт по лугу, поворачивая через каждый час на 90º направо или налево. За первый час она проползла 1 м, за второй — 2 м, и т.д. На каком наименьшем расстоянии от домика она могла оказаться в 10 часов вечера?
(А) 0 м
(Б) 1 м
(В) 2 м
(Г) √5 м
(Д) √61 м

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
На опушке десять друзей — барсуки, зайцы и бельчата — играли в снежки. Каждый бельчонок кинул пять снежков, каждый зайчонок и барсук — только три. Сколько зайцев было на опушке, если бельчат и барсуков было одинаковое количество и всего было брошено 38 снежков?

Ответ: 2 зайца.
Решение:
так как барсуков и белок одинаково, поставим их в пару ББ, которая кинула 3 + 5 = 8 снежков. Если все барсуки и белки, их пять пар (10 : 2 = 5) и снежков было бы 5 × 8 = 40, то есть 40 – 38 = 2 снежка лишних. Заменим пару ББ на пару зайцев, пара зайцев кинула 3 + 3 = 6 снежков. Итого 4 × 8 + 2 × 3 = 38 снежков. Значит, зайцев двое.