d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
У Светы и Алёны по 24 мешка с конфетами весом 1, 2, 3, . . . , 24 кг. Они по очереди подкладывают по одному мешку каждая на свою чашу весов, причём первой начинает Света. Алёна выигрывает, если после чьего-либо хода разность масс на чашах будет равна 17 кг, проигрывает, если такого не произошло, а мешки у девочек закончились. Всегда ли Алёна сможет выиграть?

Да, Алёна выигрывает всегда. В начальный момент разность весов равна 0. Если Света кладёт гирю веса 𝑥 и 8 ≤ 𝑥 ≤ 16, то Алёна кладёт гирю такого же веса, разность весов опять равна 0.
Если Света положит гирю весом 𝑥 = 17, то она проиграла, т.к. разность весов была 0, а стала 17.
Как только Света положит гирю с весом 𝑥 ≤ 7, то Алёна кладёт гирю весом 𝑥 + 17 и побеждает (т.к. 18 ≤ 𝑥 + 17 ≤ 24, то такая гиря у неё есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 8, . . . , 16).
Аналогично, как только Света положит гирю весом 𝑥 ≥ 18, то Алёна кладёт гирю весом 𝑥 − 17 и побеждает (т.к. 1 ≤ 𝑥 − 17 ≤ 7, то такая гиря у неё есть, ведь до этого они брали гири только из диапазона 8, . . . , 16).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Дрозды Алекс, Макс и Оскар построили гнезда. Алекс сказал: «От Макса я более чем в два раза дальше, чем от Оскара». Макс сказал: «От Оскара я более чем в два раза дальше, чем от Алекса». Оскар сказал: «От Макса я более чем в два раза дальше, чем от Алекса». Двое из них точно сказали правду. Кто ошибся?
(А) Макс
(Б) Алекс
(В) Оскар
(Г) никто
(Д) невозможно определить

Ответ: (А) Макс
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Кенгуру летел из Сиднея в Париж и с 12:00 до 18:00 ждал в аэропорту своего рейса. Скучая, Кенгуру разглядывал часы и в 14:07 заметил, что число часов делится на число минут. Сколько раз за время ожидания часы показывали время, обладающее таким свойством?
(А) 6
(Б) 12
(В) 20
(Г) 22
(Д) 23

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
Электронные часы показывают часы и минуты, например, 13:08 (13 часов 8 минут). Маленькому Антону очень нравится цифра 5, и он ждёт, когда она появится на часах. Чему равен самый большой промежуток времени, когда Антон сможет любоваться цифрой 5 без перерыва?
(А) 60 мин
(Б) 70 мин
(В) 80 мин
(Г) 90 мин
(Д) 100 мин

Ответ: (Б) 70 мин
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Расшифруйте запись:
ABC + AB + А = 149
Одинаковые буквы — это одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.

Ответ: A = 1; B = 3; C = 5
135 + 13 + 1 = 149
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Площадь квадрата на 12 см^2 меньше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на 6 см больше, а другая на 3 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь прямоугольника. Дайте ответ в квадратных сантиметрах.

Ответ: 112 см^2.
Решение:
Пусть x (см) – сторона квадрата.
x + 6 (см) – длина прямоугольника; х − 3 (см) – ширина прямоугольника.
Площадь квадрата: x^2 (см^2).
Площадь прямоугольника: (х + 6)⋅(х − 3) (см^2).
(х + 6)⋅(х − 3) − х^2 = 12
х^2 − 3x + 6x − 18 − x^2 = 12
3x = 30
x = 10 (см) – сторона квадрата
х + 6 = 16 (см) – длина прямоугольника
x – 3 = 7 (см) – ширина прямоугольника
Площадь прямоугольника: 16 ⋅ 7 = 112 (см^2).
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В наборе имеются 200 гирек весами 1 г, 2 г, ..., 100 г и 1300 г, 1301 г, ..., 1399 г. Можно ли разложить эти гирьки в 14 коробок так, что вес коробок после раскладывания будет одинаковым?

Ответ: Нельзя.
Решение:
Суммарный вес гирек равен (1 + 1399) + (2 + 1398) + ... + (100 + 1300) = 100 ⋅ 1400 = 14 ⋅ 10000.
Таким образом, каждая коробка должна весить 10000 г. Назовём гирьки, которые весят не меньше килограмма, тяжёлыми. Очевидно, любые 8 тяжёлых гирек весят больше 8 ⋅ 1300 > 10000 г. Значит, в каждую коробку входит не более 7 тяжёлых гирек. Поэтому при формировании 14 коробок мы не сможем использовать больше 14 ⋅ 7 = 98 тяжёлых гирек, то есть разложить все гирьки по коробкам не удастся.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
В треугольнике длины сторон равны a, b и c, а угол, лежащий против стороны b, вдвое больше угла, лежащего против стороны a. Тогда обязательно
(А) a^2 + c^2 = b^2
(Б) b^2 + bc = a^2
(В) c^2 + ab = a^2
(Г) a^2 + ac = b^2
(Д) каждое из соотношений А-Г может быть нарушено

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Сколько десятизначных чисел, кратных 9, имеют в своей записи только 0 и 1?
(А) 1
(Б) 9
(В) 10
(Г) 2^9
(Д) 2^10

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Электронные часы показывают часы и минуты, от 00:00 до 23:59. Сколько времени в течение суток на табло этих часов присутствует хотя бы одна цифра 2 ?
(А) 3 ч 45 мин
(Б) 6 ч
(В) 6 ч 45 мин
(Г) 10 ч 30 мин
(Д) 12 ч

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
В клетки таблицы 4 × 5 требуется вписать 20 различных натуральных чисел. Все числа должны не превосходить n, и для любых двух клеток, имеющих общую сторону, вписанные в них числа должны иметь общий делитель, больший 1. При каком наименьшем n это возможно?
(А) 21
(Б) 24
(В) 25
(Г) 26
(Д) 27

Ответ: (Г) 26
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2014 год

Задача:
Маша, Даша и Саша пошли в школу в один класс. Вечером 1 сентября их спросили, как зовут их учительницу.
- «Мария Михайловна», – сказала Маша.
- «Катерина Михайловна», – сказала Даша.
- «Алиса Степановна», – сказал Саша.

Оказалось, что каждый из них запомнил правильно либо только имя, либо только отчество. Как зовут учительницу?

Ответ: Учительницу зовут Алиса Михайловна.
Решение:
Предположим, что Маша правильно запомнила имя учительницы – «Мария». Значит, её отчество не Михайловна, но тогда Даша запомнила неправильно и имя, и отчество. Следовательно, отчество учительницы – «Михайловна», но так как Саша назвал другое отчество, то, значит, он назвал правильное имя – Алиса.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В компьютерной игре снаряды покупают за бонусы. Чтобы купить 8 снарядов, Ване не хватает 35 бонусов. Если он купит 3 снаряда, у него останется 25 бонусов. Сколько бонусов стоит снаряд?

Ответ: 12 бонусов.
Решение:
Если Ваня сначала купит 3 снаряда, и добавит к оставшимся 25 бонусам ещё 35, он может купить 8 снарядов. Значит, 5 снарядов стоят 25 + 35 = 60 бонусов. Один снаряд стоит 60 : 5 = 12 бонусов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Натуральные числа x и y таковы, что 12x и 18y являются точными квадратами. Чему равно наименьшее возможное значение суммы x + y ?
(А) 2
(Б) 5
(В) 7
(Г) 13
(Д) 30

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 1 тур

Задача:
В стране великанов все расстояния в 3 раза больше, чем у нас с вами. Сколько спичечных коробков поместится в пустой спичечный коробок великана?

Ответ: 27 коробков.
Решение. Поскольку все расстояния больше в три раза, то в спичечном коробке великана и дина, и ширина, и высота больше в три раза. Это значит, что Большой коробок можно «разбить» на 27 маленьких – наших обычных коробков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
5% от 3% от числа 8 составляют 3% от 4% от числа:
(А) 5
(Б) 10
(В) 2,5
(Г) 8
(Д) другой ответ

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 5 тур

Задача:
У Антона есть две цистерны объёмом 1001 литров и 26 литров. Он может набирать воду из реки и переливать воду из цистерны в цистерну. Сколько различных ненулевых объемов воды он может отмерить в цистерне с объёмом 1001 л?

НОД(1001; 26) = 13, следовательно можно получить 1001 : 13 = 77 вариантов.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 2 тур

Задача:
Гоша считает месяц «удачным», если в нём ровно 4 понедельника и ровно 4 вторника. Однажды Гоша сказал: «Текущий месяц удачный, кстати, прошлый месяц тоже был удачным, да и следующий месяц будет удачным». В каком месяце Гоша мог такое сказать?

Ответ: В марте
Решение:
Посмотрим, сколько может быть дней в указанных Гошей трёх месяцах. По условию в них ровно 3х4 = 12 понедельников и 12 вторников, то не меньше 11 полных недель и ещё 2 дней. Всего 79 дней. При этом первый месяц мог начаться в ср, чт, пт, сб или вс, а последний закончится не позже вс. Итого максимум 79 + 5 + 5 = 89 дней. Известно, что в месяце бывает 28, 29, 30, 31. Раз сумма 89, то хотя бы в одном из месяцев количество дней должно быть меньше 30, то есть это февраль. Рассмотрим тройки месяцев, в которые входит февраль: дек-янв-фев (90 или 91 день), янв-фев-март (90 или 91 день), фев-март-апр (89 или 90 дней). Подходит только один случай, когда Гоша сказал это в марте (причём невисокосного года).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
На одной стороне улицы стоят дома с чётными номерами: 2, 4, 6, ..., а на другой стороне — с нечётными: 1, 3, 5, ... Последний дом на чётной стороне имеет номер 12, а всего на улице 17 домов. Какой номер имеет последний дом на нечётной стороне?
(А) 5
(Б) 7
(В) 13
(Г) 17
(Д) 21

Ответ: (Д) 21
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Сумма трёх положительных чисел равна 20. Тогда произведение двух бóльших из них не может быть
(А) больше 99
(Б) меньше 0,001
(В) равно 75
(Г) равно 25
(Д) все случаи А-Г возможны.

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2022 год

Задача:
Коты Леопольд, Гарфилд, Василий, Матильда и Том съели на кухне две котлеты, две сосиски и одну рыбу. Каждый из них съел что-то одно. Известно, что:
- Леопольд, Гарфилд и Том съели 3 разных блюда;
- Василий не ел котлету, а Леопольд не ел сосиску;
- Гарфилд и Матильда съели одно и то же.

Кому что досталось?

Ответ: Гарфилду и Матильде — котлеты, Василию и Тому — сосиски, Леопольду — рыба.
Решение:
Гарфилд и Матильда съели одно и то же, значит, они съели либо по сосиске, либо по котлете.
Случай 1. Гарфилд и Матильда съели по сосиске.
По условию Василий не ел котлету, также он не ел сосиску (так как все сосиски съели Гарфилд и Матильда). Значит, Василий съел единственную рыбу. Леопольду и Тому остаются котлеты, но это противоречит условию о том, что Леопольд, Гарфилд и Том съели 3 разных блюда.
Случай 2. Гарфилд и Матильда съели по котлете.
По условию Леопольд не ел сосиску, также он не ел котлету (так как все котлеты съели Гарфилд и Матильда). Значит, Леопольд съел единственную рыбу. Василию и Тому остаются сосиски. Все условия задачи при этом выполняются.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
У Маши было 100 рублей монетами достоинством 5 и 10 рублей. Пятирублёвых монет было в два раза больше, чем десятирублёвых. Сколько всего монет было у Маши?

Ответ: 15 монет.
Решение:
Пусть было х десятирублёвых монет, тогда 2х пятирублёвых.
10х + 5 ⋅ 2х = 100
20х = 100
х = 5
Пять монет по 10 рублей, десять монет по 5 рублей. Всего было монет: 5 + 10 = 15.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Каких дробей не бывает?
(А) правильных
(Б) неправильных
(В) десятичных
(Г) обыкновенных
(Д) необыкновенных

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
В музыкальной школе количество участников конкурса «Кенгуру» составляет 5% от количества всех девочек и 20% от количества всех мальчиков. Сколько процентов учеников этой школы участвуют в конкурсе «Кенгуру»?
(А) 2%
(Б) 4%
(В) 5%
(Г) 8%
(Д) 12,5%

Ответ: (Б) 4%
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено построить мосты между островами так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя мостами, а любые два малых острова были соединены одним мостом.
К 1 ноября были построены все мосты между малыми островами и несколько (не менее одного) мостов, ведущих на большой остров, — всего 28 мостов. Сколько всего островов в архипелаге?

Ответ: 8 островов.
Решение:
Занумеруем малые острова архипелага. Если мост соединяет острова с номерами $a$ и $b$, запишем на этом мосту меньшее из этих двух чисел.
Предположим, что число малых островов в архипелаге не более шести. Тогда мостов с номером 1 не более 5, мостов с номером 2 не более 4 и т. д. На большой остров ведёт не более 12 мостов. Тогда всего решено построить не больше, чем:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 12 = 27 < 28
мостов, что противоречит условию.
Предположим, что число малых островов в архипелаге не меньше 8. Тогда мостов с номером 1 не менее 7, мостов с номером 2 не менее 6 и т. д. К большому острову построено не менее двух мостов, поэтому общее число построенных мостов не менее:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 2 = 30 > 28,
что также противоречит условию.
Значит, малых островов в архипелаге 7, а всего островов — 8.
Олимпиада «Весенний Олимп», 6 класс, 2011 год

Задача:
Четыре пирата нашли клад, состоящий из монет достоинством 1, 2, 5 и 10 дублонов. Они договорились, что каждый заберёт себе все монеты какого-то одного достоинства. Монет достоинством 1 дублон в пять раз больше, чем монет достоинством 5 дублонов и 10 дублонов вместе, а монет достоинством 2 дублона столько же, сколько всех остальных.
Первым берёт главарь. Монеты какого достоинства ему выгоднее забирать?

Надо брать монеты достоинством 2 дублона. Их стоимость в дублонах больше, чем удвоенное количество монет достоинством 1 дублон, равное удесятерённому количеству десятидублонных монет (их суммарной стоимости) плюс удесятерённому количеству пятидублонных монет (их удвоенной суммарной стоимости).
Ответ: Надо брать монеты достоинством 2 дублона.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам туман, зато в остальные дни солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых на этом острове группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
(А) в понедельник
(Б) в среду
(В) в четверг
(Г) в пятницу
(Д) во вторник

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Чему равно a^2b − ab + a^2c − ac, если a = 5, b + c = 6 ?
(А) 120
(Б) 125
(В) 180
(Г) 240
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Арсений носит электронные часы, которые показывают время в формате ЧЧ:ММ:СС, то есть в 14 часов 23 минуты 57 секунд они покажут 14:23:57. Арсений заинтересовался, каких секунд в сутках больше: тех, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04:45:14), или тех, когда минут меньше, чем секунд (например, 23:37:59). А как думаете вы?

Допустим, мы нашли такую секунду, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04:45:14). Будем называть все такие секунды секундами первого типа. Поменяв местами минуты и секунды, получим такую секунду, когда на часах больше секунд, чем минут (в нашем примере 04:14:45). Все такие секунды будем называть секундами второго типа. Аналогичным образом каждой секунде второго типа можно подобрать в пару секунду первого типа (например, парой для 23:37:59 будет 23:59:37). Поэтому те секунды, когда минут и секунд на часах не поровну, разбились на пары: в каждой паре одна секунда первого типа, а другая — второго. А значит, секунд обоих типов поровну.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Натуральные числа a и b таковы, что a + b = 125. Какое из равенств А-Г возможно при некотором натуральном k?
(А) 2^a ⋅ 3^b = 12^k
(Б) 2^a ⋅ 3^b = 18^k
(В) 2^a ⋅ 3^b = 36^k
(Г) 2^a ⋅ 3^b = 72^k
(Д) никакое из перечисленных

Ответ: Г
Олимпиада «Осенний Олимп», 1 класс, 2013 год, 1 тур

Задача:
Купец Анисим купил один большой воз сена и два малых воза, а купец Агафон – два больших воза и один малый. Один большой воз сена стоит столько же, сколько два малых. Анисим заплатил на 10 рублей меньше, чем Агафон. Сколько стоил каждый воз сена (большой и малый)?

Анисим заплатил стоимость четырёх малых возов, а Агафон — пяти малых возов. Поэтому малый воз стоил 10 рублей. А большой воз, соответственно, стоил 20 рублей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Сколько двузначных чисел обладают таким свойством: если переставить местами их цифры, то они увеличиваются не менее, чем в 3 раза?
(А) 5
(Б) 6
(В) 10
(Г) 15
(Д) 33

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Числа a и b таковы, что $\displaystyle \frac{a}{b}$ > 1 и $\displaystyle \frac{1}{a}$ > b. Тогда
(А) ab > 1
(Б) a < 0
(В) b > a
(Г) b < 0
(Д) такого не бывает

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Назовем натуральное число N особым, если можно подобрать такое натуральное число M, что в записи произведения M ⋅ N все цифры одинаковы. Какое из следующих чисел не особое?
(А) 13
(Б) 14
(В) 15
(Г) 16
(Д) 18

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
В одном литре морской воды содержится 0,00001 миллиграммов золота. Сколько килограммов золота содержится в 1 км^3 морской воды?
(А) 1 кг
(Б) 0,1 кг
(В) 10 кг
(Г) 0,01 кг
(Д) 100 кг

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Два брата Антонио и Борацио легли спать с твёрдым намерением собрать по утру яблок с 3-х яблонь их отца. Сначала проснулся Антонио и собрал половину всех яблок с одной из яблонь, треть всех яблок с другой из двух яблонь и шестую часть яблок с оставшейся яблони. Потом проснулся Борацио и собрал половину оставшихся яблок с какой-то из 3-х яблонь (не обязательно с той, с которой собрал половину Антонио), затем треть оставшихся яблок с другой из двух оставшихся яблонь и шестую часть с оставшейся яблони. Могли ли Антонио и Борацио собрать поровну яблок?

Да, такое возможно, например, на яблонях может расти 12, 9 и 24 яблока. Антонио взял 6 яблок с первой, 3 со второй и 4 яблока с 3-й яблони. Всего он взял 13 яблок, осталось на яблонях 6, 6 и 20 яблок соответственно. Борацио возьмёт 1 яблоко с 1-й яблони, 2 яблока со второй и 10 (половину) с 3-й яблони. В итоге оба брата возьмут по 13 яблок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Все члены каждого из клубов «Толстяки» и «Пухляки» имеют разный вес. Малыш Федя состоит в обоих клубах. Известно, что он самый тяжёлый толстяк среди пухляков и самый лёгкий пухляк среди толстяков. Тогда обязательно
(А) Федя — самый тяжёлый толстяк.
(Б) Федя — самый лёгкий пухляк.
(В) Любой пухляк весит не меньше, чем любой толстяк.
(Г) Федя — единственный, кто состоит в обоих клубах.
(Д) любое из утверждений А-Г может быть неверным.

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2012 год

Задача:
В гонках стартовали три машины в таком порядке: жёлтая, красная, синяя. К финишу они пришли в таком порядке: «Хонда», «Мерседес», «Ауди». При этом ни одна машина не финишировала по счёту такой же, как стартовала. Какого цвета марки машин, если «Ауди» не жёлтая?

Ответ: «Хонда» синего цвета , «Мерседес» – жёлтого, «Ауди» – красного.
Решение:
Поскольку ни одна машина не пришла к финишу той же по счёту, что стартовала, то «Ауди», прибывшая последней, не может быть синей. Но по условию она не может быть и жёлтой. Значит, эта машина красного цвета. Тогда «Хонда», пришедшая первой не может быть жёлтой, поскольку первой стартовала жёлтая машина. Следовательно, она – синяя. Оставшийся «Мерседес» должен быть жёлтым.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку?

Ответ: 60 рублей.
Решение:
Из условия задачи следует, что $\displaystyle 96 = n⋅\left(1 + \frac{n}{100}\right)$. Преобразуя это уравнение, получаем
$0 = n^2 + 100n − 9600$
$0 = (n + 160)(n − 60)$
Значит, $n$ = 60, ведь шоколадка не может стоить отрицательное число рублей.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Четверо бельчат говорят правду и лгут по очереди.
- Сначала Вася сказал: «Я нашёл орех».
- После него Гена сказал: «Я нашёл гриб».
- Дима возразил: «Нет, гриб нашёл Вася».
- И, наконец, Вася добавил: «Саша нашёл гриб».

Кто-то из бельчат действительно нашёл орех. Кто, если каждый бельчонок нашёл по одному предмету?

Ответ: Дима нашёл орех.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Маша загадала двузначное число и сообщила его мальчикам. Антон сказал, что в загаданном Машей числе есть цифра 7; Боря утверждает, что есть цифра 5; Вова заявил, что число чётное; Гоша уверяет, что число делится на 19; Дима сказал, что в загаданном числе цифры различны. Какое число загадала Маша, если известно, что четверо мальчиков сказали правду, а один мальчик ошибся? Требуется, конечно, найти все ответы и объяснить, что других ответов нет.

Среди Антона, Бори и Вовы кто-то точно ошибся, потому что среди чисел 57 и 75 нет чётных. Значит, Дима и Гоша правы. Осталось перебрать двузначные числа, делящиеся на 19: 95, 76, 57, 38, 19 Из них подходят только 76 и 57. Ответ: 76, 57.
Осенняя олимпиада «Систематики», 5-7 класс, 2018 год

Задача:
У Оксаны есть бусинки белого, красного и чёрного цветов. Оксана делает браслеты, в каждом из них встречаются бусинки одного или двух цветов. Известно, что: среди любых 16 браслетов найдётся чисто-чёрный, среди любых 17 браслетов найдётся чисто-красный, среди любых 18 браслетов найдётся чисто-белый. Двухцветных браслетов 6. Какое максимальное число браслетов может быть у Оксаны?

Раз среди любых 16 браслетов найдётся чисто чёрный, значит, других браслетов не больше 15. Точно так же НЕ чисто красных не больше 16 и НЕ чисто белых не больше 17. У нас есть браслеты: чисто чёрные (ЧЧ), чисто красные (ЧК), чисто белые (ЧБ) и двухцветные (ДЦ). Запишем неравенства, основываясь на сделанных выводах:
ЧК + ЧБ + ДЦ ≤ 15
ЧЧ + ЧБ + ДЦ ≤ 16
ЧЧ + ЧК + ДЦ ≤ 17
Учтём, что двухцветных браслетов 6:
ЧК + ЧБ ≤ 9
ЧЧ + ЧБ ≤ 10
ЧЧ + ЧК ≤ 11
Теперь сложим все неравенства:
2∙ЧК + 2∙ЧБ + 2∙ЧЧ ≤ 9 + 10 + 11
2∙(ЧК + ЧБ + ЧЧ) ≤ 30
Значит, одноцветных браслетов ≤ 15. Так как ещё есть 6 двухцветных браслетов, то максимальное количество всех браслетов: 15+6=21 (браслет).
Ответ: 21 браслет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Вода составляет 80% массы свежих грибов. При этом вода составляет лишь 20% массы сушёных грибов. На сколько процентов уменьшается масса грибов при сушке?
(А) 60%
(Б) 70%
(В) 75%
(Г) 80%
(Д) 85%

Ответ: В
Решение:
Пусть масса воды в сушёных грибах равна x граммов. Поскольку это составляет 20% от общей массы, масса остатка в четыре раза больше и, следовательно, составляет 4x грамма. Однако эти 4 грамма представляют собой лишь 20% массы свежих грибов, и, следовательно, масса воды в свежих грибах в четыре раза больше и составляет 16 граммов. Следовательно, процентное уменьшение массы равно [((16x + 4x) − (4x + x)) / (16x + 4x)] ⋅ 100 = (15x) / (20x) ⋅ 100 = 75%
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Пусть $f$ – такая функция, что уравнение $f(x) = x$ имеет ровно один корень. Какое из следующих уравнений может иметь более двух корней?
(А) $\displaystyle \frac{1}{3}f(3x) = x$
(Б) $f(f(x) + 1) = f(x) + 1$
(В) $f\left(x^2\right) = x^2$
(Г) $\sqrt[3]{f\left(x^3 − 1\right) + 1} = x$
(Д) никакое

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Однажды дядя Фёдор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на 6 кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько весил Матроскин?

Ответ: 3 кг.
Решение:
Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно 6 кг, т.е. Матроскин весит 6 : 2 = 3 кг.