d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2020 год

Задача:
Хулиган Вася любит бегать по эскалатору в метро, причём вниз он бежит в два раза быстрее, чем вверх. Если эскалатор не работает, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 6 минут. Если эскалатор едет вниз, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 13,5 минут. Сколько секунд потребуется Васе, чтобы сбегать вверх и вниз по эскалатору, который будет ехать вверх? (Эскалатор всегда движется с постоянной скоростью.)

Ответ: 324 секунды.
Решение:
Обозначим длину эскалатора за 1, скорость Васи вниз по эскалатору за $x$, а скорость эскалатора за $y$ (скорости выражаются в длине эскалатора, делённой на минуту). По условию $\displaystyle 6 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x/2} = \frac{3}{x}$, откуда $\displaystyle x = \frac{1}{2}$.
Из условия также следует, что $\displaystyle \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x/2 − y}$ = 13,5. Подставив в это равенство $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ и домножив его на произведение знаменателей, получим:
$\displaystyle \frac{1}{4} − y + \frac{1}{2} + y = \frac{27}{2}\left(\frac{1}{2} + y\right)\left(\frac{1}{4} − y\right)$
Перенеся всё налево, получим квадратное уравнение:
$\displaystyle \frac{27}{2}y^2 + \frac{27}{8}y − \frac{15}{16} = 0$,
корнями которого являются числа $\displaystyle y_1 = \frac{1}{6}$ и $\displaystyle y_2 = − \frac{5}{12}$ (второй корень не подходит, т.к. скорость положительна).
Осталось вычислить значение выражения $\displaystyle \frac{1}{x − y} + \frac{1}{x/2 + y}$. Подставив в него $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ и $\displaystyle y = \frac{1}{6}$, получим 5,4 минуты. Переведя это в секунды, получим 5,4 ⋅ 60 = 324 секунды.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Разглядывая 6 одинаковых монет, которые лежат на столе и не касаются друг друга, Вася обнаружил, что некоторые из них «заперты»: никакую из них нельзя сдвинуть со стола, не задевая других монет. Какое наибольшее количество «запертых» монет он мог увидеть?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Вася и Петя хотят найти на берегу реки одинаковое количество плоских камушков. После того, как Вася принёс 130 камушков, а Петя — 163 камушка, Васе осталось найти камушков в четыре раза больше, чем Пете. Сколько всего камушков должен был найти каждый из них?

Ответ: 156 камушков.
Решение:
К настоящему моменту Петя принёс на 163 − 130 = 33 камушка больше, чем Вася. Так как мальчики должны были найти одинаковое число камушков, то теперь Вася должен найти на 33 камушка больше, чем Петя. Пусть Пете осталось найти $x$ камушков, тогда Васе — 4$x$ камушков, 4$x$ − $x$ = 3$x$, то есть, $x$ = 11. Значит, Пете осталось собрать 11 камушков и всего он должен собрать 163 + 11 = 174 камушка.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по 3000 рублей в банк, а через год все деньги снять.
- Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на 20%, но при снятии банк взимает комиссию 10%.
- Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на 40%, но при снятии банк взимает комиссию 20%.

(«Банк взимает комиссию 𝑛%» означает то, что банк оставляет себе 𝑛% от текущей величины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)
Кто получит большую годовую прибыль от вклада? Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях.

Ответ: Дима заработает больше на 120 рублей.
Решение:
У Влада сумма вклада за год возрастёт до 3000 ⋅ 1,2 рублей, а при снятии уменьшится до 3000 ⋅ 1,2 ⋅ 0,9 = 3240 рублей.
У Димы же сумма вклада за год возрастёт до 3000 ⋅ 1,4 рублей, а при снятии уменьшится до 3000 ⋅ 1,4 ⋅ 0,8 = 3360 рублей.
Следовательно, Дима заработает больше на 120 рублей.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Около корпуса Сибирского федерального университета в ряд стоят несколько сосен, на каждом из которых сидит одинаковое количество бельчат. Студент Вася решил посчитать бельчат, начиная с самой первой сосны. Оказалось, что бельчата с номерами 133 и 144 сидят на одной сосне, а бельчата с номерами 156 и 169 – на разных не соседних соснах. Сколько бельчат находится на каждой сосне?

Ответ: 12 бельчат.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Если в этом году на следующий день после своего дня рождения я скажу: «Послезавтра будет среда», то это будет правильно. В какой день недели у меня день рождения в этом году?
(А) в четверг
(Б) в понедельник
(В) во вторник
(Г) в среду
(Д) в воскресенье

Ответ: в воскресенье
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2018 год, 1 вариант

Задача:
Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб — прибавлять 3, Саша — делить на 4, Андрей — вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

Ответ: (8 : 4 + 3) · 7 − 5.
Замечание: Это единственное возможное решение.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Если многоугольник (возможно, невыпуклый) составлен из 8 одинаковых правильных треугольников, то он не может быть
(А) семиугольником
(Б) шестиугольником
(В) трапецией
(Г) ромбом
(Д) треугольником

Ответ: Д
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
Найдите остаток при делении на 10 значения выражения:
4^2023 + 5^2023 + 6^2023 + 7^2023.

Ответ: 8.
Решение:
1) Последние цифры значений степеней числа 4: 4, 6, 4, 6, …
4^2023 — значение степени оканчивается на цифру 4.
2) Последние цифры значений степеней числа 5: 5, 5, 5, 5, …
5^2023 — значение степени оканчивается на цифру 5.
3) Последние цифры значений степеней числа 6: 6, 6, 6, 6, …
6^2023 — значение степени оканчивается на цифру 6.
4) Последние цифры значений степеней числа 7: 7, 9, 3, 1, … (повторяются четыре цифры 7, 9, 3, 1)
7^2023 — значение степени оканчивается на цифру 3.
…4 + …5 + …6 + …3 = …8 — остаток при делении на 10 равен 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Назовем старшим делителем числа самый большой из его делителей, не равный самому числу, а младшим делителем назовём самый маленький делитель, не равный 1. Например, у числа 12 старший делитель равен 6, а младший — 2. Сколько существует чисел, у которых старший делитель в 15 раз больше младшего?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 5
(Д) бесконечно много

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Натуральные числа, большие 2007, возвели в квадрат и у каждого квадрата вычислили сумму цифр. Самая маленькая из этих сумм равна
(А) 27
(Б) 19
(В) 2007
(Г) 1
(Д) другой ответ

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2016 год

Задача:
В равенстве 1 − 2 − 4 − 8 − 16 = 19 поставьте несколько знаков модуля так, чтобы оно стало верным.

Ответ: ||1 − 2| − |4 − 8| − 16| = 19. Существуют и другие примеры.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Два пешехода идут навстречу друг другу: один из A в B, а другой — из B в A. Они вышли одновременно, и когда первый прошёл половину пути, второму оставалось идти ещё 1,5 часа, а когда второй прошёл половину пути, то первому оставалось идти ещё 45 минут. На сколько раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?
(А) 0,5 часа
(Б) 1 час
(В) 1,5 часа
(Г) 2 часа
(Д) 2,5 часа

Ответ: (А) 0,5 часа
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
2 × 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 × 2 = ?
(А) 12
(Б) 16
(В) 20
(Г) 24
(Д) 32

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Юный программист Коля написал программу, которая за одну операцию проделывает с введенным числом следующее: умножает его на три, затем вычитает единицу, после у полученного результата стирает все цифры, кроме последней, и выводит результат на экран монитора. (Например, после первой операции из числа 6 получится 7.) Определите, какое число окажется на экране монитора после 65-й операции, если первоначально ввести число 5.

Ответ: 4.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2006 год

Задача:
У Кости есть палочка длиной 1 метр. Он хочет распилить её так, чтобы получилось 10 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придётся сделать?

Ответ: 9 распилов.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Снеговики бывают честные и лгуны. Однажды Дед Мороз собрал шестерых снеговиков: Ала, Буку, Вила, Грима, Добра, Ерёму — и спросил каждого из них: «Честных и лгунов среди вас поровну?» Снеговики Ал и Грим ответили «ДА», а остальные снеговики ответили «НЕТ». Помоги Деду Морозу определить, кем является каждый снеговик.

Ответ: Ал и Грим — лгуны, остальные — честные.
Решение:
если Ал и Грим сказали правду, то должны быть трое честных снеговиков, и ещё один должен был сказать то же, что и Ал с Гримом, значит, они солгали. Остальные четверо на тот же вопрос ответили противоположное, значит, они честные снеговики.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Мама купила трём своим детям 17 маленьких пирожных. Миша съел в два раза больше пирожных, чем Маша, а Даша съела больше Маши, но меньше Миши. Сколько пирожных съела Даша?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
В доме между любыми двумя комнатами имеется не более одной двери, и из каждой комнаты не более одной двери ведёт в сад. Всего в доме 12 дверей. Какое наименьшее число комнат может быть в этом доме?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
Гриша написал на доске число 16 и каждую минуту прибавляет к числу на доске его наибольший простой делитель (стирает старое число и записывает новое). Начав с числа 16, он получит последовательность: 16 — 18 — 21 — 28 — 35 — … Может ли на доске в какой-нибудь момент времени оказаться число вида 1000…000?

Ответ: Не может.
Решение:
Заметим, что при описанном алгоритме наибольший простой делитель текущего числа на доске может только увеличиваться, как видно, уже после 2 шага число на доске делится на 7, то есть в числе всегда будет простой делитель не меньший 7. Но в числе 1000….000 есть только простые делители 2 и 5, которые меньше 7. Противоречие.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Ваня и Вова считают деревья, растущие вокруг большого поля. Мальчики двигаются в одном направлении, но начинают счёт с разных деревьев. То дерево, которое Вова назвал двадцатым, для Вани оказалось шестым, а дерево, которое Вова назвал седьмым, для Вани оказалось девяносто четвёртым. Сколько деревьев растёт вокруг поля?
(А) 95
(Б) 98
(В) 100
(Г) 101
(Д) 103

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2023 год

Задача:
У Ильи есть 16 фигурок солдатиков: лучников и мечников. Если он отдаст брату любые 3 фигурки, то мечников у него останется в любом случае больше, чем лучников. Если же он отдаст брату половину мечников, то лучников у него останется больше, чем мечников. Сколько фигурок лучников у Ильи?

Ответ: 6 фигурок.
Решение:
Нам известно, что если Илья отдаст брату любые 3 фигурки, то мечников у него останется в любом случае больше, чем лучников. Отсюда получается, что у Ильи мечников хотя бы на 4 больше, чем лучников. Поскольку всего фигурок 16, то под это условие подходят лишь следующие варианты:
- 16 мечников и 0 лучников,
- 15 мечников и 1 лучник,
- 14 мечников и 2 лучника,
- 13 мечников и 3 лучника,
- 12 мечников и 4 лучника,
- 11 мечников и 5 лучников,
- 10 мечников и 6 лучников.

Теперь воспользуемся другим условием: «Если же он отдаст брату половину мечников, то лучников у него останется больше, чем мечников». Очевидно, что из перечисленных вариантов под это условие подходит только последний: 10 мечников и 6 лучников.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу по одной и той же дороге, соединяющей два села. Одному на весь путь требуется 1 час, а другому — полтора часа. Через сколько минут они встретятся?
(А) 20
(Б) 24
(В) 30
(Г) 36
(Д) 40

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом ещё раз и ещё раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
В некотором месяце было 5 суббот и 5 воскресений, но всего 4 пятницы и 4 понедельника. Тогда в следующем месяце будет
(А) 5 воскресений
(Б) 5 пятниц
(В) 5 вторников
(Г) 5 суббот
(Д) 5 четвергов

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что:
$\displaystyle p + q + r = 5,\quad\frac{1}{p + q} + \frac{1}{q + r} + \frac{1}{p + r} = 9.$
Чему равняется выражение:
$\displaystyle \frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r}$?

Ответ: 42.
Решение:
Перемножим два данных равенства, получим:
$\displaystyle 5⋅9 = \frac{p + q + r}{p + q} + \frac{p + q + r}{q + r} + \frac{p + q + r}{p + r} = \left(1 + \frac{r}{p + q}\right) + \left(1 + \frac{p}{q + r}\right) + \left(1 + \frac{q}{p + r}\right)$
Вычтем из обеих частей равенства 3, получим:
$\displaystyle \frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r} = 42$
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2020 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Найдите 2020-е по счёту натуральное число, которое нельзя представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.

Ответ: 2064.
Решение:
Все числа, представимые в виде произведения двух последовательных натуральных чисел, можно пронумеровать:
1. 1 × 2 = 2
2. 2 × 3 = 6
3. 3 × 4 = 12

и так далее.
Найдём такие числа, которые лежат около числа 2020. Корень из 2020 равен примерно 44.9, потому выпишем 44-е и 45-е такие числа:
1. 44 × 45 = 1980
2. 45 × 46 = 2070

Получается, что 2020 — это 1976-е число, которое нельзя представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел (перед числом 2020 встречается ровно 44 представимых числа, 2020 – 44 = 1976). Все числа между 2020 и 2070 (45-е представимое) тоже являются непредставимыми в виде произведения двух последовательных натуральных чисел, потому искомое число может лежать среди них. Число 2020 + 44 = 2064 меньше, чем 2070, и потому является искомым 2020-м числом (1976 + 44 = 2020), которое нельзя представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2015 год

Задача:
В числе 798 все цифры разные. Какое число, ближайшее к этому, обладает тем же свойством?

Ответ: 796.
Решение:
Рассмотрим ближайшие числа, больше 798: 799, 800, 801. Подходящее число с разными цифрами – 801. Рассмотрим числа. Меньшие 798: 797, 796. Подходящее число – 796. Так как 801 отличается от 798 на 3, а 796 – на 2, то искомое число 796.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Адам собрал меньше орехов, чем Мартин, но больше, чем Сьюзен. Дана собрала больше, чем Мартин, и меньше, чем Люси. Кто из них собрал больше всего орехов?
(А) Люси
(Б) Мартин
(В) Сьюзен
(Г) Дана
(Д) Адам

Ответ: (А) Люси
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
В первом тайме футбольного матча между командами Шайба и Зубило было забито 6 голов, и к концу тайма команда Зубило вела в счете. Во втором тайме команда Шайба забила 3 гола и выиграла матч. Сколько всего голов забила команда Шайба?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В игре бельчата обмениваются шишками: одну сосновую шишку можно обменять на три еловых, а одну еловую — на две сосновых. В начале игры у бельчонка Васи была одна еловая и три сосновые шишки. После 5 обменов у него оказалось 12 шишек. Сколько среди них еловых?

Ответ: 8 еловых шишек.
Решение:
Заметим, что после каждого обмена число шишек у Васи увеличивается на +1 (если обменял еловую) или на +2 (если обменял сосновую).
В начале у Васи было всего 4 шишки. Таким образом, за 5 шагов нам надо получить из числа 4 число 12, прибавляя на каждом шаге 1 или 2. Значит, у нас было три шага по +2 и два шага по +1, порядок шагов не важен. Например:
4 (было в начале) + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12 (стало в конце)
Три раза был обмен сосновой шишки и два раза был обмен еловой. Нетрудно посчитать, что результате этих обменов у Васи станет 8 еловых и 4 сосновых шишки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
В шкатулке у Кощея Бессмертного лежит несколько одинаковых ожерелий (более одного). Он знает, что общее число бусинок на ожерельях в шкатулке меньше 300 и больше 200. Если бы Кощей знал это число точно, то, подумав, он мог бы назвать точное количество ожерелий, не открывая шкатулки. Сколько ожерелий в шкатулке?
(А) 16
(Б) 17
(В) 19
(Г) 25
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из $A$ в $B$, другой — из $B$ в $A$. Они встретились в полдень (т.е. ровно в 12 часов) и, не прекращая движения, пришли: один — в $B$ в 4 часа вечера, а другой – в $A$ в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Ответ: в 6 утра.
Решение:
Точку встречи обозначим за $C$. Пусть от рассвета до полудня прошло $x$ часов.
Скорость первого пешехода на участке $AC$ равна $AC/x$, на участке $BC$ равна $BC/4$. Его скорость постоянна, и значит $\displaystyle \frac{AC}{x} = \frac{BC}{4}$, что можно переписать в виде $\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac{x}{4}$.
Аналогично для второго пешехода: равенство скоростей на участках $BC$, $AC$ выльется в соотношение $\displaystyle \frac{BC}{x} = \frac{AC}{9}$, которое мы перепишем в форме $\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac{9}{x}$.
Получаем, что $\displaystyle \frac{x}{4} = \frac{9}{x}$, и по свойству пропорции $x^2 = 36$, $x$ = 6. Рассвет был на 6 часов раньше полудня, т.е. в 6 утра.
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 3 тур

Задача:
Петя хочет переписать числа 2, 3, 4, ..., 51, в другом порядке так, чтобы первое выписанное число делилось на 1, второе — на 2, третье — на 3, и так далее (последнее число должно делиться на 50). Сколькими способами он может это сделать?

Ответ: Тремя способами.
Решение:
Будем записывать числа справа налево, то есть сначала выпишем число, делящееся на 50, затем на 49, и так далее. На 50 среди имеющихся делится только само 50, поэтому оно точно должно быть написано крайним справа. Точно также на числа 49, . . . , 26 делятся только они сами, поэтому крайние справа 25 чисел определяются однозначно. Теперь на число 25 делятся уже два данных нам: 25 и 50. Но 50 мы уже написали, поэтому выбора у нас снова нет — в качестве числа, которое делится на 25, мы можем написать только 25. И такая ситуация, когда на данное число будет делиться оно само и какие-то бóльшие, но уже написанные ранее числа, будет длиться, пока мы не дойдём до числа 17: тут появится возможность записать «свободное» число 51 = 17 · 3. Если в качестве числа, делящегося на 17, мы выберем 51, то больше выбора уже не будет, и 17 в итоге будет записано на первую позицию. Если же в качестве числа, делящегося на 17, мы выберем 17, то будет возможность записать 51 на место числа, делящегося на 3. В итоге всё определяется позицией числа 51: оно может быть на 1-м, 3-м и 17-м месте, а все оставшиеся числа можно расставить единственным способом.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Дочь Марии сегодня родила девочку. Через два года произведение возрастов Марии, её дочери и внучки будет равно 2024. При этом сейчас возраст Марии и её дочери — это чётные числа. Сколько сейчас лет Марии?
(А) 42
(Б) 44
(В) 46
(Г) 48
(Д) 50

Ответ: Б
Решение:
Через два года внучке исполнится 2 года. Пусть тогда возраст Марии будет 2m, а возраст её дочери 2d. Произведение возрастов должно быть 2⋅(2d)⋅(2m) = 2024. Тогда d∙m = 253. Единственные подходящие варианты – 11 и 23. Тогда через 2 года Марии будет 2m = 2⋅23 = 46 лет. И тогда сейчас ей 46 − 2 = 44 года.
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2018 год

Задача:
В наборе есть карточки с буквами З, Л, О и Б (каждой буквы много штук). Каждый ученик класса выбрал себе три разные буквы. Оказалось, что из своих букв слово ЗЛО могут составить три человека, слово ЛОБ — два человека. Одному удалось составить слово ЗОБ, и только Ника вытащила такие три буквы, что слово из них не составляется. Сколько букв каждого вида вытащили ребята?

Каждый ученик выбрал 3 разные буквы. Значит, те, кто составил слова «ЗЛО», «ЛОБ» и «ЗОБ» больше никаких букв не выбрали. Ника не смогла составить ни одного слова, значит она выбрала буквы «З», «Л» и «Б». Выпишем все «слова», которые есть у ребят:
- ЗЛО
- ЗЛО
- ЗЛО
- ЛОБ
- ЛОБ
- ЗОБ
- ЗЛБ

Осталось пересчитать все буквы: букв «З» - 5 штук; букв «Л» - 6 штук; букв «О» - 6 штук; букв «Б» - 4 штуки.
Ответ: 5 букв «З»; 6 букв «Л»; 6 букв «О»; 4 буквы «Б».
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в три раза?
(А) 5
(Б) 6
(В) 10
(Г) 15
(Д) 33

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Назовем семизначное число счастливым, если у него сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме остальных цифр. Число может оказаться счастливым, если
(А) его цифры увеличиваются слева направо
(Б) его цифры уменьшаются слева направо
(В) на всех нечётных местах стоит цифра 7
(Г) его средняя цифра равна 1, а остальные симметричны относительно неё
(Д) его средняя цифра равна 2, а остальные симметричны относительно неё

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Вася выписал на доске все целые числа от 1 до 100, а Веня вычел каждое из них из числа 133 и выписал результаты. Сколько чисел написано дважды?
(А) 64
(Б) 65
(В) 66
(Г) 67
(Д) 68

Ответ: (Д) 68
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
У Кощея Бессмертного есть 11 больших сундуков. В некоторых из них лежит по 8 средних сундуков. А в некоторых средних лежит по 8 маленьких сундуков. В сундуках больше ничего не лежит. Всего у Кощея 102 пустых сундука. Сколько всего сундуков у Кощея?

Ответ: 115 сундуков.
Решение:
Пусть $x$ — количество непустых сундуков.
Рассмотрим процесс, когда Кощей только начал помещать сундуки друг в друга. Первоначально у него было 11 пустых больших сундуков. Каждый раз, когда он клал в какой-то пустой сундук 8 сундуков меньшего размера, общее количество пустых сундуков увеличивалось на 7 (−1 старый пустой сундук и +8 новых пустых сундуков).
Получается уравнение 11 + 7$x$ = 102. Тогда $x$ = 13. А всего сундуков у Кощея 115.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 25 шишек, 25 грибов и 25 ягод. Бельчонку требуется выбрать 25 из 75 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?

Ответ: 468 баллов.
Решение:
Обозначим количества взятых бельчонком шишек, грибов и ягод за $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Число баллов, которое получит бельчонок, выражается формулой $x + 2xy + 3yz = x\cdot(2y + 1) + 3yz$. Если $y$ = 0, то бельчонок получит баллы только за шишки, то есть не более 25 . Если же $y\geq1$, то $2y + 1\leq3y$, и, как видно из формулы выше, после замены всех шишек на ягоды количество баллов, набранных бельчонком, не уменьшится. Тем самым можно считать, что бельчонок выбрал только ягоды и грибы, и тогда $y + z = 25$. Общая сумма набранных баллов вычисляется по формуле $3y\cdot(25 − y)$.
Рассмотрим параболу $f(t) = 3t(25 − t)$. Максимальное значение в целочисленной точке достигается, когда эта точка ближе всех к вершине параболы, то есть при $t$ = 12 или $t$ = 13. Количество очков при этом равно $3\cdot12\cdot13 = 468$.