d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2018 год

Задача:
Три жителя острова рыцарей и лжецов собрались вместе.
- Один заявил: «Мы все лжецы».
- Второй возразил: «Мы все рыцари!»
- А третий промолчал.

Определите, кто есть кто, если лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.

Ответ: Тот, кто промолчал, - рыцарь, а двое других - лжецы.
Решение:
Заметим, что рыцарь не мог сказать утверждение «Мы все лжецы», значит, первый – лжец. Следовательно, второй тоже не мог сказать правду. Он тоже лжец. И чтобы утверждение первого было ложью, третий должен быть рыцарем.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Вася пишет слово КЕНГУРУ по одной букве в день. Он начал в пятницу. В какой день недели он напишет последнюю букву?
(А) в понедельник
(Б) во вторник
(В) в среду
(Г) в четверг
(Д) в пятницу

Ответ: (Г) в четверг
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
15 бельчат собирали маслята и рыжики. 9 бельчат нашли маслята, из них 4 нашли и маслята, и рыжики. Сколько бельчат нашли рыжики?

Ответ: 10 бельчат.
Решение:
Только рыжики нашли 15 − 9 = 6 бельчат. Прибавим тех, кто нашёл маслята, и рыжики: 6 + 4 = 10 бельчат.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Из 27 одинаковых маленьких кубиков сложили куб. Через середину его диагонали провели плоскость, перпендикулярную этой диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?
(А) 17
(Б) 18
(В) 19
(Г) 20
(Д) 21

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Пусть p и q — натуральные числа. Рассмотрим пять чисел: pq + 2, р^2 + q^3, (р + 1)(q + 1), (р + q)^2, р(q + 1). Какое наибольшее количество чётных чисел может оказаться в этой пятерке?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Из всех трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 8, выбрали самое маленькое и самое большое. Чему равна их сумма?
(А) 707
(Б) 907
(В) 916
(Г) 1000
(Д) 1001

Ответ: (Б) 907
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В квадрате 7 × 7 двое игроков ходят по очереди, закрашивая белые клетки в разный цвет (Вася — в красный, Петя — в зелёный). Каждый может закрасить одну или несколько белых клеток, идущих подряд по горизонтали или вертикали. В конце все клетки будут закрашены. Столбец или строку, в которых окажется больше зелёных клеток, будем называть зелёным, в противном случае — красным. Если общее число красных строк и столбцов больше, чем зелёных, выигрывает Вася, в противном случае — Петя. Если поровну, то ничья. Начинает Вася. Может ли кто-нибудь из них выиграть при любых ходах другого?

Ответ: Да, Вася.
Решение:
Васе достаточно первым ходом закрасить красным цветом центральную клетку, а потом повторять ходы Пети симметрично относительно центра. Тогда красных строк и столбцов, не проходящих через центр будет столько же, сколько зелёных. В 4-й строке на каждую зелёную клетку приходится симметричная ей красная клетка, и центр тоже покрашен в красный цвет, то есть центральная строка — красная. Аналогично 4-й столбец — красный, и в сумме общее число красных строк и столбцов больше, чем зелёных.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
В войске 5555 человек. На 10 солдат приходится 1 капрал, на 5 капралов — 1 офицер, на 9 офицеров — 1 генерал. Сколько в войске солдат?
(А) 505
(Б) 4950
(В) 5000
(Г) 5050
(Д) 5500

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Лука, Ярослав и Егор решали задачи. Лука решил в 2 раза больше, чем Егор, но в одной задаче ошибся, а Ярослав решил в 3 раза больше, чем Егор, но ошибся в пяти задачах. Оказалось, что у Ярослава и Луки поровну правильно решённых задач. Сколько задач решил Егор, если он решил все задачи верно?

Пусть Егор решил 𝑥 задач. Тогда Лука решил 2𝑥 − 1, а Ярослав 3𝑥 − 5 задач. Составим уравнение: 2𝑥 − 1 = 3𝑥 − 5, отсюда 𝑥 = 4. Значит, Егор решил 4 задачи.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2019 год

Задача:
Школьникам выдали по 4 карточки. На каждой карточке был написан слог ПА, или НА, или МА. Оказалось, что 13 ребят из своих карточек могут сложить слово МАМА, 15 детей – слово ПАПА и 17 школьников могут сложить слово НАНА. При этом слово ПАНАМА могут сложить 45 учеников. Сколько всего было школьников?

Ответ: 45 школьников.
Решение:
Те дети, которые могут сложить ПАНАМА, используют для этого 3 карточки, оставшаяся 4-я карточка совпадает с одной из трёх карточек, использованных для слова ПАНАМА. Поэтому тот, кто может сложить ПАНАМА, может ещё сложить слово МАМА, или ПАПА, или НАНА. Но 45 = 13 + 15 + 17. При этом у любого ребёнка есть хотя бы 2 одинаковых карточки, то есть он может сложить слово МАМА, или ПАПА, или НАНА; поэтому у всех школьников есть три различные карточки, все они могут сложить слово ПАНАМА, то есть школьников 45.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Если число 2005 умножить само на себя 2005 раз, то последние две цифры произведения будут равны:
(А) 05
(Б) 15
(В) 25
(Г) 45
(Д) 7

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
На планете Смайлик у каждого жителя только один глаз, зато три широко улыбающихся рта. Три космонавта с Земли сфотографировались вместе с пятью жителями планеты. На этой фотографии больше ртов, чем глаз. На сколько?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 10

Ответ: 7
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2018 год, 1 вариант

Задача:
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?

Ответ: 0 или 2.
Решение:
Разберём два случая: среди собравшихся либо есть рыцарь, либо нет.
Если среди них есть хотя бы один рыцарь, то он сказал правду, и среди собравшихся четыре лжеца. Второй рыцарь при этом тоже сказал правду, а лжецы солгали, то есть такой случай возможен.
Если же рыцарей нет, то все присутствующие — лжецы, и они все солгали, то есть такой случай тоже возможен.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
В ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 на среднем месте стоит 4.
А какое число стоит на среднем месте в ряду 1, 2, 3, 4, .... ‚14, 15?
(А) 7
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 11

Ответ: 8
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Среди кошек, обитающих в лагере «Ласточка», три — пушистые, а две — полосатые. Какое наименьшее количество неполосатых пушистых кошек может быть в лагере?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
После «удачного» ремонта оказалось, что обе стрелки моих часов движутся на 20% быстрее, чем надо. Какое время они покажут в 5 часов утра, если в полночь я поставил их правильно?
(А) 4 час
(Б) 5 час
(В) 6 час
(Г) 7 час
(Д) 8 час

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
В Тридевятом царстве погода меняется каждый день: день идёт дождь, день светит солнце. Сколько солнечных дней будет в неделе, которая началась дождливым понедельником?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: 3 дня
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 2 класс, 2023 год

Задача:
Четверо пиратов схватили оружие: кортик, пистолет, дубинку и саблю, каждый что-то своё:
- Ахмет не хватал пистолет,
- Капитан Ботик взялся за кортик,
- Дубинку не дали Джону и Гале.
- Саблю у Гали тоже отобрали.

Что досталось Гале?

Ответ: Пистолет.
Решение:
Так как у Ботика — кортик, другое оружие не у него. Дубинку не дали ни Джону, ни Гале, ни Ботику, то есть она у Ахмета. Сабля ни у Ботика, ни у Ахмета, ни у Гали, то есть она у Джона. Таким образом, Галя схватила пистолет.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2021 год

Задача:
После чемпионата мира по хоккею три журналиста написали статью о сборной Германии — каждый для своей газеты.
- Первый написал: «Сборная Германии за весь чемпионат забила больше 10, но меньше 17 шайб».
- Второй: «Сборная Германии забила больше 11, но меньше 18 шайб за весь чемпионат».
- Третий: «Сборная Германии забила нечётное количество шайб за весь чемпионат».

Второй: «Сборная Германии забила больше 11, но меньше 18 шайб за весь чемпионат».
Третий: «Сборная Германии забила нечётное количество шайб за весь чемпионат».
В итоге оказалось, что правы были только два журналиста. Сколько шайб могла забить сборная Германии на чемпионате? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 11, 12, 14, 16 или 17 шайб.
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты.
- Если шайб забито не больше 10, то для нечётного количества шайб будет верно одно утверждение, а для чётного — ноль. Не подходит.
- Если забито 11 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.
- Если шайб забито от 12 до 16, то для нечётного количества шайб верны все три утверждения, а для чётного — два. Подходят только чётные значения: 12, 14, 16.
- Если забито 17 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.
- Если шайб забито не меньше 18, то для нечётного количества шайб верно одно утверждение, а для чётного — ноль. Не подходит.

Если забито 11 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.
Если шайб забито от 12 до 16, то для нечётного количества шайб верны все три утверждения, а для чётного — два. Подходят только чётные значения: 12, 14, 16.
Если забито 17 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.
Если шайб забито не меньше 18, то для нечётного количества шайб верно одно утверждение, а для чётного — ноль. Не подходит.
Итак, нам подходят пять значений: 11, 12, 14, 16, 17.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища, туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг. Сколько весит рыба?

Ответ: 8 кг.
Решение 1:
Туловище весит столько, сколько голова и хвост, т.е. два хвоста и половина туловища. Значит, половина туловища весит как два хвоста, т.е. туловище весит 4 кг. Тогда голова весит 1 + 2 = 3 кг, а вся рыба 4 + 3 + 1 = 8 кг.
Решение 2:
Обозначим Г, Т, Х — вес головы, туловища и хвоста соответственно. Тогда по условию:
Г = Т / 2 + X, $\quad$ T = Г + X
Откуда Г = (Г + Х) / 2 + Х, т.е. Г = 3Х. Значит, рыба весит:
Г + Т + Х = 3X + (3Х + Х) + Х = 8Х = 8 кг.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Пете подарили набор из 6 гирек, на которых были написаны массы 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г; все массы встречались ровно 1 раз. Оказалось, что веса 5 гирек из набора соответствуют надписям на них, а одна гирька оказалась бракованной — её вес меньше указанного. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без стрелок можно гарантировано найти бракованную гирьку?

Не трудно понять, что одного взвешивания недостаточно. Двух взвешиваний хватит. Первое взвешивание: 1 и 2 взвешиваем с 3.
1. 1 и 2 легче. Значит, бракованная 1 или 2. Взвешиваем 1 и 5 с 2 и 4.
2. 3 легче. Она бракованная.
3. 1 и 2 равны. Бракованная среди 4, 5, 6. Взвешиваем 2 и 4 с 1 и 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Какое слово написано верно?
(А) перимитр
(Б) пириметр
(В) периметор
(Г) приметр
(Д) периметр

Ответ: (Д) периметр
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
В магазине две шляпы продаются по той же цене, что и пять юбок, три юбки – по той же цене, что и восемь футболок, а две футболки – по той же цене, что и три кепки. Какая из следующих покупок стоит дороже всего?
(А) шляпа и 5 юбок
(Б) шляпа, 3 юбки и кепка
(В) 8 юбок и 6 футболок
(Г) 37 кепок
(Д) 3 юбки и 3 кепки

Ответ: В
Решение:
Вычислим стоимость указанных покупок, выразив их через стоимость кепок: 2 футболки = 3 кепки; 3 юбки = 8 футболок = 12 кепок, следовательно, 1 юбка = 4 кепки; 2 шляпы = 5 юбок = 20 кепок, следовательно, 1 шляпа = 10 кепок. Теперь узнаем стоимость каждой покупки, выраженную через стоимость кепок:
1. 1 ⋅ 10 + 5 ⋅ 4 = 30;
2. 1 ⋅ 10 + 3 ⋅ 4 + 1 = 23;
3. 8 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3/2 = 41,
4. 37,
5. 3 ⋅ 4 + 3 = 15.

Сравнивая, видим, что дороже всего обойдётся покупка В.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Натуральное число b в 64 раза больше натурального числа а. Какое из следующих соотношений невозможно?
(А) b = а^3
(Б) b = а^4
(В) b = а^2
(Г) b = а^7
(Д) b = а^6

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2024 год

Задача:
В поездке участвует 60 учеников. На каждом надета жёлтая или зелёная футболка и у каждого есть красный, синий или оранжевый рюкзак. Когда ученики выстраиваются в ряд, цвета их футболок чередуются: жёлтая, зелёная, жёлтая, зелёная и так далее. Цвета их рюкзаков при этом тоже чередуются: красный, синий, оранжевый, красный, синий, оранжевый и так далее. У скольких учеников в жёлтой футболке есть оранжевый рюкзак?
(А) 3
(Б) 4
(В) 6
(Г) 8
(Д) 10

Ответ: Д
Решение:
Обозначим цвета футболок буквами Ж (жёлтый) и З (зелёный), а цвета рюкзаков буквами К (красный), С (синий) и О (оранжевый). Тогда можем записать порядок, в котором стоят ученики: ЖК, ЗС, ЖО, ЗК, ЖС, ЗО, ЖК, ЗС, ЖО, ЗК, ЖС, ЗО… Видим, что шаблон (ЖК, ЗС, ЖО, ЗК, ЖС, ЗО) повторяется через каждые 6 учеников, в нём присутствует только один ученик с жёлтой футболкой и оранжевым рюкзаком (ЖО). Всего учеников 60, значит, интересующих нас учеников будет 10.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
В коробке лежат шарики белого, синего, жёлтого и красного цвета. Шариков каждого цвета разное число, не менее одного. Белых и синих вместе − 4, синих и красных вместе − 6, а жёлтых на 1 больше, чем белых. Сколько всего шариков в коробке?

Ответ: 13 шариков в коробке.
Решение:
Если белых и синих вместе 4, и их разное число, то надо рассмотреть два варианта:
1. белых 1, синих 3;
2. белых 3, синих 1.

Синих и красных вместе 6, и их разное число, значит, подходит только второй вариант.
Белых 3, синих 1, жёлтых 4, красных 5.
3 + 1 + 4 + 5 = 13
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Сколько пар натуральных чисел ($x$, $y$), в которых $x$ и $y$ имеют одинаковую чётность, удовлетворяет уравнению $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{1764}$?

Ответ: 75 пар.
Решение:
Приведем уравнение к виду $xy − 1764x − 1764y = 0$, и разложим на множители: $(x − 1764)(y − 1764) = 1764^2$. Каждое решение соответствует разложению числа $N = 1764^2$ на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, $x − 1764<0$, то $x<1764$, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа $N$.
Пусть $N = n\cdot m$ ($n = x − 1764$, $m = y − 1764$). Заметим, что $1764^2$ нельзя разложить в произведение двух нечётных чисел, и только один множитель из ($n$, $m$) может быть нечётным. Поэтому достаточно найти число представлений $N$ в виде произведения чётных множителей. Разложим $N$ на простые множители: $N = 1764^2 = 2^4\cdot3^4\cdot7^4$. Произвольный делитель $N$ имеет вид $2^a\cdot3^b\cdot7^c$, где $a$, $b$, $c$ могут принимать значения {0, 1, 2, 3, 4}.
Найдём число пар счетными $x$, $y$. Поскольку числа $n = x − 1764$ и $x$, $m = y − 1764$ и $y$ имеют одинаковую чётность, будем искать число способов разложения $N$ на два чётных множителя. В равенстве $N = n\cdot m$ первый множитель $n$ должен содержать степень 2, отличную от 0 и от 4 (иначе второй делитель являлся бы нечётным числом). Поэтому $a$ может принимать только значения {1, 2, 3}, и всего пар чётных множителей 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
На доске записаны все числа от 1 до 300 включительно. Вера раскрашивает в оранжевый цвет только те числа, у которых общий делитель с числом 99 больше 1. Сколько всего чисел станут оранжевыми?

Ответ: 118 чисел.
Решение:
Вера красит оранжевым числа, кратные 3 или 11. Среди чисел от 1 до 300 кратно 3 каждое третье, их 100; кратно 11 каждое одиннадцатое, их 27. Числа, кратные 33, мы посчитали дважды, их 9. Вера закрасила: 100 + 27 − 9 = 118 чисел.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Три гнома, Умник, Ворчун и Простак, носят колпаки разных цветов. Они хотят по очереди спеть Белоснежке песенки.
- Гном в красном колпаке не хочет петь первым.
- Гном в синем колпаке хочет петь после Ворчуна.
- Гном в зелёном колпаке говорит: если Простак не будет петь вторым, то я буду петь сразу после Умника.

Так они и сделали. В каком порядке пели гномы, и какого цвета у них колпаки?

Ответ: 1 — Ворчун в зелёном колпаке, 2 — Простак в синем колпаке, 3 — Умник в красном колпаке.
Решение:
Из третьего утверждения следует, что в зелёном колпаке — Ворчун. Из второго утверждения следует, что Ворчун не третий.
Пусть Ворчун второй. Тогда он поёт сразу после Умника, который поёт первым. У первого не красный колпак, значит, синий. Но Гном в синем колпаке хочет петь после Ворчуна. Противоречие.
Пусть Ворчун первый. Тогда за ним поёт гном в синем колпаке, а третий — гном в красном колпаке. Ворчун не поёт после Умника, так как Ворчун первый. Значит, в третьем утверждении не должно выполняться условие, и Простак поёт вторым.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Два года назад котам Тоше и Малышу вместе было 15 лет. Сейчас Тоше 13 лет. Через сколько лет Малышу будет 9 лет?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: (В) 3
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
а, b, c — стороны треугольника. Известно, что (a + b + c) ⋅ (a + b − c) = 3ab. Какой угол лежит против стороны c?
(А) 150°
(Б) 30°
(В) 45°
(Г) 60°
(Д) 90°

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2012 год

Задача:
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, $MD$ и $ME$ — биссектрисы треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $F$. Найдите $MF$, если $DE$ = 7.

Ответ: 3,5.
Решение:
По свойству биссектрисы из треугольников $AMB$ и $CMB$ получим, что $\displaystyle \frac{AD}{BD} = \frac{AM}{BM}$ и $\displaystyle \frac{CE}{BE} = \frac{CM}{BM}$.
По условию, $AM$ = $CM$, значит, $\displaystyle \frac{AD}{BD} = \frac{CE}{BE}$, следовательно, $DE$ || $AC$ (по теореме, обратной теореме Фалеса, для угла $ABC$ или же из подобия треугольников $DBE$ и $ABC$). Тогда $F$ — середина отрезка $DE$.
Так как $MD$ и $ME$ — биссектрисы смежных углов, то треугольник $DME$ — прямоугольный. Его медиана $MF$, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы $DE$.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Стоя неподвижно на ступени эскалатора в метро, Ваня поднимается наверх за одну минуту. Взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, он добирается до верха за 40 секунд. За какое время Ваня поднимается наверх, если начинает взбегать по ступеням эскалатора, движущегося вниз? Дайте ответ в секундах.

Ответ: 120 секунд.
Решение:
Скорость Вани в 1,5 раза выше скорости эскалатора. Когда они вычитаются, то в 1,5 − 1 = 0,5 раза быстрее эскалатора:
60 : 0,5 = 120 секунд.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет, а остальные три поют. Оказалось, что Анна спела больше всех песен — восемь, а Дороти спела меньше всех — пять. Сколько всего песен спели девочки?
(А) 12
(Б) 11
(В) 10
(Г) 9
(Д) невозможно определить

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Терпеливая Маша обшивает квадратную салфетку тесьмой по краю за 1 час. Сколько часов ей понадобится, чтобы обшить квадратную салфетку, площадь которой в 4 раза больше?
(А) 2 ч
(Б) 3 ч
(В) 4 ч
(Г) 5 ч
(Д) 6 ч

Ответ: 2 часа
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Число, куб которого равен 2012^12, умножили на квадрат числа 2012^11. Что получилось?
(А) 2012^21
(Б) 2012^26
(В) 2012^31
(Г) 2012^58
(Д) 2012^88

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Сумма двух идущих подряд чисел равна 21. Чему равно их произведение?
(А) 22
(Б) 80
(В) 90
(Г) 100
(Д) 110

Ответ: 110
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 4 тур

Задача:
На полянке сидели обезьяны, у каждой было несколько бананов и несколько ананасов. Оказалось, что никакие две обезьяны не могут переделить между собой свои фрукты (не ломая их) так, чтобы у них было поровну и бананов, и ананасов. Какое наибольшее число обезьян могло сидеть на поляне?

Ответ: 4 обезьяны.
Решение:
Две обезьяны могут поделить фрукты таким образом, каким нужно, тогда и только тогда, когда у них совпадают чётности количества обоих фруктов (тогда сумма фруктов каждого вида чётна и, значит, фрукты можно разделить). Соответственно, если обезьян хотя бы пять, у двоих обязаны совпасть чётности количества обоих фруктов. А 4 можно — это могут быть, например, наборы (1,2), (2,1), (1,1), (2,2).
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 15 аборигенов, среди которых были как рыцари, так и лжецы, встали в хоровод, и каждый произнёс: «Из двух людей, стоящих напротив меня, один — рыцарь, а другой — лжец». Сколько среди них рыцарей?

Ответ: 10 рыцарей.
Решение:
Рассмотрим любого рыцаря. Он говорит правду, значит, напротив него стоят рыцарь и лжец. Один из людей напротив найденного лжеца — исходный рыцарь, значит, рядом с ним стоит ещё один рыцарь. Напротив этого нового рыцаря стоит найденный ранее лжец и ещё один человек, который должен быть рыцарем. Повторяя эти рассуждения, видим, что в кругу идут два рыцаря, затем один лжец, потом снова два рыцаря, затем ещё один лжец и так далее. Значит, лжецы составляют треть от общего числа участников. Тогда лжецов 15 : 3 = 5, а рыцарей 15 − 5 = 10.
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2022 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Капитан Сильвер набрал странную команду: в ней есть исключительно честные пираты, всегда говорящие правду; есть в ней вруны, которые всегда лгут; также есть в ней мудрецы: они говорят правду тогда и только тогда, когда последняя услышанная ими фраза является правдивой.
Как-то встретились в трюме трое пиратов, и завели разговор:
- Кью: У вас обоих есть попугаи.
- Пью: У Гала есть попугай.
- Хью: Нет у меня попугая!
- Кью: Среди нас есть врун!
- Хью: Я не врун!
- Пью: И я не врун!
- Кью: Среди нас нет врунов!

Кто мог быть кем в такой ситуации? Нужно найти все возможные варианты!
Комментарий: Если мудрец говорит первым, то нам неизвестно, какую фразу до этого он мог услышать: поэтому допустима любая истинность высказывания мудреца.

Ответ: Кью мудрец, Пью врун, Хью честный.
Решение:
Заметим, что Кью не может быть ни честным, ни вруном: две его последние фразы не могут как одновременно быть истинными, так и одновременно быть ложными. Значит, Кью мудрец.
Предположим, что последняя фраза истинна. Поскольку тогда четвёртая фраза ложна, то и третья — тоже ложна. Значит, Хью — мудрец. Но тогда пятая фраза должна была бы быть ложной, а она истинна. Противоречие.
Значит, последняя фраза ложна, а четвёртая — истинна. Но тогда Хью не врун, поскольку его третья фраза должна быть истинной. Значит, обе его фразы истинны (независимо от того, мудрец он или честный). Но тогда Пью — врун (поскольку других кандидатов на звание вруна нет). При этом Хью не может быть мудрецом, поскольку его первая фраза, будучи истинной, следует после фразы вруна Пью.
Итого имеем ответ: Кью мудрец, Пью врун, Хью честный.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Число n — самое большое из натуральных чисел, для которых 4n трёхзначно. Число m — самое маленькое из натуральных чисел, для которых 4m трёхзначно. Чему равна разность 4n − 4m?
(А) 900
(Б) 899
(В) 896
(Г) 225
(Д) 224

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
2 × 0 × 11 + 20 × 11 − 201 × 1 = ?
(А) 0
(Б) 19
(В) 31
(Г) 421
(Д) 443

Ответ: Б