d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Трое бельчат Ваня, Дима и Коля достали из мешка три ореха разного размера.
- Ваня сказал: «У меня не самый маленький, но и не самый большой орех!».
- Дима сказал: «У меня орех меньше, чем у Вани».
- Коля сказал: «А у меня орех меньше, чем у Димы».

Кому достался самый большой орех, если все сказали неправду?

Ответ: Самый большой орех достался Коле.
Решение:
Дима солгал, что его орех больше, чем у Вани. Значит, его орех больше ореха Вани, поскольку равных орехов нет. Коля солгал, что его орех меньше, чем орех у Димы. Значит, его орех больше ореха Димы. А раз у Коли орех больше, чем орех у Димы, а у Димы больше, чем у Вани, то выходит, что самый большой орех достался Коле.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Назовём число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 — зеркальное.
1. Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5.
2. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?


Ответ:
1. Любое зеркальное число, оканчивающееся на 5. Например, 51715.
2. 100 чисел.

Любое зеркальное число, оканчивающееся на 5. Например, 51715.
100 чисел.
Решение:
б) Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры – это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми — от сочетания 00 до сочетания 99 — всего 100 вариантов. Так как четвёртая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
Полоска состоит из ряда клеток. Костя поставил фишку на среднюю клетку, потом передвинул её на 3 клетки влево, а потом — на 5 клеток вправо. Фишка оказалась на четвёртой клетке от правого края. Из скольких клеток состоит полоска?
(А) 8
(Б) 9
(В) 10
(Г) 11
(Д) 12

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2016 год

Задача:
У меня есть три друга: Антон, Боря и Коля. Вчера я играл с Борей и Антоном. Одному из них 8 лет, а другому 9 лет. А сегодня я гулял с Антоном и Колей. Одному из них 10 лет, а другому 8 лет. Сколько лет каждому из моих друзей?

Ответ: Антону 8 лет, Боре 9 лет, Коле 10 лет.
Решение:
Так как Антон был на обеих прогулках, то ему 8 лет, так как 8 лет встречается и вчера, и сегодня.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Собрали малины на 1 кг меньше, чем черники. При сушке малина теряет 3/4 своей массы, а черника 80%. Сколько килограммов малины было собрано, если всего получилось 11 кг сухих ягод?

Ответ: 24 кг.
Решение:
Пусть малины собрали х кг, тогда (х + 1) - черники.
x / 4 + (х + 1) / 5 = 11
9х = 216
х = 24
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Каждая парабола у = ax^2 + bx + c разбивает плоскость на две части. Если две точки попадают в разные части, то будем говорить, что парабола разделяет эти точки. Какие две точки не могут быть разделены никакой параболой вида у = ax^2 + x, a > 0?
(А) (−1; 1) и (1; −1)
(Б) (−1; 0) и (1; 0)
(В) (−8; 0) и (−1; 0)
(Г) (3; 0) и (5; 0)
(Д) все пары А-Г могут быть разделены

Ответ: Г
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2019 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Пираты Билл, Бен и Джон делят золотые монеты, найденные в старом сундуке. Они передают сундук по кругу, забирая по очереди по одной монете. Если в сундуке лежит чётное число монет, то тот, кто его держит, говорит правду, а если нечётное — лжёт.
- Билл взял монету и сказал: «Люблю делить золото по утрам, как сейчас!»
- Бен взял монету и ответил ему: «Такая жара, как сейчас, бывает только днём».
- Джон взял монету и возразил: «Но ведь сейчас ночь!»
- Билл взял ещё одну монету и сказал: «Неправда, сейчас день!».

В какое время суток произошёл этот разговор?

Т.к. пираты берут по одной монете, то значит, что они говорят правду и неправду по очереди.
- Если первый сказал правду, то сейчас утро. Но тогда и третий сказал правду, что сейчас ночь. Противоречие.
- Если первый и третий солгали, а правду сказали второй и четвёртый, то сейчас день. Тут противоречия нет.

Ответ: днём.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Аня, Даша и Катя пили чай и ели конфеты на встрече с ректором Сибирского федерального университета. Аня съедала 2 конфеты за то же время, за которое Катя съедала 7 конфет. Пока Катя ела 3 конфеты, Даша съедала 5 конфет. К концу встречи Аня и Катя съели 27 конфет. Сколько конфет съела Даша?

Ответ: 35 конфет.
Решение:
Пока Аня съедала 2 конфеты, Катя съедала их 7, значит, вместе они за это время съели 9 конфет. Заметим, что 27 = 9 ⋅ 3, следовательно, из тех 27 конфет, что Аня и Катя съели вместе, на долю Ани приходится 2 ⋅ 3 = 6, а на долю Кати — 7 ⋅ 3 = 21. Но пока Катя ела 3 конфеты, Даша съедала 5, значит, всего за это время она съела 5 ⋅ 7 = 35 конфет.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2012 год

Задача:
Петя поднимается с 1 этажа на 4 за 4 минуты. А Маша с 4 этажа на 7 – за 3 минуты. Кто из них поднимется быстрее с 1 этажа на 7 и на сколько минут?
Комментарий: Все лестницы между этажами устроены одинаково.

Ответ: Маша быстрее на 2 минуты.
Решение:
Поскольку между 1 и 4 этажом и между 4 и 7 этажом одинаковое число пролётов (а именно три), то Маша поднимается быстрее на 1 минуту. С 1 на 7 этаж будет 6 пролётов, значит, Петя их преодолеет за 8 минут, а Маша – за 6 минут.
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Сколько различных 3-элементных подмножеств множества { 1, 2, … , 11, 20 } не содержат двух последовательных чисел?

Ответ: 129.
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2022 год

Задача:
В художественной студии 7 классов, и в каждом классе по два окна. Утром был виден свет в 11 окнах. В скольких классах свет не был включён?

0 или 1
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
В некоторых клетках таблицы 10 × 10 поставлены крестики так, что каждый из них — единственный либо в своей строке, либо в своём столбце. Какое наибольшее число крестиков может быть в такой таблице?
(А) 10
(Б) 15
(В) 18
(Г) 19
(Д) 99

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый со своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на 6 кругов больше бенгальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на 10 км/ч, и к 15:00 он суммарно пробежал уже на 17 кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?

Ответ: 1250.
Решение:
За первые 2 часа амурский тигр пробежал больше на 6 кругов, т.е. за 1 час он пробегал больше на 3 круга. Если бы он свою скорость не увеличивал, за первые 3 часа он пробежал бы на 9 кругов больше. Но прибавка скорости повлияла на то, что за третий час он пробежал дополнительные 17 − 9 = 8 кругов. Поскольку он увеличил свою скорость на 10 км/ч, то добавленное расстояние составит 10 км/ч ⋅ 1 ч = 10 км, а длина одного круга тогда 10/8 км, или 1250 метров.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Сумма двух целых чисел равна 100, и сумма двух других целых чисел тоже равна 100. Числа в первой паре перемножили и сложили с произведением чисел во второй паре. Могла ли сумма этих двух произведений равняться 1001?

Ответ: Не могла.
Решение:
Предположим, что сумма произведений могла равняться 1001. Сумма двух чисел (в данном случае — этих произведений) может быть нечётной, только когда одно из них чётно, а другое — нечётно. Значит, одно из произведений чётно, а другое нечётно.
Если сумма двух чисел равна 100, а их произведение нечётно, то оба числа должны быть нечётными, при этому одно из них должно давать остаток 1 при делении на 4, а другое — остаток 3 при делении на 4. Тогда остаток от деления их произведения на 4 равен 1 ⋅ 3 = 3.
Если сумма двух чисел равна 100, а их произведение чётно, то оба числа должны быть чётными. Тода их произведение даёт остаток 0 при делении на 4. Таким образом, сумма двух произведений будет дават остаток 3 при делении на 4. Получили противоречие, так как 1001 даёт остаток 1 при делении на 4.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В столовой для бельчат несколько видов орехов, несколько видов грибов и несколько видов ягод. Обед состоит из ореха, гриба и ягоды. Бельчонок, стоя в очереди, понял, что обед можно выбрать больше, чем восемнадцатью способами, но меньше, чем двадцатью пятью. Каким точным числом способов бельчонок может выбрать обед и почему?

Ответ: 20 или 24 способов.
Решение:
Количество видов орехов, грибов и ягод не менее 2, так как написано «несколько». Посмотрим, какой выбор, для составления обеда может быть. Обозначим выбор из, например, 2 видов орехов, 2 видов грибов и 2 видов ягод как (2,2,2). Значит, наборы могут быть такие (с точностью до перестановки): (2,2,5), (2,2,6), (2,3,4). Во всех остальных наборах будет нарушаться условие задачи. Итого, бельчонок может выбрать обед 20 или 24 способами.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Диана написала двузначное число, и приписала к нему двузначное число, которое получилось перестановкой цифр первого числа. Оказалось, что разность между первым и вторым числом равна сумме цифр первого числа. Какое четырёхзначное число написано?

Ответ: 5445.
Решение:
Разность между такими числами всегда делится на 9, так как 10a + b − (10b + a) = 9(a + b). Эта разность равна сумме двух цифр, поэтому она не больше 18. Но она не может равняться 18, так тогда и первое, и второе число равнялось бы 99. Поэтому разность двух чисел равна 9, и число десятков двух чисел отличается не больше, чем на 1. Но сумма цифр десятков двух чисел — это сумма цифр первого числа, и она равна 9. Очевидно, подходят только цифры 4 и 5.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
Найдите любое решение ребуса
$A ⋅ B + A + B = \overline{AB}$.
$A$ и $B$ — две различные цифры; запись $\overline{AB}$ означает двузначное число (то есть $A$ ≠ 0), составленное из цифр $A$ и $B$. В качестве ответа напишите число $\overline{AB}$.

Ответ: Любой вариант ответа из следующих: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89.
Решение:
Давайте докажем, что B = 9.
$A ⋅ B + A + B = \overline{AB}$
Вычтем $B$ из обеих частей уравнения:
$A ⋅ B + A = \overline{A0}$
$(B + 1) ⋅ A = \overline{A0}$
$B + 1 = 10$
$B = 9$
При этом любое A, не равное 0 и 9, нам подходит.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2020 год

Задача:
Знайка перемножил два числа и записал полученное равенство в зашифрованном виде: «МАКСИМУМ». Знаки «умножить», «равно», и каждую цифру он обозначил своей буквой, одинаковые – одинаковыми буквами, а разные – разными. Какое равенство мог зашифровать Знайка? Найдите хотя бы одно решение.

Ответ: 28 ⋅ 9 = 252
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2006 год, 1 тур

Задача:
Написали все числа от 1 до 100. Подсчитали сумму всех чётных чисел. Подсчитали сумму всех нечётных чисел.
1. Какая сумма больше?
2. На сколько?


Ответ: а) Сумма чётных больше; б) На 50.
Решение:
Среди чисел от 1 до 100 поровну чётных и нечётных, а именно 50 чётных и 50 нечётных. Их можно разбить на пары, в каждой паре одно чётное и одно нечётное число, получится 50 пар: 1-2, 3-4, 5-6, ... и т.д. В каждой паре чётное число на 1 больше, чем нечётное число. Значит, во всех 50 парах все чётные числа на 50 больше, чем все нечётные числа.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Найдите наименьшее пятизначное число без нулей в записи, произведение цифр которого делится на сумму его цифр.

Ответ: 11125.
Решение:
начинаем проверять с самого маленького. Числа типа 1111a не подходят (у них произведение цифр на 3 меньше суммы цифр), тогда проверяем числа типа 1112a, по порядку, и доходим до 11125, которое подошло.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Произведение катетов прямоугольного треугольника с острым углом 15° равно
(А) трети квадрата гипотенузы
(Б) половине квадрата гипотенузы
(В) квадрату гипотенузы
(Г) квадрату четверти гипотенузы
(Д) квадрату половины гипотенузы

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 80°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.

Ответ: 60° или 105°.
Решение:
Рассмотрим треугольник $ABP$. Угол $APB$ в нём может быть 80° или 50°. Тогда смежный $\angle APO$ составляет 100° или 130°. Значит, в треугольнике $A P O$ это угол при вершине и $\angle AOP$ составляет 40° или 25°.
Проведём аналогичные рассуждения для треугольников $D Q E$ и $EQO$, получим, что $\angle QOE$ также составляет 40° или 25° в зависимости от $\angle DQE$. Но $\angle QOE$ = $\angle AOP$, как вертикальные, значит $\angle APB$ = $\angle D Q E$. Тогда $\angle A C E$ = 360° − $\angle CPO$ − $\angle CQO$ − $\angle POQ$ = 360° − $\angle A P B$ − $\angle D Q E$ − $\angle A O E$, что составляет 60° или 105°.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Назовем натуральное число n богатым, если сумма всех его натуральных делителей больше 2n. Например, число 12 является богатым, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 > 24. Каким не может быть богатое число?
(А) точным квадратом
(Б) числом, кратным 2013
(В) больше миллиона
(Г) степенью числа 3
(Д) каждое из свойств А-Г возможно

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Дробь 28/33 хотят представить в виде суммы нескольких дробей, числители которых равны 1. При каком наименьшем числе слагаемых это возможно?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 28

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Имеется 12-литровый бак, полностью наполненный бензином, и пустые 5-литровый и 8-литровый баки. Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы отмерить в одном из баков 6 литров бензина?

Ответ: 6 переливаний.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Каждый угол k-угольника равен 90° или 150°. Чему может быть равно k ?
(А) 5
(Б) 8
(В) 9
(Г) 13
(Д) 14

Ответ: (Б) 8
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
В кладовке имеются большие и маленькие коробки. В маленькую коробку помещается только один мяч, а в большую — два. 13 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 9 пустых коробок. 10 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 6 пустых коробок. Сколько коробок в кладовке?
(А) 6
(Б) 9
(В) 15
(Г) 16
(Д) 22

Ответ: (Г) 16
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Марк и Лиза стартуют одновременно из диаметрально противоположных точек круговой аллеи и бегут по этой аллее в одном направлении. Скорость Марка в 9/8 раза больше скорости Лизы. Сколько полных кругов пробежит Лиза, когда Марк догонит её в первый раз?
(А) 2
(Б) 4
(В) 8
(Г) 9
(Д) 17

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2020 год

Задача:
Ване на Новый Год подарили три набора конфет. В наборах три вида конфет: леденцы, шоколадные и мармеладные. Общее количество леденцов во всех трёх наборах равно общему количеству шоколадных конфет во всех трёх наборах, а также общему количеству мармеладных конфет во всех трёх наборах. В первом наборе шоколадных и мармеладных поровну, а леденцов на 7 больше. Во втором наборе леденцов и шоколадных одинаково, а мармеладных на 15 меньше. Сколько конфет в третьем наборе, если известно, что леденцов там нет?

Ответ: 29 конфет.
Решение:
Леденцов больше, чем мармеладных конфет, в первом наборе на 7, а во втором на 15. Поскольку их суммарно во всех наборах поровну, а в третьем наборе леденцов 0, то мармеладных конфет там 7 + 15 = 22.
Аналогично, леденцов больше, чем шоколадных конфет, в первом наборе на 7, а во втором на 0. Поскольку их суммарно во всех наборах поровну, а в третьем наборе леденцов 0, то шоколадных конфет там 7.
Тогда конфет в третьем наборе 22 + 7 + 0 = 29.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
На рыбалку отправились пятеро мужчин из одной семьи: дедушка, 2 его сына и 2 внука. Их зовут: Борис Григорьевич, Григорий Викторович, Андрей Дмитриевич, Виктор Борисович, и Дмитрий Григорьевич. Как в детстве звали дедушку?
(А) Андрюша
(Б) Боря
(В) Витя
(Г) Гриша
(Д) Дима

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
На доске выписаны числа от 1 до 2006. Вася подчеркнул все числа, делящиеся на 2, затем все числа, делящиеся на 3, а затем все числа, делящиеся на 4. Сколько чисел подчёркнуто ровно два раза?
(А) 1003
(Б) 1002
(В) 501
(Г) 334
(Д) 167

Ответ: В
Олимпиада «Весенний Олимп», 2 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Робинзон ловил крабов. Пойманных крабов он сажал в корзину, ведро и ящик. Известно следующее:
- Робинзон поймал всего 13 крабов
- если пересадить краба из ящика в ведро, то в ящике станет столько же крабов, сколько было в корзине после того, как Робинзон поймал первых двух крабов
- среди остальных 11 крабов лишь один был посажен в корзину

Сколько куда крабов мог посадить Робинзон? Нужно найти все возможные варианты!

Как можно заметить, количество крабов в ящике и корзине совпадает. Причём оно равно 1, 2 или 3 (в зависимости от того, сколько из первой пары крабов попало в корзину).
Поэтому имеем 3 варианта:
- в корзине 1 краб, в ведре 11 крабов, в ящике 1 краб
- в корзине 2 краба, в ведре 9 крабов, в ящике 2 краба
- в корзине 3 краба, в ведре 7 крабов, в ящике 3 краба
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше, чем цифра единиц?
(А) 50
(Б) 45
(В) 36
(Г) 18
(Д) 9

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Периметр трапеции равен 5, и все её стороны — целые числа. Чему равна сумма углов при бóльшем основании этой трапеции?
(А) 60°
(Б) 90°
(В) 105°
(Г) 120°
(Д) 180°

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2023 год

Задача:
Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил, что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил, что ровно 3 из них делятся на 13. Сколько чисел выписал на доску учитель?

Ответ: 51 число.
Решение:
Поскольку ровно 17 чисел делятся на 3, то на доску точно были выписаны числа 3, 6, 9, …, 51 и не было выписано число 54.
Также на доске были ровно 3 числа, делящиеся на 13. Значит, там точно были выписаны числа 13, 26, 39 и не было выписано число 52.
Следовательно, учитель выписал на доску все натуральные числа от 1 до 51 — ровно 51 число.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Чему равно число 1 : (2 : (3 : 4)) ?
(А) 1/24
(Б) 1/12
(В) 3/8
(Г) 2/3
(Д) 4/3

Ответ: (В) 3/8
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Четырехзначное число начинается с цифры 5. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 747 меньше исходного. Какова сумма цифр этого числа?
(А) 12
(Б) 14
(В) 16
(Г) 18
(Д) 20

Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 1 тур

Задача:
В коробке лежат красные, синие и белые шары. Если вытащить любые 8 шаров, то среди них обязательно найдётся хотя бы один красный, если же вытащить 9 шаров, то хотя бы один синий, а если 10, то хотя бы один белый.
1. Какое наибольшее количество шаров может быть в коробке?
2. Сколько в этом случае красных?
3. Сколько в этом случае белых?


Ответ: а) 12 шаров; б) 5 красных шаров; в) 3 белых шара.
Решение:
Пусть количество красных шаров равно К, синих С, а белых Б. Тогда, поскольку среди любых 8 шаров найдётся хотя бы 1 красный, то шаров другого цвета (синих и белых) в сумме не более 7. То есть С+Б ≤ 7. Аналогично, К+Б ≤ 8 и С+К ≤ 9. Тогда 2С+2Б+2К ≤ 24. То есть общее количество шаров не превосходит 12. если шаров 12, то неравенства превращаются в равенства: С+Б=7, К+Б=8 и С+К=9. Отсюда видно, что красных на 1 больше, чем синих, а синих на 1 больше, чем белых. Значит 12=Б+С+К=Б+С+(С+1)=3Б+3. Поэтому белых 3, а красных 5.
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Бельчонок забыл пароль от сейфа, куда он спрятал орех. Он помнит, что паролем является наименьшее трёхзначное число, произведение цифр которого равно 240. Какой же пароль от сейфа?

Ответ: 568.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2021 год

Задача:
За круглый стол рассадили несколько человек так, что между соседними людьми расстояния одинаковые. Одному из них дали табличку с номером 1 и дальше по часовой стрелке раздали всем таблички с номерами 2, 3 и т. д.
Человек с табличкой с номером 31 заметил, что от него до человека с табличкой с номером 7 такое же расстояние, как и до человека с табличкой с номером 14. Сколько всего людей сели за стол?

Ответ: 41.
Решение:
Решение: Чтобы такая ситуация была возможна, людей от 31-го до 14-го нужно считать по кругу в сторону уменьшения номеров, а от 31-го до 7-го — по кругу в сторону увеличения номеров.
Между 31-м и 14-м сидит 16 человек. Значит, между 31-м и 7-м тоже 16 человек. Среди них 6 с номерами от 1 до 6, тогда оставшиеся 16 − 6 = 10 человек — это люди с номерами от 32-го. Самый большой номер получается 41.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Если $a^3 + 7a − 9 = 0$, то число $\displaystyle \frac{2a^3 + 3a}{11a − 18}$ равно
(А) −1
(Б) $\displaystyle −\frac{1}{2}$
(В) $\displaystyle \frac{1}{2}$
(Г) 1
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Альбом дороже карандаша, но дешевле блокнота. Тетрадь дешевле ручки, но дороже блокнота. Дешевле всего линейка. Что из этого дороже всего?

Ответ: ручка.
Решение:
Дешевле всего линейка. Затем идёт карандаш, альбом, блокнот, тетрадь, ручка. Дороже всего ручка.
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 4 тур

Задача:
Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага. Один кошачий прыжок равен 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку?

Ответ: Не успеет.
Решение:
Рассмотрим один прыжок кошки. Она продвигается в сторону мышки на 10 шагов, а за это время мышка убегает на 3 шага. В итоге за один прыжок кошки они сближаются на 7 шагов. Поскольку изначальное расстояние между мышкой и кошкой равно 10 · 5 = 50 шагам, то за 7 прыжков кошка мышку не догонит (7 · 7 = 49 < 50). При этом мышка за 7 прыжков кошки успеет сделать 21 шаг (3 · 7), чего ей, разумеется, хватит, чтобы добежать.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2014 год

Задача:
Братья Авоська и Небоська в свой день рождения только лгут. В остальные дни говорят только чистую правду. Однажды Авоська сказал: «Сегодня 1 апреля. Завтра твой день рождения». Небоська ответил: «Сегодня твой день рождения. 1 апреля завтра». Когда родился Авоська?

Ответ: Авоська родился 31 марта.
Решение:
Предположим, что Авоська сказал правду. Это значит, что завтра день рождения Небоськи. Но тогда сегодня не его день рождения и, следовательно, он также должен говорить правду. Но тогда правда, что сегодня день рождения Авоськи и тогда он должен лгать. Противоречие. Пусть Авоська лжёт. Это значит, что сегодня его день рождения и прав Небоська. Следовательно, 1 апреля не сегодня, а завтра. То есть сегодня 31 марта.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Конкурс «Кенгуру» всегда проходит в третий четверг марта. Самый ранний из возможных дней для проведения «Кенгуру» — это
(А) 10 марта
(Б) 12 марта
(В) 15 марта
(Г) 19 марта
(Д) 20 марта

Ответ: В