d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2021 год

Задача:
На обед у кенгуру было две ветки. На каждой ветке было по 10 листьев. Кенгуру съел несколько листьев с одной ветки. Затем со второй ветки он съел столько листьев, сколько осталось на первой ветке. Сколько всего листьев осталось на двух ветках?
(А) 5
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 15

Ответ: Г
Сумма количества съеденных листьев с первой ветки и количества оставшихся листьев равна 10 (по условию задачи). Количество съеденных со второй ветки листьев равно количеству оставшихся на первой. Значит сумма количества съеденных листьев с первой ветки и количества съеденных листьев с второй ветки равна 10. То есть кенгуру съел 10 листьев.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Три юных кенгурёнка Кенг, Гур и Ру сидят на весах. Если с весов спрыгнет Кенг, то весы покажут 3 кг. Если спрыгнет Гур, то весы покажут 4 кг, а если спрыгнет Ру, то весы покажут 5 кг. Сколько весят все кенгурята вместе?
(А) 12 кг
(Б) 10 кг
(В) 8 кг
(Г) 7 кг
(Д) 6 кг

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Если умножить количество различных гласных букв в слове КЕНГУРУ на количество согласных букв в этом слове, то получится
(А) 5
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2012 год

Задача:
Шаг Дяди Фёдора в три раза больше шага Матроскина. Сначала по прямой дорожке прошёл Матроскин, а потом – Фёдор, начав с того же места, что и Матроскин. Наступая на след Матроскина, Фёдор стирает этот след. Потом Шарик насчитал 17 следов Матроскина. Сколько следов Фёдора было на дорожке?

Ответ: 9 следов Фёдора.
Решение:
Так как они начали с одного и того же места, то первый след Фёдора. Дальше два следа Матроскина, потом снова Фёдора (поверх следа Матроскина) и так далее. Поскольку всего следов Матроскина 17, то это 8 пар и ещё один след в конце. Это последний след на дорожке, после него нет ни следа Матроскина, ни следа Фёдора. А 8 пар следов Матроскина разделены следами Фёдора. Значит, их 9.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
У бабушки Гали есть две собаки и две кошки, две злые и две добрые. Их зовут: Кун, Куся, Муся и Мао. Известно, что имена одинаковых животных начинаются с одной буквы, а имена добрых животных отличаются одной буквой. Куся – добрая кошка. Как зовут злую собаку?

Ответ: Мао.
Решение:
Найдём добрую собаку, она отличается одной буквой от Куси. Это Муся. Злая собака – на ту же букву, что и добрая – это Мао.
Олимпиада начальной школы 2x2, 6 класс, 2011 год, 2 тур

Задача:
Маша составила два числа: в одном были только единицы и семерки, а в другом — только двойки и тройки, причём в каждом из чисел не все цифры были одинаковы. Могло ли так быть, что одно из этих чисел делится на другое?

Ответ: Да, могло.
Решение:
К примеру, 323 делится на 17.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Выражение $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$ равно
(А) $\sqrt[8]{x}$
(Б) $\sqrt[6]{x}$
(В) $\sqrt[3]{x}$
(Г) $\sqrt[3]{x^2}$
(Д) $\sqrt{x^3}$

Ответ: А
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
У учительницы есть 50 карточек с числами от 1 до 50. Она раздает по две карточки 25 ученикам. При этом ученик становится счастливым, если числа на его карточках отличаются более чем в два раза. Может ли учительница сделать всех учеников счастливыми?

Карточки с числами от 25 до 50 должны быть бóльшими числами в своих парах, чтобы выполнялось условие. Но 26 чисел не могут быть бóльшими в своих парах, т. к. пар всего 25.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Три девочки получили в подарок куклу, мишку и зайчика.
- Катя: «Мне подарили куклу».
- Аня: «Лене подарили куклу».
- Лена: «Мне подарили мишку».

Кому что подарили, если известно, что одна из девочек сказала неправду?

Ответ: Кате — куклу, Ане — зайчика, Лене — мишку.
Решение:
полный перебор вариантов или рассуждение. Анины слова вступают в противоречие с Лениными и с Катиными, значит, Аня говорит неправду. Следовательно, Катя и Лена говорят правду, и у них кукла и мишка. Тогда у Ани зайчик.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Сумма пяти различных натуральных чисел равна 100. Каким может оказаться наибольшее из этих пяти чисел?
(А) 10
(Б) 20
(В) 90
(Г) 93
(Д) 96

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
В последовательности чисел каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Четвертый член равен 6, а шестой равен 15. Чему равен седьмой член этой последовательности?
(А) 9
(Б) 16
(В) 21
(Г) 22
(Д) 24

Ответ: Д
Олимпиада «Весенний Олимп», 5 класс, 2011 год, 1 тур

Задача:
Капитан Рукастый Ефим сделал замечательный квадратный плот со сторонами в 60 локтей и отправился в кругосветное плавание. Только он отплыл от берега, плот развалился на 3 части одинаковой площади и прямоугольной формы. Известно, что любые 2 части изначально соприкасались.
Найдите общую длину разломов.

Части имеют размеры 20x60, 40x30, 40x30. То, что две части имеют одно из измерений, равное 30, очевидно. Если другое измерение этих частей равно y локтей, то третья часть имеет размер (60 - y)*60. Из условия равенства площадей получаем уравнение
3600 - 60y = 30y, откуда y = 40. Общая длина разлома, соответственно, равна 60 + 40 = 100.
Ответ: 100 локтей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Две стороны четырёхугольника равны 1 и 7. Одна из диагоналей, длина которой равна 3, делит его на два равнобедренных треугольника. Чему равен периметр этого четырёхугольника?
(А) 12
(Б) 14
(В) 16
(Г) 18
(Д) 20

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2022 год

Задача:
Три зебры участвуют в соревновании. Победит та из них, у которой больше всего полосок. У первой зебры оказалось 15 полосок. У второй на 3 полоски больше, чем у первой. При этом у первой зебры на 5 полосок меньше, чем у третьей. Сколько полосок у победившей зебры?
(А) 16
(Б) 18
(В) 20
(Г) 21
(Д) 22

Ответ: В
У первой зебры 15 полосок. У второй зебры 15+3=18 полосок. У третьей зебры 15+5=20 полосок. Таким образом, победит третья зебра, и у неё 20 полосок - это ответ В.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Прямые y = 2 x + 3 и y = kx − 3 пересекаются в первой четверти, причём ниже прямой y = 5. Тогда обязательно:
(А) k ≤ 0
(Б) 0 < k ≤ 2
(В) 2 < k ≤ 5
(Г) 5 < k ≤ 8
(Д) k > 8

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Пусть $x>1$, $y>1$. Какая из следующих дробей самая большая?
(А) $\displaystyle \frac{x}{y − 1}$
(Б) $\displaystyle \frac{x}{y + 1}$
(В) $\displaystyle \frac{2x}{2y + 1}$
(Г) $\displaystyle \frac{2x}{2y − 1}$
(Д) $\displaystyle \frac{3x}{3y + 1}$

Ответ: (А) $\displaystyle \frac{x}{y − 1}$
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Сколько пар натуральных чисел ($x$, $y$), хотя бы одно из которых нечётно, удовлетворяет уравнению $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3528}?$

Ответ: 50 пар.
Решение:
Приведем уравнение к виду $xy − 3528x − 3528y = 0$, и разложим на множители: $(x − 3528)(y − 3528) = 3528^2$. Каждое решение соответствует разложению числа $N = 3528^2$ на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, $x − 3528<0$, то $x<3528$, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа $N$.
Пусть $N = n\cdot m$, $n = x − 3528$, $m = y − 3528$. Заметим, что $3528^2$ нельзя разложить в произведение двух нечётных чисел, и только один множитель из ($n$, $m$) может быть нечётным. Разложим $N$ на простые множители: $N = 3528^2 = 2^6\cdot 3^4\cdot 7^4$. Произвольный делитель $N$ имеет вид $2^a\cdot 3^b\cdot 7^c$, где $a$ может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, $b$ – значения {0, 1, 2, 3, 4}, $c$ – значения {0, 1, 2, 3, 4}. Однако одно из чисел $x$, $y$, а значит, и из чисел $n = x − 3528$, $m = y − 3528$, должно быть нечётным. Значит, в равенстве $N = n\cdot m$ первый множитель $n$ должен содержать степень 2, равную 0 (тогда первый множитель нечётен), или равную 6 (тогда все степени двойки входят в первый множитель $n$, и $m$ является нечётным числом). Поэтому $a$ может принимать только значения {0, 6}, и всего пар делителей ($n$, $m$), $N = n\cdot m$, удовлетворяющих условию, $2\cdot5\cdot5 = 50$. Если $n$ нечётно, то и $x = n + 3528$ – нечётное число. Если $m$ нечётно, то и $y = m + 3528$ — нечётное число.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
Пираты отправились в плавание. Через некоторое время весь провиант закончился, а ни одного корабля они так и не встретили. Тогда в отчаянии капитан обратился к своим попугаям за помощью.
- Надо плыть на север, – сказал первый попугай.
- Если мы поплывём на восток, то погибнем, – сказал второй попугай.
- Они оба врут, – сказал третий попугай.
- Все трое врут, – сказал четвёртый попугай.
- Ты врёшь, – сказал первый попугай четвёртому.

Капитан знает, что каждый из его попугаев либо всегда говорит правду, либо всегда врёт. Куда надо плыть?

Ответ: на север.
Указание: предположим, первый попугай врёт. Тогда четвёртый попугай сказал правду, что первые трое попугаев врут. Тогда из слов третьего попугая следует, что первые два попугая правдивы, то есть и первый попугай не врёт. Противоречие.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Если прямые у = 2х + 3 и у = −х + b пересекаются в первой четверти, то:
(А) b < −3
(Б) −3 < b < −1
(В) −1 < b < 2
(Г) 2 < b < 3
(Д) b > 3

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У Бельчонка есть одна монета в 3 сфунтика, одна монета в 6 сфунтиков, одна монета в 12 сфунтиков и одна монета в 30 сфунтиков. Сколько различных сумм он может заплатить без сдачи?

Ответ: 15 сумм.
Решение:
Используя одну монетку, бельчонок сможет заплатить 4 суммы: 3, 6, 12 и 30 сфунтиков.
Используя по две монетки, он сможет заплатить суммы: 3 + 6 = 9, 3 + 12 = 15, 3 + 30 = 33, 6 + 12 = 18, 6 + 30 = 36 и 12 + 30 = 42 — ещё 6 сумм.
Используя по 3 монетки, бельчонок сможет заплатить ещё 4 суммы: 3 + 6 + 12 = 21, 3 + 6 + 30 = 39, 3 + 12 + 30 = 45 и 6 + 12 + 30 = 48.
Наконец, используя все 4 монетки сразу, она может заплатить сумму 3 + 6 + 12 + 30 = 51.
Поскольку среди этих сумм нет одинаковых, всего получаем 4 + 6 + 4 + 1 = 15 различных сумм.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Сколькими способами числа 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 можно разбить на пары, чтобы отношения чисел во всех парах были одинаковыми?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) более 3

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
На боковых гранях куба расставлены натуральные числа, а в каждой вершине написано число, равное произведению чисел на трёх прилегающих к этой вершине гранях. Сумма чисел в вершинах равна 70. Какова сумма чисел на гранях?
(А) 12
(Б) 35
(В) 14
(Г) 10
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Ответ: 19 м.
Решение:
Скорость Коли составляет 0,9 от скорости Лёши. В момент, когда Саша финишировал, Лёша пробежал 90 м, а Коля 0,9 ⋅ 90 = 81 м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было 19 м.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
У Анны есть одна монета в 5 центов, одна монета в 10 центов, одна монета в 20 центов и одна монета в 50 центов. Сколько разных сумм она сможет заплатить без сдачи?
(А) 5
(Б) 7
(В) 8
(Г) 12
(Д) 15

Ответ: 15 разных сумм
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Карлсон, Винни-Пух и Чебурашка съели торт. Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы двум другим едокам, чтобы, «работая» вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели все вместе, а не по очереди?
(А) 2
(Б) 2,5
(В) 3
(Г) 3,5
(Д) 4

Ответ: (Б) 2,5
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 3 тур

Задача:
Имеется некоторое количество гирь, масса, каждой гири не превосходит 10 кг. Известно, что при любом разбиении всех гирь на две кучки масса хотя бы одной из кучек не превосходит 10 кг. Найдите наибольшую возможную общую массу всех гирь.

Ответ: 30 кг.
Решение:
Ясно, что 30 кг получить можно: достаточно взять три гири по 10 кг. Докажем, что больше 30 кг получить нельзя. Рассмотрим любой набор гирь, суммарная масса которых больше 30 кг. Сложим их все в одну «большую» кучу и начнём перекладывать по одной гире в другую, «маленькую» кучу. Когда-нибудь, после перекладывания очередной гири, масса «маленькой» кучи станет больше 10 кг. Рассмотрим этот момент внимательнее. До того, как мы переложили последнюю гирю, масса «маленькой» кучки была не больше 10 кг, значит, масса «большой» была больше 20 кг (ведь суммарно гири весят более 30 кг). При перекладывании этой гири мы уменьшили массу «большой» кучи не более, чем на 10 кг (потому что любая гиря по условию не может весить больше), поэтому масса большой кучи все ещё больше 10 кг. Вместе с тем, по нашему предположению, масса «маленькой» кучи стала больше 10 кг. Значит, мы разложили гири на две кучи, масса каждой из которых более 10 кг, чего по условию быть не должно.
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2015 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Каждый год некоторые рыцари двух королевств совершают подвиг. За два года каждый из рыцарей совершил хотя бы один подвиг. На пиру в конце первого года каждый рыцарь первого королевства преувеличил число подвигов, совершенных им за год, в пять раз, а каждый рыцарь второго королевства — в четыре раза. Если верить их словам, то рыцари второго королевства совершили не меньше подвигов, чем рыцари первого. Та же история повторилась и на второй год. Какое наибольшее число рыцарей может проживать в первом королевстве, если всего в двух королевствах 13 рыцарей?

Ответ: 8.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Из деревни Мышки в деревню Кошки выехали велосипедист Саша и мотоциклист Олег. Олег прибыл в деревню Кошки, сразу же развернулся и поехал обратно в деревню Мышки. В этот момент Саша уже проехал 10 км. Когда Саша проехал ещё 2 км, то он встретился с возвращающимся Олегом. Чему равно расстояние в километрах между деревнями Мышкино и Кошкино?

Ответ: 15 километров.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Лёша нарисовал на прямой четыре точки. Для каждой пары точек он посчитал расстояние между ними и записал эти расстояния в порядке возрастания: 2, 4, Х, 9, 11, 13. Чему равно Х? Нарисуйте, как расположены точки.

Ответ: Х = 7.
Решение:
понятно, что все расстояния целые. Если Х — чётное, то у нас не получится три нечётных расстояния (9, 11, 13). Остаётся Х = 5 или 7. Проверяя их, убеждаемся, что подходит только 7.
Точки расположены так: •__•_______•____• (промежутки 2, 7 и 4 соответственно).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Один странный мальчик по средам и пятницам говорит только правду, по вторникам всегда лжёт, а в остальные дни недели он может и солгать, и сказать правду. Семь дней подряд мальчика спрашивали, как его зовут. Первые шесть ответов, по порядку, были таковы: Женя, Боря, Вася, Вася, Петя, Боря. Как он ответил на седьмой день?
(А) Петя
(Б) Боря
(В) Женя
(Г) Вася
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Книги для занятий упаковали в 3 сумки. Потом из первой сумки переложили одну книгу во вторую сумку, из второй переложили одну книгу в третью сумку, из третьей переложили одну книгу в первую сумку. В результате оказалось, что средний вес книг в первой сумке уменьшился на 60 граммов, во второй сумке средний вес книг уменьшился на 20 граммов, а в третьей сумке средний вес книг увеличился на 100 граммов. В первой и второй сумках по 10 книг. Сколько книг в третьей сумке?

Ответ: 8.
Решение:
Общее уменьшение веса в первой и второй сумках равно увеличению веса в третьей сумке, поэтому:
10 ∙ (60 + 20) = 100 ∙ $x$
$x$ = 8
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Фома, герой стихотворения С. Михалкова, не верил никогда и ничему. Однажды мама ему сказала: «Завтра не будет дождя, или папа отвезет тебя в школу на машине». Что должен сделать Фома следующим утром, если он, как обычно, не поверил тому, что сказала мама?
(А) раскрыть зонт и сесть в машину
(Б) раскрыть зонт и пойти пешком
(В) пойти в школу пешком без зонта
(Г) сесть в машину без зонта
(Д) ничего из перечисленного

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
В лесу живёт семейство зайцев: папа, мама и трое зайчат. Год назад им было вместе 10 лет. Сколько будет им вместе через два года?

Ответ: 25 лет.
Решение:
всего разница в три года (год назад и ещё два года). Каждый год семья старше на 5 лет. Значит, они станут старше на 5 × 3 = 15 и им вместе будет 10 + 15 = 25 лет.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Электронные часы показывают время в 24 часовом формате. Какое максимальное число минут подряд на экране будут высвечиваться четыре цифры, идущие в порядке: а) возрастания; б) неубывания?
Комментарий: Вместо 24:00 часы показывают 00:00.

Ответ: а) 7 минут; б) 15 минут.
Решение:
а) Предпоследняя цифра не может быть меньше 2, иначе первые две не смогут идти в порядке возрастания. Двузначное число с возрастающими цифрами может быть только до перехода через разряд. Значит, это не может продолжаться больше 7 минут (от 3 до 9). А это возможно: от 01:23 до 01:29);
б) Без перехода через разряд такое свойство может наблюдаться не более 10 минут. Но теперь после перехода через разряд неубывание вполне может сохраниться, если при этом предпоследняя цифра тоже стала нулём. Но тогда и все должны стать нулями. Поэтому самую длинную цепочку нужно искать около полуночи. От 23:55 до 00:09.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
На координатной плоскости даны прямые у = 2 + х и у = 1 – х. Они разбивают плоскость на 4 части. Занумеруем эти части против часовой стрелки, начиная с той, в которой лежит начало координат. В какой из частей лежит точка А (−2003, 2003)?
(А) в первой
(Б) во второй
(В) в третьей
(Г) в четвёртой
(Д) на одной из данных прямых

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 2 тур

Задача:
Костя записал в строчку последовательность цифр 77007700770077. Потом разделил последовательность на фрагменты из двух или трёх цифр.
1. Могло ли оказаться, что фрагментов, начинающихся с цифры 0, в 2 раза меньше, чем фрагментов, начинающихся с цифры 7?
2. Могло ли оказаться, что фрагментов, начинающихся с цифры 0, в 2 раза больше, чем фрагментов, начинающихся с цифры 7?


Ответ: а) Да, могло. 770 07 700 77 00 7. б) Не могло.
Решение б): Предположим, такое возможно. В последовательности 14 цифр, значит всего фрагментов может быть 5, 6 или 7. Но количество фрагментов кратно 3. Откуда ясно, что их всего 6, а фрагментов, начинающихся с цифры 0, было 4. Рассмотрим две цифры 0, стоящие рядом: только одна из цифр может быть началом фрагмента. А так как в последовательности три пары нулей, то и фрагментов, которые начинаются с 0, не более 3. Противоречие.
Решение 2: Групп из нулей, стоящих рядом, три. только одна из цифр может быть началом фрагмента. Значит, фрагментов, начинающихся с 0, не более трёх. Определяем, что их два, т.к. иначе всего фрагментов 9 и символов не менее 9∙2 = 18. А у нас их только 14. Тогда фрагмент, начинающихся с 7, всего один. Такого не может быть, так как три фрагмента содержат не более 3∙3 = 9 цифр, а их в последовательности 14.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Оля гуляла по парку. Половину всего времени она шла со скоростью 2 км/ч. Половину всего расстояния она прошла со скоростью 3 км/ч. Остальное время она шла со скоростью 4 км/ч. Какую часть времени всей прогулки она шла со скоростью 4 км/ч?
(А) $\displaystyle \frac{1}{14}$
(Б) $\displaystyle \frac{1}{12}$
(В) $\displaystyle \frac{1}{7}$
(Г) $\displaystyle \frac{1}{5}$
(Д) $\displaystyle \frac{1}{4}$

Ответ: А
Решение:
Пусть половину времени прогулки она идёт x часов, а половину маршрута y часов. Тогда общее время прогулки 2x часов, а длина всего маршрута 6y км. Тогда время на оставшуюся часть прогулки x − y часов. Составим уравнение: 2x + 3y + 4(x − y) = 6y. Отсюда получаем y = 6/7х. Время, затраченное на путь со скоростью 4 км/ч – x − y = х − 6/7х = 1/7x. Но так как x – это половина времени, то получаем 1/14 часть всего времени прогулки.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 2 тур

Задача:
Имеется цепь из 13 звеньев (каждое массой 1г), пронумерованных по порядку: 1, 2, 3, ..., 13. Какое звено надо расковать, чтобы с помощью образовавшихся частей (в том числе и раскованного звена) на чашечных весах одним взвешиванием можно было отмерить любые массы в 1г, 2г, 3г,... , 13г? Части цепи можно класть на обе чаши весов. После указания выбранного звена нужно указать, как получаются требуемые взвешивания.

Ответ: Четвёртое (или десятое – четвёртое с конца).
Решение:
Чтобы отмерить 2 г должны быть два последовательных по массе куска или два куска отличающихся на 2 г. Вариант расковать четвёртое с начала или четвёртое с конца кольцо вполне подходит: тогда получаются три части массами 1 г, 3 г, 9 г и все массы от 1 до 13 г можно будет отмерить (веса со знаком плюс кладём на одну чашу, со знаком минус – на другую):
1=+1; 2=+3-2; 3=+3; 4=+1+3; 5=+9-3-1; 6=+9-3; 7=+1+9-3; 8=+9-1; 9=+9; 10=+1+9; 11=+3+9-1; 12=+3+9; 13=+1+3+9.
Замечание: Можно попытаться рассмотреть другой вариант – каких-то кусков, отличающихся на 2 г. В данном случае это 5 г, 7 г и 1 г – само кольцо. К сожалению этот вариант не даёт получить массы 9 г и 10 г.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Сколькими способами можно записать число 2003 в виде суммы а + b, где а и b — простые числа и а < b?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) более 3

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Аня подбросила игральный кубик 24 раза. Все числа от 1 до 6 выпали хотя бы один раз. Число 1 выпало больше раз, чем любое другое число. Аня сложила все выпавшие числа. Сумма, которую она получила, оказалась самой большой из возможных. Каково значение этой суммы?
(А) 83
(Б) 84
(В) 89
(Г) 90
(Д) 100

Ответ: Г
Решение:
Поскольку каждое число выпало хотя бы один раз, мы можем гарантировать, что 6 из 24 выпавших чисел имеют сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Теперь рассмотрим оставшиеся 24 − 6 = 18 выпавших чисел. Единиц должно быть больше, чем любых других чисел. Чтобы сумма была максимально возможной, выпавших шестёрок должно было быть всего на одну меньше, чем единиц. Если у нас 9 «1», тогда остаётся 8 «6 и одна «5». Получим 9∙1 + 8∙6 + 1∙5 = 62. Если у нас 8 «1», тогда остаётся 7 «6» и 3 «5». Получим 8∙1 + 7∙6 + 3∙5 = 65. Если у нас 7 «1», тогда остаётся 6 «6» и 5 «5». Получим 7∙1 + 6∙6 + 5∙5 = 68. Если у нас 6 «1», тогда остаётся 5 «6» и 5 «5» и 2 «4». Получим 6∙1 + 5∙6 + 5∙5 + 3∙4 = 69. Дальнейшее уменьшение количества единиц не увеличивает сумму. Получается, что максимально возможная сумма 69 + 21 = 90.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Кенгуру купил конфеты трёх видов: большие, маленькие и средние. Каждая большая конфета стоит 4 монеты, средняя — 2 монеты и маленькая — 1 монету. За 10 конфет Кенгуру заплатил 16 монет. Сколько больших конфет он купил?
(А) 5
(Б) 4
(В) 3
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: Д