d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Три бельчонка за неделю набрали вместе 100 шишек. За следующую неделю первые два бельчонка утроили свои запасы, а третий, наоборот, съел из своего запаса 20 шишек. Теперь у них вместе стало 160 шишек. Сколько шишек набрал в первую неделю третий бельчонок?

Ответ: 60 шишек.
Решение:
Если бы у всех бельчат запасы утроились, то стало бы 300 шишек. За счёт третьего бельчонка недостаёт 140 шишек. Пусть третий бельчонок набрал в первую неделю $x$ шишек, тогда 3$x$ − ($x$ − 20) = 140, откуда $x$ = 60.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Нынешний 2012 год записывается четырьмя цифрами 0, 1, 2 и 2. Сколько раз в будущем год будет записываться теми же четырьмя цифрами?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 8

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Сколько пятизначных чисел, которые делятся на 45, три средние цифры которых 456?

Ответ: 4 числа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Маша придумала новую операцию с числами: a ∗ b = + 2a + 3b . Чему равно 3 ∗ (4 ∗ 5) ?
(А) 51
(Б) 53
(В) 55
(Г) 72
(Д) 75

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Коробка имеет размеры 30 × 30 × 50. Самое маленькое число кубиков одинакового размера, которыми можно заполнить эту коробку, равно
(А) 45
(Б) 90
(В) 120
(Г) 450
(Д) 45000

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. На этот раз он выписывает словами все трёхзначные числа, в десятичной записи которых участвует ноль и ещё две одинаковые цифры. Каждый раз получается два слова. У скольких чисел эти два слова начинаются с разных букв?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) больше 3

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Пять шалунов A, B, C, D и E участвуют в конкурсе «Кенгуру». Шалун A выбирает на все задачи ответ A, B выбирает ответ B и так далее. Все набрали разное количество баллов, и никто не получил ноль баллов. Сколько баллов не мог набрать шалун, занявший среди них первое место, если занявший третье место набрал 36 баллов?
(А) 38
(Б) 39
(В) 40
(Г) 41
(Д) среди ответов А-Г нет верного

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 2 тур

Задача:
Аня, Саша и Витя и Настя решали контрольную, на которой задали 9 задач. Могло ли быть так, что Аня списала семь задач у Саши, Саша списал семь задач у Вити, Витя списал семь задач у Насти, а Настя списала семь задач у Ани?

Ответ: не может.
Решение:
Если Настя списала семь задач, то их кто-то должен был решить, но Аня, Саша и Витя решили не более, чем по две задачи каждый, то есть не более 6 задач.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Деревья, растущие вдоль одной из дорог около Сибирского федерального университета, решили пронумеровать с помощью табличек. Табличек с цифрой 0 понадобилось на 33 меньше, чем табличек с цифрой 1. Какое наименьшее количество деревьев растёт вдоль этой дороги?

Ответ: 121.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2017 год

Задача:
«Кто разбил чашку?» — строго спросила мама у Ани, Вани и Пети. В ответ каждый из них указал на одного из двух других. Аня сказала правду. Если бы каждый ребёнок указал не на того, на кого указал, а на другого, то единственным сказавшим правду был бы Петя. Так кто же разбил чашку?

Ответ: Чашку разбил Ваня.
Решение:
В первый раз Аня указала на Ваню или на Петю, значит, виноват один из них. Но Петя по условию задачи во второй раз указывает на другого ребёнка, а не на себя. Значит, и в первый раз Аня указала не на Петю, а на Ваню.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Цифры пятизначного числа записали в обратном порядке и из исходного числа вычли полученное. Может ли полученная разность быть равна 10998?

Запишем разность из условия задачи: 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 − 𝑒𝑑𝑐𝑏𝑎 = 9999(𝑎 − 𝑒) + 990(𝑏 − 𝑑) = 10998. Очевидно, что (𝑎 − 𝑒) может быть равно только 2, так как последняя цифра числа 990(𝑏 − 𝑑) равна 0, значит последняя цифра 9999(𝑎 − 𝑒) равна 8 или 2 (ведь последняя цифра 10998 равна 8, она может быть получена как 8 + 0 или 10 − 2), тогда выражение (𝑎 − 𝑒) равно 2 или 8. Разберем случай 2 = (𝑎 − 𝑒). Тогда 990(𝑏 − 𝑑) = 19998 − 10998 = 9000, но 9000 нельзя нацело разделить на 990. Случай 8 = (𝑎 − 𝑒) очевидно не имеет решений, разница между 9999 · 8 и 10998 явно больше, чем 990 · 9. Ответ: Разность не может быть равна 10998.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчата Вася и Петя бегут друг другу навстречу: Вася из «тихого» леса в «шумный» лес, а Петя из «шумного» леса в «тихий» лес. Они встретились, когда Вася пробежал 1,2 км и ещё треть оставшегося ему до «шумного» леса пути, а Петя пробежал 2,1 км и четверть оставшегося ему до «тихого» леса пути. Какое расстояние между «тихим» и «шумным» лесом?

Ответ: 5,7 км.
Решение:
Пусть расстояние от «тихого» до «шумного» леса равно $S$ км. После того, как Вася пробежал 1,2 км, ему осталось пробежать $S − 1,2$ км, следовательно, к моменту встречи с Петей он пробежал $1,2 + \frac{1}{3}(S − 1,2)$ км. Аналогично, Петя к моменту их встречи пробежал $2,1 + \frac{1}{4}(S − 2,1)$ км. Получаем уравнение:
$$ 1,2 + \frac{1}{3}(S − 1,2) + 2,1 + \frac{1}{4}(S − 2,1) = S $$
Решаем его, находим:
$$ \frac{1}{3} S + \frac{1}{4} S + 3,3 − 0,4 − \frac{2,1}{4} = S $$
или
$$ S − \frac{7}{12} S = \frac{9,5}{4}, \quad \frac{5}{12} S = \frac{9,5}{4}, \quad S = \frac{9,5 \cdot 12}{4 \cdot 5} = 5,7 $$
Следовательно, искомое расстояние есть $S = 5,7$ км.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Какое из следующих чисел нечётно, если a и b — нечётные числа?
(А) a + b
(Б) ab
(В) a − b
(Г) 2a + 2b
(Д) 2ab

Ответ: (Б) ab
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.

Ответ: 9 м/мин.
Решение:
Черепаха за одну Мáшину «минуту» преодолевает расстояние в 25 Машиных «метров», то есть за 100 секунд проползает 25 ⋅ 60 сантиметров. Тогда скорость черепахи равна $\displaystyle \frac{25⋅60}{100}$ = 15 см/сек. Значит, за 60 секунд черепаха проползёт 15 ⋅ 60 сантиметров, то есть $\displaystyle \frac{15⋅60}{100}$ = 9 метров.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2020 год

Задача:
В очереди в столовую стоят пять школьников: Аня, Боря, Вера, Гена и Денис.
- Боря стоит в начале очереди.
- Вера стоит рядом с Аней, но не рядом с Геной.
- Среди Ани, Бори и Гены никакие двое не стоят рядом.

Кто стоит рядом с Денисом?

Ответ: Аня и Гена.
Решение:
Пронумеруем места в очереди от 1 до 5: место №1 — место в начале очереди, место №5 — в конце очереди.
Из первого условия мы понимаем, что Боря стоит на месте №1, а из третьего условия становится ясно, что Аня и Гена стоят на местах №3 и №5.
- Место №1 — Боря
- Место №2 — ?
- Место №3 — Аня или Гена
- Место №4 — ?
- Место №5 — Аня или Гена

Из второго условия следует, что Вера не может стоять на месте №4 (иначе рядом с ней стоят и Аня, и Гена). Тогда она точно стоит на месте №2, а рядом с ней (на месте №3) стоит Аня. Тогда на месте №4 может стоять только Денис.
- Место №1 — Боря
- Место №2 — Вера
- Место №3 — Аня
- Место №4 — Денис
- Место №5 — Гена
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
На клетчатой доске 4 × 4 есть 4 горизонтальных ряда клеток, 4 вертикальных и 10 диагональных рядов (угловые клетки рядов не образуют). На этой доске отметили 10 клеток так, что число рядов с чётным количеством отмеченных клеток оказалось самым большим из возможных (0 — число чётное!). Чему равно это число рядов?
(А) 18
(Б) 17
(В) 16
(Г) 14
(Д) 12

Ответ: (Б) 17
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
На столе стоит 30 тарелок, на каждой из которых лежит не более 30 булочек. Время от времени в окно влетает Карлсон, выбирает несколько тарелок и съедает одинаковое количество булочек с каждой из них. За какое наименьшее число визитов Карлсон наверняка сможет съесть все булочки?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 15
(Д) 30

Ответ: (Б) 5
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Найдите n, если 9^n + 9^n + 9^n + 9^n + 9^n + 9^n + 9^n + 9^n + 9^n = 3^2010
(А) 502
(Б) 1004
(В) 1206
(Г) 1508
(Д) 2010

Ответ: (Б) 1004
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Число 2003 ⋅ 2005^3 − 2004 ⋅ 2002^3 равно:
(А) 4003^3
(Б) 4007^3
(В) 2003^2
(Г) 0
(Д) другой ответ

Ответ: Б
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Сколько существует семизначных чисел, в которых хотя бы одна цифра повторяется ровно три раза?

Посчитаем семизначные числа, которые удовлетворяют условию задачи. Это числа, в которых:
1. три цифры одинаковые, остальные цифры разные;
2. три цифры одинаковые и ровно две другие цифры повторяются;
3. три цифры одинаковые и 2 пары повторяющихся цифр (но разных между собой);
4. 2 тройки повторяющихся цифр (но разных между собой);
5. три цифры одинаковые и четыре другие цифры повторяются.

- Чисел типа 1): 9/10 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 𝐶$^3_7$ (выберем 5 разных цифр, потом выберем, на каких трёх местах будут стоять три одинаковые цифры, и умножим на 9/10, чтобы убрать те, которые начинаются с 0 — все цифры на первом месте встречаются с одинаковой частотой 1/10),
- чисел типа 2): 9/10 · 10 · 9 · 8 · 7 · 𝐶$^3_7$ · 𝐶$^2_4$,
- чисел типа 3): 9/10 · 10 · 9 · 8 · 𝐶$^3_7$ · 𝐶$^2_4$ · 1/2! (повторяющихся вариантов 2!),
- чисел типа 4): 9/10 · 10 · 9 · 8 · 𝐶$^3_7$ · 𝐶$^3_4$ · 1/2! (повторяющихся вариантов 2!)
- чисел типа 5): 9/10 · 10 · 9 · 𝐶$^3_7$.

Тогда искомых чисел 2 021 355.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Зайчишка-хвастунишка залез на пенёк и громко закричал: «Во всем лесу нет никого меня смелее, нет никого меня умнее!». Он, конечно же, соврал. Тогда обязательно
(А) все умнее и смелее его
(Б) есть кто-то и умнее его, и смелее
(В) есть кто-то его умнее
(Г) есть кто-то его смелее
(Д) есть кто-то или умнее его, или смелее его

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Два различных трёхзначных числа назовём родственниками, если для их записи используется один и тот же набор цифр. Например, 244 и 424 — родственники, а 244 и 224 — нет. Сколько родственников не бывает у трёхзначного числа с суммой цифр 5?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) любое из чисел 0, 1, 2 и 3 возможно

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
Три одноклассника учатся в МГУ на механико-математическом факультете (мехмат), вычислительной математики и кибернетики (ВМиК) и химическом (химфак). Из трёх утверждений «Дима учится на химфаке», «Слава – не химик», «Лёша учится не на мехмате» только одно верное. Кто учится на химфаке?

Ответ: Слава.
Решение:
Пусть на химфаке учится Дима. Тогда верны как минимум два утверждения: про Диму и про Славу, что не соответствует условию. Пусть Лёша учится на химфаке. Тогда снова верны два утверждения: про Славу и про Лёшу. Пусть на химфаке учится Слава. Проверим, что этот вариант подходит. Действительно, в этом случае может быть так: Дима – мехмат, Слава – химфак, Лёша – ВМиК.
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
У Прасковьи был платок в форме квадрата. Она его сложила один раз пополам, а затем — ещё раз пополам так, что опять получился квадрат (с в два раза меньшей стороной). Затем Прасковья разрезала полученный квадрат (сразу — все слои) одним прямым разрезом.
Сколько частей могло в результате получиться? Найди все варианты.

Предположим, что последний сгиб у получившегося квадрата «справа», а первый — сверху. Есть 8 вариантов того, как идёт разрез:
- от верхней стороны до правой — получается 2 части
- от верхней стороны до нижней — получается 3 части
- от верхней стороны до левой — получается 3 части
- от правой стороны до нижней — получается 2 части
- от правой стороны до левой — получается 2 части
- от нижней стороны до левой — получается 5 частей
- по диагонали от правого верхнего угла — получается 4 части
- по диагонали от левого верхнего угла — получается 5 частей

Итого может получиться 2, 3, 4 или 5 частей.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2012 год

Задача:
Аня и Даня вместе весят 82 кг, Даня и Таня — 74 кг, Таня и Ваня — 75 кг, Ваня и Маня — 65 кг, Маня и Аня — 62 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит?

Ответ: Ваня, он весит 43 кг.
Решение:
Сложив данные в условии веса: 82 + 74 + 75 + 65 + 62 = 358, получим удвоенный вес всех детей. Т.е. все дети в сумме весят 358 / 2 = 179.
Аня, Даня, Таня, Ваня в сумме весят 82 + 75 = 157, т.е. Маня весит 179 − 157 = 22. Аналогично находим, что Аня весит 179 − (74 + 65) = 40, Даня весит 179 – (75 + 62) = 42, Таня 179 − (82 + 65) = 32, Ваня 179 − (74 + 62) = 43.
Таким образом, самый тяжёлый Ваня и он весит 43 кг.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Малыш Федя решал пример. Он перепутал сложение с умножением, но все равно получил верный результат. Какой это пример?
(А) 1+1
(Б) 1+2
(В) 2+2
(Г) 2+3
(Д) 3+2

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 1 тур

Задача:
Толя задумал число. Сначала он прибавил к нему 1, потом полученную сумму умножил на 2, а затем отнял 5. Получилось 17. Какое число он задумал?

Ответ: 10.
Решение:
После вычитания 5 получилось 17, значит, до вычитания было 22. Число 22 получилось путём умножения некого числа на 2, значит, до этого было число 11. А оно в свою очередь было получено прибавлением к исходному числу 1, то есть сначала было число 10.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
В тестировании участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ (остальные дали правильный ответ). У Амёбы наименьшее количество правильных ответов — 10, наибольшее у Мёбы — 13. Количество правильных ответов у других участников может совпадать. Сколько всего вопросов было в тестировании?

Раз на каждый вопрос один из людей дал неправильный ответ, значит на каждый вопрос было дано 4 правильных ответа. Значит общее число правильных ответов делится на 4 (и, следовательно, чётное). Участники тестирования, кроме Мёбы и Амёбы, ответили правильно на 11 или 12 вопросов правильно. Так как у Мёбы и Амёбы вместе 23 правильных вопроса, то у остальных в сумме тоже должно быть нечётное число (чтобы сумма была чётной). Значит из оставшихся трёх человек у нечётного количества должно быть нечётное количество правильных ответов. Варианты только 11, 11, 11 или 11, 12, 12. Тогда найдём суммы правильных ответов в обоих случаях: 11 + 11 + 11 + 10 + 13 = 56 и 11 + 12 + 12 + 10 + 13 = 58. На 4 делится только 56. Правильных ответов было 56, значит вопросов 56 : 4 = 14.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Из двух диаметрально противоположных точек кругового трека одновременно стартуют два велосипедиста. Они едут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени первый велосипедист обгоняет второго. Третий обгон произошёл через 1 час после начала движения. Через сколько минут после третьего случится четвёртый обгон?
(А) 6
(Б) 12
(В) 15
(Г) 20
(Д) 24

Ответ: (Д) 24
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Васю, Толю, Федю и Колю спросили, пойдут ли они в кино.
- Вася сказал: «Если Коля не пойдёт, то я пойду».
- Толя сказал: «Если Федя пойдёт, то я не пойду, а если он не пойдёт, то я пойду».
- Федя сказал: «Если не пойдёт Коля, то и я не пойду».
- Коля сказал: «Я пойду только вместе с Федей и Толей».

Кто из ребят пошёл в кино?
(А) Федя, Коля и Толя
(Б) Коля и Федя
(В) Вася и Толя
(Г) только Вася
(Д) только Толя

Ответ: Вася и Толя
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
За один шаг робот может либо умножить данное число на 2, либо поделить его на 3, либо возвести его в квадрат. За какое наименьшее число шагов этот робот может превратить число 45 в число 200?
(А) 7
(Б) 6
(В) 5
(Г) 4
(Д) 3

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 1 тур

Задача:
Полбуханки хлеба стоят на 2 рубля дороже, чем четверть буханки. Сколько стоит буханка?

Ответ: 8 рублей.
Решение. Поскольку в полбуханки хлеба две четверти буханки, то 2 рубля – это стоимость четверти буханки. Значит вся буханка в 4 раза дороже.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2023 год

Задача:
Коля выпивает 3 литра газировки за 20 минут, а Саша выпивает 4 литра газировки за 40 минут. За сколько минут Коля и Саша смогут выпить 1 литр газировки, действуя сообща?

Ответ: 4 минуты.
Решение:
Раз Саша выпивает 4 литра газировки за 40 минут, то за 20 минут он выпьет 2 литра газировки. Таким образом, действуя сообща, за 20 минут ребята выпьют 3 + 2 = 5 литров газировки. Тогда 1 литр они выпьют за 20 ∶ 5 = 4 минуты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Сколько различных букв в словах УРА КЕНГУРУ?
(А) 7
(Б) 6
(В) 5
(Г) 4
(Д) 3

Ответ: А
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
На острове обитает 2019 жителей, каждый из которых является рыцарем, который всегда говорит правду, или лжецом, который всегда врёт; при этом каждый житель острова знает кто кем является на этом острове. Каждому жителю задали вопрос: «Сколько среди жителей острова рыцарей?» Любые два жителя острова дали разные ответы на этот вопрос, при этом никто не заявил, что на острове более 2019 рыцарей. Сколько на острове может быть рыцарей?

Заметим, что на такой вопрос рыцари не могут дать разные ответы, поскольку все ответы попарно различны, то и рыцарей на острове не более 1. Покажем, что и 0, и 1 рыцарь на острове быть может. Пусть жители дали все возможные ответы от 1 до 2019 рыцарей. Тогда все люди, сказавшие, что на острове от 2 до 2019 рыцарей точно лжецы, а человек, сказавший про 1 рыцаря, может быть рыцарем (и говорить про себя), либо лжецом (и рыцарей на острове нет вовсе).
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В конкурсе по поиску орехов в лесу около Сибирского федерального университета принимали участие 24 бельчонка. Каждому из них достался порядковый номер от 1 до 24. Однако в связи с повышенной температурой один бельчонок не смог участвовать в конкурсе. Оказалось, что среди 23 оставшихся бельчат нашёлся один, номер которого равнялся среднему арифметическому номеров оставшихся 22 бельчат. Какой номер имел бельчонок, не допущенный до соревнований? Если значений несколько, то в ответ запишите их сумму.

Ответ: 25.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
У Оли есть 30 гирь. Все гири весят разное целое число килограмм, не более 60 кг, а общий вес — чётное число килограмм. Оля выяснила, что её гири нельзя разделить на 2 равные по массе части. Могло ли такое быть?

Пусть у Оли гири всех чётных весов — от 2 до 30. Допустим, нам удалось разложить их и получить равновесие. Тогда равенство сохранится, если все веса разделить на 2. Однако гири весами 1, 2, . . . , 30 так разложить нельзя, так как сумма их весов нечётна.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
В строчку выписаны 2018 чисел, каждое из которых больше предыдущего на одну и ту же величину. Может ли среди выписанных чисел быть ровно 102 целых?

Заметим, что целые числа идут через равные промежутки. Если целым является каждое 20-е, то целых [2018 : 20] = 100 поэтому целых 100 или 101. Если же целое каждое 19-е, то 106 или 107. Если больше 20 или меньше 19, то тоже ничего не получается. Ответ: Нет, не могло.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2015 год

Задача:
Детсадовцы Саша, Миша, Нина, Вася и ещё один мальчик вырезали из бумаги буквы своих имён. Оказалось, что вырезали 6 букв А, по 3 буквы И и Н, по 2 буквы В, Ш, С и ещё по 1 букве М и Я. Как зовут четвёртого мальчика?

Ответ: ИВАН.
Решение:
Саша, Миша, Нина, Вася – это 5 букв А, 2 буквы И, 2 буквы Н, 1 буква В, 2 буквы Ш, 2 буквы С, по 1 буквы М и Я. Остаются буквы А, И, Н, В. Можно сложить имя ИВАН.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2014 год

Задача:
Шпунтик ехал на автомобиле и увидел километровый столб, на котором число километров было записано двузначным числом с разными цифрами. Он проехал ещё какое-то расстояние и увидел километровый столб с теми же цифрами, что и раньше, но записанными в другом порядке. Какое наименьшее расстояние может быть между этими столбами?

Ответ: 9 км.
Решение:
Для нахождения расстояния мы вычитаем друг из друга двузначные числа с разным количеством десятков. Чтобы разность была меньше, нужно, чтобы число десятков отличалось как можно меньше. То есть это должны быть соседние цифры. Но для любых двух соседних цифр А и Б разность чисел АБ − БА равна 9. Если разница между А и Б больше единицы, то разница между числами больше 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2017 год

Задача:
Вика, Настя и Соня учатся считать. У каждого из них есть 1 или 2 фантика.
- Соня сказала: «У нас не меньше 5 фантиков»
- Настя: «У меня и Вики поровну».
- Вика: «У меня больше, чем у Сони».

Оказалось, что они все ошиблись. Сколько у кого фантиков?

Ответ: У Сони 1 фантик, у Насти 2 фантика, у Вики – 1 фантик.
Решение 1: Поскольку Соня ошиблась, у девочек меньше 5 фантиков. Значит, не больше 4. То есть 3 или 4. Меньше 3 быть не может, так как у каждой девочки хотя бы 1.
Пусть фантиков 3, тогда у каждой должно быть по 1 фантику, и получается верным утверждение Насти, чего быть не должно.
Пусть фантиков 4. Тогда возможны случаи: Соня-Настя-Вика 112, 121 и 211. Первый случай не подходит, так как тогда Вика сказала правду. Третий случай не подходит, так как тогда Настя сказала правду. Второй случай подходит.
Решение 2: Поскольку Соня ошиблась, у девочек меньше 5 фантиков. Значит, не больше 4. У Насти и Вики не поровну. У Вики не больше, чем у Сони.
Если у Вики столько же, сколько у Сони, а у Насти другое количество, единственный подходящий вариант: у Вики и Сони по 1 фантику, у Насти – 2. Если у Вики и Сони по 2, то у Насти нет ни одного фантика, что противоречит условию.
Если у Вики меньше, чем у Сони, то у них 1 и 2 фантика соответственно. Тогда, вместе с Настиными двумя (не поровну с Викой) всего 5 фантиков. Противоречие.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Во время перемены в классе остались четыре девочки: Аня, Вера, Катя и Лена.
- Аня сказала: «У меня тут нет подружек»,
- потом Вера заявила: «У меня тут ровно одна подружка»,
- затем добавила Катя: «У меня ровно две подружки»,
- последней сказала Лена: «А у меня три подружки!».

Оказалось, что девочки, имеющие чётное количество подружек, сказали правду, а имеющие нечётное — солгали. Кто с кем дружит?

Ответ: Аня дружит только с Верой; Вера дружит с Аней, Катей и Леной; Катя дружит только с Верой; Лена дружит только с Верой.
Решение:
Так как Вера и Лена не могли сказать правду, то у Лены обязательно одна подружка, а у Веры – три. Это значит, что Вера дружит со всеми в этой компании, а Лена − только с Верой. Осталось выяснить, дружат ли Аня и Катя. Если дружат, то у них у каждой по 2 подружки. Тогда они обе должны были сказать правду. Но Аня солгала. Значит, такой вариант невозможен.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
У Шляпника есть двое механических часов. Одни отстают на 5 минут в час, а другие спешат на 15 минут в час. Ровно в полдень 18 февраля 2019 года Шляпник выставил верное время на обоих часах. Когда часы вновь покажут снова одинаковое время?

Так как положение минутной стрелки однозначно восстанавливается по положению часовой, надо найти момент времени, когда совпадут часовые стрелки. Часовая стрелка первых часов должна обогнать часовую стрелку вторых часов на 12 ч. Первые часы за 4 часа убегают на час, а за 12 часов на 3 часа. Вторые часы за 12 часов отстают на час. Итого, за 12 часов первая стрелка обгоняет вторую на 4 часа. Чтобы обогнать её на 12 часов нужно 36 часов. Ответ: в полночь с 19 на 20 февраля.