d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2019 год

Задача:
Дима встал на одну из ступенек лестницы и вдруг заметил, что выше него и ниже него ступенек поровну. Затем он поднялся на 7 ступенек вверх, а после этого спустился на 15 ступенек вниз. В итоге он оказался на 8 ступеньке лестницы (если считать снизу). Из скольки ступенек состоит лестница?

Ответ: 31 ступенька.
Решение:
Раз в конце Дима оказался на 8 ступеньке, то до этого он был на 8 + 15 = 23 ступеньке. Туда он попал, поднявшись на 7 ступенек вверх, то есть он начинал с 23 − 7 = 16 ступеньки. Таким образом, мы получаем, что 16 ступенька — середина лестницы. Следовательно, лестница состоит из 31 ступеньки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
За квадратный столик могут сесть одновременно 4 гнома, по одному с каждой стороны. Для вечеринки 7 таких столиков составили в ряд (вплотную один к другому). Сколько гномов могут сесть за получившийся длинный стол?
(А) 14
(Б) 16
(В) 21
(Г) 24
(Д) 28

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 6 тур

Задача:
За круглым столом сидят 2018 человек. Каждый из них – рыцарь, который всегда говорит правду, или лжец, который всегда лжёт. Оказалось, что рядом с каждым лжецом сидит ровно один лжец. Каждого из сидящих за столом спросили, сколько лжецов сидит рядом с ним. Получили только ответы «один» и «два». Какое наименьшее количество лжецов может сидеть за столом?

Рыцарь, сидящий между двух рыцарей, не может дать ответ «один» или «два». Поэтому рыцарей, сидящих подряд, может быть не более двух. Группы по 1 или 2 рыцарей, чередуются с группами лжецов по 2 и более лжецов. Чем больше рыцарей, тем меньше лжецов. Из вышесказанного, наибольшее число рыцарей возможно, когда все группы лжецов и рыцарей по 2 человека. Тогда рыцарей и лжецов поровну, то есть по 1009 человек.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Ваня старше Пети на 3 года и 1 день. Ваня родился 1 января 1997 года. Когда родился Петя?
(А) 2 января 2000 года
(Б) 2 января 1994 года
(В) 31 декабря 1993 года
(Г) 31 декабря 2000 года
(Д) 31 декабря 1999 года

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
В начале маршрута в автобус сели 23 человека. Водитель автобуса очень спешил, а поэтому останавливался только тогда, когда хотели выйти более четверти людей, едущих в автобусе. Заходить вообще никогда никто не успевал. Какое наибольшее число раз мог останавливаться этот автобус?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 23

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Алиса и Белый Кролик в полдень вместе вышли из домика Кролика и пошли на прием к Герцогине. Пройдя полпути, Кролик вспомнил, что забыл перчатки и веер, и вернулся за ними домой. В результате Алиса пришла к Герцогине за 5 минут до начала приема, а Кролик опоздал на 10 минут. Алиса и Кролик шли с постоянными и одинаковыми скоростями. На какое время был назначен прием у Герцогини?
(А) 12-10
(Б) 12-15
(В) 12-20
(Г) 12-25
(Д) 12-30

Ответ: 12-20
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 1 тур

Задача:
В Марсианском заповеднике живут драконы с трёмя головами и четырьмя лапами и чучундры с пятью лапами и шестью головами. Алиса сосчитала, что всего у них 126 голов и 123 лапы. Сколько драконов и сколько чучундр живёт в марсианском зоопарке?

Ответ: 12 драконов и 15 чучундр.
Решение:
Заметим, что у дракона лап на 1 больше, чем голов, а у чучундры наоборот – голов на 1 больше, чем лап. Поскольку в результате голов на 3 больше, то чучундр на 3 больше, чем драконов. Вычтем 3 чучундр и получим, что у остальных 108 голов и 108 лап. Так как в паре дракон-чучундра 9 голов и 9 лап, то таких пар 12.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2006 год

Задача:
Придумай самое маленькое трёхзначное число с разными цифрами.

Ответ: 102.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Площадь прямоугольника равна 80 см^2. Длина больше ширины на 16 см. Периметр этого прямоугольника в 3 раза больше периметра квадрата. Чему равна площадь квадрата? Длины сторон – целые числа. Дайте ответ в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16 см^2.
Решение:
Пусть a и b – стороны прямоугольника (см).
a ⋅ b = 80
Одна из сторон прямоугольника – число, делящееся на 5, так как 80 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5.
- Допустим а = 5 (см), тогда b = 80 : 5 = 16 (см), 16 − 5 = 11 (см), не подходит, по условию длина больше ширины на 16 см.
- Допустим а = 10 (см), тогда b = 80 : 10 = 8 (см), 10 − 8 = 2 (см), не подходит, по условию длина больше ширины на 16 см.
- Допустим а = 20 (см), тогда b = 80 : 20 = 4 (см), 20 − 4 = 16 (см), подходит, по условию длина больше ширины на 16 см.
- Допустим а = 40 (см), тогда b = 80 : 40 = 2 (см), 40 − 2 = 38 (см), не подходит, по условию длина больше ширины на 16 см.

Стороны этого прямоугольника: ширина 4 см, длина 20 см. Периметр прямоугольника: 2⋅(4 + 20) = 48 (см).
Периметр квадрата: 48 : 3 = 16 (см). Сторона квадрата: 16 : 4 = 4 (см). Площадь квадрата: 4 ⋅ 4 = 16 (см^2).
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
В круг встали 2017 жителей Острова Рыцарей и Лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждого из них попросили назвать своего правого соседа, и каждый ответил либо «рыцарь», либо «лжец». Могло ли оказаться, что ответов «рыцарь» было дано ровно 2000?

Ответ: Не могло.
Решение:
Рассмотрим пару рядом стоящих и будем считать только то, что сказал левый сосед. Тогда в этой паре левый человек мог сказать «рыцарь» в случае только, если пара РР или ЛЛ. Аналогично левый мог сказать «лжец» только в случаях ЛР и РЛ. Таким образом количество ответов «лжец» равно количеству смешанных пар.
Множество всех жителей в хороводе разбивается на области одного типа Р…Р и Л…Л. И смешанные пары могут быть только на границе этих областей. Следовательно, количество смешанных пар в точности равно количеству областей. Но количество областей не может быть нечётным, поскольку области рыцарей и лжецов чередуются. Поэтому сказать «лжец» могли только чётное число человек.
Если всего опросили 2017 человек, а «рыцарь» сказали 2000, значит, «лжец» сказали 17. Но это нечётное число, а, как было доказано выше, такого быть не может.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Пусть число $m$ – один из корней уравнения $x^3 + 1 = 2007x$. Какое из чисел наверняка является корнем уравнения $x^3 + 1 = 2007x^2$ ?
(А) $\displaystyle \frac{8}{5}m$
(Б) $\displaystyle \frac{5}{2}m$
(В) $m^2$
(Г) $\displaystyle \frac{1}{m}$
(Д) $m$ + 1

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Электронные часы показывают часы и минуты (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки в наборе цифр на табло этих часов участвуют только цифры 2 и 5 (или одна из этих цифр)?
(А) 12
(Б) 6
(В) 4
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
На белой доске 5 × 5 Петя закрасил какие-то клетки синим цветом, а какие-то — красным (каждым цветом закрашена хотя бы одна клетка). Никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наибольшее число клеток могло быть закрашено?
(А) 25
(Б) 23
(В) 22
(Г) 21
(Д) 20

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Часы лежат на столе циферблатом вверх. Минутная стрелка сейчас указывает на северо-восток. Через сколько минут она укажет на северо-запад?
(А) 45
(Б) 40
(В) 30
(Г) 20
(Д) 15

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Студенты Вася и Петя покрасили забор из досок около Сибирского федерального университета. Каждая доска была покрашена ровно один раз. Если посмотреть на забор слева направо, то каждая седьмая доска покрашена в синий цвет, каждая восьмая доска — в зелёный цвет, каждая девятая доска — в жёлтый цвет. Остальные доски покрасили в оранжевый цвет. Доска №53 оказалась с дыркой, а всего забор содержит чётное число досок. Найдите количество досок в заборе.

Ответ: 54 доски.
Решение:
Первая доска, которую пришлось бы покрасить синим и зелёным цветами, имеет номер 7 ⋅ 8 = 56, синим и жёлтым — 7 ⋅ 9 = 63, зелёным и жёлтым — 8 ⋅ 9 = 72. Значит, так как каждая доска по условию покрашена одним цветом, досок не могло быть более 55. С другой стороны, их не менее чем 53 — это доска с дыркой. Так как число досок чётно, то единственный подходящий вариант — 54 доски.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Вдоль дороги растут дубы и берёзы, всего 100 деревьев. Количество деревьев между любыми двумя дубами не равно 5. Какое наибольшее количество дубов может быть среди этих 100 деревьев?
(А) 17
(Б) 50
(В) 51
(Г) 52
(Д) 53

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2015 год

Задача:
В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса.
1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?»
2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?»
3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?»
4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?»

На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй — 50, на третий — 70, а на четвёртый — 100. Сколько честных гномов в подземном царстве?

Ответ: 40 честных гномов.
Решение:
На 4-й вопрос и честный, и лгун ответят «да», поэтому в подземном царстве всего 100 гномов.
Честный гном на один из трёх первых вопросов ответит «да», а на два — «нет». А лгун, наоборот, на два из первых трёх вопросов ответит «да», а на один — «нет».
Далее ответ можно получить или уравнением, или рассуждением.
Способ 1.
Пусть всего $x$ честных гномов. Тогда всего на первые три вопроса будет $x$ + 2 · (100 – $x$) = 200 – $x$ ответов «да», т.е. 200 – $x$ = 40 + 50 + 70 = 160, откуда $x$ = 40.
Способ 2.
В сумме на первые три вопроса было дано 40 + 50 + 70 = 160 ответов «да». Если бы все гномы говорили правду, то на первые три вопроса было бы 100 ответов «да». Так как каждый лжец даёт на один ответ «да» больше, всего отвечали 160 − 100 = 60 лжецов. Значит, честных гномов 40.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2010 год

Задача:
Агроном Тыковкин вырастил репу, тыкву и дыню. Известно, что репа и тыква вместе весят 20 кг, а тыква и дыня вместе – 17 кг. Что тяжелее: репа или дыня и на сколько?

Ответ: репа на 3 кг.
Решение:
Заметим, что пара репа+тыква тяжелее пары дыня+тыква на 3 килограмма. Но поскольку и там, и там есть одна и та же тыква, то разница в весе происходит из-за разности весов репы и дыни. Значит тяжелее репа на 3 кг. (Для более понятной интерпретации ребёнку можно представить, что мы кладём обе пары на чашки весов (как будто у нас есть две одинаковые тыквы), а потом убираем одинаковые тыквы, чтобы остались для сравнения дыня и репа).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
На планете Альфа живут только божьи коровки, и у каждой из них на спинке в два раза больше точек, чем ей лет. Десятилетняя Сима живёт на этой планете с мамой и папой. Мама младше папы на три года, и у неё на спинке 66 точек. Сколько точек у всех троих вместе?
(А) 158
(Б) 155
(В) 146
(Г) 138
(Д) 126

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2016 год, 2 тур

Задача:
Паша, Коля, Лёша и Саша сыграли в шахматном турнире в один круг (каждый с каждым по одной партии). Оказалось, что все набрали разное количество очков, и ничьих не было. После турнира каждый высказался:
- Паша: Я набрал больше всех очков.
- Коля: У Лёши очков больше, чем у Паши.
- Лёша: У Коли и Паши столько же очков в сумме, сколько и у Саши.
- Саша: Мой результат лучше результата Лёши.

Определите, кто какое занял место в турнире, если известно, что все солгали. (За победу в шахматах даётся 1 очко, за проигрыш – 0)

Ответ: Коля – 1, Паша – 2, Лёша – 3, Саша – 4.
Решение:
Заметим, что если не было ничьих и у всех разное количество очков, то очки могли быть только такие: 0, 1, 2, 3. И чем больше очков, тем выше место. Поскольку все соврали, то:
1. Паша не занял 1 место.
2. Лёша не занял 1 место. Так как иначе, у него было бы больше всех очков, в том числе и больше, чем у Паши.
3. Саша не занял 1 место, так как иначе его результат был бы лучше, чем у любого другого, в том числе и у Лёши. Значит, 1 место занял Коля.
4. Так как 1 место не у Лёши, то у Саши не может быть 2 места, иначе он выступил бы лучше Лёши.
5. Аналогично у Лёши не 2 место. Значит, 2 место, у Паши.
6. Поскольку Саша лжёт, что выступил лучше Лёши, то у Лёши 3 место, а у Саши - последнее.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
Вдоль улицы один за другим стоят дома с номерами 1, 2, 3, 4, 5. В них живут белочка, кошка, мышка, ослик и собака. Собака живёт в доме номер 1, а белочка — в доме номер 4. Кошка живёт по соседству с мышкой. Кто живёт в доме номер 5?
(А) белочка
(Б) кошка
(В) мышка
(Г) ослик
(Д) собака

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Сколько различных имеется среди чисел 1 : (2 : (3 : 4)), (1 : 2) : (3 : 4), 1 : ((2 : 3) : 4), ((1 : 2) : 3) : 4, (1 : (2 : 3)) : 4?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Если хулиган Аркадий приходит в школу, то он во время каждой перемены между уроками прилепляет одну жвачку под стол. За год он побывал на 499 уроках и прилепил 350 жвачек. Сколько дней в году Аркадий посетил школу?

Ответ: 149 дней.
Решение:
Каждый день в школе уроков на один больше, чем перемен. Потому до первого и после последнего урока перемен нет. Значит, в каждый день в школе жвачек прилеплено на 1 меньше, чем уроков. Всего уроков на 499 - 350 = 149 больше. Значит, Аркадий был в школе 149 дней.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Полная бочка варенья весит столько же, сколько Малыш и Карлсон вместе. Малыш залез в бочку, и оттуда вытекло столько варенья, сколько весит сам Малыш. Затем Малыш вылез из бочки. Оказалось, что в бочке осталась половина варенья и полупустая бочка весит 40 килограммов. Сколько весит пустая бочка, если Малыш на 10 кг легче Карлсона?

Ответ: 10 кг.
Решение:
По условию «Малыш + Карлсон = пустая бочка + варенье», также известно, что «Малыш = половина варенья», значит, «Малыш + Малыш = варенье».
Тогда «Малыш + Карлсон = пустая бочка + Малыш + Малыш».
Карлсон на 10 кг тяжелее Малыша, то есть «Карлсон = Малыш + 10».
Получаем «Малыш + Малыш + 10 = пустая бочка + Малыш + Малыш». Значит, пустая бочка весит 10 кг.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2012 год

Задача:
Мою родную сестру зовут Анна Павловна. Мою маму зовут Светлана Дмитриевна, а моего деда зовут Иван Петрович. Как зовут моего отца?

Ответ: Павел Иванович.
Решение:
Так как мою сестру зовут Анна Павловна, нашего отца зовут Павел. А так как моего деда зовут Иван, а у моей мамы отчество Дмитриевна, то дед Иван является отцом моего отца. Значит, моего отца зовут Павел Иванович.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Корень седьмой степени из числа $7^{7^7}$ равен:
(А) $6^{7^7}$
(Б) $7^{6^7}$
(В) $7^{7^6}$
(Г) $7^{7^7-1}$
(Д) $6^{7^6}$

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
В числовом ребусе K × A × N × G × A = R × O × O буквами K, A, N, G, R, O обозначены разные цифры. Какое самое большое значение может принимать буква O?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: (Б) 8
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
В ряд выписаны в порядке возрастания все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Под каждым числом этого ряда записано произведение его цифр. С получившимся рядом проделывают ту же самую процедуру и так далее. Сколько нечётных чисел будет находиться в пятом ряду?

Ответ: 19.
Решение:
Заметим, что если число содержит в своей записи чётную цифру, то произведение цифр будет чётным. Но тогда и во всех последующих рядах произведение будет чётным. Найдём все произведения двух цифр в таблице умножения, записываемые с помощью нечётных цифр:
1 = 1 ⋅ 1
3 = 1 ⋅ 3
5 = 1 ⋅ 5
7 = 1 ⋅ 7
9 = 1 ⋅ 9
9 = 3 ⋅ 3
15 = 3 ⋅ 5
35 = 5 ⋅ 7
Все остальные произведения содержат чётные цифры. Следовательно, произведения из нечётных цифр будут только под числами, состоящих из указанных цифр. Список чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 51, 53, 57, 71, 75, 91 – всего 19 штук.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
Катя прыгает вдоль дорожки. Сначала она делает 2 прыжка на левой ноге, потом 2 на правой, потом 2 прыжка на двух ногах, а потом повторяет все сначала. Какими будут 8-й и 9-й прыжки?
(А) оба на правой ноге
(Б) оба на левой ноге
(В) оба на двух ногах
(Г) на правой, а потом на левой ноге
(Д) на левой, а потом на правой ноге

Ответ: Д
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
У Ани было 36 карандашей. Она отдала из них Тане на 1 карандаш больше, чем оставила себе, а Оле — на 2 карандаша больше, чем оставила себе. Сколько карандашей осталось у Ани?

Ответ: 11.
Решение:
Пусть у Ани осталось x карандашей. Тогда у Тани x + 1, а у Оли x + 2.
Составим и решим уравнение:
x + (x + 1) + (x + 2) = 36
x + x + x = 33
x = 33 : 3
x = 11
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Сколько нулей в записи числа миллион плюс тысяча плюс один?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Квадрат со стороной 8 см разрезали по прямой на два прямоугольника. Периметр одного из этих прямоугольников равен 20 см. Во сколько раз площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата?

Ответ: 4.
Решение:
Стороны этого прямоугольника: ширина 2 см; длина 8 см.
Площадь этого прямоугольника: 2 ⋅ 8 = 16 (см^2).
Площадь квадрата: 8 ⋅ 8 = 64 (см^2).
64 : 16 = 4
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»:
- девочка Таня дружит с 12 мальчиками;
- девочка Даша дружит с 12 мальчиками;
- девочка Катя дружит с 13 мальчиками;
- у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 13, 14.
Решение:
Из условия следует, что мальчиков в классе хотя бы 13. Если бы их было хотя бы 15, то среди них можно было бы выбрать троих, которые не дружат с Таней. Но тогда у Тани среди них не нашлось бы друга, противоречие. Значит, всего мальчиков 13 или 14. Приведём соответствующие примеры.
1. Пусть в классе всего 3 девочки (Таня, Даша, Катя) и 13 мальчиков. Среди них есть мальчик Андрей, который не дружит только с Таней, а также мальчик Боря, который не дружит только с Дашей (все остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все условия задачи выполняются.
2. Пусть в классе всего 3 девочки (Таня, Даша, Катя) и 14 мальчиков. Среди них есть мальчики Влад и Денис, которые не дружат только с Таней, мальчики Женя и Кирилл, которые не дружат только с Дашей, а также мальчик Лёня, который не дружит только с Катей (все остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все условия задачи выполняются.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2020 год, 1 вариант

Задача:
На фотографирование класса пришли 4 девочек и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?

Ответ: 33 фотографии.
Решение:
Пусть в некоторый момент нет ни фотографии двух мальчиков, ни фотографии двух девочек, ни двух фотографий с одними и теми же детьми. Тогда на каждой фотографии присутствуют мальчик и девочка, причём на разных фотографиях — разные пары. Но всевозможных пар, состоящих из мальчика и девочки, существует 4 ⋅ 8 = 32, и каждая из этих пар может быть запечатлена не более чем на одной фотографии. Значит, среди любых 33 фотографий обязательно найдётся либо фотография с людьми одного пола, либо две фотографии с одной и той же парой людей.
При этом не более 32 фотографий может не хватить: на них могут быть запечатлены разные пары, состоящие из мальчика и девочки.
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Автобус выехал со скоростью 40 км/ч из филиала I Сибирского федерального университета в филиал II, находящийся на расстоянии 240 км от филиала I. Одновременно с ним из филиала II в филиал I выехал автомобиль со скоростью $x$ км/ч. Через 30 минут после встречи с автобусом автомобиль, не доезжая до филиала I, повернул обратно и с той же скоростью поехал в филиал II. Найдите количество целых значений $x$, при которых автомобиль приедет в филиал II раньше автобуса.

Ответ: 63.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
В этом году ежегодный конкурс «Кенгуру» проводится в России уже в 12-й раз. В каком году был первый конкурс?
(А) 1993
(Б) 1994
(В) 1995
(Г) 1894
(Д) 994

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2020 год

Задача:
Буратино, Пьеро и Артемон играли в снежки. Буратино бросил 20 снежков, Пьеро – 14, а Артемон – 8. При этом известно, что все снежки Пьеро пролетели мимо. Артемон бросал снежок только в ответ на попавший в него снежок, а у Буратино ровно половина снежков попала в цель. Сколько снежков попало в Пьеро?

Ответ: 2 снежка.
Решение:
Поскольку все снежки Пьеро пролетели мимо, то Артемон бросал снежки только в Буратино. Так как он бросил 8 снежков, то Буратино тоже попал в него 8 раз. Но всего Буратино бросил 20 снежков. Из них в цель попали 10. 8 снежков в Артемона и 2 снежка в Пьеро.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
У Арнольда есть 27 пакетов с сахаром весом 1 кг, 2 кг, . . . , 27 кг. Он их разложил на кучки, в каждой из которых самый тяжёлый пакет весит столько же, сколько и все остальные вместе. Найдите число кучек.

Так как все веса разные, то в кучке не может быть 2 камня. Наибольшее число кучек 27 : 3 = 9. Так же ни в какой кучке не может быть больше двух пакетов, массы которых в кг равны от 14 до 27, тогда кучек не менее (27 − 14 + 1) : 2 + 1 = 8. Пусть кучек 8. Самые тяжёлые пакеты из кучек по условию составляют половину массы всех пакетов, их масса равна 27 · 28 : 2 : 2 = 189 кг. Но 8 самых тяжёлых пакета дают в сумме 20 + 21 + · · · + 27 = 188. Значит кучек могло быть только 9; например, (1 8 9), (2 23 25), (3 21 24), (4 18 22), (5 15 20), (6 13 19), (7 10 17), (11 16 27), (12 14 26).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Пусть f(x) — это меньшее из чисел 2х и 6 − х. Какое самое большое значение принимает величина f(x) ?
(А) 2
(Б) 4
(В) 6
(Г) 8
(Д) наибольшего значения нет

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2018 год, 1 этап

Задача:
В корзине 13 яблок: красных, жёлтых и зелёных. Меньше всего красных яблок, а больше всего жёлтых: их на 4 больше, чем красных. Сколько зелёных яблок в корзине?

Ответ: 5 зелёных яблок.
Решение:
Решаем задачу перебором:
- если красное яблоко одно, то жёлтых 1 + 4 = 5, а зелёных получается больше всего, не подходит по условию задачи;
- если красных яблок 2, то жёлтых 2 + 4 = 6, а зелёных – 5, подходит по условию задачи;
- если красных яблок 3, то жёлтых 3 + 4 = 7, а зелёных – 3, не подходит по условию задачи;
- если красных яблок более, чем 3, не подходит по условию задачи.

Значит, 2 красных яблока, 6 жёлтых, 5 зелёных. Зелёных яблок в корзине: 5.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 2 тур

Задача:
У бабушки есть банки ёмкостью 7, 8 и 20 литров. Две меньшие банки наполнены доверху морсом, а большая – пустая. Можно ли разделить морс поровну на три банки? Никаких дополнительных приспособлений нет, делений на банках тоже нет.

Ответ: Нельзя.
Решение:
При переливании мы можем либо из какой-то банки вылить всё, либо долить доверху какую-то банку. То есть после каждого хода должна появиться либо полностью пустая банка, либо полностью заполненная. Предположим требуемое в условии можно. Тогда в трёх банках должно быть по 5 л морса. Посмотрим, каким было последнее переливание – как написано выше, должна была появиться либо полностью пустая банка, либо полностью заполненная, а такого нет. Противоречие.