d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Дети встали в хоровод. Оказалось, что у каждого мальчика с одной стороны мальчик, а с другой – девочка. А у каждой девочки с обеих сторон стоят мальчики. Сколько в хороводе девочек, если мальчиков 12?

Ответ: 6 девочек.
Решение:
Так как у каждого мальчика в соседях есть и мальчик, и девочка, а у девочек только мальчики, то мальчики стоят парами: ММДММД… Тогда всех можно разбить на тройки, в которых 2 мальчика и 1 девочка. То есть девочек в 2 раза меньше, чем мальчиков.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Каждый день Лёша съедает от 1 до 10 бутербродов. Лёша утверждает, что за все понедельники февраля 1919 года (аж век назад!) он съел на 37 бутербродов больше, чем за все субботы этого же месяца. Не ошибается ли Лёша?

В указанном феврале 28 дней, то есть 7 полных недель. Значит, понедельников и суббот в этом феврале было поровну, а именно по 4. Максимум за 4 понедельника Лёша может съесть 10 · 4 = 40 бутербродов, а за 4 субботы он съест хотя бы 4 бутерброда, значит, разница между количеством бутербродов, съеденных в понедельники и субботы не превосходит 40 − 4 = 36. Лёша ошибается.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год

Задача:
Экскурсионная группа из 6 туристов осматривает достопримечательности. Около каждой достопримечательности три человека фотографируются, а остальные их фотографируют. После какого минимального числа достопримечательностей каждый турист будет иметь фотографии всех остальных участников экскурсии?

Ответ: после 4 достопримечательностей.
Решение:
Оценка. Всего нужно провести 6 · 5 = 30 фотографирований (рассматриваем фотографирование только между двумя людьми $A$ и $B$, то есть если человек $A$ сфотографировал 3 других участников $B$, $C$, $D$ на одной фотографии — это 3 фотографирования $A$ ⟶ $B$, $A$ ⟶ $C$, $A$ ⟶ $D$).
За одну достопримечательность может произойти не более 3 · 3 = 9 новых фотографирований. Таким образом, трёх достопримечательностей не хватит.
Приведем пример, как можно организовать фотографирования около четырёх достопримечательностей. Пронумеруем людей от 1 до 6. Тогда мы можем организовать всё следующим образом:
- (123) ⟶ (456)
- (145) ⟶ (236)
- (256) ⟶ (134)
- (346) ⟶ (125)

(123) ⟶ (456)
(145) ⟶ (236)
(256) ⟶ (134)
(346) ⟶ (125)
Нетрудно проверить, что каждый сфотографирует каждого хотя бы один раз.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
На плоскости отметили 10 точек, затем каждые две из них соединили отрезком. Какое наибольшее число таких отрезков может пересечь прямая, которая не проходит ни через одну их этих точек?
(А) 20
(Б) 25
(В) 30
(Г) 35
(Д) 45

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок ест грибы и орехи. Один орех и два гриба он съедает за 5 минут, а два ореха и один гриб — за 6 минут. Сколько минут понадобится бельчонку, чтобы съесть пять грибов и четыре ореха?

Ответ: 16 минут.
Решение:
Г(риб)О(рех)Г(риб) бельчонок съедает за 5 минут, а ОГО — за 6 минут. Пять грибов и четыре ореха можно разбить на три блока: (ГОГ)(ОГО)(ГОГ). Откуда получаем необходимое время для съедания 5 + 6 + 5 = 16 минут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2011 год

Задача:
- «Я люблю апельсины», – сказала Соня.
- «Нет, это я люблю апельсины. Ты любишь яблоки», – сказала Вера.
- «А я не люблю апельсины», – сказал Андрей.

Известно, что каждый фрукт кто-то любит и никто из детей не любит оба фрукта одновременно. Кто из ребят любит яблоки, а кто любит апельсины, если все сказали неправду?

Ответ: апельсины любит Андрей, яблоки любит Вера.
Решение:
Все ребята сказали неправду. Поэтому, раз Андрей сказал, что не любит апельсины, то это значит, что он их наоборот, любит. Соня сказала: «Я люблю апельсины». Значит, Соня не любит апельсины. А так как Вера сказала, что Соня любит яблоки, то яблоки Соня тоже не любит. То есть Соня не любит ни яблоки, ни апельсины. Но так как никто не любит два фрукта сразу, то Андрей не любит яблок. А так как каждый фрукт кто-то любит, то любителем яблок может быть только Вера, так как ни Соня, ни Андрей яблоки не любят.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Чему равно значение выражения $\displaystyle \frac{2 \times 0.24}{20 \times 2.4}$ ?
(А) 0,01
(Б) 0,1
(В) 1
(Г) 10
(Д) 100

Ответ: А
Решение:
(2 ⋅ 0,24) / (20 ⋅ 2,4) = 0,48 / 48 = 0,01
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 2 тур

Задача:
У Серёжи есть 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см, 7 палочек длиной 3 см и 5 палочек длиной 4 см. Сможет ли он сложить прямоугольник, использовав все палочки?

Ответ: Нет.
Решение:
Предположим, что это Серёже удалось. Тогда сумма длин сторон этого прямоугольника должна быть чётна, так как это удвоенная сумма длины и ширины. Сумма же 4×1 + 4×2 + 7×3 + 5×4 нечётна.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 2 тур

Задача:
Два бегуна бегут друг за другом с одинаковой скоростью 150 м/мин, на расстоянии 300 м друг от друга. По пути им встретилась гора. При подъёме в гору каждый снизил скорость на 50 м/мин, а на спуске затем увеличил на 100 м/мин и дальше побежал с изначальной скоростью. Какое максимальное расстояние могло оказаться между бегунами?

Ответ: 400 м.
Решение:
Пример строится несложно. Докажем, что это максимум. Заметим, что до подножья горы спортсмены добегут с разницей в 2 минуты (300:150). То есть второй повторяет движения первого с запаздыванием в 2 минуты. Рассмотрим такую интерпретацию: пусть оба бегуна находятся на движущемся со скоростью 150 м/мин транспортёре. Тогда изначально они просто стоят на нем на расстоянии 300 м. Потом первый начинает пятиться назад со скоростью 50м/мин, а через некоторое время двигаться вперёд тоже со скоростью 50 м/мин. Заметим, что теперь абсолютно неважно, в какой момент происходит движение назад и на сколько, так как второй через некоторое время (через 2 минуты) сделает то же самое и «компенсирует» изменение. Поэтому увеличение расстояния между бегунами зависит исключительно от того, как долго первый сможет двигаться вперёд, а второй ещё этого не делает. Поскольку запаздывание во времени равно 2 минуты, то максимальное время, когда первый увеличивает расстояние – это 2 минуты. И за это время он сможет увеличить расстояние максимум на 100 м.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 3 тур

Задача:
На день Святого Валентина мальчики послали открытки девочкам, а девочки – мальчикам. Оказалось, что если мальчик послал открытку девочке, то девочка – мальчику и наоборот: если девочка послала открытку мальчику, то мальчик – девочке. Максим выяснил, что каждый послал либо 4 открытки, либо 5, либо 6, причём, если не считать его самого, то по 4 открытки послали 10 человек, по 5 открыток – 7 человек и по 6 – 3 человека. Причем никто не посылал открытку дважды одному и тому же. Сколько открыток послал Максим?
Комментарий: Максим послал либо 4, либо 5, либо 6 открыток по условию.

Ответ: 5 открыток.
Решение:
Разобьем все посланные открытки по парам: те, что мальчик и девочка послали друг другу. Тогда всего открыток должно быть чётное количество. Сосчитаем количество открыток без Максима: 4х10+5х7+6х3 = нечётное. Поэтому Максим посла нечётное число открыток.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
У Марины есть три карточки, на каждой стороне которых написано по одной цифре. На обороте карточки с цифрой 1 написана цифра 4, на обороте карточки с цифрой 2 написана цифра 5, на обороте карточки с цифрой 3 написана цифра 6. Марина в случайном порядке выкладывает карточки, а затем складывает три числа, которые видит на них. Сколько различных значений сумм может получить Марина?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Б
Решение:
Наименьшая сумма получается, если карточки выложены вверх цифрами 1, 2 и 3. Эта сумма равна 1 + 2 + 3 = 6. При повороте любой из карточек сумма увеличивается на 3, так как разница между двумя цифрами на каждой из карточек – 3. Повернуть можно одну, две или три карточки, при этом суммы также могут быть следующие: 9, 12 и 15. Всего четыре возможных варианта.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 2 тур

Задача:
На столе лежат несколько мешочков с одинаковым количеством конфет. Четыре мешочка вместе содержат меньше 50 конфет, а пять мешочков вместе содержат больше 50 конфет. Сколько конфет могло быть в одном мешочке?

Ответ: 11 или 12 конфет.
Решение:
Если в каждом мешочке будет по 10 конфет, то в сумме в пяти мешочках будет 50, а по условию должно быть больше. Значит в мешочках больше 10. Если в мешочке 11 конфет, то в четырёх мешочках – 44 конфеты, меньше 50, а в пяти мешочках – 55 конфет, больше 50. Этот вариант подходит. Если в мешочке 12 конфет, то в четырёх мешочках 48 конфет, меньше 50, а в пяти мешочках – 60 конфет, больше 50. Тоже подходит. Если в каждом мешочке будет 13, то в сумме в четырёх мешочках получится 52, а по условию должно быть меньше. Значит конфет в мешочках может быть по 11 или по 12.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Петя написал на доске 10 целых чисел. Затем он нашёл произведение каждой пары чисел, написанных на доске. Ровно 15 из этих произведений оказались отрицательными. Сколько нулей среди 10 написанных на доске чисел?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: В
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Солдаты Аким, Борис, Василий и Макар выстроились по росту: впереди — самый высокий, последний — самый низкий. Все смотрят вперёд на командира. Известно следующее:
- сразу перед Василием стоит Борис;
- сразу после Акима стоит Макар;
- Аким — не первый и не последний

Отметьте все верные утверждения:
1. Василий выше Акима
2. Аким выше Бориса
3. Василий не выше Бориса
4. Макар не ниже Бориса
5. Аким выше Макара
6. Василий не ниже Макара


Сразу перед Василием стоит Борис, значит, В и Б стоят рядом в таком порядке БВ (командир слева). Сразу после Акима стоит Макар, значит, А и М стоят рядом в таком порядке АМ. Если бы Аким с Макаром стояли перед Василием с Борисом, Аким был бы первым. Нам известно, что Аким не первый, значит, сначала стоят БВ, а за ними АМ: БВАМ.
1. Василий выше Акима — верно
2. Аким выше Бориса — неверно
3. Василий не выше Бориса — верно
4. Макар не ниже Бориса — неверно
5. Аким выше Макара — верно
6. Василий не ниже Макара — верно
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 4 тур

Задача:
Дана доска 9 × 9. В середине доски стоит фишка. Костя и Никита играют в игру, по очереди передвигают фишку в соседнюю по стороне клетку. Но нельзя сразу делать ход, противоположный ходу соперника, то есть, если соперник сходил вниз, то сразу после этого хода нельзя ходить вверх, если соперник ходил влево, нельзя сразу после этого хода ходить вправо и т.д. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в клетку, в которой она уже была. Начинает Костя. Кто может всегда выигрывать в этой игре и как он должен для этого играть?

Выигрывает второй. Допустим первый ход был вверх, тогда нужно сходить вправо. Противник не может пойти вниз, так как соперник тут же выиграет, ему приходится ходить опять вверх. Так будет продолжаться до тех пор, пока фишка не окажется в угловой клетки, из которой первому игроку придётся по правилам сделать один возможный ход (вниз), при том проигрышный.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 6 тур

Задача:
Когда Никита Андреевич учился в 5, 6 и 7 классах, он ещё читал книги. За время своего обучения в 5 и 6 классах он прочитал в 2 раза меньше книг, чем за время обучения в 6 и 7 классах. При этом за 7-й класс он прочитал на 20 книг больше, чем за 6-й класс. Сколько книг Никита Андреевич прочитал за 5-й класс?

Приведем пример решения с использованием уравнений, ясно, что дети могут провести подобные рассуждения используя навыки, приобретенные на занятии по теме «Части». Пусть за 6-й класс 𝑥 книг прочитано, тогда вместе за 6-й и 7-й класс прочитано 𝑥 + 𝑥 + 20, что должно быть в 2 раза больше, чем за 5-й и 6-й, то есть за 5-й и шестой прочитано ровно (2𝑥 + 20) : 2 = 𝑥 + 10, но лишь за один 6-й класс прочитано 𝑥 книг, значит, за 5-й прочитано 10.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
В числовом ребусе ГНОМ + ГНОМ = СКАЛА разные буквы обозначают разные цифры. Какую цифру обозначает буква Г, если М = 3?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: 7
Решение:
По условию М = 3, тогда из М + М = А получаем, что А = 6.
Из Н + Н = ∗6 получаем, что Н = 8, т.к. цифра 3 уже занята.
Значит, Г может принимать одно из значений 5, 7 или 9.
Заметим, что Г + Г + 1 = СК. Единица — это звёздочка ∗ из предыдущего разряда 8 + 8 = 16.
Если Г = 5, то Г + Г + 1 = 11, то есть СК = 11, что невозможно, т.к. должны быть разные цифры.
Если Г = 9, то Г + Г + 1 = 19, то есть СК = 19, не подходит, К не может быть 9, т.к. Г = 9.
Если Г = 7, то Г + Г + 1 = 15, подходит.
Ответ на числовой ребус: 7823 + 7823 = 15646.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Двенадцать чисел 1, 2, 3, …, 12 записаны по кругу так, что разность любых двух соседних чисел равна 1 или 2. Какие два числа стоят рядом?
(А) 5 и 6
(Б) 10 и 9
(В) 8 и 10
(Г) 6 и 7
(Д) 4 и 3

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Пусть а ≠ 0, а ≠ 1, а ≠ –1. Какое число из набора $\displaystyle \frac{1}{a}$, $\displaystyle \frac{1}{a + 1}$, $a$, $- a$ не может быть самым большим в этом наборе?
(А) $а$
(Б) $- а$
(В) $\displaystyle \frac{1}{a}$
(Г) $\displaystyle \frac{1}{a + 1}$
(Д) каждое может

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа 𝑘 и их пронумеровал: первый, второй, ….
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число 𝑘.
Сколько натуральных делителей имеет число 𝑘?

Ответ: 18.
Решение:
Пусть натуральные делители числа $k$ упорядочены так:
$$ 1=d_1<d_2<\ldots<d_6<\ldots<d_{13}<\ldots<d_{m-1}<d_m=k $$
Заметим, что числа
$$ k=\frac{k}{d_1}>\frac{k}{d_2}>\ldots>\frac{k}{d_6}>\ldots>\frac{k}{d_{13}}>\ldots>\frac{k}{d_{m-1}}>\frac{k}{d_m}=1 $$
также являются делителями числа $k$, они различны, и их столько же. Значит, это те же самые числа, только в обратном порядке. Получаем, что
$$ d_1=\frac{k}{d_m}, d_2=\frac{k}{d_{m-1}}, \ldots, \quad d_m=\frac{k}{d_1} $$
Таким образом, делители разбиваются на пары «противоположных», дающих в произведении исходное число $k$:
$$ k=d_1 \cdot d_m=d_2 \cdot d_{m-1}=\ldots $$
В каждой такой паре сумма индексов делителей равна $m + 1$. Поскольку по условию $d_6 \cdot d_{13} = 𝑘$, получаем, что $m$ = 6 + 13 − 1 = 18.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
На доске написаны примеры на сложение. Учительница заменила одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы — разными цифрами. Оказалось, что:
К + Л + М + Р + С + Т + К + Л + М = 32
Н + О + П + Р + С + Т + Н + О + П = 50
Чему может быть равно К + Л + М + Р + С + Т + Н + О + П?

Ответ: 41.
Решение:
Разобьём все суммы на более мелкие части. Тогда получим части КЛМ (К + Л + М), НОП (Н + О + П) и РСТ (Р + С + Т).
По условию КЛМ + КЛМ + РСТ = 32, а НОП + НОП + РСТ = 50. Значит НОП + НОП больше, чем КЛМ + КЛМ на 50 − 32 = 18. Но тогда НОП больше, чем КЛМ на 18 : 2 = 9. Следовательно, К + Л + М + Р + С + Т + Н + О + П = 41. Такое возможно, например:
1 + 3 + 7 + 8 + 2 + 0 + 1 + 3 + 7 = 32
9 + 6 + 5 + 8 + 2 + 0 + 9 + 6 + 5 = 50
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Блоха прыгает по длинной лестнице. Она может прыгать или на 3 ступеньки вверх, или на 4 ступеньки вниз. За какое наименьшее число прыжков она может перебраться с земли на 22-ю ступеньку?
(А) 7
(Б) 9
(В) 10
(Г) 12
(Д) 15

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2012 год, 1 вариант

Задача:
Вася перемножил одну четвёрку и 27 девяток, а Петя — 55 троек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

Ответ: У Васи число больше.
Решение:
Так как две тройки в произведении дают 9, то произведение 55 Петиных троек то же самое, что произведение одной тройки и 27 девяток. Так как произведение тройки и 27 девяток меньше, чем произведение четвёрки и 27 девяток, то Петино число меньше.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2021 год

Задача:
Три девочки и два мальчика танцуют парами так, чтобы каждая девочка протанцевала с каждым мальчиком ровно минуту. На танцполе всегда была только одна пара. Сколько минут они танцевали?
(А) 5
(Б) 6
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Б
Одна девочка танцует с двумя мальчиками по очереди 2 минуты, а три девочки - 6 минут, поскольку на танцполе всегда только одна пара.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Петя прибавляет различные однозначные числа к числу 96. Сколько раз он получит трёхзначное число?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Какое наименьшее количество карточек с цифрами (по одной цифре на каждой) надо иметь, чтобы можно было выложить любые четыре различных числа от 1 до 300 одновременно? (Карточки с цифрой 6 можно использовать и для обозначения цифры 9.)
(А) 16
(Б) 68
(В) 74
(Г) 90
(Д) 160

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
В 3 часа Вася заметил, что стрелки часов образуют прямой угол, и стал ждать, когда это произойдёт в следующий раз. Сколько времени он ждал?
(А) 30 минут
(Б) 31 минуту
(В) 65 минут
(Г) 6/11 часа
(Д) 12/23 часа

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Какое наименьшее количество букв нужно вычеркнуть из фразы ВИВАТ КЕНГУРУ, чтобы оставшиеся буквы были различны и шли слева направо в алфавитном порядке?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он выписал словами все двузначные числа, в записи которых нет нулей. Среди них он выбрал число, для записи которого потребовалось наименьшее количество букв. Сколько букв в записи этого числа?
(А) 8
(Б) 9
(В) 12
(Г) 13
(Д) 14

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Таша и Яша искали орехи и похвастались друг другу, кто сколько нашёл. При этом Таша преувеличила количество найденных орехов в 2 раза, Яша – в 7 раз, а в сумме получилось втрое больше орехов, чем на самом деле. Кто нашёл больше орехов и во сколько раз?

Ответ: Таша нашла в 4 раза больше орехов, чем Яша.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Площадь выпуклого четырёхугольника равна 0,001 см^2. Известно, что все его стороны и диагонали имеют длину не меньше 1 см, причём ровно k из них равны 1 см. Чему равно наибольшее возможное значение k ?
(А) 0
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) таких четырёхугольников не существует

Ответ: (Б) 3
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2012 год

Задача:
Вася перемножил двенадцать четвёрок, а Петя — двадцать пять двоек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

Ответ: У Пети.
Решение:
Так как две двойки в произведении дают 4, то произведение 12 Васиных четвёрок то же самое, что произведение 24 двоек. А так как Петя перемножил 25 двоек (25 > 24), то и результат у него получился больше (в два раза).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Человек Рассеянный с улицы Бассейной уверен, что его часы спешат на 30 минут, а на самом деле они отстают на 20 минут. Он торопится на поезд, который отправляется в 20 часов 20 минут. В какое время прибежал он на перрон (и сел в отцепленный вагон), если ему кажется, что он пришёл точно к отправлению?
(А) 19 часов 50 минут
(Б) 20 часов 50 минут
(В) 21 час 00 минут
(Г) 21 час 10 минут
(Д) 21 час 30 минут

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Сторож работает 4 дня, а на пятый день отдыхает. Он отдыхал в воскресенье и начал работу в понедельник. Сколько дней он проработает до того, как его отдых снова придётся на воскресенье?
(А) 4
(Б) 24
(В) 28
(Г) 32
(Д) 35

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Какую цифру надо приписать к числу 25771, чтобы получившееся шестизначное число делилось на 12?
(А) 8
(Б) 6
(В) 4
(Г) 2
(Д) 0

Ответ: (Г) 2
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Сумма трёх чисел равна 136,5. Если первое число умножить на 8, второе — на 4, третье — на 6, то полученные произведения окажутся равными. Найдите удвоенное первое число.

Ответ: 63.
Решение:
Пусть х – значение равных произведений, тогда х / 8 – первое число, х / 4 – второе число, х / 6 – третье число.
x / 8 + х / 4 + х / 6 = 136,5
13х = 3276
х = 252
x / 8 = 31,5 – это первое число
63 – удвоенное первое число.
Олимпиада «Осенний Олимп», 1 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Волк спросил Ниф-Нифа и Нуф-Нуфа: «Сколько брёвен пошло на постройку дома Наф-Нафа?»
- «Больше 7», — ответил Ниф-Ниф.
- «Не меньше 10», — уточнил Нуф-Нуф.

Чтобы запутать Волка, один из поросят сказал правду, а один соврал.
Сколько брёвен могло пойти на постройку дома Наф-Нафа? Укажите все возможные варианты.

Если бы Ниф-Ниф сказал неправду, то брёвен было бы одновременно:
- не больше 7
- не меньше 10

Но такого не бывает. Значит, Ниф-Ниф солгал, а правду сказал Нуф-Нуф.
Поэтому брёвен:
- больше 7
- меньше 10

То есть брёвен либо 8, либо 9.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2006 год, 2 тур

Задача:
В детском саду дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика пряников либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могут ли они все вместе иметь ровно 2006 пряников?

Ответ: не могут.
Решение:
У каждой пары ребят число пряников кратно трём. Значит, общее количество пряников делится на 3. Но 2006 на 3 не делится.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
Бабушка украсила 8 коржиков изюмом и 7 коржиков орехами. Всего она украсила 11 коржиков. Сколько коржиков украшены и изюмом, и орехами?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 7

Ответ: (Г) 4
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели 86 конфет, причём каждый из них съел не менее 5 конфет. Известно, что:
- Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;
- Крош и Ёжик суммарно съели 53 конфеты.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ: 28.
Решение:
Крош или Ёжик съел хотя бы 27 конфет (иначе они суммарно съели бы не более 26 + 26 = 52 конфет), тогда Нюша съела хотя бы 28 конфет. Учитывая, что Бараш съел хотя бы 5 конфет, получаем, что суммарно все они съели хотя бы 53 + 28 + 5 = 86 конфет. Следовательно, такое возможно, только если Нюша съела ровно 28 конфет, а Бараш — ровно 5 конфет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
В произведении К × Е × Н × Г × У × Р × У буквами зашифрованы некоторые цифры (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а разные – разными). Чему равна цифра единиц этого произведения, если известно, что оно не делится на 4?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 5
(Д) невозможно определить

Ответ: А