d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2020 год

Задача:
Ровно в четверти всех хозяйств посёлка Н имеется не менее трёх коров в каждом. Ещё в четверти всех хозяйств по две коровы в каждом. В каждом из остальных хозяйств по одной корове. Всего коров в посёлке 17.
Сколько в посёлке Н могло быть хозяйств? Укажи все варианты.

Ответ: 4 или 8.
Решение:
Допустим, что четверть хозяйств — это 𝑥 хозяйств. Тогда коров всего не менее З𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 = 7𝑥. То есть 17 ≥ 7𝑥, откуда 𝑥 = 1 или 𝑥 = 2. Поэтому в посёлке 4 хозяйства или же 8 хозяйств (для каждого из этих случаев можно привести соответствующий пример).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Сотрудники фирмы «Бурундук» уходят в отпуск на целый месяц, если этот месяц начинается и кончается одним и тем же днём недели. Сколько месяцев будут отдыхать сотрудники фирмы с 1 января 2005 года по 31 декабря 2015 года?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 11
(Д) 132

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Если ${2^3}^a$ = ${8^3}^b$‚ то обязательно
(А) a = 3b
(Б) a = b + 3
(В) a = 4b
(Г) a = b + 1
(Д) b = a + 1

Ответ: (Г) a = b + 1
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2019 год

Задача:
Дядя Фёдор сообщил Шарику двузначное число. Шарик выяснил: если это число умножить на 3, то получится двузначное число, а если из исходного числа вычесть 3, а потом разделить результат на 3, то тоже получится двузначное число. Какое число Дядя Фёдор сообщил Шарику?

Ответ: 33.
Решение:
Если после умножения на 3 двузначное число остаётся двузначным, то оно не больше 33. Если после деления на 3 двузначное число остаётся двузначным, то число, получаемое из исходного числа вычитанием 3, не меньше 30, то есть исходное число не меньше 33.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
Витя увеличивает число 2018, прибавляя за один шаг по единице. Он так делает до тех пор, пока не получит число, у которого сумма цифр меньше, чем у числа 2018. Сколько шагов он сделает?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Б
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Спортсмены Женя и Серёжа любят бегать. Серёжа бежит со скоростью 6 м/с, а Женя со скоростью 4 м/с. Пробежали 10 минут, и Серёжа обогнал Жору на 1 круг. Найдите длину круга.

Разность скоростей бегунов 6 − 4 = 2 м/с. За 10 минут Серёжа обогнал Жору на 2 · 10 · 60 = = 1200 м. Этому и равна длина круга.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2017 год

Задача:
Нечётное количество конфет попытались разложить в коробки по 46 штук, удалось заполнить только 43 коробки. Потом их попытались уложить в коробки по 43 штуки. Хватило на 47 коробок и тоже что-то осталось. Получится ли разложить конфеты поровну в 17 коробок? Ответ объясните.

Ответ: Да.
Решение:
Поскольку, раскладывая по 46 конфет, удалось заполнить только 43 коробки, то общее число конфет равно N = 46 ⋅ 43 + А, где 0 < А < 46. Аналогично N = 43 ⋅ 47 + В, где 0 < В < 43. Откуда
N = 46 ⋅ 43 + А = 43 ⋅ 47 + В = 43 ⋅ 46 + 43 + В.
То есть А = 43 + В. При этом известно, что А < 46, то есть В = 1 или 2. По условию N – нечётно, поэтому В должно быть чётно. Следовательно В = 2 и общее количество конфет равно 43 ⋅ 47 + 2 = 2023, что делится на 17 (2023 = 119 ⋅ 17).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
Нынешний 2012 год записывается четырьмя цифрами: 0, 1, 2 и 2. Сколько ещё раз в будущем год будет записываться теми же четырьмя цифрами?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 8

Ответ: (Г) 5
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
Леночка составляет трёхзначное число. Сначала она записывает цифры в разряды единиц и десятков. Если сумма этих двух цифра меньше или равна 5, то Леночка записывает в разряд сотен чётную цифру, в ином случае — нечётную. Сколько трёхзначных чисел может получиться у Леночки?

Последними двумя цифрами получившегося числа может быть любая комбинация от 00 до 99 — это 100 вариантов. Из них сумму цифр меньше или равную 5 имеют: 00, 01 и 10, 02 и 20, 03 и 30, 04 и 40, 05 и 50, 11, 12 и 21, 13 и 31, 14 и 41, 22, 23 и 32 — 21 вариант, и для каждого из них в разряд сотен можно записать любую из 4 цифр: 2. 4, 6 или 8. Получается 21 · 4 = 84 варианта. Остались ещё 100 − 21 = 79 вариантов, когда сумма последних двух цифр больше 5, для каждого из них в разряд сотен можно записать любую из 5 цифр: 1, 3, 5, 7 или 9. Получится 79 · 5 = 395. Всего 84 + 395 = 479 вариантов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап

Задача:
На доске в строчку выписаны семь красных целых чисел, среднее арифметическое которых равно 18. Паша собирается записать под каждым красным числом синее целое число, отличающееся от него не более чем на 3 (возможно, равное красному). Сколько различных значений (не обязательно целых) может принимать среднее арифметическое семи синих чисел?

Ответ: 43.
Решение:
Поскольку количество синих чисел равно 7, то различные значения среднего арифметического соответствуют различным значениям суммы чисел. Поймём, сколько различных значений суммы синих чисел могло получиться.
Сумма красных чисел равна 7⋅18 = 126. Поскольку синие числа отличаются от красных не более чем на 3, то сумма синих чисел не меньше 126 − 7⋅3 = 105 и не больше 126 + 7⋅3 = 147. Кроме того, поскольку синие числа целые, то и их сумма тоже целая. Значит, для неё возможно только 147 − 105 + 1 = 43 разных значения.
Докажем, что все эти значения реализуются. Для этого возьмём набор синих чисел, в котором все синие числа на 3 меньше соответствующих красных, тогда сумма синих чисел равна 105. Далее на каждом шаге будем увеличивать на 1 какое-то синее число, которое ещё можно увеличить (например, самое левое синее из возможных). Такой процесс остановится тогда, когда каждое синее число будет на 3 больше соответствующего красного, т.е. когда сумма синих чисел станет равна 147. Так как на каждом шаге сумма синих чисел увеличивалась на 1, то она принимала все 43 значения, от 105 до 147 включительно.
Замечание: На самом деле среднее арифметическое красных чисел не влияет на ответ.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Если −2 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 7, 4 ≤ z ≤ 8 и w = xy − z, то наименьшее возможное значение w равно
(А) −43
(Б) −23
(В) −22
(Г) −2
(Д) 2

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Через 5 лет возраст брата будет относиться к возрасту сестры, как 7 : 5. Сколько лет брату в настоящее время, если год назад брат был вдвое старше сестры?

Ответ: 9 лет.
Решение:
Пусть год назад сестре было х лет, тогда брату – 2х лет.
Сейчас сестре (х + 1) лет, а брату (2х + 1) лет.
Через 5 лет сестре будет (х + 6) лет, а брату (2х + 6) лет.
(2х + 6) / (х + 6) = 7 / 5
х = 4
2х = 8
Сейчас брату 2х + 1 = 9 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Пусть $x>1$ и $0<y<1$. Какое из следующих чисел самое маленькое?
(А) $xy$
(Б) $\displaystyle \frac{x}{y}$
(В) $\displaystyle \frac{y}{x}$
(Г) $\displaystyle \frac{x^2}{y^2}$
(Д) $\displaystyle \frac{y^2}{x^2}$

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Андрей и Коля не ровесники, но в декабре 2021 года каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Сколько лет им исполнилось?

Ответ: 7 и 25.
Решение:
Обозначим год рождения $\overline{a b c d}$, тогда $2021 − \overline{a b c d} = a + b + c + d$, или $1001 a + 101 b + $ $11 c + 2 d = 2021$.
При $a = 2$ получаем $101 b + 11 c + 2 d = 19$, то есть $b = 0$, $11 c + 2 d = 19 $. Цифра $c$ должна быть нечётной и не больше 1, то есть $c = 1$, тогда $d = 4$, $\overline{a b c d} = 2014$.
При $a = 1$ получаем $101 b + 11 c + 2 d = 1020$, $11 c + 2 d \leq 99 + 18 = 117$, то есть $101 b \geq 903$, откуда $b = 9$, $11 c + 2 d = 111$. При этом $11 c \geq 93$, значит, $d = 9$. Тогда $d = 6$, $\overline{a b c d} = 1996$.
Проверка:
1. $2021 − 2014 = 7$, сумма цифр числа 2014 равна 7.
2. $2021 − 1996 = 25$, сумма цифр числа 1996 равна 25.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Сколько процентов среди целых чисел от 1 до 10000 составляют квадраты?
(А) 0,5%
(Б) 1%
(В) 2,5%
(Г) 2%
(Д) 20%

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Если сумма трёх последовательных положительных целых чисел равна 99, то произведение цифр первого из них равно:
(А) 0
(Б) 3
(В) 6
(Г) 9
(Д) 12

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Дима и Лена, ни на что не отвлекаясь, начали одновременно есть чипсы из одной большой пачки (каждый со своей постоянной скоростью). Если бы Дима ел со скоростью Лены, то чипсы бы они ели на 3 минуты дольше, а если бы Лена ела со скоростью Димы, то чипсы они бы съели на 2 минуты быстрее. За какое время Дима и Лена съели все чипсы?

Ответ: 12 минут.
Решение:
Пусть Дима ест чипсы со скоростью $d$ чипсов в минуту, Лена — со скоростью $b$ чипсов в минуту, а время, за которое Дима и Лена съедят все чипсы составляет $t$ минут. (Все переменные — положительные, не обязательно целые числа.) Тогда имеем систему:
$$ \left\{\begin{array}{l} (d + b) \cdot t = 1 \\ (b + b) \cdot(t + 3) = 1 \\ (d + d) \cdot(t − 2) = 1 . \end{array}\right. $$
Сложим второе уравнение с третьим, получим $2(b + d) t + 6 b − 4 d = 2$, откуда, учитывая равенство $(b + d) t = 1$, получаем $d = 1,5 b$. Теперь первое уравнение принимает вид $2,5 b t = 1$, а второе (после раскрытия скобок) $2 b t + 6 b = 1$, откуда $\displaystyle \frac{2}{2,5} + 6 b = 1$ и $\displaystyle b = \frac{1}{30}$. Тогда $\displaystyle t = \frac{1}{2,5 b} = 12$.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
В лесу живут эльфы и гномы. Однажды 60 жителей этого леса встали в ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов могло быть от 0 до 60 включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от 0 до 60 включительно.) Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:
- «Мой сосед справа — эльф».
- «Мой сосед справа — в колпаке».

Известно, что эльфы без колпаков всегда говорят правду, а эльфы в колпаках всегда лгут. У гномов всё наоборот: гномы без колпаков всегда лгут, а гномы в колпаках всегда говорят правду.
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?


Ответ: а) 59. б) 30.
Решение:
а) Заметим, что самый правый житель не может говорить правду, ведь правее него никого нет. Это значит, что он не может быть эльфом без колпака, поэтому всего эльфов без колпаков не более 59.
Теперь приведём пример ситуации, когда эльфов без колпаков ровно 59. Пусть самый правый житель — это эльф в колпаке, а остальные 59 — это эльфы без колпака. Пусть все говорят фразу «Мой сосед справа — эльф». Тогда эльфы без колпаков говорят правду, а эльф в колпаке лжёт.
б) Заметим, что среди любых двух соседей не может быть двух эльфов в колпаках. Действительно, если это так, то левый из них точно сказал бы правду. Но такого не может быть, ведь эльфы в колпаках всегда лгут.
Разобьём всех жителей на 30 пар соседей. В каждой из этих пар не больше одного эльфа в колпаке, поэтому всего эльфов в колпаках не больше 30.
Теперь приведём пример ситуации, когда эльфов в колпаках ровно 30. Пусть чередуются гномы в колпаках и эльфы в колпаках, причём самый левый житель — гном. Пусть все говорят фразу «Мой сосед справа — эльф». Тогда гномы в колпаках говорят правду, а эльфы в колпаках лгут.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Если к 2005 прибавить 2005 сотых, то получится:
(А) 2025,05
(Б) 2005,2005
(В) 2005,02005
(Г) 2007,05
(Д) 2205,5

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
На берегу озера стоят три домика: Совы, Кролика и Винни-Пуха. По берегу озера идёт круговая дорога. Пятачок посадил дуб ровно посередине между домиками Совы и Кролика. А ровно посередине между домиками Винни-Пуха и Кролика в улье живут пчелы. Сейчас Пятачок стоит ровно посередине между домиками Совы и Винни-Пуха. Если он пойдёт к дубу, зайдя по дороге в гости к Сове, то пройдёт 17 км, а если пойдёт к дубу, зайдя в гости к Винни-Пуху и Кролику, то пройдёт 35 километров. Каково расстояние по дороге от домика Винни-Пуха до улья?

Ответ: 9км.
Решение:
Разница в длине между двумя разными маршрутами Пятачка до дуба равна расстоянию от домика Кролика до домика Винни-Пуха. Следовательно, расстоянию от домика Кролика до домика Винни-Пуха равно 18 км (35 км-17 км). Расстояние от Винни-Пуха до Улья равно половине предыдущего расстояния, т.е. 9 км.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Коля играет на компьютере каждый день по 40 минут, а Вася — по 5 часов в неделю (больше родители не разрешают). Кому из мальчиков за неделю удается больше времени поиграть на компьютере и на сколько?
(А) Коле больше на 40 минут
(Б) Васе больше на 20 минут
(В) Васе больше на 40 минут
(Г) Коле больше на 20 минут
(Д) поровну

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
У Тани и её родителей общий день рождения — 1 января. В январе 2007 года Таня была в 6 раз младше своей мамы, а в январе 2008 — в 6 раз младше папы. На сколько лет папа старше мамы?
(А) 1
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Костя Сергеев из 7А класса и 8 его друзей из той же школы отправились в поход. Среди любых четырёх туристов обязательно есть одноклассники, а среди любых пяти — не больше, чем три одноклассника. Сколько учеников 7А класса пошли в поход?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 1
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Прямые y = ax, y = bx и y = cx + d образуют треугольник, целиком лежащий в первой четверти. Что невозможно?
(А) c < 0 и d < 0
(Б) c > 0 и d < 0
(В) c < 0 и d > 0
(Г) c > 0 и d > 0
(Д) всё перечисленное возможно

Ответ: (А) c < 0 и d < 0
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2015 год

Задача:
У Егора есть шоколадки и карамельки. Если мама даст ему ещё 10 карамелек, то карамелек станет вдвое больше, чем шоколадок. Егор задумался, сколько шоколадок он должен подарить Виталику, чтобы среди оставшихся конфет карамелек также стало вдвое больше, чем шоколадок. Помогите Егору решить эту проблему

Ответ: 5 шоколадок.
Решение:
Пусть у Егора К карамелек и Ш шоколадок. Если после получения 10 карамелек их станет в 2 раза больше, это значит, изначально их число было чётное (К – чётное) и карамельки можно разложить на две кучки по 5 + половина К. Тогда шоколадок столько, сколько конфет в одной кучке, то есть 5 + половина К. Поэтому, если Егор отдаст 5 шоколадок, то шоколадок как раз и останется половина К, что и требовалось.
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Сейчас 2022 год. Через сколько лет будет ближайший год с такой же суммой цифр, и в записи которого могут быть использованы цифры 0, 1, 2 и 3?

Ответ: 2031 год будет через 9 лет
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Числа a, b, c и d таковы, что a − 1 = b + 2 = c − 3 = d + 4. Какое из этих чисел наибольшее?
(А) a
(Б) b
(В) c
(Г) d
(Д) невозможно определить

Ответ: (В) c
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Сколько трёхзначных чисел обладает следующим свойством: если из такого числа вычесть 297, то получится трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке?
(А) 6
(Б) 7
(В) 10
(Г) 60
(Д) 70

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год

Задача:
Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25. Найдите все восхитительные числа.

Ответ: 5875 и 8575.
Решение:
Сумма цифр четырёхзначного числа не превосходит 36, поэтому у восхитительного числа она должна быть равна 25.
Поскольку восхитительное число делится на 25, оно оканчивается либо на 00, либо на 50, либо на 25, либо на 75.
Если четырёхзначное число оканчивается на 00 или 50, то его сумма цифр не превосходит 9 + 9 + 5 = 23, что нас не устраивает.
Если восхитительное число оканчивается на 25, то сумма первых двух цифр должна быть равна 18. Тогда это может быть только число 9925, но у него произведение цифр не делится на 25.
Значит, восхитительное число может оканчиваться только на 75. При этом сумма первых его двух цифр равна 13, а их произведение должно делиться на 5. Тогда эти две цифры — 5 и 8 (в любом порядке).
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Вася и Петя в 10:00 вышли из своих домиков и побежали друг к другу в гости по одной и той же прямой дороге с постоянными скоростями. Из-за густого тумана они не заметили друг друга, когда встретились и побежали дальше. Через 6 минут после встречи Вася добежал до домика Пети, а через 18 минут после этого Петя добежал до домика Васи. Во сколько Петя обнаружил, что Васи нет дома? Ответ запишите в формате hh:mm.

Ответ: 10:36.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
В отличие от неравенства 2010 < 2011, неравенство 2010 ≤ 2011 называется
(А) слабым
(Б) нестрогим
(В) неточным
(Г) мягким
(Д) несерьезным

Ответ: (Б) нестрогим
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
В школе танцев сначала занималось 60 мальчиков и 20 девочек. Каждую неделю в школу приходит три новых девочки, а два мальчика бросают занятия. Сколько учеников будет в этой школе, когда число мальчиков и девочек сравняется?
(А) 90
(Б) 88
(В) 80
(Г) 72
(Д) 60

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок празднует свой день рождения 4-го февраля. Чтобы хорошо отдохнуть, он лёг спать в полдень 17 января. В полдень в среду он проснулся, сразу же заснул снова, проспал в два раза дольше и проснулся в полдень 4-го февраля. На какой день недели приходится день рождения бельчонка?

Ответ: Понедельник.
Решение:
Всего бельчонок спал в течение 18 полных суток, значит, просыпался он после 6 суток, то есть 23 января, это и есть среда. Следовательно, 30 января опять среда, 31 января четверг, а 4 февраля — это понедельник.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Какой результат не может получиться, если перемножить три однозначных числа?
(А) 288
(Б) 125
(В) 72
(Г) 63
(Д) 39

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Аня хочет вставить цифру 3 в число 2014 так, чтобы получившееся пятизначное число было как можно меньше. Где она должна написать цифру 3?
(А) перед цифрой 2
(Б) между цифрами 2 и 0
(В) между цифрами 0 и 1
(Г) между цифрами 1 и 4
(Д) после цифры 4

Ответ: (Г) между цифрами 1 и 4
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Катя и её друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребёнка — одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

Если у кого-то из Катиных друзей соседи того же пола, то очевидно, что все стоящие в кругу одного пола. Значит, мальчики и девочки чередуются и следовательно, девочек столько же, сколько и мальчиков — 5.
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2020 год

Задача:
Доярка Авдотья, работая в коровнике, увидела большую тучу и побежала в дом. Когда она была на половине дистанции, её увидела доярка Прасковья, работавшая в этот момент в том же коровнике, и тоже побежала в дом. В итоге доярки добежали до дома с интервалом в 200 секунд, а за 50 секунд до того, как первая из доярок вбежала в дом, расстояние между доярками равнялось расстоянию от дома до ближайшей доярки.
Найдите возможные скорости доярок, если от коровника до дома 1 километр.

Пусть скорость Авдотьи равна $a$ метров в секунду, а скорость Прасковьи — $p$ метров в секунду. Рассмотрим два возможных варианта.
А) До дома первой добежала Авдотья.
Тогда
- $(500 / a)+200=(1000 / p)$
- $2 \cdot 50 a=(200+50) p$

Из второго равенства получаем $2 a=5 p$. Подставляя это в первое равенство, получаем
$$ 200=800 / p $$
откуда находим $p=4$ и $a=10$. Тот самый момент за 50 секунд до вбегания Авдотьи в дом — это момент старта Прасковьи.
Б) До дома первой добежала Прасковья.
1) Подслучай №1
Если упомянутый момент равенства расстояний был, когда Прасковья была между Авдотьей и домом. Тогда
- $(1000 / p)+200=(500 / a)$
- $2 \cdot 50 p=(200+50) a$

Из второго равенства находим $2 p=5 a$. Подставляя это в первое равенство, получаем
$$ 200=100 / a $$
откуда $a=0.5$ и $p=1.25$.
2) Подслучай №2
Если упомянутый момент равенства расстояний был моментом старта Прасковьи. Тогда
- $(1000 / p)+200=(500 / a)$
- $50 p / 2=(200+50) a$

откуда $p=10 a$, $a=2$ и $p=20$ (впрочем, скорость Прасковьи можно было и так найти, поделив 1000 метров на 50 секунд).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
На острове было 2013 жителей. Некоторые из них рыцари, а остальные — лжецы. Рыцари говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Каждый день один из жителей произносил: «Когда я уеду, на острове станет поровну рыцарей и лжецов». Сказав это, он покидал остров. Никто из них не возвращался, и после 2013 дней на острове никого не осталось. Сколько рыцарей было на острове сначала?
(А) 671
(Б) 1006
(В) 1007
(Г) 2012
(Д) 2013

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Серёжа любит подсчитывать сумму цифр на табло электронных часов. Например, если часы показывают 21:17, он получает сумму 11. Какую наибольшую сумму он может получить?
(А) 19
(Б) 23
(В) 24
(Г) 25
(Д) 36

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Целые числа от 1 до 2006 написаны на доске. Питер подчеркнул все числа, делящиеся на 2, затем все числа, делящиеся на 3, а затем все числа, делящиеся на 4. Сколько чисел подчёркнуто ровно 2 раза?
(А) 1003
(Б) 1002
(В) 501
(Г) 334
(Д) 167

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
В примере на умножение КЕН × ГА = 7632 использованы все цифры от 1 до 9, каждая по одному разу. Какую цифру заменяет буква Е?
(А) 1
(Б) 4
(В) 5
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 7 тур

Задача:
На какое наименьшее натуральное число надо умножить число 10203040506070809, чтобы получилось число без нулей?

Если число меньше или равно 5, то во фрагменте «102» после умножения останется или появится нуль. Если число равно 6, то нуль появится после умножения фрагмента «05». При умножении на 7 получим число без нулей (чтобы был нуль, нужно 7 умножить на 10𝑘).
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2014 год, 1 вариант

Задача:
Три лисы: Алиса, Лариса и Инесса разговаривали на полянке.
- Лариса: «Алиса не самая хитрая».
- Алиса: «Я хитрее Ларисы».
- Инесса: «Алиса хитрее меня».

Известно, что самая хитрая лиса солгала, остальные сказали правду.
1. Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
2. Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.


Ответ: а) Не может, б) Инесса.
Решение:
а) Алиса не может быть самой хитрой, т.к. если она сама хитрая, то она хитрее Ларисы, т.е. Алиса сказала правду. Но самая хитрая лиса должна была солгать.
б) Самая хитрая лиса Инесса. Докажем это. Мы уже получили в пункте а), что Алиса не может быть самой хитрой лисой. Лариса тоже не может быть самой хитрой, т.к. она сказала правду про Алису, а самая хитрая лиса должна была солгать. Поэтому остался только один вариант: самая хитрая — Инесса.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 1 тур

Задача:
На доске написано записано число. Каждую секунду происходит следующее: сначала последнюю цифру числа на доске стирают, затем к оставшемуся числу прибавляют удвоенную стертую цифру и полученную сумму записывают на доску, полностью стирая старое число. Например, если на доске в какой-то момент появилось число 123, то после него на доске появится число 12 + 3 ⋅ 2 = 18; а если было число 20, то вместо него на доске появится число 2 + 0 ⋅ 2 = 2. Какое число будет на доске через час, если сначала записать на доску число 1102?

Решение:
Построим эту последовательность: 1102, 114, 19, 19, 19, …. Видно, что через несколько ходов на доске появляется число 19, после чего число на доске не изменяется ход от хода. Значит, и через час на доске будет число 19.