d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2023 год

Задача:
В течение учебного полугодия на уроках математики учеников 4 «А» класса вызывали к доске суммарно 84 раза. Все мальчики выходили к доске одинаковое число раз, и все девочки — одинаковое число раз, но на 1 меньше, чем мальчики.
Какое наименьшее количество детей могло учиться в этом классе, если известно, что мальчики выходили к доске суммарно столько же раз, сколько и девочки?

Ответ: 13 детей.
Решение:
Заметим, что все мальчики суммарно выходили к доске 84 ∶ 2 = 42 раза — столько же раз и все девочки суммарно выходили к доске. Чтобы понять, сколько раз мог выходить один мальчик и одна девочка, выпишем все делители числа 42 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Нам нужно выбрать два из них так, чтобы они отличались ровно на 1 (меньшее число будет количеством выходов к доске девочки, а большее число — мальчика). Есть три случая:
-  Каждая девочка вышла к доске 1 раз, а каждый мальчик — 2 раза. Тогда в классе всего 42 ∶ 1 = 42 девочки и 42 ∶ 2 = 21 мальчик — суммарно 63 ученика.
-  Каждая девочка вышла к доске 2 раза, а каждый мальчик — 3 раза. Тогда в классе всего 42 ∶ 2 = 21 девочка и 42 ∶ 3 = 14 мальчиков — суммарно 35 учеников.
-  Каждая девочка вышла к доске 6 раз, а каждый мальчик — 7 раз. Тогда в классе всего 42 ∶ 6 = 7 девочек и 42 ∶ 7 = 6 мальчиков — суммарно 13 учеников.

Каждая девочка вышла к доске 1 раз, а каждый мальчик — 2 раза. Тогда в классе всего 42 ∶ 1 = 42 девочки и 42 ∶ 2 = 21 мальчик — суммарно 63 ученика.
Каждая девочка вышла к доске 2 раза, а каждый мальчик — 3 раза. Тогда в классе всего 42 ∶ 2 = 21 девочка и 42 ∶ 3 = 14 мальчиков — суммарно 35 учеников.
Каждая девочка вышла к доске 6 раз, а каждый мальчик — 7 раз. Тогда в классе всего 42 ∶ 6 = 7 девочек и 42 ∶ 7 = 6 мальчиков — суммарно 13 учеников.
Наименьшее из этих чисел — 13.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
У Бельчонка есть одна монета в 5 сфунтиков, одна монета в 10 сфунтиков, одна монета в 20 сфунтиков и одна монета в 50 сфунтиков, Сколько различных сумм он может заплатить без сдачи?

Ответ: 15 сумм.
Решение:
Используя одну монетку, бельчонок сможет заплатить 4 суммы: 5, 10, 20 и 50 сфунтиков.
Используя по две монетки, он сможет заплатить суммы: 5 + 10 = 15, 5 + 20 = 25, 5 + 50 = 55, 10 + 20 = 30, 10 + 50 = 60 и 20 + 50 = 70 — ещё 6 сумм.
Используя по 3 монетки, бельчонок сможет заплатить ещё 4 суммы: 5 + 10 + 20 = 35, 5 + 10 + 50 = 65, 5 + 20 + 50 = 75 и 10 + 20 + 50 = 80.
Наконец, используя все 4 монетки сразу, она может заплатить сумму 5 + 10 + 20 + 50 = 85.
Поскольку среди этих сумм нет одинаковых, всего получаем 4 + 6 + 4 + 1 = 15 различных сумм.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3°, потом на 9°, на 27°, и т.д. (на n-м шаге его поворачивают на 3^n градусов). Сколько всего разных положений будет занимать треугольник?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 360

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Клара посчитала сумму цифр, с помощью которых записывается сегодняшняя дата: 18.02.2018 (1 + 8 + 0 + 2 + 2 + 0 + 1 + 8). Сколько в этом году дат с такой же суммой цифр?

Раз нужно найти даты в том же году, то будем рассматривать только цифры дня и месяца, их сумма равна 1 + 8 + 0 + 2 = 11. Аккуратно переберём даты по месяцам.
- В январе и в октябре таких дат только по две: 19.01, 28.01 и 19.10, 28.10.
- Далее в июле и в августе подходящих дат по четыре: 4.07, 13.07, 22.07, 31.07 и 3.08, 12.08, 21.08, 30.08.
- А в остальных месяцах по 3.

Всего 2 · 2 + 2 · 4 + 8 · 3 = 36.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
В каком из этих чисел цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц?
(А) 124
(Б) 424
(В) 753
(Г) 263
(Д) 135

Ответ: 263
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 − (2m + 1) x − 2,5 m^2 − m = 2$. Какое минимальное значение может принимать $x_1^2 + x_2^2$?

Ответ: 4.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Число 111…111 (2014 единиц) умножили на 101. Какова сумма цифр произведения?
(А) 2014
(Б) 2016
(В) 4026
(Г) 4027
(Д) 4028

Ответ: (Д) 4028
Олимпиада «Осенний Олимп», 1 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Встретились Ефим и Пахом. Один в белую рубаху одет, другой — в красную.
- «Я — в красной рубахе», — сказал Ефим.
- «Ты — в красной рубахе», — подтвердил Пахом.

Кто-то из них солгал (возможно оба).
В какой рубахе Ефим? В какой рубахе Пахом?

Если бы Ефим был одет в красную рубаху, оба собеседника сказали бы правду. Поэтому Ефим одет в белую рубаху, а в красную одет Пахом.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Пусть p – наименьшее простое число, которое равно сумме трёх различных простых чисел: p = p_1 + p_2 + p_3. Тогда произведение p_1 ⋅ p_2 ⋅ p_3 равно:
(А) 30
(Б) 165
(В) 105
(Г) 231
(Д) 385

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Если житель планеты Икс говорит правду, то его волосы окрашиваются в фиолетовый цвет, а если говорит ложь, – то в розовый цвет. Однажды два таких жителя встретились. Первый сказал: «У нас у обоих розовые волосы». А потом второй сказал: «Вот если бы мы промолчали, то у нас у обоих сейчас были бы розовые волосы». Какого цвета волосы стали у этих жителей после произнесённых фраз? (Если у жителя были розовые волосы, и он солгал, то волосы останутся розовыми. Если же волосы были фиолетовые, и он сказал правду, то останутся фиолетовыми.)

Ответ: Либо у обоих фиолетовые, либо у обоих розовые.
Решение:
Фраза второго жителя означает «Изначально у нас обоих волосы были розового цвета». Таким образом, оба жителя говорят об одном и том же. Поэтому эти фразы либо обе ложны (и тогда волосы обоих жителей станут розовыми), либо обе истинны (и тогда волосы обоих жителей станут фиолетовыми).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Сейчас 2019 год, сумма цифр этого года равна 12. Через сколько лет будет год с такой же суммой цифр?
(А) 5
(Б) 7
(В) 9
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
В корзине лежат 30 грибов — несколько белых и несколько подберёзовиков. Если мы вынем 12 грибов, то среди них обязательно будет хотя бы один белый. Если мы вынем 20 грибов, то среди них обязательно будет хотя бы один подберёзовик. Сколько белых грибов в корзине?
(А) 11
(Б) 12
(В) 19
(Г) 20
(Д) 29

Ответ: В
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Решить уравнение $x^2-x y-2 x+3 y=10$ в целых числах.

Ответ: $(10,10)$; $(-4,-2)$; $(4,-2)$; $(2,10)$.
Решение:
$ x^2-x y-2 x+3 y=10 $
Выразим в данном уравнении $y$ через $x$:
$ y(3-x)=10+2 x-x^2$,
$ \displaystyle y=\frac{x^2 − 2 x-10}{x-3}=\frac{x^2 − 2 x-3 − 7}{x-3}=\frac{(x-3)(x+1)-7}{x-3}=x+1-\frac{7}{x-3} $
Из полученного равенства видно, что дробь $ \displaystyle \frac{7}{x-3}$ должна быть целым числом. Это возможно, когда $x-3$ принимает значения ±7 и ±1.
Разбирая четыре случая, находим все пары $(x, y)$, удовлетворяющие данному уравнению: $(10,10)$; $(-4,-2)$; $(4,-2)$; $(2,10)$.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Виктор и Кирилл плавают в бассейне по соседним дорожкам. Стартуют они одновременно с противоположных концов бассейна, «встречаются» и плывут дальше. Доплыв до конца дорожки, они мгновенно разворачиваются, опять «встречаются» и так далее. Виктор проплывает дорожку за 12 мин, а Кирилл за 14 мин. Через какое время после старта Виктор впервые догонит Кирилла, плывя с ним в одном направлении?

Виктор нагонит Кирилла, плывя с ним в одном направлении, когда разница в расстоянии, которое они проплыли, станет равной равна длине дорожки. Разделим дорожку на 84 условных единиц длины. Тогда, разница в скорости Виктора и Кирилла составляет 2 единицы в минуту. Разница в 84 единиц будет покрыта через 84 : 2 = 42 мин.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Один лилипут весит один миллипуд, а Гулливер весит 100 кг. Зная, что пуд — это 16 килограммов, определите, сколько лилипутов весят столько же, сколько и Гулливер.
(А) 625
(Б) 1600
(В) 6250
(Г) 16000
(Д) 62500

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
На улице находится 7 домов, в которых живут 25 человек. В каждом доме живёт или 3, или 4 человека. В скольких домах живёт по 3 человека?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Решение:
Если бы в каждом доме жило по 3 человека, то всего в 7 домах жило бы 7 ⋅ 3 = 21 человек. Но по условию их 25. 25 − 21 = 4 – в стольких домах живут 4 человека. Тогда 3 человека живут в 7 − 4 = 3 домах.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
В выражении 5 ... 4 + 6 ... 3 вместо каждого из многоточий можно вставлять либо знак +, либо знак ×. Какой результат не может получиться?
(А) 18
(Б) 38
(В) 29
(Г) 27
(Д) 25

Ответ: 25
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Ответ: На 50%.
Решение:
1 способ.
Содержание лимонного сока в напитке после указания генерального директора снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов можно приготовить в полтора раза больше лимонного напитка. Иными словами, количество производимого лимонного напитка увеличится в полтора раза или на 50%.
2 способ.
Пусть $x$ — количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке — $0,15·x$. Пусть теперь $y$ — количество производимого напитка после указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке — $0,1·y$. Так как подразумевается, что количество лимонного сока не изменилось, получаем равенство:
$0,15·x$ = $0,1·y$
Умножив обе части этого равенства на 10, получим:
$y = 1,5·x$ или $y = x + 0,5·x$
Значит, количество производимого напитка увеличилось на 50%.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В болоте по прямой расположены 9 кочек на расстоянии 1 метр одна от другой. Бельчонок сидит на первой кочке. Он может прыгать вперёд ровно на 5 метров, и назад ровно на 3 метра. Сколько прыжков ему потребуется, чтобы попасть на последнюю кочку, и как ему надо прыгать?

Ответ: 8 прыжков.
Решение:
Бельчонок прыгнет сначала на 5 метров, потом на 3 назад (5 − 3 = 2). Затем на 5 вперёд (2 + 5 = 7). Потом будет прыгать так: 7 − 3 = 4, 4 − 3 = 1, 1 + 5 = 6, 6 − 3 = 3, 3 + 5 = 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Никита выписал числа от 1 до 31. На сколько больше он написал единиц, чем троек?
(А) 8
(Б) 9
(В) 10
(Г) 11
(Д) 13

Ответ: (Б) 9
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Лисёнок, зайчонок и бельчонок собрались в лесу, чтобы обсудить погоду. Лисенок всегда лжёт, бельчонок всегда говорит правду, а зайчонок говорит правду или ложь, чередуя их, начиная либо с правды, либо со лжи. На собрании каждый сказал две фразы.
- Первый зверь сказал: «Сегодня солнечно», «Сегодня дует сильный ветер».
- Второй сказал: «Сегодня целый день идёт дождь», «Сегодня нет ветра».
- Третий сказал: «Сегодня ярко светит солнце», «Сегодня нет ветра».

Можно ли определить, каким по счёту говорил зайчонок?

Ответ: Третьим.
Решение:
Пусть сегодня солнечно. Тогда в первом утверждении соврал только второй, тогда второе его утверждение тоже ложь, ведь кто-то должен дважды солгать, значит, на самом деле дует ветер. В этом случае первое утверждение – правда, а второе – ложь только у третьего, и он зайчонок.
Если же сегодня дождливый день, то первое утверждение является правдой только у второго, значит его второе утверждение тоже правдиво и день безветренный. В этом случае, снова зайчонком оказался третий, ведь он сказал ложь и правду.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Число x отрицательно, а число y положительно. Что не может произойти, если x увеличить, а y — уменьшить?
(А) x + y увеличится
(Б) x/y уменьшится
(В) y/x уменьшится
(Г) y − x уменьшится
(Д) x − y уменьшится

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год

Задача:
Дан квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥), старший коэффициент которого равен 1. На графике 𝑦 = 𝑃(𝑥) отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите 𝑃(20).

Ответ: −80.
Решение:
Середина этого отрезка имеет координаты ( (10+30)/2 , (𝑃(10)+𝑃(30))/2 ). Поскольку она лежит на биссектрисе первой четверти, т.е. на прямой 𝑦 = 𝑥, эти координаты равны. Отсюда получаем 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40.
Так как 𝑃(𝑥) приведённый, его можно записать в виде 𝑃(𝑥) = 𝑥^2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Тогда условие 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40 переписывается в виде 100 + 10𝑎 + 𝑏 + 900 + 30𝑎 + 𝑏 = 40, откуда следует, что 40𝑎 + 2𝑏 = −960 и 20𝑎 + 𝑏 = −480.
Следовательно, 𝑃(20) = 400 + 20𝑎 + 𝑏 = 400 − 480 = −80.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фисташки. Степан хочет купить 1 килограмм орехов одного вида и ещё 1 килограмм орехов — другого. Он вычислил, во сколько ему может обойтись такая покупка в зависимости от того, какие два вида орехов он выберет. Пять из шести возможных покупок Степана стоили бы 1900, 2070, 2110, 2330 и 2500 рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой возможной покупки?

Ответ: 2290.
Решение:
Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 — стоимость 1 килограмма фундука, миндаля, кешью и фисташек соответственно. Из условия следует, что множество 𝐴 = {1900, 2070, 2110, 2330, 2500} содержится в множестве 𝐵 = {𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑑, 𝑑 + 𝑎, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑}.
Заметим, что 6 элементов множества 𝐵 можно разбить на 3 пары (𝑎 + 𝑏, 𝑐 + 𝑑), (𝑏 + 𝑐, 𝑑 + 𝑎), (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) с одинаковой суммой 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑. Это означает, что в множестве 𝐴 можно выделить 2 пары чисел с одинаковой суммой.
Нетрудно понять, что это могут быть только пары (1900, 2500) и (2070, 2330) c суммой 4400 (например, можно заметить, что все остальные пары либо пересекаются, либо у их сумм отличаются последние две цифры). Тогда неизвестная шестая стоимость вычисляется без труда: 4400 − 2110 = 2290 рублей.
Замечание: Условие задачи реализуется для 𝑎 = 930, 𝑏 = 970, 𝑐 = 1140, 𝑑 = 1360.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
В танцевальном классе всего 10 учеников. На 8 Марта мальчики принесли коробку с 80 конфетами и раздали девочкам по несколько конфет, всем поровну. После этого в коробке осталось ещё 3 конфеты. Сколько мальчиков в этом классе?
(А) 7
(Б) 6
(В) 5
(Г) 4
(Д) 3

Ответ: (Д) 3
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
На дереве резвились две стаи мартышек. Каждая стая состояла из зелёных и коричневых мартышек. Каждая зелёная мартышка бросила по одному ореху в каждую коричневую мартышку из своей стаи, а каждая коричневая мартышка бросила по одному ореху в каждую зелёную мартышку из другой стаи. Всего было брошено 247 орехов. Сколько всего мартышек в этих двух стаях, если известно, что вместе их меньше 100?

Ответ: 32 мартышки.
Решение:
Число орехов, связанных с одной коричневой мартышкой, постоянно: в неё бросила по одному ореху каждая зелёная мартышка из его стаи, а она бросила по одному ореху в каждую зелёную мартышку из другой стаи, значит, число орехов, связанных с каждой коричневой мартышкой, равно общему числу зелёных мартышек, (а число орехов, связанных с каждой зелёной мартышкой, равно общему числу коричневых мартышек), 247 = 19 ⋅ 13 = 247 ⋅ 1. Тогда всего мартышек 19 + 13 = 32 или 247 + 1 = 248. Второй ответ по условию нужно отбросить.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Квадрат 4×4 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат?
(А) 3
(Б) 4
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Вася выписал в ряд натуральные числа, которые нацело делятся на 9:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, …
После этого он выписал последовательность из суммы цифр этих чисел:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, 9, …
Затем Вася сложил первые 550 членов этой последовательности. Какое число он получил?

Ответ: 8505.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год

Задача:
У Маши в школе уроки заканчиваются в 13:00, мама встречает её на машине, и они едут домой. Однажды уроки закончились в 12:00, и Маша пошла домой пешком. По пути она встретила маму, которая, как обычно, поехала забирать дочь к 13:00 в школу. И дальше Маша с мамой поехали домой на машине, причём приехали на 12 минут раньше обычного. Во сколько Маша встретила маму на дороге? (Скорости Маши и мамы постоянны, время на посадку в машину не тратится.)

Ответ: 12:54.
Решение:
Пусть Маша прошла пешком расстояние $l$. Тогда мама и по дороге к школе, и по дороге обратно проехала на $l$ меньше, чем обычно. Значит, мама проезжает расстояние 2$l$ за 12 минут. Тогда расстояние $l$ она проезжает за 6 минут. Отсюда следует, что мама встретила Машу за 6 минут до того, как обычно приезжает в школу. Значит, их встреча произошла в 12:54.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Алиса выписала все целые числа от 1 до 25 включительно. Теперь она хочет стереть некоторые из них, а затем разделить оставшиеся числа на две группы так, чтобы произведения чисел в обеих группах были равны. Какое наименьшее количество чисел может стереть Алиса?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Б
Решение:
Если рассматривать простые факторизации произведений чисел обеих групп, то они должны быть одинаковыми, поскольку произведения равны. Поэтому простые числа, у которых среди чисел от 1 до 25 имеется только одно кратное, необходимо удалить. Эти простые числа — 13, 17, 19 и 23. 7 имеет три кратных среди чисел от 1 до 25: 7, 14 и 21. Хотя бы одно из них необходимо удалить, что работает только при удалении 7. Остальные 20 чисел можно разделить на две группы, имеющие одинаковое произведение. Например: 3⋅5⋅8⋅14⋅15⋅18⋅20⋅22⋅24 = 2⋅4⋅6⋅9⋅10⋅11⋅12⋅16⋅21⋅25 = 2^11⋅3^5⋅5^3⋅7⋅11.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2022 год

Задача:
У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число. Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?

Ответ: 23.
Решение:
Поскольку за шесть бросков ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число, то на каждом кубике выпали по одному разу все числа от 1 до 6.
Посчитаем общую сумму всех чисел, выпавших на всех кубиках за шесть бросков. Для одного кубика эта сумма равняется 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, а для шести — 6 ⋅ 21 = 126.
Осталось посчитать сумму чисел на шестом броске: 126 − 21 − 19 − 20 − 18 − 25 = 23.
Замечание: Одна из возможных конфигураций бросков кубиков изображена ниже (первое число в сумме — это число на первом кубике, второе число — на втором, …, шестое число — на шестом).
1 + 5 + 6 + 3 + 5 + 1 = 21
2 + 4 + 3 + 4 + 1 + 5 = 19
3 + 1 + 5 + 2 + 3 + 6 = 20
4 + 2 + 2 + 5 + 2 + 3 = 18
5 + 3 + 1 + 6 + 6 + 4 = 25
6 + 6 + 4 + 1 + 4 + 2 = 23
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Сколько пар действительных чисел (a, b) таковы, что a + b = ab = $\displaystyle \frac{a}{b}$ ?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Замените вопросительные знаки числами 5, 9, 12, 13, 15, 23, чтобы получились верные равенства. Каждое число надо использовать один раз.
6 + ? = ?
8 + ? = ?
11 + ? = ?

Ответ:
6 + 9 = 15
8 + 5 = 13
11 + 12 = 23
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2013 год

Задача:
Крош, Ёжик и Нюша тянули жребий (три палочки разной длины), кому водить.
- Крош сказал: «У меня самая короткая палочка!».
- Нюша сказала: «Я буду водить!»

Кто на самом деле стал водить, если оба сказали неправду, а водил тот, кто вытянул самую короткую палочку?

Ответ: Водил Ёжик.
Решение:
Поскольку Крош сказал неправду, то у него не самая короткая палочка, значит, водил не он. Нюша также сказала неправду, значит, она не водила. Остаётся Ёжик – он и водил.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
У Саймона есть весы с двумя чашами и 5 гирь: 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. На одну чашу весов он положил грушу, а гири распределил так, что весы уравновесились. Саймон подсчитал, что груша весит 61 г. Какие две гири оказались на одной чаше весов?
(А) 3 г и 9 г
(Б) 27 г и 9 г
(В) 1 г и 27 г
(Г) 3 г и 81 г
(Д) 1 г и 81 г

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Если отношение двух натуральных чисел равно 3 : 2, то отношение их наименьшего общего кратного к их наибольшему общему делителю равно
(А) 1,5
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: (Д) 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Если уменьшаемое уменьшить на 3, а из вычитаемого вычесть 3, то разность
(А) увеличится на 3
(Б) уменьшится на 3
(В) увеличится на 6
(Г) уменьшится на 6
(Д) не изменится

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
У скольких двузначных чисел сумма цифр суммы цифр равна 1?
(А) 1
(Б) 2
(В) 9
(Г) 10
(Д) другой ответ

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
На листе бумаги поставили точку и провели через неё четыре прямые. На сколько частей эти прямые разделили лист бумаги?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собирали грибы — мухоморы и поганки. Ниф-Ниф собрал 26 мухоморов, а Нуф-Нуф — 17 поганок. Известно, что всего мухоморов было собрано столько, сколько нашли грибов вместе Наф-Наф и Нуф-Нуф. Сколько поганок собрал Наф-Наф?

Мухоморов было собрано столько же, сколько вместе собрали грибов Наф-Наф и Нуф-Нуф. Это значит, что Ниф-Ниф собрал столько же мухоморов, сколько Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали поганок. Отсюда следует, что Наф-Наф собрал 26 − 17 = 9 поганок.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Бельчата Пушистик и Лохматик съели корзину ягод и пакет семечек, в котором было больше 50, но меньше 65 семечек, начав и закончив одновременно. Сначала Пушистик ел ягоды, а Лохматик — семечки, потом (в какой-то момент) они поменялись. Лохматик ел ягоды в шесть раз быстрее Пушистика, а семечки — только в три раза быстрее. Сколько семечек съел Лохматик, если ягод Лохматик съел в два раза больше Пушистика?

Ответ: 54 семечки.
Решение:
Разделим ягоды на 3 равные части. Каждую часть Лохматик ел в 6 раз быстрее Пушистика, но частей две, значит он затратил на ягоды только в 3 раза меньше времени чем Пушистик. Значит, Пушистик ел семечки втрое меньше времени, чем Лохматик. Поскольку Пушистик ест втрое медленнее, то он съел семечек в 9 раз меньше Лохматила. Разделив семечки в отношении 9:1, видим, что Пушистику досталась 10-я часть, отсюда нетрудно понять, что в пакете было 60 семечек. Поэтому Пушистик съел 6 семечек, а Лохматик — 54.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Шесть бельчат сидят за круглым пеньком в лесу. Два бельчонка, всегда говорящих правду, сидят рядом. Два бельчонка, всегда говорящих ложь, тоже сидят рядом. Оставшиеся два бельчонка, которые могут говорить правду или ложь, когда захотят, не сидят рядом. Вокруг стола ходит зайчонок и спрашивает, где они спрятали орехи.
- Первый бельчонок сказал, что в яме.
- Второй сказал — в дупле.
- Третий сказал — под камнем.
- Четвёртый сказал – в другом лесу.
- Пятый сказал – в дупле.
- Шестой бельчонок промолчал.

Где бельчата спрятали орехи? Варианты ответов: 1) в яме, 2) в дупле, 3) под камнем, 4) в другом лесу.

Ответ: 1) в яме.