d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2016 год, 1 вариант

Задача:
На доске написано число 20. За один ход разрешается либо удвоить число, либо стереть его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 25?

Ответ: Можно.
Решение:
Число 25 можно получить, стерев последнюю цифру числа 256, которое является степенью двойки. Таким образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:
20 ⟶ 2 ⟶ 4 ⟶ 8 ⟶ 16 ⟶ 32 ⟶ 64 ⟶ 128 ⟶ 256 ⟶ 25
Существуют и другие решения.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Дана доска 7 × 7. В середине доски стоит фишка. Костя и Никита играют в игру, по очереди передвигают фишку в соседнюю по стороне клетку. Но нельзя сразу делать ход, противоположный ходу соперника, то есть, если соперник сходил вниз, то сразу после этого хода нельзя ходить вверх, если соперник ходил влево, нельзя сразу после этого хода ходить вправо и т.д. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в клетку, в которой она уже была. Начинает Костя. Кто может всегда выигрывать в этой игре и как он должен для этого играть?

Выигрывает второй. Допустим первый ход был вверх, тогда нужно сходить вправо. Противник не может пойти вниз, так как соперник тут же выиграет, ему приходится ходить опять вверх. Так будет продолжаться до тех пор, пока фишка не окажется в угловой клетки, из которой первому игроку придётся по правилам сделать один возможный ход (вниз), при том проигрышный.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Среди нескольких различных простых чисел ровно n% делятся на 5. Чему не может равняться n ?
(А) 25
(Б) 20
(В) 15
(Г) 10
(Д) 5

Ответ: (В) 15
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
В семье 5 детей. Китти на 2 года старше, чем Бетти, но на 2 года младше, чем Данни. Тедди на 3 года старше, чем Анни. Бетти и Анни — близнецы. Кто из детей самый старший?
(А) Анни
(Б) Бетти
(В) Данни
(Г) Китти
(Д) Тедди

Ответ: Данни
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
В классе за каждой партой сидят двое учеников. Парт, за которыми сидят двое мальчиков, вдвое больше, чем парт, за которыми сидят две девочки. А парт, за которыми сидят две девочки, вдвое больше, чем парт, за которыми сидят мальчик с девочкой. Сколько в классе мальчиков, если известно, что там 10 девочек?

Ответ: в классе 18 мальчиков.
Решение:
Пусть парт, за которыми сидят мальчик с девочкой, $x$. Тогда парт с двумя девочками 2$x$. Тогда всего девочек 2 · 2$x$ + $x$ = 5$x$ = 10, откуда $x$ = 2. Тогда парт с двумя мальчиками 4$x$ = 8. Значит, всего мальчиков 2 · 8 + 2 = 18.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Круглые сутки Кенгуру смотрит на свои новые электронные часы, которые показывают часы и минуты (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки он увидит на табло четыре цифры 2, 0, 0, 6 (в каком-нибудь порядке)?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
В музыкальной школе количество участников «Кенгуру» — это 6% от числа всех девочек и 30% от числа всех мальчиков. Сколько процентов учеников этой школы участвовали в конкурсе «Кенгуру»?
(А) 2%
(Б) 4%
(В) 5%
(Г) 7,5%
(Д) 10%

Ответ: (В) 5%
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Нина, Петя и Вася разобрали карточки, на которых написаны числа от 5 до 11. Нина взяла три карточки, а Петя и Вася — по две карточки. Умная Нина посмотрела на свои карточки и заявила Васе: «Я точно знаю, что сумма чисел на твоих карточках чётна!» Какие карточки у Нины?

У мальчиков должны остаться числа одной чётности, иначе у одного из них сумма может оказаться нечётной. Все нечётные числа Нина забрать не могла, потому что их 4, а все чётные могла. Ответ: 6, 8, 10.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Число 2^n + 2003 + 2^n + 2003 равно:
(А) 2^n + 2004
(Б) 2^2n + 4006
(В) 4^2n + 4006
(Г) 4^2n + 2003
(Д) 4^n + 2003

Ответ: А
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1 × 3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет)

Ответ: 0 или 64 фигуры.
Решение:
Предположим, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит $m$ фигур, а в каждом прямоугольнике 1 × 3 — $n$ фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3$m$ фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1 × 3, и тогда в нём 4$n$ фигур. Получаем соотношение 3$m$ = 4$n$, откуда $n$ делится на 3. Но $n$ может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, $n$ = 0 или $n$ = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
В стране Смешляндии у каждого жителя левая нога на один или два размера больше, чем правая, хотя в магазинах обувь продаётся парами одного размера. Компания друзей решила сэкономить и купить туфли вместе. В результате каждый из них получил пару подходящей обуви, и ещё остались один башмак 45 размера и один башмак 36 размера. Самое маленькое число друзей, из которых могла состоять такая компания, равно
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
У числа 125 любые две цифры отличаются не меньше, чем в два раза. Сколько всего трёхзначных чисел с ненулевыми цифрами обладают этим свойством?
(А) 14
(Б) 42
(В) 48
(Г) 56
(Д) 84

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 1 тур

Задача:
Ян выписал в ряд без промежутков числа от 1 до 50. Затем нашёл пять цифр, наиболее часто встречающихся в этой последовательности, и все такие цифры вычеркнул. Какая цифра в новой последовательности стоит:
1. на первом месте?
2. на последнем месте?


Ответ: А) 6; Б) 0.
Решение:
В каждом десятке каждая цифра единиц встречается по одному разу. Поэтому разница в количестве использованных цифр может быть только из-за цифр десятков. Это 1, 2, 3 и 4. Их больше всего. Кроме того, в последнем десятке есть 5 – это пятая наиболее часто встречающаяся цифра. Значит, после вычеркивания остались только цифры 6, 7, 8, 9, 0.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
2007 : (2 + 0 + 0 + 7) − 2 × 0 × 0 × 7 = ?
(А) 1
(Б) 9
(В) 214
(Г) 223
(Д) 2007

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Какая из букв слова КЕНГУРУ имеет самый большой номер в русском алфавите?
(А) К
(Б) Е
(В) Г
(Г) У
(Д) Р

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Сколько решений имеет числовой ребус СФФФ × У + СУ = УФСУ? Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.

Ответ: 8 решений.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
Мама купила воздушные шарики и разделила их поровну между Сашей и Петей. Саше достались шарики четырёх разных цветов, каждого цвета по три штуки. Сколько шариков купила мама?
(А) 12
(Б) 18
(В) 24
(Г) 36
(Д) 48

Ответ: (В) 24
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В клетках квадрата 8×8 лежат орехи (в каждой клетке – не более одного ореха). Оказалось, что в любом квадрате 3×3 лежит ровно три ореха. Какое наименьшее и какое наибольшее количество орехов может находиться в этом квадрате? В ответ запишите сумму найденных чисел.

Ответ: 43.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Известно, что все шесть цифр двух трёхзначных чисел p и q различны и p > q. Какое наименьшее значение может принимать разность p − q ?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: (В) 3
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 7 тур

Задача:
Можно ли на прямой отметить точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 так, чтобы расстояния между ними были равными: 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 7, 𝐶𝐷 = 1, 𝐷𝐸 = 9, 𝐴𝐸 = 12?

В зависимости от того, левее или правее точки 𝐵 расположена точка 𝐶, расстояние 𝐴𝐶 = 6 + 7 = 13 или 𝐴𝐶 = 6 − 7 = 7 − 6 = 1. Аналогично рассуждая для точек 𝐷 и 𝐸, получим, что 𝐴𝐸 = 6 ± 7 ± 1 ± 9 — это нечётное число, а 12 — чётное. Значит, так расположить точки на прямой нельзя.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Если лягушонок зелёный, то он весёлый. Если лягушонок не весёлый, то он сидит на берегу. Все лягушата либо зелёные, либо пёстренькие. Если лягушонок пёстренький, то он плавает в воде. Тогда обязательно
(А) все лягушата плавают в воде
(Б) все лягушата – не весёлые
(В) все лягушата – весёлые
(Г) все лягушата – пёстренькие
(Д) все весёлые лягушата – зелёные

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Известно, что для корней квадратного трёхчлена x^2 + ax + b квадрат их суммы на 30 больше суммы их квадратов. Найдите значение коэффициента b.

Ответ: 15.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Можно ли разбить куб со стороной 6 на 112 кубиков с целыми сторонами (не обязательно равных)?

Ответ: Да, можно.
Решение:
Выделим в нижней половине 4 кубика со стороной 3. Следующий слой разобьём на 36 кубиков со стороной 1, и каждый из двух следующих слоёв тоже разобьём на 36 кубиков со стороной 1. Получим 4 + 36 + 36 + 36 = 112 кубиков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
У стоножки Евы 100 ножек. Вчера она купила и надела 16 пар новых башмаков. Несмотря на это, 14 ножек остались босыми. Сколько ножек были обуты до того, как она купила башмаки?
(А) 27
(Б) 40
(В) 54
(Г) 70
(Д) 77

Ответ: (В) 54
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2019 год

Задача:
В очереди в школьную столовую стоят 16 школьников так, что мальчики и девочки среди них чередуются. (Первым стоит мальчик, за ним — девочка, за ней — снова мальчик и так далее.) Любой мальчик, за которым в очереди стоит девочка, может поменяться с ней местами. Через некоторое время оказалось, что все девочки стоят в начале очереди, а все мальчики — в конце. Сколько обменов было совершено?

Ответ: 36 обменов.
Решение:
Заметим, что в конечном итоге каждый мальчик совершит по одному обмену с каждой девочкой, которая стоит в очереди после него. Т.е. первый мальчик совершит 8 обменов, второй — 7, третий — 6, и т.д. Тогда общее число обменов равно:
8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36
Нетрудно понять, что если каждый мальчик будет стремиться уступить место следующей за ним девочке, то рано или поздно все девочки окажутся в начале очереди. И вправду, предположим, что в какой-то момент никакой мальчик не может уступить место, но ещё не все девочки стоят в начале очереди. Тогда есть девочка, которая стоит среди мальчиков. Тогда есть мальчик, который может уступить ей очередь. Противоречие.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Электронные часы показывают время 20:11. Сколько минут пройдёт прежде, чем часы впервые покажут тот же набор цифр 0, 1, 1 и 2 в некотором другом порядке?
(А) 49
(Б) 50
(В) 59
(Г) 60
(Д) 120

Ответ: (Б) 50
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2017 год

Задача:
Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо чёрные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с чёрными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?

Ответ: 15 мудрецов.
Решение:
Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета.
Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие.
15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Сколько существует квадратов с вершиной А(−1; 1), для которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2019 год

Задача:
Карабас-Барабас взвешивал монеты. Оказалось, что серебряная монета тяжелее золотой. А серебряная и бронзовая весят столько же, сколько две золотые. Запишите монеты в порядке убывания их весов.
Комментарий: золотые монеты весят одинаково.

Ответ: В порядке убывания весов: серебряная, золотая, бронзовая.
Решение:
Если мы положим на две чашки весов серебряную и золотую, то по условию серебряная перевесит золотую. Чтобы уравновесить весы, нужно к золотой добавить груз тяжелее, чем к серебряной. Следовательно, бронзовая легче золотой.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Про набор чисел $a + 2$, $\displaystyle − \frac{2}{a}$, 6, $a^2$ известно, что два из этих чисел равны, а ещё одно ровно вдвое больше их. Тогда
(А) $\displaystyle a + 2 = − \frac{2}{a}$
(Б) $\displaystyle – \frac{2}{a} = 6$
(В) $\displaystyle – \frac{2}{a} = a^2$
(Г) $a^2 = a + 2$
(Д) это невозможно

Ответ: Г
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Четыре многоножки покупать пришли сапожки. У каждой многоножки по 8 пар ножек. У одной многоножки нет обуви на задней половине ножек. У второй многоножки нет обуви на правых ножках. У третьей многоножки без обуви были наполовину левые ножки. А у четвёртой многоножки без обуви была передняя половина ножек. Сколько пар сапожек купило четверо многоножек?

14 пар сапожек
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2020 год

Задача:
Петя и Вася спорят о своих «успехах» в школьной математике:
- Петя: «У тебя на пять двоек больше, чем у меня!»
- Вася: «А у тебя на две пятёрки меньше, чем у меня!»
- Петя: «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!»
- Вася: «У нас одинаковое количество четвёрок!»
- Петя: «Но у меня три четвёрки, а у тебя всего одна!»
- Вася: «Зато у нас одинаковая сумма всех оценок!»
- Петя: «Общее количество наших пятёрок нечётно!»
- Вася: «А у тебя больше десяти троек!»

Известно, что у каждого из мальчиков правдивые и ложные высказывания чередовались через одно: за каждым правдивым высказыванием следовало ложное, а за ложным — правдивое. Также известно, что никаких оценок, кроме двоек, троек, четвёрок и пятёрок, у мальчиков нет.
Какое наибольшее количество троек могло быть у Васи?

Заметим, что первая фраза Васи и вторая фраза Пети разной истинности. Поэтому есть два варианта:
- первые фразы Пети и Васи истинны, вторые — ложны, третьи — истинны, четвёртые — ложны
- первые фразы Пети и Васи ложны, вторые — истинны, третьи — ложны, четвёртые — истинны

Но второй вариант противоречив: высказывания «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!» и «Общее количество наших пятёрок нечётно!» не могут быть одновременно верными.
Поэтому, если у Пети $d$ двоек, $t$ троек и $p$ пятёрок, а у Васи $x$ троек, то:
- у Васи $d+5$ двоек
- у Васи $p+2$ пятёрок
- у Пети 3 четвёрки
- у Васи 1 четвёрка
- $2 d+3 t+12+5 p=2(d+5)+3 \cdot x+4+5(p+2)$
- $t \leqslant 10$

Поэтому $3(t-x)=12$, откуда $t-x=4$.
Поскольку $t \leqslant 10$, то $x=t-4 \leqslant 6$.
При этом можно привести пример (его построение оставим читателю), в котором у Васи 6 троек, а истинности высказываний соответствуют условию.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Половина от одной сотой — это
(А) 0,002
(Б) 0,005
(В) 0,02
(Г) 0,05
(Д) 0,5

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Бельчонок-путешественник встретил 4 жителей этого леса и спросил у каждого из них: «Есть ли среди оставшихся троих бельчата-лжецы?». Первый сказал: «нет», второй – «да», третий – «да», а четвёртый сказал что-то, что бельчонок-путешественник не услышал из-за шума других бельчат. Определите, кто из этих 4 бельчат рыцарь, а кто лжец.

Ответ: Первый – лжец, второй – рыцарь, третий – рыцарь, четвёртый – лжец.
Решение:
Если первый бельчонок – рыцарь, то все четверо бельчат – рыцари, но тогда второй и третий не могли ответить: «да». Значит, первый бельчонок – лжец. Тогда второй и третий бельчата сказали правду, значит, они являются рыцарями. Если и четвёртый бельчонок был бы рыцарем, то первый бельчонок про остальных сказал бы правду. Но первый бельчонок – лжец, а значит четвёртый бельчонок тоже лжец.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
На доске было написано число. Катя прибавила к этому числу 2, а Серёжа прибавил к этому же числу 5. На сколько больше получился результат у Серёжи, чем у Кати?
(А) 4
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
При делении числа а на 5 получается остаток 3. Тогда при делении числа 2а на 5 получится остаток
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2022 год, высшая лига

Задача:
Есть 6 разных замков. От каждого замка свой ключ (можно делать копии ключей). Как раздать шести людям ключи, чтобы ни один человек не имел ключей от всех замков, но любые двое вместе имели ключи от всех замков? Нарисуйте схему «раздачи ключей».

Решение:
Раздаем всем людям по 5 ключей, но у каждого не хватает разных ключей. Первому даём ключи с номерами 2, 3, 4, 5, 6. Второму — 1, 3, 4, 5, 6. Третьему — 1, 2, 4, 5, 6. Четвёртому — 1, 2, 3, 5, 6. Пятому — 1, 2, 3, 4, 6. Шестому — 1, 2, 3, 4, 5. Условие выполняется.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Какое число надо вычесть из числителя дроби 37/63 и прибавить к её знаменателю, чтобы получилась дробь 3/17?

Ответ: 22.
Решение:
Пусть х – это число.
(37 − х) / (63 + х) = 3 / 17
17 ⋅ (37 − х) = 3 ⋅ (63 + х)
629 − 17х = 189 + 3х
20х = 440
х = 22
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Натуральные числа n и k > 1 таковы, что 2^2 ⋅ 4^4 ⋅ 5^5 = n^k. Тогда
(А) k = 5
(Б) k = 4
(В) k = 3
(Г) k = 2
(Д) такое невозможно

Ответ: (А) k = 5
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2018 год, первая лига

Задача:
Снеговики сбивали сосульки льдинками. За один бросок льдинки можно сбить только 6 или 7 сосулек. Какое количество бросков надо сделать, чтобы все 33 сосульки оказались сбиты?

Ответ: 5
Решение:
Пусть за каждый бросок сбивается 6 сосулек. Тогда за пять бросков мы сможем сбить только 30 сосулек. Оставшиеся 3 сосульки одним броском не сбить. Тогда заменим три броска по 6 сосулек на три броска по 7 сосулек. Итого получим 6+6+7+7+7=33 сосульки сбито пятью бросками.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он выписал (цифрами и словами) все натуральные числа, меньшие миллиона, у которых сумма цифр равна количеству слов, используемых при словесной записи этого числа. Например, для числа 1001 (тысяча один) сумма цифр и количество слов равны двум. Какая самая большая сумма цифр встретилась у выписанных чисел?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Вася учится стрелять в тире. Месяц назад, на первом занятии, он попал 40 раз из 100. Сегодня, после месяца тренировок, он сделал 200 выстрелов и обнаружил, что его меткость (то есть доля удачных выстрелов) повысилась на 80%. Сколько раз он попал сегодня?
(А) 120
(Б) 140
(В) 144
(Г) 160
(Д) 240

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Миша в течение недели каждый день срывал по яблоку и взвешивал его. Все яблоки весили по-разному, но вес каждого яблока был равен целому числу граммов и колебался от 221 грамма до 230 граммов (включительно). Миша также вычислял средний вес всех сорванных яблок, и он каждый раз был целым числом граммов. Яблоко, сорванное в седьмой день, весило 225 граммов. Сколько весило яблоко, сорванное в шестой день?

Ответ: 230 граммов.
Решение:
Каждое яблоко весило 220 граммов плюс целое число от 1 до 10. Из чисел от 1 до 10 надо выбрать 7 чисел, так, чтобы их сумма делилась на 7. Одно из этих чисел равно 5, из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 надо выбрать 6. Самая малая сумма шести из этих чисел равна 23, самая большая равна 44. Прибавляя 5, получаем числа от 28 до 49. В этом промежутке находится 4 числа, кратные 7: 28, 35, 42, 49. При этом сумма весов за первые 6 дней должна быть кратна 6. Из чисел 23, 30, 37, 44 этому условию удовлетворяет только число 30.
Таким образом, общий вес за первые 6 дней был равен 220 ⋅ 6 + 30 (далее будем писать просто 30, а число, кратное 220, прибавим в конце). При этом сумма весов за первые 5 дней должна быть кратна 5. Возможный интервал за 5 дней: от 16 до 40, подходят числа 20, 25, 30, 40. Но общий вес за 5 дней меньше, чем за 6, поэтому он меньше 30, то есть 20 или 25. Однако разность между 30 и 25 равна 5, а число 5 уже использовано.
Поэтому вес яблок за 5 дней равен 220 ⋅ 5 + 20, значит, яблоко, сорванное в 6-й день, весило 220 ⋅ 6 + 30 − (220 ⋅ 5 + 20) = 230 граммов. Это значение допустимо, так как яблоки, сорванные за неделю, могли весить 221, 223, 222, 226, 228, 230, 225 граммов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Саша рисует на плакате слова УРА КЕНГУРУ. Одинаковые буквы он рисует одним цветом, а разные буквы — разными цветами. Сколько различных цветов ему понадобится?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
За один шаг автомат умеет выполнять одну из четырёх операций: либо умножить данное число на 2, либо умножить данное число на 3, либо возвести его в квадрат, либо в куб. Что может получиться после 5 шагов, если начать с числа 15?
(А) 2^8 ⋅ 3^5 ⋅ 5^6
(Б) 2 ⋅ 3^4 ⋅ 5^2
(В) 2^8 ⋅ 3^4 ⋅ 5^2
(Г) 2 ⋅ 3^2 ⋅ 5^6
(Д) 2^6 ⋅ 3^6 ⋅ 5^4

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
В магазин обуви пришли 4 сороконожки в одинаковых башмачках (у каждой из них по 20 пар ног). У одной из сороконожек не хватало обуви на задней половине ног, у другой – на передней половине, у третьей обуты были только правые ножки, а у четвёртой – только левые. Они купили в магазине обувь и ушли полностью обутые. Сколько пар обуви купили сороконожки в магазине?
(А) 10
(Б) 20
(В) 40
(Г) 60
(Д) 80

В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 1 тур

Задача:
Игра «лживые шашки» – игроки по очереди выставляют на доску чёрные или белые шашки. Если игрок ставит белую шашку, он должен сказать правду, если чёрную – солгать. На доске стоит 1 шашка. Петя поставил ещё шашку и сказал: «Теперь на доске чёрных шашек больше, чем белых». Какого цвета первая шашка?

Ответ: Белая
Решение:
Заметим, что в любом случае игрок не мог поставить белую шашку. Так как, какая бы шашка на доске до этого ни стояла, поставив белую, нельзя сделать чёрных больше. Значит, игрок поставил чёрную шашку. Тогда он должен был солгать. Значит, на доске не могла быть чёрная шашка, так как тогда утверждение игрока было бы верным.