d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Катя, Лена и Маша пошли в школу в 1А класс. После линейки в школе девочек спросили, как зовут их учительницу.
- «Тамара Ивановна» – сказала Катя.
- «Галина Ивановна» – сказала Лена.
- «Инна Викторовна» – сказала Маша.

Оказалось, что каждая из девочек правильно запомнила либо только имя, либо только отчество учительницы. Как на самом деле зовут учительницу?

Ответ: Инна Ивановна.
Решение:
Если Катя и Маша неправильно запомнили отчество учительницы, то её зовут и Тамара, и Галина. Такого быть не может. Значит, они запомнили отчество правильно. Тогда Маша запомнила правильно имя (отчество неправильно). Поэтому учительницу зовут Инна Ивановна.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны.

Ответ: Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30 + 4 + 2 + 5. Есть и другие представления.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год

Задача:
Назовём трёхзначное число интересным, если хотя бы одна его цифра делится на 3. Какое наибольшее количество подряд идущих интересных чисел может быть? (Приведите пример и докажите, что больше чисел получить нельзя.)

Ответ: 122.
Решение:
Числа 289, 290, …, 299, 300, …, 399, 400, …, 409, 410 являются интересными (напомним, что 0 делится на 3), и их всего 122. Докажем, что большего количества быть не может.
Предположим, что нам удалось найти большее количество подряд идущих интересных чисел; выберем из них 123 подряд идущих.
Назовём сотню подряд идущих чисел, у которых разряд сотен одинаков и делится на 3, интересной сотней. Заметим, что до любой интересной сотни идут только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 89, 90, …, 99, а 12-е число оканчивается на 88 и интересным не будет. Аналогично после интересной сотни идут тоже только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 00, …, 09, 10, а 12-е число оканчивается на 11 и также не интересное.
Если наша последовательность из 123 чисел пересекается с некоторой интересной сотней, то она содержит хотя бы 12 чисел либо до, либо после этой сотни. Следовательно, хотя бы одно число в ней не интересное.
Если же наша последовательность из 123 чисел не пересекается с интересной сотней, то она содержит хотя бы одно число, оканчивающееся на 55 (как и на любую другую комбинацию цифр). Но это число не интересное, так как ни один разряд в нём на 3 не делится.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники называются
(А) пропорциональными
(Б) похожими
(В) аналогичными
(Г) родственными
(Д) подобными

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Сколько процентов от 5% от числа a составляет столько же, сколько 8% от 3% от числа 2a ?
(А) 9,6%
(Б) 2,4%
(В) 6%
(Г) 4,8%
(Д) другой ответ

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
У Виталика все страницы в книжке пронумерованы. Обложка с несколькими первыми страницами оторвалась. Начальная страница имеет номер 7, а последняя – 26. Сколько листов теперь в книге?

Ответ: 10.
Решение:
У каждого листа две страницы. Поэтому на каждый лист тратится по два числа. От 7 до 26 всего 20 чисел. Значит, страниц 20, а листов 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 1 тур

Задача:
В ящике лежат шарики (не меньше 7) нескольких цветов. Если вытащить любые пять шариков, то среди них обязательно найдутся два шарика одного цвета. А если вытащить любые семь, то обязательно найдутся два шарика разных цветов. Какое максимальное число шариков может быть в коробке? А минимальное?

Ответ: Максимально 24, минимально – 7.
Решение:
Поскольку среди любых пяти найдутся два шарика одного цвета, то цветов не более четырёх. А так как среди любых семи будут два шарика разного цвета, то шариков одного цвета не более шести. Следовательно, всего шариков не более 24 (4 цвета по 6 шариков каждого). Проверим, может ли быть 7 шариков. Вариант «4 шарика одного цвета и 3 другого» вполне подходит.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
В числе 201220122012 вычеркните три цифры так, чтобы получилось как можно меньшее девятизначное число.

Ответ: 120122012.
Решение:
Поскольку число не может начинаться с нуля, то наименьшая цифра, с которой должно начинаться искомое число, это 1. Значит, необходимо зачеркнуть первые две цифры «20». Следующие цифры нужно сделать как можно меньше. Очевидно, что следует зачеркнуть ещё 2.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В гостинице в продаже есть карты для входа в столовую на 2, 4 и 6 дней. Карты на 2 и 6 дней вместе стоят дороже, чем две карты на 4 дня, а две карты на 2 дня не дороже, чем одна карта на 4 дня. Что стоит дороже: одна карта на 6 дней или три карты на 2 дня?

Ответ: Дороже одна карта на 6 дней.
Решение:
По условию вместо карт на 6 дней и 2 дня выгоднее купить две карты на 4 дня, а свою очередь, вместо каждой из карт на 4 дня можно без потери в деньгах купить две карты на 2 дня. Значит, карты на 6 дней и 2 дня дороже четырёх карт на 2 дня, откуда получаем, что одна карта на 6 дней дороже трёх карт на 2 дня.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
В некотором треугольнике измерили три высоты. Какая тройка чисел могла получиться?
(А) 1, 2, 3
(Б) 4, 7, 8
(В) 3, 6, 8
(Г) 2, 4, 5
(Д) 5, 10, 11

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2017 год, 1 вариант

Задача:
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

Ответ: может.
Решение:
Например, у 1-го и 2-го имя Андрей, у 3-го и 4-го имя Борис. У 1-го и 3-го фамилия Иванов, у 2-го и 4-го фамилия Жуков. У 1-го и 4-го отчество Петрович, у 2-го и 3-го отчество Семёнович.
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
Все фантики Кати лежат в трёх коробках (пустых коробок нет). Две десятых её фантиков лежат в первой коробке, несколько седьмых — во второй, и ещё 33 фантика — в третьей. Сколько всего фантиков у Кати?

Ответ: 385 фантиков.
Решение:
Пусть $x$ - общее число фантиков, а $k$ - количество седьмых долей во второй коробке. Поскольку $k$ положительно и $\frac{k}{7} \leqslant 1-\frac{2}{10}=\frac{4}{5}$, то $k-$ это одно из чисел $1,2,3,4,5$. Получаем уравнение $\left(\frac{4}{5}-\frac{k}{7}\right) x=33$. Рассмотрим варианты, каким может быть выражение в скобках:
1. $k=1$, тогда $\frac{4}{5}-\frac{k}{7}=\frac{23}{35}$. Но уравнение $23 \cdot x=33 \cdot 35$ не имеет решений в натуральных числах, так как $33 \cdot 35$ не делится на 23 (23 простое).
2. $k=2$, тогда $\frac{4}{5}-\frac{k}{7}=\frac{18}{35}$. Но уравнение $18 \cdot x=33 \cdot 35$ не имеет решений в натуральных числах, так как $33 \cdot 35$ нечётно и не может делиться на 18.
3. $k=3$, тогда $\frac{4}{5}-\frac{k}{7}=\frac{13}{35}$. Но уравнение $13 \cdot x=33 \cdot 35$ не имеет решений в натуральных числах, так как $33 \cdot 35$ не делится на 13 (13 простое).
4. $k=4$, тогда $\frac{4}{5}-\frac{k}{7}=\frac{8}{35}$. Но уравнение $8 \cdot x=33 \cdot 35$ не имеет решений в натуральных числах, так как $33 \cdot 35$ нечётно и не может делиться на 8.
5. $k=5$, тогда $\frac{4}{5}-\frac{k}{7}=\frac{3}{35}$. Уравнение $3 \cdot x=33 \cdot 35$ имеет решение в натуральных числах $x=11 \cdot 35=385$.

Других решений нет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Дикарь Пятница написал в строчку несколько различных натуральных чисел, не превосходящих 10. Робинзон Крузо заметил, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Пятница?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Взмахнула Эльза волшебной палочкой, и на полу появилась тысяча льдинок. Если Олаф наступит на льдинку, то она расколется на три маленькие льдинки. Если Олаф побегает по залу и наступит на льдинки много раз, может ли в результате на полу оказаться 2023 льдинки?

Ответ: нет, не может.
Решение:
1000 — это чётное количество, каждый шаг Олафа добавляет 2 льдинки (+3 - 1 = 2) — тоже чётное количество. Значит, в любом случае количество льдинок будет чётным, а 2023 — нечётно.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 2 тур

Задача:
На окружности отмечены семь точек. Ваня выбирает три точки и рисует треугольник с вершинами в этих точках. Миша выбирает четыре точки и рисует четырёхугольник с вершинами в выбранных точках. Кто нарисует больше: Ваня треугольников или Миша четырёхугольников?

Ответ: Одинаково.
Решение:
Пусть когда Ваня выбирает какие-то три точки, Миша выбирает оставшиеся четыре. Тогда если Ваня выбирает ещё не выбранные ранее точки, но набор Миши тоже новый. И наоборот, если у Миши оказался новый набор, то у Вани должен быть тоже новый.
Комментарий для знатоков: мы установили взаимнооднозначное соответствие между множествами (в данном случае треугольников и четырёхугольников). Значит, в этих множествах равное число элементов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал число 1, во вторую — 2, в третью — 3 и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей, то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без пробелов и запятых). Спустя 𝑛 секунд у Маши в тетради оказалось записано:
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3
Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?

Ответ: 423.
Решение:
Спустя 𝑛 секунд Маша дописала в конец строки число 𝑛. Если это число состоит из 1 или 2 цифр, то оно равно 3 или 23, но оба этих числа, как нетрудно понять, не подходят. Значит, 𝑛 состоит хотя бы из 3 цифр, и 𝑛 ⩾ 423.
Осталось заметить, что 𝑛 может быть равно 423, если Маше нравятся числа 2, 7, 26, 252, 423.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На круговой дорожке стадиона возле Сибирского федерального университета из одного места в противоположных направлениях одновременно выбежал пятиклассник Дима и вышел пешком его друг Женя. Скорость Жени в 4 раза меньше скорости Димы. Пробежав несколько кругов, Дима встретил Женю 20 раз. Сколько кругов пробежал Дима?

Ответ: 16 кругов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
В квадратной коробке в два слоя уложены одинаковые квадратные шоколадки. Кирилл съел все 20 шоколадок, которые лежали в верхнем слое вдоль стенок коробки. Сколько шоколадок было в этой коробке сначала?
(А) 50
(Б) 52
(В) 70
(Г) 72
(Д) 98

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2015 год, 2 этап

Задача:
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13 сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

Ответ: 13 октября.
Решение:
Будем считать, сколько дней прошло начиная с «тяжёлого». Если это число делится на 2, то Робинзон должен пополнить запас воды. Если делится на 3, то пополнить запас фруктов. А если делится на 5, то сходить на охоту. А если он делает все три дела одновременно, то, значит, количество прошедших дней делится и на 2, и на 3, и на 5. Впервые это произойдёт через НОК (2; 3; 5) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 дней. Так как в сентябре 30 дней, то следующий тяжёлый день будет 13 октября.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Каждые 10 минут Аня зажигает по свечке. Каждая свечка горит в течение 40 минут, а затем гаснет. Сколько свечей будет гореть через 65 минут после того, как Аня зажжет первую свечку?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
На плоскости нарисовано несколько прямых. Рядом с каждой прямой написано число прямых, которые её пересекают. Среди написанных чисел имеется не менее четырёх различных, два из которых — это 6 и 7. Сколько прямых нарисовано?
(А) 9
(Б) 10
(В) 13
(Г) 15
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Назовем число счастливым, если у него сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме остальных цифр (например, число 35123 — счастливое, так как 3 + 1 + 3 = 5 + 2). Какое из следующих чисел можно превратить в счастливое, вставив в его запись одну цифру 0?
(А) 11131
(Б) 4358
(В) 132112
(Г) 3111
(Д) 312112

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому работнику 5 монет, у него останется 30, а если 7, то не хватит 30. Спрашивается, сколько у него работников?

Пусть работников 𝑥. Составим уравнение: 5𝑥 + 30 = 7𝑥 − 30. Откуда 𝑥 = 30.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Фонтан на площади старинного города связан с часами на башне: он работает, когда хотя бы одна из стрелок часов находится между цифрами 3 и 4 или между цифрами 8 и 9. Сколько времени в течение суток этот фонтан не работает?
(А) 16 ч 40 мин
(Б) 14 ч 30 мин
(В) 12 ч 20 мин
(Г) 20 ч 10 мин
(Д) 22 ч 45 мин

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Пусть М — произведение периметра треугольника на сумму длин трёх его высот. Площадь треугольника равна 1. Какое из утверждений неверно?
(А) М может быть больше 1000
(Б) всегда М > 6
(В) М может быть меньше 12
(Г) М может быть равно 18
(Д) если треугольник прямоугольный, то M > 16

Ответ: В
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 2 тур

Задача:
Когда из правой кучки переложили в левую 4 палочки, а из левой в правую 6, то оказалось, что в правой на одну палочку больше. В какой кучке было больше палочек в начале и на сколько?

Ответ: в левой кучке было больше на 3 палочки.
Решение:
Из правой переложили 4 палочки и добавили в неё 6. Всего получилось, что в правую добавили две, а значит из левой две убрали. В правой стало на одну больше. Значит правая кучка плюс два равно левая кучка минус два плюс один, то есть минус один. Следовательно изначально левая кучка была на три палочки больше.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Сколькими способами можно разбить на пары числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы разности большего и меньшего чисел во всех парах были одинаковы?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) больше трёх

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Каждые восемь минут Алекс зажигает одну свечку. Каждая свечка горит ровно 35 минут, а затем гаснет. Сколько свечек будет гореть через час после того, как Алекс зажёг первую свечку?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Пятачок посадил 8 желудей. Из всех желудей, кроме двух, выросли дубы. На всех дубах, кроме двух, растут жёлуди. Жёлуди со всех плодоносящих дубов, кроме одного, — невкусные. Значит, число дубов с невкусными желудями равно:
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: Г
Олимпиада «Весенний Олимп», 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Собрались Мо, Умо и Амо. Между ними завязался разговор:
- Первый сказал второму: «У тебя имя из трёх букв!»
- Второй сказал третьему: «Ты не Мо!»
- Третий сказал первому: «Ты Мо!»

Только один из них сказал правду.
Кого как могли звать? Нужно указать все возможные варианты!

-  Пусть первый сказал правду. Тогда Мо — третий, а первый и второй — Амо и Умо в каком-то порядке.
-  Пусть второй сказал правду. Тогда Мо — второй, а первый и третий — Амо и Умо в каком-то порядке.
-  Пусть третий сказал правду. Тогда Мо — первый. Значит, второй сказал правду. Противоречие.

Пусть первый сказал правду. Тогда Мо — третий, а первый и второй — Амо и Умо в каком-то порядке.
Пусть второй сказал правду. Тогда Мо — второй, а первый и третий — Амо и Умо в каком-то порядке.
Пусть третий сказал правду. Тогда Мо — первый. Значит, второй сказал правду. Противоречие.
Итого есть четыре варианта ответа:
- Амо, Мо, Умо
- Умо, Мо, Амо
- Амо, Умо, Мо
- Умо, Амо, Мо
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2015 год

Задача:
В уезде живут только купцы и разбойники. Разбойники врут только если у них есть деньги, а купцы врут только если у них нет денег. Между четырьмя жителями уезда состоялся такой разговор:
- Первый: «У меня есть деньги!»
- Второй: «Ты врёшь!»
- Третий: «Вы оба врёте!»
- Четвёртый: «Третий, ты врёшь! Деньги есть только у меня и тебя».

Отметьте все верные утверждения:
1. первый может быть купцом
2. первый может быть только разбойником
3. среди четверых жителей есть хотя бы один купец
4. среди четверых жителей только два разбойника
5. среди четверых жителей есть три купца
6. среди четверых жителей только у одного есть деньги
7. четвёртый может быть только купцом
8. третий может быть и купцом, и разбойником
9. второй не мог сказать правду
10. у четвёртого не могло быть денег


Ответ: 1, 3, 4, 7.
Решение:
Третий врёт (первый и второй не могут одновременно врать). Четвёртый прав, поэтому третий — разбойник, а четвёртый — купец. Первый и второй не могут одновременно говорить правду и оба без денег. Значит, один из них купец, а другой — разбойник. Первый врёт, поэтому он купец. Значит, второй — разбойник.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 5 тур

Задача:
В комнате находится 10 человек, некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. На каждого из них надета чёрная или белая шапка. Каждый из них сказал: «Среди остальных 9 человек (всех, кроме меня) ровно трое носят чёрные шапки.» Сколько из них может быть лжецами?

Очевидно, все десять человек могут оказаться лжецами — например, в ситуации, когда на всех надеты чёрные шапки. Предположим, что кто-то из присутствующих сказал правду. Тогда (в зависимости от цвета его шапки) в комнате 3 или 4 человека в чёрных шапках. В первом случае лгут все люди в чёрных шапках (трое), а во втором — все люди в белых шапках (шестеро). Ответ: 3, 6 или 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2010 год

Задача:
В коробке шоколадные конфеты расположены в виде квадрата в один слой. Костя съел весь первый ряд – всего 6 конфет. А Рома после этого съел весь левый столбик. Сколько конфет съел Рома?

Ответ: 5 конфет.
Решение:
Так как конфеты расположены в виде квадрата, то количество конфет в первом ряду – это и будет сторона квадрата. То есть сторона квадрата равна 6. Но заметим, что, съев весь первый ряд, Костя съел и первую конфету левого столбика. То есть Роме осталось съесть на одну конфету меньше, чем целую сторону квадрата. Значит, Рома съел 6 − 1 = 5 конфет.
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
В последовательности чисел 1, 2, 3, …, 1000 сначала вычеркнули все те числа, которые делятся на 2, потом последовательно все те, которые делятся на 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Чему равна сумма оставшихся составных чисел?

Ответ: 7393.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Вася любит умножать на 3, Маша — прибавлять 2, а Петя — вычитать 1. В каком порядке детей надо вызвать к доске выполнить любимое действие, чтобы из 1 получить 4?
(А) М, В, П
(Б) П, М, В
(В) П, В, М
(Г) М, П, В
(Д) В, М, П

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2023 год

Задача:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралась компания из 33 островитян, среди которых есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. У каждого из них спросили, сколько всего лжецов в этой компании.
- 3 человека сказали: «Трое»;
- 5 человек сказали: «Меньше пяти»;
- 8 человек сказали: «Меньше восьми»;
- 17 человек сказали: «Меньше семнадцати».

Сколько всего лжецов может быть в этой компании? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 16 лжецов.
Решение:
Ясно, что каждую из фраз говорили либо только рыцари, либо только лжецы.
По условию задачи среди присутствующих есть хотя бы один рыцарь. Давайте рассмотрим случаи того, что он мог сказать.
Предположим, что рыцарь сказал: «Трое». Тогда лжецов всего трое, а это значит, что все островитяне сказали правду (так как 3 < 5, 3 < 8, 3 < 17), и все они — рыцари. Но это противоречит тому, что среди них есть хотя бы один лжец. Значит, первые трое из нашей компании — это лжецы.
Предположим теперь, что рыцарь сказал: «Меньше пяти». Тогда фразы «Меньше восьми» и «Меньше семнадцати» также являются правдивыми. Выходит, что всего должно быть 3 лжеца и 5 + 8 + 17 = 30 рыцарей. Но тогда лжецы сказали правду. Противоречие. Значит, первые 3 + 5 = 8 человек — лжецы.
Предположим, что рыцарь сказал: «Меньше восьми». Тогда фраза «Меньше семнадцати» также является правдивой. Выходит, что всего должно быть 3 + 5 = 8 лжецов и 8 + 17 = 25 13 рыцарей. Но тогда рыцарь, сказавший, что лжецов меньше восьми, соврал. Противоречие. Значит, первые 3 + 5 + 8 = 16 человек — лжецы.
Тогда нашему рыцарю ничего не остаётся, кроме как сказать: «Меньше семнадцати». Выходит, что всего должно быть 3 + 5 + 8 = 16 лжецов и 17 рыцарей. И это удовлетворяет всем условиям задачи.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Кузнец и его подмастерье куют мечи. За день кузнец делает на 9 мечей больше, чем подмастерье. Известно, что кузнец работал 4 дня, а подмастерье — 10 дней. В результате кузнец сделал на 6 мечей больше, чем подмастерье.
Сколько мечей в день делает кузнец, а сколько подмастерье?

Ответ: 14 и 5.
Решение:
Если бы они оба работали 4 дня, то кузнец сделал бы на 36 мечей больше. Значит, за 6 дней подмастерье делает 30 мечей. То есть в день 5 мечей. А кузнец — 14 мечей.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Расположите в ряд 13 орехов, каждый из которых либо арахис (А), либо кешью (К), либо миндаль (М). Причем из любых трёх идущих подряд орехов должен быть хотя бы один арахис, из любых пяти идущих подряд орехов должен быть хотя бы один кешью, а миндаля должно быть больше половины. Какое количество арахиса получилось в ряду?

Ответ: 4 ореха арахиса.
Решение:
Орехи расположены только так: ММАМКАММАКМАМ. Можно выделить четыре непересекающиеся тройки орехов, в каждой из них хотя бы один арахис. Значит, арахиса не меньше четырёх. Можно выделить две непересекающиеся пятёрки орехов, в каждой из них хотя бы один кешью. Значит, кешью не меньше двух. Из условия следует, что миндаля не меньше семи. Так как 4 + 2 + 7 = 13, то все сделанные ограничения должны обращаться в равенства. В частности, в ряду 4 ореха арахиса.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он собирается выписывать натуральные числа словами до тех пор, пока не напишет первое число, в записи которого участвуют все буквы слова «слово». Чему равна сумма цифр числа, на котором Жан-Кристоф остановится?
(А) 5
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 30

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2005 год

Задача:
У 6 школьников одного кружка спросили, сколько лампочек на потолке в кабинете, где проходит кружок. Получили такие ответы:
- первый: больше одной,
- второй: больше двух,
- третий: больше трёх,
- четвёртый: больше четырёх,
- пятый: меньше четырёх,
- шестой: меньше трёх.

Сколько лампочек в кабинете, если ровно половина школьников сказала правду? Найдите все варианты!

Ответ: 2, 3 или 4
Решение:
Рассмотрим, какое количество правдивых ответов при разных количествах лампочек. Если будет 0 или 1 лампочка, то правду скажут 2 (5 и 6). Если 2 лампочки, то 3 (1,5,6). Если 3, то 3 (1,2,5). Если 4, то 3 (1,2,3). Если 5 и более, то 4 (1,2,3,4). Отсюда видим что подходят варианты 2, 3 или 4 лампочки.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На доске записаны подряд через запятую все числа от 10 до 70. Сколько среди этих чисел таких, которые имеют сумму цифр 11?

Ответ: 5 чисел.
Решение:
Запишем эти числа:
29, 38, 47, 56, 65
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Чем является число 27 для числа 3?
(А) квадратом
(Б) треугольником
(В) кругом
(Г) кубом
(Д) шаром

Ответ: Г