d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Девять карточек с различными целыми числами от 1 до 9 включительно разложены на столе лицевой стороной вниз. Саша, Миша, Кира и Даша взяли наугад по две карточки каждый.
- Саша сказал: «Сумма моих чисел равна 6».
- Миша сказал: «Разность моих чисел равна 5».
- Кира сказала: «Произведение моих чисел равно 18».
- Даша сказала: «Одно из моих чисел в два раза больше другого».

Все четверо сказали правду. Какое число осталось на столе?
(А) 1
(Б) 3
(В) 6
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Д
Решение:
Поскольку все четверо сказали правду, числа на карточках Саши могут быть 1 и 5 или 2 и 4, числа на карточках Миши – 1 и 6, 2 и 7, 3 и 8 или 4 и 9, числа на карточках Киры – 2 и 9 или 3 и 6, а числа на карточках Даши – 1 и 2, 2 и 4, 3 и 6 или 4 и 8. Предположим, числа на карточках Саши были 2 и 4. Тогда числа на карточках Киры могут быть только 3 и 6. Однако это не оставило бы никаких возможных вариантов для Даши. Следовательно, числа на карточках Саши были 1 и 5. Теперь предположим, что числа на карточках Киры были 2 и 9. Тогда числа на карточках Миши могут быть только 3 и 8. Однако это снова не оставляет возможных вариантов для Даши. Следовательно, числа на карточках Киры были 3 и 6. Наконец, предположим, что числа на карточках Миши были 4 и 9. Однако и это не оставляет возможных карточек для Даши. Следовательно, числа на карточках Миши были 2 и 7, а Даше достались карточки с цифрами 4 и 8. Следовательно, карточка с номером 9 осталась на столе.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Серёжа задумал число, прибавил к нему 8, от результата отнял 5 и получил 3. Какое число он задумал?
(А) 5
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: 0
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Серёжа любит подсчитывать сумму цифр на табло электронных часов. Например, если часы показывают 21:17, Серёжа получает число 11. Какую наибольшую сумму он может получить?
(А) 19
(Б) 23
(В) 24
(Г) 25
(Д) 36

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Числа a, b и c таковы, что a : b : c равно 1 : 2 : 3. Чему равно (a + b) : (b + c) : (c + a) ?
(А) 2 : 3 : 4
(Б) 3 : 5 : 4
(В) 3 : 5 : 6 1
(Г) 4 : 6 : 5
(Д) 2 : 6 : 5

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Прямая разрезает пятиугольник (не обязательно выпуклый) на несколько частей. Тогда ни одна из получившихся частей не может быть:
(А) треугольником
(Б) пятиугольником
(В) шестиугольником
(Г) семиугольником
(Д) все фигуры А-Г могут получиться

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Вера, Гена, Катя и Миша писали тест из 40 очень сложных заданий. Гена сделал в 3 раза больше ошибок, чем Вера. Катя допустила в 2 раза больше ошибок, чем Гена. А вот у Миши было в 3 раза меньше ошибок, чем у Кати. Оказалось, что в сумме ребята сделали 48 ошибок. Сколько заданий из 40 Миша сделал правильно?

Ответ: 32 задания.
Решение:
Пусть $x$ ошибок допустила Вера, тогда 3$x$ – Гена, 6$x$ – Катя и 2$x$ – Миша. Откуда $x$ + 3$x$ + 6$x$ + 2$x$ = 48, следовательно, $x$ = 4. Следовательно, Миша допустил 2 ∙ 4 = 8 ошибок, а правильно решил 40 − 8 = 32 задания.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
На какое наибольшее количество групп можно разбить числа 1, 2, 3, …, 100 так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)

Ответ: 51 группа.
Решение:
Заметим, что если в какой-то группе все числа чётные, то и сумма чисел в ней тоже чётная. Как известно, единственное простое чётное число — это 2. Значит, получить группу, состоящую только из чётных чисел, сумма которых является простым числом, можно единственным способом: взять в неё только число 2. В каждую из остальных групп придётся брать хотя бы одно нечётное число, поэтому таких групп не более 50. Итого получаем, что групп не более 51.
Теперь приведём пример разбиения на 51 группу. Для всех 𝑘 от 1 до 50, кроме 𝑘 = 2 и 𝑘 = 4, возьмём в группу с номером 𝑘 два числа 𝑘 и 101 − 𝑘, которые в сумме дают простое число 101.
В группу № 2 возьмём только число 2.
В группу № 4 возьмём числа 4 и 99, их сумма равна простому числу 103.
В группу № 51 возьмём только число 97, которое является простым.
Итого мы получили 51 группу, сумма чисел в каждой из которых — простое число.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Найдите наименьшее положительное целое число, цифры которого идут строго по возрастанию слева направо и его сумма цифр равна 26.

Искомое число не может быть двузначным или трёхзначным, т. к. 8 + 9 = 17 < 26 и 7 + 8 + 9 = 24 < 26. А значит это минимум четырёхзначное число. Цифра в разряде тысяч минимум 26 − 9 − 8 − 7 = 2. Значит, искомое число 2789.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2019 год, 1 этап

Задача:
В коробке лежат белые, жёлтые и чёрные шарики. Шариков каждого цвета разное число, не менее одного. Белых и жёлтых вместе – 6, а жёлтых и чёрных вместе – 4. Сколько белых шариков?

Ответ: 5 белых шариков.
Решение:
Как можно представить числа 6 и 4 в виде суммы двух слагаемых?
6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3
4 = 1 + 3 = 2 + 2
Шариков каждого цвета разное число, значит 3 + 3 и 2 + 2 не подходят. Единственный возможный вариант: чёрных – 3, жёлтых – 1, белых – 5.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Третьеклассница Лена всегда произносит по две фразы, одна из которых правда, другая – ложь. Как-то раз она сказала: «Вчера была пятница. Послезавтра будет четверг». Сразу после этого сказала: «Сегодня пятница. Четверг был позавчера». В какой день недели это произошло?

Ответ: В субботу.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Винни-Пух пошёл в магазин за мёдом. Цена одного горшочка — 1 фунт, но при покупке n горшочков (n < 100) покупатель получает скидку n%. Когда Винни вернулся домой, Кристофер Робин посмотрел на его покупку и сказал: «Глупенький мой мишка! Ты ухитрился заплатить за мёд наибольшую возможную сумму денег!». Сколько фунтов заплатил Винни-Пух?
(А) 10
(Б) 15
(В) 20
(Г) 25
(Д) 50

Ответ: Г
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 5 тур

Задача:
Найдите наименьшее десятизначное число, состоящее из попарно различных цифр, у которого сумма первых двух цифр равна сумме последних трёх цифр.

В начале стоит цифра 1. Тогда минимальная сумма трёх последних равна 0 + 2 + 3 = 5, тогда вторая цифра 4: 1456789023.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
В прямоугольнике 1000 × 1003, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
(А) 1000
(Б) 1003
(В) 2002
(Г) 2003
(Д) 2004

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Сколько острых углов в 2009 тупоугольных треугольниках?
(А) 0
(Б) 2009
(В) 4018
(Г) 6027
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Какую наибольшую сумму цифр может иметь пятизначное число, делящееся на 7?

Ответ: 44.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2018 год

Задача:
На улице Радужной все дома расположены один ряд. Каждый из домов покрашен в один какой-то из 5 цветов. Оказалось, что для любых двух из этих цветов можно найти соседние дома, покрашенные в эти два цвета. Какое наименьшее количество домов может быть на улице Радужной?

Ответ: 11
Решение:
Всего возможных пар цветов (5х4):2=10. Поставим между каждой парой домов, выбранных двух цветов – флажок. Тогда для каждой пары цветов флажок как минимум один. И флажков не может быть меньше, чем промежутков между домами. Но для 10 промежутков домов 11. Пример для 11 домов КОЖЗГКЖГОЗК или 12345135241
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Оливер рисует на клетчатой бумаге прямоугольники, состоящие из 2009 клеточек, и вычисляет их периметры. Сколько разных результатов он может получить?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 10

Ответ: В
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Эльфы смастерили волшебный шкаф. Каждый эльф может забрать из шкафа одну игрушку, а в шкафу появятся новые!
1. Если забрать ёлочный шарик, в шкафу появятся оленёнок и снеговик.
2. Если забрать гирлянду, появятся шарик и оленёнок.
3. Если забрать любую другую игрушку, в шкафу появится эта же игрушка.

Через день в шкафу стало 5 оленят, 4 снеговика, 3 шарика и 2 гирлянлы. А что было в нём изначально, если оленят и снеговиков точно не было?

Ответ: 6 шариков и 3 гирлянды.
Решение:
количество снеговиков увеличилось на 4, значит, 4. раза забирали ёлочный шарик (и появлялись снеговик и оленёнок). Значит, до этих операций оленят было 5 – 4 = 1, шариков 3 + 4 = 7, количество гирлянд не менялось (их 2). Раз оленят в итоге стало 5, значит, ещё один раз забирали гирлянду (и появлялись оленёнок и шарик). Шариков до этого было 7 – 1 = 6, гирлянд — 2 + 1 = 3.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Лёня сложил два двузначных числа. Какой результат он мог получить?
(А) 12
(Б) 18
(В) 19
(Г) 84
(Д) 223

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 3 тур

Задача:
Можно ли расположить на плоскости два неравных квадрата так, чтобы все расстояния между вершинами одного квадрата и вершинами другого были равны либо стороне меньшего квадрата, либо стороне большего квадрата?

Ответ: да.
Решение:
Нарисуем меньший квадрат и на нем во внешнюю сторону построим равносторонние треугольнички. Тогда третьи их вершины образуют больший квадрат. Условие проверяется непосредственно для любой вершины большего квадрата.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
В кувшине в пять раз больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 3 стаканов воды меньше, чем в кувшине. Сколько стаканов воды в кувшине и чайнике вместе?
(А) 12
(Б) 14
(В) 16
(Г) 18
(Д) 20

Ответ: А
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
У Кота Учёного есть 64 яйца грязевиков. Он разложил их по одному в коробочку, а затем сложил из этих коробочек куб 4×4×4.
Грязевик — страшный зверь. Через 7 секунд после вылупления маленький грязевичок издаёт крик, от которого во всех соседних по граням коробочках вылупляются грязевики (если они там ещё не вылупились).
В некоторый момент Кот вышел на минуту, сильно хлопнув дверью. От хлопка из одного из яиц вылупился грязевик.
Сколько грязевиков вылупится к тому моменту, как Кот вернётся? Найдите все варианты.

За то время, пока кот отсутствовал, произойдёт 8 вылуплений грязевиков. Грязевики вылупятся в тех клетках, до которых можно добраться от первоначального грязевика не более чем за 8 шагов «из кубика в соседний с ним по грани».
Если начальный грязевик вылупился не в углу куба, то от него до любого кубика можно добраться не более чем за 8 шагов. Если же он вылупился в углу, то единственный кубик, до которого нельзя добраться за 8 шагов — противоположный.
Ответ: 63 или 64.
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2015 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Каждый пират либо всегда лжёт, либо всегда говорит правду. Купец же может сказать что угодно когда угодно. Как-то раз Хью зашёл в таверну и услышал, как три человека, кричали друг другу следующее.
- Первый второму: «Ты только что солгал!»
- Второй третьему: «Ты только что солгал!»
- Третий первому: «Ты только что солгал!»
- Первый второму: «Ты только что солгал!»
- Второй третьему: «Ты только что солгал!»

Какое наименьшее количество купцов могло быть среди этих троих?

Ответ: 1
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 2 тур

Задача:
Решите ребус: ТУРНИР + ОСТРОВ = МИНИБОИ (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Посмотрим на разряды десятков: И = 0, но тогда Р + В = 10 и 1 + 0 + О не равно О, или И = 9 и Р + В дают переход через десяток, но Р + В < 19 — противоречие. Решений нет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Вычислите: $\displaystyle \left(\frac{1 + 2}{3} + \frac{4 + 5}{6} + \ldots + \frac{2002 + 2003}{2004}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{668}\right)$
(А) 668
(Б) 1336
(В) 2002
(Г) 2003
(Д) 2004

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.
- 1 сентября они суммарно получили 10 пятёрок, причём Петя получил пятёрок больше, чем Вася;
- 2 сентября Вася получил 3 пятёрки, а Петя не получил ни одной;
- по итогам этих двух дней Вася получил больше пятёрок, чем Петя.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ: Петя получил 6 пятёрок, а Вася — 7.
Решение:
Первого сентября Петя получил больше пятёрок, чем Вася, поэтому Петя получил хотя бы 6 пятёрок, а Вася получил не более 4 пятёрок.
Если к ним прибавить пятёрки второго дня, то получим, что Петя получил хотя бы 6 пятёрок, а Вася получил не более 7 пятёрок.
Так как Вася получил за два дня больше пятёрок, то он получил ровно 7 пятёрок, а Петя — ровно 6 пятёрок.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Напишите трёхзначное число, каждая следующая цифра которого на 3 больше, чем предыдущая, а сумма цифр числа равна 15.

Ответ: 258.
Решение:
Решаем подбором первой цифры трёхзначного числа.
Если первая цифра 1, то получаем число 147 – не подходит, так как сумма его цифр 12.
Цифра 2 подходит. Это число 258.
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
2 + 5 + 8 = 15
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Назовём прямоугольный параллелепипед хорошим, если его можно разрезать на два равных прямоугольных параллелепипеда, имеющих хотя бы по одной квадратной грани. Сколько существует хороших прямоугольных параллелепипедов, имеющих грань 2 × 6?
(А) 2
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
В августе одного из прошлых лет три воскресенья пришлись на чётные числа. Какой день недели был 9 августа этого года?

Ответ: Воскресенье.
Решение:
Заметим, что два следующих друг за другом воскресенья разной чётности, потому что между ними разница в 7 дней. Значит, это были три воскресенья через одно. А поскольку в месяце максимум 5 воскресений, то это первое, третье и пятое. Между первым и пятым воскресеньем разница в 4 недели. Значит первое воскресенье – это 2 августа, а пятое – 30.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2006 год

Задача:
В семье у каждого из трёх братьев есть сестра. Сколько в этой семье мальчиков и девочек?

Ответ: в семье 3 мальчика и 1 девочка.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В квадрате $ABCD$ через точку $E$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, параллельная стороне $AD$. Точка пересечения этой прямой и стороны $CD$ обозначена $F$. Из точки $A$ на $BF$ опущен перпендикуляр $AM$. Найдите величину угла $EMD$.

Ответ: 90°.
Решение:
Поскольку $AEFD$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $AF$ является диаметром этой окружности, так как на $AF$ опирается прямой угол $ADF$. Докажем, что точка $M$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $AMF$ прямой, и он также опирается на диаметр $AF$, если бы точка $M$ лежала внутри окружности, угол $AMF$ был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $EMD$ – прямой, так как точка $M$ лежит на окружности, а $ED$ – диаметр этой окружности.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Вдоль главной улицы в Волшебном лесу стоит 7 ёлок. Эльфы между каждыми двумя соседними ёлками натянули по гирлянде. Белочки на каждую гирлянду повесили по 3 шишки. Птички между каждыми соседними шишками на каждой гирлянде повесили по 1 ёлочному шарику. Сколько всего шариков повесили птички?

Ответ: 12 шариков.
Решение:
Между 7 ёлками, расставленными в ряд, натянуто 6 гирлянд. На каждой гирлянде 3 шишки, а между соседними шишками – по шарику. То есть, шариков 2 на каждой гирлянде. А так как гирлянд 6, то шариков 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Коты Тоша и Малыш едят из одной плошки. Первым подбегает Малыш и съедает треть всей еды. Потом Тоша съедает половину того, что осталось. После этого Малыш съедает треть того, что осталось, и так далее. За день каждый из котов ест 5 раз. Тогда к концу дня
(А) Малыш съест больше Тоши
(Б) коты съедят поровну
(В) Тоша съест в три раза больше
(Г) еда кончится
(Д) Тоша съест в полтора раза больше

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Выпишем в порядке возрастания все четырёхзначные числа, которые можно получить, переставляя цифры числа 2011. Чему равна разность между ближайшими соседями числа 2011 в этом ряду?
(А) 890
(Б) 891
(В) 900
(Г) 909
(Д) 990

Ответ: (Б) 891
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Фея собирается на новогодний бал. У неё есть красное, золотое и фиолетовое платья, а также туфли и накидки таких же цветов. На примерку одного наряда — платья, туфель и накидки — фее нужно три минуты. Сколько времени фея потратит на примерку всех возможных нарядов, если все три предмета разных цветов фея ни за что не наденет, так как считает это безвкусицей?

Ответ: 63 минуты.
Решение:
всего возможно нарядов 3 × 3 × 3 = 27. Из них ей не годятся 6 — из красного, золотого и фиолетового предметов (3 × 2 × 1 = 6). Следовательно, подходящих нарядов 27 – 6 = 21, а времени надо 21 × 3 = 63. Или аккуратный перебор.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Через 5 часов наверняка уже будет «завтра». Сколько часов назад наверняка было «вчера»?
(А) 18
(Б) 20
(В) 30
(Г) 44
(Д) 47

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Во дворе бегают 14 кошек и котят. Каждая кошка-мама. вывела на прогулку не меньше двух своих котят. Каким может быть наибольшее количество кошек-мам?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: 4
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок собирался в поход. Он сложил всё нужное в три рюкзака разного цвета, и поставил их у стены. В одном рюкзаке была одежда, в другом – еда, в третьем — снаряжение. Он помнит, что синий рюкзак правее, чем еда; одежда правее, чем синий рюкзак; зелёный рюкзак стоит левее красного. В рюкзаке какого цвета лежит одежда?

Ответ: В красном.
Решение:
Из условий следует, что слева направо расположены: еда, синий рюкзак, одежда. Зелёный рюкзак стоит левее красного, значит, самый левый — зелёный, и в нём еда. Одежда в правом красном рюкзаке.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Среди попарных сумм некоторых 10 чисел не все целые. Какое наибольшее количество попарных сумм могут быть целыми?
(А) 45
(Б) 40
(В) 36
(Г) 24
(Д) 10

Ответ: (В) 36
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
В первом аквариуме на 12 рыбок больше, чем во втором. Сколько рыбок надо переселить из первого аквариума во второй, чтобы рыбок в них стало поровну?
(А) 12
(Б) 8
(В) 6
(Г) 4
(Д) 2

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Найдите наименьшее число, больше 1000, оканчивающееся на те же три цифры, что и число 512 и кратное 512.

Если от нужного нам числа отнять 512, то получим, число, кратное 512 и оканчивающееся на три нуля. Тогда если отбросить три нуля, оставшееся число должно быть кратно 512 : 8 = 64, т. к. 1000 делится на 8. Наименьшее такое число равно 64, значит, наше число равно 64512.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Сколько минут проходит от середины второй четверти часа до середины его четвёртой четверти?
(А) 15
(Б) 20
(В) 30
(Г) 40
(Д) 45

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
В некотором месяце было 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред. В предыдущем месяце было только 4 воскресенья. Тогда в следующем месяце будет
(А) ровно 4 пятницы
(Б) ровно 4 субботы
(В) 5 воскресений
(Г) 5 сред
(Д) так не бывает

Ответ: (Б) ровно 4 субботы
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
Расставьте знаки арифметических действий, чтобы получился верный пример: 1234567 = 2010.

Ответ: Например так: (1 + 23) : 4 ⋅ 5 ⋅ 67 = 2010.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
У каждого из четырёх ребят живёт какое-то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка или канарейка (у всех разные). У Манон животное – с пушистой шерстью, у Фабиана – четвероногое, у Николя – пернатое. И Жюли, и Манон не любят кошек. Какое из следующих утверждений неверно?
(А) У Фабиана – собака
(Б) У Николя – канарейка
(В) У Фабиана – кошка
(Г) У Жюли – рыбка
(Д) У Манон – собака

Ответ: (А) У Фабиана – собака
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2014 год

Задача:
Почтальон Печкин вышел из Простоквашино, а милиционер Свистулькин – из села Сметанино. Они встретились у километрового столба, с двух сторон которого были написаны расстояния до Сметанино и до Простоквашино. Печкин заметил, что это два разных числа, записанных одними и теми же цифрами, но в разном порядке. Каково наименьшее расстояние может быть между Простоквашино и Сметанино?

Ответ: 33 км.
Решение:
Поскольку мы хотим, чтобы расстояние было как можно меньше, то числа на указателе двузначные, а не трёх- и более значные. Таким образом, для нахождения расстояния мы складываем двузначные числа с разным количеством десятков. Чтобы сумма была как можно меньше, нужно, чтобы это были минимально возможные цифры. Поскольку там нет нуля (число на указателе не может начинаться с нуля), но следующие самые маленькие цифры – это 1 и 2. Следовательно, искомое расстояние 12 + 21 = 33.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
В мешке лежали карточки с числами от 1 до 20. Влад вытащил 6 карточек и сказал, что все эти карточки можно разбить на пары так, что суммы чисел в каждой паре одинаковые. Лена успела подсмотреть 5 карточек Влада: на них были написаны числа 2, 4, 9, 17, 19. Карточку с каким числом не успела подсмотреть Лена? (Достаточно привести один подходящий ответ.)

Ответ: 12.
Решение:
Чтобы вычислить ответ, надо из указанных пяти чисел выбрать четыре так, чтобы сумма двух из них равнялась сумме двух других. Перебором несложно убедиться, что это числа 2, 4, 17, 19 (2 + 19 = 4 + 17).
Таким образом, на оставшейся карточке написано число 12 (2 + 19 = 4 + 17 = 9 + 12).
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между трёмя осьминогами состоялся такой разговор.
- Зелёный осьминог: «У нас вместе 24 ноги».
- Синий осьминог: «Ты прав!»
- Красный осьминог: «Глупости, Зелёный говорит ерунду!»

Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)

Ответ: У Зелёного осьминога 7 ног, у Синего осьминога 7 ног, у Красного осьминога 8 ног.
Решение:
Из условия задачи следует, что количество ног и правдивость высказываний связаны однозначно. Синий и Красный осьминоги про слова Зелёного осьминога произнесли противоречащие друг другу фразы. Значит, кто-то из них сказал правду, а кто-то ложь. А это, в свою очередь, означает, что у кого-то из них 7 ног. Таким образом, слова Зелёного осьминога — ложь (в противном случае у каждого из трёх осьминогов должно быть по 8 ног, иначе общее количество ног меньше 24).
Подведем итоги: Зелёный осьминог сказал ложь, у него 7 ног; тогда Синий осьминог сказал ложь, у него 7 ног, а Красный осьминог сказал правду, у него 8 ног.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Маша и Даша вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 6 минут. Через сколько минут после встречи Маша подойдёт к дому Даши, если скорость Даши в два раза больше скорости Маши?

Ответ: 12 минут.
Решение:
Путь от дома до места их встречи Даша прошла за 6 минут. Так как скорость Маши в два раза меньше, то она пройдёт этот путь за 12 минут.