d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Сколько пар различных чётных натуральных чисел ($x$, $y$) удовлетворяет уравнению $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{1404}$?

Ответ: 62 пары.
Решение:
Приведем уравнение к виду $xy − 1404x − 1404y = 0$, и разложим на множители: $(x − 1404)(y − 1404) = 1404^2$. Каждое решение соответствует разложению числа $N = 1404^2$ на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, $x − 1404<0$, то $x<1404$, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа $N$.
Пусть $N = n\cdot m$ ($n = x − 1404$, $m = y − 1404$). Разложим $N$ на простые множители: $N = 2^4⋅3^6⋅13^2$. Произвольный делитель $N$ имеет вид $2^a⋅3^b⋅13^c$, где $a$ может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4}, $b$ — значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, $c$ — значения {0, 1, 2}. Однако числа $x$, $y$, а значит, и числа $n = x − 1404$, $m = y − 1404$, должны быть чётными. Значит, в равенстве $N = n\cdot m$ первый множитель $n$ должен содержать степень 2, отличную от 0 и от 4 (иначе второй делитель являлся бы нечётным числом). Поэтому $a$ может принимать только значения {1, 2, 3}, и всего пар чётных множителей 3 ⋅ 7 ⋅ 3 = 63. Одна пара состоит из равных множителей, каждый из которых равен $\sqrt{N} = 2^2⋅3^3⋅13$ = 1404, при этом $x$ = $y$ = 2808, эта пара не удовлетворяет условию. Очевидно, что в любой другой паре делители не равны, и $x\neq y$.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2017 год

Задача:
В комнате дедушки висит двое часов с кукушками. Кукушки кукуют каждый час количество полных часов и ещё 1 раз каждые полчаса (например, в 6:00 кукушка прокукует 6 раз, а в 6:30 она прокукует 1 раз). Одни часы показывают точное время, вторые отстают на 15 минут. Сколько «Ку-ку» услышит внук Гриша, пока гостит у дедушки с 12:00 до 3:20?

Ответ: 42 «Ку-ку».
Решение:
Часы, показывающие верное время, пробьют: в 12:00 12 раз, в 12:30 1 раз, в 1:00 1 раз, в 1:30 1 раз, в 2:00 2 раза, в 2:30 1 раз, в 3:00 3 раза. Итого, 12+1+1+1+2+1+3=21 раз. Отстающие часы пробьют: в 12:15 12 раз, в 12:45 1 раз, в 1:15 1 раз, в 1:45 1 раз, в 2:15 2 раза, в 2:45 1 раз, в 3:15 3 раза. Итого тоже 21 раз
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Вчера Васин дедушка, отмечая свой день рождения, сказал: «Вот мне и пошёл восьмой десяток!» Вася, который любит все считать в дюжинах, сообщил, что восьмая дюжина пойдёт дедушке через
(А) 2 года
(Б) 4 года
(В) 12 лет
(Г) 14 лет
(Д) 16 лет

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Маша старше Миши ровно на один месяц (дни их рождения приходятся на одно и то же число в двух соседних месяцах), а Даша старше Миши на столько же дней, на сколько Маша старше Даши. В каком месяце не могла родиться Даша?
(А) в апреле
(Б) в мае
(В) в июне
(Г) в июле
(Д) в августе

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Чему равна половина от третьей части удвоенного числа 3?
(А) 1/6
(Б) 1/2
(В) 1/3
(Г) 1
(Д) 2

Ответ: (Г) 1
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Вася шифрует числа. Сначала он выписывает произведение первой и второй цифр, за ним — второй и третьей, и так далее. Например, число 346 превратится в 1224. Сколько чисел превращается в 5648?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: 2 числа
Решение:
Это числа 786 и 5168.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Каждый год в день конкурса «Кенгуру» Вася несется в школу из дома бегом. В этом году ему понадобилось на дорогу на 20% меньше времени, чем в прошлом. Это значит, что его скорость возросла на
(А) 10%
(Б) 20%
(В) 25%
(Г) 50%
(Д) 100%

Ответ: (В) 25%
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На доске было написано пять последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма оставшихся получилась 35. Какое число стёрли?

Ответ: 10.
Решение:
Были написаны числа: 7, 8, 9, 10, 11.
Стёрли число: 10.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2018 год, 2 этап

Задача:
На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школьниками. Известно, что
- никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;
- рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;
- всего в первом ряду сидят 9 девочек.

Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответ обоснуйте.)

Ответ: нет, не могло.
Решение:
Поскольку никакие две девочки не сидят рядом, каждая девочка сидит между двумя мальчиками. Таким образом, весь ряд представляет со-бой «группы» подряд сидящих мальчиков, причём между соседними группами мальчиков сидит ровно одна девочка.
По условию рядом с каждым мальчиком сидит ещё один мальчик, поэтому в каждой группе находятся хотя бы 2 мальчика. А так как всего девочек 9, то групп мальчиков хотя бы 8. Получается, что всего детей хотя бы 9 + 2 · 8 = 25. Но их ровно 25, значит, групп мальчиков ровно 8, и в каждой группе ровно 2 человека.
Тогда рассадка детей восстанавливается однозначно, и на девятом месте сидит девочка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Какой из следующих фактов опровергает утверждение «Все простые числа, оканчивающиеся на 1, меньше 100»?
(А) 11 меньше 100
(Б) 13 – простое число
(В) 103 больше 100
(Г) 111 больше 100
(Д) 101 больше 100

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Что получится, если к удвоенной тройке прибавить утроенную двойку?
(А) 5
(Б) 6
(В) 10
(Г) 12
(Д) 15

Ответ: 12
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Оля написала на своём листке несколько чисел, оканчивающихся на 2, а Катя написала на своём листке столько же чисел, оканчивающихся на 3. Потом Оля написала на своём листке несколько чисел, оканчивающихся на 3, а Катя написала на своём листке столько же чисел, оканчивающихся на 4. У каждой девочки на листке оказалось записано по 25 чисел. Могут ли суммы чисел Оли и Кати быть равными?

Ответ: Нет.
Решение:
Каждая девочка написала 25 чисел. Пусть у Оли чётное количество чисел, оканчивающихся на 2 (чётных), тогда у неё нечётное количество чисел, оканчивающихся на 3 (нечётных). Сумма всех чисел нечётна. У Кати тогда чётное количество чисел, оканчивающихся на 3 (нечётных), и нечётное количество чисел, оканчивающихся на 41 (чётных). Сумма всех чисел чётна.
Если же у Оли нечётное количество чисел, оканчивающихся на 2 (чётных), тогда у неё чётное количество чисел, оканчивающихся на 3 (нечётных). Сумма всех чисел чётна. У Кати тогда нечётное количество чисел, оканчивающихся на 3 (нечётных), и чётное количество чисел, оканчивающихся на 4 (чётных). Сумма всех чисел нечётна. Четное и нечётное числа не могут быть равны, поэтому суммы не могут быть равны.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
После того, как Сэм поднялся на третью ступеньку лестницы, он стал шагать через одну ступеньку. На какой ступеньке он окажется после трёх таких шагов?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 9
(Д) 11

Ответ: 9
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Арсений выписал в ряд натуральные числа от 1 до 2019, затем Костя некоторым образом их переставил, пронумеровал и подписал под каждым номер, а затем Женя для каждой пары чисел (число и его номер) вычел из большего числа меньшее. Могли ли все получившиеся разности оказаться нечётными числами?

Если все разности нечётны, то число и номер должны быть разной чётности. Раз числа и номера — это два набора от 1 до 2019, то чётных и нечётных чисел должно быть поровну. Но среди первых 2019 натуральных чисел 1010 нечётных и 1009 чётных.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Если длины сторон трапеции — целые числа, то её периметр не может быть равен
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 2013

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Роман, Федя, Лиза, Катя и Андрей пришли на занятие кружка. Роман пришёл позже Лизы, Федя раньше Романа и сразу за Катей. Катя пришла раньше Лизы, но не была первой. Кто из ребят пришёл на занятие третьим?
(А) Роман
(Б) Андрей
(В) Лиза
(Г) Катя
(Д) Федя

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2019 год

Задача:
Если бутявка скажет правду, то она окрашивается в зелёный цвет. А если солжёт – окрашивается в красный. Однажды две такие бутявки встретились.
- Первая сказала: «Мы обе красные».
- А потом вторая сказала: «Вот если бы мы промолчали, мы бы сейчас обе были бы красными».

Одного ли цвета бутявки после этой фразы?
Комментарий: Если бутявка была красной и солгала, она останется красной. Если была зелёной и сказала правду, то останется зелёной.

Ответ: Одного.
Решение:
Фраза второй бутявки означает «Изначально мы обе были красными». Таким образом обе бутявки говорят об одном и том же. Поэтому эти фразы либо обе ложны (и тогда бутявки обе станут красными), либо обе истинны (и тогда обе бутявки станут зелёными).
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Аня записывает в тетради четырёхзначные числа, а Тоня записывает пятизначные числа. В каждом числе Тони и Ани нет нуля и нет одинаковых цифр, и цифры расположены в порядке убывания. Сколько разных чисел может написать Аня, и сколько — Тоня?

Ответ: Каждая может написать 126 чисел.
Решение:
Пусть, когда Аня использует какие-то 4 цифры из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то Тоня использует остальные 5 цифр. Каждый набор различных цифр можно расположить в порядке убывания единственным образом. Значит, чисел у них будет поровну. Число четвёрок цифр равно 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024. Каждую четвёрку цифр можно переставить числом способов равно 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24, и только один раз цифры будут расположены в порядке убывания. Поэтому всего Аня может написать 3024 / 24 = 126 чисел. Столько же чисел будет и у Тони.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2023 год, 2 вариант

Задача:
По обе стороны дороги стоят столбы так, что расстояние между первым и последним столбами с каждой стороны равно 37 км. С левой стороны стоит 125 столбов, и расстояние между соседними столбами одинаковое. С правой стороны расстояние между соседними столбами тоже одинаковое, но оно на треть больше, чем с левой. Сколько всего столбов стоит справа?

Ответ: 94 столба.
Решение:
Слева стоит 125 столбов, между ними 124 расстояния. Каждое расстояние равно 37 / 124 км.
Справа расстояние на треть больше, то есть (37 / 124) ⋅ (4 / 3) = 37 / 93 км.
Значит справа 93 расстояния между столбами, а всего справа 94 столба.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
У Сергея было 92 листа картона и 135 листов цветной бумаги. На суперсамолётик у него уходит один лист картона и один лист цветной бумаги. После того, как он сделал несколько самолётиков, листов картона осталось в 2 раза меньше, чем цветных листов. Сколько самолётиков собрал Серёжа?

Пусть Сергей собрал 𝑥 самолётиков. Тогда составим уравнение 2 · (92 − 𝑥) = 135 − 𝑥, 𝑥 = 49.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
У пяти девочек 16 конфет. У каждой из них разное число конфет, хотя бы одна конфета есть у каждой. Больше всего у Маши. Сколько конфету Маши?

Ответ: 6 конфет.
Решение:
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
У Маши 6 конфет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
У Кати вчера был день рождения. Завтра будет пятница. В какой день недели был день рождения Кати?
(А) во вторник
(Б) в среду
(В) в пятницу
(Г) в субботу
(Д) в воскресенье

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Решите уравнение $ \sqrt[4]{x+3}+\sqrt[4]{94-x}=5$

Ответ: 13; 78
Решение:
$ \sqrt[4]{x+3}+\sqrt[4]{94-x}=5 $
$ u=\sqrt[4]{x+3}$, $u^4=x+3 $
$ v=\sqrt[4]{94-x}$, $v^4=94-x $
Сложим почленно уравнения $u^4=x+3$ и $v^4=94-x$. Получим $u^4+v^4=97$.
Система примет вид $\left\{\begin{array}{l}u+v= 5, \\ u^4+v^4= 97 .\end{array}\right.$
Преобразуем второе уравнение.
$ u^4+v^4=97$, $\left(u^2+v^2\right)^2 − 2 u^2 v^2=97$, $\left((u+v)^2 − 2 u v\right)^2 − 2 u^2 v^2=97$
$ (25 − 2 u v)^2 − 2 u^2 v^2=97$, $625 − 100 u v+4 u^2 v^2 − 2 u^2 v^2=97$, $(u v)^2 − 50 u v+264=0 $
$\displaystyle \frac{D}{4}=25^2 − 264=361=19^2 $
$ u v=44 $ или $ u v=6 $
$ \left\{\begin{array}{l} u+v=5, \\ u v= 44 . \end{array}\right. $
Система не имеет решений.
$ \left\{\begin{array}{l} u+v=5, \\ u v=5 . \end{array}\right. $
Решения системы: (3 ; 2), (2 ; 3)
Если $ \left\{\begin{array}{l} u=3, \\ v=2, \end{array}\right. $
$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt[4]{x+3}=3, \\ \sqrt[4]{94-x}=2, \end{array}\right. $
$ x = 78 $
Если $ \left\{\begin{array}{l} u=2, \\ v=3, \end{array} \right. $
$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt[4]{x+3}=2, \\ \sqrt[4]{94-x}=3, \end{array} \right. $
$ x = 13 $
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Во время Зимней универсиады из международного аэропорта «Красноярск» на автовокзал через каждые 3 минуты отправляется шаттл, который едет 1 час. Через 2 минуты после отправления шаттла из аэропорта выехал автомобиль и ехал до автовокзала 35 минут. Сколько шаттлов обогнал автомобиль?

Ответ: 8 шаттлов.
Решение:
Пусть автомобиль выехал в 16:00, тогда он приехал в 16:35. Обогнал он те шаттлы, которые выехали раньше него, а приедут позже. Так как шатал едет ровно час, то нам надо подсчитать количество шаттлов, которые отправились из аэропорта позже 15:35, но раньше 16:00. Последний из этих шаттлов выехал за две минуты до автомобиля, то есть в 15:58. К этому моменту с 15:35 прошло 23 минуты, но 23 = 3 ⋅ 7 + 2, следовательно, кроме этого последнего шаттла автомобиль обгонит ещё семь (самый ранний из них выехал в 15:37).
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
На спортивные соревнования среди шестиклассников пришло несколько учеников, причём некоторые из них были с папами, а всего учеников и пап было 56 человек. Оказалось, что учеников, пришедших без пап, на 10 меньше, чем остальных учеников. Сколько пап присутствовало на соревнованиях? (Папы не приходили без детей, у каждого папы на соревнованиях по одному ребёнку).

Ответ: 22 папы.
Решение:
Пусть $x$ учащихся пришло без пап, тогда $x$ + 10 учащихся пришли с папами. Зная, что всего пришло 56 человек, составим уравнение $x$ + 2($x$ + 10) = 56, откуда $x$ = 12. Тогда пап: 12 + 10 = 22.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2020 год, 1 вариант

Задача:
Натуральное число 𝑛 назовём хорошим, если 2020 при делении на 𝑛 даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?

Ответ: 10.
Решение:
В последующем решении выражение вида 𝑎^𝑘 — число 𝑎 в степени 𝑘 — это число 𝑎, умноженное на себя 𝑘 раз. Также будем считать 𝑎^0 = 1. Например, 3^2 = 3 ⋅ 3 = 9, а 2^0 = 1.
Поскольку 2020 при делении на 𝑛 даёт остаток 22, то 2020 − 22 = 1998 делится на 𝑛, а также 𝑛 > 22 (поскольку остаток от деления меньше делителя). Значит, надо найти количество делителей числа 1998, которые больше 22. Очевидно, любое такое число является хорошим.
Разложим 1998 на простые множители: 1998 = 2 ⋅ 3^3 ⋅ 37. Любой его делитель, делящийся на 37, больше 22, поэтому он является хорошим числом. Такие делители представляются в виде 2^𝑎 ⋅ 3^𝑏 ⋅ 37, где 𝑎 может принимать одно из значений 0, 1 (2 варианта), 𝑏 может принимать одно из значений 0, 1, 2, 3 (4 варианта). Значит, таких делителей 2 ⋅ 4 = 8.
Теперь посчитаем количество делителей, не делящихся на 37. Такие делители представляются в виде 2^𝑐 ⋅ 3^𝑑, где 𝑐 может принимать одно из значений 0, 1, а 𝑑 может принимать одно из значений 0, 1, 2, 3. Если 𝑑 < 3, то такой делитель не превосходит 2 ⋅ 3^2 < 22, поэтому не является хорошим числом. Если 𝑑 = 3, то такой делитель не меньше 3^3 > 22, поэтому является хорошим числом. Таких делителей всего два: 3^3 и 2 ⋅ 3^3.
Итого хороших чисел 8 + 2 = 10.
Замечание: Зная, что 1998 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 37, можно просто выписать все 16 делителей этого числа и убедиться, что ровно 10 из них превосходят 22:
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 37, 54, 74, 111, 222, 333, 666, 999, 1998.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Из какого числа нужно вычесть утроенную разность чисел 62 и 48, чтобы получить удвоенную сумму чисел 17 и 38?

Ответ: 152.
Решение:
х − 3⋅(62 − 48) = 2⋅(17 + 38)
х − 3⋅14 = 2⋅55
х − 42 = 110
х = 110 + 42
х = 152
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
Если числа 5, 24, 9, 14 и 10 записать в порядке возрастания, какое число окажется третьим?
(А) 5
(Б) 24
(В) 9
(Г) 14
(Д) 10

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2024 год

Задача:
У бабушки было некоторое количество конфет. Она решила разделить их поровну между внуками и дала каждому максимально возможное число конфет. В результате оказалось, что внукам досталось по 20 конфет, и 12 конфет остались у бабушки. Какое наименьшее возможное количество конфет было у бабушки изначально?
(А) 52
(Б) 232
(В) 272
(Г) 411
(Д) 432

Ответ: В
Решение:
У бабушки осталось 12 конфет, значит внуков больше, чем 12. Чтобы посчитать наименьшее возможное количество конфет, возьмём наименьшее возможное количество внуков – 13. Тогда всего конфет было 13 ⋅ 20 + 12 = 272.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
У Остапа 4 брата. Однажды мама принесла 50 конфет и высыпала их на тарелку. Остап взял себе сколько-то конфет. А потом конфеты брали остальные братья. Каждый следующий брал как минимум в 2 раза больше, чем предыдущий. Какое наибольшее число конфет мог взять Остап?

Ответ: 1.
Решение:
Если бы Остап взял хотя бы 2 конфеты, то следующий брат должен был взять не менее 4 конфет, следующий – не менее, чем 8, следующие – 16 и 32. Сумма всех конфет тогда будет больше 50. Если же Остап взял 1 конфету, то сумма 1+2+4+8+16 меньше 50 и так могло быть.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Длина крокодила от головы до хвоста равна 4,5 метра, а от хвоста до головы — 24 пяди. Это означает, что одна пядь
(А) меньше 15 см
(Б) больше 15, но меньше 16 см
(В) больше 17, но меньше 18 см
(Г) больше 18, но меньше 19 см
(Д) больше 20 см

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Биссектриса AD △ABC делит сторону BC на отрезки BD = 4 см и DC = 8 см. Найдите AB, если периметр △ABC равен 30 см. Дайте ответ в сантиметрах.

Ответ: 6 см.
Решение:
Пусть AB = x см, тогда AC = 30 − x − (4 + 8) = 18 − x см.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
4 / 8 = х / (18 − х)
1 / 2 = х / (18 − х)
2х = 18 − х
3x = 18
x = 6 (см)
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Коты Тоша и Малыш разлеглись на диване. Тоша лёг первый, а потом лёг Малыш, который занял четверть свободного места. Вместе они заняли ровно половину дивана. Какую часть дивана занял Тоша?
(А) 1/2
(Б) 1/3
(В) 1/4
(Г) 1/6
(Д) 1/12

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На доске выписаны все такие трёхзначные числа, которые без остатка делятся на 3 и имеют одинаковые первую и третью цифры. Чему может равняться наименьшая разность между двумя числами с доски?

Ответ: 21.
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Холмы в Тридевятом Царстве называются так: Бо, Тал, Хан, Фит.
Поднёс Илья Муромец длань к челу, да узрел, что холмы выстроились по убыванию высоты: слева самый высокий, справа самый низкий. Илья знает, что:
- Фит стоит правее, чем Хан
- правым соседом Бо является Тал
- ни Бо, ни Тал не стоят с краю

Отметь все верные утверждения:
1. Хан выше, чем Бо
2. Бо выше, чем Фит
3. Хан не выше, чем Фит 
4. Тал не ниже, чем Хан
5. Бо выше, чем Тал
6. Хан не ниже, чем Тал


Ответ: верны 1), 2), 5), 6).
Решение:
Бо и Тал стоят посередине. Слева от них может стоять только Хан, поскольку Хан левее, чем Фит. Поэтому справа от них стоит Фит.
Итого порядок холмов такой: ХБТФ.
При этом верны следующие высказывания:
1) Хан выше, чем Бо
2) Бо выше, чем Фит
5) Бо выше, чем Тал
6) Хан не ниже, чем Тал
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
На следующий день после дня рождения Петя сказал: «Послезавтра будет среда». Когда у Пети был день рождения?
(А) в понедельник
(Б) во вторник
(В) в пятницу
(Г) в субботу
(Д) в воскресенье

Ответ: Д
«Послезавтра будет среда» Петя мог сказать только в понедельник. А день рождения у Пети был на день раньше, то есть в воскресенье.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Утром ученики 6А, 6Б классов в рамках зимней универсиады пошли смотреть кёрлинг, а ученики. 6В, 6Г — шорт-трек. Оказалось, что на кёрлинге было на 17 шестиклассников больше, чем на шорт-треке. Вечером 6А и 6В пошли на концерт, а 6Б и 6Г — на балет. Оказалось, что на концерте было на 10 шестиклассников меньше, чем на балете. Могло ли такое быть?

Ответ: Нет, не могло.
Решение:
Пусть на шорт-трек пошли $k$ школьников, тогда на кёрлинге было $k$ + 17 школьников. Значит, всего шестиклассников $k$ + ($k$ + 17) = 2$k$ + 17. Если на концерт пошли $n$ школьников, то на балет отправились $n$ + 10 школьников, а всего шестиклассников $n$ + ($n$ + 10) = 2$n$ + 10. При первом подсчёте количество шестиклассников оказалось нечётным, а при втором подсчёте — чётным. Полученное противоречие показывает, что такого быть не могло.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 1 тур

Задача:
Встретились три человека, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Первый сказал: «Среди нас один лжец», второй: «Среди нас два лжеца», третий: «Среди нас три лжеца». Кто есть кто?

Ответ: Первый – лжец, второй говорит правду, третий – лжец.
Решение:
Говорит правду не больше чем один из этих людей. То есть лжецов 2 или 3. Но если все трое лжецы, то третий сказал правду, значит он не лжец, – противоречие. Значит, лжецов двое. Тогда второй говорит правду, а первый и третий лгут.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
У некоторой пирамиды 7 граней. Сколько у неё рёбер?
(А) 8
(Б) 9
(В) 12
(Г) 18
(Д) 21

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В шахматном турнире участвовали 48 бельчат-шахматистов. Перед обеденным перерывом на турнире было сыграно 58 партий, причём каждый бельчонок сыграл либо 2, либо 3 партии и никто из бельчат не играл друг с другом дважды. Возможно ли, что никакие два бельчонка, сыгравшие по 3 партии, не играли между собой?

Ответ: Нет.
Решение:
Пусть к рассматриваемому моменту турнира $x$ участников сыграло по три партии, а $(58 − x)$ – по две партии. Поскольку в каждой партии участвуют два шахматиста, то суммарное количество сыгранных к этому моменту партий равно $\displaystyle \frac{3x + 2(48 − x)}{2}$. Из уравнения $\displaystyle \frac{3x + 2(48 − x)}{2} = 58$ находим $x$ = 20. Предположим, теперь, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все игры, которые они провели, были сыграны с шахматистами, сыгравшими по две партии. Таких игр 3 ⋅ 20 = 60 > 58, что противоречит условию задачи.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2022 год

Задача:
Саша, Валя и Женя пришли на карнавал в костюмах Мальвины, Пьеро и Буратино. На карнавале ребёнок в костюме Буратино сообщил Саше: «А у Вали костюм Мальвины!». Выясните, кто в каком костюме пришёл на карнавал.

Ответ: Валя в костюме Мальвины, Саша в костюме Пьеро, Женя − Буратино.
Решение:
Поскольку Саша сказал что-то ребёнку в костюме Буратино, то у него другой костюм. И это не костюм Мальвины, поскольку он говорит про неё. Значит, у него костюм Пьеро. Тогда костюм Буратино у Жени.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок Петя пронумеровали свои орехи номерами от 10 до 99 и начал раздавать их своим знакомым так, что каждому достался ровно один орех. Оказалось, что бельчатам девочкам достались все орехи с номерами, которые делятся или на 2, или на 5, или на 10. Все остальные орехи достались бельчатам мальчикам. Сколько оказалось бельчат девочек среди знакомых бельчонка Пети?

Ответ: 54 девочки.