d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
Лиса, Волк и Заяц сыграли в домино. Заяц сказал: «Волк глупее лисы». Волк: «Лиса выиграла». Известно, что один из зверей – самый глупый – соврал. Выиграл же самый умный зверь. Кто это был?

Ответ: Заяц.
Решение:
Поскольку самый глупый зверь соврал, то это либо заяц, либо волк. Если солгал заяц, то, значит, волк сказал правду. Тогда лиса выиграла и волк не глупее лисы, но тогда лиса не может быть самой умной и по условию не может выиграть. Противоречие. Если же солгал волк, то выиграла не лиса и верно, что волк глупее лисы. Но тогда волк не мог выиграть и, значит, выиграл заяц.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Когда-то мама Коли вышла замуж за его папу, который старше мамы на 5 лет. Через год после этого родился сам Коля. Ещё через 7 лет оказалось, что Коля вчетверо младше своей мамы. Сколько лет было папе Коли, когда он женился на его маме?

Ответ: 25 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Квадратную коробку заполнили в два слоя одинаковыми квадратными шоколадками. Кирилл съел все 20 шоколадок верхнего слоя, которые лежали вдоль стенок коробки. Сколько шоколадок осталось в коробке?
(А) 16
(Б) 30
(В) 50
(Г) 52
(Д) 72

Ответ: 52
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 2 тур

Задача:
Петя, Ваня, Лена, Саша и Миша живут на улице Липовой. Петя и Ваня живут на разных сторонах улицы, Миша и Саша – на одной, Саша и Петя – на разных, Лена и Миша – на разных. Как вы думаете, Ваня и Лена живут на одной стороне улицы или на разных?

Ответ: На разных.
Решение:
Предположим, Лена пойдёт в гости к Мише, потом к Саше, потом к Пете, потом к Ване. Получается, что пока Лена шла в гости к Ване, она перешла через дорогу 3 раза. Значит, она оказалась на другой стороне улицы.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Чему равно отношение удвоенного квадрата утроенного куба ненулевого числа a к утроенному кубу удвоенного квадрата этого же числа?
(А) 3/4
(Б) 4/3
(В) 3/2
(Г) 9/2
(Д) ответ зависит от a

Ответ: (А) 3/4
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Из первого мотка пряжи можно связать либо одну кофту и три варежки, либо пять одинаковых шарфов. Из второго мотка пряжи можно связать либо половину кофты, либо два шарфа. Сколько варежек можно связать, если использовать всю пряжу из обоих мотков?

Ответ: 21 варежку.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2016 год, 2 этап

Задача:
Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но в обратном направлении?

Ответ: Через 4 минуты.
Решение:
Так как мама полностью обходит озеро за 12 минут и встречает Ваню раз в 12 минут, за 12 минут Ваня проезжает вокруг озера ровно 2 раза, а мама — один. Значит, скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы. Отсюда следует, что, когда Ваня ехал в том же направлении, что и мама, скорость их сближения была равна скорости мамы. Если Ваня будет ехать в противоположном направлении, то скорость их сближения будет равна трём скоростям мамы, то есть будет в три раза больше. Значит, он будет встречать маму в три раза чаще, то есть через каждые 4 минуты.
Это рассуждение можно провести, введя обозначение для длины дорожки.
Пусть $l$ — длина дорожки вокруг озера (в метрах), тогда скорость мамы равна $\displaystyle \frac{l}{12}$ (м/мин), а скорость Вани — $\displaystyle \frac{l}{6}$ (м/мин). Скорость сближения в случае, если мама и Ваня едут навстречу друг другу равна $\displaystyle \frac{3l}{12}$ = $\displaystyle \frac{l}{4}$ (м/мин). Следовательно, с такой скоростью они преодолеют вместе $l$ метров за 4 минуты, т.е. будут встречаться раз в 4 минуты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Если сумма углов треугольника равна $a$, то квадрат угла квадрата равен
(А) $\displaystyle \frac{a}{2}$
(Б) $\displaystyle \frac{a^2}{2}$
(В) $\displaystyle \frac{a^2}{4}$
(Г) $\displaystyle \frac{a}{4}$
(Д) $a^2$

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2015 год

Задача:
Копатыч улёгся в спячку 15 ноября. Но каждый восьмой день его будили весёлые зайцы, пока на 10 раз Копатыч не вылез из берлоги и не накрутил зайцам уши. Какого числа это случилось?

Ответ: 2 февраля.
Решение:
Поскольку Копатыч вылез только на 10 раз, то к этому времени прошло 80 дней. То есть Копатыч вылез из берлоги на 80-й день. Это будет 2 февраля.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Учитель задал на лето отличнику Пете и двоечнику Васе задачи, причём Васе — в 4 раза больше задач, чем Пете. После каникул оказалось, что Петя и Вася решили поровну задач, и процент задач, решённых Васей, равен проценту задач, не решённых Петей. Каков процент задач, решённых Петей?
(А) 40%
(Б) 50%
(В) 60%
(Г) 80%
(Д) 90%

Ответ: (Г) 80%
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Во дворе 5 ребят наряжали ёлку. Мальчиков среди них было на 1 меньше, чем девочек. Каждая девочка принесла по 2 шарика для украшения, а каждый мальчик – по 3. Сколько всего шариков принесли ребята?

Ответ: 12.
Решение:
Всего детей 5 и мальчиков меньше, это либо 1 мальчик и 4 девочки (не подходит), либо 2 мальчика и 3 девочки (подходит). 3 девочки принесли по 2 шарика, а 2 мальчика принесли по 3 шарика, считаем все шарики: 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В финале чемпионата Сибирского федерального университета по лыжным гонкам участвовали четыре участника Андрей, Дима, Женя и Миша. В конце гонки шесть зрителей сделали следующие утверждения.
- Первый: «Андрей финишировал раньше Димы».
- Второй: «Женя финишировал раньше Андрея».
- Третий: «Андрей опередил Мишу».
- Четвёртый: «Дима финишировал раньше Жени».
- Пятый: «Дима финишировал позже Миши».
- Шестой: «Миша пришёл к финишу после Жени».

Известно, что ровно один из них ошибся, а пятеро сказали правду. В каком порядке финишировали участники?

Ответ: Дима, Миша, Андрей, Женя.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Если одно из чисел увеличить в 20 раз, а другое уменьшить в 10 раз, то произведение этих чисел
(А) увеличится в 2 раза
(Б) уменьшится в 2 раза
(В) увеличится в 20 раз
(Г) уменьшится в 20 раз
(Д) не изменится

Ответ: А
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
При каком значении параметра а уравнение
|4 − 3х| − 4 = 4⋅(а − 3)
имеет один корень?

Ответ: а = 2.
Решение:
|4 − 3x| − 4 = 4(a − 3)
|4 − 3x| − 4 = 4a − 12
|4 − 3x| = 4a − 12 + 4
|4 − 3x| = 4a − 8
Если a > 2, то два корня;
если а = 2, то один корень;
если а < 2, то корней нет.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В одной из лекционных аудиторий Сибирского федерального университета 32 двухместные парты. Сейчас за ними сидят 64 первокурсника и слушают лекцию по математике. Известно, что 75% студентов мальчиков сидят рядом со студентами девочками, а 45% студентов девочек сидят рядом со студентами мальчиками. Сколько в аудитории студентов девочек?

Ответ: 40 девочек.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2008 год

Задача:
Посадил Дед вдоль одной тропинки три берёзы. Бабка между каждыми соседними берёзами посадила по одной липе. А Внучка между каждыми соседними деревьями посадила по розе. Сколько роз посадила Внучка?

Ответ: Внучка посадила 4 розы.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
На бал пришли дамы и джентльмены — всего меньше 50 человек. Во время первого танца лишь четверть дам не были приглашены на танец, и 2/7 от общего количество джентльменов никого не пригласили. Сколько человек пришло на бал? (Для танца некоторый джентльмен приглашает некоторую даму.)

Ответ: 41 человек.
Решение:
Обозначим количество дам за 𝑛, а количество джентльменов за 𝑚. Посчитаем количество пар, которые танцевали. С одной стороны, оно равно $\displaystyle \frac{3}{4}$𝑛, с другой стороны — $\displaystyle \frac{5}{7}$𝑚. Приравнивая, находим отношение:
$\displaystyle \frac{𝑛}{𝑚} = \frac{20}{21}$
Поскольку дробь в правой части является несократимой, получаем, что 𝑛 = 20𝑘 и 𝑚 = 21𝑘 для некоторого натурального 𝑘. Осталось заметить, что общее количество людей 20𝑘 + 21𝑘 = 41𝑘 по условию меньше 50, поэтому подходит только 𝑘 = 1, а общее количество людей на балу равно 20 + 21 = 41.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В слове «БУКИНИСТ» одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. Сколько существует таких слов, если дополнительно известно, что Т > С > И < Н и К < У < И < Б?

Ответ: 1440 слов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2019 год

Задача:
На открытом вечере консерватории должны были выступить четыре квартета, пять дуэтов и шесть трио (квартет состоит из четырёх музыкантов, трио — из трёх, а дуэт — из двух; каждый музыкант состоит только в одном музыкальном коллективе). Но один квартет и два дуэта неожиданно уехали на гастроли, а солист одного из трио заболел, и участникам этого трио пришлось выступать вдвоём. Сколько музыкантов выступило в консерватории в тот вечер?

Ответ: 35 музыкантов.
Решение:
Если бы никто не отсутствовал, то на вечере выступили бы 4 · 4 (4 квартета) + 5 · 2 (5 дуэтов) + 6 · 3 (6 трио) = 44 человека. Но 4 (1 квартет) + 2 · 2 (2 дуэта) + 1 (солист одного из трио) = 9 человек отсутствовали. Таким образом, на вечере выступили 44 − 9 = 35 человек.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2022 год

Задача:
Аня, Соня и Валя часто ходят вместе в кафе. Каждая из них заказывает напиток − чай или сок. Если Аня заказала сок, то Соня пьёт то же, что и Валя. Если Соня заказывает сок, то Аня всегда выбирает не тот напиток, который заказала Валя. А если Валя выбирает чай, то Аня заказывает то же, что взяла Соня. Кто из них всегда пьёт один и тот же напиток?

Ответ: Аня всегда пьёт только чай.
Решение:
Если Аня берет сок, то у Сони и Вали обеих либо сок, либо чай. Но тогда, если у Вали чай, то у Ани должен быть чай, как у Сони. Может быть, у всех тогда сок? Но тогда противоречие, что у Ани должен быть не такой, как у Вали. Проверим, что у остальных могут быть разные варианты. Действительно, варианты: ЧСС и ЧЧЧ возможны.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
За каждую полученную в школе «пятёрку» Пете разрешалось одну минуту покрутить спиннер. При этом за каждую десятую «пятёрку» добавлялась ещё одна минута, а за каждую сотую добавлялось ещё пять минут (т.е. за сотую «пятёрку» Петя получал стандартную минуту, плюс дополнительную «за каждую десятую» и плюс пять дополнительных «за каждую сотую»). В течении учебного года Петя крутил спиннер 3 часа 20 минут. Сколько «пятёрок» получил в течении этого учебного года?

3 часа 20 минут = 200 минут. За 10 пятёрок Петя получал 11 минут. За 100 пятёрок он получил 100+10+5 = 115 минут. Значит после первых ста пятёрок за остальные он получил 200 − 115 = 85 минут. За 70 пятёрок он получил 70 + 7 = 77 минут, осталось 85 − 77 = 8 минут. Всего 100 + 70 + 8 = 178 пятёрок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Маленький гном забыл код замка от двери в свою пещеру. Он помнит, что код состоит из четырёх цифр 1, 2, 3, 4, и уже попробовал 4 варианта: 3421, 4123, 3214, 2134, но все они не подошли. Найдите правильный код, если известно, что каждую цифру гном поставил на нужное место два раза.
(А) 4321
(Б) 3124
(В) 3142
(Г) 2143
(Д) 1324

Ответ: 3124
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Расставьте дроби $\frac{4}{5}$, $\frac{15}{19}$, $\frac{19}{24}$ в порядке возрастания и объясните ваш ответ.

Ответ: $\frac{15}{19}<\frac{19}{24}<\frac{4}{5}$
Решение:
Первый способ. Заметим, что $\frac{15}{19}=1-\frac{4}{19}$, $\frac{19}{24}=1-\frac{5}{24}$, $\frac{4}{5}=1-\frac{1}{5}$. Для доказательства того, что дроби расположены в правильном порядке, достаточно проверить неравенства $\frac{4}{19}>\frac{5}{24}>\frac{1}{5}$. Первое выполнено, поскольку $4 \cdot 24=96>95=5 \cdot 19$, второе – поскольку $5 \cdot 5=25>24=1 \cdot 24$.
Второй способ. Общий знаменатель дробей равен $5 \cdot 19 \cdot 24=2280$. $\frac{15}{19}=\frac{1800}{2280}, \frac{19}{24}=\frac{1805}{2280}$, $\frac{4}{5}=\frac{1824}{2280}$
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Дети измерили шагами длину дорожки. У Ани получилось 17 шагов, у Наташи 15, у Дениса 14, у Вани 13 и у Тани 12. Кто из этих детей имеет самый длинный шаг?
(А) Аня
(Б) Наташа
(В) Денис
(Г) Ваня
(Д) Таня

Ответ: (Д) Таня
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Дана доска 7 × 7. В центральной клетке (𝑑4) доски стоит фишка. Малыш и Карлсон играют в высокоинтеллектуальную игру: за один ход можно передвинуть фишку в любую соседнюю с ней по стороне клетку, но нельзя её возвращать в ту клетку, в которой она была непосредственно до этого. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в клетку, в которой она уже была в процессе игры (центральная клетка также уже считается посещенной). Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков, если первым ходит Карлсон?

Выигрывает второй. Допустим первый ход был вверх, тогда нужно сходить вправо. Противник не может пойти вниз, так как соперник тут же выиграет, ему приходится ходить опять вверх. Так будет продолжаться до тех пор, пока фишка не окажется в угловой клетки, из которой первому игроку придётся по правилам сделать один возможный ход (вниз), при том проигрышный.
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2022 год

Задача:
У мамы зайчихи трое зайчат. Сейчас в сумме им 9 лет. Сколько лет им будет в сумме через 2 года?

9 + 2 + 2 + 2 = 15
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Два кузнечика прыгают по буквам слова КЕНГУРУ. Они начали с крайних букв и прыгают одновременно навстречу друг другу. При каждом прыжке кузнечики перепрыгивают на соседнюю букву. На какой букве они встретятся?
(А) К
(Б) Е
(В) Н
(Г) Г
(Д) У

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Сколько копеек в децисантикилорубле?
(А) 0,1
(Б) 1
(В) 10
(Г) 100
(Д) 1000

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2017 год

Задача:
Валя, Саша, Женя и Слава играли на перемене. Кто-то из них разбил окно.
- Валя: «Разбил кто-то из мальчиков».
- Саша: «Это Слава!»
- Женя: «Среди нас мальчиков больше».
- Слава: «Мы с Валей – девочки!».

Оказалось, что все девочки солгали, а все мальчики сказали правду. Кто разбил окно? (все имена могут носить как мальчики, так и девочки) Ответ объясните.

Ответ: Окно разбил Валя.
Решение:
Рассмотрим утверждение Славы. Это не может быть правдой, так как иначе девочка сказала бы правду, а она должна была солгать. Значит, это ложь и Слава – девочка (например, её зовут Владислава). Тогда она солгала и, значит, Валя – мальчик. Тогда он сказал правду и окно разбил какой-то мальчик. Тогда Слава не могла разбить окно и утверждение Саши ложно. Следовательно, Саша – девочка. Но тогда девочек уже две и утверждение Жени также не может быть истинным. Значит, она тоже девочка и окно разбил единственный мальчик – Валя.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Когда открыли новый магазин игрушек, Таня зашла туда в первый же день, и потом заходила каждый день. Олег зашёл во второй день, и дальше заходил каждый второй день. Дима заходил каждый третий день, Игорь каждый четвёртый день, Оля каждый пятый день. На какой день работы магазина они впервые все побывают в магазине в один и тот же день?

Ответ: 60.
Решение:
Номера дней, в который заходит Олег, делятся на 2, у Димы эти номера делятся на 3, у Игоря на 4, у Оли на 5. Самое маленькое число, которое делится на 2, 3, 4, 5, равно 60.
Олимпиада «Весенний Олимп», 5 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Капитан Сильвер набрал странную команду: в ней есть исключительно честные пираты, всегда говорящие правду; есть в ней вруны, которые всегда лгут; также есть в ней мудрецы: они говорят правду тогда и только тогда, когда последняя услышанная ими фраза является правдивой.
Как-то встретились в трюме трое пиратов, и завели разговор:
- Хью: У вас обоих есть попугай.
- Джо: У Гала есть попугай.
- Гал: Нет у меня попугая!
- Хью: Среди нас есть врун!
- Гал: Я не врун!
- Джо: И я не врун!

Кто мог быть кем в такой ситуации? Нужно найти все возможные варианты!
Комментарий: Если мудрец говорит первым, то нам неизвестно, какую фразу до этого он мог услышать: поэтому допустима любая истинность высказывания мудреца.

Ответ: возможно два варианта:
1. Хью и Джо честные, Гал врун.
2. Хью мудрец, Джо врун, Гал честный.

Хью и Джо честные, Гал врун.
Хью мудрец, Джо врун, Гал честный.
Решение:
А) Рассмотрим сперва ситуацию, когда первая фраза истинна.
Тогда из второй и третьей фраз можно заключить, что Джо либо мудрец, либо честный, а Гал однозначно врун.
В таком случае четвёртая фраза отметает возможность Хью быть мудрецом.
Шестая же фраза, следуя после ложной и будучи истинной, отметает возможность Джо быть мудрецом.
Поэтому имеем вариант: Хью и Джо честные, Гал врун. Он ничему не противоречит.
Б) Теперь допустим, что первая фраза ложна.
Из четвёртой фразы сразу следует, что вруном Хью быть не может. Значит, Хью мудрец.
Допустим, что четвёртая фраза ложна. Тогда третья тоже ложна, а Гал — мудрец. Но тогда и вторая фраза должна быть ложной, а она истинна. Значит, наше предположение неверно, а четвёртая фраза истинна.
Поскольку четвёртая фраза истинна, то третья тоже истинна. Тогда вторая фраза ложна, а Гал не может быть мудрецом. Значит, Гал честный.
Поскольку же четвёртая фраза истинна, а ни Хью, ни Гал не вруны, то вруном является Джо.
Поэтому имеем вариант: Хью мудрец, Джо врун, Гал честный. Он ничему не противоречит.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Если a и b — числа разных знаков, то самым большим из четырёх чисел q = a^2 – b^2, r = (a + b)^2, s = (a – b)^2, t = a^2 + b^2 является:
(А) q
(Б) r
(В) s
(Г) t
(Д) ответ зависит от чисел a и b

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2017 год

Задача:
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?

Ответ: 75 конфет.
Решение:
Пусть $x$ — стоимость одной конфеты в рублях. Тогда 45$x$ = $\displaystyle \frac{20}{x}$, откуда $x$ = $\displaystyle \frac{2}{3}$. Тогда на 50 рублей можно купить $\displaystyle \frac{50}{x}$ = 75 конфет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Сколько существует различных треугольников, у которых одна из сторон равна 1, а два угла равны 40° и 70°?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 0

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Произведение четырёх различных натуральных чисел равно 100. Чему равна их сумма?
(А) 10
(Б) 12
(В) 15
(Г) 18
(Д) 20

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2009 год

Задача:
Винни-Пух, Пятачок, ослик Иа-Иа и Кристофер Робин сидят в ряд на мосту, свесив ножки вниз. Известно, что Винни-Пух не крайний, а Кристофер сидит рядом с Пятачком и Винни-Пухом. В каком порядке они сидят?

Ответ: Ослик, Винни, Кристофер, Пятачок или Пятачок, Кристофер, Винни, Ослик.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
На самом большом дереве в Волшебном лесу сидели снегири и белочки. Всего их было 5, а лапок у них было 14. Сколько на дереве сидело снегирей?

Ответ: 3.
Решение:
У снегирей по 2 лапки, а у белочек по 4. Если бы не было белочек, то лапок было бы 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, а у нас на 4 больше. Если заменить одного снегиря на белочку, добавится 2 лапки. А если ещё одного – то ещё 2 лапки. Тогда получится 2 белочки и 3 снегиря. Проверим: 4 + 4 + 2 + 2 + 2 = 14.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
На какое из чисел А-Д могут различаться суммы цифр двух последовательных целых чисел?
(А) 2011
(Б) 2012
(В) 2013
(Г) 2014
(Д) 2015

Ответ: (Д) 2015
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2020 год

Задача:
У Юры есть 𝑛 карточек, на которых написаны числа от 1 до 𝑛. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?

Ответ: 4.
Решение:
Предположим, что 𝑛 ≤ 13. Тогда 1 + 2 + … + 𝑛 = $\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}$ ≤ 91 < 101. Какую бы карточку Юра ни потерял, в любом случае общая сумма получится меньше 101, противоречие.
Предположим 𝑛 ≥ 15. Потерянная карточка Юры содержит число не больше 𝑛, поэтому сумма оставшихся карточек не меньше 1 + 2 + … + (𝑛 − 1) = $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$ ≥ 105 > 101, противоречие.
Следовательно, 𝑛 = 14, а потерянное число равно 1 + 2 + … + 14 − 101 = 105 − 101 = 4.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 2 класс, 2023 год

Задача:
Лиса Алиса украла у богатенького Буратино столько же монет, сколько Базилио, и ещё 4 монеты — всего 9 монет. Сколько монет украдено у Буратино Алисой и Базилио?

Ответ: 14 монет.
Решение:
Поскольку у Алисы на 4 монеты больше, чем у Базилио, получаем, что Базилио украл 5 монет, а вместе они украли 9 + 5 = 14 монет.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2018 год, 1 этап

Задача:
В книге 20 страниц. Сколько цифр надо набрать, чтобы пронумеровать все страницы?

Ответ: 31 цифру.
Решение:
Для нумерации первых девяти страниц потребуется 9 цифр.
Номера остальных страниц – двузначные числа, которые записываются двумя цифрами.
20 − 9 = 11 — столько страниц с двузначными числами.
11 + 11 = 22 — столько цифр потребуется для двузначных чисел.
9 + 22 = 31 — всего цифр надо набрать.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
Стерев в числе 20311 цифру 3, получим число 2011. Сколько всего существует пятизначных чисел, из которых можно получить число 2011, удалив одну цифру?
(А) 45
(Б) 46
(В) 48
(Г) 49
(Д) 50

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Учитель задал на лето отличнику Пете и двоечнику Васе задачи, причём Васе — в 4 раза больше задач, чем Пете. После каникул оказалось, что Петя и Вася решили поровну задач, и процент задач, решённых Васей, равен проценту задач, не решённых Петей. Сколько процентов задач решил Петя?
(А) 40%
(Б) 50%
(В) 60%
(Г) 80%
(Д) 90%

Ответ: (Г) 80%
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Вася шифрует трёхзначные числа: вместо каждой цифры он пишет последнюю цифру её квадрата (например, вместо 7 он пишет 9, а вместо 2 пишет 4). Из скольких чисел после шифрования получится число 465?
(А) 1
(Б) 2
(В) 4
(Г) 5
(Д) 8

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Сколько получится слагаемых, если 2^10 записать как сумму двоек?
(А) 10
(Б) 32
(В) 512
(Г) 1024
(Д) 2048

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок набрал поровну сосновых, еловых и кедровых шишек. Потом он выкинул несколько еловых шишек и добавил столько же кедровых. Теперь еловых и сосновых шишек вместе стало 12, а сосновых и кедровых шишек стало вместе 28. Сколько кедровых шишек добавил бельчонок?

Ответ: 8 шишек.
Решение:
Если бы еловые шишки не заменили на кедровые, обе суммы были бы равны. После замены первая сумма (12) уменьшилась на число убранных еловых шишек,а вторая (28) сумма увеличилась на равное число добавленных кедровых шишек. Разность этих сумм равна удвоенному числу добавленных кедровых шишек: (28 − 12) / 2 = 8.