d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 6 класс, 2011 год, 2 тур

Задача:
Иван нарисовал пятиугольник и в его вершинах написал 5 различных натуральных чисел. Затем на каждой стороне этого пятиугольника он написал наименьшее общее кратное чисел, написанных в вершинах этой стороны и заметил, что все записанные на сторонах пять чисел равны. Какое наименьшее число могло оказаться на сторонах?

Ответ: 30.
Решение:
Если в вершинах написать числа (2, 15, 6, 10, 30), число, записанное на сторонах, равно 30. Объясним, почему меньшее число получится не может. Докажем, что число на сторонах имеет как минимум три различных делителя (когда оно минимально). Очевидно, оно не могут иметь только один простой делитель, предположим что оно имеет ровно два простых делителя 𝑝 и 𝑞. Пусть число, записанное на, сторонах, равно 𝑝^𝑎𝑞^𝑏. Тогда одно из двух соседних чисел в вершинах делится на 𝑝^𝑎, откуда вытекает наличие как минимум трёх чисел кратных 𝑝^𝑎. Эти три числа различны, поэтому наибольшие степени 𝑞, делящие их, различны, что даёт оценку 𝑏 ≥ 2. Аналогично 𝑎 ≥ 2, тогда 𝑝^𝑎𝑞^𝑏 ≥ 2^23^2 > 30, противоречие. Значит, как минимум три различных простых делят числа, но тогда наименьшее общее кратное равно 2⋅3⋅5 = 30.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Передние колёса роликовых коньков приходят в негодность после 300 км пробега, а задние — после 500 км. Диме подарили новые роликовые коньки. После скольких километров пробега ему нужно поменять местами задние и передние колёса, чтобы они прослужили одинаково долго?
(А) 212,5 км
(Б) 200 км
(В) 187,5 км
(Г) 175 км
(Д) 162,5 км

Ответ: В
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2019 год, 1 этап

Задача:
Сколько существует различных двузначных чисел, у которых цифра десятков на 4 больше, чем цифра единиц?

Ответ: 6 чисел.
Решение:
Перебор.
В разрядах десятков и единиц двузначного числа стоят цифры. Двузначное число не может начинаться с 0.
1. Если цифра десятков 9, то цифра единиц 9 − 4 = 5, а двузначное число 95.
2. Если цифра десятков 8, то двузначное число 84.
3. Если цифра десятков 7, то двузначное число 73.
4. Если цифра десятков 6, то двузначное число 62.
5. Если цифра десятков 5, то двузначное число 51.
6. Если цифра десятков 4, то двузначное число 40.
7. Если цифра десятков 3, то в разряде единиц 3 − 4 (не подходит).

Перебор закончен. Получили 6 чисел: 95, 84, 73, 62, 51, 40.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Прямые, содержащие стороны треугольника ABC, образуют с некоторой прямой углы 30°, 40° и 80°. Какое наибольшее значение может принимать угол этого треугольника?
(А) 70°
(Б) 90°
(В) 110°
(Г) 130°
(Д) 150°

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В классе учатся 28 человек: отличники, троечники и двоечники. Всем ученикам было задано по два вопроса: «Отличников больше, чем двоечников?», «Троечников больше чем двоечников?». На каждый вопрос ответ «Да» дала ровно половина учеников, остальные сказали «Нет». Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются. Троечник может на первый вопрос ответить верно, тогда на второй вопрос он отвечает неверно. Если же троечник на первый вопрос отвечает неверно, тогда на второй вопрос он отвечает верно. Что ответил на первый вопрос отличник?

Ответ: «Нет».
Решение:
Каждый раз ответов «Да» и «Нет» было поровну, и каждый раз один из ответов был правдой. Оба раз правду сказали по 14 учеников — все отличники и некоторые троечники. Поэтому в первый раз правду сказали столько же троечников, сколько и во второй. Значит, в первый раз сказавших правду и солгавших троечников было поровну. Правду сказали отличники и сказавшие правду троечники, а солгали двоечники и остальные троечники. А поскольку правду и ложь в первый раз сказало одинаковое количество учеников, отличников и двоечников было поровну. Отличник ответил «нет».
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Вася, Дима, Коля и Сергей, которые учатся в 5, 6, 7 и 8 классах, решили организовать рок-группу. Среди них есть саксофонист, клавишник, барабанщик и гитарист. Вася играет на саксофоне и учится не в 8 классе. Клавишник учится в 6 классе. Барабанщика зовут не Дима, Сергей — не клавишник и не ученик 5 класса. Дима учится не в 6 классе, а барабанщик – не в 8 классе. В каком классе учится Дима и на каком инструменте он играет?

Ответ: Дима учится в 8 классе и играет на гитаре.
Решение:
По условию на саксофоне играет Вася, а Дима — не барабанщик. Но Дима и не клавишник, поскольку учится не в 6 классе, поэтому он играет на гитаре. Так как Сергей — не клавишник, то он является барабанщиком, а клавишником — Коля. Следовательно, Коля учится в 6 классе. Сергей учится не в 5 классе, а так как он барабанщик, то и не в 8-м. Значит, он семиклассник. Поскольку Вася учится не в 8 классе, то он из 5 класса, а в 8 классе учится Дима.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
На каждой перемене Арсений съедает по две конфеты. Сколько конфет он съел за неделю с понедельника по пятницу включительно, если за это время прошло 28 уроков (уроки каждый день идут подряд, без «окон», и их необязательно каждый день равное количество)

Между 28 уроками будет 27 перерывов, 4 из них будут перерывами между днями недели, а остальные 27 − 4 = 23 — переменами между уроками. Значит Арсений съел 23 · 2 = 46 конфет.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В трёх бочках вместе было 90 литров воды. Потом в первой и второй бочке количество воды увеличилось в 2 раза, а в третьей уменьшилось на 7 литров, тогда в трёх бочках вместе стало 145 литров воды. Сколько литров воды изначально было в третьей бочке?

Ответ: 28 литров.
Решение:
Если бы во всех бочках количество воды увеличилось в 2 раза, то стало бы 180 литров. За счёт третьей бочки недостаёт 35 литров. Пусть в третьей бочке было $x$ литров. тогда 2$x$ − ($x$ − 7) = 35, откуда $x$ = 28.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Крошка Ру сегодня отмечает 1 год и 3 месяца. Через сколько месяцев ему будет 2 года?
(А) 3
(Б) 5
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: 9 месяцев
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
На плоскости заданы прямые y = ax − 1 и y = x + b . Известно, что первая прямая пересекает ось Ох правее, чем вторая, а ось Оу — выше, чем вторая. Какое из неравенств может быть неверным?
(А) a > 0
(Б) ab > −1
(В) a < 1
(Г) a + b < 0
(Д) все неравенства А-Г обязательно верны

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Из чисел 1, 2, 3, …, 30 выбрали набор, в котором ровно четыре числа делятся на 4, ровно три делятся на 6 и ровно четыре делятся на 5. Какое наименьшее количество чисел могло быть в таком наборе?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 11

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Два различных трёхзначных числа назовём родственниками, если они записаны одинаковыми тройками цифр. Например, 244 и 424 — родственники. Какое наименьшее количество родственников может иметь число с суммой цифр 10?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 6

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год

Задача:
Простое число 𝑝 таково, что число 𝑝 + 25 является седьмой степенью простого числа. Чему может быть равно 𝑝? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 103.
Решение:
Воспользуемся тем, что единственное простое чётное число — это 2.
- Пусть 𝑝 = 2, тогда 𝑝 + 25 = 27, что не является седьмой степенью. Противоречие.
- Пусть 𝑝 > 2, тогда 𝑝 нечётно, а 𝑝 + 25 чётно. Поскольку 𝑝 + 25 чётно и является седьмой степенью простого числа, то это простое число равно 2. Следовательно, 𝑝 + 25 = 2^7 = 128, откуда получаем 𝑝 = 103.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Катя и четыре её подружки разделили между собой несколько конфет. В результате оказалось, что у всех девочек разное число конфет, а общее число конфет у любых трёх девочек больше, чем общее число конфет у остальных двух. Какое самое маленькое число конфет может быть у Кати?
(А) 1
(Б) 2
(В) 4
(Г) 5
(Д) 7

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
По кругу стоят семеро детей: Аня, Боря, Вася, Гена, Даша, Ева, Женя. Начиная с кого-то из детей, каждый третий по часовой стрелке уходит, а отсчёт продолжают, пока не останется один человек. Например, если отсчёт начинают с Ани (Аня — первая), то уходит Вася, в следующей тройке Гена — первый, а Ева третья, она уходит, потом уходит Боря, и т.д. С кого надо начинать считать, чтобы осталась Ева?

Ответ: С Васи.
Решение:
Начнём считать с Ани. Останется Гена. Значит, нужен сдвиг на 2 человека, и надо начинать с Васи. Тогда дети уходят в таком порядке: Даша, Аня, Гена, Боря, Женя, Вася.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
В какой из следующих троек чисел одно число лежит точно посередине между двумя другими?
(А) 1/2, 1/3, 1/4
(Б) 12, 21, 32
(В) 3, 7, 13
(Г) 1/3, 1/2, 2/3
(Д) 24, 48, 64

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
На белой клетчатой доске 10 × 10 Вася закрасил 10 клеток синим цветом, а несколько других клеток – красным цветом. Оказалось, что никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наименьшее число клеток могли остаться незакрашенными?
(А) 10
(Б) 7
(В) 6
(Г) 5
(Д) 3

Ответ: Г
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
Четыре крестьянина копали картошку. Все выкопали поровну. По дороге домой им встретились трое купцов, у которых картошки не было. Каждый крестьянин продал каждому из купцов по два пуда картошки, после чего у всех семерых стало поровну картошки.
Сколько пудов картошки выкопал каждый из крестьян?

Ответ: 14 пудов картошки.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2014 год

Задача:
На Новый Год Дед Мороз принёс конфеты для учеников 3«Ю» класса. Если он будет давать каждой девочке по 3 конфеты, а каждому мальчику – по 2, то у него не хватит одной конфеты. А если каждому мальчику по 3 конфеты, а каждой девочке – по 2, то у него ещё две конфеты останется. Кого в классе больше: мальчиков или девочек, и на сколько?

Ответ: В классе больше девочек на 3 человека.
Решение:
Поставим мальчиков и девочек парами, а тех, кому не хватило пары (неважно, мальчики или девочки) пусть стоят отдельно. Тогда как бы Дед Мороз не раздавал конфеты, тем, кто в парах все равно потребуется одно и то же количество конфет. Следовательно, разница в количестве конфет будет только за счёт отдельной группы. Если раздавать по 2, то конфет нужно меньше, если по 3 – больше. И разница между нужными количествами равна количеству человек в этой группе. В нашем случае разница равна 3 конфетам (2 (те, что останутся, если раздавать по 2) + 1 (те, что не хватит, если раздавать по 3)). Значит, в группе 3 человека. И это девочки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Прямоугольный треугольник таков, что длина его гипотенузы равна сумме квадратов длин его катетов. Чему равен радиус окружности, описанной около этого треугольника?
(А) 1
(Б) 1/2
(В) 1/3
(Г) такого треугольника не существует
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Решите ребус: БОЙ × 9 = ТУР (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Б = 1, О = 0, дальше перебором находим 5 решений (БОЙ: 103, 104, 106, 107, 108).
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В вазе лежат 15 орехов: кешью, фундук и миндаль. Известно, что 10 – не миндаль, а 9 – не кешью. Сколько орехов фундука в вазе?

Ответ: 4 ореха фундука.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
В комнате 12 щенков, каждый из них шумный или кусачий. Кусачих щенков 8, а шумных — 9. Сколько среди них шумных и кусачих одновременно?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2010 год

Задача:
Ёжик и Крош зарыли секретики.
- Крош: Я зарыл больше секретиков, чем Ёжик!
- Ёжик: Бараш! Крош зарыл больше меня!
- Бараш: Не волнуйся! Вы оба зарыли одинаково!

Кар-Карыч установил, что правду сказал только один из троих. Кто зарыл больше секретиков, Крош или Ёжик?

Решение:
Крош и Ёжик утверждают одно и тоже. Поэтому эти утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку не могло быть больше одного истинного утверждения, то Крош и Ёжик оба солгали, а правду сказал Бараш. Но это означает, что Крош и Ёжик зарыли секретиков поровну.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2022 год

Задача:
В одном дворе дети лгут, если держат за руки чётное число человек, и говорят правду, если нечётное. Однажды трое детей, как-то взявшись за руки сказали:
- А: «Мы все тут мальчики»
- В: «Среди нас есть мальчики»
- С промолчал.

Затем каждый взял за руку только всех тех, кого не держал в первый раз. И теперь они сказали:
- А: «Мы все тут девочки»
- В промолчал,
- С: «Я тут одна девочка».

Определите, кто мальчик, а кто девочка.

Ответ: A, B мальчики, C девочка.
Решение:
Так как детей трое, то для каждого ребёнка чётность количества детей, которых он держит за руки равна чётности количества детей, которых он не держит. Значит, каждый либо оба раза говорит правду, либо оба раза лжёт. A не мог оба раза сказать правду, так как его фразы не могут быть обе верными. Значит A оба раза соврал. Поэтому не все из них мальчики и не все девочки. То есть среди них есть и мальчики, и девочки. Это значит, что B сказал правду. Значит B оба раза держал нечётное количество детей, то есть одного. Значит C тоже оба раза держал одного и говорит правду.
Олимпиада «Осенний Олимп», 5 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
На дне моря щука нашла три яйца, в каком-то одном из которых лежит игла (а на конце иглы — Кощеева смерть). У Ивана Царевича есть волшебная шкатулка: кладёшь в неё яйца, а она человеческим голосом говорит, есть ли в каком-то из них игла, или нет. Есть одна загвоздка. У шкатулки с Иваном уговор: один раз вместо «да, внутри меня есть игла» шкатулка имеет право соврать и сказать «нет, иглы нет» (но может и не врать).
- Засунул Иван в шкатулку первое яйцо, и получил ответ «иглы нет».
- Засунул затем Иван в шкатулку остальные два яйца, и получил такой же ответ.
- Наконец, засунул Иван в шкатулку первое и второе яйца, и получил опять тот же ответ.

В каком яйце может оказаться игла?

Допустим, игла в первом яйце. Это означает, что второй и третий ответы шкатулки правдивы. Но тогда иглы нет нигде. Противоречие. Допустим, игла во втором яйце. Это означает, что шкатулка соврала во второй и в третий разы. Так быть не может. Противоречие. Значит, игла в третьем яйце.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
У бельчонка есть 100 орехов, к которым прикреплены бумажки с номерами от 100 до 199. Вчера он выложил эти орехи в ряд в порядке возрастания их номеров. Сегодня он поменял местами некоторые орехи так, чтобы номера любых двух соседних орехов отличаются ровно одной цифрой, а разность номеров соседних орехов равняется 1 или 10. Какое наибольшее количество орехов могло остаться на своих местах?

Ответ: 50 орехов.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
У бельчонка было 3 грецких ореха, 2 фундука и 2 миндаля. Он разломал на две части каждый не фундук. Затем он разломал на две части каждый не грецкий орех (части орехов тоже ломаем на 2 части). Сколько всего частей орехов у него получилось?

Ответ: 18 частей орехов.
Решение:
Изначально было 7 орехов:
3 (грецких) + 2 (фундука) + 2 (миндаля) = 7
На две части разломали каждый не фундук, стало частей:
3 + 3 (грецких) + 2 (фундука) + 2 + 2 (миндаля) = 12
Затем на две части разломали каждый не грецкий орех, стало частей:
3 + 3 (грецких) + 2 + 2 (фундука) + 2 + 2 + 2 + 2 (миндаля) = 18
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата набрали вместе 40 грибов. Первый набрал 5 грибов, последний — 8 грибов, а каждый из остальных бельчат набрал не меньше первого и не больше последнего. Сколько всего могло быть бельчат? Приведите пример для каждого ответа, и докажите, что других возможностей нет.

Ответ: 6 или 7.
Решение:
Остальные бельчата собрали 40 − 5 − 8 = 27 грибов. Если остальных бельчат было не меньше 6, то они собрали бы не меньше 6 ⋅ 5 = 30 грибов. Если бы их было не больше 3, то они собрали бы не больше 8 ⋅ 3 = 24 грибов. Поэтому остальных бельчат могло быть 4 или 5, а всего бельчат 6 или 7.
Пример для 6 бельчат: 5, 6, 7, 7 ‚7, 8.
Пример для 7 бельчат: 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Какое самое маленькое значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
(А) 3
(Б) 4
(В) 6
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Чему равно n, если 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = 2^15 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 7^2 ⋅ 11 ⋅ 13 ?
(А) 12
(Б) 13
(В) 14
(Г) 15
(Д) 16

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Вася и Петя хотят найти на берегу реки одинаковое количество плоских камушков. После того, как Вася принёс 120 камушков, а Петя — 147 камушков, Васе осталось найти камушков в четыре раза больше, чем Пете. Сколько всего камушков должен был найти каждый из них?

Ответ: 156 камушков.
Решение:
К настоящему моменту Петя принёс на 147 − 120 = 27 камушков больше, чем Вася. Так как мальчики должны были найти одинаковое число камушков, то теперь Вася должен найти на 27 камушков больше, чем Петя. Пусть Пете осталось найти $x$ камушков, тогда Васе — 4$x$ камушков, 4$x$ − $x$ = 3$x$, то есть, $x$ = 9. Значит, Пете осталось собрать 9 камушков и всего он должен собрать 147 + 9 = 156 камушков.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 1 тур

Задача:
Электронные часы показывают время в 24-часовом формате. Какой ближайший к полудню момент времени, когда все четыре цифры на часах разные?

Ответ: 12:03.
Решение:
Полдень обозначается на таких часах как 12:00. Следовательно, мы должны изменить часы и минуты так, чтобы цифры стали разными, а мы как можно меньше отклонились от 12:00. Посмотрим, какие цифры можно менять. Нельзя взять 11 часов с минутами, так как тогда цифры будут одинаковыми. А если брать 10 часов и раньше, то до полудня будет более часа. Оставим показания часа неизменным, а поменяем минуты. Ближайшее время 3 минуты, так как 1 и 2 минуты использовать уже нельзя.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
У Алисы было 3 белых, 2 чёрных и 2 жёлтых куска бумаги. Она разрезала на две части каждый не чёрный кусок. Затем она разрезала на две части каждый не белый кусок. Сколько всего кусков у неё получилось?
(А) 18
(Б) 17
(В) 16
(Г) 15
(Д) 14

Ответ: А
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
Мама, папа, дочка и сын пошли кататься с горки. Они катаются по одному, друг за другом. Сколько у них различных способов съехать с горки, если папа не может ехать раньше мамы? (Например, они могут съехать в таком порядке: сын, мама, дочь, папа). Перечислите все варианты и объясните, почему других нет.

Начнём перебирать варианты. Папа точно не первый. Запишем все варианты, где он второй (используя первые буквы слов): МПСД, МПДС. Далее все варианты, где папа третий: МСПД, МДПС, СМПД, ДМПС. И наконец все варианты, где папа последний: МСДП, МДСП, СМДП, СДМП, ДМСП, ДСМП. Итого 2 + 4 + 6 = 12 вариантов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
В равенстве K + A + N + G + A + R + O + O = 56 разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы — одинаковые цифры. Наименьшее возможное значение суммы K + A + N равно
(А) 3
(Б) 9
(В) 13
(Г) 17
(Д) 19

Ответ: Г
Олимпиада «Весенний Олимп», 3 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
Робинзон ловил крабов. Пойманных крабов он сажал в корзину, ведро и ящик. Известно следующее:
- Робинзон поймал всего 17 крабов
- если пересадить краба из ящика в ведро, то в ящике станет столько же крабов, сколько было в корзине после того, как Робинзон поймал первых двух крабов
- среди остальных 15 крабов в корзину попало не более одного

Сколько куда крабов мог посадить Робинзон? Нужно найти все возможные варианты!

Есть 6 вариантов того, что происходило:
- среди первых двух крабов 0 попало в корзину и 0 — среди остальных
- среди первых двух крабов 0 попало в корзину и 1 — среди остальных
- среди первых двух крабов 1 попал в корзину и 0 — среди остальных
- среди первых двух крабов 1 попал в корзину и 1 — среди остальных
- среди первых двух крабов 2 попали в корзину и 0 — среди остальных
- среди первых двух крабов 2 попали в корзину и 1 — среди остальных

Эти варианты дают следующие количества крабов:
- 0 в корзине, 16 в ведре, 1 в ящике
- 1 в корзине, 15 в ведре, 1 в ящике
- 1 в корзине, 14 в ведре, 2 в ящике
- 2 в корзине, 13 в ведре, 2 в ящике
- 2 в корзине, 12 в ведре, 3 в ящике
- 3 в корзине, 11 в ведре, 3 в ящике
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Если Стас стоит на столе, а Егор на стуле, то Стас выше Егора на 40 см. Если Егор стоит на столе, а Стас на стуле, то Егор выше Стаса на 50 см. На сколько стол выше стула?

Обозначим рост Стаса — 𝐶, Егора — 𝐸, высоту стула — 𝑌, стола — 𝑂.
Тогда 𝐶 + 𝑂 = 𝐸 + 𝑌 + 40, 𝐸 + 𝑂 = 𝐶 + 𝑌 + 50. Нужно найти 𝑂 − 𝑌 . Перенесём 𝐸 − 𝐶 в одну часть, а всё остальное в другую. 𝐸 − 𝐶 = 𝑂 − 𝑌 − 40, 𝐸 − 𝐶 = 𝑌 − 𝑂 + 50. Тогда 𝑂 − 𝑌 − 40 = 𝑌 − 𝑂 + 50. Перенесём 𝑂 и 𝑌 в левую часть, числа в правую. Тогда 2𝑂 − 2𝑌 = 90, 𝑂 − 𝑌 = 45. Значит стол выше стула на 45 см.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Вася любит натуральные числа с таким свойством: у каждого из них есть делители, оканчивающиеся любой цифрой. Он нашёл наименьшее из таких чисел. Какой делитель этого числа оканчивается на 4?
(А) 4
(Б) 14
(В) 34
(Г) 54
(Д) 74

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Пусть О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите больший угол треугольника АВС, если АOВС — ромб.
(А) 90º
(Б) 100º
(В) 110º
(Г) 120º
(Д) 150º

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2009 год

Задача:
У Оли на 2 карандаша больше, чем у Толи. Мама дала каждому ещё по два карандаша. У кого теперь карандашей больше и на сколько?

Ответ: у Оли по-прежнему на 2 карандаша больше.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2018 год, 1 вариант

Задача:
Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое расстояние между домами Васи и Пети?

Ответ: 12 км.
Решение:
Дорога от Пети до Васи и обратно занимает 6 часов, при этом, так как в гору идти в два раза медленнее, чем под гору, на все подъёмы ребята тратят в два раза больше времени, чем на спуски.
Таким образом, если идти от Пети до Васи и обратно, то на спуски будет потрачено 2 часа, а на подъёмы — 4 часа, то есть длина подобного маршрута равна (6 · 2 + 4 · 3) = 24 км.
Следовательно, расстояние от Пети до Васи равно 12 км.
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Некоторые клетки белой квадратной доски 9 × 9 покрасили в серый или оранжевый цвета. Бельчонок за один ход может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любую соседнюю клетку. Оказалось, что если бельчонок захочет пройти с любой белой клетки до любой другой белой клетки, то он гарантированно пройдёт через клетки серого и оранжевого цветов. Какое наибольшее количество белых клеток могло быть на доске?

Ответ: 9 белых клеток.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2018 год, 2 этап

Задача:
Существует ли дробь, равная $\displaystyle \frac{7}{13}$, разность знаменателя и числителя которой равна 24?

Ответ: да, существует, $\displaystyle \frac{28}{52}$.
Решение:
Так как $\displaystyle \frac{7}{13}$ — несократимая дробь, любая равная ей дробь имеет вид $\displaystyle \frac{7x}{13x}$, где $x$ — некоторое натуральное число. При этом разность знаменателя и числителя такой дроби будет равна 6$x$. Имеем 6$x$ = 24, следовательно, $x$ = 4. Это единственная дробь, подходящая под условие задачи.