d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Девочки Катя и Лена чистят картошку.
- Лена сказала: «Я почистила больше картошек, чем Катя».
- Катя сказала: «Маша! Лена почистила картошек больше меня!».
- Маша: «Не волнуйся! Вы обе почистили одинаковое количество картошек».

Известно, что правду сказала только одна из троих девочек. Кто почистил больше картошек: Катя или Лена?

Ответ: Катя и Лена почистили одинаковое количество картошек.
Решение:
Лена и Катя утверждают одно и тоже. Поэтому эти утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку не могло быть больше одного истинного утверждения, то Лена и Катя обе солгали, а правду сказала Маша. Но это означает, что Лена и Катя почистили одинаковое количество картошек.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды пять бельчат встали друг за другом на поляне.
- Последний (пятый) сказал: «Передо мной стоит четыре лжеца».
- Четвертый: «Передо мной три лжеца».
- Третий: «Передо мной два лжеца».
- Второй: «Передо мной один лжец».
- А первый ничего не сказал.

Сколько бельчат-лжецов на поляне?

Ответ: 4 лжеца.
Решение:
Рассмотрим первого и второго бельчонка. Среди них ровно 1 рыцарь и ровно 1 лжец. Действительно, если второй рыцарь, то первый должен быть лжецом. И наоборот, если второй лжец, то первый рыцарь. Следовательно, все остальные лгут.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой 1. Например, если попытаться напечатать число 1231234, то пропечатается только число 23234.
Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ: 28.
Решение:
Ясно, что не пропечаталось 2 единицы. Есть 7 позиций, где они могут располагаться (они могут быть как в одной позиции, так и в разных):
- X202020;
- 2X02020;
- 20X2020;
- 202X020;
- 2020X20;
- 20202X0;
- 202020X.

Случай 1. Если первую единицу поставить на первую позицию, то для второй единицы останется 7 вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций).
Случай 2. Если первую единицу поставить на вторую позицию, то для второй единицы останется 6 вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций, кроме первой, так как этот вариант мы уже посчитали ранее).
Случай 3. Если первую единицу поставить на третью позицию, то для второй единицы останется 5 вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций, кроме первой и второй, так как эти варианты мы уже посчитали ранее).
…
Случай 7. Если первую единицу поставить на седьмую позицию, то для второй единицы останется 1 вариант размещения (только на седьмую позицию; все остальные варианты были посчитаны ранее).
Итого вариантов ровно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Ваня взял у друга книгу и обещал её вернуть через несколько дней. Он успевал прочитывать в день на 10 страниц больше, чем предполагал, и поэтому вернул книгу на день раньше срока. В книге 120 страниц. Сколько страниц в день прочитывал Ваня?

Ответ: 40 страниц в день.
Решение:
Пусть Ваня взял книгу на х дней, а вернул через (х − 1) день.
120 : х – страниц в день по плану
120 : (х − 1) – страниц в день в действительности
120 : (х − 1) − 120 : х = 10
Решить задачу перебором, начиная с х = 1; подходит х = 4, значит, х − 1 = 3.
Ваня читал книгу 3 дня. Ваня прочитывал по 40 страниц в день.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
В поход пошло несколько учеников школы. Девочек среди участников похода оказалось больше 45%, но меньше 50%. Какое наименьшее количество девочек могло быть в походе?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
Вдоль дороги росло несколько деревьев. Потом в каждом промежутке между двумя соседними деревьями посадили новое дерево. Всего получилось 21 дерево. Сколько деревьев было сначала?
(А) 9
(Б) 10
(В) 11
(Г) 12
(Д) 13

11
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Если a и b — корни уравнения x^2 + x − 2004 = 0, то число a^2 + 2b^2 + ab + b − 2004 равно:
(А) 2004
(Б) 2004,5
(В) 2005
(Г) 2006
(Д) 1002

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
В треугольнике АВС угол В равен 20º, а угол С равен 40º. Биссектриса AD угла A равна 2. Чему равна разность BC − AB ?
(А) 1
(Б) 1,5
(В) 2
(Г) 4
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Среднее арифметическое чисел a и b равно 17, а среднее арифметическое чисел a, b и c равно 15. Чему равно c?
(А) 14
(Б) 13
(В) 12
(Г) 11
(Д) 10

Ответ: (Г) 11
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 1 тур

Задача:
Лесоруб Петрович распиливает четыре 5-метровых бревна на метровые чурбаки за 20 мин, а лесоруб Палыч за это время распиливает на метровые чурбаки семь 3-метровых брёвен. Кто из них быстрее распилит 10-метровое бревно на чурбаки?

Ответ: Петрович.
Решение:
Для превращения 5-метрового бревна в 5 метровых чурбаков Петрович делает 4 распила, значит, для 4 брёвен всего 16. Палыч пилит 3-метровые бревна, и в каждом бревне делает по 2 распила. Всего для 7 таких брёвен 14 распилов. За одно и то же время Петрович делает 16 распилов, а Палыч – 14. Получается, Петрович пилит быстрее и с распиливанием 10-метрового бревна на чурбаки быстрее справится он.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2020 год

Задача:
В роще растут деревья четырёх видов: берёзы, ели, сосны и осины. Всего 100 деревьев. Известно, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов. Среди какого наименьшего количества любых деревьев в этой роще обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов?

Ответ: 69.
Решение:
Предположим, в роще не более 15 берёз. Тогда остальных деревьев хотя бы 85, а по условию задачи среди них должны найтись деревья всех четырёх видов. Противоречие. Значит, в роще хотя бы 16 берёз. Аналогично получаем, что деревьев каждого вида хотя бы 16.
Докажем, что среди любых 69 деревьев обязательно найдутся три различных дерева. Предположим, что это не так, и среди каких-то 69 деревьев оказались только два разных вида. Тогда среди оставшихся 31 дерева встречаются все деревья каких-то двух оставшихся видов, но, как было доказано ранее, каждый вид представлен хотя бы 16 деревьями. Противоречие.
Теперь приведём пример, когда среди некоторых 68 деревьев встречается не более двух видов (т.е. 68 деревьев может «не хватить»). Пусть в роще растут 34 берёзы, 34 ели, 16 сосен и 16 осин. Из предыдущих рассуждений мы понимаем, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов (т.к. среди отсутствующих 15 деревьев не может содержаться какой-то вид целиком). При этом, если взять все берёзы и ели, суммарно 68 деревьев, то среди них не будет деревьев трёх видов.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2020 год

Задача:
Вдоль прямой улицы стоят четыре домика – синий, жёлтый, зелёный и красный (именно в таком порядке). Лиса живёт не в красном домике. А соседи зайца – медведь и ёжик. Кто где живёт, если рядом с ёжиком нет лисы?

Ответ: Лиса – в синем домике, медведь – в жёлтом, заяц – в зелёном и ёжик – в красном.
Решение:
Поскольку лиса живёт не рядом с ёжиком и не рядом с зайцем (у зайца уже есть два соседа), то у неё один сосед – медведь. Значит, она живёт в крайнем домике. Но не красном. Значит, в синем. Тогда в жёлтом – её сосед – медведь, дальше живут заяц в зелёном и ёжик в красном.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
Лида вяжет шарф длиной 2 м. Каждое утро она садится за вязание и вяжет 30 см. Каждую ночь котёнок Непоседа распускает 20 см связанного шарфа. Лида начала вязать 1 февраля. Какого числа шарф будет связан?

Ответ: 18 февраля.
Решение:
За каждый сутки длина шарфа увеличивается на 10 см. Значит утром 17 февраля шарф будет длиной 170 см. Связав к вечеру ещё 30 см, Лида довяжет шарф.
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $P Q R\left(\angle P = 90^{\circ}\right)$. Точка $T$ выбрана так, что $\angle P Q T = \angle P R T = 30^{\circ}$. Найдите градусную меру $\angle Q T R$. Если значений несколько, то в ответ запишите их сумму.

Ответ: 270°.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
В слове КЕНГУРУ поменяли местами две соседние буквы, в полученном «слове» опять переставили две соседние буквы, и в том «слове», что получилось, проделали это ещё раз. Что не могло получиться в итоге?
(А) КУГЕРУН
(Б) ЕНКГУУР
(В) КЕГУРНУ
(Г) КНЕУГУР
(Д) КЕГНУРУ

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
На дне рождения было 12 детей таких возрастов: 6, 7, 8, 9 и 10 лет. Четверым было по 6 лет, а больше всего среди гостей было восьмилетних. Найдите средний возраст этих 12 детей.
(А) 6
(Б) 6,5
(В) 7
(Г) 7,5
(Д) 8

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
За подарками к Деду Морозу в очереди стоят белка, заяц, медведь и ёж. Известно, что медведь получит подарок раньше, чем белка, но позже зайца; белка не находится рядом ни с медведем, ни с зайцем. Кто за кем стоит?

Ответ: заяц, медведь, ёж, белка.
Решение:
белка не стоит ни с зайцем, ни с медведем, значит, у неё только один сосед, то есть она с краю. Так как медведь раньше белки, то белка последняя. Так как медведь получит подарок раньше, чем белка, но позже зайца, то у них такой порядок: заяц, медведь, белка, а ёж — сосед белки, между белкой и медведем.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Разглядывая семейный альбом, Ванечка нашёл там фотографии своих двух бабушек и двух дедушек. А сколько бабушек и дедушек имели его бабушки и дедушки все вместе?
(А) 4
(Б) 8
(В) 10
(Г) 16
(Д) 32

Ответ: Г
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018-2019 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Однажды все жители острова рыцарей и лжецов разбились на группы по 3 человека. Каждый человек в каждой тройке сказал двум оставшимся: «Среди вас, ребята, есть рыцарь!» Могли ли на острове проживать ровно 10 рыцарей?

Заметим, что в любой тройке не может быть одновременно рыцаря и лжеца, т. к. в этом случае лжец в этой тройке будет говорить правду. Остается рассмотреть варианты, когда в тройке все рыцари либо все лжецы. Оба этих вариант внутри одной тройки возможны. Тогда общее количество рыцарей на острове должно делиться на 3, так как количество рыцарей в любой тройке делится на 3, но число 2018 не делится на 3, поэтому на острове не может быть 2018 рыцарей.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Петя сложил три последовательных числа и получил число с разными цифрами. Переписывая результат в тетрадь, он забыл дописать последнюю цифру и записал 1046. Какие три числа сложил Петя?

Ответ: 3488, 3489 и 3490.
Решение:
Сумма любых трёх последовательных чисел должна делиться на 3, поскольку она равна утроенному среднему числу. Чтобы число 1046* делилось на 3 вместо * может быть 1, 4 или 7. Разделив 10467 на 3, получим среднее число.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Две девочки и три мальчика вместе съели 16 порций мороженого. Каждый мальчик съел в 2 раза больше порций, чем каждая девочка. Сколько порций съедят 3 девочки и 2 мальчика с такими же аппетитами?
(А) 12
(Б) 13
(В) 14
(Г) 16
(Д) 17

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Сколько существует таких натуральных чисел n, что остаток от деления 2003 на n равен 23?
(А) 13
(Б) 19
(В) 22
(Г) 23
(Д) 36

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Положительные числа a, b и c таковы, что a^3 = b^4 и b^2 = c^3. Тогда
(А) a = c^2
(Б) a^2 = c^3
(В) a^2 = c
(Г) a^3 = c^2
(Д) a = c

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В наборе было поровну карандашей, ручек и фломастеров. Денис убрал несколько карандашей и добавил столько же фломастеров. Теперь ручек и карандашей стало вместе 15, а ручек и фломастеров стало вместе 21. Сколько карандашей убрал Денис?

Ответ: 3 карандаша.
Решение:
Если бы карандаши не заменили на фломастеры, обе суммы были бы равны. После замены первая сумма (15) уменьшилась на число убранных карандашей, а вторая (21) увеличилась на равное число добавленных фломастеров. Разность этих сумм равна удвоенному числу убранных карандашей: (21 − 15) / 2 = 3.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2013 год

Задача:
Никита с сестрой Олей живут в своей квартире вместе с мамой, папой, собакой, трёмя кошками и пятью золотыми рыбками. Сколько всего ног и лап у обитателей этой квартиры?

Ответ: Всего 24 ног и лап вместе.
Решение:
У людей по две ноги, а у животных по 4 лапы. У рыбок ни ног, ни лап нет. Поэтому всего 2 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Миша измерил длины пяти палочек и записал результаты этих измерений. Какой из результатов А-Д самый большой?
(А) 3 дм 2 см
(Б) 3 см 7 мм
(В) 35 мм
(Г) 3 см
(Д) 302 мм

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2011 год

Задача:
Волк Вася, тигр Тоша, заяц Стёпа и зебра Зоя пришли на карнавал в масках волка, тигра, зайца и зебры. Причем Стёпа и Зоя в масках хищников, а у обладателей масок зебры и тигра нет полосок. Кто в какой маске?

Ответ: волк Вася в маске зебры, тигр Тоша в маске зайца, заяц Стёпа в маске тигра, зебра Зоя в маске волка.
Решение:
Нам известно, что Стёпа и Зоя пришли в масках хищниках. Но у обладателя маски тигра не было полосок, следовательно, зебра Зоя не могла надеть тигра, а значит, она была в маске волка. Маска тигра же досталась зайцу Стёпе. Волку Васе и тигру Тоше остались маски зайца и зебры. Но на обладателя маски зебры нет полосок, а значит тигр Тоша не может её носить. Получается, маска зебры у волка Васи, и тигр Тоша – в маске зайца.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
В 1-а классе учится 36 ребят. Половина из них — мальчики. Ровно треть учеников этого класса ещё не научилась выговаривать букву Р. Известно, что ровно 14 девочек уже говорят эту букву правильно. Сколько мальчиков выговаривают Р правильно?
(А) 6
(Б) 8
(В) 10
(Г) 12
(Д) 18

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 1 тур

Задача:
1. У трёхзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стёрли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число?
2. У четырёхзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стёрли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число?


Ответ: (а) в 111 раз, (б) в 101 раз.
Решение:
(а) запишем исходное число в виде ĀĀĀ После стирания двух цифр получится число Ā или просто А. Тогда ĀĀĀ = 111⋅А и, следовательно, число уменьшилось в 11 раз.
(б) Аналогично исходное число равно ĀĀĀĀ= 100⋅ĀĀ + ĀĀ = 101⋅ĀĀ. Поэтому после стирания двух цифр число уменьшится в 101 раз.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Закончите фразу так, чтобы получилось неверное утверждение: «Для всякого числа х найдётся такое число у, что …»
(А) х^2 + у^2 > 100
(Б) у^2 − х^2 > 100
(В) х^2 – у^2 > 100
(Г) (х − у)^2 > 100
(Д) х^3 − у^3 > 100

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В финал шоу вышли 4 девушки: Саша, Аня, Женя, Даша. Каждый из 60 зрителей выбрал ровно одну девушку победительницей, и нажал кнопку с её именем. Затем всем 60 зрителям задали 4 вопроса.
1. Кто выбрал Сашу, поднимите руку! Было 20 поднятых рук.
2. Кто выбрал Аню, поднимите руку! Было 13 поднятых рук.
3. Кто выбрал Женю, поднимите руку! Была 21 поднятая рука.
4. Кто выбрал Дашу, поднимите руку! Было 10 поднятых рук.

Две руки враз никто не поднимал. Однако некоторые зрители поднимали руку честно, а другие — обманывали, поднимали руку наоборот. Если, например, обманщик выбрал Аню, то он не поднимал руки, когда называли её имя, но поднимал, когда называли Сашу, Женю, Дашу. Сколько было обманщиков?

Ответ: 2 обманщика.
Решение:
Каждый «честный» поднимал руку только один раз из четырёх, а каждый обманщик поднимал руку три раза из четырёх, когда называли девушек, которых он не выбрал победительницей, то есть каждый обманщик два лишних раза поднял руку. Значит, лишних поднятий рук было в два раза больше числа обманщиков. Число лишних поднятий рук равно 20 + 13 + 21 + 10 − 60 = 4. Поэтому число обманщиков равно 4 : 2 = 2.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Сколько отрицательных чисел среди членов последовательности cos1°, cos10°, cos100°, cos1000°, ... ?
(А) 1
(Б) 2
(В) 10
(Г) 100
(Д) бесконечно много

Ответ: А
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 7 тур

Задача:
У числа 2018 нашли сумму цифр — 11. Потом нашли произведение цифр получившегося числа — получили 1. Сколько ещё таких лет в 21 веке, обладающих таким же свойством?

Произведение 1 можно получить, перемножив одну 1 (сумма цифр года больше 2 — не может быть); две 1 (сумма цифр года равна 11); больше двух 1 быть не может, т. к. 2 + 0 + 9 + 9 = = 20 < 111, год в интервале от 2001 до 2100. Итак, сумма цифр года равна 11. Две первые цифры года — это 2 и 0 (2 + 1 + 0 + 0 = 3 < 11), сумма двух последних цифр 11 − 2 − 0 = 9. Это могут быть 09, 18, 27, 36, . . . , 81 и 90 — 10 вариантов.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 2 тур

Задача:
Если лягушку поцеловать, она превратится или в принцессу, или в тыкву. Если принцессу поцеловать, она превратится или в тыкву, или в лягушку. Сколько тыкву не целуй, она останется тыквой. Лягушку поцеловали 5 раз. В кого в результате она могла превратиться?

Ответ: тыква или принцесса.
Решение:
Если в какой-то момент получилась тыква, в результате получится тоже тыква. Допустим, тыква никогда не получалась. Тогда лягушка и принцесса будут чередоваться. Через пять поцелуев останется принцесса. Значит, может получиться либо тыква, либо принцесса.
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Кролик купил 8 ложек и заплатил за них 12 монет. столовые ложки стоили 3 монеты, десертные – 2 монеты, а чайные – 1 монету. Сколько десертных ложек купил Кролик?

2 ложки
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Вася, Гена, Дима и Женя собирали орехи в лесу. К концу дня оказалось, что Женя собрал на 12 орехов больше, чем Гена и в 4 раза больше, чем Дима, а Вася собрал в 3 раза больше Димы и на 7 орехов больше Гены. Сколько всего орехов собрали бельчата вместе?

Ответ: 48 орехов.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
В коробке синие, красные и зелёные карандаши — всего 25 штук. Красных карандашей в 8 раз меньше, чем зелёных. Синих меньше, чем зелёных. Сколько синих карандашей?

Ответ: 7 синих.
Решение:
Решаем задачу перебором:
- если красный карандаш один, то зелёных 1 ⋅ 8 = 8, а синих 25 − 1 − 8 = 16, синих получается больше, чем зелёных, не подходит по условию задачи;
- если 2 красных карандаша, то зелёных 2 ⋅ 8 = 16, а синих 25 − 2 − 16 = 7, подходит по условию задачи;
- если 3 красных карандаша, то зелёных 3 ⋅ 8 = 24, не подходит по условию задачи;
- если красных карандашей больше трёх, не подходит по условию задачи.

Значит, красных – 2, зелёных – 16, синих карандашей – 7.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
В некоторой гостинице к приему гостей готово 5 трехместных номеров и один двухместный номер. Сколько ещё двухместных номеров надо подготовить, чтобы разместить группу из 25 туристов?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Среди чисел 200, 201, …, 400 ровно два делятся на n. Какое наибольшее количество среди тех же чисел может делиться на n + 1?
(А) 4
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Сколькими способами произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 9 ⋅ 10 можно представить в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел?
(А) 29
(Б) 59
(В) 119
(Г) 239
(Д) другой ответ

Ответ: (А) 29
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Буратино расставляет по кругу целые числа от 1 до 100, а папа Карло даёт Буратино по 1 золотому за каждое число, которое больше суммы двух своих соседей. Какое наибольшее количество золотых может получить Буратино?
(А) 51
(Б) 50
(В) 49
(Г) 34
(Д) 25

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год

Задача:
Можно ли сложить сплошную стенку, имеющую форму параллелепипеда с размерами 27 × 16 × 15,
1. из кирпичей размером 3 × 5 × 7;
2. из кирпичей размером 2 × 5 × 6,

если ломать кирпичи нельзя, но можно поворачивать?

Ответ: а) нет; б) нет.
Решение:
а) Заметим, что объём одного кирпича 3 × 5 × 7 кратен 7. Из таких кирпичей можно сложить только стенку, объём которой кратен 7. А у нас объём стенки не кратен 7.
б) Предположим, что выложить можно. Посмотрим на грань стенки размера 27 × 15. На ней видны следы кирпичей 2 × 5 × 6, т.е. прямоугольники 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6 в зависимости от того, какой стороной кирпич примыкает к грани. Таким образом, прямоугольник 27 × 15 нечётной площади должен быть замощен прямоугольниками 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6, площадь каждого из которых чётна, — противоречие.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2022 год

Задача:
У бабушки есть большие часы со стрелками. Однажды ровно в 1:00 раздался щелчок и стрелки стали крутиться в обратном направлении, но с прежней скоростью. Как только стрелки совместились, раздался второй щелчок. Стрелки стали крутиться в правильном направлении, пока снова не совместились. И так далее. Какое время будут показывать часы в момент четвёртого щелчка?

Ответ: 12:00.
Решение:
Заметим, что если из положения 1:00 стрелки начнут крутиться в обратном направлении, то первый раз, когда они совместятся, это будет 12 часов. И в этот момент случится второй щелчок. После чего стрелки начнут крутиться в правильном направлении до тех пор пока не совпадут. Это случится в какое-то время после 1:00 (и случится третий щелчок). Нам это неважно, так как после этого стрелки снова совместятся в 12:00. И это будет время четвёртого щелчка.
Замечание: Отметим, что если часы продолжат этот процесс, то каждый чётный щелчок будет происходить в 12:00, а каждый нечётный − в одно и тоже время после 1:00.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
В футболе команда получает за победу три очка, а за ничью – одно очко. Гри команды сыграли три матча – каждая с каждой по одному разу. Сколько очков не могла получить при этом ни одна из команд?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: 5
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
В альбоме нарисован клетчатый прямоугольник 3 × 7. Робота Игоря попросили обвести все линии фломастером, и у него ушло на это 26 минут (робот рисует линии с постоянной скоростью). За сколько минут он сможет обвести фломастером все линии клетчатого квадрата 5 × 5?

Ответ: 30 минут.
Решение:
Заметим, что клетчатый прямоугольник 3 × 7 состоит из четырёх горизонтальных линий длины 7 и восьми вертикальных линий длины 3. Тогда общая длина всех линий равна 4 · 7 + 8 · 3 = 52. Получается, на сторону одной клеточки у Игоря уходит 26 : 52 = $\frac{1}{2}$ минуты.
Прямоугольник 5 × 5 состоит из шести вертикальных и шести горизонтальных линий длины 5. Таким образом, общая длина линий равна 6 · 5 + 6 · 5 = 60. Тогда у Игоря уйдёт на обводку 60 · $\frac{1}{2}$ = 30 минут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2006 год, 1 тур

Задача:
На первых трёх уроках Вася получил по одной оценке: 3, 4 и 5. Дома он сказал: «Пятёрку я получил не на третьем уроке. А четвёрку получил на втором». Потом оказалось, что оба раза Вася сказал неправду. На каком уроке Вася получил тройку?

Ответ: На втором уроке.
Решение:
Т.к. Вася сказал неправду, значит пятёрку он получил на третьем уроке. А четвёрку получил не на втором уроке, а на первом (третий урок уже занят пятёркой). Остался только второй урок, на котором он и получил тройку.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
В прятки играет 13 ребят, один из них водит. Водящий уже нашёл 9 ребят. Сколько ещё ребят надо ему найти?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 9
(Д) 22

Ответ: (А) 3