d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2017 год

Задача:
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

Ответ: Таня.
Могут получится и другие последовательности букв, но только одна из них является именем.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2016 год

Задача:
Трое друзей Тихон, Егор и Виталик поменялись игрушками. Виталик стал играть пожарной машиной. Хозяину самосвала приглянулся экскаватор. А самосвал взял хозяин пожарной машины. Определите, какая игрушка чья, если известно, что пожарная машина не Тихона.
Комментарий: хозяином игрушки считается тот, у кого она была до обмена. Требуется указать хозяев игрушек.

Ответ: Пожарная машина – Егора, самосвал – Тихона, экскаватор – Виталика.
Решение:
Поскольку игрушку все поменяли, то пожарная машина не Виталика. Также по условию она и не Тихона. Значит, пожарная машина – Егора, сам Егор стал играть самосвалом. Самосвал – не Виталика, так как иначе он играл бы экскаватором. Следовательно Виталик – хозяин экскаватора, а самосвал – Тихона.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Вася, Дима и Коля прыгают на опушке. Пока Дима делает 3 прыжка, Коля делает 4 прыжка, а пока Коля делает 3 прыжка, Вася делает 5 прыжков. Сколько прыжков сделает Коля, если втроём бельчата сделали в общей сложности 2460 прыжков?

Ответ: 720 прыжков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Вера разрезала квадратный листок бумаги со стороной 5 см на два прямоугольника. Периметр одного из этих прямоугольников равен 16 см. Чему равен периметр другого?
(А) 8 см
(Б) 9 см
(В) 12 см
(Г) 14 см
(Д) 16 см

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Если уменьшаемое уменьшить на 1, а из вычитаемого вычесть 1, то разность
(А) не изменится
(Б) увеличится на 1
(В) уменьшится на 1
(Г) увеличится на 2
(Д) уменьшится на 2

Ответ: А
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
Сравните числа: 20162016 ⋅ 201720172017 и 20172017 ⋅ 201620162016.

Ответ: Эти числа равны.
Решение:
20162016 ⋅ 201720172017 = (2016 ⋅ 10001) ⋅ (2017 ⋅ 100010001)
20172017 ⋅ 201620162016 = (2017 ⋅ 10001) ⋅ (2016 ⋅ 100010001)
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2013 год

Задача:
На поляне по кругу растут сыроежки и два мухомора. Виталик считал по кругу, ничего не пропуская, так: «Две сыроежки, мухомор, семь сыроежек, мухомор». А Егор с другого места так: «Три сыроежки, мухомор, пять сыроежек, мухомор». Сколько на поляне сыроежек?
Комментарий: Нигде не сказано, что они сосчитали все грибы на поляне.

Ответ: На поляне 12 сыроежек.
Решение:
На поляне растут два мухомора, а между ними сыроежки с одной стороны и с другой. Поскольку каждый из ребят сосчитал оба мухомора, то каждый из них какой-то промежуток между мухоморами сосчитал полностью. Но так как между мухоморами у них получились разные числа, то они сосчитали разные промежутки. Следовательно, в одном промежутке 7 сыроежек, а в другом – 5. Всего на поляне 7 + 5 = 12 сыроежек.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555. Может ли уменьшаемое быть целым числом? Если да, то приведите пример, если нет, то объясните, почему.

Ответ: Нет.
Решение:
Так как сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому, то сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна удвоенному уменьшаемому, т.е. уменьшаемое равно 555 / 2 — нецелое число.
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
В промежутке от 20 до 77 крокодил Гена выписал все числа, с суммой цифр равной 5. Сколько чисел выписал крокодил Гена?

Ответ: 13 чисел
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Вася написал число, а Петя написал число на 1 больше. Потом Вася написал ещё одно число, а Петя написал число на 3 больше. Могли ли суммы квадратов чисел Васи и Пети быть равными?

Ответ: Да.
Решение:
Пример. Вася написал числа −0,5 и −1,5. Петя написал числа 0,5 и 1,5.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Найдите сумму всех трёхзначных чисел $\overline{abc}$, делящихся нa 4‚ для которых $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$.

Ответ: 2668,
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2018 год

Задача:
Кто-то из братьев Вася или Саша – съел все конфеты. На вопрос мамы «Кто это сделал?» Вася сказал: «Это старший». Саша сказал: «Это не я». Известно, что солгал тот, кто съел конфеты. Кто старший?

Ответ: Старшего брата зовут Саша.
Решение:
Пусть Саша сказал правду. Тогда конфеты съел Вася, и он должен был соврать. Значит, Вася младший, а старший — Саша. Пусть Саша солгал. Тогда конфеты съел он. Тогда Вася говорит правду. Значит, Саша — старший.
Замечание: Мы выяснили, кто старший, однако, так и не узнали, кто съел конфеты!
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2020 год

Задача:
Баба Яга украла варенье у Карлсона и бросилась бежать. Через 8 минут он заметил пропажу и полетел вдогонку. В этот момент Бабе Яге оставалось до дома бежать 10 минут, но Карлсон мчится в два раза быстрее. Успеет ли он догнать похитительницу?

Ответ: успеет.
Решение:
Поскольку Карлсон перемещается в 2 раза быстрее, то расстояние, которое преодолела Баба Яга за 8 минут, он пролетит за 4 минуты. Чтобы пролететь расстояние до дома Бабы Яги с того места, где она сейчас, ему нужно 5 минут. Итого время Карлсона, чтобы долететь до дома Яги равно 9 минут, а ей бежать 10. Поэтому он успеет её настигнуть.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Дан числовой ребус: ТЭТА + БЭТА = ГАММА. (Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые.) Найдите все его решения и докажите, что других нет.

Ответ: 4940 + 5940 = 10880.
Решение:
Т.к. Г — результат переноса в следующий разряд, то Г = 1. Так как А + А заканчивается на А, то А = 0. Значит, переноса в разряд десятков нет, т.е. Т + Т заканчивается на М, и значит, М чётно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечётное число Э + Э + 1 заканчивалось бы на чётное М. Т.к. переноса нет, то 2Т < 10. Возможные варианты 2, 3, 4.
Если Т = 2, то Э = 7, откуда Б = 7 — но 7 уже занята.
Если Т = 3, то М = 6, Э = 8, откуда Б = 6, но 6 = М.
И последний вариант Т = 4. Тогда М = 8, Э = 9. Откуда Б = 5 — противоречия нет.
Таким образом, возможен только один вариант: 4940 + 5940 = 10880
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Семья Васи приехала на дачу на машине в 16:00. Если бы скорость, с которой они ехали, была на 25% больше, то они приехали бы в 14:30. В какое время они выехали из дома?
(А) 8:00
(Б) 8:30
(В) 9:00
(Г) 10:00
(Д) 12:00

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В одном лесу росли дуб возрастом 180 лет и сосна возрастом 173 года. Через сколько лет возраст сосны будет составлять 99% от возраста дуба?

Ответ: 520 лет.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год

Задача:
В магазине продаётся 20 товаров, стоимости которых — различные натуральные числа от 1 до 20 рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых 5 товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой товар получит бесплатно. Влад хочет купить все 20 товаров в этом магазине, заплатив как можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из 20 товаров продаётся в 1 экземпляре.)

Ответ: 136 рублей.
Решение:
Влад может воспользоваться акцией не более 4 раз, поэтому он бесплатно приобретёт не более 4 товаров. Суммарная стоимость этих 4 товаров не превосходит 17 + 18 + 19 + 20 рублей. Значит, рублей Владу надо не менее
(1 + 2 + 3 + … + 20) − (17 + 18 + 19 + 20) = 1 + 2 + 3 + … + 16 = 16 ⋅ 17 / 2 = 136
Покажем, что 136 рублей ему точно хватит. Он может совершать покупки товаров со следующими стоимостями: (1, 2, 3, 4, 17), (5, 6, 7, 8, 18), (9, 10, 11, 12, 19), (13, 14, 15, 16, 20). Если Влад в каждой покупке будет брать последний товар бесплатно, то потратит в точности 136 рублей.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2020 год

Задача:
От дома до школы у Клима два перехода со светофорами с зелёным и красным сигналом. От первого до второго перехода Клим идёт 2 минуты. Клим знает, что на каждом светофоре зелёный и красный горят равное время – по 2 минуты. Из дома до первого перехода идти 10 минут и от второго перехода до школы – тоже 10 минут. Однажды Клим вышел из дома в 8:00 и увидел, что на всех светофорах одновременно загорелся зелёный свет. Во сколько он придёт в школу, если не будет нарушать правила? (Клим переходит дорогу за 5 секунд)

Ответ: Клим придёт в школу в 8 часов 26 минут и ещё 5 секунд.
Решение:
Цикл повторяется каждые 4 минуты. Поэтому, когда Клим дойдёт до первого перехода, загорится красный свет (потому что прошло два цикла, и ещё 2 минуты горел зелёный). Подождав 2 минуты, Клим быстро перейдёт дорогу (будет уже 8:12 и ещё 5 секунд). На втором переходе в это время горит зелёный, но пока Клим дойдёт, загорится красный. Поэтому снова придётся подождать (1 минуту 55 секунд) и быстро перейти. Это будет уже в 8:16 и ещё 5 секунд. Ещё через 10 минут Клим дойдёт до школы.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
В примере на умножение КЕН × ГА = 7632 использованы все цифры от 1 до 9, каждая по одному разу. Какую цифру заменяет буква Г?
(А) 1
(Б) 4
(В) 5
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
В полдень из столицы в город А вышли скороход и торговец. Одновременно по той же дороге навстречу им из А вышел отряд стражников. Через час стражники встретили скорохода, ещё через 2 часа они встретили торговца, а ещё через 3 часа стражники прибыли в столицу. Во сколько раз быстрее торговца идёт скороход?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Джон задумал пятизначное число. Вычеркнув из него одну цифру, он сложил полученное четырёхзначное число с исходным пятизначным числом. Сумма оказалась равна 52713. Чему равна сумма цифр задуманного Джоном пятизначного числа?
(А) 26
(Б) 23
(В) 20
(Г) 19
(Д) 17

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Каких чисел не бывает?
(А) простых
(Б) натуральных
(В) рациональных
(Г) естественных
(Д) действительных

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2023 год

Задача:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 50 жителей острова, среди которых было 𝑘 лжецов (𝑘 ≥ 4). Все лжецы по очереди сделали заявления:
- Первый лжец: «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов»,
- Второй лжец: «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов»,
- Третий лжец: «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов»,
- Четвёртый лжец: «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов»,
- ...
- 𝑘-й лжец: «Среди нас рыцарей на (𝑘 − 2) больше, чем лжецов».

Найдите наибольшее возможное значение 𝑘.

Ответ: 17.
Решение:
Так как все лжецы соврали, то рыцарей должно быть хотя бы на 𝑘 − 1 больше, чем лжецов. Раз лжецов ровно 𝑘, то рыцарей хотя бы 2𝑘 − 1, а на заседание собрались хотя бы 3𝑘 − 1 жителей острова. Но условию задачи нам известно, что на заседании было ровно 50 человек. Получаем неравенство:
3𝑘 − 1 ≤ 50 ⇒
3𝑘 ≤ 51 ⇒
𝑘 ≤ 17.
Осталось лишь понять, что случай с 17 лжецами и 33 рыцарями удовлетворяет условию задачи. Действительно, в этом случае рыцарей на 16 больше, чем лжецов, поэтому все 17 лжецов действительно солгали.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
В игре дети обмениваются фишками: красную фишку можно обменять на три белых, а белую — на две красных. В начале игры у Амалии была одна белая и 3 красных фишки. После 5 обменов у неё оказалось 12 фишек. Сколько среди них белых?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год

Задача:
Существует ли натуральное n такое, что число n^2012 − 1 является какой-либо степенью двойки?

Ответ: Нет, не существует.
Решение:
Преобразуем:
n^2012 − 1 = (n^1006)^2 − 1 = (n^1006 − 1)(n^1006 + 1)
Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причём эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n^1006 − 1 = 2, а n^1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2023 год, 2 вариант

Задача:
Футбольный матч закончился со счётом 5:1. Каждый гол в этом матче был устроен так: один игрок давал голевой пас своему сокоманднику, а тот забивал гол команде соперников.
После каждого гола в протокол матча записывали имена двух игроков из одной команды: того, кто забил гол, и того, кто отдал голевой пас. По итогу матча в протоколе оказались записаны имена только четырёх игроков: Андрея, Бориса, Вадима и Дениса. Сколько забил голов и сколько отдал голевых передач Денис, если известно, что его сокомандник Андрей забил ровно 3 гола?

Ответ: У Дениса в этом матче 2 забитых гола и 3 отданных голевых передачи.
Решение:
Поскольку Денис и Андрей сокомандники и забили как минимум 3 гола, значит Борис и Вадим — их противники, они забили один гол. Потому Бориса и Вадима не рассматриваем далее.
Поскольку забитых голов и голевых передач было отдано 5, а Андрей забил только три гола, то получается что Денис забил 2 гола, а также отдал 3 голевые передачи.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В финале чемпионата Сибирского федерального университета по туризму шесть спортсменов соревнуются по трём группам дисциплин. В каждой из дисциплин распределяются места с первого по шестое (делить одно и то же место нельзя) а финальный результат каждого спортсмена – произведение трёх занятых мест в каждой дисциплине. Оказалось, что утвержденные результаты таковы: Ваня – 5, Дима – 12, Женя – 24, Коля – 54, Миша – 64, Петя – 75. Определите, какие места заняли спортсмены в первой дисциплине, если известно, что Ваня показал в первой дисциплине самый слабый результат из всех трёх дисциплин.

Ответ: Миша, Ваня, Дима, Петя, Коля, Женя.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
У скольких трёхзначных чисел сумма цифр равна 2?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Для скольких чисел n из набора 1, 2, 3, …, 100 число n^n является квадратом некоторого натурального числа?
(А) 5
(Б) 10
(В) 50
(Г) 54
(Д) 55

Ответ: (Д) 55
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2016 год

Задача:
У трёх братьев разное количество марок. Если старший даст среднему 1 марку, а средний даст младшему 3 марки, то у всех станет поровну. Сколько марок должен отдать старший младшему, чтобы у них двоих стало поровну?

Ответ: 2 марки.
Решение 1: После раздачи марок у старшего станет на 1 меньше, чем было, у среднего – на 2 меньше, чем было (+1−3), у младшего – на 3 больше, чем было. Значит, у старшего изначально на 4 марки больше, чем у младшего. Следовательно, для уравнивания он должен дать младшему 2 марки.
Решение 2: Пусть старший не даёт марку среднему, а даст её сразу младшему. Тогда, чтобы уравнять марки старшего и младшего, среднему нужно дать младшему 2 марки. Значит, если старший даст ещё одну свою марку младшему, то у них будет поровну.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2010 год

Задача:
Домовой нашёл стопку бумаги и на каждом 3-м листе нарисовал Маленькую Машу. Маленькая Маша нашла эту стопку и на каждом 5-м листе нарисовала Домового. Вечером мама увидела 4 портрета Домового и 6 портретов Маленькой Маши. Сколько было бумаги в стопке?

Ответ: 20 листов.
Решение:
Домовой нарисовал 6 портретов, значит, листов не менее 6 ⋅ 3, но менее 7 ⋅ 3. То есть от 18 до 20. Маша нарисовала 4 портрета, значит, листов не менее 4 ⋅ 5, но менее 5 ⋅ 5. То есть от 20 до 24. Единственное число, входящее в оба промежутка, это 20.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
На первой остановке из автобуса вышли 5 человек и вошли 4 человека. На второй остановке вышли 8 человек и вошли 5 человек. На третьей остановке вышли 7 человек, никто не вошёл. Сколько человек осталось в автобусе, если первоначально было 15 человек?

Ответ: 4.
Решение:
15 − 5 + 4 − 8 + 5 − 7 = 4
В автобусе осталось 4 человека.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Значение выражения $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{2}\right)⋅\left(1 + \frac{1}{3}\right)⋅\ldots..⋅\left(1 + \frac{1}{2003}\right)$ равно:
(А) 2004
(Б) 2003
(В) 2002
(Г) 1002
(Д) 1001

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Про натуральное число m известно, что в десятичной записи числа m^3 не менее 5 цифр, а в записи числа m^8 не более 11 цифр. Сколько цифр в записи числа m^24?
(А) 24
(Б) 29
(В) 32
(Г) 33
(Д) 34

Ответ: (Г) 33
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Электронные часы показывают 14:20. Что они покажут через 50 минут?
(А) 14:50
(Б) 14:55
(В) 14:70
(Г) 15:00
(Д) 15:10

Ответ: 15:10
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
С полуночи до полудня кот Баюн спит, а с полудня до полуночи рассказывает сказки. Через час он начнёт рассказывать сказки. Когда он снова заснет??
(А) через 11 часов
(Б) через 12 часов
(В) через 13 часов
(Г) через 14 часов
(Д) через 17 часов

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
На доске написаны примеры на сложение. Учительница заменила одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы — разными цифрами. Оказалось, что:
А + Б + В + К + Л + М + А + Б + В = 20
Г + Д + Е + К + Л + М + Г + Д + Е = 50
Чему может быть равно А + Б + В + К + Л + М + Г + Д + Е?

Ответ: Таких цифр не существует.
Решение:
Разобьём все суммы на более мелкие части. Тогда получим части АБВ (А + Б + В), ГДЕ (Г + Д + Е) и КЛМ (К + Л + М).
По условию АБВ + АБВ + КЛМ = 20, а ГДЕ + ГДЕ + КЛМ = 50. Значит ГДЕ + ГДЕ больше, чем АБВ + АБВ на 50 − 20 = 30. Но тогда ГДЕ больше, чем АБВ на 30 : 2 = 15. Следовательно, А + Б + В + К + Л + М + Г + Д + Е = 35. Однако минимальная сумма 9 различных цифр равна 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, поэтому таких цифр не существует.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Трёхзначное число поделили на 9. Оказалось, что у частного сумма цифр на 9 меньше суммы цифр исходного числа. Сколько всего таких чисел?
(А) 1
(Б) 2
(В) 5
(Г) 6
(Д) 11

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2022 год

Задача:
В 4«А» классе у каждого ребёнка есть не менее 11 одноклассников и не менее 13 одноклассниц. Какое наименьшее количество детей может учиться в этом классе?

Ответ: 26 детей.
Решение:
Нетрудно проверить, что класс, состоящий из 12 мальчиков и 14 девочек, удовлетворяет условию задачи. Теперь докажем, что меньше быть не может.
Ясно, что в классе есть и мальчики, и девочки. У каждого мальчика в классе не менее 11 одноклассников, поэтому всего мальчиков хотя бы 12. У каждой девочки в классе не менее 13 одноклассниц, поэтому всего девочек хотя бы 14. Таким образом, в классе учится хотя бы 12 + 14 = 26 детей.
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Наталья поставила в ряд 4 зонтика: чёрный, жёлтый, красный и синий. На каждый зонтик она повесила этикетку с верной надписью. Этикетки висели в таком порядке (слева направо):
- Первая: «Этот зонт не чёрный и не жёлтый».
- Вторая: «Этот зонт не красный и не чёрный».
- Третья: «Этот зонт не жёлтый и не синий».
- Четвёртая: «Этот зонт не синий и не красный».

В каком порядке (слева направо) Наталья могла расставить зонтики? Укажите все варианты.
Комментарий: В ответе нужно указывать первые буквы цветов. Например, если зонтики идут в порядке «чёрный, жёлтый, красный, синий», в ответе нужно указать чжкс.

Ответ: ксчж или сжкч.
Решение:
Предположим, что первый зонт красный. Тогда третий зонт чёрный. Тогда четвёртый зонт жёлтый, а второй — синий.
Если же первый зонт синий, то второй зонт жёлтый. Тогда четвёртый зонт чёрный, а третий — красный.
Итого имеем два возможных порядка: ксчж или сжкч.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок забыл пароль от сейфа, куда он спрятал орех. Он помнит, что паролем является наибольшее натуральное число, в записи которого любые две соседние цифры образуют двузначное число, кратное 17. Какой же пароль от сейфа?

Ответ: 68517.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
В каком из следующих выражений при замене цифры восемь на любую другую цифру результат не изменится?
(А) (8 + 8) : 8 + 8
(Б) 8 × (8 + 8) : 8
(В) 8 + 8 − 8 + 8
(Г) (8 + 8 − 8) × 8
(Д) (8 + 8 − 8) : 8

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2024 год

Задача:
Квартиры в доме пронумерованы в порядке возрастания, начиная с 1 (все номера – натуральные числа, ни одно число не пропущено). Кенгуру пересчитал цифры в номерах всех квартир. Он узнал, что цифра 2 встречается 14 раз, а цифра 5 − 3 раза. Какое наибольшее количество квартир может быть в этом доме?
(А) 25
(Б) 26
(В) 34
(Г) 35
(Д) 41

Ответ: В
Решение:
Цифра 2 встречается 14 раз, тогда это номера 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 и 32. В следующий раз цифра 2 должна была бы встретиться в номере 42. Цифра 5 встречается 3 раза, тогда это номера 5, 15 и 25. В следующий раз цифра 5 должна была бы встретиться в номере 35. Из чисел 42 и 35 выбираем меньшее. Значит, в этом доме может быть не более 34 квартир.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Существует ли прямоугольный параллелепипед, все стороны которого выражаются целыми числами, а площадь его поверхности численно равна сумме длин всех его рёбер?

Ответ: Да, существует.
Решение:
Подходит, например, куб 2 × 2 × 2. И площадь поверхности, и сумма длин рёбер численно равны 24.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2019 год

Задача:
Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа 133355555 получить число 123456789?

Ответ: нет, нельзя.
Решение:
Сумма девяти нечётных цифр — нечётное число, и его последняя цифра тоже будет нечётной. Поэтому чётные цифры в таком процессе появиться не могут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
В городе девять районов. Длина границы каждого из них – 40 км. Районы отделены друг от друга дорогами, общая протяженность которых составляет 130 км. Кроме того, снаружи город опоясывает кольцевая дорога. Какова её длина?

Ответ: 100 км.
Решение:
Если мы сложим длины всех границ районов и длину кольцевой дороги, то каждую дорогу мы сосчитаем дважды (для границ районов – когда считали один район, потом другой, а для кольцевой – второй раз как границу района). Тогда 9×40 = 130×2 + К. Отсюда длина кольцевой К = 360−260.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
У Вани было 70 рублей монетами достоинством 2 рубля и 5 рублей. Двухрублёвых монет было столько, сколько пятирублёвых. Сколько всего монет было у Вани?

Ответ: 20 монет.
Решение:
20 + 50 = 70
Десять монет по 2 рубля и десять монет по 5 рублей. Всего было монет: 10 + 10 = 20.