d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Весенний Олимп», 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Ефим составил из букв Д и Я три слова. В каждом из слов буквы следуют в алфавитном порядке: буква Я не может стоять перед буквой Д.
Также известно:
- Букв Д в первом слове меньше, чем букв Я во втором слове.
- Букв Д во втором слове меньше, чем букв Я в третьем слове.
- Букв Д в третьем слове меньше, чем букв Я в первом слове.
- Букв Я в первом слове меньше, чем букв Д во втором слове.
- Букв Я во втором слове меньше, чем букв Д в третьем слове.
- Букв Я в третьем слове меньше шести.

Какие слова составил Ефим?

Переупорядочим данные в условии фразы:
- Букв Я в третьем слове меньше шести.
- Букв Д во втором слове меньше, чем букв Я в третьем слове.
- Букв Я в первом слове меньше, чем букв Д во втором слове.
- Букв Д в третьем слове меньше, чем букв Я в первом слове.
- Букв Я во втором слове меньше, чем букв Д в третьем слове.
- Букв Д в первом слове меньше, чем букв Я во втором слове.

В итоге величины, упомянутые в каждом из предложений до слова «меньше», идут в порядке убывания. Единственные 6 различных целых количеств, меньших 6, — это 5, 4, 3, 2, 1, 0.
Следовательно, данные в условии фразы перепишутся так:
-  Букв Я в третьем слове 5
-  Букв Д во втором слове 4
-  Букв Я в первом слове 3
-  Букв Д в третьем слове 2
-  Букв Я во втором слове 1
-  Букв Д в первом слове 0

Букв Я в третьем слове 5
Букв Д во втором слове 4
Букв Я в первом слове 3
Букв Д в третьем слове 2
Букв Я во втором слове 1
Букв Д в первом слове 0
Итого искомые слова:
1. яяя
2. ддддя
3. ддяяяяя
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Фермер огораживает прямоугольное поле 40-метровым забором. Длина каждой стороны поля выражается простым числом. Какова максимально возможная площадь поля?
(А) 99 м^2
(Б) 96 м^2
(В) 91 м^2
(Г) 84 м^2
(Д) 51 м^2

Ответ: В
Решение:
Обозначим длину и ширину пола как а и b. Периметр поля 2∙(a + b) = 40. Отсюда a + b = 20. Т.к. а и b являются простыми числами, то единственно возможные два простых числа, которые в сумме дают 20, это 7 и 13. И тогда площадь поля 7 ∙ 13 = 91 кв.м.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
На стене висят двое часов. Одни часы показывают точное время, а другие спешат. Сейчас угол между часовыми стрелками этих часов равен 72°. Чему равен угол между минутными стрелками этих часов?
(А) 144°
(Б) 120°
(В) 84°
(Г) 21°
(Д) 7°

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
На поляне растёт на 6 кустов меньше, чем деревьев. Прилетели птицы, и сели и на кусты, и на деревья. Сели они так, что на всех деревьях их было поровну, и на всех кустах поровну, но на дереве по крайней мере на 10 птиц больше, чем на кусте. На деревьях всего сидело 128 птиц. Сколько было кустов?

Ответ: 2.
Решение:
Деревьев не меньше 7, так как их на 6 больше, чем кустов. На одном дереве птиц не меньше, чем 11, так как по крайней мере на 10 птиц больше, чем на одном кусте. Деревьев не может быть 12 или больше, так как тогда птиц на деревьях было бы 12 ⋅ 11 = 132 или больше. Значит, деревьев может быть 7 или 8 или 9 или 10 или 11. Но из них только число 8 является делителем числа 128. Значит, деревьев 8, а кустов на 6 меньше, то есть 2.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Вася выписал несколько последовательных натуральных чисел. Чему не может быть равен процент нечётных чисел среди них?
(А) 60
(Б) 50
(В) 48
(Г) 45
(Д) 40

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Банковская карта Миши имеет пинкод, представляющий собой четырёхзначное число, все цифры которого различны. Если зачеркнуть первую и последнюю цифры этого числа, то получится наибольшее двузначное число, сумма цифр которого равняется 13. Последняя цифра этого числа больше первой на 7. Какой пинкод у банковской карты?

Ответ: 1948.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Какое из чисел обладает такими свойствами: оно чётное, все его цифры различны, а число сотен в два раза больше числа единиц?
(А) 1236
(Б) 3478
(В) 4683
(Г) 4874
(Д) 8462

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
На одной чашке весов лежат 6 апельсинов, а на другой – 2 дыни. Если добавить одну такую же дыню к апельсинам, то весы будут уравновешены. Значит, дыня весит столько же, сколько
(А) 2 апельсина
(Б) 3 апельсина
(В) 4 апельсина
(Г) 5 апельсинов
(Д) 6 апельсинов

Ответ: 6 апельсинов
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Имеется три ёмкости 12, 48 и 10 литров водных растворов некоторого вещества. Во второй ёмкости процентное содержание вещества в растворе на 15% больше, чем в первой, а в третьей ёмкости содержится 35% раствор. Из второй ёмкости перелили половину раствора в первую ёмкость, а оставшуюся половину – в третью ёмкость. Оказалось, что теперь в первой и третьей ёмкостях процентное содержание вещества в растворе стало одинаковым. Сколько процентов вещества первоначально содержал первый раствор?

Ответ: 37%.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В тетради в ряд выписаны все числа от 8 до 25. Сколько раз написана цифра 1?

Ответ: 12 единиц.
Решение:
По одной единице есть в числе 10 и во всех числах от 12 до 19 и числе 21, а в числе 11 единиц две. Всего получается 12 единиц.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Круг разделён на 9 секторов. Винни-Пух хочет поставить в каждый сектор несколько горшочков мёда так, чтобы количество в парах соседних секторов принимали все возможные значения от 2011 до 2019 по одному разу. Сможет ли Винни-Пух справиться с задачей?

Предположим, Винни-Пух сможет справиться с задачей. Сложим все суммы в парах соседних секторов. Мы получим удвоенную сумму горшочков во всех секторах, так как каждый горшочек входит в две пары соседних секторов. Значит, чтобы узнать общее количество количество горшочков в круге, нужно сложить в каком-то порядке числа 2011, 2012, . . . , 2019 и разделить на 2. Но сумма чисел от 2011 до 2019 является числом нечётным, ведь у нас 5 нечётных и 4 чётных слагаемых в сумме, значит, в круге стоит нецелое число горшочков. Противоречие.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Из натуральных чисел от 1 до 333 включительно исключите все числа, делящиеся на 3, но не делящиеся на 7, и все числа, делящиеся на 7, но не делящиеся на 3. Сколько чисел останется?

Ответ: 205 чисел.
Решение:
Всего чисел 333.
Рассмотрим все числа, делящиеся на 3. Получим арифметическую прогрессию, первый член которой – 3, последний – 333, а разность – 3. Количество членов прогрессии: (333 − 3) / 3 + 1 = 111 членов. Всего на 3 делится 111 чисел из этого ряда.
Найдём числа, делящиеся и на 3, и на 7, т.е. кратные 21: арифметическая прогрессия а_1 = 21, а_п = 315, р (разность) = 21, значит всего (315 − 21) / 21 + 1 = 15 чисел, кратных 21. Т.е. вычеркнем 111 − 15 = 96 чисел.
Аналогично рассмотрим все числа кратные 7: арифметическая прогрессия, а_1 = 7, а_п = 329, р = 7, значит всего (329 − 7) / 7 + 1 = 47 чисел, а 15 кратных 21 мы не вычеркиваем, т.е вычеркиваем ещё 47 − 15 = 32 числа.
Всего вычеркнем: 96 + 32 = 128 чисел, значит останется: 333 − 128 = 205 чисел.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Квадратный лист бумаги разделили на две части одним прямым разрезом. Какая из фигур А-Г не могла при этом получиться?
(А) шестиугольник
(Б) пятиугольник
(В) прямоугольник
(Г) треугольник
(Д) все фигуры А-Г могут получиться

Ответ: (А) шестиугольник
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Через реку шириной 120 метров построен мост. Одна четверть длины моста расположена над левым берегом, одна четверть — над правым берегом. Чему равна длина моста?
(А) 150 м
(Б) 180 м
(В) 210 м
(Г) 240 м
(Д) 270 м

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
Учитель написал на доске целые числа от 1 до 15. Затем он разбил их на пять групп по три числа в каждой группе. Суммы чисел в первых четырёх из этих групп: 25, 27, 30 и 31 соответственно. В какой из групп содержится число 4?
(А) в первой
(Б) во второй
(В) в третьей
(Г) в четвёртой
(Д) в пятой

Ответ: Д
Решение:
Посчитаем сумму всех написанных чисел: 1 + 2 + ... + 15 = 120. Значит, пятая группа чисел имеет сумму: 120 − 25 − 27 − 30 − 31 = 7. Три разных числа от 1 до 15 дают в сумме 7 только тогда, когда это 1, 2 и 4. Значит, число 4 содержится в пятой группе, чья сумма чисел равна 7.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
Каждый участник викторины вначале получает 10 баллов и должен ответить на 10 вопросов. За каждый правильный ответ ему добавляют 1 балл, а за неправильный ответ у него вычитают 1 балл. Миша получил в результате 14 баллов. Сколько неверных ответов он дал?
(А) 7
(Б) 6
(В) 5
(Г) 4
(Д) 3

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2021 год

Задача:
Найдите наименьшее число, у которого все цифры различны, а сумма всех цифр равна 32.

Ответ: 26789.
Решение:
У четырёхзначного числа из различных цифр наибольшая возможная сумма цифр равна 9 + 8 + 7 + 6 = 30 < 32, поэтому нужное нам число минимум пятизначное.
Постараемся сделать первую цифру как можно меньше. Ясно, что она не меньше 2. Поставим на первое место 2. Сумма оставшихся четырёх цифр 30, её можно получить только как 9 + 8 + 7 + 6. Самую маленькую из этих цифр 6 ставим на второе место, следующую по величине цифру 7 — на третье место, 8 — на четвёртое, 9 — на пятое.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Какое наибольшее произведение можно получить, если перемножить несколько натуральных чисел, сумма которых равна 2013?
(А) 2^1006
(Б) 2^1005 ⋅ 3
(В) 183^11
(Г) 11^183
(Д) 3^671

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Какое из слов не имеет ни одной общей буквы со словом КЕНГУРУ?
(А) РОМБ
(Б) УГОЛ
(В) ДИАГОНАЛЬ
(Г) ВЫСОТА
(Д) ВЕРШИНА

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма этих чисел равна их произведению и равна 2012. Какое самое маленькое количество чисел может быть на доске?
(А) 1006
(Б) 1507
(В) 1508
(Г) 1556
(Д) 2012

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2021 год

Задача:
Юля и Вера играли в баскетбол. Каждый гол приносит 2 очка. Юля забила 5 голов, а Вера – 9 голов. На сколько больше очков, чем у Юли, получила Вера?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: В
Вера забила на 4 гола больше, чем Юля. Каждый год – это 2 очка. Получаем, что Вера получила на 8 очков больше, чем Юля.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Выражение a^a ⋅ b^b ⋅ c^c ⋅ a^b ⋅ b^c ⋅ c^a ⋅ a^c ⋅ b^a ⋅ c^b равно
(А) (a + b + c)^abc
(Б) (abc)^abc
(В) (a + b + c)^a+b+c
(Г) (abc)^a+b+c
(Д) (abc)^3a+3b+3c

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Вольер для кенгуру в зоопарке имеет форму прямоугольника 40 м х 60 м. На плане зоопарка изображение этого вольера имеет периметр 100 см. В каком масштабе выполнен план?
(А) 1 : 100
(Б) 1 : 150
(В) 1 : 160
(Г) 1 : 170
(Д) 1 : 200

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Жук Жак ползёт по координатной плоскости. Он стартует из точки (1; 1) и движется так, что произведение его координат не меняется. По какой линии ползёт жук?
(А) по прямой
(Б) по окружности
(В) по параболе
(Г) по гиперболе
(Д) по ломаной линии

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2013 год

Задача:
Жестянщик делает таблички с буквами. Одинаковые буквы он гравирует за одинаковое время, разные – возможно, за разное. На две таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» он потратил 50 минут, а одну табличку «ДЫМОХОД В» сделал за 35 минут. За какое время он сделает табличку «ВЫХОД»?

Ответ: 20 минут.
Решение:
Заметим, что таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» содержат те же буквы, что и табличка «ВЫХОД» и две таблички «ДОМ». Табличка же «ДЫМОХОД В» содержит те же буквы, что и таблички «ДОМ» и «ВЫХОД». Следовательно, на табличку «ДОМ» жестянщик потратил бы 50 − 35 = 15 мин. Тогда на табличку «ВЫХОД» 35 − 15 = 20 мин.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Красная Шапочка несла пирожки бабушке. Она вышла в 10 часов утра. Пройдя три четверти пути, она встретила Серого Волка, поговорила с ним и угостила пирожками, это заняло 10 минут. Зато Серый Волк подвёз её до дома бабушки, а скорость у Волка была в три раза больше, чем у Красной Шапочки. Если бы Красная Шапочка не встретила волка, и шла бы, не останавливаясь и с постоянной скоростью, она затратила бы на дорогу такое же время. В какое время Красная Шапочка пришла к бабушке?

Ответ: 11 часов.
Решение:
Рассмотрим последнюю четверть пути. Красная Шапочка преодолела её на 10 минут быстрее, чем обычно, при этом она двигалась в три раза быстрее. Значит, это заняло в три раза меньше времени. Разница между обычным и новым временами равна удвоенному новому времени и составляет 10 минут. Поэтому новое время равно 5 минутам, а обычное время, за которое Красная Шапочка проходит четверть пути, — 15 минутам. На первые три четверти пути тогда требуется 45 минут, а весь путь Красная Шапочка проделала за 60 минут.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Папа купил для коллекции 4 марки — французскую, немецкую, болгарскую и польскую. Стоимость покупки без французской марки — 40 рублей, без немецкой — 45 рублей, без болгарской — 44 рубля и без польской — 27 рублей. Сколько стоит польская марка?
(А) 8 рублей
(Б) 25 рублей
(В) 7 рублей
(Г) 12 рублей
(Д) 30 рублей

Ответ: 25 рублей
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Бельчонок сидел в левом углу квадратной площадки, выложенной одинаковыми квадратными плитками, и стал прыгать, за один прыжок он перепрыгивает на соседнюю плитку. Сначала бельчонок прыгал вперёд до конца площадки, потом вправо до конца, потом назад до конца, потом влево до конца. Он вернулся на плитку, с которой начал, за 32 прыжка. Сколько плиток во всей площадке?

Ответ: 81 плитка.
Решение:
Вычтем 4 угловых плитки: 32 − 4 = 28, тогда длина одной стороны без угловых плиток 28 : 4 = 7, внутри 7 ⋅ 7 = 49 плиток, всего 32 + 49 = 81 плитка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
У Даши было 9 кусочков бумаги. Некоторые из них она разрезала на три части. Всего получилось 15 кусочков. Сколько кусочков разрезала Даша?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Мама Саши, Кати, Маши, Лены и Дины днём принесла 7 пирожных, но к вечеру пирожных осталось 5.
- Саша сказала: «Я знаю, что одно пирожное съела Катя».
- Катя заявила: «Да ты, что, Саша, ты сама съела пирожное! А второе пирожное съела Маша».
- Лена заметила: «Никто не ел два пирожных».
- А Дина ответила: «Я бы смогла, но два пирожных не ела».

Те, кто съел пирожные, говорят правду, а кто не ел – неправду. Кто же съел пирожные?

Ответ: Дина и Лена.
Решение:
Если Саша права, то она и Катя съели по одному пирожному. Тогда Катя должна говорить правду, но она ошибается, два пирожных уже съедены и Маша пирожное не ела. Противоречие. Значит, Саша не ела пирожное и, значит, Катя не ела. Тогда и Маша не ела.
Если Лена не ела пирожных, то 2 пирожных съела Дина, и она должна говорить правду, но она говорит, что не ела 2 пирожных, противоречие. Значит, Лена съела пирожное, поэтому она говорит правду: она съела только одно пирожное, а второе — Дина.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Баба-Яга убегает от Ивана-Царевича. «Когда он догонит меня, я произнесу заклинание, которое заставит его замереть на 30 секунд», — подумала на бегу ведьма, но тут же прикинула, что Иван-Царевич движется с такой скоростью, что через 10 секунд после того, как спадут чары, он её всё равно настигнет. Поэтому, когда герой уже наступал ей на пятки, Баба-Яга прыгнула в ступу, в которой может двигаться в три раза быстрее, и выкрикнула заклинание из неё.
Через сколько секунд после начала действия заклинания Иван-Царевич догонит Бабу-Ягу?

Ответ: 120 секунд
Решение:
Пусть скорость Яги (пешком) равна Я м/сек, а скорость Ивана равна И м/сек.
Тогда 30*Я = 10*(И − Я), откуда И = 4Я.
Если Яга ускорится в 3 раза, то Ивану потребуется 30*3Я / (4Я – 3Я) = 90 секунд для догона Яги после окончания действия заклинания. Плюс ещё 30 секунд действует заклинание.
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Ефим по осени считает урожай. При этом он замечает, что:
- 3 мешка моркови и 2 куля гороха весят столько же, сколько 9 мешков картошки;
- 3 мешка моркови и 6 кулей гороха весят столько же, сколько 15 мешков картошки.

Один мешок картошки весит 10 килограмм.
Сколько килограмм вместе весят 2 мешка картошки и 2 куля гороха?

Ответ: 50 кг.
Решение:
3 мешка моркови и 6 кулей гороха весят больше, чем 3 мешка моркови и 2 куля гороха, с одной стороны, на вес 4 кулей гороха, а с другой — на вес 15 − 9 = 6 мешков картошки. То есть 4 куля гороха весят столько же, сколько 6 мешков картошки. 2 куля гороха весят столько же, сколько 3 мешка картошки. 2 мешка картошки и 2 куля гороха весят столько же, сколько 2 + 3 = 5 мешков картошки. 5 ⋅ 10 = 50.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2012 год

Задача:
Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашёл таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашёл алмаз. Кто что нашёл, если каждый гном нашёл один предмет? Ответ объясните.

Ответ: Медный таз нашёл Спали, алмаз — Пили, топаз — Ели.
Решение:
Так как у гнома с самой длинной бородой капюшон синий, то у Ели не самая длинная борода. У Пили тоже не самая длинная (т.к. она короче, чем у Ели). Поэтому самая длинная борода у Спали, средняя — у Ели и самая короткая — у Пили. Значит, таз нашёл Спали, а алмаз — Пили. И, значит, Ели нашёл топаз.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Назовем набор из нескольких (больше восьми) натуральных чисел «хорошим», если сумма всех этих чисел равна 196, а сумма любых восьми из них не больше, чем 24. Сколько чисел в самом коротком из хороших наборов?
(А) 32
(Б) 64
(В) 65
(Г) 66
(Д) 196

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
В полдень на детскую площадку пришёл Вася, через два часа после него – Маша, а через полтора часа после неё – Никита. Вася играл четыре часа, Маша – три, а Никита – два часа. Как долго Маша и Никита были на площадке вдвоём?
(А) полчаса
(Б) один час
(В) полтора часа
(Г) два часа
(Д) три часа

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
40% от числа 2 умножили на 60% от числа 2. Что получилось?
(А) 2400% от числа 2
(Б) 24% от числа 2
(В) 50% от числа 2
(Г) 48% от числа 2
(Д) 240% от числа 2

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10-11 класс, 2013 год

Задача:
Если число 100^10 записать в виде суммы десяток (10 + 10 + 10 + …), то сколько получится слагаемых?

Ответ: 10^19 слагаемых.
Решение:
100^10 = 10^20 = 10 ⋅ 10^19. Значит, всего будет 10^19 слагаемых.
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2021 год

Задача:
От пристани по течению реки отправились одновременно катер и плот. Катер, пройдя 𝑥 километров, развернулся и, двигаясь к пристани, в четырёх километрах от неё встретил плот. Дойдя до пристани, катер вновь развернулся и догнал плот в пяти километрах от неё. Найдите 𝑥.
Собственную скорость катера считать всегда одной и той же; временем, затраченным на развороты, пренебречь.

Пусть скорость реки 1, а собственная скорость катера $k$. Тогда имеем уравнения для упомянутых в задаче моментов времени встреч
$$ \begin{gathered} \frac{x}{k+1}+\frac{x-4}{k-1}=4 \\ \frac{4}{k-1}+\frac{5}{k+1}=1 \end{gathered} $$
Домножив последнее уравнение на $\left(k^2-1\right)$, получаем
$$ 9 k=k^2 $$
откуда находим $k=9$. Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем
$$ \frac{x}{10}+\frac{x-4}{8}=4 $$
Домножив это на 40, получаем
$$ 9 x=180 $$
откуда $x=20$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
В наборе натуральных чисел 1, 2, …, N не менее 13 чисел делится на 4 и не более 9 чисел делится на 6. Сколько из этих чисел делится на 12?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Сколько чисел от 1900 до 2000 могут быть записаны в виде 2^n − 2^k, где n и k — натуральные числа?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У каждой из девочек Кати, Лены и Маши не более двух браслетов. Как-то раз у них состоялся такой разговор:
- Катя: «У Лены два браслета».
- Лена: «У Маши два браслета».
- Маша: «У Кати два браслета».
- Катя: «У нас два браслета на троих».
- Лена: «У нас три браслета на троих».
- Маша: «У нас четыре браслета на троих».

Оказалось, что каждая соврала столько раз, сколько у неё браслетов. Сколько браслетов у каждой из девочек?

Ответ: У Кати и Маши по одному браслету, у Лены два браслета.
Решение:
Мысленно расположим девочек по кругу и будем считать, что Лена следует за Катей, Маша за Леной, а Катя за Машей.
Предположим, что у какой-то девочки вообще нет браслетов. Тогда она дважды сказала правду, и у следующей девочки два браслета, поэтому она дважды солгала. Следовательно, у третьей девочки не два браслета. Но и не ноль (иначе следующая за ней первая девочка имела бы два браслета). Значит, у третьей девочки один браслет, а всего у девочек три браслета. Но неверных утверждений в этом случае не три, а четыре. Итак, у каждой девочки либо два браслета, либо один.
Если у всех по одному браслету, то неверных утверждений ровно три. С другой стороны, неверны все утверждения, кроме пятого. Значит, у кого-то из девочек два браслета. Тогда она дважды лгала, и у следующего за ней один браслет. А предыдущая сказала про ней правду, а у предыдущей тоже один браслет. Всего браслета четыре, и ложных утверждений тоже четыре: два из первых трёх и два из вторых трёх. Маша сказала во второй раз правду, а Лена и Катя солгали. Значит, в первый раз Маша лгала, и у неё иу Кати по одному браслету. А у Лены два.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
В каком слове можно найти каждую из букв слова КЕНГУРУ?
(А) ПРЯМОУГОЛЬНИК
(Б) ПАРАБОЛА
(В) ТРЕУГОЛЬНИК
(Г) ГИПОТЕНУЗА
(Д) ГИПЕРБОЛА

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Для скольких пар простых чисел (p, q) верно равенство p^q + q^p = 2^q+1 + 1 ?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 5
(Д) для бесконечно многих

Ответ: Б