d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2020 год

Задача:
К первому сентября Влад купил себе несколько шариковых и гелевых ручек. Он заметил, что если бы все купленные ручки были гелевыми, то он заплатил бы в 4 раза больше, чем вышло у него. А если бы все ручки были шариковыми, то покупка обошлась бы в 2 раза дешевле реальной. Во сколько раз гелевая ручка дороже, чем шариковая?

Ответ: 8.
Решение:
Если бы все ручки были гелевыми, то их цена была бы в 4 раза больше реальной цены, что в свою очередь в 2 раза больше, чем если бы все ручки были шариковыми. Значит, гелевые ручки стоят в 4 ⋅ 2 = 8 раз больше шариковых. Следовательно, и одна гелевая ручка в 8 раз дороже, чем одна шариковая.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У Волка в наборе имеются гири массами 90 г, 91 г, 92 г ..., 100 г. Заяц положил на одну чашу весов гирю массой 115 г. Может ли Волк уравновесить чаши весов, используя несколько гирь из своего набора?

Решение:
Заметим, что 115 = 100 + 7 + 5 + 3 = 100 + (98 − 91) + (97 − 92) + (96 − 93). Тогда один из вариантов уравновесить: 115 + 91 + 92 + 93 = 100 + 98 + 97 + 96.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Сколько чисел между 20 и 30 делятся на свою последнюю цифру?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
В доме 12 комнат, и в каждой комнате по два окна. Вечером был виден свет в 18 окнах. В скольких комнатах свет не был включён?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: 3 комнаты
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2017 год, первая лига

Задача:
В трёх шкатулках Дед Мороз спрятал алмаз, сапфир и рубин. На первой написано: здесь рубин, на второй – здесь не рубин и не алмаз, а на третьей – здесь не сапфир. Оказалось, что все надписи ошибочные. Что лежит в каждой шкатулке?

Ответ: 1 – алмаз, 2 – рубин, 3 – сапфир
Решение:
Из последней надписи в 3 – сапфир. Тогда в 1-й не сапфир и не рубин, значит - алмаз. Во 2-й – рубин, надпись врёт (можно было её не писать)
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
У скольких двузначных чисел при умножении на 2 не меняется сумма цифр?
(А) 5
(Б) 8
(В) 10
(Г) 16
(Д) таких чисел нет

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Игорь вчетверо старше Арсения. Сумма их возрастов — 60 лет. Через сколько лет Игорь станет втрое старше Арсения?

Сейчас им 12 и 48 лет. Разница в возрасте сохраняется и равна 36 лет. Когда Арсений будет в три раза старше, возраст Игоря будет равен половине разницы лет, т. е. 18 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
На стене висят двое часов. Одни показывают точное время, а другие спешат. Сейчас угол между часовыми стрелками этих часов равен 42°. Чему равен угол между минутными стрелками этих часов?
(А) 144°
(Б) 120°
(В) 84°
(Г) 21°
(Д) 7°

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Некоторые клетки белой квадратной доски 6 × 6 покрасили в серый или оранжевый цвета. Бельчонок за один ход может перейти в соседнюю по стороне клетку. Оказалось, что если бельчонок захочет пройти с любой белой клетки в любую другую белую клетку, то он гарантированно пройдёт через клетки серого и оранжевого цветов. Какое наибольшее количество белых клеток могло быть на доске?

Ответ: 8 белых клеток.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
В коробке 20 шариков: белых, жёлтых, красных и синих. Меньше всего жёлтых шариков, a больше всего белых: их на 4 больше, чем жёлтых. Красных и синих шариков поровну. Сколько белых шариков в коробке?

Ответ: 7 белых шариков.
Решение:
Решаем задачу перебором:
- если жёлтый шарик один, то белых 1 + 4 = 5, тогда красных и синих по (20 − 1 − 5) : 2 = 7 получается больше, чем белых, не подходит по условию задачи;
- если жёлтых шариков 2, то белых 2 + 4 = 6, тогда красных и синих по (20 − 2 − 6) : 2 = 6 получается столько же, сколько белых, не подходит по условию задачи;
- если жёлтых шариков 3, то белых 3 + 4 = 7, тогда красных и синих по (20 − 3 − 7) : 2 = 5, подходит по условию задачи;
- если жёлтых шариков больше, чем 3, то не подходит по условию задачи.

Белых – 7, жёлтых – 3, красных – 5, синих – 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4, а при делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили?
(А) 18
(Б) 32
(В) 24
(Г) 36
(Д) 48

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
В ребусе КЕН × Г = УРУ одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными – разные. Если К равно 2, то У равно:
(А) 4
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
В семье пятеро мужчин: Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Пётр Сидорович и Пётр Петрович. Один из них сейчас смотрит в окно, его отец спит, брат читает книгу, а сыновья ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит в окно?
(А) Иван Сидорович
(Б) Сидор Иванович
(В) Сидор Петрович
(Г) Пётр Сидорович
(Д) Пётр Петрович

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Одноклассники Тони, Бетти, Кэтти и Энди родились в один год. Их дни рождения: 20 февраля, 12 апреля, 12 мая и 25 мая. Дни рождения Бетти и Энди в одном месяце, а дни рождения Энди и Кэтти приходятся на одно число. Кто из детей самый старший?
(А) Тони
(Б) Бетти
(В) Кэтти
(Г) Энди
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2016 год

Задача:
Петя в три раза старше Ани, а Аня на 8 лет младше Пети. Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.

Ответ: Пете 12 лет, Ане 4 года.
Решение:
Возраст Пети в три раза больше возраста Ани. Это значит, что разница возрастов Пети и Ани составляет два возраста Ани, а по условию эта разница равна восьми годам. Значит, возраст Ани в два раза меньше: 8 : 2 = 4 года. Петя в три раза старше, то есть ему 4 ⋅ 3 = 12 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
День рождения Андрея — 25 февраля. Какой это по счёту день года?
(А) 55
(Б) 56
(В) 57
(Г) 58
(Д) 59

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Чему равен квадрат суммы кубов цифр числа 2013?
(А) 6^4
(Б) 6^6
(В) 4 ⋅ 6^2
(Г) 9 ⋅ 6^2
(Д) 14^3

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2016 год

Задача:
На выставке собак и кошек собрались вместе несколько хозяев и их питомцев. Умная собачка Соня сосчитала, что всего собралось вместе 6 голов и 20 ног. Сколько среди собравшихся было кошек, если их было больше, чем собак? (Себя Соня сосчитала, лапы считала тоже ногами)

Ответ: 3 кошки.
Решение:
Если бы все шестеро были людьми, то ног было бы только 12. Значит «лишние» 8 ног – питомцев. Поскольку у кошки или собаки на 2 ноги больше, чем у человека, то 8 ног – это «дополнительные» ноги для 4 питомцев. Значит, питомцев было 4. Поскольку Соня себя тоже сосчитала и она – собака, то собак не может быть 0. Тогда по условию кошек не меньше двух. Но если кошек – две, то собак тоже две и их поровну, что противоречит условию. Значит, кошек 3, так как 4 их уже быть не может.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2016 год, 2 этап

Задача:
Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?

Ответ: 8.
Решение:
Всего перемножается 20 двоек и 17 пятёрок. Переставим сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 17 пар 2 · 5 и ещё три двойки, дающие в произведении 8. Итак, число 8 нужно 17 раз умножить на 10. Получается число, состоящее из цифры 8 и 17 нулей. Сумма цифр равна 8.
Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя свойства степеней:
2^20 ⋅ 5^17 = 2^3 ⋅ 2^17 ⋅ 5^17 = 8 ⋅ (2 ⋅ 5)^17 = 8 ⋅ 10^17 = 800 000 000 000 000 000
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Баба-Яга вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 60 стульев и на некоторых из них сидели гости. Оказалось, что она не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гостей могло в этот момент сидеть за столом?
(А) 10
(Б) 20
(В) 30
(Г) 40
(Д) 50

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Сколько различных результатов можно получить, складывая по два различных числа из набора 1, 2, 3, 4 и 5?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Народная примета племени Уа-Уа гласит: «Если крокодилы едят быстро, то скоро будет дождь». Это означает, что
(А) если дождя не ожидается, а крокодилы едят, то они едят не быстро
(Б) если в местности нет крокодилов, то там не бывает дождя
(В) если собирается дождь, то крокодилы едят быстро
(Г) если крокодилы едят медленно, то дождя не будет
(Д) если крокодилы воздерживаются от еды, то дождя не будет

Ответ: А
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2017 год

Задача:
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые)

Ответ: Невозможно.
Решение:
Занумеруем знаки последовательно числами от 1 до 60. Докажем, что числа, записанные на знаках с номерами 30 и 31, совпадают. Разобьём оставшиеся знаки на пары вида $k$ и $k$ + 31: 1 и 32, 2 и 33, …, 29 и 60. Заметим, что сумма расстояний как от знака 30, так и от знака 31, до знаков одной пары $k$ и $k$ + 31 равна расстоянию между знаками $k$ и $k$ + 31. Поскольку число на знаках 30 и 31 равно сумме расстояний до знаков всех 29 пар и расстояния между знаками 30 и 31, то числа на знаках 30 и 31 совпадают.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
В каждой вершине кубика помещен шарик. Шарики надо покрасить так, чтобы те из них, которые соединяются между собой ребром, были покрашены в разные цвета. Каким самым маленьким количеством цветов можно обойтись?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2016 год, 1 тур

Задача:
Запишите наименьшее пятизначное число, делящееся на 3, все цифры которого различны.

Ответ: 10236.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Сколько часов во второй половине первой четверти суток?
(А) 1/3
(Б) 1/2
(В) 1
(Г) 2
(Д) 3

Ответ: Д
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
На турнир приехали сто школьников 5 и 6 классов. Оргкомитет выяснил следующее: любых шести школьников можно расселить по двум 3-местным номерам так, что в каждом номере оказались все знакомы между собой. Какое наименьшее число пар знакомых могло быть среди школьников?

Построим следующий граф. Вершинами будут школьники. Две вершины соединим ребром, если соответствующие им школьники не знакомы. Нам надо узнать какое максимальное количество рёбер может быть в этом графе. Приведем пример при котором в этом графе 100 рёбер, а именно рассмотрим граф в виде цикла длины 100. Отметим любые 6 вершин и разобьём их на тройки так, что в каждой будут идущие через одну в цикле, тогда никакие две из одной тройки не соединены ребром. Докажем, что в нашем графе не может быть более 100 рёбер. В нашем графе нет вершины степени больше трёх. Иначе рассмотрим следующую шестёрку вершин-школьников 𝐴, четырёх её соседей 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 и произвольную 𝐾. Тогда по построению графа школьник 𝐴 может жить в одной комнате только с 𝐾, что противоречит возможности поселить их по три человека знакомых друг с другом. Пусть есть вершина 𝑋 степени 3, её соседей обозначим через 𝑈, 𝑉, 𝑌 . Если есть ещё две вершины 𝑃 и 𝑄 отличные от этих четырёх соединённые ребром, то рассмотрим эту шестёрку школьников. 𝑋 может жить только с 𝑃 и 𝑄, которые не могут жить вместе. Значит все рёбра имеют одной из своих вершин одну из четырёх 𝑋, 𝑈, 𝑉, 𝑌 , а так как степень по доказанному выше у каждой не больше трёх то всего получается рёбер не больше 12 < 100. Если же из каждой вершины выходит не больше двух рёбер тогда их всего не больше 100 · 2 : 2 = 100. Мы доказали, что незнакомств максимум 100, тогда знакомств минимум 100 · 99 : 2 − 100 = 4950 − 100 = 4850.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2013 год

Задача:
Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ).

Ответ: 90 шагов.
Решение:
1 способ.
Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400 : 8 = 50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятёрками». 150 — это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов.
2 способ.
Пока Маша делает 3 ⋅ 5 = 15 шагов, папа делает 3 ⋅ 3 = 9 шагов, а Яша делает 5 ⋅ 5 = 25 шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15 + 25 = 40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 9 ⋅ 10 = 90 шагов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых любые две соседние цифры различаются на 2?
(А) 22
(Б) 23
(В) 24
(Г) 25
(Д) 26

Ответ: (Д) 26
Решение:
Нужно выписать все такие числа:
131, 135, 202, 242, 246, 313, 353, 357, 420, 424, 464, 468, 531, 535, 575, 579, 642, 646, 686, 753, 757, 797, 864, 868, 975, 979.
Всего 26 чисел.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок Вася несет домой в мешке 18 одинаковых на вид орехов суммарным весом 250 г. Из них 17 орехов весят одинаково, и один орех легче остальных. Дома бельчонок обнаружил, что два ореха выпали, и он донес 16 орехов суммарным весом 222 г. Сколько граммов весил самый лёгкий орех?

Ответ: 12 граммов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
Витя записал одну за другой 4 разные цифры, среди которых нет нуля. Каждая следующая цифра меньше предыдущей, а их сумма равна 16. Второй была записана цифра 6. Какая цифра была записана третьей?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

2
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Сколько получится, если 2 десятка умножить на 5 десятков?
(А) 10
(Б) 50
(В) 10 десятков
(Г) 5 сотен
(Д) 10 сотен

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
В Цветочном городе прошёл конкурс Эрудитов. На вопрос, кто победил, четверо коротышек ответили так:
- Первый: Светофоров из Солнечного города или Кусачкин из Змеёвки.
- Второй: Гайкин из Простоквашино или Светофоров из Змеёвки.
- Третий: Светофоров из Простоквашино или Гайкин из Змеёвки.
- Четвёртый: Кусачкин из Простоквашино или Простофилин из Лунного города или Светофоров из Цветочного.

Определите, кто победил и из какого он города, если в ответе каждого прозвучало либо правильное имя победителя, либо правильный город победителя, но не оба вместе.

Ответ: Простофилин из Змеёвки.
Решение:
Поскольку Светофоров упоминается каждым, то он не может быть победителем, так как тогда не был верно произнесён город. Заметим, что победитель не может быть из Простоквашино, так как иначе из утверждений третьего и четвёртого, это не может быть ни, Кусачкин, ни Простофилин, ни Гайкин. А других фамилий не прозвучало. Тогда, из слов третьего это либо Гайкин, либо город победителя – Змеёвка. Если Гайкин, то из слов первого он из Солнечного города, а из слов четвёртого – из Лунного или Цветочного. Противоречие. Значит, город победителя – Змеёвка, и фамилия – Простофилин.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Костя готовит лимонад на продажу. Для производства одной порции лимонада по Костиному рецепту требуется один лимон и полстакана сахара, оставшуюся часть составляет вода. Лимоны и сахар Костя покупает, а воду бесплатно набирает из-под крана. Стоимость одной порции состоит из стоимости затраченного на неё лимона, стоимости затраченного сахара, и оплаты Костиного труда. Костя продавал порцию лимонада за 10 рублей. Но однажды сахар подорожал в 3 раза. Из-за этого стоимость порции напитка возросла до 17 рублей. Потом лимоны подорожали в 3 раза. Из-за этого стоимость порции возросла до 25 рублей. Сколько денег с продажи каждой порции получает Костя за свой труд?

Заметим, что в итоге стоимость лимонада увеличилась на 25 − 10 = 15 рублей. При этом лимоны и сахар подорожали в 3 раза. То есть 15 рублей — это удвоенная сумма первоначальных стоимостей лимона и сахара. Тогда сначала лимон и сахар вместе стоили 15 : 2 = 7,5 рублей, а Костя за свой труд берет 10 − 7,5 = 2,5 рублей.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

Ответ: Подойдет любая из следующих двух последовательностей:
2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235
2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2018 год

Задача:
Пятеро жителей Острова рыцарей и лжецов встали друг за другом.
- Последний (пятый) сказал: «Передо мной стоит 4 лжеца».
- Четвертый: «Передо мной 3 лжеца».
- Третий: «Передо мной 2 лжеца».
- Второй: «Передо мной 1 лжец».
- А первый промолчал.

Сколько среди них на самом деле лжецов? (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут)

Ответ: 4 лжеца.
Решение:
Рассмотрим первого и второго. Среди них ровно 1 рыцарь и ровно 1 лжец. Действительно, если второй рыцарь, то первый должен быть лжецом. И наоборот, если второй лжец, то первый рыцарь. Следовательно, все остальные лгут.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Найдите всевозможные значения периметра прямоугольника, если известно, что его можно разрезать на три прямоугольника, периметр каждого из которых равен 10, а длины сторон — целые числа.

Ответ: 14, 16, 18, 22 или 26.
Решение:
Возможны два вида разрезания.
1. Линии разреза параллельны. Обозначим через 𝑥 длину стороны одного из прямоугольников разбиения, тогда несложно выразить остальные стороны. В этом случае 1 ≤ 𝑥 ≤ 4, поэтому периметр исходного прямоугольника равен 2(2𝑥 + 5) = 14, 18, 22 или 26.
2. Линии разреза перпендикулярны. Аналогично, обозначив через 𝑥 длину стороны одного из прямоугольников, найдём длины остальных сторон. Тогда 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, поэтому периметр исходного прямоугольника равен 2(10 − 𝑥) = 16 или 18.
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Ефим, Фома, Матфей и Пётр соревновались в беге по лестнице. Определите, кто занял какое место, если известно, что правду сказал только тот, кто пришёл первым.
- Ефим: «Меня обогнал Пётр».
- Фома: «Я обогнал Петра».
- Матфей: «Меня обогнал Ефим».
- Пётр: «Я обогнал Фому».


Первыми не могли быть ни Ефим, ни Матфей. Если бы первым был Пётр, то Ефим сказал бы правду. Поэтому Пётр не первый. Значит, первый Фома. Матфей обогнал Ефима, который, в свою очередь, обогнал Петра. И все они за Фомой.
Поэтому порядок таков: Фома, Матфей, Ефим, Пётр.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
На планете Кенгуру один год состоит из 20 месяцев, а каждый месяц — из 6 недель. Четверть года у кенгурят каникулы. Сколько недель продолжаются каникулы?
(А) 5
(Б) 6
(В) 10
(Г) 24
(Д) 30

Ответ: (Д) 30
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Учитель сказал: «Вы, конечно же, не можете не знать, что квадрат нечётного числа не может быть чётным числом». Что он имел в виду?
(А) Вы наверняка знаете, что квадрат нечётного числа может быть нечётным.
(Б) Вы, возможно, знаете, что квадрат нечётного числа всегда нечётен.
(В) Вы, возможно, знаете, что квадрат нечётного числа всегда чётен.
(Г) Вы наверняка знаете, что квадрат чётного числа всегда чётен.
(Д) Вы наверняка знаете, что квадрат нечётного числа всегда нечётен.

Ответ: (Д) Вы наверняка знаете, что квадрат нечётного числа всегда нечётен.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Петя задумал число, прибавил к нему 3, сумму умножил на 50, снова прибавил 3, умножил результат на 4 и получил 2012. Какое число задумал Петя?
(А) 11
(Б) 9
(В) 8
(Г) 7
(Д) 5

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
Во время математического тестирования Олег должен был разделить данное число на 2, а к результату прибавить 6. Но он поторопился и вместо этого умножил данное число на 2, а от результата отнял 6. Тем не менее, ответ у него получился правильный. Какое число было дано Олегу?

Ответ: 8.
Решение:
Поскольку Олег умножил число на 2 вместо того, чтобы поделить, то на этом шаге он получил результат, который в четыре раза больше необходимого. Значит, разность между этими двумя результатами в три раза больше, чем необходимый результат. Но из условия следует, что эта разность равна 6 + 6 = 12. Значит, необходимый результат равен 12 : 3 = 4. Тогда загаданное число равно 4 · 2 = 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
У мухи 6 лапок, у паука — 8. Две мухи и три паука вместе имеют столько же лапок, сколько 10 попугаев и
(А) 2 кошки
(Б) 3 белки
(В) 4 собаки
(Г) 5 зайцев
(Д) 6 лисиц

Ответ: (В) 4 собаки
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Петя разложил 11 одинаковых камешков на четыре кучки так, что во всех кучках оказалось разное число камешков. Сколько камешков в самой большой кучке?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: 5
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Произведение цифр трёхзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?
(А) 14
(Б) 15
(В) 16
(Г) 17
(Д) 18

Ответ: (Г) 17
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2015 год, 1 вариант

Задача:
Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых:
11 = 9 + 1 + 1 + 0 = 3^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2
Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя различными способами?

Ответ: Да, можно. Таких способов даже больше, чем два:
99 = 7^2 + 7^2 + 1^2 + 0^2 = 7^2 + 5^2 + 5^2 + 0^2 = 8^2 + 5^2 + 3^2 + 1^2 = 9^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2 = 9^2 + 3^2 + 3^2 + 0^2
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В одной кастрюле 6 порций гречневой каши, в другой 6 порций пшённой каши. Саша ест гречневую кашу, а Маша пшённую. Они взвесили свои порции вместе с тарелками, оказалось, что у Саши тарелка с кашеи весит 480 граммов, а у Маши 450 граммов. На сколько меньше весит кастрюля с пшённой кашей, чем с гречневой? Все порции одной каши, тарелки и кастрюли одинаковые.

Ответ: 180 граммов.
Решение:
Вес тарелок уравновешивается, поэтому без тарелок порция пшённой каши весит на 30 граммов меньше. Вес кастрюль тоже уравновешивается, поэтому кастрюля с пшённой кашей весит на 30 ⋅ 6 = 180 граммов меньше, чем с гречневой кашей.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
На факультативе занимается 9 четвероклассников. Им задали решить 6 задач. Все, кроме Саши и Вани, решили по 4 задачи. Каждую задачу решили 5 четвероклассников. Сколько задач решили вместе Саша и Ваня?

Ответ: 2 задачи.
Решение:
Всего решённых задач было 6: 5 = 30. Из них остальные дети, кроме Саши и Вани, решили 7 ⋅ 4 = 28. Значит, Саша и Ваня решили вместе 30 − 28 = 2 задачи.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Если разделить 50^50 на 25^25, то получится:
(А) 2
(Б) 25^25
(В) 2^25
(Г) 100^25
(Д) 50^25

Ответ: Г
Решение:
Перепишем оба числа:
50^50 = (10 ⋅ 5)^50 = 10^50 ⋅ 5^50
25^25 = (5^2)^25 = 5^2⋅25 = 5^50
Разделим одно на другое, получим 10^50 = 10^2⋅25 = 100^25.