d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Когда нa колесе обозрения кабина с номером 6 находится в верхней точке колёса, то кабина с номером 16 находится в нижней точке. Сколько кабин на колесе обозрения?

Ответ: 20 кабин.
Решение:
Между 6-й и 16-й − 9 кабин с одной стороны и 9 кабин с другой, значит, всего:
1 + 1 + 9 + 9 = 20 кабин.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Среди нескольких различных простых чисел ровно n% делятся на 3. Чему не может быть равно n ?
(А) 10
(Б) 20
(В) 25
(Г) 40
(Д) 50

Ответ: (Г) 40
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Если a ∗ b = ab + a + b и 3 ∗ 5 = 2 ∗ x, то x равен
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Числа a и b таковы, что 4 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 2 . Какое из следующих чисел обязательно меньше 9?
(А) 2a − 3b
(Б) a + 2b
(В) 3a − b
(Г) 8b − 2a
(Д) 13b − a

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Маша изучает натуральные числа, которые делятся на 72 и имеют в своей десятичной записи только нули и единицы. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел?
(А) 9
(Б) 11
(В) 12
(Г) 13
(Д) 14

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу по очереди: каждый раз одна из них играет, остальные три поют. Оказалось, что Анна спела больше всех песен – восемь, а Дороти спела меньше всех – пять. Сколько всего песен спели девочки?
(А) 12
(Б) 11
(В) 10
(Г) 9
(Д) невозможно определить

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
В классе учатся 20 человек. Размышляя, каким девочкам отправить валентинку на 14 февраля, каждый мальчик составил список из всех симпатичных ему девочекодноклассниц (возможно, пустой). Известно, что не существует трёх мальчиков, у которых списки совпадают по количеству девочек. Какое наименьшее количество девочек может быть в классе?

Ответ: 6 девочек.
Решение:
Обозначим количество девочек в классе за 𝑑. По условию нет трёх мальчиков, у которых списки совпадают по количеству девочек, значит, может быть максимум 2 пустых списка, 2 списка с одной девочкой, 2 списка с двумя девочками, …, 2 списка с 𝑑 девочками. Получается, что списков, как и мальчиков, не больше 2(𝑑 + 1).
Общее количество детей в классе равно 20 и не превосходит 2(𝑑 + 1) + 𝑑 = 3𝑑 + 2, откуда получаем, что 𝑑 ≤ 6.
Несложно понять, что такое могло произойти, если всего было 6 девочек и 14 мальчиков. У двух мальчиков списки должны быть пустыми, у двух других в списках должна быть 1 девочка, ещё у двух — 2 девочки, …, у последних двух — 6 девочек (неважно, какие именно девочки присутствуют в списках, главное — их количество). Итого получается как раз 14 списков.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, высшая лига

Задача:
Предприниматель на все свои деньги закупил в Санкт-Петербурге ёлки, продал их в Москве, и денег у него стало на 120 р. больше. Затем он снова на все деньги купил в Санкт-Петербурге ёлки и продал в Москве. На этот раз чистая прибыль составила 140 р. Сколько денег он потратил на первую покупку?

Ответ: 720 рублей.
Решение:
Заметим, что во второй раз он выручил на 20 рублей больше. Это получилось за счёт того, что он потратил на ёлки на 120 рублей больше. Значит, с 120 рублей он имеет выгоду в 20 рублей. То есть дополнительно получает 1/6 всей суммы. Значит, если он в первый раз получил выгоду в 120 рублей, то денег он потратил в 6 раз больше: 120 х 6 = 720 рублей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
50 мальчиков и 36 девочек встали в круг, держась за руки. Ровно у 26 мальчиков соседка справа — девочка. У скольких мальчиков соседка слева — девочка?
(А) 10
(Б) 14
(В) 24
(Г) 26
(Д) 36

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Софи рисует цветных кенгуру: сначала голубого, потом зелёного, потом красного, потом чёрного, снова голубого, зелёного, красного, чёрного и так далее... Какого цвета будет двадцать шестой кенгуру?
(А) голубого
(Б) зелёного
(В) красного
(Г) чёрного
(Д) жёлтого

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
В корзине лежит 8 груш и несколько яблок. Все фрукты жёлтые или зелёные. Среди груш ровно 6 жёлтых. Яблок на 3 больше, чем всех зелёных фруктов. Сколько жёлтых яблок в корзине?
(А) 2
(Б) З
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

5
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
Капитан Одноногий Джек купил несколько бочек рома. По дороге на корабль половину бочек он подарил старым друзьям. Половину оставшихся бочек Джек утопил, пока пытался забраться на свою шхуну. На корабле команда Джека выпросила половину оставшихся бочек. Вечером старые друзья вернули Джеку столько же рома, сколько он у них взял. Джек сидит перед пятью бочками и думает: сколько же он купил рома? Помогите Джеку!

Ответ: 8 бочек.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
У Лилианы и Тимура было по прямоугольному листу бумаги одинаковых размеров. Каждый из них разрезал свой лист на две части и получил два новых прямоугольника. Лилиана посчитала периметры своих прямоугольников и сложила результаты. Получилось 18 см. Тимур произвёл такие же расчёты со своими прямоугольниками и получил 24 см. Чему равен периметр исходного листа бумаги?

Понятно, что разрезы были сделаны параллельно одной из сторон исходного прямоугольника. Если бы прямоугольники разрезали вдоль одной и той же стороны, то сумма новых периметров в каждой паре это сумма четырёх длин неразделённой стороны и 2 длин разделённой части. Тогда сумма периметров у Лианны и Тимура должна быть одинаковой.
Значит разрезы были сделаны вдоль разных сторон. Назовём стороны изначального прямоугольника — 𝑎 и 𝑏. Тогда сумма периметров у одного из людей равна 4𝑎 + 2𝑏 , а у второго — 2𝑎 + 4𝑏. Периметр исходного листа равен 2𝑎 + 2𝑏. Если мы сложим получившиеся числа у Тимура и Лилианы, то получим 4𝑎 + 2𝑏 + 2𝑎 + 4𝑏 = 42, 6𝑎 + 6𝑏 = 42. Тогда поделим обе части на 3 и получим 2𝑎 + 2𝑏 = 14. Периметр исходного листа бумаги равен 14 см.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 5 тур

Задача:
В однокруговом футбольном турнире участвуют четырнадцать команд. Могло ли после окончания турнира оказаться, что у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений?

Нет, так как количество матчей должно делиться на три, а их 14 · 13 : 2 = 91.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Натуральные числа a и b таковы, что a + b = 2012. Какое из следующих равенств возможно при некотором натуральном k?
(А) 2^a ⋅ 3^b = 12^k
(Б) 2^a ⋅ 3^b = 18^k
(В) 2^a ⋅ 3^b = 36^k
(Г) 2^a ⋅ 3^b = 72^k
(Д) 2^a ⋅ 3^b = 48^k

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
На сколько частей делят координатную плоскость кривые $y = (x + 10)^2 − 20$ и $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ ?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: (В) 7
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Вовочка заметил, что в январе он думал только о подарках, лете и предстоящей олимпиаде. Притом о подарках он думал весь январь без последних 7 дней, о лете – весь месяц, начиная с 8 января, а об олимпиаде – только в те числа месяца, в записи которых есть двойка. Сколько у Вовы в январе было тяжёлых дней, в которые он думал сразу обо всём?

Ответ: 6 дней.
Решение:
О подарках Вовочка думал 31 – 7 = 24 дня, о лете также 24 (но другие) дня, об олимпиаде – 2, 12, 20, 21, …, 29 января, то есть 12 дней. Путём несложных вычислений, получаем, что одновременно о лете и подарках он думал 17 дней, из которых только 12, 20, 21, 22, 23 и 24 имеют в записи цифру 2.
Олимпиада «Осенний Олимп», 5 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Ярослав, Александр, Егор и Исмаиль соревновались в беге по лестнице. Определите, кто занял какое место, если известно, что правду сказал только тот, кто пришёл первым.
- Ярослав: «Егор прибежал раньше Александра».
- Александр: «Егор прибежал раньше Ярослава».
- Исмаиль: «Егор не прибежал первым».
- Егор: «Ярослав прибежал раньше Александра».


Заметим, что если Исмаиль не первый, то первый — Егор. При этом высказывание Александра станет истинным. Поэтому так не бывает. Значит, первый — Исмаиль. При этом Егор прибежал позже и Александра, и Ярослава. Значит, он последний. Наконец, из ложности высказывания Егора следует, что Ярослав прибежал позже Александра. Итого порядок таков: Исмаиль, Александр, Ярослав, Егор.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
На столе стоят три ящика: белый, красный и зелёный. В одном лежат шоколадки, в другом яблоки, а третий пуст. Шоколадки лежат либо в белом, либо в красном ящике, а яблоки не лежат ни в белом, ни в зелёном ящике. Где лежат шоколадки?
(А) в белом ящике
(Б) в красном ящике
(В) в зелёном ящике
(Г) в красном или в зелёном ящике
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
На листок клетчатой бумаги требуется уложить квадрат со стороной, равной 2,5 клеткам, так, чтобы он закрыл как можно больше целых клеток. Число полностью закрытых клеток при этом будет равно
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство $(n ⋅ 5^n)^n = m ⋅ 5^9$ было верным.

Ответ: Например $n = 3$, $m = 27$.
Решение:
Таких пар чисел бесконечно много.
Покажем одно из самых естественных решений. Нам нужно, чтобы $n^n ⋅ 5^{n^2} = m ⋅ 5^9$. Если $n = 3$, то $5^{n^2} = 5^9$. Теперь вычислим $m$: $m = 3^3 = 27$. Пара $n = 3$, $m = 27$ является решением.
Покажем, как можно получить другие решения. Возьмем произвольное $n$. Например, $n = 6$. Тогда в левой части равенства мы получаем: $6^6 ⋅ 5^{36}$, следовательно, $m = 6^6 ⋅ 5^{27}$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Кенгуру прыгает по координатной плоскости. Каждый его прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых Кенгуру может оказаться, сделав ровно 10 прыжков, если он стартует из начала координат?
(А) 100
(Б) 121
(В) 400
(Г) 441
(Д) другой ответ

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018-2019 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Разведчики Антон, Боря, Вова и Гриша ходили парами в разведку на задания. Антон ходил 15 раз, Боря 9 раз, Вова 23 раза, а Гриша 47 раз. Сколько раз в разведку ходили вместе в паре Гриша и Боря?

Гриша 47 раз ходил в разведку, значит Антон, Боря и Вова в сумме 47 раз ходили в разведу в паре с Гришей. Но Антон, Боря и Вова всего ходили в разведку 15 + 9 + 23 = 47 раз. Значит, каждый поход в разведку был устроен так: шёл Гриша и ещё кто-то из ребят, а Антон, Боря и Вова парами между собой в разведку не ходили. Значит, все 9 походов Бори в разведку были с Гришей. Ответ: 9 раз.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 1997 год

Задача:
Сколько девяток в записи разности 1000000 − 1?
(А) 1
(Б) 3
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: (Г) 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Если в числе 12323314 стереть несколько цифр, то можно получить число, которое будет читаться одинаково справа налево и слева направо. Наименьшее количество цифр, которые придётся для этого стереть, равно
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Вася задумал двузначное число. Оказалось, что если умножить его на 3, то снова получится двузначное число, а если из задуманного числа вычесть 3, а потом разделить наз, то число снова остаётся двузначным. Какое число задумал Вася?

Ответ: 33.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2015 год

Задача:
Малинкины Маша и Вася пришли в гости к Клубничкиным Пете и Свете. Им дали угощение: печенье, торт, шоколад и яблоки. Девочки ели печенье и яблоки, а Малинкины – печенье и шоколад. Всё угощение съели, хотя Маша и не любит яблоки. Кто что ел, если каждый ел что-то одно?

Ответ: Маша – печенье, Света – яблоки, Вася – шоколад, Петя - торт.
Решение:
Так как Света и Маша ели яблоки и печенье, а Маша не любит яблоки, то Маша ела печенье, а Света – яблоки. Так как Малинкины Маша и Вася ели печенье и шоколад, а Маша ела печенье, то Вася ел шоколад. Оставшийся торт съел Петя.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Какое из следующих равенств означает, что m составляет 30% от k ?
(А) 10m − 7k = 0
(Б) 10m − 3k = 0
(В) 3m − 10k = 0
(Г) 7m − 10k = 0
(Д) 7m − 3k = 0

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Вася может получить число 100, используя десять семёрок, скобки и знаки арифметических действий:
100 = (77 : 7 − 7 : 7) ⋅ (77 : 7 − 7 : 7)
Улучшите его результат: используйте меньшее число семёрок и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

Ответ: Например:
1. 100 = 777 : 7 − 77 : 7
2. 100 = 7 ⋅ 7 + 7 ⋅ 7 + 7 : 7 + 7 : 7

100 = 7 ⋅ 7 + 7 ⋅ 7 + 7 : 7 + 7 : 7
Есть и другие решения.
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Многочлен x^4 − x^3 − 18x^2 + 52x + a делится на x − b при двух различных действительных b. Одно из них b = 2. Найдите второе.

Ответ: −5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
В неравенствах А < Б > Р > А > К < А > Д < А < Б > Р > А каждая буква изображает одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые. Какая цифра соответствует букве Р?
(А) О
(Б) 2
(В) 4
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: 6
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Из шахматной доски вырезали клетчатый прямоугольник. Всегда ли оставшуюся часть доски можно разбить на доминошки? (Доминошка — фигура, состоящая из двух соседних по стороне клеток.)

Если прямоугольник нечётной площади, то и площадь оставшейся части нечётная. В этом случае очевидно, что нельзя. Если прямоугольник чётной площади, то хотя бы одна из его сторон чётной длины. Выкладываем по чётной стороне доминошки, параллельно ей, и так заполняем полосу шириной, равной длине чётной стороны. Оставшаяся часть разбивается на прямоугольники 1 × 8, которые, очевидно, разбиваются на доминошки.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Каждое из натуральных чисел 1, 2, 3, …, 377 покрашено либо в красный, либо в синий цвет (оба цвета присутствуют). Известно, что количество красных чисел равно наименьшему красному числу, а количество синих чисел равно наибольшему синему числу. Чему равно наименьшее красное число?

Ответ: 189.
Решение:
Пусть 𝑁 — наибольшее синее число. Тогда в синий цвет могут быть покрашены только числа от 1 до 𝑁. Поскольку синих чисел всего 𝑁, получаем, что все числа от 1 до 𝑁 — синие. Соответственно, все числа от 𝑁 + 1 до 377 — красные. Поскольку количество красных чисел равно наименьшему красному числу, получаем уравнение 𝑁 + 1 = 377 − 𝑁, из которого находим 𝑁 = 188. Значит, наименьшее красное число — это 189.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Что не равно 5?
(А) Лучшая оценка в школе.
(Б) Число носов у двух собак и трёх котов.
(В) Номер задачи, которую ты сейчас решаешь.
(Г) Число букв в слове ПЯТЬ.
(Д) Половина числа 10.

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Сумма трёх чисел −1, −2, −3 равна их произведению. Сколько всего троек целых чисел обладают таким свойством?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 6
(Д) бесконечно много

Ответ: Д
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Расшифруйте запись:
АB − ВA = 72
Одинаковые буквы — это одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.

Ответ: 91 − 19 = 72
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2017 год, первая лига

Задача:
Вовочка катался с горки на санках. 5 раз санки перевернулись, а 6 раз въехали в дерево. Сколько раз случилось и то, и другое одновременно, если всего у Вовочки было 8 "аварий"?

Ответ: 3 раза
Решение:
Всего 11 "аварий", если бы никакие две не случились одновременно. Но известно, что их было только 8. Значит, 11 - 8 = 3 раза было одновременно то и это.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2016 год, 1 тур

Задача:
В 5Ю классе 7 человек едят мороженое каждый день, 9 человек едят мороженое через день, а остальные не едят мороженого вообще. Вчера 13 учеников этого класса ели мороженое. Сколько учеников будут есть мороженое сегодня?

Ответ: 10 учеников.
Решение:
Поскольку вчера ели мороженое 13 человек, то из них 7 – те, кто есть мороженое каждый день. Значит, 6 – те, кто едят через день. Но тогда эти 6 завтра есть не будут, но будут есть оставшиеся трое.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Расшифруйте запись:
AB + BC + CA = ABC
Одинаковые буквы — это одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.

Ответ: ABC = 198.
Решение:
Первая цифра значения суммы только 1, A = 1.
Тогда В = 9, так как ...В + ...C + ...A = ...С.
Итак, A = 1, В = 9, можно найти значение C = 8.
19 + 98 + 81 = 198
A = 1, B = 9, C = 8
А + В − С = 1 + 9 − 8 = 2
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
На сторонах АВ и АС треугольника АВС как на диаметрах построили окружности, которые пересекаются в точках А и Р. Тогда для треугольника ABC точка P обязательно является
(А) центром описанной окружности
(Б) центром вписанной окружности
(В) серединой ВС
(Г) основанием одной из высот
(Д) точкой пересечения медиан

Ответ: (Г) основанием одной из высот
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2014 год

Задача:
В очереди за мороженым стоят Петя, Вася, Оля и Маша. Известно, что девочки не стоят рядом, Вася стоит сразу за Олей, а Маша сразу за Петей. Каков порядок очереди?

Ответ: Оля, Вася, Петя, Маша.
Решение:
Поскольку Вася стоит за Олей, а Маша за Петей, то возможны только два варианта ОВПМ или ПМОВ. Второй вариант не подходит, так как по условию девочки не стоят рядом.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
В 10 мешках находится ровно 1000 орехов, при этом в каждом мешке их разное количество. В какой-то момент выбирается мешочек, в котором максимум орехов, берутся из него 9 орехов и раскладывается по 1 в каждый из других мешочков. Такая процедура повторяется пока не наступит момент, когда по крайней мере в двух мешочках количество орехов станет одинаковым. Обязательно ли процедура закончится через конечное количество шагов?

Обозначим через 𝑀 — разность между числом орехов в мешочке с максимальным количеством и минимальным. Если 𝑀 ≤ 9, то по принципу Дирихле найдутся два мешочка с одинаковым числом орехов. Так же 𝑀 ≠ 10, поскольку при такой разнице число орехов в каждом мешочке на 1 больше, чем в предыдущем. Поэтому 5 мешочков содержат чётное количество орехов и ещё 5 — нечётное. Но тогда в них не может быть ровно 1000 орехов. При каждой процедуре значение 𝑀 уменьшается на величину от 1 до 10. Таким образом, в определенный момент она станет в пределах от 1 до 9.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
В клетках «лестницы» расставлены числа 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, так что сумма чисел в каждом столбце, кроме самого левого, на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько существует различных расстановок?

Сумма всех чисел равна 1 · 2 + 2 · 3 + 3 + 4 · 2 + 5 + 6 = 30. Если число в самой левой клетке 𝑥, получим уравнение 𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 3) = 32, 𝑥 = 6. Тогда в самом левом столбце сумма 6 = 6, во втором 7 = 3 + 4 или 5 + 2, в третьем 8 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4 или 8 = 1 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 соответственно (в четвёртом столбце — все остальные числа). Тогда разных расстановок: 2 · 6 · 12 + 2 · 3 · 12 + 2 · 6 · 12 + 2 · 3 · 12 = 432.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В 9:00 из «тихого» леса в «шумный» лес выбежал бельчонок Сёма. Одновременно навстречу ему из «шумного» леса выбежал бельчонок Тима. Известно, что до момента встречи Сёма успел пройти треть пути между лесами, однако, если бы Сёма выбежал на час раньше, то успел бы пройти до встречи половину пути. В какое время Сёма и Тима встретились? Скорости бельчат постоянны.

Ответ: 10 часов 20 минут.
Решение:
За одно и то же время (до встречи) Сёма прошёл треть пути, а Тима две трети пути — в два раза больше, чем Сёма. Следовательно, скорость Тимы в 2 раза больше, чем скорость Сёмы. Половину пути Сёма проходит на 1 час дольше, чем Тима, а весь путь на 2 часа дольше. При этом на весь путь он тратит в 2 раза больше времени. Следовательно, на весь путь Сёма потратит 4 часа, а Тима — 2 часа. Треть пути Сёма пройдёт за 4 / 3 часа. Следовательно, время их встречи 10 часов 20 минут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
5 окуней легче 6-ти карасей, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее – 2 карася или 3 леща?

Ответ: тяжелее 2 карася.
Решение:
Из условия следует, что 6 карасей тяжелее 10 лещей. То есть 3 карася тяжелее 5 лещей. Значит, карась тяжелее леща и 4 карася тяжелее 6 лещей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
У Саши есть два одинаковых белых и два одинаковых красных кубика. Сколько различных башенок высотой в 3 кубика он может построить?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 2 тур

Задача:
Винни-Пух и Тигра лезут на два одинаковых дерева. Винни-Пух поднимается и спускается с одинаковой скоростью, а Тигра лезет вверх в два раза быстрее Винни-Пух, а спускается в два раза медленнее Винни-Пуха. Кто из них поднимется и спустится быстрее?

Ответ: Винни-Пух.
Решение:
Если Тигра спускается в два раза медленнее Винни-Пуха, то на путь вниз он потратит столько же времени, сколько Винни-Пух на подъём и спуск.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Учитель сказал, что в школьной библиотеке примерно 2000 книг, и предложил ребятам угадать точное количество книг. Аня назвала число 1995, Боря — 1998, Вика — 2009, Гена — 2010, а Дима — 2015. Тогда учитель сказал, что точно не угадал никто, а ошибки были такими: 12, 8, 7, 6 и 5 (возможно, в другом порядке). Кто из ребят оказался ближе всего к правильному ответу?
(А) Аня
(Б) Боря
(В) Вика
(Г) Гена
(Д) Дима

Ответ: (Б) Боря
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2015 год

Задача:
Даны два уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Верно ли, что $a = c$?

Ответ: Нет, не верно.
Решение:
Достаточно привести пример двух таких уравнений. Например, уравнения $x^2 − 3x + 2 = 0$ и $2x^2 − 3x + 1 = 0$ имеют общий корень $x = 1$.
Комментарий: Можно указать общие свойства таких уравнений. Пусть $x = t$ — общий корень, то есть выполнены $at^2 + bt + c = 0$ и $ct^2 + bt + a = 0$. Тогда:
$ − bt = at^2 + c$ = $ct^2 + a \quad \Rightarrow \quad at^2 − ct^2 = a − c \quad \Rightarrow \quad (a − c)(t^2 − 1) = 0 $
Если $a≠c$, то $t = \pm1$.
Вывод: Если дана пара таких уравнений, для которых $a≠c$, то общий корень равен 1 или −1. Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению $a \pm b + c = 0$. Нетрудно подобрать такую тройку, в которой $a≠c$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
В букете 11 цветов, причём 5 из них – красные, а 6 – розы. Какое наибольшее число белых гвоздик может быть в букете?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: 5
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 4 тур

Задача:
Костя из предыдущего тура сказочно разбогател на лимонаде и открыл свою лимонадную фабрику. Фабрика продаёт литровую бутылку лимонада за 21 рубль, двухлитровую бутылку — за 41 рубль, а трехлитровую — за 61 рубль. За месяц фабрика продала 1000 бутылок на сумму 37000 рублей. Сколько литров лимонада было продано за этот месяц? Нужно указать, конечно, все возможные ответы!

Не умаляя общности можем считать, что бутылка стоит 1 рубль, а литр лимонада стоит 20 рублей. В этом случае все цены сохраняются. Из 37000 стоимость бутылок составляет 1000, значит лимонад стоил 36000. Тогда продано 36000 : 20 = 1800 литров.