d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Лене на день рождения подарили четыре подарка в оберточной бумаге белого, зелёного, оранжевого и синего цветов. На каждом подарке был бантик из тех же четырёх цветов и у всех подарков бантики разного цвета. Известно, что ни у одного подарка цвет бантика не совпадает с цветом оберточной бумаги. У белого подарка бантик не зелёный. Подарок с синим бантиком упакован в бумагу того же цвета, что и бантик на подарке, упакованном в бумагу того же цвета, что и бантик на оранжевом подарке. Определите, какого цвета бантик на каждом из подарков. В ответ запишите последовательность номеров цветов бантиков.

Ответ: синий белый зелёный оранжевый.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2024 год

Задача:
Денис хочет разрезать верёвку на 12 равных кусков и отмечает на ней, где он должен сделать разрезы. Максим хочет разрезать эту же верёвку на 16 равных кусков и тоже отмечает на ней, где он должен сделать разрезы. Затем Майя разрезает верёвку во всех местах, которые отметили мальчики. Сколько кусков верёвки получилось у Майи?
(А) 24
(Б) 25
(В) 27
(Г) 28
(Д) 29

Ответ: А
Решение:
Денис отмечает каждую 1/12 длину верёвки и получает 11 отметок. Максим отмечает каждую 1/16 длину верёвки и получает 15 отметок. Но три из них совпадают, т.к. 3/12 = 4/16, 6/12 = 8/16, 9/12 = 12/16. Значит, Майя сделала 11 + 15 − 3 = 23 разреза и получила 24 кусочка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится
(А) половина их суммы
(Б) одно из двух данных чисел
(В) их удвоенная разность
(Г) одно из этих чисел, делённое на 2
(Д) одно из этих чисел, умноженное на 2

Ответ: (Д) одно из этих чисел, умноженное на 2
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок собрал целую корзину ягод: 16 ягод малины, 24 ягоды черники и 40 ягод ежевики. Но оказалось, что среди ягод малины и черники 12 плохих, среди ягод черники и ежевики – 33 плохих, а среди ягод малины и ежевики – 35 плохих. Сколько ягод оказались хорошими?

Ответ: 40 ягод.
Решение:
Всего ягод набрано 16 + 24 + 40 = 80. Теперь посчитаем все плохие ягоды: 12 + 33 + 35 = 80. Но каждая плохая ягода считается дважды, значит, плохих ягод половина от этого числа — 40. А хороших остаётся 80 − 40 = 40.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Среди всех двузначных чисел, в записи которых все цифры различные, выбрали наибольшее и наименьшее. Чему равна сумма этих чисел?

Ответ: 108.
Решение:
98 + 10 = 108
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2015 год

Задача:
В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?

Ответ: 16 или 56.
Решение:
Если вызвано $n$ десятиклассников, то дано $n$($n$ – 1) = 44 + 28 = 72 ответа, откуда $n$ = 9. Пусть из этих 9 школьников $t$ правдивцев и (9 – $t$) лжецов. Ответ «лжец» может дать только лжец про правдивца и правдивец про лжеца, таких фраз было 2$t$(9 – $t$) = 28, откуда $t$ = 2 или $t$ = 7. Если правдивцев двое, то они дали 2 ⋅ 8 = 16 правдивых ответов. Если правдивцев семеро, то они дали 7 ⋅ 8 = 56 правдивых ответов.
Комментарий: Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдивец».
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
У Маши и Кати вместе 15 книг, у Кати и Светы − 25 книг, у Маши и Светы − 20 книг. Сколько книгу Маши?

Ответ: 5.
Решение:
Маша + Катя + Катя + Света + Маша + Света = 60 книг. Это удвоенное число книг Маши, Кати и Светы.
Маша + Катя + Света = 30 книг.
Катя + Света = 25 книг, значит, у Маши 30 − 25 = 5 книг.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2010 год

Задача:
Знайка сказал: «Позавчера был тот же день недели, что и день сразу после субботы». В какой день недели сказал эту фразу Знайка, если он всегда говорит правду?

Ответ: вторник.
Решение:
День сразу после субботы – воскресенье. Следовательно, позавчера было воскресенье. Значит, вчера – понедельник, а сегодня – вторник.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Самое маленькое целое число, которое делится на 2, 3 и 4, равно
(А) 1
(Б) 2
(В) 6
(Г) 12
(Д) 24

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Сколько острых углов в 2009 тупоугольных треугольниках?
(А) 0
(Б) 2009
(В) 4018
(Г) 6027
(Д) ответ зависит от треугольников

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Правильный треугольник и квадрат расположены так, что площадь их пересечения равна трети площади треугольника и одновременно четверти площади квадрата. Каково отношение сторон треугольника и квадрата?
(А) $\sqrt[4]{3}$
(Б) $\sqrt{3}$
(В) $\displaystyle \frac{4}{3}$
(Г) $\displaystyle \frac{3}{4}$
(Д) невозможно определить

Ответ: (А) $\sqrt[4]{3}$
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами и разные цифры — разными буквами. Получилось «НОВОГОДНИЙ123». (Буквы не могут быть равны 1, 2 или 3.) Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 71. Чему равно «ОНО»?

Ответ: 989.
Решение:
Заметим, что у нас будут использованы все 10 цифр и ещё дополнительно 2 буквы «О» и одна буква «Н». Сумма цифр от 0 до 9 равна 55. Значит, наши две буквы «О» и одна буква «Н» равны 71 - 55 = 26. Заметим, что такое возможно, только если «О» = 9, а «Н» = 8. Все остальные варианты не подходят, т. к. сумма будет меньше. Значит, «ОНО» = 989.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
На доске в строчку написаны двадцать пятёрок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000. Сколько плюсов поставил Вася?
(А) 6
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 11

Ответ: 9
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2015 год, 2 этап

Задача:
Напишите вместо семи звёздочек семь различных цифр так, чтобы получилось верное равенство:
∗∗∗∗ + ∗∗ + ∗ = 2015

Ответ:
Например, 1987 + 25 + 3. Возможны и другие варианты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
В доме между любыми двумя комнатами не более одной двери, и из каждой комнаты не более одной двери ведёт в сад. Всего в доме 12 дверей. Какое наименьшее число комнат может быть в этом доме?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до него ещё 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно?
(А) 90
(Б) 100
(В) 10
(Г) 900
(Д) 1000

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2010 год

Задача:
Груша и 3 банана тяжелее 3-х апельсинов и яблока. Яблоко и 2 груши тяжелее 3-х бананов. Что тяжелее: груша или апельсин?

Решение:
На левую чашу весов положим грушу и 3 банана, а на правую 3 апельсина и яблоко. Так как на левую мы положили более тяжёлый груз, то левая чаша перевесит. Доложим на левую яблоко и 2 груши, а на правую 3 банана. Так как мы снова на левую положили более тяжёлый груз, то левая чаша по прежнему будет перевешивать. Уберём как с левой, так и с правой чаши яблоко и 3 банана. Так как до этого левая перевешивала, а убрали равные грузы, то левая по прежнему перевешивает. Но на левой лежит 3 груши, а на правой – 3 апельсина. Значит, 3 груши тяжелее, чем 3 апельсина. Следовательно, груша тяжелее апельсина.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Карина нашла старую книгу, в которой не хватало нескольких страниц. Последняя страница перед потерянной частью имеет номер 24, а первая после неё — 45. Сколько листков выпало из книги?
(А) 9
(Б) 10
(В) 11
(Г) 20
(Д) 21

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Бен выбрал число, разделил его на 7, затем прибавил 7, а после этого результат умножил на 7. Получилось число 77. Какое число Бен выбрал?
(А) 7
(Б) 11
(В) 17
(Г) 28
(Д) 77

Ответ: (Г) 28
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 2 тур

Задача:
Андрей бегает быстрее Бори, Вова бегает быстрее Гены. Они стартовали одновременно. Напишите все варианты того, в каком порядке могли финишировать мальчики, если никакие два из них не пришли к финишу одновременно.

Ответ: ВГАБ, ВАГБ, ВАБГ, АБВГ, АВБГ, АВГБ (каждая буква соответствует одному из мальчиков: Вова – В, Гена – Г, Андрей – А, Боря – Б).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Папа дал по 5 яблок каждому из трёх своих детей. Маша отдала 3 яблока Саше, а потом Саша отдала половину своих яблок Мише. Сколько яблок стало у Миши?
(А) 4
(Б) 5
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Д
Маша отдала Саше 3 яблока, значит у Саши стало 8 яблок. После этого Саша отдал половину своих яблок, то есть 4 яблока, Мише. Значит у Миши стало 5 + 4 = 9 яблок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
У флориста (составителя букетов) имеются розы: 84 красные, 24 белые и 36 жёлтых. Какое наибольшее количество одинаковых букетов он может составить, если хочет использовать все имеющиеся розы?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 12
(Д) 18

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2015 год

Задача:
В 2015 году Артёму исполнится на 1 больше лет, чем сумма цифр его года рождения. В каком году родился Артём?

Ответ: В 2006 или 1988 году.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 1 тур

Задача:
Группа детского сада шла парами. Вова, шедший в паре с Машей, насчитал семь пар впереди себя, затем обернулся и насчитал пять пар позади. Сколько человек в группе?

Ответ: 26 человек.
Решение. Всего пар кроме пары Вовы 7 + 5 = 12 пар. И ещё пара Вова и Маша. Значит всего пар 13 и человек в парах 26.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2015 год

Задача:
Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015 — нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.

Ответ: 2015 = 1551 + 464
Решение:
Чтобы найти решение, можно было рассуждать так:
Так как 2002 не подходит, значит, большее слагаемое имеет вид $\overline{1AA1}$. Тогда второе слагаемое должно заканчиваться на 4, так как оно равно 2015 − $\overline{1AA1}$, т.е. имеет вид $\overline{4B4}$. Итак, 2015 − $\overline{1AA1}$ = $\overline{4B4}$. Получаем:
2015 − 1001 − 404 = $\overline{AA0}$ + $\overline{B0}$
т.е. 61 = $\overline{AA}$ + $B$, откуда $\overline{AA}$ = 55, $B$ = 6.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Целое число n имеет два натуральных делителя, а число n + 1 — три натуральных делителя. Сколько натуральных делителей имеет число n + 2?
(А) 1
(Б) 2
(В) 4
(Г) 5
(Д) ответ зависит от n

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Лёша записал на доске натуральное число, меньшее 1000. Каждую секунду он делит текущее число на доске на 2, если оно чётное и записывает результат деления вместо предыдущего числа. Если же число на доске нечётно, он прибавляет к нему 1 и тоже записывает результат сложения вместо прежнего числа. Через какое наибольшее число ходов у Лёши может впервые получиться число 1 на доске?
Например, если было записано 5, то мы получаем 1 через 5 ходов:
5 ⟶ 6 ⟶ 3 ⟶ 4 ⟶ 2 ⟶ 1

Ответ: Через 19 ходов.
Идея решения: Решим задачу с конца:
1 - 2 - 4 - 3 - 6 - 5 - 10 - 9 - 18 - 17 - 34 - 33 - 66 - 65 - 130 - 129 - 258 - 257 - 514 - 513.
Очевидно, что это самая длинная возможная цепочка ходов. Значит, не позже чем через 19 ходов он получит 1.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Назовем число «интересным», если произведение его цифр равно 12. Сколько существует «интересных» трёхзначных чисел?

Рассмотрим все возможные разложения 12 на однозначные множители. 12 = 6 · 2 · 1 = = 4 · 3 · 1 = 3 · 2 · 2. Из первых двух разложений получается по 6 трёхзначных чисел, а из второго разложения только 3 трёхзначных числа. Тогда все «интересных» чисел 6 + 6 + 3 = 15.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
Позавчера Ваня решил задач на 3 больше, чем вчера, а вчера на 10 меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Ваня сегодня?

Ответ: 7 задач.
Решение:
Если вчера Ваня решил x задач, то позавчера (x + 3) задачи.
Пусть сегодня он решил y задач, тогда (x + 3) + y − x = 10, значит, y = 7.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2015 год

Задача:
Произведение 100 ⋅ 100 представили в виде суммы десяток:
100 ⋅ 100 = 10 + 10 + ... + 10
Сколько получилось слагаемых? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ: 1000.
Решение:
1. 100 · 100 = 10000 — значение данного произведения.
2. 10000 : 10 = 1000 — количество одинаковых слагаемых.

Второе действие школьники могут записать и так: 10 ⋅ 1000 = 10000.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Мальчики Гриша и Дима собирали плоские камешки.
- Дима сказал: «Я собрал больше камушков, чем Гриша».
- Гриша сказал: «Коля! Дима собрал больше меня!».
- Коля: «Не волнуйся! Вы оба собрали одинаковое количество камушков».

Известно, что правду сказал только один из троих мальчиков. Кто собрал больше плоских камушков: Гриша или Дима?

Ответ: Гриша и Дима собрали поровну плоских камушков.
Решение:
Дима и Гриша утверждают одно и тоже. Поэтому эти утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку не могло быть больше одного истинного утверждения, то Дима и Гриша оба солгали, а правду сказал Коля. Но это означает, что Дима и Гриша собрали поровну плоских камушков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Какое из чисел А-Д самое большое?
(А) $\sqrt{2013}$
(Б) $\sqrt{201}⋅3$
(В) $\sqrt{20}⋅\sqrt{13}$
(Г) $\sqrt{20}⋅13$
(Д) $20⋅\sqrt{13}$

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Трое ребят разделили между собой карточки с цифрами. Алексу достались цифры 7, 2 и 4, Марте – 6, 5 и 1, а Фреду – 8, 3 и 9. Каждый из них старается получить разные числа, используя свои карточки и знаки четырёх арифметических действий. Кто из них не может получить число 20?
(А) Алекс
(Б) Марта
(В) Фред
(Г) Алекс и Марта
(Д) все могут

Ответ: Марта
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2017 год, первая лига

Задача:
Часовая и минутная стрелки показывают на числа, сумма которых равна 15. Сколько часов пройдёт до ближайшего момента времени, когда сумма чисел станет равна 13?

Ответ: 10 часов
Решение:
Сейчас ровно 15 часов (3+12=15). Сумма 13 получается как 12+1 – это 1 час. Между ними 10 часов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Если $\displaystyle \frac{x − y}{x + y} = \frac{12}{13}$, то $\displaystyle \frac{x^2}{y^2}$ равно:
(А) $\displaystyle \frac{13}{12}$
(Б) $\displaystyle \frac{25}{6}$
(В) $\displaystyle \frac{144}{169}$
(Г) 25
(Д) 625

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В 12:00 из школы на олимпиаду в Сибирский федеральный университет вышла ученица 3-го класса Оля и ученица 4-го класса Настя. Одновременно по той же дороге навстречу им из университета вышла ученица 11-го класса Лена. Через 10 минут Лена встретила Настю, ещё через 20 минут она встретила Олю, а ещё через 30 минут Лена пришла обратно в школу. Во сколько раз Настя идёт быстрее Оли?

Ответ: В 5 раз быстрее.
Решение:
Лена была в пути 10 + 20 + 30 = 60 минут. Через 30 минут (то есть посередине между школой и университетом) она встретила Олю. Значит, Лена и Оля идут с одинаковой скоростью, и нам потребуется определить, во сколько раз быстрее Лены идёт Настя. Лена встретила Настю через 10 минут после выхода из университета, когда прошла шестую часть пути. Значит, Настя за это время прошла пять шестых того же пути, то есть она шла в 5 раз быстрее Лены (и Оли).
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Аня нашла сумму всех четырёхзначных чисел, которые начинаются на 3. Ее одноклассница Катя нашла сумму всех четырёхзначных чисел, которые начинаются на 2. На сколько результат Ани больше результат Кати?

Ответ: 1000000.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2016 год, 2 этап

Задача:
Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки. Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?

Ответ: Нет, не могут.
Решение:
Предположим, что это случилось, и рассмотрим тот момент, когда все четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Попросим ту блоху, которая совершала последний прыжок, прыгнуть обратно. При этом она должна будет снова перелететь через какую-то из других блох вдоль соединяющего их отрезка, т. е. должна будет остаться на той же прямой. Значит, секунду назад все блохи тоже сидели на одной прямой! Но мы рассматривали тот момент, когда четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и все четыре блохи не могли оказаться на одной прямой.
Замечание: Другой, более сложный способ решения задачи можно получить, если ввести систему координат, в которой вершины исходного квадрата имеют координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), и разделить все целочисленные точки на четыре типа: те, у которых обе координаты чётны: (Ч; Ч), те, у которых обе нечётны: (Н; Н), и те, у которых чётна только одна из координат: (Ч; Н) и (Н; Ч). Можно точки каждого типа покрасить в свой цвет. Заметим, что при каждом прыжке обе координаты прыгнувшей блохи меняются на чётное число единиц, т. е. чётность координат не меняется. Четыре вершины квадрата имеют разный тип: (Ч; Ч), (Ч; Н), (Н; Ч) и (Н; Н). Однако можно доказать, что на любой прямой встречаются вершины только двух каких-то типов (например, только (Ч; Н) и (Ч; Ч)). Значит, на каждой прямой могут оказаться максимум две блохи (сидевшие вначале в вершинах тех двух типов, которые присутствуют на прямой). Итак, оказывается, что не только четыре, но и три блохи на одной прямой оказаться не могут.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Бассейн заполняется четырьмя трубами за 4 часа. Первая, вторая и четвёртая трубы заполняют бассейн за 6 часов. Вторая, третья и четвёртая – за 5 часов. За какое время заполнят бассейн первая и третья трубы? Ответ дайте в часах.

Ответ: 7.5 часов.
Решение:
Введем обозначения. Примем всю работу за 1.
Пусть x часов бассейн заполняет первая труба, y часов – вторая труба, z часов – третья труба, t часов – четвёртая труба.
Производительность – это часть бассейна, которую заполняет труба за 1 час. Производительность первой трубы — 1/х, второй трубы — 1/у, третьей трубы — 1/z, четвёртой трубы — 1/t.
Если все четыре трубы будут в работе, то за час они заполнят 1/х + 1/у + 1/z + 1/t часть бассейна. Зная, что бассейн заполняется четырьмя трубами за 4 часа, составим уравнение:
(1): 1/х + 1/у + 1/z + 1/t = 1/4
Первая, вторая и четвёртая трубы заполняют бассейн за 6 часов, составим уравнение:
(2): 1/х + 1/у + 1/t = 1/6
Вторая, третья и четвёртая – за 5 часов, составим уравнение:
(3): 1/y + 1/z + 1/t = 1/5
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
1/z = 1/4 − 1/6 = 1/12
Вычтем из уравнения (1) уравнение (3):
1/х = 1/4 − 1/5 = 1/20
1/х + 1/z = 1/12 + 1/20 = 2/15
За 1 : 2/15 = 7,5 часов первая и третья трубы заполнят бассейн.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Вася выписал в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 11. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Вася?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2020 год

Задача:
Есть карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 и знаками «+», «−» и «=». Всего 9 карточек. Выложите, использовав все карточки, верное равенство. (Число не может начинаться с 0, если это не само число 0)

Ответ: Например, 30 – 21 = 4 + 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Число 𝑥 таково, что прибавить к нему 2 – то же самое, что умножить его на 3. Тогда умножить его на 6 – это то же самое, что прибавить к нему
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: 5
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
Белки Алли, Элли и Салли нашли вместе семь орехов. Каждая из них нашла хотя бы по одному ореху, и у всех оказалось разное число орехов. Алли нашла орехов меньше всех, а Элли — больше всех. Сколько орехов нашла Элли?
(А) 4
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2017 год

Задача:
В городе есть станции метро – Аль, Бета, Гамильтон, Дельта, Лямбда, Эпсилон, Икс и Зета. Известно, что между двумя станциями без пересадок ходит поезд, если количество букв в названиях этих станций имеют разную чётность. Федя хочет проехать как можно более длинный путь, не посещая никакую станцию дважды причём так, чтобы название каждой следующей станции было длинней предыдущей. Какой длины будет этот путь? Ответ объясните.

Ответ: 3 станции.
Решение:
Заметим, что условие можно переписать так: есть числа 3, 4, 9, 6, 6, 7, 3, 4. Известно, что числа разной чётности соединены отрезком. Требуется найти ломаную с наибольшим количеством вершин. Заметим, что в такой ломаной чётные и нечётные числа чередуются и вдобавок идут по возрастанию. Нечётных числа 4, причём два из них равны, то есть могут быть использованы только числа 3, 7, 9. Поскольку нет чётных чисел меньше 3 и больше 7, то максимальная ломаная содержит не более 3 вершин. Пример для 3 вершин есть: Аль-Бета-Эпсилон.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Гепард пробегает полкилометра за полминуты. С какой скоростью он бежит?
(А) 90 км/час
(Б) 75 км/час
(В) 60 км/час
(Г) 30 км/час
(Д) 15 км/час

Ответ: (В) 60 км/час
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Антон и Миша считают деревья, растущие вокруг пруда. Они двигаются в одном направлении, но начинают счёт с разных деревьев. То дерево, которое Миша назвал двадцатым, для Антона оказалось четвёртым, а дерево, которое Миша назвал десятым, для Антона оказалось сорок шестым. Сколько деревьев растёт вокруг пруда?
(А) 50
(Б) 52
(В) 56
(Г) 60
(Д) 80

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Заменяя в выражении 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 0 = 1 каждую из звёздочек либо на «+», либо на «−», можно получить различные равенства. Сколько среди них правильных?
(А) 5
(Б) 4
(В) 3
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: (Б) 4
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок спрятал орехи в сейф и ввёл цифровой пятизначный код (код может начинаться с нуля). На следующий день он забыл код и помнил лишь только то, что в коде были числа 33 и 37. Какое наименьшее количество кодов нужно перебрать бельчонку, чтобы наверняка открыть сейф с орехами? (Учтите, что числа 33 и 37 можно увидеть в числе 337.)

Ответ: 335.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Сколько корней имеет уравнение:
|х| = |х − 1| + х − 3

Ответ: 1.
Решение:
Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль при х = 0 и при х = 1.
Точки 0 и 1 разбивают числовую ось на три промежутка (-∞; 0); [0; 1); [1; +∞).
1) На промежутке (-∞; 0) уравнение принимает вид:
−х = −х + 1 + х − 3
х = 2
На этом промежутке корней нет.
2) На промежутке [0; 1) уравнение принимает вид:
х = −х + 1 + х − 3
х = −2
На этом промежутке корней нет.
3) На промежутке [1; +∞) уравнение принимает вид:
х = x − 1 + х − 3
х = 4
Это значение принадлежит промежутку [1; +∞), значит, является корнем заданного уравнения.
Данное уравнение имеет единственный корень.