d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Если a и b — натуральные числа, ни одно из которых не делится на 10, и ab = 10000, то a + b равно:
(А) 1024
(Б) 641
(В) 74
(Г) 34
(Д) 1000

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
В очереди за мороженым Катя стоит третья, а Маша — седьмая. Сколько человек стоит между ними?
(А) 6
(Б) 5
(В) 4
(Г) 3
(Д) 2

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год

Задача:
Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?

Ответ: 60.
Решение:
Поскольку каждое из этих чисел делится на их НОД, то их произведение делится на квадрат этого НОД. Наибольший точный квадрат, на который делится число 7200 = 2^5 ⋅ 3^2 ⋅ 5^2 — это 3600 = (2^2 ⋅ 3 ⋅ 5)^2, поэтому НОД двух искомых чисел не превосходит 60. При этом НОД может равняться 60, если искомые два числа — это 60 и 120.
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
У Ефима было несколько старых вилок, ложек и ножей. Ложек было на 4 больше, чем вилок. Вилок на 8 больше, чем ножей. А всего было 50 предметов. Сколько ножей было у Ефима?

Ложек на 4 больше, чем вилок, которых на 8 больше, чем ножей. Значит, ложек на 4 + 8 = 12 больше, чем ножей. Если убрать 12 ложек и 8 вилок, то всех предметов станет поровну, суммарным числом 50 − 12 − 8 = 30. Поэтому ножей 30 / 3 = 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
Пачка бумаги в 500 листов имеет толщину 5 см. Напечатали книгу в 300 страниц. Какова толщина книги, если толщина обложки (с обеих сторон в сумме) 3 мм?

Ответ: 1 см 8 мм.
Решение:
Если 500 листов имеют толщину 5 см, то 100 листов имеют толщину 1 см. Это значит, что 200 страниц имеют ту же толщину, а 100 страниц – 5 мм. Отсюда толщина книги 1,5 см + 3 мм.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Пусть $x$∗$y$ = $x\sqrt{y}$. Чему равно ($\sqrt{18}$∗2)∗3 ?
(А) 6$\sqrt{2}$
(Б) 6
(В) 6$\sqrt{3}$
(Г) 18$\sqrt{2}$
(Д) 18

Ответ: В
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
У Ефима было несколько старых вилок, ложек и ножей. Ложек было на 4 меньше половины. Вилок было на 6 больше, чем ножей, а ножей было 10. Сколько всего cтоловых приборов было у Ефима?

Вилок было 16. Соответственно, вилок и ножей вместе взятых было 26, что на 4 больше половины количества всех предметов. Значит, половина всех предметов — это 22 штуки. А всего было 44 предмета.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Если x : y = 5, y : z = 4, u : z = 4 и v : u = 3, то чему равно x : v ?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 3/5
(Д) 5/3

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2019 год

Задача:
Удав (У), Мартышка (М), Слонёнок (С) и Попугай (П) затеяли взвешиваться. Мартышка записала: Удав = 48 П, Слонёнок = 12 М, Мартышка = 3 П, Удав = 4 М, Слонёнок = 36 П. Позже оказалось, что Мартышка все числа перепутала – то есть числа действительно были такие, но все стояли на других местах (но все буквы записаны верно). Сколько Попугаев на самом деле весят Удав, Слоненок и Мартышка?

Ответ: Удав = 36 Попугаев, Слоненок = 48 Попугаев, Мартышка = 12 Попугаев.
Решение:
Поскольку все веса выражаются через Попугаев, то Попугай – самый лёгкий. Далее, поскольку есть запись Удав = … М, Слоненок = … М и все числа больше 1, то Мартышка легче Удава и Слоненка. Вес Удава и Слоненка измерен дважды – в Попугаях и Мартышках. Но, как бы не измеряли, отношения весов должно быть одно и то же. Выпишем, имеющиеся числа: 48, 36, 12, 4, 3. Заметим, что есть две пары с одинаковым отношением – это (48, 36) и (4, 3) или (48, 4) и (36, 3). Но в любом случае М=12П. И тогда второй вариант не подходит, так как тогда Удав или Слоненок весит 3П и, значит, он легче Мартышки, что не так. Поэтому Удав = 48П, Слоненок=36П или наоборот. Но первый вариант не подходит, так как по условию все числа Мартышка поставила на другие места.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
В мешке у Деда Мороза 18 разноцветных шариков: красные, золотые и серебряные. Всех шариков поровну. Заяц пообещал Деду Морозу морковку за каждый вытащенный шарик. Сколько морковок надо приготовить зайцу, если он хочет подарить трём своим зайчишкам по шарику, причём шарики должны быть обязательно одного цвета?
Комментарий: заяц, конечно, хочет отдать как можно меньше морковок.

Ответ: 7 морковок.
Решение:
в мешке по 6 шариков каждого цветы. Если зайцу не повезёт, то трёх шариков ему точно не хватит (они могут оказаться разных цветов). Если заяц достанет ещё 3 шара, то у него может оказаться 3 пары разноцветных шаров (2 красных, 2 золотых, 2 серебряных), и среди них всё ещё не будет тройки одинаковых. Теперь, какого бы цвета шарик ни достал заяц из мешка, он составит тройку с парой уже имеющихся. Значит, зайцу понадобится вытащить минимум 2 × 3 + 1 = 7 шаров, чтобы точно получить три одинаковых шарика, то есть 7 морковок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Ученики 7-го класса решали две задачи. Проверив работы, учитель составил четыре списка:
1. список учеников, решивших первую задачу;
2. список учеников, решивших ровно одну задачу;
3. список учеников, решивших хотя бы одну задачу;
4. список учеников, решивших обе задачи.

Оказалось, что все эти списки различны. Какой из списков самый длинный?
(А) А
(Б) Б
(В) В
(Г) Г
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2020 год, 1 вариант

Задача:
В прибрежной деревне 7 человек рыбачат каждый день, 8 человек рыбачат через день, 3 человека рыбачат раз в три дня, а остальные не рыбачат вовсе. Вчера рыбачили 12 человек, сегодня рыбачат 10 человек. Сколько людей будет рыбачить завтра?

Ответ: 15 человек.
Решение:
Посчитаем, сколько раз суммарно рыбачили за вчера и сегодня. 7 человек, которые рыбачат каждый день, рыбачили по 2 раза, т.е. суммарно рыбачили 14 раз. 8 человек, которые рыбачат через день, рыбачили ровно 1 раз, т.е. суммарно рыбачили 8 раз. Тогда суммарно эти 15 человек за вчера и сегодня рыбачили 14 + 8 = 22 раза.
По условию за вчера и сегодня рыбачили 12 + 10 = 22 раза. Следовательно, рыбаков, которые рыбачат раз в три дня, вчера и сегодня не было, и они все придут рыбачить завтра. Также завтра придут 7 человек, рыбачащих каждый день, а ещё придут 12 − 7 = 5 рыбаков, рыбачащих через день. Значит, завтра придут рыбачить 3 + 7 + 5 = 15 человек.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Вася изменяет число, написанное на доске, по следующему правилу: если это число делится на 3, то Вася вычитает из него 1; если число даёт остаток 2 при делении на 3, то Вася вычитает из него 2; а если число даёт остаток 1, то Вася прибавляет к нему 2. Он начинает с числа 10000. Какое число получит Вася после 2003 таких операций?
(А) 10000
(Б) 7004
(В) 7002
(Г) 6999
(Д) 3996

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
На окружности с центром в точке O взяли точку A. Какую часть окружности составляют точки, которые ближе к O, чем к A?
(А) 3/4
(Б) 2/3
(В) 1/2
(Г) 5/6
(Д) ответ зависит от расположения точки A

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если
1. 𝑛 = 27
2. 𝑛 = 26


Ответ: а) 14. б) 105.
Решение:
Пронумеруем нолики слева направо числами от 1 до 13. Обозначим количество крестиков перед первым ноликом через $a_1$, между первым и вторым ноликом – через $a_2$, $\ldots$, после тринадцатого нолика – через $a_{14}$. Получаем, что $a_1 + a_2 + \ldots + a_{14} = n$. То, что среди любых трёх подряд идущих значков есть хотя бы один нолик, эквивалентно тому, что три крестика не могут идти подряд, то есть $a_i\leqslant2$ для любого $i$ = 1, $2$, $\ldots$, $14$. Заметим, что подходящие последовательности крестиков и ноликов взаимно однозначно сопоставляются последовательностям $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{14}$ с указанными условиями.
a) Сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 27, причём каждое из них не больше 2. Это означает, что какое-то одно $a_i$ должно быть равно 1, а все остальные должны быть равны 2. Так как $i$ может принимать любое значение от 1 до 14, получаем, что вариантов ровно 14.
б) Теперь сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 26. Это означает, что либо какоето $a_i$ равно 0, а все остальные равны 2, либо какие-то $a_j$ и $a_k$ равны 1, а все остальные равны 2. В первом случае получаем 14 вариантов. Во втором случае получаем $\displaystyle \mathrm{C}_{14}^2 = \frac{14⋅13}{2} = $ 91 вариант, ведь нам нужно выбрать 2 индекса из 14 возможных.
Итого получаем ровно 14 + 91 = 105 вариантов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2022 год

Задача:
На столе лежит 4 стопки монет. В первой стопке 9 монет, во второй — 7, в третьей — 5, в четвёртой — 10. За один ход разрешается добавить по одной монете к трём разным стопкам. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы во всех стопках стало поровну монет?

Ответ: 11 ходов.
Решение:
Предположим, было сделано 𝑁 ходов, после которых во всех стопках стало поровну монет.
Немного изменим правила. Пусть первоначально в стопках лежало не 9, 7, 5 и 10 монет, а 𝑁 + 9, 𝑁 + 7, 𝑁 + 5 и 𝑁 + 10 соответственно; а ходы выполним следующим образом: вместо добавления по одной монете в три стопки, будем забирать одну монету из стопки (той, в которую во время оригинального хода мы не добавляли монету). Заметим, что итоговый результат от этого не изменится! (Фактически, вместо добавления монет в три стопки мы добавляем их во все четыре, а потом одну забираем.)
В рамках новых правил ответить на вопрос гораздо проще. За один ход мы забираем одну монету из любой стопки, и наша цель — как можно быстрее сделать так, чтобы монет во всех стопках стало поровну. Легко понять, что для этого надо везде оставлять по 𝑁 + 5 монет. Для этого из первой стопки нужно забрать 4 монеты, из второй — 2, из третьей — 0, из четвёртой — 5. Итого надо совершить 4 + 2 + 0 + 5 = 11 ходов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Выписав 6 чётных чисел, идущих подряд, Вася обнаружил, что самое большое из них вдвое больше самого маленького. Чему равно самое маленькое число?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 2 тур

Задача:
Дети встали в круг. Оказалось, что у пятерых оба соседа – мальчики, ещё у двоих соседи разного пола, у остальных же оба соседа – девочки. Сколько было мальчиков среди детей?

Ответ: 6.
Решение:
Сосчитаем соседей-мальчиков. У пятерых по два соседа, и по одному ещё у двоих. Всего 10+2=12. Заметим, что таки образом мы сосчитали каждого мальчика дважды (для левого соседа и для правого). Следовательно, мальчиков в два раза меньше.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В числовом ребусе $\overline{ABCD}$ + $\overline{ABCD}$ = $\overline{EFGHG}$ одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. Какую цифру заменяет буква $A$, если $D$ = 3?

Ответ: $A$ = 7.
Решение:
Т.к. оба слагаемых заканчиваются на $D$ = 3, то сумма заканчивается на $G$ = 6.
В третьем разряде суммы также присутствует цифра $G$ = 6. Это значит, что $B$ равно числу, которое при удвоении оканчивается на 6. Это может быть 3 или 8, но 3 уже занято, потому $B$ = 8. Также это значит, что $C$ < 5, иначе был бы перенос десятка, и на третьем месте суммы вместо 6 было бы 7.
В то же время $A$ ≥ 5, т.к. есть перенос десятка в сумме в самой первой цифре $E$. И эта цифра может быть равна только $E$ = 1.
На данный момент имеем:
$\overline{A8C3}$ + $\overline{A8C3}$ = $\overline{1F6H6}$
Рассмотрим число $C$ < 5:
- $C$ не может быть 0, т.к. тогда и $H$ будет 0.
- $C$ не может быть 1, т.к. 1 уже занято.
- Если $C$ = 2, то $H$ = 4.
- $C$ не может быть 3, т.к. 3 уже занято.
- $C$ не может быть 4, т.к. если $C$ = 4, то $H$ = 8, но 8 уже занято.

Так, мы установили ещё две цифры:
$\overline{A823}$ + $\overline{A823}$ = $\overline{1F646}$
Рассмотрим число $A$ ≥ 5:
- $A$ не может быть 5, т.к тогда $F$ = 1 (не забываем про перенос десятка от $B$ = 8), а 1 уже занято.
- $A$ не может быть 6, т.к. 6 уже занято.
- Если $A$ = 7, то $F$ = 5.
- $A$ не может быть 8, т.к. 8 уже занято.
- $A$ не может быть 9, т.к. тогда $F$ = 9.

Итого мы имеем решение ребуса:
7823 + 7823 = 15646
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
В коридоре детского сада стояли двухколесные и трехколесные велосипеды. Катя подсчитала, что колёс – 18, а рулей всего 7. Сколько было двухколесных велосипедов?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Из чисел, квадраты которых делятся на 24, выбрали самое маленькое. Чему равна сумма цифр этого числа?
(А) 2
(Б) 3
(В) 6
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап

Задача:
В 7«А» учится 26 детей, которые на всех уроках сидят по двое за партой. Однажды в этом классе провели самостоятельную работу, за которую каждый получил четвёрку или пятёрку.
Все ученики заявили следующее: «Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?

Ответ: 24 четвёрки.
Решение:
Заметим, что все 26 человек не могли получить четвёрки, так как в этом случае все они сказали бы правду, но правду должны были сказать только получившие пятёрку.
Рассмотрим любого ученика, получившего пятёрку. Он сказал правду, а значит все, кроме его соседа, точно получили четвёрки. И так как все остальные получили четвёрки, то его сосед сказал правду, а значит, тоже получил пятёрку. Тем самым, четвёрки получили 24 человека.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Найдите три решения ребуса МА = Р ⋅ К = Е + Р, в котором буквы заменены цифрами так, чтобы равенства стали верными (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры).

Ответ:
1. 10 = 2 ⋅ 5 = 8 + 2
2. 12 = 3 ⋅ 4 = 9 + 3
3. 12 = 4 ⋅ 3 = 8 + 4
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Дана клетчатая доска 10×10, каждую клетку которой необходимо покрасить в серый или оранжевый цвета. Назовём клетку «отличной», если у неё хотя бы семь соседних клеток не такого, как она, цвета. Какое наибольшее количество «отличных» оранжевых клеток может быть одновременно на доске? (Клетки называются соседними, если они имеют общую сторону или общий угол.)

Ответ: 26 клеток.
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2015 год

Задача:
Путь из деревни А в деревню Б проходит через холм, на вершине которого стоит деревня М. При подъёме на холм почтовая карета едет со скоростью 10 км/ч, при спуске — 20 км/ч. Из А в Б карета едет 2 часа, из Б в А — 2,5 часа.
Отметьте все верные утверждения:
1. средняя скорость движения от Б до А равна 15 км/час
2. дорога от А до М короче, чем от Б до М
3. время движения от А до М в 2 раза меньше времени движения от М до Б
4. время движения от Б до М в 4 раза больше, чем от М до А
5. расстояние от А до Б больше, чем 32 км
6. расстояние от А до М в 2 раза меньше расстояния от М до Б
7. вся дорога составляет 30 км


Ответ: 2, 4, 6, 7.
Решение:
Пусть одна сторона холма (со стороны одноимённого пункта) А км, а другая — Б км. Тогда имеем систему уравнений:
А/10 + Б/20 = 2
Б/10 + А/20 = 5/2
которая эквивалентна системе:
2А + Б = 40
2Б + А = 50
Вычитая два вторых уравнения из первого, получаем, что Б = 20. Отсюда А = 10.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
На доске записано число 579864, в котором использованы 6 последовательных цифр. Найдите следующее за ним большее число, в записи которого также используются 6 последовательных цифр (может быть, других).

Ответ: 583467.
Решение:
Рассмотрим данное нам число 579864. В этом же десятке не может быть искомого числа, так как в старших разрядах использованы все цифры, большие 4. Аналогично, в этой же сотне не может быть искомого числа, так как использованы все цифры, большие 6. В этой же тысяче не может быть искомого числа, так как использована цифра 9. Следовательно, искомое число не меньше, чем 580000. В этом числе использована цифра 8, т.е. минимальный набор последовательных цифр — от 3 до 8. Наименьшее число, которое можно составить при этом, — 583467.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2016 год, 1 тур

Задача:
Ваня шёл по левой стороне улицы и считал сумму цифр всех номеров домов, что видел на этой стороне. В некоторый момент (когда он прошёл не менее двух домов) у него получилось 51. В этот момент он остановился и на другой стороне улицы увидел номер 17. У какого максимального количества домов он мог сосчитать сумму? А у какого минимального?

Ответ: Максимум – 11 домов, минимум – 2.
Решение:
а) Поскольку на противоположной стороне 17, то на Ваниной стороне только чётные номера домов. Рассмотрим сумму цифр первых 5 домов: 2, 4, 6, 8, 10. Заметим, что единиц любых пяти последовательных номеров на чётной стороне равна 20. Значит, у первых 10 сумма единиц равна 40. Однозначных номеров не более 4. Следующие имеют в десятках 1, а следующие – 2. Значит минимальная сумма цифр у первых 10 домов равна 20+20+1⋅5+2 = 47. Следующий номер 22, добавление суммы цифр которого и даёт 51.
б) Поскольку по условию Ваня прошёл не менее двух домов, то приведём пример для двух: 399998 и 400000.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
При каком значении параметра а уравнение
а^2х − 3 = 9х + а
не имеет решений?

Ответ: 3.
Решение:
а^2х − 3 = 9х + а
а^2х − 9х = а + 3
(а^2 − 9)⋅х = а + 3
(а − 3)(а + З)⋅х = а + 3
Если а ≠ ±3, то х = 1 / (а − 3).
Если а = −3, то уравнение принимает вид 0⋅х = 0, х — любое число, бесконечное множество решений.
Если а = 3, то уравнение принимает вид 0⋅х = 6, решений нет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Если лягушонок зелёный, то он весёлый. Если лягушонок не весёлый, то он сидит на берегу. Все лягушата либо зелёные, либо пёстренькие. Если лягушонок пёстренький, то он плавает в воде. Тогда обязательно
(А) все лягушата — пёстренькие
(Б) все лягушата плавают в воде
(В) все лягушата — весёлые
(Г) все лягушата — не весёлые
(Д) все весёлые лягушата — зелёные

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
В ребусе КЕН + Г = УРУ одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными — разные. Сколько решений имеет этот ребус?
(А) 4
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 12

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Дима забыл пароль для разблокировка своего телефона, который представляет собой трёхзначное число, делящееся на 5. Также мальчик помнит, что сумма цифр этого числа равна 15. Сколько может быть комбинаций для такого пароля?

Ответ: 13 комбинаций.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 1 тур

Задача:
Утром Костя пошёл в школу. Сначала половину имеющихся денег он потратил на проезд до школы, потом нашёл на дороге 50 руб, затем потратил на завтрак 30 руб. Вернулся домой пешком и обнаружил, что у него столько же денег, сколько было перед выходом в школу. Сколько?

Ответ: 40 рублей.
Решение:
Заметим, что от найденных денег после покупки завтрака осталось 20 рублей. Но так как он до этого потратил половину денег, а в результате количество денег осталось прежним, то эти 20 рублей компенсировали затраты. Следовательно, 20 рублей и есть половина первоначальных денег.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
На новогодней ярмарке поставили колесо обозрения. Его кабины пронумерованы по порядку: 1, 2, З и так далее. Когда кабина номер 13 на самом верху, кабина номер 4 в самом низу. Сколько всего кабин на колесе обозрения?

Между 13-й и 4-й кабинами на одной из сторон колёса идут числа 5...12. Чисел от 5 до 12 включительно 8 штук. Значит, и с другой стороны между кабинами № 1З и 4 тоже 8 кабин. Три из них — это № 1, 2, 3. Остальные 5 кабин — это № 14, 15, 16, 17 и 18. Значит, всего 18 кабин.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Котёнок разорвал газету нa несколько кусков. Из них 11 улетели за диван, а каждый оставшийся кусок котёнок разорвал на 5 частей. Всего получилось 46 кусков газеты (считая и те, что за диваном). На сколько кусков котёнок в первый раз разорвал газету?

Ответ: 18 кусков.
Решение:
Число кусков, которые лежат не за диваном, равно 46 − 11 = 35. Чтобы получить 35 кусков, надо было разорвать 35 : 5 = 7 кусков. В первый раз котёнок разорвал газету на 7 + 11 = 18 кусков.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 2 тур

Задача:
На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 балла за каждую решённую сложную задачу и 2 балла за каждую решённую простую задачу. Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу вычитали 1 балл, а за каждую нерёшенную сложную задачу давали 0 баллов. Толя решил верно 10 задач и получил за них 14 баллов. Сколько простых задач было на конкурсе?

Ответ: 16 задач.
Решение:
Если бы простые задачи оценивались как сложные, Толя получил бы 30 баллов. Но на каждой простой задаче (решённой или нет) он терял 1 балл от этих 30. Значит, он потерял 30 – 14 = 16 баллов. Следовательно, простых задач было 16.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Через шесть с половиной часов будет четыре часа после полуночи. Который сейчас час?
(А) 21:30
(Б) 04:30
(В) 22:00
(Г) 02:30
(Д) 10:30

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
У Маши есть 6 карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Она произвольно выбирает 3 карточки и вычисляет сумму чисел, написанных на них. Проделав это для всех 20 возможных комбинаций из трёх карточек, она обнаружила, что 10 сумм равны 16, а остальные 10 сумм — 18. Тогда наименьшее из чисел на карточках равно
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Число (2 + 3)⋅(2^2 + 3^2)⋅(2^4 + 3^4)⋅(2^8 + 3^8)⋅…⋅(2^2048 + 3^2048) + 2^4096 равно
(А) 6^2048
(Б) 2^4096 ⋅ 3^2048
(В) 3^4096
(Г) 3^6144
(Д) 3^4096 + 6^2048

Ответ: (В) 3^4096
Решение:
Умножим это выражение на (3 − 2) = 1. Очевидно, что при умножении на единицу выражение не изменится.
Воспользуемся формулами разности квадратов и раскроем поочерёдно скобки:
(3 − 2)⋅(3 + 2) = 3^2 − 2^2
(3^2 − 2^2)⋅(3^2 + 2^2) = 3^4 − 2^4
(3^4 − 2^4)⋅(3^4 + 2^4) = 3^8 − 2^8
...
(3^2048 − 2^2048)⋅(3^2048 + 2^2048) = 3^4096 − 2^4096
В итоге мы получим:
(3^4096 − 2^4096) + 2^4096 = 3^4096
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Каким числом прямых можно разделить плоскость ровно на 5 областей?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) это невозможно

Ответ: (В) 4
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Разумный школьник при подготовке к олимпиаде каждый день смотрел 4 или 5 роликов с разборами задач и решал самостоятельно ещё 5 или 6 задач. Всего за время подготовки он:
- просмотрел не меньше 31 и не больше 37 роликов с видеоразборами
- решил не меньше 28 и не больше 42 задач

Сколько дней мог готовиться к олимпиаде школьник? Нужно найти все возможные ответы.

Рассматривая ролики, приходим к выводу, что школьник готовился не меньше семи и не больше девяти дней, т.к. 5 ⋅ 6 < 31, а 4 ⋅ 10 > 37.
Рассматривая задачи, приходим к выводу, что школьник готовился не меньше пяти и не больше восьми дней, т.к. 6 ⋅ 4 < 28, а 5 ⋅ 9 > 42.
Итого, возможными вариантами, удовлетворяющими всем условиям, остаются 7 или 8 дней. На каждый из этих вариантов строится пример.