d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Упростите выражение $\displaystyle \frac{\sqrt{a-2 \sqrt{a-1}}}{1-\sqrt{a-1}}$ при $a>2$.

Ответ: −1.
Решение:
Преобразуем подкоренное выражения в числителе – прибавим и вычтем 1, выделим полный квадрат:
$ a-2 \sqrt{a-1}=a-1 − 2 \sqrt{a-1}+1=(\sqrt{a-1}-1)^2 $
$\displaystyle \frac{\sqrt{a-2 \sqrt{a-1}}}{1-\sqrt{a-1}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{a-1}-1)^2}}{1-\sqrt{a-1}}=\frac{\mid(\sqrt{a-1}-1 \mid}{1-\sqrt{a-1}} $
Т.к. по условию $a>2$, то $a-1>1$, $\sqrt{a-1}>1$, $\sqrt{a-1}-1>0$, $|\sqrt{a-1}-1|=\sqrt{a-1}-1$.
Значит, $\displaystyle \frac{|\sqrt{a-1}-1|}{1-\sqrt{a-1}}=\frac{\sqrt{a-1}-1}{1-\sqrt{a-1}}=-1$.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
На какую цифру оканчивается произведение всех чисел, делящихся на 2017 и меньших 20170?

Ответ: 0.
Решение:
Поскольку среди этих чисел есть число 2017⋅2 и 2017⋅5, то в искомом произведении будет множитель 10.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Во сколько раз увеличится трёхзначное число, если написать его два раза подряд?
(А) 2
(Б) 100
(В) 101
(Г) 1000
(Д) 1001

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
На прямой отмечено несколько точек так, что среди расстояний между ними встречаются 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см, 7 см и 8 см. Какое самое маленькое число точек может быть отмечено?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
В клетчатом квадрате закрасили одну клеточку. Эта клеточка в своей строчке третья слева и вторая справа, а в своём столбике она четвёртая сверху. Какая она по порядку в этом столбике снизу?
(А) первая
(Б) вторая
(В) третья
(Г) четвёртая
(Д) пятая

Ответ: А
Зимняя олимпиада «Систематики», 6-7 класс, 2020 год

Задача:
Красная Шапочка вышла из дома в 9-00 и пошла к бабушке по тропинке через лес. По дороге она иногда шла быстрее, а иногда медленнее. Иногда она делала остановку, чтобы отдохнуть. Ровно в 12-00 она пришла к бабушке. На следующий день она вышла в 9-00 и пошла домой по той же тропинке. Она опять шла с разной скоростью и иногда отдыхала. И ровно в 12-00 пришла домой. Обязательно ли на тропинке есть такое место, в котором она была в одно и то же время в первый и во второй день?

Ответ: да, такое место есть.
Решение:
В 9 часов утра Красная Шапочка выходит из бабушкиной избушки, направляясь к себе домой. Представим себе, что в этот самый момент другая, гипотетическая Красная Шапочка, выходит из своего дома и направляется к бабушке. Причём идёт точно так же, как сутки назад шла настоящая Красная Шапочка: по той же тропинке, с той же скоростью, там же ускоряясь, замедляясь, там же останавливаясь на отдых. То есть в каждый момент она находится именно в том месте, где была накануне настоящая Красная Шапочка. Есть какой-нибудь шанс этим двум девочкам, настоящей и гипотетической, разминуться? Нет, они обязательно где-нибудь встретятся. Ведь они идут по одной и той же тропинке в один и тот же интервал времени навстречу друг другу. В какой-то момент и в каком-то месте они обязательно встретятся, и это как раз и будет то самое место, где Красная Шапочка была в одно и то же время в первый и во второй день.
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2019 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Фермер Хуан при учете урожая обнаружил, что:
- З мешка моркови и 4 ведра гороха весят столько же, сколько 7 мешков картошки
- З мешка моркови и 7 вёдер гороха весят столько же, сколько 9 мешков картошки

Известно, что один мешок картошки весит 9 килограммов.
Сколько килограммов вместе весят 2 мешка картошки и 2 ведра гороха?

Ответ: 30 кг.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Имеется семь последовательных натуральных чисел. Сумма первых трёх равна 33. Чему равна сумма последних трёх?
(А) 45
(Б) 42
(В) 39
(Г) 37
(Д) 36

Ответ: (А) 45
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Маша разделила восемь чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на две четвёрки с равными суммами. При этом числа 1 и 3 оказались в одной четвёрке. Тогда в ней же оказалось и число
(А) 2
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2017 год, первая лига

Задача:
У троих братьев всего 10 хлопушек. У старшего – больше всех, а у младшего – меньше всех. Если забрать у старшего столько, сколько есть у младшего, то у старшего останется 3 хлопушки. Сколько хлопушек было у каждого брата?

Ответ: 2, 3, 5.
Решение:
2, 3, 5. 1 и 4 – мало. 3 и 6 – много.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2016 год

Задача:
Обычно Малыш перед сном смотрит по телевизору 5 мультиков. Но если Малыш шалит днём, Фрекен Бок запрещает ему смотреть некоторые мультики. За показывание языка Фрекен Бок Малыш лишается мультиков №1, 2 и 3. За таскание плюшек – мультиков №2, 4 и 5. За гуляние по крыше – мультиков №1 и 5. За взрыв паровой машины – мультиков №1 и 4. За игру с котом – мультика №5. Утром Малыш решил, что хочет сегодня посмотреть хотя бы один мультик. Какое наибольшее количество шалостей из перечисленных может позволить себе Малыш в этот день?

Ответ: Малыш может позволить себе 4 шалости из 5.
Решение:
Заметим, что если Малыш шалит без ограничений, то ни одного мультика посмотреть не удастся. Значит, если он хочет посмотреть хотя бы один мультик, то шалить можно не более 4 раз. Мультика №3 можно лишиться только, если показать язык Фрекен Бок. Следовательно, если делать всё, кроме этого, то мультик №3 точно посмотреть получится.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
В сидячем вагоне поезда стоят трёхместные скамейки для пассажиров: 20 рядов по 2 скамейки. Костя заметил, что на каждом ряду сидит 3 или 5 человек. Потом Костя подсчитал, на скольких скамейках сидит 3 человека и на скольких один человек. Найдите сумму Костиных чисел.

Если на двух трехместных скамейках сидит 5 человек, то это возможно, только если на одной скамейке сидит 2 человека, а на другой 3. Значит, Костя при подсчёте учтёт в этом ряду одну скамейку. Если же на двух скамейках сидит три человека, то возможны два варианта: на одной скамейке три человека, а на другой ноль, либо на одной скамейке два человека, на другой один. Как видим, в обоих случаях и в этом ряду при подсчёте Костя учтёт ровно одну скамейку. Таким образом, результат Кости равен числу рядов — 20.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Мама сказала Фоме: «Если завтра утром будет дождь, то папа отвезет тебя в школу на машине». Что должен сделать утром Фома, который считает ложью все, что ему говорят?
(А) раскрыть зонт и сесть в машину
(Б) раскрыть зонт и пойти пешком
(В) пойти в школу пешком без зонта
(Г) сесть в машину без зонта
(Д) ничего из перечисленного

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2004. Тогда уменьшаемое равно:
(А) 1002
(Б) 501
(В) 384
(Г) 204
(Д) 167

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Каждый раз, когда Буратино врёт, его нос удлиняется на 6 см, а если он говорит правду — укорачивается на 2 см. Вчера за день его нос менял длину 5 раз, и в итоге удлинился на 6 см. Сколько раз за этот день Буратино соврал?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: 2
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2015 год

Задача:
На Острове Невезения мальчики всегда говорят правду, а девочки всегда лгут. На этом острове жила семья с трёмя детьми. Однажды они собрались вместе и заявили:
- Саша: «У меня две сестры».
- Женя: «И у меня две сестры».
- Валя: «А у меня два брата».

Сколько мальчиков и сколько девочек в этой семье? (Замечание: имена Саша, Женя и Валя могут носить как мальчики, так и девочки).

Ответ: 1 мальчик и 2 девочки.
Решение:
Поскольку утверждения противоречивы, они не могут быть все истинны. Значит, есть хотя бы одна девочка. Если 1 девочка, то мальчики должны сказать «У меня 1 сестра и 1 брат». Этого не прозвучало. Но девочек не может быть и 3, так как тогда было бы верно «У меня две сестры», а по условию девочка это сказать не может. Вариант 2 девочки (например, Саша и Валя) и мальчик подходит.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2023 год

Задача:
Гермиона, Гарри и Рон всегда входят в комнату в одно и то же время. Гермиона никогда не заходит первая, Гарри никогда не заходит вторым, а Рон никогда не заходит третьим. Сколько вариантов войти в комнату для них возможно?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 6

Ответ: Б
Решение:
Если Гермиона заходит второй, тогда Гарри должен быть третьим, а Рон первым. Если Гермиона заходит третьей, Гарри должен быть первым, а Рон вторым. Следовательно, возможны только два варианта.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Коле и Оле сейчас вместе 30 лет. Оле сейчас в 4 раза меньше лет, чем будет Коле тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Коле сейчас. Сколько лет сейчас Коле?

Ответ: 18 лет.
Решение:
Сейчас Оле x лет, a Коле 30 − x.
Коле будет 4x. Вместе им будет 5⋅(30 − х), значит, Оле будет 5⋅(30 − x) − 4x.
Пройдёт одно и тоже число лет:
4х − (30 − х) = (5⋅(30 − х) − 4х) − х
4х − 30 + х = 150 − 5х − 4х − х
15х = 180
x = 12
Оле сейчас 12 лет, а Коле 30 − 12 = 18 лет.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2019 год, 1 этап

Задача:
Через три часа будет 9 часов. Сколько часов было два часа назад?

Ответ: 4 часа.
Решение:
Если через три часа будет 9 часов, значит, сейчас 9 − 3 = 6 часов. Сейчас 6 часов, а два часа назад было 6 − 2 = 4 часа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
При зачёркивании последней цифры натурального числа а (большего 9) получается число b. Каково наибольшее возможное значение дроби a / b ?
(А) 9
(Б) 10
(В) 19
(Г) 19,5
(Д) 20

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Абитуриент Сибирского федерального университета спросил в лесу на развилке дорог у трёх зверят: зайчонка, лисёнка и бельчонка – дорогу в университет (он знает, что путь ровно один).
- Первый сказал: «Налево».
- Второй сказал: «Первый указал неверную дорогу, «Необходимо идти направо».
- Третий сказал: «Первый указал неверную дорогу», «Второй оба раза сказал неправду», «Прямо».

Известно, что лисёнок всегда лжёт, бельчонок всегда говорит правду, а зайчонок говорит правду или ложь, чередуя их, начиная либо с правды, либо со лжи. Определите, в каком порядке отвечали зверята, и куда стоит идти абитуриенту, чтобы оказаться в университете?

Ответ: Налево. Первым был бельчонок, второй – лисёнок, а третьим – зайчонок.
Решение:
Обозначим первого, второго и третьего зверят 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼 соответственно.
Если 𝐼 солгал, то 𝐼𝐼 и 𝐼𝐼𝐼 первыми высказываниями сказали правду; это значит вдобавок, что 𝐼𝐼𝐼 вторым утверждением солгал. Значит, 𝐼𝐼𝐼 может быть только зайчонком (и в третий раз говорит правду), а 𝐼𝐼 тогда – бельчонок. Но их последние высказывания противоречат друг другу, что невозможно. Значит, 𝐼 сказал правду. Тогда первые высказывания зверят 𝐼𝐼 и 𝐼𝐼𝐼 ложны. Более того, 𝐼𝐼 солгал и во второй раз, ибо указал неверный путь; значит, 𝐼𝐼 – лисёнок. Поскольку 𝐼𝐼𝐼 лгал хотя бы раз, он – не бельчонок.
Итого 𝐼𝐼𝐼 – зайчонок, 𝐼 – бельчонок, правильный путь – налево, и зайчонок действительно солгал только в первый и третий раз.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Пусть E(n) — сумма нечётных цифр числа n. Например, Е(82) = 0, Е(7) = 7, Е(3245) = 3 + 5 = 8. Найдите Е(1) + Е(2) + … + Е(100).
(А) 359
(Б) 400
(В) 500
(Г) 501
(Д) 721

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на дуэли с трёмя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с трёмя герцогами и двумя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими маркизами сразился каждый граф?

Ответ: С 6 маркизами.
Решение:
Пусть в королевстве $x$ графов, $y$ герцогов и $z$ маркизов. Каждый граф сразился с трёмя герцогами, поэтому между графами и герцогами было 3$x$ дуэлей. Но каждый герцог сразился с двумя графами, значит, этих дуэлей было 2$y$. Тогда 3$x$ = 2$y$.
Каждый герцог сразился с шестью маркизами. Значит, дуэлей между герцогами и маркизами было 6$y$. Каждый маркиз сразился с трёмя герцогами, поэтому этих дуэлей было 3$z$. Тогда 6$y$ = 3$z$, откуда $z$ = 2$y$ = 3$x$.
Каждый маркиз сразился с двумя графами, поэтому дуэлей между графами и маркизами было 2$z$ = 6$x$. Значит, каждый граф сразился с шестью маркизами.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью — 1 очко, а за поражение — 0 очков. Команда сыграла 38 матчей и получила 80 очков. Какое наибольшее число раз эта команда могла проиграть?
(А) 12
(Б) 11
(В) 10
(Г) 9
(Д) 8

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Какое число надо удалить из набора 1, 2, 3, …, 9, чтобы наименьшее общее кратное оставшихся чисел было самым маленьким из возможных?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2016 год

Задача:
У Вани, Тани и Оли есть 12 одинаковых по форме шариков: несколько жёлтых, несколько синих и несколько красных. Они разложили шарики по 4 штуки в три одинаковых пакета.
- Ваня сказал: «Смотрите, ни в одном пакете нет трёх одинаковых шариков!»
- Таня сказала: «Верно. Но и трёх разных шариков тоже нет ни в одном пакете!»
- Оля сказала: «И все пакеты получились разными!».

Все трое были правы. Обязательно ли в каком-то пакете лежит два жёлтых и два красных шарика? Объясните подробно свой ответ.

Ответ: Да, обязательно.
Решение:
В каждом пакете есть шарики разных цветов, иначе Ваня был бы не прав. Но шариков трёх разных цветов не может быть ни в одном пакете, иначе была бы не права Таня. Значит, в каждом пакете есть шарики ровно двух цветов: 2 шарика одного цвета и 2 шарика другого цвета (так как трёх шариков одного цвета быть не может). Все пакеты получились разными, поэтому пара цветов в каждом пакете должна отличаться от пары цветов в другом пакете. Значит, в одном пакете было два жёлтых и два синих шарика, в другом — два синих и два красных шарика, а в третьем — два жёлтых и два красных шарика.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2015 год

Задача:
Существует ли натуральное число, кратное 2015, сумма цифр которого равна 2015?

Ответ: Существует.
Решение:
Достаточно привести один пример такого числа. Покажем пару способов, как можно получать такие примеры.
Пример 1.
Заметим, что 10075 = 2015 ⋅ 5, сумма цифр числа 10075 равна 13. Тогда число $\underbrace{1007510075\ldots10075}_{155 \text{ раз}}$ кратно 2015, а сумма его цифр равна 13 ⋅ 155 = 2015.
Пример 2.
Сумма цифр числа 2015 равна 8, сумма цифр числа 4030 = 2015 ⋅ 2 равна 7. Представим число 2015 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых кратно семи, а другое – восьми. Например, 2015 = 7 + 8 ⋅ 251. Тогда число $4030\underbrace{20152015.2015}_{251 \text{ раз}}$ кратно 2015, и сумма его цифр равна 2015.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Чему равно число 9999994 ⋅ 9999995 − 9999990 ⋅ 9999999?
(А) 0
(Б) 20
(В) 180
(Г) 990
(Д) 9999990

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок выкладывает из собранных орехов контур треугольника, у которого каждая сторона, включая вершины, содержит одно и то же число орехов. Оказалось, что из этого же числа орехов бельчонок мог выложить и контур квадрата со стороной на 6 орехов меньше, чем сторона треугольника. Сколько орехов собрал бельчонок?

Ответ: 72 ореха.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Папа купил щенка и предложил детям угадать его породу и цвет. Саша сказал, что это чёрный пудель, Паша — что это белая болонка, а Маша — что это белый бультерьер. Каждый из ребят ошибся ровно в одном: в породе или в цвете. Какого щенка купил папа?
(А) белого пуделя
(Б) чёрного бультерьера
(В) чёрную болонку
(Г) чёрного пуделя
(Д) белую болонку

Ответ: А
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2018 год, 1 этап

Задача:
В поезде 10 вагонов. Маша едет в пятом вагоне от начала поезда, а Даша — в пятом вагоне от его конца. Едут ли они в одном вагоне? Да или нет.

Ответ: нет.
Решение:
Пятый вагон от начала не совпадает с пятым вагоном от конца. Они едут в разных вагонах.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2007 год

Задача:
Запиши любое четырёхзначное число, в записи которого есть три разные цифры и две одинаковые.

Ответ: например 2023.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2014 год

Задача:
Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролётов лестницы между всеми этажами одинаковы).

Ответ: За 12 секунд.
Решение:
Между первым и четвёртым этажами 3 пролёта, а между пятым и первым — 4. Согласно условию, Петя 4 пролёта пробегает на 2 секунды дольше, чем мама едет на лифте, а три пролёта — на 2 секунды быстрее мамы. Значит, за 4 секунды Петя пробегает один пролёт. Тогда с четвёртого этажа на первый (т.е. на 3 пролёта) Петя сбегает за 4 ⋅ 3 = 12 секунд.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2016 год, первая лига

Задача:
В телепрограмме время записывается 4 цифрами (например, 15:30 означает 15 часов и 30 минут). Так случилось, что начало и конец мультфильма записаны восемью разными цифрами. Сколько минимум минут мог идти мультфильм?

Ответ: 36
Решение:
Пример 19:58-20:34. Если время начала мультфильма не 09 или 19 часов, то его длительность будет больше 1 часа, т.к. такие смежные часы (например, 07 и 08) будут иметь одинаковую цифру. Варианты 09 и 10, 23 и 00, также не подходят для минимального варианта. Значит точно 19:__ - 20:__. Цифры 0,1,2 уже задействованы, значит, минимальное количество минут конца мультфильма - 34, отсюда и получаем минимальный вариант.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Знайка, Незнайка, Винтик и Шпунтик съели торт. Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трём другим едокам, чтобы, «работая» вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: (Б) 3
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Четырехзначное число $\overline{abcd}$ не делится на 10, а сумма чисел $\overline{abcd}$ + $\overline{acbd}$ делится на 900. Какой остаток получится при делении числа $\overline{abcd}$ на 90?

Ответ: 45.
Олимпиада «Осенний Олимп», 5 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Колонна из 99 автомобилей движется по шоссе со скоростью 16 м/с. Все автомобили абсолютно дисциплинированные — никто никого не обгоняет — и абсолютно одинаковые — длина каждого из них 4 метра.
Во время движения дистанция между соседними автомобилями ровно 10 метров, но если какой-либо автомобиль останавливается, то едущий за ним должен подъехать и остановиться на расстоянии двух метров от него. По пути колонна встретила светофор, который горел красным до тех пор, пока вся колонна не остановилась.
Сколько времени прошло между моментом, когда остановился первый автомобиль колонны, и моментом, когда остановился последний автомобиль? Считать, что останавливается автомобиль мгновенно.

В тот момент, когда первый автомобиль остановился, остальная часть колонны (включая пространство между первым автомобилем и вторым) занимала 98 ⋅ (10 + 4) метров.
В тот момент, когда все остановились, эта же часть колонны стала занимать 98 ⋅ (2 + 4) метров.
Колонна сжимается только с конца со скоростью 16 метров в секунду. Поэтому она сожмётся на 98 ⋅ (10 + 4 – 2 – 4) = 98 ⋅ 8 метров за 98 ⋅ 8 / 16 = 49 секунд.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна 4, а произведение цифр равно 0?
(А) 9
(Б) 12
(В) 15
(Г) 18
(Д) 19

Ответ: Д
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Яблоко и два апельсина тяжелее двух груш, а два апельсина легче груши. Расположите фрукты в порядке убывания веса.
Например, если апельсин тяжелее груши, а груша тяжелее яблока, в ответе напишите АГЯ (без пробелов).

1) А + А < Г (дано)
2) А + А + Я < Г + Я (добавим по яблоку)
3) А + А + Я > Г + Г (дано)
4) Г + Я > Г + Г (из двух предыдущих строчек)
5) Я > Г (уберём по груше)
Отсюда следует, что яблоко тяжелее груши, которая, в свою очередь, тяжелее апельсина (поскольку весит больше, чем два апельсина).
Ответ: ЯГА.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
У четырёх ребят дома есть питомцы: кошка, собака, рыбка или попугай (у всех разные). У Маши — пушистое животное, у Феди — животное с 4 лапами, у Наташи — умеет летать. У Жени и Маши не кошка. Определите, кто у кого живёт?

У Наташи питомец умеет летать — значит, у неё попугай. У Маши животное с пушистое, но у неё не кошка, значит, у неё собака (даже если подумать, что попугай пушистый, он всё равно может быть только у Наташи). У Феди животное с 4 лапами, значит, у него кошка (так как собака у Маши). Остаётся только рыбка, она у Жени.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Сколько существует различных двузначных чисел, у которых цифра десятков на 5 меньше, чем цифра единиц?

Ответ: 4 числа.
Решение:
Перебор.
В разрядах десятков и единиц двузначного числа стоят цифры. Двузначное число не может начинаться с 0.
1. Если цифра десятков 1, то цифра единиц 1 + 5 = 6, а двузначное число 16.
2. Если цифра десятков 2, то двузначное число 27.
3. Если цифра десятков 3, то двузначное число 38.
4. Если цифра десятков 4, то двузначное число 49.
5. Если цифра десятков 5, то в разряде единиц 5 + 5 = 10 — не подходит.

Перебор закончен. Получили 4 числа: 16, 27, 38, 49.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Число a в полтора раза больше, чем число b. На сколько процентов a больше, чем b?
(А) на 30 %
(Б) на 50%
(В) на 100%
(Г) на 150%
(Д) ответ зависит от чисел a и b

Ответ: (Б) на 50%
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
С полуночи до полудня Ученый Кот рассказывает сказки, а с полудня до полуночи – спит под дубом. На дубе том висит плакат: «Два часа назад Кот делал то же самое, что будет делать через час». В какой из указанных моментов времени надпись на плакате верна?
(А) 1:30
(Б) 23:30
(В) 0:30
(Г) 22:30
(Д) 13:30

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
22 марта Наташа сказала: «Позавчера оставалась неделя до моего дня рождения». Когда она будет вспоминать, что неделю назад был её день рождения?
(А) 27 марта
(Б) 29 марта
(В) 2 апреля
(Г) 3 апреля
(Д) 5 апреля

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Какое из неравенств А-Г обязательно верно, если a > 5 и a − b < 3?
(А) b > 2
(Б) b < 2
(В) b < 8
(Г) b > 8
(Д) ни одно из неравенств А-Г не обязано выполняться

Ответ: (А) b > 2
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Катя старше Ани, но младше Тани. Маша младше Тани, но старше Кати. Оля младше Кати, но старше Ани. Даша младше всех. Кто из них старше всех?

Ответ: Таня.
Решение:
КА
ТКА
ТМКА
ТМКОА
ТМКОАД
Младше всех Даша, затем идут Аня, Оля, Катя, Маша и Таня. Таня старше всех.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2018 год

Задача:
На доске в ряд выписаны цифры:
1 1 1 2 2 2 5 5 5
Между ними можно расставить несколько плюсов, чтобы получившийся результат заканчивался на цифру один:
1 + 1 + 12 + 2 + 25 + 5 + 5 = 51
А как можно расставить несколько плюсов, чтобы получившийся результат заканчивался на ноль? Достаточно привести пример.

Ответ: 111 + 22 + 2 + 555 = 690.
Замечание: Существует множество других верных примеров.