d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
На острове живут 200 аборигенов: 100 рыцарей, которые говорят исключительно правду, и 100 лжецов, которые всегда лгут. У каждого из жителей острова есть хотя бы один друг. Как-то 100 жителей острова одновременно сказали: «Каждый мой друг — рыцарь». В этот же момент остальные 100 жителей сказали: «Каждый мой друг — лжец». Какое наименьшее количество пар, состоящих из рыцаря и лжеца, которые дружат между собой, может быть на острове? Один и тот же абориген может входить в несколько разных пар.

Меньше 50 таких пар быть не может. Действительно, среди тех 100 аборигенов, кто сказал, что все их друзья – лжецы, есть или хотя бы 50 рыцарей, или по крайней мере 50 лжецов. В первом случае у каждого из 50 рыцарей действительно есть хотя бы по одному другу-лгуну, образующих с ними по крайней мере 50 пар. Во втором случае каждый из 50 лжецов имеет хотя бы одного друга-рыцаря, поскольку на самом деле не все его друзья является лжецами. И здесь есть не менее 50 пар.
Количество пар может быть 50. Такой она будет, если, например, рыцарь 1 дружит с лжецом 1, рыцарь 2 дружит с лжецом 2, . . . , рыцарь 50 дружит с лжецом 50, рыцари 51-100 дружат между собой, лжецы 51-100 дружат между собой и больше никто ни с кем не дружит. В таком случае фразу «Каждый мой друг – лжец» скажут первые 50 рыцарей и первые 50 лжецов, а фразу «Каждый мой друг – рыцарь» – остальные аборигены.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2023 год

Задача:
По зову дядьки Черномора явились 33 богатыря: каждый либо пешком, либо на коне. Каждый приехавший на коне богатырь взял с собой копьё. Пешком пришли 11 богатырей, а копьё не взяли 3 богатыря. На сколько число пеших богатырей с копьём меньше, чем богатырей, приехавших на коне?

Ответ: На 14.
Решение:
Всего 33 − 11 = 22 богатыря приехали на коне. По условию задачи мы знаем, что все они взяли с собой копья. Отсюда следует, что 3 богатыря, которые пришли без копья, явились пешком. И тогда пеших богатырей с копьём было 11 − 3 = 8.
Теперь нетрудно вычислить ответ: 22 − 8 = 14 — именно на столько пеших богатырей с копьём меньше, чем богатырей, приехавших на коне.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Дату записывают восемью цифрами. Например, 25.06.1987 — 25 июня 1987 года. Заметим, что в записи этой даты ни одна цифра не повторяется дважды. Какими будут первые две цифры в записи следующей даты с таким же свойством?
(А) 08
(Б) 12
(В) 17
(Г) 23
(Д) 25

Ответ: 17
Решение:
Проверкой убеждаемся, что все числа июня (26, 27, 28, 29 и 30 июня) не подходят. Не подходит также весь июль (07), т.к. цифра 7 уже занята в номере года. Аналогично не подходят август (08), сентябрь (09), октябрь (10), ноябрь (11) и декабрь (12) 1987 года. Не подходит полностью 1988 год (содержит две одинаковые цифры), и так далее.
Ближайшая дата, которая подойдёт, это 17.06.2345.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 6 тур

Задача:
На школьной дискотеке Василий, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Василием, Аня — с одноклассником Наташи, Николай — с одноклассницей Владимира, а Владимир — с Олей. Кто с кем учится в одном классе?

Посмотрим, кто с кем танцевал. Из условия ясно, что Оля танцевала с Владимиром, Лена с Василием. Остаётся 2 мальчика и 2 девочки. Предположим Аня танцевала с Алексеем, тогда Наташа танцевала с Николаем. Из условия понятно, что тогда Алексей – одноклассник Наташи. И так как Николай танцевал с одноклассницей Владимира, то Наташа – одноклассница Владимира. Тогда Владимир и Алексей – одноклассники, а это противоречит условию, что все мальчики из разных классов. Тогда предположим, что Аня танцевала с Николаем, а Наташа с Алексеем. Известно, что Аня танцевала с одноклассником Наташи, значит Николай – одноклассник Наташи. Раз Николай танцевал с одноклассницей Владимира, то Аня – одноклассница Владимира. Если мальчики не танцевали со своими одноклассницами, то одноклассник Лены – Алексей. Выходит, Одноклассник Оли – Василий.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 6 тур

Задача:
В интернате 10 жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой из этих комнат и уносят её в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. Какое наибольшее количество дверей могло оказаться в подвале после того, как все проснулись?

Заметим, что каждый проснувшийся житель меняет чётность количества дверей в подвале. Значит, после 10 проснувшегося жителя количество дверей в подвале будет чётным. Если первым проснулся житель комнаты 𝐴 и снял дверь с комнаты 𝐵, то, когда проснется человек 𝐵, количество дверей в подвале уменьшится на 1. Таким образом, все 10 дверей не могут оказаться в подвале, а значит, там будет не более 8 дверей. Пусть жильцы просыпаются, например, в таком порядке: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; и относят в подвал двери в таком: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Последний просыпается житель комнаты № 1 и приносит себе дверь из подвала.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
На столе лежит много карточек, на каждой из них написано одно из трёх чисел: 3, 13 или 31. Какое самое маленькое количество карточек нужно взять, чтобы сумма всех чисел на них была равна 104?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: (В) 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
В 2009 году мэром в Цветочном городе был Незнайка. В результате цены выросли на 10000%. Во сколько раз выросли цены?
(А) 10000
(Б) 1001
(В) 999
(Г) 101
(Д) 100

Ответ: (Г) 101
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Запишите наименьшее четырёхзначное число, которое делится на 10, сумма цифр которого равна 5.

Ответ: 1040.
Решение:
Четырёхзначное число не может начинаться с нуля.
Число делится на 10, значит, оканчивается нулём.
Сумма цифр числа: 1 + 0 + 4 + 0 = 5.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 64°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.

Ответ: 84° или 93°.
Решение:
Рассмотрим треугольник $ABP$. Угол $APB$ в нём может быть 64° или 58°. Тогда смежный $\angle APO$ составляет 116° или 122°. Значит, в треугольнике $APO$ это угол при вершине и $\angle AOP$ составляет 32° или 29°.
Проведём аналогичные рассуждения для треугольников $DQE$ и $EQO$, получим, что $\angle QOE$ также составляет 32° или 29° в зависимости от $\angle DQE$. Но $\angle QOE$ = $\angle AOP$, как вертикальные, значит $\angle APB$ = $\angle DQE$. Тогда $\angle ACE$ = 360° − $\angle CPO$ − $\angle CQO$ − $\angle POQ$ = 360° − $\angle APB$ − $\angle DQE$ − $\angle AOE$, что составляет 84° или 93°.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Три воздушных шарика стоят на 12 рублей больше, чем один шарик. Сколько стоит один шарик?
(А) 4 руб.
(Б) 6 руб.
(В) 8 руб.
(Г) 10 руб.
(Д) 12 руб.

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 2 тур

Задача:
В 5Ю классе мальчиков столько же, сколько девочек. Известно, что у каждого школьника либо 6, либо 7 друзей в этом классе. Однажды все, у кого 6 друзей, подарили своим друзьям по шоколадке, а все, у кого 7 друзей, подарили всем своим друзьям по открытке. Маша сосчитала, что общее число подаренных шоколадок равно общему числу подаренных открыток. Сколько человек в классе, если все умещаются в кабинете с 20-ю двойными партами?

Ответ: 26 человек.
Решение:
Пусть тех, у кого ровно 6 друзей, х человек, тогда тех, у кого ровно 7 друзей, N − х человек, где N − количество человек в классе. Тогда 6х = 7(N−х), откуда 13х = 7N. Следовательно, число человек в классе кратно 13: 13, 26, 39, 52, … . Так как в классе мальчиков столько же, сколько девочек, то всего учеников чётное количество. Так как парт 20, то их не больше 40. Отсюда подходит ровно одно число: 26.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Число $\sqrt{1 + 2005\sqrt{1 + 2004\sqrt{1 + 2003⋅2001}}}$ равно:
(А) 2002
(Б) 2003
(В) 2004
(Г) 2005
(Д) 2006

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
В марте кот Тоша проспал ровно 2 недели. Сколько часов он бодрствовал в этом месяце?
(А) (31 − 7) ⋅ 2 ⋅ 24
(Б) (31 − 7 ⋅ 2) ⋅ 24 ⋅ 60
(В) (30 − 7 ⋅ 2) ⋅ 24
(Г) (30 − 7 ⋅ 2) ⋅ 24 ⋅ 60
(Д) (31 − 7 ⋅ 2) ⋅ 24

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Однажды на церемонии закрытия университетской олимпиады школьников «Бельчонок» по математике каждого победителя наградили трёмя подарками, каждого призёра II степени – двумя подарками, каждого призёра III степени – одним подарком. Председатель жюри заметил, что если бы победителям вручали по одному подарку, призёрам II степени – по 3 подарка, а призёрам III степени – по 2 подарка, то потребовалось бы ещё 17 подарков. Сколько учащихся суммарно стали призёрами II и III степеней, если победителей было 9?

Ответ: 35 учащихся.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В шахматном турнире участвовали 52 бельчонка-шахматиста. Перед обеденным перерывом на турнире было сыграно 64 партии, причём каждый бельчонок сыграл либо 2, либо 3 партии и никто из бельчат не играл друг с другом дважды. Возможно ли, что никакие два бельчонка, сыгравшие по 3 партии, не играли между собой?

Ответ: Нет.
Решение:
Пусть к рассматриваемому моменту турнира $x$ участников сыграло по три партии, а $(52 − x)$ – по две партии. Поскольку в каждой партии участвуют два шахматиста, то суммарное количество сыгранных к этому моменту партий равно $\displaystyle \frac{3x + 2(52 − x)}{2}$. Из уравнения $\displaystyle \frac{3x + 2(52 − x)}{2} = 64$ находим $x$ = 24. Предположим, теперь, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все игры, которые они провели, были сыграны с шахматистами, сыгравшими по две партии. Таких игр 3 · 24 = 72 > 64, что противоречит условию задачи.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
В банке с компотом плавают сливы и абрикосы. Сливы составляют 40% всех фруктов. Вася выловил из банки несколько слив и съел их. Теперь оставшиеся сливы составили 20% всех фруктов в банке. Сколько процентов всех слив съел Вася?
(А) 20%
(Б) 62,5%
(В) 50%
(Г) 60%
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Имеется 6 палочек с длинами 2, 4, 4, 10, 22, 37 см. Сколько различных равнобедренных трапеций можно сложить, каждый раз используя все палочки?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Царевна Несмеяна живёт в высоком тереме. Подоконник её комнаты находится на 3 метра ниже крыши. От земли до крыши 23 метра.
Иван залез уже на 4 метра. На сколько ещё метров ему надо забраться, чтобы положить цветы для Несмеяны на подоконник?

Ответ: 16 метров.
Решение:
Подоконник расположен в 23 − 3 = 20 метрах от земли.
Поэтому Ивану осталось лезть 20 − 4 = 16 метров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых цифры увеличиваются слева направо, а произведение всех цифр делится на 81?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Тетрадка стоит 10 рублей. Восемь детей купили тетрадки, у каждого осталось разное количество рублей (не нулевое), но ни у кого не хватало на ещё одну тетрадку. Дети сложили оставшиеся рубли, и их хватило в точности ещё на несколько тетрадок. Сколько денег оставалось у каждого из детей до складывания?

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
Решение:
Возьмём все возможные ненулевые остатки при делении на 10: 1, 2, ..., 9. Сумма всех 9 остатков равна 45. Надо исключить один остаток так, чтобы сумма оставшихся была кратна 10. Очевидно, есть только одна возможность: исключить остаток 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Робот выполняет одну операцию: натуральное число n он заменяет на сумму n + k, где k — наибольший делитель числа n, отличный от n. Робот начинает с чётного числа n, не кратного 4. Какое число получится после 10 шагов?
(А) 10n
(Б) 5n
(В) 3n
(Г) $\displaystyle \frac{41}{2}$n
(Д) $\displaystyle \frac{81}{2}$n

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Маша старше Миши ровно на один месяц (дни их рождения приходятся на одно и то же число в двух соседних месяцах), а Даша старше Миши на столько же дней, на сколько Маша старше Даши. В каком месяце не могла родиться Даша?
(А) в апреле
(Б) в мае
(В) в июле
(Г) в августе
(Д) в декабре

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Костя играет в настольную игру, ему надо пройти 11 пунктов. При прохождении каждого пункта к его сумме баллов прибавляется какое-нибудь число, положительное, отрицательное, или 0. Костя заметил, что сумма чисел, полученная при прохождении любых четырёх пунктов подряд, отрицательна. Может ли сумма всех 11 чисел быть положительной?

Ответ: Да, может.
Решение:
Пример. Возьмем числа 17, −6, −6, −6, 17, −6, −6, −6, 17, −6, −6. Сумма любых четырёх подряд равна −1, а сумма всех 11 чисел равна 3.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Число-палиндром — это число, которое не меняется при записывании его цифр в обратном порядке. Чему равна разность между самым большим шестизначным палиндромом и самым маленьким пятизначным палиндромом?
(А) 989989
(Б) 988888
(В) 989998
(Г) 998998
(Д) 999988

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Лиса Алиса и кот Базилио пришли в харчевню «Трёх пескарей», заказали обед и дали хозяину 10 золотых. Тот в качестве сдачи вернул им столько денег, сколько стоил обед. Лиса заметила, что хозяин дал им на 2 золотых меньше, чем нужно. Сколько денег он должен был вернуть им на самом деле?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) другой ответ

Ответ: 6
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2018 год

Задача:
Вычислите:
$\displaystyle \left(\frac{1 + 2}{3} + \frac{4 + 5}{6} + \frac{7 + 8}{9} + \ldots + \frac{2017 + 2018}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right)$.

Ответ: 1346.
Решение:
Имеем:
$\displaystyle \left(\frac{1 + 2}{3} + \frac{4 + 5}{6} + \frac{7 + 8}{9} + \ldots + \frac{2017 + 2018}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) = $
$\displaystyle = \left(\frac{(3 − 2) + (3 − 1)}{3} + \frac{(6 − 2) + (6 − 1)}{6} + \frac{(9 − 2) + (9 − 1)}{9} + \ldots \right.$
$\displaystyle \left. \ldots + \frac{(2019 − 2) + (2019 − 1)}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) = $
$\displaystyle = \left(\frac{(3 + 3) − (2 + 1)}{3} + \frac{(6 + 6) − (2 + 1)}{6} + \frac{(9 + 9) − (2 + 1)}{9} + \ldots \right. $
$\displaystyle \left. \ldots + \frac{(2019 + 2019) − (2 + 1)}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) = $
$\displaystyle = \left(2 − \frac{3}{3} + 2 − \frac{3}{6} + 2 − \frac{3}{9} + \ldots + 2 − \frac{3}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) = $
$\displaystyle = 2⋅673 − \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right) = $
$ = 2⋅673 = 1346$.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин ели торт (весь торт в итоге был съеден). Дядя Фёдор съел в два раза меньше, чем Печкин, а кот Матроскин съел в два раза меньше, чем та часть торта, которую не съел Печкин. Какую долю торта съел почтальон Печкин, если Шарик съел лишь десятую часть торта? (Ответ запишите в виде десятичной дроби.)

Ответ: 0,4.
Решение:
Пусть $x$ — доля торта, съеденная Печкиным. Тогда дядя Фёдор съел $\frac{x}{2}$, а кот Матроскин — $\frac{1-x}{2}$. То есть они вместе съели половину торта. Получается, Шарик и почтальон Печкин вместе съели другую половину торта.
Составим уравнение:
$x$ (доля Печкина) + 0,1 (доля Шарика) = 0,5
$x$ = 0,4.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
Таблица состоит из двух столбцов. В каждой строке, начиная со второй, записаны сумма и разность чисел предыдущей строки (всегда из большего числа вычитают меньшее). Чему равна сумма чисел в первой строке этой таблицы, если в седьмой строке стоят числа 96 и 64?
(А) 20
(Б) 18
(В) 16
(Г) 12
(Д) 8

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Семья состоит из мамы, папы и четверых детей. Средний рост детей — 120 см, а родителей — 174 см. Каков средний рост всех членов этой семьи?
(А) 120 см
(Б) 138 см
(В) 147 см
(Г) 150 см
(Д) 174 см

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Сколько натуральных чисел имеют сумму цифр 2010 и произведение цифр 2?
(А) 2010
(Б) 2009
(В) 2008
(Г) 1005
(Д) 1004

Ответ: (Б) 2009
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
С крыши дома высотой 16 метров бросают резиновый мяч. После каждого удара о землю он отскакивает на 3/4 своей прежней высоты. Сколько раз мяч промелькнет в окне, подоконник которого расположен в 5 метрах над землёй, если высота этого окна равна 1 м?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2016 год, 2 этап

Задача:
На доске написано число 49. За один ход разрешается либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 50?

Ответ: Можно.
Решение:
Число 50 можно получить, удвоив 25, а 25 можно получить, стерев последнюю цифру числа 256, которое является степенью двойки. Таким образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:
49 ⟶ 4 ⟶ 8 ⟶ 16 ⟶ 32 ⟶ 64 ⟶ 128 ⟶ 256 ⟶ 25 ⟶ 50
Существуют и другие решения.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Утром ученики 6А, 6Б классов в рамках зимней универсиады пошли смотреть биатлон, а ученики 6В, 6Г — лыжные гонки. Оказалось, что на биатлоне было на 15 шестиклассников больше, чем на лыжных гонках. Вечером 6А и 6В пошли в кино, а 6Б и 6Г – в театр. Оказалось, что в кино было на 8 шестиклассников меньше, чем в театре. Могло ли такое быть?

Ответ: Нет, не могло.
Решение:
Пусть на лыжные гонки пошли $k$ школьников, тогда на биатлоне было $k$ + 15 школьников. Значит, всего шестиклассников $k$ + ($k$ + 15) = 2$k$ + 15. Если в кино пошли $n$ школьников, то в театр отправились $n$ + 8 школьников, а всего шестиклассников $n$ + ($n$ + 8) = 2$n$ + 8. При первом подсчёте количество шестиклассников оказалось нечётным, а при втором подсчёте — чётным. Полученное противоречие показывает, что такого быть не могло.
Олимпиада «Осенний Олимп», 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Кикимора расставляет ловушки на квадратном болоте. Каждая ловушка имеет форму прямоугольника 2 × 3 клеточки. Кикимора хочет расставить семь ловушек так, чтобы они не соприкасались ни углами, ни сторонами. Какую наименьшую целую длину может иметь сторона болота?

Ответ: 9 клеток.
Решение:
Предположим, что можно расставить ловушки на болоте с длиной стороны не более 8. В таком болоте не более 81 узла (точки пересечения линий сетки). Каждая ловушка занимает 12 узлов. Значит, 7 ловушек занимают 84 узла, откуда 84 ≥ 81. Противоречие.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
На доске записано число 679854, в котором использованы 6 последовательных цифр. Найдите следующее за ним большее число, в записи которого также используются 6 последовательных цифр (может быть, других).

Ответ: 683457.
Решение:
Рассмотрим данное нам число 679854. В этом же десятке не может быть искомого числа, так как в старших разрядах использованы все цифры, большие 4. Аналогично, в этой же сотне не может быть искомого числа, так как использованы все цифры, большие 5. В этой же тысяче не может быть искомого числа, так как использована цифра 9. Следовательно, искомое число не меньше, чем 680000. В этом числе использована цифра 8, Т.е. минимальный набор последовательных цифр — от 3 до 8. Наименьшее число, которое можно составить при этом, — 683457.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Бабушка сказала внукам: «Если я испеку каждому из вас по два пирожка, у меня останется теста на три лишних пирожка, а если я захочу испечь каждому из вас по три пирожка, то мне не хватит теста на два пирожка». Сколько внуков у бабушки?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2012 год

Задача:
В круг встали несколько индейцев и бледнолицых. У них принято лгать своим и говорить правду людям с другим цветом кожи. Каждый повернулся к своему соседу справа и сказал ему одну фразу. Прозвучало 8 фраз «Ты – индеец» и 9 – «Ты – бледнолицый». Сколько индейцев и сколько бледнолицых?

Ответ: 9 индейцев и 8 бледнолицых.
Решение:
Заметим, что индеец в любом случае сказал фразу «Ты – бледнолицый», если это был действительно бледнолицый, то он сказал правду, если же это был индеец, то он ему соврал. Аналогично, каждый бледнолицый сказал «Ты – индеец», соврав бледнолицему и сказав правду индейцу.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
В слове КЕНГУРУ поменяли местами две соседние буквы, в полученном «слове» проделали то же самое. Что не могло получиться?
(А) КЕНУГУР
(Б) КЕНГУРУ
(В) ЕНКГУРУ
(Г) КНЕГУУР
(Д) КУНЕГУР

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
У Козы семеро козлят. У пяти из них уже есть рожки, у четырёх есть пятна на шкурке, а у одного нет ни рожек, ни пятен. У скольких козлят есть и рожки, и пятна на шкурке?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: 3
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Если 1111 : 101 = A, то чему равно 3333 : 101 + 6666 : 303?
(А) 2A
(Б) 3A
(В) 5A
(Г) 6A
(Д) 9A

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
При каком наименьшем 𝑁 будет верна фраза: «При любом расположении 𝑁 королей на шахматной доске (каждый король занимает ровно 1 клетку) каждый из королей будет бить другого короля».

Заметим, что король на любом месте шахматной доски бьёт хотя бы 3 другие клетки, поэтому, если расставить 62 короля на шахматную доску, то пустыми останутся всего лишь 2 клетки, тогда с любым королем не может быть рядом 3 и более пустых клеток, тогда каждый король будет бить хотя бы одного другого короля. Если королей 61 и менее, тогда возьмём такую расстановку: на клетку 𝑎1 поставим одного короля, клетки 𝑎2, 𝑏1 и 𝑏2 оставим пустыми. Останутся ещё 60 клеток доски, туда мы сможем поставить оставшихся 61 − 1 = 60 королей (Если королей меньше 61, то для оставшихся королей, кроме короля на 𝑎1, понадобится ещё меньше клеток.) Ответ: 62.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Найдите сумму цифр числа, получаемого умножением 2018 на число, состоящее из 2018 единиц.

Произведение данных чисел равно 224222 . . . 21998 (в числе 2014 двоек). 2 · 2 + 4 + 2 · 2014 + 1 + 9 + 9 + 8 = 4063.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Число 0 + 1 + 2 + 3 + 4 − 3 − 2 − 1 − 0 равно
(А) 0
(Б) 2
(В) 4
(Г) 10
(Д) 16

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Поль хотел умножить некоторое целое число на 301, но забыл про 0 и умножил на 31. В результате он получил число 372. А какой результат он должен был получить?
(А) 3612
(Б) 3913
(В) 4214
(Г) 4515
(Д) 30720

Ответ: (А) 3612
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
В одном городе 20% семей, имеющих кошек, имеют также и собак, 25% семей, имеющих собак, имеют также и кошек, а 20% всех семей не имеют ни кошек, ни собак. Сколько семей в этом городе имеют и кошек, и собак?
(А) 50%
(Б) 25%
(В) 20%
(Г) 10 %
(Д) 5%

Ответ: Г