d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018-2019 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
Прямоугольник разрезали на 5 равных квадратов. Оказалось, что общая сумма периметров этих квадратов на 120 см больше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите размеры исходного прямоугольника.

Заметим, что единственное расположение квадратиков внутри прямоугольника — это 5 в ряд (этот факт принимается без строгого доказательства от сдающего, достаточно озвучить его). Тогда суммарный периметр квадратов больше периметра исходного прямоугольника на удвоенную сумму длин разрезов исходного прямоугольника, а всего нужно сделать 4 разреза, чтобы получить 5 квадратов. Тогда 120 см — это 2 · 4 = 8 раз ширина исходного прямоугольника, а соотношение сторон у него 1 : 5. Ширина тогда равна 120 : 8 = 15 см, а длина 15 · 5 = 75 см. Ответ: 15 × 75.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
В коробке 18 шаров – белых, красных и зелёных. Шаров каждого цвета не менее одного. Белых в 4 раза меньше, чем красных, а зелёных больше, чем красных. Сколько в коробке зелёных шаров?

Ответ: 13 зелёных шаров.
Решение:
Белых – 1, красных – 4, зелёных – 13.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В клетках квадрата 30×30 лежат орехи (в каждой клетке – не более одного ореха). Оказалось, что в любом прямоугольнике 1×2 лежит хотя бы один орех, а в каждом прямоугольнике 1×6 есть две клетки с орехами, стоящие рядом. Какое наименьшее количество орехов может находиться в этом квадрате?

Ответ: 540 орехов.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2016 год, первая лига

Задача:
Мыши очень любят дырки в сыре! Они убедились, что если кусочек сыра весит 10 грамм, то в нём 6 дырок. Если 15 грамм, то в сыре 9 дырок, а если 25 грамм — то 15 дырок. Сколько дырок в кусочке сыра весом 20 грамм?

Ответ: 12
Решение:
Количество дырок на каждые 5 грамм увеличивается на 3
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Для арифметической прогрессии с тысячным членом $a_{1000} = 150$ и разностью, равной 0,5, найдите значение выражения:
$\displaystyle 9900 \cdot\left(\frac{1}{a_{1580} \cdot a_{1581}} + \frac{1}{a_{1581} \cdot a_{1582}} + \ldots + \frac{1}{a_{2019} \cdot a_{2020}}\right) $

Ответ: 15.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2013 год

Задача:
Однажды на вечеринке разговаривали четверо друзей.
- Глория заявила: «Я всегда говорю меньше шести слов».
- Рико ответил: «А в моём предложении не больше восьми слов!»
- Алекс высказался: «Глория и Рико сейчас говорят правду».
- Марти мрачно добавил: «Но сегодня кто-то: Алекс или Глория солгал (возможно, оба)».

Определите, кто в этот раз солгал, а кто сказал правду.

Ответ: Солгали Глория и Алекс. Сказали правду Рико и Марти.
Решение:
Поскольку во фразе Глории ровно шесть слов, то она лжёт. Так как Алекс сказал, что Глория говорит правду, то он тоже лжёт. Поскольку Марти отметил, что кто-то среди Алекса и Глории солгал, то он сказал правду. (Заметим, что для того, чтобы Марти был прав достаточно, чтобы солгал хотя бы один из них). И так как фраз Рико содержит ровно 8 слов, то это не больше восьми, и, следовательно, он также говорит правду.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
В треугольнике ABC сумма сторон AB и AC равна 10, а угол BAC равен 30°. Из вершины A проведены высота h, биссектриса l и медиана m. Какое из утверждений А-Г может быть неверным?
(А) h < 5
(Б) m < 5
(В) периметр треугольника не больше 20
(Г) l > 0,5
(Д) все утверждения А-Г обязательно выполняются

Ответ: (Г) l > 0,5
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Известно, что расстояние между точками А и В равно 100 см, между А и С – 12 см, между В и D – 35 см, а между D и С – 123 см. Тогда расстояние между точками В и С равно
(А) 135 см
(Б) 75 см
(В) 112 см
(Г) 88 см
(Д) так не бывает

Ответ: 88 см
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Сколько из чисел $\sqrt{(−7)^2}$, $(−\sqrt{7})^2$, $−(\sqrt{7})^2$, $(−\sqrt{7})^{−2}$, $\left(7^{−2}\right)^2$ равны 7 ?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Б
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Наташину маму зовут Евгения Васильевна, дедушку зовут Сергей Никифорович. Какое отчество у отца Наташи?

Ответ: Сергеевич
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Существует ли прямоугольный параллелепипед, все стороны которого выражаются целыми числами, а объём численно равен его площади поверхности?

Ответ: Да, существует.
Решение:
Подходит, например, куб 6 × 6 × 6. И площадь поверхности, и объём численно равны 216.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Вес Васи — 21 кг. Когда он встал на весы, взяв на руки кота Тошу, весы показали 29 кг 500 г. С котенком Малышом на руках Вася весит 22 кг. Что покажут весы, если на них усадить Тошу и Малыша вместе?
(А) 1 кг
(Б) 5 кг 500 г
(В) 7 кг 500 г
(Г) 9 кг 500 г
(Д) 51 кг 500 г

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
К пятизначному числу, сумма цифр которого равна 2, прибавили двузначное число. Получилось снова пятизначное число, сумма цифр которого равна 2. Какое число получилось?
(А) 20000
(Б) 11000
(В) 10100
(Г) 10010
(Д) 10001

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
По кругу пишут 6 различных чисел так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3 или на 5. Какова наибольшая возможная разность между двумя из написанных чисел?
(А) 15
(Б) 13
(В) 11
(Г) 5
(Д) 3

Ответ: (Б) 13
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
В каком месяце у Кенгуру день рождения, если ровно через полгода после этого дня он сказал: «Два месяца назад был конкурс «Кенгуру»?
(А) в сентябре
(Б) в октябре
(В) в ноябре
(Г) в январе
(Д) в мае

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
Расставьте скобки, чтобы равенство стало верным: 0,5 + 0,5 : 0,5 + 0,5 : 0,5 = 5.

Ответ: ((0,5 + 0,5) : 0,5 + 0,5) : 0,5 = 5.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 2 тур

Задача:
В аудитории А сидит 20 участников олимпиады, причём среди любых 10 из них есть 3 одноклассника. Верно ли, что в аудитории А обязательно есть 5 человек из одного класса?

Ответ: да, верно.
Решение:
Предположим противное. Пусть в этой аудитории нет пяти человек из одного класса. Тогда максимальное количество одноклассников – 4. Разобьём 20 участников олимпиады на группы одноклассников. Если в группе одноклассников ровно один человек, назовём эту группу малой. Если в группе больше одного человека, назовём её большой.
Теперь разделим 20 участников олимпиады на 2 команды. В первую команду возьмём по одному человеку из каждой малой группы и по два человека из каждой большой. После этого в каждой большой группе останется не более двух человек. Объединим их всех во вторую команду. Заметим, что в каждой команде нет трёх одноклассников, однако мы разбили 20 человек на 2 команды и следовательно в одной из команд не менее 10 человек. Возьмём эту команду и, если там больше 10 человек, то выберем любых 10, и среди этих десяти не будет трёх одноклассников. Противоречие.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Поставьте вместо точек (•) числа 6, 7, 8, 9, 52, 100 (надо использовать все числа), а вместо звёздочек (∗) какие-нибудь знаки арифметических операций из набора ( +, −, ×, : ) так, чтобы получилось верное равенство:
• ∗ • ∗ • ∗ • ∗ • ∗ • = 623
Если потребуется, можно расставить скобки.

Ответ: Например, так:
(100 − 6) × 7 − 52 + 8 + 9 = 623
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
На новогоднем утреннике каждый ребёнок спел песню или рассказал стих. Стихотворение рассказали 10 ребят, 16 — спели песню. Сколько же пришло ребят на праздник, если семеро ребят и спели песню, и рассказали стихотворение?

Ответ: 19 человек.
Решение:
можно нарисовать схему или посчитать примером. Из 10 ребят, рассказавших стихотворение, семеро пели песню, значит, трое из них рассказывали только стихотворение. Значит, ребят 16 + 3 = 19 человек.
Зимняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2020 год

Задача:
Чтобы распилить бревно, Вася нарисовал на нём синие и красные отметки. Если распилить по красным отметкам, то получится 3 куска. Если распилить, по синим отметкам то получится 4 куска. Сколько получится кусков, если распилить бревно по всем отметкам?

Получится 6 кусков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Число $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 − \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)\left(1 − \frac{1}{5}\right)\left(1 + \frac{1}{6}\right)\left(1 − \frac{1}{7}\right)\left(1 + \frac{1}{8}\right)\left(1 − \frac{1}{9}\right)$ равно
(А) $\displaystyle \frac{1}{10}$
(Б) $\displaystyle \frac{9}{10}$
(В) $\displaystyle \frac{7}{15}$
(Г) $\displaystyle \frac{25}{36}$
(Д) 1

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 2 тур

Задача:
У Кощея есть семечко. Если его полить мёртвой водой, из него начинает расти дерево со скоростью 1 м/час. Если это дерево потом полить живой водой, оно начинает расти со скоростью 2 м/час. Кощей сделал на стене отметку на высоте между 1 и 2 метрами от земли, дал Ивану-царевичу семечко, фляги с живой и мёртвой водой и сказал: «Посади семечко в 10 утра, и чтобы к 11 утра дерево доросло точно до моей отметки». Есть ли у Ивана возможность справиться с заданием Кощея?

Ответ: Да.
Решение:
Пусть Кощей отметил точку A. Проведём из неё вертикальный отрезок до земли и отметим на нём точку B на расстоянии 1 м от земли и такую точку C, отличную от точки А, что BC = AB. В 10 утра Иван посадит семечко и польёт его мёртвой водой, а когда дерево дорастёт до отметки C, польёт его живой водой. Без живой воды дерево к 11 утра доросло бы до точки B, а с нею, растя вдвое быстрее, оно дорастёт как раз до точки A.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Если из самого большого двузначного числа вычесть самое маленькое двузначное число, то получится
(А) 88
(Б) 89
(В) 90
(Г) 91
(Д) 99

Ответ: 89
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
В четырёхугольнике ABCD известны длины сторон: AB = 2007, BC = 2008, CD = 2009 и DA = 2006. При какой из вершин внутренний угол такого четырёхугольника может оказаться больше 180°?
(А) A
(Б) B
(В) C
(Г) D
(Д) таких вершин нет

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
В компании детей среди любых четырёх есть Саша. А среди любых трёх есть девочка. Какое наибольшее количество Александров (мальчиков) может быть в этой компании?

Ответ: Два.
Решение:
Так как среди любых трёх есть девочка, то мальчиков не больше двух. И такое быть может: например компания ровно из 4 человек – два мальчика Саши и две девочки Маши.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Любые три соседние цифры числа образуют число, которое делится на 132 или 123. Какое наибольшее количество цифр может иметь это число?

Рассмотрим все кратные 132 или 123 трёхзначные числа: 132, 264, 396, 528, 660, 792, 924; 123, 246, 369, 492, 615, 738, 861, 984. Выберем из них те, две последние цифры которых могут быть началом другого числа: 792 (924), 924 (246), 492 (924), 861 (615). Выпишем последовательности цифр, удовлетворяющие условию задачи: 79246, 9246, 49246, 8615. Следовательно, наибольшее количество цифр 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Джентльмены А, B, С, D и Е встретились в клубе. Некоторые из них приветствовали друг друга рукопожатиями, причём А и В пожали руки по одному разу, а С, D и Е – по два. Известно, что А пожал руку Е. Какого рукопожатия наверняка не было?
(А) С и D
(Б) С и Е
(В) В и С
(Г) В и Е
(Д) В и D

Ответ: В и Е
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Будем называть старшим делителем числа n самый большой из его делителей, отличных от самого числа n. Аналогично, младший делитель числа n — это самый маленький его натуральный делитель, отличный от 1. Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых старший делитель в 25 раз больше младшего?
(А) 0
(Б) 1
(В) 3
(Г) бесконечно много
(Д) другой ответ

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2009 год

Задача:
В числовом ребусе KANG − AROO = 2009 разные буквы обозначают разные цифры. Какая цифра обозначена буквой N?
(А) 4
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2012 год

Задача:
Близнецы Миша и Гриша одновременно лгут только в воскресенье. В остальные дни один из них лжёт, а другой говорит правду.
- Миша сказал: «Сегодня воскресенье».
- Гриша ответил: «Воскресенье завтра».

Какой сегодня день недели?

Ответ: сегодня суббота.
Решение:
Если сегодня воскресенье, то должны лгать оба. Но этого не может быть, так как тогда Миша сказал правду. Поэтому сегодня не воскресенье и Миша солгал. Тогда Гриша сказал правду и воскресенье завтра. Значит, сегодня суббота.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2016 год, первая лига

Задача:
Одна меховая шапка стоит 200 рублей и ещё полшапки. Сколько стоит вся шапка?

Ответ: 400
Решение:
200 - это половина стоимости, значит, вся шапка - 400.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
На новогоднем празднике 4 мальчика сели пить чай за круглый стол. Одного мальчика звали Стёпа. Мальчик в костюме мушкетёра сидел между мальчиком в костюме Арлекина и Федей. Мальчик в костюме робота сидел между мальчиком в костюме Буратино и Алёшей. Федя и Дима разговаривали с мальчиком в костюме робота. Напишите имя и костюм каждого мальчика, и нарисуйте схему, как они сидели.

Ответ: Федя в костюме Буратино, Стёпа в костюме робота, Алёша в костюме Арлекина, Дима в костюме мушкетёра.
Решение:
Костюм робота не у Алёши, не у Феди, не у Димы, значит, он у Стёпы. У Феди не костюм Арлекина и не костюм мушкетёра, значит, костюм Буратино. Федя и Стёпа сидят рядом, рядом со Стёпой сидит Алёша. Мальчик в костюме мушкетёра сидит рядом с Федей, значит, его зовут Дима. Расположение: Федя в костюме Буратино, Стёпа в костюме робота, Алёша в костюме Арлекина, Дима в костюме мушкетёра.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Часы Остапа Бендера испортились, и теперь у них часовая и минутная стрелки поменялись ролями. Ровно в полночь Остап поставил на своих часах точное время. Сколько раз за период от 00:01 до 23:59 в предстоящие сутки эти часы покажут правильное время?
(А) ни разу
(Б) 2 раза
(В) 11 раз
(Г) 21 раз
(Д) 23 раза

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
На стороне BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC нашлась такая точка M, что ∠MCA − ∠MAB = ∠B. Что можно утверждать об этом треугольнике?
(А) он равносторонний
(Б) один из его углов прямой
(В) боковая сторона больше основания
(Г) угол при вершине B — тупой
(Д) основание больше боковой стороны

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2017 год

Задача:
Гном в башмаках весит на 2 кг больше, чем гном без башмаков. Если поставить на весы пять одинаковых гномов в башмаках и пять таких же гномов без башмаков, весы покажут 330 кг. Сколько весит гном в башмаках?

Ответ: 34 кг.
Решение:
Наденем на пять гномов башмаки, тогда вес увеличится на 10 кг. Получается, что десять гномов в башмаках весят 340 кг. Значит, один гном в башмаках весит 34 кг.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2011 год

Задача:
- Определение 1. «Перчатка – изделие из шерсти, в котором тепло пальцам».
- Определение 2. «Ботинок – то, что надевается на ногу и имеет шнурки».
- Определение 3. «Носок – изделие из шерсти, которое надевается на ногу».
- Определение 4. «БОТЧАТКА является одновременно перчаткой и ботинком».

Является БОТЧАТКА носком?

Ответ: да, является.
Решение:
Согласно определениям Перчатки и Ботинка, получаем что «Ботчатка – это изделие из шерсти, в котором тепло пальцам; со шнурками, которое надевается на ногу». То есть в частности Ботчатка – из шерсти и одевается на ногу. Значит, Ботчатка по определению является носком.
Олимпиада «Осенний Олимп», 5 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Егор и Костя плохо просыпаются, поэтому они заводят много будильников, чтобы точно не проспать. Егор ставит аж 7 будильников, все через равные промежутки времени, а Костя — 6, тоже через равные промежутки. Оба мальчика заснули вчера в 9 вечера, а встали сегодня в 7 утра. Каждый — со своим последним будильником. От засыпания до первого своего будильника у Егора прошло втрое больше времени, чем у Кости. А от первого своего будильника до подъёма у Кости прошло втрое больше времени, чем у Егора. Во сколько прозвенел второй будильник Кости?

Всего сна 10 часов. Время от 9 вечера до первого будильника Кости составляет половину времени от первого будильника Кости до первого будильника Егора и равно времени от первого будильника Егора до подъёма. Следовательно, делим эти 10 часов на 4 равные части. Каждая часть составляет два с половиной часа. Первый будильник Кости прозвенит через два с половиной часа после 21:00, то есть в 23:30. От первого будильника Кости до подъёма семь с половиной часов, а разница между соседними Костиными будильниками составляет 90 минут. Значит, второй Костин будильник прозвенит через полтора часа после 23:30, то есть в 01:00.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Начиная с первого сентября, жюри конкурса «Кенгуру» каждый день с 9 до 14 часов придумывает 6 новых задач, а после обеда, с 15 до 20 часов, отвергает 4 из них. В какой день жюри впервые получит набор из 30 задач?
(А) 16 сентября
(Б) 15 сентября
(В) 14 сентября
(Г) 13 сентября
(Д) 12 сентября

Ответ: Г
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
Можно ли квадратную сетку 3 × 3 собрать из трёх ломаных? (Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами. Никакие две ломаные не должны иметь общих отрезков.)

В сетке 8 нечётных узлов, расположенных на границе квадрата, в них должны быть концы ломаных, а у трёх ломаных только 6 концов.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Охотник неделю охотился на уток и каждый день, начиная со второго приносил вдвое больше уток, чем в предыдущий день. Друзьям он сказал, что за вторник, среду и четверг он добыл ровно 100 уток. Не ошибся ли охотник?

Пусть во вторник охотник подстрелил 𝑥 уток, тогда в среду и четверг он добыл соответственно 2𝑥 и 4𝑥 уток. Всего 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 7𝑥, но 100 не делится на 7. Охотник ошибся.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Обезьянкам Анфисе, Дусе и Мусе дали бананы − всего в сумме не более 10. Анфиса дала 1 банан Дусе и 2 банана Мусе, после чего у всех стало поровну. Какое количество бананов могло быть у Анфисы изначально? (Укажите все варианты)

Ответ: 5 или 6 бананов.
Решение:
Поскольку в результате у всех оказалось поровну, то общее количество бананов должно делиться на 3. Для чисел не более 10 это 3, 6 и 9.
Если это 3, то после раздачи бананов у каждой должно стать по 1, но такое быть не может, так как Анфиса дала Мусе 2 банана. А 6 и 9 быть могут.
В первом случае у Анфисы было 5 бананов, у Дуси 1, а у Муси - ни одного.
Во втором случае у Анфисы было 6, у Дуси 2, у Муси 1.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
В коробке лежали 3 цветные ленты: красная, синяя и зелёная. Катя, Маша и Даша выбрали себе по одной ленте. Оказалось, что Катина лента длиннее, чем синяя, красная лента короче, чем Дашина, а Машина лента не той длины, что красная. Что верно?
(А) у Даши лента зелёная
(Б) у Маши лента красная
(В) у Кати лента не красная
(Г) у Даши лента самая короткая
(Д) у Маши лента самая длинная

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Четверо бельчат Боря, Вася, Гена и Дима говорят по очереди, и если кто-то сказал правду, следующий врёт, а если кто-то соврал, то следующий говорит правду.
- Дима сказал: «Мне подарили орех».
- После него Гена сказал: «Мне подарили гриб».
- Боря возразил: «Нет, гриб подарили Диме».
- И, наконец, Дима добавил: «А Васе подарили жёлудь».

Кому-то из бельчат действительно подарили орех. Кому, если каждому досталось по одному подарку?

Ответ: Орех у Бори.
Решение:
Заметим, что бельчата врут и говорят правду через одного. Если Дима сказал правду, что орех у него, то Боря тоже сказал правду, что Диме подарили гриб — противоречие. То есть Дима соврал, и ореха у него нет. Тогда Гена говорит правду, и у него гриб, значит, ореха у него тоже нет. Второй раз Дима говорит правду, и, значит, у Васи ореха нет. Получается, что орех у Бори.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
С полудня до полуночи Кот Ученый спит под дубом, а с полуночи до полудня рассказывает сказки. На дубе он повесил плакат: «Через час я буду делать то же самое, что делал два часа назад». Сколько часов в сутки эта надпись верна?
(А) 6
(Б) 12
(В) 18
(Г) 3
(Д) 21

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок нашёл в лесу 6 ящиков, причём только в одном находились орехи, а остальные ящики были пустыми.
- На первом ящике написано: «Орехи в третьем ящике».
- На втором: «Орехи во мне или в первом ящике».
- На третьем: «Во мне орехов нет».
- На четвёртом: «Орехи лежат в ящике с нечётным номером».
- На пятом: «Во втором и шестом ящике орехов нет».
- На шестом: «В четвёртом ящике орехов нет».

Известно, что среди надписей три истинных и три ложных. В каком ящике лежат орехи? В ответе укажите номер ящика.

Ответ: 2 ящик.
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2020 год

Задача:
Несколько гусар сидят за круглым столом и играют в карты. Правила простые: первым ходом на стол нужно положить одну карту. Далее каждым ходом нужно положить на стол на одну карту больше, чем положил предыдущий сходивший игрок. Игра заканчивается тогда, когда кто-то не может сделать очередной ход.
Поручик Ржевский заметил, что первый ход сделал корнет Оболенский. Следующий ход сделал правый сосед правого соседа Оболенского. И так продолжалось весьма долго: очередной ход делал правый сосед правого соседа последнего сходившего. По окончанию игры нашлись три соседа, самый левый из которых суммарно выложил 30 карт, средний — 21 карту, а самый правый — 33.
Сколько гусар могло быть за столом? Укажите все варианты.

Ответ: 7 или 9.
Решение:
Заметим сначала, что количество игроков нечётно: иначе карты были бы положены только половиной игроков (а из трёх соседей хотя бы один положил бы 0 карт). Обозначим это количество буквой $N$.
Пусть первый игрок упомянутой в условии тройки (который суммарно положил 30 карт) своим первым ходом положил $x$ карт. При этом есть две ситуации: третий игрок тройки ещё не ходил или же третий игрок тройки начал игру.
А) Третий игрок тройки начал игру.
Тогда $x=N$ и единственный момент, в который разрыв между первым и третьим игроками составляет 3, таков:
- $30=N+2 N$ (первый игрок сделал 2 хода)
- $33=1+(N+1)+(2 N+1)$ (третий игрок сделал 3 хода)

Но при этом $N=10$, что противоречит нечётности количества игроков.
Б) Третий игрок тройки не начинал игру.
Тогда оба игрока (что первый, что третий) сделали по три хода:
- $30=x+(N+x)+(2 N+x)$
- $33=x+1+(N+x+1)+(2 N+x+1)$

Итого $N+x=10$. Поэтому $N=3$, $N=5$, $N=7$ или $N=9$.
При этом $N$ не может быть меньше $x$, поэтому вариант $N=3$ отпадает сразу. Вариант $N=5$ тоже отпадает: в таком случае третий игрок положил бы своим первым ходом шесть карт.
Остаются варианты $N=7$ и $N=9$. В каждом из них можно привести пример:
Пример для 7 игроков:
- 30 = 3 + 10 + 17
- 21 = 7 + 14
- 33 = 4 + 11 + 18

Пример для 9 игроков:
- 30 = 1 + 10 + 19
- 21 = 6 + 15
- 33 = 2 + 11 + 20