d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 1 тур

Задача:
Есть розы, астры и лилии. Сколько различных букетов из трёх цветков (трёхцветочных букетов) можно составить?

Ответ: 10 букетов.
Решение:
Три букета из цветов одного сорта, один букет из трёх различных цветков. Осталось сосчитать количество букетов из цветков двух сортов. В каждом таком букете будет два одинаковых цветка и ещё один другого сорта. Выбрать сорт двух одинаковых цветков мы можем трёмя способами, а оставшийся цветок – двумя способами. Следовательно, вариантов таких букетов 6. А всего 6 + 3 + 1 = 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2015 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна 3?

Ответ: 6.
Решение:
Это числа 111, 120, 102, 201, 210 и 300.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
В двух треугольниках, остроугольном и тупоугольном, измерили углы. Вот величины четырёх из них: 110º, 75º, 65º, 15º. Чему равен меньший угол остроугольного треугольника?
(А) 10º
(Б) 15º
(В) 40º
(Г) 45º
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Урок начался в 11:45 и длился 40 минут. Ровно в середине урока Вася чихнул. В какой момент это произошло?
(А) 12:00
(Б) 12:05
(В) 12:10
(Г) 12:15
(Д) 12:20

Ответ: (Б) 12:05
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 1 тур

Задача:
Напишите наименьшее 12-тизначное число, в котором встречаются все цифры.

Ответ: 100023456789.
Решение:
В искомом числе обязательно должны быть цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и ещё произвольные цифры. Чтобы это число было наименьшим, в старший разряд необходимо поставить наименьшее возможное число. Это 1 (на 0 число начинаться не может). Так как у нас имеются две произвольные цифры, то возьмём их равными нулями и расставим все имеющиеся цифры в порядке возрастания. Очевидно, что это число – искомое, так если какое-либо другое 12-тизначное число имеет в каком-то разряде цифру меньше, чем у данного, то это означает, что-либо не использованы все цифры, либо в более старшем разряде стоит цифра больше, чем у данного числа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
В выражении 10011 + 100110010 разрешается заменять нули единицами. Сколькими способами можно получить сумму, делящуюся на 18?
(А) 1
(Б) 2
(В) 4
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Кузнечик прыгает по числовой прямой вправо на 2 или на 3. Ему запрещено попадать на простые числа. Сколькими способами он может попасть с 1 на 36?
Комментарий: Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Ответ: 48 способов.
Решение:
Есть пять «обязательных» чисел: 4, 6, 12, 18, 30 — и четыре неоднозначных участка: 6 − 12, 12 − 18, 18 − 30 и 30 − 36. Каждый участок, кроме 18 − 30, проходится двум способами (3 прыжка по 2 или 2 прыжка по 3). Длинный участок 18 − 30 хочется разбить на 2 коротких. У нас нет числа в промежутке, на которое кузнечик обязательно наступит. Однако, перепрыгнув через простое число 23, кузнечик наступит либо на 24, либо на 25. На оба числа в одном способе он наступить не может, поэтому либо будет пара участков 18 − 24, 24 − 30, либо пара 18 − 25, 25 − 30. Каждый из участков 18 − 24 и 24 − 30 проходится двумя способами, 18 − 25 единственным способом 18 − 20 − 22 − 25, а 25 − 30 двумя способами (25 − 27 − 30 и 25 − 28 − 30). Поэтому участок 18 − 30 проходится 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 6 способами, а весь маршрут — 2 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 2 = 48 способов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
У малыша Феди есть 10 красных кубиков, 15 синих и 30 зелёных. Он хочет построить из них башню так, чтобы любые два соседних кубика имели разный цвет. Сколько кубиков будет в самой высокой башне, которую сможет построить Федя?
(А) 30
(Б) 32
(В) 50
(Г) 51
(Д) 55

Ответ: (Г) 51
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
На заседании присутствуют 29 академиков, 12 из них имеют бороду, а 18 — усы. У трёх академиков нет ни бороды, ни усов. Сколько академиков имеют и бороду, и усы?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 11
(Д) 16

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
В классе 28 учеников. У 17 есть дома кошка, у 10 есть собака. У 5 учеников нет ни кошки, ни собаки. У скольки учеников есть и кошка, и собака?

Ответ: 4.
Решение:
Учеников с кошками или собаками 28 − 5 = 23. Если сложить 17 + 10 = 27, то получается больше 23 за счёт тех, у кого есть и кошка, и собака, их посчитали два раза. Их число равно 27 − 23 = 4.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Из десяти одинаковых прямоугольников с периметром 42 Коля взял пять и выложил их в ряд. Получился прямоугольник с периметром 106. Из оставшихся пяти прямоугольников Коля сложил ещё один прямоугольник. Чему может быть равен его периметр?

Ответ: 146 или 106.
Решение:
Пусть стороны маленького прямоугольника равны $a$ и $b$. В его периметр входит 2 стороны $a$ и 2 стороны $b$. В периметр первого большого прямоугольника входит 10 сторон $a$ и 2 стороны $b$, значит, они отличаются на 8 сторон $a$. Отсюда 8$a$ = 106 − 42 = 64, и сторона $a$ = 8. Тогда сторона $b$ = (42 − 16) : 2 = 13. Второй прямоугольник может быть таким же, как первый, или включать 2 стороны $a$ и 10 сторон $b$. Во втором случае периметр равен 2 ⋅ 8 + 10 ⋅ 13 = 146.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Сумма семи различных натуральных чисел равна 29. Сколько среди них нечётных чисел?

Ответ: 3.
Решение:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = 29
Три нечётных числа: 1, 3, 5.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
В кондитерском магазине продаются конфеты трёх видов: карамельки по 3 рубля, ириски по 5 рублей и шоколадки по 10 рублей. Варя хотела приобрести ровно по 8 конфет каждого вида и захватила с собой 200 рублей. Утром она увидела в магазине объявления: «При оплате трёх шоколадок получи на кассе бесплатную ириску.» и «При оплате трёх ирисок получи на кассе бесплатную карамельку.» Сколько денег останется у Вари?

Ответ: 72 рубля.
Решение:
Поскольку Варя купит больше шести, но меньше девяти шоколадок, она получит бесплатно две ириски. Тогда ей останется купить ещё 6 ирисок, за что она получит бесплатно две карамельки, после чего ей останется купить ещё 6 карамелек. Тогда она потратит всего 8 · 10 + 6 · 5 + 6 · 3 = 128 рублей. При этом у неё останется 200 − 128 = 72 рубля.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвёртого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?

Ответ: 20 рыцарей.
Решение:
Пусть Ланселот не сразился с $x$ рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4$x$, а сразился Ланселот с 3$x$ − 1 рыцарем (общее количество за вычетом $x$ и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с $\displaystyle \frac{3x-1}{7}$ рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное $x$ такое, что 3$x$ − 1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а $x$ = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
С какой скоростью школьник Вова может идти из школы домой?
(А) 20 м/с
(Б) 1 км/мин
(В) 4000 м/ч
(Г) 900 м/мин
(Д) 45 км/ч

В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Квадрат со стороной 1 разрезан на 4 треугольника одинаковой площади. Один из этих треугольников оказался остроугольным. Какова длина меньшей стороны этого треугольника?
(А) √5/4
(Б) √2/2
(В) 1/2
(Г) 1/4
(Д) невозможно определить

Ответ: (А) √5/4
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок забыл пароль от сейфа, куда он спрятал орех. Он помнит, что паролем является наибольшее шестизначное число, в записи которого третья цифра равна сумме первой и второй цифр, четвёртая – сумме второй и третьей, пятая сумме третьей и четвёртой, шестая – сумме четвёртой и пятой. Какой же пароль от сейфа?

Ответ: 303369.
Олимпиада «Весенний Олимп», 5 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Кенга и Крошка Ру прыгают по одной и той же прямой:
- прыжок Кенги составляет 210 см
- прыжок Крошки Ру составляет 161 см
- начали прыгать Кенга и Крошка Ру одновременно из одного и того же места
- через минуту после начала движения они в первый раз за время движения приземлились одновременно в одно и то же место

Через четыре с половиной минуты после того, как Кенга и Крошка Ру начали движение, за ними в погоню из точки их старта бросился Тигра. Догнал он их в тот момент, когда они в пятый раз за время движения приземлились в одно и то же место.
Какова была скорость Тигры?

Ответ: 805 см в секунду.
Решение:
Места, в которые могут приземлиться как Кенга, так и Крошка Ру, находятся от точки начала их движения на расстоянии, кратном НОК 210 см и 161 см, которое равно 4830 см. Назовем такие места «хорошими».
При этом через минуту Кенга и Крошка Ру должны попасть именно в точку, удалённую от точки старта на 4830 см, а не в более удалённую: если бы они попали в k-ю по счёту «хорошую» точку, то, сделав в k раз меньше прыжков, они бы попали в первую из таких точек ранее, чем через минуту после начала движения.
Через 5 минут после начала движения Кенга и Крошка Ру попадут в пятую «хорошую» точку, находящуюся на расстоянии 24150 см от точки старта. Тигра к этому моменту бежал всего 30 секунд. Поэтому его скорость равна:
24150 / 30 = 805 см в секунду.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2017 год, 1 вариант

Задача:
В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?

Ответ: 11 этажей.
Решение:
Обозначим количество квартир на этаже за K, количество этажей за Э и количество подъездов за П. По условию, 1 < K < Э < П.
Число 715 можно разложить на большие единицы множители единственным способом: 715 = 5 · 11 · 13. Значит, K = 5, Э = 11, П = 13.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2021 год

Задача:
В некотором месяце некоторого года ровно 5 пятниц. При этом первый и последний день этого месяца — не пятницы. Каким днём недели является 12-е число месяца?

Ответ: понедельник.
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты, каким днём недели могло быть 1-е число месяца.
- Предположим, что первое число этого месяца — понедельник. Тогда пятницы — 5-е, 12-е, 19-е, 26-е числа. Их только четыре — нам не подходит.
- Предположим, что первое число этого месяца — вторник. Тогда пятницы — 4-е, 11-е, 18-е, 25-е числа. Их только четыре — нам не подходит.
- Предположим, что первое число этого месяца — среда. Тогда пятницы — 3-е, 10-е, 17-е, 24-е и 31-е числа. Их пять, но пятница — последний день месяца. Нам снова не подходит.
- Предположим, что первое число этого месяца — четверг. Тогда пятницы — 2-е, 9-е, 16-е, 23-е и 30-е числа. Подходит, если в месяце 31 день. И в этом случае получается, что 12-е число — понедельник.
- Первым числом пятница быть не может.
- Предположим, что первое число этого месяца — суббота. Тогда пятницы — 7-е, 14-е, 21-е, 28-е числа. Их только четыре — нам не подходит.
- Предположим, что первое число этого месяца — воскресенье. Тогда пятницы — 6-е, 13-е, 20-е, 27-е. Их только четыре — нам не подходит.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018-2019 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
Вова пришёл в тир, купил 3 выстрела и начал стрелять. За каждое попадание в цель Вове дарили ещё 3 дополнительных выстрела. В итоге Вова выстрелил 2019 раз и на этом его выстрелы закончились. Сколько раз Вова промахнулся за все время в тире?

Чтобы получить дополнительные 3 выстрела, нужно попасть в цель. Кроме первых 3 выстрелов Вова сделал ещё 2019 − 3 = 2016 выстрелов; значит он попал в цель 2016 : 3 = 672 раза. Остальные были промахами, то есть ответ 2019 − 672 = 1347 он промахнулся.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Отрезки длины 1, k, 2k являются длинами сторон треугольника в том и только в том случае, когда
(А) 0 < k < 1
(Б) k > 1
(В) 0 < k
(Г) k > 1/3
(Д) 1/3 < k < 1

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2022 год

Задача:
В магазине продаются 15 видов шоколада. За неделю Андрей попробовал 6 видов, Борис — 11, а Денис — 13. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегустировали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис?

Ответ: 2 вида.
Решение:
Андрей не попробовал 9 видов шоколада, Борис — 4, Денис — 2. В сумме это 15, и поскольку каждый из 15 видов хотя бы кто-то не попробовал, то эти не попробованные ребятами виды шоколада не должны пересекаться. Следовательно, Андрей и Борис не попробовали в совокупности ровно 9 + 4 = 13 видов, т.е. попробовали вместе ровно 15 − 13 = 2 вида.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Петя хочет разрезать прямоугольник 6 × 7 на квадраты с целыми сторонами. Какое наименьшее число квадратов может при этом получиться?
(А) 4
(Б) 5
(В) 7
(Г) 9
(Д) 42

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Квадрат разрезали на два одинаковых прямоугольника с периметрами, равными 15. Чему был равен периметр квадрата?
(А) 10
(Б) 15
(В) 20
(Г) 25
(Д) 30

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Маша написала на доске четыре натуральных последовательных числа. Лёша разделил каждое из них на 10 и стёр цифры после запятой. Оказалось, что теперь сумма написанных на доске чисел равна 2007. Какие числа написала Маша изначально?

Ответ: 5019, 5020, 5021 и 5022.
Решение:
Поскольку 2007 не делится на 4, то числа, полученные Лёшей, не все одинаковые. Это означает, что Маша написала числа с переходом через десяток. Возможны два вида чисел у Лёши: n и n+1. 2007 при делении на 4 даёт остаток 3. Это значит, что 2007 = 4n + 3. Следовательно, Лёша получил числа 501, 502 502 и 502. Так как изначально были написаны последовательные числа, то это числа 5019, 5020, 5021 и 5022.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 2 тур

Задача:
На необитаемом острове растут три дерева: дуб, берёза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички.
- На дуб – "клад зарыт не здесь",
- на берёзу – "клад зарыт не здесь",
- на сосну – "клад зарыт под берёзой".

Только одна табличка говорит правду. Под каким деревом клад?

Ответ: под дубом.
Решение:
Таблички на берёзе и сосне утверждают противоположное. Поэтому всегда ровно одна из них говорит правду. Тогда табличка на дубе врёт. Значит клад зарыт под дубом.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Пятеро мальчиков обсуждали свойства числа 325.
- Андрей: «Это трёхзначное число».
- Боря: «Все цифры этого числа различны».
- Витя: «Сумма его цифр равна 10».
- Гриша: «Цифра единиц равна 5».
- Даня: «Все его цифры нечётны».

Кто из мальчиков ошибся?
(А) Андрей
(Б) Боря
(В) Витя
(Г) Гриша
(Д) Даня

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Наибольший делитель числа 3^2004 + 6, отличный от этого числа, равен:
(А) 3^2003 + 3
(Б) 3^2003
(В) 3^2003 + 2
(Г) 3
(Д) 3^2004

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
Около треугольника PQR описана окружность ω. T – точка пересечения биссектрисы внешнего угла P этого треугольника и окружности ω. Найдите градусную меру ∠QPR, если известно, что ∠PRT = ∠PRQ = 28°.

Ответ: 68°.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Колонна из 99 автомобилей движется по шоссе со скоростью 57,6 км/ч. Все автомобили абсолютно дисциплинированные — никто никого не обгоняет — и абсолютно одинаковые — длина каждого из них 4 метра.
Во время движения дистанция между соседними автомобилями ровно 10 метров, но если какой-либо автомобиль останавливается, то едущий за ним должен подъехать и остановиться на расстоянии двух метров от него. Трогается же автомобиль в тот момент, когда дистанция до впереди едущего автомобиля опять становится равна 10 метрам.
По пути колонна встретила светофор, который меняет свет с красного на зелёный и с зелёного на красный каждые 17 секунд: горит зелёным 17 секунд, красным — 17 секунд, потом опять зелёным — 17 секунд и т.д. За какое максимально возможное время вся колонна проедет мимо светофора?
Считать, что останавливается и разгоняется автомобиль мгновенно. Отсчёт начинается, как только первый автомобиль колонны передним бампером пересекает светофор.

Заметим сперва, что 57,6 км/ч — это в точности 16 метров в секунду.
Узнаем сначала, сколько автомобилей успевает проехать, пока горит зелёный свет. За 17 секунд первый автомобиль уедет от светофора на расстояние равное 16 ⋅ 17 = 272 метрам. Расстояние между носами (передними бамперами) автомобилей равно 10 + 4 = 14 метрам.
Заметим, что 272 = 14 ⋅ 19 + 6. В эти самые оставшиеся 6 метров из правой части помещается ещё один автомобиль. Всего за 17 секунд успевает проехать 19 + 1 = 20 автомобилей.
Заметим, что 99 = 20 ⋅ 4 + 19.
1) Ситуация 1.
Первый автомобиль колонны начинает движение на только что загоревшийся зелёный цвет. Для проезда автомобилей мимо светофора потребуется четыре цикла светофора «зелёный + красный», и при этом за светофором останется ещё 19 автомобилей.
Четыре полных цикла составляют (17 + 17) ⋅ 4 = 136 секунд. Время движения колонны, состоящей из 19 автомобилей равно (19 ⋅ 4 + 18 ⋅ 10) / 16 = 16 секунд.
Следовательно, общее время прохождения колонны из 99 автомобилей равно 136 + 16 = 152 секунды.
2) Ситуация 2.
Колонна подъезжает к зелёному светофору, и до того, как загорится красный свет, мимо светофора успевает проехать некоторое количество автомобилей, меньшее 19 . Причём красный цвет загорается ровно в тот момент, когда очередной автомобиль подъезжает к светофору.
Таким образом, к 152 секундам добавится ещё время красного светофора — ещё 17 секунд.
152 + 17 = 169
Это и есть максимально возможное время.
Ответ: 169 секунд.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
На какое наименьшее количество четырёхугольников можно разрезать правильный девятиугольник?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) нельзя разрезать

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2020 год

Задача:
Трое играли в домино. Каждый взял из набора по одной доминошке и сделал три заявления (каждый игрок сделал все три заявления, но в разном порядке):
- «На моей доминошке в сумме четыре точки».
- «У моей доминошки есть пустая половинка».
- «У моей доминошки одинаковые половинки».

Какие доминошки они взяли из набора, если каждый 2 раза сказал правду, а 1 раз ошибся?

Ответ: 0-0, 4-0 и 2-2.
Решение:
Заметим, что у любых двоих не может быть верными одни и те же утверждения. Так как любые два утверждения определяют доминошку единственным образом. Тем самым нужно рассмотреть три варианта и получить три вида доминошек.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
У Маши есть 32 оранжевых и 32 белых кубиков размерами 1×1×1, из которых она складывает куб 4×4×4. Какое наибольшее количество оранжевых квадратиков 1×1 могло оказаться на поверхности этого куба?

Ответ: 72 оранжевых квадратика.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Стоя неподвижно на ступени эскалатора в метро Ваня поднимается наверх за одну минуту. Взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, он добирается до верха за 40 секунд. За какое время Ваня поднимается наверх, если начинает взбегать по ступеням эскалатора, движущегося вверх? Дайте ответ в секундах.

Ответ: 24 секунды.
Решение:
Скорость Вани в 1,5 раза выше скорости эскалатора: 60 : 40 = 1,5.
Когда скорости суммируются, то в 1,5 + 1 = 2,5 раза быстрее эскалатора: 60 : 2,5 = 24 секунды.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
На конкурсе в летнем математическом лагере для победителей «Кенгуру» (в польском городе Закопане) участникам предлагалось 10 задач. За каждый верный ответ засчитывалось 5 очков, а за каждый неверный – снималось 3 очка. Петер получил 34 очка. Сколько из его десяти решений оказались ошибочными?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
В равенстве $\displaystyle \frac{E⋅I⋅G⋅H⋅T}{F⋅O⋅U⋅R} = T⋅W⋅O$ разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми буквами — одинаковые цифры. Сколько различных значений может принимать произведение $T⋅H⋅R⋅E⋅E$ ?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
В кошельке у Сергея три монеты: 5 рублей, 2 рубля и 1 рубль. Какую сумму он не сможет заплатить без сдачи?
(А) 3 рубля
(Б) 4 рубля
(В) 6 рублей
(Г) 7 рублей
(Д) 8 рублей

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 2 тур

Задача:
В городе Октопусе построили метро из 8 станций. При этом из них выходит 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1 линий метро соответственно (одна линия соединяет ровно две станции). Одну линию закрыли на ремонт. Могло ли оказаться, что теперь карта метро состоит из двух одинаковых независимых кусков?

Ответ: Не могло.
Решение 1:
Предположим, что такое получиться могло. Тогда карта разбилась на два одинаковых куска по 4 станции, из которых выходит соответственно равное количество линий. Значит, после удаления одной линии станций с 4 исходящими линиями больше нет (иначе она попала бы в какой-то только один кусок, и в другом куске такой станции не было бы). Также, чтобы такое разделение имело место, нужно, чтобы после закрытия одной линий, число станций с двумя исходящими линиями должно быть чётно (чтобы поделилось пополам на 2 куска). Следовательно, необходимо, чтобы была закрыта линия, соединяющая станцию с 4 исходящими линиями и станцию с 2 исходящими линиями. Тогда получим, что в каждом куске должны быть такие станции с таким числом исходящих линий: 3, 3, 2, 1, что невозможно. Докажем это. Сосчитаем количество всех линий в этом куске — (3+3+2+1):2 — каждую линию мы сосчитали дважды и должно было получиться чётное число, но оно нечётное. Следовательно, такой вариант невозможен.
Решение 2:
Предположим, что такое получиться могло. Тогда карта разбилась на два одинаковых куска по 4 станции, из которых выходит соответственно равное количество линий. Значит, после удаления одной линии количество линий должно стать чётным. Но изначально их уже было (4+3+3+3+3+2+2+2+1):2=10 — чётно. Соответственно будет нечётно и поделить на две части будет нельзя.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2018 год

Задача:
Винтик и Шпунтик катаются на Колесе Обозрения. Винтик в кабинке №7, а Шпунтик в кабинке №29. Когда Шпунтик был на самой верхней точке, между Винтиком и самой нижней кабинкой было 3 кабинки. Сколько всего кабинок может быть на Колесе Обозрения, если расстояния между соседними кабинками везде одинаковые? (Укажите все возможные варианты)
Комментарий: кабинки пронумерованы подряд с 1.

Ответ: Количество кабинок может быть 36 или 52.
Решение:
Будем считать, что кабинки пронумерованы по часовой стрелке. (Другой случай аналогичен и на количество кабинок не влияет) Кабинка №7 может находиться правее или левее нижней точки, в которой находится самая нижняя кабинка. Тогда между 7ой кабинкой и нижней кабинкой находятся кабинки с номерами 6, 5, 4 или 8, 9, 10. Соответственно в нижней точке располагается кабинка №3 или №11. Между верхней кабинкой и нижней кабинкой, не считая их, располагаются 29−3−1=25 или 29−11−1=17 кабинок. Столько же – с противоположной стороны, не считая верхнюю и нижнюю. Всего на колесе 25+25+2=52 или 17+17+2=36 кабинок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Какую из букв слова КЕНГА можно написать, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одной линии дважды?
(А) К
(Б) Е
(В) Н
(Г) Г
(Д) А

Ответ: Г