d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
У Снегурочки в одном мешке лежат золотые хлопушки, в другом – серебряные, в третьем – и те, и другие. Мешки завязаны ленточками с надписями: «Золотые», «Серебряные», «Золотые и серебряные». Пробегавший волк поменял местами ленточки так, что все надписи стали неправильными. Снегурочка достала всего одну хлопушку из одного мешка и определила, что в каком мешке лежит. Из мешка с какой ленточкой она взяла хлопушку?

Ответ: Из мешка с ленточкой «Золотые и серебряные».
Решение:
Заметим, что в мешке с ленточкой «Золотые и серебряные» не может быть смесь золотых и серебряных хлопушек, т.к. по условию все надписи ложные.
Если хлопушка, взятая из мешка с ленточкой «Золотые и серебряные», оказалась золотой, то значит в этом мешке лежат только золотые хлопушки. Тогда в мешке с ленточкой «Серебряные» не могут лежать ни только серебряные, ни только золотые хлопушки, значит, там лежит их смесь. А в третьем мешке, с ленточкой «Золотые», лежат серебряные хлопушки.
Если же хлопушка, взятая из мешка с ленточкой «Золотые и серебряные», оказалась серебряной, то в этом мешке лежат только серебряные хлопушки. Тогда в мешке с ленточкой «Золотые» не могут лежать ни только серебряные, ни только золотые хлопушки, значит, там лежит их смесь. А в третьем мешке, с ленточкой «Серебряные», лежат золотые хлопушки.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 1 тур

Задача:
Пятачок, Иа-Иа и Винни-Пух считали морковки на двух грядках Кролика:
- Пятачок: «На первой грядке морковок больше 18. На второй – не больше 14».
- Иа-Иа: «На первой меньше 20. На второй – 14».
- Винни-Пух: «На первой – 17. На второй больше 14».

Известно, что один из них оба раза ошибся, а два других оба раза были правы. Сколько морковок на грядках?

Ответ: На первой 19, на второй – 14.
Решение:
Первый способ. Разберём три случая, кто мог ошибиться.
1. Ошибся Пятачок. Пятачок сказал, что на второй грядке не больше 14 морковок, значит на самом деле там больше 14, но Иа-Иа сказал, что на второй грядке 14, а он должен говорить правду. Противоречие.
2. Ошибся Иа-Иа. Однако Пятачок сказал, что на первой гряде морковок больше 18, а Винни-Пух сказал, что на первой 17 и оба они должны быть правы. Противоречие.
3. Ошибся Винни-Пух. Посмотрим, что говорят о первой грядке Пятачок и Иа- Иа, которые должны быть во всём правы. Один говорит, что там больше 18 морковок, а другой что меньше 20. Значит на первой грядке их должно быль 19. Что Пятачок и Иа-Иа говорят о второй грядке? Один говорит ,что там 14, а другой, что там не больше 14 морковок. Следовательно, на второй грядке 14 морковок. Итак, на первой грядке 19 морковок, а на второй 14. Заметьте, что Винни-Пух в этом случае действительно оба раза ошибся.

Второй способ. Рассмотрим три утверждения про вторую грядку. «Не больше 14», «Ровно 14» и «Больше 14». Два из этих утверждений должны быть верны, а одно нет. Очевидно, что утверждения «Не больше 14» и «Больше 14» противоречат друг другу. Следовательно, ложное утверждение среди них. Тогда оставшееся утверждение точно верно. Значит, на второй грядке ровно 14 морковок и правду сказали Иа-Иа и Пятачок. Тогда утверждения «На первой меньше 20» и «На первой больше 18» оба верны. Следовательно, морковок 19, т.к. 18 < 19 < 20.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Все натуральные числа раскрасили в три цвета. Число 1 стало красным, 2 — синим, 3 — зелёным, 4 — красным, 5 — синим, 6 — зелёным, и так далее. Какого цвета может быть сумма красного и синего чисел?
(А) только зелёного
(Б) только красного
(В) только синего
(Г) красного или синего
(Д) может быть любого цвета

Ответ: А
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 17 орехов меньше, чем во втором и третьем вместе. Если из третьего ящика переложить во второй пять орехов, то во всех ящиках орехов станет поровну. Сколько орехов в каждом из ящиков?

Переложим из третьего ящика во второй пять орехов. Во всех ящиках орехов станет поровну. При этом в первом на 17 меньше, чем в третьем и втором. Но тогда в каждом ящике по 17 орехов. И соответственно, изначально было 17, 12, 22 орехов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2017 год

Задача:
Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:
90 − 72 : 6 + 3 = 82

Ответ: 90 − 72 : (6 + 3) = 82.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
На книжной полке стоят 50 книг по математике и физике. Никакие 2 книги по физике не стоят рядом, но рядом с каждой книгой по математике стоит другая книга по математике. Какое из следующих утверждений может быть неверным?
(А) книг по математике хотя бы 32
(Б) книг по физике не более 17
(В) есть 3 книги по математике, стоящие подряд
(Г) если книг по физике 17, то одна из них — первая или последняя на полке
(Д) среди любых 9 стоящих подряд книг хотя бы 6 — по математике

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 1997 год

Задача:
Сегодня пятница 21 марта. Какой из перечисленных дней тоже был пятницей?
(А) 1 марта
(Б) 17 марта
(В) 13 марта
(Г) 8 марта
(Д) 14 марта

Ответ: 14 марта
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
С полуночи до полудня Кот Ученый рассказывает сказки, а с полудня до полуночи спит под дубом. На дубе том висит плакат: «Два часа назад Кот делал то же самое, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки эта надпись верна?
(А) 6
(Б) 12
(В) 18
(Г) 3
(Д) 21

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2007 год

Задача:
Сторона квадратной изгороди равна 10 м. Вдоль всей изгороди через каждые 2 метра установлены столбики. Сколько всего столбиков установлено?

Ответ: 20 столбиков.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2019 год

Задача:
Ёжик неделю снимал игрушки с новогодней ёлки. В понедельник он снял 1 игрушку, а дальше каждый день снимал столько игрушек, сколько уже снял за все предыдущие дни. В воскресенье он снял последние игрушки. Сколько игрушек было на ёлке?

Ответ: 64 игрушки было на ёлке.
Решение:
В понедельник ёжик снял 1 игрушку, во вторник – 1, в среду – 2, в четверг – 4, в пятницу – 8, в субботу – 16, в воскресенье – 32. То есть всего он снял 64 игрушки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
Маша, Петя, Рома и Таня играли в футбол, и один из них разбил окно. Когда их спросили, кто это сделал, получили следующие ответы:
- Маша: «Это был Петя»;
- Петя: «Это был Рома»:
- Рома: «Это был не я»;
- Таня: «Это была не я».

Известно, что только один из ребят сказал правду. Кто на самом деле разбил окно?
(А) Маша
(Б) Таня
(В) Петя
(Г) Рома
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Решение:
Если Рома говорит правду, то Петя лжёт, и наоборот. Поскольку только один ребёнок говорит правду, значит, это либо Петя, либо Рома, и, следовательно, Маша и Таня лгут. Это означает, что Таня разбила окно. При этом Рома – тот, кто сказал правду.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 1 тур

Задача:
Федя каждый день ест одинаковое количество витаминок. Витаминки продаются в большой, средней или маленькой упаковке. В большой витаминок в три раза больше, чем в маленькой, а в средней в два раза больше, чем в маленькой. Большая упаковка у Феди полностью заканчивается ровно за 50 дней. Маленькой упаковки хватает только на 16 дней, но в ней после этого ещё остаётся несколько витаминок. На сколько дней хватит средней упаковки?

Ответ: 33 дня.
Решение:
Разложим витаминки из большой упаковки на 50 одинаковых кучек – по кучке на каждый день. 16 таких же кучек и ещё кучка поменьше соответствуют содержимому маленькой упаковки. Заметим, что в большой упаковке столько же витаминок, сколько в маленькой и средней вместе. Значит, всё остальное, то есть 33 кучки и дополнение маленькой кучки до большой соответствуют содержимому средней упаковки. Значит, средней упаковки хватит на 33 целых дня и ещё что-то останется.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Первый автомобилист поехал из точки А в точку В и сразу же вернулся обратно в точку А. Второй автомобилист поехал из точки B в точку А и сразу же вернулся обратно в точку В. Они ехали по одной и той же дороге, стартовали в одно и то же время, и скорость каждого из них была постоянной на протяжении всего пути. Скорость первого автомобилиста в 3 раза выше скорости второго. В первый раз они встретились через 15 минут после старта. Через какое время после старта они встретились во второй раз?
(А) 20 мин
(Б) 25 мин
(В) 30 мин
(Г) 35 мин
(Д) 45 мин

Ответ: В
Решение:
Пусть vA и vB — скорости первого и второго автомобилистов соответственно. Предположим, они впервые встречаются в точке М. Поскольку vA = 3vB, то AM = 3BM. Каждый из них преодолел эту дистанцию за 15 минут. Поскольку vA/vB > 2, вторая встреча произошла до того, как второй автомобилист достиг точки A, допустим, в точке N. Между встречами первый автомобилист преодолел расстояние MB + BM + MN, а второй расстояние MN. Поскольку MB + BM + MN = 3MN, имеем MB = MN. Таким образом, второй автомобилист преодолел от старта до второй встречи дистанцию BM + MN = 2BM за 2⋅15 = 30 мин.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Крошка Ру умеет писать только две цифры: 1 и 7. Он хочет написать несколько чисел, сумма которых равна 2013. Какое наименьшее количество чисел ему придётся написать?
(А) 2
(Б) 3
(В) 5
(Г) 7
(Д) 9

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Аня, Майя, и Люба принесли своих кошек делать прививку (каждая принесла одну кошку). Кошки у них разной породы: одна сибирская, другая сиамская, третья персидская. Девочки стали договариваться об очереди. Хозяйка сибирской кошки сказала: я первая не пойду. Хозяйка персидской кошки сказала: я пойду сразу после Ани. Хозяйка сиамской кошки сказала: если Майя не пойдёт второй, то я пойду сразу после Любы. Так они и сделали. В каком порядке заходили девочки, и какие у них кошки?

Ответ: 1 — Аня с сиамской кошкой, 2 — Майя с персидской кошкой, 3 — Люба с сибирской кошкой.
Решение:
Из третьего утверждения следует, что хозяйка сиамской кошки — Аня. Из второго утверждения следует, что Аня не третья.
Пусть Аня вторая. Тогда она идёт сразу после Любы, которая идёт первой. У первой не сибирская кошка, значит, персидская. Но хозяйка персидской кошки должна идти сразу после Ани. Противоречие.
Пусть Аня первая. Тогда за ней идёт девочка с персидской кошкой, а третья — девочка с сибирской кошкой. Аня не идёт. после Любы, так как Аня первая. Значит, в третьем утверждении не должно выполняться условие, и Майя идёт второй.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Миша из 63 карточек, на которых написаны только цифры 2, 3 и 4 составил число. Оказалось, что карточек, на которых написана цифра 2, на 22 больше, чем тех, на которых написана цифра 4. Помогите Мише найти остаток от деления его числа на 9.

Пусть 𝑥 — число двоек, 𝑦 — число троек, 𝑧 — число четвёрок. Тогда 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 63, 𝑥 = 𝑧 + 22. Отсюда 𝑦 + 2𝑧 = 41. Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Пусть 𝑆 — сумма цифр. Тогда 𝑆 = 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦 + 2𝑧 = 2 · 63 + 41 = 167. Ответ: 5.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Найдите три решения ребуса КА = Р ⋅ Ь = Е + Р, в котором буквы заменены цифрами так, чтобы равенства стали верными (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры).

Ответ:
1. 10 = 2 ⋅ 5 = 8 + 2
2. 12 = 3 ⋅ 4 = 9 + 3
3. 12 = 4 ⋅ 3 = 8 + 4
Олимпиада «Бельчонок», 11 класс, 2020-2021 год

Задача:
Для натуральных чисел $n$, $m$ и $k$ справедливы равенства $n − m = (\text{НОД}(n, m))^2$, $n \cdot m = k^2$. Найдите последнюю цифру числа $k$. Если полученных значений несколько, то в ответ запишите их в порядке убывания без пробелов.

Ответ: 046.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Торт весит 900 г. Павел разрезал его на несколько частей так, что самая большая часть весит столько же, сколько весят вместе все остальные части. Сколько весит бóльшая часть?
(А) 100 г
(Б) 200 г
(В) 300 г
(Г) 450 г
(Д) 600 г

Ответ: (Г) 450 г
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок собрал целую корзину ягод: 18 ягод малины, 25 ягод черники и 47 ягод ежевики. Но оказалось, что среди ягод малины и черники 23 плохих, среди ягод черники и ежевики – 38 плохих, а среди ягод малины и ежевики – 29 плохих. Сколько ягод оказались хорошими?

Ответ: 45 ягод.
Решение:
Всего ягод набрано 18 + 25 + 47 = 90. Теперь посчитаем все плохие ягоды: 23 + 38 + 29 = 90. Но каждая плохая ягода считается дважды, значит, плохих ягод половина от этого числа — 45. А хороших остаётся 90 − 45 = 45.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
У бельчонка есть чашечные весы и много орехов. На одну чашу весов он Положил орех массой 25 г, а затем последовательно на любую из чаш весов кладёт на чаши весов орехи массой 1 г, 2 г, 3 г и так далее (каждый следующий орех на один грамм тяжелее предыдущего). Какое наименьшее количество орехов ему потребуется, чтобы уравновесить чаши весов?

Ответ: 9 орехов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Длина удава – 12 м, или 48 попугаев. Какова длина попугая?
(А) 25 мм
(Б) 20 см
(В) 225 мм
(Г) 25 см
(Д) 20 см 5 мм

Ответ: 25 см
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
У Павлика есть 13 кубиков трёх разных размеров: маленькие со стороной 2 см, средние со стороной 3 см и большие со стороной 4 см. Павлик сложил 3 башенки: из всех больших, из всех средних и из всех маленьких. Все башенки оказались одинаковой высоты. Сколько средних кубиков было у Павлика?

Ответ: 4 кубика.
Решение:
Так как большие кубики в два раза больше маленьких, а башенки равны, то маленьких кубиков в два раза больше, чем больших. На каждый большой кубик приходится два маленьких. Если больших и маленьких вместе всего 3, то остаётся 10 средних кубиков, высота 10 средних больше, чем одного большого. Если 2 больших, 4 маленьких, то средних 7, тоже высота башенки из средних больше. Если 3 больших и 6 маленьких, то 4 средних и башенки равны по высоте.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
Дикарь Пятница написал в строчку несколько различных чисел, не превосходящих 10. Робинзон Крузо заметил, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое без остатка. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Пятница?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 3 тур

Задача:
В стране ДваЖдыДва города называются буквами русского. Жители страны заметили, что их девиз «БезМатематикиЖитьНельзя» точно описывает связь между городами: если какие-то буквы стоят рядом, то значит эти города соединены дорогой. К примеру город Ь соединён дорогой с городами Т, Н, Л и З. Можно ли объехать все города страны ДваЖдыДва, побывав в каждом ровно один раз? (Все города страны перечислены в девизе)

Ответ: нет, нельзя.
Решение:
Заметим, что города Б, Ж и Я соединены только с 1 другим городом (города Б и Я по краям, а город Ж «дважды соединён» с городом И). А значит, мы должны в таких городах либо начинать маршрут, либо заканчивать, т.к. в промежуточные города нужно «войти» и «выйти» (причём используя разные дороги).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Все числа, сумма цифр которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания. Чему равна самая маленькая разность между соседними числами в этом ряду?
(А) 6
(Б) 5
(В) 4
(Г) 3
(Д) 1

Ответ: (Д) 1
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2016 год

Задача:
Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

Ответ: Нет.
Решение:
Если требуемое в задаче возможно, то числа, кратные шести, должны разбиться на пары. Так как 800 = 133 ⋅ 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных шести, ровно 133. Противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары.
Замечание: Среди чисел от 1 до 800 остаток 0 при делении на 6 дают 133 числа, остаток 1 — 134 числа, остаток 2 — 134 числа, остаток 3 — 133 числа, остаток 4 — 133 числа, остаток 5 — 133 числа. Следовательно, противоречие также можно получить иначе. Например, число, дающее остаток 1, должно быть в паре с числом, дающим остаток 5. Значит, таких чисел должно быть поровну, что не так.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Во сколько раз миллион миллиардов отличается от миллиарда миллионов?
(А) в миллион раз больше
(Б) в миллиард раз больше
(В) в тысячу раз меньше
(Г) эти числа равны
(Д) в сто раз меньше

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 1 тур

Задача:
В восьмизначном числе 20102010 зачеркните три цифры так, чтобы получилось наименьшее из возможных пятизначное число.

Ответ: 10010.
Решение:
Поскольку число не может начинаться с нуля, то наименьшая цифра, с которой должно начинаться искомое число, это 1. Значит, необходимо зачеркнуть первые две цифры «20». Следующие цифры нужно сделать как можно меньше. Очевидно, что следует зачеркнуть ещё 2.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Сколько различных двузначных чисел, у которых первая цифра – 3, а последняя цифра больше, чем 5?

Ответ: 4 числа.
Решение:
Четыре числа: 36, 37, 38, 39.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
У Вани одноклассников на 9 больше, чем одноклассниц. Мальчиков в его классе в 3 раза больше, чем девочек. Аня — одноклассница Вани. Сколько у неё одноклассниц?

Ответ: 4 одноклассницы.
Решение 1:
Решаем задачу перебором.
- Допустим, у Ани 0 одноклассниц, в классе только одна девочка Аня, тогда у Вани 1 + 9 = 10 одноклассников, всего мальчиков в классе 1 + 10 = 11. Мальчиков в классе должно быть в 3 раза больше, чем девочек. Противоречие.
- Допустим, у Ани 1 одноклассница ...
- и так далее.

Решение 2:
Пусть x – мальчиков, y – девочек.
x − 1 = y + 9; x = 3y
3y − 1 = y + 9
2y = 10
y = 5; x = 15
В классе 5 девочек и 15 мальчиков.
У Вани 14 одноклассников и 5 одноклассниц. У Ани 4 одноклассницы.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Один странный мальчик по четвергам и пятницам говорит только правду, по вторникам всегда лжёт, а в остальные дни недели он может и солгать, и сказать правду. Семь дней подряд мальчика спрашивали, как его зовут. Первые шесть ответов, по порядку, были таковы: Женя, Боря, Вася, Боря, Петя, Боря. Как он ответил на седьмой день?
(А) Женя
(Б) Боря
(В) Петя
(Г) Вася
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 1 тур

Задача:
Егор выписал несколько подряд идущих двузначных чисел. Оказалось, что каждая цифра выписана хотя бы один раз. Какое минимальное количество чисел мог выписать Егор?

Ответ: 8
Решение:
Докажем, что Егор не мог выписать менее 8 чисел. Для того, чтобы в записи 7 чисел встречались все 10 цифр, нужно, чтобы хотя бы у трёх выписанных чисел в записи участвовали 5 разных цифр. Иначе не наберётся 10 разных цифр. Но тогда среди выписанных 7 чисел была два раза смена цифры десятка. А среди 7 последовательных чисел это невозможно. Пример на 8 чисел: 13 14 15 16 17 18 19 20.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2012 год

Задача:
На научную конференцию приехали физики и химики. Все они делятся на теоретиков и экспериментаторов. Известно, что теоретики всегда врут, а экспериментаторы всегда говорят правду. Очередной докладчик начал своё выступление с заявления «Я химик-теоретик». Кем на самом деле является докладчик?

Ответ: физик-теоретик.
Решение:
Поскольку все теоретики врут, то докладчик не мог сказать правду. Но тогда он теоретик. Но он не может быть химиком-теоретиком, поскольку тогда бы его утверждение было бы верно. Следовательно, докладчик – физик-теоретик.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год

Задача:
Ирина выписала на доску в ряд некоторые целые числа от 0 до 999. В итоге получилось длинное число. Полина записала на свою часть доски все оставшиеся целые числа из этого же диапазона, в итоге получилось второе длинное число. Могли ли эти два длинных числа совпасть?

Ответ: не могли.
Решение:
Предположим, что эти два длинных числа совпали. Тогда в одном из них встретится число 100. В другом числе такую последовательность цифр можно получить только приписыванием числа 0 к числу, кратному десяти (например, к числу 210 справа приписали 0).
Но в одном из длинных чисел присутствует число 200, и его, так как 0 уже занят, не получится воспроизвести во втором числе.
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Егор рисует фигуры четырёх разных цветов в следующем порядке: красный круг, синий треугольник, зелёный квадрат, жёлтый круг, красный треугольник, синий квадрат, зелёный круг, … Какого цвета и формы фигура будет на 14 месте?

Синий треугольник
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 2 тур

Задача:
Три разбойника нашли клад из 9 изумрудов – весом 3, 4, 7, 8, 9, 12, 17, 21, 22 граммов. Они хотят разделить изумруды так, чтобы каждому досталось по три штуки, при этом старшему в 2 разабольше по весу, чем среднему, а среднему – в 2 раза больше, чем младшему. Смогут ли они поделить изумруды таким образом? Если можно, то как, если нельзя, то почему.

Ответ: Не смогут.
Решение:
Предположим, что поделить получилось. Тогда младшему досталось А грамм, среднему 2А грамм (в 2 раза больше), а старшему – 4А грамм (в 4 раза больше, чем младшему). То есть всего должно быть 7А грамм. То есть общий вес изумрудов должен делиться на 7. Но сумма равна 103 грамма и на 7 не делится.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок празднует свой день рождения 9-го февраля. Чтобы хорошо отдохнуть, он лёг спать в полдень 16 января. В полдень в пятницу он проснулся, сразу же заснул снова, проспал в три раза дольше и проснулся в полдень 9-го февраля. На какой день недели приходится день рождения бельчонка?

Ответ: Вторник.
Решение:
Всего бельчонок спал в течение 24 полных суток, значит, просыпался он после 6 суток, то есть 22 января, это и есть пятница. Следовательно, 29 января опять пятница, 31 января воскресенье, а 9 февраля — это вторник.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Сеня задумал два числа, потом вычел из большего меньшее, сложил оба числа и разность, и получил 68. Каким было большее из задуманных чисел?

Ответ: 34.
Решение:
Вычитаемое плюс разность равно уменьшаемому. Поэтому удвоенное уменьшаемое равно 68.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 6 тур

Задача:
Существует ли тройка последовательных натуральных чисел, каждое из которых равно произведению двух простых чисел?

Наименьшая такая тройка: 33 = 3 · 11, 34 = 2 · 17, 35 = 5 · 7. Ещё несколько примеров: 85 = 5 · 17, 86 = 2 · 43, 87 = 3 · 29; 93 = 3 · 31, 94 = 2 · 47, 95 = 5 · 19. Можно отметить, что в каждой тройке из примеров все простые разные.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
На каждой кочке в маленьком болотце сидят не меньше, чем по 3 лягушки, а всего лягушек – 145. Тогда число кочек в этом болотце не может равняться:
(А) 1
(Б) 23
(В) 31
(Г) 44
(Д) 55

Ответ: Д