d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
В воскресение утром длина червячка Кеши была 6 см. К вечеру его длина увеличилась на половину от утренней, а за ночь его длина увеличилась на треть от вечерней. Какой стала длина червячка Кеши в понедельник утром?
(А) 10 см
(Б) 11 см
(В) 12 см
(Г) 13 см
(Д) 14 см

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Мама, папа, Вася и Нина лепили пельмени. Мама и Нина слепили на 4 пельменя больше, чем папа и Вася, а мама и папа — на 2 больше, чем Вася и Нина. Потом Вася и мама ушли, а Нина и папа продолжали лепить с той же скоростью, и каждый налепил ещё в два раза больше пельменей, чем сначала. Кто теперь налепил больше пельменей, мама и папа вместе или Вася и Нина вместе?

Ответ: Поровну.
Решение:
Две мамы, Нина и папа слепили на бпельменей больше, чем два Васи, Нина и папа, значит, мама слепила на 3 пельменя больше, чем Вася. Тогда Нина слепила на 1 пельмень больше, чем папа. После перерыва Нина слепила на 2 пельменя больше, чем папа, а всего вместе на 3 пельменя больше, чем папа. У мамы осталось на 3 пельменя больше, чем у Васи. Поэтому мама и папа налепили столько же пельменей, сколько Вася и Нина.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2006 год

Задача:
Биологи посадили в ботаническом саду саженец бамбука высотой 2 метра. Вася сделал зарубку на высоте 1 метр. Известно, что бамбук растёт со скоростью 1 метр в сутки. На какой высоте окажется Васина зарубка через 10 суток?

Ответ: 11 метров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Дата 1 марта 2005 года может быть записана трёмя последовательными нечётными числами, расположенными в порядке возрастания: 01.03.05. Сколько всего дат с таким свойством (включая названную) будет в нынешнем веке?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 15
(Д) 18

Ответ: (А) 5
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-правдивцы и бельчата-лжецы, правдивцы всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды на поляне собрались 2043 бельчат и встали в круг. Каждого из них попросили назвать своего правого соседа, и каждый ответил либо «правдивец», либо «лжец». Могло ли оказаться, что ответов «правдивец» было ровно 2022?

Ответ: Не могло.
Решение:
Рассмотрим пару рядом стоящих и будем считать только то, что сказал левый сосед. Тогда в этой паре левый бельчонок мог сказать «правдивец» в случае только, если пара ПП или ЛЛ. Аналогично левый мог сказать «лжец» только в случаях ЛП и ПЛ. Таким образом, количество ответов «лжец» равно количеству смешанных пар. Множество всех бельчат в круге разбивается на области одного типа П…П и Л…Л. И смешанные пары могут быть только на границе этих областей. Следовательно, количество смешанных пар в точности равно количеству областей. Но количество областей не может быть нечётным, поскольку области правдивцев и лжецов чередуются. Поэтому сказать «лжец» могли только чётное число бельчат. Если всего опросили 2043 бельчат, а «правдивец» сказали 2022, значит, «лжец» сказали 21. Но это нечётное число, а, как было доказано выше, такого быть не может.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
На столе стоят четыре вазы, в которые разложили несколько конфет. Количество конфет в первой вазе совпадает с количеством ваз, в которых находится одна конфета. Количество конфет во второй вазе совпадает с количеством ваз, в которых находятся две конфеты. Количество конфет в третьей вазе совпадает с количеством ваз, в которых находятся три конфеты. Количество конфет в четвёртой вазе совпадает с количеством ваз, в которых нет конфет. Сколько всего конфет находится в четырёх вазах?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Решение:
Если бы в любой из ваз было бы больше 4 конфет, то это привело бы к противоречию, поскольку ваз всего 4. Если бы в одной из 4 ваз было 4 конфеты, это привело бы к противоречию, поскольку не подходит ни под одно из условий. Таким образом, в вазах может находиться только 0, 1, 2 или 3 конфеты. Общее количество сладостей равно количеству ваз (т.к. в каждой вазе количество конфет соответствует количеству ваз). Возможны как минимум два распределения в четырёх вазах: 2, 1, 0, 1 или 0, 2, 0, 2. И то, и другое дают в сумме 4 конфеты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Летом дети ездили на велосипедах с дачи на озеро. От дачи до озера 3 км. Игорь проезжал весь путь за 10 минут, Маша ехала в 2 раза дольше, а Аня ехала быстрее Маши, но медленнее Игоря. Какая скорость могла быть у Ани?
(А) 20 км/ч
(Б) 18 км/ч
(В) 12 км/ч
(Г) 9 км/ч
(Д) 6 км/ч

Ответ: (В) 12 км/ч
Олимпиада «Весенний Олимп», 2 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Кенга и Крошка Ру прыгают по прямой:
- сначала Крошка Ру прыгает на четыре метра вперёд
- затем Кенга прыгает на шесть метров вперёд
- затем Крошка Ру прыгает на четыре метра вперёд
- затем Кенга прыгает на шесть метра вперёд
- и так далее: после каждого прыжка Кенги Крошка Ру прыгает на четыре метра, а после каждого прыжка Крошки Ру Кенга прыгает на шесть

1. Сколько метров пропрыгала Кенга к тому моменту, как Крошка Ру впервые окажется не ближе 15 метров от точки своего старта?
2. Если предположить, что Кенга и Крошка Ру начали прыгать из одной точки в одном направлении, то сколько будет точек, в которых приземлялись и Кенга, и Крошка Ру, находящихся не далее 90 метров от точки старта?

Если предположить, что Кенга и Крошка Ру начали прыгать из одной точки в одном направлении, то сколько будет точек, в которых приземлялись и Кенга, и Крошка Ру, находящихся не далее 90 метров от точки старта?
Комментарий: Точку старта считать не нужно!

Ответ: А) 18 метров; Б) 7 точек.
Решение:
Будем точки приземления обозначать их расстоянием (в метрах) от точки старта.
Крошка Ру приземляется в точках: 4, 8, 12, 16 и так далее (во всех, кратных 4).
Кенга приземляется в точках: 6, 12, 18, 24 и так далее (во всех, кратных 6).
Крошка Ру впервые оказался не ближе отметки в 15 метров, сделав 4 прыжка. Значит, к этому моменту Кенга сделала 3 прыжка, пропрыгав 18 метров.
Точки, в которых приземлялись и Кенга, и Крошка Ру, одновременно кратны 4 и 6, то есть кратны 12. Точек, кратных 12, и не превышающих 90, ровно семь: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2013 год

Задача:
Крош, Ёжик и Нюша тянули жребий (три палочки разной длины).
- Крош сказал: «У меня средняя палочка!».
- Ёжик сказал: «У меня короче, чем у Кроша»,
- а Нюша сказала: «А у меня короче, чем у Ёжика!».

Кому досталась самая длинная палочка, если все сказали неправду?

Ответ: Самая длинная палочка досталась Нюше.
Решение:
Ёжик солгал, что его палочка короче, чем у Кроша. Значит, его палочка длиннее палочки Кроша, поскольку равных палочек нет. Нюша солгала, что её палочка короче, чем у Ёжика. Значит, её палочка длиннее палочки Ёжика. А раз у Нюши длиннее, чем у Ёжика, а у Ёжика длиннее, чем у Кроша, то выходит, что самая длинная палочка досталась Нюше.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Из трёхзначного числа вычли сумму каких-то двух его цифр и получили 777. Найдите исходное число.

Ответ: 793 (вычли 16=9+7).
Решение:
Так как максимум можно было вычесть 18 (9+9), а минимум 7 (7+0), то число следует искать среди 12 чисел от 784 до 795.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2021 год

Задача:
Башня P выше, чем башня R, но ниже, чем башня Q. Башня S выше, чем башня Q. Какая башня самая высокая?
(А) P
(Б) Q
(В) R
(Г) S
(Д) нельзя сказать

Ответ: Г
Из трёх башен P, Q, R из первого предложения понятно, что R – самая высокая башня, а во втором предложении утверждается, что S выше Q. Значит S – самая высокая.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2016 год

Задача:
Сколько времени остаётся до полуночи, если сейчас половина девятого вечера?
(А) 210 минут
(Б) 180 минут
(В) 150 минут
(Г) 120 минут
(Д) 90 минут

Ответ: 210 минут
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
В комнате сидели 4 жителя Острова рыцарей и лжецов. Их спросили: «Сколько среди вас рыцарей?» Было получено 4 разных ответа. Сколько рыцарей могло быть в комнате? Перечислите все варианты. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут)

Ответ: 1 или 0.
Решение:
Заметим, что все рыцари должны дать одинаковый ответ. Поэтому, если ответы разные, то не может быть больше одного рыцаря. Оба варианта могут быть: ответы 1,2,3,4 – один рыцарь, ответы 2,3,4,5 – 0.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2022 год

Задача:
В классе 31 ученик. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать. Сколько друзей у 31-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)

Ответ: 15.
Решение:
Пусть у 31-го ученика 𝑥 друзей.
Рассмотрим трёх людей, каждый из которых имеет по 30 друзей в классе. Всего в классе 31 ученик, поэтому они дружат со всеми одноклассниками.
Давайте выгоним их из класса. Тогда у каждого человека количество друзей уменьшится на 3:
- у первой тройки станет по 0 друзей;
- у второй тройки станет по 3 друга;
- …
- у девятой тройки станет по 24 друга;
- у последнего ученика станет 𝑥 − 3 друга.

Троих учеников, у которых нет друзей, тоже выгоним из класса. Тогда конфигурация примет следующий вид:
В классе 25 учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по 24. У последнего ученика 𝑥 − 3 друга.
Повторим аналогичное действие ещё 4 раза. Тогда в классе останется только последний ученик, и у него будет 𝑥 − 15 друзей. Так как в этот момент в классе больше не осталось людей, то 𝑥 = 15.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 3 тур

Задача:
В банкетный зал на празднование юбилея кавказского долгожителя вошли в некотором порядке Анатолий Анатольевич, Анатолий Иванович, Иван Иванович, Иван Анатольевич, Константин Иванович, Иван Константинович, Константин Сергеевич и Виктор. Оказалось, что за каждым, кроме последнего входил его сын. Какое отчество у Виктора?
Комментарий: За каждым входящим сразу же (а не через несколько человек) входил его сын.

Ответ: Константинович.
Решение:
Заметим, что Виктор – последний, так как нет никого с отчеством Викторович. Далее – нет Сергея, поэтому Константин Сергеевич – зашёл первым. Константинов двое, а Константиновичей только один. Значит, Виктор может быть только Константиновичем. Пример показывает, что такое возможно.
Замечание: Одного ответа недостаточно. Необходимо показать, что войти люди могли только так: КС, ИК, ИИ, АИ, АА, ИА, КИ, В.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Если кенгуру научится прыгать в 1,5 раза дальше, чем умеет, ему понадобится ровно 6 прыжков, чтобы добраться до тенистого дерева. За сколько прыжков кенгуру может это сделать сейчас?
(А) 3
(Б) 4
(В) 6
(Г) 9
(Д) невозможно определить

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Стёпа учится в школе. Если цифры в его возрасте поменять местами, то получится возраст его дедушки, которому больше 60 лет, но меньше 70. На сколько лет Стёпа моложе дедушки?
(А) 40
(Б) 42
(В) 44
(Г) 45
(Д) 48

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2020 год, 2 тур

Задача:
Буквы А, И, Б, О сидели на трубе. Одна буква упала с трубы один раз, другая − два раза, а остальные попадали по три раза. Сколько раз упала с трубы буква А, если буква И упала не три раза, буквы А и Б падали разное количество раз и буквы О и Б падали разное количество раз?

Ответ: 3 раза
Решение:
Поскольку буква И упала не три раза, то она упала два или один раз. В любом случае не было букв, падающих с ней одинаковое количество раз. Тогда среди трёх остальных букв две буквы упали одинаковое число раз, то есть 3. Из условия, что буквы А и Б падали разное количество раз и буквы О и Б падали разное количество раз следует, что одинаковое число раз упали А и О.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
Никита терпеливо выписал все трёхзначные числа, цифры которых идут в убывающем порядке. Чему равна разность между самым большим и самым маленьким из этих чисел?
(А) 665
(Б) 777
(В) 800
(Г) 899
(Д) 966

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Какой самый большой результат может получиться, если в выражении ЗА + ДАЧ + КА заменить каждую букву какой-то цифрой (разные буквы заменяются разными цифрами)?
(А) 1131
(Б) 1129
(В) 1127
(Г) 1125
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 4 тур

Задача:
Петя и Вася играют. Перед ними две коробочки — красная и синяя. Петя за ход может положить либо 1 спичку в красную коробочку, либо 2 спички в синюю. Вася за ход может положить либо 2 спички в красную коробочку, либо 1 спичку в синюю. Начинает Петя. Выигрывает тот, после хода которого впервые появится коробочка с числом спичек, большим 179. Кто может обеспечить себе победу?

Ответ: Победит Вася.
Решение:
Пусть Вася всегда кладёт спички в ту же коробку, что и Петя. Тогда в любой момент после хода Васи в каждой коробке количество спичек кратно трём, а после хода Пети — не кратно. Заметим также, что все количества спичек в коробке, кратные трём, будут появляться без пропусков (ход Пети прибавляет к числу, кратному 3, всего 1 или 2). Рассмотрим тот момент, когда в одной из коробок станет 177 спичек. Это случится, так как сумма чисел в коробках увеличивается каждым ходом хотя бы на 1. Поскольку 177 кратно 3, сейчас ходить Пете. Если Петя положит что-то в неё, в ней станет не более 179 спичек. И Вася выиграет следующим ходом, доложив в неё спичек до 180.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
В магазине продаются модели машинок трёх видов: по 15 руб., 21 руб. и 28 руб., а набор из трёх таких машинок стоит 56 рублей. Мама обещала Пете купить все три модели. Сколько рублей можно сэкономить, если купить набор, а не все три машинки по отдельности?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: (Д) 8
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2020 год, 1 вариант

Задача:
Три купца: Фома, Ерёма и Юлий встретились в Новгороде. Если Фома отдаст Ерёме 70 золотых монет, то у Ерёмы и Юлия будет поровну денег. Если Фома отдаст Ерёме 40 золотых монет, то у Фомы и Юлия будет поровну денег. Сколько золотых монет должен отдать Фома Ерёме, чтобы у них двоих стало поровну денег?

Ответ: 55 монет.
Решение:
Из первого условия следует, что у Юлия на 70 монет больше, чем у Ерёмы. Из второго условия следует, что у Фомы на 40 монет больше, чем у Юлия. Значит, у Фомы на 40 + 70 = 110 монет больше, чем у Ерёмы. Чтобы денег у них стало поровну, Фома должен отдать Ерёме половину этой разницы, равную $\frac{110}{2}$ = 55 монетам.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
Какое число обозначает ∆ в равенстве ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = 20?
(А) З
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

5
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2017 год

Задача:
Дома вдоль единственной улицы в Цветочном городе решили пронумеровать, для чего изготовили таблички с цифрами. Оказалось, что табличек с цифрой 1 потребовалось на 12 штук больше, чем табличек с цифрой 0. Какое наименьшее количество домов может быть на этой улице? Ответ объясните.

Ответ: 110
Решение:
Заметим, что в записи чисел от 1 до 10 две единицы и один нуль. Среди чисел от 11 до 19 - нет нулей и 10 единиц (две единицы у числа 11 и по одной у каждого следующего). Таким образом, при появлении числа 19 количество единиц впервые превысит количество нулей на 11. В каждом следующем десятке 20-29, 30-39, …, 90-99 ровно один 0 и ровна 1 единица. Причем сначала увеличивается количество нулей, а потом - единиц. Таким образом, в записи чисел с 1 до 99 единиц на 11 больше и ни в какой момент времени количество единиц не будет превышать количество нулей на 12. Добавим 100. Теперь единиц стало на 10 больше, 101 – снова на 11. Числа 102, …, 109 не изменят разницу. И только число 110 даёт вклад две единицы и один ноль и разность впервые становится равной 12.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
В салоне самолёта ряды пассажирских сидений имеют номера от 1 до 25, но номер 13 пропущен. В пятнадцатом ряду, где находится аварийный выход, только 4 места, а во всех остальных рядах по 6 мест. Сколько всего пассажирских мест в самолете?
(А) 120
(Б) 138
(В) 142
(Г) 144
(Д) 150

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Натуральное число 𝑛 назовём небольшим, если в его десятичной записи встречаются только цифры 0, 1 или 2. При каком наименьшем 𝑘 любое натуральное число можно представить в виде суммы не более 𝑘 небольших чисел?

Заметим, что число 9 нельзя получить сложив менее чем 4 небольших числа. А любое число можно получить складывая 5 небольших чисел. Для этого достаточно в каждом разряде складывать необходимое количество двоек, единиц или нулей соответственно.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Дворник работает по вторникам, пятницам и нечётным числам. Какое наибольшее количество дней подряд он может работать?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: (Г) 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
У Васи на куртке 5 карманов. На двух карманах по две пуговицы, а на каждом из остальных — по одной. Сколько всего пуговиц на этих пяти карманах?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

7
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Биссектриса BL угла B в треугольнике ABC делит сторону AC в отношении 1 : 2 (AL : LC = 1 : 2). Какой угол образует эта биссектриса с медианой, проведённой из вершины A?
(А) 20°
(Б) 30°
(В) 45°
(Г) 60°
(Д) 90°

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
В клетки квадрата 3 × 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?
(А) 16
(Б) 15
(В) 14
(Г) 12
(Д) 9

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Каково наибольшее возможное значение площади выпуклого четырёхугольника, если длины его последовательных сторон равны 1, 4, 7 и 8?
(А) 12
(Б) 14
(В) 16
(Г) 18
(Д) 30

Ответ: Г
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
В левой нижней клетке доски 10 × 10 сидит 3 жука. Каждую секунду каждый жук перемещается в правую или верхнюю соседнюю клетку. Через 18 секунд все жуки собрались в правой верхней клетке. Какое наибольшее количество клеток, посещённых хотя бы одним жуком, может оказаться на этой доске?

Заметим, что в 0-ю и 18-ю секунду жуки сидят на одной клетке (это уже 2 посещённых), в 1-ю и 17-ю жуки сидят как максимум на 2-х клетках (это ещё 2 + 2 = 4 посещённых, итого 2 + 4 = 6 клеток). Во все остальные 15 секунд жуки могут занимать 3 различные клетки, то есть максимум может быть посещено 15 + 6 = 51 клетка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
В коробке лежало семь карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 (на каждой карточке по одной цифре). Первый мудрец взял три из этих карточек, а второй взял две. Посмотрев на свои карточки, первый мудрец догадался, что сумма чисел на карточках второго — чётное число. Чему равна сумма цифр на карточках первого мудреца?
(А) 6
(Б) 9
(В) 10
(Г) 12
(Д) 15

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2015 год, 2 этап

Задача:
На поляне собрались 25 гномов. Известно, что:
1. каждый гном, который надел колпак, надел и обувь;
2. без колпака пришли 12 гномов;
3. босиком пришло 5 гномов.

Каких гномов и на сколько больше: тех, кто пришёл в обуви, но без колпака, или тех, кто надел колпак?

Ответ: Тех, кто надел колпак, на 6 больше.
Решение:
Из условия 2 следует, что в колпаке пришли 25 − 12 = 13 гномов.
Из условия 1 получаем, что ровно 13 гномов пришли и в колпаке, и в обуви.
Из условия 3 следует, что всего в обуви пришло 25 − 5 = 20 гномов.
Значит, 20 − 13 = 7 гномов пришли в обуви, но без колпака. Итак, тех, кто надел колпак (13 гномов), больше, чем тех, кто пришёл в обуви, но без колпака (7 гномов), ровно на 6 гномов.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
В каждой ячейке таблицы 3 × 3 записано некоторое число, причём в каждой ячейке, в которой есть соседняя ячейка слева, записанное число, вдвое больше того, которое записано в соседней ячейке слева, а в каждой ячейке, в которой есть соседняя ячейка сверху, записанное число, втрое больше того, которое записано в соседней ячейке сверху. Известно, что сумма всех девяти чисел равна 182. Какое число записано в центральной ячейке таблицы?

Пусть в левой верхней ячейки записано число 𝑥. Тогда в таблице будут такие числа (по строчкам, сверху вниз): 𝑥, 2𝑥, 4𝑥; 3𝑥, 6𝑥, 12𝑥; 9𝑥, 18𝑥, 36𝑥. Их сумма равна 91𝑥 = 182, откуда 𝑥 = 2. А в центральной ячейке записано число 6𝑥 = 12.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Три сестры Анна, Ева и Лиза одинаково быстро и хорошо умеют навести порядок в квартире. Если любые две из этих девочек будут работать вместе, то справятся с уборкой за час. Сколько времени они потратят на уборку, если будут работать все трое вместе?
(А) 20 минут
(Б) 30 минут
(В) 40 минут
(Г) 45 минут
(Д) 60 минут

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Листок бумаги имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 4 и 6. Этот листок складывают один раз по прямой. При этом контур сложенного листка образует некоторый k-угольник. Перечислите все возможные значения k.
(А) 3
(Б) 3, 4
(В) 3, 4, 5
(Г) 3, 4, 5, 6
(Д) 3, 4, 5, 6, 7

Ответ: Д
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2022 год

Задача:
Если числа 19, 7, 12, 4 и 10 записать в порядке возрастания, какое число окажется третьим?

Число 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2016 год

Задача:
Незнайка и Растеряйка спешно собирались в путешествие. Незнайка надел сначала майку, потом фуфайку, потом рубашку и потом жилетку. Растеряйка надел такую же одежду, но ни одну вещь он не надевал той же по счёту, что и Незнайка, и если какая-то одежда была соседней у Незнайки, то у Растеряйки эти вещи соседними не были. В каком порядке одевался Растеряйка, если первой он надел не рубашку?

Ответ: Фуфайка, жилетка, майка, рубашка.
Решение:
Пусть Ф – фуфайка, М – майка, Р – рубашка, Ж – жилетка. Тогда Незнайка одевался так: МФРЖ. Поскольку первой Растеряйка надел не рубашку, то первой он надел жилетку или фуфайку. Разберём оба случая.
1) первая – Жилетка. Тогда на втором месте не может быть Ф, потому что она на втором же месте у Незнайки. И не может быть Р, так как у Незнайки Ж и Р соседние. Значит вторая надетая вещь – Майка. Но тогда на третьем месте не может быть ни Р (она третья у Незнайки), ни Ф – она соседняя с М у Незнайки. Этот случай невозможен.
2) первая – Фуфайка. Тогда на втором месте Ж, та как М и Р соседние с Ж у Незнайки. На третьем месте не может быть Р, значит получается ФЖМР, что удовлетворяет условию. Других вариантов нет.
Олимпиада «Весенний Олимп», 5 класс, 2011 год, 1 тур

Задача:
На острове Выйгач живут три племени: рыбаки, которые говорят только правду; хитрецы, которые всегда лгут, простаки, которые говорят правду, если до его фразы была сказана правда, ложь, если до его фразы была сказана ложь, а если начинают разговор первыми, могут сказать что угодно - и правду, и ложь.
Встретились три представителя от каждого племени, и между ними состоялся следующий разговор:
- 1-ый : "Оба вы пираты".
- 2-ой : "Да, 3-ий – пират".
- 3-ий : "Я – не пират".
- 1-ый : "Мы с 3-им из одной деревни".
- 3-ий : "Я – не простак".
- 2-ой : "Я – не хитрец".
- 1-ый : "И я – не хитрец".

Определите, кто есть кто, если у каждого племени – своя деревня.

Пусть первый – рыбак. Тогда второй и третий – пираты. Значит, третий – хитрец, но хитрец не может сказать "Я не простак". Противоречие.
Пусть первый – хитрец. Тогда второй не может быть рыбаком: в этом случае третий был бы простаком и не мог бы сказать, что он не пират, т.к. эта фраза сказана за правдивой фразой. Значит, второй – простак, а третий – рыбак (нетрудно убедиться, что при этом разговор непротиворечив).
Пусть первый – простак. Тогда второй не хитрец (т.к. его последняя фраза правдива). Значит, второй – рыбак, а третий – хитрец. Но хитрец не может сказать, что он не простак. Противоречие.
Ответ: Первый – хитрец, второй – простак, третий – рыбак.