d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 1 тур

Задача:
В настольной игре перед её началом одну карточку кладут на стол, а остальные раздают поровну между игроками. Какое наименьшее число карточек может быть в этой игре, чтобы в неё можно было играть вдвоём, втроём, вчетвером, впятером, вшестером?

Ответ: 61.
Решение:
Выясним, какое количество карточек раздают между игроками. Это количество должно делиться на 3, 4 и 5. Числа 3, 4 и 5 попарно взаимно просты, следовательно, это количество должно делиться на произведение этих трёх чисел – 60. Это число делится и на 2, и на 6. Наименьшее натуральное число делящееся на 60 – это 60, ещё одну карточку кладут на стол в начале игры, следовательно, наименьшее число карточек – 61.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
В школе для зверей учатся 3 котёнка, 4 утёнка, 2 гусёнка и несколько щенков. Когда учитель пересчитал лапы всех своих учеников, получилось 44. Сколько щенков учится в школе?
(А) 6
(Б) 5
(В) 4
(Г) 3
(Д) 2

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Вася и его собака гуляют вокруг озера по аллее, длина которой 500 м. Неожиданно собака срывается с поводка и бежит со скоростью 10 км/ч. Вася бежит за ней со скоростью 8 км/ч. Когда он видит, что собака удалилась от него на 250 метров, он разворачивается и бежит ей навстречу. Через сколько минут после начала бега они встретятся?
(А) 10
(Б) 9
(В) 8$\displaystyle \frac{2}{3}$
(Г) 8$\displaystyle \frac{1}{3}$
(Д) 5

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Какое из утверждений А-Г неверно?
(А) произведение любых двух нечётных чисел — нечётное число
(Б) произведение любых двух нечётных функций — нечётная функция
(В) произведение любых двух чётных чисел — чётное число
(Г) произведение любых двух чётных функций — чётная функция
(Д) все утверждения А-Г верны

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Петя, Гена, Дима и Вова занимаются в спортивных секциях: гимнастической, баскетбольной, волейбольной и лёгкой атлетики. Волейболист старше Пети и Димы, хотя и учится с ними в одном классе. Петя и Гена на тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит на автобусе. Легкоатлет не знаком ни с баскетболистом, ни с волейболистом. Кто в какой секции занимается?

Из условия «волейболист старше Пети и Димы, хотя и учится с ними в одном классе» следует, что Петя и Дима не являются волейболистами. Из условия «Петя и Гена на тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит на автобусе» следует, что они не гимнасты. Раз «легкоатлет не знаком ни с баскетболистом, ни с гимнастом», но волейболист знаком с Петей и Димой, так как учится с ними в одном классе, то ни Петя, ни Дима не легкоатлеты. Значит Петя – баскетболист. Но он знаком и с Димой, и с Геной, а легкоатлет не знаком с баскетболистом, значит легкоатлет – Вова. Значит гимнаст – Дима, а волейболист – Гена.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
В ряд лежали 6 квадратных фишек. Между каждыми двумя соседними фишками Соня положила круглую фишку. Потом Ярик между каждыми соседними фишками в новом ряду положил по треугольной фишке. Сколько фишек положил Ярик?
(А) 7
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 11

Ответ: 10
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.

Ответ: Наименьшая разность равна 1, например, между числами 49999 и 50000. Разность меньше 1 быть не может, так речь идёт про разность различных натуральных чисел.
Решение:
Понятно, что если два соседних числа отличаются только в разряде единиц, то разность между ними равна 5 (например, 523 и 528). Значит, нужно, чтобы числа отличались и в других разрядах. Можно попробовать взять большее число круглым, тогда числа будут отличаться минимум в двух разрядах. Возьмем, например, 50, предыдущее число 46, а разность равна 4. Если взять 500, то предыдущее число 497 и разность равна 3. Осталось подобрать такое число нулей, чтобы разность была равна 1.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Числа a, b и c таковы, что a : b : c равно 1 : 2 : 3. Чему равно (a + b) : (b + c) : (c + a) ?
(А) 2 : 3 : 4
(Б) 3 : 5 : 4
(В) 3 : 5 : 6
(Г) 4 : 6 : 5
(Д) 2 : 6 : 5

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2018 год, первая лига

Задача:
Аня, Боря, Витя, Гриша и Даша стояли в очереди за мороженым. Боря купил мороженое позже Гриши, зато раньше Вити. Аня не стояла рядом с Гришей, а Даша вообще не стояла ни с кем из мальчиков. Определите, в каком порядке ребята стояли в очереди.

Ответ: ГБВАД
Решение:
Тройка ГБВ обязательно стоит в таком порядке, но возможно между ними кто-то ещё стоит. Чтобы Даша не стояла ни с каким мальчиком, нужно чтобы между ней и группой мальчиков кто-то стоял. Это может быть только Аня, но поскольку сама Аня не может быть рядом с Гришей, то Аня рядом с Витей. И последняя Даша.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
В этом году конкурс «Кенгуру» проводится в России в двадцатый раз. Федин папа участвовал в самом первом конкурсе, когда учился в десятом классе. Сколько лет ему может быть сейчас?
(А) 20
(Б) 27
(В) 37
(Г) 50
(Д) 55

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 1-2 класс, 2023 год

Задача:
Аня участвовала в соревновании по танцам. Она выступала третьей. Между ней и последним участником выступили ещё трое танцоров. Сколько всего танцоров участвовало в этом соревновании?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Г
Решение:
Аня выступала третьей, поэтому в конкурсе участвуют как минимум 3 танцора, включая её. После Ани выступили ещё 3 танцора и танцор, который выступал последним. Таким образом, всего в конкурсе участвовало 3 + 3 + 1 = 7 танцоров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Жук Жужик прополз 3 м на север, потом 1 м на восток, потом 2 м на юг и 3 м на запад. Каким путём он может вернуться обратно?
(А) 2 м на юг и 2 м на восток
(Б) 3 м на восток и 1 м на север
(В) 1 м на юг и 2 м на восток
(Г) 1 м на север и 2 м на восток
(Д) 3 м на восток и 2 м на север

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
На 900 карточках записаны все натуральные числа от 1 до 900. Карточки, на которых записаны квадраты целых чисел, убирают, а оставшиеся перенумеровывают, начиная с 1. Потом операцию удаления квадратов повторяют. Сколько раз придётся повторить эту операцию, чтобы удалить все карточки?

Ответ: 59 раз.
Решение:
При первой операции удалится 30 карточек, останется 900 − 30 = 30 ⋅ 29 карточек. Поскольку 30 ⋅ 29 > 29^2, все квадраты, кроме 30^2, остались. При второй операции удалится 29 карточек. Останется 30 ⋅ 29 − 29 = 29^2 карточек. Таким образом, за две операции перешли от числа 30^2 к числу 29^2.
Запишем в общем виде: при первой операции удалится $n$ карточек, останется $n^2 - n = n(n - 1) > (n − 1)^2$, при второй операции удалится $n - 1$ карточка. Останется $n^2 - n - (n - 1) = (n - 1)^2$, то есть за две операции всегда переходят от числа $n^2$ к числу $(n - 1)^2$. Всего среди чисел от 1 до 900 содержится 30 квадратов, между ними 29 переходов. Чтобы дойти до единственной карточки потребуется 2 ⋅ 29 операций, и ещё одна, чтобы удалить последнюю карточку с номером 1.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
По определению, n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! ⋅ 2! ⋅ 3! ⋅ 4! ⋅ …⋅ 100!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
(А) 13!
(Б) 42!
(В) 47!
(Г) 50!
(Д) это невозможно

Ответ: Г
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Какие 500 идущих подряд натуральных чисел надо выписать, чтобы всего было выписано 2018 цифр?

Если среди чисел не будет пятизначных, то выписано будет не более 500 · 4 = 2000 цифр. Если есть пятизначные, то не будет трёхзначных, т. к. четырёхзначных чисел 9000. Значит, будут только четырёхзначные и пятизначные (иначе слишком много цифр), и пятизначных 2018 − 2000 = 18 — это числа от 9999 − (500 − 18) + 1 = 9518 до 9999 + 18 = 10 017.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна 4?
(А) 10
(Б) 9
(В) 8
(Г) 7
(Д) 6

А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
В слове КЕНГУРУ четыре буквы стёрли, а остальные записали в обратном порядке. Что могло получиться?
(А) ГЕН
(Б) РЕГ
(В) УЕК
(Г) РГУ
(Д) УУР

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2012 год, 1 вариант

Задача:
Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов?

Ответ: 121 наклейка.
Решение:
После каждого обмена количество Петиных наклеек увеличивается на 4 (одна наклейка исчезает и появляется 5 новых ). После 30 обменов количество наклеек увеличится, на 30 ⋅ 4 = 120. Вначале у Пети была одна наклейка, после 30 обменов будет 1 + 120 = 121.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2016 год

Задача:
Участвуя в шахматном турнире, Вася сыграл 52 партии. По 1 старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, ½ очка за ничью и 0 очков за поражение) он набрал 35 очков. Сколько очков он набрал по новой системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и −1 очко за поражение)?

Ответ: 18 очков.
Решение:
Первый способ.
Пусть Вася в турнире $a$ раз победил, $b$ раз сыграл вничью и $c$ раз проиграл. Тогда $a$ + $b$ + $c$ = 52, $a$ + $\displaystyle \frac{b}{2}$ = 35. Нужно найти значение $a$ − $c$. Из второго соотношения следует, что $b$ = 70 − 2$a$. Тогда $a$ + (70 − 2$a$) + $c$ = 52, откуда 70 + $c$ − $a$ = 52, $a$ − $c$ = 18.
Второй способ.
При системе подсчёта (1; ½; 0) Вася набрал 35 очков, значит, 2 при системе (2; 1; 0) он наберёт вдвое больше, то есть 70 очков. При системе (1; 0; −1) Вася теряет по одному очку в каждой партии (по сравнению с системой (2; 1; 0)). Значит, он наберёт 70 − 52 = 18 очков.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
В ребусе AAA − BB + C = 260 одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными — разные. Тогда сумма A + B + C равна
(А) 20
(Б) 14
(В) 12
(Г) 10
(Д) 7

Ответ: (Б) 14
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина — участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен — больше, чем каждая из остальных, а Лена — 5 песен — меньше, чем каждая из остальных девочек. Сколько песен было спето?

Посчитаем количество выходов на сцену всех девочек, оно должно делиться на 3, т. к. каждую песню пели 3 человека. Из условия следует, что Маша с Ниной спели либо 6 и 6, либо 7 и 7, либо 7 и 6 песен. Всего выходов будет либо 8 + 5 + 6 + 6 = 25, либо 8 + 5 + 7 + 7 = 27, либо 8 + 5 + 7 + 6 = 26. Подходит только 27, значит было спето 27 : 3 = 9 песен.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Ученики 9«в» и 9«г» решили сделать фото-галерею. Каждая девочка один раз сфотографировала каждого своего одноклассника, а каждый мальчик сфотографировал каждую девочку из другого класса. Всего было сделано 323 фотографии. Сколько всего учеников в этих двух классах?

Ответ: 36 учеников.
Решение:
Число фотографий, связанных с одним мальчиком, постоянно: его фотографировали одноклассницы, а он фотографировал девочек из другого класса, значит, число фотографий, связанных с каждым мальчиком, равно общему числу девочек, (а число фотографий, связанных с каждой девочкой, равно общему числу мальчиков), 323 = 19 ⋅ 17 = 323 ⋅ 1. Тогда всего девятиклассников 19 + 17 = 36 или 323 + 1 = 324. Второй ответ можно отбросить, так как при этом в одном классе 323 ученика, и все девочки, а в другом учится один мальчик, таких классов не бывает.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?

Ответ: 39 километров.
Решение:
Предположим, мы стоим около таблички, на которой написаны числа 𝑥 и 𝑦. Если НОД(𝑥, 𝑦) = 𝑑, то (𝑥 + 𝑦) ⫶ 𝑑, т.е. расстояние между городами делится на все посчитанные НОДы.
Теперь предположим, что расстояние между городами (назовём его 𝑆) делится на некоторое натуральное число 𝑑. Тогда на расстоянии 𝑑 километров от города А на табличке написаны числа 𝑑 и 𝑆 − 𝑑, НОД которых равен в точности 𝑑.
Из всего этого мы делаем вывод, что 1, 3 и 13 — это полный список делителей расстояния между городами (не считая самого расстояния). Значит, расстояние равно 39 километров.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-правдивцы и бельчата-лжецы, правдивцы всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды на поляне собрались 2037 бельчат и встали в круг. Каждого из них попросили назвать своего правого соседа, и каждый ответил либо «правдивец», либо «лжец». Могло ли оказаться, что ответов «правдивец» было ровно 2020?

Ответ: Не могло.
Решение:
Рассмотрим пару рядом стоящих и будем считать только то, что сказал левый сосед. Тогда в этой паре левый бельчонок мог сказать «правдивец» в случае только, если пара ПП или ЛЛ. Аналогично левый мог сказать «лжец» только в случаях ЛП и ПЛ. Таким образом, количество ответов «лжец» равно количеству смешанных пар. Множество всех бельчат в круге разбивается на области одного типа П…П и Л…Л. И смешанные пары могут быть только на границе этих областей. Следовательно, количество смешанных пар в точности равно количеству областей. Но количество областей не может быть нечётным, поскольку области правдивцев и лжецов чередуются. Поэтому сказать «лжец» могли только чётное число бельчат. Если всего опросили 2037 бельчат, а «правдивец» сказали 2020, значит, «лжец» сказали 17. Но это нечётное число, а, как было доказано выше, такого быть не может.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
Саша принесла с пляжа ракушки. Когда она попыталась разделить их на 3 равные кучки, осталось 2 ракушки. Тогда она попыталась поделить все эти ракушки на 5 равных кучек, но опять осталось 2 ракушки. Какое наименьшее количество ракушек надо добавить, чтобы все ракушки можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?
(А) 2
(Б) 3
(В) 8
(Г) 13
(Д) 14

Ответ: (Г) 13
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2013 год

Задача:
Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит).

Ответ: 10 гномов.
Решение:
Если за столом в каком-нибудь месте было бы три свободных стула подряд, то Белоснежка смогла бы сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Значит, какие бы три подряд идущих стула мы не взяли, по крайней мере, на одном из них должен сидеть гном. Так как всего стульев 30, то меньше, чем 10 гномов быть не может.
Покажем, что рассадить 10 гномов так, чтобы выполнялось условие задачи, можно: посадим гномов через два стула: на первый стул, на четвёртый стул, на седьмой и т.д. Тогда условие задачи будет выполнено.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Ира, Катя, Аня, Оля и Лена учатся в одной школе. Две девочки учатся в 3А классе, три — в 3Б. Оля учится не вместе с Катей и не вместе с Леной, Аня учится не вместе с Ирой и не вместе с Катей. Кто из девочек учится в 3А классе?
(А) Аня и Оля
(Б) Ира и Лена
(В) Ира и Оля
(Г) Ира и Катя
(Д) Катя и Лена

Ответ: (А) Аня и Оля
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2017 год, 1 вариант

Задача:
Приведите пример такого выражения, состоящего из единиц, скобок, знаков «+» и «×», что:
- его значение равно 11;
- если в этом выражении заменить все знаки «+» на знаки «×», а знаки «×» на знаки «+», то всё равно получится 11.


Ответ: Приведём один из возможных примеров:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
В корзине 14 яблок: красных, жёлтых и зелёных. Меньше всего красных яблок, а больше всего жёлтых: их на 5 больше, чем красных. Сколько зелёных яблок в корзине?

Ответ: 5 зелёных яблок.
Решение:
Решаем задачу перебором:
- если красное яблоко одно, то жёлтых 1 + 5 = 6, а зелёных получается больше всего, не подходит по условию задачи;
- если красных яблок 2, то жёлтых 2 + 5 = 7, а зелёных – 5, подходит по условию задачи;
- если красных яблок 3, то жёлтых 3 + 5 = 8, а зелёных – 3, не подходит по условию задачи;
- если красных яблок более, чем 3, не подходит по условию задачи.

Значит, 2 красных яблока, 7 жёлтых, 5 зелёных. Зелёных яблок в корзине: 5.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
В коридоре длиной 100 метров в начале и в конце из стены торчит по четыре провода. Известно, что каждый провод начинается в начале коридора и заканчивается в конце коридора, но какой провод какой — неизвестно (провода проложены внутри стены). У электрика Васи есть маленький прибор, позволяющий проверить, течёт ли ток между двумя точками. Вася может соединять провода как угодно между собой (можно связывать вместе не только два, но и три, и четыре провода, но только в одном конце коридора). Вася хочет выяснить, какой провод какой, но ещё хочет пройти как можно меньше. Найдите расстояние, которое пройдёт Вася, и докажите, что меньше он пройти не может.

Обозначим в начале коридора концы проводов за 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, в конце за 1, 2, 3, 4. Пусть Вася свяжет концы 𝐴, 𝐵 и пройдёт по коридору. Проверяя прибором все пары концов 1, 2, 3, 4 можно установить, какие из них 𝐴, 𝐵. Пусть без ограничения общности это провода 1 и 2 (мы уже сопоставили множества 𝐴𝐵 ↔ 12, 𝐶𝐷 ↔ 34). Связываем концы 2 и 3, и проходим по коридору обратно. Развязываем концы 𝐴, 𝐵, и, проверяя все пары, выясняем, какой из концов 𝐴, 𝐵 связан с концом из пары 2, 3 и какой из пары 𝐴, 𝐵 связан c концом 1. Аналогично, выясняем, какой их концов 𝐶, 𝐷 связан с проводом из пары 2, 3, а какой связан с концом 4. Ответ: 200 метров.
Комментарий: Если проводов больше, то тоже, оказывается, хватит 200 метров.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Никита раскладывал все свои дипломы по папкам. Когда он раскладывал дипломы по 13 штук в каждую папку он смог наполнить только 12 папок (возможно у него после этого остались дипломы, но следующую папку он заполнить не смог). Тогда Никита стал заново раскладывать все свои дипломы по 12 штук в папку, и он смог заполнить 14 папок (возможно у него и после этого остались дипломы, но следующую папку он заполнить не смог). Сколько у Никиты может быть дипломов?

Если Никита смог наполнить 13 папок по 13 дипломов, то дипломов менее 13 · 13 = 169. Но Никита смог наполнить 14 папок по 12 дипломов, то есть их хотя бы 14 · 12 = 168. Тогда дипломов может быть только 168, ответ единственен.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На столе лежали 3 USB кабеля: белый, чёрный и синий. Дима, Коля и Саша выбрали себе по одному кабелю. Оказалось, что:
- кабель Димы длиннее, чем чёрный,
- белый кабель короче, чем кабель Саши,
- а кабель Коли не той длины, что белый.

Что верно?
1. У Саши кабель синий;
2. У Коли кабель белый;
3. У Димы кабель не белый;
4. У Саши кабель самый короткий;
5. У Коли кабель самый длинный.


Ответ: 1).
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты по очереди. Кабели будем обозначать буквами Б (белый), Ч (чёрный), С (синий). Знаком < будем обозначать, что один кабель короче другого. Всего у нас шесть возможных вариантов, т.к. три цвета можно расставить по порядку шестью разными способами:
1) С < Б < Ч
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — сразу противоречие, т.к. длиннее чёрного нет кабеля.

Противоречие.
2) C < Ч < Б
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — значит у Димы белый.
- Белый кабель короче, чем кабель Саши — тут противоречие, т.к. белый самый длинный.

Кабель Димы длиннее, чем чёрный — значит у Димы белый.
Белый кабель короче, чем кабель Саши — тут противоречие, т.к. белый самый длинный.
Противоречие.
3) Б < Ч < С
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — значит у Димы синий.
- Белый кабель короче, чем кабель Саши — значит у Саши чёрный (синий уже занят).
- Кабель Коли не той длины, что белый — тут противоречие, т.к. Коле «достался» именно белый.

Кабель Коли не той длины, что белый — тут противоречие, т.к. Коле «достался» именно белый.
Противоречие.
4) Б < С < Ч
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — сразу противоречие, т.к. длиннее чёрного нет кабеля.

Кабель Димы длиннее, чем чёрный — сразу противоречие, т.к. длиннее чёрного нет кабеля.
Противоречие.
5) Ч < С < Б
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — тогда у Димы синий или белый.
- Белый кабель короче, чем кабель Саши — тут противоречие, т.к. белый самый длинный.

Белый кабель короче, чем кабель Саши — тут противоречие, т.к. белый самый длинный.
Противоречие.
6) Ч < Б < С
- Кабель Димы длиннее, чем чёрный — тогда у Димы синий или белый.
- Белый кабель короче, чем кабель Саши — значит у Саши синий, а у Димы тогда белый.
- Кабель Коли не той длины, что белый — Коле «достался» чёрный, он действительно не той длины, что белый.

Белый кабель короче, чем кабель Саши — значит у Саши синий, а у Димы тогда белый.
Кабель Коли не той длины, что белый — Коле «достался» чёрный, он действительно не той длины, что белый.
Этот вариант подходит, противоречия нет.
Значит у Димы белый кабель, у Саши — синий, у Коли — чёрный. При этом по длине кабели расположены так: Ч < Б < С.
Далее легко выбрать правильные варианты ответов. Подходит только 1).
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 2 тур

Задача:
У Деда Мороза есть мешок с конфетами для подарков к Новому 2024 году. Он хочет разложить их в одинаковые коробки. Сначала он складывал по 39 конфет в каждую коробку. У него получилось 37 полных коробок, а чтобы заполнить 38-ую коробку конфет не хватило. Тогда Дед Мороз решил складывать по 37 конфет в каждую коробку, у него получилось 40 коробок, но все конфеты всё равно не поместились. Сколько конфет всего у Деда Мороза?

Ответ: 1481 конфета.
Решение 1: Пусть у Деда Мороза А конфет. Тогда при делении А на 39 получается в частном 37 и какой-то остаток 𝑥, а при делении А на 37 получается в частном 40 и какой-то остаток 𝑦.
А = 37 ∙ 40 + 𝑦 = 37 ∙ 39 + 37 + 𝑦 = 39 ∙ 37 + 𝑥
По свойству остатков 𝑥 < 39, значит 𝑦 < 2. По условию остатки ненулевые, значит, 𝑦 = 1. Подставляя в любое выражение, находим ответ.
Решение 2: В первый раз Дед Мороз смог упаковать 37 ∙ 39 = 1443 конфеты и осталось меньше 39 конфет. Во второй раз он упаковал 37 ∙ 40 =1480 конфет и осталось меньше 37 конфет. Во второй раз было упаковано на 37 конфет больше, то есть разность оставшихся конфет после первого и второго раза – 37 штук, при этом в первый раз их осталось меньше 39, то есть хотя бы 38, а во второй раз остаток точно был, то есть хотя бы 1 одна конфета осталась. 38 – 1 = 37. Значит количество конфет 39 ∙ 37 + 38 = 37 ∙ 40 + 1 = 1481.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2015 год

Задача:
Делится ли 13^2013 + 13^2014 + 13^2015 на 61?

Ответ: Да, делится.
Решение:
Преобразуем данную сумму:
13^2013 + 13^2014 + 13^2015 = 13^2013 ⋅ (1 + 13 + 13^2) = 183 ⋅ 13^2013 = 61 ⋅ 3 ⋅ 13^2013
Значит, данная сумма делится на 61.