d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2020 год

Задача:
Антон, Вася, Саша и Дима ехали на машине из города А в город Б, каждый из них по очереди был за рулём. Весь путь машина ехала с постоянной скоростью. Антон вёл машину в два раза меньше, чем Вася, а Саша вёл машину столько же, сколько Антон и Дима вместе взятые. Дима был за рулём лишь десятую часть пути. Какую часть пути за рулём был Вася? Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: 0,4.
Решение 1:
Пусть Антон вёл машину 𝑎 километров, Вася — 𝑏 километров, Саша — 𝑐 километров, Дима — 𝑑 километров. Антон вёл машину в два раза меньше, чем Вася. Значит, 2𝑎 = 𝑏. Саша вёл машину столько же, сколько Антон и Дима, вместе взятые. Значит, 𝑐 = 𝑎 + 𝑑. Записав цепочку равенств 2𝑎 + 2𝑐 = 2𝑎 + 𝑐 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 + (𝑎 + 𝑑), получим:
𝑎 + 𝑐 = $\displaystyle \frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑}{2}$
Следовательно, Антон и Саша суммарно на двоих вели машину половину пути, поэтому Вася и Дима суммарно вели машину вторую половину пути. Поскольку по условию Дима вёл 0,1 часть пути, Вася вёл машину 0,4 часть пути.
Решение 2:
Пусть доля пути, в течение которой Антон был за рулём, равна 𝑥. Тогда доля Васи равна 2𝑥, Димы — 0,1, а Саши — 0,1 + 𝑥. Суммируя все доли, получаем 4𝑥 + 0,2, что должно составить 1. Отсюда 𝑥 = 0,2; а ответом будет 2𝑥 = 0,4.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Фермер собирается отвезти на рынок яйца: 135 коричневых и 162 белых. Он хочет упаковать их в одинаковые контейнеры так, чтобы в каждом контейнере все яйца имели один и тот же цвет, и свободных мест в контейнерах не было. Каким наименьшим числом контейнеров может обойтись фермер?
(А) 11
(Б) 27
(В) 33
(Г) 54
(Д) 297

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Вася сложил четыре числа попарно. Четыре наибольшие из шести полученных сумм равнялись 20, 16, 13, 9. Найдите две оставшиеся суммы и определите, какие числа мог складывать Вася.

Ответ: Суммы равны 2 и 6. Числа: −0,5; 2,5; 6,5; 13,5 или −2,5; 4,5; 8,5; 11,5.
Решение:
Обозначим числа $a$, $b$, $c$, $d$; Пусть $a \leq b \leq c \leq d$.
Самая большая сумма получается при складывании $d$ и $c$, следующая по величине — при складывании $d$ и $b$. То есть $d + c = 20$, $d + b = 16$.
Дальше возможны варианты. 1) $d + a = 13$, $c + b = 9$ или 2) $d + a = 9$, $c + b = 13$.
В варианте 1) $c = 20 - d$, $b = 16 - d$, $c + b = 20 - d + 16 - d = 9$, откуда $d = 13,5$. Tогда $c = 20 - 13,5 = 6,5$, $b = 16 - 13,5 = 2,5$, $a = 13 - 13,5 = -0,5$. Оставшиеся суммы равны $a + b = 2$ и $a + c = 6$.
В варианте 2) $c = 20 - d$, $b = 16 - d$, $c + b = 20 d + 16 - d = 13$, откуда $d = 11,5$. Тогда $c = 20 - 11,5 = 8,5$, $b = 16 - 11,5 = 4,5$, $a = 9 - 11,5 = -2,5$. Оставшиеся суммы равны $a + b = 2$ и $a + c = 6$.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Однажды три князя попросили мудреца выяснить, кого из них можно называть Честным, то есть всегда говорящим правду. Вот что выслушал мудрец.
- Первый князь: «Я всегда говорю правду!»
- Второй князь: «Ты солгал!»
- Третий князь: «Я всегда говорю правду!»
- Второй князь: «Ты солгал!»
- Первый князь: «Среди четырёх предыдущих высказываний только одно верное!»
- Третий князь: «Среди пяти предыдущих высказываний есть одно неверное!»

Отметьте все верные утверждения:
1. первый князь может быть Честным
2. второй князь может быть Честным
3. третий князь может быть Честным
4. среди всех высказываний может быть только 2 верных
5. среди всех высказываний может быть только 3 верных
6. среди всех высказываний может быть только 2 ложных


Ответ: 2, 3, 5
Решение:
1. Пусть первый князь честный. Тогда высказывания со второго по четвёртое должны быть ложны (в силу пятого высказывания). Но третье и четвёртое не могут быть одновременно ложными. Противоречие.
2. Пусть второй князь честный. Тогда первый и третий нечестные, но при этом никаких ограничений на истинность их пятого и шестого высказываний это не накладывает.
3. Пусть третий князь честный. Тогда второй нечестный (в силу четвёртого высказывания). Первый тоже нечестный, поэтому его первое высказывание ложно. Значит, оба высказывания третьего князя истинны. Больше никаких ограничений нет.
4. 5) 6) Нетрудно посчитать, что в случаях, рассмотренных в пп. 2 и 3 ровно три верных высказывания. Неверных, соответственно, тоже 3.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
В одной комнате сидят три человека: два нормальных и один странный курьер. Нормальные всегда говорят правду, а курьер отвечает как попало. Можно ли за два вопроса узнать, кто из них курьер?

Да, можно. Сначала спрашиваем одного: «Твой сосед курьер?» Если он отвечает положительно, то третий точно нормальный, и от него мы сможем узнать правду. Если ответ отрицательный, то тот, про кого спрашивают, точно нормальный. У него и узнаём информацию.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Шестиклассник Миша нашёл старый калькулятор, который может либо прибавлять к числу 5, либо умножать число на 5. Сколько различных результатов мог получить Миша, если известно, что он ввёл в калькулятор число 5 и выполнил каждое из разрешённых действий не более двух раз (может быть и ни разу)?

Ответ: 19 различных результатов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Федя шифрует натуральные числа. Сначала он выписывает произведение первых двух цифр имеющегося у него числа, за ним произведение второй и третьей цифр, и так далее. Какое число не может получиться у Феди?
(А) 634
(Б) 6454
(В) 3283
(Г) 2012
(Д) 63020

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?


Ответ: а) 6. б) 15.
Решение:
а) Из условия следует, что шестая цифра — самая большая, поэтому она равна 7. В качестве последней цифры можно выбрать любую цифру от 1 до 6, и это однозначно определит всё число (ведь первые пять цифр должны быть упорядочены по возрастанию). Значит, таких семизначных чисел ровно 6.
б) Из условия следует, что пятая цифра — самая большая, поэтому она равна 7. В качестве двух последних цифр можно выбрать две различные цифры от 1 до 6, и это однозначно определит всё число (ведь первые четыре цифры должны быть упорядочены по возрастанию). Также шестая цифра должна быть больше седьмой, поэтому возможных пар последних цифр ровно 15:
65, 64, 63, 62, 61, 54, 53, 52, 51, 43, 42, 41, 32, 31, 21
Соответственно, искомых семизначных чисел тоже 15.
Замечание: Количество пар в пункте б) равно количеству способов выбрать две цифры из множества из 6 цифр, то есть C^2_6 = 6 ⋅ 5 / 2 = 15.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
У пирата два сундука: в первом сначала лежало 50 золотых монет, а второй был пустым. Каждый день пират кладёт в первый сундук по одной монете, а во второй — по две. За сколько дней число монет в двух сундуках сравняется?
(А) 15
(Б) 25
(В) 30
(Г) 40
(Д) 50

Ответ: Д
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
При каком значении параметра a уравнение
(a^2 − 1) ⋅ x = a + 1
не имеет решений?

Ответ: a = 1.
Решение:
$\left(a^2 − 1\right)⋅x = a + 1$,
$(a − 1)(a + 1)⋅x = a + 1$.
Если $a≠\pm1$, то $\displaystyle x = \frac{1}{a − 1}$.
Если $a$ = −1, то уравнение принимает вид 0⋅$x$ = 0, $x$ — любое число.
Если $a$ = 1, то уравнение принимает вид 0⋅$x$ = 2 и не имеет решений.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
В каком из примеров получится самый большой ответ?
(А) 201+9
(Б) 20+19
(В) 2+0+1+9
(Г) 2+0+19
(Д) 20+1+9

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Получив очередную пятёрку по математике, Серёжа обнаружил, что в дневнике у него стало на 100% больше пятёрок, чем двоек. На сколько процентов количество двоек теперь меньше, чем количество пятёрок?
(А) на 0%
(Б) на 50%
(В) на 100%
(Г) на 150%
(Д) на 200%

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Васе поручили за несколько дней посадить в одну линию ровно 321 цветок. Каждый следующий день он должен сажать по одному цветку во все промежутки между уже посаженными цветами. На какое наибольшее число дней ему удастся растянуть эту работу?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2006 год, 3 тур

Задача:
У Карабаса-Барабаса украли пять золотых. Карабас подозревает в краже лису Алису, кота Базилио, Дуремара и Буратино, так как неопровержимыми уликами установлено, что:
- кто-то из них обязательно виновен;
- никто больше не мог это сделать;
- Алиса всегда действует заодно с Базилио;
- если Дуремар виновен, то у него было ровно два соучастника;
- если Буратино виновен, то у него был ровно один соучастник.

Нужно определить, виновен ли Базилио.

Ответ: Да.
Решение:
Заметим, что Дуремар и Буратино не могли быть заодно, т.к. у них разное число соучастников. Получается, что если Дуремар виновен, то он действовал заодно с Алисой и Базилио. Этот вариант подходит, т.к. Алиса и Базилио заодно, но не исключают третьего соучастника. Если Буратино виновен, то у него нет подходящего единственного соучастника. Значит, единственный подходящий вариант: виновны Алиса, Базилио и Дуремар.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
На ёлке висели 3 цветные гирлянды: красная, синяя и золотая. Эльза, Анна и Олаф выбрали себе по одной гирлянде. Оказалось, что гирлянда Эльзы длиннее, чем синяя; красная гирлянда короче, чем у Олафа; а гирлянда Анны не той длины, что красная. У кого какая гирлянда (какой длины и цвета)?

Ответ: Олаф - золотая длинная, Эльза - красная средняя, Анна - синяя короткая.
Решение:
Из условия понятно, что красная гирлянда не у Анны и не у Олафа, значит, красная — у Эльзы. И по длине, от длинной к короткой, они располагаются так: гирлянда Олафа, Эльзина красная, синяя. Значит, у Олафа — золотая, а синяя — у Анны.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В каждый пробел между цифрами 5 1 8 4 3 поставьте знак + или − так, чтобы получилось 11.

Ответ: 5 − 1 + 8 − 4 + 3 = 11.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Если ac + ad + bc + bd = 68 и c + d = 4, то a + b + c + d равно
(А) 4
(Б) 17
(В) 21
(Г) 64
(Д) невозможно определить

Ответ: (В) 21
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2019 год

Задача:
С утра вдоль дороги было припарковано 5 иномарок. К полудню между каждыми двумя иномарками припарковали по 2 отечественные машины. И к вечеру между каждыми двумя соседними машинами припарковали по мотоциклу. Сколько всего мотоциклов было припарковано?

Ответ: 12 мотоциклов.
Решение:
Между 5 иномарками 4 промежутка, поэтому там было припарковано 4 · 2 = 8 отечественных машин; то есть всего припарковано 5 + 8 = 13 автомобилей. Между ними помещается 12 мотоциклов.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
Было 6 мешков с мукой: 1 кг, 4 кг, 6 кг, 9 кг, 11 кг и 18 кг. Купили несколько мешков, их общий вес 32 кг. Сколько мешков осталось?

Ответ: 2.
Решение:
1 + 4 + 6 + 9 + 11 + 18 = 49
49 − 32 = 17
Осталось два мешка: 6 кг и 11 кг.
6 + 11 = 17
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В детском саду каждый ребёнок посчитал и написал нa бумажке два числа ($m$, $d$), где $m$ – количество мальчиков в его группе, а $d$ – количество девочек в его группе (самого себя ребёнок не считает). Оказалось, что на трёх бумажках было записано: (12;13), (15;10), (15;18). Сколько мальчиков и сколько девочек было в группе, если известно, что какое-то одно число записано правильно, а другое – отличается от правильного на 4.

Ответ: 14 и 16.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
В выборах на должность президента класса соревновались Петя и Вася. В течение трёх часов 27 учеников класса голосовали за одного из двух кандидатов. За первые два часа за Петю было отдано на 9 голосов больше, чем за Васю. А за последние два часа за Васю было отдано на 9 голосов больше, чем за Петю. В итоге Петя победил. С преимуществом в какое наибольшее количество голосов он мог победить?

Ответ: 9 голосов.
Решение:
За последние два часа за Васю проголосовали хотя бы 9 человек. Значит, в итоге он набрал хотя бы 9 голосов. Тогда Петя набрал не более 27 − 9 = 18 голосов. Тогда его преимущество в голосах не превосходит 18 − 9 = 9.
Приведём теперь пример, как могло достигаться преимущество в 9 голосов. Пусть в течение первого часа 18 человек проголосовали за Петю, а в течение второго часа 9 человек — за Васю. Легко видеть, что все условия задачи выполняются, а Петя победил с преимуществом в 9 голосов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Костя Сергеев из 5А класса и 8 его друзей из той же школы отправились в поход. Оказалось, что среди любых четырёх из этих туристов обязательно есть одноклассники, а среди любых пяти — не больше, чем три одноклассника. Сколько учеников 5А класса пошли в поход?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 1
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2018 год, 1 тур

Задача:
Автомобиль в пробке въехал в туннель со скоростью 5 м/мин. Сначала он ехал 11 мин, затем стоял 2 мин, затем ехал 10 мин, стоял 3 мин, затем 9 мин ехал, 4 – стоял и так далее, пока туннель не кончился. Он достиг конца туннеля через 55 мин. Какова длина туннеля?

Ответ: 205 м.
Решение:
Один этап «ехал+стоял» = 13 мин, в 55 мин укладывается 4 таких промежутка + 3 мин. Следовательно, автомобиль ехал 11+10+9+8+3 = 41 мин.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
У Даши 20 кубиков, у Маши 12 кубиков, у Глаши 8 кубиков, а у Наташи — 6 кубиков. Кто из девочек может построить куб из всех своих кубиков?
(А) Даша
(Б) Маша
(В) Глаша
(Г) Наташа
(Д) никто не может

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
У Буратино был блокнот, сшитый из 25 двойных листов в их середине. Все страницы пронумерованы числами от 1 до 100. Буратино вырвал 17 двойных листов и заново пронумеровал страницы получившегося блокнота, написав числа рядом с предыдущими. В результате на одной странице оказалось написано число 523. Какое число может быть написано на бывшей 94 странице, если известно, что она не вырвана?

Ответ: 3094 или 3294.
Решение:
Заметим, что номера на вырванных страницах имеют вид N, N+1, 100−N и 101−N. То есть каждый двойной лист имеет две половинки: с нумерацией до 50 и после 50. Если вырвано 17 листов, то с каждой части (до 50 и после 50) осталось по 8 листов. Какие варианты дописывания числа могли быть?
а) было 52, дописал в конце 3. Такого быть не могло, так как чётность имеющихся и дописываемых чисел одна и та же.
б) было 5, дописал 23. Этого тоже не могло быть. Так как в новом блокноте листов меньше, значит новые числе не могут быть больше старых.
в) аналогично не могло быть и было 3 дописал 52.
г) остался вариант было 23, дописал 5. Этот вариант возможен. Тогда это бывшая 23 страница и она стала 5-ой. Значит, перед ней вырваны все листы, кроме двух. Следовательно бывшая страница 94 либо на последнем листе, либо на предпоследнем.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Один будильник отстает на 25 минут и показывает 7 часов 40 минут, а другой спешит на 15 минут. Какое время он показывает?
(А) 7 ч
(Б) 7 ч 30 мин
(В) 7 ч 50 мин
(Г) 8 ч 5 мин
(Д) 8 ч 20 мин

Ответ: Д
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Расшифруйте запись:
AB + AB + AB = CCC
Одинаковые буквы — это одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Известно, что A − B = 3. Найдите значение суммы: A + B.

Ответ: A + B = 11.
Решение:
Значение суммы трёх двузначных чисел меньше числа 300.
Рассмотреть два случая: С = 1 и С = 2.
- Если C = 1, то А = 3, В = 7, не подходит, так как по условию A – B = 3.
- Если С = 2, тo A = 7, B = 4, подходит.

144 + 744 + 74 = 222
7 + 4 = 11
Международный конкурс по математике Кенгуру, 1-2 класс, 2023 год

Задача:
Улитка ползёт в гости к подруге 3 часа, если нет дождя. Если идёт дождь, она ползёт в 2 раза быстрее. Во сколько улитка окажется в гостях, если она выползла ровно в 9 часов утра, а ровно в 10 часов пошёл дождь?
(А) в 10 ч 30 мин
(Б) в 11 ч
(В) в 11 ч 15 мин
(Г) в 11 ч 30 мин
(Д) в 12 ч

Ответ: Б
Решение:
С 9 до 10 часов прошёл 1 час, значит улитке осталось ползти 2 часа. Так как пошёл дождь, улитка стала ползти в 2 раза быстрее, и вместо 2 часов она потратит на оставшуюся дорогу 1 час. Всего она потратит на дорогу 1 + 1 = 2 часа. Если она вышла из дома в 9, то через два часа, когда она окажется у подруги, будет 11 часов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Сколько минут проходит от середины первой половины часа до конца его второй трети?
(А) 15
(Б) 20
(В) 25
(Г) 30
(Д) 45

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Семиклассники Саша и Паша дружат с первого класса. Они заметили, что каждый год их дни рождения приходятся на один и тот же день недели. Саша родился в апреле. Тогда день рождения Паши не может быть
(А) в мае
(Б) в июне
(В) в августе
(Г) в марте
(Д) в январе

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Чтобы получить 8^8, нужно 4^4 возвести в
(А) квадрат
(Б) куб
(В) четвёртую степень
(Г) восьмую степень
(Д) шестнадцатую степень

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
50 жителей племени Сиу и 50 жителей племени Тиу подошли к реке, у которой находилась шлюпка. Известно, что шлюпка выдерживает 300 кг и имеется всего одна пара весел. Грести умеют все, однако любой житель племени Сиу может грести, только если в шлюпке кроме него никого нет. Кроме того, любой житель племени Сиу не согласен наедине оставаться или плыть с жителями племени Тиу. Какое наименьшее количество часов необходимо, чтобы все жители переправились на другой берег реки, если одна переправа занимает 30 минут, каждый житель племени Сиу весит 50 кг, а каждый житель племени Тиу – 110 кг.

Ответ: 39,5 часов.
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2015 год

Задача:
В 2015 году Никите исполнится столько лет, что его возраст будет равен сумме цифр его года рождения. В каком году родился Никита? Найдите все варианты.

Ответ: В 2011 или в 1993 году.
Решение:
Заметим, что Никита не мог родиться раньше 1988 года. Так как сумма цифр этого года равна 26 и далее только уменьшается. А возраст, человека с 1988 годом рождения в 2015 году – 27 лет. В период с 1988 по 1999 возраст уменьшается, а сумма цифр увеличивается. Поэтому, в этом промежутке может быть только одно решение – мы его нашли – 1993 год рождения. Аналогично в промежутке от 2000 до 2009 сумма цифр увеличивается от 2 до 11, а возраст уменьшается от 15 до 6. Тут решений нет. И, наконец в последнем промежутке от 2010 до 2015 находим ещё одно решение.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Если вчера был вторник, то послезавтра будет
(А) пятница
(Б) суббота
(В) воскресенье
(Г) среда
(Д) четверг

Ответ: пятница
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2020 год, первая лига

Задача:
Эльзе, Анне и Олафу подарили вместе 21 подарок. Если Эльза передаст Олафу 3 своих подарка, а Анна передаст ему 2 своих подарка, то у всех подарков станет поровну. Сколько подарков было у каждого изначально?

Ответ: Э - 10, А - 9, О - 2
Если подарков станет поровну, значит, их будет по 7 (т.к. 7 + 7 + 7 = 21). Вернем Анне 2 подарка, тогда у Анны было 7 + 2 = 9. Вернем и Эльзе её подарки, тогда у неё было 7 + 3 = 10 подарков. А у Олафа осталось 7 - 2 - 3 = 2 подарка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
В любом месяце есть 4 субботы, но в некоторых месяцах суббот больше. Какое наибольшее число таких месяцев может быть в году?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2022 год

Задача:
Антон и Боря − близнецы. Ровно год назад они сосчитали, сколько им вместе лет. Получилось однозначное число. Сегодня они вновь сосчитали, сколько им вместе лет, получилось двузначное число. Сколько лет сейчас каждому?

Ответ: 5 лет.
Решение:
За год мальчики стали старше на год. Значит к сумме их возрастов добавилось 2 года. При этом, поскольку ребята − близнецы, то сумма их возрастов всегда чётное число. Таким образом, нужно найти чётное однозначное число, после прибавления к которому 2 получается двузначное число. Это 8 + 2 = 10. То есть им сейчас по 5 лет.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
На крыше замка Снежной королевы висят сосульки. 7 сосулек растаяли утром на солнышке, 2 сосульки дети сбили снежками, 6 сосулек намёрзло ночью, 5 наколдовала Снежная королева, а затем 15 упали прямо в сугроб, оставив крышу без сосулек. Сколько сосулек было на крыше в самом начале задачки?

Ответ: 13 сосулек.
Решение:
Будем идти с конца. В конце осталось 0, а до этого упало 15, значит, было 15. До этого 5 наколдованы, значит, было 15 − 5 = 10. До этого 6 намёрзло, значит, было 10 − 6 = 4. До этого две сбили, значит, было 4 + 2 = 6. До этого 7 растаяло, значит, было 6 + 7 = 13 сосулек.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Найдите тупой угол треугольника, в котором центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно некоторой стороны этого треугольника.
(А) 100º
(Б) 108º
(В) 120º
(Г) 136º
(Д) 150º

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Пусть A(n) – это число, которое получается, если выписать подряд все натуральные числа от 1 до n. Например, А(11) = 1234567891011. Назовем число n «богатым», если в записи числа А(n) встречается набор подряд идущих цифр 4321. Если N — самое маленькое из «богатых» чисел, то: 
(А) N < 1000
(Б) 1000 < N < 2000
(В) 2000 < N < 3000
(Г) 3000 < N < 4000
(Д) N > 4000

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2020 год

Задача:
У Пети есть 25 монет, каждая из которых имеет номинал 1, 2, 5 или 10 рублей. Среди этих монет 19 — не двухрублёвые, 20 — не десятирублёвые, 16 — не однорублёвые. Сколько пятирублёвых монет у Пети?

Ответ: 5 пятирублёвых монет.
Решение:
Раз среди Петиных монет 19 не двухрублёвых, то у Пети всего 6 двухрублёвых монет. Аналогично получается, что у Пети 5 десятирублёвых монет и 9 однорублёвых монет. Таким образом, у Пети 25 − 6 − 5 − 9 = 5 пятирублёвых монет.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2021 год

Задача:
На кружки по математике записалось несколько школьников. Их хотят распределить по группам равномерно — таким образом, чтобы количество учеников в любых двух группах отличалось не более чем на 1.
В результате такого равномерного деления получилось 6 групп, среди которых ровно 4 группы по 13 учеников. Сколько всего могло быть школьников? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 76 или 80 школьников.
Решение:
Так как количество учеников в группах отличается не более, чем на 1, то в оставшихся двух группах может быть по 12 или по 14 учеников (ясно, что групп из 12 и 14 учеников одновременно быть не может). Значит, общее количество учеников может быть равно 13 ⋅ 4 + 12 ⋅ 2 = 76 или 13 ⋅ 4 + 14 ⋅ 2 = 80.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2006 год

Задача:
Волк, Лиса и Медведь поспорили – кто из них самый хитрый. Каждый из них сделал заявление.
- Лиса: "Я хитрее медведя".
- Медведь: "Лиса не самая хитрая".
- Волк: "Лиса хитрее меня".

Известно, что солгал самый хитрый зверь. Кто он?

Ответ: Волк.
Решение:
нужно рассмотреть три случая.
1. Если самая хитрая Лиса, то получается, что она сказала правду. Противоречие.
2. Если самый хитрый Медведь, то получается, что Лиса солгала. Но по условию, солгал только самый хитрый. Противоречие.
3. Если самый хитрый Волк, то Лиса могла сказать правду, если она действительно хитрее Медведя. И Медведь сказал правду. А Волк действительно солгал. Этот вариант подходит.