d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2014 год

Задача:
Моряк Попай ест только шпинат, причём ровно раз в сутки – или завтракает, или обедает, или ужинает. Известно, что если в какой-то день Попай пообедал, то на следующий день он завтракать точно не будет. Если же он в какой-то день ужинает, то на следующий день он точно не будет ни завтракать, ни обедать. За последние 2 недели он поужинал только дважды. В какое время суток Моряк Попай ел шпинат вчера?

Ответ: Моряк Попай ел шпинат вчера вечером на ужин.
Решение:
Заметим, что если Попай хоть раз сел ужинать, то впредь он более не может ни завтракать, ни обедать, а только ужинать. Поскольку за последние две недели ужин у него был, то это значит, что вчера он ел вечером.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Какой самый маленький результат может получиться, если в выражение 4 × 12 − 10 : 2 − 3 вставить одну пару скобок?
(А) 40
(Б) 25
(В) 16
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2023 год, 2 вариант

Задача:
Андрей, Боря, Вера, Галя, Денис и Елена решили сыграть в настольную игру. Они разбились на три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Цель игры — получить как можно больше очков.
К концу игры все дети суммарно набрали 151 очко, причём в каждой команде девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик. При этом если к числу очков Андрея прибавить число очков Гали, то получится 52, а если прибавить число очков Веры, то получится 48. Известно, что каждый из детей набрал целое число очков. Сколько очков набрала Елена?

Ответ: 27 очков.
Решение:
Обозначим буквами А, Б, В, Г, Д, Е количества очков, набранных соответственно Андреем, Борей, Верой, Галей, Денисом, Еленой.
Из условий можем записать уравнения:
А + Г = 52
А + В = 48
А + Б + В + Г + Д + Е = 151 (*)
По условию, каждая девочка набрала на 5 очков больше, чем мальчик в её команде. Это значит, что сумма очков на их команду (мальчик и девочка) будет нечётной (ведь если у мальчика чётное число очков, то у девочки из его команды нечётное число, и сумма нечётна, а если у мальчика нечётное, то у девочки из его команды чётное число, и сумма опять нечётна).
Т.к. у Андрея с Галей и с Верой в сумме по чётному числу, значит ни Галя ни Вера не были в команде Андрея. Значит в команде Андрея была Елена. И Елена набрала на 5 очков больше, чем Андрей:
А + 5 = Е
А Галя и Вера были в командах других двух мальчиков, сумма очков которых на 10 меньше, чем сумма очков Гали и Веры:
Б + Д + 10 = Г + В
Б + Д = 52 − А + 48 − А − 10
Подставив всё это в общее уравнение (*), перепишем его:
А + 48 − А + 52 − А + А + 5 + 52 − А + 48 − А − 10 = 151
2⋅А = 48 + 52 + 5 + 52 + 48 − 10 − 151
2⋅А = 44
А = 22
У Андрея 22 очка. У Елены на 5 больше, то есть 27 очков.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
У Васи два будильника. Они оба звонят ровно в 7 утра, а потом первый звонит через 2 минуты, а второй через три минуты, пока их не отключат. В понедельник Вася 17 раз слышал звон будильника, после чего встал. Если будильники звонят одновременно, их звонок сливается и считается за один. Через сколько минут после 7 часов Вася встал?

Ответ: 24.
Решение:
Первый будильник звонит в моменты 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, и т.д.
Второй будильник звонит в моменты 0, 3, 6, 9, 12, 15, и т.д.
Выпишем числа в ряд: 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24. В этом ряду 17-е число равно 24.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2022 год

Задача:
В ряду чисел:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …, 201, 201, …, 201
каждое число 𝑛 встречается ровно 𝑛 раз для всех 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 201. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.

Ответ: 142.
Решение:
Всего чисел в ряду 1 + 2 + 3 + … + 201 = (201 ⋅ 202) / 2 = 20301, поэтому число, слева и справа от которого чисел поровну, стоит на 10151-й позиции. Следовательно, необходимо найти такое наименьшее 𝑛, для которого 1 + 2 + … + 𝑛 ⩾ 10151.
Итак, 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 ⩾ 10151. При 𝑛 = 141 получаем 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 = 10011, а при 𝑛 = 142 получаем 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 = 10153. Следовательно, ответом в задаче является число 142.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Маша увидела в лесу около Сибирского федерального университета 4 бельчонка без полосок, 5 бельчат с рыжими полосками, 6 бельчат с серыми полосками. Рыжие и серые полоски одновременно были у трёх бельчат. Сколько всего бельчат увидела Маша?

Ответ: 12 бельчат.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
На левой стороне улицы находятся дома с нечётными номерами от 1 до 19, а на правой стороне – дома с чётными номерами от 2 до 14. Сколько домов на этой улице?
(А) 16
(Б) 17
(В) 18
(Г) 19
(Д) 33

Ответ: Б
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Маша повесила на ёлку 10 игрушек: снежинки, шишки и шарики. Шариков столько, сколько снежинок и шишек вместе, а шишек на одну больше, чем снежинок. Сколько снежинок у Маши на ёлке?

Ответ: 2 снежинки.
Решение:
шарики составляют половину всех игрушек, то есть их 5. Снежинок и шишек вместе 5. Если шишек на одну больше, чем снежинок, уберём лишнюю шишку и поделим остаток пополам.
Снежинок (5 – 1) : 2 = 2.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
От деревни «Ёлкино» к деревне «Палкино» ходит автобус. Однажды, проехав ровно треть пути, он сломался, и простоял 12 минут. Чтобы наверстать время, на остатке пути автобус увеличил скорость в полтора раза, и прибыл в «Палкино» вовремя. Сколько времени идёт автобус из «Ёлкино» в «Палкино»?

Ответ: 54 минуты.
Решение:
Рассмотрим последние две трети пути. Автобус проехал эту часть пути на 12 минут быстрее, чем обычно, при этом он ехал в полтора раза быстрее. Значит, это заняло в полтора раза меньше времени. Разница между обычным и новым временами равна половине нового времени и составляет 12 минут. Поэтому новое время равно 24 минутам, а обычное время, за которое автобус проезжает две трети пути, — 36 минутам. На первую треть пути тогда требуется 18 минут, а весь путь автобус проезжает за 54 минуты.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В параллелограмме $A B C D$ со сторонами $A B$ = 14, $B C$ = 9 провели биссектрисы внутренних углов $A$, $B$, $C$, $D$. В пересечении они образовали четырёхугольник $K L M N$. Затем провели биссектрисы внешних углов параллелограмма $A B C D$, они образовали четырёхугольник $P Q R S$. Найдите длины диагоналей четырёхугольников $K L M N$ и $P Q R S$.

Ответ: 5 и 23.
Решение:
Пусть $A N$ и $B N$ – биссектрисы внутренних углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$. Тогда $\angle K N M$ = $\angle A N B$ = 180° − $\frac{1}{2} \angle A$ − $\frac{1}{2} \angle B$. Но $\angle A$ + $\angle B$ = 180°, поскольку это смежные углы параллелограмма. Поэтому $\angle A N B$ = 90°.
Пусть $A P$ и $B P$ – биссектрисы внешних углов $A$ и $B$. Тогда $\angle S P Q$ = $\angle A P B$ = 180° − $\frac{1}{2} \angle X A B$ − $\frac{1}{2} \angle Y B A$, где $\angle X A B$ и $\angle Y B A$ – внешние углы при вершинах $A$ и $B$, их сумма также равна 180°. Таким образом, $\angle S P Q$ = 90°. Аналогично можно показать, что все углы обоих четырёхугольников прямые.
Точка $K$, лежащая на биссектрисах углов $D A B$ и $A D C$, равноудалена от прямых $A B$ и $C D$, тем же свойством обладают точки $M$, $Q$, $S$. Поэтому точки $K$, $M$, $Q$, $S$ лежат на одной прямой (равноудаленной от прямых $A B$ и $C D$). Аналогично, точки $L$, $N$, $R$, $P$ лежат на одной прямой (равноудаленной от прямых $B C$ и $A D$). $S M$ = $A B$, так как $A B M S$ – параллелограмм. $S K$ = $M Q$ = $B C$, так как $A K D S$ и $B Q C M$ – равные прямоугольники, а $S K$, $M Q$, $B C$ – диагонали этих прямоугольников. Отсюда $S Q$ = $S M$ + $M Q$ = $A B$ + $B C$ = 14 + 9 = 23, $K M$ = $S M$ − $S K$ = $A B$ − $B C$ = 14 − 9 = 5.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2020 год

Задача:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?

Ответ: 21.
Решение:
Обозначим числа на одной карточке за 𝑎 и 𝑏, на другой — за 𝑐 и 𝑑, на третьей — за 𝑒 и 𝑓, на четвёртой — за 𝑔 и ℎ. По условию сумма 16 слагаемых вида 𝑎𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑐𝑒ℎ + … + 𝑏𝑑𝑓ℎ равна 330. Заметим, что эта же сумма получается при раскрытии всех скобок в выражении (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ).
Следовательно, (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ) = 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11. Поскольку все числа являются натуральными, каждая из скобок больше 1. Значит, скобки равны числам 2, 3, 5, 11 в некотором порядке. Тогда их сумма равна:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 + ℎ = 2 + 3 + 5 + 11 = 21.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Второклассница Оля заполняет бочонок водой. Известно, что он будет полным, если в него залить 9 маленьких вёдер, 6 средних и 2 больших ведра или 3 маленьких ведра, 2 средних и 4 больших ведра воды. У Оли есть только большие вёдра. Сколько таких вёдер воды ей придётся налить, чтобы бочонок стал полным?

Ответ: 5 больших вёдер.
Решение:
Один бочонок — это 3 маленьких ведра, 2 средних и 4 больших ведра воды, значит, три таких бочонка — это 9 маленьких вёдер, 6 средних и 12 больших вёдер воды. Но 9 маленьких вёдер, 6 средних и 2 больших ведра — это тоже один бочонок, значит, 10 больших вёдер — это два бочонка. Таким образом, на один бочонок нужно 5 больших вёдер.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $CK$ и $AM$. Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная высоте $KC$, а через вершину $C$ проведена прямая, перпендикулярная $KC$, точка пересечения этих прямых обозначена $D$. Найдите величину угла $KMD$.

Ответ: 90°.
Решение:
Поскольку $AKCD$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $АС$ является диаметром этой окружности, так как на $AC$ опирается прямой угол $ADC$. Докажем, что точка $M$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $AMC$ прямой, и он также опирается на диаметр $AC$, если бы точка $M$ лежала внутри окружности, угол $AMC$ был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $KMD$ – прямой, так как точка $M$ лежит на окружности, а $KD$ – диаметр этой окружности.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2022 год

Задача:
Кристофер Робин пришёл на день рождения ослика Иа-Иа раньше Пятачка, а Винни-Пух позже Кролика. Пятачок пришёл раньше Кролика, а Сова позже Винни-Пуха. В каком порядке приходили гости?

Ответ: Кристофер Робин, Пятачок, Кролик, Винни-Пух, Сова.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Три внучки, Оля, Катя и Маша, все разного возраста, пришли к бабушке. Одна внучка принесла торт, другая — цветы, третья — конфеты. Оля старше, чем девочка, которая принесла цветы, а девочка, которая принесла торт, старше Оли. Маша младше Кати. Кто принёс торт?

Ответ: Катя.
Решение:
Из условий следует, что внучки по возрасту расположены так: самая младшая — девочка, принесшая цветы, потом Оля, потом девочка, принесшая торт. Маша младше Кати, значит, Маша принесла цветы. Торт принесла Катя.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Расположите в ряд 11 орехов, каждый из которых либо арахис (А), либо кешью (К), либо миндаль (М). Причем из любых трёх идущих подряд орехов должен быть хотя бы один арахис, из любых четырёх идущих подряд орехов должен быть хотя бы один кешью, а миндаля должно быть больше половины. Какое количество арахиса получилось в ряду?

Ответ: 3 ореха арахиса.
Решение:
Орехи расположены только так: ММАКМАМКАММ. Можно выделить три непересекающиеся тройки орехов, в каждой из них хотя бы один арахис. Значит, арахиса не меньше трёх. Можно выделить две непересекающиеся четвёрки орехов, в каждой из них хотя бы один кешью. Значит, кешью не меньше двух. Из условия следует, что миндаля не меньше шести. Так как 3 + 2 + 6 = 11, то все сделанные ограничения должны обращаться в равенства. В частности, в ряду 3 ореха арахиса.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
Натуральное число 𝑛 таково, что значение выражения 𝑛^2 + 492 является точным квадратом. Чему может быть равно 𝑛? Укажите все возможные варианты.

Ответ: $n$ = 38; 122.
Решение:
Пусть $n^2 + 492 = k^2$ для некоторого натурального $k>n$. Тогда
$ 2^2⋅3⋅41 = 492 = k^2 − n^2 = (k − n)(k + n) $
Числа $k − n$ и $k + n$ имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку $k − n<k + n$, имеем лишь два возможных случая.
- Пусть $k − n = 2$ и $k + n = 246$. Тогда $\displaystyle k = \frac{246 + 2}{2} = 124$ и $\displaystyle n = \frac{246 − 2}{2} = 122$.
- Пусть $k − n = 6$ и $k + n = 82$. Тогда $\displaystyle k = \frac{82 + 6}{2} = 44$ и $\displaystyle n = \frac{82 − 6}{2} = 38$.

Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В квадрате $ABCD$ со стороной 5 на стороне $AD$ поставлена точка $E$, а на стороне $CD$ поставлена точка $F$ так, что $AE$ = $DF$ = 1. Найдите сумму углов $EAF$, $EBF$, $ECF$.

Ответ: 90°.
Решение:
Треугольник $BAE$ равен треугольнику $AFD$, поэтому $\angle EAN$ = $\angle ABE$.
Треугольник $BCF$ равен треугольнику $CDE$, поэтому $\angle ECF$ = $\angle FBC$.
Тогда сумма углов $EAF$, $EBF$, $ECF$ равна сумме углов $ABE$, $EBF$, $EBC$, составляющих в сумме прямой угол.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Каждый день кролик Веня съедает или 10 морковок, или 2 кочана капусты. За неделю он съел 6 кочанов капусты. Сколько морковок Веня съел за эту неделю?
(А) 20
(Б) 30
(В) 34
(Г) 40
(Д) 50

Ответ: 40 морковок
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2014 год

Задача:
Моряк Попай ест только шпинат, причём ровно раз в сутки – или завтракает, или обедает, или ужинает. Известно, что если в какой-то день Попай позавтракал, то на следующий день он будет только обедать. Если же он пообедал, то на следующий день он завтракать точно не будет. Если же он в какой-то день ужинает, то на следующий день он будет завтракать обязательно. Попай пообедал 1 января, и за все дни с 1 января по 8 февраля он позавтракал столько же, сколько и пообедал. В какое время суток Моряк Попай ел шпинат вчера (8 февраля)?

Ответ: Моряк Попай ел шпинат вчера на завтрак.
Решение:
Заметим, что если варианты выбора, когда он будет есть на следующий день возможны только если Попай сегодня обедает (О). Если же ужинает (У), то на следующий день он обязательно завтракает (З), а если завтракает, то завтра обязательно обедает. Таким образом, последовательности О, ОО, ООО, … разделены парами УЗ. То есть в любом случае завтраков не может быть больше, чем обедов. Если присутствует хотя бы два обеда подряд, то обедов будет в любом случае больше. Поскольку по условию количества завтраков и обедов равны, то Попай за все время ни разу не обедал два дня подряд. Значит, была только последовательность ОУЗОУЗОУЗ… С 1 января по 8 февраля включительно 39 дней. Последнему дню соответствует завтрак.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Сколько есть двузначных чисел, у которых цифра десятков отличается от цифры единиц более чем на 2?

Посчитаем количество чисел, у которых цифра единиц больше цифры десятков более чем на два . Чисел, начинающихся с цифры 1: 14, 15, 16, 17, 18, 19 – 6 чисел; c 2: 25, 26, . . . , 29 – 5 чисел; c 3 – 4 числа; с 4 – 3 числа; с 5 – 2 числа; с 6: 69 – 1 число. Итого 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Посчитаем количество чисел, у которых цифра единиц меньше цифры десятков более чем на два. Чисел, заканчивающихся на цифру 0: 30, 40, 50, 60, . . . , 90 – 7 чисел; на 1: 41, 51, 61, 71, 81, 91 – 6 чисел; на 2 – 5 чисел; на 3 – 4 числа; на 4 – 3 числа; на 5 – 2 числа; на 6: 96 – 1 число. Итого 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Всего чисел 21 + 28 = 49.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Чему не равно число 5?
(А) Стороне квадрата из 25 клеточек.
(Б) Номеру задачи, которую ты сейчас решаешь.
(В) Количеству баллов за самую трудную задачу конкурса «Кенгуру».
(Г) Количеству точек, которые делят окружность на 5 частей.
(Д) Количеству различных букв в слове МАТЕМАТИКА.

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
Маленький инопланетянин учится считать, загибая пальцы. На каждой руке у него по 4 пальца. Он уже загнул все пальцы на двух руках и два пальца на третьей руке. До какого числа он досчитал?
(А) 7
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 11

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2019 год, 1 вариант

Задача:
Гонец ехал на лошади, чтобы доставить послание Илье Муромцу. В какой-то момент он заметил, что Илья Муромец прошёл мимо него (и продолжает идти в противоположном направлении). Спустя 10 секунд (когда лошадь остановилась) гонец спешился и побежал догонять Илью. Через сколько секунд гонец доставит послание, если он бежит в два раза быстрее Ильи Муромца, но в пять раз медленнее скачущей лошади?

Ответ: 110 секунд.
Решение:
Пусть Илья Муромец идёт со скоростью $x$ метров в секунду. Тогда скорость гонца — 2$x$, а скорость лошади — 10$x$. Получается, через 10 секунд после встречи расстояние между гонцом и лошадью будет 10 · $x$ (прошёл Илья Муромец) + 10 · 10$x$ (проехала лошадь до полной остановки) = 110$x$. После этого скорость сближения гонца и Ильи Муромца равна 2$x$ − $x$ = $x$. Таким образом, гонец доставит послание через 110 секунд.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Один из четверых бельчат разбил банку с мёдом. Серый заявил, что банку разбил Черныш. Но Черныш утверждал, что виноват Огнехвост. Рыжик сказал, что он не разбивал банку, а Огнехвост — что Черныш врёт. Только один из бельчат сказал правду. Кто сказал правду, и кто разбил банку?

Ответ: Правду сказал Огнехвост, разбил банку Рыжик.
Решение:
Черныш и Огнехвост друг другу противоречат. Значит, один из них говорил правду. Так как правду говорил всего один, то Серый и Рыжик соврали. Значит, Рыжик разбил банку. Черныш сказал, что виноват Огнехвост, значит, он тоже соврал. Остаётся Огнехвост, он сказал, что Черныш врёт, и это правда.
Зимняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2020 год

Задача:
Петя отдал Васе одну конфету, Вася отдал Коле две конфеты, а Коля отдал Мише 3 конфеты. Теперь у всех по 5 конфет. Сколько конфет было у каждого мальчика в начале?

У Пети было 6 конфет, у Васи было 6 конфет, у Коли было 6 конфет, у Миши было 2 конфеты.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2005 год

Задача:
Пирожное стоит столько же, сколько два пирожка, а три пирожка – столько же, сколько две шоколадки. Что дороже – два пирожных или три шоколадки?

Ответ: Дороже 3 шоколадки.
Решение:
Четыре пирожных стоят столько же, сколько 8 пирожков, а шесть шоколадок стоят столько же, сколько 9 пирожков. То есть 6 шоколадок дороже, чем 4 пирожных. Значит, и 3 шоколадки дороже 2 пирожных.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчата Вася и Петя в свой день рождения говорят только неправду, а в любые другие дни – только правду. Однажды Вася при встрече с Петей сказал: «Сегодня 1 сентября. Завтра твой день рождения». Петя ответил: «Сегодня твой день рождения. 1 сентября будет завтра». Можно ли определить дату рождения бельчонка Васи?

Ответ: Бельчонок Вася родился 31 августа.
Решение:
Предположим, что Вася сказал правду. Это значит, что завтра день рождения Пети. Но тогда сегодня не его день рождения и, следовательно, он также должен говорить правду. Но тогда, правда, что сегодня день рождения Васи, и тогда он должен лгать. Противоречие. Пусть Вася лжёт. Это значит, что сегодня его день рождения и прав Петя. Следовательно, 1 сентября не сегодня, а завтра. То есть сегодня 31 августа.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2019 год

Задача:
У уравнений $x^2 + 2019ax + b = 0$ и $x^2 + 2019bx + a = 0$ есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что $a≠b$ ?

Ответ: $\frac{1}{2019}$.
Решение:
Пусть общий корень данных уравнений равен $r$. Тогда:
$ r^2 + 2019ar + b = 0 = r^2 + 2019br + a $
Отсюда получаем, что $2019r(a − b) = (a − b)$. Поскольку $a \neq b$, из этого следует, что $r = \frac{1}{2019}$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Две машины едут по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 метра. Когда машина сворачивает на грунтовую дорогу, её скорость резко падает до 50 км/ч. Каким будет расстояние между машинами на грунтовой дороге?
(А) 10 м
(Б) 15 м
(В) 18 м
(Г) 24 м
(Д) 32 м

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
По прямой дистанции в 1200 метров в одну сторону бегут бельчата Вася и Дима, а им навстречу – Петя. Все бельчата стартовали одновременно и движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). В момент встречи Васи и Пети Дима пробежал всю дистанцию и был в 300 метрах от Васи. Сколько метров было между Васей и Димой в момент встречи Пети и Димы?

Ответ: 240 метров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он обнаружил, что есть двузначные числа с интересным свойством: такое число читается в два слова, но если его цифры переставить, то новое число будет читаться в одно слово. Сколько таких чисел?
(А) 3
(Б) 6
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: В
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
На тарелке лежат зелёные, жёлтые и красные яблоки. Яблок каждого цвета разное число, не менее одного. Зелёных и жёлтых вместе – 6, а жёлтых и красных вместе – 4. Сколько зелёных яблок?

Ответ: 5 зелёных яблок.
Решение:
Если жёлтых и красных вместе 4, и их разное число, то надо рассмотреть два варианта:
1. жёлтых 1, красных 3;
2. жёлтых 3, красных 1.

Зелёных и жёлтых вместе 6, и их разное число, значит, подходит только первый вариант: жёлтых 1, красных 3.
Тогда зелёных 6 − 1 = 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Пусть N — наименьшее из натуральных чисел, обладающих следующим свойством: 10N является квадратом некоторого натурального числа, а 6N — кубом. Чему равна сумма первой и последней цифр числа N?
(А) 3
(Б) 5
(В) 6
(Г) 8
(Д) 13

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2013 год

Задача:
Однажды на вечеринке разговаривали трое друзей.
- Глория заявила: «Я всегда говорю меньше шести слов».
- Алекс высказался: «Все фразы длиннее шести слов ложны».
- Марти мрачно добавил: «Хотя бы один из нас сейчас лжёт».

Определите, кто в этот раз солгал, а кто сказал правду.

Ответ: Солгали Глория и Алекс. Сказал правду Марти.
Решение:
Поскольку во фразе Глории ровно шесть слов, то она лжёт. А значит, один из них солгал, то есть Марти сказал правду. И так как фраза Марти содержит ровно 7 слов, то это больше шести, и, следовательно, не все фразы длиннее шести слов ложны. Значит, Алекс тоже солгал.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Существует ли число, у которого произведение суммы цифр на их количество равно 55?

Ответ: Да, существует.
Решение:
Рассмотрим число, составленное из пяти единиц и шести нулей: 11111000000. Сумма цифр равна 5, количество цифр равно 11, и 5 ⋅ 11 = 55.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
С какой цифры начинается самое маленькое натуральное число, у которого произведение цифр равно 120?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Петя и Аня отмечают свой день рождения 16 марта, но Петя родился, когда Ане исполнилось 3 года. Сколько лет будет Пете, когда Аня будет вдвое его старше?
(А) 1 год
(Б) 2 года
(В) 3 года
(Г) 4 года
(Д) 10 лет

В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Вася делал домашнее задание по математике 1800 секунд, а потом утомился и пошёл гулять. Значит, над заданием по математике Вася сидел
(А) четверть часа
(Б) полчаса
(В) три четверти часа
(Г) два часа
(Д) три часа

Ответ: Б