d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2018 год, первая лига

Задача:
4 мальчика сели в ряд, а между ними сели девочки. Дед Мороз каждому мальчику дал по одному большому подарку, а девочкам — по два маленьких. Сколько всего подарков получили дети?

Ответ: 4 + (3 + 3) = 10
Решение:
4 мальчика, а девочек было 3, у мальчиков всего 4 подарка, а у девочек 6 (у каждой по два). Итого 10 штук.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
Поезд «Москва – Новосибирск» отправился из Москвы 19 февраля в 13:50 и прибыл 21 февраля в 18:50. Поезд «Новосибирск – Москва» отправился из Новосибирска 25 февраля в 11:20 и прибыл на конечную станцию 27 февраля в 10:20. Время отправления и прибытия указано местное, поезд по маршруту туда и обратно тратит одинаковое количество времени на остановки, на всём пути едет с постоянной скоростью. Определите, какая разница во времени между Москвой и Новосибирском.

Поезд из Москвы был в пути 2 дня и 5 часов — столько занимает путь из Москвы увеличенный на разницу во времени. А поезд в Москву был в пути 1 день 23 часа — столько занимает путь в Москву уменьшенный на разницу во времени. Получаем, что разница во времени 6 : 2 = 3 часа.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Три бельчонка делили шишки. Сначала первый отдал половину своих шишек, поделив их поровну между вторым и третьим. Потом второй отдал две шишки третьему, и одну шишку первому. Потом третий отдал половину своих шишек, поделив их поровну между первым и вторым. После этого у каждого оказалось по 10 шишек. Сколько шишек было у каждого бельчонка в начале?

Ответ: У первого в начале было 8 шишек, у второго 6, у третьего 16.
Решение:
Будем решать задачу с конца. У третьего бельчонка осталось 10 шишек, когда он отдал половину, значит, было 20, и он отдал 10, каждому по 5 шишек. То есть у второго и у первого было по 5 шишек. Второй отдал 3 шишки, значит, у него было 8. У первого было 4 шишки, у третьего — 18. Первый отдал половину своих шишек, и осталось 4, то есть он отдал 4 шишки, по две каждому. У первого в начале было 8 шишек, у второго 6, у третьего 16.
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
Пираты вдвоём взяли на абордаж корабль с золотом. Драться друг с другом у них не осталось сил, поэтому они разыграли добычу в карты. Они взяли две одинаковые колоды карт, тщательно перемешали, всю большую колоду поделили между собой как попало. Далее каждый из них ищет среди своих карт пары одинаковых (по масти и достоинству), одну карту из каждой пары отдаёт сопернику, другую скармливает своему попугаю. Тот, у кого после этого останется меньше карт, отдаёт свою долю победителю. Верно ли, что в такой игре игрок, взявший изначально карт меньше, чем соперник, всегда побеждает?

Ответ: нет, неверно.
Указание: рассмотрите ситуацию, когда у одного из игроков 3 карты попарно различных мастей и достоинств и нет червей, а у другого 5, притом четыре из них попарно различных мастей и достоинств, и есть 2 червонные карты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Правильный шестиугольник и правильный треугольник имеют одинаковые периметры. Каково отношение их площадей?
(А) 1
(Б) 3/2
(В) 2
(Г) 4
(Д) 6

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)

Ответ: 56.
Решение:
Пусть Вася загадал число $n$. При приписывании справа цифры 8 оно превращается в число 10$n$ + 8, а при приписывании слева цифры 1 оно увеличивается ещё на 1000, поэтому
10$n$ + 1008 = 28$n$
18$n$ = 1008
$n$ = 56
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Костя увидел своего друга Сережу, идущего по улице, побежал за ним и догнал за 3 минуты. Если бы в тот момент, когда Костя побежал, Серёжа пошёл ему навстречу со своей прежней скоростью, они встретились бы через 1 минуту. Сколько времени бежал бы Костя, если бы Серёжа ждал его, стоя на месте?
(А) 150 сек
(Б) 140 сек
(В) 120 сек
(Г) 100 сек
(Д) 90 сек

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2010 год

Задача:
Карлсон купил кусок холста за 5 эре. Нарисовав на нём картину «Жутко одинокий Петух», он продал её Малышу за 6 эре. Потом снова купил эту картину у Малыша за 7 эре и, нарисовав поверх петуха картину «Портрет моего Кролика», продал Малышу за 8 эре. Сколько денег заработал Карлсон?

Решение:
Можно рассматривать две независимые сделки: одна с картиной "Жутко одинокий Петух", другая с картиной "Портрет моего Кролика". На каждой из этих двух сделок Карлсон заработал по 1 эре. Значит, всего он заработал 2 эре.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Четвероклассница Маша и её брат первоклассник Миша решали задачи конкурса «Кенгуру» для 3-4 классов. В результате оказалось, что Миша получил не 0 баллов, а Маша — не 100 баллов. На какое наибольшее число баллов Маша могла обогнать Мишу?
Комментарий: за одну задачу на конкурсе «Кенгуру» дают 3, 4 либо 5 баллов, а в сумме за все задачи можно получить максимально 100 баллов.
(А) 92
(Б) 94
(В) 95
(Г) 96
(Д) 97

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Никита с инструктором пошёл кататься на лыжах. Они нашли ровный участок длиной 12 км и побежали. Никита, впервые встав на лыжи поехал со скоростью 70 м/мин, а инструктор помчался со своей обычной скоростью 250 м/мин. Добежав до конца, инструктор развернулся и поехал Никите навстречу. Через сколько минут от начала движения они встретятся?

Будем считать, что инструктор стартует не вместе с Пашей, а на расстоянии 24 км от него (и идёт навстречу). Тогда ему не придётся разворачиваться, и он всё время будет ехать в одном направлении. Их скорость сближения равна: 320 м/мин. Время равно: 24000 м : 320 м/мин = = 75 мин.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2023 год, 1 тур

Задача:
Винни Пух наводил порядок в своей кладовке. Там он обнаружил 5 одинаковых горшочков, наполненных мёдом ровно наполовину, весом по 5 кг каждый. «Непорядок», – подумал Винни. И переложил мёд в два горшочка, которые получились полными, а лишний мёд съел. Оказалось, что два полных горшочка и мёд в них весят 16 кг. Сколько мёда теперь в запасе у Винни?

Ответ: 12 кг.
Решение. Так как два полных горшка весят 16 кг, то один полный горшок весит 8 кг. Горшок, наполненный мёдом на половину, весит 5 кг. Значит половинка мёда весит 8 − 5 = 3 кг. А весь мёд в полном горшке – 6 кг. То есть у Винни теперь 12 кг мёда в запасе.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2009 год, 1 тур

Задача:
Витя и Маша ели конфеты. Вместе они съели на 17 конфет больше, чем Витя, и на 15 конфет больше, чем Маша.
1. Сколько конфет съел Витя?
2. Сколько конфет они съели вместе?


Ответ: а) 15 конфет; б) 32 конфеты.
Решение. Витя и Маша вместе съели конфет больше, чем Маша ровно на столько, сколько съел Витя, то есть Витя съел 15 конфет. Аналогично рассуждая, получаем, что Витя съел 17 конфет. Отсюда всего съели 15 + 17 = 32.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Ученики 9«а» и 9«б» писали поздравления. Каждая девочка поздравила каждого своего одноклассника, а каждый мальчик поздравил каждую девочку из другого класса. Всего было написано 437 поздравлений. Сколько вместе учеников в этих двух классах?

Ответ: 42 ученика.
Решение:
Число поздравлений, связанных с одним мальчиком, постоянно: его поздравили одноклассницы, а он поздравил девочек из другого класса, значит, число поздравлений, связанных с одним мальчиком, равно общему числу девочек, (а число поздравлений, связанных с каждой девочкой равно общему числу мальчиков), 437 = 23 ⋅ 19 = 437 ⋅ 1. Тогда всего девятиклассников 23 + 19 = 42 или 437 + 1 = 438. Второй ответ можно отбросить, так как при этом в одном классе 437 учеников, и все девочки, а в другом учится один мальчик, но таких классов не бывает.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
Через три с половиной часа отправляется поезд, на котором Сёма поедет к бабушке. Боясь проспать, он проснулся полтора часа назад. За сколько часов до отправления поезда Сёма проснулся?
(А) за полтора часа
(Б) за 2 часа
(В) за 3 с половиной часа
(Г) за 4 часа
(Д) за 5 часов

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша. Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?

Ответ: 23 банки.
Решение:
Все переменные в решении будут натуральными числами, поскольку веса всех банок по условию являются целыми числами.
Пусть у Малыша изначально было суммарно 𝑛 фунтов варенья, тогда у Карлсона было 13𝑛 фунтов варенья. Пусть Карлсон отдал свою наименьшую банку с 𝑎 фунтами варенья. Тогда по условию 13𝑛 − 𝑎 = 8(𝑛 + 𝑎), т.е. 5𝑛 = 9𝑎. Значит, 9𝑎 делится на 5, но тогда 𝑎 делится на 5, т.е. 𝑎 = 5𝑘 для некоторого 𝑘. Тогда 5𝑛 = 9 ⋅ 5𝑘, и 𝑛 = 9𝑘. Следовательно, изначально у Карлсона было несколько банок, в которых суммарно было 13 ⋅ 9𝑘 = 117𝑘 фунтов варенья, причём наименьшая банка весит 5𝑘 фунтов. Но тогда банок у Карлсона не больше $\frac{117𝑘}{5𝑘}$= 23,4. Следовательно, их не больше 23.
23 банки у Карлсона быть могло. Пусть, например, у него была 1 банка весом 7 фунтов и 22 банки весом по 5 фунтов, а у Малыша 1 банка весом 9 фунтов. Тогда все условия выполняются: 117 = 13 ⋅ 9 и 117 − 5 = 8 ⋅ (9 + 5).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он записал цифрами и словами самое маленькое из натуральных чисел, для словесной записи которых требуется три слова. Какова сумма цифр этого числа?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: (В) 4
Олимпиада «Бельчонок», 10 класс, 2020-2021 год

Задача:
В треугольнике ABC проведены пересекающиеся в точке O биссектрисы AK и CL и медиана BM. Известно, что AB = 4, BC = 3 , OK = OL. Найдите квадрат длины медианы BM.

Ответ: 9,25.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
У нескольких ребят было поровну яблок. Если бы ребят было на два меньше, то каждому досталось бы на одно яблоко больше. А если бы ребят было на три меньше, то каждому досталось бы на два яблока больше. Сколько было ребят?
(А) 14
(Б) 12
(В) 10
(Г) 8
(Д) 6

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2016 год

Задача:
В Солнечном городе меняют пряник на 6 сушек, а за 9 сушек дают 4 баранки. Сколько баранок дают за 3 пряника? Объясните свой ответ.

Ответ: 8 баранок.
Решение:
Если за один пряник дают 6 сушек, то за 3 пряника дадут 3 ⋅ 6 = 18 сушек. 18 сушек — это 2 раза по 9 сушек. Значит, за них дадут 2 раза по 4 баранки, т.е. 8 баранок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Вася проводит на плоскости прямые так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Он хочет, чтобы все треугольники, образованные этими прямыми, были тупоугольными. Какое наибольшее число прямых он сможет провести?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) сколько угодно

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В четырёх кучках лежат орехи: в первой кучке 2, во второй — 3, в третьей — 4, в четвёртой — 7 орехов. Бельчонок может одновременно добавлять по одному ореху в любые три кучки, например: 2, 3, 4, 7 ⟶ 3, 3, 5, 8, и делать так сколько угодно раз. Если ему удастся сделать так, чтобы орехов в кучках было поровну, то какое наименьшее число орехов будет добавлено?

Ответ: 24 ореха.
Решение:
2, 3, 4, 7 ⟶ 3, 4, 5, 7 ⟶ 4, 5, 6, 7 ⟶ 5, 6, 7, 7 ⟶ 6, 7, 8, 7 ⟶ 7, 8, 8, 8 ⟶ 8, 8, 9, 9 ⟶ 9, 9, 9, 10 ⟶ 10, 10, 10, 10.
Доказывать минимальность не требуется, но вытекает она из того, что требуется не меньше 15 орехов, чтобы сравнять числа 2 и 7. Изначальная сумма равна 16. Будем прибавлять числа, кратные 3, начиная с 15:
16 + 15 = 3;
16 + 18 = 34;
16 + 21 = 37;
16 + 24 = 40, и мы впервые получили число, делящееся на 4.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2016 год

Задача:
Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа $a$, $b$, $c$:
- Антон: 1) $a$ + $b$ + $c$ = 34; 2) $abc$ = 56;
- Борис: 1) $ab$ + $bc$ + $ac$ = 311 2) наименьшее из чисел равно 5;
- Настя: 1) $a$ = $b$ = $c$ 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.

У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.

Ответ: 2, 13, 19 (в любом порядке).
Решение:
Если из утверждений Антона верно второе утверждение, то оба утверждения Насти неверны. Значит, $a$ + $b$ + $c$ = 34. Таким образом, верно второе Настино утверждение. Так как сумма трёх простых чисел равна 34, они не могут все быть нечётными, и одно из них равно 2. Значит, из утверждений Бориса верно первое утверждение.
Пусть для определённости $a$ = 2. Тогда $b$ + $c$ = 32.
Далее можно перебрать все пары простых чисел, дающие в сумме 32, и проверить для них равенство $ab$ + $bc$ + $ac$ = 311.
Но можно поступить так:
311 = $ab$ + $bc$ + $ac$ = $a$($b$ + $c$) + $bc$ = 64 + $bc$, откуда $bc$ = 247.
Так как 247 = 19⋅13, получаем что $b$ = 13, $c$ = 19 (или наоборот).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Сколько среди чисел 1, 2, …, 50 таких, которые равны сумме всех своих простых делителей?
(А) 10
(Б) 15
(В) 17
(Г) 19
(Д) 22

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Яблоко легче, чем персик, но тяжелее, чем лимон. Груша легче, чем персик, но тяжелее, чем яблоко. Апельсин легче, чем яблоко, но тяжелее, чем лимон. Что тяжелее всего?

Ответ: персик.
Решение:
ПЯ
ПЯЛ
ПГЯЛ
ПГЯАЛ
Легче всего лимон. Затем идёт апельсин, яблоко, груша и персик. Тяжелее всего персик.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Вера, Гена, Катя и Миша писали тест из 50 очень сложных заданий. Гена сделал в 2 раза больше ошибок, чем Вера. Катя допустила в 3 раза больше ошибок, чем Гена. А вот у Миши было в 2 раза меньше ошибок, чем у Кати. Оказалось, что в сумме ребята сделали 60 ошибок. Сколько заданий из 50 Гена сделал правильно?

Ответ: 40 заданий.
Решение:
Пусть $x$ ошибок допустила Вера, тогда 2$x$ – Гена, 6$x$ – Катя и 3$x$ – Миша. Откуда $x$ + 2$x$ + 6$x$ + 3$x$ = 60, следовательно, $x$ = 5. Следовательно, Гена допустил 2 ∙ 5 = 10 ошибок, а правильно решил 50 − 10 = 40 заданий.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Если $a$ ∗ $b$ = $\displaystyle \frac{a + ab − b}{b + 1}$, то число ((0 ∗ 1) ∗ 0) ∗ 1 равно:
(А) −1
(Б) −0,5
(В) 0
(Г) 1
(Д) 1,5

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Черепахи Чапа и Паша бегут десятиметровый кросс по одной дорожке, стартуя одновременно с одного старта. Чапа преодолевает каждый метр за две минуты, а потом две минуты отдыхает. Паша передвигается в два раза быстрее, но и отдыхает после каждого метра в два раза дольше. В скольких точках дистанции (кроме старта и финиша) обе черепахи побывают одновременно?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Записывая пример, путаник Вася заменил × на +, а + на × , но все равно получил верный ответ. Каким мог быть этот пример?
(А) 1 × 3 + 5
(Б) 3 × 2 + 4
(В) 3 × 2 + 2
(Г) 2 × 3 + 2
(Д) 5 × 3 + 2

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Какой самый маленький результат можно получить, вставив пару скобок в выражение 2010 : 10 + 2010 : 201 + 2010 ⋅ 0 ?
(А) 2010
(Б) 201
(В) 211
(Г) 100,5
(Д) 0

Ответ: (Д) 0
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Сколько общих букв у слов КЕНГУРУ и МАТЕМАТИКА?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В одном лесу жила семья, состоящая из трёх бельчат, а потом родился бельчонок Женя. Сейчас вся семья съедает 28 орехов в неделю, причём Женя съедает ровно вдвое меньше, чем любой из старших бельчат. Сколько орехов в неделю съедала эта семья до рождения Жени?

Ответ: 24 ореха.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок может прыгать на 3 метра или на 7 метров, вперёд, или назад. Может ли он попасть в точку, отстоящую ровно на 11 метров от начала?

Ответ: Да.
Решение:
Существует много разных способов. Например, пусть бельчонок прыгнет 2 раз вперёд на 7 метров, и один раз назад на 3 метра. 7 + 7 − 3 = 11 (метров).
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Сейчас произведение возрастов черепах Чапы и Паши равно 2^3 ⋅ 3^3 ⋅ 11. Через год произведение их возрастов наверняка не будет делиться на
(А) 7
(Б) 15
(В) 18
(Г) 22
(Д) 55

Ответ: (Г) 22
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 2 тур

Задача:
В спортивной команде шесть человек. Все они участвовали в пяти соревнованиях. Могло ли так оказаться, что сумма мест, занятых каждым, равна одному и тому же числу?

Ответ: Нет.
Решение:
Давайте посчитаем общую сумму мест. В каждом соревновании есть 1, 2, 3, 4, 5 и 6 место и всего соревнований 5. Значит, общая сумма мест равна (1+2+3+4+5+6)∙5=105 – нечётное число. Однако если сумма мест, набранная каждым равна n, то общая сумма равна 6n – чётное число. Поэтому требуемое условие не может быть выполнено.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2012 год

Задача:
Решите уравнение:
1 − (2 − (3 − (… 2010 − (2011 − (2012 − $x$)) … ))) = 1006

Ответ: $x$ = 2012
Решение:
Открыв скобки, получим:
1 − 2 + 3 − 4 + … + 2011 − 2012 + $x$ = 1006
−1006 + $x$ = 1006
$x$ = 2012
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Пусть $A = \sin^2\alpha + \sin^2\beta$, $B = \cos^2\alpha + \cos^2\beta$. Какой из вариантов возможен?
(А) $A = 1$, $\displaystyle B = \frac{3}{2}$
(Б) $\displaystyle A = \frac{3}{4}$, $\displaystyle B = \frac{5}{4}$
(В) $\displaystyle A = \frac{3}{2}$, $\displaystyle B = \frac{4}{3}$
(Г) $A = 2$, $B = 2$
(Д) никакой из перечисленных

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Алиса заметила, что два месяца подряд 20-е число приходилось на четверг. Какой день недели будет 20-го числа в следующем за ними месяце?
(А) понедельник
(Б) вторник
(В) среда
(Г) пятница
(Д) воскресенье

Ответ: (Д) воскресенье
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
В дремучем лесу на единственной поляне собрались звери. Медведь менял ягоды на шишки и на грибы. За каждые пять ягод медведь брал три шишки, а за каждые четыре ягоды брал два гриба.
Треть ягод медведь поменял на шишки, в результате чего получил 36 шишек. Сколько грибов получил медведь, обменяв на них оставшиеся ягоды?

Медведь на шишки поменял (36 / 3) ⋅ 5 = 60 ягод.
Значит, осталось у него 60 ⋅ 2 = 120 ягод, которые он поменял на (120 / 4) ⋅ 2 = 60 грибов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Сумма цифр целого положительного числа N больше суммы цифр числа N + 1 в три раза. Чему равно наименьшее возможное значение суммы цифр числа N?
(А) 9
(Б) 12
(В) 15
(Г) 18
(Д) 27

Ответ: Б
Решение:
Сумма цифр числа N + 1 может быть меньше, чем у N только в тех случаях, когда c добавлением единицы происходит переход через десяток, сотню, и т.д. Соответственно сумма цифр числа N + 1 может уменьшиться на 8⋅(9 − 1), 17⋅(18 − 1), 26⋅(27 − 1) и т.д. Минимальная разница — 8. Решая уравнение 3x − x = 8, где 3x обозначена сумма цифр N, получаем, что х = 4. Т.е. сумма цифр числа N равна 3 ∙ 4 = 12.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Сколько существует таких натуральных n, что остаток от деления 2003 на n равен 23?
(А) 22
(Б) 19
(В) 13
(Г) 12
(Д) 87

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Дима, Миша и Петя пошли в школу в 1Б класс. После линейки в школе мальчиков спросили, как зовут их учительницу.
- «Ирина Геннадьевна» – сказал Дима.
- «Светлана Геннадьевна» – сказал Миша.
- «Наталья Петровна» – сказал Петя.

Оказалось, что каждый из мальчиков правильно запомнил либо только имя, либо только отчество учительницы. Как на самом деле зовут учительницу?

Ответ: Наталья Геннадьевна.
Решение:
Если Дима и Миша неправильно запомнили отчество учительницы, то её зовут и Ирина, и Светлана. Такого быть не может. Значит, они запомнили отчество правильно. Тогда Петя запомнил правильно имя (отчество неправильно). Поэтому учительницу зовут Наталья Геннадьевна.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Из цифр 2, 0, 1 и 9 составили два числа А и В (каждая цифра используется ровно один раз) и перемножили их, получив самое большое из возможных чисел C. Чему равно C?

Ответ: 1890.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Чему равно $(a:b):(c:d)?$
(А) $\displaystyle \frac{ad}{bc}$
(Б) $\displaystyle \frac{ac}{bd}$
(В) $\displaystyle \frac{ab}{cd}$
(Г) $\displaystyle \frac{bc}{ad}$
(Д) $\displaystyle \frac{cd}{ab}$

Ответ: (А) $\displaystyle \frac{ad}{bc}$
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Известно, что для различных натуральных чисел x, y и z справедливо равенство x + 2y + 3z = 990. Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель трёх чисел x, y и z?

Ответ: 99.
Олимпиада «Весенний Олимп», 6 класс, 2011 год

Задача:
Капитан Ефим отправился в плавание, купив календарь. Оказалось, что в каждом году пропущен февраль, то есть сразу после 31 января идёт 1 марта. Капитан обратил внимание на 2 подряд идущих года. В первом понедельников больше, чем сред. Какой день недели чаще всего встречается во втором году?

В году без февраля 365 − 28 = 337 дней. 337 = 7 ⋅ 48 + 1, поэтому в году 48 полных недель (начинающихся с того дня недели, которым было 1 января) и ещё один день (соответствующий ему день недели и встречается чаще других) — 31 декабря. В первом году этот день, очевидно, понедельник. Значит, 1 января в следующем году — вторник. 31 декабря, соответственно, тоже вторник.
Ответ: Вторник.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Журнал сшит из двойных листов. Сумма номеров четырёх страниц двойного журнального листа 130. Сколько страниц в этом журнале?

Посмотрим на первый и последний листы (они в одном двойном листе). Сумма страниц на первом лисе равна 1 + 2 = 3, а на последнем 130 − 3 = 127, но на страницах одного листа последовательные номера. Получаем номер последней страницы (127 + 1) : 2 = 64.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Один будильник спешит на 25 минут и показывает 7 часов 50 минут. Какое время показывает другой будильник, который отстает на 15 минут?
(А) 7 час 10 мин
(Б) 7 час 25 мин
(В) 7 час 35 мин
(Г) 7 час 40 мин
(Д) 8 час

Ответ: А
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2013 год, 2 этап

Задача:
Расшифруйте запись. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные:
ПАР ⋅ ПАР = АХАХА
Известно, что П = 2. Какое значение принимает буква А?

Ответ: 6.
Решение:
264 ⋅ 264 = 69696
А = 6
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Тихон вытащил из полного комплекта домино все доминошки, сумма точек на которых — чётное число. Можно ли из оставшихся доминошек сложить цепочку по правилам игры? (К единице прикладывается единица, к двойке двойка, к тройке тройка и так далее.)

Нет, так как в оставшихся доминошках цифры 0, 2, 4 и 6 встречаются по 3 раза.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
На доске были записаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся получилась 2020. Какое число стёрли?

Ответ: 225.
Решение:
Пусть это были числа а, а+1, а+2, а+3, а+4, а+5, а+6, а+7, а+8, а+9.
Тогда их сумма равна 10а + 45.
Пусть стёрли число а+х, тогда
10а + 45 − (а + х) = 2020
9а = 1975 + х
Левая часть равенства делится на 9, значит, и правая тоже делится, х = 5.
9а = 1980
а = 220
а + х = 220 + 5 = 225