d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2022 год

Задача:
Белоснежка положила на стол 10 монет достоинством 1 или 2 эре. Каждый из 7 гномов взял себе 1 или 2 разные монетки и ничего не осталось. В итоге самому младшему досталось денег меньше всех. Сколько всего эре лежало на столе?

Ответ: 16 эре.
Решение:
Так как монет 10, то две монеты могли взять себе только три гнома. Значит остальные взяли по одной монете − 1 или 2 эре. Поскольку у одного гнома меньше всех, то именно у него 1 эре, а у остальных, взявших одну монету, по 2 эре. Получаем 3 ⋅ (2+1) + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = 16 эре.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2011 год

Задача:
Электронные часы показывают 20:11. Сколько минут пройдёт прежде, чем часы впервые покажут тот же набор цифр 0, 1, 1 и 2 в некотором другом порядке?
(А) 45
(Б) 49
(В) 50
(Г) 59
(Д) 60

Ответ: (В) 50
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В обувной магазин пришли необычные покупатели:
И жуки и пауки
Покупали башмаки.
Восемь ног у паука,
На две меньше у жука.
У жуков и паучков
Вместе двадцать семь голов,
И всего они купили ровно двести башмаков.
Сколько было там жуков?

Ответ: 8 жуков.
Решение:
Пусть сначала все купят по 6 башмаков. Получается 27 ⋅ 6 = 162 башмака. Остаётся 200 − 162 = 38 башмаков. Их купят паучки, по 2 башмака каждый, то есть паучков 38 : 2 = 19. Тогда жуков 27 − 19 = 8.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап

Задача:
По кругу стоят 36 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в каждой тройке подряд идущих чисел есть число, большее суммы двух других. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 36 чисел?

Ответ: 60.
Решение:
Разобьём все числа на 12 троек подряд идущих чисел. В каждой такой тройке есть число, большее суммы двух других, поэтому сумма чисел в ней не менее 1 + 1 + 3 = 5. А тогда сумма вообще всех чисел не менее 5 ⋅ 12 = 60.
Осталось заметить, что если расставлять числа в порядке …, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, … (всего 12 троек и 24 единицы), условие задачи будет выполняться (в любой тройке подряд идущих чисел будет одна тройка и две единицы, 3 > 1 + 1), и сумма всех чисел будет равна 60.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Какой многоугольник не может получиться при пересечении двух треугольников?
(А) треугольник
(Б) четырёхугольник
(В) пятиугольник
(Г) шестиугольник
(Д) любая из фигур А-Г может получиться

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В столовой для бельчат несколько видов орехов, несколько видов грибов и несколько видов ягод. Обед состоит из ореха, гриба и ягоды. Бельчонок, стоя в очереди, понял, что обед можно выбрать больше, чем шестнадцатью способами, но меньше, чем девятнадцатью. Каким точным числом способов бельчонок может выбрать обед и почему?

Ответ: 18 способов.
Решение:
Количество видов орехов, грибов и ягод не менее 2, так как написано «несколько». Давайте посмотрим, какой выбор для составления обеда может быть. Обозначим выбор из, например, 2 видов орехов, 2 видов грибов и 2 видов ягод как (2,2,2). Значит, наборы могут быть такие (c точностью до перестановки): (2,2,2), (2,2,3), (2,3,3), (2,2,4) и т.д. Если в наборе хотя бы две тройки, то количество обедов уже не менее 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18, а это уже больше 15 дней. Если в наборе есть хотя бы одна 4, то наименьшее количество обедов 2 ∙ 2 ∙ 4 = 16, это тоже много. (2,2,2) — это 8 комбинаций, но это меньше 9 способов. Остается только (2,2,3) — это 12 комбинаций.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
У хозяйки два кота: Тоша и Малыш. Вес Малыша составляет n % от веса Тоши, а вес Тоши — 4n % от веса Малыша. Во сколько раз Тоша тяжелее Малыша?
(А) 1,5
(Б) 2
(В) 2,5
(Г) 4
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
Из набора чисел 1, 2, …, 19 вычеркнуты все чётные числа, а также все такие числа х, что 19 − х делится на 3. Сколько чисел осталось?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Сколько существует пар двузначных чисел, разность которых равна 50?
(А) 30
(Б) 39
(В) 40
(Г) 49
(Д) 50

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды шесть бельчат встали друг за другом на поляне.
- Последний (шестой) сказал: «Передо мной стоит пять лжецов».
- Пятый: «Передо мной четыре лжеца».
- Четвертый: «Передо мной три лжеца».
- Третий: «Передо мной два лжеца».
- Второй: «Передо мной один лжец».
- А первый ничего не сказал.

Сколько бельчат-лжецов на поляне?

Ответ: 5 лжецов.
Решение:
Рассмотрим первого и второго бельчонка. Среди них ровно 1 рыцарь и ровно 1 лжец. Действительно, если второй рыцарь, то первый должен быть лжецом. И наоборот, если второй лжец, то первый рыцарь. Следовательно, все остальные лгут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 1 тур

Задача:
Когда в Белграде полдень, на Камчатке 11 часов вечера. В этот же момент в Бостоне 6 ч утра, а в Лос-Анжелесе 3 часа ночи того же дня.
10 января в 8 часов вечера Миша отправил фотографию по e-mail из Бостона в Белград Вове (фотографии доставляются по e-mail почти мгновенно). Через 14 часов Вова отправил её по e-mail на Камчатку Родиону. На следующий день утром в 8 часов Родион отправил её в Лос-Анжелес Грише тоже по e-mail. В какое время и какого числа фотография была доставлена Грише?

Ответ: 12 января в 12:00 дня (в полдень)
Решение:
Вова получил фотографию 11 января в 2 часа ночи, в 16 часов этого же дня он отправил её Родиону. Родион получил фотографию в 3 часа ночи 12 января, отправил её Грише 13 января в 08 часов утра, Гриша получил её в полдень 12 января.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В очередь в столовой Сибирского федерального университета хотят выстроиться семь первокурсников: Боря, Вика, Гена, Дина, Коля, Лена и Миша. Сколькими способами можно им встать в очередь, если известно, что Вика обязательно хочет быть первой или второй, а Коля, Лена и Миша хотят стоять рядом в каком-то порядке между собой трёмя?

Ответ: 252 способа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
В числе 2013 сумма первых трёх цифр равна четвёртой. Сколько чисел от 2014 до 2100 обладают таким же свойством?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: 6
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2012 год

Задача:
В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?

Ответ: 45 и 55 рыбок соответственно.
Решение:
После отселения в аквариумах осталось 100 − 30 − 40 = 30 рыбок. Значит, в каждом по 15. Поэтому в первом вначале было 15 + 30 = 45 рыбок, а во втором 15 + 40 = 55 рыбок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
В двузначном числе x цифра единиц равна b, цифра десятков — а. При каком из условий x обязательно делится на 6?
(А) а + b = 6
(Б) b = 6а
(В) b = 5а
(Г) b = 2а
(Д) а = 2b

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2012 год

Задача:
Лена написала слово КЕНГУРУ два раза подряд. Сколько раз она написала букву У?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 6

Ответ: (Г) 4
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
На дне моря щука нашла четыре яйца, в каком-то одном из которых лежит игла (а на конце иглы — Кощеева смерть). У Ивана Царевича есть волшебная шкатулка: кладёшь в неё яйца, а она человеческим голосом говорит, есть ли в каком-то из них игла, или нет. Есть одна загвоздка. У шкатулки с Иваном уговор: один раз вместо «да, внутри меня есть игла» шкатулка имеет право соврать и сказать «нет, иглы нет» (но может и не врать).
- Засунул Иван в шкатулку первое яйцо, и получил ответ «иглы нет».
- Засунул затем Иван в шкатулку второе и третье яйца, и получил такой же ответ.
- Наконец, засунул Иван в шкатулку первое, второе и четвёртое яйца, и получил ответ «да, в каком-то из яиц есть игла».

В каком яйце может оказаться игла? Нужно отметить только те яйца, в которых действительно может быть игла при таком наборе ответов.

Допустим, игла в первом яйце. Тогда указанный набор ответов возможен, если в первый раз шкатулка соврала.
Допустим, игла во втором яйце. Это означает, что шкатулка соврала во второй раз. Так быть может.
Допустим, игла в третьем яйце. Но тогда шкатулка не могла на третий вопрос ответить положительно. Противоречие.
Допустим, игла в четвёртом яйце. Тогда указанный набор ответов возможен, если шкатулка вообще не врала.
Итого ответ: все, кроме третьего.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Через 16 лет Дороти будет в 5 раз старше, чем была 4 года назад. Через сколько лет ей будет 16?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: 7
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Пусть a_1 = 2 и a_n + 1 $\displaystyle = \frac{a_n − 1}{a_n + 1}$. Чему равно a_2009 ?
(А) 2
(Б) 1/3
(В) −1/2
(Г) −3
(Д) другой ответ

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
В каком из следующих чисел произведение цифр больше, чем сумма цифр?
(А) 112
(Б) 209
(В) 312
(Г) 212
(Д) 222

Ответ: 222
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Во дворе живут два кота и две собаки. Кот Малыш боится обеих собак, а кот Тоша боится Шарика и дружит с Бобиком. Какое из утверждений неверно?
(А) Каждый из котов боится какой-то из собак.
(Б) Есть кот, который не боится какой-то из собак.
(В) Есть собака, которую боятся оба кота.
(Г) Есть собака, которую не боится ни один из котов.
(Д) Каждая из двух собак вызывает страх у какого-то из котов.

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
При каком значении параметра а уравнение
а^2х − 8 = 64х − а
имеет бесконечное множество решений?

Ответ: 8.
Решение:
а^2х − 8 = 64х − а
а^2х − 64х = −а + 8
(а^2 − 64)х = −(а − 8)
(а − 8)(а + 8)х = −(а − 8)
Если а ≠ ±8, то х = −1/(а + 8).
Если а = −8, то уравнение принимает вид 0 − х = 16 и не имеет решений.
Если а = 8, то уравнение принимает вид 0⋅х = 0, х — любое число.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Если куб с ребром 1 метр разрезать на кубики с ребром 1 дециметр, и поставить эти кубики друг на друга, то получится «башня» высотой
(А) 1 м
(Б) 100 м
(В) 1 км
(Г) 10 км
(Д) 10 м

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
На календаре 2007 год. Сумма цифр этого числа равна 9. Через сколько лет повторится такая же сумма цифр?
(А) 1 год
(Б) 2 года
(В) 7 лет
(Г) 9 лет
(Д) 12 лет

Ответ: Г
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На столе лежали тетради. Саша взял половину всех тетрадей, Коля взял треть остатка, а Миша взял четверть нового остатка, и на столе осталось 3 тетради. Сколько тетрадей взял Саша?

Ответ: 6 тетрадей.
Решение:
Три четверти нового остатка – это 3 тетради, значит, четверть нового остатка – 1 тетрадь.
Миша взял 1 тетрадь.
Новый остаток – 4 тетради, это две трети первого остатка.
Треть первого остатка – 2 тетради.
Коля взял 2 тетради.
Половина всех тетрадей: 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6.
Саша взял 6 тетрадей.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
В коробке лежат чёрные, белые и красные шарики. Чёрных больше, чем 7, а белых меньше, чем 7. Вместе чёрных и красных в 2 раза больше, чем белых, а белых и красных ровно столько, сколько чёрных. Сколько красных шариков?

Ответ: 3.
Решение:
Пусть x – число чёрных шариков, у – белых, z – красных.
По условию задачи:
x > 7; у < 7; x + z = 2у; у + z = x.
у + z + z = 2у; у = 2z
х + z = 2у; х + z = 4z; x = 3z
х = 9, у = 6, z = 3
9 чёрных, 6 белых, 3 красных.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
У некоторых натуральных чисел квадрат и куб записываются одинаковым количеством цифр. Сколько таких чисел?
(А) 0
(Б) 3
(В) 4
(Г) 9
(Д) бесконечно много

Ответ: Б
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Говорят, что если подойти к Мёбиусу 2 ноября, то он будет раздавать ленты. Первому подошедшему он даст одну ленту и десятую часть всех оставшихся, второму подошедшему даст две ленты и десятую часть оставшихся, . . . , девятому подошедшему даст девять лент и десятую часть оставшихся. Если же кто-то подойдёт потом, то ему ничего не достанется. Сколько лент есть у Мёбиуса?

За 9 дней Мёбиус раздаст все ленты, в последний день отдаст 9 лент и десятую часть всех оставшихся, то есть 10 лент (9/10 часть равна 9). Аналогично рассуждая, получим, что на 8й день он отдаст 8 лент и десятую часть оставшихся, то есть 9/10 часть равна 8 + 10 = 18 лент — было 20 лент (отдал 10). . . В первый день останется 80 лент, а всего было 90 лент. Отметим, что каждый день он отдавал ровно 10 лент.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2012 год, 2 этап

Задача:
Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10 больше одной трети среднего. Назовите сумму этих трёх чисел.

Ответ: Это числа 22,5; 37,5; 45. Их сумма равна 105.
Решение:
Пусть $a < b < c$ – данные числа в возрастающем порядке, тогда
$ \displaystyle c = b + \frac{a}{3} $
$\displaystyle b = a + \frac{c}{3} $
$\displaystyle a = 10 + \frac{b}{3} $
$\displaystyle c = b + \frac{a}{3} = a + \frac{c}{3} + \frac{a}{3} = \frac{4 a}{3}+ \frac{c}{3} $
$\displaystyle \frac{2c}{3} = \frac{4 a}{3} $
$ c = 2a $
$\displaystyle 2a = b + \frac{a}{3} $
$\displaystyle b = \frac{5a}{3} $
$\displaystyle a = 10 + \frac{b}{3} = 10 + \frac{5a}{9} $
$\displaystyle \frac{4a}{9} = 10 $
$\displaystyle a = \frac{90}{4} = 22.5 $
$\displaystyle b = \frac{5a}{3} = 37.5 $
$\displaystyle c = 2a = 45 $
$ a + b + c = 22.5 + 37.5 + 45 = 105 $
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Каждому из двух ленивых бельчат, Васе и Пете, нужно перенести по 2000 граммов орехов из их тайного места 𝑋 в другое тайное место 𝑌, расстояние между которыми 20 метров. Вася перемещается со скоростью 4 метра в минуту, но может за раз унести 50 граммов орехов, Петя — со скоростью 5 метров в минуту, но может унести лишь 40 граммов орехов. Кто из них и на сколько быстрее доставит все орехи в тайное место 𝑌? Скорости бельчат с орехами не отличаются от скоростей бельчат без орехов.

Ответ: Вася справится на 1 минуты раньше.
Решение:
Чтобы донести груз, Васе нужно сделать 40 рейсов из места 𝑋 в место 𝑌 и 39 обратных рейсов из места 𝑌 в место 𝑋. На один рейс у него уходит 5 минут, а на весь путь уйдёт 5 ⋅ (40 + 39) = 395 минут. Пете нужно сделать 50 рейсов из места 𝑋 в место 𝑌 и 49 обратных рейсов из места 𝑌 в место 𝑋. У него на один рейс уходит 4 минуты, а на весь путь уйдёт 4 ⋅ (50 + 49) = 396 минут. Поэтому Вася окончит свою работу раньше на 1 минуту.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В числовом ребусе СФУ + СФУ + СФУ = ФФФ одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Какое число соответствует слову СФУ?

Ответ: 148.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 4 тур

Задача:
За круглым столом сидят 20 человек. Некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда врут. У ведущего имеется 20 карточек, на каждой из которых написано число 1, 2 или 3. Он раздал каждому по карточке и спросил, какое число там написано. Все ответили: «На моей карточке написано число 1!» Ведущий как-то иначе раздал эти же самые карточки и повторил свой вопрос. Все ответили: «На моей карточке написано число 2!» Ведущий третий раз раздал эти же карточки и задал тот же вопрос. Может ли оказаться так, что все ответят: «На моей карточке написано число 3»? (Не забудьте обосновать свой ответ!)

В первый раз все ответили: «На моей карточке написано число 1», это значит, что тем, кто всегда говорит правду попались карточки с «1», а тем, кто в всегда врёт — с «2» и «3». Тогда, карточек с «1» ровно столько, сколько и людей, которые всегда говорят правду. Аналогично из второго ответа следует, что карточек с «2» ровно столько, сколько людей, которые всегда говорят правду. Если бы в третий раз все сказали: «На моей карточке написано число 3», то из этого следовало, что карточек с «3» тоже ровно столько, сколько людей, которые всегда говорят правду. И тогда получалось бы, что всего карточек в три раза больше, чем людей, которые всегда говорят правду. Но карточек всего 20, а 20 не делится на 3. Ответ. Не может.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он выписывает подряд натуральные числа словами до тех пор, пока не напишет первое число, в записи которого участвуют все буквы слова «число». Чему равна сумма цифр числа, на котором Жан-Кристоф остановится?
(А) 5
(Б) 8
(В) 9
(Г) 11
(Д) 30

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2012 год, 1 вариант

Задача:
Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

Ответ: Трёхголовый.
Решение:
Рассмотрим время, за которое двухголовый дракон делает 3 ⋅ 4 = 12 прыжков. За это время трёхголовый делает 3 ⋅ 7 = 21 прыжок. Так как 12 = 4 ⋅ 3, то 12 прыжков двухголового дракона равны 4 ⋅ 5 = 20 прыжкам трёхголового. Итак, за одно и то же время трёхголовый дракон перемещается на 21 прыжок, а двухголовый — на 20 прыжков трёхголового. Значит, трёхголовый бежит быстрее.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2014 год, 2 тур

Задача:
На прошлой неделе Коля, Толя и Оля купили 5 одинаковых упаковок конфет. Они открыли все упаковки, ссыпали конфеты в одну кучу и стали брать по одной. Оказалось, что всем троим досталось поровну. На этой неделе они купили такие же конфеты, но уже 13 упаковок, и снова ссыпали их в одну кучу. Коля спросил: «Интересно, а получится ли у нас и на этот раз поделить конфеты поровну?» Оля ответила: «Может, получится, а, может, и нет. Это зависит от количества конфет в пачке». Толя возразил: «Нет, неважно, сколько конфет в пачке! Раз с 5 пачками получилось, то и с 13 пачками получится!» Кто прав: Оля или Толя?

Ответ: Прав Толя.
Решение:
Покажем, как поделить 13 упаковок поровну между ребятами. Пусть ребята сначала возьмут 5 упаковок и разделят поровну так же, как на прошлой неделе. После этого возьмут ещё 5 упаковок и так же разделят поровну. Осталось 3 упаковки, тогда каждый может взять по целой упаковке. Тем самым мы показали, как можно поделить конфеты из всех 13 пачек поровну, значит это можно сделать независимо от количества конфет в пачке.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Известно, что для действительных чисел $m$, $n$, $x$ и $y$ выполнены равенства $mx + ny = 3$, $my − nx = 4$ и $m^2 + n^2 = 1$. Какие значения может принимать выражение $x^2 + y^2$? Если значений несколько, то в ответ запишите их сумму.

Ответ: 25.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
k — целое отрицательное число. Какое число наибольшее?
(А) k − 1
(Б) 2k
(В) k − 2
(Г) 6k − 2
(Д) −2k

Ответ: Д
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
Баба Яга достала из погреба ступу и начала над ней колдовать. В процессе заметила она следующее:
- если заполнить ступу доверху ежатами, уйдёт на это 60 кг ежат
- если же заполнить ступу доверху мышатами, уйдёт на это 90 кг мышат
- если же взять поровну ежат и мышат и наполнить ими доверху ступу, ступа станет весить 67,5 кг, а зверьков внутри будет ровно 630

Сколько ежат в килограмме ежат? Сколько мышат в килограмме мышат?

Ответ: 7 ежат и 14 мышат.
Решение:
Пусть объём ступы равен 1, объём мышонка равен $M$, объём ежонка равен $E$. Тогда вес мышонка равен $90 M$ кг, а вес ежонка равен $60 E$ кг. Отсюда следует, что:
$$ 315 \cdot(90 M+60 E)=67.5 $$
и
$$ 315 \cdot(M+E)=1 $$
Отсюда следует, что
$$ 315 \cdot 30 M=7.5 $$
или, что то же самое,
$$ \frac{1}{90 M}=14 $$
Отсюда следует
$$ 315 \cdot 60 E=67.5-\frac{315}{14} $$
что равносильно
$$ 60 E=\frac{1}{7} $$
или, что то же самое,
$$ \frac{1}{60 E}=7 $$
Итого ответ: 7 и 14.
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2018 год

Задача:
На фестиваль «Котики и Кашалотики» были приглашены коты (у них 4 лапы и хвост), морские котики (у них две лапы и хвост) и кашалоты (у них нет лап, но есть хвост). Оказалось, что хвостов на всех 12 штук, лап 18 штук, а сухопутных и морских котиков поровну. Сколько кашалотов пожаловали на фестиваль?

В условии задачи сказано, что хвостов 12 штук. Так как хвост есть у всех, причём ровно 1, то всего пришло 12 животных. Если бы все пришедшие животные были кашалотами, то лап бы на фестивале не было совсем. Значит, коты и морские котики на фестиваль всё-таки пришли. Так как котов и морских котов одинаково, то если пришёл 1 кот, то пришёл и 1 морской котик. Пусть животных с лапами пришло 2, тогда, лап у них: 2 (у морского котика) + 4 (у сухопутного) = 6 лап. Но мы знаем, что лап 18. Тогда пусть пришло ещё 2 животных с лапами. Теперь лап у них: 6+6=12. Всё ещё мало. Пусть пришло ещё 2: 12+6=18. Получили нужное количество лап, причём животных с лапами: 2+2+2=6. Значит, все остальные – кашалоты. Кашалотов пожаловало: 12-6=6 (кашалотов).
Ответ: 6 кашалотов.
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней — в одной 100 штук, а в другой — 79. Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть?

Решение:
Обеспечить себе победу может начинающий (Петя). Первым ходом он убирает кучу из 79 камней, а кучу из 100 камней делит на части 1 и 99. Вася вынужден убрать кучу из 1 камня (она не делится на части). Как бы Вася не разделил кучу из 99 камней на две части, в одной будет нечётное число камней, а в другой — чётное. Тогда Петя снова уберёт кучу с нечётным числом камней, а кучу с чётным числом поделит на две — из одного камня и из нечётного числа камней. Видим, что у Пети всегда есть ход, и так как число камней уменьшается, в какой-то момент он оставит Васе две кучи по 1 камню и выиграет.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Катя, Лена, Маша, Надя проходили тест, в котором было 6 вопросов и на каждый вопрос можно было ответить «+» или «−». В итоге девочки получили следующие последовательности ответов:
Катя: − , − , + , + , + , +
Лена: + , − , − , + , + , +
Маша: − , − , − , + , + , +
Надя: − , + , − , − , − , −
Оказалось, что у Кати два неверных ответа, а у Лены только два верных. Сколько верных ответов у Маши, и сколько у Нади?

Ответ: По 3 ответа.
Решение:
Заметим, что на первый и третий вопросы Катя с Леной ответили по-разному, а на остальные одинаково. Значит, в вопросах с номерами 2, 4, 5 и 6 они сделали одинаковое количество ошибок, а так как у Лены на две ошибки больше, чем у Кати, то на вопросы 1 и 3 она ответила неверно. Следовательно, и Маша, и Надя на первый вопрос ответили верно, а на третий — неверно. В вопросах 2, 4, 5 и 6 у Кати две ошибки и два правильных ответа, а так как Маша на эти вопросы дала такие же ответы, а Надя — противоположные, то у каждой из них ещё по два верных ответа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Чему равно 1313,13 : 13?
(А) 11,1
(Б) 101,1
(В) 1010,1
(Г) 101,01
(Д) 11,01

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Назовём тройку различных чисел, выбранных из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}, хорошей, если никакая пара чисел из этой тройки не имеет сумму 7. Коля перемножил числа в каждой хорошей тройке, а потом сложил полученные произведения. Какое число он получил?
(А) 7^2
(Б) 7^3
(В) 3^6
(Г) 3^7
(Д) 6^3

Ответ: Б