d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
На каждой клетке доски 8 × 8 стоит кубик 1 × 1 × 1. У каждого кубика одна грань чёрная, а остальные — белые. За один ход разрешается проткнуть спицей целиком один ряд (строку или столбец), вынуть его, повернуть вокруг спицы, вставить обратно и вытащить спицу. Всегда ли можно за несколько таких ходов повернуть все кубики чёрными гранями вверх, как бы они не были расставлены изначально?

Ответ: Да, всегда можно.
Решение:
Покажем, как повернуть любой один кубик чёрной гранью вверх, не поменяв положения остальных. Возьмем любой кубик, который ещё не повёрнут чёрной гранью вверх. Его можно поставить правильно, повернув либо столбец, в котором лежит этот кубик, либо строчку. Пусть, для определённости, строчку. Тогда проткнем эту строчку и повернём кубик чёрной гранью вверх. После этого проткнем столбец и повернём на четверть оборота в любую сторону. Теперь кубик лежит чёрной гранью набок, и вращение строки не меняет положения чёрной грани. Воспользуемся этим и повернём строчку, в которой лежит наш кубик, в исходное положение. А затем повернём в исходное положение столбец с этим кубиком. В результате кубик лежит чёрной гранью вверх, а все остальные кубики мы вернули в исходное положение. Осталось последовательно повернуть каждый кубик в нужное нам положение, используя этот алгоритм.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На сколько нулей оканчивается значение произведения 40^50 ⋅ 50^40?

Ответ: 130 нулей.
Решение:
40^50 = (2^3 ⋅ 5)^50 = 2^150 ⋅ 5^50
50^40 = (2 ⋅ 5^2)^40 = 2^40 ⋅ 5^80
190 двоек и 130 пятёрок.
Значение произведения оканчивается 130 нулями.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2020 год

Задача:
Известно, что $\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = 3$. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^2 − b^2}{a^2 + b^2}$.

Ответ: 0,6.
Решение:
Домножив равенство $\displaystyle \frac{a + b}{a − b} = 3$ на знаменатель, получим $a + b = 3a − 3b$. Перенеся $a$ направо, а $3b$ налево, получим $4b = 2a$, откуда $a = 2b$. Подставив $a = 2b$ во второе выражение, получим:
$\displaystyle \frac{4b^2 − b^2}{4b^2 + b^2} = 0,6$
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 2 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Три года назад трём братьям вместе было 15 лет. Сколько лет будет трём братьям вместе через 15 лет?

Ответ: 69 лет.
Решение:
Сейчас трём братьям вместе 15 + 3 + 3 + 3 = 24 года.
Через 15 лет каждый из них станет на 15 лет старше, значит, им вместе будет 24 + 15 + 15 + 15 = 69 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20º?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, высшая лига

Задача:
В поезде, который едет на новогодний праздник, 14 вагонов и 600 пассажиров. В любых четырёх подряд идущих вагонах едет 170 пассажиров. Сколько пассажиров едет в двух центральных вагонах?

Ответ: 80 человек.
Решение:
Возьмем 3 группы: 1-4-й, 5-8-й и 9-12-й вагоны. В каждой группе едет по 170 пассажиров, а значит, всего 170 х 3 = 510 пассажиров. На 13-й и 14-й вагоны остаётся 600 - 510 = 90 пассажиров. Если в 13-14-м вагонах вместе едет 90 пассажиров, то в 11-12-м вместе едет 170 - 90 = 80 пассажиров. Аналогично в 9-10-м вагонах едет 170 - 80 = 90 пассажиров. Ну и в 7-8-м (средних) вагонах едет 170 - 90 = 80 пассажиров.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Весь класс, в котором учатся Маша и Даша, выстроился в колонну по одному. Позади Маши стоит 16 человек, включая Дашу, а впереди Даши стоит 14 человек. Сколько ребят в классе, если между Машей и Дашей стоит 7 человек?
(А) 37
(Б) 30
(В) 23
(Г) 22
(Д) 365

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
У Ивана много родственников. Отец отца сына Ивана — Василий, а отец отца Ивана — Николай. Как зовут отца сына отца Ивана?
(А) Василий Николаевич
(Б) Николай Васильевич
(В) Василий Иванович
(Г) Иван Васильевич
(Д) Иван Николаевич

Ответ: (А) Василий Николаевич
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
Если из суммы первых ста чётных натуральных чисел вычесть сумму первых ста нечётных натуральных чисел, то получится:
(А) 1
(Б) 20
(В) 50
(Г) 100
(Д) 200

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2015 год

Задача:
Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч?

Ответ: 6 км/ч.
Решение:
Дима приехал домой на 10 минут раньше, за это время автомобиль дважды проехал бы путь, который Дима прошёл. Следовательно, на пути к вокзалу отец на автомобиле сэкономил 5 минут и встретил Диму в 17:55. Значит, Дима прошёл расстояние от вокзала до встречи с отцом за 50 минут, то есть он шёл в 10 раз медленнее автомобиля, и его скорость была 6 км/ч.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Пингвин каждый день ходит на рыбалку и приносит 12 рыб для своих двух птенцов. Каждый день он даёт первому увиденному птенцу 7 рыб, а второму – 5 рыб. Пингвинята съедают сразу всех рыб. За последние несколько дней один птенец съел 44 рыбы. Сколько рыб съел за эти дни другой птенец?
(А) 34
(Б) 40
(В) 46
(Г) 52
(Д) 58

Ответ: Г
Решение:
Чтобы съесть 44 рыбы, первый птенец должен был съесть 5 рыб шесть раз и 7 рыб два раза. Итого 8 дней. За 8 дней Паула принесла 12 ⋅ 8 = 96 рыб. Тогда другой птенец съел 96 − 44 = 52 рыбы.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2010 год

Задача:
Ровно 1% солдат полка награждены медалями. Полк выстроили в форме прямоугольника. Оказалось, что награжденные солдаты встречаются ровно в 30% рядов и в 40% колонн. Какое наименьшее количество солдат может быть в этом полку?
(А) 100
(Б) 600
(В) 1000
(Г) 1200
(Д) 1500

Ответ: (Г) 1200
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
Сколько всего вершин у четырёх кубиков?
(А) 32
(Б) 24
(В) 16
(Г) 12
(Д) 4

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
Праздничная свечка сгорает за 20 минут. В честь «Кенгуру» зажгли одновременно 10 таких свечек. Сколько времени они будут гореть?
(А) 2 мин.
(Б) 20 мин.
(В) 200 мин.
(Г) 2 часа
(Д) 30 мин.

Ответ: 20 минут.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Маша придумала новую алгебраическую операцию: a ∗ b = a + 2b. Найдите (a ∗ a ) ∗ (b ∗ a).
(А) 7a + 2b
(Б) 5a + 2b
(В) 3a + 2b
(Г) 5a + b
(Д) 7a + b

Ответ: А
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Антон, Вася и Соня придумывали задачи к олимпиаде. Они придумали 1, 3 и 6 задач, но кто сколько – не помнят. Антон сказал: «Вася придумал меньше Сони». Вася сказал: «Неправда, что я придумал меньше всех». Соня сказала: «Вы оба правы». Кто придумал три задачи, если Соня никогда не ошибается?

Ответ: Вася.
Решение:
Вася придумал меньше Сони, поэтому Вася придумал либо 1, либо 3 задачи. Но Вася придумал не меньше остальных, значит не 1. Таким образом, Вася придумал 3 задачи.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На доске в строчку написано шесть чисел: 2 9 2 5 9 6. Необходимо поставить один знак сложения «+» и один знак умножения «×» так, чтобы в результате получилось наибольшее из возможных чисел. Какое это число?

Ответ: 2 + 925 × 96 = 88802.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
У Васи много квадратов со стороной 1 и правильных пятиугольников со стороной 1. Он хочет сложить из них «кольцо», прикладывая имеющиеся многоугольники друг к другу сторонами так, чтобы квадраты и пятиугольники чередовались. При этом образовавшийся внутри кольца многоугольник должен быть выпуклым. Какое наименьшее количество фигур ему придётся использовать?
(А) 8
(Б) 10
(В) 12
(Г) 16
(Д) 20

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Медвежонок решил лечь в спячку 25 ноября. Но каждый восьмой день его будили озорные бельчата, пока на 10-й раз он не прогнал их. Когда это случилось? В ответе запишите сумму числа и номера месяца. (Например, если это произошло бы 19 апреля, то в ответ необходимо записать 19 + 4 = 23.)

Ответ: 14.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2012 год

Задача:
Вместо знаков многоточия вставьте такие числа, чтобы выражение стало тождеством:
$(x^2 + … ⋅ x + 2) ⋅ (x + 3) = (x + …) ⋅ (x^2 + … ⋅ x + 6)$

Ответ: $(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = (x + 1)(x^2 + 5x + 6)$
Решение:
Обозначим неизвестные коэффициенты $a$, $b$, $c$ соответственно:
$(x^2 + ax + 2)(x + 3) = (x + b)(x^2 + cx + 6)$
и приведём к стандартному виду многочлены в левой и правой части:
$x^3 + (a + 3)x^2 + (3a + 2)x + 6 = x^3 + (b + c)x^2 + (bc + 6)x + 6b$
Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:
$6b = 6$;
$bc + 6 = 3a + 2$;
$b + c = a + 3$
Решая соответствующую систему уравнений, получим, что $b = 1$; $a = 3$; $c = 5$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2000 год

Задача:
У великана на куртке 585 карманов. В каждом кармане живёт по три мышки, а у каждой мышки по пять мышат. Сколько мышат обитает в куртке великана?
(А) (585 : 3) : 5
(Б) (585 - 3) : 5
(В) (585 : 5) : 3
(Г) 585 : 3 : 5
(Д) 585 : (5 + 3)

Ответ: (Г) 585 : 3 : 5
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Арсений вчера записал в блокнот 5 целых чисел. Рано утром он вычислил все возможные попарные суммы. У него получилось: 22, 11, 6, −1, 10, 9, 4, 16, 15, 20. Выясните, какие числа записал Арсений.

Сумма чисел полученного набора равна 112. Каждое число из исходных пяти в этой сумме повторяется 4 раза. Следовательно, сумма искомых чисел равна 112 : 4 = 28. Сумма двух наименьших равна −1, сумма двух наибольших равна 22. Следовательно, среднее число (третье по величине из пяти) равно 28 − 22 − (−1) = 7. В наборе из условия задачи второе число равно сумме первого и третьего искомых чисел, откуда первое число равно 4 − 7 = −3, а второе равно 2. Аналогично получаем, что четвёртое число равно 9, а пятое равно 13. Итак, на доске написаны числа −3, 2, 7, 9, 13.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Написали два натуральных числа. К первому прибавили второе и получили третье. Ко второму прибавили третье и получили четвёртое и так далее. Назовите шестое число, если пятое равно 7?

Ответ: 11.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
В каждый промежуток между соседними цифрами 8 7 6 4 1 надо вставить либо плюс, либо минус так, чтобы результат был равен 16. Сколько минусов понадобится?
(А) 4
(Б) 3
(В) 2
(Г) 1
(Д) 0

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Жан переписывал в тетрадь пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, но пропустил два знака «+» и вместо правильного ответа 55 получил одно из чисел А-Д. Какое число он получил?
(А) 120
(Б) 153
(В) 208
(Г) 235
(Д) 280

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Если бы выходными днями в сентябре были все числа, в которых есть чётные цифры, то в школу в сентябре пришлось бы ходить
(А) 9 дней
(Б) 10 дней
(В) 11 дней
(Г) 12 дней
(Д) 15 дней

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ = 10. Из вершин $A$ и $C$ проведены высоты треугольника $CL$ и $AN$. Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная высоте $LC$, а через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, точка пересечения этих прямых обозначена $E$. Известно, что $LN$ = 6. Найдите длину отрезка $NE$.

Ответ: 8.
Решение:
Поскольку $ALCE$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $АС$ является диаметром этой окружности, так как на $AC$ опирается прямой угол $ALC$. Докажем, что точка $N$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $ANC$ прямой, и он также опирается на диаметр $AC$, если бы точка $N$ лежала внутри окружности, угол ANC был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $LNE$ — прямой, так как точка $N$ лежит на окружности, а $LE$ — другой диаметр этой окружности. При этом $LE$ = $AC$ = 10. Следовательно, $NE$ — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6, поэтому $NE$ = 8.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
$\displaystyle \frac{2003 + 2003 + 2003 + 2003 + 2003}{2003 + 2003}$ = ?
(А) 2003
(Б) 1/3
(В) 3
(Г) 5/2
(Д) 6009

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2010 год, 2 тур

Задача:
У Карабаса-Барабаса есть три шкатулки: медная, серебряная и золотая, и четыре монеты: золотая, серебряная и две медных. Карабас одну монету оставил себе, а остальные три положил в шкатулки (в каждую по одной).
- На золотой шкатулке написано: «В серебряной и медной лежат разные монеты»,
- на серебряной: «В золотой и медной лежат одинаковые монеты»,
- на медной: «Во всех трёх шкатулках нет золотой монеты».

Известно, что надпись на шкатулке верна, если в ней лежит монета из того же материала, что и шкатулка. В противном случае надпись ложна. Какая монета лежит в серебряной шкатулке?

Ответ: Медная.
Решение:
Рассмотрим медную шкатулку.
1) Если там лежит медная монета, то надпись верна и золотой монеты нет. Это значит, что надпись на золотой шкатулке неверна и в серебряной шкатулке так же лежит медная монета. Легко видеть, что в этом случае условие на серебряной шкатулке также выполняется.
2) В медной шкатулке не лежит медной монеты. Тогда это либо серебряная, либо золотая и на серебряной шкатулке надпись неверна, потому что такая монета только одна. Аналогично, надпись на золотой верна. Поэтому в золотой золотая монета, в медной – серебряная, а в серебряной – медная. В любом случае в серебряной шкатулке лежит медная монета.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап

Задача:
Гоша нашёл в кабинете естествознания 3 гири и весы. После того как он всё взвесил, оказалось, что:
- Первая гиря в 4 раза тяжелее второй;
- Третья гиря в 3 раза тяжелее первой;
- Суммарный вес всех гирь — 340 грамм.

Определите вес первой гири. Ответ выразите в граммах.

Ответ: 80 грамм.
Решение:
Все веса будем измерять в граммах. Обозначим вес второй гири за 𝑥, тогда по условию вес первой гири равен 4𝑥, а вес третьей гири равен 12𝑥. Суммарный вес всех гирь 𝑥 + 4𝑥 + 12𝑥 = 17𝑥 равен 340, поэтому 𝑥 = 20, и вес первой гири равен 4𝑥 = 80.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Доктор Пилюлькин провёл медосмотр коротышек – жителей Цветочного города. Все коротышки выстроились в ряд, а доктор каждому измерил температуру, каждого второго помазал йодом, каждого шестого – зелёнкой, и каждого седьмого – мазью от синяков. Каким по счёту был первый коротышка, которого доктор помазал и йодом, и зелёнкой, и мазью от синяков?

Ответ: 42.
Решение:
Номера коротышек, которых помазали йодом, делятся на 2, номера тех, кого помазали зелёнкой, делятся на 6, кого помазали мазью, делятся на 7. Самое маленькое число, которое делится на 2, 6, 7, равно 42.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа 𝑁 (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число 𝑁). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?

Ответ: 441.
Решение:
Второй делитель с начала – это наименьший простой делитель числа $N$, обозначим его $p$. Третий делитель с начала — это либо $p^2$, либо второй по величине простой делитель числа $N$, обозначим его $q$.
Случай 1. Третий делитель с начала — это $p^2$. Тогда третий делитель с конца — это $\displaystyle \frac{N}{p^2}$. По условию задачи:
$\displaystyle \frac{N}{p^2} = 21p$
$N = 21p^3$
Видно, что 3 и 7 — делители числа $N$, поэтому $p$ ≤ 3. Если $p$ = 2, то третий по величине делитель числа $N$ равен 3; если же $p$ = 3, то третий по величине делитель числа $N$ не больше 7, т.е. не 3^2. Противоречие.
Случай 2. Третий делитель с начала – это $q$. Тогда третий делитель с конца – это $\displaystyle \frac{N}{q}$. По условию задачи:
$\displaystyle \frac{N}{q} = 21p$
$N = 21pq$
Видно, что 3 и 7 — делители числа $N$, поэтому $p$ ≤ 3, $q$ ≤ 7. Отсюда получаем, что $N$ ≤ 441. Несложно проверить, что это число удовлетворяет условию.
Вступительные испытания в школу № 179 (Москва), 7 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Каждому трёхзначному числу, в записи которого участвуют только цифры 1, 2, 3, сопоставили одну из букв А, Б, В по таким правилам:
1. числу 111 сопоставили букву А;
2. числу 222 сопоставили букву Б;
3. числу 133 сопоставили букву А;
4. если два числа различаются во всех разрядах, то им сопоставили разные буквы.

Требуется узнать:
1. Какую букву по этим правилам сопоставили числу 333?
2. А какую — числу 123? Не забудьте обосновать ответы.


Ответ: а) В; б) А.
Решение:
333 различается во всех разрядах и с числом 111, и с числом 222. Соответственно, числу 333 сопоставлена не А и не Б, то есть В. Числу 311 сопоставлена буква В, поскольку оно различается во всех разрядах и с числом 133 (А), и с числом 222 (Б). Числу 232 сопоставлена буква Б, поскольку оно различается во всех разрядах и с числом 111 (А), и с числом 311 (В). А тогда числу 123 сопоставлена буква А, поскольку оно различается во всех разрядах и с числом 311 (В), и с числом 232 (Б).
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 6 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Сколько чётных шестизначных чисел, делящихся на 15, сумма цифр которых не более 4?

Ответ: 15.
Решение:
Чётное число, делящееся на 15, делится на 30; 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30.
Значит, сумма цифр числа — 3, последняя цифра — 0.
15 чисел:
111000, 110100, 110010, 101100,
101010, 100110, 120000, 102000,
100200, 100020, 210000, 201000,
200100, 200010, 300000.
Олимпиада «Весенний Олимп», 2 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Собрались Мо, Умо и Амо. Между ними завязался разговор:
- Первый сказал второму: «У тебя имя из трёх букв!»
- Второй сказал третьему: «У тебя имя из трёх букв!»
- Третий сказал первому: «Ты Умо!»

Только один из них сказал правду.
Кого как могли звать? Нужно указать все возможные варианты!

- Если правду говорит первый, то третий — Мо, а первый — Амо. Второй, соответственно, Умо.
- Если правду говорит второй, то он — Мо, а первый — Амо. Третий, соответственно, Умо.

Осталось заметить, что первый и второй не могут быть одновременно неправы, так как имя не из трёх букв ровно одно.
Итого имеем два варианта: Амо, Умо, Мо и Амо, Мо, Умо.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2022 год

Задача:
В классе 30 учеников. Они сели за парты по двое так, что каждый мальчик сидит с девочкой, и ровно половина девочек сидит с мальчиками. Сколько в классе мальчиков?
(А) 10
(Б) 15
(В) 17
(Г) 20
(Д) 22

Ответ: А
Если каждый мальчик сидит с девочкой, но только половина девочек сидит с мальчиками, значит в классе девочек ровно в 2 раза больше, чем мальчиков. Т.к. всего учеников 30, это значит, что девочек 20, а мальчиков 10.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2012 год

Задача:
В пять 15-литровых вёдер налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается утроить количество воды в любом сосуде, налив в него воду из какого-нибудь одного другого (если воды не хватает, чтобы утроить количество, то выливать из этого ведра нельзя). Какое наибольшее количество воды можно такими действиями собрать в одном ведре?
Комментарий: необязательно выливать всё содержимое ведра, то есть мы можем отмерять нужное число литров, и ведро необязательно должно стать пустым после перелива воды.

Ответ: 12 литров.
Решение:
Покажем, как собрать в одном из вёдер 12 литров:
1, 2, 3, 4, 5 => 1, 6, 3, 4, 1 => 1, 0, 9, 4, 1 => 1, 0, 1, 12, 1
Требуется доказать, что это максимальное число (что нельзя получить больше).
Пусть максимальное число литров равно $n$ ≥ 12. Рассмотрим последнюю операцию с этим ведром (хотя бы одна операция была — иначе $n$ ≤ 5). Т.к. $n$ — максимальное число литров, то последней операцией не могли отливать из этого ведра (т.к. иначе до этого там было ещё больше), т.е. в него наливали, поэтому $n$ кратно 3. Во всех ведрах в сумме 15 литров, потому $n$ может быть 12 или 15.
Заметим, что после каждого шага есть непустое ведро, количество литров в котором кратно трём (это то ведро, в котором мы предыдущим шагом утроили количество воды). (*)
Предположим, что $n$ = 15. Тогда на предыдущем шаге было ровно два непустых ведра, в одном из которых 5, а в другом 10 литров. Но ни одно из этих чисел не кратно 3. Противоречие с (*)
Тем самым $n$ = 12, пример как получить 12 литров приведён выше.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
На заседании международного жюри конкурса «Кенгуру» за круглым столом сидят 12 человек. При этом на любых шести последовательных местах сидят представители не более, чем трёх разных стран. Представители какого наибольшего количества стран могут сидеть за столом?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2019 год

Задача:
Карлсону подарили коробку конфет. Утром он съел треть всех конфет, в обед съел на 2 конфеты меньше, чем утром. А на ужин доел остальные 9 конфет. Сколько конфет было в коробке?

Ответ: 21 конфета.
Решение:
Если бы Карлсон в обед съел столько же, сколько утром (то есть на 2 конфеты больше), то на ужин осталась бы треть всех конфет. Но это на 2 конфеты меньше, то есть 7. Значит 7 – это треть всех конфет и всего конфет было 21.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Три зимних месяца – Декабрь, Январь и Февраль – срубили три новогодние ёлки разной высоты: 100 см, 130 см и 150 см. Декабрь срубил не самую маленькую ёлку, но его ёлка меньше, чем у Января. У кого какая ёлка?

Ответ: Декабрь 130, Январь 150, Февраль 100.
Решение:
Если Декабрь срубил не самую маленькую, то у него могла быть ёлка 130 или 150 см, но его ёлка меньше, чем у Января. Значит, у Декабря – 130, у Января – 150 и у Февраля – 100 см.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Кенгуру прыгает вверх в гору, а затем обратно вниз тем же маршрутом. Когда он двигается вниз, за один прыжок он преодолевает в три раза большее расстояние, чем когда он двигается вверх. По дороге в гору длина одного прыжка Кенгуру составляет 1 метр. Всего по дороге в гору и обратно Кенгуру совершил 2024 прыжка. Какой путь он преодолел суммарно в обе стороны?
(А) 506 м
(Б) 1012 м
(В) 2024 м
(Г) 3036 м
(Д) 4048 м

Ответ: Г
Решение:
Пусть u – количество прыжков в гору, а d – количество прыжков под гору. Поскольку при каждом прыжке вниз по склону кенгуру преодолевает в три раза большее расстояние, чем при каждом прыжке в гору, он совершит в три раза больше прыжков в гору, чем при прыжках под гору. Следовательно, u = 3d. Поскольку u + d = 2024, тогда 3d + d = 2024, а d = 506. Следовательно, расстояние от основания горы до вершины – это 506 прыжков по 3 метра: 506 ⋅ 3 = 1518. Кенгуру преодолел его сначала вверх, потом вниз, значит суммарно его путь составил 1518 + 1518 = 3036 метров.
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2015 год, 1 тур

Задача:
Троечник Геннадий умеет писать только цифры 0, 2, 3 и 7. Учитель попросил его записать все числа меньше 272, сумма цифр которых нечётна. Какие числа может записать Геннадий?

Все возможные ответы:
3, 7, 23, 27, 30, 32, 70, 72, 203, 207, 223, 227, 230, 232, 270.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
На стеклянной двери написано: «КЕНГУРУ ПРИГЛАШАЕТ ДРУЗЕЙ». Сколько из этих 23 букв выглядят одинаково с той и с другой стороны двери?
(А) 12
(Б) 10
(В) 8
(Г) 7
(Д) 6

Ответ: В