d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
В парке аттракционов колесо обозрения работает по субботам, воскресеньям и вторникам. В летние каникулы Маше разрешили ходить в парк 9 дней подряд. В какой день недели ей нужно пойти в парк первый раз, если она хочет кататься на колесе обозрения как можно больше?
(А) во вторник
(Б) в среду
(В) в четверг
(Г) в пятницу
(Д) в субботу

Ответ: Д
Олимпиада «Осенний Олимп», 2 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Макар и Клим идут один за другим и собирают с дороги гвозди и подковы. Когда кто-либо из них нагибается, чтобы собрать гвоздь, у него из мешка вываливаются гвоздь и подкова, а когда нагибается за подковой — подкова.
Сначала по дорожке прошёл Макар и собрал все четыре гвоздя и все четыре подковы, которые там изначально лежали. После него прошёл Клим и собрал всё, что наронял Макар.
Сколько всего предметов осталось на дороге после них?

Ответ: 16 предметов.
Решение:
После Макара на дороге осталось 4 гвоздя и 8 подков.
После Клима — 4 гвоздя и 12 подков.
Итого 16 предметов.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2012 год

Задача:
Шестиклассник Миша и его младшая сестра Маша решали задачи конкурса «Кенгуру» для 5-6 классов. Миша набрал не 120 баллов, а Маша набрала не 0 баллов. На какое наибольшее количество баллов Миша мог обогнать Машу?
Комментарий: за одну задачу на конкурсе «Кенгуру» дают 3, 4 или 5 баллов.
(А) 118
(Б) 117
(В) 114
(Г) 112
(Д) 111

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Будильник равномерно отстает на 4 минуты в час. Три с половиной часа тому назад он был поставлен точно. Сейчас на часах, показывающих точное время, 12 часов. Через сколько минут (точного времени) на будильнике тоже будет 12 часов?

Будильник за 3,5 часа отстал на 3,5 · 4 = 14. Сейчас на будильнике 11 : 46. Значит через 14 минут будет на будильнике 12 часов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
Решите ребус:
𝐶,𝐵𝐴 + 𝐴,𝐴𝐴 = 𝐵,𝐴.
Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые цифры. Запятая — это десятичный знак.

Ответ: 𝐴 = 5, 𝐵 = 9, 𝐶 = 3.
Решение:
Очевидно, что 𝐴 ≠ 0 (иначе, например, 𝐶 = 𝐵).
Разряд сотых может исчезнуть при суммировании, только если цифры в разряде сотых в сумме оканчиваются на 0. Такое возможно только при 𝐴 = 5. Тогда ребус можно переписать в следующем виде:
𝐶,𝐵5 + 5,55 = 𝐵,5
𝐶,𝐵5 + 0,05 = 𝐵 − 5
В последнем равенстве справа написано целое число, и оно может получиться при суммировании нецелых чисел слева, только если 𝐵 = 9. Тогда последнее равенство переписывается в следующем виде:
𝐶,95 + 0,05 = 9 − 5
Отсюда уже легко понять, что 𝐶 = 3.
Замечание: Также задачу можно было решать с помощью умножения обеих частей исходного равенства на 100.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Если натуральное число N меньше суммы трёх его наибольших натуральных делителей (исключая само число N), то обязательно
(А) N делится на 4
(Б) N делится на 5
(В) N делится на 6
(Г) N делится на 7
(Д) таких N не существует

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 на центральном месте находится число 5. Какое число стоит на центральном месте в ряду 3, 4, 5, 6, ..., 20, 21?

Ответ: 12.
Решение:
Заметим, что в ряду 19 чисел и 19 = 2 × 9 + 1, значит, в списке чисел от 3 до 21 перед средним числом стоит 9 чисел, и после него – 9 чисел, а среднее число – это 12.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2019 год

Задача:
Три подруги – Маша, Света и Даша – родились в один год, но в разные времена года: зимой, весной и летом. Света младше Даши, а между первыми днями рождения Маши и Даши прошло больше полугода. Кто когда родился, если известно, что 1 сентября им не всем одинаковое количество лет?

Ответ: Даша – весной, Света – летом, Маша – зимой, в декабре.
Решение:
Поскольку на 1 сентября не всем одинаковое число лет, то кто-то родился в декабре, зимой. Значит, другие две девочки родились весной и летом. Но тогда между родившимися летом и весной не может быть разницы больше, чем в полгода. Поэтому в декабре родилась Маша или Даша. И это Маша, так как иначе Света не сможет быть младше Даши. Поскольку по условию Света младше Даши, то Даша родилась весной, а Света – летом.
Заметим, что сделать вывод о том, что Даша родилась весной, на основании разницы между днями рождения более, чем полгода, не получится. Так как, например, между 1 июня и 30 декабря разница больше полугода
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2019 год

Задача:
У Петра есть 5 клеток с кроликами (клетки стоят в один ряд). Известно, что в каждой клетке сидит хотя бы один кролик. Будем называть двух кроликов соседями, если они сидят либо в одной клетке, либо в соседних. Оказалось, что у каждого кролика есть либо 3, либо 7 соседей. Сколько кроликов сидит в центральной клетке?

Ответ: 4 кролика.
Решение:
Пронумеруем клетки слева направо от 1 до 5.
Заметим, что соседями кролика из первой клетки являются все кролики, живущие в первых двух клетках. А соседями кролика из второй клетки являются все кролики, живущие в первых трёх клетках. Третья клетка не может быть пустой, поэтому у кролика из второй клетки соседей больше, чем у кролика из первой клетки. Значит, у кролика из первой клетки трое соседей, а у кролика из второй — семеро. Но разность между числом соседей кролика из второй клетки и числом соседей кролика из первой клетки равна числу кроликов в центральной клетке. Значит, в центральной клетке живёт 7 − 3 = 4 кролика.
Такая рассадка кроликов существует. Достаточно посадить в первую, вторую, четвёртую и пятую клетки по 2 кролика, а в третью клетку — 4 кролика.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2018 год

Задача:
Семья из четырёх осьминогов пришла в обувной магазин (у каждого осьминога 8 ног). У папы-осьминога половина ног уже была обута, у мамы-осьминога было обуто только 3 ноги, а у их двоих сыновей было обуто по 6 ног. Сколько ботинок они купили, если они ушли из магазина полностью обутые?

Ответ: 13 ботинок.
Решение:
У папы-осьминога была обута половина ног, то есть 4 ноги. Таким образом, у него не были обуты 4 ноги.
У мамы-осьминога были обуты 3 ноги, то есть 5 ног не были обуты.
У каждого из двух сыновей были обуты 6 ног, то есть не были обуты 2 ноги.
Таким образом, были куплены 4 + 5 + 2 + 2 = 13 ботинок.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Ире сейчас в четыре раза больше лет, чем было её брату Мише тогда, когда он был в два раза младше Иры. Сколько сейчас лет Ире и Мише, если через 16 лет ему и Ире вместе будет 95 лет? В ответ запишите разность возрастов Иры и Миши.

Ответ: 9.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
На детский праздник приготовили пирожные: 10 эклеров, 20 корзиночек, 30 шоколадных брауни, 40 трубочек. Какое наибольшее число детей сможет взять три разных пирожных?

Ответ: 30 детей.
Решение:
Из эклеров, корзиночек и брауни надо взять хотя бы 2 пирожных, а их всего вместе 60, то есть не больше 30 детей смогут взять три разных пирожных. Они могут сделать это так: 10 детей возьмут эклер, брауни и трубочку, 20 детей возьмут корзиночку, брауни и трубочку.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2024 год

Задача:
Лиза заплатила за три наклейки для альбома 7 рублей. Цена каждой наклейки – целое число, и все три цены различны. Сколько стоила самая дорогая наклейка?
(А) 2 рубля
(Б) 3 рубля
(В) 4 рубля
(Г) 5 рублей
(Д) 6 рублей

Ответ: В
Решение:
Поскольку стоимость каждой наклейки равна целому числу рублей, все три цены различны, а общая стоимость равна 7 рублям, единственно возможная стоимость наклеек – 1 рубль, 2 рубля, 4 рубля. Поэтому самая дорогая наклейка стоит 4 рубля.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2016 год

Задача:
Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными:
∗∗ + ∗∗ = 175

Возможные ответы:
92 + 83 = 175
82 + 93 = 175
93 + 82 = 175
83 + 92 = 175
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Каждый из четырёх мальчиков либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Алекс говорит, что Ник — врун, Ник говорит, что Марк врун, Марк говорит, что Ник врун, Тони говорит, что Алекс врун. Сколько всего врунов среди них?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: (В) 2
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Пять лет назад Ваня был в 5 раз старше Маши. Сейчас Маше 7 лет. Сколько лет будет Ване через 5 лет?

Ответ: 20 лет.
Решение:
Пять лет назад Маше было 7 − 5 = 2 года.
Ване было пять лет назад 2 ⋅ 5 = 10 лет.
Сейчас Ване 10 + 5 = 15 лет.
Ване через 5 лет будет 15 + 5 = 20 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Площади остроугольного треугольника, квадрата и ромба равны. При этом основание треугольника равно стороне квадрата и равно одной из диагоналей ромба. Тогда для периметров этих фигур выполнены неравенства:
(А) Р_□ < Р_◊ < Р_∆
(Б) Р_◊ < Р_□ < Р_∆
(В) Р_∆ < Р_◊ < Р_□
(Г) Р_∆ < Р_□ < Р_◊
(Д) Р_◊ < Р_∆ < Р_□

Ответ: А
Олимпиада «Весенний Олимп», 5 класс, 2011 год, 1 тур

Задача:
Пират Назойливый Ефим провинился. Его решили выбросить за борт. Когда Ефима сбрасывают в воду, он за 9 секунд всплывает вверх и за 6 секунд догоняет корабль, залезает обратно на палубу. Его обратно сбрасывают, он опять возвращается… И так далее. Команде это надоело, и корабль поплыл в 2 раза быстрее.
Сколько секунд теперь потребуется Ефиму, чтобы догнать корабль после всплытия на поверхность?

Изначально корабль за 15 секунд преодолевает то же расстояние, что и Ефим за 6. Теперь Ефиму на расстояние, преодолеваемое кораблём за 15 секунд, требуется уже 12 секунд. Пусть за 15 секунд корабль проходит 60 условных единиц длины. Тогда его скорость – 4 уе/сек, а скорость Ефима – 5 уе/сек. Скорость сближения равна 1 уе/сек, а на момент всплытия Ефима и корабль разделяют 36 уе. Значит, через 36 секунд Ефим догонит корабль.
Ответ: 36 секунд.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2008 год

Задача:
Садоводы Миша, Гриша и Толя вырастили гигантские овощи: тыкву, кабачок и огурец. Каждый садовод вырастил только один овощ. Когда их спросили, кто что вырастил, они ответили:
- Миша: «Я вырастил тыкву».
- Гриша: «Тыкву вырастил Толя».
- Толя: «Я вырастил кабачок».

Оказалось, что один из них соврал, а остальные сказали правду. Кто что вырастил?

Ответ: Миша вырастил тыкву, Гриша вырастил огурец, Толя вырастил кабачок. Соврал Гриша.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Вася взял в школу 18 конфет. Три конфеты он съел по дороге. Каждый раз, когда Вася съедал конфету в школе, он угощал конфетой Машу или Дашу, причём три раза он угостил сразу обеих девочек. Все конфеты были съедены. Сколько конфет съел Вася?
(А) 7
(Б) 8
(В) 9
(Г) 10
(Д) 11

Ответ: (В) 9
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Аня, Белла, Витя и Гриша собирались на карнавал. У них были маски медведя, лисы, зайца и тигра.
- Витя не захотел быть ни зайцем, ни лисой.
- Костюм тигра надела девочка, но не Белла.
- Гриша не был зайцем.

Кто в какой маске пошёл на карнавал?

Ответ: Аня — тигр, Белла — заяц, Витя — медведь, Гриша — лиса.
Решение:
Если тигр — девочка, но не Белла, значит, тигр — Аня. Витя — не заяц, не лиса и не тигр (т.к. уже Аня — тигр). Значит, Витя — медведь. Если Гриша не заяц, то ему остаётся только лиса. Значит, Белле как последней остаётся только заяц.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Сколько нечётных пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 4?

Ответ: 11 чисел.
Решение:
Любая цифра не может быть больше 4, т.к. иначе сумма цифр будет больше 4.
Числа нечётные, потому последняя цифра может быть 1 или 3.
Всего 11 чисел:
10111, 11011, 11101, 10021,
10201, 12001, 20011, 20101,
21001, 30001, 10003.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2019 год, 2 этап

Задача:
На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?

Ответ: 21 человек.
Решение:
Пусть $x$ — количество людей, которые ниже Димы. Тогда всего в классе учится $x$ (люди, которые ниже Димы) + 4$x$ (люди, которые выше Димы) + 1 (Дима) = 5$x$ + 1 (всего людей в классе).
Пусть $y$ — количество людей, которые выше Лёни. Тогда всего в классе учится $y$ (люди, которые выше Лёни) + 3$y$ (люди, которые ниже Лёни) + 1 (Лёня) = 4$y$ + 1 (всего людей в классе).
Тогда, если из количества детей в классе вычесть 1, то полученное число будет делиться и на 4, и на 5. То есть будет делится на 20. В нужном диапазоне такое число только одно — 20, то есть всего в классе 21 человек.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Сколько существует различных треугольников, у которых одна из сторон равна 1, а два угла равны 50° и 60°?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) ни одного

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м. С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге?
(А) 70 км/ч
(Б) 65 км/ч
(В) 60 км/ч
(Г) 55 км/ч
(Д) 50 км/ч

Ответ: Д
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Каждый из детей одной семьи заявил, что у него ровно 4 брата (имеются в виду родные братья). При этом треть детей сказала правду, а остальные дети ошиблись. Сколько детей может быть в семье?

Заметим, что у всех братьев одной семьи одинаковое количество братьев, и у всех сестёр этой семьи одинаковое количество братьев, но у сестёр на одного брата больше, потому что любой мальчик не считает себя за брата. Поэтому все братья одновременно говорят правду, а все сестры ошиблись, либо все сёстры этой семьи говорят правду, а братья ошиблись. Если правду сказали сёстры, то всего в семье 4 мальчика, и мальчики составляют 2/3 от общего количества детей, а девочки составляют треть от общего количества детей, то есть в семье 2 девочки и 4 мальчика. Если все мальчики сказали правду, то всего мальчиков в семье 4 + 1 = 5, и они составляют треть от общего количества, то есть в семье 5 мальчиков и 10 девочек во втором случае. Ответ: либо 6, либо 15 детей.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2018 год, 2 этап

Задача:
В числовом выражении некоторые цифры заменили буквами (разные цифры — разными буквами, одинаковые цифры — одинаковыми буквами). Получилось следующее:
2018A : BCD = AA
Какое числовое выражение было записано изначально? (Достаточно привести пример. 2018A изначально было пятизначным числом.)

Ответ: 20185 : 367 = 55.
Замечание: Других примеров не бывает.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2005 год

Задача:
У Маши на 4 конфеты больше, чем у Саши. Маша хочет, чтобы у них стало поровну. Сколько конфет она должна дать Саше?

Ответ: 2 конфеты.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Во сколько раз 10 метров больше 1 мм?
(А) 100000
(Б) 10000
(В) 1000
(Г) 100
(Д) 10

Ответ: (Б) 10000
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Сколько этажей в многоэтажном доме, если Семён живёт на 6 этаже сверху и на 10 этаже снизу?

Ответ: 15 этажей
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Волшебной парой чисел назовём такие два последовательных числа, в записи которых нет общих цифр, например, 9 и 10 — волшебная пара, а 10 и 11 — нет. Сколько волшебных пар в первой сотне натуральных чисел?

Заметим, что любые 2 последовательных однозначных числа образуют «волшебную» пару — 8 пар. Также «незаурядной» будет и указанная в условии задача пара — 9 и 10. Среди двузначных чисел в пределах одного десятка (от 10 до 19, от 20 до 29 и т.д.) не будет ни одной такой пары. Но при переходе через десяток нужная нам пара образуется, кроме случая 89 и 90: 19 и 20, 29 и 30, 39 и 40, 49 и 50, 59 и 60, 69 и 70, 79 и 80, 99 и 100. Всего получается 17 пар.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Кенгуру Попрыгун проснулся под пальмой и стал радостно скакать по дорожке, иногда меняя направление прыжков. Длина каждого его прыжка либо 2 метра, либо 4 метра, либо 7 метров. На каком расстоянии от пальмы он не мог оказаться после 10 прыжков?
(А) 3 м
(Б) 49 м
(В) 61 м
(Г) 62 м
(Д) все расстояния А-Г возможны

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2022 год

Задача:
У Копатыча на огороде растут красные помидоры, красные перцы, жёлтые бананы, жёлтые лимоны, красные и жёлтые яблоки. Он выложил в ряд в каком-то порядке помидор, перец, банан, лимон и яблоко. Оказалось, что цвета чередуются, а лимон и перец не рядом. Какого цвета яблоко и что рядом с лимоном, если перец не с краю?

Ответ: Яблоко жёлтое, рядом с лимоном − помидор.
Решение:
Поскольку цвета чередуются, а перец и лимон разного цвета и не рядом, то между ними два фрукта или овоща. А если ещё перец не крайний, то у него два соседа и ряд выглядит так: Л * * П *. Значит, мест для красных два, а для жёлтых − три. Следовательно, яблоко жёлтое, а рядом с лимоном помидор.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Корзина, полная орехов, весит 6 кг, а наполовину наполненная весит как две пустых корзины. Сколько весит корзина?

Ответ: 2 кг.
Решение:
Из условия следует, что половина орехов весит столько же, сколько пустая корзина, все орехи – как две пустые корзины, а корзина, полная орехов, весит как 3 пустые корзины, и этот вес равен 6 кг.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
В комнате сидят несколько кошек и собак. Кошачьих лап в комнате вдвое больше, чем собачьих носов. Тогда кошек в комнате
(А) вдвое больше, чем собак
(Б) столько же, сколько собак
(В) вдвое меньше, чем собак
(Г) в 4 раза меньше, чем собак
(Д) в 4 раза больше, чем собак

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Наши предки называли число, равное миллиону миллионов, словом «легион». Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится
(А) легион
(Б) миллион
(В) миллион миллионов
(Г) легион легионов
(Д) 1

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Яна посадила в лесу Сибирского федерального университета три дерева. Дерево №1 растёт со скоростью 2 см в год, дерево №2 – со скоростью 7 см в год, а дерево №3 – со скоростью 3 см в год. Однажды Яна заметила, что все деревья стали одной высотой. На сколько сантиметров выросло дерево №3 с тех пор, как дерево №2 было ниже дерева №1 на 40 см?

Ответ: 24 см.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2020 год, 3 этап

Задача:
В коробке 10 шаров – белых, красных и зелёных. Шаров каждого цвета не менее одного. Белых на 3 больше, чем красных, а зелёных больше, чем белых. Сколько в коробке зелёных шаров?

Ответ: 5 зелёных шаров.
Решение:
Белых – 4, красных – 1, зелёных – 5.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Какое из следующих чисел является наименьшим двузначным числом, не представимым в виде суммы трёх различных однозначных чисел?
(А) 10
(Б) 15
(В) 23
(Г) 25
(Д) 28

Ответ: (Г) 25
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Все четырёхзначные числа, каждое из которых составлено из четырёх цифр 2, 0, 1, 3, выписали в порядке возрастания. Чему равна наибольшая разность между соседними числами в этой последовательности?
(А) 793
(Б) 703
(В) 702
(Г) 693
(Д) 198

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2021 год

Задача:
Лев Алекс решил посчитать полоски на зебре Марти (чёрные и белые полоски чередуются). Оказалось, что чёрных полосок на одну больше, чем белых. Также Алекс заметил, что все белые полоски одинаковой ширины, а чёрные бывают широкие и узкие, причём всего белых полосок на 7 больше, чем широких чёрных. Сколько всего у Марти узких чёрных полосок?

Ответ: 8 узких чёрных полосок.
Решение:
Сначала посмотрим только на широкие чёрные полоски. Их на 7 меньше, чем белых. Если к широким чёрным полоскам добавить узкие чёрные, то это будут уже все чёрные полоски, которых на 1 больше, чем белых. Значит, для нахождения количества узких чёрных полосок нужно сначала «скомпенсировать» 7 белых полосок — число, на которое белых было больше, а затем добавить ещё одну. Получается 7 + 1 = 8.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
В числе 1102 сумма первых трёх цифр равна четвёртой. Сколько чисел от 2022 до 2100 обладают таким свойством? Выпишите все варианты.

Ответ: 6 вариантов.
Решение:
Аккуратно выписываем все варианты: 2024, 2035, 2046, 2057, 2068, 2079.
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
В большой семье принято есть по семь пончиков за раз. Мама по одному выкладывает готовые пончики в миску. Когда младший сын Вася зашёл на кухню, в миске лежало пять пончиков. А когда мама закончила готовить, пончиков в миске было меньше семи.
Какие из утверждений верны?
- В какой-то момент в миске может оказаться ровно три пончика
- Если мама приготовила всего 44 пончика, то в конце концов в миске их останется два
- Всего было съедено ровно 11 пончиков
- Всего могло быть съедено ровно 28 пончиков
- Если мама испечет ещё 21 пончик, то в конце концов в миске их останется пять


В какой-то момент в миске может оказаться ровно три пончика — верно. Например, мама к пяти имеющимся пончикам допекла ещё пять, потом семь пончиков съели.
Если мама приготовила всего 44 пончика, то в конце концов в миске их останется два — верно.
Всего было съедено ровно 11 пончиков — неверно. Например, в предыдущем пункте было съедено 42 пончика.
Всего могло быть съедено ровно 28 пончиков — верно. Например, если мама испекла всего 28 пончиков.
Если мама испечет ещё 21 пончик, то в конце концов в миске их останется пять — верно.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2014 год

Задача:
Однажды следователю пришлось допрашивать трёх свидетелей ограбления: Джона Уайта, Сэма Грэя и Боба Блэка. Джон уверял, что все показания Сэма — сплошная ложь, а Сэм только и делал, что твердил, будто Боб говорит неправду. Боб же всё это время уговаривал следователя не верить ни Уайту, ни, тем более, Грэю. Следователь, будучи человеком сообразительным и умным, попросил всех троих замолчать и, не задав более ни одного вопроса, быстро определил, с кем из них стоит иметь дело, а с кем — нет. Кто же из свидетелей не лгал?

Ответ: не лгал Сэм Грэй.
Решение:
Из условия задачи ясно, что высказывания каждого из свидетелей произнесены по поводу высказываний остальных двух свидетелей. Рассмотрим заявление Боба Блэка. Если то, что он говорит — правда, то Сэм Грэй и Джон Уайт лгут. Но из того, что Джон Уайт лжёт следует, что не все показания Сэма Грэя — сплошная ложь. А это противоречит словам Боба Блэка, которому мы решили поверить и который утверждает, что Сэм Грэй лжёт. Итак, слова Боба Блэка не могут быть правдой. Значит, он солгал, и мы должны признать слова Сэма Грэя правдой, а, следовательно, утверждения Джона Уайта — ложью.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2020 год, первая лига

Задача:
Ребята слепили снеговиков и решили всех снеговиков украсить пуговицами, или шарфами, или и тем, и другим. 8 снеговикам прилепили пуговицы. 9 снеговикам повязали шарфы. Оказалось, что 3 снеговика и с пуговицами, и с шарфами.
А сколько всего снеговиков слепили ребята?

Ответ: 14
Если снеговиков, у которых есть пуговицы, 8, а с тем и с другим 3, то только с пуговицами 8 - 3 = 5 снеговиков. Если снеговиков, у которых есть шарфы, 9, а стем и с другим 3, то только с шарфами 9 - 3 = 6. И всего их 6 + 5 + 3 = 14, так как снеговиков без украшения нет.