d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2009 год

Задача:
У Виталика есть жёлтые и зелёные кубики. Зелёные кубики в два раза выше жёлтых. Виталик построил башню из 6 жёлтых кубиков. Сколько нужно зелёных кубиков, чтобы построить башню такой же высоты?

Ответ: 3 зелёных кубика.
Решение:
один зелёный кубик в два раза выше одного жёлтого кубика, потому если взять зелёных кубиков столько же, сколько жёлтых, то башня получится в 2 раза выше. Чтобы получилась башня такой же высоты, зелёных кубиков должно быть в 2 раза меньше, чем жёлтых.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год

Задача:
Пусть S — число точных квадратов, а Q — число точных кубов среди целых чисел от 1 до 2013^6. Тогда
(А) Q = 2013S
(Б) 2S = 3Q
(В) 3S = 2Q
(Г) S^3 = Q^2
(Д) S = 2013Q

Ответ: Д
Решение:
Очевидно, что в промежутке от 1 до N^2 содержатся лишь такие точные квадраты: 1^2, 2^2, …, (N − 1)^2, N^2.
То есть число точных квадратов в промежутке от 1 до N^2 равно N.
Аналогично, число точных кубов в промежутке от 1 до N^3 равно N.
Поэтому:
Число точных квадратов S = $\sqrt{2013^6}$ = 2013^3
Число точных кубов Q = $\sqrt[3]{2013^6}$ = 2013^2
Итого: S = 2013⋅Q
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
На гипотенузе PQ и катете PR прямоугольного треугольника PQR внешним образом построены прямоугольные треугольники PQN и PRM так, что ∠PNQ = ∠PMR = 90°, ∠PQN = ∠PRM = 60°. На стороне QR взята точка T так, что QT = TR. Найдите градусную меру ∠MTN.

Ответ: 120°.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2004 год

Задача:
Ковровая дорожка толщиной 1 см свернута в рулон так, что получился цилиндр диаметра 1 м. Тогда длина дорожки приближенно равна
(А) 20 м
(Б) 50 м
(В) 75 м
(Г) 150 м
(Д) 300 м

Ответ: В
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Дима и Петя принесли несколько орехов и подарили их бельчатам Насте и Юле. Дима принёс всего 18 орехов. Насте Дима и Петя подарили всего 7 орехов. Юле подарили вдвое больше орехов, чем принёс Петя. Кто больше подарил орехов — Дима Насте или Петя Юле, и на сколько?

Ответ: Петя подарил Юле на 4 ореха больше.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Найдите $\displaystyle \frac{a}{b}$, если $(6a + b)^2 = 25ab$.

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{1}{9}$.
Решение:
Обозначим $\displaystyle \frac{a}{b} = x^2$, тогда $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.
По условию $(6a + b)^2 = 25ab$, откуда $\displaystyle \left(6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = 25$ или $\displaystyle 6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 5$.
Итак, $\displaystyle 6x + \frac{1}{x} = 5$ и $6x^2 − 5x + 1 = 0$. Поэтому $\displaystyle x_1 = \frac{1}{2}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\displaystyle \frac{a}{b}$ равно $\displaystyle \frac{1}{4}$ или $\displaystyle \frac{1}{9}$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Бетти и Кетти путешествуют на суперпоезде. Бетти едет в сто семнадцатом вагоне с начала поезда, а Кетти - в сто тридцать четвёртом с конца. Оказалось, что они едут в соседних вагонах. Сколько вагонов могло быть в поезде?
(А) 252
(Б) 248
(В) 250
(Г) 249
(Д) среди ответов А-Г нет верного

Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2024 год

Задача:
Из-за ограничений по весу лифт может перевозить либо 12 взрослых, либо 20 детей. В соответствии с этими ограничениями, какое наибольшее количество детей может поехать в лифте вместе с девятью взрослыми?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 8

Ответ: В
Решение:
Необходимо определить, сколько детей может поехать вместо трёх (12 − 9) взрослых. Если вместо 12 взрослых может поехать 20 детей, то вместо 12 : 4 = 3 взрослых может поехать 20 : 4 = 5 детей.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2017 год

Задача:
Лёша не поленился вычислить сумму:
$9 + 99 + 999 + \ldots + \underbrace{9\ldots9}_{2017}$
и выписать её на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?

Ответ: 2013 раз.
Решение:
Преобразуем выражение:
$ 9 + 99 + 999 + \ldots + \underbrace{9\ldots9}_{2017} = (10 − 1) + (100 − 1) + \ldots + \left(10^{2017} − 1\right) = $
$ = \underbrace{1\ldots1}_{2017}0 − 2017 = \underbrace{1\ldots1}_{2013}09093$
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Шестиногие, семиногие и восьминогие кальмары служат подводному королю. Семиногие кальмары всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды встретились 4 кальмара. Синий кальмар сказал: «Вместе у нас 28 ног», зелёный сказал: «Вместе у нас 27 ног», жёлтый сказал «Вместе у нас 26 ног», а красный сказал: «Вместе у нас 25 ног». Какой из кальмаров сказал правду?
(А) красный
(Б) синий
(В) зелёный
(Г) жёлтый
(Д) все кальмары солгали

Ответ: (В) зелёный
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2012 год

Задача:
Никита выбрал два трёхзначных числа, у которых совпадают суммы цифр. От большего числа он отнял меньшее. Какое самое большое число мог получить Никита?
(А) 792
(Б) 801
(В) 810
(Г) 890
(Д) 900

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2019 год, 1 тур

Задача:
Ростик тренируется играть на барабанах – каждые 10 секунд он ударяет в бочку, каждые 4 секунды – в тарелку, а каждые 7 секунд – в малый барабан. Он начал, ударив в бочку и тарелку, затем, через 3 секунды добавил барабан. Он играл 4 минуты. Сколько раз за это время он одновременно ударил в бочку, тарелку и барабан?

Ответ: 2 раза.
Решение:
Первый раз он ударит во все 3 предмета на 80 с и будет повторять каждые 140 с. Всего в 4 минутах 240 секунды, то есть он ударит второй раз на 80 + 140 = 220 с. Всего 2 раза.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2006 год

Задача:
На отрезке MN длины 2006 см отмечены точки P, Q и R таким образом, что MP = QN = 1111 см, а длина MR составляет 70% от длины MN. В каком порядке идут точки P, Q, R, если двигаться от M к N?
(А) P, Q, R
(Б) R, P, Q
(В) Q, R, P
(Г) R, Q, P
(Д) Q, P, R

Ответ: Д
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 5 тур

Задача:
Каково наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, каждое из которых равно произведению двух простых чисел?

Предположим, что найдутся четыре подряд идущих числа, удовлетворяющих условию. Заметим, что среди четырёх подряд идущих чисел одно делится на 4. Тогда в разложении этого числа на простые множители есть не менее двух двоек — это 4. Соседи 3 и 5 — простые числа — не удовлетворяют условию задачи. Значит, искомых чисел не более трёх. Наименьшая такая тройка: 33 = 3 · 11, 34 = 2 · 17, 35 = 5 · 7. Ещё несколько примеров: 85 = 5 · 17, 86 = 2 · 43, 87 = 3 · 29; 93 = 3 · 31, 94 = 2 · 47, 95 = 5 · 19. Можно отметить, что в каждой тройке из примеров все простые разные.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Братец Кролик за день съедает или 9 морковок, или 2 кочана капусты, или 1 кочан капусты и 4 морковки. За неделю он съел 30 морковок. Сколько кочанов капусты он съел за эту неделю?
(А) 6
(Б) 7
(В) 8
(Г) 9
(Д) 10

Ответ: (Б) 7
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2007 год, 2 тур

Задача:
Лиса Алиса и кот Базилио отправились из харчевни на поле Чудес в страну Дураков. Базилио замешкался и вышел из харчевни, когда Алиса прошла 17 км. Сколько ещё Алисе оставалось до поля Чудес, когда Базилио был от него на расстоянии 77 км, если Алиса и Базилио ходят с одинаковой скоростью?

Ответ: 60 км.
Решение:
Будем считать, что весь путь от харчевни до поля Чудес проходит по прямой. Отметим положение харчевни (Х), поля (П), положение Алисы в момент выхода Базилио (А) и положение её (А_1) и Базилио (Б) во второй момент времени (см. рисунок)
В то время как Базилио прошёл расстояние ХБ Алиса прошла расстояние АА_1. Поскольку их скорости одинаковы, то ХБ = АА_1. Но тогда БА_1 = ХА = 17. Следовательно А_1П = 77 − 17 = 60.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2023 год, 2 вариант

Задача:
В большой кроличьей семье есть дети: кролики и крольчихи. У каждого кролика братьев в 2 раза больше, чем сестёр. А у каждой крольчихи сестёр на 9 меньше, чем братьев. Сколько всего детей в этой семье?

Ответ: 22 ребёнка в кроличьей семье.
Решение:
Пусть 𝑥 — количество кроликов, 𝑦 — количество крольчих.
У каждого кролика братьев 𝑥 − 1, а у каждой крольчихи сестёр 𝑦 − 1. Получаем два уравнения:
𝑥 − 1 = 2𝑦
𝑦 − 1 = 𝑥 − 9
Выразим из первого уравнения 𝑥 и подставим во второе уравнение:
𝑥 = 2𝑦 + 1,
𝑦 − 1 = 2𝑦 + 1 − 9
Решая, получаем:
𝑦 = 7 (крольчих),
𝑥 = 7 ⋅ 2 + 1 = 15 (кроликов).
Всего 7 + 15 = 22 ребёнка в кроличьей семье.
Олимпиада «Весенний Олимп», 2 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
Ефим составил из шести различных цифр, лишь две из которых отличаются на 1, три двузначных числа.
Разряды десятков этих чисел расположились в порядке убывания, а разряды единиц — в порядке возрастания.
Причём разряды десятков любых соседних чисел отличаются на столько же, на сколько отличаются разряды единиц любых соседних чисел.
Какие числа составил Ефим?

Заметим сперва, что на единицу могут отличать лишь минимальный одного из видов разрядов и максимальный другого вида: в противном случае такая же разница в единицу будет наблюдаться у другой пары разрядов.
Отсюда следует, что разница между соседними разрядами одного вида не может превышать 2: если она не менее 3, то разница между максимальной и минимальной цифрами не менее
3 + 3 − 1 + 3 + 3 = 11
Это означает, что разница между соседними разрядами равна 2, при этом минимальный одного из видов разрядов на 1 больше максимального другого из видов.
Итого имеем единственный вариант того, какие цифры использованы:
- 0, 2, 4 для одного из видов разрядов
- 5, 7, 9 — для другого

Осталось заметить, что 0 не может быть использован для разряда десятков.
Поэтому остаётся единственный ответ: 90, 72, 54.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Как гласит русская поговорка, ложка дёгтя портит бочку мёда. Сколько банок мёда удастся испортить десятью каплями дёгтя, если в бочке 40 банок, а в ложке 200 капель?
(А) 2
(Б) 4
(В) 5
(Г) 10
(Д) 20

Ответ: А
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого.
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?


Ответ: а) 35. б) 12.
Решение:
а) В любом столбце может быть не более одного отрицательного числа, поэтому всего отрицательных чисел не больше 35. Их может быть ровно 35, если, например, сверху стоят числа −1, −2, −3, …, −35, а под ними — числа 1^2, 2^2, 3^2, …, 35^2 соответственно.
б) Докажем, что каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз.
- Пусть в нижней строке встретилось число $a$ < 0. Тогда оно не может быть чьим-то квадратом, и над ним написано число $a^2$. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число $a$ в нижней строке встречается не более 1 раза.
- Пусть в нижней строке встретилось число $a$ > 0. Если в столбце с числом $a$ верхнее число является квадратом нижнего, то над ним написано число $a^2$. Если же нижнее число является квадратом верхнего, то над ним написано $ − \sqrt{a}$ или $\sqrt{a}$. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число $a$ в нижней строке встречается не более 3 раз.

Поскольку каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз, а чисел там всего 35, то среди них различных не меньше $\frac{35}{3}>11$, т.е. их не меньше 12.
Осталось привести пример того, как в нижней строке может оказаться ровно 12 различных чисел.
Рассмотрим 12 наименьших простых чисел: $2 = p_1<p_2<\ldots<p_{12}$. Пусть в первых трёх столбцах снизу везде написано число $p_1^2$, а сверху написаны числа $− p_1$, $p_1$ и $p_1^4$. Аналогично в следующих трёх столбцах снизу везде написано число $p_2^2$, а сверху написаны числа $− p_2$, $p_2$ и $p_2^4$ и так далее. В последних двух столбцах снизу написано число $p_{12}^2$, а сверху написаны числа $− p_{12}$ и $p_{12}$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2008 год

Задача:
Если разделить 40% от 2 на 2% от 40, то получится
(А) 20% от 1/20
(Б) 1% от 1
(В) 20% от 20
(Г) 1% от 100
(Д) 1% от 10

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Когда большой бриллиант раскололи на 2 части, его общая стоимость упала на 48%, Какую долю всего бриллианта составляет его большая часть, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату массы?
(А) 2/3
(Б) 3/4
(В) 4/5
(Г) 3/5
(Д) 4/7

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
4^15 + 8^10 равно
(А) 2^10
(Б) 2^15
(В) 2^20
(Г) 2^30
(Д) 2^31

Ответ: Д
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2020 год

Задача:
На урок физкультуры Алина, Богдан, Вика и Гриша пришли в шортах и футболках, причём каждый из этих предметов одежды был синего или красного цвета. У Алины и Богдана футболки были красные, а шорты — разного цвета. У Вики и Гриши футболки были разного цвета, а шорты — синие. Также известно, что у девочек футболки разные по цвету, да и шорты тоже. Кто из детей в какой одежде?

Ответ: Алина — красная футболка и красные шорты, Богдан — красная футболка и синие шорты, Вика — синяя футболка и синие шорты, Гриша — красная футболка и синие шорты.
Решение:
У Алины и Вики по условию футболки разные, поэтому у Вики футболка синяя. Тогда у Гриши красная футболка. Значит, синяя футболка только у Вики.
У Алины и Вики по условию шорты разные, поэтому у Алины красные шорты. Тогда у Богдана синие шорты. Значит, красные шорты только у Алины.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 1 класс, 2019 год, 1 этап

Задача:
В забеге участвовало 12 спортсменов. Число спортсменов, прибежавших раньше Пети, на 1 больше числа тех, кто прибежал позже. Какое место занял Петя?

Ответ: 7 место.
Решение:
Пусть х спортсменов прибежали позже Пети, тогда х + 1 спортсменов прибежали раньше Пети.
х + 1 + 1 + х = 12
2x + 2 = 12
2х = 12 − 2
2х = 10
х = 5
Раньше Пети прибежали 6, позже Пети – 5. Петя занял седьмое место.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2019 год

Задача:
Вася написал на доске все числа от 10 до 40. Сколько из них имеют сумму цифр 11?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) 4

Ответ: В
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Среди всех трёхзначных чисел, в записи которых все цифры различные, выбрали наибольшее и наименьшее. Чему равна сумма этих чисел?

Ответ: 1089.
Решение:
987 + 102 = 1089
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
На столе в ряд выложено 23 конфеты. Ник и Майк считают эти конфеты: один справа налево, а другой — слева направо. Какой номер даст Майк той конфете, которую Ник назвал одиннадцатой?
(А) 11
(Б) 12
(В) 13
(Г) 14
(Д) 15

Ответ: (В) 13
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2013 год, 1 вариант

Задача:
Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:
100 = (33 : 3 − 3 : 3) ⋅ (33 : 3 − 3 : 3)
Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

Ответ: Например:
1. 100 = 333 : 3 − 33 : 3
2. 100 = 33 ⋅ 3 + 3 : 3

100 = 33 ⋅ 3 + 3 : 3
Есть и другие решения.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Найдите $\displaystyle \frac{a}{b}$, если $\displaystyle \frac{a + b}{\sqrt{a b}} = \frac{25}{12}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{16}{9}$, $\displaystyle \frac{9}{16}$.
Решение:
Обозначим $\displaystyle \frac{a}{b} = x^2$, тогда $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.
По условию $\displaystyle \frac{a + b}{\sqrt{a b}} = \frac{25}{12}$, откуда $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{25}{12}$.
Итак, $\displaystyle x + \frac{1}{x} = \frac{25}{12}$ и $12 x^2 − 25 x + 12 = 0$. Поэтому $\displaystyle x_1 = \frac{4}{3}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{3}{4}$. Следовательно, $\displaystyle \frac{a}{b}$ равно $\displaystyle \frac{16}{9}$ или $\displaystyle \frac{9}{16}$.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2011 год

Задача:
На тарелке лежали вишни. Миша съел половину всех вишен и ещё 17 вишен. Оставшуюся одну испортившуюся вишенку Миша выбросил. Сколько вишен съел Миша?

Ответ: 35 вишен.
Решение:
После того, как Миша съел половину всех вишен, на тарелке осталась ровно половина вишен. Из них Миша съел 17, а одну выбросил. То есть всего в тарелке осталось 18 вишен. То есть 18 – это ровно половина всех вишен. Значит, Миша съел 18 + 17 = 35 вишен.
Олимпиада «Весенний Олимп», 1 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
Маша записывает двузначные числа, состоящие из цифр 1 и 2 (цифры в числе могут повторяться). Запиши все числа, большие 11, которые у неё могут получиться.

Ответ: 12, 21, 22.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
Аня и Петя живут на набережной. Слева от дома Ани на набережной находится 47 домов, а справа — 23 дома. От дома Пети слева и справа по набережной находится одинаковое число домов. Сколько домов расположено между домами Ани и Пети?
(А) 10
(Б) 11
(В) 12
(Г) 13
(Д) 14

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2020 год

Задача:
Вова проплывает дистанцию в 100 метров в 50-метровом бассейне за 90 секунд, а в 25-метровом за 2 минуты. За какое время Вова проплывёт это расстояние в 100-метровом бассейне? Все одинаковые действия Вова делает с одной и той же скоростью.

Ответ: 75 секунд
Решение:
Почему возникает разница во времени, если проплываемое расстояние одно и тоже? Поскольку все одинаковые действия Вова делает за одинаковое время, то и плывёт он с одной и той же скоростью. Значит всё дело в размерах бассейнах, то есть время уходит на повороты. В 50-метровом бассейне один поворот, в 25-метровом – три. Это значит, что у Вовы 15 секунд уходит на один разворот. А чистое время плавания занимает 75 секунд.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Серый и рыжий бельчата направились по тропинке от полянки к дубу, серый побежал, а рыжий пошёл. Серый через 18 минут добежал до дуба, сразу побежал назад навстречу рыжему, и встретился с ним через 6 минут. Сколько минут потребуется рыжему бельчонку, чтобы дойти от места встречи до дуба?

Ответ: 12 минут.
Решение:
До места встречи рыжий бельчонок шёл 18 + 6 = 24 минуты, а серый впервые пробежал это место через 18 − 6 = 12 минут, поэтому их скорости относятся как 24 : 12 = 2. На последний участок рыжий бельчонок затратит вдвое больше времени, чем серый, то есть 6 ⋅ 2 = 12 минут.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2016 год, 1 вариант

Задача:
Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все девять цифр были различными:
∗∗∗ + ∗∗ = 1056

Возможные ответы:
984 + 72 = 1056
982 + 74 = 1056
974 + 82 = 1056
972 + 84 = 1056
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2018 год

Задача:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что:
НОК($a$, $b$) = НОД($a$, $b$) + 19
и докажите, что других нет.
Комментарий:
НОД($a$, $b$) — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$.
НОК($a$, $b$) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.

Ответ: ($a$, $b$) = (1, 20), (20, 1), (4, 5), (5, 4), (19, 38), (38, 19).
Решение:
Пусть $d$ = НОД($a$, $b$). Заметим, что и НОК, и НОД делятся на $d$, а значит, и 19 делится на $d$. Поскольку 19 простое, получаем, что $d$ = 1 или $d$ = 19.
- Если $d$ = 1, то числа $a$ и $b$ взаимно просты, и НОК($a$, $b$) = $a$⋅$b$ = 1 + 19 = 20. Это даёт варианты (1, 20), (20, 1), (4, 5), (5, 4).
- Если $d$ = 19, то НОК($a$, $b$) = 19 + 19 = 38. Это означает, что $a$ = 19, $b$ = 38 или $a$ = 38, $b$ = 19.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Что в миллион раз легче тонны?
(А) 1 ц
(Б) 1 кг
(В) 100 г
(Г) 1 г
(Д) 1 мг

Ответ: (Г) 1 г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Лиза выбрала двузначное число, не делящееся на 10, поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел. Какое самое большое число она могла получить?
(А) 90
(Б) 81
(В) 75
(Г) 72
(Д) 45

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2014 год, 2 этап

Задача:
Рядовой Петров взял ведро нечищеной картошки и за 1 час её почистил. При этом 25% картошки ушло в очистки. За какое время у него набралось полведра очищенной картошки?

Ответ: За 40 минут.
Решение:
Так как четверть картошки ушло в очистки, то Петров получил за 1 час три четверти ведра почищенной картошки. Значит, четверть ведра почищенной картошки Петров получил за 20 минут, а половину ведра — за 40 минут.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 2 класс, 2023 год

Задача:
На доске 3 × 3 Саша поставил белого слона и чёрного короля так, что они не бьют друг друга. Сколько у Саши есть различных способов это сделать?
Примечание: Король бьёт все соседние клетки, а слон — все клетки по диагонали. Саша не поворачивает доску.

Ответ: 28 вариантов.
Решение:
Поставим слона в левый нижний угол, тогда для короля есть 4 клетки, куда его можно поставить. Так же для остальных углов, получаем 16 вариантов. Поставим слона посередине нижней стороны доски. Тогда короля можно поставить на 3 верхние клетки. Также для остальных серединок сторон, получаем 12 вариантов. Если слона поставить в центр, то короля никуда нельзя поставить. Итого 16 + 12 = 28 вариантов.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Оба корня квадратного трёхчлена $x^2 + p x + q$ увеличили на 3, после чего получились корни трёхчлена $x^2 − 2 p x − q$. Найдите $p$ и $q$.

Ответ: $p = 2$, $q = - \frac{3}{2}$.
Решение:
Пусть $u$ и $v$ — корни трёхчлена $x^2 + p x + q$. Тогда по теореме Виета $u + v = - a$ и $u v = b$. По условию $u + 3$ и $v + 3$ — корни трёхчлена $x^2 − 2 p x − q$. Тогда по теореме Виета:
$$ 2 p = (u + 3) + (v + 3) = u + v + 6 = 6 − p $$
$$ - q = (u + 3)(v + 3) = u v + 3(u + v) + 9 = q - 3 p + 9 $$
Следовательно, $ p = 2 $ и $ 2 q = 3 p - 9 = - 3 $, откуда $q = - \frac{3}{2}$.
Поскольку полученное $q$ отрицательно, у найденного трёхчлена $x^2 + $ $p x + q$ есть два корня.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
У Жени есть n^3 (где n > 2) одинаковых кубиков. Из всех этих кубиков он сложил большой куб. Затем он покрасил всю внешнюю поверхность этого большого куба. Количество маленьких кубиков с одной закрашенной гранью при этом оказалось равно количеству кубиков без закрашенных граней. Чему равно значение n?
(А) 4
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 10

Ответ: Г
Решение:
На каждой грани большого куба будет (n − 2)^2 маленьких кубиков с одной окрашенной гранью. Тогда всего таких кубиков 6(n − 2)^2. Кубиков, у которых не покрашена ни одна грань, будет (n − 2)^3. Т.к. их количество равно, то 6(n − 2)^2 = (n − 2)^3. Отсюда при n > 2 получаем, что n = 8.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2013 год

Задача:
Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:
100 = (22 : 2 − 2 : 2) ⋅ (22 : 2 − 2 : 2)
Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

Ответ: Например:
1. 100 = 222 : 2 − 22 : 2
2. 100 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2)

100 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2)
Есть и другие решения.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
В треугольнике ABC угол A в три раза больше угла B и равен половине угла C. Тогда угол A равен:
(А) 30º
(Б) 36º
(В) 54º
(Г) 60º
(Д) 72º

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Семья Добсонов состоит из папы, мамы и нескольких детей. Средний возраст членов семьи – 18 лет. Без 38-летнего папы средний возраст – 14 лет. Сколько детей в этой семье?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Малыш Федя выписывает числа от 1 до 100. Но он не знает цифру 5 и пропускает все числа, которые её содержат. Сколько чисел он выпишет?
(А) 65
(Б) 70
(В) 72
(Г) 81
(Д) 90

Ответ: 81