d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
Даны треугольник и квадрат. Площадь квадрата равна 36. Если квадрат накладывать на треугольник, то удается накрыть максимум половину площади треугольника, а если треугольник накладывать на квадрат, то удается накрыть максимум две трети площади квадрата. Чему равна площадь треугольника?
(А) 24
(Б) 36
(В) 42
(Г) 48
(Д) невозможно определить

Ответ: Г
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2017 год

Задача:
В пяти ящиках лежит поровну яблок. Когда из каждого ящика вынули по 60 яблок, после этого всего осталось столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?

Ответ: 100 яблок.
Решение:
Всего вынули 60 · 5 = 300 яблок, и это равно количеству яблок, которое было в трёх ящиках. Значит, в каждом ящике было по 100 яблок.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2007 год

Задача:
Для некоторых трёхзначных чисел квадрат суммы цифр равен сумме квадратов этих цифр. Сколько таких чисел?
(А) 0
(Б) 9
(В) 10
(Г) 1
(Д) 90

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
На бумаге нарисованы два прямоугольных треугольника: синий и зелёный. Один из синих катетов вдвое длиннее одного из зелёных катетов, а зелёная гипотенуза в 3 раза длиннее синей. Что тогда невозможно?
(А) Другой зелёный катет в 4 раза длиннее другого синего катета.
(Б) Площадь зелёного треугольника в 10 раз больше площади синего.
(В) Площадь синего треугольника больше площади зелёного.
(Г) Один из углов зелёного треугольника равен 1º.
(Д) Один из углов синего треугольника больше 89º.

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Сколькими способами можно разменять 8 рублей более мелкими монетами, если есть монеты в 1, 2 и 5 рублей?

Если использовать монету 5 рублей, то оставшуюся сумму в 3 рубля можно набрать двумя способами: три монетки в 1 рубль или по монете в 1 рубль и 2 рубля. А если использовать только рублёвые и двухрублёвые монеты, то получится 5 способов: монеток 2 рубля может быть 0, 1, 2, 3 и 4 штуки (остальные — рублёвые).
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2013 год

Задача:
Под Новый Год хакер Костя через равные промежутки времени провёл 17 вирусных атак на сайт Coca-Cola. Первая атака началась 31 декабря в 21:54, а последняя – 1 января в 11:30. Какой был промежуток времени между атаками?

Ответ: 51 минута.
Решение:
От 21:54 до полуночи 2 часа 6 минут или 126 минут, а от полуночи до 11:30 пройдёт 690 минут. Всего 816 минут. За это время будет 17 атак и 16 промежутков между ними. Следовательно, между атаками проходит 816:16 = 51 минута.
Олимпиада «Осенний Олимп», 4 класс, 2020 год, 1 тур

Задача:
Фрол и Лаврентий едят клубнику из бочки ложками. У Фрола большая ложка, в неё помещается 5 ягод, у Лаврентия ложка маленькая, в неё помещается 2 ягоды.
Сначала Фрол за 4 секунды зачерпывает ягоды своей ложкой и съедает их, за следующие 4 секунды — Лаврентий, ещё за следующие 4 — опять Фрол и так далее.
Сколько ягод съедят Фрол и Лаврентий в сумме за минуту?

В минуте 15 раз помещается промежуток в 4 секунды. Поэтому за минуту Фрол зачерпнёт ягоды 8 раз, а Лаврентий — 7 раз.
Итого они съедят 8 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2 = 40 + 14 = 54 ягоды.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 5 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
В коробке лежат шарики красного, жёлтого, зелёного, синего и белого цвета. Шариков каждого цвета разное число, не менее 1 и не более 9. Жёлтых, зелёных, синих и белых вместе – 29, а красных, жёлтых, зелёных и синих вместе – 30. Сколько белых шариков?

Ответ: 5 белых шариков.
Решение:
29 = 5 + 7 + 8 + 9
30 = 6 + 7 + 8 + 9
Жёлтых, зелёных и синих вместе 7 + 8 + 9 = 24, белых – 5, красных – 6.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2019 год

Задача:
Спортсмены A, B, C, D и E участвовали в забеге. Спортсмен D прибежал позже A, а спортсмен B раньше D и сразу за C. Спортсмен C не был первым, но прибежал раньше A. В каком порядке финишировали участники?

Ответ: ECBAD.
Решение:
Заметим, что спортсмен B прибежал сразу за C. Кроме этого, известно, что A прибежал после C (то есть и после B), а D прибежал после A. Таким образом, мы получаем, что C обогнал как минимум троих, при этом не прибежал первым. Получается, первым прибежал E, за ними C, потом B, потом A, и последним прибежал D.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Мама, папа и девять детей встали в ряд на прямой дорожке. Мама и папа стоят рядом на расстоянии 1 метра друг от друга. Могут ли дети встать так, что суммарное расстояние всех детей до мамы равно суммарному расстоянию всех детей до папы? Если да, приведите пример; если нет, объясните, почему.

Ответ: Нет.
Решение:
Пусть мама стоит левее папы. Тогда ребёнок, стоящий левее мамы, находится на 1 метр ближе к маме, чем к папе, а ребёнок, стоящий правее папы, находится на 1 метр олиже к папе, чем к маме. Чтобы суммы расстояний были равны, надо, чтоб слева от мамы и справа от папы стояло поровну детей. Но мама и папа стоят рядом, а девятерых детей нельзя разделить поровну.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
В магазин привезли 4 одинаковые полные коробки: в одной – апельсины, в другой – яблоки, в третьей – мандарины, в четвёртой – вишни. В какой коробке наибольшее число плодов?
(А) в коробке с апельсинами
(Б) в коробке с яблоками
(В) в коробке с мандаринами
(Г) в коробке с вишнями
(Д) невозможно определить

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2017 год, первая лига

Задача:
Петя в кепке выше Васи без кепки. Игорь в кепке выше Пети в кепке. Вася в кепке ниже Игоря без кепки. Если все снимут кепки, то кто из них самый высокий?

Ответ: Игорь
Решение:
Из последнего Игорь выше Васи. Из второго – Игорь выше Пети.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Вася умеет писать только цифры 1, 2 и 3. Сколько чисел от 10 до 30 он сможет написать?
(А) 2
(Б) 4
(В) 6
(Г) 7
(Д) 3

Ответ: 6
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2009 год

Задача:
При каком наименьшем натуральном n произведение (2^2 − 1)(3^2 − 1)…(n^2 − 1) является квадратом натурального числа?
(А) 6
(Б) 8
(В) 15
(Г) 27
(Д) ни при каком n

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
У Егора и Артёма вместе 45 марок. Половина марок Егора равна трети марок Артёма. Сколько марок у каждого мальчика?

Ответ: У Егора 18 марок, у Артёма – 27 марок.
Олимпиада «Бельчонок», 4 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Двое учащихся 4-го класса Вика и Лера в 10:00 вышли из школы и пошли на олимпиаду по математике в Сибирский федеральный университет. Пройдя полпути, Лера вспомнила, что забыла свои документы в школе, и вернулась за ними. В результате Вика пришла на олимпиаду за 10 минут до начала, а Лера опоздала на 15 минут. Известно, что Вика и Лера шли с одинаковыми скоростями. Во сколько начиналась олимпиада?

Ответ: 10:35.
Решение:
Вика и Лера пришли на олимпиаду с разницей в 25 минут. Следовательно, эти 25 минут Лера затратила на «лишний» по сравнению с Викой путь с полдороги до школы и обратно. Но это и есть путь от школы до университета. Значит, Вика вышла в 10:00, шла 25 минут, а через 10 минут после её прихода началась олимпиада. Теперь понятно, что олимпиада началась в 10 часов 35 минут.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2013 год

Задача:
Чему равна сумма x + y, если x^2 − 6x = 2xy − x^2 − y^2 − 9?
(А) 0
(Б) 3
(В) 6
(Г) 9
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2016 год

Задача:
Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными:
∗∗∗ − ∗∗ = 23

Возможные ответы:
107 − 84 = 23
109 − 86 = 23
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
Возьмем самое маленькое число, которое делится на 2 и на 3, и самое маленькое число, которое делится на 2, 3 и 4. Их сумма равна
(А) 9
(Б) 32
(В) 20
(Г) 24
(Д) 18

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2014 год

Задача:
2«Ы» класс собирается на прогулку. Если они встанут парами мальчик с девочкой, то трём девочкам не хватит пары. А если с каждым мальчиком будут вставать по две девочки, то в конце останется два мальчика. Сколько в классе может быть мальчиков и сколько девочек?

Ответ: 10 девочек и 7 мальчиков.
Решение:
После того, как дети встали парами, попросим двух девочек уйти из пар. Тогда у нас останется два свободных мальчика и 5 свободных девочек. Если эти девочки встанут третьим в пару, то будет выполнено условие задачи. Следовательно, девочек 10, а мальчиков 7.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
Два велосипедиста стартуют вместе и едут по кругу в одном направлении. Первый проезжает весь круг за 4 минуты, а второй – за 5 минут. Через сколько минут после старта первый догонит второго?

Ответ: 20 минут.
Решение:
Первый проезжает за 1 минуту — 1/4 круга, а второй за 1 минуту — 1/5 круга.
При движении вдогонку за 1 минуту: 1/4 − 1/5 = 1/20 часть круга.
Значит, первый догонит второго через 20 минут.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, высшая лига

Задача:
На утренник пришло 30 детей, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Их разбили на пары для танцев, после чего каждый заявил: «Мой партнёр лжец». Затем их разбили на пары заново. Мог ли после этого каждый заявить, что его партнёр — рыцарь? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.)

Ответ: нет.
Решение:
Ведь если каждый мог сказать: «Мой партнёр лжец», то в каждой паре 1 рыцарь и 1 лжец. Значит, всего 15 рыцарей и 15 лжецов. Но для того чтобы каждый мог сказать, что мой сосед рыцарь, нужно, чтобы в каждой паре было либо 2 рыцаря, либо 2 лжеца. А у нас 15 рыцарей (нечётное количество), поэтому так разбить на пары мы не сможем.
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Коля и дедушка отправились к озеру, Коля на велосипеде, дедушка пешком. Коля через 16 минут доехал до озера, увидел, что их место для рыбалки свободно, сразу поехал назад навстречу дедушке, и встретился с ним через 8 минут. Сколько минут потребуется дедушке, чтобы дойти от места встречи до озера?

Ответ: 24 минуты.
Решение:
До места встречи дедушка шёл 16 + 8 = 24 минуты, а Коля впервые пробежал это место через 16 − 8 = 8 минут, поэтому их скорости относятся как 24 : 8 = 3. На последний участок дедушка затратит втрое больше времени, чем Коля, то есть 8 ⋅ 3 = 24 минуты.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На трёх деревьях было 44 синицы. С первого дерева улетело 4 синицы, затем 5 перелетело с первого на второе и 6 с первого на третье. На первом дереве осталось столько, сколько на втором и третьем вместе. Сколько синиц было на первом дереве первоначально?

Ответ: 35 синиц.
Решение:
44 − 4 = 40 (синиц) – осталось на всех трёх деревьях
40 : 2 = 20 (синиц) – осталось на первом дереве
20 + 4 + 5 + 6 = 35 (синиц) – было на первом дереве первоначально
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2003 год

Задача:
В прямоугольнике размером 200 × 300, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала на две части?
(А) 300
(Б) 356
(В) 400
(Г) 450
(Д) 512

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2014 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих цифр?

Ответ: Одно число 175.
Решение:
Первый способ.
В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трёхзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на 5, должно делиться на 25. Заметим, что чётных цифр в записи числа быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю. Таким образом, трёхзначное число должно делиться на 25 и не содержать чётных цифр. Таких чисел только пять: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведение цифр искомого числа должно быть меньше 200, иначе, умноженное на 5, даст четырёхзначное число. Поэтому числа 775 и 975 заведомо не подходят. Среди оставшихся трёх чисел только 175 удовлетворяет условию задачи.
Второй способ.
Заметим (аналогично первому способу решения), что последняя цифра искомого числа — 5.
Пусть $a$, $b$, 5 — последовательные цифры искомого числа. По условию задачи имеем:
100$a$ + 10$b$ + 5 = $a$ ⋅ $b$ ⋅ 5 ⋅ 5
Поделив обе части уравнения на 5, получаем:
20$a$ + 2$b$ + 1 = 5$ab$.
После вычитания из обеих частей равенства 20$a$ и вынесения за скобки общего множителя в правой части, получаем:
2$b$ + 1 = 5$a$(b − 4$a$) (1)
Учитывая, что $a$ и $b$ могут принимать натуральные значения от 1 до 9, получаем, что возможные значения $a$ — только 1 или 2. Но $a$ = 2 не удовлетворяет равенству (1), в левой части которого нечётное число, а в правой при подстановке $a$ = 2 получается чётное. Итак, единственная возможность $a$ = 1. Подставив это значение в (1), получаем:
2$b$ + 1 = 5$b$ − 20,
откуда $b$ = 7. Ответ: единственное искомое число — 175.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
В лесу живут бельчата-рыцари и бельчата-лжецы, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 20 бельчат, среди которых 10 рыцарей и 10 лжецов, встали в ряд на поляне. Всем бельчатам задали два вопроса: «Сколько лжецов слева от тебя?» и «Сколько лжецов справа от тебя?». Каждый бельчонок назвал два числа. Какое наибольшее число раз среди 40 ответов могло встретиться одно и то же число, и что это за число?

Ответ: 38 чисел 5.
Решение:
Оценка. Пусть все бельчата-рыцари сказали какое-то одинаковое число – это 20 совпадений. Если предположить, что все бельчата-лжецы сказали какое-то одно и то же число (как бельчата-рыцари – от 0 до 10), то для одного бельчонка-лжеца ответ справа и для одного бельчонка-лжеца ответ слева окажутся правдой, значит, хотя бы 2 ответа из 40 не могут совпадать с остальными. Пример. Десять бельчат-рыцарей в центре, по пять бельчат-лжецов по краям.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 4 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
Напишите четырёхзначное число, каждая следующая цифра которого на единицу меньше, чем предыдущая, а сумма цифр числа равна 26.

Ответ: 8765.
Решение:
Если сумма цифр числа равна 26, значит, сумма двух средних цифр равна 13, в середине числа цифры 7 и 6. Это число: 8765.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
Два одинаковых поезда, каждый из 20 вагонов, ехали навстречу друг другу по соседним путям. Поезда остановились на станции, и их двенадцатые вагоны (считая от начала поезда) стоят напротив друг друга. Какой вагон второго поезда стоит напротив восьмого вагона первого поезда?
(А) двадцатый
(Б) шестнадцатый
(В) десятый
(Г) восьмой
(Д) четвёртый

шестнадцатый
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2018 год, 2 этап

Задача:
У короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, …, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?

Ответ: да, смогут.
Решение:
Каждое действие короля представляется в виде двух последовательных действий:
- выдаём по одной монете всем мудрецам;
- отбираем одну монету у одного из мудрецов.

Тогда назовём действием первого типа то, где монета отбирается у первого мудреца; действием второго типа то, где монета отбирается у второго мудреца; . . . ; действием десятого типа — монета отбирается у десятого мудреца.
Следовательно, если выполнить следующие 55 действий:
- одно действие первого типа;
- два действия второго типа;
- три действия третьего типа;
- ...
- десять действий десятого типа,

то каждому мудрецу достанется ещё по 55 золотых монет, но при этом у каждого мудреца будет отобрано ровно столько монет, какой он по счёту.
Выходит, что спустя эти 55 действий у всех будет ровно по 55 монет.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2014 год

Задача:
У Пети яблоки, а у Саши – груши. Если Петя обменяет одно своё яблоко на две груши Саши, то фруктов у них станет поровну. На сколько груш больше, чем яблок?

Ответ: Груш больше, чем яблок, на 2 штуки.
Решение:
Так как Петя отдал один фрукт, а получил два, то количество его фруктов увеличилось на 1. Пусть вместо того, чтобы меняться, Саша просто даст Пете грушу. Тогда у них также станет фруктов поровну. Если теперь забрать у обоих по груше, то у ребят фруктов будет поровну и плюс ещё две груши, что мы забрали.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Буратино увидел двух продавцов с тетрадками по одной и той же цене.
«Умненький Буратино, – зовет его один продавец – если ты купишь у меня две тетрадки, то я их обе продам тебе на 40% дешевле!».
«Богатенький Буратино, – кричит другой – если ты купишь такую же тетрадку у меня по обычной цене, то вторую я продам всего за 20 сольдо!».
Умница Мальвина подсказала Буратино, что покупка двух тетрадок у первого продавца обойдётся на 5 сольдо дешевле, чем у второго. Сколько стоила одна тетрадка сначала?
(А) 20
(Б) 40
(В) 60
(Г) 75
(Д) 90

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
Из какого количества одинаковых спичек невозможно сложить треугольник, если спички нельзя ломать?
(А) 7
(Б) 6
(В) 5
(Г) 4
(Д) 3

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Какое число пропущено: 2004 − 1389 = … − 1489 ?
(А) 1994
(Б) 1995
(В) 2104
(Г) 615
(Д) 1904

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
Турист совершил 2-х часовую прогулку. Он сначала шёл по равнине, потом взошел на вершину горы, а потом вернулся в начало пути: спустился с горы и шёл по равнине. Скорость туриста на подъёме равнялась 3 км/ч, на спуске — 6 км/ч, а по равнине — 4 км/ч. Какой путь он прошёл?
(А) 6 км
(Б) 7,5 км
(В) 8 км
(Г) 10 км
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Пусть $S$ – площадь поверхности Земли, а $S_0$ – площадь той её части, точки которой ближе к Петербургу, чем к центру Земли. Тогда
(А) $\displaystyle \frac{S_0}{S}>\frac{1}{2}$
(Б) $\displaystyle \frac{S_0}{S} = \frac{1}{2}$
(В) $\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{S_0}{S}<\frac{1}{2}$
(Г) $\displaystyle \frac{S_0}{S} = \frac{1}{3}$
(Д) $\displaystyle \frac{S_0}{S}<\frac{1}{3}$

Ответ: Д
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2017 год

Задача:
Планета Железяка делает оборот вокруг своей оси за 5 железякских часов. А планета Каменюка делает один оборот вокруг своей оси за 6 каменюкских часов. Космический корабль летит от планеты Железяка до планеты Каменюка 20 железякских часов, а обратно 25 каменюкских часов. Какая планета вращается вокруг своей оси быстрее. Ответ объясните.

Ответ: Каменюка вращается быстрее.
Решение:
Поскольку 20 железякских часов равно 25 каменюкских часов, то 4 ж.ч = 5 к.ч. То есть 1 ж.ч > 1 к.ч. Нам требуется сравнить 5 ж.ч и 6 к.ч. Добавим к обеим частям равенства 4 ж.ч = 5 к.ч по 1 соответствующему часу. Так как 1 ж.ч > 1 к.ч, 5 ж.ч > 6 к.ч.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2015 год, 1 вариант

Задача:
Саша поехал в гости к бабушке. В субботу он сел в поезд, а через 50 часов в понедельник доехал до бабушкиного города. Саша заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места? Обязательно объясните свой ответ.

Ответ: Вагон № 2, место № 1.
Решение:
Поскольку номер вагона в субботу был меньше числа, а в понедельник равен ему, очевидно, что суббота и понедельник принадлежат разным месяцам. А так как Саша ехал чуть больше двух суток, понедельник — первое или второе число месяца. Значит, номер вагона — 1 или 2. Но номер вагона не может быть равен 1, поскольку номер места меньше номера вагона. Значит, Саша ехал в вагоне № 2 на месте № 1.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2017 год

Задача:
На доске были написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. К некоторым из них Вика прибавила 2, а к остальным прибавила 3. Какое самое маленькое число разных результатов она могла получить?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: Г
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Каждому из двух ленивых бельчат, Васе и Пете, нужно перенести по 1500 граммов орехов из их тайного места 𝑋 в другое тайное место 𝑌, расстояние между которыми 15 метров. Вася перемещается со скоростью 3 метра в минуту, но может за раз унести 50 граммов орехов, Петя — со скоростью 5 метров в минуту, но может унести лишь 30 граммов орехов. Кто из них и на сколько быстрее доставит все орехи в тайное место 𝑌? Скорости бельчат с орехами не отличаются от скоростей бельчат без орехов.

Ответ: Вася справится на 2 минуты раньше.
Решение:
Чтобы донести груз, Васе нужно сделать 30 рейсов из места 𝑋 в место 𝑌 и 29 обратных рейсов. из места 𝑌 в место 𝑋. На один рейс у него уходит 5 минут, а на весь путь уйдёт 5 ⋅ (30 + 29) = 295 минут. Пете нужно сделать 50 рейсов из места 𝑋 в место 𝑌 и 49 обратных рейсов из места 𝑌 в место 𝑋. У него на один рейс уходит 3 минуты, а на весь путь уйдёт 3 ⋅ (50 + 49) = 297 минут. Поэтому Вася окончит свою работу раньше на 2 минуты.
Олимпиада «Весенний Олимп», 3 класс, 2022 год, 1 вариант

Задача:
Кенга и Крошка Ру прыгают по прямой:
- сначала Крошка Ру прыгает на четыре метра вперёд
- затем Кенга прыгает на шесть метров вперёд
- затем Крошка Ру прыгает на пять метров вперёд
- затем Кенга прыгает на семь метров вперёд
- дальше всё повторяется: Крошка Ру прыгает на четыре метра, Кенга прыгает на шесть метров, Крошка Ру — на пять метров, Кенга — на семь метров, и так далее...

1. Сколько метров пропрыгала Кенга к тому моменту, как Крошка Ру впервые окажется не ближе 105 метров от точки своего старта?
2. Если предположить, что Кенга и Крошка Ру начали прыгать из одной точки в одном направлении, то сколько будет точек, в которых приземлялись и Кенга, и Крошка Ру, находящихся не далее 200 метров от точки старта?

Сколько метров пропрыгала Кенга к тому моменту, как Крошка Ру впервые окажется не ближе 105 метров от точки своего старта?
Если предположить, что Кенга и Крошка Ру начали прыгать из одной точки в одном направлении, то сколько будет точек, в которых приземлялись и Кенга, и Крошка Ру, находящихся не далее 200 метров от точки старта?
Точку старта считать не нужно!

Ответ: А) 149 метров; Б) 7 точек.
Решение:
Будем все позиции обозначать их расстоянием (в метрах) до точки старта.
Крошка Ру приземляется в следующих местах:
- 9, 18, 27, 36 и так далее (все, кратные 9)
- 4. 9 + 4, 18 + 4, 27 + 4, 36 + 4 и так далее

Кенга же приземляется в следующих местах:
- 13, 26, 39, 52 и так далее (все, кратные 13)
- 6, 13 + 6, 26 + 6, 39 + 6, 52 + 6 и так далее

Первая позиция Крошки Ру, находящаяся не ближе 105 метров от точки старта: 108 метров. Чтобы её достичь, Крошка Ру сделал 24 прыжка. Кенга же сделала 23 прыжка, оказавшись в точке 11 ⋅ 13 + 6 = 149.
Теперь посчитаем количество общих точек, не превышающих 200:
- из кратных 13 кратна 9 ровно одна точка: 117
- из кратных 13 плюс 6 кратны 9 две точки: 45 и 162
- из кратных 13 после вычитания 4 кратны 9 две точки: 13 и 130
- из кратных 13 плюс 6 после вычитания 4 кратны 9 две точки: 58, 175

Итого 7 общих точек.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Из маленьких кубиков 1 × 1 × 1, каждый из которых целиком покрашен в один цвет, Кенгуру хочет сложить куб 3 × 3 × 3 так, чтобы любые два кубика, имеющие хотя бы одну общую вершину, были разных цветов. Какое наименьшее количество цветов потребуется для этого?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 12
(Д) 27

Ответ: (В) 8