d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Во сколько раз один час больше, чем 15 минут?
(А) в два раза
(Б) в три раза
(В) в четыре раза
(Г) в пять раз
(Д) в шесть раз

Ответ: в четыре раза
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
На столе лежит 777 камней. Двое играют в интеллектуальную игру: по очереди можно забрать со стола 2 или 8 камней. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков?

Выиграет первый игрок. Первым ходом он возьмёт 2 камня, останется 775. После этого он будет дополнять ходы второго игрока до 10 взятых камней в каждый из двойных ходов. Через 77 двойных ходов на столе останется 5 камней, после чего игроки сделают ещё по ходу в 2 камня и игра закончится, второй игрок не сможет сделать очередной ход в момент, когда на столе останется 1 камень.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2012 год, 1 тур

Задача:
Винни-Пух с пятью горшочками мёда весит 25 кг, а с трёмя горшочками мёда – 19 кг. Сколько весит Винни-Пух?

Ответ: 10 килограмм.
Решение:
Поскольку все горшочки весят одинаково, то два горшочка весят 25−19=6 кг. Значит, один горшочек весит 3 кг, а три – 9 кг. Поэтому Винни весит 19−9=10 кг.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
У Луки есть несколько котов, чижей и рыб. Всего у животных 20 глаз, столько же ног и несколько хвостов. Сколько животных у Луки?

Ответ: 10 животных.
Решение:
У всех представленных животных есть по паре глаз, то есть всего животных 20 ∶ 2 = 10.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
В летнем лагере «Кенгуру» Алёша решал по 4 задачи в день, а Андрей — по 2 задачи. Алёша решил все задачи за 5 дней. За сколько дней решил эти же задачи Андрей?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 8
(Д) 10

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
На доске нарисован прямоугольник. Известно, что если его ширину увеличить на 30%, а длину уменьшить на 20%, то его периметр останется неизменным. Как изменился бы периметр исходного прямоугольника, если его ширину уменьшили бы на 20%, а длину увеличили бы на 30%?

Ответ: Увеличится на 10%.
Решение:
Обозначим ширину исходного прямоугольника $a$, а высоту $b$.
В первом случае измененные ширина и длина будут 1,33$a$ и 0,8$b$ соответственно. По условию 2($a$ + $b$) = 2(1,3$a$ + 0,8$b$), откуда $b$ = 1,5$a$. Это значит, что исходный периметр равен 2($a$ + 1,5$a$) = 5$a$.
Во втором случае периметр будет 2(0,8$a$ + 1,3$b$) = 2(0,8$a$ + 1,3 ⋅ 1,5$a$) = 55$a$. Это число больше 5$a$ на 0,5$a$, то есть на 10%.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2015 год

Задача:
Саша гуляла в два раза дольше, чем делала уроки. На уроки она потратила 50 минут. Сколько времени она гуляла?
(А) 1 час
(Б) 1 час 30 минут
(В) 1 час 40 минут
(Г) 2 часа
(Д) 2 часа 30 минут

Ответ: 1 час 40 минут
Олимпиада начальной школы 2x2, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
В комнате сидело 2007 жителей острова рыцарей и лжецов. В какой-то момент один человек обиделся и ушёл. Один из оставшихся, поглядев в след, заметил: «Ушедший – лжец!» После чего встал и тоже вышел. Второй сказал: «Оба ушедшие – лжецы» и тоже ушёл. Далее каждый из оставшихся уходил, говоря: «Все ушедшие – лжецы». Пока последний оставшийся в комнате печально констатировал: «Да, все ушедшие – лжецы». Определите, сколько в комнате было лжецов первоначально. (Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду).

Ответ: 2006.
Решение:
Предположим, что среди ушедших кроме самого первого и второго был рыцарь. Тогда его утверждение истинно. Это означает, что все ушедшие перед ним действительно были лжецами. Но тогда каждый из этих лжецов высказал верное утверждение, чего быть не могло. Получили противоречие. Следовательно, среди ушедших кроме первого и второго рыцарей нет. Но тогда среди первых двух должен быть рыцарь, чтобы высказывания всех ушедших за ними были ложны. Но оба они быть рыцарями не могут, так как тогда второй высказал бы ложное утверждение. Соответственно последний оставшийся в комнате тоже лжец. Поэтому в комнате изначально было 2006 лжецов.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2022 год, высшая лига

Задача:
Запишите семь последовательных чисел так, чтобы в их записи было ровно 16 троек (могут присутствовать и другие цифры).

Один из возможных вариантов: 3325, 3326, 3327, 3328, 3329, 3330, 3331.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Яблоко и апельсин вместе весят столько же, сколько груша и персик. Яблоко вместе с грушей весят меньше, чем апельсин с персиком, а груша вместе с апельсином весят меньше, чем яблоко с персиком. Какой из фруктов самый тяжёлый?
(А) апельсин
(Б) персик
(В) груша
(Г) яблоко
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Стас взял из шести одинаковых прямоугольников три, и выложил их в ряд. Миша выложил в ряд три оставшихся прямоугольника. Периметр прямоугольника Стаса равен 42, а периметр прямоугольника Миши равен 62. Чему равен периметр каждого из шести одинаковых прямоугольников?

Ответ: 26.
Решение:
Пусть стороны маленького прямоугольника равны $a$ и $b$. В периметр прямоугольника Стаса входит 6 сторон $a$ и 2 стороны $b$, а в периметр прямоугольника Миши входит 2 стороны $a$ и 6 сторон $b$. В сумму периметров входит 8 сторон $a$ и 8 сторон $b$, поэтому 8($a$ + $b$) = 42 + 62 = 104. Отсюда $a$ + $b$ = 13, периметр равен 26.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Бельчонок набрал в один мешок сосновые шишки, в другой мешок — еловые шишки, в третий — и те, и другие. Он приготовил таблички для мешков: «Сосновые», «Еловые», «Сосновые и еловые», а лиса разместила все таблички на мешках неправильно. Но умный бельчонок достал всего одну шишку из одного мешка и определил, что в каком мешке лежит. Из мешка с какой табличкой он взял шишку?

Ответ: Из мешка с табличкой «Сосновые и еловые».
Решение:
Заметим, что в мешке с табличкой «Сосновые и еловые» не может быть смесь сосновых и еловых шишек, т.к. по условию все надписи ложные.
Если шишка, взятая из мешка с табличкой «Сосновые и еловые», оказалась сосновой, то в этом мешке лежат только сосновые шишки. Тогда в мешке с табличкой «Еловые» не могут лежать ни только еловые, ни только сосновые шишки, значит, там лежит их смесь. А в третьем мешке, с табличкой «Сосновые», лежат еловые шишки.
Если же шишка, взятая из мешка с табличкой «Сосновые и еловые», оказалась еловой, то в этом мешке лежат только еловые шишки. Тогда в мешке с табличкой «Сосновые» не могут лежать ни только еловые, ни только сосновые шишки, значит, там лежит их смесь. А в третьем мешке, с табличкой «Еловые», лежат сосновые шишки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Произведение всех натуральных делителей числа n (включая и само n) оканчивается ровно на 15 нулей. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться число n?
(А) 5
(Б) 4
(В) 3
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 4 класс, 2014 год

Задача:
Нашего соседа пришли поздравить с днём рождения его отец, сын и внук. Их звали Антон Сергеевич, Андрей Борисович и Сергей Никитич. Как зовут нашего соседа, если у него только один сын и нет дочерей?

Ответ: Соседа зовут Никита Андреевич.
Решение:
Поскольку поздравлять пришли сын и внук – сын сына, то отчество внука должно быть образовано от имени его отца – сына соседа. Таких только двое: Антон Сергеевич и Сергей Никитич. Следовательно, отец соседа – Андрей Борисович, а сын – Сергей Никитич. Поэтому соседа зовут Никита Андреевич.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2022 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У Михаила 5 собак: шпиц, пудель, терьер, овчарка, дог. Ему надо перевезти их через реку. Лодка вмещает Михаила и двух собак. Если собаки остаются одни на любом берегу, то некоторые дерутся: шпиц дерётся с пуделем, пудель с терьером, терьер с овчаркой, овчарка с догом. Эти пары собак нельзя оставлять вместе без хозяина. Может ли Михаил за несколько поездок на лодке перевезти всех собак?

Ответ: Да.
Решение:
Сначала Михаил перевезёт пуделя и овчарку, и оставит их на другом берегу. Потом он перевезёт шпица и дога, а пуделя и овчарку увезёт назад. После этого Михаил может перевезти терьера. Теперь на другом берегу шпиц, терьер, дог, которые не дерутся. Их можно оставить одних, и съездить за пуделем и овчаркой.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Бин и Бом решили развлечься. Бин выкладывает карточки с числами от 1 до 100 в некотором порядке, а Бом затем пытается переложить их по возрастанию. Бому разрешается поменять либо две карточки, лежащие через одну, либо две карточки, лежащие через четыре. Всегда ли Бому удастся это сделать?

Да, всегда. 123456 → 125436 → 521436 → 621435 → 126435 → 123465 — так умеем менять местами любые два соседних числа.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
В пятиэтажном доме в каждом подъезде на каждом этаже расположено по 4 квартиры. На каком этаже находится квартира с номером 71?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5

Ответ: В
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 3 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
На новогодний утренник собралось 5 детей, каждый из которых либо говорит правду, либо лжёт. Первый ребёнок сказал: «Все мы лжецы». Остальные по очереди сказали: «Все, кто говорил до меня, лжецы». Сколько правдивых детей на утреннике?

Ответ: один правдивый ребёнок (рыцарь).
Решение:
Первый не может быть рыцарем, поэтому он лжец. Значит, второй сказал правду (ведь до него говорил только лжец), второй — рыцарь. Третий, четвёртый и пятый — лжецы. Потому что до них был рыцарь.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2006 год

Задача:
Если в некотором месяце 5 суббот, то в этом месяце не может быть
(А) 5 вторников
(Б) 5 воскресений
(В) 5 четвергов
(Г) 5 понедельников
(Д) 5 пятниц

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2017 год, 2 тур

Задача:
31 января 2016 года к доктору Пилюлькину пришла толпа коротышек с жалобами на плохое самочувствие. Пилюлькин назначил всем весь февраль пить витамины – по 1 таблетке 1 раз в день. Незнайка, как всегда опоздал и пришёл к доктору только в феврале. Пилюлькин назначил со следующего дня витамины и ему тоже. Оказалось, что за февраль коротышки (включая Незнайку) съели 2017 таблеток. В какой день февраля пришёл к доктору Незнайка?

Ответ: 13 февраля
Решение:
Поскольку в феврале 2016 года 29 дней, то если вычесть таблетки, которые съел Незнайка, то остальное должно делиться на 29. Разделим 2017 на 29 с остатком. 2017 = 69⋅29+16. Значит, Незнайка пил таблетки 16 дней. Это с 14 по 29 февраля. Следовательно, он пришёл к Пилюлькину 13 февраля.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2016 год

Задача:
Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку?

Ответ: За 4 минуты.
Решение:
Первый способ.
Если Чебурашка ест вдвое медленнее Гены, то, чтобы съесть столько же торта, сколько съел Гена, ему нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Чебурашка ел в одиночку (1 минута), составляет половину всего времени, за которое Чебурашка съел половину торта. Таким образом половину торта он съел за 2 минуты, а весь торт съел бы за 4 минуты.
Второй способ.
Пусть Гена съедает весь торт за $x$ минут, тогда Чебурашке на весь торт нужно 2$x$ минут. Каждому из них досталась половина торта, то есть Гена ел 0,5$x$ минут, а Чебурашка $x$ минут. Из условия следует, что 0,5$x$ + 1 = $x$, откуда $x$ = 2. Значит, Чебурашка съест торт за 2⋅2 = 4 минуты.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2022 год

Задача:
На столе лежали ручки и карандаши (всего 7 штук) Каждый из пяти братьев взял себе 1 или 2 разных предмета. Сколько было ручек, если их было больше, чем карандашей, а самому младшему брату достался только карандаш?

Ответ: 4 ручки.
Решение:
Так каждый взял 1 или 2 предмета, то 2 предмета взяли 2 человека, а 3 человека − по 1 предмету. Если у младшего карандаш, то среди остальных шести предметов карандашей 1 или 2. Иначе их больше ручек. А так как те, ко взял 2 предмета, взяли и ручку, и карандаш, то карандашей всего было 3. Значит, ручек 4.
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2011 год

Задача:
Группа детского сада построилась парами мальчик с девочкой. Илья, идущий в паре с Юлей, насчитал впереди себя 5 мальчиков, а Юля позади себя – 4 девочки. Сколько детей в группе?

Ответ: 20 детей.
Решение:
Позади Ильи и Юли находится 4 пары детей, ведь Юля насчитала позади себя ровно 4 девочки. Но мальчики и девочки стоят парами, поэтому рядом с каждой девочкой стоит мальчик, и всего детей сзади 8. Значит, позади Ильи стоит 4 мальчика. Впереди Ильи стоит 5 мальчиков, а значит и 5 девочек – ведь в каждый мальчик держит за руку девочку. Итого – впереди 10 детей. 10 + 8 = 18 детей впереди и позади Ильи и Юли. Но есть ещё сами Илья и Юля, поэтому детей в группе 18 + 2 = 20.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап

Задача:
У Коли есть 100 монет и доска 𝑚 × 𝑛, где 𝑚 ≥ 𝑛 и 𝑚 > 1. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать 𝑚? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 5, 7, 10, 19, 20, 21.
Решение:
Предположим, что какое-то из чисел 𝑚 и 𝑛 чётно. Тогда всю доску можно разбить на прямоугольники 1 × 2. Из условия следует, что в каждом таком прямоугольнике должно оказаться 10 монет. Значит, таких прямоугольников должно быть 100 ∶ 10 = 10, а всего клеток в доске должно быть 10 ⋅ 2 = 20. В этом случае есть 3 подходящих варианта для размеров доски: 20 × 1, 10 × 2 и 5 × 4, поэтому 𝑚 может быть равно 20, 10 или 5.
Теперь рассмотрим случай, когда оба числа 𝑚 и 𝑛 нечётны. В этом случае можно разбить на прямоугольники 1 × 2 всю доску, кроме одной угловой клетки. Поскольку в каждом прямоугольнике должно быть 10 монет, а всего монет 100, то количество монет в оставшейся клетке должно делиться на 10. При этом это количество не превышает 10, так как иначе в паре этой клетки с любой из соседних получится в сумме больше 10 монет. Остаются два случая: либо в прямоугольниках разбиения суммарно находится 90 монет (т.е. прямоугольников 1 × 2 ровно 9), а в оставшейся клетке 10, либо в прямоугольниках находится суммарно 100 монет (т.е. прямоугольников 1 × 2 ровно 10), а в оставшейся клетке 0.
В первом случае в доске 19 клеток, и это возможно только в случае доски 19 × 1, поэтому в этом случае 𝑚 = 19.
Во втором случае в доске 21 клетка, и это бывает в случаях 21 × 1 и 7 × 3. Поэтому подходящие варианты для 𝑚 — это 21 и 7.
Также отметим, что все вышеописанные варианты для 𝑚 реализуемы. Для этого соответствующие доски покрасим в шахматную раскраску. Для случаев 21 × 1 и 7 × 3 рассмотрим шахматную раскраску, где углы доски белые, а для случая 19 × 1 рассмотрим раскраску, где углы чёрные. Для случаев 20 × 1, 10 × 2 и 5 × 4 можно рассмотреть любую из двух возможных раскрасок. Во всех этих шахматных раскрасках ровно 10 чёрных клеток. В каждую из них положим по 10 монет, а в каждую из белых клеток положим по 0 монет. Ясно, что все условия задачи выполняются.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
При возведении в квадрат
(А) число всегда увеличивается
(Б) число всегда уменьшается
(В) число всегда изменяется
(Г) изменяются все числа, кроме одного
(Д) изменяются все числа, кроме двух

Ответ: Д
Осенняя олимпиада «Систематики», 2 класс, 2022 год

Задача:
Царевна Лебедь, 33 богатыря и дядька Черномор решили разделить наследство (37 мешков) между собой. Богатырям досталось по 1 мешку и ещё по 2 монете, дядьке Черномору и царевне Лебедь по 1 мешку и ещё по 5 монет. Сколько монет было в каждом мешке?

Ответ: 38 монет
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2006 год

Задача:
Найдите наибольший возможный периметр равнобедренного треугольника, если длина его боковой стороны — 7 см, а длина основания равна целому числу сантиметров.
(А) 14 см
(Б) 15 см
(В) 21 см
(Г) 27 см
(Д) 28 см

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Два туриста вышли одновременно из села A в село B. Когда первый турист прошёл половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошёл половину пути, первому осталось пройти 15 км. Каково расстояние между A и B?
(А) 12 км
(Б) 36 км
(В) 40 км
(Г) 46 км
(Д) невозможно определить

Ответ: (В) 40 км
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
200 × 9 + 200 + 9 = ?
(А) 418
(Б) 1909
(В) 2009
(Г) 4018
(Д) 20009

Ответ: В
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 8 тур

Задача:
Натуральные числа от 1 до 40 000 выписаны по порядку: 1234567891011 . . . 40000. Сколько раз в этой последовательности цифр встречается комбинация 2018 (именно в этом порядке)?

Рассмотрим случаи, как могла возникнуть комбинация 2018.
1. 2018 полностью входит в число, тогда она либо является концом числа (2018, 12018, 22018, 32018 — 4 варианта), либо началом пятизначного числа (2018. . . — 10 вариантов).
2. 201 — конец предыдущего числа, 8 — начало следующего, что возможно только для соседних четырёхзначных чисел 8201 и 8202, т. к. пятизначных чисел, начинающихся с 8, у нас нет (1 вариант).
3. 20 — конец предыдущего числа, 18 — начало следующего, тогда либо это соседние четырёхзначные числа 1820 и 1821 (1 вариант), либо соседние пятизначные 18. . . 20 и 18. . . 21 (10 вариантов).
4. 2 — конец предыдущего числа, 018 — начало следующего, что невозможно.

Всего получаем 4+10+1+1+10=26 вариантов.
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Юный химик Миша из цистерны объёмом 1000 литров, наполненной водным раствором некоторого вещества, вылил несколько литров жидкости, долил цистерну водой, потом вылил в два раза большее количество жидкости и опять долил цистерну водой. После этого оказалось, что количество вещества в цистерне уменьшилось в 25/3 раза. Сколько литров жидкости вылил Миша в первый раз?

Ответ: 400 литров.
Олимпиада «Осенний Олимп», 3 класс, 2017 год, 1 тур

Задача:
Ефим, Зиновий и Лавр живут в избах на опушке леса. Зиновий и Ефим любят квас, а Лавр — нет.
- Житель первой избы сказал: Я люблю пить квас.
- Житель второй избы сказал остальным: Вы оба любите пить квас.
- Житель третьей избы сказал: Я не Ефим.

Известно, что только один из жителей сказал правду. Кто в какой избе живёт? В каждом из ответов нужно указать букву из набора Е, 3, Л.

Рассмотрим все шесть вариантов расположения Ефима, Зиновия и Лавра. Для каждого из вариантов определим истинность их высказываний.
Для варианта ЕЗЛ истинны первое и третье высказывания.
Для варианта ЕЛЗ истинны все три высказывания.
Для варианта ЗЕЛ истинны первое и третье высказывания.
Для варианта ЗЛЕ истинны первое и второе высказывания.
Для варианта ЛЕЗ истинно третье высказывания.
Для варианта ЛЗЕ ни одно высказывание не истинно.
Ответ: ЛЕЗ.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Коля весь день либо говорит только правду, либо только лжёт. В один день он сказал ровно четыре из пяти представленных ниже фраз. Какую фразу он не мог сказать в тот день?
(А) Я лгал вчера и буду лгать завтра
(Б) Я говорю правду сегодня и буду говорить правду завтра
(В) 2024 делится на 11
(Г) Вчера была среда
(Д) Завтра будет суббота

Ответ: В
Решение:
Утверждение Б может сказать только человек, который лжёт в этот день. Глядя на утверждения Г и Д, они не могут оба быть истинными одновременно. Таким образом, у нас есть как минимум два утверждения, которые являются ложью. Это означает, что Коля сегодня лжёт, поэтому он не мог сказать утверждение В.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчонок ест грибы и орехи. Один орех и два гриба он съедает за 4 минуты, а два ореха и один гриб — за 5 минут. Сколько минут понадобится бельчонку, чтобы съесть пять грибов и четыре ореха?

Ответ: 13 минут.
Решение:
Г(риб)О(рех)Г(риб) бельчонок съедает за 4 минуты, а ОГО — за 5 минут. Пять грибов и четыре ореха можно разбить на три блока: (ГОГ)(ОГО)(ГОГ). Откуда получаем необходимое время для съедания 4 + 5 + 4 = 13 минут.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 3 тур

Задача:
Перед Новым Годом в Простоквашино Дядя Фёдор, Шарик, Матроскин и почтальон Печкин собрались идти за ёлкой. Поскольку никто не хотел, то устроили тайное голосование: каждый написал на бумажке одно имя (но не своё). За кого проголосуют больше всех, тот и пойдёт. В результате за ёлкой пошёл Дядя Фёдор. Чтобы подбодрить его, Печкин сказал, что он голосовал за Матроскина. После чего Дядя Фёдор сделал вывод, что Печкин лжёт. За кого голосовал Дядя Фёдор?

Решение:
Предположим, что Печкин голосовал за Матроскина. Тогда большинство за Фёдора могло получиться только, если Шарик и Матроскин проголосовали за Фёдора, то есть большинство – это 2 голоса. Но тогда если Фёдор не голосовал за Матроскина, то уличить Печкина во лжи он бы не мог (вариант: 1 голос за Печкина, 1 голос за Матроскина и 2 – за Фёдора реализуем). Следовательно, Фёдор голосовал за Матроскина.
Замечание 1: Утверждение, что большинство – обязательно три голоса – неверно!
Замечание 2: Если школьник утверждает, что Фёдор голосовал за Матроскина и этот вариант проходит, то это ещё не полное решение! Необходимо проверить, что другие варианты не подходят.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Если $х^2 + у^2 = 2ху$, причём $у ≠ 0$, то отношение $\displaystyle \frac{x}{y}$ равно:
(А) 4
(Б) 2
(В) 1
(Г) − 1
(Д) − 2

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
Дети во дворе разделились на две равные команды. Оказалось, что в каждой команде девочек столько же, сколько мальчиков. После игры несколько ребят ушли домой, и во дворе остались 5 девочек и 4 мальчика. Сколько детей могло уйти домой?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6

Ответ: (Б) 3 детей
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2005 год

Задача:
Если х – квадрат натурального числа, то следующий квадрат натурального числа – это:
(А) х + 1
(Б) х^2 + 1
(В) х^2 + 2х + 1
(Г) х^2 + х
(Д) x + 2√x + 1

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
Сумма числителя и знаменателя дроби равна 2005, а после сокращения этой дроби получилось число 400. Тогда сумма цифр числителя первоначальной дроби равна
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 8

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2018 год

Задача:
Три пустые корзины для фруктов стоят в ряд. Даша кладёт яблоки по одному в корзины в таком порядке: первая, вторая, третья, вторая, первая, вторая, третья, вторая, первая и т. д. Она закончит, когда во второй корзине окажется 13 яблок. В какой из двух корзин, первой или третьей, окажется больше яблок? Ответ нужно обосновать.

Ответ: в первой корзине яблок больше.
Решение:
Разобьём все действия Даши на пары следующим образом:
- она кладёт по яблоку в первую и во вторую корзины;
- кладёт по яблоку в третью и во вторую корзины;
- кладёт по яблоку в первую и во вторую корзины;
- кладёт по яблоку в третью и во вторую корзины
- и так далее.

Каждая такая пара действий заканчивается тем, что Даша кладёт яблоко во вторую корзину. Таким образом, будет совершенно ровно 13 пар действий. Это означает, что в первой корзине окажется 7 яблок, а во второй — 6 яблок.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 4 класс, 2018 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Мёба посчитал сумму цифр, с помощью которых записывается сегодняшняя дата: 18.02.2018 (1 + 8 + 0 + 2 + 2 + 0 + 1 + 8). Сколько в этом году дат с такой же суммой цифр?

Раз нужно найти даты в том же году, то будем рассматривать только цифры дня и месяца, их сумма равна 1 + 8 + 0 + 2 = 11. Аккуратно переберём даты по месяцам.
- В январе и в октябре таких дат только по две: 19.01, 28.01 и 19.10, 28.10.
- Далее в июле и в августе подходящих дат по четыре: 4.07, 13.07, 22.07, 31.07 и 3.08, 12.08, 21.08, 30.08.
- А в остальных месяцах по 3.

Всего 2 · 2 + 2 · 4 + 8 · 3 = 36.