d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2017 год

Задача:
В очереди за мороженым стоят Маша, Катя, Тихон, Егор и Света. Известно, что Егор стоит впереди Тихона, а Катя позади Маши и впереди Светы. Каков порядок детей в очереди, если никакие две девочки не стоят рядом?

Ответ: Маша, Егор, Катя, Тихон, Света.
Решение:
Если попросить мальчиков отойти в сторону, оставшиеся в очереди девочки будут стоять так: Маша, за ней Катя, затем Света. Так как девочки не должны стоять рядом, между ними стояли мальчики. Попросим мальчиков вернуться на свои места. Егор должен встать перед Тихоном, значит, между Машей и Катей. Тихон, следовательно, между Катей и Светой.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 1 тур

Задача:
В одной комнате собралось больше 20 человек, каждый рыцарь или лжец. Все люди произнесли фразу: «Среди всех остальных, не считая меня, не больше пяти рыцарей и не меньше десяти лжецов». Сколько рыцарей могло находиться в комнате? (Рыцари всегда говорят только правду, лжецы всегда врут.)

Предположим, что среди людей есть как рыцари, так и лжецы. Тогда для рыцаря фраза должна быть верной, значит, всего рыцарей не больше 6, тогда лжецов хотя бы 15. Значит, для лжеца часть фразы «. . . не меньше десяти лжецов» верна, поэтому не верна должна быть часть «не больше пяти рыцарей», откуда рыцарей ровно 6, и такой случай действительно возможен. Если нет рыцарей, то лжецов больше 20 и все они говорят правду. Если нет лжецов, то рыцарей больше 20 и все они говорят неправду, оба этих случая невозможны.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2020-2021 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Бельчата Даша и Катя собирали орехи в лесу. Даша нашла на 18 орехов больше, чем половина орехов, которые нашла Катя. Утроенное количество орехов, найденных Катей, на 8 больше, чем удвоенное количество орехов, найденных Дашей. Сколько орехов в сумме нашли Даша и Катя?

Ответ: 51 орех.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
Коля обвёл на глобусе красной краской экватор и ещё две окружности, проходящие через нулевой и 90-й меридианы. Муха села в точку пересечения двух красных окружностей и поползла по одной из них. В ближайшей точке пересечения двух окружностей она повернула направо, потом (в следующей точке пересечения) налево, потом опять направо, и т.д., пока не вернулась в исходную точку. Сколько поворотов сделала муха?
(А) 12
(Б) 10
(В) 8
(Г) 7
(Д) 5

Ответ: Д
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Решите ребус: БОИ + БЛИЦ = ПАУЗА (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Б = 9, А = 0, тогда рассмотрим подходящие варианты И + Ц: 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 6 + 4, 7 + 3 и 8 + 2.
1. 2 + 8: 9О2 + 9Л28 = 10УЗ0, если О = 3, то З = 6 и небольшим перебором буквы Л находим решение 932 + 9528 = 10460; О = 4, то З = 7 и перебором находим решение 942 + 9628 = 10570; О = 5, 6 или 7, то З = 8, 9 или 0 — противоречие.
2. 3 + 7: 9О3 + 9Л37 = 10УЗ0, если О = 2, то З = 6 и находим решение 923 + 9537 = 10460; О = 4, то З = 8 и находим решение 943 + 9637 = 10580; О = 5 или 6, то З = 9 или 0 — противоречие; О = 8, то З = 2 и произойдёт переход через десяток в разряде сотен, но т. к. БОИ начинается с 9, то Л будет равно У — противоречие. (∗)
3. 4 + 6: 9О4 + 9Л46 = 10УЗ0, если О = 2, то З = 7 нет решений (перебор); О = 3, то З = 8 тоже нет решений (перебор); О = 5, то З = 0 — противоречие; О = 7, то З = 2 и аналогично (∗).
4. 6 + 4: 9О6 + 9Л64 = 10УЗ0, если О = 2 или 2, то З = 9 или 0 — противоречие; О = 5, 7 или 8, то аналогично (∗).
5. 7 + 3 и 8 + 2, если О > 1, то аналогично (∗).

Ответ: 932 + 9528 = 10460, 942 + 9628 = 10570, 923 + 9537 = 10460, 943 + 9637 = 10580.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2020 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Встретились трое бельчат Катя, Лена и Таня.
- «A люблю фундук», — сказала Катя.
- «Нет, это я люблю фундук. Ты любишь миндаль», — сказала Лена.
- «А я не люблю фундук», — сказала Таня.

Известно, что каждый орех кто-то любит, и никто из бельчат не любит оба ореха одновременно. Кто из бельчат любит миндаль, а кто любит фундук, если все сказали неправду?

Ответ: Фундук любит Таня, миндаль любит Лена.
Решение:
Все бельчата сказали неправду. Поэтому, раз Таня сказала, что не любит фундук, то это значит, что она его наоборот, любит. Катя сказала: «Я люблю фундук». Значит, Катя не любит фундук. А так как Лена сказала, что Катя любит миндаль, то миндаль Катя тоже не любит. То есть Катя не любит ни фундук, ни миндаль. Но так как никто не любит два ореха сразу, то Таня не любит миндаль. А так как каждый орех кто-то любит, то любителем миндаля может быть только Лена, так как ни Катя, ни Таня миндаль не любят.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Когда бочка пуста на 30%, она содержит на 30 литров больше мёда, чем когда она полна на 30%. Сколько литров мёда в полной бочке?
(А) 60
(Б) 75
(В) 90
(Г) 100
(Д) 120

Ответ: Б
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Клара посчитала сумму цифр, с помощью которых записывается сегодняшняя дата: 28.10.2018. Сколько в этом году дат с такой же суммой цифр?

В течение года сумма цифр года не изменяется, поэтому будем рассматривать только месяцы и дни, т.е. с суммой цифр — 11. Можно заметить, что в январе и в октябре таких дат только две: 19.01 и 28.01, 19.10 и 28.10. Далее в июле и в августе подходящих дат по четыре: 4.07, 13.07, 22.07 и 31.07, 3.08, 12.08, 21.08 и 30.08. А в остальных месяцах по 3. Всего 2 · 2 + 4 · 2 + 8 · 3 = 36.
Осенняя олимпиада «Систематики», 1 класс, 2022 год

Задача:
Чебурашка зашифровал слово КАРТА. Разные буквы он заменил на разные цифры, а одинаковые буквы он заменил на одинаковые цифры. Что у него могло получиться?
(А) 12321
(Б) 12345
(В) 12342
(Г) 12312
(Д) 12343

(В) 12342
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Решая одну из задач конкурса «Кенгуру», Коля обнаружил следующее: если ответ А верен, то и ответ В тоже верен; если ответ С неверен, то и ответ В неверен; если ответ В неверен, то оба ответа D и Е неверны. Как обычно, верен только один из ответов к задаче. Какой?
(А) А
(Б) В
(В) С
(Г) D
(Д) Е

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2004 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он терпеливо выписал все натуральные числа, меньшие миллиона, у которых сумма цифр равна количеству слов, используемых при словесной записи этого числа. Например, для числа 1001 (тысяча один) сумма цифр и количество слов равны двум. Чему равна сумма цифр последнего выписанного им числа?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2014 год

Задача:
На столе в ряд выложено 9 фишек, каждая фишка с одной стороны красная, а с другой – синяя. Сначала все фишки лежали красной стороной вверх. Аня перевернула первую фишку один раз, вторую – два раза, третью – три, и так далее. Сколько фишек будет теперь лежать синей стороной вверх?
(А) 5
(Б) 4
(В) 3
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: 5
Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2019 год, 1 тур, 1 вариант

Задача:
Пираты Джон и Бен покупали новую пушку для своего корабля. Каждый из них для этого взял из общего сундука по несколько золотых монет. Известно, что:
- Если к золоту, принесенному Джоном, добавить 4 монеты, то будет на 18 монет больше, чем стоит пушка.
- Если к золоту, принесенному Беном, добавить 2 монеты, то для покупки пушки не хватит ещё одной монеты.

Всего же Джон и Бен вдвоём взяли золота ровно столько, сколько нужно для покупки трёх таких пушек.
Сколько стоит одна пушка?

Пусть пушка стоит x монет. Тогда у Джона х + 18 − 4 = х + 14 монет. А у Бена х − 1 − 2 = x − 3 монет.
Суммарно у них 2x + 11 монет, что по условию равно 3х = 2х + x. Получаем х = 11.
Ответ: 11 монет стоит пушка.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2020 год

Задача:
Сейчас идёт 2020 год. В записи этого числа только две разные разные цифры: 0 и 2. Следующий год, в записи которого будут только нули и двойки, – это
(А) 2002
(Б) 2022
(В) 2200
(Г) 2202
(Д) 2220

2022
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?

Ответ: да.
Решение:
Например, $\displaystyle \frac{1}{200}<\frac{2}{300}$. Есть и много других примеров.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 2 тур

Задача:
Тётя Груша продаёт кабачки. Три кабачка она продаёт за 5 долларов, четыре кабачка – за 6 долларов, а пять кабачков – за 7 долларов. Ни в каком другом количестве тётя Груша кабачки не продаёт. Вчера она продала 100 кабачков и выручила за них 160 долларов. Сколько продаж совершила вчера тётя Груша?

Ответ: 30.
Решение:
Будем считать, что по доллару с продажи каждого кабачка тётя Груша кладёт в фартук, а остальное (получается как раз 2 доллара с каждой продажи) – в карман. Тогда в конце дня в фартуке окажется 100 долларов. Значит, в кармане окажется 160−100 = 60 долларов, а раз с каждой продажи в карман шло по 2 доллара, то продаж было 30.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2008 год

Задача:
После того, как бегун пробежал треть всей дистанции и ещё 400 м, ему осталось пробежать ещё треть пути и ещё 200 м. Чему равна длина дистанции?
(А) 600 м
(Б) 800 м
(В) 1 200 м
(Г) 1 600 м
(Д) 1 800 м

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2011 год

Задача:
Каково наибольшее количество последовательных трёхзначных чисел, каждое из которых имеет хотя бы одну нечётную цифру?
(А) 1
(Б) 10
(В) 110
(Г) 111
(Д) 121

Ответ: (Г) 111
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Про число a известно, что его последняя цифра равна 1, и что оно делится ровно на десять различных чисел (включая 1 и a). На сколько различных чисел делится число 10a?
(А) 20
(Б) 30
(В) 40
(Г) 50
(Д) 100

В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
В ряд стоят три коробки, в каждой по 11 конфет. Я беру по одной конфете из каждой коробки в таком порядке: левая, центральная, правая, центральная, левая, центральная, и так далее до тех пор, пока в центральной коробке не закончатся конфеты. В одной из двух крайних коробок осталось больше конфет. Сколько?
(А) 1
(Б) 2
(В) 5
(Г) 6
(Д) 11

Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2014 год

Задача:
Как в математике называется число, которое вычитают?
(А) вычтенное
(Б) вычитуемое
(В) вычитываемое
(Г) вычитающееся
(Д) вычитаемое

Ответ: (Д) вычитаемое
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2001 год

Задача:
Катя написала фразу «Я люблю решать задачи», подсчитала количество букв в каждом слове и перемножила полученные числа. Какой результат должен был получиться?
(А) 18
(Б) 30
(В) 36
(Г) 150
(Д) 180

Д
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 2 класс, 2023 год

Задача:
Один Пузан весит как пять Карапузов, а Карапуз как две Малявки. Одна Малявка весит 5 кг и ещё половину Малявки. Сколько килограммов весит Пузан?

Ответ: 100 кг.
Решение:
Половина Малявки — это 5 кг, тогда вся Малявка весит 10 кг. Карапуз весит 10 + 10 = 20 кг, тогда Пузан весит 20 ⋅ 5 = 100 кг.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Часы лежат на столе циферблатом вверх. Минутная стрелка сейчас указывает на юго-восток. Через сколько минут она будет указывать на северо-восток?
(А) 15
(Б) 20
(В) 30
(Г) 40
(Д) 45

Ответ: Д
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Окружности радиусов 3 см и 5 см расположены так, что у них ровно три общие касательные. Тогда расстояние между центрами окружностей
(А) меньше 2 см
(Б) равно 2 см
(В) равно 4 см
(Г) равно 8 см
(Д) больше 8 см

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2008 год

Задача:
Гоша выше Бориса, но ниже Антона. Витя выше Димы, но ниже Гоши. Кто из мальчиков самый высокий?
(А) Антон
(Б) Борис
(В) Витя
(Г) Гоша
(Д) Дима

Ответ: А
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2008 год, 1 тур

Задача:
Встретились три мальчика: Вася, Лёша и Миша. Вася сказал: «Мы все лжецы». Лёша сказал: «Мы все всегда говорим правду». А Миша промолчал. Сколько лжецов среди ребят?

Ответ: два.
Решение:
Утверждение Васи не может быть верно, так как если все лжецы, то Вася должен лгать, а он сказал правду. Значит, говорящий правду точно есть. И лжец тоже есть (Вася) Тогда утверждение Лёши тоже неверно. Следовательно, два лжеца точно есть (Вася и Лёша). Тогда Миша – не лжец.
Олимпиада «Бельчонок», 2 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Бельчонок прыгает на 4 метра вперёд, потом на метр назад, потом опять на 4 метра вперёд, потом на метр назад, и так далее. Сколько прыжков он должен сделать, чтобы впервые оказаться на расстоянии не меньше 25 метров от начала?

Ответ: 15 прыжков.
Решение:
После первой пары прыжков бельчонок продвигается на 3 метра от начала, после второй пары прыжков – на 6 метров, после третьей – на 9, ..., после седьмой – на 21 метр. Потом бельчонок прыгает на 4 метра вперёд, и оказывается на расстоянии ровно 25 метров от начала. Прыжков он сделал 14 + 1 = 15.
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 1 тур

Задача:
Каждое утро Катерина выпивает чашечку кофе по одной и той же цене в одной и той же кофейне. Чашечка кофе стоит целое число рублей. Известно, что 1000 рублей хватает на 27 чашечек, а 1400 не хватает на 38 чашечек. Сколько может стоить чашечка кофе?

Если тысячи рублей хватает на 27 чашек, то чашка стоит не более чем на 1000 : 27 = 37 рублей (ост. 1). Предположим, чашка стоит 36 рублей и менее. Тогда 38 чашек стоят не более 36 · 38 = 1368 рублей. Тогда 1400 рублей бы хватило на 38 чашек, противоречие. Значит, чашка может стоить только 37 рублей.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 1 тур

Задача:
Найдите такое число, что если его треть умножить на его пятую часть, то получится само это число.

Ответ: 15.
Решение:
Пусть искомое число равно Х. Тогда (Х/3)⋅(Х/5)=Х, то есть Х/15=1.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
Есть четыре карточки с надписями: «делится на 7», «простое», «нечётное» и «больше 100». На другой стороне карточек написаны числа 2, 5, 7 и 12. Для любой карточки число, написанное на ней, не обладает свойством, написанным на её обороте. Какое число написано на карточке с надписью «делится на 7»?
(А) 2
(Б) 5
(В) 7
(Г) 12
(Д) невозможно определить

Ответ: Б
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На трёх полках было 42 книги. Когда с первой полки сняли 6 книг, а со второй на третью полку переставили 4 книги, на всех полках стало поровну. Сколько книг было первоначально на третьей полке?

Ответ: 8 книг.
Решение:
42 − 6 = 36 (книг) – стало
Ha всех трёх полках 36 : 3 = 12 (книг) – стало на каждой из трёх полок
12 − 4 = 8 (книг) – было первоначально на третьей полке
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Царь Кащей подобрел и решил потратить 50 золотых монет на подарки детям. В сундуке у него хранится 5 ларцов, в каждом ларце по 3 шкатулки, а в каждой шкатулке по 10 золотых монет. Сундук, ларцы и шкатулки заперты на замки. Какое наименьшее число замков потребуется открыть Кащею, чтобы достать 50 монет?
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2019 год

Задача:
Винни-Пух написал на листе бумаге двузначное число. Мудрая Сова, посмотрев на листок, сказала, если к этому числу прибавить 3, то получится двузначное число, а если прибавить 9, то трёхзначное. Потом Сова заметила, что если число десятков разделить на число единиц, то получится однозначное число без остатка. Что за число написал Винни-Пух?
Комментарий: если вариантов несколько, нужно указать их все.

Ответ: 91 или 93.
Решение:
Если после прибавление 9 двузначное число становится трёхзначным, то это значит, что исходное число не меньше 91. Если после прибавления 3 число по-прежнему остаётся двухзначным, то оно не больше 96. Таким образом, остались варианты 91, 92, 93, 94, 95 и 96. Поскольку число десятков можно разделить без остатка на число единиц, то это может быть только 91 (9 делится на 1) или 93 (9 делится на 3).
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2022 год

Задача:
У мамы с папой есть двое детей: Коля и Таня. Папа старше мамы на 4 года. Коля тоже старше Тани на 4 года и вдвое младше папы. Сколько лет каждому из них, если суммарный возраст всех членов семьи составляет 130 лет?

Ответ: Тане 19 лет, Коле 23 года, маме 42 года, папе 46 лет.
Решение:
Мысленно увеличим возраст мамы и Тани на 4 года. Тогда возраст у двух членов семьи будет равен возрасту папы, ещё у двух — половинке возраста папы. Тогда суммарный возраст всех членов семьи равен 130 + 4 + 4 = 138 лет, и он должен быть равен утроенному возрасту папы. Следовательно, папе должно быть 138 ∶ 3 = 46 лет. Отсюда легко понять, что маме 46 − 4 = 42 года, Коле 46 ∶ 2 = 23 года, а Тане 23 − 4 = 19 лет.
Олимпиада начальной школы 2x2, 6 класс, 2011 год, 2 тур

Задача:
Когда троллейбус выехал из автобусно-троллейбусного парка, то троллейбусов в парке осталось 1/4 от всего транспорта в нём. Но когда троллейбус вернулся в парк, троллейбусы стали составлять уже треть всего транспорта. Сколько автобусов было в парке, если известно, что пока троллейбус следовал по маршруту, ни один автобус и ни один троллейбус не выехал и не въехал в парк?

Ответ: 6.
Решение:
Все троллейбусы без выехавшего составляют треть количества, автобусов. А все троллейбусы составляют половину всех автобусов. Тогда один троллейбус составляет 1/2 − 1/3 = 1/6 от количества автобусов. Значит автобусов было 6.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
В некотором уезде живут купцы и разбойники. Купцы всегда говорят правду, а разбойники всегда лгут. Однажды за круглым столом собралась компания из 25 жителей, каждый из них сказал: «У меня есть сосед разбойник». Какое наименьшее число разбойников может быть среди этих 25 жителей?

Ответ: 9.
Решение:
Заметим, что три купца не могут сидеть рядом, так как в этом случае средний купец соглал бы. Значит, среди любых трёх сидящих подряд человек есть разбойник. Возьмем какого-нибудь разбойника, а остальных 24 человек разобьём на 24 тройки сидящих рядом. Так как в каждой тройке есть хотя бы один разбойник, общее число разбойников в круге не меньше 1 + 8 = 9. Ровно 9 разбойников могут сидеть, например, так:
−Р(КРК)(КРК) … (КРК)−
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2018 год, первая лига

Задача:
Бабушка любит мороженое с ягодами. Она отправила в огород трёх своих внучек собирать смородину, крыжовник и малину. Одна девочка собирала в корзинку, другая в бидон, третья – в стакан. Известно, что в стакан собирала старшая внучка, бидон наполнялся смородиной, а средняя внучка собирала не малину и не в бидон. Какая внучка и в какую посуду собирала крыжовник?

Ответ: Старшая ‒ малину в стакан, средняя ‒ крыжовник в корзинку, младшая ‒ смородину в бидон.
Решение:
Из условия известно, что смородину складывают в бидон и старшая внучка собирает в стакан. Поскольку средняя внучка собирает не в бидон, а стакан уже занят старшей, то средняя внучка собирала в корзинку. Тогда младшая складывала собранное в бидон. Нам уже известно, что смородина находится в бидоне. Тогда мы знаем все про младшую, она собирала смородину в бидон. Еще известно, что средняя собирала не малину, смородина уже занята, значит, у средней крыжовник находится в корзине, а старшей осталась малина в стакане.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2020 год, 2 этап

Задача:
Петя записал на доску 20 натуральных чисел 1, 2, …, 20. Вася сначала стёр все чётные числа, а затем стёр все числа, дающие остаток 4 при делении на 5. Сколько чисел осталось на доске?

Ответ: 8 чисел осталось.
Решение:
После того, как стёрли все чётные числа, на доске остались 10 чисел:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Среди них ровно два дают остаток 4 при делении на 5 — это 9 и 19. После того как и их стёрли, на доске осталось 8 чисел.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2009 год

Задача:
На выборах мэра Цветочного города выдвинуто две кандидатуры: Знайка и Незнайка. Когда избирательная комиссия обработала n% всех бюллетеней, оказалось, что Знайка получил 62% голосов, а Незнайка — 38% (от обработанных бюллетеней). При каком наименьшем натуральном значении n можно быть уверенным, что Знайка набрал больше половины всех голосов, если недействительных бюллетеней нет?
(А) 79
(Б) 80
(В) 81
(Г) 82
(Д) 83

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2005 год

Задача:
Назовем длиной натурального числа n количество сомножителей в разложении n на простые множители. Например, длина числа 90 равна 4, так как 90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5. Сколько нечётных чисел, меньших 100, имеют длину 3?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 6
(Д) 7

Ответ: В
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
У Леонардо есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную мельницу, из 7 дощечек — пароход, из 14 дощечек — самолёт. Самолет стоит 19 золотых, пароход — 8 золотых, мельница — 6 золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать Леонардо?

На один самолёт идут те же 14 дощечек, что и на два парохода, но самолёт приносит больший доход. Поэтому не имеет смысла делать более одного парохода. Из 15 дощечек можно сделать три мельницы (доход 18 золотых) или самолёт (доход 19 золотых, а лишняя дощечка не повредит). Поэтому имеет смысл делать не более двух мельниц. Значит, на пароходы и мельницы папе Карло следует потратить не более 7 + 2 · 5 = 17 дощечек. Поэтому самолётов надо сделать 8 или 9. Во втором случае мы получим только 9 самолётов, в первом помимо 8 самолётов дощечек хватит ещё на две мельницы и пароход (что стоит дороже самолёта). Итого папа Карло заработает 8 · 19 + 2 · 6 + 8 = 172 золотых.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2003 год

Задача:
На плоскости отметили 10 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Каждые две точки соединили отрезком. Какое наибольшее число этих отрезков может пересечь прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек?
(А) 20
(Б) 25
(В) 30
(Г) 35
(Д) 45

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Ответ: 42 точки.
Решение:
Пронумеруем прямые так, чтобы именно прямые 1, 2 и 3 пересекались в одной точке (эту точку обозначим за $X$). Выпишем всевозможные пары прямых (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, . . ., 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и их точки пересечения. Всего пар прямых 45 (пар вида 1 и $l$ ровно 9, пар вида 2 и $l$ ровно 8 и так далее; 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45). По условию ровно две прямые параллельны. Значит, всего будет выписано 44 точки пересечения. При этом все точки пересечения прямых кроме $X$ будут выписаны ровно по одному разу, а точка $X$ появится трижды: для пар прямых 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Сотрём из списка точек пересечения две лишние буквы $X$. Останутся ровно 42 точки, и на этот раз все точки пересечения будут посчитаны ровно по одному разу.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 4 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
Вова, Егор, Маша и Ника делили апельсин. Егору досталось вдвое больше долек, чем Маше, Маше — впятеро меньше, чем Нике, а Нике — на 8 долек больше, чем Маше. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Вове досталась только кожура.

Ответ: 16 долек.
Решение:
Пусть Маше досталась одна «часть», тогда Нике 5 «частей». У Ники на 4 «части» больше и на 8 долек больше. Значит, одна «часть» — это 8 : 4 = 2 дольки, и у Маши 2 дольки. У Ники тогда 5 х 2 = 10 долек. А у Егора 2 х 2 = 4 дольки. Всего долек 2 + 10 + 4 = 16.