d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Квадратный трёхчлен $x^2 + u x − v$ имеет различные ненулевые корни $p$ и $q$, а квадратный трёхчлен $x^2 + p x − q$ – различные ненулевые корни $u$ и $v$. Найдите всевозможные значения $p$, $q$, $u$ и $v$.

Ответ: $p = −1$, $q = 2$, $u = −1$, $v = 2$.
Решение:
Применив к обоим уравнениям теорему Виета, составим систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l} p + q = − u, \\ u + v = − p, \\ p q = − v, \\ u v = − q . \end{array}\right. $$
Вычитая из первого уравнения второе, после сокращения получаем: $q = v$. Подставив $q$ вместо $v$ в третье и четвёртое уравнения и сократив на $q \neq 0$, получаем, что $p = u = − 1$. Теперь из первых двух уравнений находим $q = v = 2$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
На день рождения Васи мама испекла два торта. Каждый из них она разделила на четыре части. Потом каждую из получившихся частей разделила ещё на три кусочка. Каждый из гостей получил по кусочку, один кусочек съел Вася, и ещё осталось два кусочка. Сколько гостей было на дне рождения у Васи?
(А) 27
(Б) 24
(В) 22
(Г) 21
(Д) 13

Ответ: Г
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2016 год, первая лига

Задача:
У 6 детей спросили, сколько гирлянд висит на ёлке. Получили такие ответы:
- первый: больше одной,
- второй: больше двух,
- третий: больше трёх,
- четвёртый: больше четырёх,
- пятый: меньше четырёх,
- шестой: меньше трёх.

Сколько гирлянд могло быть на ёлке, если ровно половина детей сказала правду? Найдите все варианты!

Ответ: 2, 3 или 4
Решение:
Рассмотрим, какое количество правдивых ответов при разных количествах гирлянд. Если будет 0 или 1 гирлянда, то правду скажут 2 (5 и 6). Если 2 гирлянды, то 3 (1,5,6). Если 3, то 3 (1,2,5). Если 4, то 3 (1,2,3). Если 5 и более, то 4 (1,2,3,4). Отсюда видим что подходят варианты 2, 3 или 4 гирлянды.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год

Задача:
Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.

Ответ: 4 км.
Решение:
Расстояние между серединами крайних частей складывается из половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Таким образом, длина среднего участка = 16 ⋅ 2 − 28 = 4.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Отцу сейчас 33 года, а его трём сыновьям 5, 6 и 10 лет. Через сколько лет трём сыновьям вместе будет столько же лет, сколько будет отцу?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2024 год

Задача:
Пингвин каждый день ходит на рыбалку и приносит 9 рыб для своих двух птенцов. Каждый день он даёт первому увиденному птенцу 5 рыб, а второму – 4 рыбы. Пингвинята съедают сразу всех рыб. За последние несколько дней один птенец съел 26 рыб. Сколько рыб съел за эти дни другой птенец?
(А) 19
(Б) 22
(В) 25
(Г) 28
(Д) 31

Ответ: Г
Решение:
Чтобы съесть 26 рыб, первый птенец должен был съесть 4 рыбы четыре раза и 5 рыб два раза. Следовательно, второй птенец должен был съесть 5 рыб четыре раза и 4 рыбы два раза. Всего он съел 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 = 28 рыб.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2022 год, первая лига

Задача:
35 ребят смотрели новогодний спектакль. От радости они вопили и топали ногами. 27 ребят топали, 18 громко вопили. Сколько ребят и вопили, и топали, если трое очень вежливых детей не делали ни того ни другого?

Ответ: 13 ребят.
Решение:
Всего 35 - 3 = 32 ребёнка шумно радовались. Из условия получаем: (27 + 18) - 32 = 45 - 32 = 13 ребят одновременно и вопят, и топают.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
В мешке лежат 900 орехов. К ним прикреплены бумажки с номерами от 100 до 999. Шестиклассница Света берет из мешка вслепую несколько орехов и считает сумму цифр на номере каждого из них. Какое наименьшее количество орехов придётся взять Свете, чтобы в любом случае хотя бы три ореха имели номера с одинаковой суммой цифр?

Ответ: 53 ореха.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
На столе лежали тетради. Оля взяла половину всех тетрадей и ещё 2 тетради, Коля взял треть остатка, и на столе осталось 2 тетради. Сколько тетрадей взяла Оля?

Ответ: 7 тетрадей.
Решение:
Две трети остатка – это 2 тетради, значит, треть остатка – 1 тетрадь.
Половина всех тетрадей: 2 + 1 + 1 + 1 = 5.
Оля взяла 5 + 2 = 7 тетрадей.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2023 год

Задача:
Соня и Рита играют в игру. Они могут поочерёдно убирать 1, 2, 3, 4 или 5 плиток из стопки плиток. Тот, кто уберёт последнюю плитку или плитки, проигрывает. В какой-то момент игры в стопке осталось 10 плиток, и настала очередь Сони убирать плитки. Сколько плиток Соня должна оставить Рите, чтобы быть уверенной в своей победе?
(А) 9
(Б) 8
(В) 7
(Г) 6
(Д) 5

Ответ: В
Решение:
Если у игрока останется 1 плитка, этот игрок проиграет. Если у игрока останется 2, 3, 4, 5 или 6 плиток, этот игрок может оставить 1 плитку противнику и выиграет. Если у игрока останется 7 плиток, то сколько бы плиток (от 1 до 5) он ни убрал, у его противника останется больше 1-й плитки (от 6 до 2), следовательно, когда следующим ходом противник оставит ему 1 плитку, этот игрок проиграет. Если у игрока осталось 8, 9 или 10 (как в условии) плиток, этот игрок может оставить 7 плиток противнику, и таким образом и выиграть. Поэтому Соня должна оставить Рите 7 плиток.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2013 год

Задача:
Урок во втором классе длится 40 минут, а перемена — 10 минут. Сколько минут проходит от середины первого урока до середины второго?
(А) 20
(Б) 30
(В) 40
(Г) 50
(Д) 55

Ответ: (Г) 50 минут
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2013 год

Задача:
Вася задумал два числа (необязательно целые). Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{2}$, $-1$.
Решение:
Обозначим числа $x$ и $y$. Тогда по условию задачи: $\displaystyle x + y = xy = \frac{x}{y}$.
Из уравнения $\displaystyle xy = \frac{x}{y}$ следует, что либо $x = 0$ и $y ≠ 0$, либо $y^2 = 1$, а $x$ — любой.
При $x = 0$ из уравнения $x + y = xy$ следует, что $y = 0$, противоречие.
Из уравнения $y^2 = 1$ получаем, что либо $y = 1$, либо $y = −1$. При $y = 1$ решений у уравнения $x + y = xy$ нет, а при $y = −1$ из уравнения $x + y = xy$ получаем $\displaystyle x = \frac{1}{2}$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2011 год

Задача:
Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр не меньше, чем 10, а произведение цифр — не больше, чем 10?
(А) 6
(Б) 10
(В) 16
(Г) 80
(Д) 96

Ответ: (Д) 96
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2011 год

Задача:
В одной семье три отца, три сына, прадедушка и правнук. Сколько это человек?

Ответ: 4 человека.
Решение:
Очевидно, что если есть прадедушка и правнук, то есть и «связующие звенья», а именно дедушка и папа. Теперь считаем, сколько у нас уже получилось отцов: прадедушка (отец дедушки), дедушка (отец папы), папа (отец сына), то есть как раз три. Считаем сыновей: дедушка (сын прадедушки), папа (сын дедушки), сам сын, - итого три сына. Значит, семья вся в сборе, и больше добавлять никого не надо. А состоит она из четырёх человек: прадедушки, дедушки, папы и сына.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2013 год

Задача:
Когда Буратино врёт, его нос удлиняется на 6 см. Когда он говорит правду, его нос становится короче на 2 см. Утром длина его носа была 9 см. За день он три раза соврал и два раза сказал правду. Какой длины стал нос у Буратино к вечеру?
(А) 14 см
(Б) 15 см
(В) 19 см
(Г) 23 см
(Д) 31 см

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Если а = $11^{(-12)^13}$, то
(А) а – большое положительное число
(Б) а близко к 1
(В) а положительно и близко к 0
(Г) а отрицательно и близко к 0
(Д) а – большое по модулю отрицательное число

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2004 год

Задача:
Герой повести Носова «Незнайка в Солнечном городе» Пачкуля Пестренький придерживался твердого принципа: «Никогда не умываться и ничему не удивляться». Если он отступит от своего принципа, то он обязательно:
(А) Станет удивляться всему подряд
(Б) Будет каждый день умываться
(В) Каждый день будет умываться или удивляться
(Г) Хоть раз умоется или чему-то удивится
(Д) Каждый день будет умываться и всему удивляться

Ответ: Г
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2019 год

Задача:
12 апреля коротышки запустили ракету к Марсу. Знайка сказал друзьям, что ракета на Марсе окажется не сразу, а через некоторое время. А на вопрос «Через какое?» молча показал один палец. Друзья тут же прокричали версии, что имел в виду Знайка: секунду, минуту, час, день, неделю, месяц. На это Знайка ответил: «Один из вас угадал, а остальные ошиблись, в 24, 60, 168, 720, 3600 раз». Через какое время, по мнению Знайки, ракета окажется на Марсе?

Ответ: Через час.
Решение:
Заметим, что разница между днём и неделей равна 7. Значит, Знайка не имел в виду ни день, ни неделю. Аналогично это не месяц, так как нет ни числа 30, ни 31, ни даже 28 или 29. Посмотрим с другой стороны. Если б это была секунда или минута, то уже в сутках 60х24=1440 минут, а в неделе точно больше 3600 (а секунд ещё больше). Осталось проверить, что час подходит. Действительно 3600 секунд = 60 минут = 1 час. В сутках 24 часа, в неделе 168, в месяце из 30 дней 720 ч.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
У Волка в наборе имеются гири массами 90 г, 91 г, 92 г ..., 100 г. Заяц положил на одну чашу весов гирю массой 121 г. Может ли Волк уравновесить чаши весов, используя несколько гирь из своего набора?

Ответ: Да.
Решение:
Заметим, что 121 = 100 + 9 + 7 + 5 = 100 + (99 − 90) + (98 − 91) + (97 − 92).
Тогда один из вариантов уравновесить: 121 + 90 + 91 + 92 = 100 + 99 + 98 + 97.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2007 год

Задача:
Две квадратные салфетки 9 см × 9 см лежат на столе так, что получается прямоугольник 9 см × 13 см. Какая площадь покрыта в два слоя?
(А) 36 см^2
(Б) 45 см^2
(В) 54 см^2
(Г) 63 см^2
(Д) 72 см^2

Ответ: Б
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 3 тур

Задача:
Можно ли клетки квадрата 8 × 8 раскрасить ровно в 5 цветов так, чтобы выполнялись два условия: 1) клетки каждого цвета образовывали связную фигуру 2) в каждом столбце и в каждой строке были клетки ровно 3-х цветов? (Фигура называется связной, если из каждой клеточки фигуры можно добраться до любой другой, передвигаясь только в соседние по стороне клеточки.)

Такое возможно, внимательно проверяйте пример: условие на столбцы и связность каждой фигуры.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2018 год

Задача:
Карабас-Барабас перемножил три различных числа больше 1 и получил 36. Какие числа умножал Карабас-Барабас?

Ответ: Числа 2, 3 и 6.
Решение:
Число 36 можно разложить на простые множители – 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3. Поскольку числа должны быть разными, то одно из них из двух множителей, а другие – из одного.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2005 год

Задача:
В классе сидят мальчики и девочки. Если в класс войдут ещё 10 мальчиков, то всего мальчиков станет вдвое больше, чем девочек. Сколько девочек должны выйти из класса, чтобы среди оставшихся ребят оказалось вдвое больше мальчиков, чем девочек?
(А) 0
(Б) 2
(В) 5
(Г) 10
(Д) 20

Ответ: В
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2016 год, первая лига

Задача:
Сосулькам Ух, Ых и Ёх сегодня исполнилось 2, 3 и 5 дней соответственно. Сколько дней им исполнится вместе послезавтра, если все они останутся висеть на крыше?

Ответ: 16
Решение:
Каждая сосулька +2 дня. Значит, 4 + 5 + 7 = 16 дней.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2015 год, 2 тур

Задача:
У продавщицы есть конверты, упакованные по 100 штук в пачке. Она умеет отсчитывать по 5 конвертов в секунду. Ей нужно приготовить три пачки: по 50, 70 и 80 штук. За какое минимальное время продавщица сможет это сделать?

Ответ: 10 секунд.
Решение:
Чтобы получить пачку в 80 конвертов, достаточно отсчитать 20 за 4 секунды. Чтобы получить 70, можно отсчитать 30 за 6 секунд. Сложив отсчитанные 20 и 30 вместе, получим требуемое.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2002 год

Задача:
Маша вышла из дома в 7 час 55 мин и пришла в школу в 8 час 32 мин. Её подруга Даша пришла в школу только в 8 час 45 мин, хотя она живёт ближе к школе и ей требуется на дорогу на 12 минут меньше, чем Маше. Когда Даша вышла из дома?
(А) в 8 час 7 мин
(Б) в 8 час 20 мин
(В) в 8 час 25 мин
(Г) в 8 час 30мин
(Д) в 8 час 33 мин

Ответ: (Б) в 8 час 20 мин
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 2 тур

Задача:
В столовой лежат кусочки сыра и хлеба. Если добавить ещё 20 кусков сыра, то их станет вдвое больше, чем хлеба. Сколько кусков хлеба необходимо убрать, чтобы их стало вдвое меньше, чем сыра?

Пусть кусочков хлеба 𝑥, тогда кусочков сыра 2𝑥 − 20. Тогда нужно убрать 𝑥 − (2𝑥 − 20) : 2 = 10 кусочков хлеба.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он считает вслух по-русски от одного до ста. Сколько слов он при этом произнесет?
(А) 100
(Б) 172
(В) 181
(Г) 190
(Д) 200

Ответ: Б
Олимпиада «Осенний Олимп», 1 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
У Ефима было несколько старых вилок и ложек: всего 20 штук. Ложек было на 3 меньше половины всех предметов. Сколько вилок было у Ефима?

Ложек было на 3 меньше половины всех предметов, то есть на 3 меньше, чем 10. Следовательно, ложек было 7. А вилок, соответственно, 20 − 7 = 13.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
В прошлом году Маша была в 3 раза старше Даши и в 3 раза моложе Коли. В этом году Маша в 2 раза старше Даши, а Коля сейчас на 2 года младше Оли. Сколько сейчас лет Оле?

Ответ: 12 лет.
Решение:
Пусть в прошлом году Маше было 3x лет, тогда Даше x лет, а Коле 9x лет.
Сейчас в этом году Маше 3x + 1 лет, Даше x + 1 лет, Коле 9x + 1 лет, Оле 9х + 1 + 2 лет.
В этом году Маша в 2 раза старше Даши:
3x + 1 = 2(x + 1)
x = 1
9x + 1 + 2 = 12
Оле сейчас 12 лет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2010 год

Задача:
Федя возвёл ненулевое число a в четвёртую степень, и оно увеличилось вдвое. Во сколько раз увеличится число a, если его возвести в десятую степень?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) 16

Ответ: (В) 8
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ - положительные числа. Вычислите $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$, если $a+b=b+c=c+d$.

Ответ: 1.
Решение:
$ a+b=b+c $, то $a=c$,
$ b+c=c+d $, то $b=d$,
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{c^2+d^2}{c^2+d^2}=1 $
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2022 год

Задача:
Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа 𝑛 равна 10327. Какое наименьшее значение может принимать 𝑛?

Ответ: 6735.
Решение:
Наибольший делитель числа 𝑛 равен 𝑛. Поскольку это число нечётно, второй по величине его делитель не превосходит 𝑛 / 3 , а третий — не превосходит 𝑛 / 5. Следовательно, сумма трёх любых различных делителей не превосходит 𝑛 + 𝑛 / 3 + 𝑛 / 5 = 23𝑛 / 15 . Получаем, что 10327 ⩽ 23𝑛 / 15, откуда 𝑛 ⩾ 6735.
Отметим также, что число 6735 подходит под условие (оно нечётно, делится на 3 и на 5): сумма трёх его наибольших делителей равна 6735 + 6735 / 3 + 6735 / 5 = 10327.
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
В классе 20 человек. Никакие три девочки не дружат с одинаковым числом мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?

Ответ: 14 девочек.
Решение:
Пусть в классе 𝑛 мальчиков, тогда девочки (их 20 − 𝑛) могут дружить с 0, 1, 2, . . . , 𝑛 мальчиками (𝑛 + 1 вариант). Девочек с одинаковым числом знакомых мальчиков не более 2 (по условию). Чем больше девочек, тем меньше мальчиков и тем меньше вариантов количества знакомых. То есть каждый вариант знакомства должен быть ровно у двух девочек, тогда:
20 − 𝑛 ≤ 2·(𝑛 + 1),
𝑛 ≥ 6.
Значит, в классе 20 − 6 = 14 девочек (пример легко строится).
Осенний математический Турнир Мёбиуса, 6 класс, 2018 год, первая лига, 4 тур

Задача:
В однокруговом футбольном турнире участвуют пятнадцать команд. Могло ли после окончания турнира оказаться, что у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений?

Да, строится пример: одна команда победила 14 раз, оставшиеся победили 4 раза, сыграли вничью и проиграли по 5 раз.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 3 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
В коробке синие, красные и зелёные карандаши — всего 20 штук. Красных карандашей в 7 раз больше, чем зелёных. Синих меньше, чем красных. Сколько синих карандашей?

Ответ: 4 синих.
Решение:
Решаем задачу перебором:
- если зелёный карандаш один, то красных 1 ⋅ 7 = 7, а синих 20 − 1 − 7 = 12, синих получается больше, чем красных, не подходит по условию задачи;
- если 2 зелёных карандаша, то красных 2 ⋅ 7 = 14, а синих 20 − 2 − 14 = 4, подходит по условию задачи;
- если 3 зелёных карандаша, то красных 3 ⋅ 7 = 21, не подходит по условию задачи;
- если зелёных карандашей больше трёх, не подходит по условию задачи.

Итого: красных – 14, зелёных – 2, синих карандашей – 4.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Общий вес троих детей 72 кг. Маша весит столько же, сколько два её младших брата вместе. Сколько весит Маша?
(А) 18 кг
(Б) 24 кг
(В) 32 кг
(Г) 36 кг
(Д) 52 кг

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2011 год

Задача:
Вася хочет написать слово КЕНГУРУ. Он начал писать в среду и пишет по одной букве в день. В какой день недели Вася напишет последнюю букву?
(А) понедельник
(Б) вторник
(В) среда
(Г) четверг
(Д) пятница

Ответ: Б
Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2015 год

Задача:
Василиса Прекрасная раскладывала гребни по шкатулкам. Попыталась разложить поровну по двум шкатулкам — один лишний гребень остался. Попробовала то же с трёмя шкатулками — опять один лишний. Достала четвёртую шкатулку — не получается поровну разложить, снова один гребень лишний. Попыталась разложить гребни по пяти шкатулкам — в этот раз осталось два лишних. Василиса всплеснула руками и отказалась от своей затеи.
Какое наименьшее число гребней могло быть у Василисы?

Ответ: 37 гребней.
Решение:
Если из количества гребней вычесть 1, получится число, делящееся нацело на 2, 3 и 4. Такое число обязано делиться на 12 (3 и 4 взаимно просты). Перебирая целые положительные числа, делящиеся на 12, получаем первое подходящее число 36. Значит, у Василисы было 37 гребней.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
При каком значении параметра а уравнение
|8 − 5x| − 6 = 6⋅(a − 3)
имеет один корень?

Ответ: a = 2.
Решение:
|8 − 5x| = 6a − 18 + 6
|8 − 5x| = 6a − 12
|8 − 5х| = 6⋅(а − 2)
Если а > 2, то два корня;
если а = 2, то один корень;
если а < 2, то корней нет.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2012 год

Задача:
В квадрате 3 × 3 расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в каждом квадрате 2 × 2 равно 2. Какое число стоит в центральной клетке?
(А) 16
(Б) 8
(В) 4
(Г) 1/4
(Д) 1/8

Ответ: А
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, первая лига, 2 тур

Задача:
Можно ли на прямой поставить 5 точек так, чтобы расстояние между какими-то двумя из них было 1 см, между какими-то двумя — 2 см, между какими-то двумя — 3 см, . . . , между какими-то двумя — 10 см?

Каждый отрезок между двумя соседними точками посчитан чётное число раз, поэтому сумма всех попарных расстояний должна быть чётной. Другое решение. Длина отрезка между крайними точками равна сумме длин четырёх отрезков. Такое возможно только при 1, 2, 3, . . . , 10: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Каждое расстояние должно быть ровно 1 раз. Тогда 1 не может быть рядом с 2 и 3, так как тогда 1 + 2 = 3 и 1 + 3 = 4. Тогда получим 1 + 4 = 2 + 3.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2012 год

Задача:
Сумма цифр семизначного числа равна 6. Чему равно произведение цифр этого числа?
(А) 0
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) невозможно определить

Ответ: А
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2005 год

Задача:
Австралийский ленивец Бумми почти всю жизнь проводит на дереве. Однако, если месяц начинается и кончается одним и тем же днём недели, то он слезает с дерева и отправляется путешествовать на весь этот месяц. Сколько месяцев с начала 2005 года по конец 2015 года Бумми проведет в путешествиях?
(А) 1
(Б) 2
(В) 4
(Г) 12
(Д) 24

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2004 год

Задача:
Чему равна сумма двух чисел, если она на 3 больше одного из этих чисел и на 4 больше другого?
(А) 3
(Б) 4
(В) 5
(Г) 7
(Д) 14

Ответ: Г
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 5 тур

Задача:
В мешке лежат белые, синие, красные шарики (как патриотично!), если вытащить любые 10 шариков из мешка, среди них точно найдётся белый шарик. Перечислите все возможные варианты количества красных шариков в мешке.

Из условия следует, что небелых шариков 9 или меньше. Значит, красных шариков от 0 до 9.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Пусть α, β, γ — углы треугольника. Если sin^2α + sin^2β = sin^2γ, то обязательно
(А) α = β = γ
(Б) α + β = γ
(В) α − β = γ
(Г) α^2 + β^2 = γ^2
(Д) α + β = 2γ

Ответ: Б
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2018 год

Задача:
Пятачок посадил 10 желудей. Из всех, кроме трёх, выросли дубы. На всех дубах, кроме двух, растут жёлуди. На всех дубах с желудями, кроме одного, жёлуди невкусные. Сколько дубов с невкусными желудями?

Ответ: Дубов с невкусными желудями 4.
Решение:
Выросло дубов 10 – 3 = 7. Выросли жёлуди на 7 – 2 = 5 дубах. Вкусные жёлуди только на одном. Значит дубов с невкусными желудями 5 – 1 = 4.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Пятиклассник Миша нашёл старый калькулятор, который не отображает цифру 3. Например, если Миша введет число 13237, То на экране калькулятора отобразится только число 127. Миша набрал шестизначное число, но отобразилось только 2019. Сколько существует шестизначных чисел, которые мог набрать Миша?

Ответ: 15 чисел.
Олимпиада «Бельчонок», 5 класс, 2019-2020 год, 1 этап, 1 вариант

Задача:
Каждая из девочек Вера, Лена, Настя и Оля купила себе в магазине платье и блузку одного из четырёх цветов: белый, зелёный, оранжевый, розовый. У всех девочек платья и блузки разные, никакая из девочек не купила себе платье и блузку одинаковых цветов.
- Оля не покупала зелёных вещей.
- У Лены блузка такого же цвета, что и платье девочки с розовой блузкой.
- Девочка в зелёном платье купила себе блузку такого же цвета, что и платье у девочки с белой блузкой.

Платье какого цвета купила Лена?

Ответ: оранжевый.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2021 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Два пирата делили между собой кучу в n^2 монет. Каждый по очереди брал из общей кучи 10 монет. После того, как в очередной раз первый пират взял 10 монет, остаток в куче оказался меньше 10 монет. Чтобы обеспечить равный делёж, первый пират отдал второму свой кинжал. Сколько монет стоит кинжал? (Пираты не знают дробей, и кинжал стоит целое число монет).

Ответ: 2 монеты.
Решение:
Представим число n^2 в виде 20y + a, где a — остаток от деления числа n^2 на 20. По условию задачи 10 ≤ a < 20. Пусть кинжал оценен в x монет, тогда из равенства их прибыли получается: 10 − x = (а − 10) + x, откуда x = 10 − а/2. Значит, а — чётное число, поэтому а ∈ {10; 12; 14; 16; 18}. Заметим, что последняя цифра числа a совпадает с последней цифрой числа n^2, то есть, с последней цифрой точного квадрата. Следовательно, a ≠ 12 и а ≠ 18. Если a = 14 или a = 10, то число 20y + a делится на 2, но не делится на 4, поэтому не может быть квадратом числа n. Остаётся единственный вариант a = 16. Тогда x = 2. Вариант a = 16 возможен, например, при n = 6.