d0rj/ROMB-1.0 huggingface dataset:
Олимпиада начальной школы 2x2, 2 класс, 2019 год

Задача:
Никита выложил на стол в ряд: красный треугольник, синий квадрат, жёлтый круг, жёлтый квадрат, зелёный треугольник. Затем он забрал две соседние фигуры, а потом две фигуры одной формы. На столе осталась одна фигура. Какой она формы?

Ответ: Квадрат.
Решение:
Второй раз взяли либо два треугольника, либо два квадрата. Но если взяли квадраты, то никакие две из остальных не являются соседними. Значит второй раз взяли треугольники. Среди остальных соседние либо синий квадрат и жёлтый круг, либо жёлтый круг и жёлтый квадрат. В любом случае остался квадрат.
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Найдите $\displaystyle \frac{a}{b}$, если $9a + 2b = 9 \sqrt{a b}$.

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{4}{9}$.
Решение:
Обозначим $\displaystyle \frac{a}{b} = x^2$, тогда $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.
По условию $9a + 2b = 9\sqrt{ab}$, откуда $\displaystyle \left(6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = 25$ или $\displaystyle 6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 5$.
Итак, $\displaystyle 9x + 2\frac{1}{x} = 9$ и $9x^2 − 9x + 2 = 0$. Поэтому $\displaystyle x_1 = \frac{1}{3}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{2}{3}$. Следовательно, $\displaystyle \frac{a}{b}$ равно $\displaystyle \frac{1}{9}$ или $\displaystyle \frac{4}{9}$.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2013 год, 2 тур

Задача:
Три бородатых мудреца спорили, у кого самая длинная борода.
- Первый сказал: «У меня самая длинная борода среди вас!».
- Второй: «Нет, у меня длиннее, чем у тебя!».
- Третий: «Хотя бы один из вас ошибается».

У кого из мудрецов самая короткая борода, если длины всех бород разные и правду сказал только мудрец с самой длинной бородой?

Ответ: У второго.
Решение:
Заметим, что третий мудрец обязательно говорит правду, ведь если предположить, что он ошибается, то получится, что и первый, и второй сказали правду, чего не может быть, так как правду сказал только один мудрец. Значит, у третьего мудреца самая длинная борода, а первый и второй сказали неправду. Однако второй сказал, что у него длиннее, чем у первого, а значит на самом деле у него борода короче, чем у первого. Также очевидно, что у второго борода короче, чем у третьего, так как у третьего борода самая длинная. Таким образом, у второго самая короткая борода.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2009 год

Задача:
В 3 часа ночи в замке появилось Привидение. Часы на башне замка, которые до этого показывали правильное время, пошли с обычной скоростью, но в другую сторону. Привидение исчезло с рассветом, в 4 часа 45 минут. Какое время в этот момент показывали часы?
(А) полночь
(Б) 1 ч 15 мин
(В) 1 ч 30 мин
(Г) 2 ч 15 мин
(Д) 7 ч 45 мин

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2003 год

Задача:
Будем называть старшим делителем числа n самый большой из его делителей, отличных от самого числа n. Аналогично, младший делитель числа n — это самый маленький его натуральный делитель, отличный от 1. Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых старший делитель в 18 раз больше младшего?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) бесконечно много
(Д) другой ответ

Ответ: Б
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2007 год

Задача:
Вася старше Пети ровно на один год без одного дня. Вася родился 1 января 2002 года. Когда родился Петя?
(А) 2 января 2003 года
(Б) 2 января 2001 года
(В) 31 декабря 2000 года
(Г) 31 декабря 2002 года
(Д) 31 декабря 2003 года

Ответ: Г
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
На острове живут 25 человек: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, каждый из которых через раз отвечает на вопросы то правду, то ложь. Каждому жителю острова было задано подряд три вопроса: «Вы рыцарь?», «Вы хитрец?», «Вы лжец?». Ответ «Да» на первый вопрос дали 17 человек, на второй — 12, на третий — 8. Сколько хитрецов на острове?
(А) 4
(Б) 5
(В) 8
(Г) 16
(Д) невозможно определить

Ответ: (Г) 16
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2006 год

Задача:
Какое из равенств может быть неверным, если $a^3 = a + 1$ ?
(А) $a^4 = a^2 + a$
(Б) $a^4 = a^3 + a^2 − 1$
(В) $a^4 = a^5 − 1$
(Г) $\displaystyle a^2 + a = \frac{1}{a − 1}$
(Д) $a^5 = a^4 − 1$

Ответ: Д
Олимпиада «Бельчонок», 7 класс, 2021 год, 2 этап, 3 вариант

Задача:
Бельчата Вася и Петя бегут друг другу навстречу: Вася из «тихого» леса в «шумный» лес, а Петя из «шумного» леса в «тихий» лес. Они встретились, когда Вася пробежал 1,8 км и ещё треть оставшегося ему до «шумного» леса пути, а Петя пробежал 2,4 км и четверть оставшегося ему до «тихого» леса пути. Какое расстояние между «тихим» и «шумным» лесом?

Ответ: 7,2 км.
Решение:
Пусть расстояние от «тихого» до «шумного» леса равно $S$ км. После того, как Вася пробежал 1,8 км, ему осталось пробежать $S − 1,8$ км, следовательно, к моменту встречи с Петей он пробежал $1,8 + \frac{1}{3}(S − 1,8)$ км. Аналогично, Петя к моменту их встречи пробежал $2,4 + \frac{1}{4}(S − 2,4)$ км. Получаем уравнение:
$$ 1,8 + \frac{1}{3}(S − 1,8) + 2,4 + \frac{1}{4}(S − 2,4) = S $$
Решаем его, находим:
$$ \frac{1}{3} S + \frac{1}{4} S + 1,2 + 2,4 − 0,6 = S $$
или
$$ S − \frac{7}{12} S = 3, \quad \frac{5}{12} S = 3, \quad S = \frac{3 \cdot 12}{5} = 7,2 $$
Следовательно, искомое расстояние есть $S = 7,2$ км.
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2023 год, 2 тур

Задача:
Мише, Андрею и Гоше подарили 19 яблок. Известно, что каждый из них говорит правду, когда имеет нечётное число яблок и лжёт − когда чётное.
- Миша сказал: «У меня на одно яблоко меньше, чем у взятых вместе Андрея и Гоши».
- Андрей сказал: «У меня 6 яблок».
- Гоша сказал: «У Андрея на 2 яблока меньше, чем у меня».

Сколько яблок у Миши?

Ответ: 9 яблок.
Решение:
Андрей сказал, что у него 6 яблок. Если бы это была правда, то по условию он должен был бы соврать (так как 6 − чётное число), что приводит к противоречию. Значит, это ложь, поэтому у Андрея чётное число яблок, но не 6. Аналогично с Гошей: Если б у него было нечётное число яблок, то он должен был сказать правду. Но нечётное число не может отличаться от чётного на 2. Значит, Гоша солгал и у него тоже чётное число яблок. Всего всех яблок нечётное число. Значит, у Миши их количество нечётно. Поэтому утверждение Миши верно. То есть сумма яблок у Андрея с Гошей и количество яблок у Миши – два последовательных числа, дающие в сумме 19. То есть 9 и 10. И у Миши 9 яблок.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2017 год, 2 этап

Задача:
Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто? (Объясните свой ответ).

Ответ: Варя.
Решение:
Обозначим символами Р, К, Б стоимости ручки, карандаша и блокнота соответственно. Обозначим также суммарную стоимость покупок (без учёта скидки) Ани, Вари и Саши символами $A$, $B$, $C$. По условию:
$A$ = 2Р + 7К + 1Б;
$B$ = 5Р + 6К + 5Б;
$C$ = 8Р + 4К + 9Б.
Сложим выражения для $A$ и $C$ и сравним результат с 2$B$:
$A$ + $C$ = 10Р + 11К + 10Б < 10Р + 12К + 10Б = 2$B$
Получили, что $A$ + $C$ < 2$B$, откуда следует, что стоимость покупок Вари больше, чем стоимость покупок хотя бы одной из остальных девочек, а значит скидкой могла воспользоваться только Варя.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 8 класс, 2021 год, 2 этап

Задача:
30 лет назад возраста Ани, Бори и Вали относились как 1:2:5. Сейчас возраст Ани относится к возрасту Бори как 6:7. Сколько сейчас лет Вале?

Ответ: 60 лет.
Решение:
Пусть 30 лет назад возраста Ани, Бори и Вали х; 2х; 5х.
Сейчас возраст Ани х + 30, а возраст Бори 2х + 30.
Составим и решим уравнение:
(х + 30) : (2х + 30) = 6 : 7
7⋅(х + 30) = 6⋅(2х + 30)
5х = 30
х = 6
Вале сейчас: 5 ⋅ 6 + 30 = 60 (лет).
Олимпиада начальной школы 2x2, 5 класс, 2001 год, 1 тур

Задача:
Пятиклассник Петя перемножил все числа от 1 до 2001. У полученного числа он посчитал сумму цифр, затем посчитал сумму цифр результата, и так далее, пока не получил число, состоящее из одной цифры. Какое?

Вспомним признак делимости любого числа на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9; если же сумма цифр числа не делится на 9, то это число не делится на 9.
Среди чисел 1 ... 2001 есть число 9. Значит произведение чисел 1 ... 2001 делится на 9, и значит сумма цифр результата произведения тоже делится на 9. Далее, если сумма цифр результата делится на 9, то и сумма цифр этого результата тоже делится на 9. И так далее. Это означает, что в конце Петя получит число 9.
Ответ: 9.
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
Мише подарили пазл — квадратную картинку, разрезанную на маленькие квадраты одинакового размера. Сначала Миша сложил рамку, на это ушло 36 квадратов. Сколько квадратов ему осталось положить?

Ответ: 64 квадратика.
Решение:
Вычтем 4 угловых квадратика: 36 − 4 = 32, тогда длина одной стороны без угловых квадратиков 32 : 4 = 8, осталось положить 8 ⋅ 8 = 64 квадратика.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2007 год

Задача:
По кругу написаны 5 целых чисел, причём сумма никаких двух соседних и никаких трёх идущих подряд чисел не делится на 3. Сколько из написанных чисел делятся на 3?
(А) 0
(Б) 1
(В) 2
(Г) 3
(Д) невозможно определить

Ответ: В
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 2 этап

Задача:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
- «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего»
- «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».

Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно 5 раз. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 жителей? Укажите все возможные варианты.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Решение:
Рассмотрим людей, сказавших первую фразу. Среди них не более одного рыцаря (в ином случае рыцарь с наименьшим номером среди них соврал бы). Таким образом, всего рыцарей не больше 6.
Также среди всех присутствующих есть хотя бы 1 рыцарь (в ином случая все лжецы, говорившие первую фразу, говорили бы правду).
Для каждого количества рыцарей от 1 до 6 существует пример. Пусть люди говорят фразы в порядке их номеров футболок. Запишем в ряд номера произнесённых ими фраз:
- 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1: всего 6 рыцарей с номерами 1-5 и 10.
- 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1: всего 5 рыцарей с номерами 1-4 и 10.
- 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 4 рыцаря с номерами 1-3 и 10.
- 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 3 рыцаря с номерами 1-2 и 10.
- 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 2 рыцаря с номерами 1 и 10.
- 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 1 рыцарь с номером 10.
Олимпиада начальной школы 2x2, 1 класс, 2013 год

Задача:
На поляне собрались Маугли, пантера Багира, удав Каа, медведь Балу и двое волчат. Сколько всего ног и лап у собравшихся?

Ответ: Всего 18 ног и лап.
Решение:
У Маугли 2 ноги, у Багиры и Балу по 4 лапы. У волчат тоже по 4 лапы. У удава ни ног, ни лап нет. Всего 2 + 4 + 4 + 4 + 4 = 18.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2008 год

Задача:
В числовом ребусе KAN − GAR = OO разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые. Найдите A, если известно, что число KAN — самое большое из возможных.
(А) 5
(Б) 6
(В) 7
(Г) 8
(Д) 9

Ответ: Б
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2014 год, 1 вариант

Задача:
На первой остановке в пустой автобус вошло 18 пассажиров. Потом на каждой остановке выходило 4 человека, а входило 6 человек. Сколько пассажиров ехало в автобусе между четвёртой и пятой остановками?

Ответ: 24 человек.
Решение:
Способ 1.
После каждой остановки, не считая первую, количество пассажиров в автобусе увеличивается на 2 человека. Значит, со второй по четвёртую остановку количество человек увеличилось на 6 человек. Т.е. стало 18 + 6 = 24 человек.
Способ 2.
Со второй по четвёртую остановку вышло 3 · 4 = 12 человек, а вошло 3 · 6 = 18 человек. Т.е. в автобусе стало 18 − 12 + 18 = 24 человека.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2010 год

Задача:
Газету из 60 страниц печатают на 15 листах бумаги (по две страницы на каждой стороне листа). Листы складывают в стопку, затем вместе сгибают пополам и нумеруют полученные страницы подряд числами от 1 до 60. Если из такой газеты потерялся лист со страницей номер 7, каких ещё страниц в ней не окажется?
(А) 6, 53 и 54
(Б) 8, 42 и 43
(В) 8, 48 и 49
(Г) 8, 52 и 53
(Д) 8, 53 и 54

Ответ: (Д) 8, 53 и 54
Международный конкурс по математике Кенгуру, 9-11 класс, 2024 год

Задача:
Трёхзначный палиндром — это число вида «aba», где цифры a и b могут быть как одинаковыми, так и разными. Какова сумма цифр наибольшего трёхзначного палиндрома, который при этом будет кратен 6?
(А) 16
(Б) 18
(В) 20
(Г) 21
(Д) 24

Ответ: Д
Решение:
Чтобы число было кратно 6, оно должно быть чётным, и сумма его цифр должна быть кратна трём. Максимальным чётным числом будет то, у которого а = 8. Наибольшее такое число, которое делится на 6 – это 888. Его сумма цифр 8 + 8 + 8 = 24.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2023 год, 1 этап

Задача:
Сколько корней имеет уравнение:
|||x| − 6| + 7| = 8

Ответ: 4 корня.
Решение:
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$\left[\begin{array}{l}||x| − 6| + 7 = 8\\|||x| − 6\mid + 7 = − 8\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{l}||x| − 6| = 1\\|||x| − 8\mid = − 15\end{array}\right.$
Второе уравнение совокупности решений не имеет. Уравнение $||x| − 6| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:
$\left[\begin{array}{l}|x| − 6 = 1\\|x| − 6 = − 1\end{array}\right.$
Корни первого уравнения равны 7 и −7; корни второго уравнения равны 5 и −5. Уравнение имеет четыре корня.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2020 год, 2 этап, 2 вариант

Задача:
У шестиклассниц Насти и Оксаны одинаковое количество тетрадей. Они купили одинаковые наборы наклеек. Настя наклеила на 7 тетрадей по одной наклейке, а на оставшиеся тетради – по 7 наклеек. Оксана наклеила на 13 тетрадей по одной наклейке, а на оставшиеся тетради – по 13 наклеек. Сколько наклеек было в наборе, если Настя и Оксана использовали свои наборы наклеек полностью?

Ответ: 91 наклейка.
Решение:
Пусть у каждой девочки — $x$ тетрадей. Настя использовала 7 + 7($x$ − 7) наклеек, а Оксана — 13 + 13($x$ − 13) наклеек. Так как все наклейки использованы, то 7 + 7($x$ − 7) = 13 + 13($x$ − 13). Решая это уравнение, получим: $x$ = 19. Значит, в каждом наборе было 7 + 7(19 − 7) = 91 наклейки.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2003 год

Задача:
Как-то в воскресенье, в 9 часов 30 минут утра, Аня присела поиграть в компьютерную игру, но заигралась, и мама прогнала её от компьютера только днём, в 15 часов 15 минут. В следующее воскресенье её брат Мартин ухитрился просидеть за компьютером ещё на 1 час 50 минут дольше. Сколько времени провёл у компьютера Мартин?
(А) 6 час 30 мин
(Б) 6 час 35 мин
(В) 7 час 35 мин
(Г) 10 час 15 мин
(Д) 3 часа

Ответ: В
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2021 год, 1 тур

Задача:
А, Б, В, Г и Д соревновались в беге по лестнице. Определите, кто занял какое место, если известно, что правду сказал только тот, кто пришёл первым.
- А: «Б прибежал раньше В».
- Б: «А прибежал раньше Д».
- В: «Б прибежал раньше Г».
- Г: «Д обогнал меня».
- Д: «Я прибежал первым».


Если бы Д прибежал первым, то Г сказал бы правду. Так не бывает.
Если бы Г прибежал первым, его утверждение стало бы ложным. Так не бывает.
Если бы Б был первым, то утверждения А и В были бы истинными. Так не бывает.
Итого мы знаем, что А прибежал после Д, а Д прибежал после Г. Поэтому, в частности, А не может быть первым. Значит, первый В, а Г прибежал после Б.
Итого порядок таков: В, Б, Г, Д, А.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 2 класс, 2018 год

Задача:
На доске было написано слово КЕНГУРУ. Первую и три последние буквы стёрли. Какая буква стала средней?
(А) К
(Б) Е
(В) Н
(Г) Г
(Д) У

Ответ: В
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2013 год

Задача:
Чудо-автомат изменяет любую тройку чисел по такому правилу: каждое число он меняет на сумму двух остальных. Например, из тройки {3, 4, 6} на первом шаге получается {10, 9, 7}, на втором шаге — {16, 17, 19}, и так далее. Какой будет разность между самым большим и самым маленьким числами в тройке, полученной из {20, 1, 3} за 2013 шагов?
(А) 19
(Б) 41
(В) 117
(Г) 543
(Д) 2013

Ответ: А
Олимпиада «Бельчонок», 3 класс, 2020 год, 2 этап, 1 вариант

Задача:
Вася нарисовал прямоугольник, разделил его нa 9 частей, некоторые закрасил красным, а другие — синим. Потом каждую синюю часть он разделил на 5 частей. Всего в прямоугольнике получилось 33 части. Сколько частей Вася закрасил красным?

Ответ: 3.
Решение:
Сначала было 9 частей, значит, добавилось 33 − 9 = 24. При разделении одной части число частей увеличивается на 4 (так как 5 частей прибавляется, а старая часть исчезает). Чтобы получить 24 добавленные части, надо разделить 24 : 4 = 6 частей, это были синие части. Красных частей было 9 − 6 = 3.
Олимпиада «Бельчонок», 6 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант

Задача:
Все 10 гантелей веса 4, 5, 6, 9, 10, 11, 14, 19, 23, 24 килограммов необходимо разложить на три стойки так, чтобы вес гантелей на первой стойке был в два раза меньше, чем вес гантелей на второй стойке. А вес гантелей на второй стойке в два раза меньше, чем вес гантелей на третьей стойке. Можно ли это сделать?

Ответ: Нельзя.
Решение:
Предположим, нам удалось решить задачу. Тогда, если общий вес гантелей на первой стойке равен 𝑁 кг, то общий вес гантелей на второй стойке будет 2𝑁 кг, а на третьей стойке — ещё вдвое больше, то есть, 4𝑁 кг. Тогда общий вес всех гантелей должен равняться 𝑁 + 2𝑁 + 4𝑁 = 7𝑁 кг. С другой стороны, общий вес всех гантелей равен 4 + 5 + 6 + 9 + 10 + 11 + 14 + 19 + 23 + 24 = 125 кг. Это число не делится на 7, следовательно, это сделать нельзя.
Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы, 1 класс, 2022 год, 1 тур

Задача:
В корзине есть несколько яблок. Если в неё добавить три яблока, то будет половина корзины, а если восемь яблок, то корзина станет полной. Сколько яблок в корзине?

Ответ: 2 яблока.
Решение:
Разница между полной корзиной и половиной корзины равна 8 - 3 = 5. Значит, 5 яблок – это половина корзины. А 10 – это полная корзина. И в корзине было 10 - 8 = 2 яблока.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 5-6 класс, 2014 год

Задача:
На доске написаны целые числа от 1 до 10. Петя хочет стереть несколько из них так, чтобы произведение оставшихся не делилось на 6. Какое наименьшее количество чисел ему придётся стереть?
(А) 5
(Б) 4
(В) 3
(Г) 2
(Д) 1

Ответ: (В) 3
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 3 этап

Задача:
В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике?

Ответ: 5 апельсинов.
Решение:
Поскольку яблок в 3 раза больше, чем не яблок, то яблоки составляют $\frac{3}{4}$ от общего количества фруктов, т. е. их $\frac{3}{4}⋅60 = 45$. Поскольку груш в 5 раз меньше, чем не груш, то груши составляют $\frac{1}{6}$ от общего количества фруктов, т.е. их $\frac{1}{6}⋅60 = 10$. Тогда апельсинов всего $60 − 45 − 10 = 5$.
Международный конкурс по математике Кенгуру, 3-4 класс, 2010 год

Задача:
Мама разрешает Пете играть в компьютерные игры только по понедельникам, пятницам и нечётным числам. Какое наибольшее число дней подряд Петя сможет играть?
(А) 7
(Б) 6
(В) 4
(Г) 3
(Д) 2

Ответ: (Б) 6
Решение:
Пример:
29 число — четверг
30 число — пятница
31 число — суббота
1 число — воскресенье
2 число — понедельник
3 число — вторник
Все эти дни Петя сможет играть.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 4 класс, 2018 год

Задача:
Садовник высадил в ряд саженцы десяти деревьев: берёзы, дуба и клёна. Мимо проходили Саша, Яша и Лёша.
- Саша сказал: «Берёз высажено больше всего!».
- Яша сказал: «А дубов ровно два, и они посажены по краям».
- Лёша сказал: «И рядом не растут одинаковые деревья».

Могло ли так оказаться, что никто из ребят не ошибся?

Ответ: не могло.
Решение:
Предположим, что никто из ребят не ошибся.
Со слов Яши мы знаем, что дубы посажены только по краям, то есть «центральные» восемь деревьев — берёзы и клёны.
Со слов Лёши мы знаем, что два одинаковых дерева не могут расти рядом, то есть берёзы и клёны будут чередоваться.
Таким образом, возможны два варианта расположения деревьев:
- дуб, берёза, клён, берёза, клён, берёза, клён, берёза, клён, дуб;
- дуб, клён, берёза, клён, берёза, клён, берёза, клён, берёза, дуб.

Но со слов Саши мы знаем, что берёз больше всех, а в обоих случаях это не так. Противоречие.
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, 2019 год

Задача:
Алла загадала трёхзначное число, в котором нет цифры 0, и все цифры различны. Белла записала число, в котором те же цифры идут в обратном порядке. Галя вычла из большего числа меньшее. Какая цифра стоит у полученной разности в разряде десятков?

Ответ: 9
Решение:
Поскольку мы из большего числа вычитаем меньшее, цифра в разряде сотен у первого числа больше, чем у второго. Тогда в разряде единиц, наоборот, у первого числа цифра меньше, чем у второго. Поэтому при вычитании придётся занять единицу в разряде десятков. Исходно в разряде десятков стояли одинаковые цифры, но теперь у уменьшаемого цифра получилась на единицу меньше, чем у вычитаемого. Значит, придётся занять единицу в разряде сотен. При этом в разряде десятков уменьшаемое оказывается на 9 больше вычитаемого. Значит, в результате получится цифра 9.
Олимпиада начальной школы 2x2, 3 класс, 2016 год

Задача:
Эдуард всегда говорит по два утверждения, одно из которых верно, а другое нет. Однажды он сказал: «Вчера была среда. Послезавтра будет вторник». Потом он подумал немного и сказал: «Сегодня среда. Вторник был позавчера». В какой день недели это было?

Ответ: В четверг.
Решение:
Перефразируем каждое предложение так, чтобы это была фраза про «сегодня». Получаем: «Сегодня четверг». «Сегодня воскресенье». «Сегодня среда». «Сегодня четверг». Мы видим, что две совпадают. Значит, именно они верные, так как среди четырёх фраз Эдуарда должно быть две верных и две неверных.
Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 7 класс, 2020 год, 1 этап

Задача:
Найдите остаток при делении на 10 значения выражения:
4^2020 + 6^2020 + 8^2020.

Ответ: 8.
Решение:
Последние цифры значений степеней числа 4: 4, 6, 4, 6, ...;
4^2020 – значение степени оканчивается на цифру 6.
Последние цифры значений степеней числа 6: 6, 6, 6, 6, ...;
6^2020 – значение степени оканчивается на цифру 6.
Последние цифры значений степеней числа 8: 8, 4, 2, 6, ...; повторяются четыре цифры 8, 4, 2, 6, ...
8^2020 – значение степени оканчивается на цифру 6.
...6 + ...6 + ...6 = ...8 – остаток при делении на 10 равен 8.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 2 класс, 2021 год, первая лига

Задача:
Кот Матроскин решил сделать новогоднюю гирлянду и повесил на провод несколько игрушек. Дядя Фёдор привязал между каждыми игрушками по три конфеты. Потом пришёл Шарик и съел половину конфет. Теперь конфет стало на 15 меньше. Сколько игрушек повесил кот Матроскин?

Ответ: 11 игрушек.
Решение:
Шарик съел половину конфет, и их стало на 15 меньше, значит, половина конфет — 15 штук и всего их было 30. Тогда промежутков было 30 : 3 = 10, а игрушек — 10 + 1 = 11.
Олимпиада по математике «Новогодний Раз-Два-Три!», 1 класс, 2019 год, первая лига

Задача:
Борис, Антон, Даша, Лера и Вася пришли на новогоднюю олимпиаду. Борис пришёл позже Даши, Антон раньше Бориса и сразу за Лерой. Лера пришла раньше Даши, но не была первой. Кто из ребят пришёл на олимпиаду третьим?

Для решения задачи удобно нарисовать линию. И на эту линию размещать детей. Чем правее на линии находится ребёнок, тем раньше он пришёл. Из 1-го условия мы понимаем, что Даша правее Бориса: _Б _Д__.Если Антон пришёл раньше Бориса и сразу за Лерой, то эта пара (Антон + Лера) может находиться либо между Борей и Дашей, либо правее Даши. А поскольку Лера пришла раньше Даши, то они находятся правее: _Б_Д_АЛ_. Но поскольку Лера не первая, первым должен быть Вася, значит, он правее всех. В итоге дети стоят так: Борис, Даша, Антон, Лера, Вася. Значит, третьим пришёл Антон.