cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Pleurothallis titan
Liên kết ngoài
T Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1977
Giới hạn của hàm số
1
. Nói cách khác, giới hạn của
Lavernose-Lacasse
Tham khảo
Thể loại:Xã của Haute-Garonne
Giới hạn của hàm số
tiếp cận
bằng
.
Định nghĩa chính quy, xuất hiện từ đầu thế kỷ thứ 19, được trình bày ở dưới. Không chính thức, một hàm số
gán một giá trị đầu ra
f(x)
cho mỗi giá trị đầu vào x. Ta nói hàm số có giới hạn L tại giá trị a: nghĩa là
tiến càng ngày càng gần L khi x tiến càng gần a. Cụ thể hơn, với bất kỳ giá trị đầu vào nào đủ gần với a, kết quả nhận được phải gần tùy ý đến L. Ngược lại, ta nói giới hạn không tồn tại.
Khái niệm về giới hạn có nhiều ứng dụng trong giải tích hiện đại. Cụ thể, nhiều định nghĩa của tính liên tục sử dụng giới hạn: một hàm số gọi là liên tục nếu tất cả giới hạn của nó bằng với giá trị của nó. Giới hạn cũng xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm: trong giải tích một biến, đạo hàm là giá trị giới hàm của độ dốc của đường cát tuyến với đồ thị của một hàm số.
Lịch sử
y = f(x)
bằng việc nói rằng một thay đổi vô cùng bé trong x tạo ra một thay đổi vô cùng bé trong y, đồng thời khẳng định ông chỉ có thể định nghĩa bằng từ ngữ. Weierstrass lần đầu tiên sử dụng định nghĩa epsilon-delta cho giới hạn mà vẫn được dùng đến ngày nay. Ông cũng sử dụng các ký hiệu \lim và.
Ký hiệu hiện đại đặt dấu mũi tên ở dưới ký hiệu giới hạn xuất phát từ Hardy trong cuốn sách A Course of Pure Mathematics xuất bản 1908.
Ý tưởng
Giả sử một người đang đi trên đồ thị của hàm số
y = f(x)
. Hoành độ của người đó là giá trị của biến
x
, còn độ cao là giá trị của tung độ
y
. Người đó đi lại gần vị trí có hoành độ là
a
. Khi người đó tiến càng gần đến vị trí đó, cô ta nhận ra độ cao của cô tiếp xúc
. Nếu được hỏi về độ cao của điểm
x = a
, cô ấy sẽ trả lời là
.
Vậy, nói độ cao của người đó tiếp cận
L
với sai số có thể làm nhỏ tùy ý. Ví dụ, ta đặt mục tiêu cho sai số đó bé hơn mười mét, cô ta bảo rằng cô có thể làm được bằng cách tiến gần hơn đến vị trí
, chẳng hạn là trong khoảng cách năm mươi mét (theo chiều ngang). Tức miễn là cô đứng cách
không quá năm mươi mét thì độ cao của cô sẽ cách
không quá mười mét.
Tương tự, không nhất thiết phải là mười mét, nếu yêu cầu sai số xuống còn một mét, cô ấy vẫn có thể đạt được độ cao cần thiết bằng cách tiến gần đến
hơn. Tóm lại, nói độ cao của người đó tiếp cận
khi cô ấy tiến về vị trí
nghĩa là với bất kỳ sai số tối đa nào, dù nhỏ cỡ nào đi nữa, cũng tồn tại một vùng quanh
mà trong đó độ cao của người đó nằm trong sai số yêu cầu ấy.
Lời giải thích trên có thể được phát biểu như sau:
f(x)
khi
Gozdnica
Gozdnica là một thị trấn thuộc huyện Żagański, tỉnh Lubuskie ở tây Ba Lan. Thị trấn có diện tích 24 km². Đến ngày 1 tháng 1 năm 2011, dân số của thị trấn là 3334 người và mật độ 140 người/km².
Giới hạn của hàm số
Ý tưởng
tiến tới
Gozdnica
Tham khảo
Thể loại:Thị trấn của Lubuskie
Giới hạn của hàm số
Ý tưởng
p
thỏa mãn tính chất: với bất kì khoảng cách nào từ
, có một vùng xung quanh
mà trong đó giá trị của
Phát biểu trên khá gần với định nghĩa hoàn chỉnh của giới hạn của một hàm số có giá trị trong một không gian Hausdorff. Định nghĩa sau đây, (thường được gọi là định nghĩa (ε, δ)), nhìn chung được chấp nhận trong nhiều hoàn cảnh khác nhau.
Hàm số một biến
Giả sử
được định nghĩa trên tập số thực và
. Ta nói '''giới hạn của
f
, khi
x
tiến tới
a
L
''' và viết
nếu tính chất sau là đúng: Với mọi số thực
ε > 0
, tồn tại một số thực
δ > 0
thỏa
0 <
thì
.
Có thể thấy giới hạn của hàm số không phụ thuộc việc f có nghĩa tại a, và cũng không phụ thuộc vào giá trị của f tại a, tức
f(a)
Các ẩn ε và δ có thể hiểu là "sai số" và "khoảng cách", và thực tế là Cauchy đã dùng ε để viết tắt cho "sai số" trong một số tác phẩm của ông, mặc dù trong định nghĩa của tính liên tục ông dùng α vô cùng nhỏ thay vì ε hay δ (xem Cours d'Analyse).
Giới hạn một bên
[[Hình:Upper semi.svg|thumb|Giới hạn khi
x → x0+
khác với giới hạn khi
x → x0−
. Do đó, giới hạn khi
x → x0
không tồn tại.]]
Thay vì tiếp cận theo cả hai phía, x có thể tiến tới a từ bên phải hoặc bên trái, khi đó giới hạn được gọi là giới hạn bên phải (bên trái) của f tại a, kí hiệu là
cho giới hạn bên phải, và
cho giới hạn bên trái. Nếu cả hai giới hạn này tồn tại và bằng nhau, khi ấy giới hạn của f tại a cũng tồn tại và bằng giá trị của hai giới hạn một bên. Nếu các giới hạn này tồn tại nhưng không bằng nhau thì giới hạn của f tại a không tồn tại. Nếu một trong hai giới hạn một bên này không tồn tại thì giới hạn tại a cũng không tồn tại.
Một định nghĩa hoàn chỉnh như sau:
f(x)
khi x tiến tới a từ bên phải (hay từ bên trên) là L nếu, với mọi
ε > 0
, tồn tại một số
Vòng hoa gạo
nhỏ|220x220px|Vòng hoa gạo của nhóm nhạc [[EXO (nhóm nhạc)|EXO ]] Vòng hoa gạo hay fan rice (tiếng Hàn: 쌀 기부), bao gồm các túi gạo được xếp ngay ngắn, trang trí bởi các dải ruy băng và ảnh là những món quà mà người hâm mộ K-pop gửi đến thần tượng của họ tại các sự kiện họp báo hay các buổi hòa nhạc. Khối lượng gạo có thể từ vài chục kilogam đến hàng tấn. Gạo trong các vòng hoa sau khi sự kiện kết thúc được gửi tặng đến những người nghèo với danh nghĩa thần tượng.
Giới hạn của hàm số
Giới hạn một bên
0 < x − a < δ
Vòng hoa gạo
Lịch sử
Vòng hoa gạo đầu tiên được người hâm mộ của Shin Hye-sung gửi đến buổi hòa nhạc của anh vào ngày 11 tháng 8 năm 2007. Trào lưu này bắt đầu nở rộ từ cuối những năm 2000 khi người hâm mộ gửi đồ ăn đến thần tượng của họ; đến năm 2011 trào lưu này được nâng tầm thành một nét văn hóa. Ngày nay, tại Hàn Quốc, có những công ty được thành lập dành riêng cho việc tạo vòng hoa gạo này.
Chim cận biết hót Tân Thế giới
Chim cận biết hót Tân Thế giới là các loài chim thuộc phân thứ bộ Tyrannides, bộ Sẻ (Passeriformes). Đây là các loài bản địa của châu Mỹ. Phân thứ bộ này được chia thành hai nhánh (Furnariida và Tyrannida), tổng cộng có 18 họ. Dưới đây là danh sách các họ thuộc phân thứ bộ Tyrannides:
Vòng hoa gạo
Đặc điểm
Người hâm mộ mua các túi gạo và tặng cho nghệ sĩ mà họ hâm mộ. Gạo của vòng hoa đóng gói trong các túi 20 kilogam, được mua từ các nông trại địa phương, xếp thành tháp và gửi đến địa điểm mà người mua yêu cầu, thường là các sân vận động nơi tổ chức hòa nhạc hay các buổi họp báo. Trên các vòng hoa, người hâm mộ thường ghi lời chúc của họ kèm với ảnh thần tượng. Việc tặng gạo thể hiện rằng người hâm mộ có trách nhiệm với xã hội, thể hiện sự tôn trọng với nghệ sĩ. Việc gửi các túi gạo cũng xuất hiện ở Nhật Bản, và được xem là một phần của làn sóng Hàn Quốc.
Chim cận biết hót Tân Thế giới
Quan hệ phát sinh chủng loài của phân thứ bộ Tyrannides dựa trên Oliveros et al. (2019):
Giới hạn của hàm số
Giới hạn một bên
khi x tiến tới a từ bên trái (hay từ bên dưới) là L nếu, với mọi
Vòng hoa gạo
Những vòng hoa lớn nhất
Vào năm 2013, kỷ lục vòng hoa lớn nhất được ghi nhận là của người hâm mộ nhóm nhạc 2PM, khi đã quyên góp được 28,088 tấn từ các fan-club ở quốc gia khác nhau vào ngày cuối của buổi hòa nhạc What Time Is It.
Chim cận biết hót Tân Thế giới
Chú thích
Thể loại:Tyrannides
Vòng hoa gạo
Những vòng hoa lớn nhất
Tại buổi hòa nhạc The Best Show Tour của Rain, fan-club đến từ Hàn Quốc "Cloud Korea" của anh đã dành tặng 3,61 tấn gạo cho những người nghèo.
Giới hạn của hàm số
Giới hạn một bên
sao cho nếu
0 < a − x < δ
thì f(x) − L.
Để ý rằng nếu cả hai điều kiện
và
đều thỏa thì sẽ tương đương với
0 <
<!--
More general subsets
Apart from open intervals, limits can be defined for functions on arbitrary subsets of R, as follows. Let f be a real-valued function defined on a subset S of the real line. Let p be a limit point of S—that is, p is the limit of some sequence of elements of S distinct from p. The limit of f, as x approaches p from values in S, is L if, for every ε > 0, there exists a δ > 0 such that 0 < < δ and x ∈ S implies < ε.
This limit is often written
The condition that f be defined on S is that S be a subset of the domain of f. This generalization includes as special cases limits on an interval, as well as left-handed limits of real-valued functions (e.g., by taking S to be an open interval of the form (-\infty,a)), and right-handed limits (e.g., by taking S to be an open interval of the form (a,\infty)). It also extends the notion of one-sided limits to the included endpoints of (half-)closed intervals, so the Square root function f(x)=√x can have limit 0 as x approaches 0 from above.
Deleted versus non-deleted limits
The definition of limit given here does not depend on how (or whether) f is defined at p. , refers to this as a deleted limit, because it excludes the value of f at p. The corresponding non-deleted limit does depend on the value of f at p, if p is in the domain of f:
The definition is the same, except that the neighborhood | x − p | < δ now includes the point p, in contrast to the (deleted) neighborhood 0 < | x − p | < δ. This makes the definition of a non-deleted limit less general. One of the advantages of working with non-deleted limits is that they allow to state the theorem about limits of compositions without any constraints on the functions (other than the existence of their non-deleted limits).
notes that although by "limit" some authors do mean this non-deleted limit, deleted limits are the most popular. For example,, , , , all by "limit" mean the deleted version. -->
Giới hạn một bên không tồn tại
x0
, do đó
là một đứt gãy cơ bản ]] Hàm số không có giới hạn tại
x0 = 1
trên trục số thực.
Hàm Dirichlet, định nghĩa là
f(x) = 1
f(x) = 0
nếu x là số vô tỉ, không có giới hạn tại bất kì điểm nào trong tập số thực.
Giới hạn một bên không bằng nhau
Hàm số có giới hạn tại mọi điểm x khác
0
(giới hạn đó bằng
1
2
với x dương). Giới hạn tại
x = 0
) và giới hạn bên phải (bằng
Giới hạn tại một điểm
Hàm số
f: R → R
, được định nghĩa là
f(x) = x
nếu x là số hữu tỉ và
f(x) = 0
x = 0
và giới hạn đó bằng
0
.
Giới hạn tại vô số điểm đếm được
Hàm số f, được định nghĩa
f(x) = sin x
với x vô tỉ và
π⁄2 + 2nπ
Hàm số trên không gian mêtric
Giả sử M và N lần lượt là tập con của không gian metric A và B, và ánh xạ
f: M → N
, với
x ∈ M
và a là một điểm giới hạn của M và
L ∈ N
. Ta nói giới hạn của f khi x tiến tới a là L và viết
nếu tính chất sau thỏa: với mọi
ε > 0
, tồn tại một
δ > 0
sao cho nếu
0 < dA(x, a) < δ
thì
dB(f(x), L) < ε
.
Cũng như trên, để ý rằng a không nhất thiết nằm trong tập xác định của f, cũng như L không nhất thiết nằm trong tập giá trị của f, và ngay cả khi
f(a)
có nghĩa, nó cũng không nhất thiết bằng L.
Một định nghĩa khác sử dụng khái niệm lân cận. Ta viết
nếu với mọi lân cận V của L trong B, tồn tại một lân cận U của a trong A sao cho
Hàm số trên không gian tôpô
Giả sử X, Y là các không gian tôpô với Y là một không gian Hausdorff. Gọi p là một điểm giới hạn của
Ω ⊆ X
L ∈ Y
. Với hàm số
f: Ω → Y
, ta nói giới hạn của f khi x tiến tới p là L (tức là,
f(x) → L
khi
x → p
) và viết:
nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: với mọi lân cận mở V của L, tồn tại một lân cận mở U của p sao cho
f(U ∩ Ω − {p}) ⊆ V
.
X \ {p}
(hoặc toàn bộ X), thì giới hạn của f khi
tồn tại và bằng L nếu, với mọi tập con
Ω
của X có điểm giới hạn p, giới hạn của f trên
tồn tại và bằng L. Đôi khi điều kiện này được dùng để thiết lập sự không tồn tại của giới hạn hai bên của một hàm số trên
bằng cách chỉ ra các giới hạn một bên không tồn tại hoặc không bằng nhau.
Ngoài ra, điều kiện Y là một không gian Hausdorff có thể được nói lỏng thành một không gian tôpô nói chung, nhưng khi ấy giới hạn của hàm số có thể không còn là duy nhất. Cụ thể, ta nói một giới hạn hoặc tập các giới hạn của hàm số tại mộ điểm.
Một hàm số liên tục tại điểm giới hạn p nằm trong tập xác định của nó khi và chỉ khi
f(p)
là (một) giới hạn của
f(x)
khi x tiến tới p.
Giới hạn tại vô cùng
Với hàm số thực
, ta nói giới hạn của f khi x tiến tới (dương) vô cùng là L, viết là
nghĩa là với mọi
ε > 0
, tồn tại một số c sao cho nếu
x > c
thì
. Viết bằng ký hiệu là:
Tương tự, ta nói giới hạn của f khi x tiến tới âm vô cùng là L, viết là
x < c
Ví dụ:
Giới hạn vô cùng
Với hàm số có giá trị tăng đến vô cùng, nó phân kỳ và giới hạn thông thường không tồn tại. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta có thể định nghĩa giới hạn với giá trị vô cùng. Ví dụ, phát biểu giới han của f khi x tiến tới a là vô hạn, viết là
nghĩa là với mọi
N > 0
, tồn tại một số
δ > 0
sao cho nếu
0 <
thì
f(x) > N
.
Những định nghĩa này có thể được kết hợp với nhau một cách tự nhiên để cho ta những loại giới hạn tương tự như
Ví dụ,
Quang Huy (định hướng)
Quang Huy có thể là:
Voskevaz
Liên kết ngoài
Thể loại:Khu dân cư ở tỉnh Aragatsotn
Giới hạn của hàm số
Giới hạn vô cùng
Những giới hạn vô hạn có liên quan đến khái niệm tiệm cận.
Những định nghĩa trên có cách tiếp cận sử dụng không gian mêtric. Thực tế, chúng tương thích với định nghĩa không gian tôpô của giới hạn nếu
−∞
được định nghĩa để chứa một đoạn
[−∞, c)
với
c ∈ R
, và
a ∈ R
được định nghĩa như trong không gian mêtric
R
. Trong trường hợp đó,
là một không gian tôpô và định nghĩa không gian tôpô cho giới hạn áp dụng cho bất kì hàm số
f: X → Y
, khi ấy giới hạn vô cùng có thể được định nghĩa dễ dàng.
Giới hạn tại vô hạn của hàm phân thức
[[Tập tin:Tamasol SVG.svg|thumb|300px|Tiệm cận ngang
y = 4
]] Có ba quy tắc cơ bản để tính giới hạn tại dương vô cùng của một hàm phân thức
f(x) = P(x)/Q(x)
(trong đó P và Q là các đa thức):
0
Đồng(II) selenat
Đồng(II) selenat là một hợp chất vô cơ, là muối của kim loại đồng và axit selenic có công thức hóa học CuSeO4 – tinh thể màu trắng, tan trong nước, tạo thành các tinh thể ngậm nước.
Điều chế
Hòa tan đồng(II) oxit hoặc hydroxide trong axit selenic (đun nóng nhẹ) sẽ tạo ra hydrat:
Hợp chất khác
CuSeO4 còn tạo một số hợp chất với NH3, như CuSeO4·2NH3 là bột màu dương nhạt, CuSeO4·3NH3·H2O là chất rắn màu dương nhạt, CuSeO4·4NH3 với: CuSeO4·5NH3 là chất rắn màu dương đậm. Monohydrat của nó cũng được biết đến.
Tham khảo
Thể loại:Hợp chất đồng Thể loại:Muối selenat
Giới hạn của hàm số
Giới hạn tại vô hạn của hàm phân thức
.
Nếu giới hạn (hữu hạn) tại vô cùng của f tồn tại, nó tượng trưng cho tiệm cận ngang tại
y = L
. Đa thức không có tiệm cận ngang, tuy nhiên các hàm phân thức có thể có.
Hàm số nhiều biến
Để ý rằng
f: R2 → R
, ta viết
nếu
ε > 0
, tồn tại một
δ > 0
sao cho với mọi
(x,y)
thỏa mãn
0 <
, thì
trong đó
là khoảng cách Euclid. Định nghĩa này có thể được mở rộng cho số biến bất kỳ.
Dãy số
Với hàm số trên trục số thực, một cách để định nghĩa giới hạn của một hàm số là bằng giới hạn của dãy số. (định nghĩa này thường được cho là của Eduard Heine). Trong hoàn cảnh này: nếu và chỉ nếu với mọi dãy số
(
khác a với mọi n) hội tụ về a, dãy
f(xn)
hội tụ về L. Năm 1916, Sierpiński chứng minh sự tương đương của định nghĩa này và định nghĩa ở trên, sử dụng một dạng yếu hơn của tiên đề chọn. Chú ý rằng để định nghĩa một dãy
xn
hội tụ về a vẫn cần định nghĩa
(ε, δ)
Zale erilda
Zale erilda là một loài bướm đêm trong họ Erebidae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Zale
Heining-lès-Bouzonville
Heining-lès-Bouzonville là một xã trong vùng Grand Est, thuộc tỉnh Moselle, quận Boulay-Moselle, tổng Bouzonville. Tọa độ địa lý của xã là 49° 18' vĩ độ bắc, 06° 35' kinh độ đông. Heining-lès-Bouzonville nằm trên độ cao trung bình là 266 mét trên mực nước biển, có điểm thấp nhất là 223 mét và điểm cao nhất là 336 mét. Xã có diện tích 6,03 km², dân số vào thời điểm 1999 là 496 người; mật độ dân số là 82 người/km².
Giới hạn của hàm số
Dãy số
Tương tự với định nghĩa của Weierstrass, một định nghĩa Heine tổng quát hơn áp dụng cho hàm số định nghĩa trên tập con của tập số thực. Gọi f là một hàm số giá trị thực với tập xác định D, a là giới hạn của một dãy các phần tử thuộc
Heining-lès-Bouzonville
Tham khảo
Thể loại:Xã của Moselle
Giới hạn của hàm số
Dãy số
. Khi ấy giới hạn của f là L khi x tiến tới a nếu
xn ∈ D \ {a}
mà hội tụ về a thì dãy
hội tụ về L.
Tolphorea volans
Tolphorea volans là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Gurieva miêu tả khoa học năm 1983.
Giới hạn của hàm số
Giải tích không chính quy
Trong giải tích không chính quy, giới hạn của hàm số được định nghĩa là: khi và chỉ khi với mọi
Tolphorea volans
Tham khảo
Thể loại:Tolphorea
Giới hạn của hàm số
Giải tích không chính quy
x ∈ R*
, nếu
x - a
vô cùng nhỏ thì
f*(x) - L
là vô cùng nhỏ.
Ở đây
R*
là tập số siêu thực và
f*
là mở rộng tự nhiên của f cho tập số thực không chính quy. Keisler chứng minh rằng định nghĩa giới hạn sử dụng số siêu thực giúp đơn giản hóa đi hai biến. Mặt khác, Karel Hrbacek viết rằng để những định nghĩa như thế hợp lệ cho mọi số siêu thực, chúng vẫn phải gián tiếp sử dụng phương pháp
ε-δ
, và cho rằng, từ góc nhìn sư phạm, việc giải tích không chính quy có thể được thực hiện mà không cần phương pháp
là khó khả thi. Piotr Błaszczyk và những người khác chỉ ra sự hữu dụng của liên tục vi mô trong việc xây dựng một định nghĩa rõ ràng cho tính liên tục đều, và đánh giá chỉ trích của Hrbacek là "lời than vãn mơ hồ".
Độ gần
Tại hội nghị toán học quốc tế 1908, nhà toán học Frigyes Riesz giới thiệu một cách khác để định nghĩa giới hạn và tính liên tục sử dụng một khái niệm gọi là "độ gần". Một điểm x được gọi là "gần" một tập
S ⊆ R
nếu với mọi
r > 0
, tồn tại một
a ∈ S
sao cho
. Trong trường hợp này, ta có khi và chỉ khi với mọi tập
A ⊆ R
, nếu a gần A thì L gần
f(A)
. Ở đây
ký hiệu cho tập
{f(x)
. Định nghĩa này cũng có thể mở rộng cho không gian mêtric và không gian tôpô.
Tính liên tục
Khái niệm giới hạn của hàm số liên quan chặt chẽ đến khái niệm tính liên tục. Một hàm số f được gọi là liên tục tại c nếu nó có nghĩa tại c và giá trị của nó tại c bằng giới hạn của f khi x tiến tới c: (Ở đây ta giả sử c là một điểm giới hạn trong miền xác định của f.)
Phép tính đại số
Cho hàm số
f: M → N
giữa hai không gian mêtric M và N. Nếu N là một không gian định chuẩn thì toán tử giới hạn là tuyến tính theo nghĩa sau:
f(x)
và
g(x)
khi x tiến tới a lần lượt là L và K thì giới hạn của
f(x) + g(x)
khi x tiến tới a là
L + K
αf(x)
khi x tiến tới a là αL.
Nếu f là một hàm thực (hoặc phức) thì việc lấy giới hạn vẫn bảo toàn các phép toán đại số thông thường, với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại (đẳng thức cuối chỉ đúng nếu mẫu số ở vế trái khác không).
Trong mỗi trường hợp trên, ngay cả khi giới hạn ở vế phải không tồn tại, hoặc giới hạn ở tử và mẫu trong đẳng thức cuối đều bằng không (gọi là dạng bất định), thì giới hạn ở vế trái vẫn có thể tồn tại, tùy thuộc vào các hàm số f và g. Ví dụ như nếu
f(x) = 1⁄x
g(x) = −1⁄x
, khi ấy: Một ví dụ khác là hàm sinc
f(x) = sin x⁄x
đã được giới thiệu ở trên. Cả
và x đều tiến về
0
khi x tiến về
, tuy nhiên
1
.
Những quy tắc trên cũng hợp lệ với giới hạn một bên, giới hạn ở vô cùng và giới hạn vô hạn, với những quy tắc sau:
q + ∞ = ∞
với
q ≠ −∞
q × ∞ = ∞
q > 0
q × ∞ = −∞
q < 0
q / ∞ = 0
q ≠ ± ∞
(xem trục số thực mở rộng)
Lưu ý rằng không có quy tắc tổng quát nào cho trường hợp
q/0
0/0
,
0×∞
∞−∞
, và
∞/∞
—cũng không thể áp dụng những quy tắc trên được, nhưng thường có thể được tính bằng quy tắc l'Hôpital hoặc định lý kẹp.
Giới hạn của hàm hợp
Nói chung, khi có ta không suy ra được. Tuy nhiên, quy tắc này là đúng nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
f(b) = c
(tức là f liên tục tại b), hoặc
δ > 0
sao cho nếu
0 <
thì
g(x) ≠ b
Một ví dụ cụ thể, ta xét hai hàm không thỏa mãn cả hai điều kiện trên:
Dễ thấy rằng Do đó, áp dụng quy tắc hợp mà không dùng điều kiện trên dẫn đến giới hạn của
f(f(x))
là
0
. Tuy nhiên, thực tế là và do đó
Hàm phân thức
Với số nguyên không âm n và các hằng số
a1, a2, a3,..., an
và
b1, b2, b3,..., bn
,
Điều này có thể chứng minh bằng cách chia cả tử và mẫu cho
xn
. Nếu đa thức ở tử có bậc lớn hơn đa thức ở mẫu, giới hạn này không tồn tại (bằng vô cùng). Nếu đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn thì giới hạn này bằng
0
Quy tắc l'Hôpital
Quy tắc này sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của dạng bất định như
0/0
hay
±∞/∞
, và chỉ áp dụng được trong những trường hợp đó. Cho hai hàm số
f(x)
và
g(x)
, được định nghĩa trên một khoảng mở
I
chứa điểm giới hạn c. Nếu cả bốn điều kiện sau đều được thỏa mãn: thì:
Ví dụ:
Tổng và tích phân
Thay vì viết giới hạn ở vô cùng, ta thường đặt vô cùng lên các chặn của tổng hoặc tích phân.Ví dụ:
Liên kết ngoài
Thể loại:Giới hạn (toán học) Thể loại:Hàm số và ánh xạ
Những người còn sót lại
Những người còn sót lại (The Last of Us) là một bộ phim truyền hình thuộc thể loại hậu tận thế của Hoa Kỳ do Craig Mazin và Neil Druckmann thực hiện. Dựa trên trò chơi điện tử cùng tên ra mắt năm 2013 do Naughty Dog phát triển, bộ phim lấy bối cảnh 20 năm sau khi một đợt nhiễm nấm hàng loạt do đột biến ở chi Cordyceps gây ra đại dịch toàn cầu. Sự lây nhiễm khiến nạn nhân biến thành những sinh vật ăn thịt đồng loại giống như thây ma. Bộ phim kể về Joel (Pedro Pascal), một kẻ buôn lậu được giao nhiệm vụ hộ tống cô gái tuổi teen Ellie (Bella Ramsey) qua một nước Mỹ hậu tận thế. Các diễn viên khách mời bao gồm Nico Parker trong vai Sarah, con gái của Joel, Gabriel Luna trong vai Tommy, em trai của Joel, Merle Dandridge trong vai thủ lĩnh kháng chiến Marlene và Anna Torv trong vai Tess, đối tác buôn lậu của Joel.
Bộ phim được cho là sản phẩm truyền hình lớn nhất trong lịch sử Canada, được quay trên khắp Alberta từ tháng 7 năm 2021 đến tháng 6 năm 2022. Đây là loạt phim của HBO đầu tiên dựa trên trò chơi điện tử và là sản phẩm chung của Sony Pictures Television, PlayStation Productions, Naughty Dog, the Mighty Mint và Word Games. Phần đầu tiên bao gồm 9 tập được viết bởi Druckmann, người đã viết và đồng đạo diễn trò chơi và Mazin. Âm nhạc được soạn bởi Gustavo Santaolalla, người đã soạn nhạc cho trò chơi và David Fleming.
Nội dung
Bộ phim lấy bối cảnh giả tưởng vào thời kỳ 20 năm sau tận thế. Một loại virus biến dị bởi chủng nấm ký sinh màng não (Cordyceps Brain Infection – CBI) gây ra dịch bệnh thế kỷ. Những người bị nhiễm bệnh sẽ biến thành quái vật ăn thịt đồng loại. Chủng virus này đã khiến hơn 60% dân số trên trái đất biến mất trong những năm đầu bùng nổ dịch. 20 năm kể từ ngày thảm họa xuất hiện, thế giới rơi vào tăm tối và thảm khốc. Trong bối cảnh đó, những người còn sống sót đều mang trong mình nỗi mất mát không nguôi. Họ phải ngày ngày chứng kiến sự ra đi của đồng loại, vừa phải tìm cách đấu tranh để sinh tồn. Joel là nhân vật chính của phim, ông là người cha đơn thân, vừa bận rộn với công việc vừa chăm lo cho con gái Sarah. Tuy nhiên, đại dịch nổ ra đã cướp đi Sarah, người mà Joel luôn yêu thương và bảo vệ. 20 năm trôi qua, Joel chưa giây phút nào quên nỗi đau mất con. Joel sinh tồn trong thế giới đau thương và khắc nghiệt đó bằng cách trở thành một tay buôn lậu tàn nhẫn, xảo quyệt. Và rồi, định mệnh đưa anh gặp và đồng hành cùng cô bé Ellie.
Nhân vật Ellie Williams có thể xem là chìa khóa then chốt giúp thế giới xóa tan đại dịch. Cô bé là người duy nhất không bị biến đổi sau khi bị zombie cắn. Điều này chứng tỏ cơ thể Ellie có khả năng miễn nhiễm với nấm Cordyceps. Người chịu trách nhiệm hộ tống Ellie đến phòng thí nghiệm để điều chế thuốc giải là Joel. Từ đây, hành trình sinh tồn của hai chú cháu bắt đầu.
Tuyển chọn diễn viên
nhỏ|Pedro Pascal (trái) và Gabriel Luna (phải) trên trường quay ở Canmore, Alberta vào tháng 11 năm 2021 Quá trình casting được thực hiện qua Zoom, vào Ngày Quốc tế Phụ nữ 8 tháng 3 năm 2020, Druckmann xác nhận một số nhân vật trong trò chơi sẽ xuất hiện trong bộ phim, bao gồm Ellie, Riley, Tess, Marlene và Maria. Vào ngày 10 tháng 2 năm 2021, Pascal và Ramsey được chọn vào vai Joel và Ellie. Trước đó, có thông tin Mahershala Ali đã được mời đóng vai Joel sau khi Matthew McConaughey từ chối ; The Hollywood Reporter lưu ý rằng Ali "đã đóng một vai" trong bộ phim, nhưng một thỏa thuận chưa bao giờ được hình thành. Bất kỳ nữ diễn viên nào được cân nhắc cho vai Ellie cho bộ phim chuyển thể bị hủy bỏ — chẳng hạn như Maisie Williams và Kaitlyn Dever — đã quá tuổi được cân nhắc vào thời điểm bộ phim được sản xuất, dẫn đến việc chọn lại các ứng viên. Các nhà sản xuất chủ yếu tìm kiếm những diễn viên có thể thể hiện cá nhân Joel và Ellie cũng như bắt chước mối quan hệ của họ. Pascal và Ramsey không gặp nhau trước khi bắt đầu quay nhưng nhận thấy họ có sự ăn ý phát triển trong quá trình sản xuất.
Việc chọn Luna vào vai Tommy đã được công bố vào ngày 15 tháng 4 năm 2021, và Dandridge đã được xác nhận sẽ tiếp tục vai diễn Marlene của cô trong trò chơi điện tử vào ngày 27 tháng 5. Vào tháng 5, Classic Casting thông báo tuyển thêm diễn viên từ Calgary, Fort Macleod, High River và Lethbridge; bất kỳ ai trên 18 tuổi đều có thể đăng ký và những người có xe từ năm 1995 đến 2003 được khuyến nghị. Có thông báo rằng Parker đã được chọn vào vai Sarah vào ngày 30 tháng 6. Việc chọn Pierce, Bartlett và O'Neill vào vai Perry, Frank và Bill được công bố vào ngày 15 tháng 7, tiếp theo là Torv vào vai Tess vào ngày 22 tháng 7. Vào ngày 5 tháng 12 năm 2021, Bartlett tuyên bố Offerman sẽ xuất hiện với một vai gần giống với anh, 2 ngày sau, Offerman được thông báo sẽ đóng vai Bill, thay thế O'Neill, người buộc phải bỏ vai diễn do trùng lịch trình ; Vào ngày 9 tháng 12, Žbanić tiết lộ dàn diễn viên của Greene, Miles và Wesley.
Reid được chọn vào vai Riley Abel được công bố vào ngày 14 tháng 1 năm 2022. Vào tháng 2, Mazin đã phát một cuộc gọi tuyển chọn một cậu bé từ 8–14 tuổi bị điếc, da đen và thông thạo Ngôn ngữ ký hiệu của Mỹ hoặc Ngôn ngữ ký hiệu của người Mỹ da đen; Nhà hát Deaf West xác nhận đây là phim dành cho nhân vật Sam, người sẽ xuất hiện trong 2 tập phim được quay vào tháng 3 và tháng 4. Vào tháng 6, Druckmann thông báo Baker và Ashley Johnson sẽ đóng vai chính trong loạt phim này ; tên nhân vật của họ được tiết lộ vào tháng 12. Việc chọn Lamar Johnson và Woodard vào vai Henry và Sam đã được công bố vào tháng 8, cùng với thông báo chính thức về Greene và Miles trong vai Marlon và Florence. Việc chọn Lynskey vào vai Kathleen đã được công bố cùng với đoạn giới thiệu đầu tiên vào tháng 9, trong khi việc chọn Shepherd được tiết lộ trong đoạn giới thiệu đầu tiên vào tháng 12. Vai diễn Maria của Wesley được công bố vào ngày 9 tháng 1.
Homaspis areolata
Homaspis areolata là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Những người còn sót lại
Bối cảnh và dựng phim
Việc quay phim ở High River và Fort Macleod diễn ra vào tháng 7, sau đó là Austin, Texas cho tập đầu tiên, trước khi chuyển đến Calgary vào tháng 8. Khu cách ly Boston được xây dựng trong vài tháng gần Công viên Stampede. Phần việc của Balagov hoàn thành sản xuất vào ngày 30 tháng 8; sau đó ông rời dự án hoàn toàn. Phần việc của Hoar kết thúc vào ngày 5 tháng 10. Khoảng 372.000 CAD đã được chi cho một buổi quay 4 ngày ở Downtown Edmonton vào tháng 10, bao gồm cả tại Rice Howard Way và Tòa nhà Lập pháp Alberta. Quá trình quay phim diễn ra ở trung tâm thành phố Calgary và Beltline vào cuối tháng 10. Phần của Druckmann hoàn thành trước ngày 7 tháng 11. Vào tháng 11, quá trình sản xuất diễn ra ở Canmore, Alberta, sau đó là Jackson, Wyoming , và tại Đại học Mount Royal và Viện Công nghệ Nam Alberta (SAIT). Tập của Žbanić đã hoàn thành quá trình sản xuất vào ngày 9 tháng 12.
Homaspis areolata
Liên kết ngoài
Thể loại:Homaspis
Những người còn sót lại
Bối cảnh và dựng phim
Vào tháng 1 năm 2022, Northland Village Mall ở phía tây bắc Calgary đã được trang trí để sản xuất. Quá trình quay phim diễn ra ở Công viên quốc gia Okotoks và Waterton Lakes vào tháng 2, và Đường mòn sân bay ở phía đông bắc Calgary đã đóng cửa trong 3 ngày vào tháng 3. Các tập phim của Webb được đưa vào sản xuất vào tháng 3 năm 2022 và tiếp tục cho đến khi kết thúc phần chụp ảnh chính vào tháng 6. Calgary được sử dụng để tái tạo Thành phố Kansas, Missouri vào tháng 3. Quá trình sản xuất tiếp tục ở Calgary vào tháng 4 và tháng 5, bao gồm xung quanh Trung tâm Tòa án Calgary, Kensington và Công viên Victoria, và chuyển đến Olds vào cuối tháng 5 và đầu tháng 6. Quá trình sản xuất kết thúc vào rạng sáng ngày 11 tháng 6, muộn hơn 2 ngày so với dự kiến ​​ban đầu; Buổi quay phim chính diễn ra tại Thành phố Kansas vào ngày 4 tháng 10.
Âm nhạc
nhỏ|Gustavo Santaolalla soạn nhạc cho loạt phim Gustavo Santaolalla và David Fleming soạn nhạc cho loạt phim, ông cho biết khán giả Latinh "sẽ nhận ra những điểm nhấn" trong âm nhạc của ông, và dựa trên kinh nghiệm của ông trong điện ảnh và truyền hình, khi đã sáng tác nhạc phim và một số bản nhạc cho Jane the Virgin (2014–2019) và Making a Murderer (2015–2018).
Tập 1 sử dụng các bài hát như "Tomorrow" của Avril Lavigne và "White Flag" của Dido để báo trước số phận của Sarah và tuyến nhân vật của Joel. Cảnh cuối cùng và phần ghi công có bài hát "Never Let Me Down Again" của Depeche Mode, mà Mazin đã chọn do sự pha trộn giữa âm thanh lạc quan và ca từ đen tối. Tập 3 sử dụng bài hát "Long, Long Time" của Linda Ronstadt, thể hiện chủ đề về tình yêu không trọn vẹn và cách thời gian chữa lành vết thương, và minh họa mối tình giữa Bill và Frank. Lượt nghe bài hát đã tăng lên đáng kể sau khi tập phát sóng ; một số cửa hàng đã so sánh nó với sự hồi sinh  của "Running Up That Hill" của Kate Bush năm 2022 sau khi được sử dụng trong mùa 4 của Stranger Things. Tên tập 4 đề cập đến lời bài hát "Alone and Forsaken" của Hank Williams, được sử dụng trong tập phim và trò chơi gốc. Tập 7 sử dụng bài hát "All or None" của Pearl Jam để thể hiện sự cô đơn vàl lo lắng của Ellie và sử dụng lại phiên bản "I Got You Babe" của Etta James từ The Last of Us: Left Behind khi Druckmann cảm thấy lời bài hát lãng mạn của nó bị che khuất bởi âm nhạc vui tươi phản ánh cảm xúc của Ellie và Riley.
Hậu kỳ
Bộ phim được biên tập bởi Timothy A. Good và Emily Mendez; Mark Hartzell biên tập tập 2. Sau khi Mazin thực hiện bộ phim Chernobyl, Good bày tỏ mong muốn được cộng tác; hai người đã là bạn trong một thời gian. Một người khác đã được tuyển dụng cho dự án nhưng đã rời đi do xung đột lịch trình; Good tham gia bộ phim sau khi hoàn thành mùa 3 của Học viện Umbrella. Mendez, trợ lý biên tập của Good, làm đồng biên tập trong 4 tập, bắt đầu từ tập 5. Good đã chọn không chơi trò chơi và để những tờ nhật báo hướng dẫn bản năng tình cảm của mình; Mendez, một người hâm mộ trò chơi, và Mazin đã cung cấp cho anh ấy thông tin chi tiết khi cần thiết. Mendez được giao nhiệm vụ thiết kế âm thanh tạm thời, sử dụng thư viện của riêng cô ấy và các hiệu ứng âm thanh từ trò chơi. Good đã sử dụng nhạc nền của Santaolalla trong trò chơi làm nhạc tạm thời trong quá trình chỉnh sửa và nhận thấy nó ảnh hưởng đến quyết định của anh.
Mùa phim có trung bình khoảng 250 cảnh quay hiệu ứng hình ảnh mỗi tập. Xưởng hiệu ứng hình ảnh DNEG, do Alex Wang giám sát, đã tham khảo ý kiến của các chuyên gia ý tưởng của Naughty Dog khi tạo ra phần bị nhiễm. Nhóm hiệu ứng hình ảnh đã sử dụng các video timelapse về sự phát triển của Đông trùng hạ thảo làm tài liệu tham khảo cho các hình ảnh động bị nhiễm bệnh. 16 nhóm hiệu ứng hình ảnh đã làm việc với phân cảnh hành động trong tập 5, có khoảng 350 đến 400 cảnh quay hiệu ứng hình ảnh. Wētā FX đã tạo ra hiệu ứng hình ảnh của những người bị nhiễm bệnh, 50 đến 70 người bị nhiễm bệnh đã được thêm vào nhóm thông qua hiệu ứng hình ảnh. Nhóm hiệu ứng hình ảnh làm cho người phồng to cao hơn và tạo thêm nét cơ bắp, còn zombie clicker nhỉ được thắt bím tóc và thêm chi tiết trên khuôn mặt để nhấn mạnh các đặc điểm trẻ con của nó.
Đón nhận & đánh giá chuyên môn
Trên trang tổng hợp đánh giá Rotten Tomatoes, bộ phim có tỷ lệ ủng hộ 97% dựa trên 160 bài đánh giá, với điểm trung bình là 8,75/10. Các nhận xét chung cho biết "Giữ lại những khía cạnh gây nghiện nhất của trò chơi gốc được yêu thích trong khi đào sâu hơn vào câu chuyện, The Last of Us là chương trình truyền hình đáng xem được xếp hạng trong số các phim chuyển thể từ trò chơi điện tử hay nhất mọi thời đại." Metacritic ghi nhận điểm trung bình là 84/100 dựa trên 41 bài đánh giá, ghi nhận "sự hoan nghênh toàn cầu" từ người xem. Một số nhà phê bình coi đây là tác phẩm chuyển thể từ trò chơi điện tử người thật đóng hay nhất,   cây viết Mark Delaney của GameSpot cho biết phim "giống như sự khởi đầu của một kỷ nguyên mới" cho thể loại này. Cây viết Gene Park của tờ Washington Post nhận xét bộ phim thành công nhờ phát triển câu chuyện sát với nguyên tác. Trò chơi từng gây sốt khi phát hành, bán 1,3 triệu bản trong tuần đầu: "Bí quyết thành công của The Last of Us là nó khiến bạn cảm thấy như đang xem một series về xác sống. Tuy nhiên, bản chất kịch bản tập trung vào khâu phát triển nhân vật và kể một câu chuyện giàu cảm xúc".. Cây viết Ed Power của Daily Telegraph nhận xét: "Tôi bàng hoàng sau khi chơi xong game gốc, không biết nên khóc hay gào thét. Cảm xúc tàn khốc và gay cấn tôi từng trải qua được giữ nguyên khi HBO mang câu chuyện đó lên màn ảnh". Nhà phê bình phim Sabrina Barr của Metro nói: "Cái kết tàn bạo đến kinh ngạc sẽ còn khắc ghi trong tâm trí người xem".
Lượt xem
Tập 1 đã có 4,7 triệu người xem tại Hoa Kỳ trong ngày ra mắt, bao gồm cả người xem truyền hình và trên HBO Max, trở thành tập đầu tiên có lượng người xem lớn thứ 2 của HBO kể từ năm 2010, sau Gia Tộc Rồng. Con số đó tăng lên hơn 10 triệu người xem sau 2 ngày, 18 triệu sau một tuần , và 22 triệu trong vòng 12 ngày. Ở Mỹ Latinh, buổi ra mắt loạt phim này trên HBO Max là sự kiện lớn nhất từ ​​trước đến nay. Tập 2 có 5,7 triệu người xem trong đêm đầu tiên, tăng 22% so với tuần trước, mức tăng trưởng lượng người xem trong tuần thứ 2 lớn nhất đối với một bộ phim truyền hình dài tập gốc của HBO trong lịch sử kênh. Đến ngày 31 tháng 1, 2 tập đầu tiên đạt trung bình 21,3 triệu người xem. Tập 3 có 6,4 triệu người xem trong đêm đầu tiên, tăng 12%, còn tập 4 có 7,5 triệu người xem, tăng thêm 17% và tăng 60% so với tập đầu tiên. Từ ngày 30 tháng 1 đến ngày 5 tháng 2, bộ phim đã được phát trực tuyến trong 1,19 tỷ phút, đứng thứ 4 trong tuần. HBO đã không công bố số liệu cập nhật về lượng người xem kể từ tập 4.
Tại Vương quốc Anh, các phiên bản trò chơi điện tử đã tăng doanh thu sau buổi ra mắt: The Last of Us Remastered tăng 322% so với tuần trước và The Last of Us Part I tăng 238%, kết quả là cả hai đều trở lại bảng xếp hạng. Tuần tiếp theo, Part I tăng thêm 32% và Remastered tăng 27% doanh thu.
Giải thưởng và đề cử
Bộ phim được đề cử cho 6 giải thưởng tại MTV Movie & TV Awards 2023, và đoạt 3 giải thưởng: Chương trình hay nhất, Anh hùng xuất sắc nhất cho Pedro Pascal và Bộ đôi xuất sắc nhất cho Pascal và Ramsey.
Piercia serena
Piercia serena là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Piercia
Clerodendrum volubile
Clerodendrum volubile là một loài thực vật có hoa trong họ Hoa môi. Loài này được P.Beauv. mô tả khoa học đầu tiên năm 1806.
Liên kết ngoài
Thể loại:Clerodendrum Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1806
Chondria apicalis
Chondria apicalis là một loài bọ cánh cứng trong họ Endomychidae. Loài này được Arrow miêu tả khoa học năm 1923.
Tham khảo
Thể loại:Chondria
Cyclosorus jerdonii
Cyclosorus jerdonii là một loài dương xỉ trong họ Thelypteridaceae. Loài này được Ching mô tả khoa học đầu tiên năm 1838. Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Liên kết ngoài
Thể loại:Cyclosorus Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1838 Thể loại:Unresolved names
Cyclosorus jerdonii
Herreria coriacea
Herreria coriacea là một loài thực vật có hoa trong họ Măng tây. Loài này được Ravenna mô tả khoa học đầu tiên năm 2003.
Liên kết ngoài
Thể loại:Herreria Thể loại:Thực vật được mô tả năm 2003
Philenora cataplex
Philenora cataplex là một loài bướm đêm thuộc phân họ Arctiinae, họ Erebidae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Philenora