cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Toán học của thuyết tương đối rộng
Vectơ tiếp tuyến
Chú ý rằng tại mỗi điểm P chỉ có duy nhất một vectơ tiếp tuyến với đường cong và thậm chí hai đường cong có thể có chung một vectơ tiếp tuyến tại điểm chung P, và hai đường này sẽ có thể có một số điểm chung ở một số nơi (hai đường khác nhau) hoặc hoàn toàn đồng nhất giống nhau. Vì điểm P là bất kỳ, do vậy có thể viết biểu thức tổng quát cho định nghĩa của vectơ tiếp tuyến cho đường cong \mathcal C là
Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là, và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các thành phần tọa độ của nó V^\mu. Sự quan trọng của biểu thức là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới và sử dụng biểu thức  để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp tuyến  đối với hệ tọa độ mới này với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân và phương trình cuối cùng có được từ định nghĩa của.
Bởi vì cách đặt ký hiệu tốt rất quan trọng và điều này càng có ý nghĩa đặc biệt trong thuyết tương đối rộng, đầu tiên chúng ta có thể viết gọn lại bằng cách áp dụng quy tắc tính tổng do Einstein đặt ra, mà khi ta gặp một chỉ số xuất hiện hai lần điều này sẽ hàm ý việc tính tổng giữa các chỉ số từ 0 đến 3, và thứ hai chúng ta có thể áp dụng cách viết rút ngắn hơn nhờ phương trình  cho phép biến đổi ma trận, tức là Biểu thức  cần được giải thích rõ hơn, đầu tiên đó là chỉ số \mu là chỉ số được tính tổng (hay chỉ số rút gọn-contraction) tức là nó xuất hiện một lần với vai trò là chỉ số trên (phản biến-contravariance) trong V^\mu và một lần với vai trò là chỉ số dưới (hiệp biến-covariance) trong. Chỉ số này còn được gọi là chỉ số câm (dummy) để phân biệt với chỉ số tự do \mu' xuất hiện như là một chỉ số không thể thu gọn được ở cả hai vế của phương trình tenxơ. Bằng cách kiểm tra số lượng các chỉ số tự do có ở hai vế của phương trình là cách đơn giản nhất, ít nhất về mặt toán học, đó là phương trình tenxơ đã đúng hay chưa (và có thể có nhiều lý do để phương trình chưa đúng).
Phương trình là rất tổng quát và biểu diễn quy tắc biến đổi cho các vectơ phản biến. Về cơ bản, bốn phương trình trong cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ \mathbf V trong hệ tọa độ  một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ \{ x^\mu \}.
Bốn phương trình cho chúng ta cách tính thành phần tọa độ của vec tơ \mathbf V trong hệ \{ x^\mu \} một khi đã biết các thành phần của nó trong hệ. Rõ ràng là hai ma trận biến đổi của hai phép biến đổi ngược là ma trận nghịch đảo của nhau, hay Điều này cũng đúng cho phép biến đổi ngược lại Chú ý rằng cả hai phương trình và  là tương đương với Jacobian của biến đổi khác 0, Đại lượng được gọi là ký hiệu Kronecker.
Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một tham số, hay đường cong trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm vectơ tiếp tuyến tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là không gian tiếp tuyến của đa tạp \mathcal M tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.
Gradien của hàm số
Một vec tơ bất kỳ có thể được xây dựng dựa trên khái niệm đường cong. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định nghĩa của đường cong \mathcal C trong đa tạp và giới thiệu ra hàm vô hướng \phi, một hàm giá trị thực ánh xạ điểm P bất kỳ có tọa độ  trong \mathcal M vào một số thực. Bây giờ chúng ta có thể tính được hàm thực này biến đổi như thế nào dọc đường cong \mathcal C bằng Phương trình thứ hai trong phương trình chỉ đơn giản là định nghĩa của vectơ tiếp tuyến đã gặp ở, trong khi ở phương trình thứ ba là định nghĩa của gradien của hàm số \phi với chỉ số tự do phải là chỉ số nằm ở dưới (tức là hiệp biến) và đây là đặc điểm phân biệt với vectơ U^\mu.
Để hiểu tốt hơn tại sao chỉ số trong U_\mu phải ở dưới, chúng ta có thể nghiên cứu cách đối tượng hình học này hành xử dưới một phép biến đổi tọa độ và làm rõ ý nghĩa của nó hơn. Một lần nữa, nếu U_\mu là thành phần của đối tượng này trong hệ tọa độ \{ x^\mu \} thì thành phần của nó trong là Hay nói cách khác, quy tắc biến đổi cho gradien của hàm số \phi là và có thể được sử dụng làm định nghĩa cho khái niệm vectơ hiệp biến (covariant vector).
Chú ý rằng biến đổi là biến đổi ngược của quy tắc đã gặp cho các thành phần của vectơ [xem phương trình ]. Lý do cho điều này đến từ thực tế rằng vectơ phản biến và vectơ hiệp biến là đại lượng đối ngẫu của nhau, do đó không gian chứa mọi vectơ hiệp biến là không gian đối ngẫu của không gian tiếp tuyến mà chúng ta đã gặp ở phần trước. Bởi vì đây là một kết quả quan trọng và mối liên hệ sâu sắc giữa vectơ hiệp biến và vectơ phản biến sẽ được trình bày rõ ở phần sau. Như đối với vectơ phản biến, chúng ta có thể đưa ra biến đổi ngược cho vectơ hiệp biến và dễ dàng thu được Người đọc thận trọng có thể tự hỏi tại sao chúng ta không viết như sau và tại sao không viết như sau
Lý do đằng sau sự lựa chọn này là ở cách ký hiệu ma trận theo cách viết trong và  có thể sẽ gây ra sự nhầm lẫn một khi chúng ta coi  giống như ở trong phương trình. Điều này sẽ trở lên rõ ràng nếu chúng ta quay trở lại ví dụ về biến đổi tọa độ miêu tả ở trong phần Hệ tọa độ. Quả thực, khi chúng ta biến đổi gradien của một vô hướng từ tọa độ (x, y) sang (r, \theta), ma trận đúng viết trong mà nhân với vectơ cột  phải là mà chính là ma trận chuyển vị của ma trận được định nghĩa trong.
Ở những phần sau, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu đại diện cho  và  đại diện cho.
Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến
[[tập tin:Vector 1-form.svg|350px|thumb| Một vectơ v ( đỏ ) biểu diễn bằng
trong hệ tọa độ cong 3 chiều (q1, q2, q3), một bộ các số xác định lên vị trí của điểm. Chú ý rằng hệ cơ sở và hệ cơ sở đối ngẫu không trùng nhau trừ khi hệ là cơ sở trực giao. ]] Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong và viết lại thành do đó vectơ phản biến \mathbf V có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số \lambda và đo tỉ số cho một hàm vô hướng bất kỳ \phi dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến V^\mu của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien khác.
Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện mà không cần hàm vô hướng \phi trong và coi vectơ như là một đối tượng xác định bằng mà chúng ta đưa ra ký hiệu để chỉ bốn vectơ cơ sở \{ e_\mu \} dọc theo hướng xác định bởi tọa độ \{ x_\mu \} Những cơ sở vectơ này, mà có liên hệ chặt với hệ tọa độ đang áp dụng, được gọi là tọa độ cơ sở. Theo cách này, biểu thức nói một cách đơn giản rằng \mathbf V là tổ hợp của các thành phần phản biến V^\mu dọc theo hướng tọa độ.
Định nghĩa vectơ theo phương trình mang bản chất hình học của vectơ và có vẻ rất khác thường. Nhưng thực ra nếu xem xét kỹ, khi coi đa tạp ba chiều đi kèm với đạo hàm theo hướng (directional derivative) với cơ sở vectơ \{ e_i \} của giải tích vectơ cổ điển, khi đó rõ ràng rằng vectơ trong  lại được biểu diễn trùng với hệ ba vectơ ba chiều, tức là khi  được biểu diễn trong hệ tọa độ DeCartes (phương trình thứ hai) và trong hệ tọa độ cầu (phương trình thứ ba) hoặc trong bất kỳ cơ sở tọa độ nào. Cách nhìn mới về vec tơ này cũng hữu ích khi mở ra cách nhìn mới về đối vectơ hay một dạng một (covector, one form). Quả vậy, chúng ta có thể quay trở lại định nghĩa trong và xét tới vectơ hiệp biến  như là một toán tử  tác dụng lên vectơ sao cho khi áp dụng đối với vectơ \mathbf{V} nó trả lại một số thực, nghĩa là
Khi coi là một toán tử tác dụng lên vectơ, đối vec tơ là một toán tử tuyến tính tức là với a, b là các hệ số hằng số. Ngoài ra, nó còn tuân theo luật phân phối
Cách giải thích hình học này đã thực sự thống nhất các khái niệm vectơ và đối vectơ (dạng một, one form). Theo cách này, một vec tơ \mathbf V xác định lên đường cong mà nó tiếp tuyến với, trong dạng một \tilde d xác định gradien của một hàm vô hướng dọc cùng cung đó. Hơn nữa, dạng một tác dụng lên vectơ tạo ra một số độc lập với tọa độ và do vậy là bất biến tương đối tính. Tính chất quan trọng này được chứng minh bắt đầu bằng định nghĩa khi viết trong hệ tọa độ mới Tính chất bất biến này cũng áp dụng cho định nghĩa của vectơ và cho phép chúng ta suy ra quy tắc biến đổi của cơ sở vectơ do đó, gộp các thành phần của vectơ \mathbf V ta được Vì thế, đối với mọi vectơ không tầm thường ta có Mặc dù biểu thức không phải là phương trình biến đổi cho thành phần tọa độ, nhưng chúng ta nhận ra ngay lập tức sự tương tự giữa  và quy tắc biến đổi cho thành phần của đối vectơ trong. Vì vậy có thể nói rằng cơ sở vectơ biến đổi theo quy tắc giống như các thành phần của đối vectơ biến đổi và theo "cách ngược lại" với thành phần của vectơ. Chú ý rằng chữ "ngược" trong dấu hai phẩy vì nếu ta đọc biến đổi vectơ cơ sở trong như là biểu diễn ma trận của sự thay đổi cơ sở, thì biểu diễn ma trận tương ứng trong  chấp nhận nghịch đảo của ma trận chuyển vị sử dụng trong  chứ không phải nghịch đảo của ma trận này (xem ở phần Gradien của hàm số).
Cuối cùng, khi đã giới thiệu định nghĩa cơ sở vectơ, sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi về định nghĩa cơ sở của đối vectơ do vectơ và đối vectơ (hay dạng một) là những đại lượng đối ngẫu, nghĩa là do đó một cơ sở vectơ sinh ra một cơ sở đối vectơ, và bất kỳ một đối vectơ  có thể biểu diễn theo các thành phần của nó Để chứng minh  là đúng, chúng ta có thể sử dụng  và  để nhận được
Tenxơ
Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong và.
Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một tenxơ phản biến hạng hai là một đối tượng hình học \mathbb T, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ \{ x^\mu \} sang hệ mới Tương tự chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai là một đối tượng hình học \mathbb T, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ \{ x^\mu \} sang hệ
Nếu hệ tọa độ là thông thường, cả hai biểu thức và  sẽ thừa nhận phép biến đổi ngược và có thể suy ra trực tiếp dựa trên các biểu thức  và. Một cách tự nhiên, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp là một đối tượng hình học có cả thành phần hiệp biến và phản biến. Do vậy, ví dụ, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp loại (4,2) (tức là nó có bốn thành phần phản biến và hai thành phần hiệp biến) mà quy tắc biến đổi khi chuyển từ hệ tọa độ \{ x^\mu \} sang hệ  là và biến đổi ngược sẽ là
Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ.
Giờ đây chúng ta có thể coi vectơ và đối vectơ như là những tenxơ kiểu đặc biệt (lần lượt là kiểu (1, 0) và (0, 1)). Viết tenxơ theo các cơ sở vectơ và cơ sở đối vectơ  để biểu diễn một tenxơ hỗn hợp như là đối tượng hình học độc lập với hệ tọa độ. Ví dụ đối với tenxơ hỗn hợp loại (1, 1) là với ký hiệu \otimes là tích tenxơ. Chú ý rằng tích này không có tính giao hoán, tức là. Do vậy, hai tenxơ và  là hai tenxơ khác nhau.
Tương tự như đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa trường tenxơ bằng cách gán cho mỗi tenxơ kiểu (m, n) vào từng điểm P với là giá trị của trường tenxơ tại P. Cũng vậy, trường tenxơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Kể từ đây, chúng ta luôn luôn ám chỉ đến trường tenxơ mặc dù đôi khi chỉ viết ngắn gọn là tenxơ.
Nói chung, nếu một tenxơ có N chỉ số xác định trên đa tạp có D chiều, thì nó sẽ có D^N thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.
Chingia christii
Liên kết ngoài
Thể loại:Chingia Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1974 Thể loại:Unresolved names
Toán học của thuyết tương đối rộng
Tenxơ
Tóm lược lại phần này:
Đại số tenxơ
Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ  và dạng một  là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan:
Theo kết quả của và  có thể xây dựng một tenxơ đối xứng hoặc phản xứng bằng một tenxơ bất kỳ với các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông ký hiệu cho tương ứng tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng. Và hệ quả rõ ràng từ đó là một tenxơ bất kỳ luôn luôn có thể phân tích ra thành tổng của tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng Biểu thức có thể mở rộng ra cho ten xơ có kiểu bất kỳ, ví dụ ten xơ đối xứng và ten xơ phản xứng hiệp biến kiểu (0,3) có thể viết dưới dạng tổng của các ten xơ có chỉ số hoán vị của nó:
Thêm vào đó, khi thực hiện thu gọn tenxơ Levi-Civita chúng ta có tenxơ hoán vị mà ten xơ hoán vị chính là mở rộng của ký hiệu Kronecker tức là,
Tại sao chúng ta phải sử dụng tenxơ và đại số tenxơ đối với thuyết tương đối rộng? Bởi vì trong vật lý học nói chung và thuyết tương đối nói riêng, các nhà vật lý quan tâm tới định nghĩa và xác định các đại lượng độc lập với lựa chọn hệ tọa độ cụ thể sử dụng để phủ đa tạp. Chúng ta đã thấy các thành phần của tenxơ rất phụ thuộc vào hệ tọa độ, nhưng tenxơ và quan trọng nhất là phương trình tenxơ lại không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ví dụ, chúng ta xét phương trình tenxơ sau đây trong hệ tọa độ \{ x^\mu \} với k là hằng số và ta có thể coi G^\mu_\nu như là một toán tử vi phân biểu diễn dưới dạng thành phần tenxơ. Để thu được phương trình trong hệ tọa độ  ta sử dụng trực tiếp về biến đổi tọa độ cho mỗi vế của phương trình khi nhóm thừa số chung lại ta có Vì phương trình phải đúng trong mọi hệ tọa độ, do vậy phải có mà nó có dạng giống hệt với phương trình. Hay phương trình tenxơ được nói là hiệp biến theo nghĩa chúng có cùng dạng trong mọi hệ tọa độ. Kết quả là nếu chúng đúng (hay thỏa mãn) trong một hệ tọa độ, thì chúng cũng đúng trong mọi hệ tọa độ. Tính hiệp biến của phương trình tenxơ thể hiện một tính chất rất quan trọng của tenxơ và có nguồn gốc rất sâu sắc từ thuyết tương đối rộng.
Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric
Chúng ta vẫn chưa nói tới vấn đề làm thế nào để tính tích vô hướng giữa hai vectơ và đo được độ lớn của một vectơ. Cả hai phép toán tích vô hướng và tìm mô đun độ lớn đòi hỏi đa tạp không thời gian được trang bị một toán tử g, đó là ten xơ đối xứng hạng 2 hay kiểu (0, 2), mà khi nó tác dụng lên hai vectơ, thì chúng ta thu được một số Biểu thức trên chính là định nghĩa của tích vô hướng hai vectơ, và khi tích này bằng 0 ta nói hai vectơ trực giao với nhau. Theo cách tương tự đã chứng minh hàm là không phụ thuộc hệ tọa độ (phương trình ), chúng ta có thể chứng minh tích vô hướng cũng là một đại lượng bất biến, tức là. Định nghĩa mô đun độ lớn (hay độ dài) của một vectơ bất kỳ chính là trường hợp đặc biệt của và tương ứng với tích vô hướng của chính nó,
Bây giờ chúng ta có thể quay trở lại phần Đa tạp không thời gian và coi không thời gian như là đa tạp \mathcal M mà trên đó phủ một số hệ tọa độ. Khi có hai sự kiện P tại và Q tại  trên \mathcal M, chúng ta mong muốn đo được bình phương khoảng không thời gian vô cùng bé (hay yếu tố đoạn-line element), ds2, theo vectơ dời chỗ vô cùng bé dx mà các thành phần của nó chính là. Khoảng cách này chính là tích vô hướng của hai vectơ và là đại lượng độc lập với hệ tọa độ Bởi vì có vai trò trong đo khoảng cách như ở phương trình tenxơ đối xứng g thường được gọi là tenxơ metric (hay chỉ đơn giản là metric) và nó là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối tổng quát. Dấu của tenxơ metric được định nghĩa bằng số giá trị riêng dương, âm hay bằng 0 của metric.
Khi đã lựa chọn hệ tọa độ để định vị và xếp thứ tự các sự kiện trong không thời gian, tenxơ metric cho phép chúng ta đo được khoảng cách giữa các sự kiện và do đó thực hiện được những phép đo vật lý. Trong khi biểu thức chỉ giới hạn ở khoảng cách vô cùng bé, chúng ta có thể mở rộng nó ra cho khoảng cách hữu hạn và khoảng cách riêng giữa hai sự kiện nối với nhau bằng cung \mathcal C bằng Chúng ta có thể dễ dàng nhận ra biểu thức rất giống với định lý Pythagoras áp dụng cho không thời gian khác với không gian Euclid. Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau
Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes (x, y, z); hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt. Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành.
Định thức của tenxơ metric ký hiệu bằng và chúng ta sử dụng nó để tính yếu tố thể tích riêng (proper volume element) khi tích phân trên miền không gian bốn chiều giới hạn bởi siêu mặt ∑ Hơn nữa metric là không kỳ dị khi và chỉ khi g \ne 0 khắp nơi đối với ánh xạ. Trong trường hợp này g_{\mu \nu} có nghịch đảo g^{\mu \nu} sao cho
Tính chất cho phép chúng ta thực hiện nâng và hạ chỉ số của tenxơ bằng cách thu gọn tenxơ với tenxơ metric hoặc nghịch đảo của nó. Trong phép toán này, chỉ số được thu gọn (hay chỉ số câm) bị triệt tiêu và các chỉ số còn lại của tenxơ metric hoặc là hạ thấp (khi metric được sử dụng trong phép thu gọn) hoặc được nâng lên (trong trường hợp metric nghịch đảo được sử dụng). Ví dụ, đối với tenxơ T loại (2, 2) phép thu gọn nó với metric và metric nghịch đảo là hoặc tổng quát hơn đối với ten xơ bất kỳ Hai trường hợp đặc biệt đối với thu gọn ten xơ bằng ten xơ metric đó là đối với ten xơ hạng hai, khi kết quả thu gọn hoặc là dẫn tới vết nếu ten xơ đối xứng, hoặc bằng 0 nếu ten xơ phản xứng
Tính chất nâng và hạ chỉ số không chỉ là cách thuận tiện khi làm việc với đại số ten xơ mà còn là một cách để chứng tỏ ten xơ metric có thể được sử dụng để ánh xạ vectơ vào dạng một. Để thấy điều này, ta hãy xem lại phương trình và coi metric như là một toán tử tác động lên hai vectơ. Hơn nữa, nếu cố định một vec tơ, U chẳng hạn, và coi nó như là một toán tử khi tác động lên một vectơ sẽ thu được một số (hay vô hướng) mà ở cặp phương trình đầu tiên nhấn mạnh vào tính đối xứng của toán tử khi chúng ta có kết quả như nhau nếu "điền vào" dấu chấm một vectơ. Và khi cặp phương trình thứ nhất và cặp phương trình thứ hai tác động lên một vec tơ V sẽ cho cùng một kết quả Về cơ bản phương trình nói rằng ten xơ metric có thể dùng để ánh xạ một vec tơ U vào một đối vec tơ (hay dạng một) Ũ mà các thành phần sẽ là Uμ. Tương tự, nghịch đảo của metric g−1 sẽ cho ánh xạ từ đối vectơ vào vectơ, do đó hoàn thiện bức tranh đầy đủ về tính đối ngẫu giữa vectơ và dạng một. Ngoài ý nghĩa của tenxơ metric như đã nêu, chúng ta có thể viết lại tích vô hướng dưới đây và viết lại thành
Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn thì hệ cơ sở này được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn.
Tách một tenxơ thông qua vectơ
Một tính chất hữu ích của đại số tenxơ mà có thể áp dụng cho các phương trình vật lý đó là chúng ta có thể tách một tenxơ hạng 2 theo hướng song song và vuông góc với một vectơ. Xét một trường vec tơ U mà có trực chuẩn U.U = -1 và định nghĩa toán tử chiếu (hay tenxơ chiếu) h trực giao với U như là một tenxơ với các thành phần
mà nó thỏa mãn những đẳng thức sau đây
Với toán tử này chúng ta có thể tách một trường vectơ V thành các phần song song với U và trực giao với U, nghĩa là
với số hạng là thành phần của V dọc theo U, trong khi số hạng  là thành phần của V trong không gian trực giao với U. Tương tự, có thể tách một tenxơ hiệp biến hạng 2 W bằng cách sử dụng tenxơ chiếu trên từng thành phần c]ủa nó, nhận được
với
Có thể phân tích Z_{\mu \nu} thành các phần đối xứng và phản đối xứng như trong biểu thức và có
Kết quả của phân tích có thể viết thành dạng không khả quy là
Mặc dù chúng ta vẫn chưa giới thiệu ra công cụ toán học cần thiết để tính đạo hàm theo cách không bị phụ thuộc vào hệ tọa độ (theo nghĩa hiệp biến), chúng ta vẫn có đủ công cụ toán học để miêu tả không thời gian bốn chiều đơn giản nhất, không thời gian phẳng.
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp
Xét hai hệ quy chiếu quán tính \mathcal O và \mathcal O' chuyển động tương đối so với nhau với tốc độ hằng số Bởi vì tốc độ này là thuần túy thuộc về không gian và do vậy là vectơ-ba, chúng ta sẽ ký hiệu nó là vận tốc-ba với các thành phần được tính bằng
ở đây chỉ số Latin i chạy từ 1 đến 3 và t là tọa độ thời gian. Trong phần này, chúng ta sẽ coi hướng dọc theo trục x trong cả hai hệ quy chiếu \mathcal O và \mathcal O'. Do vậy,. Trong vật lý Newton, phép biến đổi đúng giữa hai hệ quy chiếu được miêu tả bằng phép biến đổi Galilei: chúng là cơ sở cho tính bất biến của các định luật động lực học Newton Ý tưởng về một cái gì đó bị sai đến với Einstein sau khi ông nhận ra rằng phương trình Maxwell không bất biến dưới phép biến đổi Galilei và  Thuyết tương đối hẹp đã được phát triển để giải quyết sự không tương thích này và nó là lý thuyết vật lý đầu tiên về không thời gian như là một thực thể. Mặc dù đã có nhiều thí nghiệm kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết, thuyết tương đối đặc biệt có cấu trúc toán học tiên đề rất rõ ràng, khi nó dựa trên những giả sử sau đây: Chú ý rằng, và nó cũng là hệ quả của tiên đề thứ hai, và bởi vì tốc độ ánh sáng xuất hiện trong phương trình Maxwell, c phải có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Cấu trúc tô pô và vi phân của thuyết tương đối hẹp là giống với cấu trúc toán học của lý thuyết Newton nhưng với định nghĩa khác về khoảng cách hay khác về mêtric. Trong hệ tọa độ Descarte, tenxơ metric g_{\mu \nu} của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp, hay không thời gian Minkowski là
Rõ ràng là, trong cùng một không thời gian phẳng, một hệ tọa độ khác - ví dụ hệ tọa độ cầu, sẽ cho tenxơ mêtric khác với dạng của. Tuy nhiên có một định lý quan trọng đối với không thời gian phẳng đó là: độc lập với hệ tọa độ dùng để bao phủ đa tạp không thời gian phẳng, luôn luôn có một biến đổi tọa độ toàn cục để đưa tenxơ mêtric của hệ tọa độ đó về dạng.
Giải thưởng phim truyền hình Hàn Quốc lần thứ 4
Giải thưởng phim truyền hình Hàn Quốc lần thứ 4 là một lễ trao giải cho những bộ phim truyền hình xuất sắc của Hàn Quốc. Được diễn ra tại Trung tâm Văn hóa Nghệ thuật Kyungnam ở Jinju, Nam Gyeongsang vào ngày 2 tháng 10 năm 2011 và được dẫn chương trình bởi Son Hoyoung và Choi Song-hyun. Danh sách đề cử là những bộ phim truyền hình Hàn Quốc được phát sóng từ ngày tháng 10 năm 2010 tới tháng 9 năm 2011.
Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp
trong đó
Giải thưởng phim truyền hình Hàn Quốc lần thứ 4
Đề cử và kết quả
(Người giành giải được in đậm)
Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp
là hệ số Lorentz có giá trị bằng 1 (khi V = 0) và tiến tới \infty khi V \rightarrow 1. Sử dụng, dạng ma trận cho biến đổi vectơ giữa các hệ tọa độ trong thuyết tương đối hẹp - hay ma trận biến đổi Lorentz (xem phần Vectơ tiếp tuyến)
mà cần nhấn mạnh một lần nữa đó là biến đổi tọa độ này tương đương với sự chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Chú ý rằng ma trận biến đổi có dạng đối xứng, và vì vậy nó bằng ma trận chuyển vị của nó, ma trận có định thức bằng 1 vì ma trận nghịch đảo có thể nhận được bằng cách thay V bằng -V. Ma trận nghịch đảo này có thể dùng cho phương trình để tìm hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên \mathcal O' theo hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên \mathcal O.
nhỏ|trái|250px|Hình 1.1 Nón ánh sáng quá khứ và tương lai của sự kiện P. Đường màu nâu là tuyến thế giới (world line) của một quan sát viên với vận tốc-bốn u. Các màu khác biểu diễn các vectơ giữa sự kiện P và Q trong các trường hợp: vectơ kiểu thời gian (timelike) U.U < 0, vectơ rỗng (null) U.U = 0, vectơ kiểu không gian (spacelike) U.U > 0.
Giải thưởng phim truyền hình Hàn Quốc lần thứ 4
Liên kết ngoài
Thể loại:Giải thưởng truyền hình 2011 Thể loại:Giải thưởng phim truyền hình Hàn Quốc
Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp
Tất cả những hệ quả kỳ lạ của thuyết tương đối hẹp mà không có ở vật lý Newton, như khái niệm về tính tương đối của sự đồng thời, sự co độ dài Lorentz, sự giãn thời gian, nghịch lý sinh đôi đều có thể rút ra từ các phương trình. Hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu thời gian nếu nguyên tố đoạn giữa chúng ds2 < 0, theo nghĩa trong mỗi hệ quy chiếu khoảng cách không gian giữa hai sự kiện luôn có thể đạt tới bằng một vật chuyển động với vận tốc v < c trong khoảng thời gian. Khi ds2 = 0 hai sự kiện được nói là tách nhau rỗng và chúng chỉ có thể liên hệ nhân quả được với nhau thông qua tia sáng. Lấy một sự kiện P(xi, t) bất kỳ trong không thời gian, tập hợp các tia sáng từ nó sẽ định ra nón ánh sáng của P về quá khứ và trong tương lai phụ thuộc vào hướng đến hay hướng ra của tia sáng. Cuối cùng hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu không gian nếu ds2 > 0, hàm ý rằng trong mọi hệ quy chiếu khoảng cách không gian dl giữa hai sự kiện luôn luôn lớn hơn khoảng cách mà ánh sáng có thể lan truyền trong khoảng thời gian. Nội dung này được thể hiện trong hình 1.1 với nón ánh sáng quá khứ và tương lai của sự kiện P. Hai sự kiện được nói là có liên hệ nhân quả nếu và chỉ nếu chúng nằm trong nón ánh sáng của nhau.
Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này đối với vectơ: một vectơ-bốn bất kỳ U gọi là vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian và vectơ rỗng nếu có tương ứng U.U < 0, U.U > 0, U.U = 0, các ví dụ về những vec tơ này được thể hiện trong hình 1.1.
Nếu hai sự kiện tách nhau kiểu thời gian, thì khoảng thời gian tối thiểu dτ giữa chúng đo bởi một quan sát viên khi anh ta thực hiện gán cho mỗi sự kiện có cùng tọa độ không gian, hay dx = dy = dz = 0, do vậy ds2 = -dt2 = -d\tau2. Bời vì tính bất biến của nguyên tố đoạn, điều kiện này phải thỏa mãn trong mọi hệ quy chiếu khác, nơi chúng có dạng
từ đó ta có
Bởi vì \tau là thời gian đo bởi quan sát viên từ đồng hồ gắn liền với anh ta, nên thời gian này thường được gọi là thời gian riêng.
Từ đây, chúng ta định nghĩa ra vectơ-bốn vận tốc u:
mà chúng ta coi nó như là một vec tơ tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong được xác định bởi tham số \tau (xem phương trình ), ví dụ tuyến thế giới của hạt nếu u là vận tốc-bốn của hạt. Hơn nữa, theo định nghĩa của thời gian riêng \tau trong có thể dễ dàng kết luận rằng vectơ-bốn vận tốc u phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
Các biểu thức và  được viết cho trường hợp tổng quát, do vậy chúng cũng đúng cho trường hợp được viết trong không thời gian cong mà sẽ giới thiệu ở phần tiếp theo. Dễ dàng thiết lập lên mối liên hệ giữa vectơ-bốn vận tốc u và vận tốc-ba không gian và nó được biểu diễn thông qua thành phần của vectơ-bốn vận tốc
từ đây vận tốc-ba được biểu diễn bằng
Lưu ý rằng trong hệ tọa độ mà hạt đứng yên, vectơ-bốn vận tốc có thành phần. Kết quả là, trong hệ quy chiếu mà hạt đứng yên, vectơ-bốn vận tốc có hướng chỉ theo vectơ cơ sở thời gian. Bây giờ giả sử hệ quy chiếu \mathcal O' chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x so với hệ quy chiếu \mathcal O, và vận tốc-ba của hạt trong \mathcal O là cũng như trong \mathcal O' là, chúng ta có định luật cộng vận tốc đối với vận tốc-ba
Có thể dễ dàng nhận ra rằng định luật thu về định luật cộng vận tốc Galilei  khi V \ll 1.
Nếu m là khối lượng nghỉ của hạt thì động lượng tương đối tính của nó được định nghĩa bằng:
và các thành phần của nó là:
Năng lượng tương đối tính được định nghĩa bằng:
mà nó trùng với thành phần thứ 0 của động lượng-bốn
và thỏa mãn
Với, sử dụng khai triển Taylor theo đối số giúp nhận rõ ra được năng lượng tương đối tính khác so với năng lượng trong cơ học Newton như thế nào:
Trong khi số hạng thứ hai chính là động năng của hạt trong cơ học Newton thì số hạng thứ nhất lại mới lạ và vắng mặt trong cơ học cổ điển. Nó biểu diễn cho năng lượng nghỉ của hạt
mà giá trị này khác 0 ngay cả khi hạt đứng yên. Hiệu số E - E0 được coi là động năng tương đối tính
Chú ý rằng, khi v = 1 cả động năng và năng lượng phân kỳ cho thấy bản chất không có một vật thể với khối lượng hữu hạn nào có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng được. Tuy nhiên, photon, hạt lượng tử ánh sáng, có khối lượng bằng 0 nhưng nó vẫn có động lượng
Một lưu lý khác, đó là vận tốc-bốn không xác định cho photon (và những hạt không có khối lượng khác) vì chúng di chuyển trên tuyến thế giới rỗng (null worldline), do vậy thời gian riêng của chúng bằng 0 và khoảng bất biến. Điều này tương đương với phát biểu không có hệ quy chiếu chuyển động cùng với photon và do đó chúng đứng yên trong hệ đó.
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng
Như đã thảo luận ở phần trước, thuyết tương đối hẹp dựa trên sự tồn tại của hệ quy chiếu quán tính, những hệ chuyển động với vận tốc không đổi và luôn luôn có thể gắn lên chúng những hệ tọa độ mà khoảng cách riêng và thời gian riêng không phụ thuộc vào vị trí. Trong khi thuyết tương đối đặc biệt và những hệ quả của nó đã được kiểm tra vô số lần trong các máy gia tốc vật lý hạt năng lượng cao, nơi bỏ qua được tác động của lực hấp dẫn, rõ ràng rằng các tiên đề cơ sở của thuyết tương đối hẹp không phù hợp với sự có mặt của một trường hấp dẫn. Xem thêm các bài thí nghiệm Eötvös và GPS về những cơ sở thực nghiệm cho thấy điều này. Cũng nhận thấy rằng các phương trình của cơ học Newton không bất biến dưới phép biến đổi Lorentz (tính bất biến của phương trình Maxwell là một đòi hỏi cơ bản trong sự phát triển của thuyết tương đối hẹp). Kết quả là, tương tác hấp dẫn phải cần thiết xuất hiện thông qua sự mở rộng các định luật vật lý bao hàm các tiên đề của thuyết tương đối hẹp. Như chỉ ra ở bên dưới, điều này cho phép việc mở rộng các khái niệm và định nghĩa trong không thời gian như là một đa tạp phẳng sang thành một đa tạp cong.
Về mặt lịch sử, xuất phát điểm của sự phát triển thuyết tương đối tổng quát đó là trình bày cách phát biểu của nguyên lý tương đương. Trong cách phát biểu mạnh: nguyên lý tương đương khẳng định rằng các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu rơi tự do là giống với khi chúng ở trong hệ quy chiếu quán tính. Nội dung này đến từ thực tế rằng, ít nhất trên phạm vi cục bộ, không thể phân biệt được thông qua các thí nghiệm và đo đạc vật lý một hệ quy chiếu quán tính với một hệ quy chiếu đang rơi tự do trong trường hấp dẫn. Trong cả hai hệ, chuyển động của vật không phụ thuộc vào khối lượng cũng như thành phần vật liệu cấu tạo nên nó. Bản chất của nguyên lý đó là hấp dẫn ngăn cản sự tồn tại của một hệ quy chiếu quán tính và cách để tạo ra một hệ quy chiếu quán tính đó là loại bỏ hấp dẫn bằng quá trình rơi tự do. Cũng có dạng phát biểu "yếu"của nguyên lý tương đương, tạo thành phát biểu bổ sung cho nguyên lý tương đương mạnh: các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu không quán tính (có gia tốc) là như nhau so với khi chúng trong hệ quy chiếu nhúng vào một trường hấp dẫn. Bản chất của cách phát biểu thứ hai này đó là trường hấp dẫn thể hiện giống với hệ quy chiếu phi quán tính (có gia tốc).
Theo sau sự logic này, lý thuyết bao gồm các hiệu ứng hấp dẫn bắt đầu từ sự phân tích các hệ quy chiếu phi quán tính, cụ thể hơn, từ tính chất quan trọng của chúng khi được miêu tả bằng một metric mà không thể đưa về dạng. Lúc đó nguyên lý tương đương được sử dụng để tìm ra sự biểu hiện của một trường hấp dẫn mà gắn liền với một tenxơ mêtric mà sẽ khác hẳn với dạng. Ví dụ, giả sử trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descarte chúng ta thực hiện sự thay đổi hệ tọa độ thông qua biến đổi tọa độ, từ một hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu khác quay với vận tốc góc \Omega quanh trục z:
Hệ quy chiếu mới rõ ràng là phi quán tính (do xuất hiện lực hướng tâm và lực Coriolis) và mêtric trong hệ quy chiếu mới này thay đổi từ dạng chéo hóa như ở thành dạng không chéo hóa biểu diễn bằng nguyên tố đoạn:
Ở đây, một hệ quy chiếu phi quán tính, mà chúng ta đã thấy là có liên quan đến trường hấp dẫn, có thể được miêu tả bằng một mêtric không có dạng đường chéo. Từ ví dụ này có thể phỏng đoán rằng mêtric miêu tả trường hấp dẫn có thể khác với dạng mêtric trong. Theo nghĩa này, hấp dẫn không còn được coi là một dạng "lực nữa" mà là biểu hiện của sự cong không thời gian.
Bây giờ chúng ta có thể tóm lược những miêu tả ở trên, đặc biệt về tenxơ mêtric miêu tả trường hấp dẫn, để đi đến định nghĩa toán học chính xác về không thời gian không phẳng. Cụ thể hơn, chúng ta xác định một không thời gian cong là một đa tạp mà một điểm \mathcal P trên nó có thể xác định được một tập hợp hệ tọa độ x^\mu sao cho mêtric giả sử có dạng
Nói cách khác, trong khi một không thời gian cong có thể xuất hiện dưới dạng phẳng cục bộ trong lân cận của một điểm của bất kỳ, với, nó không thể phẳng khi xét trên mọi điểm. Kết luận này và với độ yếu của trường hấp dẫn trên Trái Đất cũng giải thích sự thành công của thuyết tương đối hẹp khi nó miêu tả với độ chính xác cao các hiện tượng và kết quả vật lý trên phạm vi nhỏ của mọi thí nghiệm trong các phòng thí nghiệm.
Đạo hàm Lie
Một khái niệm hữu ích khi lần đầu tiên thảo luận về đạo hàm trong không thời gian cong đó là đạo hàm Lie của một trường vectơ tương ứng với một trường vectơ khác. Để đưa ra toán tử vi phân mới này, đầu tiên chúng ta cần gắn cho một trường vectơ bất kỳ một họ các đường cong, gọi là đoàn đường cong của , với  là vectơ tiếp tuyến, tức là
với \lambda là tham số thay đổi dọc cung. Thứ hai, chúng ta thấy rằng sự hội tụ cung cấp một ánh xạ từ đa tạp vào chính nó. Thực tế, tại một điểm P bất kỳ trên đa tạp, tồn tại một và chỉ một đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua nó. Do vậy điểm P có thể được ánh xạ vào điểm Q bằng cách kéo P dọc theo cung thuộc đoàn đường cong mà nó thuộc về, tức là
với với \mathcal C là đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua hai điểm P và Q. Rõ ràng là ánh xạ  có thể kéo không chỉ các điểm mà còn là toàn bộ một đường cong hay tập hợp của các điểm. Bây giờ giả sử có một trường vectơ thứ hai gắn với đoàn. Ý tưởng cơ bản về đạo hàm Lie của trường vectơ tương ứng với trường vectơ  đó là so sánh vectơ  với vectơ nhận được sau khi kéo  dọc theo đoàn đường cong của. Theo đó, đạo hàm Lie của dọc theo  là
với là vectơ thu được bằng cách lấy vectơ tiếp tuyến tại điểm P thuộc đường cong của đoàn đường cong  và kéo (hay dịch chuyển) nó từ P tới Q. Hình 1.2 minh họa hai họ đoàn đường cong và các vectơ tiếp tuyến tương ứng trên chúng.
Theo thành phần tọa độ, phương trình có thể biểu diễn theo phép biến đổi tọa độ như sau:
trong đó là sự thay đổi tọa độ dọc theo đường cong. Vì đạo hàm của x^{{\mu}'} là
từ đây vec tơ U^\mu biến đổi như sau
nhỏ|phải|250px|Hình 1.2. Minh họa hai họ đoàn đường cong và  với các trường vectơ tiếp tuyến tương ứng U và V. Chú ý sự khác nhau giữa trường vectơ  tại sự kiện Q (màu đỏ) và trường vectơ kéo tương đương  của  tại sự kiện P (màu cam).
Mặt khác, trên vế trái của  có thể tính thông qua khai triển Taylor
và kết hợp hai phương trình cuối ta thu được
Nếu quay trở lại định nghĩa, chúng ta có thể suy luận ra công thức đạo hàm Lie của trường vectơ trong thành phần tọa độ hiệp biến và phản biến như sau
Điều mà chúng ta đã tìm thấy đó là có thể đặc biệt hóa một trường vec tơ thành một trường vô hướng hay tổng quát hóa thành một trường tenxơ bất kỳ. Ví dụ trong trường hợp hàm vô hướng \phi và một trường tenxơ tổng quát T, chúng ta có thể lặp lại lập luận ở trên và có
với công thức thứ hai chỉ đơn giản là đạo hàm của trường vô hướng dọc đoàn đường cong V, do đó nó nhấn mạnh rằng đạo hàm Lie có thể coi là sự tổng quát hóa của đạo hàm đối lưu (convective derivative hay material derivative) cho một đa tạp bất kỳ đối với một trường vô hướng dọc một đường cong (cũng xem phương trình ).
Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng công thức có thể viết thành dạng thu gọn là mà chúng ta đã bỏ đi dạng thành phần,  còn được gọi là dấu ngoặc Lie và là thành phần cơ bản trong đại số Lie. Dấu ngoặc Lie cũng được sử dụng để nhấn mạnh một tính chất quan trọng của cơ sở tọa độ. Nói chung, dấu ngoặc Lie của hai cơ sở tọa độ bất kỳ có biểu diễn theo cùng một cơ sở như với các thành phần, mà không phải là thành phần của một tenxơ, được đặt tên là các hệ số cấu trúc. Có thể chứng minh được rằng một hệ cơ sở vectơ là cơ sở tọa độ khi và chỉ khi mọi hệ số cấu trúc của chúng bằng 0.
Từ định nghĩa (ví dụ xem phương trình ), thì cơ sở tọa độ có thể được xây dựng từ một hệ tọa độ bất kỳ, ví dụ  là cơ sở tọa độ trong trường hợp hệ tọa độ Descartes và  là cơ sở tọa độ cho hệ tọa độ cầu. Rõ ràng các thành phần của hệ cơ sở tọa độ chỉ là khi tính trong cùng một hệ cơ sở đó, nhưng không phải mọi hệ cơ sở tọa độ là trực chuẩn hay. Quả vậy, khi sử dụng hệ tọa độ cong, ngay cả trong không thời gian phẳng, cơ sở tọa độ nói chung không là hệ trực chuẩn, nhưng có thể dễ dàng xây dựng lên một hệ trực chuẩn từ hệ này. Ví dụ, xét cơ sở tọa độ ta có thể xây dựng một hệ cơ sở trực chuẩn  như
mà lúc này sẽ trở thành một hệ cơ sở trực chuẩn, chẳng hạn. Hơn nữa, nếu thành phần đầu tiên của một hệ cơ sở trực chuẩn là một vectơ 4-vận tốc của một quan sát viên, thì hệ cơ sở này được gọi là nhóm bốn (tetrad), và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đo lường trong thuyết tương đối rộng vì những đo đạc trong hệ cơ sở nhóm bốn là tương đương với đo đạc trong một hệ quy chiếu quán tính. Tính chất quan trọng của hệ cơ sở trực chuẩn mới và  đó là nó không phải là hệ cơ sở tọa độ, vì không thể thực hiện phép biến đổi tọa độ đơn giản từ hệ tọa độ Descartes thành hệ này, hay một cách tương đương, các hệ số cấu trúc của hệ cơ sở trực chuẩn khác 0, ví dụ
Vì lý do này mà cơ sở trực chuẩn như và  còn được coi là cơ sở phi tọa độ. Kể từ đây chúng ta sẽ ám chỉ cơ sở trực chuẩn với ký hiệu mũ bên trên chỉ số hiệp biến.
Định nghĩa đạo hàm Lie là rất cơ bản mà có thể xác định khi không cần một liên thông hay mêtric nào.
Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel
Khi xây dựng một toán tử vi phân mới nhằm mở rộng khái niệm đạo hàm từng phần sang cho không thời gian cong, chúng ta đã biết nó phải có tính chất chính xác gì. Đó là, khi tác dụng lên một tenxơ, toán tử vi phân mới này sẽ phải cho kết quả là một tenxơ mới. Đạo hàm từng phần chỉ thỏa mãn tính chất này đối với các phép biến đổi tọa độ tuyến tính. Tuy nhiên, dưới những điều kiện tổng quát hơn, chẳng hạn cho các biến đổi phi tuyến, kết quả của đạo hàm riêng không có tính chất giống như tenxơ. Ví dụ, xét biến đổi
rồi thực hiện đạo hàm riêng đối với hệ tọa độ mới ta có
Nếu biến đổi tọa độ là phi tuyến, thì số hạng thứ hai trong vế phải của phương trình  sẽ không triệt tiêu và đạo hàm riêng của các thành phần vectơ sẽ không biến đổi như một tenxơ. Thật may là việc xây dựng một toán tử vi phân với những tính chất đòi hỏi là không quá khó và chúng ta có thể bắt đầu bằng cách xét một trường vectơ và một tập vectơ cơ sở  mà biểu diễn các thành phần của trường vectơ trên đó,  (xem phương trình ). Sau đó thực hiện tính đạo hàm
mà chúng ta có thể coi số hạng như là một vectơ được viết trong cùng một hệ cơ sở vectơ  hay
mà ở đây dễ dàng nhận ra rằng hệ số bị triệt tiêu trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descartes do trong trường hợp này vectơ cơ sở là không thay đổi. Chú ý rằng, nếu trong cùng một không thời gian phẳng mà được bao phủ bằng một hệ tọa độ khác, ví dụ như hệ tọa độ cầu, thì các hệ số này lại không bị triệt tiêu hoàn toàn. Và từ sự triệt tiêu của các hệ số chưa chắc đã kết luận được đó là không thời gian phẳng hay không. Kết hợp phương trình với  ta có do vậy các thành phần của trường vectơ, biểu thức nằm trong dấu ngoặc của phương trình thứ hai trong , xác định lên đạo hàm hiệp biến của U^\mu
Hệ số được gọi là hệ số liên thông aphin hay ký hiệu Christoffel (mang tên của Elwin Bruno Christoffel), chúng không phải là tenxơ do chúng biến mất trong những hệ tọa độ cụ thể (ví dụ như hệ tọa độ Descartes trong không thời gian phẳng) trong khi chúng khác 0 trong hệ tọa độ khác. Thật vậy, có thể dễ dàng chứng minh được rằng dưới phép biến đổi tọa tổng quát ký hiệu Christoffel biến đổi theo
mà nó chỉ hoạt động như một tenxơ khi biến đổi là tuyến tính, như phép biến đổi Lorentz. Mặt khác, đạo hàm hiệp biến định nghĩa từ phương trình cho phép xác định các thành phần của một tenxơ vì chúng đã được xây dựng để biểu diễn các thành phần của một trường vectơ trong. Cũng chú ý rằng vì hàm vô hướng không thể phân tích theo các thành phần của hệ vectơ cơ sở cho nên đạo hàm hiệp biến của hàm vô hướng \phi trùng với đạo hàm riêng
Bây giờ có thể sử dụng tính chất và định nghĩa  của đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến U^\mu để thu được đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến U_\mu
Các thao tác tương tự cho phép tính được đạo hàm hiệp biến của một tenxơ hỗn hợp loại bất kỳ. Ví dụ, đối với ten xơ kiểu (1,1) và (0,2)
Simodactylus lineatus
Simodactylus lineatus là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Van Zwaluwenburg miêu tả khoa học năm 1948.
Toán học của thuyết tương đối rộng
Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel
Có một điểm thú vị đó là nếu quay trở lại định luật biến đổi sẽ thấy thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel  là một tenxơ. Hơn nữa, khi xét tới cơ sở tọa độ, thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel được sử dụng để định nghĩa một tenxơ gọi là tenxơ xoắn (torsion tensor):