cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Trường (đại số)
Hệ quả từ định nghĩa
Tất cả nhóm con hữu hản của nhóm nhân của một trường đều là cyclic (xem ).
Tính chất
Ngoài phép nhân hai phần tử của F, ta có thể định nghĩa tích
n ⋅ a
của phần tử
a
bất kỳ của F với một số nguyên dương n là tổng n số hạng là
a + a + ... + a
Nếu không tồn tại số nguyên dương nào sao cho
, thì trường F có đặc số 0. Ví dụ, trường số hữu tỉ
Q
có đặc số 0 vì không có số nguyên dương n nào bằng 0. Nếu tồn tại một số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên thì nghiệm nhỏ nhất phải là số nguyên tố. Số này thường được ký hiệu là p và khi ấy ta nói trường có đặc số p. Trong ví dụ ở trên, trường
F4
có đặc số 2 vì
I + I = O
.
Nếu F có đặc số p, thì
p ⋅ a = 0
thuộc F. Nghĩa
(a + b)p = ap + bp
, Do tất cả hệ số nhị thức xuất hiện trong khai triển nhị thức đều chia hết cho p. Ở đây,
ok các bạn nhé !
1km=10hm & 1km=1000m
tương thích với phép cộng trong F (và với phép nhân), do đó nó là một phép tự đồng cấu trường. Sự tồn tại của đồng cấu này khiến trường đặc số p có nhiều điểm khác với trường đặc số 0.
Trường con và trường nguyên tố
Một trường con E của trường F là một tập con của F và là một trường đối với các phép toán của F. Nói cách khác, E là tập con của F chứa
1
, và đóng dưới phép cộng, phép nhân, nghịch đảo phép cộng và nghịch đảo phép nhân của một phần tử khác 0. Điều này nghĩa là
, với mọi
a, b ∈ E
thì cả
a + b
và
a · b
cũng thuộc E, với mọi
a ≠ 0
thuộc E, thì
–a
1/a
đều thuộc E.
Phép đồng cấu trường là một ánh xạ
f: E → F
giữa hai trường sao cho
f(e1 + e2) = f(e1) + f(e2)
f(e1e2) = f(e1)f(e2)
f(1E) = 1F
e2
Một trường được gọi là một trường nguyên tố nếu như nó không có trường con thực sự nào. Bất kỳ trường F nào cũng chứa một trường nguyên tố, trường này là giao của tất cả trường con của F. Nếu đặc số của F là một số nguyên tố p, trường nguyên tố đó đẳng cấu với trường hữu hạn
Fp
ở dưới. Nếu không thì trường nguyên tố này đẳng cấu với
.
Trường hữu hạn
có bốn phần tử. Trường colà trường nhỏ nhất, do theo định nghĩa trường phải có ít nhất hai phần tử phân biệt
1 ≠ 0
.
thumb|Trong số học mô đun 12, 9 + 4 = 1 do 9 + 4 = 13 trong khi chia cho 12 có [[số dư là 1. Tuy nhiên,                  không phải là một trường do 12 không phải là số nguyên tố.|thế=1=?|202x202px]] Trường hữu hạn đơn giản nhất, với bậc là số nguyên tố, có thể được xây dựng dựa trên số học mô đun. Với một số nguyên dương n cho trước, số học "mô đun n" nghĩa là làm việc với các số
Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
Phép cộng và nhân trên tập này được thực hiện như trên tập số nguyên
Z
, chia cho n rồi lấy số dư là kết quả cuối cùng. Ta nhận được một trường khi và chỉ khi n là một số nguyên tố. Ví dụ, lấy số nguyên tố
n = 2
cho ta trường
F2
ở trên. Với
n = 4
, hay tổng quát hơn, với mọi hợp số (tức là số
có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số nhỏ hơn),
Z/nZ
không phải là một trường: tích của hai phần tử khác 0 có thể bằng không, như
r ⋅ s = 0
trong
, do đó như đã giải thích ở trên, khiến
không phải là một trường. Trường
Z/pZ
gồm p phần tử (p nguyên tố) được tạo theo cách này thường được kí hiệu là
Fp
q = pn
phần tử, với
p
là số nguyên tố và
n ≥ 1
. Điều này có thể suy ra từ việc xem trường F là một không gian vectơ trên trường nguyên tố của nó. Số chiều của không gian vectơ này là hữu hạn, giả sử là n, từ đó suy ra biểu thức trên.
Một trường với
phần tử có thể xây dựng từ trường phân rã của đa thức:
trong đó tên danh sách là một trong những đề mục sau đây (không bao gồm dấu ngoặc kép): Nhóm, Vành, Dàn, Mô đun, Đại số
. Một trường phân rã như thế là một mở rộng của
trong đó đa thức F có
q
nghiệm. Điều này nghĩa là F có nhiều nghiệm nhất có thể do bậc của F là
q = 22 = 4
, có thể kiểm tra bằng tính toán rằng cả bốn phần tử của
F4
thỏa mãn phương trình
x4 = x
, vậy nên chúng đều là nghiệm của F. Mặt khác, trong
, F chỉ có hai nghiệm (0 và 1), nên F không phân tích ra thừa số bậc nhất trong trường này. Sử dụng những khái niệm khác trong lý thuyết trường, ta có thể chứng minh rằng hai trường hữu hạn có cùng bậc thì đẳng cấu. Vì thế đôi khi trường hữu hạn với
phần tử được nói chung, ký hiệu là
hay
GF(q)
Lịch sử
Trong lịch sử, có ba lĩnh vực đại số chính đã dẫn đến khái niệm của một trường: câu hỏi về việc giải phương trình đa thức, lý thuyết số đại số và hình học đại số. Một bước tiến trong khái niệm về trường trong năm 1770 khi nhà toán học Joseph-Louis Lagrange để ý rằng hoán đổi các nghiệm
x1, x2, x3
của một đa thức bậc ba trong biểu thức
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(với
ω
là nghiệm đơn vị cấp 3) chỉ cho ra hai kết quả. Từ đó, Lagrange đã có thể giải thích được phương pháp tìm nghiệm của Scipione del Ferro và François Viète, trong đó phương trình bậc ba theo ẩn x được rút gọn thành phương trình bậc hai theo
x3
. Cùng với những quan sát tương tự cho phương trình bậc bốn, Lagrange đã liên kết được thứ mà sau này trở thành khái niệm trường và khái niệm nhóm. Cũng trong năm 1770, Vandermonde, và sâu rộng hơn, Carl Friedrich Gauss, trong tác phẩm Disquisitiones Arithmeticae (1801), nghiên cứu phương trình
xp = 1
với số p nguyên tố và, sử dụng ngôn ngữ hiện đại, nhóm Galois cyclic tương ứng. Gauss chứng minh rằng một đa giác đều p cạnh có thể dựng được nếu và chỉ nếu
p = 22 k + 1
. Sử dụng các kết quả của Lagrange, Paolo Ruffini khẳng định (1799) rằng phương trình bậc năm không có nghiệm đại số, tuy nhiên lập luận của ông có lỗ hổng. Những lỗ hổng này được khắc phục bởi Niels Henrik Abel năm 1824. Évariste Galois, năm 1832, đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đa thức giải được bằng đại số, bắt đầu cho lý thuyết Galois. Cả Abel và Galois đều sử dụng cái ngày nay gọi là trường số đại số, nhưng không nhận ra rõ ràng khái niệm một trường hay một nhóm.
Năm 1871 Richard Dedekind đưa ra từ tiếng Đức Körper, nghĩa là "cơ thể" hay "vật thể", cho một tập các số thực hoặc phức đóng dưới bốn phép toán số học. Từ tiếng Anh "field" được giới thiệu bởi.
"Một trường nghĩa là mọi hệ thống vô hạn các số thực hoặc phức đóng và hoàn hảo đến mức cộng, trừ, nhân, chia bất kỳ hai số nào cho ra một số thuộc hệ thống."
- Richard Dedekind, 1871
Năm 1881 Leopold Kronecker định nghĩa cái ông gọi là miền hữu tỉ, thực chất là trường các hàm phân thức theo hiện nay. Khái niệm của Kronecker không bao gồm trường các số đại số, nhưng mặt khác trừu tượng hơn định nghĩa của Dedekind do nó không giả sử gì về tính chất của các phần tử của một trường. Kronecker xem một trường như
Q(π)
trừu tượng như trường hàm hữu tỉ
Q(X)
. Trước đó, ví dụ của số siêu việt được biết từ công trình của Joseph Liouville năm 1844, đến khi Charles Hermite (1873) và Ferdinand von Lindemann (1882) lần lượt chứng minh sự siêu việt của e và
π
.
Định nghĩa rõ ràng đầu tiên của một trường do. Cụ thể, định nghĩa của Heinrich Martin Weber bao gồm trường Fp. Giuseppe Veronese (1891) nghiên cứu trường của chuỗi lũy thừa chính quy, dẫn đến đưa ra trường số p. tổng hợp những kiến thức về trường đã có. Ông nghiên cứu những tính chất của trường và định nghĩa nhiều khái niệm trong lý thuyết trường. Phần lớn các định lý trong phần Lý thuyết Galois, Xây dựng trường và Khái niệm cơ bản đều có thể được tìm thấy trong công trình của Steinitz. liên hệ khái niệm của thứ tự trong trường, một lĩnh vực của giải tích, với những tính chất thuần đại số. Emil Artin phát triển lại lý thuyết Galois từ năm 1928 đến năm 1942 mà không dựa vào định lý phần tử nguyên thủy.
Xây dựng trường từ vành
Một vành giao hoán là một tập hợp, cùng với phép toán cộng và nhân, thỏa mãn tất cả tiên đề của trường, ngoại trừ việc tồn tại nghịch đảo phép nhân
a−1
. Ví dụ, tập số nguyên
Z
tạo thành một vành giao hoán, nhưng không phải một trường: nghịch đảo của một số nguyên n không phải là một số nguyên, trừ khi
n = ±1
.
Trong hệ thống cấp bậc các cấu trúc đại số, trường có thể được coi là vành giao hoán R mà trong đó bất kỳ phần tử khác 0 nào đều là một đơn vị (nghĩa là chúng khả nghịch). Tương tự, trường là vành giao hoán với đúng hai ideal (ideal),
(0)
và R. Trường cũng là vành giao hoán mà trong đó
là ideal nguyên tố duy nhất.
Với một vành giao hoán R, có hai cách để xây dựng một trường liên quan đến R, hay hai cách để thay đổi R sao cho mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch: xây dựng trường các thương và xây dựng trường thặng dư. Trường các thương của
là các số hữu tỉ
Q
, còn trường thặng dư của
là các trường hữu hạn
Fp
Trường các thương
Cho trước miền nguyên R, trường các thương
Q(R)
của nó được tạo từ thương số giữa hai phần tử của R giống như Q được tạo từ các số nguyên. Chính xác hơn, phần tử của
a/b
với
a
và
b
thuộc R, trong đó
b ≠ 0
. Hai phân số
c/d
bằng nhau khi và chỉ khi
. Các phép toán trên phân số hoạt động giống hệt như số hữu tỉ. Ví dụ, Không khó để chỉ ra rằng, nếu vành này là miền nguyên thì tập các thương tạo thành một trường.
Trường
F(x)
F[x]
. Truòng
F((x))
F x
của chuỗi lũy thừa hình thức (trong đó
k ≥ 0
Trường thặng dư
R / m
, trong đó
m
là ideal cực đại của R. Nếu R chỉ có một ideal cực đại
, trường này được gọi là trường thặng dư của R.
Ideal sinh ra bởi một đa thức F trong vành đa thức
R = E[X]
(trên trường E) là cực đại khi và chỉ khi F bất khả quy trong E, tức F không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức trong
E[X]
có bậc nhỏ hơn. Điều này cho ta trường
F = E[X] / (f(X)).
Trường F này chứa phần tử x (lớp thặng dư của x) thỏa mãn phương trình
f(x) = 0
. Ví dụ,
C
nhận được từ
R
bằng cách thêm đơn vị ảo i, thỏa mãn
f(i) = 0
với
f(X) = X2 + 1
, nghĩa là ánh xạ biến một đa thức
f(X) ∈ R[X]
thành
cho ta phép đẳng cấu
Xây dựng trường từ một trường lớn hơn
Trường có thể được dựng trong một trường cho trước lớn hơn. Giả sử trường F chứa E là trường con. Với mọi phần tử x của F, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và x, gọi là trường con của F tạo bởi x và ký hiệu là
E(x)
. Việc chuyển từ E sang
được gọi là thêm một phần tử cho E. Tổng quát, với một tập con
S ⊂ F
, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và S, ký hiệu là
E(S)
Compositum của hai trường con E và
E'
của một trường F là trường con nhỏ nhất chứa cả E và
. Compositum có thể dùng để dựng trường con lớn nhất của F thỏa mãn một số tính chất nào đó, ví dụ như trường con lớn nhất của F đại số trên E.
Mở rộng trường
Khái niệm trường con
E ⊂ F
cũng có thể được xem xét từ góc nhìn đối nghịch, bằng cách gọi F là một mở rộng trường (hay chỉ mở rộng) của E, ký hiệu bằng
F / E
, đọc là "F trên E".
Một thông tin cơ bản của một mở rộng trường là bậc của nó
[F : E]
, tức là chiều của không gian vectơ F trên E. Nó thỏa mãn hệ thức
[G : E] = [G : F] [F : E]
. Mở rộng có bậc hữu hạn được gọi là mở rộng hữu hạn. Các mở rộng
C / R
và
F4 / F2
có bậc là 2, còn
R / Q
là một mở rộng vô hạn.
Mở rộng đại số
Một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu mở rộng trường
F / E
là phần tử đại số. Một phần tử
gọi là đại số trên E nếu nó là nghiệm của một đa thức với hệ số thuộc E, tức là nó thỏa mãn phương trình đa thức
enxn + en−1xn−1 + ··· + e1x + e0 = 0
, với
en, ..., e0
in E, và
en ≠ 0
. Ví dụ, đơn vị ảo i trong
C
là đại số trên
R
, thậm chí là trên
Q
, do nó thỏa mãn phương trình
i2 + 1 = 0
. Một mở rộng trường
mà trong đó mọi phần tử của F đại số trên E được gọi là mở rộng đại số. Bất kỳ mở rộng hữu hạn nào cũng là mở rộng đại số, có thể suy ra từ hệ thức bậc của mở rộng trường ở trên.
Trường con
E(x)
sinh ra bởi phần tử x như trên, là một mở rộng đại số của E khi và chỉ khi x là một phần tử đại số. Có nghĩa là, nếu x đại số, tất cả phần tử khác của
cũng là đại số. Hơn nữa, bậc của mở rộng
E(x) / E
, bằng với số n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phương trình đa thức bậc n nhận xlàm nghiệm. Khi ấy các phần tử của
có dạng Ví dụ, trường
của số hữu tỉ Gauss là trường con của
bao gồm tất cả các số có dạng
a + bi
trong đó both
a
and
b
are số hữu tỉ: những số hạng có dạng
i2
(và tương tự với số mũ cao hơn) không cần phải xem xét, do
a + bi + ci2
rút gọn thành
a − c + bi
.
Cơ sở siêu việt
Trường phân thức
E(X)
nói trên không là mở rộng đại số của E do không tồn tại phương trình đa thức nào có hệ số thuộc E mà có nghiệm là X. Những phần tử không đại số, như X, được gọi là siêu việt. Nói đơn giản, ẩn X và lũy thừa của nó không tác động đến các phần tử của E. Ta có thể xây dựng tương tự với nhiều ẩn, không chỉ một.
E(x) / E
xét trên là một ví dụ chính: nếu x không đại số (tức x không là nghiệm của một đa thức có hệ số thuộc E), thì
E(x)
đẳng cấu với
. Đẳng cấu này được suy ra từ việc thay x vào X trong các phân thức.
E(S)
. Bất kỳ mở rộng trường
F / E
nào cũng có một cơ sở siêu việt. Do đó, mở rộng trường có thể phân thành hai dạng:
E(S) / E
(mở rộng siêu việt) và mở rộng đại số.
Phép toán đóng
Một trường gọi là đóng đại số nếu như nó không có mở rộng đại số nào lớn hơn thực sự, hoặc tương đương, nếu bất kì phương trình đa thức
, với các hệ số
fn, ..., f0 ∈ F, n > 0
, có nghiệm
x ∈ F
. Theo định lý cơ bản của đại số,
là một trường đóng đại số, tức là bất kỳ phương trình đa thức với hệ số phức nào cũng có nghiệm phức. Số hữu tỉ và số thực không đóng đại số do phương trình
x2 + 1 = 0
không có nghiệm hữu tỉ hay nghiệm thực. Một trường chứa F gọi là một bao đóng đại số của F nếu nó đại số trên F (đại khái, không quá lớn so với F) và đóng đại số (đủ lớn để chứa nghiệm của tất cả phương trình đa thức).
Theo như trên,
C
là một bao đóng đại số của
R
. Trường hợp bao đóng đại số là một mở rộng hữu hạn của trường F khá đặc biệt: theo định lý Artin-Schreier, bậc của mở rộng đó phải bằng 2, và F tương đương cơ bản (elementary equivalence) với
. Những trường như thế còn gọi là trường thực đóng.
Bất kỳ trường F nào cũng có một bao đóng đại số, và nó là duy nhất theo phép đẳng cấu. Từ đó, bao đóng này thường được nhắc chung và ký hiệu là. Ví dụ, bao đóng đại số
của số hữu tỉ
Q
gọi là trường số đại số. Sự tồn tại và duy nhất của bao đóng đại số có thể được chứng minh sử dụng định lý ideal nguyên tố Boole, một tiên đề trong lý thuyết tập hợp yếu hơn tiên đề chọn. Về mặt này, bao đóng đại số của
Fq
là hợp của tất cả trường hữu hạn chứa
(những trường có bậc
qn
). Với trường đóng đại số F đặc số 0, bao đóng đại số của trường
F((t))
của chuỗi Laurent là trường các chuỗi Puiseux, tạo bởi thêm các ghiệm của t.
Trường với tính chất khác
Do sự phổ biến trong toán học, vài điều chỉnh trong khái niệm trường được đưa ra để phù hợp với nhu cầu của những ngành khác nhau.
Trường sắp thứ tự
Một trường F được gọi là trường sắp thứ tự nếu bất kỳ hai phần tử nào cũng có thể được so sánh, sao cho
x + y ≥ 0
và
xy ≥ 0
nếu
x ≥ 0
y ≥ 0
. Lấy ví dụ, các số thực tạo thành một trường sắp thứ tự, với quan hệ thứ tự
≥
. Định lý Artin-Schreier phát biểu rằng một trường có thể sắp thứ tự nếu và chỉ nếu nó là một trường thực hình thức, nghĩa là phương trình bậc hai chỉ có nghiệm
x1 = x2 = ... = xn = 0
. Tập tất cả những quan hệ thứ tự khả dĩ trên một trường F đẳng cấu với tập các đồng cấu vành từ vành Witt
W(F)
Z
Một trường Archimedes là một trường sắp thứ tự sao cho với mỗi phần tử tồn tại một biểu thức hữu hạn
1 + 1 + ··· + 1
có giá trị lớn hơn phần tử đó, nói cách khác, không có phần tử lớn vô hạn. Tương tự, trường đó không chứa vô cùng bé (phần tử bé hơn tất cả số hữu tỉ); hay, trường đó đẳng cấu với một trường con của
R
thumb|300px|Mỗi tập số thực bị chặn đều có một cận trên nhỏ nhất. Một trường sắp thứ tự gọi là đầy đủ Dedekind nếu mọi tập con bị chặn của F phải có cận trên đúng. Bất kỳ trường đầy đủa nào cũng là trường Archimedes.
Do bất kỳ trường con thực sự nào của tập số thực cũng chứa "khoảng trống",
là trường sắp thứ tự đầy đủ duy nhất, xét theo đẳng cấu. Một số kết quả quan trọng trong giải tích suy ra từ tính chất này của tập số thực.
Các số siêu thực
R*
tạo thành một trường sắp thứ tự nhưng không là Archimedes. Nó là mở rộng của trường số thực bằng cách thêm những số vô cùng lớn (lớn hơn mọi số thực) và vô cùng bé (bé hơn mọi số thực).
Trường tôpô
Một điều chỉnh khác trong khái niệm trường là một trường tôpô, trong đó tập F là một không gian tôpô, sao cho tất cả phép toán của trường (cộng, nhân, các ánh xạ
a ↦ −a
và
a ↦ a−1
) là ánh xạ liên tục đối với tôpô của không gian. Tôpô của tất cả những trường xét đến bên dưới được cảm sinh từ một mêtric, tức là hàm số
d : F × F → R,
đo khoảng cách giữa hai phần tử của F.
Hoàn chỉnh của F là một trường khác mà trong đó, nói đại khái, những "khoảng trống" trong F được lấp đầy. Ví dụ, bất kỳ số vô tỉ x nào, như
, là một "khoảng trống" trong các số hữu tỉ
Q
mà có thể được xấp xỉ gần tùy ý với số hữu tỉ
p/q
, tức là khoảng cách giữa x và
là giá trị tuyệt đối
có thể nhỏ tùy ý. Bảng sau liệt kê một số ví dụ của việc xây dựng này. Cột thứ tư cho một ví dụ của dãy không, một dãy số có giới hạn (khi
n → ∞
) bằng 0.
Trường
p
được dùng trong lý thuyết số và lý thuyết p-adic. Bao đóng đại số
tuy không đầy đủ, nhưng hoàn thành của nó là đóng đại số. Do có phần giống với các số phức, nó được gọi là trường số p-adic phức và ký hiệu là
Cp
.
Trường địa phương
Qp
(trường địa phương có đặc số không)
Fp((t))
Fp
(trường địa phương đặc số p).
Hai dạng trường địa phương này có chung một số tính chất cơ bản. Trong đó, phần tử
p ∈ Qp
và
t ∈ Fp((t))
(gọi là uniformizer) tương ứng với nhau. Bằng chứng đầu tiên của sự tương quan ở mức độ phần tử: phần tử của cả hai trường có thể được biểu diễn thành chuỗi lũy thừa của uniformizer, với hệ số trong
. (Tuy nhiên, do phép cộng trong
sử dụng nhớ còn
thì không, hai trường này không đẳng cấu). Sự tương quan này còn đi sâu hơn nữa. Ví dụ, bất kỳ mệnh đề bậc nhất đúng với hầu hết
cũng đúng với hầu hết
. Một ứng dụng là Định lý Ax–Kochen mô tả các nghiệm của đa thức thuần nhất trong
.
Trường vi phân
Trường vi phân là những trường mà trên đó có phép lấy đạo hàm những phần tử trong trường. Ví dụ, trường
R(X)
, cùng với đạo hàm bình thường của đa thức tạo thành một trường vi phân. Những trường này là đối tượng chính của lý thuyết Galois vi phân, một nhánh của lý thuyết Galois nghiên cứu các phương trình vi phân tuyến tính.
Lý thuyết Galois
Lý thuyết Galois nghiên cứu mở rộng đại số của trường bằng cách xem xét sự đối xứng trong những phép toán cộng và nhân. Một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này là mở rộng Galois hữu hạn
, mà theo định nghĩa là tách được và chuẩn tắc. Định lý phần tử nguyên thủy chỉ ra rằng mở rộng hữu hạn tách được là đơn giản, tức là nó có dạng
F = E[X] / f(X)
, trong đó f là một đa thức bất khả quy. Với mở rộng như vậy, việc chuẩn tắc và tách được nghĩa là tất cả nghiệm của f nằm trong F và f chỉ có nghiệm đơn giản. Điều kiện sau luôn được thỏa mãn nếu trường E có đặc số 0.
Với một mở rộng Galois hữu hạn, nhóm Galois
Gal(F/E)
là nhóm của những phép tự đẳng cấu trường của F mà tầm thường trên E (tức là những song ánh
σ : F → F
giữ nguyên phép cộng và phép nhân và biến những phần tử của E thành chính nó). Tầm quan trọng của nhóm này bắt nguồn từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, đã xây dựng một tương ứng một-một giữa tập các nhóm con của
và tập những mở rộng trung gian của mở rộng
F/E
. Bằng tương ứng này, những tính chất của nhóm biến thành những tính chất của trường. Ví dụ, nếu nhóm Galois của một mở rộng Galois trên không giải được (không thể xây dựng từ nhóm giao hoán), thì các nghiệm của f không thể biểu diễn dưới dạng tổng, tích hay khai căn. Ví dụ, nhóm đối xứng
Sn
không giải được với
n ≥ 5
. Hệ quả là nghiệm của những phương trình sau không biểu diễn được thành tổng, tích hay căn. Với đa thức thứ hai, kết quả này được biết là định lý Abel–Ruffini:
(và
),
f(X) = Xn + an−1Xn−1 + ... + a0
(trong đó f là một đa thức trong
E(a0, ..., an−1)
, với các ẩn
ai
, E là trường bất kỳ và
).
Tích tensor của trường thường không phải là một trường. Ví dụ, mở rộng hữu hạn
F / E
với bậc n là một mở rộng Galois khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu của các đại số F:
F ⊗E F ≅ Fn
. Kết quả này đã bắt đầu cho lý thuyết Galois của Grothendieck, một mở rộng của lý thuyết Galois có tầm ảnh lớn.
Bất biến của trường
Những bất biến cơ bản của trường F bao gồm đặc số và bậc siêu việt (số phần tử tối đa của F độc lập đại số trên trường nguyên tố) của F trên trường nguyên tố. Hai trường đóng đại số E và F đẳng cấu khi và chỉ khi hai dữ kiện trên bằng nhau. Điều này nghĩa là hai trường đóng đại số không đếm được có cùng lực lượng và cùng đặc số thì đẳng cấu. Lấy ví dụ,
p, Cp
và
là đẳng cấu (nhưng không đẳng cấu như trường tôpô).
Lý thuyết mô hình của trường
Trong lý thuyết mô hình, một nhánh của logic toán, hai trường E và F được gọi là tương đương phần tử nếu mọi phát biểu toán học đúng với E cũng đúng với F và ngược lại. Những mệnh đề đó phải là những phát biểu bậc nhất (bao gồm 0, 1, phép nhân và phép cộng). Một ví dụ điển hình là
= "với mọi số nguyên dương n, bất kỳ đa thức bậc n trong E cũng có nghiệm thuộc E" (tương đương với việc E đóng đại số). Nguyên lý Lefschetz phát biểu rằng
C
tương đương phần tử với bất kỳ trường đóng đại số đặc số không. Hơn nữa, bất kỳ phát biểu
φ
khi và chỉ khi nó đúng trong mọi trường đóng đại số có đặc số đủ cao.
Nhóm Galois tuyệt đối
Với trường không đóng đại số, nhóm Galois tuyệt đối
Gal(F)
rất quan trọng: tổng quát trường hợp mở rộng Galois hữu hạn ở trên, nhóm này kiểm soát tất cả mở rộng hữu hạn tách được của F. Bằng phương pháp sơ cấp, nhóm
Gal(Fq)
có thể được chứng minh là nhóm Prüfer, hoàn thành cận hữu hạn của
Z
. Phát biểu này bao hàm việc những mở rộng đại số duy nhất của
là các trường
Gal(Fqn)
với
n > 0
, và nhóm Galois của những mở rộng hữu hạn này được cho bởi
Gal(Fqn / Fq) = Z/nZ
.
K-lý thuyết
K-lý thuyết Milnor được định nghĩa là Định lý đẳng cấu thặng dư norm, chứng minh vào khoảng trước năm 2000 bởi Vladimir Voevodsky, liên hệ với đối đồng điều Galois bằng đẳng cấu K-Lý thuyết đại số liên quan đến nhóm các ma trận khả nghịch với hệ số thuộc một trường nhất định. Ví dụ, quá trình lấy định thức của một ma trận khả nghịch cho ta đẳng cấu
. Định lý Matsumoto chứng minh rằng
K2(F)
bằng với
K2M(F)
. Ở những bậc cao hơn, K-lý thuyết khác với K-lý thuyết Milnor và nhìn chung khó để tính.
Đại số tuyến tính và đại số giao hoán
R3
. Chúng được sử dụng trong đồ họa máy tính.]] Nếu
a ≠ 0
, thì phương trình
ax = b
có nghiệm duy nhất x thuộc F, đó là
x = b/a
. Hệ quả của định nghĩa của trường là một thành phần quan trọng để cho thấy bất kỳ không gian vectơ nào cũng có một cơ sở. Nói đơn giản, điều này cho phép ta chọn một hệ tọa độ trong một không gian vectơ bất kỳ, điều vô cùng quan trọng trong đại số tuyến tính về cả lý thuyết lẫn ứng dụng.
Z
, có cấu trúc phức tạp hơn. Một trường hợp đặc biệt nảy sinh khi một vành R là một không gian vectơ trên trường F. Những trường như thế được gọi là F-đại số và được nghiên cứu kỹ càng trong đại số giao hoán. Ví dụ, bổ đề chuẩn hóa Noether khẳng định rằng bất kỳ F-đại số hữu hạn sinh có liên hệ mật thiết (chính xác hơn, là một môđun sinh hữu hạn trên) một vành đa thức
F[x1, ..., xn]
Trường hữu hạn: mật mã và lý thuyết mã hóa
thumb|Tổng của ba điểm P, Q, và R trên đường cong elliptic E (đỏ) bằng không nếu tồn tại một đường thẳng (xanh) đi qua các điểm đó. Một thuật toán mã hóa được áp dụng rộng rãi dựa trên một sự thật cơ bản, đó là tính lũy thừa rời rạc
an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n ≥ 1
) trong một trường hữu hạn
Fq
(lớn) có thể được thực hiện nhanh hơn rất nhiều so với lôgarit rời rạc, tương đương với phép toán ngược lại, tức là xác định nghiệm n của phương trình
an = b
. Trong mật mã đường cong elliptic, phép nhân trong một trường hữu hạn được thay thế bằng phép cộng các điểm trên một đường cong elliptic, một đường cong định nghĩa bởi phương trình
y2 = x3 + ax + b
.
Trường hữu hạn cũng được sử dụng trong lý thuyết mã hóa và tổ hợp.
Hình học: trường các hàm số
thumb|Một mặt Riemann compact với [[Giống (toán học)|giống (genus) 2. Giống có thể được tính từ trường các hàm phân hình trên mặt.]] Hàm số trên một không gian tôpô thích hợp X vào một trường k có thể được cộng và nhân tại từng điểm, ví dụ, tích của hai hàm số được định nghĩa là tích từng giá trị của chúng trong tập xác định:
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
. Điều này khiến những hàm này là một k-đại số giao hoán.
Để có một trường các hàm số, cần phải xét những đại số của hàm là miền nguyên. Trong trường hợp này tỉ số của hai hàm số, có dạng tạo thành một trường, gọi là trường các hàm số.
Nếu X là một đa tạp phức, ta xét đại số của những hàm chỉnh hình, những hàm khả vi phức. Tỉ số của chúng tạo thành trường các hàm phân hình trên X.
Trường hàm của một đa tạp đại số X (một vật thể hình học gồm những nghiệm chung của các phương trình đa thức) gồm tỉ số của những hàm chính quy, tức tỉ số các hàm đa thức trên đa tạp. Trường hàm của không gian n chiều trên một trường
k
là
k(x1, ..., xn)
. Trường hàm của X bằng với trường hàm của một đa tạp con trù mật mở. Nói cách khác, trường hàm không thay đổi thi thay X với một đa tạp con nhỏ hơn.
Lý thuyết số: trường toàn cục
Trường toàn cục là trung tâm của lý thuyết số đại số và hình học số học. Theo định nghĩa, trường toàn cục là những trường số (mở rộng hữu hạn của
Q
) hoặc trường hàm trên
Fq
(mở rộng hữu hạn của
Fq(t)
). Hai loại trường này có chung một số tính chất, mặc dù chúng có đặc số lần lượt là 0 và dương. Sự tương quan giữa hai trường này giúp hình thành các phỏng đoán toán học, thường là hiểu bản chất của trường các hàm trước rồi xét đến trường số. Ví dụ, giả thuyết Riemann liên quan đến các nghiệm của hàm zeta Riemann (chưa được chứng minh đến năm 2019) có thể được xem là tương quan với giả thuyết Weil (được chứng minh năm 1974 bởi Pierre Deligne).
thumb|Các nghiệm đơn vị cấp năm tạo thành một [[Ngũ giác|ngũ giác đều.]] Trường chia đường tròn là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều nhất trong lý thuyết số. Chúng có dạng
Q(ζn)
, trong đó
ζn
ζn = 1
và
ζm ≠ 1
với mọi
m < n
xn + yn = zn
.
Trường địa phương là hoàn thành của trường toàn cục. Định lý Ostrowski khẳng định rằng những hoàn thành duy nhất của trường toàn cục
là các trường địa phương
Qp
R
. Những câu hỏi số học trong trường toàn cục đôi khi được giải quyết bằng cách nhìn từ góc độ địa phương. Kỹ thuật này được gọi là nguyên lý địa phương-toàn cục. Ví dụ, định lý Hasse–Minkowski thu gọn bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai xuống còn giải những phương trình đó trong
, với nghiệm có thể được dễ dàng nghiên cứu.
Không như trường địa phương, nhóm Galois của trường toàn cục chưa được biết đến. Bài toán Galois nghịch đặt câu hỏi liệu mọi nhóm hữu hạn có phải là nhóm Galois
Gal(F/Q)
Qab
cực đại của
Fab
của một trường số F nói chung. Với các trường bậc hai ảo,
F = Q(√−d)
,
d > 0
, có thể mô tả
Khái niệm liên quan
Ngoài những cấu trúc phụ thêm vào trường, có một số khái niệm khác liên quan đến trường. Do trong một trường
0 ≠ 1
, bất kỳ trường nào cũng có ít nhất hai phần tử. Tuy nhiên, có khái niệm trường có một phần tử, được đề nghị là giới hạn của những trường hữu hạn
Fp
, khi p tiến đến 1. Ngoài vành chia, còn một số cấu trúc đại số yếu hơn liên quan tới trường như tựa trường, gần-trường và nửa trường.
Vành chia
S2
, mà khác không tại mọi điểm.]]
R
-không gian vectơ hữu hạn chiều là chính
,
C
(một trường), những số quaternion
H
(trong đó phép nhân không có tính giao hoán), và octonion
O
(trong đó phép nhân không giao hoán và không kết hợp). Điều này được chứng minh sử dụng các phương pháp của tôpô đại số năm 1958 bởi Michel Kervaire, Raoul Bott, và John Milnor. Sự không tồn tại của một đai số chia có số chiều lẻ đã được biết từ trước đó và có thể được suy ra từ định lý quả bóng lông.
Tham khảo
Thể loại:Lý thuyết trường Thể loại:Cấu trúc đại số Thể loại:Đại số trừu tượng
Nang Tani
Nang Tani (tiếng Thái: นางตานี, tiếng Anh: Lady of Tani, tạm dịch: Nàng Tani) là một hồn ma nữ trong đời sống văn hóa dân gian Thái Lan, Lào và Campuchia. Theo truyền thuyết, hồn ma này hiện ra trong hình hài một cô gái trẻ, ám quanh cây chuối hột, loại chuối được người Thái gọi là chuối Tani (tiếng Thái: กล้วยตานี, danh pháp khoa học: Musa balbisiana). Nang Tani được xếp vào nhóm hồn ma/thần liên quan đến cây cối thực vật có tên gọi chung là Nang Mai (tiếng Thái: นางไม้, tiếng Anh: Lady of the Wood) trong văn hóa Thái Lan. Ma cây chuối còn có một số tên gọi khác là Phi Tani (ผีตานี; Ma Tani), Phrai Tani (พรายตานี; Nữ thần Tani).
Truyền thuyết
Việc chặt bỏ cây cối quanh khu vực hồn ma Nang Tani ám được coi là một điềm xấu. Người dân thậm chí còn dâng cúng đồ ngọt, hoa và thắp hương cho Nang Tani, trong khi những cây chuối bị Tani ám sẽ được buộc một miếng vải satanh màu vào thân. Chuối hột không phải là loài cây trồng để thu hoạch cũng do tín ngưỡng dân gian trên. Chúng không được trồng gần nhà và thường mọc cách xa khu dân cư, ở rìa các ngôi làng, hoặc ở ngoài đồng ruộng trống. Về đặc điểm hình thái, bề ngoài cây chuối hột không khác nhiều so với các loài chuối thông thường, còn bên trong quả có nhiều hột lớn không ăn được. Tuy nhiên, lá chuối hột thường được sử dụng ở Thái Lan để bọc các loại bánh kẹo đặc sản địa phương còn hoa dùng để điều trị các bệnh viêm loét trong y học cổ truyền.
Văn hóa hiện đại
Nang Tani từng xuất hiện trong một số phim của Thái Lan. Phim Nang Phrai Tani (นางพรายตานี) ra mắt năm 1967 và dần dần trở thành hình mẫu tiêu chuẩn của hồn ma này. Một số phim khác có nhân vật ma chuối ví dụ như Nang Tani (นางตานี), Tani Thi Rak (ตานีที่รัก), Mon Rak Nang Phrai Patha Nang Tani (มนต์รักนางพรายปะทะนางตานี), Phrai Tani (พรายตานี) hay Nang Phrai Khanong Rak (นางพรายคะนองรัก). Nang Tani còn xuất hiện trong một quảng cáo bóng đèn của hãng Sylvania (Hoa Kỳ) nhắm tới người tiêu dùng Thái. Hồn ma nữ này đón nhận nhiều yêu thích trong nền văn hoá đại chúng Thái Lan, những câu chuyện về con ma trong sách, truyện tranh đôi khi mang màu sắc hài hước. Tani cũng là một nhân vật trong bộ phim hoạt hình Nak năm 2008.
Ở lĩnh vực trò chơi, Nang Tani là một trong những trùm cuối của game trực tuyến Ragnarok Online.
Liên kết ngoài
Thể loại:Chuối trong văn hóa Thể loại:Văn hóa dân gian Campuchia Thể loại:Sinh vật huyền thoại nữ Thể loại:Tín ngưỡng dân gian Thể loại:Linh hồn rừng núi Thể loại:Văn hóa dân gian Lào Thể loại:Ma Thái Lan Thể loại:Văn hóa dân gian Thái Lan Thể loại:Cây trong thần thoại Thể loại:Hồn bảo hộ
Leucadendron teretifolium
Leucadendron teretifolium là một loài thực vật có hoa trong họ Quắn hoa. Loài này được I.A. Williams miêu tả khoa học đầu tiên năm 1967.
Liên kết ngoài
Thể loại:Leucadendron Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1967
Anoor, Chikmagalur
Anoor là một làng thuộc tehsil Chikmagalur, huyện Chikmagalur, bang Karnataka, Ấn Độ.
Tham khảo
Thể loại:Chikmagalur (huyện)
Khoa bảng Việt Nam
thumb|300px|Khoa bảng Nam Định, 1897 Khoa bảng Việt Nam là chế độ khoa cử thời quân chủ tại Việt Nam. Ở thời thượng cổ, sử nước Việt không chép rõ về cách tuyển lựa trí thức. Theo Đào Duy Anh, đến thời Bắc thuộc thì nước Việt mới bắt đầu có Hán học, viên Thái thú Sĩ Nhiếp đã dạy dân Việt thi thư. Đến thời nhà Ngô, nhà Đinh, nhà Tiền Lê, do nước mới dựng, các triều đại chưa có điều kiện để tổ chức nền giáo dục.
Cho đến triều nhà Lý, nhà Trần, 3 tôn giáo là Phật giáo, Đạo giáo, Nho giáo đều được coi trọng. Triều đình nhà Lý đã mở các khoa thi Tam trường để lấy người bổ làm quan. Sang đời Hậu Lê, Nguyễn thì Nho học độc tôn. Triều nhà Lê mở khoa thi kinh điển dành riêng cho các nhà tu hành một cách hạn chế. Đến thời vua Minh Mạng, Nho học suy vi, đến khi Việt Nam tiếp xúc với Tây phương, tình trạng xã hội biến thiên nhanh chóng, Nho học nhường chỗ cho các học thuật mới. Việt Nam sau khi thành thuộc địa thì bỏ khoa cử mà theo Pháp học, riêng ở miền Bắc và miền Trung thì năm 1915 và năm 1918 kết thúc.
Các kỳ thi Nho học ở Việt Nam bắt đầu có từ năm 1075 dưới triều Lý Nhân Tông và chấm dứt vào năm 1919 đời vua Khải Định. Trong 845 năm đó, đã có nhiều loại khoa thi khác nhau, ở mỗi triều đại lại có những đặc điểm khác nhau, song trong các đời Lý, Trần, Hồ có một đặc điểm chung là các khoa thi đều do triều đình đứng ra tổ chức, chỉ đạo thi. Hệ thống thi cử tuyển người làm quan này gọi là khoa cử (chữ Nho: 科舉).