cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Toán học của thuyết tương đối rộng
Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel
Trong phát biểu ban đầu, Einstein đã giả sử không thời gian có các liên thông xoắn tự do (torsion-free) hay tenxơ xoắn bằng 0. Trong lý thuyết Einstein–Cartan, Cartan đã thử giới thiệu tenxơ xoắn thông qua spin mật độ của các hạt cơ bản. Tuy nhiên, trong những phần sau chỉ xét tới không thời gian có tenxơ xoắn bằng 0, hay ký hiệu Christoffel là đối xứng theo các chỉ số hiệp biến của nó. Điều này hàm ý, ví dụ, trong đạo hàm Lie có thể thay thế đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến
và thu được mối liên hệ quan trọng giữa đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến. Do có thể viết đạo hàm hiệp biến của một vectơ tổng quát thành hai dạng tương đương
Cũng vì đạo hàm hiệp biến của một vectơ là một tenxơ, có thể thực hiện việc nâng và hạ chỉ số thông qua tenxơ mêtric và đạo hàm hiệp biến trong viết thành
Từ hai phương trình và  dẫn tới một tính chất quan trọng của tenxơ mêtric
Tính bất biến của mêtric với đạo hàm hiệp biến được ứng dụng để tính các ký hiệu Christoffel hoàn toàn theo các thành phần của tenxơ mêtric. Thật vậy, từ các bước tính toán trực tiếp từ thông qua phương trình  chúng ta tìm được
Dạng đạo hàm hiệp biến của 4-vectơ trong và biểu thức hiển cho ký hiệu Christoffel trong  cho phép suy luận ra một đẳng thức quan trọng của bốn-phân kỳ của một vectơ
mà ở đây và chúng ta đã áp dụng tính chất của ký hiệu Christoffel với hai chỉ số được thu gọn
Biểu thức còn được gọi là công thức phân kỳ và việc tính toán đơn giản đi đáng kể vì nó chỉ chứa đạo hàm riêng.
Trong trường hợp nói chung, bởi vì đối với mỗi giá trị của một chỉ số bên trên sẽ có 10 cặp giá trị khác nhau của hai chỉ số bên dưới do vậy sẽ có 40 giá trị khác nhau của, tuy thế không phải tất cả các giá trị này đều độc lập với nhau. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel cũng là một tính chất quan trọng cần lưu ý. Giả sử rằng các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ x^\mu tại điểm x0 khác không,. Có thể chỉ ra rằng nếu thực hiện phép biến đổi như sau
thì các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ mới triệt tiêu tại điểm x'0 hay. Kết quả này không quá gây ngạc nhiên bởi vì như đã nêu ở phần trước không thời gian cong có thể coi là phẳng trên phạm vi cục bộ và các hệ số Christoffel có thể triệt tiêu tại bất kỳ các điểm lân cận nào. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel hàm ý rằng dạng công thức của mêtric cho không thời gian phẳng cục bộ đã được tìm thấy tại điểm đó. Tuy nhiên, điều quan trọng là trong không thời gian cong tính chất này không thể mở rộng ra cho mọi điểm, do vậy một phép biến đổi tọa độ kiểu sẽ cho các hệ số Christoffel khác 0 tại những điểm khác x'0. Một lần nữa, tính chất cơ bản này chính là sự thể hiện của nguyên lý tương đương và khả năng chọn được một hệ quy chiếu cục bộ mà nó trở thành hệ quy chiếu quán tính và hệ tương đương với hệ quy chiếu rơi tự do. Hệ quy chiếu cục bộ này không thể mở rộng ra toàn bộ đa tạp được.
Đối xứng và trường vectơ Killing
Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong vật lý học và thuyết tương đối tổng quát không phải là một ngoại lệ. Để đánh giá sự quan trọng của các đối xứng, hãy xét một không thời gian có một số đối xứng chịu trách nhiệm cho tính bất biến của các phương trình dưới tác dụng của nhóm một tham số \mathcal G. Trong trường hợp này, có thể gắn với \mathcal G một trường vectơ sao cho các đường trong trường vectơ  tương ứng với đường đi (hay quỹ đạo) của \mathcal G. Ví dụ, nếu không thời gian là dừng, thì  và các phương trình là bất biến dưới phép tịnh tiến dọc các đường kiểu thời gian, hay chúng độc lập với thời gian. Tương tự, nếu không thời gian là đối xứng trục, thì và các phương trình là bất biến dưới phép quay xung quanh một vài trục, hay chúng độc lập với góc miêu tả sự quay quanh những trục này. Các trường vectơ Killing nhấn mạnh vào các đối xứng của không thời gian và, như sẽ thảo luận sâu hơn ở những phần sau, chúng cung cấp một công cụ mạnh khi gặp những đại lượng bảo toàn đi kèm với các đối xứng này.
Trường vectơ cũng được coi là toán tử sinh (generator) của nhóm đối xứng \mathcal G. Phương trình  cung cấp đặc trưng hiệp biến cho những đối xứng tồn tại. Quả vậy, nếu chúng ta thay đạo hàm riêng theo  và sử dụng tính chất   sẽ thu được phương trình Killing
với dấu ngoặc ám chỉ thành phần đối xứng của tenxơ này. Phương trình là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất cho các vectơ Killing và chúng xác định các phép đẳng cự (isometry) của không thời gian. Ví dụ, giả sử chọn hệ tọa độ sao cho là một vectơ Killing. Thì từ rút ra được mêtric độc lập với thời gian
Nói chung, khi vectơ Killing là vectơ cơ sở tọa độ, thì mêtric không phụ thuộc vào trục tọa độ tương ứng, hay còn gọi là tọa độ xilic (cyclic coordinate). Ví dụ, một số mêtric của không thời gian vật lý mà nêu ra ở phần Không thời gian trong vật lý thiên văn, các tọa độ t, \phi là xiclic. Từ đây chúng thừa nhận ít nhất hai vectơ Killing và  sao cho  và  và các tích vô hướng cho kết quả trực tiếp các thành phần của tenxơ mêtric
Hai mối liên hệ cơ sở thỏa mãn trong không thời gian có hai vectơ Killing và  đó là
Ngoài ra, nếu hai vectơ Killing và  giao hoán, nghĩa là (xem )
thì liên hệ sau cũng thỏa mãn
Phương trình đường trắc địa
Xét một trường vectơ trên đa tạp \mathcal M và một đường cong \mathcal C với vec tơ tiếp tuyến. Đạo hàm đối lưu (convective derivative hoặc Lagrangian derivative) của dọc theo  là
với \lambda là tham số dọc cung \mathcal C và chúng ta sử dụng ký hiệu D/D\lambda để nhấn mạnh nó nên được coi là sự mở rộng của đạo hàm hiệp biến dọc theo hướng được chọn của trường vectơ. Chú ý rằng nếu là một hàm vô hướng \phi, thì đạo hàm đối lưu  trùng với đạo hàm Lie của \phi dọc theo
Đạo hàm đối lưu cho phép định nghĩa một khái niệm rất quan trọng đó là dịch chuyển song song (parallel transport) và ta nói rằng được dịch chuyển song song dọc đường cong \mathcal C với vectơ tiếp tuyến  nếu
nhỏ|Dịch chuyển song song một vectơ trên cung kín thuộc mặt cầu từ A → N → B → A và vectơ cuối cùng có hướng khác so với vec tơ ban đầu, góc lệch \alpha tỉ lệ với diện tích tam giác cầu (cung kín).
Acacia ramiflora
Acacia ramiflora là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được Domin miêu tả khoa học đầu tiên.
Toán học của thuyết tương đối rộng
Phương trình đường trắc địa
Để thấy được ý nghĩa của phương trình, hãy xét không thời gian phẳng nơi các đường mà dịch chuyển song song các vectơ tiếp tuyến của chúng chỉ đơn giản là một đường thẳng. Trong trường hợp này, thực tế vectơ tiếp tuyến vẫn còn song song với nhau khi nó trượt trên đường thằng. Do vậy, phương trình biểu diễn sự mở rộng sang không thời gian cong tổng quát hơn của khái niệm đường thẳng mà gọi là các đường cong trắc địa hay đường trắc địa.
Acacia ramiflora
Liên kết ngoài
R
Toán học của thuyết tương đối rộng
Phương trình đường trắc địa
Vì là vectơ tiếp tuyến nên có thể viết nó dưới dạng  (xem phương trình ) và từ phương trình  thu được
hay chính là phương trình trắc địa hoặc phương trình đường cong trắc địa như sau
Tham số \lambda, mà dùng để biểu thị thời gian riêng trên một đường cong kiểu thời gian (timelike curve), được gọi là tham số aphin của đường trắc địa với tên gọi đến từ lý do rằng phương trình bất biến dưới phép biến đổi aphin trong đó  với a, b là hai hằng số.
với và với  là hàm Lagrangian. Một hệ quả quan trọng của cách tiếp cận bằng phép tính biến phân đó là nó chứng tỏ chỉ có duy nhất một đường trắc địa nối giữa hai điểm khác nhau.
Bây giờ giả sử đường cong \mathcal C là tuyến thế giới của một hạt khối lượng m, và được tham số hóa bằng thời gian riêng, do đó vectơ tiếp tuyến chính là 4-vận tốc của hạt. Trong trường hợp này, đường trắc địa là đường cong mà trên nó 4-gia tốc của hạt bị triệt tiêu, hay có nghĩa là đường mà hạt rơi tự do. Suy luận ra điều này là khá đơn giản nếu xét không thời gian phẳng với hệ tọa độ Descartes nơi phương trình đường trắc địa suy biến thành
trong đó F^\mu là các thành phần của 4-lực. Từ đây chúng ta thu được hai kết luận quan trọng. Thứ nhất, đường trắc địa quả thực là quỹ đạo của hạt rơi tự do, tức là hạt không chịu tác động của một hợp lực ngoài. Thứ hai, đó là gia tốc-4 của hạt, mà định nghĩa bằng đạo hàm đối lưu của vận tốc-4, bằng không dọc theo đường trắc địa của hạt
Có thể thiết lập mối liên hệ giữa đường cong trắc địa với các đối xứng Killing nêu ra ở phần trước. Trước hết chú ý nếu là vectơ Killing và  là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa, thì dựa theo phương trình  ta có
tức là tích vô hướng được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Như vậy là phương trình đường trắc địa được sử dụng để tìm các vectơ Killing có liên hệ với các định luật bảo toàn vật lý. Tính chất này đã biểu diễn ở phương trình nhưng nó sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta xét phương trình đường trắc địa  và thực hiện thu gọn chỉ số với một trường vectơ Killing \xi_\nu để tìm
Từ phương trình ta có  triệt tiêu, và ngay lập tức suy ra được đại lượng  được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Kết quả này có một ý nghĩa đẹp được giải thích theo kết quả vật lý. Khi mêtric không phụ thuộc vào một tọa độ, như đối với tọa độ thời gian và/hoặc tọa độ góc phương vị như tương ứng trong không thời gian dừng và/hoặc không thời gian đối xứng trục, thì một hạt thử chuyển động với vận tốc V^\mu dọc theo đường trắc địa sẽ có hai thành phần V_t và/hoặc V_\phi được bảo toàn. Do hạt trên một đường trắc địa khi và chỉ khi nó không chịu một lực bất kỳ nào khác ngoài lực hấp dẫn, một cách tự nhiên ta có thể gán hai đại lượng V_t và V_\phi là hằng số của chuyển động, tương ứng cho năng lượng và động lượng của hạt.
Tenxơ Riemann
Mặc dù tenxơ mêtric chắc chắn là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối rộng, nhưng nếu chỉ sử dụng một mình nó thì không thể suy luận ra không thời gian là phẳng hay cong. Chúng ta đã đề cập đến thực tế rằng một không thời gian phẳng được miêu tả bằng hệ tọa độ Descartes sẽ có tenxơ mêtric rất đơn giản với các thành phần là hằng số (xem ), cùng một không thời gian này sẽ có tenxơ mêtric phức tạp hơn khi đa tạp được phủ bằng những hệ tọa độ khác, chẳng hạn như hệ tọa độ cầu. Về mặt trực giác, khi thực hiện đo độ cong thì kết quả sẽ phụ thuộc vào tenxơ mêtric thay đổi như thế nào trên toàn bộ không thời gian (hay nó sẽ phải tỷ lệ với đạo hàm của ten xơ mêtric) và những sự thay đổi này sẽ có dạng toàn phương, với sự tương tự như ở độ cong nội tại Gauss đối với mặt. Từ đó, với cách lập luận đơn giản như thế đưa chúng ta nhận ra rằng tenxơ độ cong sẽ phải có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài và là một đối tượng có kiểu
Có thể thực hiện định nghĩa chính xác hơn khi áp dụng các công cụ toán học đã được nêu ở các phần trước, đặc biệt là khái niệm đạo hàm hiệp biến dọc theo một đường cong. Xét một trường vectơ bất kỳ và hai đoàn đường cong  và, với  và  tương ứng là các vectơ tiếp tuyến. Cho giá trị của trường vectơ tại một điểm P hay, chúng ta có thể tính giá trị tại một điểm Q sau khi đã kéo dọc giá trị từ P theo đoàn rồi sau đó kéo theo đoàn. Kết quả của hai sự dịch chuyển này là hai vectơ được so sánh tại điểm Q. Trong không gian thời gian phẳng, hai vectơ này sẽ đồng nhất giống nhau. Nhưng chúng sẽ khác nhau nếu không thời gian là cong và sự sai khác này có thể được sử dụng để đo độ cong của không thời gian. Việc so sánh này được nêu ra trong hình 1.3 với hai đoàn đường cong được vẽ ra và với các vec tơ tiếp tuyến. Chú ý rằng vec tơ sẽ có hai ảnh khác nhau tại điểm Q mới và hiệu giữa chúng sẽ đo độ cong của đa tạp.
với
là tenxơ độ cong Riemann mà như được mong đợi theo.
nhỏ|phải|Minh họa sự thay đổi của vectơ A khi nó được dịch chuyển song song từ điểm P đến điểm Q theo hai cách: thứ nhất là dọc theo đoàn đường cong rồi sau đó theo, thứ hai là theo cách ngược lại. Do đa tạp là cong nên hai kết quả sẽ cho hai vectơ khác nhau tại điểm Q, và hiệu của haivec tơ này đo độ cong của đa tạp, như được biểu diễn qua tenxơ Riemann.
Cách lập luận ở trên không phải là cách duy nhất để tìm ra tenxơ độ cong Riemann. Có một cách suy luận gần gũi với trực giác vật lý hơn đó là chứng tỏ mối liên hệ giữa độ cong và sự có mặt của lực thủy triều do trường hấp dẫn. Để thấy điều này, trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm đối lưu bậc hai của một trường vectơ tổng quát dọc theo một đường trắc địa có vectơ tiếp tuyến. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách tính hai lần đạo hàm đối lưu bậc nhất ta có
Bây giờ sử dụng định nghĩa của phương trình trắc địa, có thể mở rộng phương trình thông qua quy tắc tính đạo hàm tiêu chuẩn và có
Tiếp theo, xét hai hạt điểm nằm gần nhau trong trạng thái rơi tự do và có nghĩa là hai hạt nằm trên hai đường trắc địa được tham số hóa bằng cùng một tham số \lambda (hay có cùng thời gian riêng). Trong không thời gian phẳng, chúng sẽ chuyển động theo đường thẳng và do đó khoảng cách giữa chúng, mà được đo thông qua vectơ chuyển dịch vị trí \xi^\mu giữa hai đường trắc địa, là không đổi (các đường thẳng song song không cắt nhau trong không gian phẳng). Tuy nhiên, điều này sẽ không còn đúng nếu không thời gian là cong, và chúng ta có thể đo sự biến đổi trong vectơ chuyển dịch vị trí bằng cách theo dõi hai đường trắc địa mà sẽ có phương trình
Trừ hai vế của hai phương trình và, rồi khai triển nó tới bậc nhất của độ dịch chuyển tức là  thu được
Sử dụng biểu thức có thể tính tiếp đạo hàm đối lưu bậc hai của vectơ chuyển dịch vị trí \xi^\mu dựa theo công thức  cho vectơ tổng quát  cuối cùng nhận được
với tenxơ kiểu (1, 3) trong  có cùng dạng với tenxơ Riemann được định nghĩa trong.
Phương trình được gọi là phương trình độ lệch trắc địa cung cấp một kết quả rất quan trọng khi nó phát biểu các đường trắc địa lân cận nhau thay đổi khoảng cách giữa chúng theo cách gia tốc nếu tenxơ Riemann khác 0. Kết quả là, một sự biểu thị điển hình của trường hấp dẫn, sự xuất hiện của lực thủy triều, bây giờ được coi đơn giản như là một hiệu ứng hình học do độ cong khác không của không thời gian. Do vậy, tenxơ Riemann không những dùng để thăm dò độ cong của không thời gian, mà còn được coi là sự có mặt của trường hấp dẫn và hai thứ này không thể phân biệt được với nhau. Điều này được minh họa trên hình 1.4 thể hiện vectơ tách biệt giữa hai đường trắc địa của hai hạt rơi tự do với vectơ tiếp tuyến. Bên trái là không thời gian phẳng, với trong trường hợp này khoảng cách giữa hai đường là không đổi và hai đường trắc địa là những đường thẳng song song với nhau. Bên phải là trường hợp không thời gian cong, như được tạo ra bởi vật thể khối lượng lớn chẳng hạn, trong trường hợp này vec tơ khoảng cách có độ lớn biến thiên gia tốc thu nhỏ dần khi hai hạt thử di chuyển trong trường hấp dẫn.
Chúng ta đã biết rằng nếu không thời gian là phẳng thì có một hệ tọa độ mà trong đó các hệ số Christoffel bị triệt tiêu trên toàn bộ không thời gian. Do đó từ phương trình tenxơ Riemann cũng triệt tiêu, và do là tenxơ nó cũng triệt tiêu trong mọi hệ tọa độ khác. Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là nếu tenxơ Riemann bằng 0 trên toàn bộ không thời gian, thì từ phương trình sẽ có khoảng cách giữa hai đường trắc địa bất kỳ sẽ không đổi và do vậy không thời gian là phẳng. Tuy nhiên chú ý rằng, nếu các hệ số Christoffel chỉ bằng 0 trong phạm vi cục bộ điều này không thể suy ra được tenxơ Riemann sẽ bằng 0 tại điểm đó bởi vì ten xơ này còn phụ thuộc vào đạo hàm của hệ số Christoffel. Do vậy bằng cách lập luận này, luôn có thể phân biệt được hiệu ứng gây ra bởi một trường hấp dẫn thực sự hay do một hệ quy chiếu phi quán tính (các dẫn đến không thời gian phẳng trên cục bộ) với một cách đơn giản đó là kiểm tra xem tenxơ Riemann có bằng 0 hay không.
nhỏ|phải|300px|Minh họa khoảng cách giữa hai đường trắc địa khi được đo bằng vectơ khoảng cách giữa hai đường trắc địa của hai hạt rơi tự do với vectơ tiếp tuyến . Bên trái là không thời gian phẳng,, khoảng cách giữa hai đường trắc địa không thay đổi và chúng là hai đường thẳng song song. Bên phải là không thời gian cong bao quanh một vật thể khối lượng lớn, và trong trường hợp này khoảng cách giữa hai đường thay đổi và không còn song song với nhau nữa.
Do tất cả những tính chất đối xứng và phản xứng này, số các thành phần độc lập của tenxơ Riemann trong đa tạp N chiều không phải là N4 mà là N2(N2-1)/12, vì thế trong không thời gian bốn chiều, có 20 thành phần độc lập trong số 256 thành phần của tenxơ Riemann. Ta có thể thực hiện thao tác thu gọn chỉ số của tenxơ Riemann nhưng chỉ có một trường hợp là không tầm thường, và thu được một tenxơ đối xứng hạng hai gọi là tenxơ Ricci
với phương trình cuối áp dụng theo phương trình biểu diễn tenxơ Ricci theo hệ số Christoffel. Ta có thể thực hiện tiếp việc thu gọn chỉ số của tenxơ Ricci để thu được vết của nó hay gọi là độ cong vô hướng hoặc độ cong vô hướng Ricci cho bởi
Ý nghĩa hình học của độ cong vô hướng đó là nó thể hiện lượng thay đổi của thể tích một hình cầu trong đa tạp cong Riemann so với hình cầu cùng bán kính trong không gian Euclid.
Vì được xây dựng trực tiếp từ tenxơ Riemann nên cả tenxơ Ricci và vô hướng Ricci có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài. Vô hướng Ricci cũng phân biệt với một loại vô hướng khác nhận được bằng cách thu gọn các chỉ số của hai tenxơ Riemann:
Độ cong vô hướng này còn được gọi là độ cong vô hướng Kretschmann, có thứ nguyên bằng nghịch đảo lũy thừa bậc bốn của độ dài. Các độ cong vô hướng này là những độ cong bất biến tại mỗi điểm và xác định lên hình học nội tại ở lân cận điểm đó. Độ cong bất biến rất có ích khi thực hiện đo độ cong của không thời gian cũng như nghiên cứu các kỳ dị vật lý. Để nhìn nhận một cách trực giác hơn về tính chất của tenxơ Riemann, hãy xét các thành phần của nó trong một không gian cong hai chiều đơn giản nhất, hay mặt cầu hai chiều trong không gian Euclid ba chiều \mathcal S. Nếu R_S là bán kính của mặt cầu hai chiều được phủ bằng hệ tọa độ thì nguyên tố đoạn sẽ bằng
và do đó tenxơ mêtric sẽ có các thành phần
Các ký hiệu Christoffel khác 0 là
Từ đây có thể tính trực tiếp các thành phần khác 0 của tenxơ Riemann
và tenxơ Ricci bằng trong khi độ cong vô hướng Ricci bằng R = 2/R^2_S. Sự quan trọng của biểu thức là nó cho thấy tenxơ độ cong tỷ lệ nghịch với bình phương bán kính cong cục bộ tại điểm đó, do vậy nó độc lập với không gian Euclid ba chiều, và có thể gắn cho tenxơ độ cong tại mỗi điểm bằng nghịch đảo bình phương của bán kính mặt cầu mật tiếp tại điểm đó. Với mặt cầu hai chiều bất kỳ có bán kính RS không đổi biểu thức có thể mở rộng thành
Ngoài những tính chất đối xứng nêu trên, tenxơ Riemann cũng tuân theo các liên hệ vi phân sau (còn gọi là các đồng nhất thức Bianchi thứ hai)
Thu gọn chỉ số của phương trình Bianchi hai lần sẽ thu được kết quả quan trọng được sử dụng ở phần sau
trong đó ở đây giới thiệu một tenxơ hạng hai, phân kỳ tự do còn gọi là tenxơ Einstein
Tenxơ Ricci có N(N+1)/2 thành phần độc lập và do vậy tenxơ Riemann có số thành phần độc lập nhiều hơn tenxơ Ricci trong đa tạp có số chiều N > 3. Hơn nữa, ten xơ Riemann cũng nhận sự phân tích thành một tenxơ khác, tenxơ Weyl (mang tên Hermann Weyl) định nghĩa bằng
Tenxơ Weyl triệt tiêu trong bất kỳ đa tạp nào có số chiều N < 4, nó có vết tự do và có cùng các tính chất đối xứng như tenxơ Riemann. Tương tự như tenxơ Riemann, tenxơ Weyl thể hiện lực thủy triều chịu bởi một vật chuyển động trong trường hấp dẫn (hay trong không thời gian cong). Tuy nhiên, khác với tenxơ độ cong, tenxơ Weyl cung cấp thông tin về hình dáng vật thể bị biến dạng như thế nào chứ không phải về thể tích của nó thay đổi bao nhiêu. Tenxơ Weyl đặc biệt hữu ích trong tính toán bức xạ hấp dẫn hình thành trong các mô phỏng số tương đối tính thông qua hình thức luận Newman-Penrose.
Phương trình trường Einstein
Trong lý thuyết hấp dẫn của Newton, phương trình liên hệ thế hấp dẫn \phi với mật độ khối lượng \rho biểu diễn nguồn của trường, là phương trình Poisson
Đây là phương trình đạo hàm riêng bậc hai đối với thế hấp dẫn chưa biết \phi và \nabla^2 là toán tử Laplace. Vì ý tưởng chính của thuyết tương đối tổng quát đó là trường hấp dẫn là một thực thể hình học, do vậy các hệ số mêtric g_{\mu\nu} nên được coi như là những biến động lực mới của trường hấp dẫn. Để thu về giới hạn Newton, chúng ta mong muốn rằng phương trình trường hấp dẫn mới, phương trình trường Einstein, sẽ chứa các đạo hàm của ten xơ metric mà không quá đạo hàm bậc hai.
để nó có dạng giống tương ứng với phương trình Poisson trong lý thuyết Newton. Thêm vào đó, nguồn của trường hấp dẫn sẽ phải thỏa mãn các định luật bảo toàn viết dưới dạng cho nên chúng ta mong muốn rằng từ phương trình  sẽ có. Chỉ bằng ngôn ngữ hình học thuần túy, chúng ta đã xây dựng một tenxơ thỏa mãn các tính chất này, đó là tenxơ Einstein được định nghĩa trong phương trình.
Tenxơ ứng suất-năng lượng có một ý nghĩa tối quan trọng trong thuyết tương đối rộng. Trong lý thuyết Newton có mật độ \rho là nguồn của trường hấp dẫn. Nó được hiểu là mật độ khối lượng và bằng thành phần T^{00} của tenxơ trong thuyết tương đối hay chính là khối lượng nghỉ \rho_0. Nhưng một lý thuyết chỉ sử dụng khối lượng nghỉ là nguồn của trường sẽ trở lên kỳ lạ từ cách nhìn tương đối tính, do khối lượng nghỉ và năng lượng có thể biến đổi được cho nhau. Chúng ta có thể chứng minh được rằng một lý thuyết như vậy sẽ vi phạm trong những thí nghiệm chính xác cao. Do đó nguồn của trường phải là mọi dạng năng lượng bao gồm cả mật độ khối lượng tổng cộng T^{00}. Nhưng nếu nguồn của trường chỉ là một thành phần của một tenxơ sẽ đưa tới một lý thuyết hấp dẫn không thỏa mãn tính bất biến: chúng ta sẽ cần phải chọn một hệ tọa độ ưu tiên để có thể tính toán T^{00}. Do vậy, Einstein đoán rằng nguồn của trường phải là tenxơ ứng suất-năng lượng: mọi năng lượng, động lượng, áp suất và ứng suất cũng phải là nguồn của trường hấp dẫn. Kết hợp với trực giác về không gian cong đã đưa ông tới hoàn thiện thuyết tương đối tổng quát.
Áp suất đóng một vai trò cơ bản hơn trong thuyết tương đối tổng quát so với lý thuyết hấp dẫn cổ điển. Bởi vì nó là một nguồn của trường hấp dẫn, hãy xét một ngôi sao đặc mà trường hấp dẫn mạnh của nó đòi hỏi gradien áp suất phải lớn để duy trì trạng thái cân bằng của nó khỏi sự nén hấp dẫn về bên trong. Mặt khác gradien áp suất này lại đóng góp vào nguồn của trường, do đó gradien áp suất càng phải lớn hơn để giữ cho ngôi sao ổn định. Đối với những sao có áp suất p \ll \rho thì điều này không gây ra ảnh hưởng đáng kể nào. Nhưng khi p trở lên đáng kể so với \rho chúng ta thấy rằng sự tăng áp suất lại là một con đường tự hủy diệt: không một áp suất nào có thể giữ ngôi sao ổn định và sự suy sụp hấp dẫn phải xảy ra. Tuy đây chỉ là những lập luận sơ bộ, chi tiết hơn cần có những tính toán chặt chẽ, nhưng nó cho thấy bằng cách phân tích các khía cạnh của thuyết tương đối hẹp cũng cho ta những kết quả cơ bản trong thuyết tương đối rộng.
Tenxơ ứng suất-năng lượng chỉ chứa những thành phần năng lượng, động lượng phi hấp dẫn mà không chứa năng lượng, động lượng của hấp dẫn.
Vì đạo hàm hiệp biến của mêtric bằng 0,, việc cộng thêm vào tenxơ Einstein một số hạng tỷ lệ với tenxơ mêtric không làm thay đổi phân kỳ tự do của nó hay , với \Lambda là hằng số. Về mặt lịch sử, hằng số này được Eintein đưa ra đầu tiên nhằm thu được nghiệm miêu tả vũ trụ tĩnh và nó được đặt tên là hằng số vũ trụ. Gần đây, hằng số vũ trụ đã xuất hiện trở lại với khả năng giải thích cho vũ trụ giãn nở gia tốc mà các nhà thiên văn học đã quan sát thấy. Vì giá trị nhỏ của hằng số vũ trụ nếu chỉ xét tới các vật thể thiên văn nên có thể coi \Lambda = 0.
Phương trình trường Einstein viết dưới dạng thành phần bao gồm tất cả các số hạng là
ở đây các hệ số G, c, 8\pi xuất hiện để có thể thu về giới hạn trường hấp dẫn Newton yếu.
Có một cách khác để tìm ra phương trình trường Einstein đó là sử dụng nguyên lý biến phân cho tác dụng phù hợp của trường hấp dẫn (tác dụng Einstein–Hilbert). và phương pháp này có ích khi các nhà vật lý giới thiệu ra những lý thuyết thay thế khác về trường hấp dẫn.
Thực hiện tìm vết của phương trình ta có
do vậy phương trình trường Einstein có thể viết lại thành
Phương trình này giúp nhìn thấy rõ mối liên hệ chặt (sự tương đương chặt chẽ) giữa hình học của không thời gian bên vế trái với thành phần khối lượng-năng lượng bên vế phải. Đây là một trong những đặc điểm cơ bản của thuyết tương đối rộng.
Từ phát biểu toán học, phương trình trường Einstein là một hệ chứa 10 phương trình vi phân riêng phần phi tuyến biểu diễn theo tenxơ mêtric g_{\mu\nu}. Tuy nhiên chỉ có 6 phương trình độc lập do điều kiện. Kết quả này phản ánh thực tế rằng có bốn bậc tự do (bằng số tọa độ của không thời gian) trong 10 thành phần của tenxơ mêtric. Điều này không liên quan tới trường hấp dẫn mà chỉ là do chúng ta được lựa chọn hệ tọa độ một cách bất kỳ để miêu tả các thành phần của tenxơ mêtric, hay tự do chuẩn (gauge freedom). Vì phương trình trường Einstein là phi tuyến nên việc tìm và phân tích các nghiệm của nó khá phức tạp, đồng thời cũng hàm ý rằng không có nguyên lý chồng chập cho trường hấp dẫn (mạnh). Nói cách khác, tổng của hai nghiệm của phương trình không phải là một nghiệm khác. Ngay cả trong không thời gian chân không,, phương trình trường Einstein trở thành dạng đơn giản nhưng nó vẫn ẩn chứa 10 phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Nghiệm tầm thường duy nhất của phương trình Einstein là của không thời gian phẳng, khi không có vật chất và mọi thành phần của tenxơ Riemann và tenxơ Einstein đều đồng nhất bằng 0.
Sự khác biệt cơ bản giữa phương trình trường Einstein và những phương trình trong các lý thuyết trường khác, ví dụ điện từ học, đó là nó cũng chứa thông tin về phương trình chuyển động cho nguồn của độ cong. Cụ thể là khi lấy phân kỳ div đối với phương trình Einstein mà hệ quả quan trọng của nó là chuyển động của vật chất không thể được xác định một cách bất kỳ mà phải tuân theo định luật bảo toàn. Mặt khác, trong điện từ học, phương trình Maxwell không quy định lên chuyển động của các điện tích điểm, mà động lực của chúng chỉ có thể giải tách biệt thông qua lực Lorentz.
Lỗ đen không quay: Nghiệm Schwarzschild
Nghiệm dễ nhất trong số các nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein do Karl Schwarzschild tìm ra (1916) chỉ vài tháng sau khi Einstein tìm ra phương trình đúng của thuyết tương đối rộng (tháng 11 năm 1915). Đây là nghiệm cho không thời gian có đối xứng cầu, tĩnh và trong chân không. Nó được biết đến rộng rãi là mêtric Schwarzschild và một định lý quan trọng liên quan tới nó, định lý Birkhoff, được chứng minh vào năm 1923 rằng nghiệm Schwarzschild là nghiệm duy nhất của phương trình trường Einstein cho không thời gian đối xứng cầu trong chân không. Nghiệm Schwarzschild là nghiệm miêu tả không thời gian bên ngoài một ngôi sao tương đối tính đối xứng cầu, độc lập với sự co giãn cầu xuyên tâm của sao.
Trong hệ tọa độ cầu, nguyên tố đoạn của mêtric Schwarzschild là
trong đó M là tổng khối lượng-năng lượng của hệ. Chú ý rằng bởi vì không thời gian miêu tả bằng mêtric là cong, hệ tọa độ cầu tương ứng không giống với hệ tọa độ cầu trong không thời gian phẳng. Ví dụ, độ dài riêng của chu vi đường tròn nằm tại r = 0 và trên mặt phẳng (đường xích đạo) là  trong khi khoảng cách xuyên tâm riêng (proper radial distance) giữa hai điểm nằm trên hai vỏ xuyên tâm tại các bán kính r_1, r_2 là
từ đó chứng tỏ sự tăng trong khoảng cách xuyên tâm riêng lớn hơn sự tăng trong khoảng cách tọa độ. Hơn nữa, nếu hai sự kiện có cùng tọa độ không gian, tức là khoảng tọa độ thời gian dt giữa hai sự kiện là khác với khoảng thời gian riêng d\tau và tỉ số của chúng bằng
Nói cách khác, tại những khoảng cách hữu hạn từ gốc, tọa độ thời gian chạy chậm hơn so với thời gian riêng. Giả sử có hai đồng hồ nằm tại các khoảng cách r2 > r1, từ mỗi đồng hồ phát ra tín hiệu gửi tới một quan sát viên ở xa vô tận trong cùng một khoảng thời gian dt, nghĩa là
Tỉ số giữa hai thời gian riêng
mà khi chuyển sang tần số mà quan sát viên đo được ta có
Đây chính là hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn, photon giảm tần số khi nó di chuyển ra xa khỏi giếng thế hấp dẫn. Vì photon có nguyên tố đoạn đặc trưng ds2 = 0, đối với các photon chuyển động xuyên tâm ta có, với dấu + cho photon chuyển động ra bên ngoài và dấu - cho photon chuyển động vào trong. Từ đó, khác với không thời gian phẳng, mà có, tuyến thế giới của các photon trong mặt phẳng (t, r) không còn là những đường thẳng.Thêm vào đó, từ phương trình thứ nhất trong dễ dàng nhận ra rằng khi  thì  hoặc tương đương. Kết quả này phản ánh tính chất là mặt tại bán kính Schwarzschild, r = 2M, là một mặt đặc biệt nhưng chính quy của nghiệm Schwarzschild, mà photon không thể thoát ra ngoài. Bề mặt này, theo định nghĩa toán học mà tại đó hàm mêtric g_{tt} = 0, tách không thời gian ra thành hai vùng không có liên hệ nhân quả với nhau và được gọi là chân trời sự kiện. Hơn nữa, ánh sáng chỉ có thể đi vào mặt này mà không thể thoát ra được, do vậy nghiệm Schwarzschild còn được gọi là nghiệm miêu tả lỗ đen Schwarzschild.
Chú ý rằng mặc dù trong mêtric nó kỳ dị tại r = 2M, nhưng kỳ dị này chỉ là do sự lựa chọn hệ tọa độ bao phủ không thời gian và nó không phải là kỳ dị vật lý. Nhận ra điều này làm các nhà vật lý thay đổi hiểu biết về mêtric Schwarzschild. Thật vậy, khi tính toán bất biến độ cong cho không thời gian Schwarzschild,, tại r = 2M thu được giá trị hữu hạn và nó chỉ không xác định tại r = 0, và đây chính là kỳ dị vật lý. Các nhà vật lý đã giới thiệu các hệ tọa độ phù hợp để nghiên cứu không thời gian gần chân trời sự kiện, như hệ tọa độ Kruskal, hệ tọa độ Eddington-Filkenstein... đã loại trừ được kỳ dị toán học tại r = 2M.
Chuyển động của hạt thử có khối lượng nghỉ m trong không thời gian Schwarzschild có thể dẫn ra sau khi giải phương trình trắc địa. Chi tiết về việc giải phương trình như thế có thể xem trong d'Inverno (1992). Về thực hành, một trong những con đường đơn giản nhất là sử dụng phương pháp biến phân với các số hạng Lagrangian trong và coi thời gian riêng \tau như là một tham số aphin
Các phương trình và  về cơ bản phát biểu rằng có thể bỏ qua được các tọa độ t, \phi và cho phép xác định hai hằng số của chuyển động lần lượt là, năng lượng riêng của hạt và,  là mômen động lượng phương vị riêng. Thêm vào đó, do đối xứng cầu, chúng ta có thể coi một mặt phẳng quỹ đạo ban đầu bất kỳ nào làm mặt phẳng đường xích đạo hay ban đầu đặt. Từ phương trình có  và \theta sẽ vẫn không đổi như mong đợi với chuyển động trong mặt phẳng. Kết quả là, phương trình đường trắc địa cho hạt có khối lượng trong không thời gian Schwarzschild thu gọn thành
Eriospermum vermiforme
Eriospermum vermiforme là một loài thực vật có hoa trong họ Măng tây. Loài này được Marloth ex P.L.Perry mô tả khoa học đầu tiên năm 1989.
Toán học của thuyết tương đối rộng
Lỗ đen không quay: Nghiệm Schwarzschild
Phân tích phương trình giúp làm sáng rõ sự khác biệt giữa lý thuyết của Newton với thuyết tương đối rộng, và có thể viết gọn phương trình  thành
mà chúng ta đã định nghĩa thế hiệu dụng V bằng
mà nó trở thành thế hiệu dụng Newton ở khoảng cách lớn tức là
Eriospermum vermiforme
Liên kết ngoài
Thể loại:Eriospermum Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1989
Toán học của thuyết tương đối rộng
Lỗ đen không quay: Nghiệm Schwarzschild
Phương trình xuyên tâm cũng dùng để phân loại các loại quỹ đạo khả dĩ khác nhau và điều này phụ thuộc cơ bản vào số lượng nhiều nhất và nhỏ nhất mà thế năng hữu hiệu (effective potential) sẽ nhận được tương ứng khi cho trước một giá trị của mômen động lượng (nếu  quỹ đạo đơn giản là xuyên tâm và sẽ nối bất kỳ điểm nào với gốc tọa độ). Giả sử rằng, đỗi với mỗi mômen động lượng riêng ta thu được thế hữu hiệu có giá trị địa phương lớn nhất với V>1, và giá trị địa phương nhỏ nhất giống như minh họa trong hình bên trái của hình 1.5, mà tương đương với. Trong trường hợp này, sử dụng năng lượng riêng như là một tham số cho giảm dần, các trường hợp quỹ đạo có thể là: AAA nhỏ|phải|300px|Hình bên trái: Thế hữu hiệu V(r) đối với giá trị của mômen động lượng riêng . Lần lượt là các loại quỹ đạo khác nhau:
Các giá trị của mômen động lượng riêng mà tại đó thế hữu hiệu có cả giá trị địa phương nhỏ nhất và lớn nhất, tức là và vì thế mà cũng tồn tại quỹ đạo tròn, được cho bởi
Để đảm bảo vế phải lớn hơn 0, nên chỉ tồn tại các điểm cực trị với. Thêm vào đó, với các quỹ đạo tròn ổn định và không ổn định trùng nhau, dẫn tới điểm uốn (inflection point) tại bán kính rms = 6M hay còn gọi là bán kính ổn định biên (marginally stable radius). Quỹ đạo tương ứng gọi là quỹ đạo tròn ổn định trong cùng (innermost stable circular orbit) nó biểu thị bán kính nhỏ nhất mà có thể tồn tại một quỹ đạo tròn ổn định, thường đánh dấu cạnh trong cùng của đĩa bồi tụ xung quanh lỗ đen. Cũng có thể xác định quỹ đạo ổn định biên đối với hạt phi khối lượng (chẳng hạn photon) và bằng rph = 3M.
Sự biến đổi của thế hữu hiệu đối với mỗi giá trị mômen động lượng riêng được minh họa trong hình 1.5 bên phải với hình chèn vào thể hiện giá trị của thế hữu hiệu là cực đại (mà trùng với mức năng lượng của quỹ đạo tròn không ổn định) và cho bởi
Đặt Vextr(r) = 1, khi ấy rmb = 4M là bán kính quỹ đạo nhỏ nhất tương ứng với quỹ đạo tròn không ổn định. Một hạt ở xa vô tận (\tilde E =1) bắt đầu chuyển động trên quỹ đạo parabol để tới r = rmb nơi nó có thể trên một quỹ đạo tròn nhưng trong trạng thái cân bằng không ổn định.
Tóm lược, các quỹ đạo tròn không ổn định đối với
trong khi quỹ đạo tròn ổn định đối với
Sử dụng phương trình sẽ không khó để ước lượng được mức năng lượng tương ứng của quỹ đạo tròn bên trong ổn định nhất bằng  và kết quả đơn giản này gợi ra một kết luận quan trọng: Xét một hạt chuyển từ quỹ đạo tròn sang một quỹ đạo tròn lân cận và bị mất phần năng lượng trong quá trình chuyển tiếp này (ví dụ vật chất trong đĩa bồi tụ quanh lỗ đen). Tổng năng lượng bị mất khi hạt chuyển động xoáy ốc từ khoảng cách xa vô tận tới quỹ đạo bên trong ổn định nhất bằng, điều này hàm ý rằng hiệu suất biến đổi năng lượng của năng lượng liên kết xấp xỉ bằng 6%. Khi so sánh hiệu suất này với hiệu suất của phản ứng phân hạch hạt nhân (~ 0,1%) hoặc phản ứng tổng hợp hạt nhân (~ 0,4%) rõ ràng là sự bồi tụ vật chất quanh lỗ đen là một trong những quá trình biến đổi năng lượng hiệu quả nhất. Hiệu suất này còn cao hơn đối với lỗ đen quay như nêu ở phần dưới.
Lỗ đen quay: Nghiệm Kerr
Năm 1963, gần 50 năm sau khi Schwarzschild tìm ra nghiệm của ông, nhà toán học Roy Kerr đã tìm ra một nghiệm chính xác dừng đối với phương trình chân không Einstein, miêu tả không thời gian của lỗ đen có tổng khối lượng M và mômen động lượng J. Nghiệm này còn gọi là lỗ đen Kerr và sau đó được chứng minh là duy nhất, nó thu về mêtric Schwarzschild khi mômen động lượng bằng 0. Vì bao gồm sự quay, lỗ đen Kerr không có dạng đối xứng cầu mà là đối xứng quanh trục theo hướng của vectơ mômen động lượng của lỗ đen, hơn nữa nó không còn là nghiệm tĩnh mà là nghiệm dừng. Vì phần lớn ở hệ các thiên thể trong Vũ trụ đều có tính chất quay, nghiệm Kerr được coi là nghiệm gần với thực tại nhất khi nghiên cứu về vùng không thời gian quanh lỗ đen. Không có một định lý tương tự nào như định lý Birkhoff cho lỗ đen quay, mặc dù nó là nghiệm duy nhất, nhưng đối với không thời gian có vật chất bên ngoài thì nó phụ thuộc vào tính chất của nguồn vật chất như sự phân bố khối lượng và mômen động lượng trong trường hợp đối với một ngôi sao tương đối tính.
Chi tiết về cách giải phương trình trường Einstein đối với không thời gian quay để tìm ra nghiệm Kerr có thể xem tại các tài liệu Carmeli (2001); de Felice và Clarke (1990). Ở đây trình bày cách ngắn gọn về cách rút ra mêtric Kerr. Bắt đầu bằng việc khai thác các đối xứng của không thời gian và chọn hệ tọa độ với x1 và x2 là các tọa độ tổng quát và nguyên tố đoạn được viết thành
trong đó P, Q là các hàm của hai biến x1 và x2. Phương trình Einstein thu về thành một phương trình gọi là phương trình Ernst cho bởi
với \xi là hàm số phức của x1 và x2 và \bar{\xi} là liên hợp phức. Hệ tọa độ phỏng cầu trở lên thuận tiện đối với nghiệm của phương trình Ernst và nó có liên hệ với hệ tọa độ trụ  như sau
với a là hệ số hằng số. Sử dụng cách hệ tọa độ này và các tính toán đại số, có thể biểu diễn mêtric Kerr thành với
Ký hiệu J là mômen động lượng liên kết với không thời gian miêu tả bởi phương trình, từ đây có thể giải thích trực tiếp tham số a như là mômen động lượng trên một đơn vị khối lượng a:=J/M. Do tham số a trong hệ đơn vị hình học hóa (geometrised unit) có thứ nguyên là độ dài, nó sẽ có ích khi đặt tham số spin không thứ nguyên mà giới hạn bởi -1\le a\ge1.
Dạng hệ tọa độ thường gặp để miêu tả mêtric Kerr (mặc dù không phải là thuận tiện nhất) gọi là hệ tọa độ Boyer–Lindquist mà các tọa độ cầu r và \theta có liên hệ với các tọa độ phỏng cầu \chi, \zeta thông qua phương trình. Trong hệ tọa độ này, mêtric Kerr có dạng
trong đó và mêtric thu về mêtric Schwarzschild  khi a = 0.
Không giống như nghiệm Schwarzschild, ở đó bề mặt có hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn lớn vô hạn trùng với bề mặt chân trời sự kiện, nghiệm Kerr có hai bề mặt dịch chuyển đỏ vô hạn nhận được khi gtt = 0 và giải ra ta có
Mặt khác chân trời sự kiện có thể xác định khi thành phần grr phân kỳ hay khi đặt \Delta=0 và thu được
với dấu \pm ký hiệu chân trời sự kiện bên ngoài (+) và bên trong (-). Chú ý rằng trong giới hạn Schwarzschild r_{eh,-} =0 và như đã thấy trước đó.
Vùng ở giữa r_{s,+} được gọi là mặt cầu sản công (ergosphere), và vùng ở giữa r_{eh,+} gọi là vùng sản công (ergoregion), do không có một quan sát viên tĩnh nào (tức là nhìn thấy một quan sát viên đang đứng yên ở xa vô tận) và toàn bộ không thời gian bị kéo theo sự cùng quay đồng bộ (synchronous corotation) bởi lỗ đen. Đây là hiệu ứng thuần túy tương đối tính, mà được còn gọi là hiệu ứng kéo hệ quy chiếu, không những áp dụng cho vùng sản công (nơi ngay cả photon cũng không tránh khỏi cùng quay) mà còn cho toàn bộ không thời gian, mặc dù hiệu ứng dần yếu đi khi khoảng cách xa dần khỏi lỗ đen. Hệ quả là, một quan sát viên có mômen động lượng bằng không ở xa vô tận (Zero Angular Momentum Observer-ZAMO) sẽ không chuyển động thẳng xuyên tâm về phía lỗ đen nhưng sẽ bắt đầu quay theo hướng quay của lỗ đen và di chuyển về phía nó. Bốn-vận tốc tương ứng trong tọa độ Boyer–Lindquist sẽ là
với
là vận tốc góc ZAMO, mà giảm theo khoảng cách tỷ lệ với 1/r3 bên ngoài lỗ đen và bằng 0 đối với lỗ đen không quay Schwarzschild. Sự quan trọng của mặt cầu sản công nằm ở chỗ nó có thể thực hiện quá trình vật lý nhằm thu năng lượng quay lấy từ lỗ đen như chỉ ra lần đầu tiên bởi Penrose đối với các hạt thử và sau đó các nhà vật lý đặt ra tình huống tương tự đối với từ trường tạo ra bởi đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen quay.
Giống như nghiệm Schwarzschild, cả mặt dịch chuyển đỏ vô hạn và mặt chân trời sự kiện biểu diễn kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr và việc tính toán độ cong vô hướng tại những mặt này có thể dễ dàng chứng minh điều đó. Cũng đối với nghiệm Kerr, kỳ dị tọa độ tại chân trời sự kiện có thể loại bỏ bằng cách biến đổi hệ tọa độ theo một-dạng (one-form)
hoặc cụ thể hơn qua biến đổi tọa độ
với và thành phần không gian của mêtric không còn chéo hóa nữa. Kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr, độc lập với khi mêtric được viết theo dạng hoặc  là tại  tức là tại r = 0 và. Kết luận không đúng này có thể tránh được nếu sử dụng một hệ tọa độ tốt hơn gần gốc và đặc biệt sau khi thực hiện biến đổi tọa độ về hệ tọa độ Decartes Kerr-Schild định nghĩa bằng
lúc đó điều kiện trở thành
Pelegrina yucatecana
Pelegrina yucatecana là một loài nhện trong họ Salticidae.
Toán học của thuyết tương đối rộng
Lỗ đen quay: Nghiệm Kerr
Giống như đối với không thời gian Schwarzschild, việc nghiên cứu chuyển động trắc địa của hạt thử trong mêtric Kerr đem lại những hiểu biết về đặc tính của không thời gian này. Chuyển động hạt trong trường hợp này trở lên phức tạp hơn, và ngoài hằng số năng lượng và động lượng, một hằng số chuyển động mới xuất hiện đó là hằng số Carter. Thêm vào đó chỉ có chuyển động trong quỹ đạo thuộc mặt phẳng xích đạo là chuyển động trên mặt phẳng mà các tính chất của chuyển động này tương tự như đối với của không thời gian Schwarzschild.
AAA
Mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker
Vì phương trình trường Einstein miêu tả bất kỳ tương tác hấp dẫn nào, nó không những áp dụng cho các vật thể đặc như sao neutron và lỗ đen như đã nêu ở phần trước, mà còn áp dụng cho toàn thể Vũ trụ. Điểm bắt đầu để dẫn ra phương trình miêu tả động lực của Vũ trụ rõ ràng phải dựa trên các dữ kiện quan sát Vũ trụ. Chúng cung cấp các chứng cứ rằng, ít nhất trên phạm vi đủ lớn, Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, hay tuân theo nguyên lý vũ trụ học. Thêm vào đó, các quan sát chứng tỏ vũ trụ đang giãn nở và đang thực sự giãn nở gia tốc.
Mêtric tổng quát nhất chứa đựng các kết quả quan trắc này, được nghiên cứu bởi Friedman (1922), Lemaître (1931), Robertson (1935) và Walker (1935) và được gọi là mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (mêtric FLRW)
Mêtric này đánh dấu thời điểm bắt đầu của ngành Vũ trụ học hiện đại. Đầu tiên, chúng ta thấy rằng thành phần hiệp biến thời gian-thời gian của mêtric gtt = -1, do vậy hàm ý rằng tọa độ thời gian t cũng là thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn với thiên hà trong sự giãn nở của không thời gian. Tất cả các thành phần hỗn hợp thời gian-không gian gti bằng 0 là điều kiện cần (và đủ) để cho tất cả các đồng hồ đồng chuyển động (comoving clock) có thể đồng bộ hóa được (synchronizable), như yêu cầu bởi tọa độ thời gian toàn cục t. Sự đồng bộ hóa có thể hiện thực bằng cách giả sử mọi quan sát viên đặt thời gian riêng của họ bằng một số khi mật độ nền đồng nhất đạt tới cùng một giá trị cho trước đo được bởi mọi quan sát viên.
Pelegrina yucatecana
Loài này thuộc chi Pelegrina. Pelegrina yucatecana được Maddison miêu tả năm 1996.
Simodactylus lineatus
Tham khảo
Thể loại:Simodactylus
Phrudocentra catenata
Phrudocentra catenata là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Pelegrina yucatecana
Tham khảo
Thể loại:Pelegrina