cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Samari(III) iodide
Tham khảo
Thể loại:Hợp chất samari Thể loại:Muối iodide Thể loại:Muối halogen của kim loại
Verbena illicita
Verbena illicita là một loài thực vật có hoa trong họ Cỏ roi ngựa. Loài này được Moldenke miêu tả khoa học đầu tiên năm 1937.
Liên kết ngoài
Thể loại:Chi Cỏ roi ngựa Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1937
Va li hạt nhân
Vali hạt nhân (tiếng Anh: nuclear football (cũng gọi là atomic football, President's emergency satchel, Presidential Emergency Satchel, button, black box, hay chỉ là football) là một vali, dụng cụ trong nó được sử dụng để kích hoạt một cuộc tấn công hạt nhân.
Lịch sử
Mỹ là quốc gia đầu tiên sở hữu vũ khí hạt nhân và cũng là nơi khai sinh chiếc vali hạt nhân đầu tiên.
Trong bối cảnh Chiến tranh Lạnh, Tổng thống Mỹ thứ 35 là John F. Kennedy lo ngại những phần tử cực đoan trong giới lãnh đạo Mỹ có thể sử dụng vũ khí hạt nhân tấn công Liên Xô mà không thông qua sự phê duyệt của ông. Ngoài ra, John F. Kennedy cũng muốn mình có thể phát động cuộc tấn công hạt nhân chiến lược ở mọi lúc mọi nơi. Vali hạt nhân ra đời từ đó.
Hoa Kỳ
Có ít nhất 3 chiếc vali được giao cho Tổng thống Hoa Kỳ, Phó Tổng thống Hoa Kỳ và một người sống sót được chỉ định (thường là một thành viên nội các do tổng thống chỉ định thực hiện mệnh lệnh trong trường hợp tổng thống và phó tổng thống “gặp chuyện”). để ủy quyền cho một tấn công hạt nhân trong khi đi từ trung tâm mệnh lệnh cố định, chẳng hạn như Phòng Tình trạng Nhà trắng. Nó hoạt động như một trung tâm di động trong hệ thống phòng thủ chiến lược của Hoa Kỳ. Nó được giữ bởi một aide-de-camp.
Thiết bị này mang trong mình mã vạch thực hiện cuộc tấn công hạt nhân.
Vali hạt nhân sẽ không bao giờ rời tổng thống và cuộc tấn công hạt nhân được tổng thống kích hoạt bằng một thẻ nhựa.
Giao thức hoạt động
Sau khi tổng thống đã lựa chọn phương thức tấn công, lệnh này sẽ được chuyển đến Lầu Năm Góc, dùng mã xác nhận có niêm phong; rồi lệnh được chuyển đến Sở chỉ huy chiến lược Mỹ tại Căn cứ không quân Offutt tại bang Nebraska, Mỹ.
Sau đó, lệnh tấn công lại được đưa đến đội thực hành, dùng mật mã đã được mã hóa. Mật mã này phải trùng khớp với mật mã đội thực hành đang giữ trong két sắt. Khi đó, cuộc tấn công bắt đầu.
Về cơ bản, quyền kích hoạt cuộc tấn công hoàn toàn thuộc về tổng thống. Về lý thuyết, tổng thống là người kích hoạt nhưng Bộ trưởng Bộ Quốc phòng sẽ trực tiếp thực hiện. Bộ trưởng Quốc phòng Mỹ có thể bất tuân nếu nghi ngờ động cơ của tổng thống.
Tuy nhiên, điều này sẽ phạm luật đảo chính và tổng thống có thể bãi nhiệm Bộ trưởng Quốc phòng, chỉ định Thứ trưởng Quốc phòng thực hiện nhiệm vụ.
Theo Tu chính án thứ 25 của Hiến pháp Hoa Kỳ, về lý thuyết, phó tổng thống có thể tuyên bố tổng thống không đủ tỉnh táo đưa ra một quyết định đúng đắn, nhưng khi đó phó tổng thống cần phải được hầu hết nội các đứng sau lưng.
Nga
Tên gọi chung cho các vali hạt nhân của Nga là Cheget. Chúng được đặt theo tên dãy núi Cheget ở vùng Kabardino-Balkaria thuộc Nga. Vali hạt nhân là một phần trong hệ thống tự động hóa mệnh lệnh tối cao và kiểm soát Lực lượng Hạt nhân Chiến lược (SNF).
Giao thức hoạt động
Cũng như Mỹ, Nga cũng có tới 3 vali do Tổng thống, Bộ trưởng Bộ Quốc phòng và Tổng tham mưu trưởng quân đội nắm giữ. Ba vali hạt nhân xuất hiện lần đầu khi Mikhail Gorbachev trở thành lãnh đạo Liên Xô năm 1985. Chúng kết nối với hệ thống liên lạc đặc biệt có tên mã Kavkaz gồm dây cáp, sóng radio và sóng vệ tinh nhân tạo. Kavkaz có khả năng điều khiển tên lửa hạt nhân, ngay cả khi hệ thống thông tin chính bị hư hại hay bị phá hủy.
Sự kiện Na Uy
Ngày 25/01/1995, Na Uy đã phóng một tên lửa đẩy mang vệ tinh khí tượng lên khoảng không vũ trụ, có quỹ đạo bay về hướng nước Nga, nhưng không hề có thông báo về sự việc này. Các radar cảnh báo sớm tầm xa tên lửa đạn đạo của Nga đã thể hiện khả năng quan sát tầm xa đáng sợ, khi phát hiện một quả tên lửa đạn đạo không rõ chủng loại và không rõ là có mang đầu đạn hạt nhân hay không, được phóng đi từ khu vực phụ cận Spitsbergen - Na Uy, hướng thẳng về phía Nga.
Allophylus incanus
Allophylus incanus là một loài thực vật có hoa trong họ Bồ hòn. Loài này được Radlk. mô tả khoa học đầu tiên năm 1908 publ. 1909.
Va li hạt nhân
Sự kiện Na Uy
Các thiết bị đo đạc của Nga dự kiến tên lửa đạn đạo này chỉ mất khoảng 5 phút nữa là bay đến Moscow, thông tin này ngay lập tức được báo cáo lên Tổng thống Nga, lúc đó là ông Boris Yeltsin, đồng thời, các hệ thống radar dự cảnh, hệ thống chỉ huy, kiểm soát lực lượng phòng thủ tên lửa tự động được đặt trong tình trạng báo động ở mức cao nhất. Bộ chỉ huy trung ương của Nga cho rằng, đây có thể là một tên lửa đạn đạo liên lục địa của NATO, tấn công vào Nga từ các căn cứ phóng ở Na Uy. Ngay lập tức Tổng thống Boris Yeltsin và các lãnh đạo cấp cao nhất đã hội ý khẩn cấp qua các phương tiện thông tin liên lạc để bàn bạc về “cú phản đòn hạt nhân”, trong khi đó các thông tin về tên lửa này liên tục được cập nhật. Sau này ông Yeltsin thừa nhận lúc đó chiếc “Vali hạt nhân” huyền thoại đã được chuyển đến trước mặt, buộc ông phải đối diện với một quyết định lịch sử với “quả bóng hạt nhân”. May mắn cho cả thế giới là trong vòng 5 phút nghẹt thở đó, các hệ thống radar cảnh báo tên lửa của Nga đã kịp xác định đó thực ra chỉ là một quả tên lửa đẩy vô hại mang theo vệ tinh khí tượng của Na Uy chứ không phải là tên lửa đạn đạo liên lục địa mang đầu đạn hạt nhân của NATO.
Allophylus incanus
Liên kết ngoài
Thể loại:Chi Ngoại mộc Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1909
Va li hạt nhân
Chú thích
Thể loại:Phát minh của Hoa Kỳ Thể loại:Vũ khí hạt nhân
Tolpia kampungi
Tolpia kampungi là một loài bướm đêm thuộc họ Erebidae. Nó được tìm thấy ở Malaysia (Pahang).
Sải cánh dài 14–16 mm. Cánh dưới ngắn và nâu đậm. Phía dưới nâu đồng nhất.
Tham khảo
Thể loại:Tolpia
Paralcis palumbina
Paralcis palumbina là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Paralcis
Pomachilius angustulus
Pomachilius angustulus là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Candèze miêu tả khoa học năm 1900.
Ponlat-Taillebourg
Ponlat-Taillebourg là một xã thuộc tỉnh Haute-Garonne trong vùng Occitanie tây nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 410 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Ponlattaillebourg
Asplenium elmeri
Asplenium elmeri là một loài dương xỉ trong họ Aspleniaceae. Loài này được Christ mô tả khoa học đầu tiên năm 1907. Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Liên kết ngoài
Thể loại:Asplenium Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1907 Thể loại:Unresolved names
Veruno
Đô thị Veruno có các frazione (đơn vị trực thuộc) Revislate.
Veruno giáp các đô thị: Agrate Conturbia, Bogogno, Borgo Ticino, Borgomanero, Comignago, và Gattico.
Liên kết ngoài
Thể loại:Đô thị tỉnh Novara Thể loại:Thành phố và thị trấn ở Piemonte
Zeamordella caprai
Zeamordella caprai là một loài bọ cánh cứng trong họ Mordellidae. Loài này được Franciscolo miêu tả khoa học năm 1993.
Tham khảo
Thể loại:Zeamordella
Çağlayan, Kars
Çağlayan là một xã thuộc thành phố Kars, tỉnh Kars, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2010 là 261 người.
11225 Borden
11225 Borden (1999 JD36) là một tiểu hành tinh vành đai chính được phát hiện ngày 10 tháng 5 năm 1999 bởi Nhóm nghiên cứu tiểu hành tinh gần Trái Đất phòng thí nghiệm Lincoln ở Socorro.
Liên kết ngoài
Thể loại:Tiểu hành tinh vành đai chính Thể loại:Thiên thể phát hiện năm 1999
Aloe steffaniana
Aloe steffaniana là một loài thực vật có hoa trong họ Măng tây. Loài này được Rauh mô tả khoa học đầu tiên năm 2000.
Acacia excelsa
Acacia excelsa là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được Benth. miêu tả khoa học đầu tiên.
Liên kết ngoài
E
Heliophanus pratti
Heliophanus pratti là một loài nhện trong họ Salticidae.
Tham khảo
Thể loại:Heliophanus
Fianoniella densa
Fianoniella densa là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Taxithelium perglabrum
Taxithelium perglabrum là một loài rêu trong họ Sematophyllaceae. Loài này được Broth. & Paris mô tả khoa học đầu tiên năm 1903.
Liên kết ngoài
Thể loại:Taxithelium Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1903
Trichoscelia nassonovi
Trichoscelia nassonovi là một loài côn trùng trong họ Mantispidae thuộc bộ Neuroptera. Loài này được Navás miêu tả năm 1912.
Tham khảo
Thể loại:Trichoscelia
Pseudopiptadenia suaveolens
Pseudopiptadenia suaveolens là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (Miq.) J.W. Grimes miêu tả khoa học đầu tiên năm 1993.
Liên kết ngoài
Thể loại:Pseudopiptadenia Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1993
Ormetica ameoides
Ormetica ameoides là một loài bướm đêm thuộc phân họ Arctiinae, họ Erebidae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Ormetica
Diospyros neurosepala
Diospyros neurosepala là một loài thực vật có hoa trong họ Thị. Loài này được Bakh. mô tả khoa học đầu tiên năm 1933.
Liên kết ngoài
N Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1933
Cóc mày bụng cam
Cóc mày bụng cam, cóc mày bụng vàng (danh pháp: Leptolalax croceus) là một loài cóc mày trong họ Megophryidae, bộ Anura mới được phát hiện tại miền Trung Việt Nam năm 2010.
Phân bổ
Rừng thường xanh cao trên 1.300 mét tại khu bảo tồn thiên nhiên Ngọc Linh, núi Ngọc Linh huyện Đăk Glei tỉnh Kon Tum.
Tình trạng bảo tồn
Do mới được phát hiện nên các nhà nghiên cứu đề nghị xếp loài này vào danh mục thiếu dữ liệu trong sách đỏ.
Liên kết ngoài
Thể loại:Leptolalax Thể loại:Sinh vật tại Kon Tum Thể loại:Việt Nam năm 2010 Thể loại:Động vật lưỡng cư Việt Nam Thể loại:Động vật được mô tả năm 2010 Thể loại:Động vật đặc hữu Việt Nam
Benigno Aquino III
Benigno Simeon "Noynoy" Cojuangco Aquino III (8 tháng 2 năm 1960 - 24 tháng 6 năm 2021) là Tổng thống Philippines, sau Đảng Tự do. Ông là con trai duy nhất của cựu Tổng thống Corazon Aquino và cựu Thượng nghị sĩ Benigno Aquino, Jr.
Niên thiếu và giáo dục
Ông học phổ thông đến đại học từ năm 1965 đến năm 1981.
Sau khi Aquino được 11 tháng tuổi, Benigno "Ninoy" Aquino, Jr., bị bắt và bị cáo buộc tội "ủng hộ việc phá hoại chính quyền bằng sức mạnh và vũ lực", Ninoy bị đem ra xử trước tòa án binh, ở Fort Bonifacio tháng 8 năm 1973. Ngày 25 tháng 8 năm 1973, Ninoy viết một lá thư căn dặn con trai như sau:
""Lời khuyên duy nhất cha danh cho con đó là sống tự trọng và có lương tâm.
Không có nơi nào tốt đẹp hơn Tổ quốc của chúng ta. Không ai tuyệt vời hơn nhân dân của chúng ta. Hãy phục vụ họ bằng con tim, ý chí và tất cả sức mạnh của con.
Con trai, cuộc sống đang ở trong tay của con.""
Năm 1981, Aquino tốt nghiệp đại học Manila với tấm bằng cử nhân kinh tế. Không lâu sau đó, ông được đoàn tụ với gia đình ở Newton, Massachusetts, trong trại tị nạn.
Từ năm 1986 đến năm 1992, trong thời kì tại vị của mẹ ông là tổng thống Corazon Aquino, Aquino làm việc tại công ty bảo hiểm Intra-Strata của người chú phó chủ tịch công ty Antolin Oreta Jr.
Ngày 28 tháng 8 năm 1987, 18 tháng sau khi tổng thống Corazon Aquino nhâm chức, cuộc binh biến do Gregorio Honasan cầm đầu đã diễn ra với tham vọng chiếm cứ dinh Malacañang. Aquino lúc này đang ở cách đó 2 toà nhà và bị tấn công. 3 trong số 4 tùy tùng của ông bị giết và người còn lại bị thương nặng do bảo vệ Aquno. Ông bị trúng 5 phát đạn và một trong số đó hiện tại vẫn nằm trong cổ của Aquino.
Từ năm 1993 đến năm 1998, Aquino làm trợ lý điều hành rồi sau đó là quản lý dịch vụ tại công ty sản xuất đường Central Azucarera de Tarlac của Hacienda Luisita phụ trách vùng CojuangcoFrom 1993 to 1998.
Cuộc sống cá nhân
Aquino là tổng thống độc thân đầu tiên của Philippines. Ông chưa từng kết hôn và không có con. Aquino không uống rượu. Ông là vị tổng thông thứ hai của Philippines không uống rượu, người đầu tiên là tổng thống Emilio Aguinaldo.
Tuy nhiên, Aquino hút thuốc rất nhiều, một ngày ông có thể hút hết 3 bao thuốc. Trong giai đoạn tranh cử tổng thống, ông đã hứa sẽ từ bỏ thuốc lá nếu ông giành thắng lợi. Tuy nhiên, ông lại quyết định không bỏ thuốc và nói rằng sẽ thực hiện lời hứa này ở một thời điểm thích hợp hơn!
Trước khi qua đời, ông từng có mối quan hệ tình cảm với bà Shalani Soledad, 30 tuổi, thành viên hội đồng thành phố Valuenza và cũng là cháu gái của cựu thượng nghị sĩ Francisco Tatad.
Trước kia, ông cũng từng có quan hệ với 2 diễn viên điện ảnh và một nhân viên lễ tân dưới quyền thượng nghị sĩ Francis Pangilinan. Bên cạnh đó là những mối quan hệ với Korina Sanchez, người trước đây đã từng có quan hệ tình cảm với một người họ hàng của ông tên là Paul Aquino. Bernadette Sembrano cũng như Diana Zubiri.
Pi
Số pi (ký hiệu: ), còn gọi là hằng số Archimedes, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp π từ giữa thế kỷ XVIII.
Benigno Aquino III
Cuộc sống cá nhân
Ông vốn là người mê môn bắn súng và billiards, nhưng sau đó, ông thường giải trí bằng cách chơi games trên máy vi tính. Ông cũng rất thích lịch sử và nghe nhạc. Món ăn ưa thích của ông là đồ ăn Trung Hoa.
Pi
là một số vô tỉ, nghĩa là nó không thể được biểu diễn chính xác dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Nói cách khác, nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hơn nữa, còn là một số siêu việt – tức là nó không phải là nghiệm của bất kì đa thức với hệ số hữu tỉ nào. Tính siêu việt của kéo theo sự vô nghiệm của bài toán cầu phương. Các con số trong biểu diễn thập phân của dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này.
Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng tầm hiểu biết của con người về số, đôi khi bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao. Trước thế kỷ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của. Bắt đầu từ thế kỷ XV, những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số, được những nhà toán học như Madhava của Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss và Srinivasa Ramanujan sử dụng.
Benigno Aquino III
Qua đời và quốc tang
Vào ngày 24 tháng 6 năm 2021, Aquino nhập viện tại Trung tâm Y tế Capitol ở Thành phố Quezon và qua đời cùng ngày. Ông được thông báo đã qua đời trong khi đang chạy thận. Thi hài của ông sau đó được hỏa táng vào cùng ngày. Cùng lúc đó, Tổng thống Philippines Rodrigo Duterte đã tuyên bố 10 ngày quốc tang từ ngày 24 tháng 6 đến 3 tháng 7. Cả nước treo cờ rủ từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn trên tất cả các tòa nhà và cơ sở của chính phủ trên khắp Philippines và nước ngoài trong thời gian 10 ngày. Tro cốt của ông được đặt tại Đại học Ateneo de Manila vào ngày 25 tháng 6. Lễ an táng sẽ được tổ chức vào ngày 26 tháng 6 tại Công viên Tưởng niệm Manila. Nơi đây cũng là nơi an nghỉ của cha mẹ ông - cựu tổng thống Corazon Aquino vào năm 2009 và cựu thượng nghị sĩ Benigno Aquino, Jr. vào năm 1983
Pi
Trong thế kỷ XXI, các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính đã khám phá ra những cách tiếp cận mới – kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao – để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số tới hàng nghìn tỉ chữ số. Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của, do đó động lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt tới những kỉ lục mới, nhưng những tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các siêu máy tính và các thuật toán tính nhân với độ chính xác cao.
Do định nghĩa của liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong nhiều công thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng rãi của số khiến nó trở thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả trong lẫn ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số  đã được xuất bản; ngày số pi; báo chí thường đặt những tin tức về kỉ lục tính toán chữ số mới của  trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của với độ chính xác ngày càng tăng, đạt tới kỉ lục trên 70.000 chữ số.
Định nghĩa
thông thường được định nghĩa là tỉ số giữa chu vi của đường tròn
Mohammad Aram Tab
Sự nghiệp câu lạc bộ
Aram Tab gia nhập Saba Qom năm 2012 sau khi trải qua mùa giải trước tại Aluminium Hormozgan.
Pi
Định nghĩa
C
Mohammad Aram Tab
Liên kết ngoài
Thể loại:Nhân vật còn sống Thể loại:Cầu thủ Tarbiat Yazd Thể loại:Cầu thủ Nassaji Mazandaran Thể loại:Cầu thủ Aluminium Hormozgan Thể loại:Cầu thủ Saba Thể loại:Cầu thủ bóng đá Iran Thể loại:Sinh năm 1985
Pi
Định nghĩa
với đường kính của nó
d
nhỏ|Một minh họa về công thức tính [[diện tích hình tròn bằng cách sử dụng π (dưới dạng một nửa của τ).]]Tỉ số
C/d
là hằng số, bất kể kích thước của đường tròn dù to hay nhỏ. Ví dụ, nếu một đường tròn có đường kính gấp đôi đường kính của một đường tròn khác thì nó cũng có chu vi lớn gấp đôi, bảo toàn tỉ số
. Định nghĩa này về không phổ quát, bởi vì nó chỉ đúng trong hình học Euclid (phẳng) và không đúng trong hình học phi Euclid (cong). Vì lý do này, một số nhà toán học ưa dùng những định nghĩa khác về dựa trên vi tích phân hoặc lượng giác vốn không phụ thuộc vào đường tròn. Một định nghĩa như thế là: bằng hai lần số
x
cos(x)
bằng 0.
Tên gọi
nhỏ|phải|[[Leonhard Euler đã phổ biến cách dùng chữ cái Hy Lạp trong một tác phẩm xuất bản năm 1748.]]
Ký hiệu được các nhà toán học sử dụng để biểu diễn tỉ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó là chữ cái Hy Lạp. Chữ cái này được biểu diễn bằng từ Latin pi. Không được nhầm lẫn ký tự in thường (hoặc dưới dạng chữ không có nét chân chữ π) với ký tự in hoa  ( trong toán học dùng để biểu diễn một tích dãy số hay dãy hàm).
Nhà toán học đầu tiên dùng với định nghĩa như trên là William Jones, trong cuốn "Synopsis Palmariorum Matheseos" (tạm dịch, Nhập môn Toán học mới) năm 1706. Cụ thể, ký tự lần đầu tiên xuất hiện trong cụm từ "1/2 Periphery " trong đoạn bàn về một đường tròn với bán kính bằng 1. Có thể ông đã chọn bởi vì nó là chữ cái đầu tiên trong cách ký âm tiếng Hy Lạp περιφέρεια của từ periphery (nghĩa là viền ngoài, cũng tức là chu vi). Jones viết rằng các phương trình của được lấy từ "bản viết có sẵn của John Machin thiên tài", dẫn đến phỏng đoán rằng Machin có lẽ đã sử dụng ký tự Hy Lạp này trước Jones, tuy nhiên không có bằng chứng trực tiếp về điều này. Ngoài ra, ký tự đã xuất hiện trước đó trong các ký hiệu hình học; chẳng hạn, vào năm 1631 William Oughtred đã dùng nó để biểu diễn nửa chu vi của hình tròn.
Sau khi Jones giới thiệu ký hiệu này năm 1706, nó đã không được các nhà toán học khác chấp nhận; thay vào đó họ thường dùng chữ cái c hoặc p. Điều này thay đổi khi Euler bắt đầu dùng nó năm 1736. Vì Euler thường xuyên trao đổi thư từ với những nhà toán học khác trên toàn châu Âu, việc sử dụng ký tự Hy Lạp này lan rộng nhanh chóng. Năm 1748, Euler sử dụng trong cuốn sách rất phổ biến của ông, Introductio in analysin infinitorum (Dẫn nhập Giải tích vô hạn), trong đó ông viết: "để cho ngắn gọn chúng ta sẽ viết số này là ; nghĩa là,  bằng một nửa chu vi của đường tròn bán kính bằng 1". Cách ký hiệu này kể từ đó được chấp nhận rộng rãi ở phương Tây.
Tính chất
e
hoặc ln(2), nhưng nhỏ hơn số Liouville.
nhỏ|Bởi là một [[số siêu việt, bài toán cầu phương hình tròn không thể giải được với số bước làm hữu hạn bằng những công cụ cổ điển là thước kẻ và compa.]]
là một số siêu việt, tức là nó không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào, như. Tính chất siêu việt của có hai hệ quả quan trọng: thứ nhất,  không thể được biểu diễn bằng tổ hợp các số hữu tỉ và căn bậc n như  hay. Thứ hai, vì không có số siêu việt nào có thể được xác định bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, nên không thể giải bài toán "cầu phương hình tròn". Nói cách khác, nếu chỉ sử dụng compa và thước kẻ thì không thể xây dựng một hình vuông mà diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Cầu phương hình tròn là một trong những bài toán hình học quan trọng trong thời cổ đại. Một số nhà toán học nghiệp dư thời hiện đại có lúc tuyên bố họ thành công dù điều này là không thể.
Các chữ số của không có một quy luật rõ ràng nào và vượt qua những kiểm thử về tính ngẫu nhiên thống kê, trong đó có kiểm thử tính chuẩn tắc; một số vô hạn được gọi là 'chuẩn tắc' khi mọi dãy số khả dĩ (với độ dài bất kì) có tần suất xuất hiện là như nhau. Người ta vẫn chưa thể khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết rằng là 'chuẩn tắc'. Kể từ khi máy vi tính ra đời, người ta đã tính được số với số lượng chữ số lớn, đủ để thực hiện các phân tích thống kê. Yasumasa Kanada đã thực hiện các phân tích thống kê chi tiết về các chữ số thập phân của, và thấy rằng chúng phù hợp với tính chuẩn tắc; chẳng hạn, tần suất xuất hiện các chữ số từ 0 tới 9 được sử dụng để kiểm tra ý nghĩa thống kê, và không tìm thấy bằng chứng về một hình mẫu nào. Bất chấp việc các chữ số của đã vượt qua các bài kiểm tra về tính ngẫu nhiên,  dường như vẫn chứa những dãy số có vẻ có quy luật đối với những người không phải nhà toán học, như điểm Feynman, là một dãy sáu chữ số 9 liên tiếp bắt đầu từ vị trí thứ 762 trong biểu diễn thập phân của.
Phân số liên tục
nhỏ|phải|Hằng số được biểu diễn trong bức tranh khảm bên ngoài tòa nhà khoa Toán ở [[Đại học Công nghệ Berlin.]]
Giống như tất cả các số vô tỉ khác, không thể được biểu diễn bằng một phân số thường; nhưng mặt khác, mọi số vô tỉ, bao gồm cả, có thể được biểu diễn bởi một chuỗi vô hạn những phân số lồng vào nhau, được gọi là phân số liên tục:
Giá trị gần đúng
Một số giá trị gần đúng của bao gồm:
Thời Cổ đại
Kim tự tháp Kheops ở Giza (xây dựng vào khoảng thời gian 2589–2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng 1760 cubit (1 cubit bằng khoảng 0,5 mét) và chiều cao khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp xỉ bằng τ = 2 ≈ 6.2832, một số nhà Ai Cập học kết luận rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn. Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến này và khẳng định mối quan hệ với số đơn thuần là một sự trùng hợp, bởi không có bằng chứng cho thấy những người xây dựng kim tự tháp đã biết đến số, và kích thước của kim tự tháp còn dựa trên nhiều yếu tố khác.
Những ước lượng sớm nhất về được tìm thấy ở Ai Cập và Babylon có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ một phần trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900–1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số bằng 25/8 = 3,1250. Ở Ai Cập, cuộn giấy Rhind, có niên đại khoảng 1650 tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850 tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn, trong đó gán cho giá trị của bằng (16/9)2 ≈ 3,1605.
Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ Kinh Shulba (viết bằng tiếng Phạn với nhiều nội dung toán học) đã cho số bằng (9785/5568)2 ≈ 3,088. Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn Độ đánh giá bằng  ≈ 3,1622.
Hai bài thơ trong Kinh thánh Hebrew (được viết giữa thế kỷ VIII và thế kỷ III tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong nghi lễ tại Đền Solomon có đường kính 10 cubit và chu vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng bằng 3 nếu hồ có hình tròn. Học giả người Do Thái Rabbi Nehemiah giải thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về hình học của ông, Mishnat ha–Middot, viết vào khoảng năm 150 CN và coi bằng 21/7.
Thời kì của phép xấp xỉ đa giác
350px|phải|nhỏ| có thể ước lượng bằng cách tính chu vi của các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn. Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes. Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho đôi khi được gọi là "hằng số Archimedes". Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 < < 22/7 (3,1408 <  < 3,1429). Có thể chính cận trên 22/7 của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho rằng bằng 22/7. Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp–La Mã Ptolemaeus, trong bộ Almagest của mình, đã đưa ra giá trị bằng 3,1416, có lẽ là lấy lại kết quả tính toán của Archimedes hoặc của Apollonius xứ Pergaeus. Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương pháp chuỗi vô hạn. nhỏ|phải|[[Archimedes đã phát triển cách tiếp cận đa giác để tính toán số .]] Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ nhất của Công Nguyên),  (100 của Công Nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỷ thứ III, xấp xỉ 3,1556). Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều Tào Ngụy tên là Lưu Huy đã phát minh ra thuật toán lặp dựa trên đa giác (thuật toán Lưu Huy) và sử dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị của  bằng 3,1416. Cũng chính Lưu Huy sau đó đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính và thu được giá trị 3,14 với một đa giác 96 cạnh, bằng cách lợi dụng tính chất là hiệu diện tích các đa giác liên tiếp tạo nên một dãy cấp số nhân với hệ số 4. Vào khoảng năm 480, một nhà toán học Trung Quốc khác là Tổ Xung Chi đã tính toán ra ≈ 355/113, sử dụng thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh. Với giá trị chính xác ở bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị 3,141592920... là giá trị gần đúng chính xác nhất của mà con người tính được trong suốt hơn 800 năm sau đó.
Trong khi đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata sử dụng giá trị 3,1416 trong sách Āryabhaṭīya của ông (năm 499 của Công Nguyên). Fibonacci vào khoảng năm 1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp đa giác khác với phương pháp của Archimedes. Văn hào người Ý Dante dường như đã sử dụng giá trị của là  ≈ 3,14142.
Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al–Kāshī đã tìm ra 16 chữ số vào năm 1424 bằng cách sử dụng đa giác có 3×228 cạnh, xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được khoảng 180 năm. Nhà toán học Pháp François Viète vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác 3×217 cạnh. Nhà toán học xứ Vlaanderen Adriaan van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593. Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số được gọi là "số Ludolph" trong tiếng Đức cho tới tận đầu thế kỷ XX). Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới 34 chữ số vào năm 1621 và nhà thiên văn học người Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm 1630, đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác.
Những chuỗi số vô hạn
Việc tính toán số được cách mạng hóa bởi sự phát triển kĩ thuật chuỗi số vô hạn trong các thế kỷ XVI và XVII. Một chuỗi vô hạn là một tổng các số hạng của một dãy vô hạn. Chuỗi vô hạn cho phép các nhà toán học tính toán với độ chính xác lớn hơn nhiều độ chính xác đạt được từ phương pháp của Archimedes và các kĩ thuật hình học khác. Mặc dù chuỗi vô hạn được sử dụng cho số nổi tiếng nhất bởi các nhà toán học châu Âu như James Gregory và Gottfried Leibniz, cách tiếp cận này được khám phá lần đầu tiên ở Ấn Độ vào giữa những năm 1400 và 1500 CN. Bản ghi chép đầu tiên mô tả một chuỗi vô hạn có thể tính toán số nằm trong một bài thơ tiếng Phạn của nhà thiên văn Ấn Độ Nilakantha Somayaji trong tập Tantrasamgraha của ông, ra đời khoảng năm 1500. Trong tập sách, chuỗi này được chép lại mà không có chứng minh, nhưng phép chứng minh đã được trình bày trong một công trình Ấn Độ sau đó, Yuktibhāṣā, do Jyesthadeva biên soạn vào khoảng năm 1530. Nilakantha quy chuỗi này là phát hiện của một nhà toán học Ấn Độ trước đó, Madhava của Sangamagrama, người sống trong khoảng những năm 1350–1425. Một số chuỗi vô hạn được mô tả, bao gồm các chuỗi sin, tang, và cosin, ngày nay được biết dưới tên chuỗi Madhava hay chuỗi Gregory–Leibniz. Madhava đã sử dụng những chuỗi vô hạn để đánh giá tới 11 chữ số vào khoảng năm 1400, nhưng kỉ lục này đã bị đánh bại bởi một thuật toán đa giác của Jamshīd al–Kāshī năm 1430. nhỏ|[[Isaac Newton đã sử dụng chuỗi vô hạn để tính toán tới 15 chữ số, về sau viết trong một lá thư rằng "Tôi lấy làm hổ thẹn để kể với anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh toán này". ]]
Dãy số vô hạn thứ hai ở châu Âu của John Wallis (1655) cũng là một tích vô hạn nữa. Khám phá ra phép vi tích phân, bởi nhà khoa học Anh Isaac Newton và nhà toán học Đức Leibniz vào thập niên 1660 đã dẫn tới sự phát triển nhiều chuỗi vô hạn để đánh giá. Chính Newton cũng dùng một chuỗi arcsin để tính ra một xấp xỉ 15 chữ số cho số vào khoảng năm 1665 hoặc 1666, và về sau này viết rằng "Tôi lấy làm hổ thẹn để kể với anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh toán này, chẳng có việc gì hơn để làm vào lúc đó cả".
Ở châu Âu, công thức Madhava được khám phá lại bởi nhà toán học Scotland James Gregory năm 1671, và bởi Leibniz năm 1674:
Công thức này, tức chuỗi Gregory–Leibniz, tương đương khi đánh giá với
z
= 1. Năm 1699, nhà toán học Anh Abraham Sharp sử dụng chuỗi Gregory–Leibniz để tính tới 71 chữ số, phá vỡ kỉ lục trước đó với 39 chữ số xác lập bởi một thuật toán đa giác. Chuỗi Gregory–Leibniz đơn giản, nhưng nó hội tụ rất chậm (có nghĩa là, tiệm cận với giá trị chính xác một cách từ từ qua từng số hạng), do đó người ta không dùng nó trong các phép tính toán số hiện đại.
Năm 1706 John Machin sử dụng chuỗi Gregory–Leibniz để tạo nên một thuật toán hội tụ nhanh hơn nhiều: Machin đã đạt tới 100 chữ số của với công thức này. Các nhà toán học khác tạo nên những biến thể của nó, ngày nay được biết dưới tên "các công thức kiểu Machin", được dùng để thiết lập một số kỉ lục tiếp theo cho số chữ số của. Các công thức kiểu Machin duy trì là phương pháp được biết đến nhiều nhất để tính toán khi tiến tới ngưỡng cửa kỉ nguyên máy tính, và chúng đã tạo nên các kỉ lục trong 250 năm, lên đến đỉnh điểm vào một phép gần đúng 620 chữ số năm 1946 bởi Daniel Ferguson – đây chính là kết quả cao nhất mà con người từng đạt được mà không có sự giúp đỡ của một thiết bị tính toán nào.
Một kỉ lục đáng chú ý được thiết lập bởi thiên tài tính toán Zacharias Dase vào năm 1844 khi ông 20 tuổi. Ông đã sử dụng một công thức kiểu Machin để tính toán 200 chữ số của trong đầu dưới sự chỉ đạo của nhà toán học Đức Carl Friedrich Gauss. Nhà toán học Anh William Shanks nổi tiếng vì dành 15 năm để tính toán tới 707 chữ số (hoàn thành năm 1873), nhưng về sau người ta tìm thấy một lỗi sai ở chữ số thứ 528, kéo tất cả những số đằng sau sai theo.
Tốc độ hội tụ
Một số chuỗi vô hạn cho hội tụ nhanh hơn những chuỗi khác. Cho trước hai chuỗi vô hạn cho, các nhà toán học thông thường sử dụng chuỗi hội tụ nhanh hơn bởi như thế đồng nghĩa với việc giảm được số lượng phép tính cho bất kì độ chính xác yêu cầu nào. Một chuỗi vô hạn cho là chuỗi Gregory–Leibniz: Khi các số hạng riêng lẻ của chuỗi vô hạn này được cộng thêm vào tổng, tổng số tiến gần hơn dần dần tới, và – với một số lượng số hạng đủ – nó sẽ tiến đến gần như mong muốn. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của.
Một chuỗi vô hạn cho được công bố bởi Nilakantha vào thế kỷ XV hội tụ nhanh hơn nhiều chuỗi Gregory–Leibniz:
Sau 5 số hạng, tổng của chuỗi Gregory–Leibniz nằm trong sai số tuyệt đối cỡ 0,2 của, trong khi tổng của chuỗi Nilakantha sai số chỉ cỡ 0,002. Như vậy chuỗi Nilakantha hội tụ nhanh hơn và hữu dụng hơn trong việc tính toán số. Những chuỗi thậm chí hội tụ còn nhanh hơn bao gồm các chuỗi kiểu Machin và chuỗi Chudnovsky, trong đó chuỗi Chudnovsky tạo ra 14 chữ số thập phân đúng cho mỗi số hạng thêm vào.
Tính vô tỉ và tính siêu việt
Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ. Khi Euler giải Bài toán Basel vào năm 1735, tìm ra giá trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập một mối liên hệ giữa và các số nguyên tố mà về sau góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu hàm zeta Riemann:
Nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert vào năm 1761 chứng minh rằng là số vô tỉ, có nghĩa nó không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào. Phép chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân số liên tục của hàm tang. Nhà toán học Pháp Adrien–Marie Legendre vào năm 1794 chứng tỏ rằng 2 cũng là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức Ferdinand von Lindemann chứng tỏ rằng là số siêu việt, xác nhận một phỏng đoán được cả Legendre và Euler đưa ra trước đó.
Kỉ nguyên máy tính và các thuật toán lặp
nhỏ|trái|[[John von Neumann tham gia vào nhóm nghiên cứu đầu tiên sử dụng một máy tính số, ENIAC, để tính toán số .]] Sự phát triển của máy tính vào giữa thế kỷ XX một lần nữa đã cách mạng hóa cuộc săn lùng những chữ số của. Các nhà toán học Hoa Kỳ là John Wrench và Levi Smith đã đạt tới 1120 chữ số vào năm 1949 với một máy tính bàn. Sử dụng một chuỗi vô hạn arctang, một nhóm đứng đầu bởi George Reitwiesner và John von Neumann đã đạt được 2037 chữ số với một phép tính đòi hỏi 70 giờ làm việc của máy tính ENIAC. Kỉ lục, luôn dựa vào các chuỗi arctang, liên tục bị phá vỡ sau đó (7.480 chữ số năm 1957, 10.000 chữ số năm 1958, 100.000 năm 1961) cho đến khi 1 triệu chữ số đạt được vào năm 1973.
Hai tiến bộ khác khoảng năm 1980 một lần nữa tăng tốc khả năng tính toán số. Thứ nhất, khám phá ra các thuật toán lặp để tính nhanh hơn nhiều các chuỗi vô hạn; và thứ hai, sự phát minh ra thuật toán nhân nhanh cho phép nhân những số lớn một cách nhanh chóng. Những thuật toán như vậy là đặc biệt quan trọng trong việc tính toán số thời hiện đại, bởi hầu hết thời gian vận hành máy tính là dành cho các phép nhân. Chúng bao gồm thuật toán Karatsuba, phép nhân Toom–Cook, và các phương pháp dựa trên biến đổi Fourier. Các thuật toán lặp được công bố một cách độc lập trong năm 1975–1976 bởi nhà vật lý Hoa Kỳ Eugene Salamin và nhà khoa học Australia Richard Brent. Các thuật toán này chấm dứt sự phụ thuộc vào các chuỗi vô hạn. Một thuật toán lặp (iterative algorithm) lặp lại một phép tính đặc trưng, mỗi lần lặp lại sử dụng đầu ra từ bước lặp trước làm đầu vào của nó, và sinh ra một kết quả trong mỗi bước hội tụ về giá trị mong muốn. Cách tiếp cận này thực ra đã được khám 160 năm trước đó bởi Carl Friedrich Gauss, trong một phương pháp mà ngày nay gọi là phương pháp AGM (arithmetic–geometric mean method, phương pháp trung bình hình học–đại số) hay thuật toán Gauss–Legendre. Vì được sửa đổi bởi Salamin và Brent, nó cũng còn được gọi là thuật toán Brent–Salamin.
Các thuật toán lặp được sử dụng rộng rãi sau 1980 bởi nó nhanh hơn các thuật toán chuỗi vô hạn: trong khi các chuỗi vô hạn thường tăng số chữ số chính xác dần dần một cách cộng thêm, các thuật toán lặp lại thường "nhân" số chữ số chính xác ở mỗi bước. Ví dụ, thuật toán Brent–Salamin nhân đôi số chữ số trong mỗi lần lặp. Năm 1984, hai anh em người Canada John và Peter Borwein tạo nên một thuật toán lặp nhân bốn lần số chữ số trong mỗi bước; và năm 1987, một thuật toán nhân năm lần mỗi bước. Các phương pháp lặp được sử dụng bởi nhà toán học Nhật Bản Yasumasa Kanada để lập lên một số kỉ lục giữa 1995 và 2002. Sự hội tụ nhanh có được kèm theo một cái giá: các thuật toán lặp đòi hỏi bộ nhớ nhiều hơn đáng kể so với các chuỗi vô hạn.
Động lực tính toán số
nhỏ|400px|phải|Khi các nhà toán học khám phá ra những thuật toán mới, và máy tính trở nên sẵn dùng, số các chữ số được biết về tăng nhanh chóng. Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử. Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ số. Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên khắp thế giới. Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của.
Các chuỗi hội tụ nhanh
nhỏ| [[Srinivasa Ramanujan, làm việc một mình ở Ấn Độ, đã tạo nên nhiều chuỗi số mới để tính số .]] Các phép tính số hiện đại không chỉ sử dụng duy nhất thuật toán lặp. Các chuỗi vô hạn mới được phát hiện vào những thập niên 1980 và 1990 cũng hội tụ nhanh không kém các thuật toán lặp, nhưng đơn giản hơn và tốn ít bộ nhớ hơn. Chúng đã manh nha xuất hiện vào năm 1914, khi nhà toán học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan công bố hàng chục công thức mới cho số, chúng đáng nhớ do tính tao nhã, chiều sâu toán học và sự hội tụ nhanh. Một trong các công thức của ông, dựa trên các phương trình module: Chuỗi này hội tụ nhanh hơn rất nhiều hầu hết mọi chuỗi arctang, bao gồm cả công thức Machin. Bill Gosper là người đầu tiên sử dụng nó để tạo nên những tiến bộ trong tính toán, lập nên kỉ lục 17 triệu chữ số vào năm 1985. Các công thức của Ramanujan báo trước các thuật toán hiện đại phát triển bởi anh em nhà Borwein và anh em nhà Chudnovsky. Thuật toán Chudnovsky được phát triển vào năm 1987 là:
Nó sinh ra khoảng 14 chữ số của mỗi số hạng, và đã được áp dụng cho một vài phép tính lập kỉ lục về, trong đó có kỉ lục vượt một tỉ chữ số năm 1989 bởi anh em nhà Chudnovsky, tiếp theo là chữ số thứ 2,7 nghìn tỉ bởi Fabrice Bellard vào ngày 31 tháng 12 năm 2009,  chữ số thứ 5 nghìn tỉ vào năm 2010 và chữ số thứ 10 nghìn tỉ vào năm 2011 bởi Shigeru Kondo, và chữ số thứ 100 nghìn tỉ vào năm 2022 bởi Emma Haruka Iwao.
Năm 2006, nhà toán học Canada Simon Plouffe đã sử dụng "thuật toán hệ thức nguyên PSLQ" (PSLQ: Partial Sum of Least Squares – tổng riêng phần của các bình phương cực tiểu) để tạo ra một vài công thức mới cho, tuân theo mẫu sau: trong đó \mathit{q} là hằng số Gelfond
e
undefined, \mathit{k} là một số lẻ, và là những số hữu tỉ mà Plouffe đưa vào.
Thuật toán miệng vòi
Hai thuật toán được khám phá vào năm 1995 đã mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu về số. Chúng gọi là các thuật toán "miệng vòi" (spigot algorithms) bởi vì, giống như nước nhỏ giọt khỏi một miệng vòi, chúng tạo ra từng chữ số riêng lẻ của không được tái sử dụng sau khi đã được tính ra. Điều này đối lập với các chuỗi vô hạn hay những thuật toán lặp, là những thuật toán lưu giữ và sử dụng tất cả những chữ số trung gian cho đến khi kết quả cuối cùng được tạo ra.
Các nhà toán học Hoa Kỳ Stan Wagon và Stanley Rabinowitz đã tạo nên một thuật toán miệng vòi đơn giản vào năm 1995. Tốc độ của nó là tương đương với các thuật toán arctang, nhưng không nhanh bằng các thuật toán lặp.
Một thuật toán miệng vòi khác, thuật toán trích xuất chữ số Bailey–Borwein–Plouffe (BBP digit extraction algorithm), được phát hiện vào năm 1995 bởi Simon Plouffe: Công thức này, không giống những công thức trước đó, có thể sinh ra bất kì chữ số hệ thập lục phân của mà không tính toán tới các chữ số đứng trước nó. Các chữ số nhị phân hay bát phân riêng rẽ có thể trích xuất từ các chữ số hệ thập lục phân. Các biến thể của thuật toán này đã được phát hiện, nhưng cho tới nay chưa tìm thấy thuật toán trích xuất chữ số nào sinh ra nhanh chóng các chữ số thập phân. Một ứng dụng quan trọng của các thuật toán trích xuất chữ số là hợp thức hóa những tuyên bố mới về kỉ lục tính toán số : sau khi một kỉ lục được tuyên bố, các kết quả thập phân được chuyển sang hệ thập lục phân, và sau đó một thuật toán trích xuất chữ số được dùng để tính toán một số ngẫu nhiên những chữ số gần cuối, nếu chúng phù hợp, điều này cung cấp một phương pháp tin cậy rằng tính toán tổng thể là đúng.
Giữa năm 1998 và 2000, dự án tính toán phân bố PiHex sử dụng công thức Bellard (một bản chỉnh sửa của thuật toán BBP) để tính toán bit thứ một triệu tỉ (1015) của, đã cho ra kết quả là 0. Tháng Chín năm 2010, một nhân viên của Yahoo! đã sử dụng ứng dụng Hadoop của công ty trên một ngàn máy tính trong một thời gian 23 ngày để tính toán 256 bit của ở vị trí bit 2 triệu tỉ (2×1015).
Hình học và lượng giác
nhỏ|312px|π được định nghĩa là tỉ lệ giữa chu vi và đường kính của một đường tròn.
xuất hiện trong những công thức về chu vi, diện tích và thể tích các hình hình học liên quan tới đường tròn, như các hình elip, hình cầu, hình nón, hình xuyến. Một vài công thức phổ biến hơn cả trong số đó là:
d
là \pi d
là
r
là 2 \pi r
là \pi r^2
là 4 \pi r^2
. nhỏ|340px|trái|Các hàm sin và cosin lặp lại với chu kì 2. Trong lượng giác, các hàm lượng giác liên hệ với các góc, và các nhà toán học thường sử dụng radian như một đơn vị đo. Mặt khác, đóng một vai trò quan trọng trong các góc đo bằng radian, do radian được định nghĩa sao cho một đường tròn chiếm một góc bằng 2 radian, hoặc nói cách khác, góc 180° bằng với  radian, và 1° = /180 radian.
Các hàm lượng giác phổ biến thường có chu kì là bội của ; chẳng hạn, sin và cosin có chu kỳ 2, do đó với bất kì góc θ và bất kì số nguyên
k
Phương pháp Monte Carlo
Họ dùng phương pháp Monte Carlo, vốn dùng để tính toán kết quả của những phép thử ngẫu nhiên nhiều lần, có thể dùng để tạo nên các phép xấp xỉ số. Kim Buffon là một kĩ thuật như vậy: nếu một cây kim có chiều dài
ℓ
được thả
n
lần lên một bề mặt trên đó vẽ các đường thẳng song song cách nhau
t
đơn vị, và nếu
x
lần trong số đó nó dừng lại cắt qua một vạch (
> 0), thì người ta có thể tính gần đúng dựa trên phép tính:
Một phương pháp Monte Carlo khác để tính là vẽ một đường tròn nội tiếp một hình vuông, và đặt ngẫu nhiên các chấm lên hình vuông. Tỉ lệ các chấm nằm trong hình tròn trên tổng số chấm xấp xỉ bằng
Phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng rất chậm so với những phương pháp khác. Năm 1901 nhà toán học Italia Mario Lazzarini đã tung một cây kim 3048 lần để thu được kết quả ước lượng bằng 355/113, một thí nghiệm nhằm minh họa cho phương pháp hơn là nỗ lực lập kỉ lục về số. Mô phỏng trên máy tính hiện đại cho phép thực hiện "gieo" ngẫu nhiên nhanh hơn nhiều cách tung kim bằng tay như vậy, nhưng nhìn chung nó không bao giờ được dùng để tính khi đòi hỏi độ chính xác và tốc độ.
Số phức và giải tích
[[Tập tin:Euler's formula.svg|nhỏ|Mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của số
e
với các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng phức được cho bởi Công thức Euler.]]
Bất kỳ số phức
z
nào đều có thể biểu diễn bằng một cặp số thực. Trong hệ tọa độ cực, một số (bán kính r) được dùng để biểu diễn khoảng cách từ z tới gốc tọa độ của mặt phẳng phức và một số khác (góc φ) để biểu diễn một phép quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia dương của trục thực tới z:
Ở đây
i
2 = −1. Sự xuất hiện thường xuyên của trong giải tích phức liên quan tới biểu diễn hàm mũ của một biến phức, được mô tả bằng công thức Euler:
Ở đây [[số e|hằng số
]] là cơ số của lôgarit tự nhiên. Công thức này lập lên một mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của
và các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc của mặt phẳng phức. Đặt
φ
= trong công thức Euler sinh ra Đồng nhất thức Euler, một công thức được các nhà toán học ca ngợi do chứa đựng năm hằng số toán học quan trọng nhất:
Có
n
số phức
khác nhau thỏa mãn z^n = 1, và chúng được gọi là "nghiệm bậc n của đơn vị". Chúng được cho bởi công thức:
Công thức tích phân Cauchy chi phối các hàm giải tích phức và thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa các phép tích phân và vi phân, bao gồm một điều đáng chú ý là giá trị của một hàm phức trong một miền đóng hoàn toán được xác định bởi những giá trị trong miền:
trái|nhỏ| có thể tính được từ [[tập hợp Mandelbrot|tập Mandelbrot, bằng cách tính số vòng lặp cần thiết trước khi điểm (−0.75, ε) phân kỳ.]]
Sự hiện diện của trong fractal (phân dạng) tập Mandelbrot được một người Mỹ tên là David Boll khám phá vào năm 1991. Ông đã kiểm tra biểu hiện của tập Mandelbrot ở gần vùng "cổ" ở (–0.75, 0). Xem xét những điểm có tọa độ (–0.75, ε), khi ε tiến tới 0, số lần tự lặp lại hình dạng của tập cho đến khi phân kì đối với điểm đó nhân với ε hội tụ về. Điểm (0.25, ε) ở đỉnh của một "thung lũng" lớn ở phía phải của tập Mandelbrot cũng biểu hiện tương tự: số lần tự lặp lại trước khi phân kì nhân với căn bậc hai của ε tiến tới.
Hàm gamma mở rộng khái niệm về giai thừa – vốn thông thường chỉ được định nghĩa cho các số nguyên – sang mọi số thực. Nếu hàm gamma được tính ở các số bán nguyên, thì kết quả sẽ chứa, chẳng hạn và. Hàm gamma có thể được sử dụng để tạo ra một phép tính gần đúng cho số  lớn:  còn được gọi là xấp xỉ Stirling.
Giá trị riêng
phải|nhỏ|Các [[Bồi âm|bội âm của một sợi dây rung là các hàm riêng của toán tử đạo hàm bậc hai, và tạo thành một dãy hòa âm. Các giá trị riêng tương ứng tạo thành một cấp số cộng gồm các số bội nguyên của .]] Trong nhiều ứng dụng, số pi đóng vai trò đặc biệt là một giá trị riêng. Ví dụ, một sợi dây rung có thể được mô hình hóa bằng đồ thị của một hàm số
f
trên đoạn đơn vị
[0,1]
, với hai đầu cố định
f(0) = f(1) = 0
. Các chế độ (hàm) rung động của dây là nghiệm của một phương trình vi phân,  hay. Vì thế
λ
λ = ν2
, trong đó số
ν > 0
được gọi số sóng. Vì vậy
thỏa mãn điều kiện biên và phương trình vi phân, với
.
Giá trị của thực ra là giá trị nhỏ nhất của số sóng, và nó tương ứng với chế độ cơ bản của sợi dây rung. Một cách để cho thấy điều này là ước tính năng lượng, thỏa mãn bất đẳng thức Wirtinger: đối với một hàm
f : [0, 1] → ℂ
với
và
f '
đều khả tích bình phương, ta có:
với đẳng thức xảy ra chỉ khi
là một bội của
sin(π x)