cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Ma trận (toán học)
Ma trận đối xứng hoặc phản đối xứng
Theo định lý phổ (spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có một cơ sở riêng; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực. Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem bên dưới.
Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó
Ma trận vuông A gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn tại một ma trận B sao cho Nếu B tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu bằng A−1.
Ma trận nghịch đảo có những tính chất sau:
Ma trận xác định
Ma trận đối xứng n×n được gọi là xác định dương (tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ khác 0 x ∈ Rn dạng toàn phương xác định bởi chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương). Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận đối xứng được gọi là bán xác định dương (tương ứng bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận bán xác định dương hoặc ma trận bán xác định âm.
Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xác định dương và khả nghịch. Bảng bên phải chỉ ra hai khả năng cho ma trận 2x2.
Ma trận xác định A cho phép thu được dạng song tuyến tính khi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:
Ma trận trực giao
Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho các cột và hàng là những vectơ đơn vị trực giao (nghĩa là vectơ trực chuẩn). Hay nói tương đương, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó: mà với In là ma trận đơn vị.
Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa A−1 = AT), unita (A−1 = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*). Định thức của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng
+1
hoặc
−1
. Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng
-1
là phép phản xạ thuần túy hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng
1
và là phép quay thuần túy theo một góc bằng 0.
Tương tự số phức của ma trận trực giao là một ma trận unita.
Vết
Vết của ma trận, tr(A) của một ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó. Trong khi phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai ma trận: Điều này có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận: Theo đó, vết của kết quả của nhiều hơn hai ma trận là độc lập với hoán vị vòng của các ma trận, tuy nhiên, điều này nói chung không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ trong thực tế, tr(ABC) ≠ tr(BAC)). Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay
Định thức
nhỏ|300px|phải|Biến đổi tuyến tính trên R2 cho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng −1, và ý nghĩa hình học của phép biến đổi tuyến tính này đó là diện tích của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ.
Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1. Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận tam giác dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.
Các tính chất của định thức:
Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo A−1 chỉ tồn tại khi và chỉ khi |A| ≠ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:
Vectơ riêng và trị riêng
Một số λ và một vectơ khác 0 v thỏa mãn được gọi lần lượt là giá trị riêng và vectơ riêng của A. Số λ là một trị riêng của một ma trận n×n A nếu và chỉ nếu A−λIn là không khả nghịch, mà tương đương với Đa thức pA trong biến vô định (indeterminate variable) X cho bằng cách khai triển định thức det(XIn−A) được gọi là đa thức đặc trưng của A. Nó là một đa thức lồi (monic polynomial) có bậc n. Do vậy phương trình đa thức pA(λ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận. Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong A là thực. Theo định lý Cayley–Hamilton, pA(A) = 0, tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được ma trận rỗng.
Khía cạnh tính toán
Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau. Nhiều vấn đề được giải quyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một ma trận vuông bằng cách tính dãy các vectơ xn hội tụ về một vectơ riêng khi n tiến tới vô tận.
Để có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi vấn đề cụ thể, điều quan trọng là xác định được cả tính chính xác và hiệu quả của mọi thuật toán khả dĩ. Phạm vi nghiên cứu những vấn đề này được gọi là đại số tuyến tính bằng số (numerical linear algebra). Với những vấn đề về phương pháp tính khác, hai khía cạnh chính đó là độ phức tạp của thuật toán (complexity of algorithm) và sự ổn định bằng số (numerical stability) của chúng.
Trong nhiều vấn đề thực tiễn, chúng ta biết thêm các thông tin về những ma trận tham gia vào quá trình tính toán. Một trường hợp đặc biệt đó là "ma trận thưa" (sparse matrix), tức là phần lớn các phần tử trong ma trận bằng 0. Có những thuật toán được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b cho những ma trận thưa A, như phương pháp gradien liên hợp (conjugate gradient method).
Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua công thức Laplace (Adj (A) ký hiệu cho ma trận phụ hợp của A) có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng để nắm bắt điều kiện của những vấn đề đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo.
Hầu hết ngôn ngữ lập trình máy tính hỗ trợ mảng nhưng không được thiết kế với các lệnh cài sẵn cho ma trận. Thay vào đó, các thư viện bên ngoài có sẵn cung cấp các phép toán ma trận trên mảng, trong gần như tất cả các ngôn ngữ lập trình được sử dụng hiện nay. Thao tác ma trận là một trong những ứng dụng số sớm nhất của máy tính. Dartmouth BASIC ban đầu có các lệnh tích hợp cho phép số học ma trận trên mảng từ việc triển khai thế hệ thứ 2 vào năm 1964. Ngay từ những năm 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như HP 9830 có hộp ROM (ROM cartridges) để cho thêm các lệnh BASIC đối với ma trận. Một số ngôn ngữ máy tính như APL được thiết kế để thao tác với ma trận và các chương trình phần mềm toán học khác nhau có thể được sử dụng để hỗ trợ tính toán với ma trận.
Phân tích ma trận
Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật phân tích ma trận hoặc nhân tử hóa ma trận. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.
Phương pháp phân tích LU ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) với một ma trận tam giác trên (U). Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận tam giác sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. Phép khử Gauss tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form). Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác. Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ A thành tích của UDV∗, với U và V là các ma trận unita và D là ma trận chéo hóa.
phải|nhỏ|250px|Ví dụ về ma trận trong dạng chuẩn tắc Jordan. Những khối xám mà được gọi là những khối Jordan. Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay chéo hóa biểu diễn A thành tích VDV−1, với D là ma trận đường chéo và V là một ma trận khả nghịch phù hợp. Nếu A được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ1 đến λn của A, nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên. Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc n của A (tức là thực hiện nhân ma trận A với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với A. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) eA, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải phương trình vi phân tuyến tính, logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix). Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như phân tích Schur sẽ được ứng dụng.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa
Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là trường hay thậm chí là vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là tenxơ, mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số. Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận. Tương tự trong những điều kiện nhất định, ma trận dạng vành được gọi là vành ma trận. Mặc dù tích của ma trận nói chung không giao hoán nhưng ma trận nhất định có dạng trường được gọi là trường ma trận.
Ma trận với các phần tử mở rộng
Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là số thực hoặc số phức.<cite id="more_general_entries">Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các tập hợp có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia được xác định, có thể được sử dụng thay cho R hoặc C, như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một trường đóng đại số, như C, từ một tập hợp ngoài.
Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một vành R. Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(n, R) của mọi ma trận vuông n x n trên R là một vành gọi là vành ma trận, đẳng cấu vào vành tự đồng cấu của R-mô đun Rn bên trái. Nếu vành R là giao hoán, nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(n, R) là một đại số kết hợp (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, được tổng quát lên đối với trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch. Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).
Ma trận không phải lúc nào cũng có toàn bộ các phần tử của nó thuộc về cùng một vành – hay thậm chí trong vành bất kỳ nào đó. Một trường hợp đặc biệt nhưng hay gặp đó là ma trận khối (block matrix), mà có thể coi là ma trận với phần tử chính là những ma trận. Những phần tử này không cần thiết phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thông thường bất kỳ; nhưng kích thước của chúng phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ tuyến tính Rn → Rm là tương đương với ma trận m x n, như đã miêu tả ở trên. Tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào f: V → W giữa hai không gian vectơ có chiều hữu hạn có thể được miêu tả bằng ma trận A = (aij), sau khi chọn cơ sở v1,..., vn của V, và w1,..., wm của W (do vậy n là chiều của V và m là chiều của W), sao cho Nói cách khác, cột j của A biểu diễn ảnh của vj theo các vectơ cơ sở wi của W; vì thế mối liên hệ này xác định một cách duy nhất các phần tử của ma trận A. Chú ý rằng ma trận phụ thuộc vào cách lựa chọn cơ sở: chọn cơ sở khác nhau sẽ cho các ma trận khác nhau nhưng tương đương. Nhiều khái niệm cụ thể nêu ở trên có thể được giải thích lại theo cách này, ví dụ, ma trận chuyển vị AT miêu tả chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính cho bởi A, mà liên quan tới cơ sở đối ngẫu.
Những tính chất này có thể được phát biểu lại theo một cách tự nhiên hơn: phạm trù của mọi ma trận với phần tử trong một trường k trang bị phép nhân như là tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và ánh xạ trên trường này.
Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận m×n có thể dùng để biểu diễn ánh xạ tuyến tính R giữa những mô đun tự do Rm và Rn cho một vành bất kỳ R với phần tử đơn vị. Khi hợp n = m của những ánh xạ này xảy ra sẽ đưa đến vành ma trận của các ma trận n×n biểu diễn cho vành tự đẳng cấu của Rn.
Nhóm ma trận
Nhóm là một cấu trúc toán học chứa một tập hợp các đối tượng cùng với một phép toán hai ngôi, tức là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ cho kết quả một đối tượng thứ ba mà tuân theo những đòi hỏi nhất định. Một nhóm trong đó các đối tượng là những ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là nhóm ma trận. Vì trong nhóm mỗi phần tử đều phải có phần tử nghịch đảo của nó, nhóm ma trận tổng quát nhất là những nhóm chứa mọi ma trận khả nghịch trong số chiều cho trước, hay còn gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.
Bất kỳ tính chất nào của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo có thể được sử dụng để định nghĩa ra một nhóm ma trận. Ví dụ, ma trận với kích thước cho trước và định thức bằng 1 tạo thành nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. Ma trận trực giao xác định bằng điều kiện tạo thành nhóm trực giao. Mỗi nhóm trực giao có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là nhóm trực giao đặc biệt.
Mỗi nhóm hữu hạn là phép đẳng cấu vào một nhóm ma trận, mà chúng ta có thể coi là biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng. Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu thông qua nhóm ma trận, mà các nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, thông qua lý thuyết biểu diễn.
Ma trận vô hạn
Cũng có thể coi ma trận có vô số hàng và/hoặc cột ngay cả khi là các đối tượng vô hạn, người ta không thể viết ra các ma trận như vậy một cách rõ ràng. Tất cả những gì quan trọng là đối với mọi phần tử trong các hàng tập chỉ mục và mọi phần tử trong các cột tập chỉ mục đều có một mục nhập được xác định rõ ràng (các tập chỉ mục này thậm chí không cần phải là tập con của các số tự nhiên). Các phép toán cơ bản của cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn có thể được xác định mà không gặp vấn đề gì; tuy nhiên phép nhân ma trận có thể liên quan đến các phép tổng vô hạn để xác định các mục nhập kết quả và chúng không được định nghĩa nói chung.
Nếu R là bất kỳ vành nào có sự thống nhất, sau đó là vành của các biến thể như một mô-đun bên phải R là đẳng cấu với vòng của ma trận hữu hạn cột  có mục nhập được chỉ mục bởi I\times I và mỗi cột chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của M được coi là kết quả mô-đun R bên trái trong một đối tượng tương tự, ma trận hữu hạn hàng mà mỗi hàng chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0.
Nếu ma trận vô hạn được sử dụng để mô tả bản đồ tuyến tính thì chỉ những ma trận đó mới có thể được sử dụng cho tất cả các cột của chúng có trừ một số hữu hạn các mục nhập khác 0, vì lý do sau. Đối với ma trận A để mô tả ánh xạ tuyến tính f: V→W, căn cứ cho cả hai không gian phải được chọn; nhớ lại rằng theo định nghĩa, điều này có nghĩa là mọi vectơ trong không gian có thể được viết duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các vectơ cơ sở, do đó được viết dưới dạng vectơ (cột) v của hệ số, chỉ có hữu hạn mục nhậpvi là số khác 0. Bây giờ các cột của A mô tả hình ảnh bằng f của các vectơ cơ sở riêng lẻ của V trong cơ sở của W, điều này chỉ có ý nghĩa nếu các cột này chỉ có hữu hạn nhiều mục khác. Tuy nhiên, không có hạn chế đối với các hàng của A: trong kết quả A·v chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của v có liên quan, vì vậy mỗi một trong số các mục nhập của nó, ngay cả khi nó được cho dưới dạng tổng vô hạn của các tích, chỉ liên quan đến rất nhiều số hạng khác nhau và do đó được xác định rõ ràng. Hơn nữa, điều này dẫn đến việc hình thành một tổ hợp tuyến tính của các cột A mà chỉ liên quan đến hữu hạn trong số chúng một cách hiệu quả, trong khi kết quả chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0 vì mỗi cột đó đều có. Kết quả của hai ma trận thuộc loại đã cho được xác định rõ ràng (với điều kiện là bộ chỉ mục cột và chỉ số hàng khớp với nhau), có cùng kiểu và tương ứng với thành phần của bản đồ tuyến tính.
Nếu R là vành định mức thì điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn được đưa ra, chuỗi hoàn toàn hội tụ có thể được sử dụng thay cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận có tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối tạo thành một vành. Tương tự, các ma trận có tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.
Ma trận vô hạn cũng có thể được sử dụng để mô tả toán tử trên không gian Hilbert, nơi nảy sinh các câu hỏi hội tụ và liên tục, dẫn đến một số ràng buộc nhất định phải được áp đặt. Tuy nhiên, quan điểm rõ ràng về ma trận có xu hướng làm xáo trộn vấn đề, và các công cụ trừu tượng và mạnh mẽ hơn của Giải tích hàm được sử dụng để thay thế.
Ứng dụng
Có thể biểu diễn số phức thông qua một ma trận thực 2 x 2 dưới đây mà tương ứng phép cộng và nhân mỗi số phức chính là phép cộng và nhân mỗi ma trận. Ví dụ, ma trận quay 2 x 2 biểu diễn phép nhân với một số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1, như ở trên. Cách giải thích này cũng tương tự đối với quaternion và đại số Clifford nói chung.
Những kỹ thuật mã hóa ban đầu như mật mã Hill cũng áp dụng lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, do bản chất tuyến tính của ma trận, những mã này bị phá tương đối dễ. Đồ họa máy tính sử dụng ma trận để vừa biểu diễn ma trận và để tính toán sự biến đổi của các đối tượng sử dụng ma trận quay aphin để đạt được các tác vụ như chiếu một vật thể ba chiều lên màn hình hai chiều, tương ứng với góc quan sát lý thuyết của một camera. Ma trận trên một vành đa thức có vai trò quan trọng đối với lý thuyết điều khiển.
Hóa học áp dụng ma trận theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt từ khi ứng dụng cơ học lượng tử để nghiên cứu liên kết phân tử và phổ học. Các ví dụ bao gồm ma trận đan xen (overlap matrix) và ma trận Fock sử dụng để giải phương trình Roothaan nhằm tìm ra obitan phân tử theo phương pháp Hartree–Fock.
Lý thuyết đồ thị
150px|nhỏ|phải|Một đồ thị vô hướng với ma trận kề Ma trận kề của một đồ thị hữu hạn là khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Nó biểu diễn hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh của đồ thị hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị (1 và 0 có nghĩa lần lượt "có" và "không") được gọi là ma trận lôgic. Ma trận khoảng cách chứa thông tin về khoảng cách giữa các cạnh. Những khái niệm này được áp dụng cho các website kết nối bởi siêu liên kết hoặc các thành phố kết nối bằng những con đường vv, mà trong hầu hết các trường hợp (ngoại trừ mạng lưới liên kết rất dày đặc) ma trận thường là thưa, nghĩa là nó chỉ chứa vài phần tử khác 0. Do vậy, các thuật toán ma trận sửa đổi có thể áp dụng cho lý thuyết mạng.
Giải tích và hình học
Ma trận Hesse của hàm số khả vi ƒ: Rn → R chứa đạo hàm bậc hai của ƒ với các thành phần tọa độ, tức là trái|nhỏ|Tại [[điểm yên ngựa (x = 0, y = 0) (đỏ) của hàm f(x,−y) = x2 − y2, ma trận Hess là không xác định.]] Nó mã hóa thông tin về độ biến thiên cục bộ của hàm số: tại một điểm tới hạn x = (x1, ..., xn), là điểm mà đạo hàm riêng bậc nhất  của ƒ triệt tiêu, hàm số có giá trị cực tiểu nếu ma trận Hess là xác định dương. Quy hoạch toàn phương có thể được sử dụng để tìm cực tiểu hay cực đại toàn cục của các hàm số toàn phương liên hệ mật thiết với ma trận gắn với chúng (xe ở trên).
Một ma trận khác thường được sử dụng trong các vấn đề hình học đó là <cite id="Jacobi_matrix">ma trận Jacobi của ánh xạ khả vi f: Rn → Rm. Nếu f1,..., fm ký hiệu là các thành phần của f, thì ma trận Jacobi xác định bởi Nếu n > m, và nếu hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị lớn nhất bằng m, f là hàm khả nghịch tại điểm đó theo như định lý hàm ẩn.
Các nhà toán học có thể phân loại phương trình đạo hàm riêng bằng cách xét ma trận các hệ số của những toán tử vi phân bậc cao nhất của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng eliptic ma trận này xác định dương và có ảnh hưởng quyết định đến tập hợp nghiệm khả dĩ của bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng.
Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được ứng dụng rộng rãi trong việc mô phỏng các hệ thống thực phức hợp. Phương pháp này đánh giá xấp xỉ nghiệm của phương trình bằng cách phân chia phương trình thành các hàm tuyến tính, mà những hàm này được chọn để lưới tạo ra đủ mịn, mà từ đó có thể viết phương trình dưới dạng phương trình ma trận.
Lý thuyết xác suất và thống kê
phải|nhỏ|280px|Hai xích Markov khác nhau. Đồ thị thể hiện số hạt (trong tổng số 1000) ở trạng thái "2". Cả hai giá trị giới hạn được xác định từ ma trận chuyển tiếp, lần lượt là (đỏ) và  (đen). Ma trận quá trình ngẫu nhiên là những ma trận vuông mà các hàng của nó là các vectơ xác suất, tức là vectơ có các thành phần không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để tìm xích Markov với những trạng thái hữu hạn. Một hàng của ma trận ngẫu nhiên cho phân bố xác suất của vị trí tiếp theo của một số hạt ở trong trạng thái tương ứng với hàng đó. Các tính chất của xích Markov giống như điểm hấp dẫn (attractor), những điểm trạng thái mà các hạt cuối cùng đạt tới, có thể được suy ra từ những vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp.
Lý thuyết thống kê cũng áp dụng ma trận trong nhiều dạng khác nhau. Thống kê mô tả đề cập tới tập hợp dữ liệu được mô tả, mà chúng được biểu diễn bằng các ma trận dữ liệu, sau đó các nhà thống kê sử dụng những kỹ thuật "thu giảm số biến" (dimensionality reduction" để khảo sát các ma trận này. Ma trận hiệp phương sai mã hóa phương sai tương hỗ của các biến ngẫu nhiên. Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận là bình phương tối thiểu, một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn những cặp điểm (x1, y1), (x2, y2),..., (xN, yN), bằng một hàm số tuyến tính
Ma trận ngẫu nhiên là ma trận với phần tử là những số ngẫu nhiên, phù hợp cho nghiên cứu tính chất phân bố xác suất, như là ma trận phân bố chuẩn. Ngoài lý thuyết xác suất, chúng còn được áp dụng trong phạm vi từ lý thuyết số tới vật lý học.
Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tử
Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả các thí nghiệm tán xạ là hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Những phản ứng va chạm xảy ra trong các máy gia tốc, nơi các hạt được cho va chạm đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với kết quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là ma trận S, nó chứa mọi thông tin về các tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm.
Quang hình học
Quang hình học sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix): các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng. Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.
Điện tử học
Phương pháp phân tích dòng điện vòng (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận.
Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào v1 và dòng vào i1, gọi B là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra v2 và dòng ra i2. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình B = H • A, với H là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử trở kháng (h12), và một phần tử độ dẫn (admitance) (h21) và hai đại lượng không thứ nguyên (h11 và h22). Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.
Liên kết ngoài
Thể loại:Đại số trừu tượng Thể loại:Đại số tuyến tính
Gertrude Stein
Gertrude Stein (3-2-1874 27-7-1946) là một nhà văn người Mỹ, tuy vậy bà sống chủ yếu ở Pháp. Bà là một trong những nhân vật tiêu biểu trong sự phát triển của nghệ thuật hiện đại và văn học hiện đại. Trong suốt cuộc đời, bà trải qua hai mối quan hệ quan trọng là với người anh Leo Stein từ năm 1874-1914 và với Alice B. Toklas từ năm 1907 cho đến khi bà mất vào năm 1946. Tại 27 rue de Fleurus, Paris, bà triển lãm tác phẩm của bà và người anh và sau đó với Alice. Trong suốt cuộc đời bà kết bạn với những người nổi tiếng và tiên phong trong thế giới nghệ thuật và văn học.
Tham khảo
Thể loại:Nữ nhà văn Mỹ Thể loại:Sinh năm 1874 Thể loại:Mất năm 1946 Thể loại:Nghệ thuật hiện đại Thể loại:Nhà thơ Mỹ Thể loại:Cựu sinh viên Đại học Johns Hopkins Thể loại:Lập thể Thể loại:Người Pháp gốc Do Thái Thể loại:Nhà văn đồng tính nữ Thể loại:Nhà văn LGBT Hoa Kỳ Thể loại:Người Do Thái LGBT Thể loại:Nhà soạn kịch LGBT Thể loại:Nhà thơ LGBT Thể loại:Người Mỹ gốc Đức Thể loại:Chết vì ung thư dạ dày Thể loại:Người viết tự truyện Mỹ Thể loại:Chôn cất tại nghĩa trang Père-Lachaise Thể loại:Nữ nhà văn tự truyện Thể loại:Tiểu thuyết gia Mỹ thế kỷ 20
Hoàng Tự
Hoàng Tự (chữ Hán: 黃自, Bính âm: Huáng Zì, sinh 23 tháng 3 năm 1904 - mất 9 tháng 5 năm 1938) là một nhạc sĩ Trung Quốc nổi tiếng. Ông còn được gọi với tên thân mật là Kim Ngô (chữ Hán: 今吾, Bính âm: Jīnwú).
Tiểu sử
Hoàng Tự sinh ra tại tỉnh Xuyên Sa của thành phố Thượng Hải, Trung Quốc. Năm 1916, ông theo học tại trường Cao đẳng Thanh Hoa và bắt đầu tiếp xúc với âm nhạc phương Tây. Sau khi tốt nghiệp năm 1924, Hoàng Tự theo học ngành tâm lý học tại Cao đẳng Oberlin, Ohio, Hoa Kỳ và sau này chuyển sang Đại học Yale năm 1928, theo học các nguyên lý và lớp soạn nhạc phương Tây. Ông soạn khúc mở màn cho bản nhạc Trong ký ức tại đây, là một trong những công trình âm nhạc giao hưởng lớn do người Trung Quốc xây dựng. Năm 1929, ông trở lại Trung Quốc và dạy tại Đại học Thượng Hải, Trường Cao đẳng Âm nhạc Quốc gia và một số trường khác. Năm 1935, Hoàng Tự thành lập dàn nhạc Thượng Hải, dàn nhạc đầu tiên có toàn bộ nhạc công là người Trung Quốc, và đào tạo rất nhiều nhạc sĩ Trung Quốc nổi tiếng như Hạ Lục Đinh, Châu Anh, Giang Định Tiên, Lâm Thanh, Lâm Thanh Hấp và Lưu Tuyết Am.
Các sáng tác nổi tiếng của Hoàng Tự gồm Thiên Luân Ca (天倫歌), Đạp tuyết tầm mai (踏雪尋梅), Hoa phi hoa (花非花), Thải Liên Dao (採蓮謠) và Bổn Sự (本事). Ông cũng là người soạn ca khúc Quốc kỳ Ca của Trung Hoa Dân quốc. Hoàng Tự qua đời năm 1938 tại Thượng Hải vì bệnh thương hàn.
Tham khảo
Thể loại:Nhạc sĩ Trung Quốc Thể loại:Sinh năm 1904 Thể loại:Mất năm 1938
Amblyglyphidodon indicus
Amblyglyphidodon indicus là một loài cá biển thuộc chi Amblyglyphidodon trong họ Cá thia. Loài này được mô tả lần đầu tiên vào năm 2002.
Phân loại học
Quần thể của Amblyglyphidodon leucogaster trước đây được cho là trải dài từ Biển Đỏ đến quần đảo Samoa với nhiều biến thể kiểu màu tùy theo khu vực địa lý. Tuy nhiên, các nghiên cứu chỉ ra rằng, quần thể này là một phức hợp bao gồm 4 loài :
Phạm vi phân bố và môi trường sống
Từ Biển Đỏ, phạm vi của A. indicus trải dài dọc theo bờ biển Đông Phi, bao gồm Madagascar và phần lớn các đảo quốc, quần đảo trên Ấn Độ Dương, trải dài về phía đông đến biển Andaman.
A. indicus sống gần những rạn san hô nhánh Acropora ở vùng biển ngoài khơi và trong các đầm phá ở độ sâu đến ít nhất là 15 m.
Mô tả
A. indicus có chiều dài cơ thể tối đa được biết đến là gần 9 cm. Cơ thể của A. indicus ánh màu bạc; bụng và thân dưới có màu vàng rất nhạt (màu vàng trên bụng của A. leucogaster rất nổi bật). Nửa trên của đầu và lưng có màu xanh lục nhạt. Vây ngực trong mờ. Vây bụng màu vàng nhạt, gần như trắng. Vây hậu môn và vây lưng màu trắng xanh hoặc trong mờ. Rìa của vây hậu môn, vây lưng cùng rìa trên và dưới của vây đuôi có màu đen.
Số gai ở vây lưng: 13; Số tia vây ở vây lưng: 11–13; Số gai ở vây hậu môn: 2; Số tia vây ở vây hậu môn: 13–14; Số tia vây ở vây ngực: 17–18; Số vảy đường bên: 15–18; Số lược mang: 25–28.
Sinh thái học
Thức ăn của A. indicus là các loài giáp xác nhỏ, trứng cá và tảo. Chúng sống đơn độc hoặc hợp thành từng nhóm nhỏ. Trứng của loài này được dính chặt vào nền tổ (trên các nhánh san hô chết), được cá đực bảo vệ và chăm sóc.
Loài này ít khi được đánh bắt trong ngành buôn bán cá cảnh.
Tham khảo
I Thể loại:Cá Ấn Độ Dương Thể loại:Cá biển Đỏ Thể loại:Cá Israel Thể loại:Cá Yemen Thể loại:Cá Somalia Thể loại:Cá Kenya Thể loại:Cá Tanzania Thể loại:Cá Mozambique Thể loại:Cá Madagascar Thể loại:Cá Ấn Độ Thể loại:Cá Sri Lanka Thể loại:Cá Maldives Thể loại:Cá Myanmar Thể loại:Cá Thái Lan Thể loại:Cá Indonesia Thể loại:Động vật được mô tả năm 2002
Chelostoma forcipatum
Chelostoma forcipatum là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Benoist mô tả khoa học năm 1928.
Tham khảo
Thể loại:Chelostoma Thể loại:Động vật được mô tả năm 1928
Singapore tại Thế vận hội
Singapore đã gửi các vận động viên (VĐV) tới hầu hết các kỳ Thế vận hội Mùa hè kể từ năm 1948, khi quốc gia này được thành lập với tư cách một thuộc địa vương thất của Anh, tách ra từ Các khu định cư Eo biển, chỉ hơn ba tháng trước khi Thế vận hội Mùa hè 1948 bắt đầu. Singapore tiếp tục cử đoàn tham gia Thế vận hội cho đến năm 1964 khi nó thành một phần của Malaysia. Sau khi độc lập hoàn toàn khỏi Malaysia vào năm 1965, Singapore tiếp tục tham gia tất cả các kỳ Thế vận hội Mùa hè trừ kỳ năm 1980 để hưởng ứng phong trào tẩy chay Thế vận hội Mùa hè 1980. Singapore lần đầu tham gia Thế vận hội Mùa đông năm 2018, với VĐV trượt băng tốc độ, Cheyenne Goh, tranh tài ở nội dung trượt băng tốc độ cự ly ngắn. Người Hoa ở Singapore cũng từng thi đấu cho Trung Quốc tại Thế vận hội như những thành viên của tuyển bóng đá, là Chua Boon Lay năm 1936, và Chia Boon Leong và Chu Chee Seng năm 1948.
Theo Chương trình Trao thưởng cho Thành tích tại các Đại hội Thể thao Lớn do Hội đồng Olympic Quốc gia Singapore thực hiện, các VĐV giành vàng, bạc và đồng cá nhân được thưởng lần lượt là 1 triệu đô la Singapore, 500.000 đô la Singapore và 250.000 đô la Singapore. Các VĐV giành huy chương ở các môn thể thao và nội dung đồng đội được thưởng theo chế độ khác.
Thành tích
Singapore đã giành năm huy chương Thế vận hội, lần đầu tiên tại Thế vận hội Mùa hè 1960, lần thứ hai tại Thế vận hội Mùa hè 2008 và lần thứ ba và thứ tư tại Thế vận hội Mùa hè 2012. Tại Thế vận hội Mùa hè 2016 Singapore giành huy chương vàng đầu tiên và cũng là huy chương Thế vận hội thứ năm.
Huy chương đầu tiên Singapore giành được thuộc về Trần Hạo Lượng, là tấm huy chương bạc cử tạ hạng nhẹ tại Thế vận hội Mùa hè 1960. Huy chương vàng đầu tiên thuộc về Joseph Schooling ở nội dung bơi bướm 100 mét nam tại Thế vận hội Mùa hè 2016.
Ở môn bóng bàn, Tỉnh Tuấn Hoằng, Lý Giai Vy và Vu Mộng Vũ đã gần chạm tới huy chương khi cán đích thứ tư các nội dung đơn nữ lần lượt tại Thế vận hội Mùa hè 2000, Thế vận hội Mùa hè 2004 và Thế vận hội Mùa hè 2020.
Tại Thế vận hội Mùa hè 2012, Phùng Thiên Vy đánh bại Kasumi Ishikawa của Nhật Bản với tỷ số 4–0 trong trận tranh huy chương đồng đơn nữ bóng bàn, mang về cho Singapore tấm huy chương Olympic cá nhân đầu tiên sau 52 năm. Trong trận tranh huy chương đồng đồng đội nữ bóng bàn, Lý Giai Vy, cùng Phùng Thiên Vy và Vương Việt Cổ, đánh bại tuyển Hàn Quốc gồm Dang Ye-Seo, Kim Kyung-Ah và Seok Ha-Jung 3–0, giành thêm một huy chương đồng.
Tại Thế vận hội Mùa hè 2016, VĐV bơi lội Joseph Schooling giành một huy chương vàng nội dung bơi bướm 100 mét nam và lập kỷ lục Thế vận hội với thời gian 50,39 giây, trở thành VĐV đầu tiên của Singapore đoạt vàng Olympic. Đây cũng là VĐV bơi lội nam đầu tiên của Đông Nam Á có huy chương vàng Thế vận hội.
Tính đến năm 2021, các VĐV của Singapore đã giành tổng cộng 5 huy chương tại Thế vận hội, trong đó có 1 huy chương vàng.
Leptophloeus alternans
Leptophloeus alternans là một loài bọ cánh cứng trong họ Laemophloeidae. Loài này được Erichson miêu tả khoa học năm 1845.
Tham khảo
Thể loại:Leptophloeus
Etheostoma nianguae
Etheostoma nianguae là một loài cá thuộc họ Percidae. Chúng là loài đặc hữu của Hoa Kỳ và chỉ được tìm thấy ở vùng sông Niangua thuộc trung tâm Missouri.
Helmeroth
Tham khảo
Thể loại:Xã của bang Rheinland-Pfalz Thể loại:Xã và đô thị ở huyện Altenkirchen
Ischnotoma delpontei
Tham khảo
Thể loại:Ischnotoma
Villeneuve-Saint-Vistre-et-Villevotte
Villeneuve-Saint-Vistre-et-Villevotte  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 89 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Villeneuvesaintvistreetvillevotte
Chelostoma foveolatum
Tham khảo
Thể loại:Chelostoma Thể loại:Động vật được mô tả năm 1868
Besma quercivoraria
The Oak Besma (Besma quercivoraria) là một loài bướm đêm thuộc họ Geometridae. Nó tìm thấy ở khắp miền nam Canada (từ Newfoundland tới British Columbia) và khắp Hoa Kỳ ngoại trừ California.
Con trưởng thành lưỡng hình về giới tính.
Sải cánh dài 27–41 mm. Con trưởng thành bay từ tháng 4 đến tháng 9 ở miền nam, từ tháng 5 đến tháng 8 ở Ontario và từ cuối tháng 5 đến tháng 7 ở Alberta. Có hai lứa trưởng thành một năm.
Ấu trùng ăn lá cây sồi, cây đu, cây bạch dương, cây liễu, Picea glauca, và chủ yếu Betula papyrifera ở nam Canada.
Liên kết ngoài
Thể loại:Besma
Villers-Allerand
Villers-Allerand  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 109 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Villersallerand
Leptophloeus angustulus
Leptophloeus angustulus là một loài bọ cánh cứng trong họ Laemophloeidae. Loài này được LeConte miêu tả khoa học năm 1866.
Tham khảo
Thể loại:Leptophloeus
Pleșoiu
Pleșoiu là một xã thuộc hạt Olt, România. Dân số thời điểm năm 2002 là 3432 người.
Xem thêm
Thể loại:Xã của hạt Olt
Kinh tế Thụy Sĩ
Kinh tế Thụy Sĩ là một trong những nền kinh tế ổn định nhất trên thế giới. Chính sách an ninh tiền tệ và giữ kín bí mật ở ngân hàng làm cho Thụy Sĩ trở thành một địa điểm an toàn cho các nhà đầu tư. Do đất nước có diện tích nhỏ và chuyên môn hóa cao trong lao động, nên ngành công nghiệp và thương mại là các nhân tố chìa cho nền kinh tế Thụy Sĩ.
Thụy Sĩ là nước có mức sống cao, với GDP bình quân đầu người là 33.800 USD. Thụy Sĩ cũng là thành viên của nhiều tổ chức thương mại như OECD, WTO, EFTA, JEC.
Xu hướng kinh tế vĩ mô
Dưới đây là biểu đồ xu hướng tăng GDP của Thụy Sĩ theo giá cả thị trường được ước tính bởi Quỹ tiền tệ quốc tế, đơn vị tính là triệu Francs Thụy Sĩ.
Chú thích
Thể loại:Kinh tế Thụy Sĩ Thụy Sĩ Thụy Sĩ Thụy Sĩ
Masdenverge
nhỏ|220px|Masdenverge Masdenverge là một đô thị thuộc tỉnh Tarragona trong cộng đồng tự trị Catalonia, phía bắc Tây Ban Nha. Đô thị này có diện tích là 14,6 ki-lô-mét vuông, dân số năm 2009 là 1133 người với mật độ 77,6 người/km². Đô thị này có cự ly km so với Tarragona.
Tham khảo
Thể loại:Đô thị ở Tarragona
Chelostoma galeridum
Chelostoma galeridum là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Warncke mô tả khoa học năm 1991.
Tham khảo
Thể loại:Chelostoma Thể loại:Động vật được mô tả năm 1991
Villers-aux-Bois
Villers-aux-Bois  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 230 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Villersauxbois
Plopana
Plopana là một xã thuộc hạt Bacău, România. Dân số thời điểm năm 2002 là 3333 người.
Xem thêm
Thể loại:Xã của hạt Bacău
Medinilla
Medinilla là một chi có khoảng 150 loài thực vật nở hoa trong họ Melastomataceae, bản địa các vùng nhiệt đới của Cựu thế giới từ châu Phi (hai loài) về phía đông qua Madagascar (khoảng 70 loài) và miền Nam châu Á phía tây các đảo Thái Bình Dương. Chi này được đặt tên theo J. de Medinilla, thống đốc của quần đảo Mariana vào năm 1820. Chúng là cây thường xanh, cây bụi hoặc dây leo.
Một số loài chọn lọc
Có khoảng 418 loài trong chi này: 300px|thumb|right|[[Medinilla magnifica là một cây cảnh phổ biến bản địa đảo Luzon và Mindoro]]
Liên kết ngoài
Thể loại:Họ Mua *
Ischnotoma eburnea
Tham khảo
Thể loại:Ischnotoma
Ischnotoma episema
Tham khảo
Thể loại:Ischnotoma
Leptophloeus anormus
Tham khảo
Thể loại:Leptophloeus
Binarowa
Binarowa là một ngôi làng ở miền nam Ba Lan.
Ngôi làng là địa điểm của Nhà thờ Tổng lãnh Thiên thần Thánh Michael, được xây dựng vào đầu thế kỷ 16. Đây là một trong sáu nhà thờ gỗ của miền Nam nhỏ Ba Lan, trên UNESCO danh sách Di sản thế giới từ năm 2003.
Chelostoma garrulum
Chelostoma garrulum là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Warncke mô tả khoa học năm 1991.
Tham khảo
Thể loại:Chelostoma Thể loại:Động vật được mô tả năm 1991
Chinchilla
Chinchilla theo nghĩa đen là chincha nhỏ, được đặt theo tộc người Chincha ở Andes, những người trước đây thường mặc bộ lông dày và có đặc tính giống nhung của chúng. Đến cuối thế kỷ 19, chinchilla đã trở nên khá hiếm bởi nạn săn bắn để lấy bộ lông cực mềm của chúng. Ngày nay, hầu hết nguồn lông chinchilla phục vụ cho ngành công nghiệp thời trang là từ chinchilla nuôi nhốt.
Các loài Chinchilla
nhỏ|trái|So sánh hai loài chinchilla Có hai loài chinchilla là Chinchilla chinchilla (tên trước đây là Chinchilla brevicaudata) và Chinchilla lanigera. Có những khác biệt nhỏ dễ thấy giữa hai loài này, C. chinchilla có tai và đuôi ngắn hơn, vai và cổ đậm hơn C. lanigera. Loài C. chinchilla ngày nay phải đối mặt với nguy cơ tuyệt chủng; loài C. lanigera tuy hiếm nhưng vẫn có thể được tìm thấy trong tự nhiên. Chinchilla nuôi trong nhà được cho là thuộc loài C. lanigera.
Tham khảo
Thể loại:Động vật có vú Nam Mỹ Thể loại:Động vật có vú Argentina Thể loại:Động vật có vú Bolivia Thể loại:Động vật có vú Chile Thể loại:Động vật có vú Peru Thể loại:Chi động vật có vú
Pseudopanthera macularia
Pseudopanthera macularia là một loài bướm đêm trong họ Geometridae. Nó được tìm thấy khắp châu Âu.
Sải cánh con bướm từ 23–28 mm. Con bướm bay từ giữa tháng 7 đến cuối tháng 9. Ấu trùng chủ yếu ăn loài Teucrium scorodonia.
Liên kết ngoài
Thể loại:Pseudopanthera Thể loại:Côn trùng châu Âu Thể loại:Động vật được mô tả năm 1758
Xã của tỉnh Maine-et-Loire
border|phải|200px Đây là danh sách 363 xã của tỉnh Maine-et-Loire ở Pháp.
(CAA) Communauté d'agglomération d'Angers, created in 2001.
Etheostoma pallididorsum
The paleback darter (Etheostoma pallididorsum) là một loài cá thuộc họ Percidae. Nó là loài đặc hữu của Hoa Kỳ.
Xã của tỉnh Maine-et-Loire
(CAC) Communauté d'agglomération du Choletais, created in 2001.
Etheostoma pallididorsum
Tham khảo
Thể loại:Etheostoma Thể loại:Động vật Mỹ
Xã của tỉnh Maine-et-Loire
Tham khảo
*
Leptophloeus ater
Leptophloeus ater là một loài bọ cánh cứng trong họ Laemophloeidae. Loài này được Lefkovitch miêu tả khoa học năm 1962.
Tham khảo
Thể loại:Leptophloeus
Villers-sous-Châtillon
Villers-sous-Châtillon  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 95 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Villerssouschatillon
Plopeni
Plopeni là một thị xã thuộc hạt Prahova, România. Dân số thời điểm năm 2002 là 9611 người.
Xem thêm
Thể loại:Khu dân cư ở hạt Prahova Thể loại:Thị trấn Romania
Chelostoma grande
Chelostoma grande là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Nylander mô tả khoa học năm 1852.
Tham khảo
Thể loại:Chelostoma Thể loại:Động vật được mô tả năm 1852
Ischnotoma fagetorum
Ischnotoma fagetorum là một loài ruồi trong họ Ruồi hạc (Tipulidae). Chúng phân bố ở vùng Tân nhiệt đới.
Tham khảo
Thể loại:Ischnotoma
Leptophloeus axillaris
Leptophloeus axillaris là một loài bọ cánh cứng trong họ Laemophloeidae. Loài này được Wollaston miêu tả khoa học năm 1854.
Tham khảo
Thể loại:Leptophloeus
Villeseneux
Villeseneux  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 233 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Thể loại:Xã của Marne
La Palma d'Ebre
La Palma d'Ebre là một đô thị thuộc tỉnh Tarragona trong cộng đồng tự trị Catalonia, phía bắc Tây Ban Nha. Đô thị này có diện tích là 37,9 ki-lô-mét vuông, dân số năm 2009 là 413 người với mật độ 10,9 người/km². Đô thị này có cự ly km so với Tarragona.
Tham khảo
Thể loại:Đô thị ở Tarragona
Hội đồng Điều phối (Belarus)
Hội đồng Điều phối (Каардынацыйная рада; Координационный совет) là một nhóm gồm 600 thành viên với 7 người làm đoàn chủ tịch, do ứng cử viên tổng thống Sviatlana Tsikhanouskaya sáng lập trong bối cảnh một loạt cuộc biểu tình bùng nổ tại Belarus năm 2020 sau cuộc bầu cử tổng thống Belarus gây tranh cãi. Phiên họp đầu tiên của Hội đồng diễn ra vào ngày 18 tháng 8.
Hình thành
Việc thành lập Hội đồng Điều phối đã được công bố trong một video do Tsikhanouskaya đăng tải ngày 14 tháng 8, trong đó Tsikhanouskaya tự tuyên bố mình đã nhận được từ 60 đến 70% phiếu bầu trong cuộc bầu cử tổng thống ngày 9 tháng 8 và kêu gọi cộng đồng quốc tế công nhận cô là người chiến thắng. Tsikhanouskaya tuyên bố rằng mục đích của hội đồng là điều phối việc chuyển giao quyền lực một cách hòa bình và có trật tự từ đương kim tổng thống Alexander Lukashenko  và tổ chức một cuộc bầu cử tổng thống mới, tự do và công bằng trong thời gian sớm nhất. Vào ngày 17 tháng 8, Tsikhanouskaya tiếp tục đăng tải một video tuyên bố cô đã sẵn sàng lãnh đạo một chính phủ chuyển tiếp. Hội đồng đã tổ chức cuộc họp báo đầu tiên vào ngày 18 tháng 8 năm 2020, với các câu hỏi được giải đáp bởi Olga Kovalkova, Maxim Znak, Maria Kalesnikava, Pavel Latushko và Sergey Dylevsky. Tsikhanouskaya đã thu âm lại lời kêu gọi các nhà lãnh đạo EU bằng tiếng Anh vào ngày 19 tháng 8, kêu gọi họ không công nhận kết quả bầu cử tổng thống trong phiên họp của các nguyên thủ quốc gia các nước EU dự kiến tổ chức vào cuối ngày hôm đó.
Mục tiêu
Hội đồng đã tuyên bố các mục tiêu chính là:
Chính sách đối ngoại
Ủy viên Chủ tịch Hội đồng Pavel Latushko tuyên bố Hội đồng không muốn thay đổi hoàn toàn đường lối chính sách đối ngoại của Belarus, đồng thời muốn duy trì quan hệ "hữu nghị và sâu sắc" với Nga, cũng như có mối quan hệ hợp tác tốt đẹp với Liên minh châu Âu và làm cầu nối giữa phương đông và phương tây.
Truyền thông xã hội
Thể loại:Dân chủ hóa Thể loại:Belarus năm 2020 Thể loại:Chính trị Belarus Thể loại:Phong trào dân chủ Belarus
Cepphis advenaria
Cepphis advenaria là một loài bướm đêm trong họ Geometridae. Loài này có thể tìm thấy khắp châu Âu. Sải cánh con bướm là 23–26 mm. Chiều dài cánh trước là 14–17 mm. Con bướm bay từ tháng 5 đến tháng 6. Chúng bay bay ngày và ưa thích bay vào ngày nắng. Ấu trùng chủ yếu ăn Vaccinium myrtillus.
Liên kết ngoài
Thể loại:Cepphis Thể loại:Côn trùng châu Âu
La Ville-sous-Orbais
La Ville-sous-Orbais  là một xã thuộc tỉnh Marne trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 137 mét trên mực nước biển.
Tham khảo
Villesousorbais
Ammocrypta pellucida
Ammocrypta pellucida là một loài cá thuộc họ Percidae. Loài này tương đối nhỏ, gần đây được xếp vào nhóm bị đe dọa, chúng phân bố ở Canada và Hoa Kỳ.
Tham khảo
P Thể loại:Động vật được mô tả năm 1863 Thể loại:Loài ít quan tâm
Chelostoma handlirschi
Chelostoma handlirschi là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Schletterer mô tả khoa học năm 1889.
Ischnotoma fastidiosa
Ischnotoma fastidiosa là một loài ruồi trong họ Ruồi hạc (Tipulidae). Chúng phân bố ở miền Australasia.