cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Chaptalia crispata
Chaptalia crispata là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được Urb. & Ekman mô tả khoa học đầu tiên năm 1931.
Liên kết ngoài
Thể loại:Chaptalia Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1931
Nova Iguaçu de Goiás
Nova Iguaçu de Goiás là một đô thị thuộc bang Goiás, Brasil. Đô thị này có diện tích 628,441 km², dân số năm 2007 là 2302 người, mật độ 3,7 người/km².
Liên kết ngoài
Thể loại:Đô thị bang Goiás
Sophronica ochreoscutellaris
Sophronica ochreoscutellaris là một loài bọ cánh cứng trong họ Cerambycidae.
Tham khảo
Thể loại:Sophronica
Conselve
Conselve là một đô thị thuộc tỉnh Padova vùng Veneto, located about 40 km về phía tây nam của Venezia và cách khoảng 20 km về phía nam của Padova. Tại thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2004, đô thị này có dân số 9.521 người và diện tích 24,2 km².
Đô thị Conselve bao gồm các frazioni (các đơn vị cấp dưới, chủ yếu là làng) Palù and Beolo.
Conselve giáp các đô thị: Arre, Bagnoli di Sopra, Cartura, San Pietro Viminario, Terrassa Padovana, Tribano.
Liên kết ngoài
Thể loại:Đô thị tỉnh Padova Thể loại:Thành phố và thị trấn ở Veneto
Poiretia crenata
Poiretia crenata là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được C.Mueller miêu tả khoa học đầu tiên.
Liên kết ngoài
Thể loại:Poiretia
Olivier Messiaen
thumb|Olivier Messiaen (1986) Olivier Eugène Prosper Charles Messiaen (sinh ngày mùng 10 tháng 12 năm 1908 tại Avignon, mất năm 1992 tại Clichy, Haust-de-Seine) là nhà soạn nhạc, nghệ sĩ đàn organ, nhà sư phạm người Pháp. Ông là nhà soạn nhạc thuộc thời kỳ Hiện đại.
Cuộc đời và sự nghiệp
Olivier Messiaen Học nhạc tại Nhạc viện Paris trong khoảng thời gian từ năm 1919-1930. Ông học lớp sáng tác của các thầy Dukas, Caussade. Thời trẻ, Messiaen nghiên cứu những tiết nhịp âm nhạc Ấn Độ, Hy Lạp và nhạc dân gian. Ông cũng ghi tiếng hót của tất cả các loài chim ở Pháp, sắp xếp theo từng vùng miền. Nhờ đó, ông có thể trích dẫn tiếng hót của chúng để đưa vào các tác phẩm của mình. Từ năm 1931, ông là nghệ sĩ đàn organ của Nhà thờ La Trinité, Paris trong hơn 40 năm ròng. Trong thời gian chiến tranh, ông bị phát xít Đức bắt giam 2 năm, sau đó về làm giáo viên tại Nhạc viện Paris (ông dạy các môn hòa thanh, phân tích tác phẩm từ năm 1947, môn sáng tác từ năm 1966). Ông có nhiều học trò xuất sắc như Boulez, Stockhausen, Barraqué, Xenakis, Amy, Sherlaw Johnson và Goehr. Ông có hai đời vợ, đặc biệt người vợ thứ hai đã có những ảnh hưởng tới các sáng tác của Messiaen. Bà là Yvonne Loriod, nữ nghệ sĩ đàn piano.
Phong cách sáng tác
Olivier Messiaen là một trong những người có ảnh hưởng lớn tới âm nhạc thế kỷ XX, là người đem đến cho âm nhạc đàn organ mộ tầm vóc mới. Trong âm nhạc của mình, Messiaen sử dụng hiệu quả những tiếng vang và những tương phản âm sắc. Đặc biệt hơn, Messiaen còn sử dụng tiếng chim hót cho tác phẩm của mình. Còn về cách xử lý tiết tấu, ông xử lý theo cách hoàn toàn mới, đưa vào loại nhịp có nguồn gốc từ âm nhạc cổ đại Hy Lạp.
Các tác phẩm
Olivier Messiaen đã sáng tác các tác phẩm cho dàn nhạc, có Nấm mồ chói lợi (1932), giao hưởng Turanglila (1946-1948), Chronochromie (1960); ba bản âm nhạc tế lễ cho 18 giọng nữ, dàn nhạc và sóng âm điện tử Martenot (1945); những hòa tấu thính phòng gồm Tứ tấu cho ngày tận thế cho violin, clarinet, cello, piano, Những âm sắc kéo dài, nhạc cụ thể (1952); nhạc cho organ, cho piano.
Tham khảo
Thể loại:Nhà soạn nhạc Pháp Thể loại:Sinh năm 1908 Thể loại:Mất năm 1992 Thể loại:Bắc Đẩu Bội tinh hạng nhất Thể loại:Tù nhân chiến tranh bị Đức giam giữ trong Thế chiến thứ hai Thể loại:Giảng viên âm nhạc
Eucera nigrilabris
Eucera nigrilabris là một loài Hymenoptera trong họ Apidae. Loài này được Lepeletier mô tả khoa học năm 1841.
Tham khảo
Thể loại:Eucera Thể loại:Động vật được mô tả năm 1841
Liparis panduriformis
Liparis panduriformis là một loài thực vật có hoa trong họ Lan. Loài này được H.Perrier mô tả khoa học đầu tiên năm 1936.
Liên kết ngoài
P Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1936
Pottia barbuloides
Pottia barbuloides là một loài Rêu trong họ Pottiaceae. Loài này được (Durieu ex Schimp.) Husn. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1885.
Liên kết ngoài
Thể loại:Pottia Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1885
Imadaddin Nasimi
'Ali' Imādu d-Dīn Nasīmī (Azerbaijan: Seyid Əli İmadəddin Nəsimi عمادالدین نسیمی, tiếng Ả Rập: عمادالدین نسیمی), thường được biết đến như Nesimi, (1369 Vô danh) -1417 lột da sống ở Aleppo) là một nhà thơ Ḥurūfī Turmen Iraq  hoặc Azeri   thế kỷ 14. Được biết đến chủ yếu là theo bút danh (hoặc takhallus) Nesîmî, ông sáng tác một divan tiếng Azerbaijan, một tác phẩm tiếng Ba Tư, và một số bài thơ tiếng Ả Rập. Ông được coi là một trong những nhà thơ thần bí Turkic vĩ đại nhất của thế kỷ cuối 14 và đầu 15 và là một trong những bậc thầy đi văng đầu nổi bật nhất trong lịch sử văn họcTurkic (ngôn ngữ được sử dụng trong divan này gần Azerbaijan).
Chú thích
Thể loại:Sinh năm 1370 Thể loại:Mất năm 1417 Thể loại:Người Azerbaijan thế kỷ 14 theo nghề nghiệp Thể loại:Người Azerbaijan thế kỷ 15 theo nghề nghiệp Thể loại:Nhà thơ Azerbaijan Thể loại:Người Azerbaijan Trung cổ
Cololejeunea minuscula
Cololejeunea minuscula là một loài Rêu trong họ Lejeuneaceae. Loài này được Pócs mô tả khoa học đầu tiên năm 2009.
Liên kết ngoài
Thể loại:Cololejeunea Thể loại:Thực vật được mô tả năm 2009
Người Azerbaijan
Người Azerbaijan (Azərbaycanlılar, آذربایجانلیلار) hoặc Azeri là một dân tộc nói tiếng Thổ Nhĩ Kỳ sống chủ yếu ở Azerbaijan và Azerbaijan thuộc Iran. Họ còn có tên khác là "người Thổ Azerbaijan" (Azərbaycan Türkləri), họ sống trong một khu vực rộng lớn, kéo dài từ Kavkaz tới sơn nguyên Iran. Người Azerbaijan chủ yếu theo Hồi giáo Shia, và có một di sản văn hóa pha trộn, bao gồm cả văn hóa của các dân tộc Iran, dân tộc Turk và các dân tộc vùng Kavkaz. Họ là nhóm dân tộc lớn nhất ở Cộng hòa Azerbaijan và đến nay là nhóm dân tộc lớn thứ hai ở nước láng giềng Iran. Trên thế giới số lượng lớn thứ nhì của người Azerbaijan là sống ở Iran, chỉ kém tại Cộng hòa Azerbaijan.
Tham khảo
Thể loại:Nhóm sắc tộc ở Nga  Thể loại:Nhóm sắc tộc ở Azerbaijan Thể loại:Nhóm sắc tộc ở Iran Thể loại:Nhóm sắc tộc ở Thổ Nhĩ Kỳ Thể loại:Nhóm sắc tộc ở Gruzia Thể loại:Dân tộc Kavkaz Thể loại:Người Azerbaijan Iran Thể loại:Nhóm sắc tộc phân chia bởi biên giới quốc tế
Kintingka kurutjutu
Kintingka kurutjutu là một loài bọ cánh cứng trong họ Bọ nước. Loài này được Watts & Humphreys miêu tả khoa học năm 1999.
Tham khảo
Thể loại:Bọ nước K Thể loại:Động vật được mô tả năm 1999
Geolycosa tangana
Geolycosa tangana là một loài nhện trong họ Lycosidae.
Loài này thuộc chi Geolycosa. Geolycosa tangana được Carl Friedrich Roewer miêu tả năm 1959.
Tham khảo
Thể loại:Geolycosa
Monechma
Monechma là một chi thực vật thuộc họ Acanthaceae, closely related to the genus Justicia. Chi này có các loài sau (danh sách này có thể chưa đầy đủ):
Monechma acutum C.B.Clarke
Monechma affine Hochst.
Monechma angustifolium Nees
Monechma arenicola C.B.Clarke
Monechma atherstonei C.B.Clarke
Monechma australe P.G.Mey.
Monechma bracteatum Hochst.
Monechma calcaratum Schinz
Monechma callothamnum J.Munday
Monechma carrissoi Benoist
Monechma ciliatum (Jacq.) Milne-Redh.
Monechma clarkei Schinz
Monechma cleomoides C.B.Clarke
Monechma debile Nees
Monechma depauperatum C.B.Clarke
Monechma distichotrichum (Lindau) P.G.Mey.
Monechma divaricatum C.B.Clarke
Monechma eremum S.Moore
Monechma fimbriatum C.B.Clarke
Monechma floridum C.B.Clarke
Monechma foliosum C.B.Clarke
Monechma genistifolium C.B.Clarke
Monechma glaucifolium S.Moore
Monechma grandiflorum Schinz
Monechma hereroense C.B.Clarke
Monechma hispidum Hochst.
Monechma leucoderme C.B.Clarke
Monechma linaria C.B.Clarke
Monechma lolioides C.B.Clarke
Monechma marginatum C.B.Clarke
Monechma molle C.B.Clarke
Monechma mollissimum (Nees) P.G.Mey.
Monechma monechmoides (S.Moore) Hutch.
Monechma namaense C.B.Clarke
Monechma nepeta C.B.Clarke
Monechma nepetoides C.B.Clarke
Monechma pilosella Nees
Monechma platysepalum S.Moore
Monechma praecox Milne-Redh.
Monechma pseudopatulum C.B.Clarke
Monechma quintasii Benoist
Monechma rigidum S.Moore
Monechma robustum Bond
Monechma salsola C.B.Clarke
Monechma saxatile J.Munday
Monechma scabridum C.B.Clarke
Monechma scabrinerve C.B.Clarke
Monechma serotinum P.G.Mey.
Monechma spartioides C.B.Clarke
Monechma spissum C.B.Clarke
Monechma subsessile C.B.Clarke
Monechma terminale S.Moore
Monechma tettense C.B.Clarke
Monechma tonsum P.G.Mey.
Monechma troglodytica Chiov.
Monechma ukambense C.B.Clarke
Monechma varians C.B.Clarke
Monechma violaceum Nees
Monechma virgultorum S.Moore
Tham khảo
Thể loại:Monechma Thể loại:Họ Ô rô
Phoenicophanta flavifera
Phoenicophanta flavifera là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Liên kết ngoài
Thể loại:Phoenicophanta
Monanthocitrus
Monanthocitrus là một chi thực vật thuộc họ Rutaceae. Bao gồm các loài:
Tham khảo
Thể loại:Monanthocitrus
Cossypha caffra
Cossypha caffra là một loài chim trong họ Muscicapidae.
Tham khảo
Thể loại:Cossypha Thể loại:Chim châu Phi Hạ Sahara Thể loại:Chim châu Phi Thể loại:Động vật được mô tả năm 1771
Đảo Tekukor
Pulau Tekukor (Turtle Dove), là một trong những đảo phía Nam của Singapore. Hòn đảo này cũng được biết đến với tên là đảo Penyabong. Đã có đề xuất biến hòn đảo này thành một khu dân cư, khu du lịch hoặc là một công viên sinh thái (Đảo Khỉ).
Liên kết ngoài
Thể loại:Đảo của Singapore Thể loại:Quần đảo phía Nam
Vannecrocq
Vannecrocq là một xã thuộc tỉnh Eure trong vùng Normandie miền bắc nước Pháp.
Tham khảo
Thể loại:Xã của Eure
Adari
Adari là một thị xã và là một nagar panchayat trong quận Mau trong bang Uttar Pradesh của Ấn Độ.
Cơ cấu dân số
Theo điều tra dân số Ấn Độ năm 2001, Adari có dân số 12.006 người. Nam giới chiếm 52% dân số, nữ giới chiếm 48% dân số. Adampur có tỷ lệ biết chữ bình quân 55%, thấp hơn mức trung bình 59,5% của toàn quốc; với 60% đàn ông và 40% phụ nữ biết chữ. 22% dân số có độ tuổi dưới 6.
Tham khảo
Thể loại:Thành phố thuộc bang Uttar Pradesh
Người ấy là ai (mùa 1)
Mùa thứ nhất của chương trình Người ấy là ai do Đài Truyền hình Thành phố Hồ Chí Minh và công ty Vie Channel (trước đây là D.I.D TV) phối hợp thực hiện, được phát sóng trên kênh HTV2 - Vie Channel, Vie GIẢITRÍ - VTVCab 1 từ ngày 2 tháng 11 năm 2018 đến ngày 25 tháng 1 năm 2019.
Tổng quan và luật chơi
Mỗi tập phát sóng có một người chơi là nữ chính và 5 chàng trai. Họ sẽ trải qua ba vòng chơi để lựa chọn ra một chàng trai phù hợp cho nữ chính của tập đó. Cụ thể:
Vòng 1
Từng chàng trai sẽ xuất hiện và giới thiệu về bản thân mình thông qua một đoạn clip ngắn. Sau khi giới thiệu xong, ban cố vấn sẽ đưa ra những nhận định về người đó và từng cố vấn sẽ cầm lên 1 chiếc bảng màu xanh lá cây, đỏ hoặc tím để dự đoán người ấy là người độc thân, đã có chủ hoặc thuộc giới tính thứ 3. Khán giả tại trường quay sẽ dự đoán qua một ứng dụng trên điện thoại, kết quả dự đoán sẽ được hiển thị trên màn hình theo tỷ lệ phần trăm. Cuối vòng này, nữ chính sẽ phải loại đi một chàng trai mà mình cho là không phù hợp nhất.
Lưu ý: Những chàng trai không được phép nói trong suốt vòng này và vòng 2.
Vòng 2
Sẽ có một trò chơi cho bốn chàng trai còn lại thể hiện đặc điểm của bản thân mình với sự hỗ trợ từ ban cố vấn. Kết thúc vòng chơi này, ban cố vấn và khán giả sẽ dự đoán về từng nhân vật (cách thức tương tự như vòng 1). Cuối vòng này, nữ chính sẽ phải tiếp tục loại đi một người mà cô ta cảm thấy không phù hợp nhất với mình.
Vòng 3
Trong vòng chơi này, mỗi chàng trai còn lại sẽ có một hashtag của riêng mình. Đối với mỗi hashtag mà mỗi chàng trai cung cấp, ban cố vấn và người chơi sẽ có một thời gian để hỏi đáp người đó theo chủ đề tương ứng với hashtag. Chỉ tại thời điểm này trong vòng chơi, mỗi người mới có thể trả lời câu hỏi mà ban cố vấn đặt ra. Kết thúc các phiên hỏi đáp với các chàng trai, ban cố vấn sẽ tư vấn cho nữ chính để nữ chính có thể lựa chọn đúng chàng trai độc thân phù hợp.
Giai đoạn quyết định
Các chàng trai sẽ quay trở lại sân khấu và mỗi người sẽ có một thời gian ngắn để thuyết phục nữ chính chọn mình. Khán giả trong trường quay sẽ bình chọn trên điện thoại cho người mà mình cho rằng sẽ là người mà nữ chính sẽ lựa chọn; kết quả bình chọn của khán giả sẽ được hiển thị trên màn hình dưới dạng phần trăm bình chọn.
Nhiệm vụ của nữ chính là phải lựa chọn một chàng trai duy nhất trong số ba chàng trai trên sân khấu bằng cách trao bó hoa do chương trình cung cấp tặng cho người mà người chơi muốn lựa chọn. Đây là khoảnh khắc quan trọng nhất trong chương trình này.
Phần lộ diện
Các chàng trai bị loại ở vòng 1, 2 hoặc sau khi người chơi đưa ra quyết định của mình trong vòng 3 sẽ xuất hiện trong phần này bằng một tiết mục đã được chuẩn bị trước. Trước khi người đó bắt đầu tiết mục của mình, ban cố vấn và người chơi sẽ dự đoán rằng người ấy độc thân, đã có chủ hoặc thuộc giới tính thứ 3 (gần giống như vòng 1). Trong quá trình thực hiện tiết mục của mình, chàng trai đó phải cho khán giả biết rằng mình đã có chủ, độc thân hoặc thuộc giới tính thứ 3. Đèn trong sân khấu cũng sẽ thay đổi dựa trên danh tính cuối cùng của người ấy, cụ thể đèn trong sân khấu sẽ chuyển thành:
Các tập phát sóng
Lưu ý: Những chàng trai được in đậm là chàng trai được nhân vật chính lựa chọn.
Màu sắc và ký hiệu sử dụng trong bảng: Đã có chủ Độc thân LGBT
(n): Đã từng tham gia, với n là tổng số lần tham gia
Tham khảo
Thể loại:Người ấy là ai
Chaptalia dentata
Chaptalia dentata là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được (L.) Cass. mô tả khoa học đầu tiên năm 1823.
Bình Hàn
Bình Hàn là một phường thuộc thành phố Hải Dương, tỉnh Hải Dương, Việt Nam.
Địa lý
Phường Bình Hàn nằm ở trung tâm thành phố Hải Dương, có vị trí địa lý:
Trên địa bàn phường có Quốc lộ 5 và tuyến đường sắt Hà Nội – Hải Phòng đi qua, có ga Hải Dương.
Lịch sử
Trước đây, Bình Hàn là một xã thuộc thị xã Hải Dương, được thành lập vào năm 1966, gồm các thôn Phượng Cáo, Cô Đông, Hàn Giang, Bình Lao, Bình Minh.
Ngày 28 tháng 10 năm 1996, Chính phủ ban hành Nghị định số 64-CP. Theo đó, thành lập phường Bình Hàn trên cơ sở toàn bộ 307 ha diện tích tự nhiên và 9.639 người của xã Bình Hàn.
Ngày 6 tháng 8 năm 1997, phường Bình Hàn thuộc thành phố Hải Dương mới thành lập.
Ngày 16 tháng 10 năm 2019, Ủy ban Thường vụ Quốc hội ban hành Nghị quyết số 788/NQ-UBTVQH14 về việc sắp xếp các đơn vị hành chính cấp huyện, cấp xã thuộc tỉnh Hải Dương (nghị quyết có hiệu lực từ ngày 1 tháng 12 năm 2019). Theo đó:
Sau khi điều chỉnh địa giới hành chính, phường Bình Hàn có 237,73 ha diện tích tự nhiên và 29.818 người.
Chaptalia dentata
Liên kết ngoài
Thể loại:Chaptalia Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1823
Abaújszántó
Tham khảo
Thể loại:Hạt Borsod-Abaúj-Zemplén Thể loại:Thành phố của Hungary
Định lý Pythagoras
nhỏ|260px|Định lý Pythagoras Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (a và b) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (c).
Trong hình học, định lý Pythagoras (hay còn gọi là định lý Py-ta-go) là mối liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý phát biểu rằng bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là "công thức Pythagoras": Đây là định lý cơ bản mà tất cả học sinh trung học cơ sở Việt Nam đã được học ở lớp 7 theo như sách giáo khoa chương trình giáo dục phổ thông năm 2006. với c là độ dài cạnh huyền, a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn được gọi là cạnh kề.
Mặc dù những hiểu biết về mối liên hệ này đã được biết đến từ trước thời của ông, nhưng định lý vẫn được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras (c. 570–495 TCN) vì - với những tư liệu lịch sử đã ghi lại - ông được coi là người đầu tiên chứng minh được định lý này. Có một số chứng cứ cho thấy các nhà toán học Babylon đã hiểu về công thức này, mặc dù có ít tư liệu cho thấy họ đã sử dụng nó trong khuôn khổ của toán học. Các nhà toán học khu vực Lưỡng Hà, Ấn Độ và Trung Quốc cũng đều tự khám phá ra định lý này và trong một số nơi, họ đã đưa ra chứng minh cho một vài trường hợp đặc biệt.
Có rất nhiều chứng minh cho định lý này - và có lẽ là nhiều nhất trong các định lý của toán học. Cách chứng minh rất đa dạng, bao gồm cả chứng minh bằng hình học lẫn đại số, mà một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi. Định lý Pythagoras còn được tổng quát hóa bằng nhiều cách khác nhau, bao gồm cho không gian nhiều chiều, cho các không gian phi Euclid, cho các tam giác bất kỳ, và thậm chí cho những đối tượng khác xa hẳn so với tam giác vuông, những đối tượng hình học tổng quát trong không gian nhiều chiều. Định lý Pythagoras còn thu hút nhiều sự chú ý từ bên ngoài phạm vi toán học, như là một biểu tượng toán học thâm thúy, bí ẩn, hay sức mạnh của trí tuệ; nó cũng được nhắc tới trong văn học, kịch bản, âm nhạc, bài hát, con tem và phim hoạt hình.
Chứng minh của Pythagoras
thumb|Chứng minh định lý Pythagoras
Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pythagoras, điều phải chứng minh.
Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras. Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về Pythagoras.
Những dạng khác của định lý
Như đã nhắc đến ở đoạn giới thiệu, nếu c ký hiệu là chiều dài của cạnh huyền và a và b ký hiệu là chiều dài của hai cạnh kề, định lý Pythagoras có thể biểu diễn bằng phương trình Pythagoras: Nếu đã biết chiều dài cả a và b, thì cạnh huyền c tính bằng Nếu biết độ dài của cạnh huyền c và một trong các cạnh kề (a hoặc b), thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức: hoặc
Phương trình Pythagoras cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biết chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại. Một hệ quả khác của định lý đó là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.
Định lý khái quát định lý này cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cos, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pythagoras.
Các chứng minh khác
Định lý này có thể coi là định lý có nhiều cách chứng minh nhất (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Proposition nêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pythagoras.
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng
thumb|Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng. Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi ACB là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh A, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau: Tỉ số thứ nhất bằng cosin của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này Cộng hai vế của hai đẳng thức và cuối cùng thu được định lý Pythagoras:
Chứng minh của Euclid
thumb|Chứng minh đưa ra trong cuốn [[Cơ sở (Euclid)|Elements của Euclid.]] Tóm tắt nội dung chứng minh của Euclid nêu ra trong cuốn Elements. Hình vuông lớn (có cạnh là cạnh huyền) được chia thành hai hình chữ nhật bên trái và phải (xem hình).
Dựng một tam giác có diện tích bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật bên trái. Sau đó dựng tam giác khác có diện tích bằng một nửa hình vuông ở cạnh bên trái. Bước tiếp theo là chứng minh hai tam giác này bằng nhau, và do đó diện tích hình vuông bên trái bằng diện tích hình chữ nhật bên trái. Lập luận tương tự cho hình vuông bên phải và hình chữ nhật bên phải. Tổng diện tích hai hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông có cạnh là cạnh huyền, và chính bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh kề. Chi tiết chứng minh như sau.
Gọi A, B, C là các đỉnh của một tam giác vuông, với góc vuông tại A. Hạ một đường thẳng từ A vuông góc với cạnh huyền. Đường thẳng này chia hình vuông dựng trên cạnh huyền làm hai hình chữ nhật, mà sẽ chứng minh là hai hình chữ nhật này lần lượt bằng diện tích với hai hình vuông trên hai cạnh góc vuông.
Để chứng minh chặt chẽ, đòi hỏi dựa trên bốn bổ đề cơ bản sau:
Tiếp theo, mỗi hình vuông trên từng cạnh kề được liên hệ với một tam giác tương đẳng với nó, mà tam giác này lại có liên hệ tương đẳng với một hình chữ nhật vừa chia.
Các chứng minh bằng cách chia hình và sắp xếp lại
Ở trên đã thảo luận về chứng minh định lý Pythagoras dựa trên phương pháp sắp xếp lại hình. Ý tưởng tương tự cũng được sử dụng cho chứng minh mà miêu tả bằng ảnh động ở dưới bên trái, mà ban đầu có một hình vuông lớn với cạnh bằng a + b, bên trong nó chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Sau đó ảnh động cho thấy các tam giác có hai cách sắp xếp vị trí khác nhau, cách đầu tiên thu được hai hình vuông có cạnh lần lượt là a2 và b2, cách thứ hai chỉ thu được một hình vuông có cạnh c2. Bởi vì hình vuông bao ngoài không thay đổi, và diện tích của bốn tam giác là như nhau ở hai cách sắp xếp hình, do vậy các hình vuông màu đen sẽ phải có diện tích bằng nhau, cho nên a2 + b2 = c2.
Cách chứng minh thứ hai bằng cách sắp xếp lại hình được minh họa ở ảnh động thứ hai. Một hình vuông lớn có diện tích c2 được hình thành từ bốn tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c bao quanh một hình vuông nhỏ ở trung tâm. Sau đó sắp xếp lại hình để thu được hai hình chữ nhật có các cạnh tương ứng a và b bằng cách di chuyển các tam giác. Kết hợp hình vuông nhỏ với hai hình chữ nhật này tạo thành hai hình vuông có diện tích tương ứng là a2 và b2, mà chúng phải có cùng diện tích với hình vuông lớn ban đầu.
Cách thứ ba được miêu tả ở ảnh động ngoài cùng. Hai hình vuông bên trên được chia thành các mảnh với màu lục và lam khác nhau, khi sắp xếp các mảnh này lại có thể đặt vừa vào trong hình vuông ở dưới với cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông – hoặc ngược lại, hình vuông lớn ở dưới có thể chia thành các mảnh nhỏ mà sau khi sắp xếp lại các mảnh nhỏ này có thể đặt vừa vào trong hai hình vuông nằm trên hai cạnh góc vuông. Cách cắt một hình thành các phần nhỏ và sắp xếp chúng lại để thu được một hình khác gọi là bài toán phân chia (dissection problem). Từ đó đi đến kết luận là diện tích của hình vuông lớn phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ.
Chứng minh của Einstein bằng phân tích lập luận
thumb|Theo như chứng minh của Einstein, tam giác vuông với cạnh huyền được phân làm hai tam giác vuông nhỏ hơn với cạnh huyền của chúng là hai cạnh góc vuông của tam giác lớn hơn. Albert Einstein lúc 11 tuổi đã đưa ra một chứng minh bằng cách phân chia mà không cần thiết phải di chuyển sắp xếp lại các hình. Thay vì sử dụng một hình vuông trên cạnh huyền và hai hình vuông trên hai cạnh kề, ông sử dụng một hình khác bao gồm cạnh huyền, và hai hình đồng dạng mà bao gồm một trong hai cạnh kề thay cho cạnh huyền. Trong chứng minh của Einstein, hình bao gồm cạnh huyền chính là tam giác vuông lớn ban đầu. Thực hiện phân chia tam giác này bằng cách hạ đường cao từ đỉnh của góc vuông xuống cạnh huyền, chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Hai tam giác vuông này đồng dạng với tam giác vuông ban đầu, và có cạnh huyền là cạnh góc vuông của tam giác ban đầu, và tổng diện tích của chúng bằng diện tích tam giác ban đầu. Bởi vì tỉ số diện tích của một tam giác vuông với diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh huyền của nó là bằng nhau đối với các tam giác đồng dạng, mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác cũng thỏa mãn cho các hình vuông dựng tương ứng trên các cạnh của hình vuông lớn.
Các chứng minh bằng đại số
thumb|upright|Minh họa hình học cho chứng minh bằng đại số.
Có thể chứng minh định lý bằng phương pháp đại số sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau có cạnh a, b và c, chúng được xếp trong một hình vuông cạnh c như ở hình phía trên của hai hình bên cạnh. Các tam giác có cùng diện tích \tfrac12ab, trong khi hình vuông nhỏ có cạnh b − a và diện tích (b − a)2. Diện tích của hình vuông lớn sẽ là:
Mà hình vuông này có cạnh là c và diện tích bằng c2, do vậy
Chứng minh tương tự sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau xếp đối xứng xung quanh một hình vuông cạnh c, như ở hình phía dưới. Kết quả cho một hình vuông lớn hơn, với cạnh a + b và diện tích (a + b)2. Bốn tam giác và hình vuông cạnh c phải bằng diện tích của hình vuông lớn hơn,
từ đó
thumb|upright|Minh họa chứng minh của Garfield. Trước khi trở thành tổng thống Hoa Kỳ, James A. Garfield (khi ấy là Hạ nghị sĩ) đã đưa ra một cách chứng minh cho định lý Pythagoras. Thay vì sử dụng một hình vuông ông lại sử dụng hình thang, mà được dựng từ hình vuông trong chứng minh thứ hai ở trên bằng cách chia theo đường chéo của hình vuông bên trong, sẽ thu được hình thang như ở hình vẽ bên cạnh. Diện tích của hình thang khi đó bằng một nửa hình vuông, và bằng
Hình vuông bên trong cũng bị chia một nửa diện tích, và chỉ có hai tam giác vuông còn lại nên có đẳng thức:
Sau khi thu gọn đẳng thức có được điều phải chứng minh.
Chứng minh sử dụng vi tích phân
Có thể đi đến định lý Pythagoras bằng cách nghiên cứu sự thay đổi của một cạnh kề tạo ra thay đổi như thế nào đối với cạnh huyền và áp dụng phương pháp vi tích phân.
Cryptandra debilis
Cryptandra debilis là một loài thực vật có hoa trong họ Táo. Loài này được A.R.Bean mô tả khoa học đầu tiên năm 2004.
Định lý Pythagoras
Chứng minh sử dụng vi tích phân
Tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC. Tại thời điểm ban đầu, cạnh huyền có độ dài y, cạnh kề AC có độ dài x và cạnh AB có độ dài a, như chỉ ra ở hình vẽ bên dưới.
Cryptandra debilis
Liên kết ngoài
D Thể loại:Thực vật được mô tả năm 2004
Định lý Pythagoras
Chứng minh sử dụng vi tích phân
thumb|Hình vẽ cho chứng minh bằng vi tích phân. Sau đó, nếu x dài thêm một lượng vi phân dx bằng cách kéo dài AC một đoạn vô cùng ngắn về điểm D, thì y cũng tăng tương ứng một lượng vi phân dy. Chúng tạo thành hai cạnh của một tam giác, CDE, trong đó (với E được chọn sao cho CE vuông góc với cạnh huyền) nó là tam giác gần đồng dạng với ABC. Do vậy tỉ số giữa các cạnh phải xấp xỉ bằng nhau, tức là:
Viết lại biểu thức thành, hay chính là phương trình vi phân mà giải được bằng cách lấy tích phân hai vế: thu được Hằng số tích phân được chọn khi cho x = 0, thì y = a do đó có phương trình Chứng minh trên chỉ được trình bày một cách trực quan cho dễ hiểu mà thôi. Nếu muốn chặt chẽ (nhưng sẽ khó đọc hơn với người không chuyên ngành vi tích phân), ta có thể dễ dàng viết lại chứng minh này bằng cách thay tích phân không xác định bằng tích phân xác định.
Định lý đảo
Định lý đảo của định lý Pythagoras cũng thỏa mãn: "Với ba số thực dương bất kỳ a, b, và c sao cho a2 + b2 = c2, thì tồn tại một tam giác với ba cạnh tương ứng a, b và c, và mỗi tam giác như thế có một góc vuông giữa hai cạnh a và b."
Phát biểu khác của định lý đảo:
"Với một tam giác bất kỳ có ba cạnh a, b, c, nếu a2 + b2 = c2, thì góc giữa a và b bằng 90°."
Định lý đảo cũng được Euclid thảo luận trong cuốn Cơ sở (tập I, mệnh đề 48): "'Nếu trong một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, thì góc tạo bởi hai cạnh này là góc vuông của tam giác.'"
Có thể chứng minh định lý đảo Pythagoras bằng cách sử dụng định lý cos hoặc chứng minh như sau:
Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với a2 + b2 = c2. Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pythagoras thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c = √a2 + b2, và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.
Chứng minh định lý đảo ở trên sử dụng chính định lý Pythagoras. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.
Một hệ quả của định lý Pythagoras đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:
Edsger W. Dijkstra đã phát biểu mệnh đề về tam giác nhọn, vuông và tù bằng các ký hiệu như sau:
với α là góc đối diện với cạnh a, β là góc đối diện với cạnh b, γ là góc đối diện với cạnh c, và sgn là hàm signum.
Bộ ba số Pythagoras
Một bộ ba số Pythagore là ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Nói cách khác, bộ ba số Pythagore biểu diện độ dài của các cạnh của một tam giác vuông mà cả ba độ dài này là những số nguyên dương. Các chứng cứ từ những điểm khảo cổ ở miền bắc châu Âu cho thấy người cổ đại đã biết đến những bộ ba này trước điểm có những văn tự ghi chép lại. Các bộ ba này thường được viết là (a, b, c). Một số bộ hay gặp là (3, 4, 5) và (5, 12, 13).
Một bộ ba số Pythagoras gọi là bộ ba số Pythagoras nguyên thủy khi các số a, b và c nguyên tố cùng nhau (hay ước số chung lớn nhất của a, b và c bằng 1).
Dưới đây liệt kê các bộ ba số Pythagoras nguyên thủy nhỏ hơn 100 (16 bộ số):
Dựng đoạn thẳng vô ước
Hình bên phải cho thấy cách dựng những đoạn thẳng mà độ dài bằng căn bậc hai của một số nguyên dương bất kỳ. Mỗi tam giác có một cạnh (đánh dấu là "1") được chọn sao cho có độ dài bằng một đơn vị. Trong mỗi tam giác vuông, định lý Pythagoras cho phép liên hệ cạnh huyền với độ dài đơn vị của cạnh kề này. Nếu một cạnh huyền bằng căn bậc hai của một số nguyên dương không chính phương, nghĩa là nó có độ dài vô ước với chiều dài đơn vị, như, ,. Chi tiết, xem số vô tỉ bậc hai (quadratic irrational number).
Độ dài vô ước mâu thuẫn với khái niệm của trường phái Pythagoras về các số như là những số hoàn thiện. Trường phái này xét đến các tỷ số của các số nguyên với một đơn vị chung. Theo như một truyền thuyết, nhà triết học Hippasus của Metapontum (ca. 470 B.C.) đã bị ném xuống biển do biết đến sự tồn tại của số vô tỉ hay đoạn thẳng vô ước.
Số phức
right|thumb|Trị tuyệt đối của số phức z (hay mô-đun của số phức) là khoảng cách r từ z đến gốc tọa độ. Với một số phức bất kỳ thì giá trị tuyệt đối hay mô-đun của nó cho bởi Do đó ba đại lượng, r, x và y có liên hệ với nhau bởi phương trình Pythagoras, Chú ý rằng r được xác định là số thực dương hay bằng 0 nhưng x và y có thể nhận giá trị dương hoặc âm tùy ý. Về mặt hình học r là khoảng cách từ z đến điểm O hoặc gốc tọa độ trong mặt phẳng phức.
Dựa vào định nghĩa trên có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm, ví dụ z1 và z2. Khoảng cách cho bởi và đây cũng chính là dạng phương trình Pythagoras,
Khoảng cách Euclid trong các hệ tọa độ khác nhau
Công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ Descartes được suy ra từ định lý Pythagoras. Nếu (x1, y1) và (x2, y2) là tọa độ của hai điểm trên mặt phẳng, thì khoảng cách giữa chúng là, hay còn gọi là khoảng cách Euclid:
Tổng quát hơn, trong không gian Euclid n chiều, khoảng cách Euclid giữa hai điểm, và, được xác định bằng cách tổng quát hóa định lý Pythagoras:
Nếu không sử dụng hệ tọa độ Descartes, ví dụ, mà sử dụng hệ tọa độ cực cho không gian hai chiều hoặc tổng quát hơn, nếu sử dụng hệ tọa độ cong, công thức biểu diễn khoảng cách Euclid sẽ phức tạp hơn so với phương trình Pythagoras, nhưng có thể sử dụng định lý này để tìm ra công thức tính khoảng cách. Ví dụ cụ thể, khoảng cách theo đường thẳng nối giữa hai điểm được tính trong hệ tọa độ cong có thể thấy trong ứng dụng của đa thức Legendre trong vật lý. Công thức khoảng cách được suy ra từ định lý Pythagoras kết hợp với phương trình liên hệ trong phép biến đổi tọa độ từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ Descartes. Ví dụ, tọa độ cong (r, θ) có liên hệ với tọa độ Descartes là:
Và hai điểm với tọa độ (r1, θ1) và (r2, θ2) cách nhau bằng khoảng cách s:
Đẳng thức lượng giác Pythagoras
thumb|Tam giác đồng dạng bên phải chỉ ra sin và cos của góc θ. Trong tam giác vuông với hai cạnh kề a, b và cạnh huyền c, lượng giác xác định sin và cos của góc θ giữa cạnh a và cạnh huyền như sau:
Từ đây rút ra:
với bước cuối cùng áp dụng định lý Pythagoras. Liên hệ giữa sin và cos đôi lúc được gọi là đồng nhất thức lượng giác Pythagoras cơ bản. Ở các tam giác đồng dạng, tỉ số các cạnh là như nhau bất kể kích thước của tam giác là như thế nào, và tỉ số chỉ phụ thuộc vào góc giữa chúng. Hệ quả là, trong hình, tam giác với cạnh huyền bằng độ dài đơn vị có độ dài hai cạnh kề là sin θ và cos θ theo đơn vị của cạnh huyền.
Liên hệ với tích vectơ
right|thumb|Diện tích của hình bình hành xác định bằng tích trực tiếp; các vectơ a và b xác định mặt phẳng và a × b là vectơ trực chuẩn của mặt phẳng này. Định lý Pythagoras liên hệ tích vectơ (hay tích trực tiếp) và tích vô hướng theo cách tương tự:
Kết quả này có thể thấy từ định nghĩa của tích trực tiếp và tích vô hướng
với n là vectơ trực chuẩn đơn vị của cả a và b. Mối liên hệ tuân theo các định nghĩa này và từ đồng nhất thức lượng giác Pythagoras.
Liên hệ trên cũng có thể sử dụng để định nghĩa tích trực tiếp. Bằng cách sắp xếp lại thu được phương trình
Phương trình này có thể coi như là điều kiện xác định cho tích trực tiếp, cũng như cho phần định nghĩa của nó, ví dụ như trong không gian bảy chiều.
Các hình đồng dạng trên ba cạnh tam giác
Nhà toán học Hippocrates của Chios ở thế kỷ V TCN đã tổng quát hóa định lý Pythagoras mở rộng diện tích không chỉ cho các hình vuông trên ba cạnh của tam giác mà còn cho các đa giác đồng dạng, và đã được Euclid đưa vào cuốn Cơ sở:
Sự mở rộng này giả thiết rằng các cạnh của tam giác ban đầu là tương ứng với các cạnh của ba hình đồng dạng (do vậy tỉ số chung giữa các cạnh của ba tam giác này là a:b:c). Trong khi chứng minh của Euclid chỉ áp dụng cho các đa giác lồi, định lý cũng áp dụng cho các đa giác lõm và thậm chí cho các hình đồng dạng có biên cong (nhưng vẫn phải có một cạnh bằng cạnh của tam giác vuông ban đầu).
Ý tưởng cơ bản đằng sau sự mở rộng này đó là diện tích của một hình phẳng tỉ lệ với bình phương của một độ dài bất kỳ, và đặc biệt là tỉ lệ với bình phương của độ dài của một cạnh của tam giác. Do đó, nếu các hình đồng dạng với diện tích tương ứng A, B và C được dựng lên các cạnh tương ứng của tam giác vuông a, b và c thì:
Nhưng theo định lý Pythagoras, a2 + b2 = c2, do vậy A + B = C.
Ngược lại, nếu có thể chứng minh rằng A + B = C cho ba hình đồng dạng mà không sử dụng định lý Pythagoras, thì có thể quay ngược lại để đưa ra một chứng minh cho định lý. Ví dụ, tam giác vuông ở trung tâm có thể dựng lại được và sử dụng tam giác C đặt trên cạnh huyền của nó, và hai tam giác (A và B) dựng trên hai cạnh kề, dựng bằng cách chia tam giác ở trung tâm bởi đường cao kéo từ đỉnh góc vuông. Tổng của diện tích hai tam giác đồng dạng nhỏ do đó sẽ bằng tam giác thứ ba, hay A + B = C và đảo lại điều trên dẫn đến định lý Pythagoras a2 + b2 = c2.
Định lý cos
x200px|thumb|Khoảng cách s giữa hai điểm (r1, θ1) và (r2, θ2) trong tọa độ cực được tính bằng định lý cos. Góc trong Δθ = θ1−θ2.
Định lý Pythagoras là trường hợp đặc biệt của định lý tổng quát hơn liên hệ giữa các cạnh của một tam giác bất kỳ, đó là định lý cos: với θ là góc tạo bởi hai cạnh a và b.
Khi θ bằng 90 độ (/2 radian), thì cosθ = 0, và công thức quy về công thức Pythagoras.
Tam giác bất kỳ
thumb|Tổng quát định lý Pythagoras bởi [[Thābit ibn Qurra|Tâbit ibn Qorra. Hình bên dưới: ảnh phản xạ của tam giác ABD (lam) tạo thành tam giác DBA (tím), đồng dạng với tam giác ABC (ở trên).]] Cho một tam giác bất kỳ với ba cạnh a, b, c, chọn một trong ba đỉnh của tam giác, dựng lên cạnh đối diện hai điểm sao cho thu được tam giác cân có góc cân bằng góc θ của đỉnh đã chọn. Giả sử góc θ đã chọn đối diện với cạnh có độ dài c của tam giác. Cách dựng như sau: dựng tam giác ABD với điểm D nằm trên cạnh BC và có góc ADB bằng θ cạnh BD bằng r. Tương tự dựng một tam giác thứ hai có góc θ đối diện với cạnh b và độ dài cạnh s dọc cạnh c, như ở hình bên cạnh. Nhà toán học trung cổ Thābit ibn Qurra phát hiện các cạnh của những tam giác này có mối liên hệ như sau: Khi góc θ tiến về /2, cạnh của tam giác cân thu hẹp lại, và độ dài r và s chồng lên nhau ít hơn. Khi θ = /2, tam giác ADB trở thành tam giác vuông, và r + s = c, và định lý trở về định lý Pythagoras.
Chứng minh định lý trên khá dễ dàng. Vì tam giác ABC và ABD có hai góc bằng nhau, chung một góc ở đỉnh B, và có hai góc bằng θ, do đó ABC đồng dạng với tam giác ABD. Lấy tỉ số giữa hai cạnh chung góc θ và kề góc này, Tương tự cho tam giác còn lại, có Biến đổi hai tỉ số trên và cộng hai vế lại: thu được điều phải chứng minh.
Định lý vẫn đúng cho tam giác có góc tù \theta, khi đó hai đoạn r và s không chồng lên nhau.
Tam giác bất kỳ và các hình bình hành dựng trên các cạnh
thumb|Tổng quát hóa cho một tam giác bất kỳ, diện tích màu lam bằng diện tích màu lục. thumb|Cách dựng hình cho chứng minh các hình bình hành dựng trên cạnh của tam giác tùy ý. Định lý diện tích Pappus là một cách mở rộng khác, áp dụng cho một tam giác bất kỳ, sử dụng các hình bình hành dựng trên ba cạnh của tam giác này (và hình vuông là trường hợp đặc biệt khi tam giác là tam giác vuông và hình bình hành trở thành hình vuông). Hình trên bên phải minh họa cách dựng các hình bình hành: Đầu tiên dựng hai hình bình hành bất kỳ trên hai cạnh của tam giác, sau đó dựng hình bình hành thứ ba (hai cạnh ngoài cùng của hai hình bình hành cắt nhau tại một điểm, và dựng hình bình hành thứ ba có cạnh bằng độ dài của mũi tên màu đen). Định lý phát biểu rằng diện tích của hình bình hành thứ ba bằng tổng diện tích của hai hình bình hành ban đầu. Sự thay thế hình vuông bằng các hình bình hành mang lại sự tương tự rất giống với định lý Pythagoras gốc. Định lý này mang tên nhà toán học Pappus của Alexandria sống ở thế kỷ IV của Công Nguyên.
Hình bên dưới chỉ ra cách chứng minh cho định lý này. Tập trung vào hình bình hành bên trái trước. Hình bình hành màu lục có cùng diện tích với phần hình bình hành màu lam do có chung cạnh đáy b và chiều cao h. Mặt khác, hình bình hành màu lục lại bằng chính hình bình hành thứ nhất ở trên, do chúng có chung cạnh đáy (là cạnh của tam giác) và chung chiều cao. Lặp lại lập luận trên cho hình bình hành thứ hai ở bên phải, sau đó cộng lại thu được điều phải chứng minh.
Hình học không gian
thumb|Định lý Pythagoras trong không gian ba chiều liên hệ cạnh chéo AD với ba cạnh của hình hộp chữ nhật. thumb|Một tứ diện có ba góc vuông chung tại một đỉnh. Trong hình học không gian, định lý Pythagoras có thể áp dụng như sau. Xét một hình hộp chữ nhật như ở hình bên.Theo định lý Pythagoras, đường chéo BD bằng:
do ba cạnh này làm thành một tam giác vuông BCD. Sử dụng đường chéo BD và cạnh đứng AB cho tam giác vuông ABD, độ dài đường chéo AD tính được nhờ áp dụng một lần nữa định lý Pythagoras:
và kết hợp với kết quả trên cho:
Từ công thức trên có thể coi là bước tổng quát của định lý Pythagoras cho không gian nhiều chiều hơn. Tuy vậy, kết quả này chỉ là lặp lại ứng dụng của định lý Pythagoras cho không gian hai chiều cho các tam giác vuông ở các mặt phẳng trực giao.
Một dạng tổng quát hơn của định lý Pythagoras cho không gian ba chiều là định lý de Gua, đặt tên theo Jean Paul de Gua de Malves: Nếu một tứ diện có một góc khối vuông (như góc của một hình lập phương), thì bình phương diện tích của mặt đối diện với góc khối vuông bằng tổng bình phương diện tích của ba mặt còn lại. Kết quả này có thể tổng quát cho "định lý Pythagoras n chiều": "Gọi là các vectơ trực giao trong ℝn. Xét một đơn hình n chiều S với các đỉnh . (coi đơn hình (n − 1) chiều với các đỉnh mà không bao gồm gốc như là 'cạnh huyền' của S và phần còn lại các mặt (n − 1) chiều S như là các 'chân' của nó.) Thì khi đó bình phương thể tích của 'cạnh huyền' của S bằng tổng bình phương thể tích của n chân của nó."
Phát biểu này được minh họa trong ba chiều bằng tứ diện hình bên cạnh. "Cạnh huyền" là mặt đáy của tứ diện ở mặt sau của hình, và "các chân" là ba mặt xuất phát từ đỉnh góc khối vuông. Khi chiều cao từ đỉnh xuống mặt đáy tăng lên, diện tích của ba mặt bên tăng lên, trong khi mặt đáy là cố định. Định lý gợi lý rằng khi chiều cao ở giá trị phù hợp tạo ra một góc vuông ở đỉnh thì có thể áp dụng được định lý Pythagoras tổng quát. Phát biểu theo cách khác: "Cho một đơn hình n-hộp chữ nhật trong không gian n chiều, bình phương của (n − 1)-diện (facet) đối đỉnh góc vuông sẽ bằng tổng bình phương của thành phần (n − 1)-diện còn lại."
Không gian tích trong
thumb|Các vectơ tham gia vào định lý hình bình hành. Định lý Pythagoras có thể tổng quát hóa ở không gian tích trong, một khái niệm tổng quát hóa của không gian Euclid 2 và 3 chiều. Ví dụ, một hàm số có thể coi như là một vectơ với các thành phần vô hạn trong không gian tích trong, như trong giải tích hàm.
Trong một không gian tích trong, khái niệm vuông góc được thay thế bằng khái niệm trực giao: hai vectơ v và w là trực giao nếu tích trong bằng không. Tích trong là sự tổng quát hóa của tích vô hướng vectơ. Tích vô hướng được gọi là tích trong tiêu chuẩn hay tích trong Euclid. Tuy vậy có thể định nghĩa rất nhiều tích trong khác.
Khái niệm độ dài được thay thế bằng khái niệm chuẩn ||v|| của một vectơ v, định nghĩa như sau:
Định lý Pythagoras được tổng quát hơn nữa ở không gian tích trong khi nó áp dụng cho các vectơ không trực giao với định lý hình bình hành:
nói rằng hai lần tổng bình phương của độ dài các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương độ dài của các đường chéo hình bình hành. Bất kỳ chuẩn nào thỏa mãn đẳng thức trên thì tự nó là một chuẩn trong một không gian tích trong.
Đẳng thức Pythagoras có thể mở rộng cho nhiều hơn hai vectơ trực giao. Nếu v1, v2,..., vn là những cặp vectơ trực giao trong một không gian tích trong, thì áp dụng định lý Pythagoras liên tiếp cho từng cặp vectơ này (như đã miêu tả đối với 3 cạnh của hình hộp chữ nhật ở phần hình học không gian) thu được phương trình như sau
Hình học phi Euclid
Định lý Pythagoras được suy ra từ các tiên đề trong hình học Euclid, và quả thật, định lý này không còn đúng trong hình học phi Euclid. (Có thể chứng minh được rằng, định lý Pythagoras là tương đương với tiên đề Euclid về đường thẳng song song (tiên đề thứ năm). ) Nói cách khác, trong hình học phi Euclid, liên hệ giữa các cạnh của một tam giác sẽ có dạng khác công thức Pythagoras. Ví dụ, trong hình học cầu, cả ba cạnh của một tam giác vuông (tương ứng là a, b, và c) chiếm một phần tám mặt cầu đơn vị có độ dài bằng nhau và bằng /2, và mọi góc của nó cũng là góc vuông, hay không tuân theo định lý Pythagoras nữa bởi vì a2 + b2 ≠ c2.
Ở đây xét đến hai hình học phi-Euclid đó là hình học cầu và hình học hyperbolic phẳng; trong mỗi trường hợp, như đối với hình học Euclid cho các tam giác không vuông, kết quả thay thế công thức Pythagoras bằng định luật cos phù hợp.
Tuy vậy, định lý Pythagoras vẫn còn đúng trong hình học hyperbolic và hình học elliptic nếu điều kiện tam giác vuông được thay thế bằng điều kiện tổng của hai góc bằng góc còn lại, như A+B = C. Lúc đó ba cạnh có liên hệ như sau: tổng diện tích của hình tròn với đường kính a và b bằng diện tích hình tròn có đường kính c.
Hình học cầu
thumb|Tam giác cầu. Với bất kỳ một tam giác vuông trên mặt cầu bán kính R (ví dụ, nếu γ trong hình bên là góc vuông), với các cạnh a, b, c, thì ba cạnh liên hệ với nhau theo công thức:
Công thức này là trường hợp đặc biệt của định lý cos trên mặt cầu mà áp dụng cho mọi tam giác cầu:
Bằng cách thể hiện chuỗi Maclaurin cho hàm cos như là khai triển tiệm cận với số hạng còn lại trong ký hiệu O lớn,