cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Văn minh cổ Babylon
Thời kỳ hoàng kim
Người Ai Cập cố gắng trụ lại Cận Đông, có thể là để khôi phục Assyria làm vùng đệm an toàn chống lại Babylon, Media và Ba Tư, hoặc để tạo ra một đế chế mới của riêng họ. Nebuchadnezzar II tấn công người Ai Cập và đẩy họ trở lại Sinai. Tuy nhiên, ông không thể khuất phục được Ai Cập như Assyria đã làm, chủ yếu là do một loạt các cuộc nổi loạn từ Israel của Judah và cổ vương quốc Ephraim, Phoenicia của Caanan và Aram của Levant. Babylon đã nghiền nát những cuộc nổi loạn này, phế truất Jehoiakim của Judah và áp giải một phần lớn dân số về Babylonia. Các thành phố như Tyre, Sidon và Damascus cũng bị thu phục. Người Ả Rập và các dân tộc Nam Ả Rập khác cư ngụ trong các sa mạc ở phía nam biên giới Lưỡng Hà sau đó cũng bị khuất phục. nhỏ|Toàn cảnh Cung điện phía Nam của Nebuchadnezzar II được phục dựng, thế kỷ thứ 6 TCN, Babylon, IraqVào năm 567 TCN, Nebuchadnezzar II gây chiến với Pharaoh Amasis và xâm lược Ai Cập trong một thời gian ngắn. Sau khi đế chế được bảo đảm, bao gồm việc kết hôn với một công chúa Media, ông dành hết tâm huyết để phát triển Babylon và thực hiện nhiều dự án xây dựng ấn tượng. Ông được cho là người xây dựng Vườn treo Babylon huyền thoại.
Amel-Marduk kế vị và chỉ ở ngôi hai năm. Có ít ghi chép đương thời về triều đại của ông, mặc dù Berosus sau này cho rằng ông bị người kế nhiệm Neriglissar phế truất và sát hại vào năm 560 TCN vì "những hành vi sai trái". Neriglissar (560-556 TCN) cũng có một triều đại ngắn ngủi. Ông là con rể của Nebuchadnezzar II, không rõ là người Chaldea hay người Babylon bản địa. Ông tấn công Aram và Phoenicia, thành công duy trì sự thống trị của Babylon ở những vùng này. Tuy nhiên, Neriglissar chết sớm. Con trai là Labashi-Marduk (556 TCN), vẫn còn là một cậu bé, kế vị và bị giết trong cùng năm bởi Nabodius.
Ba Tư xâm lược
Vị vua Babylon cuối cùng, Nabonidus (Nabu-na'id, 556-539 TCN), là con trai của nữ tư tế người Assyria Adda-Guppi, xuất thân từ Harran (Kharranu), kinh đô cuối cùng của Assyria. Thông tin liên quan đến Nabonidus có nguồn gốc chủ yếu từ một phiến đất sét có ghi niên hiệu của Nabonidus, và dòng chữ khắc ghi công ông xây dựng lại ngôi đền của Thần mặt trăng Sin tại Harran; cũng như trong tuyên cáo của Cyrus được ban hành ngay sau khi ông chiếm được Babylonia.
Nhiều yếu tố phát sinh dẫn đến sự sụp đổ của Babylon. Dân chúng Babylonia trở nên bất mãn với Nabonidus do ông quy tập toàn bộ hoạt động thờ phụng đa thần về đền thờ chính Marduk ở Babylon, dẫn đến bỏ bê giới tăng lữ địa phương. Ông cũng không được lòng quân đội do sở thích nghiên cứu khảo cổ của mình. Nabonidus có vẻ đã để cho con trai Belshazzar (một vị tướng có khả năng nhưng kém về ngoại giao, không được lòng giới tinh hoa chính trị) nhiếp chính, còn mình thì mải khai quật ghi chép lưu trữ của các đền thờ và xác định ngày tháng xây dựng. Ông cũng dành nhiều thời gian bên ngoài Babylon, xây dựng lại các ngôi đền ở thành phố Harran của Assyria, hoặc ở tại các vùng chư hầu Ả Rập trong các sa mạc ở phía nam Lưỡng Hà. Nguồn gốc Assyria của Nabonidus và Belshazzar cũng có thể khiến cho sự phẫn nộ gia tăng. Ngoài ra, các thế lực quân đội tại Lưỡng Hà thường tập trung ở các vùng Assyria cũ, nhưng không còn Assyria kiềm chế, khiến cho Babylonia ở vào thế không được phòng thủ và dễ bị xâm chiếm hơn so với phía bắc.
Vào năm thứ sáu triều Nabonidus (549 TCN), Cyrus Đại đế, "vua của Anshan" người Achaemenid Ba Tư ở Elam, đã nổi dậy chống lại ách thống trị của Astyages, "vua của Manda" hoặc Media, tại Ecbatana. Quân đội của Astyages ngả theo phe Cyrus. Đế chế Media sụp đổ và người Ba Tư thành bá chủ của các dân tộc Iran. Ba năm sau, Cyrus trở thành vua của Ba Tư và dập tắt cuộc nổi dậy của người Assyria. Trong khi đó, Nabonidus đã lập doanh trại ở sa mạc thuộc địa Ả Rập của mình, gần biên giới phía nam vương quốc, để lại con trai Belshazzar (Belsharutsur) chỉ huy quân đội.
Tộc Chaldea đã mất quyền kiểm soát Babylonia trong nhiều thập kỷ trước khi kết thúc thời đại mang tên họ, và họ dường như đã hòa nhập với thường dân Babylonia từ trước đó (ví dụ, Nabopolassar, Nebuchadnezzar II và những người kế vị đều tự xưng là Shar Akkad chứ không phải là Shar Kaldu trên các dòng chữ khắc). Trong Đế chế Achaemenid của Ba Tư, thuật ngữ Chaldea đã không còn dùng để chỉ một chủng tộc người, mà thay vào đó là đẳng cấp tu sĩ có học vấn về Babylon cổ điển, cụ thể là Thiên văn học và Chiêm tinh. Vào giữa thời Đế chế Seleucid (312-150 TCN), thuật ngữ này cũng đã không còn được sử dụng.
Babylon thời Ba Tư (539-637 TCN)
nhỏ| Binh sĩ Babylon trong [[Đế quốc Achaemenes|quân đội Achaemenid, k. 480 TCN. Phù điêu lăng Xerxes I. ]] Babylonia bị sáp nhập vào Đế chế Achaemenes vào năm 539 TCN.
Sau khi Darius giành được Ba Tư, Babylon đã nhanh chóng giành độc lập về tay người bản địa. Nidinta-Bel, lấy tên là Nebuchadnezzar III, trị vì từ tháng 10 năm 522 TCN cho đến tháng 8 năm 520 TCN, Daris chiếm lại thành phố. Assyria ở phía bắc cũng nổi loạn. Vài năm sau, có lẽ là 514 TCN, Babylon lại nổi dậy dưới thời vua Armenia Nebuchadnezzar IV; lần này sau khi bị người Ba Tư đánh hạ, các bức tường thành đã bị phá hủy một phần. Tuy nhiên, ngôi đền lớn Esagila vẫn được tu sửa và là một trung tâm tôn giáo của người Babylon.
Alexander Đại đế chinh phục Babylon vào năm 333 TCN cho người Hy Lạp, và qua đời ở đây vào năm 323 TCN. Babylonia và Assyria sau đó trở thành một phần của Đế chế Seleucid của Hy Lạp. Lâu nay nhiều người tin rằng một phần dân số chuyển đến Seleucia, thủ đô mới của nam Lưỡng Hà, và những tàn tích của Babylon cũ bị khai thác đá để xây dựng chính quyền mới, nhưng ấn phẩm gần đây của Biên niên sử Babylon đã chỉ ra rằng cuộc sống thành thị tại đây vẫn như cũ cho đến thời Đế chế Parthia (150-226 CN). Vua Mithridates của Parthia đã chinh phục và sáp nhập vùng này vào Đế quốc Parthia vào năm 150 TCN. Khu vực này trở thành một chiến trường giữa người Hy Lạp và Parthia.
Có một thời gian ngắn khu vực bị La Mã chinh phạt (tỉnh Assyria và Lưỡng Hà thuộc La Mã; 116-118 CN) dưới thời Trajan, sau đó người Parthia giành lại quyền kiểm soát.
Satrap Babylon được sáp nhập vào vùng Asōristān (có nghĩa là xứ Assyria trong tiếng Ba Tư) thuộc Đế quốc Sasanian vào năm 226 CN, và đến thời điểm này, Kitô giáo Đông Syria (khởi nguồn ở Assyria và Thượng Lưỡng Hà) đã trở thành tôn giáo chính trong cộng đồng người Assyria-Babylon bản địa. Nhóm người này chưa bao giờ dung nhập Hỏa giáo hay tôn giáo Hy Lạp và ngôn ngữ của những kẻ cai trị.
Ngoại trừ các thành bang Tân Assyria nhỏ độc lập từ thế kỷ 2 TCN đến thế kỉ 3 CN: Adiabene, Osroene, Assur, Beth Garmai, Beth Nuhadra và Hatra ở phía bắc, Lưỡng Hà bị Ba Tư đô hộ cho đến cuộc xâm lược Ba Tư của người Hồi giáo Ả Rập trong thế kỷ 7 CN. Asōristān bị giải thể năm 637 CN; dân cư nói tiếng Đông Aram và phần lớn theo Kitô giáo ở miền Nam và Trung Lưỡng Hà (với ngoại lệ Mandea) dần dần bị Ả Rập hóa và Hồi giáo hóa; ngược lại, vùng Bắc Lưỡng Hà vẫn duy trì truyền thống Assyria cho đến tận ngày nay.
Tôn giáo
Một số các huyền thoại Cận Đông cổ đại được cho là dựa trên, chịu ảnh hưởng hoặc lấy cảm hứng từ câu chuyện trong Kinh Thánh.
Nghệ thuật và kiến trúc
nhỏ|Hình nam và nữ, Cổ Babylon, phù điêu đất sét nung, Nam Lưỡng Hà, Iraq Ở Babylonia rất giàu đất sét nhưng không có nhiều đá, dẫn đến việc hầu như mọi thứ đều sử dụng vật liệu gạch bùn; các đền thờ Babylon, Sumer và Assyria là những công trình kiến trúc khổng lồ bằng gạch thô được nâng đỡ bằng trụ, có cống thoát nước mưa. Ở Ur còn lại một cống thoát nước như vậy làm bằng chì. Việc sử dụng gạch đã dẫn đến sự phát triển các dạng đầu tiên của cột và cột bổ tường, cùng với bích họa và gạch men. Các bức tường được tô màu rực rỡ, đôi khi được dát kẽm hoặc vàng, hoặc ốp gạch men. Chụp ngọn đuốc bằng đất nung sơn màu cũng được làm từ khuôn thạch cao. Ở Babylon, thay cho phù điêu, người ta thường sử dụng tượng người ba chiều. Sự thiếu hụt về đá ở Babylon đã khiến cho đá cuội trở thành vật liệu quý giá, dẫn đến sự ra đời của nghệ thuật cắt đá có kĩ thuật hoàn hảo cao độ.
Văn học
Hầu hết các thị trấn và đền thờ đều có thư viện. Có một câu ngạn ngữ cổ của người Sumer rằng "Một kinh sư ưu tú thường dậy từ lúc bình minh". Phụ nữ cũng như đàn ông đều được học đọc và viết, và trong thời kỳ Semit, việc này yêu cầu cả kiến thức về ngôn ngữ Sumer đã tuyệt chủng, với hệ thống âm tiết phức tạp và sâu rộng.
Một lượng đáng kể văn học Babylon là tác phẩm dịch từ bản gốc Sumer, tôn giáo và luật pháp tiếp tục được viết bằng tiếng Sumer. Từ vựng, ngữ pháp và bản dịch song ngữ được biên soạn để cho học trò sử dụng, cũng như các bài bình luận về các văn bản cũ và giải thích các từ và cụm từ tối nghĩa. Người ta sắp xếp và đặt tên tất cả chữ cái kí âm, cũng như soạn thảo chúng thành các danh sách công phu.
Có rất nhiều tác phẩm văn học Babylon đã được biết đến ngày nay. Nổi tiếng nhất trong số đó là Sử thi Gilgamesh nằm trong mười hai phiến đất sét, được biên soạn từ các văn bản tiếng Sumer bởi Sin-liqi-unsinni. Sử thi nói về những cuộc phiêu lưu của Gilgamesh, vị vua bán lịch sử/thần thoại của Uruk, có thể được tổng hợp từ nhiều nguồn cổ xưa và các câu chuyện khác nhau.
Thiên văn học
Cung hoàng đạo là một phát minh của người Babylon thời cổ đại. Có nhiêu văn bản chữ hình nêm ghi chép về các quan sát nhật thực gốc của người Lưỡng Hà.
Đến thời Tân Babylon, trong số các ngành khoa học, thiên văn học và chiêm tinh học vẫn chiếm một vị trí danh giá trong xã hội. Thiên văn học Babylon là nền tảng cho thiên văn học Hy Lạp cổ đại, thiên văn học cổ điển Ấn Độ, Sasan, Byzantine và Syria, thiên văn học Hồi giáo thời trung cổ, và thiên văn học ở Trung Á và Tây Âu. Do đó, thiên văn học Tân Babylon có thể được coi là tiền thân trực tiếp của phần lớn toán học và thiên văn học Hy Lạp cổ đại, đến lượt nó lại là tiền thân lịch sử của cuộc cách mạng khoa học châu Âu (phương Tây).
Trong thế kỷ thứ 8 và 7 TCN, các nhà thiên văn học Babylon đã phát triển một hướng tiếp cận mới đối với thiên văn học. Họ bắt đầu nghiên cứu triết học về bản chất lý tưởng của vũ trụ sơ khai và sử dụng logic nội tại trong hệ thống hành tinh dự đoán của họ. Đây là một đóng góp quan trọng cho thiên văn học và triết học khoa học, một số học giả đã gọi phương pháp mới này là cuộc cách mạng khoa học đầu tiên. Cách tiếp cận mới này đối với thiên văn học đã được đón nhận và phát triển hơn nữa trong thiên văn học Hy Lạp cổ điển và Hy Lạp hóa.
Đến thời Seleukos và Parthia, các ghi chép thiên văn có tính khoa học toàn diện. Sự phát triển phương pháp dự đoán chuyển động của các hành tinh của người Babylon được coi là một giai đoạn quan trọng trong lịch sử thiên văn học.
Nhà thiên văn học Babylon duy nhất được biết đến là người ủng hộ mô hình nhật tâm là Seleukos của Seleucia (sinh 190 TCN),  được nhắc đến trong các tác phẩm của Plutarch. Ông cho rằng Trái đất quay quanh trục của chính nó, và quay quanh Mặt trời. Theo Plutarch, Seleukos thậm chí đã chứng minh hệ thống nhật tâm, nhưng không rõ ông đã sử dụng những luận cứ nào.
Y học
Cẩm nang Chẩn đoán đã giới thiệu các phương pháp trị liệu và bệnh lí, sử dụng phương pháp kinh nghiệm, logic và lý tính trong chẩn đoán, tiên lượng và điều trị. Văn bản chứa một danh sách các triệu chứng y khoa và quan sát chi tiết theo kinh nghiệm, cùng với các quy tắc logic kết hợp các triệu chứng quan sát được trên cơ thể bệnh nhân với chẩn đoán và tiên lượng.
Cùng với y học Ai Cập cổ đại cũng thời, người Babylon đã đưa ra các khái niệm chẩn đoán, tiên lượng, thực khám và kê đơn thuốc. Các triệu chứng và bệnh được điều trị thông qua các phương pháp trị liệu như băng bó, bôi thuốc mỡ và uống thuốc. Nếu một bệnh nhân không thể được chữa khỏi về mặt thể chất, các y sĩ Babylon thường tiến hành trừ tà để thanh tẩy bệnh nhân khỏi nguyền rủa. Y học Babylon thời kì sau cũng tương tự với y học Hy Lạp thời kỳ đầu ở nhiều mặt. Đặc biệt, các chuyên luận đầu tiên của Hippocrates thể hiện ảnh hưởng của y học Babylon về cả nội dung và hình thức.
Toán học
Babylonia dùng hệ thống số đếm lục thập phân. Đây là nguồn gốc của cách sử dụng 60 giây một phút, 60 phút một giờ và 360 độ (60 × 6) một vòng tròn thời hiện đại. Người Babylon biết xác định căn bậc hai của hai chính xác đến bảy chữ số,biết về định lý Pythagore từ trước Pythagoras (trên một phiến đất sét c. 1900 TCN)
Các ner 600 và sar 3600 được hình thành từ các đơn vị 60, tương ứng với một độ của đường xích đạo. Họ cũng có kiến thức cơ học để sử dụng đồng hồ mặt trời, đồng hồ nước, đòn bẩy và ròng rọc. Một ống kính pha lê làm từ máy tiện đã được Austen Henry Layard phát hiện tại Nimrud cùng với những chiếc bình thủy tinh mang tên Sargon; ống kính này có thể được dùng trong việc quan sát bầu trời.
Người Babylon có thể đã quen thuộc với các quy tắc đo diện tích. Họ tính chu vi đường tròn bằng ba lần đường kính và diện tích bằng một phần mười hai bình phương của chu vi, điều này là đúng trong trường hợp lấy π bằng 3. Thể tích của một hình trụ là tích của đáy và chiều cao, tuy nhiên, thể tích của sự hình nón hoặc hình chóp vuông được tính không chính xác bằng chiều cao nhân với một nửa diện tích đáy. Ngoài ra, có một phát hiện gần đây tìm được một phiến đấy sét sử dụng số π bằng 3 và 1/8.
Người Babylon cũng có đơn vị dặm Babylon, tương đương với 11 km ngày nay. Đơn vị khoảng cách này cuối cùng được chuyển đổi thành đơn vị dặm thời gian, sử dụng để đo thời gian theo hành trình của Mặt trời. Người Babylon cũng sử dụng biểu đồ không gian thời gian để tính vận tốc của Sao Mộc. Đây là một ý tưởng được coi là hiện đại, bắt nguồn từ Anh và Pháp thế kỷ 14 và dùng trong phép tính tích phân.
Triết học
Nguồn gốc của triết học Babylon có thể bắt nguồn từ văn học hiền triết Lưỡng Hà thời kỳ đầu, thể hiện những triết lý nhất định của cuộc sống, đặc biệt là đạo đức, trong các hình thức biện chứng, đối thoại, thơ sử thi, dân ca, thánh ca, bài hát, văn xuôi, tục ngữ. Lý luận và lý tính thời Babylon đã phát triển vượt ra ngoài quan sát thực nghiệm.
Có thể triết học Babylon có ảnh hưởng đến triết học Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là triết học Hy Lạp hóa. Văn bản Babylon Đối thoại của người bi quan có điểm tương đồng với các suy nghĩ chủ vận của các nhà ngụy biện và các học thuyết Heraclitus về sự tương phản, và các đối thoại của Plato, cũng như là tiền chất cho phương pháp gợi hỏi của Socrates. Nhà triết học người Ionia Thales cũng được biết là đã nghiên cứu triết học ở Lưỡng Hà.
Di sản
Những người Kitô giáo đầu tiên đôi khi gọi Rome là Babylon: Sứ đồ Peter kết thúc lá thư đầu tiên của mình bằng lời khuyên: "Cô ấy ở Babylon [Rome], cũng được chọn như bạn, gửi đến bạn lời chào, và con trai tôi Mark cũng vậy." . Babylon cũng được nhắc đến trong kinh Quran khổ 102 chương 2 của Surah Baqarah (Con bò).
Liên kết ngoài
Thể loại:Lịch sử Tây Á Thể loại:Lịch sử Kuwait Thể loại:Cựu quốc gia quân chủ ở Châu Á Thể loại:Levant cổ đại Thể loại:Khởi đầu thiên niên kỷ 2 TCN Thể loại:Babylonia
Saxifraga nanelloides
Saxifraga nanelloides là một loài thực vật có hoa trong họ Saxifragaceae. Loài này được C.Y. Wu miêu tả khoa học đầu tiên năm 1990.
Liên kết ngoài
Thể loại:Saxifraga Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1990
Keben, Silifke
Keben là một xã thuộc huyện Silifke, tỉnh Mersin, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2011 là 672 người.
Tham khảo
Thể loại:Xã thuộc tỉnh Mersin Thể loại:Làng Thổ Nhĩ Kỳ theo tỉnh
Nhóm (toán học)
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]]
Trong toán học, một nhóm (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán hai ngôi kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp thành một phần tử thứ ba thỏa mãn bốn điều kiện gọi là tiên đề nhóm, lần lượt là tính đóng, tính kết hợp, sự tồn tại của phần tử đơn vị và tính khả nghịch. Một trong những ví dụ quen thuộc nhất về nhóm đó là tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng; khi thực hiện cộng hai số nguyên bất kỳ luôn thu được một số nguyên khác. Hình thức trình bày trừu tượng dựa trên tiên đề nhóm, tách biệt nó khỏi bản chất cụ thể của bất kỳ nhóm đặc biệt nào và phép toán trên nhóm, cho phép nhóm bao trùm lên nhiều thực thể với nguồn gốc toán học rất khác nhau trong đại số trừu tượng và rộng hơn, và có thể giải quyết một cách linh hoạt, trong khi vẫn giữ lại khía cạnh cấu trúc căn bản của những thực thể ấy. Sự có mặt khắp nơi của nhóm trong nhiều lĩnh vực bên trong và ngoài toán học khiến chúng trở thành nguyên lý tổ chức trung tâm của toán học đương đại.
Nhóm chia sẻ mối quan hệ họ hàng cơ bản với khái niệm đối xứng. Ví dụ, nhóm đối xứng chứa đựng các đặc điểm đối xứng của một đối tượng hình học như: nhóm bao gồm tập hợp các phép biến đổi không làm thay đổi đối tượng và các phép toán kết hợp hai phép biến đổi này bằng cách thực hiện từng phép biến đổi một. Nhóm Lie là những nhóm đối xứng sử dụng trong Mô hình Chuẩn của vật lý hạt; nhóm đối xứng tâm được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng đối xứng trong hóa học phân tử; và nhóm Poincaré dùng để biểu diễn các tính chất đối xứng vật lý trong thuyết tương đối hẹp.
Khái niệm nhóm xuất phát từ nghiên cứu về phương trình đa thức, bắt đầu từ Évariste Galois trong thập niên 1830. Sau những đóng góp từ những lĩnh vực khác như lý thuyết số và hình học, khái niệm nhóm được tổng quát hóa và chính thức trở thành lĩnh vực nghiên cứu trong khoảng thập niên 1870. Lý thuyết nhóm hiện đại—nhánh toán học sôi động—nghiên cứu các nhóm bằng chính công cụ của chúng. Để khám phá nhóm, các nhà toán học phải nêu ra nhiều khái niệm khác nhau để chia nhóm thành những phần nhỏ hơn, có thể hiểu được dễ hơn như các nhóm con, nhóm thương và nhóm đơn. Thêm vào những tính chất trừu tượng của chúng, các nhà lý thuyết nhóm cũng nghiên cứu cách biểu diễn cụ thể một nhóm bằng nhiều cách khác nhau (hay lý thuyết biểu diễn nhóm), cả từ quan điểm lý thuyết và quan điểm tính toán thực hành (lý thuyết nhóm tính toán). Lý thuyết phát triển cho nhóm hữu hạn kết tập với phân loại nhóm đơn hữu hạn được công bố vào năm 1983. Từ giữa thập niên 1980, lý thuyết nhóm hình học, nghiên cứu các nhóm sinh hữu hạn như là những đối tượng hình học, đã trở thành lĩnh vực đặc biệt sôi nổi trong lý thuyết nhóm.
Mamita Fox
Mamita Fox (sinh năm 1943) là một y tá, nhà hoạt động, nghệ sĩ và nhà văn sinh ra tại Curaçao, sống ở Bonaire. Cuốn tự truyện của bà, được viết bằng tiếng Papiamento, là một bổ sung quan trọng cho các tác phẩm được viết bằng ngôn ngữ Creole. Là một nhân vật truyền hình nổi tiếng trên đảo, Fox trở thành một người phản đối thay đổi luật chăm sóc sức khỏe của Hà Lan và cách họ tác động đến công dân của Antilles Hà Lan cũ. Sự tích cực của bà đã dẫn đến một sự thay đổi trong cách quản lý chăm sóc sức khỏe.
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ nhất: số nguyên
Một trong những nhóm quen thuộc nhất đó là tập hợp các số nguyên \mathbb{Z} chứa các số cùng với phép cộng
Mamita Fox
Đầu đời
Escolastica Victoria Fox sinh năm 1943 tại Curaçao và được nuôi dưỡng cùng với bảy anh chị em của mình bởi người mẹ đã ly dị của họ. Bà được đào tạo để trở thành một y tá và làm việc trong những năm 1960 tại một bệnh viện ở Hà Lan, nơi bà đã gặp Heinz Beck, một nhạc sĩ người Đức. Hai người kết hôn và năm 1970, có một cô con gái, Ernestina Amanda Victoria 'Lucia' Beck ở Heerlen. Vì Beck thường xuyên đi du lịch, hai vợ chồng sống đến năm 1975 tại Đức, nơi Fox học môn bấm huyệt, trước khi trở về Curaçao.
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ nhất: số nguyên
Các tính chất sau đây của phép cộng các số nguyên được coi như mô hình cho các tiên đề nhóm trừu tượng cho theo định nghĩa bên dưới.
Các số nguyên cùng với phép toán +, tạo thành một đối tượng toán học thuộc về một lớp rộng có những tính chất cấu trúc toán học giống nhau. Để có thể hiểu được những cấu trúc này như một tập hợp, định nghĩa trừu tượng dưới đây được phát biểu như sau.
Mamita Fox
Sự nghiệp
Khi gia đình trở về Curaçao, Fox và Beck đã ly hôn. Không thể thực hành bấm huyệt vì mọi người nghĩ rằng bà là một bác sĩ phù thủy, Fox đã mở một tiệm làm đẹp và trở nên tích cực trong chính trị và sự nghiệp của phụ nữ. Là một người bạn của Liberia Peters, bà trở nên nổi tiếng vì hoạt động xã hội và có cả chương trình phát thanh và chuyên mục báo thường xuyên. Vì Fox là một bà mẹ đơn thân, con gái bà đã dành rất nhiều thời gian với bà ngoại, người đã chết vì ung thư vú vào năm 1985. Fox đã thúc ép và giúp thành lập trung tâm điều trị ung thư đầu tiên Curaçao. Năm 1995, khi con gái bà chuyển đến Bonaire, Fox cũng chuyển đến để chăm sóc cháu gái, vì công việc của Beck yêu cầu cô phải đi đây đi đó.
Nhóm (toán học)
Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp, G, cùng với phép toán hai ngôi • (còn gọi là luật nhóm của G) kết hợp hai phần tử a và b bất kỳ để tạo ra một phần tử khác, viết là a • b hoặc ab. Để trở thành một nhóm, tập hợp và phép toán, (G, •), phải thỏa mãn bốn yêu cầu gọi là tiên đề nhóm:
Kết quả của một phép toán có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Nói cách khác, kết quả của việc kết hợp phần tử a với phần tử b không nhất thiết cho kết quả giống với khi kết hợp phần tử b với phần tử a; phương trình có thể không phải lúc nào cũng đúng. Phương trình này luôn luôn đúng trong nhóm các số nguyên với phép cộng, bởi vì a + b = b + a đối với hai số nguyên bất kỳ (tính giao hoán của phép cộng). Nhóm mà tính chất giao hoán a • b = b • a luôn đúng được gọi là nhóm Abel (theo tên của nhà toán học Na Uy Niels Abel). Nhóm đối xứng miêu tả ở phần sau là ví dụ của nhóm phi giao hoán.
Phần tử đơn vị của nhóm G thường được viết thành 1 hay 1G, ký hiệu có nguồn gốc từ số 1 đơn vị. Phần tử đơn vị cũng có thể viết là 0, đặc biệt nếu phép toán nhóm được ký hiệu là +, và trong trường hợp này nhóm gọi là nhóm cộng tính. Phần tử đơn vị còn ký hiệu là id.
Mamita Fox
Sự nghiệp
Theo một luật được thực thi năm 2011, tất cả các công dân quần đảo BES được yêu cầu phải được bảo hiểm theo các chương trình bảo hiểm y tế bắt buộc mới của Văn phòng Bảo hiểm Y tế Hà Lan (Zorgverzekeringskantoor (ZVK)). Trước đây vì không có đủ phương tiện để chăm sóc trên đảo, bảo hiểm y tế toàn diện được phép điều trị ở những nơi như Colombia. Hệ thống mới đặt tất cả các giới thiệu bác sĩ theo quyết định của ZVK, thường xuyên từ chối giới thiệu ngoài đảo do chi phí. Nó cũng làm cho việc tiếp cận chăm sóc sức khỏe trở nên bất bình đẳng đối với công dân châu Âu Hà Lan và công dân Hà Lan sống ở vùng Caribbean Hà Lan. Vào năm 2013 sau khi bà bị từ chối giới thiệu y tế, Fox đã tổ chức một cuộc đối thoại trước Văn phòng Thuế Hà Lan Caribbean ở Kralendijk để phản đối những thay đổi trong các điều khoản chăm sóc sức khỏe do chính quyền Hà Lan thực hiện. Trong tám ngày, bà và những người ủng hộ bà đã phản đối và thu thập chữ ký.
Nhóm (toán học)
Định nghĩa
Tập G được gọi là tập cơ bản của nhóm (G, •). Tập cơ bản G được sử dụng một cách ngắn gọn cho tập (G, •). Theo cách rút ngắn tên gọi này, một cách viết ngắn gọn như "tập con của nhóm G" hay "phần tử của G" được sử dụng với ý nghĩa thực sự là "tập con của tập cơ bản G của nhóm (G, •)" hay "phần tử của tập cơ bản G của nhóm (G, •)". Thông thường, trong ngữ cảnh với ký hiệu như G là nhắc tới một nhóm hoặc tập cơ bản.
Mamita Fox
Sự nghiệp
Sau cuộc họp với đại diện của Bộ Hà Lan, Wilbert Stolte, Fox đã đạt được một nhóm các nhượng bộ bằng văn bản cho phép bệnh nhân và bác sĩ của họ quyết định những gì cần thiết cho sự chăm sóc của họ. ZVK không còn có quyền từ chối giới thiệu, nhưng đã trả tiền bồi thường theo hướng dẫn của họ. Họ cũng thiết lập một thủ tục khiếu nại và kháng cáo các quyết định của ZVK.
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng
Hai hình trong mặt phẳng là tương đẳng với nhau nếu một hình có thể trở thành hình kia bằng cách sử dụng kết hợp các phép quay, đối xứng trục, và tịnh tiến. Bất kỳ hình nào cũng đều tương đẳng với chính nó. Tuy nhiên, một số hình tương đẳng với chính chúng không chỉ theo một cách, và những cách tương đẳng thêm này gọi là đối xứng. Một hình vuông có tám đối xứng của nó. Bao gồm:
Mamita Fox
Sự nghiệp
Kể từ năm 2008, Fox đã sản xuất nghệ thuật thủy tinh, mỗi tác phẩm chứa 5 xu Hà Lan. Fox tham gia thường xuyên với các nghệ sĩ khác thể hiện tác phẩm khảm và hạt thủy tinh của bà, được trưng bày trong các phòng trưng bày nghệ thuật và được quảng bá bởi Hội đồng Du lịch Bonaire, cũng như trưng bày trong văn phòng của họ. Tác phẩm nghệ thuật của bà là sự tiếp nối hoạt động của bà, vì Fox đã quyên góp các phần để gây quỹ cho các hoạt động từ thiện khác nhau.
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng
Các biến đổi đối xứng này được biểu diễn bằng các hàm số. Mỗi hàm này đặt một điểm trong hình vuông tương ứng với một điểm qua phép đối xứng. Ví dụ, r1 biến một điểm thành điểm thông qua phép quay về phía phải nó 90° xung quanh tâm hình vuông, và fh biến đổi điểm thông qua phép đối xứng trục qua đường trung bình theo phương thẳng đứng. Kết hợp hai hàm đối xứng sẽ thu được một hàm đối xứng khác. Các hàm đối xứng này tạo thành một nhóm gọi là nhóm nhị diện bậc 4, ký hiệu D4. Tập cơ bản của nhóm là tập các hàm đối xứng trên và phép toán nhóm là hàm hợp. Hai đối xứng được kết hợp bằng hợp của các hàm, do vậy biến đổi đối xứng thứ nhất tương đương với áp dụng hàm thứ nhất đối với hình vuông, sau đó phép biến đối xứng với hình vuông kết quả chính bằng áp dụng hàm thứ hai vào hình vuông kết quả thu được. Kết quả của thực hiện đối với a đầu tiên sau đó đối với b được viết theo các ký hiệu từ phải sang trái như Quy ước phải sang trái là giống với quy ước sử dụng các hàm hợp.
Orectogyrus furcatus
Orectogyrus furcatus là một loài bọ cánh cứng trong họ van Gyrinidae. Loài này được Ochs miêu tả khoa học năm 1934.
Mamita Fox
liên kết ngoài
Thể loại:Nữ nhà văn tự truyện Thể loại:Nhân vật còn sống Thể loại:Sinh năm 1943 Thể loại:Nữ giới Bonaire
Orectogyrus furcatus
Tham khảo
Thể loại:Bọ nước Thể loại:Orectogyrus
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng
Bảng nhóm bên phải liệt kê các kết quả của mọi hàm hợp khả dĩ. Ví dụ, quay về bên phải 270° (r3) sau đó lật ngược hình vuông theo phương ngang (fh) cho cùng kết quả khi thực hiện đối xứng trục dọc theo đường chéo thứ nhất (fd). Sử dụng các ký hiệu ở trên, ô kết quả được tô màu xanh trong bảng nhóm:
Giải quần vợt Úc Mở rộng 2006 - Đôi nam nữ
Đội đặc cách Martina Hingis và Mahesh Bhupathi đánh bại hạt giống số sáu Elena Likhovtseva và Daniel Nestor 6–3, 6–3 để giành chức vô địch Đôi nam nữ tại Giải quần vợt Úc Mở rộng 2006.
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng
Với tập hợp các phép đối xứng này cùng phép toán như đã miêu tả, những tiên đề nhóm có thể hiểu như sau:
Giải quần vợt Úc Mở rộng 2006 - Đôi nam nữ
Hạt giống
• # Cara Black / Kevin Ullyett (Vòng một)
Nhóm (toán học)
Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng
Ngược lại với nhóm các số nguyên ở trên, khi thứ tự phép toán là bất kỳ đối với phép cộng, thì thứ tự thực hiện phép toán nhóm trong D4 lại quan trọng: fh • r1 = fc nhưng r1 • fh = fd. Nói cách khác D4 là nhóm phi giao hoán (phi Abel), khiến cấu trúc nhóm của nó trở lên khó hơn so với nhóm số nguyên.
Giải quần vợt Úc Mở rộng 2006 - Đôi nam nữ
Hạt giống
• # Lisa Raymond / 🇸🇪 Jonas Björkman (Vòng hai)
• # 🇷🇺 Vera Zvonareva / Bob Bryan (Tứ kết)
• # Corina Morariu /  Mike Bryan (Tứ kết)
• # 🇦🇺 Samantha Stosur / 🇦🇺 Paul Hanley (Bán kết)
• # 🇷🇺 Elena Likhovtseva / 🇨🇦 Daniel Nestor (Chung kết)
• # Liezel Huber / 🇮🇱 Andy Ram (Vòng hai)
• # 🇦🇺 Rennae Stubbs / 🇦🇺 Todd Perry (Tứ kết)
Nhóm (toán học)
Lịch sử
Khái niệm hiện đại về nhóm trừu tượng phát triển thông qua một vài lĩnh vực toán học. Động lực thúc đẩy ban đầu của lý thuyết nhóm là mục miêu tìm ra nghiệm của phương trình đa thức có bậc lớn hơn 4. Nhà toán học người Pháp thế kỷ 19 Évariste Galois, bằng mở rộng những nghiên cứu trước đó của Paolo Ruffini và Joseph-Louis Lagrange, đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính giải được của một số phương trình đa thức đặc biệt tuân theo nhóm đối xứng của nghiệm phương trình. Các phần tử của nhóm Galois này tương ứng với một số hoán vị nhất định của các nghiệm. Lúc đầu, ý tưởng của Galois bị các nhà toán học đương thời ông phản đối, và công trình của ông xuất bản sau khi ông đã qua đời. Các nhà toán học khảo sát thêm nhiều nhóm hoán vị tổng quát hơn, đặc biệt là bởi Augustin Louis Cauchy. Luận án của Arthur Cayley On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) đưa ra định nghĩa trừu tượng đầu tiên về nhóm hữu hạn.
Hình học là lĩnh vực thứ hai mà ở đó lý thuyết nhóm được sử dụng một cách hệ thống, đặc biệt là các nhóm đối xứng trong chương trình Erlangen của Felix Klein năm 1872. Sau khi những hình học như hình học hyperbolic và hình học xạ ảnh mới nổi lên, Klein sử dụng lý thuyết nhóm để tổ chức chúng theo một cách thấu suốt hơn. Những ý tưởng đi xa hơn với Sophus Lie nghiên cứu nhóm Lie vào năm 1884.
Lĩnh vực thứ ba đóng góp vào lý thuyết nhóm là lý thuyết số. Cấu trúc một số nhóm Abel nhất định đã được sử dụng ngầm ý trong công trình lý thuyết số Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss (1798), và sử dụng một cách hiện rõ hơn trong các công trình của Leopold Kronecker. Năm 1847, Ernst Kummer thực hiện những cố gắng đầu tiên trong chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat bằng cách phát triển nhóm miêu tả nhân tử hóa (nhóm lớp) đối với các số nguyên tố.
Sự hội tụ nhiều nguồn lĩnh vực này vào thành lý thuyết nhóm thống nhất bắt đầu bằng công trình của Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) đưa ra phát biểu đầu tiên về định nghĩa hiện đại của nhóm trừu tượng. Đến thế kỷ 20, nhóm đã thu hút được sự chú ý quan trọng bằng các công trình tiên phong về lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn của Ferdinand Georg Frobenius và William Burnside, lý thuyết biểu diễn modular của Richard Brauer và những bài báo của Issai Schur. Lý thuyết nhóm Lie, và tổng quát hơn là nhóm compact địa phương được Hermann Weyl, Élie Cartan và nhiều người khác nghiên cứu. Mảng đại số tương ứng với nó, lý thuyết nhóm đại số, lần đầu tiên được Claude Chevalley nghiên cứu (từ cuối thập niên 1930) và bởi các công trình của Armand Borel và Jacques Tits.
Những hệ quả cơ bản của tiên đề nhóm
Thực tế cơ bản về mọi nhóm có thể thu nhận trực tiếp từ các tiên đề nhóm thường được kết gộp vào lý thuyết nhóm cơ bản. Ví dụ, áp dụng cách lặp lại của tiên đề kết hợp chỉ ra rằng sự rõ ràng của có thể tổng quát cho nhiều hơn ba phần tử. Bởi vì điều này hàm ý rằng dấu ngoặc đơn có thể điền vào bất kỳ vị trí nào bên trong một dãy các phần tử, cho nên dấu ngoặc đơn thường được bỏ đi.
Tiên đề nhóm có thể làm yếu đi bằng giả sử tồn tại của một phần tử đơn vị trái và phần tử nghịch đảo trái. Có thể chứng minh chúng thực sự là những phần tử đơn vị hai phía và phần tử nghịch đảo hai phía (trái và phải), do đó định nghĩa này là tương đương với cái định nghĩa ở trên.
Tính duy nhất của phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo
Hai hệ quả quan trọng của tiên đề nhóm đó là tính duy nhất của phần tử đơn vị và tính duy nhất của phần tử nghịch đảo. Chỉ có một phần tử đơn vị của nhóm, và mỗi phần tử trong nhóm có chính xác một phần tử nghịch đảo.
Để chứng minh có duy nhất một phần tử nghịch đảo của phần tử a, giả sử rằng a có hai phần tử nghịch đảo, ký hiệu là b và c của nhóm (G, •). Khi đó
Hai phần tử b và c là bằng nhau do chúng được liên hệ bởi một chuỗi các đẳng thức. Nói cách khác chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo của a. Tương tự, để chứng minh phần tử đơn vị của nhóm là duy nhất, giả sử G là nhóm với hai phần tử đơn vị e và f. Thì e = e • f = f, do vậy e và f bằng nhau.
Phép chia
Có thể thực hiện phép chia trong một nhóm: đối với hai phần tử a và b của nhóm G, tồn tại duy nhất một nghiệm x trong G thỏa mãn phương trình x • a = b. Thực vậy, nhân vế phải của phương trình với phần tử nghịch đảo a−1 thu được nghiệm x = x • a • a−1 = b • a−1. Tương tự có chính xác một nghiệm y thuộc G trong phương trình a • y = b, hay y = a−1 • b. Nói chung, x và y không nhất thiết phải bằng nhau.
Hệ quả của điều này là phép nhân bởi một phần tử g trong nhóm có tính chất song ánh.Đặc biệt, nếu g thuộc G, tồn tại một song ánh từ G vào chính nó gọi là tịnh tiến trái bởi g tác dụng vào h ∈ G thành g • h. Tương tự, tịnh tiến phải bởi g là song ánh từ chính G vào nó bằng tác dụng vào h thành h • g. Nếu G là nhóm Abel, song ánh tịnh tiến trái và tịnh tiến phải bởi một phần tử của nhóm là như nhau.
Khái niệm cơ bản
Các phần sau sử dụng các ký hiệu toán học như X = {x, y, z} ký hiệu cho tập hợp X chứa các phần tử x, y, và z, hoặc x ∈ X để nói rằng x là phần tử thuộc X. Ký hiệu f: X → Y có nghĩa là hàm số f đặt tương ứng với mỗi phần tử của X với một phần tử của Y.
Để hiểu nhóm toán học vượt ngoài phạm vi chỉ là các thao tác ký hiệu như ở trên, các nhà toán học đã phát triển thêm nhiều khái niệm cấu trúc nhóm. Có một nguyên lý khái niệm nằm bên dưới những ký hiệu sau: để tận dụng những ưu điểm về cấu trúc của nhóm (mà tập hợp "không có cấu trúc" không có đặc điểm này), các phép xây dựng liên quan đến nhóm phải tương thích với phép toán nhóm. Sự tương thích này thể hiện chính nó thông qua các khái niệm sau theo nhiều cách. Ví dụ, các nhóm liên hệ với nhau thông qua một hàm gọi là đồng cấu nhóm. Bằng nguyên lý đề cập ở trên, chúng đòi hỏi cấu trúc nhóm được miêu tả theo nghĩa chính xác. Cấu trúc của nhóm cũng được nghiên cứu bằng cách chia nhỏ nó thành các phần gọi là nhóm con hoặc nhóm thương. Nguyên lý "bảo toàn cấu trúc"—chủ đề lặp lại trong toàn bộ toán học—là một ví dụ nghiên cứu bởi ngành lý thuyết phạm trù, trong trường hợp này là phạm trù các nhóm.
Đồng cấu nhóm
Hai nhóm G và H là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại hai phép đồng cấu nhóm a: G → H và b: H → G, sao cho khi áp dụng hàm hợp của hai hàm này trong hai trường hợp thứ tự tác dụng hàm đều cho hàm đồng nhất của G và H. Tức là, a(b(h)) = h và b(a(g)) = g đối với bất kỳ g thuộc G và h thuộc H. Từ quan điểm trừu tượng, các nhóm đẳng cấu mang thông tin như nhau. Ví dụ, để chứng minh g • g = 1G đối với các phần tử g thuộc G là tương đương logic với chứng minh a(g) ∗ a(g) = 1H, bởi vì áp dụng a đối với nhóm G thu được phần tử thuộc nhóm H và áp dụng b đối với nhóm H thu được kết quả thuộc nhóm G.
Nhóm con
Hình thức mà nói nhóm con là một nhóm H chứa trong một nhóm lớn hơn là G. Cụ thể là, phần tử đơn vị của G cũng thuộc H, và bất cứ h1 và h2 thuộc H, thì h1 • h2 và h1−1 cũng là các phần tử thuộc H, các phép toán nhóm trên G giới hạn vào H tạo thành một nhóm.
Trong ví dụ ở trên, các phần tử đơn vị và phần tử của phép quay tạo thành một nhóm con R = {id, r1, r2, r3}, tô bằng màu đỏ trong bảng nhóm ở trên: bất kỳ sự kết hợp hai phép quay nào cũng tạo thành một phép quay, một phép quay có thể rút lại bằng (ví dụ nghịch đảo của nó) phép quay bổ sung 270° cho 90°, 180° cho 180°, và 90° cho 270° (lưu ý rằng ở đây không định nghĩa phép quay theo hướng ngược lại). Phép thử nhóm con là điều kiện cần và đủ cho tập con H của nhóm G trở thành nhóm con: với mọi phần tử g, h ∈ H nếu g−1h ∈ H thì H là một nhóm con. Việc biết mọi nhóm con là một điều quan trọng khi nghiên cứu một nhóm trên tổng thể.
Bất kỳ tập con S nào của nhóm G, nhóm con sinh bởi S chứa tích các phần tử của S và nghịch đảo của chúng. Nó là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S. Trong ví dụ giới thiệu ở trên, nhóm con tạo bởi r2 và fv chứa hai phần tử này, phần tử đơn vị id và fh = fv • r2. Đến lượt đây là một nhóm con, bởi vì kết hợp bất kỳ hai trong bốn phần tử này hoặc những phần tử nghịch đảo của chúng (mà trong trường hợp đặc biệt là chính chúng) thu được các phần tử của chính nhóm con này.
Các lớp kề (Coset)
Trong nhiều tình huống các nhà toán học mong muốn coi hai phần tử nhóm là như nhau nếu chúng chỉ khác nhau bởi một phần tử của một nhóm con. Ví dụ, trong nhóm D4 ở trên, khi thực hiện thao tác lật ngược, hình vuông sẽ không bao giờ trở lại cấu hình r2 nếu chỉ áp dụng các thao tác quay (mà không cần lật nó), tức là phép quay không liên quan đến câu hỏi liệu phép lật ngược đã được thực hiện. Do vậy họ định nghĩa các lớp kề (coset) (hay các lớp ghép) để hình thức hóa vấn đề này: nhóm con H xác định lên các lớp kề trái và lớp kề phải, mà có thể coi như là sự tịnh tiến của H bởi một phần tử nhóm bất kỳ g. Theo ký hiệu, các lớp kề trái' và phải của H chứa g'' lần lượt là
Các lớp kề của một nhóm con bất kỳ H tạo thành phép phân hoạch của G; nghĩa là hợp của mọi lớp kề trái bằng G và hai lớp kề trái hoặc bằng nhau hoặc có giao là tập hợp rỗng. Trường hợp đầu tiên g1H = g2H xảy ra nếu và chỉ nếu g1−1 • g2 ∈ H, hay nếu hai phần tử khác nhau bởi một phần tử thuộc H. Kết luận cũng tương tự với các lớp kề phải của H. Các lớp kề trái và lớp kề phải của H có thể bằng hoặc không bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, ví dụ đối với mọi g thuộc G, gH = Hg, thì H được gọi là nhóm con chuẩn tắc.
Trong D4, ví dụ về nhóm đối xứng, các lớp trái gR của nhóm con R chứa phép quay hoặc là bằng R, nếu g là một phần tử của chính R, hoặc không thì bằng U = fcR = {fc, fv, fd, fh} (tô màu lam trong bảng nhóm). Nhóm con R cũng là chuẩn tắc, bởi vì fcR = U = Rfc và tương tự cho bất kỳ phần tử khác ngoài fc.
Nhóm thương
Trong một số trường hợp, tập hợp các lớp ghép (coset) của một nhóm con sẽ tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm thương hay nhóm nhân tử. Để có được điều này, nhóm con phải chuẩn tắc. Đối với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc N, nhóm thương được định nghĩa như sau: Tập hợp này thừa hưởng phép toán nhóm (đôi khi gọi là phép nhân lớp ghép - coset multiplication, hoặc cộng lớp ghép) từ nhóm ban đầu G: (gN) • (hN) = (gh)N với mọi g và h trong G. Định nghĩa này xuất phát từ ý tưởng (tự nó là một ví dụ của sự xem xét cấu trúc tổng quát nêu ở trên) rằng ánh xạ G → G / N đặt tương ứng mỗi phần tử g với phần tử thuộc lớp gN là đồng cấu nhóm, hoặc bằng cách xem xét trừu tượng tổng quát hơn gọi là tính chất phổ quát. Lớp eN  = N trở thành như là đơn vị của nhóm này, và nghịch đảo của gN trong nhóm thương là (gN)−1 = (g−1)N.
Các phần tử của nhóm thương D4 / R chính là R, phần tử đơn vị là U = fvR. Phép toán nhóm trên thương nêu ở bên phải. Ví dụ, U • U = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Cả nhóm con R = {id, r1, r2, r3}, cũng như nhóm thương tương ứng là nhóm Abel, trong khi D4 không phải là nhóm Abel. Xây dựng nhóm lớn hơn từ những nhóm nhỏ hơn, như D4 từ nhóm con R và nhóm thương D4 / R được trừu tượng hóa gọi là tích nửa trực tiếp.
Nhóm thương và nhóm con cùng với nhau tạo thành cách miêu tả mọi nhóm theo biểu diễn: bất kỳ một nhóm là thương của nhóm tự do trên tập sinh của nhóm. Ví dụ, nhóm nhị diện D4, có thể sinh ra từ hai phần tử r và f (như r = r1, phép quay bên phải và f = fv phép lật theo phương thẳng đứng), có nghĩa là mỗi đối xứng của hình vuông là tổ hợp hữu hạn của hai phép đối xứng này và nghịch đảo của chúng. Cùng với các liên hệ cho phép miêu tả hoàn toàn nhóm này. Biểu diễn nhóm cũng dùng để xây dựng lên đồ thị Cayley, một công cụ minh họa các nhóm rời rạc.
Nhóm con và nhóm thương có liên hệ với nhau như sau: một tập con H của G có thể coi như là một đơn ánh H → G, tức là bất kỳ phần tử nào của tập đích có nhiều nhất một phần tử tương ứng của tập nguồn. Ngược lại với đơn ánh là toàn ánh (mỗi phần tử của tập đích có ít nhất một phần tử tương ứng của tập nguồn), như ánh xạ chính tắc G → G / N. Giải thích nhóm con và nhóm thương theo ngôn ngữ của những đồng cấu nhấn mạnh vào khái niệm cấu trúc thừa hưởng từ những định nghĩa này ám chỉ ở phần giới thiệu. Nói chung, đồng cấu không là đơn ánh hay toàn ánh. Nhân và ảnh của đồng cấu nhóm và định lý đẳng cấu thứ nhất đề cập những vấn đề này.
Ví dụ và ứng dụng
Có rất nhiều ví dụ và những ứng dụng của nhóm. Như giới thiệu ở trên về nhóm các số nguyên Z với phép toán nhóm là phép cộng. Nếu thay phép cộng bằng phép nhân sẽ thu được nhóm phép nhân. Những nhóm này là các ví dụ quan trọng đầu tiên trong đại số trừu tượng.
Conasprella saecularis
Conasprella saecularis là một loài ốc biển, là động vật thân mềm chân bụng sống ở biển trong họ Conidae, họ ốc cối.
Tham khảo
S Thể loại:Động vật được mô tả năm 1898
Nhóm (toán học)
Ví dụ và ứng dụng
Có nhiều lĩnh vực toán học khác ứng dụng lý thuyết nhóm. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra bằng nhóm kết hợp với chúng và nghiên cứu tính chất của nhóm tương ứng. Ví dụ, Henri Poincaré thiết lập nên ngành tô pô đại số bằng giới thiệu nhóm cơ bản. Bằng sự kết nối này, các tính chất tô pô như lân cận và liên tục chuyển thành các tính chất nhóm. Ví dụ, các phần tử của nhóm cơ bản được biểu diễn bằng các vòng tròn. Ảnh thứ hai bên phải chỉ ra một số vòng trên mặt phẳng trừ đi một điểm. Vòng xanh coi như là không đồng luân (và do vậy không liên quan), bởi vì nó có thể liên tục thu nhỏ thành một điểm. Sự có mặt của một lỗ ngăn cản các vòng màu cam co lại thành một điểm. Nhóm cơ bản của mặt phẳng với một điểm loại trừ trở thành tuần hoàn vô hạn, sinh bởi các vòng cam (hoặc bởi bất kỳ vòng nào quay vòng một lần xung quanh lỗ). Theo cách này, nhóm cơ bản xác định ra lỗ.
Trong những ứng dụng gần đây, cũng có sự tác động ngược trở lại để thúc đẩy xây dựng hình học bằng nền tảng lý thuyết nhóm. Theo lối tương tự, lý thuyết nhóm hình học áp dụng các khái niệm hình học, như nghiên cứu các nhóm hypebolic. Những nhánh xa hơn áp dụng nhóm nhiều nhất bao gồm hình học đại số và lý thuyết số.
Ngoài những ứng dụng lý thuyết kể trên, có nhiều ứng dụng thực tế cho những lĩnh vực khoa học khác. Tinh thể học dựa trên sự tổ hợp của cách tiếp cận lý thuyết nhóm trừu tượng với những hiểu biết thuật toán miêu tả trong lý thuyết nhóm tính toán, đặc biệt khi áp dụng vào nhóm hữu hạn. Các ngành khoa học khác như vật lý học, hóa học và khoa học máy tính cũng hưởng lợi từ lý thuyết này.
Các số
Nhiều hệ thống số, như các số nguyên và số hữu tỉ thể hiện bản chất cấu trúc nhóm một cách tự nhiên. Trong một số trường hợp, như đối với số hữu tỉ, cả phép cộng và phép nhân đều làm xuất hiện cấu trúc nhóm. Những hệ thống số này là tiền tổ của những cấu trúc đại số tổng quát hơn gọi là vành và trường. Những khái niệm đại số trừu tượng hơn như mô đun, không gian vectơ và đại số trên một trường cũng tạo thành nhóm toán học.
Số nguyên
Nhóm các số nguyên Z dưới phép cộng, ký hiệu (Z, +), đã được miêu tả ở trên. Số nguyên, cùng với phép nhân thay vì phép cộng, (Z, •) không tạo thành một nhóm. Bởi vì chỉ có tiên đề đóng, tính kết hợp và phần tử đơn vị là thỏa mãn, còn tiên đề phần tử nghịch đảo thì không: ví dụ, a = 2 là một số nguyên, nhưng nghiệm duy nhất cho phương trình a • b = 1 trong trường hợp này là b = 1/2, là số hữu tỉ không phải là số nguyên. Do không phải mọi số nguyên Z có phần tử nghịch đảo (theo phép nhân).
Số hữu tỉ
Mong muốn cho tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép nhân gợi ra xem xét trường hợp đối với các số hữu tỉ với a, b là các số nguyên và b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ này ký hiệu là Q. Vẫn còn một cản trở nhỏ cho các số hữu tỉ (Q, •), cho phép nhân trở thành một nhóm: bởi vì số hữu tỉ 0 không có phần tử nghịch đảo đối với phép nhân (vì không tồn tại x sao cho x • 0 = 1), (Q, •) vẫn chưa là một nhóm.
Tuy vậy, tập hợp mọi số hữu tỉ khác 0 Q \ {0} = {q ∈ Q | q ≠ 0} tạo thành nhóm Abel dưới phép toán nhân, ký hiệu là (Q \ {0}, •). Các tiên đề kết hợp và phần tử đơn vị thỏa mãn theo như tính chất của các số nguyên. Đòi hỏi của tiên đề đóng vẫn thỏa mãn sau khi bỏ phần tử 0, bởi vì tích của hai số hữu tỉ khác 0 không bao giờ bằng 0. Cuối cùng phần tử nghịch đảo của a/b là b/a, do vậy tiên đề nghịch đảo được thỏa mãn.
Số hữu tỉ (gồm cả 0) cũng tạo thành một nhóm dưới phép cộng. Khi bao gồm cả phép cộng và phép nhân tạo thành một cấu trúc phức tạp hơn gọi là vanh—và nếu phép chia là có thể, như ở trong Q—sẽ thu được cấu trúc trường, cấu trúc có vị trí trung tâm trong ngành đại số trừu tượng. Do vậy các mệnh đề của lý thuyết nhóm thuộc về một phần của những cấu trúc này.
Đồng dư
thumb|right|Số giờ trên đồng hồ tạo thành một nhóm sử dụng [[đồng dư|phép cộng theo mô đun 12. Ở đây 9 + 4 = 1]] Trong phép đồng dư, ban đầu cộng hai số nguyên với nhau sau đó lấy tổng chia cho một số nguyên, số nguyên này gọi là mô đun. Kết quả của phép cộng mô đun là phần dư của phép chia đó. Đối với mô đun n bất kỳ, tập hợp các số nguyên từ 0 tới n−1 tạo thành một nhóm dưới phép cộng mô đun: phần tử nghịch đảo của a là n−a, và 0 là phần tử đơn vị. Nhóm này tương tự từ phép cộng các số giờ trên mặt đồng hồ: nếu kim giờ ở vị trí số 9 và quay thêm 4 tiếng, nó chỉ vào số 1 như thể hiện trên hình. Tức là 9 + 4 bằng 1 "mô đun 12" hay viết thành công thức, Nhóm các số nguyên mô đun n ký hiệu là Zn hoặc Z/nZ.
Đối với bất kỳ số nguyên tố p, cũng tồn tại một nhóm nhân các số nguyên mô đun p. Phần tử của nó gồm các số nguyên từ 1 tới p−1. Phép toán nhóm là phép nhân mô đun p. Tức là lấy tích thông thường chia cho p và phần dư của phép chia này là kết quả của phép nhân mô đun. Ví dụ, nếu p = 5, tồn tại một nhóm với bốn phần tử 1, 2, 3, 4. Trong nhóm này, 4 • 4 = 1, bởi vì tích thông thường bằng 16 trong phép nhân này sẽ bằng 1, hay khi chia nó cho 5 thu được phần dư là 1. 16 − 1 = 15, ký hiệu là Tính nguyên tố của p đảm bảo rằng tích của hai số nguyên trong nhóm sẽ không bao giờ chia hết cho p, từ đó ám chỉ rằng tập hợp này là đóng dưới phép nhân mô đun. Phần tử đơn vị của nhóm là 1, như đối nhóm phép toán nhân thông thường, và tính kết hợp được thỏa mãn do tính chất của phép nhân các số nguyên. Cuối cùng, tiên đề nghịch đảo đòi hỏi rằng đối với một số nguyên a không là ước của p, tồn tại một số nguyên b sao cho Có thể tìm phần tử nghịch đảo b thông qua đẳng thức Bézout và vì ước số chung lớn nhất gcd(a, p) bằng 1. Trong trường hợp p = 5 ở trên, phần tử nghịch đảo của 4 là 4, của 3 là 2, do 3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Từ đó mọi tiên đề nhóm được thỏa mãn. Thực sự là ví dụ này giống với nhóm (Q\{0}, •) ở trên: nó chứa chính xác các phần tử trong Z/pZ có phần tử nghịch đảo trong phép nhân. Các nhóm này được ký hiệu là Fp×. Chúng là các thành phần quan trọng trong lý thuyết mật mã hóa khóa công khai.
Nhóm xiclic
right|thumb|upright|Nghiệm phức của căn đơn vị bậc 6 tạo thành một nhóm xiclic. z là phần tử nguyên thủy, trong khi z2thì không bởi vì lũy thừa lẻ của z không là lũy thừa của z2. Nhóm xiclic là nhóm mà các phần tử là lũy thừa của một phần tử đặc biệt a. Trong ký hiệu phép nhân, các phần tử của nhóm là: với a2 có nghĩa là a • a, và a−3 thay cho a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 v.v. Phần tử a gọi là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm. Trong ký hiệu phép cộng, sự đòi hỏi cho một phần tử trở thành phần tử nguyên thủy yêu cầu là mỗi phần tử trong nhóm có thể viết thành