Bose-Einstein_yoğunlaşması
N tane her biri iki kuantum durgusundan birinde olanveetkileşmeyen parçacıklardan oluşan bir koleksiyon düşünün. Eğer bu iki hal enerjice eşitse, her farklı yapılandırma eşit şanslıdır. Eğer her parçacıkların hangi parçacık olduğunu bilirsek ve eğer her parçacık bağımsız olarak ya da  içinde olursa 2^N  tane farklı yapılandırma olur. Neredeyse her yapılandırmalarında, parçacıkların yaklaşık yarısı, diğer yarısı kapsamındadır. Dengesi ise istatistiksel bir etkidir: parçacıklar eşit dağıldığında yapılandırma en büyüktür. Eğer parçacıklar birbirinden ayırt edilemezse sadece N+1 yapılandırma olur. K tane parçacığın  halinde  tane parçacık  halinde olur. Partiküllerin ya da  halinde olması ayırt edilemese de her Kdeğeri tüm sistemin kuantum durgusunu belirler. Tüm durumların eşit şanslı olduğu durumlarda istatistiksel bir dağılma olmaz. Bu durum sadece tüm parçacıkların yarı yarıya dağılırken tüm parçacıkların  halinde olması kadar muhtemeldir. Ayırt edilebilir durumda, daha büyük N sayıları için, halindeki kısım hesaplanabilir. Bu durum tamamen bir bozuk paranın tura gelme olasılığı olan p = exp(−E/T) kadardır. Yazı gelme olasılığı ise p nin ve enerjinin olan denklemine eşittir. Ayırt edilemez durumlarda, her K kendi ayrı Boltzman olasılığına sahip tek haldedir. Bu yüzden dağılım olasılığı üslüdür: Daha büyük N değerleri için C normalleştirme sabiti dir. Beklenilen toplam parçacık sayıları en düşük enerji durumunda değildir eğer limit  iken  e eşittir. Bu durum N sayısı büyükken değil sadece sabit değere ulaştığı durumda gelişir. Bu parçacıkların toplam sayısının ihmal edilebilir kısmındadır. Bu yüzden, termal dengede olan yeterli sayıdaki Boz parçacıklar çoğunlukla temel durumdadır. Enerji değişimi çok küçük olsa bile sadece çok az parçacık uyarılmış durumdadır. Olarak isimlendirilen değişik bir momentum durumunda olan bir gaz parçacığı düşünelim. Eğer yüksek ve düşük yoğunluklar için parçacıkların toplam sayısı termal olarak ulaşılabilir parçacıkların sayısından az ise her bir parçacık ayrı bir halde olacaktır. Bu limitler içerisinde gaz klasiktir. Yoğunluk arttığında ya da sıcaklık düştüğünde, parçacık başına düşen ulaşılabilir durum küçülür. Bu noktada, izin verilen istatistiksel ağırlıktan daha çok parçacık tek duruma geçmek için zorlanacaktır. Bu noktadan sonra herhangi ekstra parçacık temel seviyeye eklenecektir. Herhangi bir yoğunlukta, bütünlemede, tüm momentum durumlarının üzerinde değişim sıcaklığını hesaplamak için, maksimum sayıdaki uyarılmış parçacıklar, : Tümlev kB ve  faktörleri ile değerlendirilir ve boyutlu analizlerle yenileştirilirse, ilerleyen kısımlarda kritik sıcaklık formülünü verecektir. Bu yüzden bu tümlev kritik sıcaklık ve ihmal edilen kimyasal potansiyele karşılık gelen parçacık sayılarını tanımlar. Bose-Einstein istatistiksel dağılımında μ hala BEC nin sıfır olmayan fakat temel durum enerjisinden düşüktür. Özellikle temel durumdan bahsetmek dışında, μ çoğunluk enerji ve momentum durumuna yaklaştırılır, as μ ≈ 0. daki gibi. Gross-Pitaevskii Denklemi Ana makale: Gross-Pitaevskii denklemi BEC nin bu durumu yoğuşuk un dalga denklemi ile tanımlanır. Bu yapıdaki bir sistemde  parçacık yoğunluğu olarak yorumlanır. Bu yüzden toplam atomların sayısı dır. Sağlanan tüm gerekli atomlar yoğuşuk iken (temel seviyeye yoğuşan), bozonlar ana alan teorisini tehdit ederler. Durumu ile alakalı enerji (E) ise: