cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
รายชื่อโรงเรียนในจังหวัดประจวบคีรีขันธ์
อำเภอสามร้อยยอด
อำเภอสามร้อยยอดมี 31 โรงเรียน โดยแบ่งเป็นโรงเรียนสังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาประจวบคีรีขันธ์เขต 2 จำนวน 25 โรงเรียน สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาเอกชน 3 โรงเรียน สังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 10 จำนวน 1 โรงเรียน สังกัดเทศบาลตำบลไร่เก่า 1 โรงเรียน และสังกัดเทศบาลตำบลไร่ใหม่ 1 โรงเรียน
อำเภอหัวหิน
อำเภอหัวหินมี 47 โรงเรียน โดยแบ่งเป็นโรงเรียนสังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาประจวบคีรีขันธ์เขต 2 จำนวน 24 โรงเรียน สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาเอกชน 13 โรงเรียน สังกัดเทศบาลเมืองหัวหิน 7 โรงเรียน และสังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 10 จำนวน 3 โรงเรียน
คณะศิลปกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยทักษิณ
คณะศิลปกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยทักษิณ (Faculty of Fine and Applied Arts, Thaksin University) ตั้งอยู่ที่ วิทยาเขตสงขลา เลขที่ 140 หมู่ที่ 4 ตำบลเขารูปช้าง อำเภอเมืองสงขลา จังหวัดสงขลา
ประวัติ
ในปี 2522 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ วิทยาเขตสงขลา ได้เปิดสอนวิชาพื้นฐาน รายวิชาศิลปะและวัฒนธรรม เป็นวิชาเลือกบังคับ เลือกเสรี ในฐานะภาควิชาศิลปะและวัฒนธรรม และเปิดวิชาเลือกเสรีรายวิชาพื้นฐานทางด้านดุริยางคศาสตร์ในฐานะภาควิชาดุริยางคศาสตร์ คณะมนุษยศาสตร์ ต่อมาในปีการศึกษา 2535 ได้เปิดเป็นวิชาโท สาขาวิชาดุริยางคศาสตร์ ในปีการศึกษา 2537 ภาควิชาศิลปะและวัฒนธรรมเปลี่ยนเป็นภาควิชาศิลปกรรมโดยเปิดสอนเป็นวิชาเอกทัศนศิลป์หลักสูตร 4 ปี ในปีการศึกษา 2538 ภาควิชาดุริยางคศาสตร์ ได้เปิดสอนวิชาเอกดุริยางคศาสตร์(สากล) ในปี พ.ศ. 2539 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒภาคใต้ ได้รับการสถาปนาเป็นมหาวิทยาลัยทักษิณ จึงได้มีการปรับสภาพสาขาวิชาเอกทัศนศิลป์และสาขาวิชาดุริยางคศาสตร์ เป็นภาควิชาเดียวกัน คือ ภาควิชาศิลปกรรม คณะมนุษยศาสตร์และสังคมศาสตร์ 14 สิงหาคม 2546 คณะศิลปกรรมศาสตร์ ได้รับความเห็นชอบจากสภามหาวิทยาลัยทักษิณ ให้จัดตั้งเป็นหน่วยงานราชการภายในมหาวิทยาลัยทักษิณ โดยแบ่งโครงสร้างองค์กรออกเป็น 4 หน่วยงานหลัก ได้แก่ สำนักงานเลขานุการคณะศิลปกรรมศาสตร์ สาขาวิชาทัศนศิลป์ สาขาวิชา ดุริยางคศาสตร์ไทย และสาขาวิชาดนตรีนานาชาติ (ดุริยางคศาสตร์สากล) 7 กุมภาพันธ์ 2548 คณะกรรมการบริหารข้าราชการมหาวิทยาลัยทักษิณ ในการประชุม ครั้งที่1/2548 มีมติให้คณะใหม่ดำเนินการโดยมีสำนักงานเลขานุการคณะเป็นหน่วยงานกลางในการดำเนินการสนับสนุนการจัดการเรียนการสอน การบริหารงบประมาณ และมีประธานบริหารหลักสูตรทำหน้าที่บริหารจัดการด้านวิชาการของหลักสูตรต่างๆ สังกัดคณะฯ ทั้งนี้ให้ยกเลิกตำแหน่งหัวหน้าสาขาวิชา
หลักสูตร
คณะศิลปกรรมศาสตร์ จัดการเรียนการสอนในสาขาวิชาดังนี้
Girardia tigrina
Girardia tigrina เป็นชนิดในวงศ์ dugesiid โดยเป็นสัตว์ท้องถิ่นในทวีปอเมริกา ที่บังเอิญมีการนำเข้าทวีปยุโรป และประเทศญี่ปุ่น
การกระจายและนิเวศวิทยา
เดิม Girardia tigrina เป็นสัตว์พื้นถิ่นในทวีปอเมริกา จากนั้นจึงกลายเป็นชนิดพันธุ์รุกรานในทวีปยุโรปและประเทศญี่ปุ่น โดยมีบันทึกพบเห็นครั้งแรกในประเทศฝรั่งเศสเมื่อ ค.ศ. 1925 จากนั้นจึงมีรายงานพบเห็นในประเทศแถบยุโรปหลายประเทศ เช่น เยอรมนี, อิตาลี, เนเธอร์แลนด์, โรมาเนีย และเวลส์
อาหาร
G. tigrina เป็นสัตว์กินเนื้อที่กินสัตว์ไม่มีกระดูกสันหลัง เช่น โอลิโกคีทา, ไอโซพอด, ริ้นน้ำจืด, หอยทาก, แมลงหนอนปลอกน้ำ และแมลงชีปะขาว
แขวงมก
แขวงมก (목동; Mok-dong) เป็นแขวง (ทง) ของเขตยังช็อนในโซล ประเทศเกาหลีใต้
วรชิต กนิตศรีบำเพ็ญ
วรชิต กนิตศรีบำเพ็ญ (ชื่อเล่น: ยิม; เกิดวันที่ 24 สิงหาคม พ.ศ. 2540) เป็นนักฟุตบอลอาชีพชาวไทยจากจังหวัดเชียงใหม่ สังกัดสโมสรฟุตบอลการท่าเรือ (ยืมตัวจากบีจี ปทุม ยูไนเต็ด) ตำแหน่งกองกลาง อดีตเคยเป็นเจ้าของสถิตินักเตะอายุน้อยที่สุดที่สามารถทำประตูได้ในไทยพรีเมียร์ลีก และได้รับแต่งตั้งเป็นกัปตันทีมชาติไทยชุดอายุไม่เกิน 19 ปี รายการชิงแชมป์อาเซียนที่ สปป.ลาว และสามารถคว้าดาวซัลโวประจำรายการ
ประวัติ
วรชิตเกิดที่จังหวัดเชียงใหม่ เรื่มเล่นฟุตบอลมาตั้งแต่ 6-7 ขวบ จากนั้นย้ายมาอยู่กรุงเทพฯ 3 ปี ด้วยคำแนะนำของ น.อ.จีรศักดิ์ เจริญจันทร์ ทำให้วรชิตตัดสินใจเดินทางมาคัดตัวเข้าอะคาเดมีของสโมสรฟุตบอลชลบุรี เอฟซี ด้วยฝีเท้าที่โดดเด่นเกินวัย วิทยา เลาหกุล ถึงกลับแสดงความเห็นว่า “ผมยังจำวันแรกที่ยิมมาอยู่กับเราได้เลย เขาเป็นเด็กตัวเล็กๆ ตาตี่ๆ มีเบสิคและทักษะดีมาก และต้องยอมรับเลยว่าเขามีของ”
วรชิตใช้เวลาฝึกฝนกับอะคาเดมีชลบุรี 5 ปี จากนั้นจึงถูกส่งไปทดสอบฝีเท้ากับสโมสรฟุตบอลเลสเตอร์ซิตี ประเทศอังกฤษ และไปฝึกฝีเท้าที่สโมสรฟุตบอล วิสเซล โกเบ ประเทศญี่ปุ่น เมื่อกลับมาประเทศไทย วรชิตถูกส่งตัวไปเก็บประสบการณ์ที่สโมสรพานทอง เอฟซี ในระดับดิวิชั่น 2 จนถึงปี 2558 วรชิตจึงถูกดันขึ้นทีมชุดใหญ่ของชลบุรี เอฟซี ในระดับไทยพรีเมียร์ลีก และสามารถทำประตูแรกในลีกสูงสุดได้สำเร็จ ในนัดที่เจอกับราชบุรี มิตรผล เอฟซี ซึ่งถือเป็นสถิติผู้เล่นอายุน้อยที่สุดที่ทำประตูได้ในลีกสูงสุดในช่วงนั้นด้วยอายุเพียง 17 ปี 340 วัน ต่อมาในเดือนธันวาคม 2558 วรชิตได้รับโอกาสการเข้าทดสอบฝีเท้าและร่วมฝึกซ้อมกับ เอฟซี โตเกียว ทีมจากเจลีก ประเทศญี่ปุ่น เป็นเวลา 1 สัปดาห์
วรชิตมีชื่อติดทีมชาติไทยชุดอายุไม่เกิน 19 ปี ชิงแชมป์อาเซียน ที่ สปป.ลาว และสามารถคว้าแชมป์มาครองได้สำเร็จ โดยเจ้าตัวได้รับตำแหน่งดาวซัลโวประจำรายการโดยยิงไปทั้งสิ้น 6 ประตู ต่อด้วยรายการคัดเลือกชิงแชมป์เอเชีย 2016 ที่ประเทศบาห์เรน และจากผลงานการเล่นที่โดดเด่นในรายการชิงแชมป์อาเซียนและรอบคัดเลือกชิงแชมป์เอเชีย ทำให้โชคทวี พรหมรัตน์ ตัดสินใจเรียกตัววรชิตร่วมทีมชาติไทยชุดอายุไม่เกิน 23 ปี (ปรีโอลิมปิก)
วรชิต มีชื่อติดทีมชาติไทยชุดอายุไม่เกิน 22 ปี ภายใต้การคุมทีมของวรวุฒิ ศรีมะฆะ ในรายการซีเกมส์ 2017 ที่ประเทศมาเลเซีย และสามารถคว้าเหรียญทองมาได้ ด้วยผลงานยิง 1 ประตู ในนัดที่พบกับติมอร์เลสเต
ในวันที่ 28 กันยายน พ.ศ. 2562 วรชิตมีชื่อติด ทีมชาติไทยรุ่นอายุไม่เกิน 23 ปี ในรอบเบื้องต้น 28 คน สำหรับการแข่งขันฟุตบอลชายในซีเกมส์ 2019 ที่ประเทศฟิลิปปินส์
พยาธิหนอนหัวใจในสุนัข
พยาธิหนอนหัวใจในสุนัข หรือ พยาธิหนอนหัวใจ ชื่อทางวิทยาศาสตร์ว่า Dirofilaria immitis เป็นพยาธิตัวกลมแบบฟิลาเรียชนิดหนึ่งซึ่งมียุงเป็นพาหะ โฮสต์แท้ของพยาธินี้คือสุนัข แต่ก็สามารถติดแมว สุนัขป่า สุนัขจิ้งจอก โคโยตี้ และสัตว์อื่นๆ เช่น เฟอร์เร็ต สิงโตทะเล หรือแม้แต่มนุษย์ก็สามารถติดได้แม้จะพบน้อย
โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์
โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ (Lopinavir/ritonavir, LPV/r) มีชื่อทางการค้าว่า Kaletra (และชื่ออื่น ๆ) เป็นยาสูตรผสมที่มีสัดส่วนยาคงที่สำหรับการรักษาและป้องกันเอชไอวี/เอดส์ สูตรยารวมโลปินาเวียร์ เข้ากับริโทนาเวียร์ขนาดต่ำ โดยทั่วไปจะแนะนำให้ใช้ร่วมกับยาต้านรีโทรไวรัสอื่น ๆ อาจใช้ยาสำหรับการป้องกัน หลังจากได้รับบาดเจ็บจากเข็มหรือการสัมผัสอื่น ๆ ที่อาจเกิดขึ้น โดยใช้การรับประทานทางปากซึ่งเป็นยาเม็ด, แคปซูล หรือสารละลาย
ผลข้างเคียงที่พบบ่อย ได้แก่ ท้องเสีย, อาเจียน, อ่อนเพลีย, ปวดศีรษะ และปวดกล้ามเนื้อ ผลข้างเคียงที่รุนแรงอาจรวมถึง ตับอ่อนอักเสบ, ปัญหาที่ตับ และภาวะน้ำตาลในเลือดสูง มีการใช้ทั่วไปในหญิงตั้งครรภ์ และค่อนข้างปลอดภัย ยาทั้งสองชนิดนี้เป็นตัวยับยั้งเอนไซม์ย่อยโปรตีนเอชไอวี ริโทนาเวียร์ทำงานโดย ชะลอการสลายของโลปินาเวียร์
โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ได้รับอนุมัติให้ใช้ในสหรัฐในปี พ.ศ. 2543 และอยู่ในรายชื่อยาสำคัญขององค์การอนามัยโลก ซึ่งเป็นยาที่ปลอดภัยและมีประสิทธิภาพที่สุดที่จำเป็นในระบบสุขภาพ ค่าใช้จ่ายในประเทศกำลังพัฒนา (ราคาขายส่ง) คือ 18.96 ถึง 113.52 เหรียญสหรัฐต่อเดือน ในสหรัฐเนื่องจากไม่สามารถจำหน่ายเป็นยาชื่อสามัญ ทำให้มีค่าใช้จ่ายสูงกว่า 200 เหรียญสหรัฐต่อเดือน สำหรับกรณีทั่วไปในปี พ.ศ. 2559
การใช้ทางการแพทย์
ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2549 โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ เป็นส่วนหนึ่งของสูตรผสมที่นิยมใช้สำหรับการบำบัดเอชไอวีในขั้นแรก ที่ได้รับการแนะนำโดยกระทรวงสุขภาพและบริการมนุษย์สหรัฐ
ผลข้างเคียง
โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ได้รับการคาดว่ามีระดับของปฏิกริยาที่แปรปรวนเมื่อใช้ร่วมกับยาอื่น ๆ ที่เป็นตัวถูกเปลี่ยนของเอนไซม์ CYP3A และ/หรือไกลโคโปรตีน P-gp เช่นกัน
ผู้ที่มีรูปร่างหัวใจผิดปกติ, มีความผิดปกติของระบบการนำไฟฟ้าหัวใจมาก่อน, มีโรคหัวใจขาดเลือด หรือโรคของกล้ามเนื้อหัวใจ ควรใช้ยาโลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ด้วยความระมัดระวัง
เมื่อวันที่ 8 มีนาคม พ.ศ. 2554 องค์การอาหารและยาสหรัฐได้ประกาศเตือนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับปัญหาสุขภาพร้ายแรง ซึ่งได้รับรายงานในทารกที่คลอดก่อนกำหนดที่ได้รับยาโลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ทางปากในรูปสารละลาย ซึ่งอาจเป็นเพราะมีส่วนประกอบที่มีตัวทำละลายโพรพิลีนไกลคอล พวกเขาแนะนำให้หลีกเลี่ยงการใช้ยาในทารกคลอดก่อนกำหนด
ประวัติ
แอ๊บบอต ลาบอแรตอรีส (จากการแยกบริษัท ปัจจุบันคือ Abbvie) เป็นหนึ่งในผู้ใช้รายแรก ๆ ของเทคโนโลยี Advanced Photon Source (APS) จากแหล่งกำเนิดแสงการแผ่รังสีซินโครตรอนแห่งชาติที่ Argonne National Laboratory ของสหรัฐ โครงการวิจัยขั้นต้นคือการมุ่งเน้นไปที่การศึกษาโปรตีนจากไวรัสเอชไอวี (HIV) โดยการใช้เส้นลำแสง APS สำหรับการสร้างภาพโครงสร้างผลึกด้วยรังสีเอกซ์ ทำให้นักวิจัยได้ทราบลักษณะของโครงสร้างโปรตีนของไวรัส ซึ่งทำให้พวกเขาสามารถกำหนดแนวทางในการพัฒนาสารยับยั้งเอนไซม์โปรตีเอสของไวรัสเอชไอวี ซึ่งเป็นเอนไซม์เป้าหมายที่สำคัญที่ทำหน้าที่ผลิตโพลีโปรตีนเอชไอวีของไวรัสภายหลังการติดเชื้อ อันเป็นกลไกในการสืบต่อชีวิตของไวรัส ผลจากวิธีการออกแบบยาจากฐานการวิเคราะห์โครงสร้างโดยใช้เทคโนโลยี APS ดังกล่าว แอ๊บบอตสามารถพัฒนาผลิตภัณฑ์ใหม่ที่ยับยั้งเอนไซม์โปรตีเอสและหยุดการจำลองแบบตัวเองของไวรัสได้
โลปินาเวียร์ ได้รับการพัฒนาโดยแอ๊บบอต ในความพยายามของบริษัทที่จะปรับปรุงสารยับยั้งเอนไซม์โปรติเอสก่อนหน้านี้คือ ริโทนาเวียร์ โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับคุณสมบัติของสารที่มีผลในการจับกับโปรตีนในน้ำเลือด (ลดการแทรกแซงจากซีรั่มบนสารยับยั้งเอนไซม์โปรติเอส) และคุณสมบัติการต้านทานเอชไอวี (ลดการที่ไวรัสจะพัฒนาความต้านทานต่อยา) ในการให้ยาโลปินาเวียร์ชนิดเดียว พบว่ามีการดูดซึมไม่เพียงพอ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับในสารยับยั้งเอนไซม์โปรติเอสของไวรัสเอชไอวีหลาย ๆ ชนิด ปริมาณของยาในกระแสโลหิตจะเพิ่มขึ้นอย่างมากจากการใช้ยาริโทนาเวียร์ในปริมาณต่ำ ซึ่งมีอำนาจในการยับยั้งเอนไซม์ไซโตโครม P450 3A4 ของลำไส้และตับ อันเป็นกลไกลดระดับยาผ่านแคแทบอลิซึม ดังนั้นแอ๊บบอตจึงใช้กลยุทธ์ของการให้ยาโลปินาเวียร์ร่วมกับการใช้ยาริโทนาเวียร์ปริมาณต่ำ ในการรักษายับยั้งเชื้อเอชไอวี
โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ได้รับการอนุมัติจากองค์การอาหารและยาสหรัฐ (FDA) เมื่อวันที่ 15 กันยายน พ.ศ. 2543 และจากองค์การยาสหภาพยุโรป (EMA) เมื่อวันที่ 19 มีนาคม พ.ศ. 2544
ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2563 ในระหว่างการระบาดของโรคโควิด-19 รัฐบาลอิสราเอลประกาศว่าจะบังคับให้ AbbVie ออกใบอนุญาตให้ใช้สิทธิบัตรสำหรับ โลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ในการตอบสนองทางบริษัท AbbVie ประกาศว่าจะยุติการบังคับใช้สิทธิบัตรในยาโดยสิ้นเชิง
ราคา
ผลที่ตามมาจากราคาที่สูงและการแพร่กระจายของการติดเชื้อเอชไอวี รัฐบาลไทยได้ออกมาตรการบังคับใช้สิทธิเมื่อวันที่ 29 มกราคม พ.ศ. 2550 เพื่อผลิตและ/หรือนำเข้ายาชื่อสามัญ (generic drug) ของโลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ แอ๊บบอต ลาบอแรตอรีส ได้ถอนการจดทะเบียนยาโลปินาเวียร์ และยาตัวใหม่อื่น ๆ อีกเจ็ดตัวในประเทศไทยโดยอ้างว่ารัฐบาลไทยขาดความเคารพในสิทธิบัตร ทัศนคติของแอ๊บบอตถูกประณามจากองค์การนอกภาครัฐหลายแห่งทั่วโลก รวมถึงการประท้วงโดยการโจมตีทางเครือข่ายอินเทอร์เน็ตที่ริเริ่มโดยแอคอัพ-ปารีส (Act Up-Paris) และมีการเรียกร้องต่อสาธารณะโดยองค์กรพัฒนาเอกชนของฝรั่งเศส AIDES ให้คว่ำบาตรยาของแอ๊บบอตทั้งหมด
รูปแบบของยา
รูปแบบยาเม็ดชนิดทนความร้อนที่สามารถให้รับประทานทางปาก ได้ถูกพัฒนาขึ้นสำหรับใช้ในเด็ก
การวิจัย
ในขณะที่ข้อมูลดูมีประโยชน์สำหรับโรคซาร์ส ที่เกิดจากไวรัส SARS-CoV-1 แต่ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2563 ประโยชน์สำหรับโรคโควิด-19 นั้นยังไม่ชัดเจน การทดลองแบบสุ่มและไม่อำพรางในปี 2563 พบว่าโลปินาเวียร์/ริโทนาเวียร์ ไม่เป็นประโยชน์ในการรักษาโรคโควิด-19 ที่มีอาการรุนแรง ในการทดลองนี้โดยทั่วไปเริ่มให้ยาประมาณ 13 วันหลังจากผู้ป่วยเริ่มมีอาการ
สุลักษณ์ ศิวรักษ์
สุลักษณ์ ศิวรักษ์ (เกิด 27 มีนาคม พ.ศ. 2476) เจ้าของนามปากกา '''ส. ศิวรักษ์' เป็นนักเขียน นักปรัชญา นักคิด และนักวิชาการชาวไทย, ได้รับรางวัล รางวัลอัลเทอเนทีฟโนเบล (Alternative Nobel, Right Livelihood Award) หรือ "รางวัลโนเบลทางเลือก''" ในปี พ.ศ. 2538 และยังได้รับรางวัลศรีบูรพาจากสมาคมนักเขียนแห่งประเทศไทยในปีเดียวกันอีกด้วย เขามีผลงานการเขียนมากมายครอบคลุมหลายด้าน เช่น พุทธศาสนา สังคม การเมือง รูปแบบการปกครอง เป็นต้น โดยมีหนังสืออัตชีวประวัติของตนเองชื่อว่า ช่วงแห่งชีวิต
สุลักษณ์ เป็นนักวิชาการคนสำคัญคนหนึ่งและอาจกล่าวได้ว่าเป็นนักวิชาการรุ่นแรก ๆ ที่ออกมาพูดถึงเรื่องสถาบันพระมหากษัตริย์ในที่สาธารณะ ซึ่งเป็นเหตุให้เขาโดนคดีหมิ่นพระบรมเดชานุภาพหลายครั้ง แต่ก็พ้นผิดจากคุกได้ทุกครั้ง ครั้งหนึ่งเขาเคยยื่นถวายฎีกาต่อพระบาทสมเด็จพระวชิรเกล้าเจ้าอยู่หัว ให้พระราชทานอภัยโทษ เขายังกล่าวแสดงความชื่นชมสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวและกล่าวว่าหากไม่ได้รับพระบารมีปกเกล้าเขาคงต้องจำคุกอย่างแน่นอน
ประวัติ
สุลักษณ์เกิดเมื่อวันที่ 27 มีนาคม พ.ศ. 2476 ที่จังหวัดพระนคร มีชื่อเล่นว่า แป๊ะ หรือ เหม่ เป็นบุตรคนเดียวของเฉลิม และสุพรรณ สมรสกับนิลฉวี มีบุตร 1 คน ธิดา 2 คน
ครอบครัวของสุลักษณ์ เป็นชาวไทยเชื้อสายจีน บรรพบุรุษทั้งหมดเป็นชาวจีนโพ้นทะเลซึ่งเดินทางเข้ามาตั้งรกรากและแต่งงานกับชาวไทยตั้งแต่ยุครัตนโกสินทร์ตอนต้นจนถึงรัชกาลที่ 5 แม้พื้นฐานครอบครัวจะได้รับอิทธิพลของวัฒนธรรมจีนก็ตาม แต่ก็ได้ผสมผสานจนกลายเป็นครอบครัวคนไทยที่นับถือพุทธศาสนาแบบเถรวาทเป็นหลัก ส่วนพื้นฐานทางเศรษฐกิจเป็นตระกูลที่ประกอบอาชีพค้าขายเป็นส่วนใหญ่ มีเพียงส่วนน้อยที่รับราชการในส่วนกลาง แต่ในช่วงที่สุลักษณ์เกิดนั้น เป็นช่วงที่ฐานะทางเศรษฐกิจอยู่ในช่วงตกต่ำเกือบถึงขีดสุด จึงแยกครอบครัวมาอยู่ที่ซอยสันติภาพ ถนนนเรศ อันเป็นบ้านที่สุลักษณ์อาศัยอยู่ในปัจจุบัน หลังจากที่บิดาถึงแก่กรรมในปี พ.ศ. 2489 สุลักษณ์ซึ่งตอนนั้นยังอยู่ในช่วงมัธยมต้น ก็ต้องทำงานหาเลี้ยงตัวเอง และต่อมาจึงได้รับการอุปการะจากมารดา จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา
พ.ศ. 2495 จบชั้นมัธยมปีที่ 8 จากโรงเรียนอัสสัมชัญ บางรัก ซึ่งเป็นโรงเรียนคาทอลิก โดยเข้าเรียนครั้งแรกในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 ในปี พ.ศ. 2486 แล้วต้องพักการเรียน เพราะภัยจากสงครามโลกครั้งที่สอง เกือบ 3 ปี ในระหว่างนี้ จึงได้บรรพชาเป็นสามเณรที่วัดทองนพคุณ กรุงเทพมหานคร อันเป็นช่วงที่ได้รับประสบการณ์จากระบบการศึกษาในวัด แล้วกลับมาศึกษาต่อที่โรงเรียนอัสสัมชัญในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในปี พ.ศ. 2489 จนสำเร็จการศึกษา พ.ศ. 2500 สำเร็จการศึกษาปริญญาตรีทางด้านปรัชญาประวัติศาสตร์และวรรณคดี จากมหาวิทยาลัยแห่งเวลส์ เมืองแลมปีเตอร์ (University of Wales, Lampeter) ในแคว้นเวลส์ สหราชอาณาจักร พ.ศ. 2503 สำเร็จการศึกษาและสอบเป็นเนติบัณฑิตอังกฤษ จากสำนักกฎหมายมิดเดิลเทมเปิล (The Middle Temple Bar Law Association) สหราชอาณาจักร
การเมือง
สุลักษณ์เป็นที่ปรึกษาพันธมิตรประชาชนเพื่อประชาธิปไตย ในปี พ.ศ. 2549 หลังรัฐประหารในประเทศไทย พ.ศ. 2557 ในวันที่ 1 กันยายน 2557 สุลักษณ์ ศิวรักษ์ให้สัมภาษณ์รายการ "คืนความจริง" ว่า มาตราดังกล่าวเป็นเครื่องมือของทุกรัฐบาลเพื่อกดขี่ราษฎร พระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวว่า การจับคนเรื่องหมิ่นพระบรมเดชานุภาพทุกครั้งเป็นการรังแกพระองค์ และทำลายสถาบันพระมหากษัตริย์ ทุกรัฐบาลที่อ้างว่าจงรักภักดี ลึก ๆ แล้วไม่จงรัก และยกตัวอย่างจักรพรรดิวิลเฮล์มที่ 2 แห่งเยอรมนีซึ่งจับคนข้อหาหมิ่นพระบรมเดชานุภาพมากที่สุด แล้วสถาบันพระมหากษัตริย์ของเยอรมนีก็สิ้นไปก่อนพระองค์สวรรคตเสียอีก สุลักษณ์ว่าเขาเสียใจที่ไม่มีปัญญาชนเห็นโทษของกฎหมายนี้ ไม่เห็นหัวใจของเสรีภาพ ไม่เห็นหัวใจของประชาธิปไตย ไม่เห็นหัวใจของความเป็นมนุษย์เป็นลำดับ เป็นปศุสัตว์เชื่อง ๆ ให้ใครเขาสั่งได้ ต่อมาในวันที่ 9 ตุลาคม พ.ศ. 2560 พนักงานสอบสวน สน.ชนะสงครามกล่าวหาเขาว่าทำผิดตามประมวลกฎหมายอาญามาตรา 112 และมีมติฟ้องร้องเขาต่อ ศาลทหารกรุงเทพ ในความผิดฐานหมิ่นสถาบันพระมหากษัตริย์ ต่อมาอัยการทหารไม่สั่งฟ้อง
ผลงาน
สุลักษณ์นับเป็นนักเขียนที่มีผลงานหนังสือมากที่สุดในประเทศ รวมกว่า 200 เล่ม โดยส่วนใหญ่จะเป็นการรวมคำกล่าว หรือบทสัมภาษณ์ของเขาในที่สาธารณะ (2536) (2533) ในสายตา ส.ศิวรักษ์ (2529)
เธรนะดีเหยื่อฮิโรชิมะ
เธรนะดีเหยื่อฮิโรชิมะ (Threnody to the Victims of Hiroshima; Tren Ofiarom Hiroszimy) เป็นบทเพลงสำหรับกลุ่มเครื่องสายทั้งหมด 52 ชิ้น ประพันธ์โดย กชึชตอฟ แปนแดแรตสกี เมื่อปี พ.ศ. 2503 ซึ่งประพันธ์แด่ผู้ประสบภัยชาวฮิโรชิม่าที่ถูกสังหารและบาดเจ็บสาหัสจากอาวุธนิวเคลียร์ โดยเครื่องบิน บี-29 ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง
ความยาวของบทเพลงนี้มีความยาวถึง 8 นาที 37 วินาที สำหรับเครื่องสายทั้งหมด 52 ชิ้น โดยมีไวโอลิน 24 คัน วิโอลา 10 คัน เชลโล 10 ตัว ดับเบิ้ลเบส 8 ตัว ซึ่งมีเทคนิคคือ การชักไวโอลินบนหย่อง ใช้นิ้วตบ การสั่นไวโอลิน การดีดไวโอลิน (Pizzcato) โดยโน้ตที่เป็นสีดำขนาดใหญ่ จะเป็นเสียงกัด รูปแบบหนึ่งที่เป็นกลุ่มก้อนของเสียงขนาดใหญ่เรียกว่า Sound Mass
สมาคมมหาวิทยาลัยอเมริกัน
สมาคมมหาวิทยาลัยอเมริกัน (Association of American Universities) เป็นองค์กรของมหาวิทยาลัยที่ทำงานวิจัยชั้นแนวหน้า ที่ทำงานมีเป้าหมายในการดำรงไว้ซึ่งงานวิจัยเชิงวิชาการและการศึกษาที่เข้มแข็ง ประกอบด้วมหาวิทยาลัย 60 แห่งในประเทศสหรัฐอเมริกา และ 2 แห่งในประเทศแคนาดา
แขวงชินจ็อง (เขตยังช็อน)
แขวงชินจ็อง (신정동; Sinjeong-dong) เป็นแขวง (ทง) ของเขตยังช็อนในกรุงโซล ประเทศเกาหลีใต้
ช่วง เชวงศักดิ์สงคราม
พันเอก ช่วง เชวงศักดิ์สงคราม หรือ หลวงเชวงศักดิ์สงคราม (10 มีนาคม พ.ศ. 2442 - 9 มีนาคม พ.ศ. 2505) นามเดิม ช่วง ขวัญเชิด อดีตรองนายกรัฐมนตรี รัฐมนตรีว่าการกระทรวงมหาดไทย รัฐมนตรีว่าการกระทรวงสาธารณสุข และรัฐมนตรีว่าการกระทรวงเกษตราธิการ
ประวัติ
พันเอก ช่วง เชวงศักดิ์สงคราม เกิดเมื่อวันเสาร์ที่ 10 มีนาคม พ.ศ. 2442 บิดาชื่อบุญรอด มารดาชื่อทับทิม
การศึกษา
เมื่อโตได้เข้าเรียนที่โรงเรียนนครพิทยาคม ย้ายที่อยู่และเรียนที่จังหวัดชลบุรี เข้าเรียนชั้นประถม 2 ที่โรงเรียนวัดต้นสน แล้วย้ายไปโรงเรียนอุดมพิทยากร (วัดกำแพง) ที่จังหวัดฉะเชิงเทรา เรียนชั้นประถม 3 ที่โรงเรียนวัดเมือง ขณะนั้นรัฐบาลได้ตั้งโรงเรียนสามัญประจำมณฑลขึ้นและจัดให้มีการปรับเทียบความรู้นักเรียนประถมเป็นมัธยมทั้งหมด เมื่อเรียนจบชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 ช่วงจึงได้รับการปรับวุฒิเข้าศึกษาต่อชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ในโรงเรียนเบญจมราชูทิศ ซึ่งเป็นโรงเรียนชายประจำจังหวัดฉะเชิงเทราต่อในทันที ต่อมาได้เข้าศึกษาต่อชั้นมัธยมปีที่ 6 ที่โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย และเลือกที่จะเป็นทหาร จึงสอบแข่งขันเข้าศึกษาในโรงเรียนนายร้อยพระจุลจอมเกล้า
การทำงาน
พันเอกช่วง เชวงศักดิ์สงครามสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนนายร้อยพระจุลจอมเกล้า และได้รับพระราชทานยศร้อยตรีเมื่อวันที่ 27 ธันวาคม พ.ศ. 2464 แล้วเริ่มปฏิบัติราชการในกองทัพบกจนได้รับพระราชทานบรรดาศักดิ์เป็นหลวงเชวงศักดิ์สงคราม ถือศักดินา ๘๐๐ เมื่อวันที่ 18 พฤษภาคม พ.ศ. 2475 และได้รับตำแหน่งที่สำคัญเรื่อยมา เช่น
นอกจากนี้ระหว่างที่ดำรงตำแหน่ง รัฐมนตรีว่าการกระทรวงเกษตราธิการ พันเอกช่วง เชวงศักดิ์สงคราม ยังดำรงตำแหน่งนายกสภามหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ (31 พฤษภาคม 2490 ถึง 8 พฤศจิกายน 2490) ด้วย
นอกเหนือจากงานราชการแล้ว พันเอกช่วง เชวงศักดิ์สงคราม ยังเป็นสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรประเภทที่ 2 ในปี พ.ศ. 2494 เป็นสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรจังหวัดนครปฐม และสมาชิกวุฒิสภา
สมรส
พันเอกช่วง เชวงศักดิ์สงคราม สมรสกับ นางมาลัย เชวงศักดิ์สงคราม เมื่อวันที่ 31 มกราคม 2497 มีธิดากับนางมาลัย 1 คน
ถึงแก่อนิจกรรม
พันเอกช่วง เชวงศักดิ์สงคราม ถึงแก่อนิจกรรมเมื่อวันที่ 9 มีนาคม 2505 อายุได้ 63 ปี ด้วยอาการหัวใจวายเฉียบพลัน พระราชทานเพลิงศพ ณ เมรุหน้าพลับพลาอิสริยาภรณ์ วัดเทพศิรินทราวาส 18 มิถุนายน พ.ศ. 2505
ธาร์ซิส
ธาร์ซิส (Tharsis) เป็นชื่อเรียกของที่ราบสูงขนาดใหญ่ใกล้เส้นศูนย์สูตรในซีกดาวเคราะห์ฝั่งทิศตะวันตกของดาวอังคาร เป็นที่ตั้งของภูเขาไฟขนาดใหญ่ที่สุดในระบบสุริยจักรวาลของเรานามว่า โอลิมปัส และยังมีภูเขาไฟรูปโล่ อีก 3 ลูกทอดเรียงตัวกัน คือ อาร์เซีย, แอสคาเออุส และ พาโวนิส
ชื่อธาร์ซิสมาจากการถอดเสียงแบบกรีก–ละติน จากคำว่าทาร์ชิชซึ่งปรากฎในคัมภีร์ฮีบรู
รายชื่อประเทศเรียงตามการเจาะตลาดของสมาร์ตโฟน
ด้านล่างนี้เป็นรายชื่อประเทศเรียงตามการเจาะตลาดของสมาร์ตโฟน ข้อมูลจากกูเกิลอาวเวอร์โมไบล์แพลนิต
แขวงชินว็อล
แขวงชินว็อล (신월동; Sinwol-dong) เป็นแขวง (ทง) ของเขตยังช็อนในกรุงโซล ประเทศเกาหลีใต้
ผักกาดช้าง
หญ้าคออ่อนหรือผักกาดช้าง ภาษากะเหรี่ยงเรียกหน่อบออึ เป็นพืชล้มลุก ลำต้นอวบน้ำ มีขนปกคลุมเล็กน้อย ใบเดี่ยว ผิวใบค่อนข้างเกลี้ยง ท้องใบมีขนเล็กน้อย ดอกช่อแบบกระจุกแน่น มีเกล็ดสีขาวปกคลุมบริเวณก้านช่อดอก ใบและต้นนำไปต้มใช้เป็นอาหารเลี้ยงหมู มีสารที่เป็นพิษต่อตับและก่อเนื้องอก ยอดอ่อนนำมาทำอาหารได้
ฮารูเอะ อากางิ
ฮารูเอะ อากางิ (14 มีนาคม ค.ศ. 1924 - 29 พฤศจิกายน ค.ศ. 2018), เป็นนักแสดงหญิงชาวญี่ปุ่น
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction) เป็นเทคนิคการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความ P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n = 0, 1, 2, 3,. . . ; แปลว่าข้อความทั้งสิ้นเป็นลำดับของกรณี P(0), P(1), P(2), P(3),. . . . จำนวนมากไม่สิ้นสุด เราสามารถใช้คำอุปมาเพื่ออธิบายเทคนิคนี้ได้อย่างอรูปนัยด้วยการเทียบกับโดมิโนที่ล้มตาม ๆ กันหรือการปีนบันได: ""การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าเราสามารถปีนบันไดสูงเท่าไหร่ก็ได้ พิสูจน์โดยการปีนขึ้นขั้นแรก (ฐานของบันได) และจากนั้นก็สามารถปีนขึ้นขั้นต่อไปจากขั้นไหนก็ได้""
- Concrete Mathematics, ริมกระดาษหน้า 3
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย (proof by induction) ประกอบไปด้วยกรณีสองกรณี กรณีแรกคือ กรณีฐาน (base case หรือ basis) เป็นการพิสูจน์สำหรับข้อความที่ n = 0 โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับกรณีอื่น ๆ เลย กรณีที่สองคือ ขั้นตอนอุปนัย (induction step) เป็นการพิสูจน์ว่าถ้าข้อความเป็นจริงสำหรับ n = k ใด ๆ แล้ว มันก็ต้องเป็นจริงสำหรับกรณี n = k + 1 ถัด ๆ ไปด้วย ขั้นตอนสองขั้นตอนนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน กรณีฐานไม่จำเป็นต้องเริ่มด้วย n = 0 แต่มักจะเริ่มด้วย n = 1 และก็เป็นไปได้ที่จะใช้จำนวนธรรมชาติ n = N คงที่ใด ๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ≥ N ทุกตัว
วิธีการนี้สามารถนำมาขยายใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างรากฐานดี (well-founded) ที่ทั่วไปมากขึ้นเช่นต้นไม้ (tree (set theory)) การวางนัยทั่วไปนี้ซึ่งมีชื่อว่าการอุปนัยเชิงโครงสร้าง (structural induction) ถูกใช้ในคณิตตรรกศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในความหมายแบบขยายมีความใกล้เคียงกับการเรียกซ้ำ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นกฏการอนุมาน (rule of inference) ที่ถูกใช้ในการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และในบางรูปแบบก็เป็นรากฐานของการพิสูจน์ความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (formal verification) ทั้งหมด
ประวัติ
ในปี 370 ก่อนคริสต์ศักราช พาร์เมนิเดสของเพลโตมีตัวอย่างแรก ๆ ของการพิสูจน์แบบอุปนัยโดยปริยาย การนำการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาใช้อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกที่สุดสามารถพบได้ในการพิสูจน์ของยุคลิด ที่บอกว่ามีจำนวนเฉพาะมากเป็นอนันต์ เทคนิคการทำซ้ำซึ่งตรงข้ามกันใช้การนับลงแทนการนับเพิ่มขึ้นที่ละหนึ่งและสามารถพบได้ในปฏิทรรศน์กองทราย (sorites paradox) ซึ่งมีการอ้างเหตุผลว่าหากทราย 1,000,000 เม็ดก่อตัวเป็นกองทรายและการเอาทรายออกเม็ดหนึ่งกองนั้นก็ยังถูกนับได้ว่าเป็นกองทรายแล้ว ทรายเพียงเม็ดเดียว (หรือไม่มีสักเม็ดเลย) ก็เป็นกองทรายเช่นเดิม
การพิสูจน์โดยปริยายด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แรก ๆ ในประเทศอินเดียปรากฏอยู่ใน "จักรวาลวิธี" (Chakravala method) ของภาสคาราที่ 2 (Bhāskara II) และใน อัลฟะครี (al-Fakhri) ซึ่งถูกเขียนขึ้นในประมาณปี ค.ศ. 1000 โดยอัลกะระญี (al-Karaji) ซึ่งเขานำมาประยุกต์ใช้กับอนุกรมเลขคณิตเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปัสกาล
เกร์โซนิเดส (Gersonides) (ค.ศ. 1288-1344) เป็นผู้ใช้การอุปนัยอย่างเคร่งครัดเป็นครั้งแรก แบลซ ปัสกาล บัญญัติหลักของการอุปนัยอย่างชัดแจ้งเป็นครั้งแรกใน Traité du triangle arithmétique (ค.ศ. 1665) ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่งชื่อ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นำหลักการที่เกี่ยวข้องมาใช้: การพิสูจน์อ้อมด้วยการลดหลั่นอนันต์ (Proof by infinite descent)
สมมติฐานการอุปนัยนี้ยังถูกนำมาใช้โดย ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) และก็กลายเป็นที่รู้จักตั้งแต่นั้นมา การปฏิบัติต่อหลักการนี้อย่างรูปนัยแบบสมัยใหม่มีขึ้นในคริสตศตวรรษที่ 19 โดย จอร์จ บูล ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus de Morgan), ชารลส์ แซนเดอรส์ เพิร์ซ (Charles Sanders Peirce), จูเซ็ปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) และ ริชาร์ด เดเดคินด์ (Richard Dedekind)
คำบรรยาย
รูปแบบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ง่ายและพบเจอได้มากที่สุดอนุมานว่าข้อความใด ๆ ที่มีการใช้จำนวนธรรมชาติ n (นั้นคือจำนวนเต็ม n\geq0 หรือ 1) เป็นจริงสำหรับค่า n ใด ๆ การพิสูจน์ประกอบด้วยสองขั้นตอนคือ:
สมมติฐานในขั้นตอนการอุปนัยที่กล่าวว่าข้อความเป็นจริงกับค่า n ค่าหนึ่งเรียกว่า สมมติฐานอุปนัย ต้องมีการสมุมติสมมติฐานอุปนัยสำหรับค่า n และใช้สมมติฐานนี้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n+1 เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย
ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 0 จะใช้จำนวนนี้ในกรณีฐาน ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 1 จะใช้จำนวนนี้แทน
ผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องตามลำดับ
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความ P(n) ดังต่อไปนี้สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนได้
นี่เป็นสูตรทั่วไปสำหรับผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่กำหนด ซึ่งเป็นอนุกรมของข้อความจำนวนมากเป็นอนันต์โดยพฤตินัย:, ,  , ฯลฯ
ประพจน์  สำหรับจำนวน  ใด ๆ,
การพิสูจน์ ให้ P(n) เป็นข้อความ  และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ n
กรณีฐาน : แสกงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นจริงกับจำนวนธรรมชาติที่น้อยทีสุด n = 0.
P(0) เป็นจริงอย่างชัดเจน:
ขั้นตอนอุปนัย : แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า k ≥ 0 ใด ๆ หาก P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จะเป็นจริงด้วย
สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า k ค่าหนึ่ง กรณีที่ n = k เป็นจริง หมายความว่า P(k) เป็นจริงด้วย:""ดังนั้น:
ฝั่งขวาสามารถทำให้ง่ายด้วยวิธีการทางพีชคณิตเป็น:
จับฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเข้าสมการ เรานิรนัยได้ว่า:""นั่นคือข้อความว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย เป็นการแสดงขั้นตอนอุปนัย
อสมการตรีโกณมิติ
อสมการมักถูกพิสูจน์ด้วยการอุปนัย เราจะพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนจริง x และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ
แวบแรกที่มอง รูปแบบของสมการที่ทั่วไปกว่า สำหรับจำนวนจริง n,x ใด ๆ อาจดูเหมือนว่าสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอุปนัย แต่กรณีที่  แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้สามารถเป็นเท็จได้สำหรับค่า n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ทำให้เราต้องพิจารณาข้อความสำหรับจำนวน n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะและการอุปนัยเป็นเครื่องมือที่พร้อมนำมาใช้ที่สุด
การพิสูจน์ กำหนดจำนวนจริง x ค่าใด ๆ ค่าหนึ่ง, และให้ P(n) เป็นข้อความ. และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ n.
ขั้นตอนอุปนัย:  เราจะแสดงว่า สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ใด ๆ. สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า n=k\geq 0 กรณีของ P(k) จะเป็นจริง เรานิรนัยโดยใช้สูตรผลบวกของมุมและอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมได้:
อสมการระหว่างฝั่งซ้ายและฝั่งขวาแสดงให้เห็นว่า P(k{+}1) เป็นจริง ขั้นตอนอุปนัยจึงเสร็จสมบูรณ์
ข้อสรุป : ประพจน์ P(n) เป็นจริงสำหรับเลขจำนวนธรรมชาติ n ทุกค่า ∎
รูปแปรผัน
ในทางปฏิบัติ การพิสูจน์โดยการอุปนัยมักมีแบบแผนที่ต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณสมบัติที่เราต้องการจะพิสูจน์ รูปแปรผันของการอุปนัยทุกรูปแบบเป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์ ดูด้านล่าง
ฐานของการอุปนัยนอกเหนือจาก 0 หรือ 1
เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความ P(n) ข้อความหนึ่งเป็นจริงสำหรับค่า n \geq 1 หรือแม้แต่สำหรับค่า n \geq -5 การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์รูปแบบนี้ความจริงแล้วเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบก่อนหน้าเพราะหากข้อความที่ถูกพิสูจน์คือ P(n) แล้ว การพิสูจน์ด้วยกฎสองข้อนี้ก็เท่ากับการพิสูจน์ข้อความ P(n+b) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนโดยมีกรณีฐานอุปนัยกับค่า 0
ตัวอย่าง: การใช้เหรียญบาทต่าง ๆ เพื่อให้รวมได้จำนวนเงินจำนวนหนึ่ง
สมมติว่าเรามีเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาทจำนวนไม่จำกัด เราสามารถใช้การอุปนัยเพื่อพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มของเงินบาทใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 12 สามารถใช้เหรียญสี่บาทและห้าบาทมารวมกันได้จำนวนนั้น ให้ S(k) เป็นข้อความว่า "จำนวนเงิน k บาทสามารถรวมมาจากเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาท" การพิสูจน์ว่า S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k \geq 12 ทุกค่าสามารถทำได้ด้วยการอุปนัยกับ k ดังนี้:
กรณีฐาน: การแสดงให้เห็นว่า S(k) เป็นจริงสำหรับ k=12 ง่ายมาก เพียงแค่มีเหรียญสี่บาทสามเหรียญ
ขั้นตอนอุปนัย: กำหนดให้ S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k \geq 12 ค่าหนึ่ง (สมมติฐานอุปนัย) พิสูจน์ว่า S(k+1) เป็นจริงด้วย:
แม้ S(k) จะเป็นจริงสำหรับค่า ในตัวอย่างนี้ด้วย เราไม่สามารถดัดแปลงค่าต่ำสุด 12 ให้น้อยไปกว่านี้ได้อีกเป็นค่า m ในการพิสูจน์ข้างบน สำหรับ m=11 กรณีฐานเป็นเท็จ สำหรับ m=10 กรณีที่สองในขั้นตอนอุปนัยจะใช้ไม่ได้ (การแทนเหรียญห้าบาทเป็นเหรียญสี่บาททำไม่ได้) ส่วนสำหรับค่า m ที่น้อยกว่านี้ก็ไม่จำเป็นต้องเอ่ยถึงเลย
การอนุมานกับตัวนับมากกว่าหนึ่งตัว
บางครั้งก็เป็นการดีกว่าที่จะใช้จำนวนธรรมชาติสองจำนวน n กับ m เพื่อพิสูจน์ข้อความข้อหนึ่งด้วยการทำกระบวนการอุปนัยซ้ำ นั่นคือการพิสูจน์กรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยสำหรับ n และก็พิสูจน์สำหรับ m ด้วย ดูตัวอย่างได้ใน การพิสูจน์สมบัติการสลับที่ (Proofs involving the addition of natural numbers) ซึ่งประกอบการบวกจำนวนธรรมชาติ การอ้างเหตุผลที่ซับซ้อนกว่านี้อาจมีตัวนับได้ถึงสามตัวหรือมากกว่า
เอมิเรตนัจญด์และฮะซาอ์
เอมิเรตนัจญด์และฮะซาอ์ (Emirate of Nejd and Hasa; إمارة نجد والأحساء) หรือ รัฐซาอุดีที่สาม หรือ เอมิเรตริยาด ปกครองโดยอิบน์ ซะอูด หลังจากพระองค์ทรงยึดเมืองริยาดจากราชวงศ์เราะชีดได้ในปี ค.ศ. 1902 ต่อมาในปี ค.ศ. 1921 กองทัพของอิบน์ ซะอูดและสหราชอาณาจักรก็พิชิตดินแดนของราชวงศ์เราะชีดได้ทั้งหมด และสถาปนา "รัฐสุลต่านนัจญด์" ในเวลาต่อมา
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การลดหลั่นอนันต์
วิธีการการลดหลั่นอนันต์ (Infinite descent) เป็นรูปแปรผันของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความ Q(n) ข้อหนึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน รูปแบบดั้งเดิมประกอบไปด้วยการแสดงว่าถ้า Q(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ค่าหนึ่งก็จะเป็นจริงสำหรับค่า m ที่น้อยกว่าโดยแท้ แต่เพราะจำนวนธรรมชาติที่ลดหลั่นอย่างไม่สิ้นสุดไม่มีอยู่จริงจึงทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ และดังนั้นจึงเป็นการแสดง (โดยข้อขัดแย้ง) ว่า Q(n) ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับค่า n ใด ๆ
เราสามารถพิสูจน์ยืนยันความสมเหตุสมผลของวิธีการนี้ได้จากหลักปกติของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ด้วยการใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับข้อความ P(n) ซึ่งถูกนิยามไว้ว่า "Q(m) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ m ทุกค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n" จึงแสดงว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า ซึ่งแปลว่า Q(n) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน
การอุปนัยตัวเติมหน้า
รูปแบบของการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปที่สุดมีความจำเป็นให้พิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยว่า
ซึ่งต่อจากนั้นหลักการอุปนัยจะ "ทำโดยอัตโนมัติ" (automate) การใช้ขั้นตอนนี้จำนวน n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) นี่เรียกได้ว่าเป็น "การอุปนัยตัวนำหน้า" เพราะในแต่ละขั้นตอนก็เป็นการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับเลขที่นำหน้าเลขตัวนั้น
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์ หรือชื่อที่รู้จักในวงการว่า พรศักดิ์ (Pornsak) เป็นพิธีกรชาวไทยที่ได้รับความนิยมอย่างมากคนหนึ่งในประเทศสิงคโปร์ โดยมีความสามารถพูดได้ถึงสามภาษา (อังกฤษ, จีนกลางและไทย) โดยเขามักจะออกรายการของช่อง MediaCorp TV Channel 8 และ MediaCorp TV Channel 5 ปัจจุบันเขาอยู่ภายใต้สังกัด เลฟโปรไฟล์
เรียวโกะ อะโอะยะงิ
เรียวโกะ อะโอะยะงิ (青柳 涼子 (Ryōko Aoyagi) (18 ธันวาคม ค.ศ. 1972 — 5 กันยายน ค.ศ. 2009) เป็นนักแสดงหญิงและนักร้องชาวญี่ปุ่น
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยตัวเติมหน้า
สิ่งหนึ่งซึ่งได้รับความสนใจในเรื่องความซับซ้อนในการคำนวณคือ "การอุปนัยตัวเติมหน้า" (prefix induction) ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อความดังต่อไปนี้ในขั้นตอนอุปนัย
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
ชีวิตช่วงแรกและการศึกษา
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์ เกิดเมื่อ พ.ศ. 2525 ที่สาทร กรุงเทพมหานคร ประเทศไทย โดยบิดาเป็นชาวจีนและมารดาเป็นชาวไทยเชื้อสายจีน โดยแม่ของพรศักดิ์เสียชีวิตเมื่อเขาอายุ 5 ขวบด้วยโรคลูคีเมีย ภายหลังจากที่แม่ของเขาเสียชีวิตไม่นาน พ่อของพรศักดิ์ก็ส่งเขาไปที่สิงคโปร์ โดยเขาศึกษาที่โรงเรียนประถมศึกษาเซาท์วิว และ โรงเรียนมัธยมศึกษา Clementi Town โดยในปีแรก ๆ ที่ไปอยู่ที่สิงคโปร์เขาต้องอดทนจากเรื่องของกำแพงภาษา ในปี พ.ศ. 2547 พรศักดิ์สำเร็จการศึกษาในสาขาบริหารธุรกิจจากมหาวิทยาลัยการจัดการแห่งสิงคโปร์ ต่อมาพรศักดิ์ได้เข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยโมแนชโดยสำเร็จการศึกษาในระดับมหาบัณฑิตในสาขาการศึกษาปฐมวัย
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยตัวเติมหน้า
หรือซึ่งสมมูลกัน
แล้วหลักการอุปนัยจึง "ทำโดยอัตโนมัติ" การใช้การอนุมานนี้จำนวน log n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) ที่เรียกว่า "การอุปนัยตัวเติมหน้า" เพราะแต่ละขั้นตอนเป็นการพิสจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับ "ตัวเติมหน้า" (prefix) ของเลขตัวนั้นซึ่งถูกสร้างขึ้นจากการตัดปลายบิต (bit) ส่วนต่ำของการแทนเลขแบบฐานสอง และยังสามารถมองเป็นการประยุกต์การอุปนัยแบบดั้งเดิมกับความยาวของการแทนแบบฐานสอง
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
อาชีพ
ภายหลังสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี พรศักดิ์ชนะการแข่งขัน ซึ่งจัดโดยวิทยุเอสพีเอช UFM 1003 ในปี พ.ศ. 2548 เขาได้เข้าเป็นดีเจ หลังจากนั้นเขาได้เริ่มทำงานหลากหลายมากขึ้นในวงการบันเทิง เช่นในปี พ.ศ. 2550 ได้เริ่มงานเป็นพิธีกรรายการโทรทัศน์ ภายหลังเขาได้รับการชักชวนจากมีเดียคอร์ปที่งานเปิดห้องสมุด ลี่กาเซียง โดยแขกกิตติมศักดิ์ที่มาในงานเปิดห้องสมุดก็คือ รัฐมนตรีที่ปรึกษา ลี กวนยู
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยตัวเติมหน้า
หากการอุปนัยตัวนำหน้าถูกตีความทางคำนวณว่าเป็นวงวน (loop) n ขั้นตอนแล้ว การอุปนัยตัวเติมหน้าก็จะสมนัยกับวงวน log n ขั้นตอน เพราะฉะนั้นการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยตัวเติมหน้าจึง "สรรค์สร้างอย่างเป็นไปได้" (feasibly constructive) มากกว่าการพิสูจน์ซึ่งใช้การอุปนัยตัวนำหน้า
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
อาชีพ
พรศักดิ์ได้พิสูจน์ความสามารถว่าเขามีความสามารถที่จะรับงานพิธีกรได้หลากหลายประเภท ประกอบด้วยรายการแข่งขันร้องเพลงCampus Superstar. ในปี พ.ศ. 2550 เขาได้รับรางวัล หน้าใหม่ยอดเยี่ยม จากงานประกาศรางวัล Star Awards ต่อมาเขาได้เป็นหนึ่งใน "10 อันดับศิลปินที่ได้รับความนิยมสูงสุด"
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยตัวเติมหน้า
การอุปนัยตัวนำหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวเติมหน้ากับข้อความเดียวกันได้อย่างชัด การอุปนัยตัวเติมหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวนำหน้าได้แต่ต้องแลกมาด้วยการทำให้วากยสัมพันธ์ของข้อความซับซ้อนขึ้น (เพิ่มตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขต) ผลลัพธ์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของการอุปนัยตัวเติมหน้ากับการคำนวณซึ่งใช้เวลาพหูพจน์ (polynomial time) จึงขึ้นอยู่กับการเอาตัวบ่งปริมาณซึ่งไม่มีขอบเขตออกไปทั้งหมดและการจำกัดจำนวนการสับเปลี่ยนระหว่างตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขตกับตัวบ่งปริมาณบางตัวที่อนุญาติให้ทำในข้อความ
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
อาชีพ
นอกจากนั้นพรศักดิ์ยังเป็นผู้ประกอบการที่ประสบความสำเร็จ เขาเป็นเจ้าของร่วมของร้านอาหารไทยที่มีสาขาอย่าง PORN'S ชื่อของร้านอาหารทำให้ทุกสายตาต้องหยุดมอง แต่ชื่อร้านอาหาร คำว่า "porn" (พร) ในภาษาไทยมีความหมายว่า ความสุข. ทั้งพรศักดิ์ยังก่อตั้งโรงเรียนปฐมวัย
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยอย่างเข้ม
รูปแปรผันอีกรูปหนึ่งเรียกว่า การอุปนับอย่างเข้ม (Complete induction หรือ Strong induction) (ตรงข้ามกันคือรูปแบบของการอุปนัยขั้นพื้นฐานซึ่งบางครั้งก็เรียกว่า การอุปนัยอย่างอ่อน (weak induction)) ทำให้ขั้นตอนอุปนัยพิสูจน์ได้ง่ายขั้นด้วยการใช้สมมติฐานที่แรงขึ้น: เราพิสูจน์ข้อความ P(m + 1) ภายใต้สมมติฐานว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนซึ่งน้อยกว่า m + 1 ในทางตรงกันข้ามรูปแบบพื้นฐานสมมุติเพียง P(m) "การอุปนัยอย่างเข้ม" เป็นชื่อที่ไม่ได้หมายความว่าวิธีนี้สามารถพิสูจน์ได้เยอะกว่า "การอุปนัยแบบอ่อน" แต่หมายถึงเพียงสมมติฐานที่ถูกใช้ในขั้นตอนอุปนัยที่แรงขึ้น
พรศักดิ์ ประจักษ์วิทย์
อาชีพ
จากการเป็นผู้ที่ชอบศึกษา พรศักดิ์สำเร็จการศึกษาหลักสูตร Traditional Chinese Medicine สาขา TCM จาก Guangzhou University of Chinese Medicine เมื่อเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2558
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การอุปนัยอย่างเข้ม
ความจริงแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีนั้นสมมูลกันตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง กรณีฐาน P(0) ยังจำเป็นต้องถูกพิสูจน์และอาจจำเป็นต้องพิสูจน์กรณีฐานเพิ่มเติมด้วยเช่น P(1) ในการอุปนัยอย่างเข้มก่อนที่การอ้างเหตุผลแบบทั่วไปจะใช้ได้ อย่างเช่นตัวอย่างของจำนวนฟีโบนัชชี Fn ด้านล่าง
แม้รูปแบบที่เพิ่งอธิบายไปให้ต้องพิสูจน์กรณีฐาน เราไม่จำเป็นต้องพิสูจน์หากสามารถพิสูจน์ P(m) (โดยสมมติ P(n) สำหรับค่า n ที่น้อยกว่าทุกค่า) ได้สำหรับค่า m ≥ 0 ทุกตัว นี่เป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์อย่างที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในรูปแบบนี้กรณีฐานถูกรวมอยู่ในกรณี m = 0 ซึ่ง P(0) ถูกพิสูจน์โดยไม่มีการสมมติ P(n) อื่น เราอาจต้องจัดการกับกรณีนี้แยกไปแต่บางครั้งการอ้างเหตุผลเดียวกันใช้ได้กับ m = 0 และ m > 0 ซึ่งทำให้การพิสูจน์เรียบง่ายและสวยงามกว่า อย่างไรก็ตามก็เป็นสิ่งที่สำคัญที่จะรับประกันว่าการพิสูจน์ P(m) ไม่ได้สมมติโดยนัยว่า m > 0 เช่นด้วยการบอกว่า "เลือกจำนวน n < m ค่าหนึ่ง" หรือด้วยการสมมติว่าเซตซึ่งมีสมาชิกจำนวน m มีสมาชิกหนึ่งตัว
การอุปนัยอย่างเข้มสมมูลกับการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบธรรมดาอย่างที่อธิบายไว้ด้านบนในแง่ที่สามารถแปลงการพิสูจน์ด้วยวิธีการหนึ่งไปเป็นการพิสูจน์ด้วยอีกวิธีได้ สมมุติว่ามีการพิสูจน์ P(n) ด้วยการอุปนัยอย่างเข้ม ให้ Q(n) หมายถึง "P(m) เป็นจริงสำหรับค่า m ใด ๆ โดยที่ 0 ≤ m ≤ n" แล้ว Q(n) จะเป็นจริงสำหรับ n ทุกค่าก็ต่อเมื่อ P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า และการพิสูจน์ P(n) ของเราก็ถูกแปลงเป็นการพิสูจน์ Q(n) ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัย (แบบธรรมดา) ในทางกลับกันหาก P(n) ได้ถูกพิสูจน์โดยการอุปนัยธรรมดาแล้ว การพิสูจน์นั้นกลายเป็นอันที่ทำด้วยการอุปนัยแบบเข้มแล้วโดยประสิทธิผล: P(0) ถูกพิสูจน์ในกรณีฐานโดยไม่ใช้สมมติฐานและ P(n + 1) ถูกพิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยแล้วซึ่งอาจมีการสมมุติกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมดแต่ต้องใช้เพียงกรณี P(n) เท่านั้น
ตัวอย่าง: จำนวนฟีโบนัชชี
การอุปนัยอย่างเข้มมีประโยชน์สูงสุกเมื่อต้องใช้สมมติฐานอุปนัยหลาย ๆ รอบต่อขั้นตอนอุปนัยขั้นคอนหนึ่ง เช่นเราสามารถการอุปนัยอย่างเข้มเพื่อแสดงให้เห็นว่า
ซึ่ง F_n เป็นจำนวนฟีโบนัชชีจำนวนที่ n, (อัตราส่วนทอง) และ  เป็นรากของพหูพจน์ x^2-x-1 เอกลักษณ์ด้านบนสามารถถูกพิสูจน์ยืนยันด้วยการคำนวณ F_{n+2} โดยตรงหากเราสมมุติว่า F_{n+1} and F_n เป็นจริงอยู่แล้วด้วยการใช้ข้อเท็จจริงว่า  สำหรับ  แต่ละตัว เพื่อให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ เอกลักษณ์จะต้องถูกพิสูจน์ยืนยันในกรณีฐานทั้งสองกรณี: n=0 และ n=1
ตัวอย่าง: การแยกตัวประกอบเฉพาะ
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยอย่างเข้มอีกอันหนึ่งใช้สมมติฐานว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวน n ทุกค่าที่น้อยกว่าอย่างถี่ถ้วนกว่า พิจารณาข้อความที่ว่า "จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนซึ่งมากกว่า 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ (หนึ่งจำนวนหรือมากกว่า)" ซึ่งเป็นส่วน "การมีจริง" (existence) ของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต สำหรับการพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัยสมมติฐานอุปนัยคือสำหรับค่า n>1 ซึ่งกำหนดมาข้อความจะเป็นจริงสำหรับค่า n>1 ซึ่งน้อยกว่าทุกค่า หาก m เป็นจำนวนเฉพาะแล้วมันเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอน และหากไม่ใช่แล้วก็จะเป็นผลคูณ m=n_1 n_2 โดยนิยามโดยตัวประกอบทั้งสองไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นทั้งสองจึงไม่เท่ากับ m เพราะฉะนั้นทั้งสองจึงมากกว่าหนึ่งและน้อยกว่า m สมมติฐานอุปนัยตอนนี้ใช้ได้กับ n_1 และ n_2 ดังนั้นทั้งสองแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ฉะนั้น m เป็นผลคูณของผลคูณของจำนวนเฉพาะและจึงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเองโดยการขยาย
ตัวอย่าง: กลับมาหาจำนวนเงินบาท
แต่ทว่าโครงสร้างและสมมติฐานของการพิสูจน์จะมีความแตกต่างเล็กน้อย เริ่มจากกรณีฐานแบบขยาย:
กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่า S(k) เป็นจริงสำหรับค่า.
กรณีฐานเป็นจริง
สมมติฐานอุปนัย: กำหนดจำนวน j>15 ค่าหนึ่ง สมมติว่า S(m) เป็นจริงสำหรับค่า m ทุกค่าโดย 12\leq m< j.
ขั้นตอนอุปนัย: พิสูจน์ว่า S(j) เป็นจริง
การเลือกค่า m=j-4 และสังเกตว่า แสดงให้เห็นว่า S(j-4) เป็นจริงโดยสมมติฐานอุปนัย นั่นคือผลบวก j-4 สามารถถูกสร้างขึ้นมาด้วยส่วนผสมของเหรียญ 4 และ 5 บาท แล้วดังนั้นเพียงแค่เพิ่มเหรียญ 4บาทลงไปในกองเหรียญนั้นแล้วก็จะให้ผลเป็นผลบวก j นั่นก็คือ S(j) เป็นจริง ∎
การอุปนัยคืบหน้า-ถอยหลัง
บางครั้งการนิรนัยถอยหลังคือการพิสูจน์ข้อความสำหรับ n-1 เมื่อพิจารณาความสมเหตุสมผลของมันสำหรับ n จะสะดวกกว่า อย่างไรก็ตามการไม่พิสูจน์ความสมเหตุสมผลของข้อความสำหรับเลขตัวใดเพียงพอเพื่อสร้างกรณีฐาน เราต้องพิสูจน์ข้อความสำหรับเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติไม่มีสิ้นสุดแทน เช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี (Augustin Louis Cauchy) ใช้การอุปนัยคืบหน้า (ปรกติ) เพื่อพิสูจน์อสมการมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (inequality of arithmetic and geometric means) สำหรับกำลังของ 2 ทุกค่า แล้วใช้การอุปนัยถอยหลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนด้วย
ตัวอย่างของความผิดพลาดในขั้นตอนอุปนัย
ขั้นตอนอุปนัยจะต้องถูกพิสูจน์สำหรับ n ทุกค่า เพื่อแสดงสิ่งนี้ให้เห็น โจเอล อี. โคเฮน ได้นำเสนอการอ้างเหตุผลว่าสามารถพิสูจน์ว่าม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน (All horses are the same color) ได้ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้:
กรณีฐาน n=1 เป็นเรื่องธรรมดา (เพราะไม่ว่าม้าตัวไหนก็จะมีสีเดียวกับตัวมันเอง) และขั้นตอนอุปนัยถูกต้องในกรณีที่ n > 1 ทุกกรณี แต่ทว่าตรรกะของขั้นตอนอุปนัยสำหรับค่า n=1 ไม่ถูกต้องเพราะข้อความที่ว่า "ทั้งสองเซตเหลื่อมกัน" เป็นเท็จ (มีม้าเพียง n+1=2 ตัวทั้งก่อนและหลังการเอาม้าตัวหนึ่งออกจากเซต เซตของม้าตัวเดียวจึงไม่เหลื่อมกัน)
การกำหนดรูป
เราสามารถเขียน "สัจพจน์ของการอุปนัย" ในตรรกะอันดับสอง (second-order logic) ได้ดังนี้: ซึ่ง P(.) เป็นตัวแปรของภาคแสดงซึ่งมีจำนวนธรรมชาติหนึ่งตัวและ k กับ n เป็นตัวแปรของจำนวนธรรมชาติ is a variable
อธิบายเป็นลายลักษณ์อักษรได้ว่า กรณีฐาน P(0) และขั้นตอนอุปนัย (กล่าวคือ สมมติฐานอุปนัย P(k) บอกเป็นนัย P(k + 1)) บอกเป็นนัยร่วมกันว่า P(n) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ สัจพจน์ของการอุปนัยยืนยันความสมเหตุสมผลของการอนุมานว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ จากกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัย
ตัวบ่งปริมาณตัวแรกในสัจพจน์ครอบคลุมถึงภาคแสดงแทนที่จะเป็นตัวเลขแต่ละตัว นี่เป็นตัวบ่งปริมาณอันดับสองซึ่งแปลว่าสัจพจน์นี้ถูกกล่าวในตรรกะอันดับสอง การกำหนดสัจพจน์การอุปนัยเลขคณิตในตรรกะอันดับหนึ่ง (first-order logic) จำเป็นต้องมีเค้าร่างสัจพจน์ (Axiom schema) ซึ่งประกอบขึ้นด้วยสัจพจน์ซึ่งแยกจากกันสำหรับภาคแสดงที่เป็นไปได้แต่ละภาค บทความสัจพจน์เปอาโน (Peano axioms) พูดถึงประเด็นนี้เพิ่มเติม
สัจพจน์ของการอุปนัยเชิงโครงสร้างสำหรับจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดรูปเป็นครั้งแรกโดยเปอาโนผู้ซึ่งใช้มันเพื่อระบุจำนวนธรรมชาติเข้าด้วยกันด้วยสัจพจน์อื่นสี่ข้อดังต่อไปนี้:
การบ่งปริมาณกับภาคแสดงทำไม่ได้ในทฤษฎีเซตแซร์เมโล-เฟรนเคิลอันดับหนึ่ง (Zermelo-Fraenkel set theory) แต่เรายังสามารถแสดงการอุปนัยด้วยการบ่งปริมาณกับเซต: เราสามารถอ่าน A เป็นเซตซึ่งแทนประพจน์และมีจำนวนธรรมชาติสำหรับที่ประพจน์เป็นจริง นี่ไม่ใช่สัจพจน์แต่เป็นทฤษฎีบทคล้ายกับของเปอาโน โดยกำหนดว่าจำนวนธรรมชาติถูกนิยามในภาษาของทฤษฎีเซต ZFC ด้วยสัจพจน์
การอุปนัยเชิงอนันต์
(Transfinite induction) เราสามารถนำหลักการของการอุปนัยอย่างเข้มมาใช้กับข้อความเกี่ยวกับสมาชิกของเซตรากฐานดี (Well-founded set) เซตใด ๆ ได้ด้วยนอกเหนือจากข้อความเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น นั่นคือเซตซึ่งมีความสัมพันธ์ไม่สะท้อน (irreflexive relation) ซึ่งไม่มีเซตอันดับทุกส่วนลดหลั่นอนันต์ (infinite descending chain) เซตของจำนวนเชิงการนับเซตใด ๆ เป็นเซตรากฐานดีซึ่งรวมไปถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ เมื่อนำไปประยุกต์กับเซตรากฐานดีก็สามารถกำหนดรูปใหม่เป็นขั้นตอนเดียวได้ว่า:
เมื่อนำการอุปนัยรูปนี้ไปประยุกต์ใช้กับเซตของจำนวนเชิงอันดับที่แล้ว (ซึ่งทำให้เกิดคลาสอันดับดี (well-order) และจึงเป็นคลาสรากฐานดี) ก็จะเรียกว่าการอุปนัยเชิงอนันต์ นี่เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่สำคัญในทฤษฎีเซต ทอพอโลยีและสาขาวิชาอื่น ๆ
การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงอนันต์โดยปกติแล้วจะจำแนกกรณีเป็นสามกรณี: หากพูดให้ชัดเจน มันไม่จำเป็นที่จะต้องพิสูจน์กรณีฐานในการอุปนัยเชิงอนันต์เพราะมันเป็นกรณีพิเศษว่างเปล่า (Vacuous truth) ของประพจน์ว่าหาก P เป็นจริงสำหรับค่า n < m ทุกค่าแล้ว P จะเป็นจริงสำหรับ m มันเป็นจริงอย่างว่างเปล่าก็เป็นเพราะว่าไม่มีค่า n < m ค่าใดซึ่งสามารถทำหน้าที่เป็นตัวอย่างขัดแย้งได้
ความสัมพันธ์กับหลักการจัดอันดับดี
หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มักถูกกล่าวว่าเป็นสัจพจน์ข้อหนึ่งของจำนวนธรรมชาติ (ดูที่สัจพจน์เปอาโน) หลักการนี้แรงกว่าหลักการจัดอันดับดี (Well-ordering principle) ในบริบทของสัจพจน์เปอาโนอื่น ๆ สมมุติสิ่งต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:
จากนั้นก็จะสามารถพิสูจน์ด้วยสัจพจน์ที่ทำรายการไว้ด้านบนได้ว่าการอุปนัยบอกเป็นนัยถึงหลักการจัดอันดับดี การพิสูจน์ดังต่อไปนี้ใช้การอุปนัยอย่างเข้มและสัจพจน์ข้อที่หนึ่งและสี่
การพิสูจน์ สมมติว่ามีเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีสมาชิกเล็กสุด S ซึ่งไม่ว่างอยู่เซตหนึ่ง ให้ P(n) เป็นข้อความยืนยันว่าไม่มี n อยู่ใน S แล้ว P(0) จะเป็นจริงเพราะไม่เช่นนั้น 0 ก็จะกลายเป็นสมาชิกเล็กสุดของ S จากนั้นให้ n เป็นจำนวนธรรมชาติและสมมติว่า P(m) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ m ทุกตัวที่มีค่าน้อยกว่า n+1 ฉะนั้นหาก P(n+1) เป็นเท็จ n+1 จะอยู่ใน S และจึงเป็นสมาชิกน้อยสุดของ S ซึ่งเป็นการขัดแย้ง ดังนั้น P(n+1) จึงเป็นจริง เพราะฉะนั้น P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกตัวโดยหลักการอุปนัยอย่างเข้ม และ S จึงเป็นเซตว่างซึ่งก็เป็นการขัดแย้ง ∎
ในทางกลับกันเซต {(0,n): n∈ℕ} ∪ {(1,n): n∈ℕ} ซึ่งแสดงอยู่ในรูปมีอันดับดี โดยอันดับพจนานุกรม (lexicographic order) มากไปกว่านั้นยังสอดคล้องกับสัจพจน์เปอาโนทุกประการยกเว้นสัจพจน์อุปนัย โดยค่าคงตัว 0 ของเปอาโนถูกตีความเป็นคู่อันดับ (0,0) และฟังก์ชันตัวตามหลังของเปอาโนถูกนิยามไว้สำหรับคู่อันดับเป็น succ(x,n)=(x,n+1) สำหรับ x∈{0,1} และ n∈ℕ ทุกตัว เพื่อเป็นตัวอย่างสำหรับการฝ่าฝืนสัจพจน์อุปนัยให้นิยามภาคแสดง P(x,n) เป็น (x,n)=(0,0) หรือ (x,n)=(succ(y,m)) สำหรับ y∈{0,1} และ m∈ℕ บางตัว แล้วกรณีฐาน P(0,0) จะเป็นจริงโดยธรรมดาและขั้นตอนอุปนัยก็เป็นจริงด้วย: หาก P(x,n) แล้ว P(succ(x,n)) แต่ทว่ากลับไม่เป็นจริงสำหรับคู่อันดับทุกคู่ในเซต
สัจพจน์ของเปอาโนกับหลักการอุปนัยจำลองแบบจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ การเปลี่ยนหลักการอุปนัยเป็นหลักการจัดอันดับดีทำให้สามารถสร้างแบบจำลองที่แตกต่างมากขึ้นซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกประการ
ในหนังสือและแหล่งข้อมูลหลายแห่งใส่ข้อมูลที่ผิดพลาด ไว้ว่าหลักการจัดอันดับดีนั้นสมมูลกับสัจพจน์อุปนัย แต่ทว่านี่ไม่เป็นจริงในบริบทของสัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ แต่ในสัจพจน์อื่น ๆ จะสมมูลกัน หลักการจัดอันดับดีบอกเป็นนัยสัจพจน์อุปนัยในบริบทของสัจพจน์ซึ่งเรียงลำดับไว้ด้านบนสองข้อแรกและ
ข้อผิดพลาดซึ่งพบได้บ่อยในการพิสูจน์ซึ่งเข้าใจผิดคือการสมมติว่า n − 1 เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นได้อย่างเดียวและถูกนิยามไว้อย่างดีซึ่งเป็นคุณสมบัติที่สัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ ไม่ได้บอกเป็นนัย
แฮนค็อกพาร์ค (ลอสแอนเจลิส)
แฮนค็อกพาร์ค เป็นย่านหนึ่งในพื้นที่ วิลเชียร์ (Wilshire) ของลอสแอนเจลิส รัฐแคลิฟอร์เนีย ได้รับการพัฒนาในปีช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1920 ซึ่งมีความโดดเด่นของสถาปัตยกรรมในพื้นที่โดยรอบ ภายในย่านนี้ยังประกอบด้วยพื้นที่อนุรักษ์ชุมชนประวัติศาสตร์แฮนคอคพาร์ค ( Historic Preservation Overlay Zone - HPOZ)
ประวัติ
แฮนคอคพาร์ค ได้รับการพัฒนาในปีช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1920 โดยครอบครัว Hancock จากผลกำไรที่ได้รับจากการขุดเจาะน้ำมันในพื้นที่ไร่ลาเบรอา (Rancho La Brea) พื้นที่ดังกล่าวเป็นชื่อของ George Allan Hancock นักพัฒนาผู้ใจบุญซึ่งแบ่งพื้นที่ในปีช่วง ค.ศ. 1920 แฮนค็อกเกิดและเติบโตในบ้าน (ซึ่งปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่พิพิธภัณฑ์บ่อน้ำมันลาเบรอา) และได้รับมรดก 4400 acre จากพันตรีเฮนรีแฮนค็อก พ่อของเขาได้ซื้อมาจากไร่ลาเบรอาซึ่งเป็นทรัพย์สินของของครอบครัวโฮเซ จอร์ชา โรชา
กลุ่มนักกิจกรรมของแฮนค็อกพาร์คมีส่วนสำคัญในการผ่านคำสั่งห้ามของรัฐสภาในปี 1986 ในการขุดอุโมงค์ผ่านพื้นที่ใกล้เคียง คำสั่งห้ามซึ่งได้รับการสนับสนุนจากสมาชิกสภาคองเกรส เฮนรี แว็กซ์แมน เพื่อป้องกันไม่ให้ รถไฟใต้ดินสายสีแดง ถูกสร้างไปตาม ถนนวิลเชอร์ (Wilshire Boulevard) ซึ่งเลียบตามแนวของแฮนคอคพาร์ค
ภูมิศาสตร์
ชุมชนแฮนคอคพาร์ค ล้อมรอบด้วยถนนวิลเชียร์ในด้านทิศใต้ ถนนเมลโรส (Melrose Avenue) ในด้านทิศเหนือ และตัดด้วยถนนไฮแลนด์ (Highland Avenue) ในฝั่งตะวันตก โดยในโครงการการทำแผนที่เมืองลอสแอนเจลิส (Mapping L.A.) ของลอสแอนเจลิสไทมส์ ซึ่งระบุพื้นที่อย่างชัดเจนซึ่งรวมละแวกใกล้เคียงทั้งหมดในการแบ่งพื้นที่สำหรับการสำรวจสำมะโนประชากร โดยระบุให้แฮนค็อกพาร์คขนาบข้างด้วย ชุมชนที่อยู่ใกล้เคียงคือ ฮอลลีวูด ในทางตะวันออกเฉียงเหนือของแฮนคอคพาร์ค เมลโรส ในทางตะวันตกเฉียงเหนือ และทางทิศตะวันตกติดกับชุมชนลาเบรอา - แฮนคอค (La Brea-Hancock) ซึ่งครอบคลุมพิพิธภัณฑ์บ่อน้ำมันลาเบรอา และติดกับบรูคไซด์ (Brookside) ในด้านตะวันตกเฉียงใต้, ฟรีมอนต์เพลส (Fremont Place) ทางด้านทิศตะวันออกเฉียงใต้, ลาชมอนต์ (Larchmont) และจตุรัสวินเซอร์ (Windsor Square) ทางทิศตะวันออก และแฟร์แฟกซ์ ในทางทิศตะวันตก
พื้นที่ภายในยังประกอบด้วยสนามกอล์ฟ Wilshire Country Club
พื้นที่อนุรักษ์ชุมชนประวัติศาสตร์
พื้นที่อนุรักษ์ชุมชนประวัติศาสตร์แฮนคอคพาร์ค (HPOZ) ได้รับการรับรองโดยสภาเทศบาลเมือง ในปีพ.ศ. 2551 พื้นที่นี้คือ "โดยทั่วไปมีขอบเขตโดยเมลโรสอเวนิวทางทิศเหนือ, ไฮแลนด์อเวนิวทางตะวันตก, รอสมอร์อเวนิวทางตะวันออกและบริเวณด้านหลังของคุณสมบัติเชิงพาณิชย์ตามวิลเชอร์บูเลอวาร์ดทางทิศใต้"
ตองตึง
ยางพลวง ชื่ออื่น: กุง (ปราจีนบุรี, อุบลราชธานี, อุดรธานี); เกาะสะแต้ว (ละว้า-เชียงใหม่); คลง (เขมร-บุรีรัมย์); คลอง (เขมร); คลุ้ง (ชาวบน-นครราชสีมา); ควง (พิษณุโลก, สุโขทัย); โคล้ง (เขมร-สุรินทร์); ตะล่าอ่ออาขว่า (กะเหรี่ยง-เชียงใหม่); ตึง, ตองตึง, ตึงขาว (ภาคเหนือ); พลวง (ภาคกลาง, ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ); พลอง (ระยอง, ส่วย-สุรินทร์); ยาง, ยางพลวง (ภาคกลาง); ล่าเทอะ, แลเท้า (กะเหรี่ยง-ภาคเหนือ); สะเติ่ง (ละว้า-เชียงใหม่); สาละออง (กะเหรี่ยง-กาญจนบุรี) ภาษากะเหรี่ยงเรียก หล่าเคอะหล่า ไม้ยืนต้น ผลัดใบ กิ่งอ่อนมีร่องรอยแผลเป็นจากใบร่วงชัดเจน เปลือกต้นหนา สีน้ำตาลปนเทาอ่อน ใบเดี่ยว ยอดอ่อนมีหูใบสีแดงหุ้ม ดอกช่อออกตามซอกใบ กลีบเลี้ยงขนาดใหญ่ กลีบดอกเรียงซ้อนเป็นเกลียว สีชมพูเข้ม ตรงปลายกลีบ ผลมีปีกสองปีก เกิดจากกลีบเลี้ยง แข็ง ผลแก่ไม่แตก ใบใช้ห่อข้าวและตากแห้งใช้ทำตับมุงหลังคา เป็นไม้ที่นิยมใช้ทำฟืนในจังหวัดกำปงชนัง ประเทศกัมพูชา
มัสยิดชญานวาปี
มัสยิดชญานวาปี (Gyanvapi Mosque) เป็นมัสยิดในพาราณสี รัฐอุตตรประเทศ ประเทศอินเดีย สร้างขึ้นโดยจักรพรรดิออรังเซพในปี 1669 บนซากของเทวาลัยพระศิวะที่ถูกทุบทำลายลงก่อนหน้า
ก่อนการเป็นมัสยิด
เดิมทีจุดนี้เป็นอาคารโบสถ์พราหมณ์ชื่อวิศเวศวรมนเทียร (Vishweshwar temple) ที่สร้างขึ้นบูชาพระศิวะ สร้างขึ้นโดยโตดาร์ มาล ข้าราชสำนักและขุนนางระดับสูงในราชสำนักของจักรพรรดิอักบัร สร้างร่วมกับนารายณะ ภัตต์ (Narayana Bhatta) นักเทววิทยาพราหมณ์คนสำคัญของพาราณสี ในสมัยปลายศตวรรษที่ 16 มนเทียรมีส่วนต่อการเติบโตของเมืองพาราณสีในฐานะศูนย์กลางหนึ่งสำหรับการประชุมและพูดคุยถกเถียงของพราหมณ์ในประเด็นต่าง ๆ โดยเฉพาะเกี่ยวกับข้อบังคับในศาสนาฮินดู