Aksiomat_e_renditjes_dhe_incidencës
4.1. Aksiomat e incidencës
== Kuptimi i relacionit është incident, përcaktohet me anë të grupit të parë të aksiomave – aksiomat e incidencës:  == Faktin që pika A është incidente me drejtëzën a e shënojmë: Aa ose aA. Në të kundërtën shënojmë Aa. Drejtëzën e cila është incidente me pikat A dhe B e shënojmë (AB) dhe themi se ajo është e përcaktuar me pikat A dhe B. Pikat të cilat janë incidente me një drejtëz i quajmë pika kolineare. Në rastet e tjera quhen pika jokolineare. Pikat të cilat janë incidente me një rrafsh i quajmë pika koplanare. Po ashtu drejtëzat incidente me një rrafsh quhen drejtëza koplanare, gjithashtu edhe për pikat dhe drejtëzat incidente me të njëjtin rrafsh themi se janë koplanare. Në raset të tjera quhen pika dhe drejtëza jokoplanare. Në vazhdim do t`i formulojmë disa pohime të nxjerra, apo siç i kemi quajtur teorema, vërtetimi i të cilave mbështetet në aksiomat e incidences, duke i përdorur edhe rregullat e konkludimit të matematikës logjike. ndryshme A dhe B (fig.30). AB d Fig. 30 aksiomës I6, ekziston më së shumti një rrafsh α incident me pikat jokolineare A, B dhe C. Prandaj, përfundojmë se ekziston një dhe vetëmnjë rrafsh α incident me tri pika jokolineare. Fig. 31 α C A B 3 Në bazë të këtyre aksiomave mund të vërtetohen edhe pohime-teorema të tjera gjeometrike. Tani po japim disa përkufizime të disa koncepteve të bazuara në konceptet dhe pohimet e deritashme. 0 a b Fig. 32 Simbolikisht shënojmë: ab = {O} Për drejtëzën d themi se e depërton rrafshin α (ose rrafshi α e pret drejtëzën d) në një pikë O, në qoftë se drejtëza d dhe rrafshi α kanë vetëm pikën O të përbashkët. ndryshme d(AB), d(BC), d(CD), d(AD), d(AC) dhe d(BD). 4.2. Aksiomat e renditjes dhe rrjedhimet Relacioni “ndërmjet” ka të bëjë gjithëmonë me pika kolineare. Kur pika B ndodhet ndërmjet pikave A dhe C, simbolikisht do ta shënojmë: A – B – C, ose C – B – A. Aksiomat e renditjes janë: Fig 33 Fig. 34 Në vazhdim do t`i formulojmë vetëm disa pohime të nxjerra, apo siç i kemi quajtur teorema, vërtetimi i të cilave bazohet në aksiomat e renditjes. A – B – C, A – C – B, C – A – B. A – B – C, A – C – B, C – A – B. Nëse vlen A – B – C, atëherë vlen edhe C – B – A. Në bazë të aksiomës R3 nga relacioni C–B–A rrejdh se nuk vlen C–A–B. Po ashtu, nëse A – B – C, atëherë nuk vlen A – C – B dhe C – A – B. Në mënyrë analoge vërtetohet se nëse vlen A – C – B atëherë nuk vlen A – B – C dhe C – A – B. Nga I3 egziston pika D joincidente me drejtzën d(A,B). Në bazë të aksiomës R4, egziston pika E incidente me drejtzën d(A,D) e tillë që A-D-E Drejtza d(D,F) nuk përmban asnjë nga pikat A,B,E, por përmban pikën D për të cilën vlen relacioni A-D-E. Prandaj, në bazë të aksiomës së Pashit: Ose C, Cd(D,F) e tillë që A-C-B Ose C, Cd(D,F) e tillë që E-C-B Në të kundërtën do të vlente: d(D,F)  d(E,B) = {C,F} Por në bazë të aksiomave I1 dhe I2, drejtzat d(D,F) dhe d(C,F) do të përputheshin. Meqë ato janë të ndryshme, sepse Dd(D,F) dhe Dd(E,B), atëherë patjetër do të vlej rasti i pare, pra: C e tillë që A-C-B. Nga teorema 2 rrjedh pohimi: Çdo drejtëz është incidente me pambarimisht shumë pika. Le të jetë B `pika joincidente me drejtzen d(A,Q), ndërsa C e tillë që (Q-B-C). Atëherë pikat P,Q,C janë jokolineare. Drejtza d(A,B) përmban pikat A dhe B dhe vlen (P-A-Q) dhe (Q_B_C). Në bazë të aksiomës së Pashit, drejtza d(A;B) nuk përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave P dhe C. Pikat R, P dhe C janë jokolineare. Drejtza d(A,B) përmban pikën A ashtuqë (P-A-R) por nuk e përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave P dhe C. Në bazë të aksiomës së Pashit, egziston pika D e tillë që: Dd(A,B) dhe (C-D-R). Nëse aksiomën e Pashit e zbatojmë për pikat joklonieare C,Q,R dhe drejtzën d(A,B), shohim se se kjo drejtzë nuk e përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave R dhe Q. Prandaj edhe për pikën A vlen (Q-A-R).