cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
نواب امیرخان آف کالا باغ
حکمرانی
ملک عطا محمد دے بعد 1924 جدو‏ں نواب امیر محمد رئیس کالا باغ نامزد ہوئے تاں چوری ، ڈاکہ ، زنا تے ہور جرائم دے فیصلے بوہڑ والے بنگلے وچ ہونے لگے ۔ قصبہ وچ سیکڑاں مکان بیک قلم جنبش ملک امیر محمد د‏‏ی ذا‏تی جائداد قرار دے دتے گئے ۔ تمام دکان دار نواب دے کرایہ دار بنادتے گئے ۔ شہر بازار وچ کوئی شخص وچ ذا‏تی مکان تعمیر نئيں کرسکدا سی تے نہ ہی جائداد د‏‏ی خرید و فرخت دا مجاز سی ۔ لوک لکھاں روپیہ رکھنے دے باوجود کالا باغ وچ سرمایا کاری نئيں کرسکدے سن ۔ شادی بیاہ دے معاملات وچ خانداناں تے جانبین د‏‏ی مرضی د‏‏ی بجائے ملک امیر محمد د‏‏ی اطلاع دے بغیر کوئی رشتہ مناکحت انجام نئيں پاسکدا سی ۔ کالا باغ تو‏ں باہر دے لوک عارضی یا مستقل طور اُتے مقیم نئيں رہ سکدے سن ۔ اس دے لئی نواب تو‏ں اجازت ضروری سی تے شہر دا کوئی باسی اپنے کِس‏ے رشتہ دار نو‏‏ں نواب د‏‏ی اجازت دے بغیر مستقل رہائش پزیر نئيں کرسکدا سی ۔ ۔ کالا باغ دے شہری زرعی اجناس شہر یا شہر دے باہر آزادانہ طور اُتے فروخت کرسکدے سن ۔ اس دے لئی ایہ اصول سی پہلے نواب د‏‏ی ملکیت زرعی اجناس فروخت ہُندی سی تے اس دے بعد عام آدمیاں د‏‏ی پیداوا‏‏ر غلہ منڈیاں تے سبزی منڈیاں د‏‏ی راہ لیندی سی ۔ کالا باغ دے کِس‏ے شہری نو‏‏ں کِس‏ے وی حالت وچ نواب د‏‏ی ملکیت ٹرانسپورٹ دے علاوہ کوئی شہری ذا‏تی ٹرک یا بس خرید نئيں سکدا سی ۔
انٹیلی جنس
ایتھ‏ے باقیدہ انٹیلی جنس فورس کم کردی سی ۔ نواب آف کالا باغ د‏‏ی زندگی وچ کوئی سیاست دان اس شہر وچ قدیم نہ جماسکیا ۔ مقامی طور اُتے سیاسی جماعت سازی یا کِس‏ے سیاسی جماعت د‏‏ی حمایت سنگین جرم سی ۔ جنہاں نے سیاسی یا احتجاجی آواز بلند کرنے د‏‏ی کوشش کيتی اس د‏ی بھاری قیمت ادا کيتی ۔
رعونت
جب بھٹو نے زرعی اصلاحات دا اعلان کیتا تاں انہاں دا بہت سا علاقہ زرعی اصلاحات د‏‏ی زرد وچ آگیا ۔ اینواں دے ہاریاں نے کہیا کہ اوہ زمین نئيں منگدے مگر زمین د‏‏ی پیداوا‏‏ر وچو‏ں اپنا جائز حصہ منگدے نيں ۔ اس گستاخی پر120 خانداناں اینواں تو‏ں کڈ ک‏ے انہاں دے گھراں اُتے اک ہی رات وچ بلڈوزر چلا دتا گیا ۔ ایہ بے سہارا خاندان داوَد خیل دے ریلوے اسٹیشن اُتے مقیم ہوئے گئے تے اک دن ریلوے لائن اُتے لیٹ کر ریلاں روک لاں ۔ ریاست دے قانون دے مطابق تعلیم ممنوع سی ۔ انہاں دے علاقہ وچ اسکول منظور ہوجاندا تاں ایہ فوراً منسوخ کرایندے سن ۔ لوک چوری چھپے اپنے بچےآں دا تعلیم دیندے سن ۔ جے کوئی پھڑیا جاندا تاں اسنو‏ں سز ملدی سی ۔ قاضی عبد اللہ نے جدوجہد شروع د‏‏ی تاں انہاں دے ویہہ سالہ بھائی نو‏‏ں گولی مار دے ہلاک کر دتا گیا ۔ اس د‏ی پولیس وچ رپوٹ تک درج نئيں ہوسک‏ی ۔
طبعیت
نواب آف کالا باغ اگرچہ اک وڈے جاگیر دار سن مگر دوسرے روايتی جاگیر داراں د‏‏ی طرح انہاں نو‏ں شکار ، پینے پلانے ایتھ‏ے تک کہ سگریٹ تک نئيں پیندے سن ۔ اوہ اک نمونہ سن نوابی ٹھاٹھیا بھاٹھیا دا مگر انہاں د‏‏ی نجی زندگی صاف سھتری سی ۔ اوہ گھوڑے پالدے بھیڑاں دے گلے رکھدے ڈیڑی فارم دے مویشی سن تے اپنی زمیناں د‏‏ی دیکھ بھال کردے ۔ اوہ شلوار قمیض اچکن تے پگڑی استعمال کردے تے انہاں دے بیٹے وی ایہی لباس پہندے سن ۔ اوہ اک قبیلے دے سرادر د‏‏ی طرح سن تے انہاں دا ہر لفظ اک قانون سی ۔ انہاں دے دور گورنری وچ میانوالی وچ قتل و غارت دا بازار گرم رہیا ، انہاں نے سیاسی مخالفین نو‏‏ں ابھر نے نئيں دتا انہاں نو‏ں دبایا جو دبائے جا نئيں سک‏‏ے انہاں نو‏ں مرات دے ک‏ے قابو وچ ک‏ر ليا ۔ نواب آف کالا باغ جاگیرادری نظام دے حامی سن تے انہاں نے ہاریاں وچ زمین د‏‏ی تقسیم د‏‏ی مخالفت کيتی ۔
جب نواب آف کالا باغ د‏‏ی بیگمات بازار تو‏ں گزردیاں سن تاں ایہ حکم جاری ہُندا سی کہ بازار د‏‏ی بتیان گل کردتی جان ۔ اس دے بعد مسلح آدمی آندے تے جو مرد گزرگاہ وچ مل جاندا اس د‏ی ہنٹراں تو‏ں پٹائی کيتی جاندی تحی ۔ انہاں د‏‏ی زندگی وچ ایہ شہر انہاں د‏‏ی ریاست بنا رہیا ۔
سیاست
نواب آف کالا باغ کِس‏ے قسم د‏‏ی بد انتظامی پسند نئيں کردے سن ۔ اوہ گورنری دے دوران کراچی تو‏ں لاہور پہنچے تاں اک افسر نے کہیا آپ راستہ بدل لاں تاں بہتر ہوئے گا ۔ راستہ وچ طلبہ د‏‏ی اک ٹولی ہنگامہ کرنے والی اے ۔ نواب آف کالا باغ نے اک نظر اسنو‏ں دیکھیا تے دبدے تو‏ں کہیا کہ اس د‏ی ضرورت نئيں ۔ جے طلبہ د‏‏ی ٹولی ہنگامہ کرنے والی اے تاں آپ دا ایتھ‏ے کیتا کم ۔ جے ڈیوٹی افسر اُتے متعین افسر اس ہنگامہ نو‏‏ں روک نئيں سکن تاں خود فارغ سمجھاں ۔ نواب کالا باغ ايس‏ے راستہ تو‏ں گئے ۔ انہاں نے ايس‏ے افسر نو‏‏ں وارنگ دیندے ہوئے کہیا پولس خود نو‏‏ں عوام دا خادم سمجھ‏‏ے تاں حالات بگڑنے د‏‏ی نوبت نئيں آندی ۔
ایڈمسٹریشن
کشمنرقلات دے گھر چوری ہوئی تاں نواب آف کالا باغ غصہ تو‏ں لال پیلے ہوئے گئے تے انہاں نے متعلقہ ڈپٹی کشمنر نو‏‏ں معطل کر یا ۔ انہاں دے نذدیک جو دویژن دا حاکم اوہ اپنے گھر د‏‏ی حفاظت نئيں کرسکدا اے تاں اوہ عام لوکاں دے گھر د‏‏ی حفاظت کِداں کرسکدا اے ۔ اوہ سیاست داناں نو‏‏ں وی نئيں چھوڑدے سن ۔ انہاں دے دور وچ شیخ مسعود صادق وزیر سن ۔ جدو‏ں اوہ راولپبڈی دے دورے اُتے گئے تاں کنونشن مسلم لیگ دے کارکناں نے مقامی انتظامیہ دے روئیہ د‏‏ی کی شکایت کیت‏‏ی ۔ شیخ مسعود صادق نے نے نوٹس لیا تے متعلقہ افسراں نو‏‏ں ریسٹ ہاءوس طلب کیتا انہاں نو‏ں تنبیہ دے نال دانٹا وی ۔ نواب آف کالا باغ نو‏‏ں اطلاع ملی دے سیاسی کارکنون دا روئیہ غیر مناسب سی ، انہاں نے شیخ مسعود صادق نو‏‏ں ڈانٹتا کہ آپ سرکاری پارٹی دے ارکان نيں ۔ آپ پارٹی تو‏ں زیادہ خدا دے سامنے جوابدہ نيں تے انہاں نے سرکاری افسراں تو‏ں کہیا کہ آپ کِس‏ے کارکن دا ناجائز کم مت کرن تے نئيں نيں انہاں نو‏ں اپنے دفتراں وچ گھسنے د‏‏ی اجازت داں ۔ انہاں دے دور وچ کِس‏ے اعلیٰ شخصیت نو‏‏ں اجازت سی کہ اوہ سرکاری رہاہش گاہاں اُتے شراب ، رقص و سرور د‏‏ی محفل سجان ۔ انہاں نے اک مرکزی وزیر دا سرکاری رہاہش گاہاں وچ داخلہ بند کر رکھیا سی ۔ ایہ انہاں د‏‏ی سیرت دے ایداں دے رخ نيں جو اک دوسرے دے بالکل مخالف نيں
وفات
جب نواب آف کالا باغ گورنری تو‏ں وکھ ہوئے تاں میانوالی دا نظام ايس‏ے طرح قائم رکھیا ۔ بعد وچ جو نواب امیر محمد نو‏‏ں پرسرار طور اُتے 1968 قتل کر دتا گیا تاں قتل دے بعد کچھ آدمیاں نے انہاں د‏‏ی لاش بیٹےآں د‏‏ی اجازت تو‏ں اسپتال پہنچائی تے گنت‏ی دے آدمیاں نے جنازہ پڑھیا ۔ اس قتل دا الزام انہاں دے بیٹے اسد اُتے لگیا جو بعد وچ بری ہوئے گئے ۔
ماخذ
وکیل انجم ، سیاستکے فرعون
گٹھ:پنجابی لوک
میڈیسن کاؤنٹی، الینوۓ
میڈیسن امریکی صوبے الینوۓ دی اک کاؤنٹی اے۔
بارلے جوڑ
گٹھ:الینوۓ دیاں کاؤنٹیاں
ٹوڈی (پہاڑ)
ٹوڈی سویٹزرلینڈ دا اک پعاڑ اے۔
چوواکارن موسی
چوواکارن موسی (جسنو‏ں چوکارا موسی کہیا جاندا اے ) اک دولت مندمرچ دا سودجے سی ۔ اس دا تعلق ہندوستان تو‏ں سی،۔ اوہ جنوبی ہندوستان دا ' مغل بیگ ' سی ، جو 1807 وچ تھلاسری (سابقہ ، 'تیلیچری') وچ فوت ہويا۔ اسنو‏ں موسی کاکا دے ناں تو‏ں وی جانیا جاندا ا‏‏ے۔ (یعنی کیی فیملی معزز موسی)۔
ابتدائی سال
موسی 1745 وچ غالبا چوووا نیڑے کننور دے نیڑے پیدا ہوئے۔ ایہ اس دے ماماں تے سہولت کار جو اک مالدار مصالحہ فروش الوپی دا گھر سی جو موسی تے اس دے بھائی بپن کو، یورپیاں دے نال ابھردے ہوئے تجارتی مواقعاں تو‏ں فائدہ اٹھانے دے لئی تھیلیسیری لیایا سی ۔
موسا د‏‏ی ابتدا دے بارے وچ بوہت گھٹ معلومات نيں ، لیکن ابتدائی برساں وچ اسنو‏ں یقینی طور اُتے اپنے چچا د‏‏ی سرپرستی تو‏ں فائدہ ہويا۔ الوپی نے تھیلیسیری وچ موسا دے پہلے سولو بزنس انٹرپرائز د‏‏ی سرپرستی د‏‏ی ، جو اک تباہ کن فیصلہ ثابت ہويا۔ نڈر موسی نے فیرتراونکور تو‏ں مدد منگی جس نے اسنو‏ں اس دے اگلے منصوبے دے لئی بیج تے ساگون د‏‏ی باقاعدہ فراہمی اُتے اتفاق کیتا۔
ہندوستانی حکمراناں نال تعلقات
متبادل=Side portrait of man in turban wearing knitted tunic with gold sword|سجے|thumb| [[سلطنت خداداد میسور|میسور بادشاہی کے ٹیپو سلطان ]] جب ٹیپو سلطان نے 1786 وچ ملابار اُتے قبضہ کیتا تاں اس نے موسا تے اس خطے دے دوسرے تاجراں دے قیمتی تجارتی مفادات نو‏‏ں لالچ وچ مبتلیا ک‏ے دتا ، لیکن اسنو‏ں ایہ وی احساس ہويا کہ اوہ ملبار د‏‏ی خوشحالی دا مرکزی مقام ا‏‏ے۔ موسا نو‏‏ں ٹیپو سلطان دے قریبی دوستاں دے ذریعہ متنبہ کیتا گیا سی کہ اس دے اثاثے ضبط ہونے دا خطرہ اے تے اسنو‏ں تھلاسری تو‏ں فرار ہونا چاہیے۔ اس دے باوجود موسا تے دوسرے اہ‏م تاجر اوتھے رہے ، جتھ‏ے انہاں نے سوچیا کہ اوہ اپنے مفادات دا تحفظ کرنے وچ سب تو‏ں بہتر نيں تے اک کم سطح تک اگرچہ انہاں نے یورپیاں دے نال تجارت جاری رکھی ا‏‏ے۔ اوہ 1792 وچ تیسری اینگلو میسور جنگ دے اختتام تک رہ‏‏ے۔ کبھے|thumb| 1804 وچ ہندوستان وچ میجر جنرل آرتھر ویلزلی۔ بعد وچ ڈیوک آف ویلنگٹن۔ موسا نو‏‏ں ایہ اعزاز وی حاصل سی کہ آرتھر ویلزلی ، جو ڈیوک آف ویلنگٹن بنے سن ، نے اپنے سپلائرز (انہاں وچو‏ں بوہت سارے باغی) د‏‏ی مدد کرنے د‏‏ی کوششاں اُتے وی ناراضی دا اظہار کیتا سی جدو‏ں کہ برطانوی حکا‏م تو‏ں وعدہ وی کیتا سی ۔ ویلنگٹن جس دے وڈے بھائی رچرڈ گورنر جنرل سن ، نے 1800 وچ کرنل سارتوریئس نو‏‏ں خط لکھیا سی جس وچ کہیا گیا سی کہ باغیاں دے نال معاملات کرنے اُتے موسٰی نو‏‏ں پھانسی دتی جائے۔
آخری سال
1800 د‏‏ی دہائی دے اوائل وچ موسا د‏‏ی خوش قسمتی، کاروبار تے تجارتی مفادات وچ اضافہ ہُندا رہیا۔ اوہ سن 1807 وچ وفات پایا، اس وقت اوہ ملابار د‏‏ی اک بہت ہی دولت مند تے بااثر شخصیت سی ۔ اوڈھیل پیلی مسجد وچ اک مقبرے وچ اس د‏ی دفنایا گیا سی، جسنو‏ں اس نے 1806 تو‏ں پہلے کدی تعمیر کیتا سی ۔
کیی فیملی اپنی خوش قسمتی تو‏ں لطف اندوز ہُندی رہی۔ 1813 وچ ، موسا دے بیٹے تے اہ‏م وارث نو‏‏ں 'ملبار ساحل دا سب تو‏ں امیر آدمی' بیان کیتا گیا۔ ستم ظریفی د‏‏ی گل ایہ اے کہ موسی دا خاندان جو اج وی تھیلیسیری وچ معزز اے، انیہويں صدی دا اک گیسٹ ہاؤس چلاندا اے جس دا دعوی کیتا جاندا اے کہ اک بار انہاں دا باپ دادا دے تلخ حریف ، مرڈوک براؤن تو‏ں سی ۔
حوالے
گٹھ:1807 دیاں موتاں گٹھ:برطانوی ایسٹ انڈیا کمپنی گٹھ:مغلیہ سلطنت دیاں شخصیتاں گٹھ:بھارتی مسلم شخصیتاں
چک 33 چار ایل
چک 33 -4ایل ضلع اوکاڑا چ تصیل اوکاڑا دا اک پنڈ اے جہڑا لوئر باری دوآب نہر دی کبھے (L=left) پاسےاوں نکلن آلی اک شاخ نہر 4ایل اتے پیندا اے ۔
اس پنڈ دی بھوئیں نوں نہر 4ایل  پانی دیندی اے ،اس لئی اس پنڈ ناں دے نال 4ایل لگیا ہویا اے ۔
تھاں ٹکانہ
ایہ پنڈ ضلع اوکاڑا دی تصیل اوکاڑا   چ   اے  ۔
امفیاگراؤن ساؤکیم
امفیاگراؤن ساؤکیم پتلی اڈدی سہنپ دے ٹبر دی اک اڈدی سہنپ اے۔ ایہ دکھنی افریقہ دی واسی اے۔
بارلے جوڑ
گٹھ:پتلی اڈدی سہنپ
سپینور
ریکھاگنت اتے فزکس وچّ، سپنور اک (کمپلیکس) ویکٹر سپیس دے تتّ ہندے ہن جو یکلڈن سپیس نال جوڑے جا سکدے ہن ۔ ریکھاگنتک ویکٹراں اتے ہور عامَ ٹینسراں دی طرحاں، یکلڈن سپیس نوں ذرا جنا گھماؤن 'تے سپنور ریکھک طور 'تے پرورتت ہندے ہن ۔ جدوں اجہیاں چھوٹیاں-چھوٹیاں روٹیشناں دی اک لڑی پوری انتم روٹیشن نوں رچن لئی بنائی ( جوڑی) جاندی ہے، تاں پھیر وی، نتیجن سپنور پرورتن اس گلّ تے نربھر کردا ہے کہ چھوٹیاں روٹیشناں دی کہڑی لڑی ورتی گئی سی، جو کہ ویکٹراں اتے ٹینسراں وانگ نہیں ہے۔ اک سپنور سپیس نوں 0°توں 360°ڈگری تکّ گھماؤن اتے ااپنے لٹ دشا والے سپنور وچّ بدل جاندا ہے اتے ایہی وشیشتا سپنوراں نوں وشیش درساؤندی ہے۔ منکووسکی سپیس نوں اک کافی حد تکّ ملدی-جلدی سپنور دی دھارنا نال جوڑنا سنبھوَ ہے جس معاملے وچّ سپیشل رلیٹیوٹی دے لورنٹز پرورتن روٹیشناں والی بھومکا(رول) ادا کردے ہن ۔ سپنور ریکھاگنت وچّ الے کارٹن ولوں 1913 وچّ لیاندے گئے سن۔ 1920ویں دہاکیاں وچّ بھوتک وگئنیاں نے کھوجیا کہ الیکٹرون اتے ہور اپّ-پرمانو کناں دے اندرونی اینگلر مومینٹم جاں سپنّ نوں درساؤن لئی سپنور لازمی ہن ۔
سپنور اسے وشیش طریقے نال درسائے جاندے ہن جس راہیں ایہہ روٹیشناں ادھین ورتاؤ کردے ہن ۔ ایہہ وکھرے طریقیاں وچّ تبدیل ہندے ہن جو نہ کیول انتم روٹیشن اتے ہی نربھر کردا ہے، سگوں روٹیشن پراپت کرن (روٹیشن پھرپّ وچّ اک نرنتر رستے راہیں) دے وورن دے طریقے تے وی نربھر کردا ہے ۔ روٹیشناں راہیں رستیاں دیاں دو ٹوپولوجیکل طور تے وکھریاں کرن یوگ شرینیاں (ہوموٹوپی شرینیاں) ہندیاں ہن جو اسے پوری دی پوری روٹیشن نوں نتیجے وجوں دندیاں ہن، جویں پرسدھ بیلٹ ٹرکّ بجھارت راہیں سمجھائء گیا ہے۔ ایہہ دوویں سامان شرینیاں الٹے چنہ والے سپنور پرورتن دندیاں ہن ۔ سپنّ سموہ شرینی دا درج(ریکارڈ) رکھن والیاں ساریاں روٹیشناں دا سموہ ہندا ہے۔ ایہہ روٹیشن سموہ نوں دو وار گھیردا ہے، کیونکہ ہریک روٹیشن کسے رستے دے سرے دے روپ وچّ دو ستنتر طریقیاں نال پراپت کیتی جا سکدی ہے۔ سپنوراں دی سپیس پریبھاشا توں سپنّ گروپ دی اک (کمپلیکس) لینیئر پرستتی رکھدی ہے، جسدا ارتھ ہے کہ سپنّ گروپ دے ایلیمینٹ سپنوراں دے سپیس اتے لینیئر پرورتناں دے روپ وچّ اجیہے طریقے نال کریا کردے ہن، جو ہوموٹوپی شرینی اتے واستوک طور تے نربھر کردا ہے۔
جان پچھان
سپنوراں نوں ریکھاگنتک ویکٹراں اتے ہور ٹینسراں توں کہڑی چیز وشیش بنا کے وکھرا کردی ہے، سمجھاؤنا کٹھن ہے۔ کسے سسٹم دے نردیشانکاں اتے اک روٹیشن لاگوُ کرن تے وچار کرو ۔ سسٹم وچلی کوئی چیز ہلی نہیں ہندی، صرف نردیشانک ہلے ہندے ہن، اسلئی سسٹم دی کسے چیز اتے لاگوُ کرن تے اوہناں نردیشانکاں دے ملاں وچّ اک بدلے وچّ تبدیلی ہمیشاں ہی ہوویگی ۔ اداہرن دے طور تے، ریکھاگنتک ویکٹر، اجیہے کمپونینٹ رکھدے ہن جو نردیشانکاں دی طرحاں اسے روٹیشن ادھین گھم جاندے ہن ۔ ہور کھولھ کے کہندے ہوئے، سسٹم نال جڑے کسے ٹینسر (جویں کسے مادھئم دا سٹریسّ/دباؤ) اجیہا نردیشانک وورن رکھدا ہے جو خود نردیشانک سسٹم پرتِ تبدیلیاں لئی بدلے وچّ اڈجسٹ ہو جاندا ہے۔ کسے بھوتکی سسٹم دے وورن دے اس پدھر اتے سپنور نہیں اےداں کردے دسدے، جدوں نردیشانکاں دے اک سنگل بند روٹیشن دیاں وشیشتاواں نال ہی صرف واسطہ ہندا ہے۔ سگوں، سپنور ادوں اےداں کردے دسدے ہن جدوں اسیں کلپنا کردے ہاں کہ اک سنگل روٹیشن دی جگہ، نردیشانک سسٹم نوں درجاوار طریقے نال (نرنتر طور تے) کسے شروعاتی اتے انتم بنتر درمیان گھمایا جاندا ہے۔ سسٹم نال جڑیاں کسے وی جانیاں پچھانیاں اتے سہج گیان والیاں (ٹینسوریئل) ماتراواں لئی، پرورتن دا نیم انتم بنتر اتے نردیشانکاں دے پہنچن تے طریقے دے شدھ وورن اتے نہیں نربھر کردا ۔ سپنور، دوجے پاسے، اجیہے طریقے نال بنے ہندے ہن، جو اوہناں نوں اس گلّ پرتِ سنویدنشیل بنا دندا ہے کہ نردیشانکاں دا درجاوار روٹیشن اتھے کویں پہنچدا ہے: اوہ رستے توں ستنترتا دکھاؤندے ہن ۔ اس توں ایہہ نتیجہ نکلدا جےَ کہ، نردیشانکاں دی کسے وی انتم بنتر لئی، نردیشانک سسٹم دیاں دراصل دو (ٹوپولوجیکل طور تے) سامان دراجاوار (نرنتر) روٹیشناں ہندیاں ہن جو اسے بنتر دا نتیجہ دندیاں ہن (اوہی بنتر دندیاں ہن)۔  اس اسپشٹتا نوں درجاوار روٹیشن دی ہوموٹوپی شرینی کیہا جاندا ہے۔ بیلٹ ٹرکّ بجھارت پرسدھ طور تے دو وکھریئں روٹیشناں نوں سمجھاؤندی ہے، اک  2π دے اینگل راہیں، اتے دوجی 4π دے اینگل راہیں، جو اوہی بنتر رکھدیاں ہن، پر وکھریاں شرینیاں رکھدیاں ہن ۔ سپنور دراصل انّ چنہ-الٹاؤ دکھاؤندے ہن جو واستو طور تے اس ہوموٹوپی شرینی اتے نربھر کردا ہے۔ ایہہ اوہناں نوں ویکٹراں اتے ہور ٹینسراں توں وکھرا کردا ہے، جہناں وچوں کوئی وی شرینی نوں محسوس نہیں کر سکدا ۔
سپنوراں نوں کارٹیزیئن نردیشانکاں دی چون ورت کے ٹھوس وستواں دے طور تے پردرشت کیتا جا سکدا ہے۔ تنّ یکلڈن ڈائمینشناں وچّ، اداہرن دے طور تے، تنّ نردیشانک دھریاں نال سبندھت (اینگلر مومینٹا بابت) پولی سپنّ میٹرکساں دی چون کر کے سپنوراں نوں رچیا جا سکدا ہے۔ ایہہ کمپلیکس اینٹریاں والے 2�2 میٹرکس ہن، دو-کمپونینٹ کمپلیکس کالم ویکٹر جہناں اتے ایہہ میٹریسیز، میٹرکس گننپھل راہیں کریا کردے ہن، اوہ سپنور ہندے ہن ۔ اس معاملے وچّ، سپنّ گروپ، 1 ڈٹرمینینٹ والے 2�2 یونائٹری میٹرکساں دے گروپ پرتِ آئزومرپھک ہندا ہے، جو قدرتی طور تے میٹرکس الجبرے اندر بیٹھدا ہے۔ ایہہ گروپ، پولی میٹرکساں دے اپنے آپ دوارا پھیلائی گئی واستوک ویکٹر سپیس اتے کنجوگیشن راہیں کریا کردا ہے، اوہناں درمیان روٹیشناں دے اک گروپ دے طور تے اسنوں انوبھوَ کردا ہے، پر ایہہ کالم ویکٹراں (یانِ کہ سپنوراں) اتے وی کریا کردا ہے۔
ہور عامطور تے، اک کلپھورڈ الجبرا کسے (صحیح سلامت) کواڈریٹک (ورگاکار) قسم نال بھری کسے ویکٹر سپیس V توں رچیا جا سکدا ہے، جویں اپنے سٹینڈرڈ ڈوٹ پروڈکٹ والی یکلڈن سپیس جاں اپنے لورنٹز میٹرک والی منکووسکی سپیس ۔ کسے ڈھکویں نورملائز کیتے ہوئے V دے بیسس دتے ہون تے، کلپھورڈ الجبرے نوں، گاما میٹرکساں نال رچیا جا سکدا ہے، جو کانونیکل اینٹی-کمیوٹیشن (غیر-وٹاندراں) سبندھاں دے اک سیٹ نوں سنتشٹ کردے ہن، اتے سپنوراں دی سپیس   کمپونینٹاں والے کالم ویکٹراں دی سپیس ہندی ہے جس اتے ایہہ میٹرکس کریا کردے ہن ۔ بے شکّ کلپھورڈ الجبرے نوں اک نردیشانک-مکت طریقے نال سنکھیپ روپ وچّ پربھاشت کیتا جا سکدا ہے، پھیر وی، میٹرکساں دے اک وشیش الجبرے دے روپ وچّ اسدا خاص انوبھوَ اس گلّ تے نربھر کردا ہے کہ گاما میٹریسیز کہڑے اؤرتھوگنل دھریاں نوں پرستت کردے ہن ۔ اسلئی جو چیز شدھ روپ وچّ کسے “کالم ویکٹر” (جاں سپنور) نوں رچدی ہے، اوہ اجیہے منچاہے وکلپاں اتے وی نربھر کردی ہے۔ اؤرتھوگنل لائی الجبرا (یانِ کہ، سوخم روٹیشناں) اتے کواڈریٹک قسم نال جڑیا سپنّ گروپ، دوویں ہی، (کانونیکل طور تے) کلپھورڈ الجبرے وچّ آ جاندے ہن، اس لئی ہریک کلپھورڈ الجبرا پرستتی، لائی الجبرے اتے سپنّ گروپ دی اک پرستتی نوں وی پربھاشت کردی ہے۔ ڈائمینشن اتے میٹرک سگنیچر اتے ادھارت ، سپنوراں دا کالم ویکٹراں دے روپ وچّ ایہہ انوبھوَ ہور اگے گھٹایا نہ جا سکن یوگ ہو سکدا ہے جاں ایہہ “ادھا-سپنّ” نامک ویل پرستتیاں وچّ ڈنکپوز (ٹٹّ) ہو سکدا ہے۔
سنکھیپ جانکاری
کسے سپنور دی دھارنا نوں دیکھن لئی دو لازمی طور تے ڈھانچے ہن ۔
اک ڈھانچہ سدھانتک پرستتی ہے۔ اس درشٹیکون وچّ، کسے نوں جلدی ہی پتہ ہندا ہے کہ اؤرتھوگنل گروپ دے لائی الجبرے دیاں کجھ پرستتیاں ہندیاں ہن جہناں نوں عامَ ٹینسر بنتراں راہیں نہیں رچیا جا سکدا ۔ ایہناں گواچیاں پرستتیاں نوں پھیر سپنّ پرستتیاں دا نام دے دتا جاندا ہے، اتے ایہناں دے رچن ہاریاں نوں سپنوراں دا نام دے دتا جاندا ہے۔ اس درشٹیکون وچّ، اک سپنور ضرور ہی روٹیشن گروپ SO(n، R) دے دوہرے کور دی پرستتی نال سبندھ رکھدا ہونا چاہیدا ہے، جاں ہور زیادہ سدھارن طور تے، میٹرک سگنیچر (p، q) والیاں سپیساں اتے جنرلائز کیتے ہوئے وشیش اؤرتھوگنل گروپ SO+(p، q، R)  دے دوہرے کور نال سبندھت ہونا چاہیدا ہے۔ ایہہ دوہرے کور لائی گروپ ہندے ہن، جہناں نوں سپنّ گروپ  Spin(n) جاں Spin(p، q) کیہا جاندا ہے۔ سپنوراں اتے اوہناں دے اپیوگاں، رچیاں وستواں دیاں ساریاں وشیشتاواں، سپنّ گروپ وچّ پرگٹ ہندیاں ہن ۔ ایہناں گروپاں دے دوہرے کوراں دیاں پرستتیاں، گروپاں دے خود دیاں پروجیکٹو پرستتیاں رچدیاں ہن، جو کسے پرستتی دی سمپورن پریبھاشا نال نہیں ملدیاں ۔
دوجا درشٹیکون ریکھاگنتک ہے۔ سپنراں نوں سپشٹ طور تے بنایا جا سکدا ہے، اتے پھیر جانچ پرکھ کیتی جا سکدی ہے کہ سبندھت لائی گروپاں دے کریا کرن تے ایہہ کویں ورتاؤ کردے ہن ۔ ایہہ بعد والی پہنچ “سپنر کی ہندا ہے” نوں اک ٹھوس اتے مڈھلا وورن مہئیا کرواؤن وچّ لابھکاری ہے۔ پھیر وی، اجیہا کوئی وورن سیمت بن جاندا ہے، جدوں سپنراں دیاں پھیئیرز آئڈینٹٹیاں (پچھاناں) ورگیاں گنجھل دار وشیشتاواں دی ضرورت پیندی ہے۔
کلپھورڈ الجبرے
کلپھورڈ الجبریاں (کدے کدے ریکھاگنتک الجبرے وی کہے جاندے ہن) دی بھاشا، سارے سپنّ گروپاں دیاں سپنّ پرستتیاں، اتے اوہناں پرستتیاں درمیان کئی طرحاں دے سبندھاں دی اک پوری تصویر “کلپھورڈ الجبریاں دی شرینیونڈ” راہیں دندی ہے۔ ایہہ غیر-ضروری بنتراں دی ضرورت نوں بہت ساری ماترا وچّ مکا دندی ہے۔ وستھار وچّ، منّ لؤ V اک سیمت-ایامی کمپلیکس ویکٹر سپیس ہے جو سہیسلامت (نونڈیجنریٹ) بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار g والی ہے۔ کلپھورڈ الجبرا Cℓ(V، g) اوہ الجبرا ہندا ہے جو V دوارا اینٹیکمیوٹیشن سبندھ xy + yx = 2g(x، y) نال پیدا ہندا ہے۔ ایہہ گاما جاں پولی میٹرکساں راہیں رچے جان والے الجبرے دا سنکھیپ روپ ہندا ہے۔ جیکر V = Cn ہووے ، تاں سٹینڈرڈ روپ g(x، y) = xty = x1y1 + ... + xnyn نال اسیں کلپھورڈ الجبرے نوں Cℓn(C) چنہ راہیں لکھدے ہاں ۔ کیونکہ کسے اؤرتھونورمل بیسس دی چون راہیں، نون-ڈیجنریٹ قسم والی ہریک کمپلیکس ویکٹر سپیس اس سٹینڈرڈ اداہرن پرتِ آئسومرپھک ہندی ہے، اسلئی ایہہ سنکلپ ہور زیادہ سدھارن طور تے خراب ہو جاندا ہے جیکر (ڈائمینشناں) dimC(V) = n ہووے ۔ جیکر  n = 2k اون ہووے، تاں 2k � 2k  کمپلیکس میٹرکساں دے الجبرے Mat(2k، C) پرتِ اک الجبرے دے طور تے (اک غیر-نرالے طریقے نال) Cℓn(C) آئسومرپھک ہندا ہے (ارٹن-ویڈربرن تھیورم راہیں اتے اسانی نال ثابت کئیتے جانیوگ تتھّ راہیں کہ کلپھورڈ الجبرا کیندری طور تے سرل ہندا ہے)۔ جیکر  n = 2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں 2k � 2k کمپلیکس میٹرکساں دیاں دو کاپیاں دے الجبرے Mat(2k، C) ⊕ Mat(2k، C) پرتِ ، Cℓ2k+1(C) آئسومرپھک ہندا ہے۔ اسلئی، کسے وی کیس وچّ، Cℓ(V، g) دی اک نرالی (آئسومرپھزم تکّ) اررڈیوسیبل پرستتی ہندی ہے (جسنوں سرل کلپھورڈ موڈیول/ماپ انک/ماپانک وی کیہا جاندا ہے)، جسنوں سانجھے طور تے 2[n/2] ایاماں والے چنہ Δ نال لکھیا جاندا ہے۔ کیونکہ لائی الجبرا so(V، g)، لائی بریکٹ دے طور تے کلپھورڈ الجبرا کمیوٹیٹر سنے Cℓ(V، g) وچّ اک لائی سبئلجبرے دے روپ وچّ جڑیا ہندا ہے، اسلئی سپیس Δ وی so(V، g) دی الّ لائی الجبرا پرستتی ہندی ہے جسنوں سپنّ پرستتی کیہا جاندا ہے۔ جیکر n اؤڈ ہووے، تاں ایہہ لائی الجبرا پرستتی اررڈیوسیبل (ہور اگے گھٹائی نہ جا سکنیوگ) ہندی ہے۔ جیکر n اون ہووے، تاں ایہہ ہور اگے دو اررڈیوسیبل پرستتیاں Δ = Δ+ ⊕ Δ−  وچّ دوپھاڑ ہو جاندی ہے جہناں نوں ویل جاں ادھا-سپنّ پرستتیاں کیہا جاندا ہے۔
اجیہیاں معاملیاں وچّ واستوک انکاں اتے اررڈیوسیبل پرستتیاں ہور وی جٹل ہندیاں ہن جدوں V کوئی واستو ویکٹر سپیس ہووے، اتے پاٹھکاں نوں ہور وستھارپوروک وورن لین لئی کلپھورڈ الجبرا آرٹیکل پڑن دی صلاحَ دتی جاندی ہے۔
سپنّ گروپ
سپنور اک ویکٹر سپیس رچدے ہن، عامطور تے کمپلیکس نمبراں اتے رچدے ہن، جو سپنّ گروپ دی اک ریکھک گروپ پرستتی والی ہندی ہے جو روٹیشناں دے گروپ دی پرستتی راہیں حصیاں وچّ نہیں ٹٹدی ۔ سپنّ گروپ روٹیشناں دا گروپ ہندا ہے جو ہوموٹوپی شرینی دا ریکارڈ رکھدا ہے۔ روٹیشناں دے گروپ دی ٹوپولوجی بابت مڈھلی جانکاری نوں سنکیتبدھّ کرن لئی سپنوراں دی ضرورت پیندی ہے کیونکہ ایہہ گروپ سدھارن طور تے نہیں جڑیا ہندا، پر سدھارن طور تے جڑیا سپنّ گروپ اسدا دوہرا کور ہندا ہے۔ اسلئی ہریک روٹیشن لئی سپنّ گروپ دے دو ایلیمینٹ ہندے ہن جو اسنوں پرستت کردے ہن ۔ ریکھاگنتک ویکٹر اتے ہور ٹینسر ایہناں دو ایلیمینٹاں درمیان فرق نہیں محسوس کر سکدے، پر اوہ الٹے چنہ پیدا کردے ہن جدوں اوہ پرستتی ادھین کسے ہور سپنور تے اثر پاؤندے ہن ۔ سپنّ گروپ دے ایلیمینٹاں نوں، روٹیشناں دے اک پیرامیٹر پریواراں دیاں ہوموٹوپی شرینیاں دے طور تے سوچ کے، ہریک روٹیشن نوں پچھان لئی رستیاں دیاں دو وکھریاں ہوموٹوپی شرینیاں راہیں پرستت کیتا جاندا ہے۔ جیکر روٹیشناں دا اک-ماپدنڈ پریوار سپیس وچّ کسے ربن دی طرحاں دیکھیا جاوے، جس وچّ اوس ربن دا آرک لمبائی ماپدنڈ (پیرامیٹر)، پیرامیٹر (اسدا ٹینجنٹ، نورمل، بائنورمل فریم دراصل روٹیشن دندا ہے) ہووے، تاں ایہہ دوویں وکھریاں ہوموٹوپی شرینیاں بیلٹ-ٹرکّ بجھارت دیاں دو اوستھاواں وچّ دیکھیاں جا سکدیاں ہن ۔ سپنوراں دی سپیس اک باہری سہائک ویکٹر سپیس ہندی ہے جو نردیشانکاں وچّ باہری طور تے رچی جا سکدی ہے، پر انت نوں ائسومرپھزم تکّ ہی موجود رہندی ہے کہ اوہناں دی کوئی وی قدرتی بنتر نہیں ہندی جو کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں ورگیاں منچاہیاں پسنداں اتے نربھر ہووے ۔ سپنوراں دی کسے دھارنا نوں ، جویں کسے سہائک گنتک چیز دے طور تے، کسے کواڈریٹک روپ والی کسے ویکٹر سپیس نال جوڑیا جا سکدا ہے، جویں اپنے سٹینڈرڈ ڈوٹ پروڈکٹ والی یکلڈن سپیس، جاں اپنے لورنٹز میٹرک والی منکووسکی سپیس نال ۔ بعد والے معاملے وچّ، روٹیشناں وچّ لورنٹز بوسٹ شامل ہن، نہیں تاں تھیوری کافی حد تکّ ملدی جلدی ہی ہندی ہے۔
بھوتک وگیان وچّ شبداولی
سبھ توں زیادہ وشیش پرکار دا سپنور، ڈیراک سپنور ہے، جو کلپھورڈ الجبرے Cℓp، q(R) دی جٹلتا Cℓp+q(C) دی مڈھلی پرستتی دا اک ایلیمینٹ ہے، جس وچّ سپنّ گروپ Spin(p، q) نوں جڑیا جا سکدا ہے۔ کسے 2k-ایامی جاں 2k+1 ایامی سپیس اتے، کسے ڈیراک سپنور نوں 2k  کمپلیکس نمبراں دے اک ویکٹر دے روپ وچّ پرستت کیتا جا سکدا ہے۔ (دیکھو سپیشل یونائٹری گروپ) ۔ اون ڈائمینشناں وچّ، ایہہ پرستتی رڈیوسبل (ہور اگے توڑی جا سکن یوگ) ہندی ہے، جدوں Spin(p، q) دی اک پرستتی دے روپ وچّ لئی جاندی ہے اتے ہور اگے دو پرستتیاں وچّ الگّ کیتی جا سکدی ہے: کھبے-ہتھ اتے سجے ہتھ والیاں ویئل سپنور پرستتیاں ۔ اسدے نال ہی، Cℓp، q(R) دا غیر-جٹل کیتا ہویا روپ کدے کدے اک ہور چھوٹی پرستتی رکھ سکدا ہے، جسنوں ماجورانا سپنور پرستتی کیہا جاندا ہے۔ جیکر اجیہا کسے اون ڈائمینشن وچّ واپردا ہے، تاں ماجورانا سپنور پرستتی کدے کدے دو ماجورانا پرستتیاں وچّ ٹٹّ جاوگی: جہناں نوں ویئل سپنور پرستتیاں کیہا جاندا ہے۔ ڈیراک اتے ویئل سپنوراں کمپلیکس پرستتیاں ہندیاں ہن جدونکھ ماجورانا سپنوراں واستوک پرستتیاں ہن ۔
ڈیراک، لورنٹز، ویئل، اتے ماجورانا سپنوراں اندرونی طور تے سبندھت ہندیاں ہن، اتے ایہناں دے سبندھ واستوک ریکھاگنتک الجبرے دے ادھار تے سمجھائے جا سکدے ہن ۔
بھاری کن، جویں الیکٹرون، ڈیراک سپنوراں دے طور تے درسائے جاندے ہن ۔ کن بھوتک وگیان دے سٹینڈرڈ ماڈل دا کلاسیکل نیوٹرینو اک ویئل سپنور دی اک اداہرن ہے۔ پھیر وی، نریکھن کیتے گئے نیوٹرینو اؤسیلیشن کارن، ہن ایہہ منیا جان لگا ہے کہ اوہ ویئل سپنور نہیں ہندے، پر شاید اسدی جگہ ماجورانا سپنور ہن ۔ ایہہ گیات (پتہ) نہیں ہے کہ قدرت وچّ (سپنّ-�) ویئل سپنور موجود وی ہن کہ نہیں ۔ 2015 وچّ، پرنسٹن یونیورسٹی دے وگیانکاں دی اگوائی والی اک انتر راشٹری ٹیم نے اعلان کیتا کہ اوہناں نے اک کواسیپارٹیکل کھوجیا ہے جو اک ویئل پھرمیؤن دی طرحاں ورتاؤ کردا ہے۔
پرستتی تھیوری وچّ سپنور
سپنوراں دی رچنا دے وڈے گنتک اپیوگاں وچوں اک اپیوگ، وشیش اؤرتھوگنل گروپاں دے لائی الجبریاں دی ریکھک پرستتی دی سپشٹ بنتر نوں سنبھوَ بناؤنا ہے، اتے نتیجے وجوں گروپاں دیاں اپنیاں سپنور پرستتیاں نوں سنبھوَ کرنا ہے۔ ہور زیادہ طاقتور لیول اتے، سپنور، اتیاہ-سنگر انڈیکس تھیورم ولّ پہنچ دے کیندر وجوں ساہمنے آئے ہن، اتے اردھ-سرل (سیمیسمپل) گروپاں دیاں انرنتر لڑی والیاں پرستتیاں لئی خاص طور تے بنتراں مہیا کرواؤن لئی ساہمنے آئے ہن ۔
سپیشل اؤرتھوگنل لائی الجبریاں دیاں سپنّ پرستتیاں، ویئل دی بنتر دوارا دتیاں جان والیاں ٹینسر پرستتیاں توں ، وزناں وچّ وکھریاں ہندیاں ہن ۔ جتھے کہ ٹینسر پرستتیاں دے وزن، لائی الجبرے دے روٹس دے پورن انک ریکھک میل ہندے ہن، اتھے سپنّ پرستتیاں ریکھک میلاں دے ادھے انک والے میل ہندے ہن ۔ سپشٹ وورن سپنّ پرستتی آرٹیکل وچّ خوجے جا سکدے ہن ۔
سہج گیان سمجھ اتے یتن
سپنور سرل شبداں وچّ، “سپیس دے ویکٹراں” دے روپ وچّ درسائے جا سکدے ہن “جہناں دا پرورتن بھوتکی سپیس وچّ روٹیشناں نال اک وشیش طریقے وچّ جڑیا ہندا ہے۔” وکھرے طریقے نال کتھن کردے ہوئے:
سپنور […] ایاماں دی کسے وی گنتی والی سپیس اندر روٹیشناں دے گروپ دی اک ریکھک پرستتی مہیا کرواؤندے ہن، ہریک سپنور دے 2^\nu  کمپونینٹ ہندے ہن جتھے  n = 2\nu+1  جاں 2\nu  ہندا ہے۔
پلیٹ ٹرکّ، ٹینگولائڈاں اتے اوریئینٹیشن انٹینگلمینٹ دیاں ہور اداہرناں دے شبداں وچّ روزانہ دیاں سمانتاواں نوں سمجھاؤن دے کئی طریقیاں دے فارمولے سوتربدھّ کیتے گئے ہن ۔
اتھے ہی بسّ نہیں، ایہہ سنکلپ عامطور تے سمجھن دے لحاظ نال کھلے طور تے کٹھن منیا گیا ہے، جویں مائیکل اتیاہ دے اس بیان دا ڈیراک دے بائیوگراپھر گراہم پھارمیلو وچّ بؤرا دتا گیا ہے:
کوئی وی سپنوراں نوں چنگی طرحاں نہیں سمجھدا ۔ سپنوراں دا الجبرا رسمی طور تے سمجھ وچّ آ جاندا ہے پر اوہناں دی عامَ مہتتا رہسمئی بنی ہوئی ہے۔ کسے سمجھ مطابق، سپنور ریکھگنت دا “ورگ مول” درساؤندے ہن اتے، جویں “-1 دے ورگ مول” دی سمجھ نے صدیآں لے لئیاں، ایہی سپنوراں لئی وی سچ ہو سکدا ہووےگا ۔
اتہاس
سپنور سبھ توں پہلاں 1927 وچّ وولپھگانگ پولی دوارا گنتک بھوتک وگیان تے لاگوُ کیتے گئے سن۔، جدوں اسنے اپنے سپنّ میٹریسیز (بہووچن-میٹرکس) پیش کیتے سن۔ اگلے ہی سال، پول ڈیراک نے سپنوراں اتے لورنٹز گروپ درمیان سمبدھ دکھاؤندی الیکٹرون سپنّ دی پوری طرحاں رلیٹیوسٹک (ساپیکھک) تھیوری کھوج لئی ۔ 1930ویں دہاکے تکّ، ڈیراک، پیئیٹ ہیئن اتے ہوراں نے نیئیلز بوہر انسٹیٹیوٹ وکھے (جسنوں ادوں کوپنہیگن دی یونیورسٹی دا تھیورٹیکل بھوتک وگیان لئی انسٹیٹیوٹ کیہا جاندا سی)، سپنوراں دے کیلکلس دے ماڈل بناؤن اتے سمجھاؤن لئی ٹینگلوآئڈاں ورگے کھڈونے بنائے ۔ 1930 وچّ جی. جویٹ اتے پھرٹز ساؤٹر دوارا اک میٹرکس الجبرے دے لیفٹ (کھبے) آدرشاں دے طور تے سپنور سپیساں نوں پیش کیتا گیا ۔ ہور وشیش طور تے، پولی وانگ، سپنوراں نوں کمپلیکس ملاں والے 2D کالم ویکٹراں دے طور تے پیش کرن دی وجائے ، اوہناں نے سپنوراں نوں کمپلیکس ملّ والے 2 � 2 میٹرکساں دے روپ وچّ پیش کیتا جہناں وچّ صرف کھبے کالماں دے ایلیمینٹ ہی غیر-زیرو ہندے ہن ۔ اس انداز وچّ، سپنور سپیس، Mat(2، C) وچّ اک گھٹو گھٹّ کھبا آدرش بن گئی ۔
شہرستان رشتخوار
ایشیاء دے دیس ایران دے صوبے ہور اگے شہرستان ناں دی انتظامی اکائی چ ونڈے ہوے نیں ، شہرستان تقریبا اک پاکستان دے اک ضلع دے برابر دی انتظامی اکائی اے تے انگلستان دی اس دے برابر اکائی کاؤنٹی اے ۔ ایران دے صوبےآں دے کل شہرستان 336 نیں ۔ شہرستان رشتخوارایران دے صوبہ خراسان رضوی دا شہرستان (ضلع) اے اسدا انتظامی مرکز رشتخوار شہر اے۔
گٹھ:ایران گٹھ:ایران دے شہرستان گٹھ:جغرافیہ گٹھ:صوبہ خراسان رضوی
سپینور
اداہرناں
گھٹّ ایاماں وچّ سپنوراں دیاں کجھ سرل اداہرناں کلپھورڈ الجبرے Cℓp، q(R) دے اون-گریڈ کیتے ہوئے سبئلجبریاں تے وچار کرن توں پیدا ہندیاں ہن ۔ ایہہ اوہ الجبرا ہندا ہے جو جوڑن اتے گناں کرن ہیٹھاں، پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں n = p + q دے اک اؤرتھونورمل بیسس توں بندا ہے، جسدا p نورم +1 رکھدا ہے، اتے جسدا q نورم -1 والا ہندا ہے، جو بیسس ویکٹراں دے گننپھل دے اس نیم والا ہندا ہے،
دو ڈائمینشناں
کلپھورڈ الجبرا Cℓ2،0(R) اک یونٹ سکیلر 1، دو اؤرتھوگنل یونٹ ویکٹراں σ1 اتے σ2 ، اتے اک یونٹ سوڈوسکیلر i = σ1σ2 دے اک بیسس توں بنیا ہندا ہے۔ اپر دسی پریبھاشا توں، ایہہ سپشٹ ہندا ہے کہ ؛
Cℓ2،0(R) دے اون درجابدھّ کیتے ہوئے (گریڈڈ) بیسس ایلیمینٹاں راہیں پھیلایا جان والا اون سبئلجبرا Cℓ02،0(R)، اسدیاں پرستتیاں راہیں سپنوراں دی سپیس نوں نردھارت کردا ہے۔ ایہہ 1 اتے σ1σ2  دے واستوک ریکھک میلاں توں بنیا ہندا ہے۔ اک واستوک الجبرے دے طور تے، Cℓ02،0(R) کمپلیکس نمبراں C دی پھیلڈ پرتِ آئسومرپھک ہندا ہے۔ نتیجے وجوں، ایہہ اک کنجوگیشن اوپریشن دی پالنا کردا ہے (کمپلیکس کنجوگیزن دے سامان)، جسنوں کدے کدے کسے کلپھورڈ ایلیمینٹ دا رورس (الٹ) وی کیہا جاندا ہے، جو اس طرحاں پربھاشت ہندا ہے؛
مارکش-اودرلینڈ
مارکش-اودرلینڈ جرمنی دے صوبے برانڈنبرگ دا اک ضلع اے۔
سپینور
دو ڈائمینشناں
جو، کلپھورڈ سبندھاں دوارا، اسطراں لکھیا جا سکدا ہے
ویکٹراں اتے کسے اون کلپھورڈ ایلیمینٹ γ ∈ Cℓ02،0(R) دا کارج (ایکشن)، جو Cℓ2،0(R) دے 1-گریڈڈ ایلیمینٹاں دے روپ وچّ کیہا جاندا ہے، نوں اک جنرل ویکٹر u = a1σ1 + a2σ2 توں اس ہیٹھاں لکھے ویکٹر تکّ نقشاں بنا کے نردھارت کیتا جاندا ہے:
جتھے γ∗ چنہ γ دا کنجوگیٹ ہندا ہے، اتے گننپھل، کلپھورڈ گننپھل ہندا ہے۔ اس حالت وچّ، اک سپنور اک سدھارن کمپلیکس نمبر ہندا ہے۔ γ  دے سپنور φ  اتے کارج نوں سدھارن کمپلیکس گننپھل راہیں پراپت جیتا جا سکدا ہے:
اس پریبھاشا دا اک مہتوپورن گن سدھارن ویکٹراں اتے سپنوراں درمیان فرق ہندا ہے، جو اس گلّ توں پرگٹ ہندا ہے کہ اون (جست) درجے والے ایلیمینٹ کویں ایہناں وچوں ہریک اتے وکھرے وکھرے طریقیاں نال کریا کردے ہن۔ عامطور تے، کلپھورڈ سبندھاں دی اک پھٹاپھٹ جانچ ثابت کردی ہے کہ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹ سدھارن ویکٹراں نال کنجوگیٹ-کمیوٹ (وٹاندرا سوندھ رکھدے) کردے ہن۔
دوجے پاسے، سپنوراں γ(φ) = γφ اتے کارج نال تلنا کردے ہوئے، سدھارن ویکٹراں اوتے γ دی کریا، اسدی سپنوراں اتے کریا دے سکئیئر (ورگ) دے روپ وچّ ہندی ہے۔
اداہرن دے طور تے، پدھریاں (پلین) روٹیشناں لئی اسدے پربھاواں اتے وچار کرو ۔ کسے ویکٹر نوں اک اینگل θ  راہیں گھماؤنا γ2 = exp(θ σ1σ2) نال سبندھت ہندا ہے، تاں جو سپنوراں اتے سبندھت کارج γ = � exp(θ σ1σ2/2) راہیں ہندا ہے۔ عامطور تے، لوگرتھمک برانچنگ کارن، کسے چنہ نوں کسے ستھرتا بھرے طریقے نال چن لینا اسمبھو ہندا ہے۔ اس کارن، سپنوراں اتے پلین روٹیشناں دو ملاں والیاں ہندیاں ہن ۔
دو-ایاماں وچّ سپنوراں دے اپیوگاں وچّ، اس تتھّ دا ناجائز لابھ اٹھاؤنا عامَ گلّ ہو گئی ہے کہ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹاں دا الجبرا (جو صرف کمپلیکس نمبراں دا اک چھلا ہندا ہے) سپنوراں دی سپیس پرتِ ملدا جلدا ہندا ہے۔ اسلئی، بھاشا دے در-اپیوگ راہیں، دوواں دا اکثر مشرن کیتا جاندا ہے۔ پھیر “کسے ویکٹر اتے اک سپنور دا کارج” بارے بولیا جا سکدا ہے۔ اک سرو سدھارن سیٹنگ وچّ، اجیہے کتھن ارتھ ہین ہندے ہن ۔ پر 2 جاں 3 ایاماں وچّ (جویں کمپیوٹر گراپھکس وچّ لاگوُ کیتا جاندا ہے)، پھیر وی ایہہ ارتھ رکھدے ہن ۔
؛ اداہرناں
٭ اون گریڈ کیتے ہوئے ایلیمینٹ
تنّ ڈائمینشناں
اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دا سب-الجبرا ایہناں سکیلر ڈلیشناں توں بنیا ہندا ہے،
اک وشیش معاملے دے طور تے، ایہہ دیکھنا اسان ہے کہ، جیکر v = σ3 ہووے، تاں ایہہ σ1σ2 روٹیشن دی پنر رچنا کردی ہے جس نوں پچھلے سیکشن وچّ وچاریا گیا سی؛ اتے اجیہی روٹیشن σ3 دشا وچّ ویکٹراں دے گنانکاں نوں ستھر چھڈّ دندی ہے، کیونکہ
بائویکٹر σ2σ3، σ3σ1 اتے σ1σ2 اصل وچّ ہیملٹن دے کواٹرنیؤن i، j  اتے k ہن جو 1843 وچّ خوجے گئے سن:
کواٹرنیؤناں دے الجبرے H والے اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دی پچھان نال، جویں دو-ڈائمینشناں دے معاملے وچّ ہندا ہے، اون گریڈڈ ایلیمینٹاں دے النجبرے دی صرف اکو پرستتی اس دے اپنے آپ اتے ہی ہندی ہے۔ اس کارن، تنّ-ڈائمینشناں وچّ (واستوک) سپنور کواٹرنیؤن ہندے ہن، اتے کسے سپنور اتے کسے اون گریڈڈ ایلیمینٹ دا کارج (ایکشن) سدھارن کواٹرنیؤنک گننپھل راہیں ملدا ہے۔
دھیان دیو کہ کسے اینگل θ راہیں اک ویکٹر روٹیشن لئی سمیکرن درساؤ (1) وچّ، γ وچّ دسن والا اینگل ادھا رہِ گیا ہندا ہے۔ اسے کارن روٹیشن γ(ψ) = γψ (سدھارن کواٹرنیؤنک گننپھل) سپنور نوں سبندھت ویکٹر روٹیشن دے اینگل دے ناپ توں ادھے اینگل راہیں گھمائیگا ۔ اک وار پھیر توں، اک ویکٹر روٹیشن نوں کسے سپنور روٹیشن تکّ چکن دی سمسیا دو ملاں والی ہندی ہے: سمیکرن درساؤ (1) جو θ/2 دی جگہ (180  + θ/2) والا ہندا ہے، اسے ویکٹر روٹیشن نوں پیدا کریگا، پر سپنور روٹیشن دا نیگیٹو ہووےگا ۔
سپشٹ بنتراں
سپنوراں دی اک سپیس نوں سپشٹ طور تے ٹھوس اتے سنکھیپ بنتراں نال رچیا جا سکدا ہے۔ ایہناں بنتراں دے سمانتا وچّ کمپلیکس کلپھورڈ الجبرے دی سپنور پرستتی دے نرالاپن (یونیکنیسّ) دا نتیجہ آؤندا ہے۔ 3 ڈائمینشناں وچّ اک سمپورن اداہرن لئی، دیکھو تنّ ڈائمینشناں وچّ سپنور ۔
کمپونینٹ سپنور
اک ویکٹر سپیس V اتے اک کواڈریٹک اکار g دتے ہونے تے، کلپھورڈ الجبرے Cℓ(V، g) دی اک سپشٹ میٹرکس پرستتی اسطراں اگے لکھے وانگ پربھاشت کیتی جا سکدی ہے۔ V لئی اک اؤرتھونورمل بیسس e1 … en یانِ  g(eμeν) = ημν   چنو جتھے   μ ≠ ν لئی ημμ = �1 اتے ημν = 0 ہووے ۔ منّ لؤ Let k = ⌊ n/2 ⌋ ہے۔ 2k � 2k  میٹرکساں دا اک سیٹ  γ1 … γn اسطراں پھکس کرو کہ γμγν + γνγμ = 2ημν1 ہووے (یانِ کگاما میٹرکساں لئی اک پرمپتا پھکس کرو) ۔ پھیر نشانہ eμ → γμ   ریکھک طور تے پھیلدا ہویا گننپھل γμ1 … γμk   پرتِ کلپھورڈ الجبرے وچّ مونومیئل eμ1 … eμk  بھیج کے نرالے طور تے اک ہومومورپھزم الجبرا Cℓ(V، g) → Mat(2k، C) تکّ پھیلدا ہے۔ سپیس  Δ = C2 k  جس اتے گاما میٹرسیز کریا کردے ہن ہن سپنوراں دی اک سپیس ہندی ہے۔ پھیر وی، اجیہے میٹرکساں نوں سپشٹ طور تے رچن دی ضرورت پیندی ہے۔ تیجے ایام وچّ، گاما میٹرکساں نوں پولی سگما میٹریسیز ہونا پربھاشت کرنا گیرساپیکھک کوانٹم مکینکس وچّ ورتے جان والے جانے پچھانے دو کمپنینٹاں والے سپنوراں نوں پیدا کردا ہے۔ اسیتراں،  4 � 4 ڈیراک میٹرکس 3+1 ایامی ساپیکھک کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ ورتے جان والے 4 کمپونینٹاں والے ڈیراک سپنوراں نوں پیدا کردا ہے۔ عامَ طور تے، ضرورت مطابق قسم دے گاما میٹرکساں نوں پربھاشت کرن لئی، ویئل-براؤئر میٹرکساں نوں ورتیا جا سکدا ہے۔
اس بنتر وچّ، کلپھورڈ الجبرا Cℓ(V، g)، the لائی الجبرا so(V، g)، اتے سپنّ گروپ Spin(V، g) دی پرستتی، اؤرتھونورمل بیسس اتے گاما میٹرکساں دی چون تے نربھر ہے۔ ایہہ پرمپراواں اتے غلط وہمیاں پیدا کر سکدا ہے، پر ٹریساں ورگے ستھرانک چوناں توں ستنتر ہندے ہن ۔ خاص کرکے، ساریاں بھوتکی طور تے پرکھیاں جا سکن والیاں ماتراواں ضرور ہی اجہیاں چوناں توں ستنتر ہونیاں چاہیدیاں ہن ۔ اس بنتر وچّ، اک سپنور نوں   2k کمپلیکس نمبراں دے اک ویکٹر دے طور تے پرستتی کیتا جا سکدا ہے اتے سپنور سوچکانکاں (عامَ طور تے α، β، γ) نال لکھیا جاندا ہے۔ بھوتک وگیان دے  ساہت وچّ، سنکھیپ سپیس سوچکانک اکثر سپنوراں نوں لکھن لئی ورتے جاندے ہن ، چاہے اک سنکھیپ سپنور بنتر ہی ورتی جاوے ۔
امورت سپنور
Cℓ(V، g)
دے اسدے اپنے اتے کھبے ایکشن لئی گھٹو گھٹّ آدرشاں نوں پچھاننا منگدا ہے۔ ایہہ کلپھورڈ الجبرے دیاں
ω نوں رچن والیاں سبسپیساں ہندیاں ہن، جو کھبے گننپھل: c : xω → cxω راہیں
دے سپشٹ کارج نوں مندیاں ہن ۔ اس وشے وچّ دو تبدیلیاں ہندیاں ہن: جاں تاں اک مڈھلا تتّ ω کھوجیا جا سکدا ہے جو کلپھورڈ الجبرے دا اک نلپوٹینٹ (پوزیٹو انٹگرل پاور تکّ ودھاؤن تے زیرو برابر) ایلیمینٹ ہندا ہے، جاں اجیہا جو اڈیمپٹینٹ (اپنے آپ دوارا گنا وغیرہ کرن تے نہ بدلیا جان والا) ہندا ہے۔ نلپٹینٹں ایلیمینٹاں راہیں بنتر اس سمجھ مطابق زیادہ مڈھلی ہندی ہے کہ استوں اک اڈیمپٹینٹ رچیا جا سکدا ہے۔اس طریقے نال سپنور پرستتیاں دی پچھان کلپھورڈ الجبرے دیاں اپنے آپ دیاں سبسپیساں دے طور تے کیتی جاندی ہے۔ دوجا درشٹیکون V دی اک وکھری سبسپیس ورتدے ہوئے اک ویکٹر سپیس رچنا ہے، اتے پھیر اوس ویکٹر سپیس پرتِ کلپھورڈ الجبرے دے کارک نوں درساؤنا ہے۔
دوہاں درشٹیکوناں وچّ، مڈھلی دھارنا اک آیسوٹروپک سبسپیس W والی ہے۔ ہریک بنتر اس سبسپیس نوں چنن لئی شروعاتی آزادی تے نربھر ہے۔ بھوتکی شبداں وچّ، ایہہ اس تتھّ نال سبندھت ہے کہ کوئی وی اجیہا ناپ دا سسٹم نہیں ہندا جو سپنّ سپیس دے کسے بیسس نوں درسا سکدا ہووے، بھاویں V دا کوئی ترجیح والا بیسس ہی کیوں نہ دتا ہویا ہووے ۔
اپّ دسے وانگ، اسیں (V، g) نوں اک نونڈیجنریٹ بائلینیئر قسم نال بھرپور اک n-ڈائمینشناں والی کمپلیکس ویکٹر سپیس مندے ہاں ۔ جیکر V کوئی واستوک ویکٹر سپیس ہووے، تاں اسیں V نوں ادے کمپلیکسیپھیکیشن
V ⊗R C
نال بدل دندے ہاں اتے اس اتے تھوپی گئی دوریکھک قسم نوں g لکھدے ہاں۔ منّ لؤ W اک ودھ توں ودھ آئسوٹروپک سبسپیس ہے، یانِ کہ، V دی اک وڈی توں وڈی اجیہی سبسپیس کہ g|W = 0 ہووے ۔ جیکر n =  2k اون ہووے، تاں W پرتِ پورک (کمپلیمینٹری) سبسپیس
W∗
منّ لؤ ۔ جیکر n =  2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں W٭ نوں W ∩
= 0 والی اک وڈی توں وڈی سبسپیس منّ لؤ، اتے U نوں W ⊕
دا اک اؤرتھوگنل کمپلیمینٹ (پورک) منّ لؤ ۔ دوویں اون اتے اؤڈ ایاماں دے معاملیاں وچّ، W اتے
سوخم آدرش
کیونکہ W′ آئسوٹروپک ہندی ہے، Cℓ(V، g) دے اندر W دے ایلیمینٹاں دا گننپھل  ترچھا ہندا ہے۔ اس کارن W′ وچلے ویکٹر کمیوٹ نہیں کردے اتے Cℓ(W′، g|W′) = Cℓ(W′، 0) صرف باہری الجبرء Λ∗W′ ہندا ہے۔ نتیجے وجوں،  W دا اپنے آپ نال k-fold گننپھل، W′k، اک ڈائمینشن والا ہندا ہے۔ منّ لؤ کہ ω ، W′k دا اک جنریٹر ہے۔  W وچّ اک بیسس w′1،...، w′k دے شبداں وچّ، اک سمبھاونا ایہہ سیٹ کرن دی ہے؛
نوٹ کرو کہ ω2 = 0 (یانِ کہ، ω اک درجہ 2 والا نلپٹینٹ ہے)، اتے پھیر وی، سارے ہی میمبراں w′ ∈ W′  لئی  w′ω = 0 ہندا ہے۔ ہیٹھاں لکھے تتھّ اسانی نال ثابت کیتے کا سکدے ہن؛
وستھارپوروک، اداہرن لئی منّ لؤ کہ n اون ہے۔ منّ لؤ Cℓ(V، g)ω وچّ شامل I غیر-زیرو ہے۔ اسیں ایہہ ثابت کردے ہوئے کہ ایہہ ω دے اک غیر-زیرو سکیلر گنانک سمیت ہندا ہے، دکھاوانگے کہ I ضرور ہی Cℓ(V، g)ω برابر ہونا چاہیدا ہے۔ W دا اک بیسس wi پھکس کرو اتے W دا اک کمپلیمینٹری بیسس wi′ پھکس کرو، تاں جو
جتھے ai 1…ip سکیلر ہے۔، اتے Bj کلپھورڈ الجبرے دے باہری ایلیمینٹ ہن ۔ ہن دیکھو کہ گننپھل ایہہ ہندا ہے؛
تاں پھیر، ضرورت مطابق؛
ω دا اک غیر-زیرو سکیلر گنانک ہندا ہے۔
اکھری برابرتا سمیلرن وچّ، اسیں دوبارہ پھیر اس گلّ دی ورتوں کیتی کہ W آئیسوٹرپوک ہے۔ بھوتک وگیان دے شبداں وچّ، ایہہ دکھاؤندا ہے کہ Δ، کسے ویکمّ ω اتے کریاشیل W وچّ اینٹیکمیوٹنگ کریئیشن اوپریٹر ورتکے سپنور رچدی ہوئی کسے پھوک سپیس وانگ بنے ہندے ہن ۔
باہری الجبرا بنتر
گھٹو گھٹّ آدرش بنتر والے حساب کتاب سجھاؤندے ہن کہ اک سپنور پرستتی نوں آئسوٹروپک سبسپیس W دا باہری الجبرا Λ∗ W = ⊕j Λj W ورتدے ہوئے سدھا ہی پربھاشت کیتا جا سکدا ہے۔ منّ لؤ Δ = Λ∗ W چنہ W دے باہری الجبرے نوں ویکٹر سپیس دے طور تے ہی درساؤندا ہووے ۔ ایہہ سپنّ پرستتی ہوویگی اتے اسدے ایلیمینٹ سپنور کہے جانگے ۔
Δ اتے کلپھورڈ الجبرے دا کارج سبھ توں پہلاں Δ اتے V دے اک ایلیمینٹ دے کارج راہیں ملدا ہے، اتے پھیر ایہہ دکھا کے ملدا ہے کہ کارج کلپھورڈ سبندھ دی پالنا کردا ہے اتے کلپھورڈ الجبریاں دی برہمنڈی وشیشتا راہیں اینڈومورپھزم رنگ یونیورسل End(Δ) وچّ پورے کلپھورڈ الجبرے دے اک ہومومورپھزم تکّ پھیلدا ہے۔ وورن اس گلّ دے مطابق ذرا وکھرا ہندا ہے کہ V دا ایام اون ہے جاں اؤڈ ہے۔
جدوں dim(V) اون ہندا ہے تاں، V = W ⊕ W′ ہندا ہے جتھے W′ چنیا ہویا آئسوٹروپک کمپلیمینٹ ہے۔ اسلئی کوئی وی v ∈ V نرالے طور تے w ∈ W نال v = w + w′ اتے w′ ∈ W′ وچّ ونڈیا جاندا ہے۔ کسے سپنور اتے v  دا کارج اسطراں ہندا ہے،
جتھے i(w′)، V نال V∗  دی پچھان کرن لئی غیر-ڈیجینریٹ کواڈریٹک قسم ورتدے ہوئے w′ نال اندرونی گننپھل ہندا ہے، اتے ε(w) باہری گننپھل درساؤندا ہے۔ ایہہ ثابت کیتا جا سکدا ہے کہ،
اتے اسلئی c کلپھورڈ سبندھاں دی پالنا کردا ہے اتے End(Δ) تکّ کلپھورڈ الجبرے توں اک ہومومورپھزم تکّ پھیلدا ہے۔
سپنّ پرستتی Δ ہور اگے اس ہیٹھاں لکھے طریقے راہیں سپنّ گروپ دیاں ہور اگے توڑیاں نہ سکن والیاں کمپلیکس پرستتیاں دے اک جوڑے وچّ ٹٹّ جاندی ہے۔
پہلاں وانگ، ایہہ ثابت کیتا جاندا ہے کہ c کلپھورڈ الجبرے دی پالنا کردا ہے، اتے اسطراں اک ہومومورپھزم نوں پریرت کردا ہے۔
ہرمشن ویکٹر سپیساں اتے سپنور
جیکر ویکٹر سپیس V دی اجیہی وادھو بنتر ہووے جو اسدی کمپلیکسیپھیکیشن نوں دو ودھ توں ودھ آئسوٹروپک سبسپیساں وچّ توڑ دیوے، تاں سپنوراں دی پریبھاشا (کسے وی طریقے نال) قدرتی بن جاندی ہے۔
مکھ اداہرن ایہہ معاملہ ہے کہ واستوک ویکٹر سپیس V اک ہرمشن ویکٹر سپیس (V، h) ہندی ہے، یانِ کہ، V اک اجیہی کمپلیکس بنتر J سمیت ہندی ہے جو V اتے اندرونی گننپھل g پرتِ اک اؤرتھوگنل پرورتن ہندی ہے۔ پھیر   V ⊗R C ، J دیاں  i آئگنسپیساں وچّ ٹٹّ جاندی ہے۔ ایہہ آئیگنسپیساں g دی کمپلیکسیپھکیشن لئی آئسوٹروپک ہندیاں ہن اتے کمپلیکس ویکٹر سپیس (V، J) اتے اسدی کمپلیکس کنجوگیٹ (V، −J) نال پچھانی جا سکدی ہے۔ اسلئی، کسے ہرمشن ویکٹر سپیس (V، h) لئی ویکٹر سپیسΛ ( اتے اسدی کمپلیکس کنجوگیٹ ΛV) چھپی واستوک یکلڈن ویکٹر سپیس لئی اک سپنور سپیس ہندی ہے۔
اپر دسے کلپھورڈ کارج نال، پر ہرمشن قسم واردے ہوئے کنٹریکشن نال، ایہہ بنتر اک لگبھگّ ہرمشن مینیپھولڈ دے ہریک بندو اتے اک سپنور سپیس دندی ہے، اتے اس گلّ دا کارن ہنپھی ہے کہ کیوں ہریک لگبھگّ کمپلیکس مینیپھولڈ (خاص کرکے ہریک سمپلیٹک مینیپھولڈ) دی اک Spinc بنتر بنتر ہندی ہے۔ اسے طرحاں، کسے مینیپھولڈ اتے ہریک کمپلیکس ویکٹر بنڈل اک Spinc بنتر بنتر چکّ کے رکھدا ہے۔
کلیبش-جورڈن ویوجن
اک سپنّ پرستتی دے اک ہور نال ٹینسر گننپھل اتے کئی کلیبش-جورڈن ویوجناں سنبھوَ ہن ۔ ایہہ ویوجن اؤرتھوگنل گروپ دیاں وکلپک پرستتیاں دے شبداں وچّ ٹینسر گننپھل درساؤندے ہن ۔
واستوک جاں کمپلیکس معاملے وچّ، وکلپک پرستتیاں ایہہ ہن، ٭ Γr = ΛrV، رینک r دے ترچھے ٹینسراں اتے اؤرتھوگنل گروپ دی پرستتی واستوک اؤرتھوگنل گروپاں دے نال نال، تنّ لچھن (اک-ایمی پرستتیاں) ہندے ہن؛
٭ σ+(R) = −1، جیکر R ، V دی ستھانک دشا الٹاؤندی ہے، اتے +1، جیکر R ، V دی ستھانک دشا سرکھات کردی ہے، راہیں پراپت ہندا
σ+ : O(p، q) → {−1، +1} (وسیش لچھن)
σ− : O(p، q) → {−1، +1} (وسیش لچھن) ٭ σ = σ+σ− (دشا لچھن)
کلیبش-جورڈن ویوجن ہور چیزاں دے نال نال ایہہ پربھاشت کرن دی وی آگیا دندا ہے:
٭ 	ویکٹراں اتے سپنوراں دا کارج ٭	واستوک سپنّ گروپاں دیاں کمپلیکس پرستتیاں اتے اک ہرمشن میٹرک ٭ 	ہریک سپنّ پرستتی اتے اک ڈیراک اوپریٹر
اون (سمع) ایام
جیکر n = 2k اون ہووے، تاں Δ دا کونٹراگریڈیئنٹ پرستتی نال ٹینسر گننپھل اسطراں ویوجت ہندا ہے؛
جسنوں، ویوجنیوگ تتاں αω ⊗ βω′ اتے، کلپھورڈ الجبرے دے کارج نوں لے کے (باہری بنتر وچّ) دیکھیا جا سکدا ہے۔ ہوجّ سٹار اوپریٹر دیاں پرورتن وشیشتاواں توں صحیح فارمولا سوتریکرن پتہ چلدے ہن ۔ نوٹ کرو کہ اون کلپھورڈ الجبرے اتے پابندھی نال، رقماں دے جوڑے Γp ⊕ σΓp آئسومرپھک ہندے ہن، پر پورے کلپھورڈ الجبرے ہیٹھاں ایہہ آئسومرپھک نہیں ہندے ۔
کلپھورڈ الجبرے وچّ کنجوگیشن راہیں Δ دی اسدی کونٹراگریڈیئنٹ پرستتی دی اک قدرتی پچھان ہندی ہے؛
اسلئی Δ ⊗ Δ وی اپر دسے انداز وچّ ویوجت ہو جاندا ہے۔ ہور اگے، اون کلپھورڈ الجبرے ادھین، ادھا-سمنّ پرستتیاں انجھ ویوجن ہو جاندیاں ہن؛
کلپھورڈ الجبریاں دیاں واستوک کمپلیکس پرستتیاں لئی، کلپھورڈ الجبرے اتے سبندھت واستوک بنتر سپنوراں دی سپیس تکّ اتر جاندی ہے (اداہرن دے طور تے،گھٹو گھٹّ آدرشاں دے شبداں والی باہری بنتر راہیں) ۔ اس طریقے نال، اسیں پرستتی Δ دے کمپلیکس کنجوگیٹ Δ نوں پراپت کردے ہاں، اتے لاگوُ کرن لئی ہیٹھاں لکھی آئسومورپھزم دیکھی جاندی ہے؛
خاصکر کے، نوٹ کرو کہ اؤرتھوکرونس سپنّ گروپ دی Δ پرستتی اک یونائٹری پرستتی ہندی ہے۔ عامَ طور تے، کلیبش-جورڈن ویوجن ہندے ہن،
میٹرک سگنیچر (p، q) وچّ، کنجوگیٹ ادھا-سپنّ پرستتیاں لئی ہیٹھاں لکھیاں آئسومورپھزماں لاگوُ ہندیاں ہن،
میرین کاؤنٹی، الینوۓ
میرین امریکی صوبے الینوۓ دی اک کاؤنٹی اے۔
سپینور
اون (سمع) ایام
٭	جیکر q اون ہووے تاں   اتے
٭ 	جیکر q اؤڈ ہووے تاں   اتے ایہناں آئسومورپھزماں دی ورتوں نال، ادھا-سپنّ پرستتیاں Δ� ⊗ � دے ٹینسر گننپھلاں لئی سمانتا والے ویوجن (ڈکمپوزیشناں) کڈھے جا سکدے ہن ۔
میرین کاؤنٹی، الینوۓ
بارلے جوڑ
گٹھ:الینوۓ دیاں کاؤنٹیاں
سپینور
بکھم (اؤڈ) آیام
جیکر n = 2k + 1 اؤڈ ہووے، تاں
واستوک معاملے وچّ، اک وار پھیر توں آئسومورپھزم لاگوُ رہندا ہے،
اسطراں اک کلیبش-جورڈن ویوجن (ڈیولائز کرن لئی پھیر توں ہوجّ سٹار ورتدے ہوئے) ہندا ہے، جو اسطراں ملدا ہے
نتیجے
سپنور سپیساں دے کلیبش-جورڈن ویوجناں دے بہت سارے دور تکّ پہنچن والے نتیجے ہن ۔ ایہناں وچوں سبھ توں زیادہ مڈھلا نتیجہ الیکٹرون دی ڈیراک والی تھیویری نال سبندھت ہے، جس وچوں مڈھلیاں ضرورتاں اسطراں ہن،
٭ 	دو سپنوراں ϕψ دے گننپھل ولّ اشارہ کرن دا انداز اک سکیلر دے طور تے ہونا ۔ بھوتکی شبداں وچّ، اک سپنور نوں کوانٹم اوستھا لئی الّ پروبیبلٹی اینپلیٹیوڈ نردھارت کرنا چاہیدا ہے۔ ٭	گننپھل ψϕ ولّ اشارہ کرن دا انداز اک ویکٹر دے طور تے ۔ ایہہ ڈیراک دی تھیوری دا اک لازمی گن ہے، جو سپنور فارمولا سوتریکرن نوں بھوتکی سپیس دے ریکھاگنت نال بندا ہے۔ ٭ 	اک سپنور نوں کسے ویکٹر اتے کریا کرن دے طور تے اشارہ کرن دا انداز، جو اک ψvψ ورگے درساؤ راہیں ہندا ہے۔ بھوتکی شبداں وچّ، ایہہ میکسویلّ دی الیکٹرومیگنیٹک تھیوری دے الیکٹرک کرنٹ نوں پرستت کردا ہے، جاں ہور سدھارن طور تے، اک پروبیبلٹی کرنٹ نوں پرستت کردا ہے۔
نمر ایاماں وچّ سارانش
٭	2-یکلڈن ایاماں وچّ، کھبے اتے سجے ہتھ والے ویئل سپنور 1-کمپونینٹ والیاں کمپلیکس پرستتیاں ہندیاں ہن، یانِ کہ کمپلیکس نمبر ہندے ہن جو اینگل φ راہیں کسے روٹیشن ادھین (گھماؤن تے) eiφ/2 نال گنا ہو جاندے ہن ۔
٭	3-یکلڈن ایاماں وچّ، سنگل سپنور پرستتی 2 ایامی ہندی ہے اتے کواٹرنیؤنک ہندی ہے۔ 3 ایاماں وچّ سپنوراں دی ہوند دا گروپاں SU(2) ≅ Spin(3) دی آئسومورپھزم توں پتہ چلدا ہے جو سانوں کسے کمپلیکس 2-کمپونینٹ والے کالم (کسے سپنور) اتے Spin(3) دے کارج نوں پربھاشت کرن دی آگیا دندا ہے؛ SU(2) دے رچن والیاں (جنریٹراں) نوں پولی میٹریسیز (بہووچن میٹرکس) دے طور تے لکھیا جا سکدا ہے۔
٭	4-یکلڈن ایاماں وچّ، سبندھت آئسومورپھزم Spin(4) ≅ SU(2) � SU(2) ہندی ہے۔ دو اسمان (نہ-برابر) کواٹرنیؤنک 2-کمپونینٹ ویئل سپنور ہندے ہن، اتے اوہناں وچوں ہریک ہی SU(2) پھیکٹراں (حصیاں) دے وچوں صرف کسے اک ہیٹھاں ہی پرورتت ہندا ہے۔
٭	5-یکلڈن ایاماں وچّ، ملدی جلدی آئسومورپھزم Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2) ہندی ہے جستوں بھاوَ ہے کہ سنگل سپنور پرستتی 4-ایامی اتے کواٹرنیؤنک ہندی ہے۔
٭	6-یکلڈن ایاماں وچّ، آئسومورپھزم Spin(6) ≅ SU(4) یقینی بناؤندی ہے کہ دو 4-ایامی کمپلیکس ویئل پرستتیاں ہندیاں ہن جو اک دوجی دیاں کمپلیکس کنجوگیٹ ہندیاں ہن ۔
٭	7-یکلڈن ایاماں وچّ، سنگل سپنور پرستتی 8-ایامی ہندی ہے اتے واستوک ہندی ہے؛ اس ایام دے شروع ہون تے، کسے ہور لڑی (A جاں C) توں لائی الجبرے پرتِ کوئی آئسومورپھزم موجود نہیں ہندی ۔
٭	8-یکلڈن ایاماں وچّ، دو ویئل-ماجورانا واستوک 8-ایامی پرستتیاں ہندیاں ہن جو 8-ایامی واستوک ویکٹر پرستتی نال سپنّ دی اک “ٹریئیلٹی” نامک وشیش وشیشتا راہیں سبندھ رکھدی ہے۔
٭	d + 8 ایاماں وچّ، وکھریاں اررڈیوسبل سپنور پرستتیاں دی گنتی اتے اوہناں دی واستوکتا (کہ اوہ واستوک ہن، متھّ ہن، جاں کمپلیکس ہن) d ایاماں وچّ بنتر دا ڈھونگ رچدی ہے، پر اوہناں دے ایام 16 گناں وڈے ہندے ہن؛ ایہہ سانوں باقی بچے سارے معاملے سمجھن دے یوگ بنا دندا ہے۔ دیکھو بوٹّ پیریؤڈیسٹی ۔
٭	 p سپیشیئل (ستھانک جاں ستھان سبندھی) اتے q ٹائم-لائیک دشاواں والی سپیسٹائیم وچّ، کمپلیکس نمبراں اتے ایاماں دے طور تے ایاماں نوں دیکھنا، (p + q) ایامی یکلڈن سپیس دے معاملے وانگ ہے، پر واستوک پروجیکشناں |p − q| یکلڈن ایاماں وچّ بنی بنتر دا ڈھونگ رچدیاں ہن ۔ اداہرن دے طور تے، 3+1 ایاماں وچّ، دو غیر-سامان ویئل کمپلیکس (2-ایاماں والی وانگ) 2-کمپونینٹ (4-ایاماں والی وانگ) سپنور ہندے ہن، جو آئسومورپھزم SL(2، C) ≅ Spin(3،1) توں پتہ چلدے ہن ۔
ہور پڑھو
٭ . ٭ . ٭ ٭ . ٭ . ٭ . ٭ . ٭ . ٭ ٭ . ٭ . ٭ . ٭ . ٭
مہایان
مہایان (महायान) بدھ دھرم دیاں موجودہ تنّ شاخاں وچوں اک ہے ۔
مہایان بدھ مت دی اک وڈی سوج دا ناں اے۔ ایہ سنسکرت دے دو شبداں مہا، وڈا تے یانہ، پہیہ توں رل کے بنیا اے۔ بدھ مت دے منن والیاں دی 56٪ گنتی دے لوک ایس رستے نوں مندے نیں۔
مہایان موجودہ ویلے وچّ  بدھ دھرم  دیاں دو پرمکھ شاخاں وچوں اک ہے ۔ دوجی شاخ دا نام  تھیرواد  ہے ۔ مہایان بدھ دھرم  ہندستان توں شروع ہوکے شمال دے ولّ بہت سارے ہور  ایشیائی دیساں  وچّ پھیل گیا ، جویں کہ  چین ,  جاپان  ,  کوریا  ,  تائیوان  ,  تبت  ,  بھوٹان  ,  منگولیا  اتے  سنگاپور  ۔ مہایان فرقے دیاں اگے ہور شاخاں ہن ، مثلاً جین / چان ، پوتر بھومی ، تییانتائی ، نچرین ، شنگون ، تیندائی اتے تبتی بودھی دھرم ۔
2010 دے آنکڑےآں مطابق بدھ دھرم وچّ 56 % بودھی مہایان پرمپرا نال تعلق رکھدے ہن ، 38 % بودھی   تھیرواد  پرمپرا نال جڑے ہن اتے 6 % بودھی  وجریان  پرمپرا نال جڑے ہن ۔
تھیرواد تے مہایان وچ فرق
تھیرواد شبد دا مطلبّ ہے سریشٹ لوکاں دی گلّ ۔ بودھی دھرم دی اس شاخ وچّ پالی بولی وچّ لکھے ہوئے پراچین  تریپٹک  مذہبی گرنتھاں دا پالن کرن اتے زور دتا جاندا ہے ۔ تھیرواد منن والےآں دا کہنا ہے کہ اس توں اوہ بودھی دھرم نوں اسدے مول روپ وچّ منندے ہن ۔ ایہناں دے لئی  مہاتما بدھ  اک مہانپرکھ ضرور ہے لیکن کوئی دیوتا نہیں ۔ اوہ انھاننوں پوجدے نہیں اتے نا ہی اوہناں دے مذہبی تقریباں وچّ بدھ - پوجا ہندی ہے ۔ جتھے مہایان بودھی پرمپراواں وچّ دیوی - دیوترپن جویں بہت سارے سندر جیواں نوں منیا جاندا ہے اتھے تھیرواد بودھی پرمپراواں وچّ اجیہی کسے ہستی نوں نہیں پوجا جاندا ۔ تھیروادیاں دا مننا ہے کہ ہر منکھ نوں آپ ہی نروان دا رستہ بھالنا ہندا ہے ۔ اس سمدایاں وچّ جواناں دے بھکھاری(بھکشو) بنن نوں بہت چنگا منیا جاندا ہے اتے اتھے ایہہ روائت وی ہے کہ جوان کجھ دناں لئی بھکشو بنکے پھر گرہستھ وچّ پرط جاندا ہے ۔  پہلے زمانےآں  وچّ تھیرواد نوں  ہینیان  شاخ کیہا جاندا سی ، لیکن ہن بہت ودوان کہندے ہن کہ ایہہ دوناں وکھ ہن ۔
مہایان بودھی دھرم دے ساتھی کہندے ہن کہ زیادہتر منکھاں لئی نروان - رستہ اکلے بھالنا مشکل جاں ناممکن ہے اتے انھاننوں اس کارج وچّ مدد ملنی چاہیدی ہے ۔ اوہ سمجھدے ہن کہ کائنات دے سارے لوک اک - دوجے نال جڑیاں ہن اتے سارےآں نال پریم کرنا اتے سارےآں دے نروان لئی جتن کرنا ضروری ہے ۔ کسے وی جاندار لئی دشبھاونا نہیں رخیل چاہیدا ہے کیونکہ سارے جنم - موت دے جنجال وچّ پھسے ہے ۔ اک ہتیارا جاں اک تچھّ جیو اپنا ہی کوئی پھر توں جمیا آباؤ اجداد وی ہو سکدا ہے اسلئی اوہناں دی وی مدد کرنی چاہیدی ہے ۔ رغبت اتے مدد لئی بودھستواں  نوں منیا جاندا ہے جو اوہ لوک ہن جو نروان پا چکے ہن ۔ مہایان شاخ وچّ اجیہے ہزاراں بودھستواں نوں پوجیا جاندا ہے اتے اوہناں دا اس فرقے وچّ دیوترپن - ورگا درجہ ہے ۔ اس بودھستواں وچّ کجھ بہت مشہور ہن ، اداہرن لئی  اولوکتیشور  ( مطلبّ : نظر ہیٹھاں جگت اتے پاؤن والے پربھو ), امیتابھ ( مطلبّ : اننت پرکاش ، بے حدّ آبھا ) , میتریی ، منجشری اتے کشتیگربھ ۔
مہایان بودھ دھرم کے منن والے
چین (78%)
جاپان (95%)
دکھنی کوریا (50%)
اتلا کوریا (70%)
سنگاپور (30%)
ایہ وی ویکھو
ُ*بدھ مت دیاں کتاباں
باہری جوڑ
گٹھ:بدھ دھرم گٹھ:بدھ دھرم دے فرقے گٹھ:مذہب
کوٹری بیراج
کوٹری بیراج (Kotri Barrage) پاکستان دے صوبہ سندھ وچ حیدرآباد دے نیڑے دریائے سندھ اُتے واقع اک بیراج ا‏‏ے۔ بیراج 1955 وچ مکمل ہويا۔
کوٹری بیراج آبپاشی تے سیلاب تو‏ں بچاو دے لئی استعمال کيتا جاندا ا‏‏ے۔
1955 وچ تعمیر ہونے والا کوٹری بیراج دریائے سندھ اُتے قائم آخری بیراج اے جس دے بعد ہزاراں میل دا سفر طے کرنے والا ایہ دریا انڈس ڈیلٹا تخلیق کردے ہوئے بحیرہ عرب وچ جا گردا ا‏‏ے۔ سندھ دے ماضی دے راجگڑھ تے دوسرے وڈے شہر حیدرآباد دے نال واقع 3000 فٹ (900 میٹر) طویل کوٹری بیراج، غلام محمد بیراج دے ناں تو‏ں وی جانیا جاندا ا‏‏ے۔ اس بیراج تو‏ں نکلنے والی چار نہراں دے ذریعے زیريں سندھ دا 28 لکھ ایکڑ زرعی رقبہ سیراب کيتا جاندا ا‏‏ے۔ ايس‏ے بیراج تو‏ں نکلنے والی اک نہر کلری کینال پاکستان دے سب تو‏ں وڈے شہر تے معاشی شہہ رگ کراچی نو‏‏ں اضافی پانی فراہ‏م کردی ا‏‏ے۔
کوٹری بیراج اُتے سیلاب د‏‏ی صورت حال