cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਲੱਛਣਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ)।
ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ (ਪਰ ਕਿਸੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ: ਪੌਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ;
μ
ਆਂਤੋਨੀਓ ਗਰਾਮਸ਼ੀ
ਪੰਜਾਬੀ ਸਮਾਜ/ਸਭਿਆਚਾਰ ਵਿੱਚ ਗਰਾਮਸ਼ੀ ਚਿੰਤਨ ਦੀ ਸਾਰਥਿਤਾ
ਉਹ ਇਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਪਰਪਰਾਭੋਤਿਕੀ (ਮੈਟਾਫਿਜ਼ੀਕਲ) ਦਰਜਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ _ਪਰਾਭੋਤਿਕੀ ਦਰਜਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਸਥਾਪਤ ਵੀ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਉਹ ਤਾਂ ਰਾਜ, ਆਰਥਕਤਾ ਅਤੇ ਨਾਗਰਿਕ ਸਮਾਜ ਦੀਆਂ ਸੰਸਥਾਈ ਜੁਗਤਾਂ) ਵਿਉਂਤਬੰਦੀਆਂ ਨੁੰ ਇਕ ਜਟਿਲ ਅਤੇ ਮੋਕਲੀ ਸੰਰਚਨਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਦੇਖਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੇਂਦਰ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਵੱਖ ਵੱਖ ਧਿਰਾਂ ਦਾ ਬੋਲਬਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਵ ਵੀ ਘਟਦਾ ਵਧਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮੇਕਲੀ ਸੰਰਚਨਾ, ਸਮੁੱਚ ਜਾਂ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਉਹ ਇਤਿਹਾਸਕ ਜੁੱਟ (ਹਿਸਟੋਰੀਕਲ ਰ ਬਲੈਕਾ) ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਰ ਹ ਪ੍ਰਸਿਧ ਮਾਰਕਸਵਾਦੀ ਚਿੰਤਕ ਪਾਉਲਾਂਤਜ਼ਾ ਆਪਈ ਪੁਸਤਕ 'ਸਟੇਟ ਹ ਪਾਵਰ, ਸੋਸ਼ਲਿਜ਼ਮ' ਵਿਚ ਕੁਝ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਰਾਜ ਹ ਕੋਈ ਹਾਕਮ ਜਮਾਤ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣ ਹਿੱਤਾਂ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਏ (ਮਨੂਪੁਲੋਟ) ਵਾਲਾ | ਯੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਕਣ ਦਾ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
ਆਂਤੋਨੀਓ ਗਰਾਮਸ਼ੀ
ਪੰਜਾਬੀ ਸਮਾਜ/ਸਭਿਆਚਾਰ ਵਿੱਚ ਗਰਾਮਸ਼ੀ ਚਿੰਤਨ ਦੀ ਸਾਰਥਿਤਾ
ਫਰੈਂਕਫਰਟ ਸਕੂਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰਹੇ ਥੀਓਡੋਰ ਅਤੇ ਮੈਕ੍ਸ ਦਾ ਪ੍ਰਲੇਤਰੀ ਜਮਾਤ ਦੀ ਕ੍ਰਾਂਤੀਕਾਰੀ ਸਮਰੱਥਾ ਵਿੱਚ ਯਕੀਨ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਪ੍ਰਪਾਗਤ ਜਮਾਤੀ ਨਿਖੇੜ ਵੀ ਇਹਨਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਮਹਤਵ ਨਹੀਂ ਸੀ ਰੱਖਦਾ । ਇਹ ਸਮਝਦੇ ਸਨ ਕਿ ਪੂੰਜੀਵਾਦ ਸਮਾਜ ਦੀ ਸਮੁੱਚੀ ਵਿਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਭੋਗੀ ਲੈਣ ਦੇਣ ,ਅਫ਼ਸਰਸਾਹੀ ਅਤੇ ਸਬਿਆਸਰਕ ਉਦਯੋਗ ਰਹੀ ਇਕੋ ਤਰਾ ਨਾਲ ਫਿਤ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 19 ਵੀ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਖਰੀਦ ਓਹਨਾ ਦੀ ਉਪਯੋਗਤਾ ਉੱਪਰ ਿਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਅੱਜ ਕੇਹੈਰੀ ਚੀਜ਼ ਖਰਦੀਨੀ ਹੈ,ਇਸਦੀ ਚੋਣ ਿਨਿਰਮਾਣ ਤੇ ਿਿਨਰਧਾ ਨ ਵੀ ਸਭਿਆਚਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
V
ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੇ,
ਆਂਤੋਨੀਓ ਗਰਾਮਸ਼ੀ
ਪੰਜਾਬੀ ਸਮਾਜ/ਸਭਿਆਚਾਰ ਵਿੱਚ ਗਰਾਮਸ਼ੀ ਚਿੰਤਨ ਦੀ ਸਾਰਥਿਤਾ
ਆਪਾ ਦੇਖ ਰਹਿ ਹਾ ਕਿ ਗ੍ਰਾਮਸ਼ੀ ਨੇ ਮਰਸਵਾਦ ਪ੍ਰਤੀ ਪੂਰੀ ਤਰਾ ਸੁੜਿਰਦ ਰਹਿੰਦੇ ਹੋਏ ਅਨੀਵਾਰਤਵਾਦ ਭਾਵ ਅਲਪ ਵਤਾਰਵਾਦ ਅਤੇ ਜਮਾਤੀ ਘਟਨਵਾਦ ਉੱਪਰ ਕਾਬੂ ਪਾਇਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਮਸ਼ੀ ਦੀਆ ਇਹਨਾਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਮਰਸਵਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਜਾਨ ਭਰੀ ਹੈ। ਪੂੰਜੀਵਾਦ ਦੇ ਇਤਿਹਾਸਕ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਸਮਜਣ ਲਈ ਇਕ ਨਵਾਂ ਚੋਖਤਾ ਵੀ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਣ ਗਲਤ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਗ੍ਰਮਸੀ ਦੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਧਾਰਕ ਸਿਧਤਾ ਨੂੰ ਸਮਜਣ ਬਿਨਾ ਵਰਤਮਾਨ ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਿਨਿਰਮਾਣ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਅੰਦਰਲੇ gti- ਿਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਸਮਝਆ ਹੀ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
∇2
ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ (ਇੱਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ) ਹੈ, ਅਤੇ
ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ (ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ-ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਸਧਾਰਨ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਪਲੱਸ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ, ਪਰ ਹੇਠਾਂ ਸਮਝਾਏ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਰਕਮਾਂ ਬੇਪਛਾਣ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਆਂਤੋਨੀਓ ਗਰਾਮਸ਼ੀ
ਹਵਾਲੇ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਮਾਰਕਸਵਾਦ ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਇਤਾਲਵੀ ਕਮਿਊਨਿਸਟ ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਜਨਮ 1891 ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਮੌਤ 1937 ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਮਾਰਕਸਵਾਦੀ ਲੇਖਕ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਪਲਾਈ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ ਹੈ ਓਪਰੇਟਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਰਚਣਹਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਨ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਸੂਚਨਾ ਰੱਖਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਕਤ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ (ਔਰਬਿਟਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਐਟੌਮਿਕ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਜਾਂ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਅਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕਿਸਮ ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। (ਇਹ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਖੁਦ ਹੀ ਸਮੇਂ ਉੱਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਕੁੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਾਂ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)
ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਓਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
Ψ
ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ
ਇੱਕ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਥਿਰਾਂਕ
E
, ਅਵਸਥਾ
ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।''
ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ ਨਿਯਮਾਵਲੀ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਪ੍ਰਗਟਾਅ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ (ਪਰ ਕੋਈ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ) ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
ਜਿਸਦੀਆਂ ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ \Psi(t) ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਲੀਨੀਅਰਟੀ ਸਦਕਾ, ਸਮੇਂ t’ ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰੂਰ ਹੀ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੇ, ਜਿੱਥੇ U(t', t) ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਜਰੂਰ ਹੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨੌਰਮ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ U(t',t) ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਕੋਈ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ t' = t ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਜਰੂਰ ਹੀ U(t,t) = 1 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, t ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ t’ ਲਈ, ਓਪਰੇਟਰ U(t',t) ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ  ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ H ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰ t' - t ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਹੱਦ ਤੱਕ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਤੱਕ, H ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, H ਦੀ ਐਕਸਪੈਕਟੇਸ਼ਨ ਵੈਲੀਊ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕਰਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਫਿਕਸ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧ ਕਿਸਮ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਨੁਭਵ-ਸਿੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਵ
ਨਤੀਜੇ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਰਾਰ ਦਾਖਲ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵੱਲ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ ਜੋ ਵਕਤ ਲਈ ਬਹੁਤ ਹੀ ਅਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਬੇਉਮੀਦ ਸਨ।
ਕੁੱਲ ਗਤਿਜ ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ
ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਕਿਸਮ ਅਸਧਾਰਨ ਜਾਂ ਉਮੀਦ ਤੋਂ ਪਰੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਆਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਜਮਾਂ ਸਿਸਟਮ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀ ਊਰਜਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਨਿਰਧਾਰੀਕ੍ਰਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਖਾਸ ਅਨਿਰੰਤਰ ਮੁੱਲ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਐਟਮ ਅੰਦਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੈਵਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਐਟੌਮਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੀ ਰਾਹੀਂ ਖੋਜਿਆ ਇੱਕ ਤੱਥ ਹੈ। (ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਐਟਮ ਦੇ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਨਤਾ ਸੀ, ਪਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਜ਼ੀਟ੍ਰੌਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਟਾਈਮ, ਅਤੇ (ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ) ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਰੇਂਜ ਦੇ ਆਰਪਾਰ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਨਾਪ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ
ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਕਣ, ਹਰੇਕ ਪਲ ਉੱਤੇ, ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਮੋਮੈਂਟਮ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਕਣ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅਧੀਨ, ਕਣ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਤੋਂ ਮਨਚਾਹੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੱਢ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਦੇ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ।
ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦਾ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਜਨਮਜਾਤ ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਾ ਕਥਨ ਹੈ। ਇਹ ਬਿਆਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜਿੰਨੀ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉੰਨੀ ਹੀ ਘੱਟ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਉਸਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ (ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ) ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਭਾਵੇਂ ਚਾਹੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਨਾਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਂਟਮ ਟੱਨਲਿੰਗ
ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਗੇਂਦ ਕਿਸੇ ਵੱਡੇ ਪਹਾੜ ਦੇ ਉੱਤੇ ਹੌਲੀ ਹੌਲੀ ਰੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੁਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਆਉਣ ਲਗਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਲਈ ਪਹਾੜ ਦੇ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਚੜਨ ਵਾਸਤੇ ਇਸ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਚਲੀ ਜਾਏਗੀ, ਭਾਵੇਂ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਜਾਣ ਲਈ ਇਸ ਕੋਲ ਬਹੁਤ ਹੀ ਘੱਟ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਭਾਵੇਂ ਦੀ ਕਲਪਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪਹਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੀ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਖੋਜਣ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਂਸ (ਮੌਕਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤਰੰਗਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਣ
ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਗੈਰ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਕਸਰ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਰਗਾ ਵਰਤਾਓ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਅਜੋਕੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੇਰਵਾ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ- ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਤਰੰਗ, ਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਢੁਕਵੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਕਣ-ਵਰਗੇ ਵਰਤਾਓ ਦੇ ਲੱਛਣ ਦਿਖਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਬੈਲੈਂਟੀਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ-ਯੁਕਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬੈਂਲੈਂਟੀਨ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂਕਿ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ (ਸਬੰਧਤ ਕਰਨਾ) ਤਰਕਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜੇ ਵੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਕਈ ਕਣਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ:
ਦੋ-ਸਲਿਟ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਅਜੀਬ ਵਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਨਿਯਮਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਤੋਂ (ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ) ਔਵਰਲੈਪਿੰਗ (ਉੱਪਰ ਚੜਨ ਵਾਲੀਆਂ) ਤਰੰਗਾਂ ਕੁੱਝ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਸਪਰ ਤੌਰ ਤੇ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨਾਂ (ਲੋਕੇਸ਼ਨਾਂ) ਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਵਿੱਚ ਜੁੜ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਲਿਟਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨੂੰ ਫਾਇਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਸ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਣ ਇੱਕ ਸਲਿਟ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਸਲਿਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਦੋਹਾਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਓਵਰਲੈਪ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਹੀ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਨਾ ਕਿਵੇਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੋਈ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਡਬਲ-ਸਲਿੱਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਲਈ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਤਾਂ ਇਹੀ ਨਮੂਨਾ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ)। ਧਿਆਨ ਦੇਓ ਕਿ: ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋਹਰਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾੰ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਅਨੁਮਾਨ ਸਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਮਝੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵੱਡੇ ਪੱਧਰ ਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਕਣ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟ੍ਰਫੇਰੈਂਸ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
x
ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਵਿਆਖਿਆ
ਡਬਲਿਨ ਵਿਖੇ 1952 ਵਿੱਚ, ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇੱਕ ਲੈਕਚਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੱਲ ਉੱਤੇ ਉਸਨੇ ਮਜ਼ਾਕ ਦੇ ਲਹਿਜੇ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਸਰੋਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹ ਜੋ ਕਹਿਣ ਵਾਲਾ ਹੈ ਪਗਲਪਣ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹ ਸਮਾਂ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਉਸਦੀਆਂ ਉੱਤਮ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇ ਇਤਿਹਾਸਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਦਿਸਦੀਆਂ ਸਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਬਦਲ ਨਹੀਂ ਸਨ, ਪਰ ਸਭ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਇਕੱਠੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਇੰਟ੍ਰਪ੍ਰੈਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਅਰੰਭਿਕਾਤਮਿਕ ਗਿਆਤ ਹਵਾਲਾ ਸੀ।
ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਿਵੇਂ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਰਸਤਾ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦੀ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੀ ਗੱਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਨਾਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੀ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਹਿਲੂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਪੁਰਾਤਨਾਤਮਿਕ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦੌਰਾਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਅਲੱਗ ਹੀ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੁਆਂਟਮ ਡੀਕੋਹਰੰਸ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਖੋਜ ਨੇ ਬਦਲਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਐਵਰੈਟ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡਜ਼ ਵਿਆਖਿਆ ਅਤੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇਤਿਹਾਸਾਂ) ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ, ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਪਿਛੋਕੜ ਅਤੇ ਵਿਕਾਸ
ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਮੈਕਸ ਪਲੈਂਕ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਬਲੈਕ ਬੌਡੀ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਲਬ੍ਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਪਲੈਂਕ ਦੇ ਕੁਆਂਟਾ ਨੂੰ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੇ ਹੋਣ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ੀ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਉਸਦੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਤਰੰਗ-ਕਣ ਡਿਊਲਿਟੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਲੱਛਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਅਤੇ ਵੇਵਨੰਬਰ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ
p
ਇਸਦੀ ਵੇਵਲੈਂਥ
λ
ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਵੇਵਨੰਬਰ
k
ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ
h
ਇਹ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਔਰਬਿਟ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ (ਅਨਿਰੰਤਰ) ਊਰਜਾ ਪੱਧਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਐਨਰਜੀ ਲੈਵਲਾਂ ਲਈ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ। ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਮੁਤਾਬਿਕ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ
L
ਦੀ ਮੰਨੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਸੀ: ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਨੰਬਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ (ਰੇਡੀਅਸ)
r
ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰੀ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
1921 ਵਿੱਚ, ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਰਥਰ ਚੀ ਲੁੱਨ ਨੇ ਸ਼ੀਕਾਗੋ ਦੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿਖੇ, ਹੁਣ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧ ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਊਰਜਾ-ਮੋਮੈਂਟਮ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਪੂਰਤੀ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਓਹੀ ਤਰਕ ਵਰਤਿਆ ਸੀ। ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਲੁੱਨ ਅਜਿਹੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਗਿਆ ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਲਈ ਇਸਦੇ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੱਕ ਗਿਆ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਉਸਦਾ ਪੇਪਰ ਫਿਜ਼ੀਕਲ ਰੀਵੀਊ ਰਾਹੀਂ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਜਿਵੇਂ ਕੈਮਨ ਰਾਹੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਗਿਣਿਆ ਗਿਆ।
ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਪੀਟਰ ਡਿਬਾਇ ਨੇ ਇੱਕ ਇੱਕਦਮ ਟਿੱਪਣੀ ਕੀਤੀ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਡੀਬਾਇ ਦੀ ਟਿੱਪਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਲੈ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ 3-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਖੋਜਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਲਿਆ। ਉਸਦਾ ਮਰਗ ਦਰਸ਼ਣ ਵਿਲੀਅਮ ਰੋਵਨ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਔਪਟਿਕਸ ਦਰਮਿਆਨ ਤੁੱਲਤਾ (ਐਨਾਲੌਗੀ) ਨੇ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਕੇਂਤਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਸੀ ਕਿ, ਔਪਟਿਕਸ ਦੀ ਜ਼ੀਰਿ-ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸੀਮਾ ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੈ- ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨਾਂ ਦੇ ਵਕਰਿਤ ਪਥ ਤਿੱਖੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਫਾਰਮਟ ਦੇ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਲੀਸਟ ਐਕਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਤੁੱਲ (ਐਨਾਲੌਗ) ਹੈ। ਉਸਦੇ ਤਰਕ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੋਕਾ ਵਰਜ਼ਨ ਥੱਲੇ ਫੇਰ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੀ ਗਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ:
ਫੇਰ ਵੀ, ਓਸ ਵਕਤ ਤੱਕ, ਅਰਨਾਲਡ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਨੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰਾਂ ਸਦਕਾ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ (ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਸੇ ਕੂਲੌਂਬ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅੰਦਰ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੁਣ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ:
ਉਸਨੇ ਇਸ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਖੋਜੀਆਂ, ਪਰ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਅਸਹਮਿਤ ਰਹੇ। ਮਾਯੂਸ ਹੋ ਕੇ, ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਹਿਸਾਬ –ਕਤਾਬਾਂ ਨੂੰ ਪਰੇ ਰੱਖ ਦਿੱਤਾ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦਸੰਬਰ 1925 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੰਦ ਪਹਾੜੀ ਕੈਬਿਨ ਵਿੱਚ ਤਨਹਾ ਕਰ ਲਿਆ। ਜਦੋਂਕਿ ਇਸ ਕੈਬਿਨ ਉੱਤੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੇ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਸਦੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੇਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਛਪਣ ਲਈ ਉੱਤਮ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਭਵਿੱਖ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ ਸੁਧਾਰਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਵਾਸਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਆਉਂਦੀਆਂ ਕਠਿਨਾਈਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ (ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤ ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਨ ਵੇਇਲ ਤੋਂ ਮਦਦ ਮੰਗੀ ਸੀ) ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਉਸਦੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਵਰਜ਼ਨ ਨੇ1926 ਵਿੱਚ ਛਪੇ ਇੱਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਦੀਆਂ ਸਹੀ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀਆਂ ਸਨ। ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਰਾਹੀਂ ਬਣਾਈ ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵੈੱਲ
V
ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ
Ψ(x, t)
ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਟ੍ਰੀਟ ਕਰਕੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਸੀ। ਇਸ ਹਿਸਾਬ-ਕਤਾਬ ਨੇ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਬੌਹਰ ਮਾਡਲ ਦੇ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇੱਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਖੁਦ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਸੀ:
ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ... ਨਾਮ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਾਈ-ਫੰਕਸ਼ਨ .... ਹੁਣ ਨਾਪ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਅਨੁਮਾਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਉਮੀਦਾਂ ਤੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਪਰਭਰ ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੋੜ ਜੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ 1926 ਦੇ ਪੇਪਰ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਪੂਰਵਜ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਰਾਹੀਂ ਸਮਰਥਨ ਮਿਲਿਆ, ਜਿਸਨੇ ਪਦਾਰਥਕ-ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤ ਦੇ ਇੱਕ ਸਹਿਜ-ਸਮਝ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ, ਜੋ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਜਰੂਰਤ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਰਸਮੀ ਮੰਨਿਆ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
Ψ
ਦੇ ਸੁਭਾਅ ਦਾ ਵੇਰਵਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਇਸਦੀ ਫਿਤਰਤ ਬਾਰੇ ਕੁੱਝ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦੀ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਆਪਣੇ ਚੌਥੇ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਾਰਜ ਡੈਂਸਟੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ, ਪਰ ਅਸਫਲ ਰਿਹਾ।
1926 ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪੇਪਰ ਦੇ ਛਪਣ ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਦਿਨਾਂ ਬਾਦ ਹੀ, ਮੇਕਸ ਬੌਰਨ ਨੇ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ
ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਸਕੁਏਅਰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ, ਭਾਵੇਂ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ- ਜਿਆਦਾਤਰ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਵਾਂਗਰ- ਕਿਸੇ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਜਾਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਸਟਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦਾ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਨਿਰੰਤਰਾਵਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜਿਸਦਾ (ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦਾ) ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਸੀ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਕਿਸੇ ਪਿੱਛੇ ਛੁਪੀ ਡਿਟ੍ਰਮਿਨਿਸਟਿਕ ਥਿਊਰੀ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ- ਅਤੇ ਕਦੇ ਵੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਨਾਲ ਮੇਲ ਮਿਲਾਪ ਨਾ ਕੀਤਾ।
ਲੁਇਸ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬਾਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੋ-ਬੋਹਮ ਥਿਊਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਰਾਹੀਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ।
ਕਣਾਂ ਲਈ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਹੱਲ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਤਰੰਗ-ਵਰਗੀਆਂ ਗਤੀਆਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀਆਂ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ) ਆਮਤੌਰ ਤੇਹੋਰ ਭੌਤਿਕੀ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ- ਸਟਰਿੰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਪਦਾਰਥ ਵਿੱਚ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੰਪਨਾਂ ਲਈ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਅਧਾਰ, ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵੇਰਵਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਧਾਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਫੇਇਨਮਨ ਇਸ ਬਾਰੇ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਓਹ (ਸਮੀਕਰਨ) ਕਿੱਥੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ? ਕਿਤੋਂ ਵੀ ਨਹੀਂ। ਇਸਨੂੰ ਕਿਤੋਂ ਅਜਿਹੀ ਚੀਜ਼ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਚੀਜ਼ ਵੀ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਵੋ। ਇਹ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਦਿਮਾਗ ਦੀ ਉਪਜ ਹੈ। ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਣ ਪ੍ਰਤਿ ਰਚੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ। ਹੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
ψ
ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੀ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਜਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ,
ਦਾ ਮੌਡੂਲਸ ਅਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ, ਵਕਤ ਦੇ ਕਿਸੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ ਹੁੱਦੇ ਹਨ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਤੋਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਵਾਂਗ ਰਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਠੋਸ ਵਿਵਰਣ ਲਈ Resnick et al. ਵੀ ਦੇਖੋ।
ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ
ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ
E
ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ
T
ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ
V
ਦੇ ਜੋੜ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਜੋੜਫਲ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ
ਲਈ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਹੈ: ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਪੁਜੀਸ਼ਨ
x
, ਪੁੰਜ
m
ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ
p
ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ
t
r
ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵੈਕਟਰ
ਜਰੂਰ ਹੀ ਵਰਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ: ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਕਣਾੰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਨੰਬਰ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਫੇਰ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਲ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਫੇਰ ਤੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਣਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ (ਇੱਕ [[ਮੈਨੀ ਬੌਡੀ ਪ੍ਰੌਬਲਮ|
N
-ਬੌਡੀ ਸਮੱਸਿਆ]]), ਤਾਂ ਜੋ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ
ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਬਣਤਰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਵੀ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ, ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ:
ਰੇਖਿਕਤਾ (ਲੀਨੀਅਰਟੀ)
ਸਰਲਤਮ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ;
A
ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
k
ω
ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਦੀ ਐਂਗੁਲਰ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਭੌਤਿਕੀ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ, ਇਸਲਈ ਸਰਵ ਸਧਾਰੀਕਰਨ ਲਈ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ; ਸਾਈਨੁਸੋਆਇਡਲ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੰਗ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਜੇਕਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲੀਨੀਅਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾੰ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੇਲ ਵੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਅਤੇ ਵੱਖਰੀ ਲੋੜ ਇਹ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਰਹੇ।
ਅਨਿਰੰਤਰ
ਲਈ, ਜੋੜ, ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾੰ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਕੁੱਝ ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਗੁਣਾਂਕਾਂ
An
ਲਈ, ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ
ਲਈ, ਜੋੜ ਇੱਕ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫੋਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫੌਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ
[[ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ|
-ਸਪੇਸ]] ਵਿੱਚ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵੌਲੀਊਮ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਸਾਰੀ
-ਸਪੇਸ ਤੇ ਕਬਜ਼ਾ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਮੋਮੈਂਟਮ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
Φ(k)
ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਫੋਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫੌਰਮ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਡੀ-ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਸਬੰਧਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ
ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਲਾਈਟ ਕੁਆਂਟਾ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (1905) ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੋਟੌਨ ਦੀ ਊਰਜਾ
E
ν
(ਜਾਂ ਐਂਗੁਲਰ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ,
) ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਇਸੇਤਰਾਂ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (1924) ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਕਣ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ (ਸਬੱਧਤ ਕੀਤਾ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਣ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ
p
ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਦੀ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ
λ
ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ): ਜਦੋਂਕਿ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ, ਵੇਵਲੈਂਥ
ਵੇਵ-ਵੈਕਟਰ
k
ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਪਲੈਂਕ-ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਅਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਸਬੰਧ ਊਰਜਾ ਦੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਾਲ, ਦਰਮਿਆਨ ਗਹਿਰੇ ਸੰਪਰਕਾਂ ਤੇ ਰੋਸ਼ਨੀ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵੇਵ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਡਿਊਲਿਟੀ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ,
ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀਆਂ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: ਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ, ਵੇਵ-ਸੰਖਿਆ, ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਵਟਾ ਕੇ ਵਰਤ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦੀ ਨਕਲ (ਡੁਪਲੀਕੇਸ਼ਨ) ਰੋਕੀ ਜਾ ਸਕੇ, ਅਤੇ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟ ਸਕੇ। ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਲਈ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ SI ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੀ ਗਹਿਰੀ ਸਮਝ, ਨੇ 1925 ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੋਸੇ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਦੇ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕਰਨਾ ਸੀ: ਅਤੇ ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਸੀ। ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵਿਟਵ ਇਹ ਸਨ: ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ: ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ:
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਪਿਛਲੇ ਡੈਰੀਵਿਟਵ, ਸਮਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹੋਏ ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ
ਊਰਜਾ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ (ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ
∇
ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ
, ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਵਿੱਚ, "ਹੈਟ" (
ˆ
) ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਰਲ ਤੌਰ ਤੇ ਸਧਾਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
V
ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗੁਣਾਤਮਿਕ ਹਿੱਸਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦੇ ਹੋਏ ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਇਸਲਈ ਟਾਈਮ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
Ψ
ਮੋਮੈਂਟਮ
ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਕਣ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਓਵੇਂ ਹੀ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਹੋਰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਵੇਵ-ਨੰਬਰ
ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਨਾਲ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ
ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸਧਾਰਨ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ (ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ) ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ: ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਦੂਜੀ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਇਹਨਾਂ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਤਰੰਗ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਵੀ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਜਿਵੇਂ ਜਿਵੇਂ ਕਰਵੇਚਰ ਵਧਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਰੰਗ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗਟਿਵ ਦਰਮਿਆਨ ਹੋਰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਵੀ ਘਟਾਉਂਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਦਰਮਿਆਨ ਉਲਟ ਸਬੰਧ, ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਰੱਖੀ ਜਾਂਦੀ ਊਰਜਾ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਣ ਦੀ ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ, ਨਾਲ ਉਸੇ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਸੰਪਰਕ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।
ਤਰੰਗ ਅਤੇ ਕਣ ਗਤੀ
r
ਦੇ ਨੇੜੇ,
k
ਨਜ਼ਦੀਕ ਵੇਵ-ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਹੱਲ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਵਕਰਿਤ ਰਸਤੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਨਗੇ ਜੋ
ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਿਉਂਕਿ,
ਪ੍ਰਤਿ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾੰ ਇਹ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਦੇ ਸਿਫਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੱਕ ਦੀ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਸਟੋਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਹੱਦ ਕਿਵੇਂ ਅਤੇ ਕਿਹੜੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਬਹੁਤ ਸਾਵਧਾਨੀ ਮੰਗਦੀ ਹੈ।
ਸੀਮਤ ਛੋਟੀ ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸਿਫਰ ਹੋ ਰਹੇ
ħ
ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਣ ਦੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਲੋਕਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਸੀਮਤ ਮਾਮਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਲਈ ਹੇਜ਼ਨਬ੍ਰਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਿੱਚ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਓਂ ਹੀ
ħ → 0
ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ
σ
,
x
ਅਤੇ
px
(ਅਤੇ ਇਸੇਤਰਾਂ
y
z
-ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ) ਵਿੱਚ (ਰੂਟ ਮੀਨ ਸਕੁਏਅਰ) ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਇਸ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਕਿਸੇ ਮਨਚਾਹੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਹੀ ਗਿਆਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਜਨਰਲ ਕਿਸਮ, ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੇਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (HJE) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਜਿੱਥੇ;
S
ਐਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
H
ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ)। ਇੱਥੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ
qi
ਲਈ (ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ) ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਵਿੱਚ
ρ
ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ
ਵਾਲੀ ਹੱਦ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਨਤੀਜੇ ਇਹ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ:
ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ
ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਅਸਰਾਂ ਨੂੰ ਲਏ ਬਗੇਰ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸਪੀਡਾਂ ਉੱਤੇ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੋ ਰਹੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੱਖਰੀਆਂ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਲਈ ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ: ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ, ਇੱਕ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਯਾਮ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ
N
ਕਣ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਿੱਚ, ਸਿਸਟਮ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਅਕ ਨਾਮ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਾਮਕਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਕਿਹੜੇ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਕਿਹੜੇ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਦਰਮਿਆਨ, ਗਲਤਵਹਿਮੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਵਕਤ ਸੁਤੰਤਰ
ਜੇਕਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਕਤ ਦਾ ਕੋਈ ਸਪਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਟੈਂਪੋਰਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ
ψ(ਸਪੇਸ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ)
ਸਿਰਫ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
τ(t)
ਸਿਰਫ ਵਕਤ ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ψ
ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਬੰਧਤ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਭਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਖੇੜ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਇਹ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਿਰਫ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨੂੰ ਹੀ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ
ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ
E
ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਕੀਮਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਊਰਜਾ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ, ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ- ਕੋਈ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਜੋੜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨ
ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਭਰਨ ਤੇ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: ਇਹ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਮਾਮਲਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਣ ਨਾਲੋਂ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਨਰਲ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ
N
ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ ਕਣ
n
ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ
ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਬੰਧਤ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਇਸਲਈ ਆਮ ਹੱਲ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਸਿਰਫ ਹਰੇਕ ਕਣ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰਾ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ- ਇਹ ਕਣ ਵਟਾਂਦਰੇ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੋਇਆ, ਵੱਖਰੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਉਪਰੋਕਤ ਵਿਯੋਜਨ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ
ਜ਼ੀਰੋ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ,
ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਣ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੰਝ ਪੜਦੀ ਹੈ: ਜੋ
E > 0
(
Cn
ਮਨਚਾਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਡੋਲਦੇ (ਔਸੀਲੇਟ ਕਰਦੇ) ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਅਤੇ
E < 0
ਲਈ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਹੱਲ, ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵਧ ਰਹੇ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਨੌਰਮ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਹ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਜਾਂ ਫਿਕਸ ਕੀਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਘਣਫਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਉੱਤੇ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਚਰਚਾ ਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਅਤੇ ਵੇਵਪੈਕਟ ਦੇਖੋ।
ਸਥਿਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ
ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ,
ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
E > V0
ਲਈ, ਹੱਲ, ਔਸੀਲੇਟਰੀ ਹੁੱਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ
E < V0
ਲਈ ਐਕਪੋਨੇਂਸ਼ੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਊਰਜਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਜਾਂ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਔਸੀਲੇਟਰੀ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਤੀਆੰ ਨਾਲ ਸਬੱਧ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ, ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ ਸਦਕਾ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਬਲੀਡਿੰਗ ਦੀ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ
ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਤੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋ ਜਾੰਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਤੇ, ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਕਿਸੇ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਹਾਲਤ ਕਿ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਘਟਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੈੱਟ ਤੱਕ ਰੋਕ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ
ਇਸ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਧਿਆਨਯੋਗ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਹੱਲ ਸਹੀ (ਪਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ- ਹਰਮਾਈਟ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਕੰਪਨ ਕਰ ਰਹੇ ਐਟਮਾਂ, ਅਣੂਆਂ ਸਮੇਤ, ਹੋਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਵੈਰਾਇਟੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੈਟਿਸਾਂ ਵਿੱਚ ਐਟਮਾਂ ਜਾਂ ਆਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ, ਅਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹੋਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫੈਮਲੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਜਿੱਥੇ
ਹੈ, ਅਤੇ
Hn
ਹਰਮਾਈਟ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਜੋ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ
r
ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ
ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕੈਂਸਰ ਹੈ ਜੋ ਟਿਸ਼ੂ ਦੀ ਪਤਲੀ ਪਰਤ ਤੋਂ ਵਿਕਸਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅੰਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।  ਇਸ ਵਿੱਚ  ਫੇਫੜਿਆਂ ਅਤੇ ਛਾਤੀ ਦੀ ਕੰਧ ਦੀ ਪਰਤ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।  ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੇਟ ਦੀ ਲਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਦਿਲ ਦੇ ਸੁੱਰਣ ਵਾਲੀ ਪੱਟੀ  ਜਾਂ ਟੇਸਟਿਸ ਦੇ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਦੀ ਥੈਲੀ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ ਦੇ ਲੱਛਣਾਂ ਵਿੱਚ ਫੇਫੜਿਆਂ ਦੇ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਤਰਲ ਪਦਾਰਥ, ਸਾਹ ਲੈਣ ਦੀ ਕਮੀ, ਪੇਟ ਦੀ ਸੋਜ, ਛਾਤੀ ਦੀ ਕੰਧ ਦਾ ਦਰਦ, ਖੰਘ, ਥਕਾਵਟ, ਅਤੇ ਭਾਰ ਘਟਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਲੱਛਣ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੌਲੀ ਹੌਲੀ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਲਾਭਕਾਰੀ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਇਹ ਹਨ;
ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
N
ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ
80% ਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੈਸੋਥੈਲੀਓਮਾ ਦੇ ਕੇਸ ਐਬਸੈਸਟਸ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਐਕਸਪੋਜਰ ਹੋਵੇਗਾ ਉਨਾ ਵੱਡਾ ਖਤਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 2013 ਤੱਕ, ਕਰੀਬ 125 ਮਿਲੀਅਨ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਕੰਮ ਤੇ ਐਸਬੇਸਟਸ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪਿਆ ਹੈ। ਬੀਮਾਰੀਆਂ ਦੀ ਉੱਚ ਦਰ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਐਸਬੇਸਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਐਸਬੈਸਟਸ ਤੋਂ ਉਤਪਾਦ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਐਸਬੈਸਟੋਸ ਉਤਪਾਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਸਬੇਸਟੋਸ ਦੇ ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਰਹਿਣਾ ਜਾਂ ਐਬਸੈਸਟਸ ਵਾਲੀਆਂ ਇਮਾਰਤਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਐਸਬੈਸਟੋਸ ਐਕਸਪ੍ਰੋਸੈਸ ਅਤੇ ਕੈਂਸਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਗਪਗ 40 ਸਾਲ ਤੱਕ ਵੱਖ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਐਸਬੈਸਟਸ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਕੱਪੜੇ ਧੋਣ ਨਾਲ ਵੀ ਖਤਰਾ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।  ਹੋਰ ਜੋਖਮ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਮੀਅਨ ਵਾਇਰਸ 40 ਨਾਲ ਜੈਨੇਟਿਕਸ ਅਤੇ ਲਾਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਛਾਤੀ ਦੇ ਐਕਸ-ਰੇ ਅਤੇ ਸੀ.ਟੀ. ਸਕੈਨ ਲੱਭਤਾਂ ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਡਾਇਗਨੌਸਟਿਕ ਸ਼ੱਕੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੈਂਸਰ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤਰਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਜਾਂ ਕੈਂਸਰ ਦੇ ਟਿਸ਼ੂ ਬਾਇਓਪਸੀ ਦੁਆਰਾ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ;
n
ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ
ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ
ਇਲਾਜ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਸਰਜਰੀ, ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਥੈਰਪੀ, ਅਤੇ ਕੀਮੋਥੈਰੇਪੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਲੂਰੋਡਸਿਸ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਲਾ-ਦੁਆਰ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਟੈਲਕ ਵਰਗੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਫੇਫੜਿਆਂ ਦੇ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰਲ ਨੂੰ ਰੋਕਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ. ਕੀਮੋਥੈਰੇਪੀ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਦਵਾਈਆਂ ਸੀਸਪਲੈਟਿਨ ਅਤੇ ਪੇਮਟਰੇਕਸਡ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।  ਨਿਦਾਨ ਦੇ ਬਾਅਦ ਪੰਜ ਸਾਲ ਤੱਕ ਜ਼ਿੰਦਾ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ 8% ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
rn
ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਅੰਦਰ, ਕਣ
ਮੇਸੋਥੇਲੀਓਮਾ
2015 ਵਿੱਚ, ਲਗਭਗ 60,800 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮੈਸੋਥੇਲੀਓਮਾ ਸੀ ਅਤੇ 32,000 ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਬਿਮਾਰੀ ਤੋਂ ਮੌਤ ਹੋ ਗਈ ਸੀ। ਮੈਸੋਥੈਲੀਓਮਾ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ, ਯੂਨਾਈਟਿਡ ਕਿੰਗਡਮ ਵਿੱਚ ਦਰਾਂ ਉੱਚੀਆਂ ਅਤੇ ਜਾਪਾਨ ਵਿੱਚ ਨੀਵੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਲਗਭਗ 3000 ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਔਰਤਾਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਪੁਰਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਅਕਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 1950 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਤੋਂ ਬਿਮਾਰੀ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਵਧੀਆਂ ਹਨ। ਨਿਦਾਨ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 65 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਗਭਗ 70 ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮੌਤਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਐਸਬੈਸਟਸ ਦੀ ਵਪਾਰਕ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬਿਮਾਰੀ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸੀ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਲਈ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ
ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂਕਿ, ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਫੇਰ ਤੋਂ, ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਕਣ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅੱਗੇ, ਉਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਵਿਵਰਣਾਂ ਲਈ ਮੁੱਖ ਲੇਖਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ;
e
ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਚਾਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
r
ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (
ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ),
ε0
mp
ਵਾਲੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਨਿਊਕਲੀਅਸ (ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟੌਨ) ਅਤੇ
ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ 2-ਬਾਡੀ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੈਗਟਿਵ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਰਕਮ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਉਲਟ ਚਾਰਜ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਪੁੰਜ ਦੀ ਜਗਹ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਇਕੱਠਿਆਂ, ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੁਆਲ਼ੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੂ-ਬਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ ਰਚਦੇ ਹਨ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਗਤੀ ਇੱਥੇ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਮੁੱਖ ਕੇਂਦਰ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਮਾਨ ਇੱਕ-ਬਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ ਘਟੇ ਹੋਏ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਲਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ;
R
ਰੇਡੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ
Y(θ, φ)
ਡਿਗਰੀ
ℓ
ਅਤੇ ਔਰਡਰ
m
ਵਾਲੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਐਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਹੀ ਤੌਰ ਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਮਲਟੀ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਸੰਖੇਪਤਾ ਵਿਧੀਆਂ ਮੰਗਦੇ ਹਨ। ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਫੈਮਲੀ ਇਹ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ:
n − ℓ − 1
ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
n, ℓ, m
ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਮੁੱਖ, ਐਜ਼ੀਮਿਊਥਲ, ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਜੋ ਇਹ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ: NB: ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵੱਖਰੇ ਵਿਦਵਾਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ- ਇਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਲੇਖ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਹਾਈਡੌਜਨ ਐਟਮ ਦੇਖੋ।
ਦੋ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਜਾਂ ਆਇਨ
), ਨੈਗਟਿਵ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਆਇਨ (H−,
), ਜਾਂ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਲੀਥੀਅਮ ਅਇਨ (Li+,
) ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ;
r1
ਇਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੱਦਾ ਹੇ),
r2
ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ),
r12
ਇਹਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਦੂਰੀ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ;
μ
, ਫੇਰ ਤੋਂ, ਪੁੰਜ
M
ਵਾਲੇ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ ਟੂ-ਬਾਡੀ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਟਾਈਮ ਅਤੇ
Z
ਵਕਤ ਨਿਰਭਰ
ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੱਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਅਤੇ ਹੱਲ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਸਿਸਟਮ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕਣ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਮਾਮਲੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ।
ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ; ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ
n
ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ
xn
ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰਲੇ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰਲੇ
N
ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ ਕਣ
rn
ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ: ਇਹ ਆਖਰੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉੱਚੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਸਦੇ ਹੱਲ ਦੇਖਣੇ ਅਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਹੱਲ ਵਿਧੀਆਂ
ਆਮ ਤਕਨੀਕਾਂ:
ਖਾਸ ਮਾਮਿਲਆਂ ਵਾਸਤੇ ਵਿਧੀਆਂ:
ਰੇਖਿਕਤਾ
ਓਪਰੋਕਤ ਵਿਕਾਸ ਅੰਦਰ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਤਾ ਲਈ ਰੇਖਿਕ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਦੇ ਹੋਰ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
ψ1
ਅਤੇ
ψ2
ਹੱਲ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਿੱਥੇ
a
b
ਕੋਈ ਵੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ (ਜੋੜਫਲ ਨੂੰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਇਹ ਖਾਸੀਅਤ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ) ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਵੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸਿੰਗਲ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਯੋਗ ਹੱਲਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੈਣ ਸਦਕਾ ਖੋਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਰਹੇ: ਇੱਕ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਫੰਕਸ਼ਨ। ਜੇਕਰ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਤ ਕੇ ਖੋਜੀਆਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ
An
ਵਾਲੇ
ψE(x)
ਨਾਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਨਿਰਭਰ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਬਗੈਰ ਹੀ ਉਸਦੇ ਲਈ ਹੱਲ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ
ψn
ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੇਰ; ਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਕੇ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਇਸਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਕਿਤੇ ਜਿਆਦਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ;
ਵਾਸਤਵਿਕ ਉਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ
ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ, ਰੇਖਿਕਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਲੱਛਣ ਇੰਝ ਹੈ: ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ
ψ1
ਅਤੇ
ψ2
, ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਓਸੇ ਊਰਜਾ
E
ψ
ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ, ਜੋ
ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਲੈ ਕੇ,
ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸੇ, ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਡੀਜਨਰੇਸੀ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਹੀ ਅੰਤਰ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Ψ(x, t)
ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ
Ψ*(x, –t)
ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਟਾਈਮ-ਰਿਵਰਸਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
[[File:Wavefunction continuity space.svg|250px|"250px"|thumb|ਕਿਸੇ ਵਕਤ
t
ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ (
x
ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ,
y
z
ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ]]
ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਔਰਡਰ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਉਤਪਤੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਤੋਂ ਭਵਿੱਖ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ)।