Logica
Istòria
La logica, dins lo sens pus general d'aqueste mot, remonta al segle IV aC, quand Aristòtel la presentèt coma basa de son sistèma filosofic, per èsser una matèria indispensabla per quala que siá autra sciéncia. Encara que tal com va ser concebuda pel sabent grèc era bastant rigida, i de poc abast, amb tot va restar inalterada fins el segle XIX, encara que Leibnitz (1646 - 1716) li donà un cert impuls, dins una postura conservadora, va ser Boole (nat el 2 de novembre de 1815 a Lincoln, Lincolnshire, Anglaterra-mort el 8 de decembre de 1864 a Ballintemple, County Cork, Irlanda), amb alguns altres, començaren a relacionar-la directament amb la matemàtica. La lògica, tal com s'entén avui, va sorgir dels treballs de Frege (nat el 8 de novembre de 1848 a Wismar, Mecklenburg-Schwerin (actualament Alemanha)-mòrt el 26 de juliol de 1925 a Bad Kleinen, Alemanya) i Peano (nat el 27 d'agost de 1858 a Cuneo, Piemonte, Itàlia - mort el 20 d'abril de 1932 a Turin, Itàlia). Aquests treballs es veren com la culminació del procès de formalització de la matemàtica, començada per Isaac Newton i Leibnitz, creadors del calcul infinitesimal, que després desenvoluparien Cauchy (nat el 21 d'agost de 1789 a París, França – mort el 23 de maig de 1857 a Sceaux, aprop de París), i Gauss (nat el 30 d'abril de 1777 a Brunswick, Ducat de Brunswick, actualament Alemanya – mort el 23 de febrer de 1855 a Göttingen, Hanover, avui Alemanya), entre d'altres que cada vegada abastava conceptes més generals i abstractes. Dedekind (nat el 6 d'octubre de 1831 a Braunschweig, Ducat de Braunschweig, avui Alemanya – mort el 12 de febrer de 1916 a Braunschweig), Riemann (nat el 17 de setembre de 1826 a Breselenz, Hanover, avui Alemanya – mort el 20 de juliol de 1866 a Selasca, Itàlia), Weierstrass (nat el 31 d'octubre de 1815 a Ostenfeide, Westphalia, actual Alemanya – mort el 19 de febrer de 1897 a Berlín, Alemanya) sistematitzaren la matemàtica fins el punt de deixar-la construïda essencialment a partir dels nombres naturals, i sobre les propietats fonamentals dels conjunts. L'obra de Frege i Peano havia de ser la culminació d'aquest procès: provaren de donar regles precises per determinar completament la labor del matemàtic, explicitant tant els punts de partida com els mètodes per deduir nous resultats.Si només hagués estat així la lògica seguiria essent una curiositat reservada als matemàtics amb inclinacions filosoficas, però a finals del segle XIX Georg Cantor creà e desenvolupà la part més general i abstracta de la matematica modèrna: la teoria dels ensembles. No va passar molt de temps sens que el propi Cantor, i d'altres, descobrissen contradiccions a la teoria de conjunts. L'exemple més simple fou descobert per Bertrand Russell: segons la teoria de Cantor es pot parlar de qualsevol conjunt de objectes si s'especifiquen els seus elements sens ambigüitat. Per tant podem considerar el conjunt R, els elements del qual son exactament aquells conjunts que no son elements de ells mateixos. Per tant si R és un element de ell mateix, per definició, no podria ser-ho, i viceversa. Resulta que R no pot pertànyer a ell mateix com a element ni no fer-ho. Tot això contradiu la lògica més elemental. Es podria pensar que això no és més que una ximpleria, però el que passa és que contradiccions similars afecten a conjunts no tan artificials i recercats com el conjunt R. La primera mostra de la importància de la lògica fou un fracàs estrepitós. Frege havia creat un sistema que pretenia regular qualsevol raonament matemàtic. Russell observà que la paradoxa esmentada podia ser provada seguint el sistema de Frege, així com qualsevol afirmacion, la qual cosa tornava aquestes regles totalment inútils. Amb el temps sorgiren substituts als treballs de Frege. El primer va ser els Principia Mathematica de Whitehead (nat el 15 de febrer de 1861 a Ramsgate, Isla de Thanet, Kent, Anglaterra – mort el 30 de desembre de 1947 a Cambridge, Massachusetts, Estats Units)i Russell, de gran complexitat lògica. Després vendrien les teories de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF), i de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Amdues permeten deduir tots els teorèmas matematics a partir dels seus principis bàsics (axiòmas), sens que, fins ara, s'hagi trobat cap de contradiccion.