cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Clube Atlético Paranaense
Atlético Paranaense er en brasiliansk fotballklubb, som holder til i Curitiba i delstaten Paraná. Klubben ble stiftet 26. mars 1924, som et resultat av en sammenslåing mellom de to opprinnelige storklubbene fra Curitiba, Internacional og América. Klubben spiller i rød- og svartstripede drakter og svarte shorts og strømper. De har et hett rivalforhold med den andre store klubben fra Curitiba, nemlig Coritiba FC. Hjemmebanen heter Kyocera Arena, og har en kapasitet på snaut 28,000 tilskuere. Atlético har opp gjennom historien vunnet 21 delstatsmesterskap, Campeonato Paranaense, samt den nasjonale ligaen, Série A, en gang (2001). De ble ellers nummer to i Copa Libertadores i 2005. 2006-sesongen endte med en noe skuffende 13.-plass i ligaen.
Kléberson (tidligere Man. United) og Paulo Rink er blant de mest berømte spillerne som har spilt for klubben.
Spillerstall
14. april 2021
Original Dixieland Jass Band
Original Dixieland Jass Band (O.D.J.B.) (etablert 1916 i New Orleans, nedlagt 1925 i New York) var et amerikansk dixieland-orkester, kjent for å ha antakeligvis gjort den første plateinnspilling innen musikkformen jazz.
Bandet besto av besetningen i Papa Jack Laine's «Reliance Brass Band», flyttet til Chicago (1916) med navnet Steins Dixie Jass Band. Stein forlot, og bandet flyttet til New York (1917), der de på anbefaling fra Al Jolson fikk sin første gig på Reinsenweber's Cafe. Under ledelse av Nick LaRocca kornett ga de så ut jazz-ens første plate, Livery stable blues/Dixie jazz band one step (Victor, 1917) og endret «jass» til «jazz» i navnet. Andre medlemmer var Tony Sbarbaro trommer, Edwin Edwards trombone, Larry Shields klarinett og Henry Ragas piano.
Etter den første verdenskrig turnerte de og spilte inn plater i England (1919), som sådan ble de første jazzplater distribuert til Skandinavia. Senere utkom en rekke plater på Columbia Records og Okeh, før LaRocca's sykdom ga splittelse (1925). Innspillinger ble også gjort i kortvarige gjenforeninger (1936-40 og 45-46), med noen av den tidligere besetning.
FK Vorskla Poltava
Historie
I 2008/2009-sesongen vant klubben Kubok Ukrajiny, som er det ukrainske cupmesterskapet, med seier 1-0 over Sjakhtar Donetsk. Vorskla Poltava har ved flere anledninger deltatt i UEFA-cupen og Europaligaen, men uten nevneverdig suksess. Deres hittil beste prestasjon i europeisk sammenheng var da de nådde gruppespillet under Europaligaen i fotball for menn 2011/12.
Spillerstall
Oppdatert 24. november 2021.
Khao Lak
Khao Lak (betyr Lak-fjellet) er en landsby på grensen mellom Takua Pa kommuneog Thai Mueang kommune i provinsen Phang Nga, Thailand. Landsbyen ligger i et kystområde ved Indiahavet omkring Lam Ru-odden og utgjør den nordligste delen av tettstedet Ban Lam Ru – inneklemt mellom Khao Lak Beach og fjellet Khao Lak. Her ligger en telekommunikasjonsstasjon, en håndfull hoteller, og Khao Lak – Lam Ru Nasjonalpark på selve odden. Khao Lak Beach vender mot Andamanhavet i vest.
Turiststed
I turismesammenheng brukes navnet Khao Lak om hele den 2-3 mil lange kyststrekningen nord for landsbyen, det vil si strandområdene i hele Takua kommune. Det bor 5 000 mennesker langs kystsletten her. En utvidet begrepsbruk omfatter også turistanleggene i kystområdene i Thai Mueang kommune sør for tettstedet Khao Lak.
Khao Lak har store turistanlegg, 20 km lange, sammenhengende sandstrender, og er utgangspunkt for utflukter og scubadykking utenfor kysten. Turistfasilitetene holder en høy standard, og har gode kommunikasjoner gjennom den internasjonale flyplassen 60 km lengre sør på øya Phuket, som utgjør kjernen i det store vestthailandske turistområdet.
Geografi
Ved Khao Lak er kysten nord-sørgående vendt rett mot Andamanhavet i vest. Fjellene langs kysten når opp i et par hundre meter, og mellom fjellene og havet er lave, bebygde sletter. Det er utstrakt kokos-, banan- og gummidyrking langs kysten, og tropisk skog innenfor. Det er derimot ikke regnskog i Khao Lak, den starter litt lengre nordøst i nasjonalparkene rundt Khao Sok, i fjellområdene helt vest i Surat Thani-provinsen.
En biologisk viktig, fredet banyanskog i et elvedelta ved kysten 8 km sør for Khao Lak ble totalskadd av tsunamien i desember 2004, og eksisterer ikke lengre.
Dyrelivet er typisk tropisk og preget av stor luftfuktighet. Slanger, insekter og edderkopper, amfibier (firfisler, frosker), og en stor mengde fiskearter preger biotopene. Det holdes noe elefanter for turisme, men det viktigste lokale området for elefanthold er i Khao Sok. Det drives utstrakt vern av truede arter, ikke minst skilpadder, men salget av utstoppede dyr og insekter er utstrakt. Antallet fuglearter er beskjedent.
Økonomi og næringsliv
Den lokale økonomien er avhengig av turistene: De mest framtredende forretningene er hoteller, restauranter, turoperasjon og utflukter, dykkeaktiviteter og dykkeutstyr, butikker, drosjevirksomhet, internettkafeer, helse- og spatjenester, og thaimassasje. Langs strendene er det flere titalls hoteller og turistanlegg, med få unntak er disse fullt gjenoppbygd etter tsunamien.
Det er meget gode veier nord-sør, riksvei 4 går nordover helt til grensen mot Myanmar og videre over til Thailandbukta. Det er utmerket bredbåndsforbindelse og mobildekning langs absolutt hele kysten. Fjernsyn tilbys både gjennom parabol (satellitt), kabel-tv og bakkenett. Khao Lak Cable TV (KTV) driver kringkasting gjennom luftspent kabel i hele området, både til husholdninger og turistanlegg.
Det er en større marinebase og en luftforsvarsbase 5 km sør for Khao Lak Beach (i Thai Mueang kommune), og 15 km lengre sør er det to universitets-campuser tilhørende hnhv Ramkhamhaeng University og Prince of Songkla University. Videre finnes en rekke buddhistiske templer, men moskeer finnes kun i nabokommunene – med to moskeer i Thai Mueang i sør.
Tsunamien
Den 26. desember 2004 ble området hardt rammet av en tsunami utløst av en rekke undersjøiske jordskjelv langs en linje fra vest for Sumatra til Andamanene.
International Tsunami Museum har utstillingslokale i landsbyen Bang Niang noen km sør for Khuek Khak, midt i området. Det er plassert i tilknytning til den ca. 60 fot store og flere tonn tunge kystvakt- og politibåten P813 som ble skyllet 1-2 km inn på land over hovedveien, og som fortsatt står som museets viktigste utendørs minnesmerke over de voldsomme naturkreftene som tsunamien utløste.
Oziorsk (Tsjeljabinsk oblast)
Økonomi
Oziorsk var og er fortsatt en lukket by på grunn av nærheten til Majak-fabrikken, en av kildene til sovjetisk plutonium under den kalde krigen, og nå en russisk installasjon for prosessering av radioaktivt avfall og resirkulering av kjernefysisk materiale fra destruerte atomvåpen.
Selve fabrikken dekker et område på rundt 90 km² og har ca. 30 200 ansatte. Majak driver primært med reprosessering av brukt kjernefysisk drivstoff fra atomdrevne ubåter og isbrytere, og fra atomkraftverk. Kommersielt produserer fabrikken kobolt-60, iridium-192, karbon-14 og etablerer konverteringsproduksjon ved bruk av strålingsteknologier og avfallsfrie teknologier.
Byens våpenskjold viser en ildfarget salamander som representerer den økologiske situasjonen etter ulykken i 1957.
En annen større bedrift er Sør-Urals Konstruksjonavdeling (russisk: ЗАО "Южноуральское управление строительства"). Dets aktiviteter omfatter byggevirksomhet for atomindustriens behov, produksjon av betongkonstruksjoner og byggematerialer.
Hovedproduktene til Fabrikk nr.2 for Kabelprodukter (russisk: ЗАО "Завод электромонтажных изделий №2") er svakstrømsprodukter for militært-industrielle formål.
Ulykken i 1957
Majak var åsted for en større atomulykke i 1957, som medførte alvorlig radioaktiv forurensing (se liste over militære atomulykker) i Oziorsk og området rundt byen. Hovedveien fra Tsjeljabinsk til Jekaterinburg passerer gjennom den radioaktive sonen etter ulykken. Når du reiser med buss, er veiskiltet som viser veien ned en sidevei til landsbyen Kyshtym det eneste tegnet på at du er der.
Kjeglesnitt
Et kjeglesnitt er en kurve, laget som en skjæringslinje mellom et plan og en kjegleflate. Avhengig av retningen til planet i forhold til kjeglen vil kjeglesnittet være en ellipse, parabel eller hyperbel. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse. For noen plasseringer av planet kan kjeglesnittet degenere til et punkt, en linje eller to linjer.
Kjeglesnitt kan defineres på mange forskjellige måter. Geometrisk kan kjeglesnitt defineres som det geometrisk sted for punkter i planet hvis avstand til et gitt punkt er proporsjonal med avstanden og til en gitt linje. Punktet kalles fokus eller brennpunkt, og linjen kalles direktrise eller styrelinje. Proporsjonalitetskonstanten kalles eksentrisiteten e, og denne karakteriserer formen til kjeglesnittet. En hyperbel er en åpen kurve med e > 1 og to adskilte grener. En parabel har eksentrisitet og er også en åpen kurve. Ellipsen er en lukket kurve med e < 1. En sirkel kan betraktes som et spesialtilfelle med eksentrisitet. I analytisk geometri er et kjeglesnitt definert som en kurve av andre orden i to variable, og omvendt vil en algebraisk kvadratisk ligning i to variable alltid framstille et kjeglesnitt.
Egenskapene til kjeglesnitt ble utforsket av greske matematikere for over to tusen år siden, etter først å ha blitt beskrevet av Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Spesielt viktig var bidraget til Apollonios fra Perge, og læreverket Kjeglesnitt ble et av de mest studerte i fra antikkens Hellas. Apollonios innførte navnene ellipse, parabel og hyperbel. Studiet av kjeglesnitt fortsatte med stor intensitet også i nyere europeisk matematikk.
Menaikhmos og tidlige arbeid
når a og b er to kjente størrelser. Fra dette følger det at, slik at volumet av kuben med sidelengde a kan dobles ved å velge b = 2a og så bestemme x. Det var på denne formen Menaikhmos prøvde å løse problemet. Grekerne hadde imidlertid ikke algebra, men uttrykte forholdene geometrisk. Med dagens algebra ser en umiddelbart at problemet kan løses ved å finne verdien av x som gir skjæring mellom to parabler ay = x^2 og y^2 = bx, alternativt mellom en av parablene og hyperbelen xy = ab.
Etter omtalen fant Menaikhmos disse kurvene som snitt mellom en kjegle og et plan. Selv om parabelen og hyperbelen var av primær interesse, har han også oppdaget at ellipsen kunne genereres på denne måten. Det er ikke kjent hva som motiverte Menaikhmos til å studere kjeglen. I tidlig gresk matematikk var en kjegle alltid rett, med en sirkulær grunnflate, dannet ved å rotere en rettvinklet trekant omkring den ene kateten. Basert på toppvinkelen kunne kjegler karakteriseres som spiss, rett eller stump. De tidlige arbeidene brukte ikke navn som hyperbel, parabel og ellipse, men beskrev kurvene som «snitt gjennom en spiss/rett/stump kjegle». Navnene viser at en har definert kjeglesnittene ved å snitte kjeglen med et plan som står normalt på hypotenusen i den roterte trekanten, det vil si normalt på en generatrise i kjegleflaten.
Flere at verkene til Arkimedes (født ca 287 f.Kr.) behandler kjeglesnitt, og han viser at han må ha kjent til resultatene til Menaikhmos og Euklid. Ved å bruke ekshausjonsbevis kunne Arkimedes beregne arealet under et segment av en parabel, og også volumet under det tilsvarende rotasjonslegemet. Arkimedes fant også uttrykk for arealet av en ellipse. Tittelen på verket Kvadrering av parabelen kan være gitt i ettertid, og det er usikkert om Arkimedes selv brukte navnet «parabel».
Apollonios fra Perge
Navnene hyperbel, parabel og ellipse er først kjent fra det viktige verket Kjeglesnitt, skrevet av Apollonios på 200-tallet f.Kr. I dette samler han og videreutvikler tidligere kunnskap om kjeglesnittene. Sammen med Elementer av Evklid er dette kanskje det viktigste vitenskapelig arbeidet fra antikken, ofte studert og beundret av senere matematikere. Apollonios viste at alle kjeglesnittene kan dannes ved å snitte en og samme kjegle med et plan i forskjellige vinkler relativt til kjegleaksen. Kjeglen kan også være skrå. I tillegg utvidet Apollonios definisjonen av en kjegle til å omfatte to kapper, det vil si to deler med et felles toppunkt. På den måten kan en få dannet to sammenhørende hyperbel- og parabelgrener fra ett og samme snitt.
I studiet av kvadratiske ligninger hadde pytagoreerne innført begrepene hyperbel, parabel og ellipse for å karakterisere arealet av et rektangel sammenlignet med et kvadrat. Et tilfelle der arealene var like ble kalt «parabel» (para = nær opp til, ballein = å kaste), et tilfelle der rektangelet var mindre enn kvadratet ble omtalt som «ellipse» (en =i, leipein=å utelate), mens det siste alternativet ble kalt «hyperbel» (hyper=over, ballein = å kaste). Ligningen for en parabel y^2 = lx kan tolkes som at arealet av et rektangel med sidekant y har samme areal som et rektangel med sidekanter x og l. I en ellipse er produktet lx mindre enn kvadratet y^2 og i en hyperbel større. I geometriske betraktninger var størrelsen l så viktig at den ble gitt et eget navn, på latin latus rectum («rett korde»).
Kjeglesnitt inneholder syv kjente og bevarte bøker, de fire første fra gresk og de tre siste fra arabisk. En vet også at et åttende bind har eksistert, men dette har gått tapt. De tre første bindene er antatt å være oppsummering og presentasjon av resultatene fra Menaikhmos og Evklid, men også med egne bidrag fra Apollonios.
Litt overraskende omtaler Apollonius ikke kjeglesnitt som det geometriske sted for et punkt som har en avstand til et gitt punkt proporsjonal med avstanden og til en gitt linje. Denne egenskapene ble først beskrevet av den greske matematikeren Pappos som arbeidet hundre år senere i Alexandria. Pappos brukte kjeglesnitt til å løse problemet med vinkelens tredeling, et klassisk problem i gresk matematikk.
Arven etter Apollonius
Kjeglesnitt av Apollonios ble stående som det autorative verket om emnet. I ettertiden ble det ble skrevet flere kommentarer til verket og det ble hyppig referert, uten at det ble tilført vesentlig nytt. Et viktig verk ble likevel Om brennende speil, skrevet av Anthemios fra Tralles (født ca 474). Tralles var det greske navnet på den tyrkiske byen Aydın. I dette arbeidet beskriver Anthemios hvordan kjeglesnitt kan brukes til å samle solstråler i et fast punkt, også når solen flytter seg på himmelen.
Da interessen for matematikk gradvis forsvant i det antikke Hellas, ble mye av kunnskapen tatt vare på og videreutviklet i Midtøsten. Apollonius Kjeglesnitt ble oversatt til arabisk av Thābit ibn Qurra, født 826. Den arabiske astronomen Ibn al-Haitham (født 965) var en pioner i optikk og fortsatte arbeidet med koniske speil. Han baserte seg tungt på Apollonius og etterlot seg en hånskrevet kopi av Kjeglesnitt.
Ved å substituere ly = x^2, så kan denne ligningen skrives som
Den første ligningen er en parabel og den siste en hyperbel, og løsningen av tredjegradsligningen er gitt ved skjæringen mellom disse. Khayyám kunne ikke håndtere negative koeffisienter, og problemet ble delt opp i en rekke delproblem, avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c.
Kjeglesnitt i tidlig europeisk matematikk
Apollonios Kjeglesnitt var lenge lite kjent i Europa, men en oversetting til latin av de fire første bøkene ble gitt ut i Venezia i 1537. Det tok også lang tid før arbeidet til Pappos ble gjenoppdaget. Johannes Werner (1468-1522) kjente antageleig ikke til Apollonius' arbeid da han i 1522 i Nürnberg fikk trykket 22 bøker med tittel Elementer av kjeglesnitt. Bøkene inneholder lite nytt ut over det Apollonius hadde vært i stand til å finne. Imidlertid vekket bøkene opp igjen interessen for kjeglesnitt og stimulere interessen for å rekonstruere arbeidet til de tidlige greske matematikerne.
Våpenkappløpet hadde ført til utvikling av kanoner som kynne skyte lenger enn synsfeltet, og dette gjorde det viktig å kunne forutsi hvor en kanonkulen ville lande. De første tilløpene til beskrivelse brukte trekanter og sirkler for å beskrive kulebanen. Galileo Galilei (1564-1642) var den første til å vise at kulebanen kan beskrives med en parabel.
Arkimedes hadde vært i stand til å finne volumet i en omdreiningsparaboloide, men hadde ikke vært i stand til å behandle hyperbelen tilsvarende, da dette krever transcendente funksjoner. Dersom en roterer den positive grenen av hyperbelen xy = k, så dannes i intervallet [a, \infty) et romlig legeme kalt «Torricellis vinglass», «Torricellis trompet» og også «Gabriels horn». Den italienske matematikeren Evangelista Torricelli (1608-1647) var den første som påpekte «malerparadokset»: volumet av dette rotasjonslegement er endelig, mens arealet er uendelig.
Kjeglesnitt i optikk og astronomi
Optikk var vikitg både for skipsfart og for astronomi. Interessen til Johannes Kepler (1571-1630) for kjeglesnitt var først motivert av studier i optikk og egenskaper til parabolske speil. I 1604 ga han ut Ad Vitellionem paralipomenaa («Om Vitellos optikk»), der han definerer kjeglesnitene ut fra to punkt, som Kepler kaller «foci» eller «brennpunkt». Det latinske ordet «focus» betyr «ovn, ildsted», og ordet kunne betegne både et varmesenter og et samlingspunkt. Kepler så på kjeglesnitt som kurver i én og samme familie: Fra degenererte kjeglesnitt i form av rette linjer gjennom et felles brennpunkt, får en dannet hyperbler når brennpunktene fjerner seg fra hverandre. Når ett av brennpunktene er i uendelig har man en parabel. Dersom dette brennpunktet passerer gjennom uendelig og dukker opp på motsatt side, så dannes ellipser. Til slutt ender en opp med en sirkel, når brennpunktene igjen faller sammen. Med denne behandlingen av et punkt i uendelig legger Kepler også grunnen for projektiv geometri.
Kjeglesnittene skulle også spille en viktig rolle i Keplers lover for planetenes bevegelser. Planetene beveger seg i elliptiske baner med solen i det ene brennpunktet. I ettertiden er det vist at ikke-periodiske kometer vil kunne følge ubundne parabel- eller hyperbelbaner.
Det første teleskopet som utnyttet speil ble konstruert av James Gregory (1638-1675). Det hadde et primært speil som var parabolsk og et sekundært som var ellipseformet. Speilteleskop basert på former av kjeglesnitt ble konstruert også av Isaac Newton (1642-1726) og av Guillaume Cassegrain (1629-1693).
Projektiv og analytisk geometri
På 1600-tallet var det stor interesse for bruk av sentralperspektiv i malerkunsten. Sammen med Kjeglesnitt av Apollonius inspirerte dette franskmannen Girard Desargues (1591-1661) til i 1639 å gi ut boken med den omstendelige tittelen Brouillon projet d'une atteinte aux évenement des recontres d'une cone avec un plan («Et grovt utkast på et forsøk på å behandle et møte mellom en kjegle og et plan»). Her legger Desargues grunnen for projektiv geometri, ved å behandle egenskaper ved kjeglesnitt som er uendret når kjeglesnittet blir projisert mot et punkt. Når en sirkel projiseres dannes det nettopp en kjegle.
Blaise Pascal (1623-1662) var elev av Desargues og var bare 16 år gammel da han ga ut Essay pour les coniques («Essay om kjeglesnittene»). Denne artikkelen var bare på én enkelt side og inneholdt det forfatteren selv kalte hexagrammum mysticum, senere kalt Pascals teorem. Det omtaler egenskaper til et heksagon innskrevet i en ellipse. Pascal skal også ha gitt ut et senere verk om kjeglesnitt, men dette har gått tapt. Også en annen elev av Desargues, Philippe de La Hire (1640-1718), ga i 1685 ut et verk om kjeglesnitt. La Hires teorem omhandler tangenter til kjeglesnitt. Charles Brianchon (1783-1864) ga Pascals teorem en modernisert form og beviste det som nå kalles Brianchons teorem for et heksagon omskrevet om en ellipse. Pascals teroem og Brianchons teorem er begge grunnleggende for studiet av kjeglesnitt i projektiv geometri og sammen et eksempel på «duale» teorem i geometri - teorem som er gyldige dersom ordene «linje» og «punkt» bytter plass.
Arbeid med projektiv geometri ble videreført og systematisert av Jean-Victor Poncelet (1788-1867). Poncelets tillukningsteorem omhandler et polygon som er innskrevet i ett kjeglesnitt og omskrevet i et annet. Ved å legge grunnen for analytisk geometri gjorde René Descartes (1596-1650) og Pierre de Fermat (1601-1665) det mulig å behandle kjeglesnittene algebraisk. For begge disse matematikerne var Kjeglesnitt av Apollonios en viktig inspirasjon. I bok III presenterer Apollonios kjeglesnitt som det geometriske sted for et punkt der avstanden til tre eller fire linjer har et bestemt forhold. Med tre linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik kvadratet av avstanden til den tredje linjen. Med fire linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik produktet av avstandene til de to andre linjene. Det var en generalisert form for dette resultatet Descartes brukte til å utforske bruken av koordinater, etter forslag fra Jacob Golius (1596-1667). Fermat viste at andregradsuttrykk kunne brukes til å definere hyperbler, parabler og ellipser, og også at transformasjoner kunne brukes til å omforme generelle andregradsuttrykk til standardformer for kjeglesnittene.
Descartes La géométrie var ikke lett tilgjengelig i formen, og det ble gitt ut flere kommentarer til verket. Johan de Witt (1629-1672) brukte Descartes koordinatdefinisjoner til å studere kjeglesnitt i kommentarverket Elementa curvarum, som ble utgitt omkring 1660. Her reduserer han alle andregradsligninger i to variable til kanoniske former, ved en translasjon og rotasjon av aksene. Han bruker også diskriminanten for å skille tilfeller der ligningen gir hyperbler, parabler og ellipser. Betegnelsen «direktrise» kommer fra de Witt. Det latinske «directrix» betyr «hun som styrer», der hunkjønnsformen ble brukt fordi ordet «linje» på latin (linea) er hunkjønn. Samtidig med de Witt publiserte John Wallis (1616-1703) i England et verk med omtrent tilsvarende innhold.
Giulio di Fagnano (1682-1766) forsøkte å beregne buelengde av en ellipse, men støtte på problemer med å utføre det nødvendige integrasjonen. Integralet er et elliptisk integral, som dermed har et opphav knyttet til kjeglesnitt.
Nyere tid
Lazare Carnot (1753-1823) viste at kjeglesnittene kunne relaterte seg til hverandre, dersom en tillot komplekse koeffisienter i andregradsligningene. Carnots teorem beskriver en sammenheng mellom skjæringspunktene som kan opptre mellom en trekant og et kjeglesnitt.
De engelske matematikerne James Joseph Sylvester (1814-1897) og Arthur Cayley (1821-1895) brukte matriser og determinanter til å studere polynomuttrykk i både to og flere variable, og kartla også størrelser for kjeglesnitt som er invariante under transformasjoner. Sylvester er opphavsmannen til begrepet «diskriminant».
Arbeid med projektiv geometri ble videreført av Jakob Steiner (1796-1863), og han innførte en alternativ metode for å definere kjeglesnitt i projektiv geometri. I enumerativ geometri gjelder det å telle antall geometriske objekter av en viss type, og dette er også utfordringen i Steiners problem: Gitt fem vilkårlige kjeglesnitt i det komplekse planet. Finn et nytt kjeglesnitt som tangerer de andre fem. Steiner selv ga eit feilaktig svar på problemet, som først fant sin rette løsning (3264) etter Steiners død.
Nullpunkt i multivariate polynomer blir i dag studert i algebraisk geometri.
Ved snitt gjennom en kjegle
Gitt en rett kjegleflate A med sirkulær basis, der toppvinkelen er lik \phi. La B være et plan som skjærer kjegleflaten, med en vinkel \theta relativt til aksen i kjegleflaten. Skjæringslinjen mellom de to flatene A og B er et kjeglesnitt, og formen på kjeglesnittet avhenger av forholdet mellom de to vinklene:
Eksentrisiteten til kjeglesnittet er gitt ved
Kjeglesnittene vil være degenererte dersom planet går gjennom toppunktet til kjegleflaten.
Skjæringslinjen vil også være et kjeglesnitt dersom kjegleflaten er skrå eller har en ellipseformet basis.
Ved brennpunkt og styrelinje
Gitt en rett linje og et punkt som ikke ligger på linjen. Et kjeglesnitt er det geometriske sted for et punkt der avstanden til det valgte punktet er proporsjonal med avstanden til linjen. Linjen er kalt direktrisen eller styrelinjen, og punktet er kalt fokus eller brennpunktet.
Proporsjonalitetsfaktoren er kalt eksentrisiteten e til kjeglesnittet. Et punkt på en parabel ligger like langt fra styrelinjen som fra brennpunktet, og e = 1. Et punkt på en ellipse ligger nærmere brennpunktet enn styrelinjen, og e < 1. For en hyperbel er e > 1, slik at et punkt på kurva ligger lenger fra brennpunktet enn fra styrelinjen.
En linje gjennom brennpunktet og normalt på styrelinjen er en akse i kjeglesnittet, og dette vil være symmetrisk om denne aksen.
En ellipse er symmetrisk om et senterpunkt, og det følger dermed at to sett av brennpunkter/styrelinjer vil gi samme ellipse. En ellipse har derfor to brennpunkter. En hyperbel består av to grener, hver med sin styrelinje og brennpunkt. En parabel kan også betraktes som å ha to brennpunkt, der det ene ligger i uendelig.
Tårefuru
Tårefuru (Pinus wallichiana) er en art i furufamilien. Tårefurua vokser vilt i fjellområdene i Himalaya.
Kjeglesnitt
Ved brennpunkt og styrelinje
Definisjonen med bruk av styrelinje og brennpunkt vil ikke inkludere en sirkel som kjeglesnitt, men sirkelen kan betraktes som et grensetilfelle av en ellipse, når eksentrisiteten går mot null.
Masatoshi Koshiba
Masatoshi Koshiba (japansk: 小柴 昌俊 Koshiba Masatoshi; født 19. september 1926 i Toyohashi i Aichi, død 12. november 2020 ) var en japansk astrofysiker. Koshiba mottok Nobelprisen i fysikk i 2002 «for banebrytende innsats innen astrofysikken, spesielt for påvisningen av kosmiske nøytrinoer». Han delte halvparten av prispengene med amerikaneren Raymond Davis jr., mens den andre halvparten ble tildelt amerikaneren Riccardo Giacconi for banebrytende bidrag til astrofysikken, som har ledet til oppdagelsen av kosmiske røntgenkilder».
Koshiba ble uteksaminert fra Universitetet i Tokyo i 1951 og fikk en filosofisk doktorgrad i fysikk ved Universitetet i Rochester i New York i 1955.
Kjeglesnitt
Ved brennpunkt og styrelinje
Når et plan A skjærer en rett kjegleflate K med sirkulær basis, så kan en plassere en kule inne i kjeglen, slik at denne tangerer både kjeglen og planet A. Legger en i tillegg et plan B gjennom den sirkelen der kulen tangerer kjegleflaten, så kan en vise at de to planene A og B skjærer hverandre langs direktrisen. Tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet A vil være brennpunktet, og dette gir en sammenheng mellom to geometriske definisjoner av kjeglesnitt.
Ved to brennpunkt
En ellipse kan defineres som det geometriske sted for et punkt der summen av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant. Dette har gitt opphavet til navnet gartnermetoden for å tegne en ellipse: Mellom to påler i jorda kan en knytte et tau som er lenger enn avtanden mellom pålene. Ved å føre en pinne innenfor tauet, som hele tiden holdes stramt, så vil pinnen tegne en ellipse.
Svartfuru
Svartfuru (Pinus nigra) er en art i furufamilien som er utbredt i fjellene i middelhavslandene.
Kjeglesnitt
Ved to brennpunkt
En sirkel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt senterpunkt.
Svartfuru
Den blir 25–45 m høy med en stammediameter på 100–180 cm. Stammen er rett, og barken er gråbrun og skjellete. Krona er uregelmessig eggformet og glissen lengst nede, men tettere lenger oppe. Nålene er mørkegrønne og sitter to sammen; de er 8–15 cm lange. Konglene blir 5–10 cm lange og er eggformete og tilspissede.
Kjeglesnitt
Ved to brennpunkt
En hyperbel kan defineres som det geometriske sted for et punkt der differensen av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant.
Glukoza
Natalia Ilinichna Ionova (født 7. juni 1986 i Syzran i Volgaregionen i Russland), bedre kjent under artistnavnet Glukoza, er en russisk sanger og soloartist innen pop, synthpop og elektronisk musikk. Glukoza betyr glukose på norsk. Hennes sang «Schweine» var med på Grand Theft Auto IVs fiktive radiostasjon Vladivostok FM.
Svartfuru
Svartfuru er en typisk supra- eller submediterran plante. Den vokser lenger mot nord, eller høyere til fjells, der temperaturen blir for lav og nedbøren for høy til at den egentlige middelhavsvegetasjonen kan vokse. Den trives best 800–1500 moh., men kan vokse både lavere og høyere. Den er ikke kresen på jordsmonnet og vokser på kalkstein, dolomitt, sur jord og vulkansk jord.
Glukoza
Familiebakgrunn og privatliv
Glukoza foreldre var begge dataprogrammerere. Som barn innbefattet hennes hobbyer ballett og sjakk. Hun drev også med litt skuespilleri og var med i filmene Triumf og Prinsessenes krig samt i noen få episoder av Yeralash.
Kjeglesnitt
Andre geometriske steder
Det fines mange geometriske vilkår som leder fram til kjeglesnitt som geometrisk sted. Klassisk var Pappos problem for et gitt vilkårlig sett av rette linjer: Finn det geometriske sted slik at produktet av avstandene fra punktet til halvparten av linjene er lik produktet av avstandene til den andre halvparten. Med et odde antall rette linjer må avstanden til én av de rette linjene inngå med kvadratet i det tilhørende produktet. Det geometriske stedet vil være et kjeglesnitt.
Glukoza
Familiebakgrunn og privatliv
Nå for tiden er hun interessert i flyging, i hennes to dobermannhunder samt i hennes gule Mini Cooper som hun liker å kjøre. Glukoza beskriver sine favoritt musikkartister som Madonna, Moby, Mumiy Troll samt Agata Kristi.
Kjeglesnitt
Analytisk definisjon og standardformer
Kjeglesnitt kan defineres analytisk ved hjelp av flere ulike typer koordinater, og definisjonen kan gjøres helt frigjort fra geometriske definisjoner av kjeglesnitt. Formen på ligningen vil avhenge av typen koordinater og det valgte koordinatsystemet.
For hver type kjeglesnitt eksisterer det standardformer eller kanoniske former som presenterer kurvene på en enklest mulig form, definert ved et spesielt valg av koordinatsystem. Standardformene for nært knyttet til en geometrisk definisjon med bruk av brennpunkt og styrelinje: De fleste standardformene bruker en akse definert langs aksen i kjeglesnittet. For et kartesisk legges den andre aksen da parallelt med styrelinjen. Definisjon av origo kan imidlertid variere for ulike standardformer.
Et kvadratiske algebraisk uttrykk i to variabler x og y vil alltid framstille et kjeglesnitt, degenerert eller ekte, og ved en translasjon og en rotasjon vil ligningen alltid kunne overføres til en av standardformene.
Polarkoordinater
I figuren over til høyre er brennpunktet markert med bokstaven F, og styrelinjen er definert i avstanden h i fra brennpunktet. Det er naturlig å definere et polarkoordinatsystem med pol i brennpunktet og koordinatakse langs aksen til kjeglesnittet. Et punkt P på kjeglesnittet er da definert ved polarkoordinatene (r, \theta). Etter den geometriske definisjonen med styrelinje og brennpunkt skal radiusen r da være proporsjonal med avstanden fra styrelinjen til punktet P:
Dette er ligningen for et kjeglesnitt i polarkoordinater. Lengden h erstattes ofte med lengden av korden l mellom to punkt på kjeglesnittet, gjennom brennpunktet vinkelrett på aksen. Denne størrelsen blir kalt latus rectum, og halve denne lengden p = l/2 blir kalt semi-latus rectum. Ved å sette følger det fra ligningen over at
Polarformen for kjeglesnittet kan dermed skrives på formen
Toppunktet (vertex) i kjeglesnittet er skjæringspunktet mellom kjeglesnittet og aksen. Avstanden mellom brennpunktet og toppunktet er gitt ved lengden g:
Skilleligningen
Skilleligningen er en standardform for ligningen for kjeglesnitt i kartesiske koordinater. Ligningen fremkommer ved å legge x-aksen langs aksen i kjeglesnittet, y-aksen parallelt med styrelinjen og origo i toppunktet til kjeglesnittet:
Navnet reflekterer at ligningen skiller klart mellom de forskjellige typer kjeglesnitt, avhengig av størrelsen til eksentrisiteten e.
Ligningen kan utledes fra polarkoordinat-formen for kjeglesnitt, på kvadrert form:
og ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:
Kanonisk form for parabelen
En standardform for en parabel med toppunkt i origo og akse langs den positive x-aksen er gitt fra skilleligningen når eksentrisiteten er lik 1:
Siden e = 1 følger det at, og standardformen kan presenteres ved hjelp av både latus rectum l, semi-latus rectum p og abscissen til brennpunktet g.
For parabelen brukes i det videre a = g, i analogi med de andre to kjeglesnitt-typene. Merk imidlertid at g er en geometrisk lengde med lik definisjon for alle kjeglesnittene, mens definisjonen av a varierer mellom kurvetypene.
Glukoza
Musikalsk begynnelse
Glukozas musikalske karriere begynte da hun ble oppdaget i 2002 av plateprodusenten Maxim Fadeev. Sammen innspilte de hennes første album Nostra og utgav hennes første musikkvideo «Nenavizhu» (Hat), som var fullstendig dataanimert.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for parabelen
Direktrisen er for parabelen definert ved y = -a.
Glukoza
Musikalsk begynnelse
Glukozas singler oppnådde liten popularitet til 2003 da hun utgav «Nevesta» (Brud), nok en gang ledsaget av en computeranimert video. «Nevesta» (Brud) brakte henne til toppen av de russiske musikklistene.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for parabelen
En alternativ standardform bruker et aksesystem med brennpunktet som origo:
Glukoza
Siden da
Andre populære singler utgitt i løpet av de neste to årene var «Glukoza Nostra», «Sneg idet», «Oi, Oi», «Karina» og Verka Serduchka-duetten «Zhenixa Xotela».
Kjeglesnitt
Kanonisk form for parabelen
Her er a = g som før definert som avstanden mellom brennpunktet og toppunktet. Direktrisen er nå definert som y = -2a.
Glukoza
Siden da
Hennes musikalske suksess har gitt henne mange utmerkelser, slik som MTV-ETA Award for «Best Russian Act» og Muztv Award for «Årets gjennombrudd». Hennes rollefigur ble kalt «Årets rollefigur» av den russiske Internett-søkemotoren Rambler.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for ellipsen
Det eksisterer to alternative standardformer for en ellipse, definert enten med origo i det ene brennpunktet eller med origo i sentrum av ellipsen. Sentrum er definert som midtpunktet mellom de to brennpunktene.
Glukoza
Siden da
Siden 2003 har Glukoza gitt mer enn 500 konserter i løpet av tre år i Det fjerne østen, Sibir, Ural, Volagaregionen, den midtre del av Russland, Hviterussland, Ukraina, Kasakhstan, Sentral-Asia, Kaukasus og USA. Antallet billetter som er solgt til hennes konserter, går til over 1,5 millioner.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for ellipsen
Med origo i den ene brennpunktet er den kanoniske formen gitt som
Glukoza
Siden da
Glukoza har vært å se på forsidene til magasiner som Elle Girl, Hello Magazine, Seventeen Magazine og Shape Magazine.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for ellipsen
I denne formen brukes lengden av halvaksene som parametre. Den store halvaksen a er halve korden som går gjennom de to brennpunktene, og den lille havlvaksen b står normalt på denne. Brennpunktene ligger i (0, 0) og (2ae,0). Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer y-aksen i x = -a/e, forutsatt at e er større enn null.
Svartfuru
Denne arten tåler luftforurensning bedre enn andre furuer og er derfor mye plantet både i Europa og USA. Den er også en del plantet i Norge.
Glukoza
Siden da
I juni 2005 utgav Glukoza sitt andre album, Moskva, med hitsinglene «Schweine», «Yuri», «Moskva» og «K Chertu», og brakte det totale albumsalget hennes til over én million. I desember 2005 spilte hun inn og utgav en engelsk versjon av hennes populære sang «Schweine», som ikke tok av hos publikum.
I slutten av juni 2006 giftet Glukoza seg med Alexander Chistjakov, som er direktør for Russlands kraftforsyningssystemer. Hennes forlovelse med Chistjakov inspirerte Maxim Fadeev til å skreve hennes nyeste hit single «Svadba» («bryllup»).
Glukoza bor i Moskva sammen med ektemannen Alexander Chistjakov og en datter.
Svartfuru
Underarter
Det er beskrevet en rekke underarter av svartfuru, men den er egentlig ikke mer variabel enn andre furuarter. Det er likevel naturlig å dele den i fem underarter. Adriaterhavet og Podalen danner et gap mellom de to viktigste underartene på over 600 km, og svartfuru mangler i de sørlige Alpene, selv om vekstforholdene der burde være gode. Følgende inndeling følger The Gymnosperm Database.
Traktor Tsjeljabinsk
Traktor Tsjeljabinsk er en profesjonell ishockeyklubb fra Tsjeljabinsk som ble dannet i 1947. Klubben spiller sine kamper i ishallen Traktor, og spiller i sesongen 2011/2012 i Kontinental Hockey League.
Kjeglesnitt
Kanonisk form for ellipsen
Sammenhengen med skilleligningen og med de geometriske lengdene kan en finne ved å bruke skjæringspunktene mellom ellipsen og aksene, samt definisjonen av semi-latus rectum. Toppunktene der ellipsen skjærer x-aksen er gitt ved , og ved å bruke lengden g mellom brennpunktet og toppunktet får en
Ved isteden å bruke sentrum som origo, blir den kanoniske formen
I dette koordinatsystemet ligger brennpunktene i (-ae,0) og i (ae,0). Avstanden ae mellom sentrum og det ene brennpunktet blir kalt lineær eksentrisitet.
Kanonisk form for hyperbelen
For hyperbelen eksisterer det tre kanoniske former, én med origo i det ene brennpunktet og to med origo i sentrum. Som for en ellipse er sentrum definert som midtpunktet mellom de to brennpunktene.
Med origo i det ene brennpunktet er standardformen gitt som
I analogi med ellipsen definerer en også for hyperbelen to halvakser, der den største halvaksen er halve korden gjennom sentrum som forbinder to punkt på de to hyperbelgrenene. Parameteren a er lengden av denne halvaksen. Toppunktene på de to grenene er gitt ved. Helt tilsvarende som for ellipsen har en sammenhengen
Brennpunktene ligger i (0, 0) og (2ae,0). Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer y-aksen i x = -a/e, forutsatt at e er større enn null.
En hyperbel kalles ekvilateral eller likesidet dersom a = b. Siden asymptotene i dette tilfellet står vinkelrett på hverandre, kalles hyperbelen i dette tilfelle også rektangulær. For en likesidet hyperbel brukes også en standardform som en får ved å rotere aksesystemet 45 grader:
Her er 2 d^2 = a^2.
Kjeglesnittparametre fra standardformer
Tabellen under gir en oppsummering av kjeglesnittparametre fra vanlige standardformer. Som før er
Standardligninger på parametrisk form
Samtlige av kurvene på standardform kan uttrykkes som en parameterfremstilling. Parabelen med toppunkt i origo er gitt ved
Ellipsen med sentrum i origo er gitt ved
Hyperbelgrenen med positive x-verdier er definert ved
Ordliste for kjeglesnitt
Det følgende er en liten oversikt over den rik terminologien knyttet til kjeglesnitt:
Kjeglesnitt som kvadratisk form
En generell kvadratisk ligning i to variable med reelle koeffisienter vil alltid fremstille et kjeglesnitt, degenerert eller ikke-degenerert:
Funksjonen f(x,y) er en kvadratisk form, et polynom i to variable av grad to. Kjeglesnittet er en nivåkurve og også en nullmengde for funksjonen.
Diskriminanten til ligningen brukes til å bestemme typen av kjeglesnitt og er definert ved
Ligningen på matriseform
Ved hjelp av matriser kan ligningen skrives på formen
Determinanten \Delta_2 til matrisen \mathsf{M} er proporsjonal med diskriminanten:
Ved hjelp av en 3\times3-matrise kan ligningen også skrives som
Determinanten \Delta_3 til matrisen \mathsf{R} er viktig når en skal bestemme typen kjeglesnitt:
Også denne determinanten er invariant under vilkårlige rotasjoner og translasjoner.
Kurveklassifikasjon
Typen kjeglesnitt kan bestemmes ved hjelp av diskriminanten til andregradsligningen:
Siden determinanten til en matrise alltid er lik produktet av egenverdiene, og, så kan også fortegnet til egenverdiene til matrisen \mathsf{M} brukes tilsvarende som diskrimnanten:
Kjeglesnittet vil være degenerert når determinanten \Delta_3 er lik null. En fullstendig klassifikasjon er gitt ved følgende skjema:
Overføring til standardform
For ikke-degenerert ellipser og hyperbler, der \Delta_3 er ulik null, kan en overføre den generelle ligningen til standardform ved hjelp av egenverdiene til matrisen \mathsf{M}:
Denne ligningen er ekvivalent med formen
De to egenverdiene er \lambda_1 og \lambda_2. Ligningen fremstiller en ellipse når de to egenverdiene har samme fortegn og en hyperbel ellers.
Eksentrisitet
For en parabel er eksentrisiteten e lik 1. For en ellipse og en hyperbel kan eksentrisiteten uttrykkes ved koeffisientene:
Her er koeffisienten \eta lik 1 dersom determinanten \Delta_3 er negativ og lik -1 når determinanten er positiv.
Hovedakser og sentrum
For en vilkårlig ikke-degenerert ellipse eller hyperbel kan en uttrykke hovedakser og sentrum ved hjelp av ligningskoeffisientene. Senteret har koordinater gitt ved
Vinkelen mellom den store aksen og den positive x-aksen er gitt ved:
Overføringen til standardform utført i foregående avsnitt viser også at halvaksene er gitt ved
Tangentlinjer
Ligningen for en tangentlinje til en nivåkurve for funksjonen f(x,y) i punktet er generelt gitt ved
Her er f_x og f_y partiell deriverte med hensyn på henholdsvis x og y. For et kjeglesnitt på formen  gir dette tangentligningen
For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er tangentligningen
Kjeglesnitt i projektiv geometri
I projektiv geometri blir beskrivelsen av kjeglesnitt enklere og mer systematisk. En ellipse kan da beskrives som et kjeglesnitt som ikke skjærer linjen i det uendelig fjerne. Parabelen vil også være en lukket kurve som tangerer denne linjen i ett dobbeltpunkt, mens en hyperbel skjærer den i to forskjellige punkt gitt ved retningene til de to asymptotene. Ved projektive transformasjoner kan disse kjeglesnittene omformes i hverandre ved at de flyttes i forhold til linjen i det uendelige fjerne.
I denne beskrivelsen blir også hyperbelen en lukket kurve. Beveger man seg mot uendelig langs en gren, vil man passere linjen i det uendelige langs en asymptote, dukke opp igjen på motsatt side av samme asymptote slik at man kommer tilbake på den andre grenen av hyperbelen. Følger man denne grenen videre, forsvinner man igjen langs den andre asymptoten og dukker så opp igjen på den grenen hvor man startet etter å ha passert linjen i det uendelige enda en gang. Slik kan hyperbler ses som ellipser som har blitt trukket gjennom uendelig og gjenoppstår på den andre siden.
Pol og polare
En pol og en polare for et kjeglesnitt er i projektiv geometri henholdsvis et punkt og en linje som har et gjensidig forhold til hverandre, relativt til kjeglesnittet. For et gitt punkt (polen) kan en beregne posisjonen til den rette linjen (polaren). Har en omvendt gitt en rett linje (polaren), så er posisjonen til punktet (polen) gitt.
Komplekse koordinater
I den projektive beskrivelsen kan koordinatene ha komplekse verdier. Dette er en naturlig generalisering i moderne matematikk. Det vil da ikke lenger være noen forskjeller mellom ellipser og hyperbler. For eksempel, så vil sirkelen x2 + y2 = 1 gå over til hyperbelen  ved å la y → iy hvor i er den imaginære enheten. Ellipsen og hyperbelen vil da kunne klassifiseres som tilhørende samme type kjeglesnitt. Mens hyperbelen har to reelle skjæringspunkt med linjen i det uendelige, vil ellipsen ha to komplekse skjæringspunkt. En parabel tilsvarer da spesialtilfellet hvor disse to skjæringspunktene faller sammen til ett, og man har en tangering i stedet.
Veronica Campbell-Brown
Veronica Campbell-Brown (født 15. mai 1982) er en jamaicansk tidligere friidrettsutøver. Hun var sprinter, og vant flere olympiske medaljer; tre gull, én sølv og én bronse. Hun er per juni 2021 den eneste friidrettsutøveren i historien som har vunnet medalje i fem strake OL.
Karriere
Campbell gikk på University of Arkansas, der hun markerte seg som en sprintstjerne i et miljø som ble dominert av langdistanseløpere.
Under OL i 2000 var hun med på Jamaicas lag som vant sølv på 4 x 100 m stafett.
Rainn Wilson
Rainn Percival Dietrich Wilson (født 20. januar 1966 i Seattle i Washington) er en amerikansk skuespiller.
Veronica Campbell-Brown
Karriere
I OL 2004 kom hun først på tredjeplass på 100 meter, og to dager senere vant hun 200 meter-finalen foran Allyson Felix fra USA.
Upanishadene
Upanishadene (devanagari: उपनिषद्,) er en relativt sein sjanger i den vediske litteraturen. De inneholder dels kommentarer til og dels videreutviklinger av de religiøse forestillingene som var utviklet i de eldste vediske skriftene.
Veronica Campbell-Brown
Karriere
Også denne gangen deltok hun på Jamaicas lag på kortstafetten, og kunne klatre helt til topps på seierspallen sammen med lagvenninnene Aleen Bailey, Tayna Lawrence og Sherone Simpson.
Rainn Wilson
Han spilte Dwight Schrute i den amerikanske situasjonskomedien Kontoret og Arthur Martin i dramaserien Seks fot under. Han har også spilt i en rekke spillefilmer og vært gjesteskuespiller i flere amerikanske tv-serier.
Upanishadene
Upanishadene blir antatt å være utformet rundt midten av det siste årtusen før vår tidsregning eller litt før: i perioden 800 – 400 f. Kr. Upanishadelitteraturen i vid forstand ble ført videre gjennom nye tekster helt opp i nyere tid. Vanligvis regnes 108 skrifter til de klassiske upanishadene.
Veronica Campbell-Brown
Karriere
Under VM 2007 i Osaka tok hun gull på en rekordjevn 100 meter. Hun fikk tiden 11,01, samme tid som amerikanske Lauryn Williams, men ble dømt foran i mål. Bronsemedaljen gikk til Carmelina Jeter, USA, som fikk tiden 11,02.
Rainn Wilson
Filmografi
{|
Upanishadene
Upanishadene og de beslektede skriftene aranyakaene blir tillagt en gruppe asketer, skogfilosofene. Upanishadeforfatterne la grunnlaget for de religiøse strømningene vi idag kjenner som hinduismen. Dette gjorde de som del av et vitalt religiøst og filosofisk miljø der mange nye tanker og forestillinger utviklet seg. Foruten de vediske lærde og deres brahminske kultur omfattet dette miljøet en heterogen gruppe tenkere som kalles sramanaer.