cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
David Lyndsay
Bibliografi
En fullsendig utgave av Lyndsays poetiske tekster ble utgitt i 3 bind i 1879. Janet Hadley Williams på vegne av Association for Scottish Literary Studies utga i 2000 David Lyndsay, Selected Poems, nyopprettede tekster med detaljerte notater. Se også utgaver av Pinkerton (1792), Sibbald (1803), og George Chalmers (1806); og kritiske redegjørelser i Hendersons Scottish Vernacular Literature (1898), Gregory Smiths Transition Period (1900), og J.H. Millars Literary History of Scotland (1903).
Et profesjonelt verk utarbeidet av Lyndsay i Lyon-kontoret, kalt Register of Scottish Arms (nå bevart i manuskript i Advocates' Library), ble trykt i 1821 og trykt på nytt i 1878. Det er fortsatt det mest autoritative dokumentet om skotsk heraldikk. Lyndsays bror tilbød seg å vise våpenboken til den engelske diplomaten Thomas Randolph i oktober 1561, «hvori er alle våpnene til alle adelsmenn og baroner både nye og gamle som er i Skottland.»
Kelduneshreppur
Kelduneshreppur er en tidligere kommune (sveitarfélag) i regionen Norðurland eystra på Island, med 101 innbyggere ved utgangen av 2005. Den ble slått sammen med Húsavíkurbær, Öxarfjarðarhreppur og Raufarhafnarhreppur og dannet de sammen Norðurþing.
London South Bank University
London South Bank University er et universitet i London. Det ble grunnlagt som Borough Polytechnic Institute i 1892. I 1971 endret det navn til Polytechnic of South Bank, og i 1989 til South Bank Polytechnic. I 1992 fikk det universitetsstatus og tok navnet South Bank University; dette ble endret til det nåværende navnet i 2003.
Universitetet omfatter National Bakery School, som ble grunnlagt i 1894 og er den eldste bakerskolen i Storbritannia.
Hovedcampus ligger i The Borough, omkring fem minutters gange fra South Bank. To mindre campuser ligger på Whipps Cross Hospital i Waltham Forest og Harold Wood Hospital i Havering.
Rangeringer
London South Bank University var ikke å finne blant de 500 beste universitetene i verden i Times Higher Education World University Rankings 2014-2015, i QS World University Rankings for 2014 eller i Academic Ranking of World Universities (Shanghai-rankingen) for 2014.
Europavei 15
Europavei 15 går mellom Inverness i Skottland, Storbritannia og Algeciras i Andalucía, Spania. Lengde 3590 km.
Leinestraße undergrunnsstasjon
Leinestraße undergrunnsstasjon er en undergrunnsstasjon på Berlins undergrunnsbanenettverk. Leinestraße er på linjen U8. Stasjonen ligger i Neukölln under krysset mellom Hermannstraße og Leinestraße.
Europavei 15
Trasé fastlagt av UNECE: Inverness – Perth – Edinburgh – Newcastle – Scotch-Corner – Doncaster – London – Folkestone – Dover ... Calais – Paris – Lyon – Orange – Narbonne – Gerona – Barcelona – Tarragona – Castellón de la Plana – Valencia – Alicante – Murcia – Algeciras.
Leinestraße undergrunnsstasjon
Stasjonen ble åpnet 4. august 1929 som midlertidig endestasjon for linje D (nåværende U8). Leinestraße var endestasjon frem til utvidelsen til Hermannstraße stasjon sto ferdig 13. juli 1996.
University of Westminster
University of Westminster er et universitet i London. Det ble grunnlagt i 1838 som Royal Polytechnic Institution. I 1971 ble flere institusjoner slått sammen med høyskolen, som skiftet navn til London Polytechnic. I 1992 fikk den universitetsstatus og sitt nåværende navn.
Hovedbygningen ligger i Regent Street, mens resten av universitetet er fordelt på fire campuser. Tre ligger i det sentrale London, mens den fjerde er i Harrow. Det er også flere studentboligkomplekser rundt om i byen.
Universitetet har en avdeling i Tasjkent, Westminster International University, som ble opprettet i 2002 i samarbeid med Usbekistans regjering.
Diplomatic Academy of London er en del av University of Westminster.
Rangeringer
University of Westminster ble rangert som nummer 100 av 126 britiske universiteter på Complete University Guides liste for 2016 og som nummer 101 av 119 britiske universiteter på The Guardians 2016-liste.
Breiðdalshreppur
Breiðdalshreppur er en kommune (sveitarfélag) i regionen Austurland på Island, med 232 innbyggere ved utgangen av 2005.
Fylkesvei 185 (Sogn og Fjordane)
Fylkesvei 185 i Sogn og Fjordane var frem til 2019 eneste fylkesvei i Leikanger kommune.
Veien besto av tre ikke sammenhengende traséer: Njøs – Henja (2,6 km), Haug – Husabø (0,9 km), Eggane – Valbrekka (1,8 km).
2019 ble den erstattet av fylkesvei 5609, fylkesvei 5610 og fylkesvei 5611.
Eksponentialfunksjon
Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon på formen
der a og b er konstanter. Funksjonsargumentet inngår som eksponent i en potens med a som grunntall eller basis. Spesielt viktig er funksjonen med grunntall lik eulertallet :
For å presisere grunntallet e kalles funksjonen f noen ganger den naturlige eksponentialfunksjonen. Denne funksjonen kan defineres på en rekke alternative måter, for eksempel som en uendelig rekke. Funksjonen er generelt definert for komplekse grunntall og komplekse argument, men er i mange fremstillinger og anvendelser begrenset til å være definert bare for reelle tall. Den reelle funksjonen er invers funksjon til den naturlige logaritmefunksjonen, og dette kan brukes som alternativ definisjon. I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen nært knyttet til trigonomertriske funksjoner. Det er også mulig å definere lignende funksjoner for andre typer argument, som kvadratiske matriser og operatorer.
Nær sammenheng mellom den generelle formen og funksjonen med grunntall e gjør at det ofte er tilstrekkelig å studere eller bruke den naturlige eksponentialfunksjonen. For relle funksjoner er sammenhengen
der \ln a er den naturlige logaritmen til a. I kompleks analyse er g(x) generelt flertydig, mens f(x) er entydig.
New Morning
New Morning er Bob Dylans ellevte studioalbum, utgitt av Columbia Records i 1970. Albumet ble utgitt kun fire måneder etter det kontroversielle albumet Self Portrait, og ble godt mottatt av både kritikere og publikum. Dylan vender her tilbake til country og country rock med sin vante nasale sangstil.
Eksponentialfunksjon
Eksponentialfunksjonen har en rekke egenskaper som gjør den til en svært viktig funksjon i matematikk, naturvitenskap og teknologi. En sentral egenskap i mange anvendelser er at funksjonen f(x) er lik sin egen derivert. Mer generelt vil funksjonen \exp(kx) være proporsjonal med sin egen derivert, og denne egenskapen omtales som «loven om naturlig vekst» eller «loven om eksponentiell vekst».
Mange viktige egenskaper til eksponentialfunksjonen ble kartlagt av Leonhard Euler på 1700-tallet.
New Morning
Sporliste
Alle sangene er skrevet av Bob Dylan.
Eksponentialfunksjon
Definisjon av den reelle funksjonen exp(x)
Både for reelle og komplekse argument eksisterer det flere alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen med grunntall e. I mange sammenhenger begrenses funksjonen til kun å være definert for reelle argument, og det følgende avsnittet gir en oversikt over alternative definisjoner for den reelle funksjonen. En definisjon av den reelle funksjonen er ikke generelt overførbar eller gyldig for komplekse argument.
Når en definisjon er valgt, vil alternative definisjoner kunne utledes som egenskaper til funksjonen. Hva som er definisjon og hva som er egenskaper vil derfor kunne variere i ulike framstillinger. Valg av definisjon kan reflektere både en pedagogisk vinkling og hvilke egenskaper en ønsker å fokusere på. Det er en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen, logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner, og valg av definisjon for alle disse vil ofte avhenge av rekkefølgen de presenteres i. Bevis for ekvivalens mellom definisjonene er teknisk omstendelig.
Definisjon som en uendelig rekke
Funksjon f(x) = e^x er ofte definert som en uendelig rekke:
Rekken konvergerer absolutt, som kan vises med forholdskriteriet. Den uendelige rekken omtales som en eksponentialrekke. Rekken er også taylorrekken til eksponentialfunksjonen.
Alaska husky
Opprinnelse og alder
Den opprinnelige alaskahuskyen kan sies å ha vært et resultat av krysninger mellom ulike inuithunder (polare urhunder). Når den oppsto er uklart, men den opprinnelige typen er nok svært gammel. Dagens hunder er imidlertid også iblandet blodslinjer fra sibirsk husky, fuglehunder og mynder (kanskje også fra andre typer), for at de opprinnelige hundene skulle bli lettere og hurtigere. Blandingsforholdet mellom de ulike rasene som inngår er ukjent og varierer trolig også i ulike linjer. Man antar imidlertid at både pointer, vorstehhund og greyhound inngår. Hunder av mer opprinnelig type benevnes gjerne som «Pure Athabascan breed» i hjemlige trakter.
Eksponentialfunksjon
Definisjon som en grenseverdi
For reelle argument kan f defineres som en grenseverdi:
Alaska husky
Opprinnelse og alder
Når typen kom til Norge er ukjent, men den ble kjent gjennom Robert Sørlies triumfer i Iditarodløpet i 2003.
Utseende, anatomi og fysikk
Alaska husky minner om sibirsk husky og er en typisk polar spisshund av type, men den har ikke egen rasestandard og varierer mye i størrelse, vekt og pels. Alaska Huskyen kan også ha hengende ører. Kroppen er rektangulær i formen og smal. Lemmene lange og slanke. Langdistanse huskyer har ofte noe tettere pels og kraftigere bygning enn hunder som er avlet for kortere løp.
Eksponentialfunksjon
Definisjon som en invers funksjon
Eksponentialfunksjonen kan for reelle argument defineres som den inverse funksjonen til den naturlige logaritmefunksjonen, forutsatt at denne er definert uavhengig av eksponentialfunksjonen. En slik uavhengig definisjon er gitt som et integral:
Den reelle eksponentialfunksjonen defineres som den inverse funksjonen av denne:
Alaska husky
Bruksområde
Alaska husky er en typisk brukshund og trives best når den kan jobbe hardt. Den egner seg ypperlig som sledehund og den tåler stor belastning når den er godt trent, herunder også store variasjoner i temperatur og værforhold. De fleste konkurransekjørere foretrekker tisper mellom 20 og 23 kg og hannhunder mellom 22 og 26 kg.
Lynne og væremåte
Alaska husky er en hund som krever mye mosjon for å trives. Den har utmerkede flokkegenskaper og trives best i flokk, enten med andre hunder eller sammen med familien. Alaska husky er mye hund og har sterke instinkter for både flukt og jakt og kan ha stor bevegelsesradius. Kan i likhet med f.eks. mynder utvikle hypersensitivitet for tordenvær, fyrverkeri ol. Kan være litt reservert i nye møter, rolig og trygg med kjente mennesker og hunder.
Eksponentialfunksjon
Definisjon ved hjelp av potenser
Eksponentialfunksjonen for et vilkårlig reelt grunntall kan innføres ved hjelp av potensuttrykk. Det er ikke vanlig å definere funksjonen formelt på denne måten, men framgangsmåten kan brukes til å motivere sammenhengen med potenser. Funksjonen defineres trinnvis fra for ulike typer reelle tall.
I tillegg definerer en a^0 = 1.
For et rasjonalt tall på formen x = 1/m definerer en y = e^x som det positive tallet y som er slik at y^m = x. For et vilkårlig rasjonalt tall x = n/m bruker en deretter definisjonen
Eksponentialfunksjonen er nå definert for alle rasjonale tall, og en kan vise at funksjonen oppfyller regnereglene for potenser:
Funksjonen er også strengt voksende for rasjonale argument. For et vilkårlig reelt tall x kan en fylle ut definisjonen ved verdier «mellom» rasjonale argument, som
Her er \sup en forkortelse for supremum. For et (positivt) grunntall mindre enn 1 definerer en
For et negativt argument bruker en
Det kan da vises at funksjonen oppfyller regnereglene for potensfunksjonene for et vilkårlig argument.
Definisjon som uendelig rekke
Rekkedefinisjonen brukt for reelle tall gjelder også for komplekse argument, og rekken konvergerer absolutt for alle komplekse argument:
Definisjon som en grenseverdi
Også bruk av en grenseverdi gjelder som definisjon for komplekse argument:
Definisjon som løsning av en differensialligning
Som for den reelle funksjonen kan den komplekse eksponentialfunksjonen defineres som løsningen av en differensialligning:
Den eneste løsningen som er analytisk overalt er f(z) = e^z.
Definisjon basert på reelle funksjoner
Gitt at eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner er definerte for reelle argument, så kan eksponentialfunksjonen for komplekse argument defineres som:
Definisjonen reduserer seg til den relle definisjonen når y = 0. Denne utvidingen til komplekse argument er den eneste utvidingen som er analytisk i hele det komplekse planet og som oppfyller differensialligningen .
Definisjon av funksjonen for et vilkårlig grunntall
For et vilkårlig grunntall a vil en vanligvis basere definisjonen på en definisjon av funksjonen med grunntall e:
Sammenhengen forutsetter at logaritmefunksjonen er definert. For et reelt grunntall a er den naturlige logaritmen til a.  I kompleks analyse er logaritmefunksjonen flertydig, og dette gjør at også funksjonen g er flertydig for et vilkårlig grunntall, selv om grunntallet er reelt. Ved å begrense logaritmefunksjonen til prinsipalgreinen blir funksjonen g entydig, tilsvarende begrenset til prinsipalgreinen.
Grunnleggende egenskaper
For komplekse argument er funksjonen analytisk i hele det komplekse planet, det vil si en hel funksjon. Funksjonen er transendental, i og med at den ikke kan skrives som løsningen av en polynomligning. Rekkevidden til den komplekse funksjonen er hele det komplekse planet, bortsett fra origo. Funksjonen er periodisk, med en rent imaginær periode 2\pi i:
Modulus til den komplekse funksjonen er
Potensegenskaper
Bevis for disse egenskapene avhenger av valg av definisjon for funksjonen f og om beviset gjennomføres for den reelle eller den komplekse funksjonen. Egenskapene er sentrale når en skal vise ekvivalens mellom ulike alternative definisjoner.
Egenskapene gjelder også for et generelt reelt grunntall, det vil si for funksjonen g(x) = a^x. På grunn av flertydigheten til den komplekse funksjonen med et generelt grunntall, gjelder egenskapene kun dersom en begrenser seg til en spesiell grein av den komplekse funksjonen.
Funksjonsverdier
Kombinert gir potensegenskapene funksjonsverdien e^0 = 1, en verdi som også kan utledes direkte fra de ulike definisjonene. En annen funksjonsverdi for den komplekse funksjonen er gitt ved
Dette er Eulers likhet, ofte skrevet på formen
Rekke-egenskaper
Eksponentialrekken konvergerer absolutt, og dette medfører at en kan bytte rekkefølge på leddene i rekken, uten at verdien til rekken endres. En kan også summere to eksponentialrekker og danne produktet av to slike rekker. Rekken kan deriveres ledd for ledd. Disse egenskapene er viktige for å vise ekvivalens mellom en rekkedefinisjon og alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen.
Grenseverdier
For den reelle funksjonen er grenseverdier gitt ved
x-aksen er altså en asymptote for funksjonen, både for a større og mindre enn 1. Når argumentet går mot uendelig vil eksponentialfunksjonen gå raskere mot uendelig enn hvilken som helst potensfunksjon, uttrykt ved den følgende grenseverdien:
Derviasjons- og integrasjonsegenskaper
Funksjonen f er lik sin egen derivert:
For et generelt grunntall a følger det fra kjerneregelen at
der C er en vilkårlig konstant.
Craig Nunenmacher
Craig «Louisiana Lightning» Nunenmacher  er en musiker (trommer).
Eksponentialfunksjon
Relasjon til andre funksjoner
Eksponentialfunksjonen er nært knyttet til både logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner. Eksponentialfunksjonen inngår også i definisjonen av mange andre funksjoner.
Craig Nunenmacher
Nunenmacher er mest kjent som trommeslager i Black Label Society (BLS). Han ble med i BLS mens han spilte i bandet Crowbar, som reiste på turné sammen med BLS. BLS' originale trommeslager Phil Ondich forlot turnéen, så Nunenmacher måtte ta over og ble så tilbudt fast plass i bandet.
Eksponentialfunksjon
Logaritmefunksjonen
Den reelle eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen er inverse funksjoner.
Jørn Nielsen
Jørn Nielsen (født 5. juni 1960 i Gladsaxe), bedre kjent som Jønke, er en uoffisiell talsmann for motorsykkelklubben Hells Angels (HAMC) i Danmark. Jønke var med å stifte HAMC i Danmark i 1980, da hans motorsykkelklubb ble den første Hells Angels-klubben i Norden. Jønke har gjennom mange år fungert som foredragsholder og sjefredaktør for det skandinaviske motorsykkelbladet Scanbike. Han har i det siste stått i spissen for en rettssak som en gruppe motorsykkelmedlemmer i Vestre Fængsel vil anlegge mot Kriminalforsorgen.
Eksponentialfunksjon
Logaritmefunksjonen
Denne sammenhengen kan brukes til å definere én av de to funksjonene.
Craig Nunenmacher
I 2003 fokuserte BLS' frontfigur Zakk Wylde på turnévirksomhet med Ozzy Osbourne, og Nunemacher spilte igjen sammen med Crowbar.
Eksponentialfunksjon
Logaritmefunksjonen
For et generelt reelt grunntall a og reelle argument er den inverse funksjonen logaritmen med grunntall a:
I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen entydig og logaritmefunksjonen flertydig, og sammenhengen mellom de to funksjonene er gitt ved
Jørn Nielsen
Kriminalitet
Jønkes kriminelle løpebane begynte i 1975, da han som 15-årig ble anholdt etter et slagsmål på en bar. I sommeren 1978 stakk han en mann ned på en bar på Bornholm, og ble idømt 2½ års ubetinget fengsel for knivstikkingen og han mistet videre sin jobb som følge av dette.
Eksponentialfunksjon
Trigonometriske funksjoner
For et rent imaginært argument i eksponentialfunksjonen gjelder Eulers formel:
De trigonometriske funksjonene har begge et reelt argument y. Om denne formelen blir tatt som en definisjon eller som en egenskap som må bevises, avhenger av valg av framstilling. Dersom rekkedefinisjoner brukes for både eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene, så må Eulers formel bevises ut fra at alle rekkene konvergerer absolutt. Formelen kan følge fra en definisjon av den komplekse funksjonen som en utviding fra relle funksjoner. Eulers formel er da et vanlig utgangspunkt for å definere også komplekse trigonometriske funksjoner:
I kompleks analyse er det altså en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner. Dette gjør også at trigononetriske rekker kan skrives på en kompleks form:
Jørn Nielsen
Kriminalitet
Etter drapet flyktet Jønke til Canada, men ble in absentia idømt 16 års fengsel. I 1988 vendte han hjem til Danmark og påbegynte soningen. Under tiden i fengslet forsøkte medlemmer av Bandidos i 1996 å drepe Jønke ved skyting og håndgranater, men han overlevde angrepet.
Han ble prøveløslatt i 1998, men ble allerede i 2001 dømt for medvirkning til enda et drap, denne gang på et diskotek i Aalborg hvor han sammen med et HA-prøvemedlem drepte Flemming Jensen i forbindelse med et voldsomt slagsmål.
Han ble straffet med fire års fengsel, og det heter i dommens premisser at retten etter «en samlet vurdering anser det for bevist, at Jønke flere gange har sparket og trampet den liggende, værgeløse Flemming Jensen i hovedet og på overkroppen. Han var ukampdygtig, hvorfor angrebet må betegnes som af særlig rå og brutal karakter.»
Ved slutten av 2007 ble Jønke overfalt på Nørrebro i København, men ble selv anholdt for overfall på overfallsmannen. Frem til oktober 2008 satt Jønke varetektsfengslet. Etter å ha gjennomgått en mentalundersøkelse, ble det fastslått at han hverken var for syk eller farlig til å sone straffen. 6. februar 2009 ble Jønke frifunnet for grov vold, men avgjørelsen ble anket av statsadvokaten, slik at saken kom opp på nytt i Østre Landsret. Her ble Jønke frifunnet 27. oktober 2009, men også denne dommen ble anket, nå av riksadvokaten og til høyesterett, som imidlertid 12. mai 2010 med dommerstemmene 3-2 stadfestet byrettens og landsrettens avgjørelse.
Eksponentialfunksjon
Hyperbolske funksjoner
Tilsvarende kan en definere \tanh z og \coth z. Hyperbolske funksjoner brukes ofte for å forenkle uttrykk der eksponentialfunksjonen opptrer med både positive og negative argument. Fra definisjonene er
Gaussiske funksjoner
En gaussisk funksjon er en funksjon på formen
Også funksjoner definerte med et mer generelt andregradspolynom som eksponent kalles gaussiske.
Integralfunksjoner
Flere spesielle funksjoner er definert ved hjelp av eksponentialfunksjonen som en del av en integrand.
Eksponentialintegralet:
Sannsynlighetsintegralet:
Feilfunksjonen:
Gammafunksjonen:
Statistiske fordelinger
Eksponentialfordelingen er en statistisk fordeling gitt ved sannsynlighetstettheten
Parameteren \lambda er positiv. Fordelingen er et spesialtilfelle av gammafordelingen.
Normalfordelingen har en gaussisk funksjon som sannsynlighetstetthet:
Parameteren \mu er middelverdien og \sigma er variansen.
Numerisk beregning
For positive verdier av argumentet kan eksponentialfunksjonen \exp(x) beregnes med stor nøyaktighet ved hjelp av eksponentialrekken. For negative verdier vil en numerisk beregning med rekkeuttrykket føre til et svært unøyaktig resultat, på grunn av ledd med skiftende fortegn og kanselering. I steden kan en for negative argument bruke invers-relasjonen:
I motsetning til hva som gjelder for logaritmefunksjonen, er numerisk beregning av eksponentialfunksjonen et velkondisjonert problem.
De fleste programmeringsspråk for datamaskiner vil inkludere et matematikkbibliotek som kan levere funksjonsverdier for eksponentialfunksjonen. Standarden C99 for programmeringsspråket C beskriver for eksempel to funksjoner  og   for de to datatypene float og long double.
For argument nær null vil ekponentialfunksjonen være nær 1. I mange tilfeller kan det gi høyere nøyaktighet å arbeide med funksjonen, og også funksjonen  er inneholdt i C99-standarden. Det eksisterer flere implementeringer av denne funksjonen, den kan for eksempel tilnærmes ved hjelp av en taylorrekke. Plattformer som ikke har funksjonen spesielt implementert kan bruke den følgende identiteten for en nøyaktig tilnærming:
For numeriske beregninger på en datamaskin eller en kalkulator vil eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen generelt ikke være inverse funksjoner, det vil si at generelt er ikke nøyaktig lik x. Det er heller ikke garantert at potensegenskapene alltid er eksakt oppfylt.
Generaliseringer
Rekkedefinisjonen kan brukes til å generalisere eksponentialfunksjonen til andre typer argument enn reelle og komplekse tall. Disse generaliseringene vil ikke automatisk arve alle de «pene» egenskapene som eksponentialfunksjonen har, og egenskaper må kartlegges og bevises for hvert særskilt definisjonsområde.
Eksponentialmatriser
For en kvadratisk matrise M kan en definere den følgende matrisefunksjonen, omtalt som en eksponentialmatrise:
Her er I identitetsmatrisen av samme orden som M. Rekken konvergerer for alle reelle og komplekse kvadratiske matriser.
Eksponentialmatrisen har noen av de samme egenskapene som eksponentialfunksjonen, men ikke generelt alle. Definisjonen medfører at
når 0 er nullmatrisen. Potensegenskapen gjelder imidlertid bare dersom de to matrisene A og B kommuterer, det vil si dersom AB = BA. Funksjonen defineres derfor ofte for en begrenset klasse av kommuterende matriser. En slik klasse er, det t er en variabel skalar og M er en konstant matrise. Matrisen e^M er alltid ikke-singulær, og det eksisterer alltid en invers e^{-M}.
For enkelte matriser kan rekkedefinisjonen brukes til å beregne eksponentialmatrisen: Dersom  er en diagonalmatrise med diagonalelementer \lambda_i, så er
En nilpotent matrise er en matrise som har egenskapen M^k = 0 for en gitt verdi av k, og for slike matriser vil rekken være endelig. En strengt triangulær matrise er alltid nilpotent. For en generell matrise er bruk av rekkedefinisjonen ikke praktisk, men det eksisterer flere metoder for beregning av funksjonen uten å måtte ty til rekkedefinisjonen, både for diagonaliserbare og ikke-diagonaliserbare matriser. Typisk uttrykker disse eksponentialmatrisen som et endelig polynom i matrisen M.
Eksponentialoperatorer
En kvadratisk matrise er en representasjon av en lineær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom. Også for klasser av lineære transformasjoner fra et uendelig-dimensjonalt vektorrom inn til seg selv kan en bruke rekkedefinisjonen til symbolsk å definere en ny transformasjon, på formen
Hvorvidt definisjonen gir mening utover en symbolsk notasjon må vises i hvert tilfelle for den valgte klassen av operatorer. Rekken vil konvergere dersom operatoren er begrenset, men definisjonen kan også gi mening for ikke-begrensede operatorer. Som for matriser vil ikke potensegenskapene alltid være oppfylt.
Anvendelser
Eksponentialfunksjonen har svært mange praktiske og teoretiske anvendelser i matematikk, naturvitenskap og teknologi.
Naturlig vekst
I mange fenomen i naturen er endringen i en mengde med tid proporsjonal med mengden. For eksempel kan en bakteriemengde vokse på denne måten. Dersom mengden er m, og tiden er variabelen t, så kan dette matematisk uttrykkes som differensialligningen
Proporsjonalitetskonstanten k er vekstfaktoren. Løsningen av differensialligningen er
der m_0 er mengden ved tiden t = 0.
Når endringen av en mengde over tid er proporsjonal med mengden, vil mengden endre seg eksponentielt. Ofte uttrykker en dette som at endringen følger loven om naturlig vekst eller loven om eksponentiell vekst.
Rentes rente
Eksponentialfunksjonen er en øvre grense for verdiøkningen en kan få ved å sette et beløp i banken og la rente og rentes rente akkumulere. La bankinnskuddet ved tiden t=0 være V_0, og la renten være x, uttrykt som et desimaltall. Anta at bankinnskuddet står i ett år, men at banken regner ut og legger på rente n ganger i året. Etter ett år er bankinnskuddet da vokst til beløpet
Økningen i beløpet skyldes både effekt av rente og rentes rente. I det hypotetiske tilfellet at banken skulle beregne renten uendelig mange ganger i året, det vil si kontinuerlig, så vil n gå mot uendelig. Grenseverdien for beløpet er da V_0 \exp(x).
Elektrisk LR-krets
Endringen i strømmen i en LR-krets etter at strømmen er slått på, er beskrevet av en eksponentialfunksjon. En LR-krets er sammensatt av en strømkilde, en bryter, en elektrisk motstand og en spole. Spenningsfallet over motstanden er lik RI, når R er størrelsen på motstanden og I er strømstyrken. Over spolen er spenningsfallet, der L er selvinduktansen og er endringen i strømstyrke med tid. Dersom strømkilden gir en konstant spenning V_0, så er spenningsbalansen over kretsen
Når strømmen blir slått på ved tid t=0, så er strømstyrken ved et senere tidspunkt gitt ved
Størrelsen L/R kalles tidskonstanten.
Dempede svingninger
Eksponentialfunksjonen inngår i mange matematiske uttrykk som beskriver svingninger med vekst eller demping. Demping kan for eksempel opptre ved mekaniske svingninger til en masse utsatt for tyngdekraften, en fjørkraft og en dempende friksjonskraft og også ved elektriske svingninger i en krets som inneholder en elektrisk motstand, en spole og en kondensator. Formen på svingningene vil avhenge av forholdet mellom de drivende og de dempende kreftene i systemet. En skiller mellom tre typer demping:
Underkritisk demping opptrer når den dempende kraften er svak relativt til de drivende kreftene. Svingningene kan beskrives med uttrykk på formen
Overkritisk demping opptrer når dempingen er sterk relativt til de drivende kreftene:
Koeffisientene i ligningene vil avhenge av parametre i problembeskrivelsen og av initialtilstanden til systemet. Bare ved underkritisk demping vil en ha reelle svingninger i systemet.
Integraltransformasjer
Integraltransformasjoner av funksjoner spiller en vesentlig rolle i løsning av mange problemstillinger i matematikk. Flere typer transformasjoner kan uttrykkes ved hjelp av eksponetialfunksjonen som kjerne i integralet.
Laplacetransformasjonen til en relle funksjon er definert ved
Definisjonen forutsetter at funksjonen \phi har nedtil begrenset støtte, det vil si at funksjonen er null for alle argument under en gitt verdi. Laplacetransformasjonen er en analytisk funksjon av den komplekse variablen s.
Fouriertransformasjonen til en reell funksjon er definert ved
Anvendelse av eksponentialmatriser
Matrisefunksjonen kan brukes til å uttrykke løsningen av et førsteordens lineært system av ordinære differensialligninger, på formen
Anvendelser av eksponentialoperatoren
Eksponentialoperatoren brukes i flere sammenhenger for å forenkle skrivemåten for en taylorrekke til en analytisk funksjon F:
Florentinske musikkreform
Florentinske musikkreform var en nyorientering av renessansemusikken mot resitativ solosang med natursann deklamasjon og sparsomt akkompagnement som pågikk i årene rundt 1580.
Eksponentialfunksjon
Anvendelser av eksponentialoperatoren
Denne formen for taylorutvikling kan også være utgangspunktet for å definere operatorer som elementer i en Lie-gruppe. Lie-grupper kan brukes for å karakterisere invariante egenskaper til tensorer og har anvendelser i mange greiner av teoretisk dynamikk, blant annet i kvantemekanikk. Ligningen over tolkes da som å definere en kontinuerlig klasse av operatorer
Florentinske musikkreform
Sentrale i bevegelsen var den estetiserende kretsen rundt Giovanni de' Bardi i Firenze som var som mest aktiv i årene 1577–1582. Blant medlemmene var komponistene Giulio Caccini, Emilio de' Cavalieri, Vincenzo Galilei med flere, som inspirert av kretsens ideer om å gjenskape gamle greske melodi- og deklamasjonstradisjoner, skapte monodi og resitativ, musikkformer som brøt fullstendig med renessansemusikkens kunstferdige flerstemmige sang.
Eksponentialfunksjon
Anvendelser av eksponentialoperatoren
Hver verdi av a definerer en ny operator g, som transformerer funksjonen F(x) til funksjonen F(x + a). Operatoren T sies å være generatoren i gruppen. Identitetsoperatoren er g(0) og tilsvarer ingen transformasjon. To påfølgende operasjoner danner en ny operator, med same egenskap som eksponentialfunksjonen:
Florentinske musikkreform
I 1590-årene videreførte den florentinske musikkmesénen Jacopo Corsi og komponisten Jacopo Peri ideene til den bardiske krets, og utviklet monodien til et verktøy for å skape større dramatiske uttrykk. Slik skapte den florentinske musikkreform grobunn for framveksten av musikkformene opera, oratorium, kantate og homofon instrumentalmusikk.
Eksponentialfunksjon
Anvendelser av eksponentialoperatoren
I tillegg har hvert element g(a) en invers g(-a), da. Tilsammen gjør dette at operatorene g danner en Lie-gruppe.
Historie
Den moderne notasjonen for potens ble innført av René Descartes (1596-1650) i verket La géométrie (Paris, 1637), der han brukte notasjonen a^2 for produktet. Descartes brukte notasjonen kun for heltallige eksponenter, og notasjonen spredde seg fort. John Wallis (1616-1703) og Isaac Newton (1642-1626) brukte begge notasjonen for å omfatte også positive og negative rasjonale tall.
Eksponentialfunksjonen fikk navnet fordi argumentet forekom i eksponenten, et ord laget fra latinsk «ex» = «ut» og perfektum partisipp «ponent» av verbet «ponere» = «å sette». Eksponenten er satt ut, slik at den kan sees. Navnet er altså basert på den typografiske formen og ikke matematiske egenskaper. Den engelske matematikeren Edmond Halley (1656-1741) har en tidlig referanse til ordet «eksponent» i 1695, i samband med studiet av logaritmer.
Under arbeid med å studere rentes rente innførte Jakob Bernoulli (1655-1705) i 1683 tallet
nå kjent som eulertallet e. Jakob Bernoulli visste at grenseverdien eksisterte og var mindre enn 3, men hadde ikke ellers uttrykk for grenseverdien.
Den yngre broren Johann Bernoulli (1667-1748) studerte den reelle potensfunksjonen b^x og også den mer kompliserte funksjonen x^x. Han innførte også den første utvidelsen av logaritmefunksjonen til å omfatte komplekse tall, i samband med studier av integraler.
Grensedefinisjonen
ble først gitt at Leonhard Euler (1707-1783). Euler var også den første til å bruke bokstaven e om konstanten 2,718..., antageligvis motivert av navnet «eksponentialfunksjonen». Bokstaven e forekommer i et upublisert manuskript fra 1727 eller 1728, men dette manuskriptet ble først gitt ut i 1868. I 1736 bruker Euler bokstaven e i Mechanica, og han fortsatte å bruke notasjonen i senere verker. Euler oppdaget potensrekkeutviklingen av eksponentialfunksjonen og utvidet også eksponentialfunksjonen til å omfatte komplekse argument.
Accell
Accell Group NV er et nederlandsk selskap som eier mange europeiske sykkelprodusenter. I tillegg til sykler er Accell involvert i produksjon av treningsapparater. Accell er en av verden største produsenter av sykler og sykkelutstyr.
Eksponentialfunksjon
Historie
Eulers formel ble publisert i 1748.
Accell
Fabrikker
Accell gruppen has several produksjonsanlegg i Nederland, Tyskland, Frankrike, Ungarn og Finland. I tillegg til dette har de komponentproduksjon i Asia.
Eksponentialfunksjon
Historie
En full forståelse av sammenhengen mellom den komplekse eksponentialfunksjonen og den tilsvarende logaritmefunksjonen kom først gradvis på 1800-tallet, samen med en forståelse av flertydigheten til komplekse funksjoner.
Accell
Merkenavn
Følgende merkenavn eies av Accell gruppen:
Boddinstraße undergrunnsstasjon
Boddinstraße undergrunnsstasjon er en undergrunnsstasjon på Berlins undergrunnsbanenettverk. Boddinstraße er på linjen U8. Stasjonen ligger i Neukölln under Hermannstraße og ikke langt fra krysset mellom Boddinstraße og Flughafenstraße.
Lake Agassiz
Lake Agassiz var en forhistorisk, enorm bredemt innsjø som lå vest for der hvor De store sjøer ligger idag, dvs. i grenseområdet mellom USA og Canada. Den har navn etter den amerikanske vitenskapsmannen Louis Agassiz, som i 1879 postulerte at sjøen må ha vært skapt av istidssmeltingen.
Sjøen oppstod i siste istid ved at smeltevann fra det sentrale og nordlige Nord-Amerika hopet seg opp her fordi en isbarriere stengte det videre avløpet mot Atlanterhavet. Arealet kan ha vært inntil 440 000 km². I varmeperioden omkring 10 900 f.Kr. smeltet isbarrieren, og enorme mengder vann flommet ut i Atlanterhavet og skapte elvedalen til dagens St. Lawrence River. Hendelsen skapte en forstyrrelse av temperaturen på den nordlige halvkule, og innledet den midlertidige kuldeperioden 10 900–9 600 f.Kr. som vi kaller yngre dryas.
Oktoberrevolusjonen
Oktoberrevolusjonen (russisk:, Oktjábrskaja revoljútsija) var bolsjevikenes maktovertagelse i Russland i november 1917. Oktoberrevolusjonen var en del av den bredere russiske revolusjonen, og etterfulgte Februarrevolusjonen tidligere samme år. Selv om revolusjonen skjedde den 7. november etter den gregorianske kalenderen har den likevel fått navn etter måneden oktober, siden Russland fortsatt brukte den julianske kalenderen på den tiden.
Lake Agassiz
Under dette tilbakeslaget med en tusen år lang kuldeperiode er det sannsynlig at Lake Agassiz fyltes på ny. Omkring 6 400 f.Kr. virker det som innsjøen fant tilbake til sitt nordlige avløp mot Hudson Bay, og deretter tømtes gradvis gjennom en periode på kanskje 1000 år. Restene av innsjøen sees idag som Lake Winnipeg, Lake Manitoba og Lake of the Woods i Canada.
Oktoberrevolusjonen
Det eneveldige tsarstyret hadde blitt styrtet tidligere på året i det som ble kjent som Februarrevolusjonen. Tsar Nikolaj II hadde blitt tvunget til å abdisere, og landet fikk en ny og provisorisk regjering. Monarkiet som institusjon var imidlertid ikke avviklet, og Vladimir Lenins kommunistparti (kjent som «bolsjevikene») var bare et av mange konkurrerende partier. I løpet av året bygget kommunistene opp maktbasen sin blant annet ved å organisere industriarbeidere i de såkalte arbeiderrådene (russisk: sovjeter), og disse ble sentrale i kampen mot den provisoriske regjeringen. Den 7. november (25. oktober etter datidens russiske kalender) gjennomførte kommunistene et kupp i hovedstaden Petrograd, og overlot makten til sovjetene. En sovjetkongress ble nå landets høyeste myndighet, og kongressen ga regjeringsmakten til bolsjevikene og andre revolusjonære. Dette ble begynnelsen på Den russiske sovjetiske føderative sosialistrepublikk, forløperen til Sovjetunionen.
Lake Agassiz
Innsjøen har etterlatt mange spor i dag, blant annet elvedalen til elva Minnesota, avsettingene av fruktbar morenejord i elvedalen til Red River of the North, og rester av strender på områder som idag ligger langt fra vann.
Oktoberrevolusjonen
Det hadde lenge vært planlagt valg til en ny grunnlovsforsamling, og dette valget ble gjennomført den 12. november på tross av revolusjonen. Lenins bolsjeviker fikk bare 175 av 715 representanter, og Det sosialistrevolusjonære partiet ble landets største med 370 representanter. Den nye grunnlovsforsamlingen fikk imidlertid kun møtt en eneste dag før den ble beordret stengt av sovjetkongressen. Den uavklarte politiske situasjonen fortsatte utover i 1918, og eskalerte etterhvert til full borgerkrig, kjent som Den russiske borgerkrigen. Det var ikke før høsten 1922 at kommunistene hadde fått kontroll over mesteparten av landet, og det tok også flere år etter dette før kommunistene hadde fått på plass et stabilt maktapparat i det veldige landet.
Bakgrunn
Russland i 1917 var et land med store kontraster. Det var verdens største, og strakk seg fra Øst-Europa til Stillehavet, og fra Nordishavet til ørkenlandskapet i Sentral-Asia. Det dekket en sjettedel av verdens landoverflate, men mye av dette var relativt øde områder i Sibir. Selv om mer enn to tredeler av landet lå øst for Uralfjellene var hoveddelen av befolkningen i europeisk Russland, og dette omfattet også blant annet det som i dag er Polen, Ukraina, Hviterussland, Finland, Kaukasus og de baltiske landene.
Landet hadde blitt styrt av Romanov-dynastiet siden 1603, og 20 monarker fra dette dynastiet hadde regjert i tilsammen 304 år før revolusjonen i 1917. Systemet var basert på en idé om at monarken skulle være allmektig – en autokrat – og velsignet av Gud. Kjernen i det autokratiske systemet var alliansen mellom Romanov-familien, den russisk-ortodokse kirke og aristokratiet. Kongehuset og adelsstanden hadde i alle år støttet hverandre, der adelen som takk for støtten til de kongelige hadde fått lov til å styre eiendommene sine uten innblanding. Hele dette systemet var bygget på livegenskapet, der kronen og adelsstanden melket de livegne for ressurser: De betalte skatter, leverte korn, og tjenestegjorde som billige soldater. Adelen på sin side dannet et effektivt apparat for å utvide imperiet og statens makt, ved at de tjenestegjorde som offiserer i hæren, i statsforvaltningen og ved hoffet.
Øst-Preussen
Øst-Preussen (Ostpreußen), sydøst ved Østersjøen, var en provins i kongeriket Preussen, og identisk med det tidligere hertugdømmet Preussen. Hovedstaden var Königsberg.
Historie
Preussen ble erobret på 1200-tallet av den Den tyske orden, og var en religiøs stat kontrollert av denne ordenen, fra 1466 (Den andre Thorn-traktaten) riktignok en del redusert (unntatt f.eks. Ermland) og som len under den polske krone. Ordenens territorier ble sekularisert i 1525 da stormesteren Albrecht åpent bekjente seg om tilhenger av den lutherske reformasjonen. Preussen kom i 1618 i personalunion med Brandenburg under kurfyrstene Hohenzollern, som i 1701 utropte kurfystedømmet Brandenburg og hertugdømmet Preussen som kongeriket Preussen. Det østprøyssiske område ble inndelt i en rekke landskap, som 1648-kartet ved siden av gjengir: Schalauen, Nadrauen, Sudauen, Barten, Galindien, Sassen, store deler av Kulmerland, Pomesianien, Pogesanien, Ermland, Natangen og Samland. En alternativ betegnelse på den nordlige tredjepart av området var Lillelitauen (Kleinlitauen), et uttrykk som senere ofte også ble brukt eksklusivt om Memelland, området nord for elven Memel.
Oktoberrevolusjonen
Forholdene på landsbygda
Det var innført noe lokalt selvstyre fra 1864, da man innførte såkalte zemstvo. Men disse var langt fra demokratiske, og kravene til stemmerett var så høye at kun landeiere og borgerskapet ble representert. Rettsvesenet ble reformert til samme tid, og fikk tatt opp i seg enkelte vesteuropeiske rettsprinsipper. Likevel ble deler av det gamle systemet beholdt, og lokale bondedomstoler kunne fortsatt ilegge kroppslig straff. Politiet sto utenfor all demokratisk kontroll, og kunne arrestere og straffe folk uten noen formell prosess dersom de fant det nødvendig av sosiale eller politiske hensyn.
Øst-Preussen
Historie
Det gamle Preussen ble inndelt i Westpreußen og Ostpreußen i 1772 av kong Fredrik II. Som en del av kongeriket Preussen var Østpreussen etter det tysk-romerske rikes fall i 1806 del av den tyske konføderasjon (Deutscher Bund) 1815-66 og av det tyske keiserrike fra 1871. Etter første verdenskrig ble det en tysk enklave, etter at deler av Westpreußen måtte avstås til Polen (den polske korridor).
Oktoberrevolusjonen
Industrialiseringen tar til, en marxistisk bevegelse vokser frem
Industrialiseringen begynte sent i Russland. Det var en viss industriutvikling etter 1861, men i 1890 var det likevel bare én og en halv million industriarbeidere i landet. Det var først med Sergej Wittes tid som finansminister fra 1892 at det ble fart på industriutviklingen. Gjennom «Witte-systemet» trakk Russland til seg utenlandsk kapital, og i årene frem til århundreskiftet ble produksjonen av kull, jernmalm og petroleum tredoblet. Jernbanen ble utbygget i ekspressfart, med den transsibirske jernbanen som det mest kjente prosjektet. Industriutbyggingen førte med seg at mange flyttet til byene for å søke arbeid, men forholdene blant arbeiderne i byene var dårlige. Det var lange arbeidsdager, lav lønn, dårlige boforhold, mange arbeidsulykker og hard disiplin. Fagforeninger og politiske partier var forbudt.
Øst-Preussen
Historie
Østpreussen var først og fremst et jordbruksdistrikt, ofte omtalt som Tysklands kornkammer. Provinsen var kjent for sine store skoger og vakre innsjøer (De masuriske sjøer). Østpreussen hadde få store byer, men mange mindre landsbyer. Befolkningen var i all hovedsak bønder.
Oktoberrevolusjonen
Industrialiseringen tar til, en marxistisk bevegelse vokser frem
De dårlige forholdene gjorde at det snart utviklet seg en klassebevissthet blant industriarbeiderne, og det var urolige forhold der arbeidskonfliktene vokste. Mange industriarbeidere ble mottagelige for revolusjonære budskap, og det var i disse miljøene den russiske marxismen vokste frem på slutten av 1890-tallet. Det russiske sosialdemokratiske arbeiderpartiet ble stiftet i 1898, med den unge intellektuelle Vladimir Lenin som en sentral figur. Partiet hadde de første årene ingen formell organisasjon, intet partiprogram, og ingen medlemslister, og eksisterte dermed i praksis bare på papiret. Allerede i 1903 ble partiet splittet i to fraksjoner: bolsjeviker og mensjeviker. Disse utviklet seg etterhvert til to selvstendige partier, på tross av flere forsøk på å samle dem. Lenin hørte til bolsjevik-fraksjonen, som på tross av navnet (som betyr «flertallsmann») egentlig var mindretallet i partiet.
Etter at keiser Aleksander II var blitt myrdet i et attentat 1881 ble han etterfulgt av sønnen, Aleksander III. Den nye keiseren avbrøt alle former for sosiale og politiske reformer, og ga innenriksdepartementet utvidede fullmakter til politisk overvåkning, arrestasjon og deportasjon uten lov og dom. Denne unntakstilstanden – offisielt med det uskyldige navnet «vedtekter for tiltak for bevaring av den nasjonal orden og offentlige fred» – var i utgangspunktet ment å være midlertidig da den ble innført kort tid etter drapet på Aleksander II, men ble systematisk fornyet hvert tredje år frem til 1917. Russland var i praksis blitt en politistat, og Lenin omtalte de drakoniske lovene for «Russlands de-facto grunnlov».
Øst-Preussen
Historie
Etter første verdenskrig ble den nordligste byen i Østpreussen, Memel, og området rundt, skilt ut fra Tyskland og satt under fransk og japansk administrasjon under Folkeforbundet. I 1923 gikk litauiske styrker til angrep og tok byen. På 20- og 30-tallet var den et viktig stridstema mellom Tyskland og Litauen. Seiersmaktene garanterte at tyskerne i Memelområdet skulle få autonomi under litauisk forvaltning, men det ble forhindret. Valgresultater viste klart tysk flertall. Da Litauen tok initiativ til forhandlinger, ble det holdt en folkeavstemning i 1938, hvor 88 % stemte for å bli en del av Tyskland og 12 % for Litauen. 22. mars 1939 reannekterte Tyskland Memel, etter en avtale med den litauiske regjeringen, der de lovet litauerne hjelp mot Polen, som holdt den litauiske hovedstaden Vilnius okkupert. Denne tyske innmarsjen må folkerettslig innordnes annerledes enn innmarsjen i deler av Tsjekkoslovakia litt før.
Natural History Museum
Natural History Museum er et stort museum for naturhistorie på Exhibition Road i South Kensington i London. Bygningen er kjent for sin spesielle arkitektur, og har ofte blitt omtalt som en «naturhistoriens katedral». Det ble åpnet i 1881, med gjenstander gitt fra samlinger i British Museum som kjerne i utstillingen.