cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Vannlungesnegler
Levevis
Familiegruppen Amphibolidae skiller seg ut fra alle andre, da den eneste arten i gruppen, Amphibola crenata, mangler et operculum. Den lever på strender langs havet, høyt i tidevannsonen.
Weber/Merton-tesen
Weber/Merton-tesen er betegnelsen på en tese formulert av den amerikanske sosiologen Robert K. Merton i 1938. I denne tesen tok han utgangspunkt i sosiologen Max Webers verker fra 1904-05.
Innhold
Hovedbudskapet i Weber/Merton-tesen er påstanden om at asketisk protestantisme (puritanisme) var meget viktig i fremveksten av den nye eksperimentelle naturvitenskapen på 1600-tallet. Weber hevdet eksempelvis at den asketiske protestantismen hadde en særlig forkjærlighet for den nye fysikken, og protestantene mente gjerne at man priste Gud ved å utforske skaperverket. Likevel må det presiseres at verken Weber eller Merton mente at puritanisme eller protestantisme skapte moderne vitenskap. Weber/Merton-tesen blir gjerne delt inn i tre underteser:
W/M 1 omhandler påstanden om at asketiske protestanter skulle ha en større tilbøyelighet til å studere naturvitenskap og å betrakte eksperimentell forskning som et kall enn medlemmer av andre trossamfunn.
W/M 2 sier kort sagt at den puritanske etikken kanaliserte engelskmenns interesser i retning av vitenskap. Dette ble empirisk undersøkt, og videre formidlet som et signal på at det kulturelle jordsmonnet i England på 1600-tallet var spesielt godt egnet for framvekst og spredning av naturvitenskapene.
W/M 3 sier at puritanismen fremmet institusjonaliseringen av naturvitenskapene ved å fremme et solid legitimeringsgrunnlag for den. Merton mente at den asketiske protestantismen tjente til å legitimere en gryende og institusjonalisert naturvitenskap.
Kritikk
W/M 1 har blitt utsatt for sterk kritikk, og det er i dag gjerne vanlig å si at det kun er W/M 2 og W/M 3 som fremdeles står igjen som plausible. Men også blant dem er det behov for presiseringer og modifiseringer, og i dag er det vanlig å se på W/M 3 som den tesen som står sterkest. W/M 1 ble kritisert for å være for udefinert og diffus. Man kan gjerne si at det ikke var kun puritanismen som motiverte folk til forskning av naturvitenskapen, men heller hele den engelske protestantismen.
Hustad kirke (Fræna)
Hustad kirke (Hustad kyrkje) er en langkirke fra 1874 på Hustad i Hustadvika i Møre og Romsdal fylke. Den er en del av Den norske kirke og hører til Molde domprosti i Møre bispedømme.
Byggverket er i tømmer og har 350 plasser.
Treff 78-1
Treff 78-1 er det sekstende albumet i Treff-serien, utgitt på platselskapet Talent, og dette ble det nest siste albumet i serien. Platesalget var synkende, til tross for at produsentene prøvde å finne de mest aktuelle låtene. Artistene var velkjente: Inger Lise Rypdal, Stein Ingebrigtsen, Gro Anita Schønn, Dag Spantell, Septimus, og gjestene Lasa og Unit Five. Inger Lise Rypdal fikk oppmerksomhet for sin vakre tolking av «Send In The Clowns», som hun her gjorde på norsk, mens man lo av Stein Ingebrigtsen og Dag Spantells noe «platte» versjon av «Rivers Of Babylon».
Det forsømte forår
Det forsømte forår (dansk: Det forsømte forår) er en roman av den danske billedkunstneren og forfatteren Hans Scherfig. Romanen tilhører den skolekritiske tradisjonen innenfor litteraturen og er blant annet kjent for en episode der en elev dreper sin lærer gjennom å forgifte hans brystkarameller.
Handling
Lektor Blomme, spesialist på latin og brystkaramell-elsker, blir funnet døende på Østrebro i København. Senere dør han, og man finner spor av gift i kroppen hans. Dette setter i gang en jakt etter morderen, motivet og hvordan lektoren fikk giften i seg. Morderen ble aldri funnet og saken ble satt en strek over og fort glemt. 25 år senere samler en gruppe menn som var lektorens elever seg for å minnes sine skoledager 25 år tidligere. De er nå voksne og mange har fått fremtredende stillinger i samfunnet, som leger, dommere og politimestre. Blant dem finnes det en morder.
Gjennom romanen følger man elevene fra den første skolendagen og gjennom deres skolegang samt utviklingen av en morder.
Porevann
Porevann eller porevatn er vann som befinner seg i rommet mellom jordpartikler. Jordas evne til å transportere porevann angis ved permeabiliteten. Porevann utøver trykk på jorda og kan, dersom jorda er mettet med vann, sette partiklene i bevegelse på grunn av porevannstrykket.
Kelly Murphy
Kelly Murphy (født 20. oktober 1989) er en amerikansk volleyballspiller.
Hun representerte USA under Sommer-OL 2016 i Rio de Janeiro, der hun tok bronse i kvinnenes innendørsturnering.
Efika
Efika er en gruppe datamaskiner fra Genesi. EfikaPPC var basert på PowerPC, men produksjonen opphørte 10. september 2007. I august 2009 ble Efika MX lansert med ARM-arkitekturen.
Navnet Efika er esperanto og betyr «effektiv».
Shelta
Shelta, også kalt cant, gammon og sheldru, er et språk som snakkes av paveefolket (også kalt travellers og tinkers) i Irland, Storbritannia og USA m.fl. Språket er nært knyttet til irsk gælisk språk, som regnes som en del av grunnlaget.
Shelta er et såkalt privat eller hemmelig språk, reservert dem som er født inn i paveefolket. Det læres fra fødselen av blant folk, men brukes ikke i skolesammenheng. Ifølge gammel folketro har språket magiske egenskaper, når det brukes på den rette måten av dem som er ekte pavee av blodet.
Shelta hører under den goideliske gren av de keltiske språk. Man regner med at det finnes omkring 86000 mennesker som snakker shelta rundt om i verden, hvorav ca. 6000-25000 bor i Irland. Flere eksperter mener det kan ha oppstått på 1200-tallet, eksempelvis Kuno Meyer (ekspert på keltiske språk) og John Sampson (ekspert på romani).
Språket som sådan kan ha oppstått i regionen rundt Shetland mener flere. Ordet shelta, som først dukket opp i litterære kilder i 1882, i boken «The Gypsies» av Charles Leland, kan ha sammenheng med det irske ordet «siúlta», som betyr vandrer eller omvandrer.
Yuhagen
Yuhagen (tradisjonell kinesisk: 豫園, forenklet kinesisk: 豫园, pinyin: Yùyuán), ofte omtalt som Yuyuanhagen (selv om -yuan betyr -hage) ligger sentralt i gamlebyen i Shanghai i Folkerepublikken Kina. Den har nasjonalt og internasjonalt ry.
Denne klassiske kinesiske hage regnes som den vakreste og mest kjente hageparken i området, og har en rekke innsjøer, vakre bygninger og paviljonger. Parken ble anklagt så tidlig som 1559 som en privat hage, av den ledende mandarinen Pan Yunduan. Den grodde igjen og forfalt frem til 1760 da den ble kjøpt av andre. I 1842, under første opiumskrig mot Storbritannia, ble hagen okkupert av britene. I 1942 ble den sterkt beskadiget av japanske tropper. Shanghais regjering reparerte skadene og åpnete parken for almenheten i 1961. I 1982 ble parken nasjonalt monument, ved at den ble oppført på listen over kulturminner i Folkerepublikken Kina. Den er blitt til en av Shanghais største severdigheter.
Altocumulus makrellsky
Siden skyene som regel oppstår før en front, blir makrellskyer i gamle værtegn regnet for å være et tegn på at været blir dårligere.
Aphanicerca terata
Aphanicerca terata er en av art av steinfluer. De er tilknyttet et liv i ferskvann som nymfer (larve). Steinfluer finnes bare i nærheten av ferskvann. Selv om de voksne har fire vinger er de ikke særlige dyktige flygere og finnes sjeldent langt fra stedet de levde som nymfe. Denne familien finnes i dag bare på den sørlige halvkulen, men den tilhører en gruppe (Arctoperlaria) av steinfluer som lever på den nordlige halvkulen, så det er sannsynlig at den er av nordlig opprinnelse og har vandret sørover.
Utseende
Små, mørke steinfluer. Et karakteristisk kjennetegn er at baklårene er svært kraftige.
Levevis
Artene i familien Notonemouridae kan finnes i en rekke forskjellige ferskvanns-lokaliteter, men foretrekker kaldt og oksygenrikt vann. Noen arter lever på steiner som blir overskylt av fossefall eller stryk, andre lever i elver eller innsjøer. Nymfene eter døde planter og dødt, organisk materiale og gjennomfører utviklingen på ett år. De har sterke bein og kan krype opp loddrette overflater, også mot en kraftig vannstrøm. De voksne fluene kan hoppe ved hjelp av sine kraftige baklår, noen arter flyr også godt. De tar trolig næring til seg.
Speleonectes emersoni
Arten hører under gruppen Remipedia hvor alle artene er blinde, og hele kroppen består av en enkelt, lang rekke av ledd med antropode (grenete) bein. Individene svømmer på ryggen og beveger seg sakte.
Tore Sandnæs
Hans tidlige kvartett og storband (med blant annet Ole Jacob Hansen) vant NM i jazz (1956). På 1960-tallet ga han ut plater med Bjørn Johansen på saksofon, Bjørn Pedersen på bass og Frode Thingnæs på trombone.
Han har ledet Tore Sandnæs Trio med Stig Hvalryg/Terje Venaas på bass og Eyvind Olsen på trommer, med en forestilling om Oscar Peterson, samt vært med Majken Christiansens trio Swing Society med Hvalryg, Torstein Ellingsen på trommer, og blant annet fremført «En hyllest til Ella Fitzgerald» (Oslo Jazzfestival, 2006). Sandnæs er å høre på utgivelsen Erik Amundsen, portrait of a norwegian jazz artist (Gemini Records, 2005).
Clive Barker
Clive Barker (født 5. oktober 1952) er en britisk forfatter, filmregissør, og billedkunstner, kjent for bokserien Books of Blood med noveller og skrekkfilmene i Hellraiser-serien. Han har også utgitt romaner og bidratt til tegneserier og spill, blant annet Clive Barker's Jericho. Han var produsent for dramafilmen Gods and Monsters (1998) som vant en Oscar for best filmatisering av manuskript.
Barkers malerier og illustrasjoner har blitt stilt ut i gallerier i USA, foruten også trykt i hans egne bøker. Han har også skapt egne tegneseriefigurer og en del av hans egne skrekkfortellinger har blitt gjort som tegneserier. Hans arkiver har blitt benyttet som en kilde for materialer til biografier og sakprosautgivelser med hans egne essayer, diskusjoner om hans periferiske teaterarbeider og annet innhold.
Statsrevisjonen
Statsrevisjonen var en norsk statsetat underlagt Stortinget, og forløperen til dagens Riksrevisjonen.
Statsrevisjonen 1816–1918
Grunnlovens § 75 bokstav k definerer at det skal utnevnes fem revisorer, som skal "der aarligen skulle gjennemse Statens Regnskaber og bekjendtgjøre Extrakter af samme ved Trykken".
Disse 5 statsrevisorene utgjør den første Statsrevisjonen. De reviderte statsregnskapet (hovedregnskapet), mens de enkelte departementene reviderte sine egne og underliggende etater sine regnskaper selv, inntil Revisjonsdepartementet overtok disse oppgavene fra 1822.
Statsregnskapet ble framlagt årlig av Finansdepartementet, og revidert av Statsrevisjonen.
Statsrevisjonen 1918–1938
Grunnlovens § 75 bokstav k ble endret 23. desember 1917. Dette medførte at Revisjonsdepartementet ble lagt ned, og dets oppgaver overført til Statsrevisjonen. Statsrevisjonen fikk dermed ansvar for revisjon av både statsregnskapet og regnskapet for de enkelte departementene.
Statsrevisjonen endret navn til Riksrevisjonen ved stortingsvedtak av 4. mars 1938, med virkning fra 1. juli samme år.
Nyingchi (Nyingchi)
Nyingchi (kinesisk: 林芝县; pinyin: Línzhī Xiàn; tibetansk: ཉིང་ཁྲི་ས་རྫོང་ ; Wylie: Nying khri rdzong) er et fylke i Nyingchi i den autonome region Tibet i Folkerepublikken Kina.
Befolkningen var på 28,801 innbyggere i 1999.
Administrative enheter
Storkommuner: Kommuner:
Samferdsel
Kinas riksvei 318, en av Folkerepublikken Kinas lengste hovedveier, løper gjennom området. Den begynner i Shanghai og fører blant annet innom Wuhan og Chengdu på sin vei inn i Tibet og Lhasa og helt frem til en kinesisk grenseovergang mot Nepal i Zhangmu.
Eggleder
Egglederen (latin: Tuba uterina, gresk: Salpinx) er to smale rør som forbinder hunpattedyrets eggstokk med livmoren. I kvinner er de ca. 0,5 cm i diameter og ca. 7-15 cm lange. Egglederne består av 3 lag, mucosa (slimhinne) Muscularis externa (muskler) og serosa ( en tynn hinne bestående av epitelceller som er del av bukhinnen).
Egglederen ble for første gang beskrevet av den italienske legen Gabriele Falloppio (1523–1562), derav det engelske navnet på egglederne: Fallopian tubes.
Eggstokken og egglederen bli ofte sammenfattet under det latinske begrepet adnex. Det er i egglederen befruktningen vanligvis foregår. Det finnes ikke noe organ hos mannen med lik funksjon.
Kreft i egglederne
Ondartede svulster utgått fra eggleder (tubecancer) er uvanlig, med cirka 10 tilfeller årlig. Klinisk er de vanskelige å skille fra eggstokkreft (ovarialcancer). Symptomer, diagnostikk og behandling er det samme. Ved gynekologisk undersøkelse kan oppfylning av slik kreft kjennes mellom undersøkerens fingre i skjede og endetarm og andre hånd på mavehuden. Disse tumorene har en betydelig tendens til spredning til lymfeknuter, og derfor anbefales alltid fjerning av lymfeknuter i bekkenet og langs aorta i de tilfeller der alt tumorvev kan fjernes ved operasjon. Det gis alltid cytostatikabehandling etter operasjon, også tidlig stadium. Prognosen er den samme som for ovarialcancer.
Pytagoras’ læresetning
De to katetene er de korteste sidene i trekanten, og hypotenusen er den lengste. Den rette vinkelen er motstående til hypotenusen. Kaller man lengdene av katetene henholdsvis a og b samt lengden av hypotenusen for c, så kan læresetningen uttrykkes som en ligning, ofte kalt Pytagoras ligning:
Det historiske opphavet til teoremet er bare mangelfullt kjent og har vært gjenstand for mye diskusjon. Navnet har teoremet fått fordi mange tradisjonelt har knyttet læresetningen til den greske matematikeren Pytagoras, som levde omkring 500 f.Kr. Det eksisterer imidlertid ikke gode indikasjoner eller bevis for at han eller noen av hans følgesvenner skal ha vært opphavsmann til teoremet. Pytagoreiske tripler og andre former for teoremet har vært kjent i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før pytagoreerne. Kanskje har læresetningen blitt oppdaget flere steder og til flere tider uavhengig av hverandre. Det eldste deduktive bevis vi kjenner, er fra Euklids Elementer, skrevet omkring 300 f.Kr. I dag eksisterer det en lang rekke alternative bevis for teoremet.
Bevis
Pytagoras’ læresetning antas å være et av de teoremene i matematikk som er bevist på flest alternative måter. Boken Pythagorean Proposition av Elisha Scott Loomis inneholder hele 370 bevis. I boken er 109 bevis karakterisert som algebraiske og 255 som geometriske. De resterende seks er basert på vektorregning eller dynamiske argument. Et geometrisk bevis bygger ifølge Loomis på sammenligning av arealet til de tre kvadratene konstruert fra sidelengdene, mens et aritmetisk er basert på lineære relasjoner mellom sidelengder eller areal, for eksempel ved bruk av formlike trekanter. Denne inndelingen er kanskje ikke entydig, og mange bevis har innslag av både geometri og algebra.
Euklids bevis
I Euklids Elementer, teorem 47 i bok I, finner man det eldste kjente beviset for Pytagoras’ teorem. Det er vanlig å referere til Euklids bøker med romertall for bindet og et vanlig tall for den gjeldende satsen, slik at Pytagoras’ teorem er I.47. Beviset for I.47 er basert på en sammenligning av areal.
La A, B og C være hjørnene i en rettvinklet trekant, med den rette vinkel ved A som vist på figuren. Til hver side i trekanten er det tegnet et kvadrat. En normal fra hjørnet A til hypotenusen BC deler kvadratet på hypotenusen i to rektangler, på figure vist i blått og rosa. Euklid beviste setningen ved å vise at arealet til hver av de to minste kvadratene er lik arealet av ett av rektanglene, vist med fargene i figuren. Arealsummen av de to minste kvadratene er dermed lik arealet til det største kvadratet.
Beviset bygger på flere hjelpesetninger, som Euklid viser tidligere i bok I. Disse vil bli brukt videre, uten bevis her.
Beviset er som følger:
Myrbostad kirke
Myrbostad kirke er en langkirke fra 1880 i Hustadvika kommune i Møre og Romsdal fylke. Den er en del av Den norske kirke og hører til Molde domprosti i Møre bispedømme.
Pytagoras’ læresetning
Euklids bevis
Figuren til Euklids bevis, med hjelpelinjer til alle fire kvadrater, er berømt. Den er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale». Også navnet pons asinorum er blitt brukt om figuren. Dette latinske utrrykket betyr «eselbroen» eller «idiotbroen», og uttrykket knyttes vanligvis til en annen Euklid-figur, brukt i forbindelse med Elementer I.5.
Bevis ved bruk av formlike trekanter
Mange av bevisene for Pytagoras’ setning er basert på forhold mellom sidelengder i to formlike trekanter. Elisha Scott Loomis omtaler dette som det korteste av alle Pytagoras-bevisene og kaller det også for «Legendre-beviset». En lærebok i geometri fra 1858, basert på arbeid av Adrien-Marie Legendre, gjengir beviset. Thomas Heath foreslår dette som ett alternativ for et bevis som kan ha vært brukt av pytagoreerne.
La ABC være en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er ved C, slik figuren viser. Høyden fra hjørnet C treffer siden AB i fotpunktet H. Trekanten ACH er formlik med trekanten ABC, da begge er rettvinklede og vinkelen ved A er felles. Tilsvarende er trekanten CBH formlik med ABC. Til sammen resulterer dette i følgende forhold mellom sidelengder:
Dette kan skrives som
Summasjon av de to uttrykkene gir
Garfields bevis
James Garfield er opphavsmann for det følgende beviset. Han var jurist og medlem av den amerikanske Kongressen, og han oppdaget beviset i 1876 som følge av en matematisk diskusjon med andre kongressmedlemmer. Garfield ble president i USA i 1881, men han ble skutt og drept etter bare fire måneder i embetet.
Arealet av et generelt trapes med høyde h og lengder av de to parallelle sidene s_1 og s_2 er gitt ved
Da er arealet av trapeset vist i figuren:
Trekant 1 og 2 er identiske, med areal
Et alternativt uttrykk for arealet til trapeset finner en ved å summere arealene til de tre trekantene:
En sammenstillingen av de to uttrykkene for trapesarealet gir
Bevis ved reorganisering
Det eksisterer flere bevis basert på å reorganisere areal. Et eksempel er vist i figuren til venstre. De to store kvadratene i figuren er like store, begge med sidelengde a + b. De to kvadratene skiller seg kun ved den innvendige plasseringen av de fire trekantene. Arealet av de hvite områdene i de to store kvadratene må derfor være like, og dette gir Pytagoras’ setning.
Thomas Heath omtaler dette beviset og et forslag fra de to matematikerne Carl Anton Bretschneider og Hermann Hankel om at dette kan ha vært kjent av pytagoreerne. Heath vil ikke avvise en slik teori, men mener selv at det er mer sannsynlig at pytagoreerne kjente beviset basert på formlike trekanter.
Algebraisk bevis
Et algebraisk bevis kan gjennomføres ved å betrakte fire identiske trekanter plassert i hjørnene til et større kvadrat. Beviset er gjengitt av den indiske matematikeren Bhaskara, som levde på 1200-tallet.
Sidelengdene i trekantene er A, B og C, og det store kvadratet har sidelengde A + B.
Arealet S_T av hver av de fire trekantene er gitt ved:
I hver trekant er motstående vinkel til A-siden og B-siden komplementvinkler. Også det blå området er derfor et kvadrat, med areal lik C^2. Arealet S til det store kvadratet med sidelengde (A + B) er gitt ved
Alternativt kan dette uttrykkes som arealsummen for de fire trekantene og det blå kvadratet:
En sammenstilling av de to uttrykkene for S gir Pytagoras’ teorem.
Det omvendte teoremet
Euklid viste i teorem I.48 at også det omvendte Pytagoras’ teorem er gyldig, der en bytter forutsetning og konklusjon:
Teoremet kan bevises som følger:
Pytagoreiske tripler
Et pytagoreisk trippel består av tre positive heltall a, b, og c, slik at. En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er (a, b, c). Et pytagoreiske trippel representerer sidelengdene i en rettvinklet trekant, når alle tre lengdene har heltallsverdier. Eksempler på pytagoreiske tripler er (3,4,5) og (5,12,13).
Dersom (a, b, c) er et pytagoreisk trippel, så vil også være det, for et vilkårlig heltall n.  Dersom de tre tallene a, b, og c ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel. Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.
Pytagoreiske tripler kan brukes til å konstruere rette vinkler og til å kontrollere om en gitt vinkel er rett. Et hendig trippel er (60,80,100), et ikke-primitivt trippel som kan dannes ved å multiplisere tallene i (3,4,5) med 20. En vinkel i et innvendig hjørne i et rom kan kontrolleres ved å avsette henholdsvis 60 cm langs den ene veggen, 80 cm langs den andre. Om nå en meter-lengde passer mellom merkene, så er vinkelen rett.
Inkommensurable lengder og irrasjonale tall
En konsekvens av Pytagoras’ teorem er at det er mulig å konstruere inkommensurable lengder, det vil si lengder med et forhold lik et irrasjonalt tall. Et enkelt eksempel er gitt ved rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Pytagoras’ setning gir at hypotenusen i en slik trekant har lengde lik kvadratroten av 2. At dette tallet er et irrasjonalt tall, kan vises ved et enkelt algebraisk bevis, se Kvadratroten av 2.
For greske matematikere var en irrasjonell størrelse definert som et forhold mellom lengder og ikke som et tall. Det skulle gå lang tid før en forståelse av irrasjonale tall skulle bli etablert. Eksistensen av inkommensurable lengder har opphav hos pytagoreerne, men det er ikke kjent nøyaktig når og hvordan kjennskap til slike størrelser ble etablert. Historikeren Proklos, som levde i det femte århundre etter Kristus, gir æren til Pytagoras selv, men ifølge Thomas Heath er det mest sannsynlig at kunnskapen oppstod en god stund etter at Pytagoras var død. En av flere alternative historier om pytagoreeren Hippasos et at han ble druknet, etter å ha røpet kunnskapen om inkommensurable størrelser. Euklid bruker bok X til å diskutere inkommensurable lengder og areal.
Distanse i euklidske rom
Metrikken eller avstandsmålet i euklidsk geometri er basert på Pytagoras’ teorem. Hvis  og  er kartesiske koordinater til to punkt i planet, så er avstanden mellom disse gitt ved
Dette avstandsmålet kalles euklidsk avstand eller euklidsk metrikk.
I et generelt euklidsk n-dimensjonalt rom er avstanden mellom to vektorer og  definert ved
Bruk i kompleks analyse
Absoluttverdien eller modulus til dette tallet er definert ved
Avstanden mellom to komplekse tall z_1 og z_2 kan defineres ved
Denne avstanden og de to gitte tallene er igjen relatert ved en ligning tilsvarende Pytagoras’ ligning:
Den pytagoreiske trigonometriske identiteten
For en rettvinklet trekant, som vist nederst i figuren til høyre, kan de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus defineres ved
Ved å bruke Pytagoras' teorem, følger det fra disse definisjonene at
Denne grunnleggende identiteten blir kalt enhetsformelen og noen ganger også den pytagoreiske trigonometriske identiteten. For to formlike trekanter er forholdet mellom samsvarende sidelengder det samme, og dette vil også gjelde for de to trekantene i figuren. Den øverste rettvinklet trekanten har hypotenusen med lengde 1, og katetene har lengde \sin \theta og \cos \theta.
Cosinussetningen
Pytagoras’ teorem er et spesialtilfelle av et mer generelt teorem om forholdet mellom sidelengder i en vilkårlig trekant, kjent som cosinussetningen eller den utvidede pytagoreiske læresetning. For en vilkårlig trekant med sidelengder a, b og c er
Her er \gamma vinkelen mellom sidene med lengde a og b. For \gamma lik 90 grader er, og ligningen reduserer seg til den vanlige pytagoreiske ligningen.
Cosinussetningen gir en enkel metode for å bestemme om en trekant er rett, spissvinklet eller stumpvinklet. Siden cosinus-funksjonen er positiv for en spiss vinkel, men negativ for en stump vinkel, så gjelder følgende:
Her er forutsatt at c er den lengste siden. En vanlig notasjon er å la vinklene i trekanten være, slik at \alpha er motstående til sidelengden a og \beta motstående til sidelengden b. Forholdene over kan da også uttrykkes slik:
Edsger Dijkstra har samlet disse resultatene ved hjelp av fortegnsfunkjonen:
Rugby Football Union
Rugby Football Union er det nasjonale forbundet for rugby union i England. Forbundet ble opprettet i 1871 og hadde også ansvaret for idretten internasjonalt frem World Rugby ble opprettet i 1886. Forbundet har i dag over 2000 klubber underlagt seg og er organisert i 35 selvstendige enheter.
Pytagoras’ læresetning
Parallellogramloven
For et rektangel er de to diagonalene like lange: AC = BD, og parallellogramloven reduserer seg til Pytagoras’ læresetning.
Formlike figurer
Pytagoras’ læresetning kan tolkes som en relasjon mellom arealet til kvadrater på sidekantene. Ved å multiplisere alle tre leddene i Pytagoras’ ligning med \pi /8, ser en umiddelbart at samme relasjon også gjelder for arealene til halvsirkler med diameter langs sidekantene. Dette resultatet er referert uten bevis av Hippokrates fra Khíos, som levde i det femte århundre før Kristus. Euklid viste i bok VI av Elementer et bevis for a resultatet gjelder for vilkårlige formlike konvekse polygon. I ettertid er det vist at resultatet er gyldig for vilkårlige formlike figurer, også figurer der sider er definerte ved kurver:
Pappos arealteorem
Pappos (3-4. århundre) gir et arealteorem han selv kaller en utviding av Euklid I.47. Dersom en på to sider i en vilkårlig trekant tegner to vilkårlige parallellogram, så kan en konstruere et parallellogram på den tredje siden, slik at arealet av dette er lik summen av arealene til de to første.
Romgeometri
En lengde i det tredimensjonale rommet kan defineres ved gjentatt bruk av Pytagoras’ setning. I figuren til høyre kan en finne lengden av linjestykket AD ved å bruke den rettvinklede trekanten ABD:
Kateten BD i denne er gitt ved å bruke Pytagoras’ sats på trekanten BCD:
Kombinasjon av disse to ligningene gir
Resultatet er det tredimensjonale uttrykket for lengden av en vektor, basert på komponentene. Vektoren svarer til diagonalen AD
de Guas teorem
I tre romdimensjoner er de Guas teorem en generalisering av Pytagoras’ læresetning til et tetraeder:
Et rettvinklet hjørne er som hjørnet i en kube. Teoremet er navngitt etter Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785).
Indreproduktrom
Pytagoras’ sats kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, som igjen er en generalisering av det euklidske rommet i to og tre dimensjoner. Et indreproduktrom kan ha både endelig og uendelig dimensjon. Elementene i et indreproduktrom, vektorene, kan for eksempel være funksjoner. I et indreproduktrom kan en definere lengden av elementer, avstanden mellom to elementer og også vinkelen mellom to elementer.
Indreproduktet mellom to elementer \mathbf{u} og \mathbf{v} kan betegnes som, og dette generaliserer det vanlige skalarproduktet mellom to endelig-dimensjonale vektorer. To vektorer står ortogonalt på hverandre dersom indreproduktet mellom dem er lik null. Lengden av en vektor er definert ved normen:
I et indreproduktrom sier Pytagoras’ teorem at for to ortogonale vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} gjelder at
Vektorene \mathbf{u} og \mathbf{v} spiller samme rolle som katetene i en rettvinklet trekant, med hypotenusen gitt som vektorsummen. Teoremet følger av egenskaper til indreproduktet:
Ligningen kan generaliseres til et vilkårlig endelig antall parvis ortogonale vektorer:
Også parallellogramloven kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, da med formen
Differensialgeometri
I differensialgeometri blir det for det tredimensjonale euklidske rommet definert en infinitesimal lengde ds ved
Dette svarer til bruk at Pytagoras’ setning for en infinitesimal avstand mellom to punkt. For en glatt parametrisk kurve gitt på formen
brukes dette til å definere buelengden av kurven:
Ikke-euklidsk geometri
Pytagoras’ setning er basert på aksiomer i euklidsk geometri, og den euklidske formen er ikke gyldig i ikke-euklidsk geometri. I sfærisk geometri vil for eksempel alle tre sidene i en rettvinklet trekant som begrenser en oktant i en enhetskule, ha sidelengder \pi/2. Dette bryter opplagt med Pytagoras’ ligning.
For ikke-euklidsk geometri kan en utlede alternative former for Pytagoras’ teorem. I sfærisk geometri gjelder det at for enhver rettvinklet sfærisk trekant, på en kule med radius R, kan Pytagoras’ teorem skrives som:
I en hyperbolsk geometri med uniform krumning 1 / R^2 kan Pytagoras’ teorem uttrykkes som:
Ved å rekkeutvikle den hyperbolske funksjonen som en maclaurinrekke, vil (når man tar med de to første leddene). Det kan da vises at når en hyperbolsk trekant blir lite (altså når a, b og c alle går mot null), vil den hyperbolske formen av teoremet gå mot den euklidske formen.
Historie
Opphavet og historien til Pytagoras’ teorem har gjennom tidene skapt mye diskusjon, og mange teorier er fremsatt. Det kan i ettertiden være vanskelig å skille mellom fakta, tolkninger, grunngitte hypoteser og rene gjetninger. Kanskje har kunnskapen om sammenhengen mellom trekantsidene oppstått på ulike steder til ulike tider, uavhengig av hverandre. Samtidig har mye kunnskap også blitt utvekslet på tvers av landegrenser og tidsepoker, uten at vi i dag har kjennskap til dette. At en forståelse av teoremet har eksistert svært lenge før Pytagoras levde og virket, er nå allment akseptert. Antagelig har forståelsen for teoremet vokst fram gjennom ulike stadier: en oppfatning av en rett vinkel, kunnskap om pytagoreiske tripler, kjennskap til sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, kjennskap til sammenhengen mellom trekantvinkler og endelig teoremets bevis.
Det er verdt å være oppmerksom på at bruk av begrep som «Pytagoras’ teorem» og «bevis» i forbindelse med oldtidens matematikk lett kan skape feil inntrykk. Et utsagn som «xxx hadde et bevis for Pytagoras teorem tusen år før Pytagoras» kan som regel møtes med mange spørsmål, både når det gjelder kildebruk, tidsbestemmelse, formen på «teoremet» og kvaliteten av «beviset».
I babylonsk matematikk
Funn av steintavler fra viser at babylonerne var godt fortrolige med ulike former for algebra, inkludert beregning av pytagoreiske tripler. Det har vært spekulert i hva babylonerne brukte de pytagoreiske triplene til, og en mulighet kan ha vært i løsning av systemer av andregradsligninger med to ukjente. Babylonerne var også kjent med sammenhengen mellom en rettvinklet trekant og pytagoreiske tripler.
En svært viktig kilde til kunnskap er kileskrifttavlen Plimpton 322 fra Mesopotamia, skrevet i perioden 1822-1784 f.Kr. Den antas å stamme fra den babylonske byen Larsa. Tavlen inneholder en tabell med fire kolonner og 15 rader. Kolonne nummer fire fra venstre nummererer radene, med tall fra 1 til 15. Kolonne nummer en er delvis ødelagt. Kolonne nummer to og tre har som overskrift henholdsvis «Bredde» og «Diagonal». Tabellen er tolket som å inneholde tall brukt for å konstruere pytagoreiske tripler, inkludert de følgende:
En slik tolkning viser at babylonerne hadde metoder til å regne ut triplene, og tallene i tavlen kan indikere at de kjente Diofants konstruksjonsmåte.
En annen tavle i kileskrift, fra Hammurabi-dynastiet (1829–1530 f.Kr.), finnes nå i British Museum. Tavlen inneholder et geometrisk problem, med løsning gitt i det seksagesimale tallsystem:
Løsningen i tavlen kan skrives som:
Dette svarer til Pytagoras’ sats på formen. Fra denne kilden fremgår imidlertid ikke om babylonerne kjente noe matematisk bevis.
Ifølge historikeren Jamblikos skal Pytagoras ha oppholdt seg tolv år i Babylon.
I egyptisk matematikk
En vanlig oppfatning er at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske, spesielt ikke innenfor algebra. Om de utviklet ny geometrisk kunnskap er omdiskutert. Gjennom landmåling la imidlertid egypterne et grunnlag for den etterfølgende greske geometrien, og egypterne har brukt pytagoreiske tripler til hjelp for å konstruere rette vinkler. En tau-ring med tolv ekvidistante knuter kan brukes til å danne en trekant med sidene 3,4,5, og derved danne en rett vinkel.
Det er lite funn av direkte kilder om egyptisk kjennskap til den pytagoreiske læresetningen. Verken Moskva-papyrusen eller Rhind-papyrusen nevner problemstillinger der denne er i bruk. Berlin-papyrus 6619 er skrevet mellom 2000 og 1786 f.Kr. i Mellomriket, og her forekommer fire ligninger som alle er basert på det pytagoreiske trippelet (3,4,5):
Papyrusen inneholdet imidlertid ingen referanse til trekanter.
Mye av kunnskapen om egyptisk geometri kommer fra greske kilder. Den antikke historikeren Herodot forteller om egyptisk landmåling og gir dette æren for opphavet til geometri. Proklos forteller at grekeren Tales fra Milet reiste til Egypt og lærte geometri der. Også Pytagoras skal ha vært på reise i Egypt. Demokrit skryter av at ingen har overgått ham i geometrisk kunnskap, ikke en gang de egyptiske «tau-strekkerne».
I indisk matematikk
Śulbasūtraene er en samling av indiske sutra-tekster fra engang mellom det 8. og 2. århundre f.Kr. Dette verket er en del av en større samling av religiøse tekster, og delen omtaler matematikk for å kunne konstruere brennalter og for å sette opp en kalender over religiøse høytider Tittelen kan oversettes med «Regler for bruk av snoren». Teksten lister fem pytagoreiske tripler, gir en form for Pytagoras’ teorem og viser i tillegg at teoremet er gyldig for en likesidet trekant.
Der eksisterer minst fire versjoner av Sulbasutraene, men geometri-beskrivelsen er relativt like i disse fire. Versjonen som skal være laget av Baudhayana er anslått å være fra omkring 600 f.Kr., det vil si rundt hundre år før Pytagoras. Mye tyder på at kunnskapen som er samlet i teksten kan være betydelig eldre. Baudhayana-Sulbasutra drøfter flere problem der oppgaven er å konstruere en figur med samme areal som en eller flere andre figurer. I Sutra 50 gir teksten en oppskrift for å summere arealet av to kvadrat, illustrert ved figuren til høyre:
Sutra 50, 51 og 54 gir sammen en form for godtgjøring for at Pytagoras’ sats er riktig. Om dette kan gjelde som et generelt «bevis» er omdiskutert.
I kinesisk matematikk
Også kinesisk matematikk har i lang tid kjent til former for Pytagoras’ teorem. Den eldste kjente kinesiske matematiske teksten er antagelig Zhoubi suanjing (Soluret og himmelens sirkler). Tidfestingen av gamle kinesiske matematiske verk er svært usikker, og datering varierer sterkt i ulike kilder. Historien til Zhoubi suanjing kan gå helt tilbake til 1200 f.Kr, men verket har kanskje fått en endelig form en gang mellom 500 f.Kr. og 200 e.Kr. Innholdet er astronomiske beregninger, men også geometri for trekanter og litt om brøkregning. I likhet med både babylonske, indisk og egyptiske tekster, er dette en samling av problemer, med løsning. Blant de 246 problemene som er med i verket, inngår en figur som viser at kineserne kjente til den pytagoreiske læresetningen, med en trekant med sidelengder 3, 4 og 5. Figuren er gjengitt til høyre. Den vertikale teksten til venstre for figuren er som følger:
Nesten like gammelt som Zhoubi suanjing, og kanskje vel så innflytelsesrikt, er verket Chiu chang suan shu («Ni kapitler om den matematiske kunst»). Også dette er en problem-samling, med løsning på 263 matematiske problemer. I det niende og siste kapittelet omtales pytagoreiske tripler og rette trekanter. Et klassisk problem, som en også finner i indiske tekster, er «problemet med den brukne bambusen»: Et bambustre som er 10 lengder høyt, knekker. Toppen når da bakken 3 lengder fra foten av stammen. Hvor høyt oppe er bambusen brukket? Løsningen krever bruk av Pytagoras’ sats. Hvis x er høyden til fra foten til knekkpunktet, så er
En kommentar til Chiu chang suan shu, med tittel Jiuchang suan shu, ble skrevet av Liu Hui i året 263 e.Kr. Her blir det gitt et bevis i kapittel 9.
Den pytagoreiske læresetningen var kjent i Kina under navnet Gōugŭ (勾股), «base og høyde». For en trekant med sidene 3, 4 og 5 ble læresetningen kalt Gōugŭ-teoremet (勾股定理, Gōugŭ Dìnglĭ).
Pytagoras’ rolle
Svært lite håndfast er kjent om personen Pytagoras. Det er ikke funnet noe skriftlig verken fra ham eller fra miljøet rundt ham, og all kunnskap kommer fra senere omtale. Nøyaktig leveår for Pytagoras er ikke kjent, men det er antatt at han levde i perioden 580-475 f.Kr. Beretninger om Pytagoras reiser til Babylonia og Egypt, fortalt av blant annet Jamblikos, har i ettertiden blitt møtt med både tillit og skepsis, men det er grunn til å tro at de inneholder en kjerne av sannhet. Pytagoras ble leder for et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap i Kroton, kjent som pytagoreerne.
Hvor mye kunnskap pytagoreerne hadde om sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, er ikke kjent. Både Pytagoras og senere følgesvenner var nok fortrolige med pytagoreiske tripler, og etter tradisjonen skal kjennskapen til (3,4,5) ha kommet fra Egypt. Om de hadde et bevis for sammenhengen mellom sidelengdene i en trekant, er omdiskutert. Thomas Heath gir flere bevis som kan ha vært brukt av pytagoreerne. Det er heller ikke kjent hva som ga støtet til kunnskapen om inkommensurable størrelser. Muligens kom dette fra arbeid med pentagramet, som var viktig for pytagoreerne, men det er også naturlig å anta at en likesidet trekant har vært involvert. En tidlig kilde som tilegner teoremet til Pytagoras, skal ha vært en Apollodoros Arithmetikos, og han blir sitert av flere senere kilder. Detaljer om Apollodoros liv er ikke kjent. Verset som blir sitert etter Apollodoros er heller ikke entydig:
Apollodoros sier ingenting om hvilken «berømt tegning» han viser til. Det greske ordet brukt om «tegning» kan også tolkes som «teorem». Fortellinger om dyreoffer som takk for kunnskap var også tidligere blitt knyttet til andre, inkludert til Tales. Diogenes Laertios (3. århundre f.Kr.) og flere andre går ut fra at verset gjelder oppdagelsen av Pytagoras’ sats. Romeren Cicero (106-43 f.Kr.) bruker fortellingen om Pytagoras og dyreofferet, uten å spesifisere hvilken geometrisk oppdagelse det gjaldt. Han er imidlertid skeptisk, fordi dyreoffer ikke var godtatt blant pytagoreerne. En annen romer, Vitruvius (ca. 80-ca.15 f.Kr.), knytter fortellingen til oppdagelsen av det pytagoreiske trippelet (3,4,5). Plutark (45-120) var kritisk til å tolke verset i tilknytning til Pytagoras’ teorem. Trass denne uenigheten, var det mange som i ettertid ga Pytagoras æren for å ha oppdaget teoremet. Proklos i det femte århundre etter Kristus stadfester dette, uten selv å ta stilling til sannhetsinnholdet. Ifølge Proklos bør Euklid bli gitt største æren, for han var den ga bevis for teoremet.
I sitt store verk om historien til gresk matematikk, sier Thomas Heath i avsnittet om Pytagoras’ teorem:
I ettertiden har det vært stor uenighet om Pytagoras’ rolle, og flere hypoteser er gjeldende:
Oppfatningen til Thomas Heath ligger kanskje et sted mellom de to siste hypotesene.
Euklids rolle
Euklid hadde mesteparten av sitt virke i Alexandria, omkring 300 f.Kr. Beviset som Euklid bruker for Pytagoras’ teorem i I.47 er antagelig hans eget. Det betyr ikke at det ikke eksisterte eldre bevis eller at Euklid ikke kjente til disse. Euklid bygger opp Elementer svært systematisk, og beviser satsene steg for steg. Beviset for I.47 ble antagelig valgt fordi det ikke trengte bruk av formlike figurer og forhold mellom lengder. Dette emnet ble først introdusert i bok V. Pytagoras’ teorem og det omvendte teoremet avslutter bok I, som høydepunkt. Så om beviset for I.47 i dag kan synes unødig komplisert, så er Euklids fortjeneste at han greidde å gjennomføre dette kun basert på innholdet i bok I.
Euklids Elementer ble antagelig skrevet som en lærebok og ikke som et forsøk på å samle all kjent geometrisk kunnskap eller presentere ny kunnskap. Ingenting blir nevnt om opphavet til innholdet, og heller ikke Pytagoras er nevnt. Det er antatt at store deler av innholdet i bok I, II, IV og VI var kjent for pytagoreerne. Euklid gjør ingen krav på originalitet, men han har antagelig laget nye bevis der dette har vært nødvendig for sammenhengen. Det store bidraget til Euklid var den systematiske oppbyggingen av teorien, der alt blir stringent bevist.
I kulturen
Pytagoras’ læresetning er gjennom tidene referert til eller gjengitt i en lang rekke sammenhenger:
Historien om dyreofferet til Pytagoras har inspirert dikteren Adelbert von Chamisso til en sonett, Vom pythagoreischen Lehrsatz, der første vers lyder:
Oversatt til norsk kan det gjengis slik:
Litteratur
På engelsk:
På tysk:
Tricorynus
Tricorynus er en slekt av små, vedborende biller.
Systematisk inndeling
thumb|300px| Tricorynus sp.
Arild Berg
Arild Berg (født 17. juli 1975, død 22. juni 2019 ) var en norsk fotballspiller. Han var del av fotballfamilien Berg fra Bodø som sønn av Bodø/Glimt-spilleren Harald «Dutte» Berg, og bror av fotballspillerne Ørjan og Runar Berg, og musikerne Terje og Eli Johanne Berg.
Biografi
Arild Berg spilte i Tippeligaen for Fotballklubben Bodø/Glimt, der han fikk 113 kamper i serie og cup. Berg var mye plaget av sykdom, og fikk til slutt diagnosen kronisk utmattelsessyndrom i 2005. I 2002 gikk han til Fotballklubben Lyn, men spilte aldri for dem på grunn av sykdommen.
Etter fotballkarrieren var over gikk Berg, sammen med sin bror Runar, inn på eiendomsmarkedet i hjembyen Bodø.
Etter at Runar Berg ga beskjed om at han ville spille gratis for Bodø/Glimt hele 2009-sesongen, fulgte Arild Berg opp og ga 60,000 kroner til klubben. Han uttalte til Radio 3 Bodø at det tilsvarte en månedslønn da han spilte for klubben.
22. juni 2019 valgte Arild Berg å avslutte sitt liv. Familiens åpenhet om hendelsen gav mye oppmerksomhet.
Zelotaea
Zelotaea er en slekt av dagsommerfugler som tilhører familien Riodinidae.
Levevis
Disse sommerfuglene lever i skog, gjerne tropisk regnskog.
Utbredelse
Slekten er utbredt i Sør-Amerika, fra Colombia i nord til Brasil i sør.
Systematisk inndeling
Fire arter som inntil nylig ble regnet til denne slekten er nå overført til slekten Minstrellus.
Proapteryx
Proapteryx micromeros er en utdødd fugl i kivifamilien. Den ble funnet i Oban på New Zealand i avsetninger fra tidlig miocen, for 19–16 millioner år siden. Proapteryx var mye mindre enn Apteryx-kiviene. Den veide 234-377 gram, kivien som veier minst i dag er dvergkivien, som veier ca 800 g. Lårbenet var lite og tynt, og arten kunne kanskje fly.
Inndeling
Inndelingen av kivifamilien følger Birds of the World og er i henhold til Winkler, Billerman & Lovette (2020). Norske navn følger Norsk navnekomité for fugl og er i henhold til Syvertsen et al. (2008).
Pelodiaetodes
Pelodiaetodes er en slekt av små løpebiller.
Utseende
En bitteliten (1,6-1,8 millimeter), spinkel, blankt gulbrun løpebille. Den mangler fasettøyne og er blind, maksillarpalpenes (munnfølernes) ytterste ledd er nålefint. Antennene er omtrent så lamge som hode + pronotum. Hodet er kort og bredt, noe tilsmalnende forover. Maksillarpalpenes ytre ledd er nålefint. Pronotum er rundet trapesformet, dekkvingene rundede uten påfallende punktrader, med noen lange børster langs sidene.
Utbredelse
Slekten er utbredt på New Zealand.
Huangpuparken
Huangpuparken (forenklet kinesisk: 黄浦公园; tradisjonell kinesisk: 黃浦公園; pinyin: Huángpǔ Gōngyuán) er navnet på et trekantet grøntområde i den nordlige enden av The Bund i Shanghai, der Suzhouelven møter Huangpuelven. Dette er Shangais minste parkanlegg, og det første som ble åpnet for almenheten. På området står Monumentet for Folkets Helter, som ærer dem som bidro til å fri Kina fra fremmed okkupasjon. The Bund Historiske Museum er også her, og viser The Bunds historie ved hjelp av gamle fotografier.
Parken var stengt for kinesere mellom 1890 og 1928, og en urban legende som har stor utbredelse fantes det en plakat ved porten som forkynte «No dogs or Chinese allowed». Det er imidlertid ingenting som tyder på at historien om skiltet er sann. Derimot viser fotografier fra denne perioden et annet oppslag, som lister opp et tipunkts regulativ. Punkt 1 heter The Gardens are reserved for the Foreign Community, og punkt fire at Dogs and bicycles are not admitted. Uansett, at kinesere ikke hadde adgang til parken (som fikk navnet Huangpuparken etter annen verdenskrig og en rekke andre parker i landet har etset seg inn i mange kineseres erindring som eksempel på de ydmykelser som fremmede makter utsatte dem for på siste del av 1800-tallet og deler av 1900-tallet.
Parken fikk ny utforming i 1990-årene.
Alain Badiou
Alain Badiou (født 1937 i Rabat) er fransk filosof. Badiou er utdannet ved og var tidligere professor ved École normale supérieure. Badiou er en anti-postmodernist.