cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Matematikkens historie
Matematikk i oldtidens Egypt (ca. 1850–600 f.Kr.)
Moskva-papyrusen (ca. 1890 f.Kr.) er eldre enn Rhind-papyrusen, men ikke så innholdsrik. Papyrusen inneholder 25 matematiske problemer, og løsningen til ett av problemene viser at egypterne kunne beregne volumet av en frustum, det vil si en avkortet pyramide. Et annet problem gjelder beregning av arealet av en krummet flate, men teksten gir en uklar beskrivelse av flaten dette gjelder.
Greske matematikere arvet kunnskap fra Egypt, og Aristoteles ga egypterne æren for å ha «oppfunnet» geometrien. Egypterne var imidlertid primært opptatt av praktiske problem, og egyptiske kilder gir aldri forklaringer på hvordan en har kommet fram til en problemløsning og heller ikke bevis for noen av resultatene.
Babylonernes matematikk (ca. 1800–300 f.Kr.)
Kunnskapen om de gamle mesopotamerne og de sumeriske kulturene har man fra en svært rik samling av leirtavler med kileskrift. Tavler med matematisk kunnskap kommer fra to vidt forskjellige tidsperioder, de fleste i fra den gammelbabylonske perioden (1900–1600 f.Kr.), men også noen i fra Selevkideriket (323–60 f.Kr.). Samlet vitner tavlene om en rik kultur med en høyt utviklet matematikk.
I Mesopotamia ble et tallsystem basert på grunntall 10 svært tidlig fortrengt av et seksagesimalsystem med grunntall 60. Tall under 59 ble skrevet i et system tilsvarende det egypterne brukte, mens tall over 60 ble behandlet svært annerledes. Babylonerne utviklet et posisjonssystem, der plasseringen av tall i forhold til hverandre var viktig. I et stort tall ble tallene skrevet gruppevis, der første gruppe av tall markerte antall enere, neste gruppe antall ganger grunntallet 60^1, neste gruppe ganger grunntallet i andre potens 60^2 og så videre. Eksempelvis kunne tallet 3785 skrives som . Rester av dette seksagesimalsystemet har vi ennå i dag, i inndelingen av tid og av gradesirkelen.
Det eldste babylonske posisjonssystemet manglet symbol for tallet null. Bare ut fra sammenhengen har en senere vært i stand til å gjette seg til om en tegngruppe (3)(2) var ment å representere eller for eksempel. Først i tavler fra Selevkideriket dukker det opp et tegn for å markere en tom plass mellom to grupper av tall, slik at en for eksempel kunne skrive tallet. Tegnet ble ikke brukt i slutten av et tall og ikke brukt alene, så babylonsk matematikk fikk aldri et fullgodt symbol for null.
Babylonsk matematikk var i stor grad basert på bruk av tabeller, og i tavler har en funnet multiplikasjonstabeller, divisjonstabeller, tabeller for regning med desimalbrøker, tabeller for kvadrat- og kubikktall, og også tabeller for kvadratrøtter og kubikkrøtter. Lineær interpolasjon ble brukt til å finne mellomliggende verdier i tabellene.
Selv om tabellene var viktige, så utviklet babylonerne også prosedyrer eller algoritmer for å løse matematiske problem. De var vel fortrolige med både lineære og kvadratiske ligninger, og i mange tilfeller var de også i stand til å redusere høyere ordens algebraiske ligninger til kvadratiske ligninger. De utviklet en metode for å finne tilnærmede uttrykk for kvadratrøtter. Ved hjelp av brøkuttrykk greide en for eksempel å uttrykke roten av 2 som, med en feil på rundt 0!
Den babylonske leirtavlen som er mest kjent har fått navnet Plimpton 322, laget omkring 1800 f.Kr. Leirtavlen inneholder blant annet av en tabell med pytagoreiske tripler, det vil si tre tall a, b, c som oppfyller ligningen. Babylonerne kjente til den pytagoreiske setningen mer enn tusen år før Pytagoras levde. Organiseringen av de pytagoreiske triplene på tavlen kan også indikere en tidlig form for trigonometri.
Tradisjonelt har en framstilt babylonerne som pionerer i algebra og egypterne som grunnleggere av geometri. Mange tavler med kileskrift kan imidlertid vitne om at babylonerne var kommet vel så langt i geometri som egypterne.
Kinesisk matematikk (etter ca. 1300 f.Kr.)
De tidligste bevarte kilder til kinesisk matematikk stammer fra tall som er risset inn på skilpaddeskall (såkalte orakelben). Disse stammer fra Shāng-dynastiet (ca. 1500–1027 f.Kr.). Disse tallene er skrevet i et posisjonssystem, slik at tallet 123 er skrevet (fra topp til bunn) med symbolet for 1 一 fulgt av symbolet for 100 百, deretter symbolet for 2 二 fulgt av symbolet for 10 十, og til sist symbolet for 3 三 （sammen 一百二十三). Dette tallsystemet er fortsatt i bruk i kinesisk skriftspråk, ved siden av arabiske tall. Det kunne gjøres raske og avanserte utregninger ved hjelp av en suànpán, som er en kinesisk kuleramme. Denne oppfinnelsen ble trolig utviklet til praktisk bruk av handelsmenn og gav en «regnekraft» som ikke ble passert før kalkulatorens oppfinnelse.
I 212 f.Kr. beordret Qín-dynastiets keiser Shǐ Huáng at alle bøker skulle brennes. Selv om denne ordren ikke ble fulgt overalt, er konsekvensen at man i dag har få sikre kilder om matematikken i det gamle Kina.
Under Táng-dynastiet ble den til da kjente matematiske viten samlet i verket Ti klassikere om matematikk (Suànjīng shíshū, 算经十书). Den mest innflytelsesrike av disse ti er Matematikk i ni kapitler (Jiǔzhāng suànshù), skrevet av en anonym forfatter for 2000 år siden. Den inneholder praktiske løsninger på matematiske problem, uten bruk av avansert deduksjon, slik samtidig gresk matematikk tilstrebet. Flere av bokas beviser ble ikke oppdaget i Europa før over tusen år senere. De fleste matematiske problem var knyttet til renteregning, skattlegging, rekker, geometri og landmåling. En kinesisk matematiker var den første som klarte å beregne tallet π med hele 7 desimaler.
Eksamenssystemet for statstjenestemenn var enerådende karrierevei for personer med høyere utdanning fra Sòng-dynastiet og senere. Disse harde eksamenene vektla kun kunnskap om konfusianske klassiske tekster. Derfor var studier av matematikk kun en distraksjon fra eksamenspresset, som det ikke lønte seg å vie tid til. Dette er en mulig forklaring på at kinesisk matematikk senere kom til å miste sitt forsprang. Man holdt seg med et matematisk-astronomisk direktorat som hadde som hovedoppgave å beregne kalenderen, men kalenderoppsettene ble mer og mer upålitelige, inntil europeiske jesuitter med matematisk utdannelse ble engasjert på 1600-tallet.
Indisk matematikk (ca. 900 f.Kr.–1150 e.Kr.)
India har en lang og spennende historie, også som matematikk-nasjon. Landet har fostret mange store matematikere, fra det 9. århundre, via den store Brahmagupta (598–670) til vår tids Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920), som blir regnet som et av Indias største matematiske genier.
I det 9. århundre før vår tidsregning, blir verdien til π angitt med to desimaler i teksten Shatapatha Brahmana. Sulba Sutraene (ca. 800–500 f.Kr.) var geometriske tekster, og her finner man irrasjonale tall, primtall og kubikkrot. Her finner man også roten av 2 utregnet med fem desimaler. Teksten ga også en metode for å finne sirkelens kvadratur, den løste lineære og kvadratiske ligninger, utviklet pytagoreiske tripler algebraisk, og den ga et numerisk bevis for Pytagoras' læresetning. I det 5. århundre f.Kr. ble de grammatiske reglene for sanskrit utformet av Pāṇini. Hans notasjon var ikke ulik moderne matematisk notasjon, og den tok i bruk metaregler, transformasjoner og rekursjoner på en sofistikert måte. På mange måter kan derfor Paninis arbeid regnes som forløperen til moderne grammatisk teori, som er viktig i programmeringsspråk.
I verk av Pingala (omkring det 3.–1. århundre f.Kr.) finner man matematiske ideer som kan regnes som forløpere for det binære tallsystem, binomialformelen og fibonaccitall.
Mellom 300 f.Kr. og 200 e.Kr. begynte tilhengere av jainismen å studere matematikk for matematikkens egen skyld. De var de første til å utvikle blant annet transfinite tall, gruppeteori, logaritmer, tredjegradsligninger, fjerdegradsligninger, permutasjoner og kombinasjoner. Bakshali-manuskriptet, som ble skrevet en gang mellom 200 f.Kr. og 200 e.Kr., inneholder løsningene på lineære ligninger med opp til fem ukjente, løsning av andregradsligninger, aritmetiske og geometriske rekker, bruk av null og negative tall, og mye mer. Her kan man også finne nøyaktige utregninger av irrasjonale tall. Noen av disse utregningene innebærer at en må trekke ut kvadratroten av tall på størrelse med en million, og røttene er regnet ut med minst 11 desimaler.
Brahmagupta (598–668) var en markant indisk matematiker, og han blir ofte kreditert oppdagelsen av tallet null. I sitt verk Brahma Sphuta Siddhanta fra ca. 628 presenterer han regler for regning med negative tall og null. Han er også kjent som den første som ga den generelle løsningen til den diofantiske ligningen på formen ax + by = c. Han etterlot seg også en rekke matematiske problem som var formulert på en kunstferdig måte, slik de indiske matematikerne ofte gjorde.
En av tidenes største indiske matematikere var Bhaskara (1114–1185). I tillegg til sine arbeid innen aritmetikk, algebra og trigonometri, er han en av forløperne for moderne matematisk analyse. Han hadde stor forståelse for differensial- og integralregning lenge før Newton og Leibniz la det formelle grunnlaget for matematisk analyse. Bhaskaras mest kjente verk var Lilivati, oppkalt etter hans eneste datter.
Grekernes matematikk (ca. 550 f.Kr.–300 e.Kr.)
Grekerne leverte mange viktige bidrag til utviklingen av matematikk, og den aller viktigste var nok innføringen av det matematiske beviset. Tidligere sivilisasjoner hadde også hatt en høyt utviklet matematikk, men da stort sett i form av mer eller mindre velutviklete algoritmer for å løse bestemte problem og gjøre ulike utregninger. For de greske matematikerne var det ikke lenger nok bare å regne seg fram til en numerisk løsning på problemene, en måtte også bevise at svaret var riktig. En stor del av den kjente matematikken fra antikken ble sammenfattet omkring 300 f.Kr av Euklid i verket Elementer. Her ser man for første gang en strengt oppbygd matematikk som starter med definisjoner og aksiomer, og ut fra disse blir alle de matematiske setningene bevist. Dette verket har stor betydning for utviklingen av matematikken, og det har blitt brukt som læreverk i geometri ved universitetene helt fram til vår tid.
Den første greske matematikeren som nevnes i historiske kilder er Tales fra Milet. Han regnes også som den første greske filosof og vitenskapsmann generelt. En av de mange historiene som er nedtegnet om Tales, er at han ved hjelp av beregninger kunne forutsi en solformørkelse i 585 f.Kr. Han ble blant annet kreditert oppdagelsen av at diameteren deler sirkelen i to like store deler og at alle vinklene i en likesidet trekant er like store. Den greske matematikeren som er best kjent i dag er nok Pytagoras. Pytagoras var fra øya Samos like ved kysten av dagens Tyrkia, og han slo seg etter hvert ned i en liten gresk by i det sørlige Italia. Her hadde han en gruppe disipler rundt seg, og denne gruppen ble senere kalt pytagoreerne. Dette var en religiøs og filosofisk skole som det er knyttet mange historier og myter til. Pytagoreerne var svært opptatt av tall, og Pytagoras blir ofte tillagt sitatet: «Alt er tall». Pytagoras oppdaget også forholdet mellom harmoniske toner i musikk. Den mest kjente setningen som knyttes til Pytagoras er nok likevel den såkalte Pytagoras’ læresetning. Denne setningen viser en viktig sammenheng i alle trekanter som har en rett vinkel. Hvis du kvadrerer (multipliserer med seg selv) de to korteste sidene (katetene) i en rettvinklet trekant og adderer de to tallene du får, så blir dette like mye som kvadratet av den lengste siden i trekanten (hypotenusen). Denne setningen kan også brukes for å vise at en trekant er rettvinklet.
Perikles var nok mer kjent som filosof og naturvitenskapsmann enn som matematiker, men hans navn knyttes likevel til et av de store problemene i matematikkens historie. Dette gjelder problemet med sirkelens kvadratur. Problemet dreier seg om å konstruere (med passer og linjal) et kvadrat som har samme areal som en gitt sirkel.
To av de aller største greske tenkere, Platon og Aristoteles, leverte ikke selv viktige resultater i matematikk, men de har likevel hatt innflytelse på utviklingen av matematikken i antikkens Hellas. Begge grunnla sine skoler, hvor det blant annet ble undervist i matematikk, og noen av deres elever har hatt stor betydning for matematikkens utvikling. Platon så på matematikk som en del av den oversanselige virkeligheten, og han mente at matematikken dermed var opphøyet over alle de andre vitenskapene. Dette synet var Aristoteles uenig i.
En av Platons elever, Eudoksos, leverte viktige bidrag til astronomien, og han laget også en permanent kalender. Han skal også ha vist at volumet av en kjegle er en tredjedel av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde, og at volumet til en pyramide er en tredjedel av volumet til et prisme med samme grunnflate og høyde. Dette klarte han ved bruk av utfyllingsmetoden.
Den siste av de store greske geometrikerne var Apollonios fra Perge (ca. 262–190 f.Kr.). Han er særlig kjent for sine teorier om kjeglesnitt, og hans mest kjente verk er Conica (som betyr kjeglesnitt). Et kjeglesnitt kan defineres som snittet mellom en kjegle og et plan, og Apollonios var den første som innså at en kan få alle typer kjeglesnitt ved å skjære en fast kjegle med et varierende plan. Tidligere hadde en bare sett på rette kjegler. Apollonios innførte også navnene ellipse, parabel og hyperbel.
En av de siste betydningsfulle greske matematikerne var Diofant, også kalt Diofantos fra Alexandria. Han skal ha hatt sitt virke omkring år 250, og hans mest kjente verk er Aritmetika. Dette verket har hatt stor betydning for utviklingen av matematikk helt fram til våre dager, og den hadde stor påvirkning på en matematiker som Fermat. Her beskriver Diofant hvordan en kan generere alle primitive pytagoreiske tripler, og det var i margen av dette avsnittet i boken at Fermat skrev sin berømte kommentar som senere har blitt kalt Fermats siste teorem.
Persisk og arabisk matematikk (ca. 700–1600)
På 700-tallet erobret araberne store deler av Midtøsten, Nord-Afrika, Den iberiske halvøy og deler av India, og araberne ga flere viktige bidrag til utviklingen av matematikken.
Selv om de fleste islamske tekster om matematikk ble skrevet på arabisk, var ikke alle skrevet av arabere. På denne tiden var arabisk et utbredt skriftspråk blant lærde i de delene av verden som araberne hadde erobret, på samme måte som gresk var et utbredt språk i den hellenistiske verden. Noen av de viktigste matematikerne innenfor den muslimske verden var persere.
En av de mest kjente arabiske matematikerne var, som levde på 800-tallet i Persia. Han skrev flere viktige bøker. De viktigste tekstene hans var om de hindu-arabiske tallene og om metoder for å løse ligninger. Ordet algoritme er utledet av hans navn, og ordet algebra stammer fra tittelen på ett av hans mest kjente verk: Al-Jabr wa-al-Muqabilah. Al-Khwarizmi blir ofte sett på som grunnleggeren av moderne algebra.
Omar Khayyām – en persisk dikter som levde på 1100-tallet – var også matematiker, og han skrev blant annet en bok hvor han tok for seg svakhetene i Euklids Elementer. Han ga også en geometrisk løsning på kubiske ligninger, som blir regnet som en av de mest originale bidragene fra datidens matematikk. Han hadde også sterk innflytelse på kalenderreformene. Som matematiker var Khayyám kjent for å ha funnet en metode for å løse tredjegradsligninger ved en geometrisk metode. I 1070 skrev han sitt mest kjente verk om algebra, hvor han klassifiserte ligninger etter graden. Her presenterte han også en metode for å løse andregradsligninger som er svært lik den vi bruker i dag.
Nyere forskning har rettet oppmerksomheten mot den store dybden i den arabiske matematikken. Mange av de ideene som tidligere ble sett på som nyvinninger av europeiske matematikere på 1500-tallet, 1600-tallet og 1700-tallet ble i virkeligheten utviklet av arabiske matematikere omkring fire århundre tidligere. På mange måter ligger den matematikken som studeres i dag mye nærmere den arabiske matematikken enn den gamle greske matematikken.
Middelalder i Europa
Mens den arabiske matematikken blomstret helt fram til slutten av 1400-tallet, var det lite matematisk aktivitet i Europa. Ett av unntakene i den tidlige middelalderen var Alkuin fra York (735–804). Han fikk i oppgave å undervise Karl den store og hans familie i retorikk, logikk, teologi og matematikk. Han skrev elementære bøker i aritmetikk, geometri og astronomi, og han bygde opp en katedralskole i Tours. Denne ble en forløper for de franske universitetene. Han skrev lærebøkene i form av spørsmål og svar, og de inneholder flere klassiske matematiske problemer.
I høymiddelalderen skjer en oppvåkning i Europa, og mange av de greske filosofene blir gjenoppdaget. Det oppstår blant annet en ny interesse for Aristoteles' logikk, og i denne perioden utvikles også skolastikken.
På 1200-tallet var flere regnebøker i bruk i Europa, og blant dem finner man også Algorismus i Hauksbok. Hauksbok ble skrevet av Haukr Erlendsson, som var lagmann på Island i 1294 og kom til Norge i ca. 1301. En del av denne boken kalles for Algorismus, og dette er den eldste regneboken på noe nordisk språk. Boken starter med å beskrive posisjonssystemet, og den fortsetter med å beskrive de ulike regneartene, kvadratrot og kubikkrot.
På 1200-tallet levde også Leonardo av Pisa, også kalt Fibonacci, og det er fra ham man har fått kunnskapen om de såkalte fibonaccitallene. Leonardo var godt kjent med den arabiske matematikken, og han er blant annet kjent for å ha brakt arabernes algebra til Europa. Han var også den første av de italienske regnemestrene (maestri d'abbaco), som blant annet underviste handelsfolk i regning. På denne tiden skjer en forsiktig oppblomstring av matematikken i Europa.
Gjennombruddet i Europa
Den matematiske tradisjonen ble gjenopptatt i Europa etter middelalderen. Dette ble i stor grad gjort mulig av Adelards oversettelser fra 1100-tallet av arabiske verk til latin. Utviklingen skjøt fart i 1500-tallets Italia, da blant andre Girolamo Cardano leverte viktige bidrag til utviklingen av algebra og løsing av ligninger. De italienske fremgangene førte til økt entusiasme for forsking i matematikk, og dette spredde seg til resten av Europa. René Descartes tillempet algebraen til geometriske problem, og Pierre de Fermat og Blaise Pascal var sentrale i utviklingen av sannsynlighetsregningen.
Matematikken fikk en betydelig rolle i sammenheng med den vitenskapelige revolusjonen som startet omkring 1600, da Johannes Kepler og Galileo Galilei anvendte matematiske sammenhenger for å beskrive fysiske fenomen. Den skotske matematikeren Lord Napier var den første som utforsket naturlige logaritmer. På 1600-tallet ble også grunnlaget for den matematiske analysen lagt. Dette dreier seg om forholdet mellom størrelser som gjennomgår forandring, og det er et viktig problemløsingsverktøy innenfor andre grener av vitenskapen og teknikk. Analysen ble grunnlagt av Leibniz og Newton, som gjorde viktige fremskritt uavhengig av hverandre. Newton brukte siden analysen for å formulere den klassiske mekanikken.
Parallelt med matematikkens økende anvendelser ble den også utviklet stadig mer i abstrakt retning. På 1700-tallet og 1800-tallet skjedde en nærmest eksplosjonsartet vekst av matematisk kunnskap. Det var på denne tiden nye områder som topologi, analytisk tallteori og analytisk geometri ble utviklet.
1700-tallet
Kunnskapen om de naturlige tallene: 1, 2, 3, ... er eldre enn noen skrevne tekster, og de tidligste sivilisasjoner i Mesopotamia, Egypt, India og Kina kjente til regning med disse tallene (aritmetikk). En måte å se på utviklingen av de ulike tallsystemene i moderne matematikk er å se på hvordan nye tall blir studert for å finne svar på spørsmål knyttet til regning med de gamle tallene. I tidligere tider ga brøker (rasjonale tall) svaret på spørsmål av typen: Hvilket tall er det som multiplisert med 3 gir svaret 1? I India og Kina, og mye senere i Tyskland, ble negative tall utviklet for å gi svaret på spørsmålet: Hva får du når du trekker et stort tall fra et som er mindre? Nullen ble funnet opp på bakgrunn av et lignende spørsmål: Hva får du når du trekker et tall fra seg selv?
Et annet naturlig spørsmål er hva slags tall kvadratroten av to er. Grekerne visste at dette ikke var en brøk, men et bedre svar på spørsmålet kom da irrasjonale tall ble funnet opp. De ble utviklet av John Napier og senere videreutviklet av Simon Stevin. Ved å bruke desimaler og en ide knyttet til grensebegrepet, studerte Napier en ny konstant. Denne konstanten ga Leonhard Euler senere navnet e. Euler hadde stor innflytelse på standardiseringen av andre matematiske begrep og notasjoner. Han ga kvadratroten av minus 1 symbolet i, og han populariserte også bruken av den greske bokstaven \pi for å beskrive forholdet mellom sirkelens omkrets og dens diameter. Senere utviklet han følgende viktige identitet i matematikken,
kjent som Eulers likhet.
1800-tallet
I løpet av 1800-tallet ble matematikken stadig mer abstrakt. I dette århundret levde en av tidenes største matematikere, Carl Friedrich Gauss, og også to av de største norske matematikerne: Niels Henrik Abel og Sophus Lie. Gauss leverte det første fullstendige beviset på algebraens fundamentalteorem, og både Abel og Lie ga flere viktige bidrag til algebraens utvikling. En viktig oppdagelse på 1800-tallet var da Nikolaj Lobatsjevskij og Janos Bolyai uavhengig av hverandre oppdaget den ikke-euklidske geometrien. I deres hyperbolske geometri krummer rommet slik at det finnes uendelig mange linjer gjennom et gitt punkt som er parallelle med en gitt linje. Bernhard Riemann, en av elevene til Gauss, leverte også et viktig bidrag til utviklingen av den ikke-euklidske geometrien. Hans utvidelse av differensialgeometrien har fått navnet Riemann-geometri. Her utvidet han den tradisjonelle differensialgeometrien til n dimensjoner. Den ikke-euklidske geometrien kom som en overraskelse, da man trodde at det bare fantes én geometri, nemlig den euklidske. Den euklidske geometrien er den som stemmer best overens med den menneskelige intuisjon, men paradoksalt nok viste Albert Einstein på starten av 1900-tallet gjennom sin relativitetsteori at det er den ikke-euklidske geometrien som beskriver virkeligheten.
I tillegg til nye retninger av matematikken, fikk matematikken et strengere logisk fundament. Dette skjedde blant annet innenfor matematisk analyse, hvor Augustin Louis Cauchy og Karl Weierstrass leverte viktige bidrag på dette området.
På 1800-tallet ble også en ny retning innen algebra utviklet, nemlig boolsk algebra. Den ble utviklet av den engelske matematikeren George Boole. I boolsk algebra kan variablene kun ha to tilstander eller verdier. Enten er de sanne med verdien 1, eller de er usanne med verdien 0. Boolsk algebra fikk stor betydning i det 20. århundre, og det er denne matematikken som blir brukt i moderne datamaskiner.
Matematikkens begrensning ble også utforsket på 1800-tallet. Niels Henrik Abel ga det endelige beviset for at ligninger av høyere grad enn fire ikke kan løses med vanlige algebraiske metoder. Andre matematikere på denne tiden viste at passer og linjal ikke er nok for å tredele en tilfeldig vinkel (vinkelens tredeling), og heller ikke for å konstruere et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel (sirkelens kvadratur). Dette var to problemer som matematikere hadde forsøkt å løse siden antikken.
Oppdagelsene til Abel og Galois la videre grunnlaget for utviklingen av gruppeteori og abstrakt algebra. På 1900-tallet har fysikere og andre vitenskapsmenn oppdaget at gruppeteori er en ideell måte å studere symmetri.
1900-tallet
I løpet av 1900-tallet har matematikken utviklet seg stadig videre. Matematikere er ettertraktet innen mange områder, både innenfor undervisningssektoren og i industri og næringsliv. Årlig blir det delt ut hundrevis av doktorgrader i matematikk og fagfeltet har vokst med slik fart at det er svært vanskelig å holde oversikten.
På bakgrunn av de foregående århundrenes fremskritt forsøkte matematikerne tidlig på 1900-tallet å gjennomføre en fullstendig formalisering av matematikken. Målet var å utlede alle matematiske sannheter ved hjelp av enkle og veldefinerte logiske regler, og eventuelt finne en metode for å utlede matematiske sannheter «mekanisk». En av lederne for dette arbeidet var David Hilbert, som var en av de fremste matematikerne på denne tiden. Han presenterte et program for å videreutvikle og formalisere matematikken. Han ønsket å konstruere et matematisk system basert på noen grunnleggende aksiomer. Ved hjelp av dette systemet skulle alle setninger og problemer i matematikken kunne bevises, og systemet skulle være konsistent. Hvis en beviste at en setning var sann med én metode, skulle en altså ikke kunne finne en annen metode som beviste at den samme setningen var usann. Dette arbeidet samlet flere av de fremste matematikerne i første del av 1900-tallet.
Gottlob Frege viet mange år av sin yrkesaktive karriere til å formulere grunnreglene for aritmetikken med basis i mengdelæren. Like før han skulle gi ut sitt store verk, oppdaget den britiske matematikeren og filosofen Bertrand Russell en inkonsistens i Freges system. Denne inkonsistensen har fått navnet Russells paradoks, og den representerte en alvorlig fare for drømmen om et fullkomment matematisk system.
I 1931 snudde Kurt Gödel hele det rådende matematiske verdensbildet på hodet ved å bevise at ethvert formelt system enten er utilstrekkelig eller fører til selvmotsigelser. Dette medfører ikke at de matematiske setningene som allerede er bevist blir ugyldige, men Gödels oppdagelse viser at det er enkelte setninger og problemer som ikke kan bevises i matematikken. Som en følge av dette begynte matematikere å forsøke å finne ut hvilke setninger som ikke kunne bevises, og man så ikke bort fra at Fermats siste setning kunne være et slikt ubeviselig problem. Da den britisk-amerikanske matematikeren Andrew Wiles i 1995 presenterte et bevis på dette 350 år gamle problemet, var det et av århundrets aller viktigste resultater i matematikken.
Under 2. verdenskrig fikk matematikerne en viktig rolle som kodeknekkere. Et av de mest kjente navnene i denne forbindelsen var Alan Turing. En periode var han leder for det britiske sjøforsvarets Enigmaseksjon ved Bletchley Park. Her jobbet en gruppe dyktige matematikere for å knekke kodene på de tyske meldingene. Tyskerne hadde utviklet en avansert elektromagnetisk krypteringsmaskin, kalt Enigma, som de brukte for å kode meldinger de sendte. Den innsatsen Turing og hans gruppe gjorde for å knekke disse kodene spilte en viktig rolle for krigens utvikling. Turing var også med på å konstruere en av de første programmerbare datamaskinene.
I 1944 lanserte John von Neumann begrepet spillteori. Her brukte han matematikken som redskap for å analysere strukturen i ulike spill, og hvordan mennesker spiller disse spillene. Matematisk spillteori ble et viktig verktøy i forbindelse med militære strategier i den kalde krigen.
På 1900-tallet fikk matematikken nye anvendelser i og med datamaskinenes inntog, og i dag er den matematiske vitenskapen så omfattende og raskt voksende at ingen matematiker kan ha inngående kjennskap til alle delene. Årlig publiseres et hundretusentalls artikler med nye matematiske resultater.
Norsk matematikkhistorie
Caspar Wessel (1745–1818) blir ofte regnet som den første norske matematiker. Wessel var landmåler av yrke, og han var med på å kartlegge Danmark. Gjennom denne kartleggingen fant han opp sine egne metoder som var langt mer effektive enn de gamle. Han jobbet blant annet mye med vektorer, og han er blant de aller første som adderte vektorer. I 1798 publiserte han en avhandling med tittelen Om direktionenes analytiske betegning, et forsøg anvendt fornemmelig til plane og sfæriske polygoners opløsning. Her gir han blant annet en geometrisk beskrivelse av de komplekse tallene, før både Gauss og Argand gjorde det. Arbeidet hans ble ikke oversatt, men hvis det hadde blitt gjort ville han nok blitt regnet blant de største matematikerne i Europa på den tiden.
De to store
Etter Wessel fulgte noen av tidenes største norske matematikere. Først ute var Niels Henrik Abel. Abel var født på Finnøy og oppvokst i Gjerstad, men det var først da han begynte på katedralskolen i Christiania og fikk Bernt Michael Holmboe til lærer at hans matematiske talent begynte å blomstre. Snart hadde Abel gått forbi alle sine lærere i Norge, og han måtte reise utenlands for å lære mer. På en reise i Europa ble Abel kjent med den tyske ingeniøren August Leopold Crelle. Crelle hadde lenge ønsket å starte et matematisk tidsskrift som kunne ta kampen opp med de franske, og etter hvert startet han Journal für die reine und angewandte Mathematik. Her publiserte Abel de fleste av sine arbeider. Abel leverte viktige bidrag til matematikken på flere områder, men han er nok mest kjent for sin ligningsteori, teorien om elliptiske funksjoner og arbeidene om uendelige rekker.
Etter Abel fulgte en annen stor norsk matematiker: Sophus Lie (1842–1899). Lie var høyt ansett i Europa, og han arbeidet blant annet i Berlin, Göttingen og Paris. I Göttingen samarbeidet han med Felix Klein. I 1886 ble Lie utnevnt til professor i matematikk i Leipzig. Lie skapte et helt nytt matematisk begrep, som i dag går under betegnelsen Lie-grupper, og han leverte flere viktige bidrag til utviklingen av algebra.
Samtidig med Sophus Lie levde og virket også Ludvig Sylow. Også han leverte viktige bidrag til gruppeteorien, og de såkalte Sylow-teoremene er oppkalt etter ham. Sylow ble tidlig anerkjent i utlandet, men her hjemme forble han lenge anonym. Da han var ferdig med studiene var det ingen stilling til ham ved Universitetet i Oslo, så han fikk jobb som overlærer i Halden i stedet. Her ble han værende i 40 år. I 1898 ble han utnevnt til ekstraordinær professor ved universitetet, og han underviste her fram til han var nesten 85 år.
Elling Holst (1849–1915) var elev av Sophus Lie, og han studerte geometri under Felix Klein. Holst arbeidet mye med skolematematikken, og han var kjent som en dyktig lærer. Hans doktoravhandling fra 1882 hadde tittelen Et par syntetiske methoder, især til brug ved studiet af metriske egenskaber.
Organiseringen av norsk matematikk
På begynnelsen av 1900-tallet hadde det matematiske miljøet i Norge blitt sterkt, og det oppstod et behov for en samlende organisasjon. I 1918 ble Norsk matematisk forening dannet, og Carl Størmer ble valgt som foreningens første formann. En annen markant matematiker på denne tiden var Thoralf Skolem (1887–1963). Han var også en sentral person i Norsk matematisk forening, han var redaktør for Norsk matematisk tidsskrift, og i 1953 var han med og grunnla tidsskriftet Mathematica Scandinavica.
En av de aller mest markante norske matematikerne i vår tid er nok Atle Selberg. Han er blant annet kjent for sine arbeider innenfor analytisk tallteori, og han regnes som en av de fremste tallteoretikerne gjennom alle tider. I 1950-årene jobbet han med å introdusere spektralteori i tallteorien, og resultatet av dette arbeidet finnes i den såkalte Selbergs sporformel, som er hans mest anerkjente arbeide. I 1950 fikk Selberg den prestisjetunge Fieldsmedaljen, og i 1986 fikk han Wolfprisen i matematikk.
I forbindelse med Abels 200-årsjubileum i 2002 ble Abelprisen opprettet. En slik pris ble foreslått allerede av Sophus Lie, da det ble kjent at nobelprisen ikke skulle deles ut i matematikk. Da Abelprisen første gang ble delt ut i 2003, ble dette etter manges mening den viktigste prisen i matematikk.
Eksterne lenker
গণিত
Kabylia
Kabylia (kabylsk: Tamurt n Leqbayel eller Iqbayliyen «Kabylenes land», arabisk: منطقة القبائل, «Stammenes land») er en geografisk, historisk og kulturell region i det nordlige Algerie, og hjemlandet til kabylerne. Området er en del av fjellkjeden Tell Atlas ved kysten av Middelhavet. Fjellandet utgjør den vestlige del av Djurdjura i Tell Atlas. De gamle kaller det Aït Wadda («de som er nedenfra»), og den østlige del av Djurdjura kalles Aït Oufella («de som er fra høyden»).
Kabylia har en lang kystlinje. En del av denne kystlinjen, mellom Bgayet og Jijel smykker landskapet med et vakkert klippelandskap kalt «la corniche kabyle». I kolonitiden ble denne kystlinjen kalt «Det lille Kabylia». For historikeren Ibn Khaldoun representerer denne delen av landet som kalles Bougie-provinsen det de gamle kabylene kalte «Tamawya taqbaylit», Kabyliaføderasjonen.
Geografi
Kabylia dekker flere provinser i Algerie: Tizi Wezzu og Bgayet (på fransk Bougie), største delen av Tubiret og en del av Sṭif fylke, Bumerdas. Som følge av det kabylske opprøret i 1871 bestemte den franske okkupasjonsmakten å dele denne provinsen i to ved Soummam-dalen: det Store Kabylia og Lille Kabylia, som også blir kalt Øvre eller Nedre Kabylia.
Tre brede fjellkjeder dominerer det meste av området:
Befolkning
Området er befolket av kabyler, den nest største berbiske gruppe etter Shleuhene i Marokko. De snakker kabylsk, et av de berbiske språkene. Siden den berbiske våren i 1980, har kabylene vært de meste aktive til å kjempe for erkjennelsen av det berbiske språket i Algerie.
Religion
Kabylene er i majoriteten muslimske, men det finnes et stort antall ikke-troende. Historisk har Kabylia vært med alle religionene i middelhavsland og har bidratt «som en del av den Berbiske verden» til noen av de greske og romerske guder (se Berbiske Mytologi) som Antaios. Først henga de seg til det overnaturlige og animismen, og til i dag ble det noen spor av det. Senere kom de monoteistiske religioner, jødedom, kristendom og islam. Synkretisme (påkalling av Anzar, regnguden, kvinner som korser seg før de reiver spedbarnet, etc…) var, og er, fortsatt tallrik. Dette er det «Kabylske islam».
Rally Italia Sardinia
Rally Italia Sardinia er et WRC-løp som arrangeres på Sardinia.
Eksterne lenker
Rali de San Remo
670 Ottegebe
670 Ottegebe er en hovedbelteasteroide. Den ble oppdaga den 20. august 1908 av August Kopff fra Landessternwarte Heidelberg-Königstuhl i Heidelberg. Den er oppkalt etter en skikkelse i Gerhardt Hauptmanns skuespill Der arme Heinrich.
Johan Anders Jägerhorn
Johan Anders Jägerhorn af Spurila (født 8. april 1757, død 6. mars 1825) var en finsk adelsmann og offiser. Han regnes som en sentral person i bevegelsen som arbeidet for Finlands uavhengighet.
Han ble født i Helsingfors som eldste sønn av oberstløytnant Fredrik Anders Jägerhorn og Ulrika Sofia Brunow. Hans bror oberst Fredrik Adolf Jägerhorn ble i 1808 visekommandant for festningen Sveaborg. Familietreet kan dokumenteres tilbake til det 15. århundre, mens legender inspirert av «Rolandskvadet» fører det tilbake til det 12. århundre da Erik den hellige kom til Finland og adlet en av deres aner.
I 1783 giftet han seg med den svenske adelskvinnen Ulrika Sofia Blomcreuz. De fikk to døtre, som begge omkom i ulykker i ung alder.
Jägerhorn fikk majors grad i den svenske hæren, og i 1789 ble han også oberstløytnant i Den keiserlige russiske hær. I 1788 var han en av deltagerne i et offiserskomplott mot den svenske kongen Gustav III, Anjalaforbundet, med den hensikt å avslutte den pågående krigen med Russland (Den russisk-svenske krig) og oppnå finsk uavhengighet. Han ble dømt til døden av de svenske myndighetene, men klarte å gå i eksil i Tyskland. I Hamburg ble han venn med den irske aristokraten og opprøreren Edward FitzGerald, og fungerte som bindeledd mellom irer og franskmenn før opprøret i 1798. Han reiste til England, hvor han ble arrestert for sin kontakt med irske opprørere. Jägerhorn satt i Tower of London fra 1799 til 1801, og ble så på grunn av en diplomatisk avtale med russerne sendt hjem til Finland for å delta i arbeidet med å skrive en grunnlov for et autonomt Finland. I 1809 ble Storfyrstedømmet Finland en autonom stat under Russland.
Jägerhorn døde i Borgå i Finland den 6. mars 1825. I 1981 avduket den irske ministeren Desmond O'Malley en minneplakett på hans hus i Borgå, som takk for at Jägerhorn satt to år i Tower på grunn av sitt engasjement for den irske uavhengighetsbevegelsen.
Nødlanding
Nødlanding har flere betydninger:
Líneas Aéreas del Estado
Líneas Aéreas del Estado (LADE) er et flyselskap som er basert i Comodoro Rivadavia i Argentina. Det er statseid og opereres av Argentinas luftforsvar. Selskapet gjennomfører innenlandsflygninger, hovedsakelig i Patagonia. Hovedbasen er General Enrique Mosconi internasjonale lufthavn i Comodoro Rivadavia med knutepunktene Aeroparque Jorge Newbery i Buenos Aires og Comandante Armando Tola internasjonale lufthavn i El Calafate.
Flyselskapet ble etablert i september 1940 og startet flygninger samme år. Det het opprinnelig Líneas Aéreas Suroeste og ble konsolidert under det nåværende navnet i 1945 sammen med en annen del av luftforsvaret, Líneas Aéreas Noreste.
LADE var frem til 2006 ett av kun to flyselskap som fremdeles opererte Boeing 707 i passasjertrafikk, med flygninger mellom til Río Gallegos og Comodoro Rivadavia fra El Palomar flybase nær Buenos Aires.
Den bysantinske flåten
Den bysantinske flåten arva i begynnelsen teknologien og organiseringa fra den romerske flåten etter hvert som Det bysantinske riket vokste fram fra Romerriket omkring 200-500 e.Kr. På liknende måte var den bysantinske flåten på sitt sterkeste i Det bysantinske rikets storhetsperiode under det makedonske dynastiet (867-1056). Det første kjente slaget til den bysantinske flåten fant sted i 323 e. Kr. da den vestromerske keiseren Konstantin den store beseira sin østromerske rival Licinius.
Fartøy
Skrevne kilder oppgir at dromonene, de bysantinske galeiene, fantes i minst tre utgaver:
Familien Wiltersen
Familien Wiltersen er en fiktiv familie i bok- og filmserien Harry Potter av J. K. Rowling. Familien er relativt viktig, mest fordi den yngste sønnen i familien, Ronny Wiltersen, er bestevenn med seriens hovedperson, Harry Potter.
Arthur Wiltersen
Arthur Wiltersen (født 6. februar ca. 1940 ) er en fiktiv person i Harry Potter-serien, skrevet av J.K. Rowling. Han er gift med Molly Wiltersen, og sammen har de syv barn; Rulle, Kalle, Perry, Fred, Frank, Ronny og Gulla.
Arthur Wiltersen arbeider for Magidepartementet. I begynnelsen av bokserien (bok 1-5) jobbet han i kontoret for magisk misbruk av gompegjenstander, men han ble forfremmet til å lede kontoret for oppsporing og konfiskering av forsvarsformel- og beskyttelsesobjektetterligninger i den sjette boken. Han er betatt av å lære om gompenes vaner og oppfinnelser. I Harry Potter og Føniksordenen er herr Wiltersen et medlem av Føniksordenen, og han blir angrepet av en slange som er kontrollert av Voldemort. Harry, som er mentalt forbundet med Voldemort, ser angrepet i en drøm, og advarer Albus Humlesnurr. Herr Wiltersen blir reddet i siste liten og sendt til St. Mungos hospital for magiske sykdommer og skader.
Arhur Wiltersens yngste sønn Ronny er en av Harry Potters beste venner. Harry og hans andre bestevenn Hermine Grang liker å tilbringe tid sammen med familien Wiltersen, og det virker som om de er tatt inn som uoffisielle medlemmer av familien.
En teori som florerte blant fans av serien er at Arthur Wiltersen skal bli den neste magiministeren, men denne hypotesen ble benektet av J.K. Rowling på hennes offisielle hjemmeside.
Molly Wiltersen
Molly Wiltersen, født Prunk (født 30. oktober ca. 1940 ) er en fiktiv person i Harry Potter-serien, skrevet av J.K. Rowling. Hun er en husmorheks, gift med Arthur Wiltersen, og mor til Rulle, Kalle, Perry, Fred og Frank, Ronny og Gulla.
Hennes yngste sønn, Ronny, er bestevenn med Harry Potter og Hermine Grang. Molly ser ut til å ha tatt til seg Harry og Hermine, begge uten magiske familier, og behandler dem med moderlig kjærlighet som uoffisielle medlemmer av familien.
Molly har også skolert syv barn hjemme før de begynte på Galtvort, noe som tydeligvis er et normalt alternativ til gompenes barneskole i magikerverdenen.
Mollys største frykt blir vist av en Hambuse som forsøker å skremme henne, og er at de hun elsker skal dø. Dette er forståelig, siden hennes brødre Gideon og Fabian Prunk begge ble drept av dødsetere. Molly er veldig glad i barna sine. Dessverre dør en av hennes barn, Fred, Frank sin tvillingbror, i slaget om Galtvort i 1998.
I Harry Potter og dødstalismanene drepte Molly Bellatrix DeMons under slaget på Galtvort. J.K. Rowling har sagt at hun alltid visste at det var Molly som skulle drepe DeMons.
Rulle Wiltersen
Rolf-Arthur "Rulle" Wiltersen (født 29. november 1971 ) er eldste sønn av Arthur og Molly Wiltersen. Rulle gikk på Galtvort høyere skole for hekseri og trolldom som student i Griffing fra 1982 til 1989, og han ble både prefekt og topptillitselev. Senere fikk han jobb for Flirgott, magikerbanken, i Egypt som forhekselsesbryter, selv om han i Harry Potter og Føniksordenen returnerer til Storbritannia for å arbeide for Føniksordenen.
Før hendelsene i Harry Potter og Halvblodsprinsen blir Rulle beskrevet som en pen gutt med et «kult» utseende, med blant annet håret i hestehale og en ørering laget av en tann i det ene øret. Håret er flammende rødt, og han er ganske høy. Etter angrepet på Galtvort i Harry Potters sjette år blir han beskrevet mer som «sterkt maltraktert». Varulven Fenris Vargar angriper Rulle, og selv om Vargar ikke var ulv under angrepet, kan hans angrep ha ført til lykantrop besmittelse. Ifølge Remus Lupus (som selv er en varulv) er ikke bittet nok til å føre til faktisk transformering til varulv, selv om Rulle sannsynligvis har utviklet en sans for veldig blodige biffer. Han og Fleur giftet seg i den siste boken og flyttet inn i skjellhuset. Sammen fikk de døtrene Victoire og Dominique, og sønnen Louis.
Kalle Wiltersen
Etter den andre oppreisningen av Fyrst Voldemort, var Kalles oppgave for Føniksordenen å forsøke å samle sammen magikere som ville slåss mot Voldemort i utlandet.
Perry Wiltersen
Perry Ignatius Wiltersen (født 22. august 1976 ) er 3. sønn i familien Wiltersen, yngre enn Rulle og Kalle og eldre enn Fred, Frank, Ronny og Gulla. Han begynte på Galtvort i 1987, og gikk ut i 1994.
Da leserne støter på Perry for første gang i Harry Potter og De vises stein, er han en prefekt, og i Harry Potter og Fangen fra Azkaban blir han Topptillitsmann. Han er den av familien Wiltersen med minst humor, og blir derfor stadig vekk mål for Fred og Franks pøbelstreker. Hans mor har ham derimot som favoritt, siden han oppnår så mange utmerkelser ved skolen, og vil gjerne at alle hennes yngre barn skal være like flittige på skolen.
Perry eier en tårnugle som heter Hermes etter gudenes budbringer i gresk mytologi. Perry fikk Hermes av sine foreldre da han ble prefekt ved Galtvort, og den er beskrevet som «pen».
Perrys rolle i bøkene
I Harry Potter og Mysteriekammeret opptrer han hemmelighetsfullt (muligens et villspor fra forfatterens side for å få leserne til å tro at det er Perry som er ansvarlig for å ha åpnet Mysteriekammeret). Det blir senere avslørt at han i all hemmelighet har en kjæreste, Pernille Klarvang, som er prefekt for Ravnklo. Gulla oppdager denne hemmeligheten før de andre i boken, og det er gjennom henne Harry og de andre får vite om det.
I Harry Potter og Fangen fra Azkaban går Perry sitt siste år ved Galtvort, og han blir gjort til Topptillitsmann. Han avslutter skolen i juni 1994, i en alder av 17. Han begynner raskt å jobbe for Magidepartementet under Herr Kroek (som han så på som sitt idol under Harry Potter og Ildbegeret), som aldri greide å huske Perrys navn korrekt, og kalte ham «Wilmersum» isteden.
I Harry Potter og Føniksordenen blir Perry forfremmet til juniorassistent til magiministeren Kornelius Bloeuf, en forfremmelse som skapte splid i familien, og endte med at de ble fiendtlig innstilt mot hverandre. Blant annet ble julegaver sendt til ham sendt tilbake til familien igjen.
Da Perry hørte at Ronny hadde blitt prefekt, sendte han Ronny et brev der han foreslo at han sluttet å henge sammen med Harry Potter, som Magidepartementet han mente løy om at Voldemort hadde returnert. Han foreslo også at Ronny skulle være lojal mot Venke Dolorosa Uffert, som Perry kalte en «herlig dame». Ronny rev istykker Perrys brev og kastet det på peisen. I Harry Potter og Halvblodsprinsen besøker Perry familien sin rundt jul, angivelig i et forsøk på å skvære opp med dem. Besøket hans viser seg imidlertid å være en unnskyldning for at den nåværende magiministeren, Rufus Grimst, skal kunne ha en samtale alene med Harry. Besøket ender katastrofalt, med at Fred, Frank og Gulla tar æren for å ha kastet mat i fjeset på Perry. Perry kommer også i begravelsen til Albus Humlesnurr sammen med flere medlemmer av Magidepartementet, blant andre Venke Dolorosa Uffert.
Perry i filmene
I filmene blir Perry spilt av Chris Rankin. Man ser ikke mye av Perrys skikkelse på skjermen, men han oppfører seg pompøst (Rankin sa i et intervju at han med vilje overspilte for å få rollen). Mesteparten av Perrys rolle i filmene involverer prefektpliktene slik som å lede førsteårsstudentene til rommet i den første filmen. Så langt ser det ut som om han er skrevet ut av den fjerde filmen. Han dukker opp i den femte filmen, da han bla. holder Harry og Cho på Humlesnurrs kontor.
Perry besto 12 U.G.L.E.-eksamener.