cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
ഗ്രൂപ്പ്
ഉപഗ്രൂപ്പ്
ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ചെറിയ ഗ്രൂപ്പിനെയാണ് ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണം ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നു. H എന്നത് G യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ G യുടെ തൽസമകം H ൽ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും h1, h2 എന്നിവ H ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ h1 • h2, h1−1 എന്നിവയും H ന്റെ അംഗങ്ങളാവുകയും ചെയ്യും.
മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ തൽസമകവും പരിക്രമണങ്ങളും ചേർന്ന ഉപഗണം R = {id, r1, r2, r3} ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. ഇത് കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ചുവപ്പുനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു : രണ്ട് പരിക്രമണങ്ങൾ ഒന്നിനുപിറകെ ഒന്നായി ചെയ്താലുള്ള ഫലം ഒരു പരിക്രമണമായിരിക്കും, ഓരോ പരിക്രമണത്തെയും മറ്റൊരു പരിക്രമണം കൊണ്ട് തിരസ്കരിക്കാനും സാധിക്കും. H എന്ന അശൂന്യ ഉപഗണം G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഉപഗ്രൂപ്പ് പരിശോധന ഉപയോഗിക്കാം : g, h ∈ H ആവുന്ന അവസരങ്ങളിലെല്ലാം g−1h ∈ H ആണെങ്കിലാണ് H ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നത്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലിക കണ്ടെത്തുന്നത് അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു.
S എന്നത് G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണമാണെങ്കിൽ S ലെ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരിതങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമടങ്ങിയ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ S ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്നും S നെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം എന്നും വിളിക്കുന്നു. S ലെ അംഗങ്ങളെയെല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ഉപഗ്രൂപ്പാണിത്. ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ r2, fv എന്നീ അംഗങ്ങളടങ്ങിയ ഉപഗണം ജനിപ്പിക്കുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് ഈ അംഗങ്ങൾക്ക് പുറമെ തൽസമകമായ id യെയും fh = fv • r2 എന്ന അംഗത്തെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ നാല് അംഗങ്ങൾ ചേർന്ന ഉപഗണം D4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും.
സഹഗണം
ഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമാണെങ്കിൽ ആ അംഗങ്ങളെ സമാനമായി കണക്കാക്കാവുന്ന അവസരങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D4 ന്റെ കാര്യമെടുക്കുക. സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം പ്രയോഗിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ അതിനെ പിന്നീട് പരിക്രമണങ്ങൾ കൊണ്ട് മാത്രം r2 എന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനാകില്ല. അതായത്, സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം നടന്നിട്ടുണ്ടോ എന്നത് പരിക്രമണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നില്ല. ഈ ആശയത്തിന്റെ വിപുലീകരണമാണ് സഹഗണങ്ങൾ. H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിനെ മുഴുവനായി g എന്ന ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പംഗം കൊണ്ട് translate ചെയ്തതിന്റെ ഫലമായി സഹഗണങ്ങളെ മനസ്സിലാക്കാം. H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ g എന്ന അംഗമടങ്ങിയ ഇടതുസഹഗണവും വലതു സഹഗണവും യഥാക്രമം
H എന്ന ഏതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളും G യുടെ വിഭജനം തീർക്കുന്നു. അതായത്, സഹഗണങ്ങളുടെയെല്ലാം യോഗം G ആയിരിക്കും, തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് രണ്ട് സഹഗണങ്ങളുടെയും സംഗമം ശൂന്യഗണവുമായിരിക്കും. g1, g2 എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്ന സഹഗണങ്ങളായ g1H, g2H എന്നിവ തുല്യമായി  വരുന്നത് g1−1 • g2 ∈ H ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്, അതായത്, സഹഗണത്തിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായിരിക്കും. സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമാകണമെന്നില്ല. അങ്ങനെ വരുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ആകുന്നവയെ - അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D4 ന്റെ പരിക്രമണങ്ങൾ മാത്രമടങ്ങിയ ഉപഗ്രൂപ്പായ R ന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങൾ R തന്നെയും U = fcR = {fc, fv, fd, fh} എന്ന ഗണവുമാണ്. ഈ സഹഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിൽ പച്ചനിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. fcR = U = Rfc ആയതിനാൽ R ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.
ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ മേൽ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാകും. ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിനെ ഘടകഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഹരണഫലഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. G യുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഘടകഗ്രൂപ്പിനെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം: G ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് പകർന്നുകിട്ടുന്ന സഹഗണ ഗുണനം (അഥവാ സഹഗണ സങ്കലനം‌) ആണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ സംക്രിയ: (gN) • (hN) = (gh)N. ഈ സംക്രിയ വ്യക്തമായി നിർവചിതമായിരിക്കുന്നത് ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാവുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.
ഏതൊരംഗത്തെയും അതിന്റെ സഹഗണത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന ഫലനമായ G → G / N ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതയായിരിക്കാൻ വേണ്ടിയാണ് സംക്രിയ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കുന്നത്. eN  = N എന്ന സഹഗണമാണ് ഘടകഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം, gN എന്ന അംഗത്തിന്റെ വിപരീതം (gN)−1 = (g−1)N എന്ന അംഗവും.
ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയും ഘടകഗ്രൂപ്പുകളെയുമുപയോഗിച്ച് ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനെയും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ വഴി വർണ്ണിക്കാവുന്നതാണ്. ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ജനകങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്രഗ്രൂപ്പിനെ അതിന്റെ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൊണ്ട് ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പാണ്. D4 എന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകങ്ങൾ r എന്ന ഒരു 90° പരിക്രമണവും f എന്ന ഒരു പ്രതിഫലനവുമാണ് (ഉദാഹരണമായി, r = r1, f = fv എന്നെടുക്കാം) - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റേതംഗത്തെയും ഈ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളുടെയും മേൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ അംഗങ്ങളോടൊപ്പം എന്ന ബന്ധങ്ങളും കൂടി ഉപയോഗിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിനെ പൂർണ്ണമായി വർണ്ണിക്കാം. ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാനും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സാധിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും
ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് മറ്റ് ഗണിതശാഖകളിലും പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി ആ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളെ കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ഹെൻറി പോങ്കാരെ ബീജീയ സംസ്ഥിതി എന്ന ശാഖക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചത് അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ചുകൊണ്ടാണ്. ഈ ആശയമുപയോഗിച്ച് സംസ്ഥിതിയിലെ സാമീപ്യം, സന്തതി മുതലായ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താനാകുന്നു. ഉദാഹരണമായി, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ വളയങ്ങളാണ്. വലതുഭാഗത്തെ രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം ഒരു പ്രതലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു നീക്കിയാൽ കിട്ടുന്ന ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളായ വളയങ്ങളെ കാണിക്കുന്നു. നീല വളയത്തെ സന്തതമായി ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് ഒരു ബിന്ദുവായി മാറ്റാമെന്നതിനാൽ അത് null-homotopic ആണ്, അതിനാൽ അപ്രധാനവും. എന്നാൽ ഓറഞ്ച് നിറത്തിലെ വളയത്ത് ഇങ്ങനെ ചുരുക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കേന്ദ്രത്തിലെ ബിന്ദു തടയുന്നു. ബിന്ദു ഒഴിവാക്കിയ പ്രതലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ് അനന്തവും ചാക്രികവുമാണ്. ഓറഞ്ച് വളയം (അഥവാ നീക്കപ്പെട്ട ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ഒരു തവണ കറങ്ങുന്ന ഏതെങ്കിലും വളയം) ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ്. അതായത്, അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പിന് പ്രതലത്തിലെ തുള കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.
ബഹിർവലയഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെ പഠിക്കാൻ ജ്യാമിതീയ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ശാഖ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളെ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ബീജീയജ്യാമിതി, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നിവ ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ശാഖകളാണ്.
മേല്പറഞ്ഞ ശാഖകളിലേതുപോലെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് സൈദ്ധാന്തികപ്രാധാന്യം മാത്രമല്ല ഉള്ളത്. അമൂർത്ത ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളെയും കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ അൽഗൊരിതങ്ങളെയും പ്രായോഗികതലത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ശാഖയാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രം. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗൂഢശാസ്ത്രത്തിൽ കൂടുതലായി കൈകാര്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നത്.
ഗണിതത്തിനു പുറമെ ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് എന്നീ ശാസ്ത്രശാഖകളിലും വിവിധ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.
സംഖ്യകൾ
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഭിന്നകസംഖ്യകൾ മുതലായ സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്. ഭിന്നകസംഖ്യകളുൾപ്പെടെയുള്ള ചില വ്യവസ്ഥകൾ സങ്കലനത്തിനു കീഴിലും ഗുണനത്തിനു കീഴിലും ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നു, അവയ്ക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയ്ക്കു പുറമെ വലയ, ക്ഷേത്ര ഘടനകകളുമുണ്ടാകും. അമൂർത്ത ബീജഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ആശയങ്ങളായ മോഡ്യൂളുകൾ, സദിശസമഷ്ടികൾ, ആൾജിബ്രകൾ എന്നിവയ്ക്കും ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്.
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണമായ Z സങ്കലനത്തിനുകീഴിൽ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ചതുപോലെ (Z, +) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു. എന്നാൽ സങ്കലനത്തിനുപകരം ഗുണനം സംക്രിയയാക്കിയാൽ (Z, ·) ഗ്രൂപ്പാവുകയില്ല. സംവൃതിനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, തൽസമകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ അനുസരിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിലും ഗണത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും വിപരിത അംഗങ്ങളില്ല എന്നതാണ് കാരണം. ഉദാഹരണമായി, a = 2 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിലും a · b = 1 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരേയൊരു നിർദ്ധാരണമായ b = 1/2 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല.
ഭിന്നകങ്ങൾ
ഗുണനത്തിലും സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതം വേണം എന്നതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുനോക്കാം: b പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഹരണഫലങ്ങളെ ഭിന്നകസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ Q എന്നാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗുണനം സംക്രിയയായുള്ള ഭിന്നസംഖ്യാഗണം (Q, ·) ഇപ്പോഴും ഒരു ഗ്രൂപ്പായിട്ടില്ല. കാരണം, ഭിന്നസംഖ്യയായ പൂജ്യത്തിന് ഗുണനവിപരിതമില്ല. അതായത്, x · 0 = 1 എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന x എന്ന ഭിന്നകമില്ലാത്തതിനാൽ (Q, ·) ഒരു ഗ്രൂപ്പല്ല.
എന്നാൽ പൂജ്യമൊഴികെയുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} ഗുണനത്തിനു കീഴിൽ ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു (Q \ {0}, ·) അഥവാ (Q*, ·) എന്നാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. സാഹചര്യനിയമവും തൽസമക അസ്തിത്വനിയമവും ഗുണനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലം അനുസരിക്കപ്പെടുന്നു. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരിക്കലും പൂജ്യമാകാത്തതിനാൽ സംവൃതിനിയമവും, a/b യുടെ ഗുണനവിപരിതം b/a ആയതിനാൽ വിപരീത അസ്തിത്വനിയമവും ഗ്രൂപ്പ് അനുസരിക്കുന്നു.
പൂജ്യമുൾപ്പെടെയുള്ള ഭിന്നകങ്ങളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തിനുകീഴിലും ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. ഒരേ ഗണത്തിൽ തന്നെ ഈവിധം സങ്കലനവും ഗുണനവും ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബീജീയഘടനയായ വലയങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. Q ഗണത്തിലെപ്പോലെ വലയത്തിൽ ഹരണവും സാധ്യമാണെങ്കിൽ ബീജീയഘടനയെ ക്ഷേത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ക്ഷേത്രങ്ങൾക്ക് അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും സുപ്രധാന സ്ഥാനമാണുള്ളത്. ഈ ബീജീയഘടനകളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിലും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ നിയമങ്ങൾ സഹായിക്കുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മോഡ്യുലോ അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ഗ്രൂപ്പ്
p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണെങ്കിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ p കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന അശൂന്യ ശിഷ്ടങ്ങൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു. p കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ, എന്നാൽ ഈ സംഖ്യകളെ മോഡ്യുലോ p ആയാണ് കണക്കിലെടുക്കുക. അതായത്, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം p യുടെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ അവയെ തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഇങ്ങനെ നോക്കുമ്പോൾ 1 മുതൽ p-1 വരെയുള്ള സംഖ്യകളാണ് ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ എന്നും പറയാം. ഉദാഹരണമായി, p = 5 ആണെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ 1, 2, 3, 4 എന്നിവയാണ്: അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളല്ല; 6, -4 മുതലായ സംഖ്യകൾ 1 ന് തുല്യമായാണ് കണക്കാക്കുക താനും. ഗുണനമാണ് ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ. ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 4 · 4 = 1 ആണ്. സാധാരണ രീതിയിലുള്ള ഗുണിതമായ 16 ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 1 ന് തുല്യമാണ് (16 − 1 = 15, ഇത് അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതമാണ്) എന്നതാണിതിന് കാരണം. ഇതിനെ 16 ≡ 1 (mod 5) എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
മോഡ്യുലോ അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള (p) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് യഥാർത്ഥത്തിൽ പരിബദ്ധക്ഷേത്രമായ Fp യുടെ ഗുണനഗ്രൂപ്പാണ്. Fp× എന്നാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുക. മുകളിൽ വിവരിച്ച ഗ്രൂപ്പായ (Q\{0}, ·) ന് സമാനമാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പ്. ഈ ഗ്രൂപ്പുകൾ പബ്ലിക് കീ ഗൂഢശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നു.
ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഒരു പ്രത്യേക അംഗത്തിന്റെ ഘാതങ്ങളായി (ഗുണനരിതിയിൽ എഴുതുമ്പോഴാണിത്, സങ്കലനരീതിയിലെഴുതുമ്പോൾ ഗുണിതങ്ങൾ) വരുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ എന്നിവയായിരിക്കും. ഇവിടെ, a−3 = a−1 • a−1 • a−1 = (a • a • a)−1 എന്നിങ്ങനെയാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. a എന്ന അംഗത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം അഥവാ primitive element എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒന്നിന്റെ n-ആം മിശ്രസംഖ്യാമൂലങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്. ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ zn = 1 എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന മിശ്രസംഖ്യകളും സംക്രിയ ഗുണനവുമാണ്. n അംഗങ്ങളുള്ള ഏത് ചാക്രികഗ്രൂപ്പും ഈ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്. ക്ഷേത്രസിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് Fp× എന്ന ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. ഉദാഹരണമായി, p = 5 ആണെങ്കിൽ 3 ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകമാണ് (31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, 34 ≡ 1.).
ചില ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്. ഈ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ തൽസമകമല്ലാത്ത ഏതൊരംഗം a ക്കും, a യുടെ ഘാതങ്ങളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്. അതായത്, ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്ന പേരുണ്ടെങ്കിലും, ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളെ വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിച്ച് തുടങ്ങിയേടത്തു തന്നെ എത്തിച്ചേരാനാകില്ല. അനന്തചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പായ (Z, +) ന് സമരൂപമാണ്.
ക്രമഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ സംക്രിയ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ മേൽ ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ക്രമഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ആബേലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെമേൽ സംക്രിയ ഉപയോഗിച്ചാലും കിട്ടുന്ന ഉത്തരം അംഗങ്ങളുടെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിക്കരുത്. (G,•) എന്ന ക്രമഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണ് a, b എങ്കിൽ a • b = b • a എന്ന് വരും.
മുകളിൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഭാഗത്ത് വിശദീകരിച്ച രണ്ടുതരം ഗ്രൂപ്പുകളും ക്രമഗ്രൂപ്പുകളായതിനാൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് കാണാം. ക്രമഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം വളരെയധികം വികസിച്ച ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തശാഖയാണ്. പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം ഈ വിഷയത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ഗവേഷണഫലമാണ്. ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രം, ക്രമവിനിമയകം മുതലായ ആശയങ്ങൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രമഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് എത്രത്തോളം വ്യതിചലിക്കുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.
സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ
ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ. സമമിതികൾ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിലേതുപോലെ ജ്യാമിതീയമോ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണങ്ങളുടേതുപോലെ ബീജീയമോ ആകാം. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തെ സമമിതികളുടെ പഠനമായി കാണാവുന്നതാണ്. സമമിതികൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ പഠനത്തിൽ വളരെയേറെ സഹായിക്കുന്നു. ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ ഗ്രൂപ്പ് നിയമത്തിനനുസൃതമായ ഏതെങ്കിലും ക്രിയ ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പ് ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, താഴെ വലതുഭാഗത്തായി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഘടനയുടെമേൽ (2,3,7) ത്രികോണഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യുന്ന ക്രിയ പച്ചനിറത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളെ (മറ്റുള്ളവയെയും) ക്രമചയത്തിന് വിധേയമാക്കുകയാണ്. ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനം വഴി ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതവസ്തുവിന്റെ ഘടനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ക്രിസ്റ്റലോഗ്രഫി മുതലായ രസതന്ത്രശാഖകളിൽ സ്പേസ് ഗ്രൂപ്പുകളും പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകളും തന്മാത്രകളുടെയും പരലുകളുടെയും സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്നു. ഇവയുടെ രാസ, ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ നിശ്ചയിക്കുന്നതിൽ സമമിതികൾക്ക് പ്രധാന പങ്കുണ്ട്. ഈ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള ക്വാണ്ടം ഭൗതിക പഠനം എളുപ്പമാക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം സഹായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ചില ക്വാണ്ടം നിലകൾക്കിടയിൽ പ്രകാശിക അവസ്ഥാന്തരണം സാധ്യമല്ലെന്ന് നിലകളുടെ സമമിതികളിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ചില അവസരങ്ങളിൽ തന്മാത്രകൾക്ക് സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നത് പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കുന്നു. ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള ചില തന്മാത്രകൾ അസ്ഥിരമായിരിക്കുമെന്നും അതിനാൽ സമമിതി കുറയ്ക്കാൻ വേണ്ടി അവ ജ്യാമിതീയഘടനയിൽ വ്യത്യാസം വരുത്തുമെന്നും ഹെർമൻ ആർതർ യാൻ, എഡ്വേഡ് ടെല്ലർ എന്നിവർ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് തെളിയിച്ചു. ഈ പ്രതിഭാസത്തെ യാൻ-ടെല്ലർ പ്രഭാവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
അവസ്ഥാന്തരണത്തിന് വിധേയമാകുന്ന വസ്തുക്കളുടെ ഭൗതികസവിശേഷതകളിലെ വ്യത്യാസം പ്രവചിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സഹായം തേടാം. ഉദാഹരണമായി, ക്യൂബിക് പരലാകൃതിയിൽ നിന്ന് ടെട്രാഹെഡ്രൽ പരലാകൃതിയിലേക്ക് ഒരു വസ്തൂ മാറുമ്പോൾ അതിന്റെ സമമിതിയിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നു. പാരാഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഫെറോഇലക്ട്രിക് അവസ്ഥയിലേക്ക് ക്യൂറി താപനിലയിൽ വച്ച് പദാർത്ഥങ്ങൾക്ക് അവസ്ഥാന്തരണമുണ്ടാവുമ്പോൾ അവ ഉയർന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് താഴ്ന്ന സമമിതിയുള്ള അവസ്ഥയിലേക്കാണ് മാറുന്നത്.
കണികാഭൗതികത്തിലും സമമിതിനഷ്ടം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നുണ്ട്. ഇത് ഗോൾഡ്സ്റ്റോൺ ബോസോണുകളുടെ ആവിർഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
മാത്യൂ ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള പരിബദ്ധ സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ കോഡിങ്ങ് സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. സിഡി പ്ലെയറുകളിലും അയക്കുന്ന വിവരങ്ങളിലെ തെറ്റുകൾ തിരുത്തുന്നതിലും ഇത് ഉപയോഗം കാണുന്നു. ഡിഫറെൻഷ്യൽ ഗാൽവ സിദ്ധാന്തം, ജ്യാമിതീയ നിശ്ചരസിദ്ധാന്തം എന്നിവയും സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രയോഗമേഖലകളാണ്.
സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പും പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തവും
മാട്രിക്സുകൾ അംഗങ്ങളും മാട്രിക്സ് ഗുണനം സംക്രിയയുമായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകൾ. സാരണികം പൂജ്യമല്ലാത്തതും (അതായത്, ഗുണനവിപരീതമുള്ളവ) അംഗങ്ങൾ വാസ്തവികസംഖ്യകളുമായ n×n മാട്രിക്സുകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണ് GL(n, R) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പ്. ഇവയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയാണ് മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകൾ അഥവാ രേഖീയഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. മുകളിൽ വിവരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചെറിയ മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പാണ്. n മാനങ്ങളിലെ എല്ലാ പരിക്രമണങ്ങളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന മാട്രിക്സുകളടങ്ങിയ വിശിഷ്ട ഓർത്തോഗണൽ ഗ്രൂപ്പ് SO(n) ഒരു പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പാണ്. ഓയ്ലർ കോണുകൾ വഴി പരിക്രമണമാട്രിക്സുകൾ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണിതവസ്തുവിനുമേലുള്ള പ്രവർത്തനം ആ ഗണിതവസ്തുവിനെക്കുറിച്ചും ഗ്രൂപ്പിനെക്കുറിച്ചും കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ, ബീജീയഗ്രൂപ്പുകൾ, സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ മുതലായവയുടെ പഠനത്തിൽ പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തം പ്രധാന പങ്കുവഹിക്കുന്നു.
ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ
ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ സമമിതികളുപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് അവയുടെ നിർദ്ധാരണം എളുപ്പമാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾ. ഉദാഹരണമായി, ax2 + bx + c = 0 എന്ന ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ എന്നിവയാണ്. ഈ വ്യഞ്ജകത്തിൽ "+", "−" ചിഹ്നങ്ങൾ തമ്മിൽ പരസ്പരം മാറ്റുന്നത് മൂലങ്ങളുടെ ക്രമചയത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിനെ ലളിതമായ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയായി കണക്കാക്കാം. ഇതുപോലെ കൃതി മൂന്നും നാലുമുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെയും മൂലങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്. എന്നാൽ അഞ്ചോ അധികമോ കൃതിയുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്കൊന്നും നിർദ്ധാരണം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ല. ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾക്ക് ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിലേതുപോലെ സങ്കലനം, വ്യവകലനം, മൂലങ്ങൾ എന്നിവ മാത്രമുപയോഗിച്ചുള്ള നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് ബന്ധപ്പെട്ട ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകളുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം.
പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകൾ
250px|ലഘുചിത്രം|വലത്ത്‌|[[സമമിതീയഗ്രൂപ്പ്|സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S4ന്റെ കെയ്ലി ആരേഖം. സമമിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു പ്രധാന വിഭാഗമാണ്]] അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിബദ്ധമായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകൾ. ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ കോടി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. N വസ്തുക്കളുടെ ക്രമചയങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പായ സമമിതീയഗ്രൂപ്പ് SN പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു പ്രധാന വർഗ്ഗമാണ്. കെയ്ലി പ്രമേയമനുസരിച്ച് ഏതൊരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിനെയും ഒരു സമമിതീയഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി എഴുതാൻ സാധിക്കും.
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമാണ് a എന്നുണ്ടെങ്കിൽ an = e എന്ന സമവാക്യം ശരിയായി വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ധനസംഖ്യയായ n നെ a യുടെ കോടി എന്ന് വിളിക്കുന്നു (• ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ). G ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ ഏതൊരംഗത്തിനും an = e സമവാക്യം ശരിയായിവരുന്ന ഒരു n ഉണ്ടായിരിക്കും, എന്നാൽ അനന്തഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾക്ക് ഇങ്ങനെ ഉണ്ടായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല. a യുടെ കോടി a ജനകമായ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിക്ക് തുല്യമാണ്.
മുകളിൽ വിവരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D4 ൽ 8 അംഗങ്ങളാണുള്ളത്. ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായ r1 ന്റെയും അത് ജനകമായ R എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടി 4 ആണ്. പ്രതിഫലന അംഗങ്ങളുടെയെല്ലാം കോടികൾ 2 ആണ്. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം പ്രവചിക്കുന്നതുപോലെ ഈ കോടികളെല്ലാം ഗ്രൂപ്പ് കോടിയുടെ ഘടകങ്ങളാണെന്ന് കാണാം.
പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം
ലഘുചിത്രം|വലത്ത്‌|പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിൽ പ്രധാന പങ്കു വഹിച്ച [[ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ]] ഗണിതസങ്കല്പങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണം നടത്തി പട്ടികകളുണ്ടാക്കാൻ ഗണിതജ്ഞർ ശ്രമിക്കാറുണ്ട്. എന്നാൽ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെ ഇപ്രകാരം വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയമനുസരിച്ച് കോടി p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യയായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളാണ് (Zp). p2 കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളൊക്കെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും, എന്നാൽ p3 കോടിയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ ക്രമമാകണമെന്നില്ല (ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D4 ഉദാഹരണമാണ്). കമ്പ്യൂട്ടർ ആൾജിബ്ര സിസ്റ്റങ്ങളുപയോഗിച്ച് ചെറിയ ഗ്രൂപ്പുകളെയൊക്കെ പട്ടികപ്പെടുത്താനാകും, എന്നാൽ എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും ഇതുവരെ ഇങ്ങനെ വർഗ്ഗീകരിച്ച് പട്ടികപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചിട്ടില്ല.
എന്നിരുന്നാലും ഈ ദിശയിലേക്കുള്ള ഒരു പ്രധാന കാൽവെപ്പാണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം. തുച്ഛമല്ലാത്ത ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പും ആ ഗ്രൂപ്പു തന്നെയും ആണെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിനെ ലളിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളെയും നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ കൊണ്ടാണെന്ന് ജോർഡാൻ-ഹോൾഡർ പ്രമേയം പറയുന്നു. ആധുനിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു മുഖ്യമായ നേട്ടമായാണ് ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തെ കണക്കാക്കുന്നത്. 1983-ൽ ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ ആണ് പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം വർഗ്ഗീകരിക്കപ്പെട്ടതായി പ്രഖ്യാപിച്ചത്. എന്നാൽ quasithin ഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ കാര്യം അദ്ദേഹം ശരിയായി മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നില്ല. ഈ പ്രത്യേക ഗ്രൂപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ തെളിവു കണ്ടുപിടിച്ച മൈക്കൽ ആഷ്ബാക്കർ ആണ് 2004-ൽ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം പൂർത്തിയാക്കിയത്. പൂർണ്ണമായ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് നൂറോളം ഗണിതജ്ഞരുടെ നൂറുകണക്കിന് ലേഖനങ്ങളിലായി പതിനായിരക്കണക്കിന് പേജൂകളെടുത്തു. 1998-ലെ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ജേതാവായ റിച്ചാർഡ് ബോർച്ചെർഡ്സ് ഏറ്റവും വലിയ സ്പൊറാഡിക് ലളിതഗ്രൂപ്പായ മോൺസ്റ്റർ ഗ്രൂപ്പിന് മോഡ്യുലർ ഫലനങ്ങളുമായും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ സ്ട്രിങ് തിയറിയുമായും ഉള്ള അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധം തെളിയിച്ചു.
കൂടുതൽ ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾ
പല ഗ്രൂപ്പുകളും മറ്റ് ഗണിതഘടനകൾക്കും ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. വർഗ്ഗസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവ ഒരു വർഗ്ഗത്തിലെ ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുക്കളാണ്. അതായത്, അവ മറ്റൊരു ഗണിതഘടനയിലെ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾക്ക് സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളടങ്ങിയ വസ്തുക്കളാണ്. ഉദാഹരണമായി, ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും ഒരു ഗണം കൂടിയായതിനാൽ ഓരോ ഗ്രൂപ്പും ഗണങ്ങളുടെ വർഗ്ഗത്തിലെ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുവാണ്.
സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ
ചില സംസ്ഥിതീയസമഷ്ടികളിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാവും. ഗ്രൂപ്പ് നിയമവും സംസ്ഥിതിയുടെ സവിശേഷതകളും ഒത്തുപോകണമെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയകൾ സന്തതഫലനങ്ങളായിരിക്കണം. അതായത് g, h എന്നിവ അല്പം മാത്രമേ മാറുന്നുള്ളൂ എങ്കിൽ g • h, g−1 എന്നിവയും അല്പമേ മാറാൻ പാടുള്ളൂ. ഇത്തരം ഗ്രൂപ്പുകളെ സംസ്ഥിതീയഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംസ്ഥിതീയസമഷ്ടികളുടെ വർഗ്ഗത്തിലെ ഗ്രൂപ്പ് വസ്തുക്കളാണിവ. സങ്കലനം സംക്രിയയായ വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് (R, +), ഗുണനം സംക്രിയയായ അശൂന്യ വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പ് (R \ {0}, ·) തുടങ്ങിയവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ഈ ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം തദ്ദേശീയമായി സാന്ദ്രമായതിനാൽ (locally compact) അവയ്ക്ക് ഹാർ അളവുകളുണ്ട്, അവയെ ഹാർമോണിക് അനാലിസിസ് വഴി പഠിക്കാനാകും.
ഈ ക്ഷേത്രങ്ങൾക്കു മേലുള്ള മാട്രിക്സ് ഗ്രൂപ്പുകളും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ അഡെൽ വലയങ്ങളും അഡെൽ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അനന്തക്ഷേത്രങ്ങളുടെ വിപുലീകരണങ്ങളുടെ ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പുകൾക്കുമേലും (കേവല ഗാൽവ ഗ്രൂപ്പ് ഉദാഹരണമാണ്) ക്രൾ സംസ്ഥിതി എന്ന സംസ്ഥിതി ചേർക്കാനാകും. ബീജീയജ്യാമിതിയുടെ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഈ ആശയത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമാണ് എറ്റാലെ അടിസ്ഥാനഗ്രൂപ്പ്.
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ
ലഘുചിത്രം|ഇടത്ത്‌|ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ നാമകരണം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് ഗണിതജ്ഞനായ [[സോഫസ് ലീ|സോഫസ് ലീയുടെ ബഹുമാനാർത്ഥമാണ്]] മെനിഫോൾഡ് ഘടനയുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളാണ് ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ. അതായത്, തദ്ദേശീയമായി അവ ഏതെങ്കിലും മാനമുള്ള യൂക്ലിഡിയൻ സമഷ്ടിക്ക് സമാനമായിരിക്കും. നോർവീജിയൻ ഗണിതജ്ഞനായ സോഫസ് ലീയുടെ ബഹുമാനാർഥമാണ് ഈ നാമകരണം. ഇവിടെയും മെനിഫോൾഡ് ഘടന ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളുമായി ഒത്തുപോവണമെങ്കിൽ ഗുണനവും വിപരീതവും smooth ഫലനങ്ങളായിരിക്കണം. മേൽ വിവരിച്ച സാമാന്യ രേഖീയഗ്രൂപ്പ് n×n മാട്രിക്സുകളുടെ സമഷ്ടിയുടെ തുറന്ന ഉപഗണമായതിനാൽ ഒരു ലീ ഗ്രൂപ്പാണ്.
ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ളവയാണ്. സന്തതസമമിതികളെ നോയ്തർ സിദ്ധാന്തം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ സംരക്ഷിതപരിമാണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. പരിക്രമണം, സ്ഥലത്തിലും കാലത്തിലുമുള്ള നീക്കൽ (translation) എന്നിവ ബലതന്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനപരമായ സന്തതസമമിതികളാണ്. ഇവ യഥാക്രമം കോണീയസംവേഗം, രേഖീയസംവേഗം, ഊർജ്ജം എന്നിവയുടെ സംരക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ആപേക്ഷികമായി ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന രണ്ട് നിരീക്ഷകരുടെ സ്ഥലകാല അളവുകളെ തമ്മിൽ ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ലോറെന്റ്സ് പരിവർത്തനം മറ്റൊരുദാഹരണമാണ്. മിങ്കോവ്സ്കി സമഷ്ടിയിലെ പരിക്രമണസമമിതിയായി ഇതിന്റെ കണ്ട് തികച്ചും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തരിതിയിൽ ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്. സാമാന്യ ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തത്തിൽ സ്ഥലകാലത്തിന്റെ മാതൃകയാണിത്. നീക്കലുകലും കൂടി ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മിങ്കോവ്സ്കി സമഷ്ടിയിലെ സമമിതികളുടെ ഗ്രൂപ്പ് പോങ്കാരെ ഗ്രൂപ്പ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിന് സാമാന്യ ആപേക്ഷികതയിലും ക്വാണ്ടം ഫീൽഡ് സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗമുണ്ട്. ഗേജ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രതിപ്രവർത്തനങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുന്നതിൽ തദ്ദേശീയസമമിതികൾക്ക് കേന്ദ്രസ്ഥാനമുണ്ട്.
ചരിത്രപരമായ അവലംബങ്ങൾ
വർഗ്ഗം:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം
കഞ്ഞി
കേരളത്തിലെ ഒരു ഭക്ഷണമാണ് കഞ്ഞി. അരി വെന്ത വെള്ളത്തോട് കൂടി കഴിക്കുന്ന ഭക്ഷണമാണ് ഇത്. ഗ്രാമപ്രദേശങ്ങളിലെല്ലാം ഇന്നും ഒരു നേരമെങ്കിലും കഞ്ഞികുടിക്കൽ പലരുടെയും ശീലമാണ്. അരി വേവിച്ചതിന് ശേഷം പൊതുവെ കളയാറുള്ള കഞ്ഞിവെള്ളം നല്ലൊരു പാനീയം കൂടിയാണ്. പനിയും മറ്റും ഉണ്ടാവുമ്പോൾ പൊതുവെ നിർദ്ദേശിക്കാറുള്ള ഭക്ഷണ പദാർത്ഥവും കഞ്ഞിയാണ്. വിശപ്പിനും ക്ഷീണത്തിനും ഉത്തമമായ കഞ്ഞി പലവിധ മരുന്നുകൂട്ടുകൾ ചേർത്ത് ഔഷധക്കഞ്ഞിയായും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഉലുവാക്കഞ്ഞി
വാതരോഗങ്ങൾക്കും പിത്താശയ രോഗങ്ങൾക്കും ഗർഭാശയ രോഗങ്ങൾക്കും ആർത്തവസംബന്ധമായ അസ്വസ്ഥതകൾക്കും ആയുർവേദം വിധിക്കുന്ന ഔഷധമാണ് ഉലുവാക്കഞ്ഞി. കുതിർത്ത ഉലുവ പകുതി അരച്ചതും ജീരകം, ചുക്ക്, വരട്ടുമഞ്ഞൾ, വെളുത്തുള്ളി, അയമോദകം, കുരുമുളക് എന്നിവ നാളികേരം കൂടി അരച്ചെടുത്തതും പൊടിയരിയും ആണിതിലേക്ക് വേണ്ടത്. നാളികേരവും സുഗന്ധദ്രവ്യങ്ങളും ചേർത്തു ചതച്ചെടുത്ത മിശ്രിതത്തിന്റെ നാലിരട്ടി പൊടിയരിയും എട്ടിരട്ടി വെള്ളവും എടുക്കുക. വെള്ളം തിളപ്പിച്ചു മിശ്രിതങ്ങളിടുക. അതിനുശേഷം ഏകദേശം വെന്തുവരുമ്പോൾ അരിയിടുക. നന്നായി വേകിച്ച് ഉപ്പും നെയ്യും കൂട്ടി ഉപയോഗിക്കാം. ഉലുവാക്കഞ്ഞി രാവിലെ കുടിക്കുകയാണ് ഉത്തമം.
ഔഷധക്കഞ്ഞി
ചെറുപനച്ചി(അരച്ചത്), കുടങ്ങൽ(ചതച്ചത്), തൊട്ടാവാടി(അരച്ചത്), ചങ്ങലംപരണ്ട, നെയ്വള്ളി(ഒരുമിച്ചു കിഴികെട്ടിയിടാം) എന്നിവ ഉണക്കലരിയുമായി ചേർത്താണിതുണ്ടാക്കുന്നത്. ചെറുപനച്ചി, കുടങ്ങൽ, തൊട്ടാവാടി, ചങ്ങലംപരണ്ട എന്നിവ വെള്ളത്തിലിട്ടു തിളപ്പിക്കുക. വെള്ളം പകുതിയാക്കി വറ്റിച്ച് ഉണക്കലരിയിട്ടു വേവിച്ചെടുക്കുക. രാവിലെയാണ് ഔഷധക്കഞ്ഞി കുടിക്കാൻ പറ്റിയത്. ഉപ്പും നെയ്യും ഔഷധക്കഞ്ഞിയിലും ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.
പൂക്കഞ്ഞി
തഴുതാമ, പൂവാംകുരുന്നില, മുക്കൂറ്റി, ചെറുകുറുന്തോട്ടി, തൊട്ടാവാടി, ചെറൂള, നിലപ്പന, നിലപ്പുള്ളടി, നിലംപാല, ചെറുകടലാടി, കൃഷ്ണക്രാന്തി, മുയൽച്ചെവിയൻ തുടങ്ങിയ 42 തരം ചെടികളിൽനിന്ന് ഏതെങ്കിലും 12 എണ്ണത്തിന്റെ ചതച്ചെടുത്ത നീര് എന്നിവയടങ്ങുന്നതാണ് ഒന്നാം ചേരുവ.
രണ്ടാം ചേരുവയിൽ ആശാളി, ഉലുവ, ജീരകം, ഉണക്കലരി, തേങ്ങാപ്പാൽ. കൂട്ടത്തിൽ കലിശത്തോല്, കുടമ്പുളി തോല്, പൂവരശു തോൽ, തെങ്ങിന്റെ ഇളംവേര്, മാവിന്റെ തോല് എന്നീ അഞ്ചിനം മരങ്ങളുടെ തോലുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. അമുക്കരം, ദേവതാരം, മുത്തങ്ങ, ഞെരിഞ്ഞിൽ, ചുക്ക്, തിപ്പലി, പാൽമുദുക്ക് എന്നീ ഉണക്കമരുന്നുകൾ പൊടിച്ചത് എന്നിവ ചേർത്ത് മൂന്നാം ചേരുവയുമുണ്ടാക്കുന്നു.
തേങ്ങ ചിരകിയതിന്റെ ഇടപ്പാലും (രണ്ടാമത്തെ പാൽ) (ഒന്നാമത്തെ പാൽ മാറ്റിവയ്ക്കുക) ഒന്നാം ചേരുവയായ 12 ഇനം പച്ചമരുന്നുകളുടെ നീരും രണ്ടാം ചേരുവയായ ആശാളി(ഒരു ടീസ്പൂൺ), ജീരകം(ഒരു ടീസ്പൂൺ), ഉലുവ(മൂന്നു ടീസ്പൂൺ) എന്നിവയും അഞ്ചിനം മരത്തോലുകളും മൂന്നാം ചേരുവയായ ഉണക്കമരുന്നുപൊടിയും ഒന്നിച്ചു കലർത്തി വേവിക്കുക. ഇതു നന്നായി തിളയ്ക്കുമ്പോൾ ഉണക്കലരി ഇടുക. അരി വെന്തുകഴിഞ്ഞു വാങ്ങിവയ്ക്കുന്നതിനു മുമ്പ് രണ്ടാം ചേരുവയിലുള്ള കാട്ടുവട്ടിന്റെ പരിപ്പ് നല്ലതുപോലെ അരച്ചു മാറ്റിവച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്നാം തേങ്ങാപ്പാലിൽ ചേർത്തു കഞ്ഞിയിൽ ഒഴിക്കുക. നന്നായിട്ട് ഇളക്കി തിളച്ചുവരുമ്പോൾ വാങ്ങിവച്ചു ചൂടോടെ ഉപയോഗിക്കാം. (കാട്ടുവട്ട് പൊട്ടിച്ച് അതിന്റെ പരിപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു മുമ്പ് ഒരു ലിറ്റർ വെള്ളത്തിൽ 12 മണിക്കൂർ ഇട്ടുവയ്ക്കണം. അല്ലെങ്കിൽ ഈ പരിപ്പ് അര ലിറ്റർ വെള്ളത്തിൽ വേവിച്ചെടുക്കണം. അതിനുശേഷം വെള്ളം വാർത്തുകളയണം. കാട്ടുവട്ട് വന്ധ്യതയ്ക്കു കാരണമായി പറയുന്നുണ്ട് ).
കർക്കടകക്കഞ്ഞി
കൊത്തമ്പാലരി, ചെറുപുന്നയരി, കുടകപ്പാലയരി, വിഴാലരി, കാർക്കോകിലരി, ഏലത്തരി, ജീരകം, ഉലുവ, ആശാളി, ചുക്ക്, കൊടുവേലി, തിപ്പലി, ചെറൂള, ദേവതാരം തുടങ്ങിയവ കഷായംവച്ച് ഇതിൽ നവരയരി വേവിച്ചു തേങ്ങാപ്പാലും ചേർത്തുണ്ടാക്കുന്ന കഞ്ഞി കർക്കടകത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാം. കക്കുംകായ, ബ്രഹ്മി, കുടങ്ങൽ തുടങ്ങിയ മരുന്നുകളും ഇതിൽ ചേർക്കാം. പഥ്യത്തോടെ ഏഴു ദിവസം അത്താഴത്തിന് ഔഷധക്കഞ്ഞി കുടിക്കണം. ഉപ്പിനു പകരം ഇന്തുപ്പാണു കഞ്ഞിയിൽ ചേർക്കേണ്ടത്.
കഷായക്കഞ്ഞി
കീഴാർനെല്ലി, നിലപ്പന, തഴുതാമ, കറുക, തിരുതാളി, തൊട്ടാവാടി തുടങ്ങിയവയുടെ ഇല ഇടിച്ചുപിഴിഞ്ഞെടുത്ത നീരിൽ പൊടിയരിയിട്ടും കഞ്ഞിയുണ്ടാക്കാം. തഴുതാമ/ ഞെരിഞ്ഞിൽ കഷായത്തിൽ കഞ്ഞി തയ്യാറാക്കാം.
കാടിക്കഞ്ഞി
ചോറും കറികളും മോരൊഴിച്ച് ഒരു മൺപാത്രത്തിൽ അടച്ചുവെക്കുകയും, കേടു വരാത്ത രീതിയിൽ മൂന്നുനാലു ദിവസം ചൂടാക്കി വെച്ചശേഷം ഭക്ഷണമായി ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ചോറിനു് പുറമെ സാമ്പാർ, അവിയൽ, പുളിശ്ശേരി, തോരൻ, അച്ചാർ എന്നീ കറികളാണ് ഇതുണ്ടാക്കാനായി ഉപയോഗിക്കുന്നത്.പുളിരസമുള്ള ഈ വിഭവത്തിൽ വിറ്റാമിൻ ബി, സി എന്നിവ ഇതിൽ ധാരാളമുണ്ട്.
പഴങ്കഞ്ഞി
കേരളത്തിലെ വലിയൊരു വിഭാഗത്തിന്റെ പ്രധാന പ്രാതലാണ് പഴങ്കഞ്ഞി. അത്താഴത്തിന് ശേഷം ബാക്കി വരുന്ന ചോറിലേക്ക് വെള്ളം ചേർത്ത് രാത്രി മുഴുവൻ സൂക്ഷിച്ചാണ് ഇത് നിർമ്മിക്കുന്നത്. രാവിലെയോടെ പുളിക്കൽ നടക്കുന്നു. പോഷഹാകാരം കൂടുന്നതിനൊപ്പം രുചിയും ഗണ്യമായി മാറുന്നു. കർഷകരുടെയും സമൂഹത്തിലെ മറ്റ് ദരിദ്ര വിഭാഗങ്ങളുടെയും പ്രാതൽ ഇനമായിരുന്നു ഈ വിഭവമെന്ന് ചരിത്രകാരന്മാർ അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു.
മറ്റ് പ്രയോഗങ്ങൾ
പിശുക്കൻ അഥവാ ചീപ്സ്കേറ്റ് എന്ന അർത്ഥത്തിലും ഈ വാക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.
അവലംബം
വിഭാഗം:ഭക്ഷണപദാർത്ഥങ്ങൾ വർഗ്ഗം:മുഖ്യാഹാരങ്ങൾ
ചൗബർജി
ചൗബർജി (Punjabi and ) പാകിസ്താനിലെ പഞ്ചാബ് പ്രവിശ്യയുടെ തലസ്ഥാനമായ ലാഹോർ നഗരത്തിൽ മുഗൾ കാലഘട്ടത്തിൽ നിർമ്മിക്കപ്പെട്ട ഒരു സ്മാരകമാണ്. 1646 ൽ നിർമ്മിക്കപ്പെട്ട ഷാജഹാൻറെ കാലത്തെ ഈ സ്മാരകം നേരത്തേ ഒരു വലിയ ഉദ്യാനത്തിലേക്കുള്ള കവാടമെന്ന നിലയിൽ പ്രവർത്തിച്ചിരുന്നു.
പശ്ചാത്തലം
തെക്ക് മുൾട്ടാൻ വരെ നീളുന്ന ലാഹോറിലെ മുൾട്ടാൻ റോഡിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ചൗബർജി, മുഗൾ കാലഘട്ടത്തിൽ നിലനിന്നിരുന്ന വലിയൊരു ഉദ്യാനത്തിലേക്കുള്ള പ്രവേശന കവാടം ആയിരുന്നു. ഒരു വിശാലമായ തോട്ടത്തിലേയ്ക്കുള്ള സ്മാരക കവാടമായി നിലനിന്നിരുന്ന ഇതിന് "നാല് ഗോപുരങ്ങൾ" എന്ന് അർഥം വരുന്ന "ചൗബർജി" എന്ന പേര് പിന്നീട് വന്ന തലമുറ നൽകിയപേരാണ്.
ചരിത്രം
ഈ പൂന്തോട്ടത്തിന്റെ സ്ഥാപനം പലപ്പോഴും മുഗൾ രാജകുമാരിയായിരുന്ന സെബ്-ഉൻ-നിസയുടെ പേരുമായി ബന്ധിക്കപ്പെട്ട് അറിയപ്പെടുന്നു. അവർ "സാഹിബ്-ഇ-സേബിൻദ ബീഗം-ഇ-ദൗരാൻ" എന്ന പേരിൽ ഒരു ലിഖിതത്തിൽ പരാമർശിക്കപ്പെടുന്നത് അവരാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇതു നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്ന കാലത്ത് രാജകുമാരിയ്ക്ക് കേവലം എട്ടുവയസ്സുമാത്രമാണുണ്ടായിരുന്നതെന്നതിനാൽ ഈ ലിഖിതം യഥാർത്ഥത്തിൽ മുഗൾ ചക്രവർത്തി ഷാജഹാൻറെ മകളും സെബ്-ഉൻ-നിസ യുടെ അമ്മായിയുമായിരുന്ന ജഹനാര ബീഗത്തെക്കുറച്ചായിരിക്കാം സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്നും അഭ്യൂഹമുണ്ട്.
നഷ്ടപ്പെട്ട മുഗൾ ഉദ്യാനം
ചൗബർജി ഒരു പ്രവേശന ദ്വാരമായി ആയി പ്രവർത്തിച്ച ആ പഴയ ഉദ്യാനം ഇന്നു നിലവിലില്ല. ഈ നിർമ്മിതി ഇപ്പോൾ ലാഹോറിലെ മുൾട്ടാൻ റോഡിലെയും, ബഹവൽപൂർ റോഡിലെയും തിരക്കേറിയ പാതയിലെ ജംഗ്ഷനിൽ പുല്ലുനിറഞ്ഞ റൗണ്ട്എബൗട്ടിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. മുഗൾ ഉദ്യാനം തെക്ക് നവാൻകോട്ട് മുതൽ ലാഹോർ വരെ വ്യാപിച്ചിരുന്നുവെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. മുഗൾ ചക്രവർത്തി ഔറംഗസേബിന്റെ കാലത്ത് രവി നദിയിലുണ്ടായ വെള്ളപ്പൊക്കത്തിൽ ഉദ്യാനത്തിന്റെ ഭൂരിഭാഗവും നശിച്ചതായി കരുതപ്പെടുന്നു. ചൗബർജി കവാടത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി ഒരുകാലത്ത് വിശാലമായി സ്ഥിതിചെയ്തിരുന്ന ഈ ഉദ്യാനത്തിന്റെ അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഒന്നുംതന്നെ ഇപ്പോൾ നിലനിൽക്കുന്നില്ല.
പുനരുദ്ധാരണം
1843 ലെ ഒരു വലിയ ഭൂകമ്പത്തിൽ ചൌബർജിയുടെ വടക്കുപടിഞ്ഞാറൻ മിനാരം തകർന്നുവീഴുകയും കേന്ദ്ര കമാനത്തിൽ വിള്ളലുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും ചെയ്തു. ഇത് സാധ്യമാകുന്ന രീതിയിൽ പുനഃസ്ഥാപിക്കുകയും പ്രവേശനകവാടം ഏകദേശം മുഗൾ കാലഘട്ടത്തിലെ അതേ രീതിയിൽത്തന്നെ ഇപ്പോൾ കാണപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. 1960 കളിൽ പുരാവസ്തു വകുപ്പിൻറെ നേതൃത്വത്തിലാണ് പുനരുദ്ധാരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടന്നത്.
മെട്രോ നിർമ്മാണം
ചൗബർജി സ്മാരകം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനു സമാന്തരമായിട്ടാണ് ലാഹോർ മെട്രോയുടെ നിർദ്ദിഷ്ട ഓറഞ്ച് ലൈൻ പാത കടന്നു പോകേണ്ടത്. 1985 ലെ പഞ്ചാബ് സ്പെഷ്യൽ പ്രിമൈസസ് ഓർഡിനൻസ്, 1975 ലെ  ആൻറിക്വിറ്റി ആക്ട് എന്നിവയുടെ നഗ്നമായ ലംഘനമാണ് ചൗബർജി, ഷാലിമാർ ഗാർഡൻസ്, അതുപോലെയുള്ള മറ്റ് ഒൻപത് സ്ഥലങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് അടുത്തുകൂടിയുള്ള നിർദ്ദിഷ്ട മെട്രോ ലൈൻ എന്നതു വ്യക്തമാക്കി പൈതൃക സമരക്കാർ ലാഹോർ ഹൈക്കോടതിയിൽ ഒരു ഹർജി സമർപ്പിച്ചു. 2016 ആഗസ്തിൽ ചൌബർജി ഉൾപ്പെടെ ഏതെങ്കിലും പൈതൃക സ്ഥലത്തിന് 200 അടി പരിധിക്കുള്ളിൽ വരുന്ന മെട്രോയുടെ നിർമ്മാണം നിർത്തിവയ്ക്കാൻ അതോടെ കോടതി ഉത്തരവിടുകയും ചെയ്തു.
ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ
വർഗ്ഗം:ഇസ്ലാമിക വാസ്തുകല വർഗ്ഗം:മുഗൾ വാസ്തുകല വർഗ്ഗം:ലാഹോർ
കോലാപൂർ മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രം
ലഘു|കോലാപൂർ മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രത്തിലെ ലക്ഷ്മീവിഗ്രഹം മഹാരാഷ്ട്രയിലെ കോലാപൂരിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട ശക്തിപീഠ ക്ഷേത്രമാണ്‌ ശ്രീ മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രം. ഹൈന്ദവപുരാണങ്ങളിൽ പരാമർശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള അനേക ശക്തി പീഠങ്ങളിൽ പ്രശസ്തമായ ഒന്നാണ് ഈ പ്രസിദ്ധമായ ക്ഷേത്രം. പുരാണങ്ങളിൽ എഴുതിയിട്ടുള്ളത് പ്രകാരം സതിയുടെ ശരീര പിണ്ഡങ്ങളുടെ രൂപത്തിലുള്ള ശക്തി പീഠം എന്നത് ഭഗവതി ആദിപരാശക്തിയുടെ വാസസ്ഥലമാണ്. കോൽഹാപുരിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഈ ശക്തിപീഠം പ്രത്യേകമായി കുറിപ്പിട്ടുള്ള ആറു ശക്തി പീഠം ഉള്ള സ്ഥലങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. അഷ്ട ഐശ്വര്യങ്ങൾ പ്രദാനം ചെയ്യുന്ന ശ്രീ ഭഗവതി അഥവാ മഹാലക്ഷ്മിയാണ് ഇവിടെ കുടികൊള്ളുന്നത്. ഇവിടെ പ്രാർത്ഥന ചെയ്യുന്നവരുടെ അഭിലാഷങ്ങൾ പൂർണമായി കിട്ടുന്നുവെന്നും അല്ലെങ്കിൽ ജീവൻ മുക്തി അഥവാ മോക്ഷം നേടുമെന്നും വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. പരാശക്തിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന രൂപമാണ് മഹാലക്ഷ്മി. മഹാകാളി, മഹാസരസ്വതി എന്നിവയാണ് മറ്റു രണ്ട് ഭാവങ്ങൾ. ഇവിടുത്തെ ഭഗവതി തന്നെയാണ് കൊല്ലൂർ മൂകാംബികയിലും കുടികൊള്ളുന്നത് എന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.
പ്രത്യേകതകൾ
ക്രി.വ. 700 നടുത്ത് കന്നട  ചാലുക്യ സാമ്രാജ്യ വംശത്തിന്റെ സമയത്താണ്‌ ഈ ക്ഷേത്രം പണിതത്. ഒരു വലിയ കല്ല്‌ കൊണ്ട് ചെയ്ത തട്ടകത്തിൻ മുകളിൽ ആണ്, ഭഗവതിയുടെ കിരീടം ധരിച്ച നാല് കരങ്ങളോട് കൂടിയ മുത്തുക്കല്ലിൽ പണിഞ്ഞ പ്രതിഷ്ഠ ഏറ്റി വച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ വിഗ്രഹത്തിന്റെ തൂക്കം 40 കിലോഗ്രാം ആണ്‌. കരിങ്കല്ലിനാൽ നിർമ്മിച്ച മഹാലക്ഷ്മിയുടെ പ്രതിഷ്ഠ 3 അടി ഉയരമുള്ളതാണ്‌. ക്ഷേത്രത്തിന്റെ ചുറ്റിയുള്ള ചുവരുകളിൽ ഒന്നിൽ ശ്രീചക്രത്തിന്റെ ചിത്രം വരച്ചു കാണുന്നു. വിഗ്രഹത്തിന്റെ പിൻവശം, ഭഗവതിയുടെ വാഹനമായ സിംഹത്തിന്റെ ഒരു പ്രതിഷ്ഠ പണിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. മകുടത്തിൽ ശേഷ നാഗത്തിന്റെ മനോഹരമായ ഒരു ചിത്രവും കൊത്തിയിരിക്കുന്നത് കാണാം. അമ്മയുടെ നാല് കരങ്ങളിൽ മംഗളകരമായ വസ്തുക്കളെ പിടിച്ചു നില്കുന്നത് കാണാം. താഴ് വശത്ത് വലതു കരത്തിൽ ഒരു നാരങ്ങയുടനും, മേൽ ഭാഗത്ത് കരങ്ങളിൽ ഒരു വലിയ കൌമോധകി എന്ന ഗദയും, അതിന്റെ തല താഴെ നിലത്തിൽ മുട്ടുകയും, മേൽ വശമുള്ള ഇടത്ത് കൈയിൽ തടുക്കാനായി ഒരു കേടകവും പിന്നെ താഴെ ഇടതു വശത്തിൽ കരങ്ങളിൽ ഒരു പാന പാത്രം എന്ന കിണ്ണവും ധരിച്ചിട്ടുണ്ട്. മറ്റ് ക്ഷേത്രങ്ങളിൽ പ്രതിഷ്ഠ വടക്ക് ഭാഗം അല്ലെങ്കിൽ കിഴക്ക് ദിക്കിലേക്ക് നോക്കി നില്കുന്നത് പോലെ അല്ലാതെ, ഈ സ്ഥലത്തിൽ അമ്മയുടെ പ്രതിഷ്ഠ പടിഞ്ഞാറ് ദർശനത്തിലാണ് നില കൊള്ളുന്നത്‌ എന്നത് മറ്റൊരു പ്രത്യേകതയാണ്‌. പടിഞ്ഞാറ് വശത്തുള്ള ചുവരിൽ ഒരു ചെറിയ ജനലുണ്ട്, അതിൽ കൂടി സൂര്യ കിരണങ്ങൾ കടന്നു വന്നു വർഷം തോറും മൂന്ന് ദിവസം അതായതു മാർച്ച്‌ മുതൽ സെപ്തംബർ മാസങ്ങളിൽ 21 ആം തിയതികളിൽ അമ്മയുടെ പ്രതിഷ്ഠയിൽ പതിക്കുന്നു.
ഈ ക്ഷേത്രത്തിന്റെ അകത്ത് മഹാവിഷ്ണു, പരമശിവൻ, മഹിഷാസുരമർദിനി, സൂര്യൻ, നവഗ്രഹങ്ങൾ, വിട്ടാൽ-രക്മായി, തുല്ജാ ഭവാനി തുടങ്ങി മറ്റു ഉപദേവ പ്രതിഷ്ഠകളും ഉണ്ട്. ഈ പ്രതിഷ്ഠകളിൽ ചിലത് 11-ആം  നൂറ്റാണ്ടിൽ പണിതതാണ്‌. ചിലത് ഈയിടെ നിർമിച്ചതാണ്. ക്ഷേത്രത്തിന്റെ അടുത്ത് തന്നെ വിശ്വേശ്വര മഹാദേവന്റെ ഒരു ചെറിയ ക്ഷേത്രവും നില കൊള്ളുന്നു. അതിന്റെ വശത്തിൽ മണികർണിക കുണ്ഡം എന്ന പേരിൽ ഒരു കുളമുമുണ്ട്.
വഴിപാടുകൾ
എല്ലാ ദിവസവും ഈ ക്ഷേത്ത്രത്തിൽ 5 പൂജകൾ നടത്തുന്നുണ്ട്. കാലത്തെ 5 മണിക്ക് തന്നെ, സുപ്രഭാതവും, ശ്ലോകങ്ങൾ ചൊല്ലിയും, തീപ്പന്തങ്ങൾ വെച്ചുകൊണ്ട് അമ്മയെ എഴുന്നേല്പ്പിക്കുന്ന പൂജകൾ നടത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പൂജ കാലത്ത് 8 മണിക്ക് 16 വിധ പൂജാ സല്കാരങ്ങൾ പണിഞ്ഞു ശോടോപചാര പൂജകൾ നിവൃത്തി ചെയ്യുന്നു. പിന്നെ ഉച്ച തിരിഞ്ഞ പൂജയും, വൈകുന്നേര പൂജകളും നടത്തുന്നു. രാത്രിയിൽ ഷെജാരതി പൂജകളോടെ ഒരു ദിവസത്തെ പൂജകൾ കഴിയുന്നു.
പ്രത്യേക ദിവസങ്ങൾ
എല്ലാ വെള്ളിയാഴ്ചകളിലും ഭഗവതിയുടെ ഉത്സവ വിഗ്രഹം ധരിച്ചു ക്ഷേത്രത്തിനെ മൂന്ന് പ്രാവശ്യം വലം വക്കുന്ന ചടങ്ങ് നടത്തുന്നു. ഇത് എല്ലാ പൗർണ്ണമി ദിവസങ്ങളിലും ആചരിക്കുന്നു. വെള്ളിയാഴ്ച, പൗർണമി, നവരാത്രി, ദീപാവലി എന്നിവ ഇവിടെ പ്രധാനമാണ്.
ഉത്സവം
സൂര്യന്റെ കിരണങ്ങൾ കൂടി ബഹുമാന പൂർവ്വം ലോക മാതാവായ മഹാലക്ഷ്മി മാതാവിനെ കാണാൻ വന്നു ദർശനം ചെയ്ധുന്നുവെന്നും, മനുഷ്യ ജീവിതം അമ്മയുടെ കരുണ മറ്റും വാത്സല്യതിന്റെ ചുവടുകളിൾ വെളിച്ചത്തെയും സൌഭാഗ്യതൈയും നേടുന്നുവെന്നും വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ വിധത്തിൽ സൂര്യകിരണങ്ങൾ വിഗ്രഹത്തിൽ പതിക്കുന്നത് കോൽഹാപുരിൽ നില കൊണ്ടുള്ള മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രത്തെ പണിഞ്ഞ ശില്പികളുടെ പ്രസിദ്ധമായ കൗശലവൈദഗ്ദ്യത്തിന്‌ തെളിവാണ്‌. സൂര്യന്റെ കിരണങ്ങൾ ലോക മാതാ മഹാ ലക്ഷ്മിയിന്റെ പാദ കമലങ്ങളിൽ ശരണം അടയുന്ന വിധത്തിൽ നിർമ്മിച്ചത്‌ അത്ഭുത പൂർവ്വം തന്നെയാണ്. ഭക്തന്മാർ ആയിരക്കണക്കിൽ ഈ ഉത്സവ സമയത്തിൽ ഈ കാഴ്ച 'കിരനോത്സവം' എന്ന പേരിൽ കൊണ്ടാടുന്നു.
പ്രതി വർഷവും ഈ ഉത്സവം താഴെ കുറിച്ച ദിവസങ്ങളിൽ വൈകുന്നേരം ആഘോഷിക്കുന്നു: 31 ജനുവരി, 1 ഫെബ്രുവരി,  2 ഫെബ്രുവരി,  9 നവംബർ, 10 നവംബർ , 11 നവംബർ.
എക്സംപ്ലറി വുമൺ ഓഫ് ആന്റിക്വിറ്റി
നാല് ചിത്രങ്ങളും മോണോക്രോം അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രിസെയ്‌ലിലാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. റിലീഫ് ശൈലിയിൽ ശില്പം അനുകരിക്കുന്നു. അയൽ‌രാജ്യമായ ഇറ്റാലിയൻ സംസ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്ന് മാർബിൾ ഇറക്കുമതി ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ചെലവും ദർബാറിൽ ശിൽപികളുടെ അഭാവവും കാരണം മാന്റുവ രാജസദസ്സിൽ വളരെ പ്രചാരമുള്ള ഒരു ശൈലിയായിരുന്നു ഇത്.
കോലാപൂർ മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രം
ഉത്സവം
എല്ലാ വർഷവും സൂര്യ ഭഗവാൻ ലോക മാതാ മഹാലക്ഷ്മിയൈ കണ്ടു അനുഗ്രഹം നേടി വരുന്നതാണ് പതിവ്. രധസപ്തമി ദിവസത്തിന്റെ അടുത്തായിട്ടു ജനവരി മാസത്തിൽ ഈ ഉത്സവം കൊണ്ടാടുന്നു. ഇതു മൂന്ന് ദിവസങ്ങൾ ആഘോഷിക്കും. ഒന്നാം ദിവസം, സൂര്യ കിരണങ്ങൾ അമ്മയുടെ പാദ ചുവടുകളിലും, രണ്ടാം ദിവസം അമ്മയ്ടെ ഇട ഭാഗത്തും, മൂന്നാമത്തെ ദിവസം അമ്മയുടെ മുഖ മണ്ഡലത്തിലും കിരണങ്ങൾ സ്പർശം ചെയ്യുന്നതാന്. പേശാവർ രാജാക്കമ്മാർ അതിനു ശേഷം ക്ഷെത്രത്തിന്റെ മരാമത്ത് പണിയുടെ ചുമതല ഏറ്റെടുത്തു. ഭാരതത്തിന്റെ ഇപ്പകുതിയിൽ വർഷ ക്കണക്കിൽ ആക്രമണം നടന്നുവന്നതാൽ, ഇവിടെ കാണുന്ന പല വിഗ്രഹങ്ങൾ നശിച്ചു, ഈ വിഗ്രഹങ്ങളെ നാം ഇന്നും ഇവിടെ കാണാം.
എക്സംപ്ലറി വുമൺ ഓഫ് ആന്റിക്വിറ്റി
ചരിത്രം
മന്റുവയിലെ ഫെഡറിക്കോ II ഗോൺസാഗ ഡ്യൂക്കിന്റെ വസ്തുവകകളുടെ പട്ടികയിൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണത്തിന് രണ്ട് വർഷത്തിന് ശേഷം 1542-ൽ ഈ ചിത്രം നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടതായി നാലുചിത്രങ്ങളും സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. 1738-ൽ മാർഷൽ ഷൂലെൻബർഗിന്റെ ശേഖരത്തിൽ അവ അടുത്തതായി പരാമർശിക്കപ്പെട്ടു. ചില സമയങ്ങളിൽ പെയിന്റിംഗുകൾ നാലു ചിത്രങ്ങളിലെയും നിലവിലെ അളവുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത അളവുകളോടെ പരാമർശിക്കപ്പെടുന്നു. 1775 ഏപ്രിൽ 13 ന് നടന്ന ക്രിസ്റ്റിയുടെ ലേലത്തിൽ ടുസിയയും സോഫോണിസ്ബയും ഹാമിൽട്ടൺ ഡ്യൂക്ക് ശേഖരത്തിൽ പ്രവേശിക്കുകയും ജൂഡിത്തും ഡിഡോയും ജോൺ ടെയ്‌ലറിന് വിൽക്കുകയും ചെയ്തു. ഹാമിൽട്ടൺ ശേഖരത്തിലെ രണ്ട് ചിത്രങ്ങൾ 1882-ൽ ലണ്ടനിലെ നാഷണൽ ഗാലറിക്ക് വിറ്റു. ആ ശേഖരം പലഭാഗത്തായി. അതേസമയം ടെയ്‌ലർ ആദ്യം വാങ്ങിയവ 1912-ൽ വിറ്റു. ഒപ്പം രണ്ട് ഉടമസ്ഥാവകാശത്തിന്റെ ചില മാറ്റങ്ങൾക്ക് ശേഷം കാനഡയിലെ മോൺ‌ട്രിയൽ മ്യൂസിയം ഓഫ് ഫൈൻ ആർട്സ് മ്യൂസിയത്തിൽ പ്രവേശിച്ചു.
കോലാപൂർ മഹാലക്ഷ്മി ക്ഷേത്രം
പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ
വർഗ്ഗം:ഇന്ത്യയിലെ ക്ഷേത്രങ്ങൾ വർഗ്ഗം:മഹാരാഷ്ട്രയിലെ ക്ഷേത്രങ്ങൾ വർഗ്ഗം:ഇന്ത്യയിലെ ദേവീക്ഷേത്രങ്ങൾ വർഗ്ഗം:ശക്തിപീഠങ്ങൾ
എക്സംപ്ലറി വുമൺ ഓഫ് ആന്റിക്വിറ്റി
ചിത്രകാരനെക്കുറിച്ച്
ഒരു ഇറ്റാലിയൻ ചിത്രകാരൻ, റോമൻ പുരാവസ്തു വിദ്യാർത്ഥി, ജാക്കോപോ ബെല്ലിനിയുടെ മരുമകൻ എന്നീ നിലകളിൽ അറിയപ്പെട്ടിരുന്ന വ്യക്തിയായിരുന്നു ആൻഡ്രിയ മാന്റെഗ്ന. അക്കാലത്തെ മറ്റ് കലാകാരന്മാരെപ്പോലെതന്നെ, മാന്റെഗ്നയും പല പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടുകളും പരീക്ഷിച്ചു, ഉദാ. ചക്രവാളത്തെ കൂടുതൽ താഴ്ത്തി ചിത്രീകരിച്ചുകൊണ്ട് സ്മാരകബോധം സൃഷ്ടിച്ചു. അടിസ്ഥാനപരമായി ചിത്രത്തിനോടുള്ള ശില്പപരമായ സമീപനത്തിന്റെ തെളിവാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഫ്ലിന്റി, മെറ്റാലിക് ഭൂപ്രകൃതികളും കുറച്ച് കല്ലുകൊണ്ടുള്ള പ്രതിബിംബങ്ങളും. 1500 ന് മുമ്പ് വെനീസിലെ പ്രിന്റുകൾ നിർമ്മിക്കുന്ന ഒരു മുൻനിര ചിത്രശാലയ്ക്കും അദ്ദേഹം നേതൃത്വം നൽകി.
അവലംബം
വർഗ്ഗം:ലണ്ടനിലെ ദേശീയ ഗാലറിയിലെ ശേഖരങ്ങൾ
ഇഎസ്‌പിഎൻ
പ്രധാനമായും ബ്രിസ്റ്റോൾ, കണക്റ്റികട്ടിലുള്ള സ്റ്റുഡിയോ സൗകര്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ്‌ ഇഎസ്പിഎൻ സംപ്രേഷണം ചെയ്യുന്നത്. മിയാമി, ന്യൂയോർക്ക് സിറ്റി, സിയാറ്റിൽ, ഷാർലറ്റ്, ലോസ് ഏഞ്ചൽസ് എന്നിവിടങ്ങളിലും ഓഫീസുകൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ജോർജ് ബോഡെൻഹൈമർ ആണ് ഇപ്പോൾ ഇഎസ്പിഎൻ ചാനലിന്റെ ചെയർമാൻ. വിജയകരമായ സ്പോർട്സ് നെറ്റ്‌വർക്കുകളിൽ ഒന്നാണെങ്കിലും, പക്ഷപാതപരമായ കവറേജ്, വ്യക്തിപരമായ താൽപര്യം, എന്നിവ വിമർശനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്.
2016 ജനുവരിയിലെ കണക്കുപ്രകാരം, ഇഎസ്പിഎൻ യുഎസിലെ 78.52 ശതമാനം വീടുകളിലും ലഭ്യമാണ്. യുഎസിലെ മുഖ്യ ചാനലിനും അതിന്റെ ഏഴ് അനുബന്ധ ചാനലുകൾക്കു പുറമേ, ഇഎസ്പിഎൻ, 200-ലധികം രാജ്യങ്ങളിൽ സംപ്രേഷണം ചെയ്യുന്നു. ഓസ്‌ട്രേലിയ, ബ്രസീൽ, ലാറ്റിൻ അമേരിക്ക, ബ്രിട്ടൻ എന്നീ രാജ്യങ്ങളിലെ പ്രാദേശിക ചാനലുകളും പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ട്.
ബാഹ്യ കണ്ണികൾ
വർഗ്ഗം:സ്പോർട്സ് ടെലിവിഷൻ ചാനലുകൾ
നാഗമണ്ഡല
കന്നഡ ചലച്ചിത്രം. 1997-ൽ പുറത്തിറങ്ങിയ ഈ ചിത്രം സംവിധാനം ചെയ്തത് ടി.എസ്. നാഗാഭരണയാണ്. ഗിരീഷ് കർണാഡിന്റെ ഇതേ പേരിലുള്ള നോവലിന്റെ ചലച്ചിത്രാവിഷ്കാരമാണിത്.
ഉള്ളടക്കം
നാഗാരാധനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നാടോടിവിശ്വാസത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഭാര്യാഭർത്തൃബന്ധത്തിലെ നൂതന സമസ്യകൾ ഫാന്റസിയുടെയും റിയാലിറ്റിയുടെയും ഫ്രെയിമുകൾ ഇടകലർത്തി അവതരിപ്പിച്ച ഈ ചിത്രത്തിൽ മുഖ്യകഥാപാത്രങ്ങൾക്കു ജീവൻ നല്കിയത് പ്രകാശ് റായി (അപ്പണ്ണ, നാഗം), വിജയലക്ഷ്മി (റാണി) എന്നിവരാണ്. മനുഷ്യരൂപം ആർജിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നാഗം റാണിയെ രാത്രികാലത്ത് പതിവായി അവളുടെ ഭർത്താവിന്റെ രൂപത്തിൽ ദർശിക്കുന്നതും അവൾ ഗർഭിണിയാകുമ്പോൾ ഭർത്താവ് അപ്പണ്ണ അവളെ സംശയിക്കുന്നതും തുടർന്നുനടക്കുന്ന സംഭവ പരമ്പരകളുമാണ് കഥാവസ്തു. ശ്രീഖരി ഖോഡെ നിർമിച്ച ഈ ചിത്രത്തിന്റെ തിരക്കഥ ഗിരീഷ് കർണാഡിന്റേതുതന്നെ. ഛായാഗ്രഹണം ജി.എസ്. ദാവൂർ, സംഗീതം സി. അശ്വന്ത്.
പുറം കണ്ണികൾ
വർഗ്ഗം:കന്നഡചലച്ചിത്രം
കോട്ട ജംഗ്ഷൻ തീവണ്ടിനിലയം
കോട്ട ജങ്ഷൻ തീവണ്ടിനിലയം ഒരു റെയിൽവേ സ്റ്റേഷൻ ആണ് വെസ്റ്റ് സെൻട്രൽ റെയിൽവേ നെറ്റ്വർക്ക് ഇന്ത്യ ടോൺസ് കോട്ട ൽ രാജസ്ഥാൻ. വെസ്റ്റ് സെൻട്രൽ റെയിൽവേ മേഖലയിലെ കോട്ട റെയിൽവേ ഡിവിഷന്റെ ആസ്ഥാനമാണിത്.
പശ്ചാത്തലം
ന്യൂഡൽഹി-മുംബൈ പ്രധാന പാതയിലെ ഒരു പ്രധാന സ്റ്റേഷനാണ് കോട്ട, കൂടാതെ രാജ്യത്തെ എല്ലാ പ്രധാന നഗരങ്ങളുമായി നേരിട്ട് ബന്ധമുണ്ട്. 170 ലധികം ട്രെയിനുകൾ സ്റ്റേഷനിൽ നിർത്തുന്നു. കോട്ട - ദാമോ പാസഞ്ചർ, കോട്ട - ഇൻഡോർ ഇന്റർസിറ്റി എക്സ്പ്രസ്, കോട്ട - പട്ന എക്സ്പ്രസ്, കോട്ട - ശ്രീഗംഗനഗർ എക്സ്പ്രസ് എന്നിവയുൾപ്പെടെ നിരവധി പ്രധാന ട്രെയിനുകൾ കോട്ടയിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്നു. നഗരത്തിന്റെ തെക്ക് ഭാഗത്തുള്ള രാജീവ് ഗാന്ധി നഗറിന് എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഡകാനിയ തലവ് സ്റ്റേഷൻ എന്ന മറ്റൊരു റെയിൽ‌വേ സ്റ്റേഷനും കോട്ട നഗരത്തിന് സേവനം നൽകുന്നു.
യാത്രക്കാരുടെ ചലനം
ഇന്ത്യൻ റെയിൽ‌വേയുടെ മികച്ച നൂറ് ബുക്കിംഗ് സ്റ്റേഷനുകളിൽ ഒന്നാണ് കോട്ട.
ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ
വർഗ്ഗം:Coordinates on Wikidata വർഗ്ഗം:രാജസ്ഥാനിലെ തീവണ്ടിനിലയങ്ങൾ
ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ്
19565/ 66 ഓഖ - ഡറാഡൂൺ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് ഒരു ആണ് എക്സ്പ്രസ് പെടുന്ന ട്രെയിൻ ഇന്ത്യൻ റെയിൽവേ - പടിഞ്ഞാറൻ റെയിൽവേ സോൺ തമ്മിലുള്ള പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഓഖ & ഡറാഡൂൺ ൽ ഇന്ത്യ.
അതു ട്രെയിൻ നമ്പർ 19565 നമ്പരായി ഓഖ മുതൽ ഡെറാഡൂൺ വരെ യും   ട്രെയിൻ നമ്പർ 19566 നമ്പറായിതിരിച്ചും  ഗുജറാത്ത്, രാജസ്ഥാൻ, ഹരിയാന, ഡൽഹി, ഉത്തർപ്രദേശ് ആൻഡ് ഉത്തരാഖണ്ഡ് എന്നീ സംസ്ഥാനങ്ങളിലൂടെ ഓടുന്നു. .
ഉത്തരാഖണ്ഡ് സംസ്ഥാനത്തിന്റെ പേരിലാണ് 2006 ഒക്ടോബർ വരെ ഉത്തരാഞ്ചൽ എന്നറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്.
കോച്ചുകൾ
110 കിലോമീറ്റർ വേഗതയിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഐസിഎഫ് റേക്കുകളുണ്ട്. 21 കോച്ചുകളാണ് ട്രെയിനിൽ ഉള്ളത്  :.
സേവനം
19565 / ഓഖ - ഡെറാഡൂൺ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് 1680 km ദൂരം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു    35 മണിക്കൂറിൽ 10 മിനിറ്റ് (47.66   km / hr).
19566 / ഡെറാഡൂൺ - ഓഖ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് 1680 km ദൂരം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു    34 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ 20 മിനിറ്റ് (48.81   km / hr).
ട്രെയിനിന്റെ ശരാശരി വേഗത 55 km/h താഴെയാണ്  , ഇന്ത്യൻ റെയിൽ‌വേ നിയമമനുസരിച്ച്, അതിന്റെ നിരക്കിൽ ഒരു സൂപ്പർഫാസ്റ്റ് സർചാർജ് ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.
റൂട്ട്
൧൯൫൬൫ / 66 ഓഖ - ഡറാഡൂൺ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് നുമാണ് ഓഖ വഴി ജാംനഗർ, രാജ്കോട്ട് ജംഗ്ഷൻ, പലൻപൂർ ജംഗ്ഷൻ, അബു റോഡ്, അജ്മീർ ജങ്ഷൻ, ജയ്പൂർ, ഡൽഹി സരായ് രോഹില്ല, ന്യൂഡൽഹി, ഗാസിയാബാദ്, മീററ്റ് സിറ്റി യോഹ., മുസാഫർനഗർ, ഹരിദ്വാർ ജംഗ്ഷൻ മുതൽ ഡെറാഡൂൺ വരെയും തിരിച്ചും. .
ട്രാക്ഷൻ
റൂട്ടിന്റെ വലിയ ഭാഗങ്ങൾ ഇനിയും വൈദ്യുതീകരിക്കപ്പെടാത്തതിനാൽ, ഒരു വത്വ അധിഷ്ഠിത ഡബ്ല്യുഡിഎം 3 എ   ട്രെയിനിന്റെ മുഴുവൻ യാത്രയ്ക്കും വലിച്ചിഴക്കുന്നു.
പട്ടിക
19565 / ഓഖ - ഡറാഡൂൺ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് നുമാണ് ഓഖ ചെയ്തത് 08:30 AM IST എല്ലാ വെള്ളിയാഴ്ച എത്തുന്ന ഡെറാഡൂൺ 19:40 Posted on: അടുത്ത ദിവസം.
19566 / ഡെറാഡൂൺ - ഓഖ ഉത്തരാഞ്ചൽ എക്സ്പ്രസ് നുമാണ് ഡെറാഡൂൺ ചെയ്തത് 05:50 AM IST എല്ലാ ഞായർ, എത്തുന്ന ഓഖ 16:10 Posted on: അടുത്ത ദിവസം.
ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ
വർഗ്ഗം:ഇന്ത്യയിലെ യാത്രാതീവണ്ടികൾ വർഗ്ഗം:Pages with unreviewed translations
ഗാരെത് ബെയ്ൽ
ഗാരെത് ഫ്രാങ്ക് ബെയ്ൽ (ജനനം ജൂലൈ 16, 1989) വെൽഷ് ഫുട്‌ബോൾ കളിക്കാരനാണ്. സ്പാനിഷ് ക്ലബ്ബ് റയൽ മാഡ്രിഡ്, വെയിൽസ് ദേശീയ ടീം എന്നിവയ്ക്ക് വേണ്ടി വിംഗർ സ്ഥാനത് ആണ് ബെയ്ൽ കളിക്കുന്നത്. തന്റെ ദീർഘദൂര ഷോട്ടുകൾ, വളഞ്ഞു വരുന്ന ഫ്രീ കിക്കുകൾ, എതിർനിരയിലെ ഡിഫൻഡർമാരെ വെട്ടിച്ചുപോകാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ പേരിടുത്തതാണ്. "അസാമാന്യമായ വേഗതയും, മഹത്തായ ക്രോസിംഗ് കഴിവും, ശക്തമായ ഇടത് കാൽ ഷോട്ടുകളും, അസാധാരണമായ ശാരീരികഗുണങ്ങളും " ഉള്ള ഒരു കളിക്കാരൻ ആയിട്ടാണ് സഹകളിക്കാർ ബെയ്ലിനെ കാണുന്നത്.
ഒരു ഫ്രീ കിക്ക്‌ സ്‌പെഷ്യലിസ്റ്റും, ലെഫ്റ്റ് ബാക്കുമായി സതാംപ്ടണിനുവേണ്ടി കളിച്ചുകൊണ്ടാണ് ബെയ്ൽ തന്റെ കരിയർ ആരംഭിച്ചത്. 2007 ൽ 7 ദശലക്ഷം പൗണ്ട് പ്രതിഫലം നേടി ബെയ്ൽ ടോട്ടനം ഹോട്ട്സ്പറിലേക്ക് മാറി. ഈ കാലയളവിൽ തന്ത്രപരമായ മാറ്റങ്ങൾ വഴി അദ്ദേഹം പ്രതിരോധനിരയിൽ നിന്നു ആക്രമണനിരയിലേക്ക് മാറി. 2009-10 സീസണിൽ ഹാരി റെഡ്ക്നാപ്പിന്റെ നേതൃത്വത്തിൽ ബെയ്ൽ ടീമിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകമായി മാറി, 2010-11 ലെ യുവേഫ ചാമ്പ്യൻസ് ലീഗിൽ അന്താരാഷ്ട്ര ശ്രദ്ധയാകർഷിച്ചു. 2011 ലും 2013 ലും പി.എഫ്.എ. പ്ലേയർസ് പ്ലേയർ ഓഫ് ദി ഇയർ, യുവേഫ ടീം ഓഫ് ദി ഇയർ പുരസ്‌കാരം നേടി. 2013 ൽ പിഎഫ്എ യങ്ങ് പ്ലെയർ ഒഫ് ദ ഇയർ, എഫ്ഡബ്ല്യുഎ ഫുട്ബാളർ ഓഫ് ദ ഇയർ, പ്രീമിയർ ലീഗ് പ്ലെയർ ഓഫ് ദി സീസൺ എന്നീ പുരസ്കാരങ്ങൾ നേടി. 2011 നും 2013 നും ഇടയിൽ തുടർച്ചയായി മൂന്ന് തവണ പി.എഫ്.എ. ടീം ഓഫ് ദി ഇയർ സ്ഥാനത്തേക്ക് നാമനിർദ്ദേശം ചെയ്യപ്പെട്ടു.
2013 സെപ്തംബർ 1 ന്, ബെയ്ൽ വെളിപ്പെടുത്താത്ത ഒരു കൈമാറ്റ തുകയ്ക്ക് റയൽ മാഡ്രിഡിലേക്ക് മാറി. 91 ദശലക്ഷം യൂറോയ്ക്കും 100 ദശലക്ഷം യൂറോയ്ക്കും ഇടയിലാണ് ഈ കൈമാറ്റ തുക എന്ന് മാധ്യമങ്ങൾ അന്ന് റിപ്പോർട്ട് ചെയ്തിരുന്നു. 2016 ജനുവരിയിൽ, കൈമാറ്റം സംബന്ധിച്ച രേഖകൾ ചോർന്നതോടെ, 100.8 ദശലക്ഷം യൂറോ എന്ന ലോക റെക്കോർഡ് കൈമാറ്റ തുകയ്ക്കാണ് ഇടപാട്‌ നടന്നതെന്ന് സ്ഥിരീകരിച്ചു. 2009 ൽ റയൽ മാഡ്രിഡ് ക്ലബ്ബ് ക്രിസ്റ്റ്യാനോ റൊണാൾഡോക്ക് വേണ്ടി മുടക്കിയ 80 ദശലക്ഷം യൂറോ എന്ന റെക്കോർഡ് ഇതോടെ തകർന്നു. റയൽ മാഡ്രിഡിലെ ആദ്യ സീസണിൽ ടീമിന്റെ ഒരു അവിഭാജ്യ ഘടകമായി മാറിയ ബെയ്ൽ ടീമിനെ 2013-14 കോപ്പ ഡെൽ റേ, യുവേഫ ചാമ്പ്യൻസ് ലീഗും സ്വന്തമാക്കുന്നത്തിൽ നിർണായക പങ്ക് വഹിക്കുകയും ഇരു ടൂർണമെന്റുകളുടെയും ഫൈനലിൽ ഗോൾ നേടുകയും ചെയ്തു. തുടർന്നുള്ള സീസണിൽ, യുവേഫ സൂപ്പർ കപ്പ്, ഫിഫ ക്ലബ്ബ് ലോകകപ്പ് എന്നിവ നേടാൻ ടീമിനെ സഹായിച്ചു. രണ്ടു വർഷത്തിനു ശേഷം, 2015-16 വർഷത്തെ ചാമ്പ്യൻസ് ലീഗ് കിരീടം നേടുന്നതിൽ നിർണായക പങ്ക് വഹിക്കുകയും യുവേഫ സ്ക്വാഡ് ഓഫ് ദ സീസണിലേക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തു. യുവേഫ ബെസ്റ്റ് പ്ലേയർ ഇൻ യൂറോപ്പ് അവാർഡിന്റെ അവസാനനിരയിലും ബെയ്ൽ ഇടം നേടി. 2016 ൽ, ഇഎസ്പിഎൻ ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തരായ അത്ലറ്റുകളുടെ പട്ടികയിൽ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ സ്ഥാനത്തേക്ക് ബെയ്ലിനെ തെരഞ്ഞെടുത്തു.
2006 മേയിൽ വെയിൽസ് ദേശീയ ടീം വേണ്ടി അരങ്ങേറിക്കൊണ്ട് ബെയ്ൽ, രാജ്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഏറ്റവും പ്രായം കുറഞ്ഞ കളിക്കാരനായി മാറി. 60 കളികളിൽ നിന്നു അദ്ദേഹം 26 അന്താരാഷ്ട്ര ഗോളുകൾ നേടി കൊണ്ട്, ഇയാൻ റാഷിന് പിന്നിൽ വെയിൽസ് ദേശീയ ടീമിനു വേണ്ടി ഏറ്റവുംകൂടുതൽ ഗോൾ നേടുന്ന കളിക്കാരനായി. യുവേഫ യൂറോ 2016 ലെ യോഗ്യതാ റൗണ്ടിൽ വെയിൽസിനു വേണ്ടി 7 ഗോൾ നേടി അദ്ദേഹം ടോപ്പ് സ്‌കോറർ ആവുകയും പിന്നീട് ടൂർണമെന്റിൽ സെമിഫൈനലിൽ ടീമിനെ എത്തിക്കുകയും ചെയ്തു. ആറു വട്ടം വെൽഷ് ഫുട്ബാളർ ഓഫ് ദ ഇയർ പുരസ്‌കാരം നേടി ബെയ്ൽ റെക്കോർഡ് സ്ഥാപിച്ചു. 2016 ൽ ദ ഗാർഡിയൻ ബെയ്ലിനെ ലോകത്തിലെ ഏഴാമത്തെ ഏറ്റവും മികച്ച ഫുട്ബോളറായി തെരഞ്ഞെടുത്തു. ലഘുചിത്രം|Bale playing for Wales in a qualifying match against Austria in October 2016
ക്ലബ്ബ്
1 Includes Football League Championship play-offs, Supercopa de España, UEFA Super Cup and FIFA Club World Cup.
2 The Spurs goal tally excludes the goal scored against Fulham on 6 November 2011, later ruled as an own goal
ബാഹ്യ കണ്ണികൾ
വർഗ്ഗം:1989-ൽ ജനിച്ചവർ വർഗ്ഗം:ജീവിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രമുഖർ വർഗ്ഗം:വെൽഷ് ഫുട്ബോൾ കളിക്കാർ
വർളി
മഹാരാഷ്ട്രയിലെ മുംബൈ നഗരത്തിലെ ഒരു പ്രദേശമാണ് വർളി. ബോംബെയിലെ ഏഴ് ദ്വീപുകളിൽ ഒരു ദ്വീപ് ആയിരുന്നു വർളി. പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കടൽ നികത്തിയതിനെ തുടർന്ന് ഇത് മറ്റു ദ്വീപുകളോടൊപ്പം സാൽസെറ്റ് ദ്വീപിനോട് ചേർക്കപ്പെട്ടു.
ഭൂമിശാസ്ത്രം
ദക്ഷിണ മുംബൈയുടെ ഭാഗമാണ് വർളി. പടിഞ്ഞാറ് അറബിക്കടൽ, തെക്ക് ഭാഗത്ത് ഹാജി അലി, കിഴക്ക് മഹാലക്ഷ്മി, വടക്ക് പ്രഭാദേവി എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു അതിരുകൾ. മുംബൈ സബർബൻ റെയിൽവേയുടെ പശ്ചിമ ലൈനിൽ വർളിക്ക് ഏറ്റവുമടുത്തുള്ള റെയിൽവേ സ്റ്റേഷൻ മഹാലക്ഷ്മി ആണ്. മധ്യ ലൈനിൽ കറി റോഡ്, പരേൽ, ബൈക്കുള എന്നിവയാണ് അടുത്തുള്ള റെയിൽവേ സ്റ്റേഷനുകൾ. ബാന്ദ്ര-വർളി കടൽപാലം ഈ പ്രദേശത്തെ മുംബൈയുടെ പടിഞ്ഞാറൻ നഗരപ്രാന്തപ്രദേശങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.
സാമ്പത്തികം
1970 കളുടെ അവസാനത്തോടെ വർളി മുംബൈയിലെ ഏറ്റവും തിരക്കേറിയ വാണിജ്യകേന്ദ്രങ്ങളിൽ ഒന്നായി മാറി. ഡോ ആനി ബെസന്റ് റോഡിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ശിവസാഗർ എസ്റ്റേറ്റ് ആയിരുന്നു ഈ മേഖലയിൽ ആദ്യത്തെ പ്രധാന സമുച്ചയം. ജിഎസ്കെ ഫാർമ, ടാറ്റ, ഡെലോയിറ്റ്, നൊവാർട്ടിസ്, എച്ച് ഡി എഫ് സി ബാങ്ക്, യെസ് ബാങ്ക്, സീമെൻസ്, സിയറ്റ് തുടങ്ങിയ നിരവധി കമ്പനികളാണ് ഇവിടെ ഉള്ളത്. ആദിത്യ ബിർള ഗ്രൂപ്പിന്റെ മുഖ്യ ഓഫീസ് ഇവിടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.
അവലംബം
വർഗ്ഗം:മുംബൈയിലെ ജനവാസമേഖലകൾ
പോൾ നീരാളി
സാധാരണ നീരാളി കുടുംബത്തിൽപ്പെട്ട ഒരു നീരാളിയാണ്‌ പോൾ നീരാളി (ഇംഗ്ലീഷ്:Paul the Octopus or Paul Oktopus). ഫുട്ബോൾ മത്സരങ്ങളുടെ ഫലം പ്രവചിച്ചതിലൂടെ ഈ നീരാളി പ്രശസ്തനായി. പ്രത്യേകിച്ചും ജർമ്മനി കളിക്കുന്ന മത്സരങ്ങളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനായിട്ടാണ്‌ ഇതിനെ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. 2010 ലെ ഫുട്ബോൾ ലോകപ്പിലെ ജർമ്മനിയുടെ മത്സരങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ കൃത്യമായി പ്രവചിക്കുക വഴി ഈ നീരാളി ശ്രദ്ധേയത നേടി.
2008 ജനുവരിയിലായിരുന്നു പോളിന്റെ ജനനം. 2010 ഒക്ടോബർ 26-ന് പോൾ നീരാളി കഥാവശേഷനായി. ജർമ്മനിയിലെ ഒരു പ്രധാന ആകർഷണ കേന്ദ്രമായ സീ ലൈഫ് സെന്റേഴ്സ് എന്ന സ്ഥലത്തായിരുന്നു ഇതിനെ സൂക്ഷിച്ചിരുന്നത്.
ആദ്യകാല ജീവിതം
ഇംഗ്ലണ്ടിലെ വെമൗത്തിലുള്ള കടൽ ജീവി കേന്ദ്രത്തിൽ വച്ച് 2008ലാണ് മുട്ടയിൽ നിന്ന് പോളിനെ വിരിയിച്ചെടുത്തത്‌. പിന്നീട് ജർമ്മനിയിലുള്ള ഒബർഹൗസെനിലെ കടൽ ജീവി കേന്ദ്രത്തിലെ ഒരു ടാങ്കിലേക്ക് മാറ്റി. കുട്ടികൾക്കു വേണ്ടി കവിതകൾ എഴുതുന്ന ജർമ്മൻ‌കാരനായ ബൊയ് ലൊർസെന്റെ(Boy Lornsen) Der Tintenfisch Paul Oktopus എന്ന കൃതിയിൽ നിന്നുമാണ്‌ പോൾ എന്ന പേര്‌ തെരെഞ്ഞെടുത്തത്. . ഒബർഹൗസെനിലെ ഡോക്ടർമാരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ അദ്യകാലം മുതൽക്കുതന്നെ പോൾ സമർത്ഥനായിരുന്നു. സന്ദർശകർ ടാങ്കിനടുത്തേക്ക് വരുമ്പോൾ പോൾ അവരെ നോക്കുന്നത് ഒരു പ്രത്യേക രീതിയിലാണ്‌. അപരിചിതമായ ഒരു സ്വഭാവ സവിശേഷതയാണിത്.
അവലംബം
വർഗ്ഗം:പ്രശസ്തരായ മൃഗങ്ങൾ
ഗ്ലൂട്ട
അനാക്കാർഡിയേസീ സസ്യകുടുംബത്തിലെ ഒരു ജനുസ് ആണ് ഗ്ലൂട്ട (Gluta). ഡിങ്ങ് ഹൗവിന്റെ (Ding Hou) പഠനങ്ങൾക്കുമുൻപ് ഇതിലെ പല സ്പീഷിസുകളും Melanorrhoea ജനുസിൽ ആയിരുന്നു ഉൾപ്പെടുത്തിയിരുന്നത്. .
അവലംബം
വർഗ്ഗം:അനാക്കാർഡിയേസീ
പോർട്ടുഗീസുകാർ കേരളത്തിൽ
കേരളത്തിൽ എത്തിയ ആദ്യത്തെ യൂറോപ്യന്മാർ പോർച്ചുഗീസുകാർ ആയിരുന്നു. ഇന്ത്യയിൽ എവിടെയും ആധിപത്യം പിടിച്ചെടുത്ത ആദ്യ വിദേശശക്തി കൂടിയായിരുന്നു അവർ. 14-ാം നൂറ്റാണ്ടിനുശേഷം യൂറോപ്യന്മാർ ഏറ്റെടുത്ത പല യാത്രകളുടെയും ഫലമായി പോർട്ടുഗീസുകാരുടെ വരവ്, തങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് പുതിയ വിപണികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനും അവയ്ക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ പുതിയ അസംസ്കൃത വസ്തുക്കളെയും ഉൽപന്നങ്ങളെയും പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നതിനായും.
1498 മെയ് 20 ന് വാസ്കോ ഡ ഗാമ കോഴിക്കോട് കാപ്പാട് ബീച്ചിൽ കാൽനടയായി. പോർട്ടുഗീസ് രാജാവ് മാനുവൽ ഒന്നാണ് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ സാഹസം വഹിച്ചത്. പോർട്ടുഗീസുകാരുടെ വരവോടെ കേരളത്തിലെ പ്രൈമറി വിദേശ വ്യാപാര പങ്കാളികൾ അറബികൾ ആയിരുന്നു.
കോഴിക്കോട് സാമുതിരി (സാമൂതിരി) ഗാമാരെയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ പരിപാടികളെയും ഊഷ്മളമായി സ്വാഗതം ചെയ്യുകയും കോഴിക്കോട് മാർക്കറ്റിൽ വ്യാപാരം നടത്താൻ അനുമതി നൽകുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ കുരുമുളകിനേയും മറ്റും വിനിമയം ചെയ്യാൻ ഗാമയുടെ ആവശ്യം സാമൂതിരി തള്ളിക്കളഞ്ഞു.
വർഗ്ഗം:കേരളചരിത്രം
മാമ്മൽ സ്പീഷീസ് ഓഫ് ദി വേൾഡ്
സസ്തനികളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരണങ്ങൾ നൽകുന്ന ഒരു അംഗീകൃത ഗ്രന്ഥമാണ് ലോകത്തിലെ സസ്തനികൾ: ഒരു ജൈവവർഗ്ഗീകരണശാസ്ത്രപരവും ഭൂമിശാസ്ത്രപരവുമായ ഗ്രന്ഥം (മാമ്മൽ സ്പീഷീസ് ഓഫ് ദി വേൾഡ്: എ ടാക്സോണമിക് ആൻഡ് ജിയോഗ്രഫിക് റെഫെറെൻസ് , Mammal Species of the World: A Taxonomic and Geographic Reference, MSW). 2005-ൽ ഇതിന്റെ മൂന്നാം പതിപ്പിറങ്ങി.
Bucknell University ആണ് ഇതിന്റെ ഇന്റർനെറ്റ് പതിപ്പ് ലഭ്യമാക്കിയിരിക്കുന്നത്. ഗൂഗിൾ ബുക്സിലും ഇത് ഭാഗികമായി ലഭ്യമാണ്. നാലാം പതിപ്പ് ഉടൻ ഇറങ്ങിയേക്കും.