Питагорова_теорема
Доказ
Јасеновац вклучувајќи го и нови линии Доказот е како што следува: 1.	 Нека АТБ се право-angled триаголник со десен агол кабина. 2.	 На секоја од страните п.н.е., AB, а CA, плоштади се изабени, CBDE, BAGF, и ACIH, во таа цел. 3.	 Од А, повлече линија паралелна на ВД и CE. Таа ќе се сечат perpendicularly п.н.е. и де на K и L, соодветно. 4.	 Датум на пристапување CF и АД, за формирање на триаголници BCF и ИАЛ. 5.	 Агли кабината и BAG се и прав агол; тоа Ц, А, и G се collinear. Слично е и Б, А, и Х 6.	 CBD агли и FBA се и прави агли, поради агол ABD еднаква агол FBC, бидејќи и двете се збирот на прав агол и аголот ABC. 7.	 Од AB и БД се еднакви за полн пансион и п.н.е., односно, триаголник ABD мора да се складни со триаголник FBC. 8.	 Од А е collinear со K и L, правоаголник BDLK мора да бидат двапати во областа на триаголник ABD. 9.	 Од collinear C е со А и Г, плоштад BAGF мора да бидат двапати во областа на триаголник FBC. 10.	 Затоа правоаголник BDLK мора да имаат иста површина како што е плоштадот BAGF = AB 2. 11.	 На сличен начин, може да се покаже дека правоаголник CKLE мора да имаат иста површина како што е плоштадот ACIH = AC 2. 12.	 Додавањето на овие две резултати, 2 AB, AC + 2 = ВД × БК + КЛ × KC 13. Од ВД = КЛ, ВД * БК + КЛ × КЦ = ВД (БК + КЦ) = ВД × п.н.е. 14.	 Затоа 2 AB, AC + 2 = п.н.е. 2, бидејќи CBDE е плоштадот. Овој доказ се појавува во Euclid's Elements, како онаа на Тврдење 1,47. [3] Garfield's доказ James A. Garfield (подоцна претседател на САД) се кредитирани со романот алгебарски доказ: [4] Површина на трапец е каде што h е висина, и s 1 и 2 се и должина на паралелни страни. Значи областа на трапец во бројка е Додека Триаголник 1 и триаголник 2 секој има површина. И триаголник е зона 3 , А тоа е половина од плоштадот на хипотенузата. Тогаш простор на трапец е На две области треба да биде еднаков, така што Затоа, на плоштадот на хипотенузата = збирот на плоштадите по другите две страни: Доказ од страна на одземање Во овој доказ, на плоштадот на плус четири копии хипотенузата на триаголникот можат да бидат собрани во иста форма како на плоштадите на другите две страни плус четири примероци на триаголник. Овој доказ е снимен од Кина. [Се бара извор] Доказ за користење на површина одземање Сличност доказ Од истата шема како што во евклидовите доказ погоре, може да се видат три слични бројки, секој е "на квадрат со триаголник на врвот". Од големиот триаголник е направен на две помали триаголници, неговата област е збир на две области на помалите. Од страна на сличност, на три квадрати се во исти пропорции роднина едни на други како три триаголници, па така и на подрачјето на плоштадот е поголем од збирот на области на две помали квадрати. Доказ од преуредување Доказ за питагоров теорема со преуредување на 4 идентични правоаголни триаголници: Од вкупната површина и областите на сите триаголници се константна, вкупно црна површина е константа. Но, ова може да биде поделена на полиња исцртани од страна на триаголник со страни, б, в, покажува дека 2 + b 2 = c 2. А доказ со преуредување е дадена со илустрација и анимација. Во илустрација, од областа на секој квадратен е голем (а + б) 2. Во двете, на површина од четири идентични триаголници се отстрани. Останатите области, a 2 + b 2 и в 2, се еднакви. QED Анимација покажува еден доказ со преуредување [5] Доказ за користење на преуредување Алгебарска доказ: Еден квадратен создадено од порамнување четири прав агол триаголници и голем плоштад Овој доказ е всушност многу едноставна, но тоа не е основно, во смисла дека тоа не зависи само врз повеќето основните аксиоми и теореми на Евклидовата геометрија. Особено, а тоа е прилично лесно да се даде формула за областа на триаголници и плоштади, тоа не е толку лесно да се докаже дека на површината на квадрат е збир на области на своите парчиња. Всушност, докажувајќи потребните својства е потешко отколку што се докажува питагоров теорема себеси (види Lebesgue мерка и Банах-Тарски парадокс). Всушност, ова се однесува за сите тешкотии Евклидова едноставни докази, вклучувајќи област; на пример, кои произлегуваат од областа на правото триаголник вклучува претпоставката дека таа е половина од областа на правоаголник со иста висина и база. Поради оваа причина, аксиоматски вовед за геометрија обично вработуваат уште еден доказ врз основа на сличноста на триаголници (види погоре). Една третина графички илустрација на питагоров теорема (во жолто и сино кон десно) се вклопува делови на страни 'плоштади во хипотенузата на плоштад. А поврзани доказ ќе покаже дека repositioned делови се идентични со оригиналите, а од збирот на еднакво се рамноправни, дека соодветните области се еднакви. Да покажат дека плоштадот е резултат на една мора да покажат дека должината на новите страни в еднакви. Имај на ум дека за тоа доказ за работа, едно мора да обезбедат начин да се справи со сечење на мал плоштад во сè повеќе и повеќе парчиња, како што одговара на страна станува сè помала и помала. [6] Алгебарска доказ На алгебарски варијанта на овој доказ е предвидено со следново размислување. Гледајќи ги илустрација која е голем плоштад со идентични правоаголни триаголници во нејзините ќошиња, на површина на секоја од овие четири триаголници е даден од страна на соодветните агол со должина од страна на В. А-агол и страна Б-страна на аголот на секоја од овие триаголници се комплементарни агли, така што секој од аглите на сината површина во средината е прав агол, правејќи оваа област на квадрат со должина на страна В. Од областа на ова поле е C 2. Така од областа на сето заедно е дадена со: Сепак, како што има големи квадратни страни со должина од А + Б, ние исто така може да се пресмета нејзината површина како што (А + Б) 2, кои се проширува до A 2 + 2AB + Б 2. (Дистрибуција на 4) (Одземање на 2 AB) Доказ од диференцијални равенки Може да се пристигне во питагоров теорема со научи како промени во земја произведува промена во хипотенузата на следниов дијаграм и вработување на една мала анализа. [7] Доказ за користење на диференцијални равенки Како резултат на промена da во една земја, од сличноста на триаголници и за диференцијални промени. Па врз поделбата на променливи. која резултати од додавање на втор мандат за промени од страна на б. Интегрирањето дава Кога тогаш c = 0 = "б", па "постојано" е б 2. Па Како што може да се види, на плоштадите се должи на особено соодносот помеѓу промени и на страни додека збирот е резултат на самостојна придонесите на промени во земји кој не е видлив од геометриски докази. Од делот даден може да се покажа дека промените во земји се назад пропорционално на страни. На диференцијална равенка укажува на тоа дека теорема се должи на релативно промени и нејзината еволуција е речиси еднакво на пресметување на линија интегрален. Овие количества da DC и соодветно се бескрајно мали промени во и в. Но, ние наместо да користат реални броеви a и Δ Δ в, тогаш ограничување на нивниот сооднос како и нивните големини пристап е нула da / DC, на извод, исто така, и се приближува в / а, односот на должини на страните на триаголници, и диференцијални равенка резултати. Converse На антоним на теоремата е точно, исто така: За сите три позитивни броеви a, b и c таква што на 2 + b 2 = c 2, постои еден триаголник со страни a, b и c, а секој таков триаголник има право агол помеѓу страни на должини a и b. Овој разговор исто така се појавува во Euclid's Elements. Тоа може да се докаже со користење на правото на cosines (види подолу под генерализации), или од следниве докази: Да АБЦ да се триаголник со страна должини a, b, и c, со 2 + b 2 = c 2. Ние треба да докаже дека аголот помеѓу страни a и b е прав агол. Ние изградба на уште еден триаголник со прав агол помеѓу страни a и b должини. Од страна на питагоров теорема, следува дека хипотенузата на триаголникот, исто така, има должина в. Од двата триаголника имаат иста страна должини а, б и в, тие се складни, и така тие мора да имаат исти агли. Затоа, на аголот меѓу страна на должини a и b, во нашата изворна триаголник е прав агол. А последица на питагоров теорема е антоним е едноставен начин за одредување дали триаголник е во право, obtuse, или акутно, како што следува. Таму каде што в е избран да биде најдолго на три страни: •	 Ако на 2 + b 2 = c 2, тогаш триаголник е во право. •	 Ако на 2 + b 2> c 2, тогаш триаголник е акутна. •	 Ако на 2 + b 2 <в 2, потоа на триаголник е obtuse. Последици и користи на теорема Питагоров тројки Главна статија: питагоров трокреветни А питагоров трокреветни има три позитивни цели броеви a, b, и c, така што a 2 + b 2 = c 2. Со други зборови, питагоров трокреветни претставува должини на страните на правоаголен триаголник, каде што сите три страни се целобројни должини. Докази од мегалитски споменици на Северна Европа, покажува дека ваквите тројки беа познати пред откривањето на писмото. Таквата тројно е обично напишана (a, b, c). Некои познати примери се (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Список на примитивниот питагоров тројки до 100 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61) (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97) Постоењето на ирационални броеви Една од последиците на питагоров теорема е дека incommensurable должини (ie. нивниот сооднос е ирационален број), како што е квадратен корен од 2, можат да бидат конструирани. А правоаголен триаголник со нозе како еднаков на една единица должина на хипотенузата е квадратен корен од 2. Доказ дека квадратен корен од 2 е ирационален е спротивно на долго-одржи уверување дека сè беше рационален. Според легендата, Hippasus, кој прв ги покажа на ирационалност на квадратен корен од два, беше се удавил во морето, како последица. [8] Далечина во Декартови координати Растојанието формула во Декартови координати е изведен од питагоров теорема. If (x 0, y 0) и (x 1, y 1) се точки во рамнината, а потоа растојанието меѓу нив, исто така, повика на Евклидовата дистанца, е дадена со Поопшто, во Евклидова n-простор, на Евклидовата растојание меѓу две точки,  и  , Е дефинирана, со користење на питагоров теорема, како што се: Генерализациите Генерализација за слични триаголници, зелена површина = црвена зона На питагоров теорема е генерализирана од Евклид во неговите Елементи: Ако една erects слични бројки (види Евклидовата геометрија) на страни на еден правоаголен триаголник, а потоа збирот на двете области од помалите е еднаква на површината на една поголема. На питагоров теорема е специјален случај на повеќе општи теорема во врска со должини на страните во секој триаголник, во законот на cosines: θ каде е аголот помеѓу страни a и b. Кога θ е 90 степени, тогаш cos (θ) = 0, па формулата се намалува на обично питагоров теорема. Со оглед на два вектора v и w во комплексен производ внатрешен простор, на питагоров теорема зема следната форма: Конкретно, | | V + w | | 2 = | | V | | 2 + | | W | | 2 ако v и w се ортогонален, иако не е нужно антоним е точно. Користење на математичка индукција, претходниот резултат може да се прошири на секој конечен број на pairwise ортогонален вектори. Нека V 1, против 2, ..., V n се вектори во внатрешен простор, така што производот <п з, ѕ v> = 0 за i 1 ≤ <≤ ѕ н. Па потоа На генерализација на овој резултат за бесконечно-димензионален реален внатрешен производ простори е познат како Parseval идентитетот. Кога теорема погоре за вектори во целина е во однос на цврстиот геометрија, станува следнава теорема. Ако линии AB и п.н.е. формира прав агол во B, и линии п.н.е. и CD формира прав агол во C, и ако е CD-то е нормално на рамнината што содржи линии AB и п.н.е., а потоа збирот на плоштадите на должината на АБ, п.н.е., а CD-то е еднаква на квадратен на АД. Доказот е тривијална. Друга генерализација на питагоров теорема со три димензии е де GUA теорема, именувана по Жан Пол де де GUA Malves: Ако тетраедар има право агол на аголот (еден агол како коцка), а потоа на плоштадот од областа на лице спроти десен агол е аголот на збирот на плоштадите на територии на други три лица. Постојат, исто така, analogs на овие теореми во четири димензии и повисока. Во еден триаголник со три острите агли, α + β> γ држи. Затоа, a 2 + b 2> в 2. Во еден триаголник со obtuse агол, α + β <γ држи. Затоа, a 2 + b 2 <C 2. Edsger Dijkstra има изјавено ова тврдење за акутна, десно, и obtuse триаголници на овој јазик: sgn (α + β - γ) = sgn (a 2 + b 2 - в 2) каде α е аголот на спротивната страна а, β е агол на спротивната страна да и б γ е спротивниот агол на страна в. [9] На Питагорова теорема во неевклидова геометрија На Питагорова теорема е изведен од аксиоми на Евклидовата геометрија, и всушност, во форма на Евклидовата теорема питагоров дадени погоре не држи во неевклидовата геометрија. (Тоа се покажа во фактот што треба да се еднакви на Euclid's Parallel (петтиот) постулат.) На пример, во сферна геометрија, сите три страни на правоаголен триаголник bounding на октант на единицата сфера имаат должина еднаква на  ; Оваа крши питагоров Евклидовата теорема, бидејќи. Ова значи дека во неевклидовата геометрија, на питагоров теорема мора нужно да донесе поинаква форма од Евклидовата теорема. Постојат два случаи да се разгледа - сферна геометрија и хиперболичен авион геометрија; во секој случај, како и во Евклидова случај, резултат на следниов начин од соодветниот закон cosines: За какви било правоаголен триаголник во сферата на полупречник R, Питагоровата теорема зема облик Оваа равенка може да се изведе како специјален случај на сферна законот на cosines. Со користење на Maclaurin серија за косинус функција, може да се покаже дека како полупречник R пристапи бесконечност, на сферна форма на питагоров пристапи на Евклидовата теорема форма. За какви било правоаголен триаголник во хиперболичен рамнина (со Gaussian кривини -1), на питагоров теорема зема форма каде палка е на хиперболичен косинус. Со користење на Maclaurin серија за хиперболичен косинус, , Може да се покаже дека како хиперболичен триаголник станува многу мал (односно, како што а, б, в и сите приод нула), на хиперболичен форма на питагоров пристапи на Евклидовата теорема форма. Во комплексот аритметика На Питагора формула се користи за да се најде на растојание меѓу две точки во картезијанската координираат авион, и важи ако сите координати се реални: растојанието меѓу точките (a, b) и (в, г) е √ ((A - C 2) + (б - г) 2). Со комплексни координати, оваа формула разложува, на пример, растојанието меѓу точките (0,1) и (i, 0) ќе изработиме како што е 0, што резултира со reductio реклама absurdum. Тоа е затоа што оваа формула зависи Питагора теорема, која во неговите докази зависи области и области на триаголници и други геометриски фигури зависи од работ линии на овие фигури во внатрешноста на одвојување од надвор, што не се случи, ако може да се координира се сложени. Наместо тоа, за растојанието меѓу точките (a, b) и (в, г) вообичаено е да се користи: (P и q се реални и имагинарни делови од (а - в)) (R и s се реални и имагинарни делови (б - г)) каде  е комплекс спрегнато на z.  На пример, растојанието меѓу точките (0, 1) и (i, 0) ќе работат од 0, ако како комплекс conjugates не беа преземени. Но далечината е Историја Овој дел треба соодветни цитати за верификација. Ве молиме помогнете подобрување на овој член, со додавање на релевантни наводи. Основни материјал може да биде предизвикан и отстранети. (Април 2008)