cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Квадво Асамоа
Јувентус
Следната сезона исто така бил стандарден првотимец по левата страна на таа таканаречена позиција бек/крило. На 16 февруари 2014 година, го постигнал првиот погодок во победата со 3-1 на бјанконерите над Кјево на домашен терен. На 9 март го постигнал единствениот гол во натпреварот за победа над Фјорентина со 1-0 во Торино. Со два гола во 34 настапи во Серија А, придонел за Јуве да ја одбрани титулата и да го освои 30-тото скудето.
На 17 декември 2018 го одиграл својот 150-ти натпоревар во дресот на Јувентус, во ремито 0-0 на гостувањето кај СПАЛ во Серија А. Во јуни 2018, Асамоа станал слободен играч откако одбил да го продолжи договорот со Јувентус.
Интер
На 2 јули 2018, Интер го потврдиле доаѓањето на Квадво Асамоа во нивните редови со слободен трансфер.
Клупска статистика
Статистиката е ажурирана на 18 мај 2014.
Втора фудбалска лига на Македонија 2020/2021
Втората фудбалска лига на Македонија 2020/2021 - 29. издание на Втората фудбалска лига на Македонија. Распоредот бил најавен на 12 август 2020 година. Сезоната започнала на 22 август 2020, а завршила на 15 мај 2021. Секоја екипа ќе игра против друга екипа трипати на основа дома-гости со вкупно 33 натпревари. Во оваа сезона прваци биле Скопје (Запад) и Брегалница 2008 (Исток).
Екипи
1 За време на првата полусезона Тетекс 1953 го носел името Лабуништа 2011.
2 Лабуништа 2011 одиграл еден натпревар (4. коло) на Стадионот Борис Трајковски во Скопје, и еден натпревар на Игралиштето Боговиње (8. коло), и два натпревари на Игралиштето Голема Речица (12. и 14. коло) и на АМС теренот кај СЦ Тетово (18. коло) како домашна екипа.
Местоположба според коло
Табелата ги покажува позициите на екипите по секое завршено коло.
Резултати (Коло 1–18)
1 Службени порази за Вардари поради неодигрување на натпреварите во 12., 17. и 18. коло.
Екипи
1 Кит-Го одиграл еден натпревар (16. коло) на Градскиот стадион Штип како домашна екипа.
2 Победа одиграла еден натпревар (22. коло) на Стадионот Тумбе Кафе во Битола како домашна екипа.
3 Тиквеш 1930 Кавадарци одиграл четири натпревари (2., 5., 12., 13. и 15. коло) на Градскиот стадион Неготино,    и два натпревари на теренот на АМС (7. коло и 10. коло) во Росоман како домашна екипа,  поради реновирањето на домашниот стадион на кавадаречкиот клуб.
Црна Река (Осогово)
Црна Река — река во источниот дел на Македонија, која заедно со Бела Река ја образува Оризарска Река.
Течение
Реката извира на планината Осогово, североисточно од градот Кочани. Нејзиното течение започнува на југоисток, потоа продолжува на југ и во поголемиот дел продолжува на југозапад сè до спојувањето со Бела Река кај селото Речани по што продолжува да тече како Оризарска Река.
Шредингерова равенка
Во класичната механика, Вториот Њутнов закон, (
), се користи за математички да се предвиди што ќе прави еден систем во секоја точка од времето откако е позната почетната состојба. Во квантната механика, аналогна на Њутновиот закон е Шредингеровата равенка за квантен систем (најчесто кај атоми, молекули и субатомски честички кои можат да бидат слободни, сврзани или локализирани). Оваа равенка не е едноставна алгебарска равенка, туку е линеарна парцијална диференцијална равенка, која го опишува развојот на брановата функција на системот со текот на времето.
Концептот на брановата функција е основен постулат на квантната механика. Иако Шредингеровата равенка често е презентирана како посебен постулат некои автори покажуваат дека некои својства добиени од Шредингеровата равенка може да се откријат од самата симетрија на принципите, како комутативниот закон. Главно, „изводи” од Шредингеровата равенка ја демонстрираат нејзината можност за математичко опишување на дуалноста бран-честичка, но досега нема прифатливи изводи од Шредингеровата равенка од приближни начела.
Во копенхагенското толкување на квантната механика, брановата функција е најцелосен опис што може да се даде на еден физички систем. Решенија на Шредингеровата равенка опишуваат не само молекуларни, атомски или субатомски системи, туку и макроскопски системи, а можно е и целиот универзум. Шредингеровата равенка во најопштата форма е доследна со класичната механика и специјалната релативност, но оригиналната формулација на Шредингер била нерелативистичка.
Шредингеровата равенка не е единствениот начин да се прават предвидувања во квантната механика – можат да се користат други формулации, како Вернер-Хајзенберговата механика на матрици, и Ричард-Фајнмановата формулација за интеграл по траекторија.
Временски-зависна равенка
Формата на Шредингеровата равенка зависи од физичката ситуација. Најопшта форма е временски-зависна Шредингерова равенка, која опишува систем кој се развива со време:
каде
i
е имагинарна единица,
ħ
е Планкова константа поделена со
2π
, симболот
∂⁄∂t
покажува парцијален извод во однос на времето
t
Ψ
(грчката буква пси) е брановата функција на квантниот систем, и
Ĥ
е Хамилтоновиот оператор (кој ја опишува вкупната енергија на која било бранова функција и има различна форма од зависност на ситуацијата).
Најпознатиот пример е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи низ електрично поле, но не и низ магнетно поле:
μ
е намалената маса на честичката,
V
е нејзината потенцијална енергија,
∇2
е Лапласовиот оператор и
Временски независна равенка
Ψ
, и резултатот е пропорционален на истата бранова функција
, тогаш
E
, е енергијата на состојбата
.'' Најпознатата манифестација е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи во електрично, но не и магнетно поле.
со дефиниции како оние погоре.
Последици
Шредингеровата равенка и нејзините решенија воведоа важен чекор во размислувањето за физиката. Шредингеровата равенка е прва од својот вид и решенијата доведоа до последици кои беа многу необични и неочекувани во тоа време.
Вкупна, кинетичка и потенцијална енергија
Целосната форма на равенката не е необична или неочекувана бидејќи ги користи принципите на зачувување на енергијата. Термините од нерелативистичката Шредингерова равенка може да се толкуваат како вкупната енергија на системот, еднаква на збирот на кинетичката и потенцијалната енергија на системот. Во овој поглед е исто како и во класичната физика.
Квантизација
Шредингеровата равенка предвидува дека ако одредени својства на системот се измерат, резултатот може да се квантификува, што значи дека само специфични дискретни вредности можат да бидат добиени. Еден пример е „енергетската квантизација”: енергијата на електрон во атом е секогаш едно од квантизираните енергетски нивоа, факт откриен со атомска спектроскопија. Друг пример е квантизацијата на аголен момент. Ова е претпоставка во поранешниот Боров модел на атомот, но е предвидување во Шредингеровата равенка.
Друг резултат од Шредингеровата равенка е дека не секое мерење дава квантизиран резултат во квантната механика. На пример, позитрон, момент, време и енергија можат да имаат која било вредност до одредена граница.
Мерење и неопределеност
Во класичната механика, една честичка има, во секој момент, точна позиција и точен момент. Овие вредности се менуваат како што се движи честичката во однос на Њутновите закони. При копенхагенско толкување на квантната механика, честичките немаат точно определени вредности, и кога се мерат, резултатот е случајно избран од веројатна распределеност. Шредингеровата равенка предвидува кои се веројатностите, но не може да го одреди точниот резултат на мерењето. Хајзенберговиот принцип на неопределеност е приказот на несигурното мерење во квантната механика. Гласи дека колку повеќе се знае позицијата на една честичка, толку помалку се знае нејзиниот момент, и обратно. Шредингеровата равенка ја опишува еволуцијата на брановата функцијa за честичка. Но иако брановата функција е точно позната, резултатот од нејзиното мерење е сè уште несигурен.
Квантно тунелирање
Во класичната физика, кога топка полека се тркала нагоре по едно брдо, таа ќе застане и ќе се тркала назад, бидејќи нема доволно енергија за да се прекачи на другата страна на брдото. Но Шредингеровата равенка предвидува дека има мала веројатност дека топката ќе стигне до другата страна на брдото, иако има премалку енергија да се искачи до врвот. Ова е наречено квантно тунелирање. Поврзано е со распределбата на енергија: иако се претпоставува дека топката се наоѓа на едната страна од брдото, можно е таа да се најде од другата страна.
Честички како бранови
Експериментот на дифракција низ два отвори е познат пример за необичното однесување кое го покажуваат брановите кои не се поврзани со честички. Брановите кои се преклопуваат од двата отвора се поништуваат на некои места а се надоградуваат во некои места, што предизвикува сложена шара. Интуитивно, не може да се очекува ваква шара од фрлање на една честичка кон двата отвора бидејќи честичката ќе помине или низ едниот, или низ другиот отвор, а не комплексно преклопување и на двата.
Но, бидејќи Шредингеровата равенка е бранова равенка, една честичка фрлена низ пречката со два отвора се однесува на овој начин. Експериментот мора да се повтори повеќепати за да се види комплексната шема. Иако е контраинтуитивно, предвидувањето е точно. Особено кај електронската и неутронското расејување, кои се добро разбрани и применети во науката и инженерството.
Поврзано со дифракцијата, честичките исто така покажуваат суперпозиција и интерференција.
Суперпозициските својства ѝ овозможуваат на една честичка да биде во квантна суперпозиција од две или повеќе квантни состојби истовремено. Но квантна состојба во квантната механика ја означува веројатноста дека еден систем ќе биде на пример во позиција
x
, а не дека навистина системот ќе биде во таа позиција. Не значи дека самата честичка ќе биде во две класични состојби истовремено. Квантната механика не може да додели вредности на својствата пред нивното мерење.
Историска основа и развој
Следејќи ја Планковата квантизација на светлината (зрачење на црни тела), Алберт Ајнштајн го толкувал Планковиот квант како фотон, честичка на светлина, и предложил дека енергијата на фотон е пропорционална со неговата честота, еден од првите знаци на дуалната природа на светлината. Бидејќи енергијата и моментот се поврзани на истиот начин како и честотата и брановиот број во специјалната релативност, следува дека моментот
p
на фотон е обратно пропорционален со неговата бранова должина
λ
, и пропорционален со брановиот број
k
.
каде
h
е Планковата константа. Луј де Број претпоставил дека ова е точно за сите честички дури и оние кои имаат маса, како електроните. Тој покажал дека, претпоставувајќи дека бранови од материја се шират заедно со своите соодветни честички, електроните формираат стоечки бранови, што значи дека само одредени дискретни вртежни честоти околу јадрото на атомот се дозволени. Овие квантизирани орбити одговараат на дискретни енергетски нивоа, и Де Број го пресоздал Боровиот модел на формула за енергетските нивоа. Боровиот модел е основан врз претпоставената квантизација на аголниот момент
L
кој одговара на:
Според Де Број, електронот најдобро се опишува како бран, и мора да собира цел број на бранови должини во опсегот на орбитата на електронот.
Овој пристап го ограничува електронскиот бран во една димензија, во кружна орбита со полупречник
r
Во 1921 година, пред Де Број, Артур Ц. Лан на универзитот на Чикаго го искористил истиот аргумент заснован на комплетноста на релативистичкиот енергетско-моментен 4-вектор за да ја добие Де Бројовата врска. За разлика од Де Број, Лан продолжил и ги формирал диференцијалните равенки сега познати како Шредингеровата равенка, и ја решил за енергетските ајгенвредности за водороден атом. За жал, неговото дело било одбиено од „Физичка ревија“.
Следејќи ги идеите на Де Број, физичарот Петер Дебај направил коментар дека ако честичките се однесуваат како бранови, треба да задоволуваат некоја бранова равенка. Инспириран од Дебај, Шредингер одлучил да најде вистинска 3-димензионална бранова равенка за електронот. Вилијам Роуан Хамилтоновата аналогија помеѓу механиката и оптиката му помогнала да заклучи дека границата на брановата должина - нула кај оптиката наликува на механички систем – патеките на светлинските зраци стануваат остри и го следат Ферматовиот принцип, аналоген на принципот на најмалку дејство.
Хамилтон верувал дека механиката е границата на бранова должина нула, но не формулирал равенка за тие бранови. Современа верзија на неговото размислување е прикажана подолу. Равенката која тој ја вовел гласи:
Но, до тоа време, Арнолд Сомерфилд го рафинирал Боровиот модел со релативистички поправки. Шредингер ја искористил врската енергија-момент за да ја открие Клајн-Гордоновата равенка во Кулонов потенцијал (во природни мерни единици):
Ги открил стоечките бранови на оваа релативистичка равенка, но релативистичките поправки не одговарале на Сомерфилдовата формула. Обесхрабрен, ги оставил пресметките и се затворил во изолирана планинска колиба во декември 1925 година.
Додека бил во колибата, Шредингер одлучил дека неговите поранешни нерелативистички пресметки биле доволно нови да се издадат, и одлучил да го остави проблемот на релативистичките исправки на иднината. И покрај тешкотиите во решавањето на диференцијалната равенка за водород (барал помош од неговиот пријател Херман Вејл ) Шредингер покажал дека нерелативистичката верзија на брановата равенка ги давала точните спектрални енергии на водород во дело издадено во 1926 година. Во равенката, Шредингер ги пресметал водородните спектрални серии така што го третирал електронот на водородниот атом како бран
, кој се движи во потенцијална јама
V
, создадена од протонот. Оваа пресметка прецизно ги пресоздава енергетските нивоа на Боровиот модел. Во едно дело, Шредингер објаснил дека равенката гласи:
Веќе споменатата пси-функција е сега средство за предвидување на веројатноста на резултатите на мерењето. Во неа се содржи моментната сума на теоретски заснованото очекување на иднината.
Овој труд од 1926 година бил поддржан од Ајнштајн, кој ги гледал материјалните бранови како интуитивно отсликување на природата, за разлика од Хајзенберговата механика на матрици, која ја сметал за многу формална.
Ψ
но не кажува ништо за неговата природа. Шредингер се обидел да ја толкува како промена во полнежот во неговиот четврти труд, но не бил успешен. Во 1926 година, неколку дена по издавањето на Шрединеровиот четврти и последен труд, Макс Борн успешно го толкувал
Луј де Број предложил реална бранова функција поврзана со комплексната бранова функција со константа за пропорционалност и ја развил теоријата Де Број-Бор.
Бранова равенка за честички
Шредингеровата равенка е бранова равенка, бидејќи решенијата се функции кои опишуваат брановидни движења. Брановите равенки во физиката нормално се добиваат од други физички закони – брановата равенка за механички вибрации кај струни и во материја може да се добијат од Њутновите закони – каде брановата функција го претставува поместувањето на материјата, и електромагнетните бранови од Максвеловите равенки, каде брановите функции се електрични и магнетни полиња. Основата за Шредингеровата равенка е енергијата на системот и посебниот постулат на квантната механика: Брановата функција е опис на системот. Шредингеровата равенка е нов концепт сама по себе. Како што кажал Фајнман:
Основата на равенката е линеарна диференцијална равенка основана на класичното зачувување на енергијата, и е согласни со Де Бројовите релации. Решението на брановата функција
Мирјана Карановиќ
Мирјана Карановиќ (српски: Мирјана Карановић) — српска и југословенска театарска и филмска глумица.
Шредингерова равенка
Бранова равенка за честички
, која ја содржи сета информација која може да се знае за системот. Во копенхагенското толкување, модулот на
ψ
Мирјана Карановиќ
Животопис
Дипломирала во 1984. година, на Факултетот за драмски уметности во Белград, со улогата во претставата „Големо и мало“ на Бото Штраус. За нејзиниот општествен ангажман била одликувана со наградата „Освојување на слободата“.
Шредингерова равенка
Бранова равенка за честички
е поврзан со веројатноста дека честичките се наоѓаат во некоја просторна конфигурација во некој момент од времето. Решавањето на равенката за
Мирјана Карановиќ
Кариера
Својата прва филмска улога Мирјана Карановиќ ја остварила на возраст од 23 години, во филмот „Венецот на Петрија“. Паралелно со филмската кариера, таа настапувала на театарските сцени во повеќе театарски куќи, како: „Југословенско драмско позориште“, „Звездара театар“, „Београдско драмско позориште“, „Битеф театар“, „Атеље 212“, „Камерни театар 55“, „Центар за културну деконтаминацију“, итн. За остварените улоги, Карановиќ ги добила сите релевантни српски и југословенски награди за театар и за филм, а некои од нив и повеќапати. Исто така, таа е наградена и со „Златна мечка“ на Берлинскиот филмски фестивал, како и со Францускиот орден „Витез на културата и уметноста“.
Шредингерова равенка
Бранова равенка за честички
може да се користи за да се предвиди како ќе се однесуваат честичките под дејство на одреден потенцијал и меѓусебно.
Доследност со законот за зачувување на енергија
Вкупната енергија
E
на една честичка е збирот на кинетичката енергија
и потенцијалната енергија
V
, овој збир е исто така израз на Хамилтоновиот оператор
H
во класичната механика:
Експлицитно, за честичка во една димензија со позиција
, маса
m
и момент
, и потенцијална енергија
која варира со позицијата и време
t
За три димензии, позицискиот вектор
r
и моментниот вектор
p
мора да се користат:
Ова може да се примени на кој било број на честички: вкупната енергија на системот е вкупната кинетичка енергија на честичките плус вкупната потенцијална енергија. Но може да има заемнодејства меѓу честичките, па потенцијалната енергија
може да се менува со промената на просторната конфигурација на честичките и со времето. Потенцијалната енергија не е збир на посебните потенцијални енергии на сите честички, туку е функција од сите просторни позиции на честичките. Експлицитно:
Линеарност
Наједноставната бранова функција е рамен бран со форма:
каде
A
е амплитудата,
k
ω
е аголната честота на рамниот бран. Главно, физичките ситуации не се опишани само со рамни бранови, па се бара принципот на суперпозиција за да може да се генерализира. Секој бран може да се состави со суперпозиција на синусиодни рамни бранови. Така, ако равенката е линеарна, линеарна комбинација на рамни бранови е дозволена како решение.
е збир на суперпозицијата на рамните бранови:
За некои реални коефициенти за амплитудата
An
сумата станува интеграл, Фуриеова трансформација на моментната просторна бранова функција:
е диференцијалниот зафатнински елемент во [[моментен простор|
-просторот]], и интегралите се земени од
-просторот. Моментната бранова функција
Φ(k)
се јавува во интеграндот бидејќи позицијата и моментната просторна бранова функција се Фуриеови трансформации една од друга.
Доследност со Де Бројовите релации
Ајнштајновата хипотеза на светлински кванти (1905) гласи дека енергијата
E
на фотон е пропорционална со честотата
ν
(или аголната честота,
) на соодветниот квант светлина:
Слично, Де Бројовата хипотеза (1924) гласи дека секоја честичка може да се поврзе со бран, и дека моментот
p
на честичка е обратно пропорционален со брановата должина
λ
на таков бран (пропорционална на брановиот број,
), во една димензија: А во три димензии, брановата должина
е поврзана со магнитудата на брановиот вектор
k
Планк-Ајнштајновите и Де Бројовите релации ја покажуваат поврзаноста на енергијата и времето, просторот со моментот, и ја изразуваат дуалноста честичка-бран. Практично се користат природни единици
се користат бидејќи Де Бројовите равенки може да се редуцираат до идентитети: Дозволувајќи моментот, брановиот број, енергија и честота да се користат со разменување на нивните места, за да се спречи дупликација на квантитетите, и да се намали бројот на квантитети поврзани со димензии.
и открил дека парцијалните изводи од прв ред се:
Друг постулат на квантната механика е дека се набљудува се претставува со линеарен Ермитски оператор кој дејствува на брановата функција и ајгенвредностите на операторот се вредностите кои ги зема набљудуваното. Претходните изводи се доследни на енергетскиот оператор, соодветен за временскиот извод,
каде
се енергетските вредности, и моментниот оператор соодветен на просторните изводи (градиентот)
∇
),
е вектор од вредностите на моментот. Погоре, „капите“ " (
ˆ
) покажуваат дека овие променливи се оператори, не едноставни бројки или вектори. Енергетските и моментните оператори се диференцијални оператори, а функцијата на потенцијалната енергија
V
е мултипликативен фактор.
Со замена на енергетскиот и моментниот оператор во класичната равенка за зачувување на енергијата се добива операторот:
Примената на овој оператор на брановата функција
Ψ
веднаш го довела Шредингер до неговата равенка:
Двојноста на бран-честичката може да се процени од овие равенки на следниот начин. Кинетичката енергија
T
. Како што се зголемува моментот на честичката, кинетичката енергија се зголемува се побрзо, но бидејќи брановиот број
се зголемува, брановата должина
се намалува.
Кинетичката енергија е пропорционална со вториот просторен извод, па е пропорционална и со магнитудата на закривеноста на бранот:
Како што се зголемува закривеноста, амплитудата на бранот се менува меѓу позитивна и негативна побрзо, и се скусува брановата должина. Инверзната врска помеѓу моментот и брановата должина е доследна со енергијата што ја има честичката, и така енергијата на честичката има поврзаност со бранот, се во една иста математичка формулација.
Движење на бран и честичка
Шредингер барал бранов пакет близу до позицијата
r
k
се движи по патот одреден од класичната механика за доволно кратко време за ширењето
(и брзината) да не го покачи многу ширењето во
. Бидејќи за дадено ширење во
, ширењето на брзината е пропорционално со Планковата константа
ħ
, и некогаш се вели дека како границата на
се доближува до нула, равенките на класична механика се добиваат од квантната механика.
Гранична кратка бранова должина е еквивалентна со
кое се стреми кон нула затоа што ова е граничен случај на зголемување на локализацијата на брановите пакети кај позицијата на честичката. Користејќи го Хајзенберговиот принцип на неопределеност за позиција и момент, производите на неодреденоста на позицијата и моментот се нули како што
ħ → 0
каде
σ
ја покажува несигурноста во мерењето за
x
px
(слично и за
y
и
z
правците) кое значи дека позицијата и моментот „може-не може“ да се знаат со голема точност во оваа граница.
Шредингеровата равенка во својата општа форма
S
H
е Хамилтоновата функција. Тука, генерализираните координати
за
може да се наместат на позицијата на картезијанските координати бидејќи
.
Преку замената
ρ
е густината на веројатноста во Шредингеровата равенка и со поставување на границата
во добиената равенка се добива Хамилтон-Јакобивата равенка.
Последиците се следниве:
Нерелативистичка квантна механика
Квантната механика кај честичките без да се зема предвид специјалната релативност (за честички кои се движат со брзина многу помала од светлината) е позната како нерелативистичка квантна механика. Следуваат повеќе форми на Шредингеровата равенка за различни ситуации. Во реалноста, честичките кои го сочинуваат системот не ги имаат бројчените имиња користени во теоријата. Јазикот на математиката нè тера да ги именуваме нивните позиции, инаку би имало конфузија за тоа што значат симболите и кои променливи се однесуваат на некоја честичка.
Временски независна формула
Ако Хамилтоновиот оператор не е експлицитна функција од времето, равенката може да се подели во производи од просторни и временски делови. Брановата функција главно ја зазема формата:
каде
ψ(просторни координати)
τ(t)
е функција од времето.
Со замена на
ψ
во Шредингеровата равенка со релевантниот број на честички во релевантниот број на димензии и решавање со разделување на променливите се добива равенката:
Бидејќи временски зависниот фазен фактор е секогаш ист, само просторниот дел треба да се реши за временски независни проблеми. Дополнително, енергетскиот оператор
E
, така временски независната Шредингерова равенка е равенка со природна вредност за Хамилтоновиот оператор:
Ова е точно за кој било број на честички во колку било димензии. Овој случај опишува решенијата на стоечки бран за временски зависната равенка, кои се состојбите со одредена енергија. Во физиката, овие стоечки бранови се наречени стационарни состојби или природни состојби на енергијата. Во хемијата се наречени атомски орбитали или молекулски орбитали. Суперпозициите на природните вредности на енергијата ги менуваат својствата во зависност од релативните фази помеѓу енергетските нивоа.
Природните вредности на енергијата од оваа равенка формираат дискретен спектар од вредности, па математички мора да се квантизира енергијата. Природните вредности на енергијата формираат база – која било бранова функција може да се запише како збир од дискретните енергетски состојби или интеграл од постојаните енергетски состојби. Ова е спектралната теорија во математиката.
Еднодимензионални примери
За честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:
Со замена на ова во општата Шредингерова равенка се добива:
Ова е единствениот случај каде Шредингеровата равенка е обична диференцијална равенка, а не парцијална. Решенијата секогаш имаат форма:
За
N
честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:
Каде позицијата на честичката
n
е
xn
. Соодветната Шредингерова равенка е:
Па општите решенија имаат форма:
За честички кои не си дејствуваат, Потенцијалот на системот дејствува на секоја честичка поединечно, па вкупната потенцијална енергија е збирот на потенцијалните енергии за сите честички:
И брановата функција може да се запише како производ од брановите функции за секоја честичка:
Слободна честичка
За нула потенцијал,
, па честичката е слободна и равенката гласи:
која има осцилаторни решенија за
(
Cn
се произволни константи):
и експоненцијални решенија за
E < 0
Константен потенцијал
За константен потенцијал,
, решението е осцилаторно за
E > V0
и експоненцијално за
E < V0
, соодветно на енергиите кои се дозволени во класичната механика. Осцилаторните решенија имаат класично дозволена енергија и одговараат на вистински класични движења, а експоненцијалните решенија имаат недозволена енергија и опишуваат мало количество на квантно протекување во класично недозволен регион, поради квантно тунелирање. Ако потенцијалот
V0
расте до бесконечност, движењето е класично ограничено во конечен простор. Гледано од доволно далеку, секое решение се редуцира до експоненцијално; условот дека експоненцијалното се намалува ги ограничува енергетските нивоа во дискретен сет наречен дозволени енергии.
Хармониски осцилатор
Шредингеровата равенка за оваа ситуација е
Системот има група на решенија, кои во основата се:
каде
, и функциите
Hn
се Ермитски полиноми.
Тридимензионални примери
Продолжувањето од една димензија во три димензии е едноставно, сите позиции и моментни оператори се заменети со нивните тридимензионални форми и парцијални изводи со запазување на просторот, кој е заменет од градиентскиот оператор.
Хамилтоновиот оператор за една честичка во три димензии е:
Со решенија за стационарни состојби со форма:
Каде позицијата на честичка е
r
. Два корисни координатни системи за решавање на Шредингеровата равенка се картезијанските координати, така да
и сферните поларни координати така да
За
N
честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:
Каде позицијата на честичка
n
е
rn
и градиентские оператори се парцијални изводи. Во картезијанските координати за честичка
, позицискиот вектор е
а градиентот и Лапласовиот оператор се:
Шредингеровата равенка е:
Со решенија за стационарни состојби:
За честички кои не заемнодејствуваат, потенцијалот е сума на потенцијалите на сите честички
За идентични честички кои не заемнодејствуаат, потенцијалот е сума, но брановата функција е сума од пермутации и производи. Претходните две равенки не важат за честички кои заемнодејствуваат. Следат примери каде точно се определени решенијата.
Водороден атом
Оваа форма на Шредингеровата равенка може да се примени за водороден атом:
каде
e
е електронскиот полнеж,
r
е позицијата на електронот (
е магнитудата на позицијата), потенцијалниот термин е поради Кулонова интеракција, каде
ε0
е електричната константа и
mp
и електрон со маса
me
. Негативниот знак се јавува во потенцијалниот термин бидејќи протонот и електронот имаат спротивни полнежи. Редукцијата на маса наместо масата на електронот се користи затоа што електрон и протон заедно се кружат околу заеднички центар на маса, и составуваат проблем со две тела. Движењето на електронот е од интерес, па еквивалентниот проблем со едно тело е движењето на електрон користејќи ја редуцираната маса.
Брановата функција за водород е функција од координатите на електронот и може да се подели во функции од секоја координата Обично ова се прави во сферни поларни координати:
R
се функции од полупречник и
се сферни хармонии со степен
ℓ
и ред
m
. Ова е единствениот атом за кој била решена Шредингеровата равенка точно. Повеќе електронски атоми бараат приближни методи. Групата на решенија се:
каде:
n − ℓ − 1
.
n, ℓ, m
се основен квантен број, азимутски квантен број и магнетен квантен број, соодветно. Тие ги земаат вредностите:
Атоми или јони со два електрони
Равенката за кој било систем со два електрони, како неутралниот атом на хелиум, (He,
), негативниот водороден јон (H−,
), или позитивниот јон на литиум (Li+,
r1
е позицијата на еден електрон (
е неговата магнитуда),
r2
е позицијата на другиот електрон (
е магнитудата),
r12
е магнитудата на разделување меѓу нив дадена со
е редуцираната маса на електрон, со земање предвид јадро со маса
M
, па овој пат
е атомскиот број за елементот (не е квантен број).
Вкрстувањето на два Лапласови оператори
е познато како поларизација на масата, што се јавува поради движењето на атомското јадро. Брановата функција е функција од позициите на двата електрона:
Оваа равенка нема решение од затворен облик.
Временски зависна равенка
И решението, брановата функција, е функција од сите координати на сите честички во системот и времето. Следуваат специфични случаи.
За една честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е
Со што се добива равенката:
N
честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:
n
За една честичка во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:
За
честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:
Каде позицијата на честичката
е
rn
, со што се добива равенката:
Оваа равенка е во многу висока димензија, па решенијата не може да се визуализираат.
Методи на решавање
Постојат повеќе методи на решавање на Шредингеровата равенка кои може да се поделат во две групи: 1) општи методи и 2) посебни методи. Во групата на општи методи спаѓаат примената на теоријата на вознемиреност, варијацискиот метод, квантните методи Монте Карло, теоријата за густина на функцијата, како и Венцел-Крамерс-Брилуиновата приближност и полукласичното проширување. Во групата на посебни методи, пак, се вбројуваат разни квантно-механички системи со аналитички решенија и Хартри-Фоковите методи.
Својства
Шредингеровата равенка ги има следните својства: Некои се корисни, но има недостатоци. Овие својства се јавуваат поради користениот Хамилтонов оператор, и решенијата на равенката.
Линеарност
Во развојот, Шредингеровата равенка била направена линеарна за да биде општа, но ова има други импликации. Ако две бранови функции
ψ1
и
ψ2
се решенија, тогаш која било линеарна комбинација од двете
a
b
се кои било комплексни броеви. Ова својство овозможува квантната суперпозиција на квантните состојби да биде решение за Шредингеровата равенка. Уште по општо, може да се најде општо решение за Шредингеровата равенка така што ќе се земе збир од сите можни решенија за една состојба. На пример, ако ја разгледуваме брановата функција
Ψ(x, t)
така да брановата функција е производ од две функции, една временски зависна, а другата независна. Ако состојбите на дефинитивната енергија добиени од временски независната Шредингерова равенка се дадени од
ψE(x)
со амплитуда
и временски зависен фазен фактор добиен од
тогаш прифатливо решение е
Дополнително, способноста да се прави размер на решенијата, дозволува да се реши бранова функција без прво да се нормализира. Ако се има сет на нормализирани решенија
ψn
Може да се нормализира, така што
Ова е попогодно отколку прво да се провери дека
Реални природни вредности на енергијата
ψ1
и
ψ2
се решенија за временски независната равенка со иста енергија
E
, тогаш исто е и со секоја линеарна комбинација:
Две различни решенија со иста енергија се наречени “дегенерирани”.
Во произволен потенцијал, ако бранова функција
ψ
е решение на временски независната равенка, тогаш решение е и конјугиран комплексен број, назначен
ψ*
. Со земање на линеарни комбинации, реалниот и имагинарниот дел на