cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Васил Антевски - Дрен
Животопис
Заедно со уште 24 комунисти, на 27 април 1942 година Антевски е изведен пред суд во Скопје и на 9 мај е осуден на смрт со бесење. Откако поминува уште три месеци во скопскиот затвор, на 15 август, заедно со Периша Савелиќ, Љубомир Лековиќ и Чедомир Миленковиќ, е префрлен во затворот во Софија, каде е убиен. Во неговото пледоаје, јавно ја осудил бугарската окупација на Македонија, по што е осуден на смрт со стрелање и застрелан во Софискиот затвор.
Тинда
Тинда (Ты́нда) — град во Амурската Област, Русија. Има население од.
Васил Антевски - Дрен
Животопис
Запомнето е неговот излагање пред судиите на кои им се обратил со зборовите: "Ние сме револуционери и знаеме зошто ги даваме животите. Знаеме дека ќе умреме, но ќе дојде време, кога ќе ви судат партизаните ...Зборувавте дека и донесовте слобода на Македонија, а вашата слобода е оваа! - рекол и ги покажал веригите на своите раце."Во негова чест е испеана партизанската песна „Од Софија жален глас се слуша“. Покрај тоа, Економско–правното средно училиште во Скопје од 1993 година го носи неговото име, а неговото име го носи и една железничка станица на линијата Велес-Прилеп.
Васил Антевски во литературата
Македонскиот истакнат писател Димитар Солев, во 1980 година го издава романот „Дрен“ со биографска содржина, посветен на Васил Антевски каде што хронолошки е опфатен и раскажан целиот негов живот.
Рускаја (поларна станица)
Рускаја (Русская) била поранешна советска и руска антарктичка истражувачка станица која се наоѓла на Рупертовиот Брег, во Земјата на Мери Берд во Западен Антарктик. Станицата била предложена во 1973 година и одобрена во 1978 година. Изградбата започнала следната година и била отворена на 9 март 1980 година и официјално била напуштена во 1990 година.
Клима
За брегот на Антарктикот, ветровите се сметаат за прилично силни. Просечниот број на денови годишно со брзина на ветер 15 м. сек во областа околу станицата е 264, а на 136 од нив брзината на ветерот е над 30 м. сек. Просечната температура во најстудените месеци јули-август е -20 C; во најтоплите месеци декември-јануари е - 2 ф. Најниската температура некогаш забележана на станицата била -46,4 C во 1985 година, а најтоплата била 7,4 C во 1983 година. Просечната вкупна температура во текот на една година е -12 C, а просечната количина на снежни врнежи е околу 166 mm.
1936 во музиката
1936 година во музиката содржи некои значајни настани.
Завитинск
Завитинск (Завити́нск) — град во Амурската област, Русија. Има население од.
Ча-ча-ча
Ча-ча-ча — еден од најновите латино-танци. Настанал од мамбото во танцовите сали на Америка, во почетокот на 50-те години на минатиот век. Како и сите други танци и ча-ча-ча има повеќе приказни повразани за неговото создавање, а меѓу приказните што ја следат неговата кореографија е таа за кубанските проститутки и муштериите кои се ценкале, кога тие се обоидувале да им докажат колку навистина вредат и оти вредело времето што го минале со нив. Од ова произлегува дека ча-ча-ча е мошне предизвикувачки и слободен танц, со движење на колковите и многу сугестивни фигури. Поради ваквата приказна танчерската двојка може да игра на дистанца и практично без допири во текот на целата кореографија.
Алберсрода
Алберсрода (Albersroda) — село и поранешна општина во округот Зале, во Саксонија-Анхалт, Германија. Од 1 јануари 2010 е дел од општината Штајгра.
Лисичар
Лисичар е голем ловечки загар. Лисичарите ловат во глутници и, како и сите загари-намирисувачи, имаат силно развиен мирис. Се користат во лов на лисици, па оттаму доаѓа и нивното име. Во лов кучињата се придружувани од ловците на коњи и патуваат километри за да го догонат пленот. Овие кучиња имаат силен природен инстикт за ловење и се енергични и активни.
1935 во музиката
1935 година во музиката содржи некои значајни настани.
Караимски јазик
Караимски јазик — туркиски јазик со големо хебрејско влијание на сличен начин како со јидиш и ладино. Се зборува од кримските Караими — етнички еврејски староседелци на Крим, Литванија, Полска и западна Украина. Има малку активни говорници. Поделен е на три дијалекти: кримски, тракајско-вилнушки и лутско-халички.
Летна универзијада - 1965
IV Летна универзијада — универзијада одржала од 20 до 30 август 1965 во Будимпешта, Унгарија.
Касас дел Пуерто де Виљаторо
Касас дел Перто де Виљаторо — општина во покраината Авила на автономната заедница Кастиља и Леон во Шпанија.
1934 во музиката
1934 година во музиката содржи некои значајни настани.
Пасо добле
Пасо добле (pasodoble = „двоен чекор“) — танц со потекло од Шпанија кој претставува имитација на основните чекори во движењето на матадорите во текот на борбата со бикови (корида). Од сите 10 танци, во овој мажот (матадорот) е во ценатрот на вниманеието. На девојката ѝ останува да ја одигра улогата на плаштот или на бикот. Овој танц обично се учи последен бидејќи се заснова на претходно утврдена кореографија која мора да има три фрази, за да ја следи музиката и на крајот на секоја фраза постои таканаречен Хиглигхт кој мора да се одигра во точно одредено време, така што нема многу простор за интерпретација и водење, а камоли за импровизација.
Долна Лужица
Долна Лужица е област во источниот дел на Германија на границата со Чешка. Најважни градови се Либен (Љубин) и Лукау (Луков). Областа е двојазична, со оглед на тоа дека тука живеат Лужички Срби кои зборуваат свој словенски јазик — долнолужички.
NGC 3226
NGC 3226 — елиптична галаксија во соѕвездието Лав, заведена во Новиот општ каталог на длабоконебесни тела.
Објектот бил предмет и на други истражувања, па освен како NGC 3226 се споменува и како UGC 5617, MCG 3-27-15, CGCG 94-26, KCPG 234A, Arp 94, VV 209.
Откривање
Објектот е откриен на 15 февруари 1784 година од страна на Вилијам Хершел, со помош на рефлекторски телескоп, чијашто леќа имала пречник од 18,7 см.
Податоци од набљудување
Според морфолошката класификација на галаксиите, NGC 3226 е од видот E2. Видливиот сјај со голо око изнесува 11,4 m, а оној во рамките на интервалот од минималната до максималната честота 12,3 m, додека површинскиот сјај изнесува 13,7 m/лм2. NGC 3226 има привидни димензии од 2,8' х 2'.
Астрономски податоци
Објектот е од епохата Ј2000.0. Неговата ректасцензија, односно аголот измерен меѓу еклиптиката и небесниот екватор со теме во пролетната точка, изнесува 10 ч 23 м 26,9 с, а неговата деклинација, односно висината на лакот на тој агол, + 19° 53' 51". Положбениот агол на објектот е во износ од 29°.
Други поделби
Проучување на NGC 3226 е вршено од повеќе истражувачи, па поради тоа е вклучен и во други познати збирки според различн критериуми на поделба. Така, во Каталогот на најважните галаксии (PGC), објектот се среќава со ознаката 30440. Во рамките на атласот на длабокото небо, Уранометрија 2000.00, објектот припаѓа на групата означена со бројот 144; додека во Каталогот на основни ѕвезди (GSC) е групиран под бројот 1423. Објектот е забележан и во фотографското истражување спроведено од Паломарската опсерваторија во 1958 година, каде што се споменува во групата под број 58.
NGC 1278
NGC 1278 — елиптична галаксија во соѕвездието Персеј, заведена во Новиот општ каталог на длабоконебесни тела.
Објектот бил предмет и на други истражувања, па освен како NGC 1278 се споменува и како IC 1907, UGC 2670, MCG 7-7-65, CGCG 540-105.
Откривање
Објектот е откриен на 17 октомври 1786 година од страна на Вилијам Хершел, со помош на рефлекторски телескоп, чијашто леќа имала пречник од 18,7 см.
Астрономски податоци
Објектот е од епохата Ј2000.0. Неговата ректасцензија, односно аголот измерен меѓу еклиптиката и небесниот екватор со теме во пролетната точка, изнесува 3 ч 19 м 54,1 с, а неговата деклинација, односно висината на лакот на тој агол, + 41° 33' 49". Положбениот агол на објектот е во износ од 102°.
Други поделби
Проучување на NGC 1278 е вршено од повеќе истражувачи, па поради тоа е вклучен и во други познати збирки според различн критериуми на поделба. Така, во Каталогот на најважните галаксии (PGC), објектот се среќава со ознаката 12438. Во рамките на атласот на длабокото небо, Уранометрија 2000.00, објектот припаѓа на групата означена со бројот 63; додека во Каталогот на основни ѕвезди (GSC) е групиран под бројот 2856. Објектот е забележан и во фотографското истражување спроведено од Паломарската опсерваторија во 1958 година, каде што се споменува во групата под број 1618.
Џамија на шеесет кубиња
Џамијата на шеесет кубиња (бенгалски: ষাট গম্বুজ মসজিদ)) е џамија која се наоѓа во Багерхат, Бангладеш. Оваа џамија ја претставува една од најинпресивните муслимански архитектурни елементи кои се користат при изградбата . Објектот бил изграден во времето на Кан Џахан Али во 15 век.
Космос-2307
Космос-2307 — еден од над 2.400 советски вештачки сателити лансирани во рамките на програмата „Космос“.
Општи податоци
Сателитот е лансиран од космодромот Тјуратам, Бајконур, Казахстан на 7 март 1995 г. Во орбитата околу планетата Земја бил исфрлен од носечка ракета. Масата на сателитот при лансирањето изнесувала 1400 килограми. Космос-2307 бил навигациски сателит ГЛОНАСС.
Орбитални податоци
Исфрлувањето на сателитот било на орбита околу Земјата на средна висина. Периодот на обиколување на сателитот околу Земјата изнесувал 675,6 минути, додека аголот на наклонетост на орбиталната рамнина во однос на рамнината на екваторот изнесувала 64,7°. Најголемото растојание од Земјата го достигнал на 9146 км, а најмалото на 9112.
Белман-Фордов алгоритам
Функционирање на алгоритмот
За разлика од алгоритмот на Дајкстра, каде се бележи кое теме веќе посетено, во алгоритмот на Белман-Форд само се бележи растојанието кон сите темиња од изворот. Ова се прави бидејќи темињата се посетуваат повеќепати (заради дозволените негативни тежини).
Нека D(u) е од изворот I до некое теме u во даден граф, (u, v) е ребро од теме u до v од графот, и W(u, v) е тежина на реброто (u, v). На почеток, D(I) е 0, бидејќи растојанието од изворот до изворот е нула. Сите останати темиња добиваат, бидејќи нема патека без темиња кон нив.
Потоа, за сите (u, v), се проверува дали е помало од D(v), и го променуваме D(v) доколку е, соодветно. Со една ваква итерација на сите ребра алгоритмот не би го открил најкраткиот пат, бидејќи не ги проверува сите можни патеки. Како решение на овој проблем, алгоритмот се извршува |V|-1 пати, каде V e бројот на темиња. Временската комплексност на овој алгоритам е, каде |E| е бројот на ребра во графот.
Имплементација
Пример за типична имплементација на овој алгоритам во програмскиот јазик Пајтон 3, без проверка за постоење на негативни циклуси во графот:
Пример со конкретен граф
На сликата е прикажан насочен тежински граф со четири темиња кој содржи негативни тежини, и проблемот е да се пронајде најкратката патека од Тања до Филип:
Со повикување на претходно дефинираната функција со изворно теме Тања, добиваме подреден пар (D, P) кој содржи најкраток пат од Тања до сите темиња, каде D(u) е должината на патеката кон u како број, а P(u) е претходното оптимално теме на u.
Доказ
Основен случај. Кога i=0, потребна е патека од изворното теме до останатите темиња u, но патеката треба да има 0 ребра. Бидејќи D(I) = 0 (растојанието од изворот до изворот е 0), а за сите останати темиња u, (што е точно бидејќи нема патека кон u со 0 ребра), условот е задоволен.
Индуктивен случај. Кога некое теме има променета оддалеченост од изворот, се извршува каде W(u ,v) е тежината на реброто (u, v). Од индуктивната претпоставка, D(u) е должината на некоја патека од изворот до u. Тогаш е должината на патеката од изворот до v (што оди од изворот I до u, и потоа v).
Да претпоставиме дека P е најкратката патека (може да постојат повеќе) од извор до u со највеќе i темиња. Нека v е темето пред u во патеката P. Тогаш, најкратката патека од изворот до v со највеќе i-1 темиња ќе е делот од патеката од изворот до u без u. Од индуктивната претпоставка, D(v) после i-1 повторувања е највеќе должината на таа патека од изворот до v. Затоа, е највеќе должината на P. Во i-тата итерација, се споредува D(u) со  и се променува вредноста на D(u) доколку претходниот израз е помал. Така, после i итерации, D(u) e највеќе должината на P, односно должината на најкратката патека од изворот кон u.
Старе Полеше
Старе Полеше (Stare Polesie) — село во општината Леонќин во Новодвурскиот Округ на Мазовското Војводство, средна Полска.
Офсајд
Офсајд или недозволена позиција - правило во фудбалот кое одредува дека играчот на екипата во напад, во моментот кога му се упатува топката од негов соиграч, мора да биде во линија или зад најмалку двајца противнички играчи (од кои еден најчесто е противничкиот голман).
Примена на офсајдот
Офсајдот може да се подели на три дела:
Недозволена позиција
Во 2005 година одборот на ФИФА донел ново правило во однос на офсајдот, спрема кое во офсајд е играч кому барем дел од телото (глава, стапало...) му е поблиску до гол-линијата на противничкиот гол од топката и од некој противнички играч.
Ова правило значи дека екипата која напаѓа мора да води сметка противничката екипа да има барем двајца играчи (сметајќи го и голманот) помеѓу гол-линијата и некој нивен играч, или сите играчи на екипата која напаѓа да се зад топката, така таа би била поблиску до гол-линијата од кој било нивен играч.
Битно е да се напомене дека екипата чиј играч е во недозволена позиција не смее веднаш да се казни со досудување офсајд. До прекин на нападот доаѓа дури кога на играчот во напад кој е во недозволена позиција му се упати топката. Играчот не е во офсајд ако топката ја добил од противнички играч или од свој играч од прекин, под услов тој прекин да не е слободен удар, или ако е на својата половина од теренот.
Досудување офсајд
Играч кој се наоѓа во недозволена позиција треба да се санкционира само ако во тој момент некој од неговите соиграчи ја упати топката до него, намерно или случајно. Тогаш тој активно учествува во играта а се наоѓа во недозволена позиција.
Се смета дека играчот е во недозволена позиција тогаш кога топката нему му е упатена. Доколку топката му е упатена кога не бил во таква позиција, нема офсајд. Доколку играчот во офсајд тргне назад во дозволена позиција, без оглед на тоа што се обидува да излезе од недозволена позиција и оди назад, и понатаму се гледа каде се наоѓал кога топката му била упатена. Дали играчот активно учествува во играта е сложено прашање. Во 2003 година, ФИФА донела одлуки кои тоа го одредуваат, а тие се во примена од јули 2005 година.
Санкција на офсајдот
Офсајдот се санкционира со индиректен удар за противникот на местото каде што бил играчот во недозволена позиција во моментот кога соиграч му додал или ја допрел топката.
NGC 5625/1
NGC 5625/1 — галаксија во соѕвездието Воловар, заведена во Новиот општ каталог на длабоконебесни тела. Објектот не претставува Дрееров објект.
Објектот бил предмет и на други истражувања, па освен како NGC 5625/1 се споменува и како MCG 7-30-13, CGCG 220-17, VV 24.
Откривање
Објектот е откриен на 28 април 1827 година од страна на Џон Хершел, со помош на рефлекторски телескоп, чијашто леќа имала пречник од 18,7 см.
Податоци од набљудување
Според морфолошката класификација на галаксиите, NGC 5625/1 е од видот C. Видливиот сјај со голо око изнесува 15 m, а оној во рамките на интервалот од минималната до максималната честота 16 m, додека површинскиот сјај изнесува 11,8 m/лм2. NGC 5625/1 има привидни димензии од 0,3' х 0,2'.
Астрономски податоци
Објектот е од епохата Ј2000.0. Неговата ректасцензија, односно аголот измерен меѓу еклиптиката и небесниот екватор со теме во пролетната точка, изнесува 14 ч 27 м 0,5 с, а неговата деклинација, односно висината на лакот на тој агол, +39° 57' 23"". Положбениот агол на објектот е во износ од 110°.
Други поделби
Проучување на NGC 5625/1 е вршено од повеќе истражувачи, па поради тоа е вклучен и во други познати збирки според различн критериуми на поделба. Така, во Каталогот на најважните галаксии (PGC), објектот се среќава со ознаката. Во рамките на атласот на длабокото небо, Уранометрија 2000.00, објектот припаѓа на групата означена со бројот 77; додека во Каталогот на основни ѕвезди (GSC) е групиран под бројот 3036. Објектот е забележан и во фотографското истражување спроведено од Паломарската опсерваторија во 1958 година, каде што се споменува во групата под број 145.
Милошево
Милошево — село во Општина Крушево, во околината на градот Крушево.
Географија и местоположба
Ова мало село се наоѓа во јужниот рамничарски дел на Општина Крушево. Селото е рамничарско, на надморска височина од 650 метри. Од градот Крушево селото е оддалечено 13 километри.
Милошево е мало потпланинско село на средина на патот помеѓу Пресил на југ и Свето Митрани на север.
Селото има низински тип и куќите му се поредени покрај патот во насока север-југ.
Историја
Селото е основано во 1923 година од колонисти во Далмација, населени на утрина (земја за пасење). Тогаш селото било основано во самата Пелагонија, 2 километри источно од денешното место (близу Крушеани). Меѓутоа, мештаните таму не можеле да живеат поради поплави. Во 1939 година, населението било преместено на денешното место.
Во 1941 година било укинато името Милошево и се водело како маало на соседното Пресил.
Во 1942 година, Милошево имало девет српски домаќинства. Тогаш, бугарските окупатори во секоја куќа го убиле домаќинот, а жените и децата ги протерале.
Населбата била обновена по Втората светска војна од мештаните кои се вратиле. Тогаш, селото повторно го вратило својот статус на село.
Стопанство
Бидејќи Милошево има заеднички атар со селото Пресил, за него нема одделни податоци за аграрната структура, односно не се води посебна катастарска евиденција.
Население
Според пописот од 2002 година, во селото Милошево живееле 50 жители, од кои 38 Македонци и 12 Срби.
Според последниот попис од 2021 година, во селото живееле 42 жители, сите Македонци.
Родови
Милошево е македонско-српско село.
Според истражувањата на Јован Трифуноски во 1952 година родови во селото се:
Самоуправа и политика
Селото влегува во рамките на Општина Крушево, која била една од ретките општини во Македонија која не била изменета при територијалната поделба во 2004 година. Во периодот од 1996-2004 година, селото припаѓало на тогашната Општина Крушево.
Во периодот од 1955 до 1996 година, селото се наоѓало во рамките на големата општина Крушево.
Во периодот 1952-1955, селото било дел од тогашната Општина Кривогаштани, во која покрај селото Врбоец, се наоѓале и селата Годивје, Кореница, Кривогаштани, Крушеани, Локвени, Милошево, Свето Митрани и Турско. Селото влегувало во рамки на Општина Свето Митрани во периодот 1950-1952, кога во нејзе се наоѓале селата Врбоец, Милошево, Пресил и Свето Митрани.
Избирачко место
Во селото постои избирачкото место бр. 1200 според Државната изборна комисија, сместено во простории на приватен објект.
На претседателските избори во 2019 година, на ова избирачко место биле запишани вкупно 40 гласачи. На локалните избори во 2021 година, на ова избирачко место биле запишани вкупно 40 гласачи.
Логаритам
Логаритам — број што го покажува степенот на кој треба да се дигне основниот број за да се добие бараниот број. Логаритмот е обратна операција на степенувањето, исто како што делењето е обратна операција на множењето и обратно. Тоа значи дека логаритам од некој број е степенот на којшто друг број треба да се степенува за да истиот се добие. Во наједноставен случај логаритмот ги брои повторените множења на ист множител, на пример, бидејќи
, „логаритмот со основа
10
“ од
1000
Потпретседател на Парагвај
Потпретседателот на Парагвај е втората најголема политичка функција во Парагвај, веднаш зад претседателот на државата. Потпретседателот се избира со на истиот начин како и претседателот, во исто време, и тој може да биде претседател, ако претседателот не може да ја извршува функцијата. Потпретседателството било воведено со уставот од 1844 година. Претходно, претседателот сам назначувал кој е потпретседател.
Логаритам
е
3
. Поопшто, степенувањето овозможува кој било реален број да се степенува на кој било степен, притоа дава позитивен резултат, така што може да се пресмета логаритам за кои било два позитивни реални броеви
b
и
x
каде
е различен од
1
. Логаритам од
со „основа“
, обележан како
logb (x)
(или
logb x
за да нема забуни), е единствениот реален број
y
така што
by = x
log2 64 = 6
, со оглед дека
64 = 26
.
Логаритмот со основа
(што значи
) се нарекува десетичен логаритам и има бројни примени во науката и инженерството. Природниот логаритам за основа го има [[е (математичка константа)|бројот
e
]] (
≈ 2,718
), и истиот нашироко се користи во математиката и физиката заради неговиот поедноставен извод. Основата на двоичниот логаритам е
2
b = 2
Логаритмите биле воведени од Џон Непер на почетокот на XVII век како средство за поедноставување на пресметките. Брзо биле прифатени од морепловците, научниците, инженерите и други за поедноставно пресметување со користење на логаритмари и логаритамски таблици. Заморните чекори на множење на повеќецифрени броеви може да се заменат со податоци од табела и поедноставното собирање заради тоа што логаритам од производ е збир од логаритмите од множениците: под услов
,
b ≠ 1
Денешниот поим за логаритам доаѓа од Леонард Ојлер, кој го поврзал логаритмот со експоненцијалната функција во XVIII век.
Мотивација и дефиниција
Идејата на логаритмот е да биде обратна операција на операцијата степенување, која претставува дигање на некој број на степен. На пример, трет степен (или куб) од 2 е 8, бидејќи 8 е производ од три множеници по 2:
.
Степенување
Трет степен од некој број b е производ на три множеници еднакви на b. Поопшто, дигање на бројот b на n-ти степен, каде n е природен број, се добива со множење n множеници еднакви на b. n-ти степен од b се пишува како
bn
, така што
Степенувањето може да се прошири на
by
, каде b е позитивен број, а „степенот“ y е кој било реален број. На пример,
b−1
е реципрочна на b, што е,
1/b
. (За повеќе поединости видете степенување или )
Дефиниција
Логаритам од позитивен реален број x со основа b, каде што b е позитивен реален број различен од 1, е степенот на кој b треба да се крене за да се добие x. Со други зборови, логаритам од x со основа b е решението y на равенката
Логаритмот се бележи "
logb x
" (се изговара „логаритам од x со основа b"), така што горниот дефинициски идентитет станува:
Во равенката
y = logb x
, вредноста y е одговор на прашањето „На кој степен треба да се дигне b за да се добие x?“.
Примери
, бидејќи
.
log10150
е приближно 2,176, што е меѓу 2 и 3, исто како што 150 лежи меѓу
и
logb 1 = 0
, соодветно.
Логаритамски идентитети
Повеќе битни формули, наречени и логаритамски идентитети или логаритамски закони, ги даваат меѓусебните врски на логаритмите.
Производ, количник, степен, и корен
Логаритам од производ е сума од логаритмите од броевите кои се множат; логаритам од количник од два броја е разлика од логаритмите на деленикот и делителот. Логаритам од p-ти степен на број е p пати од логаритмот од самиот тој број; логаритам од p-ти корен е логаритам од бројот поделен со p. Во следната табела е даден список на идентитети со примери. Секој од идентитетите може да биде изведен со замена на дефинициите за логаритам или  на левата страна од идентитетот.
Промена на основата
Логаритмот
logbx
може да биде пресметан од логаритмите на x и b со која било произволна основа k користејќи ја следната формула:
Почнувајќи од дефиницискиот идентитет
Можеме да ги логаритмираме со
logk
двете страни од равенката и ќе добиеме
Решавајќи по \log_b x добиваме:
Што го покажува факторот на претворање од дадените \log_k-вредности до нивните соодветни \log_b-вредности кои треба да бидат
Типичен научно сметало пресметува логаритми со основи 10 и e. Логаритми со која било основа b може да се определат користејќи кој било од овие два логаритма според претходната формула: Со дадениот број x и неговиот логаритам
со непозната основа b, основата е дадена со:
Посебни основи
десно|мини|upright=1.35|alt=График со логаритамски криви кои ја минуваат x-оската каде што x е 1 и продолжуваат кон минус бесконечност долж y-оската.| [[График на функција|Графикот на логаритам со основа 2 ја минува x оската (хоризонталната оска) во 1 и минува низ точките со координати (2, 1), (4, 2), и (8, 3). На пример,
, бидејќи
. Кривата се приближува произволно блиску до y оската, но не ја допира или сече.]]
Меѓу сите избори за основа, три се особено чести. Тоа се
b = 10
,
b = e
(ирационална математичка константа ≈ 2,71828), и
b = 2
(двоичен логаритам). Во математичката анализа, логаритмот со основа e се користи нашироко заради неговите посебни аналитички својства објаснети подолу. Од друга страна, логаритмите со основа base-10 се лесни за користење при рачни пресметки во децималниот броен систем: Така,
се однесува на бројот на декадни цифри на позитивен цел број x: бројот на цифри е најмалиот цел број строго поголем од log10x. На пример,
log101430
е приближно еднаков на 3,15. Следниот цел број е 4, кој го дава бројот на цифри на 1430. И двата, природниот логаритам и двоичниот логаритам се користат во теоријата на информации, а како основни единици за информација ги користат натовите и битовите, соодветно. Двоичните логаритми исто така се користат во информатиката, каде двоичниот броен систем е сеприсутен, во музичката теорија каде што е сеприсутен во односот меѓу две октави, и во фотографијата за мерење на вредноста на експозиција.
Во следната табела се дадени најчестите обележувања за логаритмите со овие основи и полиња на нивната примена. Во многу дисциплини се пишува
logx
наместо
logbx
, каде што основата може да се одреди од контекстот. Се користи и обележувањето
blogx
. Колоната „ИСО обележување“ ги дава обележувањата препорачани од Меѓународната организација за стандардизација. Бидејќи обележувањето
log x
се користи за сите три основи (или кога основата е неопределена или нематеријална), основата треба да произлезе врз основа на контекстот или дисциплината. Во информатиката и математиката, вообичаено log се однесува на
log2
и
, соодветно. Во други контексти log често значи
.
Историја
Историјата на логаритмот почнува во седумнаесеттиот век во Европа со откритието на нова функција која прошири сферата на анализата вон опфатот на алгебарските методи. Методот со логаритми првпат бил јавно објавен од Џон Непер во 1614 година во книгата насловена Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис на чудесното правило на логаритмите). И пред откритието на Непер имало други техники со слични опфати како простаферезата или користењето на таблици на прогресии, кои ги развил Јост Бирги околу 1600 година.
Десетичен логаритам од број е индексот од тој степен на десет кој е еднаков тој број. Кога се зборува за број кој бара толку многу цифри е груба алузија на десетичниот логаритам и истиот Архимед го спомнува како „ред на бројот“. Првите реални логаритми биле евристички методи за множењето да премине во собирање и на тој начин да овозможи брзо пресметување. Некои од овие методи користеле таблици изведени од тригонометриски идентитети. Таквите методи се нарекуваат простафереза.
Откривањето на функцијата денес позната како природен логаритам почнало како обид да се најде површината (квадратура) на правоаголна хипербола на Грегоар де Сен-Венсан, белгиски језуит кој живеел во Прага. Архимед ја напишал Квадратура на парабола во третиот век п.н.е., но квадратурата на хипербола им одолеала на сите напори сè додека Сен-Венсан не ги објавил своите резултати во 1647 година. Односот кој логаритмот го дава меѓу геометриската прогресија и нејзиниот аргумент и аритметичката прогресија од вредности, го поттикнала А. А. де Сараса да ја поврзе квадратурата на Сен-Венсан и логаритмите во простаферезата, што доведува до терминот „хиперболичен логаритам“, синоним за природниот логаритам. Многу брзо новата функција била ценете од Кристијан Хајгенс, Патави и Џемс Грегори. Ознаката log y ја вовел Лајбниц во 1675 година. и следната година го поврзал со интегралот
Логаритамски таблици, логаритмари и историски апликации
Со поедноставувањето на тешките пресметки, логаритмот придонел за напредок на науката, особено на астрономијата. Логаритмот бил од особено значење во геодетските мерења, небесната навигација и други домени. Пјер-Симон Лаплас за логаритмот рекол:
Клучна алатка која овозможила практична примена на логаритмите пред сметалата (дигитроните) и сметачите биле логаритамските таблици. Првата таква таблица била составена од Хенри Бригс (математичар)Хенри Бригс во 1617 година, веднаш по Неперовото откритие. Овие таблици ги содржеле вредностите на
logbx
и
bx
за кој било број x во одреден опсег, со одредена точност, за одредена основа b (вообичаено
b = 10
). На пример, Бригсовата прва таблица ги содржела декадните логаритми од сите цели броеви во опсегот од 1 до 1000 со точност од 14 цифри. Со оглед дека функцијата
е обратна функција на logbx, наречена била антилогаритам. Производ и количник на два позитивни броја c и d рутински биле пресметувани како суми и разлика од нивните логаритми. Производот cd или количникот c/d се добива со антилогаритам од сумата или разликата, исто така и од истата табела:: и
За рачни пресметки кои бараат значителна точност, исчитувањето на двата логаритма, пресметувањето на нивната сума или разлика и исчитувањето на антилогаритмот е доста побрз отколку множењето со поранешните методи како простаферезата, која се заснова на тригонометриски идентитети. Пресметката на степени и n-ти корени се сведуваат на множење или делење и исчитувања од таблици:
Многу логаритамски таблици ги изразуваат логаритмите како мантиса и одлика од x, односно како целоброен дел и децимален дел од
log10x
. Одликата на
10 • x
е еден плус одликата на x, а нивните мантиси се исти. Ова го проширува опфатот на логаритамските таблици: со дадена таблица
за сите цели броеви x од 1 до 1000, логаритам од 3542 се апроксимира со
Друга важна апликација бил логаритмарот, пар на логаритамски поделени скали за пресметка како што е илустрирано на сликата.
Аналитички својства
За подлабока студија на логаритмите неопходен е концептот на функција (математика)функција. Функција е правило според кое за даден број се добива друг. Пример за функција која го дава x-ти степен од b од кој било реален број x, каде основата b е фиксен број. Функцијата се запишува:
Логаритамска функција
Може да се покаже дека ова својство важи за функцијата
f(x) = bx
y > 0
лежи меѓу
f(x0)
и
f(x1)
за соодветно
x0
x1
. Оттука, теоремата за средна вредност осигурува дека равенката
f(x) = y
b > 1
), или монотоно опаѓачка (за
0 < b < 1
).
Единственото решение x логаритам од y со основа b,
logby
Главната одлика на функцијата
logbx
е формулата за нејзиниот производ поточно, логаритам со која било основа
е единствената растечка функција f од позитивните реални броеви кои го задоволуваат
f(b) = 1
Обратна функција
[[Податотека:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|десно|мини|Графикот на логаритамската функција
logb(x)
(син) е добиени со рефлектирање на графикот на функцијата
bx
(црвен) во однос на дијагоналната линија (
x = y
).|alt=The graphs of two functions.]] Формулата за логаритам од степен на кој било број x е, Искажано со зборови,
x-ти
степен на b и потоа логаритам со основа
base-b
дава x. Обратно, за даден позитивен број y, формулата Кажува дека прво вадење логаритам, а степенување го дава истиот број y. Според тоа, двете можни комбинации од логаритмирање и степенување го даваат оригиналниот број. Значи, логаритам со основа b е обратна функција на
.
Обраните функции се тесно поврзани со оригиналните функции. Нивните графици меѓусебно кореспондираат со промена на x и y координатите (или по огледално пресликување на дијагоналната линија x = y), како што е прикажано десно: точката
(t, u = bt)
на графикот f одговара на точката
(u, t = logbu)
на графикот на логаритамот и обратно. Како последица на тоа, logb(x) дивергираат во бесконечност (станува поголем од кој било даден број) ако x расте во бесконечност, под услов b да е поголем од еден. Во тој случај,
е растечка функција. За
b < 1
,
тежи кон минус бесконечност. Кога x се приближува до нула,
logbx
оди во минус бесконечност за
b > 1
(плус бесконечност за
, соодветно).
Извод и антиизвод
десно|мини|220|Графикот на [[природен логаритам|природниот логаритам (зелен) и неговата тангента во
(црн)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.]] Аналитичките својства на функциите преминуваат на нивните обратни функции. Така, бидејќи
f(x) = bx
е непрекината и диференцијабилна функција, таква е и
logby
. Приближно, непрекината функција е диференцијабилна ако нејзиниот график нема остри „ќошови“. Покрај тоа, како што изводот од
f(x)
е
ln(b)bx
согласно својствата на експоненцијалната услуга, според правилото за извод од сложени функции изводот од
logbx
е даден си Значи, наклонот на тангентата која го допира логаритамот со
основа-b
во точката
(x, logb(x))
е еднаков на
1/(x ln(b))
.
1/x
што има вредност 0 за
x =1
. Ова е многу едноставна формула што навело природниот логаритам да се нарече „природен“; истото е исто така една од главните причини за битноста на константата e.
Изводот со генерализиран функционален аргумент
е Количникот на десната страна се нарекува логаритамски извод од f. Пресметувањето
f ' (x)
со помош на извод од
ln(f(x))
е познато како логаритамско диференцирање. Антиизводот од природен логаритам
ln(x)
е: Соодветните формули, како антиизводи од логаритми со други основи може да се изведат од оваа равенка користејќи промена на основата.
Претставување на природниот логаритам со интеграл
десно|мини| [[Природен логаритам од t е осенчаната површина под графикот на функцијата
f(x) = 1/x
(реципрочна на x).|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.]] Природен логаритам од t е еднаков на интеграл од 1/x dx од 1 до t: Со други зборови,
ln(t)
е еднаков на површината меѓу оската x и графикот на функцијата
, за
x = 1
до
x = t
(сликата десно). Ова е последица на основната теорема на анализата и фактот дека извод од
ln(x)
е
1/x
ln(tu) = ln(t) + ln(u)
е изведена како:
Равенството (1) го дели интегралот на два дела, додека равенството (2) е промена на променливата (
w = x/t
). На долната илустрација, поделбата одговара на површините во жолта и сина боја. Менувајќи ја левата сина страна, вертикално за фактор t и кратејќи ја со истиот фактор хоризонтално не ја менува неговата големина. Поместувајќи ја соодветно, површината повторно одговара на графикот на функцијата
. Значи, сината површина на левата страна, која е интеграл од
f(x)
од t до tu е иста како интегралот од 1 до u. Ова го поткрепува равенството (2) со погеометриски доказ.
Формулата за степен
ln(tr) = r ln(t)
Второто равенство користи смена на променливите (интегрирање со смена на променливата),
w = x1/r
Збирот од реципрочните вредности од природните броеви, се нарекува хармониски ред. Тој е тесно поврзан со природниот логаритам: кога n тежнее кон бесконечност, разликата, конвергира (т.е., доаѓа произволно блиску) кон број познат како Ојлер–Маскерониева константа. Овој врска помага во анализата на перформансите на алгоритми како што е квиксорт.
Постојат и некои други претставувања на логаритмот во форма на интеграл кои се корисни во некои ситуации:
Првиот идентитет може да се верифицира со покажување дека тој има иста вредност во
, и ист извод. Вториот идентитет може да се докаже запишувајќи и вметнувајќи Лапласова трансформација на
cos(xt)
(и
cos(t)
).
Трансценденција на логаритмот
Реалните броеви кои не се алгебарски се нарекуваат трансцендентни; на пример, Pi и е се такви броеви, но не е. Логаритмот е пример за трансцендентна функција. Гелфонд–Шнајдеровата теорема тврди дека вообичаено логаритмите земаат трнсцендентни, т.е., „тешки“ вредности.
Пресметување
Во некои случаи логаритмите лесно се пресметуваат, на пример
log10(1000) = 3
. Во општ случај, логаритмите може да се пресметаат користејќи степенени редови или аритметичко-геометриска средина, или со вадење податоци од претходно пресметанa логаритамска таблица која обезбедува фиксна точност. Њутновиот метод, итеративен метод за приближно решавање на равенки, може исто така да се користи за пресметување логаритам, бидејќи неговата обратна функција, експоненцијалната функција, може ефикасно да се пресмета. Користејќи таблици, за пресметување на логаритми може да се користат методи слични на методата CORDIC, доколку на располагање се само собирањето и поместувањето (шифт) на битови. Освен тоа, двоичниот логаритамски алгоритам го пресметува
lb(x)
рекурзивно заснован на повторени коренувања на x, искористувајќи ја предноста на релацијата
Степенени редови
[[Податотека:Taylor approximation of natural logarithm.gif|десно|мини|Тејлоровиот ред of
. Анимацијата ги покажува првите 10 апроксимации со 99-тата и 100-тата. Апроксимациите не конвергираат после растојанието од 1 од центарот.|alt=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.]] За кој било реален број z кој задоволува
0 < z < 2
, важи следната формула: Ова е скратеница за исказот дека
ln(z)
може да биде апроксимиран до сè поточна вредност со следните изрази: На пример, со
третата апроксимација дава 0,4167, што е околу 0,011 повеќе од
ln(1,5) = 0,405465
. Овој ред го апроксимира
со произволна точност, под услов бројот на собироци да е доволно голем. Во елементарната математичка анализа,
е гранична вредност на редот. Тоа е Тејлоров ред од природен логаритам во
z = 1
. Тејлоровиот ред од
кога z е мал,
z = 0,1
првата апроксимација дава
ln(1,1) ≈ 0,1
, што е за 5% помала од коректната вредност 0,0953.
z > 0
z = 1,5
, првите три члена од вториот ред апроксимира
ln(1,5)
y ≈ ln(z)
, така што
.
За пресметување на логаритми од цели броеви може да се искористи тесно поврзан метод. Од горниот ред, следува дека: Ако е познат логаритмот на голем цел број n, тогаш редот станува брзо конвергентен ред за
Апроксимација со аритметичко-геометриска средина
Аритметичко-геометриската средина дава апроксимации со голема точност за природен логаритам. Во 1982 година Сасаки и Канада покажале дека истиот бил особено брз за точност меѓу 400 и 1000 децимални места, додека методите со Тејлоров ред биле типично побрзи кога била потребна помала точност. Во нивната работа
ln(x)
е апроксимиран со точност
2−p
Тука
M(x,y)
ја означува аритметичко-геометриската средина од x и y. Истата се добива со повторени пресметувања на средната вредност
(x+y)/2
(аритметичка средина) и \sqrt{xy} (геометриска средина) од x и y тогаш нека овие два броја станат следните x и y. Двата броја брзо конвергираат кон заедничка гранична вредност чија вредност е
. m се избира така што
да има повеќе чекори (првичните x и y се подалеку, па се потребни повеќе чекори за конвергирање) но дава поголема точност. Константите
pi
и
ln(2)
Фајнманов алгоритам
Додека работел на проектот Менхетен во Националната лабораторија Лос Аламос, Ричард Фајнман развил алгоритам сличен на алгоритмот за делење кој подоцна бил искористен во Конекшен машин (Connection Machine). Алгоритмот го користи фактот што секој реален број 1 < x < 2 е еднозначно претставен како производ од посебни множители во форма 1 + 2^{-k}. Алгоритмот секвенцијално го гради тој производ P: ако, потоа го менува P во. Потоа го зголемува k за еден. Алгоритмот запира кога k е доволно голем за да ја даде бараната точност. Бидејќи \log(x) е збир од членови во форма што одговараат на оние k за кои множителот 1 + 2^{-k} бил вклучен во производот P, \log(x) може да биде пресметан со едноставно собирање користејќи ја таблицата на  за сите k. За логаритамската таблица може да се користи која било основа.