Огастес_де_Морган
Математичка Работа
Последните два можеме да ги наречеме правила на редукција. Де Морган се труди да даде комплетен збир на законите кои алгебарските симболи мора да ги почитуваат, и вели: „Секој систем на симболи кој ги почитува овие закони и никои други, освен оние кои се направени со комбинација на дадениве, и кои ги користат претходните симболи, и никои други, освен новите симболи кои се добиени со изведување од дадениве и комбинирање на дадениве, е алгебра на симболи.“ Од негова гледна точка ниеден од горенаведените принципи не е правило; тие се формални закони, т.е. произволно одбрани врски каде што алгебарските симболи мора да бидат субјекти. Тој не го споменува законот, кој веќе бил посочен од Грегори, кој гласи (a + b) + c = a + (b + c),(ab)c = a(bc) и на кој подоцна му беше дадено името закон на асоцијација. Доколку кумулативноит закон не важи, асоцијативниот може да важи, но не и обратно. Несреќна околкност за симболистот или формалистот е тоа да во универзалната аритметика mn не е еднакво на  nm; бидејќи таму кумулативниот закон ќе може целосно да биде применет. Но зошто да не се примени целосно? Бидејќи основит ена алгебрата се, реални, а не формални, материјални а не симболични. Формалистите се многу тврдоглави кога ги користат операциите со индексите, со последици каде што бидејќи не ги земаат в обзир, а потоа ги потиснувааат во применетата математика. Да се даде опис на законите кои симболите на алгебрата мора да ги почитуваат е невозможно, и не потсеќа на задачата која ја имале филозофите кои се обидувале да го опишат a priori знаењето на умот. Де моргановата работа насловена како Тригонометрија и двојна алгебра се состои од два дела, првиот кој е опис на Тригонометријата, а вториот е опис на генерализираната алгебра која тоја ја нарекува двојна алгебра. Но што мисли со тоа Двојна кога зборува за алгебра? И зошто тригонометријата треба да биде опишана во истата книга? Првите чекори на решавањето на алгебрата се аритметички, каде се појавуваат само бројки и симноли од типот +,. Следната фаза е универзална аритметика, каде се појавуваат букви наместо бројки, кои ги означуваат бројките унуверзално, а процесите се извршени без да бидат познати вредностите на симболите. Нека a и b се некои броеви; тогаш израз како a-b може да е невозможен; така што во универзалната аритметикасекогаш постои провисо, услов дека операцијата е изводлива. Третиот дел е Единечна алгебра каде симболите може да означуваат број напред, или број назад, и е адекватно претставена со сегменти на права линија која поминува низ координатен почеток. Негативните вредности тогаш не се невозможни; тие се претставени со задниот сегмент. Но сепак постои невозможност за решавање во израз како што е  којшто се појавува при решавањето на квадратните равенки. Четвртата фаза е двојна алгебра, каде симболот генерално опишува сегмент на права на некоја рамнина; тоа е двоен симбол бидејќи содржи две одлики, должина и насока; а  се толкува како ознака за квадрант. Изразот  тогаш претставува линија во рамнината која има абсциса а и ордината b. Арганд и Варен ја однесоа двојната алгебра дотаму; но не успеаја да да објаснат со оваа теорија израз како. Де Морган се обиде да го направи тоа со сведување на тој израз до формата , и сметаше дека покажал дека тоа е во секој случај возможно. Значаен факт е тоа да оваа двојна алгебра ги задоволува сите формални закони наведени погоре, и бидејќи секоја навидум невозможна комбинација на симболи е толкувана, ова личи на комплетна форма на алгебра.