cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Simbolinė logika
Ekvivalentiškumas
3. Distributyvumo dėsniai – reglamentuoja narių įkėlimą į skliaustus ir iškėlimą iš skliaustų esant įvairiavardėms jungtims.
1. |= (p→q)↔(¬p∨q);
2. |= (p→q)↔¬(p∧¬q);
3. |= (p∨q)↔(¬p→q);
4. |= (p∨q)↔¬(¬p∧¬q);
6. |= (p∧q)↔¬(¬p∨¬q);
7. |= (p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)].
1. |= (p∧p) ↔p;
2. |= (p∧t) ↔p;
3. |= (p∧k) ↔k;
4. |= (p∨p)↔p;
5. |= (p∨t)↔t;
Edwin Flack
Edwin Harold Flack (1873 m. lapkričio 5 d. Londone – 1935 m. sausio 10 d. Bervike) – JK gimęs, bet emigravęs ir Australijai atstovavęs vidutinių ir ilgų nuotolių bėgikas, bei tenisininkas. Pirmasis Australijos olimpietis ir olimpinis čempionas.
Simbolinė logika
Ekvivalentiškumas
6. |= (p∨k)↔p;
Implikacijos tautologijos
Jeigu žmogus jaučia, kad naujoji mintis yra teisinga tik dėl to, kad teisinga pirmoji, tai šios mintys yra siejamos implikacija „→“. Ji yra sudaryta iš dviejų dalių, kurios visados turi tokius teisingumo lentelių reikšmių atitikmenis, jos negalimas dalykas, kad esant reikšmei t iš kairės pusės, jai atitiktų reikšmė k iš dešinės pusės. Implikacijos tautologijų ir loginio išplaukimo santykio ryšį nusako dedukcijos teorema: Tegu duotos dvi išraiškos: p ir p. Išraiška p → p bus tautologija (|= p → p) tada ir tik tada, kaip p |= p.
Edwin Flack
1896 m. vasaros olimpinės žaidynės
Edwin Flack tapo pirmuoju Australijos olimpiečiu. Sportininkas varžėsi abiejuose vidutinių nuotolių bėgimuose ir maratono bėgime bei dvejose teniso rungtyse.
Lengvoji atletika
NBG – sportininkas nebaigė distancijos.
Simbolinė logika
Implikacijos tautologijos
2. Prieštaravimo išvedimas – jeigu iš teiginio p išplaukia jo neiginys ¬p, tai teisingas yra jo neiginys ¬p. Paradoksas.
1. Simplifikacijos dėsnis – jei teisinga kelių teiginių konjunkcija, tai teisingi ir patys teiginiai.
2. Adicijos dėsnis – jei klaidingas kažkoks teiginys, tai teisinga ir jo disjunkcija su bet kuriuo kitu teiginiu.
1. Griežtosios alternatyvos teigimas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas tiktai vienas ir iš tikrųjų teisingas yra p, tai q yra klaidingas.
2. Griežtosios alternatyvos neigimas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas tiktai vienas ir iš tikrųjų p yra klaidingas, tai q yra teisingas.
3. Disjunktyvus silogizmas – jeigu iš dviejų teiginių p arba q gali būti teisingas arba vienas, arba kitas, arba abu, ir iš tikrųjų p yra klaidingas, tai q yra teisingas.
4. Modus ponens – jei iš p išplaukia q ir p yra teisingas, reiškia teisingas ir q.
5. Modus tollens – jei iš p išplaukia q ir q yra klaidingas, reiškia klaidingas ir p.
6. Kontrapozicijos dėsnis – jei iš p išplaukia q, tai iš ¬q išplaukia ¬p (ir atvirkščiai, t. y. iš tikrųjų skliaustai ekvivalentiški).
7. Hipotetinis silogizmas – jei iš p išplaukia q ir iš q išplaukia r, tai iš p išplaukia r.
Predikatų logika
Tai, apie ką yra tvirtinama, vadinama sprendimo subjektu, tai, kas yra tvirtinama, vadinama sprendimo predikatu, o kalbos išraiška, kuria pasakomas sprendimas yra vadinama teiginiu. Predikatų logika užsiiminėja išraiškomis, skirtomis nagrinėti sprendimų predikatus. Jose predikatai yra žymimi prasminiais simboliais, o subjektais gali būti bet kurie objektai, kurie yra užrašomi kaip kintamieji. Predikatų logikoje naudojami simboliai turi savo pavadinimus:
Kai teiginio subjektas yra vienas objektas, tai tokios prepozicinės funkcijos yra vadinamos vienviečiais predikatais arba savybėmis. Kai teiginio subjektas yra keli objektai, tai tokios prepozicinės funkcijos yra vadinamos dviviečiais triviečiais, keturviečiais ir t. t. predikatais arba santykiais. Dėl pavadinimų vieningumo teiginys kartais yra vadinamas „nul-viečiu predikatu“. Logika, kurioje be predikatinių simbolių yra naudojami ir predikatiniai kintamieji yra vadinama antros eilės predikatų logika. Logika, kurioje naudojami tik individualūs kintamieji yra vadinama pirmos eilės predikatų logika.
Kategoriniai teiginiai
Yra žinoma 4 kategorinių teiginių rūšys:
Bendrasis neigimas literatūroje iliustruojamas dviejų formų sakiniais. Pirmoji forma – „Visi S nėra P“ yra priimtinesnė, nes bendrumą kalba tiesiogiai išreiškia žodžiu „visi“ ir tai formalizuojama bendrumo kvantoriumi ∀x. Tuo tarpu, sakinys „Nė vienas S nėra P“, nors taip pat išreiškia bendrumą, tačiau tas bendrumas formalizuojamas egzistencijos kvantoriaus neigimu – ¬∃x, (nė vienas, reiškia neegzistuoja) o egzistencijos kvantorius paprastai naudojamas daliniuose teiginiuose. Tai plačiau bus paaiškinta skyrelyje apie vienų kvantorių keitimo kitais dėsnius.
Savybių teorija nagrinėja tokius kategorinius teiginius, kuriuose sprendinio subjektas S ir sprendinio predikatas P yra vienviečiai predikatai.
Kategoriniai teiginiai simboliškai bus užrašomi taip:
Savybių teorijos dėsniai
1. ∀x F(x) ≡ ¬∃x ¬F(x). Teiginys „Visi x-ai turi savybę F“ tapatus teiginiui „Neegzistuoja x-o, kuris neturėtų savybės F“. Pvz.: „Visi elektronai turi krūvį“ tapatu „Nėra elektrono, kuris neturėtų krūvio“.
2. ¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x). Teiginys „Ne visi x-ai turi savybę F“ tapatus teiginiui „Egzistuoja x-as, kuris neturi savybės F“. Pvz.: „Ne visi žinduoliai gyvena sausumoje“ tapatu „Egzistuoja žinduolių, kurie negyvena sausumoje“.
3. ∃x F(x) ≡¬∀x ¬F(x). Teiginys „Egzistuoja x-as, kuris turi savybę F“ tapatus teiginiui „Ne visi x-ai neturi savybės F“. Pvz.: „Pasitaiko dorų žmonių“ tapatu „Ne visi žmonės nedori“.
4. ¬∃x F(x) ≡ ∀x ¬F(x). Teiginys „Neegzistuoja x-as, kuris turi savybę F“ tapatus teiginiui „Visi x-ai neturi savybės F“. Pvz.: „Šiame kambaryje nėra žmogaus, kuris mokėtų kinų kalbą“ tapatu „Visi žmonės šiame kambaryje nemoka kinų kalbos“.
Teiginiams, užrašytiems savybių teorijos formalizmu, galioja visi teiginių teorijos dėsniai. Pvz.:
Dvigubo neigimo ∀x [¬ ¬F(x) ≡ F(x)];
Prieštaravimo ∀x ¬[F(x) ∧ ¬F(x)] ≡ t;
Negalimo trečiojo ∀x [F(x) ∨ ¬F(x)] ≡ t;
1. Egzistavimo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:
2. Dualumo principas. Simboliai porose: ∀ ir ∃, ∧ ir ∨, vadinami dualiais. Išraiškos, kuriose visi simboliai pakeisti jiems dualiais, vadinamos dualiosiomis išraiškomis. Dualumo principas skelbia: Jeigu išraiška yra logikos dėsnis (tautologija), tai ir jai duali išraiška yra logikos dėsnis. Dualumo principas leidžia iš vienų logikos dėsnių automatiškai gauti naujus pirmuosiuose esančius simbolius pakeitus dualiais.
2. Universalaus apibendrinimo taisyklė. Jeigu x0∈{x}, tai F(x0)→∃x F(x).
Santykių logikos pagrindai matematikai
Šią temą pirmasis ėmėsi plėtoti C. S. Peirce. Atidi matematinių samprotavimų analizė parodė, jog santykių tipai verti atskiros temos. Taigi, santykių logika turėtų greičiau atsižvelgti į matematiką nei į klases ar teiginius, ir vienintelė yra galima bet kokia teoriškai teisinga ir tinkama matematinių tiesų išraiška.
Peirce ir Ernstas Šrioderis suprato šios temos svarbą, deja, jų metodai buvo pagrįsti ne D. Peano, o kur kas senesne simboline logika, gauta (su pakeitimais) iš Boole, todėl dauguma programų, kurios turėtų būti įvykdytos yra praktiškai neįmanomos.
Nežiūrint į senosios simbolinės logikos trūkumus, jų metodas pasitarnauja techniškai ta prasme, jog ji iš esmės laiko santykius tarsi porų klases, todėl reikia detaliau paaiškinti tiesiog santykius. Toks požiūris kilęs, greičiausiai nesąmoningai, iš filosofinės klaidos: buvo įprasta manyti, jog santykių teiginiai mažiau svarbūs nei klasių teiginiai (ar predikatų teiginiai, kurie su klasių teiginiais yra nuolat maišomi).
Nauji primityvūs teiginiai
Jeigu R yra santykis, mes tai išreikšime kaip xRy; teiginys x turės ryšį R su teiginiu y.
Reiktų primityvaus (nereikalaujančio įrodymo) teiginio parodyti, jog xRy yra teiginys su visomis x ir y reikšmėmis. Turime apsvarstyti sekančias klases: terminų klasę, kuri turi ryšį R su kitu terminu, kuris vadinamas referentų klase atsižvelgiant į R; ir terminų klasę, kur kai kurie terminai turi ryšį su R, kurie vadinami relata klase. Todėl jei R būtų tėvystė, referentai būtų tėvai, o relatos – vaikai. Taip pat reiktų atsižvelgti į atitinkamas klases, atkreipiant dėmesį į tam tikrus terminus ar klasių terminus.
Toks santykių vaizdas čia veda link to, jog du santykiai gali turėti tą patį plėtinį net nebūdami identiški. Yra pasakyta, kad du santykiai R ir R′ yra lygūs, lygiaverčiai arba turintys ta patį plėtinį, kai xRy reiškia ir yra numanomas xR′ y su visoms x ir y reikšmėms. Tačiau čia nėra jokios prasmės primityviam teiginiui, kaip buvusių klasių atveju, siekiant išgauti santykį, kuris yra apibrėžtas kai plėtinys apibrėžtas. Galime pakeisti santykį R iki loginės sumos arba santykio klasės produkto, kuris yra lygus R, t. y., kai kurių arba visų santykių teigimas; ir tai yra identiška loginiui sumos arba santykių klasės produktui, kuris lygus R′, jeigu R′ būtų lygus R.
Čia panaudojamas dviejų klasių tapatumas, kuris priklauso nuo primityvaus teiginio kaip sukurti klasės tapatybę. Nustatyti dviejų santykių tapatybę – procedūra, kuri negalėjo būti pritaikyta klasėms be šio užburto rato.
Primityvus pasiūlymas – kiekvienas santykis turi priešingybę, t. y., kad jei R būtų bet koks santykis, yra santykis R′, toks kaip xRy yra lygus yR′ x ir atitinka visas x ir y reikšmes. Remiantis Šrioderiu, reikėtų pažymėti, kad R yra priešingas R̆. Didesnis ar mažesnis, prieš ar po, reiškia ar suponuoja, yra tarpusavyje priešingi santykiai. Su kai kuriais santykiais, kaip antai asmens, įvairovės, lygybės, nelygybės, priešingybė yra pats santykio originalas; tokie santykiai vadinami simetriškais. Kai priešingybė yra nesuderinama su pirminiu jos santykiu, tokiais atvejais kaip daugiau ir mažiau, santykis vadinamas asimetrišku; tarpiniais atvejais ne simetrišku.
Svarbiausia iš primityvių teiginių šioje temoje yra tai, kad tarp bet kurių dviejų sąlygų yra ryšys, kuris nesisieja su bet kuriomis kitomis dviem sąlygomis.
Tai yra analogiškas principas, kad bet kokia sąlyga yra vienintelis tam tikros klasės narys. Šioje vietoje beišsiplečiantis santykių vaizdas turi pranašumą, bet pranašumas gali pasirodyti nusveriantis kitus motyvus. Kai santykiai yra laikomi įtemptais gali atrodyti, jog galima pradėti abejoti, ar minėtas principas yra teisingas. Tačiau, bet kokiu atveju, paprastai bus pripažinta, kad bet kurios dvi sąlygos bus teisingos nors tokios būti neturėtų, nes jų vietoje bus panaudotos visiškai kitos dvi sąlygos.
Jei tai būtų patvirtinta, anksčiau minėtas principas būtų palaikytas, remiantis logiško visų santykių produkto, tarpiniu pirmųjų sąlygų principu. Nors ir minėtas principas galėtų būti pakeistas pastaruoju, kuris yra lygus jam: jeigu xRy reiškia x′ Ry′, kad ir koks būtų R, kol R yra santykis, tuomet x ir x′ , ir y, ir y′ yra atitinkamai identiški. Tačiau šis principas parodo loginę dilemą nuo kurios ligi šiol nepabėgta, įvardinant įvairius apribotus laukus; nebent R yra santykis, xRy nėra teiginys. Net jei tai būtų tiesa ar netiesa, ir taip R, galėtų atrodyti, negali pasiimti visų reikšmių – tik tokias kaip santykiai.
Santykiniai produktai
Kitos reikalingos prielaidos yra tokios, jog santykio neigimas yra santykis ir, kad logiškas klasės produktas iš santykių yra santykis. Taip pat santykinis produktas sudarytas iš dviejų santykių turi būti ryšys. Santykinis produktas iš dviejų santykių R ir S yra santykis, kuris yra tarp x ir z, neatsižvelgiant ar yra sąlyga y iš kurios x turi ryšį su R ir kuri turi z ryšį su S.
Taigi, nors ryšys tarp, iš motinos pusės, senelio ir jo anūko yra giminiškas tėvo ir motinos produktas; to pavyzdžiu senelė savo anūkei yra giminiškas jos tėvų produktas. Santykinis produktas, kaip rodo šie rodikliai, yra bendrai jungiamas ir apskritai nėra paklųstantis pagrindiniam tautologijos principui. Santykinis produktas yra labai didelės svarbos sąvoka. Kadangi jis nepaklūsta tautologijos principui, tai veda prie santykių galių: santykių kvadratas tėvams ir jo vaikui yra ryšys tarp senelio ir anūko ir taip toliau. Peirce ir Schröder svarsto tai kaip jie patys vadina ryšiu tarp dviejų sumų R ir S, kuri yra tarp x ir z tada, kai y yra bet kokia kita sąlyga ir x turi y santykis R arba y turi z santykis S.
Tai sudėtinga sąvoka, kuri išvesta, siekiant išsaugoti sudėties ir daugybos dvilypumą. Šis dvilypumas turi tam tikro techninio žavesio, kai objektas yra laikomas nepriklausoma matematikos šaka, bet kai jis yra aptariamas išimtinai tik atsižvelgiant į matematikos principus, tas dvilypumas pasirodo neturi visiškai jokios filosofinės reikšmės.
Priskirtų sričių santykiai
Matematika reikalauja, tiek, kiek žinoma, tik dviejų kitų primityvių teiginių. Pirmas, kad materiali reikšmė yra santykis, o kita, kad ∈ (termino santykis su klase, kuriai jis priklauso) yra ryšys. Dabar galima sukurti matematinę visumą be papildomų prielaidų ar neapibrėžtumų. Kai kurie teiginiai santykių logikoje nusipelno būti paminėti, nes jie yra svarbūs ir gali būti abejonių ar jie yra patikrinti formalių įrodymų. Jei u, v yra bet kurių dviejų klasių, tuomet yra santykis R teiginys, kuris tarp bet kurių dviejų sąvokų x ir y yra lygiavertis teiginiui, kad x priklauso u ir y priklauso v. Jei u yra bet kurios klasės, kuris nėra lygus nuliui, tuomet yra santykis, kuris turi visas sąlygas ir kuris neturi daugiau jokių kitų terminų porų. Jei R yra bet koks santykis ir u yra bet kokia klasė turinti referentą R klasėje, tuomet yra ryšys, kuris turi u referentus savo klasėje ir visa tai yra lygu R visoje toje klasėje; šis ryšys yra tas pats kaip ir R padėtis, bet turi daug griežtesnį domeną. Nuo šio taško pirmyn, objekto kūrimas yra techninis dalykas: ypatingų tipų santykiai yra laikomi matematikos rezultatu ir specialia matematikos šaka.
D. Peano logika
Italijos matematikas ir logikas Džiuzepė Peano (Giuseppe Peano, 1858–1932) studijavo Turino universitete ir čia iki pat mirties profesoriavo. D. Peano darbai svarbūs įvairioms matematikos sritims. Jis išvystė simbolinės logikos idėjas, sukūrė naturaliųjų skaičių aksiomatiką, diferencialinių lygčių teorijoje įrodė svarbią teoremą apie sprendinio egzistavimą. D. Peano turėjo ne tik matematinių idėjų. Jis buvo tarptautinės mokslo kalbos Interlingua (Latino sine flexione) kūrėjas ir propaguotojas. Tačiau ši kalba, kaip ir Esperanto, neprigijo.
D. Peano labiausiai žinomas dėl savo pasiekimų vektorių algebroje ir simbolinėje logikoje. Jis perkėlė didžiąją dalį matematikos į griežtą simbolių sistemą, kurioje iš vis nėra žodžių. Dėl savo paprastumo jo ideografinė simbolių kalba buvo plačiai priimta logikos matematikų. Apie 1900 metus D. Peano sukūrė naują simbolių sistemą simbolinei logikai. Ši sistema ypatingai pasitarnavo simbolinei logikai, kadangi buvo praplėstas loginių simbolių asortimentas, padėsiantis pakeisti tokias logines sąvokas kaip „pateikta“, „egzistuoja“, „tik“, „yra“ ir t. t.
G. Peano gerai žinomas ir dėl savo veikalo Formulario Mathematico, kuriame jis suformulavo ne neigiamų sveikųjų skaičių pagrindus trimis neapibrėžtais terminais: 0 (nulis), skaičius ir sekantis po jo. Tai žinoma kaip Peano Aksiomų Sistema. Pagrindai Matematikams. G. Peano sugalvojo postulatų sistemą iš kurios būtų galima gauti visą natūraliųjų skaičių aritmetiką. Baziniai šios sistemos elementai, tai terminai minėti anksčiau (nulis, skaičius ir sekantis po jo). Teorijoje nerasime šių terminų apibūdinimo, bet simbolis „0“ skirtas žymėti nulį savo įprasta prasme, o terminas „skaičius“ reiškia turėti omenyje tik natūraliuosius skaičius: 0, 1, 2, 3… Sekantis po natūraliojo skaičiaus „n“ bus iškart einantis natūralusis skaičius įprasta tvarka ir bus žymimas kaip „n' “.
D. Peano sistemą apima šie penki postulatai:
Saulėgrąžų aliejus
thumb|200px|Saulėgrąžų aliejus
Simbolinė logika
D. Peano logika
Paskutinis postulatas įkūnija matematinės indukcijos principą ir iliustruoja matematinės tiesos vykdymą pagal išlygą. Elementari aritmetikos konstrukcija pradedama nuo įvairių natūraliųjų skaičių apibrėžimų. 1 yra sekantis po nulio arba 0', 2 žymima kaip 1', 3 kaip 2' ir t. t. Remiantis antruoju postulatu, ši seka gali būti begalinė, kadangi, atsižvelgiant į trečiąjį postulatą (santykyje su penktuoju) ji niekada nenukreips į skaičių einantį prieš tai, o žinant ir ketvirtąjį postulatą nenukreips ir į nulį.
Kaip sekantį žingsnį, galime sukurti sudėties apibrėžimą, kuris tikslia forma išreikš idėją, kad kiekvieno natūralaus skaičiaus pridėjimas prie kažkokio duoto skaičiaus gali būti laikomas kaip pakartotinis 1 (vieneto) pridėjimas; sekanti operacija lengvai išreiškiama „sekančio po“ ryšiu. Šis sudėties apibrėžimas atrodo taip:
Saulėgrąžų aliejus
Saulėgrąžų aliejus – augalinis aliejus, gaunamas iš saulėgrąžų sėklų. Plačiai naudojamas maisto gamyboje (kepimui, salotų, konservų užpilams). Pramoninė šio aliejaus gamyba 1835 m. pradėta Rusijos imperijoje, dabar pagrindiniai saulėgrąžų aliejaus gamintojai pasaulyje yra Rusija ir Ukraina. Tai populiariausias Lietuvoje naudojamas aliejus.
Simbolinė logika
D. Peano logika
a) n + o = n
Saulėgrąžų aliejus
Aliejaus tankis esant 10 °C temperatūrai yra 920–927 kg/m³, užšąla esant -16–19 °C. 48–74 % aliejaus sudaro lininė rūgštis (ω−6 riebalinė rūgštis), 14–40 % aliejinė rūgštis (ω−9 riebalinė rūgštis), 4–9 % palmitinė rūgštis, 1–7 % stearinė rūgštis. 100 g saulėgrąžų aliejaus energetinė vertė – 3,699 kJ (884 kcal).
Simbolinė logika
D. Peano logika
b) n + k'= (n + k)' Šio rekursinio apibrėžimo dvi išlygos visiškai nustato bet kokių dviejų sveikųjų skaičių sumą.
Pavyzdžiui, apsvarstykim 3+2 sumą:
Bara Katra
Bara Katra – istorinis ir architektūrinis paminklas Dakoje, Bangladeše. Rūmai pastatyti Mogolų imperijos laikotarpiu. Skirti Džahanšachano sūnui Šah Šuja.
Simbolinė logika
D. Peano logika
Atsižvelgiant į skaičių 1 ir 2 apibrėžimus, turime 3 + 2 = 3 + 1' = 3 + (0')'.
Atsižvelgiant į punką b) 3 + (0')' = (3 + 0')' = ((3 + 0)')'.
O iš punkto a) ir skaičių 4 bei 5 apibrėžimų seka ((3 + 0)')' = (3')' = 4' = 5.
Natūraliųjų skaičių daugyba gali būti apibrėžta sekančiu rekursiniu apibrėžimu, kuris išreiškia mintį, jog dviejų sveikųjų skaičių nk produktas gali būti apsvarstytas kaip suma k terminų, kurių kiekvienas lygus n:
a) n x o = o
Didžiuliškiai
Didžiuliškiai – kaimas šiaurinėje Anykščių rajono savivaldybės dalyje, 5 km į pietryčius nuo Viešintų.
Simbolinė logika
D. Peano logika
1. n x k' = 5 x 3 = 15
2. (n x k) + n = 5 x 2 + 5 = 15
Remiantis šiomis sudėties ir daugybos taisyklėmis, atvirkštinės operacijos kaip atimtis ar dalyba taip pat gali būti apibrėžtos. Tačiau čia paaiškėja, jog skirtumas ir dalmuo nėra apibrėžti kiekvienai skaičių porai. Pavyzdžiui, 7–10 ir 7 dalyba iš 10 yra neapibrėžta natūraliųjų skaičių sistemoje. Ši situacija skatina plėsti skaičių sistemą, įvedant neigiamus ir racionaliuosius skaičius.
Neigiami ir racionalieji skaičiai gali būti gauti iš D. Peano pagrindų, suteikiant jiems aiškius apibrėžimus be jokių įvadinių postulatų ir prielaidų. Kiekvienas teigiamas ir neigiamas sveikasis skaičius yra neskaidomas kaip tam tikras tvarkingas natūraliųjų skaičių porų rinkinys, todėl, sveikasis skaičius 2 yra neskaidomas kaip visų natūraliųjų skaičių porų (m, n) rinkinys, kur m = n+2. Sveikasis skaičius -2 yra visų natūraliųjų skaičių porų (m, n') rinkinys ir n = m+2. Panašiai ir racionalieji skaičiai yra apibrėžti kaip sveikųjų skaičių porų klasės. Įvairios aritmetinės operacijos gali būti apibrėžtos, atsižvelgiant į šiuos naujo tipo skaičius ir visų šių, operacijas reglamentuojančių aritmetikos įstatymų galiojimas gali būti patvirtintas, naudojantis D. Peano postulatais ir įvairių aritmetinių sąvokų apibrėžimais.
Tačiau ši daug platesnė sistema yra neišbaigta ta prasme, jog ne kiekvienas skaičius joje turi kvadratinę šaknį, ir apskritai, ne kiekviena algebros lygtis, kurios koeficientai yra visi sistemos skaičiai, sistemoje turi sprendinį. Tai siūlo toliau plėsti skaičių sistemą, įtraukiant realiuosius ir sudėtinius skaičius. Šis didžiulis sistemos plėtimas gali būti vykdomas vien tik apibrėžimų dėka, neįtraukiant jokių naujų postulatų. Tai reiškia, jog kiekviena matematinė sąlyga gali būti apibrėžta, naudojantis vien tik D. Peano trimis pagrindais ir kiekvienas matematinis teiginys gali būti išreiškiamas, naudojantis penkiais postulatais, papildytais neprimityvių terminų apibrėžimais. Daugeliu atvejų visa tai gali būti atlikta naudojantis vien tik simbolinės logikos principais.
Zavadai (Turošno Košcelnos valsčius)
Zavadai  – kaimas Lenkijos šiaurės rytuose, Turosnės valsčiuje, Balstogės apskrityje, Palenkės vaivadijoje. Nuo XIII–XIV a. iki 1569 m. Liublino unijos priklausė Lietuvos Didžiajai kunigaikštystei.
Prekybos rūmai
miniatiūra|250x250px|[[Hamburgo prekybos rūmai, Šiaurės Vokietija]] Prekybos rūmai – prekybininkų savivaldos ir valdymo, interesų atstovavimo ir gynimo organizacija.
Baltica
Baltica gali reikšti:
Prekybos rūmai
Prancūzijoje pirmieji Prekybos rūmai buvo įsteigti 1599 m. (Marselis); inicijavo prekybininkų luomo atstovai. 1700 ir 1701 m. Prancūzijos Vyriausybė įsteigė nemažai tokių rūmų. Iš Prancūzijos paplito tradicija steigti tokius rūmus daugumoje kitų valstybių. Pirmieji Prekybos rūmai Vokietijoje įsteigti 1803 m. Maince Chaptal nutarimu (1802 m. gruodžio 23 d.), pavadinti „Komercijos rūmais“. Lietuvoje veikia Lietuvos Respublikos prekybos, pramonės ir amatų rūmai.
Takaroa
thumb|250px|Palydovinė nuotrauka
Atyrau
Atyrau – miestas vakarų Kazachstane, Atyrau srities administracinis centras. Nutolęs 2700 km į vakarus nuo Almatos ir 350 km į rytus nuo Astrachanės. Išvystyta naftos ir žuvies pramonė. Vien per 1999 m. mieste įsikūrė apie 142500 užsieniečių, maždaug 80 % Atyrau gyventojų sudaro kazachai, po jų seka rusai ir kitos tautos kaip korėjiečiai ir bulgarai.
Takaroa
Takaroa – koralinis atolas Prancūzijos Polinezijoje, Tuamotu salyno šiaurės vakaruose, Karaliaus Jurgio salų grupėje, 575 km nuo Taičio. Įeina į Takaroa komuną. Sausumos plotas – 20 km². 674 gyventojai (2017 m.). Gyventojų tankumas – 33,7 žm./km². Svarbiausia gyvenvietė – Teavaroa.
Atolas gulščio ovalo formos. Ilgis 24 km, plotis 8 km. Plačiausia žiedo dalis šiaurės rytuose. Pietinė dalis smarkiai suskaidyta protakų. Vienintelė laivuojama protaka – Teavaroa. Lagūnos plotas 93 km², gylis iki 3 m. Perlų rinkimas ir perlamutro gavyba.
Atyrau
Istorija
Medinis fortas prie Žajiko upės buvo pastatytas 1645 m. ir pavadintas Nižnij Jaickij gorodok rusų pirklio Michailo Gurjevo, kuris prekiavo su galingais Chivos ir Bucharos miestais Vidurinėje Azijoje. Fortas buvo sugriautas Jajiko kazokų, tada Gurjevas turėjo atstatyti fortą, tik šį kartą pastatyti jį akmeninį. Fortas buvo atstatytas nuo 1647 iki 1662 m. Caras Aleksėjus pasiuntė kareivių garizoną, kad apsaugotų fortą nuo kazokų puolimų. Atsikeršijant rusams kazokų sukilėlių vadas Stenka Razinas užėmė fortą 1667 ir 1668 m. Fortas prarado savo strateginę vertę ir buvo nugriautas 1810 m. Nuo 1708 iki 1992 m. miestas vadinosi Gurjevu.
Takaroa
Salą 1616 m. atrado olandų ekspedicija. Anglų jūrininkas Džonas Baironas atolą pavadino Koralų sala. Taip pat žinoma Tioka ir Taaroa pavadinimais. Apie 90 % salos gyventojų – mormonai. Yra 1891 m. pastatyta mormonų bažnyčia. Yra polineziečių šventyklų.
Kirenijos kalnagūbris
Kirenijos kalnagūbris – kalnagūbris, esantis Kipro saloje.
Kalnagūbris nutįsęs išilgai salos šiaurinės pakrantės. Geologiniu požiūriu kalnai sudaryti iš klinties, vietomis iš marmuro. Aukščiausias taškas – Kiparisovuno kalnas (1 024 m). Rytinė dalis platesnė (25–30 km), vakarinė siauresnė (apie 15 km), bet aukštesnė. Rytinė dalis yra Karpazo pusiasalio priekalnė. Vakarinė kalnagūbrio dalis vadinama Pentadaktilo kalnu ( – penki pirštai) (740 m). Turkiškas kalno pavadinimas Bešparmak-Daglari reiškia „penkių pirštų kalnai“. Kalnų papėdėje, pakrantėje išsidėstęs Kirenijos miestas, kuris laikomas Šiaurinio Kipro turistų sostine.
Teritoriją, kurioje stūkso kalnagūbris, kontroliuoja nepripažinta Turkų Kipro respublika.
Kalnagūbrio šlaituose ir viršūnėse yra išlikę antikos laikų griuvėsių, taip pat viduramžių pilys (Šventojo Ilariono pilis, Bufaventas, Kantara).
Jennifer Love Hewitt diskografija
thumb|upright|J.L. Hewitt Jennifer Love Hewitt – JAV aktorė, prodiuserė ir dainininkė, išleidusi keturis studijinius albumus bei du geriausių dainų rinkinius. Jos atliekamos dainos taip pat skamba ir filmuose, kuriuose ji vaidino.
Mačionys (Ignalina)
Mačionys – kaimas Ignalinos rajono savivaldybėje, 6 km nuo Gaidės.
Laisvoji mintis (Vilnius)
Laisvoji mintis – Lietuvos pasaulietinės kultūros draugijos leidinys, ėjęs 1990–1994 m. Vilniuje.
Istorija
Leido UAB „Opozicija“. Tiražas 1990 m. – 3000 egz., 1994 m. – 4500 egz. 1991 m. buvo leidžiamas literatūrinis priedas „Kultūra“ (tiražas 10 000 egz.). Nuo 1992 m. buvo leidžiama kaip žurnalo „Opozicija“ priedas po 8 puslapius, po vieną arba du numerius į metus. 1999–2006 m. „Laisvoji mintis“ sumažėjo iki keturių puslapių, 2007–2009 m. atskiri „Opozicijos“ straipsniai ėjo su rubrika „Laisvoji mintis“.
Redaktoriai: Jonas Sakalauskas, Vytautas Kazakevičius, Juozas Stankaitis, Edvardas Juozėnas.
Matheus Bissi
Mateušas Bisis da Silva (Matheus Bissi da Silva; g. 1991 m. kovo 19 d.) – Brazilijos futbolininkas, gynėjas.
Karjera
Žaidėjas kilęs iš Brazilijos. Futbolą žaidė gimtinėje, Maltoje, Lietuvoje, Bulgarijoje ir kitose šalyse.
FK Banga
Į Lietuvą atvyko 2013 m. vasarą ir tapo „Bangos“ nariu.
FC Stumbras
2018 m. vasarą vėl grįžo į Lietuvą. Šį kartą tapo Kauno „Stumbro“ žaidėju. A lygos pirmenybėse sužaidė 14 rungtynių ir pasižymėjo rezultatyviu perdavimu. Dar vienerias rungtynes sužaidė Pirmoje lygoje atstovaudamas Stumbras B.
FK Panevėžys
2020 m. vasario mėn. pranešta, kad žaidėjas atstovaus „Panevėžio“ klubui. Debiutavo 2020 m. kovo 6 d. pirmojo turo rungtynėse prieš FK Žalgiris, kurias panevėžiečiai pralaimėjo rezultatu 0-4. Žaidžia ir Pirmoje lygoje už Panevėžys B ekipą. 2021 m. balandžio 17 d. rungtynėse prieš Nevėžį pelnė pirmą savo įvartį A lygoje. 2021 m. rugpjūčio 21 d. rungtynėse prieš „Džiugo“ klubą pelnė įvartį. Galutinis rezultatas 2:2.
2021 m. gruodžio mėn. tapo aišku, kad žaidėjas palieka klubą.
Statistika
Spalvų reikšmės:
Šarūnas Navickis
Šarūnas Navickis (g. 1962 m. lapkričio 4 d. Kaune) – Lietuvos rašytojas, verslininkas.
Šarūnas Navickis baigė Kūno kultūros akademiją Kaune ir Karjeros išplėtimo institutą Atlantoje (JAV, Džordžijos valstija).
Šarūnas Navickis vedęs; kartu su žmona Ingrida augina vaikus – Luką ir Urtę.
Kūryba, visuomeninė veikla
Šarūnas Navickis parašė romanus „Žiurkės" (1992, Kaunas) ir „Diagnozė:Kaunas" (2001 m., Vilnius), išleido eilėraščių rinkinį „Intymus minoras" (2007 m. Kaunas). 2011 m. išleista knyga „Kaip gyveni, taip ir atrodai“ (2011, Vilnius), skirta kūno gerovei ir sveikatinimui, apibendrina per dvidešimt metų sukauptą autoriaus patirtį šioje srityje. Paskelbė straipsnių, daugiausia eseistikos, kūno rengybos (fitneso) temomis žurnaluose bei laikraščiuose. Rašė įvairiems leidiniams – savaitraščiui „Nemunas„, žurnalams „Istorijos“, „Laima„, „A-Zet“, taip pat naujienų portalams „Delfi" ir „“Bernardinai.lt„.
Kartu su Lietuvos kūno kultūros akademija organizavo kvalifikacinius – edukacinius kursus treneriams bei sporto klubų vadovams, taip pat pilietines akcijas „Kauniečiai – Kaunui“, fotografijų konkursą miesto tematika „Kaunas yra gražus. Ir tu gali papuošti savo miestą„. Sveikatingumo ir sporto klubų „Conan gym“ Kaune (1998 m.), Vilniuje (1999 m.) bei „Fitneso Panorama" Klaipėdoje (2007 m.) steigėjas.
2012 m. kandidatavo į Seimą.
Asau
Asau – kaimas Vaitupu atole, Tuvalu šalyje. Gyventojų skaičius – 650 žmonių (2009 m. duom.). Tai antras didžiausias kaimas šioje šalyje.
Plačialapė gegūnė
Plačialapė gegūnė (Dactylorhiza majalis) – gegužraibinių (Orchidaceae) šeimos augalas. Rūšis įrašyta į Lietuvos raudonąją knygą.
Jennifer Love Hewitt
Jennifer Love Hewitt (g. 1979 m. vasario 21 d.) – JAV aktorė, televizijos prodiuserė, režisierė ir dainininkė, savo karjerą pradėjusi „Disney Channel“ televizijos serialuose dar vaikystėje.
Plačialapė gegūnė
Literatūra
thumb|210px|left|Plačialapė gegūnė
Jennifer Love Hewitt
Kaip aktorė ji išgarsėjo vaidmenimis siaubo filme „Žinau ką veikei aną vasarą“ bei jo tęsinyje „Vis dar žinau ką veikei aną vasarą“.
Plačialapė gegūnė
Literatūra
Purpurmarihand
Jennifer Love Hewitt
Jennifer Love Hewitt yra laimėjusi tris „Saturn“ apdovanojimus 2006, 2007 ir 2008 m. už vaidmenis televizijoje.
Šeima
J. L. Hewitt gimė Veike, Teksase, italų kilmės Patricios Mae ir iš Vokietijos kilusio Herberto Danielio Hewitto šeimoje. Tėvai vėliau išsiskyrė ir Jennifer augo Nolanvilyje, Teksase.
Karjeros pradžia
Jennifer karjera prasidėjo nuo muzikos. Pirmą kartą ji ant scenos užlipo būdama trejų. Penkerių pradėjo lankyti baleto pamokas, o devynerių tapo Texas Show Team nare. Po metų ji laimėjo Texas Our Little Miss Talent konkursą ir su motina persikėlė į Los Andželą, kad galėtų tobulinti savo kaip dainininkės ir aktorės įgūdžius.
Aktorės karjera
Persikėlusi į Los Anželą, Jennifer epizodiškai vaidino daugiau kaip dvidešimtyje televizijos serialų. Pirmuoju žymesniu jos vaidmeniu tapo pasirodymas „Walt Disney Company“ seriale vaikams „Kids Incorporated“ (1989–1991), kur ji buvo pristatoma kaip Love Hewitt. Vėliau ji epizodiškai pasirodė serialuose „Shaky Ground“ (1992–1993), „The Byrds of Paradise“ (1994), „McKenna“ (1994–1995), kol gavo Sarah Reeves vaidmenį „Fox Broadcasting Company“ televizijos seriale „Party of Five“ (1995–1999).
Debiutas kine buvo vaidmuo filme „Munchie“ (1992). 1997 m. Jennifer nusifilmavo itin populiariu tapusiame siaubo filme „Žinau ką veikei aną vasarą“ bei kartu su jame vaidinusiais aktoriais Sarah Michelle Gellar, Ryanu Phillippe bei Freddie Prinze Jaunesniuoju tapo vienais populiariausių jaunųjų aktorių JAV. 1998 metais sukurtas filmo tęsinys „Vis dar žinau ką veikei aną vasarą“ nepakartojo pirmtako sėkmės, tačiau įtvirtino Hewitt, kaip žvaigždės, statusą.
2001 m. ji kartu su Sigourney Weaver vaidino komedijoje „Širdžių ėdikės“ bei nusifilmavo atlikėjo Enrique Iglesias dainos „Hero“ vaizdo klipe.
2005 m. ji gavo vaidmenį seriale „Ghost Whisper“, kuriame jos personažas Melinda Gordon turi galią bendrauti su vėlėmis.
Muzikinė karjera
Jennifer atlieka pop stiliaus muziką ir dažnai įrašinėja dainas kino filmams, kuriuose pati vaidina. Pirmąjį albumą „Love Songs“ Jennifer Love Hewitt įrašė sulaukusi dvylikos. Jis buvo išleistas tik Japonijoje, kur sulaukė nemažo populiarumo.
1995 m. gavusi vaidmenį seriale „Party of Five“, ji pasirašė sutartį su „Atlantic Records“ ir spalio mėnesį išleido antrąjį albumą „Let's Go Bang“.
Jenifer skiriant daugiau dėmesio aktorystei, o ne muzikai, jos kitas albumas bei singlas „No Ordinary Love“ nepateko į populiariausiųjų sąrašus ir „Atlantic Records“ nutraukė su ja sutartį.
Po trejų metų pertraukos, 1999 m. ji įrašė dainą „How Do I Deal“ filmui „Vis dar žinau ką veikei aną vasarą“. Kūrinys tapo pirmuoju, patekusiu į populiariausiųjų sąrašus: 59-oji vieta Billboard Hot 100, 36-oji vieta Top 40 Mainstream ir 8-oji pozicija Australijoje.
2002 m. Hewitt pasirašė sutartį su „Jive Records“ ir išleido ketvirtąjį solo albumą, prie kurio kūrimo prisidėjo prodiuserė ir dainų autorė Meredith Brooks. Pirmasis singlas „BareNaked“ tapo jos populiariausiu kūriniu, pasiekusiu 24-ą vietą Bubbling Under Hot 100 tope ir padėjusiu albumui pasiekti 37-ą vietą Billboard 200 bei 31-ą – Australijoje. Antrasis singlas „Can I Go Now“ JAV nepateko į topus, bet užėmė 8-ą vietą Olandijoje ir 12-ą – Australijoje.
Nuo 2003 m. Jennifer Love Hewitt nevykdė jokios aktyvios muzikins veiklos, tik išleido rinktinę „Cool With You: The Platinum Collection“, skirtą Azijos rinkai.
2004 m. ji įrašė dvi dainas „Love Will Show You Everything“ ir „Take My Heart Back“ filmo „If Only“ garso takeliui.
2009 m. interviu Jennifer pareiškė ketinanti įrašyti kantri stiliaus albumą, tačiau tai ir liko planais. faktiškai ji visiškai nutolo nuo muzikos, tik 2013 m. įrašė dainą „I’m a Woman“, skirtą serialo „Klientų sąrašas“ 2-ajam sezonui.
Asmeninis gyvenimas
2007 m. buvo susižadėjusi su škotų aktoriumi Rossu McCallu, su kuriuo išsiskyrė 2008-aisiais. Yra futbolo klubo Celtic F.C. gerbėja.
2010 m. kovo mėnesį išleido knygą „The Day I Shot Cupid“. 2013 m. ištekėjo už aktoriaus Bian Hallisay, su kuriuo susipažino vaidindama filme „Klientų sąrašas“. 2013 m. jie susilaukė dukters, o 2015 m. – sūnaus.
Populiarumas
Nuo 1997 m. ji nuolatos renkama į įvairių žurnalų seksualiausių pasaulio moterų sąrašus.
Antupiai (Jurbarkas)
Antupiai – kaimas Jurbarko rajono savivaldybėje, 5 km į rytus nuo Viešvilės centro, dešiniajame Kasiko upelio krante, kiek piečiau kelio.
Krūmedis
thumb|250px|right|Neaukštu [[Medis|medžiu išaugęs virbinio gluosnio (Salix pentandra) krūmedis]] thumb|250px|right|Žemu [[Krūmas|krūmu išaugęs virbinio gluosnio (Salix pentandra) krūmedis]] Krūmedis – sumedėjęs augalas, kuris augdamas skirtingų geografinių vietovių skirtinguose gamtiniuose biotopuose su skirtingomis klimatinėmis, dirvožemio ir kitomis aplinkos sąlygomis, tos pačios rūšies ar porūšio augalas gali išaugti tiek krūmu, tiek neaukštu medžiu.
Lietuvos krūmedžių apibūdinimas
Aukštis; Lietuvos krūmedžai išauga iki 0,9–22 metrų aukščio.
Laja; Magnolijūnams priklausančių Lietuvos krūmedžių laja suapvalėjusi arba išaugusių krūmo forma – skėčio formos išsišakojusi palei žemę, išskyrus paprastųjų kadagių lają, kuri kolonos ir kūginės formos.
Kamienas; Krūmedžiai turi vieną arba arba daug kamienų, dažnai išaugusių iš žemai nuo žemės esančio pagrindinio kamieno dalies arba negiliai po žeme esančio šaknies pagrindo.
Lapai ir spygliai; Magnolijūnų skyriaus krūmedžiai lapuočiai. Pušūnams priklausantis paprastasis kadagys spygliuotis.
Amžius
Lietuvos magnolijūnams priklausantys krūmedžiai trumpaamžiai, dauguma gyvena iki 50–100 metų. Pušūnams priklausantis paprastasis kadagys ilgaamžis, prie gerų augimo sąlygų gyvena iki 600–800 metų.
Rūšys
Lietuvoje savaime auga 20 krūmedžių rūšių. Iš jų tik viena pušūnų (Pinophyta) skyriaus rūšis – paprastasis kadagys (Juniperus communis), kitos 19 rūšių priklauso magnolijūnų (Magnoliophyta) skyriui. Čia pilnas Lietuvos krūmedžių rūšių sąrašas.
Krūmedžio terminas
„Krūmedžio“ naujadaras lietuvių kalboje atsirado nuo 2012 metų rugsėjo mėn. 15 d., kada lietuviškoje Vikipedijoje sudarant Lietuvos vietinių medžių ir krūmų rūšių sąrašą, sumedėjusiems tos pačios rūšies augalams išaugantiems krūmo arba medžio forma, lietuvių kalboje trūko vienu žodžiu nusakančio pavadinimo. 2015 m. vasario mėn. duomenimis, šis naujadaras neįrašytas į valstybinės lietuvių kalbos komisijos (VLKK) oficialiai patvirtintų lietuviškų terminų banką, bet yra teiktinas vartojimui.
Saldiklis
thumb|200px|Pakelis su [[ciklamatas|ciklamatu]]
Saldiklis – maisto medžiaga (pvz., sacharozė, fruktozė ar medus) ar maisto priedas (pvz., sacharinas, aspartamas), naudojamas maistui pasaldinti.
Kartais saldikliais vadinami tik nekaloringieji saldikliai.
Reikalavimai naujiems saldikliams
Reikalavimai naujai kuriamiems saldikliams :
Saldiklių sinergizmas
Daug saldiklių mišiniuose veikia sinergiškai – mišinio saldis būna didesnis, negu komponentų suma. Šis reiškinys yra svarbus praktikoje dėl kelių privalumų: Pvz., sacharino ir ciklamato mišiniai vartojami daugelyje komercinių maisto produktų.
Pagal gavimo būdą
Jie už cukrų yra dešimtimis, šimtais, o kai kurie – ir tūkstančiais kartų saldesni, beveik nekaloringi ir neturi įtakos insulino gamybai, cukraus kiekiui kraujyje. Daugelio sintetinių cukraus pakaitalų organizmas negali pasisavinti, todėl jie pašalinami su suvirškintu maistu.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Italijos vyrų futbolo rinktinė  – futbolo komanda, atstovaujanti Italijai. Viena sėkmingiausių futbolo rinktinių, keturis kartus laimėjusi pasaulio čempionatą, du kartus Europos čempionatą bei vieną kartą iškovojusi olimpinius aukso medalius. Pasaulio čempionatų finaluose žaidė 5 kartus, dar tris kartus pateko į pusfinalį, nuo 1934 m. tik vieną kartą nedalyvavo finaliniame pasaulio čempionato etape.
Saldiklis
Istorija
Saldiklių atsiradimą XIX a. pagreitino trys išradimai: kai išskyrė sacharozę iš raudonųjų burokėlių, kai buvo sukurtas gliukozės sirupo gamybos iš krakmolo, kuris lengvai išgaunamas iš bulvių ir grūdų, būdas, ir 1886 metais Vokietijoje susintetintas sacharinas.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Tradicinės komandos spalvos (kaip ir visų Italijos sporto šakų atstovų, išskyrus autosportą) yra mėlyna (itališkai azzuro), nuo šio pavadinimo komanda vadinama Azzurri.
Laisvoji žmonija
Laisvoji žmonija – JAV lietuvių anarchistinis žurnalas, leistas 1911–1913 m. Čikagoje.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Istorija
Nedalyvavusi pirmajame pasaulio čempionate, Italijos rinktinė laimėjo bei  čempionatus. 1936 m. Berlyno olimpinėse žaidynėse Italijos komanda iškovojo aukso medalius.
Po antrojo pasaulinio karo komanda nebežaidė taip sėkmingai. 1949 m. aviakatastrofoje žuvus visiems stipriausio Italijos klubo Torino FC žaidėjams, rinktinės sudėtis labai susilpnėjo ir rinktinė iškrito po pirmojo etapo. Pirmame etape Italijai čempionatas baigėsi ir, į rinktinė nepateko neįveikusi atrankos,  ir  čempionatuose vėl iškrito po pirmojo etapo.
Saldiklis
Vartojimas
Saldikliai vartojami maisto produktų gamyboje arba kaip cukraus pakaitalai parduodami parduotuvėse ir vaistinėse.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Istorija
1968 m. komanda pirmą kartą dalyvavo Europos čempionate, kur pateko į finalą, finale sužaidė lygiosiomis su komanda, pakartotinai žaistose finalo rungtynėse laimėjo 2:0 ir iškovojo pirmąją vietą. italai pusfinalyje po vienų dramatiškiausių XX amžiaus futbolo rungtynių po pratęsimo 4:3 įveikė, o finale pralaimėjo komandai 4:1. Italija iškrito po pirmo etapo, o užėmė ketvirtąją vietą.
Maltos futbolo varžybos 1939–1940 m.
Maltos futbolo varžybos 1939–1940 m.
Saldiklis
Saugos klausimai
Subalansuotas ir saikingas saldiklių bei kitų maisto priedų vartojimas maisto produktuose nekenkia sveikatai.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Istorija
Vokietijoje grupės varžybose įveikė ir  rinktines bei lygiosiomis sužaidė su  komanda. Aštuntfinalyje žaidė prieš komandą, šiose rungtynėse australai prasižengė italų baudos aikštelėje paskutinę rungtynių minutę ir Francesco Totti realizavus 11 m baudinį italai iškovojo pergalę 1:0. Ketvirtfinalyje po įnirtingos kovos italai nugalėjo komandą 3:0. Pusfinalyje Italija susitiko su komanda, per rungtynių pagrindinį laiką nei viena komanda neįmušė įvarčių, antrojo pratęsimo paskutinėmis minutėmis Fabio Grosso ir Alessandro Del Piero įmušė po įvartį ir Italija šeštą kartą pateko į pasaulio čempionato finalą. Finale sužaidė lygiosiomis 1:1 prieš rinktinę, o baudinių serijoje tiksliai mušė visus 5 smūgius ir nugalėjo 5:3, ketvirtą kartą tapdami čempionais.
2008 m. birželį dalyvavo Austrijoje ir Šveicarijoje vykusiame 13-tame Europos futbolo čempionate. Grupės rungtynėse susitiko su Olandija, Prancūzija ir Rumunija. Po pralaimėjimo 0-3 olandams sekė lygiosios 1-1 su rumunais ir 2-0 pergalė prieš prancūzus. Ketvirtfinalyje italai susitiko su ispanais. Rungtynės ir pratęsimas baigėsi lygiosiomis, o baudinių seriją 2-4 laimėjo ispanai. Praėjus savaitei po čempionato pabaigos buvo paskelbta, kad nutraukiama sutartis su treneriu Roberto Donadoni, o į jo vietą sugrįžta buvęs rinktinės treneris Marcello Lippi.
Saldiklis
Saugos klausimai
Manoma, kad ateityje bus vartojami tik naujo tipo saldikliai – ne pavojingi, bet naudingi organizmui. Vieni iš tokių: citrozė, steviozidas. Iš dirbtinių produktų pačiu nepavojingiausiu laikoma sukralozė (E955). Ji išgaunama iš cukraus, bet turi 10 kartų mažiau kalorijų nei jis.
Sergantiems cukralige gaminami produktai su cukraus pakaitalais sorbitoliu (E420) ir manitoliu (E421). Sorbitolis ir manitolis gali sukelti viduriavimą ir vidurių putimą.
Italijos vyrų futbolo rinktinė
Istorija
Atrankoje į 2010 m. XIX pasaulio futbolo čempionatą Italijos rinktinė grupėje užėmė pirmąją vietą, pelniusi 7 pergales ir 3 rungtynes sužaidusi lygiosiomis. Grupėje aplenkė Airijos, Bulgarijos, Kipro, Juodkalnijos ir Gruzijos rinktines.
Gruodžio 4 d. ištraukti burtai lėmė, kad Italijos rinktinė pateko į F grupę, kurioje žaidė kartu su Paragvajaus, Naujosios Zelandijos ir Slovakijos rinktinėmis. . Šis čempionatas tuometiniams pasaulio čempionams susiklostė labai nesėkmingai – sužaista lygiosiomis su Paragvajumi ir N. Zelandija, o lemiamas varžybas su Slovakija italai po atkaklios kovos pralaimėjo rezultatu 2:3. Italai grupėje liko paskutiniai ir į kitą etapą nepateko. Tai buvo prasčiausias Italijos rinktinės pasirodymas nuo 1974 m. Taip pat šis pasirodymas buvo pirmas kartas istorijoje, kai Italijos rinktinė pasaulio čempionato finaliniame etape nepelnė nei vienos pergalės.
Po pasaulio čempionato trenerį M. Lippi pakeitė Cesare Prandelli. Šis pakeitimas jau buvo numatytas prieš čempionatą ir nebuvo nulemtas prastų rezultatų. Naujojo trenerio debiutinėse rungtynėse Italijos rinktinė pralaimėjo Dramblio Kaulo Kranto rinktinei. Atrankoje į 2012 m. Europos futbolo čempionatą Italija baigė pralaimėjimų seriją ir nugalėjo Estijos rinktinę 2-1.
Atrankoje į 2012 m. XIV Europos futbolo čempionatą Italijos rinktinė pateko į C grupę. Joje pelnė 8 pergales ir du kartus sužaidė lygiosiomis. To užteko lengvai užimti pirmąją vietą ir patekti į Europos čempionatą, kuris vyks Lenkijoje ir Ukrainoje.
Ištraukus čempionato burtus, Italija pateko į C grupę, kurioje lygiosiomis 1:1 sužaidė su Ispanija bei Kroatija ir rezultatu 2:0 nugalėjo Airijos rinktinę. Italija užėmė antrąją vietą grupėje ir ketvirtfinalyje susitiko su D grupės nugalėtoja Anglija. Kadangi ir po dviejų pratęsimų rezultatas tebebuvo lygus (0:0), prireikė baudinių serijos, kurią Italija laimėjo rezultatu 4:2. Pusfinalyje komanda rezultatu 2:1 įveikė Vokietijos rinktinę ir pateko į čempionato finalą. Abu įvarčius pelnė M. Balotelli.
Turnyro finale Kijeve italai susitiko su Ispanijos rinktine. Jau per pirmą kėlinį ispanai sugebėjo įmušti 2 įvarčius. Antrame kėlinyje italai nesugebėjo pasipriešinti ir praleido dar du įvarčius. Finalas pasibaigė rezultatu 0 – 4, o Italija po 12 m. pertraukos vėl tapo Europos vicečempione.
Atrankoje į 2014 m. pasaulio futbolo čempionatą Italijos rinktinė grupėje tapo nugalėtoja su 6 pergalėmis ir 4 lygiosiomis. Pasaulio futbolo čempionate komanda pateko į vieną grupę su Anglija, Kosta Rika ir Urugvajumi. Pirmose rungtynėse italai nugalėjo britus rezultatu 2-1. Kitose dvejose rungtynėse Italijos rinktinė pripažino varžovų pranašumą 0-1; kaip ir 2010 m. čempionate italai neperžengė grupės etapo.
Po čempionato treneris C. Prandelli pranešė pasitraukiantis iš savo pareigų. 2014 m. rugpjūčio 14 d. naujuoju rinktinės treneriu tapo buvęs Juventus klubo treneris Antonio Conte.
Po šio Europos čempionato naujuoju rinktinės treneriu dvejiems metams paskirtas italas Giampiero Ventura, iki tol vadovavęs Torino klubui.
Atrankoje į 2018 m. pasaulio futbolo čempionatą komanda G grupėje užėmė 2 vietą po Ispanijos. Papildomoje atrankoje Italija susitiko su Švedija ir pralaimėjo bendru rezultatu 0-1. Tai buvo pirmas kartas, kai Italija nepateko į pasaulio futbolo čempionatą nuo 1958 m. Po šių rungtynių veteranai Giorgio Chiellini, Andrea Barzagli, Daniele De Rossi ir kapitonas Gianluigi Buffon pasitraukė iš nacionalinės rinktinės. Treneriui atsisakius pasitraukti iš posto, federacija po dviejų dienų jį atleido.
2018 m. gegužės 14 d. naujuoju rinktinės treneriu paskirtas Roberto Mancini. Su naujuoju treneriu ekipa sėkmingai įveikė XVI Europos futbolo čempionato atranką ir su visomis 10 pergalių tapo vos 6-aja komanda istorijoje atrankoje į Europos čempionatą nepatyrusi pralaimėjimo.
2020 m. pabaigoje nugalėjo 2020–2021 m. UEFA Tautų lygos grupėje ir užtikrintai pateko į finalinio ketverto varžybas, kurios vyks Milane ir Turine.
2021 m. liepos 11 d. XVI Europos futbolo čempionato finale rinktinė po baudinių serijos rezultatu 3–2 nugalėjo Angliją ir antrą kartą istorijoje tapo Europos čempione.
2023 m. rugpjūčio 18 d. rinktinės treneriu paskirtas Luciano Spalletti, pakeitęs R. Mancini.
Pasiekimai
FIFA pasaulio čempionai: 4 kartus
Europos čempionai: 2
Vasaros Olimpiados čempionai: 1
Centrinės Europos čempionai: 2
Pasaulio karių lygos čempionai: 8
Pasaulio sporto apdovanojimas „Metų komanda“
Daugiausiai įvarčių pelnę žaidėjai
2015 m. spalio 13 d. duomenys:
Daugiausiai rungtynių sužaidę žaidėjai
thumb|right|250px|Daugiausiai rungtynių Italijos rinktinėje yra sužaidęs vartininkas [[Gianluigi Buffon]] Daugiausiai rungtynių už Italijos rinktinę yra sužaidęs komandos kapitonas vartininkas Gianluigi Buffon.
2022 m. kovo 24 d. duomenys
Paryškinti šiuo metu žaidžiantys žaidėjai.
Rinktinės sudėtis
Sudėtis paskutinėse XVI Europos futbolo čempionato rungtynėse (2021 m. liepos 11 d.).