cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
មង្គលសូត្រ
ប្រារព្ភកថា
បដិរូបទេសវាសោ ច បុព្វេ ច កតបុញ្ញតា អត្តសម្មាបណីធិ ច ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
កិរិយានៅក្នុងប្រទេសដ៏សមគួរ១ ភាវៈនៃបុគ្គលបានធ្វើបុណ្យទុកហើយក្នុងកាលមុន១ កិរិយាតម្កល់ខ្លួនដោយប្រពៃ១ ទាំង៣នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៣
ពាហុសច្ចញ្ច សិប្បញ្ច វិនយោ ច សុសិក្ខិតោ សុភាសិតា ច យា វាចា ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
ភាវៈនៃបុគ្គលបានស្តាប់បានរៀនហើយដោយច្រើន១ សិល្ប៍សាស្រ្តគឺសេចក្តីឆ្លៀវឈ្លាសក្នុងហត្ថកម្មរបស់អ្នកបួស និងគ្រហស្ថ១ វិន័យដែលបុគ្គលសិក្សាដោយប្រពៃ១ វាចាដែលបុគ្គលពោលត្រឹមត្រូវ១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៤
មាតាបិតុឧបដ្ឋានំ បុត្តទារស្ស សង្គហោ អនាកុលា ច កម្មន្តា ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
កិរិយាបម្រើនូវមាតា១ កិរិយាបម្រើនូវបិតា១ សេចក្តីសង្គ្រោះដល់បុត្រនិងភរិយា១ ការងារទាំងឡាយដែលមិនច្របូល ច្របល់១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៥
ទានញ្ច ធម្មចរិយា ច ញាតកានញ្ច សង្គហោ អនវជ្ជានិ កម្មានិ ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
កិរិយាបរិច្ចាគទាន១ កិរិយាប្រព្រឹត្តនូវធម៌១ សេចក្តីសង្រ្គោះដល់ញាតិទាំងឡាយ១ ការងារទាំងឡាយដែលមិនមានទោស១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៦
អារតី វិរតី បាបា មជ្ជបានា ច សញ្ញមោ អប្បមាទោ ច ធម្មេសុ ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
កិរិយាមិនត្រេកអរក្នុងបាប និងកិរិយាវៀរចាកបាប១ សេចក្តីសង្រួមចាកកិរិយាផឹកនូវទឹកស្រវឹង១ សេចក្តីមិនប្រមាទក្នុង ធម៌ទាំងឡាយ១ ទាំង៣នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៧
គារវោ ច និវាតោ ច សន្តុដ្ឋី ច កតញ្ញុតា កាលេន ធម្មស្សវនំ ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
សេចក្តីគោរពចំពោះបុគ្គលដែលគួរគោរព១ កិរិយាប្រព្រឹត្តបន្ទាបនូវខ្លួន១ សេចក្តីត្រេកអរចំពោះរបស់ដែលមាន១ ភាវៈនៃបុគ្គលអ្នកដឹងនូវឧបការៈដែលអ្នកដទៃធ្វើហើយដល់ខ្លួន១ កិរិយាស្តាប់នូវធម៌តាមកាល១ ទាំង៥នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៨
ខន្តិ ច សោវចស្សតា សមណានញ្ច ទស្សនំ កាលេន ធម្មសាកច្ឆា ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
សេចក្តីអត់ធន់១ ភាវៈនៃបុគ្គលដែលគេប្រដៅបានដោយងាយ១ កិរិយាបានឃើញបានជួបនូវសមណៈទាំងឡាយ១ ធម្មសាកច្ឆា គឺកិរិយាសន្ទនាទៅវិញទៅមក នូវធម៌តាមកាល១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី៩
តបោ ច ព្រហ្មចរិយញ្ច អរិយសច្ចានទស្សនំ និព្វានសច្ឆិកិរិយា ច ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
សេចក្តីព្រាយាមដុតនូវបាបធម៌១ កិរិយាប្រព្រឹត្តនូវធម៌ដ៏ប្រសើរ១ កិរិយាឃើញនូវអរិយសច្ចទាំងឡាយ១ កិរិយាធ្វើឲ្យជាក់ ច្បាស់នូវព្រះនិព្វាន១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
គាថាទី១០
ផុដ្ឋស្ស លោកធម្មេហិ ចិត្តំ យស្ស ន កម្បតិ អសោកំ វិរជំ ខេមំ ឯតម្មង្គលមុត្តមំ។
ចិត្តនៃបុគ្គលឯណា ដែលលោកធម៌ទាំងឡាយពាល់ត្រូវហើយ មិនរំភើបញាប់ញ័រ១ មិនមានសេចក្តីសោក១ មានធូលី គឺរាគៈទៅប្រាសហើយ១ ជាចិត្តក្សេមក្សាន្ត១ ទាំង៤នេះ ជាមង្គលដ៏ឧត្តម។
អវសាន្តគាថា
ឯតាទិសានិ កត្វាន សព្វត្ថមបរាជិតា សព្វត្ថ សោត្ថឹ គច្ឆន្តិ តន្តេសំ មង្គលមុត្តមន្តិ៕
(មង្គលសូត្រ ចប់)
ឯកសារយោង
ព្រះត្រៃបិដក > សុត្តន្តបិដក > ខុទ្ទកនិកាយ > ខុទ្ទកបាឋ-ធម្មបទ-ឧទាន-ឥតិវុត្តក-សុត្តនិបាត > មង្គលសូត្រ (សៀវភៅភាគ​៥២ ទំព័រ​ទី ៤)
พระไตรปิฎก เล่มที่ ๒๕ พระสุตตันตปิฎก เล่มที่ ๑๗ ขุททกนิกาย ขุททกปาฐะ-ธรรมบท-อุทาน-อิติวุตตกะ-สุตตนิบาต > มงคลสูตรในขุททกปาฐะ
Mangala Sutta: Blessings (Khp 5)
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ ពាក្យប្រារព្ធ
ពាក្យប្រារព្ធ
និងវិបស្សនាកម្មដ្នាន ចំ ពោះព្រះបញ្ញាអាភា សុំឲ្យលោកសម្តែង បំភ្លឺផ្លូវវិបស្សនាធុរ: ជាមាគ៌ាដ៏ត្រង់ ឆ្ពោះទៅកាន់មគ្គ ផលនិព្វាន ដើម្បីទុកជាខវត្តិប្រតិបត្តិ សម្រាប់អ្នក វិបស្សនាយានិកតទៅ ។ ព្រះបញ្ញាអាភា បាន សំដែងពន្យល់ អំពីរឿងនោះ យ៉ាងទូលំទូលាយ តាំងអំពីដើមដរាបចប់ ។ កាលលោកសំដែងចប់ហើយ អ្នកសញ្ញានិង
អ្នកវិញ្ញាណ មានសេចក្តីជ្រះថ្លាជាខ្លាំង ដរាបបន្លឺឧទានវាចារថា ពិរោះណាស់ ៗ ច្បាស់ណាស់ ៗ ល្មមជា ខវត្តិប្រតិបត្តិ បានហើយ ។ ចំពោះអ្នករាប់អាន ព្រះពុទ្ធ សាសនា ទាំងជាគោលធម៌ អាចនាំដំណើរ អ្នកបដិបត្តិ ឆ្ពោះទៅរកមគ្គផលនិព្វាន បានទៀតផង ។ អាស្រ័យហេតុ ទាំងពីរខាងលើនេះ ទើបខ្ញុំមានកម្លាំងព្យាយាម រៀបរៀងរឿងនេះឡើង ដរាប បានសម្រេច ជាសៀវភៅមួយ ឲ្យឈ្មោះថា នាវាត្រៃលោក នាវាត្រៃលក្ខណ៍ និងវិបស្សនា បញ្ហាធម្មបរិយាយ ។ ក្នុងផ្ទៃសៀវភៅនេះ ខ្ញុំតាំងជាពាក្យ ចោទឆ្លើយ ដូចជាមានមនុស្ស៣នាក់ សាកសួរគ្នាគឺ អ្នកសញ្ញា១ អ្នកវិញ្ញាណ១ ព្រះបញ្ញាអាភា១ ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមទុកថា លោកអ្នកអាន និងលោកអ្នក បដិបត្តិទាំងឡាយ ដែលអាននិងបដិបត្តិ ដោយប្រើ វិចារណប្បញ្ញាប្រកបផង មុខជានឹងឃើញច្បាស់ នូវធម៌ពិត ធម៌មែន ដោយខ្លួនឯង ក្នុងរយ:កាលណា
មួយពុំខានឡើយ ។ ឬឆ្គាំឆ្គងត្រង់ ន័យណាមួយ សូមមេត្តាកែតម្រូវ ឲ្យបានត្រឹមត្រូវល្អផង ដើម្បីជាកិច្ចអនុគ្រោះ ចំពោះព្រះពុទ្ធ សាសនា ។ កាលខ្ញុំរៀបរៀង ចប់សព្វគ្រប់ហើយ បានប្រគេនទៅភិក្ខុ ទត្តត្ថេរប្បបញ្ញោលុយ ទ្រឿន អរញ្ញវាសី ភូមិភ្នំល្ហុងឃុំព្រាល ស្រុករវៀង ខែត្រព្រះវិហារ ឲ្យជួយសរសេរសំណៅ និងពិនិត្យកែ លុះលោកសរសេរចប់ហើយ បានជូនទៅលោក អ៊ិន ឆាយ សុំឲ្យលោកជួយលៃលក រកទីពឹងព្រះថេរ:អង្គណាមួយ ឯក្រុងភ្នំពេញ ជួយពិនិត្យកែសម្រួល ឲ្យបានត្រឹមត្រូវល្អ តាមពុទ្ធោវាទ ។ លោក អ៊ិន ឆាយ បាននាំច្បាប់នេះ ទៅប្រគេន ព្រះធម្មត្រៃលោកាចារ្យ ច័ន្ទ សាលី ធម្មធីរោ វត្តបទុមវតីរាជវរារាម ភ្នំពេញ សុំឲ្យជួយពិនិត្យកែសម្រួល ។ ព្រះធម្មត្រៃលោកាចារ្យ បានទទួល ដោយយកព្រះទ័យ
ទុកដាក់ ជួយពិនិត្យសរសេរជាថ្មី ហើយកែសម្រួលគោលធម៌ ឃ្លាល្បះ និងអក្ខរាវិរុទ្ធ រហូតដល់បានជារូបរាង​សៀវភៅនេះសម្រេចឡើង ។ តែនៅពុំទាន់អស់សេចក្តី សង្ស័យក្នុងចិត្ត ទើបបានប្រគេនព្រះធម្មរោត្តម តុង ឈួន ចន្ទវជីរោ បទុមវតីរាជវរារាម ភ្នំពេញ ឲ្យជួយពិនិត្យថែមទៀត និងជូនលោក ប៊ូ ប៉ូ (អតីតក្រុមជំនុំ​ ព្រះត្រៃបិដក ក្រសួងសាសនបណ្ឌិត្យ) ឲ្យជួយពិនិត្យជាថ្មីម្តងទៀត ។ លោក ប៊ូ ប៉ូ ក៏បានជួយពិនិត្យ ដោយសព្វគ្រប់ ឃើញថាធម៌នេះ មានអត្ថន័យទូលំទូលាយ ទាំងមានប្រយោជន៍ ដល់អ្នកអាន អ្នកបដិបត្តិ ឲ្យភ្លឺស្វាង នាំចិត្តទៅរកសន្តិសុខ សន្តិភាពបានស្រួល ល្មមចារឹកបោះពុម្ព ទុកជាធម្មប្រទីបមួយ ក្នុងពុទ្ធសាសនមណ្ឌល ។ ទើបបានចារ សេចក្តីយល់ឃើញ នៅខាងមុខ ដូចមាននៅទំព័រ ខាងមុខនេះស្រាប់ ។
--
សេចក្តីពិនិត្យ និង សេចក្តីយល់ឃើញ
និង ត្រឹមត្រូវតាមបាលី ឧទ្ទេសក្នុងគម្ពីរវិសុទ្ធិមគ្គថា: ទើបអាចកាត់ផ្តាច់ នូវគ្រឿងបណ្តាញ ពោលគឺកិលេស ដូចជាគ្រឿងសាំញ៉ាំនៃឫស្សី ឲ្យជ្រះដាច់ស្រឡះបាន ។ ម៉្យាងទៀត វិបស្សនាបញ្ហាធម្មបរិយាយនេះ មិនមែនជាវិបស្សនាក្លែងក្លាយ អែបនែបទៅខាង មន្តអាគមគាថា កាប់មិនមុត ដុតមិនឆេះនោះទេ គឺជាវិបស្សនា យ៉ាងល្អិតសុខុម
គួរជាទីប្រព្រឹត្ត របស់ព្រះយោគាវចរ ទូទៅពិតប្រាកដណាស់ ។
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ព្រះពុទ្ធសាសនា
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី១
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៣
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៤
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៥
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៦
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៨
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី៩
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទី១០
ពន្លឺនាវាត្រៃលក្ខណ៍ វគ្គទីបញ្ចប់
វិសមភាព AM-GM
នៅក្នុង គណិតវិទ្យា, វិសមភាព​មធ្យមនព្វន្ត និង មធ្យមធរណីមាត្រ​ ឬត្រូវបានហៅកាត់ថា វិសមភាព AM-GM, បាននិយាយថា មធ្យមនព្វន្តនៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុម គឺ​តែងតែធំជាងឬស្មើទៅនឹង មធ្យមធរណីមាត្រ នៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុមនោះជានិច្ច។ ជាងនេះទៅទៀតនោះ, មធ្យមទាំងពីរនេះអាចស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់ធាតុនីមួយៗ (ចំនួន ពិតមិនអវិជ្ចមាននីមួយៗ)នៅក្នុងក្រុមចំនួននោះ មានតម្លៃស្មើគ្នាទាំងអស់។
ក្នុងឧទាហរណ៍សាមញ្ញតែមានសារៈសំខាន់នោះគឺ —ដូចជាក្នុងករណីមានច្រើនជាង ១អញ្ញតិ — ចំពោះចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានពីរគឺ x និង y, ដែលវិសមភាពខាងក្រោមនេះពិតជានិច្ច៖ ដែលស្មើគ្នាលុះត្រាតែ
ប៉ុណ្នោះ. ក្នុងករណីនេះយើងអាចឃើញយ៉ាងច្បាស់ពីការពិតដែលការ៉េនៃចំនួនពិតមួយតែងតែវិជ្ជមានជានិច្ច គួបផ្សំនឹងលក្ខណៈ ដ៏ពិតមួយទៀងនោះគឺ
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
ដែលជាលក្ខណៈនៃ រូបមន្តពហុធា: ឬក៏អាចសរសេរជា
(x + y)2 ≥ 4xy
, ដែលស្មើគ្នានៅពេល
(x − y)2 = 0
ឬពេល
. ចំពោះការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រវិញ, ឧបមាថាយើងមាន ត្រីកោណមួយ ដែលមានជ្រុងប្រវែង x និង y, នោះ បរិមាត្រ របស់វាគឺ
2x + 2y
និង ក្រលាផ្ទៃ xy. ដូចគ្នានេះដែរ, ការ៉េ មួយដែលគ្រប់ជ្រុងរបស់វាសុទ្ឋតែមានប្រវែង
មានបរិមាត្រស្មើនឹង
4
និងមានក្រលាផ្ទៃដូចគ្នាទៅនឹងក្រលាផ្ទៃរបស់ត្រីកោណដែរ។ ករណីសាមញ្ញនៃវិសមភាព AM–GM ត្រូវបានអនុវត្តន៍លើបរិមាត្រគឺ
2x + 2y ≥ 4
និងបានបង្ហាញថាមានតែការ៉េនោះទេដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេក្នុងចំនោមត្រីកោណទាំងអស់ដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នានោះ។
ភាពទូទៅនៃវិសមភាព AM–GM ផ្ដោតសំខាន់ទៅលើភាពពិតនៃ លោការីត ធម្មជាតិ, ដែលអាចបម្លែងផលគុណទៅជាផលបូកបាននោះ, គឺជា is a អនុគមន៍ផតដាច់ខាត concave function​មួយ ហើយយើងអាចប្រើ វិសមភាព Jensen ដើម្បី ស្រាយបញ្ជាក់ជាទូទៅ នៃវិសមភាព AM-GM នេះផងដែរ។
Extensions of the AM–GM inequality are available to include weights or generalized means.
ប្រវត្តិ ឬ ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទង
មធ្យមពិជគណិត ឬនិយាយសាមញ្ញថា មធ្យម​ នៃ n ចំនួន
គឺជាផលបូកនៃចំនួនទាំងអស់នោះ ចែកនឹង n។
មធ្យមធរណីមាត្រ មានភាពស្រដៀងគ្នា, ប៉ុន្តែវាមានន័យលុះត្រាតែចំនួនទាំងអស់គឺជា ចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រើប្រាស់នូវ ការគុណ និង ឬស ចំនួសឲ្យ ការបូក និង ការចែក។
ករណី
x1, x2,. . ., xn > 0
,វាស្មើទៅនឹង អ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល នៃមធ្យមពិជគណិតរបស់​ លោការីត ធម្មជាតិ នៃចំនួនទាំងនោះ:
វិសមភាព AM-GM
បញ្ជាក់សារជាថ្មីដោយប្រើប្រាស់សញ្ញាក្នុងគណិតវិទ្យា, ចំពោះ n ចំនួននៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន
x1, x2,. . ., xn
, យើងបានៈ
ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជា សមភាព លុះត្រាតែៈ
.
ការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រ
នៅក្នុង 2 វិមាត្រ ,
2x1 + 2x2
ជាបរិមាត្រ នៃចតុកោណកែងមួយដែលមានជ្រុងប្រវែង
x1
និង
x2
។ ដួចគ្នានេះដែរ
4
គឺជាបរិមាត្រនៃការ៉េមួយដែលមាន ក្រលាផ្ទៃ ដូចគ្នា. ដូចនេះ ចំពោះ
វិសមភាព AM–GM បានបញ្ជាក់ថា មានតែ ការ៉ប៉ុណ្ណោះដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេទាំងអស់ ក្នុងចំនោមចតុកោណកែងដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នា។
ភាពពេញលេញនៃវិសមភាពនេះ គឺជាការពង្រីកទៅលើគំនិតនេះ ទៅដល់ n វិមាត្រ។ គ្រប់កំពូលទាំងអស់នៃប្រអប់ដែលមាន n​ វិមាត្រគឺត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹង n គែម។ ប្រសិនបើប្រវែងនៃគែមទាំងនោះគឺ​
x1, x2,. . ., xn
នោះ
x1 + x2 + · · · + xn
គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមទាំងអស់នោះត្រូវគ្នាទៅនឹងកំពូលនៃប្រអប់នោះ។ យើងមាន
2n
ហើយសន្មត់ថាយើងមាន
2n−1n
ជ្រុង។ ដោយសារតែចាមានគែមជាច្រើនដែលមានប្រវែងស្មើៗគ្នា និង n ជ្រុង; ដូចនេះយើងមាន
2n−1
គែមនៃប្រវែងនីមួយៗនិងប្រវែងសរុបនៃប្រវែងរបស់គែមទាំងអស់នោះគឺ
2n−1(x1 + x2 + · · · + xn)
។ ម្យ៉ាងទៀតៈ
គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមដែឡភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលមួយនៅលើគូបនៅក្នុង n-វិមាត្រដែលមានមាឌប៉ុនគ្នា។​​ យោងទៅតាមវិសមភាពដែលបានចែងថាៈ
យើងទទួលបាន
ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែៈ
.
ដូច្នេះ វិសមភាព AM–GM បញ្ជាក់ថាមានតែ n-គូប ប៉ុណ្ណោះដែលមានផលបូកនៃប្រវែងសរុបរបស់គែមដែលភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលនីមួយៗ ទាំងអស់មានតម្លៃតូចជាងគេ ក្នុងចំនោមប្រអប់ដែលមានមាឌ ប៉ុនគ្នាទាំងអស់នៅក្នុង n-វិមាត្រ។
ឩទាហរណ៍អំពីការប្រើប្រាស់
ឩបមាថាយើងមានអនុគមន៍ដូចខាងក្រោមៈ
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន x, y និង z. ហើយយើងចង់រកនូវតម្លៃតូចបំផុតនៃ អនុគមន៍មួយនេះ។ ដូចនេះ ជាដំបូងយើងត្រូចសរសេរវាសារជាថ្មីឲ្យទៅជារាងដូចខាងក្រោមៈ ដែល
ដោយប្រើប្រាស់នូវ វិសមភាព AM–GM ចំពោះ
, យើងបានៈ
ជាងនេះទៅទៀត, យើងដឹងថាអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនេះស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់តួទាំងអស់មានតម្លៃស្មើគ្នា គឺៈ
គ្រប់ចំនុច
(x, y, z)
ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់នូវលក្ខ័ណ្ឌនេះសុទ្ធតែ ស្ថិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់កាត់តាមគល់តម្រុយ និងមាន​សមីការៈ
ការអនុវត្តន៍ប្រើប្រាស់
ការប្រើប្រាស់ដ៏សំខាន់មួយនៃវិសមភាពនេះ គឺនៅក្នុង គណិតវិទ្យាខាងផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ គឺត្រូវបានយកទៅប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនា អត្រានៃប្រាក់ចំនេញ: ប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំ, ដោយបានគណនាតាមមធ្យមធរណីមាត្រ គឺមានតម្លៃទាបជាងប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំគិតជាមធ្យមដែលគណនាតាម មធ្យមពិជគណិត (ឬក៏អាចស្មើបើប្រាក់ចំនេញទាំងនោះមានតម្លៃស្មើគ្នា)។ វាសំខាន់ណាស់នៅក្នុងការវិភាគទៅលើ ការធ្វើវិនិយោគទុនដូចនេះ ព្រោះថាប្រាក់ចំនេញជាមធ្យម "as the average return overstates the cumulative effect."
សម្រាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាព AM–GM
យើងមានរបៀបក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព AM–GM នេះ; ឧទាហរណ៍ដូចជា, វាអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើប្រាស់ វិសមភាព Jensen, ដោយប្រើប្រាស់នូវអនុគមន៍ផត ln(x)។ យើងក៏អាចស្រាយបញ្ជាក់វាតាម វិសមភាពតំរៀប។ ផ្តោតទៅលើប្រវែងនិងតម្រូវការ, ការស្រាយបញ្ជាក់តាមកំនើនវាចារ ខាងក្រោមប្រហែលជា ជាការស្រាយបញ្ជាក់ដ៍ល្អមយួៈ
គំនិតនៃការស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងទាំងពីរ
យើងត្រូវតែស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ
ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែគ្រប់ចំនួនទាំងអស់ស្មើគ្នា។ បើ
xi ≠ xj
, យើងជំនួស xi និង xj ដោយ
(xi + xj)/2
នឹងធ្វើឲ្យមធ្យមនព្វន្តដែលនៅខាងឆ្វេងដៃ មិនមានការប្រែប្រួល តែវានឹងធ្វើឲ្យមធ្យមធរណីមាត្រដែលនៅខាងស្ដាំដៃមានការកើនឡើង ព្រោះ ៖
ដូចនេះអង្គខាងស្ដាំនឹង ធំជាងគេ — ដូចនេះគំនិតគឺថា — នៅពេលដែលគ្រប់ xi ទាំងអស់មានតម្លៃស្មើទៅនឹងមធ្យមនព្វន្ត ៖
ការស្រាយបញ្ជាក់នេះគឺពិតចំពោះករណី
តែដំណើរការក្នុងការយកមធ្យមនៃគូរចំនួនដែលស្រដៀងគ្នា អាចឈានទៅរកភាពបរាជ័យក្នុងការបង្កើតនូវ n ចំនួនដែលស្មើគ្នា ក្នុងករណី
n ≥ 3
។ ជាឧទាហរណ៍មួយក្នុងករណីនេះ គឺ
ដូច្នេះ ល្បិចមួយទៀតដែលត្រូវប្រើនោះ គឺ ត្រូវតែបង្វែរ គំនិតខាងលើនេះឲ្យទៅជា ការស្រាយបញ្ជាក់ដ៏មានប្រសិទ្ធិ៍ភាពមួយ ចំពោះករណី
។
Hard proof by induction
With the arithmetic mean of the non-negative real numbers
x1,. . ., xn
, the AM–GM statement is equivalent to with equality if and only if
for all
i ∈ {1,. . ., n}
.
the statement is true with equality.
Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of n non-negative real numbers.
Induction step: Consider
non-negative real numbers. Their arithmetic mean α satisfies If all numbers are equal to α, then we have equality in the AM–GM statement and we are done. Otherwise we may find one number that is greater than α and one that is smaller than α, say
xn > α
and
xn+1 < α
. Then
Now consider the n numbers
x1,. . ., xn–1, y
with
which are also non-negative. Since
α is also the arithmetic mean of n numbers
and the induction hypothesis implies
Due to (*) we know that
hence
in particular
α > 0
. Therefore, if at least one of the numbers
x1,. . ., xn–1
is zero, then we already have strict inequality in (**). Otherwise the right-hand side of (**) is positive and strict inequality is obtained by using the estimate (***) to get a lower bound of the right-hand side of (**). Thus, in both cases we get
which completes the proof.
Proof by Cauchy using forward-backward-induction
The following proof by cases relies directly on well-known rules of arithmetic but employs the rarely used technique of forward-backward-induction. It is essentially from Augustin Louis Cauchy and can be found in his Cours d'analyse.
The case where all the terms are equal
If all the terms are equal:
then their sum is
, so their arithmetic mean is
x1
x1n
, so their geometric mean is
The case where not all the terms are equal
It remains to show that if not all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when
n > 1
.
This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.
The subcase where n = 2
If
, then we have two terms,
x1
and
x2
, and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:
hence
as desired.
The subcase where n = 2k
Consider the case where
, where k is a positive integer. We proceed by mathematical induction.
In the base case,
, so
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
ប្រវត្តិនៃអ៊ីនធឺណេតបានចាប់ផ្ដើមនៅក្នុងទស្សវត្សឆ្នាំ ១៩៥០ និងឆ្នាំ១៩៦០ ជាមួយនិងការអភិវឌ្ឍន៍ នៃកុំព្យូទ័រ ។ ការចាប់ផ្ដើមនេះជាមួយ និងការទំនាក់ទំនងមួយទល់នឹងមួយ រវាង កុំព្យូទ័រមួយទៅកុំព្យូទ័រមួយ, ហើយបានពង្រីក ទៅជាការភ្ជាប់មួយទៅមួយរវាង កុំព្យូទ័រហើយនិងប្រពន្ធ័ស្រាវជ្រាវបានយ៉ាងរហ័ស សំនុំបានបិទនូវបណ្ដាញដូចជា ARPANET Mark នៅឯ​ NPL ក្នុង ចក្រភពអង់គ្លេស​ CYCLADES,គុណូបបណ្ដាញ,ធីមណេត, និងតេលេណេត ត្រូវបាន​អភិវឌ្ឍ​នៅចុងទស្សវត្ស ឆ្នាំ ១៩៦០ និងដើមទស្សវត្ស ឆ្នាំ១៩៧០​ ការប្រើពិធីសារផ្សេងគ្នា។ ARPANET គឺវានៅដោយឡែកពីគ្នា ក្នុងការនាំទៅរក ការអភិវឌ្ឍន៍ នៃពិធីសារ សំរាប់បណ្ដាញ​អ៊ីនធើណេត ,ដែលបំបែកបណ្ដាញពហុគុណ អាច ចូលរួមទាំងអស់គ្នា ពីបណ្ដាញមួយទៅបណ្ដាញមួយ។
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
. We have already shown that the inequality holds when
, so we are done.
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
ក្នុងឆ្នាំ១៩៨២សារ​របស់អ៊ីនធើណេត​ (TCP/IP)ត្រូវបានធ្វើអោយបមាណីយកម្ម ហើយនិង​ គំំនិតនៃ បណ្ដាញពិភព​លោក​ដ៏​ទូ​លាយ​​ នៃ ការដាក់ខ្សែប្រទាក់គ្នា របស់បណ្ដាញ​ TCP/IP ត្រូវបានស៊កបញ្ចូល​។ ការស៊កចូលទៅ ARPANET បានពង្រីកក្នុងឆ្នាំ ១៩៨១ នៅពេលមូលនិធិវិទ្យាសាស្ត្រជាតិ(NSF) បានអភិវឌ្ឍបណ្ដាញវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ (CSNET) ហើយចាប់ផ្ដើមក្នុង​ឆ្នាំ​១៩៨៦ក្នុងពេលដែល NSFNET បានតៀបចំស៊កទៅក្នុង ទីកុំព្យូទ័រធំ ក្នុងសហរដ្ឋអាមេរិច​ ពីការស្រាវជ្រាវនិងការរៀបចំការអប់រំ​​​។​អ្នក​ផ្ដល់សេវាកម្មខាងជំនួញអ៊ីនធើណេត​ (អាយ អែស ភី អែស) បានបង្ហាញនៅក្នុងទស្សវត្សឆ្នាំ១៩៨០ និងទស្សវត្សឆ្នាំ ១៩៩០ ។ ARPANET បានដាក់អោយប្រើការនៅក្នុងឆ្នាំ១៩៩០ ។អ៊ីនធើណេតត្រូវបានគេយកវាធ្វើជាជំនួញក្នុងឆ្នា១៩៩៥ ពេល NSFNET ត្រូវ បានដាក់អោយប្រើការ,ការផ្លាស់ប្ដូរ​ ការកំនត់ចុងក្រោយ លើការប្រើបា្រស់អ៊ីនធើណេតសំរាប់ជាចរាចរណ៍ជំនួញ ។
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
Now, suppose that for a given
k > 1
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
right|thumb|200px|មូស៊ីឡា ហ្វាយអឹហ្វក់ (Mozilla Firefox) និង អ៊ីនធើណេតអ៊ិចហ្លរឺរ (Internet Explorer) ជាគេហទំព័រ ដែលគេ និយមប្រើជាងគេ នៅលើពិភពលោកនេះ​
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
, we have already shown that the inequality holds for
, and we wish to show that it holds for
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
តាំងពីពាក់កណ្ដាលទស្សវត្ស ឆ្នាំ១៩៩០ អ៊ីនធើណេត មានការប៉ះទង្គិចយ៉ាងខ្លាំង ទៅលើវប្បធម៌និង ជំនួញ,រួមបញ្ចូលទាំងការ​កើតឡើង នៃការទំនាក់ទំនងយ៉ាងឆាប់រហ័ស តាមរយៈសារអេឡិចត្រូនិច​, សារឆាប់រហ័ស ,សំលេង តាមសារអ៊ីនធើណេត​ (វី អូ អែល ភី)​ "ទូរសព្ទ័",ទំនាក់ទំនងតាមរយៈវីឌីអូទៅវិញទៅមក​​ ,និងពិភព ធំទូលាយ នៃការទាក់ទង​ ជាមួយាការពិភាក្សា​ សមោសរដ្ឋ​, ប្លក់ ,បណ្ដាញទំនាក់ទំនង ,ហើយនិងការបើកទីកន្លែង សំរាប់ទីផ្សារ។ ការស្រាវជ្រាវ និងការអប់រំសហគមន៍ បន្ត ទៅរកការអភិវឌ្ឍន៍និង​ប្រើបណ្ដាញអោយរីកចំរើនទៅមុខ ដូចជាNSF គឺវាមានល្បឿនខ្ពស់ បណ្ដាញសេវាកម្មរឹងមាំ ​។​ចំនោមការកើនឡើង នៃទិន្នន័យ ត្រូវបានបញ្ជូនល្បឿនខ្ពស់ទៅៗលើបណ្ដាញសរសៃអុបទិក ​នៅកំរិតមួយជីហ្កាបៃក្នុងមួយវិនាទី ,១០ ជីហ្កាបៃ ក្នុងមួយវិនាទីឬ ក៏ច្រើនជាងនេះ ។អ៊ីនធើណេតនៅតែបន្តលូតលាស់ ,បន្តការលូតលាស់ធំជាងមុន នៃការទទួលពត៌មាន និង​ចំនេះដឹង មុខជំនួញ ,ការកំសាន្ត និងបណ្ដាញសង្គម។ វាត្រូវបាន​ ប៉ាន់ស្មានថា ក្នុងឆ្នាំ១៩៩៣ អ៊ីនធើណេត ប្រើតែ១% ប៉ុណ្ណោះនៃការស្រាវជា្រវ ពត៌មានឆ្លងតាមទូរគមនាគមន៍ទៅវិញទៅមក ,ដោយ២០០០​​​តួរលេខនេះបាន លួតប្រហែល ៥១% ហើយនិង ឆ្នាំ២០០៧ ជាង៩៧% ដែលការទំនាក់ទំនង គ្នាទៅវិញទៅមកការផ្ដល់ពត៌មាន តាមអ៊ីនធើណេត។
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
2k-1
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
ការរៀបចំជាមុន
អ៊ីនធើណេតមានអ្នករៀបចំទុកជាមុន​ ដែលបានកំនត់ថ្ងៃខែ ក្នុងសត្សវត្សទី១៩ ,ជាពិសេស ប្រពន្ធ័ទូរលេខ ,មុនសត្សវត្សនេះទៅទៀតអ៊ីនធើណេតបានក្លាយជា ការប្រើប្រាស់មួយដ៏ធំទូលាយ ក្នុងពាក់កណ្ដាលឆ្នាំ ទស្សវត្សឆ្នាំ១៩៩០ ។គំនិតនៃ ការទំនាក់ទំនងទិន្នន័យ - ការបញ្ជូនទិន្នន័យរវាងពីរកន្លែងផ្សេងៗគ្នា,ភ្ជាប់តាមរយៈអសនីចុម្ពិត ជាមធ្យម ,ដូចជាវិទ្យុ ខ្សែអគ្គិសនីមួយ - ការបង្ហាញ កុំព្យូទ័រមុនកាលកំនត់។ ដូចជាប្រពន្ធ័ទំនាក់ទំនង ជា​តួរយ៉ាង​ការកំនត់ពីទំនាក់ទំនងមួយទៅមួយ រវាង ឧបាយ កលពីរចុងក្រោយ។ប្រពន្ធ័ទូរលេខ និង​ម៉ាស៊ីនទូរលេខអង្គុលីលេខ អាច ចាត់ទុកជា ការរៀបចំគំរោងទុកជាមុន នៃការ​ទំនាក់ទំនងដ៏ល្អនេះ។កុំព្យូទ័រ បានប្រើយ៉ាងឆាប់រហ័ស​ ក្នុងប្រពន្ធ័បច្ចេកវិទ្យា ក្នុងពេលដែលការទំនាក់ទំនងបានអនុញ្ញាតិ រវាង ការអនុវត្តន៍ចំនុចកណ្ដាលនៃក្រុម និង​ តំបន់ នៅខាងចុង​ ។ នៅពេលបច្ចេកវិទ្យា បានវិវត្តន៍ ,ប្រពន្ធ័ថ្មី បានបែងចែក អោយការទំនាក់ទំនង កាន់តែឆ្ងាយទៅៗ (សំរាប់ចុងម្ខាងទៀត) រឺក៏ ល្បឿនខ្ពស់ (សំរាប់បែងចែក​ប្រពន្ធ័អ៊ីនធើណេតតាមខ្សែ)ដែលវាមានសារសំខាន់សំរាប់ប្រពន្ធ័មែនហ្វែមកុំព្យូទ័រ ។ការប្រើប្រាស់បច្ចេកវិទ្យាទាំងនេះ វាជា លទ្ធភាពការផ្លាស់ប្តូរ ទិន្នន័យ ( ដូចជា សំណុំរឿង​ច្រើន)រវាងកុំព្យូទ័រផ្សេងៗ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការទំនាក់ទំនងពីមួយទៅមួយ ត្រូវបានកំនត់,ពេលដែលវាមិនអនុញ្ញាតិ សំរាប់អោយយើង ទំនាក់ទំនងដោយផ្ទាល់ រវាងការរំលោភ បំពានទៅលើប្រពន្ធ័ផ្សេង, ការទាក់ទងជាការសំខាន់ណាស់។ បច្ចេកវិទ្យាចាត់ត្រូវបានចាត់ទុកជា ការទាក់ទងដែលជៀសមិនរូច វាសំខាន់សំរាប់ខាង​យុទ្ធិសាស្ត្រសំរាប់ទាហានប្រើប្រាស់ផងដែរ,ពីព្រោះវាគ្មានការផ្លាស់ប្តូរគ្នាសំរាប់ការទំនាក់ទំនងក្នុងករណីវាយប្រហារ នៃក្រុមទាហាន។ ក្នុងខែកញ្ញា ឆ្នាំ១៩៦២, ឡៃគ្លីដឺរ៍ និង វែលដិន ខ្លាក បានបោះពុម្ពផ្សាយ ក្រដាស ការទំនាក់ទំនងកុំព្យូទ័រ តាមអ៊ីនធើណេត វាជា ពិពណ៍នាជាលើកដំបូង នៃ បណ្ដាញទៅថ្ងៃ​អនាគត។ ក្នុង ខែតុលាឆ្នាំ១៩៦២, ឡៃគ្លីដឺរ៍ ត្រូវបានជួលដោយ ចេក រូអ៊ីណា ជា នាយក នៃ ការិយាល័យ វិធីអភិវឌ្ឍន៍ ពត៌មានដែលកើតឡើងថ្មីៗ (អាយ ភី ធី អូ) ជាមួយនឹង​ ដាផា ,ជាមួយអាណត្តិ ដើម្បីទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក ក្នុងផ្នែកការពារ ផ្នែកសំខាន់នៃកុំព្យូទរ័ នៅឯ ភ្នំឈី យីន​ នៅសហរដ្ឋ , ពហុកោណ , និង អែស អេ ស៊ី អេច ឃ្យូ ។ ដែលនោះគាត់បាន កំនត់ទ្រង់ទ្រាយ ក្រុមជាផ្លូវការមួយ ជាមួយ ដាផា ជា ការ​ស្រាវជ្រាវកុំព្យូទរ័ឆ្ងាយៗ ។គាត់បាន ចាប់ផ្ដើម ដោយការសរសេរ ពិពណ៌នា រៀបចំបណ្ដាញទៅ​ជា បុគ្គលិក អា ភី ធី អូ ,អ្នកដែលគាត់បានហៅថា"សមាជិកសាខា នៃ បណ្ដាញកុំព្យូទ័រ ផ្កាយ"។ពេលដែលផ្នែកមួយ នៃពត៌មាន អភិវឌ្ឍន៍​មុខងារការិយាល័យ ,បណ្ដាញបីដែលនៅនាយម្ខាងទៀត បានដាក់ៈមួយសំរាប់អភិវឌ្ឍន៍សារជីវកម្មក្នុង សាន់តាម៉ូនីកា,មួយសំរាប់គំរោងGenie នៅឯសកលវិទ្យាល័យ​កាលីហ្វញ៉ា ,ប៊ើកឃ្លីតលី​ហើយមួយទៀត សំរាប់គំរោងប្រពន្ធ័ចែកចាយ ដែលមានភាពត្រូវគ្នា នៅក្នុងរដ្ឋម៉ាសាឈូសេត នៃវិទ្យាស្ថាន បច្ចេកវិទ្យា(អែម អាយ ធី)។ឡៃគ្លីដឺរ៍ បានពិសោធន៍សំរាប់បណ្ដាញ​ដែលមានភាពជាក់ស្ដែង ឃើញច្បាស់នៃប្រភព មូលហេតុនេះ។thumb|left|កុំព្យូទ័រនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ ស៊ើន ធីមប៊ើនែស្លី នៅស៊ើន ហើយក៏បានក្លាយជា ការប្រើប្រាស់លើកដំបូងនៅលើពិភពលោក "សំរាប់ស្ថាននីយ៍ទាំងបីនេះ ,ខ្ញុំបានកំនត់ជំហានបីផ្សេងៗគ្នា នៃការប្រើប្រាស់ទីបញ្ជាការ។ ដូច្នេះប្រសិនបើខ្ញុំនិយាយតាមអ៊ីនធើណេត ជាមួយអ្នកដទៃ ទៀត នៃឯ អែស ឌី ប៊ី និង ខ្ញុំចង់និយាយទៅនរណាម្នាក់ដែលខ្ញុំបានដឹង ថានៅ ប៊ើកគ្លីលី រឺក៏អែម អាយ ធី, ខ្ញុំត្រូវតែទទួលពី អែស ឌី ប៊ី ,ទៅនាយឆ្ងាយៗផ្សេងៗទៀតនិងទទួល ការជួបជាមួយពួកគេ​ ។​ខ្ញុំបាននិយាយ ,វា ជាការជាក់ស្ដែង នូវអ្វី ដែលបានធ្វើ( ប៉ុន្តែ ខ្ញុំមិនចង់ធ្វើវាទេ )​​ ប្រសិន បើអ្នកមានស្ថាននីយ៍បីទាំងនេះ ,នោះគួរតែជា ស្ថាននីយ៍ ដែល ជាកន្លែងដែលអ្នកចង់ទៅ កន្លែងដែលអ្នកធ្វើការទាក់ទងពីកុំព្យូទ័រមួយទៅកុំព្យូទ័រមួយ ។​
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
numbers and once for
ប្រវត្តិអ៊ីនធើណេត
ប្រពន្ធ័ទូរសព្ទ័និងអ៊ីនធើណេត
​ ទូរសព្ទ័ចលត័លើកដំបូងដែលអាចភ្ជាប់អ៊ីនធើណេតបានគឺជាប្រភេទទូរសព្ទ័ ណូគារ៩០០០ ,​ដែលបានបង្កើតនៅក្នុងប្រទេស ហ្វ៉ាងឡង់ ក្នុង​ឆ្នាំ​ ១៩៩៦ ។​ ភាពសំរេចបាន​នៃ​សេវាកម្មអ៊ីនធើណេត​អាចឈានទៅដល់ទូរសព្ទ័ចលត័​ ដែលមានដែនកំណត់ រហូតដល់តំលៃ​ធ្លាក់ចុះ​ ពី​គំរូ ស្តង់ដារ​​និង​អ្នកផ្ដល់បណ្ដា​ញ​ចាប់ផ្ដើម ដើម្បីអភិវឌ្ឍន៍ ប្រពន្ធនិង​សេវាកម្ម​អោយដំណើរការទៅយ៉ាងស្រួល​លើប្រពន្ធទូរសព្ទ័ ។ អែន​ ធី ធី ដូខូម៉ូក្នុងប្រទេសជប៉ុន បានបង្កើតសេវាកម្មអ៊ីណធើណេត​ចលត័លើកដំបូង ,អាយ ម៉ូត​​ ,ក្នុងឆ្នាំ១៩៩៩​ហើយនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកជា កំនើត​នៃសេវាកម្មអ៊ីនធើណេតចលត័ ។ក្នុងឆ្នាំ២០០១ ប្រពន្ធអ៊ី ម៉ែល ទូរសព្ទ័ចលត័ដោយការស្រាវជ្រាវក្នុងចលនាសំរាប់ ផលិតផល​ ប្លែកបឺរី របស់ពួកគេ​ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅអាមេរិក។សេវាកម្មអ៊ីនតាមទូរសព្ទ័ជាច្រើនធ្វើការប្រើ​​វ៉ែប។ការលូតលាស់នៃសេវាកម្មទូរសព្ទ័ចលត័​ជាអាទិភាពដំបូង នៅអាស៊ាននិង​ជប៉ុន​,​កូរ៉េខាងត្បូង​និង​តៃវ៉ាន់ហើយឆាប់ៗនេះ នឹងស្វែងរក​​នូវប្រភពនៃការប្រើអ៊ីនធើណេត​ដោយទូរសព្ទ័​។ការអភិវឌ្ឍន៍ប្រទេស​ដូចជា ឥណ្ឌា,​អាហ្វ្រិកខាងត្បូង​,កេនយ៉ា,​ភីលីពីន​​ និង​ប៉ាគីស្ថាន​ ទាំងអស់រាយការណ៍ថា ភាពចំបងនៃការប្រើអ៊ីនធើណេតតាមទូរសព្ទ័ចលត័ ច្រើនជាង​តាមកុំព្យូទរ័ ។
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អ៊ីនធើណែត ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ទីផ្សារ ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:សេដ្ឋកិច្ច
វិសមភាព AM-GM
The subcase where n = 2k
numbers to obtain:
where in the first inequality, the two sides are equal only if
and
(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to
, and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all
numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:
as desired.
The subcase where n < 2k
If n is not a natural power of
2
2, 4, 8, . . ., 2k,. ..
is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let m be some natural power of
that is greater than n.
So, if we have n terms, then let us denote their arithmetic mean by α, and expand our list of terms thus:
We then have:
so
and
as desired.
Proof by induction using basic calculus
The following proof uses mathematical induction and some basic differential calculus.
Induction basis: For
the statement is true with equality.
Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of n non-negative real numbers.
Induction step: In order to prove the statement for
n + 1
x1,. . ., xn, xn+1
, we need to prove that
with equality only if all the
numbers are equal.
If all numbers are zero, the inequality holds with equality. If some but not all numbers are zero, we have strict inequality. Therefore, we may assume in the following, that all
numbers are positive.
We consider the last number
xn+1
as a variable and define the function
Proving the induction step is equivalent to showing that
for all
t > 0
, with
only if
x1,. . ., xn
and t are all equal. This can be done by analyzing the critical points of f using some basic calculus.
The first derivative of f is given by
t0
has to satisfy
f′(t0) = 0
After a small rearrangement we get
and finally
which is the geometric mean of
. This is the only critical point of f. Since
f′′(t) > 0
, the function f is strictly convex and has a strict global minimum at
. Next we compute the value of the function at this global minimum:
where the final inequality holds due to the induction hypothesis. The hypothesis also says that we can have equality only when
are all equal. In this case, their geometric mean
has the same value, Hence, unless
are all equal, we have
f(xn+1) > 0
. This completes the proof.
Rn
.
Proof by Pólya using the exponential function
George Pólya provided a proof similar to what follows. Let
for all real x, with first derivative
f′(x) = ex–1 – 1
and second derivative
f′′(x) = ex–1
. Observe that
,
f′(1) = 0
and
f′′(x) > 0
for all real x, hence f is strictly convex with the absolute minimum at
. Hence
ស្រុកគាស់ក្រឡ
ស្រុកកោះក្រឡមាន៦ឃុំ ៖
វិសមភាព AM-GM
Proof by Pólya using the exponential function
x ≤ ex–1
for all real x with equality only for
.
Consider a list of non-negative real numbers
x1, x2,. . ., xn
. If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean
α > 0
. By n-fold application of the above inequality, we obtain that
with equality if and only if
for every
i ∈ { 1,. . ., n }
. The argument of the exponential function can be simplified:
Returning to
(*)
which produces
x1 x1 · · · xn ≤ αn
, hence the result
Weighted AM–GM inequality
and the nonnegative weights
w1, w2,. . ., wn
be given. Set
. If
w > 0
, then the inequality
holds with equality if and only if all the xk with
wk > 0
If all
Proof using Jensen's inequality
Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.
Since an xk with weight
has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all xk are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one xk is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all xk are positive.
Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply
Since the natural logarithm is strictly increasing,
Other generalizations
Other generalizations of the inequality of arithmetic and geometric means include:
External links
Category:Inequalities Category:Means Category:Articles containing proofs
វប្បធម៌ប្រទេសបារាំង
thumb|700 វប្បធម៌របស់ប្រទេសបារាំង​ និង ប្រជាជននៅប្រទេសបារាំង និងសណ្ឋានដីនៅបារាំងដែលពោ ពេញទៅដោយប្រវត្តសាស្រ្ត
សង្កាត់គងនយ
ឯកសារយោង
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អតីតឃុំនៃស្រុកកណ្ដាលស្ទឹងចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:សង្កាត់នៃខណ្ឌដង្កោ
ឃុំបារាំងធ្លាក់
ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុក​ភ្នំព្រឹក ខេត្តបាត់ដំបង។ នេះមាន៦ភូមិ ។
Barang Thleak  is a khum (commune) of Phnum Proek District in Battambang Province in north-western Cambodia.
ឯកសារយោង
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តបាត់ដំបង ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ស្រុក​ភ្នំព្រឹក
សិលចារឹកទូលវត្តគំនូរ
សិលាចារឹក​នេះ​ ស្ថិត​នៅ​ស្រុក​អង្គរ​បុរី​ ខេត្ត​តា​កែវ​ ដែល​មាន​លេខ​កូដ​ k.៦០០។​ ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តតាកែវ
ឃុំព្រះពុទ្ធ
ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុកកណ្ដាលស្ទឹង ខេត្តកណ្តាល។ នេះមាន ៥ភូមិ ៖
សូមមើលផងដែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ឃុំនៃស្រុកកណ្ដាលស្ទឹង
ឃុំអូររំដួល
ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុក​ភ្នំព្រឹក ខេត្តបាត់ដំបង។ នេះមាន៦ភូមិ ។
សូមមើលផងដែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តបាត់ដំបង ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ស្រុក​ភ្នំព្រឹក
ឃុំពេជ្រចិន្តា
ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុក​ភ្នំព្រឹក ខេត្តបាត់ដំបង។ នេះមាន៣ភូមិ ។
សូមមើលផងដែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តបាត់ដំបង ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ស្រុក​ភ្នំព្រឹក
ឃុំចក្រី
ជាឃុំមួយស្ថិតនៅក្នុងស្រុក​ភ្នំព្រឹក ខេត្តបាត់ដំបង។ នេះមាន៣ភូមិ ។
សូមមើលផងដែរ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ខេត្តបាត់ដំបង ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ស្រុក​ភ្នំព្រឹក
តាលីបង់
តាលីបង់ (អក្សរឡាតាំង៖ Taliban; ភាសាបាស្តូ៖ طالبان‎, ប្រែមកថា'និស្សិត') គឺជាចលនានយោបាយសាសនាឌីអូបង់ឌីនិយមឥស្លាមនិងជាអង្គការសកម្មប្រយុទ្ធមួយនៅក្នុងប្រទេសអាហ្វកានីស្ថាន។ បច្ចុប្បន្ន វាកំពុងប្រជែងជាមួយសាធារណរដ្ឋឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថានដោយអង្គភាពទាំងពីរនេះតែងអះអាងខ្លួនថាជារដ្ឋាភិបាលស្របច្បាប់តែមួយគត់នៃប្រទេសអាហ្វកានីស្ថាន។
ចាប់ពីឆ្នាំ១៩៩៦ រហូតដល់ឆ្នាំ២០០១ ក្រុមតាលីបង់បានត្រួតត្រាលើទឹកដីប្រមាណបីភាគបួននៃប្រទេសអាហ្វកានីស្ថានទាំងមូលហើយបានអនុវត្តច្បាប់ឥស្លាមដ៏តឹងរឹងដែលគេតែងនិយមហៅថា"សារីយ៉ា" (شَرِيعَة‎)។ តាលីបង់បាលេចរូបរាងឡើងជាក្រុមបក្សសម្ព័ន្ធដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងឆ្នាំ១៩៩២ នាអំឡុងសម័យសង្គ្រាមស៊ីវិលអាហ្វកានីស្ថាន ហើយភាគច្រើនមានសមាជិកជានិស្សិតជនជាតិប៉ាស្តុនមកពីភាគខាងត្បូងនិងខាងកើតនៃប្រទេសដោយពួកគេសុទ្ធតែធ្លាប់បានទទួលការអប់រំនៅតាមសាលាប្រពៃណីឥស្លាមនិងក៏ជាអតីតយុទ្ធជននៅអំឡុងសម័យសង្គ្រាមសូវៀត–អាហ្វកានីស្ថានផង។ នៅក្រោមការដឹកនាំរបស់មហាម៉ាដ អូមារ ចលនាមួយនេះបានរីករាលដាលទៅពាសពេញផ្ទៃប្រទេសអាហ្វកានីស្ថានរហូតទាន់តែអាចវាយដណ្តើមអំណាចបាននៅក្នុងឆ្នាំ១៩៩៦។ ក្រោយបានឡើងកាន់កាប់អំណាច របបថ្មីមួយក៏ត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលគេតែងសម្តៅលើថា"អេមីរ៉ាតឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថាន" ហើយរដ្ឋធានីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរពីកាប៊ុលមកកាន់ដាហារ។ របបតាលីបង់ត្រូវបានផ្តួលរំលំនៅក្នុងឆ្នាំ២០០១ ដោយកងកម្លាំងអន្តរជាតិដឹកនាំដោយអាមេរិកបន្ទាប់ពីព្រឹត្តិការណ៍ភេរវកម្ម ១១ កញ្ញា។ នៅអំឡុងពេលកាន់អំណាច មានតែប្រទេសបរទេសចំនួនបីគត់ដែលបានទទួលស្គាល់រដ្ឋាភិបាលតាលីបង់៖ ប៉ាគីស្ថាន អារ៉ាប៊ីសាអូឌីត និងអេមីរ៉ាតអារ៉ាប់រួម។ ក្រោយពីត្រូវទម្លាក់ចេញពីអំណាច ក្រុមតាលីបង់បានប្រជុំគ្នាបន្តជាចលនាបះបោរសារជាថ្មីដោយលើកនេះពួកគេត្រូវប្រឆាំងនឹងរបបថ្មីដែលគាំទ្រដោយសហរដ្ឋអាមេរិកនិងកងកម្លាំងជំនួយសន្តិសុខអន្តរជាតិ។
នៅថ្ងៃទី១៥ ខែសីហា ឆ្នាំ២០២១ រដ្ឋធានីកាប៊ុលត្រូវបានក្រុមតាលីបង់វាយដណ្តើមបានម្តងទៀតហើយរបបទីពីររបស់តាលីបង់ក៏ត្រូវបានប្រកាសបង្កើតឡើង។
អន្តរាគមន៍របស់សូវៀតក្នុងអាហ្វកានីស្ថាន (១៩៧៨–១៩៩២)
ប្រធានាធិបតីប៉ាគីស្ថាននាពេលនោះគឺលោកមហាម៉ាដ ស៊ា-អ៊ូល-ហាក់បានកើតការព្រួយបារម្ភខ្លាចសហភាពសូវៀតបន្តវាយចូលប្រទេសរបស់ខ្លួនទៀតដូច្នេះហើយ មហាម៉ាដក៏បញ្ជូនឧត្តមសេនីយ៍របស់លោកមួយរូបទៅប្រទេសអារ៉ាប៊ីសាអូឌីតដើម្បីឃោសនានិងប្រមូលសម្លេងគាំទ្រឱ្យចលនាតស៊ូប្រឆាំងសូវៀតនៅឯអាហ្វកានីស្ថាន។ មិនយូរប៉ុន្មាន រដ្ឋាភិបាលអារ៉ាប៊ីសាអូឌីតរួមជាមួយទីភ្ញាក់ងារស៊ើបការណ៍កណ្តាលរបស់អាមេរិកក៏ផ្តល់ជំនួយជាថវិកានិងគ្រឿងសព្វាវុធទៅឱ្យចលនាមូហាហ៊ីឌីនតាមរយៈទីភ្ញាក់ងារស៊ើបការណ៍អន្តរសេវាកម្ម (ISI) របស់ប្រទេសប៉ាគីស្ថាន។ ក្នុងទស្សវត្តរ៍ឆ្នាំ១៩៨០ ទាហានអាហ្វកានីស្ថានជាង ៩០,០០០ នាក់ត្រូវបានទទួលការហ្វឹកហ្វឺនពី ISI ដោយនៅក្នុងនោះក៏មានមហាម៉ាដ អូម៉ារផងដែរ។
សង្គ្រាមស៊ីវិលអាហ្វកានីស្ថាន (១៩៩២–១៩៩៦)
នៅខែមេសា ឆ្នាំ១៩៩២ បន្ទាប់ពីរបបកុម្មុយនិស្តដែលគាំទ្រដោយសូវៀតបានផ្តួលរំលំរួច គណបក្សនយោបាយអាហ្វកានីស្ថានជាច្រើនបានយល់ស្របលើកិច្ចព្រមព្រៀងប៉េស្សាវ៉ារហើយបានរួមគ្នាតែងតាំងរដ្ឋាភិបាលបណ្តោះអាសន្នមួយសម្រាប់អន្តរកាលឆ្ពោះទៅរកសន្តិភាព។ បក្សពួកភាគច្រើនក្នុងចលនាមូហាហ៊ីឌីនមិនបានចូលរួមក្នុងអន្តរកាលនេះទេ។ វិបត្តិនយោបាយបានផុសចេញឡើងភ្លាមៗនៅអាហ្វកានីស្ថានបន្ទាប់ពីរដ្ឋាភិបាលបណ្តោះអាសន្នបានបង្កើតឡើងមក នេះគឺដោយសារតែការចង់ដណ្តើមអំណាចគ្នាកាន់កាប់រវាងបក្សពួកនយោបាយដែលយល់ស្របពីមុនៗ។
គណបក្សឥស្លាមគូលប៊ូដង់ដែលជាបក្សពួកសមាជិកនៅក្នុងចលនាមូហាហ៊ីឌីន មិនបានចេញទទួលស្គាល់រដ្ឋាភិបាលបណ្តោះអាសន្នថ្មីទេហើយនៅអំឡុងខែមេសា ក្រុមមួយនេះបានសម្រុកចូលរដ្ឋធានីកាប៊ុលដើម្បីដណ្តើមអំណាចកាន់កាប់ផ្ទាល់ខ្លួនដែលជាហេតុនាំឱ្យសង្គ្រាមស៊ីវិលថ្មីផ្ទុះឡើង។ នៅខែឧសភា បក្សពួកមួយនេះបានចាប់ផ្តើមបើកការវាយប្រហារលើកងកម្លាំងរដ្ឋាភិបាលបណ្តោះអាសន្ននៅទីក្រុងកាប៊ុល។ ប្រតិបត្តិការរបស់ក្រុមនេះត្រូវបានទទួលការគាំទ្រពី ISI របស់ប្រទេសប៉ាគីស្ថានទាំងជំនួយថវិកានិងយោធា។ ដោយមើលឃើញផលប្រយោជន៍ច្រើន ប្រទេសអ៊ីរ៉ង់បានឆ្លៀតឱកាសចូលគាំទ្រកងកម្លាំងបក្សរួបរួមឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថានខណៈដែលអារ៉ាប៊ីសាអូឌីតបានផ្តល់ការគាំទ្រដល់សហភាពឥស្លាមដើម្បីរំដោះអាហ្វកានីស្ថាន។  ជម្លោះរវាងបក្សពួកទាំងអស់នេះបានអូសទាញអាហ្វកានីស្ថានឱ្យធ្លាក់ចូលកាន់តែជ្រៅបន្ថែមទៀតទៅក្នុងភ្លើងសង្គ្រាមស៊ីវិល។
បទឈប់បាញ់ទាំងឡាយដែលត្រូវចរចាគ្នារួចបានចូលជាធរមានបានរយៈពេលតែពីរបីថ្ងៃប៉ុណ្ណោះមុននឹងត្រូវផ្ទុះជម្លោះថ្មីម្តងហើយម្តងទៀត។ ទោះជាជម្លោះបានរុញបន្តទៅក្តីប៉ុន្តែផ្នែកខ្លះនៃប្រទេសអាហ្វកានីស្ថានមិនបានទទួលផងប៉ះពាល់អ្វីធំដុំច្រើននោះទេដូចជានៅតំបន់ដែលស្ថិតក្រោមការគ្រប់គ្រងរបស់រដ្ឋមន្ត្រីម៉ាស៊ូដនិងទីក្រុងហេរ៉ាដជាដើម។
ចំណែកឯទឹកដីភាគខាងត្បូងវិញគឺមិនស្ថិតនៅក្រោមការត្រួតត្រារបស់បក្សពួកសង្គ្រាមណាមួយឡើយដោយទឹកដីទាំងនោះត្រូវជាកម្មសិទ្ធិរបស់មេដឹកនាំតាមតំបន់នីមួយៗ។ ទីបំផុត ក្រុមតាលីបង់ក៏បានលេចរូបរាងឡើងនៅចុងខែសីហា ឆ្នាំ១៩៩៤ ដោយបានអះអាងថាខ្លួននឹងរំដោះប្រទេសអាហ្វកានីស្ថានចេញពីអំពើពុករលួយនិងភាពចលាចលដែលកំពុងបង្កឡើងដោយបក្សពួកផ្សេងៗរួចបើបានជោគជ័យ ខ្លួននឹងបង្កើតចេញជារបបថ្មីដែលមានសាសនាឥស្លាមជាគ្រឹះ។
១៩៩៤
តាលីបង់គឺជាចលនារបស់និស្សិតសាសនា (តាលីប) មកពីតំបន់ប៉ាស្តុននៃភាគខាងកើតនិងខាងត្បូងប្រទេសអាហ្វកានីស្ថាន ពួកគេគឺសុទ្ធតែធ្លាប់ទទួលបានការអប់រំនៅតាមសាលាប្រពៃណីសាសនាឥស្លាមនៅក្នុងប្រទេសប៉ាគីស្ថាន។ ចលនាតាលីបង់ក៏មានសមាជិកដើមកំណើតតាជិកនិងអ៊ូសបេកដែរហើយពួកគេបាន"ដើរតួយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងកំណើនប្រជាប្រិយភាពនិងភាពជោគជ័យរបស់តាលីបង់"។
ការអប់រំនិងហេតុផល
នៅអំឡុងខែកញ្ញា ឆ្នាំ១៩៩៤ មហាម៉ាដ អូម៉ារនិងនិស្សិតរបស់លោកចំនួន ៥០ នាក់បានសម្រេចបង្កើតចលនាតាលីបង់ឡើងនៅទីក្រុងកាន់ដាហារ។ មូលហេតុក្រោយការបង្កើតចលនានេះគឺដោយសារគាត់មិនសប្បាយចិត្តដែលច្បាប់ឥស្លាមមិនត្រូវបានតម្លើងជាច្បាប់កំពូលនៅអាហ្វកានីស្ថានបន្ទាប់ពីបានផ្តួលរំលំរបបកុម្មុយនិស្តរួចហើយឥឡូវនេះ លោកជាមួយនឹងគ្នីគ្នាលោកបានសន្យាថានឹងកម្ចាត់មេដឹកនាំចលនាផ្សេងៗនិងឧក្រិដ្ឋជនទាំងប៉ុន្មានចេញពីអាហ្វកានីស្ថានទាំងអស់។
ច្រើនខែក្រោយមក ចំនួនសមាជិកនៃចលនារបស់អូម៉ារបានកើនដល់ ១៥,០០០ នាក់ដែលភាគច្រើនជាជនភៀសខ្លួនមកពីសាលាសាសនាឥស្លាមនៅប្រទេសប៉ាគីស្ថាន។
ក្នុងកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងដើម្បីជួយចលនាបះបោរប្រឆាំងនឹងសូវៀត រដ្ឋាភិបាលអាមេរិកបានផ្តល់សៀវភៅសិក្សាជាសម្ងាត់ដោយលើកកម្ពស់ការបង្រៀនសាសនាឥស្លាមបែកសកម្មប្រយុទ្ធនិងរួមបញ្ចូលរូបភាពនៃអាវុធនិងទាហានដើម្បីបណ្តុះកុមារឱ្យស្អប់ជនឈ្លានពានបរទេស។ ក្រុមតាលីបង់បានយកសៀវភៅអាមេរិកទាំងនោះមកសិក្សាប៉ុន្តែបានគូសមុខមនុស្សក្នុងសៀវភៅនោះចោលដោយរក្សាតាមគោលការណ៍ដ៏តឹងរឹងរបស់ពួកគេ។ ទីភ្ញាក់ងារដើម្បីការអភិវឌ្ឍអន្តរជាតិសហរដ្ឋអាមេរិកបានចំណាយប្រាក់រាប់លានដុល្លារទៅសាកលវិទ្យាល័យណេប្រាស្កានៅរដ្ឋអូម៉ាហានាអំឡុងទស្សវត្តឆ្នាំ១៩៨០ ដើម្បីបោះពុម្ភសៀវភៅសិក្សាបន្ថែមជាភាសាក្នុងស្រុករបស់អាហ្វកានីស្ថាន។
ក្រុមតាលីបង់ដំបូងបានផ្តាច់ជ្ញារចិត្តបន្តប្រតិបត្តិការរបស់ខ្លួនព្រោះតែពួកគេមើលឃើញទុក្ខសោករបស់ប្រជាជនអាហ្វកានីស្ថានដែលពួកគេជឿថាបណ្តាលមកពីភាពលោភលន់ចង់បានអំណាចរវាងក្រុមបក្សពួកនយោបាយផ្សេងៗនៅក្នុងប្រទេសនិងដោយមិនប្រកាន់ខ្ជាប់ក្រមសីលធម៌សាសនាឥស្លាម។
ការឡើងត្រួតត្រាទីក្រុងកាន់ដាហារ
នៅថ្ងៃទី៣ ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ១៩៩៤ តាលីបង់បានធ្វើការវាយប្រហាររួចកាន់កាប់ទីក្រុងកាន់ដាហារ។ មុនថ្ងៃទី៤ ខែមករា ឆ្នាំ១៩៩៥ តាលីបង់បានគ្រប់គ្រងខេត្តចំនួន ១២។ ក្រុមសកម្មប្រយុទ្ធនៅតាមតំបន់ភាគច្រើនបានសុំទទួលចុះចាញ់ដោយមិនប្រើកម្លាំងតបតវិញទេ។ មេបញ្ជាការរបស់អូម៉ារខ្លះធ្លាប់ជាអតីតមេបញ្ជាការយោធាខ្នាតតូចនិងខ្លះទៀតជាគ្រូបង្រៀនម៉ាដ្រាសា (សាលាឬវិទ្យាស្ថានអប់រំសាសនាទាំងឡាយនៅក្នុងវប្បធម៌ឥស្លាម)។   នេះជាដំណាក់កាលមួយដែលប្រជាប្រិយភាពរបស់ក្រុមតាលីបង់បានលេចឡើងព្រោះក្រោមការគ្រប់គ្រងរបស់ក្រុមនេះ៖ អំពើពុករលួយត្រូវបានទាត់ចោល សណ្តាប់ធ្នាប់សង្គមត្រូវបានស្តារឡើងវិញ ផ្លូវនិងបរិវេណរបស់តាលីបង់មានសុវត្ថិភាពជាងមុន។
១៩៩៥–កញ្ញា ១៩៩៦
ដើម្បីបង្កើនការគ្រប់គ្រងរបស់ខ្លួនលើប្រទេសអាហ្វកានីស្ថាន ក្រុមតាលីបង់បានចាប់ផ្តើមពង្រីកអំណាចនិងឥទ្ធិពលពីក្រៅមូលដ្ឋានកាន់ដាហារដោយវាតទីយកទឹកដីជិតខាងបន្តិចម្តងៗ។ នៅដើមឆ្នាំ១៩៩៥ ចលនាតាលីបង់បានឆ្ពោះសម្រុកទៅរដ្ឋធានីកាប៊ុលប៉ុន្តែត្រូវទទួលបរាជ័យយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរនៅក្នុងដៃកងកម្លាំងរដ្ឋាភិបាលនៃរដ្ឋឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថាន។ ខណៈពេលកំពុងដកថយចេញពីកាប៊ុល ក្រុមតាលីបង់បានធ្វើការបាញ់ប្រហារមកលើទីក្រុង ដែលបណ្តាលឱ្យស្លាប់ជនស៊ីវិលមួយចំនួន។ បណ្តាញសារព័ត៌មានបានចាប់ផ្តើមផ្សព្វផ្សាយនៅអំឡុងខែមីនា ឆ្នាំ១៩៩៥ ថាក្រោយពីសកម្មភាពបាញ់ប្រហារ ក្រុមតាលីបង់បានបាត់បង់នូវសេចក្តីគោរពនិងជំនឿពីសំណាក់ប្រជាពលរដ្ឋហើយត្រូវបានប្រជាពលរដ្ឋមើលឃើញថាជា បក្សពួកយោធាដែល"ស្រេកឃ្លានអំណាច"មួយទៀតប៉ុណ្ណោះ។
នៅថ្ងៃទី២៦ ខែកញ្ញា ឆ្នាំ១៩៩៦ នៅពេលដែលតាលីបង់កំពុងត្រៀមប្រតិបត្តិការវាយប្រហារដ៏ធំមួយ មេបញ្ជាការនៃកងកម្លាំងរដ្ឋាភិបាលអាហ្វកានីស្ថានបានបញ្ជាឱ្យកម្លាំងប្រឆាំងតាលីបង់ដកថយចេញពីទីក្រុងឆ្ពោះទៅភាគឥសាន្តនៃជួរភ្នំហិណ្ឌូឃូសវិញ។ ការធ្វើបែបនេះក៏ព្រោះតែខ្លាចមានករណីស្លាប់ជនស៊ីវិលបន្តទៀត ជាពិសេសគឺការប្រយុទ្ធគ្នាតាមទីប្រជុំជននេះឯង។ ចលនាតាលីបង់បានចូលក្នុងទីក្រុងកាប៊ុលនៅថ្ងៃទី២៧ ខែកញ្ញា ឆ្នាំ១៩៩៦ រួចបានសម្រេចប្រកាសបង្កើតរដ្ឋាភិបាលថ្មីដែលគេតែងស្គាល់ថាអេមីរ៉ាតឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថាន។ ក្រុមអ្នកវិភាគបាននិយាយថាតាលីបង់នាពេលនោះគឺកំពុងតែវិវត្តទៅជាចលនាអាយ៉ងសម្រាប់បម្រើផលប្រយោជន៍តំបន់របស់ប្រទេសប៉ាគីស្ថានហើយ។
អេមីរ៉ាតឥស្លាមអាហ្វកានីស្ថាន (១៩៩៦–២០០១)
គោលដៅយោធារបស់តាលីបង់នៅអំឡុងឆ្នាំ១៩៩៦–២០០១ គឺស្តារសណ្តាប់ធ្នាប់សង្គមនិងយោធាតាមសម័យអាប់ឌួរ រ៉ាម៉ាន់ដោយបង្កើតរដ្ឋដែលមានជនជាតិប៉ាស្តុនកាន់កាប់នៅតំបន់ភាគខាងជើងឡើងវិញ។ តាលីបង់មានបំណងបង្កើតរដ្ឋាភិបាលឥស្លាមតាមរយៈច្បាប់និងសណ្តាប់ធ្នាប់ដោយផ្អែកលើច្បាប់មូលដ្ឋានសារីយ៉ា ស្របតាមសាលាហានាហ្វីនៃយុត្តាធិការសាសនាឥស្លាមនិងបញ្ញត្តិសាសនារបស់អូម៉ារលើទឹកដីអាហ្វកានីស្ថានទាំងមូល។ ត្រឹមឆ្នាំ១៩៩៨ រដ្ឋាភិបាលតាលីបង់បានត្រួតត្រាលើទឹកដីអាហ្វកានីស្ថានប្រមាណ ៩០%។
នៅខែធ្នូ ឆ្នាំ២០០០ សេចក្តីសម្រេច ១៣៣៣ នៃក្រុមប្រឹក្សាសន្តិសុខអង្គការសហប្រជាជាតិបានប្រកាសថាប្រជាពលរដ្ឋអាហ្វកានីស្ថានកំពុងត្រូវការជំនួយមនុស្សធម៌ជាបន្ទាន់ហើយបានថ្កោលទោសសកម្មភាពរបស់តាលីបង់ក្នុងការប្រើប្រាស់ទឹកដីអាហ្វកានីស្ថានសម្រាប់បណ្តុះបណ្តាលហ្វឹកហ្វឺន"ក្រុមភេវរករ"និងបូករួមទាំងការផ្តល់ទីជម្រកសុវត្ថិភាពដល់អូសាម៉ា ប៊ីន ឡាឌែន ហើយជាលទ្ធផល ក្រុមប្រឹក្សាបានចេញសំណើដាក់ទណ្ឌកម្មធ្ងន់ធ្ងរលើចលនាតាលីបង់។ នៅខែតុលា ឆ្នាំ២០០១ សហរដ្ឋអាមេរិករួមជាមួយនឹងសម្ព័ន្ធមិត្តរបស់ខ្លួនបានវាយចូលឈ្លានពានអាហ្វកានីស្ថាននិងបានទម្លាក់តាលីបង់ចេញពីអំណាច។ ថ្នាក់ដឹកនាំតាលីបង់បានរត់ភៀសខ្លួនទៅប្រទេសប៉ាគីស្ថាន។
អាហ្វកានីស្ថានក្រោមការដឹកនាំរបស់តាលីបង់
តាលីបង់បានឡើងកាន់អំណាចនៅឆ្នាំ១៩៩៦ ពោលគឺខណៈដែលសេដ្ឋកិច្ចនិងហេដ្ឋារចនាសម្ព័ន្ធរបស់ប្រទេសអាហ្វកានីស្ថានត្រូវបានបំផ្លិចបំផ្លាញដោយសឹកសង្គ្រាមអស់រយៈពេលជាង ២០ ឆ្នាំកន្លងមក។ កង្វះទឹកស្អាតនិងភ្លើងអគ្គិសនី ស្បៀងអាហារ ផ្ទះសម្បែង និងរបស់ផ្សេងៗទៀតគឺជាបញ្ហាដែលមិនងាយដោះស្រាយដោយស្រួលៗនោះឡើយសម្រាប់ពួកតាលីបង់។ លើសពីនេះ រចនាសម្ព័ន្ធត្រកូលនិងគ្រួសារដែលផ្តល់ឱ្យអាហ្វកានីស្ថាននូវសំណាញ់សុវត្ថិភាពសង្គមនិងសេដ្ឋកិច្ចក៏ត្រូវបានទទួលរងខូចខាតយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរផងដែរ។ អត្រាមរណៈទារកនៅអាហ្វកានីស្ថាននាពេលនោះគឺខ្ពស់បំផុតនៅលើពិភពលោក។ មួយភាគបួននៃកុមារទាំងអស់បានស្លាប់មុនពេលពួកគេឈានចូលដល់អាយុ ៥ ឆ្នាំដែលត្រូវជាអត្រាខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងចំណោមប្រទេសកំពុងអភិវឌ្ឍន៍លើពិភពលោក។
អង្គការសប្បុរសធម៌ឬអង្គការមិនមែនរដ្ឋាភិបាល (NGO) បានដើរតួយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងជួយផ្គត់ផ្គង់ស្បៀងអាហារ ការងារ ការស្តារហេដ្ឋារចនាសម្ព័ន្ធ និងការផ្តល់សេវាកម្មផ្សេងៗទៀតជូនប្រជាជនអាហ្វកានីស្ថានប៉ុន្តែក្រុមតាលីបង់វិញបានកើតការសង្ស័យយ៉ាងខ្លះចំពោះ"ជំនួយ"ដែលអង្គការទាំងនោះផ្តល់ឱ្យ។ ដោយមានករណីស្លាប់ជាងមួយលាននាក់ដោយសារតែសង្គ្រាម ចំនួនស្ត្រីមេម៉ាយនៅតាមគ្រួសារនីមួយៗបានកើនឈានដល់ ៩៨,០០០ នាក់គិតត្រឹមឆ្នាំ១៩៩៨។ នៅកាប៊ុលវិញ ផ្នែកជាច្រើននៃទីក្រុងនេះត្រូវរងការបំផ្លិចបំផ្លាញពីរុក្កែរ មីស៊ីល ឬអាវុធបំផ្ទុះផ្សេងៗ ហើយប្រជាជនប្រមាណ ១.២ លាននាក់បានទទួលផលប្រយោជន៍ពីជំនួយរបស់អង្គការបរទេស។ សង្គ្រាមស៊ីវិលនិងការភៀសខ្លួននូវតែបន្តកើតមាននៅក្នុងរបបរបស់តាលីបង់។ តំបន់ទីប្រជុំជនខ្លះដូចជាហេរ៉ាដ និងមាហ្សាត្រូវឆ្លងកាត់ការជម្លៀសប្រជាជនប្រមាណបីភាគបួននៃប្រជាជនមួយលាននាក់ដោយតាលីបង់ហើយមិនតែប៉ុណ្ណោះទីកន្លែងបម្រើសេវាកម្មនៅតាមទីប្រជុំជនទាំងនោះត្រូវបានក្រុមតាលីបង់ដុតបំផ្លាញដោយពួកគេគិតថាវាជាទីផ្តល់ប្រយោជន៍ដល់សត្រូវរបស់ខ្លួន។
អ្នកធ្វើសេចក្តីសម្រេចរបស់តាលីបង់ពោលគឺលោកអូម៉ារផ្ទាល់បានកម្រចេញមុខមកនិយាយដោយផ្ទាល់ជាមួយជនបរទេសដែលមិនមែនជាជនមូស្លីមណាស់ ដូចនេះ បុគ្គលផ្តល់ជំនួយត្រូវដោះស្រាយជាមួយអន្តរការីដែលការយល់ព្រមនិងកិច្ចព្រមព្រៀងទាំងឡាយត្រូវបានបញ្ច្រាស។