cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Logaritma
Bilangan pokok khusus
kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam teori informasi, logaritma alami dipakai dalam nat dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam bit sebagai satuan dasar informasi. Logaritma biner juga dipakai dalam ilmu komputer, dengan sistem biner ditemukan dimana-mana. Dalam teori musik, rasio tinggi nada kedua (yaitu oktaf) ditemukan dimana-mana dan jumlah sen antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per setengah nada dengan temperamen sama). Dalam fotografi, logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur nilai pajanan, tingkatan cahaya, waktu eksposur, tingkap, dan kecepatan film dalam "stop".
Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Selain
blog x
, adapula notasi logaritma lain yang ditulis sebagai
logb x
, dan juga seperti
log x
. Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan Organisasi Standardisasi Internasional, yakni ISO 80000-2. Karena notasi
log x
telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau bidangnya. Sebagai contoh,
log
biasanya mengacu pada
2log
dalam ilmu komputer, dan
mengacu pada
elog
. Dalam konteks lainnya,
seringkali mengacu pada
10log
.
Sikatan bakung
Tempat hidup dan Kebiasaan
Burung ini jarang dijumpai. Menghuni hutan primer, hutan monsun sekunder, lahan-lahan dengan banyak pohon, daerah berperdu di tepi bukit, dan tepi beberapa hutan dan perkebunan yang rusak sampai ketinggian 2000 mdpl.
Logaritma
Sejarah
Logaritma umum dari bilangan adalah indeks dari perpangkatan sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut. Bilangan yang sangat membutuhkan banyak angka merupakan kiasan kasar untuk logaritma umum, dan Archimedes menyebutnya sebagai “orde bilangan”. Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Ada beberapa metode yang menggunakan tabel yang diperoleh dari identitas trigonometri, dan metode tersebut dinamakan prosthafaeresis.
Penemuan fungsi yang dikenal saat ini sebagai logaritma alami, berawal dari saat Grégoire de Saint-Vincent mencoba menggambarkan kuadratur hiperbola persegi panjang. Archimedes menulis risalah yang berjudul The Quadrature of the Parabola pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur hiperbola menghindari semua upayanya hingga Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Logaritma yang mengaitkan barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, meminta Antonio de Sarasa untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis sehingga mengarah ke sebuah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Christiaan Huygens dan James Gregory mulai mengenali fungsi baru tersebut. Leibniz memakai notasi Log y pada tahun 1675, dan tahun berikutnya ia mengaitkannya dengan integral
Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memperlihatkan hasil yang hampir sama pada tahun 1714 bahwa
Sikatan bakung
Deskripsi
Burung ini berukuran 16 cm. Bulu tubuh bagian atas, kepala, dan dada burung jantan berwarna biru-tua; sedang bagian perutnya berwarna merah-karat. Bulu tubuh bagian atas burung betina berwarna coklat-zaitun dengan bagian tunggir dan ekornya biru-tua; sementara bulu tubuh bagian bawah berwarna merah-karat sampai jingga.
Logaritma
Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah
Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya astronomi. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam survei, navigasi benda langit, dan cabang lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebut logaritma sebagai
Karena fungsi
adalah fungsi invers dari
blog x
, maka fungsi tersebut disebut sebagai antilogaritma. Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut fungsi eksponensial.
Tabel logaritma
Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah tabel logaritma. Tabel logaritma pertama kali disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, tetapi penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat logaritma umum dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000, dengan ketepatan yang dimiliki 14 digit, dan kemudian ia membuat tabel dengan kisaran yang besar. Tabel tersebut mencantumkan nilai untuk setiap bilangan x dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum dari x dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat yang dikenal sebagai karakteristik, dan bagian pecahan (fractional part) yang dikenal sebagai mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantissa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal. Karakteristik logaritma umum dari 10 \cdot x sama dengan satu ditambah karakteristik x, dan mantissanya sama. Dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan
Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui interpolasi:
Nilai 10^x dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan fungsi monoton.
Tipula (Eumicrotipula) pediformis
Tipula (Eumicrotipula) pediformis adalah spesies lalat yang tergolong famili Tipulidae. Lalat ini juga merupakan bagian dari ordo Diptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Logaritma
Perhitungan
Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif c dan d biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali
cd
berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi
1⁄c
berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel yang sama:
Sikatan bakung
Persebaran dan ras
Terdapat dua ras dengan persebaran sebagai berikut: Ciri: warna biru pada burung jantan lebih terang daripada C.h. hyacinthinus; demikian halnya warna bulu tubuh bagian atas burung betina lebih abu-abu, kekang dan dahi berwarna merah-karat, serta warna bulu tubuh bagian bawah lebih gelap.
Logaritma
Perhitungan
Untuk perhitungan manual yang meminta ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada menghitung perkalian dengan metode sebelumnya seperti prosthafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.
Perhitungan pangkat direduksi menjadi perkalian, dan sedangkan perhitungan akar direduksi menjadi pembagian. Pernyataan ini dapat dilihat sebagai
dan
Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritma umum dari fungsi trigonometri.
Mistar hitung
Penerapan penting lainnya adalah mistar hitung, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, mistar Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh William Oughtred untuk menciptakan sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain, yaitu mistar hitung. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritmanya. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini: [[Berkas:Slide rule example2 with labels.svg|al=alt=A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.|pus|jmpl|550x550px|Penggambaran skema mengenai mistar hitung. Dimulai dari 2 pada skala di bawah, lalu tambahkan dengan jarak ke 3 pada skala atas agar mencapai hasil kali 6. Mistar hitung bekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke
x
sebanding dengan logaritma
Tipula (Eumicrotipula) pediformis
Lalat ini biasanya tinggal di tempat lembap.
Logaritma
Mistar hitung
.]] Sebagai contoh, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bagian bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di bagian atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.
Sifat analitik
Kajian yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut fungsi. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain. Contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan b, yang dipangkatkan setiap bilangan real x. Fungsi ini secara matematis ditulis sebagai
f(x) = b x
. Ketika b positif dan tak sama dengan 1, maka f adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.
Keberadaan
Misalkan b adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan
f(x) = b x
. Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini, merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah (domain) dan kisarannya (range). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa f yang menaik sempurna (untuk
b > 1
), atau menurun sempurna (untuk
0 < b < 1
) merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah \R dan memiliki kisaran \R_{> 0}. Oleh karena itu, f adalah fungsi bijeksi dari \R ke \R_{>0}. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif y, terdapat setidaknya satu bilangan real x sehingga b^x = y.
Misalkan yang menyatakan invers dari fungsi f. Dalam artian,
blog y
adalah bilangan real tunggal x sehingga b^x = y. Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok-b atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).
Karakterisasi melalui rumus hasil kali
Pada dasarnya, fungsi
juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali
Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok
b > 1
yang hanya merupakan [[Fungsi menaik|fungsi
f
naik]] dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa
f(b) = 1
dan
Grafik fungsi logaritma
[[Berkas:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|al=The graphs of two functions.|ka|jmpl|Grafik fungsi logaritma
blog (x)
(berwarna biru) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi
(berwarna merah) di garis diagonal(
x = y
Stasiun Yamanashishi
Stasiun Yamanashishi (山梨市駅) adalah sebuah stasiun kereta api dari Jalur Utama Chūō milik East Japan Railway Company (JR East) di Kamikanogawa, kota Yamanashi, Prefektur Yamanashi, Jepang.
Logaritma
Grafik fungsi logaritma
).]] Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi
Lefuto, Kaledupa, Wakatobi
Lefuto adalah salah satu desa yang terletak di Kecamatan Kaledupa, Kabupaten Wakatobi, Provinsi Sulawesi Tenggara, Indonesia. Desa ini sebagian besar penduduknya bersuku Wakatobi..
Stasiun Yamanashishi
Jalur
Stasiun Yamanashishi dilayani oleh Jalur Utama Chūō, dan berjarak 122.2 kilometer dari terminus jalur tersebut di Stasiun Tokyo.
Lefuto, Kaledupa, Wakatobi
Hasil laut di desa Kalimas seperti udang, ikan, cumi-cumi dll. Penduduknya sebagian besar memeluk agama Islam.
Logaritma
Grafik fungsi logaritma
blog
), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik
(t, u = bt)
pada grafik dari f menghasilkan sebuah titik
(u, t = blog u)
pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya,
divergen menuju takhingga (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika x naik menuju takhingga, asalkan b lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut,
blog(x)
merupakan fungsi menaik. Sedangkan untuk kasus
b < 1
,
cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika x mendekati nol,
blog x
menuju ke negatif takhingga untuk
b > 1
dan menuju ke plus takhingga untuk
.
Turunan dan antiturunan
al=Sebuah grafik fungsi logaritma dan sebuah garis yang menyinggungnya di sebuah titik.|ka|jmpl|220x220px|Grafik fungsi [[logaritma alami (berwarna hijau) beserta garis singgungnya di
(berwarna hitam)]] Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya. Jadi, ketika
adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka
blog y
fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari
f(x)
menghitung nilai
ln(b) bx
melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari
blog x
dirumuskan sebagai
Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok
b
di titik
(x, blog (x))
sama dengan
1⁄1
Turunan dari
ln(x)
adalah
, yang berarti ini menyiratkan bahwa
adalah integral tunggal dari
yang mempunyai nilai 0 untuk
x = 1
. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta e.
Turunan dengan argumen fungsional rampat
Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari f dan menghitung
f ' (x)
melalui turunan dari
ln(f(x))
dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik. Antiturunan dari logaritma alami
Terdapat rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diperoleh dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.
Representasi integral mengenai fungsi logaritma
al=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.|jmpl|[[Logaritma alami|Logaritma natural dari t adalah luas yang diwarnai di bawah grafik fungsi
f(x) = 1⁄1
.]] Logaritma alami dari t dapat didefinisikan sebagai integral tentu:
Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun, dan definisi ini merupakan sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral,
ln(t)
sama dengan luas antara sumbu-x dan grafik fungsi
1⁄1
, yang berkisar dari
x = 1
ke
x = t
ln(x)
sama dengan
ln(tu) = ln(t) + ln(u)
dapat disimpulkan sebagai:
Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel
w
menjadi
1⁄x
lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi
f(x)
ln(tr) = r ln(t)
dapat real dalam cara yang serupa:
Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel
w = x1⁄1
Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan
disebut deret harmonik. Deret ini sangat terkait erat dengan logaritma alami, yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika n cenderung menuju takhingga, selisih dari
konvergen (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikenal sebagai konstanta Euler–Mascheroni
γ = 0,5772...
. Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti quicksort.
Transendensi logaritma
Bilangan real yang bukan merupakan bilangan aljabar disebut bilangan transendental. Sebagai contoh,
dan
Mendesina carinithorax
Mendesina carinithorax adalah spesies kumbang tanduk panjang yang tergolong famili Cerambycidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Mendesina, ordo Coleoptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Logaritma
Transendensi logaritma
''e
'' adalah bilangan transendental, sedangkan bukan. Hampir semua bilangan real adalah transendental. Logaritma merupakan sebuah contoh fungsi transendental. Teorema Gelfond–Schneider mengatakan bahwa logaritma biasanya memberikan nilai transendental.
Perhitungan
Logaritma merupakan alat hitung yang mudah pada beberapa kasus, seperti
10log 1000 = 3
Mendesina carinithorax
Larva kumbang ini biasanya mengebor ke dalam kayu dan dapat menyebabkan kerusakan pada batang kayu hidup atau kayu yang telah ditebang.
Logaritma
Perhitungan
. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui deret kuasa atau rata-rata aritmetika–geometrik, atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan. Metode Newton, sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat. Dengan melihat tabel logaritma, metode yang mirip dengan CORDIC dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan geseran bit. Terlebih lagi, algoritma dari logaritma biner menghitung
lb(x)
secara berulang berdasarkan penguadratan x yang berulang dan menggunakan ekspresi
Deret Taylor
[[Berkas:Taylor approximation of natural logarithm.gif|al=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.|jmpl|Deret Taylor dari
ln(z)
berpusat di
. Animasi berikut memperlihatkan 10 hampiran pertama beserta dengan hampiran yang ke-99 dan yang ke-100. Hampiran tersebut tidak konvergen karena melebihi jarak 1 dari pusatnya.]] Untuk setiap bilangan z yang memenuhi sifat
0 < z ≤ 2
, maka berlaku rumus:
Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa
dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui ekspresi berikut:
Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat
memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari
ln(1,5) = 0,405465
. Deret ini yang mengaproksimasi
dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer,
adalah limit dari deret ini dan juga merupakan deret Taylor dari logaritma alami di
. Deret Taylor dari
khususnya menyediakan alat yang berguna untuk mengaproksimasi
ln(1 + z)
ketika z bernilai kecil,
Sebagai contoh, hampiran orde pertama memberikan nilai hampiran
ketika
, yang galatnya 5% lebih kecil dari nilai eksak 0,0953.
Deret lebih efisien
untuk setiap bilangan real
z > 0
Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika z mendekati 1. Sebagai contoh, untuk
z = 1,5
ln(1,5)
dengan galatnya sekitar 3. Kekonvergenan cepat untuk z yang mendekati 1 dapat dimanfaatkan sebagai berikut: diberikan sebuah hampiran dengan tingkat akurat yang rendah
y ≈ ln(z)
dan memasukkan ke rumus
Direktorat Jenderal Bimbingan Masyarakat Katolik
Direktorat Jenderal Bimbingan Masyarakat Katolik adalah unsur pelaksana yang berada di bawah dan bertanggung jawab kepada Menteri Agama. Direktorat Jenderal Bimbingan Masyarakat Katolik dipimpin oleh seorang Direktur Jenderal Direktorat Jenderal Bimbingan Masyarakat Katolik mempunyai tugas menyelenggarakan perumusan dan pelaksanaan kebijakan di bidang bimbingan masyarakat Katolik sesuai dengan ketentuan peraturan perundang-undangan. Struktur Direktorat Jenderal Bimbingan Masyarakat Katolik terdiri atas Sekretariat Jenderal, Direktorat Urusan Agama Katolik dan Direktorat Pendidikan Katolik.
Logaritma
Deret lebih efisien
maka logaritma dari z dirumuskan:
Hampiran awalan y yang lebih baik adalah dengan membuat nilai A mendekati ke 1, sehingga nilai logaritma dapat dihitung lebih efisien. Nilai A dapat dihitung melalui deret eksponensial sehingga nilainya konvergen dengan cepat, asalkan nilai y tidak terlalu besar. Dengan menghitung logaritma dari z yang lebih besar dapat direduksi menjadi nilai z yang lebih kecil dengan menulis
, sehingga
.
, dengan laju konvergensi dari.
Hampiran purata aritmetika-geometrik
Purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetika–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat ketika membutuhkan nilai yang kurang akurat. Dalam karyanya,
ln(x)
kira-kira sama dengan ketepatan dari
2−p
Notasi
M(x, y)
(x + y)/2
(purata aritmetika) dan \sqrt{xy} (purata geometrik) dari x dan y secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupakan bilangan x dan y selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu
. Agar pasti bahwa nilai yang diperlukan tepat, maka pilih m sehingga
Bilangan m yang lebih besar membuat perhitungan
, dengan nilai awal x dan y yang merupakan nilai yang sangat jauh, mengambil langkah lebih lanjut agar nilainya konvergen, tetapi memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti
dan
ln(2)
dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.
Algoritma Feynman
Richard Feynman, yang mengerjakan proyek Manhattan di Los Alamos National Laboratory, mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, Connection Machine. Bahkan bahwa setiap bilangan real
1 < x < 2
yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk
1 + 2−k
, dipakai dalam algoritma ini. Algoritma ini dibangun secara berurutan bahwa hasil kali P, yang dimulai dengan
, mengatakan bahwa jika
P · (1 + 2−k) < x
, maka P berubah menjadi
, sehingga membuat nilai k menaik. Algoritma tersebut berhenti ketika k cukup besar memberikan nilai akurat yang diinginkan. Karena
log(x)
adalah jumlah dari suku berbentuk
log(1 + 2−k)
yang berpadanan dengan nilai k dan faktor
adalah hasil kali dari P, maka
untuk semua k. Setiap bilangan pokok dapat dipakai untuk tabel logaritma.
Penerapan
Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan kekararan skala. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang nautilus memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk spiral logaritmik. Hukum Benford mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala. Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki kemiripan terhadap diri sendiri. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang algoritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya. Dimensi dari bentuk geometrik menyerupai diri sendiri, dalam artian bahwa bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. Skala logaritmik berguna untuk mengukur perubahan relatif nilai daripada selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik
log(x)
menaik sangat lambat untuk nilai besarx, skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan Fenske, atau persamaan Nernst.
Penerapannya dalam skala logaritmik
Satuan kuantitas dalam ilmiah seringkali dinyatakan sebagai logaritma dari kuantitas lain, dengan menggunakan skala logaritmik. Sebagai contoh, desibel merupakan satuan pengukuran yang dikaitkan dengan perhitungan dari kuantitas skala logaritmik. Penguat desibel memberikan 10 kalinya logaritma biasa dari rasio daya atau 20 kalinya logaritma biasa dari rasio tegangan. Satuan inilah yang dipakai untuk mengukur rugi tingkatan ketegangan saat mentransmisi sinyal elektrik, yang bertujuan untuk menjelaskan tingkatan kekuatan aras daya suara dalam akustik, serta mengukur penyerapan cahaya dalam bidang spektrometri dan optika. Selain itu, desibel juga dipakai dalam nisbah sinyal-derau yang menjelaskan seberapa banyak derau dibandingkan dengan sinyal yang berguna. Mirip dengan tadi, nisbah puncak sinyal-derau biasanya dipakai menilai kualitas suara dan metode pemampatan citra melalui logaritma.
Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan skala magnitudo momen atau skala magnitudo Ritcher. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32 kali
(101,5)
dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000 kali
(103)
Konsep skala logaritmik dapat dipakai dalam grafik (log-linear) semilog bertujuan untuk memberikan visual terkait satu sumbu, yang biasanya berupa sumbu vertikal, diukur menggunakan perhitungan logaritma. Contohnya seperti grafik disamping menjelaskan nilai yang menaik dengan tajam dari 1 juta hingga 1 triliun ke dalam ruang yang sama (pada sumbu vertikal) saat grafiknya menaik dari 1 hingga 1 juta. Pada grafik tersebut, fungsi eksponensial
muncul sebagai garis lurus dengan kemiringan yang sama dengan logaritma dari b. Selain itu, skala logaritma yang dapat dipakai dalam grafik log-log untuk mengukur sumbu vertikal dan horizontal, sehingga menyebabkan fungsi
f(x) = a · x
digambarkan sebagai garis lurus yang mempunyai kemiringan yang sama dengan bilangan yang dipangkat dengan k, diterapkan pada saat memberikan visual dan menganalisis hukum pangkat.
Penerapannya dalam psikologi
Studi psikologi menemukan bahwa orang yang sedikit mempunyai pemahaman matematika cenderung mengestimasi nilai kuantitas dengan logaritma, atau dengan kata lain, bilangannya ditempatkan pada garis yang tidak ditandai berdasarkan perhitungan logaritma, sehingga 10 yang ditempatkan mendekati 100 dianggap sebagai 100 yang ditempatkan mendekati 1000. Orang yang memiliki pemahaman yang lebih tinggi memandang hal tersebut sebagai linear yang mengestimasi (letak angka 1000 yang berjarak 10 kali lebih jauh) pada beberapa kasus, namun logaritma dipakai pada saat memplot bilangan-bilangan yang sulit untuk diplotkan secara linear.
Penerapannya dalam teori peluang dan statistika
Dalam teori probabilitas, hukum bilangan besar mengatakan bahwa, untuk sebuah mata uang seimbang, ketika jumlah pelemparan koin naik menuju takhingga, maka kesebandingan dari gambar kepala (atau ekor) yang diamati mendekati satu setengah. Fluktuasi dari nilai kesebandingan yang bernilai satu setengah dijelaskan melalui hukum yang menggunakan logaritma, yaitu hukum logaritma teriterasi.
Logaritma muncul pula dalam sebaran log-normal. Ketika logaritma dari variabel acak mempunyai sebaran normal, maka variabel dikatakan mempunyai sebaran log-normal. Sebaran log-normal ditemukan dalam banyak bidang, dengan suatu variabel dibentuk sebagai hasil kali dari banyaknya variabel acak indenpenden bernilai positif. Contohnya seperti dalam mempelajari turbulensi.
Logaritma dipakai untuk menghitung estimasi kemungkinan maksimum dari model statistika parametrik. Fungsi kemungkinan pada model tersebut bergantung setidaknya satu parameter yang harus diestimasi. Nilai maksimum dari fungsi kemungkinan muncul di nilai parameter yang sama sebagai nilai maksimum logaritma kemungkinan (atau disebut log likelihood), karena logaritma merupakan fungsi menaik. Log-likelihood adalah teknik yang memaksimumkan fungsi dengan mudah, khususnya untuk kemungkinan yang dikali mengenai variabel acak independen.
Hukum Benford menjelaskan kemungkinan digit dalam himpunan data yang banyak, contohnya seperti tinggi bangunan. Menurut hukum Benford, kemungkinan bahwa digit desimal pertama suatu item dalam sampel data adalah d (yang berkisar dari 1 hingga 9) sama dengan
10log (d + 1) − 10log (d)
, tanpa memperhatikan satuan pengukuran. Jadi, sekitar 30% data dapat diduga mempunyai 1 sebagai digit pertama, 18% dimulai dengan 2, dst. Penyimpangan dari hukum Benford dihitung oleh para akuntan untuk membantu mendeteksi penipuan data akuntansi.
Penerapannya dalam kompleksitas perhitungan
Cabang dalam ilmu komputer yang mempelajari performa dari suatu algoritma dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut analisis algoritma. Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan membagi suatu masalah menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah.
2log (N)
. Bilangan pokok logaritma tidak dijelaskan secara spesifik, karena hasilnya hanya berubah oleh faktor konstanta saat ada bilangan pokok lain yang sedang dipakai. Faktor konstanta biasanya diabaikan dalam analisis algoritma dalam model biaya seragam (uniform cost model) yang standar.
f(x)
dikatakan bertumbuh secara logaritmik jika
(setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari x, namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis. Sebagai contoh, setiap bilangan asli N dapat direpresentasikan dalam bentuk bilangan biner yang tidak lebih dari
2log N + 1
Penerapannya dalam entropi dan ketidakteraturan
Entropi secara umum adalah ukuran dari ketidakteraturan dari suatu sistem. Dalam termodinamika statistik, sebuah entropi, disimbolkan dengan
S
, dari sebuah sistem, didefinisikan dengan:
Hasilnya adalah seluruh kondisi i yang mungkin dari sistem yang dimaksud, contoh posisi dari partikel gas di dalam sebuah tangki. Lebih lanjut lagi,
pi
adalah kemungkinan bahwa kondisi i telah tercapai dan k adalah konstanta Boltzmann. Sama halnya dengan entropi dalam teori informasi yang mengukur kuantitas dari informasi. Jika penerima pesan mengharapkan sejumlah N pesan yang mungkin diterima dengan besar kemungkinan masing-masing yang setara, maka sejumlah informasi yang tersampaikan oleh pesan tersebut dapat dikuantifikasi dengan bit
Eksponen Lyapunov menggunakan logaritma untuk mengukur derajat ketidakteraturan dari sistem yang dinamis. Contoh partikel yang bergerak di meja biliar oval, di mana bahkan perubahan sekecil apapun dari kondisi awal dapat memberikan hasil, yaitu jalur yang dilalui, yang sangat berbeda. Sistem yang dimaksud disebut dengan kekacauan di dalam sistem deterministik karena galat yang kecil namun terukur dari kondisi awal dapat diprediksi akan memberikan hasil akhir yang sangat berbeda. Setidaknya satu eksponen Lyapunov dari sistem kekacauan yang deterministik akan bernilai positif.
Penerapannya dalam bangunan fraktal
Logaritma muncul dalam definiisi dimensi fraktal. Fraktal merupakan benda-benda geometri yang menyerupai dirinya, dalam artian bahwa benda geometri tersebut mereproduksi dirinya lebih kecil, penjelasan kasarnya, di seluruh strukturnya. Contohnya seperti segitiga Sierpiński, dengan dimensi Hausdorff nya adalah
Kanisius
Yayasan Kanisius adalah sebuah yayasan Katolik yang didirikan pada tahun 1918. Yayasan Kanisus mengelola sejumlah sekolah kanisius tingkat TK-SMP di Yogyakarta dan Jawa Tengah, Sekolah PIKA (Pendidikan Industri Kayu) serta karya penerbitan dan percetakan PT KANISIUS.
Logaritma
Penerapannya dalam bangunan fraktal
1⁄ln(3) ≈ 1,58
, dapat diliputi dengan tiga salinan dirinya, masing-masing sisinya dibagi menjadi setengah dari panjang awalnya. Adapula gagasan dimensi fraktal berdasarkan logaritma lainnya diperoleh dengan menghitung jumlah kotak yang diperlukan untuk meliputi frakal dalam himpunan.
Final Liga Negara UEFA 2021
Final Liga Negara UEFA 2021 adalah pertandingan sepak bola yang menentukan juara dari babak final Liga Negara UEFA 2020–2021 dan akan menjadi pertandingan final edisi kedua dari Liga Negara UEFA, kompetisi sepak bola yang melibatkan tim-tim nasional sepak bola pria dari asosiasi anggota UEFA. Pertandingan ini mempertemukan dan, dan dimainkan pada 10 Oktober 2021 di San Siro, Milan, Italia.
Kanisius
Pada tanggal 26 Januari 1922, lama sebelum kemerdekaan Indonesia, Canisius Drukkerij didirikan di pusat kota Yogyakarta. Kanisius berkomitmen pada upaya pemberdayaan bangsa melalui dunia pendidikan dan pemberdayaan masyarakat. Pada tahun 1926, Kanisius mencetak buku-buku bacaan dan bahan pembelajaran untuk memenuhi kebutuhan sekolah-sekolah rakyat. Pada tahun 1928, Canisius Drukkerij mencetak Tamtama Dalem dan Swaratama, surat kabar pergerakan untuk mendukung perjuangan kemerdekaan pemuda Indonesia.
Logaritma
Penerapannya dalam musik
Peran logaritma dalam musik dapat dipakai untuk menjelaskan interval berikut: suatu interval diukur dalam semi-nada dengan mengambil logaritma dengan bilangan pokok-
21/12 dari perbandingan frekuensi, sedangkan logaritma dengan bilangan pokok-
21/1200 dari perbandingan frekuensi menyatakan interval dalam sen, ratusan semi-nada. Logaritma yang terakhir dipakai untuk pengodean yang lebih halus, karena diperlukan untuk temperamen tak sama.
2002 Winter Vacation in SMTown.com – My Angel My Light
2002 Winter Vacation in SMTown.com – My Angel My Light adalh album pada tahun 2002 yang diproduksi SMTown. Album ini adalah album musim dingin SM Entertainment yang keempat. Ini adalah album pertama Shoo salah satu personil grup S.E.S. yang menjadi solo artist. Bada juga disediakan vikal untuk album ini sebelum grupnya bubar. Isak disediakan penampilan pertama di video klip SMTown, lalu Choo Ka Yul dan Song Kwang Sik juga berkontribusi untuk pertama kalinya. Juga untuk pertama kalinya, lebih dari satu lagu kolaborasi muncul dalam album ini dan dua video musik dirilis. Album ini adlah album terakhir dari grup vokal wanita Shinvi dan penampilan M.I.L.K. bersama-sama.
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
Logaritma alami sangat berkaitan dengan salah satu topik dalam teori bilangan, yaitu menghitung bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat x, jumlah bilangan prima kurang dari sama dengan x dinyatakan sebagai
Mutiara dalam Lumpur
Mutiara dalam Lumpur adalah film Indonesia yang dirilis pada tahun 1972 yang disutradarai oleh Asrul Sani dan dibintangi oleh W.D. Mochtar dan Sophan Sophiaan.
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
(x)
Kanisius
Pada awal kemerdekaan Republik Indonesia, Canisius mendapat kepercayaan untuk mencetak ORI (Oeang Rakyat Indonesia). Penerbit dan Percetakan Kanisius, nama baru untuk Canisius Drukkerij, membeli mesin cetak yang lebih besar untuk memenuhi permintaan ini. Kanisius telah lama memiliki reputasi sebagai percetakan berkualitas tinggi dan instalasi teknologi cetak offset pada tahun 1960-an menempatkan Kanisius pada posisi terdepan dalam industri percetakan di Indonesia. Pada tahun 1970-an Kanisius mendefinisikan kembali misinya ke arah pemberdayaan rakyat dan mendorong pembelajaran mandiri dengan melakukan diversifikasi lini produk, yang berkisar dari buku keagamaan, pembelajaran mandiri, sejarah, budaya, bahasa, filsafat, sosiologi, manajemen, pertanian, teknologi tepat guna, sampai buku-buku teks untuk TK sampai perguruan tinggi.
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
. Teorema bilangan prima mengatakan bahwa
Kanisius
Penulis
Afiliasi
Mutiara dalam Lumpur
Film ini meraih penghargaan Festival Film Indonesia 1973 untuk pemeran pendukung wanita terbaik (Sofia WD).
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
yang berarti bahwa fungsi pencacahan bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari
Mutiara dalam Lumpur
Sinopsis
Khalid kecil, anak sebatang kara, menumpang gerobak Puang Aziz (WD Mochtar), lalu diangkat anak untuk teman putrinya, Fatimah, karena Asikin, kakak Fatimah bersekolah di Makasar. Fatimah ini dijodohkan dengan Hassan, anak Karaeng Bela (Moh Mochtar), saingannya sebagai petani jeruk, hingga kedua keluarga tadi berseteru. Perkawinan dimaksudkan untuk mengakhiri perseteruan itu. Khalid (Sophan Sophiaan) tumbuh dewasa, jadi pekerja tekun dan bersahabat dengan Hassan (Sentot S), bahkan bersumpah saling setia saat belajar silat. Asikin (Farouk Afero), tidak suka pada Khalid. Waktu diketemukan Khalid saling mencinta dengan Fatimah (Totty Nasution), Asikin menyuruh anak buahnya menyiksa dan menyeret Khalid. Khalid menghilang, Fatimah kawin dengan Hassan.
Manuhing Raya, Gunung Mas
Manuhing Raya atau Mahuning Raya(berdasarkan Permendagri) adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Gunung Mas, Provinsi Kalimantan Tengah, Indonesia.
Mutiara dalam Lumpur
Sinopsis
Asikin kemudian menguasai harta ayahnya, yang meninggal dengan menyesal melihat tingkah laku anaknya yang doyan judi dan menghabiskan harta. Dalam keadaan banyak hutang, tiba-tiba Khalid muncul kembali dan sudah jadi orang kaya. Ia mengajak Asikin berjudi habis-habisan. Berita kedatangan Khalid sampai ke Fatimah yang langsung menemuinya di tepi danau, tempat mereka biasa pacaran. Hasan yang merasa tak pernah mendapatkan cinta Fatimah, terpaksa menjaga harga diri dan menantang duel. Kepada anak buahnya ia minta agar Khalid ditembak, bila ia terbunuh. Perintah dipatuhi, padahal Hasan yang kalah itu tak tewas, karena Khalid tak tega. Maka menangislah Hasan. Apalagi Fatimah yang sudah melahirkan satu anak, lalu bunuh diri. Hasan memerintahkan dua mayat itu dikubur bersanding.
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
yang lebih baik merupakan fungsi integral Euler
Rungan Hulu, Gunung Mas
Rungan Hulu adalah sebuah kecamatan di Kabupaten Gunung Mas, Provinsi Kalimantan Tengah, Indonesia.
Final Liga Negara UEFA 2021
Prancis menang 2–1 dan meraih gelar juara Liga Negara UEFA pertama mereka.
Rungan Hulu, Gunung Mas
Pembagian administratif
Kecamatan Rungan Hulu dibagi ke dalam 9 desa dan 1 kelurahan, antara lain:
Final Liga Negara UEFA 2021
Tempat penyelenggaraan
Pertandingan ini digelar di San Siro di Milan. San Siro merupakan kandang A.C. Milan dan Inter Milan.
Latar belakang
Sebelum pertandingan final, dan  masing-masing menempati posisi ke-8 dan ke-4 Peringkat FIFA. Spanyol mengalahkan tuan rumah pada babak semifinal. Kemenangan itu juga mengakhiri catatan 37 pertandingan beruntun tak terkalahkan Italia. Sementara Prancis mengalahkan, timnas pemuncak Peringkat FIFA sejak September 2018, pada babak semifinal. Tertinggal 0–2 di babak pertama, Les Bleus berhasil membalikkan kedudukan menjadi 3–2, dengan gol penentu kemenangan dicetak pada menit ke-90.
Perjalanan menuju final
Note: Skor finalis ditulis di awal (H: kandang; A: tandang).
Logaritma
Penerapannya dalam teori bilangan
, yang didefinisikan sebagai
Hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu konjektur matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan
Final Liga Negara UEFA 2021
Wasit
Pada 8 Oktober 2021, Asosiasi Sepak Bola Inggris mengumumkan bahwa Anthony Taylor sebagai wasit pertandingan final. Taylor dibantu oleh kompatriot Gary Beswick dan Adam Nunn sebagai asisten wasit, Craig Pawson sebagai wasit keempat, dan Stuart Burt sebagi wasit kelima/cadangan. Sementara dari kantor pusat UEFA di Nyon, Swiss, Stuart Attwell bertindak sebagai asisten wasit video (VAR) serta Chris Kavanagh, Lee Betts, dan Pol van Boekel bertindak sebagai pembantu asisten wasit video (AVAR).
Kalimas, Kaledupa, Wakatobi
Kalimas adalah salah satu desa yang terletak di Kecamatan Kaledupa, Kabupaten Wakatobi, Provinsi Sulawesi Tenggara, Indonesia. Desa ini sebagian besar penduduknya bersuku Wakatobi..
Menesia albifrons
Menesia albifrons adalah spesies kumbang tanduk panjang yang tergolong famili Cerambycidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Menesia, ordo Coleoptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Final Liga Negara UEFA 2021
Pemilihan pemain
Semua pemain dari skuat Spanyol siap untuk tampil. Namun, Ferran Torres diragukan untuk tampil karena mengalami cedera pergelangan kaki pada pertandingan semifinal dan tidak ikut sesi latihan terakhir Spanyol. Sementara dari skuat Prancis, dua pemain tipastikan tidak tampil: bek kiri Lucas Digne mengalami cedera otot dan gelandang Adrien Rabiot ditest positif SARS‑CoV‑2.
Manuhing Raya, Gunung Mas
Pembagian administratif
Kecamatan Manuhing Raya dibagi ke dalam 5 desa dan 1 kelurahan, antara lain:
Menesia albifrons
Larva kumbang ini biasanya mengebor ke dalam kayu dan dapat menyebabkan kerusakan pada batang kayu hidup atau kayu yang telah ditebang.
Final Liga Negara UEFA 2021
Pemilihan pemain
Kedua tim melakukan masing-masing dua penggantian pemain untuk susunan pemain awal setelah kemenangan di semifinal. Spanyol mengganti Pau Torres dengan Eric García dan Koke dengan Rodri. Sementara Prancis mengganti Lucas Hernandez dengan Presnel Kimpembe dan Rabiot, yang positif SARS‑CoV‑2, dengan Aurélien Tchouaméni.
Kalimas, Kaledupa, Wakatobi
Desa ini merupakan satu dari 12 desa dan kelurahan yang terletak di Kecamatan Kaledupa.