cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Geografi Tajikistan
Pegunungan Pamir
Pegunungan Pamir di Tajikistan terletak di Oblast Otonom Gorno-Badakhshan (GBAO) di bagian timur negara itu. Perbatasan utara dibentuk oleh Kisaran Trans-Alay (Puncak Kemerdekaan 7174 m, Kyzylart Pass 4280 m). Puncak tertinggi adalah Puncak Ismail Samani (7495 m) (sebelumnya dikenal sebagai Puncak Stalin dan Puncak Komunisme), di tepi barat laut GBAO, dan terletak di antara Puncak Ibnu Sina (7134 m) (juga dikenal sebagai Puncak Lenin) di perbatasan dengan Kirgizstan di utara dan Puncak Korzhenevskaya (7105 m) di Academy of Sciences Range (6785 m) lebih jauh ke selatan. Perbatasan selatan dibentuk oleh pegunungan paling utara di Pegunungan Karakoram, dengan Puncak Mayakovskiy (6096 m), Puncak Karl Marx (6726 m), Puncak Engels (6510 m), dan Puncak Concord (5469 m) membentang dari barat ke timur di sepanjang perbatasan ke Afghanistan.
Luas dan batas
Daerah: total: 142600 km2 tanah: 141510 km2 air: 2590 km2
Batas tanah: total: 3651 km negara-negara perbatasan: Afghanistan 1206 km, Tiongkok 414 km, Kirgizstan 870 km, Uzbekistan 1161 km
Jean Todt
Scuderia Ferrari
Sukses pertama Todt di Ferrari adalah saat Gerhard Berger menjuarai GP Jerman 1994. Tahun 1996 Todt secara mengejutkan menarik Michael Schumacher dan Eddie Irvine sebagai pembalap Ferrari menggantikan Berger dan Jean Alesi. Kemudian di musim 1997 Todt menarik Ross Brawn dan Rory Byrne sebagai pimpinan teknik dan desain tim.
Grand Prix Swiss
Tim Mercedes-Benz menjadi tim yang paling banyak menjuarai GP Swiss dengan 5 kemenangan sampai saat ini.
Untuk saat ini belum ada rencana untuk menghidupkan kembali GP Swiss sekalipun pemerintah setempat sudah memberikan lampu hijau untuk diperbolehkannya kembali ajang balap digelar di Swiss.
Jean Todt
Scuderia Ferrari
Sukses Todt di Ferrari mencapai puncak saat Schumi berhasil menjadi juara dunia F1 di musim 2000, dan kemudian berlanjut hingga 2004. Walaupun dalam beberapa kesempatan, Todt juga sering dikritik media karena tindakannya yang terlalu sembrono, seperti saat team order di GP Austria 2002.
Musim 2005, Todt membawa masuk putranya, Nicolas Todt untuk berkiprah sebagai manajer pembalap. Pembalap yang dimanajeri Todt junior adalah Felipe Massa dan Sebastien Bourdais. Akhir 2006, Todt kembali membuat kejutan saat berhasil menarik Kimi Raikkonen ke tim Ferrari. Sebenarnya Raikkonen telah lama diincar Ferrari, tepatnya sejak 2001. Tetapi karena pengaruh besar Schumi, Todt tidak kuasa menahannya.
Awal 2007, Todt memutuskan untuk mundur sebagai Team Principal Ferrari. Posisinya digantikan oleh Stefano Domenicalli. Meski begitu, Todt masih tetap dipertahankan oleh Luca Montezemolo dengan mengangkatnya sebagai Team Director Ferrari untuk road car, dan masih bertahan hingga akhir 2008 saat Todt terpilih menjadi Presiden FIA.
Lain-lain
Jean Todt pernah masuk daftar kandidat pengganti Max Mosley pada 2004 lalu. Tetapi baik Todt ataupun Mosley menolak kabar tersebut. Rumor itu memang masih berkembang hingga saat ini, dengan Ron Dennis sebagai kunci untuk menjadi pengganti Bernie Ecclestone. Jika memang nantinya akan benar terjadi, tampaknya F1 akan berada di bawah kendali mantan dua bos tim F1 terbesar, Ron Dennis dari McLaren sebagai Supremo F1, dan Jean Todt dari Ferrari sebagai Presiden FIA. Namun hingga saat ini, baik Todt, Dennis, Mosley, dan Mr. E menolak rumor tersebut.
Geografi Tajikistan
Luas dan batas
Garis pantai: 0 km (terkurung daratan)
Trifyloi
Trifyloi (Τριφύλιοι atau Τρίφυλοι ) merupakan suku Yunani kuno. Mereka adalah penduduk wilayah Peloponnesos barat, yang pada zaman Homer disebut Pylos dan kemudian Trifyloi. Nama Trifyloi, secara harfiah muncul dari fakta pembentukan tiga suku yang berbeda di daerah tersebut. Kota-kota Homer Pylos, Kyparisieis dan Dorion menikmati pertumbuhan dan kemakmuran yang besar. Trifyloi dan penduduknya mendapat keuntungan dari kemerdekaan dan pemerintahan sendiri sampai Perang Messenia Kedua, pada 628 SM, ketika mereka jatuh ke dalam kekuasaan Sparta, yang kemudian menyerahkan Trifyloi ke Elis. Orang-orang Trifyloi tetap diperbudak di bawah kedaulatan orang-orang Elis selama perang Peloponnesos, tidak termasuk periode singkat di mana mereka berhasil memulihkan otonomi mereka. Pada 366 SM, Trifyloi jatuh ke yurisdiksi Elis, sampai pembentukan Liga Akhaia, ketika mereka memperoleh kemerdekaan mereka sebagai bagian dari anggota konfederasi.
Geografi Tajikistan
Luas dan batas
Elevasi ekstrem: titik terendah: Syr Darya 300 m titik tertinggi: Puncak Ismail Samani 7495 m
Trifyloi
Pada tahun 220-217 SM, Trifyloi ditaklukkan oleh raja Fílippos V dan berada di bawah pengaruh Makedonia. Pada zaman Romawi awal, sebagian besar Trifyloi mendapatkan kembali otonominya.
Geografi Tajikistan
Luas dan batas
Puncak lainnya meliputi: Puncak Lenin 7134 m; Peak Korzhenevskaya 7105 m; Puncak Kemerdekaan 6974 m
Sumber daya dan penggunaan lahan
Sumber daya alam: Tenaga air, beberapa minyak bumi, uranium, merkuri, batubara coklat, timbal, seng, antimon, tungsten, perak, emas
Penggunaan lahan (data 2006): tanah subur: 6% tanaman permanen: 1% padang rumput: 21% lahan bukan pertanian: 72% termasuk hutan dan daerah berhutan: 3%
Tanah irigasi: 2006: 7235 km2
Total sumber daya air terbarukan: 99,7 cu km (1997)
Bahaya alam: gempa bumi dan banjir
4007 Euryalos
4007 Euryalos (1973 SR) adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Troya Yupiter, yang terletak di orbit Yupiter. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.057, sementara magnitudo mutlaknya adalah 10.2.
Pembentukan
Seperti asteroid secara keseluruhan, asteroid ini terbentuk dari nebula matahari primordial sebagai pecahan planetisimal, sesuatu di nebula matahari muda yang tidak cukup besar untuk berubah menjadi planet.
Annibale Gozi
Annibale Gozi adalah seorang politikus San Marino yang pernah menjabat sebagai Wali Kapten, yaitu salah satu dari dua kepala negara Republik San Marino yang dipilih setiap enam bulan. Ia menjabat dari tanggal 1 Oktober 1604 hingga 1 April 1605 bersama dengan Pier Marino Cionini.
FK Jablonec
Sejarah
Klub menyelesaikan posisi terbaiknya dalam sejarahnya, yakni posisi kedua, di Liga Pertama Ceko musim 2009-2010, hanya satu poin di belakang juara liga Sparta Praha dan lolos ke Liga Eropa UEFA 2010-2011. Pada musim 2010-2011, striker Jablonec David Lafata finis sebagai pencetak gol terbanyak liga dengan 19 gol, membantu tim finis di tempat ketiga dan lolos ke musim sepak bola Eropa lainnya. Pada musim 2011–2012, Lafata mencetak rekor skor baru di Liga Pertama Ceko saat ia mencetak 25 gol yang belum pernah terjadi sebelumnya dalam satu musim lagi menjadi pencetak gol terbanyak liga, meskipun klub finis di urutan kedelapan. Lafata kemudian mencetak 13 gol dalam 16 penampilan liga untuk Jablonec di paruh pertama musim 2012-2013 sebelum bergabung Sparta Praha.
Scipione Gabrielli
Scipione Gabrielli adalah seorang politikus San Marino yang pernah menjabat sebagai Wali Kapten, yaitu salah satu dari dua kepala negara Republik San Marino yang dipilih setiap enam bulan. Ia menjabat dari tanggal 1 April 1603 hingga 1 Oktober 1603 bersama dengan Orazio Belluzzi.
Matthias Sammer
Matthias Sammer adalah mantan pemain dan pelatih sepak bola Jerman yang sekarang bekerja sebagai direktur olahraga dari Bayern München. Ia bermain sebagai gelandang bertahan dan sweeper.
Bersama dengan Borussia Dortmund sebagai pemain, Sammer memenangkan Bundesliga dan Piala Super DFL pada tahun 1995, Bundesliga, Piala Super DFL, dan Pemain Terbaik Eropa pada tahun 1996, dan Liga Champions UEFA dan Piala Interkontinental pada tahun 1997. Dengan sebagai pemain, Sammer memenangkan [[UEFA Euro 1996. Sammer pensiun dengan 74 caps tim nasional, 23 untuk  dan 51 untuk.
Sebagai seorang manajer, Sammer membawa Borussia Dortmund memenangkan Bundesliga pada tahun 2002.
Kallixeinos
Kallixeinos (Καλλίξεινος) merupakan seorang politisi Athena yang hidup pada sekitar tahun 400 SM, di zaman Socrates. Setelah Pertempuran Arginusai, Kallixeinos berpendapat bahwa para jenderal yang gagal menyelamatkan korban kapal karam Kanada harus diadili bersama oleh Majelis. Alkmaionid membawa gugatan (graphe paranomon) terhadap Kallixeinos mengklaim bahwa proposal itu melanggar hukum, tetapi dipaksa untuk menjatuhkannya di hadapan opini publik. Di persidangan, para jenderal yang tersisa - dua, Aristogénis dan Protomakhos, telah melarikan diri dari Athena daripada menghadapi pengadilan - dinyatakan bersalah, dan dijatuhi hukuman mati. Sebuah karya retoris berikutnya oleh Aelius Aristides mengklaim bahwa Callixenus juga mengusulkan bahwa para jenderal tidak boleh dimakamkan, meskipun ini tentu saja sejarah.
Ketika opini publik berbalik melawan gerakan yang dibawa oleh Kallixeinos, sebuah kasus diajukan terhadapnya dan dia melarikan diri dari Athena. Dia kembali dalam amnesti umum tahun 403, dan meninggal di Athena karena kelaparan.
2003 GP51
2003 GP51 adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Apollo, yang terletak dekat dengan bumi. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.602, sementara magnitudo mutlaknya adalah 22.0.
Balai Konservasi Borobudur
Balai Konservasi Borobudur (Centre for Borobudur Studies) adalah salah satu Unit Pelaksana Teknis (UPT) Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan yang bertujuan untuk melestarikan cagar budaya di seluruh Indonesia. Lembaga ini merupakan lembaga pusat di bidang konservasi dan pelestarian. Pada awalnya Balai Konservasi Borobudur bernama Balai Studi dan Konservasi Borobudur yang berdiri tahun 1991. Pada tahun 2006 berubah nama menjadi Balai Konservasi Peninggalan Borobudur berdasarkan Peraturan Menteri Kebudayaan dan Pariwisata Nomor: PM.40/OT.001/MKP-2006 tanggal 7 September 2006. Balai Studi dan Konservasi Borobudur dan Balai Konservasi Peninggalan Borobudur merupakan lembaga khusus yang menangani Candi Borobudur yang telah selesai dipugar memerlukan perawatan, pengamatan dan penelitian berkelanjutan. Pada tahun 2012, lembaga ini kembali berubah nama menjadi Balai Konservasi Borobudur dan berfungsi sebagai pusat konservasi dan pemugaran cagar budaya seluruh Indonesia di samping menangani Warisan Dunia (World Heritage) Candi Borobudur.
Berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Dan Kebudayaan Nomor 29 Tahun 2015, Balai Konservasi Borobudur bertugas melaksanakan konservasi dan pelestarian Candi Borobudur dan Kawasan Cagar Budaya Borobudur yang meliputi Candi Borobudur, Candi Mendut dan Candi Pawon. Adapun fungsinya sebagai berikut: Untuk menunjang Tugas Pokok dan Fungsi (Tupoksi) tersebut, Balai Konservasi Borobudur dilengkapi fasilitas-fasilitas penunjang seperti: Fasilitas laboratorium bertujuan untuk:
Mitra
Balai Konservasi Borobudur menjalin kerjasama dengan berbagai universitas dan institusi lain baik dari dalam negeri maupun luar negeri. Beberapa kerjasama kemitraan dilakukan diantaranya:
Kajarharjo, Kalibaru, Banyuwangi
Pembagian wilayah
Desa ini terdiri dari 6 dusun, yaitu:
Survei asal tujuan
Survei asal tujuan atau dalam bahasa Inggris disebut Origin-destination survey adalah survei yang mempelajari pola perjalanan dengan mempelajari asal dan tujuan perjalanan yang digunakan sebagai sumber informasi utama dalam proses perencanaan transportasi.
Pendekatan
Informasi yang dikumpulkan:
Ukuran sampel
Besaran sampel yang dikumpulkan tergantung kepada ukuran kota seperti ditunjukkan dalam tabel beriukut:
Survei wawancara dipinggir jalan
Disebut juga road side interview merupakan survei untuk mengumpulkan informasi perjalanan yang dilakukan masyarakat yang melakukan perjalanan dengan menggunakan kendaraan pribadi ataupun angkutan umum. Seperti halnya survei wawancara rumah tangga dilakukan pada hari normal.
Informasi yang dikumpulkan:
Survei kartu pos
Survei asal tujuan dapat pula dilakukan dengan meminta penumpang angkutan pribadi maupun angkutan umum untuk mengisi suatu quesioner yang kemudian dikirim kekantor pengumpul informasi dengan cuma-cuma.
Survei plat nomor kendaraan
Merupakan salah satu pendekatan dalam survei dengan menempatkan surveyors/camera untuk mencatat atau merekam nomor kendaraan yang melewati titik survei. Titik survei ditempatkan sedemikian sehingga dapat didapatkan informasi asal tujuan perjalanan.
Grup Dedekind
Dalam teori grup, grup Dedekind adalah grup  G  sedemikian rupa sehingga setiap subgrup dari  G  adalah  normal. Semua grup Abelian adalah grup Dedekind. Grup Dedekind non-abelian disebut grup Hamiltonian.
Contoh paling familiar (dan terkecil) dari grup Hamiltonian adalah grup angka empat dari orde 8, dilambangkan dengan Q8. Dedekind dan Baer telah menunjukkan (dalam kasus urutan terbatas dan masing-masing tak terbatas) bahwa setiap grup Hamiltonian adalah  produk langsung dari bentuk G = Q8 × B × D, di mana  B  adalah grup abelian dasar 2, dan  D  adalah grup abelian  periodik dengan semua elemen berorde ganjil.
Kelompok Dedekind dinamai Richard Dedekind, yang menyelidiki mereka pada, membuktikan bentuk dari teorema struktur di atas (untuk grup hingga). Dia menamai mereka yang non-abelian setelah William Rowan Hamilton, penemu angka empat.
Pada tahun 1898 George Miller menggambarkan struktur grup Hamilton dalam hal  urutan dan subgrupnya. Misalnya, dia menunjukkan "grup Hamilton urutan 2a memiliki 22a − 6 kelompok kuaternion sebagai subgrup". In 2005 Horvat et al menggunakan struktur ini untuk menghitung jumlah kelompok Hamilton dari setiap urutan n = 2eo di mana  o  adalah bilangan bulat ganjil. Kapan e < 3 maka tidak ada kelompok ordo Hamiltonian  n , jika tidak, ada bilangan yang sama karena ada grup ordo Abelian  o .
Baranusa, Pantar Barat, Alor
Baranusa merupakan salah satu desa yang ada di kecamatan Pantar Barat, kabupaten Alor, provinsi Nusa Tenggara Timur, Indonesia. Desa ini merupakan satu dari 7 desa dan kelurahan yang berada di kecamatan Pantar. Desa ini memiliki kodepos 85881.
Desa ini memiliki jumlah penduduknya sebagian besar bersuku daerah Alor. Sebagian besar penduduknya bermatapencaharian petani. Di sini MI Negeri Baranusa berada di desa ini.
Pelecopsis eminula
Pelecopsis eminula adalah spesies laba-laba yang tergolong famili Linyphiidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari ordo Araneae. Nama ilmiah dari spesies ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1884 oleh Simon.
Laba-laba ini biasanya banyak ditemui di Prancis, Italia.
(67065) 1999 XW261
(67065) 1999 XW261 adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Troya Yupiter, yang terletak di orbit Yupiter. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.024, sementara magnitudo mutlaknya adalah 11.8.
Pembentukan
Seperti asteroid secara keseluruhan, asteroid ini terbentuk dari nebula matahari primordial sebagai pecahan planetisimal, sesuatu di nebula matahari muda yang tidak cukup besar untuk berubah menjadi planet.
Marilyn Manson
Brian Hugh Warner (lahir 5 Januari 1969) atau biasanya dipanggil Marilyn Manson merupakan seorang penyanyi berkebangsaan Amerika Serikat. Nama ini diambil dari nama Marilyn Monroe dan Charles Manson. Dia dilahirkan di Canton, Ohio. Ayahnya menganut agama Katolik sedangkan ibunya menganut agama Episcopalian.
Epistasis
Dalam genetika, epistasis memiliki dua pengertian yang agak berkaitan (Roth et al. 2009). Istilah ini diperkenalkan oleh William Bateson (1907) dalam bentuk adjektiva (kata sifat) epistatic bagi "karakter yang harus disingkirkan agar karakter yang hypostatic dapat muncul" (Bateson W. 1907). Kata "epistatic" dan "hypostatic" digunakan berpasangan bagi karakter/sifat yang diwariskan mengikuti Hukum Pewarisan Mendel tetapi menunjukkan penyimpangan (semu) dari ekspresi harapan karena ada interaksi di antara dua lokus yang bertanggung jawab atas karakter/sifat itu. Sebagai misal, kehadiran alel dominan pada lokus pertama akan mengubah penampilan yang diharapkan dari genotipe lokus kedua.
Pengertian Bateson yang bersifat genetika Mendel (kualitatif) tersebut dikembangkan oleh Ronald Fisher (1918) menjadi lebih umum pada sifat kuantitatif dan mencakup semua bentuk interaksi antarlokus. Dalam pengertian genetika kuantitatif, epistasis (Fisher pertama kali menggunakan istilah epistacy) adalah interaksi antara dua atau lebih lokus yang mengendalikan sifat (kuantitatif) tertentu yang sama. Epistasis dalam pengertian Fisher bersifat statistik karena didefinisikan sebagai penyimpangan dari nilai harapan.
Grand Prix Detroit
Grand Prix Detroit merupakan salah satu balapan Formula 1 yang digelar di Amerika Serikat tepatnya di kota Detroit, Michigan. Balapan di sini digelar dari tahun 1982 sampai 1988 dengan menggunakan Sirkuit Jalan Raya Detroit. Usai F1 keluar dari Detroit di 1988, balapan GP Detroit berubah menjadi balapan IndyCar Detroit.
Aty Fathiyah
Aty Fathiyah Fachruddin adalah pemeran dan model Indonesia.
Grand Prix Detroit
Team Lotus dan McLaren menjadi tim yang paling banyak mencatatkan kemenangan di Detroit dengan masing-masing dua kemenangan.
Aty Fathiyah
Karier
Aty mengawali kariernya di dunia hiburan sebagai finalis dari ajang Miss Impian pada tahun 2005, yakni sebuah kontes kecantikan yang diperuntukkan bagi wanita berbobot besar.
Film televisi
<i> </i>
Walraven 2
Walraven 2 adalah sebuah pesawat awak tunggal kabin mesin kembar Hindia Belanda (sekarang Indonesia), yang dipesan oleh Khouw Khe Hien, dan dirancang oleh L.W. Walraven asal Belanda dan dibangun oleh personil Angkatan Udara Tentara Hindia Belanda pada 1930an.
Rancangan dan pengembangan
Walraven 2 adalah pesawat awak tunggal kabin sayap rendah dua kursi yang ditenagai oleh dua mesin radial Pobjoy Niagara. Memanfaatkan airfoil Göttingen 681, pesawat ini dirancang oleh Laurens Walraven, yang merupakan Kepala Insinyur Angkatan Udara Kerajaan Hindia Belanda, dengan spesifikasi Khouw Khe Hien, putra jutawan Khouw Kim Goan.
Sejarah operasional
Pesawat pertama terbang pada 4 Januari 1935. Menemukan pesawat yang memuaskan, Khouw yang lebih muda bermaksud untuk memulai sebuah perusahaan pesawat terbang di Hindia Belanda, untuk membangun pesawat yang dirancang oleh Walraven. Untuk mempromosikan usaha ini, Walraven 2 diterbangkan dari Indonesia ke Belanda dan kembali pada akhir tahun 1935. Saudara perempuannya, Khouw Keng Nio, juga membuat nama untuk dirinya sendiri dengan menjadi wanita pertama berkebangsaan Cina atau kolonial Indonesia yang menjadi pilot bersertifikat pada Maret 1936.
Giuliano Fattori
Giuliano Fattori adalah seorang politikus San Marino yang pernah menjabat sebagai Wali Kapten, yaitu salah satu dari dua kepala negara Republik San Marino yang dipilih setiap enam bulan. Ia menjabat dari tanggal 1 Oktober 1606 hingga 1 April 1607 bersama dengan Annibale Belluzzi.
Walraven 2
Sejarah operasional
Terlepas dari awal yang menjanjikan untuk usaha ini, Khouw Khe Hien tewas dalam kecelakaan udara pada Februari 1938, dan rencana pabrik menjadi sia-sia. Pesawat itu ditempatkan di gudang tak lama kemudian, dan dihancurkan pada 19 Februari 1942 dalam serangan udara Jepang.
Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan hasilkali dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai 1 \times 5 atau 5 \times 1, sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasilkalinya (2 \times 2), dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari teori bilangan karena melibatkan teorema dasar aritmetika: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal hingga urutannya.
Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan n, disebut pembagian percobaan. Metode ini menguji apakah n kelipatan dari suatu bilangan bulat antara 2 dan \sqrt{n}. Algoritma lebih cepatnya adalah uji primalitas Miller–Rabin, algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena, algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam waktu polinomial, namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga pada Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit.
Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan konjektur bilangan prima kembar, menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam aljabar abstrak, objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya elemen bilangan prima dan ideal bilangan prima.
Definisi dan contoh
Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika bilangan asli lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit. Dengan kata lain, n dikatakan bilangan prima jika terdapat n benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda. Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan n titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik. Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5; karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit. Pembagi bilangan asli n adalah bilangan asli yang membagi n sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika n memiliki pembagi lain, maka n bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri. Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: n adalah bilangan prima jika n lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan yang membagi n sama rata.
Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):
Tidak ada bilangan genap n yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah bilangan ganjil, dan bilangan tersebut disebut bilangan prima ganjil. Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.
Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan \mathbf{P} atau \mathbb{P}.
Sejarah
Papirus Matematika Rhind dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki perluasan pecahan Mesir dalam bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit. Namun, catatan sejarah pertama kali yang mempelajari bilangan prima dengan eksplisit berasal dari matematika Yunani kuno.. Elemen dari Euklides (300 SM) membuktikan bilangan prima tak-hingga dan teorema dasar aritmetika, dan menunjukkan cara membuat bilangan sempurna dari prima Mersenne. Penemuan Yunani lainnya yaitu tapis Eratosthenes masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.
Sekitar 1000 M, matematikawan Islam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan n yang membagi rata (n-1)!+1. Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya. Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna' al-Marrakushi mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. Liber Abaci (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan pembagian percobaan untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.
Pada 1640, Pierre de Fermat menyatakan teorema kecil Fermat tanpa bukti, yang kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler. Fermat juga menyelidiki primalitas dari bilangan Fermat 2^{2^n}+1, dan Marin Mersenne mempelajari prima Mersenne, bilangan prima dari bentuk 2^p-1 dengan p sendiri adalah bilangan prima. Dalam surat tahun 1742 untuk Euler, Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima. Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini disebut teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne. Ia memperkenalkan metode dari analisis matematis ke cabang ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan kedivergenan jumlah timbal-balik bilangan prima. Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika x menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga x asimptotik ke, dimana \log x melambangkan logaritma natural dari x. Versi lemah postulat Bertrand yang mengatakan bahwa untuk setiap n > 1, terdapat bilangan prima di antara n dan 2n, dibuktikan oleh Pafnuty Chebyshev pada tahun 1852. Gagasan Bernhard Riemann dalam makalahnya tahun 1859 tentang fungsi zeta menggambarkan sebuah garis besar dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan hipotesis Riemann masih belum terpecahkan, namun garis besar Riemann diselesaikan oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin pada tahun 1896, dan hasilnya saat ini dikenal sebagai teorema bilangan prima. Hasil penting lainnya pada abad ke-19 adalah teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, barisan aritmetika pasti memuat tak berhingga banyaknya bilangan prima.
Beberapa matematikawan telah melakukan uji primalitas untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode yang membatasi bentuk bilangan khusus di antaranya uji Pépin untuk bilangan Fermat (1877), teorema Proth (sekitar 1878), uji primalitas Lucas–Lehmer (berasal dari 1856), dan uji primalitas Lucas rampat.
Sejak tahun 1951, semua bilangan prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan uji ini pada komputer. Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui Great Internet Mersenne Prime Search dan proyek komputasi distribusi lainnya. Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa penerapan diluar matematika murni, sekitar tahun 1970-an ketika kriptografi kunci publik dan RSA sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.
Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan. Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan teorema Green-Tao (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 Yitang Zhang bahwa memiliki banyak uji celah prima ketakhinggaan.
Primalitas dari 1
Hampir seluruh matematikawan Yunani kuno bahkan tidak menganggap 1 sebagai bilangan, sehingga mereka tidak menganggap primalitas. Beberapa matematikawan pada kala ini juga menganggap bilangan prima adalah subpembagian bilangan ganjil, sehingga mereka menganggap 2 bukanlah bilangan prima. Namun, Euklides dan sebagian besar matematikawan Yunani lainnya menganggap 2 sebagai bilangan prima. Sebagian besar matematikawan Islam pada abad pertengahan mengikuti pandangan matematikawan Yunani bahwa 1 bukanlah sebuah bilangan. Pada masa abad pertengahan dan masa Reinsans, para matematikawan mulai memperlakukan 1 sebagai bilangan, dan ada pula dari mereka memperlakukan 1 sebagai bilangan prima pertama. Dalam suratnya untuk Leonhard Euler pada pertengahan abad ke-18, Christian Goldbach menganggap 1 sebagai bilangan prima ; namun Euler tidak. Pada abad ke-19, banyak para matematikawan masih menganggap 1 sebagai bilangan prima, dan yang memuat 1 sebagai daftar bilangan prima terus diterbitkan hingga tahun 1956.
Jika definisi bilangan prima mengatakan bahwa 1 adalah bilangan prima, maka banyak pernyataan yang melibatkan bilangan prima akan ditulis ulang dalam cara yang aneh. Sebagai contoh, teorema dasar aritmetika akan perlu ditulis ulang dalam bentuk faktorisasi menjadi bilangan prima lebih besar dari 1, karena setiap bilangan mempunyai banyak kelipatan dengan jumlah salinan dari 1 yang berbeda. Mirip dengan contoh sebelumnya, saringan Eratosthenes tidak akan bekerja dengan benar jika saringan tersebut memperlakukan 1 sebagai sebuah bilangan prima, karena saringan Eratosthenes akan mengeliminasi semua kelipatan 1 (yaitu semua bilangan lainnya) dan memberikan hasil hanya satu bilangan saja, yaitu 1. Ada beberapa sifat bilangan prima lebih teknis yang juga tidak berlaku untuk 1, sebagai contoh rumus fungsi phi Euler atau fungsi jumlah pembagi berbeda untuk bilangan prima dengan 1 yang didefinisikan sebagai bilangan prima. Pada awal abad ke-20, para matematikawan mulai menyetujui bahwa 1 tidak ditulis sebagai bilangan prima, melainkan dikategorikan istimewa sebagai "satuan".
Faktorisasi tunggal
Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut faktorisasi bilangan prima. Misalnya:
Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari teorema dasar aritmetika. Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda. Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma faktorisasi bilangan bulat, hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.
Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui lema Euklides: Jika p bilangan prima dan p membagi hasil kali ab (dimana a dan b bilangan bulat), maka p membagi a atau p membagi b (atau membagi keduanya). Sebaliknya, jika p memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya (p selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka p haruslah bilangan prima.
Ketakterhinggaan
Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima
tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno Euklides. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti analitik oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat, bukti Furstenberg melalui topologi umum, dan bukti elegan Kummer.
Bukti Euler menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima terhingga belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah 1. Jikalau terdiri dari bilangan prima, maka
Menurut teorema dasar aritmetika, N memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.
Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides. Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,
adalah bilangan komposit.
Rumus untuk bilangan prima
adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli n dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua. merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai A atau \mu.
Pertanyaan terbuka
Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan. Salah satu masalah Landau adalah konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap n lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga. Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: teorema Vinogradov yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima, teorema Chen yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan semiprima (hasil kali dari dua bilangan prima), serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima. Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut teori bilangan aditif.
Sifat-sifat analitik
Teori bilangan analitik adalah studi cabang teori bilangan yang berfokus mengenai fungsi kontinu, limit, deret takhingga, dan kaitan matematika tentang takhingga dan infinitesimal.
Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu masalah Basel. Masalah ini menanyakan berapakah nilai dari deret takhingga dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai nilai \zeta(2) (dimana \zeta adalah fungsi zeta Riemann). Fungsi ini sangat terkait erat dengan bilangan prima dan fungsi ini merupakan salah satu masalah yang belum terpecahkan yang sangat penting dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler memperlihatkan bahwa. Kebalikannya,, merupakan probabilitas batas yang menyatakan bahwa dua bilangan acak dipilih secara seragam dari kisaran relatif prima yang besar (relatif prima berarti tidak memiliki kesamaan faktor).
Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melalui teorema bilangan prima, namun rumus efisien bilangan prima ke-n belum diketahui. Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, dalam bentuk dasar, mengatakan bahwa polinomial linear
dengan a dan b saling relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima. Bentuk teorema yang lebih kuat mengatakan bahwa jumlah timbal balik dari nilai bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear yang berbeda dengan b yang sama kira-kira sama dengan perbandingan bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan bilangan prima dalam polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (untuk nilai-nilai bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.
Bukti analitik teorema Euklides
Euler memperlihatkan bahwa untuk suatu x bilangan real sembarang, terdapat bilangan prima p yang jumlahnya lebih besar dari x. Bukti tersebut memperlihatkan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Karena jika terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka jumlahnya akan mencapai nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melalui setiap x. Laju pertumbuhan dari jumlah ini digambarkan melalui teorema kedua Mertens. Bandingkan jumlah
yang tidak naik menuju takhingga ketika n menuju takhingga (lihat masalah Basel). Ini berarti, bilangan prima sering kali muncul daripada bilangan asli yang dikuadratkan meskipun kedua himpunan adalah takhingga. Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah timbal-balik bilangan prima kembar,
adalah terhingga. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan bilangan prima kembar, yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.
Jumlah bilangan prima di bawah batas tertentu
Fungsi penghitungan bilangan prima \pi(n) didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari n. Contohnya, \pi(11)=5, karena ada lima bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti algoritma Meissel–Lehmer dapat menghitung nilai eksak \pi(n) lebih cepat daripada menulis setiap bilangan prima sampai dengan n. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa \pi(n) asimtotik dengan. Teorema ini ditulis sebagai
Ini berarti bahwa rasio \pi(n) terhadap pecahan di ruas kanan mendekati 1 ketika n menuju takhingga. Teorema ini menyiratkan bahwa kemungkinan bilangan yang lebih kecil dari n yang dipilih secara acak adalah bilangan prima, kira-kira berbanding terbalik dengan jumlah digit n. Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-n sebanding dengan n\log n, dan demikian bahwa ukuran rata-rata dari celah bilangan prima sebanding dengan \log n. Pendekatan lebih akuratnya adalah \pi(n) sebanding dengan integral logaritmik Euler
Barisan aritmetika
Barisan aritmetika ialah barisan bilangan yang hingga maupun takhingga sehingga bilangan berurutan dalam barisan tersebut memiliki beda atau selisih yang sama. Selisih barisan aritmetika disebut modulus barisan. Misalnya,
adalah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh modulus. Contoh di atas, sisanya adalah 3. Karena modulus adalah 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan begitu pula untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, barisan tersebut memiliki satu bilangan prima, yakni 3. Pada umumnya, barisan takhingga
dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari satu ketika sisa a dan modulus q relatif prima. Jika a dan q relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima. Teorema Green–Tao memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika hingga panjang sembarang yang hanya terdiri dari bilangan prima.
Bilangan p-adik
Urutan p-adik \nu_p(n) dari sebuah bilangan bulat n adalah jumlah salinan dari p dalam faktorisasi prima dari n. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan p-adik dari pecahan m/n menjadi. Nilai absolut p-adik |q|_p dari sembarang bilangan rasional q kemudian didefinisikan sebagai. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut p-adik-nya akan membatalkan faktor p dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak p-adik-nya, nilai absolut p-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat p yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk medan lengkap, bilangan rasional dengan jarak p-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda.
Anggota bilangan prima dalam gelanggang
Gelanggang komutatif merupakan struktur aljabar dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi. Sebuah anggota p dari sebuah gelanggang R dikatakan bilangan prima jika p adalah bilangan taknol, tidak mempunyai invers perkalian (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah unit), dan memenuhi syarat berikut: jika p membagi hasil kali xy dari dua anggota R, maka p juga membagi setidaknya x ataupun y. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,
Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk domain faktorisasi tunggal.
Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah bilangan bulat Gauss, gelanggang dari bilangan kompleks berbentuk a+bi dimana i menyatakan satuan imajiner, a dan b merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai bilangan prima Gauss. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu 1+i dan 1-i. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss. Contoh tersebut merupakan akibat dari teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat, yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil p dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, p=x^2+y^2, dan demikian dapat difaktorkan sebagai, tepat ketika p kongruen dengan 1 mod 4.
Ideal prima
Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang (untuk bilangan bulat a dan b) angka 21 memiliki dua faktorisasi, tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang. Ideal prima yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam aljabar komutatif, teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noetherian sebagai perpotongan ideal prima yang merupakan generalisasi yang tepat dari prima kuasa.
Spektrum gelanggang adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut. Geometri aritmetika juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima ketika diangkat sebagai medan perluasan, masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan untuk penggunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat. Upaya awal untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada bilangan bulat siklotomi. Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.
Banyuanyar, Kalibaru, Banyuwangi
Pembagian wilayah
Desa ini terdiri dari 3 dusun, yaitu:
Polymastia lorum
Polymastia lorum adalah spesies spons yang tergolong dalam kelas Demospongiae. Spesies ini juga merupakan bagian dari kelas Demospongiae, filum Porifera, subregnum Parazoa, dan kingdom Animalia.
Seperti spons pada umumnya, spesies ini memiliki tubuh yang berpori dan permukaan yang keras seperti batu. Selain itu, Polymastia lorum juga dapat menyerap oksigen dari air melalui proses difusi.
Leone Pellicieri
Leone Pellicieri adalah seorang politikus San Marino yang pernah menjabat sebagai Wali Kapten, yaitu salah satu dari dua kepala negara Republik San Marino yang dipilih setiap enam bulan. Ia menjabat dari tanggal 1 April 1607 hingga 1 Oktober 1607 bersama dengan Lorenzo Martelli.
Rap untuk Rakyat
Album Rap Untuk Rakyat merupakan album studio kedua Ahli Fiqir yang dirilis pada tahun 2007, Album ini berisi 11 lagu dengan singel diantaranya "2 X 5" dan "Dia Datang". Ahli Fiqir yang merupakan sebuah grup musik hip-hop Melayu 3 negara (Malaysia, Indonesia dan Singapura). Grup musik ini berasal dari Singapura.
Pausanias dari Sparta
Pemerintahan pertamanya adalah sebagai minor setelah ayahandanya, Pleistoanax, untuk sementara digulingkan dan diasingkan setelah dituduh oleh Sparta dengan menerima suap, mungkin dari pemimpin Athena, Perikles, untuk mundur dari dataran Eleusina di Attika setelah memimpin Peloponnesos pasukan di sana mengikuti pemberontakan Euboia dan Megara dari kekaisaran Athena. Pada tahun 426 SM, Pleistosen dipanggil kembali dan dipulihkan sebagai raja Sparta Agiad dan memerintah sampai kematiannya pada tahun 409 SM.
Konstitusi Korea Selatan
Konstitusi Republik Korea atau UU Dasar Republik Korea adalah hukum dasar tertulis negara Korea Selatan. Diundangkan pada tanggal 17 Juli 1948 dan amendemen terakhir pada tanggal 29 Oktober 1987.
Pausanias dari Sparta
Setelah kemenangan Sparta atas Athena dalam Pertempuran Aegospotami pada tahun 405 SM, Sparta berada dalam posisi untuk akhirnya memaksa Athena untuk menyerah. Pausanias mengepung Athena sementara laksamana Sparta armada Lysander memblokade kota pelabuhan Piraeus. Tindakan ini secara efektif menutup rute gandum ke Athena melalui Hellespont, sehingga kelaparan Athena. Menyadari keseriusan situasi, negarawan Athena, Theramenes, mulai negosiasi dengan Lysander. Negosiasi ini memakan waktu tiga bulan, tetapi pada akhirnya Lysander setuju untuk berdamai di Piraeus. Kesepakatan dicapai untuk kapitulasi Athena dan penghentian Perang Peloponnesos pada tahun 404 SM.