Լեոնարդ_Էյլեր
Մաթեմատիկական անալիզ
Գիտության առջև Էյլերի գլխավոր նվաճումներից մեկը նրա «Անվերջ փոքրերի անալիզի նախաբան» մենախոսությունն է (1748)։ 1755 թվականին լույս տեսավ լրացուցիչ «Դիֆերենցիալ հաշվարկը», իսկ 1768—1770 թվականներին «Ինտեգրալ հաշիվի» եռահատորը։ Ընդհանուր առմամբ դա հիմնավորված, օրինակներով լավ պարզաբանված, մտածված տերմինաբանությամբ ու սիմվոլներով դասընթաց էր։ «Կարելի է համոզված ասել, որ այն ամենի ուղիղ կեսը, ինչը Էյլերի աշխատանքներում» (Նիկոլայ Լուզին)։ Էյլերը առաջինն է տվել ինտեգրման և դրա հետ օգտագործվող տեխնիկական հնարքների համակարգված տեսությունը։ Մասնավորապես, նա է հեղինակը ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրման դասական այն հնարքի, որը կատարվում է պարզ կոտորակների բաղդատման եղանակով և դիֆերենցիալ հավասարումների կամայական կարգի հաստատուն գործակցի լուծման մեթոդով։ Առաջին անգամ դուրս է բերել բազմապատիկ ինտեգրալը ։ Էյլերը մշտապես հատուկ ուշադրություն էր դարձնում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների մեթոդներին՝ որպես սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների, և մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները, բացահայտելով ու նկարագրելով ինտեգրվող դիֆերենցիալ հավասարումների կարևոր դասերը։ Շարադրել է Էյլերի «բեկյալների մեթոդը» (1768), որը իրենից ներկայացնում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համակարգ։ Միաժամանակ Ալեքսի Կլոդ Կլերոյի հետ Էյլերը դուրս բերեց գծային դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրման պայմանները կախված երկու կամ երեք փոփոխականներից(1739) ։ Ստացավ լուրջ արդյունքներ էլիպտիկ ֆունկցիաների տեսությունում, այդ թվում էլիպտիկ ինտեգրալների գումարման առաջին թեորեմները (1761)։ Առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց շատ փոփոխականներով ֆունկցիաների մաքսիմումներն ու մինիմումները։ e թիվը հայտնի էր նույնիսկ Ջոն Նեփյերի և Յակոբ Բեռնուլիի ժամանակներից, սակայն Էյլերը այս հաստատունի այնպիսի խորը ուսումնասիրություն կատարեց, որ այդ ժամանակվանից այն կրում է Էյլերի անունը։ Նրա կողմից ուսումնասիրված հաջորդ հաստատունը՝ Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է։ Ցուցչային ֆունկցիայի, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից տեսքը ևս Էյլերի վաստակն է, ինչպես նաև կոմպլեքս դեպքի համար նրանց սիմվոլներն ու ընդհանրացումները։ Բանաձևերը, որոնք դասագրքերում հաճախ անվանված են «Ռիման-Կոշի պայմաններ», առավել ճշգրիտ կլիներ անվանել «Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի-Էյլերի» պայմաններ ։ Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի հետ նա կիսում է վարիացիոն հաշվարկի հայտնագործման պատիվը, դուրս բերելով Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ընդհանուր վարիացիոն խնդրի համար։ 1744 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Կոր գծերի որոնման մեթոդներ...» տրակտատը, որը վարիացիոն հաշվարկի առաջին աշխատանքն էր (այլ բաներին զուգահեռ, այն պարունակում էր առաձգական կորերի տեսության և նյութերի դիմադրությունների առաջին համակարգված շարադրանքը )։ Էյլերը էականորեն առաջ քաշեց շարքերի տեսությունը և այն տարածեց կոմպլեքս բաժնի վրա, ստանալով կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական իմաստը արտահայտող հանրահայտ Էյլերի բանաձևը։ Մաթեմատիկական աշխարհի վրա մեծ ազդեցություն թողեցին Էյլերի կողմից առաջին անգամ գումարված շարքերը, այդ թվում մինչ իրեն ոչ մեկի չտրվող հակադարձ քառակուսիների շարքերը՝ Շարքերի միջոցով Էյլերը ուսումնասիրեց հանրահաշվորեն անարտահայտելի ֆունկցիաների (տրանսցենդենտ ֆունկցիաներ), օրինակ ինտեգրալային լոգարիթմը։ Նա (1729—1730) թվականներին հայտնագործեց, այժմ բազմաթիվ կիրառություններ ունեցող «Էյլերյան ինտեգրալները»՝ հատուկ ֆունկցիաները, որոնք գիտության մեջ են մտել որպես Էյլերի գամա-ֆունկցիա և բետա-ֆունկցիա։ Առաձգական թաղանթի տատանման խնդրի լուծման ժամանակ (Լիտավրի ձայնի բարձրության որոշման ժամանակ ծագած) 1764 թվականին Էյլերը առաջին անգամ ներմուծեց Բեսելի ֆունկցիաների գաղափարը կամայական բնական ինդեքսի համար ։ Ավելի ուշ հայտնված տեսակետից, Էյլերի գործողությունները անվերջ շարքերի հետ ոչ միշտ կարող են համարվել կորեկտ, բայց մաթեմատիկական ֆենոմենալ ինտուիցիան համարյա բոլոր դեպքերում նախանշում էր նրա համար ճշմարիտ արդյունք։ Դրա հետ մեկտեղ համարյա բոլոր կարևոր հարաբերություններում Էյլերի հասկացողությունը որոշում էր ժամանակը՝ օրինակ, նրա կողմից առաջարկված ցրված շարքերի ընդհանրացված գումարը և գործողությունները նրանց, հետ հիմք հանդիսացան այդ շարքերի ժամանակակաից տեսության համար, որը զարգացավ XIX դարեվերջ - XX դարեսկզբին ։