cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Շամքոր (քաղաք)
Աննենֆելդ անվանումով ընդգրկված է եղել Արևելյան Հայաստանի Ելիզավետպոլի նահանգի Ելիզավետպոլի գավառում ։
Պատմություն
Շամքորը հայտնի է 5-րդ դարից։ Պատմականորեն այն գտնվում էր Մեծ Հայքի Ուտիք աշխարհի Գարդման կամ Շակաշեն (ըստ տարբեր տվյալների) գավառների կազմում։ Թեև Շամքորն ի սկզբանե հայաբնակ քաղաք էր (և մնաց այդպիսին մինչև ուշ միջնադար), պատմության ընթացքում այն բազմիցս ասպատակվել է սկյութների, ալանների և այլ լեռնցիների կողմից, որոնց մի մասը բնակություն էր հաստատել քաղաքում կամ հարակից տարածքներում։ Արաբական արշավանքի ժամանակ, 652 թ. Շամքորը գրավեցին արաբները. քաղաքը հայտնվեց Շադդադյանների արաբական տիրապետության ներքո։
1195 թվականին հայ-վրացական միացյալ բանակը՝ Զաքարյաններ և Վահրամյաններ իշխանների հրամանատարության ներքո, ազատագրեց Շամքորը։ Քաղաքը միացվեց Գագի Վահրամյանների (Վահրամյան-Գագեցի) հայոց իշխանությանը։ Շամքորում տեղակայվեց Վահրամյանների իշխանության մաքսատուն-կամուրջը, որը հայտնի է Դրունք Հայոց անվանմամբ։
Շամքորը մնաց Վահրամյանների իշխանության կազմում մինչև թաթար-մոնղոլների 13-րդ դարի ավերիչ արշավանքները Հայքի վրա։ Թաթար-մոնղոլների կոտորածից ու թալանից հետո, Շամքորը կորցրեց իր նախկին փառքը և դարձավ գավառական ավան։
1826 թվականին տեղի ունեցած Շամքորի ճակատամարտում, որը գլխավորում էր ռուսական բանակի հայազգի գեներալ Վ. Մադաթովը, իրենց խիզախությամբ աչքի են ընկել հայկական աշխարհազորային ջոկատները։
Էդմունդ Հիլարի
Սըր Էդմունդ Պերսիվալ Հիլարի (Sir Edmund Percival Hillary, ), նորզելանդացի հետազոտող և ալպինիստ, Էվերեստի (Ջոմոլունգմա) առաջին նվաճողը (մայիսի 29, 1953 թ.` Տենցինգ Նորգեյի հետ միասին )։ Նեպալի «պատվավոր քաղաքացի»։ Ալպինիզմով սկսել է հետաքրքրվել դեռևս դպրոցական տարիներից, իսկ 1939 թվականին նվաճեց 1933 մետր բարձրություն ունեցող Օլիվյե նորզելանդական լեռը։ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի ժամանակ ծառայել է Նոր Զելանդիայի օդուժում։ 1951 թվականին մասնակցել է դեպի Էվերեստ հետախուզական արշավին։ 1957-1958 թվականներին Հիլարին Վիվիան Ֆուկսի հետ կտրել-անցել է Անտարկտիդան։ Մասնակցել է նաև դեպի Հյուսիսային բևեռ կազմակերպված արշավին։
Էվերեստի նվաճումից հետո Հիլարին իր կյանքի մեծ մասը նվիրել է արևելա-հիմալայան շերպ ժողովրդին օգնելուն։ Հիլարիի ջանքերի շնորհիվ Հիմալայների մեկուսացված վայրերում կառուցվեցին բազմաթիվ դպրոցներ և հիվանդանոցներ։
Էդմունդ Հիլարին վախճանվել է 2008 թվականի հունվարի 11-ին՝ 88 տարեկան հասակում ։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Նորզելանդացի ալպինիստներ Կատեգորիա:Նորզելանդացի ճանապարհորդներ Կատեգորիա:Պադմա Բհուշան շքանշանի ասպետներ Կատեգորիա:Time-ի վարկածով «Տարվա մարդ» ճանաչվածներ Կատեգորիա:Նոր Զելանդիայի քաղաքական գործիչներ Կատեգորիա:Նորզելանդացի հասարակական գործիչներ Կատեգորիա:Նորզելանդացի գրողներ Կատեգորիա:Կապիչի շքանշանի ասպետներ
Շարպեյ
Շարպեյ, ծագումով չինական որսորդական և պահապան շների ցեղատեսակ (հնագույն ժամանակաշրջանում նաև մարտական ), որոնց առանձնահատկություններն են անսովոր խորը ծալքերով մաշկը և կապտասև լեզուն։ Միջին չափի ակտիվ և ամուր կառուցվածքի այս շան տեսակը ունի մաշկի հավելյալ ծալքեր գլխի և ուսերի շրջանում, փոքրիկ ականջներ և հաստ դունչ։ 1978 թվականին գրանցվել է Գինեսի ռեկորդների գրքում, որպես այդ տարվա ամենահազվագյուտ շների տեսակ։
Ծագում
Այս շների ծագման մասին քիչ բան է հայտնի, ընդ որում փաստաթղթերի մեծ մասը, որոնք կարող էին բացահայտել ցեղատեսակի ծագումը, այլ գրքերի հետ մեկտեղ ոչնչացվել են կայսեր Ցին Շիխուանդի կողմից մ.թ.ա. 213 թվականին ։ Բայց կա երկու վարկած, ըստ որի շարպեյները առաջացել են կամ չաու-չաուներից, կամ հնագույն մաստիֆներից։ Այս մասին են խոսում անատոմիական նմանությունը և բնավորության որոշակի առանձնահատկությունները։ Ամեն դեպքում ԴՆԹ անալիզները ցույց են տալիս, որ այս ցեղատեսակը գոյություն անի ավելի քան 3000 տարի և հանդիսանում են այն չորս հիմնական պարզագույն ցեղատեսակներից մեկի հետնորդները, որոնցից առաջացել են բոլոր ժամանակակից շները ։
Հան դինաստիայի ժամանակաշրջան
Ամենայն հավանականությամբ շարպեյները դարեր շարունակ գոյություն են ունեցել Չինաստանի հարավային մարզերում։ Փաստերը վկայում են, որ ցեղատեսակը գոյություն է ունեցել ամենաուշը Հան դինաստիայի օրոք(մ.թ.ա. 202-220 թվականներ)։ Այս մասին են վկայում գերեզմանաքարերի քանդակները այս շան պատկերով։ Կավե քանդակները իրենցից ներկայացնում են կարճահասակ շներ, որոնք ունեն քառակուսի տեսք, կոր պոչ և խոժոռ հայացք։ Սակայն հստակ չի կարելի վստահեցնել այս պատկերների և շարպեյների նախահայրերի նույնությունը, քանի որ չինական արվեստը աչքի է ընկնում իր ոճականության բարձր աստիճանով, իսկ շները չեն դասվում չինացի նկարիչների սիրված օբյեկտների թվին։
Տեսակի մարտական բնավորության վարկածը
Վստահ կարելի է ասել, որ չինական շարպեյը կամ նրա նախահայրերից որևէ մեկը եղել է մարտական շուն։ Այս մասին են խոսում նրա մարմնի կառուցվածքը, հատկապես հզոր ծնոտը, որով կարող է բռնել և պահել հակառակորդին։ Ծակող մազածածկույթը պաշտպանում է շարպեյներին վնասվածքներից, քանի որ հակառակորդին տհաճ է պահել այն բերանում։ Ըստ պատմաբանների տեղեկությունների, տեղի գյուղացիները սիրել են կռվացնել իրենց շներին։ Սրանով տարված են եղել նաև ծովահենները և նավաստիները, որոնք իրենց ժամանակն են անցկացրել նավահանգիստներում։
Լեզուն
Շարպեյի լեզուն, քիմքը և լնդերը կապտասև են, (բացի շարպեյներից այսպիսի լեզու հանդիպում է նաև չաու-չաուների, սպիտակ արջերի և ընձուղտների մոտ)։ Ստանդարտ տեսակի մոտ հանդիպում է լեզվի հետևյալ գունավորումը. կապույտ (մանուշակագույն, կապտասև), նարդոսագույն, և կապույտ` վարդագույն պտերով ։
Պոչ
Շարպեյների պոչը հիմքում հաստ է և կլոր, ծայրը՝ սուր։ Այս տեսակի առանձնահատկություններից է պոչի բարձր դիրքը։ Այն պետք է պտտված լինի ճիշտ շրջանաձև և թեքված դեպի մեջք։
Գույն
Շարպեյներն ունեն մորթու լայն գունային գամմա, որնք բաժանվում են երկու խմբի։ Մի խմբին տիպիկ է սև պիգմենտացիան դիմակի կամ վզկապի տեսքով, սրանք լինում են սև, երկնագույն, մարմնագույն, կարմիր։ Մյուս խմբին հատուկ է սևի իսպառ բացակայությունը։ Սրանք էլ լինում են մարմնագույն, ծիրանագույն, կարմիր, շականակագույն։
Վարքագիծ և խառնվածք
Շարպեյները հանգիստ, անկախ, անկողմնապահ, ընտանիքին նվիրված շներ են։ Հասուն շները առանձնանում են զգուշավորությամբ և անվստահությամբ անծանոթների նկատմամբ։ Տեսողութունը մասամբ սահմանափակ է, կապված աչքերի խորադիր դրվածքի հետ, ինչի պատճառով էլ շարպեյները վախենում են կտրուկ շարժումներից։ Հաճախ նրանք դրսևորում են ագրեսիվ վրքագիծ այլ ցեղատեսակի շների հանդեպ, ինչը կանխելու համար հարկավոր է ձագերին վաղ հասակից սոցիալականացնել և վարժեցնել։
Վարժեցում
Հոգեբանության պրոֆեսոր Ստենլի Քորենի «Շների բանականություն» (The Intelligence of Dogs) գրքում, շարպեյները դասված են վարժեցմանը ենթարկվելու միջին կարողություններով շների շարքին, որն էլ նշանակում է, որ հարկավոր է 25-ից 40 կրկնում նոր հրաման սովորելու համար։ Իսկ այն որ այն կկատարվի առաջին անգամից կազմում է 50%։ Վարկանիշային ցուցակում շարպեյները զբաղեցնում են 51-րդ տեղը 80-ից։
Վերբովոե (գյուղ, Կազանկայի շրջան)
Վերբովոե (Вербове), գյուղ Ուկրաինայի Նիկոլաևի մարզի Կազանկայի շրջանում։ Հիմնադրվել է 1870 թվականին։
2001 թվականի տվյալներով Վերբովոե գյուղում բնակվում էր 80 մարդ։ Բնակավայրը զբաղեցնում է 0,346 կմ²։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ուկրաինայի Նիկոլաևի մարզի Կազանկայի շրջանի բնակավայրեր Կատեգորիա:Ուկրաինայի գյուղեր Կատեգորիա:1870 թվականին հիմնադրված բնակավայրեր
Սաննե
Սաննե (Saonnet), համայնք Ֆրանսիայի Ստորին Նորմանդիա մարզի Կալվադոս գավառում ։
Բնակչությունը 2008 թվականի դրությամբ կազմում է 210 մարդ, բնակչության խտությունը` 39.33 մարդ/կմ²։ Բնակավայրը զբաղեցնում է 5.34 կմ² տարածք։
Աշխարհագրություն
Գտնվում է Փարիզ քաղաքից 240 կմ արևմուտք, Կան քաղաքից` 39 կմ արևմուտք։
Բնակչություն
Բնակչության քանակը ըստ տարիների
Աղբյուրներ` Ֆրանսիայի սոցիոլոգիական գիտությունների բարձրագույն դպրոցի տվյալներ
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Ֆրանսիայի բնակավայրեր Կատեգորիա:Ֆրանսիայի համայնքներ
Աջայ Բհաթ
'''Աջայ Վ. Բհաթ''', հնդկական ծագմամբ ամերիկացի համակարգչային ճարտարապետ, ով սահմանեց և զարգացրեց լայնորեն օգտագործվող մի քանի տեխնոլոգիաներ, ներառյալ USB (Universal Serial Bus), AGP (Accelerated Graphics Port), PCI Express, Պլատֆորմային Էներգիայի Կառավարման ճարտարապետություն և չիպսետի տարբեր բարելավումներ։
Կենսագրություն
Հնդկաստանի Բարոդա քաղաքի Մահարաջա Սայաջիրաո համալսարանն ավարտելուց հետո Բհաթը մագիստրոսի կոչում է ստացել ԱՄՆ-ի Նյու Յորքի Քաղաքային համալսարանում։ 1990-ին Բհաթը միացավ Intel-ին` որպես Folsom չիպսետների ճարտարապետության անձնակազմի ավագ ճարտարապետ։ Նա ունի հարյուր երեսուն երկու ԱՄՆ և միջազգային արտոնագրեր, և մի քանի այլ փաստաթղթեր, որոնք ներկայացնում են տարբեր փուլեր։ 1998, 2003 և 2004 թվականներին Բհաթին առաջարկվեց մասնակցելու Միացյալ Նահանգների և Ասիայի առաջատար համալսարաններում անցկացվող «Տարբերակված դասախոսությունների շարքին»։ Նա 2002 թվականին PCI Express-ի ճշգրտումների մշակման գործում ներդրած ավանդի համար արժանացել է «Գերազանցության մրցանակ» պարգևին։
Intel-ի I / O գլխավոր ճարտարապետը, որը պատասխանատու է հարթակի և I / O- ի համար, փոխկապակցում է ուղղությունները, Բհաթը նաև առաջնորդում է հաջորդ սերնդի հաճախորդների համար նախատեսված Պլատֆորմի Ճարտարապետության սահմանումն ու զարգացումը։
Intel-ի անդամներն ընտրվում են իրենց տեխնիկական ղեկավարության, ընկերության և արդյունաբերության մեջ մեծ ներդրման համար։
2009 թվականի հոկտեմբերի 9-ին Քոնան Օ'Բրայենի մասնակցությամբ The Tonight Show-ն կատարեց կատակերգական մի համար, որում նկարահանվեց Բհաթի Intel կազմակերպությունը և որտեղ կրկնօրինակվեցին Intel-ի «Rockstar» գովազդները ։ Աջայ Բհաթը ներկայացվեց GQ India-ի 2010 թ. հուլիսի համարում` որպես «50 համընդհանուր ամենաազդեցիկ հնդիկներից» մեկը։
2013 թվականի ապրիլին Լոնդոնի Ասիական մրցանակաբաշխության ժամանակ արժանացավ մրցանակի՝  Գիտության և Տեխնոլոգիայի բնագավառում իր ակնառու նվաճումների համար ։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ամերիկացի ճարտարագետներ Կատեգորիա:Ամերիկացի գյուտարարներ
Օլենինո (գյուղ, Օկուլովսկի շրջան)
Բնակչությունը 2006 թվականին գրանցված տվյալներով կազմում էր 5 մարդ։
Ստրիգի
Ստրիգի (Стрыги), գյուղ Ռուսաստանի Սմոլենսկի մարզի Սմոլենսկի շրջանի կազմում։
Բնակչությունը 2007 թվականին գրանցված տվյալներով կազմում էր 19 մարդ։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ռուսաստանի գյուղեր Կատեգորիա:Ռուսաստանի Սմոլենսկի մարզի Սմոլենսկի շրջանի բնակավայրեր
Ծայրահեղ աջերը ժամանակակից Գերմանիայում
Ծայրահեղ աջերը ժամանակակից Գերմանիայում, նրանք Գերմանիայի Դաշնային Հանրապետության ժամանակակից ծայրահեղ աջ արմատական և նեոնացիստական կուսակցությունների անդամներ են։
Հետպատերազմյան առաջին տարիներ
Չնայած Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո ապազգայնացմանը, արդեն 1945 թվականի վերջին և 1946 թվականի սկզբին Արևմտյան Գերմանիայում սկսեցին ձևավորվել ռևանշիստական նացիստական կազմակերպություններ, որոնք ցանկանում էին իշխանության գալ և ռևանշ վերցնել Երկրորդ համաշխարհային պատերազմում կրած պարտության համար։ 1946 թվականին հիմնադրվել է Գերմանական Պահպանողական կուսակցությունը՝ գերմանական աջ կուսակցությունը (առաջնորդներ՝ Ֆրանց Յոզեֆ Զոնթագ, Վիլհելմ Եգեր, Ադոլֆ Ֆոն Թադդեն), որը 1950 թվականին լուծարվել է, իսկ դրա փոխարեն հայտնվել է գերմանական ռայխսպարտիան։ Հետագայում հայտնվեցին Սոցիալիստական ռեյխսպուսկուսը (Օտտո-Էռնստ Ռյոմեր), Գերմանական սոցիալական միությունը, Գերմանական Ազատության կուսակցությունը (Հայնրիխ Կունստման, Օսկար Լուց)։ Ընդունված է ծայրահեղ աջերի շարքին դասել նաև Գերմանական երիտասարդության միությունը (Պաուլ Լյութ)՝ չնայած նեոնացիզմից հեռու մնալուն և նեոնացիստական կազմակերպությունների քննադատությանը։
Արևմտյան Գերմանիայի կուսակցություններ և ժամանակակից Գերմանիայի կուսակցություններ
1970-ականներին սկսեցին հայտնվել աջ արմատական հայացքներ ունեցող այլ կուսակցություններ։ Ակտիվ էին Ազգային սոցիալիստների գործողությունների ճակատը/Միխայել Կյունենի ազգային ակտիվիստները (արգելված է 1983 թվականից), Գերմանիայի Ժողովրդական սոցիալիստական շարժումը/Աշխատանքի կուսակցությունը (արգելված է 1982 թվականից) և Ֆրիդելմ Բուսսեի ազատ գերմանական աշխատավորական կուսակցությունը, Մայնոլֆ Շոնբորնի Ազգայնական ճակատը (արգելված է 1992 թվականից)։ 1980-ականների վերջին և 1990-ականների սկզբին նեոնացիստական կուսակցությունների թիվը կտրուկ բարձրացավ. այն ժամանակ գոյություն ունեցող Գյունթեր Դեկկերտի Ազգային դեմոկրատական կուսակցությունը և Ֆրանց Շենհուբերի Հանրապետական կուսակցությունը միացան Գերհարդ Ֆրայի գերմանական ժողովրդական միությանը (1987)։
Գերմանիայի նացիոնալ-դեմոկրատական կուսակցություն և Գերմանիայի ժողովրդական միություն
Ամենահաջողակ կուսակցությունը Գերմանիայի նացիոնալ-դեմոկրատական կուսակցությունն էր, որը 2004 թվականին Սաքսոնիայում հավաքել էր ընտրողների ձայների 9,2 %-ը, իսկ 2005 թվականի ընտրություններում ամբողջ Գերմանիայում հավաքել էր 1,6 %։ 2006 թվականին ԱԺԿ-ն հավաքեց ձայների 7,3 %-ը Մեքլենբուրգի և Արևմտյան Պոմերանիայի ընտրություններում և ստացավ լանդտագում ներկայացվածության իրավունք ։ 2004 թվականին կուսակցությունում ընդգրկված էր 5300 մարդ, իսկ 2006 թվականին թիվը հասել է 7000-ի։ Գերմանիայի ժողովրդական միությունը բաղկացած էր 8 ու կես հազար մարդուց։ 2011 թվականի հունվարի 1-ից Գերմանիայի ժողովրդական միությունը միավորվեց Գերմանիայի նացիոնալ-դեմոկրատական կուսակցության հետ։
Գործունեություն
2000-ականների սկզբին նեոնացիստները սկսեցին ամենամյա ցույցեր անցկացնել փետրվարի 13-ին՝ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմում Դրեզդենի ռմբակոծման օրը։ 2009 թվականին 6000 ՆՍ սափրագլուխներ հավաքվել էին ցույցի` ի հիշատակ զոհված խաղաղ բնակիչների։ Ոստիկանները չհամարձակվեցին բերման ենթարկել ցուցարարներից որևէ մեկին։ Միևնույն ժամանակ, Դրեզդենում 15000 մարդ իր ցույցն է անցկացրել նեոնացիզմի դեմ՝ բոլորովին այլ կերպ հարգելով զոհված խաղաղ բնակիչների հիշատակը ։ Ազգային դեմոկրատական ​​կուսակցության հետ մեկտեղ Գերմանիայում ուլտրաաջ շարժման հիմնական կառույցը Ազատ գործընկերությունն է, որի առանցքային դեմքերն են Քրիստիան Վորչը, Շտեֆեն Հուպկան, Թոմաս Վուլֆը։
Գաղափարախոսություն
Ծայրահեղ աջերի հիմնական գաղափարներն են պաշտպանել էթնիկ գերմանացիների իրավունքները և պայքարել Գերմանիայի իսլամացման դեմ ցանկացած ձևով. սկսած աֆրիկյան և ասիական երկրներից դեպի Գերմանիա միգրացիայի սահմանափակումից մինչև ամբողջական արտաքսում և այդ երկրների հետ առևտրի կրճատում։ Ծայրահեղ աջերը քննադատում են գերմանական տնտեսության բազմաթիվ դրույթներ՝ չնայած Եվրոպայում ՀՆԱ-ի առումով Գերմանիայի 3-րդ տեղում լինելուն. Նրանք, մասնավորապես, դատապարտում են միգրանտների կողմից ակտիվորեն կիրառվող և գերմանացիների համար չափազանց անշահավետ «վարձու աշխատողներ» (գերմ.՝ Leiharbeiter) վարձելու սկզբունքը, բարձրացնելով կենսաթոշակային տարիքը և մեծ գումարներ հատկացնելով փախստականների պահպանմանը ։
Արտաքին քաղաքականության առումով ծայրահեղ աջերը չեն աջակցում Գերմանիայի անդամակցությանը Եվրամիությանն ու ՆԱՏՕ-ին, քանի որ կարծում են, որ Գերմանիան չպետք է պայքարի հանուն ԱՄՆ-ի շահերի։ Ուլտրաաջերի առանցքային պահանջներից է Արևելյան Եվրոպայից գերմանացիների վտարումը որպես ցեղասպանություն ճանաչելը, ինչպես նաև բռնագրավված ողջ ունեցվածքը վտարված գերմանացիներին և նրանց ժառանգներին անհապաղ վերադարձնելը։ Ուլտրաաջերը նաև հանդես է գալիս Ռուսաստանի հետ հարաբերությունների հետագա զարգացման օգտին՝ որպես Գերմանիայի կարևորագույն ռազմավարական գործընկերոջ և նրան անվանում են շատ ավելի եվրոպական երկիր, քան Իսրայելը կամ Թուրքիան ։
Հանցագործություններ
Ըստ վիճակագրության` 1991 թվականին ռասայական կամ ազգային ատելության դրդապատճառներով 849 հանցագործություն է եղել, իսկ 1992 թվականին՝ 1488 նման հանցագործություն, և գրեթե բոլորը կատարվել են Գերմանիայի արևելյան հատվածում։ 1992 թվականից ի վեր նման հանցագործությունների թիվը նվազել է, սակայն վերջին տարիներին նեոնացիստների ակտիվությունը կրկին կտրուկ աճել է։ Վերջին 4 տասնամյակում նեոնացիստների զոհ է դարձել առնվազն 17 մարդ ։ Բացի սպանությունից և մարմնական վնասվածք հասցնելուց, նեոնացիստները նաև մի տեսակ խուլիգանական քարոզչություն են իրականացնում՝ 2008 թվականին Լյոկնիցում նրանք սվաստիկայով ներկել են Լեհաստանի քաղաքացիներին պատկանող ինը մեքենա ։
Պայքար ծայրահեղ աջերի դեմ
Նացիզմի քարոզչությունն արգելված է Գերմանիայի քրեական օրենսգրքի 86ա կետով. Նացիստական ​​խորհրդանիշների տարածումը պատժվում է տուգանքով կամ ազատազրկմամբ՝ առավելագույնը երեք տարի ժամկետով։ Սակայն ժամանակակից Գերմանիայում այս օրենքը գրեթե չի հարգվում և խախտվում է։ Այսպիսով, միայն 2003 թվականին արգելվեց հանցավոր կազմակերպություն ճանաչված Landser նեոնացիստական ​​ռոք խմբի գործունեությունը։ Սակայն նրանց ձայնասկավառակները դեռ վաճառվում են ԱՄՆ-ում և ԵՄ երկրներում, իսկ տեսահոլովակները ներբեռնվում են համացանցից։ Նեոնացիզմը քարոզող կայքերը չի հաջողվում փակել. բոլոր սերվերները գտնվում են ԱՄՆ-ում և Կանադայում, որտեղ ծայրահեղ աջ կազմակերպությունների մասին օրենքներն այնքան էլ ուժեղ չեն։
Ներքին գործերի նախարար Վոլֆգանգ Շոյբլեն մի անգամ անձամբ բանավեճի մեջ մտավ «Բնիկ և հավատարիմ գերմանացի երիտասարդություն» շարժման առաջնորդների հետ, որը զբաղվում էր երեխաներին և դեռահասներին նեոնացիստական ​​ոգով դաստիարակելով՝ նրանց սովորեցնելով հակասեմիտիզմ և ռասիզմ։ Շոյբլեն դատապարտեց այս շարժումը և առաջնորդներին մեղադրեց երեխաների նկատմամբ դաժան վերաբերմունքի և սխալ դաստիարակության մեջ։ Ի պատասխան սրան՝ կազմակերպության ղեկավարները սկսեցին համոզել, որ իրենք երեխաներին միայն սովորեցնում են սիրել շրջակա միջավայրը, հասարակությունը և հայրենի երկիրը։ Բանը հասավ նրան, որ հակասություններին միջամտեց Ազգային դեմոկրատական ​​կուսակցությունը ։ Մեկ այլ սկանդալ էր NPD-ի առաջնորդ Ուդո Ֆոյգթի խոսքերը, ով վիրավորական արտահայտություններ է արել մոր կողմից նիգերիացի, հոր կողմից գերմանացի ֆուտբոլիստ Պատրիկ Օվումելի հասցեին։ 2008 թվականի մարտի 13-ին Ֆոյգթը ձերբակալվել է, իսկ 2009 թվականին դատարանը նրան դատապարտել է 7 ամսվա պայմանական ազատազրկման և 2000 եվրո տուգանքի ։
Նմանատիպ միջադեպեր տեղի են ունենում Բունդեսվերում. տարին առնվազն 50 անգամ զինվորները օգտագործում են նացիստական ​​ողջույնը ։
Ծայրահեղ աջերի պաշտպանություն
Չնայած նման միջոցառումներին, կան ուլտրաաջերի հայտնի պաշտպաններ։ Այսպես, պատմաբան Վալտեր Լակյորն իր «Ֆաշիզմ. անցյալ, ներկա, ապագա» գրքում գրել է, որ Գերմանիայի Ազգային դեմոկրատական ​​կուսակցությունը չի համարվում նեոնացիստ ։ 2004 թվականի Սաքսոնիայի Լանդտագի ընտրությունները հաստատեցին Լակյորի խոսքերը. աջակցություն է տրամադրվել ընտրողների 9,1%-ի կողմից և օգնել են Ազգային դեմոկրատներին մտնել Լանդտագ ։ Մյուս կուսակցությունները որոշեցին չդիմել NPD Landtags-ից և դրա արգելքից դուրս մնալու համար։ Մեքլենբուրգում և Արևմտյան Պոմերանիայում 2 տարի անց Ազգային դեմոկրատները ընտրություններում ստացել են ձայների 7,3%-ը և վեց տեղ Լանդտագում։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Գերմանիայի հասարակություն Կատեգորիա:Գերմանիայի քաղաքական շարժումներ Կատեգորիա:Հակասեմականությունը Գերմանիայում Կատեգորիա:Գերմանիայի կուսակցություններ Կատեգորիա:Գերմանիայի քաղաքականություն Կատեգորիա:Նեոֆաշիզմ
Շերնակ
Եղել է հայաբնակ մինչև 1914 թվականը ։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Արևմտյան Հայաստանի գյուղեր Կատեգորիա:Թուրքիայի քրդաբնակ բնակավայրեր Կատեգորիա:Շերնակի մարզի բնակավայրեր
Կենոշա
Կենոշա (Kenosha), քաղաք ԱՄՆ-ի հյուսիսային մասում, Վիսկոնսին նահանգում։ Քաղաք- նավահանգիստը գտնվում է Միչիգան լճի ափին։ 2009 թվականի տվյալներով քաղաքի բնակչությունը կազմում է 97 856 մարդ։ Այն իր բնակչությամբ 4-րդն է Վիսկոնսին նահանգում։ Կենոշայում են ծնվել Օրսոն Ուելսը, Մարկ Ռուֆֆալոն և Դոնա Ամիչեն։ Քաղաքը բաժանված է 3 շրջանների և 21 բորոների։
Հղումներ
Կատեգորիա:ԱՄՆ-ի քաղաքներ Կատեգորիա:1835 թվականին հիմնադրված բնակավայրեր
Աստիճան (հանրահաշիվ)
[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|Տարբեր b հիմքերի համար
y = bx
ֆունկցիայի գրաֆիկ. ,, և
Բոլոր կորերը անցնում են
(0, 1)
կետով, քանի որ զրոյից տարբեր կամայական թվի 0 աստիճանը 1 է։
x = 1
կետում y-ի արժեքը հավասար է հիմքին, քանի որ կամայական թվի 1 աստիճանը հավասար է ինքն իրեն։]]
Աստիճան, մաթեմատիկական գործողություն, գրվում է b^n, որտեղ b թիվը հիմքն է իսկ n-ը՝ աստիճանացույցը կամ ցուցիչը։ Երբ n-ը դրական ամբողջ թիվ է, աստիճան բարձրացնելը համապատասխանում է հիմքի կրկնվող (n անգամ) բազմապատկմանը, այսինքն՝ b^n թիվը հավասար է
b
հիմքի n արտադրյալին.
Ցուցիչը սովորաբար գրվում է հիմքի աջ վերտողում։ Այդ դեպքում b^n արտահայտությունը կարդում են «b-ն բարձրացրած n աստիճանի» կամ «b-ի n աստիճան»։
Կամայական m և n դրական ամբողջ թվերի համար ճիշտ է նույնությունը։ Այս հատկությունը ոչ բնական ամբողջ ցուցիչների վրա տարածելու համար b^0-ը սահմանում են 1 և b^{-n}-ը, որտեղ n-ը դրական ամբողջ թիվ է իսկ b-ն՝ զրոյից տարբեր կամայական թիվ, որպես ։ Մասնավորապես՝ b^{-1} հավասար է \frac{1}{b}։
Աստիճանի սահմանումը կարելի է ընդլայնել կամայական իրական կամ կոմպլեքս ցուցչի համար։ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանը կարելի է սահմանել տարբեր հանրահաշվական կառույցների, այդ թվում մատրիցների համար։
Աստիճանը լայնորեն կիրառվում է տարբեր ոլորտներում, այդ թվում՝ տնտեսագիտություն, կենսաբանություն, քիմիա, ֆիզիկա և ինֆորմատիկա, այնպիսի կիրառություններով ինչպիսիք են՝ բարդ շահատոկոս, բնակչության աճ, քիմիական կինետիկա, ալիքների վարք և ծածկագիտություն։
Նշանակման պատմություն
Հետևելով Հիպոկրատ Քիոսացուն ՝ հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը աստիճան եզրը օգտագործում էր հատվածի քառակուսու համար ։ Արքիմեդեսը բացահայտել և ապացուցել է ցուցիչների կանոնը, որը անհրաժեշտ է
10
-ի աստիճանների հետ աշխատելու համար։ Պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին 9-րդ դարում mal եզրը օգտագործում էր քառակուսու համար, իսկ kahb-ը՝ խորանարդի, ինչի պատճառով հետագայի (սկած 15-րդ դարից) իսլամական մաթեմատիկոսները դրանք համապատասխանաբար նշանակում էին m և k տառերով։
16-րդ դարում Յոսթ Բուրգին ցուցիչների համար օգտագործում էր հռոմեական թվերը ։
17-րդ դարի սկզբին Ռենե Դեկարտն իր Երկրաչափություն աշխատության առաջին գրքում ներմուծել է աստիճանի ժամանակակից նշանակումը ։
Որոշ մաթեմատիկոսներ (օրինակ՝ Իսահակ Նյուտոնը) աստիճան օգտագործել են միայն երկուսից մեծ ցուցիչների համար՝ նախընտրելով թվի քառակուսին կրկնվող արտադրյալի տեսքով գրել։ Այսինքն, բազմանդամները նրանք գրում էին տեսքով։
1748 թվականին Լեոնարդ Էյլերը գրում է. «Պատկերացրեք աստիճանները, որտեղ ցուցիչը փոփոխական է։ Պարզ է, որ այս տեսակի մեծությունները հանրահաշվական ֆունկցիաներ չեն, քանի որ սրանցում ցուցիչը պետք է հաստատուն լինի» ։ Այսպիսով, Էյլերը ներկայացրեց տրանսցենդենտ ֆունկցիաները՝ հիմք դնելով բնական լոգարիթմի՝ որպես ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա ներմուծմանը (
f(x) = ex
Ամբողջ ցուցիչներ
Ամբողջ ցուցիչով աստիճանը կարելի է սահմանել տարրական թվաբանական գործողություններով։
Դրական ցուցիչ
Դրական ամբողջ ցուցիչով աստիճանը կարելի է խիստ սահմանել միայն հետևյալ նախնական պայմանով ՝ և անդրադարձ առնչությամբ
Բազմապատկման զուգորդականությունից հետևում է, որ կամայական դրական ամբողջ m և n թվերի համար՝
Զրո ցուցիչ
Զրոյից տարբեր կամայական թվի
0
աստիճանը հավասար է
-ի.
Այս հատկության մեկնաբանություններից մեկը դատարկ արտադրյալն է։
00
արտահայտության արժեքի ընտրությունը կամ որևէ արժեք տալու հարցը կարող է կախված լինել համատեքստից
Բացասական ցուցիչ
Հետևյալ նույնությունը ճիշտ է կամայական ամբողջ n և զրոյից տարբեր b թվերի համար՝ Զրոյի բացասական աստիճանը սահմանված չէ, բայց որոշ դեպքերում այն մեկնաբանվում է որպես անվերջություն (
∞
)։
Որպեսզի այս նույնությունը ստացվի բացասական թվերի համար ևս, զրոյից տարբեր b և դրական n թվի համար վերոհիշյալ անդրադարձ առնչությունը պետք է ձևափոխել հետևյալ կերպ՝
Ապա այս առնչությունը պետք է սահմանել ճիշտ բոլոր ամբողջ n և զրոյից տարբեր b թվերի համար, ինչից հետևում է, որ
Առհասարակ, զրոյից տարբեր կամայական b և ոչ բացասական ամբողջ n թվերի համար կունենանք՝
Նույնություններ և հատկություններ
Ի տարբերություն գումարման և բազմապատկման՝ • Աստիճանը կոմուտատիվ չէ։ Օրինակ՝ ,
• Աստիճանը զուգորդական չէ։ Օրինակ՝, բայց ։ Փակագծերի բացակայության դեպքում վերտողի նշանակման գործողության կարգը վերևից ներքև է (կամ «աջ» զուգորդական), ոչ թե ներքևից վերև  (կամ «ձախ» զուգորդական)։ Այսինքն, որը, ընդհանուր առմամբ, տարբեր է
Գումարի աստիճան
Գումարի աստիճանը սովորաբար կարելի է հաշվել Նյուտոնի երկանդամի միջոցով, Սակայն, այս բանաձևը ճիշտ է միայն, երբ գումարելիները պատկանում են կոմուտատիվ հանրահաշվական կառույցի կամ առնվազն ab=ba։ Այլապես, օրինակ երբ a-ն և b-ն նույն չափի քառակուսի մատրիցներ են, այս բանաձևը չի կարող կիրառվել։ Սրանից հետևում է, որ հաշվողական հանրահաշվում ամբողջ ցուցիչների հետ կապ ունեցող շատ ալգորիթմներ պետք է փոփոխվեն, եթե հիմերը կոմուտատիվ չեն։ Հաշվողական հանրահաշվի որոշ ընդհանուր համակարգեր ոչ կոմուտատիվ հիմքով աստիճանի համար կիրառում են այլ նշանակում (հաճախ
^
-ի փոխարեն
^^
), որը կոչվում է ոչ կոմուտատիվ աստիճան։
Կոմբինատոր մեկնաբանում
Ոչ բացասական ամբողջ n և m թվերի դեպքում n^m արժեքը համապատասխանում է m տարր ունեցող բազմությունից դեպի n տարր ունեցող բազմություն գնացող ֆունկցիաների քանակին։ Նման ֆունկցիաները կարելի է ներկայացնել որպես m-շարաններ (կորտեժ) n տարր ունեցող բազմությունից (կամ m տառ ունեցող բառեր n տառ ունեցող այբուբենից)։ Հետևյալ աղյուսակում տրված է m և n թվերի որոշակի արժեքների օրինակներ.
!Բոլոր m-շարանները
բազմության տարրերից
10-ի աստիճան
Տասնորդական հաշվման համակարգերում
10
-ի ամբողջ ցուցիչով աստիճանները գրվում են որպես
1
= 1,000
և
։
[[Տասը|
]] հիմքով աստիճանները օգտագործվում են գիտական նշանակման մեջ՝ չափազանց մեծ կամ չափազանց փոքր թվերը նշանակելու համար։ Օրինակ՝ (Լույսի արագությունը վակուումում), որը մոտարկվում է -ի։
Տասնորդական նախածանցները, որոնք նույնպես օգտագործվում են չափազանց փոքր կամ չափազանց մեծ թվերը նշանակելու համար, հիմնված են
հիմքով աստիճանների վրա։ Օրինակ՝ կիլոն նշանակում է
, հետևաբար մեկ կիլոմետրը հավասար է 1,000 մետրի։
2-ի աստիճան
Երկու հիմքով առաջին մի քանի բացասական աստիճանները լայնորեն կիրառվում են և ունեն հատուկ անուններ, օրինակ՝ կես և քառորդ։
Բազմությունների տեսությունում
n
տարր ունեցող բազմության բոլոր ենթաբազմությունների քանակը հավասար է
2n
-ի։
Երկու հիմքով և ամբողջ ցուցիչով աստիճանները կարևոր նշանակություն ունեն ինֆորմատիկայում։
-բիթ երկուական ամբողջ թվի բոլոր հնարավոր արժեքները հավասար է
. օրինակ՝ բայթը ընդունում է
28 = 256
տարբեր արժեք։ Հաշվարկման երկուական համակարգում կամայական թիվ արտահայտվում է 2-ի աստիճանների տեսքով, որը նշանակելու համար սովորաբար օգտագործվում է
և
1
թվերի հաջորդականություն և բինար կետ. կետից աջ գտնվող
-երը դիտարկվում են որպես երկուսի բացասական աստիճան (ցուցիչը համընկնում է կետից հետո 1-ի դիրքի հետ), իսկ կետից ձախ գտնվող
-երը՝ որպես երկուսի դրական աստիճան (ցուցիչը համընկնում է մեկի դիրքի հետ, որտեղ հաշվարկը սկսվում է զրոյից։ Թիվը հավասար է այս աստիճանների գումարին։ Օրինակ՝
1101.101
թիվը հավասար է
1-ի աստիճան
Մեկ հիմքով կամայական աստիճան հավասար է մեկի.
1n = 1
։
0-ի աստիճան
Դրական n ցուցիչի դեպքում (
n > 0
) զրոյի n աստիճանը հավասար է զրոյի.
։
Բացասական n ցուցիչի դեպքում (
) զրոյի n աստիճանը
0n
որոշված չէ, քանի որ այն պետք է հավասար լինի -ի՝ ըստ սահմանման։
00
արտահայտությունը կամ սահմանվում է որպես 1, կամ չի սահմանվում (տե՛ս զրոյի զրո աստիճան)։
-1-ի աստիճան
Զույգ
n
(−1)n = 1
։
Կենտ
Այս հանգամանքը
−1
թվի աստիճանները օգտակար է դարձնում նշանափոխ հաջորդականությունների նշանակման համար։
Մեծ ցուցիչներ
Սա կարելի է կարդալ որպես «b թվի n աստիճանը ձգտում է +∞-ի, երբ n-ը ձգտում է անվերջության, եթե b-ն մեծ է մեկից»։
Բացարձակ արժեքով մեկից փոքր թվի աստիճանը ձգտում է զրոյի, երբ ցուցիչը ձգտում է անվերջության.
Մեկի կամայական աստիճան հավասար է մեկի.
թվի համար, եթե b = 1։
–1
-ի աստիճանները փոխվում են
1
և
թվերի միջև, երբ
n
-ը փոխվում է կենտ և զույգ թվերի միջև, հետևաբար սահմանը գոյություն չունի, երբ
-ը ձգտում է անվերջության։
Եթե b < -1, b^n-ը փոխվում է ավելի ու ավելի մեծ դրական և բացասական թվերի միջև, երբ
-ը փոխվում է կենտ և զույգ թվերի միջև (ձգտվելով անվերջության), հետևաբար այս սահմանը նույնպես գոյություն չունի։
Եթե հիմքը ձգտում է մեկի, իսկ ցուցիչը՝ անվերջության, վերևում նշված պայմանները միշտ չէ, որ գործում են։ Օրինակ՝
Այլ սահմանների, մասնավորապես անորոշ տեսք ունեցող սահմանների մասին ավելի ավելի մանրամասն նկարագրությունը բաժնում։
Աստիճանային ֆունկցիաներ
f(x) = cx^n տեսքի իրական ֆունկցիաները, որտեղ c \ne 0, կոչվում են աստիճանային ֆունկցիաներ։ Եթե n-ը ամբողջ թիվ է և n \ge 1, գոյություն ունեն երկու հիմնական ընտանիքներ. զույգ և կենտ n-երի համար։ Ընդհանուր առմամբ, եթե c > 0 և n-ը զույգ է, f(x) = cx^n ֆունկցիան կձգտի դրական անվերջության, երբ x-ը ձգտի դրական կամ բացասական անվերջության։ Զույգ աստիճանային ֆունկցիաների գրաֆիկն ունի y=cx^2 ֆունկցիայի գրաֆիկին նման տեսք ։ Նման համաչափություն ունեցող ֆունկցիաները կոչվում են զույգ ֆունկցիաներ։
Կենտ n ցուցիչի դեպքում f(x) ֆունկցիայի ասիմպտոտ վարքը փոխվում է կախված x-ի նշանից։ Եթե c > 0, f(x) = cx^n ֆունկցիան կձգտի դրական անվերջության, երբ x-ը ձգտի դրական անվերջության, բայց երբ x-ը ձգտում է բացասական անվերջության՝ f(x) = cx^n ֆունկցիան ձգտում է բացասական անվերջության։ Կենտ աստիճանային ֆունկցիաների գրաֆիկն ունի y=cx^3 ֆունկցիայի գրաֆիկին նման տեսք։ Նման համաչափություն ունեցող ֆունկցիաները կոչվում են կենտ ֆունկցիաներ։
Երկու դեպքում էլ տեղի ունի հակառակ ասիմտոտ վարքը, երբ c < 0 ։
Ռացիոնալ ցուցիչ
Տրված b թվի n-րդ աստիճանի արմատը այն x թիվն է, որը բավարարում է x^n = b պայմանին։
Եթե b-ն դրական իրական թիվ է իսկ n-ը՝ դրական ամբողջ թիվ, x^n = b արտահայտությունն ունի ճիշտ մեկ լուծում։
Այն փաստը, որ -ը լուծում է x^n = b-ի համար կարելի է ապացուցել հետևյալ կերպ՝
Եթե n-ը զույգ է և b-ն՝ դրական, ուրեմն x^n = b արտահայտությունն ունի երկու իրական լուծում, որոնք b-ի դրական և բացասական n-րդ արմատներն են, այսինքն՝ b^{1/n} > 0 և ։
Եթե n-ը զույգ է և b-ն՝ բացասական, հավասարումը իրական լուծում չունի։
Եթե n-ը կենտ է, ուրեմն x^n = b արտահայտությունն ունի ճիշտ մեկ լուծում, որը դրական է, եթե b-ն դրական է (b^{1/n} > 0) և բացասական է, եթե b-ն բացասական է (b^{1/n} < 0)։
Դրական իրական b թիվը ռացիոնալ u/v աստիճան բարձրացնելով, որտեղ u-ն ամբողջ թիվ է իսկ v-ն՝ դրական ամբողջ թիվ, և միայն գլխավոր արմատները դիտարկելով ստացվում է՝
Բացասական իրական b թիվը ռացիոնալ u/v բարձրացնելիս, որտեղ u/v-ը չկրճատվող կոտորակ է, արդյունքում ստացվում է դրական իրական թիվ, եթե u-ն զույգ է (զույգ u-ից հետևում է, որ v-ն կենտ է, քանի որ u/v-ը չկրճատվող կոտորակ է ըստ սահմանման), որովհետև b^u-ը դրական է, իսկ եթե u և v թվերը կենտ են, արդյունքում ստացվում է բացասական իրական թիվ, որովհետև b^u-ն բացասական է։ Զույգ v (հետևաբար՝ կենտ u-ի) հնարավոր չէ դիտարկել այս ձևով, քանի որ գոյություն չունի իրական x թիվ, որը բավարարում է x^{2k} = -1 պայմանին։ Այս դեպքում b^{u/v}-ի արժեքը նկարագրվում է i կեղծ միավորով։
Այսպիսով, ունենք և ։ Չորս թիվը ունի երկու 3/2-րդ աստիճան. 8 և −8, սակայն, ընդունված է 4^{3/2} նշանակմամբ հասկանալ գլխավոր արմատը, հետևաբար՝ 4^{3/2} = 8։ u/v-րդ աստիճանը նաև կոչվում է v/u-րդ արմատ, իսկ զույգ v-ի դեպքում գլխավոր արմատ եզրը նաև վերաբերում է դրական արդյունքին։
Այս նշանային անորոշությունը պետք է հաշվի առնել աստիճանների նույնությունները կիրառելիս։ Օրինակ՝
որը ակնհայտորեն սխալ է։ Խնդիրը սկսվում է առաջին հավասարությունից՝ անորոշ իրավիճակում ստանդարտ նշանակում ներմուծելով (զույգ արմատ պահանջել) և պարզապես հիմնվելով միայն մեկ՝ ընդունված կամ գլխավոր մեկնաբանման վրա։ Նույն խնդիրբ առաջանում է անտեղի արմատի նշանը օգտագործելիս. փոխարենը պետք է լինի՝
Նման խնդիրներ առաջանում են նաև կոմպլեքս թվերի դեպքում, ինչն ավելի մանրամասն նկարագրված է բաժնում։
Իրական ցուցիչ
Դրական իրական թվերի իրական աստիճանը կարելի է սահմանել կամ իրական թվերի ռացիոնալ աստիճանի սահմանման ընդլայնմամբ, կամ այնպես, ինչպես նկարագրված է «Լոգարիթմներով աստիճան» բաժնում։ Արդյունքում միշտ ստացվում է դրական ամբողջ թիվ և պահպանվում են դրական իրական հիմքով և ամբողջ ցուցիչով աստիճանների նույնությունները և հատկությունները։
Մյուս կողմից, բացասական իրական թվի իրական աստիճան կայուն կերպով սահմանելը շատ ավելի դժվար է, քանի որ այն կարող է լինել ոչ իրական և ունենալ մեկից ավելի արժեքներ։ Հնարավոր է ընտրել այս արժեքներից մեկը՝ գլխավոր արժեքը, բայց գոյություն չունի գլխավոր արժեքի այնպիսի ընտրություն, որի դեպքում տեղի ունի հետևյալ առնչությունը (տես )՝ Հետևաբար՝ ոչ դրական իրական հիմքով աստիճանը հիմնականում դիտարկվում է որպես բազմարժեք ֆունկցիա։
Ռացիոնալ ցուցիչների սահմաններ
Քանի որ կամայական իռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանի տեսքով, դրական իրական b թվի կամայական իրական x աստիճանը կարելի է սահմանել անընդհատությամբ և հետևյալ կանոնով ՝ որտեղ r-ը մոտենում է x-ին՝ ընդունելով միայն ռացիոնալ արժեքներ։ Սահմանը գոյություն ունի միայն դրական b թվերի համար։ Այստեղ օգտագործվել է սահմանի (ε, δ) սահմանումը. այսինքն, ցույց է տրվել, որ տրված կամայական δ ճշգրտության դեպքում հնարավոր է ընտրել x-ի այնպիսի ε շրջակայք, որպեսզի այդ շրջակայքի բոլոր ռացիոնալ աստիճանները b^x-ից տարբերվեն ամենաշատը տրված ճշգրտության չափ։
Օրինակ՝ եթե x=\pi, կարելի է օգտագործել \pi թվի ներկայացումը (հիմնվելով ռացիոնալ աստիճանների խիստ մոնոտոնության վրա)՝ ռացիոնալ թվերով սահմանափակված միջակայքեր գտնելու համար
Սահմանափակված միջակայքերը զուգամիտում են ճիշտ մեկ իրական թվի, որը նշանակվում է b^\pi-ով։ Նմանապես կարելի է ստանալ կամայական դրական իրական b թվի կամայական իռացիոնալ աստիճան։ Հետևաբար, ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական x թվերի համար։
Ցուցչային ֆունկցիա
Որպես հետևանք, e^x արտահայտությամբ սովորաբար նշանակում են աստիճանի ընդհանրացված սահմանումը՝ ցուցչային ֆունկցիան (exp(x)), որը հնարավոր է սահմանել բազմաթիվ ձևերով, օրինակ՝ Այլ հատկություններից բացի, exp-ը նաև բավարարում է ցուցչային նույնությանը՝
Ցուցչային ֆունկցիան սահմանված է բոլոր ամբողջ, ռացիոնալ, իրական և կոմպլեքս թվերի համար։ Իրականում, ցուցչային մատրիցը սահմանված է քառակուսային մատրիցների համար (այս դեպքում ցուցչային նույնությանը ճիշտ է, երբ  x-ը և y-ը կոմուտատիվ են) և օգտակար է գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգել լուծելու համար։
Լոգարիթմներով աստիճան
e^x արտահայտությունը ցուցչային ֆունկցիա սահմանելու դեպքում b^x-ը (կամայական դրական իրական
b
թվի դեպքում) կարելի է սահմանել e^x-ի միջոցով։ Մասնավորապես,
ln(x)
բանական լոգարիթմը e^x ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է։ Այն սահմանված է դրական b թվերի համար և բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
Որպեսզի b^x արտահայտությունը պահպանի ցուցիչների և լոգարիթմի կանոնները, այն կամայական իրական x թվի համար պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին՝
Սա կարող է օգտագործվել որպես իրական թվերի աստիճանի այլընտրանքային սահմանում, այն համապատասխանում է վերևում ռացիոնալ ցուցիչներով և անընդհանտությամբ տրված սահմանմանը։ Աստիճանի լոգարիթմներով սահմանում ավելի տարածված է կոմպլեքս թվերի համատեքստում։
Բացասական հիմքով իրական ցուցիչ
Դրական իրական թվի աստիճանը միշտ դրական իրական թիվ է։ Չնայած x^2=4 հավասարումն ունի երկու լուծում՝ 2 և -2։ 4^{1/2} արտահայտության գլխավոր արժեքը 2–ն է, բայց -2-ը նույնպես թույլատրելի քառակուսի արմատ։ Եթե իրական թվերի աստիճանի սահմանումը ընդլայնվի բացասական արժեքների համար, ապա արդյունքը լավ վարք չի ունենա։
Լոգարիթմի կամ ռացիոնալ ցուցիչի մեթոդների միջոցով հնարավոր չէ b^r արտահայտությունը սահմանել որպես իրական թիվ՝ բացասական իրական b թվի և կամայական իրական r թվի համար։ Քանի որ e^r արտահայտությունը դրական է կամայական իրական r թվի համար, ապա \ln{b} արտահայտությունն իրական թիվ չէ, երբ b \le 0։
Ռացինալ ցուցիչի մեթոդը չի կարող օգտագործվել բացասական b արժեքների համար, քանի որ այն հիմնվում է անընդհատության վրա։ Կամայական b > 0 թվի համար f(r) = b^r ֆունկցիան ունի ճիշտ մեկ ընդլայնում ռացիոնալ թվերից դեպի իրական թվեր։ Բայց երբ b < 0, f ֆունկցիան նույնիսկ անընդհատ չէ ռացիոնալ r թվերի բազմության վրա։
Մյուս կողմից, բացասական b թվի կամայական կոմպլեքս աստիճան հնարավոր է սահմանել՝ ընտրելով b-ի կոմպլեքս լոգարիթմ։
Իռացիոնալ ցուցիչ
Եթե b-ն դրական իրական հանրահաշվական թիվ է, իսկ x-ը՝ ռացիոնալ, ապացուցված է, որ b^x-ը հանրահաշվական թիվ է։ Այս պնդումը ճիշտ է նաև կամայական հանրահաշվական b թվի դեպքում, միայն այն տարբերությամբ, որ b^x-ը կարող է ընդունել մի քանի արժեք (վերջավոր թվով), որոնք բոլորը հանրահաշվական են։ Գելֆոնդ-Շնայդերի թեորեմը որոշ տեղեկություններ է տալիս իռացիոնալ x-ի դեպքում b^x-ի մասին, մասնավորապես՝ "Եթե b-ն 0-ից և 1-ից տարբեր հանրահաշվական թիվ է և x-ը իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ է, ուրեմն b^x արտահայտության բոլոր արժեքները (գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ արժեքներ) տրանսցենդենտ թվեր են (այսինքն՝ հանրահաշվական չեն)։"
Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք
Եթե b-ն դրական իրական թիվ է իսկ z-ը՝ կամայական կոմպլեքս թիվ, ուրեմն b^z աստիճանը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ որտեղ x = \ln{b}-ը e^x = b հավասարման միակ իրական լուծումն է, իսկ e թվի կոմպլեքս աստիճանը սահմանված է ցուցչային ֆունկցիայով, որը կոմպլեքս փոփոխականով այն միակ ֆունկցիան է, որի ածանցյալը հավասար է իրեն և x=0 կետում ընդունում է 1 արժեքը։
Ցուցչային ֆունկցիան ունի բազմաթիվ սահմանումներ, բայց բոլորն էլ հաջողությամբ տարածվում են կոմպլեքս թվերի վրա և բավարարում են ցուցչային հատկությանը։ Կամայական կոմպլեքս z և w թվերի համար ցուցչային ֆունկցիան բավարարում է պայմանին։ Մասնավորապես, կամայական կոմպլեքս z = x+iy թվի համար
Արտահայտության երկրորդ արտադրյալը՝ e^{iy}-ը, կարելի է ներկայացնել Էյլերի բանաձևի միջոցով՝
Հետևաբար, կամայական կոմպլեքս z = x+iy թվի համար
Շարքերով սահմանում
Քանի որ ցուցչային ֆունկցիան հավասար է իր ածանցյալին և բավարարում է e^0=1, պայմանին, հետևաբար ֆունկցայի Թեյլորի շարքը կունենա հետևյալ տեսքը՝
Այս անվերջ շարքը, որը հաճախ ընդունվում է որպես կամայական կոմպլեքս ցուցիչի համար e^z ֆունկցիայի սահմանում, բացարձակ զուգամիտում է կամայական z կոմպլեքս թվի համար։
Եթե z-ը ունի միայն կեղծ մաս, այսինքն՝ z = iy կամայական իրական y-ի համար, շարքը վերածվում է հետևյալին՝
որը (բացարձակ զուգամիտության պատճառով) կարելի է վերադասավորել և ստանալ
Այս արտահայտության իրական և կոմպլեքս մասերը համապատասխանում են սինուսի և կոսինուսի Թեյլորի շարքերին (զրո կենտրոնով), որից հետևում է Էյլերի բանաձևը.
Սահմանով սահմանում
Ցուցչային e^z ֆունկցիան կարելի է նաև սահմանել որպես (1 + z/n)^n-ի սահման, երբ n-ը ձգտում է անվերջության։ Այս սահմանման մեջ n-րդ աստիճանը ներկայացնելով որպես բևեռային տեսքով կրկնվող բազմապատկում՝ հնարավոր է վիզուալ ցույց տալ Էյլերի բանաձևը։ Կամայական կոմպլեքս թիվ կարելի է ներկայացնել բևեռային (r,\theta) տեսքով, որտեղ r-ը թվի բացարձակ արժեքն է, \theta-ն՝ արգումենտը։ Երկու կոմպլեքս և  թվերի արտադրյալը հավասար է -ի։
Կոմպլեքս հարթությունուն դիտարկենք այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի գագաթները 0, 1 և 1 + ix/n թվերն են։ n-ի մեծ արժեքների դեպքում եռանկյունը գրեթե սեկտոր է՝ 1 շառավղով և x/n ռադիան կենտրոնական անկյամբ։ 1+ix/n-ը այդ դեպքում կարելի է մոտարկել (1, x/n) բևեռային տեսքն ունեցող թվով։ Այսպիսով, երբ n-ը ձգտում է անվերջության, -ը ձգտում է -ի՝ միավոր շրջանագծի այն կետրին, որի և դրական իրական առանցքի անկյունը կազմում է x ռադիան։ Այս կետի Դեկարտյան կոորդինատներն են՝, հետևաբար՝, որը Էյլերի բանաձևն է։
Պարբերականություն
e^z = 1 հավասարման լուծումները 2 \pi i-ի ամբողջ արտադրյալներ են. Հետևաբար, եթե v-ն այնպիսի կոմպլեքս թիվ է, որ e^v = w, ուրեմն e^z = w-ին բավարարող կամայական z կարելի է ստանալ -ից (v-ին 2 \pi i-ին բազմապատիկ որևէ թիվ գումարելով). Այլ կերպ ասած, կամայական ամբողջ k-ի համար կոմպլեքս ցուցիչային ֆունկցիան 2 \pi i պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է։
Կոմպլեք թվերի աստիճան
Զրոյից տարբեր կոմպլեքս թվերի ամբողջ ցուցիչով աստիճանները սահմանվում են կրկնվող բազմապատկման կամ բաժանման միջոցով։ Եթե i-ը կեղծ միավորն է իսկ n-ը՝ ամբողջ թիվ, ուրեմն i^n արտահայտությունը հավասար է 1, i, -1 կամ -i` կախված նրանից, թե n-ը կոնգուրենտ է 0, 1, 2 կամ 3 թվերին (մոդ 4-ում)։ Այս պատճառով i-ի ամբողջ աստիճանները օգտագործվում են 4 պարբերությաբ հաջորդականություններ նշանակելու համար։
Այս ֆունկցիաները կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանի համար ընդհանրացնելիս առաջանում են որոշակի դժվարություններ. ֆունկցիաները ստացվում են կամ խզվող, կամ բազմարժեք են լինում։ Այս տարբերակներից ոչ մեկը բավարարող չէ։
Կոմպլեքս թվի ռացինոալ աստիճանը պետք է հանրահաշվական հավասարման լուծում լինի։ Հետևաբար, այն միշտ ունի վերջավոր թվով արժեքներ։ Օրինակ՝ w=x^{1/2}-ը պետք է լինի w^2 = z հավասարման լուծում։ Բայց, եթե w-ն լուծում է, ուրեմն լուծում է նաև -w-ն, քանի որ (-1)^2 = 1։ Միակ, բայց ինչ-որ առումով կամայական լուծում, որը կոչում են գլխավոր արժեք, կարելի է ընտրել օգտվելով ինչ-որ ընդհանուր կանոնից։
Կոմպլեքս աստիճանները և լոգարիթմները ավելի բնականորեն մեկնաբանվում են որպես Ռիմանյան մակերևույթի վրա միարժեքանի ֆունկցիաներ։ Միարժեքանի ֆունկցիաները սահմանվում են ատլաս ընտրելով։ Արժեքը ունի խզում ճյուղավորման կտրվածքում։ Հնարավոր բազմաթիվ արժեքներից մեկն ընտրելով որպես հիմնական արժեք՝ ստացվում է ընդհատ ֆունկցիա և աստիճանների ծանոթ կանոնները կարող են սխալների հանգեցնել։
Կամայական կոմպլեքս թվի ոչ ռացիոնալ աստիճան ունի անթիվ բազմությամբ արժեքներ՝ կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքանիության պատճառով։ Սրանցից որպես գլխավոր արժեք ընտրվում է այն արժեքը, որի դեպքում դրական իրական և զրոյական կեղծ մասով կոմպլեքս թվերի աստիճանների արժեքները համընկնում են վերևի կանոնով սահմանված իրական հիմքով աստիճանների արժեքին։
Բացասական իրական թվերի աստիճանները միշտ չէ, որ սահմանված են, իսկ սահմանված լինելու դեպքում խզվող են։ Ընդ որում, դրանք սահմանված են միայն այն դեպքում, երբ ցուցիչը ռացիոնալ թիվ է, որի հայտարարը կենտ ամբողջ թիվ է։
Կոմպլեքս ցուցիչ և կոմպլեք հիմք-կոպլեքսը այստեղ սխալ է գրված,խնդրում եմ ուշադիր լինել։
Տրված w \neq 0 և z կոմպլեքս թվերի համար w^z նշանակումը բազմիմաստ է այնպես, ինչպես log{w} արտահայտությունը։
w^z-ին արժեք վերագրելու համար սկզբում ընտրում են w-ի լոգարիթմի համար արժեք՝ \log{w}: Այս ընտրությունը կարող է լինել գլխավոր արժեքը` Log{w} (եթե այլ պայման տրված չէ) կամ կարող է լինել \log{w}-ի այլ արժեք։ Օգտագործելով այս արժեքը և ցուցչային ֆունկցիան կարելի է սահմանել՝
քանի որ սա համընկնում է նախկին սահմանմանը, երբ w-ն դրական իրական թիվ էր և օգտագործվում էր \log{w}-ի (իրական) գլխավոր արժեքը։
Եթե z-ը ամբողջ թիվ է, ուրեմն w^z արտահայտության արժեքը կախված չէ \log{w}-ի ընտրությունից և համընկնում է ամբողջ ցուցիչով աստիճանների նախկին սահմանմանը։
Եթե z-ը m/n տեսքի (չկրճատվող) ռացիոնալ թիվ է և z > 0, ուրեմն \log{w}-ի հաշվելի քանակությամբ անվերջ արժեքները w^z արտահայտության համար տալիս են n արժեք։ Այս արժեքները s^n = w^m հավասարման n կոմպլեքս s լուծումներն են։
Եթե z-ը իռացիոնալ թիվ է, ուրեմն \log{w}-ի հաշվելի քանակությամբ անվերջ արժեքները w^z արտահայտության համար տալիս են անվերջ քանակությամբ իրարից տարբեր արժեքներ։
Կոմպլեքս աստիճանը հաշվելու համար օգտվում են դրա բևեռային տեսքից՝ ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում։
Նման կառուցում օգտագործվում է նաև քվատերնիոնների համար։
Միավորի կոմպլեքս արմատներ
Դրական ամբողջ n թվերի համար w^n = 1 պայմանին բավարարող w կոմպլեքս թիվը կոչվում է միավորի n աստիճանի արմատ։ Երկրաչափորեն միավորի n աստիճանի արմատները կոմպլեքս հարթությունում գտնվում են միավոր շրջանագծին ներգծված այն n չափանի կանոնավոր բազմանկյան վրա, որի գագթներից մեկը գտնվում է 1 իրական թվի վրա։
Եթե w^n = 1, բայց 0 < k < n պայմանին բավարարող բոլոր k բնական թվերի համար w^k \neq 1, ուրեմն w-ն կոչվում է միավորի n աստիճանի պարզունակ արմատ։ Բացասական մեկը միավորի միակ երկրորդ աստիճանի պարզունակ արմատն է։ Միավորի 4-րդ աստիճանի պարզունակ արմատներն են i և -i։
թիվը միավորի n աստիճանի ամենափոքր դրական արգումենտով պարզունակ արմատն է։ Այն երբեմն կոչվում է միավորի n աստիճանի գլխավոր արմատ, բայց այս եզրը համընդհանուր տարածում չունի և պետք չէ այն շփոթել \sqrt[n]{1}-ի գլխավոր արժեքի հետ, որը հավասար է 1-ի ։
Միավորի n աստիճանի արմատները տրվում են հետևյալ կերպ՝
Կամայական կոմպլեքս թվի արմատներ
Չնայած ընդհանուր կոմպլեքս լոգարիթմի համար կան անթիվ բազմությամբ արժեքներ, w^q արտահայտությունը ունի վերջավոր արժեքներ, երբ q = 1/n, որտեղ n-ը դրական ամբողջ թիվ է։ Սրանք w թվի n-րդ աստիճանի արմատներն են՝ z^n = w հավասարման լուծումները։ Իրական արմատների նման 2-րդ աստիճանի արմատը կոչվում է քառակուսի արմատ, իսկ 3-րդ աստիճանի արմատը՝ խորանարդ արմատ։