cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Եռանկյունաչափության պատմություն
Հնդկաստան
11-րդ դարում մուսուլմանները (Մահմուդ Գազնեվի) գրավեցին ու ավերեցին Հյուսիսային Հնդկաստանը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվեցին Հարավային Հնդկաստան, որտեղ ձևավորվում էր այսպես կոչված «Կերալի դպրոցը» (Հնդկաստանի հարավում գտնվող Կերալի նահանգի անունից) ։ 15-16-րդ դարերում Կերալի մաթեմատիկոսները աստղագիտական հետազոտությունների ժամանակ մեծ հաջողությունների հասան թվային շարքերի հետ առնչվող հաշվարկներում, այդ թվում նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում ։ Անանուն «Կարանապադհատի» («Հաշվարկների տեխնիկա») տրակտատում տրված են սինուսներն ու կոսնուսները, անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևեր, որոնք ամենայն հավանականությամբ դուրս են բերվել, դպրոցի Մեդհավ (15-րդ դարի առաջին կես) անունով գիտնականի ու նրա հետևորդ՝ Նիլականտի աշխատություններից։ Այդ բանաձևերից հեշտությամբ հնարավոր է ստանալ արկտանգենսը և անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևերը։ Եվրոպայում նման արդյունքի են հասել միայն 17-18-րդ դարերում։ Այդ նույն ձևով Իսահակ Նյուտոնը մոտավորապես 1666 թվականին կիրառում էր սինուսների ու կոսինուսների շարքերը, արկտանգենսը հայտնաբերեց Գրեգորին 1671 և Լեյբնիցը 1673 թվականին։
Իսլամական երկրներ
8-րդ դարում Մերձավոր ու Միջին արևելքի երկրներ հասան հին հունական ու հնդկական մաթեմատիկոսների ու աստղաբանների աշխատություններին։ Այդ աշխատությունները արաբերեն թարգմանելու գործով զբաղվել են 8-րդ դարի լեգենդար գիտնականներ Իբրահիմ Ալ-Ֆազարին և Յակուբ իբն Տարիկը։ Հետագայում նրանք ու նրանց սերունդնեը սկսեցին լայնորեն զբաղվել այդ տեսությունների մեկնաբանությամբ ու զարգացմամբ։ Ինչպես հնդիների, այնպես էլ իսլամական գիտնականների համար հետազոտման հիմնական կառուցվածքը եռանկյան սինուսն էր, կամ որ նույնն է՝ լարի կեսը շրջանագծի մեջ ։
Պահպանված ամենահին աշխատություններից են Ալ-Խորեզմիի ու Ալ Մարվազի (9-րդ դար) տեսությունները, ովքեր դեռևս հնդիկներին հայտնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսին ու կոսինուսին զուգահեռ ներմուծեցին նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս ։ Սկզբնապես այս ֆունկցիաներն այլ կերպ էին ընկալվում։ Այսպես, կոտանգենսի տակ ընկալվում էր ուղղաձիգ 12 (երբեմն 7) միավոր բարձրությամբ գնոմոնի ստվերի երկարությունը։ Սկզբում այս հաշվարկներն օգտագործվում էին արևային ժամացույցների հաշվարկների համար։ Տանգենս էր կոչվում հորիզոնական գնոմոնի ստվերը։ Սեկանս ու կոսեկանս էին կոչվում գնոմոնից ու նրա ստվերից առաջացած ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգերը (աջ մասի նկարում AO հատվածը)։ Միայն 10-րդ դարում փիլիսոփա ու մաթեմատիկոս Ալ Ֆարաբին իր «Ալմահեսթի» մեկնաբանություններում նոմոնիկայից անջատ տվել է այդ հասկացությունների սահմանումները՝ դրանք որոշելով պտղոմեոսյան եռանկյունաչափական ռադիուսի սինուսներով ու կոսինուսներով (60 միավոր)։ Այս վեց ֆունկցիաների կապերը նույն հարյուրամյակում տվել է Ալ Բատանին։ Այս ամենն ընդհանրացրեց Աբու-ալ-Վաֆան 10-րդ դարի կեսերին։ Նա առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկների ժամանակ օգտագործեց միավոր շրջանագիծը, ինչպես ժամանակակից մաթեմատիկայում է։
Սաբիտ իբն Կուրան (9-րդ դար) և Ալ-Բատանին (10-րդ դար) առաջինը բացահայտեցին սինուսների հիմնական թեորեմը մասնավոր ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան համար։ Սֆերիկ եռանկյան թեորեմի ապացույցը տվեցին (տարբեր եղանակներով, և, հավանաբար, միմյանցից անկախ) Աբու-յ-Վաֆան, ալ-Հուջանին ու իբն Իրաքին 10-րդ դարի վերջում։ Իր մեկ այլ տրակտատում իբն Իրաքը ձևակերպել ու ապացուցել է սինուսների թեորեմը հարթ եռանկյան համար։
Կոսինուսների թեորեմը իսլամական երկրներում սֆերիկ եռանկյան թեորեմը ձևակերված ու ապացուցված չէր, բայց Սաբիտ իբն Կուրայի, ալ-Բատանիի ու մյուս աստղաբանների աշխատանքներում կան դրան համարժեք պնդումներ։ Ռեգիոմոնտանը, ով առաջինը տվեց այդ կարևորագույն կապվախության ձևակերպումը (15-րդ դար), դրան տվեց «Ալբատենիայի թեորեմ» (այն ժամանակ Եվրոպայում այդպես էին անվանում ալ-Բատանիին)։
Բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն տվեցին խուսափել արտադրիչների վերլուծման ժամանակատար հաշվարկներից։ Եվրոպայում այդ բանաձևերն օգտագործվեցին հակառակ նպատակով. գումարման ու հանման գործողությունները փոխարինում էին բազմապատկմամբ, որպեսզի արդյունքը գրանցեն լոգարիթմական աղյուսակում
Այդ ժամանակների գիտության կարևորագույն խնդիրներից էր հնարավորինս փոքր քայլով եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը։ 9-րդ դարում Ալ-Խորեզմին ստեղծեց սինուսների աղյուսակ 1°-ի հավասար քայլով։ Նրա ժամանակակից Խաբաշ ալ-Հասիբը (ալ-Մարվազի) դրան ավելացրեց տանգենսների, կոտանգենսների, կոսինուսների առաջին աղյուսակները (նույն քայլով) ։ 10-րդ դարի սկզբում ալ-Բատանին հրապարակեց 30' աստիճանային չափի հավասար քայլով աղյուսակներ։ Նույն հարյուրամյակի վերջում Իբն Յունիսը կազմեց 1' քայլով աղյուսակներ։ Աղյուսակներ կազմելու ժամանակ կարևորը -ի արժեքի որոշումն էր։ Դրա մեծությունը չափելու մեթոդներն առաջարկել են Իբն Յունիսը, Աբու-լ-Վաֆան, ալ-Բիրունին։ 15-րդ դարում լավագույն արդյունքին հասավ ալ-Կաշին. իր աշխատություններից մեկում նա հաշվել է, որ (բոլոր նիշերը ճիշտ են)։ Սամարղանդյան Ուլուգբեկի աստղադիտարանում նրա մասնակցությամբ «Աստղագիտական աղյուսակները» կազմիելիս սինուսի արժեքը հաշվարկվել է վեց վեցական միավորներով, 1' քայլով։ Ուգուլբեկ սուլթանը անձամբ է մասնակցել այդ գործին. նա հատուկ տրակտատ է գրել 1°-ի անկյան սինուսի հաշվման մասին։
Եռանկյունաչափության, որպես առանձին գիտության հիմնարար հասկացությունները (ինչպես հարթաչափական, այնպես էլ սֆերիկ) տվել է պարսիկ մաթեմատիկոս ու աստղաբան Նասրեդին Թուսին 1260 թվականին ։ Նրա «Աշխատություն ուռուցիկ քառանկյան մասին» աշխատությունը պարունակում է տիպիկ խնդիրների՝ այդ թվում բարդ վարժությունների պրակտիկ լուծումներ, որոնք լուծել է հենց աթ-Թուսին, օրինակ՝ սֆերիկ եռանկյան կառուցումն ըստ տրված երեք անկյունների։ Ձևակերպված է տանգենսների թեորեմը սֆերիկ եռանկյունների համար, նկարագրված է կարևոր բևեռային եռանկյուններ հասկացությունը (առաջին անգամ օգտագործել են 11-րդ դարում Իբն Իրաքին ու ալ-Ջայանին)։ Աթ-թուսիի աշխատությունները լայնորեն հայտնի են եղել Եվրոպայում ու խստորեն ազդել են եռանկյունաչափության հետագա զարգացման վրա։
Այդ կերպ, 13-րդ դարի վերջում արդեն հայտնաբերվեցին եռանկյունաչափության հիմնական բովանդակությունը կազմող հիմանարար տեսությունները։ Հանրահաշվական սիմվոլիկայի բացակայության պատճառով այս բոլոր թերորեմները ներկայացվել են բառերով, չեն ունեցել բանաձևային արտահայտություն։ Մյուս առումներով դրանք լիովին համապատասխանում են ժամանակակից տարբերակներին։
Եվրոպա
Երբ 12-13-րդ դարերում արաբական տրակտատները հասան լատինական երկրներ հնդիկ ու պարսիկ մաթեմատիկոսների բազմաթիվ գաղափարներ դարձան եվրոպական գիտության հաջողությունները։ Ամենայն հավանականությամբ եվրոպացիների առաջին ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ տեղի ունեցավ Ալ-Խորեզմիի զիջու շնորհիվ, որի երկու թարգմանությունները կատարվել են 12-րդ դարում։ Սկզբնական շրջանում եռանկյունաչափության վերաբերյալ վկայությունները (նրա օգտագործման կանոններ, որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակներ) հայտնվել են աստղագիտության վերաբերյալ աշխատություններում, սակայն Ֆիբոնաչիի «Երկրաչափության կիրառություն» աշխատությունում, որը գրվել է 1220 թվականին, եռանկյունաչափությունը ներկայացված է, որպես երկրաչափության բաժին։ Առաջին եվրոպական աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը, հաճախ անվանում են «Չորս տրակտատ ուղիղների ու լարերի հարաբերությունների մասին»։ Այն գրել է անգլիացի աստղաբան Ռիչարդ Ուոլլինգֆորդը (մոտավորապես 1320 թվական)։ Գիրքը պարունակում է եռանկյունաչափական նույնությունների ապացուցների շարք և սինուսների հաշվման յուրօրինակ մեթոդներ։ Մոտավորապես նույն թվականներին է գրվել նաև հրեա մաթեմատիկոս Լևի բեն Գերշոմի (Գերսոնիդես) «Սինուսների, լարերի ու աղեղների մասին» աշխատությունը, որը լատիներեն թարգմանվել է 1342 թվականին ։ Գիրքը պարունակում է սինուսների թեորեմի ապացույցն ու սինուսների հնգանիշ աղյուսակներ ։ Եռանկյունաչափությունը շոշափվում է նաև անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բրադվարդինի «Տեսական երկրաչափություն» աշխատությունում (գրվել է 14-րդ դարի առաջին կեսում, հրապարակվել է 1495 թվականին)։ Եռանկյունաչափական աղյուսակները, որոնք առավել հաճախ թարգմանվում էին արաբերենից, իսկ երբեմն էլ օրիգինալ, պարունակվում էին նաև 14-15-րդ դարերի այլ հեղինակների աշխատություններում։ Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափությունը մտավ կրթական համակարգ։
Խոշոր ձեռքբերում էր Ռեգիոմոնտանի «Հինգ գիրք բոլոր տեսակների եռանկյունների ամսին» մենագրությունը (հրատարակված՝ 1462-1464), որում ներկայացված էին այդ ժամանակ հայտնի հարթաչափական ու գնդային եռանկյուների մասին տեսություններն ու եռանկյունաչափական բանաձևերը, նաև սինուսների (1' քայլով) ու տանգենսների (1° քայլով) յոթանիշ աղյուսակներտը։ Պակաս կարևոր չէ նաև այն, որ Ռեգիոմոնտանի աղյուսակներում աստղագիտական ավանդույթի խախտմամբ առաջին անգամ օգտագործվել է տասական համակարգը։ Եռանկյունաչափական շրջանի շառավիղը Ռեգիոմոնտանն ընդունել է 10^7-ին հավասար, որպեսզի աղյուսակաին տվյալները ամբողջ թվեր լինին (տասնորդական կոտորակներն ավելի ուշ ի հայտ եկան, ընդ որում դրանց ներմուծման հիմնական դրդապատճառը եռանկյունաչափական բանաձևերն էին)։
Աթ-Թուսիի աշխատության կհամեմատ Ռեգիոմոնտանի աշխատութունն ավելի ընդհանրացված էր, պարունակում էր նոր վարժությունների ցանկ, որոնք լուծվել են յուրօրինակ մեթոդներով։ Օրինակ, ցուցադրվում է, թե ինչպես կառուցել եռանկյունը, եթե հայտնի է նրա մի կողմը, նրան տարված բարձրությունն ու հանդիպակաց անկյունը։
16-17-րդ դարեր
Նոր ժամանակներում եռանկյունաչափության զարգացումը չափազանց կարևոր էր ոչ միայն աստղաբանության ու աստղագիտության զարգացման համար, այլ նաև այլ ոլորտների համար, այդ թվում հրետանու, օպտիկայի, ծովային հեռավոր ճանապարհորդությունների կազմակերպման համար։ Այդ իսկ պատճառով 16-րդ դարում այդ թեմայով սկսեցին զբաղվել այնպիսի մեծանուն գիտնականներ, ինչպիսիք են Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը, Յոհան Կեպլերը, Ֆրանսուա Վիետը։ Կոպեռնիկոսը եռանկյունաչափությանն է նվիրել իր «Երկնայի գնդերի պտույտի մասին» (1543) տրակտատի երկու գլուխներ։ Շուտով (1551) հայտնվեցին Կոպեռնիկոսի աշակերտի՝ Ռետիկի տասնհինգանիշ եռանկյունաչափական աղյուսակները՝ 10" քայլով։ 1604 թվականին Կեպլերը հրապարակում է «Աստղագիտության օպտիկական մաս» աշխատությունը։
Բարդ եռանկյունաչափական հաշվարկների անհրաժեշտություն առաջացավ 17-րդ դարի սկզբում, լոգարիթմների հայտնաբերմամբ։ Ընդ որում, Ջոն Նեպերի առաջին լոգարիթմական աղյուսակները պարունակում էին միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների լոգարիթմներ։ Նեպերի այլ հայնտագործությունների ցանկում կարևոր էին սֆերական եռանկյունների լուծման նպատակահարմար մեթոդները, որոնք ստացել են «Նեպերի անալոգիայի բանաձևեր» անվանումը ։
«Եռանկյունաչափություն» տերմինը, որպես մաթեմատիկական դիսցիպլինա ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը, իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ, մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին ։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս», քանի որ ; նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր), իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (Thomas Fincke) , իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծեց կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770) աշխատությունում։
Վիետն իր «Մաթեմատիկական կանոնի» (1579) առաջին մասում ներառել է տարբեր աղյուսակներ, այդ թվում նաև եռանկյունաչափականներ, իսկ երկրորդ մասում տվել է հարթաչափական ու սֆերիկ եռանկյունաչափական հասկացությունների կապերի բանաձևեր, սակայն առանց ապացույցների։ 1593 թվականին Վիետը պատրաստեց այդ աշխատության ընդլայնված, ավարտուն տեսքը։
Վիետի հաջորդ կարևորագույն ներդրումը եռանկյունաչափության մեջ հանրահաշվական սիմվոլիկայի ներմուծումն էր. եթե նախկինում առաջադրանքի լուծումը երկրաչափական գծագրի կառուցումն էր, ապա այժմ, սկսած Վիետի աշխատությունից լուծումը սկսում է ձեռք բերել նաև հանրահաշվական տեսք։ Սիմվոլիկայի ներմուծումը հնարավորություն տվեց կոմպակտ ձևով ներկայացնել եռանկյունաչափական նույնությունները, օրինակ բազմապատիկ անկյան բանաձևերը՝
Պետք է նշենք, որ հենց ինքը Վիետը այս բանաձևերը սկզբնական շրջանում մասամբ բառային տեսքով է տվել, բայց դրա հետ մեկտեղ պարզորեն ցույց է տվել կապը բանաձևերի գործակիցների ու բինոմալ գործակիցների միջև։ Նա նաև տվել է աղյուսակ m-ի ոչ մեծ արժեքների համար ։
Վիետի այլ ձեռքբերումներից. «Լրացումներ երկրաչափությանը» աշխատությունում Վիետն առաջարկել է խորանարդական հավասարման եռանկյունաչափական նոր լուծում։ Վիետը տվել է պատմության մեջ առաջին անվերջ հավասարումը՝
Բացի հրետանուց ու տեղորոշումից, եռանկյունաչափությունը արագորեն տարածվել է նաև գեոդեզիայում։ Տանգենսների լայն կիրառությունը բացատրվում է նրանով, որ դրանցով հեշտ է լեռների կամ շենքների բարձրությունների որոշումը (տե՛ս նկարը)՝
1615 թվականին Սնելիուսը գտավ «Սնելիուսի-Պոնտոյի առաջադրանքի» լուծումը. գտնել կետը, որից տրված (հարթ) եռանկյան կողմերը երևում են տրված անկյան տակ։ Նա նաև բացահայտել է լույսի բեկման օրենքը. տրված սկզբնական ու բեկվող ճառագայթների համար անկման ու բեկման անկյունների սինուսների հարաբերությունը հաստատուն է։ Հենց դրանով էլ Սնելիուսը բացահայտեց օպտիկայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման նոր ճանապարհը, իսկ նույն թվականին հայտնագործված աստղագիտակն էլ ավելի մեծացրեց Սնելիուսի գյուտի նշանակությունն ու կարևորությունը։
17-րդ դարի երկրորդ կեսում կտրուկ զարգացում սկսվեց կվադրատուրայի (այսինքն, մակերեսների հաշվման) բնագավառում, որն ավարտվեց դարի վերջում մաթեմատիկական անալիզի առաջացմամբ։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար կարևոր էին այդ շրջանի սկզբում Բլեզ Պասկալի հայտնագործությունները (հրապարակված իր «Ա. Դետոնվիլի նամակները իր մի քանի երկրաչափական հայտնագործությունների մասին» գրքում, 1659 թվական)։ Ժամանակակից տերմինալոգիայով Պասկալը հաշվեց սինուսի ու կոսինուսի ու դրանց հետ կապված այլ մեծությունների դրական աստիճանների ինտեգրալները, նաև նշեց, որ : Եռանկյունաչափության բնագավառում աշխատանքներ տարել են 17-րդ դարի այնպիսի նշանավոր մաթեմատիկոսներ ինչպիսիք են Օտրեդը, Հյուգենսը, Օզանամը, Վալլիսը։ 17-րդ դարի երկրորդ կեսում նշանավոր պրոցես էր եռանկյունաչափության հանարահաշվացումը, դրա սիմվոլիկայի կատարելագործումն ու պարզեցումը (չնայած Էյլերից առաջ սիմվոլիկան ավելի բարդ էր քան այժմ)
18-րդ դար
Մաթեմատիկական անալիզի հայտնագործումից հետո, սկզբում Ջեյմս Գրեգորին, հետո Իսահակ Նյուտոնը ստացան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (ինչպես նաև նրանց հակադարձների) հետազոտությունները անվերջ շարքերում։ Նյուտոնը եռանկյունաչափական ու երկրաչափական խնդիրներին է նվիրել իր «Համալսարանային թվաբանություն» գրքի 10 առաջադրանք։ Օրինակ, X առաջադրանքում պահանջվում է «լուծել եռանկյունը», եթ հայտնի են նրա մի կողմը, դրա դիմացի անկյունն ու մյուս երկու կողմերի գումարը։ Նյուտոնի առաջարկած մեթոդն իրենից ներկայացնում է Մոլվեյդի բանաձևերից մեկը։
Լեյբնիցը խիստ ապացուցել է, որ \sin x-ը չի կարող հանրահաշվորեն արտահայտվել լինել x-ով, այսինքն, ժամանակակից տերմինալոգիայով ասած եռանկյունաչափական ֆունցիաները տրանսցենդենտ են։
Բենուա Պոլ Էմիլ Կլապեյրոն
Բենուա Պոլ էմիլ Կլապեյրոն (Benoît Paul Émile Clapeyron, ), ֆրանսիացի ֆիզիկոս, Փարիզի ԳԱ անդամ (1858)։ Ավարտել է Փարիզի պոլիտեխնիկական դպրոցը (1818)։
1820-1830 թվականներին աշխատել է Պետերբուրգի հաղորդակցության ճանապարհների ինժեներների ինստիտուտում, այնուհետև վերադարձել է Ֆրանսիա և դարձել Փարիզի կամուրջների և ճանապարհների դպրոցի պրոֆեսոր։
Եռանկյունաչափության պատմություն
18-րդ դար
18-րդ դարեսկզբի կարևորագույն հայտնագործություններն են՝ 1706 թվականին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Գերմանը հրապարակեց անկյունների գումարի ու բազմապատիկ անկյունների տանգենսների հաշվման բանաձևերը, իսկ Յոհան Լամբերտը 1765 թվականին ստացավ չափազանց կարևոր բանաձևեր, որոնք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտում են կես անկյան տանգենսի բանաձևով։ Ուսումնասիրելով հիպերբոլական ֆունկցիաները (1761), Լամբերտը ցույց տվեց, որ դրանց հատկությունները անալոգային են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ; դրա պատճառը դեռ 1707 թվականին նկատել էր Մուավրը։
Բենուա Պոլ Էմիլ Կլապեյրոն
1834 թվականին, հետաքրքրվելով Սադի Կառնոյի աշխատանքներով, կրկնել է նրա դատողությունները և թերմոդինամիկայում առաջինը կիրառել գրաֆիկական մեթոդը։ Հետազոտելով Կառնոյի ցիկլը՝ արտածել է իդեալական գազի վիճակի հավասարումը։ Գտել է հալման և եռման կետերի կախումը ճնշումից։
Եռանկյունաչափության պատմություն
18-րդ դար
Գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Վիլհելմ ֆոն Օփելը «Եռանկյունների անալիզ» գրքում (1746) հրապարակեց Մոլվեյդի բանաձևերի ժամանակակից տեսքերը։
«Բազմանկյունաչափություն» (1789) գրքում Սիմոն Լյուիլյեն ընդհանրացնում է եռանկյունաչափական հարաբերությունները եռանկյունների համար, տալով դրանց արտահայտությունները նաև այլ կանոնավոր բազմանկյունների համար, ներառյալ տարածականները։ Այս թեմայով աշխատանքներ տանելիս Լյուիլյեն հանգեց եռանկյունաչափության հիմնական թեորեմներից մեկին. բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստի մակերեսը հավասար է մյուս նիստերի մակերեսների ու առաջին նիստի հետ նրանց կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալների գումարին։ Նա դիտարկել է n հատ կողմ ունեցող «բազմանկյունների լուծման» տարբեր եղանակներ տրված հնարավոր տարբեր դեպքերով. տրված է ~n-1 կողմ և ~n-2 անկյուն, կամ բոլոր անկյուններն ու ~n-2 կողմ, կամ բոլոր կողմերն ու ~n-3 անկյուն։
1798 թվականին Լեժանդրն ապացուցեց, որ եթե սֆերիկ եռանկյան չափերը փոքր են սֆերայի շառավղի համեմատ, ապա եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման համար կարելի է կիրառել հարթ եռանկյունների բանաձևերը ։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձերը arc-ի (՝ աղեղ) միջոցով ներկայացնելու մեթոդն առաջարկել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (Karl Scherffer, 1716-1783), բայց ամրապնդվել է Լեժանդրի շնորհիվ։ Ի նկատի ունեին, որ, օրինակ, եթե սինուսը թույլ է տալիս շրջանագծի աղեղի միջոցով հաշվել լարի երկարությունը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան թույլ կտար հաշվել հակառակը։ 16-րդ դարի անգլիական ու գերմանական մաթեմատիկական դպրոցներն այլ նշանակումներ առաջարկեցին՝, բայց դրանք չկիրառվեցին։
Լեոնարդ Էյլերի բարեփոխումները
Եռանկյունաչափության ժամանակակից տեսքը տվել է Լեոնարդ Էյլերը։ «Ներդրումներ անվերջների անալիզում» (1748) տրակրտատում Էյլերը տվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումները, որոնք համարժեք են ժամանակակիցներին, և համապատասխանաբար որոշեց հակադարձները։ Եթե նրա նախորդները սինուսն ու մյուս հասկացությունները երկրաչափորեն ընկալերին, այսինքն, որպես շրջանագծի կամ եռանկյան գծեր, ապա Էյլերի աշխատանքներից հետո \sin x, \cos x, և մյուսները կդիտարկվեին, որպես իրական ու կոմպլեքս փոփոխականների առանց չափերի անալիտիկ ֆունկցիաներ։ Կոմպլեքս դեպքերի համար նա ստացավ կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ու տրված ֆունկցիայի մեջ (Էյլերի բանաձև)։ Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունման արժանացավ ու մտավ դասագրքեր։
Էյլերը հետազոտել էր ինչպես թույլատրելի բացասական անկյունները, այնպես էլ 360°-ից մեծ անկյունները, ինչը հնարավորություն էր տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացնել ամբողջ թվային առանցքում, իսկ հետո շարունակել կոմպլեքս հարթությունում։ Երբ առաջացավ բութ անկյուններում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման հարցը, պարզ դարձավ, որ մինչև Էյլերը նշանների մի մասը սխալ էր որոշված։ Օրինակ, շատ մաթեմատիկոսներ կարծում էին, որ բութ անկյան կոսինուսն ու տանգենսը դրական են ։ Էյլերը որոշեց այդ ֆունկցիաների նշանները տարբեր կոորդինատային վանդակների համար։
Էյլերն առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացրեց անվերջ արտադրիչների տեսքով (1734), որից էլ ստացավ դրանց լոգարիթմերը։
Այլ աշխատություններում, առաջին հերթին «Սֆերիկ եռանկյունաչափության հիմքեր, մաքսիմումներով ու մինիմումներով» (1753) և «Համընդհանուր սֆերիկ եռանկյունաչափություն, պարզ ու համառոտ ներկայացված սկսած սկզբնաղբյուրներից» (1779), Էյլերն առաջին անգամ տվեց սֆերիկ եռանկյունաչափության լրիվ համակարգված հիմքերը, ընդ որում խոշոր հայտնագործությունների մի մասը պատկանում են հենց Էյլերին։
18-րդ դարի կեսերին այրվեց իր հետևանքներով շատ կարևոր «վեճ լարի մասին»-ը ։ Լեդամբերի հետ բանավեճի ժամանակ Էլյերն առաջարկեց ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր որոշումը, քան ընդունված էր նախկինում, մասնավորապես, ֆունկցիան կարող էր ներկայացվել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով։ Իր աշխատություններում Էյլերն օգտագործել է որոշ հանրահաշվական ֆունկցիաների ներկայացումները եռանկյունաչափական շարքի տեսքով, օրինակ՝
Եռանկյունաչափական շարքերի ընդհանուր ուսումնասիրությամբ Էյլերը չի զբաղվել ու ստացված շարքերի համատեղելիությունը չի ուսումնասիրել, բայց ստացել է մի շարք կարևոր հետևանքներ։ Մասնավորապես, նա ստացել է սինուսի ու կոսինուսի ամբողջ աստիճանների բանաձևերը ։
Եռանկյունաչափությունը Ռուսաստանում
Ռուսաստանում առաջին եռանկյունաչափության վերաբերյալ գրառումները կատարվել են «Լոգարիթմերի, սինուսների, կոսինուսների ու տանգենսների աղյուսակներ» գրքում, որը հրապարակվել է Լ. Ֆ. Մագնիցկու ներկայությամբ 1703 թվականին ։ 1714 թվականին հայտնվեց «Երկրաչափության պրակտիկա» բովանդակային ձեռնարկը՝ ռուսական առաջին եռանկյունաչափական դասագիրքը, որը հիմնված է հրետանային, տեղորոշման ու գեոդեզիական առաջադրանքների վրա ։ Ռուսաստանում եռանկյունաչափական գիտելիքների յուրացման շրջանի ավարտ կարելի է համարել Մ. Ե. Գոլովինի (Էյլերի աշակերտը) «Հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությունները հանրահաշվական ապացույցներով» (1789)։
18-րդ դարի վերջում Սանկտ Պետերբուրգում հիմնադրվեց եռանկյունաչափական հատուկ դպրոց (Ա. Ի. Լեկսել, Ն. Ի. Ֆուս, Ֆ. Ի. Շուբերտ) ։
19-20-րդ դարեր
19-րդ դարի սկզբում Ն. Ի. Լոբաչևսկին հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությանը ևս մի բաժին ավելացրեց՝ հիպերբոլական (Լոբաչևսկու երկրաչափության համար, առաջին աշխատությունը հրապարակեց Ֆ. Ա. Տաուրինուսը 1826 թվականին)։ Լոբաչևսկին ցույց տվեց, որ սֆերիկ եռանկյունաչափության բանաձևերը անցնում են հիպերբոլականի եռանկյան կողմերի a, b, c երկարությունները ai, bi, ci փոխելու դեպքում, կամ, որ համարժեք է, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխումը հիպերբոլականի ։
19-20 դարերում հատկապես բուռն զարգացում ապրեցին եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունները իրենց հետ կապված մաթեմատիկական ոլորտների հետ մեկտեղ. հարմոնիկ անալիզ, պատահական պրոցեսների տեսություն, աուդիո և վիդեո ինֆորմացիայի կոդավորում և այլն։ Դեռ Դանիել Բեռնուլին առաջարկել էր պնդում, որի համաձայն յուրաքանչյուր (ոչ ընդհատ) ֆունկցիա տրված միջակայքում հնարավոր է ներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ։ Քննարկումները շարունակվում էին մինչև 1807 թվականը, երբ Ֆուրիեն հրապարակեց մասաանալիտիկ ֆունցիաները եռանկյունաչափական շարքերի տեսքով ներկայացնելու տեսությունը (ավարտուն տարբերակը պարունակվում է նրա «Ջերմության անալիտիկ տեսություն» աշխատությունում, 1822) : f(x) ֆունցիան եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ներկայացնելու համար՝ Ֆուրիեն տվել է գործակիցների հաշվարկի ինտեգրալային բանաձևերը. Ֆուրիեի ստացածը խիստ չէ ըստ ժամանակակից հասկացողության, արդեն պարունակում էր բոլոր նմանատիպ շարքերի նմանության տարրերը։ Այն ֆունցիաների համար, որոնք որոշված են ամբողջ թվային առանցքի վրա և պարբերական չեն Ֆուրիեն առաջարկել է Ֆուրիեի ինտեգրալի ձևակերպումը։
Ռիմանն իր ատենախոսության մեջ անդրադառնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին առանց դիտարկելու դրանց կապը որևէ ֆունկցիայի հետ (1853), նա կիրառում էր «տեղայնացման սկզբունքը»։ Կամայական չափումներով և գրեթե ամեն տեղ անվերջ ֆունցիայի ներկայացումը եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (որի համընկնումը Ֆուրեյի շարքի հետ պարտադիր չէ) լուծվեց 1941 թվականին Մենշովի թեորեմի շնորհիվ։
Ուսումնասիրելով եռանկյուանաչափական շարքերի հատուկ կետերի բազմությունները Գեորգ Կանտորը ստացավ ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմնարար բնույթ ունեցող բազմությունների տեսությունը Եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ահռելի նշանակություն ունեցավ նաև կոմպլեքս անալիզի, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, էլեկտրոնիկայի ու գիտության մյուս ճյուղերի համար ։ Լեբեգի իրական փոփոխականի ֆունցիայի, չափման ու ինտեգրալի տեսությունները ի հայտ եկան և սկսեցին զարգանալ եռանկյունաչափական շարքերի հետ հեռավոր կապի մեջ լինելով ։
Եռանկյունաչափությունը Հայաստանում
Մաթեմատիկայի ու բնական գիտությունների հետ մեկտեղ առաջին հայկական դպրոցներում (5-րդ դար), ապա նաև միջնադարյան համալսարաններում ուսուցանվել է նաև եռանկյունաչափությունը։ Անանիա Շիրակացին (7-րդ դար), Գրիգոր Մագիստրոսը (11-րդ դար), Հովհաննես Սարկավագը (11-12-րդ դարեր) և ուրիշներ կազմել են դասագրքեր, թարգմանել հույն դասականների երկերից։ Անանիա Շիրակացու թվաբանության դասագրքի մաթեմատիկական աղյուսակները հնագույնն են աշխարհում հայտնի համանման աղյուսակներից։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» աշխատությունը բնագրից առաջինը հայերեն է թարգմանվել և որպես դասագիրք օգտագործվել հայկական դպրոցներում ։
14-րդ դարում Կիլիկյան Հայաստանի պետականության անկումից հետո մաթեմատիկական բարձրագույն կրթությունն ու մաթեմատիկական գիտություններն անկում են ապրել։ Սակայն գաղթավայրերում, որտեղ շարունակվել է մշակութային կյանքը, կազմվել և հայերեն են թարգմանվել մի շարք ձեռնարկներ։
Առաջին գիրքը նվիրված է ուղղագիծ եռանկյունաչափությանը։ Առաջին պրակում սահմանվում են եռանկյունաչափական գծերը, գործ են ածվում հետևյալ տերմինները՝ Երկրորդ պրակը նվիրված է բնական թվերի լոգարիթմներին, իսկ երրորդը՝ ուղղանկյուն և շեղանկյուն եռանկյունների լուծմանը։
Երկրորդ գիրքը նվիրված է սֆերիկ եռանկյուունաչափությանը։ Առաջին պրակում խոսվում է սահմանումների, սֆերիկ եռանկյունների կողմերի և անկյունների կապակցությունների մասին։ Երկրորդ պրակը նվիրված է եռանկյունների լուծմանը և վարժություններին։ Գրքի հավելվածում բացատրվում է համեմատության կարկինը և նրանից օգտվելու եղանակը։
Պրոնյանը հայկական տպագիր գրականության մեջ առաջին անգամ լրիվ կերպով կիրառում է գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և այլ մաթեմատիկական նշաններ ։
Եռանկյունաչափության պատմաբաններ
18-19 դարերում մաթեմատիկայի ու աստղագիտության պատմություններում մեծ տեղ հատկացվեց նաև եռանկյունաչափության պատմությանը (Ժ. Է. Մոնտուկլա, Ժ. Բ. Ժ. Դելամբր, Հ. Հանկել, Պ. Տանների և ուրիշներ)։ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկական պատմաբան Անտոն ֆոն Բրաունմյուլը հրապարակեց առաջին մոնոգրաֆիան երկու հատորով, որը հատուկ նվիրված էր եռանկյունաչափության պատմությանը ։ 20-րդ դարում այդ թեմայով խոշորածավալ աշխատանքներ հրապարակեցին Ցեյտենը, Կանտորը, Նայգեբաուերը, Ռոզենֆելդը, Մատվիևսկայան և ուրիշներ։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն
Իկոնիայի ճակատամարտ (1190)
Նախապատմություն
Իկոնիան համարվում էր Փոքր Ասիայի մայրաքաղաքը և գտնվում էր Զմյուռնիայից 470 կմ դեպի արևելք։ Այդ ժամանակ քաղաքը նաև համարվում էր Սելջուկյան սուլթանության մայրաքաղաքը։
Երրորդ խաչակրաց արշավանքի ընթացքում Ֆրիդրիխ Շիկամորուսի ծովային ուժերը հատեցին Դարդանելի նեղուցը բյուզանդական նավերով և ափհանվեցին Փոքր Ասիայում։ Սկսած ապրիլից՝ խաչակիրների ճանապարհն անցնում էր Իկոնիայի սուլթանության տարածքով։ Ժամանակագիրները խաչակիրների թվաքանակը գնահատում եմ մոտավորապես 100 հազար մարդ, որոնցից 20 հազարը ներկայացնում էին ասպետները և թեթև հեծելազորը, սակայն, հավանական է, որ այդ թվերը ուռճացրած են։
Դեպի Աքքայում պաշարված քրիստոնյաները տանող, Կենտրոնական Անատոլիայի լեռներով անցնող երկար ու բարդ ճանապարհի ընթացքում խաչակիրները տառապում էին շոգից, ջրի և սննդի պակասից։ Թուրք-սելջուկների մշտական հարձակումներից և դարանակալումներից տառապող քրիստոնյաները կրում էին մեծ կորուստներ, տառապում էին կենդանիները։ Լեռնային տեղանքում խաչակիրների բանակը ձգվում էր կիլոմետրերով, ինչը նրանց խոցելի էր դարձնում մուսուլմանների անսպասելի գրոհների ժամանակ։ Կիլիջ-Արսլան II-ը՝ սելջուկ սուլթանը, երաշխավորեց խաչակիրների ազատ երթը իր տարածքով, նաև տվեց նրանց երկու ուղեկցող։ Դա ապացուցեց Ֆրիդրիխ Շիկամորուսին, որ հարձակումները պատահական խմբերի և ավազակների ձեռքի գործն էին։
Երբ Ֆրիդրիխի բանակի առաջնապահ ստորաբաժանումները հասան Փիլոմելիոն քաղաքի առջև գտնվող հարթավայր և տեսան մուսուլմանների հսկայական ուժերը, հասկացան, որ իրենց դավաճանել են։ Փիլոմելիոնի մոտ կայացած հետևյալ ճակատամարտում խաչակիրները, առաջին անգամ հանդիպելով թուրք-սելջուկներին, նրանց մեծ կորուստներ պատճառեցին։ Ճակատամարտում հաղթեցին խաչակիրները, և Ֆրիդրիխ Շիկամորուսը առաջնորդեց իր զորքերը դեպի Իկոնիա, որտեղ 1190 թվականի մայիսի 17-ին ճամբար խփեց քաղաքի մոտ։ Միևնույն ժամանակ խաչակիրների մոտ մնացել էին բավականին քիչ նժույգներ և բեռնակիր կենդանիներ, քանի որ նրանք կա՛մ սպանվել էին ճանապարհին, կա՛մ սատկել էին սննդի պակասից։
Մարտ
Այդ ժամանակ Շիկամորուսը, չիմանալով իր որդու հաղթանակի մասին, քաղաքի մատույցներում ընկավ սելջուկների շրջափակման մեջ։ Դրությունը թվում էր անհույս, զինվորները և հոգևորականությունը միավորվել էին իրենց կայսեր շուրջ և սպասում էին արագ մահվան։ Սակայն Շիկամորուսը չէր ցանկանում համակերպվել այդ ճակատագրի հետ, և գոռաց իր մարդկանց, թե իրենք պետք է վստահեն իրենց Հիսուս Քրիստոսին և իրենց գլուխները դնեն թշնամիների դեմ հարձակվելու։ Ոգևորված իրենց կայսեր խոսքերից՝ խաչակիրներն անցան վճռական գրոհի, որը նրանց թույլ տվեց ճեղքել պաշտպանությունը և միավորվել քաղաքում գտնվող դուքս Ֆրիդրիխի զորքերի հետ։
Բազմաթիվ գրոհների արդյունքում սելջուկներն այդ օրը կորցրին մինչև 40 հազար մարդ, իրենց նահանջի ժամանակ սպանվեց 5 հազար մարդ։ Խաչակիրները կորուստները կազմում էին մոտավորապես 20 հազար մարդ։
Հետևանքներ
Կիլիջ-Արսլան II-ը հաջորդ օրը ժամանեց պատանդի կարգավիճակով։ Նաև նա պետք է ապահովեր խաչակիրներին անհրաժեշտ սննդով, ձիերով և օժանդակությամբ իր հողերով անցնող ողջ ճանապարհի ընթացքում։ Իկոնիայում քրիստոնյաները գտան հարուստ ավար՝ ոսկի և արծաթ, ինչպես նաև ծիրանագույն գործվածքներ, որոնք ունեին հսկայական արժեք։
Կիլիջ-Արսլանի որդիներից ավագը՝ Կուադ ադ-Դինը, միավորվեց Սալադինի որդու հետ, որպեսզի պարտության մատնի խաչակիրներին։ Դրա պատճառով Սալադինը ստիպված եղավ դադարեցնել Աքքայի պաշարումը, որը գրավվել էր քրիստոնյաների կողմից, և իր ուժերն ուղարկել ընդդեմ Ֆրիդրիխ Շիկամորուսի, որպեսզի թույլ չտա խաչակիրների ուժերի միավորումը։
Մայիսի 23-ին Իկոնիայի դարպասների առաջ բացվեց շուկա, որտեղ խաչակիրները գնեցին 6 հազար ձիեր և ջորիներ, ինչպես նաև հացի, մսի, յուղի և պանրի մեծ պաշարներ։ Մայիսի 26-ին խաչակիրները շարժվեցին առաջ, և միայն պատանդներին սպանելու խոստումն էր նրանց թույլ տալիս նրանց ազատ ընթանալ Իկոնիայի սուլթանության հողերով։ Մայիսի 30֊ին նրանք հասան Քարաման քաղաքին, որտեղից ուղղվեցին դեպի հարևան Կիլիկյան Հայաստանի տարածքներ, որտեղ կառավարում էր Ֆրիդրիխ Շիկամորուսի դաշնակից Լևոն II-ը։
Տավրոսի լեռներով անցնելուց հետո՝ Գյոկսու գետակն անցնելու ժամանակ, Ֆրիդրիխ Շիկամորուսը խեղդվում է։ Նրա զորքերի մեծ մասը վեդառնում է Եվրոպա։ Սուրբ Երկրում հետագա ճանապարհը Ֆրիդրիխ Շվաբացու գլխավորությամբ շարունակեց ոչ ավել, քան 20 հազար մարդ։
Էրհարթինգ
Էրհարթինգ (Erharting), կոմունա Գերմանիայում, Բավարիա երկրամասում։
Իկոնիայի ճակատամարտ (1190)
Գրականություն
Կատեգորիա:Խաչակիրների ճակատամարտեր Կատեգորիա:1190 ճակատամարտեր
Էրհարթինգ
Ենթարկվում է Վերին Բավարիա երկրամասին։ Գտնվում է Իննեի Մյուլդորֆ շրջանում։ Բնակչությունը կազմում է 918 մարդ (2010 թվականի դեկտեմբերի 31-ի տվյալներով )։ Տարածքը 13,69 կմ² է։ Պաշտոնական կոդը՝ 09 1 83 116։
Ֆյոդորովկա (գյուղ, Կրասիլովի շրջան)
Ֆյոդորովկա (Федорівка), գյուղ Ուկրաինայի Խմելնիցկիի մարզի Կրասիլովի շրջանում։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ուկրաինայի Խմելնիցկիի մարզի Կրասիլովի շրջանի բնակավայրեր Կատեգորիա:Ուկրաինայի գյուղեր
Շատրվան Տրևի
Տրևիի շատրվան (Fontana di Trevi), շատրվան Հռոմի Տրևի թաղամասում։ Բարձրությունը 26.3 մ է, իսկ լայնությունը` 49.15 մ ։ Աշխարհի ամենահայտնի շատրվաններից է և ամենախոշորը Հռոմում։
Քանդակներ
Պալատի կենտրոնական որմնախորշից, նստած ծովային խեցու վրա, կարծես մարտակառքով դուրս է գալիս Օվկիանոսը։ Կառքին լծված են տրիտոնները և հիպոկամպուսները։ Նեպտունի կողքերի որմնախորշերում այլաբանական կերպարներ են, իսկ նրանց վերևում՝ հարթաքանդակներ։ Աջ հարթաքանդակը պատկերում է երիտասարդ աղջկա, ով հռոմեական զինվորներին ցույց է տալիս, թե որտեղ է աղբյուրը։ Այդ աղբյուրից ջրանցույց են կառուցել, որով ջուրը հասնում էր Հռոմ։ Ե´վ աղբյուրը, և´ ջրանցույցը ստացել են Ակվա Վիրգո (Acqua Virgo` Կույսի աղբյուր) անվանումը (այժմյան անվանումը` Ակվա Վերջինե, իտալ.` Acqua Vergine)։
Մետաղադրամ նետելու ավանդույթ
Գոյություն ունի շատրվանի հետ կապված հավատալիք, ըստ որի` շատրվան մետաղադրամ գցողը կվերադառնա Հռոմ։ Երկու մետաղադրամ գցելը սիրային հանդիպում է խոստանում, երեք մետաղադրամը՝ ամուսնություն, չորսը՝ հարստություն, հինգը՝ բաժանում։ Քաղաքային ծառայողները տարեկան շատրվանից «որսում են» մոտավորապես 700000 եվրո ։ Գումարն օգտագործվում է Հռոմում կարիքավորների խանութի համար ։ Շատրվանից գումարներ գողանալու պարբերաբար փորձեր են կատարվում ։
Շատրվանի աջ կողմում կան «սիրահարների խողովակներ», որոնցից, ըստ ավանդության, ջուր խմողները հավերժ կսիրեն իրար և համերաշխ կապրեն մինչև խոր ծերություն։
Տրևի շատրվանը կինոյում
Տրևի շատրվանը պատկերված է շատ ֆիլմերում՝
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Իտալիայի մշակույթ Կատեգորիա:Հռոմի հուշարձաններ Կատեգորիա:Շատրվաններ
Վորովսկոե (գյուղ, Վելիկա-Պիսարևկայի շրջան)
Վորովսկոե (Воровське), գյուղ Ուկրաինայի Սումիի մարզի Վելիկա-Պիսարևկայի շրջանում։
Զուևո (գյուղ, Ռուդնյանսկի շրջան)
Զուևո (Зуево), գյուղ Ռուսաստանի, Սմոլենսկի մարզի Ռուդնյանսկի շրջանի կազմում։
Վորովսկոե (գյուղ, Վելիկա-Պիսարևկայի շրջան)
2001 թվականի տվյալներով Վորովսկոե գյուղում բնակվում էր 139 մարդ։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ուկրաինայի Սումիի մարզի Վելիկա-Պիսարևկայի շրջանի բնակավայրեր Կատեգորիա:Ուկրաինայի գյուղեր
Զուևո (գյուղ, Ռուդնյանսկի շրջան)
Բնակչությունը 2007 թվականին գրանցված տվյալներով կազմում էր 9 մարդ։
Փիու Փիու Կյաու Թին
Փիու Փիու Կյաու Թին (ဖြူဖြူကျော်သိန်း), բիրմայացի փոփ երգիչ է, հայտնի է իր բեմական ներկայությամբ և զգեստներով, որոնք համեմատվում են Լեդի Գագայի նկարվածների հետ ։ Նա UNICEF-ի հայտնի դեսպան է 2008 թվականից ։
Վաղ կյանք և կրթություն
Փյու Փյու Կյաու Թինը ծնվել է Բիրմայի Ռանգուն քաղաքում (այժմ՝ Յանգոն, Մյանմա), 1981 թվականի ապրիլի 22-ին, Կոոպերատիվների նախարարության բարձրաստիճան պետական ծառայող Կիաու Թեյնի և նրա կնոջ՝ Յանգոնի տնտեսագիտական համալսարանի դասախոս Թին Թին Չժիի ընտանիքում։ Փյու Փյուն ունի ավագ քույր՝ Նյո Նյո Թին, ով նրանից մեծ է 7 տարով։ Նա մասնագիտությամբ բժիշկ է, ավարտել է Յանգոնի թիվ 1 Բժշկական համալսարանը ։
Կարիերա
Փյու Փյու Կյաու Թին առաջին անգամ հանդես եկավ 2003 թվականին Not Concerned Anymore ալբոմով ։ Նա միացավ Myanmar Idol-ի 2019 թվականի սեզոնին որպես դատավոր։ Ծառայում է որպես Մյանմարի երաժշտական ասոցացիայի քարտուղար ։
Քաղաքական գործունեություն
2021 թվականի Մյանմարի հեղաշրջումից հետո նա մասնակցել է հակահեղաշրջման շարժմանը, ինչպես անձամբ հանրահավաքների ժամանակ, այնպես էլ սոցիալական ցանցերի միջոցով։
Դատապարտելով ռազմական հեղաշրջումը, նա մասնակցել է բողոքի ակցիաներին, որոնք սկսվել են փետրվարից։ Նա միացել է "Մենք արդարություն ենք ուզում" երեք մատով ողջույնի շարժմանը։ Շարժումը մեկնարկել է սոցիալական ցանցերում, և շատ հայտնիներ միացել են շարժմանը։
2021 թվականի ապրիլի 13-ին Պետական վարչական խորհուրդը նրան ձերբակալելու օրդեր է տրվել Մյանմարի Քրեական օրեսգրքի 505(Ա) հոդվածի համաձայն, ըստ որի նա հանդես է եկել ռազմական հեղաշրջման դեմ։ Մի քանի այլ հայտնիների հետ միասին նրան մեղադրանք է առաջադրվել քաղաքացիական անհնազանդության շարժմանը մասնակցելու կոչեր անելու և պետության կառավարման կարողությունը վնասելու, Պիդաունգսու Խլութոուն ներկայացնող կոմիտեին աջակցելու և, ընդհանուր առմամբ, մարդկանց դրդելու խաթարել երկրում խաղաղությունն ու կայունությունը  ։
Մրցանակներ
{| class="wikitable sortable plainrowheaders" style="width: 101%;" ! scope="col" | Մրցանակ ! scope="col" | Տարի ! scope="col" | Մրցանակակիր(ներ) և թեկնածու(ներ) ! scope="col" | Կատեգորիա ! scope="col" | Արդյունք ! scope="col" class="unsortable" |Հղ․ ! City FM awards ! rowspan= 2| Shwe FM awards ! Joox Half Year Music Awards
(4596) 1981 QB
(4596) , աստերոիդ ամուրի ընտանիքում։ Հայտնաբերվել է 1981 թվականի օգոստոսի 28-ին Չառլզ Կովալի կողմից Պալոմարում ։
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:1981 թվականին հայտնաբերված աստղագիտական մարմիններ Կատեգորիա:Չառլզ Կովալի կողմից հայտնաբերված աստերոիդներ Կատեգորիա:Ամուրի ընտանիքի աստերոիդներ
Դերբենտ (Ջանիկի գավառ)
Դերբենտ, գյուղ Օսմանյան կայսրությունում, Տրապիզոնի վիլայեթի Ջանիկի գավառում ։
Բնակչության մասին տվյալներ չեն պահպանվել։ Նրանք բռնությամբ տեղահանվել են 1915 թվականի Մեծ եղեռնի ժամանակ։ Նրանց մեծ մասը զոհվել է աքսորի ճանապարհին։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Օսմանյան կայսրության հայաբնակ գյուղեր
Hispania F110
Բոլիդ Hispania F110 (HRT F110) (Hispania F110 (HRT F110)), ի նախագծած մրցարշավային ավտոմեքենան է։ Ստեղծված է Ֆորմուլա 1 դասի աշխարհի չեմպիոնատների մրցավազքերին մասնակցելու համար։ Նախագծվել և ստեղծվել է 2010 թվականի մրցարշավին մասնակցելու համար ։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Ֆորմուլա 1
Տանջանքների թանգարան
Տանջանքների թանգարան, Ամստերդամ։ Գտնվում է Բլոենմարկտ ծաղիկների խանութի հարևանությամբ՝ Սինգլ ջրանցքի դիմաց։ Այն ներառված է աշխարհի ամենատարօրինակ թանգարանների շարքում  ։ Թանգարանն Ամստերդամի 50 թանգարանից մեկն է և համարվում  է զբոսաշրջիկների սիրելի վայրերից։ Ամստերդամում է գտնվում տանջանքների վերաբերյալ ևս մեկ ՝ «Միջնադարյան տանջանքների գործիքներ» թանգարանը ։ Այն գտնվում է Դամրակ 33 հասցեում՝ քաղաքի կենտրոնին մոտ։ Երկու թանգարանն էլ իրար հետ որևէ կապ չունեն։
Թանգարանի կառուցվածքը
Թանգարանը կազմված է փոքր, մութ, խճճված սենյակներից։ Յուրաքանչյուրում կան մեկ կամ երկու տանջանքների սարք, որոնցից մի քանիսը գտնվում են ապակու հետևում, բայց շատերն ազատ տեղակայված են սենյակներում և  թույլատրվում է դրանց դիպչել։ Յուրաքանչյուր գործիք համադրված է հին գրքերից կամ հոդվածներից վերցրած  խոշորացված նկարով, որտեղ ներկայացված է թե ինչու և ինչպես է այն օգտագործվել։ Բոլոր հոդվածները գրված են անգլերեն, հոլանդերեն, ֆրանսերեն, գերմաներեն, իտալերեն և իսպաներեն լեզուներով։ Դրանց միջոցով ծառայություններ են մատուցվում այն մեծաքանակ զբոսաշրջիկներին, ովքեր այցելում են թանգարան ։ Թանգարանի մթությունն ու թատերական ձևավորումն առաջացնում են մռայլ տրամադրություն ։
Կարևորություն
Չնայած թանգարանի փոքր չափսերին, այն ունի մեծ ազդեցություն․  պարբերաբար հայտնվում է «Աշխարհի ամենատարօրինակ թանգարաններ»-ի շարքում ։ Այնտեղ հաճախակի այցելություններ են լինում, որոնք հիմնականում կապված են տանջանքների գործիքների լայն շրջանակի հետ  ։ Դրանցից շատերը դառնում են հումոր ստեղծելու ներշնչման աղբյուր, կամ փոփ մշակույթի մի մաս   ։ Մի քանի գրքերում նույնիսկ  խոսվել է « Տանջանքների թանգարան»-ի մասին, ինչպիսին է Էդվարդ Փիթրսի «Տանջանքներ» գիրքը Torture ։
Գաուդա
Գաուդա (Gouda ), համայնք Նիդերլանդների Հարավային Հոլանդիա մարզում։ Տարածքը 16,92 կմ² է, բնակչությունը՝ 71.096 (2011 թ.)։ Մեկ շնչի տարեկան միջին եկամուտը 13.400 եվրո է։
Տանջանքների թանգարան
Այցելություններ թանգարան
Թանգարանը բաց է ամեն օր՝ 10։00-ից մինչև 23։00։ Մուտքն արժե 7,50 եվրո մեծահասակների և 4,00 եվրո  փոքրերի համար։ Այն չի ընդունում ուսանողական զեղչեր կամ անվճար մուտք։ Թանգարանը տանջանքների պատմության և գործիքների վերաբերյալ մեծ տեղեկատվության աղբյուր է և ունի բազմաթիվ կրթական շրջայցեր և ծրագրեր ։
Գաուդա
Կատեգորիա:Հարավային Հոլանդիայի համայնքներ
Տանջանքների թանգարան
Արտաքին հղումներ
Կատեգորիա:Ամստերդամի թանգարաններ
Պիբախտինո
Պիբախտինո (Пибахтино, Пивактын почиҥга), գյուղ Ռուսաստանի Մարի Էլ հանրապետության Սովետսկի շրջանի կազմում։
Ջո Ալմասյան
Ջոզեֆ Մայքլ (Ջո) Ալմասյան (Joseph Michael (Joe) Almasian, ), հայազգի բոբսլեյիստ, 1994 թվականի ձմեռային օլիմպիական խաղերի մասնակից ։
Կենսագրություն
1992 թվականի վերջից Ալմասյանը և Թոփալյանը ուրբաթ օրերին հաճախել են Լեյք Փլեսիդում գտնվող Օլիմպիական ուսումնամարզական կենտրոն, որտեղ նրանք շաբաթ-կիրակի օրերին մարզվել են ամերիկացի բոբսլեյիստ Ջիմ Հիկիի  ղեկավարությամբ ։ Նրանք Հայաստանի թիմի կազմում հանդես  գալու թույլտվություն են ստացել Օլիմպիական խաղերի մեկնարկից երկուսուկես շաբաթ առաջ ։ Զուգախաղի մրցումներում նրանք զբաղեցրին 36-րդ տեղը՝ ցույց տալով 3 րոպե 39,81 վայրկյան արդյունք,  չորս մրցելույթների արդյունքում, 9 վայրկյան զիջելով հաղթողներ՝ շվեյցարացի Գուստավ Վեդերին և Դոնաթ Ակլինին  ։
Ալմասյանի խոսքով՝ ինքը մասնակցել է օլիմպիադային ի հիշատակ իր պապերի և տատիկների, ովքեր 1915 թվականին փախել էին թուրքական ջարդերից ։ Օլիմպիական խաղերից հետո Ալմասյանը և Թոփալյանը երբեք չեն մասնակցել մրցումների ։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Ամերիկահայեր Կատեգորիա:Հայ բոբսլեյիստներ
Զուևո (գյուղ, Օլենինսկի շրջան)
Զուևո (Зуево), գյուղ Ռուսաստանի, Տվերի մարզի Օլենինսկի շրջանի կազմում։
Բնակչությունը վերջին հայտնի գրանցված տվյալներով կազմում էր 0 մարդ։
Արմեն Սմբատյան (երգահան)
Արմեն Բագրատի Սմբատյան, հայ կոմպոզիտոր, պետական գործիչ։ ՀԽՍՀ արվեստի վաստակավոր գործիչ (1987)։ Իսրայելի Պետությունում Հայաստանի Հանրապետության արտակարգ և լիազոր դեսպան (2018 ): Երևանի Կոմիտասի անվան պետական կոնսերվատորիայի ռեկտորը 1995-2002 թվականներին։
Դիրիժոր, ջութակահար Սերգեյ Սմբատյանի հայրն է։
Կենսագրություն
1980 թվականին ավարտել է Երևանի Կոմիտասի անվան պետական կոնսերվատորիայի դաշնամուրային, 1981 թվականին՝ կոմպոզիցիայի բաժինները, 1985 թվականին՝ ասպիրանտուրան։ 1981 թվականից Հայաստանի Կոմպոզիտորների միության անդամ է։ 1982-1987 թվականներին եղել է Հայաստանի հանրային ռադիոյի երաժշտական հաղորդումների գլխավոր տնօրենը։ 1995-2002 թվականներին զբաղեցրել է Երևանի կոնսերվատորիայի ռեկտորի պաշտոնը (1994 թվականից՝ պրոֆեսոր)։ 1996-1998 թվականներին եղել է ՀՀ մշակույթի, երիտասարդության հարցերի և սպորտի նախարարը, 2002-2010 թվականներին՝ Ռուսաստանում Հայաստանի արտակարգ և լիազոր դեսպանը։ 2010 թվականի հունվարի 21-ին Հայաստանի Նախագահի հրամանագրով ազատվել է Ռուսաստանում Հայաստանի արտակարգ և լիազոր դեսպանի պարտականություններից ։ 2010-2013 թվականներին՝ ԱՊՀ-ի երկրների հումանիտար համագործակցության միջպետական հիմնադրամի գլխավոր տնօրենը։ 2014 թվականի հուլիսի 2-ին ՀՀ Նախագահի հրամանագրով նշանակվել է ՀՀ նախագահի խորհրդական միջազգային մշակութային-հումանիտար համագործակցության հարցերով ։ 2018 թվականին Հայաստանի նախագահի հրամանագրով նշանակվել է Իսրայելի Պետությունում Հայաստանի արտակարգ և լիազոր դեսպան ։
Հեղինակել է «Հայաստան» երգը ։
Պորտու Ալեգրի դու Նորտի
Պորտու Ալեգրի դու Նորտի (Porto Alegre do Norte), համայնք Բրազիլիայի Կենտրոնաարևմտյան տարածաշրջանում՝ Մատու Գրոսու նահանգի կազմում   ։ Գտնվում է Մատու Գրոսու նահանգի հյուսիսարևելյան մարզում։ Բնակչությունը կազմում է 14 000 մարդ՝ 2006 թվականի տվյալներով։ Գրավում է 3 977,416 կմ2 տարածք։ Բնակչության խտությունը կազմում է՝ 2,4 մարդ/կմ2։
Ծանոթագրություններ
Կատեգորիա:Բրազիլիայի բնակավայրեր Կատեգորիա:Մատու Գրոսու նահանգի բնակավայրեր
Յուսուֆ Իդրիս
Յուսուֆ Իդրիս ( يوسف إدريس, ), եգիպտացի արձակագիր, դրամատուրգ, հրապարակախոս, կինոսցենարիստ։
1950-ական թվականներին
1954 թվականի օգոստոսին՝ այն նույն ամսին, երբ լույս է տեսնում Յուսուֆ Իդրիսի առաջին գիրքը, գրողը ձերբակալվում է՝ մեղադրվելով կոմունիստական գործունեության մեջ։ Սա առաջին դեպքը չէր, որ Յուսուֆ Իդրիսը ձերբակալվում էր իր քաղաքական հայացքների համար։ Առաջին անգամ նա ձերբակալվել էր 1949 թ.` երկու ամսով, ապա` 1952 թ.` երեք ամսով, սակայն այս անգամ նա ձերբակալվում է «Ազատ սպաների» իշխանության օրոք, որոնց իշխանության գալը նա մեծ ոգևորությամբ էր դիմավորել։ Նա բանտում մնում է տասներեք ամիս։ Այս շրջանում եգիպտական մամուլում բուռն քննարկումներ էին տեղի ունենում ավագ սերնդի և երիտասարդ գրողների միջև հասարակական կյանքում գրողի ունեցած դերի և գեղարվեստական գրականության նշանակության մասին։ Այս բանավեճը թափանցում է նաև բանտի պատերից ներս, որտեղ մեծ քանակությամբ գրական և հասարակական գործիչներ էին հայտնվել քաղաքական մեղադրանքներով։ Այստեղ Իդրիսը տարաձայնություններ է ունենում իր կոմունիստ ընկերների հետ և հեռանում է կուսակցությունից։
Բանտից դուրս գալուց անմիջապես հետո Իդրիսը հրատարակում է «Ֆարհաթի հանրապետությունը» («Ջումհուրիյյաթ Ֆարհաթ», 1956) ժողովածուն, որում ընդգրկված էին չորս ստեղծագործություններ՝ «Ֆարհաթի հանրապետությունը», «Սիրո պատմություն» («Կիսսաթ հուբբ»), «Ռամադան» և «Թափորը» («Ատ-Տաբուր»)։ Այս ժողովածուի համար նախաբան է գրում «արաբական գրականության նահապետ» Տահա Հուսեյնը։ Ընդհանրապես, 1956-1960 թթ. Իդրիսի ստեղծագործական կյանքում ամենաբեղուն տարիներն էին։ Մեկը մյուսի ետևից լույս են տեսնում Իդրիսի նոր գրքերը՝ պատմվածքների ժողովածուներ («Այնպես չէ՞» («Ա լեյսա քազալիքա», 1957), «Հերոսը» («Ալ-Բատալ», 1957), «Պատվի հարց» («Հադիսաթ շարաֆ», 1958), «Աշխարհի վերջը» («Ախիր ադ-դունյա», 1959)), վիպակներ («Մեղքը» («Ալ-Հարամ», 1958), «Արատը» («Ալ-Իբ», 1960)), հոդվածներ, պիեսներ («Ջումհուրիյյաթ Ֆարհաթ» (1957), «Բամբակի արքան» («Մալիք ալ-կուտն», 1957), «Դժվար պահը» («Ալ-Լահզա ալ-հարջա», 1958))։ 1959 թ. հոկտեմբեր-դեկտեմբեր ամիսների ընթացքում «Ալ-Գումհուրիյյա» թերթում հատվածաբար հրատարակվում է «Ճերմակ աղջիկը» («Ալ-Բեյդա») վեպը։
Հրաժեշտ բժշկական գործունեության
Կապերը խզելով կոմունիստների հետ՝ Իդրիսը չէր կարողանում հարթել իր հարաբերությունները պաշտոնական շրջանակների հետ։ Ունենալով նախկին կոմունիստի և «ձախ» հայացքներ կրողի համբավ՝ նա չէր վայելում նրանց վստահությունը։ 1957 թ. Իդրիսը թողնում է Կահիրեի քաղաքապետարանի առողջապահության բաժնի վարիչի պաշտոնը և աշխատանքի է անցնում Իսլամական կոնգրեսում։ Այս կազմակերպության նպատակն էր աջակցել տարբեր երկրների մուսուլմանների միջև հասարակական և մշակութային կապերի ամրապնդմանը։ Կոնգրեսում աշխատելով մեկ տարուց էլ քիչ՝ նա աշխատանքի է անցնում «Աշ-Շաաբ» թերթի խմբագրությունում, որը դրանից ոչ շատ անց միավորվեց «Ալ-Գումհուրիյյա» թերթի հետ։ Յուրաքանչյուր շաբաթ Իդրիսը պետք է գրական կամ հասարակական-քաղաքական թեմայով հոդված գրեր «Օրագիր» («Յաումիյյաթ») բաժնի համար։ Այսպիսով, Իդրիսը վերջնականապես հրաժեշտ է տալիս բժշկական գործունեությանը։ Դրանից հետո նա մի քանի անգամ փորձում է վերադառնալ բժշկի աշխատանքին, նույնիսկ մասնավոր կաբինետ է բացում, սակայն հնարավոր չի լինում համատեղել բժշկական գործունեությունը գրականության և լրագրության հետ։
1960-ական թվականներին
Այս տարիներին Յուսուֆ Իդրիսը շատ է ճամփորդում, համարյա ամեն տարի այցելում է արտասահման։ Անցած դարի 60-ական թթ. ընթացքում նա լինում է Արևմտյան և Արևելյան Եվրոպայի մի շարք երկրներում։ 1964 թ. նա ժամանում է Խորհրդային Միություն։ 1966 թ. նրան հրավիրում են ԱՄՆ, որտեղ նա դասախոսություններ էր կարդում ժամանակակից եգիպտական գրականության վերաբերյալ մի շարք ամերիկյան համալսարաններում։ 60-ական թթ. նա այցելում է համարյա բոլոր արաբական երկրները։ 1965 թ. վերջին Բեյրութի «Հիվար» ամսագիրը, որը հրատարակվում էր, այսպես կոչված, Ազատ մշակույթի միջազգային կազմակերպության կողմից, Իդրիսին շնորհեց գրական մրցանակ 10.000 լիբանանյան լիրայի չափով։ Քանի որ արաբական հասարակայնության շրջանակներում լայնորեն հայտնի էր, որ կազմակերպությունը ֆինանսավորվում է ԿՀՎ-ի օրգանների կողմից, այդ տեղեկությունը մեծ աղմուկ բարձրացրեց Եգիպտոսում։ Մի քանի օր անց Իդրիսը հայտարարում է մրցանակից իր հրաժարվելու մասին, ինչն ընդունվում է մեծ գոհունակությամբ։ 1966 թ. հունվարին Յուսուֆ Իդրիսը պարգևատրվում է Հանրապետության շքանշանով։ «Ճերմակ աղջիկը» վեպից հետո Իդրիսի ստեղծագործության վրա ակնհայտ էր ֆրոյդիզմի և էքզիստենցիալիզմի ազդեցությունը, իր գեղարվեստական երկերում հեղինակը փորձում է հետազոտել մարդկային անհատականության «խորքերը», անհատի ենթագիտակցությունը, նրա հոգեբանության և վարքի կենսաբանական հիմքերը։ 1962 թ. գարնանը Յուսուֆ Իդրիսը՝ որպես «Ալ-Գումհուրիյյա» թերթի թղթակից, մեկնում է նոր անկախացած Ալժիր։ Ալժիրից վերադառնալու ճանապարհին նա երկու շաբաթ անց է կացնում Իսպանիայում, ինչի արդյունքում հայտնվում է «Մարդիկ և ցլեր» («Ռիգալ վա սիռան», 1964) գիրքը, որում գրողը շարունակում է դատապարտել մարդու բռնության կենդանական բնազդը։ 1965 թ. հոկտեմբերին լույս է տեսնում «Ցավի լեզուն» («Լուղաթ ալ-այ-այ», բառացի՝ «Այ-այ լեզուն») ժողովածուն։ 1964 թ. լույս է տեսնում «Ֆարֆուրները» («Ալ-Ֆարաֆիր»), իսկ 1966 թ.` «Երկրային կատակերգություն» («Ալ-Մահզալա ալ-արդիյյա») պիեսները։ Միացյալ Նահանգներից Իդրիսը վերադառնում է 1967 թ. սկզբին և նշանակվում է Պետական սեկտորի դրամատիկական թատրոնների կազմակերպության տնօրեն։ Այս կազմակերպությունը միավորում էր հինգ թատրոններ, սակայն 1967 թ. հոկտեմբերին նա հեռանում է այդ պաշտոնից և վերադառնում «Ալ-Գումհուրիյյա» թերթի խմբագրություն։