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शीतकालीन ओलंपिक में आइस हॉकी
खेल के नियम
वर्तमान आईएचएफ़ नियम एनएचएल में इस्तेमाल किए गए नियमों से थोड़ा अलग हैं। एनएचएल और आईएएचएफ के नियमों के बीच एक अंतर मानक रिंक आयाम है: 61 एम × 30.5 मीटर (200 फीट × 100 फीट) के अंतरराष्ट्रीय आकार के बजाय, 61 एम × 26 मीटर (200 फीट × 85 फीट) मापने वाली एनएचएल रिंक, कम है। बड़ा अंतरराष्ट्रीय आकार खेलने के तेज और कम भौतिक शैली के लिए अनुमति देता है। एनएचएल और आईआईएचएफ के नियमों के बीच एक और नियम अंतर है कि किस प्रकार आईसीटी को कहा जाता है। एनएचएल में, एक लाइनमेनम को टुकड़े करने की वजह से खेलना बंद हो जाता है यदि एक बचाव खिलाड़ी (गोल्टर के अलावा) अपने बचाव वाले क्षेत्र में अंत क्षेत्र के मुकाबले की स्थिति में आक्रमण करने वाले खिलाड़ी के पीछे नहीं है, आईआईएचएफ के विपरीत जिन नियमों में ऐसा खेल रोक दिया जाता है, वहीं पिक लक्ष्य रेखा को पार करता है। एनएचएल और आईआईएचएफ दंड नियमों में भी भिन्न है। आईएचएच गेम्स में बुलाए गए नाबालिग और डबल नाबालिग दंड के अलावा एनएचएल नियमों के अधिक खतरनाक अवरोधों, जैसे कि लड़ने के लिए, पांच-मिनट के प्रमुख दंड को कहते हैं। यह आईआईएचएफ नियम के विपरीत है, जिसके द्वारा खिलाड़ियों को खेल से निकाल दिया जाता है। 2005-06 के मौसम के साथ, एनएचएल ने कई नए नियमों की शुरुआत की। कुछ लोग पहले से ही आईआईएचएफ द्वारा उपयोग किए गए थे, जैसे कि गोलीबारी और दो-लाइन पास। दूसरों को आईआईएचएफ द्वारा उठाया नहीं गया था, जैसे उन छोटे गोल्टर के उपकरणों की आवश्यकता होती है और रिंक को गोल्टरर ट्रिपोजॉइड के अलावा। हालांकि, आईआईएफ़एफ़ ने एनएचएल की शून्य-सहिष्णुता नीति का पालन करने के लिए रुकावट और आवश्यक हिसाब, धारण और हस्तक्षेप दंड कॉल करने के लिए आवश्यक अनुपालन का पालन करने के लिए सहमति व्यक्त की थी।
प्रत्येक टीम को 15 से 20 स्केटरों (आगे और डिफ़ेंसमेन) और दो या तीन गोलटेंडर के बीच की अनुमति दी गई है, जिनमें से सभी के लिए देश के नागरिक वे खेलने के लिए होना चाहिए।
ओलंपिक में एनएचएल की भागीदारी की एक शर्त यह है कि टूर्नामेंट में नियमित एनएचएल रेफरीज़ और लाइनमेनमेन शामिल हैं, इस तथ्य के बावजूद कि वे अमेरिकी या कनाडाई हैं, और इस तरह अत्याधुनिक या अमेरिकी या कनाडाई पूर्वाग्रहों की धारणा को कार्यवाही करते हैं।
प्रतिबंधित पदार्थ
आईआईएचएफ प्रदर्शन-बढ़ाने वाली दवाओं पर विश्व एंटी डोपिंग एजेंसी (वाडा) के नियमों का पालन करता है। आईआईएचएफ एक पंजीकृत परीक्षण पूल रखता है, शीर्ष खिलाड़ियों की एक सूची है जो यादृच्छिक इन-प्रतियोगिता और प्रतिस्पर्धी नशीली दवाओं के परीक्षण के अधीन हैं। वाडा के मुताबिक, खिलाड़ी की अयोग्यता में एक सकारात्मक परीक्षा में परिणाम और एक निलंबन जो अपराधों की संख्या के आधार पर भिन्न होता है। जब कोई खिलाड़ी सकारात्मक परीक्षण करता है, तो उसकी बाकी टीम को परीक्षण के अधीन होता है; एक और सकारात्मक परीक्षा का परिणाम पूरे टीम के अयोग्य हो सकता है। 2001 में, संयुक्त राज्य ओलंपिक समिति (यूएसओसी) ने अमेरिकी एनएचएल खिलाड़ियों को धक्का दिया, जो संभावित ओलंपियन थे, जिन्हें यादृच्छिक औषधि परीक्षणों के अधीन होना था। यूएसओसी को सभी ओलंपिक-बालिथ एथलीटों को संयुक्त राज्य अमेरिका विरोधी डोपिंग एजेंसी द्वारा बेतरतीब ढंग से जांचने की आवश्यकता है, लेकिन उन्होंने 1998 में एनएचएल खिलाड़ियों को छूट दी थी। एनएचएल ने एक और वर्दी पद्धति को प्राथमिकता दी, जिसमें सभी खिलाड़ियों को वाडा से उसी तरह के टेस्ट से गुजरना होगा। एनएफ़एल प्लेऑफ़ खत्म होने के बाद एक समझौता हुआ था कि वाडा परीक्षण खिलाड़ियों को शुरू करेगा।
2005 के अंत में, दो एनएचएल खिलाड़ियों को संभावित ओलंपियन के रूप में सूचीबद्ध किया गया था, वेडा द्वारा प्रशासित दवा परीक्षणों में विफल रहे। 1998 के शीतकालीन ओलंपिक में भाग लेने वाले अमेरिकी ब्रायन बेरारर्ड ने 19-नोरंडोस्टेरोन के लिए सकारात्मक परीक्षण किया। कैनेडियन जोस थियोडोर एक ड्रग टेस्ट में विफल रहा क्योंकि वह प्रोपैशिया ले रहा था, एक बालों के झड़ने की दवा जिसमें गैर-प्रदर्शन-बढ़ाने वाली दवा फिनस्टरइड शामिल थी। दोनों खिलाड़ियों को अंतरराष्ट्रीय प्रतियोगिता से दो साल का प्रतिबंध प्राप्त हुआ, हालांकि न तो उनकी टीम का अंतिम रोस्टर बना।
अमेथिस्ट
अमेथिस्ट बैंगनी क़िस्म का स्फटिक है जिसका अक्सर गहनों में इस्तेमाल किया जाता है। इसका नाम प्राचीन यूनानी ἀ a- ("नहीं") और μέθυστος methustos ("मादकता") से आया है, इस विश्वास के संदर्भ में कि रत्न नशे से अपने मालिक की रक्षा करता है; प्राचीन यूनानी और रोमवासी अमेथिस्ट पहना करते थे और इस विश्वास के साथ उनसे मद्य पात्र बनाते थे कि वह मदहोशी को रोकेगा.
रसायन
अमेथिस्ट बैंगनी क़िस्म का स्फटिक है; इसका रासायनिक सूत्र है SiO2 है।
19वीं सदी में, अमेथिस्ट के रंग का श्रेय मैंगनीज की उपस्थिति को दिया गया था। तथापि, चूंकि यह बहुत ही परिवर्तन में सक्षम है और ताप से भी उत्सर्जित होता है, कुछ अधिकारियों द्वारा रंग को जैविक स्रोत से माना गया। फ़ेरिक थियोसाइनेट का सुझाव दिया गया और खनिज में सल्फ़र पाए जाने की बात कही गई।
अभी हाल ही के कार्य दर्शाते हैं कि अमेथिस्ट का रंग फ़ेरिक लौह की अशुद्धताओं की वजह से है। अतिरिक्त अध्ययनों ने रंग के लिए लौह और एल्यूमीनियम की जटिल अन्योन्य-क्रिया को इसके लिए जिम्मेदार ठहराया.
ताप के प्रभाव में आम तौर पर अमेथिस्ट पीला हो जाता है और गहनों के अधिकांश सिट्रीन, कैर्नगोम, या पीले स्फटिक को केवल "जला हुआ अमेथिस्ट" माना जाता है। अमेथिस्टाइन क्वार्ट्ज की नसों का रंग उजागर दृश्यांश पर खोने की ओर प्रवृत्त है.
सिंथेटिक अमेथिस्ट सर्वोत्तम गुणवत्ता वाले अमेथिस्ट की नकल के रूप में बनाया जाता है। इसकी रासायनिक और भौतिक विशेषताएं प्राकृतिक अमेथिस्ट से इतनी समान हैं कि उसे उन्नत रत्न-वैज्ञानिक परीक्षणों के बिना (जो अक्सर लागत-निषिद्ध हैं) सुनिश्चित रूप से अलग पहचाना नहीं जा सकता है। "ब्राज़ील लॉ ट्विनिंग" पर आधारित एक परीक्षण मौजूद है (स्फटिक-यमलन का एक स्वरूप जहां दाएं और बाएं स्फटिक संरचनाओं को एक क्रिस्टल में संयोजित किया जाता है ) जिसका सिंथेटिक अमेथिस्ट की आसानी से पहचान के लिए उपयोग किया जा सकता है। सिद्धांत रूप में हालांकि इस सामग्री को सिंथेटिक रूप से तैयार करना संभव है, लेकिन बाज़ार में यह प्रकार बड़ी मात्रा में उपलब्ध नहीं है।
संरचना
अमेथिस्ट दाएं और बाएं एकांतर पटलिकाओं के अनियमित अधिस्थापन से बना है। यह दर्शाया गया है कि ऐसी संरचना यांत्रिक तनाव के कारण हो सकता है।
क्योंकि मोह्स पैमाने पर इसकी कठोरता सात है, अमेथिस्ट गहने में उपयोगार्थ उपयुक्त है।
रंग और आभा
अमेथिस्ट एक हल्के गुलाबी बैंगनी से गहरे बैंगनी रंग तक के प्राथमिक रंगों में उपलब्ध होता है। अमेथिस्ट एक या दोनों माध्यमिक रंग, लाल और नीला प्रदर्शित कर सकता है। आदर्श ग्रेड को "डीप साइबेरियाई" कहा जाता है और इसमें लगभग 75-80 प्रतिशत का बैंगनी रंग, 15-20 प्रतिशत नीला और (प्रकाश स्रोत पर निर्भर) लाल माध्यमिक रंग पाया जाता है। हरे स्फटिक को कभी-कभी हरा अमेथिस्ट कहा जाता है। हरे स्फटिक के लिए अन्य नाम हैं प्रेसियोलाइट, वरमरीन या लाइम सिट्रीन.
इतिहास
अमेथिस्ट का प्राचीन मिस्रवासियों द्वारा रत्न के रूप में प्रयोग किया जाता था और बड़े पैमाने पर उत्कीर्ण आकृति रत्नों के लिए पुरावस्तु में प्रयुक्त किया जाता था।
यूनानियों का मानना था कि अमेथिस्ट रत्न मादकता को रोक सकता है, जबकि मध्यकालीन यूरोपीय सैनिक लड़ाई में संरक्षण के रूप में अमेथिस्ट ताबीज पहनते थे। इसका कारण यह मान्यता है कि अमेथिस्ट स्वस्थ कर देता है और उन्हें शांत स्वभाव का बनाए रखता है। इंग्लैंड के आंग्ल-सैक्सन कब्रों में अमेथिस्ट के मोती पाए गए।
दक्षिणी ब्राजील के सांताक्रूज में पास से, एक बड़ा जियोड या "अमेथिस्ट-ग्रोटो" 1902 की डसेलडॉर्फ़, जर्मनी की प्रदर्शनी में प्रदर्शित किया गया था।
अमेथिस्ट फरवरी के लिए पारंपरिक जन्म-रत्न है।
पौराणिकी
यूनानी शब्द "अमेथिस्टॉस" को a-, नहीं + methustos, मदोन्मत्त से यूनानी "शराबी नहीं" के रूप में अनूदित किया जा सकता है। अमेथिस्ट को मादकता के प्रति ज़ोरदार मारक के रूप में माना गया था, जिसके कारण उससे अक्सर शराब के जाम उत्कीर्ण किए जाते थे। यूनानी पौराणिक कथाओं में, डायोनिसस, मादकता और शराब के देवता, अमेथिस्टोस नामक कन्या का पीछा कर रहे थे, जिसने उनके प्यार को ठुकराया था। अमेथिस्टोस ने देवताओं से प्रार्थना की कि वह पवित्र बनी रहे, जिसे देवी अरतेमिस ने स्वीकार किया और उसे सफ़ेद पत्थर में बदल दिया। अमेथिस्टोस के पवित्र बने रहने की इच्छा से विनम्र होकर डायोनिसस ने पत्थर पर भेंट स्वरूप शराब उंडेल दिया, जिससे क्रिस्टल बैंगनी रंग के हो गए।
कहानी के रूपांतरणों में शामिल है कि डायोनिसस एक मनुष्य से अपमानित हुए और क्रोध में बदला लेने के लिए खूंखार बाघ बनाते हुए क़सम खाई कि अगला जो भी मनुष्य उनके रास्ते में आएगा उसकी हत्या कर देंगे। वह मनुष्य एक सुंदर युवा कन्या अमेथिस्टोस निकलीं, जो अरतेमिस को श्रद्धा-सुमन अर्पित करने जा रही थी। अरतेमिस ने क्रूर पंजों से उसे बचाने के लिए उस कन्या को शुद्ध् क्रिस्टलीय स्फटिक की मूर्ति में बदलते हुए, उसके जीवन की रक्षा की। डायोनिसस की जब सुंदर मूर्ति पर नज़र पड़ी, तो उसे अपने किए पर पछतावा हुआ और उसने शराब के आंसू बहाए. तब भगवान के आंसुओं ने स्फटिक पर बैंगनी दाग छोड़े. एक अन्य रूपांतरण में टाइटन रिया द्वारा शराबी के विवेक की रक्षा के लिए डायोनिसस को अमेथिस्ट रत्न भेंट में देना शामिल है। यह गर्म करने पर पीले रंग में बदल जाता है।
भौगोलिक वितरण
अमेथिस्ट ब्राज़ील के मिनास गेराइस राज्य में बहुतायत में उत्पादित होता है, जहां ज्वालामुखी चट्टानों के भीतर बड़े जियोडों में यह पाया जाता है। यह दक्षिण कोरिया में भी पाया और खोदा जाता है। दुनिया में सबसे विशाल विवृत खान अमेथिस्ट धारी, माइसाउ, निचले ऑस्ट्रिया में है। ब्राज़ील और उरुग्वे के कई खोखले गोमेदों में अंदर की ओर अमेथिस्ट क्रिस्टल के समूह शामिल हैं। बहुत बढ़िया अमेथिस्ट रूस से आता है, विशेष रूप से एकाटरिनबर्ग जिले के मुरसिंका के पास, जहां वह ग्रेनाइट चट्टानों की क्रिस्टल गुहिकाओं में पाया जाता है। भारत के कई स्थानों में अमेथिस्ट की उपज होती है। अमेथिस्ट के सबसे बड़े वैश्विक उत्पादकों में एक है जाम्बिया, जिसका वार्षिक उत्पादन 1,000 टन है। अमेथिस्ट संयुक्त राज्य अमेरिका की कई बस्तियों में होता है। इनमें उल्लेख किया जा सकता है: जिला और मरिकोपा काउंटी, अरिज़ोना में मज़टज़ाल पर्वत क्षेत्र; अमेथिस्ट पर्वत, टेक्सास; एल्लोस्टोन राष्ट्रीय उद्यान; डेलावेयर काउंटी, पेंसिल्वेनिया; हेवुड काउंटी, उत्तरी केरोलिना; डीर हिल और स्टो, माइने और लेक सुपीरियर क्षेत्र. अमेथिस्ट ओंटारियो में और पूरे नोवा स्कोटिया के विभिन्न स्थानों में अपेक्षाकृत आम है। उत्तरी अमेरिका की सबसे विशाल अमेथिस्ट खान थंडर बे, ओंटारियो में स्थित है।
मूल्य
संग्रहकर्ता रंग की गहराई, संभवतः पारंपरिक रूप से काटने पर लाल चमक के लिए देखते हैं। उच्चतम ग्रेड का अमेथिस्ट ("गहरा रूसी" नामक) असाधारणतः दुर्लभ है और इसलिए जब भी वह पाया जाता है, उसका मूल्य लेनेवालों की मांग पर निर्भर करता है। लेकिन अभी भी यह उच्चतम ग्रेड के नीलम या मानिक (पदपरड्शा नीलम या "कबूतर रक्तिम" मानिक) की तुलना में कम दीप्ति वाला है।
संतोष हेगडे
एन. संतोष हेगडे (जन्म : १६ जून १९४०) भारत के उच्चतम न्यायालय के पूर्व न्यायधीश एवं महान्यायवादी रहे हैं। वर्तमान में वे कर्नाटक के लोकायुक्त हैं तथा हाल में ही गठित जन-लोकपाल विधेयक निर्मात्री समिति के सदस्य भी हैं। हाल में ही उन्होंने कर्नाटक में अवैध खनन मामले पर जो रिपोर्ट बनाई उसमें उन्होंने मुख्यमंत्री बीएस येदियुरप्पा को ज़िम्मेदार ठहराया.
इसके बाद येदियुरप्पा को अपने पद से इस्तीफ़ा देना पड़ा था।
इर्कपल्लि, तिर्यानि मण्डल
इर्कपल्लि, तिर्यानि मण्डल में भारत के आन्ध्रप्रदेश राज्य के अन्तर्गत के अदिलाबादु जिले का एक गाँव है।
अदा... ए वे ऑफ़ लाइफ
'अदा... ए वे ऑफ़ लाइफ' २०१० की एक बॉलीवुड फ़िल्म है।
सिंगारपुर गाँव, लखीसराय (लखीसराय)
सिंगारपुर लखीसराय, लखीसराय, बिहार स्थित एक गाँव है।
गणित का इतिहास
अध्ययन का क्षेत्र जो गणित के इतिहास के रूप में जाना जाता है, प्रारंभिक रूप से गणित में अविष्कारों की उत्पत्ति में एक जांच है और कुछ हद तक, अतीत के अंकन और गणितीय विधियों की एक जांच है।
आधुनिक युग और ज्ञान के विश्व स्तरीय प्रसार से पहले, कुछ ही स्थलों में नए गणितीय विकास के लिखित उदाहरण प्रकाश में आये हैं। सबसे प्राचीन उपलब्ध गणितीय ग्रन्थ हैं, प्लिमपटन ३२२ (Plimpton 322)(बेबीलोन का गणित (Babylonian mathematics) सी.१९०० ई.पू.) मास्को गणितीय पेपाइरस (Moscow Mathematical Papyrus)(इजिप्ट का गणित (Egyptian mathematics) सी.१८५० ई.पू.) रहिंद गणितीय पेपाइरस (Rhind Mathematical Papyrus)({3}इजिप्ट का गणित {/3}सी.१६५० ई.पू.) और शुल्बा के सूत्र (Shulba Sutras)(भारतीय गणित सी. ८०० ई.पू.)। ये सभी ग्रन्थ तथाकथित पाईथोगोरस की प्रमेय (Pythagorean theorem) से सम्बंधित हैं, जो मूल अंकगणितीय और ज्यामिति के बाद गणितीय विकास में सबसे प्राचीन और व्यापक प्रतीत होती है।
बाद में ग्रीक और हेल्लेनिस्टिक गणित (Greek and Hellenistic mathematics) में इजिप्त और बेबीलोन के गणित का विकास हुआ, जिसने विधियों को परिष्कृत किया (विशेष रूप से प्रमाणों (mathematical rigor) में गणितीय निठरता (proofs) का परिचय) और गणित को विषय के रूप में विस्तृत किया। इसी क्रम में, इस्लामी गणित (Islamic mathematics) ने गणित का विकास और विस्तार किया जो इन प्राचीन सभ्यताओं में ज्ञात थी। फिर गणित पर कई ग्रीक और अरबी ग्रंथों कालैटिन में अनुवाद (translated into Latin) किया गया, जिसके परिणाम स्वरुप मध्यकालीन यूरोप (medieval Europe) में गणित का आगे विकास हुआ।
प्राचीन काल से मध्य युग (Middle Ages) के दौरान, गणितीय रचनात्मकता के अचानक उत्पन्न होने के कारण सदियों में ठहराव आ गया। १६ वीं शताब्दी में, इटली में पुनर् जागरण की शुरुआत में, नए गणितीय विकास हुए. जिससे नए वैज्ञानिक खोजों के साथ अंतर क्रियाएँ हुईं, यह सब अब तक की सबसे तीव्र गति के साथ हुआ (ever increasing pace) और यह आज तक जारी है।
प्रारंभिक गणित
सबसे पुराने लिखित रिकॉडों से भी बहुत अधिक पहले, ऐसे चित्र मिलते हैं जो मूल गणित के कुछ ज्ञान की और इंगित करते हैं और तारों के आधार पर समय के मापन को भी इंगित करते हैं। उदहारण के लिए जीवाश्म विज्ञानियों (paleontologists) ने दक्षिणी अफ्रीका की गुफाओं में ओकरे (ochre) चट्टानों की खोज की जो लगभग ७०, ००० वर्ष पुरानी थी और खरोंच युक्त ज्यामितिक पैटर्न से सुसज्जित थीं। साथ ही प्रागैतिहासिक (prehistoric)विरूपण (artifact) ने अफ्रीका और फ्रांसमें ऎसी खोजें की जो ३५, ००० (35,000) और २०,००० (20,000) साल पुरानी हैं, व समय के मात्राकरण (quantify) के प्रारंभिक प्रयासों को बताती हैं।
इस बात के प्रमाण मिलते हैं कि महिलाएं अपने मासिक धर्म चक्र (menstrual cycle) का हिसाब रखने के लिए गिनती करती थीं: इसके लिए हड्डी या पत्थर पर २८-३० खंरोच बना दी जाती थीं, जिस पर एक विशिष्ट मार्कर से निशान बनाये जाते थे। इसके अलावा, शिकारी और चरवाहे जब पशुओं के झुंड पर विचार करते थे तो एक, दो और अनेककी अवधारणाओं को प्रयोग करते थे, साथ ही कोई नहीं या शून्यके विचार से भी अवगत थे।
नील नदी (पूर्वोत्तर कांगो (Congo)) के मुख्य जल के पास मिली इशांगो अस्थि (Ishango bone), अधिक से अधिक २०,००० (20,000) साल पुरानी हो सकती है। एक आम धारणा यह है कि यह अस्थि अभाज्य संख्या (sequence) और इजिप्ट के प्राचीन गुणन (prime number) के अनुक्रम (Ancient Egyptian multiplication) का सबसे पुराना ज्ञात प्रदर्शन है। ५ वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व के पूर्व राजवंश के इजिप्ट (Predynastic Egypt) के लोगों ने ज्यामितिकस्थानिक (spatial) डिजाइन का चित्रों के द्वारा प्रदर्शन किया। ऐसा दावा किया गया है कि तीसरी सहस्राब्दी ई.पू. में इंग्लैंड (megalith) और स्कॉटलैंड में, मेगालिथिक स्मारकों ने अपने डिजाइनों में व्रत (circle), दीर्घ व्रत और पाईथोगोरियन त्रिक (Pythagorean triple) के ज्यामितीय आकारों को शामिल किया।
प्राचीन भारत की सबसे प्राचीन ज्ञात गणित, जो ३००० -२६०० ई.पू. में मानी जाती है, उत्तर भारत (North India) और पाकिस्तानसिंधु घाटी सभ्यता (हड़प्पा सभ्यता) में पाई गयी है। इस सभ्यता ने समान वजन और मापन की प्रणाली का विकास किया जिसमें दशमलव (decimal) प्रणाली का प्रयोग किया गया, एक आश्चर्यजनक रूप से उन्नत ईंट (brick) तकनीक जिसमें अनुपात (ratio) का प्रयोग किया गया, पूर्ण समकोण (right angle) पर गलियाँ बनायीं गयी, साथ ही कई ज्यामितीय आकारों और डिजाइनों का प्रयोग किया गया, जिसमें घनाभ (cuboid), बैरल (barrel), शंकु (cones), बेलन (cylinders) शामिल हैं, तथा इसमें समकेंद्री और एक दूसरे को काटने वाले व्रत (circle) व त्रिभुजों (triangle) के चित्र भी मिलते हैं। गणितीय उपकरणों में शामिल था एक सटीक दशमलव पैमाना, जो छोटे और सटीक उपविभाजनों से युक्त था, एक खोल उपकरण जो समतल सतह पर या क्षितिज में ४०-३६० डिग्री के गुनज में कोण का मापन करने के लिए एक कम्पास का काम करता था, एक खोल उपकरण का उपयोग आकाश और क्षितिज के ८-१२ पूर्ण विभागों को मापने के लिए किया जाता था और एक उपकरण का उपयोग जहाज संचालन के लिए तारों की स्थिति के मापन के लिए किया जाता था।सिन्धु लिपि को अभी तक पढा नहीं जा सका है; अतः हड़प्पा की गणित (Harappan mathematics) के लिखित रूपों के बारे में बहुत कम ज्ञात है। पुरातात्विक प्रमाण यह संदेह पैदा करते हैं कि इस सभ्यता में एक आधार 8 (base 8) की अंक प्रणाली (numeral system) का उपयोग किया गया, उन्हें π (π) का मान भी ज्ञात था, जो व्रत की परिधि (circumference) की लम्बाई और इसके व्यास (diameter) का अनुपात है।
चीनी गणित का सबसे पुराना उदाहरण शांग राजवंश (Shang Dynasty) (१६०० -१०४६ ई.पू.) से मिलता है, जिसमें एक कछुए के कवच पर खरोंच कर बनाये गए अंक शामिल हैं। .इन अंकों को दशमलव संकेतन के माध्यम से बताया जाता था। उदाहरण के लिए संख्या १२३ को (ऊपर से नीचे तक) लिखने के लिए १ के प्रतीक के बाद १०० का प्रतीक लिखा जाता था, उसके बाद २ के प्रतीक एक बाद १० का प्रतीक लिखा जाता था और अंत में ३ का प्रतीक लिखा जाता था। यह उस समय दुनिया की सबसे उन्नत अंक प्रणाली थी, जिसमें सुअन पेन (suan pan)या (चीनी एबेकस) पर गणनाएं भी की जा सकती थीं।सुअन पेनके आविष्कार की तारीख ज्ञात सुनिश्चित नहीं है, किन्तु सबसे पुराना लिखित उदाहरण ई. १९० में जू यू की सप्लीमेंट्री नोट्स ओन दी आर्ट ऑफ़ फिगर्स में मिलता है।
मेसोपोटामिया
बेबीलोन का गणित मेसोपोटामिया (आधुनिक इराक) के लोगों के किसी भी गणित से सम्बन्ध रखता है, यह प्ररम्भिक सुमेरियन से लेकर हेल्लेनिस्टिक अवधि (Hellenistic period) की शुरुआत से सम्बंधित है। इसे बेबीलोन के गणित का नाम दिया गया क्योंकि अध्ययन के स्थान के रूप में बेबीलोन नें केन्द्रीय भूमिका निभाई, जिसका अस्तित्व हेल्लेनिस्टिक अवधि में मन जाता है। इस बिंदु से, बेबीलोन का गणित ग्रीक और मिस्र के गणित के साथ विलय हो गया और इसने हेल्लेनिस्टिक गणित (Hellenistic mathematics) को जन्म दिया। बाद में अरब साम्राज्य (Arab Empire), मेसोपोटामिया, विशेषकर बगदादके अंतर्गत, एक बार फिर से इस्लामी गणित (Islamic mathematics) के लिए अध्ययन का एक महत्वपूर्ण केंद्र बन गया।
मिस्र के गणित (Egyptian mathematics) में स्रोतों की अतिरिक्तता के विपरीत बेबीलोन की गणित के बारे में हमारा ज्ञान १८५० के बाद से खुदाई में मिली ४०० से अधिक मिटटी की गोलियों से व्युत्पन्न हुआ है।क्युनीरूप लिपि (Cuneiform script) में गोलियों पर किया गया अंकन तब किया गया जब मिटटी गीली थी और इसे सख्त बनाने के लिए एक भट्टी में या सूरज की गरमी में पकाया गया। इनमें से कुछ गृह कार्य की श्रेणी में वर्गीकृत होते हुए प्रतीत होते हैं।
मिटटी की गोलियां मुख्य रूप से १८०० से १६०० ई.पू. के बीच मिली हैं, ये ऐसे विषयों को कवर करती हैं जिनमें भिन्न, बीज गणित, द्विघात और घन समीकरण शामिल हैं, साथ ही नियमित (regular)व्युत्क्रम (reciprocal)जोडों (pairs) पर गणनाएं भी मिलती हैं। (देखें प्लिमपटन ३२२ (Plimpton 322))। इन गोलियों पर गुणा के पहाड़े और रेखीय और द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियां भी शामिल हैं। बेबीलोन की गोली वे बी सी ७२८९, √ २ का मान दशमलव के पांच स्थानों तक बिलकुल ठीक बताती है।
बेबीलोन के गणित को एक सेक्सागेसिमल (sexagesimal)(आधार-60) अंक प्रणाली (numeral system) का उपयोग करते हुए लिखा गया। इसी से हम ने आधुनिक उपयोग को व्युत्पन्न किया है जैसे एक मिनट में ६० सेकंड, एक घंटे में ६० मिनट और एक व्रत में ३६० (६० X ६०) डिग्री, साथ ही एक डिग्री के के अंश को निरुपित करने के लिए एक चाप के सेकंड और मिनट का उपयोग.गणित में बेबीलोन के उन्नत अनुप्रयोग इस तथ्य से प्रभावित हैं कि ६० से बहुत अधिक भाजक हैं। साथ ही, मिस्र, ग्रीक और रोमन के लोगों के विपरीत, बेबीलोन के लोगों के पास एक सही स्थानीय मान प्रणाली थी, जिसमें बाएं स्तम्भ में लिखी गयी संख्या बड़े मान को बताती थी जैसा कि दशमलव (decimal) प्रणाली में होता है। तथापि उनकी प्रणाली में दशमलव बिंदु के तुल्य मान का अभाव था। और इसीलिए किसी प्रतीक का स्थानीय मान अक्सर सन्दर्भ से निष्कर्षित किया जाता था।
मिस्र
इजिप्ट का गणित वह गणित है जिसे इजिप्ट की भाषा (Egyptian language) में लिखा गया है।हेल्लेनिस्टिक अवधि (Hellenistic period), से इजिप्ट (Greek) के विद्वानों की लिखित भाषा की दृष्टि से ग्रीक (Egyptian) ने इजिप्ट का स्थान ले लिया और इस समय से इजिप्ट का गणित ग्रीक और बेबीलोन के गणित के साथ विलेय हो गया, जिसने हेल्लेनिस्टिक गणित (Hellenistic mathematics) को जन्म दिया। इजिप्ट में गणित का अध्ययन बाद में इस्लामी गणित (Arab Empire) के एक भाग के रूप में अरब साम्राज्य (Islamic mathematics) के अंतर्गत जारी रहा, जब जब अरबी मिस्र के विद्वानों के लिखित भाषा बन गई।
सबसे पुराना अभी तक खोजा गया गणितीय ग्रन्थ मास्को पेपाइरस (Moscow papyrus) है, जो एक इजिप्ट का मध्य साम्राज्य (Middle Kingdom) का दिनांकित सी. पेपाइरस है। २०००-१८०० ई.पू.. कई प्राचीन गणितीय ग्रंथों की तरह, इसमें वह शामिल है जिसे आज हम शब्द समस्याएँ अथवा कहानी समस्याएँ कहते हैं, जो जाहिर तौर पर मनोरंजन के लिए की जाती थीं। एक समस्या को विशेष महत्त्व का माना जाता है क्योंकि यह एक फ्रासटम (frustum) के आयतन को पता लगाने की एक विधि बताती है:"यदि आपको कहा जाये:६ का एक ऊर्ध्वाधर पिरामिड जिसकी उर्ध्व ऊंचाई आधार पर ४ और शीर्ष पर २ है। आप को इस ४ का वर्ग करना है, परिणाम १६.आप को इस ४ को दो गुणा करना है, परिणाम ८.आपको २ का वर्ग करना है, परिणाम ४.आपको १६, ८ और ४ का योग करना है, परिणाम २८. आपको ६ का एक तिहाई करना है, परिणाम २.आपको २८ को दो बार लेना है, परिणाम ५६.देखिये यह ५६ है। आप इसे सही पाएंगे."
रहिंद पेपाइरस (Rhind papyrus)(सी.१६५० ई.पू. ) एक अन्य मुख्य इजिप्ट का गणितीय ग्रन्थ है, जो अंकगणित और ज्यामिति में एक निर्देश मैनुअल है। क्षेत्रफल के सूत्र, गुणा भाग की विधियां देने, और इकाई भिन्नों के साथ क्रिया करने के अलावा, इसमें अन्य गणितीय ज्ञान के प्रमाण भी हैं, जिसमें सम्मिश्र (composite) और अभाज्य (prime number) संख्याएँ; अंकगणितीय (arithmetic), ज्यामितीय (geometric) और हारमोनिक (harmonic mean) माध्य; इरेतोस्थेनस की चलनी (Sieve of Eratosthenes) और पूर्ण संख्या सिद्धांत (perfect number theory)(नामतः, संख्या ६ का) शामिल हैं। साथ ही यह दर्शाता है कि पहले क्रम के रेखीय समीकरण को और साथ हीअंकगणितीय (arithmetic) और ज्यामितीय श्रृंखला (geometric series) को कैसे हल किया जाये.
साथ ही रहिंद पेपाइरस में उपस्थित तीन ज्यामितीय तत्व विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytical geometry) पर आधारित सरलतम:तथ्य का सुझाव देते हैं:(१) पहला और सबसे पुराना, एक प्रतिशत से कम के अन्दर सटीक का सन्निकटन\pi कैसे प्राप्त किया जाये; (२) दूसरा, व्रत का वर्ग करने (squaring the circle) का एक प्राचीन प्रयास और (३) तीसरा, एक प्रकार की सहस्पर्शज्या (cotangent) का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग.
अंत में, बर्लिन पेपाइरस (Berlin papyrus) (सी.१३०० ई.पू. ) दर्शाता है कि प्राचीन इजिप्ट के लोग द्वितीय क्रम के बीजीय समीकरण (algebraic equation) को हल कर सकते थे।
प्राचीन भारतीय गणित (सी. ९०० ई.पू.-ई. २००)
शुक्लयजुर्वेद संहिता के कतिपय मन्त्राें में संख्याओं का उल्लेख और गुणनसारणी पाई जाती है। वैदिक गणित की शुरुआत शतपथ ब्राह्मण के साथ प्रारंभिक लौह युग में हुई, (सी. ३० वीं शताब्दी ई.पू.), जो π (π) के मान को दशमलव के दो स्थानों तक बताती है। वेदांग ज्याेतिष में (सी.१३५० ई.पू.) गणित के कतिपय प्रकार पाए जाते हैं। और शुल्बा के सूत्र (Sulba Sutras)। (सी.८००-५०० ई.पू.) ज्यामिति के पाठ हैं जो अन अनुपातिक संख्याओं (irrational number), अभाज्य संख्याओं (prime number), तीन के नियम (rule of three) और घन मूल (cube root) का उपयोग करते थे; इन्होने २ के वर्ग मूल (square root) की गणना दशमलव के पांच स्थानों तक की; वृत का वर्ग (squaring the circle) करने की विधी दी; रैखिक समीकरणों और द्विघात समीकरणों को हल किया; बीज गणितीय रूप से पाइथोगोरियन त्रिक (Pythagorean triple) का विकास किया और पाईथोगोरस की प्रमेय (proof) का एक आंकिक प्रमाण (Pythagorean theorem) तथा तथ्य दिया।
(सी. ५. शताब्दी ई.पू.) संस्कृत (grammar) के व्याकरण नियमों को तैयार किया। उनका अंकन आधुनिक गणितीय अंकन के समान था और इसने ऎसी कृत्रिमता के साथ मध्यम नियमों, रूपांतरण (transformation) और पुनरावृति (recursion) का उपयोग किया की उनकी व्याकरण में एक ट्यूरिंग मशीन (computing) के तुल्य घात अभिकलन (Turing machine) की क्षमता थी।पिंगला (मोटे तौर पर तीसरी पहली शताब्दी ई.पू.) ने अपने छंदशास्र (prosody) की शोधात्मक पुस्तक में एक उपकरण का उपयोग किया जो द्विआधारी अंक प्रणाली (binary numeral system) से मेल खाती है।मीटर (combinatorics) की संचयिका (meters) पर उनकी चर्चा द्विपद प्रमेय (binomial theorem) से मेल खाती है। पिंगला के कार्य में फिबोनैकी संख्याओं के बुनियादी विचार भी शामिल हैं। (जो मात्रामेरु )। ब्रह्ममी (Brāhmī) लिपि कम से कम चौथी शताब्दी ई.पू. में मौर्य राजवंश से विकसित हुई। प्रकट होते हुए हाल ही के पुरातात्विक साक्ष्य इसके विकास को ६०० ई.पू. में दिनांकित करते हैं। ब्राह्मी अंक (Brahmi numerals) तीसरी शताब्दी ई.पू. की तिथि पर दिनांकित हैं।
४०० ई.पू. और ई. २०० ई. के बीच, जयना गणितज्ञों ने मात्र गणित के उद्देश्यों के लिए गणित का अध्ययन शुरू किया। वे पहले लोग थे जिन्होंने पारपरिमित संख्याओं (transfinite numbers), समुच्चय सिद्धांत, लघुगणक, सूचकांकों के मूल नियम (indices), घन समीकरण (cubic equation), द्विघात समीकरण (quartic equation), अनुक्रम (sequences) और उन्नयन, क्रमचय और संचय (permutations and combinations), वर्ग करना और वर्ग मूल (square root) निकालना और परिमित और अपरिमित (infinite) घातों (powers) का विकास किया। बखशाली पाण्डुलिपि (Bakhshali Manuscript)जो २०० ई.पू. और २०० ई. के बीच लिखी गयी, में पांच अज्ञात तक रैखिक समीकरणों के हल, द्विघात समीकरणों के हल, अंक गणितीय और ज्यामितीय उन्नयन, संयुक्त श्रृंख्ला, द्विघात अनिश्चित समीकरण, युगपत समीकरण शामिल हैं और साथ ही शून्य और नकारात्मक संख्याओं (negative numbers) के प्रयोग भी शामिल हैं। अन अनुपातिक संख्या के लिए सटीक अभिकलन पाए जा सकते हैं, जिसमें अधिक से अधिक एक मिलियन तक की संख्याओं के वर्ग मूलों का कम से कम ११ दशमलव स्थानों तक अभिकलन शामिल है।
ग्रीक और हेल्लेनिस्टिक गणित (सी.५५० ई.पू.-ई. ३००)
ग्रीक गणित वह गणित है जो ६०० ई.पू. और ३०० ई. के बीच ग्रीक भाषा (Greek language) में लिखी गयी। ग्रीक गणितज्ञ इटली से उत्तरी अफ्रीका तक पूरे पूर्वी भूमध्य में फैले थे, लेकिन संस्कृति और भाषा से एकजुट थे।एलेगजेंडर दी ग्रेट के बाद की अवधी की ग्रीक गणित कभी कभी हेल्लेनिस्टिक गणित कहलाती है।
ग्रीक गणित उस गणित की तुलना में अधिक परिष्कृत थी जो प्रारंभिक संस्कृतियों के द्वारा विकसित की गयी थी। फ्रीक पूर्व गणित के सभी उपस्थित रिकोर्ड आगमनात्मक तर्क के उपयोग को दर्शाते हैं, अर्थात, अंगूठे के नियमों को स्थापित करने के लिए बार बार प्रेक्षणों को दोहराना. इसके विपरीत ग्रीक गणितज्ञ निगमनात्मक तर्क का उपयोग करते थे। ग्रीक लोग परिभाषा और स्वतः सिद्ध कथनों से निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए तर्क का उपयोग करते थे।
माना जाता है कि ग्रीक गणित की शुरुआत थेल्स (Thales)(सी. ६२४-सी.५४६ ई.पू.) और पाईथोगोरस का साथ हुई। (सी.५८२-सी.५०७ ई.पू.)। हालाँकि इसके प्रभाव की सीमा पर विवाद है, संभवतया वे मिस्र (Egypt), मेसोपोटामिया (Mesopotamia) और भारत की गणित से प्रेरित थे। पौराणिक कथा के अनुसार, पाईथोगोरस, इजिप्ट के पुजारियों से गणित, ज्यामिति और खगोल विज्ञान सीखने के लिए इजिप्ट गए।
थेल्स ने समस्याओं को हल करने के लिए ज्यामिति का प्रयोग किया जैसे पिरेमिड की ऊंचाई की गणना और जहाज से किनारे की दूरी की गणना.पाइथोगोरस की प्रमेय (Pythagorean theorem) के पहले प्रमाण का श्रेय पाइथोगोरस को दिया जाता है, हालाँकि प्रमेय के तथ्यों का एक लम्बा इतिहास है। यूक्लिड (Euclid) पर उनकी टिप्पणी में प्रोक्लस (Proclus) कहते हैं कि पाइथोगोरस ने प्रमेय की अभिव्यक्ति की जिसमें उनका नाम है और ज्यामितीय के बजाय बीजगणितीय रूप से पाईथोगोरियन त्रिक (Pythagorean triples) बनाये। प्लेटो की अकादमी (Academy of Plato) के दो उद्देश्य थे,"
पाइथोगोरियन्स (Pythagoreans) ने अन अनुपातिक संख्याओं के अस्तित्व को साबित किया।यूडोक्‍सस (Eudoxus)(४०८-सी. ३५५ ई.पू.) ने समाप्ति की विधि (method of exhaustion) को विकसित किया, जो आधुनिक एकीकरण (integration) का एक अग्रदूत है।अरस्तू (Aristotle) (३८४-सी.३२२ ई.पू.) ने अहले तर्कके नियमों को लिखा.यूक्लिड (Euclid) (सी.३०० ई.पू.) उस प्रारूप का सबसे पुराना उदाहरण है जिसका उपयोग अभी भी आज की गणित, परिभाषाओं, स्वतः सिद्ध तथ्यों, प्रमेयों और प्रमाणों में होता है। उन्होंने कोनिक्स का भी अध्ययन किया। उनकी पुस्तक "एलिमेंट्स (Elements)", २० शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में सभी लोगों को शिक्षित करने के लिए जानी जाती थी। ज्यामिति की परिचित प्रमेयों जैसे पाइथोगोरस की प्रमेय (Pythagorean theorem) के अलावा, एलिमेंट्सइस बात का सबूत है कि २ का वर्गमूल अन अनुपातिक संख्या है और अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ पाई जाती हैं।इरेतोस्थेनस की चलनी (Sieve of Eratosthenes)(सी.२३० ई.पू.) का उपयोग अभाज्य संख्याओं की खोज के लिए किया गया।
शास्त्रीय चीनी गणित (सी. ५०० ई.पू.-१३०० ई.)
चीनमें महाराज किन शि हुआंग (Qin Shi Huang) (शि हुआंग-टी) ने २१२ ई.पू. निर्देश दिया कि किन के राज्य के बहार सभी किताबों को जला दिया जाये.इसकी सार्वभौमिक रूप से पालना नहीं की गयी, लेकिन इस आदेश के परिणाम के रूप में प्राचीन चीनी गणित के बारे में बहुत कम ज्ञात है।
पश्चिमी झोउ वंश (Western Zhou Dynasty)(१०४६ ई.पू. से), से सबसे पुराना गणितीय कार्य जिसने पुस्तकों को जलाना (book burning) जारी रखा, वह है, आई चिंग (I Ching), जो ८ द्विआधारी ३- टपल (tuple)(त्रिग्राम) और ६४ द्विआधारी ६ -टपल (tuple) (षटग्राम) का उपयोग गणितीय, दार्शनिक और रहस्यमय प्रयोजनों के लिए करता है। द्विआधारी टपल टूटी हुई और ठोस रेखाओं के बने होते हैं, जो क्रमशः यिन (मादा) और येंग (नर) कहलाते हैं, (देखें राजा वेन अनुक्रम (King Wen sequence))।
चीन में ज्यामिति में सबसे पुराना विद्यमान कार्य दार्शनिक मोहिस्त (Mohist) केनन सी. से आया है। ३३० ई.पू., मोजी (Mozi) (४७०-३९० ई.पू.)। के अनुयायियों के द्वारा संकलित.मो जिंग  ने भौतिक विज्ञान से सम्बंधित कई क्षेत्रों के भिन्न पहलुओं का वर्णन किया और साथ ही गणित पर थोडी बहुत जानकारी भी दी।
इसके अलावा, हान के खगोल विज्ञानी और आविष्कारक जांग हेंग (Zhang Heng)(ई. ७८ -१३९) के गणितीय कार्यों ने पाई (pi) के मान की गणना की जो लियू हुई की गणना से अलग है। जांग हेंग ने अपने पाई के सूत्र का उपयोग गोले के आयतन को ज्ञात करने के लिए किया। गणितज्ञ और संगीत सिद्धांतवादी (music theorist)जिंग फेंग (Jing Fang)(७८-३७ ई.पू.) का लिखित कार्य भी था; पाइथोगोरियन अल्प विराम (Pythagorean comma) के उपयोग के द्वारा, जिंग ने देखा की ५३ केवल पाँचवे (just fifth) लगभग ३१ अष्टक (octave) थे। इससे बाद में ५३ बराबर आचरणों (53 equal temperament) की खोज हुई और इसकी गणना कहीं पर भी निश्चित रूप से नहीं की गयी थी जब तक निकोलस मर्केटर (Nicholas Mercator) ने १७ वीं शताब्दी में ऐसा किया।
चीनी लोगों ने जटिल संचयी चित्र का उपयोग किया जो जादुई वर्ग (magic square) और जादुई व्रत (magic circles) कहलाता है, प्राचीन समय में यांग हुई (Yang Hui)(१२३८-१३९८ ई.) के द्वारा इसका वर्णन किया गया और इसे सिद्ध किया गया।
दक्षिणी और उत्तरी राजवंशों (Southern and Northern Dynasties) केजू चोंगजी (Zu Chongzhi)(५ वीं शताब्दी) ने दशमलव के पांच स्थानों तक पाई के मान की गणना की, जो लगभग १००० सालों तक पाई का सबसे सही मान बना रहा।
पुनर् जागरण के दौरान जब यूरोपीय गणित पनपना शुरू हो गयी, उसके बाद यूरोपीय और चीनी गणित अलग अलग परम्पराएँ थीं, चीनी गणित के निर्गम में बहुत अधिक गिरावट आई, जब जेसुइट (Jesuit) मिशनरियों जैसेमातेओ रिक्की (Matteo Ricci) ने १६ वीं से १८ वीं शताब्दी तक दोनों संस्कृतियों के बीच गणितीय विचारों को आगे पीछे रखा।
शास्त्रीय भारतीय गणित ४०० -१६००)
सूर्य सिद्धांत(सी. ४००) ने ज्या (trigonometric functions), कोज्या (sine) और व्युत्क्रम ज्या के त्रिकोणमितीय फलन (cosine) दिए और प्रदीप्त वस्तुओं की वास्तविक गति को निर्धारित करने के लिए नियम दिए, जो आकाश में उनकी वास्तविक स्थिति को सुनिश्चित करते हैं। ब्रह्माण्ड विज्ञान संबंधी समय चक्र की व्याख्या इस पाठ्य में की गयी, जो एक प्रारंभिक कार्य से नक़ल की गयी थी, यह ३६५ .२५६३६३०५ दिनों के एक औसत नाक्षत्र वर्ष (sidereal year) से मेल खाती है, जो ३६५ .२५६३६२७ दिनों के आधुनिक मान से केवल १.४ सेकंड बड़ा है। इस कार्य को मध्य युग में अरबी और लैटिन में अनुवादित किया गया।
४९९ में आर्यभट्ट ने, वरसाइन (versine) फलन की शुरुआत की, ज्या की पहली त्रिकोणमितीय सारणी बनायीं, तकनीकों, बीज गणित के लघुगणक, अत्याणु (infinitesimal), अवकलज समीकरण (differential equation) का विकास किया और एक ऐसी विधि से रैखिक समीकरणों के पूर्ण संख्या हल प्राप्त किया, जो आधुनिक विधि के तुल्य थी, साथ ही गुरुत्वाकर्षण की अभिकेन्द्रिक (heliocentric) प्रणाली पर आधारित खगोलीय (gravitation) गणनाये की। उनकी आर्यभट्टिया का अरबी अनुवाद ८ वीं शताब्दी से उपलब्ध था, इसके बाद १३ वीं शताब्दी में इसका लेतीं अनुवाद किया गया। उन्होंने π के मान की गणना भी दशमलव के चौथे स्थान तक ३.१४१६ के रूप में की। १४ वीं शताब्दी में, संगमग्राम के माधव (Madhava of Sangamagrama) ने π के मान की गणना दशमलव के ग्यारहवें स्थान तक ३.१४१५९२६५३५९ के रूप में की।
१२ वीं शताब्दी में, भास्कर (Bhaskara) ने  उन्होंने रोले की प्रमेय (Rolle's theorem) दी (माध्य मान प्रमेय (mean value theorem) का एक विशेष मामला), पेल के समीकरण (Pell's equation) का अध्ययन किया और ज्या फलनों के व्युत्पन्नों की खोज की। 14वीं शताब्दी में, संगमग्राम के माधव, जो कि केरल स्कूल ऑफ मैथमेटिक्स के संस्थापक थे, ने माधव-लीबनिज़ श्रृंखला की खोज की और इससे एक रूपांतरित श्रृंखला प्राप्त की, जिसके पहले 21 शब्दों का उपयोग उन्होंने π के मान की गणना 3.14159265359 के रूप में किया। माधव ने आर्कटेंजेंट निर्धारित करने के लिए माधव-ग्रेगरी श्रृंखला, साइन और कोसाइन निर्धारित करने के लिए माधव-न्यूटन पावर श्रृंखला और साइन और कोसाइन कार्यों के लिए टेलर सन्निकटन भी पाया।16वीं शताब्दी में, ज्येष्ठदेव ने केरल स्कूल के कई विकास और प्रमेयों को युक्ति-भाषा में समेकित किया।
राजनीतिक उथलपुथल की वजह से भारत में गणित की प्रगति १६ वीं शताब्दी के बाद रुक गयी।
इस्लामी गणित (सी. ८०० -१५००)
इस्लामी अरब साम्राज्य (Arab Empire) की स्थापना ८ वीं शताब्दी में मध्य पूर्व, केन्द्रीय एशिया (Central Asia), उत्तरी अफ्रीका (North Africa), आइबेरिया (Iberia) और भारत के कई भागों में हुई जिसने गणित में महत्त्वपूर्ण योगदान दिया। हालाँकि गणित पर अधिकांश इस्लामिक पाठ्य अरबी में लिखे गए, वे सभी अरब (Arab) में नहीं लिखे गए, चूँकि हेल्लेनिस्टिक दुनिया में ग्रीक स्थिति से यह बहुत समानता रखते थे, उस समय पर पूरी इस्लामी दुनिया में अरबी भाषा का उपयोग गैर-अरब विद्वानों के द्वारा लिखित भाषा के रूप में किया गया। साथ ही, अधिकांश महत्वपूर्ण इस्लामी गणितज्ञ पारसी (Persians) भी थे।
बीजगणित में आगे के विकास अल-कराजी (Al-Karaji) के द्वारा उनके निबंध अल-फाखरी में किये गए, जहां वे अज्ञात मात्राओं के पूर्णांक मूलों और पूर्णांक घातों को शामिल करने की विधि का विस्तार करते हैं। गणितीय प्रेरण (proof) का पहला ज्ञात प्रमाण (mathematical induction) अल-कराजी के द्वारा १००० ई. में लिखी गयी एक पुस्तक में मिलता है, जिन्होंने, इसका उपयोग द्विपद प्रमेय (binomial theorem), पास्कल के त्रिभुज (Pascal's triangle) और समाकल (integral)घनों (cubes) के योग को साबित करने के लिए किया। गणित के इतिहासकार (historian), एफ वूपके, ने अल-करजी की प्रशंसा की क्योंकि "वे पहले व्यक्ती थे जिन्होंने बीजगणितीय (theory) कलन का सिद्धांत दिया। "१० वीं सदी में भी, अबुल वफ़ा (Abul Wafa) ने डायोफ़ेन्तस (Diophantus) के कार्यों का अरबी में अनुवाद किया और स्पर्शज्या (tangent) फलन का विकास किया।इब्न अल हेथम (Ibn al-Haytham) पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने चौथी घात (fourth powers) के योग के लिए सूत्र व्युत्पन्न किया, इसके लिए उन्होंने एक ऎसी विधि का प्रयोग किया जो किसी भी समाकल घात के योग के लिए सामान्य सूत्र के निर्धारण हेतु तत्काल प्रयुक्त की जा सकती है। उन्होंने एक पेराबोलोइड या परवलय (paraboloid) के आयतन को ज्ञात करने के लिए एक समाकलन किया, वे चौथे अंश (polynomial) तक एक बहुपद (fourth degree) के समाकलों के लिए परिणाम को स्पष्ट करने में सक्षम थे। इस प्रकार से वे बहुपदों के समाकलों (integral) के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात करने के नजदीक पहुँच गए, लेकिन वे चौथे अंश से अधिक किसी भी बहुपद से सम्बंधित नहीं थे।
११ वीं शताब्दी में उमर खय्याम (Omar Khayyam) ने डिसकशन्स ऑफ दी डिफीकल्टीज इन युक्लिड लिखी जो युक्लीड के " तत्वों" (Euclid's Elements) विशेष रूप से समानान्तर अभिधारणा (parallel postulate) में दोष के बारे में एक पुस्तक थी और उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytic geometry) और गैर युक्लिड ज्यामिति (non-Euclidean geometry) के लिए नीव रखी.साथ ही वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने घन समीकरण (cubic equation) के सामान्य ज्यामितीय हल को खोजा.वे कैलेंडर सुधार (calendar reform) में बहुत प्रभावी थे।
१२ वीं शताब्दी में, शराफ-अल-दिन अल-तुसी (Sharaf al-Dīn al-Tūsī) ने फलन की अवधारणा दी, और वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने घन बहुपदों (derivative) के व्युत्पन्न (cubic polynomials) की खोज की। उनके समीकरणों पर निबंध ने अवकल कलन से सम्बंधित अवधारणाओं का विकास किया, जैस व्युत्क्रम फलन और वक्र के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (maxima and minima) ताकि उन घन समीकरणों को हल किया जा सके, जिनके धनात्मक हल नहीं हो सकते हैं।
१३ वीं शताब्दी में, नासिर अल दीन तुसी (Nasir al-Din Tusi)(नासिरेद्दीन) ने गोलीय त्रिकोणमिति (spherical trigonometry) में प्रगति की। साथ ही उन्होंने यूक्लिड (Euclid) की समानान्तर अभिधारणा (parallel postulate) पर प्रभावी कार्य भी लिखा.१५ वीं शताब्दी में, घियाथ अल-काशी (Ghiyath al-Kashi) ने दशमलव के १६ स्थानों तक π (π) के मान की गणना की। काशी ने nवें मूल की गणना के लिये एक एल्गोरिथ्म दिया, जो रुफिनी (Ruffini) और होर्नर (Horner) के द्वारा कई सदियों बाद दी गयी विधी का एक विशेष मामला था।
अन्य उल्लेखनीय मुस्लिम गणितज्ञों में शामिल हैं, अल समावल (al-Samawal), अबुल-हसन अल-युक्लिदिसी (Abu'l-Hasan al-Uqlidisi), जमशीद अल-काशी (Jamshid al-Kashi), थाबित इब्न कूरा (Thabit ibn Qurra), अबू कामिल (Abu Kamil) और अबू सहल अल-कुही (Abu Sahl al-Kuhi)।
इस अवधि के दौरान मुस्लिम गणितज्ञों की अन्य उपलब्धियां हैं, बीज गणित और एल्गोरिथम (देखें मोहम्मद इब्न मूसा अल ख्वारिज्मी (Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)), गोलीय त्रिकोणमिति (spherical trigonometry) का विकास, }अरबी अंकों (decimal point) के दशमलव बिंदु (Arabic numerals) संकेतन के अलावा, ज्या के अतिरिक्त सभी आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों (trigonometric function) की खोज, क्रिप्ट विश्लेषण (al-Kindi) और आवृत्ति विश्लेषण (cryptanalysis) का अल किंदी (frequency analysis) का परिचय, विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytic geometry) का इब्न अल हेथम (Ibn al-Haytham) के द्वारा विकास, उमर खय्याम (algebraic geometry) के द्वारा बीजीय ज्यामिति (Omar Khayyam) की शुरुआत, युक्लिड ज्यामिति (Euclidean geometry) का पहला खंडन और नासिर अल दीन अल तूसी (parallel postulate) के द्वारा सामानांतर अभिधारणा (Nasīr al-Dīn al-Tūsī), सदर अल-दीन के द्वारा गैर युक्लिड ज्यामिति (non-Euclidean geometry) का एक प्रयास, अल कलासादी (algebraic notation) के द्वारा एक बीज गणितीय संकेतन (al-Qalasādī) का विकास, और बीज गणित में कई अन्य प्रगतियां, अंक गणित, कलन, क्रिप्टोग्राफी, ज्यामिति, अंक सिद्धांत (number theory) और त्रिकोणमिति.
15 वीं सदी से, तुर्क साम्राज्य के दौरान, इस्लामी गणित का विकास रुक गया।
मध्यकालीन यूरोपीय गणित (सी. ५००-१४००)
गणित में मध्यकालीन यूरोपीय रूचि जिन मुद्दों से उत्पन्न हुई वह वर्तमान गणित से बिलकुल अलग थे। एक उत्तरदायी तत्व वह विश्वास था कि गणित ने प्रकृति के सृजन के आदेश को समझने के लिए कुंजी प्रदान की है, इसे प्लेटोकी तिमास (Timaeus)के द्वारा समर्थन दिया गया और बाइबिल का पथ कि भगवान ने " सभी चीजों को मापन, संख्या और भार, में आदेश दिया है"(विजडम ११ :२१)।
बोरना गाँव, गोगरी (खगड़िया)
बोरना गोगरी, खगड़िया, बिहार स्थित एक गाँव है।
गणित का इतिहास
यूरोप में गणित का पुनर्जन्म (११००-१४००)
इन नए स्रोतों ने गणित को नवीनीकृत किया।फिबोनाकी, १२०२ में लिबर एबेकी (Liber Abaci)में लिखी गयी और १२५४ में इसका अद्यतन किया गया, इसने इरेटोस्थेनेस के समय से यूरोप में महत्वपूर्ण गणित का उत्पादन किया, यह एक हजार साल से अधिक अंतर था। इस कार्य से यूरोप में हिंदु-अरबी अंकों (Hindu-Arabic numerals) की शुरुआत हुई और इसने कई अन्य गणितीय समस्याओं की चर्चा की।
चौदहवीं शताब्दी में नयी गणितीय अवधारणाओं का विकास हुआ जिसने समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला की खोज की। एक महत्वपूर्ण योगदान था, स्थानीय गति के गणित का विकास
थॉमस ब्राडवारदाइन (Thomas Bradwardine) ने प्रस्तावित किया की गति (V) अंकगणितीय अनुपात में बढ़ती है क्योंकि बल (F) और प्रतिरोध (R) का अनुपात ज्यामितीय अनुपात में बढ़ता है। ब्राडवारदाइन इसे विशेष उदाहरणों की एक श्रृंखला के द्वारा अभिव्यक्त किया, लेकिन हालाँकि लघुगणक अभी आया नहीं था, हम उनके निष्कर्षों को पुरातनपंथी लेखन के द्वारा अभिव्यक्त करते हैं: V लॉग = (F/R)। ब्राडवारदाइन का विश्लेषण अल किंदी (al-Kindi) और विलानोवा के अर्नाल्ड (Arnald of Villanova) के द्वारा प्रयुक्त गणितीय तकनीक के स्थानान्तरण का एक उदाहरण है जो मिश्रित औषधियों की प्रकृति को भिन्न भौतिक समस्याओं के लिए बताता है।
१४ वीं सदी के ऑक्सफ़ोर्ड गणकों (Oxford Calculators) में से एक विलियम हेतेसबरी (William Heytesbury) के पास अवकल कलन (differential calculus) और सीमाओं की अवधारणाओं का अभाव था, उन्होंने उस पथ के द्वारा तात्कालिक गति का मापन प्रस्तावित किया जो "यदि के द्वारा (एक काय) वर्णित किया जायेगा ......यह सामान अंश की गति से समान रूप से गति करेगी जिससे यह दिए गए तात्कालिक पल में गति करेगी।
हेतेस्बरी और अन्य लोगों ने गणितीय रूप से सामान त्वरित गति करती हुई एक वस्तु के द्वारा तय की गयी दूरी को निर्धारित किया (आज इसे समाकलन (integration) के द्वारा हल किय जाता है), उन्होंने स्थापित किया की "एक गतिमान वस्तु समान रूप से वृद्धि (गति की) को प्राप्त कर रही है या खो रही है, वह दिए गए समय में उतनी ही दूरी तय करेगी जितनी कि वह तब करती जब यह समान समय के दौरान लगातार समान अंश के साथ गति करते हुए कर पाती.
निकोल ओरेस्म (Nicole Oresme) ने पेरिस विश्वविद्यालय (University of Paris) और इतालवी गिओवानी दी कासाली (Giovanni di Casali) में स्वतंत्र रूप से इस सम्बन्ध का लेखाचित्र के द्वारा प्रदर्शन किया, इस में उन्होंने यह माना कि स्थिर त्वरण को बताने वाली रेखा के अंतर्गत क्षेत्र, तय की गयी कुल दूरी को अभिव्यक्त करता है। युक्लिड के तत्वों पर बाद में की गयी एक कमेंट्री में, ओरेस्म ने एक अधिक विस्तृत सामान्य विश्लेषण किया, जिसमें उन्होंने दर्शाया कि एक वस्तु समय की प्रत्येक क्रमागत वृद्धि के दौरान, किसी गुण में वृद्धि प्राप्त करेगी, जो विषम संख्याओं के रूप में बढ़ती है। चूँकि युक्लीड ने प्रर्दशित किया था कि विषम संख्याओं का योग वर्ग संख्याएं होती हैं, वस्तु के द्वारा प्राप्त किये गए कुल गुण समय के वर्ग के रूप में बढ़ते हैं।
प्रारंभिक आधुनिक यूरोपीय गणित (सी. १४००–१६००)
यूरोप में पुनर्जागरण की शुरुआत में, गणित कुछ बोझिल संकेतनों के द्वारा सीमित थी, जिसमें रोमन अंकों (Roman numeral) का उपयोग किया जाता था और इसमें प्रतीकों के बजाय शब्दों के उपयोग के द्वारा सम्बन्ध की अभिव्यक्ति की जाती थी: इसमें एक अज्ञात के रूप में किसी भी प्लस के निशान का, किसी भी बराबर के निशान का, या किसी भी गुणा के निशान का उपयोग नहीं किया जाता था।
जहां तक आज जाना जाता है, १६ वीं शताब्दी में यूरोपीय गणितज्ञों ने दुनिया में कहीं भी अग्रिम हुए बिना प्रगति की। इनमें से सबसे पहला था, घन समीकरणों (cubic equation) का सामान्य हल, जिसका सामान्य रूप से श्रेय स्किपिओन डेल फेरो (Scipione del Ferro) सी. को जाता है, १५१०, लेकिन इसका पहला प्रकाशन गेरोलामो करडानो (Johannes Petreius) के आर्स मेगना (Nuremberg) में नुरेमबर्ग (Gerolamo Cardano) में जोहानिस पेट्रियस के द्वारा किया गया, जिसमें कोर्दानों के विद्यार्थी लोडोविको फेरारी (quartic equation) के द्वारा किया गया द्विघात समीकरण (Lodovico Ferrari) का सामान्य हल भी शामिल था।
इस बिंदु से गणितीय विकास में तेजी आई, जिससे भौतिक विज्ञान (physical sciences) की समकालीन उन्नति को को योगदान मिला और लाभ मिला। इस प्रगति में मुद्रण (printing) में हुई उन्नति से बहित अधिक योगदान मिला। सबसे प्राचीन गणित की प्रकाशित पुस्तकें (mathematical books) थीं, प्युरबाच (Peurbach) की थ्योरिका नोवा प्लेने टेरम (Theoricae nova planetarum)(१४७२), जिसके बाद वाणिज्यिक अंकगणित पर पुस्तक आई ट्रेविसो अंकगणित (Treviso Arithmetic)(१४७८) और उसके बाद गणित पर पहली वर्तमान पुस्तक युक्लिड के तत्व १४८२ में रेटडोल्ट (Ratdolt) के द्वारा मुद्रित और प्रकाशित की गयी।
नेविगेशन की मांगों और बड़े क्षेत्रफलों की सही नक्शों की बढ़ती हुई आवश्यकताओं के लिए, त्रिकोणमिति गणित की मुख्य शाखा बन गयी।बर्थोलोमियस पिटिसकस (Bartholomaeus Pitiscus) पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इस शब्द का उपयोग किया और १५९५ में अपनी  ट्रिगोनोमेट्रिया प्रकाशित की। ज्या और कोज्या की रेजियोमोंटानस की सारणी १५३३ में प्रकाशित हुई।
सदी के अंत तक, रेजियोमोंटानस (Regiomontanus)(१४३६-७६) और फ्रंकोइस वीटा (François Vieta)(१५४०-१६०३), के लिए धन्यवाद हेतु पुस्तकें लिखी गयी, हिन्दू अरबी अंकों का उपयोग करते हुए गणित की पुस्तकें लिखी गयीं, ये ऐसे रूप में थीं जो आज काम में लिए जाने वाले संकेतनों से बहुत अलग नहीं था।
१७ वीं सदी
१७ वीं शताब्दी में, पूरे यूरोप में गणितीय और वैज्ञानिक विचारों का एक अभूतपूर्व विस्फोट हुआ। एक इतालवी गैलीलियो, ने बृहस्पति के चन्द्रमाओं को उनके कक्ष में प्रेक्षित किया, इसके लिए उन्होंने होलेन्ड से मंगाये गए खिलौने पर आधारित दूरबीन का उपयोग किया। एक डेन टीचो ब्राहे, ने गणित के आंकडों की काफी जानकारी एकत्रित की, जो आकाश में ग्रहों की स्थिति का वर्णन करते हैं। उनके एक जर्मन विद्यार्थी, जोहानीस केपलर ने इन आंकडों के साथ काम करना शुरू कर दिया। एक अंश में क्योंकि वे गणनाओं में केपलर की सहायता करना चाहते थे, जॉन नेपियर (John Napier) ने स्कोटलैण्ड में, सबसे पहले प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) की खोज की। केपलर ने ग्रहों की गति के गणितीय नियमों को बनाने में सफलता हासिल की। विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytic geometry) जो एक फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक रेन देस्कर्ट्स (René Descartes)(१५९६-१६५०) के द्वारा विकसित की गयी, ने उन कक्षों को कार्तीय निर्देशांक में एक लेखाचित्र पर निर्देशित किया।
पूर्व के कई वैज्ञानिकों के द्वारा किये गए कार्यों के आधार पर एक अंग्रेज आइजैक न्यूटन ने केपलर के नियमों (Kepler's Laws) को स्पष्ट करने के लिए भौतिकी के नियम दिए और वह अवधारणा लाये जिसे आज कलन के नाम से जाना जाता है। स्वतंत्र रूप से, गोटफ्रिड विलहेल्म लीबनिज ने जर्मनी में, कलन का विकास किया और इसमें से आज भी अधिकांश कलन संकेतनों का उपयोग किया जाता है। विज्ञान और गणित एक अंतरराष्ट्रीय प्रयास बन गए हैं, जो जल्दी ही पूरी दुनिया में फ़ैल जायेंगे.
आकाश के अध्ययन के लिए गणित के अनुप्रयोगों के अलावा, पियरे डी फर्मेट (Pierre de Fermat) औरब्लेज पास्कल के पत्राचार के साथ अनुप्रयोग गणित नए क्षेत्रों में विस्तृत होने लगी, पास्कल और फार्मेट ने संभाव्यता सिद्धांत (probability theory) और जुए (combinatorics) के एक खेल पर अपनी चर्चा में, संचयिका (gambling) से सम्बंधित नियमों की खोज के लिए मूल कार्य किया। पास्कल ने अपने दांव (wager) के साथ, नए विकसित हो रहे संभाव्यता सिद्धांत को प्रयुक्त करने का प्रयास किया और धर्म के लिए समर्पित जीवन का तर्क दिया, इसका आधार यह था कि चाहे सफलता की संभावना काम हो, उसके परिणाम असीमित होते हैं। कुछ अर्थों में, १८ वीं और १९ वीं शताब्दी में, उपयोगिता सिद्धांत (utility theory) के विकास को इसने पूर्वाभास दिया।
१८ वीं सदी
१७०० का सबसे प्रभावी गणितज्ञ था, लिओनहार्ड यूलर. उनके योगदान की श्रृंखला है ग्राफ सिद्धांत (graph theory) के अध्ययन से लेकर सेवन ब्रिजेस ऑफ़ K�%6 निग्स्बेर्ग (Seven Bridges of K%C3%B6nigsberg) तक, समास्याएं जो कई आधुनिक गणितीय नियम और संकेतनों का मानकीकरण करती हैं। उदाहरण के लिए, उन्होंने ऋणात्मक १ के वर्ग मूल को प्रतीक <font face="times new Roman">i (i) के द्वारा बताया और उन्होंने एक व्रत की परिधि और व्यास के अनुपात को बताने के लिए ग्रीक शब्द\pi के उपयोग को लोकप्रिय बनाया। उन्होंने टोपोलोजी, लेखाचित्र सिद्धांत, कलन, संचयिका और जटिल विश्लेषण के अध्ययन में असंख्य योगदान दिए, जैसा कि असंख्य प्रमेय और संकेतनों का श्रेय उन्हें जाता है।
१८ वीं शताब्दी के अन्य महत्वपूर्ण यूरोपीय गणितज्ञों में शामिल हैंजोसफ लुइस लेगरेंज (Joseph Louis Lagrange), जिन्होंने अंक सिद्धांत, बीज गणित, अवकल कलन और चरों के कलन, पर अग्रणी कार्य किया है और लाप्लेस (Laplace) जिन्होंने, नेपोलियन के युग में खगोल यांत्रिकी (celestial mechanics) की नींव पर और सांख्यिकी पर कार्य किया।
१९ वीं सदी
१९ वीं सदी के दौरान, गणित तेजी से बढ़ता हुआ सार बन गयी। १९ वीं सदी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) (१७७७ -१८५५) रहते थे। विज्ञान में अपना योगदान देने के अलावा, उन्होंने, शुद्ध गणित में भी ज्यामिति में जटिल चरों (complex variable) के फलनपर और श्रृंखला के अभिकेंद्रण पर क्रांतिकारी कार्य किया। उन्होंने बीज गणित की मूल प्रमेय (fundamental theorem of algebra) के तथा द्विघाती पारस्परिकता नियम (quadratic reciprocity law) के पहले संतोषजनक प्रमाण दिए।
इस सदी में गैर युक्लिड ज्यामिति (non-Euclidean geometry) के दो रूपों का विकास हुआ, जहां युक्लिड ज्यामिति (parallel postulate) की समानान्तर अभिधारणा (Euclidean geometry) अब नहीं रही। रूसी गणितज्ञ निकोलाइ इवानोविच लोबाचेवस्की (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) और उसके प्रतिद्वंद्वी, हंगरी गणितज्ञ जनोस बोलयाई (Janos Bolyai) ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति (hyperbolic geometry) को परिभाषित किया और उसका अध्ययन किया, अब सामानांतर की अद्वितीयता नहीं रही। इस ज्यामिति में एक त्रिभुज में कोणों का योग जुड़ कर १८० डिग्री से कम रहता है।दीर्घवृत्तीय ज्यामिति (Elliptic geometry) का विकास बाद में १९ वीं सदी में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रिएमन्न (Bernhard Riemann) के द्वारा किया गया; यहाँ कोई भी समानान्तर नहीं मिलते हैं और एक त्रिभुज में कोण जुड़ कर १८० डिग्री से अधिक बनाते हैं। रिएमन्न ने रिएमन्न ज्यामिति (Riemannian geometry) का भी विकास किया, जोबड़े पैमाने पर तीन प्रकार की ज्यामिति को एकीकृत और सामान्यीकृत करता है और उन्होंने मेनिफोल्ड (manifold) अवधारणा कोई परिभाषित किया, जो वक्र (curve) और सतह (surface) के विचार को सामान्य रूप से प्रस्तुत करती है।
१९ वीं शताब्दी में सार बीजगणित (abstract algebra) की शुरुआत हुई। विलियम रोवाण हैमिल्टन (William Rowan Hamilton) ने आयरलैण्ड में गैर क्रम-विनिमय बीजगणित (noncommutative algebra) को विकसित किया। ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने एक ऐसी बीजगणित तैयार की जो जल्दी ही ऐसे रूप में सामने आई जिसे आज बूलीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है, जिसमें ० और १ केवल संख्याएं थीं और जिनमें प्रसिद्द रूप से 1 + 1 = 1.बूलीय बीजगणित गणितीय तर्क (mathematical logic) का प्रारंभिक बिंदु है और इसके कंप्यूटर विज्ञान (computer science) में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
अगस्टिन लुईस कॉची (Augustin-Louis Cauchy), बर्नहार्ड रिएमन्न (Bernhard Riemann) और कार्ल विर्स्ट्रास (Karl Weierstrass) ने कलन को अधिक कठोर तरीके से फिर से तैयार किया।