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अणुव्रत
अणुव्रत की जीवन शैली
अणुव्रत के अनुसार इच्छा बढ़ाना अच्छा नहीं है क्योंकि इच्छाएं अनंत होती है और अनंत इच्छाएं दूसरों के अधिकार का हनन करती हैं और व्यक्ति को क्रूर बना देती है। अणुव्रत का लक्ष्य इच्छाओं का संयम है।
अणुव्रत का तीसरा आधार है करुणा। अणुव्रत के अनुसार जिस व्यक्ति में करुणा होगी उसके लिए दूसरों के दुःख असह्य हो जाएँगे। वह अपने आचरणों के द्वारा किसी के प्रति क्रूर नहीं बनेगा, अपितु अपने आपको भी इस तरह से ढालेगा कि किसी अन्य को कोई कष्ट नहीं हो। उसके सामने सदा यह लक्ष रहेगा-- सर्वे भवन्तु  सुखिनः सर्वे सन्तु निरामयाः | सर्वे भद्राणि पश्यन्तु माँ कश्चिद् दुःखभाग भवेत् ||
इसका अर्थ है: कोई भी व्यक्ति दुखी न बने, सब सुखी और निरामय बनें। सबका कल्याण हो। ऐसा व्यक्ति किसी के साथ छलना नहीं कर सकता।
इतिहास
अणुव्रत का प्रारंभ आचार्य तुलसी (तेरापंथ धर्म संघ के नोवें आचार्य) द्वारा १ मार्च १९४९ में राजस्थान के सरदारशहर कस्बे में हुआ। उस समय एक और देश सांप्रदायिक ज्वाला में जल रहा था, वहां दूसरी और सभी प्रमुख लोग देश के भौतिक निर्माण में विशेष अभिरूचि ले रहे थे | अणुव्रत आन्दोलन ने सांप्रदायिक सौहार्द के लिए सभी धर्म-सम्प्रदाय के प्रमुख -पुरुषों को एक मंच पर लाकर यह समझाने की कौशिश की गयी कि धर्म के मौलिक सिधांत एक हैं। जो भिन्नता दिखाई दे रही है वह या तो एकांत आग्रह कि देन है या फिर सांप्रदायिक स्वार्थों के कारण उसे उभरा जा रहा है। इस दृष्टि से विशाल सर्व धर्म सदभाव सम्मलेन आयोजित किये गए और अणुव्रत का मंच एक सर्वधर्म सदभाव का प्रतिक बन गया। भारतीय धर्म सम्प्रदायों के अतिरिक्त इसाई तथा मुसलमान सम्प्रदायों के साथ भी एक सार्थक संवाद बना और अनेक ईसाई तथा मुसलमान लोगों ने भी अणुव्रत के प्रचार-प्रसार में रूचि दिखाई। जगद्गुरु शंकराचार्य, दलाई लामा, ईसाई पादरी, मुसलमान संतो ने भी इसमें भाग लिया।
प्रेक्षा-ध्यान
अणुव्रत एक बहुमुखी अभियान है। अणुव्रत की व्रत-निष्ठा को संस्कारगत बनाने के लिए अणुव्रत के अंतर्गत प्रेक्षाध्यान का एक आध्याय शुरू हुआ।
जीवन - विज्ञान
शिक्षा में सुसंस्कारों के आरोपण तथा भावात्मक परिवर्तन के लिए अणुव्रत की और से जीवन-विज्ञान का एक आयाम प्रस्तुत हुआ।
बाहरी कड़ियाँ
अणुव्रत महासमिति का जाल-स्थल
मणिपुर हिंसा 2023
भारत के उत्तर-पूर्वी राज्य मणिपुर में 3 मई 2023 को इम्फाल घाटी में रहने वाले बहुसंख्यक मैतै लोगों और कुकी जनजाति लोगों सहित आसपास की पहाड़ियों के आदिवासी समुदाय के बीच एक नृजातीय झगड़ा छिड़ गया। 4 जुलाई तक, हिंसा में 142 लोग मारे जा चुके हैं, और 300 से अधिक अन्य घायल हो गए हैं।   4 जुलाई तक, लगभग 54,488 लोगों के आंतरिक रूप से विस्थापित होने की सूचना है।
भारतीय सेना ने कानून और व्यवस्था बहाल करने के लिए लगभग 10,000 सैनिकों और अर्धसैनिक बलों को भेजा। राज्य में इंटरनेट सेवाओं को पांच दिनों की अवधि के लिए निलंबित कर दिया गया था और भारतीय दण्ड संहिता की धारा 144 लागू की गई थी, जिससे गैरकानूनी सभा या बड़ी सभाओं पर रोक लगा दी गई थी जिससे शांति भंग होने की संभावना थी। "अत्यधिक मामलों" में कर्फ्यू लागू करने के लिए भारतीय सैनिकों को "देखते ही गोली मारने" के आदेश दिए गए थे।
एक सेवानिवृत्त मुख्य न्यायाधीश के नेतृत्व में एक पैनल हिंसा की जांच करेगा, जबकि राज्यपाल और सुरक्षा सलाहकार कुलदीप सिंह के तहत नागरिक समाज के सदस्यों के साथ एक शांति समिति की स्थापना की जाएगी। केंद्रीय जांच ब्यूरो (सीबीआई) हिंसा में साजिश से संबंधित छह मामलों की जांच करेगी, ताकि मूल कारणों को उजागर करने के लिए निष्पक्ष जांच सुनिश्चित की जा सके।
पृष्ठभूमि
मणिपुर पूर्वोत्तर भारत में एक पहाड़ी राज्य है, जिसकी सीमा पूर्व और दक्षिण में म्यान्मार से लगती है। केंद्रीय क्षेत्र इम्फाल घाटी है जो राज्य के लगभग 10% भूमि क्षेत्र पर कब्जा करता है, जहां मुख्य रूप से मैतै लोग रहते हैं। आसपास की पहाड़ियों में पहाड़ी जनजातियाँ निवास करती हैं, जिन्हें दक्षिणी भाग में कुकी और उत्तरपूर्वी भाग में नागा के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
मैतै, जो बड़े पैमाने पर हिन्दू हैं, लेकिन इसमें मुस्लिम, बौद्ध और मूल सनमाही अनुयायी भी शामिल हैं, आबादी का 53% हिस्सा बनाते हैं। मणिपुर के भूमि सुधार अधिनियम के अनुसार, स्थानीय जिला परिषदों की अनुमति के अलावा उन्हें राज्य के पहाड़ी क्षेत्रों में बसने से रोक दिया गया है। आदिवासी आबादी, जिसमें मुख्य रूप से ईसाई कुकी और नागा शामिल हैं, राज्य की 35 लाख लोगों में से लगभग 40% हैं। वे राज्य के शेष 90% भाग वाले आरक्षित पहाड़ी क्षेत्रों में निवास करते हैं। जनजातीय आबादी को घाटी क्षेत्र में बसने से प्रतिबंधित नहीं किया गया है।
मणिपुर विधानसभा में राजनीतिक सत्ता पर मैतै का वर्चस्व है। विधानसभा की 60 सीटों में से 19 सीटें अनुसूचित जनजाति (एसटी) यानी नागा या कुकी के लिए आरक्षित हैं, जबकि 40 अनारक्षित सामान्य निर्वाचन क्षेत्र हैं, जिनमें से 39 सीटें पिछले चुनाव में मैतै उम्मीदवारों ने जीती थीं। जनजातीय समूहों ने शिकायत की है कि सरकारी खर्च मैतै-प्रभुत्व वाली इम्फाल घाटी में अनावश्यक रूप से केंद्रित है।
2023 निकासी
2023 में, मणिपुर में राज्य सरकार ने आरक्षित वन क्षेत्रों में बस्तियों से अवैध अप्रवासियों को हटाने के प्रयास शुरू किए। अधिकारियों ने कहा है कि म्यान्मार से अवैध अप्रवासी 1970 के दशक से मणिपुर में बस रहे हैं। जनजातीय समूहों ने कहा है कि अवैध अप्रवास एक बहाना है जिसके तहत मैतै आबादी जनजातीय आबादी को उनकी भूमि से खदेड़ना चाहती है। फरवरी 2023 में, भाजपा की राज्य सरकार ने चुड़ाचाँदपुर, कंगपोकपी और तेंगनोउपल जिलों में वनवासियों को अतिक्रमणकारी घोषित करते हुए बेदखली अभियान शुरू किया - इस कदम को आदिवासी विरोधी के रूप में देखा गया।
मार्च में, मणिपुर कैबिनेट ने कुकी नेशनल आर्मी और ज़ोमी रिवोल्यूशनरी आर्मी सहित तीन कुकी उग्रवादी समूहों के साथ सस्पेंशन ऑफ ऑपरेशन समझौते से हटने का फैसला किया, हालांकि केन्द्र सरकार ने इस तरह की वापसी का समर्थन नहीं किया। कई मणिपुरी संगठनों ने भी पहाड़ी क्षेत्रों में असामान्य जनसंख्या वृद्धि की शिकायत करते हुए 1951 को आधार वर्ष मानकर राष्ट्रीय नागरिक रजिस्टर (एनआरसी) बनाने के लिए दबाव बनाने के लिए नई दिल्ली में प्रदर्शन किया। पहली हिंसा तब भड़की जब कंगपोकपी जिले में एक झड़प में पांच लोग घायल हो गए, जहां प्रदर्शनकारी "आरक्षित वनों, संरक्षित वनों और वन्यजीव अभयारण्य के नाम पर आदिवासी भूमि के अतिक्रमण" के खिलाफ रैली आयोजित करने के लिए एकत्र हुए थे। जबकि, राज्य कैबिनेट ने कहा कि सरकार "राज्य सरकार के वन संसाधनों की रक्षा के लिए और पोस्ता की खेती को खत्म करने के लिए उठाए गए कदमों" पर कोई समझौता नहीं करेगी। 11 अप्रैल को, इम्फाल के आदिवासी कॉलोनी इलाके में तीन चर्चों को सरकारी भूमि पर "अवैध निर्माण" होने के कारण तोड़ दिया गया था।
20 अप्रैल 2023 को, मणिपुर उच्च न्यायालय के एक न्यायाधीश ने राज्य सरकार को " अनुसूचित जनजाति (एसटी) सूची में शामिल करने के लिए मैतै समुदाय के अनुरोध पर विचार करने का निर्देश दिया।" कुकियों को डर था कि एसटी दर्जे से मैतै लोगों को निषिद्ध पहाड़ी इलाकों में जमीन खरीदने की इजाजत मिल जाएगी।
आदिवासी समूहों ने राज्य सरकार की कार्रवाइयों के विरोध में 28 अप्रैल को पूर्ण बंद का आह्वान किया, जिस दिन मुख्यमंत्री एन. बीरेन सिंह को एक ओपन एयर जिम के उद्घाटन के लिए चुराचांदपुर का दौरा करना था। यात्रा से एक दिन पहले, एक भीड़ ने जिम में आग लगा दी और तोड़फोड़ की। 28 अप्रैल को धारा 144 (आपराधिक प्रक्रिया संहिता की) लागू की गई और साथ ही पांच दिन के लिए इंटरनेट बंद कर दिया गया। प्रदर्शनकारियों की पुलिस से झड़प हुई और भीड़ को तितर-बितर करने के लिए आंसू गैस के गोले छोड़े गए।
राज्य में हिंसा शुरू होने के बाद भी मुख्यमंत्री एन. बीरेन सिंह, जो स्वयं मैतै समुदाय से हैं, ने ट्विटर और टीवी चैनलों पर कुकियों पर निशाना साधा, जिससे समुदायों के बीच पहले से मौजूद तनाव और गहरा गया। 19 जून को, उन्होंने हथियार रखने वाले कुकी सदस्यों को "आतंकवादी" करार दिया और कहा कि उन्हें परिणाम भुगतने होंगे, जबकि सशस्त्र मैतियों से कुछ भी अवैध नहीं करने की अपील की। 29 जून को, उन्होंने कुकियों को "आतंकवादी" बताकर चुनिंदा रूप से निशाना बनाया। बाद के ट्वीट्स में उन्होंने कुकियों को म्यांमारी बताया और हिंसा में चीन का हाथ होने का भी आरोप लगाया।
दंगा
मैतै और कुकी लोगों के बीच लंबे समय से चले आ रहे तनाव के बीच, ऑल ट्राइबल स्टूडेंट यूनियन मणिपुर (एटीएसयूएम) नामक एक आदिवासी संगठन ने मणिपुर उच्च न्यायालय के फैसले का विरोध करते हुए 3 मई को "आदिवासी एकजुटता मार्च" नामक एक रैली का आह्वान किया, जो चुड़ाचाँदपुर जिले में हिंसक हो गया। कथित तौर पर, इस रैली में 60,000 से अधिक प्रदर्शनकारियों ने भाग लिया।
3 मई को हुई हिंसा के दौरान गैर-आदिवासी इलाकों में ज्यादातर कुकी आदिवासी आबादी के आवास और चर्चों पर हमला किया गया। पुलिस के अनुसार, इम्फाल में आदिवासी आबादी के कई घरों पर हमला किया गया और 500 रहने वालों को विस्थापित होना पड़ा और उन्हें लाम्फेलपात में शरण लेनी पड़ी। हिंसा से प्रभावित लगभग 1000 मैतैयों को भी क्षेत्र से भागना पड़ा और बिष्णुपुर में शरण लेनी पड़ी। कंगपोकपी शहर में बीस घर जला दिए गए। हिंसा चुड़ाचाँदपुर, ककचिंग, कांचीपुर, सोइबाम लीकाई, टेंग्नौपाल, लैंगोल, कंगपोकपी और मोरे में देखी गई, जबकि ज्यादातर हिंसा यहीं इम्फाल घाटी में केंद्रित थी। जिसके दौरान कई घर, पूजा स्थल और अन्य संपत्तियाँ जल गईं और नष्ट हो गईं।
4 मई को हिंसा के ताज़ा मामले सामने आए। दंगाइयों पर काबू पाने के लिए पुलिस बल को कई राउंड आंसू गैस के गोले दागने पड़े। कुकी विधायक वुंजजागिन वाल्टे (भाजपा), जो चुड़ाचाँदपुर के आदिवासी मुख्यालय के प्रतिनिधि हैं, पर दंगों के दौरान उस समय हमला किया गया जब वह राज्य सचिवालय से लौट रहे थे। 5 मई को उनकी हालत गंभीर बताई गई, जबकि उनके साथ आए एक व्यक्ति की मौत हो गई। सरकार ने कहा कि हिंसा के दौरान लगभग 1700 घर और कई वाहन जला दिए गए।
इंडिजिनस ट्राइबल लीडर्स फोरम (आईटीएलएफ) ने एक बयान में कहा कि कुकी -ज़ो आदिवासी समुदाय की महिलाओं के खिलाफ कंगपोकपी जिले के एक गांव में अत्याचार किया गया था। यह भी आरोप लगाया गया कि महिलाओं के साथ सामूहिक बलात्कार किया गया।
सैन्य तैनाती और निकासी
आठ जिलों में कर्फ्यू लगाया गया था, जिसमें गैर-आदिवासी बहुल इम्फाल पश्चिम, ककचिंग, थौबाल, जिरिबाम और बिष्णुपुर जिले, साथ ही आदिवासी बहुल चुड़ाचाँदपुर, कंगपोकपी और तेंगनोउपल जिले शामिल थे।
मणिपुर सरकार ने 4 मई को देखते ही गोली मारने का आदेश जारी किया। 3 मई के अंत तक, असम राइफल्स और भारतीय सेना की 55 टुकड़ियों को इस क्षेत्र में तैनात किया गया था और 4 मई तक, 9,000 से अधिक लोगों को सुरक्षित स्थानों पर स्थानांतरित कर दिया गया था। 5 मई तक, लगभग 20,000 और 6 मई तक, 23,000 लोगों को सैन्य निगरानी में सुरक्षित स्थानों पर स्थानांतरित कर दिया गया था। केन्द्र सरकार ने रैपिड एक्शन फोर्स की 5 कंपनियों को इस क्षेत्र में भेजा। लगभग 10,000 सेना, अर्धसैनिक और केन्द्रीय सशस्त्र पुलिस बल मणिपुर में तैनात किये गये। 4 मई को, केन्द्र सरकार ने भारतीय संविधान के सुरक्षा प्रावधान, अनुच्छेद 355 को लागू किया और मणिपुर की सुरक्षा स्थिति को अपने हाथ में ले लिया।  14 मई तक, मणिपुर में कुल सैन्य जमावड़ा 126 सेना कॉलम और अर्धसैनिक बलों की 62 कंपनियों का था।
सैनिकों की तैनाती के कारण पहाड़ी-आधारित उग्रवादियों और भारतीय रिजर्व बटालियन के बीच कई झड़पें हुईं, जिसके परिणामस्वरूप कम से कम पांच उग्रवादी मारे गए। एक अलग मुठभेड़ में चार आतंकवादी मारे गये। 6 मई तक स्थिति कुछ हद तक शांत हो गई थी। पत्रकार मोसेस लियानज़ाचिन के अनुसार, हिंसा के दौरान कम से कम सत्ताईस चर्च नष्ट कर दिए गए या जला दिए गए। मणिपुर सरकार के अनुसार, 9 मई तक मरने वालों की संख्या 60 से अधिक थी। 10 मई को स्थिति को "अपेक्षाकृत शांतिपूर्ण" बताया गया, कुछ स्थानों पर कर्फ्यू में ढील दी गई, हालांकि मणिपुर के इंफाल पूर्वी जिले में एक घटना में अज्ञात आतंकवादियों ने भारतीय सैनिकों पर गोलीबारी की, जिसमें एक घायल हो गया।
12 मई को, संदिग्ध कुकी उग्रवादियों ने बिष्णुपुर जिले में पुलिसकर्मियों पर घात लगाकर हमला किया, जिसमें एक अधिकारी की मौत हो गई और पांच अन्य घायल हो गए। एक अलग घटना में, चुड़ाचाँदपुर जिले के तोरबुंग में एक सैनिक को चाकू मार दिया गया और मैतै समुदाय के तीन सदस्यों का अपहरण कर लिया गया। एक दिन बाद, मणिपुर सरकार के सुरक्षा सलाहकार कुलदीप सिंह ने हिंसा में मरने वालों की कुल संख्या 70 से अधिक कर दी। इसमें चुड़ाचाँदपुर में अज्ञात कारणों से एक वाहन में मृत पाए गए लोक निर्माण विभाग के तीन मजदूरों की खोज भी शामिल थी। ​​उन्होंने कहा कि शिविरों में रहने वाले आंतरिक रूप से विस्थापित लोगों की संख्या काफी कम हो गई है, और लगभग 45,000 लोगों को अन्य क्षेत्रों में स्थानांतरित कर दिया गया है।
14 मई को, टोरबुंग क्षेत्र में ताजा हिंसा की खबरें सामने आईं, जिसमें अज्ञात आगजनी करने वालों ने घरों और ट्रकों सहित अधिक संपत्ति को आग लगा दी। सीमा सुरक्षा बल की पांच कंपनियां तैनात की गईं। एक अलग घटना में असम राइफल्स के दो जवान घायल हो गए। उसी दिन, मणिपुर के मुख्यमंत्री एन बीरेन सिंह के नेतृत्व में राज्य के मंत्रियों का एक प्रतिनिधिमंडल स्थिति पर चर्चा करने के लिए केन्द्रीय गृह मंत्री अमित शाह से मिलने के लिए नई दिल्ली रवाना हुआ। इस बिंदु तक हिंसा से हताहतों और संपत्ति की क्षति की रिपोर्ट की गई संख्या 73 मृत, 243 घायल, 1809 घर जलाए गए, 46,145 लोगों को निकाला गया, 26,358 लोगों को 178 राहत शिविरों में ले जाया गया, 3,124 लोगों को निकासी उड़ानों में ले जाया गया, और 385 आपराधिक मामले दर्ज किए गए।
26 मई को, मैतै पुनरुत्थानवादी संगठन अरामबाई तेंगगोल ने घोषणा की कि वह पिछले कुछ दिनों में हुए कुछ "अवांछित विकास" का हवाला देते हुए खुद को भंग कर रहा है। 28 मई को, आत्मसमर्पण करने वाले घाटी-आधारित विद्रोही समूहों के उग्रवादियों, जो अब अरामबाई तेंगगोल बैनर के तहत काम कर रहे हैं, और असम राइफल्स की एक इकाई के बीच भीषण गोलीबारी की सूचना मिली थी।
दोबारा दंगे
14 जून को, नौ मैतै पुरुषों सहित कम से कम 11 लोगों को गोली मार दी गई। इसके अतिरिक्त, ताजा प्रकोप में 14 लोग घायल हो गए। राज्य की राजधानी में डॉक्टरों और अन्य वरिष्ठ प्रबंधन अधिकारियों के अनुसार, नवीनतम झड़प इतनी भीषण है कि कई शवों की पहचान करना मुश्किल हो गया है।
नग्न कुकी महिलाओं का वायरल वीडियो
19 जुलाई 2023 को ट्विटर पर एक वीडियो वायरल हुआ जिसमें कुकी समुदाय की दो महिलाओं को लगभग 1000 लोगों की भीड़ द्वारा जबरन नग्न अवस्था में घुमाते हुए दिखाया गया। यह घटना 4 मई 2023 की है जो एक मैतै महिला के बलात्कार और हत्या की फर्जी खबर प्रसारित होने के बाद हुई थी। पुलिस की शिकायत के अनुसार, कुकी समुदाय के दो पुरुष और तीन महिलाएं जब हिंसा प्रभावित अपने जिले से भागने की कोशिश कर रहे थे, तो मैतै भीड़ ने उन्हें रोक दिया। दोनों पुरुषों को भीड़ ने मार डाला और महिलाओं को अपने कपड़े उतारने के लिए मजबूर किया गया, जिसके बाद एक महिला के साथ "क्रूरतापूर्वक सामूहिक बलात्कार" किया गया। एक पीड़ित ने आरोप लगाया कि इसमें पुलिस भी शामिल थी। पुलिस ने इस मामले में पहली गिरफ्तारी वीडियो वायरल होने के बाद की, जो घटना के महीनों बाद हुआ था। सरकार ने कानून और व्यवस्था में व्यवधान की चिंताओं का हवाला देते हुए ट्विटर से वीडियो हटाने को कहा।
वीडियो के प्रसारित होने के कुछ ही घंटों के भीतर सुप्रीम कोर्ट ने सरकार को कार्रवाई करने की चेतावनी देते हुए जवाब दिया, अन्यथा अदालत हस्तक्षेप करेगी। इस घटना ने प्रधानमंत्री मोदी को बोलने के लिए प्रेरित किया, जो हिंसा शुरू होने के बाद से लगभग 80 दिनों तक चुप थे, उन्होंने कहा कि वीडियो वायरल होने के बाद उनका दिल "दर्द और गुस्से से भरा" है। कई लोगों ने बताया कि राज्य में इंटरनेट बंद होने से घटना को छुपाने में मदद मिली।
समाचार पोर्टल न्यूज़लॉन्ड्री ने बताया कि राष्ट्रीय महिला आयोग (एनसीडब्ल्यू) को इस घटना की जानकारी थी क्योंकि उन्हें जून के महीने में शिकायत मिली थी, लेकिन एनसीडब्ल्यू ने इसे नजरअंदाज कर दिया।
20 जुलाई, 2023 को मणिपुर पुलिस ने घोषणा की कि अपराध के सिलसिले में 4 लोगों को गिरफ्तार किया गया है। 22 जुलाई को, पांचवीं गिरफ्तारी हुई और 23 जुलाई को अपराध के संबंध में एक किशोर युवक को गिरफ्तार किया गया।
प्रतिक्रियाएं
मणिपुर के मुख्यमंत्री एन बीरेन सिंह ने कहा कि दंगे "दो समुदायों के बीच व्याप्त गलतफहमी" के कारण भड़के थे और उन्होंने सामान्य स्थिति बहाल करने की अपील की।
सांसद शशि थरूर ने राष्ट्रपति शासन की मांग की और भाजपा के नेतृत्व वाली सरकार पर आरोप लगाते हुए कहा कि वह राज्य पर शासन करने में विफल रही है।
बेंगलुरु के मेट्रोपॉलिटन आर्कबिशप पीटर मचाडो ने चिंता व्यक्त की कि ईसाई समुदाय को असुरक्षित महसूस कराया जा रहा है, उन्होंने कहा कि "सत्रह चर्चों को या तो तोड़ दिया गया या अपवित्र कर दिया गया।"
हसनपुर गाँव, दनियावान (पटना)
हसनपुर दनियावान, पटना, बिहार स्थित एक गाँव है।
मणिपुर हिंसा 2023
प्रतिक्रियाएं
मणिपुर की मूल निवासी ओलंपिक पदक विजेता मैरी कॉम ने ट्वीट कर अपने गृह राज्य के लिए मदद मांगी। केंद्र सरकार के गृह मंत्री अमित शाह ने कर्नाटक चुनाव के लिए अपने प्रचार कार्यक्रम रद्द कर दिए और मणिपुर में स्थिति की निगरानी के लिए एन बीरेन सिंह के साथ बैठकें कीं।
12 मई 2023 को, भारतीय जनता पार्टी के आठ सहित सभी 10 कुकी विधायकों ने एक बयान जारी कर हिंसक जातीय झड़पों के मद्देनजर भारत के संविधान के तहत अपने समुदाय को प्रशासित करने के लिए एक अलग निकाय बनाने की मांग की। उन्होंने आरोप लगाया कि हिंसा को भाजपा द्वारा संचालित राज्य सरकार द्वारा "मौन समर्थन" दिया गया था, और हिंसा के बाद मैतेई-बहुमत प्रशासन के तहत रहना उनके समुदाय के लिए "मृत्यु के समान" होगा। नई दिल्ली में मणिपुर के आदिवासी छात्रों के पांच संगठनों ने भी हिंसा में दो कट्टरपंथी मैतै समूहों, अरामबाई तेंगगोल और मैतेई लीपुन की कथित संलिप्तता की जांच की मांग की।
संयुक्त राष्ट्र मानवाधिकार उच्चायुक्त वोल्कर तुर्क ने एक बयान में कहा कि मणिपुर में हिंसा ने "विभिन्न जातीय और स्वदेशी समूहों के बीच अंतर्निहित तनाव को उजागर किया है"। उन्होंने अधिकारियों से "अपने अंतरराष्ट्रीय मानवाधिकार दायित्वों के अनुरूप हिंसा के मूल कारणों की जांच और समाधान करने सहित स्थिति पर तुरंत प्रतिक्रिया देने" का आग्रह किया।
29 मई को, कुकी, मिज़ो और ज़ोमी जनजातियों की सैकड़ों महिलाओं ने नई दिल्ली के जंतर-मंतर पर विरोध प्रदर्शन किया और मणिपुर में सांप्रदायिक तनाव को समाप्त करने के लिए केंद्र सरकार से हस्तक्षेप की मांग की। महिलाओं ने राष्ट्रीय झंडे लहराए और खुद को आप्रवासी नहीं, बल्कि भारतीय घोषित करने वाले पोस्टर लिए हुए थे, साथ ही आरक्षित वन भूमि से कुकी ग्रामीणों को बेदखल करने से तनाव पैदा करने वाली राज्य सरकार की आलोचना भी की।
30 मई 2023 को, राज्य के ग्यारह अंतरराष्ट्रीय और राष्ट्रीय पुरस्कार विजेता खिलाड़ियों ने कहा कि अगर राज्य की क्षेत्रीय अखंडता से समझौता किया गया तो वे अपने पुरस्कार वापस कर देंगे। खिलाड़ियों ने कहा कि अगर सरकार उनकी मांगें पूरी नहीं करती है तो वे भारत का प्रतिनिधित्व नहीं करेंगे और नई प्रतिभाओं को प्रशिक्षित करने में मदद नहीं करेंगे।
1 जुलाई 2023 को, केरल में थालास्सेरी के आर्कबिशप जोसेफ पैम्प्लानी ने कहा कि हिंसा मणिपुर में ईसाई समुदायों को नष्ट करने के लिए मोदी सरकार द्वारा प्रायोजित है।
14 जुलाई 2023 को मिज़ोरम राज्य से भाजपा के उपाध्यक्ष आर. वनरामचुआंगा ने केंद्र और राज्य की भाजपा सरकारों पर चर्चों के विध्वंस का समर्थन करने का आरोप लगाते हुए अपने पद से इस्तीफा दे दिया।
20 जुलाई 2023 को, दो महिलाओं को नग्न घुमाने और पुरुषों के एक समूह द्वारा यौन उत्पीड़न के ज़बरदस्त कृत्यों का एक वीडियो वायरल होने के बाद प्रधानमंत्री नरेन्द्र मोदी ने अपनी महीनों पुरानी चुप्पी तोड़ी। उन्होंने कहा कि इस घटना ने भारत को शर्मसार कर दिया है और किसी भी दोषी को बख्शा नहीं जाएगा। विडियो वायरल होने के बाद, अक्षय कुमार, कियारा आडवाणी, सोनू सूद, ऋचा चड्ढा, विवेक अग्निहोत्री, वीर दास, रितेश देशमुख, उर्मिला मातोंडकर, रेणुका शहाणे जैसे कई हस्तियों ने महिलाओं के खिलाफ हिंसा की निंदा की।     तमिलनाडु के मुख्यमंत्री एमके स्टालिन, उदयनिधि स्टालिन, पा. रंजीत, अभिनेता कविन, जीवी प्रकाश और कमल हासन ने भी घटना को निंदनीय बताया। कांग्रेस नेता राहुल गांधी, दिल्ली के मुख्यमंत्री अरविंद केजरीवाल, महुआ मोइत्र और प्रियंका गांधी ने घटना को "घिनौना" और "दिल दहला देने वाला" कहा।
बर्नार्ड मलामड
बर्नार्ड मलामड''' अमेरिका के राष्ट्रिय पुस्तक पुरस्कार विजेता लेखक थे, इन्होने ये पुरस्कार सन १९५९ में अपनी किताब दे मेजिक बरल और सन १९६७ में दे फिक्सर के लिये जीता। वे २०वि सदी में अमेरिका के कुछ महान यहूदी लेखको में से थे। उनका उपन्यास दे नैचुरल सन १९८४ की फिल्म जिसमे की रॉबर्ट रेडफोर्ड ने काम किया था का विषय बना.
कटका अभयारण्य
कटका अभयारण्य गंगा नदी के मुहाने पर बने सुंदरवन डेल्टा में स्थित झारसुगडा जसपुर मार्ग पर तपकरा नामक स्थान से शुरु होकर स्वर्ण रेखा नदी के किनारे किनारे है, यहां दुर्लभ वन्य जीवों में तिच्छी (छिपकली प्रजाति) बहुत अधिक मात्रा में है और लीची के पेडों में चिपकी मिलती है।
चाँदनी चौक टू चाइना
चाँदनी चौक टू चाइना, जिसे सीसी2सी के नाम से भी जाना जाता है एक 16 जनवरी 2009 को प्रदर्शित एक्शन हास्य फिल्म है जो निखिल आडवाणी द्वारा निर्देशित और प्रमुख भूमिकाओं में अक्षय कुमार और दीपिका पादुकोण के साथ कुशल अभिनेता मिथुन चक्रवर्ती और रणवीर शोरी अवं होंगकोंग सिनेमा के दिग्गज सहकलाकार गॉर्डन लुई द्वारा अभिनीत है। इसके अलावा फ़िल्म चीन और बैंकॉक, थाईलैंड में भी फ़िल्माई गयी है। यद्दपि कुछ चीनी दृश्य शंघाई फिल्म स्टूडियो में फ़िल्माये गये हैं।
कथानक
इस फ़िल्म की कहानी चाँदनी चौक, दिल्ली में सड़क किनारे सब्जी काटने वाले सिधू (अक्षय कुमार) से आरम्भ होती है। वह अपने पोषक पिता दादा (मिथुन चक्रवर्ती) के मना करने के बावजूद भी ज्योतिषी, टैरो कार्ड पढ़ने वाले, और नकली फकीर से परामर्श लेता है।
निर्माण
फ़िल्म का पहले नाम मेरा नाम चिन चिन चू और मेड इन चाइना रखना तय किया गया था, जो श्रीधर राघवन द्वारा लिखित है।
इसका निर्माण चीन में कार्यक्रम सहित जनवरी २००८ में आरम्भ हुआ।
टिकटघर
चाँदनी चौक टू चाइना ने प्रथम सप्ताहांत में inr 330000000 अर्जित किए।
रायपुर खुर्द सिबोरा, कांठ (मुरादाबाद)
भारत की जनगणना अनुसार यह गाँव, तहसील कांठ, जिला मुरादाबाद, उत्तर प्रदेश में स्थित है।
सम्बंधित जनगणना कोड: राज्य कोड :09 जिला कोड :135 तहसील कोड : 00718
मस्तिष्क ज्वर
मस्तिष्कशोथ या मस्तिष्क ज्वर या इन्सेफ्लाइटिस रोग (Encephalitis) विषाणु के प्रकोप से होता है। इसमें मस्तिष्क में अत्यधिक सूजन आ जाती है।
लक्षण
मस्तिष्कशोथ के लक्षण अस्पष्ट होते हैं, लेकिन डॉक्टरों का कहना है कि इससे दिमाग में ज्वर, सिरदर्द, ऐंठन, उल्टी और बेहोशी जैसी समस्याएं पैदा हो जाती हैं। रोगी का शरीर निर्बल हो जाता है। वह प्रकाश से डरता है। कुछ रोगियों (बहुत कम) के गर्दन में जकड़न आ जाती है। डॉक्टरों के मुताबिक यहां तक कि रोगी लकवा के भी शिकार हो जाते हैं। ये सभी लक्षण मस्तिष्क की सुरक्षा प्रणाली के क्रियाशील (ऐक्टिव) होने के कारण प्रकट होते हैं क्योंकि सुरक्षा प्रणाली संक्रमण से मुक्ति पाने के लिये क्रियाशील हो जाती है।
रोग के कारक
यह रोग एक प्रकार के विषाणु (वायरस) से होता है। यह विषाणु इतने सूक्ष्म होत हैं कि साधारण सूक्ष्मदर्शी (माइक्रोस्कोप) से भी नहीं देखे जा सकते हैं। इस रोग का वाहक मच्छर किसी स्वस्थ्य व्यक्ति को काटता है तो विषाणु उस व्यक्ति के शरीर में प्रवेश कर जाते हैं और लगभग ४ दिन से चौदह दिन के अन्दर उस व्यक्ति में इस रोग के लक्षण दिखने लगते हैं।
रोकथाम
मच्छरों से बचाव व टीकाकरण ही इस बीमारी से बचने का उपाय है। इसका टीका काफी प्रभावी है और इसका कोई साइड इफेक्ट नहीं है।
बोरेगाव, मुधोल मण्डल
बोरेगाव, मुधोल मण्डल में भारत के आन्ध्रप्रदेश राज्य के अन्तर्गत के अदिलाबादु जिले का एक गाँव है।
क्रमचय
गणित में, क्रमचय (परमुटेशन) की संकल्पना को सूक्ष्म रूप से विभिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है, सभी अर्थ वस्तुओं या मूल्य के क्रमपरिवर्तन (क्रमबद्ध रूप से पुनर्व्यवस्थित करना) की कार्रवाई से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, कुछ मानों (values) के एक सेट को विशेष क्रम में व्यवस्थित करना क्रमचय है। इस प्रकार सेट (1, 2, 3,) के छह क्रमचय हैं अर्थात् [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2] और [3,2,1].
बीजगणित में और विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, सेट S का क्रमचय S से स्वंय में द्विभाजन के रूप में परिभाषित है (अर्थात, ऐसा नक्शाS → S जिसमें S का हर तत्व ठीक एक बार बिम्ब मूल्य के रूप में घटित होता है). ऐसे नक्शे के लिए f का संबंध S की उस पुनर्व्यवस्था से है जिसमें S तत्व अपने बिम्ब f (S) का स्थान ले लेता है। कॉम्बीनेटॉरिक्स में, परिमित सेट S का क्रमचय इसके तत्वों की सूचीबद्ध पुनर्व्यवस्था के रूप में परिभाषित है। इस अर्थ में, S का क्रमचय उसके तत्वों की पुनर्व्यवस्था से भिन्न है। प्रारंभिक क्रम वाले सेट S के लिए, जैसे S =(1,2,3,...,n), ये दोनो अर्थ लगभग पहचाने जा सकते हैं: इस प्रारंभिक आदेश पर पहले अर्थ में क्रमपरिवर्तन लागू करने से तत्वों का वैकल्पिक क्रम प्राप्त होता है, जो दूसरे अर्थ में क्रमपरिवर्तन है।
किसी वस्तु के भागों की पुनर्व्यवस्था के कार्य को, या उससे प्राप्त परिणाम को नामित करने के लिए अनौपचारिक रूप से क्रमपरिवर्तन शब्द का प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार किसी शब्द के वर्णविपर्यय को इसके वर्णो का क्रमपरिवर्तन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, या कह लें कि X 3Y +7+Y 2Z बहुपदीय X 3Y +Y 2Z +7 के पदों का क्रमपरिवर्तन (से प्राप्त) है। क्रमपरिवर्तन के कार्य को प्रतीकों का प्रतिस्थापन भी कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए जब कहते हैं कि X, Y, Z की चर राशि के (चक्रीय) क्रमपरिवर्तन द्वारा X 3Y +Y 2Z +7 से Y 3Z +Z 2X +7 प्राप्त होता है। एक उपयुक्त सममितीय सामूहिक कार्रवाई को ध्यान में रखते हुए इन कथनों को सटीक अर्थ प्रदान किया जा सकता है
कॉम्बीनेटॉरिक्स में "क्रमपरिवर्तन" के दूसरे अर्थ को कभी कभी विस्तृत किया जाता है। प्राथमिक कॉम्बीनेटॉरिक्स में, "क्रमपरिवर्तन और संयोजन" दो संबद्ध समस्याओं का हवाला देता है, दोनों ही n तत्व के सेट से विशिष्ट k तत्व के चयन की संभावनाओं पर निर्भर करती हैं, k क्रमपरिवर्तन के लिए चयन के क्रम को ध्यान में रखा जाता है, किन्तु k -संयोजन के लिए अनदेखा कर दिया जाता है। दरअसल k -क्रमपरिवर्तन की गणना का प्रयोग k -संयोजन के नंबर \tbinom nk की गणना की दिशा में एक कदम के रूप में किया जाता है और सेट के क्रमपरिवर्तन की संख्या n ! की गणना के रूप में भी (उपर्युक्त उल्लिखित दो के किसी भी अर्थ में) होता है। तथापि k -क्रमपरिवर्तन ऐसे क्रमपरिवर्तन के तब तक अनुरूप नहीं होते जब तक k = n, अर्थात, चयन में सभी उपलब्ध तत्व शामिल न हों. क्रमपरिवर्तन की धारणा को भिन्न तरीके से व्यापक बनाने के लिए, एक सेटS के स्थान पर, ऐसे परिमित मल्टीसेट M के साथ शुरुआत की जा सकती है, जिसमें कुछ मूल्य एक से अधिक बार घटित होते हों. M का (मल्टीसेट) क्रमपरिवर्तन M के तत्वों का अनुक्रम है जिनमें से प्रत्येक ठीक उतनी बार घटित होता है जितनी बार M में. इस प्रकार M = [1,1,1,2,3,3] के लिए, [3,1,2,1,1,3] का अनुक्रम M का मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन है, किन्तु [3,1,2,1,2,3,1] नहीं है।
लगभग गणित के प्रत्येक क्षेत्र में, क्रमपरिवर्तन कमोबेश प्रमुख रूप से होते हैं। किसी परिमित सेट पर भिन्न क्रम लागू किए जाने से वे उत्पन्न होते हैं, संभवतः क्योंकि ऐसे क्रम को अनदेखा करते हुए हम पता लगाना चाहते हैं कि इस प्रकार कितने विन्यासों की पहचान होती है। इसी तरह के कारणों से कंप्यूटर विज्ञान में कलन गणित की छँटाई के अध्ययन में क्रमपरिवर्तन घटित होता है। बीजगणित में, सममितीय समूह की संकल्पना के माध्यम से क्रमपरिवर्तन का विस्तृत अध्ययन करने के लिए एक संपूर्ण विषय समर्पित किया गया है। इसकी संरचना के लिए महत्वपूर्ण है क्रमपरिवर्तन की रचना की संभावना: अनुवर्ती क्रम में दो पुनर्व्यवस्थाओं को निष्पादित करते हुए, संयोजन तीसरी पुनर्व्यवस्था को परिभाषित करता है। n वस्तु के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने का नियम 1150 के आसपास ही हिंदू संस्कृति में उपलब्ध था: भारतीय गणितज्ञ भास्कर द्वारा लीलावती में एक अनुच्छेद है जिसका अनुवाद है "इकाई से शुरू और वृद्धिमान और कई स्थानों के लिए जारी अंकगणितीय श्रृंखला के बहुगुणन का उत्पाद, विशिष्ट संख्या वाले अंकों का रूपांतर होगा." क्रमपरिवर्तन की मदद से असंबंधित गणितीय प्रश्नों के पहले अध्ययन का पहला मामला 1770 में सामने आया, जब जोसफ़ लुइस लाग्रेंज ने, बहुपदीय समीकरणों का अध्ययन करते हुए पाया कि समीकरण के मूल के क्रमपरिवर्तन के गुण इसे हल करने की संभावनाओं से संबंधित हैं। इस कार्य से हुए विकास का परिणाम इवरिस गाल्वा, के काम के माध्यम से, गाल्वा सिद्धांत में प्रतिपादित हुआ, जो मूल द्वारा बहुपदीय समीकरणों (अज्ञात में) को हल करने में संभव और असंभव का पूरा विवरण देता है। आधुनिक गणित में इसी तरह की कई स्थितियां हैं, जहां समस्या को समझने के लिए संबंधित क्रमपरिवर्तन के अध्ययन की आवश्यकता होती है।
समूह सिद्धांत में
समूह सिद्धांत (ग्रुप थिअरी) और संबंधित क्षेत्रों में, यादृच्छिक सेटों, अपरिमित का भी क्रमपरिवर्तन होता है। S का स्वंय में द्विभाजन सेट S का क्रमपरिवर्तन है। यह क्रमपरिवर्तन की अनुमति देता है, जो क्रमपरिवर्तन के समूहों को परिभाषित करता है। अगर n तत्वों का परिमित सेट S है, तो n ! S का क्रमपरिवर्तन है।
कॉम्बीनेटॉरिक्स में
कॉम्बीनेटॉरिक्स में, एक क्रमपरिवर्तन का अर्थ आम तौर पर एक परिमित सेट से एक बार और केवल एक बार प्रत्येक तत्व से युक्त अनुक्रम समझा जाता है। अनुक्रम की अवधारणा सेट से इस तरह अलग है कि उसमें अनुक्रम के तत्व एक क्रम में होते है: अनुक्रम का पहला तत्व (जब तक यह खाली न हो) होता है, दूसरा तत्व (यदि उसकी लंबाई 2 से कम नहीं है) और इसी प्रकार क्रमशः होते चले जाते हैं। इसके विपरीत, सेट में तत्वों का कोई क्रम नहीं होता, (1, 2, 3) और (3, 2, 1) एक ही सेट को निरूपित करने के अलग तरीके हैं। इस अर्थ में n तत्वों के परिमित S सेट का क्रमपरिवर्तन (1,2, ..., n) से S (जिसमें कोई i अनुक्रम के i -th तत्व से मानचित्रित है) में द्विभाजन, या S (जिसके लिए x <y यदि अनुक्रम में y से पहले x आए) के पूरे क्रम के लिए चयन के तुल्य है। इस अर्थ में n ! क्रमपरिवर्तन भी S का है।
अगर M एक परिमित मल्टीसेट है, तो एक मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन M तत्वों का क्रम है जिसमें प्रत्येक तत्व उतनी बार प्रकट होता है जितनी बार M में इसकी बहुलता है। यदि M के तत्वों की बहुलता (किसी क्रम में ली जाए) m_1, m_2, ..., m_l है और उनका योग (अर्थात,M का आकार) n है, तो M के मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन की संख्या बहुपदीय गुणांक द्वारा दी जाती है
समूह सिद्धांत में क्रमपरिवर्तन
समूह सिद्धांत में, एक सेट के क्रमपरिवर्तन का अर्थ है एक द्विभाजित नक्शा, या उस सेट से स्वंय में द्विभाजन. किसी भी सेट S के सभी क्रमपरिवर्तन, नक्शे की उत्पाद के रूप में और पहचान की तटस्थ तत्व के रूप में संरचना वाले समूह बनाते हैं। यह S का सममितीय समूह है। समरूपता तक, यह सममितीय समूह सेट की गणनीयता पर निर्भर करता है, इसलिए S तत्वों की प्रकृति समूह की संरचना के लिए अप्रासंगिक है। परिमित सेटों के मामले में सममितीय समूहों का अध्ययन सबसे अधिक किया गया है, जिस मामले में यह माना जा सकता है कि S ={1,2,...,{0}n} कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए, जो n की डिग्री के सममितीय समूह को परिभाषित करता है। सममितीय समूह के किसी भी उपसमूह को क्रमपरिवर्तन समूह कहते है। वास्तव में केली के सूत्र के अनुसार कोई भी समूह क्रमपरिवर्तन समूह के अनुरूप है और प्रत्येक परिमित समूह किसी भी परिमित सममितीय समूह का उपसमूह है। हालांकि, क्रमपरिवर्तन समूहों की अमूर्त क्रमपरिवर्तन समूहों की तुलना में अधिक संरचना होती है और क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में विभिन्न प्रतीति होती है इसलिए समतुल्य होने की ज़रूरत नहीं है।
अंकन पद्धति
एक परिमित S सेट के क्रमपरिवर्तन के लिए दो मुख्य अंकन पद्धतियां हैं। दो-पंक्तियों वाले अंकन में, एक पहली पंक्ति में S के तत्व को सूचीबद्ध करती है और प्रत्येक के लिए क्रमपरिवर्तन के तहत अपने बिम्ब को दूसरी पंक्ति में. उदाहरण के लिए सेट (1,2,3,4,5) का विशेष क्रमपरिवर्तन इस रूप में लिखा जा सकता है: इसका मतलब है कि σ संतुष्ट करता है σ (1)=2,σ (2)=5, σ (3)=4,σ (4)=3 औरσ (5)=1.
वैकल्पिक रूप से, हम चक्र अंकन का उपयोग कर क्रमपरिवर्तन लिख सकते हैं, जो क्रमपरिवर्तन के सफल प्रयोग के प्रभाव पर केंद्रित करता है। यह क्रमपरिवर्तन को चक्र के उत्पाद के रूप में व्यक्त करती है जो क्रमपरिवर्तन की कक्षाओं (कम से कम दो तत्वों के साथ) के अनुरूप होता है; चूंकि पृथक कक्षाएं शिथिल होती हैं, इसे सामान्य रूप से क्रमपरिवर्तन का "शिथिल चक्रों में अपघटन" कहते हैं। यह इस प्रकार काम करता है: S के कुछ X तत्व से शुरू करकेσ(x) ≠ x, अनुक्रम लिखते हैं σ के तहत क्रमिक बिम्ब का (x σ ('x ) σ (σ ('x )) ...), जब तक बिम्ब X न हो जाए, जिस बिंदु पर कोष्ठक बंद कर दिए जाते हैं। लिखे गए मान का सेट x की कक्षा बनाता है (σ के अंतर्गत) और कोष्ठकबद्ध अभिव्यक्ति σ का समानुरूप चक्र देती है। तो S के x तत्व को चुनना जारी रहता है जो पहले से लिखी गई कक्षा में नहीं है और किσ(y) ≠ y और संगत चक्र को लिखते हैं और यह क्रम जारी रहता है जब तक S के सभी तत्व लिखे गए चक्र से संबद्ध नहीं होते हैं या σ के नियत बिंदु नहीं होते. चूंकि हर नए चक्र के लिए प्रारंभ बिंदु अलग अलग तरीकों से चुना जा सकता है, सामान्यतः एक ही क्रमपरिवर्तन के लिए कई अलग अलग चक्र अंकन हैं; उदाहरण के लिए ऊपर वाले में एक उदाहरण है
आकार 1 की एक कक्षा (S में एक निश्चित बिंदु x) का तदनुरूपी चक्र नहीं है, चूंकि यह क्रमपरिवर्तन x और साथ ही S के हर अन्य तत्व को ठीक करेगा, दूसरे शब्दों में यह पहचान होगी, x से स्वतंत्र रूप में. यह संभव है चक्र अंकन में (x) शामिल करें ताकि σ बल दे कि σ x को तय करता है (और कॉम्बीनेटॉरिक्स में यह सम मानक है, जैसा कि चक्र और नियत बिंदुओं में वर्णित है), पर यह (समूह सैद्धांतिक)σ के अपघटन में कारक के अनुरूप नहीं है। अगर "चक्र" की अवधारणा में क्रमपरिवर्तन की पहचान शामिल करें, तो इससे शिथिल चक्रों में क्रमपरिवर्तन के अपघटन की अद्वितीयता (क्रम तक) नष्ट हो जाएगी. पहचान क्रमपरिवर्तन का शिथिल चक्रों में अपघटन खाली उत्पाद है; इसका चक्र अंकन खाली होगा, इसलिए इसकी बजाए e जैसी अंकन पद्धति इस्तेमाल की जाएगी.
लंबाई के दो चक्रों को प्रतिस्थापन कहा जाता है; ऐसे क्रमपरिवर्तन केवल दो तत्वों की जगह बदलते हैं।
उत्पाद और व्युत्क्रम
दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद कार्य के रूप में उनकी संरचना के रूप में परिभाषित है, दूसरे शब्दों में σ·π  वह कार्य है जो सेट के किसी भी x तत्व का σ (π (x)) में चित्रण करता है। ध्यान दें कि कार्य का अनुप्रयोग लिखने के ढंग की वजह से सबसे दायां क्रमपरिवर्तन पहले तर्क पर लागू होता है। कुछ लेखक पहले सबसे बाएं कारक को लागू करना पसंद करते हैं, पर उसके लिए क्रमपरिवर्तन उनके तर्क की दायीं ओर लिखा जाना चाहिए, उदाहरणार्थ प्रतिपादक के रूप में, x पर लागू σ x σ लिखा जाता है; तो उत्पाद परिभाषित किया गया है x σ·π =(x σ)π के द्वारा. हालांकि यह क्रमपरिवर्तन गुणा करने के लिए एक अलग नियम देता है; यह लेख वहां परिभाषा का उपयोग करता है जहां सबसे दाएं क्रमपरिवर्तन को पहले लागू किया जाता है।
चूंकि दो द्विभाजनों की संरचना हमेशा एक और द्विभाजन देती है, दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। कार्य संरचना सहयोगात्मक होती है, इसलिए क्रमपरिवर्तन पर उत्पाद संचालन है:(σ·π)·ρ =σ ·(π·ρ). इसलिए क्रमपरिवर्तन के उत्पाद आमतौर पर कोष्ठक के बिना लिखे जाते हैं और वे आमतौर पर एक डॉट या उत्पाद को चिह्नित करने वाले अन्य निशान के भी बिना लिखे जाते हैं
पहचान क्रमपरिवर्तन, जो सेट के प्रत्येक तत्व को स्वंय में ही चित्रित करता है, इस उत्पाद का तटस्थ तत्व है। दो पंक्तियों वाले अंकन में, पहचान है
चूंकि द्विभाजन के व्युत्क्रम हैं, इसलिए क्रमपरिवर्तन के भी हैं और σ का व्युत्क्रम σ −1है जो फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। स्पष्ट रूप से, जब भी σ(x) =y एक का σ −1(y)=x भी है। दो पंक्तियों वाले अंकन में व्युत्क्रम दो लाइनों (और कॉलम की छँटाई यदि कोई पहली पंक्ति को क्रम में देना चाहता हो) को परस्पर बदल कर प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए चक्र अंकन में प्रत्येक चक्र में तत्वों के क्रम को पलटने से इसके व्युत्क्रम के लिए चक्र अंकन प्राप्त कर सकते हैं।
एक सहयोगात्मक उत्पाद, एक तटस्थ तत्व और इसके सभी तत्वों के लिए व्युत्क्रम से S के सभी क्रमपरिवर्तन के सेट का समूह बनाता है जिसे S का सममितीय समूह कहा जाता है।
एक परिमित सेट के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, हालांकि एक दिए गए क्रमपरिवर्तन के लिए कई तरह के भाव मौजूद हो सकते हैं, उनके बीच प्रतिस्थापन की सम संख्या और विषम संख्या दोनों भाव के साथ अभिव्यक्ति नहीं हो सकती. सभी क्रमपरिवर्तन सम या विषम रूप में वर्गीकृत हैं, किसी भी अभिव्यक्ति में उनके प्रतिस्थापन की समता के अनुसार.
{1, 2, ...,{0}n} के क्रमपरिवर्तन का n ×n मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। ऐसा करने के दो प्राकृतिक तरीके हैं, लेकिन केवल एक के लिए ही मैट्रिक्स का गुणा उसी क्रम में क्रमपरिवर्तन के गुणा के अनुरूप होता है: यही है जो σ मैट्रिक्स M का सहयोगी है जिसकी M i, ''j प्रविष्टि 1 है यदि i=σ(j) है अन्यथा 0. '' परिणामस्वरूप मैट्रिक्स की ठीक 1 प्रविष्टि है प्रत्येक स्तंभ में और प्रत्येक पंक्ति में एक. इस तरह के मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स कहते हैं।
कॉम्बीनेटॉरिक्स में क्रमपरिवर्तन
कॉम्बीनेटॉरिक्स में n तत्वों के साथ सेट S का क्रमपरिवर्तन किसी क्रम में (हर तत्व एक बार घटता है) S के तत्वों की सूची है। इसे सेट (1, 2, ...,n) से S में औपचारिक द्विभाजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि S (1, 2, ...,n) के बराबर है तो यह परिभाषा समूह सिद्धांत की परिभाषा से मेल खाती है। आमतौर पर (1, 2 ... n) के बजाए तत्वों के क्रम से सुसज्जित किसी भी सेट का इस्तेमाल कर सकते हैं।
कॉम्बीनेटॉरिक का गुण जो क्रमपरिवर्तन की समूह सैद्धांतिक व्याख्या से संबंधित है और जिसे S के कुल क्रम का उपयोग किए बिना परिभाषित किया जा सकता है, वह क्रमपरिवर्तन σ की चक्र संरचना है। यह n के चक्रों की लंबाई का वर्णन करते हुए σ का विभाजन है। यहाँ σ के हर तय बिंदु के लिए विभाजन में भाग "1" है। एक क्रमपरिवर्तन जिसका कोई निश्चित बिंदु नहीं है उसे अव्यवस्था कहा जाता है।
आरोह, अवरोह और रन
n के σ के क्रमपरिवर्तन का आरोह i < n की स्थिति है जहां निम्नलिखित मूल्य वर्तमान की तुलना में बड़ा है।
अर्थात, यदि σ = σ 1σ 2...σ n, तो i एक अवरोह है अगरσ i < σ i+1.
उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन 3452167 का आरोह है (स्थिति पर) 1,2,5,6.
इसी तरह, अवरोह एक स्थिति है i < n के साथ σ i > σ  i +1, इसलिए 1\leq i के साथ प्रत्येक i या तो σ का आरोह है या अवरोह.
k आरोह के साथ n के क्रमपरिवर्तन की संख्या इल्यूरियन संख्या है, यह भी k  आरोह के साथ n के क्रमपरिवर्तन की संख्या है.
एक क्रमपरिवर्तन काआरोही रन उस क्रमपरिवर्तन का भरा हुआ वृद्धिमान समीपस्थ अनुक्रम है जिसे दोनों ओर से बढ़ाया जा सकता है, यह क्रमिक आरोही के अधिकतम अनुक्रम के अनुरूप है (बाद वाला खाली हो सकता है: दो क्रमिक अवरोही के बीच 1 लंबाई का आरोही रन अभी भी है).
{ विरोध में क्रमपरिवर्तन का वृद्धिमान परिणाम का समीपस्थ होना आवश्यक नहीं: यह कुछ बिंदुओं पर मूल्य को हटाकर क्रमपरिवर्तन से प्राप्त तत्वों का वृद्धिमान अनुक्रम है।
उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन 2453167 के आरोही रन 245, 3 और 167 है, जबकि इसका एक वृद्धिमान परिणाम 2367 है।
अगर एक क्रमपरिवर्तन के k − 1 अवरोही रन हैं, तो यह k आरोही रन का संघ होना चाहिए. इसलिए n का क्रमपरिवर्तन k आरोही रन के साथ वही है जो k − 1 आरोही के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या का है.
व्युत्क्रम
क्रमपरिवर्तन σ का व्युत्क्रम स्थितियों की जोड़ी (i,j) है जिसमें क्रमपरिवर्तन की प्रविष्टियांउलट क्रम में हैं: i और. तो एक अवरोही सिर्फ दो आसन्न स्थितियों पर एक व्युत्क्रम मात्र है। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन σ = 23154 के तीन व्युत्क्रम हैं:(1,3), (2,3), (4,5), प्रविष्टियों के जोड़े (2,1), (3,1), (5, 4) के लिए.
कभी कभी एक व्युत्क्रम को ऐसे मूल्य के जोड़े (σ i,σ j) के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका क्रम उलट है, इससे व्युत्क्रम की संख्या के लिए कोई अंतर नहीं पड़ता और यह जोड़ा (उलट) भी उपर्युक्त अर्थ में σ −1 उलट क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम है। व्युत्क्रम की संख्या डिग्री के लिए एक महत्वपूर्ण उपाय है जिसके लिए क्रमपरिवर्तन की प्रविष्टियां क्रम से बाहर हैं, σ और σ −1 के लिए वही है। k व्युत्क्रम वाले क्रमपरिवर्तन को व्वयवस्थित करने के लिए (अर्थात इसे पहचान क्रमपरिवर्तन में परिणत करना), आसन्न प्रतिस्थापन को क्रमिक रूप से लागू करके (दाएं-गुणा द्वारा), सदैव संभव है और ऐसे प्रचालनों के k अनुक्रम की आवश्यकता होती है। इसके अलावा आसन्न प्रतिस्थापन के कोई भी उचित चुनाव काम करेंगे: इसके लिए पर्याप्त होता है हर कदम पर i का प्रतिस्थापन चुनना और जहांi + 1 i अब तक परिशोधित क्रमपरिवर्तन का अवरोही है (ताकि प्रतिस्थापन इस विशेष अवरोही को हटायें यद्यपि यह अन्य अवरोही बना सकता है).
यह इसलिए है क्योंकि इस तरह का प्रतिस्थापन व्युत्क्रम की संख्या 1 से कम कर देता है, यह भी ध्यान दें कि जब तक संख्या शून्य नहीं है, क्रमपरिवर्तन पहचान नहीं है, इसलिए इसका कम से कम एक अवरोही है। एक अनुक्रम में क्रम डालने के लिए बुलबुला सॉर्ट और सम्मिलन सॉर्ट की व्याख्या इस प्रक्रिया के विशेष उदाहरण के रूप में की जा सकती है। संयोग से यह प्रक्रिया साबित करती है कि कोई क्रमपरिवर्तन σ आसन्न प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, इसके लिए बस ऐसे प्रतिस्थापन के किसी भी अनुक्रम को बदल सकते हैं जोσ को पहचान में रूपांतरित कर दे.
वास्तव में, आसन्न प्रतिस्थापन के सभी अनुक्रमों की गणना करके जोσ को पहचान के रूप में रूपांतरित कर दे, σ को आसन्न प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में लिखने से न्यूनतम लंबाई लेखन की सभी अभिव्यक्तियों की पूरी सूची प्राप्त होती है।
k व्युत्क्रम के साथ n के क्रमपरिवर्तन की संख्या महोनियन संख्या के द्वारा व्यक्त की जाती है, यह उत्पाद के विस्तार में X k का गुणांक है जिसे q -भाज्य [ n ] q! (X के एवजी q) के रूप में भी जाना जाता है।
दोहराए बिना अनुक्रम की गिनती
दूसरी ओर <tt>ENGINE</tt> क्रमपरिवर्तन नहीं है, पुनरावृत्ति के कारण: यह <tt>E</tt> और <tt>N</tt> तत्वों का दो बार उपयोग करता है।
n को S का आकार होने दें, चयन के लिए उपलब्ध तत्वों की संख्या.
k -क्रमपरिवर्तन के निर्माण में अनुक्रम के पहले तत्व के लिए n संभाव्य विकल्प हैं, तत्पश्चात यह 1-क्रमपरिवर्तन की संख्या है।
एक बार जब इसे चुना लिया गया हो, S के n − 1तत्वों में से चुना जा सकता है, दूसरे तत्व का चयनn − 1 इस तरह से किया जा सकता है जिससे संभाव्य 2-क्रमपरिवर्तन से कुल n × (n − 1) प्राप्त हो.
अनुक्रम के प्रत्येक उत्तरोतर तत्व के लिए, संभावनाओं की संख्या कम हो जाती है जिससे प्राप्त संख्या है
इससे विशेष रूप से n -क्रमपरिवर्तन की संख्या प्राप्त होती है (जिसमें एक बार S के सभी तत्व शामिल होते हैं, इसलिए वे केवल S के क्रमपरिवर्तन हैं:
× 2 × 1, एक संख्या जो गणित में इतनी बार घटित होती है कि इसे कॉम्पैक्ट अंकन "n !" दिया गया है और इसे "n भाज्य" कहा जाता है।
ये n -क्रमपरिवर्तन S के तत्वों को दोहराए बिना सबसे लंबे अनुक्रम हैं जो इस तथ्य से परिलक्षित हैं कि k -क्रमपरिवर्तन की संख्या का उपरोक्त सूत्र शून्य देता है जब भी k > n होता है।
n तत्वों के एक सेट के k -क्रमपरिवर्तन की संख्या कभी कभी P (n, k) या इसी तरह के अंकन (आमतौर पर n तत्वों के सेट के k -संयोजन की संख्या के लिए एक अंकन के साथ होती है जिसमें "P " का प्रतिस्थापन "C " से हुआ हो) से द्योतक होती है।
वह अंकन k -क्रमपरिवर्तन की गिनती के अतिरिक्त अन्य सन्दर्भों में शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है लेकिन संख्या के लिए अभिव्यक्ति कई अन्य स्थितियों में पैदा होती है।
n से शुरू होने वाले और यूनिट चरण द्वारा घटने वाले k कारकों का उत्पाद होने के नाते इसे n की k -th ह्रासमान भाज्य शक्ति कहा जाता है:
हालांकि कई अन्य नाम और अंकन उपयोग में हैं, जैसे कि पोछाम्मेर प्रतीक में विस्तृत हैं। जब k ≤ n भाज्य शक्ति अतिरिक्त कारकों द्वारा पूरी की जा सकती है: n k × (n − k)!
= n !, जो लेखन की अनुमति देता है
दाहिने हाथ की ओर अक्सर k -क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए अभिव्यक्ति के रूप में दी जाती है लेकिन इसका मुख्य गुण कॉम्पैक्ट भाज्य अंकन का उपयोग करना है।
k कारकों के उत्पाद को संभावित रूप में बहुत बड़े उत्पादों के भागफल के रूप में व्यक्त करना, जहां हर में सभी कारक भी न्यूमरेटर में स्पष्ट रूप से उपस्थित हैं, विशेष रूप से योग्य नहीं है; गणना की एक विधि के रूप में अतिप्रवाह या पूर्णन त्रुटियों का अतिरिक्त खतरा है।
यह भी नोट किया जाना चाहिए कि k > n होने पर अभिव्यक्ति अपरिभाषित है, जबकि उन मामलों में k -क्रमपरिवर्तन की संख्या n k बस 0 है।
क्रमपरिवर्तन का क्रमांकन
n के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व 0 ≤ N < n ! के साथ N पूर्णांक द्वारा किया जा सकता है, बशर्ते कि अनुक्रम के रूप में संख्या और क्रमपरिवर्तन के सामान्य प्रतिनिधित्व के बीच रूपान्तरण के लिए सुविधाजनक विधियां प्रदान की जा रही हों.
यह यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन का सबसे सुसम्बद्ध प्रतिनिधित्व करता है और कंप्यूटिंग में तब विशेष रूप से आकर्षक है जब n इतना छोटा हो कि N को मशीन शब्द में पकड़ा जा सके; 32-bit शब्दों के लिए इसका अर्थ है n ≤ 12 और 64-bit शब्दों के लिए इसका अर्थ है n ≤ 20.
d n, d n −1, ..., d 2, d 1 संख्याओं के अनुक्रम के मध्यवर्ती रूप के माध्यम से रूपान्तरण किया जा सकता है, जहां i से कम d i  एक गैर नकारात्मक पूर्णांक हो (d 1 को हटाया जा सकता है, क्योंकि यह हमेशा 0 होता है लेकिन इसकी उपस्थिति से एक क्रमपरिवर्तन के बाद के रूपांतरण का वर्णन करना सरल होता है).
तब पहला कदम भाज्य संख्या प्रणाली में N की अभिव्यक्ति मात्र है जो बस मिश्रित मूलांक विशेष का प्रतिनिधित्व है, जहां n ! तक की संख्या के लिए
उत्तरोतर अंकों का आधार n n − 1, ..., 2, 1 हैं।
दूसरे कदम में इस क्रम की व्याख्या लेह्मर कोड के रूप में या (लगभग सम रूप से) व्युत्क्रम तालिका के रूप में की जाती है।
लेह्मर कोड में क्रमपरिवर्तन σ के लिए, संख्या d n पहले पद σ 1 के लिए किए गए चुनाव का प्रतिनिधित्व करती है, संख्या d  n −1 प्रतिनिधित्व करती है दूसरे पद σ 1 के लिए सेट के शेषn − 1 तत्वों के बीच किए गए चुनाव का और इसी प्रकार आगे भी. और स्पष्ट शब्दों में, प्रत्येक d n +1−i शेष तत्वों की संख्या देता है जो पद σ i से निश्चित रूप से कम होती है।  चूंकि वे शेष तत्व किसी पश्च पद σ j के रूप में आने के लिए बाध्य हैं, अंक d n+1−i व्युत्क्रमों (i, j) की गिनती i को छोटे सूचकांक के रूप में शामिल करके करता है (जिसके लिए मूल्य j की संख्या i < j और σ i > σ'' j है). σ के लिए व्युत्क्रम तालिका काफ़ी समान है, लेकिन यहाँ d n+1−k व्युत्क्रम (i, j) की संख्या गिनती है जहां k = σ j घटित होता है विपरीत क्रम में प्रदर्शित दो मूल्यों में न्यूनतम के रूप में आता है . दोनो संकेतनों की n रॉथ आरेख में एक n द्वारा कल्पना की जा सकती है जिसमें (i, σ i) पर बिंदु क्रमपरिवर्तन की प्रविष्टियों के प्रतीक है और (i, σ j) पर क्रॉस व्युत्क्रम (i, j) के प्रतीक है; व्युत्क्रम की परिभाषा के द्वारा क्रॉस किसी भी ऐसे वर्ग में आता है जो अपने स्तंभ में (j, σ j) बिंदु से पहले और अपनी पंक्ति में (i, σ'' i) बिंदु दोनो तरह से आता है। लेह्मर कोड उत्तरोतर पंक्तियों में क्रॉसों की संख्या को सूचीबद्ध करता है, जबकि व्युत्क्रम तालिका उत्तरोतर स्तंभों में क्रॉसों की संख्या को सूचीबद्ध करती है; व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन के लिए लेह्मर कोड है और लेह्मर कोड के लिए व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन.
लेह्मर कोड d n, d n −1, ..., d 2, d 1 को एक व्यवस्थित S सेट के क्रमपरिवर्तन में प्रभावी रूप से परिवर्तित करने के लिए, वर्द्धमान क्रम में S के तत्वों की सूची के साथ शुरू कर सकते हैं और i के लिए 1 से n सेट σ i से सूचीबद्ध तत्वों से बढ़ाएँ जिसमें अन्य d n +1−''i पहले घटित हों और उस तत्व को सूची से निकाल दें. व्युत्क्रम तालिका d n, d  n −1, ..., d 2, d 1 को समानुरूप क्रमपरिवर्तन में परिवर्तित करने के लिए, एक शुरू से खाली अनुक्रम में S के सबसे बड़े से सबसे छोटे तत्वों को डालते हुए d 1 से d n से संख्या को उलट सकते हैं; चरण में व्युत्क्रम तालिका से संख्या d का प्रयोग करते हुए, अनुक्रम में S के तत्व उस बिंदु पर डाले गए हों जहां पहले से ही मौजूद d'' तत्व इससे पहले आए हों. वैकल्पिक रूप से सम्मिलन तालिका और S के तत्व दोनो की संख्या पर विपरीत क्रम में कार्रवाई कर सकते हैं, शुरुआत n के खाली स्लॉटों की पंक्ति से की जा सकती है और हर चरण पर S के तत्व को खाली स्लॉट में डालें जिससे पहले d अन्य खाली स्लॉट हों.
उत्तरोतर प्राकृतिक संख्या के भाज्य संख्या प्रणाली में सफल परिवर्तन से ये अनुक्रम कोषगत क्रम में उत्पन्न होते हैं (जो किसी भी मिश्रित मूलांक प्रणाली के मामले में होता है) और इन्हें आगे क्रमपरिवर्तन में परिवर्तित करने से मूलांक क्रम संरक्षित रहता है बशर्ते कि लेह्मर कोड की व्याख्या का इस्तेमाल किया जाता है (व्युत्क्रम तालिकाओं का उपयोग करने से, भिन्न क्रम प्राप्त होता है, जहां क्रमपरिवर्तन की तुलना उनकी प्रथम प्रविष्टियों के मूल्य की अपेक्षा उनकी 1 प्रविष्टियों के स्थान द्वारा की जानी शुरू हो जाती है) प्रतिनिधित्व भाज्य संख्या प्रणाली में संख्या के योग से क्रमपरिवर्तन के व्युत्क्रम की संख्या प्राप्त होती है और उस योग की समता से क्रमपरिवर्तन के चिह्नक प्राप्त होते है। इसके अतिरिक्त व्युत्क्रम तालिका में शून्य की स्थिति क्रमपरिवर्तन की बाएं-से-दाएं महत्तम का मूल्य देती है (उदाहरण 6,8, 9 में) जबकि लेह्मर कोड में शून्य की स्थिति दाएं-से-बाएं लघुतम की स्थिति है (उदाहरण की स्थिति में 1, 2, 5 मूल्य की 4,8, 9 स्थिति); इससे सभी क्रमपरिवर्तनों में ऐसे अन्तिम के वितरण की कंप्यूटिंग होती है। लेह्मर कोड के साथ एक क्रमपरिवर्तन d n, d n−1, ..., d 2, d 1 एक आरोहण हैn − i अगर और सिर्फ़ अगरdi ≥ di+1.
क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करने के लिए कलन गणित
कंप्यूटिंग में दिए गए मूल्यों के अनुक्रम का क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करने की आवश्यकता हो सकती है। यह करने की सबसे उपयोगी विधि इस बात पर निर्भर करती है कि कुछ, यादृच्छिक रूप से चुने गए, क्रमपरिवर्तन, या सभी क्रमपरिवर्तन अपेक्षित है और बाद के मामले में यदि एक विशिष्ट क्रम की आवश्यकता है। एक और प्रश्न है कि क्या दिए गए अनुक्रम में प्रविष्टियों के बीच संभाव्य समानता को ध्यान में रखा जाना है; अगर ऐसा है तो अनुक्रम के विशिष्ट मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन ही उत्पन्न किए जाने चाहिए.
n के क्रमपरिवर्तन को उत्पन्न करने का एक स्पष्ट तरीका है कि लेह्मर कोड के लिए मूल्य उत्पन्न किए जाएं (संभवतः n ! तक पूर्णांक भाज्य संख्या प्रणाली प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए) और उन्हें समरूप क्रमपरिवर्तन में परिवर्तित किया जाए. हालांकि बाद का चरण भले ही स्पष्ट है पर कुशलता से लागू करना कठिन है क्योंकि इसके लिए एक यादृच्छिक स्थिति पर, एक सारणी या श्रंखलाबद्ध सूची के रूप में अनुक्रम के प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व के अनुक्रम में से प्रत्येक चयन की n संक्रिया और उससे विलोपन अपेक्षित है; परिवर्तन के लिए दोनों के लिए (भिन्न कारणों से) लगभग n 2/4 संक्रियाएं अपेक्षित हैं। n के विशेष रूप से छोटे होने की (खास तौर पर यदि सभी क्रमपरिवर्तन का उत्पादन आवश्यक हो) संभावना से अधिक समस्या नहीं है, लेकिन यह पता चला है कि यादृच्छिक और व्यवस्थित दोनों उत्पादन के लिए सरल विकल्प उपलब्ध हैं जो ज़्यादा कारगर होते हैं। इस कारण से यह उपयोगी प्रतीत नहीं होता है हालांकि निश्चित रूप से संभव है, कि ऐसी विशेष डेटा संरचना को नियोजित किया जाए जिससे O (n logn) समय में लेह्मर कोड क्रमपरिवर्तन में रूपांतरण किया जा सके.
क्रमपरिवर्तन का यादृच्छिक उत्पादन
दिए गए n मूल्यों के अनुक्रम के यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन पैदा करने के लिए इससे कोई अंतर नहीं पड़ता कि क्रम पर n का यादृच्छिक रूप से चुना गया अनुक्रम लागू किया जाए या क्रम के विशिष्ट (मल्टीसेट) क्रमपरिवर्तनों में से एक यादृच्छिक तत्व का चुनाव किया जाए. इसका कारण यह है, यद्यपि आवर्ती मूल्यों के मामले में n के ऐसे विशिष्ट क्रमपरिवर्तन हो सकते हैं जिनसे वही क्रमपरिवर्तित अनुक्रम प्राप्त हों, प्रत्येक संभव परिणाम के लिए ऐसे क्रमपरिवर्तन की संख्या एक ही है। सुव्यवस्थित उत्पादन के विपरीत जो n ! संख्या के विकास के कारण बृहद् n के लिए अव्यावहारिक बन जाता है, यह मान लिए जाने का कोई कारण नहीं है कि यादृच्छिक उत्पादन के लिए n छोटा होगा.