cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
RM (ראפר)
שם
RM בחר בשם Rap Monster (ראפ מונסטר - מפלצת ראפ), בתקופתו חניכתו לאליל נוער. השם נבחר בהשראת השיר "Rap Genius" של סן E. המילים הכילו קטע שבו סן E מצהיר שצריך לקרוא לו "מפלצת ראפ" מכיוון שהוא "עושה ראפ ללא הפסקה". הוא אימץ את התואר כשם במה כי הוא הרגיש שזה "מגניב". מאוחר יותר, RM סיפר שיש לו יחסי אהבה-שנאה עם השם, והוא מרגיש שהשם שבחר אינו בעל משמעות עמוקה עבורו.
הוא שינה רשמית את שם הבמה שלו ל-"RM" בנובמבר 2017, לאחר שהחליט ש"ראפ מונסטר" כבר לא מייצג את מי שהוא או את המוזיקה שהוא יוצר. בראיון ל-Entertainment Tonight ב-2019, RM הצהיר כי השם "יכול לסמל הרבה דברים" ו"יכול להיות שיש לו עוד משמעויות מגוונות". משמעות אחת שהוצעה היא "אני האמיתי" (Real Me).
2010–2013: הצטרפות לביג היט אנטרטיינמנט והופעת בכורה עם BTS
בשנת 2009, ביצע RM אודישן בחברת התקליטים ביג דיל רקורד, עבר את הסיבוב הראשון יחד עם סמואל סאו אך נכשל בסיבוב השני. עם זאת, בעקבות האודישן, הראפר החליף פרטים עם RM, והזכיר אותו מאוחר יותר בפני מפיק ביג היט אנטרטיינמנט פידוג. בשנת 2010, סליפי יצר קשר עם RM, ועודד אותו לעשות אודישן אצל מנכ"ל ביג היט, באנג סי-היוק. באנג הציע ל-RM, אז בן 16, להצטרף לחברת התקליטים, RM קיבל מיד את ההצעה ללא ידיעת הוריו. באנג ופידוג החלו מיד בהקמת להקת היפ הופ שבסופו של דבר תהיה להקת הקיי-פופ המצליחה BTS.
RM התאמן במשך שלוש שנים יחד עם הראפר מין יון-גי והרקדן ג'ונג הו-סוק, שנודעו מאוחר יותר כשוגה וג'יי-הופ, בהתאמה. במהלך תקופת החניכה שלו שנמשכה שלוש שנים, RM הופיע בחמישה שירי טרום-בכורה ב-2010 ו-2011. בנוסף RM עסק בכתיבת שירים ללהקת הבנות והיה שותף בכתיבת סינגל הבכורה שלה, "Party (XXO)", שיר פרו-להט"בי שזכה לשבחים על ידי בילבורד כ"אחד השירים הכי חדשניים מבין שירי הקיי-פופ של להקות הבנות בעשור האחרון." ב-13 ביוני 2013, RM ערך את הופעת הבכורה שלו עם BTS ומאז הפיק וכתב מילים לשירים רבים באלבומים שלהם. ב-29 באוגוסט 2013, RM ביצע את הפרומו ל-EP הראשון של , אשר שוחרר כטריילר לקראת יציאת ה-EP ב-11 בספטמבר, וזהו הסולו הראשון שלו לאחר הופעת הבכורה.
2014–2016: שיתופי פעולה ראשונים כסולן, RM, ו-Problematic Men
ב-20 באוגוסט 2014, שוחרר אלבום האולפן הראשון של, , הכולל בתוכו את "?Intro: What Am I to You", סולו-ראפ שבוצע על ידי RM. דרך תוכנית הריאליטי American Hustle Life, יצר קשר עם וורן ג'י, שהציע לכתוב מקצבים ל-BTS. בראיון למגזין הקוריאני Hip Hop Playa, וורן ג'י סיפר שהוא התיידד עם BTS דרך התוכנית ושמר על קשר עם הלהקה לאחר שחזרו לדרום קוריאה. ב-4 במרץ 2015, לקראת המיקסטייפ הראשון שלו, RM הוציא סינגל עם וורן ג'י ששמו, "P.D.D (Please Don't Die)", לאחר הצעה של וורן ג'י לשתף פעולה. הסינגל משקף את רגשותיו של RM כלפי מי ששנאו וביקרו אותו באותה תקופה. באותו חודש, RM שיתף פעולה עם קבוצת ההיפ הופ MFBTY, ודינו ג'יי בשיר "Bucku Bucku". הוא הופיע בקליפ של השיר וגם הופיע בקליפ לשיר נוסף של, "Bang Diggy Bang Bang". יצר לראשונה יחסי עבודה מתמשכים עם, חבר ב-MFBTY, לאחר שנפגש עימו והביע הערצה כלפיו בתוכנית טלוויזיה בשנת 2013, כאשר טייגר JK עסק בקידום שירו "The Cure".
RM לוהק כאורח קבוע בתוכנית הוראייטי הקוריאנית Problematic Men, שבה המשתתפים קיבלו מגוון פאזלים ובעיות לפתור ולעבוד עליהן על ידי דיון במחשבות ובחוויות שלהם. שידור התוכנית החל ב-26 בפברואר 2015; עם זאת, RM עזב את התוכנית לאחר 22 פרקים עקב סיבוב ההופעות העולמי של BTS,.
ב-17 במרץ 2015, RM הוציא את מיקסטייפ הסולו ראשון שלו, , שדורג במקום ה-48 בדירוג "50 אלבומי ההיפ הופ הטובים ביותר לשנת 2015" של Spin. המיקסטייפ התייחס למגוון נושאים, כמו העבר של RM בשיר "Voice" ורעיון האינדיבידואליות בשיר "Do You". בשיר "God Rap", מתאר את עצמו כאתאיסט, המאמין שרק הוא יכול לקבוע את גורלו. העבודה על המיקסטייפ נמשכה כארבעה עד חמישה חודשים, כאשר RM עובד עליו במקביל לעיסוקו כמנהיג BTS. בשנה שלאחר מכן, RM דיבר על כך שהוא כתב בעיקר על הרגשות השליליים שנשא, כמו כעס וזעם, אבל הצהיר שהשירים אינם "100% תחת שליטתו" ושהוא חש שחלקים רבים מהמיקסטייפ היו "בוסריים". הוא גם הוסיף שהוא מקווה שהמיקסטייפ הבא שלו יהיה משהו שהוא עבד עליו בעצמו. לאחר שחרורו של RM, הוא השתתף יחד עם קוון ג'ין-אה בסינגל "U" של פרימרי. באוגוסט, RM שיתף פעולה עם מארוול ושר את הפסקול של הסרט ארבעה מופלאים בגרסה הקוריאנית. הפסקול יצא כסינגל בשם "Fantastic" בהשתתפות מנדי ונטריס דרך מלון, נאבר מיוזיק , ג'ני ופלטפורמות מוזיקה אחרות. באוגוסט 2016 הוציא הצמד הום סינגל בשם "Dilemma", אשר הופק על ידי RM ובאנג סי-היוק.
2017–הווה: Mono ושיתופי פעולה נוספים
במרץ 2017, RM שיתף פעולה עם הראפר האמריקאי בשיר בעל מסר חברתי בשם "Change", שיצא להורדה דיגיטלית חינמית יחד עם קליפ שצולם שבועיים לפני יציאת השיר. RM החליט על הנושא של "Change", ואמר שלמרות ששני הראפרים שונים מאוד, המשותף ביניהם טמון בעובדה שגם לאמריקה וגם לדרום קוריאה יש מצב פוליטי וחברתי דומה, ושניהם רוצים שהעולם ישתנה לטובה. חודש לאחר מכן, השתתף RM בשיר "Gajah" יחד עם גאקו מהצמד. בדצמבר, RM שיתף פעולה ברמיקס לשירם של פול אאוט בוי "Champion". השיר הגיעה למקום ה-18 במצעד השירים מתחת להוט 100 של בילבורד ועזר ל-RM להגיע למקום ה-46 במצעד "Emerging Artists" בשבוע של השמיני בינואר 2018. ב-27 בדצמבר, השיר הגיע למקום השני במצעד שירי הרוק הדיגיטליים, ובכך RM עשה היסטוריה כאמן הקיי-פופ הראשון שנכנס למצעד.
RM הוציא את המיקסטייפ השני שלו, , שקיבל את הכינוי "פלייליסט", ב-23 באוקטובר 2018. עם יציאת המיקסטייפ, RM הפך לאמן הקוריאני הראשון שדורג במקום הראשון במצעד "Emerging Artists" האמריקני. פלייליסט התקבל בברכה על ידי המבקרים, ששיבחו את RM על כך ש"חשף את חוסר הביטחון העמוק שלו בשירים כמו 'טוקיו' ו'סיאול'". השיר "סיאול" הופק על ידי צמד האלקטרופופ הבריטי, הונה, שגילו לראשונה את RM לאחר שראו אותו ממליץ על המוזיקה שלהם בטוויטר ובסופו של דבר פגשו אותו בסיאול לאחר אחת ההופעות שלהם. בנובמבר, RM שיתף פעולה עם טייגר JK בשיר "Timeless" שמופיע באלבומו של טייגר JK, . טייגר JK ציפה שהמילים שיכתוב לו RM יכילו שבחים עצמיים, שהיו טרנד הראפ באותה תקופה; במקום זאת, RM כתב על העזיבה של טייגר JK את שמו המקורי (Drunken Tiger - נמר שתוי) ומשמעות העזיבה.
ב-25 במרץ 2019, הודיעו הונה ש-RM יופיע ברמיקס לשירם "Crying Over You" יחד עם הזמרת BEKA. השיר היה אמור לצאת בינואר 2019 אך נדחה עקב "נסיבות בלתי צפויות" ויצא ב-27 במרץ. RM השתתף גם בגרסה הסינית יחד עם שהחליף את BEKA. באותו יום הוציאה ביג היט את השיר "Persona" כטריילר לאלבום ה-EP של, , שבוצע כסולו על ידי. "Persona" הופיע לראשונה במקום ה-17 במצעד השירים של בילבורד ביוטיוב. שלושה חודשים לאחר מכן, ב-24 ביולי 2019, RM השתתף ברמיקס הרשמי הרביעי לשיר "Old Town Road" של ליל נאז X, שיצא תחת השם "Seoul Town Road", בו הוא "החדיר את הסגנון שלו באנגלית עם טונג דרומי טוב באופן מפתיע". ב-29 בדצמבר, פורסם ש-RM יופיע ברצועה של "Winter Flower",השיר יצא ב-6 בינואר 2020. RM הופיע גם ב-"Don't", הסינגל המוביל באלבום הסולו השני של הזמרת הקוריאנית eAeon שיצא ב-30 באפריל 2021.
2022: הופעת בכורה כסולן
במהלך חגיגות יום השנה התשיעי של BTS ביוני 2022, הודיע RM שחברי הלהקה יתמקדו בקריירות סולו משלהם וכי פרויקטים עתידיים ישוחררו כאלבומים מסחריים עם פעילויות קידום מכירות, במקום מיקסטייפים חינמיים או לא מקודמים. ב-1 בספטמבר השתתף בסינגל של להקת הקיי-פופ אלטרנטיבי,. ב-2 בדצמבר RM הוציא את אלבום הבכורה שלו  שיצא כאלבום סולו, יחד עם הסינגל המוביל "Wild Flower" בו משתתפת יוג'ין. באלבום משתתפים אמנים רבים כמו אריקה באדו בשיר "Yun", אנדרסון פאאק בשיר "Still Life", מהליה ופול בלנקו בשיר "Closer", קולדה בשיר "Hectic" ועוד. האלבום הגיע למקום השלישי במצעד הבילבורד 200, מה שהפך אותו לסולן הקוריאני עם המיקומים הגבוהים ביותר בתולדות המצעד.
אמנותיות והשפעה
RM בעל קול בריטון. בשנת 2017, מגזין ההיפ הופ האמריקאי כלל אותו ברשימת "10 הראפרים הקוריאנים שכדאי להכיר", כשהכתב פיטר א. ברי מצהיר כי "לרוב RM מצליח לעמוד בשמו (מפלצת ראפ)". ברי תיאר את RM כ"אחד הראפרים המיומנים ביותר, המסוגל ללהטט במגוון רחב של סגנונות מוזיקליים ללא מאמץ". קריסטל טאי מ- ציינה ש-RM "קיבל שבחים רבים על הזרימה הטבעית והמילים שלו". כשדיברו על העבודה של RM, ביאנקה מנדז מ-Vice כתבה ש"סגנון השירה שלו מזכיר קצת את My Beautiful Dark Twisted Fantasy אבל הוא קרוב יותר לארל סווטשירט ו-צ'אנס הראפר ברוחו". בינואר 2020, הוא קודם לחבר מלא באיגוד זכויות היוצרים של קוריאה למוזיקה.
חיים אישיים
מאז 2018, RM מתגורר בהנאם-דונג, סיאול, דרום קוריאה עם חבריו ללהקה. בנובמבר 2019, הוא קנה נכס במחוז יונגסאן בסיאול תמורת 4.9 מיליארד וון דרום קוריאני, ומכר אותו שנה לאחר מכן תמורת 5.8 מיליארד וון. ביוני 2021, נחשף כי הוא קנה בית נוסף בהנאם-דונג בשווי 5.7 מיליון דולר.
פילנתרופיה
ראו גם: פילנתרופיה של BTS
ליום הולדתו ה-25, RM תרם 100 מיליון וון דרום קוריאני לבית הספר סאמסון בסיאול כדי לעזור לתלמידים לקויי שמיעה לקבל חינוך מוזיקלי. בדצמבר 2020, מועצת האמנויות של קוריאה הכתירה אותו כאחד מעשרת פטרוני האמנויות שלה לשנת 2020 כהוקרה על תרומתו של 100 מיליון וון למוזיאון הלאומי לאמנות מודרנית ועכשווית למטרות הדפסה והפצה של ספרי אמנות נדירים לבתי ספר וספריות באזורים כפריים והרים. בספטמבר 2022, RM תרם 100 מיליון וון לטווח של שנתיים רצופות למטרות שימור ושיקום נכסי תרבות מעבר לים, באמצעות המשרד למינהל למורשת התרבות והקרן למורשת תרבות מעבר לים. התרומה הראשונה שלו, שנעשתה במקור באופן פרטי, שימשה לטיפול ב שהיו בבעלות מוזיאון האמנות של מחוז לוס אנג'לס באותה תקופה, בעוד שתרומתו משנת 2022 שימשה ליצירת חוברת אמנות המציגה ציורים קוריאניים.
דיסקוגרפיה
שירים שנכתבו על ידי RM
הערות שוליים
undefined
הדגל
הדגל, דגליים, דגלים, כיבוש דגלים, שני דגלים, תפוס את הדגל או כבוש את הדגל הוא משחק קבוצות מלחמתי בו המשתתפים מחולקים לשתי קבוצות, ומסומנים באופן חזותי בולט (למשל באמצעות סרטי מצח או סרטי יד בצבעים שונים). במהלך המשחק לכל קבוצה דגל, עליו עליה להגן. בו זמנית, על כל קבוצה להשיג את הדגל השייך לקבוצה השנייה.
לשחקנים אפשרות לפסול שחקנים אחרים, כתלות באמצעי הזיהוי המקובלים: על ידי תלישת סרטים בגרסה הקלאסית, בנגיעה בשחקן הקבוצה היריבה. או על ידי ירי כדורי צבע בגרסאות שונות. גרסאות אחרות כוללות שבייה של שחקן הנתפש בשטח האויב, כאשר יש לו אפשרות להשתחרר רק על ידי 'כיף' מצד שחקן מקבוצתו. עד אז עליו לחכות בקרבת הדגל, בעומק שטח האויב.
אסטרטגיה נפוצה היא חלוקת הכוח לתוקפים ולמגנים, כאשר תפקיד המגנים להישאר בקרבת הדגל, ולתפוס את שחקני האויב הפולשים לשטח, ותפקיד התוקפים להשיג את דגל היריבים.
המשחק עשוי להימשך עד ל"גנבת הדגל" על ידי אחת הקבוצות, או שהוא קצוב בזמן. במקרה שהזמן הסתיים מבלי שאחת הקבוצות השיגה את דגל היריבה, תנצח זו שברשותה יותר שבויים או סרטי היריבה.
על מנת למנוע משחק סביל (פאסיבי) של התגוננות בלבד, לעיתים מתגמלים הגעה אל דגל היריבה, גם ללא גנבתו, בשווה ערך לכמות מוגדלת של שבויים או סרטים.
זהו משחק קלאסי עבור "פעולה צופית" בתנועת נוער.
המשחק נפוץ גם במשחקי מחשב מסוג ירי בגוף ראשון ומכונה Capture the flag &רלמ;(CTF). מטרת השחקן להביא את דגל הקבוצה היריבה מספר פעמים למקום הדגל של הקבוצה שלו, כאשר הדגל נמצא במקומו. המפות של סוג משחק זה הן בדרך כלל סימטריות.
בריאן דיקון
בריאן דיקון (באנגלית: Brian Deacon; נולד ב-13 בפברואר 1949) הוא שחקן אנגלי.
ביוגרפיה
דיקון נולד באוקספורד, שם שיחק בתיאטרון לנוער של אוקספורד. הוא שיחק בסרטי קולנוע כגון "עדות משולשת" (1972) ו"ערפדים" (1974). תפקידו הידוע ביותר הוא בדמות ישו בסרט הקולנוע "ישו" משנת 1979 שנעשה על ידי הארגון האוונגליסטי Jesus Film Project. דיקון נבחר לתפקיד מתוך 263 שחקנים שנבחנו על ידי המפיק ג'ון היימן. עוד גילם דיקון את הדמות יומאק בסדרת הטלוויזיה "The Feathered Serpent" בשנים 1976 ו-1978. בסדרה "לילי" שיחק דיקון בתפקיד פרנק מיילס. ב-1985 שיחק יחד עם אחיו, אריק דיקון, בסרטו של פיטר גרינוויי "זד ושני אפסים" בתפקיד אוסוולד דיוס. בשנים 1992 ו-1993 גילם את רט. הונ. ניל קינקייד באופרת הסבון הבריטית "אמרדייל", המאהב של הדמות קים טייט (בגילומה של קלייר קינג).
חיים אישיים
דיקון היה נשוי פעמיים. בין השנים 1977 ל-1987 היה נשוי לרולה לנסקה, ולהם בת משותפת, לארה פרקר דיקון. ב-1988 התחתן על נטלי בלוך.
כור המצרף
על פי הנצרות הקתולית, כור המצרף (בלטינית: Purgatorium) הוא מקום או מצב בו מתבצע מירוק נשמתו של מי שלא חטא חטאי מוות (peccatum mortale). בכור המצרף הנשמה נענשת על החטאים בני הכפרה (peccatum veniale) שחטא האדם בחייו, לפני המעבר לגן העדן. אדם שחטא בחטא מוות לא זכאי למירוק נשמתו בכור המצרף, ונשמתו נדונה לייסורי נצח בגיהנום.
ניתן למצוא אזכורים מוקדמים למקום בו מתבצע מירוק נשמות כבר בכתביו של אמברוזיוס הקדוש. היסודות לאמונה בכור המצרף המתואר כאן הופיעו לראשונה במאה החמישית, בכתביו של אוגוסטינוס. כבר בשלהי המאה השישית, הדוקטרינה (שהתפתחה מעט מאז ימי אוגוסטינוס) אומצה על ידי האפיפיור גרגוריוס הראשון. למרות זאת, היא קיבלה אישור כנסייתי והגדרה רשמית רק בימי הביניים, בשנת 1274, בוועידת ליון השנייה.
האמונה בכור המצרף הייתה בעלת השפעה רבה בימי הביניים. הנוצרי הממוצע האמין כי באמצעות תפילות, עריכת מיסות, וקניית שטרי מחילה, ביכולתו להציל את עצמו ואת יקיריו מייסורי כור המצרף. הכנסייה טיפחה אמונה זו באמצעות דרשות וספרות ענפה. מוכרות דוגמאות רבות לתיאורי העולם הבא, הכוללות גם את הייסורים העוברים על הנשמות בכור המצרף. אחת היצירות הספרותיות הבולטות ביותר אשר נכתבו בימי הביניים, "הקומדיה האלוהית" מאת דנטה אליגיירי, עוסקת בהרחבה בתיאור כור המצרף.
במהלך ימי הביניים ועד לעת החדשה, האמונה בכור המצרף עמדה במוקדן של מספר מחלוקות תאולוגיות. כתות מינות מסוימות אף הכחישו בשלב מסוים את קיומו של כור המצרף (למשל הוולדנזים והקתרים). בתקופת הרפורמציה, שהתלקחה עקב מחאה על מכירת שטרי מחילה שנועדו לחלץ נשמות מכור המצרף, מתקני הכנסייה דחו את האמונה כנעדרת בסיס בכתבי הקודש.
תאולוגיה
הדוקטרינה של כור המצרף נתמכת במספר פסוקים בברית הישנה ובברית החדשה. הפרשנות הקתולית לפסוקים אלו עברה מספר גלגולים לאורך ההיסטוריה, אולם כולם מביעים את הרעיון הבסיסי של מקום או מצב לאחר המוות, בו עדיין ניתן לכפר על חטאים בדרכים מסוימות.
ספרות בית שני
הציטוט אשר בו נעשה השימוש הנרחב ביותר להוכחת הדוקטרינה של כור המצרף נמצא בספר חשמונאים ב, ספר מן הספרים החיצוניים אשר שייך על פי הנצרות הקתולית לברית הישנה.
על פי פרשנותה של הכנסייה הקתולית, ניתן להבין מפסוקים אלו כי קיים מצב לאחר המוות, אשר בו ניתן עדיין לכפר על חטאי המתים באמצעות תפילה וקרבנות.
הברית החדשה
באיגרת הראשונה אל הקורינתיים נכתב:
מפסוקים אלו הסיקו התאולוגים הנוצרים כי קיימת אש מטהרת, אשר ביכולתה למרק את חטאי האדם.
בבשורה על-פי מתי נכתב:
התפתחות היסטורית
המילה פורגטוריום (המונח הלטיני לכור המצרף), קיבלה את משמעותה המוכרת רק במהלך ימי הביניים המרכזיים. מילה זו נכנסה לדוגמה הקתולית באופן רשמי רק לאחר ועידת ליון (בשנת 1274). למרות זאת, כבר מראשית ימיה של הדת הנוצרית ישנן התייחסויות למקום או מצב ביניים בו מתבצע מירוק חטאים. מונח זה לא קיבל את משמעותו התאולוגית בבת אחת, אלא התפתח לאורך הדורות.
ראשית הנצרות
כבר במסורת הנוצרית המוקדמת מחברים שונים התייחסו לאותו מקום או מצב ביניים שזכה מאוחר יותר לכינוי כור המצרף. במקביל להתפתחות התאולוגית של מושג כור המצרף על ידי אבות הכנסייה, ניתן היה לראות גם התפתחות טקסים אשר כללו תפילות למען נשמות המתים. ההתפתחות של טקסים אלו מראה כי התפיסה אשר עומדת בבסיסו של כור המצרף לא נותרה נחלתם של התאולוגים בלבד, אלא חלחלה לתוך האמונות והפרקטיקות הדתיות של קהל המאמינים.
כדור פגיעה
כדור פגיעה הוא משחק ילדים. המשחק מיועד לקבוצת משתתפים ומצריך כדור. המשתתפים מתמסרים בכדור, ומנסים לפגוע זה בגופו של זה, בדומה למתרחש במשחק חולה גוסס מת. אם כדור נתפס ישירות מן האוויר, המוסר יושב על הקרקע. אם הכדור פגע בגופו של השחקן, אך השחקן לא תפס אותו, השחקן הנפגע יושב על הקרקע. אם הכדור נתפס לאחר שפגע בקרקע, אין התרחשות מיוחדת. שחקן יושב, שתפס כדור מן האוויר, מורשה לקום ולשוב ולהשתתף במשחק.
אף כי המשחק נראה כמשחק המשלב קבוצה שלמה לאורך זמן, בניגוד למשל למשחק כגון כסאות מוזיקליים בו קבוצת המשתתפים הפעילים מדלדלת, וקבוצת הילדים ככלל מאבדת עניין במשחק, בפועל אין הדבר כך. השחקנים המיומנים פוסלים במהירות את השחקנים החלשים יותר, וממשיכים לשחק בין השחקנים החלשים, היושבים בלי להפריע להם. סיכוייו של שחקן יושב לתפוס כדור ולחזור למשחק נמוכים ביותר משתי סיבות: ראשית, קשה יותר לשחקן יושב לתפוס כדור, משום ניידותו המוגבלת והשטח הקטן שהוא תופס. שנית, מעצם שרידתם מאוחר יותר, בהסתברות גבוהה השחקנים הנותרים הם שחקנים טובים יותר מן השחקנים היושבים, והסיכוי לכך שיעשו שגיאה קטן.
טריזומיה
אצל אורגניזם פלואידי טריזומיה (Trisomy) היא פגם גנטי בו יש שלושה העתקים של כרומוזום מסוים במקום השניים המצויים אצל פרט חסר לקות. טריזומיה היא מקרה פרטי מקבוצת הפגמים האנאפלואידיים – מספר לא נורמלי של כרומוזומים, בהם גם המונוזומיה.
פתולוגיה
במצב זה ישנם פגמים פיזיולוגיים רבים הנובעים מייצור יתר של חלבונים המקודדים על הכרומוזום העודף. בשל הימצאות פגמים אלה כבר מראשית ההתפתחות העוברית, נוצרים גם פגמים אנטומיים רבים. במקרה שהטריזומיה היא של כרומוזום קצר (כרומוזום עם מעט גנים), או של כרומוזום מין ארוך (למשל כרומוזום X ביונקים) הפרט יכול לשרוד כפרט בעל לקות. אולם, אם הטריזומיה היא בכרומוזום ארוך שאינו כרומוזום מין, הפרט מת עוד בזמן ההתפתחות העוברית. נזקה של הטריזומיה בכרומוזומי מין ארוכים הוא נזק קטן יחסית לזה שבכרומוזומים ארוכים שאינם כרומוזומי מין בשל מנגנון ההשתקה של כרומוזומי המין הארוכים, כגון מנגנון השתקה של כרומוזום X.
פגם במיוזה שעלול להוביל לטריזומליה נפוץ יותר עם העלייה בגיל הנקבה. זאת משום שתהליך המיוזה מופסק באיבו בשחלותיה של הנקבה כשהיא עצמה עדיין עובר והוא חוזר לפעול, כל פעם בקבוצת ביציות אחרת, כאשר הנקבה מצויה בבגרות מינית. אצל אישה בת ארבעים, למשל, הביצית המצויה ברחם המתינה ארבעים שנה במצב שבו היא באמצע מיוזה.
טריזומיה באדם
הסיכויים ליצירת הפגמים בתאי המין עולים באופן ניכר עם העלייה בגיל האישה. לפי מספר מחקרים, אצל נשים עד גיל 25 הסיכוי להיווצרות עובר עם טריזומיה הוא 2% ואילו אצל נשים מעל גיל 40 הסיכוי עולה ל-35%. מצב נוסף שעלול לגרום לטריזומיה הוא הורה נשא של טרנסלוקציה כרומוזומלית.
ברוב המקרים טריזומיה גורמת לפגמים חמורים. חלקם חמור עד כדי כך שמתרחשת הפלה בשלבים מוקדמים מאוד של ההיריון. פגמים אחרים מאפשרים התפתחות של עובר עם פגם שכלי או פיזי. התסמונות השכיחות כתוצאה מטריזומיה אצל בני אדם (בסדר יורד) הן:
טריזומיה בכרומוזומי המין נפוצה גם היא:
טריזומיה ניתנת לאבחון על ידי בדיקת קריוטיפ או היברידיזציה באתר שמתבצעות במהלך ההיריון תוך כדי בדיקת מי השפיר או בדיקת סיסי שליה.
פנטלונה
מקור השם
באופן מקורי בקומדיה דל'ארטה פנטלונה מייצג את וונציה ומדבר בעגה ונציאנית. ייתכן ששמו מושפע משמו של פנטלאון הקדוש, קדוש עממי אהוב בוונציה. מאידך, פירוש המילה פנטלונה באיטלקית: מכנסיים, שכן במכנסיו נמצאים הכסף מחד, והתאווה מאידך.
מאפיינים ועיצוב הדמות
זקן, קמצן, חשדן - אך עם זאת, דמויות המחזה האחרות תמיד ירמו אותו. בעבר היה דמות מכובדת בעלת חשיבות ("איל מניפיקו" - Il mgnifico, "הנהדר") אך ירד מגדולתו עם זקנתו, המביישת את נעוריו. נושא את ארנק הכסף שלו על חלציו כמו מגן אשכים, לסמן שכספו מפצה על האין-אונות שלו בחיזורו אחר הנערה הצעירה. בשלבים המאוחרים יותר של התפתחות הקומדיה דל'ארטה, במאה ה-18, החלה דמותו להפוך למלומדת יותר ולשלב ציטוטים מהספרות הקלאסית.
באופן מסורתי חובש מסכת חצי-פנים (שאינה מכסה את הפה) בעלת אף ארוך ומכופף. זקנו מחודד והילוכו כפוף. בגדיו אדומים ומכנסיו צמודים לגוף, מעילו שחור ונעליו צהובות ומחודדות.
אות הלוחם בנאצים
אות הלוחם בנאצים הוא אות שירות ישראלי שמוענק לוותיקי מלחמת העולם השנייה.
היסטוריה
באמצע שנות ה-60 התקיימו דיונים על יצירת אות שיוענק ללוחמים היהודים במלחמת העולם השנייה. עיקר הדיון עסק בשאלה מי יהיה מעניק האות, משרד הביטחון או יד ושם כשארגוני ותיקי מלחמת העולם השנייה צידדו במתן האות על ידי משרד הביטחון מפני שכך יהיה לאות אופי יותר צבאי, בניגוד לאות בעל אופי אזרחי שיוענק על ידי יד ושם.
בשנת 1965 הוחלט על הקמת ועדה לעיצוב האות ונקבע שהוא יחולק על ידי משרד הביטחון. האות חולק לראשונה ב-8 במאי 1967 – יום הזיכרון לשואה ולגבורה ויום השנה לכניעת גרמניה הנאצית – בטקס ממלכתי בהשתתפות ראש ממשלת ישראל לוי אשכול. ב-9 ביולי 1986 הוענק דגל ישראל עם אות הלוחם בנאצים למוזיאון הלוחמים והפרטיזנים ולמוזיאונים של קיבוץ לוחמי הגטאות וקיבוץ תל יצחק, לציון ארבעים שנה לניצחון על גרמניה הנאצית.
בשנת 2000 נוצרה מדליה שניתנת בנוסף לאות.
קריטריונים להענקה
האות מוענק לכל אזרח או תושב ישראלי שעונה על אחד מן הקריטריונים הבאים:
עיצוב
צורת המדליה עגולה, וצבעה זהוב. על צד החזית של המדליה שני מגני דוד, אחד בצורת הטלאי הצהוב ועליו ממוקמת חרב, והשני בצורת מגן דוד שעל דגל ישראל ועליו ממוקם ענף עץ זית. בצד האחורי של המדליה, מופיע סמל מדינת ישראל במרכז ומתחתיו הכתובת: לוחם בנאצים – ותיק מלחמת העולם השניה.
המדליה מחוברת לסרט בד, באמצעו פס אדום עבה ומשני צדדיו פס לבן אשר עליו פס תכול ובשוליו שני פסים שחורים. צבעי הסרט דומים (מלבד הצבע התכול שנוסף כדי לסמל את ישראל) לצבעי הסרט של העיטור הגרמני הידוע ביותר בזמן מלחמת העולם השנייה, צלב הברזל.
ג'ונתן מאידנה
ג'ונתן ראמון מאידנה (בספרדית: Jonathan Ramón Maidana; נולד ב-29 ביולי 1985) הוא כדורגלן ארגנטינאי המשחק בשורות ריבר פלייט.
קריירה
מאידנה, יליד באדרוגה שבפרובינציית בואנוס איירס, גדל בקבוצת לוס אנדס, הוא שיחק בקבוצה הבוגרת עונה אחת בטרם עבר ב-2005 לבוקה ג'וניורס. מאידנה, במקור בלם, תפס מקום בהרכבה של הקבוצה כמגן ימני. השחקן היה תחת מעקב של מועדונים מאירופה כשהבולט מביניהם הוא ריאל מדריד. ב-2008 הצטרף במפתיע לקבוצת הצמרת האוקראינית מטאליסט חרקוב.
בינואר 2010 הושאל לבאנפילד, לאחר חצי שנה במועדון חתם בריבר פלייט. עם ריבר זכה 3 פעמים באליפות הליגה (פינאל 2014 ובעונות 2021 ו-2023), בקופה קמפאונאטו, בגביע סודאמריקנה (2014) בגביע רקופה סודאמריקנה - פעמיים (2015 ו-2016), בגביע ליברטדורס - פעמיים (2015 ו-2018), בגביע סורוגה בנק (2015), בגביע ארגנטינה - פעמיים (2016 ו-2017) - ובסופר קאפ הארגנטינאי - פעמיים (2017, 2019) ובטרופאו דה קמפאונס (2021). ב-21 בינואר 2019 חתם בדפורטיבו טולוקה המקסיקנית, ובראשית 2021 חזר לריבר.
מאידנה היה חבר בסגל נבחרת ארגנטינה הצעירה. בפברואר 2008 שותף מאידנה במשחקה של הנבחרת האולימפית מול גואטמלה ואף כבש שער בניצחון 0:5.
קדימה (סרט)
קדימה (באנגלית: Onward) הוא סרט אנימציית מחשב של אולפני פיקסאר. הסרט יצא לאקרנים בשנת 2020. את הסרט ביים דן סקאנלון והפיקה אותו קורי רא. בסרט משתתפים כמדבבים כריס פראט, טום הולנד, ג'וליה לואי-דרייפוס ואוקטביה ספנסר.
עלילה
ברלי ואיאן (שני אחים אלפים) איבדו את אביהם בגיל צעיר. איאן כָּמֵהַּ לכל פיסת מידע על אביו שלא זכה להכיר בעוד ברלי המבוגר ממנו לא מתקבל בחיוב על ידי סביבתו, משום שהוא מנסה לשמר את הקסם בעולם שעובר מהפכה טכנולוגית. יום אחד אימם קוראת להם ונותנת להם חבילה שאבא שלהם ביקש שהיא תשמור היטב עד ששניהם יעברו את גיל 16. הם פותחים את החבילה ומוצאים בתוכה שרביט קסמים, אבן פיניקס והוראות כיצד לבצע כישוף שיחזיר את אביהם לחיים ליום אחד. רשלנות גוררת רשלנות והכישוף נכשל. שניהם מצליחים להחזיר רק את החצי התחתון של אביהם, ואבן הפיניקס שהשתמשו בה נהרסת. נותר להם יום אחד בלבד לזמן גם את שאר הגוף שלו, וכדי להצליח בכך עליהם להשיג אבן פיניקס נוספת. ברלי ואיאן יוצאים למסע רב תהפוכות, אחר אבן הפיניקס, בתקווה שיצליחו לפגוש את אביהם בפעם האחרונה.
לאחר הרפתקאות רבות יחד, מבין איאן שהוא מעולם לא היה לבדו, ומרוב שהיה עסוק בלהתגעגע לאביו המת, לא שם לב לאחיו החי שדאג לו ושמר עליו כל חייו. רגע לפני תום הזמן נלכד איאן ואינו יכול להשלים את הכישוף, אך הוא מחליט לאפשר לברלי להשלים אותו ולפגוש את אביו למספר דקות בודדות.
יציאה לאקרנים
הסרט יצא לאקרנים ב-6 במרץ 2020 בהפצת חברת וולט דיסני.
חרם וצנזורה על רקע להט"בופוביה
על הסרט הוטל חרם והוא נאסר להקרנה במספר מארצות ערב, בהן כווית, עומאן, קטר וערב הסעודית, זאת מכיוון שששורת דיאלוג אחת, שנאמרת על ידי דמות משנה של אישה-קיקלופ בשם ספקטר, מעידה על היותה לסבית. בסצנה המדוברת, סימולאקרה של השוטר קולט ברונקו מספרת לזוג שוטרות כי איאן ובארלי, שני בניה של בת זוגו, אינם רואים בו דמות אב ואינם מכבדים אותו. בתגובה, אומרת לו ספקטר (בדיבובה של, שחקנית לסבית גלויה): "זה לא קל להיות הורה חדש — הבת של בת-הזוג שלי גורמת לי לתלוש את השערות שלי, בסדר?" (באנגלית: ""). התנהגות מינית להט"בית מהווה עבירה פלילית בארבע מדינות, מוסלמיות בעיקר, אם כי בכווית התנהגות מינית לסבית בין שתי נשים איננה עבירה. האיסור אינו אוניברסלי, והסרט הוקרן בבחריין, איחוד האמירויות הערביות, לבנון ומצרים, אם כי שורת הדיאלוג, בדיבוב לערבית, שונתה מ-"בת-זוגתי" ל-"בת אחותי".
משפט קנטור
משפט קנטור הוא משפט מתמטי בתורת הקבוצות, הקובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת החזקה שלה. בפרט, לכל קבוצה, גם אם היא אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מזה נובע כי אין אינסוף גדול ביותר, ולכן יש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה.
את המשפט הוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. טיעון האלכסון אותו המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצל את הסתירות שביסוד פרדוקס הספר ופרדוקס השקרן, ומשמש בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות.
מושגים
קבוצה היא עצם יסודי במתמטיקה שניתן לתארו כאוסף כלשהו של איברים. לגבי כל איבר וכל קבוצה ייתכנו שתי אפשרויות: האיבר שייך לקבוצה או שאינו שייך לקבוצה.
פונקציות
פונקציה מקבוצה A לקבוצה B מתאימה לכל איבר ב-A איבר יחיד ב-B. ייתכן שלכמה איברים ב-A מותאם אותו איבר ב-B, וייתכן שיש איברים של B שאף איבר של A אינו מותאם להם.
על פונקציה מ-A ל-B נאמר שהיא חד-חד-ערכית, אם לכל שני איברים שונים ב-A מותאמים איברים שונים ב-B. נאמר שהפונקציה היא על B אם לכל איבר ב-B יש איבר ב-A שהותאם לו. פונקציה ששתי התכונות מתקיימות בה יחדיו נקראת חד-חד-ערכית ועל. פונקציה חד-חד-ערכית ועל מתאימה את שתי הקבוצות זו לזו, כך שלכל איבר באחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד בקבוצה השנייה.
השוואת גודלן של קבוצות
קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה סופית A לקבוצה B מראה שלשתי הקבוצות יש אותו מספר איברים, משום שלכל איבר מכל אחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד שהותאם לו מהקבוצה השנייה. אפשר לספור את איברי שתי הקבוצות יחד. קנטור הבין שניתן להשתמש ברעיון הזה כדי להשוות גם בקבוצות אינסופיות בגודלן. נניח ש-A ו-B הן קבוצות כלשהן (אולי אינסופיות). אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B נאמר שהקבוצות האלו שקולות, ונסמן A\sim B. השקילות בין הקבוצות מבטאת, על-פי קנטור, את הרעיון שיש להן אותו מספר של איברים. אם שתי קבוצות \ A,B הן שקולות, מסמנים |A|=|B|. על הסימן |A| חושבים כאילו הוא מסמן את מספר האיברים בקבוצה A, שיכול להיות אינסופי. זוהי העוצמה של A.
מן המקרה של קבוצות סופיות ידוע לנו שהעוצמה של קבוצה אחת יכולה להיות גדולה מן העוצמה של קבוצה אחרת. למשל, בקבוצה עם ארבעה איברים יש יותר איברים מאשר בקבוצה עם איבר אחד. רעיון זה מתבטא בעובדה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על מהקבוצה השנייה לראשונה. באופן כללי לכל שתי קבוצות A ו-B נאמר ש-|A|\le |B|, אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית (שאינה בהכרח על) מ-A ל-B. כלומר B גדולה (או שווה) מ-A אם אפשר להתאים לכל איבר ב-A בן זוג יחיד ב-B, גם אם נשארים איברים של B שלא הותאם להם בן זוג. אם מתקיים |A|\le |B| וגם |A|\ne |B|, אז נאמר ש-|A|<|B|. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע שאם |A|\le |B| וגם |A|\ge |B|, אז |A|=|B| (המשפט הזה אינו מובן מאליו: הוא טוען שאם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ-A ל-B, ופונקציה חד-חד-ערכית מ-B ל-A, אז יש גם פונקציה שהיא בו-זמנית חד-חד-ערכית ועל).
סימונים
קבוצה C תקרא תת-קבוצה של A, אם כל איבר של C הוא גם איבר של A. קבוצת כל התת-קבוצות של A נקראת קבוצת החזקה של A, אשר לה ניתן הסימון (אם כי לפעמים משתמשים גם בסימון 2^A).
קבוצה מסמנים על פי רוב באות לטינית גדולה. אם רוצים לפרט את איברי הקבוצה כותבים אותם בתוך סוגריים מסולסלים, כשהם מופרדים בפסיקים. למשל \{a, b, c\} היא קבוצה שאיבריה הם a, b ו-c. דרך נוספת לציון קבוצה היא ציון תנאי שאיברי הקבוצה מקיימים. למשל היא קבוצת המספרים שבין 1 ל-3, ואילו  היא קבוצת המספרים שהם ריבועים של המספרים הראשוניים.
נוסח המשפט
משפט קנטור. לכל קבוצה A (סופית או אינסופית), מתקיים.
לבו של המשפט בטענה שהקבוצות A ו-P(A) אינן שקולות זו לזו, אפילו כאשר A אינסופית. הוא מראה שלא כל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה, ושלמעשה לכל קבוצה אינסופית ניתן למצוא קבוצה עם עוצמה גדולה יותר.
הוכחת המשפט
הוספה נאיבית של איברים לקבוצה אינסופית A אינה משנה את העוצמה גם אם ניקח שתי קבוצות אינסופיות מעוצמה זהה, ונאחד אותן, עוצמת האיחוד תהיה שווה לעוצמה של כל אחת מהקבוצות בנפרד. אפילו עוצמתה של קבוצת המספרים הרציונלים (הכוללת את כל השברים) זהה לעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים לבדם (להוכחה ראו כאן וכאן). עם זאת, טוען המשפט, קבוצת החזקה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.
תהא \ A קבוצה כלשהי. הפונקציה לכל a\in A היא פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-, ולכן.
נותר אם כך להוכיח כי. נניח בשלילה את ההפך, כלומר, ש-, ונראה כי הדבר מוביל לסתירה.
עתה נשאלת השאלה האם d הוא בעצמו איבר של D? אם נניח ש-d \in D, הרי ש-d איבר בקבוצה שהותאמה לעצמו, ולכן לפי הגדרת D מקבלים שדווקא d \not\in D. אם נניח ש-d\not\in D נקבל ש-d אינו איבר בקבוצה שהותאמה לעצמו, ולכן לפי הגדרת D מתקיים d \in D.
בשני המקרים הגענו לסתירה, ולכן ההנחה שלנו חייבת להיות שגויה. מכאן ש-, ולכן.
הסבר אינטואיטיבי
הפילוסוף והחידונאי ריימונד סמוליאן, בספרו "מה שמו של ספר זה?", מציג גרסה אינטואיטיבית להוכחה. הגרסה המופיעה כאן מבוססת על גרסה זו. כל קבוצה אפשרית של תושבים ביקום (שגודלו עשוי להיות אינסופי) יוצרת לה מועדון (התושבים הם איברי A, והמועדונים הם איברי ). נניח שכל מועדון נקרא על-שם אחד התושבים (זוהי ההנחה שקיימת פונקציה על בין הקבוצות). נקים את המועדון שחבריו הם כל התושבים שאינם חברים במועדון הקרוי על שמם. מועדון זה, ככל מועדון אחר, חייב להיקרא על שם אחד התושבים - למשל גראוצ'ו. אם גראוצ'ו חבר במועדון, הרי שהוא חבר במועדון הקרוי על שמו, בסתירה להגדרת המועדון; אבל אם הוא לא חבר במועדון, הרי שהוא מקיים את תנאי הקבלה היחיד למועדון, ונעשה בו חבר באופן אוטומטי. סתירה זו מעידה כי ההנחה שאפשר לקרוא כל מועדון על שם תושב, מוטעית. האינסוף של המועדונים גדול יותר מן האינסוף של התושבים.
נוסח שקול
לפונקציה (כלומר פונקציה שמתאימה לכל איבר ב-A את המספר 0 או 1) קוראים פונקציה מציינת. מקובל לסמן את קבוצת כל הפונקציות מ-A ל-B בסימון B^A. על כן קבוצת הפונקציות המציינות של קבוצה A היא \{0,1\}^A.
נשים לב כי. זאת משום שלכל פונקציה מציינת ניתן להתאים את התת-קבוצה של A שהפונקציה המציינת מתאימה לאיבריה (ורק לאיבריה) את המספר 1, ולשאר האיברים היא מתאימה 0. לכן משפט קנטור קובע כי (למעשה זהו הנוסח של קנטור במקור).
מגדירים את פעולת החזקה בין עוצמות באופן הבא:. הגדרה זו מכלילה את ההגדרה הרגילה לחזקה בין מספרים טבעיים, ומתלכדת עימה כאשר היא מופעלת על טבעיים (ראו חזקה: קבוצות ועצמות). בהתאם להגדרה זו:.
על כן נוכל לנסח את משפט קנטור גם באופן הבא: לכל עוצמה |A| מתקיים: |A|<2^{|A|}.
קבוצות סופיות
אם A היא קבוצה סופית בעלת n איברים (|A|=n), אז. תוצאה זו מתקבלת משיקול קומבינטורי פשוט: בהינתן תת-קבוצה שרירותית של A, לגבי כל איבר ב-A יש שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה או שהוא לא. מעקרון הכפל מקבלים שיש: אפשרויות לכל n האיברים יחדיו, ולכן זהו מספר התת-קבוצות (כאמור בפרק הקודם, תוצאה זו נכונה אפילו לעוצמות אינסופיות).
לכן משפט קנטור לקבוצות סופיות קובע את האי-שוויון הידוע \ n<2^n, לכל n טבעי. אי-שוויון זה ניתן להוכחה בפשטות באינדוקציה, ולכן עיקר העניין במשפט קנטור הוא בהשלכותיו לגבי קבוצות אינסופיות.
קבוצת המספרים הטבעיים והאלכסון של קנטור
ישנו עניין מיוחד במשפט קנטור כאשר הוא מופעל על קבוצת המספרים הטבעיים,. הסימון לקבוצת המספרים הטבעיים הוא \mathbb{N}. קנטור בחר לסמן את העוצמה של \mathbb{N}, שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר, בסימון אָלֶף אֶפֶס:. משפט קנטור מראה כי, או באופן שקול:.
במקרה הזה ניתן להציג את הוכחת משפט קנטור באופן מוחשי יותר, שממנו גם ברור השם "לכסון". הוכחת המשפט נפתחת בהנחה שקיימת פונקציה חד חד ערכית ועל. ניתן להציג פונקציה שכזו כסדרה אינסופית של איברי, כך:. כאשר מוסכם ש-f(n) = A_n (למעשה זוהי ההגדרה הפורמלית של סדרה). כעת מגדירים את הקבוצה הבעייתית. לפי ההנחה קיים m כך ש-A_m = D, אך זה לא ייתכן, כי כזכור, נובע מכך שמתקיים בו זמנית m \in A_m ו-.
את הטיעון הנ"ל ניתן גם להציג כך: נציג כל A שהוא איבר של כסדרה אינסופית של ספרות באופן הבא: הספרה ה-n בסדרה (החל מ-0) תהיה 1 אם n \in A, ואילו אם n \not\in A היא תהיה 0. למשל הקבוצה  תוצג בצורה:.
את הסדרה ניתן להציג כרשימה אינסופית של הייצוגים של כל אחד מאיברי הסדרה כסדרת ספרות. למשל את: נציג בצורה:
כעת נשים לב כיצד נבנה D. לפי ההגדרה, אם, אז הספרה ה-n בייצוג של D היא 1. ואילו אם n \in A_n אז הספרה ה-n בייצוג של D היא אפס. במילים אחרות, הספרה ה-n של D היא בדיוק ההפך מהספרה ה-n של A_n. במסגרת הדוגמה שלנו נוכל להמחיש זאת כך:
לא ייתכן כי קיים A_m כך ש-A_m = D, כי D בהכרח נבדל מ-A_m בספרה ה-m בייצוג שלו.
טיעון האלכסון שהוצג זה עתה קרוי האלכסון של קנטור. הוא הוצג על ידי קנטור באותו מאמר בו הציג את משפט קנטור, וחשיבותו חורגת מהיותו מקרה פרטי של משפט קנטור. זאת משום שהסדרות של הספרות המייצגות כאן תת-קבוצות של \mathbb{N}, יכולות באותה מידה לייצג מספרים ממשיים בין 0 ל-1, שסדרת הספרות היא הכתיב הבינארי (אחרי הנקודה) שלהם (למשל 10000\ldots מייצג את 0.1 שהוא חצי בכתיב בינארי). כאשר מציגים את האלכסון של קנטור כהוכחה לאי-שקילות קבוצת המספרים הטבעיים \mathbb{N} לקבוצת המספרים הממשיים \mathbb{R} (עובדה שיכולה להפתיע, שכן \mathbb{N} שקולה ל-\mathbb{Q}, שהיא קבוצת המספרים הרציונליים) נהוג, לשם הנוחות, להשתמש בהצגה של המספרים בבסיס עשרוני (מבחינה היסטורית, קנטור הוכיח לראשונה את האי-שקילות של הטבעיים והממשיים 17 שנה קודם, בשיטה מוכרת פחות).
עוצמת המספרים הממשיים (השווה גם לעוצמת הממשיים שבין 0 ל-1 בלבד) קרויה עוצמת הרצף, ומקובל לסמנה \aleph. העובדה שהן את הממשיים והן את התת-קבוצות של \mathbb{N} ניתן לבטא כרצפי ספרות אינסופיים, מעידה כי \mathbb{R} ו- שקולות. לכן.
קבוצת כל הקבוצות
בתורת הקבוצות הנאיבית ניתן להגדיר את "קבוצת כל הקבוצות" U שכל קבוצה שהיא היא איבר שלה (כולל היא עצמה). באמצעות משפט קנטור ניתן להראות שהגדרה זו מובילה לפרדוקסים. כדי לפתור את הפרדוקסים פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית שבמסגרתה בלתי אפשרי להגדיר קבוצות בעייתיות כגון U.
שני הפרדוקסים הידועים ביותר הם:
בעיות הכרעה
כל קלט (סופי) אפשרי הנתון בשפה כלשהי ניתן לקודד (לייצג) כמספר טבעי. קידוד שכזה נקרא מספור גדל ומחשבים מודרניים מיישמים אותו על ידי קידוד בינארי. בהינתן קידוד שכזה, לכל בעיית הכרעה ניתן להגדיר את הקבוצה A הכוללת את כל המספרים הטבעיים שמקודדים קלטים שלגביהם התשובה לבעיה היא "כן". ולהפך, לכל קבוצה של מספרים טבעיים A ניתן להגדיר בעיית הכרעה שמשיבה "כן" על כל הקלטים המקודדים על ידי מספר טבעי שנמצא ב-A. במילים אחרות, את קבוצת כל בעיות ההכרעה ניתן לזהות עם קבוצת כל התת-קבוצות של הטבעיים,.
מצד שני, כל תוכנית מחשב היא רצף סופי של סימנים של שפת תכנות. לכן כל תוכנית מחשב ניתן לקודד כמספר טבעי יחיד (ואכן בפועל כל תוכנית מחשב בשפה מסוימת מתרגמת לקידוד בינארי שונה בשפת מכונה). מכאן שקבוצת כל תוכניות המחשב שקולה ל-\mathbb{N}.
משפט קנטור קובע ש-, ולכן יש הרבה יותר בעיות הכרעה מאשר תוכניות מחשב. מכאן שישנן בעיות הכרעה (ולמעשה, כמעט כל בעיות ההכרעה) שאינן ניתנות לפתרון על ידי אף תוכנית מחשב. הדוגמה המוכרת ביותר לבעיית הכרעה שאין תוכנית הפותרת אותה היא בעיית העצירה. אלן טיורינג הוכיח זאת בשנת 1936 בשיטת האלכסון. דוגמאות רבות נוספות מגיעות ממשפט רייס.
טיעון דומה קובע שמרבית המספרים הממשיים אינם ניתנים לחישוב. זאת מכיוון שעוצמת החישובים האפשריים היא (שכן כל חישוב יכול להעשות על ידי תוכנית מחשב), ואילו לפי האלכסון של קנטור, עוצמה זו קטנה מעוצמת הממשיים.
פונקציות רציפות
פונקציה רציפה היא פונקציה ממשית (פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה) שיש לה את התכונה שככל שמתקרבים לנקודה (מספר ממשי) כלשהי x, ערכי הפונקציה הולכים וקרבים ל-f(x), שהוא ערך הפונקציה בנקודה x (הגרף של פונקציות רציפות הוא קו רציף, ומכאן שמן). את קבוצת הפונקציות הרציפות מקובל לסמן C, ואילו קבוצת הפונקציות הממשיות כולן היא. נראה כי, כלומר כמעט כל הפונקציות הממשיות אינן רציפות.
ראשית נמצא את |C|. הערכים שפונקציה רציפה מקבלת בכל נקודה בישר הממשי נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת בנקודות הרציונליות. זאת משום שהמספרים הרציונליים צפופים בישר, ולכן ניתן לקבל את הערך בכל נקודה אי-רציונלית כגבול של סדרת הערכים בנקודות רציונליות המתקרבת לנקודה (פורמלית: לכל a ממשי, בהינתן סדרת רציונליים x_n \to a, מתקיים ). מכאן שיש פונקציה חד-חד-ערכית מ-C לקבוצת הפונקציות מהרציונליים לממשיים, ולכן. קבוצת הרציונליים שקולה לקבוצת הטבעיים, ולכן בעזרת כללי אריתמטיקה של עוצמות (ומהזהות הנובעת מפונקציית הזיווג של קנטור) נקבל:
מצד שני, לכל מספר ממשי a ניתן להתאים את הפונקציה הקבועה f(x) = a שהיא רציפה. מכאן ש-. ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין נקבל.
נעבור ל-. קבוצה זו כוללת בין השאר כל פונקציה מציינת של \mathbb{R}. קבענו כבר כי עוצמת קבוצת הפונקציות המציינות של \mathbb{R} היא. לכן (למעשה מתקיים ,,).
לפי משפט קנטור, ולכן.
תוצאה זו תקפה, באותה מידה ומאותם שיקולים, לקבוצת הפונקציות שיש להן לכל היותר מספר בן מנייה של נקודות אי רציפות. שיקולי עוצמות הם גסים מידי מכדי להראות שרוב הפונקציות אינן רציפות באף נקודה. לשם כך דרושים כלים עדינים יותר מתחום הטופולוגיה.
מספרי ב'
כלומר זוהי סדרת העוצמות:
בהגדרה רקורסיבית, מספרי ב' מוגדרים:
מספרי ב' מוגדרים גם לאינדקסים סודרים, ולא רק טבעיים. לשם כך יש להוסיף להגדרה הרקורסיבית את המקרה של סודר גבולי:
למשל הוא העוצמה הקטנה ביותר שגדולה מכל העוצמות \beth_n לכל n טבעי.
בנוסף קנטור הגדיר את הסדרה (המוכללת) כסדרת כל העוצמות ( הוא העוצמה ה-\alpha בגודלה). קנטור שיער ש- (כלומר שאין עוצמה בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים). ובאופן כללי יותר ש-. השערות אלו ידועות כהשערת הרצף והשערת הרצף המוכללת בהתאמה.
חרף מאמציו הרבים, קנטור מעולם לא הצליח להוכיח או להפריך את ההשערה עד יום מותו. התקדמות ראשונה בנושא הושגה על ידי קורט גדל שהוכיח בשנת 1937 כי השערת הרצף אינה סותרת את האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. גורלה של ההשערה הוכרע סופית בשנת 1963 כאשר פול כהן הוכיח כי גם שלילתה של השערת הרצף אינה סותרת את האקסיומות של תורת הקבוצות. מכאן שהשערת הרצף היא טענה עצמאית (והיא הדוגמה המפורסמת ביותר לטענה שכזו), שאין אפשרות להוכיחה או להפריכה.
שיטת האלכסון
הוכחת משפט קנטור יחד עם טיעון האלכסון של קנטור שהוצג לצדה הולידו שיטה כללית להוכחת טענות המשמשת בתחומים רבים במתמטיקה. השיטה נקראת אלכסון, והיא משמשת בעיקר במדעי המחשב ובלוגיקה מתמטית.
הרעיון הכללי בשיטת האלכסון הוא לבנות אובייקט מתמטי קביל המתייחס לעצמו באופן עקיף. אופי ההתייחסות תלוי בטענה שאותה רוצים להוכיח. הוכחה כללית בשיטה זו בנויה כך: בהינתן אוסף של איברים \Lambda ואוסף של אובייקטים מהצורה \phi_\alpha, לכל. נניח שכל אובייקט \phi_\alpha פועל בצורה כלשהי על איברי \Lambda. נסמן את הפעולה של \phi_\alpha על כ- (ניתן לחשוב על \phi_\alpha כפונקציה של איברי \Lambda). מגדירים אובייקט \phi_D שנקרא ה"אלכסון", כך שתוצאת הפעולה נקבעת על פי תוצאת הפעולה. אם קיים כך ש-, אז הכרח שהוא מתייחס לעצמו, שכן לפי ההגדרה,  נקבע על פי, כלומר על פי עצמו.
השם "אלכסון" מקורו בהמחשה הוויזואלית של שיטת ההוכחה, כפי שהיא מודגמת בטיעון האלכסון של קנטור. הרעיון הוא לדמיין טבלה (אינסופית לרוב) שכל שורה בה מייצגת איבר \alpha וכל עמודה בה מייצגת אובייקט \phi_\alpha (באותו הסדר). בהצטלבות בין השורה של \beta לעמודה של \phi_\alpha מופיע. אובייקט ה"אלכסון" \phi_D נבנה על סמך התאים בטבלה שהם מהצורה, שמסודרים בקו אלכסוני לאורך ורוחב הטבלה.
להלן דוגמאות חשובות להוכחה בשיטת האלכסון:
משפט קנטור בתורת הקבוצות האקסיומטית ובתורות חלופיות
הפרדוקסים שנתגלו בגישתו של קנטור לתורת הקבוצות – גישה שלימים נקראה תורת הקבוצות הנאיבית – הביאו לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה האקסיומטית מסתמכת על מערכת של אקסיומות בסיסיות ומוגדרות היטב, כדי למנוע את הופעתם של פרדוקסים. המערכת המקובלת היא מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF). במערכת זו משפט קנטור תקף לגבי כל קבוצה. אקסיומת קבוצת החזקה מבטיחה את קיומה של קבוצת החזקה ואקסיומת ההחלפה מבטיחה את קיומה של הקבוצה D הנדרשת בהוכחה. אקסיומת האינסוף קובעת את קיומה של קבוצה אינסופית, ולכן המסקנה ממשפט קנטור כי יש אינסוף עוצמות אינסופיות שונות, אף היא תקפה. הפרדוקסים אינם מופיעים ב-ZF, כי במערכת זו אוסף כל הקבוצות ואוספים דומים לו אינם קבוצות.
בגישות חלופיות לתורת הקבוצות משפט קנטור עשוי שלא להיות תקף. בתורות טיפוסים שונות להוכחת משפט קנטור אין משמעות, כי לא ניתן להשוות בין A ל- שלהן טיפוסים שונים. כדי להתגבר על כך מגדירים קבוצה שיש לה טיפוס זהה ל-, ולגביה אכן מתקיים  בהתאם למשפט קנטור. לאור העובדה שבתורת הטיפוסים קיימת קבוצת כל הקבוצות U, נשאלת השאלה כיצד בתורה זו נמנעים הפרדוקסים של קנטור ושל ראסל. התשובה היא שבתורת הטיפוסים הפונקציה המוגדרת f(A)=A אינה קיימת. למעשה בתורה זו. בתורת הטיפוסים, כאשר מתקיים, הקבוצה נקראת "קבוצה קנטורית" ולגביה מתקיים משפט קנטור במובנו הרגיל.
אסכולת הקונסטרוקטיביזם בפילוסופיה של המתמטיקה לא מכירה בקיומם של אובייקטים שלא ניתן לבנות אותם במפורש ובאופן סופי. בפרט, חברי האסכולה אינם מכירים בקבוצות שאינן בנות מנייה ולכן משפט קנטור לא יכול להיות נכון. לשיטתם, הוכחת המשפט אינה תקפה משום שהיא נעשית בדרך השלילה, בעוד שהם אינם מכירים בכלל השלישי מן הנמנע.
ב-1922 הציג תוראלף סקולם את פרדוקס סקולם שעוסק בסתירה לכאורה בין משפט קנטור לבין קיום מודל בן מנייה של תורת הקבוצות האקסיומטית, כפי שנובע ממשפט לוונהיים-סקולם. סקולם הציג גם פתרון לפרדוקס, המראה שסתירה אינה קיימת באמת.
הכללות
משפט קניג, שהוכח על ידי המתמטיקאי ההונגרי דיולה קניג (נודע גם כיוליוס קניג; 1849-1913) הוא הכללה מרחיקת לכת של משפט קנטור. המשפט קובע שלכל קבוצה A, אם לכל i \in A נתונות זוג עוצמות \kappa_i ו-\mu_i, כך שמתקיים, אז:
משפט קנטור מתקבל כמקרה פרטי של משפט קניג. אם לכל i \in A בוחרים ו-\mu_i = 2, אז ממשפט קניג נקבל:
משפט קניג מניח את אקסיומת הבחירה, ולמעשה שקול לה.
מגדירים את הקופינליות של עוצמה \kappa בתור העוצמה הקטנה ביותר |I| שמקיימת את התנאי הבא: לכל i \in I קיימת עוצמה כך שמתקיים:. מסמנים את הקופינליות של \kappa בסימון. נשים לב שתמיד ניתן לבחור, ואז. לכן תמיד מתקיים.
ממשפט קניג נובע מיד ש- (בוחרים את A ממשפט קניג להיות I מהגדרת הקופינליות). מהזהות האחרונה נקבל שלכל קבוצה אינסופית A מתקיים. ההוכחה נעשית בדרך השלילה:
קיבלנו שלקבוצות אינסופיות מתקיים האי-שוויון החזק. זהו אי-שוויון חזק יותר מאשר משפט קנטור משום ש-, וייתכנו מקרים בהם.
תוצאות אנלוגיות למשפט קנטור מראות אי קיום איזומורפיזם בין מבנים מסוימים לבין מבנים המורכבים מתת-מבנים שלהם (למשל קבוצות סדורות). משפט קנטור מתקבל לעיתים כמקרה פרטי של משפטים כאלה, כאשר נבחר מבנה טריוויאלי, כך שאוסף התת-מבנים הוא קבוצת החזקה וכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא איזומורפיזם.
היסטוריה
ראשיתה של תורת הקבוצות בתגליות של גאורג קנטור מראשית שנות השבעים של המאה ה-19, בעת שעסק במחקר בתחום האנליזה המתמטית. ב-1874 הוכיח קנטור לראשונה שישנה יותר מעוצמה אינסופית אחת בכך שהראה שאין פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הטבעיים. כיוון שחקר האינסוף לא נחשב עיסוק מתמטי באותם ימים, קנטור התייחס לתגליתו בעיקר כהוכחה לכך שמרבית המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים (שכן המספרים האלגבריים הם בני מנייה). בשנים שלאחר מכן פרסם קנטור סדרת מאמרים שהרחיבה את התורה.
ב-1891 פרסם קנטור מאמר בגרמנית בשם "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" ("על שאלה אלמנטרית בתורת הקבוצות"). במאמר מופיע האלכסון של קנטור, ומיד לאחריו כתב קנטור:
בהמשך המאמר, פונה קנטור להוכחת המשפט. ההוכחה המקורית של קנטור זהה במהותה לנוסח המודרני של ההוכחה, אך היא נוסחה בצורה שונה במעט. במקור קנטור הראה שאין התאמה חד-חד-ערכית ועל בין A לבין קבוצת הפונקציות המציינות של A (כאמור, נוסח זה שקול לנוסח על קבוצת החזקה). קנטור טען שאילו הייתה התאמה כזו, הרי שהייתה קיימת פונקציה דו-מקומית \phi(a,x), כך שלכל פונקציה מציינת f(x) שהותאם לה האיבר a מתקיים:. כעת קנטור בונה פונקציה מציינת g(x) שמוגדרת כהיפך מ-\phi(x,x) (ניתן להגדיר כך: ). לפי ההנחה קיים d \in A כך ש-, ולכן מקבלים סתירה:.
לנוסח המודרני של ההוכחה אחראי ארנסט צרמלו. משפט קנטור והוכחתו מופיעים במאמר של צרמלו משנת 1908 שבו ייסד את תורת הקבוצות האקסיומטית. צרמלו הוא גם זה שקרא למשפט על שמו של קנטור.
מפרצון בוראגארה
מפרצון בוראגארה (באנגלית: Buragara Cove; בבולגרית: залив Бурагара) הוא מפרצון בחוף המערבי של האי בראבנט, שבארכיפלג פאלמר, שבאנטארקטיקה.
רוחבו של המפרצון 2.08 קילומטרים, ואורכו 1.4 קילומטרים לכיוון מערב.
נקודת זאבל מהווה את הקצה הצפון מזרחי של המפרץ, ונקודת דוונה את הקצה הדרום מערבי.
המפרצון נפתח אל ממפרץ דאלמאן.
היסטוריה
המפרצון הופיע בראשית המאה ה-21 כתוצאה מנסיגתו של קרחון רש (קודם לכן האזור היה מכוסה על ידי הקרחון).
מקור השם
המפרצון נקרא על שם האתר הרומי העתיק בוראגארה שבמערב בולגריה.
מונוגמיה בבעלי חיים
כמה בעלי חיים מנהלים אורח חיים מונוגמי וחיים בקשר זוגי ובאותה מאורה או טריטוריה יחד באותה עונה. במקרים רבים אותו זוג נשאר יחד או חוזר בכל עונה למשך כל החיים. שלב זה דומה מאוד לבעלי חיים יחידאים שאינם חיים עם אף מין אחר.
סוגים
קיימים שני סוגי מונוגמיות: מונוגמיה חברתית, בה בני הזוג עלולים "לבגוד" אחד בשני אך משתלם להם להיות יחדיו ולכן הוא מתקיים, ומונוגמיה זוויגית בה קיים קשר שהמשתתפים בו לא מעוניינים/ נמצאים בשום קשרים נוספים מהקשר הנ"ל המסויים.
מינים מונוגמיים
המונוגמיה נפוצה במספר מינים של בעלי חיים. כמה יצורים בעלי דם קר כמו מיני אמנוניים, כמה יונקים כמו שועל מצוי, קופי המרמוסט, בונה קנדי, גירית מצויה, דרבנים, תנים וגיבונים, אך רק 3% מהיונקים חיים בקבוצה מונוגמית.
רוב המינים המונוגמיים הם עופות שמעל 90% מהם מונגמיים וחיים בקבוצה זוגית (אם כי נמצאים עם פרטים אחרים בקבוצות גדולות יותר). בין העופות הללו נמנים היונה, הפינגווין, האלבטרוס, רוב התוכיים, השרקרק, העיטם, הקלאו והנשר.
אנדרסון (כדורגלן)
אנדרסון לואיס דה אברו אוליביירה (נולד ב-13 באפריל 1988 בפורטו אלגרה, ברזיל) הידוע בשמו הפרטי אנדרסון, הוא כדורגלן עבר ברזילאי ששיחק בעמדת הקשר ההתקפי.
קריירה
אנדרסון הצטרף לקבוצת גרמיו הברזילאית כשחקן נוער ב-1993 וערך את הופעת הבכורה בקבוצת הבוגרים ב-2004 כאשר כבש חמישה שערים וסייע למועדון להעפיל לליגה הברזילאית הבכירה.
ב-30 במאי 2007 אתר המועדון האנגלי מנצ'סטר יונייטד פרסם אישור כי אנדרסון חתם באלופה האנגלית. ב-29 ביוני 2007 קיבל את אשרת העבודה לשחק באנגליה והמעבר לאולד טראפורד הושלם ב-2 ביולי. הקשר הברזילאי סיכם ל-5 שנים בסכום רכישה של 25 מיליון אירו.
בינואר 2014 עבר בהשאלה לפיורנטינה מהסרייה א' שם שיחק עד תום העונה. ב-2 בפברואר 2015 עזב את מנצ'סטר לאחר שבע וחצי שנים, וחתם באינטרנסיונל לשלוש שנים. ב-21 בפברואר 2017 הושאל לקוריטיבה. ב-30 ביולי 2018 חתם באדנה דמירספור הטורקית. בספטמבר 2020 פרש ממשחק פעיל.
בנבחרת ברזיל
באפריל 2005 הופיע במדי נבחרת ברזיל בטורניר אליפות דרום אמריקה עד גיל 17. באותה שנה ייצג את הנבחרת בטורניר אליפות העולם עד גיל 17 בו כבש חמישה שערים והיה שותף לזכייתה של הנבחרת בטורניר. אנדרסון זכה בתואר כדור הזהב בטורניר זה ובאוקטובר של אותה שנה זכה בכדור הזהב של אדידס.
אנדרסון ערך את הופעת הבכורה במדי הנבחרת הבוגרת של ברזיל כמחליף ב-27 ביוני 2007 בהפסד 0-2 לנבחרת מקסיקו במסגרת טורניר הקופה אמריקה שהתקיים בוונצואלה. פתח לראשונה בהרכב הנבחרת הבוגרת ב-1 ביולי מול נבחרת אקוודור.
The Polyphonic Spree
The Polyphonic Spree היא להקה אמריקנית שנוסדה בשנת 2000 בדאלאס, טקסס.
הלהקה מורכבת מכ-23 נגנים וזמרים ומשייכת את עצמה לז'אנר "רוק סימפוני מקהלתי". מספר הנגנים משתנה (עקב הקושי לנהל מסע הופעות עם מספר נגנים גדול) אך לרוב ניתן למצוא בה מקהלה בת 10 אנשים, שני קלידנים, מתופף, בסיסט, חלילן, גיטריסט, חצוצרן, כנרת/ויולן, ונגנים על טרומבון, כלי הקשה, נבל, קרן צרפתית, טרמין ואפקטים אלקטרוניים.
את הלהקה מנהיג טים דלאוטר, המתפקד כמנהל מוזיקלי, סולן ראשי, גיטריסט, וקלידן.
היסטוריה
שלושה מחברי הלהקה, טים דלאוטר, מארק פירו ובריאן וייקלנד, היו חברים בלהקת Tripping Daisy בטרם מות הגיטריסט ווס ברגרן ב-1999. הלהקה התפרקה ודלאוטר פנה לנהל חנות תקליטים בדאלאס, טקסס.
בשנת 2000, השלושה נתבקשו ליצור אלבום לכבוד הלהקה Grandaddy. במקום לאחד את Tripping Daisy, החליטו השלושה ללכת עם רעיונו של דלאוטר וליצור להקת רוק סימפוני, שתכלול מקהלה. דלאוטר הושפע בילדותו מסאני ומלהקות ניסיוניות כמו Electric Light Orchestra וכן מלהקת הכנסייה המקומית. דלאוטר קרא למגוון רחב של מוזיקאים להצטרף למיזם, ובמהרה החלה להיווצר להקה שמנתה 13 חברים. הלהקה המשיכה לגדול לגודלה הנוכחי (23 נגנים) וזכתה לביקורות חיוביות. הנוכחות הדומיננטית של הלהקה על הבמה הצליחה לקנות לה קהל מעריצים נלהב. ב-2002 הוציאה הלהקה את אלבומה הראשון, The Beginning Stages Of..., בעקבות הביקוש הרב. בהופעותיהם עטו חברי הלהקה גלימות לבנות שייצגו טוהר ושמחה, דבר שבהתאם עם המוזיקה שיצרו גרם לרבים לחשוב שמדובר בכת. מאוחר יותר הם לבשו גם גלימות צבעוניות.
בסוף אותה שנה, הופיעה הלהקה בקונצרט בחלוקת פרס נובל לשלום לואנגרי מאטאיי.
ב-2007 יצא אלבום האולפן השלישי של הלהקה, The Fragile Army, והלהקה עברה ללבוש מדים צבאיים במקום חלוקים לבנים.
בסתיו 2007, השתתפה הלהקה בקמפיין של אדידס, במהלכו כתבה את השיר "H-O-O-P-S Yes!" למועדון הכדורגל של דאלאס.
הלהקה ממשיכה להרוויח משימוש בשיריהם בפרסומות שונות (בעיקר בבריטניה).
סימטריה
סִימֶטְרִיָּה (מיוונית: συμμετρεῖν – למדוד ביחד) בשפה היומיומית מתארת תחושה של פרופורציה, הרמוניה ושיווי משקל, או מושג מתמטי מדויק, שמשתמשים בו במסגרת החוקים של מערכות פורמליות, כגון גאומטריה ופיזיקה לתאר בדרך כלל אובייקט שאינו משתנה תחת כמה טרנספורמציות. מכיוון שיש קשר בין שתי המשמעויות, הן נדונות יחד בערך זה. ההפך של סימטריה הוא אסימטריה.
בגאומטריה
הסימטריה הידועה ביותר היא סימטריה גאומטרית. לרוב, עצם גאומטרי נחשב סימטרי אם קיימת איזומטריה המשמרת אותו במקום. לדוגמה, למעגלים וכדורים יש מספר אינסופי של איזומטריות שיעבירו אותן לעצמן, למשל סיבוב סביב מרכזם. יש מספר סוגי סימטריה במישור, כל אחד מתקשר לסוג שונה של איזומטריה:
סימטריית שיקוף
שיקוף של מישור ביחס לישר הוא העתקה שמעבירה כל נקודה לנקודה הנמצאת במרחק שווה מהישר, כך שהקו המחבר ביניהן מאונך לישר (כלומר הישר הוא אנך אמצעי שלו). את הישר מכנים ציר הסימטריה. הנקודות שעל הישר עצמו נשארות במקומן. זוהי הפעולה המתקבלת כאשר מתבוננים במישור דרך מראה המוצבת על הישר הקבוע. לדוגמה, שיקוף ביחס למראה מאונכת יעביר את האות גימל לאות זין (בכתב יד), וישאיר ללא שינוי את האותיות שין או חית. שיקוף היא העתקה שומרת מרחקים.