cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
המשולש (ירושלים)
סלילת בן יהודה והמלך ג'ורג'
לאחר כיבוש ירושלים בידי הבריטים בדצמבר 1917, החל השלטון החדש לתכנן את חזותה של ירושלים ואת מערכה העירוני. בימי השלטון העות'מאני שקדם למנדט הבריטי לא זכתה ירושלים לתוכנית אב, וכל המבנים והשכונות שמחוץ לחומות נבנו באופן ספורדי, בהתאם לשיקוליהם ולתקציבם של הבונים.
הבריטים – שזיקתם לאזור העיר העתיקה הייתה פחותה – החליטו להעתיק באופן רשמי את מרכז העסקים הראשי של ירושלים מערבה. לצורך כך השמיש השלטון כמה עשרות דונמים של שטחי שדות וכרמים, בין שכונת נחלת שבעה ובית היתומות 'טליתא קומי', שנקנו מהיוונים-האורתודוקסים. מומחים בריטיים עמלו על תכנונו של "משולש" רחובות גדול, שיהווה מוקד משיכה לבעלי עסקים ולקונים.
ב-1923 נסלל הכביש הראשון ב"משולש" באלכסון מרחוב יפו ליד נחלת שבעה, דרום-מערבה, עד סמוך ל'טליתא קומי'. הרחוב תוכנן להיקרא על שם דמות מן התרבות הבריטית. אולם, עם סיום סלילתו נפטר אליעזר בן-יהודה, מחיה השפה העברית, והבריטים החליטו להנציח את שמו ברחוב החדש. רחוב בן-יהודה התפתח והפך לאחד הצירים החשובים ביותר במרכז ירושלים. סביבותיו התמלאו בחנויות, משרדים וקומות מגורים.
שנתיים לאחר מכן, ב-1924, סללו הבריטים כביש נוסף מרחוב יפו, סמוך לבית החולים ביקור חולים, בכיוון צפון-דרום, עד למבנה קולג' טרה סנטה. רחוב זה, שנקרא על שם המלך ג'ורג' החמישי, התחבר לרחוב יפו ולרחוב האלכסוני, וכך הושלם "המשולש".
עוגן תחבורתי ותרבותי
אזור המשולש התהווה כמרכז עירוני ראשי במהלך אמצע המאה ה-20. בעת זו, לא היה בו עדיין אף מדרחוב, ולעומת זאת התחנה המרכזית של הבירה פעלה בו - ב"בניין העמודים" שברחוב יפו. באותו זמן שכנה עדיין הכנסת במבנה בית פרומין הסמוך לקודקודו המערבי, שהיום ידוע כ"בניין הכנסת הישן". לאורך המאה העשרים, פעלו מרבית בתי הקולנוע של ירושלים במשולש או בסמיכות לו. בתחומי המשולש שכנו קולנוע "ציון" וקולנוע "הבירה" ("אימפריה"); במרחק רחוב אחד משם עמדו קולנוע "אוריון" וקולנוע "עדן". רחוב נוסף דרומית משם, ברחוב הלל, פעלו בתי הקולנוע "אורנע", "אורגיל" ו"רון". אחרים, כקולנוע "אדיסון" ו"רקס" וכן אולם הקולנוע בבית אגרון, פעלו במרחק הליכה קצר מהמשולש.
אולם הכדורסל של איגוד הפועל שכן גם הוא במשולש עד אמצע שנות החמישים, אז עברה הקבוצה לאולם בבית ההסתדרות הסמוך למשולש, ברחוב שטראוס.
בהיעדר אפיונים עירוניים מוסדיים (להוציא את בניין העירייה שנמצא כ-600 מטרים מזרחה), מרכז ירושלים נותר תלוי בבעלי עסקים פרטיים ובתיירים הפוקדים אותם. המקום הצליח עם זאת להישאר עוגן עירוני חשוב מאז, הודות לפיתוח תשתיות ולמיקומו. את המשולש משרתים הקו האדום של הרכבת הקלה וקווי אוטובוס רבים שנוסעים לאורך רחוב קינג ג'ורג'.
הקמת המדרחוב
רחוב בן יהודה הפך למדרחוב בשנת 1983, לאחר דיונים רבים בשאלת יישום התוכנית. לאורך הרחוב, שהיה ציר תחבורתי מהעיקריים בעיר, פעלו תחנות מוניות, לרבות מוניות בין-עירוניות. גם הסוחרים ובעלי העסקים לא העריכו את התועלת שתבוא להם מבניית מדרחוב. לאחר הנחת מספר גרסאות בידי המתכננים, והכנות של למעלה מעשור בהן גם תכנון העתקת תחנות המוניות ופיזורן, הוקם המדרחוב, ועם השנים הפך לרחוב המסחר המצליח בירושלים, ולאבן שואבת לתושבים ולתיירים רבים.
בסוף שנות התשעים ואילך אל תוך העשור הראשון למאה ה-21, עברו המדרחוב וסביבתו שיפוץ, שכלל החלפת הריצוף, כחלק משדרוג מרכז העיר.
יריעה אלגברית
יריעות אלגבריות (ובאופן כללי יותר סכמות) הן אובייקט המחקר המרכזי בגאומטריה אלגברית. באופן אינטואיטיבי, יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אלגברית אפינית (זאת אומרת קבוצת אפסים של מערכת משוואות פולינומית במספר משתנים). בדומה למרחב וקטורי, יריעות אלגבריות מוגדרות תמיד מעל שדה k. בדרך כלל k סגור אלגברית.
יריעות אפיניות
בגישה הקלאסית, יריעה אלגברית אפינית הוגדרה כקבוצת כל האפסים של משפחת פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כלומר: אם f_1,...,f_m הם קבוצת פולינומים ב-n משתנים (כלומר: אזי היריעה האפינית המוגדרת על ידם היא
באופן יותר מדויק, מסתכלים על המרחב האפיני כמרחב ה-n-יות של מספרים משדה k כאשר שוכחים את המבנה הטבעי של מרחב וקטורי שיש ל-k^n. על מרחב זה מגדירים k-אלגברה של פונקציות רגולריות מ- ל-k. במקרה האפיני פונקציות רגולריות אלה הן פולינומים ב-n משתנים. כלומר:. נשים לב ש-k-אלגברה זו היא חוג נתרי לפי משפט הבסיס של הילברט, דבר המבטיח שהיא מקיימת מספר תכונות שימושיות, למשל: כל אידיאל בה הוא נוצר-סופית. על המרחב מגדירים טופולוגיית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי) ההופכת אותו למרחב נתרי. בטופולוגיה זו כל הקבוצות הסגורות הן בדיוק הקבוצות מהצורה באשר I הוא אידיאל ב-. מאחר ש- היא אלגברה נתרית I נוצר סופית ולכן יש מספר סופי של פולינומים f_1,...,f_m היוצרים את I. כמו כן מתקיים, ולכן כל הקבוצות הסגורות הן בעצם קבוצות האפסים המשותפים של משפחות סופיות של פולינומים. לקבוצות כאלה קוראים "קבוצות אלגבריות".
תהי קבוצה אלגברית. אזי חוג הפונקציות הרגולריות עליה ניתן על ידי. אם I אידיאל ראשוני אז S היא יריעה אפינית אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. יריעה אי-פריקה היא יריעה שאי-אפשר להציגה כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ליריעה.
נשים לב שעבור יריעות אפיניות X החוג של הפונקציות הרגולריות הוא k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים. משפט האפסים של הילברט נותן אפיון לקשר בין תת-יריעות סגורות של X לאידיאלים של k[X].
כל k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים A היא החוג של הפונקציות הרגולריות של יריעה אלגברית מתאימה. מסמנים יריעה זאת Spec(A) והיא מכונה הספקטרום של A. בתור קבוצה, יריעה זאת היא אוסף האידיאלים המקסימליים של A. קבוצה זאת מסומנת ב Specm(A) ונקראת הספקטרום המקסימלי של A.
יריעות פרויקטיביות
המרחב הפרויקטיבי מהווה הרחבה של המרחב האפיני, בה לכל ישר מוסיפים נקודה נוספת באינסוף. באופן פורמלי יותר, המרחב הפרויקטיבי ה-n-ממדי מעל k הוא אוסף כל הישרים העוברים דרך הראשית במרחב האפיני (n+1)-ממדי. אם בוחרים היפר מישור שלא עובר דרך ה-0 במרחב ב- אז כל נקודה בהיפר מישור זה נמצאת על ישר יחיד שעובר דרך הראשית. לכן אפשר לחשוב על היפר מישור זה כעל תת-קבוצה במרחב הפרויקטיבי. כמעט כל הנקודות של המרחב הפרויקטיבי נמצאות בקבוצה זאת. אלה שלא נמצאות בה הן גבולות של סדרות של נקודות שנמצאות בה אשר מתאימות לסדרות של נקודות בהיפר מישור ששואפות לאינסוף בכיוון של ישר מסוים. מכיוון שהיפר מישור ב- הוא מרחב אפיני n-ממדי אנו רואים שהמרחב הפרויקטיבי הוא מעין השלמה של המרחב האפיני.
בהינתן קבוצה ניתן להגדיר קבוצה  המהווה את איחוד כל הישרים שהם איברי X. הקבוצה X נקראת יריעה פרויקטיבית אם"ם \tilde X היא יריעה אפינית. ניתן להגדיר טופולוגיה על X באופן דומה להגדרת הטופולוגיה של זריצקי על יריעות אפיניות. גם טופולוגיה זאת נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
אפשר לחשוב על יריעות פרויקטיביות כעל קומפקטיפיקציות של יריעות אפיניות. לדוגמה, אם k=\mathbb C אז יריעות פרויקטיביות הן תמיד קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת) בעוד שיריעות אפיניות אינסופיות לעולם אינן קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת). מכיוון שכל יריעה אפינית X ניתן לשכן במרחב אפיני ואת  ניתן לשכן במרחב הפרויקטיבי, ניתן לשכן את X ב-. שיכון זה אינו סגור. אולם אפשר לקחת את הסגור זריצקי \bar X של X בתוך וכך לקבל יריעה פרויקטיבית המכילה את X בתור קבוצה פתוחה צפופה.
הקומפקטיות של יריעות פרויקטיביות נותנת להם תכונות טובות יותר, ובמקרים רבים קל יותר לחקור אותם. הסיבה היא שבעוד שבמרחב האפיני דברים יכולים "לברוח לאינסוף", זה בלתי אפשרי במרחב הפרויקטיבי, כך שניסוחים של משפטים הופכים יותר פשוטים. לדוגמה במישור האפיני, שני ישרים שונים יכולים להחתך ב-0 או ב-1 נקודות. בעוד שבמישור הפרויקטיבי שני ישרים שונים נחתכים בדיוק בנקודה 1. דוגמה נוספת היא שפרבולה אליפסה והיפרבולה נהיות איזומורפיות כאשר סוגרים אותן במישור הפרויקטיבי. הסיבה להבדלים ביניהן במישור האפיני היא שאליפסה לא חותכת את האינסוף כלל, פרבולה חותכת אותו בנקודה אחת והיפרבולה ב-2. אם עובדים מעל המספרים המרוכבים ולא הממשיים אז דוגמה זאת מאבדת מעט מערכה מכיוון שאליפסה והיפרבולה איזומורפיות גם כיריעות מרוכבות אפינייות.
מכיוון שניתן לכסות את \mathbb P^n על ידי n+1 העתקים של \mathbb A^n (המתאימים ל-n+1 היפר מישורים ב-) ניתן גם לכסות כל יריעה פרויקטיבית על ידי מספר סופי של יריעות אפיניות. כיסוי כזה מאפשר דרך נוספת לחקור יריעות פרויקטיביות.
יריעות קווזי-אפיניות וקווזי-פרויקטיביות
קבוצה פתוחה ביריעה אפינית X הנתונה על ידי התנאי f(x)\neq 0 כאשר f היא פונקציה רגולרית על X נקראת קבוצה פתוחה בסיסית. על קבוצה כזאת יש מבנה טבעי של יריעה אפינית מכיוון שאפשר לשכן אותה כקבוצה סגורה ב-:
אולם לא ניתן לבצע זאת עבור קבוצות פתוחות כלליות. לדוגמה על הקבוצה אין מבנה של יריעה אפינית. קבוצה פתוחה ביריעה אפינית נקראת יריעה קווזי אפינית. ניתן לחקור יריעות קווזי אפיניות על ידי היריעות האפיניות המכילות אותן או על ידי הקבוצות הבסיסיות המכסות אותן (שהן גם כן יריעות אפיניות).
באופן דומה יריעה קווזי-פרויקטיבית היא קבוצה פתוחה ביריעה פרויקטיבית. נשים לב שכל יריעה אפינית היא קווזי פרויקטיבית (מכיוון שאפשר לשכן מרחב אפיני בתור קבוצה פתוחה במרחב פרויקטיבי).
יריעות קווזי-פרויקטיביות מהוות מחלקה רחבה של אובייקטים גאומטריים. תתי-קבוצות פתוחות וסגורות ביריעות קווזי-פרויקטיביות הן יריעות קווזי-פרויקטיביות. גם היום כאשר המושג של יריעה אלגברית כללית ידוע ומקובל היטב, חלק גדול מהמחקר בגאומטריה אלגברית מתמקד ביריעות קווזי-פרויקטיביות.
למעשה לא קל למצוא דוגמה של יריעה אלגברית שאיננה קווזי-פרויקטיבית. המוטיבציה של וייל להגדיר את המושג הכללי של יריעה אלגברית באה מדוגמה מסוימת, אולם דוגמה זאת התבררה לימים כיריעה קווזי-פרויקטיבית (אם כי מסיבות לא טריוויאליות). דוגמה ליריעה אלגברית לא קווזי-פרויקטיבית נמצאה רק לאחר כעשור על ידי נגטה.
בדומה ליריעות פרויקטיביות ויריעות קווזי-אפינית גם יריעות קווזי-פרויקטיביות ניתן לכסות על ידי מספר סופי של קבוצות פתוחות המהוות יריעות אפיניות.
מגבלות של יריעות קווזי פרויקטיביות
למרות המגוון הרחב של יריעות קווזי פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות. ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי. ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בנייות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קווזי פרויקטיביות, ולעיתים אף בלתי אפשרי. לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קווזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קווזי) פרויקטיביות. הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה. דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה. בהינתן שני מרחבים טופולוגיים X ו-Y ושיכונים פתוחים i_1:U \to X ו-i_2:U \to Y ניתן להגדיר את ההדבקה לאורך U בתור האיחוד הלא קשיר X \sqcup Y מודולו יחס השקילות. פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קווזי פרויקטיביות. הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.
הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות
באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות". ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת. ישנן מספר מחלקות כאלה. אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".
מרחב עם אלומת פונקציות
יהי X מרחב טופולוגי. אלומת פונקציות \mathcal O (עם ערכים ב k) על X היא התאמה אשר מתאימה עבור כל קבוצה פתוחה U \subset X, תת-אלגברה (עם יחידה) של אלגברת הפונקציות מ-U ל-k, כך שמתקיים:
אם U \subset X קבוצה פתוחה אז ניתן להגדיר את הצמצום של \mathcal O ל-X על ידי, לכול קבוצה פתוחה V \subset U.
זוג המורכב ממרחב טופולוגי X ואלומת פונקציות \mathcal O עליו, נקרא מרחב עם אלומת פונקציות. אם הוא מרחב עם אלומת פונקציות אז O נקראת אלומת המבנה של X. יהיו  ו- מרחבים עם אלומות פונקציות. העתקה נקראת מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות אם \phi רציפה ולכל U\subset Y ו- מתקיים :.
אוסף המרחבים עם אלומות פונקציות הוא קטגוריה, בפרט שני מרחבים עם אלומות פונקציות ו- נקראים איזומורפיים אם קיימות העתקות \phi:X\to Y ו- של מרחבים עם אלומות פונקציות כך ש:  ו .
מרחבים עם אלומות פונקציות הם מקרים פרטיים של מרחבים מחויגים.
יריעות אפיניות כמרחב עם אלומת פונקציות
תהי X יריעה אפינית. תהי U \subset X קבוצה פתוחה. מכיוון ש-U היא יריעה קווזי-אפינית, ניתן להגדיר את חוג הפונקציות הרגולריות \mathcal O על U. קל לראות שההתאמה נותנת אלומת פונקציות. מכאן ש-X מצוידת בטופולוגיה של זריצקי יחד עם אלומת הפונקציות הרגולריות \mathcal O מהווה מרחב עם אלומת פונקציות. קל לראות כי העתקה היא מורפיזם של יריעות, אם"ם היא מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. במילים אחרות קטגוריית היריעות האפיניות היא תת-קטגוריה מלאה בקטגוריית המרחבים עם אלומות פונקציות.
לא כל מרחב עם אלומת פונקציות הוא יריעה אפינית. יריעה אפינית Y היא מרחב עם אלומת פונקציות שמקיים את התכונות הבאות:
הגדרה של יריעה אלגברית
מרחב עם אלומת פונקציות נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי  כך ש- איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית. מורפיזם של יריעות מוגדר להיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. הטופולוגיה על יריעה נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
מורפיזם בין יריעות אלגבריות
מורפיזם של יריעות מוגדר בתור מורפיזם בין מרחבים עם אלומת פונקציות. במילים אחרות קטגורית היריעות האלגבריות מוגדרת להיות התת-קטגוריה המלאה של קטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות, שהאובייקטים שלה הם יריעות אלגבריות.
בניות קטגוריות
אוסף היריעות האלגבריות הוא קטגוריה. בקטגוריה זאת קיימים גבולות הפוכים סופיים, וגבולות ישרים מסוימים. בפרט ניתן להגדיר את הבניות הבאות:
בניות אינפיניטסימליות
בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות. לדוגמה עבור יריעה אלגברית X ונקודה x\in X ניתן להגדיר את המרחב המשיק T_xX ל-X ב-x. מושג המרחב המשיק הוא מקומי. לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית. במקרה זה T_xX הוא המרחב הדואלי ל-, כאשר הוא אידיאל הפונקציות שמתאפסות ב-x.
ניפוח
בנייה חשובה נוספת של יריעות אלגבריות היא הניפוח (blow-up). ניפוח של יריעה אלגברית X לאורך תת-יריעה סגורה Z היא בנייה מסוימת של יריעה \tilde X ביחד עם העתקה נאותה אשר מהווה איזומרפיזם מחוץ ל-Z. באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את Z בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-Z. לניפוח חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית, בין השאר מכיוון שהוא מהווה את הכלי המרכזי לבנית התרת סינגולריות.
תכונות טופולוגיות
טופולוגית זריצקי על יריעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה. למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קווזי-) קומפקטית. לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית. עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.
תכונות גלובליות
בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)
תכונות מקומיות
התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית X נקראת חלקה בנקודה x \in X אם ממד המרחב המשיק T_xX ל-X בנקודה x שווה לממד היריעה X בנקודה x. יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סמפלקטית ועוד.
העתקות ומשפחות של יריעות
אחת הדרכים לחשוב על העתקה בין יריעות אלגבריות \phi:X\to Y היא בתור משפחה של יריעות אלגבריות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב-X, ולכל נקודה x \in X אנו מתאימים את היריעה. לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות אלגבריות, גם עבור משפחה של יריעות אלגבריות או במילים אחרות - העתקות. בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים: תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של העתקות. תכונות כאלה תמיד מקומיות (על פי הטווח). יש גם תכונות מקומיות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קווזי סופית, העתקת אטל, העתקה שטוחה ושקילות בירציונלית (על שלוש הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות).
מערכות מונחים שונות
מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קווזי פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות. לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המלה יריעה התייחסה רק ליריעות קווזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קווזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות. רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות. במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעיתים גם בלתי פריקה.
מאידך לעיתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית. במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית k שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה. לדוגמה המשוואה x^2+1=0 מגדירה יריעה לא ריקה מעל \mathbb R אולם אין לה פתרונות מעל \R. יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.
מונחים בשפות שונות
באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך יש לזכור שמדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.
נקודות של יריעה
לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות). לקבוצה זאת קוראים לעיתים קבוצת ה-k-נקודות של היריעה, כאשר k הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה. מסמנים קבוצה זאת X(k).
הצורך להפריד בין יריעה X לקבוצה X(k) מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה x^2+1=0 לא ריקה אך קבוצת ה-\R-נקודות שלה ריקה.
בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה X(k) שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה X (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות). למשל, אם השדה k הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה-k-נקודות של היריעה. טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי. במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרית מ-k^n (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב-k^n). ליריעה כללית X קבוצה נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית U\subset X הקבוצה U(k) \cap V פתוחה ב U(k).
ניתן גם להגדיר באופן דומה את הקבוצה X(R) של R נקודות כאשר R הוא k-אלגברה (קמוטטיבית עם יחידה) כלשהי.
קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות
אם X היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים המרוכבים \Complex אז ניתן להגדיר על קבוצת הנקודות שלה, X(\Complex), מבנה של יריעה חלקה באופן הבא: במקרה ש- היא יריעה אפינית חלקה אז קל לראות ש היא תת-יריעה חלקה של \Complex^n. במקרה הכללי בוחרים כיסוי פתוח של X על ידי יריעות אפיניות, והוא מגדיר אטלס חלק.
באופן דומה, אם X היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל \Complex אז ניתן להגדיר על X(\Complex), מבנה של יריעה אנליטית.
בניות דומות קימות גם לשדות לא סגורים אלגברית. בפרט אם X היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים הממשיים \R אז ניתן להגדיר על X(\R) מבנה של יריעה חלקה. כמו כן אם X היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל שדה מקומי F אז ניתן להגדיר על X(F) מבנה של יריעה אנליטית מעל F.
אגדים
בדומה למרחבים טופולוגיים ויריעות דיפרנציאבילות, המושג אגד קיים גם על יריעות אלגבריות. ניתן להגדיר אגד על יריעה אלגברית X בתור יריעה אלגברית E, יחד עם מורפיזם p:X\to E ומבנה של מרחב וקטורי על הסיב p^{-1}(x) של כל נקודה x\in X כך שמקומית (בטופולוגיית זריצקי) מבנה זה איזומורפי ל כאשר V הוא מרחב ליניארי.
לאגדים בגאומטריה אלגברית יש אותם תפקידים כמו לאגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית. בפרט, עבור יריעה אלגברית חלקה ניתן להגדיר את האגד המשיק ואגדים קשורים אליו (אגד קו-משיק, אגד התבניות הדיפרנציאליות, ועוד). ישנם מספר אגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית שאין אגד על יריעות אלגבריות המהווה מושג מקביל להם, למשל אגד האוריינטציות ואגד הצפיפויות. זאת משום שהגדרה של אגדים אלה מתבססת על יחס הסדר ב-\R. בנוסף, בגאומטריה אלגברית יש חשיבות מיוחדת לאגדים חד־ממדיים. אלה נקראים אגדים קווים, ונחקרים בעיקר במונחים של אלומות קוהרנטיות (ראה להלן).
אלומות על יריעות
אחד הכלים המרכזיים לחקר יריעות אלגבריות הוא חקר של סוגים שונים של אלומות עליהן. בין היתר, אלומות משמשות למטרות הבאות:
אלומות קוהרנטיות וקווזי קוהרנטיות
הסוגים הבסיסיים של אלומות על יריעות אלגבריות הם אלומות קוהרנטיות וקווזי-קוהרנטיות. על יריעה אפינית X ניתן להגדיר אלומות קווזי קוהרנטיות באופן הבא: בהינתן מודול M מעל O(X) נגדיר אלומה על ידי. אלומות שמתקבלות באופן זה נקראות קווזי קוהרנטיות.
אם M נוצר סופית אז האלומה תקרא קוהרנטית. קטגוריית האלומות הקווזי-קוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים מעל חוג הפוניקציות הגלובליות על היריעה. באופן דומה קטגוריית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים נוצרים סופית מעל חוג הפונקציות הגלובליות על היריעה.
ממשפט סר נובע שתכונת ה (קווזי-)קוהרנטיות היא מקומית. זאת אומרת שאם הוא כיסוי פתוח אפיני של יריעה אפינית אז אלומה \mathcal F על X היא (קווזי-)קוהרנטית אם  היא (קווזי-)קוהרנטית. עבור יריעה לא אפינית, אלומה (קווזי-)קוהרנטית מוגדרת להיות אלומה שהיא (קווזי-)קוהרנטית באופן מקומי.
במקור השתמשו באלומות קוהרנטיות כדי לחקור אפסים וקטבים של פונקציות רציונליות.
קשר לאגדים
אלומות קוהרנטיות משמשות גם למחקר של משפחות מרחבים ליניאריים בעלות פרמטר שנע ביריעה אלגברית. בהינתן אלומה קוהרנטית \mathcal F על יריעה אלגברית X ניתן להגדיר את הסיב של \mathcal F בנקודה x \in X על ידי , כאשר U\subset X היא סביבה פתוחה אפינית של x, ו הוא האידיאל המקסימלי שמתאים לנקודה x\in U.
לאור האמור למעלה, לעיתים מגדירים אגד וקטורי על יריעה אלגברית בתור אלומה קוהרנטית חופשית מקומית. כמו כן ניתן לחשוב על אלומות קוהרנטיות בתור הכללת המושג אגד. הכללה זאת מאפשרת להגדיר גרסאות של האגדים הסטנדרטיים מטופולוגיה דיפרנציאלית גם עבור יריעות לא חלקות. לדוגמה, אף על פי שעל יריעה אלגברית לא חלקה לא ניתן להגדיר את האגד הקו-משיק (זאת אומרת אגד שסיביו הם המרחבים הקו משיקים), ניתן להגדיר את האלומה הקו-משיקה (אלומה שסיביה הם המרחבים הקו משיקים).
אלומות קונסטרקטביליות
טופולוגית זריצקי היא טופולוגיה חלשה מאוד. היא אומנם מספיקה למחקר בסיסי של יריעות אלגבריות אך איננה משקפת את המבנה של היריעה מנקודת מבט של טופולוגיה אלגברית. לכן קשה לחקור את הגאומטריה של היריעה על ידי אלומות בטופולוגית זריצקי. אם יריעה X מוגדרת מעל שדה המרוכבים אז על X(\Complex) יש טופולוגיה המושרית מהטופולוגיה של \Complex. קטגוריית האלומות בטופולגיה זאת משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה טוב יותר. חשיבות מיוחדת ניתנת לאלומות קבועות מקומית בטופולוגיה זאת. קטגוריית האלומות הקבועות מקומית אינה נשמרת תחת פעולות בסיסיות עם אלומות (כגון דחיפה ומשיכה). אלומות קונסטרקטביליות (ניתנות לבנייה) מוגדרות בתור כל האלומות שמתקבלות מדחיפה ומשיכה של אלומות קבועות מקומית, תחת העתקות אלגבריות.
אלומות אטל
הטופולוגיה הנ"ל על X(\Complex) איננה מוגדרת במונחים של גאומטריה אלגברית, ובפרט אינה ניתנת להכללה לשדות סגורים אלגברית כלליים. בשנות החמישים והשישים גרותנדיק פיתח מספר אנלוגים לטופולוגיה זאת המוגדרים במונחים של גאומטריה אלגברית ותקפים מעל שדה כלשהו. האנלוג הנפוץ ביותר הוא טופולוגיית אטל. טופולוגיית אטל איננה טופולוגיה במובן הרגיל של המילה, אלא במובן כללי יותר שנקרא טופולוגיית גרותנדיק. המושג טופולוגיית גרותנדיק תוכנן כך שיהיה אפשר להגדיר את המושג אלומה על מרחב המצויד בטופולוגיית גרותנדיק. אלומות על יריעה אלגברית ביחס לטופולוגיית אטל נקראות אלומות אטל. טופולגיית אטל לא מהווה תחליף מושלם לטופולוגיה על X(\Complex). בעוד שאלומות של קבוצות (וחבורות) סופיות בטופולוגיית אטל דומות מאוד לאלומות עלֹ X(\Complex) (למשל קטגורית האלומות הקבועות מקומית של קבוצות סופיות בטופולוגעיית אטל על X, שקולה קטגורית האלומות הקבועות מקומית בעלות גבעולים סופיים על X(\Complex)) אלומות של קבוצות (וחבורות) אין-סופיות בטופולוגיית אטל לא דומות כלל לאלומות עלֹ X(\Complex) ועניות הרבה יותר.
באנלוגיה עם המקרה המרוכב, ניתן להגדיר עבור כל שדה F וכל יריעה X המוגדרת מעל F את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות מעל X. בפרט, עבור חוג סופי A נתן להגדיר את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות של A-מודולים מעל X. מקרה פרטי חשוב הוא כאשר החוג הסופי הוא \Z/l^n\Z עבור מספר ראשוני l הזר למציין השדה F. בדרך כלל הביטוי אלומות אטל מתייחס למקרה זה.
אלומת l -אדיות
כאמור, אם A אינו חוג סופי, אז אלומות אטל של A-מודולים אינן משקפות את הגאומטריה של X. לכן לא ניתן להגדיר אלומות אטל של \Complex-מודולים. תחת זאת משתמשים בבנייה הבאה: משאיפים את n לאינסוף ומקבלים קטגוריה שנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של \Z_l-מודולים" או בקצרה "קטגוריית האלמות ה-l-אדיות". למרות שמה, האובייקטים בקטגוריה זאת אינם אלומות כלל. בפרט הן אינן אלומות של \Z_l-מודולים בטופולוגיית אטל. מקטגוריה זאת ניתן לבנות קטגוריוה הנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של \Q_l-מודולים". באופן דומה עבור כל הרכבה F של \Q_l ניתן להגדיר אלמות הקונסטרוקטביליות של O_F-מודולים ו-F-מודולים. על ידי מעבר לגבול, מקבלים את הקטגוריות של האלומות הקונסטרוקטביליות של \bar{\Q}_l-מודולים ו--מודולים. כל סוגי האלומות האלה נקראות לעיתים "אלמות l-אדיות".
מכיוון ש-\bar{\Q}_l איזומורפי ל-\Complex אפשר להגדיר כך (באופן לא קנוני) אלומות מרוכבות ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. מכאן אפשר להגדיר הומולוגיות עם מקדמים ב-\Complex ומספרי בטי ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. בנייה זאת מראה בפרט שאם X היא יריעה אלגברית מרוכבת ו-X' היא יריעה המתקבלת מ-X על ידי הפעלת אוטומורפיזם על שדה המרוכבים אז מספרי בטי של X(\Complex) ו שווים. טענה זאת עלולה להפתיע מכיוון שהחבורות היסודית של X(\Complex) ו- שונות במקרים מסוימים.
כאשר k הוא שדה סופי, פייר דלין הגדיר גרסה מעט שונה לאלומה l-אדית הנקראת אלומת וייל. אלומות l-אדיות ואלומות וייל משחקות תפקיד מרכזי בהוכחה של השערות וייל.
D-מודולים
משתמשים באלומת גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות על יריעות אלגבריות.
כמו שבשביל לחקור משוואות פולינומיות בתורת גלואה משתמשים בסדרות, וכדי לחקור מערכות משוואות פולינומיות משתמשים באלגבראות, כך גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות משתמשים במודולים מעלֹ חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב-n משתנים. אם רוצים לחקור משוואות דיפרנציאליות חלקיות על יריעה אלגברית אפינית חלקה אז יש להחליף את חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב-n משתנים בחוג האופרטורים הדיפרנציאליים על היריעה. אם היריעה אינה אפינית אז ייתכן שחוג האופרטורים הדיפרנציאליים יהיה קטן מדי (כמו שחוג הפונקציות הרגולרית על יריעה לא אפינית קטן מדי). לכן יש לחקור אלומות מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים. גם לאלומות אלו אפשר להגדיר את תכונת הקוהרנטיות והקווזי-קוהרנטיות. אלומות קוהרנטיות (ולעיתים גם קווזי-קוהרנטיות) של מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים נקראות D-מודולים. ניתן גם להגדיר את קטגוריית ה-D-מודולים ליריעות לא חלקות, אם כי בצורה שונה.
בחירות ישירות
בחירות ישירות הן בחירות שבהן ציבור הבוחרים בוחר ישירות את ראשי הממשל: ראש ממשלה, נשיא, ראש עירייה וכדומה. זאת בניגוד לבחירות עקיפות, שבהן ציבור הבוחרים בוחר את נציגיו (חברי הפרלמנט, למשל) ואלה בוחרים את ראש הממשל.
תומכי הבחירה הישירה מייחסים לה קשר הדוק יותר בין המועמד לבוחריו, ותלות נמוכה יותר של המועמד במפלגה שבה הוא חבר.
יריעה אלגברית
D-מודולים
כאמור אפשר לחשוב על D-מודול M על יריעה X כעל מערכת משוואות דיפרנציאליות. אם k=\Complex אז אפשר להגדיר מתי פונקציה אנליטית על X(\Complex) היא פתרון של M. אוסף הפתרונות של M מהווה אלומה קונסטרוקטבילית עלֹ X(\Complex). בנייה זאת מגדירה פונקטור מקטגורית ה-D-מודולים על X לקטגורית האלומות על X(\Complex). פונקטור זה משרה שקילות מתת קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של D-מודולים לקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות. שקילות זאת שנקראת שקילות רימן-הילברט הוכחה על ידי מאסאקי קשיברו בהתבסס על עבודתו של פייר דלין.
אלומות סוטות
בהתבסס על עבודה של מרק גורצקי ורוברט מקפרסון תיארו יוסף ברנשטיין, אלכסנדר בילינסון ופייר דלין את התת-קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות המתאימה ל-D-מודולים תחת שקילות רימן-הילברט. קטגוריה זאת של אלומות נקראת קטגורית האלומות הסוטות. האובייקטים בקטגוריה זאת אינן אלומות אלא קומפלקסים מסוימים של אלומות. ברנשטין, בילינסון ודלין הגדירו גם אנלוגים של קטגוריה זאת עבור אלומות l-אדיות ואלומות וייל. לא ניתן לתאר אנלוגים אלו בעזרת D-מודולים מכיוון ששקילות רימן הילברט לא תקפה כאשר.
לעיתים קרובות, אלומות סוטות מתנהגות טוב יותר תחת ששת הפנקטורים של גרותנדיק (הפעולות הסטנדרטיות עם אלומות: דחיפה, משיכה וכדומה) מאשר אלומות קונסטרוקטביליות (למשל במשפט הפירוק ). כמו כן לקטגורית האלומות הסוטת יש תכונות טובות יותר בתור קטגוריה אבלית מאשר לקטגורית האלומות קונסטרוקטביליות. למשל כל אלומה סוטה היא מאורך סופי. יתרון מובהק נוסף של האלומות הסוטות היא בנייה הנקראת הרחבה סוטה. בנייה זאת מבוססת על העובדה שלכל אלומה סוטה בלתי-פריקה על תת-יריעה Y \subset X קיימת ויחידה אלומה סוטה בלתי-פריקה המרחיבה אותה על \bar Y. בנייה זאת משמשת לבניית אלומות סוטות מעיניניות רבות, למשל אלומות קרקטרים של לוסטיג.
הגדרות אלטרנטיביות
בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.
אטלסים ומפות
ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות. גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות. כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית. דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות. לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קווזי אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית. מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.
כמקרה פרטי של סכמות
מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות. נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל k). מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף. אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה X שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל-X כאשר חושבים עליה כעל סכמה. לדוגמה אם X איננה מממד 0 אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה T_1.
בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום. עבור כל k-אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים A קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש:. יריעה זאת נקראת spec(A). כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה. לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב specm(A) ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים specp(A). האות m באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של specm(A) לאידיאלים מקסימליים ב-A והאות p באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של specp(A) לאידיאלים ראשוניים ב-A. בדרך כלל הסימון spec מסמן את specp.
כפונקטורים מיוצגים
עבור יריעה אלגברית X מעל k, ו-k-אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים A, ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של X מעל A על ידי, כאשר Mor מסמן את קבוצת המורפיזמים בין שתי יריעות. כאשר X יריעה אפינית אז X(A) היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את X כאשר המשתנים רצים ב-A^n במקום ב-k^n. הפונקטור נקרא פונקטור הנקודות של X. ניתן לשחזר את היריעה X מפונקטור הנקודות שלה. טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה (Nobuo Yoneda). לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פונקטור מקטגורית ה-k-אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.
גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות, אך היא משמשת לעיתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.
עבור שדות לא סגורים אלגברית
ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה k גם כאשר k אינו סגור אלגברית.
עבור שדות מושלמים
באופן כללי, כאשר k שדה מושלם אחת הדרכים לחשוב על אובייקטים מעל k היא בתור אובייקטים מעלֹ הסגור האלגברי \bar k ביחד עם פעולה של חבורת גלואה שאינה שומרת בדיוק על המבנה של האובייקט מעל \bar k אך משנה אותו בצורה המושרת מהפעולה של  על \bar k.
באופן מפורש כאשר k שדה מושלם ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל k בתור יריעה X מעל \bar k יחד עם פעולה \rho של על X(\bar k) כך שעבור כל  ההעתקה  מקיימת:
עבור שדות כלליים
כאשר k אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת. לדוגמה אם k סגור ספרבילית אז טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל k כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל \bar k. יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה. אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.
סכמות
אף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:
כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה. כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני. סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלה בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.
הבדל נסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות היה סופי. דורשים רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות. ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלה בא לאור העבדה שסכמות הן מושג מאוד כללי ולכן מוותרים על כל ההגבלות שאינן הכרחיות. סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קווזי-קומפקטיות. במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קווזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קווזי-קומפקטיות.
הכללות נוספות
גם למושג הסכמה יש מגבלות, לדוגמה, אין מושג של סכמת מנה של סכמה על פי יחס שקילות. אפילו כאשר היחס שקילות בעל תיאור מגאומטריה אלגברית, ואפשר לצפות משיקולים גאומטריים שמנה כזאת צריכה להיות, למשל כאשר מדובר במנה של סכמה על פי פעולה חופשית של חבורה סופית (שפועלת על ידי העתקות אלגבריות). כדי להתמודד עם מגבלה זאת פותח המושג מרחב אלגברי.
גם הכללה זאת איננה המילה האחרונה. המושג סטק אלגברי מהווה הכללה שלו. הכללה זאת לא נועדה כדי להרחיב את האובייקטים הגאומטריים שעליהם אפשר לדבר, אלה כדי להוסיף מידע נוסף (שאינו לחלוטין גאומטרי) ליריעה. באופן אינטואיטיבי, סטק אלגברי הוא גרופואיד אשר על אוסף האובייקטים שלו יש מבנה של יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר מרחב אלגברי). בשונה מיריעות, סכמות ומרחבים אלגבריים, אוסף הסטקים האלגבריים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא 2-קטגוריה. מקרה פרטי חשוב של סטק אלגברי שמכליל את המושג מרחב אלגברי הוא סטק דלין-ממפורד.
מתחילת המאה ה-21 כאשר מושג ה-\infty-קטגוריה תפס תאוצה בזכות עבודותיהם של יעקב לוריא (Jacob Lurie) ואחרים, הכלל מושג הסטק האלגברי למושג ה-n-סטק ו-\infty-סטק. לעיתים מכנים n-סטק בשם (n+1)-סכמה, כך שאפשר לקרוא ל-\infty-סטק גם \infty-סכמות. אוסף ה-\infty-סטקים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא \infty-קטגוריה.
מושג ה-\infty-קטגוריה הוליד גם הכללה של \infty-סטקים והיא \infty-סטקים נגזרים. הטבלה הבאה נועדה להסביר את האופי של הכללה הזאת:
מושגים מקבילים
על ציר זה (גמישות/קשיחות) יריעות אנליטיות קרובת בהרבה ליריעות אלגבריות מאשר ליריעות חלקות. אחת הסיבות לכך היא שביריעות חלקות יש את משפט פיצול היחידה בעוד שביריעות אלגבריות ואנליטיות הוא לא יכול להתקיים מכיוון שהוא סותר את משפט היחידות (שלא מתקיים עבור פונקציות חלקות; אך מתקיים עבור פונקציות אלגבריות ואנליטיות). למעשה משפט ג.א.ג.א. של סר מתאר שקילות קטגורית בין יריעות אלגבריות פרויקטיביות מרוכבות ובין יריעות אנליטיות פרויקטיביות מרוכבות.
קשיחות זאת גורמת לכך שבמיקרים רבים על יריעה חלקה אחת יש רצף של מבנים של יריעה אלגברית או אנליטית.
הבדל מובהק בין יריעות אלגבריות ואנליטיות הוא העובדה שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף במקרה האלגברי. הבדל זה הוא המוטיבציה המרכזית להגדרת טופולוגית אטל על יריעות אלגבריות. טופולוגיה זאת מאפשרת במקרים רבים להחליף את משפט הפונקציה ההפוכה ובכך לצמצם את הפער בין יריעה אלגברית ואנליטית. הבדל נוסף בין יריעות אלגבריות לאנליטיות נובע מכך שבעולם האנליטי (כמו גם בעולם החלק) לכל מד"ר יש פתרון ולרוב המד"רים אין פיתרונות אלגבריים.
ברמה הפרקטית מה שמיחד יריעות אלגבריות משאר האובייקטים בגאומטריוה זה האלגבריות שלהן, זאת אמרת שניתן לתאר כל יריעה אלגברית באמצעות כמות סופית של מידע. דבר זה אינו אפשרי עבור אובייקטים גאומטריים אחרים.
הטבלה הבאה מסכמת את ההבדלים בין העולם האלגברי האנליטי והחלק במקרה הממשי:
נקודה ויריעות 0-ממדיות אחרות
בהינתן שדה סגור אלגברית k, הנקודה היא היריעה האלגברית הקשירה היחידה ממד 0 מעל k. היא האובייקט הסופי בקטגוריה של יריעות אלגבריות מעל k. כל יריעה אלגברית ממד 0 מעל k היא קו-מכפלה של נקודות. זאת אומרת קבוצה סופית בדידה. לכן מחקר של יריעות אלגבריות ממד 0 לא מהווה עינין. מעל שדה לא סגור המצב מסובך יותר. למשל, אם השדה מושלם אז יריעות 0-ממדיות מעליו ניתנות לתיאור על ידי קבוצות סופיות יחד עם פעולה של חבורת גלואה האבסולוטית של השדה. אובייקט זה מסובך בהרבה, אך אינו גאומטרי כלל והמחקר שלו לא מתבצע במסגרת הגאומטריה האלגברית בדרך כלל. להבדיל, המצב עם סכמות אינו כזה. סכמות ממד 0 מסובכות בהרבה, אומנם הן עדין אובייקט אלגברי ביסודו, אך למחקר שלהן השלכות רבות בגאומטריה אלגברית.
מרחב אפיני ומרחב פרויקטיבי
המרחב האפיני הוא הארכי טיפוס של הירעות האפיניות. לשאלות רבות על יריעות אפיניות יש רדוקציה למרחבים אפיניים. לדוגמה, ניתן לשכן את קטגורית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית לתוך קטגורית האלמות הקוהרנטיות על המרחב האפיני. למרות פשטותו היחסית, יש מספר השערות קשות הקשורת אליו. המפורסמת בהן היא השערת היעקוביאן.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב אפיני עשירה מאוד. היא אינסוף ממדית ומסובכת. ישנן מספר השערות הקשורות לחבורה זאת.
באופן דומה המרחב הפרויקטיבי הוא הארכי טיפוס של היריעות הפרויקטיביות. לשאלות רבות על יריעות פרויקטיביות יש רדוקציה למרחבים פרויקטיביים. יתר על כן, באמצעות הלמה של צ'ו ניתן גם להכליל תשובות לשאלות אלה ליריעות שלמות.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב פרויקטיבי עשירה למדי אך לא מסובכת. היא החבורה האלגברית הליניארית (מממד סופי) PGL_{n+1}.
עקומים
עקום אלגברי הוא יריעה אלגברית חד-ממדית. בדרך כלל דושים שעקום יהיה בלתי-פריק. אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד־ממדיים. עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי. למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר. משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות. במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום. בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים בתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כללים של גאומטריה אלגברית.
עקומים שלמים חלקים
יש מיון ידוע של עקומים חלקים שלמים. האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא הגנוס. במקרה k=\C המרחב X(\C) הוא משטח טופולוגי סגור אורינטבילי, והגנוס של X הוא הגנוס של X(\C) כמשטח טופולוגי. מזה נובע שמחלקת הדיפאומורפיזם של X(\C) תלויה רק בגנוס של X אם X הוא עקום שלם חלק מרוכב. בהינתן גנוס קבוע g יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של סטק דלין ממפורד) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס g.
יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי. זה העקום החלק השלם היחיד המהווה יריעת פאנו. עקומים מגנוס 1 נקראים עקומים אליפטיים. יש משפחה חד פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט j של העקום והוא רץ ב-k). לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל. על כל עקום אליפטי יש מבנה של חבורה אלגברית. חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה). עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים יריעות קאלאבי-יאו.
עקומים חלקים
לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה. לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים. באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.
עקומים סינגולריים
אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות. לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות. אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון. אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום נורמלי הוא תמיד חלק. לכן נורמליזציה של עקום מהווה התרת סינגולריות קנונית שלו.
עקומים מישוריים
עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני בתור תת-קבוצה סגורה. עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים). המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום. באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה k הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה k משלושה משתנים. אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיבים ממעלה d הוא מרחב פרויקטיבי ממד
ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים. מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננה משימה פשוטה. מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פוריקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל \C). ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל \R) ולמקרה האפיני. אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.
עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים. אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ביוון העתיקה. במקרה האפיני הממשי הם:
המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר. יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.
הגנוס של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה d הוא
משטחים
משטח אלגברי הוא יריעה אלגברית דו-ממדית. משטחים אלגבריים מסובכים בהרבה מעקומים אך עדיין פשוטים יותר מיריעות כלליות. משטחים חלקים שלמים הם תמיד פרויקטיביים אולם משטחים שלמים שאינם חלקים לאו דווקא.
סינגולריות של משטחים
סינגולריות של משטח נורמלי היא תמיד מבודדות, לכן כשחוקרים אותה בדרך כלל מתמקדים בסביבה של נקודה סינגולרית. גם כאן כמו בעקומים אין מיון כללי אולם אם מגבילים את הסינגולריות לפעמים ניתן למין אותן. לדוגמה יש מיון אלגנטי של כל סוגי הסינגולריות של משטחים שהם רציונלים וגורנשטיין. המיון מתאים לסינגולריות אלה דיאגרמות דינקין מטיפוסים A,D,E (דיאגרמות ללא קשתות מרובות; simply laced diagrams). סינגולריות אלה נקראות סינגולריות דה-ואל (וגם סינגולריות קליין, סינגולריות משטחית פשוטה, נקודה רציונלית כפולה). ניתן לקשר בין סינגולריות אלה והתת חבורות הסופיות של SO(3) (או של SL_2) הממוינות על ידי אותן דיאגרמות. משפט בריסקונד גם מקשר בין סינגולריות אלה ואלגבראות הלי הפשוטות שמתאימות לאותן דיאגרמות.
חוסה מריה חימנס
דאנוביו
חימנס החל את הקריירה המקצועית שלו בדאנוביו, מליגת העל האורוגוואית. הופעת הבכורה שלו ככדורגלן מקצועי הייתה ב-17 בנובמבר 2012, בגיל 17 בלבד, בהפסד דאנוביו 0–2 לריבר פלייט מונטבידאו. בהמשך העונה השתלב חימנס בהרכב דאנוביו והופיע בסך הכל בעונת 16 הופעות ליגה.
יריעה אלגברית
מודל מינימלי
בכל מחלקת שקילות בירציונלית קיים משטח חלק שלם שאינו ניפוח (לאורך מרכז חלק) של אף משטח חלק אחר. משטח זה נקרה מודל מינימלי של המחלקה. ברוב המקרים משטח זה יחיד, ובאלה שהוא אינו יחיד יש תיאור פשוט לכל המודלים המינימליים. עובדה זאת מקלה על מיון המשטחים עד כדי שקילות בירציונלית.
חוסה מריה חימנס
אתלטיקו מדריד
ב-25 באפריל 2013 הודיעה הנהלת אתלטיקו מדריד כי חימנס יצטרף לקבוצה בטרום עונת, בעסקה שמוערכת בכמיליון אירו. חימנס חתם על חוזה ל-5 עונות בקבוצה.
יריעה אלגברית
מודל מינימלי
בממדים גדולים יותר המצב מסובך יותר, הניסיונות להבין אותו נקראים "תוכנית המודל מינימלי".
משטחים במרחב
החקר של משטחים במרחב דומה במקצת לחקר עקומים מישוריים (אך מסובך בהרבה). גם כאן ניתן למין אותם לפי מעלתם. משטחים ממעלה 1 הם מישורים. במקרה הפרויקטיבי המרוכב יש רק 3 טיפוסי איזומורפיזם של משטחים ממעלה 2: מישור פרויקטיבי, זוג מישורים פרויקטיבים נחתכים והחרוט הריבועי. במקרה האפיני הממשי, יש את הטיפוסים הבאים: יש אינסוף טיפוסי איזומורפיזם של משטחים מרחביים ממעלה 3. אולם, יריעות הנקודות של משטחים מרוכבים פרויקטיביים חלקים ממעלה 3 כולן הומיאומורפיות. כמו כן כל אחד ממשטחים אלה מכיל בדיוק 27 ישרים.
חוסה מריה חימנס
אתלטיקו מדריד
ב-14 בספטמבר הופיע חימנס לראשונה כשחקן אתלטיקו ובלה ליגה, בניצחון הביתי של קבוצתו 2–4 על אלמריה.
יריעה אלגברית
משטחים במרחב
אוסף כל המשטחים הפרויקטיביים במרחב ממעלה d הוא מרחב פרויקטיבי מממד
חוסה מריה חימנס
נבחרת אורוגוואי
חימנס השתתף עם נבחרת אורוגוואי עד גיל 20 בגביע העולם עד גיל 20 - 2013, ושיחק בכל משחקי נבחרתו. אורוגוואי סיימה כסגנית, לאחר שהפסידה בגמר 1–4 בבעיטות הכרעה לנבחרת צרפת עד גיל 20.
יריעה אלגברית
היפר-משטחים
היפר-משטח הוא יריעה מממד n-1 (במקרה שהיריעה פריקה דורשים את אותו התנאי על כל רכיב אי-פריקות) במרחב (פרויקטיבי או אפיני) מממד n.
חוסה מריה חימנס
נבחרת אורוגוואי
משחק הבכורה שלו במדי נבחרת אורוגוואי הבוגרת היה ב-10 בספטמבר 2013, במסגרת מוקדמות מונדיאל 2014, במשחק נגד, בו ניצחה אורוגוואי 0–2.
יריעה אלגברית
היפר-משטחים
היפר-משטחים הם הכללה ישירה של עקומים מישוריים ומשטחים מרחביים. המחקר של היפר-משטחים קל יותר מאשר של יריעות כלליות. הסיבה המרכזית לכך היא שהם מוגדרים על ידי פולינום בודד. כך שלחקור אותם זה בעצם לחקור את הפולינום הזה. אפשר ללמוד הרבה על ההיפר משטח מפאון ניוטון של הפולינום הזה.
חוסה מריה חימנס
נבחרת אורוגוואי
חימנס זומן לסגל אורוגוואי למונדיאל 2014. בעקבות פציעתו של הקפטן דייגו לוגאנו, שיחק חימנס בניצחונות נבחרתו את ואת.
במונדיאל 2018 כבש חימנס במשחק הראשון של נבחרתו, בניצחון 0–1 על.
יריעה אלגברית
חבורות אלגבריות ויריעות קשורות
חבורה אלגברית היא יריעה אלגברית שיש עליה מבנה של חבורה, כך שהעתקות הכפל והיפוך הן מורפיזמים של יריעות אלגבריות. לצד היותם מושא מחקר חשוב בתורת החבורות ותורת ההצגות, חבורה אלגברית מהוות מקור חשוב לדוגמאות של יריעות אלגבריות. בדרך כלל המחקר של חבורות אלגבריות מתחלק לשני סוגי חבורות:
חוסה מריה חימנס
נבחרת אורוגוואי
נכלל בסגל נבחרת אורוגוואי בטורניר מונדיאל 2022.
יריעה אלגברית
חבורות אלגבריות ויריעות קשורות
במובן מסוים כל חבורה אלגברית מתקבלת משילוב של חבורת מסוגים אלו. (פורמלית: לפי משפט שבלה על המבנה של חבורות אלגבריות כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית)
יריעות אבליות
מנקודת מבט של תורת החבורות, יריעות אבליות אינן מציגות עניין רב. הן תמיד קמוטטיביות, ובמקרה k=\C חבורת הנקודות שלהן איזומורפית כחבורת לי לחבורה SU(2)^{2n}. לכן עיקר המחקר עליהן הוא במסגרת הגאומטריה האלגברית. יריעות אבליות חד-ממדיות הן עקומים אליפטיים. ליריעות האבליות יש תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית מכיוון שרכיב הקשירות של היחידה בחבורת פיקאר של יריעה אלגברית חלקה שלמה מעל שדה ממאפין 0 היא יריעה אבלית.
חבורות ליניאריות
החבורות הרדוקטיביות מהוות תת-מחלקה חשובה של החבורות הליניאריות. מנקודת מבט של גאומטריה אלגברית חבורות רדוקטיביות הן המעניינות ביותר בין החבורות הליניאריות. לדוגמה אם char(k)=0 אז כל חבורה ליניארית קשירה איזומורפית כיריעה אלגברית לחבורה רדוקטיבית כפול מרחב אפיני. יש מיון של חבורות רדוקטיביות הדומה למיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה אך קצת יותר מסובך. מיון זה כולל בין היתר את הסדרות הבאות: GL_n, PGL_n, SL_n, SO_n, SP_n. מיון זה נותן בנק של דוגמאות של יריעות אלגבריות. מלבד החבורות עצמן. חבורות אלה מהוות בסיס לבנייתן של יריעות נוספות.
מרחבי מנה
אם H<G תת-חבורה סגורה, אז המנה G/H היא יריעה קווזי-פרויקטיבית. נניח לצורך דיון זה כי G חבורה רדוקטיבית.
יריעות ספריות: יריעה ספרית היא יריעה נורמלית X עליה פועלת חבורה אלגברית (רדוקטיבית) G כך שלתת-חבורת בורל של G יש מספר סופי של מסלולים על X. מחקר של מרחבים ספריים בדרך כלל מתמקד במרחבים ספריים טרנזיטיביים. אם G/H הוא מרחב ספרי אז H נקראת תת-חבורה ספרית. כל יריעה סימטרית הוא ספרית. יריעות דגלים גם כן ספריות. יש מיון של יריעות ספריות טרנזיטיביות אפיניות הדומה למיון של יריעות סימטריות אך מסובך ממנו בהרבה.
יריעות שוברט
יריעת שוברט היא סגור של מסלול של תת-חבורה פרבולית P<G על יריעת דגלים של G. חקר יריעות שוברט והאינטראקציה ביניהן הוא תחום חשוב בגאומטריה אלגברית. לתחום זה יש שימושים רבים בתורת ההצגות. הקשר בין יריעות שוברט לתורת ההצגות מבוסס על השערות קשדן-לוסטיג
שהוכחו על ידי בילינסון-ברנשטיין וברלינסקי-קשיווארה.
יש אנלוג של יריעת שוברט עבור מרחבים ספריים: סגור של מסלול של חבורה פרבולית על מרחב סימטרי.
הקונוס הנילפוטנטי ויריעות קשורות
כל חבורה פועלת על עצמה על ידי הצמדה. אחד מנושאי המחקר בחבורות אלגבריות הוא המסלולים של פעלוה זאת עבור חבורות רדוקטיביות G. בזכות פירוק ז'ורדן (ומשפט החתך של לונה) כדי להבין שאלות רבות על מסלולים אלה, די להבין שני מקרים: המסלולים הפשוטים-למחצה קלים יחסית לניתוח. לכן עיקר העניין הוא במסלולים האוניפוטנטיים.
יש מספר סופי של מסלולים אוניפוטנטיים. איחודם נקרא הקונוס האוניפוטנטי. הוא איזומרפי (כיריעה אלגברית יחד עם הפעולה של G) לקונוס הנילפוטנטי המהווה את אוסף כל האיברים הנילפוטנטים באלגברת-הלי \mathfrak g של החבורה G. ז"א איברים ש-0 נמצא בסגור של המסלול שלהם תחת הפעולה הצמודה של G על \mathfrak g. באופן שקול, אלה הם האיברים של האלגברה הנגזרת שפעולתם הצמודה היא נילפוטנטית. הקונוס הנילפוטנטי, כמו גם סגורים של מסלולים נילפוטנטיים מהווים נושא מחקר חשוב בגאומטריה אלגברית ותורת החבורות האלגבריות. ליריעות אלה יש התרת סינגולריות G-אקויברינטית טבעית המבוססת על יריעות דגלים. במקרה שהמסלול הנלפוטנטי הוא רגולרי, אנו מקבלים התרה של הקונוס הנילפוטנטי הנקראת התרת שפרינגר. המרחב המתיר בהתרה זאת הוא האגד הקו-משיק ליריעות הדגלים המלאה של G. הסיב של נקודה תחת התרה זאת נקרא סיב שפרינגר. מחלקת האיזומורפיזם שלו תלויה רק במסלול של הנקודה (ולכן לכל חבורה יש רק מספר סופי של סיבי שפרינגר). לסיבי שפרינגר חשיבית רבה בגאומטריה אלגברית ותורת ההצגות.