cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
קרל פרידריך גאוס
אסטרונומיה
עבודתו של גאוס על אסטרונומיה חישובית, "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש", עוסקת בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') משלוש תצפיות גאוצנטריות; מספר התצפיות המינימלי המאפשר חישוב של ששת אלמנטי המסלול של גרם שמיימי. בספר גאוס מפתח את האלגוריתם השלם הראשון לחיזוי מסלול של עצם שמיימי משלוש תצפיות גאוצנטריות; הוא מכיל פתרון יעיל מבחינה חישובית לבעיית למברט באסטרודינמיקה, והוא מפורסם בשל האינטגרציה של שיטות מתמטיות שונות בו: שיטות סטטיסטיות (כולל ההצגה של "שיטת הריבועים הפחותים") לעידון איטרטיבי של המסלול המחושב, גאומטריות (בעיקר מטריגונומטריה כדורית) ואסטרונומיות שונות. הספר זכה לפרסום רב גם בשל הצלחתו במישור הדידקטי – בעבור קוראיו הוא שימש כמעין מדריך שיטתי לאסטרונומיה עכשווית, והציג תהליך מתמטי ברור ונוח לשימוש ידני – ומסיבות אלו בדיוק היה נגיש לא רק למיטב האסטרונומים, והפך לרפרנס מרכזי בכמה העשורים שלאחר מכן. עוד בטרם פרסום הספר, גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, יונו, ווסטה. ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו.
הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של פאלאס, שחולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, וכמו כן חווה הפרעות כבידתיות משמעותיות גם משבתאי, כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי). למעשה, בשנים 1810–1818 התמה הדומיננטית ביותר של עבודתו האסטרונומית הייתה חישוב מדויק ככל האפשר של מסלולו הלא-סדיר של פאלאס. בכתביו הלא מפורסמים ניתן למצוא קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח. אחד הכתבים האלה הוא מאמרו הארוך בצרפתית "הצגה של שיטה חדשנית לחישוב הפרעות פלנטריות יחד עם יישום לחישוב כמותי של הפרעות התנועה של פאלאס", שהוא חיבר ב-1812 לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, ושלא פורסם בימי חייו. לאחר מאמצים אדירים, גאוס ויתר על השלמת המשימה הזאת, כשהגיע למסקנה שהיא גוזלת חלק ניכר מזמנו. מה שמנע ממנו להשיג הסבר מספק לתנועתו של פאלאס היה, לדעת אסטרונומים מודרניים, שהוא ערך את חישוביו עד לסדר שלישי בלבד, במקום להמשיך את הפיתוח עד לסדר חמישי. העורך של עבודתו האסטרונומית של גאוס, האסטרונום Martin Brendel, ציין ב-1906 שבעבודתו על פאלאס "גאוס כמעט השלים לבדו משימה אדירה, שאפילו כיום אסטרונומים נרתעים מאוד מלגשת אליה". בימינו בעיות כאלו נפתרות כמעט באופן בלעדי על ידי סימולציות ממוחשבות מורכבות המדמות את השינוי במסלולי אסטרואידים כתוצאה מהאפקט הכבידתי של כוכבי הלכת המסיביים במערכת השמש.
עם זאת, במאמרו מ-1818 על חישוב הפרטורבציות של פאלאס, "קביעה של המשיכה שכוכב לכת יפעיל בנקודה שרירותית נתונה, אם המסה שלו הייתה מפולגת באופן רציף לאורך מסלולו ובפרופורציה לזמן שלוקח לו לעבור את חלקי מסלולו", גאוס פיתח כלי מתמטי שנקרא שיטת הטבעת האליפטית (elliptic ring method) המאפשר לחשב בסדר ראשון את הפרטורבציה הממוצעת בפרקי זמן ארוכים (פרטורבציה סקולרית), שצדק יוצר במסלולו של פאלאס. המאמר הזה הוא גם המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על הממוצע האריתמטי גאומטרי. לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני ג'ורג' ויליאם היל עיבד את "שיטת המיצוע" של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי, וב-1881 יישם אותה ישירות לבעיית ההפרעות הסקולריות שיוצר כוכב הלכת נוגה במסלולו של כוכב חמה.
בניגוד להישגים כבירים אלו, שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כישרונו; עבודתו האחרת עסקה בעיקר באסטרונומיה תצפיתית ובהיבטים מעשיים שונים כגון שכלול המכשור האסטרונומי של מצפה הכוכבים בגטינגן, תחומים שבהם גאוניותו המתמטית באה פחות לידי ביטוי. עם זאת, גם מחקרים מעשיים אלו הניבו תרומות תאורטיות אחדות לאסטרונומיה, שכללו חישובים של טבלאות אברציה ונוטציה (ב-1808). מ-1819 ואילך פצח גאוס במחקר שיטתי של התנועה הכוללת של מערכת השמש במרחב הגלקטי; דרך התכתבויותיו הענפות הוא היה בין הראשונים לפתח שיטות להעריך את התנועה השמשית במונחי התנועות העצמיות של כוכבי השבת המרוחקים יותר.
פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות
אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן (Landen transformation). אחד החיבורים המרכזיים שלו בקשר לזה הוא לקט של כתבים תחת הכותרת "Arithmetisch Geometrisches mittel". לקט זה ביחד עם מאמרים רבים נוספים, מכיל עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים. כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום העשור הראשון של המאה ה-19, גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של קרל גוסטב יעקב יעקובי מ-1829 "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum": בין היתר גילה גאוס את התכונה היסודית של פונקציות אליפטיות – שהן מהוות באופן טבעי פונקציות בעלות שני מחזורים בלתי תלויים, מעל R - וחישב את שני המחזורים הבלתי תלויים שלהן במקרים רבים, הוכיח תוצאות חשובות על הקשר בין אינטגרלים אליפטיים והממוצע האריתמטי גאומטרי, חקר לעומק את הפונקציות הלמניסקטיות (שניתן לחשוב עליהן כעל הכללה של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות), גילה והוכיח את זהות המכפלה המשולשת של יעקובי - שממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא, הגדיר את המקדמים הבינומים הגאוסיים, ועוד.
כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Fricke על תבניות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (הקבוע האבסולוטי של קליין; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function". גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות לטורי אייזנשטיין, וגילה את ההצגה המפורסמת של ויירשטראס של משתנה האינטגרציה x שבאינטגרלים אליפטיים מגנוס 1 כמנה של שתי הפונקציות השלמות שכונו על ידי ויירשטראס (כאשר u הוא ערך האינטגרל האליפטי). כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי של ריצוף של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות \pi/4.
גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לעצם מתמטי קשור – הפונקציה ההיפרגאומטרית. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת הפונקציות האלמנטריות ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ויוהאן פרידריך פף, שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין שברים משולבים עם ערכים מרוכבים למנות של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות רבות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו פונקציית גמא ופונקציית הדיגמא; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים \psi(p/q) באמצעות קבוע אוילר-מסקרוני ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן תואר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני", גאוס הרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:
.
החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, ברנהרד רימן, הרמן שוורץ ולזרוס פוקס היו כה מעורבים בפיתוחו. סוד ההשפעה שלהן טמון בכך שהן רמזו על קשר אינטימי בין תורת החבורות לתאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב; כיוון שגאוס הראה שניתן לקבל פתרון אחד של המשוואה ההיפרגאומטרית מפתרון אחר באמצעות הפעלת טרנספורמציה מתאימה על, הדבר רמז על כך שהיחסים הפנימיים בין כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ניתנים לקידוד בעזרת פעולת חבורה של טרנספורמציות. במאמרו המפורסם מ-1857, רימן תיאר את ההתנהגות ה"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של מטריצת המונודרומיה שלה והצגת הטרנספורמציות הליניאריות הקשורות בה; הגישה הקונספטואלית של רימן הביאה לבשלות את הנושא, ואפשרה לגזור את כל התכונות הידועות של הפונקציה ההיפרגאומטרית בעזרת כמות מועטה בהרבה של חישובים אלגבריים, תוך התייחסות גם למקרה הכללי יותר של מיקום שרירותי של נקודות הסינגולריות. מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח הבעיה ה-21 של הילברט (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.
יסודות האנליזה המרוכבת
עדות נוספת להבנתו של גאוס את הנושא של היסודות הרעיוניים של האנליזה המרוכבת היא מכתבו לפרידריך בסל מ-1811, שזכור כמסמך הראשון שבו מופיעה הקביעה של "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - משפט האינטגרל של קושי (כ-15 שנה לפני עבודתו היסודית של אוגוסטן לואי קושי בתחום), שקובע שהאינטגרל הקווי של פונקציה מרוכבת הולומורפית לאורך מסלול סגור שווה לאפס (כל עוד התחום אינו מכיל נקודות סינגולריות) - ובשל ההבנה שהוא הציג על הרב-ערכיות של פונקציות מרוכבות מסביב לנקודות סינגולריות. במכתבו מסביר גאוס את הרב-ערכיות של פונקציית הלוגריתם כתוצאה של אינטגרציה קווית במישור המרוכב של הפונקציה  לאורך קונטור מעגלי מסביב לנקודת הסינגולריות שלה ב-z = 0, תוך זיהוי נכון של ערך השארית 2\pi i שמתווספת בכל מחזור אינטגרציה (דוגמה זאת למעשה שופכת אור על נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת). במקום אחר בכתביו הוא כתב כי: "ידיעה מלאה של טבעה של פונקציה אנליטית חייבת לכלול גם הבנה של התנהגותה בעבור ערכים מדומים של הארגומנט שלה. לעיתים קרובות האחרונה היא חיונית אפילו בעבור הערכה נאותה של התנהגות הפונקציה בעבור ארגומנט ממשי.". מילים אלו מתכתבות במידת מה עם אחד ההישגים המרכזיים של תורת הפונקציות המרוכבות במאה ה-19 - התרתם של אינטגרלים ממשיים סבוכים באמצעות כלים מאנליזה מרוכבת.
ב-1805, במסגרת מחקריו האסטרונומיים הלא מפורסמים על פתרון משוואת קפלר, גאוס נתן ביטוי אסימפטוטי למקדמי הטור הטריגונומטרי המייצג את ההפרש בין האנומליה האמיתית והממוצעת. כחלק ממחקרו זה גילה גם את תופעת גבול לפלס, תופעה במסגרתה הטור הטריגונומטרי הנידון מתבדר בעבור ערכי אקסצנטריות הגדולים מערך קריטי מסוים (כשני עשורים לפני עבודתו הבלתי תלויה של לפלס בנושא). ממצאיו על ההתנהגות האסימפטוטית של מקדמי הטור הטריגונומטרי תאמו את הנוסחה שנמצאה על ידי יעקובי ב-1849, אולם הדרך בה הגיע אליה הייתה לאין ערוך קצרה יותר. כדי "לפצח" את התנהגות המקדמים, גאוס הפעיל טרנספורמציה מדומה מסוימת. אף שלא הסביר את הרעיון מאחורי ההצבה, מתמטיקאים מאוחרים יותר הראו כי בחירת הצורה המדויקת של הטרנספורמציה מרמזת על שימוש סמוי בנוסחת השאריות על אינטגרציה במישור המרוכב, כך שניתן לראות בפתרונו לבעיה אסטרונומית זו את אחד היישומים של רעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. בערוב ימיו הביע גאוס בפני שומאכר (במספר מכתבים מ-1850) את רצונו לכתוב חיבור על ההתכנסות של טורים טריגונומטריים, אשר יכלול גם את ההקשרים ל"דוקטרינה של גדלים מרוכבים".
עם כל זאת, כל מה שהשיג בנושא נתגלה רק לאחר מותו, וגאוס לא לקח בחלק בבנייה בפועל של תורת הפונקציות המרוכבות; זו נעשתה באופן שיטתי וישיר על ידי קושי, אבל, יעקובי, ליוביל, רימן ואחרים.
העתקות קונפורמיות
מנקודת מבט מתמטית מודרנית, עבודתו של גאוס על העתקות קונפורמיות קשורה בקשר הדוק לרעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת, אם כי לא ברור אם היה מודע למלוא ההיקף של ההקשרים האנליטיים והגאומטריים של התורה של העתקות אלו. הפרסום המרכזי שלו בהקשר זה הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים משנת 1823, "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר", שבו עסק בפן המתמטי הטהור של התורה של מיפויים קונפורמיים. מטרתו המוצהרת של המאמר הייתה קביעת הפונקציות שמעתיקות את פני השטח של משטח כללי כלשהו אל פני השטח של משטח אחר באופן משמר-זוויות, וגאוס במכוון התייחס להעתקות אלו בתור פונקציות מרוכבות. תחילה הוא חוקר את המקרה של העתקה ממישור למישור, ובהתייחס אליו מציג את הטענה החשובה שהעתקה היא קונפורמית אם ורק אם היא הולומורפית או אנטי-הולומורפית; כלומר אנליטית במובן המרוכב. מיד לאחר מכן הוא חוקר את המבנה המרוכב שמשרה המטריקה של משטחים עקומים, ונעזר בבנייה זו כדי לגזור קריטריון קונפורמיות כללי בין שני משטחים. תוך כדי כך הוא נעזר באופן לא מפורש בכלי אנליטי חזק שרלוונטי לבעיה של מיפוי משטחים עקומים - משוואת בלטרמי, שהיא משוואה דיפרנציאלית חלקית שמקיימות העתקות מרוכבות בין משטחים, אשר ניתן לחשוב עליה כעל הכללה של משוואות קושי-רימן למשטחים בעלי עקמומיות שונה מאפס. הוא עשה בה שימוש כדי להוכיח קיום מקומי של קואורדינטות איזותרמיות על משטח עם מטריקה אנליטית רימנית. בהמשך מאמרו הדגים את המשפט שלו למקרים של מיפוי קונפורמי של משטח שרירותי על גבי מישור, חרוט וכדור, וסיים בדיון במיפוי קונפורמי של משטח על גבי האליפסואיד הכללי.
במאמר זה מופיעה בפעם הראשונה הפרמטריזציה של משטח עקום באמצעות מספרים מרוכבים, באופן שמזכיר את הרעיון המודרני של יריעה מרוכבת. ראויה לציון העובדה שרימן העריך במיוחד את מאמרו של גאוס על העתקות קונפורמיות, שכן הוא קרא אותו ביסודיות רבה והתייחס אליו במפורש בעבודת הדוקטורט הזכורה שלו מ-1851, אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של משטחי רימן.
כמו במרבית תחומי עיסוקו של גאוס, חלקה הלא מפורסם של עבודתו על מיפויים קונפורמיים מרשים אף יותר ממה שפרסם בחייו. השיא של עבודתו בנושא עסק בבעיה של בניית העתקה קונפורמית במישור המרוכב מפנים האליפסה לעיגול היחידה הפתוח – בשונה מהבעיה של מיפוי חלקה החיצוני של האליפסה (תחום המישור שאינו נמצא בתוכה) לעיגול היחידה, בה ניתן לבנות את ההעתקה בקלות יחסית בעזרת התמרת ז'וקובסקי, במקרה זה הפתרון קשה בהרבה ומערב פונקציות אליפטיות. במספר קטעים מתמטיים המתוארכים ל-1839 הוא חקר את הבעיה ותיעד את פתרונו; ממצאיו תאמו את הנוסחה שנמצאה הרבה מאוחר יותר על ידי הרמן אמדאוס שוורץ (אשר מצאה בעזרת טכניקות ששולבו מאוחר יותר בהוכחות קונסטרוקטיביות של משפט ההעתקה של רימן). הפתרון שמצא מעיד גם שהיה מודע לזיקה בין תורת המיפויים הקונפורמיים לתורת הפוטנציאל, שכן כדי למצאו הוא התבסס הן על עבודתו המוקדמת על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות תטא והן על רעיונותיו מתורת הפוטנציאל – רעיונות אשר גיבש בתקופה שקדמה לפתרונו זה – תקופה בה חקירות פיזיקליות על פוטנציאלים היו במוקד עיסוקיו.
אנליזה ממשית
תגלית נוספת שלו מנושא אחר לגמרי היא התפלגות Gauss-Kuzmin, שמופיעה בהערה 113 ביומנו. התגלית העמוקה הזאת מתארת את השכיחות האסימפטוטית של מספרים טבעיים בפיתוח לשבר משולב של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1). גאוס כתב כי:
גאודזיה
מתוך עבודתו על הסקר הגאודזי של הנובר צמחו מספר עבודות תאורטיות, שהבולטות שבהן כללו מאמר אחד מ-1828 בו סיכם את רעיונותיו על צורת כדור הארץ, המאמר "מדידת הפרש קווי הרוחב בין אלטונה וגטינגן" (1828) שנעשה בו שימוש מיומן ברגרסיה ליניארית, והחשוב מכל הוא ספרו "מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה" (1843 ו-1846) שפורסם בשני חלקים והתבסס על המיפוי הקונפורמי של האליפסואיד לספירה. שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי.
הכרך הראשון של ספרו על גאודזיה עוסק בבעיה הקרטוגרפית של בניית העתקות קונפורמיות של אליפסואיד לכדור, לנוחיות שימושם של גאודזיסטים. כיוון שגאוס כבר הראה שלא ניתן למפות אליפסואיד לכדור בלי עיוותים, השיטה שלו התבססה על מיפוי אזורים קטנים של האליפסואיד לאזורים כדוריים באופן כזה שהעיוות יהיה מינימלי, תוך התאמת הפרמטרים של ההעתקה מחדש בכל קו רוחב של האליפסואיד. הטכניקות בהן גאוס השתמש היו מאנליזה מרוכבת וטריגונומטריה ספירית. הכרך הראשון מסתיים במספר בעיות הקשורות במשולשים כדוריים. הכרך השני של ספרו מוקדש לפתרון של בעיות דומות אלא שהפעם הן מתייחסות למשולשים על אליפסואיד. בעזרת ערכים ממוצעים של קווי רוחב ואזימוט גאוס גזר שש נוסחאות אשר פותרות את הבעיה באופן מכני באמצעות שימוש בטבלאות נומריות שחישב בעצמו. הטכניקות שתיאר היו בשימוש נרחב על ידי גאודזיסטים עד סוף המאה ה-19. ספר זה ביחד עם כתבים אחרים שנמצאו בעזבונו, היווה את הבסיס להעתקת Gauss-Kruger שהתפתחה בשנת 1912, וזכתה למעמד איתן כבסיס לפיתוח כל הרשתות הטופוגרפיות המתחשבות בצורה האליפסואידית של כדור הארץ, ומשום כך אומצה במהלך המאה ה-20 ככלי מיפוי בסקלה גלובלית על ידי מדינות רבות.
סטטיסטיקה
הטיפול בתצפיות עם שגיאות העסיק את גאוס לראשונה בשנים 1794–1795. מאוחר יותר, עבודתו על בעיות אסטרונומיות אילצה את גאוס בעל כורחו להתעסק עם בעיות סטטיסטיות הקשורות במזעור השפעת שגיאות המדידה על תוצאות החיזוי של תהליכי חישוב אסטרונומיים. בספרו על אסטרונומיה מ-1809, גאוס תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית. גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ושיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשות רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו. כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע האריתמטי הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע האריתמטי הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. מאוחר יותר, גאוס עשה שימוש בכלים הסטטיסטיים שפיתח במסגרת המדידות הגאודטיות שביצע, ואחת מתרומותיו לגאודזיה הניסויית היא זיהוי השגיאות השיטתיות העיקריות במדידת זוויות, כשלאחר מכן הוא הציע אמצעים להעלים את השפעתן. ענף הגאודזיה והמדידה של צורת כדור הארץ היה אזור נוח במיוחד ליישום הכלים החדשים של הסטטיסטיקה אותם פיתח, וזהו היה התחום אשר בו מצא גאוס את אחד היישומים הפוריים והעשירים ביותר של שיטת הריבועים הפחותים שלו, וכתוצאה הוא פרסם את חיבורו משנת 1823 "תאוריה של תחשיב התצפיות המושפע באופן מינימלי משגיאות" בו דן בקלקולוס התצפיות באופן מעמיק. בחיבור זה גאוס פרסם הצדקה חדשה ואיתנה יותר לשיטת הריבועים הפחותים; הוא הוכיח ששיטת הריבועים הפחותים מניבה את האומד חסר ההטיה הליניארי הטוב ביותר, במובן שהשונות שלו היא הנמוכה ביותר מבין כל האומדים הליניאריים חסרי ההטיה. תוצאה יסודית זאת, שנחשבת לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה, נודעה כמשפט גאוס-מרקוב.
בחיבור זה, שהיה לא מוכר יחסית בעולם דובר האנגלית במהלך המאה שלאחר פרסומו, ישנם פיתוחים רבים מעניינים מאוד: גאוס הציג והוכיח את אי-שוויון גאוס (שהוא אי-שוויון מטיפוס צ'בישב), כמו גם אי שוויון על מומנטים מסדר רביעי של שגיאות (Gauss-Winkler inequallity). במאמרים 38–40 של החיבור, גאוס גזר חסם עליון ותחתון לתחום הערכים בו עשויה להימצא השונות של אומדן השונות המדגמית. מאוחר יותר, המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב גילה שהחסם התחתון של גאוס שגוי, וב-1947 פרסם נוסחה מתוקנת. באותו חיבור גאוס גם הציג תהליכים איטרטיביים (שתוארו על ידי דדקינד), ופיתח שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות אשר נתגלו מחדש רק ב-1950 על ידי Plackett, כך שהם נחקרו לראשונה לעומק רק לאחרונה.
במאמרו מ-1816 על הדיוק של אומדים סטטיסטיים, גאוס העריך את הדיוק של אומדים של הנעלמים של מערכת משוואות ליניאריות, ושל פונקציות ליניאריות של אלו. הוא הוכיח בו שבעבור סדרת שגיאות מפולגת נורמלית e_i, המדד לדיוק נאמד בצורה הטובה ביותר על ידי מאשר על ידי בעבור k שונה מ-2.
יסודות הגאומטריה; גאומטריות לא אוקלידיות
על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי הגאומטריות הלא אוקלידיות נתונה למחלוקת בקרב היסטוריוני המתמטיקה, מחלוקת שחריפה יותר מבכל תחום אחר בו הוא עסק. קשה מאוד להכריע בשאלה עד כמה חזה גאוס את תגליותיהם המאוחרות יותר של בולאי ולובצ'בסקי כי הוא לא כתב שום תיעוד שיטתי של רעיונותיו לפני 1831, ונחוצה בנייה מחדש של תהליך החשיבה שלו על פי נקודת המבט המתמטית המודרנית והמסמכים המעטים שיש בשנים שקדמו ל-1831. היסטוריונים נטו לשייך את "ההרהורים המתמטיים" שלו לשלוש תקופות שונות: תקופת "הגישושים" הראשונית בשנים 1792–1813, התקופה הבשלה יותר רעיונית שבשנים 1813–1831, וזו שמ-1832 (כשנתוודע לראשונה להישגיו של בולאי) ואילך עד מותו.
השנים 1792–1813
גאוס היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית. לפי זיכרונותיו, הוא החל להרהר לראשונה על תקפות אקסיומת המקבילים ב-1792, והגיע למסקנה שדרוש כיוון שונה מזה שנקטו הגאומטרנים במאות השנים האחרונות. בעקבות מסקנה זו הוא החל לתהות מה קורה כאשר האקסיומה החמישית מוחלפת באקסיומה אחרת: "דרך כל נקודה מחוץ לישר נתון עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". את תקופת הגישושים הראשונית אפיינה חקירה סינתטית של תכונות הגאומטריה ההיפותטית בה האקסיומה החמישית אינה מתקיימת; הכלים בהם נעזר היו בעיקר בניות גאומטריות האנלוגיות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, שאפשרו לו להגיע למסקנות יסודיות על תכונות הגאומטריה החלופית. את תקופה זאת אפיין אי ביטחון בתקפות הגאומטריה החדשה, עקב ההשלכות הפילוסופיות של הוויתור על האקסיומה החמישית, שעמדו בניגוד גמור לעמדה הרווחת בחוגים המתמטיים והפילוסופיים באותה עת.
מתוארכים לתקופה זאת מספר כתבים קצרים בעלי אופי מעט היסטורי, המהווים סקירה של הכשלים הלוגיים בניסיונותיהם הקודמים של גאומטרנים לגזור את אקסיומת המקבילים מהאקסיומות האחרות.
תקופת הביניים (1813–1831)
ניתן לתארך את תחילת התקופה השנייה בערך לשנה 1813, שכן במספר מכתבים בשנים 1813–1819 הוא טען שבנה את הגאומטריה החדשה ושהוא "יכול לפתור כל בעיה בגאומטריה החלופית כאשר הקבוע המאפיין אותה נתון". בתקופה זאת הוא החל לפתח את הטריגונומטריה ההיפרבולית והשתכנע שמתקיימים בגאומטריה החלופית כללים טריגונומטריים האנלוגיים לאלו של הגאומטריה הכדורית. הוא חשף מספר תוצאות משמעותיות על הגאומטריה החדשה במכתביו; הבולטות ביותר שבהן הן במכתבו לגרלינג משנת 1819, בו נתן נוסחה לחישוב החסם על השטח המרבי של משולש בגאומטריה היפרבולית בעלת עקמומיות שלילית קבועה לפי גובהו של המשולש האידיאלי המתאים (כש-C הוא הגובה של המשולש, שנקרא גם הקבוע של Schweikart), ומכתבו לשומאכר משנת 1831, שהתוצאה הבולטת שלו היא מתן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית לפי הקבוע k שמאפיין אותה (שניתן לרשמה גם בעזרת סינוס היפרבולי כך: ). לממצא האחרון היו השלכות מעניינות ביותר, שכן לפי הנוסחה שבו עולה שבגאומטריה החדשה מתקיים שבעבור רדיוסים גדולים בהשוואה לקבוע האופייני k ההיקף גדל מעריכית עם הרדיוס.
כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים אזכור של משוואות הפסאודוספירה (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה") – הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה. במכתב אחר הוא אף הביע דעתו על ההשלכות של הנושא וטען שייתכן שהטבע הגאומטרי של המרחב הפיזי הוא לא-אוקלידי, ושניתן להכריע בשאלה זאת באמצעם אמפיריים (הוא הצהיר שהגאומטריה הלא אוקלידית היא עקבית אולם הפרמטר היסודי שמאפיין אותה אינו ניתן לקביעה אפריורית).
בשלהי תקופה זאת, גאוס הביע באחד ממכתביו את רצונו להעלות על הכתב כמה מרעיונותיו בדבר הגאומטריה החלופית, משום "שלא רצה שרעיונותיו אלו ייעלמו עמו". בכתב לא מפורסם קצר משנת 1831 שכותרתו "התאוריה של קווים מקבילים", המהווה את ניסיונו הראשון לתעד שיטתית את עבודתו, הוא כמעט הגיע להגדרה מוצקה של מושג ההורוצייקל("מעגל גבולי"), אחד ממושגי המפתח בבניית הגאומטריה ההיפרבולית; ככל הנראה האבחנה המוקדמת ביותר של גאוס אשר מתקרבת להמשגה של המעגל הגבולי מופיעה במכתבו משנת 1804 לוולפגנג בולאי (אביו של יאנוש בולאי), שם גאוס מתייחס להיתכנות של מצולע שווה-צלעות ושווה זוויות אשר מתבדר בכיוון מסוים - במילים אחרות, גאוס מציין שבגאומטריה החלופית ייתכן מצולע "משוכלל" שלעולם לא נסגר על עצמו (מצולע כזה נקרא כיום מצולע הורוציקלי).
גם החיבור הקצרצר "התאוריה של הקו הישר והמישור" מתוארך לתקופה זאת, ובו תקף גאוס את מושג המישור כלא מבוסס מספיק, וטען כי הוא אינו מושג יסודי אלא מושג נגזר.
1832 ואילך
התקופה השלישית מתוארכת להתוודעות שלו למכתבו של יאנוש בולאי מ-1832; מכתבו של בולאי הפתיע אותו מאוד ועורר בו את הצורך לתבוע זכות ראשונים. בתגובה למכתב זה של בולאי, גאוס שלח בפעם הראשונה הוכחות ולא רק תוצאות, ובאופן ספציפי שלח הוכחה סינתטית מקורית לטענה שהגרעון הזוויתי של משולש בגאומטריה היפרבולית פרופורציונלי לשטח שלו, המתבססת על פירוק משולש אסימפטוטי (דהיינו משולש שסכום זוויותיו אפס מעלות) למשולשים קטנים יותר. במכתב שלו גאוס טבע גם את המונחים "הורוצייקל" (באנגלית horocycle), "הורוספירה" (באנגלית horosphere), ו"עקום שווה מרחק" (המהווה הכללה של ישר מקביל לישר נתון). לרעיונות אלו יהיה משקל חשוב בעתיד התחום – בפיתוח מודלים שונים של הגאומטריה ההיפרבולית.
אולם תוצאות אלו היו תוצאות מבודדות בלבד, ועבודתו של גאוס בשנים 1790–1832 חסרה את הנפח והשיטתיות שבעבודתם של לובצ'בסקי ובולאי. הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכמה כתבים לא מפורסמים שלו שרובם מתוארכים לאחרי 1840, זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי; באחד מהם מקיש גאוס את הקשרים המטריים בין צלעותיהם של משולשים סופיים (לא אינפיניטסימליים) בגאומטריה היפרבולית בצורה אקסיומטית. ייתכן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים. אין ספק שהחל משנת 1840, הוא נמנה עם המתמטיקאים הספורים בעולם שהבינו לעומק ופיתחו את הגאומטריות החדשות, אולם המחלוקת כאן היא באשר לנושא זכות הקדימות על הגילוי.
במאמר העדכני (מ-2012) "?What did Gauss read in the Appendix", מציעים המחברים תזה היסטורית מסקרנת לפיה אחת הסיבות שגאוס התמהמה בפיתוח שיטתי של ממצאיו היא שהוא אימץ את התוכנית האנליטית של למברט לבניית הגאומטריה החלופית; הוא היה נחוש למצוא משטח רגולרי עם עקמומיות שלילית קבועה (הפסאודוספירה אינה משטח רגולרי), באנלוגיה מלאה לכך שהספירה הדו-ממדית היא המקום "הטבעי" לחקר הגאומטריה הכדורית. תוכנית זו הגיעה בסופו של דבר לסיום עקר, שכן הילברט הוכיח ב-1901 שלא קיים שיכון מלא של המישור ההיפרבולי במרחב תלת-ממדי.
השיא של עבודתו של גאוס בגאומטריה לא-אוקלידית עסק בחישוב התכולה (נפח) של הארבעון במרחב היפרבולי תלת-ממדי; עוד במכתבו מ-1832 ליאנוש בולאי גאוס המליץ לו לעסוק בבעיה של חישוב נפח הארבעון בגאומטריה החדשה שפיתח, וציין כי בשונה מהמקרה של שטח משולשים במישור, לא ניתן לקבל ביטוי מתמטי פשוט לנפח הארבעון. בכתביו של גאוס נמצאו מספר תוצאות בנוגע לבעיה הזאת; קטע קצר (באורך חצי עמוד) בכתביו תחת הכותרת "cubirung der tetraeder" ("נפח הארבעון") מראה כי עוד ב-1832 גאוס ידע את התשובה לשאלה זאת. בקטע זה גאוס העלה על הכתב מספר נוסחאות שקושרות בין השינויים בזוויות הדיהדרליות וזוויות הפאות של ארבעון אורתוסכמטי (שכל פאותיו הן משולשים ישרי זווית היפרבוליים) לדיפרנציאל הנפח שלו (ייתכן והכיר את נוסחת שלפלי על נפח פאונים). עבודה זאת, שדומה לה ביצע בולאי בשנות ה-1830 ולובצ'בסקי בשנות ה-1840, פתחה פתח לתחום מחקר פורה מאוד מאז ועד היום; נפח גופים במרחבים לא-אוקלידיים מממד גבוה מ-2. בפרט, הבעיה של נפח הארבעון הכללי מוליכה למתמטיקה סבוכה ביותר, ונפתרה לראשונה רק לאחרונה.
גאומטריה דיפרנציאלית
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שהכניס לתחום. ב-1827, גאוס ניסח משפט מתמטי חשוב בתחום זה – "המשפט הנהדר", אשר הראה שעקמומיות גאוס היא שמורה פנימית של משטחים, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות אודות משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה.
תרומתו של חיבור זה לגאומטריה דיפרנציאלית הייתה מהפכנית משום שאפשרה בראשונה לחקור משטחים עקומים מנקודות מבט פנימית, כלומר מנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני המשטח. למעט אולי אוילר ומונז', גאוס היה הראשון לחקור משטחים מנקודת מבט פנימית ולא באמצעות הצגתם האנליטית בלבד. הוא מציג כמה רעיונות מהפכניים שיהפכו למרכזיים בתאוריה של הגאומטריה הפנימית של משטחים - הוא פותח ברעיון של קואורדינטות עקומות ובהצגת התבנית היסודית הראשונה והשנייה. רעיונות אלו אפשרו לו להביע את אלמנט המרחק "ds" במשטח מנקודת מבט פנימית, במה שלמעשה מרחיב את מושג המטריקה לגאומטריות נוספות (לא בהכרח אוקלידיות). בהמשך החיבור גאוס פורס סדרה של הגדרות שקולות לעקמומיות משטח, תחילה בעזרת מיפוי גאוס, ולאחר מכן באמצעות הכפלת העקמומיות הראשיות של המשטח בנקודה, ומוכיח את שקילות ההגדרות בחיבור עצמו. המתודולוגיה של החיבור - תחילה הבעת המידע המטרי באופן ממצה ולאחר מכן היקשים מרחיקי לכת על עקמומיות וגאומטריית המשטח - הייתה כאבן יסוד בפיתוח הגאומטריה הרימנית שביסוד תורת היחסות הכללית בה המושגים של מרחק ועקמומיות מתגלמים במטריקה ובטנזור המטרי, בהתאמה.
הכללה זו של משפט לז'נדר היא במובן מסוים תוצאה "מפתיעה" נוספת של גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית, שכן היא מראה שאין זה משנה כיצד משתנה עקמומיות גאוס בפנים המשולש (היא עשויה למשל לקבל ערכים קטנים מאוד בתוכו אך גדולים מאוד בקודקודי המשולש), פילוג המגרעת הזוויתית תלוי רק בערכי עקמומיות המשטח בקודקודיו. על אף שהיבט זה של עבודתו של גאוס בתחום צמח ככל הנראה מתוך עבודתו המעשית כגאודזיסט, חישוביו אלו ראויים להימנות עם תרומותיו המעמיקות יותר בגאומטריה דיפרנציאלית, שכן יש להם משמעות תאורטית רבה מעבר ליישומים גאודזיים מעשיים. היסטוריונים אחדים הראו לאחרונה באופן משכנע שרעיונות ותחשיבים דומים מונחים בלב הצגת מושג העקמומיות של יריעות רימניות מממד כללי, ונטען גם כי רימן הציג מונח זה לאחר שביצע חישובים מפורטים שמטרתם להכליל את הרעיונות של גאוס על "עיוות גאודזי" לממדים גבוהים יותר (המונח "עיוות גיאודזי" מתייחס לסטיות המדידה המתקבלות כשמשווים משולשים גיאודזיים כלליים למשולשים מישוריים).
במהלך התקופה שקדמה לפרסום חיבורו על משטחים עקומים (בשנים 1825–1827), גאוס הכליל בכתבים לא מפורסמים חלק מהתוצאות שבחיבור כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם ישר בגאומטריה הנתונה, וכך הגדיר את המושג הכללי של עקמומיות גיאודזית. הוא הראה שבדומה לעקמומיות גאוס, גם גודל זה הוא אינווריאנט של המשטח עליו הוא מוגדר; הווה אומר, אם מעוותים את המשטח על ידי טרנספורמציה איזומטרית, העקמומיות הגיאודזית בכל נקודה נשארת זהה - בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות. במסגרת זו הכליל גאוס את המשפט האלגנטי גם למקרה ששפת המשולש אינה מורכבת מצלעות גיאודזיות בלבד, וניסח והוכיח את המשפט המוכר בכינויו, משפט גאוס-בונה, העומד על הקשר בין הגאומטריה של משטח לבין טופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.
התיאורמה אגרגיום
ה"משפט הנהדר" של גאוס הוא אולי גולת הכותרת של עבודתו בגאומטריה דיפרנציאלית. המשפט מראה שעל אף שההגדרה הראשונית של עקמומיות גאוס עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח נח במרחב, היא נשמרת גם כאשר מעקמים או מפתלים אותו. לכן המשפט מראה שעקמומיות גאוס, שהיא תכונה תלת־ממדית מובהקת (לפחות לכאורה), אינה תלויה בשיכון של המשטח במרחב, אלא שהיא תכונה פנימית של המשטח, וניתנת לחישוב מנקודת מבט דו־ממדית על ידי ביצוע מדידות על גבי המשטח עצמו; למשל מדידת סכום זוויות של משולשים על המשטח. בהדגמת התכונות ה"שמורות", כלומר בלתי תלויות, של שיכון המשטחים במרחב התלת־ממדי, הוא סלל את הדרך למושג היריעה, היא מרחב מתמטי מופשט העומד בזכות עצמו, ללא קשר לשיכון שלו במרחב בממד גבוה יותר. מעבר לחשיבותו המתמטית המכוננת, למשפט היו גם השלכות פילוסופיות בדמות דחיית הטענה של עמנואל קאנט על הטבע האפריורי של הגאומטריה האוקלידית.
טופולוגיה
אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף הטופולוגיה, או כפי שנקראה בזמנו, analysis sytus. ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה כללה טיעון טופולוגי במהותו; הוא שב ופיתח את הטיעון הטופולוגי בהוכחה האחרונה שלו למשפט זה (מ-1849). אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של קשרים אותה הכין ב-1794, כאשר באותה שנה הוא המציא גם שיטת סימון מיוחדת לקשרים המקודדת בתוכה את התכונות של קשר נתון (קוד גאוס). מאוחר יותר הוביל גאוס את ענף הטופולוגיה המוקדם בשלוש הזדמנויות שונות, כאשר בכל אחת הוא הגה רעיונות שהפכו למרכזיים בתחום.
ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה zodiacus. בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט שזורים (linked) זה בזה. במקרים הראשון והשני גאוס מצא את ה-zodiacus, ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה. בכך נתעוררה בפעם הראשונה בעיה טופולוגית במחקר אסטרונומי. ב-1848 גאוס שב לבעיית ה-zodiacus ופרסם מאמר קצרצר על התחום השמיימי שבו עשוי להופיע האסטרואיד החדש שנתגלה, אייריס; במאמר הוא מרחיב את הדיון האיכותי בחישוב ה-zodiacus.
מאוחר יותר, בהקשר של חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה, גאוס גילה את משפט גאוס-בונה. כן חקר את התמונה של משטחים שונים על ספירת היחידה תחת פעולת מיפוי גאוס; חקירה זו הובילה אותו לגרסה ראשונית של מושג האוריינטציה של משטחים, ונושא האוריינטציה מופיע בהקשר אחר בהתכתבויותיו מ-1846, שם עולה הנושא של הבחנה בין מערכות צירים ימניות לשמאליות. בפסקה מחיבורו על גאומטריה דיפרנציאלית, גאוס אף הביע את רצונו לחקור באופן מעמיק יותר תצורות של משטחים הממופים על ספירת היחידה (בעזרת מיפוי גאוס). במכתב לשומאכר מ-1825 שבו דיווח על ניסיונותיו להכליל את חקירותיו על משטחים עקומים לכיוונים חדשים, הוא כתב: "...(בחקירות הללו) יש להתחקות אחר כל השורשים של העץ עד קצותיהם, וכמה מהניסיונות הללו לקחו לי שבועות של חשיבה מאומצת. חלק ניכר מהחקירות הללו הוא בעל זיקה ל-Geometria situs, תחום כמעט לא מעובד עד עכשיו".
לבסוף, גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל לתורת הקשרים, כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את אינדקס השזירה (linking number) של שני עקומים סגורים במרחב ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral):
לא ידוע מה הוביל אותו לכתוב את נוסחת האינטגרל שלו, ומשערים שהבעיה הספציפית אותה פתר עסקה בחישוב העבודה הדרושה כדי להזיז מונופול מגנטי בחוזק מסוים לאורך מסלול סגור בשדה המגנטי המופק על ידי לולאת זרם מסוימת. פתרונה הראה שערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של מסלול המונופול ולולאת הזרם. אינטגרל השזירה שב ונתגלה מחדש באופן בלתי תלוי ב-1867 בידי ג'יימס קלארק מקסוול, בהקשר של חקירות אלקטרומגנטיות. בפיזיקה עכשווית מתקיימת אינטראקציה פורה מאוד בין תחום הטופולוגיה לחישובים פיזיקליים מורכבים, ובמסגרתה הגישה של גאוס ומקסוול לחשב שמורות טופולוגיות באמצעים אנליטיים התגלתה כמועילה מאוד. בעשורים האחרונים מושג אינדקס השזירה עבר הכללות מרחיקות לכת דרך עבודתם של חוקרים הפועלים בממשק שבין מתמטיקה טהורה ופיזיקה בסיסית, הכללות המאפשרות למשל להגדירו גם עבור שזרים בעלי יותר משני מרכיבים. באותה הערה קצרה גאוס גם מלין על ההתקדמות המעטה שנעשתה בתחום: "על ה-geometria sytus, שלייבניץ הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר וונדרמונד) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר. בעיה מרכזית של ה-geometria sytus תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני".
מחברותיו של גאוס מכילות מספר רישומים מעניינים, שמעידים שהוא היה בין הראשונים לחקור גם תופעות טופולוגיות בעלות זיקה לקשרים כמו צמות (braids), לגביהן ניסה לפתח שיטת סימון המבוססת על קואורדינטות מרוכבות, או מארג (tangle) שפשרו עדיין לא מובן היטב. העורך של עבודותיו הגאומטריות של גאוס, המתמטיקאי Paul Stackel, שם דגש על העובדה שעמיתו של גאוס, אוגוסט פרדיננד מביוס, התייחס במפורש להרצאה בעל פה שניתנה על ידי גאוס בה הוא הדגים תכונות של משטח לו הוא קרא "טבעת כפולה"; על פי הפרשנות המתמטית המודרנית, בהרצאתו רמז גאוס למביוס שהמשטח שהדגים היה שקול טופולוגית לטורוס מנוקב, ושהטורוס המנוקב אינו פשוט קשר. כמו כן, בהערה שלו מ-1840 מופיעה ההתייחסות המוקדמת ביותר לבעיית הקשירות הטופולוגית של משטחים, וקרוב לוודאי שלבעיה שהציע בהערה זו הייתה השפעה מסוימת על רימן. בשנים 1825 - 1844 גאוס עסק בנושא שמסווג כיום כטופולוגיה קומבינטורית, והכין רשימה של קשרים עם מספר צמתים שאינו עולה על 4, וכמו כן שיער השערה מסוימת על רצף האותיות במילות גאוס (Gauss's words), שהוכחה לבסוף כמעט כמאה שנה מאוחר יותר, על ידי Julius v. Sz. Nagy. הערותיו ותוצאותיו בתחום קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של הנכלאס שלו. השפעתו בשנותיו האחרונות הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני לתלמידיו לפתח את התחום, וראויה לציון העובדה שתלמידו, יוהאן בנדיקט ליסטינג, בחר להקדיש את ספרו על טופולוגיה לגאוס.
אנליזה נומרית
בעבודתו היומיומית גאוס נעזר לעיתים קרובות באלגוריתמים יעילים כדי לפשט את עבודתו. כיוון שלעיתים קרובות הוא נעזר בעדות מספרית אמפירית כדי למצוא חוקיות מתמטית בתחומי המחקר שלו (למשל במקרה של משפט המספרים הראשוניים וההכללות שלו), השימוש באלגוריתמים יעילים היה חשוב מאוד לו. בהקשר זה, גאוס עשה תרומות רבות לאנליזה נומרית והמציא אלגוריתמים מתמטיים רבים. ב-1814 הוא פרסם את מאמרו הארוך יחסית על אינטגרציה נומרית "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב", בו תיאר את שיטת התרבוע הגאוסיאני (Gaussian quadrature). המאמר היווה השראה עבור חוקרים רבים בתחום להמשיך לפתח את הכלים של האינטגרציה הנומרית. בהקשר של חקירותיו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, הוא המציא את אלגוריתם גאוס-לז'נדר, שיצר (יחד עם תרומות של חוקרים רבים אחרים) את הבסיס לכמה מהאלגוריתמים המהירים ביותר לחישוב פאי.
בהקשר של עבודתו האסטרונומית, גאוס פיתח במאמרו הארוך "שיטה חדשה לטיפול בתאוריית האינטרפולציה" מ-1805 את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (אלגוריתם ה-Fast Fourier Transform) - התמרת פורייה מהירה, שתואר כ"אלגוריתם הנומרי החשוב ביותר של זמננו". הוא נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות אינטרפולציה על מסלוליהם של פאלאס ויונו. למעשה, האלגוריתם שלו דומה לאלגוריתם הגנרי של ה-FFT ומתייחס למקרה כללי יותר מאשר בגרסה הידועה כ-radix 2; במאמר 28 של חיבורו זה הוא הדגים את פעולת האלגוריתם שלו למקרה של פאלאס, בו מתקבלת סדרה בעלת מספר פריק של ערכים השונה מחזקה של שתיים (במקרה של פאלאס התקבלה סדרה בעלת 12 ערכים). מבחינה היסטורית, חיבור זה לא היה חסר השפעה, שכן עותקים ספורים שלו הגיעו למכריו של גאוס ולמתמטיקאים נוספים במהלך המאה ה-19.
כרונולוגיה מתמטית
כמה מעבודותיו המתמטיות של גאוס הוקדשו לכרונולוגיה, תחום העוסק בפיתוח אלגוריתמים יעילים לניתוח לוח השנה ואשר נגזרים ממנו יישומים מיידיים לחיזוי מועדם של חגים מסוימים. בין עבודותיו אלו ראויים לציון מיוחד מאמרו מ-1802 על קביעת תאריך חג הפסחא לפי הלוח היוליאני והגרגוריאני - שבו התהליך הציקלי המפרך של חישוב מועד חג הפסחא מוחלף בתהליך אנליטי לגמרי, והנוסחה של גאוס לקביעת היום בשבוע המתאים לתאריך קלנדרי מסוים (עבודתו האחרונה נתפרסמה רק ב-1927). גאוס ראה באלגוריתמים אלו הדגמה של עקרונות "האריתמטיקה הגבוהה" שפיתח, ואזכור לבעיות קלנדריות אף מופיע במאמר 36 בפרק השני של "מחקרים אריתמטיים", בהקשר של הבעיה של פתרון מערכות של n קונגרואנציות ליניאריות ב-n משתנים. במילים אחרות, בליבם של האלגוריתמים הללו עומד פתרון משוואות דיופנטיות ליניאריות מסוימות וכן ידע אסטרונומי על מופעי גרמי השמיים, וגאוס אף כתב בפתיח למאמרו על חג הפסחא כי: "מטרתו של חיבור זה אינה לדון בהליך הרגיל של קביעת מועד הפסחא, אשר ניתן למצאו בכל ספר על כרונולוגיה מתמטית ולהבינו בקלות יחסית בהינתן היכרות בסיסית עם מונחים כמו מספר זהב, אפקט, ירח פסחא, מחזור שמשי... אלא לתת, באופן בלתי תלוי בקונספציות הללו, פתרון אנליטי לחלוטין, המבוסס אך ורק על פעולות החשבון הבסיסיות ביותר."
הישגים מתמטיים אחרים
עבודתו של גאוס לא רק התניעה התפתחות של תאוריות מתמטיות גדולות, אלא שהוא היה גם המחבר של נישות רבות במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלמנטרית ובאלגברה. בעיסוקו גם בתחומים אלה, עזר להפיץ את הרעיונות המתמטיים החדשים של התקופה; באמצעות הדגמה כיצד הם "מאירים" ומקצרים את הדרך בפתרון בעיות מסוימות. בהקשר זה, גאוס השתמש במספרים מרוכבים במסגרת עבודתו על פרספקטיבה וגאומטריה פרויקטיבית - בכתב קצר "היטלי הקוביה" הוא ניסח את המשפט היסודי של אקסונומטריה נורמלית, העונה על השאלה כיצד לשרטט בצורה מיטבית קובייה תלת־ממדית על גבי מישור דו־ממדי, באמצעות שימוש במספרים מרוכבים. משפט גאוס-לוקאס, תוצאה בסיסית על מיקום שורשי פולינום במישור המרוכב, הוא דוגמה נוספת לנישה בעבודתו על מספרים מרוכבים. כמו כן, חלק מכתביו הלא מפורסמים מגלים שהוא היה הראשון להבין את החשיבות של המישור המרוכב המורחב על ידי נקודת האינסוף ; גאוס מצא ב-1819 שכל סיבוב של הספירה הדו-ממדית ניתן לביטוי על ידי טרנספורמציה מרוכבת מהצורה:, כאשר ומקיימים. הטרנספורמציה הזאת, שהיא בעצם העתקת מביוס אוניטרית, מתייחסת להטלה הסטריאוגרפית של הספירה אל המישור המרוכב - הטלה שמאפשרת להתאים מספר מרוכב לכל נקודה על הספירה. בגלל תוצאה זו ותוצאות נוספות יש מחברים שמתייחסים אל המרחב הפרויקטיבי המרוכב, הידוע יותר בשם הספירה של רימן, כאל "הספירה של גאוס".
דרך התכתבויותיו וכתביו הלא מפורסמים, לגאוס הייתה תרומה מסוימת להתחדשות של ענף הגאומטריה הסינתטית במאה ה-19, שהתפתחותו נזנחה במאה הקודמת (עקב ההתפתחות המטאורית של האנליזה); תחום זה התפתח מאוד בעשורים הראשונים של מאה זו, בעיקר דרך עבודותיהם של גאומטרנים כיאקוב שטיינר, יוליוס פלוקר, von Staudt, מביוס ואחרים. בין היתר, שכלל ב-1840 את המושגים החשובים של צמדי נקודות הרמוניים (harmonic pairs) והיחס הכפול. הישגים שלו בגאומטריה אלמנטרית כוללים את פתרונו מ-1810 לבעיית הבנייה המפורשת של האליפסה בעלת השטח הגדול ביותר החסומה במרובע נתון (גם כן תוך שימוש במספרים מרוכבים) ואת התוצאה הנגזרת מפתרונו - משפט Bodenmiller על מרובעים שלמים, הצגת טכניקה משופרת לפתרון הבעיה הגאומטרית של קביעת המעגל המשיק לשלושה מעגלים נתונים - בעיית אפולוניוס, וגזירת תוצאות מעניינות כמו נוסחת גאוס לחישוב שטח מחומשים - תוצאה מפתיעה בגאומטריה אפינית. הוא תרם רבות גם לגאומטריה כדורית, הן מההקשרים האסטרונומיים (הוא תרם לפרקטיקה של ניווט בעזרת כוכבים והשתמש בטכניקות מטריגונומטריה ספירית כדי לפתור בעיות ניווטיות שונות) והן מההקשרים הגאומטריים שלה. בהקשר זה של עבודתו של גאומטריה כדורית, גאוס חקר לעומק את הסיבה לתופעה המתמטית שג'ון נפייר כינה "Pentagramma mirificum" - הקשורה בתכונותיו המופלאות של פנטגרם כדורי מסוים. במהלך חייו גאוס שב לנושא זה פעמים רבות והסביר את התופעה על כל רבדיה הגאומטריים, האלגבריים והאנליטיים; בפרט, ב-1843 הוא ניסח והוכיח מספר משפטים המקשרים בין פונקציות אליפטיות, מחומשי נפייר על פני הספירה הדו-ממדית ומחומשי פונסלה במישור.
כמה מההתכתבויות שלו בשנותיו המאוחרות יותר עסקו לעיתים קרובות בבעיות מתמטיות מינוריות יחסית, למשל בנושא של ריבועים לטיניים, או בהתכתבות מ-1836 עם שומאכר בה הוא עסק בבעיית העץ של שטיינר. במספר מכתבים לגרלינג ב-1844 גאוס הביע חוסר סיפוק מהעובדה שהתהליך הידוע היחיד להוכיח שוויון נפחים של פאון כלשהו עם תמונת הראי שלו מתבסס על שיטת המיצוי, ושיער שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של ארבעונים באמצעות פירוק למספר סופי של מרכיבים חופפים. ההתכתבות הזאת בין גאוס לגרלינג הייתה אחת המוטיבציות לניסוח הבעיה השלישית של הילברט.
אלקטרומגנטיות
גאוס ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות. ב-1833 הוא גילה את חוקי קירכהוף על מעגלים מסועפים, ומאוחר יותר ביסס את העיקרון של ייצור חום מינימלי (principle of minimum heat), שגם הוא נתגלה באופן בלתי תלוי על ידי גוסטב קירכהוף (ב-1848). הוא יישם את העקרונות הללו כשניתח כמה קונפיגורציות מעניינות של מעגלים חשמליים. בנוסף, גאוס נתן הוכחה ניסויית מדויקת של הזהות של אפקטים חשמליים הנגרמים על ידי חיכוך לאלו שנגרמים על ידי זרמים גלוואניים וכוחות תרמואלקטריים. באותה שנה הוא וובר תיעלו את הידע הניסויי והתאורטי שלהם בתחום כדי להגיע להישג טכנולוגי מעשי; לבנות את הדגם הראשון של הטלגרף החשמלי - מעיין התקן תקשורת פרימיטיבי לשליחת מסרים באמצעות פולסים חשמליים בתיל. גאוס שילב בין מכשיר המולטיפליקטור של שוויגר למגנטומטר שלו כדי לבנות מכשיר רגיש יותר; הגלוונומטר. כדי להפוך את כיוון הזרם החשמלי, הוא בנה קומוטטור משלו. כתוצאה, הוא היה מסוגל להניע מחט מרוחקת בכיוון שהגדיר הקומוטטור בקצה השני של הקו. את האלפבית שלהם הם קודדו באמצעות קוד בינארי. מאוחר יותר הם פיתחו דגם יעיל יותר, שאפשר קצב העברת נתונים גבוה יותר (אם כי עדיין נמוך משמעותית מזה של הדגמים המסחריים הראשונים).
מוקד העניין המרכזי של גאוס בחקר האלקטרומגנטיות היה חקר חוקי האינדוקציה (השראה אלקטרומגנטית), והוא גילה במחקריו תוצאות ניסוייות ותאורטיות רבות בתחום. למשל, באמצעות טרנספורמציות מסוימות על משוואת אמפר לכוח בין אלמנטי זרם, הוא גילה את פונקציית הפוטנציאל הווקטורי ב-1835 (מושג זה הוצג לראשונה רק ב-1851, על ידי לורד קלווין), ונעזר בו כדי לתת ניסוח כמותי לחוק פאראדיי; הוא מצא שהכוח האלקטרומוטורי המושרה שווה לקצב השינוי של הפונקציה הזאת. במסגרת מחקריו ה"חישוביים" יותר של תופעת ההשראה, הוא אף מצא ביטוי מתמטי מפורש להשראות העצמית של כמה קונפיגורציות לא טריוויאליות; למשל, הוא חישב קירוב מסדר ראשון להשראותה העצמית של לולאה מעגלית יחידה כפונקציה של רדיוס הלולאה r ורדיוס התיל (המעגלי) a ממנו היא הורכבה. מנקודת המבט של מדע בסיסי, השיא של עבודתו של גאוס באלקטרומגנטיות עסק באלקטרודינמיקה, ובעוצמה של כוחות אלקטרודינמיים. ב-1835, עלה במחשבתו הרעיון שהאינטראקציה האלקטרומגנטית בין שני מטענים מתקדמת במרחב במהירות סופית, ושהיא עשויה להיות תלויית מהירות-יחסית בין המטענים. הוא היה מסוגל לרשום, אם כי לא לגמרי נכון, את המשוואות המתארות את האינטראקציה האלקטרומגנטית הכללית - חוק האלקטרודינמיקה שניסח מהווה הכללה של חוק קולון למטענים נעים:
.
כש-r הוא המרחק הסקלרי, r הוא וקטור המרחק, q_1 ו-q_2 הם ערכי המטענים ו- היא מהירות התקדמות האינטראקציה. הצעה זאת של גאוס נחשבת לראשיתה של שיטה מתמטית בפיזיקה תאורטית שנקראת פוטנציאלים מעוכבים, וכאשר מכניסים בה תיקונים יחסותיים היא נותנת את התוצאות הנכונות בעבור תנועות אינרציאליות. תובנות אלו, שאותם גאוס ניסה לתמצת במשוואה אחת, באו בהמשך ישיר לשנים של הרהורים פיזיקליים על טבע האינטראקציה האלקטרומגנטית. כפי שגאוס עצמו הבחין, משוואת האלקטרודינמיקה שנתן מפרה את חוק שימור האנרגיה בעבור תנועות כלליות (תנועות מואצות), ולכן העיר נכונה כי הנוסחה צריכה להסביר גם את האפקטים של השראה אלקטרומגנטית.
10 שנים מאוחר יותר, ובר התוודע לעבודה זאת של גאוס (שלא פורסמה), והכליל את משוואות האלקטרודינמיקה של גאוס גם למקרה של מטענים מואצים, כדי לכלול את האפקט של השראה אלקטרומגנטית. למעשה, תמונת גאוס-וובר של האלקטרודינמיקה הייתה הבסיס למחקרים תאורטיים בתחום עד אשר הוחלפה על ידי משוואות מקסוול השימושיות יותר. על אף שאינה נכונה מנקודת מבט מודרנית, תמונת גאוס-וובר טמנה בחובה את הזרעים הרעיוניים של חלק מההתפתחויות המאוחרות יותר בתחום; כך למשל, הרעיון של פוטנציאל מעוכב רמז למעשה על האפשרות שהשדה האלקטרומגנטי הוא במידה מסוימת ישות עצמאית ונפרדת מהמטענים שיצרו אותו. מבחינה היסטורית, בשל ההסתייגות של ג'יימס קלארק מקסוול, יוצר התאוריה האלקטרומגנטית המודרנית, מן התאוריה של גאוס וובר, נזנחה הגישה שלהם כליל מטקסטים לימודיים בתחום מאז ועד היום, שכן לגישה של מקסוול מעמד בלתי מעורער בקונצנזוס המדעי. הבדל מהותי אחד בין התאוריות הוא שבתמונת מקסוול חוק שימור התנע תקף רק כאשר מסתכלים על המערכת המורחבת של החלקיקים והשדות האלקטרומגנטיים יחד (כלומר התנע של החלקיקים לא בהכרח נשמר), בעוד שבתמונת גאוס-וובר התנע הכולל של החלקיקים תמיד נשמר. עם זאת, קרל שוורצשילד פרסם מאמר ב-1903 המתאר בפירוט כיצד ניתן לפתח את הגישה של גאוס וובר לכדי תאוריה עקבית חלופית.
גאומגנטיות
גאוס פיקח על בנייתו של מתקן מגנטי במצפה הכוכבים, ויחד עם ובר ייסד את magnetischer Verein ("המועדון המגנטי") אשר תמך במדידות של השדה המגנטי של כדור הארץ באזורים שונים, והניב את "האטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ. תרומותיו לגאומגנטיות מרוכזות בשני מאמרים חשובים ומשלימים אחד לשני: "צמצום חוזק הכוח המגנטי של כדור הארץ למדידות אבסולוטיות" (1832) ו"תאוריה כללית של מגנטיות כדור הארץ" (1839). המאמר הראשון עסק בהיבטים האמפיריים של מדע הגאומגנטיות: הוא תיאר מערכים ניסויים למדידת העוצמה והכיוון של שדה מגנטי, הסביר את עקרונות הפעולה של המגנטומטרים השונים שפיתחו הוא וובר, ועוד.
המאמר השני עסק בעקרונות התאורטיים של תיאור השדה המגנטי של כדור הארץ: גאוס נעזר בכלי המתמטי שהומצא כמה עשורים קודם לכן על ידי פייר-סימון לפלס, ההרמוניות הספריות, כדי לייצג את השדה המגנטי של כדור הארץ. באמצעות שימוש בכלים המתמטיים של ההרמוניות הספריות ושיטת הריבועים הפחותים שלו, גאוס הצליח להוכיח כי מקור השדה המגנטי של כדור הארץ הוא פנימי, והתאוריה המתמטית שלו אפשרה להפריד בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) והחיצוני (מגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ, ולחשב איזה חלק של השדה נתרם על ידי הגלעין. חישוביו הצביעו מיד על כך שעיקר השדה המגנטי של כדור הארץ הוא שדה דיפולי; זאת הייתה התקדמות חשובה, שכן באותה תקופה היו עדיין מדענים שהאמינו בקיומם של ארבעה קטבים מגנטיים לכדור הארץ. בסיום המאמר, גאוס אף הצליח להצביע על המיקום המדויק של שני הקטבים המגנטיים של כדור הארץ משיקולים תאורטיים.
תורת הפוטנציאל
עבודתו בתחום הגאומגנטיות הובילה אותו לעסוק באופן שיטתי בתחום מתמטי טהור שיונק רבות מהפיזיקה אולם מהווה ענף מתמטי העומד בזכות עצמו - תורת הפוטנציאל (potential theory). נושא זה העסיקו לראשונה במאמרו מ-1813 על כוח המשיכה שיוצרים אליפסואידים הומוגניים, שהיווה מרכיב חשוב בהתגבשות הרעיונות שלו על תורת הפוטנציאל. גאוס סיפק לראשונה פתרון מתמטי סגור למשיכה הכבידתית שיוצר האליפסואיד במרחב שמחוצה לו, ונתן צורה מתמטית חדשה למשיכה בחלקו הפנימי. במאמרו הראה גאוס שחישוב משיכת האליפסואיד בנקודה חיצונית נתונה שקול לפתרון שתי בעיות, שהראשונה שבהן היא מציאת אליפסואיד החולק מוקדים משותפים עם האליפסואיד המקורי (Confocal ellipsoid) ועובר דרך הנקודה הנתונה (זוהי דוגמה מוקדמת לבניה של קואורדינטות אליפסואידיות ), ואילו השנייה היא קביעת המשיכה של האליפסואיד החדש בפני השטח שלו. בדרך זו מצא ביטוי לשדה הכבידתי שיוצר אליפסואיד תלת-צירי כללי, אשר מערב אינטגרלים אליפטיים, כאשר בסיום המאמר הוא מדגיש שבמקרה הספרואידי (אליפסואיד דו-צירי) האינטגרל המתקבל פתיר בעזרת פונקציות אלמנטריות ומביא נוסחאות מדויקות למקרה זה. החידוש המרכזי של המאמר היה במתן ביטוי אנליטי סגור למשיכה מחוץ לאליפסואיד; לפניו סיפקו בכירי המתמטיקאים הצרפתים (כדוגמת לגראנז', לפלס, אדריאן-מארי לז'נדר ואחרים) פיתוחים של פונקציית המשיכה לטור של הרמוניות ספריות, פיתוחים אשר חסרונם העיקרי נעוץ בהתכנסותם האיטית.