cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
אוריינטציה (מתמטיקה)
טריאנגולציה של משטחים
אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.
שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).
לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו טבעת מביוס או בקבוק קליין.
המקרה הרב ממדי
גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות:
אוריינטציה על מרחב ליניארי
יהיה V מרחב ליניארי ממשי n ממדי.
הגדרה באמצעות בסיסים
הגדרה: אוריינטציה על V היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
אוריינטציה סטנדרטית
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי: . נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.
הגדרה באמצעות תבניות
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על V גם באמצעות n-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה
המקיימת: מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר
הגדרה: אוריינטציה על V היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.
הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס ב-V אפשר להתאים תבניות \omega_B באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.
אוריינטציה על נקודה
ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש n=0. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.
משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)
יהי \pi:V \to W איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים. כל תבנית \omega על W מגדירה תבנית על V באופן הבא: בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה \pi^*(o) עבור כל אוריינטציה o על W תהליך זה נקרא משיכה לאחור של אוריינטציה. ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה של אוריינטציה על ידי
אוריינטציה על יריעה חלקה
תהי M יריעה חלקה מממד n.
הגדרה
אוריינטציה o על M היא התאמה של אוריינטציה o_x על המרחב המשיק לכל נקודה x \in X "התלויה באופן רציף" בנקודה x.
הגדרה באמצעות תבניות
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות. תבנית דיפרנציאלית ממעלה n (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של n-תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק T_xM עבור כל x \in M. תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה. כעת ניתן להגדיר
הגדרה: M נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה. אוריינטציה על M היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה x\in M שלהן בסיס למרחב המשיק T_x(M) בצורה שתלויה באופן חלק ב-x).
הגדרה באמצעות אטלסים ומפות
דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על M היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.
זהרי חמה
זהרי חמה הוא בית כנסת, בית מדרש ובניין הכולל שעון שמש ברחוב יפו 92 בירושלים, מול שוק מחנה יהודה. בזמן בנייתו היה הבניין הגבוה ביותר בירושלים שמחוץ לחומות, וגם כיום הוא מתנשא מעל בתי רחוב יפו הסמוכים לו.
אוריינטציה (מתמטיקה)
הגדרה באמצעות אטלסים ומפות
הגדרה: תהיינה קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם \phi:U\to V נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק על M נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על M היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.
זהרי חמה
שם הבניין נלקח מברכת יוצר אור שבתפילת שחרית של יום חול, שבה נאמר: "אל ברוך גדול דעה, הכין ופעל זהרי חמה".
אוריינטציה (מתמטיקה)
הגדרה באמצעות אטלסים ומפות
ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות.
זהרי חמה
תולדות הבניין
הבית נבנה על ידי ר' שמואל לעווי, יהודי שעלה לארץ ישראל מדרוהיטשן שבבלארוס (רוסיה הלבנה- פולניה דאז). לפני עלייתו ארצה, נסע ר' שמואל לעווי לאמריקה כדי לגייס כספים למטרת הקמת הכנסת אורחים זהרי-חמה. בשיקגו הוא הקים את "אגודת אחים אנשי דרוהיטשן" ואחר כך נסע לפריז ושם הקים את "חברת ש"ס וגם "חברת חיי-אדם" ולאחר מכן עלה לארץ ישראל. ר' שמואל לעווי גר בירושלים ונחשף למצוקתם של העולים החדשים שבהגיעם לעיר לא היה להם מקום לינה, רחצה ואף לא אמצעים לרכישת מזון. לפיכך, קנה ר' שמואל לעווי בשנת 1905 את הבית ברח' יפו 92 במטרה להקים את "הכנסת אורחים תפארת ציון וירושלים" שיספק לעולים החדשים כעין "מרכז קליטה" נוח וידידותי.
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה
נקבע אוריינטציה o על .M יהי N \subset M משטח-על ב-M (זאת אומרת תת-יריעה  n-1 ממדית).
זהרי חמה
תולדות הבניין
במקום היו מיטות לשינה ומנוחה ומטבח עם חדר אוכל. המקום תופעל ותוחזק על ידי בני המשפחה (ילדים ונכדים) ללא מטרות רווח.
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה
שדה טרנסברסלי \xi על N \subset M הוא התאמה של ווקטור משיק  ל M בכל נקודה x \in N כך ש־ בהינתן שדה טרנסברסלי \xi על N, האוריינטציה o משרה אוריינטציה o_N על N באופן הבא: תהי \omega תבנית המייצגת את o. נגדיר תבנית \eta על N על ידי נגדיר את o_N להיות מחלקת השקילות של .\eta
זהרי חמה
תולדות הבניין
ר' שמואל לעווי הקים את המקום למטרות חסד ונתינה ועד היום המקום הוא הקדש לצורכי הציבור.
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה
במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי  במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה  לכל נקודה .x\in N
זהרי חמה
תולדות הבניין
על-גבי הבית בן הקומה האחת בנה לעווי עוד שלוש קומות ובראשן עליית גג מעץ. בעליית הגג שכן בית הכנסת ובית המדרש "זהרי חמה" שנתן את שמו לבניין כולו. המלון ובית הכנסת נחנכו בשנת 1908. בראש הבניין נקבעה מערכת שעונים.
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה
שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית. במקרה שעל M נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה o, אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על N ושדות נורמלים באורך יחידה על N. כיוון שעל \R^n יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח N ב-\R^n שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על ,N בדומה למוסבר במבוא.
זהרי חמה
תולדות הבניין
וכך נכתב בעיתון השקפה באותם ימים:
אוריינטציה (מתמטיקה)
יריעה עם שפה
הערה: אף על פי שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על \R^n, העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.
זהרי חמה
תולדות הבניין
ב-1925 נפגע הבית ברעידת אדמה ובית הכנסת ובית המדרש הועברו לקומת הקרקע, בה הם פועלים עד היום. ב-1940 פרצה שרפה והעלייה נשרפה כליל. ב-1980 שיפצה עיריית ירושלים והקרן לירושלים את הבניין ושחזרה את חזית הבית, כולל השעונים והשלטים.
בית הכנסת
בבית הכנסת "זהרי חמה" מתקיימות בימות החול תפילות מנחה וערבית כל כמה דקות החל מזמן מנחה גדולה ועד לסגירת הבניין ב-22:30. לתפילת שחרית יש מנין אחד בלבד שמתפללים כותיקין עם הנץ החמה. במנחה וערבית, החזן רשאי להתפלל כמנהגו (ובפועל, ברוב רובם של המניינים מתפללים נוסח עדות המזרח), אבל בשחרית (וכן בכל התפילות בשבת) מתפללים נוסח אשכנז. הבניין פתוח ללימוד פרטי מתפילת שחרית עד לסגירת הבניין, ויש גם כמה שיעורים במשך היום.
אוריינטציה (מתמטיקה)
שימושים
בעזרת משפט ז'ורדן ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:
זהרי חמה
בית הכנסת
במשך שנים רבות ניהל את בית הכנסת ר' אבא לוי, שהיה נכדו של ר' שמואל לעווי. ר' אבא לוי פיתח במקום בית כנסת מיוחד במינו. בו זמנית התבצעו במקום מדי יום כמה מנייני תפילה בנוסחים שונים, בכל שעה יכול היה כל אדם למצוא לעצמו את המניין המתאים לו גם מבחינת נוסח התפילה, אשכנזי, ספרדי וכו'. מכיוון שבית הכנסת סמוך לשוק מחנה יהודה, התקין ר' אבא לוי, וילון מיוחד בכניסה לבית הכנסת, כדי שמאחוריו יוכלו המתפללים להניח את סליהם עם המצרכים, שקנו בשוק ולהתפלל בדרכם משוק מחנה יהודה.
אחרי ר' אבא לוי ע"ה החל לנהל את המקום ר' שמואל וולמן ע"ה, גם הוא היה נכדו של ר' שמואל לעווי ע"ה.
אוריינטציה (מתמטיקה)
שימושים
טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.
זהרי חמה
בית הכנסת
ר' שמואל וולמן ניהל את המקום באמונה רבה ואף שיפץ וחידש את המקום ובכך המשיך את מסורת המשפחה בנאמנות.
אוריינטציה (מתמטיקה)
משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)
העתקה חלקה נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל ) אם הדיפרנציאל d_x \phi שלה בכל x\in M הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל x\in M קיימת סביבה פתוחה U \subset M כך ש \phi(U) היא קבוצה פתוחה והצמצום  הוא דיפאומורפיזם.
בהינתן אוריינטציה o על N ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה \phi^*(o) על ידי במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית \omega המייצגת את o, ולהגדיר את \phi^*(o) להיות מחלקת השקילות של העתקת אטאל בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על N שווה לאוריינטציה .M
זהרי חמה
בית הכנסת
חיים סבתו בספרו "כעפעפי שחר" כותב:
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה ואינטגרציה
אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה .M
נקבע אוריינטציה על .M תהי U \subset M קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל .\R^n ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית \omega על U באופן הבא: כאן  הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על \R^n מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות.
זהרי חמה
מערכת השעונים
במערכת שלושה שעונים: המרכזי, שעון שמש בתבנית חצי עיגול הפוך, בקוטר חמישה מטרים, המכוון לפי זמן ירושלים בניגוד לשאר שעוני הזמן שהיו מכוונים לפי זמן קהיר. מעליו שני שעונים רגילים לימות החורף: השעון השמאלי הוא שעון אירופי רגיל והימני מראה שעה "ערבית" ("זמן ארץ-ישראל") שבו היום בן 12 השעות מתחיל עם הזריחה ומסתיים עם השקיעה, כך שהמחוגים מצביעים הישר למעלה ("שעה 12") בשעה שש לערך (בבוקר ובערב).
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה ואינטגרציה
הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם \phi ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו \phi היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת. ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית U \subset M על ידי חלוקת היחידה. כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.
אם \omega תבנית הפיכה על ,M אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על .M אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
זהרי חמה
מערכת השעונים
את השעונים התקין המדען האוטודידקט משה שפירא, שלמד את מלאכת התקנת השעונים מקריאה בספרו של הגאון מווילנה "ספר התכונה וההנדסה" וכן מספרי מדע העוסקים באסטרונומיה ומספריו של המדען הירושלמי ר' חייא דוד הלוי שפיצר. שפירא היה יליד ירושלים, תלמיד הישיבה הגדולה של מאה שערים ובנו של ר' ישראל אשר שוחט שפירא, בעל התוקע הקבוע של הרבי מבריסק. לאחר שבנה את שעון השמש, ראש הווקף בהר הבית ביקש ממנו שיתקין שעון שמש כזה גם בהר הבית, ובתמורה היה מוכן לשלם לו כסף רב. שפירא התייעץ עם הרב יוסף חיים זוננפלד האם מותר לו לעלות להר הבית. הרב פסק כי חייו יהיו בסכנה אם הוא יסרב לווקף ולכן יש בכך משום פיקוח נפש, אך שפירא סירב לבנות את שעון השמש והוא ברח לפתח תקווה. בשנים שבהן חי שם, הוא בנה שלושה שעוני שמש בבית הכנסת הגדול ברחוב חובבי ציון. בערוב ימיו שב שפירא לירושלים ובה נפטר ב-1969. הוא קבור בהר הזיתים.
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה ואינטגרציה
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש M לא אוריינטבילית) ע"י:
זהרי חמה
השלטים על-גבי הבניין
על הבניין נתלו מספר שלטים:
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה ואינטגרציה
כאשר
כיסוי האוריינטציות
תהי M יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה x \in M של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק T_x M (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x ב- (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.
זהרי חמה
השלטים על-גבי הבניין
השלטים שוחזרו במסגרת שיפוץ חזית הבניין ב-1980.
אוריינטציה (מתמטיקה)
כיסוי האוריינטציות
אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "קרקטר האוריינטציות" של החבורה היסודית \pi_1(M). אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית.
אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית
יהי E אגד וקטורי n-ממדי מעל מרחב טופולוגי .X
זהרי חמה
קישורים חיצוניים
https://zohoreichamah.org/
אוריינטציה (מתמטיקה)
אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית
אוריינטציה על E היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) E|_x של E התלויה באופן רציף בנקודה x שמעליה הסיב.
בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה \phi:M\to N בשני מקרים:
בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:
כל אלה יהיו אובייקטים מעל .M
אוריינטציה על יריעה טופולוגית
תהי M יריעה טופולוגית n-ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על M נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות. כמו במקרה החלק, אוריינטציה על M תהיה חתך של כיסוי האוריינטציות.
כיסוי האוריינטציות
כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.
הגדרה אוריינטציה בנקודה x\in M היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x ב-orient_M(x)
נשים לב שמכיוון ש איזומורפית ל-\Z, הקבוצה orient_M(x) בת שני איברים.
נגדיר כאשר הטופולוגיה עלorient_M מוגדרת, דרך המקרה M=\R^n על ידי הזיהוי.
קל לראות שאם M יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.
כמו קודם ניתן להגדיר את האגד Orient_M ואת האלומה אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים  או .D_M שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
המחלקה היסודית
נניח כי M יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי o אוריינטציה על .M ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה מחלקה אחת ב.H_n(M;\Z)
משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה
כך ש
מחלקת הומולוגיה [M] נקראת המחלקה היסודית. באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".
אם M קשירה אז [M] יוצרת את חבורת ההומולוגיה H_n(M;\Z) אשר איזומורפית ל-\Z. במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של H_n(M;\Z)). אם M לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז H_n(M;\Z)=0).
אוריינטציה יחסית (המקרה הכללי)
תהי העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים ) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:
הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
אוריינטביליות
יריעה נקראת אוריינטבילית אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל-\R^n ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.
סיכום
הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).
ספירת נקודות מכוונת
לאורינטציה תפקיד בבניות רובות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באוריינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה. יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנמלד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב-\Z אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב\Z/2\Z, מה שהופך אותו לחלש יותר.
להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.
מעלה של העתקה
תהי העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד n. לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי y \in N. הסיב של הנקודה y הוא יריעה מממד אפס. המעלה של \phi מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה.
אינדקס חיתוך
תהי M יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד n ויהיו תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של N ו L. לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות N,L כך שהחיתוך N \cap L יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך N \cap L הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על M,N ו L מגדירות אוריינטציה על N \cap L. אינדקס החיתוך של N ו L מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה N \cap L.
תורת מורס
מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה (במצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה M פונקציית מורס f ומטריקה רימנית \gamma, קומפלקס שרשרת (C_i,d). החבורות האבליות C_i הן חבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של f מאינדקס מורס i. הדיפרנציאל d מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.
להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר M אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים \Z בחבורה \Z/2\Z. לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אוריינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב-\Z/2\Z. הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.
קובורדיזם
בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות n ממדיות M,N שקולות אם האיחוד הזר M \cup N הוא שפה של יריעה n+1 ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה \Z/2\Z.
באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות n ממדיות (M,o),(N,p) שקולות אם האיחוד הזר הוא שפה של יריעה n+1 ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה \Z.
באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב ליניארי מעל השדה הסופי \mathbb F_2) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.
מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.
דואליות פואנקרה
בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי M יריעה סגורה מכוונת מממד n. דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה H^k(M,F) והקו-הומולוגיה כאשר F שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי כאשר \smile היא מכפלת הספל, והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.
אוריינטציה בתורת הגרפים
ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי. למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל קשת. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.
באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו קומפלקס סימפלקסיאלי. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.
אוריינטציה בתורת ההומולוגיה
יהי X מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד i בתוך X (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה.
אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב-X אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב-\Z/2\Z.
בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטריים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של X.
דואליות ורדיה
מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרוטנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פונקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפונקטורים האלה הוא המוגדר עבור העתקה רציפה \pi:X \to Y כאשר D(X) היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על X. פונקטור זה הוא הצמוד מימין של הפונקטור הנגזר של פונקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי.
אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה GL_n(\R) יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בGL_n(\R), הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצת ברכיב השני.
המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורתוגונלית O_n יש גם כן שני רכיבי קשירות. עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות חיובית לחלוטין, ניתן לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה O_{p,q} יש ארבעה רכיבי קשירות.
בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה (p,q) על מרחב V וקרקטר כפלי ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורטונורמליים באופן הבא: שני בסיסים B_1 וB_2 שקולים אם. מכיוון של O_{p,q} יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטציית מרחב ואוריינטציית זמן.
באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.
אוריינטציה בגאומטריה אלגברית
מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה GL_n(\R) הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי. מעל \R המצב שונה. על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.
בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות). גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות l-אדיות ואלומות סוטות l-אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.
ראו גם
מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה
מושגים קשורים
ארס (מארוול קומיקס)
ארס (באנגלית: Ares) הוא דמות בדיונית של אל שהופיעה בחוברות הקומיקס ביקום מארוול קומיקס. הדמות הופיעה לראשונה בחוברת Thor #129 מיוני 1966 ונוצרה על ידי הכותב סטן לי והמאייר ג'ק קירבי. הדמות היא אויבם של גיבורי-העל תור והרקולס, והיא מבוססת על אל המלחמה ארס מהמיתולוגיה היוונית.
ארס הוא בנו של זאוס, והוא אל המלחמה האולימפי. ארס התענג על לחימה בכל צורה שהיא, ללא התחשבות בקורבנותיה. השנאה בין ארס להרקולס התפתחה כאשר הרקולס הרג את חיות המחמד של ארס, ציפורי סטימפליה, וגדלה כאשר גילה כי זאוס העדיף את הרקולס יותר ממנו. כאשר זאוס איפשר לפולחן האלים היוונים והרומיים לחדול, ארס פיתח טינה עזה כלפי האולימפוס וניסה להרוס אותו. הוא סייע לפלוטו להיאבק בהרקולס, אשר הובסו בהתערבותו של תור. ארס נאבק בהרקולס פעם נוספת, וכרת ברית עם מכשפת כדי להפוך את הרקולס לעבד שלה. אחרי התקלות עם האוונג'רס, ארס השתמש במימי נהר ארוס כדי להגלות את הרקולס מהאולימפוס. הוא הקים את נצי המלחמה, ושלח את קראטוס וביה ללכוד את הרקולס, ומזימתו סוכלה על ידי האוונג'רס.
ארס נהרג בידי הסנטרי בחוברת מספר 2 של אירועי "מצור". במהלך חידוש הכותרים "מארוול החדשה והשונה", ארס הוחייה בידי המאסטרו והאספן כדי לשמש כחייל עבור "תחרות האלופים" שלהם ועל מנת להראות את כוחו של הנאוטרוניום.
אימפטוס
אימפטוס או  תאוריית האימפטוס (באנגלית: Theory of impetus, תורת הדחף) הייתה תיאוריה של גופים כתוספת לדינמיקה אריסטוטלית, שהוצגה בתחילה כדי להסביר תנועת קליע כנגד. התאוריה נשענה על עקרונות פילוסופיית הטבע של אריסטו, אך חרגה מתפיסת הפילוסוף והוצעה לראשונה על ידי יואנס פילופונוס במאה ה-6. התיאוריה נוסחה מחדש על ידי אבן סינא במאה ה-11, וכן על ידי אבו אל-ברכאת אל-בגדאדי ואבן באג'ה במאה ה-12, לפני שהיא בוססה מאוחר יותר במחשבה המדעית המערבית על ידי ז'אן בורידן במאה ה-14.
תנועת הקליעים כחלק מפילוסופיית הטבע של אריסטו
הבעיה המרכזית אודות הסבר תנועת קליעים נוסחה כבר על ידי אריסטו - כאשר יד מיידה אבן, לדוגמה, האבן נעה בתנועה כפויה. זו תנועה כפויה מכיוון שגוף כבד מטבעו נע רק כלפי מטה וכל תנועה אחרת היא כפויה. מכאן עולה הצורך להסביר מהו המניע הגורם לתנועה. אריסטו ניסח שני עקרונות, הראשון, כל דבר שנע מונע על ידי דבר אחר והשני, המניע חייב להמצא במגע עם העצם המונע. מכיוון שהדבר היחיד הנמצא במגע עם האבן בכל מהלך התנועה הוא התווך (האוויר), אריסטו הסיק שהאוויר דוחף את האבן. בעת הדחיפה הראשונית של הקליע, הגוף דוחף ומניע לא רק את הקליע אלא גם את האוויר. השכבה הצמודה למניע הראשון (היד) דוחפת את השכבה הבאה, וכך הלאה שכבות האוויר דוחפות אלו את אלו. שכבות אלו מניעות את הקליע (האבן) והתנועה נחלשת בשל פיזורה בין השכבות השונות והתנגדותן לתנועה. עוד טען אריסטו כי מכיוון שהתווך הוא המניע (המניע בחזרה את הקליע), לא יכולה להתקיים תנועה ללא תווך. על כן אין מקום ללא תווך. עבור אריסטו היית זו אחת הראיות לכך שאין ריק.
פרס רוקח
פרס רוקח לאדריכלות מבנים ע"ש ישראל רוקח הוא פרס בתחום האדריכלות המוענק על ידי עיריית תל אביב-יפו לאדריכלים שונים על תרומתם בבניית בניין ייחודי, תכנון נופי ועירוני ומפעלי בנייה נוספים בתחומי העיר ולעיתים גם מחוצה לה. הפרס מוענק מאז שנת 1954 להוקרת פועלו של ראש העיר ישראל רוקח אשר בתקופתו התקיימה הבנייה הרבה ביותר של תל אביב-יפו. פרס רוקח הוא מפרסי האדריכלות היוקרתיים ביותר באדריכלות הישראלית יחד עם פרס ישראל לאדריכלות ופרס רכטר. בנוסף לכבוד הרב, זוכים מקבלי הפרס גם במענק כספי.
אימפטוס
הקשיים בתיאור האריסטוטלי
הסבר זה בהפיזיקה של אריסטו העלה מספר קשיים: ראשית, כיצד ייתכן שאוויר, חומר קל ודליל מסוגל להניע אבן כבדה, שנית, על פי אריסטו האוויר גם מתנגד לתנועה, מכאן עולה השאלה כיצד אותו תווך (האוויר) גם מניע את התנועה וגם מתנגד לה. לאור מיעוט החיבורים מהעת העתיקה אשר קיימים בידי היסטוריונים, ההנחה ההיסטורית היא כי נמצאו רמזים להתנגדות להסבר זה וכי הוצעו רעיונות חלופיים כבר בעת העתיקה.
פרס רוקח
על פי תקנון הפרס מ-2015 הוענק הפרס אחת לארבע שנים לשני זוכים, על תוכניות אדריכליות שביצוען הושלם במלואו. גובה הפרס עומד כיום על 18,000 ש"ח.
אימפטוס
יואנס פילופונוס ותנועה אקטואלית
עוד כתב:
על פי פילופונוס, הקליע אינו מונע מבחוץ אלא על ידי כח לא חומרי שנמצא בתוכו והוכנס אליו במהלך הזריקה. הכח המניע הוא ישות נפרדת מהתנועה, הוא הגורם לה ואותו כינה ״תנועה אקטואלית״.על פי הסבר זה, לדעת פילופונוס המניע הוא ישות עצמאית חסרת קיום חומרי, ההנחה כי המניע נמצא בתוך המונע ולא בתווך, מאפשרת להסביר גם את אפשרות התנועה בריק ומכן גם את קיומו של הריק. הישות המניעה במונחים אריסטוטליים היא צורה טהורה, רעיון שאריסטו עצמו התנגד לו ובכך פילופונוס מאמץ עקרונות חשיבה אפלטוניים (אידיאליזם).
אבן סינא
אבן סינא, פילוסוף ורופא פרסי כותב ערבית (Avicenna; 980–1037), התייחס בספרו בשם ״ספר הריפוי״ להסברי קודמיו אריסטו ופילופונוס, הוא שלל את הסבר האוויר החוזר ואת הסברו של אריסטו ותמך בהסבר דומה של פילופונוס. אבן סינא הציע תיאור הממשיך בעיקרו את התפיסה הנאו-פלטונאית בדבר קיומה של ישות המניעה את הקליע הנמצאת בתוך המונע ואינה חיצונית לו אך בהסברו הציע אבן סינא חידוש, לראשונה הופרדו הכוח המניע והנטייה. לפי הסבר זה הכח המניע מעביר לקליע נטייה אשר יכולה להישמר בגוף גם לאחר שהכח המניע נחלש לחלוטין.
על פי אבן סינא, התנועה הכפויה ממשיכה בזכות הנטייה ואינה נחלשת מעצמה, רק הפרעות חיצוניות יביאו להחלשותה. ניסוח זה הוביל את אבן סינא למסקנה בדבר האפשרות לקיומו של ריק - מכיוון שבטבע לא קיימת תנועה נצחית וקיום ריק מחייב תנועה כזו, הריק אינו קיים.
אבו אל-ברכאת אל-בגדאדי
אבו אל-ברכאת אל-בגדאדי (1165-1080) היה פילוסוף ורופא יהודי כותב ערבית אשר אימץ את תפיסת הנטייה הכפויה כגורם התנועה אולם הניח שהנטייה מתמעטת מעצמה בגוף. על פי אבו אל-ברכאת, הגוף נעצר בשל התנגדות האוויר, הכבידה הטבעית והתמעטות הנטייה הכפויה עם הזמן. בנוסף, בעוד אבן סינא הניח כי בכל גוף קיימת נטייה אחת בלבד, אבו אל-ברכאת סבר כי בגוף יכולות להמצא נטיות לתנועה המנוגדות בכיוונן ושתנועת הגוף נובעת מהתנועה החזקה שביניהן. על פי הסבר זה, גוף הנזרק למעלה ימשיך בתנועתו כל עוד הנטייה הכפויה חזקה מהנטייה הטבעית ליפול מטה. ברגע שהנטייה הכפויה תחל להחלש, תהפוך הנטייה הטבעית (המושכת כלפי הארץ) להיות החזקה יותר והגוף יפול חזרה לארץ:
לפי הסבר זה ניסח אבו אל-ברכאת את הצטברות ״הנטייה הטבעית״. ובכך הסביר מדוע גופים מאיצים בזמן נפילתם. על פי אבו אל-ברכאת, מתקיימת הפרדה מלאה בין הכח הנובע מתוך הגוף, הנטייה שהיא ישות עצמאית הנמצאת בגוף, והתנועה של הגוף עצמו.
אבן באג׳ה
אבן באג'ה (1139-1070 לערך) או בשמו המלא אבו בכר מוחמד אבן יחיא חי באנדלוסיה ומרוקו והיה בן זמנו של אבו אל-ברכאת. חיבורים בערבית שנשמרו מעידים כי אבן באג׳ה נותר נאמן לגישה האריסטוטלית - הוא שלל את קיום הריק, וסבר שעל המניע להיות מופרד מהמונע. בהתייחסותו לתנועת הקליעים, סבר כי התווך צריך לנוע ומכך ניתן ככל הנראה להסיק שהמניע של הקליעים הוא התווך (האוויר). עם זאת, אבן באג׳ה הציג גישה ביקורתית כלפי מחשבתו של אריסטו, ויצא נגד ההנחה כי תנועה מחייבת תמיד תווך מתנגד. רעיונותיו נודעו דרך ציטוט בפרוש (סופר קומנטר) של אבן רושד על הפיזיקה של אריסטו: אבן באג׳ה יצא נגד היחס המתמטי בין המהירות להתנגדות התווך והציע יחס מתמטי בין ההאטה - כלומר ההקטנה במהירות וההתנגדות בתווך. הציטוט של אבן באג׳ה היה ככל הנראה מוכר במהלך ימי הביניים ונידון לא מעט גם אחר כך אפילו על ידי גלילאו גליליי ועל פי מספר היסטוריונים, דבריו ככול הנראה עוררו מלומדים לטינים לבחון את רעיון ״הנטייה הטבועה״ בגוף.
פרנציסקוס דה מרקיה
פרנציסקוס דה מרקיה (1344-1290 לערך) היה הפילוסוף הראשון בעולם הידע הלטיני, שהגן על העמדה כי המניע מועבר לקליע ונמצא בו, זאת לאחר שהרעיון נדחה במהלך המאה ה-13 בשל סתירתו את התפיסה האריסטוטלית. בחיבור משנת 1323 פרנציסקוס מניח כי ״כח נותר״ בקליע הוא המניע המרכזי שלו ובנוסף הוא מונע מכח הנותר בתווך המסייע להנעת הגוף. גישתו היא הרחבה להסבר האריסטוטלי לפיו התווך מניע את הקליע ולפי גישתו, ה״כח הנותר״ נשאר בקליע למשך זמן מוגבל, בדומה להשקפתו של אבו אל-ברכאת.
ז׳אן בורידאן
ז'אן בורידן (1358-1298) היה פילוסוף משפיע בתקופתו וכיהן בין היתר כרקטור של אוניברסיטת פריז. בורידאן היה המשפיע מבין התומכים ברעיון הגורס כי המניע נמצא במונע. בורידאן טען שהזורק מעניק דחף או אימפטוס בלטינית לקליע, בעקבות ניסוחו זה מכונה תיאוריה זו תאוריית האימפטוס. בורידאן סבר כי האימפטוס מניע את הגוף בתנועה לכל הכיוונים ולא רק בתנועה אופקית, הוא הסביר תאוצת נפילה של גוף באמצעות האימפטוס או הדחף המניע אותו, אשר הוא עצמו גדל עם התנועה שמקורה בכבידה ומקורו של האימפטוס הוא בתנועה עצמה. התנועה הראשונית של גוף נופל יוצרת אימפטוס בגוף, האימפטוס הזה הוא גם המניע לתנועה ברגע הבא, זהו הרגע בו קיימים שני מניעים (בניגוד למניע אחד בתחילת התנועה): הכבידה והאימפטוס. המניעים הללו יגרמו לתנועה מהירה יותר אשר תיצור בעצמה אימפטוס רב יותר בגוף, התנועה תוביל להגדלת האימפטוס ולתאוצה נוספת וכך הלאה.
לפי בורידאן, הכבידה אינה פועלת על האימפטוס באופן ישיר אלא דרך התנועה. הכבידה מניעה את הגוף הכבד ותנועת הגוף הכבד יוצרת אימפטוס שגדל ככל שהתנועה מהירה יותר. הכבידה מוסיפה בכל שלב מהירות לגוף והיא המקור הראשוני של התאוצה. בורידאן ראה באימפטוס תכונה נפרדת מהתנועה עצמה וכן ראה בה תכונה תמידית של הגוף שאינה נחלשת מעצמה, היחלשותה תגרם רק בעקבות התנגדות כוחות חיצוניים. בכך דגל בעמדת קודמו אבן סינא בניגוד לאבו אל-ברכאת ופרציסקוס דה מרקה. בהתייחסו לתנועה כפויה כתב בורידאן: בורידאן הציע כי הדחף ניתן על ידי המניע אך גודלו יחסי לתנועה ובכך ניסח תאוריה כמותית (למחצה) הקושרת בין גודל האימפטוס למהירות: ככל שהגוף מהיר יותר וככל שהוא כבד יותר האימפטוס שלו גדול יותר, ולהפך. על פי בורידאן, האימפטוס הוא תכונה של גוף נע שגודלו יחסי לתנועה ולכמות החומר, מקור האיפמטוס חיצוני לתנועה והוא המניע לתנועה, כמו כן, האימפטוס הוא תמידי ויכול להסביר את המשך התנועה ואת השינוי במהירותה. התנועה אינה ממשיכה מעצמה אלא זקוקה לישות הטבועה בגוף - זהו הדחף או האימפטוס. תיאוריה זו היית מקובלת לפחות עד ראשית המאה ה-17 ואף גלילאו גלילאי הושפע ממנה.
פסגת בסטיל
פסגת בסטיל או פסגת באסטיל (באנגלית: Bastille Peak) היא הר באי באפין, בטריטוריית נונאווט שבקנדה.
ההר ממוקם 74 קילומטרים מצפון לכפר פאנגניקטוק, אף הוא באי באפין.
גובהו של ההר 1,733 מטרים מעל פני הים. פסגת בסטיל היא ההר ה-73 בגובהו בנונאווט, וה-6,784 בגובהו בקנדה.
ההר הוא חלק מרכס הרי באפין (המהווים חלק מרכסי הקורדילרה הארקטית).
אגי יאמבור
אגי יאמבור (בהונגרית: Jámbor Ági; בודפשט, 4 בפברואר 1909 – בולטימור, 3 בפברואר 1997 ) הייתה פסנתרנית יהודייה-הונגרייה-אמריקאית. פרופסור אמריטה.
ביוגרפיה
אגי יאמבור נולדה במשפחה יהודית כבתם של איש העסקים וילמוס יאמבור (1873-1935) ושל אולגה ריס. אמה, שניהלה בית ספר למוזיקה, החלה ללמד אותה. בהתחלה למדה לנגן בכינור, אבל היא ואחותה לא הצליחו להסכים על הכלי, אז היא עברה לפסנתר. בהמשך למדה נגינה על פסנתר בבית הספר למוזיקה פודור כתלמידתו של פאל בראון. עוד לפני שלמדה לקרוא, ניגנה את מוצרט ובגיל שתים עשרה ערכה את הופעת הבכורה שלה בפני קהל עם תזמורת סימפונית.
בין השנים 1926 לבין 1931 היא הפכה לתלמידתו של אדווין פישר באוניברסיטה לאמנויות בברלין, איתו ערכה מספר קונצרטים משותפים ברחבי גרמניה. היא למדה גם תולדות המוזיקה באוניברסיטת הומבולדט. בתחילת שנות ה-30, בשיא הפופולריות שלה, עברה לפריז, יצאה ל"גלות" מרצון, בשל התקרבות עליית הנאצים לשלטון בגרמניה. לפרנסתה, היא הפכה למנהלת המוזיקלית של בית הספר הגדול ביותר של אמיל ז'אק-דלקרוז. מסעה מבירת צרפת הובילה אותה לאמסטרדם, שם ביצעה בקביעות קונצרטים עם וילם מנגלברך.
יאמבור חזרה להונגריה ב-1933, וב-3 בינואר בבודפשט נישאה לפיזיקאי ד"ר אימרה פטאי, פסנתרן חובב, שאיתו היא חיה בהולנד בשנים שלפני מלחמת העולם השנייה. סמוך לנישואיה נרשמה לאקדמיה למוזיקה ע"ש פרנץ ליסט בבודפשט, שם הייתה תלמידתם של אימרה שטפאניאי ושל לאו ויינר, היא לקחה גם שיעורי קומפוזיציה אצל המלחין זולטאן קודאי, שם באקדמיה קיבלה את תעודת ההסמכה והתואר שלה. הוא ארגנה תזמורת קאמרית בניצוחה. בשנת 1937, אגי יאמבור זכתה במקום החמישי בתחרות הבינלאומית השלישית לפסנתר על שם פרדריק שופן בוורשה. אז עברה להולנד עם בעלה. באפריל 1939 נתנה קונצרט עם וילם מנגלברך ותזמורת הקונצרטים של אמסטרדם.
בעודה חיה בהולנד, היא ובעלה נתפסו כאשר הנאצים פלשו למדינה והם לא הצליחו להימלט לארצות הברית של אמריקה. אז הם חזרו לממלכת הונגריה. לאחר חקיקת החוק היהודי השני, היא כבר לא הייתה יכולה להופיע בפני קהל נוצרי, אלא רק בפני קהל יהודי בתיאטרון גולדמארק במסגרת הפעילות האמנותית של אומיקה - ההתאחדות הלאומית היהודית-הונגרית לחינוך. מנישואיה נולד בן, אך הוא מת תוך שבועיים. יאמבור שמרה את תמונת ילדה כל חייה על שידת מיטתה.
היא השתתפה בתנועת ההתנגדות (הדלה ביותר בהונגריה) בזמן הכיבוש הגרמני של הונגריה (מבצע מרגרטה). היא עבדה יחד עם אלברט סנט-גיירגי (זוכה פרס נובל) בתנועת ההתנגדות האנטי-נאצית בבודפשט. כמסווה התלבשה לעיתים קרובות לזונה בשם "מריושקה", התלבשה בבגדים מפתים ואיפרה את עצמה בכבדות. אחרי המלחמה היא סירבה לחזור שוב לגרמניה או להופיע שם.
קריירה
בין 1955 לבין 1957 הקליטה יאמבור חמישה אלבומים בניו יורק עבור קפיטול רקורדס, בחלקו עם עמיתיה מהאקדמיה למוזיקה וחבריה מאומיקה - ההתאחדות הלאומית היהודית-הונגרית לחינוך, ויקטור אייטאי ויאנוס סטארקר.
בבולטימור, היא הפכה לפרופסור בקונסרבטוריון פיבודי (Peabody Conservatory), לאחר שעזבה את בולטימור לפילדלפיה ב-1957 החלה להופיע עם תזמורת פילדלפיה, שם הפכה לסולנית האהובה על יוג'ין אורמנדי המנצח וכנר יהודי-הונגרי וגם ברונו וולטר הכיר בכישרונה. בשנת 1957 הוזמנה ללמֵד במכללת ברין מאר בפילדלפיה, מכללה שרוב תלמידיה נשים ונועדה בראשיתה לנשים, וב-1958 מונתה לפרופסור במכללה. היא לימדה מוזיקה קאמרית, נתנה הרצאות על תולדות המוזיקה ומוזיקת עם. לאחר פרישתה לגמלאות קיבלה את התואר פרופסור אמיריטה.
ב-1959 היא נישאה לכוכב הקולנוע ההוליוודי קלוד ריינס, אך נישואיהם הסתיימו בגירושים ב-1960.
אגי יאמבור מתה יום אחד לפני יום הולדתו ה-88. מותה נגרם כתוצאה ממחלת הסרטן. כפסנתרנית, היא נודעה בעיקר כנגנית באך, חלק מהקלטותיה ששרדו מעידות על הבנה "פרהיסטורית", רומנטית של באך. היא גם הלחינה. יאמבור הלחינה, בין היתר, לפסנתר את קריאת "Psalmus humanus" שנכתב על ידי אלברט סנט-גיירגי וקרא לשלום במהלך מלחמת וייטנאם. בשנות ה-70 היא כתבה בעיקר שירים בליווי פסנתר בסגנון הרומנטי המאוחר, התעניינה גם בחקר מוזיקת העם, ובחרה במוזיקת העם הצוענית ההונגרית כנושא המחקר שלה.
בלו רידג'
הרי בלו רידג'  (באנגלית: Blue Ridge Mountains; מילולית "הרכס הכחול"), הם רכס הרים במזרח ארצות הברית, חלק מהרי האפלצ'ים. מקור שמם בגוון הכחול בו הם נראים במבט מרחוק. הפסגה הגבוהה ביותר בין הרי הבלו רידג' היא הר מיטשל המגיע לגובה של 2,037 מטר. זוהי הנקודה הגבוהה ביותר בארצות הברית ממזרח לנהר המיסיסיפי. גם שאר הפסגות ברכס הן גבוהות במיוחד ועוברות בממוצע את גובה 1,826 מטר (6000 רגל).
בשטח ההרים שני פארקים לאומיים אמריקאיים: הפארק הלאומי שננדואה, והפארק הלאומי גרייט סמוקי מאונטיינז.
הכביש שעובר דרך הרי הבלו רידג' נקרא "Blue Ridge Parkway". הכביש נבנה על ידי חיל השימור האזרחי כחלק מהפרויקטים הציבוריים בתקופת הניו דיל.
יגאל מירון
יגאל מירון (7 באוגוסט 1940 – 8 במרץ 2019) היה פסל, צייר, אוצר ומורה לאמנות ישראלי.
בלו רידג'
הרי הבלו רידג' מופיעים באחד השירים המפורסמים ביותר של ג'ון דנוור ולהיטו הראשון מ-1971, Take Me Home, Country Roads.
יגאל מירון
ביוגרפיה
נולד בקיבוץ בית השיטה ליוסף וחנה מירון, הבן הבכור למשפחה בת שלושה ילדים. משפחתו עברה לקיבוץ איילת השחר בשנות ה-50 בשל הפילוג בתנועה הקיבוצית.
למד פיסול אצל רודי להמן ומיכאל גרוס; למד תולדות האמנות אצל גיל מוזס; למד הדפס נחושת ורישום אצל אברהם אילת; ומורפולוגיה אצל פרופ' ארטור גולדרייך. בוגר המכון לאמנויות במכללת אורנים, הוסמך שם להוראה בבית ספר תיכון וחטיבת ביניים. היה חבר בצוות ההיגוי של אירועי האמנות בתל-חי.
לימד ציור, פיסול, מלאכת יד ואמנות בבית ספר יסודי ותיכון בשנים 1970–1986. בשנים 1976–1990 שימש מורה לפיסול ותחריט נחושת במכון לאמנויות במכללת תל–חי.
יגאל מירון נפטר ב-8 במרץ 2019. היה אב לשישה ילדים, התגורר באיילת השחר עם שולה אשתו.
סגנונו האמנותי
יגאל מירון תמיד עסק במציאות הישראלית על כל מרכיביה וקשייה; בקיומו של העם היהודי - בעברו, בהווה שלו ובעתיד הצפוי לו. האמנית נאוה הראל-שושני, שאצרה בין השאר את התערוכה האחרונה של יגאל מירון בשנת 2018 כתבה: "בשנות האלפיים פיתח מירון שיטה להפיכת דו־ממד לתלת־ממד, באמצעות כיפוף החומר שמגלם בתוכו את שתי התפיסות הללו. הוא ראה בזה מעין שרטוט בחלל בתלת־ממדי, שכלל היפוך צדדים ופיסול של תנועה, תוך שמירה על החלל. כפָּסַל היו תמיד כל הפעולות הללו מרכזיות ומשמעותיות עבורו. מרגע שפיתח את השיטה הרבה לפסל בה וזו הפכה לסימן היכר מובהק שלו. הוא היה מאד מודע לעיוותים, לטעויות, לחוסר הצדק ולמציאות השסועה והכואבת של המדינה שבה חי ושמאוד אהב, ודיבר על כל אלה באמצעות האבן, הברזל, העץ והצבע ובטכניקות שבהן השתמש. ביצירותיו עוברות כחוט השני תחושות של תקווה וחזון לצד כאב ותסכול."
בקטלוג התערוכה "מקום של כאב" (2007) כתבה אוצרת התערוכה נוגה מגדל כי "פסליו מדברים על עברנו הרחוק ומתחברים להווה העכשווי, על מלחמת הקיום שלנו בוורסיות שונות בהתאם לתקופה ולזמן. מירון, אמן אינטואיטיבי שעובד לרוב מתוך תחושות ופחות מתוך החלטה הכרתית, שפתו מטפורית וקונספטואלית. מירון מנסה לפענח באמצעים אמנותיים את מרכיבי המציאות הישראלית ונותן להם ביטוי ויזואלי. ב'זהות', פסל בצורת שבשבת שמשני צדדיה גזרי מתכת של פרופיל האמן, בפוזיטיב ובנגטיב, מירון מנסה להעביר לנו את תמצית זהותנו. לדבריו 'הזהות שלנו נקבעת בין הפנים לחוץ והמתח ביניהם, השבשבת נושבת לפי הרוח וזהותנו עדיין מתנודדת לפי משב הרוח'."
דודג' פאוור וואגון
דודג' פאוור וואגון (באנגלית : Dodge Power Wagon) הם מספר דגמים של משאיות קלות ו-טנדרים אשר יוצרו על ידי חטיבת דודג' בקונצרן המכוניות האמריקאי קרייזלר בין השנים 1969–1945.
מירה אברך
מירה אברך (6 ביוני 1925 – 17 בספטמבר 2013) הייתה עיתונאית ישראלית.
ביוגרפיה
מירה אברך נולדה בעיר קיל שבגרמניה. בשנת 1933 עלתה לישראל במסגרת העלייה החמישית. במלחמת העולם השנייה שירתה בצבא הבריטי ולאחר המלחמה הצטרפה לאצ"ל והשתתפה בהתקפת האצ"ל על יפו.
בשנת 1950 החלה לעסוק בעיתונות, תחילה כציירת אופנה בעיתון "חרות". ביוזמתו של דב יודקובסקי החלה, בתחילת שנות ה-50, לכתוב טור בנושאי חברה בעיתון "ידיעות אחרונות". כך, הייתה לכתבת-החברה הראשונה של העיתון, בימים בהם טורי הרכילות בעיתונות הישראלית היו מועטים מאוד. אברך הקפידה לטעון שהכתוב בטורים שלה אינו בגדר רכילות ושהיא כותבת רק על הצדדים החיוביים באנשים אותם היא מסקרת. בתפקידה זה התמידה עד אמצע שנות ה-90, ובמהלך השנים כתבה בעיקר על מדינאים, בישראל ובחו"ל.
פרסמה מספר ספרים, בהם "פולה" על אשת ראש הממשלה דוד בן-גוריון, "עולמם הקטן של גדולי עולם" והרומן "שש שעות-שנה". מחזה שכתבה בשם "תקרית גבול" הועלה בלונדון. בביוגרפיה של המחזאי סמואל בקט (חתן פרס נובל לספרות) מוזכר רומן קצרצר שהיה לו עם אברך.
אברך נישאה בשנת 1996 לד"ר מקס רייס.
היא נפטרה ב-17 בספטמבר 2013 ונקברה בבית העלמין בקיבוץ עינת.
קישורים חיצוניים
על כתביה:
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין (או בקיצור: כיכר התזמורת, מכונה גם: מתחם התרבות של תל אביב, כיכר התרבות או כיכר הבימה) הוא מתחם ציבורי במרכז העיר תל אביב בו נמצאים כמה מוסדות תרבות חשובים. המתחם כולל את בית הבימה, היכל התרבות, ביתן איל עופר ואת השטחים הפתוחים של כיכר התזמורת, כיכר הבימה וגן יעקב. בנוסף לריכוז מבני הציבור מהווה המתחם מפרק עירוני חשוב ביותר במרכז העיר אליו מתנקזים מספר רחובות חשובים.
Call of Duty: Black Ops
Call of Duty: Black Ops הוא משחק מחשב מסוגת פעולה מגוף ראשון שפותח על ידי Treyarch והופץ על ידי Activision. המשחק יצא ב-9 בנובמבר 2010 לפלייסטיישן 3, פלייסטיישן 4, Windows ,Wii, ולנינטנדו DS (בגרסה נפרדת שפותחה על ידי n-Space). ההכרזה הרשמית על המשחק הייתה ב-30 באפריל 2010. המשחק הוא השביעי בסדרת Call of Duty והראשון בה העוסק במלחמה הקרה. המשחק מהווה המשך לכותר החמישי בסדרה, Call of Duty: World at War.
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין
מתחם התרבות של תל אביב
המתחם בנוי בצורה המנקזת אליו כמה רחובות ראשיים ובעלי חשיבות רבה בשלד העירוני של מרכז תל אביב וככזה, מתפקד כמפרק עירוני חשוב במיוחד. המתחם בנוי בקצה הצפוני של שדרות רוטשילד המחבר אותו עם לב תל אביב והקצה המזרחי של שדרות בן ציון המובילות יחד עם רחוב בוגרשוב אל חוף הים. שדרות ח"ן ממשיכות מצפון למתחם עד כיכר רבין והמעבר בין שדרות רוטשילד אליהן הוא דרך גן יעקב ושבילים מקורים למחצה. לחלקו הצפוני של המתחם משיק רחוב דיזנגוף המתחבר מזרחית אל צומת הרחובות אבן גבירול וקפלן. מדרום מזרח לכיכר מגיע רחוב מרמורק, רחוב מסחרי קצר המוביל אל מפגש הרחובות המחומש עם אבן גבירול, יהודה הלוי, קרליבך ולסקוב המשמש בעצמו כמעין כיכר מסחרית. אל דרום מערב הכיכר מגיע רחוב אחד העם הממשיך לשדרות תרס"ט.
Call of Duty: Black Ops
בתוך 24 שעות מיציאתו, המשחק נמכר ב-7 מיליון עותקים רק בארצות הברית ובבריטניה, וכך שבר את שיא המכירות שקבע קודמו, Call of Duty: Modern Warfare 2.
משחקיות
Black Ops הוא משחק יריות בגוף ראשון, בו השחקן משחק בתור חייל רגלי. העלילה עוברת בין שלוש דמויות: שני לוחמי רשות הביון האמריקנית: ג'ייסון האדסון ואלכס מייסון, וכן חייל רוסי בשם ויקטור רזנוב. במשחק מגוון נשקים: מקלעים, רובי סער, סכינים, אקדחים, רימונים וקשתות מוצלבות. בנוסף נעשה שימש בכלי רכב שונים דוגמת מסוק וסירת מנוע, וכן לקרוא לגיבוי רכוב. לשחקן שלושה מצבים: עמידה, כריעה או שכיבה. לכל מצב השפעה שונה על מהירות התנועה, דיוק הירי וכן יכולת ההסוואה. לאחר ריצה השחקן מתעייף. כאשר השחקן נפגע משחקן או דמות אחרת, המסך מאדים, ומורה על כיוון הפגיעה. ניתן לראות את כמות כלי הנשק והתחמושת, הציוד, מפה, ובתנאים מסוימים – מראה את הכיוון אשר אליו יש ללכת.
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין
מתחם התרבות של תל אביב
סביב הכיכר מספר רחובות קטנים נוספים אשר שניים מהם קרויים על שם אישים מההיסטוריה של התזמורת הפילהרמונית הישראלית: מייסד התזמורת, ברוניסלב הוברמן, ומנצחה בקונצרט הראשון, ארטורו טוסקניני. לאורך רחוב הוברמן, פונה אל הכיכר שורה של בניינים טוריים אשר תוכננו על ידי דב כרמי ומכונים "בתי השוקולדה". הבניינים נבנו ב-1958 והם כוללים אכסדרה ארוכה והמשכית לכל אורך הרחוב המקנה לשורת הבתים מימד ציבורי, כמגדירי הדופן המזרחית של הכיכר.
Call of Duty: Black Ops
מרובה משתתפים
בפורמט זה ניתן לאפשר לשני שחקנים לשחק באותה הקונסולה. השחקן עולה דרגות וצובר נקודות. כמו כן הוא בוחר את כלי הנשק וציוד שלו ויכול לשדרג אותם באמצעות כסף שהוא צובר.
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין
מתחם התרבות של תל אביב
מתחם הבימה הוא גם אחד המוקדים המרכזיים של "העיר הלבנה" של תל אביב. מלבד בנייניו הבנויים בסגנון הבינלאומי מצויים סביבו עוד מספר רב של בנייני מגורים המוכרזים כבניינים לשימור כחלק מאתר המורשת.
עיצוב הכיכר
מעצב הכיכר דני קרוון ביקש לשלב בה אלמנטים שונים מימי תל אביב הקטנה, כפי שזכר אותם מילדותו. שדרת הברושים בשולי דופן הכיכר המזרחית היא הומאז' לשדרת ברושים שסימנה את הגבול בין תל אביב למושבה שרונה הסמוכה. גבעת השקמה הבודדת בצידה הדרום מזרחי של הכיכר, היא לזכר עצי השקמים הרבים שהיו בעיר, כהמשך לאלו שנותרו בסמוך בגן יעקב, וכהצדעה לאביו, מנהל מחלקת הגנים והנוף הראשון של העיר תל אביב. במרכז הכיכר גינה שקועה המחולקת לשלושה חלקים. הגינה היא לזכר משתלה וחווה חקלאית שהייתה במקום. כשקרוון היה תלמיד בבית הספר היסודי "כרמל", התלמידים היו הולכים ועובדים בחווה זו. ובכל ט"ו בשבט, כל ילד היה מקבל הביתה עציץ עם פרח אמנון ותמר. החלק הצפוני הוא גינת פרחים צבעונית (לזכר הפרחים שגידלו במשתלה), במרכז מטע עצי פרי פרחוניים (במקור תכנן שאלו יהיו עצי שקד מצוי שהיו נפוצים בעיר, אך הם אינם פורחים כראוי בתל אביב עקב זיהום האוויר והוחלפו בעצי אגס) החלק השלישי כולל צמחיית חוף ודיונות שהייתה נפוצה באזור. מרצפות הבטון הבהירות, בגוון חולי־צהבהב, שנוצקו במיוחד לפרויקט על פי מאפיינים שקבע קרוון, מסמלים את חוף הים.
Call of Duty: Black Ops
עלילה
המשחק נפתח בחקירה אגרסיבית של הדמות הראשית, סוכן ה-CIA אלכס מייסון. החוקרים שואלים אותו על המבצעים שבהם הוא השתתף. מייסון מספר על פגישה שלו ושל שני חבריו, פרנק וודס וג'וזף באומן, שהתקיימה ב-17 באפריל 1961. השלושה נפגשו בבר בקובה עם אדם בשם קרלוס, המכונה X. קרלוס נותן להם מידע על המחבוא של נשיא קובה, פידל קסטרו, במפרץ החזירים. מיד לאחר מכן חיילים קובניים פורצים לבר והורגים כמה מהנוכחים. אחד החיילים מנסה לתקוף את מייסון ובשנייה האחרונה לפני שהוא תוקף את מייסון, וודס חוטף את סכינו של החייל, דוקר אותו בידו, והורגו בעזרת בקבוק ויסקי ששתה קרלוס. קרלוס בורח ומייסון, וודס ובאומן נוסעים למחבואו של קסטרו. מייסון הורג את קסטרו והשלישייה נמלטת לעבר מטוס החילוץ. החיילים הקובנים מנסים לפגוע במטוס ולבסוף מצליחים ללכוד את מייסון שיורד מהמטוס כדי לירות במחסום המונע ממנו להמריא, והוא מאבד את הכרתו. כשהוא מתעורר הוא מגלה שהקובנים ידעו על המבצע שלהם, ושלמעשה הם הרגו רק את הכפיל של קסטרו. קסטרו נותן את מייסון כמתנה לקצין סובייטי בשם ניקיטה דרגוביץ׳ תוך כריתת ברית עימו נגד המערב.
מבצע מרכבות האלים
הכוח יצא למבצע ב-14 במאי 1997 וכלל 26 לוחמים - לוחמי סיירת צנחנים ושני לוחמים מסיירת יעל, שהיו אמורים לבצע את המילכוד. מפקד הכוח היה רס"ן מוטי ברוך, מפקד הסיירת, ועל חפ"ק המבצע, שהתמקם במרג' עיון, פיקד מפקד חטיבת הצנחנים, אלוף-משנה בני גנץ.
כיכר התזמורת ע"ש ליאונרד ברנשטיין
עיצוב הכיכר
בכיכר שלבו גם אלמנטים פונקציונליים. שדרת עצי סיגלון חד-עלים, שלאורך הדופן המערבית, משמשת לקישור בין שדרות רוטשילד לשדרות ח"ן. מעל הדרגנועים של החניון הותקנו חלונות, משולבים ברצפת הכיכר, המכניסים אור טבעי ללב החניון. הפרגולה בצידה המזרחי מקשרת בין שני המעליות של החניון וכוללת שורת ספסלים שלצידה שלוש במות (עגולה, מרובעת ומשולשת) למופעים.