cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
הפסד
מס הכנסה על ההפסד
פסיקת ביהמ"ש העליון קבעה כללים וסייגים לאפשרות לקזז רווחים מהפסדי עבר שנצברו בחברה שנרכשה, אולם פסיקה זו קובעת כי לא כל רכישה של חברה בהפסדים מהווה עסקה מלאכותית (הפסולה לפי ). כאשר מדובר בחברה הממשיכה את פעילותה המקורית או כאשר המוטיבציה העיקרית היא הניסיון לשקם את החברה המפסידה, סביר שיתאפשר לנישום לקזז את הרווחים שייווצרו לאחר הרכישה מהפסדי המס הצבורים של החברה.
לאור כל האמור מחושב בדרך כלל השווי של חברה בהפסדים כשווי מגן המס שלה, בתוספת ההון העצמי הנקי שלה (נכסים בניכוי התחייבויות). שווי מגן המס של הפסדים צבורים שווה לרוב לסך ההפסדים המוכרים לצורך מס כפול שיעור המס האפקטיבי של הנישום-הרוכש, שכן זהו סך המס הצפוי להיחסך אצל הנישום-הרוכש בגין הרכישה.
קרולאופר
קרולאופר (בגרמנית: Krolloper) היה בית אופרה בברלין, גרמניה, בקצה המערבי של קניגספלאץ (כיום כיכר הרפובליקה), מול הרייכסטאג.
היסטוריה
הבניין נבנה בשנת 1844 כאתר בילוי ושעשועים למסעדן יוזף קרול, על מגרש שתרם פרידריך וילהלם הרביעי. הבניין עבר שינויים והתאמה לבית אופרה בשנת 1851 ושימש בעלים ובמאים שונים לאופרה, אופרטה ודרמה. בשנת 1895 הוכנסו בו שינויים נוספים והוא נפתח מחדש כתיאטרון האופרה המלכותי החדש, שהפעילו הלהקות הפרוסיות הממלכתית לאופרה ודרמה.
בשנת 1924 ניתן לבניין השם האופרה הממלכתית בכיכר הרפובליקה, אך הוא נשאר מוכר יותר בשם הקרולאופר. במשך שנות ה-20' היה מנצח הבית אוטו קלמפרר. בקרולאופר עלו הצגות הבכורה העולמיות של "חדשות היום" מאת פאול הינדמית בשנת 1929 ו-Begleitmusik zu einer Lichtspielszene של ארנולד שנברג ב-1930.
אחרי שריפת הרייכסטאג ב-1933, שגרמה נזק קשה לבניינו, הייתה הקרולאופר למושב הרייכסטאג, שהיה אותו זמן בשליטת המפלגה הנאצית. בית האופרה נבחר לתכלית זו הן בשל מיקומו הנוח והן בזכות חלל המושבים המרווח שלו. ב-23 במרץ 1933 העביר מושב הרייכסטאג בקרולאופר את "חוק ההסמכה", שנתן לאדולף היטלר סמכויות בלתי מוגבלות למעשה. הקרולאופר שימש למושבי הרייכסטאג במשך כל תקופת השלטון הנאצי והיה אתר נאומיו חוצבי הלהבות של היטלר. כאן נשא היטלר ב-30 בינואר 1939 את נאומו ה"נבואי", שבו אמר, כי "אם בעלי ההון היהודים הבינלאומיים באירופה ומחוצה לה יצליחו לדחוף שוב את האומות למלחמת עולם, התוצאה לא תהיה השתלטות הבולשביזם על כדור הארץ, שהייתה מביאה לניצחון היהדות, אלא השמדת הגזע היהודי באירופה."
המושב האחרון של הרייכסטאג התנהל בקרולאופר ב-26 באפריל 1942 והגזרה שעברה בו איפשרה להיטלר לעקוף את בתי המשפט והמנהל בכל נושא ועניין. הבניין נהרס בהפצצת בעלות הברית ב-22 בנובמבר 1943 וההריסות פונו בשנת 1951.
שער חליפין קבוע
שער חליפין קבוע הוא שער חליפין שנקבע על ידי הממשלה או גוף חוקי מוסמך אחר בעל הסמכות המוניטרית; זאת, בניגוד לשער חליפין נייד שמתנייד על פי כוחות השוק. את שער החליפין הקבוע אפשר להוריד, פעולה הנקראת "פיחות"; או להעלות, פעולה המכונה "ייסוף".
שער חליפין קבוע יכול להיקבע במדינה מסוימת או במספר מדינות במקביל, על פי הסכם כלכלי ביניהן. כאשר מונהג שער חליפין קבוע, נוהג הבנק המרכזי להתערב בשוק המטבעות כשהוא קונה או מוכר את המטבע שעליו קיים השער, כדי למנוע פער בין השער שאמור להיות על פי כוחות השוק לבין השער שנקבע. הסמכות המוניטרית תקבע את שער החליפין במונחים של משקל קבוע של זהב שנמצא ברשותה או סכום קבוע של יתרות מטבע או סל מטבעות.
בשיטת שער החליפין הקבוע הסמכות המוניטרית מנתבת את השער לכיוון הרצוי לה. אולם, הסמכות המוניטרית מאבדת בכך את שליטתה על כמות יתרות מטבע החוץ, וכמו כן הקנייה והמכירה של מטבע חוץ משנות את כמות הכסף במשק, דבר המאלץ את הבנק המרכזי לנקוט פעולות אחרות שיש להן השפעה על כמות הכסף. בנוסף, התערבות הבנק המרכזי כוחה יפה במיתון תנודות קצרות טווח; כאשר מתרחשים במשק שינויים מהותיים, ההתערבות אינה יעילה.
פטריק הנרי
פטריק הנרי (באנגלית: Patrick Henry; 29 במאי 1736 – 6 ביוני 1799) היה אחד האבות המייסדים של ארצות הברית, שנודע וזכור בעיקר בזכות נאומו "הבו לי חירות או הבו לי מוות!". לצד סמואל אדמס ותומאס פיין היה אחד התומכים המשפיעים (והרדיקאליים) למען המהפכה האמריקאית ולמען רפובליקניזם, במיוחד בגינוי שלו את השחיתות בקרב בכירים בממשל וההגנה שלו על זכויות היסטוריות. כיהן כמושל וירג'יניה הראשון והשישי.
חייו
הנרי נולד במושבה וירג'יניה, בן לשופט. לאחר שנכשל בכמה עסקים פרטיים מצא את ייעודו בתחום הפרקליטות והפך לפרקליט ודמגוג מוכשר. ב-1765 נבחר לבית הנבחרים של ווירג'יניה. בקיץ אותה שנה תקף את חוק הבולים והגיש הכרזה את אוטונומית חקיקה של המושבה. הוא עורר מורת רוח כאשר אמר כי "ליוליוס קיסר היה ברוטוס לצ'ארלס הראשון היה קרומוול ולג'ורג' השלישי כדאי ללמוד לקח משניהם".
הנרי ידוע במיוחד אולי בזכות הנאום שלו בפני בית הנבחרים (House of Burgesses) של וירג'יניה ב-23 במרץ 1775 שעודד את המחוקקים לנקוט בפעולה צבאית נגד כוחות הצבא הבריטי המתקדם. בית הנבחרים התכנס בכנסיית סיינט ג'ון בריצ'מונד ולא הצליח לקבל החלטה האם לשלוח כוחות או לא, תוך נטייה שלא לשלוח. הנרי חתם את הנאום שלו במילים:
בשלב זה, הקהל קפץ על רגליו וצעק "אל הנשק! אל הנשק!".
הטקסט של הנאום הגיע לדפוס רק בשנת 1817, בביוגרפיה "החיים והאופי של פטריק הנרי" מאת ויליאם וירט. אף על פי שווירט הרכיב את ספרו מזכרונם של אנשים שהיו קרובים לאירועים, חלק מההיסטוריונים העלו השערות שהנאום, או לפחות צורתו המוכרת כיום נכתבה למעשה על ידי וירט עשורים לאחר האירוע. בשל התבטאויותיו האנטי-בריטיות הוציא אותו המושל הבריטי בשנת 1775 אל מחוץ לחוק.
ג'ים קינג
ג'יימס לאונרד "ג'ים" קינג (באנגלית: James Leonard "Jim" King; נולד ב-7 בפברואר 1941) הוא כדורסלן עבר אמריקאי, אשר שיחק בליגת ה-NBA בין השנים 1963–1973. בעונת השתתף במשחק האולסטאר של ה-NBA כשחקן סן פרנסיסקו ווריורס, ולאורך 10 עונותיו בליגה רשם ממוצעים כוללים של 7.2 נקודות, 2.5 ריבאונדים ו-2.3 אסיסטים למשחק.
קריירת משחק
קינג נולד בעיר בראנץ' שבארקנסו, ובין השנים 1959–1963 למד באוניברסיטת טלסה אשר בטלסה, אוקלהומה. לאורך 3 עונותיו בליגת המכללות העמיד ממוצעים כוללים של 14.7 נקודות ו-7.0 ריבאונדים למשחק.
בדראפט ה-NBA 1963 נבחר קינג בבחירה ה-13, על ידי קבוצת לוס אנג'לס לייקרס. ב-3 עונותיו עם הלייקרס שימש כשחקן ספסל, וקלע 6.1 נקודות בממוצע למשחק. בעונות ו- העפילה הקבוצה לגמר ה-NBA, אך בשני המקרים הפסידה מול בוסטון סלטיקס בסדרת הגמר.
בדראפט ההרחבה של שנת 1966 נבחר קינג על ידי שיקגו בולס, ומיד לאחר מכן נשלח עם ג'ף מאלינס בטרייד לסן פרנסיסקו ווריורס, בתמורה לגאי רוג'רס. בפלייאוף סייע לווריורס להעפיל לגמר ה-NBA, ובסדרת הגמר אף הצטיין עם ממוצעים של 18.3 נקודות, 8.2 ריבאונדים ו-4.5 אסיסטים למשחק, אולם קבוצתו נכנעה לפילדלפיה 76' בתוצאה 2–4. בעונת רשם ממוצעים של 16.6 נקודות, 4.5 ריבאונדים ו-4.2 אסיסטים למשחק, ונבחר להשתתף במשחק האולסטאר לצד חבריו לקבוצה רודי לרוסו וקלייד לי.
בעונת, לאחר 3 שנים בסן פרנסיסקו, עבר לשחק בסינסינטי רויאלס, וב-3 העונות הבאות שיחק בשיקגו בולס. בסיום עונת פרש קינג ממשחק, בגיל 32.
קריירת אימון
בשנת 1975 מונה למאמן קבוצת הכדורסל של אוניברסיטת טלסה, בה שיחק בעברו כסטודנט. בפברואר 1980 התפטר מתפקידו, לאחר כ-4 שנים וחצי. לאורך התקופה רשמה הקבוצה מאזן כולל של 43 ניצחונות ו-83 הפסדים (34.1%).
כלנית
הכלנית (שם מדעי: Anemone) או שושנת המלך, היא סוג פרח ממשפחת הנוריתיים בו כ-120 מינים הנפוצים בכל העולם למעט אוסטרליה ואנטארקטיקה. שמו העברי של הפרח ניתן על ידי החוקר היהודי עמנואל לעף בספרו "צמחי היהודים".
מיני הכלנית הם גאופיטים רב-שנתיים. בעולם הם נפוצים בעיקר באזורים בעלי אקלים מתון או קריר בחצי הכדור הצפוני והדרומי. בארץ ישראל מיוצג הסוג על ידי מין יחיד – כלנית מצויה (Anemone coronaria) – צמח מוגן אשר נפוץ מצפון הארץ עד הר הנגב. הכלנית פורחת מסוף דצמבר ועד סוף מרץ. ניתן לזהותה על פי טבעת פנימית לבנה בעלי הכותרת שלה (בכלניות מבוגרות בלבד). בדרך כלל בעלת חמישה-שישה עלי כותרת. פרח הכלנית ידוע בשלל צבעיו.
בתקופת המנדט הבריטי על ארץ ישראל קראו לחיילי הדיוויזיה המוטסת השישית של הצבא הבריטי "כלניות" על שם כומתותיהם האדומות.
בגן הבוטני בירושלים מגודלים כמה מינים של כלניות מאירופה לצד הכלנית המצויה: כלנית אלפינית (Anemone alpina), כלנית נעימה (Anemone blanda) ובת-כלנית (Anemone pulsatilla). מינים נוספים שקנו להם מקום בגינון הישראלי: כלנית יפנית (Anemone hupehensis), כלנית היערות (Anemone sylvestris), Anemone pavonina שגדלה בדרום אירופה ודומה לכלנית המצויה וכלנית מספרד (Anemone palmata). המינים האלו מגודלים בהצלחה כצמחי תרבות באזור ההר הגבוה של ישראל.
הערות שוליים
2.נערך ב-3.5.2020 על ידי Darktermi Gaming
אש נגד-סוללות
אש נגד-סוללות (מכונה לעיתים אש נגד-סוללה; בראשי תיבות: אש נ"ס; באנגלית: Counter-battery fire) או אש מנגד, הוא מונח המתאר פעילות צבאית התקפית, לרוב ארטילרית, המכוונת לפגיעה במערכי האש הארטילריים של האויב (תותחים, משגרי רקטות מרגמות וכו'). מטרת האש נגד-סוללות היא שיתוק ודיכוי מאמץ האש של הצד האחד באמצעות שימוש באש מהצד השני. לפי נאט"ו, אש נגד-סוללות היא "אש המסופקת לצורך הרס או נטרול מערכת סיוע האש של האויב".
יישום
דוגמאות להפעלות נרחבות של אש מנגד בצה״ל מופיעות בעיקרם במבצעי ״עמוד ענן״ (2012), ״צוק איתן״ (2014), ״שומר החומות״ (2021), ו״עלות השחר״ (2022).
פעולות אלו באו לידי ביטוי בהשמדת - עמדות לשיגור רקטות, מתקנים לייצור רקטות, סוללות נ״מ, סוללות מרגמה, מטרות שמפעילות טילי כתף, ועוד. עיקרי ריכוזיי האש היו לעבר מטרות המפעילות ירי תלול מסלול הן של חמאס והן של הג׳יהאד האסלמי. פעולות אלו התבצעו בעיקרם בתקיפות אוויר-קרקע, הן של מטוסי קרב והן של כטמ״מים חמושים.
בנוסף לתקיפות מהאוויר ביצע צה״ל גם מאמץ אש יבשתי (טנקים, המערך קני של חיל התותחנים, יחידת מורן, ויחידות קומנדו המפעילות טילי כתף מדויקים כמו אגוז ומגלן).
לפי פרסומים של דו״צ, במבצע ״שומר החומות״, הושמדו גם מטרות המפעילות אש מנגד ברצועת עזה על ידי ספינות טילים ישראליות מדגם ״סער 5״ של זרוע הים באמצעות טילים מדויקים.
צעדי נגד
כוחות ארטילריים הסופגים אש נגד-סוללות נוקטים שורה של אמצעי התגוננות על מנת לסכל את מאמצי האויב לפגוע בהם:
אלון זינגמן
אלון זינגמן (נולד ב-28 בנובמבר 1971) הוא במאי קולנוע, במאי טלוויזיה ותסריטאי ישראלי. בין עבודותיו הבולטות, הסדרות ״שטיסל״ ו״מנאייכ״ עליהן זכה שלוש פעמים בפרס האקדמיה הישראלית לטלוויזיה על בימוי בסדרת דרמה.
ביוגרפיה
גדל בנהריה ובחיפה להורים שעלו מארגנטינה בשנות השישים. אביו היה פסיכיאטר. הוא סיים את לימודיו בתיכון ליאו בק בחיפה בשנת 1989 ובין השנים 1990 ל-1993 שירת בצה"ל. סיים תואר ראשון במגמת הפקה בחוג לקולנוע וטלוויזיה באוניברסיטת תל אביב (2000) ותואר שני מעשי (MFA) בחוג לקולנוע באוניברסיטת תל אביב (2005).
קריירה
בשנת 2000 זכה בפרס וולג'ין לסרט הקצר הטוב ביותר בפסטיבל ירושלים על סרטו הקצר "כאב השיניים של הרצל".
בשנת 2002 ביים את הסרט התיעודי "מטרו" על הרכבת התחתית בברצלונה.
בשנת 2011 יצא להקרנות בבתי הקולנוע, סרטו הראשון באורך מלא, "בין השמשות". בסרט משתתפים בין השאר: ריימונד אמסלם, שמיל בן ארי, גל זייד, רותם זיסמן-כהן, יערה פלציג, אורלי זילברשץ-בנאי, נטליה פאוסט, רמי דנון ומיכאלה עשת. הסרט זכה בפרס בקטגוריית סרט הביכורים בפסטיבל חיפה.
בשנת 2013 ביים זינגמן את שטיסל, סדרת דרמה מצליחה בת 12 פרקים שעלתה לשידור בערוץ yes oh ב-29 ביוני 2013, וגרפה את מרבית הפרסים בטקס פרסי הטלוויזיה באותה שנה, כולל את פרס סדרת הדרמה הטובה ביותר, הבימוי הטוב ביותר והתסריט הטוב ביותר.
בשנת 2014 ביים את משפחה טובה, סדרת דרמה בת 12 פרקים לערוץ הראשון, שעלתה לשידור בנובמבר 2014.
ב 2015 שודרה העונה השנייה של שטיסל גם היא בת 12 פרקים בבימויו. גם העונה השנייה זכתה להצלחה רבה בקרב הביקורת והקהל, ובטקס פרסי הטלוויזיה זכתה בשישה פרסים.
אלון זכה בפרס הבימוי הטוב ביותר בסדרת דרמה.
במהלך 2017–2018 שודרו שתי העונות של סדרת הדרמה כיפת ברזל (סדרת טלוויזיה) בזכיינית ערוץ 2 "קשת". גם כאן, זינגמן היה מועמד לפרס הבימוי הטוב ביותר.
באוקטובר 2018 עלתה לשידור סדרת הדרמה המנצח בבימויו של זינגמן, וזכתה לשבחיי הביקורת.
בשנת 2022 ביים את העונה השנייה של מנאייכ.
בשנת 2023 ביים את הסדרה שמיים אדומים שעלתה ברשת 13,בנוסף ביים את העונה השלישית של מנאייכ
פרסים
2010 פרס סרט הביכורים על בין השמשות בפסטיבל חיפה.
2011 פרס הסרט האקומני על בין השמשות בפסטיבל הקולנוע הבינלאומי מנהיים-היידלברג.
2011 פרס התאחדות בתי הקולנוע על בין השמשות בפסטיבל הקולנוע הבינלאומי מנהיים-היידלברג.
2013 פרס האקדמיה לקולנוע וטלוויזיה על הבימוי הטוב ביותר בסדרת דרמה על שטיסל.
2015 פרס האקדמיה לקולנוע וטלוויזיה על הבימוי הטוב ביותר בסדרת דרמה על שטיסל - עונה 2.
2020 פרס האקדמיה לקולנוע וטלוויזיה על הבימוי הטוב ביותר בסדרת דרמה על מנאייכ - עונה 1.
חיים אישיים
נשוי לאתי לי-און זינגמן, עורכת קולנוע. ולהם שלושה ילדים.
בוכרה (מסעדה)
תיאור
מסעדת בוכרה מעוצבת בקירות ברזל, עמודי עץ ושרפרפים מרופדים בכרים ושולחנות עץ. היא מציעה מטבח פתוח, שם בשר וירקות נתלים על שיפודי קבב. המסעדה מגישה מטבח ממחוז הספר הצפון-מערבי של פקיסטן המוכן על תנור טנדורי מחימר, עם דגש מיוחד על קבב. על מנת לעודד את הסועדים לאכול את הקבבים במסעדה בעזרת ידיהם, לא מוגש סכו"ם וניתנים להם סינרים.
המסעדה מפורסמת בשל הקבב שלה ותבשילי ההיכר שלה הכוללים סיקנדרי ראן (רגל שלמה של טלה מושרית בציר) ומורג' מאלאי קבב (קבב עוף שמנתי). ג.פ. סינג (J.P. Singh) הוא השף הראשי של המסעדה, שמגישה אותו תפריט במשך שלושים השנים האחרונות.
ביקורי ידוענים
ביל קלינטון בחר לשהות לעיתים קרובות במלון מאוריה בגלל תבשילי המסעדה. ולדימיר פוטין רצה לאכול במסעדה שלוש פעמים ביום כשהיה בניו דלהי. ב-2009, מזכירת המדינה האמריקנית הילרי קלינטון, ביקרה אף היא במסעדה, המנה "ארוחת הילרי" (Hillary Platter) נכללה מאז אותה עת בתפריט, ביחד עם "הארוחה הנשיאותית" (Presidential Platter) המבוססת על התבשילים הלא-צמחוניים אותם הזמין ביל קלינטון במהלך ביקורו, וגם "ארוחת צ'לסי" (Chelsea Platter), המורכבת מתבשילים צמחוניים שהזמינה צ'לסי קלינטון.
ערבסקה
עַרַבֶּסְקַה (מצרפתית: arabesque) היא מוטיב עיטורי המציין מערך מופשט של קווים וצורות החוזרים כדגם. לרוב מדובר בעיטור עלים, קנוקנות וגבעולים מפותלים, השזורים זה בזה והיוצרים תבנית גאומטרית. פעמים רבות מדובר בעיטור בודד החוזר על עצמו.
מודל wireframe
מכיוון שההדמיה של מודל wireframe בתוכנות מחשב היא מהירה ופשוטה יחסית לחישוב, לעיתים רבות נעשה שימוש במודלי wireframe פשוטים יחסית במקרים בהם יש צורך לבצע הדמיה בזמן אמת כאשר קצב רענון הפריימים גבוה יחסית - לדוגמה, במהלך שנות ה-80 ושנות ה-90 של המאה ה-20 נעשה שימוש נרחב במודלי wireframe במשחקי וידאו על מנת לשלב במשחקים אובייקטים תלת־ממדיים אשר נעים בזמן אמת.
ערבסקה
התפתחות הערבסקות
תאוריות אמנותיות שונות מייחסות לערבסקה המוסלמית את השאיפה לתיאור מיסטי ורוחני. בתקופה המודרנית משמשת הערבסקה דוגמה ליחס שווה בין דימוי לרקע, כלומר כצורה לביטול היררכיות.
מקורות השראה
המקור האיקונוגרפי העיקרי של צורות הערבסקה הוא במוטיבים צמחיים כדוגמת מוטיב השריגים. מקורות אחרים המופיעים בעיקר באמנות המוסלמית הם טקסטים מן הקוראן הנשזרים לדגם מופשט.
באמנות המודרנית בולט השימוש בערבסקות כצורות לעיטור רהיטים באמנות האר-נובו וכן כאלמנט בתוך ציורים אצל ציירים מודרניים כגון אנרי מאטיס.
תכנון ליניארי
בעיית תכנון ליניארי היא בעיית אופטימיזציה של ביטוי ליניארי תחת אילוצים ליניאריים. כלומר, בהינתן משתנים ומערכת של אי-שוויונות בין משוואה ליניארית על הערכים לבין קבוע, למצוא את הערך המקסימלי או המינימלי שפונקציה ליניארית כלשהי יכולה לקבל. (ראו דוגמה מפורטת בהמשך הערך לבעיה כזאת) לבעיות אלה חשיבות גדולה במתמטיקה ובמדעי המחשב ואף מחוץ להם, בתחומים כמו כלכלה וחקר ביצועים.
לבעיות אלו פותחו אלגוריתמים שונים כגון שיטת הסימפלקס, אשר רצים בסיבוכיות שונה ומתאימים לבעיות שונות, והן נתונות למחקר מתמיד.
וריאציה על הבעיה בעלת חשיבות מיוחדת היא תכנון ליניארי בשלמים - אותה בעיה, בה דורשים בנוסף שהמשתנים יקבלו ערכים שלמים. בעיה זאת היא NP-שלמה וגם היא נחקרה רבות.
הקדמה
בעיית תכנון ליניארי מורכבת מאוסף משתנים x_1,...,x_n, עליהם יש אילוצים ליניאריים. אילוץ ליניארי הוא אי-שוויון בין משוואה ליניארית על המשתנים לבין קבוע, כלומר או. (ניתן גם לדרוש שוויון; אם תנאי הבעיה אינם מאפשרים זאת, הוא שקול לשני האי-שוויונות יחד). בנוסף ישנה פונקציית מטרה שאותה יש למזער או למקסם.
בנוסף למערכת האי שוויונות, נניח שפונקציית המטרה היא למקסם את. ניתן לראות שהצבת הפתרון הראשון שהצגנו נותנת, ואילו הצבת הפתרון השני נותנת. לכן, הפתרון השני נותן ערך גבוה יותר לפונקציית המטרה. ניתן להראות (בשיטות שידונו בהמשך הערך) שכל פתרון חוקי אחר שנציב למשתנים יתן ערך קטן יותר מ-16, ועל כן הוא הפתרון האופטימלי.
כתיב מטרציוני
למשל, את הבעיה שהצגנו לעיל ניתן להציג בכתיב מטרציוני כך: בכתיב זה, בעיית תכנון ליניארי כוללת וקטור x באורך n, מטריצה A בגודל m \times n, וקטור b בגודל m, ווקטור c בגודל n, כך שהבעיה היא למקסם/למזער את c^Tx תחת האילוצים Ax\le b או Ax\ge b.
צורה קנונית
בעיית תכנון ליניארי תקרא "צורה קנונית" אם היא מקיימת את התכונות הבאות: כל בעיית תכנון ליניארי ניתן להעביר לצורה קנונית: סך הכול הגדלנו את כמות המשתנים והמשוואות פי 2 לכל היותר.
צורת slack
צורת הצגה נוספת, בעלת חשיבות באלגוריתמים כגון שיטת הסימפלקס. בצורה זו מוסיפים משתני עזר (הנקראים משתני slack) כדי תנאי הבעיה יהיו שוויונות או תנאי אי שליליות על משתנים, וגם פונקציית המטרה היא של משתנה אחד בלבד.
בכתיב מטריציוני, הבעיה היא (המטריצה היא מטריצת בלוקים) כאשר x הם המשתנים המקוריים, s הם משתני ה slack, ו-z הוא המשתנה שיש למקסם.
לדוגמה, אם הבעיה היא: אז צורת ה-slack המתאימה היא:
הצגה גאומטרית
ניתן לחשוב על הווקטורים באורך n כעל נקודות במרחב ה-n ממדי. במקרה זה, כל אילוץ חוצה את המרחב לשני חצאי מרחבים, כך שהפתרונות החוקיים נמצאים באחד מהם. אוסף האילוצים יחדיו מתורגם לחיתוך בין חצאי המרחבים.
למשל, אם ישנם שני משתנים כל התנאים הם חצאי מישורים, ואם החיתוך שלהם חסום, הוא מצולע קמור. במרחב n ממדי כללי, החיתוך הוא פאון קמור. (הערה: משיקולי נוחות, נתייחס בהמשך ערך זה לצורות גיאומטריות אלה כמצולע או פאון גם אם הן אינן חסומות ועל כן אינן מצולע/פאון במובן הרגיל. כך גם עושים בספרות המקצועית בנושא).
קבוצת הפתרונות האופטימליים היא פוליטופ ממד קטן יותר (או שווה במקרה שהפונקציה קבועה) שנמצאת בקצה הפוליטופ. למשל, אם הבעיה ניתנת להצגה כפאון, הרי שקבוצת הפתרונות האופטמיליים יכולה להיות קודקוד של הפאון, צלע של הפאון, או פאה שלו.
בתמונה משמאל ניתן לראות הצגה גיאומטרית של בעיית תכנון ליניארי בשני משתנים. בעיה כזו אפשר להציג במרחב הדו-ממדי, כלומר במישור. שלושת הישרים הצבעוניים הם אילוצים ליניאריים, שמחייבים את הפתרונות להיות מתחתם. בנוסף אילוצי אי שליליות על המשתנים גוררים שהם חייבים להיות ברביע הראשון. האזור שהם יכולים להיות בו מסומן בצבע כחול, וניתן לראות שהוא מחומש.
תכנון ליניארי בשלמים
תכנון ליניארי בשלמים (ILP - Integer Linear Programming) מציין בעיה דומה לבעיית התכנון הליניארי, אלא שהמשתנים חייבים לקבל ערכים שלמים דווקא. בניגוד לבעיית תכנון ליניארי רגילה שלה יש פתרון פולינומי, בעיה זאת היא NP קשה. הצגתה כבעיית הכרעה (האם קיים פתרון שבו ערך פונקציית המטרה עולה על ערך מסוים) היא בעיה NP שלמה.
למעשה, זוהי אחת מהבעיות שהופיעו במאמר המפורסם של ריצ'רד קארפ מ-1972, בו הוא הציג רשימה של 21 בעיות NP שלמות. למעשה הבעיה אותה הציג קארפ חלשה הרבה יותר: המשתנים יכולים לקבל ערכים בוליאנים בלבד (0 או 1), ואין פונקציית מטרה למקסם - צריך לענות רק על השאלה האם קיים פתרון או לא. הוא הציג רדוקציה מבעיית הספיקות.
כיוון שלא ידוע האם P=NP, לא ידוע האם יש אלגוריתם פולינומי לפתרון בעיית תכנון ליניארי בשלמים. עם זאת, קיימים היום אלגוריתמים שמאפשרים לפתור רבות מהבעיות בזמן סביר, ועל כן פעמים רבות רדוקציה פולינומית מבעיה מסוימת לבעיית תכנון ליניארי בשלמים מספיקה כדי למצוא לה פתרון משביע רצון. למעשה, את רוב הבעיות הNP שלמות ניתן להפוך לבעיות תכנון ליניארי בשלמים בקלות יחסית. משום כך יש לאלגוריתמים לפתרון תכנון ליניארי בשלמים חשיבות גדולה, הן תאורטית והן מעשית, והם מאפשרים לפתור בעיות סיפוק אילוצים רבות.
ניתן גם לדרוש שרק חלק מהמשתנים יהיו שלמים; בעיה כזאת נקראת "תכנון ליניארי מעורב" (MIP - Mixed Integer Programming) והיא קשה לפחות כמו תכנון ליניארי בשלמים, כי כל בעיית תכנון ליניארי בשלמים היא בפרט גם בעיית תכנון ליניארי מעורב.
תכנון ליניארי שלם
כאשר ידוע שלבעיית תכנון ליניארי יש פתרון אופטימלי שבו כל המשתנים שלמים, היא נקראת בעיית תכנון ליניארי שלמה. שימו לב שעדיין ייתכן שיהיו לה גם פתרונות אופטימליים לא שלמים, כי יכולים להיות הרבה פתרונות אופטימליים. זיהוי בעיה כזאת הוא חשוב, שכן במקרה זה אלגוריתם יעיל למציאת פתרון שלם יוכל לכלול פתרון הבעיה הרגילה (לאו דווקא בשלמים) וחילוץ הפתרונות השלמים מתוכה.
דוגמה לקריטריון כזה היא: בהינתן בעיה Ax \ge b, אם המטריצה A היא בעלת ערכים שלמים ויונימודולרית לחלוטין, כלומר הדטרמיננטה של כל תת-מטריצה של A היא 0, 1, או 1-. בנוסף, כל הערכים של b צריכים להיות שלמים.
הקצאת משאבים
נניח שבמפעל מסוים רוצים לייצר שלושה מוצרים: מוצר 1, מוצר 2 ומוצר 3. לכל מוצר צריך כמות מסוימת של מים ושל חשמל כדי לייצר אותו. כמות המים והחשמל של המפעל מוגבלות. כמו כן לכל מוצר יש מחיר אחר בו אפשר למכור אותו. נניח שלמוצר ה-i צריך e_i חשמל לקילו, w_i מים לקילו, ומקבלים תמורתו c_i שקלים לקילו. סה"כ יש למפעל e חשמל ו-w מים. אז ניתן לכתוב את המשוואות הבאות:
פתרון הבעיה ימצא את המספרים x_1,x_2,x_3, מהם ניתן למצוא את הכמויות שנייצר מכל מוצר.
בעיית הזרמה
נאמר שבמדינה מסוימת יש 3 נמלים ו-2 תחנות כוח. בנמל מספר i פורקים בכל יום a_i ליטרים של נפט. תחנת כוח מספר j זקוקה ל-b_j ליטרים כדי לפעול. כמו כן בין נמל i לתחנה j יש כביש באורך c_{i,j} (כאשר עלות ההובלה של ליטר נפט לקילומטר היא קבועה). יש למצוא איך להזרים נפט במינימום מחיר.
כדי לפתור את הבעיה נגדיר 6 משתנים: כאשר משתנה x_{i,j} פירושו "כמות הליטרים שמזרימים מנמל i לתחנה j ".
האילוצים הם: שלושת האילוצים הראשונים הם על הנמלים - כל נמל יכול להוציא לכל היותר את כמות הנפט שיש לו. שני האילוצים שאחר כך הם אילוצים על התחנות - כל תחנה צריכה לקבל כמות מספקת של נפט. לאחר מכן יש אילוץ אי-שליליות (אי אפשר להעביר כמות שלילית של נפט). פונקציית המטרה היא העלות הכוללת של השינוע ויש למזער אותה.
בעיית כיסוי הקודקודים
בעיית כיסוי הקודקודים היא: בהינתן גרף G, יש למצוא קבוצת קודקודים קטנה ביותר S, כך שלכל קשת e המקיימת e=(u,v), לפחות אחד מהקודקודים u,v נמצא ב-S. זוהי בעיה NP קשה. נציג בעיית תכנון ליניארי בשלמים שפותרת אותה:
ארז בן ציון
ארז בן ציון (נולד בשנת 1980) הוא קצין צה"ל בדרגת אלוף-משנה ששירת כמפקד שייטת ספינות הטילים.
תכנון ליניארי
בעיית כיסוי הקודקודים
לכל קודקוד v יהיה משתנה x_v שאומר "הקודקוד v ב-S" אז המשוואות הן: לכל קשת (u,v), המשוואה תהיה (כלומר לפחות אחד מהקודקודים אכן ב-S). ובנוסף נדרוש x_v\ge 0 לכל קודקוד v. (אין צורך לדרוש x_u\le 1 שכן זה בהכרח יתקיים בפתרון המינימלי, שהרי כל פתרון שבו x_v>1 יישאר כזה גם אם x_v=1). יש למזער את הסכום.
ארז בן ציון
ביוגרפיה
בן ציון התגייס לצה"ל ב-1999 והוא בוגר קורס חובלים.
תכנון ליניארי
בעיית כיסוי הקודקודים
למשל, עבור הבעיה שבתמונה שמשמאל המשתנים הם x_1,...,x_6 והאילוצים הם בנוסף לאילוץ x_i \ge 0 לכל i. פונקציית המטרה היא x_1+...+x_6. הפתרון האופטימלי הוא כך שהתוכנית הליניארית שלמה במקרה זה, ומצאה כיסוי מינימלי - {1,2,4}. ניתן לראות גם שעבור גרף דו צדדי תמיד יהיה פתרון בשלמים.
ארז בן ציון
ביוגרפיה
ב-2006 מונה למפקד דבורה בפלגה 914, ב-2008 מונה למפקד אח"י חרב (סער 4.5) וב-2010 מונה לקצין אג"ם של שייטת ספינות הטילים (שייטת 3). ב-2016 מונה לראש ענף גילוי ולוחמה אלקטרונית במחלקת אמל"ח של זרוע הים. ב-2017 מונה למפקד פלגה 31 בשייטת 3. ב-2018 מונה למפקד פרויקט הספינות מסדרת סער 6.
תכנון ליניארי
בעיית כיסוי הקודקודים
לעומת זאת, דוגמה בה התכנית לא מוצאת פתרון בשלמים: נניח שנתון לנו גרף משולש, כלומר שלושה קודקודים עם כל הקשתות ביניהם. אזי התוכנית הליניארית שהצגנו תמצא את הפתרון 0.5,0.5,0.5, כלומר לא פתרון חוקי לבעיית כיסוי הקודקודים.
ארז בן ציון
ביוגרפיה
בספטמבר 2021 מונה למפקד שייטת ספינות הטילים ובסוף יולי 2023 סיים את תפקידו זה.
תכנון ליניארי
סודוקו
נדגים כיצד ניתן לפתור סודוקו באמצעות תכנון ליניארי בשלמים.
ארז בן ציון
ביוגרפיה
בן ציון בעל תואר ראשון במדע המדינה ותואר שני בביטחון לאומי מאוניברסיטת חיפה. נשוי ואב לשניים.
תכנון ליניארי
סודוקו
לכל שורה r, עמודה c וספרה i ניצור משתנה x_{r,c,i} שאומר "במשבצת שנמצאת בשורה r, עמודה c נמצאת הספרה i". כל אחד משלושת הפרמטרים הללו הוא מקבל ערכים בין 1–9 (יש 9 שורות, 9 עמודות ו-9 ספרות בסודוקו) ולכן סך הכל יש משתנים.
כדי לפתור את הסודוקו, יש למצוא פתרון כלשהו בשלמים למערכת האילוצים. כלומר אין פונקציית מטרה (מבחינה פורמלית פונקציית המטרה היא הפונקציה הקבועה 0). מפתרון זה ניתן לקרוא את הפתרון. למשל בסודוקו שמשמאל נקבל שבפתרון המערכת מתקיים x_{1,3,4}=1 ואם כן המשבצת השלישית בשורה הראשונה מקבלת את הערך 4.
שימו לב: לא יכולנו להשתמש במשתנה x_{r,c} כדי לקבל ישירות את הספרה שלו (למשל, שהמשתנה x_{1,3} יקבל בפתרון את הערך 4). הסיבה היא שצריך להוסיף, למשל, אילוצי, ולא ניתן לעשות זאת באילוצי תכנון ליניארי.
הצורה הדואלית
עבור הבעיה קיימת הבעיה הדואלית כאשר y הוא וקטור m ממדי ו- A^T זוהי המטריצה המשוחלפת ל-A. למעבר זה יש חשיבות תאורטית בהוכחות שונות, ובפרט בהוכחת הנכונות של אלגרותמים שונים.
בנוסף, ניתן למצוא גם קשר רעיוני בין הבעיות. למשל, נחזור לדוגמה הראשונה. המשוואות היו הבעיה הדואלית היא: ניתן לחשוב על בעיה זאת כבעיה הבאה: y_1 הוא משתנה שמייצג חשמל, ו-y_2 משתנה שמייצג מים. אז כל משוואה מתייחסת למוצר אחר, ומבקשת, תחת תנאי חשמל ומים, שהרווח יהיה לפחות מספר מסוים. למשל המשוואה הראשונה מתייחסת למוצר מספר 1, בו המשוואה הראשונה דורשת שנשקיע מספיק חשמל ומים כדי לקבל את הרווח c_1. בדומה משוואות 2,3 מתייחסות למוצרים 2,3 בהתאמה. תחת תנאים אלה, יש למזער את העלות הכוללת של מים וחשמל.
הבעיה הדואלית לדוגמה השנייה כוללת את המשתנים x_e, משתנה לכל קשת, כך שלכל קודקוד יש את המשוואה ויש למקסם את. כאשר המשתנים שלמים, הבעיה היא למצוא קבוצת קשתות מקסימלית כך שכל קודקוד נוגע בלכל היותר אחת מהן - בעיה הידועה כמציאת שידוך מקסימלי (לה יש פתרון פולינומי).
משפטי הדואליות
משפט הדואליות החלש קובע שאם הבעיה \max c^Tx היא בצורה קנונית, אז הבעיה הדואלית \min b^Ty מקיימת שלכל זוג פתרונות x,y מתקיים, ובפרט גם לפתרונות האופטימליים. . משפט הדואליות החזק קובע שלפתרונות האופטימליים b^Ty = c^Tx (אם הם קיימים - או שאחת הבעיות לא חסומה, ואז השנייה לא פיזיבלית).
משפט הדואליות החלש מאפשר למצוא תנאי עצירה לאלגוריתמים שונים: אם מריצים את האלגוריתם על הבעיה ועל הבעיה הדואלית לה במקביל, מקבלים חסמים מכל בעיה על השנייה: לכל y שמוצאים, b^Ty מהווה חסם עליון ל-c^Tx, ולהפך.
ממשפט הדואליות החזק נובע משפט זרימה מקסימלית - חתך מינימלי, משפט קניג ומשפט המינימקס.
הוכחה
מתקיים. כיוון ש-x הוא פתרון, אז לכל i מתקיים. כמו כן, כיוון ש-y הוא פתרון, לכל j מתקיים. נשלב את כל זאת כדי לקבל: כרצוי.
את משפט הדואליות החזק ניתן להוכיח בעזרת הלמה של פרקס.
בעיות כיסוי ואריזה
בעיה בצורה קנונית נקראת "בעיית אריזה" אם כל ערכי המטריצות והווקטורים A,b,c הם בעלי ערכים אי שליליים. הסיבה לכינוי זה היא שאנחנו מנסים למקסם את מה שאנחנו מכניסים לערכים תוך מגבלה מלמעלה - כמו אדם שמנסה לארוז כמה שיותר לתוך נפח מוגבל.
בעיה בצורה הדואלית,, תקרא "בעיית כיסוי" אם היא מקיימת תכונה זו. הסיבה לכינוי זה היא שאנחנו מנסים למצוא ערכים קטנים ביותר שיעברו סף מסוים - מנסים לכסות את הערכים ב-c.
לבעיות אלה חשיבות מיוחדת, בפרט בשלמים, ואלגוריתמים רבים פותחו במיוחד בשבילן.
דוגמאות לבעיות אריזה הן בעיית תרמיל הגב, מציאת קבוצה בלתי תלויה מקסימלית, בעיית אריזת קבוצות (set packing) ובעיית אריזת הדליים (bin packing).
דוגמאות לבעיות כיסוי הן בעיית כיסוי קודקודים ובעיית כיסוי קבוצות.
שיטת הסימפלקס
האלגוריתם הוותיק ביותר הוא אלגוריתם הסימפלקס. למעשה הוא לא אלגוריתם במובן הרגיל אלא משפחה של אלגוריתמים, שכן אחד הצעדים בו לא מוגדר וניתן לממש אותו בדרכים שונות. האלגוריתם הומצא בשנת 1947 על ידי ג'ורג' דנציג.
האינטואיציה מאחורי השיטה מתקבלת מההצגה הגיאומטרית לעיל. כאמור, מרחב הפתרונות הפיזיביליים הוא פוליטופ קמור. ניתן לראות שאם נעים על קו ישר, פונקציית המטרה הליניארית היא מונוטונית על הקו הזה. מכאן נובע שהערך המקסימלי יתקבל על אחד הקודקודים (אלא אם הפוליטופ לא חסום). שיטת הסימפלקס היא: מתחילים מקודקוד כלשהו, מסתכלים על הקודקודים שמחוברים אליו בצלע, בוחרים אחד מהם עליו פונקציית המטרה גדולה או שווה, ועוברים אליו (צעד המעבר נקרא pivot). לא עוברים אל קודקוד שכבר היינו בו. אם האלגוריתם מסתיים, זה כיוון שאין קודקודים יותר גדולים לעבור אליהם, וסיימנו בהצלחה. כיוון שמספר הקודקודים סופי, האלגוריתם יסתיים בזמן סופי.
זמן ריצת האלגוריתם: צעד pivot לוקח O(mn), לכן זמן הריצה הוא O(pmn), כאשר p הוא מספר הצעדים שנעשה. p חסום על ידי מספר הקודקודים שעלול להיות אקסופננציאלי, לכן זמן הריצה עלול להיות אקספוננציאלי. עד היום לא ידועה שיטה פולינומית לממש את זמן הריצה (אך גם לא ידוע שאין שיטה כזאת), ויש חסם תחתון אקספוננציאלי על רבות מהשיטות.
שיטת האליפסואיד
השיטה נמצאה ב 1979 על ידי לאוניד חצ'יאן, והיוותה פריצת דרך תאורטית גדולה בכך שהוכיחה זמן ריצה פולינומי, אך איננה מעשית לערכי n שאינם קטנים מאוד. בשיטה מתחילים מאליפסואיד גדול מספיק כדי להכיל את הנקודה המינימלית, ואז בסדרת צעדים מקטינים את האלפיסואיד כך שהוא עדיין כולל אותה, עד שהאליפסואיד קטן מספיק.
האלגוריתם רץ בסיבוכיות O(n^6L), כאשר L הוא אורך הקלט - מספר הביטים שצריך כדי לתאר את כל הבעיה.
האלגוריתם של קרמרקר
אלגוריתם שנמצא על ידי המתמטיקאי ההודי נרמנדה קרמרקר בשנת 1984. אף על פי שלא היה האלגוריתם הפולינומי הראשון, הוא היה האלגוריתם הפולינומי הראשון שרץ בזמן מעשי (אף על פי שבדרך כלל שיטת הסימפלקס עדיפה על קלטים אמיתיים).
האלגוריתם נקרא גם "שיטת הנקודה הפנימית" (interior point method) משום שהוא "מחפש" את הנקודה האופטימלית בפנים הפוליטופ, ולא על שפתו כמו שיטת הסימפלקס. זמן הריצה שלו הוא O(n^3L)
שימוש באלגוריתמים הרגילים
שימוש באלגוריתם של בעיית תכנון ליניארי רגילה יניב פתרון שאיננו דווקא בשלמים. במקרה זה יש כמה דרכים לקבל ממנו פתרון רגיל. אפשר למשל, לעגל את כל המשתנים אל הערך הקרוב ביותר. אפשר גם במקרה של המשתנים הם אינדיקטורים (מקבלים ערכים בין 0 ל-1), עבור משתנה שקיבל את הערך p, להגריל לו את הערך 1 בהסתברות p ו-0 בהסתברות 1-p. שיטות אלה יכולות להוביל לפתרונות שאינם מקיימים את כל האילוצים, או שאינם אופטימלים.
בבעיות אריזה, אם מעגלים את כל הערכים למטה, מקבלים פתרון חוקי (כי כל הערכים נשארו אי שליליים, ואי-הגדלה של כל המשתנים לא יכולה לסתור אילוץ). הוא עשוי להיות קטן מהפתרון האופטימלי, אך אם פונקציית המטרה היא \sum c_ix_i, ניתן לדעת שעיגול כל הערכים למטה יקטין כל משתנה בלכל היותר 1, ולכן יקטין את פונקציית המטרה בלכל היותר \sum c_i. בדומה, עיגול למעלה של כל הערכים בבעיית כיסוי ימצא פתרון חוקי שפונקציית המטרה עליו עשויה להיות רחוקה ב-\sum b_i מהערך האופטימלי.
קיימים גם אלגוריתמים יותר מתוחכמים, למשל שיטת branch and cut, בה מוסיפים אילוצים נוספים כדי לכפות על המשתנים להיות שלמים, ובמידת הצורך מפצלים את הבעיה לכמה תתי בעיות, תוך "גדיעת" ענפים - לא נכנסים לתתי בעיות שאפשר לראות שלא יהיו טובות יותר מאחרות שניסינו כבר. שיטה זאת תמיד מוצאת את הפתרון האופטימלי וגם יעילה למדי על קלטים אמיתיים, אך זמן הריצה במקרה הגרוע הוא אקספוננציאלי.
את כל השיטות הללו ניתן להפעיל גם על חלק מהמשתנים במקרה שרק על חלקם יש דרישת שלמות.
אלגוריתם לנסטרה
אלגוריתם לנסטרה מאפשר לפתור את הבעיה בזמן פולינומי כאשר מספר המשתנים קבוע. יותר בפירוט, אם ב-A יש m שורות והמקדמים שלה חסומים על ידי N, האלגוריתם מאפשר לפתור בזמן פולינומי ב-O(m \log N). האלגוריתם עובר על המשתנים בזה אחר זה ומוצא קטע לכל אחד מהם בו הוא חסום בעזרת גאומטריה של מספרים, ולאחר מכן עובר על כל האפשרויות. האלגוריתם הומצא על ידי הנדריק לנסטרה בשנת 1983. זמן הריצה המקורי היה, ומאז שופר כמה פעמים.
אלגוריתמים כלליים
ניתן להשתמש באלגוריתמים כלליים, שאינם מיוחדים דווקא לתכנון ליניארי. נסקור כמה מהם בקצרה:
היסטוריה
העיסוק בבעיה התפתח באופן נפרד במערב ובברית המועצות.
הראשון שעסק בבעיה היה לאוניד קנטורוביץ', שב 1939 ניסח את הבעיה הכללית וחקר דרכים לפתור אותה. הוא פרסם את מחקרו במאמר בשם "שיטות מתמטיות לארגון ותכנון של הייצור" בו הוא נתן דוגמאות שונות ושיטות לפתרון. הוא טען שתכנון ליניארי נצרך רק בכלכלה קומוניסטית, כיוון שבכלכלה קפיטליסטית בעלי ההון ידאגו להקצאת משאבים. במהלך מלחמת העולם השנייה הוא ניסה לרתום את מחקריו למאמץ המלחמתי, אך זכה להתעלמות בברית המועצות. מעט אחר כך, צ'אלינג קופמאנס עסק בארצות הברית באופן בלתי תלוי בבעיה. ב-1975 חלקו קנטורוביץ' וקופמאנס פרס נובל לכלכלה על מחקרם בנושא.
ב-1946 חקר את הבעיה ג'ורג' דנציג, במסגרת עבודתו בחיל האוויר האמריקאי על בעיות לוגיסטיקה, כהכללה של שיטותיו של וסילי לאונטיף על מידול בעיות כלכליות באמצעות מטריצות. הוא עבד על הבעיה עם קומפאנס, וב-1947 פיתח את שיטת הסימפלקס. כמו כן, בשנת 1948 הציג דנציג את מחקרו בפני ג'ון פון ניומן. בתגובה, ניומן הציג לו את מחקרו על תורת המשחקים ואת הקשר שזיהה בין מחקר זה לבין הדואליות של תכנון ליניארי, ושיער את משפט הדואליות החזק. דנציג הוכיח את המשפט אך פרסם בתפוצה פנימית בלבד. הראשונים שפרסמו הוכחה פורמלית ברבים היו תלמידיו של ניומן - אלן טאקר, דייוויד גייל והרולד קון.
במשך שנים לא היה ידוע האם יש לבעיה גם פתרון פולינומי. בעיה זאת נפתרה ב-1979 כאשר ליאוניד חצ'יאן מצא את שיטת האליפסואיד. התגלית היוותה סנסציה, וכונתה במערב "הספוטניק של 1979". אף על פי פריצת הדרך התאורטית, האלגוריתם לא מעשי. עם זאת, בשנת 1984 מצא נרמנדה קרמרקר אלגוריתם פולינומי ומעשי שמכונה "שיטת נקודות הפנים". הבעיה המשיכה להיות מוקד של מחקר פעיל, ובמהלך השנים הבאות זמן הריצה שופר שוב ושוב, למשל בשנת 1987 ובשנת 1989 על ידי פרווין פאידה.
LP Solvers
מפאת חשיבותה המעשית של בעיית התכנון הליניארי, פותחו כלים רבים המאפשרים פתרון של הבעיה, עבור שפות שונות, גם באקדמיות, גם באופן מסחרי וגם באופן וולנטרי. תוכנה שמאפשרת פתרון מעשי של בעיות תכנות ליניארי נקראת LP solver. דוגמה ל-LP solver היא cvxpy, אשר נכתב עבור שפת פייתון בקוד פתוח. נראה כדוגמה תוכנה שתפתור את הבעיה שניתנה בתחילת הערך: הרצת התוכנית מדפיסה את הפלט x1=3, x2=2, x3=4.
שבטי מלחמה
שבטי מלחמה (באנגלית: TribalWars) הוא משחק רשת אסטרטגי מרובה משתתפים בזמן אמת המבוסס על ימי הביניים. במהלך המשחק מנהל השחקן כפר ומפתח אותו בדרכים שונות, כאשר המטרה היא להמשיך ולהתרחב ולכבוש כפרים נוספים. המשחק היה קיים במשך מספר שנים בגרסה ישראלית עד לסגירתו בשנת 2013.
עקרונות המשחק
כל שחקן מקבל בתחילת המשחק כפר. בכפר ניתן לבנות מבנים, שבעזרתם ניתן לאסוף משאבים ולאמן חיילים. במשחק ניתן ליצור רשימת חברים, להקים שבטים, שהם מעין בריתות בין שחקנים. מטרת המשחק היא להגיע למקום ראשון במספר הנקודות. ככל שכובשים יותר כפרים או משדרגים כפרים קיימים עולים בניקוד. בניגוד למשחקי רשת אחרים, בשבטי מלחמה השרתים לא מתאפסים. שרת המשחק מסתיים רק כשיש איחוד שחקנים בלתי מנוצח (שבט) או שחקן בלתי מנוצח.
משאבים
במשחק, ישנם משאבים שונים. ביניהם:
שבט
ניתן להקים שבטים, שהם כאיחוד של מספר שחקנים בברית אחת. השבט יכול להכריז מלחמות, ליצור בריתות והוא מסייע לשחקנים שבתוכו להתקדם.
פרימיום
על אף שהמשחק חינמי, קיימת במשחק אפשרות VIP הנקראת חשבון פרימיום, בה לשחקן עזרים שמסייעים לו לנהל את כפריו. הפרימיום נקנה בצורת נקודות פרימיום שבעזרת ניתן לקנות חשבון פרימיום או הטבות נוספות. במשחק קיימות מספר אפשרויות שיכול לבצע שחקן עם נקודות פרמיום בלבד. הפרמיום נקנה בנקודות ואפשר לפרוט אותו להמון אפשרויות שונות כגון:חשבון פרמיום, יצור משאבים משופר, עוזר חווה ועוד.
סנקט יוהאן אין טירול
סנקט יוהאן אין טירול (בגרמנית: St. Johann in Tirol) היא עיירת שוק במחוז קיצביהל שבמדינת טירול שבאוסטריה.
שם העיירה הוא על שם כנסייה קתולית עתיקה (קודם לשנת 738) שנקראה על שם הקדוש הנוצרי יוחנן כותב הבשורה. הכנסייה מוזכרת לראשונה בתעודה כתובה בשנת 1150.
דמוגרפיה
האוכלוסייה בסט. יוהאן אין טירול גדלה באופן קבועה, ונכון ל-2012 היא העיירה הגדולה ביותר במחוז, אף יותר מבירת המחוז קיצביהל.
כלכלה
כלכלת העיירה מתבססת על תיירות, עם למעלה מחצי מיליון תיירים בשנה (העושים את הלילה בעיירה, עוד רבים עוברים דרכה ללא שינה). התיירות היא הן בקיץ והן בחורף בשווה. העיירה מהווה מוקד משיכה עבור תיירות סקי ועוד.
בנוסף, העיירה הפכה בעשורים האחרונים למרכז קניות ועסקים למחוז כולו, כמו גם חברות גדולות שפתחו בעיירה מפעלים ומשרדים.
גם החקלאות המסורתית עדיין תופסת משקל בכלכלת העיירה, על אף הקשיים הרבים בכך.
סוואנה
סוואנה (בלועזית: Savannah) היא מערכת אקולוגית של ערבה מנוקדת בעצים ושיחים. כעשרים אחוזים משטח היבשה על פני כדור הארץ, משני צידי קו המשווה, מסווגים כאזורי סוואנה, רובם באפריקה, אך ישנם גם אזורי סוואנה במרכז ודרום אמריקה, בהודו, באוסטרליה ובמקומות נוספים.
הצמחים העיקריים בשטחי הסוואנה הם עשבים, אשר לעיתים מעורבים בהם מספר שיחים. ברחבי הסוואנה מפוזרים עצים בודדים או קבוצות עצים קטנות. פעמים רבות משמשת הסוואנה כשטח מעבר בין אזורי יער וחורש לבין אזורי עשב.
העצים בסוואנות של דרום אמריקה ואוסטרליה הם ירוקי-עד, בעוד שבאפריקה העצים בסוואנה הם נשירים. אזורי הסוואנה באפריקה עשירים בעצי שיטה וחיים בהם יונקים גדולים, באוסטרליה נפוצים באזורי הסוואנה עצי אקליפטוס ומתגוררות בהן חיות כיס, ואילו הסוואנה בדרום אמריקה מאופיינת ביערות גשם וחיים בה מכרסמים רבים.
אזורי הסוואנה נמצאים משני עברי קו המשווה, במרחבים הצחיחים-למחצה שבין המדבריות ליערות הגשם, מיקום הגורם לתקופות בצורת לעיתים קרובות. הצמחייה בסוואנה מושפעת מאוד מכמות הגשמים שיורדת, מסוג האדמה, שימושה למרעה וסכנות אש המאיימות עליה. הטמפרטורות בסוואנה גבוהות יחסית לאורך כל השנה, אך קיימת הבחנה בין שתי עונות עיקריות: עונת הגשמים, שבה הטמפרטורות גבוהות ואחוזי הלחות גבוהים ולפיכך כמות המשקעים רבה, ועונת היובש, שנמשכת רוב השנה ובה הטמפרטורות נמוכות יותר וכמות המשקעים יורדת בצורה ניכרת.
מקור השם
ההנחה הנפוצה היא שהמילה סוואנה (Savannah) נגזרה מהמילה הספרדית מהמאה ה-16 (Zavanna) ופירושה "קרקע נטולת עצים אך בעלת עשב רב, גבוה או נמוך."
השימוש בשם זה נעשה לראשונה בשנת 1535, על ידי ההיסטוריון הספרדי גונסלו פרננדס דה אוביידו (Gonzalo Fernández de Oviedo), ששאל את המילה סוואנה משפת הטאינו, שהייתה מדוברת באזור האיים הקריביים. לקראת סוף המאה ה-17. פירוש המילה סוואנה היה "אדמה בעלת עצים ועשב". הפירוש המודרני למילה הוא אדמה עם עשב ועצים פזורים או חופת עצים פתוחה.
היווצרות הסוואנה
הסוואנות הופיעו לראשונה לאחר שחלה ירידה עקבית בכמות המשקעים באזורים המקיפים את קו המשווה, במהלך העידן הקנוזואי (Cenozoic Era, "עידן היונקים" – החל מלפני 65 מיליון שנה ועד ימינו). הירידה הפכה למשמעותית ביותר בעיקר ב-25 מיליון השנים האחרונות. צמחיית העשבים, הדומיננטית באזורי הסוואנה כיום, הופיעה רק לפני כ-50 מיליון שנה, אך קיימת אפשרות שצמחייה ללא עשבים שדומה באופייה לצמחיית הסוואנה הופיעה כבר קודם לכן. מאובנים שנמצאו בדרום-אמריקה מעידים על כך שצמחיית עשבים, הדומה מאוד לזו של הסוואנה של ימינו, הייתה קיימת בערך לפני 20 מיליון שנים. בתקופה זו האקלים בעולם החל בהדרגה להפוך לקריר יותר ונוצר מצב בו טמפרטורות פני הים ירדו בצורה קבועה. הירידה בטמפרטורות הביאה גם לירידה משמעותית בהתאדות של מים, וכך נפגע מעגל היווצרותם של עננים שמהם ירדו המשקעים חזרה אל פני כדור הארץ. כתוצאה מכך, חלה פגיעה ניכרת בצמחייה באזור קו המשווה שאופיין עד אז באקלים גשום, לח וקריר.
כתוצאה מהשינויים האקלימיים ארוכי הטווח, החלו להופיע הסוואנות באמריקה, אפריקה, דרום אסיה ואוסטרליה, באזורים שמשני צידי קו המשווה, לאחר שכבר נוצרה הפרדה של אוקיינוסים בין היבשות. נדידה של מיני צמחים בין האזורים השונים נבלמה כתוצאה מההפרדה, ומכאן החלו הסוואנות ביבשות השונות לקבל מאפיינים המבדילים ביניהן. בכל יבשת התפתחו מינים שונים של צמחים ובעלי חיים שנאלצו לראשונה להסתגל לסביבת מגורים יבשה. הסוואנות הלכו והתפרשו על שטחים נרחבים יותר, זאת על חשבון שטחים מיוערים.
כשלראשונה הופיעו בני האדם באפריקה הם התיישבו בסוואנה. מאוחר יותר, לאחר שהסתגלו והתאימו עצמם לסביבה ולמדו כיצד הסביבה יכולה לספק את צורכיהם, הם החלו לנדוד גם לכיוון אסיה, אוסטרליה ואמריקה. באזורים אלה כבר חלו שינויים אקולוגיים שהשפיעו על הצמחייה ובעלי החיים, וכאשר נוספה להם גם השפעת האדם שהגיע לראשונה לאזור, ההבדלים שהחלו להיווצר בין הסוואנות ביבשות השונות הלכו וגדלו.
שריפות בסוואנה
הסוואנות בעולם עוברות שינויים גם בימינו, כתוצאה מהריבוי באוכלוסיית בני האדם והשתלטותו על שטחים נרחבים, על חשבון בעלי החיים והצמחייה באזורים הללו.
האינדיאנים באזור החוף הדרום-מזרחי בארצות הברית נהגו ליצור סוואנות סובטרופיות על ידי בירוא יערות, באופן מבוקר ומתוזמן. באזורים אלו התקיים זן מסוים של אורן, ששרד ולא התכלה בקלות בשרפות, בעוד ששאר העצים היו נשרפים ונכחדים. כך נוצרו אזורים פתוחים ורחבים עם עצי אורן פזורים וביניהם כרי עשב רבים. למעשה, בירוא יערות זה גרם לפעמים להפיכת אזורים נרחבים לערבות, לאחר שכל העצים כלו בשריפות.
ניסוי מעניין הקשור בשריפות נערך בקניה בשנת 2014 ועסק בהשוואה בין אזורי סוואנה פתוחים שבהם חיות שוטטו באופן חופשי, ובין שטחים שנאסרה אליהם כניסה של חיות בר. בניסוי נמצא כי שטחים שבהם לא היו חיות בר נצפו יותר שריפות מאשר באזורי הסוואנה הפתוחים. אחת הסיבות לכך הייתה שחיות אוכלות עשב, שמצויות באזורי הסוואנה הפתוחים, אכלו ועיכלו עשב ששימש מצע לשריפות.
צמחייה
הצמחייה הדומיננטית ביותר באזורי הסוואנה, היא צמחיית עשב המאופיינת בפליטה של פחמן דו-חמצני (CO2) בריכוז גבוה. צמחייה זו מצליחה להפיק תועלת רבה מהאור אליה היא נחשפת, כמו כן אינה זקוקה לכמות גדולה של מים. בזכות צמחייה זו, תהליכי הפוטוסינתזה באזורי הסוואנה נחשבים ליעילים מאוד. למרות זאת, סוג עשבים זה נחשב לדל ואינו מסוגל לשמש כמקור מזון איכותי ובריא לבעלי חיים מסוג "אוכלי עשב", מלבד אלה אשר כחלק מתהליך העיכול שלהם מסוגלים לפרק תאית. קיימות רק שתי קבוצות של בעלי חיים המסוגלים לעכל עשב בצורה הזאת והן הטרמיטים והפרסתנים אשר נפוצים מאוד באזורי הסוואנה.
סוואנה אפריקנית
ביבשת אפריקה יש הרבה אזורי סוואנה. הסוואנות פרושות במין מעגל קטן הלכוד בין יערות גשם והמדבריות שמשתרעים מהחוף המערבי אל מזרח אפריקה ומסביב לאנגולה (Angola) ונמיביה (Namibia). ברצועת הסוואנה באפריקה הצמחייה משתנה במעבר בין האזורים השונים: בצפון, אזורי הסוואנה משתנים כאשר נעים מאזור אגן קונגו (Congo Basin) למדבר סהרה (Sahara Desert) והופכים מאזורים מרובי עצים לשטחים פתוחים מרובי עשבים. מדרום לקונגו עד לאנגולה, נמיביה ודרום אפריקה (South Africa), ניתן לראות כיצד הקרקע מתמלאת בעצים. אזורי הסוואנה הקלאסיים נמצאים בקניה (Kenya) וטנזניה (Tanzania).
האקלים בסוואנות של אפריקה
הטמפרטורה והמשקעים הם גורמים בולטים באזורי הסוואנה ברחבי העולם. עם זאת, באפריקה לטמפרטורות אין אותה מידת השפעה על גידול הצמחייה כפי שמתרחש באזורים אחרים. כמות הגשמים היורדת באפריקה אינה אחידה ומשתנה ברחבי היבשת, וכך נוצרת הבחנה בין שלוש מערכות אקולוגיות שונות: היערות הטרופיים, הסוואנה והמדבר. גם כמות הגשמים שונה בסוגים שונים של סוואנות הנמצאות באפריקה.
מספר העונות הגשומות בשנה (אחת או שתיים), אורכן, וחומרת היובש בעונות היבשות, כל אלה משפיעים על התפתחות הצמחייה באזור ובעיקר על התפתחות והתבססות העצים.
הצמחייה בסוואנות של אפריקה
נערכו מספר ניסיונות שנועדו לסווג את הצמחייה באפריקה ורבות הן התאוריות המנסות להסביר את ייחוד האקלים באפריקה. אחת מהן משנת 1983, של פרנק וויאט (Frank White), שהתמקד בסוואנות האפריקאיות. וויאט טען כי 50 אחוזים משטחה של אפריקה מאופיינים בסוואנות על סוגיהן השונים. ניתן לומר כי קיימים ארבעה סוגים של סוואנות באפריקה: סוואנה של דשא ושיחים, סוואנה של עצים ושיחים, סוואנה רוויית עצים, ויער הסוואנה.
היינריך, נסיך פרוסיה (1747–1767)
ביוגרפיה
ב-16 בינואר 1748 הוא קיבל את תואר אביר מסדר העיט השחור, וב-20 בספטמבר 1764 הוא הפך לקפטן ומפקד פלוגה בגדוד ה-1 של המשמר. בספטמבר אותה שנה הוא מונה למפקד, וב-26 באפריל 1767 הוא מונה לגנרל מיור בצבאו של פרידריך השני.
סוואנה
סוואנה של דשא ושיחים (Grass and shrub savannah)
הגבול הצפוני של סוואנה מסוג זה נקרא סאהל (Sahel). העצים השולטים באזור הם עצי השיטה. סוואנה זו ממוקמת לרוחבה של אפריקה, מצפון (Senegal) וחוף האוקיינוס האטלנטי ועד לסודאן (Sudan) והים האדום (The Red Sea).
היינריך, נסיך פרוסיה (1747–1767)
ביוגרפיה
בגיל 17 הפך קולונל הנס פון בלומנטל, מפקד חיל המשמר, לאחד הנאמנים של הנסיך. כתוצאה מכך, הוא ואחיו פרידריך וילהלם בילו זמן רב באחוזת הקולונל בפארץ.
סוואנה
סוואנה של דשא ושיחים (Grass and shrub savannah)
המילה סאהל פירושה "חוף" בשפה הערבית. כאשר כאן הכוונה היא שאזור זה מהווה הפרדה בין הסוואנות רוויות העצים של הדרום ומדבר סהרה, לבין הצפון. סוואנה זו מצויה גם בצפון מזרח אפריקה באזור הנקרא "הקרן של אפריקה" (The horn of Africa).
היינריך, נסיך פרוסיה (1747–1767)
ביוגרפיה
הנסיך הנרי היה קפטן צעיר ומבטיח בחיל המשמר, ודודו המלך תלה בו תקוות גדולות. עם זאת, במאי 1767 הוא הוביל את גדודו לברלין במצעד, וכאשר עצר באחוזת פון קלייסט בפרוצן, הוא נדבק באבעבועות שחורות ומת ב-26 במאי, למרבה צערו של דודו.
סוואנה
סוואנה של דשא ושיחים (Grass and shrub savannah)
באזור הסאהל, "הקרן של אפריקה" וצפון קניה, הטמפרטורה המקסימלית נעה בין 30-36 מעלות צלזיוס, ואילו הטמפרטורה המינימלית נעה בין 15-21 מעלות צלזיוס. מדרום לשם, על גבול קניה וטנזניה, הטמפרטורות מתונות יותר כאשר הטמפרטורה המקסימלית הממוצעת היא 30 מעלות צלזיוס במישור ו-24 מעלות צלזיוס בהרים, ואילו הטמפרטורה המינימלית הממוצעת נעה בין 9-18 מעלות צלזיוס.
כמות הגשמים השנתית באזור הסאהל היא בין 100-600 מ"מ בשנה. רוב הגשמים יורדים בין החודשים מאי וספטמבר. העונה היבשה כוללת 6-8 חודשים של יובש.
לפני שנים רבות ניתן היה גם לראות כלבי פרא, צ'יטות ואריות, אך אלה נכחדו כמעט לגמרי. לעומת זאת, באזור "הקרן של אפריקה" האריות והצ'יטות הם מראה מוכר. בנוסף, ניתן למצוא שם חמישה סוגים של אנטילופות. אחת מהן היא הקוּדוּ, אנטילופה אפריקאית מפוספסת ובעלת קרניים מסולסלות. כמו כן יש שם מעט זברות, פילים, ראמים, צבאים ובאפלו.
סוואנה של עצים ושיחים (Tree and shrub savannah)
סוואנה זו כוללת שני סוגי צמחייה: צמחיית עצים וצמחיית שיחים. סוואנה כזאת נמצאת מצפון ומדרום ליערות הגשם ולסוואנות המיוערות במרכז אפריקה. בצפון, האקלים הוא טרופי ולכן שם הצמחייה מבוססת בעיקר על עצים, שיחים ודשא. סוואנה זו נמצאת מדרום לסאהל ומשתרעת מהחוף המערבי של אפריקה ועד סודאן, וכן מגיעה גם דרומה לאזור הצפון-מערבי של אוגנדה. הטמפרטורה המקסימלית הממוצעת נעה בין 30-36 מעלות צלזיוס ואילו הטמפרטורה המינימלית הממוצעת נעה בין 18-21 מעלות צלזיוס. כמות הגשמים השנתית גבוהה ועומדת על 1000 מ"מ בדרום, ואילו בצפון היא עומדת רק על 600 מ"מ בשנה וזאת עקב קרבתה לאזורי הסוואנה של "דשא ושיחים".
היונקים החיים באזור הם: פילים, באפלו, כלבי פרא, צ'יטות, אריות, נמרים ואנטילופות מסוגים שונים.
סוואנה רווית עצים (Woodland savannah)
קיימים שני אזורים של סוואנה רווית עצים: אזור עצום בגודלו שנקרא "מיומבו" (Miombo), במרכז/דרום יבשת אפריקה, ואזור מצומצם יותר שנקרא "דוקה" (Doka), בצפון היבשת.
מיומבו משתרע על כשלושה מיליון ק"מ משטח זימבבואה (Zimbabwe), זמביה (Zambia), מוזמביק (Mozambique), אנגולה, מלאווי (Malawi), מחוז קטנגה (Katanga) בקונגו ודרום טנזניה. מקור השם הוא בעץ המיומבו (שם סוואהילי), הנחשב לסוג העץ הנפוץ ביותר באזור זה. מרכז אזור המיומבו חווה אקלים טרופי עונתי. מרבית המשקעים יורדים בחודשי הקיץ, שבין נובמבר למרץ/אפריל. אחריהם מגיעות תקופות של בצורת בעונת החורף, שיכולה להימשך עד כשבעה חודשים באזורים מסוימים.
באופן כללי, הטמפרטורה הממוצעת באזור היא בין 27-30 מעלות צלזיוס, אם כי באזורים גבוהים יותר, כמו מרכז זמביה, הטמפרטורות יכולות להגיע גם ל-24 מעלות צלזיוס בקירוב. הטמפרטורות הגבוהות ביותר קיימות באזורים הנמוכים. בדרום, המיומבו חווה אקלים של שלוש עונות שונות: חם מאוד ויבש מאמצע אוגוסט ועד אוקטובר, חם ולח בין נובמבר למרץ וחמים ויבש בין אפריל לתחילת אוגוסט. הטמפרטורה הממוצעת המקסימלית באזור זה נעה בין 18-27 מעלות צלזיוס והטמפרטורה הממוצעת המינימלית נעה בין 9-21 מעלות צלזיוס.
לכל אורכו ורוחבו של מרכז המיומבו, כמות המשקעים משתנה בין 800 ל-1200 מ"מ בשנה, אך באזורים הגבוהים יותר הכמות יכולה להגיע ל-1400 מ"מ בשנה. למרות זאת, בחלקים מסוימים של זימבבווה, הנמצאת בדרום האזור, כמות המשקעים יכלה לרדת גם ל-600-800 מ"מ בשנה.
עצי מיומבו בוגרים מגיעים לגובה של 15-20 מטר ומתחתם נפרשים עשב ושיחים. באנגולה, גובה העצים נמוך יותר-בין 5-10 מטרים עם מעט, או אף ללא שכבת העשב והשיחים התחתונה. לעצי ושיחי המיומבו מינים רבים, שרובם עומדים בשלכת בסוף העונה היבשה, והעצים ביערות נשארים קירחים בין חודשיים לשלושה. כמה שבועות לפני שמתחילה עונת הגשמים, העצים מתחילים להצמיח עלים חדשים בצבע אדום בהיר.
החלוקה החדה בין העונות השונות באזורים אלו, גורמת לכך שלאחר תקופה גשומה מאוד ישנה תקופה ארוכה של יובש קיצוני, המביאה לעיתים קרובות לשריפות חוזרות ונשנות. חלק מהשריפות נגרמות באופן טבעי וחלקן מעשה ידי אדם, אך כולן מהוות גורם אקולוגי משמעותי.
במיומבו קיים קושי לקיום עדרים גדולים של יונקים גדולים. מספרם של יונקים גדולים נמוך מכיוון שהקרקע באזור ענייה ומאפשרת רק את קיומה של צמחייה בעלת ערך תזונתי נמוך. התנאים אף מחמירים כתוצאה מעונות היובש ותקופות הבצורת הארוכות. עם זאת, מרבית היונקים הגדולים של המיומבו, כגון פילים, קרנפים שחורים ובאפלו אפריקאי יכולים להימצא גם באזורי סוואנה אחרים. כמו כן, קבוצות יונקים אלה שורדות גם באזורים בהם איכות המזון נמוכה מכיוון שהן מסוגלות לצרוך כמויות גדולות של מזון.
פסיפס יערות הסוואנה (Forest-savannah mosaic)
פסיפס "יערות הסוואנה" הוא סביבה אקולוגית משולבת של סוואנה, יערות וערבה. היא דינאמית מאוד ובעלת מאפיינים שעברו שינויים רבים במהלך השנים. האזור הוא טבעת המקיפה את יערות הגשם הטרופיים של אגן קונגו ונחשבת לקצה של הסוואנה "האמתית". טבעת זו מחולקת לשלושה אזורים: הראשון, בצפון וממערב לגבעות קמרון (Cameroon), נקרא "פסיפס יערות הסוואנה הגינאי", שעובר דרך גינאה (Guinea), חוף השנהב (Ivory Coast), גאנה (Ghana), טוגו (Togo), בנין (Benin) וניגריה (Nigeria). השני, שנמצא מצפון וממזרח לגבעות קמרון נקרא "יערות הסוואנה של קונגו". זהו אזור צר שקוטע את הרצף של יערות הגשם מדרום ואת הסוואנות היבשות מצפון וממזרח. הוא מתפשט מזרחה דרך הרפובליקה של מרכז-אפריקה (Central African Republic), צפון-מזרח הרפובליקה הדמוקרטית של קונגו ואל תוך דרום-מערב סודאן וצפון-מערב אוגנדה (Uganda). האזור השלישי נמצא מדרום וממערב לאגן קונגו והוא נקרא "יערות הסוואנה של זמביה". מכיוון שכל האזורים הללו הם אזורי "קצה" הם נחשבים לעשירים בזנים שונים של צמחייה ובעלי חיים.
"פסיפס יערות הסוואנה" מאופיין בעונה גשומה אחת ועונה יבשה אחת, אך עם זאת גם העונה היבשה מאופיינת בלחות גבוהה יחסית. כמות המשקעים היורדת באזור נעה בין 1200-1600 מ"מ בשנה. השינויים בטמפרטורות במהלך כל עונה הם מינוריים, כשבעונה הגשומה הטמפרטורה הממוצעת המקסימלית היא בין 31-34 מעלות צלזיוס והטמפרטורה הממוצעת המינימלית היא בין 13-18 מעלות צלזיוס.
הצמחייה באזורים האלה היא שילוב של יערות גשם, דשא ועשבים, ובין בעלי החיים באזור ניתן למצוא פילים, אנטילופות, אריות, נמרים ותנינים.
טיפוסי סוואנות
ניתן לחלק את הסוואנות למספר טיפוסים: