cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
מנהרות הכותל
הרחוב המרוצף
חלק זה של הרחוב, שנחשף במנהרות הכותל לאורך כמה מטרים, תחום בחלקו בשני עמודים סמוכים בסגנון דורי, שמקובל לזהותם כחלק ממכלול הרחוב. חשיפת הרחוב לימדה כי ריצופו לא הושלם מעולם: סילוק סלע האם של 'הגבעה הצפונית' מתוואי הרחוב לא הושלם; המחצבה (לעיל) לא כוסתה; וסיתות הסלע כחיקוי מושלם לאבני הכותל לא הוסדר עד הסוף. למעשה, ריצוף הרחוב מסתיים בגוש סלע בעובי ובגובה של כמה מטרים, ואבני ריצוף שנועדו כנראה לכסותו לאחר הסרתו, נתגלו בצמוד לו. ההנחה היא שמסיבה כלשהי הופסקה לפתע סלילת הרחוב, והפועלים עזבו את המקום מבלי שהשלימו את עבודתם. זיהוי סלילת הרחוב עם הורדוס הביאה להשערה שהפסקת העבודה התרחשה בשנת 4 לפנה"ס, עם מותו של הורדוס.
באמצע שנות ה-90 נערכה חפירה ארכאולוגית מקיפה בגן הארכאולוגי למרגלות חלקו הדרומי של הכותל המערבי, שם נחשף המשכו של הרחוב המרוצף לאורך כ-70 מטרים. חשיפת קטע ארוך זה לימדה כי בקטע זה ריצוף הרחוב מאוחר לימיו של הורדוס, ונראה כי הונח רק בימי נינו, אגריפס השני, בשנות ה-60 של המאה הראשונה. תארוך זה, המאחר את ריצוף הרחוב עד שנים ספורות לפני חורבן הבית, מסתמך על העובדה כי הרחוב היה חדש לגמרי כאשר נקבר תחת האבנים שנזרקו עליו מהר הבית בשנת 70 לספירה: לא נתגלו על אבני הריצוף כל חריצים של חישורי מרכבות, או סדקים ופגמים האופייניים לרחוב "משומש". בנוסף, ההיסטוריון היהודי-רומי, יוסף בן מתתיהו, סיפר כי בימיו של הנציב הרומי אלבינוס (62–64 לספירה), שפעל תחת שלטונו של אגריפס, החלו לרצף את רחובות ירושלים באבן לבנה, בשל האבטלה הקשה שפקדה את העיר עם סיום בניית הר הבית.
מול קודש הקודשים
פסגת הר המוריה, עליה עמד קודש הקודשים, שוכנת פחות-או-יותר במחצית אורכו של הכותל המערבי, במרחק של כמאה מטרים מזרחה מהקיר. עם הכשרתן של מנהרות הכותל אותר חדר קטן, ששימש תמיכה לבתים שמעליו, בנקודה המדויקת מול קודש הקודשים. חדר זה הפך לאתר תפילה והדלקת נרות, וכן יש התוחבים פתקים דווקא בין חריצי הכותל שם. בשנות ה-90 החלו מים לדלוף מבין אבני הכותל בחדר זה, דבר שעורר התרגשות עצומה על כי "הכותל בוכה על החורבן". נראה כי הנזילה נוצרה מעליית מפלס המים בבור אגירה השוכן בחלקו הפנימי של הר הבית. עם ירידת המפלס לאחר שנים ספורות, נעלמה גם הנזילה.
הגשר הגדול וקשת וילסון
הכניסה להר הבית ממערב בתקופת בית שני התאפשרה בשני מפלסים: הכניסה ממפלס הרחוב התאפשרה דרך שער ברקלי, ששרידיו שוכנים היום בקצה עזרת הנשים של רחבת התפילה בכותל, או דרך שער וורן השוכן בתוך מנהרות הכותל (לעיל). הכניסה אל המפלס העליון התאפשרה דרך הגשר הגדול מעל קשת וילסון, או דרך המחלף המכונה 'קשת רובינסון'. הגשר גם שימש להעברת אמת המים במפלס אחיד מהעיר העליונה (אזור הרובע היהודי והרובע הארמני של ימינו) לתוך הר הבית. הגשר והמחלף נהרסו עם חורבן בית המקדש, וגם השערים יצאו מכלל שימוש. נראה שהגשר שוקם במאה השנייה או השלישית על ידי הרומאים, ושימש מעבר למקדש הפגני שייתכן כי בנו הרומאים במקום בית המקדש החרב. במאה ה-13, כשהממלוכים "קברו" את הגיא ופילסו את גבעות העיר, נקברו גם הגשר הגדול ושער וורן.
בביקור במנהרות הכותל ניתן לראות את המפלס העליון של הגשר הגדול, "הרוכב" על תוואי הגשר היהודי ההרוס מימי בית שני. ניתן לרדת למפלס התחתון ולראות את אמנות הגשר היהודי הנשענות על תחתית הגיא. קשת וילסון, שתארוכה שנוי במחלוקת, מחברת את הגשר הגדול לכותל המערבי. ניתן לראותה הן בביקור במנהרות הכותל, והן משמאל לעזרת הגברים ברחבת התפילה של הכותל. הקשת נתגלתה בידי צ'ארלס וילסון, ונחקרה בהמשך בידי צ'ארלס וורן.
מעבר הסתרים
צמוד לשרידי הגשר הגדול, מתחת לרחוב השלשלת, עובר מסדרון רחב ומקורה בקמרון חבית. הוא נמשך מרחוב הגיא עד לקשת וילסון לאורך כמעט 70 מטרים. לדעת דן בהט נבנה הקמרון החביתי בתקופה הממלוכית, במאה הארבע-עשרה. לדעת אלכסנדר און ושלומית וקסלר-בדולח נבנה הקמרון בתקופה האוּמַיִּית, במאה השביעית.
מסדרון זה נקרא לראשונה בשם 'מעבר הסתרים' על ידי ההיסטוריון והגאוגרף המוסלמי, מוג'יר א-דין במאה ה-15. הוא טען כי מתחת לרחוב השלשלת בנה דוד המלך מעבר סתרים, שבו צעד מארמונו שליד מגדל דוד להר הבית. מוג'יר א-דין הכיר את המסדרון שהיה "קבור" כבר בימיו מתחת למפלס העיר החדשה, מפני שעבודות חפירת בורות מים חשפו אותו בכמה מקומות. במאה ה-19 גילה צ'ארלס וורן את המסדרון וזיהה אותו עם 'מעבר הסתרים' שתיאר מוג'יר א-דין, ובעקבותיו התקבע השם עד ימינו.
הכנסייה הצלבנית
בתוך שרידי הגשר הגדול נראים מסדרונות צרים, בעלי קמרון מחודד מעט, האופייני לאדריכלות הכנסיות הצלבניות בארץ ישראל מן המאה ה-12. ד"ר דן בהט זיהה את המסדרונות כיסודות קפלת התפילה על שם אגידיוס הקדוש, שנבנתה על הגשר בתקופה הצלבנית. בניית מבנים על גבי גשרים הייתה דבר מקובל בימי הביניים בעיקר באירופה, דוגמת גשר נוטרדאם, שאף קרס לבסוף ממשקלם הרב של הבתים שעליו. יסודות הקפלה שולבו בתוואי ההליכה במנהרות הכותל, כך שהמבקרים במקום יכולים לעבור בהם. מאחד המסדרונות ניתן להציץ למפלס התחתון של העמק, לתוך האולם ההרודיאני (לעיל).
המדרסה הממלוכית ודגם הר הבית
מרחב מנהרות הכותל נוצר, כאמור, בעקבות הגבהת הגיא, ובניית העיר מעליו במפלס גבוה יותר. מבני הציבור הממלוכיים שנבנו בחלק זה נסמכו, אפוא, על יסודות עמוקים מאוד, שהגיעו עד סלע האם. אחד המבנים הוא מדרסה ממלוכית, שנבנתה בצמוד לכותל המערבי, מול 'נדבך רבא'. היסודות נבנו בהתאם למבנה בו תמכו, שעוצב כאולם בצורת X, האופייני למדרסות ממלוכיות רבות בירושלים. ארבע הצלעות אפשרו ללומדי המדרסה להשתלם בארבע האסכולות הפרשניות של האסלאם הסוני, כל אחת בצלע אחרת. ההנחה כי האולם הגדול במנהרות הכותל אינו קומת מרתף, אלא שימש לתמך בלבד, מסתמכת על כך שלא נתגלה כל גרם מדרגות או מעבר בינו ובין המדרסה שמעליו.
הצלע המזרחית של האולם צמודה לכותל, ומשולב בה גרם מדרגות רחב, המאפשר למבקרים לגשת עד אליו; הצלע המערבית שימשה במשך השנים כבור מים, על כך מעידים שרידי הטיח בתקרתה. צלע זו משמשת כחדר הרצאות קטן, ובו דגם חשמלי של הר הבית בימי המקדש השני. הדגם הדינמי מציג את השינויים שהתחוללו בגיא הטירופיאון במשך השנים על ידי הזזה והרמת מקטעים בעזרת שלט רחוק. הדגם עוצב על פי שיטתו של הרב זלמן קורן, העוסק בסוגיית זיהוי מקום המקדש זה שנים רבות, והוא שונה מעט מן המקובל בדגמים אחרים, כמו דגם הולילנד.
מנהרת משרד הדתות
בשנות החפירה הראשונות במנהרות הכותל, כללה העבודה בעיקר סילוק עפר ופסולת מן החללים התת-קרקעיים. רוב החללים לא שימשו את יושבי הרובע המוסלמי שמעל, ואלו שכן, היו בעיקר בורות מים שיצאו מכלל שימוש. צפונית ל"חדר קודש הקודשים" נתקלו החופרים בחללים צמודים לכותל, ששימשו את בעלי הבתים כמחסנים. בעקבות זאת הוחלט לצמצם ככל האפשר את הפגיעה בחללים, והמעבר משם צפונה צומצם לכדי מעבר אדם אחד במנהרה בת כמה עשרות מטרים לאורך הכותל המערבי.
ברצפת המנהרה הותירו החופרים שני "חלונות": הראשון שבהם חושף כמה אבני כותל שהושלכו בחורבן המקדש, ונתגלו באתרן; והשני חושף שרידים של חנות שהייתה צמודה לכותל. אבני הכותל הנפולות נתגלו לאורך המנהרה כולה, בדומה למפולת האבנים שנתגלתה באתר הגן הארכאולוגי. החלון חושף, אפוא, רק חלק קטן מהמפולת כולה, שכוסתה לצורך מעבר המבקרים במקום. גם החנות היא רק חלק משרשרת חנויות ארוכה, שהייתה צמודה לכותל לכל אורכו, ולא נחשפה במלואה.
המנהרה הארוכה מסתיימת בשרידי בור מים קדם-הרודיאני, המתוארך לימי החשמונאים. ההנחה היא שכאשר בנה הורדוס את הכותל המערבי, חצה הקיר את הבור באמצעו, והוציאו באופן זה מכלל שימוש. מהבור נותר גרם מדרגות חצוב בסלע, ומעקה חלק וקעור, שהגן על העוברים בגיא מפני נפילה לבור.
מנהרת המוצא
עד שנת 1996 היו מנהרות הכותל ללא מוצא, וכל המבקרים בהן הגיעו עד הרחוב המרוצף, ושם שבו על עקבותיהם. התנהלות זו יצרה עומס וקשיי תעבורה במעברים הצרים, ובשל כך הוחלט לפתוח פתח יציאה בחלק הצפוני של המנהרות, כדי לאפשר לקהל לזרום החוצה באופן מסודר. בבריכת הסטרותיון, השוכנת בקצה מנהרות הכותל, אוּתָר קיר אבנים בודד, המפריד בין המנהרות ובין חנות בוויה דולורוזה. בעלי החנות, ערבי נוצרי, ניאות למכור את חנותו למשרד הדתות, אולם חזר בו לאחר שספג איומים על חייו, בשל שיתוף פעולה עם ישראל. בעקבות כך הוחלט לחצוב מנהרת מוצא מלאכותית בסלע האם של הגבעה צפונית לאורך כמה מטרים, ולפתוח פתח יציאה לויה דולורוזה, שלא דרך נכס של איש. מכונות החציבה הוכנסו לבריכת הסטרותיון בחלקים דרך מנזר האחיות ציון, והורכבו בפנים מחדש.
עם תחילת החציבה, הודיע הווקף כי לא יאפשר יציאה מהמנהרה אל לב הרובע המוסלמי, כה קרוב להר הבית. בשל חשש ממהומות, ניאותה ישראל לאשר בדיעבד את הקמתו של מסגד לא חוקי באורוות שלמה שבהר הבית, בתמורה לשקט עם פתיחת מוצא המנהרות. הסכם חשאי זה, בו היה מעורב ראש הממשלה יצחק רבין, לא היה רשמי או כתוב, עובדה שנוצלה בהמשך על ידי הווקף להתנערות ממנו.
במוצאי יום כיפור תשנ"ז (23 בספטמבר 1996), ימים ספורים קודם לזמן שסוכם בין ישראל לווקף, הודיע במפתיע ראש הממשלה החדש בנימין נתניהו על פתיחת מוצא המנהרה. צעד זה הוביל למחאה חריפה מצד הווקף, שטען עתה כי המנהרה עוברת תחת הר הבית ופוגעת בקודשי האסלאם (בפועל, מנהרת המוצא עוברת מתחת לבית הספר אל-עומריה, ולא נוגעת כלל בהר הבית). הרחוב המוסלמי הוצת, ובמהומות שנמשכו שלושה ימים נהרגו 17 חיילי צה"ל ועשרות פלסטינים.
בעקבות המהומות התכנסה הממשלה לדיון, והחליטה להשאיר את היציאה לרחוב, תוך ליווי ביטחוני של המבקרים בדרכם חזרה דרך הרובע המוסלמי לרחבת הכותל. בימי מתח שונים (כמו האינתיפאדה השנייה) נסגר הפתח לפרקי זמן שונים, אך בשנים האחרונות הוא משמש כפתח היציאה העיקרי ממתחם מנהרות הכותל. עם זאת, מאז המהומות ועד ימינו (נכון לאוקטובר 2009), משרד החינוך אינו מאפשר כלל לתלמידים לצאת דרך מנהרת המוצא, ואלה נאלצים לשוב על עקבותיהם בתוך המנהרות.
היכל התקופות
בשנת 2009 נפתח לקהל חדר נוסף, שנקרא 'היכל תקופות' בשל ריבוי הממצאים והקירות מתקופות שונות המצויים בו. החדר שוכן בצמוד לאולם ההרודיאני, והוא התגלה כבר בתחילת החפירות אחרי מלחמת ששת הימים. מפאת בעיות של יציבות ובטיחות, לא התאפשר לחקור אותו ולפנות את העפר הממלא אותו, והחלל שפונה לצורך סקר ראשוני מולא בבטון מוקצף. ההתפתחות הטכנולוגית בתחום חיזוק מבנים אפשרה לחפור את החדר, תוך תמיכתו בקורות ברזל ובטון עבות. החפירה התבצעה מלמעלה למטה, תוך צמצום שטח החפירה לכדי צורת פירמידה הפוכה, כך שהחלק התחתון צר בהרבה מהחלק העליון, כדי למנוע התמוטטות של הקירות פנימה.
בתום החפירה התקבל אולם גבוה מאוד, שהביקור בו נעשה דרך מרפסת היקפית סביב החלל הפנימי, בערך במחצית גובהו. הממצא העתיק ביותר בחדר הוא ריצוף מימי בית ראשון, החוצה את החדר בתחתיתו. במקום התגלו גם מעט ממצאים מן המאה העשירית לפנה"ס. הממצאים הנוספים המוצגים בו באתרם הם מתקן מים מימי בית שני; קירות גדולים ולטרינות (שירותים) מן התקופה הרומית; קיר מוסלמי; אומנה ושרידי קשת מימי הצלבנים; ותקרה ממלוכית.
תוכניות עתידיות
החפירות במנהרות הכותל לא פסקו מעולם, גם אחרי הכשרתן לביקורי קהל. מדי שנה נסגר המקום, או חלקים ממנו, לפרקי זמן קצרים, כדי לאפשר עבודות בהיקף גדול יותר. בשנת 2010 התבצעה חפירה נרחבת ביותר בחלק המערבי של המנהרות, במטרה לחשוף את שרידיו של חאן ציבורי ענק, המתוארך לשלהי התקופה הצלבנית או לתקופה הממלוכית. החאן, המשתרע על פני שטח של כמה דונמים, מחבר בין מנהרות הכותל ובית הכנסת אוהל יצחק, השוכן סמוך לשער השלשלת. נכון לאפריל 2022 מתבצעת חפירה בחלק של המנהרות שמתחת לאולם הכניסה, במטרה לחשוף את שרידיו של מה שכנראה היה בית מרחץ רומאי עתיק.
תוכנית נוספת העומדת על הפרק היא להרחיב את החפירות דרומה, אל מתחת לרחבת התפילה של הכותל המערבי, עד לגן הארכאולוגי. לצורך כך, תועמד הרחבה על עמודי תמך, והמבקרים במנהרות יוכלו לבחון את העתיקות שמתחתיה. התוכנית מתבססת על ההנחה כי הרחבה מכסה על ממצאים עתיקים, דוגמת אלה השוכנים במנהרות. חיזוק להנחה זו נמצא בעקבות חשיפת ממצאים רבים בחפירה הארכאולוגית שהחלה ב-2005 בקצה המערבי של רחבת התפילה, וחשפה ממצאים מרשימים מימי הבית הראשון, מעט ממצאים מימי הבית השני, ואת הקארדו המזרחי (רחוב עמודים רחב) מן התקופה הרומית.
לצורך הנגשת המנהרות לכיסאות גלגלים, מתוכננים כמה שינויים בדמות רמפות ומעלונים, וכן מתוכנן להרחיב את המנהרה הצרה לכדי מעבר כיסא גלגלים ומלווה.
החברה הגאונה (מיני-סדרה)
החברה הגאונה (באיטלקית: L'amica geniale) היא מיני-סדרת דרמה איטלקית-אמריקאית משנת 2018 בהפקת HBO ובבימויו של סבריו קוסטנזו. הסדרה היא עיבוד טלוויזיוני לרביעיית הרומנים האוטוביוגרפיים, "רומאנים נפוליטניים" מאת אלנה פרנטה. העונה הראשונה, בת שמונה חלקים, מתבססת על הכרך הראשון באותו שם, "החברה הגאונה" שיצא לאור בשנת 2011. העלילה מתרחשת בשכונת עוני נפוליטנית בימים שלאחר מלחמת העולם השנייה, ומתארת חברוּת נשית ארוכת שנים בין גיבורות הסדרה, אלנה גרקו ולילה צ'רולו. השידור הראשון בארצות הברית היה ב-18 בנובמבר 2018, ובישראל שוחררו כל פרקי העונה הראשונה ב-19 בדצמבר 2018.
במרץ 2022 הסדרה חודשה לעונה רביעית אחרונה.
פרקים
התסריט בכל פרק נכתב בהשתתפות אלנה פרנטה (מחברת "הרומאנים הנפוליטנים"), פרנצ'סקו פיקולו, לורה פאולוצ'י וסבריו קוסטנזו, במאי הסדרה.
הפקה
הסדרה היא הפקה משותפת של HBO ורשתות הטלוויזיה האיטלקיות RAI ו-TIMvision. זוהי ההפקה הראשונה של HBO שאינה בשפה האנגלית. מדיווחים שונים עולה כי תקציב ההפקה, שלא נחשף, הוא מבין הגבוהים שראתה תעשיית הטלוויזיה האירופאית. לדברי קוסטנזו: "[התקציב] נתן לנו את החופש לדייק מאוד בשחזור [המבנים]". שכונת העוני בה מתרחשת העלילה, בשטח כולל של 20,000 מטרים רבועים נבנתה במשך ארבעה חודשים, ומציגה חזות מדויקת של בלוק נפוליטני משנות החמישים. לשם כך נבנו 14 בניינים, חנויות, דירותיהן של שתי הדמויות הראשיות וחזית של כנסייה. בהתאם לתיאורים בסדרת ה"רומאנים הנפוליטניים".
הצילומים לעונה הראשונה החלו בקיץ 2017 ונמשכו 29 שבועות בשבעה מוקדים שונים ברחבי נאפולי, קזרטה ולאטינה. ההתעקשות לצלם דווקא באיטליה נבעה מרצונה של HBO לשמר את האותנטיות של הדיאלקט הנפוליטני מסדרת הספרים, כפי שהתגלם בליהוק השחקנים לתפקיד. כך למשל, לתפקיד שתי החברות נבחנו לא פחות מ-9,000 מועמדות, כולן ילידות דרום איטליה ודוברות את הדיאלקט המסוים. לבסוף נבחרו ארבע ילדות חסרות ניסיון במשחק. בלהט המאמץ ללהק שחקנים צעירים דוברי הדיאלקט, נאלצו יוצרי הסדרה לרדת לרחובות נאפולי בחיפוש אחר ילדים ומתבגרים מקומיים. בסך הכל צוות ההפקה כלל 5000 ניצבים ו-150 שחקנים.
ב-4 בדצמבר 2018, הודיע HBO כי תמשיך לעונה שנייה ותתמקד בספר השני בטֶטְרָלוגיה, "הסיפור של שם-המשפחה החדש". זאת שלושה חודשים אחרי הודעת RAI האיטלקית כי בכוונתה לעבד את כל שלושת הכרכים הנותרים.
פרסים
הסדרה הייתה מועמדת לפרס איגוד מבקרי הקולנוע האמריקאי לשנת 2019, בקטגוריה "סדרת הדרמה הטובה ביותר".
משפחות
משפחת צ'רולו משפחת גרקו
משפחת קאראצ'י
משפחת קאפוצ'ו
משפחת סאראטורה
משפחת סקאנו
משפחת סולארה
משפחת ספניולו
פסקול
המלחין מקס ריכטר, שידוע בכתיבת הפסקול לסרט הישראלי ואלס עם באשיר, נרתם להלחין את המוזיקה לסדרה זאת. האלבום שוחרר להאזנה בתשלום ב-7 בדצמבר 2018, על ידי חברה התקליטים הגרמנית דויטשה גרמופון. הסינגל לפסקול, "Elena & Lila", יצא כבר ב-30 בנובמבר אותה שנה.
זהו אלבומו ה-64 של ריכטר, ובפרט הפסקול ה-56 ממניין יצירותיו. קדם לו הפסקול לסרט "מרי, מלכת הסקוטים", גם הוא שוחרר להורדה אותו יום בארצות הברית.
משפט מייהיל-נרוד
ניסוח פורמלי
המשפט מתבסס על יחס שקילות המוגדר בצורה הבאה: בהינתן שפה L מעל אלפבית \Sigma, היחס R_L מוגדר מעל \Sigma^* בצורה הבאה: xR_L y אם ורק אם לכל המילים  xz, yz שייכות שתיהן לשפה L או ששתיהן אינן שייכות לשפה L. כלומר:
.
מילה שאינה מקיימת תנאי זה נקראת מילה מפרידה או זנב מפריד בין  x,y.
משפט מייהיל-נרוד אומר כי מספר המצבים המינימלי באוטומט סופי דטרמיניסטי אשר מקבל את L הוא כמספר מחלקות השקילות של R_L. בפרט, אם קיימות אינסוף מחלקות שקילות לא קיים אוטומט שכזה, ולכן השפה אינה רגולרית. המשפט גם מתאר את מבנה האוטומט המינימלי המקבל את השפה במקרה שמספר מחלקות השקילות הוא סופי, ומספק דרך קונסטרוקטיבית לבנות אוטומט כזה במקרה שמחלקות השקילות ידועות לנו: מצבי האוטומט יהיו מחלקות השקילות (כשהמצב ההתחלתי הוא ), המצבים המקבלים יהיו מחלקות שמיוצגות בידי מילים השייכות לשפה L ופונקציית המעברים של האוטומט תוגדר על ידי (קל להראות כי פונקציה זו מוגדרת היטב).
שפה רגולרית
עבור שפת כל המילים שאורכן זוגי (כולל אורך אפס), קיימות עבור היחס R_L בדיוק שתי מחלקות שקילות - מחלקה אחת היא קבוצת כל המילים מאורך זוגי, והמחלקה השנייה היא קבוצת כל המילים מאורך אי זוגי. כדי לראות זאת די לשים לב כי אם הזוגיות של אורך המילים x,y זהה, היא נותרת כזו גם כאשר מוסיפים לשתיהן סיפא z כלשהי. לכן, עבור כל שתי מילים בעלות זוגיות זהה מתקיים היחס R_L. (ועבור מילים בעלות זוגיות שונה, לא מתקיים היחס).
שפה שאינה רגולרית
ישנן מספר הוכחות לכך שהשפה אינה רגולרית. הוכחה המתבססת על משפט נרוד מראה כי עבור היחס R_L קיימות אינסוף מחלקות שקילות. לשם כך אין צורך למצוא את כל מחלקות השקילות או לכתוב אותן במפורש, אלא די להציג קבוצה אינסופית של מילים כך שאין שתי מילים מתוכה הנמצאות באותה מחלקת שקילות.
בהקשר של השפה הנוכחית, קבוצה כזו היא למשל. כדי לראות זאת די להראות כי עבור m,n שרירותיים השונים זה מזה, a^n ו-a^m אינם שייכים לאותה מחלקת שקילות - כלומר, קיימת מילה z שמפרידה בינן. דוגמה למילה z שכזו היא z=b^n, שכן ואילו.
רעיון ההוכחה
אם מספר מחלקות השקילות של R_L הוא סופי, האוטומט שהוצג לעיל שמצביו הם מחלקות השקילות של R_L מקבל את L. כדי לראות זאת די להוכיח באינדוקציה כי לאחר קריאת המילה w האוטומט יגיע למצב [w]. מכיוון שהמצבים המקבלים הוגדרו בתור המחלקות שמיוצגות על ידי המילים ששייכות לשפה, ומכיוון שאם במחלקה יש מילה השייכת לשפה כל המילים בה שייכות לשפה, הדבר מבטיח את נכונות האוטומט.
מינימליות מספר המצבים של האוטומט הזה מתבססת על שימוש ביחס שקילות נוסף. בהינתן אוטומט כלשהו A, היחס R_A מתקיים עבור כל שתי מילים שקריאתן מביאה את האוטומט לאותו המצב. כלומר:
.
מספר מצבי האוטומט A הוא לפחות כמספר מחלקות השקילות של היחס R_A, כי לכל מצב שניתן להגיע אליו באוטומט ניתן להתאים מחלקת שקילות שנציגתה היא מילה שמביאה את האוטומט למצב זה.
האבחנה לפיה נובעת מכך שאם x R_A y אז לאחר קריאת שתי המילים יגיע האוטומט A לאותו מצב, ועל כן לכל סיפא z שקורא האוטומט לאחר מכן הוא יגיע גם כן לאותו מצב. כלומר, האוטומט יחזיר תשובה זהה על xz ועל yz לכל z, ועל כן x R_L y.
דת ומדע
המונח דת ומדע, במשמעותו הרחבה, כולל כל ידע והגות השייכים להקשרים שבין תחומי הדת והמדע. במובן הצר, הוא מתייחס לקונפליקטים בין תפיסת הטבע וההיסטוריה המשתקפים מכתבי הקודש של הדתות האברהמיות לבין התפיסות המדעיות שלהם. היחסים המורכבים בין הדת למדע מעסיקים אנשי דת ומדענים, בעיקר מדענים האדוקים בדתם, מזה מאות בשנים.
בדרך כלל מניחים המאמינים בדת מסוימת שסתירה בין תורתם לתגליות המדע אינה אפשרית, מפני שאם הדת נכונה - אף התורה שלה נכונה. ר' יהודה הלוי ביטא תפיסה זו בספר "הכוזרי": "חלילה לאל, מהיות דבר התורה סותר עדות דבר הנראה עין בעין, או דבר שהוכח במופת שכלי!" (מאמר ראשון, פסקה ס"ז). משום כך, כאשר ישנו קונפליקט בין הנאמר בתורת הדת לבין מוסכמה מדעית כלשהי, הברירה היא או לטעון שהמוסכמה המדעית אינה מבוססת; או לפרש את הפסוקים בצורה שתיישב את הסתירה; או לדחות את האמונה בשלמות הטקסט הדתי.
קונפליקטים מרכזיים בין דתות רבות למדע הם:
היסטוריה של היחסים בין הדת היהודית והמדע
במאה העשירית כתב הרב סעדיה גאון בזכות החינוך המדעי:
הרמב"ם מגדולי הפוסקים, שכתב את אחד מספרי ההלכה המקיפים והחשובים בהיסטוריה היהודית, היה גם איש מדע מובהק ועסק רבות ברפואה ופילוסופיה, תוך שהוא טען כי השתמש במדעים כ"רקחות וטבחות" לחכמת התורה. הותיר אחריו יבול מרשים מאוד של ספרי רפואה (כ-11 במספר). לתפיסת הרמב"ם ידיעת האל נעשית בשני אופנים: באמצעות לימוד תורה ובאמצעות התבוננות בבריאה שכוללת בתוכה לימוד מדע שגורמים לאדם להכיר את עולם הטבע.
ב-1305 קבע הרשב"א בספרד שמנוע אדם מישראל ללמוד פילוסופיה וחוכמות חיצוניות טרם הגיעו לגיל 25.
הרלב"ג (1288 – 1344) מחשובי הפילוסופים היהודיים ומגדולי הלוגיקנים, שפעל בחבל פרובאנס שבדרום צרפת, הוכיח משפטים שונים בקומבינטוריקה, כתב הוכחות באינדוקציה מתמטית, ופיתַּח שני מכשירי תצפית אסטרונומיים משוכללים, מחקריו באסטרונומיה זכו להערכה רבה ותורגמו ללטינית בפקודת האפיפיור קלמנס השישי.
המהר"ל מפראג מגדולי ההוגים בישראל, שחי במאה ה-16, צידד וחייב לימוד מדעים, וראה בהם סולם לעלות אל חכמת התורה והכרת הבורא. אחת מראיותיו היא שיש לברך על ראיית חכם מאומות העולם - "ברוך שנתן מחכמתו לבשר ודם". אחד מגדולי תלמידיו רבי דוד גנז אף למד בברכתו אסטרונומיה (שהמהר"ל החשיב כמדע יהודי) אצל האסטרונום טיכו ברהה.
החתם סופר שנולד באמצע המאה ה-18 סבר שאפשר ללמוד גם לימודים כלליים בתנאי שהם באים אחרי לימוד התורה. עיקר חששו היה שההשכלה תשמש כשער להתבוללות, כאשר איננה מלווה בתודעה יהודית ראויה ולכן הסתייג ממנה במקומות אחדים. את הברכה "אשר נתן לנו תורת אמת, וחיי עולם נטע בתוכנו" פירש: תורת אמת היא התורה, וחיי עולם הם מדעים ודרך ארץ של העולם הזה. קודם תורה ואחר כך מדע. הוא ראה את המדעים כמסייעים להבנת התורה. בדרשתו בפרשבורג ב-1811 אמר "כי כל החכמות הם רקחות לתורה, והמה פתחים ושערים לה."
בתחילת המאה ה-19, בעיצומו של עידן הנאורות, הביע הרב נחמן מברסלב חרדה מעוצמתן של "החכמות החיצוניות":
כשחכמי ירושלים החרימו את לימודי החול הגיב הראי"ה קוק:
היסטוריה של היחסים בין הדת הנוצרית והמדע
לפי התאולוגיה של אקווינס, כל חקירה אנושית היא חקירה של האל, ולכן כל מדע הוא כלי של התאולוגיה, ומטרתה של כל חקירה מדעית היא לעשות את התאולוגיה טהורה יותר. האוניברסיטאות הראשונות, בימי הביניים, היו מוסדות דתיים. במאות ה-16 וה-17 היו לימודי כמורה יעדם של המשכילים. לכישרון וליכולת האנליטית התלוותה גם סקרנות. ולכן הכמרים לא הסתפקו בתשובות של הדת, אלא ניסו למצוא הסברים לתופעות טבע על ידי ההיגיון ועל ידי תצפיות טבע. אין פירוש הדבר שהם שללו את קיום האל או יצאו נגד הדת. המדענים הראשונים האמינו שבתגליותיהם הם מהללים ומפארים את שם האל, כי בכך הם חושפים את תוכניתו האלוהית ואת תבנית מעשיו; את ההגיון שמאחורי הבריאה. וכך היו רוב המדענים הראשונים כמרים בהכשרתם. מדענים רבים טענו שהמדע הוא הדרך הנעלה להתחקות אחר תפארת מעשיו של האל, כי האל קבע את חוקי הטבע.
עם זאת, יסודות שמרניים בכנסייה, ובעיקר ראשיה, אסרו על הכרה בתגליות מדעיות. ב-1616 קבעה הכנסייה הקתולית כי אסור להורות "שהשמש עומדת ללא תנועה במרכז השמיים; שהארץ אינה נמצאת במרכז השמיים ואינה חסרת תנועה, אלא נעה בתנועה כפולה", סביב השמש וסביבה-עצמה. בין דעותיהם של גליליאו ושל האפיפיור אורבן השמיני הייתה סתירה אינטלקטואלית. גליליאו טען שהמציאות בטבע היא אבן הבוחן של כל תאוריה: "בדיונים על בעיות פיזיקליות אין להסתמך על פסוקים במקרא אלא על ניסיון החושים ועל הוכחות... אלוהים מתגלה בפעולות הטבע לא פחות מאשר בדבריו המקודשים של המקרא." אורבן השמיני דרש שגליליאו יצהיר בספרו כי אסור להרהר במעשי אלוהים: "העזה בלתי נסבלת היא, שאדם ינסה להגביל את הכוח האלוהי ואת החכמה האלוהית כדי להוכיח השערה משלו." שמונה שנים לאחר מכן הקים אורבן השמיני ברומא את "המכון להפצת האמונה" – de propaganda fide. זה מקורה של המילה "פרופגנדה" (תעמולה) בדת הקתולית.
האפיפיור אורבנוס השמיני סירב לאשר לגליליאו להגיע למסקנות פוזיטיביות ואף לשלול מסקנות שגויות כמו המודל הגיאוצנטרי של הקוסמולוגיה התלמאית. הוא סבר שבכך שולל גלילאו מאלוהים את הזכות לנהל את היקום בדרך נס במקום לפי חוקי הטבע. ב-1571 הוסמכה האינקוויזיציה לשפוט ספרים שכללו רעיונות של כפירה, ואז החלה בהכנת רשימת ספרים אסורים בקריאה – האינדקס. העבריין היה נשפט בבית משפט של האינקוויזיציה, בלי העתק מכתב האישום, בלי לדעת מה העדויות נגדו ובלי פרקליט שיגן עליו. ספרו של גליליאו, "שיחה על שתי שיטות העולם הגדולות", שהודפס ב-1632, היה ברשימה זו במשך כמאתיים שנה.
מקובל לראות בעידן הנאורות ערעור של יסודות המחשבה התאולוגית, דחיית המסקנות שנשענו על מחשבה זו ומיסוד דרך המחשבה הרציונלית של ספקנות ביקורתית, תוך נכונות ויכולת לבחון את תופעות הטבע וההיסטוריה באמצעות התבונה האנושית הבלתי משוחדת. בניגוד לסברה זו, לא אחת פעלה הנאורות דווקא בכיוון ההפוך והעניקה מעין אצטלא רציונלית לטיעונים התאולוגיים הוותיקים.
מדענים קתולים רבים בתקופת הרנסאנס היו אדוקים בדתם, ואת מחקריהם המדעיים ראו בתור דרך לגלות את צפונות העולם האלוהי וכך לעבוד את האל בצורה שלגישתם הוא בוודאי רוצה בה. תיעוד המאובנים גובש לראשונה לא על ידי חוקרי אבולוציה אלא בעבודות של גאולוגים שהיו בריאתנים בהשקפתם וקיבלו את סיפור תולדות החיים כפי שהוא מסופר בספר בראשית. גאולוגים אלה ערכו לפי הסדר את שכבות הסלע הראשונות שמצאו. במקרים רבים היו אלה ממצאים שעלו מחפירת התעלות הראשונות של תקופת התיעוש באנגליה, במאה ה-18. הביולוג ומגלה הדינוזאורים ריצ'רד אוון ראה בחקר מדוקדק של האנטומיה והזואולוגיה את הדרך הטובה ביותר להעיד על תהילת מעשי האל, וכך ג'יימס האטון וגילברט וייט. האנטומולוג הבריטי פיליפ הנרי גוס סבר שאין סתירה בין סיפור הבריאה התנ"כי לבין הראיות לעתיקותו של העולם. המדען הצרפתי פרנסואה-רנה דה שאטובריאן כתב ב-1802: "אלוהים יכול היה לברוא, וללא ספק ברא, את העולם עם כל סימני עתיקותו ושלמותו, אותם מפגין העולם כעת." הנצרות והמדע לא נתפסו כסותרים זה את זה: ב-1811 התקבל שאטובריאן כחבר באקדמיה הצרפתית.
במאה ה-18 מיינו ביולוגים את המינים מתוך הנחה שהם יציבים, אינם משתנים ומורישים את תכונותיהם לצאצאיהם באופן מדויק. קארולוס ליניאוס ביקש להשליט סדר בעושר המינים שהתגלו במאות שנים של מסעות ותגליות וארגן את עולם החי והצומח במינים לפי תבניות שנבראו למיטב הבנתו על ידי האל בימי בראשית. יוהאן קספר לוואטר, תאולוג ומדען, חיפש בממצאי המדע את ההוכחה לבריאה. ותרגם לגרמנית את מחקרו של הביולוג הצרפתי שארל בונה (Bonnet, 1720-1793) שראה בסדר הביולוגי את התגלמות הרצון האלוהי. גם את בני האדם מיינו הביולוגים. הקריטריונים שלהם היו מגוונים, וכך גם סוגי בני האדם שהגדירו. האנטום סמואל תומאס פון זומרינג (Sommerring, 1755-1830) מיין את בני האדם לפי גיל, מין, לאומיות, תזונה, נטייה לחלות, סגנונות חיים ואף לבוש. בסוף המאה ה-18 מיין חוקר הטבע הגרמני יוהאן פרידריך בלומנבאך (Blumenbach, 1752-1840) את בני האדם לחמישה סוגים – קווקזים, מלאים, אתיופים, אמריקאים ואירופים, אך תהה מדוע שונים צאצאים מהוריהם. לינאוס סבר שאין חשיבות לשוני בין הפרטים, כי כולם פרי תוכנית של האל. לפי הבנתו, המהות האלוהית טבועה בכל ישות שבטבע.
הביולוג הצרפתי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון הדגיש עדויות על השתנות המינים, ותלמידו ז'אן-בטיסט דה לאמארק העלה תאוריה של השתנות של המינים – אבולוציה. כך היה לאמארק מהראשונים שערערו על מושג המין כישות מהותית של מעשה בריאה חד פעמי. כמו היפוקרטס היווני, כאלפיים שנה לפניהם, העלו לאמארק ובופון את הסברה שתכונות ההורים מיוצגות בצאצאים על ידי מנגנון שמעביר לצאצא תכונות משני ההורים. היכולת של משביחי צמחים ובעלי חיים לשנות את הצמח או החיה הטרידה את הביולוגים, והם הגיעו למסקנה שאפשר לשנות מינים על ידי הכלאות. הם עדיין לא חשבו על הסביבה בתור הגורם שמאלץ את המינים להשתנות. לאמארק אמנם השתמש במושגים כגון "רצון" או "צורך", וסבר כי הם גורמים להתנהגויות שמביאות לשינויים פיזיולוגיים, אבל הוא הדגיש שוב ושוב שהוא מחויב לא להניח קיומו של גורם לא מדעי, פיזיקלי או כימי שגורם להתפתחות המינים. לאמארק לא דיבר על "כוונה של היצור החי" או על "רצון אלוהי". הוא הקפיד להימנע מכך.
צ'ארלס דרווין כתב:
נראה שעקב לחציהם של דתיים הוסיף דרווין ל"מוצא המינים" אזכור של אלוהים כמפיח החיים. בשנת 1863, ארבע שנים לאחר פרסום "מוצא המינים", כתב לידידו, הבוטנאי ג'וזף הוקר: "זה זמן רב אני מצטער על שחיזרתי אחר דעת הקהל והשתמשתי במונח הלקוח מתוך החומש, בריאה, בעוד שהתכוונתי בעצם ל"הופעה" מכוחו של תהליך כלשהו שאינו ידוע כלל."
בתקופתו של דרווין ניסו ביולוגים רבים, בהם אסא גריי, לשלב בין אמונתם הדתית לבין העדויות לאבולוציה.
בשנת 1864 פרסם האפיפיור פיוס התשיעי את האנציקליקה Quanta Cura, מנשר אפיפיורי בו מנה "רשימת טעויות" (Syllabus of Errors). במסמך זה גינה את המודרניות על כל צורותיה: ליברליזם, סוציאליזם, פנתאיזם, מטריאליזם, רציונליזם ומדענות (Scientism) – הפילוסופיה לפיה המדע הוא הפתרון למצוקותיה של האנושות, הן מצוקותיה החומריות, הן מצוקותיה האינטלקטואליות (השאיפה לידע) והן מצוקותיה הנפשיות (השאיפה למצוא משמעות, למצוא את הסיבה לקיומו של הסבל בעולם). בין השאר הצביע האפיפיור על ההשקפות הבאות כחטאים:
בשנות ה-70 פרסם הביולוג האבולוציוני תאודוסיוס דובז'נסקי, שהיה נוצרי אדוק, את מאמרו "דבר אינו הגיוני בביולוגיה אלא לאורה של האבולוציה". במאמרו טען כי אין דרך להבין את המגוון העצום של בעלי חיים, ומנגד את האחידות במנגנוני החיים הבסיסיים ואת קווי הדמיון בין מינים ממערכות שונות אלא כתוצאה של התפתחות אבולוציונית באמצעות ברירה טבעית. לדבריו, או שאלוהים סידר בכוונה את הדברים כך "שיטעו אנשים שמנסים באופן כן לחפש את האמת", או שקווי הדמיון הללו הם תוצאה של אבולוציה. דובז'נסקי מסכם את מאמרו בטענה שכתבי הקודש והמדע הם שני דברים נפרדים: "זו טעות לחשוב שכתבי הקודש הם ספרי לימוד שמהם אפשר ללמוד אסטרונומיה, גאולוגיה, ביולוגיה ואנתרופולוגיה".
מדענים רבים בני זמננו הם קתולים אדוקים, ובהם קן מילר, וגם הם אינם רואים סתירה בין אמונתם הדתית לבין מדעי החיים בכלל והאבולוציה בפרט.
גישות ליישוב קונפליקטים ביהדות
קיימות גישות שונות המנסות לפתור או להסביר קונפליקטים שבין מוסכמות דתיות ומדעיות, כאשר הן חלוקות ביניהן הן ביחסן השונה למוסכמות אלו, בעיקר בתחום הסמכות שהן מייחסות להן, והן בדרכים ובכלים השונים המשמשים אותן.
ביקורת המקרא
הקונצנזוס המדעי בתחום המדעי של חקר המקרא ולימודי דתות, הוא שכתבי הקודש נכתבו והאמונות הדתיות עוצבו בידי בני-אדם שהחזיקו באמונות ובדעות שהיו מקובלות בתקופתם, אך אינן בהכרח נכונות. לפיכך במקומות שבהן כתבי קודש או אמונות דתיות נמצאת בקונפליקט עם מוסכמות מדעיות עדכניות, הראשונות יידחו כשגויות. ביקורת המקרא רואה בו נושא למחקר היסטורי, אנתרופולוגי וספרותי בדומה לכל מקור ספרותי אחר, במטרה להסביר, בין השאר, מדוע וכיצד נוצרו שגיאות אלו. ביהדות ניתן למצוא את הדוגמאות המובהקות הראשונות לגישה כזו אצל ברוך שפינוזה:
חקר המקרא בגישה זו מזוהה כיום בעיקר עם ספקנים ואתאיסטים, אם כי שותפים לו גם חוקרים דתיים כגון משה דוד קאסוטו וישראל קנוהל. לעומת זאת שאר הגישות שיוצגו להלן מזוהות בעיקר עם חוקרים והוגים דתיים, אם כי שותפים להם גם חילונים כמרטין בובר ואליה שמואל הרטום.
גישת הפרדת התחומים
גישת הפרדת התחומים טוענת כי המדע והתורה מדברים בשני מישורים שונים, שאין ביניהם התנגשות או סתירה. טענה זו הועלתה לראשונה על ידי המהר"ל מפראג, שכותב (באר הגולה, הבאר השישי): המהר"ל מדגים את דבריו על הגמרא "על ארבעה דברים החמה לוקה..." ושואל איך ייתכן שתלו זאת בחטא, "שודאי לקוי המאורות תלוי במהלך המאורות, אבל חז"ל נתנו את סיבת הסיבה. כי אם לא היה חטא בעולם... לא היה סדר הבריאה נותן שיוצר ליקוי המאורות שהוא פחיתות וחיסרון" אלא היה נברא עולם ללא ליקוי חמה.
מרטין בובר ואליה שמואל הרטום הגדירו את הגישה בצורה מדעית והסבירו כי לא תיתכן סתירה בין התורה והמדע, אלא כתוצאה מערבוב התחומים בטעות. המדע עוסק באיך של המציאות, בעוד התורה עוסקת בלמה של המציאות. אין לתורה עניין לתאר אסטרונומיה, גאולוגיה או היסטוריה, ואין לה כל משמעות כטקסט מדעי, אלא כטקסט הגותי-מוסרי-הדרכתי בלבד.
פרופ' ישעיהו ליבוביץ הפריד את הדברים בצורה שונה. לדבריו, מטרת התורה אינה מתן מידע לאדם, אלא הצגת דרישה ערכית בפניו. על פי ליבוביץ, היהדות מוגדרת כדת תאוצנטרית שתכליתה היא עבודת האל, וממילא לא יכולה להיווצר סתירה בן המדע לכתבי הקודש, שאינם בעלי ערך אינפורמטיבי כלל.
הגישה המגבילה של החקירה המדעית
הגישה המגבילה כלפי המדע טוענת שהסתירה נובעת מחריגה של המדע מעבר לגבולותיו, בהסקת מסקנות מוטעות מהעובדות הנצפות, ובהרחבה שלהן לתחומים לא ידועים.
ביטוי לגישה זו ניתן למצוא בדברי רבינו בחיי על התורה:גישה מודרנית יותר של טיעון זה הוצגה על ידי המתמטיקאי והביולוג ד"ר יצחק רפאל עציון אשר כתב כי הגאומטריה לא-אוקלידית הוכיחה כי אקסיומות שבמשך אלפי שנים נחשבו לאמת מוחלטת (כגון שדרך שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד) הן למעשה שרירותיות וקיימות גאומטריות עם אקסיומות חלופיות. כך גם הנחות היסוד של "המדעים ההיסטוריים", כגון העדר כוח עליון וקצב קבוע של תהליכים טבעיים מסוימים עליהם נשען התיארוך הן אמונות שרירותיות שאין בכוחן לערער אמונה בתורה.
מתנגדי הגישה המגבילה טוענים כי היא פוטרת את עצמה במובנים רבים מלהתייחס לכל טענה היסטורית בנפרד, ומגדירה כל טענה היסטורית-מדעית כבלתי תקפה, ללא קשר לשאלה עד כמה הגיוני ההסבר המדעי.
הגישה האמונית פרשנית
הגישה המפרשת כלפי התורה, רואה את מקור הסתירה בהבנה לא נכונה של היגדים דתיים בכתבי הקודש. על פי שיטה זו, במקום שיש סתירה בין תורה ומדע יש לחפש פרשנות חלופית לכתבי הקודש, או להציגם כאנלוגיה בלבד. על פי גישה זו, סתירה בן הידע המדעי לתורה מצוי בבני האדם, ובתפיסת התורה בצורה פשטנית. בשיטה זו דגלו פרופ' אברהם פרנקל, שטען בין השאר כי פרשת הבריאה היא סימבולית, בדומה לשיטתו של הפילוסוף הקדום פילון האלכסנדרוני. פרופ' אליעזר גולדמן סבר גם הוא כשיטה זו, אך טען בדומה לישעיהו ליבוביץ שבאופן עקרוני לא תיתכן סתירה בין התורה והמדע, כיוון שהאמירות בתורה אינן 'טענות' במובן המדעי מעצם העובדה שהן עוסקות באלוהות. והן אינן יכולות לשמש הסבר לאירועים בעולם.
הגישה הדיאלקטית
הגישה הדיאלקטית של פרופ' שמואל הוגו ברגמן סוברת, שאף אם יש סתירה בין המדע לתורה, הדבר משקף את מגבלות התפיסה האנושית, שאיננה יכולה לתפוס את האינסופי והמוחלט. ע"פ גישה זו המדע וכתבי הקודש צודקים שניהם. לדעתו, הסתירה נובעת מכך שהחזון האמוני והלוגיקה המדעית אינם יכולים להתחבר לכלל הרמוניה אחת. וכך דבריו במאמר "צבת בצבת": לדברי הראי"ה קוק,
הגישה הטרנסצנדנטלית
הגישה הטרנסצנדנטלית בנויה על תורת האידאיליזם הטרנסצנדטלי הקאנטיאנית, המחלקת בין הדבר כשלעצמו ותופעותיו. לפי שיטה זו – התורה מדברת על הדבר כשהוא לעצמו, והמדע מדבר על התופעות. מכלול הכרתנו את מהותה של מציאות נעשה בשתי דרכים מקבילות: דרך מציאות שנבחנת על ידינו בחושים ועיבודם באופן סובייקטיבי, ודרך הנבואה האובייקטיבית שחודרת את מעטי הטבע, ומגלה לנו את מהות הבריאה. הרב שם טוב גפן אחז בשיטה זו וביאר על פיה את מהות הנבואה, ואף יישב על ידה את הסתירה בין הדת ולמדע בעניין גיל העולם. גם יצחק ברויאר היה מהאוחזים בשיטה זו באופן מובהק, ובדברו על המדע שכופר בנס, הוא טוען שלידתו של העולם היא עצמה נס גדול.
הגישה הסינתטית
הגישה הסינתטית – גישתו של הרב קוק שמנסה ליצור הרמוניה בין כל הגישות השונות. בבסיס הדברים הוא טוען שמהותה האמיתי של הבריאה אינה ניתנת לתיאור מלא, והיא מסוד הצמצום, ויש בה מסתרי תורה, ולכן לא פורשה אלא נכתבה בצורה סתומה בפסוק אחד. לשיטתו, כאשר אנו נתקלים בסתירה, ראשית יש "לבנות את ארמון התורה ממעל לה", כלומר להמשיך באמונתנו תוך קבלת האמירה המדעית כנכונה (שהרי אין התורה מספרת לנו עובדות אלא "העיקר הוא התוכן, ההסברה הפנימית שבעניינים"), ואחר כך ניתן גם לטעון טענות אחרות, לפי העניין, לגבי התורה או המדע.
טענה נוספת שלו בהקשר זה היא שאין הסתירה בין מדע לדת גורמת לכפירה, אלא הטענות המוסריות כנגד הדת גורמות לה, ורק מתוך הכפירה באות הטענות ה'מדעיות'. לטענתו, המדע תוקף את הדת היום לא מתוך שיקול מדעי טהור, שהרי הוא יכול להיות לכל היותר אגנוסטי, הואיל ושערי האימות האמפירי בענייני האלוהות סגורים בפניו, אלא כיוון שהדת בעבר הונתה אותו, השתררה עליו, ודיכאה את חופש המחשבה של האנושות בעריצות רוחנית. אף שהוא אומר זאת על הנצרות הקתולית, ובעיקר של ימי הביניים, הוא דורש גם מן הדתיים ("בעלי תורה") לשפר את הנהגתם ומוסריותם, כדי "לסלק את היסוד המוטעה של הכפירה המוסרית".
קונפליקטים מרכזיים וההתייחסות הדתית אליהם
להלן מספר סתירות לכאורה, המדגימות קונפליקטים מרכזיים ואת הפתרונות השונים של הגישות המפרשת והמגבילה, המתמודדות עימם (הביקורת המדעית וגישות הפרדת התחומים, הדיאלקטיקה והטרנסצנדנטליות, מנסות לפתור את כל הסתירות בתשובה אחת).
חלק מן קונפליקטים, ואולי מרביתם, אינם סתירות של ממש בין התורה והמדע, אלא בין מסורת דתית למדע או בין התורה להנחה מדעית.
גיל העולם
המסורת היהודית גורסת שבריאת העולם הייתה לפני אלפי שנים מעטות – שנת היא השנה ה- ליצירה, בעוד שהקונצנזוס המדעי מתארך את גיל היקום בכ-13.8 מיליארדי שנים.
בהגות הדתית קיימות מספר גישות שמנסות לגשר על הפער, לרוב בהסתמך על פרשנויות קודמות של סיפור הבריאה היהודי.
חסידי הגישה המפרשת מסכימים עם מניין השנים המדעי, אך הם טוענים שמניין השנים היהודי מתחיל מסופה של הבריאה - אולי מיום בריאת אדם הראשון - ואילו סיפור הבריאה מתאר את התהליך שקדם למניין זה. לפי גישה זו המסורת בעצם איננה טוענת דבר לגבי גיל העולם, שכן ניתן להגדיר את "ששת ימי הבריאה" כפרקי זמן ממושכים, שנמשכו שנים רבות. סימוכין מהתורה לטענה זו אפשר לראות בכך שהטקסט המקראי עצמו משתמש במונח "יום" עבור הימים הראשונים בהם עדיין לא היו שמש, ירח וכוכבים, ולכן היום לא יכול היה להימדד לפי אחד מהם. כלומר, ייתכן שהמילה "יום" משמשת כאן במשמעות שונה לחלוטין.
המתנגדים לגישה המפרשת מצטטים את דברי חז"ל (למשל בפסיקתא רבתי מ"ו) לפיהם היום השישי כלל 24 שעות, וטוענים שחסרונם של השמש והירח לא מוכיח דבר על אורך היום. טענה נוספת של המתנגדים היא שאם נאמר שלא היו אלו ימים רגילים, תווצר בעיה בהבנת חישוב זמנה של מצוות השבת ואיסוריה: התורה מסבירה את ששת ימי המלאכה ולאחריהם השביתה ביום השביעי, כי כן עשה ה' - ברא עולם בשישה ימים ונח ביום השביעי, אך אם ששת ימי הבריאה אינם ימים של 24 שעות, לכאורה לא נדע כמה זמן לספור לפני שנצטרך לקיים את מצוות השבת ואיסוריה.
יש המסתמכים על תורת השמיטות המובאת במדרש וספר הזוהר שלפיו קודם בריאת העולם "היה הקב"ה בונה עולמות ומחריבן" (בראשית רבה, ט' ב' ; אגדת בראשית תרמ"ג). ע"פ טענה זו אף לפני תחילת הסיפור המקראי התרחשו אירועים שלא נספרו בתוך מניין השנים היהודי.
עם זאת, רבנים המתנגדים לגישת שמיטת העולמות טוענים שלא ייתכן שאלוהים זקוק לעולמות ניסיוניים כי כל פועלו מושלם, ומזכירים את הכרעתו של האר"י (בניגוד לדעת מקובלים קודמים) שהשמיטות הקודמות לשמיטתנו לא היו שמיטות גשמיות - זאת אומרת שלא היו בהם עולמות הבנויים מחומר, אלא רק עולמות רוחניים (הקשורים לספירות בעולם האצילות.
הפתרונות של הגישה המפרשת מבטלים את המחלוקת בין התורה למדע לגבי גיל היקום, אך הם אינם מיישבים את הסתירה בין הגיל המסורתי של המין האנושי לבין הגיל המדעי. לפיה המחקר המדעי, המינים הראשונים מסוג האדם (Homo) הופיעו באפריקה לפני 2 עד 2.8 מיליון שנה, ולקדומים שבהם, כמו הומו הביליס (Homo habilis, האדם המיומן), מייחסים את ראשית הסיתות והשימוש הנרחב בכלי אבן. מאובני אדם הזהים אנטומית לבני אדם בני-ימינו נקראים במינוח המדעי המקובל הומו ספיינס מודרני אנטומית, ולעיתים מוגדרים במינוח הטקסונומי כתת-המין "הומו ספיינס ספיינס" (Homo sapiens sapiens). המאובנים העתיקים ביותר שסווגו כך התגלו באתר אומו קיביש בדרום אתיופיה, ותוארכו בשיטה הרדיומטרית ארגון-ארגון לגיל של כ-190 אלף שנה לפני זמננו.
פתרון שהוצע לשם כך על ידי הראי"ה קוק, מפרש את הפסוק "על כן יעזב איש את אביו ואת אמו ודבק באשתו" כך שהגדרת התורה לאנושיות אינה פיזיולוגית אלא תרבותית: "אין מעצור לפרש פרשת אלה תולדות השמים והארץ, שהיא מקפלת בקרבה עולמים של שנות מיליונים, עד שבא אדם לידי קצת הכרה שהוא נבדל כבר מכל בעה"ח, ועל ידי איזה חזיון נדמה לו שצריך הוא לקבע חיי משפחה בקביעות ואצילות רוח, על ידי יחוד אשה שתתקשר אליו יותר מאביו ואמו, בעלי המשפחה הטבעיים."
פתרון פרשני אחר להתאמת סיפור הבריאה להערכות המדעיות הציג הפיזיקאי ג'רלד שרודר, אשר הציע לפרש את האורך של כל "יום" בסיפור הבריאה באופן יחסי לטמפרטורת היקום באותו פרק זמן. בהתבסס על כך שהיקום מתקרר בצורה מעריכית ככל שהוא מתפשט, ושלפי ההערכה המקובלת טמפרטורת היקום כיום היא 2.73 מעלות קלווין, חישב שרודר כי אם מחלקים בצורה מעריכית את הזמן שחלף מאז המפץ הגדול ל-6 יחידות, יוצא שהיחידה השישית התחילה לפני 220 מיליון שנה - הזמן שבו החלו להופיע היונקים, ולקראת סוף היום השישי (לפני 2.5 מיליון שנה) הופיעו ראשוני האדם - במועד בו, לפי הגמרא, הושלך אדם הראשון מגן עדן.
פרשנות נוספת ניתנת על ידי הרב יצחק אורלן בספרו "ימי בראשית". שם הוא מציע לפרש כי ששת ימי הבריאה הם סופו של תהליך ארוך של היווצרות העולם והתפתחות החיים בדרך טבעית, על פי ציווי הבורא. לפי דבריו בששת ימי בראשית ה' סיכם את תהליך הבריאה על ידי קריאת שמות (לשמים ולארץ, ליום וללילה ועוד), ועל ידי תיקונם קטנים (כגון בריאת גן עדן). לפי פרשנות זו יש לקרוא את פרשת הבריאה בספר בראשית כסיפור המשלב את תיאור הבריאה ההיסטורי מחד, ואת הנעשה בששת הימים המסכמים מאידך, כאשר תיאור הבריאה ההיסטורי לא מסופר לפי סדר הזמנים, אלא לפי הסדר שבו ה' סיכם את הבריאה בששת הימים האחרונים.
לפי הגישה המגבילה, העמדה המדעית לגבי גיל העולם מוטעית. המחזיקים בשיטה זו טוענים ששיטות התארוך המדעיות, המבוססות על אקסטרפולציות של היסקים מממצאים בתקופתנו, אינן אמינות. הרבי מליובאוויטש המשיל זאת להבדל בין השאלה מה המנה של חילוק 4 ב-2, לבין השאלה איזה תרגיל חילוק יש לבצע על מנת להגיע למנה 2, שאלה בת אינסוף תשובות. גישה זו מתמודדת גם עם תיארוך הממצאים האנושיים הקדומים לתחילת הספירה היהודית.
הגישה הטרנסצנדנטלית שוללת את הדיון מעיקרו, וטוענת שכיוון ההכרה האנושית תופסת את הדברים כפי שהם נגלים לנו, ולא את הדברים כפי שהם לעצמם, ואין לנו גישה ישירה לחקור את הדבר-כשהוא-לעצמו, אלא רק את העולם כפי שהוא נתפס בתודעתנו. ממילא, גם ממדי המרחב והזמן קיימים כולם בתודעת האדם ולא במציאות, ולא שייך לדון בקיומם לפני שנוצר האדם, כי הם קיימים רק מאז שהתקבעו בתודעתו של האדם. הרב שם טוב גפן, שאחז בשיטה זו, טען שהבריאה היא רק "השתכללות צורות הזמן והמקום על פי כוח נסתר ונעלם, בדעת האדם והכרתו". "ששת ימי הבריאה", לשיטתו, הם שש דרגות הכרה בתודעת האדם, שהתפתחו בזו אחר זו ללא הפסק זמן ביניהם (כי טרם נוצר הזמן), עד שהתפתחה הכרת האדם בצורתה השביעית, כפי שהיא היום. בדומה לכך טוען הרב משה רט, ש"תולדות היקום" אינן רצף אירועים פיזיקליים, אלא "תולדותיה של תודעה ההולכת ומתפתחת, הולכת ותופסת את עצמה ואת המציאות הכלולה בה בצורה ברורה ומדויקת יותר". לפי שיטה זו, כל עיסוק בשאלת גיל העולם קודם הופעת האדם, הוא חסר משמעות, כי הזמן קיים רק בתודעת האדם, והוא לא יכול להיות מנותק ממנו.
אבולוציה
הטקסט המקראי, המתאר את בריאת האדם מן האדמה ביום השישי, עומד לכאורה בקונפליקט עם תאוריית האבולוציה לפיה האדם התפתח מבעלי חיים אחרים בתהליך הדרגתי וממושך. ישנן מספר גישות דתיות המנסות לפתור שאלה זו:
בעלי הגישה המגבילה טוענים שהאבולוציה היא תאוריה שגויה. עיקרון מהותי של הגישה הזאת היא שעדויות וממצאים - כגון מאובנים המתארים התפתחות של יצורים דמויי אדם - אינם מהווים הוכחה מספקת לאבולוציה, משום שניתן לפרש את העדויות בדרכים נוספות או מתוך שלילת ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם משתנים עם הזמן - הנחה שהיא אחד היסודות של המדע המודרני, ובלעדיה לא ניתן לטעון דבר לגבי ההיסטוריה באופן מדעי.
בעקבות העדויות שהתגלו במאה האחרונה על מיקרואבולוציה, מצדדי הגישה המגבילה טוענים שאף שניתן לראות שינויים בתוך מין מסוים (כגון שינוי צבע פרווה, התארכות קלה של המקור), שינויים אלו אינם אלא התאמה לתנאי הסביבה במסגרת השונות הגנטית הפוטנציאלית של המין, אך מעולם לא נראה מין אחד שהפך בעקבות הרבה שינויים הדרגתיים למין אחר. קיימים סוגים רבים של כלבים, אך אף אחד מהם לא בקע מביצה.
גישה אחרת, שבארצות הברית קרויה "תכנון תבוני", מקבלת את האבולוציה, אך לא כתהליך טבעי כפי שתיארה דרווין. לטענת המצדדים בגישה זו, התאוריה הדרוויניסטית מנסה להסביר את מגוון המינים בדיעבד, כתוצאה של תהליך טבעי שהתרחש ללא יד מכוונת, אך הסבריה אינם מספקים ואין מנוס מהמסקנה שהאבולוציה לא הייתה מתאפשרת ללא הכוונה, ובמשתמע, בסיוע השגחה עליונה. ישנם גם הטוענים שההליך כן היה טבעי, מאחר והטבע עצמו נוצר על ידי הקב"ה כשבכוונתו שבבוא היום תתקיים האבולוציה כחלק ממנו.
בהתאם לגישה המפרשת, מצטט הרב קוק את קביעת חז"ל שכל אשר נאמר בפרשת הבריאה איננו כפשוטו, אלא "סתרי תורה" ויש להבינו באופן סימבולי ומטפורי: ששת ימי הבריאה אינם ימים כמשמעותם כלפינו – בין היתר מפני שאז עדיין לא היה אדם ולכן גם אין משמעות למונח זמן – אלא זהו זמן "אלוהי" בקנה מידה אחר, ויש לפרש אותם כ"פרקי זמן" או חלוקה מטאפורית אחרת.
יציאת מצרים
יש שרואים בהיעדר אישוש ארכאולוגי לסיפור יציאת מצרים סתירה בין המקרא למדע, בנימוק ש-600 אלף גברים, כ-3 מיליון בני אדם (כולל נשים וטף) היו אמורים להשאיר עדויות ארכאולוגיות, כגון שרידי מחנות.
אחרים תירצו שאלה זו בתארוך אחר לסיפור המקראי. לטענתם יציאת מצרים הייתה בתקופה קדומה בהרבה (סוף השושלת הרביעית), ממנה יש תיעוד של עם מגזע צפוני שחי לאורך תעלת 'בחר יוסוף', ועקבותיו נעלמו בימי השושלת החמישית.
הסבר אחר הוא שניתן לראות בעצם כתיבת המקרא ראיה היסטורית לסיפור זה. "כבר עמדו חוקרים על כך כי 'אין להעלות על הדעת שתציב אומה מן האומות בראשית הווייתה, מעשה עמידה בשיעבוד ובמצוקה, אלא אם כן התנסתה בכך בפועל'".
טענות נוספות נוגעות למספר יוצאי מצרים: נטען שמדבר סיני לא יכול היה לכלכל כמות כזו של אנשים במשך 40 שנים. על פי המקרא, בני ישראל התכלכלו בזמן זה על המן והשליו שקיבלו בדרך נס.
קושיה נוספת היא שחשבון של שושלות (לפי דברי הימים וספרים אחרים) מראה שמהזמן שבני ישראל ירדו מצרימה ומנו 70 נפש ועד צאתם ממצרים לא עברו יותר מחמישה דורות, ולא סביר להגיע בפרק זמן כזה לעם שבו הגברים הלוחמים לבדם מונים 600 אלף. התורה עצמה מציגה את התרבותם של בני ישראל כתופעה חריגה: "ובני ישראל פרו וישרצו וירבו ויעצמו במאֹד מאֹד ותִמלא הארץ אותם". הפירוש המסורתי לפסוק זה הוא שכל אישה ילדה שישה או שנים עשר בנים. הגישה המפרשת מציעה שייתכן שמדובר במספר טיפולוגי-סמלי שלא היה במציאות באותם ימים, אך המקרא איננו בא ללמדנו את הדמוגרפיה ההיסטורית. המקרא השתמש במספר 600 אלף, משום שזהו מספר שלם המייצג עם, בעוד שמתחתיו אלו מספרים המייצגים שבטים או חמולות. ייתכן שבפועל יצאו ממצרים עשרות אלפי בני ישראל בלבד, שנדדו במדבר וכבשו את הארץ. גישה נוספת מפרשת את פסוק ל"ז בספר שמות, פרק י"ב כאשר "אלף" = משפחה. מכאן יוצא כי מדובר ב-600 משפחות בלבד, ולכן לא צפוי אישוש ארכאולוגי להגירה זו, שכן אין היא מונה מספרים כה גדולים.
עם זאת, גישה זו לא התקבלה בקרב הפרשנים המסורתיים של המקרא, והגישה השנייה אינה מתיישבת אף עם הפסוקים עצמם מאחר שהמקרא בעצמו אינו מונה רק את האלפים אלא אף את המאות והעשרות של עם ישראל "וַיִּהְיוּ כָּל הַפְּקֻדִים שֵׁשׁ מֵאוֹת אֶלֶף וּשְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת וַחֲמִשִּׁים" (במדבר, א, מו).
קללת הנחש
בפועל אנחנו יודעים שהנחש הוא טורף, ובוודאי שלא ניזון מעפר.
שם ברור שהכוונה היא מטאפורית. הפירוש המובא בתלמוד הוא שהקללה היא שכל מה שיאכל הנחש יהיה בטעם עפר: (יומא עה.).
הארנבת
בספר ויקרא, פרק י"א פסוק ו' כתוב:
המחקר המדעי, אינו מגדיר את הארנבת כמעלה גרה, אם כי היא מרבה ללעוס ונראית ככזו.
הגישה המפרשת מסבירה שאין הכוונה לארנבת המוכרת לנו כיום, כשם שישנם שמות שונים במקרא לחיות ולצמחים בני זמננו. בהקשר זה יש להזכיר כי על פי תרגום השבעים המילה "ארנבת" מתארת את הארנבת המוכרת לנו כיום, אך ייתכן שאירע שיבוש עוד לפני תרגום זה.
אחרים טוענים שכוונת המקרא במילים "מעלת גרה" אינה חופפת להגדרה המדעית של העלאת גרה. ארנבת אוכלת ומעכלת שוב חלק מצואתה (לאחר שהפרישה אותה מגופה), וייתכן שזו כוונת התורה ב"מעלת גרה".
הרמב"ם כותב בנוגע להגדרת בהמה "מעלה גרה" (ספר קדושה, הלכות מאכלות אסורות, פרק א'), כי בהמה מעלת גרה היא בהמה חסרת שיניים עליוניות. כמו כן, הוא מציין שהבהמה היחידה שהיא מעלת גרה ואינה מפרסת פרסה היא הגמל בלבד, ואינו מציין את שני הנוספים בתורה: ארנבת ושפן מאחר שאינם בהמות ואין חשש שיבואו לאוכלם.
שיעור התגליות השגויות
שיעור התגליות השגויות (FDR - False Discovery Rate) הוא שמה של שיטה סטטיסטית לבדיקת השערות מרובות, שפותחה בידי שני סטטיסטיקאים מאוניברסיטת תל אביב, הפרופסורים יואב בנימיני ויוסף הוכברג. שיטה זו הוצעה על ידי בנימיני והוכברג כבר ב-1989 אך בתחילה היא נתקלה בהתנגדות, עד שב-1995 מאמרם התקבל בכתב העת Journal of the Royal Statistical Society, ומאז הוא דורג בין 25 המאמרים המצוטטים ביותר בסטטיסטיקה. בנימיני זכה בפרס ישראל לשנת 2012 בעיקר עקב תגליותיו בנושא זה.
הצורך בשיטה
כמעט כל תחומי המדע המודרני מבוססים על בדיקת השערות בניסויים או בתצפיות, בהתבסס על מדגם מקרי. בתחום הסטטיסטי של בדיקת השערות פותחו כללים לקבל או לדחות השערה מדעית, באמצעות עימותה עם השערה שמרנית המכונה "השערת האפס". למשל, בבדיקה האם תרופה חדשה שפותחה מאריכה את תוחלת החיים של החולים המשתמשים בה, קיימות שיטות מקובלות לדגום חולים המשתמשים בתרופה וחולים שאינם משתמשים בתרופה, למדוד את תוחלת החיים שלהם ולהכריע בין השערת האפס H_0: "תוחלת החיים של המשתמשים בתרופה אינה ארוכה יותר" ולבין ההשערה החלופית H_1: "תוחלת החיים של המשתמשים בתרופה ארוכה יותר", אשר תוביל לפרסום תגלית מדעית שהתרופה יעילה. בשיטות טיפוסיות נוהגים לחשב מהי ההסתברות p לקבל את תוחלות החיים שנמדדו בפועל בהנחה שהשערת האפס נכונה, ולדחות השערה זו אם ורק אם p קטן מרמת מובהקות שרירותית כלשהי. רמת מובהקות מקובלת מאוד בתחומי הרפואה והביולוגיה הוא 0.05, כלומר רק אם הסיכוי p יהיה קטן מ-0.05 תידחה השערת האפס, וניתן יהיה לפרסם מאמר מדעי המדווח על תגלית - התרופה יעילה באופן "מובהק סטטיסטית". הערך 0.05 הוא שרירותי, שכן עקרונית ניתן היה להחליט כל ערך אחר, והוא מקובל במדע בזכות שמרנותו - הוא מקל בהרבה על קבלת השערת האפס מאשר על דחייתה, ולמעשה מכתיב כי תוכרז תגלית שגויה לכל היותר ב-0.05 (היינו 5%) מן המקרים בהם השערת האפס נכונה.
ואולם השיטות המסורתיות של בדיקת השערות אינן מספקות כאשר יש צורך בבדיקת השערות מרובות. למשל, נניח שבעת ביצוע מחקר בגנטיקה מעוניינים לבדוק את ההשפעה של 10,000 גנים. לשם כך דוגמים פרטים מן האוכלוסייה ומודדים את ההשפעה של 10,000 גנים בכל אחד מהם, כך שיש לבדוק 10,000 השערות: לכל גן נבדקת השערת האפס שאין לו השפעה לעומת ההשערה שיש לו השפעה. רמת מובהקות של 0.05 נראית שמרנית דיה לבדיקת השערה יחידה, אך אם תאומץ לבדיקת כל אחת מ-10,000 ההשערות יש לצפות שאפילו אם אין לאף גן השפעה כלשהי, תתקבלנה בממוצע 0.05*10,000=500 תגליות שגויות של גנים שהם כביכול בעלי השפעה "מובהקת סטטיסטית". מכאן עולה הצורך במבחן סטטיסטי מתוקן להשוואות מרובות. תיקון מסורתי כזה הוא תיקון בונפרוני (על שם המתמטיקאי האיטלקי קרלו אמיליו בונפרוני) אשר דוחה את השערת האפס רק אם ההסתברות p לקבלת התוצאות קטנה מרמת המובהקות המקורית מחולקת במספר ההשערות, במקרה זה ערך מתוקן של 0.05/10,000=0.000005 בלבד. הוכח ששימוש בתיקון בונפרוני מבטיח שההסתברות לקבל ולו תגלית שגויה אחת לא תהיה גדולה מרמת המובהקות.
החסרון בתיקון בונפרוני היא העוצמה הסטטיסטית הנמוכה מאוד שלו. היינו, על מנת להבטיח שאפילו תגלית שגויה אחת לא תעשה, תיקון בונפרוני הוא שמרן מדי, ונוטה להחמיץ תגליות מדעיות אמיתיות. בשל כך נמנעו מדענים רבים מן השימוש בו, או בכל תיקון אחר להשוואות מרובות, וחשפו את עצמם לתגליות שגויות. מצב זה החמיר במיוחד מאז סוף המאה ה-20, משום שההתקדמות הטכנולוגית מאפשרת מדידה אוטומטית של יותר ויותר משתנים בכל ניסוי ותצפית. בשנת 1995 הציעו בנימיני והוכברג להחליף את תיקון בונפרוני ב"שיעור התגליות השגויות" (FDR, ראשי תיבות באנגלית של False Discovery Rate), והראו שהעוצמה הסטטיסטית שלו גדולה בהרבה. כלומר, גם במחקרים המודדים משתנים רבים מאוד בו-זמנית ניתן להבטיח "שמרנות מדעית" ועדיין לקבל תגליות אמיתיות.
הרעיון בבסיס השיטה שהתוו בנימיני והוכברג היה לבקר את היחס שבין מספר התגליות השגויות לבין סך התגליות, במקום את ההסתברות לעשות תגלית שגויה אחת ויחידה. על פי רעיון זה ככל שמתקבלות פחות תגליות, הביטחון באמיתותן יורד, ולכן יש לדרוש שמרנות מחמירה יותר. למעשה, כאשר מספר התגליות הוא אחד בלבד, שיעור התגליות השגויות מתנהג כמו תיקון בונפרוני. לעומת זאת ככל שמתקבלות תגליות רבות יותר, הביטחון שלפחות חלק מהן נכונות עולה, ולכן ניתן לדרוש פחות שמרנות. המשפט שהוכיחו בנימיני והוכברג קובע שקיים כלל הכרעה אשר השימוש בו מסוגל להבטיח כל רמה נדרשת של שיעור תגליות שגויות.