cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
צ'ק פוסט (אזור)
היסטוריה
בהמשך, עם הידלדלותו העירונית של מרכז העיר, נוספו באזור מרכזי קניות, בהם הבולט הוא קניון לב המפרץ (ה"סינמול") במחלף קישון. אל הפעילות הזאת נוסף מספר קטן של עוגני היי-טק, ונפתחו מכללות. צ'ק פוסט הוא היום, עם זאת, בעיקר מתחם של תעשיות לואו-טק, תחבורה ואולמי שמחות, והריכוז הגדול ביותר של חנויות לממכר רהיטים בחיפה.
בשנות ה-2000 החלו להסלל כבישים מהירים בתוך האזור והחל תהליך של פינוי מפעלים מזהמים.
גאוגרפיה ותחבורה
במהלך השנים התרחב האזור המכונה צ'ק פוסט. צומת הצ'ק פוסט ההיסטורי מהווה את מפגש כביש 4 וכביש 752 של היום, והוא הורחב לבלי הכר. כמוהו הורחבו גם שדרות ההסתדרות, שעוברות לאורך כביש 4 צפונה בדרכן לעכו ובעשור הראשון של המאה ה-21 נוספה להן תשתית מטרונית. מעל צומת הצ'ק פוסט נמתח מחלף שייעודו להתגבר על עומסי התנועה הכבדים שבגינם זמן רב האזור נחשב כפקק התנועה הגדול של חיפה.
בקרבת הצומת הושלמה ב-2009 חפירת הפתח המזרחי של מנהרת הכרמל, שנפתחה לתנועה בסוף 2010. הפתח משולב במחלף גדול-ממדים כחלק מחיבורו עם מערכת הכבישים של "נתיבי המפרץ", ולצידו מתוכנן לקום מתחם מסחרי גדול. מנגד, צפוי לקום מערך רכבל להסעת המונים, שתחנתו התחתונה תמוקם בצ'ק פוסט והעליונה באוניברסיטת חיפה. את האזור כולו משרתת תחנת הרכבת מרכזית המפרץ, שנקראת על שם הקניון שבסמוך אליו הוקמה, כמו גם מסוף האוטובוסים "מרכזית המפרץ" במחלף קישון, שם מתחיל כביש 75. בסמיכות לצומת הצ'ק פוסט נותרו שרידי מסילה של רכבת העמק ההיסטורית, שחלפה במקביל לתוואי כביש 752 (שהוביל לנצרת) בדרכה מזרחה.
חשיבות
אזור הצ'ק פוסט מרכז מגוון שימושים מסחריים, שהתפתחו במהירות הודות לנגישותו הטובה לרוב חלקי המטרופולין, שפע מקומות חניה, ריחוק מאזורי מגורים ועלות קרקע נמוכה. יתרונות אלו הובילו לכך שלקראת סוף המאה ה-20 המקום הפך לאלטרנטיבה נוחה למרכז חיפה מבחינת פעילות כלכלית. הקמת תחנות תחבורה גדולות במחלף קישון ב-2002-2001 הביאה לחיזוק נוסף של האזור, כאשר לאחר הקמתן כל נוסעי האוטובוסים בין צפון הארץ לחיפה נדרשו להחליף אוטובוס בצ'ק פוסט. המקום הפך ליחידה שמחברת בין העיר ופרווריה, ובה-בעת עוצרת נתח מהותי מהפעילות העירונית בשערי העיר.
במקביל לעלייה בערכו המסחרי של האזור חלה, לפיכך, נסיגה בחשיבותם של אזורי מסחר ותיקים כהדר הכרמל והעיר התחתית. בצד תהליכים אלה, ערכו האורבני של הצ'ק פוסט נותר נמוך, בין היתר כי איש לא מתגורר בו והוא אזור "מת" בשעות הערב. חרף מרכזיותו, הוא מעולם לא שימש למגורים; אין בו מגרשים המיועדים למטרה זו, ותחת זאת הוא משמש מקור משיכה לפעילות תעסוקתית ויוממית לכל הצפון, מבלי שיתקיים רצף בינו לבין אזורי המסחר הישנים בעיר ובהדר. הזיהום שנגרם מהמפעלים הסמוכים שמצפון וחילחל אל התשתיות של הצ'ק פוסט השפיע גם הוא על כשירותו לתפקד כרקמה עירונית שיכולה לקיים קהילה עם מאפיינים עירוניים ואזרחיים בדומה לשכונות אחרות.
עיריית חיפה החלה בעשור הראשון של המאה ה-21 בביצוע פעולות שיקום במקום, כחלק ממחשבה לשוות לו אופי עירוני יותר, וכחלק מכך בוצעו עבודות תשתית ברחובות הצ'ק פוסט.
פול גוגן
פול גוגן (בצרפתית: Paul Gauguin; 7 ביוני 1848 – 8 במאי 1903) היה צייר בולט בזרם הפוסט-אימפרסיוניסטי, אמן הדפס וסופר צרפתי.
ביוגרפיה
גוגן נולד בפריז שבצרפת. כשהיה בן ארבע היגרה משפחתו ללימה שבפרו בשל פטירת אביו. בצעירותו הצטרף לצי הסוחר הצרפתי ולבסוף השתקע בפריז שבה עבד למחייתו כסוכן השקעות, נישא לאישה דנית שילדה לו במהלך השנים 5 ילדים והחזיק בציור כתחביב.
אט אט החל תחביב הציור של גוגן לתפוס את זמנו, וגוגן הזניח את פרנסת משפחתו. אף על פי שבחוג המקצועי הייתה הערכה רבה אל עבודתו, ואף על פי שלאחר מותו ציוריו נמכרו בכסף רב, בחייו של גוגן, עיסוק זה כמעט ולא הצליח להכניס כסף. כשהחל להשקיע את כל זמנו בציור, משפחתו היגרה לדנמרק, אל בית חמיו וחמותו. גוגן לא התקדם שם במלאכת הציור, ונטש את משפחתו.
גוגן חזר לצייר בפריז, שבה היה מיודד עם גדולי האימפרסיוניסטים והפוסט-אימפרסיוניסטים, בתקופה שכמעט איש מהם לא היה מקובל על מבקרי האמנות ועל החברה. בשנת 1883 התגורר בארל שבדרום צרפת, בדירתו של וינסנט ואן גוך ולא חדל מלריב עמו. השניים ציירו ציורים רבים בתקופה זו, שנמשכה חודש וחצי, אך הניסיון המשותף פגם באושרם. בהמשך עבר לברטאן, שהיצירות שהפיק בה נחשבות בעיני המבקרים כנקודת מפנה סגנונית שלו. לבסוף היגר גוגן לפולינזיה הצרפתית שבה יצר במשך שנים רבות עד יום מותו. עבודותיו מאזור זה ובמיוחד מטהיטי הן המפורסמות ביותר מבין כלל עבודותיו.
סגנונו
גוגן דחה את הנטורליזם של האימפרסיוניסטים והעדיף על פניו מראות הנובעים מכוח הדמיון. יצירתו "ההתגלות לאחר הדרשה", 1885, מציינת את התנתקותו מן האימפרסיוניזם וראשית הקשר עם הסימבוליזם וציירי ה"נבי", עמם יצר בברטאן. סגנונו השתנה ונטה להפשטה, שנגרמה על ידי הפרדה צבעונית ברורה בין משטח למשטח ותחימתם (לעיתים) בקווי מתאר בולטים.
בסגנונו עוד ניכרו סממנים ריאליסטיים שתובלו באווירה נועזת ("גן בשלג", 1883). בשנה זו אף הקדיש עצמו לחלוטין לציור, והתחבר עם הצייר וינסנט ואן גוך, עמו הגיע לארל שבדרום צרפת ושם שהה כחודשיים. בתקופה זו צייר את דיוקנו של ואן גוך: "צייר החמניות". בעקבות המריבה הטראגית שהתחוללה ביניהם (לאחר שואן גוך כרת את אוזנו שלו) נפרדו, וגוגן חזר לבריטאניק, ואחר-כך היה למנהיג קבוצת 8 אמנים שנמנו על אסכולת פונט-אבן. סגנונו נשתנה, ונטה לצורה המופשטת, שנגרמה על ידי הפרדה צבעונית ברורה בין משטח למשטח.
בשנות השמונים של המאה התשע עשרה התבטא ציורו בחיפוש אחר נושאים בעלי משמעות מוסרית ודתית, והוא יצר סדרת ציורים דתיים הממזגים אווירה מסתורית וגולשים לנימה רומנטית ("חיזיון לאחר הדרשה: יעקב נאבק עם המלאך", 1888; "ייסורים בגן", 1889; "ישו הצהוב", 1889, "ישו הירוק" 1889).
גוגן היה בין הראשונים שהושפעו מהאמנות הפרימיטיבית. כל חייו עשה בניסיון לשוב למקורותיו הראשוניים. לשם כך נטש את מרכז האמנות הפריסאי (כמו גם את אשתו וילדיו) והחל במסע לגילוי "גן העדן האבוד" באיי מרטיניק (1887), טהיטי (1893-1891, ו- 1895–1901) ולבסוף באיי מרקיז, שם נפטר ונקבר. יצירותיו מ"איי הדרום" עתירות צבע ובהן יסודות דקורטיביים, (בהשפעת תדפיסי העץ היפניים). הן מהוות מעין מסכת אישית לחייו הארוגים במיתוסים מקומיים ואירופאים במשולב.
פול גוגן גם נודע בציוריו הססגוניים, בעלי משטחי הצבע העזים והחמים, שבהם מתאר את הנופים, התרבות והתושבים של האי טהיטי. נחשב לאחד ממניחי היסוד של האומנות המודרנית.
מכירת הציור "מתי תינשאי?"
בשנת 2015 נמכר הציור "מתי תינשאי?" משנת 1892 של גוגן במחיר של כ-210 מיליון דולר, ובכך הוא אחד הציורים היקרים בעולם. הציור מוצג כעת במוזיאון של העיר בזל שבשווייץ.
הפארק הלאומי בריכות מאנה
הפארק הלאומי בריכות מאנה (באנגלית: Mana Pools National Park) ואזורי הספארי של סאפי (Sapi) וצ'וורה (Chewore) הם אתר מורשת עולמית צפונית-מזרחית לאגם קאריבה, בצפון-מערב זימבבואה ולאורך גבולה עם זמביה. בריכות מאנה, המשתרעות על כ-2,200 קמ"ר, הוכרזו כפארק לאומי בשנת 1963, ואזורי הספארי של סאפי וצ'וורה (ששטחם 3,390 ו-1,180 קמ"ר, בהתאמה) הוכרזו כפארק לאומי ב-1964.
ברכות מאנה ואזורי הספארי נמצאים על נהר הזמבזי התחתון, וכוללים אזורים נרחבים של המדרונות המבותרים של הנהר, המתנשאים לעיתים לגובה של מאות מטרים. באזור נמצא גם החלק הטבעי האחרון של הזמבזי התיכון.
בריכות מאנה הן שמורת טבע במערב זימבבואה, שהיא פארק לאומי. הן נמצאות בנהר הזמבזי התחתון, אזור ההופך לאחר עונת הגשמים למרחב של אגמים. עם התייבשות האגמים העונתיים ונסיגתם, מושכים האגמים חיות גדולות רבות הבאות לחפש מים, דבר ההופך את הבריכות לאחד מהאתרים הידועים ביותר באפריקה לצפייה בחיות בר.
בשפת שבט השונָה המקומי, מאנה פירושו ארבע, והכוונה לארבע הבריכות הקבועות באזור, הנוצרות על ידי פיתולי נהר הזמבזי התיכון. באזור זה, שגודלו כ-2,500 קילומטרים רבועים, על גדות הנהר, נמצאים איים, שרטונות ובריכות מים, המוקפים ביערות מהגוני, תאנות בר, באובב והָבֶנֱה. זהו אחד מן הפארקים הלאומיים הפחות מפותחים באפריקה הדרומית. בתחילת שנות ה-80 של המאה ה-20 בוטלה תוכנית לבניית סכר שנועד להנעת תחנת כוח הידרואלקטרית, דבר שהיה גורם להצפת האזור כולו.
באזורי הבריכות והספארי נמצא ריכוז גדול של חיות בר, כולל חיות הנמצאות בסכנת הכחדה. ביניהן יש למנות ריכוז גדול של קרנפים צרי-שפה (במיוחד בצ'וורה, שם נמצא אחד הריכוזים הגדולים שלהם ביבשת), פילים, נמרים, ברדלסים וזאבים טלואים. בשמורה נמצא הריכוז הגדול ביותר בזימבבואה של היפופוטמים ותנינים, ובעונה היבשה גם אוכלוסיות גדולות של תאו אפריקני ומספר מיני אנטילופה. לאורך הנהר נמצא מגוון גדול של עופות השייכים ל-380 מינים לפחות.
בין הסיבות לציון המקום כאתר מורשת עולמית צוין היופי הבלתי רגיל של האתר, היותו אחד המקומות הייחודיים לצפייה בשפע של מיני חיות בר ובמספרים גדולים, והיותו בית גידול טבעי למינים רבים בסכנת הכחדה, של צמחים, ציפורים ובעלי חיים.
טרמרקטיים
טרמרקטיים המכונים דובים קצרי-פנים (שם מדעי: Tremarctinae) היא תת-משפחה של יונקים דמויי כלב ממשפחת הדוביים שחיו החל מסוף תקופת המיוקן עד הפליסטוקן. כיום יש רק נציג אחד מקבוצה זו - דוב המשקפיים (Tremarctos ornatus), שהוא הדוב היחיד החי בטבע באמריקה הדרומית.
דובים אלה נחשבים לרחוקים יחסית משאר הדובים והם קרובי האיילורופודים, בה מצוי הפנדה הענקית.
קרל פרידריך גאוס
יוהאן קרל פרידריך גאוס (בגרמנית: Johann Carl Friedrich Gauß, 30 באפריל 1777 – 23 בפברואר 1855) היה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים.
גאוס תרם רבות בתחומי האלגברה, תורת המספרים, אנליזה מתמטית, סטטיסטיקה, גאומטריה דיפרנציאלית, גאודזיה, תורת הכבידה, תורת החשמל והמגנטיות, אסטרונומיה, אופטיקה ועוד. המגנום אופוס שלו, "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae), נחשב ליצירה המכוננת של תורת המספרים המודרנית, ונודעה לה השפעה כבירה על התפתחות הדיסציפלינות המתמטיות הטהורות בשתי המאות שחלפו מאז פרסומה.
גאוס מכונה לעיתים קרובות בספרות המתמטית "נסיך המתמטיקאים" ו"גדול המתמטיקאים מאז ימי קדם", זאת בשל השפעתו יוצאת הדופן בתחומים רבים של המתמטיקה והמדע.
ביוגרפיה
גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה התחתונה כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. אמו מעולם לא תיעדה את תאריך הלידה שלו, אולם זכרה שהוא נולד ביום רביעי, שמונה ימים לפני חג העלייה, שהוא עצמו מתרחש 39 ימים לפני חג הפסחא. גאוס פתר מאוחר יותר את חידת תאריך לידתו בקונטקסט של מציאת תאריך חג הפסחא, ופיתח שיטות לחשב את מועדי החג בעבר ובעתיד.
גאוס היה ילד פלא. גאוס עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים לאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, מספר כי עוד בטרם מלאו לו שלוש שנים, נתגלה להוריו כישרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך מספר דקות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. סיפור מפורסם מבית הספר היסודי מספר כי מורהו של גאוס ביקש להעסיק את תלמידי הכיתה בתרגיל שלפתרונו הייתה דרושה שעה ארוכה. התרגיל היה לחבר את המספרים מ-1 עד 100, ולאחר מספר שניות גאוס, באותה עת בן 7 בלבד, הניח את לוח-היד שהיה נהוג באותם ימים, קרא "!Lieget se" ("הנה זה מונח", בניב המקומי) ונקב בתוצאה: 5,050. בדיעבד התברר כי הוא גילה את הטור החשבוני בלי להיות מודע לכך: הוא הבחין שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני האחרון וכן הלאה (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51). כלומר כדי למצוא את הפתרון לתרגיל יש להכפיל 101 במספר הזוגות (שהוא מחצית מספר האיברים), וכך מתקבל הפתרון (5,050=101X50).
אביו של גאוס, שהיה חסר השכלה ואב קשוח, רצה כי בנו ימשיך בדרכו ויהיה לבנאי, ולכן התנגד להמשך לימודיו של בנו. אך אמו הכירה בגאונותו של בנה ותמכה בהמשך לימודיו. מורהו, ביטנר, הכיר אף הוא בגאונותו של גאוס והסב אל גאוס את תשומת לבו של הדוכס מבראונשווייג, קרל וילהלם פרדיננד. הדוכס אכן נתן את תמיכתו וחסותו בהמשך לימודיו התיכוניים והאוניברסיטאיים של גאוס.
תחילת דרכו
גאוס קיבל מלגה מהדוכס, ובשנים 1792 עד 1795 למד ב-Collegium Carolinum (לימים האוניברסיטה הטכנית בבראונשווייג). משם המשיך ללימודים גבוהים באוניברסיטת גטינגן, שם למד עד 1798. בעודו באוניברסיטה, גילה מחדש באופן בלתי תלוי מספר מושגים ומשפטים חשובים: משפט הבינום המוכלל, הממוצע האריתמטי-גאומטרי, ומשפט ההדדיות הריבועית. הפריצה שלו התרחשה ב-1796, כאשר הראה באמצעות הרעיון של הרחבת שדות שכל מצולע משוכלל שמספר צלעותיו הוא מספר פרמה (ועקב כך כל מכפלה של מספר פרמה בחזקה של 2), ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה. תגלית זו הייתה ההתקדמות המשמעותית הראשונה בנושא בניות בסרגל ובמחוגה מזה למעלה מ-2,000 שנה: בעיות בנייה העסיקו מתמטיקאים עוד מימי יוון העתיקה, והייתה להן חשיבות רבה בהתפתחות האלגברה; בזכות האנליזה המעמיקה של פולינומים ציקלוטומיים, הן פתחו שערים לתאוריות מתמטיות עמוקות כמו תורת גלואה. תגלית זו היוותה נקודת מפנה בחייו של גאוס, מכיוון שהניעה אותו לבחור במתמטיקה כקריירה ולא בבלשנות שבה התעניין באותה עת. כחובב בלשנות נלהב שלט גאוס בשפות רבות: גרמנית, יוונית, לטינית, צרפתית, אנגלית ודנית.
1796 הייתה השנה הפרודוקטיבית ביותר עבור גאוס ותורת המספרים. ב-30 במרץ הוא גילה כי מצולע משוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה. גאוס היה גאה מאוד בתגליתו, ואף ביקש שייחרט על מצבתו מצולע משוכלל בן 17 צלעות. הוא פיתח את האריתמטיקה המודולרית, כלי בעל יכולת הפשטה ניכרת בתיאור מניפולציות בתורת המספרים. ב-8 באפריל 1796 היה הראשון שהוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, משפט עמוק וכללי המאפשר למתמטיקאים לקבוע קיום פתירות של כל משוואה ריבועית באריתמטיקה מודולרית. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", ועדות לחיבה שרחש לו היא שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (שתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). משפט המספרים הראשוניים, אשר שוער ב-31 במאי, נותן הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. ב-10 ביולי גאוס גילה שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של שלושה מספרים משולשים לכל היותר, ותיעד את התגלית בהערה מפורסמת ביומנו: "אאורקה! ∆ + ∆ + ∆ = num". ב-1 באוקטובר הוא גילה תוצאה על מספר הפתרונות של פולינום בעל מקדמים השייכים לשדה סופי, שהובילה להשערות וייל 150 שנה מאוחר יותר.
שנות הביניים
'' בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, "הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה", סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שנעשו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות אלו של המשפט. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית בה נקט בהוכחה הייתה מקורית. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן, ולפיכך אינה קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו, ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופיה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן, ב-1849, נחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.
ב-1801 פרסם גאוס את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae) שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק שלוש שנים מאוחר יותר. ביצירה זו הציג גאוס לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - אריתמטיקה מודולרית, הוכיח לראשונה את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות, ויצר תאוריה של בנייה בסרגל ובמחוגה (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד, ומלא ברעיונות ובמושגים חדשים. האופן שבו ניתח גאוס בעיות והקונספציה החדשה שהציג בספר, היוו מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות רבים אחרי פרסומו. כך למשל, ניתוחו של גאוס את בעיית הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של תורת גלואה, וספר זה היווה מקור השראה לגלואה.
באותה שנה גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד קרס. אולם פיאזי היה יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו שבו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות בשמי הלילה. לאחר מכן נעלם קרס באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כשקרס היה אמור להופיע שוב, לא היה מסוגל פיאזי לאתר אותו מחדש: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד על פי מידע כל-כך זעום, שכן 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.
גאוס, שהיה אז בן 23, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר שלושה חודשי עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את הזמן ואת המקום שבו יופיע האסטרואיד שוב – הוא חזה הן את המקום והן את התאריך, דצמבר 1801, שבו יופיע קרס מחדש. ואכן, בהתאם לתחזית, שנה לאחר שנראה בפעם הראשונה, הופיע קרס מחדש בזמן ובמקום שגאוס חזה. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון פרנץ פון זאך ב-31 בדצמבר 1801 בעיר גותה, ויממה מאוחר יותר על ידי היינריך אולברס בברמן. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה, והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה וכמנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים של התקופה, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם עם מותו של הדוכס ב-1807, החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.
השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת חתך חרוט במרחב בהינתן המוקד שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ לקרס, כשכדור הארץ עצמו נע במסלול אליפטי), ובהינתן הזמן שלוקח לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין ישרים אלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות החוק השני של קפלר). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, שפתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות קירוב מעמיקות שיצר במיוחד לצורך מטרה זו.
שיטה אחת כזו הייתה טרנספורם פוריה מהיר (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת 1965 של המתמטיקאים ג'יימס קולי וג'ון טוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של ז'וזף פורייה על הנושא בשנת 1807.
גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 בשם "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש". בעבודה זו הוא כיסה, איחד וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של המאה ה-18 עד כדי כך שהיא נחשבת לאבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את קבוע הכבידה הגאוסי, והכיל יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות המדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות הנורמלית של שגיאות, הוכיח גאוס בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בתחומי חיים רבים ובכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795.
בין השנים 1812 ל-1818, השנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, היה לגאוס פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבותיו פרסם מספר רב של מאמרים בולטים, בהם מאמרו משנת 1813 בו מצא באופן אנליטי טהור את המשיכה שיוצר אליפסואיד בכל נקודה במרחב, מאמרו "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" שפתח את העידן הריגורוזי של האנליזה המתמטית והיה הדיון השיטתי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של הפונקציה ההיפרגאומטרית (הוא לא פרסם את המשוואה הדיפרנציאלית שמקיימת הפונקציה ההיפרגאומטרית; זו נמצאה בכתב יד שלו שפורסם לאחר מותו, יחד עם תכונות מעניינות נוספות של הפונקציה והטרנספורמציות שלה), מאמרו "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב" - חיבור על שיטה חדשה לאינטגרציה נומרית, מאמרו "קביעת הדיוק של תצפיות" ובו דיון באמדים סטטיסטיים, וכן מאמרו פורץ הדרך באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה (עבודתו על הפרטורבציות במסלולו של פאלאס הובילה אותו למשפט יוצא דופן זה).
ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של ממלכת הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר את אור השמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של קווים גאודטיים על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "גאואיד") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים, שיטות אינטרפולציה טריגונומטרית ועוד.
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ובעקומות. בין השאר יצר בתחום זה מושג מרכזי המתאר עקמומיות של משטחים, וקרוי על שמו עקמומיות גאוס. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית. המשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות על משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח והוכיח גם את המשפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.
ב-1820 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בויאי, בנו של פרקש בויאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא-אוקלידית ופרסם תוצאות לגביה ב-1832. גילוי זה היה שינוי פרדיגמה משמעותי בהבנת מהות הגאומטריה, שכן הוא שחרר מתמטיקאים מהאמונה המוטעית שרק באמצעות מערכת האקסיומות של אוקלידס ניתן לבנות גאומטריה עקבית ונטולת סתירות פנימיות. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי לפניו אבל לא פרסמן מעולם; הוא כתב לפרקש בויאי: "לשבח עבודה זו יהיה זה למעשה לשבח את עצמי. שכן כל תכולת העבודה... מתלכד כמעט במדויק עם ההרהורים המתמטיים שלי עצמי אשר העסיקו אותי במהלך שלושים או שלושים וחמש השנים האחרונות". הוא אכן הגיע לתוצאות אלה, כפי שניתן ללמוד ממכתבו לפרנץ אדולף טאורינוס בשנת 1824, אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב אדסחר דייקסטרה).
שנותיו האחרונות
אחרי 1828 החל להסתמן כיוון חדש בעבודתו של גאוס, והוא החל לחקור בעיקר בעיות בפיזיקה תאורטית. הפירות הראשונים שהניב מחקר זה היו מאמרו על מכניקה משנת 1829: "על ניסוח יסודי חדש של המכניקה", בו ניסח מחדש את המכניקה הקלאסית באמצעות עיקרון חדש בחשבון וריאציות (עקרון האילוץ המינימלי של גאוס), ומאמרו משנת 1830 על נימיות: "עקרונות כלליים של תאוריית הצורה של נוזלים בשיווי משקל", בו דן בנוזלים במצב שיווי משקל וסיפק בסיס ריגורוזי חדש לתחום. בתקופה זו החל גם להתעניין בקריסטלוגרפיה, והגיע למספר תוצאות חשובות; הוא הציע מערכת סימון קריסטלוגרפית שהייתה למעשה שקולה למערכת אינדקס מילר. בהשראת מחקרו הקריסטלוגרפי, פתר גאוס את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" - הוכחת השערת קפלר - במקרה של מארז סריגי (lattice) רגולרי (אי-האפשרות של אריזות לא רגולריות צפופות יותר לא הוכחה עד 1998).
כחלק מפרויקט זה פיתח גאוס שיטה למדידת העוצמה האופקית של שדה מגנטי, שיטה אשר היוותה למעשה את התאוריה המתמטית להפרדה בין המקור הפנימי (הגלעין והקרום) לבין המקור החיצוני (המגנטוספירה) של השדה המגנטי של כדור הארץ. באחד ממאמריו על התאוריה המגנטית שלו יישם גאוס את התאוריה המתמטית שלו והמידע הניסויי הרב שצבר על השדה המגנטי של כדור הארץ, וכך פילסה את עצמה תגלית עולמית כאשר גאוס יכול היה, לראשונה בהיסטוריה, להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ, נושא שריתק ימאים מאז ימי קדם. מספר שנים קודם לכן, ב-1831, איתר מגלה הארצות הבריטי ג'יימס קלארק רוס לראשונה באופן מקורב את הקוטב המגנטי הצפוני. תוצאות חישוביו של גאוס הצביעו על אותו אזור גאוגרפי, וסטו כ-3 מעלות ו-30 דקות קשת מהמיקום האמיתי, מה שהוכיח את אמינות התאוריה. פעילותו הענפה של המועדון המגנטי במדידת השדה המגנטי הארצי הניבה את ה"אטלס המגנטי" הראשון של כדור הארץ, שיצא לאור בפרסום משותף של גאוס וובר משנת 1840. ב-1840 פרסם גאוס את חיבורו המשפיע Dioptrische Untersuchungen, שבו תיאר את האנליזה השיטתית הראשונה של היווצרות דמויות תחת הקירוב הפראקסיאלי (אופטיקה גאוסיאנית). בין התוצאות הרבות בחיבור, הוכיח גאוס כי מערכת אופטית ניתנת לאפיון באמצעות 6 הנקודות הקרדינליות שלה, גזר את נוסחת העדשות הגאוסיאנית, טיפל לראשונה באופן מתמטי בעדשות עבות, והראה שההדמיה של מערכות אופטיות סימטריות מסוימות ניתנת לביטוי כפיתוח לטור שבו האיבר הראשון מספק את ההתנהגות הסטיגמטית האידיאלית, והאיברים מסדרים גבוהים יותר מתארים את האברציות. בסיסי ככל שהוא נראה היום, חיבור זה עסק בנושאים רבים שלא הובנו היטב לפני פרסומו, לפחות לא באופן מתמטי מדויק, ומסיבה זו בדיוק הוא כונה לפעמים "עבודתו המדעית החשובה ביותר". גאוס פעל גם במישור הפרקטי של האופטיקה, חקר את הבעיה של בניית אופטיקה עם עיוותים מינימליים, ושיפר את התכנון של טלסקופים ומכשירים אופטיים אחרים. לפועלו של גאוס בתחום האופטיקה במרוצת השנים הייתה השפעה ראויה לציון על התפתחות התעשייה האופטית בגרמניה.
אחרי 1840 הלכה והצטמצמה בהדרגה פעילותו המדעית של גאוס. הוא עסק בבעיות מתמטיות בעלות חשיבות משתנה; מספר פאזלים קומבינטוריים (בהם חידת שמונה המלכות), בעיות מתמטיות מרכזיות מסוימות ועוד. הוא המשיך לעסוק בבעיות בפיזיקה תאורטית ובפיזיקה ניסויית, ונותר פעיל מאוד באסטרונומיה תצפיתית; הוא המשיך לעשות תצפיות וחישובים אסטרונומיים, והמשיך במחקרו על מגנטיות כדור הארץ. מחקריו המתמטיים והפיזיקליים עסקו בהתכנסות של טורים, מתמטיקה אקטוארית, בעיות מכניות הקשורות בסיבוב כדור הארץ (בהמשך למחקריהם של לגראנז', פלאנה, הנסן וקלאוזן), בשיפורים למטוטלת פוקו ועוד. בתקופה זו גאוס אימץ תחביב חדש של איסוף עיתונים וכל סוג שהוא של חדשות פיננסיות. הוא נודע כמשקיע חכם, וממשלות רבות ברחבי אירופה אף הציעו לו להיות שר אוצר. הספקולציות הפיננסיות שלו עזרו לו להשיג הכנסה שנתית הגבוהה פי 200 מהמשכורת השנתית שלו. ב-1851 ביסס בפעם האחרונה אוסף חדש של עקרונות מדעיים, הפעם במתמטיקה אקטוארית, שעסקו בתאוריות מתמטיות של ביטוחים וקרנות פנסיה.
ב-1854 בחר גאוס את הנושא להרצאה המפורסמת של תלמידו ברנהרד רימן, "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". בדרך חזרה לביתו מהרצאתו של רימן, סיפר ובר שגאוס היה נרגש ומלא שבחים על ההרצאה.
לאחר מותו של גאוס נמצא בביתו יומן שניהל בין השנים 1796 ו-1814, ובו רשם את תגליותיו בצורה מדויקת, כשהוא מקפיד לרשום את תאריך הגילוי וההוכחה של כל אחת מהן. רובן לא פורסמו עד מותו. נמצא כי היומן מכיל 146 תוצאות, שחלק מהן התגלו והוכחו על ידי מתמטיקאים אחרים שנים רבות לאחר מכן. עובדת היותו של יומן זה מסמך מתמטי-ביוגרפי משנות הפריצה של גאוס, הפכה אותו לימים לאחד המסמכים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה, ולחלון הצצה מרתק לתקופת קו התפר בין המתמטיקה של המאה ה-18 והמתמטיקה של המאה ה-19.
מוניטין לאחר המוות
גאוס הוא דוגמה בולטת לאישיות גאונית אשר מעמדה בעולם המתמטיקה והמדע אף גבר לאחר מותה. כל תיאור של רוחב ועומק היריעה של עבודתו המדעית של גאוס אינו יכול לתת תמונה הולמת של הישגיו ללא התייחסות לכמות הגדולה של הכתבים הלא מפורסמים שנמצאו בעיזבונו. בעיני חלק מבני דורו, טענותיו התדירות של גאוס לזכות ראשונים שלו סביב נושאים מתמטיים רבים, נתפסו לעיתים קרובות כאמירות יהירות. כך היה בעימות עם אדריאן-מארי לז'נדר סביב שיטת הריבועים הפחותים, כך עם אבל ויעקובי סביב תורת הפונקציות האליפטיות, כך עם יאנוש בולאי סביב הגאומטריה ההיפרבולית, וכך בכמה מקרים נוספים. עם זאת, במרבית המקרים התברר בסופו של דבר שגאוס אכן הקדים את זמנו, כפי שעולה מכתביו הנרחבים, שנוגעים כמעט בכל תחום מתמטי שהתקיים בזמנו.
בין אלו, ראויים לציון מיוחד כתביו על אנליזה מתמטית, שכוללים את חיבורו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, ואת כתביו על פונקציות אליפטיות והתיאורים השונים שלהן - חיבורים אלו מכסים חלק גדול מעבודתם של אבל ויעקובי ובמקרים מסוימים אף מכילים תוצאות שאינן מופיעות בכתביהם. בהשוואה לנושאים אחרים לגביהם לעיתים קרובות נתגלעה מחלוקת עם בני תקופתו של גאוס סביב זכות הקדימות על גילויים (בין היתר עקב טענותיו של גאוס עצמו), חיבוריו אלו היו כתובים בצורה מוגמרת ומלוטשת בהרבה, והשפעתם נמשכה הלכה למעשה גם בעשורים הראשונים שלאחר מותו של גאוס, דרך עבודתם של פליקס קליין ומתמטיקאים נוספים על תבניות מודולריות.
גם בכתביו בתורת המספרים זוהו תגליות רבות, אם כי במקרה זה הגילוי של כתביו הלא מפורסמים היה פחות דרמטי שכן במרוצת השנים גאוס כן פרסם את מרבית ממצאיו החשובים בתחום הזה. בהקשר זה, ראויים לציון מיוחד צמד חיבוריו (הלא מפורסמים) מ-1834 ו-1837 על היישום של שיטות אנליטיות מעמיקות לקביעת החוקיות האסימפטוטית של מספר המחלקות של תבניות ריבועיות בינאריות (נוסחת מספר המחלקות של דיריכלה); תוצאות אלו, העומדות ביסודה של תורת המספרים האנליטית, ככל הנראה היו מוכרות לו כמה עשורים קודם לכן, כפי שעולה מכמה תוצאות שהופיעו ב"מחקרים אריתמטיים" (1801), או ממכתבו לדיריכלה מ-1828. בעלי חשיבות מיוחדת הם גם כתביו על הפירוש הגאומטרי של תוצאות בתורת המספרים, או על המתודולוגיה של עבודתו האריתמטית.
בהשוואה לכתביו בתחומים מתמטיים אלו, כתביו על יסודות הגאומטריה וגאומטריה לא אוקלידית הם בעלי אופי מקוטע בהרבה, ולא ניתן לראות בהם סימוכין וביסוס מלא לטענות של גאוס כי (כפי שכתב ליאנוש בולאי) עבודתו של בולאי מתלכדת במדויק עם הרהוריו שלו עצמו במהלך 30 השנים האחרונות. גם בכתביו והתכתבויותיו על מערכות מספרים היפר-מרוכבים (הקווטרניונים של ויליאם רואן המילטון) המצב דומה, אם כי ניכר שאלו היו מעט בשלים יותר מאשר כתביו על גאומטריה לא אוקלידית. עם זאת, העובדה שנתגלתה לאחר מותו, כי גאוס עצמו התייחס לנושא הגאומטריות החלופיות במלוא הרצינות, שכנעה את העולם המתמטי להתייחס בכובד ראש להישגיהם של בולאי ולובצ'בסקי, שבאותה עת עדיין נתפסו אזוטריים ולא קנו לעצמם אחיזה משמעותית מספיק. מכיוון ששמו של גאוס "עזר" לקדם את תגליותיהם של בולאי ולובצ'בסקי, נתקבעה לעיתים קרובות נטייה לייחס לו תפקיד מרכזי ביצירת הגאומטריה הלא אוקלידית במקביל לשניים האחרים, באופן לא פרופורציונלי לתפקיד האמיתי שמילא. היטיב לבטא זאת המתמטיקאי וההיסטוריון ג'רמי גריי, לפיו גאוס ראוי יותר להיקרא מגלה של הגאומטריות החלופיות מאשר יוצר שלהן.
גם במהלך המאה ה-20 לא פג העניין בו, ונתגלו מחדש היבטים נוספים של עבודתו; כך היה המקרה עם האלגוריתם של התמרת פורייה מהירה, עם הטכניקות של שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות, או עם התפתחויות בתורת המספרים ששפכו אור על כמה מתגליותיו האריתמטיות העמוקות יותר. לסיכום, הכמות העצומה של תגליות בפרסומיו ובכתביו הלא מפורסמים קיבעו את מעמדו כדמות מרכזית בהיסטוריה של המתמטיקה, אשר ללימוד עבודתה יש ערך פדגוגי מוסף מעבר לעניין מתמטי או מדעי גרידא.
השקפות דתיות
גאוס היה לותרן פרוטסטנט, וחבר בכנסיית סנט אוונס שבגטינגן. עדות לאמונה העמוקה של גאוס ברלוונטיות האמונה באלוהים מגיעה מתגובתו לאחר שפתר בעיה שטרדה את מנוחתו במשך זמן רב: "בסופו של דבר הצלחתי – לא על ידי מאמציי הגדולים, אלא בידי חסד האל". אחד הביוגרפים שלו G. Waldo Dunnington מתאר את השקפותיו הדתיות של גאוס במילים הבאות:
Dunnington ממשיך ומציג את ההשקפות הדתיות של גאוס בכותבו:
גאוס הצהיר שהוא האמין אמונה איתנה בחיי העולם הבא, וראה רוחניות כמשהו החשוב באופן מהותי לבני אנוש. הוא צוטט פעם: "העולם יהיה חסר תכלית, והבריאה כולה אבסורד, ללא חיי אלמוות". אף על פי כן, Dunnington קובע שגאוס לא האמין בכל הדוגמאות הנוצריות, ולא ניתן לפרש את האמונה שלו כשייכת למסורת הנוצרית. האמונה שלו הייתה קרובה יותר לאמונה הבודהיסטית מאשר לאמונה הנוצרית, שכן הוא הביע אמונה מסוימת בגלגול נשמות (בהתכתבות עם אולברס בנוגע לגאומטריה הלא אוקלידית הוא כתב: "...אולי בגלגול אחר נזכה לפלח במבטינו את טיבו של המרחב..." ) והאמין יותר במסע של למידה שעוברת הנשמה בעולם מאשר בגן עדן נצחי.
משפחה
גאוס נישא לראשונה ב-9 באוקטובר 1805 ליוהאנה אוסטהוף. לזוג נולדו שלושה ילדים: יוזף (1806–1873), וילהלמינה (1808–1846) ולואי (1809–1810). אולם, אושר זה לא נמשך זמן רב ונקטע על ידי שרשרת של אירועים טרגיים: ב-1808 נפטר אביו של גאוס ושנה לאחר מכן נפטרה אשתו בלידת הבן לואי, שנפטר אף הוא זמן קצר לאחר מכן. אירועים אלו השפיעו קשות על גאוס והוא שקע בדיכאון עמוק. בעודו מטפל בשני ילדים קטנים, החליט גאוס להינשא שנית כשנה לאחר מכן לאחת מחברותיה של אשתו, פרידריקה וילהלמינה ואלדק (אשר כונתה מינה). נולדו להם שלושה ילדים: אויגן (1811–1896), וילהלם (1813–1879) ותרזה (1816–1864). מינה סבלה ממחלות רבות ונפטרה ב-1831. בתו תרזה השתלטה על אחזקת הבית ודאגה לכל מחסורו של גאוס עד מותו. אימו של גאוס אף היא חייתה עמו בביתו מ-1817 עד מותה ב-1839.
המשפט היסודי של האלגברה
בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה) סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט ממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שננקטו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות של המשפט. הגישה הכללית של ההוכחה שלו הייתה גאומטרית מטבעה, והכילה טיעון מקורי, אשר ליבתו מבוססת על אבחנות טופולוגיות במהותן; גאוס מנתח בה לעומק כיצד פועלת ההעתקה הפולינומית על המישור המרוכב. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה והיה בה פער לוגי, שכן גאוס הניח בה מספר הנחות על ענפים של עקומים אלגבריים אשר למעשה עשו שימוש "מובלע" במשפט עקומת ז'ורדן; הוכחה זו התבססה על טענה לא מוכחת שעקום אלגברי הנכנס לדיסקה נתונה חייב לצאת ממנה בסופו של דבר, ולפיכך היא לא קבילה בסטנדרטים מודרניים.
גאוס זיהה את החלל בהוכחתו ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופייה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849. את ההוכחה השנייה האלגברית שלו ניתן להבין לעומק רק תוך שימוש בהמשגה המאוחרת יותר של תורת גלואה; הרעיון המרכזי שלה הוא להיעזר בתכונות אלגבריות של הפונקציות הסימטריות כדי לגזור משוואה דיפרנציאלית הקושרת בין הפולינום ההתחלתי והדיסקרימיננטה שלו. בדרך זו מוכיחים את הקיום של שדה פיצול המוכל בשדה המספרים המרוכבים. ההוכחה השלישית האנליטית שלו מבוססת על הצבות אינטגרליות מורכבות ועל שימוש במושגים כדוגמת אינדקס הליפוף, ומניחה באופן סמוי את משפט אינטגרל קושי.
ההוכחה הרביעית והאחרונה שלו, שהוצגה במסגרת אירוע חגיגי שנערך כהוקרה לקריירה יוצאת הדופן של גאוס, דומה באופיה להוכחה הראשונה שלו, אולם היא מעמיקה את הטיפול הטופולוגי במשפט. על אף שבסופו של יום הטיעון הטופולוגי עדיין נותר רחוק מלהיות שלם, אלכסנדר אוסטרובסקי הראה ב-1920, לאור התפתחויות תקופתיות בטופולוגיה קבוצתית, שרעיונו של גאוס להתייחס לתחומים במישור המרוכב במקום להתמקד בעקומות ז'ורדן התוחמות אותם, כלומר בשונה ממה שעשה בהוכחתו הראשונה, הוא צעד בעל חשיבות משמעותית. אוסטרובסקי הראה שלמעשה, על בסיס זה ניתן להפיק הוכחה ריגורוזית לחלוטין למשפט, והעיר שהדבר מאשרר את קביעתו של גאוס ש-: "מהותית, תוכנו של הטיעון כולו משתייך לתאוריה אבסטרקטית של גדלים שהם בלתי תלויים במרחב", ואשר מושא המחקר שלה הוא "פעולות רציפות על גדלים קשירים". בהשוואה להוכחה שלו מ-1799, הפעם גאוס דן באופן זהיר יותר במקרה של שורשים מרובים והראה שכל השורשים נוצרים באופן שתיאר. בנוסף, הוא הקדיש את חלקו השני של המאמר לחישוב נומרי של פתרונותיהן של משוואות אלגבריות, תוך שהוא משפר את הטכניקות הידועות לפתרון משוואות טרינומיות. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי לאורך השנים הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.
מערכות אלגבריות מורחבות
גאוס תרם גם תרומה מסוימת לתאוריה של מבנים אלגבריים מתקדמים, וייתכן כי גילה בשנת 1819 את אלגברת הקווטרניונים, המיוחסת בדרך כלל לויליאם רואן המילטון (אשר גילה אותה ב-1843). באותה שנה הציג גאוס במאמר קצר בשם "סיבובי המרחב" את הסיבוב הכללי (של קו ישר דרך הראשית במרחב תלת-ממדי) בעזרת המטריצה האורתוגונלית:
אלו היו רעיונות מהפכניים הן מבחינה קונספטואלית והן מבחינה גאומטרית-אינטואיטיבית, שכן אף על פי שכללי הכפל של הקווטרניונים היו מובלעים כבר בזהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר מ-1748, גאוס הדגים את השימושיות שלהם בכך שעשה את הקישור הלא טריוויאלי בין אלגברה ארבע-ממדית לסיבובים תלת-ממדיים – זאת באמצעות פרמטריזציה של סיבובים דרך פונקציות טריגונומטריות של חצאי-זוויות הסיבוב (פרמטרי רודריגז). ייתכן כי גאוס התוודע בהדרגה לתיאור האלגברי של סיבובים מרחביים דרך עבודתו הנרחבת על טריגונומטריה כדורית ויישומיה באסטרונומיה, במסגרתה נאלץ לטפל בבעיות רבות המערבות סיבובים מרחביים. מבחינה קונספטואלית, מחקרים אלו, שלא התפרסמו בזמנו, מייצגים את ההתבוננות המעמיקה הראשונה בנושא העקביות של מערכות אלגבריות מורחבות.
תורת המספרים
ה-Disquisitiones Arithmeticae של גאוס נחשב ליצירת מופת שכוננה את תורת המספרים המודרנית. גאוס הנהיג בה לראשונה את הסימון ≡ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות אריתמטיקה מודולרית, הוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקות (Class number problem) – השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה כבירה על התפתחות המתמטיקה ב-200 השנים הבאות, והציג את פתרון בעיית הבנייה בסרגל ובמחוגה של מצולעים משוכללים. ה-Disquisitiones Arithmeticae היה נקודת ההתחלה בעבור מתמטיקאים במאה ה-19 שהתמחו בתורת המספרים. הוא שימש כמקור בלתי נדלה של רעיונות מתמטיים, שחלקם הופיעו בו באופן מפורש. אחרים הופיעו בו בצורה בוסרית, ובישרו את הופעתם של רעיונות מתמטיים מתקדמים. ההתעמקות בספר בידי מתמטיקאים שונים הובילה לתאוריות מתמטיות שונות כמו תורת גלואה על פתרון משוואות אלגבריות, תאוריית האידיאלים של דדקינד, ויישומים מתמטיים שונים כמו סוגים של מבחני ראשוניות. כהדגמה של ההשפעה של מחקרים אריתמטיים על פיתוח תורת גלואה, נציין שגאוס הביא בספרו בנייה אלגברית מפורשת למצולע המשוכלל בעל ה-17 צלעות, המתקבלת מהצגת קוסינוס הזווית במצולע כזה על ידי סדרה של שורשים ריבועיים:
.
הדרך בה הגיע לתוצאה הזאת (שהוא תיאר בפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים) מעידה על הבנה עמוקה של חבורת גלואה של הרחבות השדה הריבועיות, המקודדת את הקשרים המתמטיים הללו.
הפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים כולל גם את אחת התוצאות המרחיקות לכת ביותר שלו; במאמר 358 הוא נתן חסם למספר הפתרונות הרציונליים לקונגרואנציה מסוימת ממעלה שלישית (בשפה מודרנית הוא מנה נקודות רציונליות על עקום אליפטי), במה שנודע כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של משפט הסה וייל, אשר ניתן לפרש אותו גם כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של השערת רימן מעל שדות סופיים. אנדרה וייל ציין כי תוצאה זו ביחד עם תוצאות נוספות בכתביו הלא מפורסמים של גאוס הובילה אותו לנסח את השערות וייל; במיוחד הערה 146 מיומנו של גאוס מכילה אלמנטים רעיוניים רבים של הגישה המודרנית לבעיות מסוג זה, ולכן היא נתפסת לעיתים קרובות כקדימון להתפתחות מרחיקת הלכת שעברה תורת המספרים במאה ה-20, במהלכה נוצרו הן התשתית לגאומטריה האלגברית המודרנית והן הכלים לתקוף בעיות אריתמטיות הנוגעות לספירת נקודות רציונליות על יריעות אלגבריות כלליות. גאוס הוכיח גם את נוסחת מספר המחלקות (class number formula) הראשונה, בעבור שדות ריבועיים, זמן רב לפני פרסום הנוסחה בידי דיריכלה; את התוצאות הראשונות שלו בנוגע להערכות אסימפטוטיות של מספרי מחלקה הוא פרסם במאמרים 301–302 בפרק החמישי של ספרו, ומאוחר יותר חקר באופן לא גמור את השימוש בטורים דמויי פונקציית זטא כדי לחשב מספרי מחלקה. מיד לאחר מכן, במאמרים 303–304, הוא ניסח גם סדרה של השערות מרחיקות לכת (Gauss's class number problems), שחלקן ממשיכות להעסיק מתמטיקאים עד עצם היום הזה.
בהקשר זה של הפן האנליטי יותר של עבודתו בתורת המספרים, גאוס הכיר גם את הטכניקות המתמטיות הקריטיות להוכחת משפט ארבעת הריבועים של יעקובי; הזהות שמקיימת החזקה הרביעית של פונקציית תטא, אשר בה השתמש יעקובי להוכחת המשפט, מופיעה באחד מכתביו הלא מפורסמים על פונקציות אליפטיות, כשלצידה מופיעה הערה על הצגת מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הזה זכור בהיסטוריה של תורת המספרים כדוגמה הראשונה של שימוש בתבניות מודולריות להוכחת תוצאה בתורת המספרים. במקרה זה המחלוקת אינה האם הוא הכיר את טכניקות ההוכחה של המשפט, אלא האם הוא עשה את הדדוקציה הספציפית של הנוסחה המפורשת של יעקובי מהזהויות שגזר (הנוסחה של יעקובי לא מופיעה בכתביו באופן מפורש), אף על פי שזה סביר למדי, שכן זו נובעת בנקל מעבודתו.
אחד החלקים העמוקים והטכניים ביותר בכל "מחקרים אריתמטיים" הוא החלק שבו בונה גאוס את חוק ההרכבה של תבניות ריבועיות בינאריות – אותו הוא מציג במאמרים 234–244 של הפרק החמישי של ספרו. "הרכבה" של תבניות ריבועיות בינאריות היא פעולה מתמטית שמקבלת שתי תבניות ריבועיות בינאריות f_1,f_2 ומחזירה תבנית שלישית כזאת באופן כזה שאוסף המספרים המיוצגים על ידי התבנית f_3 (כתבנית מעל השלמים) מורכב ממכפלות כל זוגות השלמים (n,m) כאשר n הוא מספר שמיוצג על ידי f_1 ו-m מיוצג על ידי f_2. למשל, ההרכבה של התבניות והתבנית  היא התבנית, כאשר x ו-y מחושבים כך:. גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע: תחילה הראה שניתן תמיד להרכיב תבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה D, ולאחר מכן הרחיב את הגדרת חוק ההרכבה, באופן המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה. תהליך הבנייה המדויק של פעולת ההרכבה - במסגרתו מראה גאוס כי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית - חשף מבנה אריתמטי פתלתל העומד ביסוד תורת התבניות הריבועיות הבינאריות, ולמעשה הדגים שאוסף מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה D מהווה חבורה אבלית סופית ביחס לפעולת ההרכבה; חבורה זו נקראה בהמשך המאה ה-19 בשם "חבורת המחלקות". חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה מדליית פילדס מנג'ול בהרגבה.
נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים כוללות את הפרק השמיני הלא מפורסם של מחקרים אריתמטיים (שגאוס לא השלימו), ואת התוצרים המובהקים של עבודה זו: תאוריה שיטתית של המבנה של שדות סופיים, וחשוב מכך, הגילוי של חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר. בחיבור זה תקף גאוס את הבעיה של קונגרואנציות ממעלה שרירותית מודולו מספר ראשוני p וביסס כלים חשובים כדי לגשת לבעיות מהסוג הזה. בין היתר, גאוס חוקר את המבנה של שדות סופיים דרך אוטומורפיזם פרובניוס, ונעזר בנוסחת ההיפוך של מביוס כדי "לספור" את מספר הפולינומים האי-פריקים ממעלה n מעל שדה סופי (GF(p מודולו p. בחלקו האחרון של החיבור גאוס דן בהכללות אפשריות של חקירות אלו, ומוכיח גרסה מוקדמת של למת הנזל - תוצאה יסודית המאפשרת להרים תופעות מודולריות ביחס למספר ראשוני p לכדי חזקות הולכות וגדלות p^k של אותו ראשוני. נקודת המבט בה נקט בחיבור קרובה לזו שננקטה מאוחר יותר על ידי אווריסט גלואה וריכרד דדקינד, כך שפרסומיהם "ייתרו" חיבור זה, אולם הוא עדיין נותר חשוב לצורך התחקות אחר שורשי הרעיונות המתמטיים של גאוס. ישנן ראיות שגאוס היה מודע חלקית לתפקיד הטכני המרכזי של למת הנזל בהתרת בעיות אריתמטיות מודרניות, כפי שעולה מהערות אחדות ביומנו או מן המניע שלו להוכחת למת גאוס על פולינומים. בתחילת המאה ה-20 הציג קורט הנזל את שדה המספרים ה-p-אדיים ובכך שפך אור על חקירות אלו, והציבן במסגרת מושגית שהפכה עד מהרה לאחד הכלים החשובים בתורת המספרים המודרנית. מבין עבודותיו המפורסמות בתורת המספרים, מאמריו שהוזכרו מקודם על חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי שניים בחשיבותם רק ל-"מחקרים אריתמטיים". בכך שהרחיב באופן שיטתי את מושא המחקר של תורת המספרים לשדה המרוכבים, גאוס עשה את הקפיצה הקונספטואלית המשמעותית שאפשרה את כינון תורת המספרים האלגברית. מאמריו אלו הנהיגו לראשונה את השימוש בחוג השלמים של גאוס (כולל את השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו - תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל: כך ש-5 אינו ראשוני בחוג זה.
גאוס הראה הלכה למעשה כי חוג השלמים המרוכבים מהווה תחום פריקות יחידה; הווה אומר, כל מספר בחוג זה ניתן לפירוק לראשוני גאוס באופן יחידי, באופן אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה. לאחר מכן הוא מבסס את חשיבות חוג זה לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים, תוך הכללת רבים ממונחי המפתח של תורת המספרים האלמנטרית; למשל, הוא הוכיח את המשפטים האנלוגיים למשפט הקטן של פרמה וללמה של גאוס. במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי בצורה הבאה:
עבור שני מספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים) \pi ו-\sigma מתקיים:
כאשר הוא ריבוע הנורמה של המספר המרוכב, ו- הוא סימן שארית החזקה מסדר רביעי של \pi ביחס ל-\sigma, מעין הכללה של סימן לז'נדר שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו; לדוגמה, בראשון מבין המאמרים הללו, הוא הוכיח את ההשערה של אוילר שהמספר 2 הוא שארית דו-ריבועית של מספר ראשוני (p ≡ 1 (mod 4 אם ורק אם p = a2 + 64b2. באשר להוכחה מלאה של החוק, לא ברור כיצד הוכיח אותו לראשונה; גאוס טען כי מצא את ההוכחות למשפטים הכלליים של הדדיות ממעלה שלישית ורביעית בסביבות 1814, לאחר מאמצים רבים, אך מאמריו מ-1828 ו-1832 לא הכילו הוכחה מלאה. בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו (סכומי גאוס ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר. הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של אייזנשטיין, אשר התבססה על שיטות דומות. כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן. הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין.
ללא קשר לזהות בעל הקרדיט על ההוכחה הראשונה, המאמרים הללו זכורים בשל העושר והעומק של החקירות האריתמטיות שבאו בעקבותיהם – ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, יעקובי, ודיריכלה. המאמר זכור גם כנקודת ציון מבחינת האופן שבו הוא שינה את תפיסתם של מתמטיקאים את המספרים המרוכבים, שעד אז נחשבו ל"פיקציות מטאפיזיות" בלבד; הוא משופע בדוגמאות ל"טענות אריתמטיות שמנצנצות בבהירות רבה יותר במסגרת האריתמטיקה המורחבת" (במילותיו של גאוס) ומכיל את אחד השימושים הרשמיים הראשונים בוויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות במישור המרוכב (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).
גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי ראויה לציון, ובהערה למאמרו על חוג השלמים המרוכבים הוא ציין כי את המשפט ניתן להוכיח בדומה להדדיות ממעלה רביעית, באמצעות פיתוח האריתמטיקה בחוג השלמים של אייזנשטיין. הוכחה לחוק ההדדיות ממעלה שלישית נמצאה בכתביו; היא מבוססת על ההוכחה השישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, ומכילה כלמה את הטענה שחוג השלמים של אייזנשטיין הוא אוקלידי ולכן גם תחום פריקות יחידה. בעת שניסה לבסס תשתית אריתמטית לחוק ההדדיות מסדר שלישי, גאוס החל לחקור גם תבניות מעוקבות, ובמספר הערות מ-1808 הוא חקר את אוסף הפתרונות השלמים של המשוואה הדיופנטית, ואפיין את כל המספרים הראשוניים המיוצגים על ידי התבנית הזאת כאלו שעבורם n הוא שארית מעוקבת. אגף שמאל הוא הנורמה של המספר בשדה המעוקב הנוצר על ידי סיפוח v = n^{1/3}, כך שמשמעות הפתרון היא למעשה איתור ה"יחידות" – איברים מנורמה 1, בשדה הנתון. בהקשר זה גאוס זיהה את ההגדרה הכללית של נורמה של איבר בשדה ציקלוטומי מסדר ראשוני p (כפי שניתנה מאוחר יותר על ידי ארנסט קומר) – באחד מכתביו הלא מפורסמים מופיעה התייחסות מפורטת לנורמות של איברים כאלו עבור p = 5. חשיבות חקירתו על תבניות מעוקבות בכך שהייתה הרמז המתועד הראשון כיצד להכליל את התאוריה של תבניות ריבועיות למעלה גבוהה יותר, והרעיונות מאחוריה הם מקרה פרטי של משפט היחידות של דיריכלה (שכאמור לעיל הגיע לממצאיו באופן בלתי תלוי).
לכמה מההשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן. ההשערה של גאוס את משפט המספרים הראשוניים, אותו הוא גילה על בסיס חישובים מספריים אמפיריים מקיפים (גאוס ערך טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון), נתנה הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים ברמת המקרו. למעשה, הוא שיער יותר מכך; בכתב לא מפורסם שלו תחת הכותרת "חוקים אסימפטוטיים של אריתמטיקה" הוא העלה על הכתב כמה תוצאות שמכלילות את משפט המספרים הראשוניים; הוא שיער שבאופן אסימפטוטי, מספר המספרים שקטנים מ-a להם 2 גורמים ראשוניים הוא:, וכן שיער השערה כללית יותר לגבי ההתפלגות האסימפטוטית של מספרים k-כמעט ראשוניים. את התוצאות הללו הוא גזר תחת ההנחה שמשפט המספרים הראשוניים נכון; על סמך הנחה זו הוא חישב באמצעות שיטות מתוחכמות את חוקי ההתפלגות של המספרים הכמעט ראשוניים (ב-1901 בנה אדמונד לנדאו את המתודולוגיה שלו מחדש). מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי 1/\log x היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי (מכתב לאנקה, 1849).
אסטרונומיה
פעילותו הראשונה של גאוס בתחום האסטרונומיה נעשתה בשנת 1799, במסגרת הסיוע שהעניק לקרטוגרף הפרוסי קרל לודוויג פון לקוק אשר הוביל באותה עת מיפוי טריגונומטרי של אזור וסטפאליה, מיפוי במהלכו נעשה שימוש נרחב בשיטת קביעת המיקום הגאוגרפי בעזרת מיקומם הנצפה של גרמי השמיים. גאוס פיתח אוסף נוסחאות מדויקות מהן ניתן לקבוע את הפרלקסה של הירח עבור כל רגע ומיקום גאוצנטרי של הצופה הארצי בהינתן הפרטים העדכניים של מיקום הירח, הישג שכרוך בפתרון כמה בעיות ויזואליות מורכבות המערבות טריגונומטריה כדורית. גאוס דיווח על ממצאיו אלו במכתבו ללקוק, שציין בדיווחיו ש"חישוביו של גאוס היו לו לעזר רב בחלק האסטרונומי של המיפוי", ועודדו ליצור קשר עם פרנץ פון זאך שניהל באותו זמן את מצפה הכוכבים בגותה.
ניסיונו הראשוני של גאוס להיכנס לעולם האסטרונומיה היה בהתאם למסורת המאה ה-18, כך שהוא ניסה לנסח תאוריה של תנועת הירח – הבעיה המרכזית במכניקה השמיימית של אותה עת – שתהיה יעילה ומדויקת יותר מהתאוריות הקודמות. ניסיונו זה נעשה בעקבות בעיית הפרס שהציעה האקדמיה בפריז ב-1800, שדרשה חישוב מדויק יותר של טבלאות נתוני מיקום ירחיים על בסיס תאוריה אמינה יותר. עבודתו בתחום, חיבור לא גמור בעל חמישה פרקים תחת הכותרת "תאוריה של תנועת הירח", פורסמה רק לאחר מותו בכרך השביעי של הנכלאס שלו. המשוואות היסודיות שהוא גזר עשו שימוש בקו האורך הירחי כמשתנה הבלתי תלוי (ולא בזמן), ולפיכך הן דומות לאלו של קלרו וד'אלמבר, וממשיכות את קו המחשבה שלהן. התאוריה שלו מתיישבת בהיבטים רבים עם זאת של פלאנה מ-1832; חישוביו של גאוס על הפרטורבציות הירחיות הרוחביות (הפלקטואציות בנטייה של מסלול הירח) תאמו את התיאור של פלאנה במדויק. בו בזמן שגאוס עמל על חיבורו זה, הכרך השלישי של ספרו של לפלס "מכניקה שמיימית", שהעפיל ברוחב יריעתו בהרבה על חיבורו הבוסרי, כבר הופיע, וכן סדרת מאמרים של אסטרונומים אחרים ששחזרו רבים מהפרטים של התאוריה שלו שכנעו אותו לא להמשיך את כתיבת חיבורו. הידיעה החדשותית מ-1801 בדבר העצם השמיימי החדש שנתגלה (האסטרואיד קרס) סיפקה לו הזדמנות פז שונה בטיבה להטביע את חותמו בעולם האסטרונומי, מה שהניע אותו לשנות את מוקד מחקרו.