cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Álxebra lineal
Historia
O seguinte progreso na álxebra linear foi a definición e a análise das primeiras propiedades dos determinantes, que foron usados para a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Os determinantes foran xa usados por Leibniz en 1693. Posteriormente, en 1750, Gabriel Cramer ideou a regra de Cramer para resolver sistemas lineares. miniatura|[[Giuseppe Peano estableceu a base axiomática da Álxebra linear.]] É no século XIX cando a álxebra linear adquire relevancia converténdose nunha rama propia das matemáticas. Gauss desenvolve o método de eliminación de Gauss de resolución de sistemas lineares, inicialmente relatado como un avance en xeodesia. Camille Jordan resolve definitivamente o problema da redución dun endomorfismo. En 1843, William Rowan Hamilton (inventor do termo vector) descobre os cuaternións (extensión do corpo dos números complexos) que describen a mecánica en tres dimensións. En 1844, Hermann Grassmann publica seu tratado Die lineale Ausdehnungslehre (A teoría da extensión linear), que é a primeira tentativa de formalización xeral da noción de espazo vectorial. A pesar de pasar desapercibida cando foi publicada, esta obra contén o esencial das ideas modernas da álxebra linear. Grassmann introduce o produto xeométrico e o linear, sendo o primeiro deles o equivalente ao noso produto vectorial; tamén introduce as nocións de independencia linear dun conxunto de vectores, así como a dimensión dun espazo vectorial, e proba a identidade clásica. En 1848 James Joseph Sylvester introduce o termo matriz. Arthur Cayley define a multiplicación de matrices e a matriz inversa mentres estudaba a composición de aplicacións lineares. Aínda que unha matriz está formada por moitos elementos distrbuídos en filas e columnas, Cayley usaba unha única letra para denotar unha matriz. Este feito foi crucial para o desenvolvemento da álxebra matricial. Tamén foi o primeiro en intuír unha conexión entre matrices e determinantes, ao respecto escribiu: "Habería moitas cousas que dicir acerca desta teoría de matrices a cal, paréceme, precedería á teoría dos determinantes". En 1882, Hüseyin Tevfik Pasha usa por primeira vez a denominación Álxebra Linear ao escribir un libro titulado Linear Algebra. En 1888, Giuseppe Peano dá a primeira e máis precisa definición de espazo vectorial e axiomatiza enteiramente a teoría. Peano recoñeceu a contribución fundamental de Grassmannn no desenvolvemento da disciplina.
Arredor de 1900 aparece a teoría das aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita. A álxebra linear adquire a súa forma moderna durante a primeira metade do século XX, cando moitas das ideas e métodos dos séculos precedentes son xeneralizados como álxebra abstracta. Os espazos vectoriais vólvense entón unha estrutura xeral omnipresente en case todos os terreos matemáticos, sobre todo en análise matemática e espazos funcionais. O uso das matrices en mecánica cuántica, relatividade especial e estatística, axuda a espallar a disciplina da álxebra linear máis alá das matemáticas puras. O desenvolvemento dos ordenadores fai incrementar a investigación en algoritmos eficientes para o método de Gauss e a descomposición de matrices, e a álxebra linear convértese nunha ferramenta esencial na modelización e na simulación.
Introdución elemental
miniatura|Un [[espazo vectorial é unha colección de obxectos, chamados "vectores", que poden sumarse entre eles e multiplicarse por escalares.]] A álxebra linear ten as súas orixes no estudo dos vectores no espazo cartesiano de dúas e tres dimensións. Un vector, neste caso, é un segmento orientado, caracterizado pola súa lonxitude (ou módulo), a súa dirección e o seu sentido. Os vectores úsanse para representar determinadas entidades físicas como as forzas, e poden sumarse entre eles e multiplicarse por un escalar, formando, xa que logo, o primeiro exemplo de espazo vectorial sobre o corpo dos números reais.
A álxebra linear moderna ampliou o seu campo de estudo para incluír os espazos de dimensión arbitraria ou infinita. Un espazo vectorial de dimensión n chámase n-espazo. Moitos dos resultados dos 2-espazos e 3-espazos poden estenderse aos espazos de dimensión maior. Aínda que moitas persoas non son quen de visualizar facilmente vectores nos n-espazos, estes vectores ou n-uplas son útiles para representar datos, pois poden considerarse como listas ordenadas de n compoñentes. Deste xeito son facilmente comprendidos e manipulados os datos con esta estrutura. Por exemplo, en economía pódese crear un vector 8-dimensional para representar o Produto Interior Bruto (PIB) de 8 estados. Para un ano particular, o PIB dos 8 estados será un 8-vector onde, dada unha certa orde nos países, o PIB dun país concreto será o valor do 8-vector que ocupa a posición correspondente a ese país.
Un espazo vectorial defínese sobre un corpo. Se o corpo é o conxunto dos números reais, teremos un espazo vectorial real; cando o corpo é o dos números complexos, será un espazo vectorial complexo. Unha aplicación linear fai corresponder elementos dun espazo vectorial sobre os elementos doutro espazo vectorial (ou sobre si mesmo), de maneira que se conserve a compatibilidade coa suma e a multiplicación escalar definida no espazo vectorial. O conxunto de todas as aplicacións lineares dun espazo vectorial sobre outro son tamén un espazo vectorial. Fixada unha base para un espazo vectorial, todas as aplicacións lineares sobre ese espazo vectorial poden representarse mediane unha táboa chamada matriz, cuxas propiedades tamén son obxecto de estudo na álxebra linear, así como os algoritmos para calcular as cantidades importantes que as caracterizan como o seu rango, o seu determinante, ou o seu conxunto de autovalores. Un espazo vectorial (ou espazo linear), como concepto puramente abstracto sobre o que se proban teoremas, é parte da álxebra abstracta, e está ben integrado neste campo: algúns obxectos alxébricos relacionados son, por exemplo, o anel das aplicacións lineares dun espazo vectorial en si mesmo, ou o grupo das aplicacións lineares (ou matrices) inversíbeis. A álxebra linear xoga tamén un papel importante na análise matemática, especialmente na descrición das derivadas de orde superior na análise vectorial e na resolución das ecuacións diferenciais.
Concluíndo, pódese dicir simplemente que os problemas lineares da matemática - aqueles que exhiben "linearidade" no seu comportamento - son os máis fáciles de resolver, e que os problemas "non lineares" estúdanse frecuentemente aproximándoos con situacións lineares. Por exemplo na análise matemática, a derivada é unha primeira tentativa de aproximación linear dunha función. A diferenza respecto ao problema non linear é moi importante na práctica: o método xeral de achar unha formulación linear dun problema, en termos de álxebra linear, e resolvelo, se for necesario con cálculo matricial, é un dos métodos máis xerais aplicábeis en matemática.
Espazo vectorial
miniatura|Un vector a pode multiplicarse por un número. Aquí móstranse os vectores 2a e -a, obtidos multiplicando a respectivamente por 2 e -1. A noción máis importante en álxebra linear é a de espazo vectorial. Un espazo vectorial é un conxunto V de elementos, chamados vectores, con propiedades que os fan semellantes a outros vectores aplicados nun punto fixado (a orixe) do plano ou do espazo.
Outubro na cultura popular galega
O que segue recolle diversa información sobre a pegada do mes de outubro, ou outono, na cultura popular e na literatura oral galegas, recollida de diferentes traballos etnográficos –xerais a toda Galicia ou localizados nun ámbito xeográfico máis concreto-, dicionarios, refraneiros, cantigueiros etc.
Álxebra lineal
Espazo vectorial
Máis concretamente, defínense dúas operacións binarias sobre V:
Outubro na cultura popular galega
Refraneiro
miniatura|250px|En outubro, a terra esterca e cobre. miniatura|250px|Polo san Simón apreta o baldón.
Álxebra lineal
Espazo vectorial
O número k (chamado escalar) pertence a un corpo fixado desde o comezo: este pode ser, por exemplo o corpo \R dos números reais ou o corpo \mathbb C dos números complexos.
As dúas operacións deben satisfacer unha longa lista de axiomas. Por exemplo, a suma entre vectores debe ser asociativa e conmutativa. Debe existir un elemento neutro para a suma, que é un vector particular, chamado vector nulo, 0, tal que 0+v=v para todo vector v.
O plano cartesiano é o exemplo fundamental de espazo vectorial. Todo punto do plano identifícase unívocamente cunha dupla (x,y) de números reais, chamadas coordenadas do punto. A orixe é o punto (0,0). O punto (x,y) pode interpretarse alternativamente como punto do plano ou como vector aplicado na orixe que parte de (0,0) e remata en (x,y); dise que este vector é o vector de posición do punto (x,y).
Analogamente o espazo cartesiano está formado por puntos (x,y,z) con tres coordenadas. En xeral, a n-upla de n números reais forman un espazo vectorial que se denota por \R^n. Máis xeralmente, pódese substituír \R por outro corpo K e obter o espazo vectorial K^n.
Aplicacións lineares
miniatura|Unha [[rotación do plano cartesiano centrada na orixe (0,0) é unha transformación linear.]] Unha aplicación linear é unha función entre dous espazos vectoriais que é compatíbel coas operacións definidas en ambos. Deben cumprirse as seguintes propiedades: para toda parella de vectores v,w de V e todo escalar k. Os termos "aplicación", "función", "transformación" e "homomorfismo" son sinónimos neste contexto. O termo "linear" indica a compatibilidade coas operacións. Unha aplicación linear transforma necesariamente a orixe de V na orixe de W: miniatura|esquerda|250px|Unha transformación linear pode distorsionar os obxectos. Unha aplicación linear dun espazo vectorial V en si mesmo dise que é un endomorfismo de V. Moitas transformacións do plano cartesiano ou do espazo que teñan invariante a orixe 0 son lineares. Entre estas están: as rotacións en torno ao O, as reflexións respecto dunha recta ou un plano que pasan pola orixe, as homotecias centradas no O e as proxeccións sobre unha recta ou plano que pasen por O. miniatura|250px|Unha transformación linear pode alargar un obxecto horizontalmente e comprimilo verticalmente. As aplicacións lineares aparecen en contextos moi diferentes. Por exemplo, o funcional que asocia a unha función f a súa integral é unha aplicación linear do espazo C([0,1]) das funcións continuas de variábel real no intervalo [0,1] en \R.
Base e dimensión
Todo espazo vectorial V ten unha dimensión, que se define de modo alxébrico como o número de elementos dunha base de V: unha base é un conxunto de vectores que actúan como sistema de referencia para V. Rigurosamente, unha base é un conxunto de vectores linearmente independentes que xeran o espazo V. Un espazo vectorial pode ter tamén dimensión infinita: os espazos vectoriais de dimensión infinita adoitan ser máis complicados, e moitos teoremas da álxebra linear requiren como hipótese que V teña dimensión finita.
As nocións de base e dimensión aplícanse a \R^n (que ten dimensión n) e aos subespazos contidos nel. Aínda que definidos dun modo puramente alxébrico, estes conceptos aplícanse tamén en contextos moi diferentes, por exemplo, as matrices m\times n forman un espazo vectorial de dimensión mn. Os polinomios dunha variábel forman un espazo vectorial de dimensión infinita: pero restrinxindo o grao do polinomio a un certo valor máximo n, obtense un espazo vectorial de dimensión n+1.
Produto escalar
miniatura|O produto escalar euclídeo no plano entre dous vectores A e B é igual ao produto do [[Módulo (vector)|módulo de B pola proxección de A sobre B.]] Dous vectores v e w dun espazo vectorial poden sumarse: o resultado é un vector v+w. Un vector v e un escalar k poden multiplicarse: o resultado é un vector kv. Porén, na definición de espazo vectorial non está prevista unha operación de produto entre dous vectores.
Pero nalgúns contextos é moi útil engadir unha ulterior operación binaria entre vectores que se comporte como un produto. O produto pode definirse de xeito que o resultado sexa ben un número, ou ben un vector. No primeiro caso, a operación é o produto escalar, e no segundo o produto vectorial. Este último só resulta interesante en dimensión tres, mentres que o produto escalar existe (e é útil) en todas as dimensións. Por este motivo, o produto escalar é o máis estudado.
Na definición de espazo vectorial tampouco están previstas as nocións de "lonxitude" (ou "norma") dun vector, e de "ángulo" entre dous vectores. Ambas poden ser definidas se se define un oportuno produto escalar. Máis precisamente, isto sucede nun espazo vectorial dotado dun produto escalar definido positivo.
Sistemas lineares
Un sistema de m ecuacións lineares con n incógnitas é da forma:
Onde son as incógnitas,  os coeficientes do sistema, e  os termos independentes.
O sistema anterior pode expresarse mediante unha igualdade matricial da forma AX=B, onde A é a matriz de orde m\times n cuxa fila i-ésima está formada polos coeficientes da ecuación i-ésima do sistema, X é a matriz columna formada polas incógnitas (de orde n\times 1), e B é a matriz columna formada polos termos independentes (de orde m\times 1).
A álxebra linear proporciona moitos algoritmos para calcular as solucións dun sistema linear. A conexión entre os sistemas de ecuacións lineares e a álxebra linear ven dada polo feito de que a matriz A, chamada matriz dos coeficientes, pode ser interpretada como aplicación linear de \R^n en \R^m: segundo esta interpretación, o conxunto das solucións X é a contraimaxe de B.
O teorema de Rouché-Frobenius permite calcular o número de solucións dun sistema linear, que poden ser ningunha (sistemas incompatíbeis), unha (sistemas compatíbeis determinados) ou infinitas (sistemas compatíbeis indeterminados). No caso de que o sistema teña tantas ecuacións como incógnitas (isto é, a matriz dos coeficientes é cadrada) e que haxa unha única solución, esta pódese calcular usando a regra de Cramer, se ben o gran número de operacións a realizar fanno só utilizábel para sistemas pequenos. Para sistemas grandes son máis efectivos o método de eliminación de Gauss, e os métodos iterativos como o método de Jacobi ou o método de Gauss-Seidel.
Xeometría analítica
As cónicas no plano (elipse, hipérbole e parábola) caracterízanse mediante ecuacións de segundo grao, algo máis complicadas cas lineares, de primeiro grao. Non obstante, a clasificación das cónicas realízase dun xeito eficaz cos instrumentos da álxebra linear grazas a algúns teoremas non triviais como o teorema espectral e o teorema de Sylvester. Estes mesmos instrumentos serven para clasificar as cuádricas no espazo.
Cálculo diferencial
A análise matemática das funcións dunha variábel non fan uso da álxebra linear. Pola contra, a análise das funcións en máis variábeis depende fortemente dela. De feito, a noción de derivada esténdese en máis variábeis á de diferencial: mentres a derivada nun punto é un simple número real que indica a pendente dunha función nese punto, a diferencial é unha aplicación linear, que indica sempre a "pendente" dunha función (multivariábel) nun punto.
A noción de derivada segunda esténdese tamén a máis variábeis: o resultado é unha matriz chamada matriz hessiana. Esta matriz é simétrica e pode ser facilmente representada como diagonal grazas ao teorema espectral.
Análise funcional
Moitos problemas da análise funcional, como a busca dunha solución para unha ecuación diferencial, afróntanse analizando un espazo funcional particular. Un espazo funcional, ou espazo de funcións, é un espazo vectorial cuxos elementos son funcións dun certo tipo (por exemplo continuas, integrábeis, derivábeis...) definidas nun dominio fixado. O espazos deste tipo son xeralmente de dimensión infinita, e están dotados dalgunha estrutura adicional, como por exemplo dun produto escalar (nos espazos de Hilbert), dunha norma (nos espazos de Banach) ou dunha máis xeral topoloxía (nos espazos vectoriais topolóxicos).
Exemplos de espazos de funcións son os espazos Lp e os espazos de Sobolev.
Mecánica cuántica
miniatura|220px|As [[función de onda|funcións de onda asociadas cos estados dun electrón nun átomo de hidróxeno son os autovectores dalgúns operadores hermitianos particulares usados en mecánica cuántica.]]
A mecánica cuántica fai amplo uso dos teoremas máis avanzados da álxebra linear. O modelo matemático usado nesta rama da física (formalizado principalmente por Paul Dirac e John Von Neumann) describe os posíbeis estados dun sistema cuántico como elementos dun espazo de Hilbert particular e as magnitudes observábeis (como posición, velocidade etc.) como operadores hermitianos. Os valores que poden tomar estas magnitudes cando realmente se mediron son autovalores do operador.
A introdución e o uso destes conceptos matemáticos non triviais na física cuántica foi un dos maiores estímulos ao desenvolvemento da álxebra linear no século XIX.
Matrices
Unha matriz é unha táboa de números, como por exemplo: As matrices son útiles en álxebra linear para representar as aplicacións lineares. Isto faise mediante a multiplicación de matrices. Por exemplo, a matriz A anterior representa unha transformación do plano cartesiano \R^2 en si mesmo. Esta transformación aplica o punto (x,y) no punto Esta aplicación linear non é outra que a rotación antihoraria de 90º con centro na orixe.
A relación entre matrices e aplicacións lineares é moi forte. Toda aplicación linear entre espazos vectoriais de dimensións m e n é describíbel por medio dunha matriz asociada de orde n\times m, cuxas columnas son as imaxes dos vectores da base do espazo vectorial inicial. O efecto dun cambio de base neste espazo cambia a matriz asociada á aplicación linear. Considerando o cambio de base como un endomorfismo no espazo vectorial cuxa matriz asociada é a do cambio de base, a nova matriz asociada á aplicación linear será o produto da antiga matriz da aplicación pola matriz do cambio de base, pois este produto é a matriz asociada á composición das dúas aplicacións (o endomorfismo e a aplicación linear).
Método de eliminación de Gauss
O método de eliminación de Gauss é un algoritmo que permite transformar unha matriz noutra máis simple mediante as oportunas operacións entre as filas da matriz. Este algoritmo úsase principalmente para determinar as solucións dun sistema de ecuacións lineares, mais ten tamén outras aplicacións na propia álxebra linear: co método de eliminación de Gauss pódese determinar o rango, o determinante ou a inversa dunha matriz, tamén se pode extraer con el unha base dun conxunto de xeradores.
Determinantes
miniatura|dereita|300px|Unha [[aplicación linear do plano cartesiano descrita por unha matriz cadrada 2\times 2. O determinante da matriz proporciona información sobre a transformación: o valor absoluto indica o cambio de área, mentres que o signo indica o cambio de orientación. Neste exemplo, a matriz ten determinante -1: a transformación preserva a área (un cadrado de área 1 transfórmase nun paralelogramo de área 1) mais inverte a orientación do plano (cambia o sentido da frecha circular).]]
O determinante é un número asociado a unha matriz cadrada A, xeralmente indicado como \det A. Desde un punto de vista alxébrico, o determinante é importante porque vale cero precisamente cando a matriz non é inversíbel; cando non é cero, un método para calcular a matriz inversa fai uso dos determinantes.
Desde un punto de vista xeométrico, o determinante proporciona moita información sobre a transformación asociada a A: o seu signo (nos números reais) indica se a transformación mantén a orientación do espazo, e o seu valor absoluto indica como cambian as áreas dos obxectos despois da transformación.
Autovalores e autovectores
miniatura|270px|Nesta transformación linear da [[Gioconda, a imaxe modifícase mais o eixe central vertical permanece fixo. O vector azul cambiou levemente de dirección, mentres que o vermello non. O vector vermello é un autovector da transformación e o azul non.]] Para caracterizar un endomorfismo é útil estudar algúns vectores, chamados autovectores. Xeometricamente, un autovector é un vector que non cambia de dirección. Desde un punto de vista alxébrico, se trata dun vector v tal que para algún escalar \lambda, chamado autovalor. O endomorfismo é particularmente simple de descrivir se é diagonalizábel: xeometricamente, isto quere dicir que existe unha base de autovectores; alxebricamente, quere dicir que o endomorfismo pode ser representado mediante unha matriz diagonal, como por exemplo
Forma canónica de Jordan
Un endomorfismo diagonalizábel é facilmente representábel mediante unha matriz diagonal. Pero non todos os endomorfismos son diagonalizábeis: por exemplo, unha rotación antihoraria do plano cartesiano \R^2 de ángulo \theta represéntase pola matriz que (para \theta distinto de 0 e \pi) non ten autovalores nin autovectores, e entón a maior razón non pode ser diagonalizábel. Outro exemplo de matriz non diagonalizábel é a seguinte Pero se o corpo considerado é o corpo \mathbb C dos números complexos, aínda pódese representar o endomorfismo mediante unha matriz que seméllase o máis posíbel a unha matriz diagonal, como no segundo exemplo mostrado. Esta representación, chamada forma canónica de Jordan, caracteriza completamente os endomorfismos. Existe unha representación análoga no corpo real, lixeiramente máis complicada.
Ortogonalización
Dun xeito análogo a un endomorfismo, un produto escalar tamén pode representarse por unha matriz cadrada. Tamén neste contexto, a forma máis simple de tratar é aquela cuxa matriz resulta ser diagonal, e isto ocorre precisamente cando se fixa unha base ortogonal.
Teorema da dimensión
O teorema da dimensión (ou do rango) é un teorema que relaciona as dimensións do núcleo e da imaxe dunha aplicación linear f, segundo a fórmula: Aquí Im e Ker denotan imaxe e núcleo, mentres que n é a dimensión do dominio de f. Este resultado tamén é chamado teorema do rango, porque traducido á linguaxe matricial asume a forma seguinte: onde rk e null indican respectivamente o rango e o índice de nulidade dunha matriz A de orde m\times n.
Teorema de Rouché-Frobenius
O teorema de Rouché-Frobenius proporciona información sobre o conxunto de solucións dun sistema linear: O teorema afirma dúas cousas: En particular, o número de solucións só pode ser cero, un ou infinito (se as ecuacións teñen coeficientes reais ou complexos).
Relación de Grassmann
A fórmula de Grassmann relaciona as dimensións de varios subespazos, definidos a partir de dous subespazos V e W contidos nun espazo fixado U. A fórmula é a seguinte: Na expresión aparecen os subespazos suma e intersección de V e W.
Teorema espectral
O teorema espectral proporciona unha condición forte de diagonalizabilidade por algún endomorfismo, chamado endomorfismo simétrico ou hermitiano (ás veces úsase o termo operador como sinónimo de endomorfismo). A noción de endomorfismo simétrico (ou operador hermitiano) depende da presenza dun produto escalar definido positivo (ou produto hermitiano) se se usan espazos vectorias complexos. O teorema espectral asegura que tal endomorfismo ten unha base ortonormal formada por autovectores.
Xeneralización e temas relacionados
Os métodos da álxebra linear estendéronse a outras ramas da matemática, grazas ao seu éxito. Na teoría dos módulos substitúese o corpo dos escalares por un anel. A álxebra multilinear ocúpase das funcións que aplican linearmente 'moitas variábeis' nun número diferente de variábeis, levando inevitabelmente ao concepto de tensor. Na teoría espectral dos operadores se traballa con matrices de dimensión infinita aplicando a análise matemática nunha teoría non puramente alxébrica. En todos estes casos son maiores as dificultades técnicas. Ademais, a álxebre linear é fundamental en tódolos ámbitos relacionados coa optimización, en particular na Investigación de Operacións.
Texcoco
O seu nome deriva do náhuatl e a definición máis aceptada é "Nas jarillas dos riscos".
As actividades económicas fundamentais son o comercio, os téxtiles e actividades agropecuarias nos arredores.
A cidade aínda conserva o estilo colonial destacando os edificios relixiosos do século XVI. Dentro da propia cidade pódense encontrar vestixios da época precolombiana.
Historia
Texcoco fundouse no século XII como estado náhuatl independente e pertencente á tripla alianza Tenochtitlan - Tlacopan - Texcoco. Constituíuse como a segunda cidade máis importante do imperio azteca correspondendo até dúas quintas partes dos impostos recadados polo imperio. No seu momento foi recoñecida como centro cultural e contou cun importante acervo de documentos de toda índole, desde poesía até astronomía, así como varios pertencentes a culturas de Mesoamérica máis antigas.
O Rei Netzahualcóyotl (1402-1471) foi un destacado poeta, filósofo e mecenas das artes. Entre os seus múltiplos logros podemos salientar xardíns botánicos e un zoolóxico, que contaban con espécimes traídas de todos os recantos do imperio. As ruínas do que foron centros de ocio para a nobreza como os coñecidos Baños de Netzahualcóyotl aínda se poden visitar. O seu fillo Netzahualpilli (1465-1516) continuou a tradición de promover a arte e a cultura en xeral.
En 1520 as tropas de Hernán Cortés ocuparon a cidade e asasinaron o último rei independente de Texcoco, Cacamatzin. A partir de entón Hernán Cortés fixo de Texcoco a súa base de operacións e plataforma para a posterior Conquista de México.
De 1827 a 1830 Texcoco foi capital do Estado de México.
O nome oficial de Texcoco é Texcoco de Mora en honra a un destacado lexislador.
Algúns sitios de interese da zona son, entre outros, as ruínas do outeiro dos melóns, os baños de Nezahualcóyotl, a casa da cultura e os murais de Diego Rivera na Universidade Autónoma Chapingo.
Lingua ávara
O ávaro (магӀарул мацӀ maharul macʼ ou Авар мацI awar macʼ) é unha lingua avar–andi da familia das linguas caucásicas nororientais, é a lingua propia dos ávaros. En 2010 só en Rusia había 715.300 que declaraban o ávaro como a súa lingua materna.
Arte bizantina
miniatura|Mosaico bizantino. A virxe como Kiriotissa, isto é como trono da sabedoría sostendo ó Neno Xesús de fronte, deu orixe á representación da Virxe románica en Occidente A arte bizantina é a arte producida no Imperio bizantino desde o século V ata a caída de Constantinopla en 1453, tamén se emprega para referirse á arte de estados contemporáneos a el que compartían formas culturais comúns sen ser parte do imperio como Macedonia, Bulgaria, Serbia ou Rusia e mesmo certos aspectos da arte da República de Venecia.
Lingua ávara
Distribución xeográfica
Fálase principalmente no oeste e sur da república rusa do Daguestán, e nas rexións de Balaken e Zaqatala do noroeste do Acerbaixán. . A lingua ávara é tamén a lingua patrimonial dalgunhas pequenas zonas de Chechenia e Xeorxia limítrofes co Daguestán, fálase tamén entre as colonias de inmigrantes noutras zonas de Rusia, Casaquistán, Ucraína, Xordania e Turquía.
Arte bizantina
A impronta romana, o gusto polo luxo, a suntuosidade e a proporción herdados da cultura grega deu lugar a unha arte imperial-relixiosa presidida pola idea do dogmático e por unha concepción xerarquizante e simbólica da arte na que as formas e as técnicas respondían a unhas normas fixas, segundo un preciso e inmutable contido teolóxico, no que Deus e o emperador quedaban no mesmo rango no nivel representativo.
Lingua ávara
Status oficial
O ávaro é unha das linguas oficiais da República do Daguestán, servindo como lingua literaria para algunhas outras pequenas comunidades da súa familia lingüística así como lingua de comunicación entre diferentes grupos étnicos.
Arte bizantina
Os templos bizantinos tiñan planta centralizada cunha gran cúpula central como un trasunto arquitectónico da bóveda celeste, conservando en xeral a organización da basílica paleocristiá. O iconostasio separaba o presbiterio das naves, constituíndo un lugar específico para as imaxes. Usualmente utilizaba como material de construción o ladrillo, como os romanos, pero acentuando a súa función decorativa, empregando frecuentemente o arco de medio punto e as cubertas abovedadas.
Lingua ávara
Dialectos
Os principais dialectos son, no norte: Khunzakh, Kazbek, Gunib e Gumbet; no sur: Andalal, Gidatl', Antsukh, Charoda, Tlyarata, Cumada e Cunta.
Morfoloxía
O ávaro é unha lingua aglutinante, sen xéneros e cunha orde SOV.
Arte bizantina
Os edificios no interior amosaban unha decoración suntuosa a base de mosaicos, esmaltes, ourivaría, teas e un longo etcétera. Exteriormente predominaba a verticalidade e conxugación de rectas e curvas.
Lingua ávara
Escritas históricas
miniatura|Alfabeto cirílico de Uslar para o ávaro. miniatura|250px|O ávaro empregou o alfabeto latino entre 1928 e 1938. En 1932 o alfabeto latino que viña utilizando sufriu unha reformaAs primeiras mostras da escrita ávara datan do século XIV, son inscricións illadas que empregan o alfabeto xeorxiano. A fins do século XVII e a principios do XVIII Dibirqadi de Khunzakh desenvolveu unha escrita para o ávaro en alfabeto árabe que se mantivo en uso ata 1928, pese ao intento de Peter von Uslar de substituílo polo alfabeto cirícilo na segunda metado do XIX que tivo como resultado a publicación dalgúns libros e a apertura dalgunhas escolas que o ensinaban pero por volta de 1902 ese alfabeto estaba totalmente esquecido. En 1928 foi o alfabeto latino ao que substituíu ao árabe e nunha nova reforma en 1938 o ávaro comezou a utilizar o alfabeto cirílico, basicamente o mesmo que utiliza a lingua rusa, máis unha letra engadida chamada palochka, que na práctica ao estar ausente da maioría das distribucións de teclado utilízase I, l ou 1.
Arte bizantina
Historia
miniatura|esquerda|[[icona (arte)|Icona bizantina do arcanxo Miguel]] En 395 Teodosio I dividiu entre os seus fillos Arcadio e Honorio o Imperio romano; deixando a Arcadio o Imperio de oriente. Este feito vai dar orixe ao que será o Imperio bizantino, que ten xa como capital a Constantinopla, cidade fundada polo emperador Constantino. Debido á súa privilexiada situación e á caída do Imperio romano de occidente en poder dos bárbaros, pronto será a capital cultural por excelencia no mundo occidental. Así nace a arte bizantino como confluencia dos estilos gregos,  helenísticos, romanos e orientais.
Lingua ávara
Alfabeto ávaro
e tamén se escriben ЛI лI e Лъ лъ respectivamente.
Arte bizantina
Historia
Desde comezos do século V vaise creando unha linguaxe formal artística propio e diferenciado do que se mantén no Imperio de occidente. Máis tarde, na época de Xustiniano I (527-565) iníciase a primeira etapa especificamente bizantina: é a Primeira Idade de Ouro que comprende os séculos VI e VII, é a etapa de formación da arte  bizantino nos seus aspectos formais.
Lingua ávara
Bolmats
O bolmats (lingua común) é unha forma particular de ávaro que a partir do século XVI se converteu na lingua franca do Daguestán, a súa base é o dialecto de Khunzakh, o centro cultural dos ávaros, con algunha influencia dos dialectos do sur. Do bolmats xurdiu a forma literaria e o estándar adoptado polo ávaro na época soviética
Arte bizantina
Historia
Despois do período da loita dos iconoclastas, aínda que pobre en monumentos, comeza, en torno ao ano 850, a arte bizantino medio ou Segunda Idade de Ouro que perdura ata o ano 1204, cando  Constantinopla é conquistada polos cruzados; nesta época esencialmente consolídanse os aspectos formais e espirituais da arte  bizantino; é a verdadeira etapa creadora e  definidora da estética  bizantina. Despois do dominio europeo, coa dinastía dos Paleólogos, dáse paso á Terceira Idade de Ouro que se centra no século  XIV e que finaliza coa toma de  Constantinopla no ano 1453. Despois, a arte bizantino florece nos países  eslavos, Rusia e sueste de Europa, transmitíndose ata os nosos días a través do Monte  Athos. A arte bizantino dividiuse en catro grandes etapas:
Primeira Idade de Ouro Bizantina: 527 - 726, ano no que aparece a querela  iconoclasta. A época dourada desta arte coincide coa época de Justiniano. A querela iconoclasta prolongouse entre os anos 726 - 843 e enfrontou aos  iconoclastas contra os  iconódulos e foi tan violenta que produciu unha crise artística  acentuadísima, especialmente na arte  figurativo. Segunda Idade de Ouro Bizantina: 913 - 1204, momento en que os cruzados destrúen  Constantinopla. Terceira Idade de Ouro Bizantina: 1261 - 1453, cando os turcos toman  Constantinopla.
Elias Gottlob Haussmann
miniatura|Retrato ao óleo de [[Gottfried Reiche realizado en 1726.]] miniatura|[[Gottschedin, pintura ao óleo c. 1750.]] miniatura|Christian d. J. Weisius, Archdeaconn. Gravado de [[1743.]]
Elias Gottlob Haussmann, tamén escrito Haußmann ou Hausmann, nado en Gera en 1695 e finado en Leipzig o 11 de abril de 1774, foi un pintor alemán do Barroco tardío. Haussmann serviu como pintor da corte de Dresde, e denede 1720 foi o retratista oficial en Leipzig. É coñecido principalmente polo seu retrato de Johann Sebastian Bach, que foi pintado en 1746.
Traxectoria
Haussmann foi o primeiro alumno de seu pai, Elias Haussmann (1663-1733), que era pintor da Corte de Hesse. Haussmann estivo ao servizo real de Hesse, como se menciona en setembro de 1717 nunha carta de recomendación do Príncipe Ernst Ludwig de Hesse-Darmstadt como "noso fillo do pintor da corte". O príncipe permitiulle realizar unha viaxe de estudos por Alemaña, onde coñeceu ao retratista de Lugano Francesco Carlo Rusca. Haussmann tamén coñeceu ao pintor da corte de Dresde, Adam Manyoki, que escribiu favorablemente sobre el.
En 1723, Haussmann foi nomeado pintor da corte para o Elector de Saxonia, Augusto II, o Forte. En 1725 regresou a Leipzig, e en 1726 asumiu a clientela do seu predecesor, comezando por un retrato de JH Linke. En 1760, el e a súa escola foron substituídos por Gottlob Ernst e Anton Graff. Haussmann foi tamén, durante moito tempo, pintor do clero protestante.
Obras de Haussmann
O museo histórico da cidade de Leipzig, onde se encontra o retrato de Bach, tamén posúe varias pinturas máis ao óleo de Haussmann, así como unha serie de gravados en cobre. A maioría das pinturas de Haussmann poden ser facilmente atribuídas a el, pois as asinou regularmente, no verso, con nome e data.
Os primeiros retratos de Haussmann, como o do Emperador Gottfried, presentan unha coidadosa técnica, un elevado nivel de detalle e expresións emocionais realistas. Máis tarde, por outra banda, moitos retratos posúen características típicas de imaxes en serie, especialmente nos anos posteriores a 1760, estes mostran o mesmo nivel e moitas veces representan a mesma actitude, hai roupas idénticas e nas mesmas cores, dentro dunh serie de retratos de funcionarios da corte.
As pinturas ao óleo de Haussmann e o gran número de copias mostran unha sección transversal da capa principal da burguesía de Leipzig a partir dos campos da política, da administración xudicial, da igrexa, das empresas (especialmente o comercio e a artesanía), da ciencia e da arte. Entre os exemplos se inclúen:
Retrato de Johann Sebastian Bach
miniatura|Retrato de [[Johann Sebastian Bach de 1746 (a copia da imaxe é de 1748.]] O original foi pintado en 1746 foi danificado ao longo do tempo por restauros mal executados, e que se encontra desde 1913 no Museo da Historia de Leipzig. En 1748, Haussmann fixo unha copia. Logo da morte de Bach, en 1750, o retrato foi herdado polo seu fillo Carl Philipp Emanuel Bach. A principios do século XIX pasou á posesión dos Jenke de Breslau, hoxe Wrocklaw (Polonia), unha familia xudía que se mudaría na década de 1930 a Inglaterra, escapando do terror nazi. Temendo pola seguridade da súa colección durante a segunda guerra mundial, Walter Jenke entregou o cadro aos Gardiner, que o mantiveron protexido nunha propiedade rural en Dorset. En 1952 foi comprado nunha poxa por William Scheide, un filántropo americano, membro do equipo directivo da Fundación Arquivo de Bach de Leipzig. Logo da súa morte en 2014 aos 100 anos de idade e por vontade testamentaria, a obra foi exposta no Museo Bach de Leipzig.
Reacción química
Unha reacción química é un proceso no que unha ou máis substancias,os reactivos, se transforman noutras substancias diferentes, os produtos da reacción. Un exemplo de reacción química é a formación de óxido de ferro producida ó reaccionar o osíxeno do aire co ferro.
A Cruz, Reinante, Barreiros
A Cruz é un lugar da parroquia de Reinante no concello lugués de Barreiros na comarca da Mariña Oriental. Segundo o IGE, en 2011 tiña 16 habitantes (7 homes e 9 mulleres).
Reacción química
Unha reacción química xorde da reordenación dos átomos presentes nos reactivos que ó reagrupárense de distinta maneira darán lugar ós produtos. Nunha reacción química rómpense ou fórmanse enlaces entre os átomos.
Unha reacción química pode representarse pola correspondente ecuación química, na cal se indican as fórmulas químicas dos reactivos e dos produtos. Con frecuencia, indícase tamén o estado dos mesmos mediante abreviaturas como s, estado sólido, l, estado líquido, g , estado gasoso.
Fe (s) + O2 (g) → FeO (s)
Os produtos obtidos a partir de certos tipos de reactivos dependen das condicións baixo as que se dá a reacción química. Pero aínda que os produtos poden variar segundo cambien as condicións, determinadas cantidades permanecen constantes en calquera reacción química. Estas cantidades constantes, as magnitudes conservadas, inclúen o número de cada tipo de átomos presentes, a carga eléctrica e a masa total.
Gran Premio de Francia de 1966
O Gran Premio de Francia de fórmula 1 de celebrouse no circuíto de Reims-Gueux o 3 de xullo de 1966. Foi a carreira do '60º Aniversario' dos Grandes Premios, que comezaron co GP de Francia en 1906. Foi a terceira carreira da tempada de Fórmula Un de. Tamén foi a 16ª e última vez no que o Gran Premio de Francia celebrouse nas diversas variacións das autoestradas francesas preto de Reims logo dunha ausencia de tres anos desta a rexión. A carreira levouse a cabo sobre 48 voltas ao circuíto de oito quilómetros cunha distancia de carreira de 400 quilómetros.
A carreira foi gañada polo campión do mundo de e, o piloto australiano Jack Brabham pilotando o seu Brabham BT19. Foi a oitava vitoria de Brabham nun Gran Premio, a primeira desde o Gran Premio de Portugal de 1960, seis anos antes. Foi a súa primeira vitoria desde a creación do seu propio equipo, Brabham Racing Organisation e a primeira vitoria para o motor australiano Repco V8. Converteuse no primeiro piloto en gañar un Gran Premio do Campionato do Mundo nun coche que levaba o seu propio nome. Brabham logrou a vitoria con nove segundos sobre o piloto británico Mike Parkes pilotando un Ferrari 312. O piloto neozelandés Denny Hulme compañeiro de equipo do líder logrou o terceiro lugar no seu Brabham BT20.
Brabham lideraba o campionato con 12 puntos, dous máis que o piloto de Ferrari Lorenzo Bandini e tres por diante do BRM de Jackie Stewart e do Ferrari de John Surtees. A vitoria foi a primeira de catro consecutivas para Brabham, ao comezar a súa marcha cara ao seu terceiro campionato mundial.
Resumo da Carreira
Jim Clark non participou, sufriu un accidente a o ser golpeado nun ollo por un paxaro durante a práctica. A pole position foi para a Ferrari nas mans de Lorenzo Bandini cun tempo de 2:07.8 no seu 312/66 de 3-litros, cunha media de 233´780 km/h. Trala saída, Bandini lideraba, con Jack Brabham, que tiña un pouco menos de velocidade punta en recta, no seu ronsel durante algún tempo. Mike Parkes, que se fixo cargo do Ferrari de John Surtees defendeuse ben, no duelo con Graham Hill polo terceiro posto, quedando segundo cando a árbore de levas de Hill rompeuse. Cando o Bandini tivo que retirarse debido a rotura do acelerador, Brabham logrou o primeiro lugar na meta, a súa primeira vitoria desde o Gran Premio de Portugal de 1960 foi o primeiro piloto en gañar un Grand Prix no seu propio coche. Tamén foi a última carreira en Reims-Gueux, o lugar de orixe dos Grandes Premios de Fórmula Un en Francia.
O campión do mundo da tempada de Nino Farina morreu nun accidente de coche cando se dirixía como espectador a esta carreira.
Aeroporto de Fuzhou-Changle
O aeroporto internacional de Fuzhou-Changle é un aeroporto internacional que serve a Fuzhou, a capital da provincia chinesa de Fujian. Inaugurouse o 23 de xuño de 1997, despois de que a súa construcións se aprobase no ano 1992. O aeroporto atópase preto da ribeira do estreito de Taiwán no distrito de Changle, a uns 50 quilómetros ao leste do centro de Fuzhou.
A Graña, Ambroa, Irixoa
A Graña é un lugar da parroquia de Ambroa no concello coruñés de Irixoa, na comarca de Betanzos. Segundo o IGE, en 2011 tiña 8 habitantes (4 homes e 4 mulleres).
Hölmö nuori sydän
Hölmö nuori sydän é un filme finlandés de 2018 dirixido por Selma Vilhunen. Estreouse na sección de Cinema Mundial Contemporáneo no Festival Internacional de Cinema de Toronto. Foi escollido como candidato de Finlandia para o Óscar ó mellor filme internacional na 92ª edición dos premios, mais finalmente non foi nomeado.
Psicose
A psicose é un termo xenérico empregado en psiquiatría e psicanálise para referirse a un estado mental descrito como unha escisión ou perda de contacto coa realidade. As persoas que experimentan psicoses poden presentar alucinacións ou delirios e poden exhibir cambios na súa personalidade e pensamento desorganizado. Estes síntomas poden ser acompañados por un comportamento infrecuente ou estraño, así como por dificultade para interactuar socialmente e incapacidade para levar a cabo actividades da vida diaria. O termo "psicose" é moi amplo e pode incluír dende experiencias aberrantes relativamente normais até expresións catatónicas de esquizofrenia e trastorno bipolar.
Unha ampla variedade de elementos do sistema nervioso, tanto orgánicos como funcionais, poden causar unha reacción psicótica. Isto levou á crenza de que a psicose é como a «febre» das enfermidades mentais, un indicador serio pero non específico. Porén, moitas persoas teñen experiencias infrecuentes e de distorsión da realidade nalgún momento das súas vidas, sen volverse discapacitadas ou nin sequera angustiadas por estas experiencias.
Como resultado, certa corrente de investigadores argumenta que a psicose non está fundamentalmente separada dunha conciencia normal, senón máis ben é un continuum con conciencia normal. Dende esta perspectiva, as persoas que son diagnosticadas clinicamente como psicóticas poden estar a ter simplemente experiencias particularmente intensas ou angustiantes.
Mick Aston
miniatura|dereita|Guy de la Bédoyère con Tony Robinson e Mick Aston no 2007 Michael Aston, coñecido como Mick Aston, nado o 1 de xullo de 1946 e finado o 24 de xuño de 2013, foi un presentador de televisión e arqueólogo británico.
Traxectoria
É profesor da Universidade de Bristol, despois de ter pasado pola de Oxford. Estudou a carreira de xeografía na Universidade de Birmingham (Reino Unido). Mais a súa popularidade ven por traballar para a televisión brinánica, no Canal 4), nuns programas sobre a arqueoloxía, Time Signs e Time Team.
Coacalco de Berriozábal
Coacalco de Berriozábal é un concello do norte do Estado de México, en México. Limita coas municipalidades mexicanas de Tultitlán, Ecatepec de Morelos e a Cidade de México. A súa área é de 35,10 km², e a súa poboación era de 278 064 habitantes no ano 2010.
Topónimo
Coacalco identifícase co nome na lingua náhuatl de Coacalco (cfr. nahuatl Coatl, (serpe), calli (casa), e o sufixo de lugar -co) e que significa 'lugar da casa da serpe'.
Política e goberno
A cabeceira municipal é a poboación de San Francisco Coacalco, lugar onde goberna a autoridade máis importante da municipalidade.
Herba da trindade
A herba da trindade (Viola tricolor) é un pensamento bravo común de Europa, que medra como anual ou de curta vida perenne. Foi introducida en América do Norte, onde se espallou moito. É a proxenitora do cultivado pensamento (Viola tricolor hortensis); antes de que o pensamento fose desenvolvido, "pensamento" era un apelativo alternativo da forma brava.
Etimoloxía
O nome vulgar galego, pode que veña polas tres cores que adoita ter a flor; igualmente que en inglés recibe o nome de three faces in a hood (tres faces nunha carapucha) ou wild pansy (pensamento bravo).
Descrición
É unha pequena planta de hábito rubideiro, acadando polo menos 15 cm de altura, con flores de 15 mm de diámetro. Medra en pasteiros baixos, en solos acedos ou neutrais. Acepta media sombra. Florea borealmente de abril a setembro; poden ser púrpuras, azuis, amarelas ou brancas. Son hermafroditas e autofértiles, polinizado por abellas. miniatura|Exemplo da flor.
Taxonomía
Viola tricolor foi descrita por Carl von Linné e publicado en Species Plantarum 2: 935–936, no ano 1753. (1 de maio de 1753)
Uso medicinal
As flores serven como tintura amarela, verde, azul verde, mentres as follas poden usarse para facer un indicador químico.
Moito antes do desenvolvemento de híbridos, esta especie asociouse co "pensamento" na "linguaxe das flores", polo seu apelativo de pensamento: así Ofelia di en Hamlet de William Shakespeare, "There's pansies, that's for thoughts" (hai "pensamentos" que son pensamentos). E o que tiña Shakespeare en mente era a "herba da trindade" ou "pensamento bravo", non os modernos pensamentos de xardín.
O Foro, Reinante, Barreiros
O Foro é un lugar da parroquia de Reinante no concello lugués de Barreiros na comarca da Mariña Oriental. Segundo o IGE, en 2011 tiña 29 habitantes (14 homes e 15 mulleres).
Columbinae
miniatura|240px|[[Columba palumbus.]] miniatura|240px|[[Nesoenas mayeri.]] miniatura|240px|[[Streptopelia decaocto.]]
A dos columbinos (Columbinae) é unha subfamilia de aves pertencente á subclase das neornites, infraclase dos neognatos, superorde das neoaves, granorde dos columbimorfos, e orde das columbiformes.
De distribución mundial, é a subfamilia que inclúe a maior cantidade de xéneros da familia.
Descrición
A subfamilia foi descrita en 1820 polo zoólogo inglés William Elford Leach, na súa obra Synopsis of the Contents of the British Museum: Eleventh Room. 17th edition. Londres: British Museum.
Xéneros
A maioría dos autores recoñecen na subfamilia os xéneros seguintes:
Tamén se coñecen tres xéneros monotípicos:
Controversia taxonómica
Porén, algúns autores inclúen catro xéneros: Geotrygon, Leptotila, Starnoenas e Zenaida na subfamilia Leptotilinae, que para a maioría é a tribo dos Zenaididini.