cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Laserpoint
Vuoden 2007 tapahtuma toteutettiin yhteistyössä brittiläisen superklubin, Gatecrasherin kanssa.
Meteorologia (Aristoteles)
Meteorologia on Aristoteleen fysiikan ja maantieteen alaan kuuluva teos. Teoksessa käsitellään erilaisia maan päällä havaittavia ilmiöitä, kuten sääilmiöitä, veden haihtumista ja maanjäristyksiä.
Sisältö
Seuraavassa joitakin esimerkkejä teoksen sisällöstä.
Varhainen fysiikka
Tässä Aristoteles käsittelee ”ensimmäisen liikuttajan” periaatetta, joka edelsi nykyaikaisempaa newtonilaista käsitystä voimasta.
Neljä klassista alkuainetta
Aineilla Aristoteles tarkoittaa klassisia alkuaineita. Kaikki maan päällä olevat substanssit koostuivat näistä neljästä alkuaineesta. Kun esimerkiksi puuta verrataan kiveen, niiden väliset havaitut erot johtuvat siitä, että niissä on suhteessa eri määrä näitä alkuaineita.
Ilmakehäfysiikka
pienoiskuva|upright=0.85|Teoksen ensimmäinen sivu [[August Immanuel Bekker|Immanuel Bekkerin laitoksesta vuodelta 1837.]]
Sääilmiöt
Tässä Aristoteles käsittelee salamoiden ja tornadojen ominaisuuksia.
Maa pallona
Tässä Aristoteles esittää ajatuksen lithosfääristä (maa), hydrosfääristä (vesi), atmosfääristä (ilma) ja ulkoavaruudesta (tuli). Pohjimmiltaan hän kuvaa pyöreän Maan. Aristoteles käsittelee hydrologiaa hyvin perinpohjaisesti ja osoittaa, että maa pistää ylös veden yläpuolelle sen sijaan, että se olisi kokonaan veden peittämää.
Leonid Tibilov
Leonid Haritonovitš Tibilov (,, , s. 28. maaliskuuta 1952 Etelä-Ossetian AA, Georgian SNT, Neuvostoliitto) on osseettipoliitikko, joka toimi 2012–2017 Etelä-Ossetian presidenttinä.
Alan Burgoyne
Alan Hughes Burgoyne (30. syyskuuta 1880 – 26. huhtikuuta 1929) oli brittiläinen kirjailija, poliitikko ja sotilas.
Burgoyne kirjoitti teoksia sodankäynnistä, muun muassa sukellusveneistä, ja matkusteli paljon. Vuonna 1903 hänet pidätettiin erehdyksessä vakoojana venäläisten hallitsemassa Port Arthurin kaupungissa Kiinassa. Vuonna 1905 häneltä julkaistiin yhdessä W. Laird Clovesin kanssa teos Trafalgar Re-Fought, jossa Trafalgarin taistelu on sijoitettu sata vuotta myöhemmäksi. Burgoynen vuoden 1908 invaasioromaanissa The War Inevitable puolestaan Japanin laivasto kiertää maapallon ympäri tullakseen Englannin avuksi sodassa Saksaa vastaan. Teos herätti laajaa keskustelua. Hänen vuonna 1911 Pearson’s Magazine -lehdessä julkaistu kertomuksensa ”The Death Dive: The Story of the World's Last Naval Battle” puolestaan kuvaa brittiläistä lentäjää, joka suorittaa lentokoneellaan itsemurhaiskun Saksan laivaston lippulaivaa vastaan.
Burgoyne valittiin alahuoneen jäseneksi tammikuun 1910 vaaleissa North Kensingtonin vaalipiiristä. Hän säilytti paikkansa marraskuuhun 1922 asti.
Ensimmäisessä maailmansodassa kapteeniksi ylennyt Burgoyne rekrytoi vaalipiiristään 116 miestä palvelukseen. Hän palveli sodan aikana länsirintamalla, Italian rintamalla, Palestiinassa ja Intiassa ja yleni sen aikana everstiluutnantiksi.
Jätettyään North Kensingtonin paikkansa alahuoneessa Burgoyne pääsi uudelleen alahuoneen jäseneksi Aylesburyn vaalipiiristä lokakuussa 1924. Hän oli edelleen Aylesburyn edustaja, kun hän kuoli 26. huhtikuuta 1929.
Aleksandra Fjodorovna (Charlotte)
Aleksandra Fjodorovna (ven. Алекса́ндра Фёдоровна), (13. heinäkuuta 1798 Charlottenburgin linna, Berliini Preussin kuningaskunta – 1. marraskuuta 1860 Aleksanterin palatsi, Tsarskoje Selo, Venäjän keisarikunta) oli Venäjän keisarinna ja keisari Nikolai I:n puoliso.
Alun perin hän oli Preussin prinsessa Charlotte eli Friederike Luise Charlotte Wilhelmine, yksi kuningas Fredrik Vilhelm III:n ja kuulun kuningatar Luisen kymmenestä lapsesta.
Suku ja nuoruus
Keisarinna Aleksandra Fjodorovna syntyi Preussin prinsessa Friederike Luise Charlotte Wilhelminenä Charlottenburgin linnassa Berliinissä 13. heinäkuuta 1798. Hän oli Preussin kuninkaan Fredrik Vilhelm III:n ja Mecklenburg-Strelitzin herttuataren, kuningatar Luisan vanhin eloon jäänyt tytär ja neljäs lapsi sekä Fredrik Vilhelm IV:n ja Saksan keisarin Vilhelm I:n sisar. Häntä kutsuttiin nimellä Charlotte, joka oli suosittu Preussin kuninkaallisessa perheessä, ja perhe antoi hänelle lempinimen Lottchen.
Prinsessan lapsuutta leimasivat Napoleonin sodat ja hänet kasvatettiin vaikeissa taloudellisissa oloissa. Hänen isänsä oli kiltti, uskonnollinen mies, mutta heikko ja päättämätön hallitsija, joka menetti puolet valtakunnastaan ​​vuoden 1806 sotatappioiden jälkeen. Charlotten kauneudesta, älykkyydestään ja viehätysvoimastaan ​​ihailtua äitiä pidettiin määräävämpänä kuin hänen aviomiehensä. vasen|pienoiskuva|238x238px|Fredrik Vilhelm III ja hänen perheensä, Heinrich Anton Dähling 1806. Prinsessa Charlotte vasemmalla nojaa äitiinsä kuningatar Louiseen. Kun preussilaiset hävisivät lokakuussa 1806 Jenan-Auerstedtin taistelun, Louise pakeni Königsbergiin ja otti lapsensa mukaansa, Charlotte oli tuolloin kahdeksanvuotias. Itä-Preussissa heitä suojeli keisari Aleksanteri I. "Tyttäreni Charlotte on pidättyväinen ja itseensä keskittynyt, mutta isänsä tavoin kylmältä näyttävä ulkokuori kätkee kuuman ja myötätuntoisen sydämen lyönnit", kirjoitti kuningatar Louise tyttärestään. 27. lokakuuta 1806 Berliini joutui Napoleonin hallintaan ja Charlotte varttui sodan runtelemassa Memelissä Preussissa. Joulukuussa 1809 kuningatar Louise palasi Berliiniin lastensa kanssa, mutta sairastui muutaman kuukauden kuluttua ja kuoli lavantautiin 34-vuotiaana vuonna 1810, pian Charlotten 12-vuotissyntymäpäivän jälkeen. Vanhimpana tyttärenä Charlotte oli nyt hovin ensimmäinen kuninkaallinen nainen, ja hänen täytyi alkaa hoitamaan äitinsä virallisia edustusvelvollisuuksia. vasen|pienoiskuva|254x254px|Preussin prinsessa Charlotte 12-vuotiaana. Johann Heusinger, 1810. Suuriruhtinas Nikolai Pavlovitš ja hänen nuorempi veljensä suuriruhtinas Mihail Pavlovitš vierailivat Berliinissä helmikuussa 1814. Preussin prinsessa Charlotte ja suuriruhtinas Nikolai Pavlovitš Romanov tapasivat Berliinissä toisen kerran vuonna 1815. Heitä yhdisti kiinnostus armeijaan ja he pitivät heti toisistaan. He kulkivat käsi kädessä maaseudulla Potsdamissa ja kävivät yhdessä Berliinin hovioopperassa. Kihlauksesta sovittiin lokakuussa 1816. Liitosta heidän välillään oli sovittu jo helmikuussa 1814, Preussin kuningashuoneen ja Venäjän keisariperheen välistä sidettä haluttiin vahvistaa. He olivat keskenään pikkuserkun serkkuja Preussin kuninkaan Fredrik I Suuren kautta.
Avioliitto ja suuriruhtinatar
Raskaana oleva Aleksandra matkusti Moskovaan, missä hän huhtikuussa 1818 synnytti 9 kuukautta häitten jälkeen ensimmäisen lapsensa, tulevan keisari Aleksanteri II:n. Seuraavana vuonna elokuussa 1819 hän synnytti Krasnoje Selossa tyttären, suuriruhtinar Maria Nikolajevnan. Samana kesänä keisari Aleksanteri I kertoi yksityisesti Nikolaille ja Aleksandralle aikomuksestaan luopua kruunusta jo elinaikanaan ja että Nikolai seuraisi häntä, koska vanhempi veli Konstantin Pavlovitš aikoi mennä morganaattiseen avioliittoon eli naida naisen, joka oli hänen säätynsä alapuolella. vasen|pienoiskuva|279x279px|Preussin prinsessa Charlotte. Gerhard von Kügelgen, 1817 Vuonna 1820 Aleksandra synnytti kuolleena syntyneen tyttären, mikä aiheutti hänelle syvän masennuksen. Hänen lääkärinsä suosittelivat lomaa, ja syksyllä 1820 Nikolai vei hänet tapaamaan perhettään Berliiniin, jonne he jäivät kesään 1821 asti ja palasivat Pietariin vasta maaliskuussa 1825, jolloin Aleksanteri I vaati heidän läsnäoloaan Venäjällä. Nuoruudessaan suuriruhtinatar Aleksandra pukeutui viimeisimmän muodin mukaisesti ja piti matkustelusta Saksan huvikeskuksiin miehensä kanssa joka vuosi, joissa hän tuhlasi rahaa sumeilematta. vasen|pienoiskuva|263x263px|Aleksandra Fjodorovna ja kaksi vanhinta lasta Aleksandr ja Maria. George Dawe, noin 1821, Venäläinen museo Aleksandra Fjodorovna vietti ensimmäiset vuotensa Venäjällä yrittäessään oppia uutta kieltä ja tapoja runoilija Vasili Žukovskin johdolla, jota hän luonnehti "liiaksi runoilija ollakseen hyvä opettaja". Keisarillinen perhe puhui keskenään saksaa ja kirjoitti kirjeensä ranskaksi, jota puhuttiin yleisesti hovissa. Tämän seurauksena Aleksandra ei koskaan täysin oppinut venäjän kieltä ja hän puhui aina mieluiten saksaa tai ranskaa.
Alexandra Fjodorovna kirjoitti muistelmissaan ensimmäisistä vuosistaan ​​Venäjällä: "Olimme molemmat todella onnellisia vasta, kun olimme yksin asunnossamme, kun istuin hänen polvellaan hänen ollessaan minulle rakastava ja hellä". Nikolai antoi vaimolleen lempinimen "Mouffy". Kahdeksan vuoden ajan, Aleksanteri I:n hallituskaudella, pariskunta eli hiljaisesti. Keisari Aleksanteri I:llä ei ollut elossa olevia lapsia, ja hänen perillisensä, Nikolain vanhempi veli suurruhtinas Konstantin Pavlovitš luopui perintöoikeudestaan ​​vuonna 1822, jolloin Nikolaista tuli kruununperillinen. Vuonna 1825 keisari antoi Aleksandralle Pietarhovin palatsin, jossa hän ja Nikolai asuivat. Se pysyi aina hänen suosikkikesäasuntonaan. Nikolai rakennutti Pietarhoviin vuosina 1842-1844 Italiaa ihailevalle vaimolleen pompejilaistyylisen 'Tsaarittaren paviljongin'.
Nuoripari vietti rauhallista perhe-elämää. Nikolai palveli armeijassa. Vapaa-aikana he viihtyivät keskenään tai matkustivat Eurooppaan sukulaisia tapaamaan. Kesäisin he viettivät aikaa Aleksanterin palatsissa ja keisariparina keväisin ja syksyisin Katariinan palatsissa Tsarskoje Selossa. Pariskunnan ensimmäinen lapsi, tuleva keisari Aleksanteri II syntyi Moskovan Kremlissä vuonna 1818. Yhteensä he saivat kymmenen lasta, joista kolme kuoli jo pienenä:
Aleksandra Fjodorovna oli innokas lukija ja nautti musiikista. Hänen suosikkinsa venäläisistä kirjailijoista oli Mihail Lermontov. Hän oli ystävällinen ja piti yksityisyydestä ja yksinkertaisuudesta. Hän pukeutui tyylikkäästi, suosi vaaleita värejä sekä keräsi kauniita jalokiviä. Aleksandra rakasti tanssimista ja oli erityisen taitava masurkassa sekä nautti hovin juhlista aamunkoittoon asti. pienoiskuva|200x200px|Keisarinna Aleksandra Fjodorovna ja tytär suuriruhtinatar Maria Nikolajevna Mustanmeren rannikolla, Pjotr Fjodorovits Sokolov 1829 Aleksandra Fjodorovna ei ollut ylimielinen eikä kevytmielinen, eikä vailla älykkyyttä ja hänellä oli erinomainen muisti. Hänen lukemistonsa oli melko laajaa, hänen teki päätelmiä miehistä varmasti, mutta ironisesti. Hän ei ollut aktiivisesti kiinnostunut politiikasta ja täytti roolinsa keisarinnapuolisona sen sijaan, että olisi toiminut omana itsenään julkisesti. Aleksandra Fjodorovna rakasti perhettään erittäin paljon. Dekabristikapinan iltana joulukuussa 1825 hänelle kehittyi kasvoihin tic-oire eli tahdosta riippumattomatonta nykimistä, koska hän pelkäsi että koko keisarillinen perhe aiottiin surmata. Kasvojen tic-ilmiötä esiintyi saksalais-venäläis-brittiläisessä kuningasperheessä yleisesti. Tämän kiusallisen oireen vuoksi kruunajaisia täytyi seuraavana vuonna lykätä useaan kertaan.
Keisarinna 1825–1855
Suuriruhtinasperheen rauhallinen elämä järkkyi, kun he saivat ilmoituksen Aleksanteri I:n odottamattomasta kuolemasta 1. joulukuuta 1825 ja varmistuksen siitä, ettei vanhempi veli Konstantin Pavlovitš todellakaan halunnut ottaa kruunua vastaan. Nikolai huudettiin keisariksi 14. joulukuuta 1825. Keisarinna oli alusta asti lujasti puolisonsa tukena, vaikka hänen sanottiinkin olevan "hauras ja hieman heikko terveydeltään". pienoiskuva|313x313px|Keisarinna Aleksandra Fjodorovna Romanova. Christina Robertson 1840-luku, skotlantilainen taidemaalari. [[Eremitaaši|Eremitaašin taidemuseo, Pietari ]] Aleksandra Fjodorovna ja Nikolai I kruunattiin Taivaaseenastumisen eli Uspenskin katedraalissa Moskovan Kremlissä 3. syyskuuta 1826.
Vuoteen 1832 mennessä Nikolai ja Aleksandra saivat seitsemän aikuiseksi elänyttä lasta, jotka he kasvattivat huolellisesti. Tyttärien asuinhuoneet olivat yksinkertaisia, he ulkoilivat ilmasta välittämättä ja heidän ruokavaliotaan valvoi lääkäri. He saivat oppitunteja tanssissa, musiikissa ja piirtämisessä. Runoilija Vasili Žukovski toimi lasten opettajana. Vuonna 1837, kun suuri osa Talvipalatsista tuhoutui tulipalossa, keisari Nikolai I kertoi pelastustyöntekijälle: "Anna kaiken muun palaa, mutta tuo minulle se pieni laatikko työhuoneestani, jossa olevat kirjeet vaimoni kirjoitti minulle kun hän oli kihlattuni." vasen|pienoiskuva|200x200px|Tsaritsin Pavilion, Tsaarittaren paviljonki, Pietarhovi (1842-1844) Vuonna 1840 keisarinna poikkeuksellisesti matkusti Hesseniin tapamaamaan miniäehdokastaan Hessen-Darmstadtin prinsessa Marieta. Tällaista ei ollut koskaan ennen tapahtunut Romanov-suvun naimakaupoissa. Keisarinnan oma ehdokas tšarevitšin puolisoksi oli Preussin prinsessa Alexandra. Aleksandra Fjodorovna halusi varmistua henkilökohtaisesti poikansa tulevasta puolisosta, johon kruununperijä Aleksandr Nikolajevitš oli rakastunut päätäpahkaa vuonna 1838, kun Marie oli vain 14-vuotias.
Nikolai I oli esimerkillinen perheenisä. Hän lahjoitti puolisolleen mielellään jalokiviä ja järjesti keisarinnalle tilaisuuksia tanssia masurkkaa, missä tämä oli taitava. Vuonna 1844 perheen onnea järkytti 19-vuotiaan tyttären Aleksandran kuolema ensimmäiseen synnytykseensä. Pietariin perustettiin hänen muistokseen naisten sairaala.
Yli 25 vuoden aviollisen uskollisuuden jälkeen Nikolai I otti vuonna 1832 rakastajattarekseen Varvara Arkadievna Nelidovan (1814-1897), yhden aviovaimonsa hovinaisista; suhde kesti 17 vuotta. Lääkärit olivat kieltäneet keisarinnalta seksuaalisen kanssakäymisen aviomiehen kanssa eli uudet raskaudet huonon terveydentilan ja toistuvien sydänkohtausten vuoksi. Todellisuudessa Nikolailla oli jo ainakin kolme tiedossa olevaa aviotonta lasta, jotka olivat syntyneet ennen vuotta 1832. vasen|pienoiskuva|271x271px|Keisarinna Aleksandra Fjodorovna Romanova, Franz Krugerin muotokuva, 1836 Valtiollisten huolien painaessa Nikolai etsi edelleen lohdutusta vaimonsa Aleksandran seurasta. "Onnea, iloa ja lepoa – sitä etsin ja löydän vanhasta Mouffystäni", hän kirjoitti. Vuonna 1845 Nikolai itki kuullessaan että hovin lääkärit kehottivat keisarinnaa oleskelemaan useita kuukausia Palermossa tämän huonon terveydentilan vuoksi. "Antakaa vaimoni minulle!", hän pyysi tämän lääkäreiltä, ja saatuaan tietää, ettei tällä ollut vaihtoehtoja, hän suunnitteli liittyvänsä vaimonsa seuraan joksikin aikaa. Varvara Nelidova lähti heidän mukaansa, ja vaikka Aleksandra oli alussa mustasukkainen, hän hyväksyi pian suhteen ja pysyi hyvissä väleissä aviomiehensä rakastajattaren kanssa.
Aleksandra Fjodorovna oli aina terveydeltään heikko ja huonokuntoinen. Neljäkymmentävuotiaana hän näytti paljon ikäistään vanhemmalta ja laihtui jatkuvasti. Hän kärsi pitkään hermostollisesta tic-nykimisestä kasvoissa. Vuonna 1837 hän valitsi uudeksi asuinpaikakseen alueen Krimiltä. Nikolai määräsi, että keisarinnalle rakennetaan Oreandaan nykyisen Jaltan alueelle palatsi. Keisarinna pääsi vierailemaan palatsissa kuitenkin vain yhden kerran, koska Krimin sota alkoi vuonna 1852. Vuoden 1854 lopulla Aleksandra Feodorovna sairastui ja oli lähellä kuolemaa, mutta toipui vielä.
Suomen vierailu
Kesäkuun 10. päivä [ J: toukokuun 29. päivä] 1833 keisarinna Aleksandra Fjodorovna saapui puolisonsa Nikolai I:n kanssa vierailulle Suomeen tutustumassa uuden pääkaupungin Helsingin keskustan rakennustöihin. Viimeinen keskeneräinen rakennus oli Nikolainkirkko, jonka rakentaminen oli aloitettu kolme vuotta aiemmin. Matka tehtiin ennen näkemättömällä kulkuvälineellä, höyrylaiva Ischoralla. Matkan muistoksi pystytettiin Helsingin Kauppatorille keisarinnan kunniaksi obeliski, Keisarinnankivi. Sen huipulla on kaksipäinen kotka.
Leskikeisarinna
,Keisari Nikolai kuoli yllättäen keuhkokuumeeseen 2. maaliskuuta 1855 Talvipalatsissa. Hän oli sairastunut influenssaan oltuaan katsastamassa Krimin sotaan lähteviä joukkojaan hyisessä talvisäässä ja poti 25. helmikuuta lähtien. Keisarinna eli vielä viitisen vuotta. Hänet nähtiin enää harvoin julkisuudessa, mutta hän osallistui poikansa Aleksanteri II:n loisteliaisiin kruunajaisiin Moskovassa vuonna 1856.thumb|274x274px|Leskikeisarinna Aleksandra Fjodorovna. [[Franz Xaver Winterhalter|Franz Xavier Winterhalter, maalattu Saksassa 1856. Eremitaašin taidemuseo, Pietari]]
Aleksandra Fjodorovna vetäytyi Aleksanterin palatsiin Tsarskoje Seloon ja pysyi hyvissä väleissä edesmenneen aviomiehensä rakastajattaren Varvara Nelidovan kanssa, jonka hän nimitti henkilökohtaiseksi lukijakseen.
Leskikeisarinnan terveys muuttui vuosien myötä yhä hauraammaksi. Koska hän ei voinut viettää ankaria talvia Venäjällä, hän oleskeli pitkiä aikoja Sveitsissä, Nizzassa ja Roomassa. Hän kirjoitti syyskuussa 1859: "Minulla on ikävä isänmaatani ja moitin itseäni siitä, että käytin niin paljon rahaa aikana, jolloin Venäjä tarvitsee jokaista ruplaa. Mutta minä yskin ja eivätkä sairaat keuhkoni selviä ilman eteläistä ilmastoa." vasen|pienoiskuva|200x200px|Leskikeisarinna Aleksandra Fjodorovna kuolinvuonnaan 1860 Palattuaan ulkomaanmatkalta heinäkuussa 1860 hän ei enää tervehtynyt. Syksyllä 1860 hänen lääkärinsä sanoivat, että hän ei kestäisi talvea, ellei matkustaisi vielä etelään. Tietoisena vaarasta hän halusi jäädä Pietariin, jotta kuolisi Venäjän maaperällä. Kuolemaansa edeltävänä iltana hänen kuultiin sanovan: "Niki, minä tulen luoksesi."
Leskikeisarinna Aleksandra Fjodorovna kuoli 62-vuotiaana nukkuessaan 1. marraskuuta 1860 Tsarskoje Selossa sijaisevassa Aleksanterin palatsissa, joka oli ollut hänen asuinpaikkansa jo pitkään. Hänet on haudattu Pietari-Paavalin katedraaliin Pietarissa.
Aleksandran aikalaiset pitivät häntä hyvänä puolisona ja äitinä, joka ei koskaan sekaantunut politiikkaan.
Jaimee Kaire-Gataulu
Jaimee Kaire-Gataulu (s. 7. huhtikuuta 1987 Auckland, Uusi-Seelanti) on uusiseelantilainen näyttelijä. Hän on näytellyt muun muassa sarjoissa Xena: soturiprinsessa (Orphan, 1996) sekä Klaani (Cloe, 1999–2002).
Gloria Estefan
Gloria Estefan (alk. Gloria María Milagrosa Fajardo García, s. 1. syyskuuta 1957 Havanna, Kuuba) on kuubalaissyntyinen yhdysvaltalainen laulaja ja lauluntekijä. Hänet tunnetaan latinopopin kuningattarena, koska hän on parhaiten angloamerikkalaisen kulttuurin keskellä menestynyt latinalaisamerikkalaisen kevyen musiikin esittäjä. Estefanin levyjä on myyty yli 70 miljoonaa, ja hän on voittanut viisi Grammy-palkintoa.
Estefan on julkaissut 21 albumia vuodesta 1977 alkaen Miami Sound Machine -yhtyeen kanssa. Ensimmäinen menestys oli Dr. Beat vuonna 1984. Parhaiten myynyt albumi on ollut Cuts Both Ways vuodelta 1989. Levyn nimi (suomeksi ”Kaksiteräinen”) viittaa sekä espanjan- että englanninkielisten kuuntelijoiden suosioon. Sitä on myyty yli 10 miljoonaa kappaletta.
Gloria Estefan esitti vuoden 1996 Atlantan olympialaisten tunnuskappaleen Reach.
Hänelle myönnettiin vuonna 2015 Presidential Medal of Freedom -mitali.
Ordinaali
thumb|300px|Ordinaalien esitystapa ωω:aan saakka. Jokainen spiraalin kierros vastaa ω:n seuraavaa potenssia Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestys­luvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen.
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. Hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2,...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2,...,ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, seuraajaordinaali', kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2,...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan rajaordinaaleiksi.
Ordinaalit on erotettava kardinaali­luvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaali­luvut vastaavat kääntäen yksi­käsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaali­luvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaali­lukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.
Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883 käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigono­metristen sarjojen yksi­käsitteisyyttä.
Ordinaalit luonnollisten lukujen laajennuksena
Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen sijainti, kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvin­järjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvin­järjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. Hyvin­järjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä laskevaa sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osa­joukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon järjestys­tyypiksi.
Jokaisen ordinaalin määrittelee sitä edeltävien ordinaalien joukko; itse asiassa ordinaalit määritellään nykyisin useimmiten "samastamalla" kukin ordinaali sitä edeltävien ordinaalien joukon kanssa. Esimerkiksi ordinaali 42 on sitä pienempien ordinaalien joukon järjestys­tyyppi; tähän joukkoon kuuluvat ordinaalit 0:sta eli pienimmästä ordinaalista ordinaaliin 41 saakka, joka on 42:n välitön edeltäjä, ja se voidaan samastaa joukon {0,1,2,...,41} kanssa. Kääntäen jokainen ordinaalien joukko (S), joka on alaspäin suljettu (eli jolle pätee, että jos jokin ordinaali α kuuluu joukkoon S ja jos toinen ordinaali β < α, niin myös β kuuluu joukkoon S), on itse ordinaali tai voidaan samastaa jonkin ordinaalin kanssa.
On myös äärettömiä ordinaaleja. Pienin ääretön ordinaali on ω, joka on luonnollisten lukujen (äärellisten ordinaalien) järjestystyyppi. Se voidaan edellä mainitulla samastaa luonnollisten lukujen joukon kanssa, sillä luonnollisten joukko on hyvin järjestetty, kuten jokainen ordinaalien joukko, ja koska se on alaspäin suljettu, se voidaan samastaa siihen liittyvän ordinaalin kanssa, mikä on täsmälleen se tapa, jolla ω on määritelty.
Ehkä selvempi intuitiivinen käsitys ordinaaleista saadaan tutkimalla joitakin ensimmäisiä niistä. Kuten edellä todettiin, ne alkavat luonnollisista luvuista 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Kaikkien luonnollisten lukujen jälkeen tulee ensimmäinen ääretön ordinaali ω, sen jälkeen  ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen. (Miten äärettömien ordinaalien yhteen­lasku määritellään, kerrotaan jäljempänä osiossa ordinaalien lasku­toimitukset ; tässä vaiheessa on syytä ajatella ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen vain ordinaalien nimiksi.)  Kaikkien tällaisten jälkeen tulee ω·2 (eli ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 ja niin edelleen, kaikkien tällaisten jälkeen ω·3 ja vastaavalla tavalla myöhemmin ω·4. Kaikkien tällä tavoin muodostettujen ordinaalien joukolla (ω·m+n, missä m ja n ovat luonnollisia lukuja) täytyy itselläänkin olla siihen liittyvä ordinaali, ja se on ω2. Edelleen saadaan vastaavalla tavalla ω3, ω4 ja niin edelleen, sekä lopulta ωω, ωω² ja paljon myöhemmin vihdoin ε0, joka voidaan esittää raja-arvona muodossa Kaikki nämä ovat vielä suhteellisen pieniä, numeroituvien joukkojen ordinaalilukuja. Tätä voidaan jatkaa äärettömän kauas; itse asiassa "äärettömän kauas" onkin juuri se, mihin ordinaalit soveltuvat: joka kerta kun ordinaaleja lueteltaessa sanotaan "ja niin edelleen", tämä sanonta määrittelee suuremman ordinaalin. Pienin ylinumeroituva ordinaali on kaikkien numeroituvien ordinaalien joukko, jolle käytetään merkintää ω1.
Hyvinjärjestetyt joukot
Hyvin­järjestetyssä joukossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Valinta-aksiooman mukaan tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko on täydellisesti järjestetty ja että siinä ei ole ääretöntä laskevaa jonoa, mikä on ehkä helpommin hahmotettavissa. hyvin­järjestyksen käytännössä tärkein merkitys on siinä, että se mahdollistaa transfinittisen induktion: jos siitä, että jokin ominaisuus on jonkin alkion kaikilla edeltäjillä, seuraa, että se on myös kyseisellä alkiolla, silloin tämä ominaisuus on koko joukon kaikilla alkioilla, edellyttäen, että joukko on hyvin­järjestetty. Tällä on merkitystä myös tieto­tekniikassa: jos jokin laskenta­menetelmä voidaan hyvin­järjestää siten, että jokaista askelta seuraa "alempi" askel, laskenta ei jatku loppumattomiin.
Kahta hyvin­järjestettyä joukkoa A ja B sanotaan järjestys­isomorfisiksi, jos jokaista joukon A alkiota vastaamaan voidaan asettaa jokin joukon B alkio siten, että jos joukon A alkio x on pienempi kuin joukon A'  alkio y, on myös alkiota x vastaava alkio joukossa B pienempi kuin alkiota y vastaava alkio joukossa B ja päinvastoin. Tällaista eri joukkojen alkioiden vastaavuutta sanotaan järjestysisomorfismiksi. Järjestys­isomorfiset joukot ovat järjestyksen kannalta saman­laisia, ja niistä voidaankin sanoa, että niiden alkiot on vain "nimetty eri tavoin.". Joukkojen järjestys­isomorfisuus on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Mikäli kahden hyvin­järjestetyn joukon välillä on järjestys­isomorfismi, sellaisia on vain yksi: tämä seikka osaltaan oikeuttaakin pitämään näitä joukkoja oleellisesti samoina ja etsiä isomorfismi­tyypille (luokalle) "kanonista" edustajaa. Ordinaalit ovatkin juuri sellaisia isomorfismi­tyyppien "kanonisia" edustajia, ja niitä voidaankin käyttää jokaisen hyvin­järjestetyn joukon merkitsemis­tapoina.
Muodollisesti jos osittainen järjestys < on määritelty joukossa S ja osittainen järjestys <' joukossa S' , osittain järjestetyt joukot (S,<) ja (S' ,<') ovat järjestys­isomorfismia, jos niiden välillä on olemassa bijektio f, joka säilyttää järjestyksen eli f(a) < f(b), jos ja vain jos a < b. Jokainen hyvin­järjestetty joukko (S,<) on järjestys­isomorfinen niiden ordinaalien joukon kanssa, jotka ovat pienempi kuin se ordinaaliluku, joka ilmaisee joukon (S,<) järjestystyypin.
Alkujaan ordinaalit käsitettiin hyvin­järjestettyjen joukkojen isomorfia­luokiksi, toisin sanoen järjestys­isomorfisuutta merkitsevän ekvivalenssirelaatioon liittyviksi ekvivalenssi­luokiksi. Tähän liittyy kuitenkin se tekninen ongelma, että tämä ekvivalenssi­luokka on liian laaja, jotta sitä voitaisiin käsitellä joukkona joukko-opin tavan­omaisessa Zermelon–Frankelin aksioomiin perustuvassa muotoilussa. Tämä vaikeus on kuitenkin voitettavissa. Ordinaaleja voidaan sanoa joukkojen järjestys­tyypeiksi.
Ordinaalin määritelmä ekvivalenssiluokkana
Ordinaaliluvun alku­peräisessä määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi teoksesta Principia Mathematica, hyvin­järjestetyn joukon järjestys­tyyppi määritellään kaikkien niiden hyvin­järjestysten joukkona, jotka ovat tämän kanssa järjestys­isomorfisia; toisin sanoen ordinaaliluvut ovat hyvin­järjestettyjen joukkojen muodostamia ekvivalenssi­luokkia. Tämä määritelmä joudutaan kuitenkin hylkäämään Zermelon–Fraenkelin esittämässä ja sitä muistuttavissa joukko-opin aksiomatisoinneissa, koska nämä ekvivalenssi­luokat ovat liian laajoja ollakseen joukkoja. Määritelmää kuitenkin voidaan kuitenkin yhä käyttää tyyppiteoriassa sekä Quinen aksiomaattisessa joukko-opissa (New Foundation) ja sitä muistuttavissa muotoiluissa (joissa se myös tarjoaa sangen yllättävän vaihtoehtoisen ratkaisun suurinta ordinaalia koskevalle Buralin–Fortin paradoksille).
Von Neumannin ordinaalien määritelmä
Sen sijaan että ordinaalit määriteltäisiin hyvin­järjestettyjen joukkojen ekvivalenssi­luokkina, ne määritellään nykyisin yleisimmin tiettyinä hyvin­järjestettyinä joukkoina, jotka (kanonisesti) edustavat kutakin luokkaa. Niinpä jokainen ordinaaliluku on hyvin­järjestetty joukko, ja jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen yhden ja vain yhden ordinaaliluvun kanssa.
Myös luonnolliset luvut ovat tämän määritelmän muokaan ordinaaleja. Esimerkiksi luku 2 kuuluu joukkoon 4 = {0,1,2,3) ja 2 on joukko {0,1), joten se on myös joukon {0,1,2,3} osajoukko.
Transfiniittisella induktiolla voidaan osoittaa, että jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen täsmälleen yhden tällaisen ordinaalin kanssa, toisin sanoen niiden välillä on järjestyksen säilyttävä bijektiivinen kuvaus.
Tästä seuraa, että jokainen ordinaali S on joukko, jonka alkiona ovat kaikki S:ää pienemmät ordinaalit ja vain ne. Esimerkiksi jokaisella ordinaalien joukolla on pienin yläraja eli supremum, joka on se ordinaali, joka saadaan muodostamalla joukon kaikkien ordinaalien unioni. Unioniaksiooman nojalla tämä unioni on olemassa riippumatta siitä, kuinka suuri joukko on kyseessä. Kaikkien ordinaalien luokka ei ole joukko. Jos se olisi joukko, voitaisiin osoittaa, että se on ordinaali ja näin ollen itsensä jäsen, mikä kuitenkin on ristiriidassa sen kanssa, että jäsenyys on aidosti järjestetty. Tämä on Buralin–Fortin paradoksi. Kaikkien ordinaalien luokalle käytetään vaihdellen merkintöjä "Ord", "ON" tai "∞".
Ordinaali on äärellinen, jos ja vain jos sen käänteinen järjestys on myös hyvin­järjestetty, ja näin on asian laita, jos ja vain jos sen jokaisella osajoukolla on suurin alkio.
Vaihtoehtoisia määritelmiä
Nykyisin on esitetty muitakin muotoiluja ordinaalin määritelmäksi. Esimerkiksi jos oletetaan säännöllisyysaksiooma, seuraavat ehdot joukolle x ovat yhtäpitävät:
Transfiittinen jono
Jos α on rajaordinaali ja X joukko, kuvausta α:sta X:ään voidaan sanoa myös α:lla indeksoiduksi X:n alkioiden jonoksi. Tämä käsite, transfiniittinen jono eli ordinaali-indeksoitu jono on jonon käsitteen yleistys. Tavallinen jono vastaa tapausta, jossa α = ω.
Transfiniittinen induktio
Transfiniittsen induktion periaate pätee jokaisessa hyvin­järjestetyssä joukossa, mutta se liittyy ennen kaikkea ordinaaleihin. Sen mukaan
Tosin sanoen, jos lause P(α) on tosi aina, kun P(β) on tosi kaikilla β<α, silloin P(α) on tosi kaikilla ordinaaleilla all α. Tai käytännöllisemmin: sen todistamiseksi, että ominaisuus P on kaikilla ordinaaleilla α, riittää, että sen jo tiedetään olevan kaikilla β<α.
Seuraaja ja rajaordinaali
Jokaisella ordinaalilla nollaa lukuun ottamatta on pienin alkio, nolla. Sillä voi olla myös suurin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi ordinaalin 42 suurin alkion 41 ja ordinaalin ω+6 suurin alkio ω+5. Toisaalta ω:lla ei ole suurinta alkiota, sillä ei ole suurinta luonnollista lukua. Jos ordinaalin suurin alkio on α, se on α:ta seuraava alkio, ja sitä sanotaan seuraajaordinaaliksi ja merkintään α+1. Kun ordinaalit määritellään von Neumannin mukaisesti, α:n seuraaja on, sillä sen alkioita ovat α:n alkiot sekä α itse.
Ordinaalia, joka ei ole nolla ja joka ei ole seuraajaordinaali, sanotaan rajaordinaaliksi. Nimitys perustuu siihen, että rajaordinaali todella on topologisessa mielessä, järjestystopologian kannalta, kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo.
Kun on ordinaali-indeksoitu jono, jonka indeksoi raja-arvo γ ja jono on nouseva, toisin sanoen  whenever, sen raja-arvo määritellään joukon  pienimpänä ylärajana, toisin sanoen pienimpänä ordinaalilla, joka on suurempi kuin mikään sen jonoista. Sellainen on aina olemassa. Tässä mielessä raja­ordinaali on itsensä indeksoima kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo. Toisin sanoen se on sitä pienempien ordinaalien joukon supremum.
Toinen tapa määritellä rajaordinaali on sanoa, että α on rajaordinaali, jos ja vain jos
Niinpä esimerkiksi jonossa
ω on rajaordinaali, koska jokaista sitä pienempää ordinaalia, tässä tapauksessa siis jokaista luonnollista lukua kohti on olemassa toinen ordinaali, joka on sitä suurempi mutta yhä pienempi kuin ω.
Ordinaaliluokkien indeksointi
Tätä voitaisiin soveltaa esimerkiksi rajaordinaalien luokkaan: \gamma:s ordinaali, joka on joko rajaorbitaali tai nolla, on. Samaan tapaan voidaan käsitellä additiivisesti jakautumattomia ordinaaleja eli sellaisia nollasta poikkeavia ordinaaleja, jotka eivät ole kahden itseään aidosti pienemmän ordinaalien summia: \gamma:nnen additiivisesti jakautumattoman ordinaalin indeksi on. Ordinaali­luokkien indeksointi­tekniikka on usein hyödyllinen käsiteltäessä kiinteitä pisteitä: esimerkiksi \gamma:nnelle ordinaalille \alpha, jolle, käytetään merkintää. Näitä sanotaan epsilonluvuiksi.
Suljetut rajoittamattomat joukot ja luokat
Ordinaalien luokkaa C sanotaan rajoittamattomaksi eli kofinaaliseksi, jos jokaista ordinaalia \alpha kohti on olemassa sellainen C:hen kuuluva ordinaali \beta, että. Tällöin luokan on oltava aito luokka, sillä se ei voi olla joukko. Luokkaa sanotaan suljetuksi, jos luokkaan kuuluvien ordinaalien jonon raja-arvo on luokka itse, tai yhtäpitävästi, jos indeksoiva luokkafunktio F on jatkuva siinä mielessä, että kun \delta on rajaordinaali, F(\delta) eli luokan \delta:s ordinaali on funktion arvojen F(\gamma)( raja-arvo, kun . Tämä merkitsee myös samaa kuin että luokka on topologisessa mielessä suljettu, kun topologana käytetään järjestystopologiaa. Jotta vältettäisiin puhumasta topologiasta aitojen luokkien tapauksessa, asia voidaan yhtäpitävästi ilmaista myös niin, että luokan ja minkä tahansa ordinaalin leikkaus on suljettu tämän ordinaalin järjestys­topologiassa.
Erityisen tärkeitä ovat ne ordinaalien luokkia, jotka ovat sekä suljettuja että rajoittamattomia ja joita toisinaan sanotaan klubeisi. Esimerkiksi kaikkien raja­ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, sillä jokaista ordinaalia kohti on aina olemassa sitä suurempi raja­ordinaali ja raja­ordinaalien raja-arvo on aina rajaordinaali. Myös addiitiivisesti jakautumattomien ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, samoin -ordinaalien luokka ja kaikkien kardinaalien luokka, sitä vastoin kofinaalisten kardinaalien joukko on rajoittamaton, mutta ei suljettu, kun taas jokainen äärellinen ordinaalien joukko on suljettu mutta ei rajoitettu.
Luokka on stationaarinen, jos sen leikkaus minkä tahansa suljetun rajoittamattoman luokan kanssa on ei-tyhjä. Kaikki luokat, jotka sisältävät osaluokkanaan jonkin suljetun rajoitetun luokan, ovat stationaarisia ja kaikki stationaariset luokat ovat rajoittamattomia, mutta on myös stationaarisia luokkia, jotka eivät ole suljettuja tai joilla ei ole suljettua rajoittamatonta osaluokkaa; sellainen on esimerkiksi kaikkien sellaisten raja­ordinaalien luokka, joilla on numeroituva kofinaalisuus. Koska kahden suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on suljettu ja rajoittamaton, statio­naarisen luokan ja suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on stationaarinen. Kahden statio­naarisen luokan leikkaus voi kuitenkin olla myös tyhjä; näin on laita esimerkiksi, kun muodostetaan leikkaus kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ω, sekä kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ylinumeroituva.
Sen sijaan että nämä määritelmät muotoiltaisiin ordinaalien (aidoille) luokille, ne voidaan muotoilla myös niiden ordinaalien luokille, jotka ovat pienempiä kuin jokin annettu ordinaali \alpha. Rajaordinaalin \alpha osajoukkoa sanotaan rajoitta­matto­maksi (eli kofinaaliseksi) joukossa \alpha, jos jokainen \alpha:aa pienempi ordinaali on pienempi kuin jokin kyseisen joukon ordinaali. Yleisemmin minkä tahansa ordinaalin \alpha osajoukkoja voidaan sanoa kofinaaliseksi \alpha:ssa, jos jokainen ordinaali, joa on pienempi kuin \alpha, on pienempi tai yhtä suuri kuin jokin tähän joukkoon kuuluva ordinaali. Osajoukkoa sanotaan suljetuksi \alpha:ssa, jos se on suljettu \alpha:n järjestys­topologiassa, toisin sanoen jos joukkoon kuuluvien ordinaalien raja-arvo joko sisältyy tähän joukkoon tai on \alpha itse.
Ordinaalien laskutoimitukset
Ordinaaleilla on kolme yleistä laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus. Jokainen niistä voidaan määritellä oleellisesti kahdella tavalla: joko konstruoimalla eksplisiittisesti määritelty hyvin­järjestetty joukko, joka esittää tätä laskutoimitusta, tai transfinittisella rekursiolla.
Neumannin ordinaalin määritelmään pohjautuen laskutoimitukset voidaan määritellä seuraavasti:
Nämä eivät kuitenkaan noudata kaikkia luonnollisilla ja myös reaaliluvuilla päteviä laskulakeja. Niinpä seuraavat säännöt eivät päde ordinaalien laskutoimituksille:
Ordinaaleille voidaan määritellä myös niin sanotut "luonnolliset" aritmeettiset operaatiot. Nämä ovat vaihdannaisia, mutta eivät jatkuvia.
Nimbereiksi tulkittuina ordinaaleilla voidaan suorittaa myös nimberien aritmeettisia laskutoimituksia.
Kardinaalien initiaaliset ordinaalit
Jokaiseen ordinaaliin liittyy tietty kardinaaliluku, sen kardinaliteetti. Jos kahden ordinaalin välillä on bijektio (esimerkiksi ω=1+ω ja ω+1>ω), niihin liittyy sama kardinaali. Jokaisella hyvin­järjestetyllä ordinaalilla, jolla on järjestys­tyyppinään jokin ordinaali, on sama kardinaliteetti kuin tällä ordinaalilla. Pienintä annettuun kardinaaliin liittyvää ordinaalia sanotaan tämän kardinaalin initiaaliseksi ordinaaliksi. Jokainen äärellinen ordinaali eli luonnollinen luku on initiaalinen, eikä millään muulla ordinaalilla ole samaa kardinaliteettia. Mutta useimmat äärettömät ordinaalit eivät ole initaalisia, sillä moniin äärettömiin ordinaalehin liittyy sama kardinaliteetti. Valinta-aksiooma on yhtäpitävä sen kanssa, että jokainen joukko voidaan hyvin­järjestää, toisin sanoen jokaisella kardinaalilla on initiaalinen ordinaali. Teorioissa, joihin sisältyy valinta-aksiooma, jokaisen joukon kardinaaliluvulla on initiaalinen ordinaali. Kardinaalit voidaankin käsittää ordinaalien erikois­tapauksiksi samastamalla ne initiaalisten ordinaaliensa kanssa, sillä jokainen joukko on yhtä mahtava jonkin (Neumannin mukaan määritellyn) orbitaalin kanssa. Täten ordinaali on kardinaali, jos ja vain jos se ei ole yhtä mahtava minkään itseään pienemmän ordinaalin kanssa.
Yleensä α:nnelle äärettömälle ordinaalille käytetään merkintää. Sen kardinaliteettia merkitään. Esimerkiksi ω0:n eli ω:n kardinaliteetti on \aleph_0, joka on myös ω2:n ja ε0:n kardinaliteetti, sillä nämäkin ovat numeroituvia ordinaaleja. Niinpä jos valinta-aksiooma hyväksytään, ω voidaan samastaa \aleph_0, paitsi että merkintää \aleph_0 käytetään, kun on kysymys kardinaaleista ja merkintää ω, kun on kysymys ordinaaleista. (Eri merkintöjä käytetään, koska esimerkiksi \aleph_0^2 = \aleph_0 kardinaalina, mutta  ordinaalina). Samoin \omega_1 on pienin ylinumeroituva ordinaali (sen osoittamiseksi, että sellainen on olemassa, voidaan tarkastella luonnollisten lukujen hyvinjärjestysten ekvivalenssiluokkia: jokainen sellainen määrittelee numeroituvan ordinaalin, ja \omega_1 on tämän joukon järjestystyyppi), \omega_2 on pienin ordinaali, jonka kardinaliteetti on suurempi kuin \aleph_1 ja niin edelleen, ja on ordinaalien \omega_n raja-arvo, kun arvot n ovat luonnollisia lukuja (jokainen kardinaalien raja-arvo on kardinaali, ja niin ollen tämä raja-arvo on itse asiassa ensimmäinen kardinaali, joka on suurempi kuin \omega_n).
Cantor käytti kardinaliteettia ordinaalien luokitteluun. Hän nimitti luonnollisia lukuja ensimmäiseksi lukuluokaksi, ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on \aleph_0 eli numeroituvasti äärettömiä ordinaaleja toiseksi lukuluokaksi ja yleensä ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on cardinality, n:nneksi lukuluokaksi.
Kofinaalisuus
Ordinaalin \alpha kofinaalisuus on pienin ordinaali \delta, joka on jonkin \alpha kofinaalisen osajoukon järjestystyyppi. Joissakin teoksissa kofinaalisuuden käsite määritellään tai sitä käytetään vain rajaordinaaleille. Ordinaalien joukon tai minkä tahansa muun hyvinjärjestetyn joukon kofinaalisuus on tämän joukon järjestystyypin kofinaalisuus.
Niinpä jokaiselle rajaordinaalille \alpha on olemassa \delta-indeksoitu aidosti kasvava jono, jonka raja-arvo on \alpha. Esimerkiksi ω²:n kofinaalisuus on ω, koska jonon ω·m raja-arvo, missä m:n arvoina ovat kaikki luonnolliset luvut, on ω, ja yleensäkin jokaisen numeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus on ω. Myös ylinumeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus voi olla ω, esimerkiksi ordinaalilla, mutta sellaisella voi olla myös ylinumeroituva kofinaalisuus.
Ordinaalin 0 kofinaalisuus on 0, Jokaisen seuraajaordinaalin kofinaalisuus on 1. Jokaisen rajaordinaalin kofinaalisuus on vähintään \omega.
Ordinaalia, jonka kofinaalisuus on yhtä suuri kuin ordinaali itse, sanotaan säännölliseksi, ja kaikki sellaiset ovat initiaalisia ordinaaleja. Säännölisten ordinaalien raja-arvo on initiaalisten ordinaalien raja-arvo ja sellaisena aian initiaalinen, joskaan ei välttämättä eikä yleenä säännöllinen. Jos valinta-aksiooma hyväksytään, siitä seuraa, että kaikilla α, ja edelleen että ordinaalit 0, 1, \omega, \omega_1 ja \omega_2 ovat säännöllisiä, kun taas, 2, 3,  ja ωω·2 ovat esimerkkejä initiaalisista orbitaaleista, jotka eivät ole säännöllisiä.
Jokaisen ordinaalin α kofinaalisuus on säännöllinen ordinaali, toisin sanoen α:n kofinaalisuuden kofinaalisuus on sama kuin α:n kofinaalisuus. Toisin sanoen kofinaalisuusoperaatio on idempotentti.
Joitakin "suuria" numeroituvia ordinaaleja
Esimerkkinä "hyvin suuresta" äärettömästä, mutta vielä numeroituvasta ordinaalista voidaan mainita ε0. Se on pienin ordinaali, joka toteuttaa yhtälön, ja samalla jonon 0, 1, \omega, , jne. raja-arvo. Monet ordinaalit voidaan määritellä samaan tapaan jonkin ordinaalifunktion kiintopisteinä. Niinpä \iota:tta sellaista ordinaalia, jolle pätee, merkitään , ja samaan tapaan voitaisiin yrittää löytää \iota:s sellainen ordinaali, jolle ja niin edelleen. Tätä voitaisiin yrittää järjestelmällisesti, mutta miten tahasa ordinaalit määritellään ja konstruoidaankin, aina on olemassa ordinaali, joka on juuri kaikkien tällä tavoin konstruoitujen ordinaalien yläpuolella Ehkä tärkein ordinaali, joka tähän tapaan rajoittaa konstruointijärjestelmää, on Churchin–Kleenen ordinaali (joka on numeroituva siitä huolimatta, että sen nimessä esiintyy \omega_1). Se on pienin ordinaali, jota tietyssä mielessä ei mitenkään voi esittää laskettavissa olevana funktiona. Myös :n alapuolella voidaan kuitenkin määritellä huomattavan laajoja ordinaaleja, jotka mittaavat eräiden formaalisten systeemien "todistus­teoreettista vahvuutta"; niinpä esimerkiksi mittaa Peanon aksioomeihin perustuvan aritmetiikan vahvutta. Voidaan myös määritellä ordinaaleja, jotka ovat suurempia kuin Churchin–Kleenen ordinaali ja joilla niilläkin on merkitystä useilla logiikan aloilla.
Topologia ja ordinaalit
Jokainen ordinaaliluku voidaan muodostaa topologiseksi avaruudeksi varustamalla se järjestystopologialla. Tämä topologia on diskreetti, jos ja vain jos ordinaali on numeroituva kardinaali, toisin sanoen enintään ω. Joukon ω + 1 osajoukko on avoin järjestystopologiassa, jos ja vain jos se joko on kofiniittinen (eli sen komplementti on äärellinen joukko) tai ω ei sisälly siihen alkiona.
Ordinaalien alaspäin suljetut joukot
Järjestetyn joukon A osajoukko B on alaspäin suljettu, jos kaikki A:n alkiot, jotka ovat pienempiä kuin jokin B:n alkio, ovat myös B:n alkioita. Jos jokin ordinaalien joukko on alaspäin rajoitettu, se on itse ordinaali, pienin kyseiseen joukkoon kuulumaton ordinaali.
Aiheesta muualla
MathWorld | urlname=OrdinalNumber| title=Ordinal Number}}
Marta Domínguez
Marta Domínguez Azpeleta (s. 3. marraskuuta 1975 Palencia, Espanja) on espanjalainen kestävyysjuoksija.
Ura
Domínguez aloitti kansainvälisissä arvokilpailuissa kilpailemisen vuonna 1992, kun hän oli Bostonissa järjestetyissä maastojuoksun MM-kisoissa nuorten sarjassa kolmaskymmenesseitsemäs. Seuraavana vuonna hän voitti nuorten Euroopan mestaruuden 1 500 metrin juoksussa ja vuonna 1994 nuorten MM-hopeaa samalla matkalla. 1995 hän osallistui Barcelonan sisäratojen MM-kisoihin, joissa sijoittui 3 000 metrin juoksussa kuudenneksi. Samana vuonna hän juoksi Göteborgin MM-kisoissa 1 500 metrillä, mutta karsiutui välierissä. 1996 hän voitti sisäratojen EM-pronssia Tukholmassa 3 000 metrillä.