cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Groton Long Point
Aluetta hallinnoi Groton Long Point Association (GLPA). Vaikka alue ei virallisesti ole kunta, käytännössä lainsäädäntö, joka perusti Groton Long Point Associationin, antaa GLPA:lle samat oikeudet kuin borough-tyyppisille kunnille osavaltiossa. Yhdysvaltain väestönlaskentavirasto pitää aluetta borough-tyyppisenä alueena.
Väestö
Vuonna 2020 Groton Long Pointin 530 asukkaasta valkoisia oli 92,5 %, aasialaisia 1,1 %, mustia 0,6 % ja alkuperäisasukkaita 0,6 %. Asukkaista 0,6 % kuului johonkin muuhun rotuun, ja 4,7 % asukkaista kuului kahteen tai useampaan rotuun. 3,6 % asukkaista oli hispaanoja tai latinoja. Asukkaista 1,8 % puhui kotonaan jotain muuta kieltä kuin englantia ja 0,7 % asukkaista oli syntynyt ulkomailla.
Luettelo Hyrynsalmen julkisista taideteoksista ja muistomerkeistä
Luettelo Hyrynsalmen julkisista taideteoksista ja muistomerkeistä sisältää Hyrynsalmen kunnassa olevat pysyvät patsaat, muistomerkit ja muistolaatat.
Adolf Renvald
Johan Adolf Konstantin Renvald (1868 Rautu – 15. joulukuuta 1921) oli suomalainen eversti ja Helsingin komendantti.
Renvald valmistui kadettikoulusta 1881 ja palveli sitten jonkin aikaa Venäjällä ja sitten Suomessa Mikkelin 6. tarkk'ampujapataljoonassa. Hänet ylennettiin luutnantiksi 1893 ja esikuntakapteeniksi 1900. Sen jälkeen kun Suomen sotaväki lakkautettiin Renvald siirtyi vuonna 1903 venäjän kielen kääntäjäksi Mikkelin lääninhallitukseen. Hän joutui kuitenkin eroamaan 1904 osallistuttuaan erääseen isänmaalliseen juhlaan samana päivänä kun kenraalikuvernööri Nikolai Bobrikov ammuttiin.
Renvald toimi sitten Pietarsaaressa venäjän kielen ja muiden aineiden opettajana 1905–1912 ja hoiti samalla kaupungin poliisimestarin virkaa 1906–1911. Hän oli täällä mukana Voimaliiton toiminnassa ja toimi paikallisen suojeluskunnan vt. päällikkönä. Renvald oli sitten kielenkääntäjänä Uudenmaan lääninhallituksessa 1913–1914 mutta erosi pian koska ei halunnut olla panemassa täytäntöön yhdenvertaisuuslain määräyksiä.
Kyōtanabe
Kyōtanabe on Japanin kaupunki Honshūn saarella Kansain alueella Kioton prefektuurissa. Se sijaitsee sisämaassa prefektuurin eteläosassa Kioton etelä- ja Osakan kaakkoispuolella Kizujoen vasemmalla rannalla. Kyōtanabessa on 72 026 asukasta (vuonna 2017) ja sen pinta-ala on 42,92 neliökilometriä.
Maantiede
Kyōtanabe sijaitsee Kioton prefektuurin rajalla sivuten sekä Osakan että Naran prefektuureja.
Adolf Renvald
Sodan jälkeen everstiksi ylennetty Renvald nimitettiin heinäkuussa 1918 Helsingin komendantiksi ja tätä tehtävää hän hoiti kuolemaansa saakka. Hän osallistui keväällä 1919 Aunuksen retkikuntaan etappipäällikkönä ja toimi sitten Aunuksen väliaikaisessa hoitokunnassa sota-asioiden päällikkönä.
Kyōtanabe
Maantiede
Kioton prefektuurin eteläosa kaupungistuu metropolien vaikutuksesta jatkuvasti. Alueella pyritään viljelyn ja urbanisoitumisen rinnakkaisuuteen. Kaupunkialueet ovat yhteen kasvaneita, eikä rajoja juuri huomaa. Kyōtanaben naapurikaupunkeja ovat Jōyō ja Yawata sekä Osakan prefektuurista Hirakata ja Naran prefektuurista Ikoma.
Kaupunki rajoittuu lännessä mataliin Ikomavuoriin. Itärajalla virtaa joki nimeltä Kizugawa.
Historia
Sijainti Kioton ja Naran välisellä liikennereitillä on vaikuttanut alueen kulttuuriin jo ennen 700-lukua, jolloin pääkaupunki siirtyi Narasta Kiotoon. Alue on myös tunnettu vahvasta teenviljelystä, ja paikkakunnalla on jalostettu eräs hienoimmista Japanin teelaaduista.
Nykyisin alue on kehittynyt Kioton ja Osakan metropolien nukkumalähiönä. Erityisenä mielenkiinnon kohteena on ollut hallittu kaupungistuminen. Kehitykselle antoi sykäyksen se, että Kiotossa vuodesta 1875 lähtien toiminut Dōshisha-yliopisto laajensi toimintaansa avaten Kyōtanabeen 1986 uuden kampuksen.
Kaupunki muodostettiin 1997 Tanaben kunnasta. Erotukseksi samannimisestä kaupungista Wakayaman prefektuurissa nimen etuliitteeksi tuli ”kyō-”, joka viittaa Kioton prefektuurin.
Liikenne
Kyōtanabea palvelevat JR Nishi-Nihonin Katamachi-linja eli Gakkentoshi-linja ja Kintetsu-rautateiden Kioto-linja.
Tryggvi Hlinason
Tryggvi Snær Hlinason (s. 28. lokakuuta 1997 Akureyri) on islantilainen koripalloilija.
Maaseudulta kotoisin oleva Tryggvi aloitti pelaajauransa kotimaassaan. Kesällä 2017 hän siirtyi tuoreeseen Espanjan mestarijoukkueeseen Valenciaan. Hän on edustanut myös Islannin nuorisomaajoukkueita ja miesten maajoukkuetta.
Wakayaman prefektuuri
Wakayaman prefektuuri on yksi Japanin 47 prefektuurista. Prefektuuri sijaitsee Kansain alueella, Honshūn saarella, Japanissa ja sen pääkaupunki on Wakayama.
Maantiede
Wakayaman maasto on metsäistä. Sen naapuriprefektuureja ovat Osaka pohjoisessa ja Naran ja Mien prefektuurit idässä. Wakayama sijaitsee rannikolla ja se rajautuu lännessä Seton sisämereen ja etelässä Tyyneen valtamereen.
Ilmasto
Wakayaman rannikolla vuotuinen lämpötila on 17 °C ja sisämaassa 11 °C.
Aluejako
Wakayaman prefektuuri jakautuu yhdeksään kaupunkiin ja 21 muuhun kuntaan, joista 20 on maaseutukaupunkeja ja yksi on kyläkunta. Kunnat kuuluvat kuuteen piirikuntaan, joilla ei ole hallinnollista merkitystä.
Kulttuuri ja nähtävyydet
Wakayaman nähtävyyksiin lukeutuvat Kōyavuorella sijaitseva shingon-buddhalaisuuden päämaja sekä vuonna 1585 rakennettu Wakayaman linna. Kiivuoriston pyhät paikat ja pyhiinvaellusreitit ovat Unescon maailmanperintöluettelossa, johon ne liitettiin 1993.
Aaltokotkarausku
Aaltokotkarausku (Myliobatis tenuicaudatus) on kotkarauskujen heimoon kuuluva rustokalalaji. Se elää Uuden-Seelannin ja eteläisen Australian rannikoilla. Se on luokiteltu elinvoimaiseksi lajiksi.
Nummisten koulu
Nummisten koulu on Mäntsälän kunnan eteläosan Nummisessa, lähellä Mustijokea toimiva noin 150 oppilaan suomenkielinen alakoulu (luokka-asteet 1–6). Koulurakennus on uusi, se valmistui vuonna 2013 jolloin sinne siirtyivät aiemman Nummisten koulun ja Mattilan koulun oppilaat ja henkilökunta. Koulun yhteydessä toimii Nummisten päiväkoti.
Kreationismi
Kreationismi eli luomisusko on uskonnollinen oppi, jonka mukaan kaikkeus ja sen elolliset olennot ovat syntyneet luomistapahtumassa. Kreationismilla voidaan suppeimmillaan tarkoittaa nk. nuoren maan kreationismia, laajimmillaan sillä voidaan tarkoittaa uskoa jonkinlaiseen luomistapahtumaan.
Kreationismin lajit
Kreationismin eri lajien luokittelemiseksi on tehty useita yrityksiä. Taulukossa alla on lueteltu erilaisten kreationistien näkemyksiä.
Arvostelu
Kreationismin arvostelijoiden mukaan kreationismi on näennäistiedettä. Heidän mielestään kreationistien väitteet on tehty tukemaan perusteetonta oletusta kaikkeuden luojasta. Euroopan neuvoston päätöslauselman 1580 (vuonna 2007) mukaan kreationistit käyttävät kirjoituksissaan tunnettujen tieteenharjoittajien lausuntoja valikoivasti ja vääristellen. He käyttävät myös niiden tutkijoiden lausuntoja, jotka eivät ole asiantuntijoita asiassa, jonka kreationisti esittää.
Tunnettuja kreationismin julkisia arvostelijoita ovat muun muassa Eugenie Scott, Richard Dawkins ja Massimo Pigliucci Yhdysvalloissa National Center for Science Education on vastustanut kreationistien pyrkimyksiä kieltää evoluution opettaminen kouluissa tai rajoittaa sitä.
Matti Mäkinen (suunnistaja)
Matti Reino Mäkinen (s. 18. tammikuuta 1947 Paimio) on entinen suomalainen suunnistaja.
Halikon Hakoniskoja, Angelniemen Ankkuria ja Viipurin Urheilijoita edustanut Mäkinen oli mukana suunnistuksen MM-kisoissa kahdesti. Friedrichrodassa 1970 ei menestystä tullut, mutta Aviemoressa 1976 Mäkinen pääsi viestikilpailuun kolmannelle osuudelle ja tuloksena oli pronssi. Vuoden 1969 PM-kisoissa Kemiössä ja Paraisilla Mäkinen vei Suomen kolmosjoukkueen suunnistajana Tuomo Peltolan, Markku Salmisen ja Raimo Nissin kanssa voiton.
Suunnistus oli Mäkisen koko lapsuudenperheen harrastus, sillä myös veljet Mikko, Mauri, Markku ja Mauno sekä sisar Maija suunnistivat.
Miks Twist
Miks Twist on rautalankayhtye Taivalkunta Beatin ensimmäinen studioalbumi. Se on myös ainoa levy, jossa soittaa yhtyeen alkuperäiskokoonpano. Laulaja Juha Pokkinen on säveltänyt tai sanoittanut osan kappaleista, mutta levyltä löytyy myös covereita.
Merijärvi (Masku)
Merijärvi on pieni 22,8 hehtaarin järvi Maskun ja Naantalin kuntien rajalla, Askaisten taajamassa. Järven suurin syvyys on noin 4 metriä, valuma-alue 173,5 hehtaaria, arvioitu tilavuus 540 000 m³, saapuvan veden määrä 451 100 m³/vuosi ja viipymä 1,2 vuotta.
Järven etelä-, luoteis- ja pohjoispuolella on peltoja, itä- ja länsipuolella kalliometsää sekä soita. Järvenrannalla on muutamia taloja. Järven lasku-oja virtaa peltojen läpi etelään Raudustenselälle mereen. Koska lähellä sijaitsee järveen vetensä laskevia soita, on luultavasti niiden takia järvellä havaittu hajuhaittoja ja todennäköisesti humusaineiden aiheuttamaa näkösyvyyden heikkenemistä. Järven länsireunaa kulkee yhdystie 1930 eli Velkuantie.
Järven laskuoja perattiin vuonna 2000, jotta veden pinta pysyisi normaalitasolla ja veden vaihtuvuus olisi suurempi. Osa ojasta kuitenkin sortui ja vedenpinnan taso jäi korkeaksi.
Nikolaus Friedreich
thumb|Nikolaus Friedreich
Nikolaus Friedreich (1. heinäkuuta 1825 Würzburg – 6. heinäkuuta 1882 Heidelberg) oli saksalainen neurologi ja patologi.
Zou (Benin)
Zou on yksi Beninin kahdestatoista departementista. Se saa nimensä Zoujoesta, joka kulkee läpi departementin ja virtaa sen jälkeen Atlanttiin maan eteläosassa. Suurin osa, 91 prosenttia väestöstä on foneja, kun taas aja-kansa muodostaa neljä prosenttia ja jorubat kolme prosenttia väestöstä.
Vuoden 2013 väestönlaskennassa departementin väkiluku oli 851 580, joista 407 030 oli miehiä ja 444 550 naisia. Naisten osuus oli 52,20 prosenttia. Maaseudulla asui väestöstä 67,00 prosenttia, kun taas kaupunkien osuus väestöstä oli 33,00 prosenttia. Työvoiman osuus departementin väestöstä oli 275 249 joista 50,10 prosenttia oli naisia. Kotitalouksia, joissa ei ollut koulutusta oli 60,70 prosenttia ja talouksien osuus, joissa oli kouluikäisiä lapsia oli 72,90 prosenttia.
Maantiede
vasen|pienoiskuva|200x200px|Juhla Abomeyssa. Zoulle on ominaista tasangot, jotka vaihteleva 20–200 metrin korkeudella merenpinnasta. Tasankoja jakavat Zou- ja Kauffojokien laaksot pohjoisesta etelään. Ouemejoen sivujoki Zou kulkee makunnan läpi. Yhdessä muiden departementtien kanssa Zoun alue muodostaa Ouemen valuma-alueen.
Hallinnollinen jako
pienoiskuva|left|Zoun piirikunnat. Zou jaettiin vuonna 1999 sen pohjoisalueelle perustetun Collinesin departementin kanssa. Zoun pääkaupunki on Abomey. Zou on jaettu yhdeksään piirikuntaan:
APG III -luokittelu
APG III -luokittelu eli Angiosperm Phylogeny Group III system on Angiosperm Phylogeny Groupin vuonna 2009 julkaisema koppisiemenisten kasvien luokittelusysteemi. APG III -luokittelu on vuonna 2009 julkaistun APG II -luokittelun seuraaja. Vuonna 2016 julkaistiin APG III -luokittelua seurannut APG IV -luokittelu.
Rosidit
Eurosidit I -ryhmä
Eurosidit II -ryhmä
Clodio
left|thumbnail|Clodio kuvattuna 1700-luvun mitaliin. Clodio tai Chlodio (myös Chlogio, Chlodion tai Klaudio, noin 395 – 447 tai 449)) oli saalilaisten frankkien kuningas, jota pidetään merovingien dynastian perustajana. Legendojen mukaan Clodion isä oli herttua Faramund ja äiti Thüringenin Argotta. Kaikki tiedot Clodiosta perustuvat kahden keskiaikaisen kirjailijan, Gregorius Toursilaisen ja Sidonius Apollinariksen kirjoituksiin.
Clodion heimo tunnustautui Rooman vasalleiksi, ja he levittäytyivät etelämmäs Galliaan, kunnes saavuttivat Cambrain. Aëtius löi saalilaiset frankit vuonna 431 Arrasissa ja pysäytti heidän etenemisensä. Clodio kokosi kuitenkin pian uudet joukot, joiden avulla valloitti Cameracumin kaupungin. Lopulta Clodio onnistui valloittamaan kaikki maat Somme-joelle asti ja teki Tournaista saalilaisten frankkien pääkaupungin. Clodio kuoli joskus vuosien 447 ja 449 välillä, ja valta siirtyi hänen seuraajalleen Merovechille. Ei tiedetä, oliko Merovech Clodion poika tai sukulainen vai joku muu heimon päällikkö, joka nousi johtavaan asemaan.
APG III -luokittelu
Asteridit
Euasteridit I -ryhmä
Ondřej Němec
Ondřej Němec (s. 18. huhtikuuta 1984 Třebíč, Tšekkoslovakia) on tšekkiläinen uransa lopettanut jääkiekkopuolustaja ja maailmanmestari. Hänen vahvuuksiinsa kuuluvat peliäly, luistelu, kiekonhallinta, syöttäminen ja taklaaminen. Němec laukoo oikealta.
APG III -luokittelu
Asteridit
Euasteridit II -ryhmä
Okmulgee
Okmulgee on kaupunki Okmulgeen piirikunnassa Oklahoman osavaltiossa Yhdysvalloissa. Sen väkiluku oli vuoden 2019 arvion mukaan 11 711 ja pinta-ala 33,07 neliökilometriä. Vuosina 2010–2019 Okmulgeen väkiluku laski 6,3 prosenttia. Kaupungin asukkaista 28,4 prosenttia asui köyhyysrajan alapuolella. Okmulgee on piirikuntansa hallintokeskus. Kaupunki perustettiin vuonna 1868.
Ondřej Němec
Seuraura
Němec on SK Horácká Slavia Třebíčin kasvatti. Hän pelasi myöhemmät juniorivuotensa kuitenkin HC Vsetínissä, jonka Extraliga-joukkueessa Němec debytoi vain 17-vuotiaana kaudella 2001–2002. Hänen tulokaskautensa toi siellä 44 runkosarjaottelussa tehot 5+3=8. Němec pelasi miesten pelejä myös lainalla yhden runkosarja- ja kahdeksan playoff-ottelun verran kasvattajaseurassaan SK Horácká Slavia Třebíčissä sarjatasoa alempana 1. Národní Hokejová Ligassa.
Berkeley B65
Berkeley B65 on Laurie Bondin rakentama englantilainen kääpiöauto. Siinä on Excelsiorin 328-kuutioinen kaksitahtimoottori, joka tuottaa tehoa 18 hv. Sitä valmistettiin 2 500 kappaletta, sen seuraajaksi tuli kolmipyöräinen Berkeley T-60. Autolla on painoa 295 kg.
Ondřej Němec
Seuraura
Pittsburgh Penguins varasi Němecin toisella kierroksella 35. pelaajana NHL:n varaustilaisuudessa 2002. Hän vietti kolme seuraavaa kautta pääasiassa VHK Vsetínin vahvuudessa, mutta loppukaudella 2003–2004 Němec kävi AHL-joukkue Wilkes-Barre/Scranton Penguinsin vahvuudessa pelaamassa seitsemän sekä runkosarja- että playoff-ottelua. Kaudeksi 2005–2006 hän siirtyi HC Karlovy Varyn riveihin. Kaudella 2008–2009, kevään 2009 pudotuspeleissä Němec oli kuudella osumallaan Extraligan eniten maaleja tehnyt puolustaja ja hän jakoi lukemalla +8 Karlovy Varyn sisäisen tehotilaston voiton Josef Řezníčekin kanssa. Němec voitti kauden päätteeksi Tšekin-mestaruuden. Kaudella 2000–2010 hän teki liigan yhden kauden piste-ennätyksensä tehoilla 7+19=26, joilla Němec jakoi Karlovy Varyn sisäisen pistepörssin kolmannen sijan Marek Melenovskýn kanssa ja Extraligan puolustajien pistepörssin seitsemännen sijan HC Vítkovicen Vladimír Sičákin kanssa.
Kaudeksi 2010–2011 Němec siirtyi kaksivuotisella sopimuksella KHL-joukkue Severstal Tšerepovetsiin. Hän oli 12 osumallaan joukkueen eniten maaleja tehnyt puolustaja. Kaudeksi 2012–2013 Němec siirtyi KHL:n tšekkiläiseen laajennusjoukkue Lev Prahaan, jonka varakapteeniksi hän nousi. Hän teki liigan yhden kauden piste-ennätyksensä tehoilla 6+16=22, joilla Němec oli joukkueen tehokkain puolustaja ja toiseksi paras pistemies Jakub Klepišin jälkeen. Hän pelasi kauden aikana myös KHL:n tähdistöottelussa. Kaudella 2013–2014, kevään 2014 pudotuspeleissä Němec voitti Levin sisäisen tehotilaston lukemalla +8. Hän eteni joukkueen kanssa aina Gagarin Cup -finaaleihin, mutta mestaruuden vei lopulta kuitenkin Metallurg Magnitogorsk otteluvoitoin 4–3. Němec valittiin kauden päätteeksi KHL:n ensimmäiseen tähdistökentälliseen. Hänet valittiin myös liigan huhtikuun 2014 kuukauden puolustajaksi.
Němec teki kesäkuussa 2014 kaksivuotisen jatkosopimuksen Lev Prahan kanssa, mutta ennen kautta 2014–2015 seura ajautui kuitenkin talousvaikeuksiin ja lopetti toimintansa. Němec jatkoi KHL-uraansa Atlantissa ja toimi joukkueen kapteenina, kunnes hän siirtyi kesken kauden, joulukuussa 2014 kevääseen 2016 asti ulottuvalla sopimuksella TsSKA Moskovaan. Němec siirtyi kaudeksi 2015–2016 kuitenkin jatkamaan uraansa Severstal Tšerepovetsiin.
Maajoukkueura
Němec edusti Tšekkiä MM-kilpailuissa vuosina 2009, 2010, 2011, 2012, 2014 ja 2015. Vuoden 2010 turnaus päättyi maailmanmestaruuteen ja vuosien 2011 ja 2012 turnaukset pronssiin. Vuoden 2014 turnauksessa hän toimi Tšekin varakapteenina. Vuoden 2015 Němec jakoi joukkueen sisäisen tehotilaston voiton Dominik Simonin kanssa lukemalla +5.
Němec pelasi myös alle 20-vuotiaiden MM-kilpailuissa vuonna 2004 sekä alle 18-vuotiaiden MM-kilpailuissa vuonna 2002, jolloin hän voitti pronssia. Němec jakoi turnauksen puolustajien pistepörssin voiton kolmen muun pelaajan kanssa.
Vehniän lusikka
Vehniän lusikka on sembramännystä valmistettu kivikautinen lusikka, jonka torppari Tobias Flyktman löysi Laukaan Vehniän Kurkisuosta talvella 1903. Sitä ei ole radiohiiliajoitettu, mutta todennäköisimmin se ajoittuu 2000-3000-luvulle eaa. Lusikka on peräisin Siperiasta, sillä lusikan raaka-aine, sembramänty, ei ole koskaan esiintynyt Uralin länsipuolella. Lusikan lyhyen kahvan päähän on veistetty karhunpää.
Luettelo luovutetun Karjalan muinaislinnoista
Tämä artikkeli on luettelo luovutetun Karjalan muinaislinnoista, jotka sijaitsevat entisillä Suomen alueilla Karjalassa ja jotka kuuluvat nykyään Venäjälle. Muinaislinnoja käytettiin paikallisesti puolustustarkoituksiin pronssikaudella, rautakaudella tai keskiajalla. Muinaislinna on linnoitus, joka eroaa linnasta muun muassa siitä, että linnan rakennuttajina olivat valtio tai laajempi yhteisö. Linna tai linnoitus on myös myöhäisempi ilmiö.
Luovutetussa Karjalassa on seuraavat muinaislinnat. Kuntajako on vuoden 1939 mukainen.
Pikkurobalo
Pikkurobalo (Centropomus parallelus) on robaloihin kuuluva kalalaji. Lajia tavataan Atlantin länsiosista.
Koko ja ulkonäkö
Pikkurobalo kasvaa tavanomaisesti noin 25 cm pitkäksi ja koiraat ovat naaraita pienempi. Suurimmillaan se voi kasvaa 60–70 cm pitkäksi. Ruumiinmuodoltaan laji on pitkänomainen, mutta sukunsa lajeja korkeampi. Selkäeviä on kaksi ja pää, suu ja silmät ovat suuret. Pikkurobalon suomut ovat suuret ja karkeat ja väriltään selästä keltaisen- tai vihertävänruskeat ja kyljistä hopeanharmaat. Kylkiviivan kohdalla kulkee päästä pyrstöön musta juova.
Symmetria
right|thumb|upright=0.8|Vasemmalla symmetrinen, oikealla epäsymmetrinen kuvio thumb|upright=0.8|Pallosymmetrinen ryhmä o. thumb|upright=0.8|[[Leonardo da Vincin Vitruviuksen miestä (noin vuodelta 1487) käytetään usein osoituksena ihmisruumiin ja laajemmassa mielessä myös luonnollisen maailman symmetriasta.]] right|thumb|upright=0.8|Symmetrisiä arkadeja [[Kairouanin suuressa moskeijassa Tunisiassa]]
Symmetria merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhden­mukaisuutta. Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa. Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten geometriassa tai fysiikassa.
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee yhteis­mitallisuutta.
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
Tämä artikkeli käsittelee symmetria­käsitteitä neljältä näkö­kannalta. Ensimmäinen on symmetria geometriassa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko matematiikassa. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy tieteessä ja teknologiassa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin fysiikan syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin ajasta ja avaruudesta. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan humanistisilla aloilla ja käsittelee sen rikasta ja moni­muotoista käyttöä historiassa, arkkitehtuurissa, taiteessa ja uskonnossa.
Symmetrian vastakohta on asymmetria.
Symmetria geometriassa
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geo­metrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geo­metrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia kuvauksia, jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen ryhmän, jota sanotaan kuvion tai kappaleen symmetriaryhmäksi. Kappaleen symmetria­ryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti yhtenevyyskuvaukset eli isometriat, joita ovat peilaukset, rotaatiot, translaatiot ja näistä yhdistetyt kuvaukset.
Peilisymmetria
right|200px thumb | right | 200px | Bilateraalisesti symmetrinen perhonen
Usein symmetrialla tarkoitetaan nimenomaan peili­symmetria eli bilate­raalista symmetriaa, joka merkitsee symmetriaa peilauksen suhteen.
Kohdetta, joka on yhtäläinen peilikuvansa kanssa, sanotaan peili­symmetriseksi. Yksi­ulotteisella peili­symmetrisellä kohteella on symmetria­keskus, kaksi­ulotteisella symmetria-akseli ja kolmi­ulotteisella symmetria­taso.
Kaksi­ulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peili­kuvia. Niinpä neliöllä on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. Ympyrällä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keski­pisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos kolmiolla on symmetria-akseli, se on tasa­kylkinen.
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa trans­laatioiden ja rotaa­tioiden avulla peili­kuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli. Samoin jokainen kolmi­ulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetria­taso, voidaan siirtää kolmi­ulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetria­tasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on roto­refleksio­symmetria (katso jäljempää).
Lukáš Pollert
Lukáš Pollert (s. 24. maaliskuuta 1970 Praha) on tšekkiläinen koskipujottelija. Hän voitti Tšekkoslovakian edustajana kultaa kanadalaisyksiköiden (C-1) luokasta Barcelonassa 1992. Atlantan 1996 olympialaisissa hän voitti Tšekin edustajana hopeaa.
Matokäärmeet
Matokäärmeet (Leptotyphlopidae) on sokkokäärmeisiin kuuluva käärmeheimo, johon kuuluu 142 lajia.
Lukáš Pollert
Pollert saavutti MM-kilpailuissa hopeaa kanadalaisyksikössä 1997. EM-kilpailuissa hän sai kanadalaisyksikössä pronssia 1998 ja 2000. Kanadalaiskaksikon joukkuekilpailussa hän voitti Euroopan-mestaruuden 1998. Kanadalaisyksikön joukkuekilpailussa hän oli EM-hopealla 1996 ja 2000.
Pollert edusti USK Praha -seuraa. Hän on pituudeltaan 186 cm.
Matokäärmeet
Matokäärmeillä on jäljellä näkyviä surkastumia lantion ja takaraajojen luista. Niiden kallo on tiivis ja tukeva. Yläleuka on hampaaton ja alaleuan hampaat ovat pienikokoisia. Yläleuka liittyy kiinteästi muuhun kalloon, ja matokäärmeiden kallo on käytännössä akineettinen: yläleuka ei liiku niiden avatessa suutaan.
Matokäärmeet elävät maan alla. Ne voivat kaivaa itse käytävänsä, tai sitten ne saattavat asustaa kivien, kaatuneiden puunrunkojen tai karikkeen suojaamina. Maan pinnalle ne tulevat joskus harvoin pimeässä tai sitten pakosta. Maanalainen elämäntapa näkyy matokäärmeiden ulkonäössä. Ne ovat 15–30 sentin mittaisia, alle yhden senttimetrin paksuisia, ulkonäöltään täysin matomaisia eläimiä. Ruumista peittävät suomut ovat pieniä ja lähes pyöreitä. Silmät ovat suomujen peitossa erottuen päällepäin vain himmeinä täplinä. Tästä huolimatta matokäärmeet pystyvät aistimaan ainakin valon voimakkuuden vaihtelua.
Matokäärmeitä tavataan Afrikassa, Lounais-Aasiassa ja trooppisessa Amerikassa. Niiden pääravintona ovat yleensä termiitit ja muurahaiset, tavallisimmin ehkä näiden munat ja toukat. Useimmat matokäärmeet elävät savanneilla tai puoliaavikoilla.
Symmetria
Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat
Peili­symmetrian yleistyksinä voidaan pitää muita mm-ulotteisen avaruuden iso­metrioita, jotka ovat involuutioita, kuten
jossakin karteesisessa koordinaatistossa. Tämä peilaa avaruuden jonkin m-k -ulotteisen affiinin aliavaruuden suhteen. Jos k=m, tällaista muunnosta sanotaan peilaukseksi pisteen suhteen, joka tasossa (m=2) on sama kuin 180 asteen rotaatio.
Tällainen "peilaus" säilyttää orientaation, jos ja vain jos k on parillinen. Tästä seuraa, että kolmi­ulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peili­kuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä P-symmetria käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta pariteetti.
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion symmetriakeskus. Esimerkiksi suunnikkailla on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä taso­kuvioista, joilla on symmetria­keskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita S-kirjain ja hakaristi.
Pyörähdyssymmetria
Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin rotaatioiden suhteen m-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat suoria isometrioita, toisin sanoen niissä orientaatio säilyy. Tämän vuoksi rotaatio­symmetrian symmetria­ryhmä on jokin E+(m):n aliryhmä.
Pyörähdyskappale on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi kartio ja lieriö ovat pyörähdys­kappaleita.
Tasokuviosta ympyrä on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen säännöllinen n-kulmio on symmetrinen sellaisten sen keski­pisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E+(m). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
Kun kohde on symmetrinen jonkin pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, tämä piste voidaan valita origoksi. Nämä rotaatiot muodostavat spesiaalisen orto­gonaalisen ryhmän SO(m), joka on isomorfinen sellaisten ortogonaalisten m × m-matriisien ryhmän kanssa, joiden determinantti on 1. Kun m=3, kyseessä on rotaatioryhmä SO(3).
Fysiikan lait ovat SO(3)-symmetrisiä, jos ne eivät tee eroa avaruuden eri suuntien välillä. Noetherin teoreeman mukaan fysikaalisen systeemin pyörähdys­symmetria on yhtäpitävä pyörimismäärän säilymislain kanssa.
Siirtosymmetria
Siirtosymmetria eli translationaalinen symmetria merkitsee sitä, että kohde pysyy ennallaan joko kaikissa tai joissakin avaruuden translaatioissa
.
Polynomi
thumb|Kolmannen asteen polynomin kuvaaja. Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella. Esimerkiksi lauseke on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös jakajassa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia funktioita.
Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta termistä, joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä monomi. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia binomiksi ja jos niitä on kolme, trinomiksi. Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.
Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise x yhtälöstä x² + 2x = 4. Tällöin on kyse analyysissä käsitellyistä polynomifunktioista. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.
Polynomin p(x) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö p(x) = 0. Yllä esitetyssä kuvassa polynomilla on kolme nollakohtaa. Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukujen kunnassa jokaisella polynomilla, jonka aste on suurempi kuin nolla, on nollakohta.
Polynomi renkaassa
Renkaassa R voidaan määritellä polynomi p(x),, missä. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa, jossa taas kaikki ai ovat renkaan R alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa x on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas R[x]. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla p(x):n määritelmässä, että rengas R on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.
Suurinta lukua n, jolla an ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin f(x) astetta merkitään deg(f(x)), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg f(x). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait: Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa tiukka yhtäsuuruus.
Reaali- ja kompleksipolynomit
Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli \mathbb{C}:n ja \mathbb{R}:n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.
Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.
Tekijöihin jako
Algebran peruslauseesta seuraa, että reaalikertoiminen polynomi voidaan lausua sellaisten reaalikertoimisten polynomien tulona, jotka ovat ensimmäistä tai toista astetta. Toisen asteen polynomi tulee kyseeseen silloin, kun polynomin nollakohdat ovat kompleksilukuja. Ne ovat tällöin parittain toistensa kompleksikonjugaatteja.
Esimerkiksi reaalikertoiminen polynomi x^4 + a^4 jakautuu tekijöihin seuraavasti:
Symmetria
Liukuheijastussymmetria
right|200px
Polynomi
Tekijöihin jako
Koska tässä kumpaakin tekijäpolynomia vastaava diskriminantti on D = -2a^2 ja siis negatiivinen, ei tekijäpolynomeja voida enää jakaa reaalikertoimisiksi ensimmäisen asteen polynomeiksi.
Symmetria
Liukuheijastussymmetria
Liukuheijastussymmetria (kolmessa ulottuvuudessa liuku­taso­symmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alku­peräisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirto­symmetrinen sellaisen trans­laation suhteen, jossa siirto­vektori on kaksin­kertainen. Symmetria­ryhmä on isomorfinen kokonaislukujen joukon \mathbb{Z} kanssa.
Rotorefleksiosymmetria
right|200px Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli epäaito rotaatio merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohti­suoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen roto­refleksion symmetria­ryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko: Jos taas n on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
Roto­refleksio­symmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetria­tasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peili­kuvansa päälle. Yksin­kertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliön­muotoisen paperi­palan reunoja. Tällaista symmetriaa esiintyy myös kiderakenteissa.
Kierteinen symmetria
right|200px Kierteinen eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten kierre­jousilla, poranterillä ja ruuveilla. Symmetria­operaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kierto­kulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
Kiertokulman ja akselin suuntaisten siirto­symmetrioiden perusteella voidaan erottaa kolme erityyppistä kierteistä symmetriaa:
Ei-isometriset symmetriat
Felix Kleinin Erlangenin ohjelmassa jokainen mahdollinen symmetria­ryhmä määrittelee geometrian, jossa kohteet, jotka jokin symmetria­ryhmän alkio yhdistää toisiinsa, katsotaan yhtäläisiksi. Esimerkiksi euklidinen ryhmä määrittelee euklidisen geometrian, kun taas Möbius-kuvausten ryhmä määrittelee projek­tiivisen geo­metrian.
Skaalasymmetria ja fraktaalit
Skaala­symmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaala­symmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa Galileo Galilei. Esimerkkinä skaala­symmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että eri­kokoisilla eläimillä, esimerkiksi norsuilla ja hiirillä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi. Tämä johtuu siitä, että pituus skaalautuu skaalaustekijän ensimmäiseen potenssiin, pinta-ala toiseen ja tilavuus skaalan kolmanteen potenssiin. Jos tiheys pysyy vakiona niin myös paino skaalautuu mittakaavan kolmanteen potenssiin.
Skaala­symmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa fraktaaleilla. Benoit Mandelbrot määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää saman­kaltaiselta tai jopa täysin saman­laiselta riippumatta siitä, kuinka suurella suurennuksella sitä katsotaan. Rantaviiva on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliitti­kuvasta tai tutkimalla mikro­skoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekan­jyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on Mandelbrotin joukko. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös tieto­kone­grafiikassa.
Symmetria matematiikassa
thumb|Matemaattisilla olioilla voi olla hyvin monimutkaisia symmetrioita.
Matemaattisen objektin sanotaan olevan symmetrinen jonkin matemaattisen operaation suhteen, jos tässä operaatiossa jokin objektin ominaisuus säilyy. Operaatiot, jotka säilyttävät jonkin tietyn ominaisuuden, muodostavat aina ryhmän. Kaksi eri objektia ovat keskenään symmetrisiä jonkin operaatioiden ryhmän suhteen, jos kumpikin niistä saadaan toisistaan jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti kvanttikemian, spektroskopian, kristallografian ja hiukkasfysiikan tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään ryhmäteoriassa.
Symmetrian matemaattinen malli
Annetun joukon X kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetria­operaatioiden joukkoa voidaan mallintaa ryhmäoperaatiolla g : G × X → X, missä g on ryhmään G kuuluva operaatio, ja x:n kuva X:ssä merkitään g•x. Jos jollakin g:llä pätee g•x = y, sanotaan x:n ja y:n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden. Jokaista alkiota x kohti ne operaatiot g, joille pätee g•x = x, muodostavat ryhmän, alkion symmetriaryhmän, joka on G:n aliryhmä. Jos symmetriaryhmä x on triviaali ryhmä, jossa on vain neutraalialkio, x:n sanotaan olevan asymmetrinen, muussa tapauksessa symmetrinen.
Annetussa symmetria­ryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan ekvivalenteiksi ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, ekvivalenssiluokkia ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä x:n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä. Vektoriavaruuden tapauksessa trans­latio­naalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastus­symmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin nollavektori, ei ole heijastus­symmetriaa. Jos myös heijastus­symmetria esiintyy, vakio­funktio ei sisällä muita vektoreita kuin nolla­vektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia pseudo­vektoreita. Tällaisen kolmi­ulotteisen esimerkin muodostaa ääretön lieriö, jossa on sen akselia vastaan kohtisuora sähkövirta; magneettikenttä, joka on pseudo­vektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti virrantiheys, ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohti­suorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinteri­symmetriset. Tämä sylinteri­symmetria ilman symmetria­tasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetria­ominaisuuden määrittämässä vektori­kentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneetti­kenttää ja virran­tieheyttä vastaavat kulmanopeus ja nopeus.
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen transitiivisesti, jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetria­operaatio, joka kuvaa näistä ensimmäisen toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetria­ryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
Symmetriset funktiot
Symmetrinen funktio on funktio, joka pysyy ennallaan kaikissa sen muuttujien permutaatioissa. Esimerkiksi x + y + z ja xy + yz + xz ovat symmetrisiä funktioita, kun taas x2 − yz ei ole. Kokonais- tai reaalilukujen yhteen- ja kertolasku samoin kuin muutkin eri algebrallisissa struktuureissa määritellyt vaihdannaiset lasku­toimitukset ovat symmetrisiä funktioita.
Funktio saattaa myös pysyä ennalleen niissä muunnoksissa, jotka kuuluvat johonkin sen argumenttien permutaatioryhmän aliryhmään. Esimerkiksi ac + 3ab + bc pysyy ennallaan, jos a ja b vaihdetaan keskenään; sen symmetria­ryhmä on isomorfinen C2:n kanssa.
Logiikassa
Kaksipaikkaista relaatiota eli binäärirelaatiota R sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon: aina jos Rab, on myös Rba, eli jos a on relaatiossa b:n kanssa, on myös b relaatiossa a:n kanssa.
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
Symmetrisiä binäärisiä loogisia konnektiiveja ovat konjunktio ("ja"), disjunktio (tai), looginen ekvivalenssi ("jos ja vain jos"), "ei molemmat" (NAND), poissulkeva tai (XOR) ja "ei.. eikä.." (NOR).
Fysiikassa
Fysiikassa symmetrian käsitettä on yleistetty merkitsemään invarianssia eli kohteen pysymistä muuttumattomina tietyn tyyppisissä muunnoksissa, esimerkiksi yleisissä koordinaatiston muunnoksissa. Käsite on tullut yhdeksi fysiikan käyttökelpoisimmista työkaluista, sillä on käynyt ilmi, että lähes kaikki luonnon­lait perustuvat symmetrioihin. Itse asiassa tämä seikka sai Nobelin palkinnon saaneen Philip Warren Andersonin vuonna 1972 kirjoittamaan lajaalti luetussa artikkelissaan More is Different, että "on vain vähän liioiteltua sanoa, että fysiikka on oppi symmetriasta." Noetherin teoreema osoittaa yksin­kertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista suuretta koskeva säilymislaki. Samaan tapaan Wignerin mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
Klassiset kappaleet
Vaikka jokin tavan­omainen kappale saattaa näyttää aivan saman­laiselta jonkin symmetria­operaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain liki­määrin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista tasa­sivuista kolmiota kierretään 120 astetta keski­pisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainut­laatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten optinen tai elektronimikroskooppi toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten kiderakennetta ja pieniä muodon epä­säännölli­syyksiä.
Tällainen ajatuskoe osoittaa, että tavan­omaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys liki­määräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden liki­määräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä klassisessa fysiikassa, tosin sanoen suurten, tavan­omaisten kappaleiden fysiikassa.
Kvanttifysikaaliset kappaleet
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksin­kertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain liki­määräisiä. Näin on laita kvantti­fysiikassa, joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksin­kertaisten kohteiden kuten elektronien, protonien, valon ja atomien fysiikkaa.
Toisin kuin joka­päiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi elektroneilla on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olo­tiloja, joita sanotaan kvanttitiloiksi. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetria­operaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alku­peräisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksin­kertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetria­oletus F(x) = x ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todelli­sesta tilan­teesta.
Andrei Paškin
Andrei Jurjevitš Paškin (, s. 27. marraskuuta 1956, Krasnojarsk, Neuvostoliitto) on venäläinen hyökkääjänä pelannut jääpalloilija, joka edusti Neuvostoliitossa Jenisei Krasnojarskia ja Ruotsissa mm. IFK Vänersborgia ja Gripen-Trollhättania.
Symmetria
Kvanttisymmetrian seurauksia
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alku­puolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteen­vedon Richard Feynman luento­sarjansa Feynman Lectures on Physics III osan kohdassa 3.4, Identical particles'', joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
Andrei Paškin
Andrei Paškin osallistui uransa aikana kaksi kertaa pelaajana MM-kisoihin. Vuoden 1983 kisoissa hän oli kisojen paras maalintekijä seitsemällä maallillaan. Menestyksekkään Krasnojarskin Jenisein seurajoukkue- ja Neuvostoliiton maajoukkueuran jälkeen Andrei Paškin oli ensimmäinen Neuvostoliiton jääpalloilija, joka siirtyi Ruotsiin IFK Vänersborgiin syksyllä 1988. Hän oli ensimmäinen venäläinen, joka siirtyi ulkomaille jääpalloilijaksi. Pelaajauraa Ruotsissa kesti aina kevääseen 2005 seuroina Tranås BoIS, Gripen Trollhättan BK, Slussen BK ja Blåsut BK.
Symmetria
Kvanttisymmetrian seurauksia
"… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se aina interferoi; tämä ei koskaan'' jää tapahtumatta."
Andrei Paškin
Pelaajauransa jälkeen hän aloitti 2005 valmentajauransa Venäjällä Metallurg Bratskissa. Sen jälkeen kaudesta 2007 alkaen hän on toiminut Jenisei Krasnojarskin organisaatiossa valmennus- ja johtotehtävissä. 2010-luvulla hän siirtyi Venäjän jääpallomaajoukkueen valmennustehtäviin ja oli voittamassa maailmanmestaruuden kakkosvalmentajana keväällä 2014.
Symmetria
Kvanttisymmetrian seurauksia
Interferenssillä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat kvantti­mekaniikan alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin inter­fe­roivia aaltoja kuin tavan­omaisia suuria kappaleita.
Andrei Paškin
Andrein poika Mihail Paškin on Ruotsissa ja Venäjällä pelannut Kazakstanin jääpallomaajoukkuetta edustanut jääpalloilija.
Symmetria
Kvanttisymmetrian seurauksia
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvantti­mekaniikan matema­tiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät liki­määräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta liki­arvoja ja muuttuvat kyseisten kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
Andrei Paškin
Saavutukset pelaajana
Seurajoukkueissa
Symmetria
Luonnonlakien symmetria ja pariteetti
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilate­raali­sesti symmet­risiä siinä mielessä, että jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki klassisen meka­niikan ja myös sähkömagnetismin lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että magneettikenttä on luonteel­taan pseudovektori. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että pariteetti säilyy.
Andrei Paškin
Saavutukset pelaajana
Maajoukkueessa
Symmetria
Luonnonlakien symmetria ja pariteetti
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa heikon vuorovaikutuksen aikaansaamissa hiukkasreaktioissa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa koboltti-60:n beeta­hajoamista matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee CPT-symmetria: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan anti­hiukkasillaan ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.
Polynomi
Polynomeja matematiikan eri aloilta
Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.