cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Lissajous’n käyrät
Esimerkkejä
Kuten näistä esimerkeistäkin ilmenee, jos luvut a ja b vaihdetaan keskenään, saatava Lissajous'n kuvio on muodoltaan muutoin samankaltainen mutta kääntynyt peilikuvakseen suoran y = x (taustaneliön yläoikealta alavasemmalle johtavan lävistäjän) suhteen.
Seuraavassa vielä muutamia Lissajous'n käyriä suhdeluvuilla 2:3 ja 3:4 vaihe-eron δ eri arvoilla:
Lissajous'n käyrä, joka saadaan, kun suhde \frac{a}{b} = 1:2 tai 2:1 ja kun, tunnetaan myös Geronon lemniskaattana. Se muistuttaa muodoltaan numeroa 8 tai äärettömän merkkiä \infty, ja se on samalla yhtälön
kuvaaja.
Lissajous'n käyrien tuottaminen ja sovelluksia
Ennen nykyaikaisten elektronisten laitteiden kehittymistä Lissajous'n kuviot saatiin helpoimmin aikaan mekaanisesti harmonografin avulla.
Lissajous'n kuvioita voidaan myös saada aikaan optisesti kahden ääniraudan avulla, joihin on kiinnitetty peilit ja joista toinen on kiinnitetty telineeseen värähtelemään vaaka­suorassa, toinen pysty­suorassa suunnassa. Jos valo saapuu pienestä valolähteestä, Lissajous'n komparaattorista, kohti­suorasti ensin vaaka­suoraan äänirautaan, jossa olevasta peilistä se heijastuu pysty­suorassa ääniraudassa olevaan peiliin ja sieltä edelleen varjostimelle, tälle varjostimelle muodostuu Lissajous'n käyrän muotoinen valokuvio, jonka muoto riippuu äänirautojen värähtely­taajuuksien suhteesta.
Lissajous'n käyrät oskilloskoopilla
right|thumb|250px|Lissajous'n kuvio [[oskilloskooppi|oskilloskoopin näyttöruudulla. Tällainen kuvio saadaan aikaan kahdella syötetyllä signaalilla, jotka värähtelevät sinimuotoisesti ja joiden taajuuksien suhde on 1:3, kun toinen niistä asetetaan ohjaamaan kuvapisteen sijaintia vaaka- ja toinen pystysuorassa suunnassa.]]
Äänentoistotekniikassa tätä menetelmää käytetään stereolaitteiden vasemman- ja oikean­puoleisen kanavan välisen vaihe-eron reaali­aikaiseen tutkimiseen. Tähän tarkoitukseen rakennettu myös tavallista oskilloskooppia kehittyneempiä konsoleja.
LTI-systeemit
pienoiskuva|right|Lissajous'n kuvio, kun molemmat syötetyt taajuudet ovat yhtä suuri, mutta niillä on vaihe-ero, on muodoltaan [[ellipsi.]] pienoiskuva|right|Yläkuvassa: sisään syötettävä signaali ajan funktiona. Keskellä: Ulos tuleva signaali ajan funktiona. Alakuvassa: Muodostuva Lissajous'n käyrä, kun ulos tuleva signaali esitetään sisään menevän signaalin funktiona. Tässä erikoistapauksessa, kun sisään menevän ja ulos tulevan signaalin vaihe-ero on 90 astetta, syntyvä Lissajous'n kuvio on ympyrä. Kun LTI-systeemiin (lineaariseen ajan suhteen invarianttiin systeemiin) syötettävä signaali on sinimuotoinen, myös ulos tuleva signaali on sinimuotoinen, mutta sillä saattaa olla eri amplitudi ja vaihesiirto. Koska oskillo­skoopin avulla voidaan esittää jännitteen vaihtelut, paitsi ajan, myös toisen jännitteen funktiona, sen avulla voidaan myös näyttää LTI-systeemin tuottama signaali sisään menevän signaalin funktiona, jolloin tuloksena saadaan sellainen Lissajous'n kuvio, jolle a = b, toisin sanoen yleensä ellipsi (erikoistapauksissa ympyrä tai jana). Tämän ellipsin aspektisuhde eli sen iso- ja pikkuakselin suhde riippuu vain sisäänmenevän ja ulostulevan signaalin välisestä vaihe-erosta. Jos vaihe-ero on ±90°, aspektisuhde on 1 ja kuvio on ympyrä. Jos taas vaihe-ero on 0° tai 180°, aspektisuhde on ∞ ja kuvio on jana.
Alla oleva kuvio sisältää yhteenvodon siitä, millainen Lissajous'n kuvio saadaan milläkin vaihe-erolla. Nuolet osoittavat Lissajous'n kuvion kiertosuuntaa. Kaaviossa esitetyt vaihe-erot ovat kaikki negatiivisia, mutta samat kuviot saadaan myös positiivisilla vaihe-eroilla; esimerkiksi vaihe-ero +90° tuottaa saman kuvion kuin −270°.
thumb|center|600px|Ellipsin muotoisen Lissajous'n kuvion [[eksentrisyys riippuu vaihe-erosta, ja sen avulla voidaan määrittää LTI-systeemin vaihesiirto.]]
Elektroniikassa
Lissajous'n käyrän avulla voidaan kokeellisesti selvittää, onko tutkittava komponentti kelvollinen memristori.
Elokuvissa
thumb|100px|Tieteiselokuvien tyylinen Lissajous-animaatio
Oskilloskoopin näytöllä esiintyvät Lissajous'n kuviot esiintyivät toisinaan 1960- ja 1970-luvuilla tieteiselokuvissa ja televisio-ohjelmissa eräänlaisina korkean teknologian symboleina.
Lissajous'n kuvioihin perustuu myös John Whitneyn laatima alkukuva Alfred Hitchcockin elokuvassa Vertigo – punainen kyynel vuodelta 1958.
Yrityslogot
Lissajous'n kuviot esiintyvät myös joidenkin yhtiöiden logoissa. Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat:
Modernissa taiteessa
Dadaistinen taiteilija Max Ernest on eräissä maalauksissaan maalannut Lissajous'n kuvioita keinuttamalla kankaan yllä maalipurkkia, jonka pohjaan oli puhkaistu reikä.
Aiheesta muualla
Seuraavilla sivuilla on interaktiivisia demonstraatioita, joilla voidaan muodostaa Lissajou'n kuvioita.
Englannin punta
Englannin punta on Britannian rahayksikkö. Yksi punta jakaantuu (vuodesta 1971 lähtien) sataan pennyyn. Vuoden 2011 keskikurssin mukaan noin 0,87 puntaa vastasi yhtä euroa. Keskuspankki on Bank of England. Punnan ISO 4217 -valuuttakoodi on GBP.
Englanniksi punta on virallisesti pound sterling, lyhyesti pound, puhekielessä myös quid, nicker tai sterling. Suomen kielessä valuuttaa kutsutaan Englannin punnaksi, vaikka Englanti onkin vain yksi Britannian osa. Punnan symbolina käytetään £-merkkiä, joskus ₤.
Historia
Punnan nimi on samaa alkuperää kuin brittiläinen paino­yksikkö pauna. Alun perin, kun hopeaa käytettiin pää­asiallisena raha­metallina, punta laskuyksikkönä vastasikin arvoltaan yhtä paunaa hopeaa. Aikojen kuluessa punta ja pauna kuitenkin erkaantuivat toisistaan raha- ja paino­yksiköinä.
Kulta­kannan aikana vuodesta 1816 lähtien yksi punta vastasi laki­sääteisesti arvoltaan 113 graania eli noin 7,32227683 grammaa kultaa. Tämä kulta-arvo oli voimassa lähes sata vuotta, mutta vuonna 1914 ensimmäisen maailman­sodan aikana kulta­kannasta luovuttiin. Britanniassa vallitsi sota-aikana ja sen jälkeen voimakas inflaatio.
Vuonna 1925 Britanniassa palattiin kulta­kantaan, ja inflaatiosta huolimatta punnalle vahvistettiin sama kulta-arvo kuin sillä oli ollut ennen sotaa. Oikeus vaihtaa punta­setelit kultaan oli kuitenkin enää vain muiden maiden keskus­pankeilla, ei yksityis­henkilöillä. Uudelleen palautettu kulta­kanta oli voimassa vain vuoteen 1931.
Englanti ilmoitti 1. maaliskuuta 1966 siirtyvänsä kymmenellä jaolliseen rahayksikköön helmikuussa 1971. Ennen vuoden 1971 Decimal Day -rahauudistusta punta jaettiin 20 šillinkiin, joista jokainen vastasi 12 penniä. Punnassa oli siis 240 penniä. Ennen vuotta 1960 penni jakautui vielä neljään farthingiin. Lisäksi oli käytössä yksikkö guinea, joka vastasi yhtä puntaa ja yhtä šillinkiä, yhteensä siis 21 šillinkiä. Yhden guinean rahoja tosin oli lakattu lyömästä jo 1800-luvun alkupuolella, mutta laskuyksikkönä guineaa käytettiin useissa yhteyksissä kauan sen jälkeenkin. Vanhaa systeemiä kutsutaan joskus £sd-systeemiksi. Tämä johtuu siitä, että punnan merkki on £ (roomalaisesta librasta), šillingin s (roomalaisesta soliduksesta) ja pennyn d (roomalaisesta denaarista).
Muut Britannian punnat
Yhdistyneessä kuningaskunnassa käytetään yleisesti myös Walesin ja Skotlannin puntaa. Nämä rahayksiköt eroavat toisistaan ulkonäöltään hieman, hiukan vastaavasti kuin esimerkiksi kansalliset eurokolikot.
Yhdistyneessä kuningaskunnassa on käytössä useita seteleitä, joiden kelpoisuus vaihtelee alueittain ja osittain myös sen mukaan, mitä rahan vastaanottaja kelpuuttaa maksuksi. Seteleitä painavat mm. Bank of England, eräät Skotlannin pankit (Royal Bank of Scotland, Bank of Scotland ja Clydesdale Bank) ja eräät Pohjois-Irlannin pankit (Bank of Ireland, First Trust Bank, Ulster Bank ja Danske Bank). Myös jotkin muut Britannialle kuuluvat alueet, kuten Kanaalisaaret, käyttävät omia seteleitään. Vain Englannin pankin painamissa seteleissä on kaikissa monarkin, tällä hetkellä Elisabet II:n, muotokuva. Muut pankit käyttävät omia kuva-aiheitaan ja joskus painattavat myös erikoisseteleitä merkkihenkilöiden ja merkittävien tapahtumien kunniaksi – esimerkiksi Ulster Bank laski vuonna 2007 kiertoon miljoona 5 punnan seteliä, joissa oli edesmenneen jalkapalloilija George Bestin kuva. Eri alueiden seteleille on kuitenkin yhteistä, että niiden punta-arvo on Englannin punnan mukainen.
Kolikot
Yhden punnan kolikoiden kääntöpuoli on joka vuosi erilainen.