cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Erityinen suhteellisuusteoria
Suhteellisuusteorian seurauksia
Postulaateista seuraa suppean suhteellisuusteorian mukaan muun muassa seuraavanlaisia maailmankaikkeuden ominaisuuksia:
Saattaa kuulla väitettävän että suppean suhteellisuusteorian mukaan kaikki on suhteellista. Tämä ei pidä paikkaansa: muun muassa sähkömagneettisen säteilyn tyhjiönopeus, massan lepoenergia ja aika-avaruusintervalli (matemaattinen käsite) ovat kaikille havaitsijoille samat.
Inertiaalikoordinaatistot
Täysin muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan inertiaalikoordinaatistossa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on useita ja ne liikkuvat täysin samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa, vaikka kappaleiden välinen etäisyys olisi ääretön. Siten inertiaalikoordinaatistotkin ovat äärettömiä. Eri vakionopeudella tai eri suuntaan liikkuvat kappaleet ovat eri inertiaalikoordinaatistoissa. Inertiaalikoordinaatistot ovat ihanteellisia eli kuvitteellisia, eikä niitä oikeasti ole. Tämä johtuu siitä, että kaikkialla kappaleiden liikkeeseen vaikuttaa kaukaistenkin kappaleiden painovoima, jolloin minkään todellisen kappaleen nopeus ei voi olla täysin muuttumaton. Syvällä avaruudessa kaukana muista kappaleista oleva ja siten lähes vakionopeuksinen kappale on kuitenkin lähellä inertiaalikoordinaatistossa olevaa kappaletta.
Todellista nopeutta ei siis ole olemassa ja kaikki nopeudet ovat suhteellisia sekä suhteellisuusteoriassa että klassisessa mekaniikassa, joissa molemmissa nopeus on suuntaa huomioimatta kuljettu matkan muutos Δx jaettuna ajan muutoksella Δt, joissa Δ on muutosta merkitsevä matemaattinen symboli. Matka täytyy aina suhteuttaa johonkin, mitä varten on luotu koordinaatistojen käsite. Saman inertiaalikoordinaatiston kappaleet eivät liiku suhteessa toisiinsa, eli ne ovat toisiinsa nähden levossa, mutta liikkuvat suhteessa toisiin koordinaatistoihin. Minkään koordinaatiston ei kuitenkaan voida sanoa olevan levossa, vain liikkeessä suhteessa toisiinsa.
Teorian synty
Suhteellisuus ei ole klassiselle fysiikalle vieras käsite. Newtonilaisessa mekaniikassa käytetään Galilei-invarianssin eli -muunnoksen kaavoja vertailemaan eri inertiaalikoordinaatistojen kappaleiden suhteellisia ominaisuuksia. Kaavoissa kuitenkin ajan, kuten matkaan käytetyn ajan, ja avaruuden, kuten kuljetun matkan, oletetaan olevan kaikissa koordinaatistoissa muuttumattomia eri koordinaatistojen kappaleiden välisissä nopeuksissa.
Valon tiedettiin liikkuvan tyhjiössä valonnopeudella jo pitkään ennen Einsteinin suppeaa suhteellisuusteoriaa. 1865 James Maxwellin sähkömagnetismin teoria ennusti valon olevan sähkömagneettinen aalto, ja ennusti tyhjiön permittiivisyyden ε0 ja tyhjiön permeabiliteetin µ0 avulla valonnopeuden c olevan tyhjiössä
Yhtälössä ei ole paikkaa ulkoisille muuttujille, jotka ottaisivat huomioon valon liikkeen eri inertiaalikoordinaatistoissa. Galilei-muunnoksen mukaan esimerkiksi nopeammassa liikkeessä olevan koordinaatiston kappaleen lähettäessä valoa, tulisi tämän valon liikkua nopeammin kuin hitaammassa liikkeessä olevan koordinaatiston kappaleen lähettämä valo. Tämän uskottiin pitävän paikkansa ennen suppeaa suhteellisuusteoriaa.
Yllä oleva sähkömagnetismin kaava ei siis ole yhteensopiva klassisen mekaniikassa käytetyn Galilei-muunnoksen kanssa, koska kaava ennustaa valon tyhjiönopeuden olevan vakio ja koordinaatistosta riippumatta todennäköisesti sama. Ongelman ratkaisemiseksi ehdotettiin valoeetteriteoriaa. Arveltiin että valo liikkuu tyhjiössä valonnopeudella vain suhteessa universumin täyttävän, eetteriksi nimetyn asian muodostamaan koordinaatistoon, jonka suhteen sähkömagnetismin yhtälöt pätevät. Siten tyhjiön valonnopeus olisi myös pienempi eetterin suhteen liikkuvassa galileisessa koordinaatistossa: jos koordinaatisto liikkuu samaan suuntaan nopeudella v kuin valo suhteessa eetterikoordinaatistoon, olisi mitattu tyhjiön valonnopeus c - v. Tämä on arkijärjen mukaista.
Olisi sittenkin siis olemassa muita parempi koordinaatisto, jonka suhteen voitaisiin mitata muiden koordinaatistojen kappaleiden todellinen nopeus. Jos eetteriä ei olisi, olisi klassinen mekaniikka, joka oli tuolloin valtavirran käsitys fysiikasta, ainakin osittain väärässä. pienoiskuva|311x311px|[[Maa ja muu aurinkokunta liikkuu maailmankaikkeuden täyttämän valoeetterin halki.|vasen]] Ennen 1800-luvun loppua ei onnistuttu tarkimmillakaan laitteilla mittaamaan valon ja liikkeessä olevan kappaleen välillä olevaa pientä eroa, jolla eetteriteoria voitaisiin todistaa. 1881 keksittiin käyttää interferometriä ja Maan nopeaa liikettä niin sanotun eetterituulen havaitsemiseksi, joka muodostuisi Maan ja muun aurinkokunnan liikkuessa maailmankaikkeuden sisältämän eetterin halki. Koe tunnetaan Michelsonin–Morleyn kokeena, ja sillä olisi havaittu pienikin ero eetterin ja Maan liikkeen välillä. Tässä kokeessa eikä muissakaan kokeissa kuitenkaan havaittu eetteriä, joten ei voitu määrittää missä sen koordinaatisto oli. pienoiskuva|251x251px|Valo sähkömagnetismin mukaan: muuttuva sähkökenttä E saa aikaan magneettikentän B, joka aiheuttaa E:n ja niin edelleen, jolloin muodostuu itseään ylläpitävä [[Aallonpituus|aallonpituuden λ sähkömagneettinen aalto.]] Eetteriä ei siis vaikuttanut olevan, mutta muun tuon ajan fysiikkaan yhteensopimattomasta sähkömagnetismista sen sijaan oli todisteita. Tämä oli ongelmallista koska sähkömagnetismin avulla kuvattuna valo on sähkömagneettinen aalto, joka ylläpitää itseään vaihtelevasti muuttuvan sähkökentän ja magneettikentän avulla. Jos joku liikkuisi tyhjiön valonnopeudella valon mukana, ei hän havaitsisi kenttien muuttuvan ja siten valon ei myöskään pitäisi pystyä ylläpitämään itseään ilman eetteriä. Tämä johti Einsteinin tekemään suhteellisuusperiaatteeksi kutsutun johtopäätöksen, jonka mukaan
Tämä on suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen postulaatti, joka kieltää eetterin olemassaolon. Postulaatista on johdettu koko suppea suhteellisuusteoria, myös sen toinen postulaatti. Väittämä vaikuttaa ongelmattomalta, mutta ei ole. Jos Maxwellin sähkömagnetismin teorian yhtälöitä pidetään fysiikan lakeina, kuten ne kokeiden mukaan tuolloin ja nyt näyttävät olevan, myös niiden tulisi päteä inertiaalikoordinaatistoissa. Einsteinin suhteellisuusperiaatteesta voidaan johtaa kolmivaiheinen johtopäätös:
Päätelmistä kolmas on suppean suhteellisuusteorian toinen postulaatti.
Tämä tarkoittaa sitä, että jos joku liikkuu nopeudella 0,5 c (50 % tyhjiön valonnopeudesta) ja hänen menosuunnastaan sekä takaansa lähetetään kohtisuoraan valoa, ei suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuvasta näytä tulevan hänen edestään nopeudella 1,5 c = 1 c + 0,5 c ja takaansa nopeudella 0,5 c = 1 c - 0,5 c. Valo tulee liikkuvan näkökannalta samalla nopeudella 1 c molemmista suunnista, mikä vaikuttaa järjenvastaiselta. Asia on kuitenkin todistettu kokeellisesti 1905 esitetyn suhteellisuusteorian jälkeen muun muassa jo 1932. Tällöin R. Kennedy ja E. Thorndike mittasivat merkittävää eroa havaitsematta valonnopeutta maapallolla eri kuukausina, jolloin mittauspaikka maapallolla liikkui Maan pyörimissuunnan vuoksi eri nopeuksilla suhteessa Aurinkoon.
Jos juoksijan sijaan mitataan valon nopeutta pisteestä A pisteeseen B, tulee näennäinen ongelma. Suhteellisuusperiaatteen vuoksi tyhjiön valonnopeus on sama kussakin inertiaalikoordinaatistossa. Myös seisojan ja juoksijan mittaamat valon kulkemat matkat ovat eri. Nopeuden määritelmä on matka jaettuna ajalla, joten aika on nopeuden kaavassa ainoa jäljelle jäävä muuttuja.
Ainoa johtopäätös on se, että aika ei ole muuttumaton eli absoluuttinen. Siten se on sijaintia mittaavien x-, y-, z-avaruuskoordinaattien mukaisesti neljäs koordinaatti, jota täytyy käyttää inertiaalikoordinaatistojen vertailuun. Suhteellisuusteorian mukaan aika on siksi kolmen tilaulottuvuuden lisäksi neljäs ulottuvuus. Yhdessä näitä kutsutaan aika-avaruuskoordinaateiksi. Siksi puhutaan myös aika-avaruudesta, eikä ajasta ja avaruudesta, koska käsitteet ovat toisistaan riippuvaisia: myös avaruus on suppean suhteellisuusteorian mukaan muuttuva.
Suhteellisuusteoriassa aika-avaruuden muutoksen ottavat huomioon toisiinsa suhteellisina ajan ja avaruuden koordinaatteina Lorentz-muunnokset.
Samanaikaisuuden suhteellisuus
Suppean suhteellisuusteorian mukaan aika on suhteellista, eikä se ole kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa sama. Siksi myös yhdessä inertiaalikoordinaatistossa havaitut samanaikaiset tapahtumat eivät koskaan ole täysin samanaikaisia jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa.
Einstein esitti tämän havainnollistamiseksi ajatuskokeen junavaunulla, joka on suunnilleen seuraavanlainen. Junavaunun molemmissa päissä on räjähde. Vaunun keskellä ja täysin samoilla etäisyyksillä räjähteistä on Jaana, jolla on räjähdysten valonvälähdyksen havaitseva laite. Laitteessa on merkkivalo, johon syttyy pysyvästi punainen valo, jos se havaitsee välähdyksen tulevan ensin junan menosuunnasta, ja vihreä valo, jos välähdys tulee molemmilta suunnilta samanaikaisesti. Junaradan vieressä seisoo Simo, jonka ohi junavaunu liikkuu vakionopeudella.
Ennen koetta Jaana ja Simo sopivat Simon räjäyttävän räjähteet samanaikaisesti kun Jaana ja Simo ovat kohdakkain junan liikkuessa Simon ohitse. Paikallaan seisova Simo olettaa siksi näkevänsä räjähdykset samaan aikaan ja laitteen valon muuntuvan punaiseksi, koska junassa oleva Jaana ehtii laitteineen siirtyä valon yhä liikkuessa sen verran eteenpäin että valo ehtii laitteelle ensin vain junan menosuunnasta.
Jaana on kuullut suhteellisuusteorian suhteellisuusperiaatteesta, jonka mukaan valo liikkuu kaikkien havaitsijoiden mukaan aina samalla nopeudella riippumatta heidän nopeudestaan suhteessa johonkuhun toiseen paikallaan seisovaan, kuten Simoon. Jaana olettaa siksi näkevänsä räjähdykset täysin samanaikaisesti. Siten niistä tuleva valon pitäisi tulla laitteeseen molemmista suunnista samanaikaisesti, ja valon muuttua vihreäksi. Vaunun pysähtyessä ja tuloksia vertailtaessa Simo ei voi nähdä punaista valoa ja Jaana vihreää valoa samanaikaisesti.
Kun koe suoritetaan käytännössä, valo muuttuu punaiseksi. Tämä johtuu siitä, että vaikka valonnopeus on molemmille havaitsijoille sama suhteellisuusperiaatteen mukaan, ei vaunussa oleva Jaana havaitsekaan räjähdyksiä samanaikaisesti toisin kuin hän oletti. Hän näkee räjähdyksen ensin menosuunnastaan ja vasta sitten tulosuunnastaan.
Molemmat havaitsijat ovat kuitenkin oikeassa räjähdysten samanaikaisuudesta. Kyse ei ole vain havaitsemisesta, vaan räjähdykset tapahtuvat Jaanan inertiaalikoordinaatistossa (junassa) eri aikaan kuin Simon inertiaalikoordinaatistossa (junaradan vieressä).
Aikavenymä ja tosiaika
pienoiskuva|212x212px|Aika kuluu kiihtyvällä tai vakionopeudella liikkuvalla kappaleella (punainen) hitaammin kuin kappaleella, joka on levossa (sininen). Suppean suhteellisuusteorian mukaan kahden eri inertiaalikoordinaatiston ajankulku on eri. Tämän vuoksi koordinaatistoista katsottuna kahden eri aikaan tapahtuvan tapahtuman väliset aikaerot eivät ole samat ja tapahtuu aikavenymä eli aikadilataatio eli aikadilaatio. Kappale, jonka kohdalla tapahtumat tapahtuvat samassa pisteessä kuin kappale itsekin on, kuluu näiden tapahtumien välillä aika, jota kutsutaan tosiajaksi (eng. proper time), jota Einstein nimitti oma-ajaksi (saks. eigenzeit).
Kaksi tapahtumaa voivat olla mitä tahansa, kuten lähteminen planeetalta ja saapuminen toiselle planeetalle raketilla. Raketti mittaa tosiaikaa koska lähtö ja saapuminen raketista katsoen samassa pisteessä: raketista katsoen lähtöplaneetta etääntyy raketin lähtiessä ja tuloplaneetta lähestyy raketin pysyessä paikoillaan omassa koordinaatistossaan.
Kahden inertiaalikoordinaatiston välillä tapahtuva aikavenymän kaava on
Esimerkkejä
Raketti liikkuu 90 % valonnopeudesta Maasta Marsiin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 1010 metrin matkan. Kuinka kauan matka kestää Maasta mitattuna ja raketista mitattuna?
Kaavan johtaminen
Aikavenymän kaava voidaan johtaa ajatuskokeellisella valokellolla, jossa on kaksi peiliä toisistaan korkeudella L tyhjiön erottamana, joiden välissä on edestakaisin heijastuva ja laitteesta häviämätön fotoni. Kello havaitsee fotonin heijastumisen alemmasta peilistä, jolloin kellon viisari liikahtaa aina yhden pykälän eteenpäin mitaten siten aikaa.
Fotonin täytyy kahden viisarin liikkeen välissä edetä matka 2L, sillä se liikkuu alemmasta peilistä matkan L ylempään peiliin ja takaisin, eli kaksinkertaisen matkan. Fotoni liikkuu tyhjiön valonnopeudella c, joten viisarin liikkeiden välissä kulunut aika on Δt = 2L/c.
Suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuu kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa näissä olevien havainnoijien mittaamana tyhjiön valonnopeudella. Siksi kellon liikkuessa jostakin havainnoitsijasta sivuttain muuttumattomalla ja valoa hitaammalla nopeudella v fotonin ylös-alas etenevään liikkeeseen nähden, on fotonin kulkema matka alapeililtä yläpeilille kellon suhteen mukana liikkumattomalle suurempi kuin kellon mukana liikkuvan havaitsema liike. pienoiskuva|189x189px|Kellon mukana liikkuvan laskema fotonin liike. Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkuva näkee fotonin liikkuvan suoraan ylös ja alas tyhjiön valonnopeudella eli se kulkee matkan ajassa Δt = 2L/c. vasen|pienoiskuva|385x385px|Kellon mukana liikkumattoman laskema fotonin liike. Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkumaton näkee fotonin liikkuvan siksaksakkia peilien välissä tyhjiön valonnopeudella valokellon peilien siirtyessä hänestä poispäin. Havaitsijan mukaan fotonilta kuluu aikaa Δt' verran kuljettuaan alapeililtä yläpeilille ja takaisin. Matkaan alapeililtä yläpeilille kuluu siten puolet tästä ajasta eli ½Δt'. Koska nopeus on matka jaettuna ajalla, on fotonin liikkeen aikana alapeililtä yläpeilille liikkuma matka nopeus kertaa aika eli ½c Δt'. Kun fotoni alapeililtä tullessaan osuu yläpeiliin, on nopeudella v liikkuva valokello nopeuden kaavalla laskettuna siirtynyt matkan ½v Δt'. pienoiskuva|229x229px|Suorakulmainen kolmio. Valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan mukaan fotoni on yläpeilille saapuessa muodostanut liikeradan, joka on suorakulmainen kolmio suhteessa peileihin. Kolmion hypotenuusan pituus on ½c Δt', viereinen kateetti on ½v Δt' ja vastainen kateetti on valokellon korkeus h. Kolmio on suorakulmainen, joten siihen pätee Pythagoraan lause ja tiedot voidaan esittää kaavana
h2 + (½v Δt')2 = (½c Δt')2
Δt on 2L/c. Se on myös tosiaika Δτ, koska se on valokellon mukana liikkuvan havainnoima aika. β on kellon nopeuden ja tyhjiön valonnopeuden suhde v/c, joten v2/c2 on β2. Koska 2L/c = Δτ ja v2/c2 = β2, on lopullinen kaava
Pituuspuristuma ja tosipituus
Johtuen suppean suhteellisuusteorian aikavenymästä, ei kahden pisteen välinen etäisyys ole sama kahdessa eri inertiaalikoordinaatistossa ja tapahtuu pituuspuristuma. Pisteiden ollessa toisessa inertiaalikoordinaatistossa paikallaan, kutsutaan näiden pisteiden välillä olevaa etäisyyttä tosipituudeksi (eng. proper length). Pisteiden välinen muutos inertiaalikoodrinaatistossa, josta nähden pisteet ovat liikkeessä, saadaan kaavalla
Kaava pätee mille tahansa pisteille kuten kappaleiden kulkemille välimatkoille, mutta myös kaikille näiden kappaleiden itsensä pituudelle. Maasta laskettuna lähellä tyhjiön valonnopeutta liikkuvan raketin pituus on fyysisesti lyhempi kuin sen pituus, jos se olisi maahan nähden paikallaan.
Pituuspuristuman kaava ei kerro kuitenkaan miltä raketti varsinaisesti näyttää silmin katsottuna. Raketista tuleva valo näkyy aikavenymän vuoksi eri ajan hetkinä, jolloin raketin näkyvä muoto ja sijainti muuttuu. Myös raketista tulevan valon aallonpituus muuttuu raketin liikkeen vuoksi. Yhdessä näitä vaikutuksia kutsutaan suhteelliseksi Doppler-vaikutukseksi (eng. relativistic Doppler effect). keski|kehys Yllä olevassa kuvassa pallo lähestyy havaitsijaa (sininen piste) tai pallon kannalta havaitsija lähestyy palloa hyvin suurella vakionopeudella kohtisuoraan. Pallo on fyysisesti puristunut ellipsoidiksi (harmaa) suhteessa havaitsijan koordinaatistoon. Havaitsija kuitenkin näkee ellipsoidin muuttavan muotoaan, väriään ja sijaintiaan suhteessa todelliseen sijaintiinsa, ja siten myös näkyvää nopeuttaan. Pallosta havaitsijalle tulevalle valolle tapahtuu sinisiirtymä eli sen aallonpituus on pienentynyt pallon tullessa kohti. Nopeudesta riippuen vihreä pallo voisi näyttää tällöin violetilta tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymätöntä gammasäteilyä. Pallon ohitettua havaitsijan tapahtuu punasiirtymä, aallonpituus kasvaa ja vihreä pallo voisi näkyä havaitsijalle punaisena tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymättömiä radioaaltoja.
Vasemmalla yllä animaatiossa näkyy miltä havaitsijasta (sininen piste) näyttäisi tunneli, jossa hän on, jos hän liikkuisi sen halki eri nopeuksilla. Animaatio alkaa havaitsijan ollessa levossa ja päättyy havaitsijan liikkuessa 70 % tyhjiön valonnopeudesta eli 0,7 c. Oikealla yllä on kuva tunnelista ulkoapäin 0,7 c nopeudessa, joka on tosin esitetty vain tunnelissa liikkuvan havaitsijan näkökulmasta: tunnelin suhteen paikallaan olevalle tunneli näyttää ulkoa tavalliselta. Tunnelissa liikkuvasta havaitsijasta seinämän muodot muuttuvat ja niistä tulevan sähkömagneettisen säteilyn kuten valon aallonpituus muuttuu: animaatiossa/kuvassa sininen on lyhyt aallonpituus, punainen on suuri aallonpituus.
Samaan tapaan avaruudessa matkaavasta tähdet näyttävät lähentyvän toisiaan ja todella lähellä tyhjiön valonnopeutta tähdet ovat matkaavasta hänen edessään yhtenä pisteenä, joka tosin ei näy silmin, sillä sen aallonpituus on lyhentynyt gammasäteilyksi.
Esimerkkejä
Raketti liikkuu 90 % valonnopeudesta, Maasta Marsiin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 1010 metrin matkan. Kuinka pitkä välimatka on raketista mitattuna?
Kaavan johtaminen
Pisteiden välillä liikkuvan kappaleen inertiaalikoordinaatistosta mitattuna sen matkaan käyttämä aika Δt on lyhyempi kuin pisteisiin nähden paikallaan olevasta Δt' mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta. Kappaleen nopeuden v kuitenkin täytyy olla molemmista koordinaatistoista laskettuna sama. Siten pisteiden välillä liikkuvan kappaleen kulkema matkan L tulee olla myös lyhyempi kuin pisteisiin nähden liikkumattomasta koordinaatistosta mitattu matka L'. Kaavana tämä on
Δt on tosiaika Δτ, jonka kaava johdettiin aikavenymä-osiossa. Siten kaava on
Δt' sulkee itsensä pois kaavasta ja saadaan pituuspuristuman kaava, jossa L' on tosipituus l
Aika-avaruusintervalli
Suppeassa suhteellisuusteoriassa aika-avaruusintervalli s2 on kaikille inertiaalikoordinaatistoille sama. Se on matemaattinen käsite, jota voidaan käyttää vertailemaan eri inertiaalikoordinaatistojen välisiä tapahtumien etäisyyksiä ja aikoja toisiinsa mikäli niistä jo osa tiedetään. Aika-avaruusintervallin s2 kaava pelkkää etäisyyttä käyttäen (eikä kolmen tilaulottuvuuden x-, y- ja z-koordinaatteja) on
Esimerkkejä
Pommi räjähtää ja 2 mikrosekunnin (µs) kuluttua tästä toinen pommi räjähtää 300 m päässä. Räjähdyksistä ohilentävä avaruusalus mittaa räjähdysten etäisyydeksi 200 m. Millä aikavälillä avaruuslentäjät havaitsevat räjähdykset?
Kaavan johtaminen
pienoiskuva|236x236px|Suhteessa toisiinsa eri kulmissa olevat xy- ja x'y'-koordinaatistot päällekkäin. Mustan pisteen koordinaatit ovat molemmissa koordinaatistoissa eri. Kuvitellaan olevan xy-koordinaatisto ja tämän suhteen johonkin kulmaan käännetty x'y'-koordinaatisto. Koordinaatistojen asteikkovälit ovat samat. Päällekkäin ollessaan koordinaatistot voivat mitata koordinaatistoissa olevan viivan pituuden d sen toisessa päässä olevan pisteen 1 koordinaatteina ja toisessa päässä olevan pisteen 2 koordinaatteina. Koordinaatit eivät kuitenkaan ole pisteille samat eli x1 ≠ x1' jne. Intervalliksi kutsutaan esimerkiksi xy-koordinaatistossa arvojen x1 ja x2 välistä eroa Δx. Intervallitkaan koordinaatistojen välillä eivät ole samat, eli Δx ≠ Δx' ja Δy ≠ Δy'. Koordinaatistojen mittaama pituus d on kuitenkin sama. Kaavana tämä on
Aikavenymä-osion valokellon kohdalla tyhjiön valonnopeuden lisäksi valokellon korkeus L on ainoa tekijä, joka on kellon mukana liikkuvalle ja kellon mukana liikkuvalle sama. Kaavana tämä on
½ sulkevat toisensa pois ja kaava muuntuu muotoon
Aika-avaruusintervalli on siten
Ajan- ja paikanluontoinen intervalli
Kahden tapahtuman välinen aika-avaruusintervalli voi olla joko ajanluontoinen tai paikanluontoinen taikka rajatapauksessa valonluontoinen riippuen siitä, onko niiden tapahtumapaikkojen välinen etäisyys suurempi, pienempi vai yhtäsuuri kuin niiden välinen aikaero kerrottuna valonnopeudella. Tämä tapahtumaparin välisen intervallin luonne on sama kaikissa koordinaatistoissa.
Jos tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on pienempi kuin niiden välinen aikaero Δt kerrottuna valonnopeudella c eli Δx < cΔt, tapahtumien välinen intervalli on ajanluontoinen. Silloin intervalli, eli se on positiivinen ja sen neliöjuuri s positiivinen reaaliluku. Tämä edellyttää, että jompikumpi tapahtumista on sen verran toista varhaisempi, että varhaisemmasta tapahtumasta lähtenyt valo tai muu valonnopeudella etenevä signaali ehtii myöhemmän tapahtumapaikalle ennen itse tapahtumaa. Tässä tapauksessa edellinen tapahtuma on kaikissa koordinaatistoissa varhaisempi kuin jälkimmäinen. Tällöin on myös mahdollista, että varhaisempi tapahtuma vaikuttaa jälkimmäiseen, eli edellinen niistä on syy ja jälkimmäinen seuraus.
Jos sen sijaan tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on suurempi kuin niiden välinen aikaero Δt kerrottuna valonnopeudella c eli Δx > cΔt, tapahtumien välinen intervalli on paikanluontoinen. Silloin intervalli, eli se on negatiivinen ja sen neliöjuuri s imaginaariluku. Näin on laita, jos tapahtumat sattuvat niin kaukana ja niin lyhyen ajan kuluessa toisistaan, että kummastakaan lähtenyt valo ei ehdi toisen tapahtumapaikalle itse tapahtumaan mennessä. Esimerkiksi koska Auringosta valo tulee Maahan noin kahdeksassa minuutissa, kahden sellaisen tapahtuman välinen intervalli, joista toinen sattuu Maassa, toinen Auringossa vähemmän kuin kahdeksan minuuttia aikaisemmin tai myöhemmin, on paikanluontoinen. Tällöin tapahtumien aikajärjestyskään ei ole yksikäsitteinen, vaan tiettyyn suuntaan tarpeeksi nopeasti liikkuvan havaitsijan lepokoordinaatistossa se voi olla päinvastainen, ja on myös mahdollista valita koordinaatisto, jossa tapahtumat ovat samanaikaiset. Tällaisista tapahtumista kumpikaan ei voi olla toisen syy tai seuraus.
Rajatapauksessa tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on yhtä suuri kuin niiden välinen aikaero Δt. Tässä tapauksessa intervallia sanotaan valonluontoiseksi, sillä toisesta tapahtumasta lähtevä valonsäde saavuttaa toisen tapahtumapaikan juuri tapahtumahetkellä. Tällöin intervalli saa arvon nolla.
Liikemäärän suhteellisuus
pienoiskuva|400x400px|y: kappaleen liikemäärä (momentum). x: kappaleen nopeus suhteessa valon nopeuteen tyhjiössä. Vihreä : newtonilaisen fysiikan mukaan kappaleen liikemäärän kasvu on nopeuteen verrannollinen ja tyhjiön valonnopeus voi ylittyä. Punainen : suppean suhteellisuusteorian mukaan valon nopeutta lähestyttäessä massallisen kappaleen liikemäärä kasvaa hyvin jyrkästi ja saavuttaa äärettömän arvon valonnopeudessa c, mitä arvoa ei siksi voi saavuttaa eikä ylittää. Suppeassa suhteellisuusteoriassa inertiaalikoordinaatistossa olevan massallisen kappaleen liikemäärä eli momentti riippuu sen nopeudesta suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon. Klassisessa mekaniikassa massallisen kappaleen liikemäärä kasvaa lineaarisesti sen nopeuden kasvaessa, mutta suppeassa suhteellisuusteoriassa liikemäärä kasvaa kohti äärettömyyttä ja tyhjiön valonnopeudessa kappaleen liikemäärä on ääretön, jonka vuoksi massalliset kappaleet eivät voi liikkua valoa nopeammin.
Suppeassa suhteellisuusteoriassa massallisen kappaleen eli partikkelin liikemäärä suhteessa johonkin inertiaalikoordinaatistoon on
γp kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on
Energian suhteellisuus
Suppean suhteellisuusteorian mukaan massallisen kappaleen kokonaisenergia E jouleina (J) on
E_0=mc^2
Kappaleen liike-energia eli kineettinen energia K jouleina on
γp kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on
Esimerkkejä
Mikä on elektronin lepo-, liike- ja kokonaisenergia jos sen nopeus on 0,999 c suhteessa sen kiihdyttäneeseen hiukkaskiihdyttimeen?
Ydinreaktorissa uraanin isotooppi 235 absorboi neutronin ja fissioituu barium-141:ksi ja krypton-92:ksi, jolloin vapautuu 3 neutronia. 235U massa on 235,0439 g/mol, 141Ba 140,9144 g/mol, 92Kr 91,9262 g/mol ja neutronin 1,0087 g/mol. Paljonko moolista 235U vapautuu energiaa?
Kaavojen johtaminen
Aika-avaruusintervallin kaava johdettiin sen omassa osiossa. Aika-avaruusintervalli massallisen hiukkasen inertiaalikoordinaatistolle, joka liikkuu vakionopeudella ajassa Δt matkan Δx, on
Hiukkanen liikkuu matkan suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon, josta käsin mitattuna tämän koordinaatiston kappaleet ovat levossa inertiaalikoordinaatiston määritelmän mukaisesti. Intervalli on invariantti, eli molemmille koordinaatistoille sama. Aika-avaruusintervallin kaava voidaan muuntaa liikemäärän p sisältäväksi yhtälöksi kertomalla yhtälö arvolla m / Δτ2, jossa Δτ on tosiaika, eli liikkuvan hiukkasen itsensä mittaama matkaansa käyttämä aika, joka ei aikavenymän vuoksi ole sama kuin Δt. Saadaan
p = m(Δx/Δτ), joten yllä oleva kaava pätee. Δτ voidaan muuntaa Δt arvoksi ja päinvastoin Lorentz-kertoimella γp eli Δτ = γp Δt. Saadaan
Jos liikkuva kappale onkin levossa suhteessa sitä mittaavaan inertiaalikoordinaatistoon, on kappale samassa koordinaatistossa. Tällöin myös p = 0 ja γp = 1, joten (pc)2 sulkeutuu nollalla kerrottaessa pois, mutta yhdellä kerrottu (mc2)2 jää invariantiksi eli kaikissa koordinaatistoissa yhteneväksi arvoksi. Saadaan siis
Otettaessa neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta, havaitaan että mc2 on myös invariantti arvo. Kahden inertiaalikoordinaatiston S ja S' vertailijat mittaavat häiriöttä vakionopeudella liikkuvalle kappaleelle eri liikemäärän, mutta molempien mittausten mukaan kappaleen liikemäärä konservoituu eli pysyy koordinaatistoissa muuttumattomana. Kahden ylemmän yhtälön mukaan γpmc2 on myös säilyvä ominaisuus. Yksikköinä γp on yksikötön, m on kg ja c2 on m2/s2. kg · m2/s2 on joule, joka on energian yksikkö. Oletetaan että kappaleen nopeus on paljon pienempi kuin tyhjiön valonnopeus, eli v ≪ c. Tällöin binomiaali approksimaatiota käyttäen saadaan kaava
½mv2 on klassisen fysiikan liike-energian kaava, eli yhtälö antaa tyhjiön valonnopeutta paljon pienemmillä nopeuksilla samoja tuloksia kuin klassinen fysiikka. mc2 yhtälössä kertoo että massa sisältäisi energiaa.
E_0=mc^2
Liike-energia kappaleelle olisi siten
Massan ja energian yhtäläisyys
Kahdella samamassaisella ja samalla nopeudella törmäävällä kappaleella on liike-energia K. Koska kappaleita on kaksi, on niiden liike-energia yhteensä 2K. Kappaleet törmäävät toisiinsa kohtisuoraan ja tarttuvat tai sulautuvat toisiinsa pysyvästi eli tapahtuu epäkimmoinen törmäys. Klassisessa fysiikassa 2K energian sanotaan muuttuvan kappaleiden atomien lämpöliikkeeksi, joka kohottaa kappaleiden lämpötilaa. Suhteellisuusteorian yhtälöön E = E0 + K ei kuitenkaan sisälly lämpöenergiaa. Törmäyksen energia on Et = 2mc2 + 2K. Kappaleet eivät liiku törmäyksen jälkeen, joten 2K = 0, ja kaava on siten
Kaavassa M on yhteen sulautuneiden kappaleiden kokonaismassa. Energian on monesti osoitettu kokeellisesti olevan pysyvää, eli kappaleiden kokonaisenergia Ekok ei voi kadota törmäyksen jälkeenkään. Valonnopeus tyhjiössä on vakio, joten ainoa mahdollinen muuttuja on M.
Massa ei siis säily eli se voi muuntua energiaksi. Vastavuoroisesti massaa voi muodostua energiasta. Tämän vastoin klassisen fysiikan perusperiaatteisiin kuuluvaa massan säilymislakia. On kuitenkin hyvä ymmärtää, että energiaa itsessään ei ole missään puhtaassa muodossa, vaan se on täysin kuvitteellinen käsite, jolla voidaan vertailla eri asioita kuten liikettä ja kemiallisia reaktioita keskenään. Energia on siis verrannollisuuskerroin.
Suhteellisuusteorian massan ja energian yhtäläisyys on kuitenkin todistettu kokeellisesti monesti ja nimenomaan siihen perustuvat muun muassa ydinvoima ja ydinaseet, joissa pieni määrä massaa muuntuu valtavaksi määräksi energiaa. Kyseessä ei kuitenkaan ole ydinreaktioihin rajoittunut tapahtuma: massan muuntumista energiaksi ja päinvastoin tapahtuu esimerkiksi kaikissa kemiallisissa reaktioissa kaikkialla koko ajan, mutta näiden energiat ovat pieniä suhteessa ydinreaktioihin ja massan muutokset ovat niin pieniä että ne ovat käytännössä merkityksettömiä. Kemiallisessa reaktiossa vapautunut energia myös usein muuntuu nopeasti ympäristön massaksi.
Esimerkiksi kun hiukkaskiihdyttimessä kiihdytetään elektroni hyvin lähelle tyhjiön valonnopeutta ja törmäytetään se atomiin, voi elektroni irrottaa atomista elektronin. Klassisen fysiikan olettamusten pohjalta havaittaisiin kahden elektronin sinkoavan poispäin atomista, yhden irronneen ja yhden törmänneen. Oikeasti kuitenkin havaitaan sinkoavan atomista poispäin kolmen elektronin ja positronin, joka elektronin positiivisen omaava antimateriahiukkanen. Systeemin kokonaissähkövaraus pysyy muuttumattomana koska positroni ja elektroni sulkevat pois toistensa varaukset, mutta massan omaavat elektroni ja positroni ovat siis muodostuneet energiasta. Jokin elektroneista tosin annihiloituu erittäin nopeasti positronin kanssa, koska materia ja antimateria reagoivat keskenään kiivaasti, jolloin nämä kaksi hiukkasta katoavat ja muuntuvat kahdeksi vastakkaisiin suuntiin eteneväksi ja massattomaksi fotoniksi. Fotonit varastoivat elektronin ja positronin liike-energian ja massan energian taajuuteensa.
Kausaliteetin rikkoutuminen
Oletetaan että A aiheuttaa tapahtuman B jonkin aiheuttajan välittämänä, jonka nopeus on u. Aiheuttaja liikkuu valon tyhjiönopeutta c nopeammin eli u > c. Tapahtuma A tapahtuu inertiaalikoordinaatistossa S kohdassa xA = 0 ajan hetkenä tA = 0. A aiheuttaa tapahtuman B toisessa inertiaalikoordinaatistossa S', joka liikkuu valoa hitaammin nopeudella v eli v < c. B tapahtuu koordinaatiston S' kohdassa xB ajan hetkenä tB = xB / u.
Koska xA = 0 ja tA = 0, on Lorentz-muunnosten mukaan xA' = 0 ja tA' = 0. Lorentz-muunnos tapahtuman B ajan hetkelle tB' on
Yhtälöstä on poistettu tB, koska u = xB / tB inertiaalikoordinaatistossa S. u on jonkin kertoimen α verran valoa nopeampi eli u = αc. α > 1, jotta u > c. Siten yhtälön vu/c2 = αv/c. Lopullisen yhtälön lähemmässä tarkastelussa nähdään että
Reaalinen projektiivinen taso
Reaalinen projektiivinen taso on eräs ei-orientoituva pinta eli kaksi­ulotteinen monisto, jolla on keskeinen merkitys varsinkin projektiivisessa geometriassa, mutta myös muilla matematiikan aloilla. Tällaista pintaa ei voi tehdä tavallisessa kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ellei sen sallita leikkaavan itseään. Sillä on kuitenkin keskeisiä sovelluksia geometriassa, sillä eräs tapa konstruoida reaalinen projektiivinen taso on määritellä se \mathbb{R}:n origon kautta kulkevien suorien joukkona.
Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi
Reaalinen projektiivinen taso voidaan määritellä tai konstruoida useilla eri tavoilla, mutta kaikissa tapauksissa sille voidaan määritellä yhtäläinen geometrinen tai topologinen struktuuri.
Laajennettu euklidinen taso
Tämän konstruktion vuoksi reaalista projektiivista tasoa sanotaan usein myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi. Sitä ei kuitenkaan pidä sekoittaa funktioteoriassa paljon käytettyyn laajennettuun kompleksi­tasoon, josta se eroaa oleellisesti monessa suhteessa. Laajennetussa kompleksi­tasossa on normaaliin tasoon lisätty vain yksi piste, reaalisessa projektiivisessa tasossa sen sijaan äärettömän monta. Reaalinen projektiivinen taso ei myöskään ole homeo­morfinen pallopinnan kanssa, laajennettu kompleksi­taso sen sijaan on.
Projektiivisen avaruuden Eulerin karakteristika on 1, minkä vuoksi myös sen demigenus (ei-orientoituva genus eli Eulerin genus) on 1.
Topologiset konstruktiot kiekon tai neliön avulla
Topologisesti avoin yksikkökiekko eli niiden tason pisteiden muodostama alue, joiden etäisyys origosta on annettua pituus­yksikköä pienempi, on homeo­morfinen koko tason kanssa. Napa­koordi­naatteja käyttäen taso voidaan kuvata avoimelle yksikkö­kiekolle esimerkiksi seuraavasti:
Tässä kuvauksessa tason jokaisen pisteen kuvapiste on origoon nähden samassa suunnassa kuin alku­peräinen piste, mutta kaikki pisteet kuvautuvat yksikköympyrän sisä­puolelle. Mikään tason piste ei kuvaudu ympyrän kehälle, mutta mitä kauempana alku­peräinen piste on origosta, sitä lähemmäksi ympyrän kehää se kuvautuu.
Kun projektiivisen tason ideaali­pisteiden ajatellaan olevan "äärettömän kaukana", tässä konstruktiossa on luonnollista ajatella niiden kuvautuvan ympyrän kehälle. Kun kuitenkin jokainen suora johtaa kummassakin päässään samaan ideaali­pisteeseen, on ympyrän kehän vastakkaiset pisteet ajateltava samastetuiksi keskenään. Toisin sanoen on suljetun yksikkö­kiekon pisteiden joukossa on määriteltävä ekvivalenssirelaatio siten, että kiekon sisä­pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa, mutta kehän vastakkaiset pisteet myös toistensa kanssa. Tällöin reaalisen projektiviisen tason "pisteet" ovat itse asiassa tämän relaation ekvivalenssi­luokkia, joista kuhunkin kuuluu yksi tai kaksi alku­peräisen yksikkö­kiekon pistettä. Avaruuden topologia määritellään tämän ekvivalenssi­relaation mukaisena tekijätopologiana.
Toisaalta koska suljettu yksikkö­kiekko on homeo­morfinen myös neliön kanssa, voidaan reaalinen projektiivinen taso topo­logisesti muodostaa myös neliön avulla. Tämä voidaan suorittaa kahdessa vaiheessa: ensin samastetaan kukin y-akselilla oleva piste (0,y) neliön oikeassa reunassa olevan pisteen (1, 1-y) kanssa, jolloin saadaan Möbiuksen nauha. Tämän jälkeen samastetaan vielä x-akselilla olevat pisteet suoralla y=1 olevien pisteiden kanssa, mikä voidaan tehdä kahdella tavalla. Jos pisteet (x, 0) ja (x, 1) samastetaan keskenään, saadaan Kleinin pullo. Jos sen sijaan pisteet (x, 0 ja (1-x, 1) samastetaan keskenään, saadaan reaalinen projektiivinen tasoa.
Möbiuksen nauha voidaan tällä tavoin aivan konkreettisestikin toteuttaa, joskin käytännössä neliön sijasta on käytettävä pitkää ja kapeaa suorakulmiota. Jos tällaisen suora­kulmion muotoista nauhaa kierretään keskeltä puoli kierrosta ja liimataan sen jälkeen sen vastakkaiset päät yhteen, saadaan Möbiuksen nauha. Sitä vastoin sen enempää Kleinin pulloa kuin projektiivista tasoakaan ei voida vastaavalla tavalla konkreettisesti muodostaa.
Projektiivinen pallo
Reaalinen projektiivinen taso voidaan konstruoida myös käyttämällä lähtö­kohtana pallo­pintaa. Määritellään pallon isoympyrät "suoriksi" ja vastakkaisten eli antipodisten pisteiden parit "pisteiksi". On helppo osoittaa, että tällainen struktuuri toteuttaa kaikki yleisen projektiivisen tason määritelmän edellyttämät ehdot:
Tässä konstruktiossa siis jokainen pallopinnan piste samastetaan vastakkaisen eli antipodisen pisteensä kanssa. Täten saadaan reaalinen projektiivinen taso, jonka "pisteet" itse asiassa ovat kahden vastakkaisen pisteen muodostamia pareja. Toisin sanoen projektiivinen avaruus on tekijäavaruus, joka saadaan määrittelemällä pallo­pinnan pisteiden joukossa ekvivalenssirelaatio ~, jossa x ~ y, jos ja vain jos joko y = x tai y = −x.
Voidaan osoittaa, että näin muodostettu projektiivinen taso on homeo­morfinen edellä neliön avulla konstruoidun projektiivisen tason kanssa. Toisaalta tämä konstruktio osoitta selvemmin kuin edelliset, ettei "äärettömän kaukaisten" pisteiden muodostama "äärettömän kaukainen suora" ole topo­logisesti mitenkään erikois­asemassa reaalisen projektiivisen tason muihin suoriin nähden.
Jokaista pallopinnan vastakkaisten pisteiden paria vastaa yksikäsitteisesti yksi pallon keskipisteen kautta kulkeva suora ja kääntäen, nimittäin näiden pisteiden kautta kulkeva suora. Reaalinen projektiivinen onkin homeomorfinen myös sellaisen topologisen avaruuden kanssa, jonka "pisteet" ovat \mathbb{R}:ssa origon kautta kulkevia suoria.
Edellä muodostettu kuvaus pallopinnalta reaaliselle projek­tiiviselle tasolle on itse asiassa kaksi­lehtinen peitekuvaus. Tästä seuraa, että reaalisen projek­tiivisen tason perusryhmä on kerta­lukua 2 oleva syklinen ryhmä, siis kokonais­luvut modulo 2. Ryhmä voidaan generoida ylempänä olevassa kuvassa näkyvän silmukan AB avulla.
Roomalainen pinta
thumb|Roomalaisen pinnan animaatio Jakob Steinerin roomalainen pinta on eräs projektiivisen tason havainnollistus kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Siinä se leikkaa itsensä, toisin sanoen on olemassa pisteitä, jotka projektiivisella tasolla ovat erillisiä mutta joita roomalaisella tasolla vastaa sama piste.
thumb|[[Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas]] Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas , jolla on sama perus­rakenne kuin Steinerin roomalaisella pinnalla.
Tasoprojektiot
Projektiiviselle tasolle on olemassa useita tasoprojektioita. Vuonna 1874 Felix Klein tutki kuvausta
<!--Mitä on Cross-cap suomeksi? Ristimyssy? Entä Cross-capped disk
Cross-capped disk
where both u and v range from 0 to 2π. These equations are similar to those of a torus. Figure 1 shows a closed cross-capped disk.
A cross-capped disk has a plane of symmetry which passes through its line segment of double points. In Figure 1 the cross-capped disk is seen from above its plane of symmetry z = 0, but it would look the same if seen from below.
A cross-capped disk can be sliced open along its plane of symmetry, while making sure not to cut along any of its double points. The result is shown in Figure 2.
Once this exception is made, it will be seen that the sliced cross-capped disk is homeomorphic to a self-intersecting disk, as shown in Figure 3.
The self-intersecting disk is homeomorphic to an ordinary disk. The parametric equations of the self-intersecting disk are: where u ranges from 0 to 2π and v ranges from 0 to 1.
Projecting the self-intersecting disk onto the plane of symmetry (z = 0 in the parametrization given earlier) which passes only through the double points, the result is an ordinary disk which repeats itself (doubles up on itself).
The plane z = 0 cuts the self-intersecting disk into a pair of disks which are mirror reflections of each other. The disks have centers at the origin.
Now consider the rims of the disks (with v = 1). The points on the rim of the self-intersecting disk come in pairs which are reflections of each other with respect to the plane z = 0.
A cross-capped disk is formed by identifying these pairs of points, making them equivalent to each other. This means that a point with parameters (u,1) and coordinates is identified with the point (u + π,1) whose coordinates are. But this means that pairs of opposite points on the rim of the (equivalent) ordinary disk are identified with each other; this is how a real projective plane is formed out of a disk. Therefore the surface shown in Figure 1 (cross-cap with disk) is topologically equivalent to the real projective plane RP2. --> -->
Homogeeniset koordinaatit
Reaalisen projektiivisen tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Pisteellä on homogeeniset koordinaatit [x : y : z], missä koordinaattien [x : y : z] and [tx : ty : tz] katsotaan tarkoittavan samaa pistettä, olipa t mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Pisteet, joiden koordinaatit voidaan esittää muodossa [x : y : 1], muodostavat tavanomaisen tason \mathbb{R}, jota sanotaan projektiivisen tason äärellisen osan, kun taas pisteet, joiden koordinaatit ovat [x : y : 0], ovat niin sanottuja äärettömyydessä olevia pisteitä eli ideaalipisteitä, jotka muodostavat äärettömyydessä olevan suoran. Homogeeniset koordinaatit [0 : 0 : 0] eivät vastaa mitään pistettä.
Myös tason suorat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa avaruudessa tasoa ax + by + cx = 0, on homogeeniset koordinaatit (a : b : c). Täten koordinaatit (a : b : c) ja (da : db : dc) vastaavat samaa suoraa eli ovat ekvivalentit, olipa d mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Niinpä saman suoran eri yhtälöt, jotka ovat muotoa dax + dby + dcz = 0, antavat samat homogeeniset koordinaatit.
Piste [x : y : z] on suoralla (a : b : c), jos ax + by + cz = 0. Niinpä suorat, joiden koordinaatit ovat (a : b : c), missä a ja b eivät molemmat ole nollia, vastaavat tavan­omaisen tason suoria, koska niihin kuuluu pisteitä, jotka eivät ole äärettömyydessä. Koordinaatteja (0 : 0 : 1) vastaa äärettömyydessä oleva suora, sillä siihen kuuluvat vain ne pisteet, joilla z = 0.
Pisteet, suorat ja tasot
Jokainen suora projektiivisella tasolla P2 voidaan esittää yhtälöllä ax + by + cz = 0. Jos luvuista a, b ja c muodostetaan pysty­vektori ℓ ja parametreista x, y, z pysty­vektori x, edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa:
Käyttämällä vektorimerkintää voidaan sen sijasta kirjoittaa myös:
Ideaalipisteet
Projektiivisella tasolla P2 suoran yhtälö on ax + by + c = 0, ja kertomalla tämä yhtälö jollakin vakiolla k voidaan siitä muodostaa minkä tahansa tason yhtälö, joka on kohtisuorassa x, y -tason kanssa.
Normalisoidut homogeeniset koordinaatit saadaan valitsemalla z = 1. Kaikki pisteet, joilla z = 1, muodostavat tason. Kuvitellaan, että tätä tasoa katsotaan pisteestä käsin, joka on kauempana origosta z-akselilla ja että sinne on merkitty kaksi yhden­suuntaista suoraa. Siitä pisteestä käsin, jossa katsoja on, katsoja voi (näkökyvystään riippuen) nähdä tasosta vain rajallisen alueen, jonka rajat oheisessa kaaviossa on merkitty punaisella. Jos katsoja etääntyy kyseisestä tasosta z-akselia pitkin mutta katsoo koko ajan origoon päin, hän näkee tasosta suuremman osan. Katsojan näkökentässä alkuperäiset pisteet ovat siirtyneet. Tätä siirtymää voidaan kuvata jakamalla homogeeniset koordinaatit jollakin vakiolla. Oikealla olevassa kuvassa ne on jaettu kahdella, joten z:n arvoksi saadaan 0,5. Jos katsoja menee tarpeeksi kauas, se alue, johon hän on kiinnittänyt katseensa, näyttää lopulta kaukaisuudessa olevalta pisteeltä. Samalla kuitenkin yhden­suuntaisista suorista näkyy yhä suurempi osa. Nämä suorat kohtaavat äärettömyydessä olevalla suoralla (suoralla, joka kulkee origon kautta tasossa z = 0). Tason z suorat ovat ideaalisia pisteitä. Taso z = 0 on äärettömyyessä oleva suora.
Homogeeninen piste (0, 0, 0) on siellä, minne kaikki todelliset pisteet päätyvät, kun tasoa katsotaan äärettömän kaukaa. Se on tasolla z = 0 oleva suora, jossa yhden­suuntaiset suorat kohtaavat.
Duaalisuus
Yhtälössä xTℓ = 0 on kaksi pystyvektoria. Kumpi tahansa niistä voidaan pitää vakiona ja antaa toiselle eri arvoja. Jos piste x pidetään vakiona ja kertoimelle ℓ annetaan eri arvoja, saadaan muita saman pisteen kautta kulkevia suoria. Jos taas kerroin pidetään vakiona ja vaihdetaan pistettä x, saadaan muut samalla suoralla olevat pisteet. Vektori x vastaa pistettä, koska käytettävät akselit ovat x-, y- ja z-akseli. Jos sen sijaan kertoimia kuvattaisiin akseleilla, joille käytettäisiin merkintää a, b ja c, pisteistä tulisi suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jotakin käyttämällä akseleja x, y ja z, sama argumentti pätee myös akseleille a, b ja c. Tätä ominaisuutta sanotaan projektiivisen tason duaalisuudeksi.