cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
استان مکه
استان مکه پر جمعیت‌ترین استان عربستان سعودی است. این استان در غرب عربستان سعودی قرار دارد و دارای ارتباط ساحلی طولانی‌ای با دریای سرخ است. مساحت این استان ۱۵۳٬۱۲۸ کیلومتر مربع است و جمعیت آن در سرشماری سال ۲۰۱۰ برابر با ۶٬۹۱۵٬۰۰۶ نفر بوده‌است. مرکز این استان شهر مکه است و جده بزرگترین شهر در این استان است که درگاه اصلی ورود و خروج به این منطقه است. جمعیت شهر مکه بالغ بر ۱٫۷۰۰٫۰۰۰نفرمی باشد که درایام حج پذرای حدود ۳ میلیون نفر از مسلمانان سایر ممالک اسلامی جهت برپایی مناسک واجب حج تمتع می‌باشد.
شیلی
تقسیمات اداری
برای هر ناحیه یک نام و یک عدد رومی، از سمت شمال به جنوب منظور شده‌است. کلاً، اعداد رومی بیش از اسم این نواحی مورد استفاده قرار می‌گیرند. تنها مورد استثناء در ناحیه‌ای است که سانتیاگو قرار دارد و برای آن "RM" در نظر گرفته شده‌است، که بیانگر «رخیون متروپلیتانا»، یا «ناحیه پایتختی» می‌باشد.
در سال ۲۰۰۵، کنگره شیلی اصلاحیه‌ای از تصویب گذارند تا دو ناحیه جدید یکی در شمال در اطراف شهر آریکا، و یکی در بخش مرکزی جنوب حوالی والدیویدیا (ناحیه آکا از رودخانه‌ها) ایجاد شود. با قرار دادن اعداد رومی XIV و XV در اسامی این استان‌ها، هردو ناحیه ترتیب اعداد جغرافیایی که از شمال به جنوب تنظیم شده بود را برهم زدند. تصور بر این است که نام رسمی آن‌ها جایگزین نام حاوی عددشان شود.
سانتیاگو
سانتیاگو که به سانتیاگوی شیلی هم معروف است پایتخت و بزرگ‌ترین شهر شیلی و یکی از بزرگ‌ترین شهرهای آمریکای جنوبی است. سانتیاگو در ۱۲ فوریه ۱۵۴۱، با نام «سانتیاگو در محدوده جدید» توسط پدرو دو والدیویا پایه‌گذاری شد. مراسم بنیان‌گذاری بر روی تپه هولین (که سپس تپه سانتا لوسیا نام‌گذاری شد) برگزار گردید. والدیویا مکان سانتیاگو را به دلیل اقلیم معتدلش و این که به آسانی می‌شد از آن دفاع نمود، برگزید. رودخانه ماپوچو به دو شاخه تقسیم شده که بعدها در جریان پایین رود به هم مجدداً می‌پیوندند و یک جزیره ایجاد می‌کنند. بیشتر جمعیت سانتیاگو از نسل اروپایی سفید و اسپانیایی هستند. پس از اسپانیایی‌ها شامل مهاجران متصدی دولتی، آلمانی‌ها، سوئیسی، و انگلیسی‌ها اند. پس از آن‌ها ایتالیایی‌ها، ایرلندی‌ها و مهاجران کروات قرار می‌گیرند. ساکنان مرکب دورگه اروپایی و آمریندیانی بخش عمده‌ای از جمعیت را تشکیل می‌دهند. این شهر در اثر رشد اقتصادی، به‌طور فزاینده‌ای از سوی کشورهای دیگر در آمریکای لاتین پذیرای مهاجرت است. بسیاری از پرویی‌ها، بولیویایی‌ها، آرژانتینی‌ها و اکوادوری‌ها در سانتیاگو زندگی می‌کنند.
مردم
جمعیت این کشور حدود ۱۹٫۱ میلیون نفر است. شیلی یک کشور نسبتاً یک‌دست از لحاظ جمعیت می‌باشد و بیشتر جمعیت آن غالباً اسپانیایی‌تبار بوده و دارای درجات مختلفی از آمیزش با بومیان سرخ‌پوست هستند.
زبان
درک و فهم گویش شیلیایی زبان اسپانیایی برای بیگانگان دشوار است. علت آن حذف هجاهای آخر و اصوات 's' در واژه‌ها، تلفظ بسیار نرم برخی از حروف بیصدا و سطوح بالای کاربرد کلمات عامیانه، به ویژه در نواحی سانتیاگو و اطراف آن است.
مردم شیلی همچنین نسبت به اسپانیایی‌زبانان سایر کشورهای همسایه سریعتر صحبت می‌کنند. این عوامل همگی دست به دست هم می‌دهند تا گویش شیلیایی از نظر دیدارکنندگان تازه‌وارد به این کشور، حتی گویشوران حرفه‌ای زبان اسپانیایی، دشوار باشد.
فرهنگ و نمادهای ملی
نشانهای ملی این کشور دو نوع جانور ملی را ترسیم می‌نمایند: کرکس («والچر گریفوس»، یک پرنده بسیار بزرگ که در کوهستان‌ها زندگی می‌کند) و هوئمول («هیپوکاملوس بیسولکوس»، یک گوزن دم سفید که نژادش در خطر است). در این مورد همچنین یک جمله اسطوره‌ای وجود دارد «Por la razón o la fuerza» («با حق یا به زور» یا «با منطق یا با زور»).
دین
در سال ۲۰۱۵، ۵۵٪ جمعیت بالای ۱۵ سال شیلی کاتولیک، ۳۵٪ آگنوستیک و لائیک، ۱۳٪ پروتستان و ۷٪ پیروان دیگر ادیان گزارش شده‌است.
اقتصاد
بخش مالی شیلی سریعتر از حوزه‌های دیگر اقتصاد طی چند سال اخیر پیشرفت نموده‌است؛ قانون اصلاح بانکداری که در سال ۱۹۹۷ به تصویب رسید دامنه فعالیت مجاز خارجی را برای بانک‌های شیلی گسترش داد. دولت شیلی در سال ۲۰۰۱ آزادی بیشتری را در بازارهای سرمایه پیاده نمود. مردم شیلی از ابزارهای مالی جدیدی برخوردار شده‌اند همچون وام‌های سرمایه‌گذاری مسکن، معاملات سلف و حقوق خرید و فروش ارز، کارگزاری (مقاطعه کاری)، لیزینگ، و کارت‌های اعتباری. ارائه این محصولات جدید نیز همراه با کاربرد فزاینده از ابزار سنتی همچون وام‌ها و کارت‌های اعتباری بوده‌است. سیستم پرداخت خصوصی مقرری شیلی، با دارائی‌های حدود ۵۴ میلیارد دلار در پایان سال ۲۰۰۴، به منبع مهمی از دارایی سرمایه‌ای برای بازار سرمایه تبدیل شده‌است.
شیلی یکی از بهترین نرخهای اعتباری (+ S&P A) را در بین کشورهای آمریکای لاتین حفظ نموده‌است. دولت به بازپرداخت قروض خارجی خود ادامه می‌دهد. قروض مرکب خارجی بخش‌های دولتی و خصوصی در پایان سال ۲۰۰۴، تقریباً ۵۰ درصد کل تولید ناخالص ملی را تشکیل می‌داد- که بر اساس استانداردهای آمریکای لاتین رقم پایینی است.
مجموع صادرات شیلی در سال ۲۰۲۰ حدود ۶۹٫۷ میلیارد دلار و واردات آن حدود ۶۹٫۶ میلیارد دلار بوده‌است.
بر اساس براوردها در سال ۲۰۱۹ میزان تولید ناخالص داخلی برپایه قدرت خرید معادل ۴۵۹ میلیارد دلار و برپایه نرخ دلار معادل ۲۸۲ میلیارد دلار بوده‌است.
دفاع
نیروهای مسلح شیلی از طریق وزارت دفاع به وسیله رئیس‌جمهور کنترل می‌شوند. رئیس‌جمهور این اختیار را دارد تا فرمانده کل نیروهای مسلح را برکنار نماید.
فرمانده کل قوای ارتش شیلی ژنرال اسکار ایزوریتا فرر است. ارتش شیلی شامل ۵۵۰۰۰ نفر نیرو بوده و به وسیله ستاد ارتش در سانتیاگو سازماندهی می‌شود، که شامل هفت یگان در این منطقه، یک تیپ هوابرد در رانکاگوا، و یک نیروی مخصوص تکاور در کولینا هستند. ارتش شیلی یکی از حرفه‌ای‌ترین و پیشرفته‌ترین ارتش‌ها از لحاظ فناوری در کشورهای آمریکای لاتین می‌باشد.
دریاسالار رودولفو کودینا دیاز رهبری ۲۵۰۰۰ پرسنل نیروی دریایی شیلی و از جمله ۵۰۰۰ تفنگدار دریایی را بر عهده دارد. از میان ۲۹ فروند کشتی زمینی- دریایی ناوگان شیلی، تنها ۶ فروند از آن‌ها سامانه اصلی عملیاتی (از انواع تخریبچی و ناوچه محافظ) هستند. این کشتی‌ها در والپاریزو مستقر می‌باشند. نیروی هوایی دارای سامانه هوابرد ویژه ترابری و اسکورت برای خود بوده؛ و هیچ‌گونه ناوشکن یا هواپیمای بمب افکن ندارد. نیروی دریایی شیلی همچنین ۳ فروند زیردریایی در تالکاهوانو دارد.
ژنرال اوسوالدو سارابیا ویلچز فرماندهی ۱۲۵۰۰ نفر افراد نیروی هوایی را بر عهده دارد. مجموعه یگان‌های هوابرد شیلی در بین پنج مقر تیپ هوایی توزیع شده که در نواحی ایکوئیکو، آنتوفاگاستا، سانتیاگو، پورتو مونت و پونتا آرناس واقع شده‌اند. نیروی هوایی شیلی همچنین در یک پایگاه هوایی در جزیره کینگ جورج قاره جنوبگان عملیات هوایی انجام می‌دهد. نیروی هوایی شیلی در سال ۲۰۰۶ ۱۰فروند هواپیمای اف-۱۶ آمریکایی را در کنار ۶ فروند هواپیمای دست دوم بازسازی شده از همان نوع مزبور از نیروی هوایی سلطنتی هلند، تحویل گرفت.
پلیس
اداره آگاهی پلیس شیلی در سال ۱۹۳۳ به وجود آمد که به عنوان یک سازمان پلیسی غیرنظامی و مشابه با دامنه و عملکرد پلیس فدرال آمریکا (اف‌بی‌آی) عمل می‌کند. از لحاظ اداری بخشی از وزارت دفاع، فعالیتش به عنوان یک بازوی تحقیقاتی از شاخه قضائی است. پرفکتو آرتورو هررا وردوگو فعلاً رئیس پلیس آگاهی در شیلی می‌باشد.
پانویس
کتابهایی هم در این زمینه نوشته شده (همچون ' چگونه در جنگل شیلی باید زندگی کرد' نوشته ژان برنان و آلوارو تابوادا) که می‌کوشد تا به بیان جزئیات و شرح مشکلات و حالات ویژه منحصربه‌فرد گویش شیلیایی بپردازد.
اطلاعات عمومی
پروژه اطلاعات شیلی
رمله سفلی
رمله سفلی، روستایی از توابع بخش مرکزی شهرستان رامشیر در استان خوزستان ایران است.
جمعیت
این روستا در دهستان عبدلیه غربی قرار دارد و براساس سرشماری مرکز آمار ایران در سال ۱۳۸۵، جمعیت آن ۷۰ نفر (۱۰خانوار) بوده‌است.
زیست سازگاری تیتانیوم
تیتانیوم اولین بار در دهه ۵۰ میلادی برای جراحی بکار برده شد؛ در حالیکه یک دهه قبل تر برای ساخت ایمپلنت بکار رفته بود. امروزه از این فلز به عنوان پروتز، ایمپلنت‌های ثابت کننده داخلی، دستگاه‌های داخل بدن و ابزار دقیق استفاده می‌شود. از تیتانیوم از سر تا انگشتان پا به عنوان ایمپلنت استفاده می‌شود. از جمله کاربردهای این فلز می‌توان به استفاده در جراحی‌های مغز و اعصاب، ایمپلنت‌های چشم، قفس فیوژن ستون فقرات، ضربان‌سازها، ایمپلنت‌های پا و جایگزین‌های شانه، آرنج، مفصل ران، زانو و چندین کاربرد دیگر اشاره کرد. علت اصلی استفاده از تیتانیوم در بدن، زیست سازگاری فلز و دارا بودن سطوح زیست فعال در صورت اعمال فرایندهای بهبود سطح است. از جمله پارامترهای سطحی که بر زیست سازگاری ماده اثرگذار هستند، می‌توان به بافت سطحی، steric hindrance, binding sites و آب‌دوستی اشاره کرد. برای ایجاد پاسخ سلولی مطلوب، بایستی این پارامترها بهینه شوند. برخی از ایمپلنت‌های پزشکی و همچنان ابزارهای جراحی با تیتانیوم نیترید پوشش داده می‌شوند.
زیست‌سازگاری
تیتانیوم به علت مقاومت به خوردگی مطلوب در مقابل سیالات بدن، زیست نفوذ ناپذیری، گیرش مطلوب ایمپلنت توسط استخوان و حد خستگی بالا به عنوان زیست‌سازگارترین ماده شناخته می‌شود. مقاومت تیتانیوم در برابر محیط سخت بدنی به علت فیلم اکسید محافظی است که به صورت طبیعی در صورت وجود اکسیژن شکل می‌گیرد. این فیلم اکسید که به شدت پایدار، غیرقابل حل، و غیرقابل نفوذ شیمیایی است، از واکنش‌ها بین فلز و محیط احاطه کننده جلوگیری می‌کند.
تحریک آنژیوژنز حین گیرش توسط سطوح پر انرژی
پیشنهاد داده شده‌است که ظرفیت تیتانیوم برای گیرش توسط استخوان از ثابت دی الکتریک بالای اکسید سطح نشات می‌گیرد که در پروتئین‌ها تأثیری نمی‌گذارد. یکی از عمده مزیت‌های تیتانیوم نسبت به آلترناتیوهای این ماده-که برای متصل شدن نیاز به پوشش چسبنده دارند-توانایی این ماده در ایجاد اتصال فیزیکی با استخوان می‌باشد.
پوشش دهی سطحی
در انفعال سطحی تیتانیوم فیلم اکسید به صورت طبیعی تشکیل می‌شود. این فیلم اکسید تحت تابعی از زمان حضور در محیط بدنی ناهمگن و قطبی خواهد شد. همچنین مورد اشاره شده سبب جذب سطحی گروه هیدروکسیل‌ها، لیپوپروتئین‌ها و گلیکوالیپیدها در این زمان خواهد شد. جذب این ترکیبات سبب تغییر در برهمکنش ایمپلنت با بدن و بهبود زیست سازگاری آن می‌شود. در آلیاژهای تیتانیوم از جمله آلومینیوم-زیرکونیوم و آلومینیوم-نئوبیوم، یون‌های زیرکونیوم و نئوبیوم که به علت خوردگی آزاد می-شوند، در بدن بیمار آزاد نمی‌شود، بلکه به لایه غیرفعال اکسیدی اضافه می‌شود. عناصر آلیاژی در لایه غیرفعال اکسیدی می‌تواند سبب زیست‌سازگاری بیشتر و مقاومت به خوردگی شود که درجه تأثیر آن به اصلی‌ترین عنصر آلیاژی مقاوم به خوردگی وابسته است.
تجمع سطحی پروتئین (Γ) توسط معدلهٔ زیر تعریف می‌شود:
که در آن QADS چگالی شارژ سطحی، M جرم مولی پروتئین مورد نظر، n تعداد الکترون‌های مبادله شده و F ثابت فارادی می‌باشند.
معادلهٔ فرکانس برخورد به صورت زیر است:
که در فرمول اشاره شده، D ضریب انتشار مولکول BSA در دمای ۳۱۰ کلوین، d قطر پروتئین مد نظر -که دو برابر شعاع استوکس است-، NA عدد آووگادرو و c ضریب تمرکز فوق اشباع حجمی بحرانی می‌باشند.
خیس شوندگی و سطح جامد
خیس شوندکی تابعی از زبری سطحی و ترک‌های سطحی می‌باشد. با افزایش خیس شوندگی، به سلول‌ها اجازه داده می‌شود تا به آسانی به سطح ایمپلنت بپیوندند و در نتیجه زمان لازم برای گیرش ایمپلنت توسط بدن کاهش می‌یابد. خیس شوندگی تیتانیوم می‌تواند با بهینه‌کردن پارامترهای واکنش نظیر دما، زمان، و فشار اصلاح شود. قابلیت خیس شوندگی ایمپلنت‌های تیتانیومی با لایه اکسید سطحی پایدار که عمدتاً شامل TiO2باشد، در تماس با مایعات فیزیولوژیکال بهبود می‌یابد.
الحاق
سلول‌های اطراف ایمپلنت به شدت به اشیا خارجی حساس هستند. وقتی ایمپلنت در بدن انسان کاشت می‌شود، سلول‌های اطراف رفتاری التهابی از خود بروز می‌دهند که منجر به کپسوله سازی می‌شود و سبب اختلال در ارگانی می‌شود که ایمپلنت کاشته شده‌است.
جستارهای وابسته
فلزات زیست‌جذب‌پذیر
تیتانیوم
ایمپلنت
بیومتریال
اس-آدنوزیل متیونین
اس-ادنوزیل متیونین با فرمول شیمیایی C۱۵H۲۲N۶O۵S+ یک ترکیب شیمیایی با شناسه پاب‌کم ۹۸۶۵۶۰۴ است که جرم مولی آن ۳۹۸٫۴۴ g/mol می‌باشد. این مولکول یکی از کوآنزیم‌های واکنش‌های سلولی (به ویژه در باکتری‌ها) جهت انتقال گروه متیل می‌باشد.
در درمان افسردگی
در یک بررسی که نتایج آن در ژورنال روانپزشکی آمریکا منتشر شده‌است، جرج پاپکوستاس، سرپرست این پژوهش و روانپزشک در دانشکده پزشکی هاروارد، مکمل SAMe را به تعدادی از افراد مبتلا به اختلال افسردگی عمده که با درمان ضدافسردگی بهبود نیافته بودند، دادند. نتایج این پژوهش نشان داد که افزودن مکمل اس-آدنوزیل متیونین، یا SAMe به درمان دارویی ضدافسردگی در بیماران مبتلا به افسردگی عمده، نسبت به بیمارانی که علاوه بر داروهای معمول‌شان یک داروی بی‌اثر (دارونما) دریافت می‌کردند، باعث بهبودی بیشتر بیماران گروه اول شد.
ارابیب
ارابیب، از طایفه‌های سیستانی استان سیستان و بلوچستان می‌باشد.و ازاصیل ترین مردمان آریایی سیستان میباشندوازساکنین اولیه سیستان بوده اند وهستند.دوران درخشان این طایفه حتی بعد ازنفوذاعراب درزمان خلیفه سوم حفظ شد.وباهمان امتیازقبل اسلام درمناطق مذکورشان ماندندوبه علت موقعیت اجتماعی خاصی که داشتند.آقا،ارباب وصاحب اختیارخطاب می شدندوتاکنون این نام بر آنها مانده است.افرادوابسته به این طایفه ازخاندان کیانیان میباشند وتوانستندنسل خودراازحمله تیموریان وازبکها حفظ کنند.کثرت جمعیت آنهابه حدی بود که همواره یکهزارمردجنگی داشتند.دوران باشکوه این دسته از ارابیب درزمان حمله افشاربه سیستان وغروب کیانیان به خطر افتادوتنها به امیداشرافیت گذشته خود فقروتنگدستی راتحمل میکردند ودرمواردعدیده روبه روی مردم قرارمیگرفتند.یک دسته ازاین ارابیب که تلاش بسیاری درجهت اتحاداین طایفه انجام داد. شخصی بنام ارباب سیف الدین پیربود از آخرین بازماندگان نسل معتمد ملوک کیانی سیستان و از نوادگان ارباب‌سعید(حاکم سیستان در زمان شاه عباس صفوی) بود که جرج پیترتیت درقسمت اعظم مطالب سیستان ازاطلاعات وی بهره جست.سرنوشت ارابیب سیستان درس عبرتی شد تاارابیب منطقه خاش(لادیز)تن به عوامل حکومتی دهند. افراداین طایفه درسیستان ایران وافغانستان ،خاش(لادیز)،سراوان،شیراز،کویته،کراچی و...ساکن هستند.
منابع
کتاب سیستان نوشته جرج پیترتیت
کتاب قصص الخاقانی دوران صفویه
اوزیماندیاس (بریکینگ بد)
اوزیماندیاس چهاردهمین قسمت از فصل پنجم سریال درام-جنایی آمریکایی، بریکینگ بد، و به‌طور کلی شصتمین قسمت پخش شده از این مجموعه است. این قسمت در تاریخ پانزدهم سپتامبر سال ۲۰۱۳ در ایالات متحده و کانادا از شبکه کابلی ای‌ام‌سی به نمایش درآمد.
خلاصه داستان
عمو جک و گروهش آسیبی ندیده اند در حالی که مامور گومز مرده است و هنک شریدر از ناحیه ران مورد اصابت گلوله قرار گرفته است. والتر وایت به جک التماس می کند که هنک را نکشد و در ازای جان هنک به جک 80 میلیون دلار پول نقد پیشنهاد می دهد. با این وجود، جک هنک را میکشد و افرادش هر هفت بشکه پول را در می آورند و یکی را برای والتر وایت می گذارند. به پیشنهاد تاد، آنها جسی پینکمن را به عنوان گروگان می گیرند تا از او اطلاعاتی در مورد اینکه چقدر به پلیس مبارزه با مواد مخدر آمریکا(DEA) گفته است،بگیرند. جسی پس از ضرب و شتم و شکنجه برای کسب اطلاعات، توسط تاد مجبور می شود به او کمک کند تا متافتامین آبی رنگ را بپزد. ماری به اسکایلر می‌گوید که هنک والت را دستگیر کرده است و اسکایلر موافقت می‌کند که حقیقت را به والت جونیور بگوید. وقتی به خانه بازمی‌گردند، متوجه می‌شوند که والت در حال بستن چمدان هایش است و اصرار می‌کند که خانواده فوراً بروند. اسکایلر که متوجه مرگ هنک شریدر می شود با چاقو به والتر وایت حمله می کند. والت جونیور در دعوای بعدی از مادرش دفاع می کند و با پلیس تماس می گیرد که همزمان والتر وایت همراه با دخترش هالی از خانه فرار می کند. او پس از بر عهده گرفتن مسئولیت کامل تجارت مواد مخدر طی تماسی با اسکایلر که توسط پلیس شنود می شود، هالی را در ایستگاه آتش نشانی رها می کند و از طریق ارتباط با سائول گودمن هویت جدیدی به دست می آورد.
نام گذاری عنوان
عنوان اپیزود به شعر "Ozymandias" نوشته پرسی بیش شلی اشاره دارد که میراث در حال فروپاشی یک پادشاه مغرور را بازگو می کند.
لبه کاسه شانه
لبهٔ کاسهٔ شانه (Glenoid labrum) که به آن لابروم شانه و رباط کاسه‌ای هم گفته‌اند، یک رشته بافت نرم است و کاسه شانه را به شکل فنجان درمی‌آورد. لبهٔ کاسهٔ شانه، سطح صاف گودی کاسه‌ای (گلنوئید) را به عمق کاسه حرکت می‌دهد و آن را با سر استخوان بازو جفت می‌سازد.
شانه از سه استخوان تشکیل شده‌است: اسکاپولا (کتف یا تیغه شانه)، هومروس (استخوان فوقانی بازو)، و ترقوه. قسمتی از استخوان کتف از کاسه شانه تشکیل می‌شود.
لابروم یک بافت غضروفی است که اطراف لبه حفره گلنوئید قرار می‌گیرد، حفره را عمیق‌تر و به نگهداری سر هومروس در مفصل کمک می‌کند. لابروم نوعی از غضروف است که در شانه قرار دارد. دو نوع غضروف در مفصل وجود دارد. نوع اول غضروف روی سر استخوان‌ها (که غضروف مفصلی نامیده می‌شود) که سر خوردن و حرکت استخوان‌ها برروی هم را تسهیل می‌کند. نوع دوم که لابروم از این گروه می‌باشد فیبری و محکم‌تر می‌باشد.
لابروم دو عملکرد دارد: عمیق‌تر کردن حفره گلنوئید، اتصال بافت‌ها و ساختمان‌های دیگر اطراف مفصل مانند لیگامان که مفصل را کنار هم نگه می‌دارد.
مفصل شانه یک مفصل گوی و حفره است که از سر هومروس و گلنوئید اسکاپولا (کتف) تشکیل می‌شود. سر هومروس بصورت گوی و حفره کم عمق گلنوئید به شکل یک زیر استکانی که ازسر هومروس (استخوان بازو) کوچک‌تر است.
اندازه‌های نامناسب سر هومروس و حفره کم‌عمق و کوچک گلنوئید که کپسول مفصلی سستی همراه آن‌هاست انجام حرکات را در محدوده وسیعی برای این مفصل امکان‌پذیر می‌سازد اما بی‌ثباتی مفصل را سبب می‌شوند. عضلات نیرومندی که مفصل را به‌طور کامل احاطه کرده‌اند این بی‌ثباتی را از بین می‌برند. این عضلات قادرند که مفصل را در هر حالتی نگهداری و تقویت کنند بدون اینکه مانع عملکرد و حرکت رباط‌ها شوند.
آبیل
طایفهٔ آبیل، از طایفه‌های استان سیستان و بلوچستان می‌باشد.
جی.پی. تیت، محقق و نویسنده بزرگ ریشه این قوم بزرگ را از ایالت اوتارپرادش  در هند می‌داند. از خصوصیات افراد این قبیله می‌توان به رنگ پوست سفید و سبزه، قدرت بدنی بالا، قامت بلند و گاهی متوسط اشاره کرد.
طایفه آبیل در زابل ساکن روستای هابیل، روستای عبدالرحیم آبیل، روستای آبیل، روستای آبیل پل رنده، خمک کمپ اداره راه آبیل، ابراهیم‌آباد آبیل در سیاه پشته، بلوچ آبیل، رنده سفلی، روستای سنجرانی، دوست محمد، نوار مرزی میلک، سه راهی ملکی، شندل، بالاخانه و ده سرحدی و سایر مناطق می‌باشند. همچنین مجموعه تپه‌های تاریخی آبیل واقع در روستای آبیل در بخش میان کنگی - دهستان مارگان از جاذبه‌های توریستی سیستان می‌باشند و قدمت آن مربوط به قرون ۴ تا ۹ هجری قمری می‌باشد. جمع کثیری از طایفه آبیل در سطح شهر زابل و زاهدان سکونت دارند. این طایفه در ستیزه‌جویی و خوی جنگجویانه زبانزد بوده و در پی این خصلت یک تیره از آبیل‌ها پس از کشتار تعداد کثیری از هندوها به منطقه بلوچستان پاکستان مهاجرت کردند و سپس عده‌ای در چخانسور و گنگ ساکن شدند.
در این طایفه برخلاف اکثر طوایف که نام فامیلی یکسان و ریشه و نیای متفاوت دارند همه افراد طایفه آبیل از یک اصل و ریشه و نژاد مشترک هستند. این طایفه به صورت نواری از هند به پاکستان و افغانستان و در نهایت نواحی شرق و شمال ایران امتداد یافته‌است و اصالت این قوم در منطقه همواره زبانزد بوده‌است. در حال حاضر ریش سفید طایفهٔ آبیل، حاج بلوچ خان آبیل می‌باشد. سایر اسامی این فامیل عبارتند از:آبیل، هابیل، آبیلی.
نامداران و سرداران معاصر طایفهٔ آبیل : از سرداران این طایفه حاج بلوچ خان آبیل، سردار عبدالرحیم و عبدالرحمان خان آبیل، و سردار ملنگ خان آبیل بوده اند
نام آبیل برگرفته از منطقه‌ای در ناحیه شمال و پشت دریاچه هامون (پشت آب) می‌باشد که این طایفه درگذشته در آن زندگی می‌کرده‌است.
«جی.پی. تیت» نویسنده کتاب سیستان، آبیل‌ها را باقی مانده قوم ابهیریا می‌داند که در سواحل دریای عمان و منطقه بلوچستان پاکستان سکونت داشته‌اند. همچنین حدود ۱۰۰ سال پیش تعداد ۲۹۴ خانواده از طایفه آبیل در ناحیه گنگ و تعداد ۳۲۰ خانواده در چخانسور زندگی می‌کرده‌اند.
در گذشته طایفه آبیل بیشتر در نواحی ساحلی دریاچه هامون در سیستان و نیزارها و شهر زابل زندگی می‌کرده‌اند. شغل کلی این طایفه در گذشته دور دامداری و تعدادی نیز به شغل کشاورزی مشغول بوده‌اند.
اوگو میفسود بونیسی
اوگو میفسود بونیسی (Ugo Mifsud Bonnici؛ زادهٔ November 8, 1932) یک سیاست‌مدار اهل مالت است. وی از آوریل ۱۹۹۴ تا آوریل ۱۹۹۹ رئیس‌جمهور این کشور بود.
ورا رالستون
ورا رالستون (Vera Ralston؛ July 12, 1919 – 1919:7:12, February 9, 2003) یک ورزشکار، و هنرپیشه اهل ایالات متحده آمریکا بود.
چندوجهی
چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.
چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.
به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.
چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.
تعاریف
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:
"«گناه اصلی در نظریه چندوجهی‌ها به اقلیدس بر می‌گردد و از او به کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌اند.»"
با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.
از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.
زوایا
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:
سطح چندوجهی
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.
اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.
محدب بودن
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:
چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.
اسکلت
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.
اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.
تور
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.
در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.
خواص توپولوژیکی
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.
توپولوژی رویه
رویه یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.
در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.
از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل چنبره است.
طبقه‌بندی توپولوژیکی
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.
مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (\chi\,) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
که V, E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.
قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند: برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.
مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است. جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
چندوجهی چنبرواری
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک چنبروار نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک منیفولد را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل چنبره (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند. در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با V − E + F = ۲ − ۲N می‌باشد.
تعداد وجوه
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.
شکل گوشه‌ها
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.
نماد رأس
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.
نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل ۲(۳٫۵) نمایش داد.
پیکربندی وجه
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا ۲(۳٫۴)V است.
زاویه داخلی چندوجهی
چندوجهی ها از چندضلعی های منتظم درست شده اند. چندوجهی ها مثل چندضلعی ها زاویه داخلی و خارجی دارند.
زاویه داخلی چندوجهی ها بر اساس تعداد وجوه و اضلاع راس بدست می آید.
مثلا چهاروجهی چهار تا مثلث متساوی الاضلاع دارد و اندازه زاویه داخلی وجه آن 60 درجه است و مجموع زاویه داخلی آن برابر با180درجه است.ولی چهاروجهی مجموع زاویه داخلی فضایی اش برابر با720 درجه است.
پس مجموع زاویه داخلی و اندازه زاویه داخلی به ترتیب بر این اساس نوشته می گردد.
حجم
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.
حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.
به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود: که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، Q_F نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، N_F بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.
مساحت
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام مساحت هم هستند که میزان سطح رویه وجه های چندوجهی را محاسبه و اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای مساحت خود داشته باشند. به عنوان مثال،مساحت اهرام، منشورها و متوازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.اما چندوجهی ها به دلیل انواع زیادشان ممکن است مساحت پیچیده داشته باشند.(مثل مساحت چندضلعی ها)
سیارک ۲۱۶۳۸
سیارک ۲۱۶۳۸ بیست و یک هزار و ششصد و سی و هشتمین سیارک کشف شده‌است که در ۱۴ ژوئیه ۱۹۹۹ کشف شد.
قدر مطلق سیارک برابر ۱۰.۲ است.
چندوجهی
مساحت
مساحت چندوجهی:.
nدر اینجا تعداد وجه و'nتعداد ضلع چندضلعی است عددπدر اینجا برحسب رادیان است
نماد اشلفلی
چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.
نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.
چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.
نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:
ناوردای دن
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی اقلیدسی با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.
تقارن
بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.
گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.
گروه‌های تقارنی
بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل: تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.
دوگانگی
برای هر چندوجهی محدب، دوگانی وجود دارد که: چندوجهی‌های دوگان با هم جفت هستند، به این معنی که دوگان دوگانشان خودشان است. بعضی چندوجهی‌ها خود دوگانند، یعنی اینکه دوگانشان متجانس با خودشان است.
چندوجهی‌های انتزاعی هم دوگان دارند که دارای مشخصه اویلر و جهت‌گیری مشابه با چندوجهی اولیه هستند. با این حال شکل حاصل از دوگانگیشان یک چندوجهی دوگان را توصیف نمی‌کند، بلکه فقط ساختار ترکیبی آن را مشخص می‌کند. برای بعضی تعریف‌ها از چندوجهی‌های انتزاعی هندسی، چندوجهی‌های انتزاعی وجود دارند که دوگانشان یک چندوجهی هندسی نیست.
منشوروار
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از: حجم منشوروار از رابطه حاصل می‌شود که در آن V حجم، A1 و A3 مساحت دو وجه موازی، A2 مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.
در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده. «هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از اکستروژن مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است. از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای \vec a و \vec b و \vec c شکل زیر محاسبه می‌گردد:
می‌دانیم: و: که در اثر یکی شدن:
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک متوازی‌الاضلاع است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است. اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی مستطیل هستند. اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام مکعب مستطیل تشکیل می‌شود.
استان شرقی
استان شرقی ممکن است یکی از موارد زیر باشد:
چندوجهی
منشوروار
برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است. یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است. پایهٔ ابلیسک نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:
کره ازنوع احجام‌هندسی است.کره مجموعه‌نقاطی از فضا است که فاصله مرکز کره تا نقاط‌کره را شعاع آن‌گویند.شکل‌فیزیکی یا اسکلتی کره به‌صورت دایره‌ای است که‌درون آن یک‌بیضی قرار دارد.کره از نوع چندوجهی‌ها است ولی‌از نوع منتظم یاد‌ نشده‌است،چون وجه های کره از چندضلعی منتظم نیست و دارای‌انحنا است.کره می‌تواند چندوجهی هارا محاط کند وبر اساس همین محاط‌کردن می‌توانیم حجم چندوجهی ‌هارا محاسبه کرد.اگرچندوجهی در کره محاط شود قطر‌ چندوجهی منتظم با قطر کره برابر می‌شود.
حجم‌کره و مساحت‌کره به این‌صورت است:رابطه مساحت‌کره و حجم‌کره به این‌صورت است که با مشتق حجم‌کره،مساحت‌کره بدست‌می‌آید ولی با انتگرال‌گیری مساحت‌کره،حجم کره بدست‌می‌آید.
چندوجهی منتظم
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند. در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.
اجسام افلاطونی
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده. اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
چندوجهی کپلر-پوآنسو
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
اجسام ارشمیدسی
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
اجسام کاتالان
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
چندوجهی یکنواخت
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر: پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
اجسام جانسون
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
چندوجهی گلدبرگ
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند: این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
چندوجهی ژئودزیک
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
دلتاوجهی
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
دوهرم‌ها
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
پاددوهرم‌ها
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی لوزوجه است.
چندوجهی انعطاف‌پذیر
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.
طبیعی
با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. سنگ نمک گاهی در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد (شکل ۱) و بلورهای فلئوریت شبیه هشت‌وجهی‌اند (شکل ۲) پیریت هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود (شکل ۳).
در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند (شکل ۴). برخی ویروس‌ها نظیر ویروس هرپس سیمپلکس (عامل تبخال) شکلی شبیه بیست وجهی دارند (شکل ۵).
هیدروکربن افلاطونی هیدروکربنی است که ساختار آن با یکی از پنج جسم افلاطونی مطابقت دارد، در این صورت اتمهای کربن جایگزین رئوس آن می‌شوند، پیوندهای کربن - کربن جایگزین ضلع‌های آن می‌شوند و در صورت لزوم اتم‌های هیدروژن نیز وجود دارد (شکل ۶). بیست وجهی بریده شده در ساختار فولرن باکمینستر کاربرد دارد (شکل ۷).
!۱ !۲ !۳ !۴ !۵ !٦ !٧ موضوع دیگر کمپلکس‌های معدنی است. بیشتر ساختارهای آنها از الگوی نقاط روی کره (یا مثل اینکه اتم مرکزی در وسط یک چندوجهی قرار داشته باشد که رأس‌های آن شکل محل لیگاند‌ها دیگر هستند)، جایی که هم پوشانی مداری (بین اوربیتال‌های لیگاند و فلز) و دافعه‌های لیگاند و لیگاند منجر به هندسه‌های منظم خاصی می‌شوند. بیشترین هندسه‌های مشاهده شده در زیر ذکر شده‌است، اما موارد زیادی وجود دارد که از یک هندسه منظم منحرف می‌شوند، به عنوان مثال به دلیل استفاده از لیگاند از انواع متنوع (که منجر به طول پیوند نامنظم می‌شود؛ اتم‌های هماهنگی از الگوی نقاط روی کره پیروی نمی‌کنند)، به دلیل اندازه لیگاندها یا به دلیل اثرات الکترونیکی:
!۱ !۲ !۳ !۴ !۵ !۶
مصنوعی
از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود (اشکال ۱و۲). بیست وجهی بریده شده در ساختار توپ فوتبال کاربرد دارد (شکل ۳). به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود؛ مثلاً در گنبدهای ژئودزیک ژئودزیک‌ها با هم تلاقی می‌کنند و عناصر مثلثی شکل را تشکیل می‌دهند مانند چندوجهی‌های ژئودزیک (اشکال ۴و۵و۶). !۱ !۲ !۳ !۴ !٥ !٦ اهرام در بسیاری از نقاط جهان وجود دارند. به عنوان مثال اهرام مصر بناهایی باستانی واقع در مصر هستند. منابع حداقل ۱۱۸ هرم را در مصر شناسایی می‌کنند. در دوره پادشاهی قدیم و میانه بیشتر آنها به عنوان مقبره برای فراعنه کشور و همسایگان آنها ساخته شده‌است. اهرام ثلاثه (شکل ۱) و هرم جوزر (شکل۲) از آن دسته اند. ساکنان بین‌النهرین اولیه‌ترین ساختارهای هرمی را به نام زیگورات ساختند (شکل ۳). با آنکه نام هرم با مصر گره خورده، ملت سودان ۲۲۰ هرم باقیمانده دارد (شکل ۴). تعدادی از فرهنگ‌های آمریکا مرکزی نیز سازه‌هایی به شکل هرم ساخته‌اند. اهرام آمریکا مرکزی معمولاً پله پله می‌شدند و معابد در بالای آن قرار داشتند که بیشتر شبیه زیگورات‌های بین‌النهرین بودند تا اهرام مصر (اشکال ۵و۶). به جز اینها اهرام در تمدن‌های دیگری نیز ساخته می‌شدند. !۱ !۲ !۳ !۴ !٥ !٦
بریدن
در چندوجهی‌ها، بریدن عملیاتی که طی آن رئوس چندوجهی قطع شده و به جای هر راس وجه جدیدی ایجاد می‌شود. این اصطلاح از نامهای کپلر برای اجسام ارشمیدسی گرفته شده‌است.
نوع خاصی از برش، بریدن یکنواخت است، یک عمل برش که به یک پلیتوپ منتظم (در اینجا چندوجهی منتظم) اعمال شده و یک چندوجهی با وجوه منتظم با طول ضلع‌های مساوی ایجاد می‌کند. درجاتی از آزادی در اندازه بریدن وجود نداشته و این یک هندسه ثابت را نشان می‌دهد، دقیقاً مانند چندوجهی‌های منتظم. شکل زیر نشان می‌دهد چگونه چند عمل بریدن یکنواخت متوالی مکعب را ابتدا به اجسام ارشمیدسی و سپس هشت وجهی تبدیل می‌کند و برعکس:
ستاره ای کردن
ستاره ای کردن عملیاتی است که توسط کپلر در سال ۱۶۱۹ تعریف شده‌است: این کار شامل گسترش برخی از وجه‌های چندوجهی به نقطه ای است که آنها دوباره به هم می‌رسند. با این عملیات، چندوجهی‌های کپلر از دوازده وجهی منتظم ساخته شدند، دو تا از چهار چندوجهی که امروزه به عنوان چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. هشت وجهی ستاره ای یک ستاره هشت وجهی منتظم و ترکیب دو چهاروجهی منتظم است.
در زیر برخی از ستاره‌ها آورده شده‌است: یکی هشت وجهی ستاره ای، و سه مورد دیگر دوازده وجهی‌های ستاره ای منتظم (موارد اول و سوم از چندوجهی‌های کپلرند). مورد آخر چندوجهی حاصل از یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی است:
مفروش سازی
برخی از چندوجهی‌ها می‌توانند به عنوان آجر برای پر کردن فضا بدون ایجاد سوراخ استفاده شوند، همان چیزی که در کندوها اتفاق می‌افتد: چنین عملیاتی را مفروش سازی می‌نامند. چندوجهی‌ها در یک قالب در امتداد وجه‌هایشان مجاورند. در میان اجسام افلاطونی، تنها چندوجهی ای که قادر به مفروش سازی است مکعب است. در میان اجسام ارشمیدسی، دوازده لوز وجهی و هشت وجهی بریده شده این توانایی را دارند. از هشت وجهی و چهاروجهی منتظم می‌توان به صورت جفت برای مفروش سازی استفاده کرد.
گسترش
گسترش عملی روی چندوجهی است که در آن وجوه به صورت شعاعی از هم جدا می‌شوند و وجوه جدید در رئوس و اضلاع تشکیل می‌شوند. این عمل را می‌توان با حفظ وجه‌ها در همان موقعیت اما کاهش اندازه آنها تصور کرد. چندوجهی حاصل از گسترش یک چندوجهی، چندوجهی ای است یکنواخت، دارای وجوه آن چندوجهی، وجوه دوگانش و وجوه مربعی جدید در محل ضلع‌های چندوجهی اولیه است. جدول زیر گسترش برخی چندوجهی‌ها را نمایش می‌دهد:
اسناب
در هندسه، اسناب عملی است که روی چندوجهی اعمال می‌شود. این اصطلاح از نامهای یوهانس کپلر برای دو جسم ارشمیدسی - مکعب اسناب و دوازده وجهی اسناب - گرفته شده‌است. به‌طور کلی، اسناب‌ها دارای تقارن دستسانی (کایرالیتی) با دو شکل هستند: با جهت‌گیری عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت. با نام‌های کپلر، یک اسناب را می‌توان نوع دیگر گسترش یک چندوجهی منتظم دانست: حرکت دادن وجه‌ها از یکدیگر، چرخاندن آنها در مرکز آنها، افزودن چندضلعی‌های جدید که در راس‌های اصلی قرار دارند و اضافه کردن جفت مثلث‌هایی که بین ضلع‌های اصلی قرار دارند. کاکسیتر این مفهوم را به پلیتوپ‌های یکنواخت گسترش داد. سه تصویر سمت راست عمل اسناب را روی برخی چندوجهی‌ها و دو تصویر سمت چپ ارتباط بین چندوجهی گسترش داده شده و اسناب برخی چندوجهی‌ها را نشان می‌دهند:
تناوب
در چندوجهی‌ها، تناوب که بریدگی جزئی نیز نامیده می‌شود، عملی است که در اثر آن رئوس چندوجهی یکی در میان برداشته می‌شوند. از آنجا که در اثر تناوب تعداد اضلاع نیز همانند رئوس نصف می‌شود، پس فقط می‌تواند روی چندوجهی‌هایی که تعداد اضلاع همه وجوهشان زوج است صورت گیرد. جدول زیر برخی چندوجهی‌ها (راست) و تناوبشان (چپ) را نشان می‌دهد:
پیش از تاریخ
چندوجهی‌ها در اشکال معماری اولیه مانند مکعب‌ها و مکعب مستطیل‌ها ظاهر شدند. همچنین اولین اهرام مربع القاعده مصر باستان نیز از عصر حجر به جا مانده‌است.
اتروسک‌ها حداقل در مورد بعضی چندوجهی‌های منتظم پیش از یونانیان آگه بودند که از کشف یک دوازده وجهی اتروسکی ساخته شده از سنگ صابون در مونته لوفا مشهود است. وجه‌های آن که با طرح‌های مختلف مشخص شده بود، به برخی از محققان نشان می‌دهد که ممکن است از آن به عنوان قالب بازی استفاده شده باشد.
تمدن یونان
نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی (چندوجهی‌های منتظم محدب) را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. اجسام ارشمیدسی نام خود را از ارشمیدس گرفته‌اند، که در یک اثر از دست رفته دربارهٔ آنها بحث کرد. پاپوس اسکندرانی به آن اشاره می‌کند، با بیان اینکه ارشمیدس ۱۳ چندوجهی را ذکر کرده‌است.
چین
لیو هوی یکی از بزرگترین عوامل کمک به هندسه چندوجهی بود. به عنوان مثال، او دریافت که می‌توان گوه ای با قاعده مستطیل و دو طرف شیب دار را به یک هرم و یک گوه چهاروجهی تقسیم کرد. وی همچنین دریافت که می‌توان یک گوه با قاعده ذوزنقه و دو طرف شیب دار را به دو گوه چهاروجهی جدا کرد که توسط هرم جدا شده‌است.