cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
بافت استخوانی
عناصر بافت استخوانی
سلول‌های مزانشیمی که سازنده سلول‌های استخوان‌ساز (Osteoprogenitor cells) می‌باشند به دو گروه تقسیم می‌گردند. یکی سلول‌های دوکی یا کشیده که دارای زوائد سیتوپلاسمی است و به نام سلول‌های استخوانی غیرفعال (Inactive osteoblast). دیگری سلول‌های مکعبی یا استوانه‌ای شکل با هسته‌های قاعده‌ای که نسبت به تیغه‌های استخوانی عمود است و ماتریکس در بافت استخوانی توسط آن‌ها ترشح می‌گردد، که به نام سلول‌های استخوانی فعال (Active osteoblast) خوانده می‌شوند. این سلول‌ها، سیتوپلاسمی بازوفیلی داشته و به سلول‌های بالغ استخوانی یا استئوسیت (Osteocyte) تبدیل می‌گردند. سلول‌های اخیر ستاره‌ای شکل با هسته پهن، تیره و زوائد سیتوپلاسمی بلند فراوانی می‌باشند. این سلول‌ها در حفراتی به نام لاکونا (Lacunae) قرار دارند. (شکل‌های ۳۵ و ۳۶) در اطراف این حفرات، مجاری باریکی به نام کانالیکول (Canaliculi) موجود است که زوائد سیتوپلاسمی سلول‌ها در این لوله‌های کوچک یا کانالیکول‌ها وارد می‌شود. زوائد سیتوپلاسمی این سلول‌ها توسط اتصال بارونه به یکدیگر متصل می‌شوند و از این راه یون‌ها و سایر مولکول‌های کوچک به راحتی از یک سلول به سلول دیگر انتقال می‌یابند. این ارتباط گاه تا ۲۰ ردیف از سلول‌های استخوانی را در دنبال هم امکان‌پذیر می‌کند
II- رشته‌های کلاژن (Collagen fibers)
این رشته‌ها که جزئی از مواد آلی استخوان هستند، از نوع رشته‌های کلاژن نوع یک می‌باشند که بسیار ظریف و در دسته‌هایی به ضخامت ۳ تا ۵ میکرون قرار دارند و به نام رشته‌های کلاژن استخوانی (Osteocollagenous fibers) نامیده می‌شوند. ناگفته نماند که این رشته‌ها جزئی از ماده بنیادی استخوان نیز محسوب می‌گردند.
III- ماده بنیادی (Bone matrix)
مواد معدنی که قسمت اعظم ماده بنیادی استخوان را تشکیل می‌دهند شامل فسفات کلسیم، کربنات کلسیم، هیدروکسی آپاتایت، (Hydroxyaptite) و مواد آلی آن از گلیکوزامینوگلیکان‌ها که از انواع کندروایتین سولفات‌های ۴ و ۶ است، به صورت سیمانی همراه با رشته‌های کلاژن به یکدیگر محکم می‌شوند و ایجاد تیغه‌های استخوانی (Lamellae) را می‌نمایند، که در استحکام استخوان مؤثرند. هر تیغه استخوانی فاصله بین ردیف‌های سلول‌های استئوسیت است که توسط ماده بنیادی، مواد کلسیمی و کلاژن پر شده‌است. گلایکوپروتئین‌های استخوان (استئوکلسین و سیالوپروتئین) دارای قدرت جذب ترکیبات کلسیمی فراوان می‌باشد.
تیغه‌های استخوانی که به ضخامت ۳ تا ۷ میکرون می‌باشند، از اختصاصات بافت استخوانی بالغ می‌باشد. استخوان اسفنجی به شکل تیغه‌های نامنظم قرار دارند و در حالی که تیغه‌های آن‌ها توسط مغز استخوان از یکدیگر جدا شده‌اند، حفره حفره به نظر می‌رسند
لازم است ذکر شود برای نگهداری بلورهای آپاتایت یون فلوراید نیز ضروری است.
یک لایه همبندی ویژه‌ای است که سطح خارجی استخوان را به استثنای سطوح مفصلی می‌پوشاند و بر روی تیغه‌های استخوانی اطرافی خارجی قرار دارد. پریوست در نقاطی که تاندون یا رباط به استخوان متصل می‌گردد بسیار محکم به تیغه‌های استخوانی می‌چسبد و با پوشش خارجی یکی می‌شود.
لایه داخلی: نسبتاً سست است و از الیاف همبندی کم و سلول‌های زیادی تشکیل یافته‌است و شامل سلول‌های پیش استخوان ساز (Osteopr
بازسازی استخوان
یک فرایند مادام العمر است که در آن بافت استخوان بالغ تخریب شده (فرایندی به نام استخوان) و بافت استخوانی جدید تشکیل می شود (فرایندی به نام تشکیل استخوان جدید). این فرایند تغییر شکل یا بهبود استخوان در پی صدماتی مانند شکستگی استخوان یا آسیب های جزئی که در طی فعالیت طبیعی روزمره رخ میدهد را نیز کنترل می کنند. در انسان، کل اسکلت بدن تقریباً هر 10 سال یک بار توسط دو فرایند تجزیه استخوان و تشکیل استخوان بازسازی می‎شود. تجزیه‎ استخوان، که در آن استخوان پیر و آسیب دیده توسط استئوکلاستها حذف می‎شود، حدود 4-6 هفته طول ‎می‎کشد که روند نسبتاً سریعی است. در حالی که، تشکیل استخوان جدید که توسط استئوبلاستها صورت می‎گیرد، تقریباً 4-5 ماه طول می‎کشد. استئوکلاست‎ها و استئوبلاست‎ها سلول‎های تمایزیافته از دو رده سلولی متفاوت هستند: استئوکلاست‎ها از سلول‌های بنیادی خونساز و استئوبلاست‎ها از سلول‎های مزانشیمی متمایز می‎شوند. عدم تعادل در تنظیم دو فرایند تجزیه و تشکیل استخوان منجر به بسیاری از بیماری های متابولیک استخوان مانندپوکی استخوان می شود.
نحوه تشکیل استخوان از سلول‎های بنیادی مزانشیمی
1) فعال شدن سلول‎های بنیادی مزانشیمی (MSC) توسط فاکتور رشد تغییردهنده بتا و مهاجرت به مکان‎هایی که تجزیه‎ استخوان صورت می‎گیرد که در نهایت پیش استئوبلاست‎ها را می‎سازند.
ونچربیت
ونچربیت یک وب سایت فناوری آمریکایی است که دفتر مرکزی آن در سانفرانسیسکو، کالیفرنیا قرار دارد. این سایت اخبار، تحلیل ها، مصاحبه ها و ویدئوها را منتشر می کند.
بافت استخوانی
نحوه تشکیل استخوان از سلول‎های بنیادی مزانشیمی
2) پیش استئوبلاست‎ها، جمعیت ناهمگن سلولی‎ اند فاکتور رونویسی RUNX2 را بیان کرده که این فاکتور نقش اصلی و کلیدی را در فرایند استخوان ‎سازی ایفا می‎کند. این سلول‎ها توسط آلکالین فسفاتاز و استئوکلسین، استئوبلاست‎ها را می‎سازند.
3) استئوبلاست‎ها سلول‎های مکعبی شکل قطبی شده هستند که برای ترشح فعال ماتریکس برون‌یاخته‌ای(ECM) تخصص یافته ‎اند. این سلول‎ها دارای طول عمر نسبتاً کوتاهی(در استخوان‎های انسان 3 ماه تخمین زده می‎شود) هستند . ECM که از کلاژن نوع I بسیار غنی ولی هنوز معدنی نشده ، به عنوان استخوان‌واره(استئوئید) شناخته می‎شود. معدنی سازی از طریق تجمع فسفات کلسیم به شکل هیدروکسی آپاتیت اتفاق می افتد. تشکیل ECM معدنی منجر به ماده سخت اما سبک می‎شود که استخوان را تشکیل می‎دهد.
4) وقتی که ECM تشکیل شد، استئوبلاست‎ها سه سرنوشت ممکن دارند: به استئوسیت‎های تعبیه شده در ماتریکس معدنی‎ شده‎ استخوان تبدیل شده و اکثر اندامک‎های سیتوپلاسمی خود را از دست می‎دهند، در اثر خزان یاخته‌ای(آپوپتوز) می‎میرند، یا به سلول‎های پوششی استخوان تبدیل می‎شوند.
استئوسیت‎ها، که فراوان ترین سلول‎های استخوانی هستند، 90-95٪ از کل سلول‎های استخوانی در یک بزرگسال را تشکیل می‎دهند. آن‎ها در طی تشکیل استخوان از استئوبلاست‎هایی که در مرحله‎ آخر تمایز هستند و توسط ماتریکس غیرمعدنی (استئوئید) احاطه‎ شدند، مشتق می‎شوند. هنگامی که استئوئید معدنی می‎شود، استئوسیت‎ها در آن جا به دام می‎افتند و با یکدیگر و با استئوبلاست‎ها و با سلول‎های پوششی روی سطح استخوان شبکه گسترده‎ ای ایجاد می‎کنند. برخلاف استئوبلاست‎ها، استئوسیت‎ها می‎توانند در طول زندگی یک فرد زنده بمانند. این سلول‎ها دارای یک جسم سلولی کوچک و تعداد زیادی دنباله‎ های سیتوپلاسمی بلند دندریتیک مانند هستند که کانال در داخل استخوان را تشکیل می‎دهند و نقش مهمی در تنظیم تمایز و عملکرد استئوبلاست و استئوکلاست دارند. بررسی بیان ژن‎هایrunt-related transcription factor 2 (RUNX2) ، alkaline phosphatase (ALP) و osteopontin (OPN) می‎تواند جهت تشخیص درجه تمایز سلول‎های بنیادی مزانشیمی به سلول‎های استخوان استفاده شود.
اوگو فانو
اوگو فانو (Ugo Fano؛ زاده July 28, 1912 – درگذشته 1912:7:28, February 13, 2001) یک دانشمند اهل ایتالیا بود.
باشگاه فوتبال پرسپولیس شمال
باشگاه فوتبال پرسپولیس شمال یک باشگاه فوتبال است که در شهر قائم‌شهر قرار دارد.
این تیم با نام سابق سایپا شمال یا سایپا قائم‌شهر توسط باشگاه پرسپولیس تهران در اکتبر ۲۰۱۳ میلادی خریداری و با نام پرسپولیس شمال در مسابقات فوتبال ایران حضور یافت.
تاریخچه
این تیم در مدت زمان کوتاه از لیگ دسته دوم استان با قهرمانی‌های پیاپی تا لیگ دسته یک ایران صعود کرد.
پارک ژوراسیک
پارک ژوراسیک که بعداً به عنوان دنیای ژوراسیک نیز شناخته شد، یک فرنچایز چندرسانه‌ای علمی تخیلی آمریکایی است که داستان آن بر تلاشی فاجعه‌بار برای ایجاد یک پارک موضوعی از دایناسورهای شبیه‌سازی‌شده متمرکز شده‌است.
ویلیام مارتن (قایقران بادبانی)
ویلیام مارتن (William Martin; October 25, 1828 – 1828:10:25, February 25, 1905) قایقران قایق بادبانی اهل فرانسه بود.
امیرحسین آذری
امیرحسین آذری (زاده ) بازیکن بسکتبال ۳ نفره اهل ایران است. از افتخارات وی میتوان به کسب مدال برنز در بازی‌های آسیایی ۲۰۱۸ اشاره کرد.
برج زیدانلو
برج زیدانلو، روستایی است از توابع بخش مرکزی شهرستان قوچان در استان خراسان رضوی ایران.
جمعیت
این روستا در دهستان قوچان عتیق قرار داشته و براساس سرشماری سال ۱۳۸۵جمعیت آن ۴۴۲ نفر (۱۱۴ خانوار) بوده است.
جیکوب دیلن
جیکوب دیلن (Jakob Dylan؛ زادهٔ December 9, 1969) یک موسیقی‌دان اهل ایالات متحده آمریکا است. وی از سال ۱۹۸۷ میلادی تاکنون مشغول فعالیت بوده‌است، او فرزند باب دیلن است.
گوگینگن
گوگینگن یک شهر در آلمان است که در استالبکرایس واقع شده‌است.
اچ‌دی ۱۵۵۳۴۱
اچ‌دی ۱۵۵۳۴۱ یک ستاره است که در صورت فلکی آتشدان قرار دارد.
ویشه‌چینو
ویشه‌چینو (به لاتین: Wyszecino؛ تلفظ لهستانی: ) یک منطقهٔ مسکونی در لهستان است که در گمینا لوژنو واقع شده‌است. ویشه‌چینو ۴۸۱ نفر جمعیت دارد.
المور سیتی، اکلاهما
المور سیتی شهری در ایالت اکلاهما کشور ایالات متحده آمریکا است که جمعیت آن در سرشماری سال ۲۰۱۰ میلادی، ۶۹۷ نفر بوده‌است.
حمام گلشن (لاهیجان)
حمام گلشن بنایی متعلق به دوران قاجار است که در سال ۱۲۳۹ ساخته شده است. این حمام در محلهٔ میدان لاهیجان و در مقابل مسجد جامع لاهیجان و بقعهٔ چهارپادشاهان قرار دارد. این حمام که در زمان فتحعلیشاه احداث گردید، در گذشته دارای خزینه‌ها و حوضچه‌های متعددی بود ولی به دلیل امتداد خیابان، امروزه تنها نیمی از آن پا بر جاست. حمام گلشن در سال ۱۳۳۴ و با شماره ۱۴۴۲ به ثبت سازمان میراث فرهنگی و گردشگری ایران رسیده است.
در گذشته این گرمابه دارای دو سربینه (رخت‌کن) بود: قسمت اول که ورودی‌های حمام به آن متصل بوده محل استفادهٔ افراد معمولی و سربینهٔ دوم که کوچکتر و از نظر ارتباط با هوای آزاد و سرد بیرون در امان بیشتری بود مربوط به افراد ثروتمند بوده است.
در صحن حمام گلشن هشت ستون سنگی قرار دارد که بزرگ‌ترین گنبد این حمام با هشت متر ارتفاع در میانه این ستون‌های سنگی می‌باشد. تمامی صحن توسط کف‌پوش های موزاییکی تزیین شده‌اند که همچنان بعد از سپری شدن چندین سال مشاهده می‌شود.
بر اثر زمین‌لرزه در سال ۱۳۶۹ قسمت زیادی از این حمام تخریب شد. مساحت حمام قبل از زمین‌لرزه و خراب شدن بالغ بر ۸۰۰ متر بود ولی بعد از آن تنها ۶۴۵ متر مساحت دارد و اثری از مابقی این بنا نیست.
گره (دیلم)
گُره یا گوره، روستایی است از توابع بخش امام حسن در شهرستان دیلم استان بوشهر ایران گفته شده که نام گره از گرنه که همان قرنة عراق باشد گرفته شده زیرا ساکنان اولیه گره عرب‌های بنی اسد هستند که از قرنة عراق به این منطقة هجرت کرده‌اند و احتمالاً خانواده‌های عرب زاده نوادگان آن مهاجران باشند.
جمعیت
این روستا در دهستان لیراوی میانی قرار دارد و بر اساس سرشماری سال ۱۳۸۵ جمعیت آن ۲۳نفر (۴خانوار) می‌باشد.
ناحیه باکهورن، شهرستان براون، ایلینوی
ناحیه باکهورن، شهرستان براون، ایلینوی (به انگلیسی: Buckhorn Township) یک منطقهٔ مسکونی در ایالات متحده آمریکا است که در شهرستان براون، ایلینوی واقع شده‌است. ناحیه باکهورن ۹۸ نفر جمعیت دارد و ۱۹۲ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
شهدطوطیک‌های درخشان
شهدطوطیک‌های درخشان یک سرده از پرندگان خانواده طوطیان سبز است که بومی جزایر گرمسیری اقیانوس آرام است. یازده گونه از این شهدطوطی‌تباران کوچک وجود دارد که از شرق فیجی تا ساموآ، پلی‌نزی فرانسه و تا شرق جزیره هندرسون را شامل می‌شود. همه اعضای این سرده دارای پرهای درخشان استثنایی هستند، به‌ویژه پرهای نامعمول آبی در سراسر بدون شهدطوطیک آبی و شهدطوطیک لاجوردی.
شهدطوطیک‌های درخشان به شدت توسط دگرگونی‌های انسانی در جزایر خود تهدید می‌شوند. بیشتر گونه‌ها در چندین جزیره از بین رفته‌اند و دو گونه پیش از ورود کاوشگران اروپایی به اقیانوس آرام منقرض شده‌اند. دو گونه توسط IUCN به عنوان گونه‌های در معرض خطر و دو گونه آسیب‌پذیر در نظر گرفته شده‌اند. آنها در درجه نخست توسط گونه‌های معرفی‌شده، مانند موش، و از دست دادن زیستگاه در معرض تهدید هستند.
این سرده ۱۱ گونه دارد.
نسل الهام بخش
نسل الهام بخش (هانگول: 감격시대، RR: Gamgyeoksidae) یک مجموعه تلویزیونی کره جنوبی محصول سال ۲۰۱۴ است، به نویسندگی چه سونگ دائه و کارگردانی کیم جونگ گیو و آهن جون یونگ می‌باشد. از بازیگران این مجموعه می‌توان به کیم هیون جونگ، ایم سو هیانگ و جین سه یون اشاره کرد. این سریال به تعداد ۲۴ قسمت، از ۱۵ ژانویه تا ۳ آوریل ۲۰۱۴ در روزهای چهارشنبه و پنجشنبه ساعت ۲۱:۵۵، در شبکه کی‌بی‌اس۲ پخش شد.
داستان
داستان دربارهٔ خشونت، عشق و دوستی است که در سال ۱۹۳۰، بین کره، چین و ژاپن در حال گردش می‌باشد.
گاشا (پرو)
گاشا (به اسپانیایی: Gasha) یک کوه در پرو است که در Peru, Ancash Region, Huánuco Region واقع شده‌است. گاشا ۴٬۸۸۰ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
شهدطوطیک‌های سبز
شهدطوطیک‌های سبز یک سرده از طوطی‌های خانواده طوطیان سبز است.
مجلس وحدت مسلمین
مجلس وحدت مسلمین پاکستان از بزرگترین احزاب سیاسی در پاکستان محسوب می‌شود و بر مبنای مکتب تشیع دوازده امامی تأسیس شده و به دنبال ایجاد یک دولت رفاه دموکراتیک اسلامی، با تأکید بر وحدت شیعه و سنی در این کشور است.
پنجمین مراسم جایزه انجمن بازیگران فیلم
پنجمین مراسم جایزه انجمن بازیگران فیلم به افتخار بهترین بازیگران فیلم و تلویزیون سال ۱۹۹۸ در ۷ مارس ۱۹۹۹ برگزار شد.
مجلس وحدت مسلمین
تأسیس
مجلس وحدت مسلمین پاکستان، دوم آوریل ۲۰۰۹م (۱۳ فروردین ۱۳۸۸ش) به‌عنوان حزب سیاسی مذهبی در اسلام‌آباد تاسیس شد. ترویج معارف اسلام ناب، حفظ تمامیت ارضی کشور پاکستان، حفظ ارزش‌های اسلامی، حمایت از محرومان و افراد بی‌بضاعت و همچنین تلاش برای وحدت اسلامی میان فرق اسلامی، از اهداف این حزب اعلام شده است.
دبیرکل
طبق اساسنامه این حزب دبیرکل هر سه سال یکبار از طریق انتخابات انتخاب می‌شود. راجا ناصرعباس جعفری به‌عنوان اولین دبیرکل این حزب در ۱۱ آوریل ۲۰۱۰م (۲۲ فروردین ۱۳۸۹ش) انتخاب شد.
ساختار
بالاترین نهاد تصمیم‌گیری در ساختار مجلس وحدت مسلمین پاکستان شورای عالی آن است که تدوین سیاست کلان حزب را بر عهده دارد. علاوه بر آن شورای مرکزی، شورای عمومی، هیئت رئیسه مرکزی، هیئت رئیسه ایالتی و شهرستانی نیز در ساختار این نهاد هستند. دفتر مرکزی حزب در اسلام‌آباد، پایتخت پاکستان قرار دارد و در ایالت‌ها نیز دفتر ایالتی دارد. در ایران نیز شعبه مجلس وحدت مسلمین تشکیل شده است.
اعتصاب غذای اعضای مجلس
راجه ناصر عباس جعفری دبیرکل و تعدادی از اعضای حزب مجلس وحدت مسلمین، از روز جمعه ۲۴ اردیبهشت ۱۳۹۵، در اسلام‌آباد اعتصاب غذا کرد. این کار به دلیل اعتراض علیه کشتار شیعیان پاکستان و نیز غصب اراضی آنان رخ داد. خواسته‌های وی برای شکستن این اعتصاب غذا عبارت بودند از:
روز دهم خرداد ۱۳۹۵ و پس از هفده روز از اعتصاب، حال وی وخیم و به بیمارستان منتقل شد.
اعتصاب اعضای مجلس، واکنش‌ها و بازتاب‌هایی در جهان در پی داشت.
یوگنی کوروتیشکین
یِوگِنی کوروتیشکین (زادهٔ April 30, 1983) شناگر اهل روسیه است.
کارمراشن، وایوتس‌جور
کارمراشِن (به ارمنی: Կարմրաշեն) یک روستا در ارمنستان است که در استان وایوتس‌جور واقع شده‌است. در کیلومتری شمال یغگنادزور، مرکز استان وایوتس‌جور واقع شده است.
خصوصیات
کارمراشِن ۳۱۸ نفر جمعیت دارد و در ارتفاع متر بالاتر از سطح دریا قرار گرفته است.
گویش دهواری
دهواری‌نژاد دهواری‌اسپیچ دهواری‌حاص دهواری‌محمدی،سید دهواری، دهواری‌هیتک اشاره شده دهواری یکی از گویش‌های زبان فارسی با ۱۴ هزار سخنور در ایالت بلوچستان پاکستان است.گروهی از دهواری‌ها در استان سیستان و بلوچستان ایران و حومه شهر سراوان در روستای اسپیچ زیارت و شهر محمدی زندگی می‌کنند.
غلام‌یحیی دانشیان
غلام‌یحییٰ دانشیان (زادهٔ ۱۲۸۵ – درگذشتهٔ ۱۳۶۳): سیاست‌مدار، فرمانده نیروهای نظامی و سازمان فدائیان فرقهٔ دموکرات آذربایجان بود.
زندگی‌نامه
غلام‌یحییٰ دانشیان، در سال ۱۲۸۵ ه‍.ش در روستای عسگرآباد سراب از توابع آذربایجان شرقی چشم به جهان گشود. در نوجوانی همراه پدرش برای کار به مناطق نفتی باکو رفت و در آن جا به عضویت سازمان جوانان کمونیست و سپس حزب کمونیست ایران درآمد. وی با فعالیت خود در میان کارگران ایرانی توانست اعتماد سازمان‌های حزبی را به دست آورد. دانشیان در سال های ۱۹۳۷ تا ۱۹۳۸ هنگام اخراج ایرانیان از آذربایجان شوروی خارج شد. پس از آتش زدن قورخانهٔ ارتش در خیابان خیام در سال ۱۳۱۸ یا ۱۳۱۹ او را در میانه بازداشت کردند و به تهران بردند، اما نتوانستند ارتباط او را با گروه خرابکار ثابت کنند و سرانجام همزمان با اشغال ایران در جنگ جهانی دوم در سال ۱۳۲۰ از زندان آزاد شد و در این زمان با چند واگن باربری راه‌آهن برای حمل بارهای بازرگانان کسب درآمد می‌کرد.
غلام یحییٰ دانشیان در شهر میانه به شعبهٔ محلی حزب تودهٔ ایران و شورای متحدهٔ مرکزی کارگران ایران پیوست و در کنگرهٔ اول حزب تودهٔ ایران عضو کمیتهٔ ایالتی آذربایجان شد. سال ۱۳۲۴ به هنگام تشکیل فرقهٔ دموکرات آذربایجان توسط جعفر پیشه‌وری به آن فرقه پیوست و خیلی زود یکی از سازمان دهندگان نیروی نظامی موسوم به فدائیان و از سران آن فرقه گردید. آبان ۱۳۲۴ حملهٔ فداییان فرقهٔ دموکرات به پادگان‌های نظامی آغاز شد و سراسر آذربایجان که در اشغال شوروی بود به تصرف آنان درآمد. حکومت ایران تلاش می‌کرد شهرها و روستاها را از تعرض گروه فداییان حفظ نماید ولی در این دوران غلام یحییٰ و همدستانش با حمله به روستاها از ارسال مواد غذایی به تهران جلوگیری می‌کردند. در این زمان، درگیری‌هایی بین فداییان به فرماندهی غلام یحییٰ و ارتش ایران در منطقهٔ زنجان پیش آمد که هر بار فداییان با پشتیبانی ارتش شوروی ارتش ایران را به عقب‌نشینی وامی‌داشتند. سرانجام، ارتش شوروی در اردیبهشت سال ۱۳۲۵ استان‌های شمال غربی ایران را تخلیه کردند و ارتش ایران وارد تبریز شد. آذربایجان دوباره به ایران پیوست و عده‌ای از رهبران فرقه خود را به مرز رسانده و از راه جلفا به شوروی پناه بردند.
فرقهٔ دموکرات از زمان شکست در آذربایجان در سال ۱۳۲۵ تا هنگام وحدت با حزب توده در سال ۱۳۳۹ حضور مستقل و چشمگیری در ایران نداشت. تشکیلات فرقه، پس از مهاجرت سران آن به شوروی در باکو به کار خود ادامه داد و پس از مرگ پیشه‌وری در یک سانحهٔ اتومبیل که دانشیان نیز همراه وی بود در تصادف زخمی شد، رهبری فرقه به قاسم چشم‌آذر منتقل شد و در سال ۱۳۳۶ او جای خود را به دانشیان داد. دانشیان در کنفرانس وحدت حزب توده و فرقهٔ دموکرات آذربایجان عضو هیئت اجرایی حزب توده شد. غلام یحیی در تصمیم‌گیری‌های مهم نقشی اساسی ایفا می‌کرد که می‌توان به برکناری رضا رادمنش از دبیر اولی، جانشینی ایرج اسکندری در سال ۱۳۴۸ و همچنین برکناری اسکندری و جانشینی نورالدین کیانوری در سال ۱۳۵۷ اشاره‌نمود. غلام یحیی زبان توده‌ها را به خوبی می‌دانست و می‌توانست با سخنرانی‌هایش آنها را جلب نماید و این توانایی حاصل تجربه‌ای بود که در میان کارگران صنعت نفت باکو کسب کرده بود. دانشیان در واپسین سال‌های پیش از انقلاب ایران به علت بیماری و کهولت سن از فعالیت کناره گرفت و صدر افتخاری فرقه شد و در حوالی سال ۱۳۶۳ در باکو درگذشت.
ژوئی
ژوئی (به فرانسوی: Jouey) یک کمون در فرانسه با جمعیت ۲۰۱ نفر است که در Canton of Arnay-le-Duc واقع شده‌است.
فیلیپ کریستنوال
فیلیپ کریستنوال (Philippe Christanval؛ زادهٔ August 31, 1978) یک بازیکن فوتبال اهل فرانسه است.
تبیا واموت
تبیا واموت (Tabea Waßmuth؛ زادهٔ August 25, 1996) بازیکن فوتبال اهل آلمان است.
از باشگاه‌هایی که در آن بازی کرده‌است می‌توان به باشگاه فوتبال هوفنهایم اشاره کرد.
وی همچنین در تیم ملی فوتبال زنان آلمان بازی کرده‌است.
نوید خواجه‌زاده
نوید خواجه‌زاده (زاده ) بازیکن بسکتبال ۳ نفره اهل ایران است. از افتخارات وی میتوان به کسب مدال برنز در بازی‌های آسیایی ۲۰۱۸ اشاره کرد.
آلبر دوپوی
آلبر دوپوی (Albert Dupouy; February 21, 1901 – December 1, 1973) بازیکن راگبی ۱۵ نفره اهل فرانسه بود.
اسکیپیست
اسکیپیست (The Escapist) یک وب سایت و مجله آنلاین بازی‌های ویدیویی آمریکایی است. این مجله اولین بار به عنوان یک مجله آنلاین هفتگی توسط تمیس مدیا در ۱۲ ژوئیه ۲۰۰۵ منتشر شد و در نهایت به یک وب سایت روزنامه نگاری تبدیل شد.
بخش د سویپاچا
بخش د سویپاچا (به اسپانیایی: Partido de Suipacha) یک منطقهٔ مسکونی در آرژانتین است که در استان بوئنوس آیرس واقع شده‌است. بخش د سویپاچا ۹۴۳٫۸۷ کیلومتر مربع مساحت و ۸٬۹۰۴ نفر جمعیت دارد.
حسن‌آباد بوالفتح
حسن‌آباد بوالفتح، روستایی است از توابع بخش امام حسن در شهرستان دیلم استان بوشهر ایران.
جمعیت
این روستا در دهستان لیراوی میانی قرار دارد و بر اساس سرشماری سال ۱۳۸۵ جمعیت آن ۷۷نفر (۲۰خانوار) می‌باشد.
ویتوریو پرودی
ویتوریو پرودی (Vittorio Prodi؛ زاده March 19, 1937) یک فیزیک‌دان، و سیاست‌مدار اهل ایتالیا است.
خورشید پیر چاق
خورشید پیر چاق نام یک آهنگ از گروه موسیقی سایکدلیک/پراگرسیو راک پینک فلوید است و در آلبومی که این گروه در سال ۱۹۷۰ ،مادر قلب‌اتمی،منتشر کرد قرار دارد.نوشتن و خواندن در این آهنگ توسط دیوید گیلمور،گیتاریست گروه، انجام شده است.
درباره آهنگ
پینک فلوید این آهنگ را در سالهای ۱۹۷۰-۱۹۷۱ به صورت زنده به اجرا درآورد و اجراهای زندهٔ این آهنگ به چهارده دقیقه نیز به طول می‌انجامید.دیوید گیلمور این آهنگ را در تورهای شخصی خود که در سال‌های ۲۰۰۱-۲۰۰۲ و توری که برای آلبوم در یک جزیره ترتیب داده بود نیز به اجرا درآورد و معمولاً در این اجراهای اخیر از گیتار آکوستیک استفاده می‌کرد.
هاکورثی
هاکورثی (به انگلیسی: Hockworthy) یک روستا و محله مدنی در بریتانیا است که در Mid Devon واقع شده‌است. هاکورثی ۱۷۴ نفر جمعیت دارد.
گوهل
گوهل یک شهر در آلمان است که در استهلشتاین واقع شده‌است. گوهل ۱٬۲۱۷ نفر جمعیت دارد.
بنویت لروی
بنویت لروی (Benoît Leroy؛ زادهٔ July 28, 1982) بازیکن فوتبال اهل فرانسه است.
هزرد، کنتاکی
هزرد شهری در ایالت کنتاکی کشور ایالات متحده آمریکا است که جمعیت آن در سرشماری سال ۲۰۱۰ میلادی، ۴٬۴۵۶ نفر بوده‌است.
لاکانش
لاکانش (به فرانسوی: Lacanche) یک کمون در فرانسه با جمعیت ۶۰۷ نفر است که در Canton of Arnay-le-Duc واقع شده‌است.
گافلیسپیتس
گافلیسپیتس (به لاتین: Gafleispitz) یک کوه در لیختن‌اشتاین است که در لیختن‌اشتاین واقع شده‌است. گافلیسپیتس ۲٬۰۰۰ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
ریشارد پیتروسکی
ریشارد پیتروسکی (Ryszard Pietruski؛ October 7, 1922 – September 14, 1996) بازیگر اهل لهستان بود.
از فیلم‌ها یا برنامه‌های تلویزیونی که وی در آن نقش داشته‌است، می‌توان به چهل‌ساله، قماری بالاتر از زندگی، مانع و یانا اشاره کرد.
اچ‌دی ۱۰۱۹۳۰
اچ‌دی ۱۰۱۹۳۰ یک ستاره است که در صورت فلکی قنطورس قرار دارد.
زیست‌بوم تاجیکستان
مشکلات عمدهٔ زیست‌بوم تاجیکستان، غلظت مواد شیمیایی کشاورزی و نمک در خاک و آب‌های زیرزمینی، آلودگی هوا ناشی از صنعت و وسایل نقلیه و آلودگی آب از رواناب کشاورزی و فاضلاب صنعتی تصفیه نشده و مدیریت ضعیف منابع آب و فرسایش خاک است.
فرسایش خاک
فرسایش خاک در ۷۰ درصد از زمین‌های کشاورزی وجود دارد و چرای بیش از حد نیز به فرسایش خاک کمک می‌کند.
تخریب جنگل
تخریب جنگل و قطع درختان برای گسترش زمین‌های کشاورزی و چرای دام نیز یک مشکل جدی در تاجیکستان است.
دایره
در هندسه، دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.
دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره (یا قرص)، روی دایره (یا محیط)، و بیرون دایره. نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی (\pi) نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. ارشمیدس روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و غیاث‌الدین جمشید کاشانی هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند. همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ مربعِ شعاع دایره در عدد پی. دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.
فلاسفهٔ یونان باستان (به پیروی از فیثاغوری‌ها و افلاطون) معمولاً مدل زمین‌مرکزی را با مدلی مبنی بر کروی بودن زمین در می‌آمیختند و بر این باور بودند که زمین کره‌ای است در مرکز جهان و افلاک در دایره‌هایی به دور زمین در گردشند. بطلمیوس با ابداع دایره‌هایی به عنوان فلک تدویر و فلک حامل نظامی ارائه داد که ساختار هستی را بر اساس دایره توجیه کند. کوپرنیک هم با ارائهٔ نظریهٔ خورشیدمرکزی‌اش ساختار جهان را متشکل از دایره‌هایی به گرد خورشید دانست. در نهایت کپلر اعلام کرد که مسیر گردش سیارات به شکل بیضی و نه دایره است و نیوتن شرایطی را مشخص کرد که تحت آن مسیر حرکت دایره‌ای به یکی دیگر از مقاطع مخروطی بدل می‌شود.
دایره کامل‌ترین شکل هندسی دانسته می‌شود و در فناوری، هنر، دین، و فرهنگ اهمیتی عمده داشته‌است. پرگار (که ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف آن با مرکز و شعاع [تعریف اقلیدسی] است) و خط‌کش، تنها ابزار مجاز در هندسه اقلیدسی‌اند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. تربیع دایره، تثلیث زاویه، و تضعیف مکعب سه مسئلهٔ دشوار و مهمی بودند که در طول تاریخ هندسه‌دانان را درگیر خود کردند. در قرن نوزدهم پیر ونزل و فردیناند فون لیندمن ثابت کردند که این مسائل غیرممکنند.
تاریخچه
تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از آغاز تاریخ بازمی‌گردد؛ چنان‌که اختراع چرخ در هزارهٔ چهارم پیش از میلاد در میانرودان نشان از کشف ویژگی‌های بنیادی دایره دارد. در مصر نیز احمس، نویسندهٔ پاپیروس ریاضی ریند، قانونی برای محاسبهٔ مساحت دایره به دست می‌دهد که با مطابق است. در کتیبه‌ای بابلی متعلق به ۱۹۰۰-۱۶۰۰ پ.م. هم رابطهٔ بین مساحت و پیرامون دایره بررسی و عدد پی به‌شکلی ضمنی تعریف شده‌است.
تاریخ باستان
نخستین قضایای مربوط به دایره دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به تالس ( ۶۵۰ پ.م) هستند. او ثابت کرد که قطر دایره آن را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند و زاویهٔ محاطی‌ای که دایره را در دو سرِ یک قطرش قطع کند قائمه است.
فیثاغوری‌ها باور داشتند که زمین کره‌ای است در مرکز هستی و ماه و خورشید و سیاره‌ها در دایره‌هایی هم‌مرکز روی یک صفحهٔ چرخ‌مانند به‌دور زمین در گردشند. این نظریهٔ زمین‌مرکزی، باور غالب یونانیان باستان بود. بااین‌همه آریستارخوس ساموسی‌ ( ۳۱۰  ۲۳۰ پ.م) نظریهٔ خورشیدمرکزی را مطرح کرد که در آن خورشید ثابت است و زمین در دایره‌ای به مرکزیت خورشید در حرکت. همچنین فیلسوف یونانی افلاطون (۴۲۸/۴۲۷ ۳۴۸/۳۴۷ پ.م) باور داشت که زمین کره‌ای بی‌نقص است و همهٔ حرکت‌های سماواتی در دایره‌هایی کامل و با سرعت یکسان به گرد آن صورت می‌گیرد. این باور افلاطون به اصلی جزم‌اندیشانه در آکادمی افلاطون و بعدها در میان ستاره‌شناسان یونان باستان بدل شد.
یکی از مسائل هندسی که یونانیان به‌شدت با آن درگیر بودند مسئلهٔ یافتن مربعی با مساحت مساوی دایره (اصطلاحاً تربیع دایره) بود. آناکساگوراس ( ۴۵۰ پ.م) نخستین ریاضی‌دان شناخته‌شده‌ای است که این مسئله را مطالعه کرده‌است. بقراط خیوسی (۴۷۰ ۴۱۰ پ.م) در تلاش برای حل تربیع دایره توانست ثابت کند که مساحت هلال کوچکتر ایجاد شده از برخورد دو دایره، برابر با مساحت مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقینی است که وترش برابر وتر دایرهٔ کوچکتر و اضلاعش برابر شعاع دایرهٔ بزرگتر است. هلال بقراط نخستین منحنی‌ای بود که مساحت دقیق آن از طریق ریاضی محاسبه شد. آریستوفان ( ۴۴۶ – ۳۸۶ پ.م) در نمایشنامهٔ پرنده‌ها «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره می‌گیرد. دیگر مسائل بزرگی که ریاضی‌دانان یونانی را درگیر خود کرده بود تثلیث زاویه (تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی) و تضعیف مکعب (دو برابر کردن حجم مکعب) با استفاده از پرگار و خط‌کش بود.
کتاب سوم اصول اقلیدس ( ۳۶۵  ۲۷۵ پ.م) نیز تماماً به ویژگی‌های دایره و مسائل مربوط به محیط و محاط کردن آن نسبت به چندضلعی‌ها اختصاص دارد. همچنین سومین اصل از اصول موضوعه اقلیدس بیان می‌دارد که «برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.» ارشمیدس (۲۸۷ ۲۱۲ پ.م) هم در اندازه‌های دایره برای اولین بار فرمول مساحت دایره را اثبات کرد و با چندضلعی‌های منتظم محیطی و محاطی ۹۶‌ضلعی، عدد پی (\pi) را به صورت  (یعنی ) تعریف و محاسبه کرد؛ ازین‌رو عدد پی در برخی منابع «عدد ارشمیدس» نامیده شده‌است.
آپولونیوس ( ۲۴۰ پ.م) به‌شکل ضمنی نشان داد که معادلهٔ دوقطبی r = kr' با تغییر k نظامی از دایره‌های هم‌محور را می‌سازد. او همچنین در اثر مهمش با عنوان مخروطات، دایره را به عنوان حالت خاص بیضی و یکی از مقاطع مخروطی مطالعه، خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف، و عدد پی را با دقتی بیشتر از ارشمیدس محاسبه کرد. او همچنین مسئله‌های آپولونیوس را مطرح و حل کرد و تعریفی متفاوت از دایره (به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت است) ارائه کرد.
بطلمیوس ( ۱۰۰ ۱۶۸ میلادی) با ترکیب آرای ستاره‌شناسان پیشین در المجسطی، نظام زمین‌مرکزی‌اش را به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه شود. به گفتهٔ بطلمیوس زمین و «افلاک» (به ترتیب ماه، عطارد، زهره، خورشید، مریخ، مشتری، و زحل) کاملا کروی‌اند و زمین در مرکز گیتی ثابت و مستحکم شده‌است. به باور او افلاک با سرعت یکنواخت بر دایره‌ای کوچک به نام فلک تدویر در حرکتند و مرکز هر فلک تدویر با سرعتی یکنواخت بر دایره‌ای بزرگ به نام فلک حامل به مرکزیت زمین حرکت می کند. همهٔ این‌ها در داخل منطقه‌البروج قرار دارند که کره‌ای است ثابت و ستارگان روی آن استقرار یافته‌اند. مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان کوپرنیک و تیکو براهه فصل‌الخطاب اخترشناسی باقی ماند.
در روم باستان، «سولکوس پریمیجنیوس» آیینی بود مبنی بر این‌که پیش از بنانهادن هر شهر، پیشوایان مذهبی با هدایت خیشی بسته به دو گاو به دور محوطهٔ آن شیاری به شکل دایره رسم می‌کردند و باور بر این بود که این عمل از شهر حفاظت خواهد کرد. در اساطیر رومی نیز رومولوس به دور شهر رم شیاری دایره‌ای می‌کِشد و برادرش رموس را به علت ورود به این دایره می‌کُشد.
در امپراتوری اشکانی نیز پایتخت‌ها و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شدند؛ از جملهٔ این شهرها می‌توان از نسا، شهر گور، صددروازه، هترا، و تیسفون پارتی یاد کرد. به گفتهٔ گیرشمن، «طرح این شهرها، عدم امنیت دائمی را که در ایران عهد پارتیان حکفرما بود، عدم ثبات سیاست خارجی و اغتشاشات داخلی را آشکار می‌سازد… طرح عمومی آن‌ها عبارت است از دایره‌ای که از اصول شهرسازی قدیم آسیای غربی اقتباس شده و نیز طرح اردوگاه‌های نظامی قدیم را که در قشون آشوری متداول بوده‌است به خاطر می‌آورد.»
همچنین در چین باستان لیو هوی (متولد ۲۲۵ میلادی در کائو وی) با محاط کردن چندضلعی در دایره عدد پی را محاسبه کرد. تسو چونگچی (۴۲۹ ۵۰۰ میلادی) نیز در رسالهٔ شیوهٔ الحاق مقدار عدد پی را مستقل از لیو هوی ولی به شیوه‌ای مشابه برابر  محاسبه کرد.
قرون وسطی
همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن، نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.
بنوموسی در باب مسئلهٔ تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از پرگار) نیز راه حلی با استفاده از مقاطع مخروطی پیشنهاد کردند. ابوجعفر خازن خراسانی (؟ ۳۶۰ ه‍.ق)، ابوسهل بیژن کوهی (؟  ۴۰۵ ه‍.ق) و ابوسعید سجزی ( ۳۳۰   ۴۱۵ ه‍.ق) نیز راه‌حل‌هایی در مورد این قضیه ارائه کردند. ابوریحان بیرونی (۳۶۲ ۴۴۲ ه‍.ق) هم ۱۲ مسئله طرح کرد و نشان داد با حل شدن هر کدام، مسئلهٔ تثلیث زاویه هم حل می‌شود.
عبدالرحمن صوفی (۲۹۱ ۳۷۶ ه‍.ق) به درخواست عضدالدولهٔ دیلمی (۳۲۴  ۳۷۲ ه‍.ق) کتابی با عنوان  نوشت و در آن ترسیم چندضلعی‌های منتظم را با خط‌کش و پرگاری با دهانهٔ ثابت مطالعه کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸ ۳۸۸ ه‍.ق) هم در کتاب  یا اعمال هندسی در مورد ترسیم اشکال هندسی با پرگاری با دهانهٔ ثابت بحث کرده‌است.
غیاث‌الدین جمشید کاشانی (۷۵۸ ۸۰۸ ه‍.ق) در رساله محیطیه نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد پی) را با ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد. کاشانی این محاسبات را به کمک دو ضلعی انجام داد که یکی محاط در و دیگری محیط بر دایره بودند. او همچنین در مقدمهٔ مفتاح الحساب می‌نویسد که در رسالهٔ وتر و جیب، که امروز گمشده است، با استفاده از حل جبری معادلات درجهٔ سوم راه حلی برای تثلیث زاویه ارائه کرده بود.
رنسانس و قرون جدید
در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزی‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشید‌مرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک:
کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقا با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل خودش از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود. کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ آرتور کستلر در خوابگردها، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.»
در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در صورت سه نقطه‌ای دایره قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد. او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خاگی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود. تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد. براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در نظام براهه‌ای زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید. براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ — که آن زمان پایتخت امپراتوری مقدس روم بود — برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی (برون‌مرکزی‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند. کپلر همچنین در کتاب هارمونی جهان (۱۶۱۸) مفهوم هارمونی و هم‌نهشتی را به صورت هندسی در ریاضیات، موسیقی، اختربینی، و اخترشناسی مطالعه می‌کند و فواصل مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت (فاصلهٔ ششم بزرگ در نظام کوک خالص) مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت  نامطبوع این است که پنج‌ضلعی منتظم را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی هفت‌ضلعی منتظم را نمی‌توان.
نیوتن (۱۶۴۲۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی از دایره با عنوان «مسیر» یاد می‌کند. نیوتن، بیست سال پیش از نگارش اصول، حرکت دایره‌ای را (که در زمان تعادل کامل گرانش و مرکزگریزی روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در صورت عدم تعادل کامل بین گرانش و مرکزگریزی، برون‌مرکزیِ مسیرِ حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از مقاطع مخروطی (بیضی، سهمی، یا هذلولی) بدل می‌گردد. همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود. انتگرال‌گیری (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ تربیع دایره (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف لایبنیتس گرفته‌شده است) از عبارت «تربیع منحنی» استفاده می‌کرد.
در تاریخ معاصر
در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس ثابت کرد که هفده‌ضلعی منتظم را می‌توان با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. پنج سال بعد نیز شرایط قابل رسم بودن چندضلعی منتظم با پرگار و خط‌کش را تدوین کرد و نشان داد که بیشتر چندضلعی‌ها را نمی‌توان با خط‌کش و پرگار ترسیم کرد. گابریل لامه (۱۸۷۰–۱۷۹۵) با تعمیم معادلهٔ بیضی، دایره را به همراه مربع در ردهٔ ابربیضی‌ها یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد. در ۱۸۳۷ نیز پیر ونزل با استفاده از نظریهٔ میدان ثابت کرد تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از خط‌کش و پرگار) و تضعیف مکعب (ساخت مکعبی با دوبرابر حجم مکعب اولیه با استفاده از خط‌کش و پرگار) مسائلی غیر ممکنند. از همین رو آگوست دمورگان (۱۸۰۶ ۱۸۷۱) در کتاب خلاصه‌ای از تناقض‌ها «ابلهان تناقض‌کار» یعنی «تربیع‌کنان دایره»، «تثلیث‌کنان زاویه»، و «تضعیف‌کنان مکعب» را نقد می‌کند. در ۱۸۸۰ جان ون با ترکیب دیاگرام اویلر و آرای جرج بول، نمودار ون را ابداع کرد که در آن مجموعه‌ها به صورت دایره‌های همپوشان تصویر می‌شوند. در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و بنابراین ثابت کرد که تربیع دایره (رسم مربعی با مساحت برابر دایره) مسئله‌ای غیرممکن است. پیت هاین (۱۹۰۵–۱۹۹۶) نیز ابرمعادلهٔ ابربیضی‌ها را به‌دست آورد و از آن‌ها در طراحی‌های خود استفاده کرد.
کاربرد
در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است. در دین هندو و آیین بودا، ماندالا یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر و جهان اکبر به تصویر می‌کشند. در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است و در مسیحیت پرگار بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی خدای پدر است. در عرفان یهودی هم درخت زندگی دیاگرامی با ده دایره به نام سفیروت است که هرکدام نماد صورتی از هستی‌اند. پرگار و گونیا نماد اصلی انجمن برادری فراماسونری است و نشان ماسونی نقطه‌ای درون دایره نیز به عنوان نماد جهان هستی به کار می‌رود. در علوم خفیه دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «دایره تعویذ» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود. صوفی‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن نماز‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند. در روانشناسی تحلیلی نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند. حلقه‌ هم در فرهنگ‌های مختلف به‌عنوان نماد اتحاد، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار می‌رود.
از آغاز معماری در دوران نوسنگی، دایره به دلایل کاربردی و نمادین نقشی بنیادی در ساخت‌وساز بوده‌است. استون‌هنج، شناخته‌شده‌ترین اثر دوران نوسنگی، به شکل دایره است. ردپای مسئلهٔ تربیع دایره را هم می‌توان در تاریخ معماری دید؛ چنان که محیط مقطع هرم بزرگ جیزه برابر است با محیط دایره‌ای به شعاع ارتفاع هرم. همچنین مفهوم مرد ویترویوسی، که بنیان معماری غربی از دوران روم تا دوران مدرن بوده، بر اساس تربیع دایره شکل گرفته‌است. به باور پال کلتر، از آنجا که مربع نماد زمین است و دایره نماد تکامل و الوهیت، تربیع دایره نماد جهانی ایجاد تعادل بین دنیای دنی و عالی است. به گفتهٔ هانری استیرلن هم عمدهٔ تلاش‌ها و نوآوری‌های معماران ایرانی بعد از دوران اشکانی معطوف به ایجاد ارتباط بین پلان مربعی ابنیه و مقطع دایره‌ای پایهٔ گنبد بوده‌است. از دیگر الگوهای دایره‌ای در تاریخ معماری می‌توان به معابد گرد و روتونداها در معماری رومی، رمانسک و رنسانس، معابد آسمان و خانه‌های فوجیان تالو در چین، و پنجره‌ها در معماری گوتیک اشاره کرد. از آنجا که پرگار از ابزار اصلی سازندگان و معماران در طول تاریخ بوده‌است، اشکالی که می‌توان آن‌ها را با پرگار کشید (مانند چهارضلعی، پنج‌ضلعی، و شش‌ضلعی) در آثار معماری نقش عمده‌تری دارند و اشکالی که نمی‌توان با پرگار ترسیمشان کرد (مانند هفت‌ضلعی) نادرند. در نقاشی‌های مذهبی، قدیسان غالبا با هالهٔ نوری دایره‌ای شکل به گرد سرشان به تصویر کشیده می‌شوند. در تئوری موسیقی غربی، برای نمایش هندسی اعتدال مساوی دوازده‌نتی گام کروماتیک غالبا از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله دایره پنجم‌ها، که قدمت آن به فیثاغورث می‌رسد، و دایره کروماتیک) استفاده می‌شود. در تئوری موسیقی قدیم ایران و کشورهای دیگر جهان اسلام هم نظریهٔ ادوار دستان‌بندی سازها (نحوهٔ کوک ساز و موقعیت پرده‌های آن) را با کمک مجموعه‌ای از دایره‌ها توصیف می‌کرده‌است.
تعریف اقلیدسی
دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند. یعنی: این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در اصول ارائه می‌کند:
و
دایره به عنوان حالت خاص چندضلعی
دایره را می‌توان چندضلعی منتظمی با شعاع محاطی r و شعاع محیطی R دانست که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. در هندسه، از دایره‌ای با این تعریف با عنوان‌های بی‌نهایت‌ضلعی و تک‌ضلعی یاد شده‌است.
با این تعریف، محیط دایره برابر است با:
و مساحت آن برابر است با:
که هر دو حدشان یکی است، چرا که با میل کردن n به بی‌نهایت، r و R به یک پاره‌خط (شعاع دایره) میل می‌کنند.
به عنوان مقطع مخروطی
دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی‌ است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید. در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.
شعاع، قطر، و وتر
پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را «بردار شعاع» آن نقطه دانست. شعاع معمولا با حرف لاتین r نشان داده می‌شود.
قطر دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود. قطر دایره معمولا با حرف لاتین d نشان داده می‌شود.
پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زِه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است.
خط مماس
خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، و یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط مماس (یا خط تانژانت) بر دایره در آن نقطه موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان» نام دارند.
از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ D بیرون دایره‌ای به مرکزیت O بتوان دو مماس بر نقاط A و B روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های \angle BOA و \angle BDA مکملند. شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.
زاویه مرکزی و زاویه محاطی
زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویهٔ مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند. همچنین هر زاویهٔ مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویهٔ مرکزی (L) برابر حاصلضرب شعاع دایره (r) در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب رادیان (\theta) است. اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی (\alpha) بر حسب درجه نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با.
زاویه مرکزی
زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره و دو ضلع آن شعاع‌های دایره می‌باشند.
نکته: اندازه زاویه مرکزی با اندازه کمان روبرو آن برابر است.
زاویه محاطی
زاویه‌ای که راس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن وترهایی از دایره می‌باشد.
نکته: اندازه زاویه محاطی برابر است با نصف کمان روبرو.
کمان، قطاع، و قطعه
هر دو نقطه A و B روی محیط دایره آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند. برحسب عرف، کمان کوچکتر روی دایره (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن کمتر از باشد) با نقاط دو سر آن  و کمان بزرگتر (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن بیشتر از  باشد) با نقاط دو سر آن و نقطه‌ای در میان آن دو  مشخص می‌گردد. کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن مساوی باشد نیم‌دایره نام دارد. مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر است.
قطاع بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویهٔ مرکزی) و یک کمان محدود شده‌است. قطعه دایره نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویهٔ مرکزی قرار دارد.
محیط
اگر شعاع دایره r و قطر آن d باشد، محیط دایره برابر است با: این فرمول را می‌توان با استفاده از حسابان و فرمول طول قوس در مختصات قطبی اثبات کرد:
اثبات
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود: و به صورت زیر کنار هم چیده شود: مشاهده می‌شود که شکل حاصل نامتعارف است. اما اگر دایرهٔ مفروض به قطاع‌های بیشتری تقسیم شود و همین روند ادامه یابد، مشاهده می‌شود که شکل به دست آمده به متوازی‌الاضلاع نزدیک می‌شود. به عنوان نمونه در مرحله‌ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می‌شود، حاصل شکل زیر خواهد بود (که به متوازی‌الاضلاع نزدیک تر است): اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است. با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الاضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الاضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الاضلاع هم که r (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره خواهد بود.
این اثبات را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت:
اِفرازِ صفحه توسط دایره
دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:
اشتراک دایره‌ها
اشتراک دو قرص دایره به عدسی یا اهلیلجی موسوم است. اگر دو دایره شعاع برابر داشته باشند عدسی متقارن و در غیر این‌صورت عدسی نامتقارن (یا کلی) پدید می‌آید. مساحت عدسی متقارن با شعاع R و طول کمان \theta رادیان عبارت است از: با جدا کردن عدسی از هر یک از دو دایره هلال ایجاد می‌شود. در کل از تقاطع دو دایرهٔ غیرمماس، یک عدسی و دو هلال پدید می‌آید. هلال بقراط، هلالی حاصل از برخورد دو دایره است به‌گونه‌ای که قطر دایرهٔ کوچکتر وتر و شعاع‌های متعامد دایرهٔ بزرگتر اضلاع یک مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه باشند. می‌توان نشان داد که مساحت هلال بقراط با مساحت مثلث مذکور برابر است.
از اشتراک سه قرص دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در نقطهٔ تقاطع دو تای دیگری قرار گرفته باشد مثلث رولو حاصل می‌شود. مثلث رولو حداقل مساحت برای عرض معین در میان منحنی‌هایی با عرض ثابت را دارد. مساحت مثلث رولو ساخته‌شده از دوایری با شعاع r عبات است از: مثلث رولو می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.
مراکز و دوایر تشابه
نقاط تقاطع مماس‌های مشترک دو دایره به «مراکز تشابه» آن دو دایره موسومند. مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های مستقیم (خط‌هایی که هر دو دایره را در یک سمت لمس می‌کنند) ایجاد می‌شود «مرکز تشابه بیرونی» و مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های اریب (خط‌هایی که دو دایره را در دو سمت مقابل لمس می‌کنند) «مرکز تشابه درونی» نامیده می‌شود. می‌توان ثابت کرد که مراکز تشابه دایره روی خطی قرار دارند که از مراکز دو دایره می‌گذرد و این خط و امتداد آن را به نسبت شعاع‌های دو دایره تقسیم می‌کنند. همچنین دایره‌ای که مرکزش روی این خط باشد و از هر دو مرکز تشابه بگذرد (قطر آن برابر فاصلهٔ بین دو مرکز تشابه باشد) به «دایرهٔ تشابه» موسوم است. می‌توان ثابت کرد که این دایره مکان هندسی همهٔ مراکز تشابه داخلی و خارجی ممکن است.
در دستگاه سه زاویه‌ای شش مرکز تشابه (دو تا یکی بیرونی و یکی درونی  برای هر جفت دایره) وجود دارد. می‌توان ثابت کرد که سه مرکز تشابه بیرونی روی یک خط قرار دارند و هر دو مرکز تشابه درونی با مرکز تشابه بیرونی سوم روی یک خطند.
دوایر هم‌محور
دستگاه دوایر به دایره‌هایی گفته می‌شود که مرکز آن‌ها روی یک خط قرار دارد و خط رادیکال (مکان هندسی نقاطی که مماس‌های ترسیم شده به هر دایره طول مساوی داشته باشند) مشترکی داشته باشند. مجموعهٔ همهٔ دوایر هم‌محور به «مدادِ دوایر هم‌محور» موسوم است. اگر خط رادیکال یک مداد دوایر x = 0 (برابر محور yها) گرفته شود، معادلهٔ دستگاه برابر خواهد بود که k مقداری ثابت است، و می‌توان نشان داد که طول مماس بر هر دایره از هر نقطه معین روی خط رادیکال ((0, h)) برابر   و مستقل از a و شعاع دایره‌ها است.
معادلهٔ متعارف
معادلهٔ دایره‌ای که مرکزش c(h,k) و شعاعش r باشد عبارت است از:
آدیداس رانتستیک
آدیداس رانتستیک (Adidas Runtastic) شرکت پوشاک ورزشی اتریشی است، که در سال ۲۰۰۹ توسط شرکت آدیداس تأسیس شد.
دایره
معادلهٔ متعارف
و اگر مرکز دایره در مبدأ مختصاتی (h,k)=(0,0) قرار بگیرد معادلهٔ آن عبارت است از:
معادلهٔ پارامتری
معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع a عبارت است از: که در آن.
معادلهٔ پارامتری دایره را به صورت عبارت‌های گویا نیز می‌توان نوشت. در این حالت معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع a عبارت است از:
طول کمان (s)، انحنا (\kappa)، و زاویه مماسی (\phi) را نیز می‌توان به‌صورت پارامتری نوشت، که عبارتند از:
صورت سه‌نقطه‌ای
معادلهٔ دایره‌ای که از سه نقطهٔ غیر هم‌خط (x_i,y_i) به ازای i=1, 2, 3 می‌گذرد (یعنی دایرهٔ محیطی مثلثی که رئوسش این سه نقطه‌اند) عبارت است از: این معادله را می‌توان به صورت معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو نوشت: که در آن a=c، مقدار b صفر است (چرا که عبارتی قطری بین x و y در دایره نیست)، و: در این‌صورت مرکز دایره در نقطهٔ  خواهد بود و شعاع آن عبارت است از:
معادله قطبی
معادلهٔ قطبی دایره به محوریت مرکز آن نوشته می‌شود و شکلی ساده دارد. معادلهٔ قطبی دایره‌ای به شعاع r که مرکز آن در مبدأ مختصاتی واقع شده باشد عبارت است از: اگر مرکز دایره به نقطهٔ (a,0) منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از: و اگر مرکز دایره به نقطهٔ (0,a) منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:
ابرمعادله
صورت عام ابرمعادله در دستگاه مختصات قطبی عبارت است از:
ترسیم با خط‌کش و پرگار
خط‌کش و پرگار تنها ابزارهای مجاز ترسیم در هندسه اقلیدسی هستند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. پرگار ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف اقلیدسی آن است و با خط‌کشی با طول بی‌نهایت می‌توان خط راست کشید، و هدف ریاضی‌دانان اقلیدسی این بود که همهٔ اشکال را با این دو ابزار بسازند. بنابراین در ترسیم با خط‌کش و پرگار تنها از سه اصل اول اصول موضوعه هندسه اقلیدسی می‌توان استفاده کرد. بنابر اثبات گاوس، تنها شکل‌هایی را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد که اندازه‌شان عدد ترسیم‌پذیر باشد. اعداد ترسیم‌پذیر اعدادی‌اند که بتوان آن‌ها را با اعمال چهار عمل اصلی و ریشه دوم بر یک عدد ترسیم‌پذیر دیگر به دست آورد (صفر و یک بنابر تعریف ترسیم‌پذیرند).
ترسیم‌های بنیادی
همهٔ ترسیم‌ها با خط‌کش و پرگار با تکرار و ترکیب پنج ترسیم بنیادی در صفحه صورت می‌گیرند. این پنج ترسیم بنیادی عبارتند از:
ترسیم‌های غیرممکن
یکی از مسائل کهن ریاضی که در طول تاریخ ریاضی‌دانان را درگیر خود کرده بود تربیع دایره است و مطلوب آن ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که مساحت آن با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد. شکل دیگری از این مسئله ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که محیط آن با محیط دایرهٔ مفروض برابر باشد. در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و تربیع دایره غیرممکن است. در زبان انگلیسی «تربیع دایره» وارد ادبیات شده‌است و همچنین ضرب‌المثلی به مفهوم «عمل غیرممکن» است.
تثلیث زاویه و تضعیف مکعب (یا «مسئلهٔ دلوسی») نیز دو مسئله کهن دیگر ترسیم با خط‌کش و پرگارند که هدف اولی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی است و هدف دومی ترسیم مکعبی که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض (هر ضلع آن \sqrt[3]{2} برابر ضلع مکعب مفروض) باشد. ترسیم هفت‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار (یا تقسیم دایره به هفت کمان مساوی، موسوم به تسبیع دایره هم از مسائلی است که به‌ویژه دانشمندان عصر طلایی اسلام را به خود مشغول داشته بود. در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس گاوس نشان داد که هفت کوچکترین عدد ترسیم‌ناپذیر است و نمی‌توان هفت‌ضلعی منتظم را با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد.
در بعدهای بالاتر
تعمیم دایره در فضای سه‌بعدی کره نام دارد. همهٔ نقاط روی سطح کره از مرکز آن به یک فاصله‌اند. همچنین تعمیم دایره در فضای n+1بعدی به n-کره موسوم است. n-کره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که در فضای n+1بعدی از یک نقطهٔ معین فاصلهٔ یکسانی داشته باشند. به‌این‌ترتیب ۱-کره همان دایره و ۲-کره همان کره است.
همچنین حاصل اکستروژن موازی دایره استوانه و حاصل اکستروژن مرکزی آن مخروط است.
ابوعبدالله حافظ تهرانی
ابوعبدالله حافظ تهرانی معروف به محمد بن حماد، محدث نامور سده سوم هجری قمری است. خطیب بغدادی در کتاب تاریخ بغداد به شرح حال وی می‌پردازد. کهن‌ترین سند تاریخی که در آن نام تهران آورده شده‌است همین کتاب می‌باشد.