cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
6. Zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren osaketa
Oharra : [C(\Q)] multzoaren gain: ordena eta distantzia determinatu gabe daude. Zenbaki arrazionalen gaineko ordena modu bakarrean determinatzen da ( ordena arkimediarra izateagatik), eta orden honen bidez distantzia euklidearra definitu daiteke [\Q]-ren gain.
6.4. Proposizioa:
Froga : Zailtasun gabea.
6.5. Proposizioa .
egokitzapena non: \psi(q)=[q], (\Q,d) eta ([\Q],e)aplikazioa isometria bat da.
Froga :
Oharra : Isometria honen bidez: [\Q] multzoko zenbakiak: zuzen euklidearrean, unitateko segmentuarekiko posizio arrazionalean dauden puntu gisara adieraz daitezke.
Ondorioak :
Helburua ([\Q],d)-ren osaketa egitea da ([C(\Q)],e) ren gain. Osaketa bi pausutan emanten da: trinkoketa eta osaketa. Trinkoketarekin [C(\Q)], dauden zenbakiak, [\Q]-ren metatze puntuak direla ezartzen da:. Osaketarekin, Cauchyren segida arrazional bati dagokion zenbaki erreala, Cauchyren segida arrazionalak, zuzen euklidearrean determikionatzen duen metatze puntua dela ezartzen da.
Trinkoketarekin: ([C(\Q)],e) pseudometrika bat eraikitzen da, eta osaketarekin metrika bat.
7. Trinkotasuna
Hipotesiak: Ondorengoak dira hipotesiak unitate honetan:
Trinkotasunarekin: izatera behartzen da. Zeinetan ([\Q],d) definituriko espazio metrikoa den, eta ([C(\Q)],e) definitzeke dagoen espazio metriko hedatua.
Zenbaki arrazionalen gain distantzia definitua dagoenez, ondorengo definizioa eman daiteke.
7.1. Definizioa
a\in \Q, eta emanik:
.
a zentruko eta \varepsilon erradioko bola irekia izendatuko da.
Oharra: Kontuz hibili behar da definizioarekin, bolak zenbaki arrazionalak bere baitan ditu, baina ez arrazionalekin zer gertatzen den ez dakigu. Zenbaki ez arrazionalak, zenbaki arrazionaletatik gertu egotea nahi da, zentzu honetan.
7.2. Proposizioa : Trinkotasunarena
Oharra : Proposizio honek esaten du, arrazionalak ez diren zenbaki berriak, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu dauden, puntu gisara adieraz daitezkeela. Eta beraz osaketari zentzu euklidearra ezartzen zaio.
7.3. Proposizioa :
Suposa bedi espazio metrikoa dela, eta ([\Q], d)ren edapena dela.
Trinkotasunaren proposizioa betetzen da baldin eta soilik baldin trinkoa ([\Q], d)-n.
Froga .
\Leftarrow, emanik, eta.
, trinkotasunagatik.
Ondorioz:
\Rightarrow, eta emanik.
, ezaugarri arkimediarragatik.
, trinkotasunaren hipotesiagatik.
Ondorioz:.
ondorioztatu da. Eta definizioz: denez.
, ondorioztatzen da. [\Q] trinkoa beraz [C(\Q)]-n.
Ondorioa :Trinkotasunaren proposizioa beste axiometatik ondorioztatuko balitz, espazio metrikoa trinkoa izango zatekeen [\Q]-ren gain, eta hori ez da horrela. Honela trinkotasunaren proposizioa axioma bat da, trinkoa izateko beharrezkoa (puntu arrazionalak puntu ez arrazionaletatik nahi bezain gertu egoteko beharrezkoa).
7.4. Kontraadibidea :([C(\Q)],e), espazio metrikoa, ([\Q],d)-ren hedapena bada, [C(\Q)], ez da beti trinkoa [\Q]-n. Adibidez e metrika honela definitzen bada:
eta x = y bada: e(x,y)=0.
eta x\neq y bada: e(x,y)=1.
eta [q]\in[\Q] bada:.
bada:.
Metrika honekin:, eta beraz [C(\Q)] ez da trinkoa [\Q]-n.
7.5. Irudia : irudikatu da.
Irudia: Irudia engainagarria da, badirudi zuzen euklidearreko puntu guztiak barneratzen direla. Ez da horrela: trinkotasunaren axiomak esaten du:, eta beraz [C(\Q)]-ko elementu guztiak barneratzen dira, zuzen euklidearrean puntu gisara, baina ez da esaten zuzen euklidearreko puntu guztiak [C(\Q)]-ren barnean daudenik ( Beste axioma bat beharko da honetarako).
Oharra : Trinkotasunaren ondorioz: [\Q]-n definiturik dagoen distantzia hedatu egiten da [C(\Q)] multzora.
7.6. Habiapuntua
espazio metriko ezezaguna eta ondorengo ezaugarriak ditu:
1: . Hedapenarena.
2: . Trinkotasunarena.
7.7. Proposizioa :
espazio metrikoa bada, trinkoa da ([\Q], e) espazio metrikoan.
froga : egina dago.
7.8. lema : ([C(\Q)],e), espazio metrikoa bada, ondokoa betetzen da.
Zeinetan:, adierazpenak ondorengo esanahia duen:
Froga :
Trikotasunaren axiomagatik:
Laburduraz:, adierazpena honela adieraziko da: , edo beste modu honetara:.
7.9. Proposizioa : ([C(\Q)],e) espazio metrikoa bada:, emanik
, eta  rentzat, ondoko erlazioa betetzen da:
Laburduraz:, adieraziko da.
, emanik:.
Espazio metrikoen desberdintza triangeluarragatik:
Azken bi desberdintzen ondorioz:
Zeina honela adierazten den:
7.10. Korolarioa :
([C(\Q)],e) espazio metrikoa bada:, eta , emanik:
Froga : 7.9. korolarioa aplikatu ri.
Ondorioa : ([C(\Q)],e) espazioa trinkotu egin da ([\Q],e), espazio metrikoarekiko, eta ondorioz, distantzia berriak eratu dira:  multzotik,  multzora hedatzen dira neurri berriak. Ondorengo proposizioan ikusiko da, distantzia bat osatzeko, ezaugarri bakarra falta zaiola: [C(\Q)]-ren gain, definitu den: e, metrikari.
7.11. Proposizioa :
, pseudometrika bat definitzen du.
Zeinetan: emanik,
Frogapenean:
,
eta.
1: aplikazio bat da.
i) eta, orduan: ,
, ondorioz:
ii) x=x'; y=y'. Biz:, ,  eta.
x=x'; y=y'.Izateagatik, emanik
Ondorioz: emanik zeinetan:
Ondorioz:, aplikazioa da.
1:.
Izan ere:, orduan:
2: . Berealakoa da.
3:
Hots:
, ,
eta desberdinatzak betetzen dira definizioz:
Desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.
Ondorioa :
Zenbaki arrazionalen metatze puntuen ondorioz sortzen den gorputz berria trinkoa izateko axioma bat ezarri behar da. Axioma honen bidez, pseudometrika bat eratzen da. Honela bi puntu desberdinen arteko distantzia nulua izan daiteke.
Metatze puntuen gain metrika bat eraikitzen bada, zeinaren bidez metatze puntuen gorputza trinkoa den zenbaki arrazionalen gain, ezin da zihurtatu gorputza osatua denik, ez eta distantzien arteko kontserbazioa beteko denik ere.
'''7.12. proposizioa. Kontraadibidea.'''
modu honetan definitua:
Eta ordena:.
espazio metrikoa modu honetan definitua:
. bada.
Adibide honetan definitutako kontzeptuek ondorengo ezaugarriak dituzte:
1: Gorputz ordentatu arkimediarra da.
2: espazio metrikoa da, eta zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.
3: trinkoa da ([\Q], e)espazio euklidearraren gain..
4: ez da osatua.
5: -k ez ditu distantziak kontserbatzen.
Kontserbazioa:
Froga: Limitearen notazioaz abusatu den arren: Batura, biderkadura eta ordena zenbaki errealen gisara ezartzen dira, eta beraz zentzu zorrotzean ondo daude. Baina distantziak ez.
, ondorengo zenbakia dugu, zeinetan:, zenbaki arrazionalen segida konbergentea den \sqrt{2}-ra, zenbaki errealen multzoan ohiko metrikarekin.
Ikus dezagun trinkoa dela.
, eta, zeinetan , Cauchyrena izateagatik ezereztatzen den:.
Orduan:, Cauchyren segida bat da:
Eta, zenbakira konbergitzen du:
Ikus dezagun ez dela osatua.
Baubigny (Côte-d'Or)
Baubigny Frantziako udalerria da, Côte-d'Or departamenduan dagoena, Borgoina-Franche-Comté eskualdean. 2013an 0 biztanle zituen.
Biztanleria
2007an Baubigny udalerrian erroldatutako biztanleak 268 ziren. Familiak 104 ziren, horien artean 28 pertsona bakarrekoak ziren (8 bakarrik bizi ziren gizonak eta 20 bakarrik bizi ziren emakumeak), 28 seme-alabarik gabeko familiak ziren, 44 seme-alabak dituzten bikoteak ziren eta 4 seme-alabak dituzten guraso-bakarreko familiak ziren.
Biztanleriak, denboran, ondorengo grafikoan ageri den bilakaera izan du:
Etxebizitza
2007an 201 etxebizitza zeuden, 111 familiaren etxebizitza nagusia ziren, 61 bigarren erresidentzia ziren eta 29 hutsik zeuden. 193 etxeak ziren eta 2 apartamentuak ziren. 111 etxebizitza nagusietatik 92 bere jabearen bizilekua ziren, 13 alokairuan okupaturik zeuden eta 6 doan lagata zeuden; 11 etxek bi gela zituzten, 17 etxek hiru zituzten, 26 etxek lau zituzten eta 57 etxek bost zituzten. 72 etxek euren parking plaza propioa zuten azpian. 50 etxetan ibilgailu bat zegoen eta 54 etxetan bat baino gehiago zituzten.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
Ondorioz:, non:.
Baubigny (Côte-d'Or)
Biztanleria-piramidea
2009an sexu eta adinaren araberako biztanleria-piramidea hau zen:
Neolebias axelrodi
Neolebias axelrodi Neolebias generoko animalia da. Arrainen barruko Distichodontidae familian sailkatzen da.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
Zeinetan notazioz.
Baldin eta,
Ondorioz: eta Caucyren segida baliokideak dira:
., ezinezkoa.
, ezinezkoa.
Ondorioz: Cauchyren segidak ez du limiterik [C(\Q)].
Ikus dezagun ez dituela distantziak kontserbatzen.
Ondorioa:
gorputz arkimediar osatua, edapena izanik, eta espazio metrikoa, trinkoa ([\Q], e)espazio metriko euklidearraren gain, orduan ere ezin da baieztatu  osatua denik, ez eta -k distantziak kontserbatzen dituenik.
Unitateari amaiera emateko korolario bat frogatuko da. [C(\Q)] multzoko edozein elementurentzat, existitzen direla zenbaki horretara konbergitzen duten segida arrazional gorakorrak eta beherakorrak.
Baubigny (Côte-d'Or)
Ekonomia
2007an lan egiteko adina zuten pertsonak 170 ziren, horien artean 135 aktiboak ziren eta 35 inaktiboak ziren. 135 pertsona aktiboetatik 121 lanean zeuden (65 gizon eta 56 emakume) eta 14 langabezian zeuden (4 gizon eta 10 emakume). 35 pertsona inaktiboetatik 7 erretiraturik zeuden, 17 ikasten zeuden eta 11 "bestelako inaktibo" gisa sailkaturik zeuden.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
7.13. Proposizioa
, bada, ondorengo emaitza ematen da:
p\in \N, emanik, zeinetan:
Baubigny (Côte-d'Or)
Diru sarrerak
2009an Baubigny udalerrian 105 unitate fiskal zeuden, 244 pertsonek osaturik. Pertsona bakoitzeko diru-sarrera fiskalaren mediana urteko 20.135 euro zen.
Ekonomia jarduerak
2007an zeuden 8 komertzioetatik, 1 bestelako produktu industrialen fabrikazioko enpresa zen, 3 ibilgailuen saltze eta konpontze enpresak ziren, 2 ostalaritza eta jatetxe enpresak ziren, 1 informazio eta komunikazio enpresa zen eta 1 zerbitzu enpresa zen.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
p\in \N, emanik:, harturik: :
m=n_p, aukeratuz:
, non:.
7.14. Proposizioa
1)
2)
Oharra: Zenbaki irrazionala, ez du esan nahi ordenarekiko, bolan dagoenik.
Froga:
1) Atala, 7.13. proposizioan frogatu da, ikus dezagun n_p, aukera daitekeela 2. baldintza bete dezan.
, eta n \geq n_p, aukeratuz.
, eta.
Baubigny (Côte-d'Or)
Hezkuntza eta osasun ekipamenduak
2009an inguruko herriekin osatutako haur-eskola bat zegoen.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
Ondorioz: ., ondorioz:, ala.
, Argudio hau: [a_{n_p+m}], elementuarengain aplika daiteke:
Baubigny (Côte-d'Or)
Gertuen dauden herriak
Diagrama honek gertuen dauden herriak erakusten ditu.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
7. Trinkotasuna
i), absurdura bideratuz
ii), ematen bada, eta.
ematen denez.
Baldin eta soilik baldin:
, ematen denez:
Eta, aukeratuz:
Eta:
iii) Modu berean argudiatuz:
, eta ezinezkoa da.
Zenbaki arrazionalak ordenatuak daudenez:
, edo
Ondorioz:: m_p=n_p, edo, kasurako:
7.15. Teorema:
ematen bada.
i)
ii)
, emanik eta: aukeraturik,
7.14. Proposizioagatik:, zeinetan:
2), frogatzeko:
Honela:, ezaugarri arkimediarragatik.
bada
, eta beraz:
7.16 Korolarioa
Trinkotasunagatik
ri, 7.15 teorema aplikatuz:
aukeratzen dira.
Eta berriro ere,, aurreko teorema aplikatuz:
Eta, aukeratzen dira.
Eta berriro ere:, teorema aplika daiteke.
....
Errekurrentziz ondorengo segida eraikitzen da:
, zeinetan:
Gainera: eta ondorioz:
Eta beraz:
Oharra: Irudian, irudikatu da, eta kontuz ibili behar da, zeren geroago ikusiko den kontraadibidean [C(\Q)]-ko elementuak ordenarekiko irudikatzen badira zuzen euklidearrean, behar bada, , ez da egongo irudikatu den bolaren barnean, naiz eta bolan dauden elementu arrazionalekiko gertu egon.
8. Osaketa
Osaketarekin axioma berri bat txertatzen da, [\Q]ren gain definitutako Cauchyren segidak konbergenteak direla. Honela ondorengoa da egoera.
gorputz ordenatu arkimediarra da, zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena.
espazio metrikoa, trinkoa ([\Q], e)espazio metriko euklidearraren gain.
espazio metrikoa, osatua da ([\Q], e)espazio metriko euklidearraren gain.
8.2. Kontraadibidea :
, zenbaki errealetan bezala definitua.
, eta.
espazio metrikoa honela definitua:
, edo  ematen bada.
, eta y \in \wp ematen bada.
, ([\Q],d) metrika euklidearraren hedapena da.
Trinkoa da ([\Q],d)-n:.
Eta osatua da ([\Q],d)-ren gain.
Baina ez da zenbaki errealen multzoa: Neurri berriarekin egindako bolak ondorengoak dira zenbaki errealetan.
, a \in \wp bada.
Eta bada:
Ondorioa: Kontraadibide honek erakusten du, beste axioma bat behar dela zenbaki errealen multzoa modu bakarrean karakterizatzeko. Irudian:, irudikatu da: a \in \wp denean.
[C(\Q)]-ko elementuak zenbaki errealetan bezala kokatu dira: ordena eta distantziarekiko. Baina metrika berriarekin a \in \wp zentrutik gertu dauden puntuak, zenbaki errealetan unitate bat ezkerretara desplazatzen dira.
Froga:
espazio metrikoa da.
1:, ondo definiutatko aplikazioa da.
2:, , defini daiteke.
3:, , berealakoa da.
4:.
\Leftarrow Berealakoa da.
\Rightarrow, bada edo orduan, bada:.
Eta beste kasua ezinezkoa da: eta y \in \wp izanik,, bada zenbaki errealetan ondorengo berdintza ematen da:
5: Desberdintza triangeluarra:
5.1.
, bada: desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.
z \in \wp, bada:
eta limitera eramanez:
5.2.
, bada: ,
eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.
z \in \wp, bada:desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.
5.3. eta y \in \wp kasua.
, bada:
, ondorioztatzen da, eta limitera eramanez desberdintzaa triangeluarra.
z \in \wp, bada:, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.
espazio metrikoa ([\Q], d), espazio metriko euklidearraren hedapena da.
emanik.
1: x\notin \wp bada betetzen da, zenbaki errealen kasuan bezala.
espazio metriko osatua da ([\Q], d)-ren gain.
Izan bedi:, cauchyrena ([\Q], d)-n, orduan zenbaki errealetan ohiko metrikarekin limite bakarra du:
.
x\notin \wp bada:,  espazio metrikoan.
x\in \wp bada:, espazio metrikoan.
Ondorioak:
1: Gorputz ordenatu arkimediar trinko eta osatu txikiena, ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa, eta beraz emandako metrika berriak baldintza osagarriren bat bete behar du azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren gain.
2: Ezaugarri hori ez da unitateko distantziaren kontserbazioa, zeren azken kontraadibidean:
, betetzen da.
''' 8.3.proposizioa (proposizio hau ez dago ondo) Eta beraz ondorengo prozesua okerra da. '''
, eta, non , bada,
Orduan:,, zeinetan: ,
Notazioak:,.
bada, eta bada.
Froga :
Gogora bedi: [C(\Q)]-n definitutako ordena:, [\Q]-ren gain, oiko ordena dela. Azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren gain, ordena modu bakarrean ezartzen delako.
,orduan: -rentzat:.
, adieraziko da eta ez nulua denez:
Orduan: non
Orduan eraiki daiteke azpisegida bat non: , eta:
, betetzen denez
, honela adieraziz,
eta, non ,.
m\in\N, eta[q]\in B, emanik.
,
Eta ondorioz:.
Orduan:  emanik:  betetzen da.
Absurdura bideratuz:  (  delako).
Eta beraz:
Zeina ezinezkoa den:, delako.
8.4.Proposizioa .(Osaketarena)
gorputz ordenatu arkimediarra bada.
baldin eta soilik baldin.
\Rightarrow
Suposa bedi osatua dela.
, bada, , betetzen da.
, bada.
osatua izateagatik:
trinkoa izateagatik:
, zeinetan:
Orduan,, rentzat:
Baina:, eta berriro ere, trinkotasunagatik:
, zeinetan:. Eta ondorioz:
Koefiziente arrazionalez osatutako, segidaren limitea arrazionala denez:
, betetzen da, zeinetan:
Absurdura bideratuz frogatuko da, eta beraz suposatuko da.
1:
Honela eraiki daiteke bolatik kanpo dagoen azpisegida bat: eta
segidari aurreko proposizioa aplikatuz:
Baina hori ezinezkoa da, zeren:
, eta
, eta denez:
Eta beraz: ,
Bestalde:. Ezinezkoa.
Ondorioz: frogatu da, eta beraz:
a=\alpha, ondorioztatzen da.
\Leftarrow
Suposa bedi
Orduan:, emanik:
Ondorioz: trinkoa ([\Q], d)-n.
Ikus dezagun osatua dela:
Izan bedi, Cauchyren segida bat, orduan: Cauchyrena da. , eta ondorioz Caucyren segidak, badu limitea:.
Ondorioz: osatua ([\Q], d)-n.
Ondorioa :  gorputz ordenatu arkimediarra bada, eta osatua bada, ordena modu bakarrean eratzen da.
Eta metrika modu bakarrean hedatzen da, ([\Q], d) ezarritako metrikaren gain.
8.5.Korolarioa:
Gorputz ordenatu arkimediar, osatua bada. ([\Q], d) espazio metriko arrazional euklidearra modu bakarrean hedatzen da espazio metrikora.
Arestian frogatu da, espazioa, trinkoa bada  ([\Q], d) ren gain, orduan: e pseudometrika bat dela.
Ikus dezagun osatua bada: e metrika bat dela.
Biz:, zeinetan e(x,y)=0 den.
Osaketaren teoremagatik:.
, eta, hipotesiagatik:
Ondorioz:, eta beraz: x=y.
Ondorioa: Zenbaki arrazionalen trinkotasunaren ondorioz distantzia berria eratu dira, distantzia horiek, ondorengo multzoko elementu gisara adierazi dira:.
Osaketaren ondorioz, da, eta.
Honela zenbaki positibo bat zuzen euklidearrean koka daiteke, jatorritik distantzia horretara dagoen puntua bezala.
''' 8.4.Definizioa. '''
emanik. bada, eta bada, x-en balio absolutua izendatuko da.
Ondorioa : Definizio berri honekin:, adieraz daiteke.
8.5. Korolarioa :
Gorputz ordenatu arkimediar, osatua bada.
gorputz ordenatu arkimediarreko ordena modu honetan edatzen da.
froga :
gorputzari ordenatua eta ordena arkimediarra izatera behartzen bazaio, modu bakarrean eratzen da ordena (ohiko ordena).
Biz, eta har daiteke.
Bestalde:, orduan:
, betetzen da,
ondorioz:.
Ondorioak :
Gorputz ordenatu arkimediar bat, osatua bada (trinkoa eta osatua), ordena ez da ezarri beharreko axioma bat, ondorio bat baizik.
Gorenaren axiomak baliokide asko ditu:1) Cauchyren segidak konbergenteak dira, 2) diametroa ezereztatzen duten, elkarren baitako bitarte ertsien ebaketa ez da multzo hutsa.3) Edozein azpimultzo barnatu eta infinituk badu metatze punturik.
Eta testuinguru honetan: 4) Bi puntu desberdinen arteko distantzia ez nulua da.
Honela gorenaren axioma beharrezkoa da distantzia bat definitu ahal izateko. Eta gorenaren axioma beste proposizioetatik ondorioztatuko balitz, distantzia bat definitu ahal izango zatekeen, eta goputza osatu. Eta hori orokorrean ez da egia, arestian frogatu bezala pseudometrika bat duen gorputza eraiki daitekeelako (kontraadibidea falta da). Ondorioz gorenaren axioma beharrezkoa den axioma bat da, gorputz osatua eraikitzeko.
8.6. Proposizioa:
, metrika bat da, multzoaren gain.
Froga : Egina.
9.Zenbaki errealak definizioa.
Bi modu daude zenbaki errealak ikusteko.
Bigarrena: Zenbaki arrazionalen gorputza, osatzea da.
Bi kasuetan azpigorputz txikienarengain definitzen den metrika: metrika euklidearra da.
Zenbaki arrazionalen gorputza osatzeko: espazio metrikoak trinkoa izan behar du ([\Q], e) espazio metriko euklidearrarekiko, eta honetarako metrikak ezaugarri bat bete behar du (trinkoketaren axioma), eta ondoren  espazioak osatua izan behar du, modu honetan zenbaki arrazionalen gaineko metrika modu bakarrean hedatzen da:  zenbaki errealetara.
Lehen karakterizazioarekin, Gorputz ordenatu arkimediar osatu txikiena, osatua da, baina bere azpigorputz txikiena, zenbaki arrazionalen isomorfoa denez ez da osatua, osatua izateko gutxienez bere ertsidura (klausura) egin behar da, eta ertsidura, osatua den metrika batekiko egiten denez trinkotasunaren axioma betetzen du.
9.1. Teorema :
gorputz ordenatu arkimediar osatua bada (F, f) espazio metrikoarekiko, zeina azpigorputz txikienarengain metrika euklidearra den. Orduan: -ren azpigorputz ordenatu arkimediar osatu txikiena, zenbaki arrazionalen osaketa gorputzaren isomorfoa  eta isometrikoa da: ([\Q],e) metrika euklidearrarekiko.
Froga :
Izan bedi:
Orduan:
1:, azpigorputz ordenatu arkimediar osatua dela frogatuko da.
, eta, erraz forgatzen dira.
Elkarkortasuna, trukakortasuna, banakortasuna eta baturarekiko ordenaren bateragarritasuna erentziaz jasotzen ditu, F-ren azpimultzo izanagatik. Honela: M, F-ren azpigorputz ordenatua da.
x \in M, emanik,, eta. Ondorioz M, F-ren azpigorputz arkimediarra da.
M ertsia da:.
, G osatua denez, G ertsia da:
, eta multzo ertsien ebaketa, ertsia denez:.
M osatua da.
Cauchyrena, emanik.
, eta F osatu denez:
rentzat, G osatua denez:.
Ondorioz:, eta beraz M osatua da.
2:, frogatuko da.
, eta Mertsia da.
3:, frogatuko da.
La Maxe
La Maxe Frantziako udalerri bat da, Mosela departamenduan dagoena, Ekialde Handia eskualdean. 2013an biztanle zituen.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
, gorputz ordenatu arkimediarra da. Ikus dezagun osatua dela.
, eta Cauchyrena bada, ertsia delako.
Ondorioz:.
espazio metrikoa osatua da, eta (K,f)=(K,d) espazio metriko euklidearrak trinkoketaren axioma betetzen du.
La Maxe
Biztanleria
2007an La Maxe udalerrian erroldatutako biztanleak 837 ziren. Familiak 301 ziren, horien artean 51 pertsona bakarrekoak ziren (16 bakarrik bizi ziren gizonak eta 35 bakarrik bizi ziren emakumeak), 82 seme-alabarik gabeko familiak ziren, 129 seme-alabak dituzten bikoteak ziren eta 39 seme-alabak dituzten guraso-bakarreko familiak ziren.
Biztanleriak, denboran, ondorengo grafikoan ageri den bilakaera izan du:
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
Izan ere: x \in K bada
, bada
Eta ondorioz, 8.2. teorema jarraituz, (K,d), espazio metrikoa modu bakarrean hedatzen da -ra.
, emanik, non: , existitzen dira eta hedapena:
. Osaketa prozesua errepikatuz.
Ondorioz: M eta [C(\Q)] isomorfoak eta isometrikoak dira.
La Maxe
Etxebizitza
2007an 320 etxebizitza zeuden, 308 familiaren etxebizitza nagusia ziren, 1 bigarren erresidentzia bat zen eta 11 hutsik zeuden. 279 etxeak ziren eta 41 apartamentuak ziren. 308 etxebizitza nagusietatik 251 bere jabearen bizilekua ziren, 51 alokairuan okupaturik zeuden eta 7 doan lagata zeuden; 2 etxek gela bat zuten, 9 etxek bi zituzten, 21 etxek hiru zituzten, 68 etxek lau zituzten eta 210 etxek bost zituzten. 265 etxek euren parking plaza propioa zuten azpian. 122 etxetan ibilgailu bat zegoen eta 162 etxetan bat baino gehiago zituzten.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
M Gorputz ordenatu arkimediarra izateagatik, azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena: K, [\Q]ren isomorfoa da.
Osaketa euklidearra denez (K,f) eta ([\Q],d) isomorfo eta isometrikoak (metrika euklidearra) dira.
La Maxe
Biztanleria-piramidea
2009an sexu eta adinaren araberako biztanleria-piramidea hau zen:
Ekonomia
2007an lan egiteko adina zuten pertsonak 569 ziren, horien artean 412 aktiboak ziren eta 157 inaktiboak ziren. 412 pertsona aktiboetatik 399 lanean zeuden (210 gizon eta 189 emakume) eta 14 langabezian zeuden (4 gizon eta 10 emakume). 157 pertsona inaktiboetatik 52 erretiraturik zeuden, 68 ikasten zeuden eta 37 "bestelako inaktibo" gisa sailkaturik zeuden.
Diru sarrerak
2009an La Maxe udalerrian 316 unitate fiskal zeuden, 853 pertsonek osaturik. Pertsona bakoitzeko diru-sarrera fiskalaren mediana urteko 21.797 euro zen.
Ekonomia jarduerak
2007an zeuden 63 komertzioetatik, 9 erauzte enpresak ziren, 3 bestelako produktu industrialen fabrikazioko enpresak ziren, 9 eraikuntza enpresak ziren, 16 ibilgailuen saltze eta konpontze enpresak ziren, 2 garraio enpresak ziren, 2 ostalaritza eta jatetxe enpresak ziren, 1 informazio eta komunikazio enpresa zen, 8 higiezinen enpresak ziren, 8 zerbitzu enpresak ziren, 3 administrazio publikoko enpresak ziren eta 2 «beste zerbitzu jarduera batzuk» multzoan sailkatutako enpresak ziren.
2009an zeuden norbanakoentzako 16 zerbitzu publikoetatik, 3 ibilgailuen konpontzeko eta nekazaritza tresnetako lantokiak ziren, 2 igeltseroak, 1 zurgina, 2 iturginak, 2 argiketariak, 1 aldi baterako lan enpresa, 1 jatetxe, 3 higiezinen agentziak eta 1 apaindegia.
2009an zeuden 2 establezimendu komertzialetatik, 1 altzari denda zen eta 1 drogeria zen.
2000. urtean La Maxe udalerrian 6 nekazaritza-ustiategi zeuden, 357 hektarea erabiltzen.
Hezkuntza eta osasun ekipamenduak
2009an lehen-hezkuntzako eskola bat zegoen.
Gertuen dauden herriak
Diagrama honek gertuen dauden herriak erakusten ditu.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
Izan bedi:, isomorfismo isometrikoa.
Mudrovce
Mudrovce Eslovakiako udalerri bat da, Košice-okolie barrutian kokatuta. 5,89 km²ko azalera du eta 70 biztanle 2017ko datuen arabera.
Historia
Idatzizko lehen aipamena 1406. urtekoa da.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
Orduan:, modu honetan definitua:.
Isomorfismo isometrikoa da.
, ondo definitutako aplikazioa da.
Akamarreko seneskalerria
Historia
Karlos IX.a Frantziako erregeak 1563ean Agramondarren lurraldean Gixuneko konderria sortu zuenean, Gixune herri aipatuan seneskal bat eta seneskal-egoitza bat sortzea, eraikitzea eta irekitzea erabaki zuen, aipatutako Gixuneko konderri osoko kausa zibil eta kriminalak ezagutuko dituena.
Zenbaki errealak, Cantorren bidea
9.Zenbaki errealak definizioa.
Isometria bat da.
Lehen berdintza: [C(\Q)]-ren osaketa prozesuaren ondorioz metrika modu horretan hedatzen da.
Bigarren berdintza, ([\Q],e), eta (K,f), isometrikoak izateagatik.
Eta metrikaren hedapenagatik:
betetzen denez:
, ondorioztatu da.
Ondorioz:
eta gorputz ordenatu arkimediar osatuak dira. Isomorfoak dira, eta isomorfismoa: osaketarako erabiltzen den espazio metrikoen arteko isometria bat da.
Ondorioa:
Teorema hau dela medio, bi modutara defini daitezke zenbaki errealak: lehena azpigorputz moduan, eta bigarrena zenbaki arrazionalen hedapenezko gorputz moduan.
Zenbaki multzo berri hau, \R adierazten da.
Ez da beharrezkoa gorputz ordenatu arkimediarraren azpigorputz txikienari, trinkoketaren axioma bete dezala eskatzea, zeren gorputz ordenatu arkimediar txikiena ez da osatua, eta bere ertsidurak trinkoketaren axioma betetzen du, osatua izateagatik.
9.2. Definizioa:
Zenbaki errealen multzoa, azpigorputz moduan honela karakterizatzen da.
Gorputz ordenatu arkimediar osatu txikiena (zentzu euklidearrean), bakarra da eta zenbaki errealen multzoa izendatzen da.
Oharrak definizioari:
Osaketarako erabiltzen den metrika, azpigorputz txikienaren gain metrika euklidearra da.
Gorputz ordenatu arkimediar osatu txikienaren gain (zentzu euklidearrean), orden arkimediarra modu bakar batean karakterizatzen da.
Azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena ez da osatua, eta bere ertsidura existitzen da: gorputz ordenatu arkimediar osatu baten, azpigorputz izanagatik. Baldintza hauetan bere ertsidurak trinkotasunaren axioma betetzen du.
Osaketarako erabiltzen den metrika modu bakarrean edatzen da, azpigorputz txikienaren gain metrika euklidearra izateagatik, modu bakarrean hedatzen da bere ertsidurara.
1: \R gorputz ordenatu arkimediarra da.
2: \R-k trinkotasunaren axioma betetzen du.
3: \R-k Gorenaren axioma betetzen du.
Zeinetan, 2 eta 3. ezaugarriak, (\Q,d) espazio metriko euklidearrarekiko diren.
Oharrak definizioari.
Ikuspegi honekin, zenbaki errealak, zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren: trinkoketa osatua dira metrika euklidearrarekiko.
Hiru ezaugarri horiekin, orden arkiediarra modu bakarrean ezartzen da.
Hiru ezaugarri horiekin zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearra modu bakarrean hedatzen da zenbaki errealetara.
Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu eta arkimediarretik habiatuta: ez da existitzen. , izateko beharrezko da trinkotasunaren axioma ezartzea.
Trinkotasunaren axioma ezabatzen bada, eta, zeinetan \R osatua den, ezin da metrika bat definitu.
Konbentzioz, zenbaki errealen erainkuntzan, \Q-ren gain metrika euklidearra definitzen da, baina beste metrika batzuk ere baligarriak dira, gorputz ordenatu arkimediar osatuak eratzeko.
9.4. Proposizioa :
Zenbaki arrazionalen hedapenaren ondorioz sortu diren distantzia berriak, zenbaki erreal positiboak dira.
.
Ondorioa : Zenbaki errealak, zuzen euklidearreko puntu gisara ikus daitezke.
Leptotyphlops distanti
Leptotyphlops distanti Leptotyphlops generoko animalia da. Narrastien barruko Leptotyphlopidae familian sailkatuta dago.
Javier Moscoso
Javier Moscoso del Prado Muñoz (Logroño, ) legelari eta politikaria da. Lanbidez fiskala, 1979 eta 1986 artean Espainiako diputatua izan zen. 1982an Felipe Gonzálezek ministro izendatu zuen.
Moskosoak
Euskal Herriko hegoaldean, gaztelaniatik mailegatuta, moscosoak edo moskosoak terminoa erabiltzen da funtzionarioek dauzkaten egun libre batzuk izendatzeko. Moskoso hitza hegoaldean bakarrik erabiltzen den eponimo bat da, eta Javier Moscosok 1983an ateratako agindu baten du sorburua, agindu bat non funtzionarioei eskubide berriak aitortzen zitzaizkien. Eskubide horien hartean, egun libre batzuk hartzeko eskubidea. Egun horiei (egun) moskosoak esaten zaie Hegoaldean, oraindik ere.
Jabouilleia naungmungensis
Jabouilleia naungmungensis Jabouilleia generoko animalia da. Hegaztien barruko Pellorneidae familian sailkatua dago.
Cecilio Ibarretxe
Cecilio Ibarretxe Aranburu (Bilbo, 1892ko apirilaren 14a - ib., 1961eko maiatzaren 2a) Bilboko Athletic Klubeko jokalaria izan zen, atezain moduan aritu zena.
Biografia
1913ko martxoaren 17an Real Madriden aurkako Kopako partida batean debutatu zuen. Horrela Luis Astorkia ordezkatu zuen. Urte hartako abuztuaren 21ean, San Mames futbol zelaia inauguratu zuen Racing de Irúnen aurkako partida jokatu zuen.
Bost urtez aritu zen Athleticen. Guztira 47 partida ofizial jokatu zituen, garai amateurrerako oso luzea dena.
Boussières-en-Cambrésis
Boussières-en-Cambrésis Frantziako udalerria da, Nord departamenduan dagoena, Frantzia Garaia eskualdean. 2013an biztanle zituen.
Biztanleria
2007an Boussières-en-Cambrésis udalerrian erroldatutako biztanleak 413 ziren. Familiak 156 ziren, horien artean 32 pertsona bakarrekoak ziren (16 bakarrik bizi ziren gizonak eta 16 bakarrik bizi ziren emakumeak), 58 seme-alabarik gabeko familiak ziren, 62 seme-alabak dituzten bikoteak ziren eta 4 seme-alabak dituzten guraso-bakarreko familiak ziren.
Biztanleriak, denboran, ondorengo grafikoan ageri den bilakaera izan du: