Philosophy_of_Mathematics:_An_Introduction
8. Probleemid lõpmatusega
Lõpmatusest räägib Aristoteles "Füüsika" III raamatu 4.–8. peatükis. Ta ütleb, et ei ole ega saa olla lõpmata suurt keha. Asi on selles, et maailm on lõplik kera, mis ei saa paisuda ega kokku tõmbuda, nii et maailma mõõtmeid ei saa ületada. Väljaspool maailma ei ole isegi mitte tühja ruumi. Järelikult peab ta eitama Eukleidese "Elementide" 2. postulaati, et iga sirgjoont saab mõlemas suunas pikendada. Siis ta ei saa ka aktsepteerida Eukleidese definitsiooni, et paralleelsed sirgjooned on need, mis ei lõiku, ükskõik kui kaugele neid pikendatakse. Aga paralleelsust saab ka teisiti defineerida, ja Eukleidese geomeetriat saab rakendada ka lõplikule ruumile: matemaatikud ei vaja lõpmatut pikkust ega ka luba lõplikku pikkust alati pikendada. Tõestamisel saab alati kasutada väiksemat sarnast kujundit ning tõestatu üle kanda suuremale sarnasele kujundile. Aristoteles nimetab kolm põhjendust, miks lõpmatus peab olemas olema: muidu on ajal algus ja lõpp, muidu ei ole suurused lõputult suurusteks jagatavad ja muidu arve ei ole lõputult (206a9–12). Mingis mõttes (kuigi mitte absoluutselt) peab saama öelda, et need asjad on lõpmatud. Aristoteles ütleb sageli, et lõpmatus on alati potentsiaalne (võimalik), nii et siis nähtavasti mitte kunagi aktuaalne (tegelik). Ta ei väljendu päris täpselt: õigupoolest peab ta silmas, et lõpmatu tervik saab eksisteerida ainult lõpmatu protsessi tulemusena, aga lõpmatu protsess ei jõua tulemuseni. Lõpetamata lõpmatu protsess saab olla, selle tulemust aga mitte. Enamik protsesse lõpeb, kuigi need on potentsiaalsed lõpmatud, sest nad saaksid alati jätkuda. Mõned protsessid ei lõpe kunagi (näiteks päeva järgnemine päevale), ja need on tegelikult lõpmatud protsessid. Aristoteles rakendab seda seisukohta lõpliku joone lõputule osadeks jagatavusele. Osasid, milleks joont jagatakse, ja punkte, mis neid jagavad, ei ole tegelikult olemas enne tegelikku jagamist. Tõepoolest, kui need oleksid olemas, siis tuleks lõpliku vahemaa läbimiseks läbi teha lõputu jada väiksemaid liikumisi (igaüks eelmisest poole väiksem), mis on Aristotelese meelest võimatu. Kui lihtsalt pidevalt liikuda teatud vahemaa, siis ei tehta tegelikuks (aktuaalseks) ühtki punkti sellel. Selleks tuleks mõnes punktis peatuda, märk maha panna või läbitavat punkti loendada. Bostock arvab, et selleks et punkti tegelikuks teha, tuleb Aristotelese järgi teha midagi, mis selle ümbritsevatest punktidest välja eraldab, ja lõpliku ajaga pole võimalik teha lõpmata palju selliseid tegusid (seda viimast Bostock ("Aristotle, Zeno, and the Potential Infinite") eitab.). Järelikult ei sisalda lõplik joon kunagi lõpmata palju tegelikke punkte, kuigi ta on potentsiaalselt lõputult jagatav. Kreeka geomeetrias olid punktid, sirged, tasandid ja kehad kõik fundamentaalsed. Kõige fundamentaalsem oli keha (sest tasand on keha piir, sirge tasandi piir ja punkt sirge piir), kõige vähem fundamentaalne punkt, ning sirgete jne konstrueerimiseks pole tarvis lõpmata palju punkte. ("Füüsika" VI raamatus püüab Aristoteles näidata, et paljastest punktidest joont konstrueerida ei saa.) Aga kas siis geomeetria postulaadid ei eelda, et punktid, jooned jne on ka siis, kui need pole välja eraldatud. See pole ilmne, vähemalt Eukleides ei nõua seda. Jutt on ainult sellest, et näiteks ühest punktist teise on võimalik tõmmata sirglõik, mitte ei ütle, et see on juba olemas. Kreeka matemaatika on "konstruktiivne", ta ei eelda, et on olemas kujund, mida ei saa joonlaua ja sirkliga konstrueerida. (Platon (527a–b) aga leiab, et jooni ei pea tõmbama, et nad olemas oleksid.) Tundub, et Aristotelesel on õigus eeldada, et konstrueeritud objekti ei ole, enne kui see on kirjeldatud. Siis ei ole kunagi lõpmata palju kujundeid. Aga vaevalt võib kreeka aritmeetikat pidada konstruktiivseks, ja siin on suurem raskus. Arve on lõpmata palju, sest arvud ei lõpe mõttes otsa (203b22–25); füüsiliselt need Aristotelese järgi lõpevad siiski otsa, sest maailm on lõplike mõõtmetega ja füüsilisi esemeid ei saa tegelikult lõpmatuseni jagada. Ka arvude mõtlemine ei aita, sest lõpmata palju arve ei jõua mõelda. Platonisti järgi on kõik arvud tegelikult olemas lahus tajutavatest asjadest. Aristoteles eeldab, et sel juhul peab olema kõigi arvude arv, mis on lõpmatu arv; aga see on võimatu, sest 1) muidu saaks lõpmatuseni loendada (207b7–10) ja 2) iga arv peab olema paaris või paaritu, aga lõpmatu arv pole kumbki (1083b37–1084a4). Aga tundub, et samad vastuväited kehtivad ka Aristotelese arvukontseptsiooni puhul: ka füüsiliste esemete kogumites olemasolevaid arve ei saa olla lõpmata palju. Järelikult on arve ainult potentsiaalselt lõpmata palju. Aga selle järeldusega ei saa rahul olla. Naeruväärne on öelda, et praegu on nii-ja-niipalju arve. Kas Aristoteles saaks seda kriitikat vältida? Bostock pakub, et saaks, kui ta räägiks siin idealiseerimisest, nagu ta peaks tegema geomeetria puhul: aritmeetika "idealiseerib", eeldades, et igal arvul on reaalselt järgmine arv. Nii ta silub välja meie maailma ebatäiuslikkuse. Võib loota näidata, et sellise idealiseeritud teooriata läbi ei saa.