Philosophy_of_Mathematics:_An_Introduction
2. Mill ja Frege aritmeetikast
Et geomeetria oli deduktiivne teadus, sai Mill keskenduda aksioomidele. Aritmeetika aga polnud veel aksiomatiseeritud, nii et polnud selge, millised propositsioonid on aksioomid. Tundub, et ta arvas, et elementaararitmeetika sõltub ainult üksikute arvude definitsioonidest ning printsiipidest "võrdsete summad on võrdsed" ja "võrdsete vahed on võrdsed". (Praegu on selge, et on ka teisi.) Mill väidab, et need printsiibid on kogemuse üldistused füüsilise liitmise ja lahutamise kohta. Ta ütleb ka, et üksikute arvude definitsioonid on kogemuse üldistused, ja selles tal mõttekaaslasi pole olnud. Kõigepealt lükkab ta tagasi "nominalismi", mille järgi aritmeetikatehted on puhtsõnalised, keelelised teisendused, näiteks "3" asendamine "2 + 1"-ga. Õpetust, et fakte saab avastada keelelise manipuleerimisega, peab ta terve mõistuse vastaseks, nii et ainult filosoof saab seda uskuda. Ta peab silmas õpetust, et näiteks "3" ja "2 + 1" on sama tähendusega. Edasi väidab ta, et kõik arvud on millegi arvud, pole abstraktseid arve, aga sellepärast on need mille tahes arvud. Järelikult ka propositsoonid üksikute arvude kohta on tegelikult üldistused, näiteks "2 + 1 = 3" tähendab 'Mis tahes kaks ja mis tahes üks on kokku kolm.' Aga sellest veel ei järeldu, et neid üldistusi teatakse empiiriliselt. Mill ütleb, et kui võtta kolme definitsiooniks "kolm on kaks pluss üks", siis seda kasutavad arvutused ei sõltu mitte definitsioonist, vaid eeldatud teoreemist, et on olemas niisugused objektide kogumid, mis paistavad meeltele kolmena ja mida saab lahutada kaheks ja üheks. Gottlob Frege ("Aritmeetika alused") naerab välja mõtte, et kui me ei saaks seda lahutamist teha, siis 2 + 1 ei oleks 3. Ta lisab, et Milli järgi tuleb välja, et pole korrektne rääkida kolmest kellalöögist, kolmest maitsest ja võrrandi lahendamise kolmest meetodist. Milli tõlgendus liitmisele ei ole kaitstav. Võib proovida teisi tõlgendusi, mis ei viita paistmisele vms, kuid lubaks siiski öelda, et liitmised tehakse kindlaks kogemusega. Võiks näiteks oletada, et "7 + 5 = 12" tähendab umbes: 'Kui loendada üks kogum ja saada summaks 7 ning loendada teine kogum, milles pole esimesega ühiseid elemente, siis kui loendada need kaks kogumit koos, siis tuleb summaks 12.' See on küll empiiriline propositsioon, kuid väär, sest tuleb lisada tingimus, et loendatakse õigesti. Nüüd tekib küsimus, kas õige loendamise mõistet tuleb empiiriliselt selgitada. Ei tule. Võtame näiteks "2 + 2 = 4". Predikaatloogikas saab seda väljendada nii, et kui on täpselt 2 F-i ja täpselt 2 G-d ja ükski indiviid pole F ja G, siis on F-e ja G-sid kokku täpselt 4. Selle kindlakstegemiseks pole aga loendamiskogemust tarvis, sest see on predikaatloogika teoreem. Teiste naturaalarvude summadega on sama lugu. Frege ütleb veel, et näiteks seda, et 7000 + 5000 = 12 000 on tõene, me ei usu mitte sellepärast, et oleme palju kordi loendanud ning leidnud, et iga kord tuleb see tulemus. Kuidas empirist saab seda teadmist seletada? On ilmne, et summa ei ole saadud mitte loendades, vaid arvutades: 7000 + 5000 = (7 × 1000) + (5 × 1000) = (7 + 5) × 1000 = 12 × 1000 = 12 000. Esimest ja viimast sammu on mõistlik võtta araabia numbrite definitsioonidest tulenevatena. Kolmas samm tuleb propositsioonist 7 + 5 = 12 koos printsiibiga, et võrdsete korrutised võrdsetega on võrdsed. Teine samm tuleb distributiivsuse printsiibist: (x × z) + (y × z) = (x + y) × z. Aga kuidas me teada saame, et see üldine printsiip on tõene? See küsimus käib ka teiste üldiste printsiipide kohta. Paistab, et selleks et see teadmine oleks Milli vaimus empiiriline, ei ole muud võimalust, kui et printsiibid tuleb väikeste arvude peal katseliselt kontrollida ning siis kasutada induktsiooni. Ent sel juhul me poleks nii kindlad, et need printsiibid väga suurte arvude puhul kehtivad. Kokkuvõtteks, Frege kriitikal on kaks põhirubriiki. Esiteks, tehteid ei saa lihtsalt samastada füüsiliste operatsioonidega, sest sellega, et füüsilised operatsioonid ei anna alati sama tulemust, ei saa aritmeetika propositsioone ümber lükata, ja viimaseid saab rakendada ka mittefüüsilistele operatsioonidele mittefüüsiliste objektidega. Aritmeetika lauset ei tohi ära segada selle rakendustega. Tavaliselt on empiiriline küsimus, kas konkreetne rakendus töötab, aga aritmeetika ise sellest ei sõltu. Teiseks, me oleme kindlad, et aritmeetika seadused käivad ka suurte arvude kohta, aga seda on empiristil raske seletada. Kolmandana lisab Bostock: kuidas empirist seletab uskumust, et arve on lõpmata palju? Milli teooria järgi tundub see uskumus väär.