Philosophy_of_Mathematics:_An_Introduction
4. Tagasivõtmised: jagatud joon "Riigi" VI peatükis (509d–511e)
Teine tõlgendus on järgmine. A. Tavaliste nähtavate objektide uurimine varjude, peegelduste jt kujutiste kaudu. B. Nende otsene uurimine tavalisel moel. C. Intelligiiblite ideede kaudne uurimine nähtavate kujutiste (näiteks geomeetriliste jooniste) abil. See on matemaatika meetod. D. Nende otsene uurimine ainult puhta mõistuse abil. See on dialektika (filosoofia) meetod. Siin ei ole tarvis eeldada, et Platon tahab matemaatika ja dialektika objekte ontoloogiliselt eristada. Jääb võimalus, et dialektika meetodit saab rakendada ka matemaatilistele ideedele ja ümberpöördult. On ka vihjeid, et Platon nii mõtlebki. Matemaatilist meetodit iseloomustab ta nähtavate jooniste kasutamisega kõigile ilmsetest, õigustamist mittevajavatest "hüpoteesidest" dedutseerimisega. Ta ütleb ka, et üks neist tunnustest tingib teise. Paistab, et ta ütleb 510b, et nähtavate kujundite kasutamine nõuab hüpoteese, ja paistab, et 511a ütleb ta ümberpöördut. Seda, et viimane on Platoni seisukoht, peab Bostock tõenäolisemaks. Seda selgitatakse tavaliselt nii, et neid "hüpoteese" peetaksegi sellepärast ilmseteks, et nende ilmsus tundub nähtavatelt joonistelt ilmne olevat (vihjeks peetakse kohta 511a). Pole selgelt öeldud, milles need hüpoteesid seisnevad (510c on vihje), kuid on ilmne, et need on tõestuste eeldused ning Platon on taibanud, et sellised eeldused peavad olema. Pole selge, mis seisus matemaatika Platoni ajal oli, nii et ei saa öelda, milliseid hüpoteese Platon silmas pidas. Bostock peab võimalikuks, et Platon pidas silmas peamiselt või ainult definitsioone (võib-olla sellepärast mainitaksegi ainult mõisteid). Igatahes on Platon taibanud, et tõestustel peavad olema lähtekohad, mida matemaatikas endas ei õigustata. Sellepärast ei saa öelda, et lähtekohti ranges mõttes teatakse, nii et ei teata ka seda, mis on nendest dedutseeritud. "Menonis" peeti matemaatikat kindlasti teadmiseks, "Riigis" aga enam mitte. Kohas 511d vihjatakse, et matemaatika hüpoteesidele võiks rakendada dialektilist meetodit, ja siis need pole pelgad hüpoteesid ja matemaatikast võib saada tõeline teadmine. Teistpidi, midagi matemaatika meetodi sarnast (hüpoteeside aktsepteerimist ilma õigustuseta) saab rakendada paljudes valdkondades, sealhulgas moraaliideede loomuse uurimisel. "Menon" 86e–87c püüabki seda teha vooruse uurimisel (kuigi see ei õnnestu: "Menon" 86e–99c) ja "Riik" 437a viitab õigluse uurimisel õigustamata "hüpoteesile". Matemaatika algab Platonil hüpoteeside eeldamisest ja liigub deduktsiooni abil "allapoole", dialektika (filosoofia) aga liigub algsetelt hüpoteesidelt "ülespoole", otsides nende aluseid (kui need on tõesed, kuni on näidatud, et need järelduvad "mittehüpoteetilisest algprintsiibist". Pole lihtne öelda, kuidas dialektiline meetod töötab (Richard Robinson, "Plato's Earlier Dialectic"; Bostock, Plato's Phaedo, ptk 8.). "Riigis" näeb Platon filosoofikandidaadile ette pika ja vaevalise matemaatilise koolituse, sest matemaatika oöörab vaimusilma materiaalsetelt asjadelt "kõrgemale". Võib ka olla, et ta leidis, et filosoofi "teekond ülespoole" algab matemaatika hüpoteesidest. (VII raamatus on juttu viiest matemaatika vallast, mida kõiki tuleb uurida, et taibata nende sugulust (531d). Võib-olla on asi selles, et taibata, et eri valdkondade alghüpoteesid on ühe üldisema tõe juhtumid.)