Philosophy_of_Mathematics:_An_Introduction
1. Mill geomeetriast
Milli põhiväide on see, et paratamatus ja eriline kindlus, mis matemaatika tõdedele omistatakse, on illusioon. Nagu peaaegu kõik filosoofid enne Saul Kripke raamatut "Nimetamine ja paratamatus", samastab Mill (System of Logic) paratamatut tõde ja aprioorset teadmist, seega ta eitab ka matemaatika tõdede aprioorsust. Mill kasutab peamiselt vastuargumente. Esiteks, geomeetria tõdede paratamatust on põhjendatud sellega, et geomeetria on täis idealisatsioone, sellepärast räägib ta ideedest meie vaimus. Mill vastab, et ka vaim ei suuda idealisatsioone ette kujutada. (Tegelikult saab: musta ja valge ala piir on paksuseta.) Geomeetriat saab käsitada tavaliste esemete geomeetriliste omaduste uurimisena, isegi kui neid mõnevõrra idealiseeritakse; Bostocki meelest on see parem kui eeldada puhtvaimseid objekte. Mill aktsepteerib, et geomeetriateadmine saadakse deduktsiooni teel aksioomidest ja definitsioonidest. Kui eeldused oleksid aprioorsed, siis ka järeldused oleksid aprioorsed. Ta aktsepteerib ka, et definitsioone võib võtta stipulatsioonidena ning need on seetõttu paratamatud ja aprioorsed. Ta on ka valmis möönma, et mõned aksioomideks peetavad väited saab sõnastada definitsioonidena või asendada definitsioonidega, millest need järelduvad. Aga ta rõhutab, et deduktsioonid tuginevad ka ehtsatele aksioomidele, mis on sisulised väited, mitte varjatud definitsioonid. Tema lemmiknäide on: "Kaks sirget ei saa kaks korda lõikuda." Selliseid aksioome saab Milli järgi teada ainult kogemuse põhjal. Ta möönab, et asi pole lihtsalt selles, et me pole säärast lõikumist kunagi kogenud, vaid ka selles, et me ei saa seda ette kujutada. Aga viimane pole lisatõend, sest see, mida saab kujutleda, on piiratud sellega, mida on tajutud, ja kogemus on näidanud, et see, mida saab kujutleda, esineb, ja see, mida ei saa kujutleda, ei esine. Ruumilise kujutletavuse seost ruumilise võimalikkusega ei saa aprioorselt kindlaks teha. (Kui olukorda, mida kujutab mõni Maurits Cornelis Escheri joonistus, on võimalik kujutleda, on võimalikkuse ja kujutletavuse seosel erandeid). Millegi mõeldavuse all mõistab Mill meie võimet aru saada, et see võib tõene olla. Ta möönab, et tavaliste geomeetria aksioomide väärus on mõeldamatu, kuid väidab et sellest ei saa legitiimselt järeldada ei seda, et meie teadmine selle kohta ei põhine kogemusel, ega seda, et selle väärus on võimatu: ka seda, mida inimene saab mõelda, piirab see, mida ta on kogenud, see, mille uskumiseni ta on viidud, ja tema loova mõtlemise nõrkus. Mill mainib juhtumeid, kus midagi praegu tõeseks peetavat on kunagi peetud mõeldamatuks. Aristotelese liikumisseadus ütleb, et selleks et asja liikumine jätkuks, tuleb sellele jätkuvalt jõudu rakendada, praegu pole aga lastelgi raske uskuda inertsiseadust. Teine näide on kaugmõju, mida Newtoni gravitatsiooniteooria paistab nõudvat, mida kartesiaanid aga ei suutnud uskuda ja asendasid pööriste teooriat; ja mida Gottfried Wilhelm Leibniz ei uskunud; ja mida Isaac Newton ise ei uskunud, aga meie lapsed usuvad. Mill toob veel näiteks aine jäävuse seaduse, mille väärus oli kaasaegsetele tõsistele teadlastele mõeldamatu, mida aga relatiivsusteooria eitab. Selliseid näiteid pakuks ka kvantteooria. Bostock on kindel, et Mill ei teadnud mitteeukleidilistest geomeetriatest. Praegu on üldtunnustatud, et see, milline geomeetria käib tegeliku ruumi kohta, on empiiriline küsimus. Tänapäeva füüsikud peavad ruumi kõveraks, nii et Eukleidese aksioomid ei kehti. Matemaatik ütleb, et see pole tema asi, milline geomeetria tegelikult tõene on. Matemaatik võib väita, et pole mõtet rääkida aksiomaatikate tõesusest. Või ta võib väita, et on mõtet rääkida küll, aga vastamine pole tema, vaid füüsiku pädevuses.