cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Akutrell
pisi|Tavaline akutrell Akutrell on akupatarei jõul töötav käsitööriist, mida kasutatakse aukude puurimiseks ning mutrite, poltide ja kruvide kinnitamiseks. Akukruvitsad on tüüpiliselt varustatud siduriga, mis peatab trelli tegevuse, kui kruvitav ese on kindlalt kinnitatud. Erinevalt elektritrellidest, mis töötavad ainult vooluvõrku ühendatuna, on võimalik akutrelli kasutada kohtades, kus vooluvõrgu ühendust pole või on selle kasutamine ebamugav. Kuna vooluvõrgu toitega elektritrellid on mõteldud purustamiseks, puurimiseks jm suuremat võimusust eeldavateks tegevusteks ning neil puudub selle tõttu sageli sidur, ei kasutata neid tüüpiliselt kruvide või mutrite keeramiseks.
Viskla
Külas tegutseb 2005. aastast Viskla Külaarendamise Selts.
Akutrell
Akutrelli peetakse tänapäeval sama hädavajalikuks kodutööriistaks nagu kunagi saagi, kirvest või haamrit ning see on olemas enamikus majapidamistest.
Viskla
Kultuurimälestistest asuvad külas kaks asulakohta.
Võlle
1977. aastal liideti Võlle külaga Lagesöödi.
Küla on pikliku kujuga. Selle läänepiir kulgeb mööda Kose–Jägala maanteed. Lõunapiir jookseb küla lääneosas mööda Kose–Ravila–Nõmbra teed ja idaosas mööda Pirita jõge.
pisi|tühi|Võlle küla põllud
Ravimtaimed
Ravimtaimed on bioaktiivseid looduslikke ühendeid sisaldavad taimed (sh erinevad taime osad), mida kasutatakse taimse päritoluga ravimina või ravimite valmistamiseks.
Ravimtaimed ravivahendina toimivad ravivalt, haigusi ennetavalt (vältivalt), paljusid kasutatakse tööstuslikult ravimpreparaatide toorainena. Mitmed ravimtaimed on inimese suhtes ka mürktaimedeks liigitatavad.
Ravimtaimeliike, nii looduslikult kasvavaid kui ka kultuurvorme, teatakse maailmas ligi 12 000. Paljud ravimtaimed on kantud eri maade farmakopöadesse.
Meditsiinis käsitletakse ravimtaimede all nii taimede juurtest, juurikatest, mugulatest, ürtidest, lehtedest, õitest, õisikutest, viljadest, puukoorest ja muudest taimeosadest valmistatud drooge. Droogiks peetakse kuivatatud taime või selle osa, mida kasutatakse meditsiinilisel eesmärgil. Harva võib droogiks olla taim ka värskel kujul.
Ravimtaimede kasvatamist ja nende raviomadusi uurivad teadusharud on farmakobotaanika ja farmakognoosia.
Ravimtaimede ajaloost
Esimesed kirjed ravimtaimede toimest ulatuvad üle 5000 aasta tagusesse perioodi, kus sumerid kirjeldasid köömnete, loorberi ning tüümiani kasutamist ja toimet. Vanimad kirjed hiina herbalismi kohta pärinevad 3. sajandist eKr. Nendes leidub teavet rohkem kui 250 taime kasutamisest raviks. Euroopas toimus esimene uurimus ravimtaimedest 1. sajandil eKr. Uurimuse „De Materia Medica“ viis läbi kreeka arst Dioskorides.
Keskajal oli taimedega ravimine tavaline, kuid valitsenud ebausu ja hirmu tõttu omistati herbaalmeditsiinile maagiline toime. Seetõttu kiusati ravitsejaid ja vahel isegi hukati.
Kaiu hooldekodu
Kaiu hooldekodu on Kaius asuv vanurite hooldekodu. Hooldekodu aadress on Kaiu, Kasvandu tee 45.
Ravimtaimed
Ravimtaimede ajaloost
Eesti vanimad kirjalikud allikad ravimtaimedest, mis pärinevad 17. sajandist, seostuvad peamiselt saksa soost pastorite kirjutatud raamatutega. Pastor O. Jannau kirjeldab 19. sajandil ilmunud raamatu 2. jaos 112 ravimtaimeliiki. See oli esimene Eesti päritolu raamat ravimtaimede raviomadustest.
Kogumine
Selleks, et ravimtaimest oleks ravimisel maksimaalselt kasu, tuleks droogina kasutada taime osi, milles on bioloogiliselt ja farmakoloogiliselt aktiivsete ainete sisaldus kõige suurem. Samuti mõjutab nende ainete sisaldust ka korjamise aeg.
Kaiu hooldekodu
Kaiu hooldekodu alustas tegevust 1994.
Hooldekodus, mis asub ühiselamust kohandatud ühekorruselises majas, on 20 kohta. Personal koosneb seitsmest inimesest: juhataja, kaks päevast põetajat, kaks öist põetajat ja kaks kokka.
Ravimtaimed
Kogumine
Bioloogiliselt aktiivsete ainete sisaldus sõltub vegetatsiooniperioodist. Seetõttu tuleks taime maa-aluseid organeid korjata sügisel pärast taime kasvuperioodi lõppemist. Taime maapealseid osi tuleks koguda ainult kuiva ilmaga pärast hommikuse kaste kuivamist, pungi varakevadel paisunult, mitte puhkenult ja koort varakevadel mahlade intensiivse liikumise ajal.
Kaiu hooldekodu
Hooldekodu pakub kõiki meditsiini- ja hooldusteenuseid ning vajadusel täielikku hooldust-põetust.
Ravimtaimed
Kuivatamine
Korjatud taimes hakkavad toimuma kaks protsessi. Algselt püüab taimeosa sünteesida lihtsamatest ühenditest keerukamaid. See protsess on kasulik, sest nii tekivad ravimiseks vajalikud ühendid. Hiljem hakkab taim neid keerulisi ühendeid uuesti lagundama. See protsess tuleb ära hoida, sest nii kaotab taim oma raviomadused. Et raviomadused säiliks tuleb taime kuivatada. Keskmiselt 50 °C juures kuivatades peatub enamiku ensüümide töö, kuid mitte ühegi droogi kuivatamisel ei tohiks kasutada temperatuuri, mis on kõrgem kui 60 °C, eeterlike õlide puhul 40 °C.
Hara
Hara on mitme koha nimi:
Usbeki NSV lipp
thumb|250px|[[Pilt:FIAV historical.svg|23pxUsbeki NSV lipp 1952–1991]]
Ravimtaimed
Säilitamine
Ravimtaime raviomaduste säilimisel on suur roll ka droogi säilitamisel. Selle edukaks säilitamiseks tuleb droogi korrapäraselt kuivatada, sest ebapiisavalt kuivatatud droog läheb hallitama ja toimeainete sisaldus väheneb kiiresti. Kuna droog imab seda ümbritsevast keskkonnast niiskust, tuleks seda säilitada kuivas ruumis ja niiskuse eest kaitsvas suletud anumas. Lisaks soovitatakse droogianumaid hoida pimedas, eriti tähtis on see õite, lehtede ja ürdi säilitamisel.
Usbeki NSV lipp
Usbeki NSV lipp oli NSV Liidu haldusüksuse Usbeki NSV lipp.
Kaiu hooldekodu
Aja sisustamiseks on raamatud, ajalehed, teler, kultuuriüritused, külalisesinejad, õues jalutamine. Kodus elavatele vanuritele pakutakse lõunasööki, liikumisabivahendite laenutust, pesupesemise ja pesemisvõimalust.
Ravimtaimed
Ravimtaimede kasutusviisid
Kodustes tingimustes valmistatakse põhiliselt vesitõmmiseid. Kasutatava vee temperatuuri järgi saab vesitõmmiseid valmistada kolmel eri viisil: toasooja veega, sooja veega või peaaegu keeva veega.
Usbeki NSV lipp
1929. aastaks oli usbeki keeles kasutusele võetud ladina tähestik ning ka lipul tehti muudatus usbekikeelse kirja osas, samuti lisati kolmas, tadžikikeelne kirje. Aastatel 1931–1937 oli kiri jälle ainult kahes keeles (vene ja usbeki keeles). Alates 1937. aastast kirjutati riigi nimetus pikemalt välja, vene keeles "УЗБЕКСКАЯ ССР" ja usbeki keeles "OZBEKISTAN SSR". Alates 1941. aastast, kui usbeki keeles mindi üle kirillitsal põhinevale tähestikule, oli lipul "ЎЗБЕКИСТОН ССР".
Kaiu hooldekodu
2013. aasta lõpus tehti hooldekodus põhjalik remont, mille käigus sai hoone tuleohutusnõuetele vastavaks. Remont on tehtud ka 2009. ja 2010. aastal.
Ravimtaimed
Ravimtaimede kasutusviisid
Toasooja veega valmistamisel jäetakse droog teatud ajaks toasooja vette seisma, vahepeal seda ka segades. Sellisel viisil tarvitatakse drooge, mille toimeained lahustuvad vees hästi. Sooja veega valmistamisel on sama protsess, mis toasooja veega, ainult et sooja veega valmistamisel kasutatakse toatemperatuurist soojemat, kuid keemistemperatuurist jahedamat vett. Sooja veega valmistatakse tõmmiseid harva, sest see takistab mikroobide ja ensüümide tegevust. Peaaegu keeva veega valmistamisel valatakse droog esmalt üle toasooja veega, seejärel kuumutatakse mõnda aega ja jäetakse enne kurnamist mõneks ajaks seisma.
Usbeki NSV lipp
29. augustil 1952 võeti kasutusele uus lipp. See oli punane kangas, mille keskele oli paigutatud sinine horisontaalne laid, millel oli üleval ja all valge ääris. Sinine sümboliseeris pilvitut taevast ja elu andvat vett, valged äärised aga "valget kulda" – puuvilla. Vardapoolses ülanurgas oli kuldsed sirp ja vasar ning kuldse äärisega punane viisnurk. Lippu kasutati 30. septembrini 1991.
Kiuma
Kiuma on küla Põlva maakonnas, Põlva valla lääneosas.
Kiuma külgneb põhjas Aarna, idas Tännassilma ja Kähri külaga, lõunas Puskaruga, läänes Kanepi valla Ihamaru küla ja Kanepi valla Varbuse külaga.
Kiuma küla läänepiir kulgeb suuremas osas mööda Ahja jõge.
Maakonna ja valla keskus Põlva asub 6 km kaugusel.
Loodus
Küla lääneosas on Ahja jõe keskjooksu oru nõlv, mis jääb osaliselt Tilleoru maastikukaitseala piiridesse. Küla läbib Hatiku oja. Külas asuvad Kiuma ristipuud.
Ajalugu
Kiuma küla ajalugu on seotud Kiuma mõisaga, mida on esmamainitud 1495. aastal (Küemahe). Endise Kiuma mõisa süda asub siiski tänases Aarna külas.
Pärast valdade moodustamist 1866. aastal oli küla Kioma valla koosseisus kuni 1939. aastani, peale 1939. aasta vallareformi Põlva valla koosseisus.
Kultuur
Küla loodeosas asub mitu arheoloogiamälestisena kaitse all olevat kääbast.
Külas asuvad Kiuma rahvamaja ja Kiuma raamatukogu.
Kiuma külas on sündinud keeleteadlane Heino Liiv.
Kasv
Kasvuühik võib olla:
Seesama jõgi
"Seesama jõgi" on 2007. aastal ilmunud Jaan Kaplinski pooleldi autobiograafiline romaan.
Romaan räägib kolmandas isikus ühe üliõpilasest noormehe, kelle nime ei nimetata, naissuhetest ja eneseotsingutest 1960. aastate Tartus.
Jacques Barrot
pisi|Jacques Barrot Jacques Barrot (3. veebruar 1937 Yssingeaux – 3. detsember 2014) oli Prantsusmaa poliitik, Euroopa Komisjoni volinik ja üks 5 asepresidendist.
Hariduselt oli ta jurist ja sotsioloog. Aastatel 1966–1976 oli ta Yssingeaux' linnanõukogu liige ja 1976–2001 linnapea. 1967–2004 oli ta Rahvuskogu saadik.
Barrot kuulus parempoolsesse Rahvaliikumise Liitu.
2000. aastal sai Barrot Prantsusmaa kohtult kriminaalkaristuse "usalduse kuritarvitamise" eest, kui ta smugeldas 3 miljonit eurot valitsuse raha oma erakonna arvele. Ta sai 8 kuud vangistust tingimisi. Jacques Chirac andis talle armu.
Isiklikku
Jacques Barrot oli abielus. Tal on kolm last.
Eesti Keskkonnauuringute Keskus
Eesti Keskkonnauuringute Keskus OÜ on riigile kuuluv äriühing, mille tegevusaladeks on vee-, õhu- ja pinnaseanalüüsid, toorme ja toodangu laboratoorne analüüs, keskkonnaprojektide juhtimine, keskkonnaekspertiis ja keskkonnaaudit, teadus- ja arendustegevus, keskkonnaalane nõustamine ja koolitus, ohtlike jäätmete analüüs ja käitlemine ning tollilabori teenuse osutamine riigi Maksu- ja Tolliametile.
Narva Vene Gümnaasium
Narva Vene Gümnaasium oli kool Narvas, mis töötas 1944. aastani. Koolis õppisid peamiselt vene õpilased. Praegu on Narvas rohkem vene õpilastele mõeldud koole.
Eesti Keskkonnauuringute Keskus
Eesti Keskkonnauuringute Keskus on kantud haridusministeeriumi teadus- ja arendusasutuste registrisse (reg nr 85, haridusministri käskkiri 14.11.2002 nr 1218). Eesti Keskkonnauuringute Keskuse kvaliteedijuhtimissüsteem on akrediteeritud Eesti Akrediteerimiskeskuse poolt, akrediteerimistunnistus reg. nr L008: katselabor vee, pinnase, setete, mudade, jäätmete, toiduainete, õhu, gaaside, naftasaaduste ja vedelkütuste analüüside, koguste mõõtmise, sisekliima parameetrite mõõtmiste ning pinnase geotehniliste katsete valdkonnas.
Eesti Keskkonnauuringute Keskusel on mitu laborit (sulgudes on aadress): 28. juunil 2017 paigaldas Eesti Keskkonnauuringute Keskus Tallinnas Pirita tee äärde merehaisu uurimiseks ja leevendamiseks "haisuninad".
Jõhvi JK Eesti Põlevkivi
Jõhvi JK Eesti Põlevkivi (asutatud kui Jõhvi JK Estonia kaevandus) on endine Jõhvis tegutsenud jalgpalliklubi, mis asutati 1974. aastal. Meeskond kuulus aastail 1992–1999 Meistriliigasse. Parim saavutus oli 1992. aasta 2. koht, kui meeskond ei kaotanud ühtegi mängu. Pärast klubi lagunemist hõivas vabanenud koha Eesti liigas Muhumaa JK.
Linarese maleturniir
pisi|300px|[[Magnus Carlsen ja Levon Aronjan mängimas Linarese maleturniiril (2007)]]
Linarese rahvusvaheline maleturniir (hispaania keeles Torneo Internacional de Ajedrez Ciudad de Linares) on Hispaanias Linareses korraldatav rahvusvaheline maleturniir.
Linarese turniiri korraldatakse alates 1978. aastast; aastatel 1988–2010 peeti turniiri igal aastal (v.a 1996). Pärast 2010. aastat pole turniiri rahaliste raskuste tõttu korraldatud.
Esimese turniiri (nn meistriturniiri, V kategooria turniir) võitis rahvusvaheline meister Jaan Eslon Rootsist. Edaspidi toimusid suurmeistriturniirid, mis hiljem (1998. aastast) muutusid maailma tugevaimate maletajate jõukatsumisteks (XX ja XXI kategooria turniirid).
Aastatel 2006–2008 peeti turniiri esimene ring Mehhikos Morelias ja teine ring Linareses.
Võitjad
pisi|170px|[[Jaan Eslon, kes võitis 1978. aastal esimese Linarese rahvusvahelise turniiri]] pisi|170px|[[Garri Kasparov, 9-kordne Linarese turniiri võitja]]
!Jrk nr !Aasta !Võitja !Riik !Turniiri kategooria Vladimir Kramnik || || XXI
Juminda
Juminda on küla Harju maakonnas Kuusalu vallas Juminda poolsaarel.
Vello Paluoja
Vello Paluoja (sündinud 7. septembril 1955) on Pärnumaalt pärit kunstnik, kujundusgraafik ja kalligraaf.
Tööd
Kujundused
Katusekalle
pisi|Erinevad katusekalde suurused Katusekalle on katuse vertikaalse tõusu näitaja, mis on jagatud selle horisontaalsele pinnale. Geomeetrias ja trepi konstruktsioonis nimetatakse seda kaldeks ning trigonomeetrias puutuja funktsiooniks.
Inglise mõõtesüsteemis (imperial measure system) väljendatakse tavaliselt tõusu esimesena ja horisontaalset pikkust teisena. Horisontaalse pikkuse läbimõõt nomineeritakse 12-le, mis annab suhte mitu tolli kallakut on iga 12 tolli kohta. Näiteks 03:12, 05:12 jne. Riigid, kus kasutatakse meetermõõdustikku kasutatakse mõistet (mitme) kraadise nurga all.
Katusekalde eesmärgiks on katustelt vihma ja lume ära suunamine. Tavaliselt kasutatakse piirkondades, kus on tihedad vihma- või lumesajud, suuremat katusekallet. Näiteks troopilises Uus-Guineas Longhouse'is ulatub kalle maapinnani. Põhja-Euroopas on tüüpilised tugevad lumesajud, seetõttu on katusekalle järsem. Mõningates piirkondades on ehitusnormides nõutav väike kalle, näiteks New Yorgis. Kanadas on nõutav katusekalle 6:12 sammu ehk 26,6 kraadi.Katuse kalle sõltub mitte ainult kliimast, vaid ka katusekattematerjalist. Õlgkatusel on suurem kalle kui kahhelkatusel. Raudplekkidega kaetud katustel võib olla väiksem kalle kui nendel, mis on kaetud kiltkivi või katusekiviga. Katusekatte isepuhastuv toime väheneb väiksemate kallete puhul ja suureneb sambla moodusutmise oht. Kui kalle ei taga kaitset vee kogunemisest, siis on vajalikud täiendavad meetmed, näiteks veekindel katuseplaat. Kõige populaarsemad katusekalded: madal kalle 12/1, 12/2 ja 12/4, keskmine kale 12/6 ja järsk kalle 12/9.
Arvestus
Katusekallet määrab katuse kõrgus h (vertikaalne kaugus katuseharjast räästani) ja põhimõõt g kuni katuseharjani (horisontaalne kaugus katuseharjast räästani). Katusekallet saab arvutada trigonomeetriliselt :
Kaldenurga teisendamisel aitavad järgmised valemid:
Aurustamine
See on füüsikaline protsess, mitte keemiline reaktsioon.
Vaata ka
Evaporación (física)
Toidulisaainete loend
Loend on mittetäielik nimekiri Euroopa Liidus kasutada lubatud toidulisaainetest.
Toiduvärvid
E100 – Kurkumiin E101 – Riboflaviin, riboflaviin-5'fosfaat E102 – Tartrasiin E104 – Kinoliinkollane E110 – Päikeseloojangukollane FCF ehk oranžkollane S E120 – Karmiinhape, košenill E122 – Asorubiin, karmoisiin E123 – Amarant E124 – Erepunane 4R, uuskošenill E127 – Erütrosiin E128 – Punane 2G E129 – Võlupunane AC ehk alluurpunane AC E131 – Patentsinine V E132 – Indigokarmiin, indigotiin E133 – Briljantsinine FCF E140 – klorofüll, klorofülliinid E141 – Klorofüll ja klorofülliini vaskkompleksid E142 – Roheline S E150a – Karamell, karamell I E150b – Sulfitkaramell, karamell II E150c – Ammooniumkaramell, karamell III E150d – Ammooniumsulfitkarmell, karamell IV E151 – Briljantmust BN ehk must PN E153 – Taimne süsi E154 – Pruun FK E155 – Pruun HT E160a – Karoteenid, a) karoteenisegud, b) beetakaroteen E160b – Annaato, biksiin, norbiksiin E160c – Paprikaekstrakt, kapsantiin, kapsorubiin E160d – Lükopeen E160e – Beeta-apo-8'-karotenaal E160f – Beeta-apo-8'-karoteenhappe etüülester E161b – Luteiin E161g – Kantaksantiin E162 – Betaniin E163 – Antotsüaanid E170 – Kaltsiumkarbonaat ja kaltsiumvesinikkarbonaat E171 – Titaandioksiid E172 – Raudoksiidid ja raudhüdroksiidid E173 – Alumiinium E174 – Hõbe E175 – Kuld E180 – Litoolrubiin BK; karmiin 6B
Säilitusained
E200 – Sorbiinhape E202 – Kaaliumsorbaat E203 – Kaltsiumsorbaat E210 – Bensoehape E211 – Naatriumbensoaat E212 – Kaaliumbensoaat E213 – Kaltsiumbensoaat E214 – Etüülparabeen; etüül-p-hüdroksübensoaat E215 – Naatriumetüül-p-hüdroksübensoaat E216 – Propüül-p-hüdroksübensoaat E217 – Naatriumpropüül-p-hüdroksübensoaat E218 – Metüül-p-hüdroksübensoaat E219 – Naatriummetüül-p-hüdroksübensoaat E220 – Vääveldioksiid, väävlishape E221 – Naatriumsulfit E222 – Naatriumvesiniksulfit E223 – Naatriumdisulfit E224 – Kaaliumdisulfit E226 – Kaltsiumsulfit E227 – Kaltsiumvesiniksulfit E228 – Kaaliumvesiniksulfit E230 – Bifenüül E231 – Ortofenüülfenool E232 – Naatriumortofenüülfenolaat E233 – Tiabendasool E234 – Nisiin E235 – Natamütsiin E239 – Heksametüleentetramiin, urotropiin, heksamiin E242 – Dimetüülbikarbonaat E249 – Kaaliumnitrit E250 – Naatriumnitrit E251 – Naatriumnitraat E252 – Kaaliumnitraat E260 – Äädikhape E261 – Kaaliumatsetaat E262 – Naatriumatsetaadid E263 – Kaltsiumatsetaat E270 – Piimhape E280 – Propioonhape E281 – Naatriumpropionaat E282 – Kaltsiumpropionaat E283 – Kaaliumpropionaat E284 – Boorhape E285 – Naatriumtetraboraat (booraks) E290 – Süsinikdioksiid E296 – Õunhape E297 – Fumaarhape
Antioksüdandid
E300 – L-askorbiinhape E301 – Naatriumaskorbaat E302 – Kaltsiumaskorbaat E304 – Rasvhapete askorbüülestrid E306 – Tokoferoolikontsentraat E307 – Alfatokoferool (E-vitamiin) E308 – Gammatokoferool E309 – Deltatokoferool E310 – Propüülgallaat E311 – Oktüülgallaat E312 – Dodetsüülgallaat E315 – Isoaskorbiinhape E316 – Naatriumisoaskorbaat E319 – Tertsiaarbutüülhüdrokinoon (TBHQ)
E320 – Butüülhüdroksüanisool (BHA) E321 – Butüülhüdroksütolueen (BHT) E322 – Letsitiin E325 – Naatriumlaktaat E326 – Kaaliumlaktaat E327 – Kaltsiumlaktaat E330 – Sidrunhape E331 – Naatriumtsitraadid E332 – Kaaliumtsitraadid E333 – Kaltsiumtsitraadid E334 – L-viinhape E335 – Naatriumtartraadid E336 – Kaaliumtartraadid E337 – Naatriumkaaliumtartraat E338 – Ortofosforhape E339 – Naatriumfosfaadid E340 – Kaaliumfosfaadid E341 – Kaltsiumfosfaadid E343 – magneesiumfosfaadid
E350 – Naatriummalaadid E351 – Kaaliummalaadid E352 – Kaltsiummalaadid E353 – Metaviinhape E354 – Kaltsiumtartraat E355 – Adipiinhape E356 – Naatriumadipaadid E357 – Kaaliumadipaadid E363 – Merevaikhape E380 – Ammooniumtsitraat E385 – Kaltsiumdinaatriummetüleendiamiintetraatsetaat
Emulgaatorid, stabilisaatorid ja paksendid
E400 – Algiinhape E401 – Naatriumalginaat E402 – Kaaliumalginaat E403 – Ammooniumalginaat E404 – Kaltsiumalginaat E405 – Propüleenglükoolalginaat E406 – Agar E407 – Karrageen ja selle soolad E410 – Jaanileivapuujahu E412 – Guarkummi E413 – Tragakant E414 – Kummiaraabik E415 – Ksantaankummi E416 – Karaiakummi E417 – Tarakummi E418 – Gellankummi E420 – Sorbitool E421 – Mannitool E422 – Glütserool E432 – E436 – Rasvhapete polüoksüetüleensorbitanestrid E440 – Pektiinid E442 – Ammooniumfosfatiidid E444 – Sahharoosdiatsetaatheksaisobutüraat E445 – Kampoli glütseroolestrid E450 – Difosfaadid E451 – Trifosfaadid E452 – Polüfosfaadid E460 – Tselluloos E461 – Metüültselluloos E463 – Hüdroksüpropüültselluloos E464 – Hüdroksüpropüülmetüültselluloos E465 – Metüületüültselluloos E466 – Karboksümetüültselluloos E470 – Rasvhapete Na-, K-, Ca- ja Mg-soolad E471 – Rasvhapete mono- ja diglütseriidid E472 – Rasvhapete mono- ja diglütseriidide estrid E473 – Rasvhapete sahharoosestrid E474 – Rasvhapete mono- ja diglütseriidide sahharoosestrid E475 – Rasvhapete polüglütseroolestrid E476 – Polüglütseroolritsinolaat E477 – Rasvhapete propüleenglütseroolestrid E479b – Oksüdeeritud sojaõli rasvhapete mono- ja diglütseriidid E481 – Naatriumstearoüül-2-laktülaat E482 – Kaltsiumstearoüül-2-laktülaat E483 – Stearüültartraat E491 – Sorbitanmonostearaat E492 – Sorbitantristearaat E493 – Sorbitanmonolauraat E494 – Sorbitanmonooleaat E495 – Sorbitanmonopalmitaat
Happesuse regulaatorid, paakumisvastased ained
E500 – Naatriumkarbonaadid E501 – Kaaliumkarbonaadid E503 – Ammooniumkarbonaadid E507 – Soolhape E508 – Kaaliumkloriid E509 – Kaltsiumkloriid E510 – Ammooniumkloriid E511 – Magneesiumkloriid E514 – Naatriumsulfaat ja naatriumvesiniksulfaat E516 – Kaltsiumsulfaat E518 – Magneesiumsulfaat E519 – Vasksulfaat E520 – Alumiiniumsulfaat E521 – Alumiiniumnaatriumsulfaat E522 – Alumiiniumkaaliumsulfaat E523 – Alumiiniumammooniumsulfaat E524 – Naatriumhüdroksiid E525 – Kaaliumhüdroksiid E526 – Kaltsiumhüdroksiid E527 – Ammooniumhüdroksiid E528 – Magneesiumhüdroksiid E529 – Kaltsiumoksiid E530 – Magneesiumoksiid E535 – Naatriumheksatsüanoferraat E536 – Kaaliumheksatsüanoferraat E538 – Kaltsiumheksatsüanoferraat E541 – Naatriumalumiiniumfosfaat E550 – Naatriumsilikaadid E551 – Amorfne ränidioksiid E553a – Magneesiumsilikaadid E553b – Magneesiumsilikaadid E554 – naatriumalumiiniumsilikaat E555 – kaaliumalumiiniumsilikaat
E559 – Alumiiniumsilikaat, kaoliin E560 – Kaaliumsilikaat E570 – Rasvhapped E572 – Magneesiumstearaat E574 – D-glükoonhape E575 – Glükoondeltalaktoon E576 – Naatriumglükonaat E577 – Kaaliumglükonaat E578 – Kaltsiumglükonaat
Wittenberg
thumb|Turuväljak Wittenbergis, vasakul raekoda. Wittenberg on linn Saksamaal Saksi-Anhalti liidumaal Elbe jõe ääres.
Toidulisaainete loend
Lõhna- ja maitsetugevdajad
E620 – L-glutamiinhape E621 – Naatriumvesinikglutamaat (MSG) E622 – Kaaliumvesinikglutamaat E623 – Kaltsiumglutamaat E624 – Ammooniumvesinikglutamaat E625 – Magneesiumglutamaat E626 – Guanüülhape E627 – Dinaatrium-5-guanülaat E628 – Dikaaliumguanülaat E629 – Kaltsiumguanülaat E630 – Inosiinhape E631 – Dinaatrium-5-inosinaat E634 – kaltsium-5-ribonukleotiidid
E635 – dinaatrium-5-ribonukleotiidid
Glasuur- ja magusained (E900–E999)
E900 – Dimetüülpolüsiloksaan E901 – Mesilasvaha E903 – Karnaubavaha E904 – šellak E905 – Mikrokristalne vaha, parafiin E914 – oksüdeeritud polüetüleenvaha
Wittenberg
Ajalugu
Wittenbergi nime on esmamainitud 1174. aastal. 1260. aastal valis linna oma residentsiks Saksi-Wittenbergi hertsog Albrecht II. 1261 asutati linna frantsisklaste klooster. 27. juunil 1293 andis Albrecht II Wittenbergile linnaõigused.
1356 andis keiser Karl IV kuldbullaga Saksi-Wittenbergi hertsogile Saksa-Rooma keisri valimise õiguse. Wittenberg sai Saksimaa kuurvürsti residentsiks. Sellega omandas Wittenberg suure tähtsuse, mis kestis umbes 16. sajandi lõpuni, kuni Kolmekümneaastase sõja ja katkuepideemiateni.
Toidulisaainete loend
Glasuur- ja magusained (E900–E999)
E920 – L-tsüsteiin E927b – Karbamiid E943a – butaan
E943b – isobutaan
E944 – propaan
Wittenberg
Ajalugu
Alates 1505. aastas töötas Wittenbergi õukonnakunstnikuna Lucas Cranach vanem.
18. oktoobril 1502 asutati Leucorea nime all praeguse Martin Lutheri ülikooli eelkäija. Martin Luther oli Leucorea teoloogiaprofessor aastast 1508. aastast ja Philipp Melanchthon kreeka keele professor aastast 1518.
Toidulisaainete loend
Glasuur- ja magusained (E900–E999)
E950 – Atsesulfaamkaalium (ka atsesulfaam K) E951 – Aspartaam E952 – Tsüklamiinhape, tsüklamaat E953 – Isomalt (isomaltitool) E954 – Sahhariin ja tema naatriumi-, kaaliumi- ja kaltsiumsool E955 – Sukraloos E962 – aspartaam-atsesulfaamsool
E965 – Maltitool (tahke ja siirup) E966 – Laktitool E967 – Ksülitool
Wittenberg
Ajalugu
31. oktoobril 1517 naelutas Martin Luther Wittenbergi lossikiriku uksele 95 teesi, millest sai alguse reformatsiooniliikumine. 1520 põletas Luther avalikult paavsti bulla "Exsurge domine", millega Martin Lutheri teesid hukka mõisteti. Linnas on Martin Lutheri haud ja muuseum.
1543 rajati linna esimene veevarustussüsteem, mille kaudu lossi, raekoda, ülikooli ja üksikuid elumajasid varustati joogiveega.
1806–1814 okupeerisid Wittenbergi Prantsuse väed, pärast seda kuulus linn Preisimaale.
Pärast teist maailmasõda kuulus Wittenberg Saksa DV-sse.
Linna mitu ajaloolist hoonet kuulub UNESCO maailmapärandi nimistusse.
Orava järved
Orava järved on kolmest järvest koosnev järvestik Võru maakonnas Võru vallas Orava külas.
Järvestikku kuuluvad Orava järv, Solda järv ja Mustjärv.
Septakord
Septakord on neljast erinevast heliklassist koosnev akord, mille põhikuju helid paiknevad kolme ülestikuse tertsina.
Septakordi nimetus tuleneb sellest, et selle põhikuju äärmiste helide vahe on septim.
Septakordi liigid
thumb|left|[[Dominantseptakord pööretega]]
Septakordide kujud
Septakordidel on neli kuju:
Ainekava
Eesti põhikoolides ja gümnaasiumis õpetamine toimub nende ainekavade alusel:
Iga ainekava osad on üldalused, õppe-eesmärgid, õppetegevus, õppesisu ja õpitulemused. Põhikooli ja gümnaasiumi anekavad on antud eraldi.
Mahir Məmmədov
Mahir Ələsgər oğlu Məmmədov (sündinud 20. augustil 1962 Bakuus) on aserbaidžaani ettevõtja ja maletegelane.
Məmmədov lõpetas 1984. aastal Bakuus Aserbaidžaani Ehitusinstituudi tööstus- ja tsiviilehituse teaduskonna. Aastatel 1991–1993 õppis ta aspirantuuris. Aastatel 1995–2002 töötas mitme välisettevõtte Aserbaidžaani esinduse peadirektorina, 2002–2006 oli M Buildingi direktor. 2006. aastast on ta SOCAR Energy Georgia peadirektor.
Məmmədov on 2018. aastast FIDE viitsepresident. Ühtlasi on ta Aserbaidžaani Maleföderatsiooni asepresident ja Musta Mere Maade Maleassotsiatsiooni president. Ta tegutseb ka võistluskorraldajana ja saanud FIDE-lt 2013. aastal rahvusvahelise organisaatori nimetuse.
Allika (Kuusalu)
Allika on küla Harju maakonnas Kuusalu vallas.
Reaalarv
pisi|[[Reaalarvude hulk ℝ sisaldab kõigi ratsionaalarvude hulka ℚ, mis omakorda sisaldab kõigi täisarvude hulka ℤ, mis sisaldab kõigi naturaalarvude hulka ℕ]]
Reaalarvud on kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud ehk kõik positiivsed ja negatiivsed arvud ja null ehk kõik algebralised arvud ja transtsendentsed arvud.
Reaalarvud moodustavad reaalarvude hulga \mathbb{R} ehk R ning tähtsaima arvuvalla matemaatikas.
Reaalarvud on konstrueeritud nii, et oleks võimalik loomulik üksühene vastavus reaalarvude hulga ja sirge (arvsirge) punktide hulga vahel.
Nimetus "reaalarv" ('tegelik arv') iseloomustab erinevust imaginaararvudest.
Reaalarvude konstruktsioonid
Reaalarvude konstruktsioonid ehk konstruktiivsed definitsioonid on sellised reaalarvude defineerimise viisid, mille korral võetakse aluseks ratsionaalarvud või muud matemaatilised objektid, mis loetakse antuks. Neist konstrueeritakse uued objektid, mis vastavad meie intuitiivsele arusaamale irratsionaalarvudest ja mida nimetatakse irratsionaalarvudeks, ja lisatakse need ratsionaalarvudele. Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvud.
Ajalooliselt esimesed reaalarvude ranged definitsioonid olidki konstruktiivsed. Aastal 1872 avaldati üheaegselt kolm tööd – Georg Cantori fundamentaaljadade teooria, Karl Weierstrassi teooria (tänapäevases variandis lõpmatute kümnendmurdude teooria) ning Richard Dedekindi lõigete teooria ratsionaalarvude vallas.
Cantori fundamentaaljadade teooria
Allpool esitatud lähenemise reaalarvude defineerimisele esitas Georg Cantor 1872. aastal avaldatud artiklis. Sarnaseid ideid väljendasid Eduard Heine ja Charles Merais.
Kokkuvõte
Selles lähenemises defineeritakse arv ratsionaalarvude jada piirväärtusena. Et ratsionaalarvude jada koonduks, asetatakse sellele Cauchy tingimus: Selle tingimuse mõte seisneb selles, et jada liikmed on alates teatud numbrist üksteisele kui tahes lähedal. Jadasid, mis seda tingimust rahuldavad, nimetatakse fundamentaaljadadeks. .
Reaalarvu, mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada \{a_n\}, tähistame [a_n].
Kaht reaalarvu ja , mis on defineeritud vastavalt fundamentaaljadadele \{a_n\} ja \{b_n\}, nimetatakse võrdseteks, kui
Kui on antud kaks reaalarvu ja, siis nende summaks ja korrutiseks nimetatakse arve, mis on defineeritud vastavalt jadade \{a_n\} ja \{b_n\}: summa ja korrutisena.
Järjestusseos reaalarvude hulgal kehtestatakse kokkuleppega, mille järgi arv on definitsiooni kohaselt suurem arvust \beta=[b_n] ehk, kui
Reaalarvude hulga konstrueerimine fundamentaaljadade kaudu on mis tahes meetrilise ruumi täielikustamise konstruktsioon. Nagu ka üldjuhul, on täielikustamise tulemuseks saadud reaalarvude hulk ise juba täielik, st temasse kuuluvad kõigi tema elementide fundamentaaljadade piirväärtused.
Cauchy koonduvuskriteerium ja selle kasutamine Cantoril
Cantori teooria lähtekoht oli järgmine idee. Iga reaalarvu saab esitada ratsionaalarvude lõpmatu jada abil, mille liikmed on selle reaalarvu lähendid kasvava täpsusastmega, nii et see jada koondub selleks arvuks.
Mõistame nüüd reaalarvu all mingit objekti \alpha, mille defineerib ratsionaalarvude koonduv jada.
Ent siin peitub vigane ring. Koonduva jada definitsioonis figureerib reaalarv, mis on selle jada piirväärtus – seesama mõiste, mille me koonduvate jadade abil tahame defineerida:
\{a_n\} koondub leidub, nõnda et
Et vigast ringi ei tekiks, on tarvis leida mingi tunnus, mis võimaldab väljendada jada koonduvuse tingimust selle jada liikmete terminites, see tähendab mainimata jada piirväärtuse väärtust ennast.
Cantori ajaks oli niisugune tingimus juba leitud. Selle tegi üldisel kujul kindlaks prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy. Cauchy kriteeriumi järgi koondub jada siis ja ainult siis, kui Kujundlikult öeldes seisneb jada koonduvuse tingimus Cauchy kriteeriumis selles, et jada liikmed on mingist numbrist alates üksteisele kui tahes lähedal.
Cantor pööras tähelepanu sellele, et see kriteerium iseenesest iseloomustab koonduva jada sisemisi omadusi: teda saab formuleerida ja kontrollida, ilma et oleks juttu selle jada piirväärtuseks olevast reaalarvust endast. Ja sellepärast saab seda tunnust kasutada selleks, et tuua välja jadade klass, mille abil saab reaalarve defineerida.
Nii et põhiline samm, mille tegi Cantor reaalarvu teooria rajamisel, seisnes selles, et ta vaatles iga ratsionaalarvude jada, mis rahuldab Cauchy tingimust, mingit (ratsionaalset või irratsionaalset) reaalarvu defineerivana. "Kui ma räägin arvsuurusest üldistatud mõttes, toimub see eelkõige juhtumil, mil on ette pandud ratsionaalarvude lõpmatu jada, mis on antud mingi seaduse abil ning millel on see omadus, et vahe a_{n+m}-a_n saab n-i kasvades lõpmata väikeseks, olgu positiivne täisarv m milline tahes, ehk teiste sõnadega, suvaliselt valitud (positiivse ratsionaalarvu) \varepsilon korral leidub selline täisarv n, et , ja m on mis tahes positiivne täisarv."
Tänapäeva terminoloogias nimetatakse Cauchy tingimust rahuldavat jada Cauchy jadaks ehk fundamentaaljadaks.
Reaalarvude konstruktsioon Cantori järgi
Kaks fundamentaaljada \{a_n\} ja \{b_n\} võivad defineerida üht ja sedasama reaalarvu. See on nii tingimusel Niisiis tekib ratsionaalarvude kõigi fundamentaaljadade hulgal ekvivalentsusseos, ja üldise printsiibi järgi jagunevad kõik fundamentaaljadad ekvivalentsusklassideks. Selle klassijaotuse mõte seisneb selles, et ühte klassi kuuluvad jadad defineerivad ühe ja sellesama reaalarvu ning eri klassidesse kuuluvad jadad erinevad. Niisiis on olemas üksühene vastavus reaalarvude ning ratsionaalarvude fundamentaaljadade klasside vahel.
Nüüd saame sõnastada Cantori reaalarvude teooria põhidefinitsiooni.
Definitsioon. Reaalarv on ratsionaalarvude fundamentaaljadade ekvivalentsusklass.
Reaalarvu (ekvivalentsusklassi), mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada \{ a_n\}, tähistame [a_n].
Aritmeetilised tehted reaalarvudega defineeritakse nii. Kui on antud kaks reaalarvu \alpha ja \beta, mis on defineeritud fundamentaaljadadega \{a_n\} ja \{b_n\}, nii et ja , siis \alpha ja \beta summaks nimetatakse reaalarvu, mis on defineeritud jadaga, see on ekvivalentsusklassi, millesse see jada kuulub: Pole raske kontrollida, et see definitsioon on korrektne, st ei sõltu konkreetsete jadade \{a_n\} klassist \alpha ja \{b_n\} klassist \beta valikust.
Analoogselt defineeritakse reaalarvude vahe, korrutis ja jagatis.
Reaalarv on definitsiooni järgi suurem kui arv \beta=[b_n], see tähendab, kui See definitsioon ei sõltu jadade \{a_n\} klassist \alpha ja \{b_n\} klassist \beta valikust.
Ratsionaalarvude süsteem sisestatakse reaalarvude süsteemi täiendava kokkuleppe abil, mille järgi jada mille kõik liikmed on võrdsed ühe ja sellesama ratsionaalarvuga a, defineerib sellesama arvu, nii et. Teiste sõnadega, iga klass [a], mis sisaldab statsionaarset jada, samastatakse arvuga a. Niisiis, reaalarvude hulk, mille konstrueerisime, on ratsionaalarvude hulga laiend.
Sellega on reaalarvude hulga konstrueerimine lõpule viidud.
Edasi saab toodud definitsioonide abil tõestada reaalarvude teadaolevad omadused.
Reaalarvude hulga täielikkus
Definitsioonist järeldub, et iga ratsionaalarvude fundamentaaljada koondub mingiks reaalarvuks. See printsiip oli reaalarvu definitsiooni aluseks. Tänu sellele lisandusid ratsionaalarvudele irratsionaalarvud – ratsionaalarvude nende fundamentaaljadade piirväärtused, millel ratsionaalarvude seas piirväärtust ei olnud.
Tekib õigustatud küsimus, kas analoogset täielikustamise protseduuri ei või läbi viia veel kord, juba konstrueeritud reaalarvude hulgal. Osutub, et see protseduur ei anna uut tulemust, sest igal reaalarvude fundamentaaljadal on piirväärtus reaalarvude seas. Seda reaalarvude hulga omadust nimetatakse täielikkuseks. Ja väide, et iga reaalarvude fundamentaaljada koondub, ongi Cauchy koonduvuskriteeriumi põhisisu.
Sama ideed kasutas hiljem Felix Hausdorff, kui ta tõestas Hausdorffi teoreemi meetrilise ruumi täielikustamisest.
Lõpmatute kümnendmurdude teooria
Lõpmatute kümnendmurdude teooria pärineb Karl Weierstraßilt. 1863. aasta paiku töötas ta välja reaalarvude teooria, mis avaldati tema loengumärkmetena 1872. Muide, Weierstraßi teooria algversioon erineb mõnevõrra lõpmatute kümnendmurdude teooriast, mida esitatakse tänapäeva matemaatilise analüüsi õpikutes.
Ratsionaalarvud ja kümnendmurrud
Loeme antuks ratsionaalarvude hulga \mathbb{Q}. On teada, et iga ratsionaalarvu saab lahutada kümnendmurruks, mille paneme kirja kujul: Kui kümnendmurruks lahutamise protsess lõpeb lõpliku arvu sammude järel, siis kümnendmurd on lõplik, vastasel juhul lõpmatu.
Iga lõplikku või lõpmatut kümnendmurdu võib vaadelda formaalse reana kujul kus indeksi k väärtused on kas esimesed naturaalarvud või vastavalt kõik naturaalarvud. Saab näidata, et rida, mis saadakse ratsionaalarvu p/q lahutamisel kümnendmurruks, alati koondub ning tema summa võrdub algse ratsionaalarvuga.
Kui ratsionaalarvu lahutamisel kümnendmurruks saadakse lõpmatu kümnendmurd, siis see on alati perioodiline.
Seega võtame reaalarvude teooria aluseks oletuse (idee), et iga kümnendmurd on mõne ratsionaal- või irratsionaalarvu (reaalarvu) \alpha lahutus kümnendmurruks: Seejuures tõlgendame seda lahutust samamoodi nagu ratsionaalarvude puhul, nimelt peame reaalarvu \alpha rea summaks.
Lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon
Loomulik on kohe kokku leppida, et perioodilised lõpmatud kümnendmurrud kujutavad neile vastavaid ratsionaalarve. Teiste sõnadega, me samastame perioodilised kümnendmurrud ratsionaalarvudega. Sellise kokkuleppe puhul on ratsionaalarvude hulk kõikide reaalarvude hulga alamhulk.
Järgneb lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsiooni visand.
Kõigepealt defineeritakse järjestus kõigi lõpmatute kümnendmurdude hulgal. Aluseks võetakse arvude kümnendjärkude järjestikune võrdlemine suurematest väiksemateni. Olgu näiteks antud kaks mittenegatiivset arvu Olgu a_n ja b_n esimesed mittekokkulangevad numbrimärgid \alpha ja \beta üleskirjutustes. Kui nüüd a_n < b_n, siis definitsiooni kohaselt, ja kui a_n > b_n, siis. Kahe mittenegatiivse arvu võrdluse alusel defineeritakse mis tahes kahe reaalarvu võrreldavus.
Saab näidata, et defineeritud võrdlusseos < annab lõpmatute kümnendmurdude hulgal lineaarselt järjestatud hulga struktuuri. Samuti saab näidata, et perioodiliste kümnendmurdude korral langeb kehtestatud järjestussuhe kokku juba olemasoleva võrreldavusseosega ratsionaalarvude seas.
Pärast lõpmatute kümnendmurdude hulgal järjestusseose defineerimist tõestatakse reaalarvu teooria jaoks põhimõtteline teoreem täpsest ülemrajast. See teoreem väljendab asjaolu, et reaalarvude järjestatud kogumil on pidevuse (Dedekindi täielikkuse) omadus.
Nüüd laiendatakse aritmeetilised tehted, mis on juba defineeritud ratsionaalarvude seas, pidevuse alusel kõigile reaalarvudele.
Nimelt, olgu \alpha ja \beta kaks reaalarvu. Nende summaks nimetatakse reaalarvu, mis rahuldab järgmist tingimust:
Saab näidata, et seda tingimust rahuldav reaalarv eksisteerib ja on ainuke.
Analoogselt defineeritakse reaalarvude korrutamine. Kahe positiivse reaalarvu \alpha ja \betakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mis rahuldab järgmist tingimust: Nagu ka liitmise puhul, seda tingimust rahuldav arv eksisteerib ja on ainuke. Pärast seda on lihtne defineerida kahe suvalise märgiga reaalarvu korrutis.
Saab kontrollida, et reaalarvude hulgal defineeritud liitmise ja korrutamise tehe langevad kokku ratsionaalarvude liitmise ja korrutamise tehtega.
Sellega on lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon lõpule viidud. Edasi saab antud definitsioonide põhjal tõestada reaalarvude teadaolevad omadused, mis puudutavad aritmeetilisi tehteid ja järjestust.
Lõpuks olgu märgitud, et pärast reaalarvude jada piirväärtuse ja rea summa defineerimist saab tõestada, et iga reaalarv on oma kümnendlahutuse rea summa. See tähendab, kui , siis .
Ajalooline kommentaar
Weierstrass ise vaatles pisut teistsugust konstruktsiooni.
On ilmne, et niisuguses konstruktsioonis saab reaalarvu kujutada lõpmata paljudel viisidel. Peale selle on selge, et kaugeltki mitte kõigile niisugustele ridadele ei saa omistada arvväärtust. Näiteks rida
hajub.
Sellepärast Weierstrass esiteks vaatleb ainult koonduvaid ridasid (ta defineerib need read tõkestatud osasummadega ridadena (vaata mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse kriteeriumi) ning teiseks defineerib sellel hulgal ekvivalentsusseose. Reaalarv defineeritakse ekvivalentsete koonduvate ridade klassina.
Reaalarvude defineerimisiis kümnendmurdude abil, see tähendab lahutuse abil mitte kõikide alikvootsete murdude (see on murdude kujul 1/n) kaupa, vaid ainult kümne astmete 1/10^k kaupa on mugavam, sest sellega saavutatakse reaalarvu rea kujul kujutamise ühesus. Kui aga tulla tagasi Weierstrassi üldise viisi juurde, siis saab ilmsiks analoogia Weierstrassi lähenemise ja Cantori lähenemise vahel. Cantor defineeris reaalarvu ratsionaalarvude koonduvate jadade ekvivalentsusklassina, kusjuures jada koonduvuse määratlemiseks ta kasutas Cauchy kriteeriumi. Weierstrass tegi sedasama, ainult et koonduvate jadade asemel vaatles ta koonduvaid ridasid ning jada koonduvuse Cauchy kriteeriumi asemel kasutas ta mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse tunnust (muide, ekvivalentne teoreem monotoonse jada piirväärtusest kannab Weierstrassi nime).
Lõigete teooria ratsionaalarvude vallas
Richard Dedekindi teooria on kõige lihtsam ja ajalooliselt esimene range reaalarvuteooria. Erinevalt Cantori ja Weierstrassi analüütilisest lähenemisest on Dedekindi teooria aluseks geomeetrilised kaalutlused, millest tuleneb selle näitlikkus.
Dedekindi teooria väärtus seisneb selles, et peale reaalarvude konstrueerimise toodi seal esimest korda välja pidevuse mõiste matemaatiline olemus. See mõiste on matemaatilise analüüsi aluseks ning seda oli sajandeid kasutatud, viidates selle ilmsusele või geomeetrilistele kaalutlustele.
Dedekind lõi oma teooria 1858, kuid see avaldati esmakordselt 1872 väikeses brošüüris "Stetigkeit und irrationale Zahlen" (Pidevus ja irratsionaalarvud). See raamat on tänini üks paremaid ja arusaadavaid aine esitusi. Siinne esitus järgib põhilises Dedekindi mõttekäiku.
Küsimuseasetus
Dedekindi ajal tuli diferentsiaalarvutuse kursuse esituses, mis enamasti kasutas rangeid meetodeid, mõne väite tõestamisel siiski tugineda geomeetrilisele näitlikkusele.
Näiteks kui tõestati teoreemi monotoonse jada piirväärtusest, siis joonestati sirgjoon, millele märgiti punktid A_n, mis kujutasid jada a_n liikmeid. Edasi öeldi näiteks, et "ilmselt" eksisteerib punkt A, millele punktid A_n piiramatult lähenevad, või et niisugune punkt "peab" eksisteerima, sest arvsirge on "punktidega pidevalt täidetud". Edasi, kuna igale punktile sirgel vastab mingi ratsionaal- või irratsionaalarv, siis punktile A vastava arvu a korral kehtib:. Dedekind ütleb: "Sageli öeldakse, et diferentsiaalarvutus tegeleb pidevate suurustega, ent mitte kuskil ei anta selle pidevuse definitsiooni, ja isegi diferentsiaalarvutuse kõige rangemal esitamisel ei rajata tõestusi pidevusele, vaid apelleeritakse enam-vähem teadlikult kas geomeetrilistele ettekujutustele või ettekujutustele, mis saavad alguse geomeetriast, või lõpuks rajatakse tõestus teesidele, mida endid pole mitte kunagi tõestatud puhtaritmeetilisel teel."
Vajadust kasutada puhtaritmeetilise (arvude kohta käiva) väite tõestamiseks kasutada geomeetrilisi kaalutlusi tekitab teatava rahulolematuse tunde ning annab tunnistust "aritmeetika puudulikust põhjendatusest", arvu range ja täieliku teooria puudumisest. Ent kui isegi pidada lubatavaks geomeetrilist argumentatsiooni, tekib küsimus pidevusest sirge enese punktide suhtes. Osutub, et sirge pidevuse mõistel puudub siin loogiline definitsioon.
Sellest lähtudes püstitas Dedekind järgmised kaks ülesannet:
Ratsionaalarvude võrdlus sirge punktidega
Dedekind lähtub ratsionaalarvudest, mille omadused ta loeb teadaolevateks. Ratsionaalarvude süsteemi kõrvutab ta sirge \mathbb{L} punktide kogumiga, et tuua välja viimase omadused.
Ratsionaalarvud \mathbb{Q} moodustavad kogumi, millel on antud aritmeetilised tehted liitmine ja korrutamine, millel on teatud omadused. Kogum \mathbb{Q} on lineaarselt järjestatud: mis tahes kahe erineva arvu a ja b korral võib öelda, et üks neist on teisest väiksem.
Selle sarnasuse ratsionaalarvude ja punktide vahel saab välja arendada, seades nende vahele vastavuse. Nii saadakse arvsirge. Selleks valitakse sirgel kindel algpunkt, kindel pikkusühik ehk ühiklõik ehk skaala lõikude mõõtmiseks ning positiivne suund. Iga jaoks saab konstrueerida vastava pikkuse, ning asetades selle algpunktist paremale või vasakule olenevalt sellest, kas arv a on positiivne või mitte, saame kindla punkti, mis vastab ratsionaalarvule a.
Seega saab igale ratsionaalarvule seada vastavusse kindla punkti. Seejuures vastavad eri arvudele eri punktid. Kui arv a on väiksem kui b, siis punkt p, mis vastab arvule a, asetseb vasakul punktist q, mis vastab arvule b. Teiste sõnadega, kehtestatud vastavus säilitab järjestuse.
Sirge pidevus
Ühtlasi osutub, et sirgel \mathbb{L} on lõpmata palju arve, mis ei vasta mitte ühelegi ratsionaalarvule. See järeldub ühismõõdutute lõikude olemasolust, mis oli teada juba antiikajal (näiteks ruudu diagonaali ja külje ühismõõdutus, see tähendab arvu \sqrt{2} (ruutjuur kahest) irratsionaalsus.
Piltlikult öeldes on sirge \mathbb{L} täidetud punktidega tihedamalt kui ratsionaalarvude kogum \mathbb{Q} arvudega. Me näeme, et ratsionaalarvude hulga sees on tühjad kohad, mis vastavad neile sirge punktidele, millele ei leidunud vastavat ratsionaalarvu, sellal kui sirge kohta ütleme, et ta on "punktidega pidevalt täidetud". Dedekind ütleb: "Eelnev ratsionaalarvude valla võrdlus sirgega viis selleni, et esimeses avastati lünklikkus, mittetäielikkus ehk katkelisus, sellal kui sirgele me omistame täielikkuse, lünkade puudumise, pidevuse."
Milles see pidevus õigupoolest seisneb? Kuidas seda sirge omadust matemaatiliselt väljendada?
Dedekind teeb järgmise tähelepaneku. Kui p on sirge kindel punkt, siis sirge kõik punktid jagunevad kaheks klassiks: need, mis asetsevad punktist p vasakul, ja need, mis asetsevad punktist p paremal; punkti p võib aga suvaliselt arvata kas esimesse või teise klassi. Ühtlasi kehtib sirge punktide kohta pöördprintsiip: "Kui sirge punktid jagunevad kaheks niisuguseks klassiks, et iga esimese klassi punkt asetseb igast teise klassi punktist vasakul, siis eksisteerib üks ja ainult üks punkt, mis tekitab sirge niisuguse jagunemise kaheks klassiks, sirge niisuguse lõigatuse kaheks tükiks."
Geomeetriliselt tundub see väide ilmsena, kuid tõestada me seda ei suuda. Dedekind osutab, et tegelikult ei ole see printsiip midagi muud kui postulaat, milles väljendub sirge pidevuse olemus. Kui võtame selle postulaadi omaks, siis omistame sirgele selle omaduse, mida me nimetame tema pidevuseks. "Selle omaduse omaksvõtmine pole midagi muud kui aksioom, mille abil me alles mööname sirgele pidevuse, paigutame mõttes sirge sisse pidevuse."
Selgitame Dedekindi printsiibi sisu ja geomeetrilist tõlgendust. Kujutame ette, et kõik sirge punktid on värvitud kahte värvi – roheliseks ja punaseks, nii et iga rohelist värvi punkt asetseb vasakul igast punast värvi punktist.
On geomeetriselt ilmne, et peab eksisteerima sirge niisugune punkt, milles värvid puutuvad kokku. See punkt jagabki sirge kaheks klassiks: kõik rohelist värvi punktid asetsevad temast vasakul ja kõik punast värvi punktid paremal. Selles seisnebki Dedekindi printsiip.