cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Philosophy of Mathematics: An Introduction
6. Idealisatsioonid
Gottlob Frege õpetuse valguses on selge, et Platon eksis, arvates, et aritmeetika toob sisse idealisatsioone. Eksitus tuleb eeldusest, et kui arve meeltega tajutavatele objektidele rakendatakse, siis öeldakse, et objektil endal on mingi arv. Frege järgi aga väidab "arvuväide" midagi mõiste kohta, mitte objekti kohta: ütleb, mitu objekti selle mõiste alla käib. (Alternatiivse vaate järgi käivad arvud füüsiliste objektide hulkade kohta ning ütlevad, mitu elementi hulgas on.) Enamasti saab seda täiesti üheselt öelda ja sellises arvu rakenduses pole midagi "ebatäiuslikku". Võib öelda, et "ühikuteks" on lehmad karjamaal, ilma et lehm peaks olema jagamatu ja lehmad peaksid omavahel võrdsed olema. Ja loendada saab ka mõne teise mõiste ja ühikuga, näiteks lehmade paar või lehmakilo. Aristoteles sai sellest aru. Ta võrdleb loendamist sageli mõõtmisega: mõlemal juhul valitakse miski ühikuks ja käsitletakse seda jagamatuna. (Metafüüsika 14.2, 1088a8–9; 1016b17–24; 1052bl5–17, 1053a24–30, 1054a4–9, 1082bl6–19, 1087b33-1088a14, 1052b31–1053a2, 1092bl9–20, 220a19–22.) Ent ta ei esita seda kunagi Platoni kriitikana. Ta esitab küll vastuväited Platoni järeldusele ning näitab raskusi seisukohas, et arv on eraldi olevate täiuslike ühikute paljus ([[Metafüüsika 13:6–8), kuid ei küsi, mis Platoni eksiteele viis. Ja pole selge, mida täpselt ta asemele pakub.
Geomeetria
Geomeetria idealiseerib, kuid see, mida ta täiuslike ringjoonte kohta ütleb, võib kehtida ka ebatäiuslike ringjoonte kohta, sest seda võib mõista hüpoteetliselt: kui täiuslikud ringjooned on olemas, siis nad näiteks saavad täiuslikku sirgjoont puutuda ainult ühes punktis. Võidakse küsida, kuidas geomeetria saab praktikas nii kasulik olla, kui entiteete, millest ta räägib, pole olemas, aga see küsimus tekib ka platonistil ja igatahes on sellel lihtne vastus. Paljud teooriad idealiseerivad. Näiteks ideaalne gaas järgiks täpselt Boyle'i-Mariotte'i seadust ning see teooria aitab reaalsetest gaasidest aru saada, sest ta ideaalne teooria lihtsustab olukorda, ignoreerides teatud omadusi, millest palju ei olene (ideaalse gaasi teooria ignoreerib molekulide mõõtmeid ning nendevahelisi tõmbe- ja tõukejõude.) Ometi oleks absurdne eeldada, et ideaalsed gaasid kuskil olemas on. Umbes sama lugu on geomeetria idealisatsioonidega. Puusepp teeb laua, mis on täiuslikule ruudule nii lähedal, et ta saab kasutada geomeetriat. Nii et geomeetriat võib võtta meeltega tajutavate asjade ruumiliste omaduste uurimisena. Ta küll idealiseerib neid mingil ääral, kuid see ei anna alust öelda, et ta ei uurigi tajutavaid objekte, vaid mittetajutavaid ideaalseid objekte. Kõik see aga sõltub eeldusest, et geomeetriat võib mõista hüpoteetiliselt. Siis ligikaudsetel ruutudel ja ringjoontel on ideaalsete kujundite omadused ligikaudselt. Aga kas mitte geomeetria ei väida, et täiuslikud ringjooned on olemas?
7. Keerukused
Kohas 1078a2–5 ütleb Aristoteles, et matemaatika ei ole tajutava uurimine, isegi kui uuritav on juhtumisi tajutav. Kohas 1078a17–25 ütleb ta, et matemaatika postuleerib midagi lahus olevana, kuigi see ei ole lahus. Ta lisab, et sellest ei tulene väärus, nähtavasti sellepärast, et matemaatik ei võta lahusolemist eelduseks. Kohas 193b31–5 ütleb ta, et kuna matemaatik ei tegele omadustega, mis on tema uurimise seisukohast aktsidentaalsed, siis ta lahutab need, sest mõttes saab need lahutada; ja sellest ei tulene väärus. Selline fiktsionaalne lahutamine on matemaatikas ja mujal just abiks (1078a21–31). Ta ei ütle, mis laadi asjana lahutatud matemaatilist objekti mõeldakse. Bostock arvab, et küllap oma lahutatud maailmas intelligiiblina. Tõenäoliselt möönab Aristoteles, et tajutavad objektid pole geomeetriliste omaduste täiuslikud näited, ja küllap siis vaimne lahutatus silub ebatäiuslikkuse. (Bostock arvab, et lahutatud kujundit mõeldakse ka intelligiiblist mateeriast koosnevana (1036a1–12, 1036b32–1037a5; 1045a33–36). Sellepärast saab mõelda mitmest täiesti ühesugusest kujundist: igaühel on erinev intellektuaalne mateeria.) Aristoteles mõtleb peamiselt geomeetria peale, kuid eeldab ilmselt, et midagi sarnast kehtib ka aritmeetika puhul: matemaatik mõtleb arve lahutatud entiteetidena, kuigi see on fiktsioon. Ja küllap siis ka arve mõeldakse idealiseeritutena, küllap täiuslikult võrdsetest ja jagamatutest ühikutest koosnevatena. Aristoteles põhjendab, miks arvud ei saa sellised olla, ent võib-olla ta möönab, et matemaatikud võtavad neid nii.
Aristoteles ütleb, et matemaatika objektid ei eksisteeri tegelikkuses, vaid võimalikkuses ("mateeria moodi", 1078a28–31). Nähtavasti ta peab silmas, et lahus eksisteerivatena mõeldavad objektid saavad eksisteerida tegelikult, st tegelike füüsiliste objektidena. Mõned väga keerulised kujundid, näiteks korrapärane ikosaeeder, tegelikkuses ei eksisteeri, võimalikkuses aga küll. Sama lugu on väga suurte arvudega. Keerulisemaks teeb asja ka see, et matemaatilisest objektist mõtlemine teeb selle tegelikuks. Igatahes ütleb Aristoteles 1051 a21–23, et geomeetrid kasutavad tõestustes uute joonte konstrueerimist ning see on võimaliku tegelikuks tegemine. Nähtavasti just mõttes konstrueerimine loebki, sest ta ütleb seletuseks, et mõtlemine on tegelikkus. Ta möönab, et matemaatilisi objekte on (võimalikkuses) palju rohkem kui need, mis on tegelikult olemas ja mida tegelikult mõeldakse.
Aristotelese järgi uurib matemaatika tavaliste tajutavate objektide teatud omadusi väga üldiselt, pööramata tähelepanu nende mittematemaatilistele omadustele. Seetõttu on mugav fiktsioon eeldada, et ta tegeleb mingite eriliste objektidega, millel on ainult matemaatilised omadused. Ei tee kahju kujutleda, et need on olemas, ning ka välja siluda füüsiliste objektide geomeetrilised ebakorrapärad ning lisada geomeetrilisi ja aritmeetilisi omadusi, mida füüsilistel objektidel ei pruugi olla. Asi on selles, et nendel objektidel on vähemalt võimalik (potentsiaalne) olemasolu. Matemaatika aluseks jäävad ikkagi füüsilised kehad, millest arusaamine peab algama. Mitu küsimust jääb siin vastamata ning võib ainult oletada, mida Aristoteles vastaks. Näiteks arvab Bostock, et "7 + 5 = 12" ei käi Aristotelesel "arvude eneste" kohta, vaid üldistab selliseid asju: kui ühel karjamaal on 7 lehma ja teisel 5, siis mõlemal karjamaal kokku on neid 12. Bostock arvab, et Aristotelese järgi saadakse teada, et 7 + 5 = 12, lehmade loendamise jms abil. Aristoteles ei vasta Platoni väitele, et teadmine peab olema aprioorne, vaid piirdub üldiste ütlustega. "Teise analüütika viimases peatükis (II.19) ta väidab, et igasugune teadmine pärineb kogemusest. Tajutakse üksikuid asju (partikulaar), kuid mälu võimaldab mitut üksikut juhtumit meeles hoida, ja see annab arusaamise universaalidest. Niiviisi haaratakse induktsiooni teel mis tahes teaduse algprintsiibid. "Metafüüsika" I raamatu I peatükist (981 a1–3, b20–25) selgub, et see käib ka matemaatika kohta. Aristoteles ei seleta, kuidas me aru saame, et need algprintsiibid on paratamatud tõed. Mujal ütleb Aristoteles, et algprintsiipide leidmiseks kasutatakse ka "dialektikat", kuid üksikasjad ei selgu. Igatahes on matemaatika teadmine (nagu igasugune teadmine) Aristotelese järgi empiiriline. (Kas ka loogika teadmine on empiiriline?)
Kuidas saab olla, et matemaatikas kasutatakse lõpmatuse mõistet? Kuidas see on võimalik, kui matemaatika põhineb tajul? Lõpmatust ju ei tajuta.
8. Probleemid lõpmatusega
Üks raskemaid probleeme empiirilise matemaatikateooriaga on see, kuidas seletada lõpmatust. Ja kui vastust ei ole, kas siis tuleb platonismi juurde tagasi minna?
C. Ettevaated
Hilisemad platonistid on öelnud, et matemaatika räägib platonistlikult tõlgendatud universaalidest, et omadustest, suhetest, funktsioonidest jne. Tänapäeval levinud versiooni järgi räägib see hulkadest (puhastest hulkadest, mille koosseisu ei mahu tajutavaid hulki. Peale meenutusteooria on ka teisi aprioorse teadmise teooriaid. Platon nägi seda raskust, et matemaatilised tõestused alustavad aksioomidest. Platonistid on väga erinevalt seletanud, kust me teame, et aksioomid on tõesed. Aristoteles lähtub sellest, et erilisi objekte pole tarvidust postuleerida, ja ütleb, et seda ei tuleks teha. Et veenvalt näidata, et saab läbi tavaliste objektidega, tuleb öelda, kuidas matemaatika propositsioone tõlgendada propositsioonidena tavaliste objektide kohta, ja seda Aristoteles ette ei võta. Bostock arvab, et ta pidas seda geomeetria puhul ilmseks ning eeldas ilma pikemata, et aritmeetikas on asi sarnane. Hiljem on raskuspunkt nihkunud aritmeetikale. Kuidas Aristotelese raamistikus seletada näilist osutamist arvudele? Esimese kõneväärse katse vastata tegi Bertrand Russell, ja see katse näitas, et probleem ei ole lihtne. Matemaatika epistemoloogias oli Aristotelese põhiidee, et matemaatika meetod põhimõtteliselt ei erine loodusteaduse meetodist. Selline teadmine on empiiriline, ja pole selge, mis õigustab selle nimetamist teaduseks ja kuidas täpselt selleni jõutakse. Siin on kaks külge: vaadeldavateks peetavate sündmuste vaatlemine ning nende vaatluste seletamiseks ja ennustamiseks teooriate loomine. Aristoteles pole viimase kohta head käsitlust andnud ning hiljem on sellele rohkem tähelepanu pööratud. Aristotelese empiiriline lähenemine on seniajani käibel. Nii Platoni ontoloogia ja epistemoloogia omavahel kui ka Aristotelese ontoloogia ja epistemoloogia omavahel käivad hästi kokku: kui matemaatika objektid on tavalised, siis on loomulik eeldada; et teadmise allikaks on taju; kui matemaatika objektid on erilised, intelligiiblid, siis on loomulik eeldada, et allikaks on erilist laadi mõtlemine. Aga need seosed pole vältimatud. Näiteks Russelli lähenemini ühitab Aristotelese ontoloogiat Platoni epistemoloogiaga. Russell tõlgendab matemaatilisi väiteid üldistustena tavaliste objektide kohta, aga ta ei pea neid tavalisteks empiirilisteks üldistusteks, vaid aprioorseteks loogikatõdedeks. On ka võimalik ühitada väidet, et igasugune teadmine on empiiriline, väitega, et matemaatika räägib abstraktsetest objektidest: selliseid objekte eeldavad meie loodusteaduslikud teooriad, ja ilma selle eelduseta ei ole füüsikanähtuste tavalised seletused võimalikud (Willard Van Orman Quine'i ja Hilary Putnami hädavajalikkusargument). Peale Platoni ja Aristotelese lähenemise on matemaatikafilosoofias veel idee, et matemaatika objektid on olemas ainult vaimus.
1. Keskaeg
See-eest küsiti universaalide ontoloogiline staatuse kohta üldiselt. Porphyrios küsis, kas universaalid on olemas; kui jah, kas väljaspool vaimu või vaimuentiteetidena; kui väljaspool vaimu, kas kehaliste või kehatutena; kas nad on meeltega tajutavates asjades või neist lahus. Realistide järgi on universaalid väljaspool inimese vaimu inimese mõtlemisest sõltumatult. Platon ja Aristoteles olid realistid. Matemaatikafilosoofias olid Gottlob Frege ja Kurt Gödel Platoni tüüpi realistid, John Stuart Mill oli Aristotelese tüüpi realist. Viimaste hulgas on ka Penelope Maddy raamatus "Realism in Mathematics" ja Philip Kitcher ("Arithmetic for the Millian", The Nature of Mathematical Knowledge). Kontseptualisti järgi on universaalid üksnes vaimus, vaim loobki neid, võib-olla reaktsioonina tajumustele, võib-olla tajumustest sõltumatult. Kõikide universaalide kontseptualistid tavaliselt nõustuvad, et üldideed on tajumuste tulemus, aga matemaatika puhul seda sagel eitatakse. Uuema aja matemaatikakontseptualistid, näiteks intuitsionistid, kalduvad ütlema, et me ise loome arvud, toetumata tajule. Nominalistid ütlevad, et universaale üldse pole. Keskajal oli sel vähe pooldajad, viimasel ajal on arvudenominaliste rohkem. "Reduktiivsed nominalistid" ütlevad, et sõnad, mis näiliselt universaalide kohta käivad, on tegelikult kasutusel lühendina keerulistest väljenditest, mis saavad läbi ilma sellise osutamiseta. Bertrand Russell pooldas sellist väidet arvude kohta. Teine nominalismi variant on veateooria, mille järgi näiliselt universaalile osutavad laused on mittetõesed, sest selliseid asju ei ole olemas. Näiteks Hartry Field on sellisel seisukohal arvude puhul. Sel juhul tuleb seletada, miks neid lauseid peetakse tõesteks ja miks nad on nii kasulikud, kui nad tõesed ei ole.
2. Descartes
René Descartes otsis kindlust ning alustas mõttest, et matemaatikast leiame kindlust. Ta püüdis seda kindlust laiendada teistele valdkondadele. Ta küsis, miks just matemaatikas kindluseni jõutakse. Näiteks tavalistes uskumustes füüsilise maailma kohta saab mõistuspäraselt kahelda, sest meeled mõnikord petavad. Ei saa tõestada, et nad alati ei peta, järelikult saab kahelda, kas füüsiline maailm üldse on olemas. Kui matemaatikal on kindlus, mida uskumustel füüsilise maailma kohta ei ole, siis matemaatika tõed ei saa käia füüsilise maailma kohta, vaid peavad olema tõed meie ideede kohta või Jumala vaimu omadus, mis need ideed määrab. Ideed, millega matemaatika tegeleb, on erinevalt enamikust teistest ideedest eriti selged ja aredad. Sellepärast me ei saagi nendes kahelda ning saame lihtsatest matemaatilistest ideedest pika deduktsiooni teel jõuda keerulisemate mõteteni, kaotamata algset kindlust. Ta alustas ka teistes valdkondades kindluse otsingut selgetest ja aredatest ideedest, et deduktsiooni teel edasi minna. Descartes pidas selgeid ja aredaid ideid, millel matemaatika põhineb, kaasasündinuteks. Need ei ole mujalt tulnud ega minu leiutatud, vaid tulenevad minu loomusest, näiteks mis on mingi asi, mis on tõde ja mis on mõtlemine (kolmas meditatsioon). Loomulik on eeldada, et nende hulgas on ka arusaamine, mis on arv, tasand, sirge, punkt jne. Vastuses Hyperaspidesele ütles Descartes, et lootel on Jumala ja iseenda idee ja kõikide enesestmõistetavate tõdede ideed samamoodi nagu täiskasvanul, kes neile tähelepanu ei pööra; need oleks tal ka siis, kui ta kehast vabaneks. (Lapse hing ei pane kaasasündinud ideid tähele, enne kui ta on piisavalt küps, et meelte mõjust mitte välja teha.) Viiendas meditatsioonis ütleb Descartes, et ta leiab endast arvutult ideid asjadest, mida küll väljaspool teda ei ole olemas, kuid mis ei ole tema leiutatud, vaid on tõese ja muutumatu loomusega, näiteks kolmnurga määratletud loomus. Jumal on selle temasse pannud. Descartes ei ütle Platoni kombel, et nende ideede allikas on kogemus teises maailmas ja kolmnurgad peavad olemas olema. Matemaatika ei räägi abstraktsetest objektidest, mis on igasugusest mõtlemisest ja vaimust sõltumatud, vaid vaimuobjektidest, ideedest, mis saavad olla ainut vaimus. Ent mõlema teooria järgi on need sõltumatud tajutavast. Nende teadmine ei sõltu tajukogemusest, vaid on täiesti aprioorne. Mõlemad alustavad mõttest, et matemaatiline teadmine on kindel ja kaheldamatu, suurem osa matemaatilisest teadmisest tuleb tõestustest ja tõestused ei ole kaheldavad. Mõlemad taipasid, et tõestusel peavad olema tõestamata lähtekohad; Platon kahtles, kas neid teatakse kindlalt, Descartes oli aga selles veendunud ning esitas selgete ja aredate ideede teooria. See aga jätab palju küsimusi vastuseta.
3. Locke, Berkeley, Hume
Kuigi Descartes oli ratsionalist ning John Locke, George Berkeley ja David Hume olid empiristid, olid nad matemaatika loomuse põhiküsimustes ühel meelel: matemaatika käib ideede kohta ja matemaatiline teadmine on aprioorne. Erinevalt Berkeleyst usub Locke, nagu Descarteski, et peale ideede on olemas vaimud ehk vaimsed substantsid ja materiaalsed substantsid; matemaatika ei tegele materiaalsete asjadega, kui just mitte tuletuslikult. Ka Hume'il on sarnane positsioon. Locke'i järgi on igasugune teadmine meie ideede kooskõla või mittekooskõla tajumine, ja see käib ka matemaatilise teadmise kohta. Matemaatika tõed on üldised, ja üldisi tõdesid on Locke'i järgi võimalik teada ainult juhul, kui teadmine oleneb ainult ideede suhtest, mitte sellest, mida saab teada vaatlusest ja katsest; viimaste põhjal saab parimal juhul öelda, et üldine tõde on tõenäoline (An Essay Concerning Human Understanding IV: III, 28; VI, 6–13). Ka Hume räägib suuresti samas mõttes nagu Locke ideede suhete teadmisest, kuid vastandab seda fakti- ja olemasoluasjade teadmisele, jättes ruum kogemusel põhinevale teadmisele. Selles, et matemaatikas on teadmine, on nad ühel meelel, kuid on lahkarvamusel sellest, kuidas matemaatikas käsitletavad ideed omandatakse. Empiristide järgi saadakse need kogemusest. Locke'i "abstraheerimisteooria" järgi saadakse näiteks abstraktne inimese idee, võrreldes ideid üksikute inimeste kohta ja jättes alles kõigile inimestele ühise ning jättes ülejäänu välja (abstraheerimine; John Mackie ("Problems from Locke") järgi tähendab väljajätmine valikulist tähelepanu). Sama käib näiteks kolme või kolmnurga abstraktse idee kohta (Essee III: III, 6–10). Nähtavasti ei pidanud Locke abstraktset ideed (enamasti) mingit laadi kujutluseks, vaid teatud tunnuste väljajätmise tõttu määratletamata ideeks. Berkeley aga pidas ideid kujutlusteks ning ütles, et Locke'i abstraktsed ideed on võimatud. Ka Hume oli siin Berkeleyga ühel nõul: on ainult hulk ideid konkreetset laadi kolmnurkadest. Neid hoiab koos assotsiatsioon sõnaga "kolmnurk"; kui seda sõna kasutatakse, siis tuleb vaimu ainult üks hulga idee, kuid vaimul on kalduvus manada silme ette teisi ideesid sellest hulgast, kui mõtte edasiminek seda vajab.
Igatahes omistavad empiristid matemaatika puhul kogemusele olulise osa, mida ratsionalistid eitavad. Empiristi jaoks ei ole aprioorne teadmine kogemusest täiesti sõltumatu: teadmises on alati ideesid, ja ideed pärinevad otseselt või kaudselt kogemusest (Hume'i järgi on lihtideed kogemusest saadud muljete koopiad, liitideed moodustatakse lihtideede kokkupanemisel). Empiristlik aprioorse teadmise kriteerium on järgmine: kui teadmise formuleerimiseks vajalikud ideed on moodustatud, siis teadmine ei vaja täiendavat kogemust. Millised ideede suhted saavad anda aprioorse teadmise? Locke'i järgi ei anna "tühised" ehk "sõnalised" propositsioonid ("inimene on inimene", "hobune on neljajalgne") uut teadmist maailma kohta, aga matemaatikas leidub selliseid ideede suhteid nagu "iga kolmnurga välisnurk on suurem kummastki vastassisenurgast", mis täpsest liitideest järeldub, kuigi ei sisaldu sellest, ning on reaalne tõde, mis annab õpetlikku reaalset teadmist. Ent ta ei ütle, milles need keerukamad suhted seisnevad ega kuidas neid ära tunda. Ka Berkeley ega Hume ei öelnud selle kohta midagi. Hume teeb asja isegi segasemaks. Sellised propositsioone saab avastada pelga mõtlemisega, sõltumatult maailmas olemasolevast. Kui ka ringi või kolmnurka (ka arvud ja kujundid on ideed) maailmas kunagi ei oleks, jääksid Eukleidese tõestatud tõed ikkagi kindlaks ja ilmseks. Teised mõistuse objektid on tõsiasjad, mille tõesusel ei ole niisuguseid tõendeid nagu ideede suhetel; nende väärus ei ole vastuoluline ning on sama hõlpsasti ja aredalt kujutletav kui tõesus. Hume samastab võimalikkuse, mittevastuolulisuse, aredalt kujutletavuse ja arusaadavuse. Aga neid tuleb eristada. Esiteks, võimatu ei pruugi olla vastuoluline (nagu ka Immanuel Kant leidis). Teiseks, võimalik ei pruugi olla selgelt kujutletav. Kolmandaks, ka vastuolud on arusaadavad, muidu ei saaks need väärad olla. Kant teeb nende mõistete lahkulöömisel edusamme, kuigi see tal lõpuni ei õnnestu.
Descartes laiendas geomeetria traditsioonilist valdkonda, võttes sisse ka ajalised mõisted, nii et ka liikumine jäi matemaatika valda. Ta pakkus välja liikumisseaduste aprioorse deduktsiooni ainult ruumiliste ja ajaliste mõistete abil. Ta lootis, et matemaatika neelab endasse ka füüsika ning võib-olla lõpuks ka teised teadused, nii et kogu loodusteadus muutub aprioorseks. Locke'il oli palju vähem optimismi. Ta oli kursis Isaac Newtoni füüsikaga ning teadis hästi, et enamik loodusteaduslikust teadmisest ei ole puhtaprioorselt saadav. Ta oli ka ülearu skeptiline selle teadmise laiendamise võimalikkuse suhtes, sest ta arvas, et selleks tuleb avastada kõigi kehade pisikeste koostisosakeste loomus, aga inimesed seda iialgi ei suuda, sest tavataju jääb selleks kaugelt liiga viletsaks. Küll aga oli ta nagu Descarteski kindel, et tõeline matemaatika on tõelise ja kaheldamatu teadmise reaalne allikas. Berkeleyl ja Hume'il seda kindlust ei olnud. Nendeaegsesse matemaatikasse kuulus Newtoni ja Leibnizi diferentsiaal- ja integraalarvutus, mis rääkis lõpmata väikestest suurustest, mis ei sarnane millegi tajutavaga. Sellepärast nad leidsid, et matemaatika on liiga kaugele läinud, nii et ta on nüüd võimatute vastuolude allikas. Neil oli õigus, ja Berkeley rünnak diferentsiaal- ja integraalarvutusele teoses "The Analyst" sisaldab hulga asjakohaseid vastuväiteid. Ka Hume arvas, et matemaatika ei saa lõpmatusest ilma paradoksideta rääkida. Descartesi keeles öelduna leidsid nad õigusega, et sealsed ideed ei ole selged ja aredad ning sellepärast ei ole üheseltmõistetavaid ideede suhteid, mis moodustaksid teadmise aluse.
4. Märkus kontseptualismi kohta
Ei Descartes, Locke, Berkeley ega Hume ei põhjendanud oma kontseptualistlikku väidet, et matemaatika räägib ideedest; nähtavasti pidasid nad seda vaieldamatuks. Aga selline samastamine on ikkagi imelik: ei ole ju loomulik öelda näiteks, et üks idee on teise kuupjuur ning kuupi tõstetuna on ta see teine (või teisega võrdne) või et mõnel ideel on kuus tahku ja 12 serva. Siin võib pareerida, et seda ei tule võtta sõna-sõnalt.
Esiteks, mõte, et arv on lihtsalt idee, tuli pähe esimesena Platonile. Platoni keeles ütleb kontseptualism, et ideed on lihtsalt mõtted inimeste vaimus. Platon lükkas selle tagasi argumendiga, et mõte on alati mõte millestki ning idee ei ole mitte mõte, vaid see, mille kohta see mõte käib (Parmenides, 132b–c). Seda saab põhjendada sellesama argumendiga, et kuubi ideel ei ole kuus tahku. Teine põhjendus on see, et idee on privaatne, aga see, mille kohta ta käib, tavaliselt ei ole. Minu ja sinu idee ei saa olla sama asi. Ja eri inimeste ideed ei ole päris sarnased. Aga kõik mõtlevad ja räägivad samast asjast.
Need on lihtsad ja ilmsed vastuväited, kuid tollal ei pidanud ükski filosoof neid vastamisväärseks. Kontseptualism pole kadunud, kuigi see tavalise kõne- ja mõtteviisiga hästi ei klapi.
5. Kant: probleem
Immanuel Kant uskus, et matemaatika tõed on ühtaegu aprioorsed ja sünteetilised, ja probleemiks oli seletada, kuidas see on võimalik. "Puhta mõistuse kriitika" sissejuhatuses ta selgitab neid mõisteid ning esitab oma väited, kuid ei seal ega mujal ta neid kuigi palju ei põhjenda. Kant defineerib aprioorse teadmise oodatult kui kogemusest sõltumatu teadmise, kuid lisab ootamatult, et aprioorsuse tunnused on paratamatusena mõeldavus ja range üldisusega mõeldavus. Kogemus ei saa öelda, mis peab olema, ega seda, et kas jääb nii, nagu seni on olnud. Kant väidab, et need kaks kriteeriumi langevad paratamatult kokku, nii et iga aprioorne tõde on üleüldine tõde. Nendel kriteeriumidel on see ilmne nõrkus, et propositsiooni võidakse mõelda paratamatuna ja range üldisusega, kuigi see pole paratamatu, rangelt üldine ega isegi mitte tõene. Mööname, et Kant võib lisada tingimuse, et propositsioon on tõene ja see on teada, kuid sellest ei järeldu, et erandid pole võimalikud, ja isegi kui erandid ei ole võimalikud, ei pea nende teadmine sellepärast olema kogemusest sõltumatu. (Saul Kripke ("Nimetamine ja paratamatus") tõi mitu näidet propositsioonidest, mille puhul me teame aprioorselt, et kui see on tõene, siis see on paratamatu, ning teame empiiriliselt, et see on tõene, nii et teatakse, et see on paratamatu, ent seda propositsiooni ei teata aprioorselt.)
Jätame praegu need kahtlused ajutiselt kõrvale ja eeldame, et Kant mõistab aprioorset teadvust samamoodi nagu teised. Ta väidab, et matemaatika propositsioonid on aprioorselt teatavate propositsioonide selged näited. Ta ei põhjenda seda, pidades seda nähtavasti vaieldamatuks. Tahaks siiski, et ta oleks esitanud veenvama argumendi kui see, et paljud peavad neid paratamatuteks ja rangelt üldisteks.
Aritmeetikas on näiteks "7 + 5 = 12" (Kant võtab seda nähtavasti üldjaatava otsustusena). 7 + 5 mõiste ei sisalda 12 mõistet (B15). Liitmine tuleb kas või näppude peal ära teha. Suuremate arvude puhul on see veel ilmsem (B16). Bostock lisab argumendi, et kumbagi mõistet saab omada ilma teist mõistet omamata; võidakse osata loendada, tundmata liitmist; võidakse tunda liitmist ja väikseid arve, kuid mitte suuri arve. Loomulik on vastu väita, et see näide näitab lihtsalt, et Kantil on valed definitsioonid. Millegipärast analüüsib Kant ainult subjekti, mitte predikaati. Kui mõlemat analüüsida, siis võib-olla selgub, et nad peavad kokku langema. Võtame näiteks "2 + 2 = 4". Leibniz (Nouveaux Essais, IV, vii, 10) tõestab seda nii (Charles Parsons ("Kant's Philosophy of Arithmetic") arutab võimalust, et Kant teadis seda tõestust.). Ta defineerib 2 = 1 + l; 3 = 2 + l; 4=3+1 ning saab 2+2=2+1+1=3+1=4 (loogikareeglid on: a = a; kui b = c, siis a + b =a+ c ja b +a= c +a). "2 + 2" ja "4" analüüsitakse samade mõistete abil ning saadakse samasus. Sellele esitatakse tavaliselt vastuväide, et tuleb lisada sulud ning siis tuleb välja, et eeldatakse, et 2 + 2 = 2 + (1+1) = (2 +1) + 1=3+1, st eeldatakse liitmise assotsiatiivsust. Kas assotsiatiivsust saab ehk tõestada liitmise definitsiooni põhjal? Igatahes on Kanti analüütilisuse definitsioon liiga lihtsustatud, et asja üle otsustada. Geomeetrias on näiteks: "Sirge joon kahe punkti vahel on lühim." Võidakse vastu väita, et see ongi sirge joone definitsioon, kuid Kant ütleb, et tema sirge joone mõistes pole kvantiteeti, vaid ainult kvaliteet (Bl6). Nähtavasti alustab Kanti mõiste joone välimusest. Tarvis on aga täpsustusi. Et joonel ei ole paksus, tuleb mõelda nähtava joone ühte äärt, kujutleda seda nii, et ta on ka mikroskoobi all selge ja sirge. Ühesõnaga, püüame sirgena paistmist idealiseerida. Ent saab vastu väita, et sirgena paistmine ja sirge olemine on täiesti erinevad mõisted (vrd vees murtuna paistvat sirget keppi). Teise oletuse järgi aga eeldab Kant niisugust õpikudefinitsiooni: sirge joon on joon, mille moodustab punkt, mis liigub alati samas suunas. Siin saab vastu väita, et suuna mõiste on keerulisem kui sirguse mõiste. Et Kant oma sirguse mõistet ei selgita, siis pole selge, mida tema näitega peale hakata. Bostock asendab selle vähem vaieldava näitega: mis tahes kahe punkti vahel on üks ja ainult üks lühim joon. Selle mitteanalüütilisus tundub Bostockile ilmne. Kahtlane on aga selle aprioorsus.
Kantil on õigus, et mõned tavalise geomeetria propositsioonid on mitteanalüütilised. Aga tänapäeval neid analüütilisteks ei peeta. Aritmeetika väiteid aga peetakse tänapäeval tavaliselt aprioorseteks, kaheldav aga on see, kas nad on mitteanalüütilised.
6. Kant: lahendus
(Charles Parsons, "The Transcendental Aesthetic", The Cambridge Companion to Kant; Kant's Philosophy of Mathematics.) Lahenduse annab Kant kahes osas. Esimene on transtsendentaalne esteetika (A19–49, B33–73). Kant väidab, et ruum on välismeele vorm ja aeg on sisemeele vorm. Teine on "Puhta mõistuse distsipliin selle dogmaatilises rakenduses" (A712–738, B740–766). Kant väidab, et matemaatiline mõtlemine põhineb kaemusel.
Välismeel on kogemus, mis esineb tavaliselt siis, kui me arvame, et me tajume. Iseloomulik on see, et me arvame, et tajume endast "väljaspool" olevaid asju. Kant väidab, et siis me tajume neid alati ruumilisi omadusi omavatena. Kanti idee on, et asjade ruumiline organiseeritus tuleb meist, mitte asjadest enestest. See tuleb inimloomusest, ja teised olendid tajuvad võib-olla teistmoodi. Ta ei väida, et igasugune väliskogemus peab olema ruumiline või isegi sarnane sellega, vaid ainult seda, et inimeste puhul see faktiliselt nii on. See tundub vaieldamatu, kuid vaieldav on see, et ruumivormi surub meie kogemustele peale inimloomus. Kanti järgi küll stimuleerivad teadvust mujalt tulevad andmed, kuid nähtumused tulevad ainult osalt andmete loomusest, osalt aga sellest, kuidas vaim reageerib. Nähtumuste ruumilised omadused pärinevad inimeselt, mitte andmete ruumilistelt omadustelt. Kanti põhiline argument põhineb eeldusel, et geomeetriateadmine on aprioorne. Geomeetria uurib ruumi, seega on meil aprioorne teadmine ruumi loomusest. Kui kogemused oleksid ruumilised lihtsalt sellepärast, et andmed on ruumilised, siis peaks teadmine ruumi loomusest olema empiiriline.
Kas meil on aprioorset teadmist helide, värvuste või ruumi loomuse kohta? Ei. Seda, et kuuldavatel helikõrgustel on ühemõõtmeline kord, värvitoonidel aga mitte, teame üksnes kogemusest. Sama kehtib ka kujude ja teiste ruumiliste suhete teadmise kohta. Ilma kogemuseta me ei tea, et need nõuavad kolme mõõdet. Tundub, et sama vastuse saame siis, kui rakendame Kanti enda selgitust, et aprioorne teadmine on see, mida mõeldakse paratamatuna ja rangelt üldisena. Pole alust uskuda, et kõikidel helidel, mida me kunagi kuuleme, peab olema kõrgus tuttaval skaalal, või et kõigil värvustel, mida me kunagi näeme, peab olema juba tuttav värvitoon. (Osalt sellepärast, et me peame võimalikuks, et inimloomus võib muutuda, nii et me hakkame näiteks nägema infrapunaseid värvusi. Ka sellepärast, et me peame võimalikuks, et see, kuidas me värvusi tajume, sõltub osalt ka asjadest enestest (need võivad muutuda).) Nähtavasti kehtib see ka ruumiliste omaduste ja suhete kohta. Loomus võib muutuda, ärritajad võivad muutuda, võib-olla sellepärast, et ruum muutub kõveramaks. Paistab, et siin aprioorset teadmist ei ole. Ent need kaalutlused näitavad ainult, et helide, värvuste ja ruumi tajutavad omadused ei ole tegelikult paratamatud. Aga Kant räägib sellest, kas neid mõeldakse paratamatutena. Teistsuguseid helide, värvuste ja ruumi omadusi ei suudeta kujutleda. Bostock arvab, et see ongi Kant väite taga, et meie ruumitunnetus on aprioorne.
Kant rõhutab matemaatikas rakendatava mõtlemise vastandlikkust teistes valdkondades, eriti metafüüsikas rakendatava mõtlemisega. Tema meelest on matemaatilisel mõtlemisel eelis selle pärast, kuidas ta kasutab kaemust. Ruum ja aeg on aprioorsed kaemused, ruumi- ja ajamõisted konstrueeritakse kaemuses. On võimalik tuua mingi mõiste näide kujutluses või paberil ning pöörata tähelepanu ainult nendele näite tunnustele, mis selle mõistega antud on. Peale selle, selleks et tõestada mõni teoreem näiteks kolmnurga kohta, konstrueerib ta peale kolmnurga veel jooni. Kanti järgi on tegu läbinisti kaemusest juhinduvate järelduste ahelaga. Kas Kant arvab, et geomeetrilise tõestuse puhul konstrueeritakse alati lisajooni? On ka tõestusi, mis seda tehnikat ei rakenda. Võidakse kasutada kolmnurkade nihutamist. Sageli öeldakse, et sellise meetodi kasutamine on Eukleidese tõestuste puudus, sest see ei tule aksioomidest. Aga see on hea näide kaemuses konstrueerimisest. Nähtavasti kõik huvitavad geomeetrilised tõestused nõuavadki mingit laadi konstrueerimist. Ruumikaemusele tuginedes me näeme, et konstruktsioon on alati võimalik ja sellel on soovitav tulemus. Seda, et Eukleides toetub kaemusele, peetakse tema aksiomaatika puuduseks. Aga Kant arvas vist, et geomeetria aksiomaatika, mis midagi kujutluse hooleks ei jäta, pole võimalik. Geomeetria tollast taset arvestades on see mõistlik mõte. Alles David Hilbert (1899) andis geomeetria ammendava aksiomaatika. Kanti järgi nõuab geomeetriline arutlus kujutluses kujundite konstrueerimist, ja tõestused tuginevad sellele, mis on kujutletav.
Kant ütleb, et me saame teada, et 7 + 5 = 12, ainult kujutledes 5 asja ning liites need ükshaaval kujutlusele 7 asjast. See on nähtavasti kaemuses konstrueerimine. Aga kuidas saada teada, et 700 + 500 = 1200? Siin tuleb kasutada üldisi liitmise reegleid, kuigi paistab, et Kant nende olemasolu ei tunnista. Ta ütleb, et aritmeetikas ei ole aksioome, nähtavasti sellepärast, et iga võrdus tehakse kindlaks eraldi konstruktsiooniga. (Selliseid propositsioone, nagu "kui võrdsetele liidetakse võrdsed, saadakse võrdsed" ta peab analüütilisteks ega pea neid aksioomideks.) Kant vihjab, et aritmeetikal on eriline seos ajaga (A139 = B178). Ta märgib ka, et algebra on tuletuslikult konstruktsioon kaemuses (A717 = B745, A734 = B762). Bostock arvab, et see tähendab, et tehted sümbolitega on legitiimsed ainult sellepärast, et need representeerivad tehteid suurustega, mida päris kaemus saab kontrollida.
Peatükk 3. Reaktsioonid Kantile
"Puhta mõistuse kriitikast" kuni Williard Van Orman Quine'i artiklini "Empirismi kaks dogmat" oli üks matemaatikafilosoofia keskseid küsimusi, kas Kantil oli õigus selles, et matemaatika tõed on sünteetilised ja aprioorsed. Empiristid tahtsid seda eitada, nii et neil tuli näidata kas seda, et need on analüütilised, või seda, et need on aposterioorsed. Esimene oli populaarsem; teise väljapaistev esindaja oli John Stuart Mill. Ta pööras tähelepanu ainult geomeetriale ja elementaararitmeetikale. Geomeetria osas oli tal õigus, aritmeetika osas mitte.
2. Mill ja Frege aritmeetikast
Frege leidis, et geomeetria osas oli Kantil õigus, aga aritmeetika tõed on analüütilised. Analüütiliseks tõeks nimetas Frege tõde, mis on tõestatav puhta loogika ning mõistete definitsioonide põhjal. Ta väitis, et see definitsioon väljendab Kanti mõtet selgemalt.
Frege kriitika Milli empirismi aadressil aritmeetika vallas on otsustav. Tema enda positsioon on esialgselt ligitõmbav. Kuidas tuleb analüütilisus defineerida, et Kanti väited ümber lükata?
3. Analüütilised tõed
Kanti algne mõte oli järgmine: kerge on näha, kuidas "analüütilisi" tõdesid on võimalik aprioorselt teada ning teada, et need on paratamatud, sest tuleb lihtsalt analüüsida neid mõisteid, mis meil juba on. Analüüs oli Kanti jaoks lihtsalt mõiste jagamine "osadeks". Frege rääkis tõestustest, mis tuginevad ainult loogikale ja definitsioonidele. Ta ei arvanud, et iga õige definitsioon ütleb, millistest "osadest" mõiste koosneb. Teised on väitnud, et definitsiooni mõiste on liiga kitsas. Traditsioonilise vaate järgi on väljendi defineerimine uue, tavaliselt keerulisema väljendi esitamine (väljend on oma definitsiooni lühend, nii et selle võib igas kontekstis asendada definitsiooniga). Aga tänapäeva matemaatikas on definitsiooni mõiste laiem. Näiteks arvude omadusi saab defineerida rekurrentsete definitsioonidega. Veel radikaalsemalt on väidetud, et analüüsi mõiste peaks ulatuma definitsiooni mõistest kaugemale. Paljud on väitnud, et "kõik punane on värviline" on analüütiline, samuti "miski ei ole (üleni, ühel ajal jne) nii punane kui ka roheline", kuigi nad möönavad, et "punane", "roheline" ja "värviline" pole defineeritavad. Nii et lubatavad on peale tähendusvõrduste ka tähenduse sissehaaramised ja tähenduse välistamised. Aga sellisel laiendamisel ei ole loomulikku lõppu (näiteks "esivanema vanem on esivanem"). Nii jõuame Rudolf Carnapi (Meaning and Necessity) ettepanekuni, et iga keele juurde tuleb anda palju "tähendusreegleid", ja nende kuju ei saa ette anda.
Fregel ei ole analüütilised mitte ainult analüüsi tulemused, vaid ka see, mida ta nimetab loogikaks. Definitsioonid tavalises mõttes ei taga tõesust. Näiteks "poissmehe" definitsioon võib öelda, et see sõna tähendab sama mis "mees, kes ei ole abielus". Siis "Ükski poissmees ei ole abielus" tähendab sedasama mis "Ükski mees, kes ei ole abielus, ei ole abielus". Aga mis tagab, et viimane on tõene? Ei ole tarvis veel üht definitsiooni ega osavamat analüüsi, vaid loogikat. Frege peab loogika tõdesid automaatselt analüütilisteks. Nüüd aga ei piisa aprioorse teadmise seletamisest sellest, et me analüüsime mõisteid; tuleb seletada ka seda, kuidas on loogika tõdesid võimalik aprioorselt teada. Fregel pole selle kohta midagi öelda. Võtame aluseks järgmise: analüütiline tõde on tõde, mille tõesuse määrab selle väljendamiseks kasutatavate sõnade tähendus. Näiteks Alfred Ayer (Language, Truth and Logic, ptk 4) väidab, et loogika ja matemaatika on analüütilised, ning defineerib: propositsioon on analüütiline, kui selle kehtivus sõltub ainult seda väljendavas lauses sisalduvate sümbolite definitsioonidest. Jutt ei ole mitte tavamõistes definitsioonidest, vaid keelekasutuse reeglitest, sõnade funktsioonist, sõnakasutuse kokkuleppest. Loogikaväidete tõesuse võtab ta loogikasõnade (näiteks "või", "kui", "kõik") funktsioonidest või nende kasutamise kokkuleppest, definitsioonidest pole juttu. Ayer väidab, et keelelised kokkulepped tagavadki loogika propositsioonide tõesuse. Kuidas need seda teevad? Küllap need ongi kokkulepped mingite propositsioonide tõesuse kohta. Võib ju lisada, et mõned kokkulepped, näiteks loogiliselt korrektsete järeldamisvormide kohta, on tngimuslikud, kui teatud propositsioonid on tõesed, siis ka teatud teised propositsioonid on tõesed. Aga mingid kokkulepped peavad stipuleerima otseselt tõesuse. Ayer ei pööra järeldamisreeglitele tähelepanu ega pea loogika puhul deduktsiooni oluliseks. Iga loogika propositsioon kehtib omaette; selleks pole tarvis süsteemi ega enesestmõistetavatest propositsioonidest dedutseerimist. Loogika süsteem on kasulik analüütiliste propositsioonide avastamiseks ja kontrollimiseks, kuid pole sellekski hädavajalik. Mõeldav on sümbolite süsteem, milles iga analüütilise propositsiooni analüütilisus nähtub selle vormist. Keelelised kokkulepped stipuleerivadki tõesuse, ja stipuleeritud tõesusega propositsioonid ongi analüütilised ja aprioorsed.
Aga kui keelelised kokkulepped lihtsalt stipuleerivad tõesuse (või tingimusliku tõesuse), mis sellel on pistmist tähendusega? Vastus peab olema see, et teatud lausete tõesust stipuleerides antakse selles sisalduvatele sõnadele tähendus, sest stipuleeritakse, et neil sõnadel on niisugune tähendus, mis teeb need laused tõeseks. Selle järgi, mis on tõene, tuleb tähendused alles leida. Analüütilised tõed on küll stipuleeritud, kuid ned võib siiski pidada tõesteks tähenduse tõttu, sest stipuleeritud on see, et neil peab oleme selline tähendus, mis teeb need tõesteks. Ent see õpetus ei tööta. See eeldab, et me lihtsalt stipuleerime loogika reeglid, ja see, mis on niimoodi stipuleeritud, peab olema tõene. Aga see ei ole nii. Arthur Prior ("The Runabout Inference-Ticket") tõi niisuguse näite. Oletame, et keegi tahab sisse tuua uue lausekonnektori "tonk", millel oleks samasugune grammatika nagu konnektoritel "ja" ja "või", kuid teistsugune tähendus. Tähenduse stipuleerib see, et ta rahuldab kaht järgmist dedutseerimisreeglit: mis tahes lausete P ja Q korral kehtivad arutlused
ja
Ayeri keeles stipuleeritakse, et järgmised konditsionaalid on alati tõesed: "Kui P, siis P tonk Q;" "Kui P tonk Q, siis "Q". Niisugune stipuleerimine ei õnnestu, sest kui arutluste kehtivuse ja sõna "kui" tähendus samaks jätta, siis arutlus
On siiski üks meeleheitlik katse seda järeldust vältida, radikaalne konventsionalism. Ayerit peetakse mõõdukaks konventsionalistiks, sest ta ei väida, et näilised kokkulepete järelmid on tegelikult samuti kokkulepped. Ta lihtsalt ei taibanud probleemi. Radikaalne konventsionalist ütleb, et me mitte ei avasta uusi järelmeid, vaid otsustame teha uusi tähendust andvaid kokkuleppeid, nii et me täpsustame väljendite algseid tähendusi. (Seda vaadet on omistatud Ludwig Wittgensteinile (Michael Dummett, "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics"; Crispin Wright, Wittgenstein on the Foundations of Mathematics; Barry Stroud ("Wittgenstein and Logical Necessity") eitab seda.) See väide ei ole usutav. Kui küsitakse, kas 167 on algarv, siis vastusena avastatakse järelm, aga radikaalne konventsionalist peab ütlema, et saadakse uus aprioorne teadmine uue keelelise kokkuleppe põhjal, kusjuures täpsustatakse lause "167 on algarv" tähendust. Aga milles see uus tähendus võiks seisneda? Sellest teooriast järeldub muide ka, et ei õnnestu tõestada seda, mida hakati tõestama, sest tõestus muudab tõestatava teesi tähendust. Peale selle, radikaalse konventsionalismi järgi jääb meie otsustada, kas teesi lugeda tõestatuks. Tegelikult aga leiavad kõik, et tõestust ei saa tagasi lükata. Võib-olla küll tunne, et tõestus on sundiv, on illusioon, aga siis radikaalne konventsionalism seda illusiooni ei seleta, sest selle teooria järgi me oleme vabad tegema või tagasi lükkama mis tahes kokkuleppeid, sest ükski valik ei kitsenda teisi valikuid. Aga me tunneme seda kitsendust, ja nimelt välisena. Võib-olla me mingis mõttes teeme eeldusi tõesteks ja võib-olla me mingis mõttes teeme järeldamisreegleid, aga me oleme kindlad, et see ei olene meist, paratamatus on juba olemas.
Peatükk 4. Matemaatika ja selle alused
Bostock püüab näidata, et matemaatikal on alused ja ta vajab aluseid, st põhiprintsiipe, millel kõik ülejäänu põhineb.
2. Erinevad arvude liigid
Klassikalises kreeka matemaatikas on ainult naturaalarvud alates 1-st. Me ütleksime, et geomeetrias läheb tarvis ka ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Aga kreeka matemaatika ei omista pikkustele arve, vaid räägib pikkuste proportsioonidest ning võrdleb neid naturaalarvude jagatistega. Tõenäoliselt peeti algul enesestmõistetavaks, et näiteks igale pikkuste proportsioonile vastab naturaalarvude jagatis, kuid siis avastati, et see nii ei ole. Näiteks ruudu külje ja diagonaali proportsioonile ükski naturaalarvude jagatis ei vasta (see on meie mõistes irratsionaalarv). Nii et tarvis oli üldist proportsioonide teooriat, selle esitas Eudoxos ning seda kirjeldab Eukleidese "Elementide" V raamat. Keskne idee oli järgmine. Kaht proportsiooni (a:b ja c:d) saab samastada: a:b :: c:d ehk a suhtub b-sse nagu c d-sse. Iga pikkust (või pindala või muud suurust) saab korrutada naturaalarvuga, nii et n·a on n korda pikem kui a. Kui n ja m on naturaalarvud ja a:b :: c:d, siis n•a :: m•b parajasti siis, kui n•c :: m•d ehka:b :: m:n parajasti siis, kui c:d :: m:n. Kui nüüd võtta a:b ja c:d reaalarvudeks, siis see definitsioon ütleb, et need on sama arv siis ja ainult siis, kui neil on kõik needsamad suhted (suurem, võrdne, väiksem) ratsionaalarvudega. Teiste sõnadega, need on sama, kui need teevad ratsionaalarvudesse sama "lõike". See on peaaegu sama mis Dedekindi lõige. Ainult et kreeka teooria ei näita, et igale lõikele vastab reaalarv. Kreeka teooria seletas ka, kuidas proportsioonidega tehteid teha. Mõlema teooriaga sai teha enam-vähem samu asju. Kreeklased andsid oma teooriale "aluse", aga meie reaalarvude teooria pidi alust kaua ootama. Hiljem tunnistati üha rohkem liike asju arvudeks, aga aksiomaatikaid ei püütud rajada. Kreeklased ei andnud naturaalarvude aksiomaatikat ja nähtavasti ei vajanud seda.
Kreeka teooria esimesed laiendused olid null ja negatiivsed täisarvud. Need tulid nähtavasti Indiast araablaste kaudu hiliskeskajal. Null võimaldas positsioonisüsteemi (araabia numbrid). Negatiivsetele arvudele seisti vastu, kuid need osutusid kasulikuks. Varsti defineeriti nendega arvutamise reeglid. Aga neid reegleid täpselt dedutseerida ei püütud. Järgmine tähtis mõisteline uuendus oli proportsioonidest arvude tegemine. Juba Kreekas praktikas arve ja proportsioone alati rangelt ei eristatud. Kaasa aitas algebra tähtsuse kasv. Algebralise võrrandi muutujaid võeti sageli geomeetriliste suuruste (pikkused, pindalad) kohta käivatena, kuid neid saadi võtta ka naturaalarvude või murdude või negatiivsete arvude kohta käivatena. Kõigil neil juhtudel tuleks muutujate väärtusteks pidada arve, kui kaasa arvata ka reaalarvud, sest see ei takista algebra rakendamist geomeetria probleemidele, vaid julgustab seda, ja see tehnika osutub väga produktiivseks, nagu selgus Descartesi töödest ja hilisematest rakendustest. Nii et arvu mõiste haarab siis peale naturaalarvude siis nulli, negatiivseid täisarve ning positiivseid ratsionaal- ja reaalarve. Miski ei takista lisamast negatiivseid ratsionaal- ja reaalarve, eriti kui võrranditega tegeldakse vanal viisil. Tee on lahti ka näiteks imaginaararvudele, eriti kui algebraülesanded paistavad neid vajavat. Arvu mõiste laiendamine toimus pikkamööda ja vaidluste saatel. 17. sajandiks oli arvu mõiste tunduvalt laienenud. Aga keegi ei otsinud sellele laienenud teooriale alust. Paistab, et aluste teemat ignoreeriti täielikult, kuni diferentsiaal- ja integraalarvutus hakkas näitama, et aluseid on tõesti tarvis.
3. Diferentsiaal- ja integraalarvutus
Lõpmata väikese suuruse mõiste ulatub tagasi Archimedeseni, kes kasutas seda heuristilise vahendina, mida tuleb traditsiooniliste meetoditega kontrollida. Ka Newton lootis sellisele seletusele (see osutus asjatuks lootuseks). Meetodit kasutati veel kakssada aastat, teadmata, miks see töötab. Lõpuks leiti, et on reaalseid probleeme, mida ei saa lahendata ilma alusteta.
4. Tagasitulek aluste juurde
Pärast Weierstrassi oli reaalarvude teooria (matemaatiline analüüs) palju selgem, kuid veel mitte täielik. Nüüd oli tarvis tõestada piirväärtuste olemasolu. Et aga polnud teooriat selle kohta, mis reaalarvud on, polnud selge, kuidas seda teha. Tugineti "geomeetrilisele intuitsioonile". Alati oli võetud ilmsena, et reaalarvud vastavad sirge punktidele. (Analoogselt mõisteti pidevat funktsiooni "pideva kõvera" kaudu, st laias laastus kõvera kaudu, mille joonestamiseks pole tarvis pliiatsit paberilt tõsta. Kuni Bernhard Riemanni ja Karl Weierstrassi töödeni polnud isegi selge, et pidev funktsioon pole sama mis diferentseeruv funktsioon.) Augustin-Louis Cauchy ja Weierstrass olid juba andnud definitsioonid, kuid geomeetriast lahtisaamiseks tuli täpsustada reaalarvu mõiste. Richard Dedekind pakkus selleks ühe viisi. Dedekind kaebas, et ilma geomeetriata ei saa isegi tõestada, et √2 × √3 = √6. Tema idee on Dedekindi lõige: reaalarv teeb ratsionaalarvudesse "lõike", st lahutab need kaheks klassiks, nii et kõik ühe klassi elemendid on kõigist teise klassi elementidest väiksemad. Reaalarv on ühe klassi vähim ülemtõke (ülemraja) ja teise klassi suurim alamtõke (alamraja). Iga sellise lõike puhul leidub reaalarv, mis selle lõike teeb. Näiteks reaalarvude liitmise saab defineerida nii: kui x ja y on mis tahes reaalarvud, siis x + y on reaalarv, mille lõike alumises pooles on ratsionaalarvud r + s, mille korral r < x ja s < y. Dedekind postuleeris ratsionaalarvude iga lõike jaoks reaalarvu, mis sellele vastab. Alternatiivina võib reaalarvu samastada lõikega. Praktikas on mugavam defineerida lõige nii, et alumisel poolel ei ole kunagi suurimat liiget, ning samastada reaalarv alumise poolega. Georg Cantor defineeris reaalarvu teistmoodi. Tema põhiidee oli defineerida ratsionaalarvude koonduv jada ning siis postuleerida, et sellel on alati piirväärtus, mis ongi reaalarv. Selleks tuli anda piirväärtustest sõltumatu kriteerium, millal kahel jadal on sama piirväärtus. Reaalarvu võib defineerida ka kõigi selleks koonduvate jadade hulgana. Cantor näitas ka, et võib lihtsalt anda reaalarvude aksiomaatika (täielik järjestatud korpus), kasutamata ratsionaalarvu mõistet.