Philosophy_of_Mathematics:_An_Introduction
3. Diferentsiaal- ja integraalarvutus
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse tähtis eelkäija oli geomeetria tehnikate laiendamine ajale (René Descartes, Pierre de Fermat). Liikumine oli nüüd matemaatika vallas ja seda sai kujutada graafikuna. See joon kujutas funktsiooni ning funktsioonide uurimine muutus aina tähtsamaks. Algne mõte oli see, et punktid joonel näitavad liikuva eseme asukohta igal hetkel, nii et ühtlast liikumist kujutab sirge, kiirenevat või aeglustuvat liikumist kõver. Eseme hetkkiirust igal hetkel kujutab kõvera tõus, st kõvera puutuja tõus selles punktis. Matemaatikud said esimest korda tõhusalt mõelda muutumise kiirusest teatud hetkel. Seda tehnikat saab rakendada igasugusele pidevale muutumisele, aga tüüpnäide on asukoha muutumine ajas. Näiteks kui on teada, kui kaugele kukkuv ese on mingi aja jooksul jõudnud, siis saab öelda, kui kiiresti ese igal hetkel kukkus. Tuleb lihtsalt leida puutuja igas punktis. Kõverate omadused olid matemaatikuid alati huvitanud, aga nüüd selgus, et need on olulised füüsika jaoks. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse leiutamine oli suuresti motiveeritud rakendustega füüsikas. Need rakendused olid kindlasti tähtsad Isaac Newtonile ja Gottfried Wilhelm Leibnizile, kes selle leiutasid. Nad said aru, et see meetod annab palju kasulikke tulemusi, kuid ei saanud aru, kuidas see meetod töötab. Oletame, et funktsiooniga y = f(x) on antud kõver, näiteks y². Me tahame leida puutuja tõusu muutuja x iga väärtuse korral. Olgu dx väike lisandus muutuja x väärtusele, nii et see on nüüd x + dx. Olgu dy vastav lisandus muutujale y, nii et y + dy = f (x + dx). Et y = f(x), siis dy= f(x + dx) -f(x). Väljendada võrrandi parema poole dx-i kordsena: dy = (x + dx)² – x² = (x² + 2x(dx) + (dx)²) – x² = dx(2x + dx). Jagades võrrandi mõlemad pooled dx-ga, saame dy/dx = 2x+dx. Et dx võib võtta kui tahes väikseks, siis jääb järele dy/dx = 2x. See tähendab, et x-i mis tahes väärtuse korral on puutuja tõus 2x. Sellel lihtsal juhtumil ja paljudel teistel juhtumitel saab vastust kontrollida vanade meetoditega. Miks see nii on? Arutlus on ju vastuoluline: dx-iga jagamisel eeldasime, et dx ei võrdu nulliga (nulliga jagada ei saa), aga lõpus lugesime selle nulliks. Ja kui dx on 0, siis ka dy on 0, aga dy/dx on 0/0, mis on mõttetus. Ometi me saame siin ja teistel vanade meetoditega kontrollitavatel juhtumitel õige vastuse. Miks? Vastuse leidmiseni läks peaaegu kakssada aastat. Leibniz lihtsalt soovitas seda meetodit, teadmata, miks see töötab. Mandri matemaatikud tegid selle abil palju avastusi, saamata aru, mida nad teevad. Newton muretses seletuse puudumise pärast, ja inglise matemaatikud jätkasid seletuse otsimist. Häda paistis olevat selles, et sümbol dx väljendab nii positiivset suurust kui ka nulli, ja sellepärast hakati seda pidama millekski vahepealseks, nimelt lõpmata väike suurus. Seda peeti nullist suuremaks, kuid igast lõplikust suurusest väiksemaks, ja see tundub arusaamatu. Meetodi arendamine viis lõpmatute jadadeni, mille puhul osutus oluliseks koonduvus, sest ilma selleta standardsed meetodid ei töötanud. koonduvuse esimese selge definitsiooni andis Augustin-Louis Cauchy piirväärtuse mõiste abil. Ta rõhutas ka, et see mõiste on tähtis nii funktsiooni pidevuse defineerimiseks kui ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetodite seletamiseks (dy/dx ei ole mitte lõpmata väikeste suuruste jagatis, vaid 2x+dx piirväärtus, kui dx läheneb nullile). Cauchyl ei tulnud asi siiski hästi välja, sest ta arvas, et lõpmata väikeste suuruste kasutamine on nüüd põhjendatud, aga see viis teda mõnikord eksiteele. Alles Karl Weierstrass tegi asja täiesti selgeks ja pagendas lõpmata väikesed suurused.