cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Matematika pruvo
Teoremoj de Gödel kaj limoj de deduktaj metodoj
Laŭ la teoremo de Gödel pri nekompleteco ekzistas en ĉiu sufiĉe komplika (tiom, ke eblus paroli en ĝi pri naturaj nombroj) matematika teorio, kiu ne estas memkontraŭdira kaj kies aksiomojn eblas efektive elskribi, asertoj, kiujn en tiu ĉi teorio eblas nek pruvi nek rifuzi (la teorio estas tiel nomate nekompleta). Inter tiujn teoriojn apartenas ekzemple aritmetiko de Pean aŭ teorio de aroj de Zermelo-Fraenkel.
Tiuj ĉi teoremoj do diras, ke la dedukta maniero de pruvado estas en granda mezuro limigata. Eblas nome dedukte pruvi eĉ ne ĉiujn asertojn, kiuj validas pri tiel simpla kaj alirebla fako, kia estas naturaj nombroj.
Egiptio kaj Babilono
De la antikvaj egiptoj kaj babilonanoj estas konservitaj neniaj matematikaj pruvoj en la hodiaŭa senco de la vorto. Konserviĝis multe da registroj kaptantaj solvon de diversaj konkretaj problemoj kaj taskoj. Estas konsiderite, ke tiuj ĉi problemoj estis jam tiom abstraktaj kaj tiuj ĉi solvoj tiel elegantaj, ke en ilia fono devis stari profunda kompreno de la donita tereno ensumiganta implicite pruvojn de ĝusteco de la uzataj metodoj. .
Ĉinio
En Ĉinio en la 5-a jarcento a.K. ĝis 3-a jarcento a.K. krom praktika matematiko evoluis ankaŭ logiko. Al tiu dediĉis sin precipe lernejo de sekvantoj de filozofo Mo Ti, kies anoj okupiĝis pri teorio de ekkono, kaj ili logike pruvadis siajn asertojn. Unu el la plej signifaj sekvantoj de Mo Ti estis Kung-sun Lung vivanta en la unua duono de la tria jarcento antaŭ Kristo.
Sed la logika pruvo ne estis en Ĉinio plu evoluigata. La doktrino de Mo Ti estis nome dum regado de dinastio Han tute forŝovita fare de konfuceismo kaj pli postaj ĉinaj filozofoj jam neniam plu revenis al ĝi.
Grekio
La nocio de dedukta matematika pruvo havas sian devenon en antikva Grekio. Same kiel la tuta tiama matematiko ankaŭ la matematika pruvo estis tre mallarĝe kunigita kun geometrio. La plej malnovaj matematikaj pruvoj devenas ĝuste el tiu ĉi tempo - ili konserviĝis en dektriparta verkaro Elementoj de Eŭklido.
Registrado en platona koncepto de geometrio
La matematika pruvo, tiel kiel ni konas ĝin hodiaŭ, havas siajn komencojn en la greka geometrio evoluigata subinflue de la filozofio de Platono. Influitaj de tiu ĉi filozofio, tiamaj geometriistoj klopodis malkovri la mondon de geometriaj ideoj kaj observi la veron enhavitan en ĝi. En tiu ĉi koncepto la matematika pruvo en la hodiaŭa senco de la vorto ankoraŭ ne ekzistis. Unusola ebleco, kiel kun absoluta certeco konstati la veron pri la geometria mondo, estis rekte observi tiun ĉi veron - registri ĝin. Se iu geometriisto sukcesis ekregistri validecon ekzemple de teoremo de Pitagoro - t.e. por mallonga momento li vere ekvidis, ke la sumo de grandecoj de enhavoj de du kvadratoj super lateroj de ortangulo egalas al la enhavo de kvadrato super ĝia hipotenuzo, tio estis ĉiam nur por tempo, dum kiu daŭris lia koncentriĝo. Tuj kiam la atentemo malstreĉiĝis, la vidkapablo, per kiu li rigardis en la mondon de geometriaj ideoj, nebuliĝis kaj la registro estis perdita. Por ke li povu kiam ajn reaperi tiun ĉi registron kaj ankaŭ por ke la saman eblecon li donu ankaŭ al ceteraj matematikistoj, tia geometriisto poste verkis instrukcion, kiel oni progresu (t.e. en kiajn lokojn de la geometria mondo rigardi), por denove ekvidi la verecon de teoremo de Pitagoro. Tiaj ĉi instrukcioj, el kiuj poste (en aristotela koncepto de geometrio) evoluis geometriaj konstruoj, estis la plej malnovaj antaŭuloj de la matematikaj pruvoj.
La estiĝo de matematika pruvo
La platona koncepto de matematiko ne estis longtempe retenebla. Kiel nome okazis evoluo de geometrio, la nove registritaj veroj estis kaŝitaj senĉese pli profunde en la mondo de la geometriaj ideoj. Geometriisto, kiu volis registri la donitan veron, devis ĉiufoje investi grandan klopodon. Plie ĉe tiel pretendemaj registroj estis tre komplike retenadi la vidkapablon tute klara kaj neombrigita dum la tuta tempo de rigardado en la geometrian mondon. Tia ĉi registro estis poste atingita por nura ono de sekundo, antaŭ ol ĉio denove dissolviĝis en nebulan malcertecon, en kiu la geometriisto ne sciis, ĉu li vere ekvidis la donitan veron aŭ ĉu tio estis nur ŝajno. La pretendemo de registroj de pli komplikaj geometriaj veroj estis en certa mezuro donita ankaŭ per tio, ke kiam ajn la geometriisto volis uzi ekzemple teoremon de Pitagoro, li devis ĝin unue denove reregistri en la donita konkreta kazo. Pro tiuj ĉi motivoj kelkaj geometriistoj rezignis (verŝajne eĉ ne konsciinte tion) de la platona maniero de rigardado en la mondon de ideoj kaj malrapide ili ekspiris al paŝo, kiu donis karakteron al la tuta matematiko ekde ilia tempo ĝis la nuntempo. Tiu ĉi paŝo estis enlaso de prudento en la mondon de matematiko. Se nome la geometriisto jam multfoje registris la teoremon de Pitagoro, li povis esti tute certa pri ties vereco. Se li bezonis pli poste uzi ĝin por registri alian veron, li konsciis, ke ne estas bezone denove reregistri ĝin en tiu ĉi konkreta kazo. Sufiĉis, ke li sciis pri ĝia valideco kaj same li sciis, ke se li nun registrus ĝin, li povus jam registri ankaŭ la veron, pri kiu temis al li. Tiu ĉi prudenta konsidero do anstataŭis la sinsekvon de registroj. Tio estis anstataŭo neokulfrapa - kiam ajn la geometriisto nome dezirus, li povus esti certa, ke surbaze de tiu ĉi konsidero li reregistrus la donitan veron. Sed spite al tiu ĉi neokulfrapeco temis pri principa paŝo. La geometriaj veroj jam ne bezonis esti sole registritaj, sufiĉis prudente motivigi, ke (kiam ajn iu deziros tion) ili povus esti registritaj. Tiel ĉi naskiĝis la matematika pruvo.
Influo de Aristotelo
La signifo de Aristotelo por la tuta tiama kaj estonta eŭropa scienco estas grandega. La daŭraj kaj neŝanĝiĝemaj geometriaj ideoj estis sub lia influo anstataŭitaj per nuraj imagoj de geometriaj objektoj. Matematiko (eĉ tiutempe senĉese ankoraŭ reprezentata preskaŭ ekskluzive de geometrio) praktikata en ligiteco de la filozofio kaj logiko de Aristotelo konis jam logikan pruvon kiel konsideron okazanta en la lingvo, tio signifas simpla de kiaj ajn registroj (ĉar ideoj, kiujn ununurajn eblas registri, jam ne estis en la mondo de matematiko).
Grava karaktero de la pruvo komencas esti tiutempe lia rilato al veraj (komprenu imageblaj) objektoj. Tiun ĉi konekson eblas plej bone esprimi en rilato de sendisputeco kaj efektiveco. La sendisputeblaj estas tiaj pensitaj objektoj, el kies ecoj ne eblas dedukti logikan disputon (t.e. ne eblas pruvi ian econ kaj samtempe ties logikan neon). Realigeblaj estas male tiaj objektoj, kiujn eblas (almenaŭ en imago) realigi. La baza logika regulo difinita de Aristotelo diras, ke neia objekto povas havi samtempe econ kaj ankaŭ ties logikan neon. Do la pensita objekto, kiu estas disputa, ne povas esti realigebla. La mala aserto, t.e. sendisputebla objekto estas realigebla, tiutempe ne estis agnoskata kiel vera Ekzemple kvar reciproke ortaj segmentoj ja ne estas komune en disputo, sed pro limigo donita de tridimensia spaco ne eblas ilin realigi nek imagi.
Tiutempe ankaŭ kristaliĝis bazaj specoj de pruvmetodoj konataj kiel klasikaj modeloj de logikaj pruvoj Inter tiujn ĉi modeloj apartenas rekta pruvo, nerekta pruvo, pruvo de analizo de kazoj kaj pruvo de pensita konstruo (vidu sekcion pri Specoj de matematikaj pruvoj).
La aristotela koncepto de matematiko kaj matematika pruvo estas kaptita en verkoj Elementoj de Eŭklido, en kiuj ankaŭ unuafoje aperas ideo de aksioma konstruo de matematiko en formo de postulatoj de Eŭklido.
Romio
Romia matematiko ĝenerale estis neniam evoluigita kaj fakte ĝi restadis sur tiu nivelo de konoj, sur kiu postlasis ĝin grekoj. Pragmatika romia socio agnoskis sole tiun parton de matematiko, kiu taŭgis por aplikadoj en konstruaferoj kaj armeaferoj. Intereso pri la pura matematiko inkluzive de nocio de la matematika pruvo estis fakte nula.
Mezepoko
Matematiko kiel tutaĵo precipe en frua mezepoko spertis periodon de mallumo. La greka koncepto de matematiko kaj pruvoj estis plu praktikata sole en Bizanca imperio. De tie ekde la 8-a jarcento araboj interkonatiĝis kun tiu koncepto (grandan influon al la araba matematiko havis ankaŭ matematiko barata). La araba matematiko plenforte montriĝis en Hisáb al-ĝabr wa-l-muqábala, la verko de Al-Ĥorezmi, en kiu estis metitaj bazoj de algebro kaj kun tio koneksanta nova speco de la matematika pruvo - pruvo per kalkulo. Tiu ĉi nova speco de pruvo estis uzata ankaŭ pli poste fare de italaj renesancaj matematikistoj dum serĉado de ĝeneralaj solvoj de algebraj ekvacioj.
Konstruiga antaŭbolzana koncepto
Tiutempe estis en la matematiko senĉese karakterize evidenta influo de Aristotelo - la matematikaj objektoj ne havis daŭran ekzistadon kiel platonaj ideoj, sole eblis imagi ilin aŭ pensi ilin (efektivigi ilin en la imago respektive en la pensado). Tiuj ĉi objektoj akiradis en la efektivado sian ekzistadon, post la malstreĉiĝo de la atentemo ili ĉesis denove ekzisti. La fako do ne estis konsiderata kiel ia dosiero de daŭre ekzistantaj objektoj, sed kiel certa markigo de tiuj objektoj - la ekzistantaj, jam pereintaj, ĝis nun ne kreitaj kaj tiaj, kiuj neniam ekzistos - kiuj apartenas en tiun ĉi fakon (kaj due ankaŭ de tiuj, kiuj ne apartenas en ĝin). La pruvo de aserto "Por ĉiu objekto el la donita fako validas..." do ĉisence signifis la pruvadon de tiu ĉi aserto por ĉiu objekto (eĉ por tia, kiu estos neniam efektivigita) de tiu ĉi fako. Tiu ĉi koncepto kongruas kun la nuntempa komprenado de vortoj "por ĉiu". Diference de tio la frazo "Ekzistas objekto el la donita fako, ke validas..." ne estas en tiu ĉi koncepto aserto. Ties valideco nome ne estas daŭra, ĉar en la fako tiel, kiel ĝi estis ĉi tie eksplicita, la certa objekto ekzistas ĝuste tiam, kiam ĝi estas efektivigita en la pensado de iu homo. Tuj kiam la penso pereos, tia objekto ĉesas ekzisti, kaj do la valideco de tiu ĉi frazo povas dumtempe ŝanĝiĝi. Por ke akiru aserton, ni devas agadi pli atenteme kaj formuli la sekvantan frazon jene: "Temas pri efektivigebla objekto el la donita fako, ke validas..." Tian aserton poste eblas pruvi sole per unu maniero, kaj nome, ke la postulata objekto efektiviĝos - ekkonstruos sin. Ununura maniero de la pruvado de ekzistaj asertoj do estis ĉitempe pruvo per konstruigo. Pure ekzistiga, nekonstruiga pruvo el la pli menciitaj kaŭzoj ne estis uzata kaj ĝi nek povis. Krom la konstruiga pruvo kiel la ĝusta estis senĉese ankoraŭ konsiderata ankaŭ pruvo apogita je geometria opinio, sen kiu matematikistoj tiam ĉe certaj asertoj (ekz. ĉe teoremo de Bolzano) ne evitis. eta|maldekstra|250px|Laŭ Bolzano, Dio estas diference de homo kapabla vidi ĉiujn senfine multajn elementojn de [[koŝia vico en unu fojo, kaj do li rekte registras eĉ punkton sur rektlinio, al kiu la elementoj de tiu ĉi vico proksimiĝas. Tia punkto do ekzistas, kvankam neniu homo kapablas konstrui ĝin.
(La reguligita bildo de William Blake The ancient of days) ]]
Influo de Bolzano kaj la nekonstruiga pruvo
La signifo de ĉeĥa filozofo kaj matematikisto Bernard Bolzano por la evoluo de ne nur koncepto de la matematika pruvo, sed kiel de la tuta matematiko konsistas en anstataŭo de fakoj per la daŭre ekzistantaj grupiĝoj de objektoj. El tiuj ĉi grupiĝoj pli poste evoluis la nocio de aro, kiu fariĝis la centra nocio de la matematiko de la 20-a jarcento. Ni notu rande, ke dum la anstataŭo de senfinaj fakoj per la grupiĝoj Bolzano devis solvi problemon de aktuala senfineco (t.e. problemon, ĉu reale ekzistas senfina kvanto de iaj objektoj). Li kapablis solvi tiun ĉi problemon sole helpe de teologio, kiam li motivigis, ke aktuale senfina kvanto troviĝas en menso de kristana Dio.
Se estas donitaj daŭre ekzistantaj grupiĝoj de objektoj, la frazo "Ekzistas objekto el la donita grupiĝo, ke validas..." havas jam (diference de ambaŭ kazoj) daŭran karakteron kaj ĝi do estas aserto. Tiun ĉi aserton poste eblas pruvi per du manieroj. La unua ebleco estas agadi same, kiel ĉe la kazo de la fakoj, t.e. ekkonstrui la postulatan objekton. Nova ebleco, kiu nun proponiĝas, estas pruvi nuran ekzistadon de la postulata objekto sen neceseco konstrui ian tian objekton. Tiu ĉi nova speco de pruvo nomiĝas nekonstruiga pruvo (aŭ pure ekzista pruvo). Tipa ekzemplo de uzo de la nekonstruiga pruvo estas la pruvo de ekzistado de transcenda nombro de Cantor, dum kiu montriĝos, ke de ĉiuj algebraj nombroj estas sole kalkuleble multe (eblas numeri ilin per naturaj nombroj), dum de ĉiuj realaj nombroj estas nekalkuleble multe (ne eblas numeri ilin). Ĉar do da realaj nombroj estas pli ol da algebraj, devas almenaŭ unu transcenda ekzisti. Sed el tiu ĉi pruvo entute ne estas tute klare, kiel trovi ian transcedentan nombron.
Ni aldonu, ke jam kelkaj antaŭaj filozofoj kaj teologoj (Giordano Bruno, Rodrigo de Arriaga) motivigis per uzo de supozo de Dia ekzistado, ke objektoj, kiuj reciproke ne estas en logika disputo jam devas esti efektivigeblaj (nome en Dia menso). Tiu ĉi aserto, kiu estas returno de la klasika percepto de Aristotelo pri neefektivigebleco de disputa, pli poste eksidis en la matematiko. Ties formaligo en parolo de la moderna matematika logiko estas la t.n. teoremo de Gödel pri kompleteco.
La estiĝo de formala pruvo
Sekve de la laboro de Bolzano venis en la terenon de esplorado de matematiko ankaŭ tiaj objektoj, kies ekzistado estas ja pruvebla, sed eblas ilin neniel ekkonstrui. Ekzemplo de tia objekto estas ekzemplo kontinua funkcio, kiu havas en nenia sia punkto derivaĵon (tangenton al grafo), malkovrita sendepende unue de Bolzano kaj pli poste de Weierstrass. Iom necerte dirite, la grafon de tia funkcio eblas desegni per unu movo, sed en ĉiu punkto de tiu ĉi grafo estas rompo, t.e. ne "glata arketo", sed "pinto". Ankoraŭ pli stranga ekzemplo povas esti kurblinio de Pean, kio estas simpla kontinua kurblinio difinita en intervalo (0,1), kies bildon plenigas la tuta kvadrato (0,1) x )0,1) aŭ funkcio el realaj en realajn nombrojn. Tiuj ĉi kaj al ili similaj ekzemploj tute kontraŭas al homa intuicio - Charles Hermite eĉ proklamis pri la funkcio de Bolzano-Weierstrass kaj pluaj similaj ekzemploj: "Mi forturnas min kun terurego kaj teruro de tiu ĉi bedaŭrinda inundo de kontinuaj funkcioj sen derivaĵo.". Sed pli principa por plua evoluo de la matematika pruvo estas reago de Henri Poincaré, kiu en verko La valeur de la Science demandas "Kiel intuicio povas ĉikaze tiel trompi nin?"
La miro de Poincaré estas komprenebla, ĉar pro la malkovro de pli supre menciitaj ekzemploj okazis io, kio ĝis tiutempo ne havis en la matematiko analogion. La geometria opinio kaj intucio venis en disputon kontraŭ pruveblaj asertoj. Tial, por ke oni malebligu la disputeblecon de la tuta matematiko, estis necese rifuzi la intuicion kaj la opinion kiel pruvigaj rimedoj. Sed la pruvoj de multaj bazaj asertoj precipe de matematika analizo kaj geometrio estis tiutempe fonditaj en la opinio, estis do devige konstrui ilin denove sur firman fundamenton. Tiu ĉi firma fundamento fariĝis aksioma metodo uzata jam en antikva Grekio fare de Eŭklido en liaj Elementoj. Sed ankaŭ Eŭklido eliris (verŝajne eĉ ne konsciinte tion) grandmezure el intuicio - pri tio atestas ekzemple fakto, ke dume da postulatoj de Eŭklido estas sole kvin, David Hilbert en sia laboro Grundlagen der Geometrie uzas al aksiomigo de geometrio 21 postulatojn. Ankaŭ greka aksiomiga metodo do montriĝis kiel nesufiĉa kaj antaŭ ol povis esti fondita sur ĝi la tuta matematiko, ĝi devis esti tute liberigita de la intuicio.
La loko, kie en la greka koncepto la intuicio estis uzata plej ofte, estis la matematika pruvo. Kvankam en la geometrio estis elektataj kiel la aksiomoj eĉ multaj el la plej evidentaj veroj, por ke oni tiel limigu la uzon de opinio al minimumo, la maniero de logika derivado de sekvoj mem estis uzata tute libere. Por ke oni tute eliminu la intuicion (kaj per tio ankaŭ la tutan necertecon) el la matematiko, devis do la matematikistoj de la dua duono de la 19-a jarcento aksiomigi la nocion de la matematika pruvo mem. Samtempe kun tio okazis sekve de klopodo pri forigo de neprecizeco eliranta el (intuicia) uzado de natura lingvo al formaligo de tiu ĉi nocio, t.e. anstataŭo de la natura lingvo per lingvo simbola. En laboroj de David Hilbert, Gottlob Frege kaj pluaj estis iom post iom evoligita formala simbola lingvo sufiĉe riĉa, por ke ĝi esprimu ĉiujn matematikajn asertojn, kaj la nocio de formala pruvo, kiu ebligis pruvi formale skribitajn asertojn (la t.n. formulo) per uzo sole de kelke da malmulte da derivigaj reguloj, ni nomas logikaj aksiomoj, t.e. sen la plej malgranda influo de intuicio aŭ opinio. La matematika pruvo tiel fariĝis klare difinebla nocio tiom preciza, ke post veno de moderna komputila tekniko povis esti ties ĝusteco verkontrolita eĉ per nure algoritme laboranta komputilo.
Komputila pruvado
La historia evoluo alkondukis la matematikan pruvon en tian stadion de precizeco, ke ĝia ĝusteco povas esti verkontrolita per nura komputilo. Nuntempe eĉ ekzistas la t.n. sistemoj de aŭtomata pruvado de teoremoj, kio estas komputilaj programoj kapablaj ekkonstrui pruvojn de la matematikaj asertoj. Tiuj ĉi programoj ja multfoje kapablas pruvi eĉ ne tute trivialajn teoremojn, sed malgraŭ tio ili estas senĉese malproksime de la stadio, kiam eblus uzi ili en la praktiko. Inter faka matematika publiko ne ekzistas unusignifa opinio por tio, ĉu eblas evoluigi programon, kiu povus en la matematika pruvado konkursi kontraŭ homo.
Plua maniero de enigo de komputiloj en terenon de la pruvado estas pruvoj gvidataj fare de homo, sed en kiuj la komputilo estas uzita kiel helpanto en tiuj lokoj de la pruvo, kie oni bezonas nek inventon nek abstraktan pensadon. La plej konata tia uzo de komputilo estas pruvo pri teoremo kun kvar koloroj (vidu pli malsupren).
Specoj de matematikaj pruvoj
La matematika pruvo estadas kutime farata (formultata) en natura lingvo, ĉiokaze nomata ankaŭ metalingvo. Tiu ĉi uzado de natura lingvo, kiu estas multfoje multsignifa, sed ĝi kondukas (precipe dum nesperteco de ties uzanto) al neprecizecoj kaj eraroj. La uzado de natura lingvo kondukas ankaŭ al multaj paradoksoj (vidu paradokso de Russell, paradokso de kretano aŭ paradokso de cent vortoj). Pruvo farata en la natura lingvo nomiĝas neformala pruvo. Klopodo al forigo de la neprecizecoj donitaj per la uzado de natura lingvo kondukis fine de la 19-a jarcento kaj komence de la 20-a jarcento al estiĝo de matematika logiko kaj al kreigo de nocio formala pruvo, en kiu la uzado de natura lingvo estas tute forigita (ĝi estas anstataŭita pere de formala lingvo). Sed pro pretendemo (precipe tempa) de konstruigado de formalaj pruvoj ankaŭ en la nuntempa matematiko unusignife dominas la pruvo neformala, kies mankoj kutime ĉe la sperta uzanto (matematikisto) ne estas fonto de eraroj.
Neformala pruvo
Neformala pruvo estas pruvo en natura lingvo eliranta el donitaj supozoj kaj reguloj de prudento. El la historiaj motivoj diferenciĝas kelke da bazaj specoj (neformalaj) de pruvoj.
Rekta pruvo
La rekta pruvo (latine modus ponens) estas agado, dum kiu la pruvata aserto estas derivita per rekta apliko de difinoj, supozoj kaj antaŭe pruvitaj asertoj, alie dirite ĝi estas derivita per metodo "se... poste..." aŭ "...do".
Nerekta pruvo
La nerekta pruvo (latine modus tollens) estas metodo servanta al pruvado de aserto de tipo "se A, poste B", dum kiu pruviĝos "se ne B, poste ne A". Ĝi mallarĝe rilatas al pruvo per disputo - ĉiu nerekta pruvo povas esti facile transgvidita al la pruvo per disputo.
Pruvo per disputo
La pruvo per disputo (latine reductio ad absurdum) baziĝas dum uzo de erara supozo, kiu estas tuj poste alkondukita al disputo (estas el ĝi derivita evidente malvera aserto). Se tiel okazos, estas pruvita malvalideco de la donita supozo kaj do valideco de ties malo. La pruvo per disputo havas proksime al nerekta pruvo - ĉiu nerekta pruvo povas esti facile transgvidita al pruvo per disputo.
Pruvo per pensita konstruigo
La pruvo per pensita konstruigo estas metodo de pruvado de ekzistaj asertoj "ekzistas X tia, ke...", dum kiu oni konstruigos (ekkonstruos) objekton X, por kiu ... validas. Tiu ĉi speco de la pruvo ankaŭ iam estas nomata pruvo per indiko de ekzemplo.
Pruvo per analizo de kazoj
Dum la pruvo per analizo de kazoj okazas dividigo de la esplorata situacio en fine multe da kazoj kaj pruvado de la postulata aserto por ĉiu el tiuj ĉi kazoj aparte. Tipa ekzemplo estas geometriaj pruvoj, kie ekzemple por valideco de ĝenerala teoremo pri triangulo oni konsideras tri kazojn de triangulo akutangula, ortangula kaj obtuza aŭ pruvoj, en kiuj diferenciĝas kazoj, kiam la donita nombro estas pozitiva, nula aŭ negativa.
Nekonstruiga (ekzista) pruvo
La nekonstruiga pruvo de ia ekzista aserto "ekzistas X tia, ke..." estas tia pruvo, kiu ja pruvos la ekzistadon de tia X, sed eblas per nenia maniero aperigi el ĝi nek unusolan ekzemplon de objekto, kiu povus esti elektita anstataŭ X. Tiu ĉi speco de pruvo hodiaŭ estas jam plimulte agnoskata kiel ĝusta, sed en la pasinteco (precipe je interŝanĝo de la 19-a kaj la 20-a jarcento) multaj signifaj matematikistoj protestis kontraŭ tia ĉi maniero de pruvado kaj la asertojn pruvitaj per tiu ĉi maniero ili ne agnoskis. Nuntempe ekzistas en la matematiko memstara direkto la t.n. konstruismo, kiu klopodas pruvadi ĉiujn asertojn konstruktive (vidu intuicia logiko). Pioniroj sur kampo de nekonstruigaj pruvoj estis Georg Cantor (kun pruvo de ekzistado transcendaj nombroj) kaj precipe David Hilbert. La problemaro de nekonstruigaj pruvoj mallarĝe koneksas kun aksiomo de elekto kaj ekzistado (sendisputebleco) de aktuala senfineco.
Geometria pruvo
La geometria pruvo estas tia pruvo, kiu uzas metodojn de geometrio. Ties ilustriteco estas grandmezure donita per ebleco de geometria imago, sed la preciza geometria pruvo ne devas esti fondita en tia ĉi opinio. La geometriaj pruvoj estas plej ofte uzataj en la geometrio mem, sed tre ofte ankaŭ en matematika analizo kaj en teorio de nombroj.
Pruvo per kalkulo
La pruvo per kalkulo servas al pruvado de asertoj, kiuj havas formon de egaleco, neegaleco aŭ ian sistemon de antaŭaj du. Al la postulata rezulto oni venas el supozoj per kalkulo, t.e. per ripeta aplikado de bazaj aritmetikaj kaj algebraj reguloj kaj diversaj taksoj. La unuaj pruvoj per kalkulo aperis dum solvado de algebraj ekvacioj en verko de persa matematikisto Al-Chorezmí. Nuntempe la pruvo per kalkulo estas plej multe validigata en matematika analizo, lineara algebro, teorio de verŝajneco, numera matematiko kaj parencaj fakoj, kie tiu ĉi agado kreas ĉefan parton de la pruvoj de multaj asertoj. Sed ĝi estas malgrandmezure uzata eble en ĉiuj matematikaj disciplinoj escepte de geometrio.
Formala pruvo
La formala pruvo estas tia pruvo, kiu ne estas farata en la natura lingvo, sed en lingvo simbola - formala. Pro minimaligo de valoro de precizeco, kiu estadas ĉe ne neformala pruvo alta, por celoj de la formala pruvo estas komprenataj ĉiuj asertoj kiel fina sukcedo de signoj (la t.n. formulo, eventuale segmentoj) kaj estas enpraktigita sistemo de reguloj difinanta, kiel eblas manipuli kun tiuj ĉi sukcedoj. Tiu ĉi sistemo de reguloj nomiĝas logika kalkulo. Du la plej uzataj kalkuloj estas hilberta kalkulo kaj gentzena kalkulo. Ĉiu el tiuj ĉi kalkuloj konsistas el logikaj aksiomoj, kiuj esprimas bazajn ecojn de logikaj kunigiloj kaj kvantifikatoroj, kaj el derivigaj reguloj, kiuj difinas, per kia maniero eblas derivi el la supozoj iliajn sekvojn.
Kalkulo de Hilbert
Formala pruvo en la hilberta kalkulo estas difinita kiel fina sukcedo de formuloj, el kiuj unu, kutime la lasta, esprimas la pruvatan aserton, kaj kies ĉiu membro estas aŭ
Kalkulo de Gentzen
La gentzena kalkulo diferenciĝas de la hilberta ankaŭ per tio, ke ne estas pruvataj formuloj, sed la t.n. sekventoj, kio estas simboloj de formo, kie A, B estas finaj aroj de formuloj. Simbolo havas signifon "Se validas ĉiuj formuloj el A, poste validas almenaŭ unu formulo el B". Kiel pruvo de formulo \varphi estas konsiderata la pruvo de sekvento.
Granda teoremo de Fermat
Granda teoremo de Fermat estas la jena aserto:
Funebromarŝo
Funebromarŝoj estas kutime ludataj je la nereligia fazo de funebroj, precipe je entombigoj. Ankaŭ je kelkaj politikaj protestmanifestacioj oni uzas funebromarŝojn akompane al simbola funebro (kun antaŭe portata ĉerko).
Matematika pruvo
Pruvoj de la plej diversaj specialaj kazoj
Verŝajne jam mezepokaj arabaj matematikistoj sciis pri valideco de granda teoremo de Fermat por la kazo n = 3, sed iliaj pruvoj ne konserviĝis. La plej malnova konservita pruvo por tiu ĉi kazo devenas de Leonhard Euler.
Pierre de Fermat mem pruvis kazon la n = 4 tiel, ke por ĉiu eventuala solvo de tiu ĉi ekvacio li konstruis solvon pli malgrandan. Per tio li akiris senfinan malkreskantan vicon de naturaj nombroj kaj do disputon.
Funebromarŝo
Ili estas plejparte en minoro, de malrapida tempo kaj unuforma ritmo (laŭ la marŝa karaktero punktitaj plenvoĉaj akordoj), imite funebroprocesion. La funebromarŝoj estas grupigeblaj en komponaĵoj
Matematika pruvo
Pruvoj de la plej diversaj specialaj kazoj
En la jaro 1825 Peter Dirichlet kaj Adrien-Marie Legendre sukcese solvis kazon n = 5 kaj en 1839 Gabriel Lamé n = 7.
En la jaro 1847 Ernst Kummer pruvis la teoremon de Fermat por ĉiuj regulaj primoj, inter kiuj apartenas primoj pli malgrandaj ol 100 escepte de 2, 37, 59 kaj 67.
Ĝenerala pruvo de Wiles
Ĝeneralan kazon de granda teoremo de Fermat pruvis en la jaro 1995 Andrew Wiles post tio, kiam estis en lia supozita pruvo el la jaro 1993 trovita eraro. La pruvo de granda teoremo de Fermat estas escepta en multaj rilatoj. Ties longeco estas pli ol 100 paĝoj de presita teksto, ĝi estiĝis pro senĉesa naŭjara laboro de unusola matematikisto, sed ĉefe ĝi kunigas en si multajn diversajn iam eĉ sufiĉe malproksimaj terenojn de matematiko - teorion de diofantaj ekvacioj, modulara formo, algebra geometrio, galoja teorio kaj pluaj. Danke al tio ĝi estadas konsiderata kiel signifa paŝo direkte al plenigo de la t.n. programo de Langlands de ligigo de teorio de nombroj kaj de teorio de reprezentoj. Samtempe ĝi estas eminenta modelo de tio, kiel komplika povas esti la pruvo de simple formulita aserto.
Teoremo kun kvar koloroj
La teoremo kun kvar koloroj diras, ke ĉiun mapon en ebenaĵo eblas kolorigi maksimume per kvar koloroj tiel, por ke ĉiuj du najbaraj teritorioj havu diferencan koloron. Konjekton, ke tio estas tiel, elparolis jam en la jaro 1852 juna matematikisto Francis Guthrie. En la jaro 1878 tiu ĉi konjekto ĝenerale interkonatiĝis, kiam Arthur Cayley postulis ĉiujn partoprenantojn de renkontiĝo de Londona matematika socio, por ke ili provu pruvi ĝin. Sed la konjekto rezistis al ĉiuj klopodoj pri la pruvo ankoraŭ pluajn preskaŭ cent jarojn. Nur en la jaro 1976 Kenneth Appel kaj Wolfgang Haken anoncis, ke ili trovis la pruvon.
La pruvo de Appel kaj Haken
Appel kaj Haken sukcesis redukti la tutan problemon de kvar koloroj al nuraj fine multe da kazoj, kiujn necesis solvi. Sed de tiuj kazoj estis tiom (precize 1936), ke pro ilia permana verkontrolado unu homo povus pasigi la tutan sian vivon eĉ ne solvinte ĉiujn. Tial la verkontrolado de tiuj ĉi kazoj estis komisiita al komputilo, kiu pasigis super ili pli ol 1200 horoj de maŝina tempo. Tiu ĉi uzo de komputilo por pruvi matematikan teoremon kaŭzis siatempe viglan polemikon. Neniu homo nome povis jam iam verkontroli la ĝustecon de la pruvo - eblis ja permane reverkontroli la ĝustecon de la komputila programo, kiu la unuopajn kazojn verkontrolis, sed tio ne eliminis eblecon de aparatara eraro, kiu povis la tutan pruvon malvalorigi. Por defendi la komputilan pruvadon estis argumentite, ke ĉe tiel komplikaj kaj longaj pruvoj la probableco de aparatara eraro estas ja nenula, sed certe multe malpli granda ol probableco, ke similan eraron faros homo Nuntempe la teoremo kun kvar koloroj estas konsiderata kiel pruvita kaj kontraŭ uzo de komputilo en la matematikaj pruvoj ne estas metataj pli grandaj obĵetoj.
Necesas aldoni, ke Appel kaj Haken kredis, ke ilia pruvo estas nur unua el vico, en kiuj komputiloj estos per principa maniero uzitaj. Sed la pruvo de la teoremo kun kvar koloroj restis en tiu ĉi ĝis la nuna tempo fakte sola kaj krom kelkaj pli-malpli trivialaj pruvoj rilatantaj al venkaj strategioj en kelkaj finaj ludoj ne estis jam denove en la matematika pruvado tiumaniere la komputilo uzita.
Klasifiko de finaj simplaj grupoj
Teoremo pri klasifiko de finaj simplaj grupoj diras, ke ĉiu fina simpla grupo falas aŭ en unun el 18 senfinaj grupoj aŭ ĝi estas unu el 26 tiel nomataj sporadaj grupoj. Tiu ĉi teoremo do plene karakterizas per tio ĉiujn finajn simplajn grupojn. Pro grandega pretendemo de ĝia pruvo ĝi estadas en la angla ankaŭ nomata "Enormous theorem".
Pruvo
Pruvo de tiu ĉi teoremo estis neniam publikigita en tuto. Ĝi konsistas el pli ol 500 artikoloj de proksimume 100 aŭtoroj publikigitaj en la plej diversaj matematikaj ĵurnaloj plejparte inter la jaroj 1955 kaj 1983. Oni taksas, ke la suma longeco de pruvo estas 10 000–15 000 paĝoj de presita teksto Tia amplekseco povas kaŭzi (simile kiel ĉe la teoremo kun kvar koloroj) dubojn pri la ĝusteco de la pruvo. Neniu matematikisto nome verŝajne tralegis tiun ĉi pruvon tuta, kaj do neniu en la mondo povas aserti mem pri si, ke ne estas eraro en ĝi. Sed ĉiu unuopa parto de la pruvo publikita en la paso de preskaŭ tridek jaroj estis fare de multaj matematikistoj tralegita kaj agnoskita kiel ĝusta. Tial tiu ĉi pruvo estas ĝenerale konsiderata kiel ĝusta, kvankam neniu konkreta homo iam verkontrolis ĝian ĝustecon kaj tre verŝajne eĉ ne en la estonteco verkontrolos.
Rilate al la nekredebla longeco de la pruvo estas alte verŝajne, ke ĝi enhavas multe da etaj eraroj kaj malĝustecoj. Michael Aschbacher, unu el la ĉefaj aŭtoroj de la pruvo, diris al tio: "Verŝajneco de eraro en la klasifika teoremo estas fakte 1. Aliflanke verŝajneco, ke ĉiu unu el tiuj ĉi eraroj ne estus facile korektebla, estas fakte nulo kaj ĉar la pruvo estas fina, la verŝajneco, ke la teoremo ne validas, estas tre proksime al nulo. Kiel la tempo pasas kaj ni havas okazon pli proksime interkonatiĝi kun la pruvo, nia fido en ĝi povas unusole kreski."
Sergio Ramos
'Sergio RAMOS (prononco [], naskiĝis, do nun -aĝa) estas hispana futbalisto. Li kiel membro de la hispana nacia teamo de futbalo partoprenis la matĉojn pri la Futbala Mondpokalo 2010 en Sud-Afriko, kiujn la hispana teamo venkis, kaj en la sama pozicio ankaŭ partoprenis en la matĉoj de la Eŭropa Futbal-Ĉampionado 2012, de la Futbala Mondpokalo 2014 kaj de la Eŭropa Futbal-Ĉampionado 2016. Matĉe li rekoneblis per la ĉemiza numero "15". Ekster naciaj matĉoj, li ekde la jaro 2005 estas futbalisto de la klubo Real Madrid.
Ibresi
Ibresi (ĉuvaŝlingve Йĕпреç), — grandvilaĝo (ĝis 2006 — urbotipa vilaĝo) estas administra centro de la distrikto de Ibresi de Ĉuvaŝa Respubliko. La loĝantaro por la 1-a de januaro 2005 egalis al 9,3 mil homoj.
Neu Duvenstedt
Neu Duvenstedt estas komunumo en Germanio. Ĝi troviĝas en la distrikto Rendsburg-Eckernförde de la federacia lando Ŝlesvigo-Holstinio. Fine de la komunumo havis  loĝantojn. La teritorio estas parto de la komunumaro Hüttener Berge, administra ligo de pluraj formale sendependaj politikaj komunumoj, kun administra centro en Groß Wittensee.
Ibresi
La vilaĝo troviĝas je 40 km fervoje de Kanaŝ kaj je 60 fervojaj km de Alatir. De Ĉeboksari - la ĉefurbo de la Ĉuvaŝio ĝi situas je 114 km per aŭtoŝoseo.
Nova Pádua
Nova Pádua estas municipo en la subŝtato Suda Rio-Grando de Brazilo. Ĝi situas en la mezoregiono Nordoriento de Rio-Grando (portugale Nordeste Rio-grandense), kaj apartenas al la mikroregiono Caxias do Sul. Laŭ la stato de en la municipo vivis  sur areo de  kvadrataj kilometroj, kio rezultigas loĝdenson de  loĝantoj/km².
Wörterberg
Situo
Wörterberg troviĝas inter montoj, laŭ flankaj vojoj. Dum la hungara erao tuj post la Unua Mondmilito ĝi troviĝis ĉe la aŭstra landlimo.
23889 Hermanngrassmann
23889 Hermanngrassmann estas asteroido de la ĉefa asteroida zono malkovrita la de la usona astronomo Paul G. Comba elde la observatorio de Prescott (Arizono, Usono).
Wörterberg
Historio
En 1910 vivis en la komunumo 612 homoj (600 germanoj, 7 kroatoj, 5 hungaroj). Ĝis la Traktato de Trianon Vörthegy apartenis al la Hungara reĝlando, al Vas (reĝa departemento), poste al Aŭstrio, kaj inter 1938-1945 al Nazia Germanio. En 2001 vivis en Wörterberg 495 homoj (467 germanoj, 14 hungaroj, 8 kroatoj kaj aliaj).
Fléac-sur-Seugne
Geografio
Fléac-sur-Seugne situas sude de Saintes.
Kantono Hansford (Teksaso)
La malurba kaj maldense loĝata kantono Hansford situas en la subŝtato Teksaso de Usono. Laŭ censa takso de ĝi havis  loĝantojn. La kantona ĉefloko kaj administra centro nomiĝas Spearman. Norda limo de la kantono estas la limo inter Teksaso kaj Oklahomo.
Elba Tago
Elba Tago, nome 25a de aprilo 1945, estis la tago kiam sovetaj kaj usonaj trupoj renkontiĝis ĉe la rivero Elbo, proksime de Torgau en Germanio, kio markis gravan paŝon al la fino de la Dua Mondmilito en Eŭropo. Tiu kontakto inter sovetoj, avancintaj el Oriento, kaj usonanoj, avancintaj el Okcidento, signifis, ke tiuj du potencoj estis fortranĉinta efektive Germanion en du partoj.
La Elba Tago neniam estis oficiala feritago en ajna lando, sed en la jaroj post 1945 la memoro de tiu amika renkonto akiris novan signifon en la kunteksto de la Malvarma Milito inter Usono kaj Sovetunio.
Ensemblo (fiziko)
En statistika mekaniko kaj termodinamiko, ensemblo estas aro aŭ distribuo de sistemoj kun "sama" makroskopa stato sed kun malsama mikroskopaj statoj. Diferencaj specifoj de la makroskopa stato estigas diferencaj specoj de ensembloj.
Alpignano
Alpignano estas komunumo de Italio. Ĝi apartenas al la regiono Piemonto kaj al la provinco Torino, kiu ekde la 1-a de januaro 2015 havas la nomon metropola urbo Torino. Fine de en la komunumo vivis. Najbaras la komunumoj Val della Torre, San Gillio, Pianezza, Caselette kaj Rivoli.
Ensemblo (fiziko)
Specoj de ensembloj
La litero N signifas la nombron de partikloj (ekvivalente moloj) en la sistemo; la litero \mu, la kemia potencialo; la litero V, la volumenon; la litero P, la premon; la litero T, la temperaturon; la litero E, la ekzaktan (ne sole averaĝan) energion.
kie la dispartiga funkcio estas
Oni povas specifi aliajn arojn de makrostatoj: ekz., se oni specifus \mu, P, kaj T do la probablodistribuo estus
Rilato al termodinamikaj potencialoj
Ĉiu ensemblo havas naturan termodinamikan potencialon respondantan. Ekzemple: la mikrokanona ensemblo respondas al la entropio S (pli precize, al la kvanto -kTS): La kanona ensemblo respondas al la helmholca libera energio A: La izobara ensemblo respondas al la gibsa libera energio G: La granda kanona ensemblo respondas al la granda potencialo :
Kecalo
Kecalo, brilkecalo aŭ kvecalo estas speco de birdo (Pharomachrus mocinno) el la ordo de trogonoformaj, kun longa vosto, belkolora plumaro, vivanta en Centrameriko.
Temas pri buntaspekta birdo de la familio de trogonedoj. Ĝi troveblas de suda Meksiko (sub Jukatano kaj ĉe la pacifika marbordo) ĝis okcidenta Panamo. Malkiel aliaj kecaloj, kiuj troviĝas ankaŭ en Sudameriko kaj orienta Panamo), la brilkecalo vivas nur en Centrameriko. Ekzistas du subspecioj: la pli norde hejma P. m. mocinno (Pablo de la Llave, 1832 ) kaj P. m. costaricensis (Cabanis, 1869), la brilkecalo de Kostariko. Kostariko kaj Panamo estas la nuraj landoj, kie vivas konstante abundaj populacioj.
Tiu neotropisa birdo ludas gravan rolon en la mitoj de Mezameriko.
Aspekto
La brilkecalo mezuras 36 cm je longeco, aldone de ĝis 64 cm de la vosto ĉe la masklo. Ĝi pezas ĉirkaŭ 210 gramojn. Tiel ĝi estas la plej granda reprezentanto de la ordo de trogonoformaj birdoj.
La kecalo havas verdan korpon, montrante brilegon de orverda ĝis bluviola, kaj ruĝan bruston. Ĝiaj verdaj supravostaj kovrilplumoj (la subvosto estas blanka) kaŝas sian voston kaj ĉe reproduktantaj maskloj estas aparte belaj kaj grandiozaj, kaj pli longaj ol la resto de la korpo.
Ankaŭ la unuarangaj flugilplumoj estas eksterordinare longaj kaj havigas al ĝi franĝan aspekton. La masklo havas kaskecan kreston. La beko de maskla plenkreskulo estas flava kaj tiu de ino nigra.
La kanto estas trebla silabo priskribita kiel kiuuu aŭ kiel plorema pap, ofte farita pare, kio estas ripetita monotone. La kecalo havas ankaŭ aliajn nemuzikajn voĉojn.
Kutimaro
La kecalo estas konsiderata specializita fruktomanĝanto, kvankam ĝi aldonas al sia dieto insektojn (ĉefe vespojn, formikojn kaj larvojn) kaj ranojn. Precize gravaj estas naturaj avokadoj kaj aliaj fruktoj de la familio de laŭracoj, kiujn ili englutas enteraj antaŭ ol vomi la kernojn, kio helpas disvastigi tiujn arbojn.
La biotopo de la kecalo estas montetaj nubarbaroj de Centrameriko (de Suda Meksikio al Panamo). La kecalo kutime vivas sola, kiam ĝi ne reproduktiĝas. Dum reproduktado (ĉirkaŭ aprilo) la masklo montras siajn plej belajn kolorojn kaj plumojn, dum la ino demetas du palbluajn ovojn en nesto lokita en truo, kiun ili elfosis en putrinta arbo. Arbo en taŭga stato de putriĝo estas vundebla de vetero kaj la disponeblo de taŭgaj arboj povas limigi la populacion de kecaloj.
Ambaŭ gepatroj laŭvice kovas kun siaj longaj vostokovriloj falditaj supren super la dorso kaj elstarantaj el la truo, ŝajnigantaj foliojn de filiko kreskantajn el la truo. La kovoperiodo daŭras ĉirkaŭ 18 tagojn, dum kiuj la masklo ĝenerale kovas la ovojn dumtage dum la ino kovas dumnokte. Post eloviĝo, ambaŭ gepatroj prizorgas la idaron per fruktoj, beroj, insektoj, lacertoj, kaj etaj ranoj. Tamen, la ino ofte forgesas kaj eĉ foje abandonas la idaron antaŭ la fino de la prizorgoperiodo, lasante la masklon daŭrigi la prizorgadon de la idaro, ĝis kiam tiuj pretas supervivi propraforte.
Kecalo estas malforta fluganto. Komunaj predantoj estas ornamita akcipitraglo, strigoj, smeralda tukaneto, sciuroj, kaj la kinkajuo (Pribor 1999).
Mito kaj legendo
Kecalo estis konsiderata dieca, asociata al la "serpenta dio", Kecalkoatlo de antaŭkolumbaj centramerikaj civilizoj. Ĝiaj brilegaj verdaj vostoplumoj, simbolo de printempa plantorekresko, estis adorataj de la antikvaj Majaoj kaj Aztekoj, kiuj rigardis la kecalon kiel dio de la aero kaj simbolo de dieco kaj lumo. Regantoj en Mezameriko kaj duarangaj nobeluloj vestis sin per kapornamaĵoj faritaj el kecalplumoj, simbole konektante ilin al Kecalkoatlo. Ĉar estis krimo mortigi kecalon, la birdo estis nur kaptita, la longaj vostoplumoj plukitaj, kaj la birdo liberigita. Kecalkoatlo estis la kreinta dio kaj dio de la vento, ofte priskribata kun griza hararo. En kelkaj mezamerikaj lingvoj, la termino por kecalo povas signifi ankaŭ valorega, sakra aŭ starigita.
Ĝis ĵuse, oni supozis, ke la kecalon oni ne povas bredi aŭ teni longe en kaptiveco, kaj ja oni observis, ke ĝi kutime memmortigas sin tuj post kapto aŭ enkaĝigo. Pro tio, ĝi estas tradicia simbolo de libereco. Tamen bestoĝardeno en Meksiko sukcesis havi tiun specion ekde 1992, kaj en 2004 oni anoncis, ke ili sukcesis atingi ties reprodukton en kaptiveco (Orellana, 2004).
La kecalo, P. mocinno, estas la nacia birdo de Gvatemalo, kaj bildo de ĝi estas en la flago de Gvatemalo kaj en la blazono de Gvatemalo. Ĝi estas ankaŭ la nomo de la loka monunuo (mallongigite GTQ).
Tiu birdo gravegas en la gvatemala kulturo, ekzemple kiel rolulo en la tre disvastigita populara legendo de la loka heroo Tecún Umán, princo kaj militisto de Kiĉeoj dum la lastaj epokoj de la hispana konkero de Jukatano. Tiu kecalo estis lia navalo (spirita gvidanto).
La Kiĉeoj repuŝis kelkajn atakojn el la hispana armeo, eĉ superitaj laŭ armiloj (pafiloj, armaĵoj kaj kavalerio kontraŭ lancoj kaj sagoj).
La kecalo malsuprenflugis kaj alterigis ĉe Tecún Umán, malsekigante sian bruston en la sango de la milita princo. Tiel la birdo akiris sian distingajn ruĝajn brustoplumojn.
Alia gvatemala legendo asertas, ke la kecalo kantis belege antaŭ la hispana konkero, sed ĝi silentiĝis de tiam — sed denove rekantos, kiam la lando reliberiĝos.
Preparitaj specimenoj estas montrataj en riĉaj hejmoj de Gvatemalo kaj en muzeoj, kontribuante al la malofteco de la specio.
Etimologio
La nomo de la kecalo devenas de la majaa dio, Kecalkoatlo, la plumoserpento, unu el liaj aspektoj. La kecalo estis sankta birdo de la aztekoj.
La adjekto mocinno estas latinigo de la biologo J. M. Mociño instruisto de Llave. (Ĝi estas foje literumita mocino, sed "ñ" estis iam literumita "nn" en la hispana, pro tio la literumado kun "nn" estas ĝusta kaj ĉiukaze nun oficiala.,)
La nomo kecal devenas de la navatla kvecalli, "granda brila vostoplumo" (American Heritage Dictionary) aŭ "vostokovriloj de kecalo" (Merriam-Webster Collegiate Dictionary), el navatla etimo kvec = "stari" uzata por aludi la starajn vostoplumojn.
Vuisternens-devant-Romont
Vuisternens-devant-Romont estas komunumo en la distrikto Glano en Kantono Friburgo, Svislando. Ĝi havis 2024 loĝantojn je la 31-a de decembro 2011.
Geografio
Vusternens-devant-Romont situas en la Friburga Mezlando ĉe la bordo de la rivero Neirigue, 5 kilometrojn sude de la distriktĉefurbo Romont. La komunumo konsistas el la vilaĝoj Vuisternens-devant-Romont, Lieffrens, Les Ecasseys, Sommentier, La Magne, La Joux, Villariaz, Estévenens kaj La Neirigue.
La teritorio de la komunumo etendiĝas sur areo de 24,06 km², de kiuj 15,1% estas kovritaj de arbaro, 78,4% servas por agrikulturo kaj 6,1% por setlado.
Historio
La unua dokumenta mencio de Vuisternens-devant-Romont datiĝas el la jaro 929 kiel Winterningis. Dum mezepoko Vuisternens unue estis sub regado de Burgonjo kaj poste de Savojo. En la jaro 1536 ĝi estis submetita al friburga regado kaj atribuita al la Voktejo Romont, kiu en la jaro 1798 okaze de la Helveta Revolucio fariĝis distrikto kaj en 1848 surbaze de la nova friburga konstitucio estis integrita al la Distrikto Glano. Kun efiko de la 1-a de januaro 2003 la ĝis tiam aŭtonomaj komunumoj Lieffrens, Les Ecasseys, Sommentier, La Magne, La Joux, Villariaz kaj Estévenens estis integritaj al la komunumo Vuisternens-devant-Romont. Kun efiko de la 1-a de januaro 2004 krome La Neirigue aliĝis al la komunumo.
NTZ
La vorto havas plurajn signifojn:
Lars-Erik Larsson
Lars-Erik LARSSON (* 15-an de majo 1908 en Åkarp, komunumo Burlöv, Svedujo; † 27-an de decembro 1986 en Helsingborg) estis sveda komponisto, dirigento kaj muzikinstruisto.
Vivo
Lars-Erik Larsson studis muzikon ĉe Reĝa Muziko-Altlernejo je Stokholmo ekde 1925 ĝis 1929. Li daŭrigis siajn studojn ĉe Alban Berg en Vieno. Ekde 1937 ĝis 1954 li daŭre laboris kiel dirigento, komponisto kaj produktisto ĉe la sveda radio. Li estis kompozicio-profesoro ĉe la Stokholma muziko-altlernejo ekde 1947 ĝis 1959. Kiel dirigento ĉe Universitato de Upsalo li laboris ekde 1961 ĝis 1965.
Iapa
Iapa [japa] (hungare: Kabolapatak) estas vilaĝo en Rumanio okcidente de Sighetu Marmaţiei al kiu ĝi apartenas administre.
Loĝantaro
En 1910 ĝi havis 2 287 loĝantojn (rumanoj, hungaroj); en 1992 1 600 (rumanoj).
Historio
Ĝia unua mencio skribe estas en 1424. Ĝis 1919 kaj inter 1940 kaj 1944 ĝi apartenis al Hungario, (Máramaros).
Plektro
Plektro estas plateto uzata por sonigi kordinstrumentojn. Ĝi estas produktata plejparte de plastaĵo sed ankaŭ de metalo aŭ aliaj miksitaj materialoj. Ofte oni uzas plektron por ludi gitaron, basgitaron aŭ mandolinon. Moleco de plektro influas al rezulta sono de instrumento. Inter konataj produktistoj de plektroj apartenas Jim Dunlop USA, Fender, Gibson kajo George Dennis.
Tradicia plektro
Tradician plektron oni premas inter dikfingro kaj montrofingro. El la tradiciaj plektroj, oni uzas la malmolajn ĉe elektra gitaro, la pli molajn ĉe akustika gitaro.
Dikfingra plektro
Ĝi estas fiksebla al dikfingro, kiu estas bone uzebla en la tri- aŭ kvarfingra pinĉada stilo, por plektrado de basaj kordoj.
En kulturo
En Helena mitologio estas kelkfoje la diino Klio montrita tenante plektron kaj gitaron.
Robert Ritter von Greim
Robert Ritter von Greim (denaske Robert Greim; 22a de junio 1892 – 24a de majo 1945) estis germana kampomarŝalo kaj piloto. En la lastaj tagoj de la Dua Mondmilito, Adolf Hitler nomumis Greim kiel komandanto de la Luftwaffe (Germana Aerforto) anstataŭ Hermann Göring, kiun li estis elposteniginta pro perfido. Kiam okazis la kapitulaco de Germanio, Greim estis kaptita prizonulo fare de usonaj fortoj; li memmortigis en prizono la 24an de majo 1945.
Branĉa Linio (metroo de Madrido)
La  branĉa lino (hispane Ramal) - de la Metroo de Madrido estas mallonga linio konektanta ĉi tiujn staciojn, kun platformoj el 60 m, situantaj en la urbocentro de la urbo tra tunelo el metra duobla mallarĝa vojo.
Parto de la Placo Izabela la 2-a, kaj sub la Placo de Oriento kaj la ĝardenoj de la Reĝa Palaco, nomata Ĝardeno Kampo de la Maŭro, finiĝas sub la antaŭa konstruaĵo de la malnova Stacio de la Nordo, apud la Cuesta de San Vicente. Ĉar estas nur du haltoj, estas nur du trajnoj en la branĉo. En la stacio ekzistas ununura platformo kies vojo ligiĝas kun tiu de linio 2, kaj kiu forkuras en la tunelo direkte al, kie estas du platformoj ligitaj. Tamen, nur unu el la vojoj kaj ĝia platformo estas uzeblaj, dum la alia vojo estas uzata kiel garaĝo por parki la konvojon. La linio estis fermita de la 15-a de majo ĝis la 30-a de aŭgusto 2010 por plibonigoj en la tunelo kaj ĝiaj instalaĵoj, inkluzive de modernigado en la elektra sistemo.
Valea Hotarului
Valea Hotarului estas nomo de pluraj lokoj en Rumanio.
Șugău
Şugău estas nomo de pluraj lokoj en Rumanio.
Muziko de la 19-a jarcento
La muziko de la 19-a jarcento en la eŭropa muzikarto apartenas al jenaj stilepokoj:
1761 Edmondson
1761 Edmondson estas asteroido de la asteroida zono, malkovrita la en la kadro de la Indianaa Programo pri la Asteroidoj elde la Observatorio Goethe Link, apud Broklino en Indianao (Usono).
Nomo
Ĝia nomo honoras la usonan astronomon Frank K. Edmondson, iniciatinto de la Indianaa Programo pri la Asteroidoj.
Ŝimo
Ŝimo estas plurĉela fungo aŭ, pli ofte, spongeca amaso de tiaj fungoj, kiu povas kovri iujn supraĵojn (ĉefe de organikaj substancoj, kiel manĝaĵoj kaj humidaj surfacoj) pro malsekeco aŭ putriĝo. Ŝimfungoj estas ne-natura grupo ĉefe de diversaj askomicetoj kaj mukoraloj. Kontraste, fungoj kiuj kreskas unicelulare estas nomitaj gistoj. La esprimo "ŝimo" havas neniun precizan taksonomian signifon.
La esprimo sporo ofte estas rilata al malsanoj kaŭzitaj de bakterioj, sed la plej multaj el la sanproblemoj kaŭzitaj de ŝimo povas esti kaŭzitaj al homoj kun malfortaj imunsistemoj same kiel al homoj kun spiradaj problemoj. Ŝimo povas kaŭzi nedeziratan biologian putriĝon de naturaj materialoj, ekzemple; Manĝaĵo estas difektita, tial ĝia graveco por la konservado de biologiaj sistemoj. En la nutraĵa industrio, en esplorado kaj medicino, estas diversaj uzoj al ŝimo.