cyanic-selkie/wikianc huggingface dataset:
Historio de matematiko
Praepoko
Longe antaŭ la plej fruaj skribitaj registraĵoj, estis desegnaĵoj kiuj indikas scion de matematiko kaj de tempomezurado bazita sur la steloj. Ekzemple, paleontologoj estas malkovrintaj okrajn rokojn en kaverno en Sud-Afriko ornamitajn per gratitaj geometriaj ŝablonoj datiĝantajn de ĉirkaŭ 70 000 a.K.. Ankaŭ prahistoriaj artefaritaĵoj malkovritaj en Afriko kaj Francio, datiĝantaj de inter 35 000 a.K. kaj la 20 000 a.K., indikas fruajn provojn kvantigi tempon.
Indikaĵo ekzistas, ke frua kalkulado koncernis virinojn kiuj tenis registraĵojn de siaj monataj biologiaj cikloj; ekzemple, dudek ok, dudek naŭ, aŭ tridek grataĵoj sur osto aŭ ŝtono, sekvitaj per distinga grataĵo sur la osto aŭ ŝtono. Ankaŭ, ĉasistoj havis la konceptojn unu, du, kaj multaj, kaj aldone la ideon neniu aŭ nulo, kiam konsiderantaj arojn da brutoj.
La pla frua konata matematiko en antikva Barato datiĝas de ĉirkaŭ 3000-2600 a.K. en la Induso-civilizo (Harapana civilizo) de Norda Barato kaj Pakistano, kiu ellaboris sistemon de normaj pezoj kaj mezuroj, kiu uzis la dekuman sistemon, surprize evoluigitan teĥnologion de la briko, kiu utiligis kvocientojn, stratojn konstruitajn laŭ perfektaj ortoj, kaj nombron da geometriaj formoj kaj desegnaĵoj, inkluzivantaj brikojn, barelojn, konusojn, cilindrojn, kaj desegnaĵojn de samcentraj kaj sekcantaj cirkloj kaj trianguloj.
Matematikaj instrumentoj malkovritaj inkluzivas precizan dekuman rektilon kun malgrandaj kaj precizaj subdividoj, ŝelan instrumenton, kiu servis kiel cirkelo por mezuri angulojn sur ebenaj surfacoj aŭ en la horizonto laŭ obloj 40–360 gradaj, ŝelan instrumenton uzita por mezuri 8–12 tutajn sekciojn de la horizonto kaj ĉielo, kaj instrumenton por mezuri la poziciojn de steloj por navigaj celoj. La Indusa skribsistemo ankoraŭ ne estas deĉifrita; do tre malmulte estas sciata pri la skribitaj formoj de Harapa matematiko (3300 - 1500 a.K.). Arĥeologia indikaĵo gvidis iujn historiistojn kredi, ke tiu civilizo uzis la numeralo-sistemon bazo 8, kaj posedis scion de la kvociento de la longo de la cirkonferenco de la cirklo al ties diametro, do valoron de π.
Antikvo
La komenca periodo, en kiu kreiĝis kvantaj kaj geometriaj rilatoj kaj operacioj inter ili, daŭris tre longe. Ĝis la 6-a jarcento a.K. temis plejparte pri amasigo de aritmetikaj nocioj, geometriaj faktoj kaj bazaj operacioj. Matematikaj konoj estis registrataj sole per diversaj sistemoj de ciferoj kaj per kutima lingvo, kio bremsis pli rapidan evoluon. Ĝis la 3-a jarcento a.K. mankas al la matemartiko kia ajn speciala simboliko.
Mezopotamio
El Mezopotamio devenas la unuaj skribmemorigaĵoj en la historio de homaro kaj el periodo de 2200 ĝis 1800 a. K. konserviĝis granda kvanto de matematikaj tabeloj, kiuj montras progresintan gradon de evoluo de la mezopotamia algebro kaj geometrio kaj ankaŭ tio, ke la matematiko havas vere longan historion. Tiutempe estis malkovritaj gravaj algoritmoj por solvi diversmanierajn taskojn. La matematiko kapablis respondi ĉiujn postulojn de tiama civilizo. Por ties plua evoluo evidente mankis pli fortaj iniciatoj. El plua periodo preskaŭ konserviĝis neniaj matematikaj tabeloj, kaj do ne eblas prijuĝi pli postan evoluon de la matematiko. Por multipliki ili uzis inĝeniajn kompletojn de tabeloj. Dividon ili transgvidis al multipliko per turnigita valoro, la turnadon de valoro ebligis al ili denove tabeloj. Por solvi la taskojn ili laboris per naturaj nombroj kaj per pozitivaj sesdekonaj frakcioj. Ili ne kalkulis per nombroj neracionalaj kaj negativaj. Ili serĉis la solvon sole en fako de la naturaj nombroj kaj la pozitivaj sesdekonaj frakcioj. En algebro kalkulistoj solvis taskojn, kiuj hodiaŭ kondukas al ekvacioj linearaj, kvadrataj, kubaj kaj bikvadrataj kaj ties sistemoj. Aperis eĉ taskoj kondukanataj al ekvacioj de la oka grado, kiuj havas nenian prudentan aplikon en tiama teknika praktiko. Estis verŝajne difinitaj por ekzercado de kalkulumoj. La nekonataj magnitudoj estis markataj kiel longo kaj larĝo, iliaj produtoj kiel areo. Sed iam la terminoj estis transprenitaj eĉ el tereno de aritmetikaj operacioj (dividato kaj dividanto, multiplikato kaj multiplikanto ktp.). La memstara ĉapitro estas astronomiaj tabeloj de ĥaldejaj kalkulistoj, kiuj atestas pri iliaj nekutimaj kalkulaj konoj kaj kapabloj. Ili ĝis hodiaŭ lasis al la mondo sesdekuman sistemon (tempo, anguloj), dividon de cirklo en 360 gradojn, de tago en 24 horojn, de horo en 60 minutojn kaj de minuto en 60 sekundojn.
Antikva Babilona matematiko (ĉ. 1800—550 a.K.)
Babilona matematiko inkluzivas ĉian matematikon de la popoloj de Mezopotamio (aktuala Irako) de la tagoj de la fruaj sumeroj ĝis la komenco de la helenisma periodo. Ĝi estas nomita Babilona matematiko pro la centra rolo de Babilono kiel studloko, kiu ĉesis ekzisti dum la helenisma periodo. De tiam, babilona matematiko kunfandiĝis kun greka kaj egipta matematiko elkovante helenisman matematikon.
Kontraste al la malmulteco de fontoj en egipta matematiko, nia scio pri babilona matematiko devenas de nur iom pli ol 400 argilaj tabuletoj elterigitaj ekde la 1850-aj jaroj. Skribitaj en kojnoskribo, la tabuletoj estis skribataj dum la argilo estis humida (kaj do mola), kaj poste firmigitaj per bakado en forno aŭ sub la suno. Iuj el tiuj tabuletoj ŝajnas markitaj hejmtaskoj.
La plej frua evidento de skribita matematiko datiĝas de la antikvaj sumeroj, kiuj konstruis la plej fruan civilizon en Mezopotamio. Ili evoluigis kompleksan sistemon de mezurado ekde 3000 a.K. Plue de ĉirkaŭ 2500 a.K. la sumeroj skribis matematikajn baremojn sur argilajn tabuletojn kaj traktis geometriajn ekzercojn kaj dividajn problemojn. Ankaŭ la plej fruaj restaĵoj de babilonaj numeraloj datiĝas de tiu periodo.
La plejmulto de la retrovitaj argilaj tabuletoj datiĝas de 1800 ĝis 1600 a.K., kaj kovras temojn kiuj inkluzivas frakciojn, algebron, kvadratajn kaj kubajn ekvaciojn, kaj la kalkuladon de pitagoraj triopoj (vidu Plimpton 322). La tabuletoj ankaŭ inkluzivas multiplikajn baremojn, trigonometriajn baremojn kaj metodojn solvi linearajn kaj kvadratajn ekvaciojn. La babilona tabuleto YBC 7289 donas proksimuman kalkuladon al √2 preciza je kvin dekumaj lokoj.
Babilona matematiko estis skribita per uzo de sesdekumaj (bazo-60) numeraloj. De tio devenas la hodiaŭa uzado de 60 sekundoj en minuto, 60 minutoj en horo, kaj 360 (60 x 6) gradoj en cirklo. Babilonajn progresaĵojn en matematiko faciligis la fakto, ke 60 havas multajn divizorojn. Ankaŭ, malkiel la egiptanoj, grekoj, kaj romianoj, la babilonianoj havis veran loko-valoran sistemon, kie ciferoj skribitaj en la maldekstra kolumno prezentis pli grandajn valorojn, tre simile al en la dekuma sistemo. Ili malhavis, tamen, ekvivalenton de la dekuma signo, kaj do la loka valoro de simbolo ofte devis esti divenata el la ĉirkaŭteksto.
Antikva egipta matematiko (ĉ. 1850—600 a.K.)
Egipta matematiko inkluzivas matematikon skribitan en la egipta lingvo. En la helenisma periodo, la greka anstataŭis la egiptan kiel la skribita lingvo de egiptaj erudiciuloj, kaj de tiam egipta matematiko kunfandiĝis kun greka kaj babilona matematiko elkovante helenisman matematikon. Matematika studado en Egiptio poste daŭris sub la islama kaliflando kiel parto de islama matematiko, kiam la araba iĝis la skribita lingvo de egiptaj erudiciuloj.
La plej malnova matematika teksto ĝis nun malkovrita estas la moskva papiruso, kiu estas papiruso de la egipta Meza Regno datiĝanta de ĉirkaŭ 2000—1800 a.K. Simile al multaj antikvaj matematikaj tekstoj, ĝi konsistas el kio estas hodiaŭ nomita "vortaj problemoj" aŭ "rakontaj problemoj", kies celo verŝajne estis esti distraĵoj. Unu problemo estas konsiderata aparte grava, ĉar ĝi donas metodon trovi la volumenon de trunko (frustrumo): "Se vi estas aldirita: Senpintigita piramido de 6 por la vertikala alto per 4 sur la bazo per 2 sur la supro. Vi kvadratigu ĉi tiun 4, rezulto 16. Vi duobligu 4, rezulto 8. Vi kvadratigu 2, rezulto 4. Vi adiciu la 16, la 8, kaj la 4, rezulto 28. Vi prenu unu trionon de 6, rezulto 2. Vi prenu 28 dufoje, rezulto 56. Vidu, ĝi estas 56. Vi trovos ĝin ĝusta."
La Rhind-a papiruso (ĉ. 1650 a.K. ) estas alia grava Egipta matematika teksto, instrua manlibro pri aritmetiko kaj geometrio. Krom doni formulojn por areo kaj metodojn por multiplikado, dividado kaj laborado je entjeraj frakcioj, ĝi ankaŭ enhavas indikaĵon de alia matematika scio, inkluzive de faktorigeblaj nombroj kaj primoj; aritmetika, geometria kaj meznombroj; kaj simplecaj interrilatoj de, kaj la Kribrilo de Eratosteno, kaj la teorio de perfektaj nombroj (nome, tiu de la nombro 6). Ĝi ankaŭ montras kiel solvi unuaordajn linearajn ekvaciojn.
Tri geometriaj elementoj en la Rhind-a papiruso sugestas la plej simplajn fundamentojn de analitika geometrio: (1) unuavice, kiel kalkuli aproksimon de \pi precizan je malpli ol unu centono; (2) due, antikva provo kvadratigi la cirklon; kaj (3) trie, la plaj frua konata uzo de speco de kotangento.
Fine, la Berlina papiruso (ĉ. 1300 a.K.   ) montras, ke antikvaj Egiptanoj povis solvi duaordojn algebrajn ekvaciojn.
Egiptio
La matematiko de antikva Egiptio evoluis komune kun la evoluo de la egiptia civilizo ekde la 4-a jarcento a.K. Ĝi servis sole al praktikaj celoj, kiel abstrakta scienco ĝi ankoraŭ ne estis evoluinta. Egiptoj kapablis adicii, subtrahi, dividi, kalkuli per frakcioj kaj solvi kelkajn pli komplikajn aritmetikajn kaj geometriajn problemojn. Aperas konsideroj pri kalkuloj de areo de ebenaj figuroj (ortangulo, triangulo kaj cirklo).
Antikva hindia matematiko (ĉ. 1500 a.K.— 200 p.K.)
La temposkalo de Hindia matematiko ampleksas de la Indusa-Vala civilizo (3300-1500 a.K.) kaj Veda civilizo (1500-500 a.K.) tra moderna Barato (21-a jarcento).
La plej frua indikaĵo de la uzo de matematiko en Hindio estas de la Indusa civilizo, kiu datiĝas de ĉirkaŭ 3300 a.K.. Elfosoj ĉe Harappa, Mohenĝo-daro kaj la ĉirkaŭa areo de la Induso, malkovris multan evidenton de la uzo de baza matematiko. La geometrio en veda matematiko estis uzata por kompleksa konstruado de religiaj kaj astronomiaj situoj. Multaj aspektoj de praktika matematiko estas trovitaj en veda matematiko.
La Shatapatha Brahmana (ĉ. 9-a jarcento a.K.) aproksimas la valoron de π ĝis 2 dekumaj lokoj. La Sulbaj Sutroj (ĉ. 800-500 a.K.) estis geometriaj tekstoj, kiuj uzis neracionalajn nombrojn, primojn, la regulon de tri kaj kubajn radikojn; komputis la kvadratan radikon de 2 ĝis kvin dekumaj lokoj; donis la metodon kvadratigi la cirklon; solvis linearajn ekvaciojn kaj kvadratajn ekvaciojn; ellaboris pitagorajn triopojn algebre, kaj asertis kaj donis ciferecan pruvon de la Teoremo de Pitagoro.
(ĉ. 5-a jarcento a.K.) formulis la gramatikajn regulojn por la sanskrita lingvo. Lia notacio estis simila al moderna matematika notacio, kaj uzis metaregulojn, transformojn, kaj rekursiojn kun tia rafineco, ke lia gramatiko havas la komputivon ekvivalentan al Maŝino de Turing. La verko de Panini ankaŭ estas la antaŭulo al la moderna teorio de formalaj gramatikoj (grava en komputiko), dum la Panini-Backus formo uzata de plej modernaj programlingvoj estas ankaŭ grave simila al la gramatikaj reguloj de Panini.
Pingala (krude 3-a-1-a jarcentoj a.K.) en lia traktato de prozodio uzas ilon respektivan al la duuma sistemo. Lia diskuto pri la kombinatoriko de metroj, respektivas al la duterma teoremo. La verko de Pingala ankaŭ enhavas la bazajn ideojn de Fibonacci nombroj (nomitaj mātrāmeru).
La skribsistemo Brāhmī estis ellaborita almenaŭ jam de la Maurya dinastio en la 4-a jarcento a.K.; ĵusa arĥeologia indikaĵo ŝajnas retroigi tiun daton ĝis ĉirkaŭ 600 a.K.. La Brahmi numeraloj datiĝas de la 3-a jarcento a.K..
Inter -400 kaj 200 p.K., Jainaj matematikistoj komencis studi matematikon por la nura celo de matematiko. Ili estis la unuaj kiuj ellaboris transfiniajn nombrojn, aroteorion, logaritmojn, fundamentajn leĝojn de eksponentoj, kubajn ekvaciojn, kvartaj, do kvaragradajn ekvaciojn, sekvencojn kaj progresiojn, permutojn kaj kombinaĵojn, kvadratigadon kaj ekstraktadon de kvadrataj radikoj, kaj finiajn kaj malfiniojn potencojn.
La barata matematiko estis siatempe preskaŭ admirinde evoluinta. Kaj ĝi kaŭzis grandan rompon en la evoluo de matematiko. Ĝi alportis al la mondo precipe pozician sistemon. Ekzistis simboloj por la unuaj naŭ ciferoj. La dekuma karaktero estis tre evoluinta. Ĉio ĉi prezentas favorajn kondiĉojn por krei la pozician sistemon kun la bazo 10. La grandega malkovro fare de la barataj matematikistoj fariĝis nulo 0. La plej malnova skribdokumento esprimanta enskribon kun nulo estas el la 9-a jarcento a.K. Supozo por kalkulado en la pozicia sistemo estas operacioj per nuloj. La ecojn de nulo kiel nombro formulis la barataj matematikistoj jene:
Dividadon de nenula nombro per nulo ili konsideris de komence kiel neeble, pli poste ili venis al ideo, ke la rezulto estos senfineco.
Sanskritaj numeraloj: Ĉe nomigo de dekoj kaj centoj estas uzata adicia principo:
Krom tio ili brile priregis kalkuladon per frakcioj. Ilia formo preskaŭ kongruis kun la nuntempa: ili skribis la numeratoron super la denominatoro, sed ili ne uzis strekon. Dum la operacioj per la entjeroj kaj per frakcioj ili esprimis la entjerojn kiel frakciojn kun denominatoro 1. Ili konis potencon per du kaj tri, ili konis kaj uzis regulon de tri kaj multajn aliajn.
Antikva ĉinia matematiko (c. 1300 a.K.— 200 p.K.)
Datiĝante de la Ŝanga periodo (1600—1046 a.K.), la plaj frua ankoraŭ ekzistanta ĉina matematiko konsistas el nombroj gratitaj sur testuda ŝelo. Ĉi tiuj nombroj uzas dekuman sistemon, tiel ke la nombro 123 estis skribata (de supro al fundo) kiel la simbolo por 1 sekvata de la simbolo por cent, tiam la simbolo por 2 sekvata de la simbolo por dek, tiam la simbolo por 3. Ĉi tio estis la plej progresinta nombrosistemo en la mondo en la tempo kaj ebligis faradon de kalkuloj per la sŭan-pajno aŭ Ĉinia abako. La dato de la invento de la suanpano estas ne certa, sed la plej frua skribita referenco estas de 190 p.K. en la Suplementaj Notoj pri la Arto de Ciferoj verkita de Xu Yue. La sŭan-pajno estis plej verŝajne uzata jam pli frue ol tiu dato.
En Ĉinio, en -212, la Imperiestro Ying Zheng (Shi Huang-ti) ordonis, ke ĉiuj libroj estu bruligitaj. Kvankam tiu ordono estis ne tute obeita de ĉiuj, sekve de ĝi malmulte estas sciata kun certeco pri antikva Ĉinia matematiko.
De la Okcidenta Dinastio Zhou (de 1046 a.K.), la plej malnova matematika verko kiu travivis la libro-bruligadon estas la I Ching, kiu uzas la 64 duumajn 6-opojn por filozofiaj aŭ mistikaj celoj. La opoj estas prezentitaj kiel heksagramoj faritaj el rompitaj kaj solidaj linioj, prezentantaj yin kaj yang.
Post la libro-bruligado, la dinastio Han (-206 a.K.—221 p.K.) produktis verkojn de matematiko kiuj supozeble sin elvolvis sur verkoj, kiuj estas nun perditaj. La plej grava el ĉi tiuj estas La Naŭ Ĉapitroj pri la Matematika Arto. Ĝi konsistas el 246 vortaj problemoj, engaĝante agrikulturon, negocon kaj inĝenieradon, kaj inkluzivante materialon pri ortaj trianguloj kaj π.
Ĉinio estis ĝis la 14-a jarcento en tereno de matematiko la plej evoluinta lando de la mondo. Ekz. teoremo de Pitagoro estis enskribita en ĉinia matematika libro el la 2-a jarcento a.K. En plua ĉinia matematika libro el la 1-a jarcento a.K. kiel la unua en la mondo estis klarigita nocio pri negativa nombro kaj principoj de adicio, subtraho, la ĉinia matematikisto Zu Chongzhi en la 5-a jarcento difinis kun granda precizeco valoron de pi. Li venis al numero 3,141 592 6 (π = 3,141 592 7). Ne estas konate, kian metodon li precize uzis. Homoj en Ĉinio jam antaŭ longa tempo antaŭ tio ekkonis el la praktiko, ke perimetro de rado estas pli ol tri obloj de ties diametro.
Greka kaj helenisma matematiko (ĉ. 550 a.K.—300 p.K.)
Greka matematiko signas matematikon skribitan en la greka inter ĉirkaŭ 600 a.K. kaj 450 p.K. . Grekaj matematikistoj loĝis en urboj dise tra la tuta orienta Mediteraneo, de Italio al Nord-Afriko, sed estis unuigitaj de kulturo kaj lingvo. Greka matematiko estas fojfoje nomata helenisma matematiko.
Greka matematiko estis multe pli malnaiva ol la matematiko kiun ellaboris pli fruaj kulturoj. Ĉiuj travivintaj skribaĵoj de antaŭ-greka matematiko montras la uzon de induktiva logiko, tio estas, ripetitaj observaĵoj uzata por konstati regulojn praktikajn. Grekaj matematikistoj, kontraste, uzis deduktivan rezonadon. La grekoj uzis logikon por derivi konkludojn el difinoj kaj aksiomoj.
Taleso uzis geometrion por solvi problemojn kiaj kiel kalkuli la alton de piramido kaj la distancon de ŝipo de la bordo. Oni atribuas al Pitagoro la unuan pruvon de la Teoremo de Pitagoro, kvankam la diro de la teoremo havas longan historion. En sia komentario pri Eŭklido, Prokluso diras, ke Pitagoro esprimis la teoremon, kiu portas lian nomon kaj konstruis pitagorajn triopojn algebre anstataŭ geometrie. La Akademio de Platono havis la devizon "neniu nesperta pri geometrio envenu ĉi tien".
La pitagoranoj malkovris la ekziston de neracionaloj (neracionalaj nombroj). Eŭdokso de Knido (408 —ĉ.355 a.K.) inventis la metodon de elĉerpo, antaŭulo de moderna kalkulo. Aristotelo (384—ĉ.322 a.K.) unue surpaperigis la leĝojn de logiko. Eŭklido (ĉ. 300 a.K.) estas la plej frua ekzemplo de la formato ankoraŭ uzata en matematiko hodiaŭ: difino, aksiomo, teoremo, pruvo. Li ankaŭ studis konikojn. Lia libro, Elementoj, estis familiara al ĉiuj kleraj homoj en la Okcidento ĝis la mezo de la 20-a jarcento. . Aldone al la familiaraj teoremoj de geometrio, kiaj la Teoremo de Pitagoro, Elementoj inkluzivas pruvojn, ke la kvadrata radiko de du estas neracionala, kaj ke estas malfinie multaj primoj. La Kribrilo de Eratosteno (ĉ. -230) estis uzita por malkovri primojn.
Iuj diras ke la plej granda el la Grekaj matematikistoj, se ne el ĉiuj tempoj, estis Arĥimedo (287—212 a.K.) de Sirakuso en Sicilio. Laŭ Plutarko, je la aĝo 75, dum li desegnis matematikajn ekvaciojn en la polvo, trapikis lin per lanco romia soldato. Arĥimedo famas ankaŭ pro siaj inventaĵoj, kiaj la dentrado, kaj la pulio.
Antikva Romio postlasis malmultan indikaĵon de iu ajn intereso pri pura matematiko.
Pitagoro
Tre interesa staturo fariĝis Pitagoro, kiu asertis, ke ĉion eblas transgvidi al nombra principo kaj li alvicigis al la nombroj diversajn ecojn. Kiel la bazon li konsideris numeron, punkton (punkton kiel elementon de la plej minimuma limigeco - unu punkto estas punkto, du punktoj estas segmento, tri punktoj kreas triangulon, kvar punktoj spaca korpo kaj sumon de tiuj ĉi nombroj donas numero dek, kiun li konsideris kiel magian konstruon de kosmo kaj laŭ tiu ĉi bazo li kaj liaj sekvantoj poste serĉis interrilatojn inter la objektoj). Pitagoro naskiĝis en Malgranda Azio sur insulo Samoso. Post invado de persanoj li ekloĝis en la sudo de Italio kaj tie li fondis lernejon, kiu estis alirebla por la viroj kaj la virinoj kaj diskriminacia konduto estis malpermesita. En la lernejo li havis senliman aŭtoritatecon. Li dediĉis grandan atentemon al geometrio - teoremo de Pitagoro: La sumo de grandecoj de enhavoj de du kvadratoj super lateroj de ortangulo egalas al la enhavo de kvadrato super ĝia hipotenuzo. Sed ne estas klare, ĉu ties aŭtoro estas Pitagoro mem aŭ liaj lernantoj. Samideanoj de lia filozofio nomiĝas pitagoridoj, temis pri grekaj filozofoj, loĝantaj en grekaj vilaĝoj sur la sudo de Italio kaj anoj de la lernejo de Pitagoro.
Eŭklido
Eŭklido devenis el Megaro. Li apartenis inter samideanojn de Sokrato. Li fondis propran lernejon, kiu agadis ĝis la 3-a jarcento kaj koncentriĝis precipe al logiko, paradoksoj kaj trompaj konkludoj. Paradokso de mensoganto: "Se mi diros, ke mi mensogas, ĉu mi diras veron?" El la lernejo ekestis la tuta vico de logikuloj. Sed Eŭklido estas pli konata kiel geometro. Li verkis dektripartajn verkojn Elemetojn (Stoicheia) kulminantaj per sistemo de centraj aksiomoj de geometrio.
Arkimedo
Arkimedo devenis el Sirakuso kaj li estas unu el plej signifaj kleruloj de antikvo. Li malkovris multe da leĝoj de matematiko kaj fiziko. En geometrio li enpraktikigis negeometriajn nociojn kiel masocentro, mediano. Li dediĉis sin al metodoj de kalkulo de areoj (precipe de cirklo, elipso kaj parabola segmento kaj volumenoj de figuroj (precipe de cilindro, konuso, globo, elipsoido, paraboloido). Li difinis volumenon de rotacia paraboloido, elipsoido kaj hiperboloido en la praktiko per maniero, kiu estas hodiaŭ uzata en integrala nombro. Ĉirkaŭ la jaro 225 a. K. Arkimedo konstatis, ke volumeno de parto de parabolo respondas al 4/3 de volumeno de triangulo kun la sama bazo kaj alteco. Arkimedo konstruis senfinan sukcedon de trianguloj komencante de triangulo kun areo A kaj pluaj pli malgrandaj trianguloj plenigantaj iom post iom la spacon, kiu estis difinita de la parabolo. Li ricevis senfinan sukcedon de volumenoj:
,...
La volumeno de parto de parabolo do egalas al:
Tiu ĉi rezulto estas la unua konata ekzemplo de sumo de nefinia serio.
Li resumis siajn esplorojn en verko De mechanicis propositionubis ad Eratosthenes methodus, malkovrita nur en la 20-a jarcento, en la jaro 1906. Arkimedo kiel matematikisto derivis perimetron kaj volumenon de cirklo (per difino de proksima valoro de pi). Lia plej bona takso estis 3,1418 (eraro sole 0,0002). Necesas konscii, ke Arkimedo ne povis uzi avantaĝojn de algebra kaj trigonometrian enskribon de nombroj de dekuma sistemo. Tial la kalkulo devis estis tre komplika. Tamen Arkimedo mem el propraj matematikaj malkovroj plej multe estimis malkovron de rilato inter surfaco kaj volumeno de globo kaj al ĝi skribita cilindro (temas pri rilato 2:3) - tiu ĉi malkovro estas poste en grafika aspekto formigita sur la tombŝtono de Arkimedo.
La islama mondo
La araba matematiko estis plej multe influita de la matematiko mezopotamia, greka kaj barata. El la barata matematiko ĝi transprenis enskribon de nombroj kaj algoritmojn por skriba kalkulado, el la greka matematiko abstraktan geometrion kaj ideon de la aksioma konstruo de matematiko, el la mezopotamia kaj la egiptia mondo ĝi transprenis tradicion de numerike pretendemaj kalkuloj kaj precipe emfazon por uzo de la matematiko en la praktika vivo. La dekuma pozicia sistemo enpenetris malrapide al Proksima Oriento kaj ĝi estis uzata apud hejmaj sistemoj. La islama mondo komencis interkonatiĝi kun la t.n. barata sistemo pere de traduko de verko Sinhásitas de al Fazárí en la araban. Oni komencis uzi ciferojn el Barato. Ĉar en Eŭropon ili venis pere de araboj, ili estas hodiaŭ konataj kiel arabaj ciferoj. En la historio kaj en la nuntempo de matematiko kaj informatiko rolis kaj rolas gravan rolon preceptoj por solvi taskojn, ekz. preceptoj por kvar bazaj aritmetikaj operacioj kun naturaj nombroj enskribitaj en la dekuma sistemo. Per la preceptoj de tiu ĉi karaktero okupiĝis komence de la 9-a jarcento la araba matematikisto Al-Ĥorezmi (Abū Ĝaʿfar Muḥammad ibn Mūsā al-Ĥŭārizmī); latina misprononco de parto de lia nomo enpraktikigis en la eŭropajn lingvojn vorton algoritmo. Al-Ĥorezmi kapablis ekzemple geometrie solvi kvadratajn ekvaciojn kaj li elpensis ankaŭ simplan algoritmon por multipliko de ducifera nombro per unucifera nombro. En la jaro 800 kaj 825 li verkis du verkojn, el kiuj unu estis kalkulolibro, kiu en la latina traduko komenciĝas per vortoj Algoritmi dicit (Tiel diras Al-Ĥorezmi). Ŝajna intermikso de la nomoj estiĝis verŝajne pro misprononco dum la tradukado el la araba en la latinan. La alia verko estis kalkulolibro de algebro (al-kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala, "La kompendia libro pri kalkulado per kompletigo kaj balancado"), kiu enhavis sciencon pri solvado de ekvacioj. Laŭ la aŭtoro la ekvacio estas aranĝita, se ĉiuj ties membroj estas pozitivaj. Ĉiuj ekvacioj estis transigataj al tiu ĉi formo, per kio la aŭtoro difinis permesitajn operaciojn per ekvacioj. Li ne konis algebron de ĝeneralaj nombroj.
Mezepoko
En la periodo de mezepoko la matematiko, same kiel ceteraj sciencoj malevoluas (ĉefe en Eŭropo). Kelkaj pensantoj kaj ekleziaj matematikistoj venis ankaŭ al certa gravaj rezultoj. Mikolao Oresme (la dua duono de la 14-a jarcento) studis ŝatokupe potencigojn kun rompitaj eksponentoj, sed ĉefe li verkis verkon, en kiu li okupiĝas per dependeco inter magnitudoj. Li alportas depende variablon (latitudo) rilate al sendependa variablo (longitudo), kiun eblas mezuri. Estas en tio speco de transiro ekde koordinato al astra aŭ tera sferoj (kiujn oni konis jam en antikvo) al modernaj geometriaj koordinatoj. Lia verko pri tio estis kelkfoje presita en la jaroj 1482 ĝis 1515 kaj verŝajne ĝi influis renesancajn matematikistojn inkluzive de Descartes. Ĝis la komenco de la 16-a jarcento estis farita nenia principa paŝo por superi nivelon de la araba kaj la antikva matematikoj. La unuaj vere novaj kaj originaj ideoj alportas la italaj matematikistoj komence de la 16-a jarcento, laborantaj en tereno de solvado de ekvacioj.
Klasika Ĉinia matematiko (ĉ. 400—1300)
Zu Chongzhi (5-a jarcento) de la Suda kaj Norda Dinastioj komputis la valoron de π ĝis sep dekumaj lokoj, kiu restis la plej preciza valoro de π por preskaŭ 1000 jaroj.
En la mil jaroj sekvantaj la dinastion Han, komenciĝantaj en la dinastio Tang kaj finiĝantaj en la dinastio Song, ĉina matematiko prosperis en tempo dum kiu eŭropa matematiko ne ekzistis. Evoluaĵoj unue faritaj en Ĉinio, kaj nur multe pli poste sciataj en la Okcidento, inkluzivas negativajn nombrojn, la duterman teoremon, matricajn manierojn por solvi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj la ĉinan restan teoremon. La ĉinoj ankaŭ ellaboris la paskalan triangulon kaj la regulon de tri longe antaŭ ĝi estis sciata en Eŭropo.
Eĉ post kiam eŭropa matematiko komencis flori dum la Renesanco, eŭropa kaj ĉinia matematiko estis apartaj tradicioj, kun grava ĉina matematika eligado malkreskante, ĝis kiam la jezuitaj misiistoj portis matematikajn ideojn tien kaj reen inter la du kulturoj dum la 16-a tra la 18-a jarcentoj.
Klasika Hinda matematiko (ĉ. 400—1600)
La Surya Siddhanta (c. 400) prezentis la trigonometriajn funkciojn sinuson, kosinuson, kaj inversan sinuson, kaj starigis regulojn por determini la verajn moviĝojn de la lumaĵoj, kiuj konformas al ties realaj pozicioj en la ĉielo. La kosmologiaj tempaj cikloj eksplikitaj en la teksto, kiuj estis kopiitaj de pli frua verko, korespondas al averaĝa sidera jaro el 365.2563627 tagoj, kiu estas nur 1.4 sekundojn pli longa ol la moderna valoro, 365.25636305 tagoj. Ĉi tiu laboro estis tradukita en la araban kaj latinan lingvojn dum la Mezepoko.
Aryabhata en 499 prezentis la versinusan funkcion, produktis la unuajn trigonometriajn baremojn de sinuso, ellaboris teĥnikojn kaj algoritmojn de algebro, infinitezimojn, diferencialajn ekvaciojn, kaj ekhavis tutajn nombrajn solvojn al linearaj ekvacioj per metodo ekvivalenta al la moderna metodo, kune kun precizaj astronomiaj kalkuloj bazitaj sur heliocentra sistemo de gravito. Araba traduko de lia Aryabhatiya estis havebla de la 8-a jarcento, sekvote de latina traduko en la 13-a jarcento. Li ankaŭ komputis la valoron de π ĝis la kvara dekuma loko kiel 3.1416. Madhava poste en la 14-a jarcento komputis la valoron de π ĝis la dek-unua dekuma loko kiel 3.14159265359.
En la 7-a jarcento, Brahmagupta identigis la Brahmaguptan teoremon, la Brahmaguptan identon kaj la Brahmaguptan formulon, kaj unuafoje, en Brahmao-sphuta-siddhanta, li lumige eksplikis la uzon de nulo kiel kaj ŝtopaĵo kaj decimala cifero kaj eksplikis la Hind-araban numeral-sistemon. Estis per traduko de ĉi tiu Hinda teksto pri matematiko (ĉirkaŭ 770), ke islamaj matematikistoj estis prezentitaj al tiu numeralsistemo, kiun ili adaptis kiel tion kio nun nomiĝas Eŭropaj ciferoj. Islamaj erudiciuloj portis scion de ĉi tiu nombrosistemo al Eŭropo jam la 12-an jarcenton, kaj ĝi nun jam arkaikigis ĉiujn pli malnovajn nombrosistemojn ĉie en la mondo. En la 10-a jarcento, la komentario de Halayudha pri la verko de Pingala enhavis studojn pri la nombroj de Fibonaĉi kaj la Paskala triangulo, kaj priskribis la formigon de matrico.
En la 12-a jarcento, Bhaskara unue koncipis diferencialan kalkulon, kune kun la konceptoj de la derivaĵo, diferenciala koeficiento kaj diferencialado. Li ankaŭ pruvis la teoremon de Rolle (speciala kazo de la teoremo de la meznombra valoro), studis la ekvacion de Pell, kaj esploris la derivaĵon de la sinusa funkcio. De la 14-a jarcento, Madhava kaj aliaj kerala-skolaj matematikistoj, plue ellaboris liajn ideojn. Ili ellaboris la konceptojn de analitiko kaj de flos-punktaj numeraloj, kaj konceptojn fundamentajn al la tuta evoluo de kalkulo, inkluzivante la teoremon de la meznombra valoro, termo-post-terman integraladon, la interrilaton de areo sub kurbo kaj ĝian malderivaĵon aŭ integralon, testojn de konverĝo, ripetajn metodojn por solvi ne-linearajn ekvaciojn, kaj pluron da malfiniaj serioj, potencoserioj, seriojn de Taylor kaj trigonometriaj serioj. En la 16-a jarcento, Jyeshtadeva unuigis multajn el la kerala-skolaj evoluaĵoj kaj teoremoj en la Yuktibhasa, la de la mondo unua diferenciala kalkula teksto, kiu ankaŭ prezentis konceptojn de integrala kalkulo.
Matematika progreso en Barato iĝis stagna de la malfrua 16-a jarcento plu pro la sekvinta politika maltrankvilo.
Araba kaj islama matematiko (ĉ. 700—1600)
La islama araba imperio establita tra la Mezoriento, Mez-Azio, Nord-Afriko, Iberio, kaj en partoj de Barato en la 8-a jarcento faris gravajn kontribuojn al matematiko.
Muḥammad ibn Mūsā al-Ĥŭārizmī, 9-a-jarcenta persa matematikisto kaj astronomo al la Kalifo de Bagdado, verkis kelkajn gravajn librojn pri la hind-arabaj ciferoj kaj pri metodoj solvi ekvaciojn. Lia libro Pri la Kalkulo per Hindaj Numeraloj, verkita ĉirkaŭ 825, kune kun la verko de la araba matematikisto Al-Kindi, ilis la disvastigon de hinda matematiko kaj hindaj numeraloj al la Okcidento. La vorto algoritmo estas derivita de la latinigo de lia nomo, Algoritmi, kaj la vorto algebro de la titolo de unu el liaj verkoj, al-kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala (~ La Enhavega Libro pri Kalkulo per Plenigo kaj Bilancado). Al-Ĥŭārizmī estas ofte nomita la "patro de algebro", pro lia konservado de antikvaj algebraj metodoj kaj pro liaj originalaj kontribuoj al la kampo.
Pluaj evoluoj en algebro estis faritaj de Abu Bakr al-Karaji (953—1029) en lia traktato al-Fakhri, kie li etendas la metodaron al entjeraj potencoj kaj entjeraj radikoj de nekonataj kvantoj. En la 10-a jarcento, Abul Wafa tradukis la verkojn de Diofanto de Aleksandrio en la araban kaj ellaboris la funkcion tangento.
Omar Ĥajam, la 12a-jarcenta poeto, estis ankaŭ matematikisto, kaj verkis Diskutoj pri la Malfacilaĵoj en Eŭklido, libro pri malperfektaĵoj en Elementoj de Eŭklido. Li donis geometrian solvon al kubaj ekvacioj, unu el la plej originalaj evoluaĵoj en islama matematiko. Li estis ankaŭ tre influa en kalendara reformo. La Persa matematikisto Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) en la 13-a jarcento faris antaŭenigojn en sfera trigonometrio. Li ankaŭ verkis influan verkaĵon pri la paralela postulato de Eŭklido.
Dum la tempo de la Otomana imperio (de la 15-a jarcento) la evoluo de islama matematiko iĝis stagna. Ĉi tio paralelas la stagnadon de matematiko post la romiana konkero de la helenisma mondo.
John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson skribis en la arĥivo de la MacTutor History of Mathematics: "Ĵusa esploro pentras novan bildon de la ŝuldo kiun ni ŝuldas al la islama matematiko. Certe pri multaj el la ideoj kiuj estis antaŭe pensataj esti brilaj novaj komprenaĵoj ŝuldataj al eŭropaj matematikistoj de la dek-sesa, dek-sepa kaj dek-oka jarcentoj, ni nun scias ke ili estis ellaboritaj far arabaj-islamaj matematikistoj kvar jarcentojn pli frue. En multaj manieroj, la matematiko studata hodiaŭ estas multe pli proksima en stilo al tiu de islama matematiko ol al tiu de helenisma matematiko."
Mezepoka Eŭropa matematiko (ĉ. 300—1400)
Mezepokan eŭropan interesiĝon pri matematiko spronis koncernoj sufiĉe malsamaj de tiuj de modernaj matematikistoj. Iu pela elemento estis la kredo, ke matematiko provizas la ŝlosilon al la kompreno de la kreita ordo de naturo, ofte pravigita per Timaeus de Platono, kaj la biblia tekstaĵo, ke Dio "ordigis ĉiujn aĵojn mezure, kaj nombre, kaj peze" (Saĝeco 11:21).
La Frua Mezepoko (ĉ. 300—1100)
Boethius provizis lokon por matematiko en la studprogramo kiam li inventis la terminon "quadrivium" por priskribi la studon de aritmetiko, geometrio, astronomio, kaj muziko. Li verkis De institutione arithmetica, libera traduko el la greka Enkonduko al Aritmetiko de Nikomaĥo Nicomachus; De institutione musica, ankaŭ derivitan de grekaj fontoj; kaj serion de ĉerpaĵoj el Elementoj de Geometrio de Eŭklido. Lia verkoj estis teoriaj, prefere al praktikaj, kaj estis la bazo de matematikaj studoj ĝis la retrovo de greka kaj araba matematikaj verkoj.
La Renaskiĝo de Matematiko en Eŭropo (1100—1400)
En la 12-a jarcento, Eŭropaj erudiciuloj vojaĝis al Hispanio kaj Sicilio serĉante arabajn sciencajn tekstojn; inter ili estis Al-Jabr wa-al-Muqabilah de Al-Ĥorezmi, tradukita en la latinan far Robert de Chester kaj la kompleta teksto de la Geometrio de Eŭklido, tradukita en diversaj versioj far Adelard de Bath, Herman de Karintio, kaj Gerard de Cremona.
Ĉi tiuj novaj fontoj fajreris renovigon de matematiko. Fibonacci, en la frua 13-a jarcento, produktis la unuan gravan matematikon en Eŭropo ekde la tempo de Eratosteno, post breĉo de pli ol mil jaroj. La dek-kvara jarcento vidis la evoluon de nova matematikaj konceptoj por esplori larĝan gamon da problemoj. Unu grava areo, kiu kontribuis al la evoluo de matematiko koncernis la analitikon de loka moviĝo. Fibonacci vojaĝis en Sirio, Egipto, Sicilio kaj Provenco. Li renkontis matematikistojn kaj revenigis el tie kelkajn konaĵojn. Ekzemplo estas la fama fibonaĉi-nombro, kiun oni trovas en lia Liber abaci (Libro de kalkuloj).
Thomas Bradwardine proponis, ke rapido (V) pligrandiĝas en aritmetika proporcio kiel la kvociento de forto (F) al rezisto (R) pligrandiĝas en geometria proporcio. Bradwardine esprimis ĉi tion per serio de specifaj ekzemploj, sed kvankam la logaritmo ankoraŭ ne estis inventita, ni povas esprimi lian konkludon anakronisme skribante: V = log(F/R). La analizo de Bradwardine estas ekzemplo de transigo de matematika teĥniko uzita de al-Kindi kaj de Arnald de Villanova por kvantigi la naturon de kombinitaj medikamentoj al malsama fizika problemo.
Iu el la 14a-jarcenta oksfordaj kalkulistoj, William Heytesbury, malhavante diferencialan kalkulon kaj la koncepton limeso, proponis mezuri sendaŭran rapidon "per la vojo kiun devus priskribi [korpo] se ... ĝi estus movata unuforme je tiu sama grado de rapido laŭ kiu ĝi estas movata en tiu donita sendaŭra momento".
Heytesbury kaj aliaj matematike determinis la distancon kovritan de korpo spertanta unuforme akcelatan moviĝon (kion ni nun solvas per simpla integralado), dirante, ke ''moviĝanta korpo unuforme akiranta aŭ perdanta tiun ŝanĝeron [de rapido] trairos en iu donita tempo [distanco]n plene egalan al tiu, kiun ĝi devus trairi se ĝi estus moviĝanta kontinue tra la sama tempo laŭ la meznombra grado [de rapido]".
Frua Moderna Eŭropa matematiko (ĉ. 1400—1600)
En Eŭropo je la krepusko de la Renaskiĝo, matematiko estis ankoraŭ limigita de la plumpa notacio uzanta romiajn ciferojn kaj esprimanta interrilatojn uzante vortojn, prefere al simboloj: ne estis plusa signo, nek egala signo, nek uzo de x kiel nekonato.
En la 16-a jarcento eŭropaj matematikistoj komencis fari antaŭenigojn sen precedencoj ie ajn en la mondo, ĝis kiom estas sciate hodiaŭ. La unua el ĉi tiuj estis la ĝenerala solvo de kubaj ekvacioj, ĝenerale kreditita al Scipione del Ferro ĉirkaŭ 1510, sed unue publikigita de Johannes Petreius en Nurenbergo en Ars magna de Gerolamo Cardano, kiu ankaŭ inkluzivis la solvon de la ĝenerala kvaragrada ekvacio fare de studento de Cardano, Lodovico Ferrari.
De tiam plue, matematikaj evoluaĵoj venis rapide, kontribuante al, kaj profitante de, moderna progresaĵoj en la fizikaj sciencoj. Ĉi tiu progreso estis grande helpata de antaŭenigoj en presado. La plej fruaj matematikaj libroj presitaj estis Theoricae nova planetarum de Peurbach en 1472 sekvota de libro pri komerca aritmetiko, la anonima Arte dell'Abbaco (Trevisa Aritmetiko) en 1478, kaj tiam la unua reala matematika libro, Elementoj de Eŭklido presita kaj eldonita de Ratdolt en 1482
Spronite de la postuloj de navigado kaj la kreskanta bezono por precizaj mapoj de grandaj areoj, trigonometrio kreskis estiĝante grava branĉo de matematiko. Bartholomaeus Pitiscus estis la unua kiu uzis tiun vorton, publikigante sian Trigonometria en 1595. La baremo de sinusoj kaj kosinusoj far Regiomontanus estis publikigita en 1533.
Renesanco
Komence de la 16-a jarcento la eŭropa matematiko transpaŝis kadron de konoj, kiuj estis kreitaj en la antikva Grekio kaj fare de la nacioj de Oriento. Ĝis la interŝanĝo dfe la 16-a kaj la 17-a jarcento la matematiko havis kiel objekton de sia esplorado ĉefe kvantajn magnitudojn kaj neŝanĝemajn geometriajn formaciojn. Scipio Del Ferro kaj liaj lernantoj en universitato en Bologna kreis teorion, kiu kondukis al ĝenerala solvo de kubaj ekvacioj. En la 15-a jarcento la italaj kalkulistoj (praktikantoj) priregis fidinde aritmetikajn kalkulojn inkluzive de kalkulado per neracionalaj nombroj kaj italaj pentristoj estis bonaj geometroj. Vasari en libro La vivo de pentristoj emfazas apartan intereson de multaj renesancaj artistoj pri la spaca geometrio. Ŝanĝo de sociaj kondiĉoj alportas ankaŭ novajn problemojn, kiujn la matematiko devas solvi. Multe da iniciatoj ĝi ricevas el fizika tereno. La matematiko sentas necesecon trovi rimedojn por pli rapida prilaborado de la akiritaj indikoj. Por kalkuloj estis uzataj diversaj kalkuliloj, komence de la 17-a jarcento fariĝis la grava helpiloj de logaritmoj (Napier, Bürgi, Briggs). En frunton de interesoj de la matematikistoj venas movo. Oni komencas studi variablajn magnitudojn kaj geometrian transformadon. Galileo Galilei venas kun malkovro, ke balistika kurblinio estas parabolo, René Descartes en la jaro 1637 montras metodon, per kiu eblas dum certaj kondiĉoj priskribi analitike vojon, sur kiu moviĝas punkto. Lia analitika geometrio fariĝas supozo por tio, por ke la matematiko respondu la demandon, kiel moviĝas punkto sur sia vojo (konstante aŭ nekonstante) kaj solvon de tiuj ĉi problemoj de mekaniko alportas sendepende de si en la dua duono de la 17-a jarcento novaj matematikaj rimedoj de Leibniz kaj Isaac Newton per infinitezima kvanto. Pli poste ĝi estas aplikata ankaŭ en geometrio (Gaspard Monge). Veno de nobelaro kaj socia evoluo en italaj, francaj, nederlandaj kaj anglaj urboj kun veno de renesanco kontribuis al klopodoj alproksimigi la matematikajn konojn al pli vastaj tavoloj de la socio, kaj nome en la naciaj lingvoj. Tiutempe aperas ankaŭ la unuaj ĉeĥaj kalkulolibroj, el kiuj la unuaj estas eldonitaj en la jaro 1530.
Kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj
La itala matematikisto Luca Pacioli konstatis, ke la ekvacion eblas solvi per kvadrata metodo, sed la ekvaciojn  aŭ  li ne kapablis solvi. Scipione Del Ferro okupis, same kiel Pacioli, postenon en katedro de aritmetiko kaj geometrio en Universitato de Bologna. Del Ferro okupiĝis per algebra solvado de ekvacioj. Del Ferro ne kapablis solvi la ekvacion de formo x3 + mx = n. Nur post lia morto Nicolo el Brescia, konata sub nomo Tartaglia, malkovris ĝeneralan metodon por solvi ĉiujn kubajn ekvaciojn. Girolamo preparis en Milano al Cardan por eldoni sian verkon "Practica Arithmeticae". Li invitis Tartaglion, por ke li malkaŝu al li sekreton de la solvado de kuba ekvacio. Tartaglia postulis, por ke Cardan konservu la sekreton ĝis la tempo, antaŭ ol li mem publikos la solvon. Sed Cardan rompis la promeson. En la jaro 1545 li publikigis verkon "Ars Magna", la unua latina traktado pri algebro. La solvado de ekvacio de Cardan estis la jena.
Cardan eliris el rilato:
Se a, b plenuma la rilatojn
3ab = m
poste (a - b) estas la solvo de la ekvacio. Sed nun estas
b = m/3a, ,
t.e.
.
La lasta rilato estas kvadrata ekvacio de variablo a^3, do ĝi estas solvata kiel kutima kvadrata ekvacio.
La verko de Cardan Ars Magna inspiris vicon da matematikistoj, por ke ili okupiĝu per solvado de la kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj. Siajn metodojn derivis Viète, Harriot, Euler, kaj Descartes.
La estiĝo de la matematika analizo
Plua evoluo de la matematika analizo (la infinitezimala kvanto) ekde la komencoj de Arkimedo okazis nur en la 16-a jarcento, kiam mekaniko alkondukis matematikistojn por solvi problemojn, kiel estis fokuso de gravito. Johannes Kepler en sia verko pri movo de planedoj kalkulis volumenon de partoj de elipso. Li fondis sian metodon laŭ imago de areo kiel sumo de segmentoj, kiu principe estis metodo de integralo. Pierre Fermat ankaŭ studis maksimumojn kaj minimumojn. Li konstatis, ke funkcio atingas sian maksimumon aŭ minimumon, se tangento de kurblinio de tiu ĉi funkcio estas paralela kun akso x. Li priskribis sian metodon al Descartes tiel, kiel ni komprenas ĝin hodiaŭ: loka maksimumo aŭ minimumo de la funkcio troviĝas en punktoj, kie derivaĵo de la funkcio egalas al nulo. Gottfried Wilhelm Leibniz havas meriton en ĝis nun uzata enskribo de integraloj. Leibniz enpraktikigis simbolon de integralo kaj en la jaro 1675 li uzis enskribon:
Jacob Bernoulli enpraktikigis en la jaro 1690 terminon integrala kvanto.
Novepoko
En scienca revolucio de la 17-a jarcento la matematiko larĝe ekkreskis kaj kiam poste fine de la 18-a jarcento la industria revolucio alportis grandan kvanton de teknikaj problemoj, la matematiko komune kun la fiziko estis preparita por solvi ilin. Sed aperis ankaŭ kelkaj konfliktoj. Komplikaj funkcioj, aperantaj ekz. dum esplorado de gvidado de varmo en diversaj materialoj, devigis por si pliprecizigon de la nocio funkcio, limeso, derivaĵo ks. La unuaj paŝoj en tiu ĉi direkto entreprenis Bolzano kaj Cauchy. Senĉesaj malsukcesoj dum logika esprimado de teorio de paraleloj postulis verkontroladon de bazoj de eŭklida geometrio per alia maniero. Per logika neo de la kvina postulato de Eŭklido pri paraleloj ĉe Lobaĉevskij kaj Bolyai aperis neeŭklida geometrio kiel matematike tute ĝusta, el siaj aksiomoj derivebla kaj en rondo de sia valideco sendisputebla teorio. La malsukceso de klopodoj pri rekta solvo de ĝeneralaj algebraj ekvacioj de pli alta ol la kvara grado kondukis al demando, ĉu tia solvo estas entute ebla. Galois, Ruffini kaj Abel montris, ke tia solvo ekzistas kaj konstruis la algebron (ĝis tiu tempo nur scienco pri solvado de ekvacioj) al tute alian bazon - teorio de grupoj. En la matematiko tiel komencis el la internaj problemoj de ilia konstruado kreiĝi teorioj, kiuj estis logike ĝustaj kaj dum tio ili respondis al nenia konata situacio el la reala mondo. Komenciĝis la nova etapo de la evoluo de matematiko, kiam objekto de esplorado fariĝis abstraktaj kvantitaj rilatoj kaj geometriaj objektoj, kiuj atendis kaj multaj atendas sian praktikan validigon.
17-a jarcento
La 17-a jarcento vidis senprecedencan eksplodon de matematikaj kaj sciencaj ideoj tra Eŭropo. Galileo, italo, observis la lunojn de Jupitero en orbito ĉirkaŭ tiu planedo, uzante teleskopon bazitan sur ludilo importita de Nederlando. Tycho Brahe, dano, estis kolektinta enorman kvanton de matematikaj datumoj priskribantaj la poziciojn de la planedoj en la ĉielo. Lia studento, Keplero, germano, komencis labori je ĉi tiuj datumoj. Parte ĉar li deziris helpi Kepleron en ties kalkuloj, John Napier, en Skotlando, estis la unua kiu esploris naturajn logaritmojn. Keplero sukcesis formuli matematikajn leĝojn de planeda moviĝo. La analitika geometrio ellaborita de René Descartes (1596-1650), franca matematikisto kaj filozofo, ebligis grafikan prezentadon per grafikaĵo de tiuj orbitoj, en Karteziaj koordinatoj. Konstruante sur pli frua laboro far multaj matematikistoj, Isaac Newton, anglo, esploris la leĝojn de fiziko eksplikantajn la Keplerajn Leĝojn, kaj kunigis la konceptojn nun nomatajn kalkulo. Sendepende, Gottfried Wilhelm Leibniz, en Germanio, ellaboris kalkulon kaj multon el la notacio de kalkulo ankoraŭ uzata hodiaŭ. Scienco kaj matematiko iĝis internacia entrepreno, baldaŭ disvastiĝonta tra la tuta mondo.